KaI600-1969_23 Provided by University Library of Tübingen Transcribed with Tesseract

To the best of our knowledge this work is free of known copyrights or related property rights (public domain).

 Refutatio Zs * h] — —— — ——————— — — H ii T i — — odl . n i RE i E Es x A — — M TA n E - m 2 t " M L 3:1,;:).&4* ( ! l l 1 ! " abm ^ j / ! MW j M;n M pw?;egwj let [ ja,ïi/rlï?iï'nlv" Vi g. ln ä'f;.w,blbïïd v ( ^* tht NI ';',U 1,&':(&"5 [ 5:*».1 luad /g(.q,l (/WL. ^ IY 'w D pe m fa,f?.«.'üi | t AA M/S h ^ — ä;ï W! P V 4 ts A ls f( '«J*(säw i"-uæ'm ';91&1 g*lk "Wiv i ! j fl](,-;' a ia ssb t M C nE CR ïxï.fa.(fmfbuia äïg P ii D | er L Á N Ü : OL ANTUN P d MM' fg & ryád ü r "N »] ? M [ )b J,? n iM M?k N nE IQ w**u D W (*ït a ügig ] REFUTATLIO $. "l OBJECTIONUM FACTARUM à VIRO CELEBERRIMO G. BORTZIO jl- PROFESSORE MATHESEOS P. IN INCLYTISSIMA ACADEMIA LIPSIENSI CONTRA CIRCULI QUADRATURAM NOFVISSIMAM l ANNO 1779- EDITAM. ( l. el. Bortzius inquit: » De Qnuadratura Circuli ad amussim exacta ít » desperandum omnino est, cum Cl. Lambertus justa & mathema- » tica demonstratione probaverit , arcum quemlibet circuli ( qui aliquotam 37 » partem peripherie constituit, v.c: 609?, 45? &c.) cum Tangente sua r » esse incommensurabilem, quam demonstrationem ille primus adhibitis fra- t , ctionibus continuis felicissime absolvit. Sequitur enim. inde, arcum 45? 2» Incommensurabilem esse cum Tangente 45?, sive cum radio , adeoque am » 8vam perpherie partem cum dimidia diametro, h.e. integram periph. ID , cum ipsa diametro esse incommensurabilem.,, Tangens 45? est 10000000, fille arcus 45? in lisdem particulis legitime inventus, est 7812500. Dividendo | d jaum utrumque numerum per communem mensuram maximam 312500, pro- lQ« dit ratio prioris ad posteriorem ut 32 : 25. Est itaque 8va pars peripheriz ad radium ut 25:32, conusequenter peripheria integra ad diametrum ut in MC 200 : 64, h. e. dividendo utrinque per 8, ut 2578, Ergo arcus 45? N mensura lineari legitime inventus nequaquam incommensurabilis est cum sua Tangente, seu cum radio. pï(]' Cur 2. Nil igitur superest, profequitur Cel. Bortzius, quam ut ad appro- 55 ximationes confugiamus. Dedit jam dudum elegantissimam Zudolphius Ts LE à Ceulem, qui legitima via progressus invenit, diametrum esse ad periph. quOS 35 ut-1-ad 3 ,.14139265 ** o o n d ( &c, quz serles Infinita , quo longius con- 5 tinuatur, eó propius ad. veritatem accedit, ipsam vero veritatem non nisi gni« 55 iminfinitum protracta, i. e. uunquam. attingit. Jpsa Analysis Infinitorum »» Pre pandit permultas & varias vias, quibus peripheria Circuli potest per 55 series approximantes exprimi, quz series ad numeros revocatz, sumta Jam uv fitte ) diametro : Bll r, semper & absque ulla exceptione Ludolphinos nume:os 35 I producunt, quanquam & diversis principlis sint deducte, adeoque ma- " »» nifesté probant, Ludolphinam istam seriem esse solam veram & mathema- llf* ä 55 ticam approximationem , & posse lapis lydi (Japid;s lydii) instar ad E^ jv 5 r examinandas alias ejusmodi proportiones adhiberi, ut dignoscatur, utrum 55 genuinz sint, an adulterinz. ,, . Non me latet, Mathematicos celeberri- 1f09 mos desperantes de invenienda ratione vera diam. ad periph. confugisse "d |à ad series approximantés sic dictas, quarum imam publicavit 7/eta in 11 numeris, Zdriauus Romanus dedit seriem in 16, Ludolphus in 36, (Sharpius ï in 74, Machimus in 100, ac tandem Cel. Lagny in 127 notis; sed cujus usus ez esse possint, id plane ignoro. Quis enim Investigando peripheriam Circuli, cujus diameter e. gr. 12, assumeret pro primis terminis proportionalibus ejus- modi concatenationes notarum? Omnes ha series eó magis à veritate re- Jat cedunt, i cedunt, quó sunt longiores. Analysï-s Infinitorum pandit. quidem varias vias eas inveniendi; sed cum ubique requirantur extractiones radicum surdarum, que exacté fieri nequeunt, impossibile est, hac methodo peripheriam legi- ume determinare. Proinde nulla harum serierum potest dici lapis lydius ad examinandas aliàs ejusmodi proportiones. F'id. n. 17. 3. jam Cel. Corsonich , continuat Cel. B. , putat esse diametrum ad 55 periph. ut 8:25, sive üt 1:35 , h. e. numero 3i in' fractiones decimales LE Cconverso, ut 13925 Sumta ergo diametro —— r, erit peripheria se- LE undum Ludolphinam approximationem 3, 14159265 .... &c. , secundum 5? Corsonichium 3,125, adeoque differentia 0,01659265.... Est igitur ï 5»? Perigheria Corsonichiana justa minor plus quam 16 pattibus millesimis dia- mettrl. 5, LE Impossibile est, ut peripheria vera conveniat cum Ludolphina, falsam ita demonstro : Perphlera Ludolplhina diametü 8 est quam €sse 4d99995909009 $11274120 peripheria defectiva ejusdem diametri perrationem 1:3 inventa coo i est 4*, qu& reducta ad denominatorem . peripherie Ludolphinz. est 25: vÁs vco0090909 5 [*] Auferendo igitur periph. def. ex Ludolphina, innotescit summa x t y numera- tor 113274120, ex quo denominator peripheris Ludolphine ablatus relin- quit 13274120 denominatores ooo I32754120 EO EE 1 perpherie defect., adeoque summa ipsa est —3 'gou 9 ooo joooo0900o*' Jam cum termini defectus peripheriz de- fective ^& per reductionem ejas ad denominatorem Ludolphinz toties fue- pnt aucti, quoties. unitas continetur ia.hoc; nécesse est, partem priorem per denominatorem periph. Ludolphinz iterum reducere ad tcerminos mino- res, ut Prodeat defectus quzsitus 3. ^ Et quoniam terminl excessus in pe- riph. Ludol. contenti non fuerunt variati, quia illa per denominatorem — 1 pe p herie defect. ad majores terminos reduci nequit; palam est, partem B osteriorem esse exc essum quesitum , quo demto ex periph. Ludol. . relin- d quam igitur diameter est ut 8 :25 quitm vera 2$, a 1:3j. Ergo. 4. Forsitan Cel. B. hac demonstratione nondum contentus argumen- tabitur hanc in modum: Assumta diametro Polygoni 24 laterum — 200600006, reperitur, factis 4 radicum extractionibus, latus hujus Polygoni — 2610523, vnde perimeter ejus est 2610523 x 24 — 62652552, ad quem diameter est ut 1:3,1326226. Vel dividendo gradus 360 Circuli huic Polvgono cir- cumscripti per 245 h. e. per numerum lateram,prodit angulus ad centrum —15^, angulus 7? 30", hujus sinus est 1305262 & duplum sinus , cujus dimidium est nempe 2610524» latus Polygoni inscrpti, adeoque perimeter est 2610524 lp o r i x24 — 62652576, ad quem diameter est ut.1:3, 1326288. . Jam cum ra- p tio 8:25 sit —— 20c60000 : 62500000 1:3, 1250000, sequitur inde Po- 5 25 1326 &c. lygonum 24 laterum Circulo inscriptum esse majus ipso Circulo, Ad hac respondeo ita: Quoniam experimenta spectan- quod est absurdum. da sunt tanquam examina, quibus convincimur, nos per ratiocinia legitima veritatem esse assecutos, describatur .radio 48 pedum € scala geometrica desumtorum circulus, eique applicetur chorda equalis huic radio, que. cum sit latus Hexagoni, resecat arcum. 60? , h. e.. sextantem peripheriæ,. quo ä diviso | m diviso bifariam, innotescit arcus 305, h. e. sem isextans peripherie , qui de- prehenditur semper — 25': nàm resecando rmum ab hoc semisextante unum pedem quinquies, & circumferendo de inde in eo hoc intervallum $ pedum quinquies, patebit mensuranti, eum constare precisé ex 25 lineis. rectis seu pedibus. Cum igitur semisextans sit — 2 $1 ; palam est, sextantem integrum €sse — 50!, consequenter 6 sextantes, h.e . petipheriam integram — 20o*, ad quam diameter est, ut 96:300, h.e. dividendo utri 8: nque per 12 ut ?5 , ex quo manifestum est, circulum , cu jus diameter 96 , esse Poly- gonum 300 laterum in peripheria evanescentiu l m, $i ergo diameter fuerit decupla, centupla, millecupla &c: diametri 965; erit circulus Polygonum 30990, 30000, 300000 &c. laterum in peripheria evanescentium; ex quo perpicuum est, perimetrum Polygo ni 24 late rum per 4 extractiones radi- cum surdarum ; vel per Canonem sii juum inventu cessu. m, semper peccare in ex- Hoc experimentum tam facilé ta mque exacté institul potest, ut ne- fas esset illud negligere. vid. g. )7 $- Sensus $.stii scripti censurati est talis: ctionum additarum: — duv Sint denominatores fra- E " & o, & summa ipsa EM m To:120,h. e. sit summz Bumerator ageregatum, & denominator factum additarum: - erunt €x denominatoribus fractionum UEL PZil'tC*S hHDC summam constituentæ' I:9Ó21, G 1:05 ex quo deinde deduxi Theorema: A?l Quumeratov fumma D ügeresatum ex uiroque fatfore denominatoris. fui , seu quod idem est, ex utr oque denomi- natore fractionum additarum ; meceffe eft, wut unus fatfor fit. denominator u- mius partis, alter. fatfor deuominator alterius , | &2 . q que partis. Hoc Theorema visum utas qumerator utrius- fuit Bortzio falsissimum , , Summa of qui inquit : m:mo innumeris modis potest in 2 partes. resolvi ; adeoque » DOn, ut hic asseritur, necesse est,, d , ut unus factor sit denominator unius , partis, alter factor den ominator alterius, & unitas numerator utriusque 1 » partis. Insignis subest paralogismus: Qr |0niam hz 2 partes 1 : m & 1 :0 [2 , faciunt hanc summam o t i |Umo,€ergo summa e nullis aliis, quam ex 55 his partibus potest couflari. , 5 E Si Bortzius rite observasset hypothesim | T'heorematis, nón fecisset hanc ol )jjctionem, cujus nullitatem ita ostendo : Sint fractionum additarmum den ominatores — A 16 & 8, sit summe 24 izg nume- IRtor aggregatum, & denominator factum ex iisdem denomi — natorbus, erit suimma ipsa u WOK I6 .I.. 8 328* Jam cum per hypothesim denominator 128 sit factum ex 16 in 85 necesse est tam numeratorem, q uam denominatorem partis prioris dividere per 16, & posterioris per8, ut prodeant ac julvalentes $ & ,5, quz sunt partes quzsite: nam addendo earum denon 3inatores sibi invicem, oritur summz n 1 u umerator 8 t 16 — 245 multiplicando autem earun- dem deno minatores per se invicem , producitur sum ix denominator 128. Hoc autem universalissimé demonstratur per formul am mto:mo , Cujus par- tes per conditionem Problematis n equeunt esse aliz nisi 1 : m 1: 0. Egomet alibi demonstravi, quamvis summam variis modis posse resolvi in 2 partes ; ed ejusmodi partes non satisfaciunt conditioni Problematis. Plura de his in- feriis (n. 9.). 6. )a:( u 6. Cel. B. ita ratiocinatur : , Problema III. 8. 4ti, quod falso huic fundamento innititur, rem prorsus admirandam & stupendam perficit, de- »» 35 terminat nempe quantitatem incognitam € solis » limitibus, quorum unus LEJ ipsa quantitate major, alter minor est. Solutio hec , sí vera & justà 55 esset, mira profecto rebus mathematicis afferret commoda, & nihil fere 55 isnotum nobis & arduum relinqueret, cum omnia fere, que quzruntur, £ [; j methodo Corsoni- ?5 icile limitibus quibusdam circumscribi, atque ex his chiana determinart queant. Sed proh dolor! continet hac solutio eundem 25 55 n, diferentiam limitum, scu summam excessus & defectus Paralogismun LE dbc — aec : a d ad formam d fa: ad redactam , non posse in alias partes, ltera necessario excessus, altera de- 55 quam in 1:8 & r:d dividi, quarum a Hoc verbum: mece[/ario si Corsonichius posset pro- ,, fectus esse debeat. ; g venisse gloriari posset. ,, Non omnes qua n- , bare, magnura aliquid se ir titates limitibus circumscribt. p essunt; sed solüm es, quae cum cognita in eadem ratione crescunt; hi ]i mites autem ita constituti esse debent, ut ex mmam excessus & defectus, cujus de- se invicem ablati relinquant talem su ex denominatoribus quantitatum. falsarum, & nume- nominator sit factum x denominatoribus simplis; vel multiplis quantitatum yator aggregatum vel e en € e juantitatis falsarum; vel ex d etn ominat ore simplo unius & multiplo alterius i s excessus & defectus sem false : hisce 3 enim in casibu Í per legitime pos- sunt determinar. Hujusmodi limites autem non sunt tam faciles inventu, ac Cel. B. arbitratur. Quod attinet ad formulam dta:ad, ea ex natura nam quoniam designo denominatorem quantitatis quæ stionis est deducta : mnino summam excessus & fective per d5 necesse est, O - exces. per 4 & de ago um ex nütro- defectus, sj ejus num erator est TyD regatum, & denominator fact am.d'ta:ad atore qu antitátum falsarum , denotare per fox'mg' que denonmin inl excessus n quanto excessivo contenti — d:adta:ad. j]am cum term a d isarum ad eandem denominationem toties per redu ctionem quzmtit*tum É in denominatore — d quanti defectivi, & aug eantur, quoties unitas continetur termini defectus quanti defectivi t oties augeantur, quoties unitas contine- tur in denominatore — a quanti excessivi, opus est, partem priorem d : ad a:cd per denouminatorem a reducere torem d, & posteriorem per denomina ad terminos m inores, ut prodeant partes equivalentes 1:a4 & 1: d, quarum inationis cum quantitate excessiva neceffarió debet esse prior ejusäem denom enominationis cum quantitate de- e est cjusdem d excessus, & posterior, qua it. ZPolfii constat, fectiva, defectus. E. gr. Ex 8. 103. & 104. Analysis In ]um ex semiordinata in abscissam esse ut spatium Parabolicum ad rectangu eram , methodo mea 6a demopstrar potest : 5:3. Hanc rationem €sse guli ad spatium parabo!icum excessiva. a:b Assumtis ratione hujus rectan E r2 $, positoque : Rectanoulo — 3 pro 3tio ter- X — 10:7 & defectiva d:? $ jïa » mino utnusque proportionis , Or juntur spatia falsa 41 & 'j — NT & limites, intra quos con tinetar spatium verum ) , quorum di feren- ( en itaque — $9^5 — Y*$ CUleS numerator Cst a2 7rega- mam excessus & defectus tla ;istit sum tum, 10 spatiorum . falsornm, ,tum, & denominator factum ex denominatoribus 8 & TA i5 excessus & r:d — Ergo hec summa est — d 1 a : ad, consequenter 1 :a — numerator summse est defectus: id qnod ita est intelligendum : Quoniam aggregatum e€x utroque denominatore 8 & 10 spatiorum falsorum, necesse .8 4 10 i est,ut summa ipsa sit — $9 $o* jam cum termini excessus in spatio ex- ces. 2 content! per reductionem spatiorum falsorum ad eundem denomi- natorem 8o, toties fuerint aucti, quoties unitas continetur in denominatore 8, & termini defectus spatii defect. *j toties , quoties unitas continetnr in IO denominatore 10; opus est partes j5 & 5o majoribus numeris expressas, per eosdem denominatores 8 & 10 reducere ad minores terminos, ut prodcant | equivalentes ,5 & i, quarum 'prior ejusdem denominationis. cum spatio éxcessivo meceffarió debet esse excessus, & posterior ejusdem denomina- tionis cum spatio defectivo, defectus, quia illarum denominatores sibi ad- QUE diti, manifestant summe numeratorem 10 T 3. I 18, & ducti in se Invicem; summe denominatorem 8o. Quoniam igitur nulle alie partes, misi he, summam x'y juxta hanc conditionem reproducere possunt, palam est, eas UI 21 21 — — o TY pE U TO - esse legitimas, consequenter spatium parabolicum verum esse 49 — OEU no wel ss 5 c 25 uod ad rectangulum est ut 2:3. Ergo vericatis [m:per eadem facies, gl;þtatis atl la confiantia , ergo paralogismi ï mihi objecti existunt solüm in imaginatione Cel. Bortzii. 7. Sensus $. s. Scripti censurati est talis: Assumtis diametro — 2, ratione ejus ad periph. excessiva 4 : 13 & defectiva 12 : 37, emergunt pe- ripherie 26 & 7& — 31 z Ta m a g & 455 , quarum differentia exhibet summam x T y — if, cujus numerator est aggregatum, & denominator factum ex denomina- toribus 4 & 12 peripheriarum falsarum, unde summa ipsa est — li& altera harum partium excessus, altera defectus ; sed uterque majoribus nu- meris expressus, quia termini excessus in periph. exces. ^f contenti ob re- ductionem ejus per 12 ad denominatorem communem 48 duodecies, & 24 termini defectus peripherie defect. 32 ob reductionem ejus per 4ad eun- dem denominatorem 48, quater fuére aucti. Reducendo itaque has partes 12 & & per denominatores 12 & 4 peripheriarum falsarum ad münores ter- & & quarum prior ejusdem denominationis minos, emergunt aquivalentes j cum. periph. exces. est excessus, & posterior defectus , quia nulle aliz par- tes, nisi he, summam ita reproducere possunt, .ut ejus numerator sit ag- gregatum, & denominator factum ex denominatoribus 4 & 12 peripheriarum falsarum. Ergo peripheria vera est 4 — 1 — *5 , ad quam diameter est ut QUs orun8 s us Ad hanc demonstrationem Cel. B. reposuit: ,, Utar. hic » ipsis lis verbis, quibus Corsonichius $. ;. rem enunciavit. Inquiram b nempe hac methodo in verum v:lorem radicis quadratice ( quadrat« ) * 35 € numero 2, quz radix, ut facile est demonstratu, major est, quam 15, 55 minor quam 11. Ut igitur ratio unitatis ad hanc radicem sit excessiva 55 1:11 — 10: 15, defectiva 1:13 — 15 : 20, audiamns jam Corsonichium A , hac de re ita ratiocinantem : Positis unitate — 1, ratione ejus ad radicem 2421 , quadra- - p m »5 quadratam & numero 2 excessiva 10:1j &-defectiva 15:20 emergunt 55 é numero ? -5 & valores radicis quadratx B& Ü $ *ä 18, que »5 ex se inyicem ablatz relinquunt summam x t y '.ä s 5 5, cujus numerator 55 est ez 15 L10; Ergo excessus est , & defectus 3525 consequenter valor — 55 verus 2 us R— P1 X m H — 14 jo ? H — 21 velzst d5 —3432» & ad unitatem r, ut 7 : $. ï »* En etgo egregiam ver tatem hac methodo repertam : a UIODp U C r 2506 axtta O Dieu o .. Non sum tam cupidus glorie , ut mihi at- gepid tübuere velim zatiocinium. hoc przclarum & solo ingenio Bortziano profe- ctum: nam ex Arithmetica constat, ràdices indagandas esse methodo pe- E culiari; non autem per Regulam Auream, que hic prepostere adhibetur. Deinde nullus Anthmeticorum ignorat, terminos 2dum & 4tum proportionis esse debere homogeneos. E.gr. In operatione precedente tali utor analo. gia: Ut diameter 4 ad periph. exces. 13 , ita diameter 2 ad periph. exces. ?6; & ut diameter 12 ad pïeriph. defect. 37, ita diameter 2 ad defect. 12* Jam vero Cel. B. ita infert: Ut 10 ad radicem exces. € numero 15 inveniendam, ita 1 ad radicem exces. 2 i5 10 e numero 2 ibventam, & ut r ; ad radicem defect. .é 20 Ts € numero 2 p inven- numero 20 inveniendam , ita 1 ad radicem defect tam; ex quo palam est, terminos 2dum & 4tum utriusque proportionis esse heterogeneos, consequenter objectionem Bortzil esse incongrnam. Caterum 2 est 34í cum fractione remanente iij, ; prastat tamen radix 12, quz ä 2$9 — zi E L : 3 2 est 399 123 cum fractione resi- in se ducta dat quadiatum 144 — Zyïdï *x-^ CT5 dua ; [*] Y 5 s; hinc melior est radix 2 4 $55 quz'in se ducta dat quadratum 2279 s s AE 225* 8 * In $. 12. ejusdem scripti assero, prater quadraturam circuli, etiam quadraturam aliarum fgurarum ( parabolz, hyperbole &c.) posse determinari quotiescunque summzae x"ry numerator est aggregatum , & denominator fa- ä ctum ex denominatoribus quantitatum falsarum : id quod ibidem confirmo I conversione lunularum falsarum 49 3.5 & & $5 4 in veram H 2 4 . Huic asserto Cel. B. tale opposuit argumentum : » Si. quis in mente haberet fractionem r 2? minorem quam £ & majorem quam * , Corsonichius dicturus esset: valor m 5&o 25 excessivus est 425 , defectivus 350 ^ ablatis lhis à se invicem, prodit sum- o 55 maxi*y I 445 » cujus numerator est ag ) regatum , & denominator fa- T »5 ctum ex denoninatoribus 10 & 15. Est ergo excessus U 19) defectus $& 55 & in mente habuisti fractionem 2. Qnid igitur, si in mente habuissem I I Ex fractionem z r 5 aut aliam ex infnitis Istis, que cadunt inter 3 & £t ha c objectione apparet, Cel. B. noluisse rité intelligere statum quastionis: nam inquirere in aliorum cogitationes spectat -ad Vaticinatores, quorum are Quantum ad me, omnia deduco ex tem ridiculam nunquam sum professus. principiis inconcussis, comparo semper quantitatem incognitam cum co- gnita in eadem ratione crescentem, e.gr. lunulam exces. 36. cum quadrato irationali 140, lunulam defectivam 44. cum quadrato surdo 180, & assum- to quadrato diam. — 1: pro stio termino utriusque'proportionis, invenio per &4 am 189* rationem priorem, lunulam exces. 4&, per posteriorem, defccetiv Dicat 3 Dicat: jam B. , cum quibus quantitatibus in eadem ratione crescentibus com- ferri possint Z & Z, ut Regula Trium utrobique legitime applicari possit, & ert magnus Apollo. thodo mea invent Deinde inter quodlibet par quantitatum falsarum me- arum datur tanthm unica vera,; ast inter fractiones E z r & P 3 x dantur infinitz aliz , quarum nulla dici potest absoluté falsa. Hanc obje- ctionem tandem Cel. B. hisce concludit verbis: — I Unde apparet, 2 folis 2 limititus 2 E E quautitatem incognitarà determinar i wumquam po[fe; | quod ei libenter concedo ; sed & 2 limitibus methodo mea constitutis quantitas incognita cum cognita in eadem ratione crescens semper potest determinari. 9. NDI Assumtis diam. quadrato EE5 1, ratione ejus. ad lunulam exces. & 4 48 24:7 & defectiva 12:2, prodeunt lunula E 12 II ïFïA*ä & 29825 quarum 53'5'53; differentia sistit summam x g cujus numerator est aggregatum, & denominator factum ex denominatoribu S I2 & 24 lunularum falsarum, adeo- 24 que.summa ipsa est — z5 2882? & altera harum . partiüm excessus, altera defectus, sed uterque majoribus nume ris expressus , quia termini excessus in lunula excessiva 24 ER ? contenti ob reductionem il lius per 12 ad. denomina- — torem 288 duodecies, & termini defectus ob redu ctionem lunulz. defect. & per 24 ad eundem denominatorem 288 vici Redu- es quater fuerunt aucti. cendo igitur partes 26« & Z per denominatores 12 & 24 luünularum falsa- N I T rum ad minores terminos , emergunt zquivalentes 24 & $215 quarum prior ejusdem denominationis cum lunula excessiva- est ex cessus, & posterior de- fectus. Hic B. exclamat : » Summa x y innumeris modis potest resolvi » in 2 partes! falsissimum est dicere , summam . -2 2988 ,5 : E non posse constare ex alus partibus , quam & * i - 25 & 45 (quoniam 4 t I B $ 460 constat enim etiam ex his partibus 4 Eu X MUW 19— $ s *co RE z;äg — 8 —28597* Suniam e.gr. diffe- )5 rentiam illam limitum esse 2365 $» quod idem est, ac si esset 285 unde ex- 55 cessus esse deberet ; 245 defectus 4,. .-s—. — Cum vero j etiam sit — EEE 4 aoo , se- LE queretur inde, excessum quoque-esse de bere z95 l defeetum 55 is^ Quorum utiumque cum: simul verum esse nequeat , neutrum verum sit, necesse 25 est. » Juxta omnes Arithmeticos differentia lunularum 3 H z$, & fíy nequit esse alia nisi A 275$? ast juxta solum B. ea est etiam 35 o excessus *9 -defe- tus 45 , consequenter lunul d Vera' ^ uDX L L e6OLI 24 24 AUIRRA -AUE-. z j .i.- —.20 BO Vinneslrt z5 20 m ] 4 49 — 960 969 989 $ LA 35 ; vel 42 9 -—3129 122 120 — 13 5 ad quam quadratum di am- B € /.S CQ E g 4 Ea bt I$:4, quod est absurdum. 5 Ego veró ita argumentor: Quoniam sum- mza 258 numerator est aggreg P atum , & denominator factum ex denomina- toribus 24 & 12 lunularum £ [ ilsarum , & nulle alie partes summam istam juxta hanc conditionem re 24 35 producere queunt, hisij, T49 — Qu T 288 u 298 E EE evidens est, has esse legitimas, 6 iB 433 EE AECER - E a consequenter lunulam veram esse j2 R 2* —33* — 3) vel m d 12 — $42 — * ; àd quam quadratum diam. est, üt4:13 ex quo abundé p h atet, meum ratiocinandi modum ess e legitimum ; Bortzianum autem veritati adversari. f: 10. Relique 8 operationes in Scripto censur ato contente , sunt se- quentes: Per rationes diam. ad perph. 6: 19 & 10:31 investigare periph. diam, | | — MY diam. 45 per 7:22 & 9:28 periph. diam. 8; per 20:64 & 4:12 pe- pos ut € riph. diam. 2. Per rationes quadrati diam. ad circulum 24:19 & 40:31 j indagare circulum , cujus diametr quadiatum 4; per rationés 14: 1 & exc 18:14 circulum, cujus diametri quadratum 16. Per rationes quadrati dia- [ibe metri ad segmentum 48:7 & 16:2 invenire segmentum circuli, cujus dia- nu metnü quadratum 16. Per rationes cubi diametri ad sphaeram 42:22 & Jam cum numerator Vatr $4:28 determinare spharam , cujus diam. cubus 8. Cons cujusvis summz per has rationes imvente, sit aggregatum , & denominator yati factum ex denominatoribus quantitatum falsarum , summo jure. potui desi- tati gnare summam quamvis per formulam d'ta:ad, cujus partes per demon- tam strata meceffarió debent esse 1 :a & r:d. Inique ergo judicavit B. asse- yt À rendo, hinc determinationem. partiwn . fane Mathefi repugnare, meafque de- monfivationes , ut neceffe eft im ve falfa €7 caufa inigua , effe plenas paralo- j tem gifmis. Omnes has objectiones; utut in veritatem injurias, grato tamen su- ut humanissimé ab ipso petieram, illas directe ad exa scepissem animo, si B. fect me misisset ; sed quoniam ad suscitandum mihi inimicos, eas A. $. 1780 ä Tant curavit alió perferendas, & jam ante quadriennium contra me falsum testi- p est monium dedit tali, qui ne quidem obolum nedum premium $o Aureorum meritus; mearum partium esse exist imavi publicé demonstrare , eas nullius pum esse valoris, & magis ex affectibus, quam judicio esse profectas. Huic Re- plo [f n fatationi adjungo Demonftrationes Univerfales & Oculeves Rationis diametri Es ad periph. ut 8:25, de quibus quidam Mathematicus insignis mihi ita INoli credere, me veleri grojudicio adeo ejfe occupatum , aut fpiritu tem Scripsit : invidig ita affatum, ut ex tuis Demonftr ationibus. cognuo[cere nequiverim, vfel tanta. evidentia €9 R uoluerim , Te veritatem feliciffimà e[fe affecutum : nam ? po[fim, omues iMathefeos 41 foliditate [unt conditg , w Te certiorem facer Cultores ab affe&ibus libevos , ad quos pervenevi nt, Tibi effe fuffragaturos. p p Si Cel. B. aliter sentit, ut mea argumenta insolubilia solvat, etiam atque qs tum etiam rogo. ]Jam scribendi finem hic facere volebam : attamen ut Cel. B. da s penitius inspiciat usum . amplissimum solutionis per excessum & defectum; 3 | libet adhuc investigare rati ones aliquas, qua per calculum integralem mi- [ nimeé deteterminari possunt, huncin 'modum. Rem Etc ir. Semiaxis minor ellipfeos efl ad fzmiaxem majorem ut 3:4. Demonstratur hoc ita : Positis ratione excessiva 6:9, defectiva 3 :3 & ad( semiaxe minore — 1 pro stio termino utriusque proportionis oriuntur semia- lem —— 5 xes fala $ & 3 — 38 & 19 , quorum differentia exhibet summam x T y — $s; fem denominatoribus simplis 6 & 5 semiaxiun cujus numerator est conflatus ex Quo Reducendo itaque has partes Semi falsorum. - Ergo summa ipsa est — 4 t4. I per denominatores 3 & 6 ad terminos minores, prodeunt 5 & i, quarum duol semiaxe excessivo est excessus, & po- pror ejusdem denominationis cum us iB ia 4 PYVS t sterior defectus. — $ T ;VEPTT DL CR Qs Qnuare semiaxis major est 2 — $ Positis hic numeris 4, 5, 7, 8, Ti i ad quem semiaxis minor est, üt 1:5 — 3 : 4 10,; 11 pro antecedentib us rationum. defectivarum , patebit nullam reperiri ftig posse,; pe- posse; que cum excessiva communi 6: 9 producat summam xfï'y taliter, Y* [»] o regatum ex denominatoribus semiaxium falsorum. $) ut ejus numeratof sit ag & Jam veró per defectivas 9: 105 12:143 I$:185 18:215 21:27, & per " It excessivam communem 6:9 prodeunt $ summa, quarum numerator qui- an libet est conflatus ex denominatoribus semiaxium falsorum. Pan modo per ; QU« nk rationes exces. 9:135 12:17; 15:2353 18:265 21:29, & per defecti- at vam communem 3j:3j obtinentur $ summe, quarum quilibet numerator df constat ex denominatoribus semiaxium falsorum ; ex quo liquet, Antecedentes rationum falsarum debere esse divisibiles per 3, h. e. per Afütecedentem Q6 . e Jl Ju' rationls Vere 3 : 4. Duo 1 gitur dantur modi examinandi rationem inven- 2dus autem in eo consistit , as tam: rmus ex precedentibus jam innotuit ; t di« ut Antecedentes assumantur pro arbitrio, & rationes exces. sint paulo ma- defectivs autem aliquanto minores ratione examinanda, utque 3tius aralte jores ; gn st- terminus proportionalis sit semper Autecedens rationis examinanda. E. gr. t al examen rationis inventz 3:4, instituitur ita: Assumtis ratione exces. $: 7 , dc:- fectiva 8.:10 & semiaxe minore 7 3 , h.e. Antecedente rationis exami- p nandae pro stio termino utriusque proportionis , emergunt semiaxes falsi testi- — EEE n est w 69 8pX5?, quorum diferentia dat summam x Ty L-CmO ? cujus allius pumerator est conflatus ex denominatore simplo semiaxis defectivi & du- partes reducta ad terminos plo excessivi: unde summa est — d5 T $, que YX & defectum z (l C RC minores per denominatores 8 & 5, manifestant excessum * $* D — 20 — AU2 — TMICI Ergo semiaxis major est ** — — $ — 4i yel $T $ — 8 45 z*.quuem semiaxis minor est, ut 3:4. l! 1iz. Zxis major efl afi lineam -ellipticam., ut 4:11. Nam concipia- 62 mus Ellipsim, cujus axis major — 8, minor — 6, divisam per hos axes iü Jim d 4 quadrantes, & in uno ductam esse chordam subtendentem 4tam partem t '!;JJ'POE aturos. peripherig seu . linez elliptice , ita habebitur Triangulum rectangulum, cu- jus catheti sunt — 4T3, & horum quadrata — 16 T 9 — 25 : hinc quadra- atque x tum hypothenusæ est quoque EC 25, consequenter hypothenusa, h. e. chor- Cel. D. da sabtendens quadrantem linez elliptice, — $, ad quam semjiaxis major gcflïl'»'.' ! m m est ut 4:5 — 8 : 10. jam cum chorda sit minor arcu ; palam est , ratio- nem semiaxis majoris ad quadrantem linez ellipticz ut 8: 10 esse defectivam. Et cum radius equalis semiaxi majoti 4, vi omnium demonstrationum, sit a ad quadrantem peripheris cireuli, ut 4:*5 — 16:25, hic quadrans au- tem multum excedat quadrantem linez elliptices perspicuum est, rationem cetmld* semiaxis majoris ad quadrantem linez elliptice ut 16: 25. esse excessivam. ? — P defectiva 8 : 10, & Quoniam veró assumtis rdtione excessiva 16:25, l?XWl* semiaxe majore —— 1 pro stio termiüo utriusque proportionis, summa x t 4 (2] p duobus modis resolvitur.in 2 partes; necesse est adhibere rationem exces. yartt accedentem paulo magis ad veram, nempe 16 : 24, qua posita, prodeunt ar- M cus falsi 2* & 10 —'192 17* 5$ $ — 3128 & ií$, quorum differentia dat summam x t y — T/i 4f , cujus numerator est aggregatum ex denominatore simplo 16 arcus ex- D ? umma. ipsa est —— . T 44 jam cum riti cessivi &: 2plo defectivi: unde s ob iepe )b 0586 — ob reductionem arcuum falsorum ad eundem denominatorem 128 , termini excessüs octies, & termini defectus sedecies fuerint aucti, necesse est, & 16 reducere ad tesminos minores partes 4f & V. per denominatores 8 $; & i, quarum prior ejusdem denominationis eum arcu exces. €st éxces- p —À 16 24 35 EL sus & posterior defectus. Ergo qu-a.drans linezellipticz est X —— 6 — R onepess t sivel 285 ad quemseniiaxis major estut 1:3* —— 8:xr1: hinc ?t' Ratio axis major est ad totam peripheriam ellipseos, ut 16 : 44 — 4:11. prior 8:11 prodit etiam per falsas 244:35 & 32:433 40:57 & 48:65 nec non innumeras alias. RBrgo. 142 Kllipfis eft ad Reffaugulum. ex axe majore in minorem, ut circulus ad quadratum fu. diametri , h.e. ut. 25 :32. Btenim ex Analysi Infinito- rum constat, Ellipsim esse ad cireulum, cujus diameter equalis axl majori, utaxis minor est ad majorem: unde valet analo [ gia: ut axis major 8 ad oo minorem 6, ita cireulus $o ad ellipsim ? 8 , que igitur est ad rectangulum 00 . M ex axe majore 8 in minorem 6, ut * 8 4812300:384, h.e. dividendo vtnnque per 12 , ut 25$:32. Ratio 32:2$ prodit quoque per falsas 32:26 & 64:485 96 :76 & 128:99, necnon innumeras ahas. Ergo. i4. — Éyperbola eft ad Reffangulum [uper eadem bafi, €8 ejusdem altitudi- mis, ut 7: 9. Demonstratur hoc ita: Quoniam parabola, ut aliunde constat , equatur $ Rect anguli eandem basin & altitudinem habentis ; facile inde colli- 2 —— 3 Rectanguli ei respondentis, consequen- gi potest, hyperbolam esse majorem ter rationem prioris. ad posterius ut 2:3. —— 6:9, esse defeéctivam. |Et cum mul tum absit, quin hyperbola sit zqualis suo rectangulo ; tutó concludere licet, rationem 16 : 18 esse excessivam. Inferendo itaque: ut rectangulum n — 1 ad hyperbolam exces- 18 ad hyperbolam excessivam 16, ita rectangulun Yó6: sivam 18? & utrectangulum 9 ad hyperbolam defectivam 6, ita rectangulum — $ 9 — 162 6 — 144 & 152 , qua- 1 ad hyper'uolam defect. $?5 prodeunt hyperbola false 12 & rum differentia sistit summam x T y — 35:» cujus numerator est conflatus ex denominatore simplo 18 hyperbolx excessivz & 2plo defective : unde sum- * u ia lpsa est m 18 & $2 1$2 Reducendo igitur has partes per denominatores e & 18 ad terminos minore s, emergunt equivalentes , & $, quarum pior erbole excessiva , est excessus, & posterior de- utpote pars homogenea hyp 2 — 14 — ?. Em i i uam fectus. Ergo hyperbola vera est $$ ER ( - 38 — $) vel $ - z-2,4d 1 alsas rectangulum est, ut I:5 $uU s Eadem ratio reperitur etiam per 36:29 & 27:205 45$:36 & $54:40 nec non innumeras alias, ergo. 1$. Abfciffa eft ad arzum hyperbolicum | ei vefpondentem , ut, 3 : $. Nam ducta chorda ad hunc arcum , patebit abscissam esse ad eam fere, E ut 1214 — 2:3126:9. Jam cum areus sit major chorda sua, palam est, k " rationem al oscisse ad arcum hyperbolieam ut 6:9 esse defectivam. Et É 3 A k ET uoniam arcus, ad quem subtensa est ut 7 : z QU AE AR 2, peccat in exces- pE ibolicum, ut 1 :2 EU $u ; perspicuum est, ra tionem abscisse ad arcum hype 4:6 esse excessivam. Assumtis itaque ratione excessiva 3:6, defectiva mascuntur arcus hyperbolici * 6:9 & abscissa — 1 pro 3tia proportionall , falsi — fali- & ? pl 1$ & $1. qut ex se ablati relinqnunt summam x T y — , ; cujus numerator est agg egatum ex- denominatoribus simplis arcuum falso- rum, unde summa ipsa est.— ,5 Tj4, quibus partibus reductis ad termi- nos minores per denominatores 6 & 3 ercuum falsorum , emergit excessus £, T & defectus z. Ergo arcus hyperbolicus verus est $ — z CT i VEEEQUE O r H . CX $ ,ad quem abscissa ei respondens est , ut 1 : m $. Eadem ratio pro- dit etiam per falsas 6:1Y & 3:45 9:17 & 12:185 15:28 & 18:29, nec non innumeras alias, ergo. 16. — Zibfriffa eft ad arcum. parabolicum ei vefpondentem ut 2:3. — Est enim abscissa ad chordam hujus arcus fere, ut 1: 12 — 4:5:.— Jam cum arcus sit major chorda sua; palam est, rationem abscissz ad arcum parabolicum, ut 4:5, esse defectivam. Et quoniam arcus, ad quem subtensa est, ut A 5 H H 14 * s-fä $ » excedit justam rmnagnitudinem;' evidens est, rationem abscisse ad arcum parabolicum , ut 1 :* — 8:14, esse excessivani. As- sumtis igitur ratione excessiva 8 :14, defectiva-4: $ & abscissa — 1 pro 3tia proportionali ; & factis faciendis, prodit excessus 2 & defectus 33 consequenter ratio abscisse ad arcum parabolicum ei respondentem, ut 1: d H E EUA 2 H 3. Eadem ratio emergit quoque per falsas 6:10 & 8:11; 12: 19 & 16:23; 10:17 & 12:16 nec. non innumeras alias. 17; Nihil autem. facilius est demonstratu , quam diametrum e[fe ad peripheriam ut 8:25: nam assumtis ratione communi 7:22, quz áb omni- bus habetür pro excessiva, & defectiva quacunque, cujus antecedens non sit divisibilis per antecedentem 7 rationis excessiva, cujusque consequens excedat splum Antecedentis una unitate, ut 10 131 , II:34&C. patebit | numeratorem cujusvis differentiz peripheriarum diametri 8 constare ex de- j* c nominatore simplo'periph. de 1 ect. ac multiplo excessive , excessum quem- — E libet prodire aE z , & diametrum esse ad quamvis peripheriam inventam ut 8:25. Jam cum Celeb. Bortzius asserat, peripheriam per hanc ra- tionem inventam, esse defectivam ; sequitur inde, differentiam peripheria- vt 1490 — Tum 1;6' 200 — 1408 I d& esse summam excessus & defectus; quod tamen est falsum , quia ablata quantitate vera ex excessiva, relinquitur tantüm excessus; non autem exeessus cum defectu. 8 Ergo differentia $65 cujus numerator est denominator simplus peripheri $ ?99 5:.5 est solus exces- sus A z ET 7 ; neque de hoc dubitare licet, quia- 25 — I — 155 7 — 7 LÍ2$5 ex quo denuo palam est, rationem 8 :25 esse unicam veram, omnesque se- riés approximantes, esse adulterinas. Ut denique appareat, per bisectio- nem laterum polygonorum inscriptorum circulo , cujus diameter 8, pe- rpheram ejus nequaquam posse rite determinari , auferatur quadratum — 4 5 h. e. dimidii radii seu Catheti minoris ex quadrato 16, h. e. radii integri seu h radix ypothenuse , ita relinquetur Catheti majoris quadratum 12, cujus 9? 289 est accuratissima , que haberi potest, quia in se ducta producit 3409 — s quadratum 794 12 cum excessu j,i., qui revera est nullus. Subducen- do itaque cathetum majorem 24 ex radio 4 oowrqedeic 1 " V 28 ? relinquitur radii pats )bzi( NI« $ £f, cujus quadratu additum ad quadratum dimidii radii & —— 4136 E 1 , ma- - TOA nifestat quadratam * 7 hypothenuse zde, cujus radix exactissima, que haber potest, nempe 3$ est latus Dodecagoni. Jam vero 12 ope 7 3464TOT14 a parium cyphrarum additarum iüventa, vel & tabulis excerpta , est 19999009 -— 06 96 ex radio * — TT2 — 25 quàm proxime. Démendo itaque cathetum hunc I6 . zS 1 2 , relinquitur radii pars 285 quod est falsissimim: hinc non mirum est, quod continuando operationes per hujusmodi series radicum , hypo- thenuse, seu latera polygonorum . prodeant semper majora, ac revera esse ;possunt. Contià bisecando dodecagoni latus —iÓ283 EUR & quarendo , sine adjectióne éyphrarum, suecessive latus polygoni 24, 48, 96, 192 late- 1um; patebit, quemlibet périmetrum prodire tantüm — 24$; ex quo in- ferre Iicet, excessum lateris polygoni 24 laterum supra dimidium latus do- decagoni &c. adeó esse exiguum, ut nullatenus hac ^methodo determi- fiar, consequenter néc torum reperiri possit. perpheria vera per bisectionem latexunF polygo- i EM * 7s T L. ] S . ; SS (O N (j 2 iil . i W a f £ D ( uv h x Z e 2 f a X mhï — z N u2 s EW il MA i UA ET et d N GE ESS m s o 7 E "t a n D Ó— — Mi can p — RE — ( X v* s. ) - em & z 2 REFUTATLIO L] OBJECTIONUM FACTARUM à VIRO CELEBERRIMO G. BORTZIO PROFESSORE MATHESEOS P. IN INCLYTISSIMA . ACADEMIA . LIPSIENSI CONTRA CIRCULI QUADRATURAM NOFVISSIMAM: o 1779* EDITAM. ANNO ED el. Bortzius inquit: ,, De Quadratura Circuli ad amussim exäcta VierFarbSelector Standard* - Euroskala Offset I.C » desperandum omnino est, cum Cl. Lambertus justa & mathema- » tica demonstratione probaverit , arcum quemlibet circuli ( qui aliquotam r ä » partem peripherie constituit, v.c. 60?, 45? &c.) cum Tangente sua 325 esse incommensurabilem, quam demonstrationem ille primus adhibitis fra- 16 ? 'ctionibus continuis felicissimé absolvit. Sequitur enim. inde, arcum 45? ä ä 55 incommensurabilem esse cum Tangente 45?, sive cum radio , adeoque 25 $vam peripherie partem cum dimidia diametro, h.e. integram periph. ä 15 », cum ipsa diametro esse incommensurabilem.,, Tangens 45? est 10000000, Dividendo atcus 45? in lisdem particulls legitime inventus, est 781:25oo. 14 jam utrumqt.ye numerum per communém mensuram maximam $12500, pro- dit ratio prioris ad posteriorem ut 32 por Est itaque 8va . pars peripheriz 13 ad radium ut 25:32, cousequenter peripheria integra ad diametrum ut 200 : 64, h. e. dividendo utrinque per 8, ut 25:8, Ergo atcus 45? in mensura lineari legitime inventus nequaquam incommensurabilis est cum 12 sceu cum radio. sua Tangente, 2. Nil igitur superest, profequitur Cel. Bortzius, quam ut ad appro- 11 55 ximationes confugiamus. Dedit jam dudum elegantissimam Zudolplius ä LE à Ceulen, qui legitima via progressus invenit, diametrum esse ad periph. 35 ut.r.ad 3 , 14159265..... &c, quz series infinita , quo longius con- 10 5 tinuatur, eó propius ad veritatem accedit, ipsam vero veritatem non nisi ,5 iminfinitum protracta, i. e. muuquam attingit. psa Analysis Infinitorum $5 pandit permultas & varias vias, quibus peripheria Circuli potest per series approximantes exprimi, qua series ad numeros revocate, sumta uBv diametro '—. r, semper & absque ulla exceptione Ludolphinos numeios 55 producunt, quanquam e diversis principiis sint deducte, adeoque ma- " »» nifesté probant, Ludolphinam istam seriem esse solam veram & mathema- 55 ticam approximationem , & posse lapis lydi (/apidzs lydii) instar ad ] ,5 examinandas alias ejusmodi proportiones adhiberi, ut dignoscatur, utrum Ó LE genuinz sint, an adulterinz. ,, . Non me latet, Mathematicos celeberri- mos desperantes de invenienda ratione vera diam. ad periph. confugisse ad series approximantés sic dictas, quarum rmam publicavit 7ieta in 11 ä numeris, Zdriauus Romanus dedit seriem in 16, Ludolphus in 3 6, Sharpius in 74, Machimus in 100, ac tandem Cel. Lagsy in 127 notis; sed cujus usus ex esse possint, id plane ignoro. Qnis enim investigando peripheriam Circuli, cujus diameter e. gr. 12, assumeret pro primis terminis proportionalibus ejus- mpdi concatenationes notarum ? Omnes ha series eó magis à veritate res ja( cedunt, Copyright 4/1999 YxyMaster GmbH www.yxymaster.com