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 Beyträge zur Ingenieurwissenschaft, 1 Kinsky, Franz N124519010992 021 1 S Ll’iercchn ee. G Bieyträge Ingenieurwiſſenſchaft— F. Gr. Kinsky, K. K. G. f. w. Er ſt es Stuͤck. Vont D 6 Erfah dber wv Pogene Etde, Winkeln ſch al ſen Erde mach ungefͤhr 45 G die fette einten die gelteine be Muitel hh. Man ſel Maer 4 auſe eine Fliche D. Naum 5cD ſchloſen, deſſen man die Fliche ergeſtalt abrol ibig hleebe, Es ſeh den Druck der ahralen, aſse Vom Druck der Erde auf Futter⸗ mauern. 9 hie Erfahrung lehret, daß eine friſch aufgehaͤufte, aber nicht geramte, oder mit Faſchinen durch⸗ zogene Erde, der nichts widerſteht, nach verſchiedenen Winkeln ſich abſchiebet. Die Abhangslinie der gemei⸗ nen Erde macht mit dem Horizont einen Winkel von ungefaͤhr 45 Graden, die ſandigte einen ſpitzigern, und die fette einen ſtumpfern. Wir werden hauptſaͤchlich die gemeine betrachten, welche zwiſchen beyden das Mittel haͤlt. Man ſtelle ſich vor, es ſey die Erde gegen eine Mauer Aaufgehaͤuft, und auf der andern Seite durch eine Flaͤche D E aufgehalten. Dieſe Erde iſt in den Fig. 1. Raum BCDE gleichſam wie in einen Kaſten einge⸗ ſchloſſen, deſſen Durchſchnitt ein Quadrat iſt. Naͤhme man die Flaͤche D E weg, ſo wuͤrde ein Theil der Erde dergeſtalt abrollen, daß nur jene des Dreyeels e CB E uͤbrig bliebe. Es ſey Q die Potenz, ſo die Flaͤche D E gegen den Druck der Erde aufhaͤlt; koͤnnte nun ſie ſo leicht abrollen, als eine Kugel auf einer ſchiefliegenden glat⸗ A 2 ten 4 ten Flaͤche; ſo wuͤrde die Potenz L der Potenz des Dreyecks B PE gleich ſeyn muͤßen, um die Flaͤche D E wider den Druck der Erde zu ſtuͤtzen: allein wegen der Zaͤhigkeit trennen ſich ihre Theile nicht ohne große Hinderniß; daher — wie man es auch aus der Erfah⸗ rung weis — druͤckt die Erde mit weniger Gewalt wider die Flaͤche D E, als eine gleiche Maſſe in runder Figur, anwenden wuͤrde; und es iſt genug die Haͤlfte der vori⸗ gen Potenz zu nehmen. Die Praxis widerſpricht um ſo weniger dieſem angenommenen Satz, als die Erde hinter den aufge⸗ fuͤhrten Futtermauern allezeit geſtampft — folglich ihre Zaͤhigkeit vermehrt wird. §. 2. Bevor wir zu den Aufgaben ſchreiten, iſt es noͤthig zu erklaͤren, erſtlich: warum wir haupt⸗ ſaͤchlich die gemeine Erde betrachten; zweytens, wie die Zaͤhigkeit der Erde die Kraft ihres Drucks um die Haͤlfte vermindern koͤnne. Im Fall einer ſchweren Erde gewinnt der Widerſtand der Futtermauer, bey der Berechnung nach einem Winkel von 45°; dann taͤg⸗ lich ſiehet man, daß Skarpen, auch einer ſandigen Erde, ohne Verkleidung mit Faſchinen oder Waſen, durch das bloße Stampfen, unter ſtumpfern Winkel, als von 45*, ſich einige Jahre ohne abzuſchieben, erhalten. Die Anwendungen der Aufloͤſungen der Aufgaben aber, ſind viel einfacher, als wenn auf unbeſtimmte Abdachungs⸗ winkel der abrollenden Erde geſehen wuͤrde; weil in Fig. 2. dem Fall eines Winkels von 45 allezeit die Linie 4 B = BD ſeden⸗ hetlacht FoE 0Rdu nie 07 die Ai duß das noinne ſer Oun ſo nmehr⸗ worden Gebndet ſolang ſnde, ſet, daj ſhas das es Erd ſchern 6 in ſch ls die nicht bel bicht, den, mi = B D iſt. Und fuͤr die Praxis iſt das Einfache zu⸗ traͤglicher, als aͤngſtliche Puͤnktlichkeiten. Wir nehmen die Zaͤhigkeit der Erde an, als ob ſie den Druck nur um die Haͤlfte verminderte. Nun betrachte man, daß das Trapez & Pdurch das Dreyrek *E gegen die ſchiefliegende Linie O P, das Trapez 0 R durch das Trapez G P gegen die ſchiefliegende Li⸗ nie Q R gedruͤckt wird, u. ſ. w. folglich die Kraft wider die Linie B D durch dieſen Druck vermindert wird, und daß das nehmliche von jedem der unendlich viel ange⸗ nommenen Trapezen koͤnne geſagt werden; folglich die⸗ ſer Druck der Trapezen die Potenz ſehr vermindere, um ſo mehr, als das Stampfen der Erde, wie ſchon geſagt worden, die Zaͤhigkeit vermehret. Es iſt auch nichts beſonders, daß eine Erde ohne Widerlage faſt ſenkrecht ſo lang ſtehe, bis die Tagwaͤſſer, und andere Nebenum⸗ ſtaͤnde, ſie zum Abſchieben bringen; woraus klar flie⸗ ßet, daß dieſe um die Haͤlfte vermehrte Zaͤhigkeit, oder was das nehmliche iſt, um die Haͤlfte verminderte Kraft des Erddrucks, ein angenommener Satz ſey, der aus ſichern Gruͤnden fließet, mittelſt welchen die Zaͤhigkeit in ſich (das iſt) die Verminderung der Kraft, um mehr als die Haͤl fte koͤnnte angenommen werden, wenn es nicht beſſer waͤre, den Widerſtand uͤber das Gleichge⸗ wicht, als unter ſelben zu halten. Erſte Aufgabe. Kinen allgemeinen Ausdruck der Kraft 314 ſin⸗ den, mit welcher die Erde wider eine Flaͤche oder A 3 Mauer 6 E Fig. 3. Mauer B D druͤckt, die — wenn ihr Freyheit zum Abrollen gelaſſen wuͤrde — eine Abdachung mit dem Horizont in einem Winkel von 45 Graden machte. §. 3. Die Linie 4 iſt der Hoͤhe B D gleich. Man nehme an, daß die Hoͤhe B D in unendlich viele gleiche Theile getheilet ſey, und daß von jedem Punkte dieſer Abtheilung man mit der Linie B D unendlich viele Parallelen gezogen habe; ſo entſtehen unendlich viele Trapezen, deren Summe dem Inhalt des Dreyecks 4BD gleich iſt; um alſo die Gewalt zu finden, mit welcher dieſes Dreyeck (das iſt) die Erde wider die Mauer druͤckt, muͤßen die Momenten aller dieſer un⸗ endlich vielen Trapezen bekannt ſeyn. Nun wollen wir den Ausdruck eines ſolchen Tra⸗ pez ſuchen. Es ſey die Linie B P=X; ſo iſt PO = V 2; dann P 0 iſt die Hypothenuſe des Dreyecks BoF. B P iſt = B O, und PR iſt = 4¼. Man ziehe die Linien P,, Oo ſenkrecht auf QR, ſo ſind die zwey Dreyecke RP, und O Qο 1 ‚folg⸗ ₰ 2 lich fuͤr nichts in Vergleichung mit den Trapezen zu achten; denn ziehet man die Linie Rn parallel mit Pp, und verlaͤngert 0 P bis ſie die Linie Rn in ſchneide, ſo iſt das Rechteck n den zwey Dreyecken Qαο, ρR gleich, und das Trapez QOPR iſt dem Rechteck Oον gleich; es verhaͤlt ſich aber jenes Rechteck zu dieſem, wie p R: OR; weil alſo unendlich klein iſt gegen 0 R — denn die Abſciſſe B P iſt nicht unendlich klein ange⸗ nommen worden — ſo folgt, daß man ſtatt des Trapez QοPR — . 90 de das Trape⸗ Nun i;nt po= als u fudent 291 iſt en Die Hoͤhe haͤlich? wvas tnan ece 05 =DR: ?) De⸗ ſiende =6 2; 0 Pauf ei nitnnt; u Aen 2 ſanden. Um mit ſeinenn ten; dieſe ſeet; dan e ſchiefen tenaſe de ſich iſ .- zum irdem te. gliich. viele nkte wiele vieſe ehecks mit er die 1 Un⸗ 1 Trg⸗ 0 = Bo. Ah, eft zu te, Meide, 3PE 0RE t, wie a 04 lge⸗ trapes PR —= 7 *NR das Rechteck Oοσσ nehmen koͤnne; daher wir das Trapez 0 PRQ dem Rechteck „ gleich annehmen. Nun iſt noͤthig P, — naͤmlich die Hoͤhe des Rechtecks Po — auszudruͤcken, um den Werth dieſes Rechtecks zu finden. EPR iſt = 4dX; alſo Pp = d X N; dann PpR iſt ein rechtwinklichtes Dreyeck, und P, = , K. Die Hoͤhe des Rechtecks mit der Laͤnge multiplicirt, naͤmlich PH O (= X V 2) P (=d X τ) iſt = & Xα was man auch folgendergeſtalt erſehen kann; die Drey⸗ ecke O PB und Pp K ſind aͤhnlich, folglich iſt O P: PB = PR: Pp; daher 0 P ι Pp = PBW P R= xXdx. Die Hoͤhe des Rechtecks Pp findet man auch auf folgende Art: Das Differentiale von PO ( V 2) iſt = dX V 2; dieſes wird durch 2 dividirt, weil die Linie auf einer Seite um , R, auf der andern um o Q zu⸗ nimmt; und o Q= Pp; alſo iſt R (= P) = dæX V 2; 2 allein 4 ½ 2 iſt = 4d& vs, was wir vorher ebenfalls 2 fanden. Um die Kraft des Trapez zu Fnden Riſt ſolches mit ſeinem correſpondirenden Hebelarm zu multiplici⸗ ren; dieſer aber iſt D F = 4 — x, wenn man B D = 4 72 ſetzet; dann die Kraft des Trapez wirket auf PD nach der ſchiefen Richtung o F; PD = 4 — iſt die Hypo⸗ thenuſe des des Dreyecks 5 FD; und PFiſt = D F; folg⸗ lich iſt . — = 2 Pf; daher iſt 2 — * = D F. V 2 A 4 Folg⸗ Folglich iſt die Kraft des Trapez = r 4 xX D F= (a — ) —.ß0¶ 3 CrdxX) = 2 XdX — xX dX. V 2 V 2 V 2 Um die Summe aller Produtten aus den Trape⸗ zen und correſpondirenden Hebelarmen von bis Pzu finden, muß dieſe Differentialformel integriret werden. und es iſt /. (a4XAX — xX* dx) = ax ½ — Xxz V 2 2 2 2 3 2 Nimmt man X= a, ſo iſt a 1v½ - x* = 43² 42, und 2 V2 3V2 6 V2 dieſes iſt die Summe von allen Produkten der unend⸗ lich vielen Trapezen, welche das ganze Dreyeck 4BD ausmachen, mit ihren correſpondirenden Hebelarmen. * 1 Anmerkung. §. 4. In folgenden Aufgaben werden wir die Linie PD als den correſpondirenden Hebelarm des Trapez Q Pbetrachten, damit die Futtermauer ſtaͤrker werde; und da wird die Summe von allen Produkten der unendlich vielen, und mit PD multiplicirten Tra⸗ pezen = *; dann PD iſt = a — X; und D F= àa — ; 6 A2 wodurch die Futtermauern eine Verſtaͤrkung von be⸗ kommen. Dann 4 — X; a — X = V 2: I = 1 : I * 7: 5. NYez Zuſatz. * Belidor betrachtet ebenfalls die Linie PD als den cor⸗ reſpondirenden Hebelarm des Trapez O P; ohnfehl⸗ bar aus Verſehen; denn da er das Gewicht des Trapez ge iguie dr, be der Summn eine gewiſ Peg jene Cigenſhef ene Ede, 6reden Die Hche 15 Beit, ſo viel Dreheck 6 Das Dreyeck wird dae die hrigen der Quadr werden; tn bzb z,, bybe, Trape il den u ber GSat Giche liſche * agenie 9 — Zweyte Anmerkung. Z §. 5. Belidor deutet die Potenz des Erddrucks lan. allgemein durch b;f an. Den Werth von bf zu fin⸗ di den ?*, bedient er ſich einer weitlaͤuftigen Berechnung L der Summe einer aus zwo arithmetiſchen Reihen auf en eine gewiſſe Art entſtandener Reihe. Ich ſuchte einen Weg jene zu verkuͤrzen, und verfiel auf eine beſondere Eigenſchaft jener neuen Reihe. Belidor betrachtet „I d jene Erde, welche die Abdachung in einem Winkel von Fig. 2. 242425 Graden mit dem Horizont machtz daher BA = ; D. e Diie Hoͤhe D, die er von 15 annimmt, theilet er in 49 b 15 Theile, nach ſeinem angenommenen Satz, die Hoͤhe e. in ſo viel Theile zu theilen, als ſie Schuhe hat. Das Dreyeck &S nennt er b. Das Trapez G P iſt dreymal ſo groß, als das Dreypyeck HBG; dann GH: BOP= = B H: ̊ P = 4:1 ter. ſo wird das Trapez 36. Eben ſo ſieht man, daß ten die uͤbrigen folgenden Trapezen durch die Differenzen Tre⸗ der Quadraten der natuͤrlichen Zahlen ausgedruͤckt ,; werden; wodurch folgende Progreſſion entſtehet: — b,3 b,5b, 7 b, 9b, 11 b, 13 b, 15 b, 17 b, 19 b, 2 1 b, 23 b, 25 b, 27 b, 29b. A 5 Nun le⸗ i Trapez in den Punkt P verſetzt, ſagt er nicht, daß er den Hebelarm verlaͤngern will, um den Widerſtand zu vermehren; in welcher Abſicht er dennoch als einen ntnn⸗ B Satz annimmt, man ſoll die Futtermauer allezeit ſche⸗ Sicherheit wegen um dicker bauen, als der theore⸗ . des tiſche Werth zeiget. e * Ingenieurwiſſenſchaft B. I. H. 32. Nun ſtellet er ſich vor, daß eine durchb ausgedruͤckte Potenz am Ende 1 des Hebelarms D, eine andere durch 3 b ausgedruͤckte Potenz an dem Ende des He⸗ belarms D H wirkt, u. ſ. w. folglich, daß ſo viel Hebel⸗ arme, als Potenzen ſind, welche Hebelarme eine arith⸗ metiſche Progreſſion der natuͤrlichen Zahlen ausma⸗ chen, wovon das erſte Glied der Hebelarm D, und das kleinſte der Hebelarm K D ſeyn wird. Darauf ſetzt er jeden Hebelarm unter ſeine correſpondirende Potenz; da entſtehen folgende Reihen: b/ 3 b/ 5b/ 7 b/ 9 b/ 11 b/ 13 b/ 15 b 17 b/ 19 b 2 I b/ 23 / 25 b, 27 b/ 29 b. 15. I4. 1 3.12, 11. 10. 9. 8. 7. 6. S. 4. 2. 2. 1I. Es wird ein jedes Glied der obern Progreſſion mit dem untern mutltiplicirt, und die Produkte addirt. Nun wollen wir den kuͤrzern Weg ſuchen, die aus jenen zwo Progreſſionen entſtandenen Glieder zu ſum⸗ miren; da naͤmlich B D in 15 gleiche Theile getheilet wird; obwohl wir (wenn B D in unendlich viele, und unendlich kleine Theile getheilet waͤre) jene Summe mit groͤßter mathematiſcher Schaͤrfe, und viel weniger Muͤhe, als Belidor, beſtimmet haben. Zweyte Aufgabe. Die Summe der aus folgenden zwo arithmeti⸗ ſchen Progreſſionen . . . . . . . . b/ 2 b/ 5 b,/ 7 bz 9 b/ I11 b/ 13 b/ 15 b/17 b/ 19 b/ 2 1 b 2 3 b/25 b/ 27 b 29 b. I5§. I4. 13. I2. II. 10. 9. 8. 7. 6. S. 4. 3. 2. I. auf obgeſagte Art entſtandener Glieder, auf eine all⸗ gemeine Art zu finden, da naͤmlich das erſte Glied der obern mit dem erſten Glied der untern Reihe mul⸗ tiplicirt tplicrt! woraus werden⸗ . 22-1 bedeutet. E A tan wo orit gedrickt 1 wird alt die gahlt lnan ſich zubiſſer 215— Gliedes hetiſche D Progren ſiplicirt Dbernt,in ſon aus der u (belches in an rückte andere es Re⸗ Heleb arith⸗ homa⸗ ddas ſegtet tenz; 7 b 2a9b. 2. l. reſion Dirt. die aus 1 ſul⸗ etheilet , und Sumine beniger thneri⸗ de. 3. 1. ine al⸗ e Gled hemul⸗ ſcirt tiplicirt wird; das zweyte mit dem zweyten, u. ſ. w. woraus eine neue Reihe entſteht, welche ſoll ſummirt werden. §. 6. Jedes Glied der obern Progreſſion druͤckt (2 — 1) ballgemein aus, wenn die Stelle des Glieds bedeutet. z. B. Es ſey æ = I ſo iſt 2. I — 1 = 1 X = 2 2. 2 — I =— 3 X = 3 2 . 3 — I = 5, u. ſ. w. Alſo kann jeder Faktor 1. Z. 5. ꝛc. der obern Reihe der zwo arithmetiſchen Progreſſionen durch 2 — 1 aus⸗ gedruͤckt werden. Jedes Glied der untern Reihe 15, 14, 13, ꝛc. wird allgemein durch n — æ + I ausgedruͤckt, wenn n die Zahl der Glieder, und æ die Stelle des Glieds (welches man ſucht) bedeutet; z. B. man verlangt das eilfte Glied zu wiſſen. Es ſey n = 15, X = 1I1; daher n — X + I = 15 – II †+ 1 = 5, naͤmlich der Zahl des eilften Gliedes in der untern Reihe der beſagten zwoen arith⸗ metiſchen Progreſſionen. Vermoͤg Bedingniß, ſoll jedes Glied der obern Progreſſion durch das gerad unter ſelben ſtehende mul⸗ tiplicirt werden; folglich da 2 æ — 1 jedes Glied der obern, und n1 — ½ + 1 jedes Glied der untern Progreſ⸗ ſion ausdruͤckt, ſo ſind dieſe zwo Formeln unter einan⸗ der zu multipliciren, um jedes Glied der neuen Reihe (welches aus dieſer Multiplikation entſpringt) allge⸗ mein ausdruͤcken zu koͤnnen; das Produkt derſelben nach N 12 ⸗=ðð nach gemachter Reduktion, naͤmlich von (2 — 1I) (n – x † I) iſt = 3 x 2 x — 2 X² — n — I 5 oder X (3 + 2 n) — 2 X — u — 1. Verlangt man mittelſt dieſer Formel das Pro⸗ dukt des neunten Gliedes der obern, und neunten der untern Reihe der zwo arithmetiſchen Progreſſionen, ſo iſt x = 9, und es ſey n = 15; alſo 3.9 2. 15. 9 — 2. 9²— 15 — I = 27 + 270 — 102 — 15 ·— 1 = 119, welches das Produkt des obern neunten Glie⸗ des 17 mit dem untern neunten 7 iſt; denn b laſſe ich hier weg. Dieſe Formel druͤcket alſo jedes Glied der neu entſtandenen Reihe aus. Das erſte, wenn X = I1 iſt, das heißt, (wenn die erſte Stelle bedeutet); das zwey⸗ te, wenn æ = 2 iſt, ꝛc. und das letzte, wenn æX = n, das heißt, wenn x gleich der Anzahl der Glieder. Nun die Summe aller — 1 iſt — I. un = — n, denn ſo viel als Glieder ſind, ſo oft erſcheinet — 1; da aber n die Zahl der Glieder ausdruͤckt, ſo erſcheinet — I, mal. Die Summe von allen — n iſt = — u. n, weil — n eben ſo als wie — I in jedem Gliede erſcheint. Die Summe aller — 2 X; iſt = — 2 n?* — u — n, denn die Summe aller Quadraten der natuͤrlichen Zahlen von 1 angefangen, wenn die groͤßte Zahl iſt, iſt = * + * †+ G. Allein in unſerm Fall iſt die 2 6 groͤßte Zahl, alſo 1 = ; folglich die Summe von al⸗ len lnn n und =2 — k — ler Glie⸗ das größte ſich iſt 7 vitd mult ſ moß AUle dieſe 32 1 t. — 1) ODder Pro⸗ en der ſonen, 115.9 “ nGli⸗ ſe ich er hen 1 da weil .„De denn dohlen iſt, 1n die 13 len x (welche u mal vorkommen) = 2² + n + n — — 3 2 6 und — 2 X²* = — 2 u3 — 2 n2 + 2“ = — 2 uz 3 2 6 3 — 3 Die Summe aller x (3 + 22n) = (3 +2 ) 2 2.2 . . S 2): denn vermoͤg der Eigenſchaft einer 2 2 arithmetiſchen Progreſſion iſt nu“ + 7 = der Summe 2 2 aller Glieder, wenn die Zahl der Glieder, und zugleich das groͤßte Glied bedeutet, und 1 das kleinſte iſt; folg⸗ lich iſt n²½ + 2 = der Summe von allen x. Aber 2 2 wird multiplicirt mit 3 +¼ 2; und das in jedem Glied; alſo muß u †+ u mit 3 + 2 u multiplicirt werden. 2 2 Alle dieſe Summen zuſammen geben (3 + 22) — 2 1 — u3 — — 2²2 — — n3 2 2 3 3 3 1n* +†+ n. Alſo iſt die Summe aller aus den zwo 2 60 arithmetiſchen Progreſſionen entſtandenen Glieder = ⸗ n3 + n* + N Wenn man ? in allen Gliedern der obern Pro⸗ greſſion weglaͤßt; ſo hat man folgendes Theorem: Die 14 Die Summe aller auf obbeſagte Art entſtandenen Glieder, iſt die Summe der Quadraten der natuͤrlichen Zahlen, welche in der untern Reihe vorkommen. Denn u; †+ n + n iſt, wie bekannt, die Summe ſol⸗ 3 2 6 cher Quadraten. 3 + 6 † 5 = 14; und 3² + 2 ²¾ + 1³ iſt auch = I4. Es ſey n = 15 naͤmlich die Zahl der vom Belidor angenommenen Glieder; ſo iſt? ( 15 ⁵+ 15 ² + ) 3 2 6 = 1240 b = der geſuchten Summe; welche im Be⸗ lidor auch vorkoͤmmt, die er aber (weil er auf kuͤrzere Methoden vielleicht nicht dachte) mit mehr Muͤhe hat ſuchen muͤßen. Anmerkung. §. 7. Durch die Formel u“ + u²* + findet 3 2 6 man den nehmlichen Werth, den wir (§F. 4.) erhalten haben. Dann iſt n = 0σ, ſo wird u* + = 0; und 2 6 man hat us b. 2 ₰ Es iſt zu merken, daß die Oberflaͤche des Drey⸗ ecks H G B (?) = ½; da naͤmlich nicht einen Schuh, ondern einen unendlich kleinen Theil P½ H bedeutet; 9 daher iſt us bh = us. Dritte z. B. Aus 1, 3, 5, erhaͤlt man EPxpen zu ſidden, uni Aacungslin K 8. vas immer lle; desglech deiln Wintel L. fols bekanut iſt Duamnde i= ho; der Winel mit der⸗ folglich ſnd in Guten dutch d Es ſy 11 N N LBD 50;, fohlich . Nun iſ n Verth eines T⸗ ich diele angend da das A b, 1RÄ(Ie) = E 00, eR n beſen Aunn. ſudenen gtichen fommmnt, mmine ſo⸗ lt mnan it. n Beldoe 1 6 a Be⸗ f firzee Pfte hat 1 findet 9 erhalten 20; und des Oreſ⸗ Schah, hedeutet; Ditte falls bekannt iſt. Dritte Aufgabe. Einen allgemeinen Ausdruck des Krddrucks zu finden, unter was immer fuͤr einem Winkel die Abdachungslinie mit dem Horizont ſey. §. 8. Die Linie L8 iſt allezeit bekannt, unter was immer fuͤr einem gegebenen Winkel die Erde ab⸗ Fig. 3. rolle; desgleichen die Linie D (die Mauerhoͤhe) nebſt dem Winkel LBD; daher die dritte Seite (L D) eben⸗ Denn die Linie B D iſt bekannt, der Winkel L BD iſt = 90; der Winkel B LD iſt gleich dem gegebenen Winkel mit dem Horizont und der Abdachungslinie LD; folglich ſind in dem Dreyeck L D alle Winkel und Seiten durch die Trigonometrie bekannt. Es ſey LD = h; LB = e; BD=a; PB=; das △ LBD ◻ AQA BOP; daher BD: D L:: B P: P0; folglich ?PO = h . . Nun iſt noͤthig, wie in der erſten Aufgabe, den Werth eines Trapez zu finden, deren ebenfalls unend⸗ lich viele angenommen werden. PR iſt = dæ; und da das AQ Pâ†%R & iſt dem a εDTL; ſo iſt L D (): PR(X) = L B (e): (S die Dreyecke 9°o, PRp ſind = I , was man, wie zuvor, be⸗ — 0.2 weiſen kann. Der Inhalt eines ſolchen unendlich fkleinen Fig. 2 TLPD. kleinen Trapez iſt ed ι Xbh = exAX; und deſſen b 4 42“ Produkt mit dem correſpondirenden Hebelarm 4 — r iſt = (4 — *) e — % X 4½ — e v⸗ . Die .ℳ Integration giebt die Summe aller Produkten von den Trapezen mit ihren correſpondirenden Hebelarmen von P bis B. Und es iſt /e(eX — ex⸗ ex: d r) = ex⸗ —e ſetzt man fuͤr æ die ganze Mauerhoͤhe D B (2), ſo wird eXS = ea = dem Druck der ganzen Erde 6X2 — 2 . 3 *½ 6 Erſte Anmerkung. §. 9. aX Axr — x* Ad iſt im Falle der erſten Aufgabe der Ausdruck eines jeden mit dem correſpon⸗ direnden Hebelarm multiplicirten Trapez (das iſt) mit der Entfernung von dem Punkt D. Man differenzire aXAX — 2 2 a, betrachte aber die Abſciſſe X als gleich zunehmend, folglich iſt ihr Differentiale unver⸗ aͤnderlich, ſo erhaͤlt man 4 (2 X — *dX) = a d x? — 2 % 4X*. Es ſey 24X* — 2 r dx = 0, dadurch wird ad* 2 dX; und 4 = Xæ; folglich iſt jedes Tra⸗ 2 pez, welches mit ſeinem correſpondirenden Hebelarm multiplicirt das groͤßte Produkt giebt, in der Mitte. Zweyte * Ich habe dieſe, und einige nachfolgende Wahrheiten nicht ausgelaſſen, obwohl man die Anwendung nicht alſogleich K 1 ge ni ien hil geben, ſ ſete ma 2; , witd 44 ſt reilr= ginung der On ethaͤt man — Jrigen, ſethi girntnt man ober 2/— 1, ſo belche von dem peit engfernet ſo “ ſdes Trope, i/ n demn Hal naͤmti 34 Eig. 2.]) geich eitemn Winkel von ſoolich ſi giebt Gelegen fillt nan auf theil onzuwen Aungen ſuchen demiſtunlaug eine ſede volke ine große Vul ud deſſen n 4— Ar. Dee len von den x —,; 2 34 19), ſo witd anzen Crde diſetendäre ſeiſſe als = 44* duech wird ſ jehes ra⸗ Hebelarmm. r Mitte. Zweyte Wahrheiten wpendung un eſſogieich Zweyte Anmerkung. S. 10. Will man zwey Trapezen finden, wel⸗ che mit ihren Hebelarmen multiplicirt gleiche Produkte geben, ſo ſetze man die eine Abſciſſe = X, die andere [= 2z; ſo wird 2 X — X* X = a2dzZ — zz; das in ſtſt (weil AX = d 2) « — X X = 2æ — 2². Nach Er⸗ nenden? gaͤnzung der Quadraten und Ausziehung der Wurzel erhaͤlt man x — 4 = + Z ᷑ P†; nimmt man die obere 2 2 Zeichen, ſo erhaͤlt man æ = 2, alſo keine neue Abſciſſe; nimmt man aber die untere Zeichen, ſo erhaͤlt man 2 = 4 — ; alſo iſt die Kraft jener Trapezen gleich, woelche von dem Mittelpunkte der Mauerhoͤhe gleich der erſen cotreſpon⸗. s iſt) nit . §. II. dx (a — *) druͤckt das Produkt aus weit entfernet ſind. Dritte Anmerkung. jedes Trapez mit ſeinem correſpondirenden Hebelarm; iele undet⸗ in dem Fall naͤmlich, daß die Mauerhoͤhe DB der Linie BA (Fig. 2.) gleich ſey; das iſt, wenn die Erde unter einem Winkel von 45 ° mit dem Horizont abrollet. 3 Allein alſogleich ſieht. Keine Wahrheit iſt unnuͤtz; jede giebt Gelegenheit andere zu entdecken; endlich ver⸗ faͤllt man auf eine, die alſogleich mit groͤßtem Vor⸗ theil anzuwenden iſt. Ueberall nichts als Anwen⸗ dungen ſuchen, iſt Kalendermachers Sache. Nebſt dem iſt unlaugbar, daß, wie der große Euler ſpricht — eine jede vollkommen bewieſene Wahrheit, in ſich ſelbſt eine große Vollkommenheit enthalte, Allein «4 ½ — XX = ) iſt die Gleichung zum eiter auf Zirkel, deſſen Diameter = 4; daher verhaͤlt ſich die — Wiumten Kraft der Trapezen, wie die Quadraten der correſpon⸗ ſder Aun direnden Semiordinaten eines halben Zirkels, welcher Aeenne auf der Mauerhoͤhe B D beſchrieben wurde; um alſo Clipſe unt die Summe aller Kraͤften dieſer Trapezen zu finden, lolen wird iſt nur noͤthig die Summe von den Quadraten aller Semiordinaten mit 4π zu multipliciren; folglich wird die Wirkung aller Trapezen ausgedruͤckt durch die ab⸗ K1 gehauenen Theile eines Koͤrpers, welcher entſtehet, wenten Au wenn man den beſchriebenen halben Zirkel waſſerrecht des Wale hebet, alſo zwar, daß der Mittelpunkt vom Durchmeſ⸗ en weir un⸗ ſer ſenkrecht ſo lang aufſteige, bis ſolcher eine mit des mnemn der Halbmeſſers Laͤnge gleiche Hoͤhe erreiche, damit ein Das Viereck beſchrieben werde; ferner, daß jede Semiordi⸗ Aeſtor, nate 1 eben ſo hoch gehoben werde, als ſie ſelbſt die Eie d ¹ eſchoft zu lang i Wierte Anmerkung. Wnän F. 12. Der Werth jedes Trapez mit ſeinem He⸗ des Crooruc belarm multiplicirt iſt X G — ), wenn die . enng de a n Ansdrn Mauerhoͤhe der Linie B L (Fig. 3.) nicht gleich iſt; (das Aicd iſt) wenn die Erde unter einem ſpitzigern oder ſtum⸗ pfern Winkel als 45° vom Horizont ſich abſchiebet; geiß eey de allein ex — eXà = 9 iſt die Gleichung zur Ellipſe, in uonditend Fig. 4. .4 . welcher e den Parameter, und die groͤßere Axe aus⸗ Aln begen druͤckt; daher verhaͤlt ſich die Kraft der Trapejzen, wie un der Eun die Quadraten der correſpondirenden Semiordinaten l mit ihn 17 einer ———— 19 ni öum einer auf der Mauerhoͤhe B D beſchriebenen, und ſchon 10 die beſtimmten, halben Ellipſe; folglich wird die Wirkung rleſtol⸗ jeder Trapezen ausgedruͤckt durch die abgehauenen weſcer Theile eines Koͤrpers, welcher entſtehet, wenn die halbe uin alſo Ellipſe unter naͤmlichen Bedingniſſen in die Hoͤhe ge⸗ nden, hoben wird, als in voriger Anmerkung der halbe Zirkel. len aller ( lichvird Fuͤnfte Anmerkung. ia⸗ §. 13. Durch die Aufloͤſung der erſten und enſſtehe, Dweyten Aufgabe haben wir den allgemeinen Ausdruck ſerchh des Werths vom Drucke der Erde gefunden; itzt wol⸗ uchne⸗ Uen wir unterſuchen, nach welcher Theorie die Futter⸗ litt des nauern der Terraſſen, Waͤlle, ꝛc. aufzufuͤhren ſind. amit ein Das meiſte Licht in dieſer Materie hat man Semniotdi. Belidor, wie bekannt iſt, zu verdanken. Ich nehme ſe ſeht. die Saͤtze dieſes wahren Klaſſikers der Ingenieurwiſ⸗ ſenſchaft zum Grunde; allein ich bediene mich eines andern Ausdrucks fuͤr den Werth der Potenz (das iſt) mnen he⸗. des Erddrucks, um den vielen Weitlaͤuftigkeiten in An⸗ wendung der Formeln auszuweichen, welche durch ſei⸗ ſenn die 8 nen Ausdruck (?†) der Potenz entſtehen. iſt; Das Durch die Integration fanden wir, daß 5 bſchilet; gleich ſey der Summe aller Produkten mit ihren cor⸗ Elipſe, in reſpondirenden Hebelarm, und nahmen dafuͤr a an. . 1 6 Ate al⸗ Alllein wegen der Zaͤhigkeit der Erde iſt nur die Haͤlfte een rie von der Summe dieſer Produkten zu nehmen. Um 5 4 ſginaten alle mit ihren Hebelarmen multiplicirte Trapezen in einer B 2 andere andere Potenzen zu vertehren, welche an dem Punkt (Fig. 2.) angebracht werden ſollen, muß 4 mit di⸗ vidirt werden; denn es wird ſeyn 4: 4 — X = 2 dx: dt, won eine neue unendlich kleine Flaͤche andeutet, die an den Punkt E angebracht werden ſoll. Es iſt alſo (a — xX) æ dx = dt; folgſam muß ein jedes unendlich kleines, und mit ſeinem Hebelarm multiplicirtes Trapez (welches = iſt (2 — *) æ 4X) mit 4 dividirt werden. Deswegen muß man 4 mit dividiren. Ferner, da die Schwere einer Kubikklafter Mauer zu jener der Erde ſich wenigſtens verhaͤlt, wie 2: 3, ſo ſind « vom 4³ Werth des Erddrucks zu nehmen, folglich iſt — — ℳ 2Xx1 π (das iſt) die an den Punkt u angebrachte Po⸗ 42 . 6.3 Sechſte Anmerkung. §. 14. Es wird vorausgeſetzt: erſtlich, daß die Mauern betrachtet werden, als ob ſie auf einem voll⸗ kommen feſten Grund ſtuͤnden, dergeſtalt, daß, wenn ſolche von einer Potenz geſtoßen oder gezogen wuͤrden, ſie ſich auf ihren Grund neigen koͤnnten, wie z. B. ein Wuͤrfel auf einem Tiſch. Dabey nimmt man nichts an, was nicht ſich oft ereignete. Die Bruckenpfei⸗ ler, ſet, und e enern No chem Net oben iinau⸗ nolen wit leſimnte D Bleyſchuß, ein Nebenun her hie e ſchie Man leſtürden, d gebrochen bung des Nebenutnſt Deorie fol fann man ob er einen ſtlte; dam paralelen e⸗ nccht ſehen, wich ihre he und Die d. da vorder i wenn ſee dun Puntt ? nlt« di⸗ Arit, et, die iſt alſo adlich 5 Tragez werden. Ferner, ſeter deet d ½ donm 43 4 ie Po⸗ ich, daß nemn vol⸗ aß, twenn wuͤrden, B. ein an nichts kenpfei⸗ ler, ler, und auf Pfaͤhle aufgefuͤhrte Mauern ſtehen auf einem Roſt, der ihnen zur Grundflaͤche dient; in wel⸗ chem Falle die Mauer nur von der Einziehung an bis oben hinaus zu betrachten koͤnmmt. Von dieſer Art wollen wir alle annehmen, weil die Mauergruͤnde keine beſtimmte Tiefe haben; und wiche die Mauer aus dem Bleyſchuß, weil der Grund nachgaͤbe, ſo waͤre dieſes ein Nebenumſtand, der nichts zu der Theorie, von wel⸗ cher hier gehandelt wird, beytraͤgt. Zweytens, ſoll man ſich die Mauern vorſtellen, als ob ſie aus einem Stuͤcke beſtuͤnden, daß ſie zwar koͤnnten umgeſtuͤrzet, aber nicht gebrochen werden; da die ſtaͤrkere oder geringere Ver⸗ bindung des Mauerwerks von den Materialien und Nebenumſtaͤnden herruͤhrt, die ebenfalls nicht zu der Theorie folgender Berechnungen gehoͤren. Drittens, kann man den Durchſchnitt einer Mauer anſehen, als ob er einen unendlich kleinen Theil der Mauer vor⸗ ſtellte; dann eine Mauer beſtehet aus unendlich vielen parallelen ebenen Flaͤchen, die auf den Horizont ſenk⸗ recht ſtehen, und eine unendlich kleine Laͤnge haben; wo ich ihre zwo Dimenſionen, die ſie enthalten, fuͤr die Hoͤhe und Breite anſehe. Vierte Aufgabe. Die Dicke einer Mauer zu finden, welche auf der vorder und hintern Seite bleyrecht aufgefuͤhrt iſt, wenn ſie durch ihre Schwere einer Potenz ) 6. 3 das Gleichgewicht halten ſoll. §. 15. Es iſt gleichguͤltig, ob die Potenz P Mil zun Fig. 6. (S von K nach & druͤcke, um die Mauer umzu⸗ c und (6 3 .6 und mi 3 i fdenn ſtuͤrzen, oder von 4 nach Rziehe; daher iſt das Gewicht I= 2. Mder 150, deſc nach der Ki Grundlinie. Ferner nimmt man an, doß nach gefundenen Schwerpunkt des Rechtecks, deſſen ganzer Inhalt in dem Gewicht G zuſammen gebracht, an dem Mittel⸗ punkte E der Lime CD hange. 4C und CD ſind an⸗ zuſehen, als zween Arme eines gebrochenen Hebels, F 1 deſſen Ruhepunkt in C iſt. he1=, Es ſey die Mauerhoͤhe 4 C = 4; das Gewicht „„ Emdg med (die Potenz) = a“, die Linie D C (die Oecke der NMauer welche geſucht wird) =y; 6 (der Inhalt des Rechtecks) = 4) ; daher A4: 49 = 9: a; folgſam 7½ = . 3 ‧6 32. 4 gem C F d — — 4. 3 Zuſatz. ben tiir gefn §. 16. Wirkte die Potenz Iauf den Hebelarnm— Fig. 7. 4 C nach einer ſchiefen Richtung, als von 4 nach K, des Dreyeck⸗ ſo iſt anſtatt des Arms CA die Linie C6, welche auuf der Richtungslinie 4 6 der Potenz ſenkrecht ſteht, als iteinrl der Hebelarm zu betrachten; daher wenn C4 = 4; C6G = c; die Grundlinie C D =); ſo iſt a³: a9 * Dice 3. L mauer = r una Ntenz b r umu⸗ Geſbicht Udenen . nhelt in Mitel ſnd aſ. ebes, bicht l, Maner chtecks) 2 43* 1.5 Nhelartn nach K, ſche auf e, als 4=—45 649 = M — — 7 — — finden. = 3 =1t9 tc; undy = /44. = Wcg; folglich iſt zwiſchen 3 .3 3 4C und C6 die mittlere Proportionallinie zu ſuchen, und mit 3 zu dividiren, um die Mauerdicke C D zu Fuuͤnfte Aufgabe. Wider den dreyeckigten Durchſchnitt der Mauer 4ABC, deſſen Kuhepunkt in C iſt, wirket die Potenz nach der KRichtung von K nach ; man ſucht deſſen Grundlinie 4 C, (das iſt) die untere Mauerdicke. §. 17. Es ſey die Linie CD gleich der Mauer⸗ hoͤhe BA = a; die Grundlinie C 4 =); ſo erhaͤlt man vermoͤg mechaniſchen Grundſaͤtzen ½9 fuͤr den Hebel⸗ arm CE des Gewichtes (E2); daher verhaͤlt 2 1 1 4 ²: 4) = ¾Y: a; folglich 7 SMR. X 3.6 2 6 Erſter Zuſatz. §. 18. Fuͤr die Mauerdicke des Rechtecks ha⸗ ben wir gefunden 79 = 4; und da fuͤr die Mauerdicke 6 des Dreyecks 5 = 1. 24; alſo verhaͤlt ſich der Durch⸗ 6 ſchnitt einer laͤnglicht viereckigten Mauer zu dem Durch⸗ ü— 4 ſchnitte * Dieſe Aufgabe dienet, um die Vortheile der Futter⸗ mauer mit einer Boͤſchung auf einer Seite faßlicher zu machen. ſ. Gnite jener dreyeckigten von gleicher Hoͤhe, wie † V 4 =— F: VI= I: 32 V 1 =I: ie rie —,— Und y2 ϑα223, dann 2 ¾ 3, Zweyter Zuſatz. Unter allen Figuren von gleichen Inhalt eines Durchſchnitts iſt der Widerſtand der dreyeckigten der groͤßte. §. 19. Es ſey 4B = 4; 4C = b; ſo iſt das Fig. 8. Gewicht = ab; folglich der Widerſtand = a*. 2 3 Es ſey FE = b, ED = a; ſo iſt das Gewicht 2 . Fig. 9. N = zb, und der Widerſtand dieſes, im Inhalt dem 2 Dreyeck gleichen Rechtecks = ½ a be; allein ab*s — ½ a b'. Fig. 10 Es ſey HI = c, und 7 = ; ſo iſt der Inhalt des Trapez = 4 † aα = * a; und „ = b – c; und 2 2 der Inhalt des Rechtecks = —): folglich das Moment des Gewichts OQ = (e 6 — a 2) ☛ 3 und des Gewichts M=Xαriρα— und der Widerſtand dieſes 3 Trapez — 45² + 2b — 3 a c* †+ à* ab † ab. Denn es bb:— 6. — Un igten D Die auf der ei mit einer⸗ ihren W⸗ Exde), t das iſe) ch entſteh 5D oder Eeſ Monerreh Und das G Nr Geti ſe, we — 4 z. Aern en — b2 *† abe — 465 oder 1 . DE 24 8 4 24 6 †+ 6 — dann b? — b* — — 2, i eeee w 24 oder 56 65 6— c²; das iſt: 5 b² ☚ 6 b, — c?². 24 24 24 l eines Denn es ſey = b – n (weil =9); ſo wird 55²* igten der 6 bN — 6 b m — b' — ma †+ 2 bm; oder 3 2 56a¹ — 4bm — m. Alſo iſt der Widerſtand des drey⸗ diſs ecckkigten Durchſchnitts der groͤßte. l 4 Sechſte Aufgabe. Die obere Dicke einer Mauer zu finden, welche auf der einen Seite bleyrecht, auf der andern aber mit einer Abdachung aufgefuͤhrt iſt; damit ſie durch ihhren Widerſtand mit der Potenz (dem Druck der in d413 Erde), welche ſie umzuſtuͤrzen ſucht, im Gleichge⸗ . Gebicht olt denn . wicht ſey. r Iuhelt §. 20. Das Dreyeck G' iſt bekannt; weil —d ein Theil der Mauerhoͤhe fuͤr deſſen Grundlinie G H, Fig. 11 (das iſt) fuͤr das Mauerrecht angenommen wird; folg⸗ ſich da lich entſteht nur die Frage um die Groͤße des Theils . BD oder FG. 5440. Es ſey BD =); die Mauerhoͤhe B G = 4; das 2) Mauerrecht H G = 4; folglich das Gewicht N= 49, unddiees und das Gewicht M = 44d. Nachdem die Momenten t der Gewichter N und M auf das aͤußerſte Ende des 4 ” . B 5 Hebelarms 26 —☛—— Hebelarms EI in I ſind gebracht worden; erhaͤlt man 4)) †+ 2 ady †+ add; allein dieſes Dewicht ſol mit 2 3 der Potenz P im Gleichgewicht ſenn; das heißt, (ver⸗ moͤg vorausgeſagten) = * ; dahero a α☚ 4 = 3.·6 3.6 zn t a2 + add; folglich iſt die Mauerdicke 4B (= „2 7(12) — .. . Erſter Zuſatz. §. 21. Nimmt man nach Vauban fuͤr das Mauerrecht den fuͤnften Theil der Mauerhoͤhe; ſo wird im Falle der Aufgabe auf einen ſehr kurzen Ausdruck gebracht. Es ſey das Mauerrecht (4) gleich dem fuͤnften Theile der Mauerboͤhe 4; ſo iſt 4 = 4; folglich 7 = 5 2 2 (E 2) = e (, -e 3.3 3.25 V 4) — = e 1r- 2 4 3.3. 25 5„ 3. 5§ 5 3‧ §5 (2V7 — 3). Nun iſt V7 = 2, 645 ... nimmt man anſtatt 2, 645 .. die Zahl 2, 7 (wodurch die Staͤrke des Mauerrechts vergroͤßert wird); ſo iſt 9 = 4 2. 27 — 3 °54 — 30 N = *% . 24 — —,— 3 ‧5 10 3‧5 10 3.5 10 — 4 * ð 25 Nimmt Poten⸗ = die Aoͤacht 45 macht; Dinie 3 chungslinie mit dem den haben, Mltiplicirt des Heelau ltſeichen; iſr des ſo wird uodruͤck fünften ch)= 27 Nimmt man nach andern Ingenieurs den ſieben⸗ ten Theil der Mauerhoͤhe fuͤr das Nauerrech ‚daß aſ⸗= —; bt»= V (: — 7.2. 3 7 = 2vG. 7 † 3) — = 1V: — 4 2 4 7.3 S 7 7. 3 7 7.3 VI — 34 = 2 la 13— 3). Nimmt man 7.3 7. 3 V13= Z on e (as3 5 (4 = 2 21 — 4. 7,3 5 5 Zweyter Zuſatz. §. 22. Bisher wurde allezeit angenömmen die Potenz = a, ſo der Werth iſt des Erddrucks, wenn 3. 3.6 die Abdachung mit dem Horizont e einen Winkel von 45 macht; allein, wenn die Linie L (Fig. 3.) der Linie B D nicht gleich iſt, das heißt, wenn die Abda⸗ chungslinie einen ſpitzigern oder ſtumpfern Winkel mit dem Horizonte beſchriebe; ſo iſt, wie wir gefun⸗ den haben, die Potenz = „ a : und dieſe wie in §. 13. 6 multiplicirt mit 2½ ½, dividirt mit der ganzen Laͤnge des Hebelarms B D (2) = e. In dem Fall der 3.6 ungleichen Linien L B und B D fann man die Aufloͤſun⸗ gen gen finden, wie im vorigen Fall. Nebſt dem gebe ich zu Befriedigung der Neugierde folgende allgemeine Formel: naͤmlich» = ( 6 T A. r2 3 — ma, wenn man nimmt, “ 4 = B D; 7 m gleich dem Verhaͤltniß der ſpecifiſchen Shwere der 71 4 Erde zum Mauerwerk, und mu = dem Mauerrecht. . Anmerkung. §. 23. Wenn die Kraft, anſtatt nach der Richtung von B in K, von D in 4 wirkte; ſo wuͤrde das Berhaͤltniß des Widerſtands ſich veraͤndern, und daher noͤthig ſeyn, den bey den Gewichtern M und N gemeinen Schwerpunkt zu finden. Es ſey dieſer in K, wenn naͤmlich LR: RP = M: N. Die zwey Gewichter verhalten ſich aber, wie die Haͤlfte der Linie HG zu der ganzen Linie G F. Betrachtet man die zwey Gewichter M und N, als vereinigt im Gewichte t,; ſo erhaͤlt man den Hebelarm R E, wenn der Ruhe⸗ punkt in F angenommen iſt; ſo folgt, daß die Potenz P, welche von 1 nach 1 ziehet, ſich verhaͤlt zu derglei⸗ chen Potenz, welche von D nach 4 ziehet, wie der Arm HR zu dem Arm R F. Siebente 6 Des DFde demit ſie d oder von rehhten Ri⸗ gewicht h6 zu verandern nholt nae wire, mit le ich ehneine⸗ 3 2 b 5 vere der recht, ach der d wüͤrde mn, m Nund N er in N, ie ien der Linie won die Genichte et Ruhe⸗ iePotent derglei⸗ der Arn = 29 Siebente Aufgabe. Das Mauerrecht H G zu finden einer Mauer DFHI F, deren Hoͤhe B G und Dicke D bekannt iſt; Fig. 11 damit ſie der Potenz, welche von D nach druͤckt, oder von I nach K zieht, das EGleichgewicht halte. §. 24. Es ſey BD = e, DF=A, HG=) ſo erhaͤlt man (zufolge der Lehrſaͤtze der Mechanik und der vorhergehenden Aufgaben) 46ς + a 6 †+ 49 2 3 = æ 4 4 folglich) = / 4² A — 20 3.6 2 Achte Aufgabe. Den Durchſchnitt der auf beyden Seiten bley⸗ Fig. 13 rechten Mauer 4 C, welche einer Potenz Pdas Gleich⸗ 14, gewicht haͤlt, in einen andern Durchſchnitt G HIK zu veraͤndern, welcher von gleicher Hoͤhe, aber dem Inhalt nach nur drey viertel Theile des vorigen waͤre; mit der Bedingniß, daß die Mauer G HIK durch ihren Widerſtand der nehmlichen Potenz P ( das Gleichgewicht hielte. 3.6 §. 25. Es ſey B 4 oder HG = 4; 4% = ; HI oder GL = Xx; LK =); ſo iſt das Gewicht N S aæc; das Gewicht Q =aX; das Gewicht A = 49; 2 daher daher 3. ac = aX †+4 „V 5 6. — 2 = 9. Nimmt 4 2 4 man ſtatt 6. = u; ſo iſt9 = n — 2 . 4 Die vereinigten Momenten der Gewichter O und M, ſollen der Potenz P S xKR (4) gleich 3.6 ſeyn; woraus die Gleichung entſteht v †+ ² †+ 77 — ℳ 2 3 3.6 Setzt man den vorgefundenen Werth von 9 in dieſe Gleichung; ſo wird æ = . ( n n — a2 ) — u; ſuchte man die unbekannte 9„„ ſ⸗ ſey ,G 42² 2) folglich 2 = 2 4; ſetzt man den Werth von 2 in die erſte Gleichung 9 = n — 2 ; ſo iſt n — 2 d = . Foderte man eine zu ſtarke Verminderung, daß die Aufloͤſung un⸗ moͤglich waͤre; ſo wuͤrde ſich dieſes zeigen in der An⸗ wendung der gefundenen Gl lkeichung ͤ ( Zun— a 2) 3 — n = x. Denn iſt 3 as; ſo iſt/ Er *) 3 eine imaginaire Wurzel. Neunte Aufgabe. Den Durchſchnitt der auf beyden Seiten bley⸗ rechten Mauer 4 C, welche einer Potenz P das Gleichgewicht Clichgen 6HIK Vo dern, wel ſy/ welche : 1 urd . der Inholt Tropeſoidet ſtu= der üöiigten V (— ). .6 ender Gleis han ſatt XX 20= — 2 wodurch wir uung des un der Wurel ⸗ Ninm Gleichgewicht haͤlt, in einen andern Durchſchnitt HIK von gleichem Inhalt und Hoͤhe zu veraͤn⸗ dern, welcher mit einer Potenz im Gleichgewicht D welche ſich zur Potenz P verhaͤlt wie 2: I. cgtet 9 §. 26. Es ſey 4P = c; CD und GH= 42; Rgleich IH und L G = x; XKL = 9, die Potenz 4; ſo iſt 74 der Inhalt des Rechtecks = = ℳ6, und der Inhalt des Eig- 1 3LTrapezoiden = 4 + 4); allein vermoͤg Bedingniß & hon ) in iſt ac = 4½ + 4); folglich 7 = 2 c — 2 . Nun 4 2 7 ) ſoll der Widerſtand des Trapezoiden (das iſt) die ver⸗ eheinigten Momenten ſollen der doppelten Potenz B KM 2 ) gleich ſeyn. Dadurch gelangen wir zu fol⸗ 3.6 chugg gender Gleichung: æX †+ æ) †+ 99 = 2 a2; ſetzt ſung ur. man ſtatt deſſen Werth 2% — 2 „æ; ſo erhaͤlt man DNer Vn⸗ ð — 1—4 2 3. 6 ) wpodurch wir nach gemachter Reduktion, und Ergaͤn⸗ =* zung des unvollkommenen Quadrats und Ausziehung ) der Wurzel finden, daß æ = . WD c— ) — 2 c. iten bler⸗ it HMD Anmerkung. Anmerkung. §. 27. Man koͤnnte den Durchſchnitt des Rechtecks H1 in den Durchſchnitt eines Trapez ver⸗ aͤndert haben, welches einer weit ſtaͤrkern Potenz als P zmeymal genommen, widerſtuͤnde. Wenn aber die Gerhaͤltniß, der, vermoͤg Bedingniß, verſtaͤrkten Po⸗ tenz, jene des geſuchten moͤglichen Widerſtandes uͤber⸗ ſtiege; ſo wuͤrde ſolches in der Anwendung der For⸗ mel ſich zeigen; dann in dieſem Falle wuͤrde 2 “ £ V( IK— ). Zehnte Aufgabe. Zu finden, um wie viel eine Futtermauer, wel⸗ Fig. ii che mit einer Potenz P' das Gleichgewicht haͤlt, ſtaͤr⸗ ker wuͤrde, wenn man die obere Dicke B PD um ſo viel dicker machte, daß ſie = m werde. §. 23. In der ſechſten Aufgabe haben wir gefunden » = 6 E — 4; dieſe Glei⸗ 3.3 3 chung iſt eneſtanden aus )² + 2 4) †+ dd = 2. a2 3. 7.6 1 44; dieſt aus t 24 44= 2. „ — 2 44 32 3.6 3 3 + da; und es war vor Ergaͤnzung des unvollkom⸗ menen Quadrats)² + 2 d) †+ 244 = 2 . Setzt 3 3.6 42 Am — 4 ſtat/ 5 45 man m ſtatt y, und ſtatt 4; ſo erhaͤlt man n mn 5 + Der honmeine mayer FI 9,2 4 Funbeſci, inie 4 he Purelel d EF, und D zupor) zu Trapeſe en an tetonmnt; ſ rz⸗ Erer „, p e⸗ 33 Hr daenn (ar „ mo n nan 4e ſan,, un uS NA 4 ſtatt 4; ſo haͤle man e rae 12) 1 s S 25 5 e die ( 4 ² N = 22 ℳ* 54eLfolglich P: x (der geſachten o,. Eꝛ5 3·5.2 5 er Potenz) = 22 4 : mm † 2 d m † *4d, Jo 1, 5. 25 20 .. Eilfte Aufgabe. Den Druck der Erde auszudruͤcken, mit wel⸗ chem⸗eine Bruſtwehr ſammt Baͤnken auf die Futter⸗ mauer FI wirkt. Fig. 15 wel⸗ g . . . ſ §. 24. Frſtens: Man verlaͤngere die Linie . 4A F unbeſtimmt; alsdenn die Linie D E, bis ſolche die ſo viel Linie 4 F beruͤhret, Und ziehe aus dent Punkt D die Paralll D G. ben wit Der Winkel EFA iſt von 45°; folglich ſind Gei⸗ EF, und D & mit den Linien parallel, welche wir (wie zuvor) zu den Grundflaͤchen der unendlich vielen 2. 4 Trapezen annehmen. Die Linien 0 D und F ſind 76 bekannt; folglich auch die Linie FO; denn 0D: EF 200 = OF+ FO: FO. Es ſey alſo F = ; E F=n; Tp = x; ſo iſt F () : FE (2n) = m †: Hg polkom⸗ E 22) I = Ax; folglich yg = AxXz daher das Trapez / H = udæ †+ ux dæ, Nun iſt dieſes Ghon mn N N⸗2 mY 2 C Trapez 34 — = Trapez mit ſeinem correſpondirenden Hebelarm L I zu multipliciren (das iſt) mit « — æ, wenn der Mauer⸗ hoͤhe EI gleich iſt; folglich tCe ) E⸗ „erex) m YV 2 = andx †+ andXx — uXAX — ux' dX; und NV 2 m N 2 VNz3ʒ́ N 2 deſſen Integral = anX + anX* — uX* – „X. NV 2 2 my 2 2. V 2 zu⸗ zweytens: Aus den Punkten C und B ziehe man C und EB5§ parallel mit D O, und verlaͤngere die Linie D C bis zu 4 Fin K. Es ſey die Linie R0 = c; R Q=g.; beyde ſind bekannt, und QO iſt = c— g; 0D=f; Q F= e; QM= x. Es iſt R0(c): DO (fF) = R M ( †+ æ): M K KE E ; MT=AX; alſo iſt das Trapez L M GE 7 fex + fx dx. Es iſt aber M F= e — X; ſo iſt P I cVZ cV2 = 4 — e + «; folglich das Trapez LM, multiplicirt mit dem Hebelarm PI, = (a — e) g X + (a — e) x dx cVZ „VZ + fα + fX* dX = (a —– e) ſg dX cNVZ cVZ c Yz 4 (a— e +) fxdX + fæa dx; wovon das Inte⸗ cNZz cNZ grale iſt (a — e) fgX † er⸗ + fx; —RL cYZz 2 cVZ 3 0cNZz Drittens: Man betrachte die Linie B C als pa⸗ rallel mit 5, weil der Unterſchied der Perpendikular⸗ linien, ſien leerage E 1720. / das T 1=r-— ſich das gtlet inul deſen Vi⸗ in ſichen Dupez llachfen iſ mnertnt tiplicet = oder wenn feſy e Dur N Potne 11 zu Ugler⸗ G ) 1⸗ , Vr 41 al. iehe ſngere de ſind =e; )MX 65 LM it pI ipſieirt frax R — Jule⸗ ſr Nſs illa⸗ lien, . linien, die aus B und C auf 4 F fallen, ſehr wenig betraͤgt. Es iſt R0(c): OD(F) = 10 (e): c(½); X2= C iſt = fg. Es ſey 12=x; 5 1r; ſo . iſt das Trapez XTS= fgAX; TQ= r — x; ſolglich V: TF=— X †+° = F U; alſo UISA— 1 — e †+ æ; folg⸗ lich das Trapez XI mit dem correſpondirenden Hebel⸗ arm multiplicirt = (a — — e) ſg dæx †+ fgτα „NZ c YZ2 deſſen Integrale = (2 — v — e ρςXæ †+ σαXα*. cVZ 2 cNV2 VDiertens bleibt noch die Kraft des Dreyecks 4BS zu ſuchen. Es ſey 45=„; 4 ½ = ½; ſo iſt 45 (): 9() = 12 : (S B) folglich das Trapez (von welchem £$ als die Grundlinie zu be⸗ trachten iſt) = gτατα; à I= Aε = ½; folglich das peV⸗ Trapez mit dem ihm correſpondirenden Hebelarm mul⸗ tiplicirt = g X* X, wovon das Integrale iſt = g; . 3 C V2 oder (wenn man die Abſeiſſen von dem Punkt nimmt) — S fg (2 — x) . 3 65°N2 Durch dieſe vier gefundenen Formeln haben wir die Momenten erhalten des Trapez DF, des Trapez B C 2 D Q, O, des Parallelograms O, und des Dreyecks 465. Nun iſt zu bemerken, daß, wann die Mauerhoͤhe FI kleiner iſt, als die Grundlinie 4 der Bruſtwehr ſammt Banauet, daß nicht die ganze Bruſtwehr ſammt Baͤn⸗ ken, auf die Futtermauer wirke; ſondern nur jener Theil der Bruſtwehr, welchen die Abdachungslinie “ der Erde abſchneidet; deswegen nur der abgeſchnittene Theil der Bruſtwehr, als eine auf die Futtermauer “ wirkende Kraft zu betrachten iſt; wenn alſo die Nauer⸗ hoͤhe FI gleich oder groͤßer iſt, als die Grundlinie der Bruſtwehr FA, ſo muß die Summe dieſer vier ge⸗ fundenen Formeln genommen werden, um die Kraft zu erhalten, mit welcher die Bruſtwehr auf die Futter⸗ mauer wirkt. Im Fall aber die Hoͤhe der Futter⸗ mauer kleiner waͤre, als die Grundlinie 4 F der Bruſt⸗ wehr; ſo iſt zu ſehen, wo die Abhangslinie die Bruſt⸗ wehr durchſchneide. Nun waͤre dieſer abgeſchnittene Theil gleich oder kleiner als das Trape; D F; ſo druͤckt die wirkende Kraft dieſes Theils die erſte Formel aus. Waͤre die Mauerhoͤhe von einer ſolchen Laͤnge, daß die Abhangslinie einen Theil von dem zweyten Trapez DC, oder das ganze Trape; D ſelbſten noch ab⸗ ſchnitte; ſo iſt die zweyte Formel zu der erſten zu ad⸗ diren, und in der erſteren wird = F0; u. ſ. w. Erſte Anmerkung. Aus der Aufloͤſung dieſer Aufgabe iſt es leicht, die Theorie zu ziehen, nach was Art die Kraft wider die Futtermauer zu berechnen waͤre, wenn nebſt der Bruſt⸗ wehr noch eine Katze (Cavallier) auf ſelbige wirkte. Zweyte ſiſegech N on, tie ffenen Lin 1 r ED, Fal alſo⸗ Da ſiſe geie Des die Nſſei⸗ Das dol Urer Grun 1wirkt lie oben t⸗ 159. leFI ſamtre Bf⸗ ſeer Plinie itee. Mauer Nauet⸗ . iie der iet N⸗ Ktoft ut tiek⸗ Fattet⸗ Bruſi⸗ nitkente dckt el als. daß die Tropef h ab⸗ ad⸗ . lecht, †— ider die Bu⸗ firtte. ehte Bruſt⸗ Zweyte Anmerkung. Man nehme die uͤblichen Maaßen der Bruſtwehr an, wie ſolche (Fig. 16.) angedeutet ſind; ſo iſt der Werth der Buchſtaben, welche die bekannt angenom⸗ menen Linien bedeuten,folgender: 1= V 50 ⁄ = 175 7V 13 = 9, 6 = 50/ = 3973 = 221; 7 = 3/ 5= 6 , 4 = der Mauerhoͤhe; folglich iſt das Moment des Tra⸗ pez DF, wenn die Abſciſſe gleich O iſt (in welchem Fall alſo gleich 33 iſt) = 42472 — 31581. 2 4.70 4.5.7 Das Moment des Trapez DQ, wenn die Ab⸗ ſtiſſe gleich O0 (i = 450454 — 919775. “”MU 2 4.7.8.8 7.8. F. Das Moment des Parallelograms 6, wenn die Abſeiſſe gleich 5 (3 , iſt = 29254 — 39975. 2 7.8.8 2.7.8.8 Das Moment des Dreyecks 4§, wenn die Ab⸗ ſciſſe gleich 45 (6), iſt = 2925. 2.7.8 Folglich iſt die Summe dieſer vier Werthe, das iſt, die Kraft mit welcher die ganze Bruſtwehr auf eine ihrer Grundflͤche⸗ F gleiche oder groͤßere Futtermauer FI wirkt = 599474 — 4967743, welcher Wertb 4.5. 8.8 5.7.8.8.8 wie oben mit 3 zu dividiren iſt. * X* X*X 4. Die Anwendungen dieſer Formeln ſind der Un⸗ bequemlichkeit einer langen Berechnung unterworfen; weswegen ich eine andere Art geſucht, welche zwar nicht die nehmliche mathematiſche Genauigkeit in ſich haͤlt, aber dennoch nicht ſo empiriſch waͤre, als jene, deren Belidor * ſich bedienet. Sie beſtehet darinn, den Theil der Bruſtwehr, welchen die Abdachungslinie vermoͤg verſchiedener Mauerhoͤhen abſchneidet, in ein Trape; CEBD zu veraͤndern (Fig. 16.), deſſen Mo⸗ ment beylaͤufig dem Moment des abgeſchnittenen Theils oder der ganzen Bruſtwehr ſammt Baͤnken gleich iſt, um ohne weitere Berechnung auf alle Faͤlle die erſte 9 Formel (Sr + anx — nX — X3 Vz 2 V2 2 Vz ) anwenden zu koͤnnen; da ich aber dieſe Art noch nicht genug unterſuchet habe, ob ſie fuͤr allgemein anpaſſend ſey, obwohlen dieſelbe beſondern Faͤllen angemeſſen iſt; ſo doͤrfte nach genauerer Pruͤfung ein zweytes Stuͤck davon noch handeln. V Ueber⸗ * Er berechnet nach den naͤmlichen Principen, als ich An⸗ fangs angezeigt, die zwo arithmetiſche Progreſſionen; mit dem einzigen Unterſchied, daß, um die Kraft der Bruſtwehr zu finden, er zu jedem der erſten 20 Glie⸗ der in oben ſtehender Progreſſion 10 Einheiten addirt, die Mauerhoͤhe moͤge 20 oder 50 hoch ſeyn, u. ſ. w. ; wodurch, wie leicht einzuſehen iſt, je hoͤher die Mauer (das iſt) je laͤnger der Hebelarm, ein deſto betraͤcht⸗ licher Unterſchied mit dem theoretiſchen Verhaͤltniſſen ſich aͤußern muß. ſeſteltin Theorie n dene angef llen mir it altb⸗ en u. ni Poß ur (Alcken in Akx⸗ Alfeiiſcren teetn Ber W uitenen. Ulimn de velche nur ſuften W ſie hize n n⸗ kfen; r nicht deren Nn olinie in ein NYo⸗ Ws ich iſe e elſte 3 3 h nicht vaſſend ſen iſ; Srick ſibet⸗ ich An⸗ ſionen; raft der o Gle⸗ labdirt, Manuer hetricht⸗ ſfltniſſen Ueberhaupt enthalten die Aufloͤſungen der bisher geſtellten Aufgaben gleichſam nur den Eingang zu der Theorie vom Erddruck auf Futtermauern. Berſchie⸗ dene angeſtellte Verſuche und gepruͤfte Berechnungen gaben mir deutlich zu erkennen, daß bey Futtermauern mit aus⸗ und einſpringenden Winkeln bey zirkelfoͤrmi⸗ gen ꝛc. nicht hinlaͤnglich waͤre, den Erddruck nach einen Profil kurz zu berechnen; desgleichen ſind noch viele Luͤcken in der Theorie von Strebepfeilern auszufuͤllen. Anwendung der Aufgaben. Erſte der vierten Aufgabe §. 15. Un die Dicke einer auf beyden Seiten bleyrecht aufgefuͤhrten Futtermaner zu ſinden, bedarf es keiner weitern Berechnung, als den dritten Theil ihrer Hoͤhe zu nehmen. Zweyte der ſechſten Aufgabe §. 20. Um die obere Dicke einer Futtermauer zu finden, welche nur auf der einen Seite bleyrecht iſt, und den fuͤnften Theil ihrer Hoͤhe zum Mauerrecht hat, wird die Hoͤhe mit 4 multiplicirt, und mit 25 dividirt. C 4 Es 4O% Es ſey die Mauerhoͤhe von 15“ ſo giebt 15 multi⸗ plicirt mit 4, und dividirt mit 25, fuͤr die geſuchte Dicke D C, 2 40, 97’“; durch dieſe Berechnung er⸗ haͤlt man beynahe den nehmlichen Werth, als Belidors Tabelle anzeiget. Nimmt man fuͤr das Mauerrecht den ſiebenten Theil; ſo erhaͤlt man die Dicke der Fut⸗ termauer, wenn ihre Hoͤhe mit 5 dividirt wird. Mehrere Anwendung waͤre uͤberfluͤfig. Mathema⸗ tikkuͤndige beduͤrfen keine andern; und den meiſten un⸗ ſerer Mauerer oder ſogenannten Baumeiſter, wuͤrden die in Ziffern verſetzte Formeln der uͤbrigen Aufgaben, doch entbehrlich ſeyn. Ich trage keinen viertel Theil mehr, als man in den Gleichungen erhaͤlt, zu Verſtaͤrkung der Futter⸗ mauer, wie Belidor, an. Nebſt den Urſachen, welche aus §. 4. zu leiten ſind, iſt dieſe Verſtaͤrkung um einen vierten Theil ein zu willkuͤhrlich angenommener Satz. — Nebenumſtaͤnde muͤßen ſolchen beſtimmen. Fut⸗ termauern bey Terraſſen in Gaͤrten fodern gewiß nicht die nehmliche Verſtaͤrkung, als jene der Waͤlle, auf welchen Stuck und Keſſel Batterien ſpielen, u. ſ. w. um ſo weniger kann beſnge⸗ Verſtaͤrkung fuͤr einen allgemeinen Saßz gelten, als die Verſtaͤrkung mit der Maͤuerhoͤhe im Berläln ſtehen muß; da die Er⸗ ſchuͤtterung einer 50 hohen Mauer unter nehmlicher Kraft groͤßer wird, als einer 15“ hohen; und dann iſt die Verſtaͤrkung nach der Beſchaffenheit des Ma⸗ terials zu richten. Eine Zimentmauer, eine aus Qua⸗ terſteinen (bey welcher auch der ſpecifiſchen Schwere “ wegen Die tiel de nlauer bey Pardubit den hot bl ohere Man Erde war thello getnea deheend 6 hoch, en no an mne Zl Geun geſeht. 1 Futterme von ihter Klaft des tet war;z ſ die Glelen Dos Geſte en R⸗ Funietige lelaus rei⸗ Kalt, wel Kunietige inquabili und ſoll zu E lulti⸗ eſchte lg ⸗ elidors erreche Fut. Wrd. theing⸗ fen n . iten Gen. . mhant in Furter⸗ velche 1 einen Fut⸗ iß nicht /aaf . ſ. d. t einen mit der die Er⸗ htnliger 1d dann es Me 1Oa⸗ Schtwee vegen 41 pegen der Widerſtand gewinnt) braucht man ſicher nicht ſo viel zu verſtaͤrken, als Futtermauern von ſchlechterm Materiale. * * Wie viel das Material zum Widerſtand der Futter⸗ mauer beytraͤgt, koͤnnte man bey dem Stallbau zu Pardubitz beobachten; wo man Wallmauern gefun⸗ den hat von 12“ Hoͤhe nur 5“ Mauerrecht, und 2 obere Mauerdicke. Die hinter ſelbigen aufgehaͤufte Erde war theils Lagenweis ſandicht und thonicht, theils gemiſcht, theils pur ſandicht oder pur thonicht; bey eben dieſer fand man die eine Courtine von 5 und 6 hoch, ebenfalls von 2’ dicke nur 1 Zoll Mauerrecht; und an manchen Orten hatte dieſe Courtine nur 10 Zoll Grund; im andern war ſie platt auf die Erde 5 geſetzt. Und obſchon eine Strecke von 200° dieſer Futtermauern auf die Entfernung eines Schuhes von ihrer Grundlage vorwaͤrts abgewichen, auch die Kraft des Erddrucks durch eine Bruſtwehre vermeh⸗ ret war; ſo kam ſie doch nicht aus dem Bleyſchus, nur die Stellen, wo ſie ſich abgeloͤſet hatte, ausgenommen. Das Geſtein dieſer Mauer iſt aus zu 1“ langen, ein halben breiten, und eben ſo vicl hohen Stuͤcken von Kunietitzkahorer Steinbruch beſtanden, und der Moͤr, tel aus reinen Grundſand und den Herzmanmieſtetzer Kalk, welcher von der beſten Gattung iſt. Die Kunietitzkahorer Gebirgsart iſt Kalkſtein, Calcareus inæquabilis griſeus, Wall. §. 41. ſpec. 52. pag. 124. und ſoll zum Kalkbrennen nicht ausgaͤbig ſeyn. Ende des erſten Stuͤckes. B — Taße . der gne de dern rer de MNRyT Nveve⸗ R week, aa . rfefeikr le di, ſeieſfen e e nnghweeutle Ae 4sdar kevwer; ſe aftlioeng . l Rocacſe Kar e lir 4 ei⸗ 7 S0. lees wesfn Ns anesile 5 ρHι6* le! taetne 64 αhh h d, NE e& n, „ Arour; 6 7 4 6, . VN. doitd. v. 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