KaI600-1972_10

KaI600-1972_10_1 Provided by University Library of Tübingen Transcribed with Tesseract

To the best of our knowledge this work is free of known copyrights or related property rights (public domain).

Dissertatio Cujus Particulam Primam Venia Amplissimi Ord. Philosoph. Gryph. Praeside Mag. Andrea Hultén, Mathes. Et Astron. Prof. Reg. Et Ord. Publice Ventilandam Sistit Sveno Christianus Klingberg, Nericius, In Auditorio Majori D. ... Maji MDCCXCIII., 1 — PWDSNAS ais 4 i * WW W. 9 ^"* RPE es* " A d. ii MR Ra 257 s i Ea iC d — — m ts a i ia —— —— Id a — —— 3 RA asl At t pupe ii t — at al -- . — »Bucsciir: — u a —— Ui -7 - ET p uEaL lehnlïll[ — 2 ". —R T Ó A — hs A Es P m — TU — Á RI - X — E — I- euc - m A xl X p z wX —— . —— I — -X —— u m ss TX tremaues pE RE 4 uI E Tk M o * x* m d »» : J P* o g T* lee 3 b (a«-wüf hd ( M EM u- « » h : RAT As $ U: s -2 A " Bs d 3 a o W N $— g A E. F i st p Dd Be— —— 4 xP b ; - ass NH-W d* us EC Ed M g d E E ? v i M RCAES Ó PS 3 ERE DISSER TATIO um M DE ! q AE(LUATIONIBUS RADICES ALI(LUOT i ta AEQUALES HABEN TIBUS !) J r —— —— A RiSDHS CR ä—(æ—.ngu j: T ? CUTJUS l PARTICULAM PRIMAM. j I VFNIA AMPLISSIMI ORD. P*LOSOPH GRYPH, / PRAESIDE ( Nhg ANDREA HULTEN MATHES. ET ASTRON PROF. REG. ET ORD, m CX Wa — 070 PUBLICE VENTILAND AM SISTIT SVENO CHRISTIANUS KLINGBERG NERICIUS IN AUDITORIO MAJORI D. WMAJI MDCCXCIIL. C GRYPHISWALDIJE & LITTERIS A. F, ROSE, REG, ACAD. TY?OGR, 1793 — a at r R e VMEROES o *.. 8 -7 VIRIS AMPLISSIMIS ET. CELEBERRIMIS, DOMINO Mag JOH. CHR. MUHRBECK, AD REG. ACAD. GRVPH PHILOS. THEOR E'P PRACT, PROFESSORT HA RECTORI MAGN IFICO ET COMITI PALATINO CAESAREO NEC NOD. DOMINO Mag CAROLO BRISMAN IN ATHENAEO GRY?H. MATH ET PHTS. EXPER. PROFESSORI, FAUTORIBUS SUiS OPTIM[S JUVENILIA HAECCE TENTAMINA, DiCA'TA VOLUIT CULTOR DEVO'i I8581MUS .SVENO CHRIST IANUS KLINGBERG. J F — x r dv - * * ^i : J E b d us m z E al 5 vt f. i s g N u 2 B - u * OR ii K, $ m E x * i & Ls & à " [ « Ms - yescesi z b $ *5. xadt & EEE hw : s d s a E: H A * m x & & * L um * P. - - .m« ^ u r P oeiias ?* & 6s J » E * SS " " - x * E l "$9. x ag EU — ". u $ [ E ^ P us ( F A M x [ i - * ïx P* M A fei A GN m; NS w » C gä& SEM R— 5 2l — d ///^ : d N « fb $ r 7 $ s : i, - 23 AR z DN 9 UE »p S - SESS N "A » r x, ïl m », j 20H G E 3 eSET A U x&— EE j *Xæ::' x U Xw i A C ( $. I. *x am aequatlo, -cujus radmes maequales funt per hoc produänm D repraefentatur (x — a .(x —5);(x — c).(x — d).&c. — 0, ubi a, b,c, d &c., quae maequales fupponuntur s aequationis feu Va- lores incognitae, cujus vicés x heic fuftin nflituunt5 aequatio, quae duas, tres, quatuor vel generaliter s; radices aequales habet, per (x —2) , (x —m). x — a). (x — b). (x — e) &c,...ov Teu (x —2)*. (x — a). (x —b).(x —6). &c, o Ug o d C Ea ( 0. G- ) o Bo g rox * (x-—a) (x — 2). (x — t). &c....o, "et (x — m)?,(x — a).(x — b).(x—e).&c. — 0 refpe&we pm- pom poteü Numerum faüorum fimplicium, produaa ifta componene tium, gradum, ad quem aequatio adfcendit , determinare, et hifce fa- éoribus inventis, aequàtioriem refolutam efle, ex ipfis Aïgebrqe ele- mentis conílat. . Sic'e, g. (x—a). (x-—b) (X — 2). (x— d).:o aequa- tio eft bxquadmtlca, t problema factores x —aj x —5, x 3«c, x.— inveniendi, aequatxoms refolutionem feu inventionem raaxcnm ü, b £, d, conflituit. Quum unus quilibet horum facdtorum inventus eft, et aequatxo per hunc factorem dividitur., aequatlonem ad gmdum proxime inferiorem defcendere, quum. vero aequatlo per produäum LO s duorüm ejusmodi factorum d 1V1 d «tur, aeqna tionem inferiorem oriri, cujus gradus numero binario a gmdu datae aequationis differt, et fis Sic porro, lpfaP aequationum fupra propofitae formae mdlcant. data aequatione biquadratica (x — a) . (x — £). (x -—1). (x —n)2:0; feu x^—(a4-D4-2m). x* -- (ab3-2an 4-2bn-4-n?) . x —(2abn-*-an'-1-bn2) " t abn? z0, quae duas aequales radices z habet, ct duas inaequales à etb AÀ3 VONRGUDHÜSN CR MR 6 p — d x P r D P vefïï- a et b, fi per metlhödumb aliquam A'du*ae 'v-iïlag aequales radices in garipo(ï'tmt, divifione per (x —z).(x--27)—0, [eu x?^ — enx - 2* facta, aequatio habetur fecundi gradus, duas reliquas radices aequa- tionis datae a et.b continens, et fic Fefotl,ütio*'aequationis* biqu«adragicae. ad refolutionem aequationis quadraticae reducla efl, In eo itaque cardo rei vertitur, ut methodus habeatur, cujus ope aequales illae ra- dices eraantur, quo facto, refolutio ejusmodi aequationum o faci- * lior evadit, quo ma] or.numerus radicum aequalium fuerit, |Nec hac que in- in re füummi nominis Analyftarum opera defideratur, eorum fiflentes vefligiis nate á X rizfxn .hancce -"atte»xix-tionc;a digni.fïdïm:]lm— illuftrare cönabimgï.ï g * AE * $. 2; Prius veto qn equationes , ä,uäe duas vel þlürbs ääqnqales*w bhabent radices, con fiderandas propius accedamus, haec praemittenda funt: Dataaequatione x?—px" — 4-g n2 o px!- 3. f[x!—4. & 0 quae aequationem .cuj uscumque gradu s,:repräïc[entat,' ponatur gyz-x—6£, unde x — t .. Hoc valore pro x in aequatione data fubflituto, ecit g (e4-9)" — * r.(042))" — Ef (64-9))" — - &c. — 0, ( Y - p.(ey) — et dum pote(lates i pfius £ 4- g per "I heorema binomiale NEWTONI :À- evqïquur, aeql)läti()whanc induþit faciem: / ;5 'ïï**'*'* ( EED s *:F"i'f""j*'e**'?y* E& (H'I). Bn-æ J ; *(ïz;-ï).——-(iz;.;).äh-;yz.*(n-l)f à gn-dya -l-&c.) j ( ) (n-2) — ; F o ? L,gyiz-ïz,,-t; .ff.?—.gfzfs yæ(iz; 2')(12'23 ).871.-4y 'z-*- Y J2 -i-&c) , (1-3) MTETSNE P od (e";,-g ,: (72—3).872-4 4'—(51'3)&"'4).811-5?]2 -*- E T -e"'sy.-" -ä-&&.) 71;4?'6;2.sy-k(?ïf4).&7z;5?.871-6 2*(3;4!)":. e'n-?y;.i--&c.) z & &6, ; ï (en-4 * . hum 1 ï i à Trpoic — 7 'Heic 19 obfervandum eft, unam. qüä mque x»*&ärcem 26(]118!10- nis transformatae, . übi y. mcogmta habetur unaquaque radxce aequa- tionis datae x* px^—' 4- qx* —* — n"—a ,&.fxn'—'li &c, — 0 quan- titate e minorem efle, quum in hoc c.:lcmo gcx—e pofuemnus. 6 -!-qgn - gn-a ,*, /'671—-4 &c. ulumus eft ter- — . (n A-—2 mmus aequauoms transformatae P p ) ("-2) ( 3) 11-4-*-( 4) jä" ; &c 1 ) D penuïtxmus* nl » (az-— !) II- (n-ï)(fn.-:) (H-Z)(n 3) d * 2 Lj ("-3)("—4) ("-4)("—5* 72-5 -* F 1 e 2 1 L 2 & &c.)y Vero ane- tepenulumus habetur, et fic ulterius. 30. Aequatxoms transfomwtae ultlmus termmus £ um pen'*' -I-qä —7'8 3'-'-./-872 -&c. idem omnmo eft, thue aequatro data *X p — -!-lfx -rx -l-fx" * — 0, fiinhacxcume coni- G D ("—1) mutetur Coefficxens vero penultmn tezmrm-—- . £ -!W X (n—2) quc- R (n 3) (" 4) 71 L $. &c, habetur á quum umxmquodque membrum ultimi termml pet' exponentem 1p[' lus £ ejusdem membri multiplicatur, et productum per 1 » e dividitur, . Sic [// —.1) ".2, quoque oritur termini antcpenufmm coechxens Soieule, q E 2 NDI ("**2)(" 3) Fn4 I L z n.g x p &c. mulnphcanäo * unumquodque membrum: cogfficientis penultimi per exponentem xphus t cpn ibi habetur , et per 2 x 't dividendo, et generaliter coZfhi- ciens terinini cujus cumque,, qui pofï Íe t terininos habet, a coéficiente PXOXHI*C 8 proxime- pmecedcutl deducitur:, - dläo modo unumquadque hujus co&fficientis. membrum per. exPonentem dignitatis , quam in ipfo hà« bet ? multiplicando;- et per z x edmdendo, 1d quod transformata, ae(luatxo fatis eftendxt 5 .. 81 aequatxo cu;uscumque 'eradus radxces habeat mhllo aequales, tot deüuere terminos, a fine numexando quot radices lllæ -wquales . mhnlo, fuerint, obfervandum quoque eft. Id 1pf'1 muluphcatloms nátura indicat. | . Sienim aequatio fit (x — 2) . (« —5) . (x — o) — o, feu x a). (x — b); x 2 o, hanc induit formam x? — (a-i-b) Y -l- abx:o, bi ultimus terminus deficit, . d In aequaxlone vero (s —2). ( — 5). ( —-oN—o; feu (x—a) 7- ...æ) x --o, * — o duo ultimi termini exfulant, et propo- fitionem allatam de mbus ejus modl aequatxombus valere , evxden- tiffimum eft 9. 4. I n '!-l]x 3 Ponamus ]am jj aeïuatlonem x -«px 4 /x Ti , in 6.2. propofitam, . duas 'iequa es radices ha— bere, quarum utraquc ipfi & aequalis fit, — In illo itaque cafu aequa- tio transformata, iu qua gizxw —v duas: habeblt radices nihilo aequa- les, Evanefcent igitur pergï 3. duo ultmu termml, vel, quod idem du e(t, ' duae iflae aequanones lnbentur "m pe T-Tggm *-Wi a -—(n-—l) pe 4—("-—2) qe -l-fe""'q-&c. — o, etm.e. -(n-3 re (n 4)ff — &c. — o, feu, quum. X t fit, b 2 K x ...px -l-qx --7".')6 2 dofeiid . &c.....o, et "nx- ...(n—l) px CH - 2).gx* 3. (n—3).rx" M (n-4). J* 5 ....&c.....o P'rior eft ipfa : qequatlo data;'poflerior ab illa, mulnph- cando unumquemque terminum per exponentenm dwnmtls; quam in 1pfo habet x, :deduéla.. Duae vero iílae radices aequales, quarumr utraque fimul ipfi aequa is eft, .in puorl acquatxone repriuntur, fed una tantum illarum in poüeuorl mvemtur, fi enim in polteriori quo- p - que -—-—.-.;..—'.!'*'..—" 9 j $* . CETTmGmemztmamemeeecten u *(1:241») BX quve-dætvlae illae radices aäquale& rf:'peri-renturþ, etïam- effextf (X ( t t (1z—-'1)(1z-—2).px "e4 I p $ "- 2)(12'-3) x 1 [j 2 ; (71-—-3)(In:. :).,;xn-g I $* g * n UER X & P^ * 5)fx'*6—&c.: OVII»C-'(«PW" fitxfi . Ms ("'"'-r)u 672-2& 4 2 f(n j .e x 1') ..g). (0—2) I ? 2 pg/n-*; L u (n-f 3);9 E 4; (H;..— 3'3(117* ; 4) ..-vw"': N * i $ 2 1 ) -4Xn — s).'f' X * 2 -6 &c ; c llaberefur, et ae(jliivatio 'da'trä' xn - epx "'-l-&cf:;*o : trcsll-lä*ïareret»: l;adïces mide, quod Tw- J——X potheü repugnat; Eodem modo, uátio x* — px - oqx"7^ — & — 0, tres radices aequales habet, tres ultimi termini. aequationis transformatae cvanefeunt; |quare habebitur non foluim äc'7z..px"f"'-[-gx'l-2' B -[- [X ^ zo, etux — — (n 3 Xgx -s 2 dR n2):qu ^ -(n-3).r - " 4 (n—4). 9 7 te m o, at in prïdti cafu; fed etiam n.(n —1).x" 2-,(0.-.. 1).(n—2).px - 3 -F(0—2).(0— 3).qx"-—4—(n; 3. (u- 4).rx71—5-;-(n;4)..*(ne5) J;&':—(' : .—éc,—0, et omnes tres radices aequales in aequatione prima, duae EUWPU 00 in fecunda, et una denique in tertia habetur, Hoc modo ulterius - 3 progredi licet, Si itaque aequatio data fuerit, quae radices aequales-ha- beat, .quarumx numerus numero g exprimitur, dum unusq;iisqüe termi- - nus aequationis datae pei* exponentem ipfïus'in'coguitae, hunc termi- num adficientem, multiplicatur, aequatio exfurgit, quae easdem ra- dices aequales habet, fed quarum numerus ipfi m — 1 acqualis efl; - Qum vero poflerior illa aequatio eodem modo muültiplicatur, tertia oritur aequatio , ubi numerus earumd ; ? em aequaïium -radicum numero s. $ü-—2 deägna-tzur , €t ficulterit r $..5 E d Si i.täqüe ':req'mïtïsiiem quændam * g.x^— (3r 4 q).xt ,*-(3(]7.*. 372).x2 —(3qrz .þy-?).(x-i—q-r-a z O, tres radices aeq-ua)es " þaber?, ænüi-teri-t',v;exjit peyr,fjg;;z;. non t?m-t:u"m4x3 -—(or- 39)*&:: 190 " ^ D 4 (6gr - 6r*).x — 3gr^ — 1* — 0, in qua aequatione duae earum- dem aequalium radicum inveniuntur; fed etiáàm. 12x* — (18r J- 6g)x [ ( qrrt J- 6gr 3- 6r* z o, Íeu x* W i, . t £f qtläe'aeqtlaf ä tio unam 'radicüm aequalium aequ*atiöiüs datae habebit, Haec vero ..?..4.—-- et ,. quarmh d 2 a;qqgtio quadratica duas habet -radicäs cum aequatione x^ — ( 3r*4) x "EC 37 r r*).x* - (8gr* r?).x * y *- * -—-l- qr?-—o, radicem habet commvuqemh; 252 T 2 » vgro noni tem: Aequatione itaque x r g x 4 Ggre 3r*) x* - gr )u T qr? — o m LÉ9; eu x* — 347x* 37* —* — 0 diviía, datur x '—g r,T,G Funt radices aequationis daktae, n | äe 6- | .-Dum in$. 4. ex a'eq'ua.t-ïonie x"-px'"""',.;, gx"?— 2 al fx""'** — Kc, — o aequationem. nxü—' — -t). px- (n—2).gx" ? h 3),rxn—4;;. (n— 4) .fx"—s — &c, — 0,: deduximus, ..unum. quemque terminum aequationis primae in exponentem ipfius x, eumdem terminum adficientem, ducendo, aequatio prima per pro- gremonem arithmeticam , E —31,7—2, l— 3, tl — 4, &c, nimirum primus terminus aequationis per primum terminum prögreüïionis; et fic porro, multiplicatur, quae tamen progrefïïo non pro lubito ad- fümta, fed per'exponentes dignitatum ipfius x in. pþopofïta aequa- tione dataefl, Similiter aequatio v.(u—1 )x — —(n—-1)(n—2).px" 3 4 (n-2).(0-3«qx — 3- (n-3). (07 4). r - (n-4).(-5) J* — &6 cco abägquatïone nx" . — (n—1), "px?fz Jin-a) x . —in-3.rc -0n-a4X - &c, — , unumquemque hujas terminum per correfpondentem terminum progreflionis arithimeticae n—1,5—2,1—3,1—4,2—5, &c. multiplicando, deducitur, et fic in reliquis. . Sed haec omnia, quae in $. 4 demonftrata funt, la- - Nam fi data aequatio, quae radices aliquot tius e(xten,di poffunt, aequas OA———A— E Yi aequales habet ; d*iao modo per progreffionem 'afitlmnüi&a;m*quäm- cumque, pro lubito adfumtam, multiplicatur, oritur quoque in illo cafu aequatio, quae omnes habetaequales radices aequationis datae, praeter unam, — Hujus aequationum proprietatis, qua HupDEN1Us methodum fuam Maximorum et Minimorum fuperflruxit (Vide Hup- pENII Epiíl, de Maximis et minimis) , concinna habetur demonfira- tio in Appendice Libro Cel. CRAwzn: Jutrodu&iion a l' Analjfz. des lignes courber ligebrique , fubjuncta. à Haec vero- priur—s —-obfe'rvanda funt duo momenta: à 19, Sitermini poteflatis m binomii t--x per borr'efpöxï(ïenfös terminos progreflionis arithmeticae ob, H : zb,.ï- 3b , &c. multiplicatur, .ómx.(ed x) nim fit (£ 4 x)? e-ri't Prqduc'lum zu u m (m-—t) P. c'"-l- me- x " um l)(m-— 2) cm— 3x3þ I L] 2 » 3 D. W oXc.. fi unusquisque terminus me;nbr rioris hujts aequa "fïïo-' nis per correfpondentem terminum progreffionis arithineticae o5, 15, ] É 2b ; 317"-,7 : :S?c. multiplicatu;, Pfþdl'lalllïi erï;' zb omc-x m. (u — 1). (-m-; z) : * 'v"—-, (MF 1) .cäe.'xz l : I 1 "— ) . (u— T v ; 1)2.s (m-,. -2) m L Iimx(c"*;? t —'-'l(') d n i $ d -lä&kc-) m Dins t o x n : 20 Si termini poteflatis: L bïnoxim CLx ïrp'ef' cdri*e[þonäentes terminos progreffionis arithmeticae a, a-4-b, a 4- 25, a 4- 35; &c. mul- tiplicantur, ita nimirum ut terminus primus hujus poteflatis in primum t—yermi'ynum; prOgrgHïonïs 'dchtur,þ productum per (c --.x) "—* dividi m " X b A .!. - ï-ämv—ïäx*"* þo:te;fï; .Nam dläomodo f&;fiähi £. mcm—' * . Y v. I ..WZT ". (m—1). (m—2) I * Z [2 ^ at'f';'.—"-?x-?'"; t &cz rþn—üþftï plicare;- i dEm ox*n,nvz'no- .eHï,? acprimum omnes terminos per 2, deinde terminos ejusdem feriei p&r- correfpondentes terminos progreflionis arithineticae o5, 15 25,.35, ionem primam habetur productum &c, n-mltipl.i"c:are.* .P'er multiplicat B 25 — eemen 17 - za.(t -!-x]m:: a.(t4- x); ( x)'""" : z (at4-ax).(c4- xy" f-*r. | Per fecundam datur productum — bmx . (c4-x)" —* , (permom. r. hujusG.) AE et fic producium totum — (ac-4- ax 4-bmx) . (e 4 x "—* unde per :i (c-4- x)n — * dividi poteft, — Si (igna vel in binomio, vel in progreffione Arithmetica, vel atrobique fimul, utcumque mutantur, affertum 'ta- men val(crek, fgcile pátet, 3 7- Hifkcer praeïïru&is regula HU D DENII fac file;ded*lonfïrätur.- Aeäua- tio enim radices aequales habens , quarum quaelibet — — e, quarumque numerum m defignat, fab hac forma proponi poteft:: ( 9) g rX?--fx? - &c.z0, h.e, Jj zI "7- -Z.?c xz s (m2-2) 13 u 3x 34. &c | Pcmä—mpcm'ï *102,3 u Td £X b x -!-m.(mf. I L] - fa gc'"f*.x 4-&c, M 4osr x& Losmsci—: x 4 G. i Si jam termini hüius aequationis in correfj pondentes terminos progref- fionis arithtneticae a, a-68,a4-2b, a-- 35, &c. ducüntur, omnes lineae pet progreflionem arithmeticam multiplicantur, prima fciliget per a, a d-b a4-25, &c. fecunda per a--5, a-4- 25, a 4- 35, &c. tertia per x b, a--4b, &c. et fic porro». Omnes fimul lineae dignitatem 04-25,04-3 m binomii c4-x conftituunt, Unaquaeque igitur linea (mom.2. $.6.) et fic tota aequatio, poft diclam multiplicationem, per (c--x)" —* dividi poterit. Poffunt autem figna in binomio, . in reliquo factore aequa- tionis et in progreffione illa arithmetica utcumque variari, Sic dum aequatio radices aequales habens per. progreflionem arithmeticam pro lubito adfumtam inultiplicatur, ita ut primus terminus aequätimnis iü primum xerminum progreflionis' ducatar , þrödh&ünrqiï aequatio, omnes illas aequales radices babens, praeter unam, Quein ufüm haec theoria in variis problematis folvendis praefïet, et qucmodo ad conclufiones viam muniat, quae ex aliis ctiam. princi- ? üs deducuntur, in praefenti oftendere animus fuit, fed 'bre*väza,zi- f.hi-f d.emg;.hanac *Ppefäifl;ï ingläxä occaüoïgx.-;e:-n;diiïegte cogimur, Vg z us v o if - p o i d d E o — . m i u w , L d i $ v n - EEl um —— — E M hg o MM d A ao Gu aisio ijierememipie i us r "" RL d d I cSR3eePE Z 7ntu —À r VE Ed —— E i *o V U T DISSERTATIO S i DE B R 19 I AEQUATIONIBUS RADICES ALIQUOT 18 VierFarbSelector Standard* - Euroskala Offset 115 AEQUALES HABENTIBUS 17 Balance Q L — 1 O 16 p — LLA—LBEA——ÁÁ—— —Ó———HBQÀ CR æ—æng,, un., IRSANEMENIN E x . I Focus 15 NH PARTICULAM PRIMAM [ N VFNIA AMPLISSIMI ORD. P*LOSOPH GRIPH. M 13 l J PRAESIDE L | 10 K -- Mag ANDREA HULTEN ] MATHES. ET ASTRON PROF, REG. ET ORD. J g | PUBLICE VENTILANDAM [ SEISTIT | H SVENO CHRISTIANUS KLINGlERG NERICIUS, | G IN AUDITORIO. MAJORI 5 F 6 DXX MAJI MDCCXCIII E 5 | z. a P m D 4 I Illllllllll EXN EU at Aenies i LL LEl « C 3 RYPHISWALDI/E LITTERIS A. F, ROSE, REG, ACAD. TYPOGR, 1793 B 2 ü Copyright 4/1999 YxyMaster GmbH www.yxymaster.com A 1