KaI600-1638

KaI600-1638_11 Provided by University Library of Tübingen Transcribed with Tesseract

To the best of our knowledge this work is free of known copyrights or related property rights (public domain).

Expositio Et Dilvcidatio Libri Qvinti Elementorvm Evclidis, 1 Pfleiderer, Christoph Friedrich von j Q E. i 33 " [ h À r * D $ « 7 « ^ u 3 : j d D * w P inh * d j C u j U i 5 Ms i i " ( M 2 HUR j DA OT L 4 »» 1 i u à v i v E [^ 4 x $. a. " M 1 lf * » i $ 3 t N ^ E: j *s " »-- - x Y P " » x us L " k ^A * D . N RE E N P* e9. NI A w iB —— s Ó —— M s isat i 1 1 W Digita ab W E g : R. " "( E E ET 1 RX » Y SRSS A x * " T s EX :f i E N RT d z Hu, x N x - E EM m s EE lm ass ede LL AE i s P £? AEXPOSTTLO ET DILVCIDATIO LIBRI QVINTI ELEMENTORVM EVCLIDIS f n CX E Cs AV - [? x l CVIVS PARTEM PRIMAM RECTORE FNIFERSITATIS EBERHARDINAE CAROLINAE MAGNIFICENTISSIAMO SERENISSIMO ATQVE CLEMENTISSIMO DVCE ET DOMINO DOMINO CAROLO DVCE WIRTEMBERGUE ET TECCII REGNANTE REL REL, l PRAESIDE CHExIST()PH FRID. PFLEIDERER PHYSICES ET MATHESEOS PROF. PVBL. ORD, ( PRO RITE CONSEQVENDIS MAGISTERH PHILOSOPHICI HONORIBVS DIE AFG, MDCCLXXXII. PVBELICE AD DISPVTANDVM PROPONjT IMMANVEL DAVID MAVCHART, Zuwbingenfs CANDIDAIYS MAGISTERI) PHILOSOPHICI IN ILLVSTRI STIPENDIO THEOLOGICO, - ") — F.u: TFBINGIE tv SCHRAMMIANIS /f. &ä E D, s; feu HET Yer pI qu Ti F. f !l & p X qu LUE d h te tü Tic tj pa E leg Ti W Q * x ZX *S R l x E z se Ri E : ä * 3 * 3 a Yo $. D efinitie- T. Magnitudo minor majorem suetiri dicitur; quando minor aliquoties repetita majorem exacte producit, five majori equalem efficit; feu quando major minorem exacte aliquoties continet. . Et magnitudo minor C majorum 4 & B commumis menft ia dicitum fi C utramque 77 & Z metitur; hoc eft, fi magnitudo C aliquot, di- verfis quidem, vicibus re utrique equales efficit. petita utramqge A.& B exacte producit, feu S. 2. Definitio II . Duabus magnitudinibus þinæqüahliibns —propöütïs, quarum minor majorem metitur: major ZZultplex five Multipla minoris; minor, Pars feu Submulüpla majoris vocatur. Ejusmodi igitur pars prodit, f magnitudo in quotcunque partes gquales dividitur, Quz quidem partes etiam vocantur Z//guetae; & di- ftinguuntur ab Zliquantis, magnitudinem ipfam non metientibus, conflatis ex fumma aliquot ejus partium aliquotarum, | Evcripzs Libro VII. & fqq, partes aliquotas & aliquantas ita diftinguit, ut priores fimpliciter Partesm ; polleriores , Partes appellet. N o Definitio 111. D ue magnitudines ,7, J duarum C, D4 at quemultiplae feu aeguemultiplices effe dicuntur: fi major 44 minorem ( toties exacte continet, quoties J continet D; feu fi minor C toties pre- Cife repetenda eft, ut efficiat zqualem majori 44, quoties D repeti des bet, ut efficiatur zqualis maguitudini 7, — Eodem cafu magnitudines C', D duarum 44, B partes aequealiquotae vocantur. Aequemultiplices au- tem partium zquealiquotarum duarum magnitudinum vocantur magni- tudinum harum partes aequealiquantae, Partes zquealiquotas duarum magnitudinum EvcribEs eamdem ilarum partem ; wquealiquantas vero easdem partes. appellat. à - 4. 4xiema.. Aequalium magnitudinum squemultiplices , & partes tam :quealiquote quam :quealiquante mutuo zquales funt: in- equalium autem , inequales; majoris nempe, majores. Viciffim equa- les funt magnitudines , quarum zquemulüplices, vel partes zqueali. quotz, aut equealiquànte mutuo zquales funt: inequales autem, qua: rum funt inequales; nominatim major eft magnitudo, cujus equemulti« ^ , plicgs, velpartes zquealiquote , aut zquealiquante majores funt, 8 s. M—c » Pes E [ i J um PL Se Propojitz'o 1 (Elvg.m. V, x.)- Sl quofi:unque magnitudines 4, B, C &c. fuerint magnitudinum homegenearum L, J/, N, &c, b qu equalium numero , fingule lingularum , equemultiplices: quam multiplex jl una /Zeítunius L; tam multipliees & erunt o mnes fimul 44-.8 "', C-F &c, li omnium fimul Z-4- 44 4- N 4- &c. A-..:TL : Breviter fi B:u.ïM C-—viN &c, : r denotante numerum integrum quemcunque: erit etiam , . feu vL -- vM 4- *N 4- &c. Per(L MY NG &e) I Danonfir. Quippe 4 conítabit v partibus :q - - txaliþus , Ii-xxgulis —-—L ,: » C -- - N; * & (i finguhis illis ris par tibus ma gnifudinï's A .add'untuqr fingule rte QOUPM RA - partes magpitudin.m B, C ( , &e, ; efficiuntur fummz,. quarum quzvis gaLda€rx4 &c. Harum autem fummarum, que omnes junétx B..U &c.,, tot Hiefl. pote- efficient fummam ipfam magnitudinum 4 runt; quod funt partes in fingulis; hoe elt , . Itaque 4 4- J 4- C 4- &c. —a(L4A-N-&e) .Fig.1. Ex. gr. fi nt 44a , Bb, Ccipfax;.txm L,M, N sequemultiplicess hoc eft fint in Z toti dem partes 444, de, e3, lingule — L, P quot funt in Db partes DB/, fg» gb, fingule —— M, & in Ce partes Ch, hk, kc, fingule — N, El' unt tam. d 4- Bf 4- Ch ) quam de 4-fz d- ^* $x L-4-M4-N. t8. -- gb Tk ) ïotide m ergo in magnitu dinibuä a, Bb;i Cc fimul fumtis funt mägni- tudines, Íingulz zquales fummz magnitudinum L, J/, N; quet in Cc infunt maguitudines, fingulis b JM, N qualibet feorfim 44a, Bb, refpective zquales. S. 6. Scholion. Propofitioni huic, quam fenfuü communi facile affequimur , .vulgaris innitit ur praxis multiplicandum compofitum per siultiplicatorem fimplicem m ultiplicandi, Nimirum ut v. gr. numerum feu ut octuplum efficiamus numeri 7364: 3364 per 9 multiplicemus, , tum.oó denarios, dein j centenarios, o&ties fumimus. primum 4 unitates Üenique 7 millenarios; horumque o ftuplo'rum conficimus fummam, ; ";.6' s5 3 [* (ites $. v. Propofitio II.. (Evcup, V, 'y.—) Pariter fumtis d-uaruni & magnitudinum homogenesrum inequalium L, J7 zquemultiplis 4, B: pler quam multiplex eft.major 4 majoris L, feu minor J minoris J7: tam Ü multiplex etiam exceffus unius maguitudinis Z fuper. B erit ejus excel- fus, quo magnitudo L fuperat alteram Breviter fi A:F.L,' & B -—vH, numerum integrum quamcunque : .erit efiam j f denotante rurfus Cb o IN feu yL —v —-'-'-f(L ERN M)o n N J Demopjir. .amr(L--M)-l-rM:r(L—-M-l-M)pex :Prop.I.. ho:i et rf; feu r(L— M)4- B t WUR Es Tgitur demta utrinque. £, fit e(L —47) E fug 2 Seu lint a, Bb xquemultiplices magnitudinum L/, AIm: z OSG t - & fiat 4X tam mul&óplex exceffus. 0/, quo major L/ füperat mino- rem Jm, quam mulüplex elt 4a ipfius L/, & Bb feu 4D ipfius Jfw n NIS feu L0. Erit pariter ä y, l)? 4- 4K, hoc eft DÉ, tam multiplex (l .€ m fummz LO 4- 01, hoc eitv, maguitudinis L4, quam multiplex eft £* k 4 hüjus L| (Prop.L) Ergo 44a-- DK CAx. S. 4.): unde demta r 0l per conftr. 7;; ut;inqne AD; etiam Da — AK ; hoc eft 4a —B)— r (LI— WMm ).. .. &. 8. Propofitio II.. (Evciip. V, 2.) Sint 4, B, C &c. di- verfe multiplices quzcunque ejusdem magnitudinis L; & alius cujus- cunque magnitudinis Z totidem multiplices E, F, G , &c.5 : fingulx equemultiple prioribus, nimirum 4 & £, B & F, C& G, &c. — erunt etiam fumme 7/4-.B4- C J- &c., E-I- F4- G 4- &c., magnitudinum L, M zquemultiplices. 'v Brgviter i A-mrgL, R EAI, l— j B:PL, F'—'—'-'-PM, It - qL,. &e. IH r, f, Q denotantibus numeros. integros quoscunque : ,',eruntv tank lt AH B- C-p&c. — (r--p4-q4- &c,) L, quam E-4- F-FG--&c, — (r--p4-4-&c-) M. 2 Demonfir. — Numerus quippe partium, fingularum — Z, que infunt fumme 44--B--C--&c., componitur ex numeris harum partium, quz fingulis 4, B, C &c. infunt, fimul fumtis. Pariter numerus partium, fingularum — J7, que infunt fummz E--F- G- &c, eomponitur ex pártum harum numeris, quz fingulis tis; z .E,VE, G &c. infunt, ü.,m?ll fuim m t 2es 2. EY sU 4 * « fit Cum igitur numerl partium — L,' que magnuitudinibus 4, B, C &c. feorfun infunt, ndem refpe&tive fint (fupp.) ac finguli numer! par- h j t magnitudinibus E, F, G &c. feorfim: fümma [ tium — J, quz infür quoque priorum ac p ofteriorum numerorum eadem prodit, e Seholion. Propofitioni, quod rL4A-pL4-9L4- &« — (r--p4-44- &c.) L, innititur. praxis , numerum per multplicatorem compofitum multiplican- à | di. Nempe u t ex. gr. numerui 5728 per 654 multiplicemus: primum quater fumimu s numerum propofitum 5728, tum tricies, dein fexcenties ; ductorum parucularium colligimus fummam. horumque pro —— — * lob Corollarium. (Evcup. V, 3.) Aequemultiplorum 4 & E magnitudinum.L&M equemultiplices I & K pariter magnicudinum L&M gquemultiplices funt. Hoc eft fi 4 —rL & EzrHM, B K -—7HRMHR/ atque ] —n4 ert tam. 7 — (nr) L quam K 2 (nr) MJ: us numeros integros quoscunque ; & 7v defignante n & r defignantib productum, quod fit ex numero v toties Tumto, quot alter & continet unitates. Quippe cum fingulis 47 tot idem infint magnitudines — L, quot dines — A: fimul fumtis quotcunque /4, ac fingulis E infunt magnitu 5 j3ariter magni- totüdem E, hoc eft zqu emultiplicibus ipfarum 4 & E tudines L & M inerunt eodem numero. (Propof. 111.); Breviter Corol- 'tieular em Propofitionis lIl ; quo larium propofitum fiftit cafum par numeri £, p, q &c. , adeoque maguitu dines, .4, B, C &c, , £, F, G &e. refpective funt zquales. « lIe Sholion. Propofition:, Corollario precedenti contentz , quod »4 1 eu n (rL) — (nr) L, inntitur praxis multiplicandi numerum integrum per multiplicatorem , qui folis denariis, vel centemariis &c.; eonítat. vel per 6oo multi- Nempe ut v. gr. numerum 5728 pet 30» vel duo zero ad licemus: trinlo vel fextuplo numeri 5728 unum, hoe eft triplum: numeri 5723 decuplicamus, fex- dexiram adjungimus ; tuplum centuplicamus; ficque efficimus numeri 5728 trigecuplum ,. fex- &entuplum Paritet . duodecuplum ex. gr. numeri alicujus elficimus , Yumto trip li ejus quadruplo , vel quadrupli, triplo. $.. 12- Propof tio I7. (Evcub. Vs 6.) Rurfus fi um tis duabus üe diverlis 4, B ejusdem maguit udinis L; & aliüs '—mglriplis quibi uscund 2 sujusqe magn itudinis M quemulo plis E, F:-ex«ellus, queis gque- nu y 6 multiple majores , & E fuperant minores B & F, vel fimul equales funt magnitudinibus L & M, vel earundem füunt **'æquemultipli-j Cces Breviter fi A L— 7'..[1, & E-rv, B :zoL, & F:TM, r, p denotantibus numeros integros quoseunque, quorum prior r major altero p: erittam l — J — (r—p) L, quam K — F — r—p ; atim tam 4— B — L, quam E— F — M, li r—p—z, feur- p z. fpeci Demon[ir. Quippe 1mefi r— p4- r, feu r—p- r: H " quia ($.8.) tam L--pL — (r-p; L1 euzL, quam 47--pA — (1 .—!-p)* AMfeuraA hoc eít tam L 4- B — 4, quam J7--F— E ; fit tam Z —— A—B, quam 77 -—E—F. ado fi r p4- , feur —p— n; denotante » numerum integrum quemcunque : quia rurfus hoc eít (S. 8.) tam &Z--pL-— (n-ep) LfeurL, quam nJI--pM — (n--p) 7M feurA tam nL-r- B — .4, H tam nL quam n -- F— PÀ fit :A—B, quam »M log-p feu (r—p) L feu(r —g) 974 J Fig. 3. 4. Vel fint ; & Ee, Bb & Ff xquemultplices refpective magnitudinum L &JZ. Tum Fi j i E :mo fi Da — 4a— Bbeít — L; fiat EK — IM. — Quia 4 Jb 1) & - f Ff i ADj EG : æquimulüplæ (fupp.) funt magxlitudiyum L& l; erunt f 3 M quoque .4D 4- iaf & EG-H( EK ]), hoc eft a & GK m;gni;tudi. num Z & M «quemultp.ices ( Prop. HI.). Sed quam multiplex eft 743 ipfius L, ram multiplex (fupp.) Ee eft magnitudinis M. Igitur Ee & GK zquemulaplices funt ejusdem magnitudinis /7; nimirum utraque ejus eft tam multiplex, quam 244a eft ipfius L. Ergo Ee— GK ($. 4.) fEK) Quare demta communi EG; eít etiam Ge feu Fe —H- Fig. 4. a4e fi Da eft multplex aliqua magnitudinis L; fiat EK Bb magnitudinis Z gquemultiplex Quia $& ] TL fant (fupp. ) (LAD J lEGI equsemultiplz magunitudinum L & ; pariterque (conitr.) Da & EK fünt earundem. ejuemultplices : erunt etiam 2445 & GK earundem L & M equemulüple (Prop. lil.) Quare iterum Ee & GK xquemultiplices erunt ejusäem maguitudins ; nempe utraqu« illius tam multiplex, quam 3 & 6 '——-—g*l.:—.—.:—.-.—..sïfä ' 74a elt m-afrtaïtudïlaïs L. lErgo Eb GK (Ax.S.4,): & demta com- quo ; YOl »'e EK. hóc elL, €X, muni GZ; etiam ((rfeu.Eï— Ef ] tam multiplex ma- Da nu Aa—.B D guitudinis 77, quam eft ifeu f ipfius L. $. 13. . Defiiitio IV. — Per Rationem duarum Quantitatum, generalif- fít D fimo acceptam fenfu, intellgitur modus quocunque ex earum. mutua comparatione erutus, magnitudinem unius ex magnitudine alterius de- L 16l terminandi feu inferendi: ficque conceptus Rationis ad duas quascunque imagnitudines homogeneas, v. gr. ad duas quaseunque lineas, ad duas tu quascunque füperficies, ad duo quecunque folida; nec vero ultra, fci- fit licet ad duas magnitudines heterogencas feu diverfi generis , excenditur. Concipi vero infinite multi poffunt modi diverfi magnitudinem duorum Quantorum .unam ex altera determinandi. Horum fimpliciffimi funt, qui Quantitates ipfas immediate, absque ulla earum previa mutatione, invicem cómparant; magnitudinemque unius ex altera determinant, in- dicando: vel quanto una alteram excedat, aut ab ea deficiat; vel S:I;äg quoties uni alteram contineat, aut in'illa infit. Pofteriorem modum quantitates invicem comparandi, magnitudinemque unius ex magnitu- dine alterius determinandi, accuratiffime Libro V. difcutit, atque in fe- q Q qüentibus Libris ad objecta Geometriz applicat Evcrrpzs; nulla ufpiam. inje&ta mentione exprelfa prioris: unde fufpicari licet factum effe, üt ejusmodi Aatiomes Geometricae; alterz autem priores, quz excelfu unius magnitudinis fuper alteram, íeu defeétu unius ab altera occupantur; & que primarum Arithmetices operationum fimplicium , Additionis ac Subtractionis, objectum conftituunt, .4rithmeticae vocari confueverint, Ceterum neütra harum Rationum ad Arithmeticam vel ad Geometriam feorfim. pertinet ; verum utraque in numeris pariter & extenfis locum habet; & ambze conjunctim limites fere figunt Mathefeos, quam vocant, elementaris: -generalis autem ipfarum zque ac reliquarum rationum theoria proprie ad tractationem peculiarem de Quantis in genere perü- net, quz tractationi de numeris & extenfis in fpecie premitti deberet; nifi metuendum jure elfet, ne abítracte ejusmodi meditationes animos eorum, qui ftudiis hisvopera«m-nävare volunt, in ipfo limine deterre- xent. . I4. Ad folas igitur raiiones, quas vocant geometricas , fpectat & tractatio, & Definitio 4* Libri V.. Evcripis; ezdemque in pofterum intelligentur, cum rationum fimpliciter fiet mentio, Communiter, uti catur difpici, [ ï jgm dictum $. 13, rátiones hz ita gxplicantur, utþin ilbs di quo- E æïq A. i* —5 7 ft- 'quot'iesr. una magnïtudg alteram contineat ,. vel in altera infit. Cum vero quelibet magnitudo aliam quameunque minorem ejusdem generis , W ex, gr. quelibet linca aliàm quamcunque minorém, integro quodam numero vieium non contineat: ne idea rationis geometrice anguítiori ,objeCtorum ambitu co&rceatur quam notio rationis in genere (S. r3.), llle fra£ti cüim numeri vicium in illa admittuntur; quamvis re vera tum Ua major magnitudo non minorem ipfam, fed aliquam taptum ejus aliquo- tam parcem aliquoties contineat Seu, ut genio Everipnis conformius jie rem exprimamus, ratio (geometrica) duarum magnitudihum conftitui- I tur non in inveftgatione lolum: quodnam multplum minoris squale lci fit magnitudiai majori? fed generalius in determinatione : quenam fs multipla duarum magnitudinum invicem fint xqualia? Ita ratio / geo- ii metrica) duarüm magnitudinum indicari cenfetur: five major magni- q V[, tudo minorum ex. gr. bis, [five vicibus continere; hoc eft, five Q major duplo minoris, five tribus ejus partibus dimidiis equalis effe de- ll prehendatur ac pronun-ietur. Pofteriori autem in cafu duplum majoris 3 rel &quabitur triplo minoris. s H . N A li 'Rationis. terminus. pri Or, ejus Jntecedem; pofterior, Confoquens ; tü & numerus integer aut fractus, hicque. vel fpurius vel verus, qui indicat fe- quoties Antecedens co A Aff confueverunt, ntineat Confequentem ,. Exponens. Rationis vocarïi t $. 15. Necdum tamen notio rationis geometricz €o, quem ($. 14.) ^ ij diximus, modo amplificata ad duas quascunque mag,itudines ejusdem 3 generis, v. gr. ad duas quascunque lineas, exrenditur.; Occurrunt quippe C magnuitudines ejusdem geners, ex. gr. linez, . quarum major minorem i nec ipfam, nec ullam ejus partem aliquotam, exaéte aliquoties continet ; m feu quarum major nec ipla, nec ullum ejus multiplum, minoris cuipiam Iu muliplo zquatur. Ejusmodi magnitudines , menfuram quippe communem llf nullam habentes, sncommen/urabits vocantur. 'Tales efle latus & dia- J gonalem quadrati cujusvis, partes rcé£te in media & extrema ratione j iecte, latus pentagoni regularis ac. diametrum circuli. circumferipti ; Evcupss demonítrat. X. 1:7. XIIl, 6. 11. — Rationis igitur iftiusmodi )t' 0$ duarum magnitudinum exponéns affignari exaéte numeris nequit; quare |etiam érraWonahs appellantur: limites tamen exponenüs hujus definiri " pollunt, qui inviecm minus differant quam dato numero íracto quo- i cunjue; feu duo affiguari poffünt. mulüpla immediate contigua magni- tudinis unius, quz fint limites mulcpl cujuseunque dati magnitudinis if alerius; hoc eft quorum unum dato hoc multpio ninus fit, alterum Üb majus, . Sic cum quadiatum diagonalis quadrati duplum fit ipfius quadrati, eu o d 8 Gu feu Q uadräti: fui þlateris; vel cum 'quadx-afum diagonalis wqwipolleat - Yoc? 200 zi as 20 000 IO OOO^? IOOO OQO) 2000 OOO M A — AT 200 cOO OÓO 1co 000 000 , &c. quadraü lateris; ipfa diagonalis eft - (ecciia tis l0005 1414 C. ïä, I4I15 r ä ^g E ï ï -ï oo) 10002 ï ï ï ä ; n cl ]) Lateris; E feu ^toplum Diagonalis. eft. - L4plo & « 15 plo 1ooplum - - - e 141plo & « 142 plo l & - 1000plum E - - I414plo «& -« 1415plo - Lateüs , Icoooplum nos - 1414£P10 ] v 4:4143plo | ] Ut igitur, 'quod communis acceptio vocis jubet, hujusmodi. etiam - quanutates notione rationis comple&tatur; ac quie deinceps demonftrat, omnimode generalia efliciat : Evcuprs, fepofita zqualitate multiplo- I rum, definitionem fuam hoc folo caractere, omnibus ejusdem generis magnitudinibus communi, terminat: ut multiplum aliquod unius excede- re pollit mulüplum aliquod alterius. Qui quidem caracter eos etiam : cafus complectitur, quibus multiplo alicui unius magnitudinis B vel altera 44 ei commenfurabilis ipfa, vel hujus aliquod multiplum zqua-* tur. Tum'enim, priori quidem in cafu duplum magnitudinis Z, pofte- f Y riori multiplum ejus immediate fuperius, dato magnitudinis J mult- plo majus eft. Generatim vero poffibilitatem ptoprietatis hujus maghi- tudinum homogenearum, nempe datam quamlibet magnitudinem polle: f toties multiplicari;, donec aliam ejusdem generis magnitudinem datam. f : uamlibet excedat, Evcripzs poftulatinitio X*i Libri; quo de quantis incommenfurabilibus fpeciatim agit. S. 16. Ceterum Definitio 4* Libri V, Evcripis , de qua fermo eft, & qua rationem inter fé magnitudines habere dicuntur, quz multi- plicate fe invicem fuperare polfunt, non tam rationis geometrice no- tionem ipfam explicat; quam caracterem aífignat diftinétivum magnitu- ; ä üinum, quas vocant, homogenearum, & quz terminos rationis alicujus it conftituere poffunt: ita tamen ut fimul jinnuat, quid in illis, qua- tenus ratio earum geometrica fpectatur , przecipue fit confiderandum. Accuratiorem notionis evolutionem definitionibus identitatis ac diver- p ü fitatis rátionum " (geometricarum) refervavit: qus rationum zqualitas & inequalitas proprium funt tractationis fubfequentis obje£ctum; quarum . ini Ve igitur notiones diftincte explicare, & caracteres accurate delinire, pro- pri.ex e fe erat. - L Con- ;«Eä'! m 7s — 9 ^ at Confequitur. quidem ex fuperius dictis (S. 14« 15.) rationem geo- etricam duarum magnitudinum affignari, determinando ejus exponeg- f tem vel limites exponentis: modoque huie illam. concipiendi, quem fenfus & ufus loquendi communis immediate offevunt, fuperítrui fine dubio & convenire debent genuina theorie radonum harum fündamen- ^"ta & accurate acceptiomis termiünorum d eas pertinentium determina- -tiones. Idem tamen modus geometricam. duarum magnitudinum ratio- mem exprimendi, ad numeros reflrictus, nec unicus eít ; nec, quando -de incommenfurabilibus agitur, aptiflimus. . Unde patere potelt, cur Evcripss ab proponenda ipfius raüonis geometrice defimitione abfti- - auerit, m n Quo magis fu fþicar-i cum RonzRTO SiMSON (-in. Notis Verfioni (üz wAnglice. Elementorum adjectis, p. 305.) licet, genuinam non elfe, 1 W fed ab Theone aliove commentatore infertam Defimtionem 3tm ratio- mis in genere: qua nec ulpiam in fequentibus EvcLiDrs utitur; 1 qe mti, ob vagam quam offert notionem, poterat, l-.](-;:C lam $. 17. Definitio. V. In eadem raiiome ( geometvica ), fou (geomz- vl lj trice) progortienales effe quatuor maguitudines 4, B, C, D vulgo cen- fentur: fi prima .4 toties continet fecundam Z, quotes tertia C con- tinet quartam D; idque admills exponentbus tam integris, quam m'i,. j frattis quibuscunque: feu quando prima 77 & tertia C, vel ipfarum j Jb quedam sequemulüplices , fimul zquantur equemultiplis quibusdam fe- cunde J & quarte D, vel ipfis maguitudinibus B ac D: ex. gr. fi lll W prima .4 fecundam .B continet bis, vel $, vel €&» Vel$ vicibus, pariterque tertia C quartam J bis, vel $, vel £, vel 4 vicibus con- tinet; hoc eft, fi prima .4 equalis eft duplo fecunde , pariterque amo tertia C squalis duplo quarte D; vel fi a? prime 77 equatur sr!e " fecundz , pariterque 3P'«» tertie. C quale eft 5?'e quarte D; vel o fi prime 4 6Pl*» equatur fecunde B, pariterque $Pl"" tertig C xquale d - eit quartz D; vel fi 7?*"» primz 4 squale eft 4Pe fecunde 7, pari jus terque 7Ph» tertig C zquatur 4Ple quarte . i Iu Vieiffim fi quatuor magnitudines 44, B; C, D (g&on-letxgi(':e) pro- Jf. [7d portionales, feu in eadem ratione eife dicuntur: per vulgarem propor- tionis geometrice conceptum , prima 247 fecundam 2 toties continere ,lim intelhgitur , quotes tertia C quartam D; feu prima 7Z & tertia C, j vel ipfarum quzdam equemultiplices ; fimul. zquales etfe cenfentur zque- w['a' ' amulaplis quibusda m Lfgcundæ B ac quarte D? vel iplis maguitudinibus Q.ac 44 B Bre- a to A .reviter iden&tas duarum rationum ( geometriearum) ii identitate :Gnendum ilasrum conftituitur. Sicque etiam Evcrpzs (Libri VH. ex; Bebü. 20:) - Numeros . (integros ) proportionales effe-dicit: quando . primus fecundi, & tert us. quar&i equemultiplex eft , vel eadem pars, E vel ezdemn partes. S 18. Sed u t ad magnitudines quoque incommenfurabiles notío ! identitatis rationis 'feu: proportionis (geometrice ) extendatur: identi- li tati exponenuüum radonum adjungere oportet identitatum. limitum , illrüm continentur; eamque Oómnimodam. Neque quibus. exponentes enim in-eadem ratione e Íffe magnitudines /, J8, C, D poterunt cen- m prima 44 ex. gr. — 7- J & -« 5 B, quam tertia feri: fi quidem. ta 2 Cr-oDEe-- 2 £ 5. [; fed. dum prima £ — 77 8 & « ? B, 126 D& -2 IT D, vel tertia £? — etiamnum tertia C tantum- z- 257 r2 RU ALE ^ ?- D: verum identitas rationum Z ad £. LL pE petin at p 735 p, & demum - RE rI27 E I C ad. D', requirit, ut pariter C & 3.5 D&-- 3 25 D; ac fic dein- gnitudinum B & D partes zquealiquotze; ceps, quaecunque fumantur ma * limites exponentiuim. ambarum. rationum conítanter ridem maneant ; bre- & r fübftituantur numeri integri, quando: viter ut, quicunque fignis f Y. 1;1 : D ä A"P*,rj B. . — L'j—':' B, femper fimul fit C - ä D& - acqpe etiam q'uanä*ox A4- '—ïB & (:—Z- B, pariter fimuE fit C — —:7 D a 4,72; D; nec non fi fï:mpli"ei'ter A-— -:; B. fimul etiam fit C'(.'.äü';, ia ut nec unitas, nec zero ex valoribus i-'ifgnï v. excludatur.. Idem aliter fic effertur. Ut magnitudines incommenfurabiles. , D. fint ir eadem ratione, non fufficit, ut ex. gr. 7? lum quidemm B,C, rime 4 i L o & -26»9 fecundz: H', pariterque 7P» teru € — agre& « 26P» quart & «3128P* fecunde B; fit 35pm terig C vel L- ragele & demum. 4 1'529?103 vel faltim t r26Pe & jam «5 r27?le quarte. D ; fed requi- fimul fit 352lem tertiz € 5- 127bl & - 128P9 quar- rtur, ut etiamnum " te D; generatim ut quicunque igni s m & r fubftituntur numert in- 4imul fit tam wrlum-primz. 44 L- vPe &. « (£ - 1)re fecunde ,. tegris am aP lam tertig C't» rPe & « ( 1)!e quarte D; utque etiam. fl qplum- primz^ A tantum. z fimplo & - gPlo fecundz H, pa «xMer nplum: tertie C fit z fimplo & « 2?l^ quarte D; & quoque fi s? primz: ig C - ipfa quarta D. S I9v 4 äþïpfa fecunda J , fimul fit grium tert Gu E XYt1 Itte Vl TOSSCSICTO. vGänerati'-r»r'l'f»igi—tur quatuor magnitudines 4, , C, D in T eadem ratione (geometrica) feu (geometrice) proportionales eile di- i'$, centur: fi utriusque rationis idem elt exponens; vel fi exponentes am- barum rationum 44 ad J & C ad D iisdem conffanter limitibus con- )tïb' tinentur, ad quaseunque referantur partes zquealiquotas magnitudinum yti- H acD: feu fi primz zf ac tertie C^ xquemultiplices quecunque eque- n multiplas quascunque fecunde 8 & quaree D vel unà ad Que unà füperant, vel unà ab illis deficiunt: & vicillim, æguant,* vel en s Pofterior quidem modus diftinctivum identitatis duarum rationum caracterem enunciandi exprelfe noen indicat cafum , quo exponens utrius- l, que rationis idem eft numerus integer, feu quo ipfe prima 44 & tertia m C equemultiplis quibusdam fecunde P ac quartz D squales funt: eun- ) xlem tamen non excludit, fed tacite complectitur; cum tunc equemul- l« tiplicés quecunque prime 4 & tertie- C necelfario fimul fint equemul- tiplis illis fecundz 8 ac quarte D majores, Idem intelligendum de eo -æ, Q« calu, quo exponens utriusque rationis eft numerus fractus ,. cujus nu- anerator eft unitas; feu quo xquemulüplices quedam primz 44 ac tér- lo tie C ipfis magnitudinibus J & D íimul zquales funt : tum quippe l &quemulüplices ille prime 4f ac tertie C fimul funt squemultiplis quibuseunque fecunde J sc quarte D minores, Pariter quando termini ) rationum invicenr incommenfurabiles fnnt; identitas limitum exponentis earum, pro quibuscunque partibus zquealiquotis fecundz 7 ac quarte D dd tantum requirit, ut equemultiplices quecunque primz ac tertie C fimul fint zquemultiplis quibusdam fecunde B & quarte D majores, earundemque sequemultiplis immediate fuperioribus minores: his etiam ] inclufis -conditionibus partieularibus , ut equemultiplices. primz 24 ac tertie C fimul fint ipfis cantum magnitudinibus B & D majores, earun- dem vero duplis minores; pariterque ut prime 74 & tertüz C zquemul- tiplices fimul fint ipfis magnitudinibus £ ac D minores, . Que quidem omnia requifita fine dubio complectitur mentio indefinita equemulti- plicium tam fecunde Z ac. quarte D, quam primz 44 & tertiz C';. fed hoc modo plus iterum,. quam przcife. fufficiebat ac necelfe. erat, exi- git. Prudenter.vero ita Evcripgs Definitionem fuam adornavit : ut tam in illa enuncianda, quam przfertim applicanda, non tantum tribus, qui, cum ad exponentes refpicitur, obünent, cafibus generalibus, fed & fpecialibus quos. incommenfurabiles offerunt, feorfim recenfendis fu- perledere poffet; & demonftrationes , r ^ falvo rigore, —Con?inäi01'es effi- cgret.; f B2 p Quiód ut exemplis, hactenus dicta ufu ipfo: illuftrantibus, ffatir pateat : a-nfeqngni gd evolvendam. il]æq-uüütä[is lj'ätionunl.ïlïi)ïinnem'»pl'()' j grediamur , fpecialem primum propofitionem , que prima. eft. Vi Libri Evcunis, ex utroque 1dentitatis rationum caractere fupra expofito de- wonílrabimus; tum immediate generales Libri Vi propofitiones füb- jungemus , quz ad rationes invicem squales pertinent, & quarum de- i monílrationes.directe notionem inzqualitatis rationum. haud fupponunt.. S 20. Propofitio: . (Eveun. VI, r.) Parallelogramma & triangula ejusdem vel xqualium alttudinum , feu. inter easdem conlti- - tuta paralleias, funt inter fe uti Dafes. . . ï Demonfiratio generatim innititur. Libri Imi fpl'*OþO'fïvtiOüibus 36 & 385 earundemque Corollariis: quibus parallelogramma ac triangula ejusdem: pl vel equalium altitudinum , feu inter easdem parallelas confüituta, quz. equalia ; quz vero inzqualibus infiftunt ba- zqualibus infiftunt bafibus , fbus, inzg ualia; nominatim, quod majori inliftit baü.,x majus elfe- eftenditur. ;l Iïraquäji'i-- pmo coümen'fïlrabil"es fünt. Baf&- AB, EF, Fig. S', 6. minorem EF exacte alioquoties contiget: majori & major 24B ipfam -B divifa jn partes: Al, IK, KE LB,ingulas xquales minori EFP;. (I & per punéta divifionum I, K, £. duétis in parallelogrammo quidem. ABCB: reétis qux: parallelz: fint late ribus D. .EC; in triangulo autem: f parallelogr.. 442CD1 ABC. ad: verticem. C ductís rectis; ltriangulum L4B€ .f in coti'dem f P HY dividitur « "parallelogramma ]; fingula equalia ( 4 f parallelogrammo E FG. triangula triangulo. EFG- j per E.. 36. 38. quot bafis 445 continet partes zquales bafi .EE, | Itaque Tioc eafu: CS. 17.) D 'pa-r:ui—l-lbïogr:. EFGEH tam parallelogr. ZBC. n es A quam triangulum ;4BC: triang. EFG. Quippe fi generatim: ba f i A4B infunt part-;es fingule — EF; etiam fparallelogr. 445CD1 fparallelogr. EFGY £ ? , conílat r partibus fingulis — « i (triangulo £ FG J uriangulim 44B€ J r denotsnte numerum integrum quemcunque. * "Eig . 8. s Si Bafium etiam nune commen futabiliunr major ul ï; non ipfam minorem EP, fed ejus quampiam partem. aliquotam. ENV; I jet: utr aque bafi 47, EF divifa 1 partes fin- exacte aliquoties. contii ulas — EN; & pet unéta divifionum du&tis in parallelogrammis qui- z dem ABCD, EFGH ve tis, quz parallele fnt lateribus eorum" 442 & æ——- UM . eä " ád ïür & CD, EH & FG; m triangulis a'-ut*em ABC, EFG. ductis rectis f 1 ilórum vertices C ,:G R parallelogramma 48€D, EFGH * dividentur fi triangula A4BC, EFG ;:, e 4 f parallelogr. 4 f parallelogr. £NALH in totidem refpective triangula 3,9 -fingula — ] U triangulo. . ENG Qe. per I, 36. 38. quot bafles 4B, EF contnent partes — EN. ltaq'u-i: fi generatim. bafi EF infunt » partes — .EV; bali autem 42 infünt v psrees eidem EN zxquales; m & * defignantibus numeros integros l- quoscunque diverfos, quorum. major r: hoc eft fi EN eít batis EF [ ; parallelogr. EFGEH) pars n* , & 48 :—-—;'- EF eti'a'mx j triangulum .EFG f cop[ïat " y parallelogr. ABCD N partibus, & (( triangulum BC . conftat s partibus., f'l:ng'uliis — NME) i parallelogr.. ENJEH Y fparallelogr.. I f x » t pars m* ä triangulo- £ G L triangulum ENG fparallelogr. EFG)| t trianguli EFG- £? & pullelogr. 4BCD. — EFGH, pariter- Unde rurfus. (S. 17.) p que triangulum .4BC - — EFG. tam parallelogr. A48CD : EFGH) .. I AB: EF, n quam -triavngulum: 4BC : EFG Fig. 9','rof qdo, Si bafes A4D, EF à fünt— ifncom'm'ehfizrabiles : fo-. minatim f minoris £F fumta parte aliquota quacunque EN , hzc repe- tita nunguam exacte producit majorem 447 ; fed quando aliquottes re- petta EM efficit lineam ZR. proxime. X .4B , adhuc femel addita ïg femper jam efficit lineam 4$ . 4B: ita ut fi bafi EF infunt m partes, linee autem 44R infunt r partes, fingule —— EW ; adeoque fit EN' 74 E pars w balis EF, & AR — — KF, A4S -- — EF, fed 4B — ,';EE ,&(.r;:f-l" EF; r & n denotantibus numeros integros quoscunque : ï: tum ductis per puncta À & S in Fig. 9. parallelis lateribus 44D, B€ jaralelogrammi, in Fig. ro. autem rectis ad verticem C trianguli; eodem modo, quo in caíu 24e, "demonílratur, elle parallelogram- r.' & L^ EFGH, mum Z/RPD — - EFGH, & paralielogr. 450D — f--r pariterque triang. JZAC' — —;— EFG, & triangulum ASC ti EFG; P5 adeo- DÀ j 14 -— ,B.J";* — y-ri TO :gdeoqug Aftam' k-þaralie-loglï. ABCD i) 7:" EFGH de,;ä f s. k i T-LI b quam triangulum ABC.. muEFG: fed q EFG e V I taq ue & hoe cafu (S. 18.) CD: EFGHI y «am parallelogr. 448 — bafis 42: EF..A quam triangulum 442C : EFG h Similiter propofitum " demonftratur, quando bafis B- feu 49 confervata t EF, fimiliter oftenditur. etfe -4 EFV: f tam parallelogt. EFGH: ABCDA V quam, .triaugul'ulm K FET EC pO KEi —A-Bi. t Ü Fig. rr, r2. $. 2r. Juxta Definiionem EvcnizAM demone h ftratio ejusdem Propofitionis .V, fic inftruitur. Sumtis ZL,- EM mul- tiplicibus quibuscunque bafium 7 , ET; & er puncta. , 77 ductis vel parallelis.lateribus 4D & BC, EH &-FG parallelogrammorum, donee prodüttis DC, G occurrant in punétis K, /; vel du&tis rectis Í ad vertices C,,.G- triangulorum : ex l, 36 8. éodem modo, quo f 4 f parallelogr.ZB CD Í $.20. c;ïfu |o efficitur, ut $ parallelo . .( periangulum 4LC j k trianguli 4BC j tam muliplex, quam mulüplex 24L -eít bafis 4 ; pariterque fparallelogr, EMIH) ? rallelogr, &KFGH. ) ? P. tàm muliplex, quam 4uiangulum £MG J gc A L triangu £FG - g. multiplex .eft EM bafis EF. Atqui ex l, 36. 38. & Coroll, Mes " [tram parallelogr. 4LKD — fparallelog ; EMIH triang. EMG » prouti AL 4r z J * iquam triangulum A4LC jf E ( ABCDÀ KM. "Cum igitur, fumtis :p.r.i.mæ'. z & terüiz B. &quemultiplis 1-48C CALKD) - & AL; ac fecundz. [EEGHY (L ALC J ^ EFG f & quarte EF fumtis equemul- [EMIBH ALKD, EMIED tiplicib D OIBaG r & EM; mültiplicesg L ALC, EMG f p;'imæ' ac, í ABCD, EFGH) - fe.vcun-dæ E« ?» L ABDC, . EFG sc multiplices 4L, EM tertg & quarte AB; EF, utraque utri que, juxta quamcunque multiplicationem , fem- per fimul invicem :quales fint, vel imul deficiant, velfimul fuperent : tam parallelogr. 2 CD: EFGHY ? 1equ'it—l-xr.gex $. 19.) elfe ::A.B: EF): quam criarfgulum ABC: EFG . s. 219 CX* E » du 1j - $. a2. Scholiog 1.. Eodem modo -.e;('IlI, 26. 1'7 earumqii; Co- rolaris: quibus demonftratur, in eodem vel squalibus circuliscwngu- los five ad.centrum five ad peripheriami, qui equalibus infiftunt arcu- bus, refpective equales elfe; qui aurem. inzqualibus inüiftunt arcubus,. elle inzquales; nempe majores, quisinfiftunt arcui majori; & vicitfim ; deducitur VI, 33: quod in eodem vel zqualibus circulis anguli tam ad centrum , quam ad-péripheriam; fint inter fg uti arcus quibus ini- r flüunt; N : t.o23. — Stheliom 2. Paritef iisdem üodis genäratim demonftratur: Ífi magnitudo quanti alicujus ab magnitudine quanti alterius ita pendeat, ut que zquelibus quanti poflerioris magnitudinibus refpondent magni- tudines prioris, pariter zquales fint; quz autem refpondent inzquali- []e bus, fint inzquales; nominatim ese majores, que refpondent majori- i. bus (quo uodo arez parallelogrammorum & triangulorum zquealtorum li pendent ab magnitudine bafium, anguli tam ad centrum quam ad pe- n ripheriam ejusdem vel equalium circulorum .ab arcubus, quibus infi- 1$ ftunt ); fintque. 4, B du magnitudines quanti prioris, qu: refpondent ) duabus quibuscung — J! femper 4: B —— ue magnitudinbus C, J quanü pofterioris ; fgre: . e Quda enim (ut pofferiorem tantum demonffrandi modunr expreffe ic repetamus) magnitudinibus. pofterioris quanti, . equalibus. magnitudini C; refpondent (füpp.) magnitudines quanti prior - N ln is equales magnitudini -4: erit ea prioris quanti magnitudo, quz pofte rioris magnitudini 3 C refpondet, — 2.4; qus magnitudini 3 C r efpendet, erit — uf « generatim qus magnitudini »C refpondet, erit — n4A. . Pariter que magnitudin: rD' pofterioris. quanti , refpondet . magnit erit udo prioris , là -- rbh:r & n delignantibus numeros integros quoscu nque, . Atqui prio- TIS quanti magnitudines, quz magnitudinibus poft erioris: refpondent, fimul cum his invicem funt xquales , vel unà fuperant, vel unà defi- ciunt (füppf) Itaque ft nC'(rä ]þ :D, pariter s4 (ï'— ? rD; proinde- que 4: B — C: D (S. 19.) 3 Ü ($. 24. Propoftio PT. - Quatuor magnitudinum geometrice pro- portionalium tertia equalis ef t quarte, fl prima xqualis fecundz; ter- tia major eft quam quarta, fi prima major quam fecunda; pariterque: tertia minor eft quam quarta » li prima imi nor quàm fecunda, Demenfratio. Sit 44 B — C: D. ia Ime, T 16 äï—l—:: - —-g;'. Imo, Si Á - B; adeoque ratiotüs 4 ad £ expo'nenS':E I: erit etiam (S. 17.) rationis C'ad D exponens — 1; ac proinde .C — D. Si 44 —- B; rationis 4 ad B; f1 commenfurabiles fünt, exponens ( ert ? [ Ífiincommenfurabiles, exponentis limes inferior ad minimum erit —5 qua (fupp.) 47 B (f —:—:*"B, 5 defignante numerum in- r -tfagr.um quemcüunque. Ergo ($.17. 18.) & rationis C ad D vel ex- ponens d E. 1; vel certe exponentis Jimes iuferior — —— " : unde pari- "r p u D. ü Si A « B: rationis 4 ad , quando -.Co:pmenüwabïïe—s funt, ex- [ ponens erit -4 1; Íi incommenfurabiles, exponentis limes fuperior ad e fummum erit —, quia (fupp.) 4 — P feu -'-:— B. Ergo (S. 17. 182 ) etiam rationis C ad D vel exponens - i, vel fuperior exponentis AT —Á limes ad fummum T;:L: proindeque parier C « D. L à 1Ide, ? Si 4 NI j » B; etiam (S. 4.) 24 .'(r':? 2D. 'Tum vere ä vOïb A B:: C'. D (fupp.) etiam aC ï .:f 2D ($. 19.); adeoque (S. 4.) pariter C (ï —5—.3) D. $. 2«. Sholien. In quibusdam elementorum editioribus propofitie fhxc (veltota, vel faltim ejus duo cafus pofteriores) 16'* Libri V.. ut Corollarium fübjungitur; & ejus ope demonflratur: unde nonnifi ad quatuor maguitudines ejusdem generis pertinere videretur. Ceterum eadem propofido generalius poteft ut convería ejus; quz demonítrata fuit $. 23, enunciari; eodemque, quo nunc ufi fumus, modo ftabiliri Si magnitudo quanti alicujus ab magnitudine alterius cujuspiam quanti ita pendet, ut generatim , quam rationem inter fe habent magnitudines quecunque C, J quanti pofterioris, in eadem ratione invjcem fint, quz.ipfis refpondent, magnitudines 4, D quanti.prioris: tum qui magni- tndinibus quanti pofterioris zqualibus refpoudent magnitudines quat ati prioris, parirer mquales funt; quz autem inzqualibus refpondent, & iple funt ingquales; ez fcilicet majores, quz refpondent majoribus. Nam [ —— HUS 17 ent ] Nam fi C ä 2 ;.etiam 2C äwä gD (S.4). Quare cym leng — —— 1 (fupp.) generatim fit 4: B—C D; etiam ($ 19) 24 ä äzl' H adeoque ($.4.) 4 ä ä B. j Qu $. 26. Volnrftzo "2 (EvctLip. V, 4. Coroll.) Si quátuot magnitudines. p roportionales . funt;. ezdem etiam 2nverf? erunt propor tionales: hoc elt, fi 4: B — C: D; edam : 4 — C Dakon firatio. [mo, Si mag.,mtudmes A & B, € & D invicem at commenfturabiles funt ; & utriusque radonis ad B C ad D idetu al eft exponens integer r, vel fra&tus quicunque — 2$ i /.), ita ut (( fimul.fiat 4 — 7B & C—rD, vel fiml 4— — B& C érunt etiam fimul B— — A& D—c- C, vel fimul n — B & nC—*D, fe adeoque B — , 4& D— ...C". t exponentes igitur rationum B ad 4, D ad .C, pariter æquales. Quodfi incommenfurabiles funt magnitudines 4 & B; Cu B utriusque rationis 4 ad B, C ad D,; " exponens iisdem continebitur fil.*. 1 * ita ut femper fimul ] hmmbus (S. 18) ex. gr. "(n4d-1) n(u.g. ) ? fint L ytn -*- l.*-f d 2 &( B tantoque magis « a(n4 ) á n(n-*- I) yu PTO rfü--l ru-4- ( ac C D€c -- Dtantoque magis « D n(uA- 1) "u- x) "n -A- 1) Inde vero pariter fimul erunt n (n-4- 1) g« MED a ïil rüu --v d feuB( A&-) —':——/1; ï n (n4 1 1) us D(n("-*-l) C & YO) C,feu D « "*I C& TU d- f adeoque, eXponentes raüonum J ad 44, D ad C isdem pauter llml- tibus contmebuntm. C 2d I 18 DI Hio Cum fit Z: B o r (f(upp.); eruxvm (S. 19.) fimul - — i nB, : v (ï L Latque 4'C" us nl) n proinde etiam fimul Y — P nD (r : r4, atque uD ((,-:.].7 rC ; sle & hine (S; 19:) 8: A — D-— £E $. 27. Scholiom. Simfon in notis fupra (S. 16.) citatis, p. 3o6 fq. vd rece obfervat: propofidonem haoc VII. perperam 4'*' quinti libri Evcunpis tanquam Corollarium vulgo fubjungi; nec legitimam effe, que Vi /:MIImam noftram inde inferendam. ex ejusdem 4'* propofitionis demonftratione nectitur, confequentiam ad y YX $. 28. Propofitio FIH. (Evcup. V, 4.) Si quatuor magnitu- dines fünt. geometrice proportionales: equemultiplices quecunque prime N ac tertiz ad fecundam & quartam, vel ad zquemultiplices quascunque l fecunde & quarte; pariterque prima ac terüa ad fecunde & quarte quascunque zquemultiplices , easdem refpective habent rationes. Q Hoc et, fi : B- C D p HC , Y ewti.am u sH — C: 4D, 5 . p4: qB — pC: 4D p & 4 denotantübus numeros integros quoseunque. Demonf[lvatio, Ime. Quando commenfurabiles funt magnitudines A& B, C&D: ob 4: B— C: D (fupp.), fimul erunt ($.:7.) d- H & DorsD; vdca— cOB&CLLID Adeoque pariter fimul pA— grBRgC—prD; vdpa— - R& RE :29»8& C:z;-qD;. vel A:;h qB& C — gi pv p4 :—ï; qB &pC :qu, vel g4 — g qB. & pC — ä; qD. lgitur exponentes rationum p4: B, & pC: D; 4: qB, & C: qD» pA qB, & pC: 4D; etiam refpective iidem funt: nimirum pr'vel ';;35 r P. — vyel qu.? —— VC n Q'uädiï-. x eiis . 19 1 Quodíi mäguitudines 4 & B, C & D funt incommenfurabiles : utriusque ratonis exponens iisdem continebitur linítibus ($. 1g.) ; ita ut fimul fint A)gï B&« Pï;:-ï B,ac C ä D&« pu D; adeoque etiam fimul p - p & « — -,f , B,acpC "u D&«"t. p »fq D; Ti vel gubqug fimul '-A);y; B &'(—"—Vï[ B,a6 C D&(ïj;ïx" qu tki *4-I 1 ad unde rurfus fimul — .4— ä—; gB& « n qB, ac C)q"rnq-D&( qn vel & fimul pr 4- 1 irdr. 4 508 &« 7 qB , ac C)ppq*ran& it Pqïl gD; illl- ie adeoäue pariteri';mulPA)ä gB & CF ^ 9B ac C)ä qD& (L; -4D. * V(]"e t Itaque etiam rationum : B, & pC: D; 4: qB, & C: qD;'p./—lz I qB, & pC: 4D exponentes iisdem refpective limitibus -P— & » h 2.'—:1 vel — r4i l — pv pl F — continentur. d qu ? q 75 qu Il?v, Cum ob 4: B —C: D (fupp.); fumtis quibuscunque primz 44 & tertie C, fecunde £ ac quarte D squemultiplis, multiplices pri- nos mz 4 & fecundz B, ac multiplices tertie C & quartz D fimul refpective xquales fint, velfimul deficiant, vel fimul fuperent ($. 19.) squemul- tplices autem magnitudinum p44 & pC, qB & qD fint quoque ipfarum 4 & C, B & D xquemultiple (S. 10.): fequitur effe finul tam n(pA4) 4[):)& rB,. ac n(gC) ä ;:þ vD; — quam nA 4[ E]þ f(gB),ac mC. 4( E:þ *(gD); Jn pariterque n(p.A4) 4( 51þ Y (qB), ac.n(pC) 4£5:þ r(9D): Unde ( per S. 19.) conftat propofitum. $. z9. Propofitio IX. — Magnitudinum 4 & Z æduemültiþlïces, vel partes zquealiquote, vel & partes z quealiquante, ad maguitudineg ipfas 44 & £, easdem refpeCtive habent rationes: li € 25 hoc L: 20 AT v5 um hoc: eít p4 [ 'Bï D Z: L— Db; ? & 7) 9d —— "r [ *& m deügnantibps numeros integros quoscurnque, Demonfirasio. 1wo, Utriusque enim rationis p/: 44, & pB B exponens eft p; utriusque rationis m 45 & q: D exponens eft ,7[, V; p f &.vutriusque rationis . 4: 4, & ;'.z B: B exponens eft ä. f 1IId0. Cum tam »(pA4) — (np).4, quam n (pD) — (np) B (S. 10.): erunt fimul -n(pA)(L - )r.f!, ac n(pB) ï ä)» rB; prouti 'np(L.': A | Sint deim -7 — E, & , —— F;adeoque Z — mE, & B — nF. ï Erit per modo demonftrata mE: E —mP: F: adeoque etiam inverfe 4: mb P:mk ($.26.) 24 hoc eft CUP 24 o —— B n 7h ;I'n—A: A:;IZB: B: Cumque üc fit etiam erit T —äd:ï.ä: ?h 'B: '(B (S- ?8')- $.30. Propofitio X. ' Viciflimü quätuorämagnitudines AC N funt geometrice proportionales ; primaque ;4 fecundz P eft quedam multiplex, vel pars àliquota, vel pars aliquanta: terria C quarte D zquemultiplex erit ; jgl pars zquealiquota, vel pars &quealiquanta. Denonfiratio, Imo, Si 4: B — C: D; & 4— qB, vl 4— , Ve1 A ::: ;?; B; h&: efc fi exþonens rationis Z ad J eft 2, vel -;ï , : eric*e'tiamuiatiönis C ad D'exPonens q, vel —'";, vel u;ï- (S 17.); ve.l; 7—3 adeo- at ET ädeoque pinterc£ -- qD; vel.€ — [/7) ; w C — ;niD: q&m.de; notantibus numeros integros quoscunque. C Cum.;(füppl fit A B.: C: D; erit.etiam (S. 28.) Em 4 nd: B i2 t H UT & m4:qB Lmc: QD. — ÜUnde fi 4 — 9B; pariter ($. 24.) C — 4D: n fiwu- . f -— ;—n—B; -- mC:.D, feu C::-;-n-]); fi m4 — qB, feu Aä E - o sbeeiD/ u 09 9 Y $. 31r.. Propofitio X1 (Evcup. V, 17.) Si quatuor magnitudines f 44 B, C, D funt geometrice proportionales; & prima 44 major quam fecunda B, adeoque etiam ($. 24.) tertia C major quam quarta : erit nf etiam exceffus primz 4 fuper fecundam D ad hanc minorem £; uüi ex- ceffus tertiz. C füaper quartam D , ad hanc quartam , Breviter fi,.4: 2—C: D; & 4 erit ecam dividendo feu divifim 4 — 5b:]- B, —Pafitïque: (IS).. 24) C5 D: Demonfiratio, Imo, Cum (fupp.) 4: .B — C: D. erunt (S. 17.18.) flmül T4-1 4 — vB; vel A::—ZB'? vel 4 g—.B, & « w P TlI pariterqüe €-5rH a Es Ia es —;;-D, & 2« um v & n denotantibus numeros integros quoscunque: ita tamen, ut quia JJ (fupp.) 45 BD&CzE D, üitr z », li magnitudines Z & B,.C&. D )m funt commenfurabiles ; quando autem incommenfurabiles funt, non fit r - m. " "Tum vero pariter fimul erunt 2l A—.B::(ï—l)B,Velä-B:(;;—[)Bfeu?Bävel A—BP?B&QTJZ*-I .B; — -2 Y-2H C D-(-: )D; vel c-D^(;- 1)Dfev- u D; VelC—DP .D& H adeoque exponentes rationum 24— 8:.B ,& C—D: D; vel üidem; !3; "V;l qoutenti intra eosdem limites, 0 C 3 udo' 22 6:-9 "— 33 IId, Si an-—B) A vB: cum fit nL4—2) —nA—nB (j.7.) 1 erit n.4 —nB 5 & , addita. utriQqije sJB, fiet a/—/**N(-A—x AVIAVIIA —— /...J *——v..J n (.—. 24 Bu fBífeu (nc-r) B (8.9). Cüm igitur fit (fupp.) 4: B q st: 4A erit (S..19.5 limul sC (U:):J» (nd r) D feu nD -vD ($.8.): & fubtratta" V utrinque &D, etiam nC—nD, hoc e!t ($. 7.) «(C—D) ISin. E Proinde fimul funt n(L4—B). m f — D ?rB, &nC(ïäJ)x YD; atque hinc ($.19.) 4—B: B-—C—D: EL & Fig. 13. Alter hic raGoeinandi modus fic qhoque poteü exponi, Reprafentent linee EF, FG, HI1, IK magnitudines , B, C, D; ita ut fic EPF: FG — HI: IK. 'Tum EG, HK reprefentabunt exceffus 44 — B, C — D msjorum füper minores; demonftrandumque erit, effe pariter £G: FG — HK: IK. — Quod ut fiat, fumantur magnitudinum ä EG, FG, HÁ, IK equemulüplices quecunque (s?*), que fint LJT, LP, NO, NQ. Ita (S.6.) PM, QO erunt magnitudinum EF, HJ ezdem zquemultplices (pariter uP). Infuper fumantur maguitudinum FG, IK zquemuldüplices quecunque (rP*) PR, Quo facto, etiam LA, A'S erunt ($.8.) magnitudinum FG, -s emultiplices (n--rP*). Cum igitur (fupp.) EF: FG—HI: IK; erunt (S.19.) fimul pu ÍS . LR, & god Sws: ex quo fi confequi demonftretur, elfe etiam fimul ( &l f &l Q$; LMZzZ»PR, & NO« '.:J) inferre licebit ($. 19.) effe pariter EG: FG—EHXK: 1K, Aþqui i LM«'[ ::]» PR: addita utrinque 9adem «LP, fit etiam PM(E];LR; & hinc (fupp. & j. 19.) pariter go(ï ä]» INS : unde utrinque fubtra&ta communi ANQ, fit quoque N 041?) 0s. $. 32 GX s SUS 25 S. 32. Corollarium 1. Si quatuor magnitudinum A, £, C, D binz fuerint r)' in eadem ratione; & prima Z winor quam fecunda £, igitur quoque (S. 24.) tertia C minor quam quarta 7) : erit etiam inverfe ($. 26.) B: 4 — D C ?, ubijam prima J z fecunda 4 ; & tertia D £ quarta C: igitur (S. 31.) B—-*A:A:D-—*C: r S. 32. Corollarium 2. .Generatim igitur fi due maguitudines inz- quales // & B eandem mutuo habent rationem » quam alie duz inzquales l C & D: differentia quoq ue duarum priorum erit ad earundem minorem, uti dileren&a duarum pofteriorum ad ipfarum minorem; veletiam in- DO verfe (S. 26.) minor duarum priorum erit ad ipfarum differentiam, u minor duarum pofteriorum ad earundem differentiam. Breviter fi 4 B-—C:D: ! etiam dividendo 4—5: B—C-—D: D; feu B: 4— BD C D vel . B —4: d—D-—C:C;íemua4:B-—4-C: D—c L] lls - $. 34.. Propofitio XIIJ. (Evcrip. V, 19. Coroll ü tudines.4, B, C, D geometrice funt proportionale $5 .) Si quatuor magni- us & primà 4 major lo quam fecunda D , adeoque etiam (S. 24.) tertia C majo r quam quarta £: erit quoque prima 44 ad excellum, quo fuperat fecun i tia C ad excelfum, quo fuperat quartam , dam B; uti ter- l, ]l Breviter fj Z: 2—€C: D erit etiam comvertendo 4: 4 — B — C: ;&4- g'ïl;alx')ï.tel'qug (S. 24.)k C D: Demonfiratio. 12o, Cum fit : B — C: D (fupp): erunt (S. 17. 18.) Jl fimul LA -H. A-—TE. Yvel A;—ïB; vel 47 äB s uac L ac 5 * T--I C:rD vel €——D; vel C- —D& 4 7 M feu erunt fimu] 2— —; vel B:—'—A;— vel B-4 ; & ä/l; ac D—;—; vel D— x r.& n denotantibus»numems ;nte ;C; Ve*l- DC—:—C &- TZTC; conmenfurabilitaus fit Bros quoscunque; ita tsmen, ut in cafu. ft0n; n cal u autem incommenfuxabihtatis certe e non lit «s5 g/uti in Dem. $. 51.). 'Tum 24 —— Tum vero pariter fimul em'mt , j r ("";i) A; velÁd-B» (1';) AG c( f-7 um )* A-B:( I) 4; vel4-Bz- [ CAU ac C-;D::(xl';ä*)c; vel C-D:(I'Z C ; vel 6'D - (I'::T) C& 4(' Y--I )t. f Y^ - AU. I .—'.—, t A he. täl;l A-B'::T;;;'Z;Qd A-B;1 ;:nA; vel 4-B ),:;ZA& 4 y-r-1i Á tantoque magi.s Sr y-Y T-H — 5 T-1-1-Y k quam C-D-—;,- Gvel C-D— ,- C;velC-D :»L;ïC & -::r T-l-Y Ctantoque magis 4 LA € f Proinde ($. 17. (8.) 4—2: 4 —C—D: C; hincque etiam inverfe E (g- 26-) A: A-**B: C: C"""'Do Eig. t4. 15 16..17 IHe. Reprefentent linee EF, FG, HI, IK magnitudines 4, B. C 5 D;iautfit EF: FG — HI: IK. 'Tum EG, HK reprefentabunt exceffu sA — B, C — D majorum fuper minores: de- monftrandumque erit, elle pariter EF: EG — HI: HK. num EG, FG, HK, IK fumantur. æquemul&pli- Quo fine magnitudi .]ta. (S. 6.) ces quecunque (7?l), que fint LM, LP, NO, NQ. PAM, O erunt magnitu dinum EF, H1 eedem squemultiplices ( pariter ypl«), Infuper fumantur ma gnitudinum EF, Z/ squemultiplices quz- L cunque (spl«) ; que fint PR, QS. j .——] "LE E1614. T). Sin! - J erunt fimul PR([?]»PM, &Q Sä:j* 00: igitur cum PA LAL, & 00 t NO (S. 4.) utroque cafu fimul erunt PA - LM,& QSceNO; hoc eft «EF — rEG, .& nHI 2 r m feu fimul 144 £ v(4—8B), & nC þ e( C —D). Quodfi autrem- r t n;erunt fimul PAZ þþ PR,& 00 .Fig. 16. 17. ,quam PA & QS funt (conftr.) magni- $, Porro quia tam PA & QO priores nempe earum rP*, pofterio- tudinum EF, HI sequemultiplices; . res mz: exceffus priorum fuper pofteriores, RI & SO, erunt (S. 12.) vel ipfis EF & HI xquales (nimirum fi r — n - 1); vel earundem eque- multiplice s (feilicet. r — nelz). Atqui ob EF: FG — HI: IK (fupp.) eü (S. 28 .) tam EF: rFG — HI: vIK, (r—n) HI: vIK; quam (r—9) EF: rFG — hoc'eü,vt»ltroque cafu, fit. RJMI: PL—$0: QN. 'Igitür A 25 A—ï ]» SOI Igitur (5.'2».) finul PL RJT, & QN r ! Unde pariter ,fmæul PL4-LÉ -- LU LI, & QNA-NS M2 NS«- $05 t m—rp Í z NO feu ïimpl 6s f 1 hoc eft fimul funt aE i yEG nH 2ï rHK, -€l ïïï; i feu fimul $ SS r (4—2), & nC 2r(C—D). tfe f—/x'—xf—/x—'*(*A-—ï VIIAVUAVITA VILA VU A. ;v..lk.v...)x.v—) ä Quoscunque igitur s & r denotent numeros integros ; feu quzcunque Il primz 44 & terüz C, itemque fecunde Z— 7 & quartz C — D (umantur 4 » equemultiplices: femper multiplices primz 4 & fecunde — D , ac mul- üpliees tertie C & quarte C— D vel fimulinvicein equales funt, vel una deficiunt, vel una fuperant. Quare(S.19) 4: 4— B—C: C—D. li $35 Corollariwm 1. Si quatuor magnitudines 44, Z, C, D pro- ) portionales funt ; & prima 4 minor quam fecunda 2 adeoque etiam (S. 24.) e tertia C minor quam quarta D: erit etiam inverfe 8: 44— D: C(S. 26.); U ubi prima Z 2 fecunda 44, & tertia D £ quarta C. Igitur 8: 8—4—D: D—C (S. 34.) [ $.36. Corollarium 2. — Generatim itaque, fi duse magnitudines inz- quales 4 & 7 eandem invicem habent rationem, quam aliz duz inzquales X C& D: erit & major priorum duarum ad ipfarum differentiam, uti major duarum pofteriorum ad earundem different2m ; vel etiam inverfe ($. 26.) diflerentia duarum priorum ad earundem majorem erit, uci differentia duarum pofteriorum ad ipfarum majorem. ) l Breviter fi Z2: BeExCD: etiam convertendo 4 -B 00 W quidii d r p G vel B: D—4-—D: D—OC, feu.B— 4: B —D-—C: D. S. 3z. Corollarium 3. Generaliusque, . Ífi duz magnitudines ing- quales eandem invicem habent rationem, quam alie dux magnitudines inequales: etiam alterutra priorum erit ad ipfarum differentiam, uti pofterior homologa, feu quz priori ordine refpondet , eft ad differentiam pofteriorum ; & inverfe, (S. 33« 36.) r D S. 58. A92 26 Gu m SUS . S. 38« Scholion.. Propofitio noürä XIlI. perperam .vulgo 195* Libri quinti Evcripis tanquam corollarium fubjungitur; & ex illa, ope 16'2, de- ü ducitur: cüm hoc modo, contra ac res eft, tantum ad quatuor. magnitu- dines proportionales ejusdemgeneris pertinere videretur. 1d quod etiam ) obfervarunt Siwsow in notis Jam citatis; p, 3165 & Cravivs in editione f fua Evcripis, Vol. I. p. si1. qui pofterior tamen locum ae titulum illius non mutavit . quin exprelfe eam his verbis ;hinc facile demonítrabitur * exorfus elt; quamvis vitiole vulgari legitimam ipfius demonftratio- nem, ex quinti libri propofitionibus 179* & 18v« deductam, fubftituat, . $.39. Propofiio X1IT. (Evcrip. V, 18.) Si quatuor maguitu- dines funt geometrice proportionales: fumma quoque duarum priorum eric ad ipfarum alterutram; uti lumma duarum pofteriorum ad eam ha- rum, que priori in proportioneim alfumtz ordine refpondet, j Hoc ett, fi 44 B:(C:D; f C z2 n ND/ etiám camponmolo AT B: (Lä]» —C-uD: Demonfiratio, Imo. Erunt enim (ex fupp. & $. 17. 18 Tdi * fimul A;ïB; vel A:"EB; vel 4 :)72'5 & - — B [ | — atque C—rD;vel C— "u D;vdC;D&A- D proindeque pafiter fimul m B& TAT B; A. B—(r1) B; vel d-*-Bä Wï;:jB ;vela-rB- $ n 7 741 TUl ätque C D-—(r1) D; vel C—!—D:Z-—;—ï2 D,;velC-D- TD & I D'. -lgitur ($.17.180 F B: B—C--D: D; feu fumma duarum priorum ad earum confequentem, uti fumma duarum pofteriorum ad confequentem ipfarum. Atqui fi .4: B— C: D; eüam inverfe (6.26.) B: 4—D .'-C: indeque per modo demonftrata etiam 44- : 44—C-4- D: C. Fig. 19,'19, 20, 21. Hée Reprefentent linee EG, FG, HK , IK magnitudines. , B, C, D) * ita ut fit ZG: FG-—HK: IK. 'Tum ? EF, HI, reprefentabunt earundem fummas 44 B, C4-D: demon- * [ EG (HK) C * firandumque erit, elfe pariter EF Quod Gu E AU 2 bti quöä' ut. fiat, fümsntur magnitudinum EF, FG , HE, ]K æquþemu-!« de tiþ]ices (xiuæcnnqäe (',VI,HZB).; (]Uæ flnt PM)'LP, QO, äNQ-: lta (SS. 7.) (li a LM, NO erunt magaiudiuum £G, EE, eedem equemultiplices (pa- riter qPhe), Infuper fümautur magnitudinum £G , HK æquemuïtipïicg; Iüe quecuüque (rzP*), que fint LA ,. NS. ( FC( Q Fig.18, 19.. Si n4 m »r: erunt fimul LM(r?]»LR, & NO((:L NS: " igicar cum PM — LM, & þ/) N0; utroque calu fimul erunt J[PM LR, & 00 NS$5 hoc:e ft nEF - rÉG, & zHI Q nCAM ) s rA, & n(C-D) » 1C. 2 rHK; feu fjmui erunt Jf lh lig.20, 21. Quodfi autem e7»; erunt ümurl LR LM, &NS-NO: Porro quia tam LR & NS, quam LJJ & NO funt (conítr.) magnitudi- num EG, HK xquemulüplices; priores nempe earum rríz, pofterio- res nb«; excellus RA & SO priorum fuper pofteriores erunt (S. r2.) vel iplis EG, K xquales (nimirum fi r—5-F1); vel earundem equemultüplices (feclicet/ r—»?*). Atqui ob EG; FG— HK; IK Cfupp.): eft ($. 28.) tam EG: H.FG I HK : nlK, quam (r—») EG : nFG —(r—n) HK:nlK; hoc eft, utroque cafü fit . &M: LP—S0: NQ. Igitur (S. 24.) fimul LPäriïþ, RM, ] & NQ 151 so, E i ] Unde pariter fimul LP-- LA sE - RIMA-LM,&N V . "-- NO 4 :J&SO-FNO; ( N od 5 feu fimul PM —V——.JL.. DT ] T /AN NS: M. ADZN LR, & Q0 hoc eft fimul PT [ [ K nEF J —Nr-....)». TEG , & nHl rHK; m J IVAPAN ILAN — n f feu fimul n(A-æ—B)qä;jþ T , x& 2(C-4- D) 4L a Jþ rC. Quoscunqüe igitur 2 & v defi gnent nulmeros integros; feu quzcun- que prime Zf--B & tertie C fumantur zquemultiplices ; -D, itemque fecunde 44 ac quarte C de 4,/, & multüplices terü femper mulüplices primz 44--B ac fecun- .vel uni € CXLD ac quarte D, vel fimul. invicem ;equales funt, fuperant, vel unà deficiunt, E qure ($. 19.) 4 D; ALICG D:C. D a Eödem 28 D d Eodem modo, poft primas magnitudinum EF, FG , HT, IK, &que- multiplices (u?5) PAL, LP, Q0, NO, fumtis inde a puntlis L, N ver- fus puncta P, Q equemu lüplicibus (r?5) magnitudinum FG, /K;. de- monítratur elle edam 444- B: B—— C-D: 1. $. 40. Scholion 1. . Re&te Hieron. SaccnuERIVS, in libro quem ia: feriplit: EvcripEs ab omni nevo vindicatus, five conatus geometricus, quo ftabiliuntur prima ipfa univerfe Geometrie principia, p. rtr. fjq. & S:Msow in notis citatis, p. 314. obfervant: Demonftrationem propofitienis przcedentis , que vulzo in editionibus Elementorum traditur, a penio Evcnpis abhorrere, nec legitimam effe; cum poftulet , .quod nullibi ante fuit oftenfum , ut tribus dats magnitudinibus quarta geometrice proportionalis afliguetur. Sed modum, quo prior (l.c. p. uis. fqq.) huie nzvo mederi fufcipit, jure polterior reprobat (1. c. p. 315 fq. ). S. I Scholion . Propofitio XII. poteft ex propofitionibus XIm« & XllI* ope Vil»* fic inferri, SI 4: B-—C: D;ubiA B, pariterque ($:.24.) C^. D: tum . 4—B: B—C— D: D per Prop. XI. & B: A—B—D: C— D per Prop. VII. Unde Z244—3: 4—B-—D4 C— D: € — D per Prop. XIII. hoc eft A: A— B—C:C—D queg elt propofitio XII. Hicque eft demonftrandi modus, quem Cravivs loco fupra (S. 38-) citat, vulgari fubftituit; & quem etiam SimsowN in verfione fua Elemen- torum p. 136. adoptavit. $.42. Propofitio XIP. (Evcrtp, V j 11.) Ra;iones, qui ezdem funt eidem tertie, & inter fe funt exzdem. fi d H aU. s | Hoc eft & D D-—ECTP; etiam A: B-E:F. j Demon]iratib Imo, Quodli enim rationis 4 ad B vel exponens 'eft TE UISETE ob A: B:C:D £, 8Ub , -vel exponentis limites funt -:-;— & (fupp.") p äetia-nxl rationis C ad D' erunt vel exponens r aut ;-, vel ex- 4 proindeque pariter ob ponentis limites-7. & ï—;— (S. x7 f8.) : L EE 29 €: D-—E.F, »erunt rationis E : F vel exponen'-s' r 8üt — , .v—'eþ! exponän. us limites - aut —-——nI (S. 17. 18-) Il4, Sumts magnitudinum, 4, C, E æqüe'multiplis düibuscunque l ) ná, nC, nE; & magnitudinum £, D, F fumts æquenxultipli; quibus- cunque B , rD, vF: - I$ i n« — »rB, eritetiamnC (F P ? rD(S .ig .),quia;lA:.B:C: D (fupp.). Q il E : Quando autetix zzC(L d- ))VD?etiämn (ï ä;: j; rE ($.19:), quia C: D—E: F(füpp.). f xl Igitur fimul quoque fünt nÁ- - rD, ac nE (r:])rF: A: F:E: J 1 & proinde (S. 19.) $.43. Propoftio XF. (Evcum. V, 12.) $i magnitudines homo- genez quotcunque 4, C, E, G &c. ad totidem alias ( pariter tam invicem quam cum prioribus homogeneas, $. 13.) Z, D, F, H &c. fingulz ad fingulas, easdem habent rationes; iaut: B—C: D—E: F—G: H&c. erit quoque ut una antecedentium 4 ad unam confequentium 2; ita fumma omnium antecedentium 4-4- C4- E G &c. ad füummam onlnium gonfequ-euf üum Z - D 4- F4- H-4&c. i . Quia eniin 4: B—C; DZ-E: F-—G: H &c. Demon[iratio 1mo. (fupp) erunt ($. 17. 18.) fimul T-I -A-—rB wvel ..4——.. --;—B vel Z)äB T-i1 C -—vD a aisl m m T ETE E-:;" WU d prPeee E r 1 G:::rH G. — G-—H ä &c. Bïgc . &c. adeoque pariter (S.5.) 24 C LE G4-&c. vdor (EEDFEHr&e) vl —— (BEDEFEHA&C) T-t vel — £-(B4-D4—F4-H-;-&c.) & « ts (B*D*F*H-*-&C.) Unde conftat propofitum ( $. 17. 18. ) )iso, SPS ae - is Ilie. Qui& d: B—C: D-—RhTP— -G: H&c. erunt fimixl ($.19.) ^ Cy ndä v $ i, $ &j » m WWW g VIIAVILAVIAVILA Q W m I um B 'Itaque etiam quoscunque $».& * defigrient numeros;; integros. nA-I—nC-l—TLE-ä—hG-i—&C. Em 7rB-i-rD-4—'ïF-4—rH-æ- &c. E ET :g hoc eft (S.5.). &(4L- C- EX G- E &c-) (B-r.Dor Fo- Ht &c.) - z : j pro eo ac nÁ 3 .l,/ v B. Igitur (S$. 19.). : B—4CEETGIE&C: I4DETGXH&e. 44- Corollarium 1. (Evcrip. V, 15 Si magnitudines 45 C, E, G &c. funt invicem zquales; pariterque magnitudines B, D, F, H &c. fummz Z-- C4-E - G &c, B- D F H- &e. gque- multiplices fiunt magnitudinum 4 & Z, "Tum igitur Propofitio XV. trans- formatur in hané. 4: B—p4Z. pB; p defignante numerum integrum quemcunque: hoc eft, due magtüitudi- nes funt inter fe, uti ipfarum equemultiplices quzcunque ; feu duarum magnitudinum partes zquealiquotz eandem inter fe habent rationem, quam ipfe maguitudines. Pariter duärum maguitudinum pärtes £que- S. 45. Corollarium 2. aliquante ean dem inter fe habent rationem, quam magnitudines ipfz. Etenimfi pR — 4 & p$ — B, feu AR Ed tum feu y R:BPS ($.449) äz——:: R: mS ($. 44.) pariterqqe ,R feu R D r B g D Tgitur (S. 4;.) etiam « æd ;?B:A: B i & p delignantibus numeros integros quoscunque. &25 o r cel Tl r m —l HN - R. m —— - -l L: - Pt QTII..I —....II.I-.IIIII—I.'—III —l z —— J ] n um* LL a À m m E 1l——1 &b [es A i J—E & [ Mw-n l l— 1 2 5 w.. gj Mb p r — À LE " - R*o FWD iess l- - M, ,M,,m LL u ial M - ! Gob M» r"-rl. H c-& j x ] —— 1 — À | — ] — [ — ] —— ] p——l U R FW—O 1l T d —— À ML-I. IIII.II.IIIII.II—F —IIIII.M MNW d : 1— —— E :bs wa b I HM v — — — AE 8 [ -l K m —IIIII'I.—L "1 as B f J— —— —— j————À ( R E ho ss 5 f c &2 d5 t D c — e — 3 i-- -- G VO PNE El y,.. E. .IIM.. — s P. m LLW. E L«.m.. m fs w - j -- --—-—- —— W— / .W N xw 3 --- icdegerum 4 La - : * - * s 4«- —— -- / E z--- z - um.". M / / — — - CU les rE TT TT N * --- —À W »Xx NX nL. H WW W W 3 ES CUM —K- —— iA MUPHEEE r - W.B " ^ uenncieise as - m A 77 a W NSS K.WWJMV hi W PUR - — C s m xvtuïïnl« — x 8 $l--- 6» VY T. n r LUTMRERE, R /I/(lhcl: d »» " & N Wm H- A $ "h d C5 m. À J | N 1474 — 1 &n E " | UPE Sm f------2--- —- WW &i .ï s HM Rore CH J PA I.Lo/" - O x nt:tu««txx:t«otlt .—;9 54// i D t " m H W | D P E E RUR V dase m T-——— L NS .W.m P d " xx W. —— J- u »QLOO 90 —— — - ^ m nE m. p K 4 .H .W D ls —— E W W M ^ WiX F $ a 3- ERE s c / (tastutc - od : Mpv u — --- .W a CT r B EOL UO tl«nllln.tlnt-on E -—— h ---* p d JM t )l«ltlfxi»lfn!: —— M ]- m d N g N EECENOL .Wm d- — Q —— * ./ /Fw 2 TTE z d gscbnn- "m L3$: TETTS i alüäww.! *e AFig.18. Fig.19 )2 Fis.20 P Fig.2r. - | iF * I 3 I- l— 1 -—1—.—.[......[,0 CR -::Eg LeG N L G—K[N LoGpky E L G-K ERE H H. H- E-—- RUE Es DI 320 ÍI-— 0- 0 $T [2 M -l M- S— Q-$ ol. s-—.- E R MR R M-— — : - RUHIS ORAT C EESBLU AU - LEU - — — - —— — GE MESLUAUR - U L r "m a, w 224 E: TOE i E ETE en pX ESM RE us x s gEGPS od P N Ed AE AR st m EUR A n x É 2 sE L 3 * ,,H 7 .m * * "E i - 3. « vW 33 31 p L fs - —— —— — ^ d - - E 43 20 /7 Y JEXPOSITIO ET DILVCIDATIO d LIBRI QVINTI ELEME NTOQ"&/ - EVCLIDIS o i n, &5 C d ^ zP a ) Q CVIVS PARTEM PRIMAM D VierFarbSelector Standard* - Euroskala Offset n RECTORE FNIFERSITATIS EBERHARDIN.AE CAROL ]* MAGNIFICENTISSIMO O Balance o ef SERENISSIMO ArovE CLEMENTISSIMO DVCE ET DOMIN K Focus ä D 0 DOMINO — — -- CAROLO Ed HWVGhR W IRTEMBERGIJE ET TECCIE REGNAI & REL. REL, ü " m. i PRAESIDE CHkISTOPH FRID. PFLEIDERFE PHYSICES ET MATHESEOS PROF. PVBL. ORD, X PRO RITE CONSEQVENDIS MAGISTERII PHILOSOPHIC! At x HONORIBVS 10 DIE AFG, MDCCLXXXII. PVBILXIICE AD DISPVTANDVM PROPONjT ll IMMANVEL DAVID MAVCHART, Zuwbnge " ä ^ CANDIDATFS MAGISTERI! PHILOSOPHICI IN ILLV$TRI STIPEN 1 THEOLOGICO, a ha TFBING,E tTyris. SCHRAMMIANIS. // üþ Copyright 4/1999 YxyMaster GmbH www.yxymaster.com