KaI600-1969_23

Zs

*

h]

—

——

—

———————

— — H

ii

T

i

—

—

odl

.

n

i

RE i

E

Es

x

A

—

—

M

TA

n

E

-

m

2

t "

M

L

3:1,;:).&4* (

!

l

l

1

!

"

abm

^

j

/

!

MW

j

M;n

M

pw?;egwj

let [

ja,ïi/rlï?iï'nlv"

Vi g. ln

ä'f;.w,blbïïd

v

(

^*

tht

NI

';',U 1,&':(&"5

[

5:*».1

luad

/g(.q,l (/WL.

^

IY

'w D pe

m fa,f?.«.'üi |

t

AA

M/S

h

^

—

ä;ï

W!

P V

4

ts A

ls

f( '«J*(säw i"-uæ'm

';91&1 g*lk "Wiv

i

!

j fl](,-;'

a ia ssb t M C nE

CR

ïxï.fa.(fmfbuia äïg

P ii

D

|

er

L

Á

N

Ü

:

OL ANTUN

P d

MM' fg

&

ryád

ü

r

"N

»]

?

M

[

)b

J,?

n

iM

M?k

N

nE

IQ

w**u D

W

(*ït

a

ügig

]

REFUTATLIO

$.

"l

OBJECTIONUM FACTARUM à VIRO CELEBERRIMO G. BORTZIO

jl-

PROFESSORE MATHESEOS P.

IN INCLYTISSIMA ACADEMIA

LIPSIENSI CONTRA CIRCULI QUADRATURAM NOFVISSIMAM

l

ANNO

1779-

EDITAM.

(

l.

el. Bortzius inquit:

» De Qnuadratura Circuli ad amussim exacta

ít

» desperandum omnino est, cum Cl. Lambertus justa & mathema-

» tica demonstratione probaverit , arcum quemlibet circuli ( qui aliquotam

37

» partem peripherie constituit, v.c: 609?, 45? &c.) cum Tangente sua

r

» esse incommensurabilem, quam demonstrationem ille primus adhibitis fra-

t

, ctionibus continuis felicissime absolvit.

Sequitur enim. inde, arcum 45?

2» Incommensurabilem esse cum Tangente 45?, sive cum radio , adeoque

am

» 8vam perpherie partem cum dimidia diametro, h.e. integram periph.

ID

, cum ipsa diametro esse incommensurabilem.,, Tangens 45? est 10000000,

fille

arcus 45? in lisdem particulis legitime inventus, est 7812500. Dividendo

|

d

jaum utrumque numerum per communem mensuram maximam 312500, pro-

lQ«

dit ratio prioris ad posteriorem ut 32 : 25. Est itaque 8va pars peripheriz

ad radium ut 25:32, conusequenter peripheria integra ad diametrum ut

in

MC

200 : 64, h. e. dividendo utrinque per 8, ut 2578,

Ergo

arcus 45?

N

mensura lineari legitime inventus nequaquam incommensurabilis est cum

sua Tangente,

seu

cum radio.

pï(]'

Cur

2. Nil igitur superest, profequitur Cel. Bortzius, quam ut ad appro-

55

ximationes confugiamus.

Dedit jam dudum elegantissimam Zudolphius

Ts

LE

à Ceulem, qui legitima via progressus invenit, diametrum esse ad periph.

quOS

35

ut-1-ad 3 ,.14139265

** o o n d

(

&c, quz serles Infinita , quo longius con-

5

tinuatur, eó propius ad. veritatem accedit, ipsam vero veritatem non nisi

gni«

55

iminfinitum protracta, i. e. uunquam. attingit.

Jpsa Analysis Infinitorum

»»

Pre

pandit permultas & varias vias, quibus peripheria Circuli potest per

55

series approximantes exprimi, quz series ad numeros revocatz, sumta

Jam

uv

fitte

)

diametro :

Bll

r, semper & absque ulla exceptione Ludolphinos nume:os

35

I

producunt, quanquam & diversis principlis sint deducte, adeoque ma-

"

»»

nifesté probant, Ludolphinam istam seriem esse solam veram & mathema-

llf*

ä

55

ticam approximationem , & posse lapis lydi (Japid;s lydii) instar ad

E^

jv

5

r

examinandas alias ejusmodi proportiones adhiberi, ut dignoscatur, utrum

55

genuinz sint, an adulterinz. ,, . Non me latet, Mathematicos celeberri-

1f09

mos desperantes de invenienda ratione vera diam. ad periph. confugisse

"d

|à

ad series approximantés sic dictas, quarum imam publicavit 7/eta in 11

numeris, Zdriauus Romanus dedit seriem in 16, Ludolphus in 36, (Sharpius

ï

in 74, Machimus in 100, ac tandem Cel. Lagny in 127 notis; sed cujus usus

ez esse possint, id plane ignoro. Quis enim Investigando peripheriam Circuli,

cujus diameter e. gr. 12, assumeret pro primis terminis proportionalibus ejus-

modi concatenationes notarum? Omnes ha series eó magis à veritate re-

Jat

cedunt,

i

cedunt, quó sunt longiores. Analysï-s Infinitorum pandit. quidem varias vias

eas inveniendi; sed cum ubique requirantur extractiones radicum surdarum,

que exacté fieri nequeunt, impossibile est, hac methodo peripheriam legi-

ume determinare. Proinde nulla harum serierum potest dici lapis lydius

ad examinandas aliàs ejusmodi proportiones.

F'id. n. 17.

3.

jam Cel. Corsonich , continuat Cel. B. , putat esse diametrum ad

55

periph. ut 8:25, sive üt 1:35 , h. e. numero 3i in' fractiones decimales

LE

Cconverso, ut

13925

Sumta ergo diametro —— r, erit peripheria se-

LE

undum Ludolphinam approximationem 3, 14159265 .... &c. , secundum

5?

Corsonichium 3,125, adeoque differentia 0,01659265....

Est igitur

ï

5»?

Perigheria Corsonichiana justa minor plus quam 16 pattibus millesimis dia-

mettrl. 5,

LE

Impossibile est, ut peripheria vera conveniat cum Ludolphina,

falsam

ita

demonstro :

Perphlera Ludolplhina diametü 8 est

quam €sse

4d99995909009

$11274120

peripheria defectiva ejusdem diametri perrationem 1:3 inventa

coo

i

est 4*, qu&

reducta ad denominatorem . peripherie Ludolphinz. est 25:

vÁs

vco0090909

5

[*]

Auferendo igitur periph. def. ex Ludolphina, innotescit summa x t y numera-

tor 113274120, ex quo denominator peripheris Ludolphine ablatus relin-

quit 13274120 denominatores

ooo I32754120

EO

EE

1 perpherie defect., adeoque summa

ipsa est

—3

'gou 9

ooo

joooo0900o*'

Jam cum termini defectus peripheriz de-

fective ^& per reductionem ejas ad denominatorem Ludolphinz toties fue-

pnt aucti, quoties. unitas continetur ia.hoc; nécesse est, partem priorem

per denominatorem periph. Ludolphinz iterum reducere ad tcerminos mino-

res, ut Prodeat defectus quzsitus 3. ^ Et quoniam terminl excessus in pe-

riph. Ludol. contenti non fuerunt variati, quia illa per denominatorem —

1 pe

p

herie defect. ad majores terminos reduci nequit; palam est, partem

B

osteriorem esse exc

essum quesitum , quo demto ex periph. Ludol. . relin-

d quam igitur diameter est ut 8 :25

quitm vera 2$, a

1:3j. Ergo.

4. Forsitan Cel. B. hac demonstratione nondum contentus argumen-

tabitur hanc in modum: Assumta diametro Polygoni 24 laterum — 200600006,

reperitur, factis 4 radicum extractionibus, latus hujus Polygoni — 2610523,

vnde perimeter ejus est 2610523 x 24 — 62652552, ad quem diameter est

ut 1:3,1326226. Vel dividendo gradus 360 Circuli huic Polvgono cir-

cumscripti per 245 h. e. per numerum lateram,prodit angulus ad centrum —15^,

angulus 7? 30", hujus sinus est 1305262 & duplum sinus ,

cujus dimidium est

nempe 2610524» latus Polygoni inscrpti, adeoque perimeter est 2610524

lp o r i

x24 — 62652576, ad quem diameter est ut.1:3, 1326288. . Jam cum ra-

p

tio 8:25 sit —— 20c60000 : 62500000

1:3, 1250000, sequitur inde Po-

5

25

1326 &c.

lygonum 24 laterum

Circulo inscriptum esse majus ipso Circulo,

Ad hac respondeo ita: Quoniam experimenta spectan-

quod est absurdum.

da sunt tanquam examina, quibus convincimur, nos per ratiocinia legitima

veritatem esse assecutos, describatur .radio 48 pedum € scala geometrica

desumtorum circulus, eique applicetur chorda equalis huic radio, que. cum

sit latus Hexagoni, resecat arcum. 60? , h. e.. sextantem peripheriæ,. quo

ä

diviso

|

m

diviso bifariam, innotescit arcus 305, h. e. sem

isextans peripherie , qui de-

prehenditur semper —

25': nàm resecando rmum ab hoc semisextante unum

pedem quinquies,

& circumferendo de

inde in eo hoc intervallum $ pedum

quinquies, patebit mensuranti,

eum constare precisé ex

25 lineis. rectis seu

pedibus.

Cum igitur semisextans sit — 2 $1

; palam est, sextantem integrum

€sse — 50!, consequenter 6 sextantes, h.e

. petipheriam integram — 20o*,

ad quam diameter est,

ut 96:300, h.e. dividendo utri

8:

nque per 12 ut

?5 , ex quo manifestum est, circulum , cu

jus diameter 96 , esse Poly-

gonum 300 laterum in peripheria evanescentiu

l

m,

$i ergo diameter fuerit

decupla, centupla, millecupla &c: diametri

965; erit circulus Polygonum

30990, 30000, 300000 &c.

laterum in peripheria evanescentium;

ex quo

perpicuum est,

perimetrum Polygo

ni 24 late

rum per 4 extractiones radi-

cum surdarum ; vel per Canonem sii

juum inventu

cessu.

m, semper peccare in ex-

Hoc experimentum tam facilé ta

mque exacté institul potest, ut ne-

fas esset illud negligere. vid. g. )7

$-

Sensus $.stii scripti censurati est talis:

ctionum additarum: —

duv

Sint denominatores fra-

E

" & o, & summa ipsa

EM

m To:120,h. e. sit summz

Bumerator ageregatum, & denominator factum

additarum: - erunt

€x denominatoribus fractionum

UEL

PZil'tC*S hHDC summam constituentæ'

I:9Ó21, G 1:05 ex

quo deinde deduxi Theorema:

A?l

Quumeratov

fumma D ügeresatum ex

uiroque fatfore denominatoris. fui

, seu quod idem est, ex utr

oque denomi-

natore fractionum additarum

; meceffe eft, wut unus fatfor

fit. denominator u-

mius partis, alter. fatfor

deuominator alterius , | &2 . q

que partis.

Hoc Theorema visum

utas qumerator utrius-

fuit Bortzio falsissimum ,

, Summa of

qui inquit :

m:mo innumeris modis potest

in 2 partes. resolvi ; adeoque

» DOn, ut hic asseritur, necesse est,,

d

,

ut unus factor sit denominator unius

, partis, alter factor den

ominator alterius, & unitas

numerator utriusque

1

» partis. Insignis subest paralogismus: Qr

|0niam hz 2 partes 1 : m & 1

:0

[2

, faciunt hanc summam o t i

|Umo,€ergo summa e nullis aliis, quam ex

55

his partibus potest couflari. ,

5

E

Si Bortzius rite observasset hypothesim

|

T'heorematis, nón fecisset hanc ol

)jjctionem, cujus nullitatem ita ostendo :

Sint fractionum additarmum den

ominatores —

A

16 & 8, sit summe

24

izg nume-

IRtor aggregatum, & denominator factum ex iisdem denomi

—

natorbus, erit

suimma ipsa

u WOK

I6

.I..

8

328*

Jam cum per hypothesim denominator 128 sit

factum ex 16 in 85

necesse est tam numeratorem, q

uam denominatorem

partis prioris dividere

per 16, & posterioris per8, ut prodeant ac

julvalentes

$ & ,5, quz sunt partes quzsite: nam addendo earum denon

3inatores sibi

invicem, oritur summz n

1

u

umerator 8 t 16 — 245 multiplicando autem earun-

dem deno

minatores per se invicem , producitur sum

ix denominator 128.

Hoc autem universalissimé demonstratur per formul

am mto:mo

, Cujus par-

tes per conditionem Problematis n

equeunt esse aliz nisi 1 : m 1:

0. Egomet

alibi demonstravi,

quamvis summam variis modis posse resolvi

in 2 partes ;

ed ejusmodi partes non satisfaciunt conditioni Problematis.

Plura de his in-

feriis (n. 9.).

6.

)a:(

u

6.

Cel. B. ita ratiocinatur :

, Problema III. 8. 4ti, quod falso huic

fundamento innititur, rem prorsus admirandam & stupendam perficit, de-

»»

35

terminat nempe quantitatem incognitam € solis » limitibus, quorum unus

LEJ

ipsa quantitate major, alter minor est.

Solutio hec , sí vera & justà

55

esset, mira profecto rebus mathematicis afferret commoda, & nihil fere

55

isnotum nobis & arduum relinqueret, cum omnia fere, que quzruntur,

£

[;

j

methodo Corsoni-

?5

icile limitibus quibusdam circumscribi, atque ex his

chiana determinart queant.

Sed proh dolor! continet hac solutio eundem

25

55

n, diferentiam limitum,

scu summam excessus & defectus

Paralogismun

LE

dbc — aec : a

d ad formam d fa: ad redactam , non posse in alias partes,

ltera necessario excessus, altera de-

55

quam in

1:8 & r:d dividi, quarum a

Hoc verbum: mece[/ario si Corsonichius posset pro-

,, fectus esse debeat.

;

g

venisse gloriari posset. ,,

Non omnes qua n-

, bare, magnura aliquid se ir

titates limitibus circumscribt. p

essunt; sed solüm es, quae cum cognita in

eadem ratione crescunt; hi ]i

mites autem ita constituti esse debent, ut ex

mmam excessus & defectus, cujus de-

se invicem ablati relinquant talem su

ex denominatoribus quantitatum. falsarum, & nume-

nominator sit factum

x denominatoribus simplis; vel multiplis quantitatum

yator aggregatum vel e

en

€

e

juantitatis

falsarum; vel ex d

etn

ominat

ore simplo unius & multiplo alterius

i

s excessus & defectus sem

false : hisce 3 enim in casibu

Í

per legitime pos-

sunt determinar.

Hujusmodi

limites autem non sunt tam faciles inventu,

ac Cel. B. arbitratur.

Quod attinet ad formulam dta:ad, ea ex natura

nam quoniam designo denominatorem quantitatis

quæ

stionis est deducta :

mnino summam excessus &

fective per d5 necesse est, O

-

exces. per 4 & de

ago

um ex nütro-

defectus, sj ejus num

erator est

TyD

regatum, & denominator fact

am.d'ta:ad

atore qu

antitátum falsarum , denotare per fox'mg'

que denonmin

inl excessus n quanto excessivo contenti

— d:adta:ad.

j]am cum term

a

d

isarum ad

eandem denominationem toties

per redu

ctionem quzmtit*tum É

in denominatore — d quanti defectivi, &

aug

eantur,

quoties unitas continetur

termini

defectus quanti defectivi t

oties augeantur, quoties unitas contine-

tur in denominatore —

a quanti excessivi,

opus est, partem priorem d : ad

a:cd per denouminatorem a reducere

torem d, & posteriorem

per denomina

ad terminos m

inores, ut prodeant partes equivalentes 1:a4 & 1: d, quarum

inationis cum quantitate

excessiva neceffarió debet esse

prior ejusäem denom

enominationis cum quantitate de-

e est cjusdem d

excessus, & posterior, qua

it. ZPolfii constat,

fectiva, defectus.

E. gr.

Ex 8. 103. & 104. Analysis In

]um ex semiordinata in abscissam esse ut

spatium Parabolicum ad rectangu

eram ,

methodo mea

6a demopstrar potest :

5:3.

Hanc rationem €sse

guli

ad spatium parabo!icum excessiva. a:b

Assumtis ratione hujus rectan

E

r2

$, positoque

:

Rectanoulo — 3 pro 3tio ter-

X

— 10:7 & defectiva d:?

$

jïa »

mino utnusque proportionis , Or

juntur

spatia falsa 41 & 'j — NT &

limites, intra quos con

tinetar spatium verum ) , quorum di feren-

( en itaque

— $9^5

— Y*$

CUleS numerator Cst a2 7rega-

mam excessus & defectus

tla ;istit sum

tum,

10 spatiorum . falsornm,

,tum, & denominator factum ex denominatoribus 8 &

TA

i5 excessus & r:d —

Ergo hec summa est — d 1 a : ad, consequenter 1 :a —

numerator summse est

defectus: id qnod ita est intelligendum : Quoniam

aggregatum e€x utroque denominatore 8 & 10 spatiorum falsorum, necesse

.8

4 10

i

est,ut summa ipsa sit

— $9

$o*

jam cum termini excessus in spatio ex-

ces. 2 content! per reductionem spatiorum falsorum ad eundem denomi-

natorem 8o, toties fuerint aucti, quoties unitas continetur in denominatore

8, & termini defectus spatii defect. *j toties , quoties unitas continetnr in

IO

denominatore 10; opus est partes j5 &

5o

majoribus numeris expressas, per

eosdem denominatores 8 & 10 reducere ad minores terminos, ut prodcant

|

equivalentes ,5 & i, quarum 'prior ejusdem denominationis. cum spatio

éxcessivo meceffarió debet esse excessus, & posterior ejusdem denomina-

tionis cum spatio defectivo, defectus, quia illarum denominatores sibi ad-

QUE

diti, manifestant summe numeratorem 10 T 3.

I

18, & ducti in se Invicem;

summe denominatorem 8o.

Quoniam igitur nulle alie partes, misi he,

summam x'y juxta hanc conditionem reproducere possunt, palam est, eas

UI

21

21 — —

o TY

pE U

TO -

esse legitimas, consequenter spatium parabolicum verum esse

49 —

OEU

no wel ss

5

c

25

uod ad rectangulum est ut 2:3. Ergo

vericatis [m:per eadem facies, gl;þtatis atl

la confiantia , ergo paralogismi

ï

mihi objecti existunt solüm in imaginatione Cel. Bortzii.

7. Sensus $. s. Scripti censurati est talis: Assumtis diametro — 2,

ratione ejus ad periph. excessiva 4 : 13 & defectiva 12 : 37, emergunt pe-

ripherie

26 & 7& — 31

z

Ta m

a

g & 455 , quarum differentia exhibet summam x T y —

if, cujus numerator est aggregatum, & denominator factum ex denomina-

toribus 4 & 12 peripheriarum falsarum, unde summa ipsa est — li&

altera harum partium excessus, altera defectus ; sed uterque majoribus nu-

meris expressus, quia termini excessus in periph. exces. ^f contenti ob re-

ductionem ejus per 12 ad denominatorem communem 48 duodecies, &

24

termini defectus peripherie defect.

32

ob reductionem ejus per 4ad eun-

dem denominatorem 48, quater fuére aucti.

Reducendo itaque has partes

12 & & per denominatores 12 & 4 peripheriarum falsarum ad münores ter-

& & quarum prior ejusdem denominationis

minos, emergunt aquivalentes j

cum. periph. exces. est excessus, & posterior defectus , quia nulle aliz par-

tes, nisi he, summam ita reproducere possunt, .ut ejus numerator sit ag-

gregatum, & denominator factum ex denominatoribus 4 & 12 peripheriarum

falsarum. Ergo peripheria vera est 4 — 1 — *5 , ad quam diameter est ut

QUs orun8 s us

Ad hanc demonstrationem Cel. B. reposuit:

,, Utar. hic

» ipsis lis verbis, quibus Corsonichius $. ;. rem enunciavit. Inquiram

b

nempe hac methodo in verum v:lorem radicis quadratice ( quadrat« )

*

35

€

numero 2, quz radix, ut facile est demonstratu, major est, quam 15,

55

minor quam 11. Ut igitur ratio unitatis ad hanc radicem sit excessiva

55

1:11 — 10: 15, defectiva 1:13 — 15 : 20, audiamns jam Corsonichium

A

, hac de re ita ratiocinantem : Positis unitate

—

1, ratione ejus ad radicem

2421

, quadra-

-

p m

»5

quadratam & numero 2 excessiva 10:1j &-defectiva 15:20

emergunt

55

é numero

?

-5

&

valores radicis quadratx

B&

Ü

$

*ä

18, que

»5

ex se inyicem ablatz relinquunt summam x t y

'.ä

s

5

5, cujus numerator

55

est ez 15 L10;

Ergo excessus est , & defectus

3525

consequenter valor

—

55

verus

2

us

R—

P1

X

m H

— 14

jo ?

H

— 21

velzst

d5 —3432»

& ad unitatem r, ut 7 : $.

ï

»*

En etgo egregiam ver

tatem hac methodo repertam :

a UIODp U C

r

2506 axtta O Dieu o

.. Non sum tam cupidus glorie , ut mihi at-

gepid

tübuere velim zatiocinium. hoc przclarum & solo ingenio Bortziano profe-

ctum: nam ex Arithmetica constat, ràdices indagandas esse methodo pe-

E

culiari; non autem per Regulam Auream, que hic prepostere adhibetur.

Deinde nullus Anthmeticorum ignorat, terminos 2dum & 4tum proportionis

esse debere homogeneos.

E.gr. In operatione precedente tali utor analo.

gia: Ut diameter 4 ad periph. exces. 13 , ita diameter 2 ad periph. exces.

?6; & ut diameter 12 ad pïeriph. defect. 37, ita diameter 2 ad defect.

12*

Jam vero Cel. B. ita infert: Ut 10 ad radicem exces. € numero 15 inveniendam,

ita 1 ad radicem exces.

2

i5

10

e numero 2 ibventam, & ut r ; ad radicem defect. .é

20

Ts

€ numero

2

p

inven-

numero 20 inveniendam , ita 1 ad radicem defect

tam; ex quo palam est, terminos 2dum & 4tum utriusque proportionis esse

heterogeneos, consequenter objectionem Bortzil esse incongrnam. Caterum

2 est 34í cum fractione remanente

iij, ; prastat tamen radix 12, quz

ä

2$9 —

zi

E

L

:

3

2

est

399

123

cum fractione resi-

in se ducta dat quadiatum

144 —

Zyïdï

*x-^

CT5

dua ;

[*]

Y

5

s; hinc melior est radix 2

4

$55

quz'in se ducta dat quadratum

2279 s

s

AE

225*

8

*

In $. 12. ejusdem scripti assero, prater quadraturam circuli, etiam

quadraturam aliarum fgurarum ( parabolz, hyperbole &c.) posse determinari

quotiescunque summzae x"ry numerator est aggregatum , & denominator fa-

ä

ctum ex denominatoribus quantitatum falsarum : id quod ibidem confirmo

I

conversione lunularum falsarum

49

3.5

& &

$5

4

in veram

H

2

4

.

Huic asserto

Cel. B. tale opposuit argumentum :

» Si. quis in mente haberet fractionem

r

2?

minorem quam £ & majorem quam

*

, Corsonichius dicturus esset: valor

m

5&o

25

excessivus est 425 , defectivus

350 ^

ablatis lhis à se invicem, prodit sum-

o

55

maxi*y I 445 » cujus numerator est ag

)

regatum , & denominator fa-

T

»5

ctum ex denoninatoribus 10 & 15.

Est ergo excessus

U

19)

defectus $&

55

& in mente habuisti fractionem 2.

Qnid igitur, si in mente habuissem

I

I

Ex

fractionem

z

r

5

aut aliam ex infnitis Istis, que cadunt inter 3 &

£t

ha

c objectione apparet, Cel. B. noluisse rité intelligere statum quastionis:

nam inquirere in aliorum cogitationes spectat -ad Vaticinatores, quorum are

Quantum ad me, omnia deduco ex

tem ridiculam nunquam sum professus.

principiis inconcussis, comparo semper quantitatem incognitam cum co-

gnita in eadem ratione crescentem, e.gr. lunulam exces. 36. cum quadrato

irationali 140, lunulam defectivam 44. cum quadrato surdo 180, & assum-

to quadrato diam. — 1: pro stio termino utriusque'proportionis, invenio per

&4

am

189*

rationem priorem, lunulam exces. 4&, per posteriorem, defccetiv

Dicat

3

Dicat: jam B. , cum quibus quantitatibus in eadem ratione crescentibus com-

ferri possint Z & Z,

ut Regula Trium utrobique legitime applicari possit, &

ert magnus Apollo.

thodo mea invent

Deinde inter quodlibet par quantitatum falsarum me-

arum datur tanthm unica vera,; ast inter fractiones

E

z

r

&

P

3

x

dantur infinitz aliz , quarum nulla dici potest absoluté falsa.

Hanc obje-

ctionem tandem Cel. B. hisce concludit verbis:

—

I

Unde apparet, 2 folis 2

limititus

2

E

E

quautitatem incognitarà determinar

i wumquam po[fe; | quod

ei libenter concedo ;

sed & 2 limitibus methodo mea constitutis quantitas

incognita cum cognita

in eadem ratione crescens semper potest determinari.

9.

NDI

Assumtis diam. quadrato

EE5

1, ratione ejus. ad lunulam exces.

& 4

48

24:7 & defectiva 12:2, prodeunt lunula

E

12

II

ïFïA*ä &

29825

quarum

53'5'53;

differentia sistit summam x g

cujus numerator est aggregatum, &

denominator factum ex denominatoribu

S I2 & 24 lunularum falsarum, adeo-

24

que.summa ipsa est — z5

2882?

& altera harum . partiüm excessus, altera

defectus, sed uterque majoribus nume

ris expressus , quia termini excessus

in lunula excessiva

24

ER

?

contenti ob reductionem il

lius per 12 ad. denomina-

—

torem 288 duodecies, & termini defectus ob redu

ctionem lunulz. defect. &

per 24 ad eundem denominatorem 288 vici

Redu-

es quater fuerunt aucti.

cendo igitur partes

26« & Z per denominatores 12 & 24 luünularum falsa-

N

I

T

rum ad minores terminos , emergunt zquivalentes

24

&

$215

quarum prior

ejusdem denominationis cum lunula excessiva- est ex

cessus, & posterior de-

fectus.

Hic B. exclamat :

» Summa x

y innumeris modis potest resolvi

» in 2 partes! falsissimum est dicere ,

summam . -2

2988

,5

:

E

non posse constare ex

alus partibus , quam

& *

i

-

25

& 45 (quoniam 4 t

I

B

$

460

constat enim etiam ex his partibus 4

Eu

X

MUW

19— $

s

*co

RE z;äg

— 8 —28597*

Suniam e.gr. diffe-

)5

rentiam illam limitum esse

2365

$» quod idem est, ac si esset

285

unde ex-

55

cessus esse deberet ;

245

defectus 4,.

.-s—. —

Cum vero j etiam sit —

EEE

4 aoo ,

se-

LE

queretur inde, excessum quoque-esse de

bere

z95

l

defeetum

55

is^

Quorum

utiumque cum: simul verum esse nequeat ,

neutrum verum sit, necesse

25

est. »

Juxta omnes Arithmeticos differentia lunularum

3

H

z$, & fíy nequit

esse alia nisi

A

275$?

ast juxta solum B. ea est etiam 35

o

excessus

*9

-defe-

tus 45 , consequenter lunul

d Vera' ^ uDX L L e6OLI

24

24

AUIRRA -AUE-.

z

j

.i.-

—.20

BO

Vinneslrt

z5

20 m

]

4

49 — 960

969

989

$

LA

35

; vel

42

9

-—3129

122

120 — 13 5

ad quam quadratum di

am-

B

€

/.S

CQ E

g

4

Ea

bt

I$:4, quod est absurdum.

5

Ego veró ita argumentor: Quoniam sum-

mza

258

numerator est aggreg

P

atum , & denominator factum ex denomina-

toribus 24 & 12 lunularum £

[

ilsarum ,

& nulle alie partes summam istam

juxta hanc conditionem re

24

35

producere queunt,

hisij, T49 — Qu T

288

u

298

E

EE

evidens est, has esse legitimas,

6

iB 433

EE AECER -

E a

consequenter lunulam veram esse j2

R

2*

—33* — 3)

vel m d

12 — $42 —

*

; àd quam quadratum diam. est,

üt4:13

ex quo abundé p

h

atet, meum ratiocinandi modum ess

e legitimum ; Bortzianum

autem veritati

adversari.

f:

10. Relique 8 operationes in Scripto censur

ato contente , sunt se-

quentes: Per rationes diam. ad perph. 6:

19 & 10:31 investigare periph.

diam,

|

|

— MY

diam. 45 per 7:22 & 9:28 periph. diam. 8; per 20:64 & 4:12 pe-

pos

ut €

riph. diam. 2.

Per rationes quadrati diam. ad circulum 24:19 & 40:31

j

indagare circulum , cujus diametr quadiatum 4; per rationés 14: 1 &

exc

18:14 circulum, cujus diametri quadratum 16.

Per rationes quadrati dia-

[ibe

metri ad segmentum 48:7 & 16:2 invenire segmentum circuli, cujus dia-

nu

metnü quadratum 16.

Per rationes cubi diametri ad sphaeram 42:22 &

Jam cum numerator

Vatr

$4:28 determinare spharam , cujus diam. cubus 8.

Cons

cujusvis summz per has rationes imvente, sit aggregatum , & denominator

yati

factum ex denominatoribus quantitatum falsarum , summo jure. potui desi-

tati

gnare summam quamvis per formulam d'ta:ad, cujus partes per demon-

tam

strata meceffarió debent esse 1 :a & r:d. Inique ergo judicavit B. asse-

yt À

rendo, hinc determinationem. partiwn . fane Mathefi repugnare, meafque de-

monfivationes , ut neceffe eft im ve falfa €7 caufa inigua , effe plenas paralo-

j

tem

gifmis.

Omnes has objectiones; utut in veritatem injurias, grato tamen su-

ut humanissimé ab ipso petieram, illas directe ad

exa

scepissem animo, si B.

fect

me misisset ; sed quoniam ad suscitandum mihi inimicos, eas A. $. 1780

ä

Tant

curavit alió perferendas, & jam ante quadriennium contra me falsum testi-

p

est

monium dedit tali, qui ne quidem obolum nedum premium $o Aureorum

meritus; mearum partium esse exist

imavi publicé demonstrare , eas nullius

pum

esse valoris, & magis ex affectibus, quam judicio esse profectas. Huic Re-

plo

[f

n

fatationi adjungo Demonftrationes Univerfales & Oculeves Rationis diametri

Es

ad periph. ut 8:25, de quibus quidam Mathematicus insignis mihi ita

INoli credere, me veleri grojudicio adeo ejfe occupatum , aut fpiritu

tem

Scripsit :

invidig ita affatum, ut ex tuis Demonftr

ationibus. cognuo[cere nequiverim, vfel

tanta. evidentia €9

R

uoluerim , Te veritatem feliciffimà e[fe affecutum : nam

? po[fim, omues iMathefeos

41

foliditate [unt conditg , w Te certiorem facer

Cultores ab affe&ibus libevos , ad quos pervenevi

nt, Tibi effe fuffragaturos.

p

p

Si Cel. B. aliter sentit, ut mea argumenta insolubilia solvat, etiam atque

qs

tum

etiam rogo. ]Jam scribendi finem hic facere volebam : attamen ut Cel. B.

da s

penitius inspiciat usum

.

amplissimum solutionis per excessum & defectum;

3

|

libet adhuc investigare rati

ones aliquas, qua per calculum integralem mi-

[

nimeé deteterminari possunt, huncin 'modum.

Rem

Etc

ir. Semiaxis minor ellipfeos efl ad fzmiaxem majorem ut 3:4.

Demonstratur hoc ita :

Positis ratione excessiva 6:9, defectiva 3 :3 &

ad(

semiaxe minore — 1 pro stio termino utriusque proportionis oriuntur semia-

lem

—— 5

xes fala $ & 3

— 38

& 19 , quorum differentia exhibet summam x T y — $s;

fem

denominatoribus simplis 6 & 5 semiaxiun

cujus numerator est conflatus ex

Quo

Reducendo itaque has partes

Semi

falsorum. - Ergo summa ipsa est — 4 t4.

I

per denominatores 3 & 6 ad terminos minores, prodeunt

5

& i, quarum

duol

semiaxe excessivo est excessus, & po-

pror ejusdem denominationis cum

us iB ia

4

PYVS

t

sterior defectus.

— $

T

;VEPTT

DL CR

Qs

Qnuare semiaxis major est 2 — $

Positis hic numeris 4, 5, 7, 8,

Ti i

ad quem semiaxis minor est, üt 1:5 — 3 : 4

10,; 11 pro antecedentib

us rationum. defectivarum , patebit nullam reperiri

ftig

posse,;

pe-

posse;

que cum excessiva communi 6: 9 producat summam xfï'y taliter,

Y*

[»]

o

regatum ex denominatoribus semiaxium falsorum.

$)

ut ejus numeratof sit ag

&

Jam veró per

defectivas 9: 105 12:143 I$:185 18:215 21:27, & per

"

It

excessivam communem

6:9 prodeunt $ summa, quarum numerator qui-

an

libet est conflatus ex denominatoribus semiaxium falsorum.

Pan modo per

; QU«

nk

rationes exces. 9:135 12:17; 15:2353 18:265 21:29, & per defecti-

at

vam communem 3j:3j obtinentur $ summe, quarum quilibet numerator

df

constat ex denominatoribus semiaxium falsorum ; ex quo liquet, Antecedentes

rationum falsarum debere esse divisibiles per 3, h. e. per Afütecedentem

Q6

.

e

Jl

Ju'

rationls Vere 3 : 4.

Duo

1

gitur dantur modi examinandi rationem inven-

2dus autem in eo consistit ,

as

tam: rmus ex precedentibus jam innotuit ;

t di«

ut Antecedentes assumantur pro arbitrio, & rationes exces. sint paulo ma-

defectivs autem aliquanto minores ratione examinanda, utque 3tius

aralte

jores ;

gn st-

terminus proportionalis sit semper Autecedens rationis examinanda. E. gr.

t al

examen rationis inventz 3:4, instituitur ita: Assumtis ratione exces. $: 7 , dc:-

fectiva 8.:10 & semiaxe minore 7 3 , h.e. Antecedente rationis exami-

p

nandae pro stio termino utriusque proportionis , emergunt semiaxes falsi

testi-

—

EEE

n est

w

69 8pX5?, quorum diferentia dat summam x Ty

L-CmO ?

cujus

allius

pumerator est conflatus ex denominatore simplo semiaxis defectivi & du-

partes reducta ad terminos

plo excessivi: unde summa est — d5 T $, que

YX

& defectum

z

(l

C RC

minores per denominatores 8 & 5, manifestant excessum

*

$*

D

— 20 —

AU2

—

TMICI

Ergo semiaxis major est ** —

—

$ —

4i yel $T

$ — 8

45 z*.quuem

semiaxis minor est, ut 3:4.

l!

1iz. Zxis major efl afi lineam -ellipticam., ut 4:11. Nam concipia-

62

mus Ellipsim, cujus axis major — 8, minor — 6, divisam per hos axes iü

Jim d

4 quadrantes, & in uno ductam esse chordam subtendentem 4tam partem

t

'!;JJ'POE

aturos.

peripherig seu . linez elliptice , ita habebitur Triangulum rectangulum, cu-

jus catheti sunt — 4T3, & horum quadrata — 16 T 9 — 25 : hinc quadra-

atque

x

tum hypothenusæ est quoque

EC

25, consequenter hypothenusa, h. e. chor-

Cel. D.

da sabtendens quadrantem linez elliptice, — $, ad quam semjiaxis major

gcflïl'»'.' !

m m

est ut 4:5 — 8 : 10. jam cum chorda sit minor arcu ; palam est , ratio-

nem semiaxis majoris ad quadrantem linez ellipticz ut 8: 10 esse defectivam.

Et cum radius equalis semiaxi majoti 4, vi omnium demonstrationum, sit

a

ad quadrantem peripheris cireuli, ut 4:*5 — 16:25, hic quadrans au-

tem multum excedat quadrantem linez elliptices perspicuum est, rationem

cetmld*

semiaxis majoris ad quadrantem linez elliptice ut 16: 25. esse excessivam.

?

—

P

defectiva 8 : 10, &

Quoniam veró assumtis rdtione excessiva 16:25,

l?XWl*

semiaxe majore —— 1 pro stio termiüo utriusque proportionis, summa x t 4

(2]

p

duobus modis resolvitur.in 2 partes; necesse est adhibere rationem exces.

yartt

accedentem paulo magis ad veram, nempe 16 : 24, qua posita, prodeunt ar-

M

cus falsi

2*

&

10 —'192

17*

5$

$ — 3128

& ií$, quorum differentia dat summam x t y —

T/i

4f , cujus numerator est aggregatum ex denominatore simplo 16 arcus ex-

D

?

umma. ipsa est —— . T 44

jam cum

riti

cessivi &: 2plo defectivi: unde s

ob

iepe

)b

0586

—

ob reductionem arcuum falsorum ad eundem denominatorem 128 , termini

excessüs octies, & termini defectus sedecies fuerint aucti, necesse est,

& 16 reducere ad tesminos minores

partes 4f & V. per denominatores 8

$; & i, quarum prior ejusdem denominationis eum arcu exces. €st éxces-

p

—À

16

24

35

EL

sus & posterior defectus. Ergo qu-a.drans linezellipticz est

X ——

6 —

R onepess t

sivel

285

ad quemseniiaxis major estut 1:3* —— 8:xr1: hinc

?t'

Ratio

axis major est ad totam peripheriam ellipseos, ut 16 : 44 — 4:11.

prior 8:11 prodit etiam per falsas 244:35 & 32:433 40:57 & 48:65 nec

non innumeras alias.

RBrgo.

142

Kllipfis eft ad Reffaugulum. ex axe majore in minorem, ut circulus

ad quadratum fu. diametri , h.e. ut. 25 :32. Btenim ex Analysi Infinito-

rum constat, Ellipsim esse ad cireulum, cujus diameter equalis axl majori,

utaxis minor est ad majorem: unde valet analo

[

gia: ut axis major 8 ad

oo

minorem 6, ita cireulus $o ad ellipsim ?

8

, que igitur est ad rectangulum

00 .

M

ex axe majore 8 in minorem 6, ut *

8

4812300:384, h.e. dividendo

vtnnque per 12 , ut 25$:32. Ratio 32:2$ prodit quoque per falsas 32:26

& 64:485 96 :76 & 128:99, necnon innumeras ahas. Ergo.

i4. — Éyperbola eft ad Reffangulum [uper eadem bafi, €8 ejusdem altitudi-

mis, ut 7: 9.

Demonstratur hoc ita: Quoniam parabola, ut aliunde constat ,

equatur $ Rect

anguli eandem basin & altitudinem habentis ; facile inde colli-

2

——

3

Rectanguli ei respondentis, consequen-

gi potest, hyperbolam esse majorem

ter rationem prioris. ad posterius ut 2:3. —— 6:9, esse defeéctivam. |Et cum

mul

tum absit, quin hyperbola sit zqualis suo rectangulo ; tutó concludere

licet, rationem 16 : 18 esse excessivam. Inferendo itaque: ut rectangulum

n — 1 ad hyperbolam exces-

18 ad hyperbolam excessivam 16, ita rectangulun

Yó6:

sivam

18?

& utrectangulum 9 ad hyperbolam defectivam 6, ita rectangulum —

$

9 — 162

6 — 144

& 152 , qua-

1 ad hyper'uolam defect.

$?5

prodeunt hyperbola false 12 &

rum differentia sistit summam x T y — 35:» cujus numerator est conflatus ex

denominatore simplo 18 hyperbolx excessivz & 2plo defective : unde sum-

*

u

ia lpsa est

m

18 &

$2

1$2

Reducendo igitur has partes per denominatores

e & 18 ad terminos minore

s, emergunt equivalentes , & $, quarum pior

erbole excessiva , est excessus, & posterior de-

utpote pars homogenea hyp

2

— 14 — ?.

Em

i

i

uam

fectus. Ergo hyperbola vera est $$

ER (

- 38 — $)

vel $

-

z-2,4d

1

alsas

rectangulum est, ut I:5

$uU s

Eadem ratio reperitur etiam per

36:29 &

27:205 45$:36 & $54:40 nec non innumeras alias, ergo.

1$.

Abfciffa eft ad arzum hyperbolicum | ei vefpondentem , ut, 3 : $.

Nam ducta chorda ad hunc arcum ,

patebit abscissam esse ad eam fere,

E

ut

1214

—

2:3126:9. Jam cum areus sit major chorda sua, palam est,

k

"

rationem al

oscisse ad arcum hyperbolieam ut 6:9 esse defectivam. Et

É

3

A

k

ET

uoniam arcus, ad quem subtensa est ut 7 :

z

QU AE AR

2, peccat in exces-

pE

ibolicum, ut 1 :2

EU

$u ; perspicuum est, ra

tionem abscisse ad arcum hype

4:6 esse excessivam.

Assumtis itaque ratione excessiva 3:6, defectiva

mascuntur arcus hyperbolici *

6:9 & abscissa — 1 pro 3tia proportionall ,

falsi

—

fali- & ?

pl

1$ & $1. qut ex se ablati relinqnunt summam x T y — ,

;

cujus numerator est agg

egatum ex- denominatoribus simplis arcuum falso-

rum, unde summa ipsa est.— ,5 Tj4, quibus partibus reductis ad termi-

nos minores per denominatores 6 & 3 ercuum falsorum , emergit excessus £,

T

& defectus z.

Ergo arcus hyperbolicus verus est $ — z

CT

i VEEEQUE O

r

H

.

CX $ ,ad quem abscissa ei respondens est , ut 1 :

m

$.

Eadem ratio pro-

dit etiam per falsas 6:1Y & 3:45 9:17 & 12:185 15:28 & 18:29,

nec non innumeras alias, ergo.

16. — Zibfriffa eft ad arcum. parabolicum ei vefpondentem ut 2:3. — Est

enim abscissa ad chordam hujus arcus fere, ut 1: 12 — 4:5:.— Jam cum arcus

sit major chorda sua; palam est, rationem abscissz ad arcum parabolicum,

ut 4:5, esse defectivam.

Et quoniam arcus, ad quem subtensa est, ut

A

5

H

H

14

*

s-fä

$ »

excedit justam rmnagnitudinem;' evidens est, rationem

abscisse ad arcum parabolicum , ut 1 :* — 8:14, esse excessivani. As-

sumtis igitur ratione excessiva 8 :14, defectiva-4: $ & abscissa — 1 pro

3tia proportionali ; & factis faciendis, prodit excessus 2 & defectus 33

consequenter ratio abscisse ad arcum parabolicum ei respondentem, ut 1:

d

H

E

EUA

2

H

3. Eadem ratio emergit quoque per falsas 6:10 & 8:11; 12:

19 & 16:23; 10:17 & 12:16 nec. non innumeras alias.

17; Nihil autem. facilius est demonstratu , quam diametrum e[fe ad

peripheriam ut 8:25: nam assumtis ratione communi 7:22, quz áb omni-

bus habetür pro excessiva, & defectiva quacunque, cujus antecedens non

sit divisibilis per antecedentem 7 rationis excessiva, cujusque consequens

excedat splum Antecedentis una unitate, ut 10 131 , II:34&C. patebit

|

numeratorem cujusvis differentiz peripheriarum diametri 8 constare ex de-

j*

c

nominatore simplo'periph. de

1

ect. ac multiplo excessive , excessum quem-

—

E

libet prodire

aE

z

, & diametrum esse ad quamvis peripheriam inventam

ut 8:25. Jam cum Celeb. Bortzius asserat, peripheriam per hanc ra-

tionem inventam, esse defectivam ; sequitur inde, differentiam peripheria-

vt

1490 —

Tum 1;6' 200 — 1408

I

d& esse

summam excessus & defectus;

quod tamen est falsum , quia ablata

quantitate vera ex excessiva, relinquitur

tantüm excessus; non autem exeessus cum defectu.

8

Ergo differentia

$65

cujus numerator est denominator simplus peripheri

$ ?99

5:.5

est solus exces-

sus

A

z

ET

7

; neque de hoc dubitare licet, quia- 25

— I — 155

7 —

7

LÍ2$5

ex

quo denuo palam est, rationem 8 :25 esse unicam veram, omnesque se-

riés approximantes, esse adulterinas. Ut denique appareat, per bisectio-

nem laterum polygonorum inscriptorum circulo , cujus diameter 8, pe-

rpheram ejus nequaquam posse rite determinari , auferatur quadratum — 4

5

h. e. dimidii radii seu Catheti minoris ex quadrato 16,

h. e. radii integri

seu h

radix

ypothenuse , ita relinquetur Catheti majoris quadratum 12, cujus

9?

289

est accuratissima , que haberi potest, quia in se ducta producit

3409 —

s

quadratum

794

12 cum excessu j,i., qui revera est nullus.

Subducen-

do itaque cathetum majorem 24 ex radio

4

oowrqedeic

1

"

V

28 ?

relinquitur radii pats

)bzi(

NI«

$

£f, cujus quadratu

additum ad quadratum dimidii radii

& —— 4136

E

1

, ma-

- TOA

nifestat quadratam

*

7 hypothenuse zde, cujus radix exactissima, que

haber potest, nempe 3$ est latus Dodecagoni.

Jam vero

12

ope

7

3464TOT14

a

parium cyphrarum additarum iüventa, vel & tabulis excerpta , est

19999009

-— 06

96

ex radio * —

TT2

— 25

quàm proxime.

Démendo itaque cathetum hunc

I6 .

zS

1

2

, relinquitur radii pars

285

quod est falsissimim: hinc non mirum

est, quod continuando operationes per hujusmodi series radicum , hypo-

thenuse, seu latera polygonorum . prodeant semper majora, ac revera

esse ;possunt.

Contià bisecando dodecagoni latus

—iÓ283

EUR

& quarendo , sine

adjectióne éyphrarum, suecessive latus polygoni 24, 48, 96, 192 late-

1um; patebit, quemlibet périmetrum prodire tantüm — 24$; ex quo in-

ferre Iicet, excessum lateris polygoni 24 laterum supra dimidium latus do-

decagoni &c. adeó esse exiguum, ut nullatenus hac ^methodo determi-

fiar, consequenter néc

torum reperiri

possit.

perpheria vera per bisectionem latexunF polygo-

i

EM

*

7s

T

L.

]

S

.

;

SS

(O

N

(j

2

iil

.

i

W

a

f

£

D

(

uv

h

x

Z

e

2

f

a

X

mhï

—

z

N

u2

s

EW

il

MA

i

UA

ET

et

d

N GE

ESS

m

s

o

7

E

"t

a n

D

Ó—

—

Mi can p

— RE

—

(

X

v*

s.

)

-

em

&

z

2

REFUTATLIO

L]

OBJECTIONUM FACTARUM à VIRO CELEBERRIMO G. BORTZIO

PROFESSORE MATHESEOS P.

IN

INCLYTISSIMA . ACADEMIA

. LIPSIENSI CONTRA CIRCULI QUADRATURAM NOFVISSIMAM:

o

1779*

EDITAM.

ANNO

ED

el. Bortzius inquit: ,, De Quadratura Circuli ad amussim exäcta

VierFarbSelector Standard* - Euroskala Offset

I.C

» desperandum omnino est, cum Cl. Lambertus justa & mathema-

» tica demonstratione probaverit , arcum quemlibet circuli ( qui aliquotam

r

ä

» partem peripherie constituit, v.c. 60?, 45? &c.) cum Tangente sua

325

esse incommensurabilem, quam demonstrationem ille primus adhibitis fra-

16

?

'ctionibus continuis felicissimé absolvit.

Sequitur enim. inde, arcum 45?

ä

ä

55

incommensurabilem esse cum Tangente 45?, sive cum radio , adeoque

25

$vam peripherie partem cum dimidia diametro, h.e. integram periph.

ä

15

», cum ipsa diametro esse incommensurabilem.,, Tangens 45? est 10000000,

Dividendo

atcus 45? in lisdem particulls legitime inventus, est 781:25oo.

14

jam utrumqt.ye numerum per communém mensuram maximam $12500, pro-

dit ratio prioris ad posteriorem ut 32

por

Est itaque 8va . pars peripheriz

13

ad radium ut 25:32, cousequenter peripheria integra ad diametrum ut

200 : 64, h. e. dividendo utrinque per 8, ut 25:8,

Ergo

atcus 45?

in

mensura lineari legitime inventus nequaquam incommensurabilis est cum

12

sceu

cum radio.

sua Tangente,

2.

Nil igitur superest, profequitur Cel. Bortzius, quam ut ad appro-

11

55

ximationes confugiamus. Dedit jam dudum elegantissimam Zudolplius

ä

LE

à Ceulen, qui legitima via progressus invenit, diametrum esse ad periph.

35

ut.r.ad 3 , 14159265..... &c, quz series infinita , quo longius con-

10

5

tinuatur, eó propius ad veritatem accedit, ipsam vero veritatem non nisi

,5

iminfinitum protracta, i. e. muuquam attingit. psa Analysis Infinitorum

$5

pandit permultas & varias vias, quibus peripheria Circuli potest per

series approximantes exprimi, qua series ad numeros revocate, sumta

uBv

diametro

'—.

r, semper & absque ulla exceptione Ludolphinos numeios

55

producunt, quanquam e diversis principiis sint deducte, adeoque ma-

"

»»

nifesté probant, Ludolphinam istam seriem esse solam veram & mathema-

55

ticam approximationem , & posse lapis lydi (/apidzs lydii) instar ad

]

,5

examinandas alias ejusmodi proportiones adhiberi, ut dignoscatur, utrum

Ó

LE

genuinz sint, an adulterinz. ,, . Non me latet, Mathematicos celeberri-

mos desperantes de invenienda ratione vera diam. ad periph. confugisse

ad series approximantés sic dictas, quarum rmam publicavit 7ieta in 11

ä

numeris, Zdriauus Romanus dedit seriem in 16, Ludolphus in 3 6, Sharpius

in 74, Machimus in 100, ac tandem Cel. Lagsy in 127 notis; sed cujus usus

ex esse possint, id plane ignoro. Qnis enim investigando peripheriam Circuli,

cujus diameter e. gr. 12, assumeret pro primis terminis proportionalibus ejus-

mpdi concatenationes notarum ? Omnes ha series eó magis à veritate res

ja(

cedunt,

Copyright 4/1999 YxyMaster GmbH www.yxymaster.com