Db70-1
author: Kinsky, Franz

N124519010992 021 1 S

Ll’iercchn ee. G

Bieyträge
Ingenieurwiſſenſchaft—

F. Gr. Kinsky,

K. K. G. f. w.

Er ſt es Stuͤck.

Vont D

6 Erfah
dber wv
Pogene Etde,
Winkeln ſch al
ſen Erde mach
ungefͤhr 45 G
die fette einten
die gelteine be

Muitel hh.

Man ſel
Maer 4 auſe
eine Fliche D.
Naum 5cD
ſchloſen, deſſen
man die Fliche
ergeſtalt abrol
ibig hleebe,
Es ſeh
den Druck der
ahralen, aſse

Vom Druck der Erde auf Futter⸗

mauern.

9 hie Erfahrung lehret, daß eine friſch aufgehaͤufte,
aber nicht geramte, oder mit Faſchinen durch⸗
zogene Erde, der nichts widerſteht, nach verſchiedenen
Winkeln ſich abſchiebet. Die Abhangslinie der gemei⸗
nen Erde macht mit dem Horizont einen Winkel von
ungefaͤhr 45 Graden, die ſandigte einen ſpitzigern, und
die fette einen ſtumpfern. Wir werden hauptſaͤchlich
die gemeine betrachten, welche zwiſchen beyden das
Mittel haͤlt.
Man ſtelle ſich vor, es ſey die Erde gegen eine
Mauer Aaufgehaͤuft, und auf der andern Seite durch
eine Flaͤche D E aufgehalten. Dieſe Erde iſt in den Fig. 1.
Raum BCDE gleichſam wie in einen Kaſten einge⸗
ſchloſſen, deſſen Durchſchnitt ein Quadrat iſt. Naͤhme
man die Flaͤche D E weg, ſo wuͤrde ein Theil der Erde
dergeſtalt abrollen, daß nur jene des Dreyeels e CB E
uͤbrig bliebe.
Es ſey Q die Potenz, ſo die Flaͤche D E gegen
den Druck der Erde aufhaͤlt; koͤnnte nun ſie ſo leicht
abrollen, als eine Kugel auf einer ſchiefliegenden glat⸗
A 2 ten

4
ten Flaͤche; ſo wuͤrde die Potenz L der Potenz des
Dreyecks B PE gleich ſeyn muͤßen, um die Flaͤche D E
wider den Druck der Erde zu ſtuͤtzen: allein wegen der
Zaͤhigkeit trennen ſich ihre Theile nicht ohne große
Hinderniß; daher — wie man es auch aus der Erfah⸗
rung weis — druͤckt die Erde mit weniger Gewalt wider
die Flaͤche D E, als eine gleiche Maſſe in runder Figur,
anwenden wuͤrde; und es iſt genug die Haͤlfte der vori⸗
gen Potenz zu nehmen.
Die Praxis widerſpricht um ſo weniger dieſem
angenommenen Satz, als die Erde hinter den aufge⸗

fuͤhrten Futtermauern allezeit geſtampft — folglich ihre

Zaͤhigkeit vermehrt wird.

§. 2. Bevor wir zu den Aufgaben ſchreiten,
iſt es noͤthig zu erklaͤren, erſtlich: warum wir haupt⸗
ſaͤchlich die gemeine Erde betrachten; zweytens, wie
die Zaͤhigkeit der Erde die Kraft ihres Drucks um die
Haͤlfte vermindern koͤnne. Im Fall einer ſchweren
Erde gewinnt der Widerſtand der Futtermauer, bey der
Berechnung nach einem Winkel von 45°; dann taͤg⸗
lich ſiehet man, daß Skarpen, auch einer ſandigen Erde,
ohne Verkleidung mit Faſchinen oder Waſen, durch
das bloße Stampfen, unter ſtumpfern Winkel, als von
45*, ſich einige Jahre ohne abzuſchieben, erhalten. Die
Anwendungen der Aufloͤſungen der Aufgaben aber, ſind
viel einfacher, als wenn auf unbeſtimmte Abdachungs⸗
winkel der abrollenden Erde geſehen wuͤrde; weil in

Fig. 2. dem Fall eines Winkels von 45 allezeit die Linie 4 B
= BD

ſeden⸗
hetlacht
FoE
0Rdu
nie 07
die Ai
duß das
noinne
ſer Oun
ſo nmehr⸗
worden
Gebndet
ſolang
ſnde,
ſet, daj
ſhas das
es Erd
ſchern 6
in ſch
ls die
nicht bel
bicht,

den, mi

= B D iſt. Und fuͤr die Praxis iſt das Einfache zu⸗
traͤglicher, als aͤngſtliche Puͤnktlichkeiten.
Wir nehmen die Zaͤhigkeit der Erde an, als ob
ſie den Druck nur um die Haͤlfte verminderte. Nun
betrachte man, daß das Trapez & Pdurch das Dreyrek
*E gegen die ſchiefliegende Linie O P, das Trapez
0 R durch das Trapez G P gegen die ſchiefliegende Li⸗
nie Q R gedruͤckt wird, u. ſ. w. folglich die Kraft wider
die Linie B D durch dieſen Druck vermindert wird, und
daß das nehmliche von jedem der unendlich viel ange⸗
nommenen Trapezen koͤnne geſagt werden; folglich die⸗
ſer Druck der Trapezen die Potenz ſehr vermindere, um
ſo mehr, als das Stampfen der Erde, wie ſchon geſagt
worden, die Zaͤhigkeit vermehret. Es iſt auch nichts
beſonders, daß eine Erde ohne Widerlage faſt ſenkrecht
ſo lang ſtehe, bis die Tagwaͤſſer, und andere Nebenum⸗
ſtaͤnde, ſie zum Abſchieben bringen; woraus klar flie⸗
ßet, daß dieſe um die Haͤlfte vermehrte Zaͤhigkeit, oder
was das nehmliche iſt, um die Haͤlfte verminderte Kraft
des Erddrucks, ein angenommener Satz ſey, der aus
ſichern Gruͤnden fließet, mittelſt welchen die Zaͤhigkeit
in ſich (das iſt) die Verminderung der Kraft, um mehr
als die Haͤl fte koͤnnte angenommen werden, wenn es
nicht beſſer waͤre, den Widerſtand uͤber das Gleichge⸗
wicht, als unter ſelben zu halten.

Erſte Aufgabe.

Kinen allgemeinen Ausdruck der Kraft 314 ſin⸗
den, mit welcher die Erde wider eine Flaͤche oder
A 3 Mauer

6 E

Fig. 3. Mauer B D druͤckt, die — wenn ihr Freyheit zum

Abrollen gelaſſen wuͤrde — eine Abdachung mit dem
Horizont in einem Winkel von 45 Graden machte.

§. 3. Die Linie 4 iſt der Hoͤhe B D gleich.
Man nehme an, daß die Hoͤhe B D in unendlich viele
gleiche Theile getheilet ſey, und daß von jedem Punkte
dieſer Abtheilung man mit der Linie B D unendlich viele
Parallelen gezogen habe; ſo entſtehen unendlich viele
Trapezen, deren Summe dem Inhalt des Dreyecks
4BD gleich iſt; um alſo die Gewalt zu finden, mit
welcher dieſes Dreyeck (das iſt) die Erde wider die
Mauer druͤckt, muͤßen die Momenten aller dieſer un⸗
endlich vielen Trapezen bekannt ſeyn.
Nun wollen wir den Ausdruck eines ſolchen Tra⸗
pez ſuchen. Es ſey die Linie B P=X; ſo iſt PO =
V 2; dann P 0 iſt die Hypothenuſe des Dreyecks BoF.
B P iſt = B O, und PR iſt = 4¼.
Man ziehe die Linien P,, Oo ſenkrecht auf QR,
ſo ſind die zwey Dreyecke RP, und O Qο 1 ‚folg⸗
₰ 2
lich fuͤr nichts in Vergleichung mit den Trapezen zu
achten; denn ziehet man die Linie Rn parallel mit Pp,
und verlaͤngert 0 P bis ſie die Linie Rn in ſchneide,

ſo iſt das Rechteck n den zwey Dreyecken Qαο, ρR

gleich, und das Trapez QOPR iſt dem Rechteck Oον
gleich; es verhaͤlt ſich aber jenes Rechteck zu dieſem, wie
p R: OR; weil alſo unendlich klein iſt gegen 0 R
— denn die Abſciſſe B P iſt nicht unendlich klein ange⸗

nommen worden — ſo folgt, daß man ſtatt des Trapez
QοPR

— .

90 de
das Trape⸗
Nun i;nt
po= als
u fudent
291 iſt en
Die Hoͤhe
haͤlich?
wvas tnan

ece 05

=DR: ?)
De⸗
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2
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gliich.
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1 Un⸗

1 Trg⸗
0 =
Bo.

Ah,

eft zu
te,
Meide,

3PE

0RE
t, wie
a 04

lge⸗

trapes
PR

—= 7
*NR das Rechteck Oοσσ nehmen koͤnne; daher wir
das Trapez 0 PRQ dem Rechteck „ gleich annehmen.
Nun iſt noͤthig P, — naͤmlich die Hoͤhe des Rechtecks
Po — auszudruͤcken, um den Werth dieſes Rechtecks
zu finden. EPR iſt = 4dX; alſo Pp = d X N; dann
PpR iſt ein rechtwinklichtes Dreyeck, und P, = , K.
Die Hoͤhe des Rechtecks mit der Laͤnge multiplicirt,
naͤmlich PH O (= X V 2) P (=d X τ) iſt = & Xα
was man auch folgendergeſtalt erſehen kann; die Drey⸗
ecke O PB und Pp K ſind aͤhnlich, folglich iſt O P: PB
= PR: Pp; daher 0 P ι Pp = PBW P R= xXdx.
Die Hoͤhe des Rechtecks Pp findet man auch auf
folgende Art: Das Differentiale von PO ( V 2) iſt
= dX V 2; dieſes wird durch 2 dividirt, weil die Linie
auf einer Seite um , R, auf der andern um o Q zu⸗
nimmt; und o Q= Pp; alſo iſt R (= P) = dæX V 2;

2
allein 4 ½ 2 iſt = 4d& vs, was wir vorher ebenfalls
2

fanden.
Um die Kraft des Trapez zu Fnden Riſt ſolches

mit ſeinem correſpondirenden Hebelarm zu multiplici⸗

ren; dieſer aber iſt D F = 4 — x, wenn man B D = 4
72
ſetzet; dann die Kraft des Trapez wirket auf PD nach
der ſchiefen Richtung o F; PD = 4 — iſt die Hypo⸗
thenuſe des des Dreyecks 5 FD; und PFiſt = D F; folg⸗
lich iſt . — = 2 Pf; daher iſt 2 — * = D F.

V 2
A 4 Folg⸗

Folglich iſt die Kraft des Trapez = r 4 xX D F= (a — )

—.ß0¶ 3

CrdxX) = 2 XdX — xX dX. V 2
V 2 V 2
Um die Summe aller Produtten aus den Trape⸗
zen und correſpondirenden Hebelarmen von bis Pzu
finden, muß dieſe Differentialformel integriret werden.
und es iſt /. (a4XAX — xX* dx) = ax ½ — Xxz
V 2 2 2 2 3 2
Nimmt man X= a, ſo iſt a 1v½ - x* = 43² 42, und
2 V2 3V2 6 V2
dieſes iſt die Summe von allen Produkten der unend⸗
lich vielen Trapezen, welche das ganze Dreyeck 4BD
ausmachen, mit ihren correſpondirenden Hebelarmen.

*

1 Anmerkung.
§. 4. In folgenden Aufgaben werden wir die
Linie PD als den correſpondirenden Hebelarm des
Trapez Q Pbetrachten, damit die Futtermauer ſtaͤrker
werde; und da wird die Summe von allen Produkten
der unendlich vielen, und mit PD multiplicirten Tra⸗
pezen = *; dann PD iſt = a — X; und D F= àa — ;
6 A2
wodurch die Futtermauern eine Verſtaͤrkung von be⸗
kommen. Dann 4 — X; a — X = V 2: I = 1 : I

* 7: 5. NYez

Zuſatz.

* Belidor betrachtet ebenfalls die Linie PD als den cor⸗
reſpondirenden Hebelarm des Trapez O P; ohnfehl⸗
bar aus Verſehen; denn da er das Gewicht des
Trapez

ge

iguie

dr, be

der Summn
eine gewiſ
Peg jene

Cigenſhef

ene Ede,

6reden

Die Hche

15 Beit,

ſo viel

Dreheck 6
Das

Dreyeck

wird dae

die hrigen
der Quadr
werden; tn
bzb z,, bybe,

Trape
il den

u ber
GSat
Giche
liſche

* agenie

9

— Zweyte Anmerkung. Z
§. 5. Belidor deutet die Potenz des Erddrucks
lan. allgemein durch b;f an. Den Werth von bf zu fin⸗
di den ?*, bedient er ſich einer weitlaͤuftigen Berechnung
L der Summe einer aus zwo arithmetiſchen Reihen auf
en eine gewiſſe Art entſtandener Reihe. Ich ſuchte einen
Weg jene zu verkuͤrzen, und verfiel auf eine beſondere
Eigenſchaft jener neuen Reihe. Belidor betrachtet
„I d jene Erde, welche die Abdachung in einem Winkel von Fig. 2.
242425 Graden mit dem Horizont machtz daher BA = ; D.
e Diie Hoͤhe D, die er von 15 annimmt, theilet er in
49 b

15 Theile, nach ſeinem angenommenen Satz, die Hoͤhe
e. in ſo viel Theile zu theilen, als ſie Schuhe hat. Das
Dreyeck &S nennt er b.

Das Trapez G P iſt dreymal ſo groß, als das

Dreypyeck HBG; dann GH: BOP= = B H: ̊ P = 4:1
ter. ſo wird das Trapez 36. Eben ſo ſieht man, daß
ten die uͤbrigen folgenden Trapezen durch die Differenzen
Tre⸗ der Quadraten der natuͤrlichen Zahlen ausgedruͤckt
,; werden; wodurch folgende Progreſſion entſtehet:
— b,3 b,5b, 7 b, 9b, 11 b, 13 b, 15 b, 17 b, 19 b, 2 1 b, 23 b, 25 b, 27 b, 29b.
A 5 Nun
le⸗
i Trapez in den Punkt P verſetzt, ſagt er nicht, daß

er den Hebelarm verlaͤngern will, um den Widerſtand

zu vermehren; in welcher Abſicht er dennoch als einen
ntnn⸗ B Satz annimmt, man ſoll die Futtermauer allezeit
ſche⸗ Sicherheit wegen um dicker bauen, als der theore⸗ .
des tiſche Werth zeiget.

e * Ingenieurwiſſenſchaft B. I. H. 32.

Nun ſtellet er ſich vor, daß eine durchb ausgedruͤckte
Potenz am Ende 1 des Hebelarms D, eine andere
durch 3 b ausgedruͤckte Potenz an dem Ende des He⸗
belarms D H wirkt, u. ſ. w. folglich, daß ſo viel Hebel⸗
arme, als Potenzen ſind, welche Hebelarme eine arith⸗
metiſche Progreſſion der natuͤrlichen Zahlen ausma⸗
chen, wovon das erſte Glied der Hebelarm D, und das
kleinſte der Hebelarm K D ſeyn wird. Darauf ſetzt er
jeden Hebelarm unter ſeine correſpondirende Potenz;
da entſtehen folgende Reihen:
b/ 3 b/ 5b/ 7 b/ 9 b/ 11 b/ 13 b/ 15 b 17 b/ 19 b 2 I b/ 23 / 25 b, 27 b/ 29 b.
15. I4. 1 3.12, 11. 10. 9. 8. 7. 6. S. 4. 2. 2. 1I.
Es wird ein jedes Glied der obern Progreſſion
mit dem untern mutltiplicirt, und die Produkte addirt.
Nun wollen wir den kuͤrzern Weg ſuchen, die aus
jenen zwo Progreſſionen entſtandenen Glieder zu ſum⸗
miren; da naͤmlich B D in 15 gleiche Theile getheilet
wird; obwohl wir (wenn B D in unendlich viele, und
unendlich kleine Theile getheilet waͤre) jene Summe
mit groͤßter mathematiſcher Schaͤrfe, und viel weniger
Muͤhe, als Belidor, beſtimmet haben.

Zweyte Aufgabe.

Die Summe der aus folgenden zwo arithmeti⸗

ſchen Progreſſionen . . . . . . . .
b/ 2 b/ 5 b,/ 7 bz 9 b/ I11 b/ 13 b/ 15 b/17 b/ 19 b/ 2 1 b 2 3 b/25 b/ 27 b 29 b.
I5§. I4. 13. I2. II. 10. 9. 8. 7. 6. S. 4. 3. 2. I.

auf obgeſagte Art entſtandener Glieder, auf eine all⸗
gemeine Art zu finden, da naͤmlich das erſte Glied

der obern mit dem erſten Glied der untern Reihe mul⸗
tiplicirt

tplicrt!
woraus
werden⸗

.
22-1
bedeutet.
E

A tan
wo orit
gedrickt
1
wird alt
die gahlt
lnan ſich
zubiſſer
215—
Gliedes
hetiſche
D
Progren
ſiplicirt
Dbernt,in
ſon aus
der u
(belches
in an

rückte
andere
es Re⸗
Heleb
arith⸗
homa⸗
ddas
ſegtet
tenz;

7 b 2a9b.
2. l.

reſion
Dirt.
die aus
1 ſul⸗
etheilet
, und
Sumine
beniger

thneri⸗
de.
3. 1.
ine al⸗
e Gled
hemul⸗
ſcirt

tiplicirt wird; das zweyte mit dem zweyten, u. ſ. w.
woraus eine neue Reihe entſteht, welche ſoll ſummirt
werden.

§. 6. Jedes Glied der obern Progreſſion druͤckt
(2 — 1) ballgemein aus, wenn die Stelle des Glieds
bedeutet. z. B.
Es ſey æ = I ſo iſt 2. I — 1 = 1
X = 2 2. 2 — I =— 3
X = 3 2 . 3 — I = 5, u. ſ. w.
Alſo kann jeder Faktor 1. Z. 5. ꝛc. der obern Reihe der
zwo arithmetiſchen Progreſſionen durch 2 — 1 aus⸗
gedruͤckt werden.
Jedes Glied der untern Reihe 15, 14, 13, ꝛc.
wird allgemein durch n — æ + I ausgedruͤckt, wenn n
die Zahl der Glieder, und æ die Stelle des Glieds (welches
man ſucht) bedeutet; z. B. man verlangt das eilfte Glied
zu wiſſen. Es ſey n = 15, X = 1I1; daher n — X + I
= 15 – II †+ 1 = 5, naͤmlich der Zahl des eilften
Gliedes in der untern Reihe der beſagten zwoen arith⸗
metiſchen Progreſſionen.
Vermoͤg Bedingniß, ſoll jedes Glied der obern
Progreſſion durch das gerad unter ſelben ſtehende mul⸗
tiplicirt werden; folglich da 2 æ — 1 jedes Glied der
obern, und n1 — ½ + 1 jedes Glied der untern Progreſ⸗
ſion ausdruͤckt, ſo ſind dieſe zwo Formeln unter einan⸗
der zu multipliciren, um jedes Glied der neuen Reihe
(welches aus dieſer Multiplikation entſpringt) allge⸗
mein ausdruͤcken zu koͤnnen; das Produkt derſelben
nach

N

12 ⸗=ðð

nach gemachter Reduktion, naͤmlich von (2 — 1I)
(n – x † I) iſt = 3 x 2 x — 2 X² — n — I 5 oder
X (3 + 2 n) — 2 X — u — 1.
Verlangt man mittelſt dieſer Formel das Pro⸗
dukt des neunten Gliedes der obern, und neunten der

untern Reihe der zwo arithmetiſchen Progreſſionen,

ſo iſt x = 9, und es ſey n = 15; alſo 3.9 2. 15. 9
— 2. 9²— 15 — I = 27 + 270 — 102 — 15 ·— 1
= 119, welches das Produkt des obern neunten Glie⸗
des 17 mit dem untern neunten 7 iſt; denn b laſſe ich
hier weg.

Dieſe Formel druͤcket alſo jedes Glied der neu

entſtandenen Reihe aus. Das erſte, wenn X = I1 iſt,
das heißt, (wenn die erſte Stelle bedeutet); das zwey⸗
te, wenn æ = 2 iſt, ꝛc. und das letzte, wenn æX = n, das
heißt, wenn x gleich der Anzahl der Glieder.
Nun die Summe aller — 1 iſt — I. un = — n,
denn ſo viel als Glieder ſind, ſo oft erſcheinet — 1; da
aber n die Zahl der Glieder ausdruͤckt, ſo erſcheinet — I,
mal.
Die Summe von allen — n iſt = — u. n, weil
— n eben ſo als wie — I in jedem Gliede erſcheint. Die
Summe aller — 2 X; iſt = — 2 n?* — u — n, denn

die Summe aller Quadraten der natuͤrlichen Zahlen
von 1 angefangen, wenn die groͤßte Zahl iſt,
iſt = * + * †+ G. Allein in unſerm Fall iſt die
2 6

groͤßte Zahl, alſo 1 = ; folglich die Summe von al⸗
len

lnn n

und =2

— k —

ler Glie⸗
das größte
ſich iſt
7
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ſ moß

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32

1 t.

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“
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iſt,

1n die

13

len x (welche u mal vorkommen) = 2² + n + n

— —

3 2 6

und — 2 X²* = — 2 u3 — 2 n2 + 2“ = — 2 uz

3 2 6 3

—

3

Die Summe aller x (3 + 22n) = (3 +2 )

2 2.2 . .
S 2): denn vermoͤg der Eigenſchaft einer
2 2

arithmetiſchen Progreſſion iſt nu“ + 7 = der Summe
2 2
aller Glieder, wenn die Zahl der Glieder, und zugleich
das groͤßte Glied bedeutet, und 1 das kleinſte iſt; folg⸗
lich iſt n²½ + 2 = der Summe von allen x. Aber
2 2
wird multiplicirt mit 3 +¼ 2; und das in jedem Glied;
alſo muß u †+ u mit 3 + 2 u multiplicirt werden.
2 2

Alle dieſe Summen zuſammen geben (3 + 22)

— 2 1 — u3 — — 2²2 — — n3
2 2 3 3 3

1n* +†+ n. Alſo iſt die Summe aller aus den zwo

2 60
arithmetiſchen Progreſſionen entſtandenen Glieder = ⸗
n3 + n* + N
Wenn man ? in allen Gliedern der obern Pro⸗
greſſion weglaͤßt; ſo hat man folgendes Theorem:
Die

14

Die Summe aller auf obbeſagte Art entſtandenen
Glieder, iſt die Summe der Quadraten der natuͤrlichen
Zahlen, welche in der untern Reihe vorkommen.
Denn u; †+ n + n iſt, wie bekannt, die Summe ſol⸗
3 2 6
cher Quadraten.
3 + 6 † 5 = 14; und 3² + 2 ²¾ + 1³ iſt auch = I4.
Es ſey n = 15 naͤmlich die Zahl der vom Belidor
angenommenen Glieder; ſo iſt? ( 15 ⁵+ 15 ² + )
3 2 6

= 1240 b = der geſuchten Summe; welche im Be⸗

lidor auch vorkoͤmmt, die er aber (weil er auf kuͤrzere
Methoden vielleicht nicht dachte) mit mehr Muͤhe hat
ſuchen muͤßen.

Anmerkung.

§. 7. Durch die Formel u“ + u²* + findet
3 2 6

man den nehmlichen Werth, den wir (§F. 4.) erhalten
haben. Dann iſt n = 0σ, ſo wird u* + = 0; und
2 6
man hat us b.

2
₰

Es iſt zu merken, daß die Oberflaͤche des Drey⸗

ecks H G B (?) = ½; da naͤmlich nicht einen Schuh,

ondern einen unendlich kleinen Theil P½ H bedeutet;
9

daher iſt us bh = us.

Dritte

z. B. Aus 1, 3, 5, erhaͤlt man

EPxpen
zu ſidden, uni
Aacungslin

K 8.
vas immer
lle; desglech
deiln Wintel L.
fols bekanut iſt

Duamnde
i= ho; der
Winel mit der⸗
folglich ſnd in
Guten dutch d
Es ſy 11
N N LBD
50;, fohlich .

Nun iſ n
Verth eines T⸗
ich diele angend
da das A b,

1RÄ(Ie) = E

00, eR n

beſen Aunn.

ſudenen

gtichen
fommmnt,

mmine ſo⸗

lt mnan
it.
n Beldoe

1
6
a Be⸗

f firzee
Pfte hat

1 findet
9
erhalten
20; und

des Oreſ⸗

Schah,

hedeutet;

Ditte

falls bekannt iſt.

Dritte Aufgabe.

Einen allgemeinen Ausdruck des Krddrucks
zu finden, unter was immer fuͤr einem Winkel die
Abdachungslinie mit dem Horizont ſey.

§. 8. Die Linie L8 iſt allezeit bekannt, unter
was immer fuͤr einem gegebenen Winkel die Erde ab⸗ Fig. 3.
rolle; desgleichen die Linie D (die Mauerhoͤhe) nebſt
dem Winkel LBD; daher die dritte Seite (L D) eben⸗

Denn die Linie B D iſt bekannt, der Winkel L BD
iſt = 90; der Winkel B LD iſt gleich dem gegebenen
Winkel mit dem Horizont und der Abdachungslinie LD;
folglich ſind in dem Dreyeck L D alle Winkel und

Seiten durch die Trigonometrie bekannt.

Es ſey LD = h; LB = e; BD=a; PB=;
das △ LBD ◻ AQA BOP; daher BD: D L:: B P:
P0; folglich ?PO = h .
.
Nun iſt noͤthig, wie in der erſten Aufgabe, den
Werth eines Trapez zu finden, deren ebenfalls unend⸗
lich viele angenommen werden. PR iſt = dæ; und
da das AQ Pâ†%R & iſt dem a εDTL; ſo iſt L D ():

PR(X) = L B (e): (S die Dreyecke

9°o, PRp ſind = I , was man, wie zuvor, be⸗

—

0.2
weiſen kann. Der Inhalt eines ſolchen unendlich
fkleinen

Fig. 2

TLPD.

kleinen Trapez iſt ed ι Xbh = exAX; und deſſen
b 4 42“
Produkt mit dem correſpondirenden Hebelarm 4 — r
iſt = (4 — *) e — % X 4½ — e v⸗ . Die

.ℳ
Integration giebt die Summe aller Produkten von den
Trapezen mit ihren correſpondirenden Hebelarmen von P
bis B. Und es iſt /e(eX — ex⸗ ex: d r) = ex⸗ —e

ſetzt man fuͤr æ die ganze Mauerhoͤhe D B (2), ſo wird
eXS = ea = dem Druck der ganzen Erde

6X2 —

2 . 3 *½ 6

Erſte Anmerkung.
§. 9. aX Axr — x* Ad iſt im Falle der erſten

Aufgabe der Ausdruck eines jeden mit dem correſpon⸗
direnden Hebelarm multiplicirten Trapez (das iſt) mit

der Entfernung von dem Punkt D. Man differenzire

aXAX — 2 2 a, betrachte aber die Abſciſſe X als
gleich zunehmend, folglich iſt ihr Differentiale unver⸗
aͤnderlich, ſo erhaͤlt man 4 (2 X — *dX) = a d x?
— 2 % 4X*.
Es ſey 24X* — 2 r dx = 0, dadurch wird
ad* 2 dX; und 4 = Xæ; folglich iſt jedes Tra⸗

2
pez, welches mit ſeinem correſpondirenden Hebelarm
multiplicirt das groͤßte Produkt giebt, in der Mitte.
Zweyte
* Ich habe dieſe, und einige nachfolgende Wahrheiten

nicht ausgelaſſen, obwohl man die Anwendung nicht
alſogleich

K 1
ge ni ien hil
geben, ſ ſete ma
2; , witd 44
ſt reilr=
ginung der On
ethaͤt man —

Jrigen, ſethi
girntnt man ober

2/— 1, ſo

belche von dem

peit engfernet ſo

“
ſdes Trope, i/
n demn Hal naͤmti
34 Eig. 2.]) geich
eitemn Winkel von

ſoolich ſi
giebt Gelegen
fillt nan auf
theil onzuwen
Aungen ſuchen
demiſtunlaug
eine ſede volke
ine große Vul

ud deſſen

n 4—
Ar. Dee
len von den

x —,;

2 34

19), ſo witd

anzen Crde

diſetendäre
ſeiſſe als

= 44*

duech wird
ſ jehes ra⸗

Hebelarmm.
r Mitte.
Zweyte
Wahrheiten
wpendung un
eſſogieich

Zweyte Anmerkung.

S. 10. Will man zwey Trapezen finden, wel⸗
che mit ihren Hebelarmen multiplicirt gleiche Produkte

geben, ſo ſetze man die eine Abſciſſe = X, die andere
[= 2z; ſo wird 2 X — X* X = a2dzZ — zz; das

in ſtſt (weil AX = d 2) « — X X = 2æ — 2². Nach Er⸗
nenden?

gaͤnzung der Quadraten und Ausziehung der Wurzel

erhaͤlt man x — 4 = + Z ᷑ P†; nimmt man die obere

2 2
Zeichen, ſo erhaͤlt man æ = 2, alſo keine neue Abſciſſe;
nimmt man aber die untere Zeichen, ſo erhaͤlt man
2 = 4 — ; alſo iſt die Kraft jener Trapezen gleich,

woelche von dem Mittelpunkte der Mauerhoͤhe gleich
der erſen
cotreſpon⸗.

s iſt) nit .
§. II. dx (a — *) druͤckt das Produkt aus

weit entfernet ſind.

Dritte Anmerkung.

jedes Trapez mit ſeinem correſpondirenden Hebelarm;

iele undet⸗ in dem Fall naͤmlich, daß die Mauerhoͤhe DB der Linie

BA (Fig. 2.) gleich ſey; das iſt, wenn die Erde unter

einem Winkel von 45 ° mit dem Horizont abrollet.

3 Allein

alſogleich ſieht. Keine Wahrheit iſt unnuͤtz; jede
giebt Gelegenheit andere zu entdecken; endlich ver⸗
faͤllt man auf eine, die alſogleich mit groͤßtem Vor⸗
theil anzuwenden iſt. Ueberall nichts als Anwen⸗
dungen ſuchen, iſt Kalendermachers Sache. Nebſt
dem iſt unlaugbar, daß, wie der große Euler ſpricht —
eine jede vollkommen bewieſene Wahrheit, in ſich ſelbſt
eine große Vollkommenheit enthalte,

Allein «4 ½ — XX = ) iſt die Gleichung zum eiter auf
Zirkel, deſſen Diameter = 4; daher verhaͤlt ſich die — Wiumten
Kraft der Trapezen, wie die Quadraten der correſpon⸗ ſder Aun
direnden Semiordinaten eines halben Zirkels, welcher Aeenne
auf der Mauerhoͤhe B D beſchrieben wurde; um alſo Clipſe unt
die Summe aller Kraͤften dieſer Trapezen zu finden, lolen wird
iſt nur noͤthig die Summe von den Quadraten aller
Semiordinaten mit 4π zu multipliciren; folglich wird
die Wirkung aller Trapezen ausgedruͤckt durch die ab⸗ K1
gehauenen Theile eines Koͤrpers, welcher entſtehet, wenten Au
wenn man den beſchriebenen halben Zirkel waſſerrecht des Wale
hebet, alſo zwar, daß der Mittelpunkt vom Durchmeſ⸗ en weir un⸗
ſer ſenkrecht ſo lang aufſteige, bis ſolcher eine mit des mnemn der
Halbmeſſers Laͤnge gleiche Hoͤhe erreiche, damit ein Das
Viereck beſchrieben werde; ferner, daß jede Semiordi⸗ Aeſtor,
nate 1 eben ſo hoch gehoben werde, als ſie ſelbſt die Eie d
¹ eſchoft zu
lang i Wierte Anmerkung. Wnän
F. 12. Der Werth jedes Trapez mit ſeinem He⸗ des Crooruc
belarm multiplicirt iſt X G — ), wenn die . enng de
a n Ansdrn
Mauerhoͤhe der Linie B L (Fig. 3.) nicht gleich iſt; (das Aicd
iſt) wenn die Erde unter einem ſpitzigern oder ſtum⸗
pfern Winkel als 45° vom Horizont ſich abſchiebet; geiß eey de
allein ex — eXà = 9 iſt die Gleichung zur Ellipſe, in uonditend

Fig. 4.

.4 .
welcher e den Parameter, und die groͤßere Axe aus⸗ Aln begen
druͤckt; daher verhaͤlt ſich die Kraft der Trapejzen, wie un der Eun

die Quadraten der correſpondirenden Semiordinaten l mit ihn
17 einer

———— 19
ni öum einer auf der Mauerhoͤhe B D beſchriebenen, und ſchon
10 die beſtimmten, halben Ellipſe; folglich wird die Wirkung
rleſtol⸗ jeder Trapezen ausgedruͤckt durch die abgehauenen
weſcer Theile eines Koͤrpers, welcher entſtehet, wenn die halbe
uin alſo Ellipſe unter naͤmlichen Bedingniſſen in die Hoͤhe ge⸗

nden, hoben wird, als in voriger Anmerkung der halbe Zirkel.
len aller (

lichvird Fuͤnfte Anmerkung.
ia⸗ §. 13. Durch die Aufloͤſung der erſten und
enſſtehe, Dweyten Aufgabe haben wir den allgemeinen Ausdruck
ſerchh des Werths vom Drucke der Erde gefunden; itzt wol⸗
uchne⸗ Uen wir unterſuchen, nach welcher Theorie die Futter⸗
litt des nauern der Terraſſen, Waͤlle, ꝛc. aufzufuͤhren ſind.
amit ein Das meiſte Licht in dieſer Materie hat man

Semniotdi. Belidor, wie bekannt iſt, zu verdanken. Ich nehme
ſe ſeht. die Saͤtze dieſes wahren Klaſſikers der Ingenieurwiſ⸗
ſenſchaft zum Grunde; allein ich bediene mich eines
andern Ausdrucks fuͤr den Werth der Potenz (das iſt)
mnen he⸗. des Erddrucks, um den vielen Weitlaͤuftigkeiten in An⸗
wendung der Formeln auszuweichen, welche durch ſei⸗

ſenn die
8 nen Ausdruck (?†) der Potenz entſtehen.
iſt; Das Durch die Integration fanden wir, daß 5

bſchilet; gleich ſey der Summe aller Produkten mit ihren cor⸗
Elipſe, in reſpondirenden Hebelarm, und nahmen dafuͤr a an.
. 1 6
Ate al⸗ Alllein wegen der Zaͤhigkeit der Erde iſt nur die Haͤlfte

een rie von der Summe dieſer Produkten zu nehmen. Um
5 4

ſginaten alle mit ihren Hebelarmen multiplicirte Trapezen in
einer B 2 andere

andere Potenzen zu vertehren, welche an dem Punkt
(Fig. 2.) angebracht werden ſollen, muß 4 mit di⸗

vidirt werden; denn es wird ſeyn 4: 4 — X = 2 dx: dt,

won eine neue unendlich kleine Flaͤche andeutet, die
an den Punkt E angebracht werden ſoll. Es iſt alſo
(a — xX) æ dx = dt; folgſam muß ein jedes unendlich
kleines, und mit ſeinem Hebelarm multiplicirtes Trapez
(welches = iſt (2 — *) æ 4X) mit 4 dividirt werden.

Deswegen muß man 4 mit dividiren. Ferner,

da die Schwere einer Kubikklafter Mauer zu jener der

Erde ſich wenigſtens verhaͤlt, wie 2: 3, ſo ſind « vom

4³

Werth des Erddrucks zu nehmen, folglich iſt —

—

ℳ
2Xx1 π (das iſt) die an den Punkt u angebrachte Po⸗
42 .
6.3

Sechſte Anmerkung.

§. 14. Es wird vorausgeſetzt: erſtlich, daß
die Mauern betrachtet werden, als ob ſie auf einem voll⸗
kommen feſten Grund ſtuͤnden, dergeſtalt, daß, wenn
ſolche von einer Potenz geſtoßen oder gezogen wuͤrden,
ſie ſich auf ihren Grund neigen koͤnnten, wie z. B. ein
Wuͤrfel auf einem Tiſch. Dabey nimmt man nichts
an, was nicht ſich oft ereignete. Die Bruckenpfei⸗
ler,

ſet, und e
enern No
chem Net
oben iinau⸗
nolen wit
leſimnte D
Bleyſchuß,
ein Nebenun

her hie e

ſchie Man
leſtürden, d
gebrochen
bung des
Nebenutnſt
Deorie fol
fann man
ob er einen
ſtlte; dam
paralelen e⸗
nccht ſehen,
wich ihre
he und

Die d.

da vorder i

wenn ſee dun

Puntt ?

nlt« di⸗

Arit,

et, die
iſt alſo
adlich

5 Tragez

werden.

Ferner,

ſeter deet
d ½ donm

43

4
ie Po⸗

ich, daß

nemn vol⸗

aß, twenn
wuͤrden,
B. ein
an nichts

kenpfei⸗

ler,

ler, und auf Pfaͤhle aufgefuͤhrte Mauern ſtehen auf
einem Roſt, der ihnen zur Grundflaͤche dient; in wel⸗

chem Falle die Mauer nur von der Einziehung an bis
oben hinaus zu betrachten koͤnmmt. Von dieſer Art

wollen wir alle annehmen, weil die Mauergruͤnde keine
beſtimmte Tiefe haben; und wiche die Mauer aus dem
Bleyſchuß, weil der Grund nachgaͤbe, ſo waͤre dieſes

ein Nebenumſtand, der nichts zu der Theorie, von wel⸗

cher hier gehandelt wird, beytraͤgt. Zweytens, ſoll man
ſich die Mauern vorſtellen, als ob ſie aus einem Stuͤcke
beſtuͤnden, daß ſie zwar koͤnnten umgeſtuͤrzet, aber nicht
gebrochen werden; da die ſtaͤrkere oder geringere Ver⸗
bindung des Mauerwerks von den Materialien und
Nebenumſtaͤnden herruͤhrt, die ebenfalls nicht zu der
Theorie folgender Berechnungen gehoͤren. Drittens,
kann man den Durchſchnitt einer Mauer anſehen, als
ob er einen unendlich kleinen Theil der Mauer vor⸗
ſtellte; dann eine Mauer beſtehet aus unendlich vielen
parallelen ebenen Flaͤchen, die auf den Horizont ſenk⸗
recht ſtehen, und eine unendlich kleine Laͤnge haben;
wo ich ihre zwo Dimenſionen, die ſie enthalten, fuͤr die
Hoͤhe und Breite anſehe.

Vierte Aufgabe.

Die Dicke einer Mauer zu finden, welche auf
der vorder und hintern Seite bleyrecht aufgefuͤhrt iſt,

wenn ſie durch ihre Schwere einer Potenz )
6. 3

das Gleichgewicht halten ſoll.

§. 15. Es iſt gleichguͤltig, ob die Potenz P Mil zun
Fig. 6. (S von K nach & druͤcke, um die Mauer umzu⸗ c und (6
3 .6

und mi 3 i
fdenn

ſtuͤrzen, oder von 4 nach Rziehe; daher iſt das Gewicht
I= 2.
Mder
150, deſc
nach der Ki

Grundlinie.

Ferner nimmt man an, doß nach gefundenen
Schwerpunkt des Rechtecks, deſſen ganzer Inhalt in
dem Gewicht G zuſammen gebracht, an dem Mittel⸗
punkte E der Lime CD hange. 4C und CD ſind an⸗
zuſehen, als zween Arme eines gebrochenen Hebels, F 1
deſſen Ruhepunkt in C iſt. he1=,
Es ſey die Mauerhoͤhe 4 C = 4; das Gewicht „„ Emdg med
(die Potenz) = a“, die Linie D C (die Oecke der NMauer
welche geſucht wird) =y; 6 (der Inhalt des Rechtecks)
= 4) ; daher A4: 49 = 9: a; folgſam 7½ = .
3 ‧6 32. 4

gem C F d

—
—

4.
3

Zuſatz. ben tiir gefn

§. 16. Wirkte die Potenz Iauf den Hebelarnm—
Fig. 7. 4 C nach einer ſchiefen Richtung, als von 4 nach K, des Dreyeck⸗
ſo iſt anſtatt des Arms CA die Linie C6, welche auuf
der Richtungslinie 4 6 der Potenz ſenkrecht ſteht, als iteinrl
der Hebelarm zu betrachten; daher wenn C4 = 4;
C6G = c; die Grundlinie C D =); ſo iſt a³: a9 * Dice
3. L mauer
= r una

Ntenz b

r umu⸗

Geſbicht

Udenen .
nhelt in
Mitel
ſnd aſ.

ebes,

bicht l,
Maner

chtecks)
2 43*

1.5

Nhelartn
nach K,

ſche auf

e, als
4=—45
649

=

M — —

7
—
—

finden.

= 3

=1t9 tc; undy = /44. = Wcg; folglich iſt zwiſchen

3 .3 3
4C und C6 die mittlere Proportionallinie zu ſuchen,
und mit 3 zu dividiren, um die Mauerdicke C D zu
Fuuͤnfte Aufgabe.
Wider den dreyeckigten Durchſchnitt der Mauer

4ABC, deſſen Kuhepunkt in C iſt, wirket die Potenz

nach der KRichtung von K nach ; man ſucht deſſen
Grundlinie 4 C, (das iſt) die untere Mauerdicke.

§. 17. Es ſey die Linie CD gleich der Mauer⸗
hoͤhe BA = a; die Grundlinie C 4 =); ſo erhaͤlt man

vermoͤg mechaniſchen Grundſaͤtzen ½9 fuͤr den Hebel⸗

arm CE des Gewichtes (E2); daher verhaͤlt
2

1

1

4 ²: 4) = ¾Y: a; folglich 7 SMR. X
3.6 2 6
Erſter Zuſatz.
§. 18. Fuͤr die Mauerdicke des Rechtecks ha⸗

ben wir gefunden 79 = 4; und da fuͤr die Mauerdicke

6
des Dreyecks 5 = 1. 24; alſo verhaͤlt ſich der Durch⸗
6
ſchnitt einer laͤnglicht viereckigten Mauer zu dem Durch⸗
ü— 4 ſchnitte

* Dieſe Aufgabe dienet, um die Vortheile der Futter⸗
mauer mit einer Boͤſchung auf einer Seite faßlicher
zu machen.

ſ. Gnite jener dreyeckigten von gleicher Hoͤhe, wie
† V 4 =— F: VI= I: 32 V 1 =I: ie rie

—,—

Und y2 ϑα223, dann 2 ¾ 3,

Zweyter Zuſatz.

Unter allen Figuren von gleichen Inhalt eines
Durchſchnitts iſt der Widerſtand der dreyeckigten der
groͤßte.

§. 19. Es ſey 4B = 4; 4C = b; ſo iſt das

Fig. 8. Gewicht = ab; folglich der Widerſtand = a*.
2 3

Es ſey FE = b, ED = a; ſo iſt das Gewicht

2 .
Fig. 9. N = zb, und der Widerſtand dieſes, im Inhalt dem
2
Dreyeck gleichen Rechtecks = ½ a be; allein ab*s
— ½ a b'.
Fig. 10 Es ſey HI = c, und 7 = ; ſo iſt der Inhalt

des Trapez = 4 † aα = * a; und „ = b – c; und

2 2
der Inhalt des Rechtecks = —): folglich das

Moment des Gewichts OQ = (e 6 — a 2) ☛ 3

und des Gewichts M=Xαriρα— und der Widerſtand dieſes

3
Trapez — 45² + 2b — 3 a c* †+ à* ab † ab.

Denn es
bb:— 6.
— Un
igten D

Die
auf der ei
mit einer⸗
ihren W⸗

Exde), t

das iſe)

ch entſteh

5D oder
Eeſ
Monerreh
Und das G

Nr Geti

ſe, we — 4 z. Aern en — b2 *† abe — 465 oder
1 .
DE 24 8 4 24

6 †+ 6 — dann b? — b* — — 2,

i eeee w 24
oder 56 65 6— c²; das iſt: 5 b² ☚ 6 b, — c?².

24 24 24
l eines Denn es ſey = b – n (weil =9); ſo wird 55²*
igten der 6 bN — 6 b m — b' — ma †+ 2 bm; oder 3 2 56a¹

— 4bm — m. Alſo iſt der Widerſtand des drey⸗
diſs ecckkigten Durchſchnitts der groͤßte.

l
4 Sechſte Aufgabe.

Die obere Dicke einer Mauer zu finden, welche
auf der einen Seite bleyrecht, auf der andern aber
mit einer Abdachung aufgefuͤhrt iſt; damit ſie durch
ihhren Widerſtand mit der Potenz (dem Druck der
in d413 Erde), welche ſie umzuſtuͤrzen ſucht, im Gleichge⸗

.
Gebicht

olt denn

. wicht ſey.
r Iuhelt §. 20. Das Dreyeck G' iſt bekannt; weil
—d ein Theil der Mauerhoͤhe fuͤr deſſen Grundlinie G H, Fig. 11
(das iſt) fuͤr das Mauerrecht angenommen wird; folg⸗
ſich da lich entſteht nur die Frage um die Groͤße des Theils
. BD oder FG.
5440. Es ſey BD =); die Mauerhoͤhe B G = 4; das
2) Mauerrecht H G = 4; folglich das Gewicht N= 49,
unddiees und das Gewicht M = 44d. Nachdem die Momenten
t der Gewichter N und M auf das aͤußerſte Ende des
4 ” . B 5 Hebelarms

26 —☛——
Hebelarms EI in I ſind gebracht worden; erhaͤlt man
4)) †+ 2 ady †+ add; allein dieſes Dewicht ſol mit

2 3
der Potenz P im Gleichgewicht ſenn; das heißt, (ver⸗

moͤg vorausgeſagten) = * ; dahero a α☚ 4 =

3.·6 3.6
zn t a2 + add; folglich iſt die Mauerdicke 4B

(= „2 7(12) — ..

.
Erſter Zuſatz.
§. 21. Nimmt man nach Vauban fuͤr das

Mauerrecht den fuͤnften Theil der Mauerhoͤhe; ſo wird

im Falle der Aufgabe auf einen ſehr kurzen Ausdruck
gebracht.

Es ſey das Mauerrecht (4) gleich dem fuͤnften

Theile der Mauerboͤhe 4; ſo iſt 4 = 4; folglich 7 =

5
2 2
(E 2) = e (, -e
3.3 3.25
V 4) — = e 1r- 2 4
3.3. 25 5„ 3. 5§ 5 3‧ §5

(2V7 — 3). Nun iſt V7 = 2, 645 ... nimmt
man anſtatt 2, 645 .. die Zahl 2, 7 (wodurch die
Staͤrke des Mauerrechts vergroͤßert wird); ſo iſt 9 =
4 2. 27 — 3 °54 — 30 N = *% . 24

— —,—

3 ‧5 10 3‧5 10 3.5 10
— 4 * ð
25 Nimmt

Poten⸗ =

die Aoͤacht

45 macht;
Dinie 3
chungslinie
mit dem
den haben,

Mltiplicirt
des Heelau

ltſeichen;

iſr des
ſo wird
uodruͤck

fünften

ch)=

27
Nimmt man nach andern Ingenieurs den ſieben⸗
ten Theil der Mauerhoͤhe fuͤr das Nauerrech ‚daß

aſ⸗= —; bt»= V (: —
7.2. 3 7
= 2vG. 7 † 3) — = 1V: — 4 2 4
7.3 S 7 7. 3 7 7.3
VI — 34 = 2 la 13— 3). Nimmt man
7.3 7. 3
V13= Z on e (as3
5
(4 = 2 21 — 4.

7,3 5 5

Zweyter Zuſatz.

§. 22. Bisher wurde allezeit angenömmen die
Potenz = a, ſo der Werth iſt des Erddrucks, wenn
3. 3.6
die Abdachung mit dem Horizont e einen Winkel von
45 macht; allein, wenn die Linie L (Fig. 3.) der
Linie B D nicht gleich iſt, das heißt, wenn die Abda⸗
chungslinie einen ſpitzigern oder ſtumpfern Winkel
mit dem Horizonte beſchriebe; ſo iſt, wie wir gefun⸗
den haben, die Potenz = „ a : und dieſe wie in §. 13.
6

multiplicirt mit 2½ ½, dividirt mit der ganzen Laͤnge
des Hebelarms B D (2) = e. In dem Fall der
3.6
ungleichen Linien L B und B D fann man die Aufloͤſun⸗
gen

gen finden, wie im vorigen Fall. Nebſt dem gebe ich
zu Befriedigung der Neugierde folgende allgemeine

Formel: naͤmlich» = ( 6 T A.
r2 3

— ma, wenn man nimmt, “ 4 = B D;

7
m gleich dem Verhaͤltniß der ſpecifiſchen Shwere der
71 4
Erde zum Mauerwerk, und mu = dem Mauerrecht.
.
Anmerkung.

§. 23. Wenn die Kraft, anſtatt nach der
Richtung von B in K, von D in 4 wirkte; ſo wuͤrde
das Berhaͤltniß des Widerſtands ſich veraͤndern, und
daher noͤthig ſeyn, den bey den Gewichtern M und N
gemeinen Schwerpunkt zu finden. Es ſey dieſer in K,
wenn naͤmlich LR: RP = M: N. Die zwey
Gewichter verhalten ſich aber, wie die Haͤlfte der Linie

HG zu der ganzen Linie G F. Betrachtet man die

zwey Gewichter M und N, als vereinigt im Gewichte

t,; ſo erhaͤlt man den Hebelarm R E, wenn der Ruhe⸗

punkt in F angenommen iſt; ſo folgt, daß die Potenz
P, welche von 1 nach 1 ziehet, ſich verhaͤlt zu derglei⸗
chen Potenz, welche von D nach 4 ziehet, wie der Arm
HR zu dem Arm R F.

Siebente
6

Des
DFde
demit ſie d
oder von

rehhten Ri⸗
gewicht h6

zu verandern

nholt nae

wire, mit

le ich

ehneine⸗
3
2 b 5

vere der

recht,

ach der

d wüͤrde
mn, m
Nund N
er in N,
ie ien
der Linie
won die
Genichte

et Ruhe⸗

iePotent
derglei⸗
der Arn

= 29
Siebente Aufgabe.

Das Mauerrecht H G zu finden einer Mauer

DFHI F, deren Hoͤhe B G und Dicke D bekannt iſt; Fig. 11

damit ſie der Potenz, welche von D nach druͤckt,
oder von I nach K zieht, das EGleichgewicht
halte.

§. 24. Es ſey BD = e, DF=A, HG=)

ſo erhaͤlt man (zufolge der Lehrſaͤtze der Mechanik und

der vorhergehenden Aufgaben) 46ς + a 6 †+ 49
2 3
= æ 4 4 folglich) = / 4² A — 20
3.6 2

Achte Aufgabe.

Den Durchſchnitt der auf beyden Seiten bley⸗ Fig. 13
rechten Mauer 4 C, welche einer Potenz Pdas Gleich⸗ 14,
gewicht haͤlt, in einen andern Durchſchnitt G HIK
zu veraͤndern, welcher von gleicher Hoͤhe, aber dem
Inhalt nach nur drey viertel Theile des vorigen
waͤre; mit der Bedingniß, daß die Mauer G HIK
durch ihren Widerſtand der nehmlichen Potenz P

( das Gleichgewicht hielte.
3.6

§. 25. Es ſey B 4 oder HG = 4; 4% = ;
HI oder GL = Xx; LK =); ſo iſt das Gewicht N

S aæc; das Gewicht Q =aX; das Gewicht A = 49;

2
daher

daher 3. ac = aX †+4 „V 5 6. — 2 = 9. Nimmt
4 2 4
man ſtatt 6. = u; ſo iſt9 = n — 2 .

4
Die vereinigten Momenten der Gewichter O

und M, ſollen der Potenz P S xKR (4) gleich

3.6
ſeyn; woraus die Gleichung entſteht v †+ ² †+ 77
— ℳ 2 3
3.6

Setzt man den vorgefundenen Werth von 9 in

dieſe Gleichung; ſo wird æ = . ( n n — a2 )

— u; ſuchte man die unbekannte 9„„ ſ⸗ ſey

,G 42² 2) folglich 2 = 2 4;

ſetzt man den Werth von 2 in die erſte Gleichung
9 = n — 2 ; ſo iſt n — 2 d = . Foderte man
eine zu ſtarke Verminderung, daß die Aufloͤſung un⸗

moͤglich waͤre; ſo wuͤrde ſich dieſes zeigen in der An⸗

wendung der gefundenen Gl lkeichung ͤ ( Zun— a 2)
3

— n = x. Denn iſt 3 as; ſo iſt/ Er *)
3
eine imaginaire Wurzel.

Neunte Aufgabe.
Den Durchſchnitt der auf beyden Seiten bley⸗

rechten Mauer 4 C, welche einer Potenz P das
Gleichgewicht

Clichgen
6HIK Vo

dern, wel

ſy/ welche
:

1 urd .

der Inholt
Tropeſoidet

ſtu=

der
üöiigten V

(— ).
.6

ender Gleis

han ſatt
XX 20=

—

2

wodurch wir

uung des un

der Wurel ⸗

Ninm Gleichgewicht haͤlt, in einen andern Durchſchnitt
HIK von gleichem Inhalt und Hoͤhe zu veraͤn⸗
dern, welcher mit einer Potenz im Gleichgewicht
D welche ſich zur Potenz P verhaͤlt wie 2: I.

cgtet 9 §. 26. Es ſey 4P = c; CD und GH= 42;
Rgleich IH und L G = x; XKL = 9, die Potenz 4; ſo iſt
74 der Inhalt des Rechtecks = = ℳ6, und der Inhalt des Eig- 1
3LTrapezoiden = 4 + 4); allein vermoͤg Bedingniß &
hon ) in iſt ac = 4½ + 4); folglich 7 = 2 c — 2 . Nun
4 2
7 ) ſoll der Widerſtand des Trapezoiden (das iſt) die ver⸗
eheinigten Momenten ſollen der doppelten Potenz B
KM 2 ) gleich ſeyn. Dadurch gelangen wir zu fol⸗
3.6
chugg gender Gleichung: æX †+ æ) †+ 99 = 2 a2; ſetzt
ſung ur. man ſtatt deſſen Werth 2% — 2 „æ; ſo erhaͤlt man
DNer Vn⸗ ð

—

1—4 2 3. 6
) wpodurch wir nach gemachter Reduktion, und Ergaͤn⸗
=* zung des unvollkommenen Quadrats und Ausziehung
) der Wurzel finden, daß æ = . WD c— )
— 2 c.
iten bler⸗

it HMD Anmerkung.

Anmerkung.

§. 27. Man koͤnnte den Durchſchnitt des
Rechtecks H1 in den Durchſchnitt eines Trapez ver⸗
aͤndert haben, welches einer weit ſtaͤrkern Potenz als
P zmeymal genommen, widerſtuͤnde. Wenn aber die
Gerhaͤltniß, der, vermoͤg Bedingniß, verſtaͤrkten Po⸗
tenz, jene des geſuchten moͤglichen Widerſtandes uͤber⸗
ſtiege; ſo wuͤrde ſolches in der Anwendung der For⸗
mel ſich zeigen; dann in dieſem Falle wuͤrde 2 “ £

V( IK— ).

Zehnte Aufgabe.

Zu finden, um wie viel eine Futtermauer, wel⸗

Fig. ii che mit einer Potenz P' das Gleichgewicht haͤlt, ſtaͤr⸗
ker wuͤrde, wenn man die obere Dicke B PD um ſo viel

dicker machte, daß ſie = m werde.

§. 23. In der ſechſten Aufgabe haben wir
gefunden » = 6 E — 4; dieſe Glei⸗
3.3 3

chung iſt eneſtanden aus )² + 2 4) †+ dd = 2. a2
3. 7.6

1 44; dieſt aus t 24 44= 2. „ — 2 44
32 3.6 3

3

+ da; und es war vor Ergaͤnzung des unvollkom⸗

menen Quadrats)² + 2 d) †+ 244 = 2 . Setzt

3 3.6

42 Am

—

4 ſtat/

5

45

man m ſtatt y, und ſtatt 4; ſo erhaͤlt man n mn
5 +

Der

honmeine
mayer FI

9,2

4 Funbeſci,

inie 4 he
Purelel d

EF, und D
zupor) zu
Trapeſe en an

tetonmnt; ſ

rz⸗
Erer

„,

p e⸗

33
Hr daenn (ar „ mo n nan 4e ſan,, un

uS
NA 4 ſtatt 4; ſo haͤle man e rae 12)
1 s S 25 5
e die ( 4 ² N = 22 ℳ* 54eLfolglich P: x (der geſachten
o,. Eꝛ5 3·5.2 5
er Potenz) = 22 4 : mm † 2 d m † *4d,
Jo 1, 5. 25
20 ..
Eilfte Aufgabe.
Den Druck der Erde auszudruͤcken, mit wel⸗
chem⸗eine Bruſtwehr ſammt Baͤnken auf die Futter⸗
mauer FI wirkt. Fig. 15
wel⸗ g . . .
ſ §. 24. Frſtens: Man verlaͤngere die Linie
. 4A F unbeſtimmt; alsdenn die Linie D E, bis ſolche die
ſo viel

Linie 4 F beruͤhret, Und ziehe aus dent Punkt D die
Paralll D G.
ben wit Der Winkel EFA iſt von 45°; folglich ſind
Gei⸗ EF, und D & mit den Linien parallel, welche wir (wie
zuvor) zu den Grundflaͤchen der unendlich vielen
2. 4 Trapezen annehmen. Die Linien 0 D und F ſind
76 bekannt; folglich auch die Linie FO; denn 0D: EF
200 = OF+ FO: FO. Es ſey alſo F = ; E F=n;
Tp = x; ſo iſt F () : FE (2n) = m †: Hg
polkom⸗ E 22) I = Ax; folglich yg = AxXz daher
das Trapez / H = udæ †+ ux dæ, Nun iſt dieſes

Ghon mn N N⸗2 mY 2
C Trapez

34 — =

Trapez mit ſeinem correſpondirenden Hebelarm L I zu
multipliciren (das iſt) mit « — æ, wenn der Mauer⸗

hoͤhe EI gleich iſt; folglich tCe ) E⸗ „erex)

m YV 2
= andx †+ andXx — uXAX — ux' dX; und
NV 2 m N 2 VNz3ʒ́ N 2

deſſen Integral = anX + anX* — uX* – „X.
NV 2 2 my 2 2. V 2 zu⸗

zweytens: Aus den Punkten C und B ziehe

man C und EB5§ parallel mit D O, und verlaͤngere
die Linie D C bis zu 4 Fin K.

Es ſey die Linie R0 = c; R Q=g.; beyde ſind

bekannt, und QO iſt = c— g; 0D=f; Q F= e;
QM= x. Es iſt R0(c): DO (fF) = R M ( †+ æ): M K
KE E ; MT=AX; alſo iſt das Trapez L M
GE 7
fex + fx dx. Es iſt aber M F= e — X; ſo iſt P I
cVZ cV2
= 4 — e + «; folglich das Trapez LM, multiplicirt
mit dem Hebelarm PI, = (a — e) g X + (a — e) x dx

cVZ „VZ
+ fα + fX* dX = (a —– e) ſg dX
cNVZ cVZ c Yz
4 (a— e +) fxdX + fæa dx; wovon das Inte⸗
cNZz cNZ

grale iſt (a — e) fgX † er⸗ + fx; —RL

cYZz 2 cVZ 3 0cNZz
Drittens: Man betrachte die Linie B C als pa⸗
rallel mit 5, weil der Unterſchied der Perpendikular⸗
linien,

ſien
leerage
E

1720.

/ das T

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65 LM

it pI
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R

—

Jule⸗

ſr
Nſs
illa⸗
lien, .

linien, die aus B und C auf 4 F fallen, ſehr wenig
betraͤgt.

Es iſt R0(c): OD(F) = 10 (e): c(½);

X2= C iſt = fg. Es ſey 12=x; 5 1r; ſo

.
iſt das Trapez XTS= fgAX; TQ= r — x; ſolglich
V:
TF=— X †+° = F U; alſo UISA— 1 — e †+ æ; folg⸗

lich das Trapez XI mit dem correſpondirenden Hebel⸗

arm multiplicirt = (a — — e) ſg dæx †+ fgτα
„NZ c YZ2

deſſen Integrale = (2 — v — e ρςXæ †+ σαXα*.

cVZ 2 cNV2
VDiertens bleibt noch die Kraft des Dreyecks 4BS

zu ſuchen. Es ſey 45=„; 4 ½ = ½; ſo iſt 45 ():

9() = 12 : (S B) folglich das

Trapez (von welchem £$ als die Grundlinie zu be⸗
trachten iſt) = gτατα; à I= Aε = ½; folglich das
peV⸗
Trapez mit dem ihm correſpondirenden Hebelarm mul⸗
tiplicirt = g X* X, wovon das Integrale iſt = g;
. 3 C V2
oder (wenn man die Abſeiſſen von dem Punkt nimmt)

—

S fg (2 — x) .

3 65°N2
Durch dieſe vier gefundenen Formeln haben wir

die Momenten erhalten des Trapez DF, des Trapez
B C 2 D Q,

O, des Parallelograms O, und des Dreyecks 465.
Nun iſt zu bemerken, daß, wann die Mauerhoͤhe FI
kleiner iſt, als die Grundlinie 4 der Bruſtwehr ſammt
Banauet, daß nicht die ganze Bruſtwehr ſammt Baͤn⸗
ken, auf die Futtermauer wirke; ſondern nur jener

Theil der Bruſtwehr, welchen die Abdachungslinie “

der Erde abſchneidet; deswegen nur der abgeſchnittene

Theil der Bruſtwehr, als eine auf die Futtermauer “
wirkende Kraft zu betrachten iſt; wenn alſo die Nauer⸗
hoͤhe FI gleich oder groͤßer iſt, als die Grundlinie der

Bruſtwehr FA, ſo muß die Summe dieſer vier ge⸗
fundenen Formeln genommen werden, um die Kraft
zu erhalten, mit welcher die Bruſtwehr auf die Futter⸗
mauer wirkt. Im Fall aber die Hoͤhe der Futter⸗
mauer kleiner waͤre, als die Grundlinie 4 F der Bruſt⸗
wehr; ſo iſt zu ſehen, wo die Abhangslinie die Bruſt⸗
wehr durchſchneide. Nun waͤre dieſer abgeſchnittene

Theil gleich oder kleiner als das Trape; D F; ſo druͤckt

die wirkende Kraft dieſes Theils die erſte Formel aus.
Waͤre die Mauerhoͤhe von einer ſolchen Laͤnge, daß die
Abhangslinie einen Theil von dem zweyten Trapez
DC, oder das ganze Trape; D ſelbſten noch ab⸗

ſchnitte; ſo iſt die zweyte Formel zu der erſten zu ad⸗

diren, und in der erſteren wird = F0; u. ſ. w.
Erſte Anmerkung.

Aus der Aufloͤſung dieſer Aufgabe iſt es leicht,

die Theorie zu ziehen, nach was Art die Kraft wider die
Futtermauer zu berechnen waͤre, wenn nebſt der Bruſt⸗
wehr noch eine Katze (Cavallier) auf ſelbige wirkte.
Zweyte

ſiſegech

N

on, tie

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ED,

Fal alſo⸗

Da
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159.
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Tropef
h ab⸗
ad⸗
.

lecht, †—
ider die
Bu⸗
firtte.
ehte

Bruſt⸗

Zweyte Anmerkung.

Man nehme die uͤblichen Maaßen der Bruſtwehr
an, wie ſolche (Fig. 16.) angedeutet ſind; ſo iſt der
Werth der Buchſtaben, welche die bekannt angenom⸗

menen Linien bedeuten,folgender: 1= V 50 ⁄ = 175 7V

13
= 9, 6 = 50/ = 3973 = 221; 7 = 3/ 5= 6 ,
4 = der Mauerhoͤhe; folglich iſt das Moment des Tra⸗

pez DF, wenn die Abſciſſe gleich O iſt (in welchem

Fall alſo gleich 33 iſt) = 42472 — 31581.
2 4.70 4.5.7
Das Moment des Trapez DQ, wenn die Ab⸗
ſtiſſe gleich O0 (i = 450454 — 919775.
“”MU 2 4.7.8.8 7.8. F.
Das Moment des Parallelograms 6, wenn
die Abſeiſſe gleich 5 (3 , iſt = 29254 — 39975.
2 7.8.8 2.7.8.8
Das Moment des Dreyecks 4§, wenn die Ab⸗
ſciſſe gleich 45 (6), iſt = 2925.
2.7.8
Folglich iſt die Summe dieſer vier Werthe, das
iſt, die Kraft mit welcher die ganze Bruſtwehr auf eine

ihrer Grundflͤche⸗ F gleiche oder groͤßere Futtermauer

FI wirkt = 599474 — 4967743, welcher Wertb
4.5. 8.8 5.7.8.8.8

wie oben mit 3 zu dividiren iſt.

*
X* X*X

4.

Die Anwendungen dieſer Formeln ſind der Un⸗

bequemlichkeit einer langen Berechnung unterworfen;
weswegen ich eine andere Art geſucht, welche zwar nicht
die nehmliche mathematiſche Genauigkeit in ſich haͤlt,
aber dennoch nicht ſo empiriſch waͤre, als jene, deren
Belidor * ſich bedienet. Sie beſtehet darinn, den
Theil der Bruſtwehr, welchen die Abdachungslinie
vermoͤg verſchiedener Mauerhoͤhen abſchneidet, in ein
Trape; CEBD zu veraͤndern (Fig. 16.), deſſen Mo⸗
ment beylaͤufig dem Moment des abgeſchnittenen Theils
oder der ganzen Bruſtwehr ſammt Baͤnken gleich iſt,

um ohne weitere Berechnung auf alle Faͤlle die erſte
9

Formel (Sr + anx — nX — X3
Vz 2 V2 2 Vz )
anwenden zu koͤnnen; da ich aber dieſe Art noch nicht
genug unterſuchet habe, ob ſie fuͤr allgemein anpaſſend
ſey, obwohlen dieſelbe beſondern Faͤllen angemeſſen iſt;
ſo doͤrfte nach genauerer Pruͤfung ein zweytes Stuͤck

davon noch handeln.
V Ueber⸗

* Er berechnet nach den naͤmlichen Principen, als ich An⸗
fangs angezeigt, die zwo arithmetiſche Progreſſionen;
mit dem einzigen Unterſchied, daß, um die Kraft der
Bruſtwehr zu finden, er zu jedem der erſten 20 Glie⸗
der in oben ſtehender Progreſſion 10 Einheiten addirt,

die Mauerhoͤhe moͤge 20 oder 50 hoch ſeyn, u. ſ. w. ;

wodurch, wie leicht einzuſehen iſt, je hoͤher die Mauer
(das iſt) je laͤnger der Hebelarm, ein deſto betraͤcht⸗
licher Unterſchied mit dem theoretiſchen Verhaͤltniſſen
ſich aͤußern muß.

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labdirt,

Manuer
hetricht⸗
ſfltniſſen

Ueberhaupt enthalten die Aufloͤſungen der bisher
geſtellten Aufgaben gleichſam nur den Eingang zu der
Theorie vom Erddruck auf Futtermauern. Berſchie⸗
dene angeſtellte Verſuche und gepruͤfte Berechnungen
gaben mir deutlich zu erkennen, daß bey Futtermauern

mit aus⸗ und einſpringenden Winkeln bey zirkelfoͤrmi⸗

gen ꝛc. nicht hinlaͤnglich waͤre, den Erddruck nach einen
Profil kurz zu berechnen; desgleichen ſind noch viele
Luͤcken in der Theorie von Strebepfeilern auszufuͤllen.

Anwendung der Aufgaben.

Erſte

der vierten Aufgabe §. 15.

Un die Dicke einer auf beyden Seiten bleyrecht
aufgefuͤhrten Futtermaner zu ſinden, bedarf es keiner
weitern Berechnung, als den dritten Theil ihrer Hoͤhe
zu nehmen.

Zweyte
der ſechſten Aufgabe §. 20.

Um die obere Dicke einer Futtermauer zu finden,
welche nur auf der einen Seite bleyrecht iſt, und den
fuͤnften Theil ihrer Hoͤhe zum Mauerrecht hat, wird
die Hoͤhe mit 4 multiplicirt, und mit 25 dividirt.
C 4 Es

4O%

Es ſey die Mauerhoͤhe von 15“ ſo giebt 15 multi⸗

plicirt mit 4, und dividirt mit 25, fuͤr die geſuchte
Dicke D C, 2 40, 97’“; durch dieſe Berechnung er⸗

haͤlt man beynahe den nehmlichen Werth, als Belidors

Tabelle anzeiget. Nimmt man fuͤr das Mauerrecht
den ſiebenten Theil; ſo erhaͤlt man die Dicke der Fut⸗

termauer, wenn ihre Hoͤhe mit 5 dividirt wird.

Mehrere Anwendung waͤre uͤberfluͤfig. Mathema⸗
tikkuͤndige beduͤrfen keine andern; und den meiſten un⸗
ſerer Mauerer oder ſogenannten Baumeiſter, wuͤrden
die in Ziffern verſetzte Formeln der uͤbrigen Aufgaben,
doch entbehrlich ſeyn.
Ich trage keinen viertel Theil mehr, als man in
den Gleichungen erhaͤlt, zu Verſtaͤrkung der Futter⸗
mauer, wie Belidor, an. Nebſt den Urſachen, welche

aus §. 4. zu leiten ſind, iſt dieſe Verſtaͤrkung um einen

vierten Theil ein zu willkuͤhrlich angenommener Satz.
— Nebenumſtaͤnde muͤßen ſolchen beſtimmen. Fut⸗
termauern bey Terraſſen in Gaͤrten fodern gewiß nicht
die nehmliche Verſtaͤrkung, als jene der Waͤlle, auf
welchen Stuck und Keſſel Batterien ſpielen, u. ſ. w.
um ſo weniger kann beſnge⸗ Verſtaͤrkung fuͤr einen
allgemeinen Saßz gelten, als die Verſtaͤrkung mit der

Maͤuerhoͤhe im Berläln ſtehen muß; da die Er⸗

ſchuͤtterung einer 50 hohen Mauer unter nehmlicher
Kraft groͤßer wird, als einer 15“ hohen; und dann
iſt die Verſtaͤrkung nach der Beſchaffenheit des Ma⸗

terials zu richten. Eine Zimentmauer, eine aus Qua⸗
terſteinen (bey welcher auch der ſpecifiſchen Schwere “

wegen

Die tiel de
nlauer bey
Pardubit
den hot bl
ohere Man
Erde war
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1Oa⸗
Schtwee
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41

pegen der Widerſtand gewinnt) braucht man ſicher
nicht ſo viel zu verſtaͤrken, als Futtermauern von
ſchlechterm Materiale. *

* Wie viel das Material zum Widerſtand der Futter⸗
mauer beytraͤgt, koͤnnte man bey dem Stallbau zu
Pardubitz beobachten; wo man Wallmauern gefun⸗
den hat von 12“ Hoͤhe nur 5“ Mauerrecht, und 2
obere Mauerdicke. Die hinter ſelbigen aufgehaͤufte
Erde war theils Lagenweis ſandicht und thonicht,
theils gemiſcht, theils pur ſandicht oder pur thonicht;
bey eben dieſer fand man die eine Courtine von 5 und
6 hoch, ebenfalls von 2’ dicke nur 1 Zoll Mauerrecht;
und an manchen Orten hatte dieſe Courtine nur 10
Zoll Grund; im andern war ſie platt auf die Erde
5 geſetzt. Und obſchon eine Strecke von 200° dieſer
Futtermauern auf die Entfernung eines Schuhes
von ihrer Grundlage vorwaͤrts abgewichen, auch die
Kraft des Erddrucks durch eine Bruſtwehre vermeh⸗
ret war; ſo kam ſie doch nicht aus dem Bleyſchus, nur
die Stellen, wo ſie ſich abgeloͤſet hatte, ausgenommen.
Das Geſtein dieſer Mauer iſt aus zu 1“ langen, ein
halben breiten, und eben ſo vicl hohen Stuͤcken von
Kunietitzkahorer Steinbruch beſtanden, und der Moͤr,
tel aus reinen Grundſand und den Herzmanmieſtetzer
Kalk, welcher von der beſten Gattung iſt. Die
Kunietitzkahorer Gebirgsart iſt Kalkſtein, Calcareus
inæquabilis griſeus, Wall. §. 41. ſpec. 52. pag. 124.
und ſoll zum Kalkbrennen nicht ausgaͤbig ſeyn.

Ende des erſten Stuͤckes.

B

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