KaI600-1638_11
author: Pfleiderer, Christoph Friedrich von

j

Q

E.

i

33

"

[

h

À

r

*

D

$

«

7

«

^

u

3

:

j

d

D

*

w

P

inh

*

d

j

C

u

j

U

i

5

Ms

i

i

"

(

M

2

HUR

j

DA

OT

L

4

»»

1

i

u

à

v

i

v

E

[^

4

x

$.

a.

"

M

1

lf

*

»

i

$

3

t

N

^

E:

j

*s

"

»--

-

x

Y

P

"

»

x

us

L

"

k

^A

*

D

.

N

RE

E

N

P*

e9.

NI

A w

iB

——

s

Ó

—— M

s

isat

i

1

1

W

Digita

ab

W

E

g

:

R.

"

"(

E

E

ET

1

RX

»

Y

SRSS

A

x

*

"

T

s

EX

:f

i

E

N

RT

d

z

Hu,

x

N

x

-

E

EM

m

s

EE

lm

ass

ede

LL

AE

i

s

P

£?

AEXPOSTTLO ET DILVCIDATIO

LIBRI QVINTI ELEMENTORVM

EVCLIDIS

f

n

CX

E Cs

AV

-

[?

x

l

CVIVS

PARTEM

PRIMAM

RECTORE FNIFERSITATIS EBERHARDINAE CAROLINAE

MAGNIFICENTISSIAMO

SERENISSIMO ATQVE CLEMENTISSIMO DVCE ET DOMINO

DOMINO

CAROLO

DVCE WIRTEMBERGUE

ET TECCII

REGNANTE

REL REL,

l

PRAESIDE

CHExIST()PH FRID. PFLEIDERER

PHYSICES ET MATHESEOS PROF.

PVBL.

ORD,

(

PRO RITE CONSEQVENDIS MAGISTERH PHILOSOPHICI

HONORIBVS

DIE

AFG, MDCCLXXXII.

PVBELICE

AD DISPVTANDVM PROPONjT

IMMANVEL DAVID MAVCHART, Zuwbingenfs

CANDIDAIYS MAGISTERI) PHILOSOPHICI IN ILLVSTRI STIPENDIO

THEOLOGICO,

-

") — F.u:

TFBINGIE tv

SCHRAMMIANIS

/f.

&ä

E

D,

s;

feu

HET

Yer

pI

qu

Ti

F.

f

!l

&

p

X

qu

LUE

d

h

te

tü

Tic

tj

pa

E

leg

Ti

W

Q

*

x

ZX

*S

R

l

x

E

z

se Ri

E

:

ä

*

3

*

3

a

Yo

$.

D efinitie- T. Magnitudo minor majorem suetiri dicitur; quando minor

aliquoties repetita majorem exacte producit, five majori equalem efficit;

feu quando major minorem exacte aliquoties continet.

.

Et magnitudo minor C majorum 4 & B commumis menft

ia dicitum

fi C utramque 77 & Z metitur; hoc eft, fi magnitudo C aliquot, di-

verfis quidem, vicibus re

utrique equales efficit.

petita utramqge A.& B exacte producit, feu

S. 2.

Definitio II

. Duabus magnitudinibus þinæqüahliibns —propöütïs,

quarum minor majorem metitur: major ZZultplex five Multipla minoris;

minor, Pars feu Submulüpla majoris vocatur.

Ejusmodi igitur pars prodit, f magnitudo in quotcunque partes

gquales dividitur,

Quz quidem partes etiam vocantur Z//guetae; & di-

ftinguuntur ab Zliquantis, magnitudinem ipfam non metientibus, conflatis

ex fumma aliquot ejus partium aliquotarum, | Evcripzs Libro VII. & fqq,

partes aliquotas & aliquantas ita diftinguit, ut priores fimpliciter Partesm ;

polleriores , Partes appellet.

N o

Definitio 111.

D

ue magnitudines ,7, J duarum C, D4 at

quemultiplae feu aeguemultiplices effe dicuntur: fi major 44 minorem (

toties exacte continet, quoties J continet D; feu fi minor C toties pre-

Cife repetenda eft, ut efficiat zqualem majori 44, quoties D repeti des

bet, ut efficiatur zqualis maguitudini 7, — Eodem cafu magnitudines C',

D duarum 44, B partes aequealiquotae vocantur. Aequemultiplices au-

tem partium zquealiquotarum duarum magnitudinum vocantur magni-

tudinum harum partes aequealiquantae,

Partes zquealiquotas duarum

magnitudinum EvcribEs eamdem ilarum partem ; wquealiquantas vero

easdem partes. appellat.

à

- 4. 4xiema.. Aequalium magnitudinum squemultiplices , &

partes tam :quealiquote quam :quealiquante mutuo zquales funt: in-

equalium autem , inequales; majoris nempe, majores. Viciffim equa-

les funt magnitudines , quarum zquemulüplices, vel partes zqueali.

quotz, aut equealiquànte mutuo zquales funt: inequales autem, qua:

rum funt inequales; nominatim major eft magnitudo, cujus equemulti«

^

,

plicgs, velpartes zquealiquote , aut zquealiquante majores funt,

8 s.

M—c

»

Pes E

[

i

J

um

PL

Se

Propojitz'o 1 (Elvg.m. V, x.)- Sl quofi:unque magnitudines

4, B, C &c. fuerint magnitudinum homegenearum L, J/, N, &c,

b

qu

equalium numero ,

fingule lingularum , equemultiplices: quam multiplex

jl

una /Zeítunius L; tam multipliees & erunt o

mnes fimul 44-.8 "', C-F &c,

li

omnium fimul Z-4- 44 4- N 4- &c.

A-..:TL

: Breviter fi

B:u.ïM

C-—viN

&c,

:

r denotante numerum integrum quemcunque: erit etiam ,

. feu

vL -- vM 4- *N 4- &c.

Per(L MY NG &e)

I

Danonfir. Quippe 4 conítabit v partibus :q

-

-

txaliþus , Ii-xxgulis —-—L

,:

»

C

--

-

N;

*

& (i finguhis illis ris par

tibus ma

gnifudinï's A .add'untuqr fingule rte

QOUPM RA -

partes magpitudin.m B,

C

(

, &e, ; efficiuntur fummz,. quarum quzvis

gaLda€rx4 &c.

Harum autem fummarum, que omnes junétx

B..U &c.,, tot Hiefl. pote-

efficient fummam ipfam magnitudinum 4

runt; quod funt partes in fingulis; hoe elt , .

Itaque 4 4- J 4- C 4- &c.

—a(L4A-N-&e)

.Fig.1. Ex. gr. fi

nt 44a ,

Bb, Ccipfax;.txm L,M, N sequemultiplicess

hoc eft fint in Z toti

dem partes 444, de, e3, lingule — L,

P

quot funt in Db

partes DB/, fg» gb, fingule

——

M,

&

in Ce

partes Ch, hk, kc, fingule — N,

El' unt tam.

d 4- Bf 4- Ch )

quam de 4-fz d- ^* $x L-4-M4-N.

t8. -- gb

Tk )

ïotide

m ergo in magnitu

dinibuä a, Bb;i Cc fimul fumtis funt mägni-

tudines, Íingulz zquales

fummz magnitudinum L, J/, N; quet in

Cc infunt maguitudines, fingulis b JM, N

qualibet feorfim 44a, Bb,

refpective zquales.

S. 6. Scholion.

Propofitioni huic, quam fenfuü communi facile

affequimur , .vulgaris innitit

ur praxis multiplicandum compofitum per

siultiplicatorem fimplicem m

ultiplicandi,

Nimirum ut v. gr. numerum

feu ut octuplum efficiamus numeri 7364:

3364 per 9 multiplicemus,

, tum.oó denarios, dein j centenarios,

o&ties fumimus. primum 4 unitates

Üenique 7 millenarios; horumque o

ftuplo'rum conficimus fummam,

; ";.6'

s5

3

[*

(ites

$. v. Propofitio II.. (Evcup, V, 'y.—) Pariter fumtis d-uaruni

&

magnitudinum homogenesrum inequalium L, J7 zquemultiplis 4, B:

pler

quam multiplex eft.major 4 majoris L, feu minor J minoris J7: tam

Ü

multiplex etiam exceffus unius maguitudinis Z fuper. B erit ejus excel-

fus, quo magnitudo L fuperat alteram

Breviter fi

A:F.L,'

&

B -—vH,

numerum integrum quamcunque :

.erit efiam

j

f denotante rurfus

Cb o IN

feu

yL —v

—-'-'-f(L ERN M)o

n

N

J

Demopjir.

.amr(L--M)-l-rM:r(L—-M-l-M)pex

:Prop.I.. ho:i et rf;

feu r(L— M)4- B

t WUR

Es

Tgitur demta utrinque. £, fit e(L —47)

E

fug 2

Seu

lint a, Bb xquemultiplices magnitudinum L/, AIm:

z OSG t

-

& fiat 4X tam mul&óplex exceffus. 0/, quo major L/ füperat mino-

rem Jm, quam mulüplex elt 4a ipfius L/, & Bb feu 4D ipfius Jfw

n

NIS

feu L0. Erit pariter ä y, l)? 4- 4K, hoc eft DÉ, tam multiplex

(l

.€ m

fummz

LO

4- 01, hoc eitv, maguitudinis L4, quam multiplex eft

£*

k

4 hüjus L| (Prop.L) Ergo 44a--

DK CAx. S. 4.): unde demta

r 0l per conftr.

7;;

ut;inqne AD; etiam Da — AK ; hoc eft 4a —B)—

r (LI— WMm )..

.. &. 8. Propofitio II.. (Evciip. V, 2.) Sint 4, B, C &c. di-

verfe multiplices quzcunque ejusdem magnitudinis L; & alius cujus-

cunque magnitudinis Z totidem multiplices E, F, G , &c.5 : fingulx

equemultiple prioribus, nimirum 4 & £, B & F, C& G, &c. — erunt

etiam fumme 7/4-.B4- C J- &c., E-I- F4- G 4- &c., magnitudinum

L, M zquemultiplices. 'v Brgviter i

A-mrgL, R EAI,

l—

j

B:PL,

F'—'—'-'-PM,

It

- qL,.

&e.

IH

r, f, Q denotantibus numeros. integros quoscunque : ,',eruntv tank

lt

AH B- C-p&c. — (r--p4-q4- &c,) L, quam E-4- F-FG--&c, — (r--p4-4-&c-) M.

2

Demonfir. — Numerus quippe partium, fingularum — Z, que infunt

fumme 44--B--C--&c., componitur ex numeris harum partium, quz

fingulis 4, B, C &c. infunt, fimul fumtis. Pariter numerus partium,

fingularum — J7, que infunt fummz

E--F- G- &c, eomponitur ex

pártum harum numeris, quz fingulis

tis;

z

.E,VE, G &c. infunt, ü.,m?ll fuim

m

t

2es

2.

EY

sU

4

*

«

fit

Cum igitur numerl partium — L,' que magnuitudinibus 4, B, C &c.

feorfun infunt, ndem refpe&tive fint (fupp.) ac finguli numer! par-

h

j

t magnitudinibus E, F, G &c. feorfim: fümma

[

tium — J, quz infür

quoque priorum ac p

ofteriorum numerorum eadem prodit,

e

Seholion.

Propofitioni, quod

rL4A-pL4-9L4- &« — (r--p4-44- &c.) L,

innititur. praxis

, numerum per multplicatorem compofitum multiplican-

à

|

di.

Nempe u

t ex. gr. numerui 5728 per

654 multiplicemus: primum

quater fumimu

s numerum propofitum 5728, tum tricies, dein fexcenties ;

ductorum parucularium colligimus fummam.

horumque pro

—— —

* lob

Corollarium.

(Evcup. V, 3.) Aequemultiplorum 4 & E

magnitudinum.L&M equemultiplices I & K pariter magnicudinum L&M

gquemultiplices funt.

Hoc eft fi 4 —rL & EzrHM,

B

K -—7HRMHR/

atque ] —n4

ert tam. 7 — (nr) L quam K 2 (nr) MJ:

us numeros integros quoscunque ; & 7v defignante

n & r defignantib

productum, quod

fit ex numero v toties Tumto, quot alter & continet

unitates.

Quippe cum fingulis 47 tot

idem infint magnitudines — L, quot

dines —

A: fimul fumtis quotcunque /4, ac

fingulis E infunt magnitu

5

j3ariter magni-

totüdem E, hoc eft zqu

emultiplicibus ipfarum 4 & E

tudines L & M inerunt eodem numero.

(Propof. 111.);

Breviter Corol-

'tieular

em Propofitionis lIl ; quo

larium propofitum fiftit cafum par

numeri £, p, q &c. , adeoque maguitu

dines, .4, B, C &c, , £, F, G &e.

refpective funt zquales.

« lIe

Sholion.

Propofition:, Corollario precedenti contentz ,

quod »4 1

eu n (rL)

— (nr) L, inntitur praxis multiplicandi numerum

integrum

per multiplicatorem ,

qui folis denariis, vel centemariis &c.;

eonítat.

vel per 6oo multi-

Nempe ut v. gr. numerum 5728 pet 30»

vel duo zero ad

licemus: trinlo vel

fextuplo numeri 5728 unum,

hoe eft triplum: numeri 5723 decuplicamus, fex-

dexiram adjungimus ;

tuplum centuplicamus;

ficque efficimus numeri 5728 trigecuplum ,. fex-

&entuplum

Paritet .

duodecuplum ex. gr. numeri alicujus elficimus ,

Yumto trip

li ejus quadruplo , vel quadrupli, triplo.

$.. 12-

Propof

tio I7. (Evcub. Vs 6.)

Rurfus fi um tis duabus

üe diverlis 4, B ejusdem maguit

udinis L; & aliüs

'—mglriplis quibi

uscund

2

sujusqe magn

itudinis M quemulo

plis E, F:-ex«ellus, queis gque-

nu

y

6

multiple majores , & E fuperant minores B & F, vel fimul equales

funt magnitudinibus L & M, vel earundem füunt **'æquemultipli-j

Cces

Breviter fi

A L— 7'..[1,

& E-rv,

B :zoL,

& F:TM,

r, p denotantibus numeros integros quoseunque, quorum prior r major

altero p: erittam l — J — (r—p) L, quam K — F — r—p ;

atim tam 4— B — L, quam E— F — M, li r—p—z, feur- p z.

fpeci

Demon[ir. Quippe 1mefi r— p4- r, feu r—p- r:

H

"

quia ($.8.) tam L--pL — (r-p; L1

euzL, quam 47--pA — (1

.—!-p)* AMfeuraA

hoc eít

tam L 4- B — 4,

quam J7--F— E ;

fit

tam Z

—— A—B,

quam 77

-—E—F.

ado fi r p4- , feur —p— n; denotante » numerum integrum

quemcunque :

quia rurfus

hoc eít

(S. 8.) tam &Z--pL-— (n-ep) LfeurL, quam nJI--pM — (n--p) 7M feurA

tam nL-r- B — .4,

H

tam nL

quam n -- F—

PÀ

fit

:A—B,

quam »M

log-p

feu (r—p) L

feu(r —g)

974

J

Fig. 3. 4. Vel fint ; & Ee, Bb & Ff xquemultplices refpective

magnitudinum L &JZ. Tum

Fi

j

i

E

:mo fi Da — 4a— Bbeít — L; fiat EK — IM. — Quia

4

Jb 1) &

-

f Ff

i

ADj EG

: æquimulüplæ (fupp.) funt magxlitudiyum L& l; erunt

f 3

M

quoque .4D 4-

iaf

& EG-H(

EK

]), hoc eft a & GK m;gni;tudi.

num Z & M «quemultp.ices ( Prop. HI.).

Sed quam multiplex eft 743

ipfius L, ram multiplex (fupp.) Ee eft magnitudinis M. Igitur Ee & GK

zquemulaplices funt ejusdem magnitudinis /7; nimirum utraque ejus eft

tam multiplex, quam 244a eft ipfius L.

Ergo Ee— GK ($. 4.)

fEK)

Quare demta communi EG; eít etiam Ge feu Fe —H-

Fig. 4. a4e fi Da eft multplex aliqua magnitudinis L; fiat EK

Bb

magnitudinis Z gquemultiplex

Quia

$&

] TL

fant (fupp. )

(LAD

J

lEGI

equsemultiplz magunitudinum L & ; pariterque (conitr.) Da & EK fünt

earundem. ejuemultplices : erunt etiam 2445 & GK earundem L & M

equemulüple (Prop. lil.)

Quare iterum Ee & GK xquemultiplices

erunt ejusäem maguitudins ; nempe utraqu« illius tam multiplex, quam

3

&

6

'——-—g*l.:—.—.:—.-.—..sïfä '

74a elt m-afrtaïtudïlaïs L. lErgo Eb GK (Ax.S.4,): & demta com-

quo

;

YOl

»'e EK. hóc elL,

€X,

muni GZ; etiam ((rfeu.Eï—

Ef

]

tam multiplex ma-

Da

nu

Aa—.B

D

guitudinis 77, quam eft ifeu

f ipfius L.

$. 13. . Defiiitio IV. — Per Rationem duarum Quantitatum, generalif-

fít

D

fimo acceptam fenfu, intellgitur modus quocunque ex earum. mutua

comparatione erutus, magnitudinem unius ex magnitudine alterius de-

L

16l

terminandi feu inferendi: ficque conceptus Rationis ad duas quascunque

imagnitudines homogeneas, v. gr. ad duas quaseunque lineas, ad duas

tu

quascunque füperficies, ad duo quecunque folida; nec vero ultra, fci-

fit

licet ad duas magnitudines heterogencas feu diverfi generis , excenditur.

Concipi vero infinite multi poffunt modi diverfi magnitudinem duorum

Quantorum .unam ex altera determinandi.

Horum fimpliciffimi funt,

qui Quantitates ipfas immediate, absque ulla earum previa mutatione,

invicem cómparant; magnitudinemque unius ex altera determinant, in-

dicando: vel quanto una alteram excedat, aut ab ea deficiat; vel

S:I;äg

quoties uni alteram contineat, aut in'illa infit. Pofteriorem modum

quantitates invicem comparandi, magnitudinemque unius ex magnitu-

dine alterius determinandi, accuratiffime Libro V. difcutit, atque in fe-

q

Q

qüentibus Libris ad objecta Geometriz applicat Evcrrpzs; nulla ufpiam.

inje&ta mentione exprelfa prioris: unde fufpicari licet factum effe, üt

ejusmodi Aatiomes Geometricae; alterz autem priores, quz excelfu unius

magnitudinis fuper alteram, íeu defeétu unius ab altera occupantur;

& que primarum Arithmetices operationum fimplicium , Additionis ac

Subtractionis, objectum conftituunt, .4rithmeticae vocari confueverint,

Ceterum neütra harum Rationum ad Arithmeticam vel ad Geometriam

feorfim. pertinet ; verum utraque in numeris pariter & extenfis locum

habet; & ambze conjunctim limites fere figunt Mathefeos, quam vocant,

elementaris: -generalis autem ipfarum zque ac reliquarum rationum

theoria proprie ad tractationem peculiarem de Quantis in genere perü-

net, quz tractationi de numeris & extenfis in fpecie premitti deberet;

nifi metuendum jure elfet, ne abítracte ejusmodi meditationes animos

eorum, qui ftudiis hisvopera«m-nävare volunt, in ipfo limine deterre-

xent.

. I4. Ad folas igitur raiiones, quas vocant geometricas , fpectat

& tractatio, & Definitio 4* Libri V.. Evcripis; ezdemque in pofterum

intelligentur, cum rationum fimpliciter fiet mentio, Communiter, uti

catur difpici,

[

ï

jgm dictum $. 13, rátiones hz ita gxplicantur, utþin ilbs di

quo-

E

æïq

A.

i*

—5

7

ft-

'quot'iesr. una magnïtudg alteram contineat ,. vel in altera infit. Cum

vero quelibet magnitudo aliam quameunque minorem ejusdem generis ,

W

ex, gr. quelibet linca aliàm quamcunque minorém, integro quodam

numero vieium non contineat: ne idea rationis geometrice anguítiori

,objeCtorum ambitu co&rceatur quam notio rationis in genere (S. r3.),

llle

fra£ti cüim numeri vicium in illa admittuntur; quamvis re vera tum

Ua

major magnitudo non minorem ipfam, fed aliquam taptum ejus aliquo-

tam parcem aliquoties contineat

Seu, ut genio Everipnis conformius

jie

rem exprimamus, ratio (geometrica) duarum magnitudihum conftitui-

I

tur non in inveftgatione lolum: quodnam multplum minoris squale

lci

fit magnitudiai majori? fed generalius in determinatione : quenam

fs

multipla duarum magnitudinum invicem fint xqualia? Ita ratio / geo-

ii

metrica) duarüm magnitudinum indicari cenfetur: five major magni-

q

V[,

tudo minorum ex. gr. bis, [five

vicibus continere; hoc eft, five

Q

major duplo minoris, five tribus ejus partibus dimidiis equalis effe de-

ll

prehendatur ac pronun-ietur. Pofteriori autem in cafu duplum majoris

3

rel

&quabitur triplo minoris.

s

H

.

N

A

li

'Rationis. terminus. pri

Or, ejus Jntecedem; pofterior, Confoquens ;

tü

& numerus integer aut fractus, hicque. vel fpurius vel verus, qui indicat

fe-

quoties Antecedens co

A

Aff

confueverunt,

ntineat Confequentem ,. Exponens. Rationis vocarïi

t

$. 15. Necdum tamen notio rationis geometricz €o, quem ($. 14.)

^

ij

diximus, modo amplificata ad duas quascunque mag,itudines ejusdem

3

generis, v. gr. ad duas quascunque lineas, exrenditur.;

Occurrunt quippe

C

magnuitudines ejusdem geners, ex. gr. linez, . quarum major minorem

i

nec ipfam, nec ullam ejus partem aliquotam, exaéte aliquoties continet ;

m

feu quarum major nec ipla, nec ullum ejus multiplum, minoris cuipiam

Iu

muliplo zquatur. Ejusmodi magnitudines , menfuram quippe communem

llf

nullam habentes, sncommen/urabits vocantur.

'Tales efle latus & dia-

J

gonalem quadrati cujusvis, partes rcé£te in media & extrema ratione

j

iecte, latus pentagoni regularis ac. diametrum circuli. circumferipti ;

Evcupss demonítrat. X. 1:7. XIIl, 6. 11. — Rationis igitur iftiusmodi

)t'

0$

duarum magnitudinum exponéns affignari exaéte numeris nequit; quare

|etiam érraWonahs appellantur: limites tamen exponenüs hujus definiri

"

pollunt, qui inviecm minus differant quam dato numero íracto quo-

i

cunjue; feu duo affiguari poffünt. mulüpla immediate contigua magni-

tudinis unius, quz fint limites mulcpl cujuseunque dati magnitudinis

if

alerius; hoc eft quorum unum dato hoc multpio ninus fit, alterum

Üb

majus, . Sic cum quadiatum diagonalis quadrati duplum fit ipfius quadrati,

eu

o

d

8

Gu

feu Q uadräti: fui þlateris; vel cum 'quadx-afum diagonalis wqwipolleat -

Yoc?

200

zi as

20 000

IO OOO^? IOOO OQO)

2000 OOO

M

A — AT

200 cOO OÓO

1co 000 000

, &c. quadraü lateris; ipfa

diagonalis eft

-

(ecciia tis

l0005

1414

C.

ïä,

I4I15

r

ä

^g E

ï

ï

-ï

oo)

10002

ï

ï

ï

ä

;

n

cl

]) Lateris;

E

feu ^toplum Diagonalis. eft. -

L4plo

& «

15

plo

1ooplum

-

-

-

e

141plo

& «

142 plo

l

&

-

1000plum

E

-

- I414plo

«& -« 1415plo

- Lateüs ,

Icoooplum

nos - 1414£P10

]

v 4:4143plo |

]

Ut igitur, 'quod communis acceptio vocis jubet, hujusmodi. etiam -

quanutates notione rationis comple&tatur; ac quie deinceps demonftrat,

omnimode generalia efliciat :

Evcuprs, fepofita zqualitate multiplo-

I

rum, definitionem fuam hoc folo caractere, omnibus ejusdem generis

magnitudinibus communi, terminat: ut multiplum aliquod unius excede-

re pollit mulüplum aliquod alterius.

Qui quidem caracter eos etiam :

cafus complectitur, quibus multiplo alicui unius magnitudinis B vel

altera 44 ei commenfurabilis ipfa, vel hujus aliquod multiplum zqua-*

tur. Tum'enim, priori quidem in cafu duplum magnitudinis Z, pofte-

f

Y

riori multiplum ejus immediate fuperius, dato magnitudinis J mult-

plo majus eft. Generatim vero poffibilitatem ptoprietatis hujus maghi-

tudinum homogenearum, nempe datam quamlibet magnitudinem polle:

f

toties multiplicari;, donec aliam ejusdem generis magnitudinem datam.

f

:

uamlibet excedat, Evcripzs poftulatinitio X*i Libri; quo de quantis

incommenfurabilibus fpeciatim agit.

S. 16. Ceterum Definitio 4* Libri V, Evcripis , de qua fermo

eft, & qua rationem inter fé magnitudines habere dicuntur, quz multi-

plicate fe invicem fuperare polfunt, non tam rationis geometrice no-

tionem ipfam explicat; quam caracterem aífignat diftinétivum magnitu- ;

ä

üinum, quas vocant, homogenearum, & quz terminos rationis alicujus

it

conftituere poffunt: ita tamen ut fimul jinnuat, quid in illis, qua-

tenus ratio earum geometrica fpectatur , przecipue fit confiderandum.

Accuratiorem notionis evolutionem definitionibus identitatis ac diver-

p

ü

fitatis rátionum " (geometricarum) refervavit: qus rationum zqualitas

& inequalitas proprium funt tractationis fubfequentis obje£ctum; quarum .

ini

Ve

igitur notiones diftincte explicare, & caracteres accurate delinire, pro-

pri.ex e fe erat.

-

L

Con-

;«Eä'!

m 7s

—

9

^

at

Confequitur. quidem ex fuperius dictis (S. 14« 15.) rationem geo-

etricam duarum magnitudinum affignari, determinando ejus exponeg-

f

tem vel limites exponentis: modoque huie illam. concipiendi, quem

fenfus & ufus loquendi communis immediate offevunt, fuperítrui fine

dubio & convenire debent genuina theorie radonum harum fündamen-

^"ta & accurate acceptiomis termiünorum d eas pertinentium determina-

-tiones. Idem tamen modus geometricam. duarum magnitudinum ratio-

mem exprimendi, ad numeros reflrictus, nec unicus eít ; nec, quando

-de incommenfurabilibus agitur, aptiflimus. . Unde patere potelt, cur

Evcripss ab proponenda ipfius raüonis geometrice defimitione abfti-

-

auerit,

m

n

Quo magis fu

fþicar-i cum RonzRTO SiMSON (-in. Notis Verfioni (üz

wAnglice. Elementorum adjectis, p. 305.) licet, genuinam non elfe,

1

W

fed ab Theone aliove commentatore infertam Defimtionem 3tm ratio-

mis in genere: qua nec ulpiam in fequentibus EvcLiDrs utitur;

1

qe

mti, ob vagam quam offert notionem, poterat,

l-.](-;:C

lam

$. 17.

Definitio. V.

In eadem raiiome ( geometvica ), fou (geomz-

vl

lj

trice) progortienales effe quatuor maguitudines 4, B, C, D vulgo cen-

fentur: fi prima .4 toties continet fecundam Z, quotes tertia C con-

tinet quartam D; idque admills exponentbus tam integris, quam

m'i,. j

frattis quibuscunque: feu quando prima 77 & tertia C, vel ipfarum

j

Jb

quedam sequemulüplices , fimul zquantur equemultiplis quibusdam fe-

cunde J & quarte D, vel ipfis maguitudinibus B ac D: ex. gr. fi

lll

W

prima .4 fecundam .B continet bis, vel $, vel €&» Vel$ vicibus,

pariterque tertia C quartam J bis, vel $, vel £, vel 4 vicibus con-

tinet; hoc eft, fi prima .4 equalis eft duplo fecunde , pariterque

amo

tertia C squalis duplo quarte D; vel fi a? prime 77 equatur sr!e

"

fecundz , pariterque 3P'«» tertie. C quale eft 5?'e quarte D; vel

o

fi prime 4 6Pl*» equatur fecunde B, pariterque $Pl"" tertig C xquale

d

-

eit quartz D; vel fi 7?*"» primz 4 squale eft 4Pe fecunde 7, pari

jus

terque 7Ph» tertig C zquatur 4Ple quarte .

i

Iu

Vieiffim fi quatuor magnitudines 44, B; C, D (g&on-letxgi(':e) pro-

Jf.

[7d

portionales, feu in eadem ratione eife dicuntur: per vulgarem propor-

tionis geometrice conceptum , prima 247 fecundam 2 toties continere

,lim

intelhgitur , quotes tertia C quartam D; feu prima 7Z & tertia C,

j

vel ipfarum quzdam equemultiplices ; fimul. zquales etfe cenfentur zque-

w['a' '

amulaplis quibusda

m Lfgcundæ B ac quarte D? vel iplis maguitudinibus

Q.ac 44

B

Bre-

a

to

A

.reviter iden&tas duarum rationum ( geometriearum) ii identitate

:Gnendum ilasrum conftituitur. Sicque etiam Evcrpzs (Libri VH.

ex;

Bebü. 20:) -

Numeros . (integros ) proportionales effe-dicit: quando

.

primus fecundi, & tert

us. quar&i equemultiplex eft , vel eadem pars,

E

vel ezdemn partes.

S

18.

Sed u

t ad magnitudines quoque incommenfurabiles notío

!

identitatis rationis

'feu: proportionis (geometrice ) extendatur: identi-

li

tati exponenuüum

radonum adjungere oportet identitatum. limitum ,

illrüm continentur; eamque Oómnimodam. Neque

quibus. exponentes

enim in-eadem ratione e

Íffe magnitudines /, J8, C, D poterunt cen-

m prima 44 ex. gr. — 7- J & -« 5 B, quam tertia

feri: fi quidem. ta

2

Cr-oDEe--

2

£

5. [; fed. dum prima £ — 77 8 & « ? B,

126

D& -2

IT

D, vel tertia

£?

—

etiamnum

tertia C tantum- z-

257

r2

RU

ALE

^

?- D: verum identitas rationum Z ad £.

LL pE petin at

p 735 p, & demum -

RE

rI27

E

I

C ad. D', requirit, ut pariter C &

3.5

D&--

3

25 D; ac fic dein-

gnitudinum B & D partes zquealiquotze;

ceps, quaecunque fumantur ma

*

limites exponentiuim. ambarum.

rationum conítanter ridem maneant ; bre-

& r fübftituantur numeri integri, quando:

viter ut, quicunque fignis f

Y.

1;1 :

D

ä

A"P*,rj B. . — L'j—':' B, femper fimul fit C - ä D& -

acqpe etiam q'uanä*ox A4- '—ïB & (:—Z- B, pariter fimuE fit C — —:7 D

a 4,72; D; nec non fi fï:mpli"ei'ter A-— -:; B. fimul etiam fit C'(.'.äü';,

ia ut nec unitas, nec zero ex valoribus i-'ifgnï v. excludatur..

Idem aliter fic effertur.

Ut magnitudines incommenfurabiles. ,

D. fint ir eadem ratione, non fufficit, ut ex. gr. 7?

lum quidemm

B,C,

rime 4 i L o

& -26»9 fecundz: H', pariterque 7P» teru

€ — agre& « 26P» quart

& «3128P*

fecunde B;

fit 35pm terig C vel L- ragele & demum.

4 1'529?103

vel faltim t r26Pe & jam «5 r27?le

quarte. D ; fed requi-

fimul fit 352lem tertiz € 5- 127bl & - 128P9 quar-

rtur, ut etiamnum

"

te D; generatim ut quicunque igni

s m & r fubftituntur numert in-

4imul fit tam wrlum-primz. 44 L- vPe

&. « (£ - 1)re fecunde ,.

tegris

am aP

lam tertig C't» rPe & « ( 1)!e quarte D;

utque etiam. fl

qplum- primz^ A tantum. z fimplo & -

gPlo fecundz H, pa

«xMer nplum:

tertie C fit z fimplo & « 2?l^ quarte

D; & quoque fi s? primz:

ig C - ipfa quarta D.

S

I9v

4 äþïpfa fecunda J , fimul fit grium tert

Gu

E

XYt1

Itte

Vl

TOSSCSICTO. vGänerati'-r»r'l'f»igi—tur quatuor magnitudines 4, , C, D in

T

eadem ratione (geometrica) feu (geometrice) proportionales eile di-

i'$,

centur: fi utriusque rationis idem elt exponens; vel fi exponentes am-

barum rationum 44 ad J & C ad D iisdem conffanter limitibus con-

)tïb'

tinentur, ad quaseunque referantur partes zquealiquotas magnitudinum

yti-

H acD: feu fi primz zf ac tertie C^ xquemultiplices quecunque eque-

n

multiplas quascunque fecunde 8 & quaree D vel unà ad

Que

unà füperant, vel unà ab illis deficiunt: & vicillim,

æguant,* vel

en

s

Pofterior quidem modus diftinctivum identitatis duarum rationum

caracterem enunciandi exprelfe noen indicat cafum , quo exponens utrius-

l,

que rationis idem eft numerus integer, feu quo ipfe prima 44 & tertia

m

C equemultiplis quibusdam fecunde P ac quartz D squales funt: eun-

)

xlem tamen non excludit, fed tacite complectitur; cum tunc equemul-

l«

tiplicés quecunque prime 4 & tertie- C necelfario fimul fint equemul-

tiplis illis fecundz 8 ac quarte D majores,

Idem intelligendum de eo

-æ,

Q«

calu, quo exponens utriusque rationis eft numerus fractus ,. cujus nu-

anerator eft unitas; feu quo xquemulüplices quedam primz 44 ac tér-

lo

tie C ipfis magnitudinibus J & D íimul zquales funt : tum quippe

l

&quemulüplices ille prime 4f ac tertie C fimul funt squemultiplis

quibuseunque fecunde J sc quarte D minores, Pariter quando termini

)

rationum invicenr incommenfurabiles fnnt; identitas limitum exponentis

earum, pro quibuscunque partibus zquealiquotis fecundz 7 ac quarte D

dd tantum requirit, ut equemultiplices quecunque primz ac tertie C

fimul fint zquemultiplis quibusdam fecunde B & quarte D majores,

earundemque sequemultiplis immediate fuperioribus minores: his etiam

]

inclufis -conditionibus partieularibus , ut equemultiplices. primz 24 ac

tertie C fimul fint ipfis cantum magnitudinibus B & D majores, earun-

dem vero duplis minores; pariterque ut prime 74 & tertüz C zquemul-

tiplices fimul fint ipfis magnitudinibus £ ac D minores, . Que quidem

omnia requifita fine dubio complectitur mentio indefinita equemulti-

plicium tam fecunde Z ac. quarte D, quam primz 44 & tertiz C';. fed

hoc modo plus iterum,. quam przcife. fufficiebat ac necelfe. erat, exi-

git.

Prudenter.vero ita Evcripgs Definitionem fuam adornavit : ut

tam in illa enuncianda, quam przfertim applicanda, non tantum tribus,

qui, cum ad exponentes refpicitur, obünent, cafibus generalibus, fed

& fpecialibus quos. incommenfurabiles offerunt, feorfim recenfendis fu-

perledere poffet; & demonftrationes ,

r

^

falvo rigore, —Con?inäi01'es effi-

cgret.;

f

B2

p

Quiód ut exemplis, hactenus dicta ufu ipfo: illuftrantibus, ffatir

pateat : a-nfeqngni gd evolvendam. il]æq-uüütä[is lj'ätionunl.ïlïi)ïinnem'»pl'()'

j

grediamur , fpecialem primum propofitionem , que prima. eft. Vi Libri

Evcunis, ex utroque 1dentitatis rationum caractere fupra expofito de-

wonílrabimus; tum immediate generales Libri Vi propofitiones füb-

jungemus , quz ad rationes invicem squales pertinent, & quarum de-

i

monílrationes.directe notionem inzqualitatis rationum. haud fupponunt..

S

20.

Propofitio: .

(Eveun. VI, r.)

Parallelogramma &

triangula ejusdem vel xqualium alttudinum , feu. inter easdem conlti-

-

tuta paralleias, funt inter fe uti Dafes.

.

.

ï

Demonfiratio generatim innititur.

Libri Imi fpl'*OþO'fïvtiOüibus 36 & 385

earundemque Corollariis: quibus parallelogramma ac triangula ejusdem:

pl

vel equalium altitudinum , feu inter easdem parallelas confüituta, quz.

equalia ; quz vero inzqualibus infiftunt ba-

zqualibus infiftunt bafibus ,

fbus, inzg

ualia; nominatim, quod majori inliftit baü.,x

majus elfe-

eftenditur.

;l

Iïraquäji'i-- pmo coümen'fïlrabil"es fünt. Baf&- AB, EF,

Fig. S', 6.

minorem EF exacte alioquoties contiget: majori

& major 24B ipfam

-B divifa jn partes:

Al, IK, KE LB,ingulas xquales minori EFP;.

(I

& per punéta divifionum I, K, £.

duétis in parallelogrammo quidem.

ABCB: reétis qux: parallelz: fint late

ribus D. .EC; in triangulo autem:

f parallelogr.. 442CD1

ABC. ad: verticem. C ductís rectis;

ltriangulum L4B€ .f

in coti'dem

f

P

HY

dividitur «

"parallelogramma

]; fingula equalia

( 4

f parallelogrammo E FG.

triangula

triangulo. EFG-

j

per E.. 36. 38. quot bafis 445 continet partes zquales bafi .EE, | Itaque

Tioc eafu: CS. 17.)

D 'pa-r:ui—l-lbïogr:.

EFGEH

tam parallelogr. ZBC.

n

es A

quam triangulum ;4BC: triang. EFG.

Quippe fi generatim: ba

f

i A4B infunt part-;es fingule — EF; etiam

fparallelogr. 445CD1

fparallelogr. EFGY

£

?

, conílat r

partibus fingulis —

«

i

(triangulo £ FG

J

uriangulim 44B€

J

r denotsnte numerum integrum quemcunque.

*

"Eig . 8. s

Si Bafium etiam nune commen

futabiliunr major ul

ï;

non ipfam minorem EP,

fed ejus quampiam partem. aliquotam. ENV;

I

jet: utr

aque bafi 47, EF divifa 1 partes fin-

exacte aliquoties. contii

ulas — EN; & pet

unéta divifionum du&tis in parallelogrammis qui-

z

dem ABCD, EFGH ve

tis, quz parallele fnt lateribus eorum" 442

&

æ——-

UM

.

eä

"

ád

ïür

& CD, EH & FG; m triangulis a'-ut*em ABC, EFG. ductis rectis

f

1

ilórum vertices C ,:G R

parallelogramma 48€D, EFGH

* dividentur

fi

triangula A4BC, EFG

;:,

e

4

f parallelogr.

4

f

parallelogr. £NALH

in totidem refpective

triangula

3,9 -fingula —

]

U

triangulo. . ENG

Qe.

per I, 36. 38. quot bafles 4B, EF contnent partes — EN. ltaq'u-i:

fi generatim. bafi EF infunt » partes — .EV; bali autem 42 infünt v

psrees eidem EN zxquales; m & * defignantibus numeros integros

l-

quoscunque diverfos, quorum. major r: hoc eft fi EN eít batis EF

[

;

parallelogr.

EFGEH)

pars n* , & 48 :—-—;'- EF eti'a'mx

j triangulum .EFG

f

cop[ïat "

y

parallelogr.

ABCD

N

partibus, & ((

triangulum BC .

conftat s partibus., f'l:ng'uliis —

NME)

i

parallelogr.. ENJEH

Y

fparallelogr..

I

f

x

» t pars m*

ä

triangulo- £ G

L

triangulum ENG

fparallelogr. EFG)|

t

trianguli EFG- £?

& pullelogr. 4BCD. — EFGH, pariter-

Unde rurfus. (S. 17.)

p

que triangulum .4BC - — EFG.

tam parallelogr. A48CD : EFGH) ..

I

AB: EF,

n

quam -triavngulum: 4BC : EFG

Fig. 9','rof qdo, Si bafes A4D, EF à fünt— ifncom'm'ehfizrabiles : fo-.

minatim f minoris £F fumta parte aliquota quacunque EN , hzc repe-

tita nunguam exacte producit majorem 447 ; fed quando aliquottes re-

petta EM efficit lineam ZR. proxime. X .4B , adhuc femel addita

ïg

femper jam efficit lineam 4$ . 4B: ita ut fi bafi EF infunt m partes,

linee autem 44R infunt r partes, fingule —— EW ; adeoque fit EN'

74 E

pars w balis EF, & AR — — KF, A4S --

—

EF, fed 4B —

,';EE ,&(.r;:f-l" EF; r & n denotantibus numeros integros quoscunque :

ï:

tum ductis per puncta À & S in Fig. 9. parallelis lateribus 44D, B€

jaralelogrammi, in Fig. ro. autem rectis ad verticem C trianguli;

eodem modo, quo in caíu 24e, "demonílratur, elle parallelogram-

r.'

&

L^ EFGH,

mum Z/RPD — - EFGH, & paralielogr. 450D —

f--r

pariterque triang. JZAC' — —;— EFG, & triangulum ASC

ti

EFG;

P5

adeo-

DÀ

j

14

-— ,B.J";* —

y-ri

TO

:gdeoqug Aftam' k-þaralie-loglï. ABCD i) 7:" EFGH de,;ä

f

s.

k

i

T-LI

b

quam triangulum ABC.. muEFG: fed q

EFG

e

V

I taq ue

& hoe cafu (S. 18.)

CD: EFGHI

y

«am parallelogr. 448

— bafis 42: EF..A

quam triangulum 442C : EFG

h

Similiter propofitum " demonftratur, quando bafis B-

feu 49 confervata t EF, fimiliter oftenditur. etfe

-4 EFV:

f

tam parallelogt.

EFGH: ABCDA

V

quam, .triaugul'ulm K

FET EC pO

KEi —A-Bi.

t

Ü

Fig. rr, r2. $. 2r. Juxta Definiionem EvcnizAM demone

h

ftratio ejusdem Propofitionis .V, fic inftruitur.

Sumtis ZL,- EM mul-

tiplicibus quibuscunque bafium 7 , ET; &

er puncta. , 77 ductis

vel parallelis.lateribus 4D & BC, EH &-FG parallelogrammorum,

donee prodüttis DC, G occurrant in punétis K, /; vel du&tis rectis

Í

ad vertices C,,.G- triangulorum : ex l, 36

8. éodem modo, quo

f

4

f

parallelogr.ZB CD

Í

$.20. c;ïfu |o efficitur, ut

$

parallelo

.

.(

periangulum 4LC j

k

trianguli 4BC j

tam muliplex, quam mulüplex 24L -eít bafis 4 ; pariterque

fparallelogr,

EMIH)

?

rallelogr, &KFGH.

)

?

P.

tàm muliplex, quam

4uiangulum £MG

J

gc A

L

triangu £FG -

g.

multiplex .eft EM bafis EF.

Atqui ex l, 36. 38.

& Coroll,

Mes

"

[tram parallelogr. 4LKD — fparallelog ; EMIH

triang. EMG

» prouti AL 4r z

J

*

iquam triangulum A4LC jf E

( ABCDÀ

KM. "Cum igitur, fumtis :p.r.i.mæ'.

z

& terüiz B. &quemultiplis

1-48C

CALKD)

-

& AL; ac fecundz.

[EEGHY

(L ALC

J

^ EFG f

& quarte EF fumtis equemul-

[EMIBH

ALKD, EMIED

tiplicib

D OIBaG r

& EM; mültiplicesg

L

ALC, EMG f

p;'imæ' ac,

í

ABCD, EFGH) -

fe.vcun-dæ

E«

?»

L

ABDC, . EFG

sc multiplices 4L, EM tertg & quarte

AB; EF, utraque utri

que, juxta quamcunque multiplicationem , fem-

per fimul invicem :quales fint, vel imul deficiant, velfimul fuperent :

tam parallelogr. 2 CD: EFGHY

?

1equ'it—l-xr.gex $. 19.) elfe

::A.B: EF):

quam criarfgulum ABC: EFG .

s. 219

CX*

E

» du

1j

-

$. a2. Scholiog 1.. Eodem modo -.e;('IlI, 26. 1'7 earumqii; Co-

rolaris: quibus demonftratur, in eodem vel squalibus circuliscwngu-

los five ad.centrum five ad peripheriami, qui equalibus infiftunt arcu-

bus, refpective equales elfe; qui aurem. inzqualibus inüiftunt arcubus,.

elle inzquales; nempe majores, quisinfiftunt arcui majori; & vicitfim ;

deducitur VI, 33: quod in eodem vel zqualibus circulis anguli tam

ad centrum ,

quam ad-péripheriam; fint inter fg uti arcus quibus ini-

r

flüunt;

N

:

t.o23. — Stheliom 2. Paritef iisdem üodis genäratim demonftratur:

Ífi magnitudo quanti alicujus ab magnitudine quanti alterius ita pendeat,

ut que zquelibus quanti poflerioris magnitudinibus refpondent magni-

tudines prioris, pariter zquales fint; quz autem refpondent inzquali-

[]e

bus, fint inzquales; nominatim ese majores, que refpondent majori-

i.

bus (quo uodo arez parallelogrammorum & triangulorum zquealtorum

li

pendent ab magnitudine bafium, anguli tam ad centrum quam ad pe-

n

ripheriam ejusdem vel equalium circulorum .ab arcubus,

quibus infi-

1$

ftunt ); fintque. 4,

B du magnitudines quanti prioris, qu: refpondent

)

duabus quibuscung

—

J!

femper 4: B

——

ue magnitudinbus C, J quanü pofterioris ; fgre:

.

e

Quda enim (ut pofferiorem tantum demonffrandi modunr

expreffe

ic

repetamus) magnitudinibus. pofterioris quanti, .

equalibus. magnitudini

C; refpondent (füpp.) magnitudines quanti prior

-

N

ln

is equales magnitudini

-4: erit ea prioris quanti magnitudo, quz pofte

rioris magnitudini 3 C

refpondet, — 2.4; qus magnitudini 3 C r

efpendet, erit —

uf «

generatim qus magnitudini »C refpondet, erit —

n4A. . Pariter que

magnitudin: rD' pofterioris. quanti , refpondet . magnit

erit

udo prioris ,

là

-- rbh:r & n delignantibus numeros integros quoscu

nque,

.

Atqui prio-

TIS quanti magnitudines, quz magnitudinibus poft

erioris: refpondent,

fimul cum his invicem funt xquales ,

vel unà fuperant, vel unà defi-

ciunt (füppf) Itaque ft nC'(rä ]þ :D, pariter s4

(ï'— ? rD; proinde-

que 4: B — C: D (S. 19.)

3

Ü

($. 24. Propoftio PT. -

Quatuor magnitudinum geometrice pro-

portionalium tertia equalis ef

t quarte, fl prima xqualis fecundz; ter-

tia major eft quam quarta,

fi prima major quam fecunda; pariterque:

tertia minor eft quam quarta

» li prima imi

nor quàm fecunda,

Demenfratio. Sit 44 B — C: D.

ia

Ime,

T

16

äï—l—:: - —-g;'.

Imo, Si Á - B; adeoque ratiotüs 4 ad £ expo'nenS':E I: erit

etiam (S. 17.) rationis C'ad D exponens — 1; ac proinde .C — D.

Si 44 —- B; rationis 4 ad B; f1 commenfurabiles fünt, exponens

(

ert ? [ Ífiincommenfurabiles, exponentis limes inferior ad minimum

erit —5 qua (fupp.) 47 B (f —:—:*"B, 5 defignante numerum in-

r

-tfagr.um quemcüunque.

Ergo ($.17. 18.) & rationis C ad D vel ex-

ponens

d

E.

1; vel certe exponentis Jimes iuferior

—

——

"

: unde pari-

"r p u D.

ü

Si A « B: rationis 4 ad , quando -.Co:pmenüwabïïe—s funt, ex-

[

ponens erit -4 1; Íi incommenfurabiles, exponentis limes fuperior ad

e

fummum erit —, quia (fupp.) 4 — P feu -'-:— B. Ergo (S. 17. 182

)

etiam rationis C ad D vel exponens - i, vel fuperior exponentis

AT

—Á

limes ad fummum

T;:L: proindeque parier C « D.

L

à 1Ide,

?

Si 4

NI

j

» B; etiam (S. 4.) 24 .'(r':? 2D. 'Tum vere

ä

vOïb A B:: C'.

D (fupp.) etiam aC ï .:f 2D ($. 19.); adeoque

(S. 4.) pariter C (ï —5—.3) D.

$. 2«. Sholien. In quibusdam elementorum editioribus propofitie

fhxc (veltota, vel faltim ejus duo cafus pofteriores) 16'* Libri V.. ut

Corollarium fübjungitur; & ejus ope demonflratur: unde nonnifi ad

quatuor maguitudines ejusdem generis pertinere videretur. Ceterum

eadem propofido generalius poteft ut convería ejus; quz demonítrata

fuit $. 23, enunciari; eodemque, quo nunc ufi fumus, modo ftabiliri

Si magnitudo quanti alicujus ab magnitudine alterius cujuspiam quanti

ita pendet, ut generatim , quam rationem inter fe habent magnitudines

quecunque C, J quanti pofterioris, in eadem ratione invjcem fint,

quz.ipfis refpondent, magnitudines 4, D quanti.prioris: tum qui magni-

tndinibus quanti pofterioris zqualibus refpoudent magnitudines quat

ati

prioris, parirer mquales funt; quz autem inzqualibus refpondent, &

iple funt ingquales; ez fcilicet majores, quz refpondent majoribus.

Nam

[

—— HUS

17

ent

]

Nam fi C ä 2 ;.etiam 2C äwä gD (S.4). Quare cym

leng

—

——

1

(fupp.) generatim fit 4: B—C D; etiam ($ 19) 24 ä

äzl'

H

adeoque ($.4.) 4 ä ä B.

j

Qu

$. 26.

Volnrftzo "2

(EvctLip. V, 4. Coroll.) Si quátuot

magnitudines. p

roportionales . funt;. ezdem etiam 2nverf? erunt propor

tionales: hoc elt, fi 4: B — C: D; edam : 4 —

C

Dakon firatio.

[mo,

Si mag.,mtudmes A & B,

€ & D invicem

at

commenfturabiles funt ;

& utriusque radonis ad B C ad D idetu

al

eft exponens integer r, vel fra&tus quicunque — 2$ i /.), ita ut

((

fimul.fiat 4 — 7B & C—rD, vel fiml 4— — B& C

érunt etiam fimul B— — A& D—c- C, vel fimul n — B & nC—*D,

fe

adeoque B — , 4& D—

...C".

t

exponentes igitur rationum B ad 4, D ad .C, pariter æquales.

Quodfi incommenfurabiles funt magnitudines 4 & B; Cu B

utriusque rationis 4 ad B, C ad D,;

"

exponens iisdem continebitur

fil.*. 1

*

ita ut femper fimul

]

hmmbus (S. 18) ex. gr.

"(n4d-1)

n(u.g. ) ?

fint

L

ytn -*-

l.*-f

d

2

&(

B tantoque magis «

a(n4 )

á

n(n-*- I)

yu

PTO

rfü--l

ru-4-

(

ac C

D€c --

Dtantoque magis «

D

n(uA- 1)

"u- x)

"n -A- 1)

Inde vero pariter fimul erunt

n (n-4- 1)

g« MED a

ïil

rüu --v

d feuB(

A&-) —':——/1;

ï

n (n4 1 1)

us D(n("-*-l) C &

YO)

C,feu D « "*I C&

TU d- f

adeoque, eXponentes raüonum J ad 44, D ad C isdem pauter llml-

tibus contmebuntm.

C

2d

I

18

DI

Hio Cum fit Z: B o r (f(upp.); eruxvm (S. 19.) fimul

-

—

i nB,

:

v (ï

L

Latque 4'C" us nl)

n

proinde etiam fimul

Y

—

P

nD (r

: r4, atque uD ((,-:.].7 rC ;

sle

& hine (S; 19:) 8: A — D-— £E

$. 27. Scholiom. Simfon in notis fupra (S. 16.) citatis, p. 3o6 fq.

vd

rece obfervat: propofidonem haoc VII. perperam 4'*' quinti libri

Evcunpis tanquam Corollarium vulgo fubjungi; nec legitimam effe, que

Vi

/:MIImam noftram inde inferendam.

ex ejusdem 4'* propofitionis demonftratione nectitur, confequentiam ad

y

YX

$. 28. Propofitio FIH. (Evcup. V, 4.) Si quatuor magnitu-

dines fünt. geometrice proportionales: equemultiplices quecunque prime

N

ac tertiz ad fecundam & quartam, vel ad zquemultiplices quascunque

l

fecunde & quarte; pariterque prima ac terüa ad fecunde & quarte

quascunque zquemultiplices ,

easdem refpective habent

rationes.

Q

Hoc et, fi : B- C D

p HC ,

Y

ewti.am

u sH —

C: 4D,

5

.

p4: qB — pC: 4D

p & 4 denotantübus numeros integros quoseunque.

Demonf[lvatio,

Ime. Quando commenfurabiles funt magnitudines

A& B, C&D: ob 4: B— C: D (fupp.), fimul erunt ($.:7.)

d- H & DorsD; vdca— cOB&CLLID

Adeoque pariter fimul

pA— grBRgC—prD; vdpa— - R& RE

:29»8& C:z;-qD;. vel A:;h

qB& C —

gi

pv

p4 :—ï; qB &pC :qu, vel g4 —

g

qB. & pC — ä; qD.

lgitur exponentes rationum p4: B, & pC: D; 4: qB, & C: qD»

pA qB, & pC: 4D; etiam refpective iidem funt: nimirum pr'vel ';;35

r

P.

— vyel

qu.?

—— VC

n

Q'uädiï-.

x

eiis

.

19

1

Quodíi mäguitudines 4 & B, C & D funt incommenfurabiles :

utriusque ratonis exponens iisdem continebitur linítibus ($. 1g.) ;

ita ut fimul fint A)gï B&« Pï;:-ï B,ac C ä

D&«

pu

D;

adeoque etiam fimul p - p & « — -,f ,

B,acpC

"u

D&«"t. p

»fq

D;

Ti

vel gubqug fimul '-A);y; B &'(—"—Vï[ B,a6 C D&(ïj;ïx"

qu

tki

*4-I

1 ad

unde rurfus fimul — .4— ä—; gB& «

n

qB, ac C)q"rnq-D&(

qn

vel & fimul

pr 4- 1

irdr.

4 508 &«

7

qB , ac C)ppq*ran& it

Pqïl

gD;

illl-

ie

adeoäue pariteri';mulPA)ä gB & CF ^ 9B ac C)ä qD& (L; -4D.

*

V(]"e

t

Itaque etiam rationum : B, & pC: D; 4: qB, & C: qD;'p./—lz

I

qB, & pC: 4D exponentes iisdem refpective limitibus -P— &

»

h

2.'—:1

vel —

r4i

l

—

pv

pl F

—

continentur.

d

qu ?

q 75

qu

Il?v, Cum ob 4: B —C: D (fupp.); fumtis quibuscunque primz

44 & tertie C, fecunde £ ac quarte D squemultiplis, multiplices pri-

nos

mz 4 & fecundz B, ac multiplices tertie C & quartz D fimul refpective

xquales fint, velfimul deficiant, vel fimul fuperent ($. 19.) squemul-

tplices autem magnitudinum p44 & pC, qB & qD fint quoque ipfarum

4 & C, B & D xquemultiple (S. 10.): fequitur effe

finul tam n(pA4) 4[):)& rB,. ac n(gC) ä ;:þ vD; —

quam nA 4[ E]þ f(gB),ac mC. 4( E:þ *(gD);

Jn

pariterque n(p.A4) 4( 51þ Y (qB), ac.n(pC) 4£5:þ r(9D):

Unde ( per S. 19.) conftat propofitum.

$. z9. Propofitio IX. — Magnitudinum 4 & Z æduemültiþlïces,

vel partes zquealiquote, vel & partes z

quealiquante, ad maguitudineg

ipfas 44 & £, easdem refpeCtive habent rationes:

li

€ 25

hoc

L:

20

AT

v5

um

hoc: eít

p4

[

'Bï

D

Z:

L—

Db;

?

&

7)

9d ——

"r

[ *& m deügnantibps numeros integros quoscurnque,

Demonfirasio. 1wo, Utriusque enim rationis p/: 44, & pB B

exponens eft p; utriusque rationis m 45 & q: D exponens eft ,7[, V;

p

f

&.vutriusque rationis . 4: 4, &

;'.z

B: B exponens eft ä.

f

1IId0. Cum tam »(pA4) — (np).4, quam n (pD) — (np) B (S. 10.):

erunt fimul -n(pA)(L - )r.f!, ac n(pB) ï ä)» rB; prouti 'np(L.': A

|

Sint deim -7 — E, & , —— F;adeoque Z — mE, & B — nF.

ï

Erit per modo demonftrata mE: E —mP: F:

adeoque etiam inverfe

4: mb P:mk ($.26.)

24

hoc eft

CUP

24 o

——

B

n

7h

;I'n—A: A:;IZB: B:

Cumque üc fit

etiam erit

T

—äd:ï.ä:

?h

'B: '(B (S- ?8')-

$.30. Propofitio X. ' Viciflimü quätuorämagnitudines AC N

funt geometrice proportionales ;

primaque ;4 fecundz P eft quedam

multiplex, vel pars àliquota, vel pars aliquanta: terria C quarte D

zquemultiplex erit ; jgl pars zquealiquota, vel pars &quealiquanta.

Denonfiratio, Imo, Si 4: B — C: D; & 4— qB, vl 4— ,

Ve1 A ::: ;?; B; h&: efc fi exþonens rationis Z ad J eft 2, vel -;ï ,

: eric*e'tiamuiatiönis C ad D'exPonens q, vel —'";, vel u;ï- (S 17.);

ve.l; 7—3

adeo-

at

ET

ädeoque pinterc£ -- qD; vel.€ —

[/7)

; w C — ;niD: q&m.de;

notantibus numeros integros quoscunque.

C Cum.;(füppl fit A B.: C: D; erit.etiam (S. 28.)

Em

4

nd: B

i2 t

H

UT

& m4:qB

Lmc: QD.

—

ÜUnde fi 4 — 9B;

pariter ($. 24.) C — 4D:

n

fiwu- . f -— ;—n—B; -- mC:.D, feu C::-;-n-]);

fi m4 — qB, feu Aä

E - o sbeeiD/ u 09 9

Y

$. 31r.. Propofitio X1

(Evcup. V, 17.) Si quatuor magnitudines

f

44 B, C, D funt geometrice proportionales; & prima 44 major quam

fecunda B, adeoque etiam ($. 24.) tertia C major quam quarta : erit

nf

etiam exceffus primz 4 fuper fecundam D ad hanc minorem £; uüi ex-

ceffus tertiz. C füaper quartam D , ad hanc quartam ,

Breviter fi,.4: 2—C: D; & 4

erit ecam dividendo feu divifim 4 —

5b:]-

B, —Pafitïque: (IS).. 24) C5 D:

Demonfiratio, Imo, Cum (fupp.) 4: .B — C: D. erunt (S. 17.18.)

flmül

T4-1

4 — vB; vel A::—ZB'? vel 4 g—.B, & «

w P

TlI

pariterqüe €-5rH a Es Ia es —;;-D, & 2«

um

v & n denotantibus numeros integros quoscunque: ita tamen, ut quia

JJ

(fupp.) 45 BD&CzE D, üitr z », li magnitudines Z & B,.C&. D

)m

funt commenfurabiles ; quando autem incommenfurabiles funt, non

fit r - m.

"

"Tum vero pariter fimul erunt

2l

A—.B::(ï—l)B,Velä-B:(;;—[)Bfeu?Bävel A—BP?B&QTJZ*-I .B;

—

-2

Y-2H

C D-(-: )D; vel c-D^(;- 1)Dfev-

u

D; VelC—DP

.D&

H

adeoque exponentes rationum 24— 8:.B

,& C—D: D; vel üidem;

!3;

"V;l qoutenti intra eosdem limites,

0

C 3

udo'

22

6:-9

"—

33

IId, Si an-—B)

A

vB: cum fit nL4—2) —nA—nB (j.7.)

1

erit

n.4 —nB

5

& , addita. utriQqije sJB,

fiet

a/—/**N(-A—x

AVIAVIIA

—— /...J *——v..J

n

(.—.

24

Bu fBífeu (nc-r) B (8.9).

Cüm igitur fit (fupp.) 4: B

q

st: 4A erit (S..19.5

limul sC (U:):J» (nd r) D feu nD -vD ($.8.): & fubtratta"

V

utrinque &D, etiam nC—nD, hoc e!t ($. 7.) «(C—D) ISin.

E

Proinde fimul funt n(L4—B).

m

f —

D

?rB, &nC(ïäJ)x YD; atque hinc

($.19.) 4—B: B-—C—D: EL

&

Fig. 13. Alter hic raGoeinandi modus fic qhoque poteü exponi,

Reprafentent linee EF, FG, HI1, IK magnitudines , B, C, D; ita

ut fic EPF: FG — HI: IK. 'Tum EG, HK reprefentabunt exceffus

44 — B, C — D msjorum füper minores; demonftrandumque erit, effe

pariter £G: FG — HK: IK. — Quod ut fiat, fumantur magnitudinum

ä

EG, FG, HÁ, IK equemulüplices quecunque (s?*), que fint LJT,

LP, NO, NQ.

Ita (S.6.) PM, QO erunt magnitudinum EF, HJ

ezdem zquemultplices (pariter uP).

Infuper fumantur maguitudinum

FG, IK zquemuldüplices quecunque (rP*) PR,

Quo facto,

etiam LA, A'S erunt ($.8.) magnitudinum FG,

-s

emultiplices

(n--rP*). Cum igitur (fupp.) EF: FG—HI: IK; erunt (S.19.) fimul

pu ÍS . LR, & god Sws:

ex quo fi confequi demonftretur, elfe etiam fimul

( &l

f &l

Q$;

LMZzZ»PR, & NO« '.:J)

inferre licebit ($. 19.) effe pariter EG: FG—EHXK: 1K,

Aþqui i LM«'[ ::]» PR: addita utrinque 9adem «LP, fit

etiam

PM(E];LR; & hinc (fupp. & j. 19.) pariter go(ï ä]» INS :

unde utrinque fubtra&ta communi ANQ, fit quoque N 041?) 0s.

$. 32

GX

s

SUS

25

S. 32. Corollarium 1. Si quatuor magnitudinum A, £, C, D binz fuerint

r)'

in eadem ratione; & prima Z winor

quam fecunda £, igitur quoque (S. 24.)

tertia C minor quam quarta 7) : erit etiam inverfe ($. 26.) B: 4 — D C

?,

ubijam prima J z fecunda 4

; & tertia D £ quarta C: igitur (S. 31.)

B—-*A:A:D-—*C: r

S. 32.

Corollarium 2. .Generatim igitur fi

due maguitudines inz-

quales // & B eandem mutuo habent rationem

» quam alie duz inzquales

l

C & D: differentia quoq

ue duarum priorum erit ad earundem minorem,

uti dileren&a duarum pofteriorum ad ipfarum minorem; veletiam in-

DO

verfe (S. 26.) minor duarum priorum erit ad ipfarum differentiam, u

minor duarum pofteriorum ad earundem differentiam.

Breviter fi

4 B-—C:D:

!

etiam dividendo 4—5: B—C-—D: D; feu B: 4—

BD C D

vel .

B

—4: d—D-—C:C;íemua4:B-—4-C: D—c

L]

lls

- $. 34.. Propofitio XIIJ. (Evcrip. V, 19. Coroll

ü

tudines.4, B, C, D geometrice funt proportionale

$5

.) Si quatuor magni-

us

& primà 4 major

lo

quam fecunda D , adeoque etiam (S. 24.) tertia C majo

r quam quarta £:

erit quoque prima 44 ad excellum, quo fuperat fecun

i

tia C ad excelfum, quo fuperat quartam ,

dam B; uti ter-

l,

]l

Breviter fj Z: 2—€C: D

erit etiam comvertendo 4: 4 — B — C:

;&4- g'ïl;alx')ï.tel'qug (S. 24.)k C D:

Demonfiratio. 12o, Cum fit : B — C: D (fupp): erunt (S. 17. 18.)

Jl

fimul

LA

-H.

A-—TE. Yvel A;—ïB; vel 47 äB s

uac

L

ac

5

*

T--I

C:rD

vel €——D; vel C- —D& 4

7 M

feu erunt fimu] 2— —;

vel B:—'—A;— vel B-4 ; & ä/l;

ac

D—;—; vel D—

x

r.& n denotantibus»numems ;nte

;C; Ve*l- DC—:—C &- TZTC;

conmenfurabilitaus fit

Bros quoscunque; ita tsmen, ut in cafu.

ft0n; n cal

u autem incommenfuxabihtatis certe e

non lit «s5 g/uti in Dem. $. 51.).

'Tum

24

——

Tum vero pariter fimul em'mt

,

j

r

("";i) A; velÁd-B» (1';) AG c(

f-7

um

)*

A-B:( I) 4; vel4-Bz-

[

CAU

ac C-;D::(xl';ä*)c; vel C-D:(I'Z C ; vel 6'D - (I'::T) C& 4('

Y--I

)t.

f

Y^

-

AU.

I

.—'.—,

t

A

he. täl;l A-B'::T;;;'Z;Qd A-B;1 ;:nA; vel 4-B ),:;ZA& 4

y-r-1i

Á tantoque magi.s Sr

y-Y

T-H

—

5

T-1-1-Y

k

quam C-D-—;,- Gvel C-D— ,-

C;velC-D :»L;ïC & -::r

T-l-Y

Ctantoque magis 4

LA

€

f

Proinde ($. 17. (8.) 4—2: 4 —C—D: C; hincque etiam inverfe

E

(g- 26-) A: A-**B: C: C"""'Do

Eig. t4. 15 16..17

IHe. Reprefentent linee EF, FG, HI, IK

magnitudines 4, B. C

5

D;iautfit EF: FG — HI: IK. 'Tum EG, HK

reprefentabunt exceffu

sA — B, C — D majorum fuper minores: de-

monftrandumque erit,

elle pariter EF: EG — HI: HK.

num EG, FG, HK, IK fumantur. æquemul&pli-

Quo fine magnitudi

.]ta. (S. 6.)

ces quecunque (7?l),

que fint LM, LP, NO, NQ.

PAM,

O erunt magnitu

dinum EF, H1 eedem squemultiplices ( pariter

ypl«),

Infuper fumantur ma

gnitudinum EF, Z/ squemultiplices quz-

L

cunque (spl«) ; que fint PR, QS.

j

.——]

"LE

E1614. T). Sin!

-

J

erunt fimul PR([?]»PM, &Q Sä:j* 00:

igitur cum PA LAL,

& 00 t NO (S. 4.) utroque cafu fimul erunt

PA - LM,& QSceNO;

hoc eft «EF — rEG, .& nHI 2 r

m

feu fimul 144 £ v(4—8B), & nC þ e( C —D).

Quodfi autrem- r t n;erunt fimul PAZ þþ PR,& 00

.Fig. 16. 17.

,quam PA & QS funt (conftr.) magni-

$, Porro quia tam PA & QO

priores nempe earum rP*, pofterio-

tudinum EF, HI sequemultiplices; .

res mz: exceffus priorum fuper pofteriores,

RI & SO, erunt (S. 12.)

vel ipfis EF & HI xquales (nimirum fi r — n - 1); vel earundem eque-

multiplice

s (feilicet. r — nelz).

Atqui ob EF: FG — HI: IK (fupp.)

eü (S. 28

.) tam EF: rFG — HI: vIK,

(r—n) HI: vIK;

quam (r—9) EF: rFG —

hoc'eü,vt»ltroque cafu, fit. RJMI: PL—$0: QN.

'Igitür

A

25

A—ï

]»

SOI

Igitur (5.'2».) finul PL

RJT, & QN

r

!

Unde pariter ,fmæul PL4-LÉ

--

LU LI, & QNA-NS

M2

NS«- $05

t

m—rp

Í

z

NO

feu ïimpl

6s

f

1

hoc eft fimul funt

aE

i

yEG

nH

2ï

rHK,

-€l

ïïï;

i

feu fimul

$

SS

r (4—2),

& nC

2r(C—D).

tfe

f—/x'—xf—/x—'*(*A-—ï

VIIAVUAVITA VILA VU A.

;v..lk.v...)x.v—)

ä

Quoscunque igitur s & r denotent numeros integros ; feu quzcunque

Il

primz 44 & terüz C, itemque fecunde Z— 7 & quartz C — D (umantur

4

»

equemultiplices: femper multiplices primz 4 & fecunde — D , ac mul-

üpliees tertie C & quarte C— D vel fimulinvicein equales funt, vel una

deficiunt, vel una fuperant. Quare(S.19) 4: 4— B—C: C—D.

li

$35

Corollariwm 1. Si quatuor magnitudines 44, Z, C, D pro-

)

portionales funt ; & prima 4 minor quam fecunda 2 adeoque etiam (S. 24.)

e

tertia C minor quam quarta D: erit etiam inverfe 8: 44— D: C(S. 26.);

U

ubi prima Z 2 fecunda 44, & tertia D £ quarta C.

Igitur 8: 8—4—D: D—C (S. 34.)

[

$.36. Corollarium 2. — Generatim itaque, fi duse magnitudines inz-

quales 4 & 7 eandem invicem habent rationem, quam aliz duz inzquales

X

C& D: erit & major priorum duarum ad ipfarum differentiam, uti major

duarum pofteriorum ad earundem different2m ; vel etiam inverfe ($. 26.)

diflerentia duarum priorum ad earundem majorem erit, uci differentia

duarum pofteriorum ad ipfarum majorem.

)

l

Breviter fi

Z2: BeExCD:

etiam convertendo

4 -B 00 W quidii d r p G

vel

B: D—4-—D: D—OC, feu.B— 4: B —D-—C: D.

S. 3z. Corollarium 3.

Generaliusque, . Ífi duz magnitudines ing-

quales eandem invicem habent rationem, quam alie dux magnitudines

inequales: etiam alterutra priorum erit ad ipfarum differentiam, uti

pofterior homologa, feu quz priori ordine refpondet , eft ad differentiam

pofteriorum ; & inverfe, (S. 33« 36.)

r

D

S. 58.

A92

26

Gu

m

SUS

. S. 38« Scholion.. Propofitio noürä XIlI. perperam .vulgo 195* Libri

quinti Evcripis tanquam corollarium fubjungitur; & ex illa, ope 16'2, de-

ü

ducitur: cüm hoc modo, contra ac res eft, tantum ad quatuor. magnitu-

dines proportionales ejusdemgeneris pertinere videretur. 1d quod etiam

)

obfervarunt Siwsow in notis Jam citatis; p, 3165 & Cravivs in editione

f

fua Evcripis, Vol. I. p. si1. qui pofterior tamen locum ae titulum illius

non mutavit . quin exprelfe eam his verbis ;hinc facile demonítrabitur *

exorfus elt; quamvis vitiole vulgari legitimam ipfius demonftratio-

nem, ex quinti libri propofitionibus 179* & 18v« deductam, fubftituat, .

$.39. Propofiio X1IT.

(Evcrip. V, 18.) Si quatuor maguitu-

dines funt geometrice proportionales: fumma quoque duarum priorum

eric ad ipfarum alterutram; uti lumma duarum pofteriorum ad eam ha-

rum, que priori in proportioneim alfumtz ordine refpondet,

j

Hoc ett, fi

44 B:(C:D;

f C

z2 n

ND/

etiám camponmolo AT B: (Lä]» —C-uD:

Demonfiratio, Imo. Erunt enim (ex fupp. & $. 17. 18

Tdi

*

fimul A;ïB; vel A:"EB; vel 4 :)72'5

& -

— B

[

|

—

atque

C—rD;vel C—

"u

D;vdC;D&A- D

proindeque pafiter fimul

m

B&

TAT

B;

A. B—(r1) B; vel d-*-Bä Wï;:jB ;vela-rB- $

n

7

741

TUl

ätque C D-—(r1) D; vel C—!—D:Z-—;—ï2 D,;velC-D-

TD & I D'.

-lgitur ($.17.180 F B: B—C--D: D;

feu fumma duarum priorum ad earum confequentem, uti fumma duarum

pofteriorum ad confequentem ipfarum.

Atqui fi .4: B— C: D; eüam inverfe (6.26.) B: 4—D

.'-C:

indeque per modo demonftrata etiam 44- : 44—C-4- D: C.

Fig. 19,'19, 20, 21. Hée Reprefentent linee EG, FG, HK ,

IK magnitudines. , B, C, D)

*

ita ut fit ZG: FG-—HK: IK. 'Tum

?

EF, HI, reprefentabunt earundem fummas 44 B, C4-D: demon-

*

[ EG

(HK)

C

* firandumque erit, elfe pariter EF

Quod

Gu

E

AU

2

bti

quöä' ut. fiat, fümsntur magnitudinum EF, FG , HE, ]K æquþemu-!«

de

tiþ]ices (xiuæcnnqäe (',VI,HZB).; (]Uæ flnt PM)'LP, QO, äNQ-: lta (SS. 7.)

(li

a

LM, NO erunt magaiudiuum £G, EE, eedem equemultiplices (pa-

riter qPhe),

Infuper fümautur magnitudinum £G

, HK æquemuïtipïicg;

Iüe

quecuüque (rzP*), que fint LA ,. NS.

(

FC(

Q

Fig.18, 19.. Si n4 m »r: erunt fimul LM(r?]»LR, & NO((:L NS:

"

igicar cum PM — LM, & þ/)

N0; utroque calu fimul erunt J[PM LR,

& 00

NS$5 hoc:e

ft nEF -

rÉG, & zHI

Q

nCAM ) s rA, & n(C-D) » 1C.

2 rHK; feu fjmui erunt

Jf

lh

lig.20, 21. Quodfi autem e7»; erunt ümurl LR LM, &NS-NO:

Porro quia tam LR & NS, quam LJJ & NO funt (conítr.) magnitudi-

num EG, HK xquemulüplices; priores nempe earum rríz, pofterio-

res nb«; excellus RA & SO priorum fuper pofteriores erunt (S. r2.)

vel iplis EG, K xquales (nimirum fi r—5-F1); vel earundem

equemultüplices (feclicet/ r—»?*). Atqui ob EG; FG— HK; IK

Cfupp.): eft ($. 28.) tam

EG:

H.FG I

HK :

nlK,

quam (r—») EG : nFG —(r—n) HK:nlK;

hoc eft, utroque cafü fit . &M: LP—S0: NQ.

Igitur (S. 24.) fimul LPäriïþ, RM,

]

& NQ

151 so,

E

i

]

Unde pariter fimul LP-- LA

sE

- RIMA-LM,&N

V

.

"-- NO

4 :J&SO-FNO;

(

N

od

5

feu fimul

PM

—V——.JL..

DT

]

T /AN

NS:

M. ADZN

LR, & Q0

hoc eft fimul

PT

[

[

K

nEF

J

—Nr-....)».

TEG ,

&

nHl

rHK;

m

J

IVAPAN

ILAN

—

n f

feu fimul

n(A-æ—B)qä;jþ T , x& 2(C-4- D)

4L

a

Jþ rC.

Quoscunqüe igitur 2 & v defi

gnent nulmeros integros; feu quzcun-

que prime Zf--B & tertie C

fumantur zquemultiplices ;

-D, itemque fecunde 44 ac quarte C

de 4,/, & multüplices terü

femper mulüplices primz 44--B ac fecun-

.vel uni

€ CXLD ac quarte D, vel fimul. invicem

;equales funt,

fuperant, vel unà deficiunt,

E

qure ($. 19.)

4 D; ALICG D:C.

D a

Eödem

28

D

d

Eodem modo, poft primas magnitudinum EF, FG , HT, IK, &que-

multiplices (u?5) PAL, LP, Q0, NO, fumtis inde a puntlis L, N ver-

fus puncta P, Q equemu

lüplicibus (r?5) magnitudinum FG, /K;. de-

monítratur elle edam 444- B: B—— C-D: 1.

$. 40. Scholion 1. . Re&te Hieron. SaccnuERIVS, in libro quem ia:

feriplit: EvcripEs ab omni nevo vindicatus, five conatus geometricus,

quo ftabiliuntur prima ipfa univerfe Geometrie principia, p. rtr. fjq. &

S:Msow in notis citatis, p. 314. obfervant: Demonftrationem propofitienis

przcedentis ,

que vulzo in editionibus Elementorum traditur, a penio

Evcnpis abhorrere, nec legitimam effe; cum poftulet , .quod nullibi

ante fuit oftenfum , ut tribus dats magnitudinibus quarta geometrice

proportionalis afliguetur.

Sed modum, quo prior (l.c. p. uis. fqq.)

huie nzvo mederi fufcipit, jure polterior reprobat (1. c. p. 315 fq. ).

S.

I

Scholion . Propofitio XII. poteft ex propofitionibus XIm«

& XllI* ope Vil»* fic inferri,

SI

4: B-—C: D;ubiA B, pariterque ($:.24.) C^. D:

tum . 4—B: B—C— D: D per Prop. XI.

&

B: A—B—D: C— D per Prop. VII.

Unde Z244—3: 4—B-—D4 C— D: € — D per Prop. XIII.

hoc eft

A: A— B—C:C—D queg elt propofitio XII.

Hicque eft demonftrandi modus, quem Cravivs loco fupra (S. 38-)

citat, vulgari fubftituit; & quem etiam SimsowN in verfione fua Elemen-

torum p. 136. adoptavit.

$.42. Propofitio XIP. (Evcrtp, V j 11.) Ra;iones, qui ezdem

funt eidem tertie, & inter fe funt exzdem.

fi

d H aU. s

| Hoc eft

&

D D-—ECTP;

etiam

A: B-E:F.

j Demon]iratib Imo, Quodli enim rationis 4 ad B vel exponens 'eft

TE

UISETE

ob A: B:C:D

£, 8Ub , -vel exponentis limites funt -:-;— &

(fupp.") p äetia-nxl rationis C ad D' erunt vel exponens r aut ;-, vel ex-

4

proindeque pariter ob

ponentis limites-7. & ï—;— (S. x7 f8.) :

L

EE

29

€: D-—E.F, »erunt rationis E : F vel exponen'-s' r 8üt — , .v—'eþ! exponän.

us limites - aut —-——nI (S. 17. 18-)

Il4, Sumts magnitudinum, 4, C, E æqüe'multiplis düibuscunque

l

)

ná, nC, nE; & magnitudinum £, D, F fumts æquenxultipli; quibus-

cunque B , rD, vF:

-

I$

i

n« — »rB, eritetiamnC

(F

P

?

rD(S .ig .),quia;lA:.B:C: D (fupp.).

Q

il

E

:

Quando autetix zzC(L d- ))VD?etiämn

(ï

ä;:

j;

rE ($.19:), quia C: D—E: F(füpp.).

f

xl

Igitur fimul quoque fünt

nÁ-

- rD,

ac nE (r:])rF:

A: F:E: J

1

& proinde (S. 19.)

$.43. Propoftio XF. (Evcum. V, 12.) $i magnitudines homo-

genez quotcunque 4, C, E, G &c. ad totidem alias ( pariter tam invicem

quam cum prioribus homogeneas, $. 13.) Z, D, F, H &c. fingulz ad

fingulas, easdem habent rationes; iaut: B—C: D—E: F—G: H&c.

erit quoque ut una antecedentium 4 ad unam confequentium 2; ita fumma

omnium antecedentium 4-4- C4- E G &c. ad füummam onlnium gonfequ-euf

üum Z - D 4- F4- H-4&c.

i

.

Quia eniin 4: B—C; DZ-E: F-—G: H &c.

Demon[iratio 1mo.

(fupp) erunt ($. 17. 18.) fimul

T-I

-A-—rB wvel ..4——..

--;—B vel Z)äB

T-i1

C -—vD

a aisl

m m

T

ETE

E-:;"

WU d

prPeee

E

r

1

G:::rH

G. —

G-—H

ä

&c.

Bïgc

.

&c.

adeoque pariter (S.5.) 24 C

LE G4-&c.

vdor (EEDFEHr&e) vl —— (BEDEFEHA&C)

T-t

vel — £-(B4-D4—F4-H-;-&c.) & «

ts (B*D*F*H-*-&C.)

Unde conftat propofitum ( $. 17. 18. )

)iso,

SPS

ae

- is

Ilie.

Qui& d: B—C: D-—RhTP—

-G: H&c. erunt fimixl ($.19.)

^

Cy

ndä

v

$

i,

$

&j

»

m

WWW

g VIIAVILAVIAVILA

Q W m I um

B

'Itaque etiam

quoscunque $».& *

defigrient numeros;; integros.

nA-I—nC-l—TLE-ä—hG-i—&C. Em 7rB-i-rD-4—'ïF-4—rH-æ- &c.

E ET

:g

hoc eft (S.5.). &(4L- C- EX G- E &c-)

(B-r.Dor Fo- Ht &c.) -

z

: j

pro eo ac

nÁ

3

.l,/

v B.

Igitur (S$. 19.). : B—4CEETGIE&C: I4DETGXH&e.

44-

Corollarium 1.

(Evcrip. V, 15

Si magnitudines

45 C, E,

G &c. funt invicem zquales; pariterque magnitudines

B, D, F, H &c. fummz Z-- C4-E - G &c, B- D F H- &e. gque-

multiplices fiunt magnitudinum 4 & Z, "Tum igitur Propofitio XV. trans-

formatur in hané. 4: B—p4Z. pB;

p defignante numerum integrum quemcunque:

hoc eft, due magtüitudi-

nes funt inter fe, uti ipfarum equemultiplices quzcunque ;

feu duarum

magnitudinum partes zquealiquotz eandem inter fe habent rationem, quam

ipfe maguitudines.

Pariter duärum maguitudinum pärtes £que-

S. 45.

Corollarium 2.

aliquante ean

dem inter fe habent rationem, quam magnitudines ipfz.

Etenimfi pR — 4 & p$ — B,

feu

AR Ed

tum

feu

y

R:BPS ($.449)

äz——::

R: mS ($. 44.)

pariterqqe ,R

feu

R

D r

B

g

D

Tgitur (S. 4;.) etiam «

æd ;?B:A: B

i & p delignantibus numeros integros quoscunque.

&25

o r

cel

Tl

r

m

—l

HN

-

R.

m

—— -

-l

L:

-

Pt

QTII..I —....II.I-.IIIII—I.'—III

—l

z

—— J

] n um* LL a À m m E

1l——1

&b

[es

A

i

J—E

&

[

Mw-n

l l— 1

2

5

w..

gj

Mb

p r — À

LE

"

-

R*o

FWD

iess l-

-

M,

,M,,m

LL

u ial

M

-

!

Gob

M»

r"-rl.

H

c-&

j

x

] —— 1 — À | — ] — [ — ] —— ]

p——l

U R

FW—O

1l

T

d

—— À

ML-I.

IIII.II.IIIII.II—F

—IIIII.M

MNW

d

:

1— ——

E

:bs

wa

b

I HM

v

— — — AE

8

[

-l

K

m

—IIIII'I.—L

"1

as

B f

J— —— —— j————À

( R E

ho ss

5

f

c

&2 d5

t

D c

—

e

— 3

i--

--

G

VO PNE

El

y,..

E.

.IIM..

— s

P.

m LLW.

E L«.m..

m fs

w

-

j

--

--—-—-

——

W—

/

.W

N

xw

3

---

icdegerum

4

La

- :

*

- * s

4«-

—— --

/

E

z--- z

-

um.".

M

/

/

—

— -

CU les rE TT TT

N

*

---

—À

W

»Xx

NX

nL.

H

WW

W

W

3 ES CUM —K- ——

iA

MUPHEEE r

-

W.B

"

^

uenncieise as

-

m

A

77

a

W

NSS

K.WWJMV

hi

W

PUR

- —

C s m

xvtuïïnl«

—

x

8

$l---

6»

VY

T.

n r LUTMRERE, R

/I/(lhcl: d

»»

"

&

N

Wm

H-

A

$

"h

d

C5

m.

À

J

|

N

1474

—

1

&n

E

"

|

UPE

Sm

f------2---

—-

WW

&i .ï

s

HM

Rore CH

J

PA

I.Lo/"

-

O

x

nt:tu««txx:t«otlt

.—;9

54//

i

D t

"

m

H

W

|

D P E E RUR

V dase m

T-——— L

NS

.W.m

P

d

"

xx

W.

——

J-

u

»QLOO 90

—— —

-

^

m nE

m.

p

K

4

.H

.W

D ls

——

E

W

W

M

^ WiX

F

$

a

3-

ERE s

c

/

(tastutc

-

od :

Mpv

u

—

---

.W

a CT r

B

EOL UO

tl«nllln.tlnt-on

E

-——

h

---*

p d

JM

t

)l«ltlfxi»lfn!: ——

M

]-

m d N g

N

EECENOL

.Wm

d-

—

Q

——

*

./ /Fw

2

TTE

z

d

gscbnn-

"m

L3$:

TETTS

i alüäww.!

*e

AFig.18.

Fig.19

)2 Fis.20

P Fig.2r.

-

|

iF

* I

3

I-

l— 1 -—1—.—.[......[,0

CR

-::Eg

LeG

N

L G—K[N

LoGpky

E

L G-K

ERE

H

H.

H-

E-—-

RUE

Es DI

320

ÍI-—

0-

0

$T

[2

M

-l

M-

S—

Q-$

ol.

s-—.-

E

R

MR

R

M-—

— :

-

RUHIS ORAT C

EESBLU AU

-

LEU

-

— — -

—— —

GE

MESLUAUR

-

U

L r

"m

a,

w

224

E:

TOE

i

E

ETE

en

pX

ESM RE

us

x

s

gEGPS

od

P

N

Ed

AE

AR

st

m

EUR

A

n

x

É

2

sE

L

3

*

,,H

7

.m *

*

"E

i

-

3.

«

vW

33

31

p

L

fs

-

—— ——

—

^

d

-

-

E

43

20

/7

Y

JEXPOSITIO ET DILVCIDATIO

d

LIBRI QVINTI ELEME NTOQ"&/

-

EVCLIDIS

o

i

n,

&5

C d

^

zP

a

)

Q

CVIVS PARTEM

PRIMAM

D

VierFarbSelector Standard* - Euroskala Offset

n

RECTORE FNIFERSITATIS EBERHARDIN.AE CAROL

]*

MAGNIFICENTISSIMO

O Balance

o

ef

SERENISSIMO ArovE CLEMENTISSIMO DVCE ET DOMIN

K

Focus

ä

D

0

DOMINO

— —

--

CAROLO

Ed

HWVGhR W IRTEMBERGIJE

ET TECCIE REGNAI

&

REL. REL,

ü

"

m.

i

PRAESIDE

CHkISTOPH FRID. PFLEIDERFE

PHYSICES ET MATHESEOS PROF.

PVBL.

ORD,

X

PRO RITE CONSEQVENDIS MAGISTERII PHILOSOPHIC!

At

x

HONORIBVS

10

DIE

AFG, MDCCLXXXII.

PVBILXIICE

AD DISPVTANDVM PROPONjT

ll

IMMANVEL DAVID MAVCHART, Zuwbnge

"

ä

^

CANDIDATFS MAGISTERI! PHILOSOPHICI IN ILLV$TRI STIPEN

1

THEOLOGICO,

a ha

TFBING,E tTyris. SCHRAMMIANIS.

//

üþ Copyright 4/1999 YxyMaster GmbH www.yxymaster.com