Cd4238_qt

Cd4238_qt_1 Provided by University Library of Tübingen Transcribed with Tesseract

To the best of our knowledge this work is free of known copyrights or related property rights (public domain).

Expositio Et Dilvcidatio Libri Qvinti Elementorvm Evclidis ERN A m —X — u x M — —— — —— m —— T a x k ETE *we - w2 — W w n - W. R. * d * i « " - js » . um — À * « EM E uu » [* a. - " . - 4 v* *X * ä - : T P L * - | * h,» 3 " " K P * L Em t w a » " E a * * N M * * * *s v* s w ER ^ Y P s P m —« * * E - »- " * as N - A *s " r * - w * s. - & : * ^ E Avl T i ) P $- I v «. ^* t N 4 AH m * a hu Á " A * n * E A ^ 4 t » - * o * s z»a .MM J T 4 n x . "u i & N - 47X * ^ g * ^ T i $ : W. i. x E Y x d « - W * x m uf f « * ? " i P w. r p » o d D OE $s - v * " | 2 hn Y^ " M E w n * a, . * * $- EY j L s n d ^ $x P E w w s ii & " A * E X T i - 22 ; [* Y^ g N " T E 4 A E E g m p À 2 [ d at : äv E V M E Y« DA ts P N 3 m ^. v £ ( nv - pova k * 4 T CY* boxt " n d N - Es i ^ Rs f,( $ P t 1 Er — " 1y a A d i - X E a Eo3 r * T iX E nis : * dier m z* "p - E * Eb i , EM & A E T E i r2 od [ -^ € z » & » ww ^^ M p - s À r i [ * Li P. i A i P » $3 "4 E $4 w - ** ". j 7 . Es o " j T Pt tv $s : » W A L* P& -^ vt £ *s L 4 * Mw E. MR fs. * * u - DAW Rs N E I - - t a X * r i ^ w L ad -R 33 - e 1 eí .w—ï Tw^ * L uT i d i À - - X E *s L Y . x E x* U.. H m T Lo8 4 * Y H W.m. M Cat k: * E. - k: - M £f* : A . emw d p P d st X ii * RU - -— R « ^ M Ed d d w t r E i s * l x R E RT v AX 3- £ o j* Ms - j Fs yäwæ " - IN w,. j p P i LE ^ r* Jise r Éw xm- j . x Dd . L x m B * : * vt " wm..ï. d PL MM o . - b ub ^ X j2 ab w æmw " u W * P $s OP* x j wer d * A hs E lo * z MC * p * t v h LY " W * ^ " *2 & L Rs AE A ."u b p* EA $ * .&.,s . W us t — w» depea * dR du mx d M W R^ — 24 P * h PT x- E * * n« * E d P 2 - M i Á * i Ea P AOT " &-. x £ d - - I X Y * a o n X . L. ^ d * r 1245 d- v * o EN. * dirs M o m x * * " dv m m.?ä h - e s EE : o 3 w N A i. agf " E A * s P s w.w P ER 4551 j - W "s x i a [ A : — ÁASN. m « s ^ X - ROT » p m $ at pE N P ss n wv* A st " ". i z L s " d at w Pt L t a - e t & & s d M ; M taeN "A » - A m dN i. A ? T. d m Ls A b i d. »- ss r s i L 2 Pb R, .W.,, VF( w 3 A ab m s A a EM x t T r w)u a Wb & E N m T* a P b * 2 a u d : j * m o m 3 w a i Es i * "r As * *| * 2 E WE Y r $ s fs - M x j s E x A. QUi P* $e * x * - E d A Eu Ls : : X T D * - - vt x f i v ,.m - m Pa L nes -- " "" - x — "- l - — ii ER a i. —— —— REU z MUAR MEEERT TEUEIUE z x a, r n I —— —— — — — — Ài s EXPOSITIO ET DILVCIDATIO AA LIBRI QVINTI ELEMENTORVM EVCLIDIS wa————æä CVIVS PARTEM PRIMAM RECTORE FNIFERSITATIS EBERHARDIN.E CAROLINA MAGNIFICENTISSIMO öERENISSIMO ATQVE CLEMENTISSIMO DVCE rrT DOMINO- DOMINO CAROLO DVCE WIRTEMBERGEUE ET TECCIJE REGNANTE .REL. REL, $ A d e (;I( fi*ä( sf PRAESIDE CHRISTOPH E RID. PFLEIDERER PHYSICES ET MATHESEOS PROF. PVBL. ORD, PRO RITE CONSEQVENDIS MAGISTERII PHILOSOPHICI HONORIbBVS DIEBPFS AFG, MDCCLXXXII PVBLICE AD DISPVTANDVM PROPONVNT CAROLVS FELIX SEYFFER, Aefeldenfis ï IMMANVEL DAVID MAVCHART, Zubingenfis, CANDIDATI MAGISTERI] PHILOSOPHICI IN ILLV$TRI STIPENDIQ THEOLOGICO, Qm:züw.——— TFPBINGZ 1yris SCHRAMMIANIS, Fa - m Id a i ia — p ^ 3* 3 * I * Ls 1$ 23 TU * ;:f;f E^ T EUR B ag ;M ä;; ä 2 ïä /?;: r)'F NU n [ : S. LP D efinitio [. Magnïtudo minor mejorem metiri dicitur; quando minor aliquoties repetita majorem exacte producit, five majori equalem efficit ; feu quando major minorem exacte aliquoties continet. Etc magnitudo minor C majorum -& B communis memfura dicitur : fi C utranque // & B metitur; hoc eft, fi magnitudo C aliquot, di- verfis quidem, vicibus repeuita utramque 7 & B exacte producit, feu utrique zquales eflicit. . 2. Definitio II. Duabus maguitudinibus in-äzquäïibns propofitis, quarum minor majorem metitur: major Jultiplex five Multipla minoris; minor, Pars feu Submulipla majoris vocatur. Ejusmodi igitur pars prodit, fi magnitudo in quotcunque partes zquales dividitur, Que quidem partes etiam vocantur Zf/iquotae ; & di- ftinguuntur ab 4liquantis, magnitudinem ipfam nou metientibus, conflatis ex fumma aliquot ejus partium aliquotarum, | Evcripgs Libro VIT. & fqq. partes aliquotas & aliquantas ita diftin guit, ut priores ümplicitgr Pariem ; pofferiores , Partes appellet. D 23 Definitio 11I. ue magnitudines , P duafum C;, D ar- quemultiplae feu. aeguemultiplices effe dicuntur: fi major 247 minorem C toties exacte continet, quoties Z continet D; feu fl minor C toties prz- cife repetenda eft, ut efficiat equalem majori 4/, quoties D repeti de- bet, ut eífficiatur equalis magnitudini Z. — Eodem cafu magnitudines C, D duarum 44, B portes aequealiquotae vocantur. Aequemultiplices au- tem partüum zquealiquotarum . duarum magnitudinum vocantur magni- tudinum harum partes aequealiquantae, Partes xquealiquotas duarum magnitudinum Evcripss eznmdem ilarum gartem ; zquealiquantas vero, 2asdem partes appellat. k d- d Ixima. Aequalium magnitudinum squemultiplices , & partes tam zquealiquote quam zquealiquante mutuo zquales funt; in- squalium autem , inequales; majoris nempe, majores. Vicilfim zqua- les funt magnitudines, quarum equemultiplices, vel partes squeali- quote, aut zquealiquante mutuo equales funt: inequales autem, qua- rum funt inzquales; nominatim major eft magnitudo, cujus zquemulti- plices, vel partes æqlfealiquotæ , 8üt zquealiquante majores funt. $. 5. - p2 AT $ s Pæ;apnjitin l. (EVCUD. V,1) $i cjuotcunque magnitudines 4, B, C &c. fuerint magnitudinum homogenearum L, JJ, N , &c, equalium numero, fingulz fingularum; zquemultiplices: quam multiplex una Z eít unius L; tam multiplices & erunt omnes fimul 4-F- Z 4- C 4- &c. omnium fimul L 4- M 4 N 4- &c. Breviter fi. 4 — 7L B: v C—rTN &e, * denotante numerum integrum quemcunque: erit etiam A 4- B 4- C - &c. feu rL 4- vM 4- N d- &c. b — ( 4 M N- &e) Dumonjir. Quippe 4f confïabic r partibus zqualibus, fingulis — L, - - - » - D - C N; &c. & fi fingulis illis s partibus magni.tudinis 44 adduntur fingule vt« artes magnitudinum 2, C &c.; elficiuntur fummz , quarum quzevis Harum autem fümmarum, quz omnes junctz c., tot fieri pote- efficient fummam ipfam magnitudinum , J C runt , quot funt partes in fingulis; hoc eft, r, ltaque [ A4- B 4- C4- &c. erU0LAqMAN - . &e.). » Fig. Y Ex. gr. fint 242, Bb, Cc ipfarum L, M,N aquemultipïices; lingule — L, hoc eft fint in Zs totidem partes /42, de, va, quot fünt in Bb partes Bf, fz, gb, lingule — M, — — an- Ce artes Ch, hk, kc, lfingule ? Erunt tam Ad 4- Bf - Ch l quam de Tf s b du M d & & - gb d- k )' Bb, €; fimul fumtis funt magui- Totidem ergo in magnitudinibus a, E tudinum L, JMJ, N; quot in tudines, fingule zquales fumme magni ualibet feorüm 44a, Bb, Cc infunt maguitudines, fingus L, M, N refpective equales. Scholiom, Propofitioni huic, quam fenfu communi facile S. 6. liplicandum compofitum per affequimur, vulgaris innidtur praxis mu Nunirum ut v, gr. Dnumerum mulüplicatorem fimplicem. m ultiplieandi. e 7364 per 8 multiplicemus, feu ut octuplun ) efficiamus numeri 7364: o&ties fumimus primum 4 unitates, tum 6 denarios, dein j eentenarios» étuplorum conficimus fummam. denique 7 millenarios; horumque o 6s £ fu——i s5 5 [ l H 4o II (Evcrnm. V, y.j Pariter fumtis duarum E * Z/e€ : Proþoji lum L, J zquemulüplis 4, B: magnitudinum h omogenearum inzqua quam multiplex eft majo r.4 majoris , feu minor B minoris M: tam multiplex etiam excelfus unius t nagnitudinis 4 fuper J erit ejus excet- fus, quo magnitudo £ fuperat alteram M. r fi A———-ïL, Brevite & B o-trM; « denotante rurfus numerum integrum quamcunque: er it ätiam p rL —vM feu - Namr (L—M) 4- r — v ( L—M - M1) per Prop.T. hï eft — rä : Demonfir. feu r L—M) 3- B Igitut demta utrinque Z, fi c r L—2M) — — B. Fig. 2 Seu lint a, Bb equemultplices magnitudinum L/, JIm: & fiat A4K tam mulüplex excelfu s Ol, quo major Lf fuperat mino- ipfius L/, & Zb feu Z4D ipfius /Mm rem J/m, quam multiplex eft 442 feu LO. Erit pariter ifg? 4AÀAK, hoc eft DÉ, tàm multiplex fummze J L g -- 01, hoc eft, magnitudinis L/, quam mulüplex eft Aa hujus :L4, (Prop. L) Ergo 44a -- DK (Ax. $. 4.): unde demta r Ol per conftr. utrinqne AD, etiam Da — AK; hoc eft 4a—Bb— r (LI— Im). . 8. Propofítio III. (Evcnup. V, 2.) Sint , B, C &c. di- verfe multiplices quecunque ejusdem magnitudinis L; & alius cujus- cunque magnitudinis JJ totidem muliplices E; F, G, &c,; fingule gquemulaplz prioribus, nimirum 4 & E, B& F, C& G, &c. . erunt etiam fummz A -- B4- C 4- &c., E4- F4- G 4- &c., magttitudinum L, M zquemultiplices, DBreviter fi 4 — vL,; & E-—rHM, .B:pL, F2pM, &c. G :c.qM, denotantibus : numeros erunt -tatm £. i integros quoscunque : A. BC &c. — (r--p4.q4- &c.) L, quam E--F4-G-- &c, — (r-cp-rg &c.) M. Demonfr.: Numerus quippe partium, fingularum — Z, quz infunt fumme 44--B--C-4-&c. , componitur ex numeris harum partium , qua fingulis 44, B, C &c. infunt, fimul fumtis, Pariter numerus partium, fingularum — M, quz infünt fumme E -- F-- G 4- &c., componitur ex s E, F, G &c. infunt, fimul fumtis. par;iu'm harum numeris ,. que iinggli 2 2tum 4 GR u Cum igiturt numeri partium — , que magnitudinibus .4, B, C &c. feorfim infunt, iidem refpective fint (fupp.) ac finguli numeri par- tium — J7, quz infunt magnitudinibus £, F, G &c. feorfim: fumma quoque priorum ac pofteriorum numerorum eadem prodit. B g. Seholion. Propofitioni , quod TL L 4 4L4- &e. L— — (r 3- p &e.) L, innititur praxis, numerum per multiplicatorem compofitum multiplican- di. Nempe ut ex. gr. numerum 5728 per 634 multiplicemus: primum quater fumimus nunierum propofitum ;728, tum tricies, dein fexcenties ; horumque productorum partcularium. colligimus fummam. 10. . Corollarium. S (Evcub. V, 3.) Aequemultiplorum 4 & E maguitudinum L & M zquemulüplices 7 & K pariter magnitudinum L & J equemultiplices tunt. Hoc eft fi 4 — 7L & Ecr, I —n4 K —wnub atque erit tam.. J — (nr) L quam K — (ur) M: & r defignante 5 & r defignantibus numeros integros quoscunque ; produéctum, quod fit ex nuniero x toties lumto, quot alter » continet unitates, .Quippe cum fingulis 4 totidem infint magnitudines — Z, quof fingulis E infunt maguitudines — J/: fimul fumtis quotcunque //, ac totidem E, hoc elt equemultiplicibus ipfarum 4 & £, ariter magni- tudines £ & M inerunt eodem numero. (Propof. 111.), Breviter Corol- is Ill ; quo larium propofitum fiftit cafum particularem Propofition numeri 7 , p. 4 &c., adeoque magnitudines, 4, B 20&8C. E. P.G refpective funt equal.s. Iav M. Scholion. Propofitioni, Corollario precedenti contentz , quod n4 feu n (vL) — (ur ) L, innititur praxis multiplicandi numerum integrum per multiplicatorem , qui folis denarüis, vel centeuariis &c.; conitat. . Nempe ut v. gr. numerum 5728 per 30, vel per 6oo multi- plicemus : triplo vel fextuplo numeri ;728 unum ,. vel duo zero ad dextram adjungimus; hoc el i tiplum numeri 5728 decuplicamus, fex- tuplum centup licamus; ficque efficimus numeri *7:8 trigecuplum, fex- centuplum. Pariter duodecuplum: ex.;gr. numeri alicujus eHicimps, fumto tvipli ejus quadruplo , vel quadruphi triplo. $. 12. - Propofitio I7. (Evctip. V, 6.) Rurfus fumtis duabus multiplis quibuscunque diverfis 4, B. ejusdem magnicudinis 5; & alius gque- m - WE . 4*A .. ume cujugsqe magnitudins M zquemulüplis E, F: eXceHüs,) queis [ WE —&æ*ä y multiple majores £ & E fuprerant minores J & F, vel fimul zquales funt magnitudinibus L & M, vel earundem funt zquemultipli- ces Breviter fi A-———- W.L, & E-rM, B:.":pL,& F:ï)M,' *, p denotantibus numeros integros quoseunque, quorum p i'ior Y major altero p: erit em 4 — B — (r—p) L, quam E—F — (r—p) M;- fpeciatim tam 4— B — L, quam E — F— M, fi r —p-—z, feurz p z. Demonfir. Quippe 1mofi r — p4- r, feu r—p — z: quia ($.8.)tam L--pL 2 (; L feur.L, quam. M2--pAL — (1-p) Mfeur M »oe eft tam L 4 B — 4, quam Z--P—E 5 B fit tam Z —E—F. —— A'—B, quam 7 ade fi r— p 4- n, feu r — p-- "; denotante y numerum integrum. quemcunque : quia rurfus (S. 8.) tam nL--pL-- (4-p) LfeurL, quam nJI-E-pAM — (n4-p) M feu r AT. hoc eft tam nL-- B — .4, quam »M-4- F— 5 . fit tam nZ, quam n.M ] Ls BRRT feu(r —p) Jl T J * -E—EF, feu (r—g) L Fig. 3, 4« Vel fint a & Ee, Bb & Ff equemultiplices refpeCtivz magnitudinum L &Jf. Tum - Fig. 3 mo f1- Do :Aa-—Bbef'c::L; fat EK — JV. Quia f Bb ) f Ff E4 AD 2 & (L EGf zquim ultple (fupp.) funt magnitudinum Z & J/; erunt L j L l& ra - 4 15 quoque .4D 4- (L Daf- ])a hoc eft 44 & GK magnitudi- num L & M zquemultipiices ( Prop. I1I.). Sed quam multiplex eft 43 ipfius £, ram mulüplex (fupp.) E£e eft magnitudinis JJ. Igitur Ee & GK equemultiplices funt ejusdem magnitudinis 47; nimirum utraque ejus eft tam multiplex, quam .4a eft ipfius L. Ergo Ee-— GK ($. 4.) f EK) Quare demta communi £EG; eft etiam Ge feu Ee — Ff — (LM)" Fig. 4. 24e fi Da eft mulüplex aliqua magnitudinis L; fiat EK ( Bb & * f Pf2 magnitudinis JJ equemultiplex. Quia iADf EGf funt (fupp.) zquemultiple magnitudinum £ & J/; pariterque (conttr.) Da& EK funt earundem zquemultplices : erunt etiam 74a & GK earundem L & .M vquemultiple (Prop. I) |Quare iterum. .Ee & GK «quemultiplices erm;t ejüsdem magnitudinis /4; nempe utraque illius tam multplex, quam à j 6 695 i Ed 7da eft magnitudinis T Ergo Ee z2 GK (Ax. $.4.): & dämta com- G2 muni GE; etiamïfeu Es —f s — EK, hoc eft, tam mulüplex ma- Do 'la B? ipfius L. gnitudinis 77, quam eft 1feu $. r3.. Defiuitio IV. — Per Rationem duarum Quantitatum, generalif- fimo acceptam fenfu, intelligitur modus quocunque ex earum mutua comparatione erutus , magnitudinem unius ex maguitudine alterius de- terminandi feu inferendi: ficque conceptus Rationis ad duas quascunque magnitudines homogeneas, v. gr. àad duas quascunque lineas, ad duas quascunque fuperficies, ad duo quecunque folida; nec vero ultra, fci- licet ad duas magnitudines heterogeneas feu diverfi generis , extenditur. Concipi vero infinite multi poffunt modi diverfi magnitudinem duorum Quantorum unam ex altera determinandi. Horum . fimpliciffimi funt, qui Quantitates ipfas immediate, absque ulla earum przevia mutatione, invicem comparant; magnituüdinemque unius ex altera determinant, in- i dicando: vel quanto una alteram excedat, aut ab ea deficiat; vel Pofleriorem modum quoties una alteram contineat, aut in illa infit, quantitates invicem comparandi, magnitudinemque unius ex magnitu- dine alterius determinandi, accuratiffime Libro V. difcutit, atque in fe- ; quentibus Libris ad objeéta Geometrie applicat Evcripss; nulla ufpiam injecta mentione expreffa prioris: unde futpicari licet factum effe, tt ejusmodi ARatones Geometricae; sltere autem priores, quz excelfu unius magnitudinis füper alteram, feu defectu unius ab altera occupantur, & que primarum Arithmetices opefationum fimplicium, Additionis ac Subtractionis, objeétum conítituunt, Zrithmeticae vocari confueverint, Ceterum neutra harum Rationum ad Arithmeticam vel ad Geometriam ä feorfim pertinet; verum utraque in numeris pariter & extenfis locum li habet; & ambz conjunctim limites fere figunt Mathefeos, quam vocant, elementaris : generalis autem ipfarum zque ac reliquarum rationum | theoria proprie ad tractationem peculiarem de Quantis in genere perti- net, quz tractationi de numeris & extenfis in fpecie premitt deberet; uifi metuendum jure effet, ne abílracte ejusmodi meditationes animos d & eorum, qui ftudiis his operam navare volunt, in ipfo limine deterre- rent. k Q $, r4. Ad folas igitur rationes, quas vocant geometricas, fpectat & tractatio, & Definitio 4* Libri V. Evcripis; ezdemque in pofterum It Communiter, uti al intelligentur ,: cum rationum fimpliciter fiet mentio. jam dictum $. 13, rationes hz ita explicantur, ut in illis. dicatur difpici, quo- R 7 N quoties una magnitu(äO alteram. cöntineat,' xlzevl in altera infit.. Cum vero quz libet magnitudo aliam quameunque minorem ejusdem generis, ex. gr. quxlibet linea aliam quamcunque minorem , integro quodam numero vicium non contineat: ne idea rationis geometrice anguíliori ehje&torum ambitu coérceatur quam notio rationis in genere (j. 13.), fradi etiam numeri vicium in illa admittuntur; quamvis re vera tum major magnitudo non minorem ipfam , fed aliquam tantum *jus aliquo- tam partem aliquoties contineat. Seu, ut genio Evcripis conformius rem exprimamus, ratio (geometrica) duarum magnitudinum conftitui- tur non in inveftigatione folum: quodnam mulüplum minoris zquale fit magnirudini majori? fed generalius in determinatione: quanam multipla duarum maguitudinum invicem fint zqualia? ta ratio (geo- metrica) duarum magnitudinum indicari cenfetur: five major magni- tudo minorem ex. gr. bis, five 3 vicibus continere; hoc eft, five major duplo minoris, five tribus ejus partibus dimidiis zqualis elfe de- prehendatur ac pronuncietur. Pofteriori autem in cafu duplum majoris equabitur triplo minoris. Rationis terminus prior,- ejus Zfntecedent ; pofterior, Confequens ; & numerus integer aut fractus, hicque vel fpurius vel verus, qui indicat quoties Antecedens contin t eat Coni'equentem-, Exponems Ratiomis vocari confueverunt. $. 15. Needum tamen notio rationis geometricz eo, quem ($.14.) diximus, modo amplificata ad duas quascunque magnitudimnes ejusdem generis, V.gr. ad duas quascunque lineas, extenditur. Occurrunt quippe magnitudines ejusdem. generis, ex. gr. linez, quarum major minorem nec ipfam , nec ullam ejus partem aliquotam , exacte aliquoties continet; feu quarum major nec ipfa, nec ullum ejus multiplum, minoris cuipiam mulüplo equatur. Ejusuiodi magnitudines , menfuram quippe communem nullam habentes, ?2ncommenfurabiles. vocantur. ÜTales effe latus & dia- gónalem quadrati cujusvis, partes rectz in media & extrema ratione J fe&te, làtus pentagoni regularis ac diametrum cireuli cireumferipti ; Evcupzs demonftrat X, 117. XlIl, 6..1. Ratonis igitur iftiusmodi duarum magnitudinum exponens allignari exacte numeris nequit; quare etiam rrationales appellantur: limites tamen exponentis hujus definiri poffust, qui invicem minus differant quam da:o numero fracto quo- cunque; feu duo aífignari poffunt multipla immediate contigua magni- tudinis unius, quz fint limites mulüpli cujuscunque d:ti magnitudinis alterius; hoc eft quorum unum dato hoe multiplo mnus fit, alterum ü majus. Sic cum quadratum diagonalis quadrati duplum fit ipfius quadrati, II, 14 1eu 8 m feu. qu^drati fui !äteris; 200 20 O0O0O 2000 OoOoO vel eum quadratum diagonslis weqwipolleat 190?5 T0 Oo00 ) A———————— I000^oo0o? pE bt i nl ( odb £ 200 OOO OOO ioo ooo' ooo? &c. quadraü lateris; ipfa diagonalis eft l - EEE $ d 5 c. ï ää ^ ï i à Lateris; ! & : ä ) ï oo2 ï ï B- r m ol ol Olm O|n ï olo ol« n C. « feu roplum Diagonalis eft. —— - - 14plo I,S plo 100plum - e- 141plo — 142 plo t 10ooplum - - - Lateris ; - - - 7 I414plo - r415plo 1oocoplum e 14142plo gäz; «114143plo ï:ï [v Ut igitur, quod communis acceptio vocis jubet, hujusmodi etiam quandtates notione rationis complectatur; ac que deinceps demonftrat, omnimode generalia efficiat : EvcLipzs, fepofita wqualitate multiplo- rum, defintionem fuam hoc folo caractere, omnibus ejusdem generis 1 maguitudinibus communi, terminat: ut multiplum aliquod unius excede- re polfit multiplum aliquod alterius. Qui quidem caracter eos etiam cafus complectitur, quibus mulüplo alicui unius magnitudinis B vel altera 44 ei commenfurabilis ipfa, vel hujus aliquod multiplum zqua- tur. "um enim,; priori quidem in cafu duplum magnitudinis 2Z, pofte- Í riori mulüplum ejus immediate fuperius, dato magnitudinis J multi- U plo majus eft. . Generatim vero poffibilitatem proprietatis hujus magni- ü tudinum homogenearum, nempe datam quamlibet magnitudinem polle D toties multiplicari, donec aliam ejusdem generis magnitudinem datam 1 C quamlibet excedat, Evcripzs poftulat initio X*i Libri; quo de quantis incommenfurabilibus fpeciatim agit. p S. 16. Ceterum Definitio 4 Libri V, Evcrmis, de vqua fermo tj eft, & qua rationem inter f& magmitudimes habere dicuntur, que multi- plicate fe invicem fuperare poffunt, non tam rationis geometrice no- [ f tionem ipfam explicat; quam caracterem aílignat diftinctivum magnitu- ! dinum, quas vocant, homogenearum, & qui terminos rationis alicujus conftituere poffunt: ita tamen ut fimul innuat, quid in illis, qua- tenus ratio earum geometrica fpectatur , przecipue fit confiderandum. Accuratiorem notionis evolutionem definitionibus identitatis-ac diver- fitatis rationum (geometricarum) refervavit: quze rationum zqualitas & inequalitas proprium funt tractationis fubfequentis objectum; quarum ü i igitur notiones diftinCke explicare, & carackeres accurate definire, pro- prie e re erat. Cort- g A m IK — 3 ( d *(fonfeqüitur quidem ex fuperius dictis (S ,4^ ;x $.) rationem geo- Tetricam duarum magnitudinum aífignari, determinando ejus exponen- tem vel limites exponentis: modoque huic illam concipiendi, quem fenfus & ufüs loquendi communis immediate offerunc, fuperftrui fine dubio & .convenire debent genuina theorize rationum harum fundamen- ta & accurate accepüonis terminorum ad eas pertinenttum determina- xiones. Tdem tamen modus geometricam duarum magnitudinum ratio- mem exprimendi, ad numeros reítrictus, nec unicus eft; nec, quande de incommenfurabilibus agitur, aptilfimus. Unde patere poteft, cut Evcupbszs ; ab Xproponenda iplius raüonis geometricx dJinitione abfti- Duerit, D Quo magis fufpicari eum RosznTO SIxMSON ( Notis Verfioni fuze u Anglice Elementorum adjectis, p. 305.) licet, genuinam non elfe, ded ab Theone aliove commentatore infertam Defimtionem 3*m ratio- . nis in genere: qua pec ufpiam in fequenübus Evcniprs utiturj nec &ti, ob vagem quem effert notionem, poterat. ; À S. 17. Defmitio V. In £adem vatione ( geometrica ), fou (geomt- tric) proportionales e[fe quatuor maguitudines /4, B, C, D vulgo cen- (2 u fentur: fi prima 4 toties continet fecundam J, quoties tertia C con- tinet quartam D; idque admiílis exponentbus tam integris, quam j« l" fractis quibuseunque: feu quando prima 27 & tertia C, vel ipfarum quedam squemultplices, fimul equantur zquemultiplis quibusdam fe- [ cunde'7 & quarte D, vel ipfis magnitudinibus J ac D: ex. gr. i prima 4 fecundam .B continet bis, vel £, vel $, vel $ vicibus, pariterque tertia C quartam JJ bis, vel 2, vel £, vel 2 vicibus con- ] tinet; hoc eft, f prima 4 equalis eft duplo fecunde 5, pariterque ( terüa C zqualis duplo quarte D; vel fi gr'sm primze 27 equatur sP!e j« fecunde B, pariterque 3Pls» tertie C zquale eft 5?'» quarte D;. vel ]« fi primz 4 6P*» equatur fecunde B, pariterque 6P'"" tertiz C zquale us eft quarte D; vel íi 7?"- primz 4 xquale eft 4P* feeunde B; pari- d terque 7Pls» tertie C zxquatur 4Ple quarte JJ. i, [« Viciffim fi quatuor magnitudines /7, B; C, D (geometrice) pro- portionales, feu 1n eadem ratione effe dicuntur: per vulgarem propor- 4$ tionis geometrice conceptum , prima 24 fecundam J toties continere intelligitur , quoties tertia C quartam D; feu prima 77 & tertia C, ( vel ipfarum quzdam equemultiplices, fimul equales effe cenfentur zque- mulüplis . B ac D. quibusdam fecundg 8 ac quarte D, vel iplis maguitudinibus o B B,nes; io æg:z:äægää Breviter identitss. duarum rationum (geometricarum ) in identitate exponentum illarum confütuitur. Sicque etiam Evcuipzs (Libri VII. Defn. 20.) Numeros (integros) proportionales effe dicit: quando primus fecundi, & tertius quarü xquemultiplex eft, vel eadem pars; vel eedem. partes. S 18. Sed ut ad niaguitudihes quoque incommenfurabiles notio identitatis rationis feu proportionis (geometrice ) extendatur: identi- ä tati exponenüum rationum adjungere oportet identitatum limitum , qui bus exponentes illarum continentur; eamque otmnimodam. Neque enun in eà dem ratione elfe magnitudines 44, B, C, I) poterunt cen- 5 B& « - B,quam tertia feri: fi quidem tam prima 44 ex. gr. — 127 C - ?D&-3D;led dum prima 4 — 35 B&-"55B, 12 2 p, vel tertia C etiamnum terta C tantum — *3—5(- -B &i 35 P I28 D, & demum - 9 25 D: verum identitas rationum 24 ad Z, 35 Cad D,requirit, ut pariter C L I po& -D fie dein- Ceps, quicunque fumantur magnitudinum B & D partes zquealiquotz, limites exponentium ambarum rationum conftanter ridem maneant; bre- , quando viter ut, quicunque figuis m & v fubftituantur numeri integri r.'.l e 75 D ? A ,-;—;-B& (:"':-'-I B, femper fimul fit C.':-—,?D& « atque etiam quando 42 —;-B & 4—?;3, pariter fimul fit C — —;- D & g:-ä-D; nec non fi fimpliciter 4 — -:7 B, limul etiam fit C(::TD, ita ut nec unitas, nec zero ex valoribus figni * excludatur. Idem aliter fic effertur, Ut magnitudines incommenfurabiles 4 B, C, D fint in eade m ratione, non fufficit, ut ex. gr. 7?l"» quidem & «26Po fecunde , pariterque 7Pm tertiz prime 44 fit z 25Pe C P 25Pe & « 26Po quar te D; dein vero dum 35P'"n primz A . 127lo & « 128?* fecundz B, fit 35Pi:m tertie C vel E. 1289* & demum & jam « 127?e quarte D; fed requi- 1 ZQPXO » vel faltim — 126Po ritur, ut etiamnum fimul fit 3 jgrium terü& Cp- 127 Ppo & .^ rog?lo quar- neratim ut quicunque fignis s & v fubftituantur numeri in- te D. ge tegri, fimu lfit tam wr»» prime 44 . rPe & « (rd- 1)P» fecundz £ , ertig Cr» rPo& - (r4J-1)!e quarte D; utque etiam fi quam splum t g plum rimz A tantum t fimplo & 4 2?^ fecunde B, pariter sPium tertie. C fit - fimplo & - o quarte D; & quoque fi w'"n primg fimul fit neum terte C — ipla quarta D. A « ipfa fecunda B S, 19. EMi Hs it $. 19. Generatim igitur quatuor magnitudines 4, B, C, D in , eadem ratione (geometrica) feu (geometrice) proportionsles effe di- centur: [i utriusque rationis idem elt exponens; vel fi exponentes am- barum rationum 44 ad B & C ad D iisdem conflanter limitibus con- tinentur, ad quascunque referantur partes equealiquotas magnitudinum B ac D: feu fi primz 44 ac tertiz C equemulüplices quecunque zque- multiplas quascunque fecunde B & quarte D vel unà adequant, vel unà faperant, vel unà ab illis deficiunt: & viciffim. Pofterior quidem modus diftinctivum identitatis duarum rationum ä caracterem enuneiandi exprelle non indicat cafum , quo exponens utrius- que rationis idem eít numerus integer, feu quo ipfe prima 44 & tertia 'n € equemulüplis quibusdam fecundz B ac quartz £ equales funt: eun- dem tamen non excludit, íed tacite complectitur; cum tuüc equemul- tiplices quecunque prime 44 & tertiz C necelfario fimul fint equemul- tiplis illis fecundz J ac quartz D majores, Idem intelligendum de eo cafu, quo exponens utriusque rationis eft numerus fractus, cujus nu- merator eft unitas; feu quo equemulüplices quedam primz 277 ac ter- tie C ipfis magnitudinibus B & D íimsl equales funt : tum quippe &quemultiplices ille prime 4f ac tertie C fimul funt zquemultiplis quibuscunque fecunde J ac quarte D minores. Pariter quando termini rationum invicem incommenfurabiles fünt; identitas limitum exponentis earum pro quibuscunque partibus zquealiquotis fecundz Z ac quarte D id tantum requirit, ut zquemultiplices quecunque prime 4 ac tertie C fimul fint equemultiplis quibusdam fecunde B & quarte D majores, earundemque squemultplis immediate fuperioribus minores: his etiam inclufis conditionibus particularibus , ut zquemultplices prime 44 ac tertie C fimul fint ipfis tantum magnitudinibus J & D majores, earun- dem vero duplis minores;. pariterque ut primz 4 & tertie C zquemul- tiplices fimulfint ipfis magnitudinibus Z ac D minores, Que quidem omnia requifita fine dubio complectitur mentio indefinita zquemulti- plicium tam fecunde Z ac quarte D, quam prime 44 & terüz C; fed hoc modo plus iterum, quam przcile fufficiebat ac necelle erat, exi- Prudepter vero ita Evcripss Definitionem fuam adornavit : ut git. tam in illa enuncianda, quam przefertim applicanda, non tantum tribus, qui, cum ad exponentes refpicitur, obtinent, cafibus generalibus, fed & fpecialibus quos incommenfurabiles offerunt, feorfim recenfendis fu- perledere poffet; & demonftrationes, falvo rigore, co ceret, 4 ncinpiqres gfïi. B 2 Quod 12 [C : E . sU Quod ut exemplis, ha&enus*diöf;a" ufu. ipfo illuffrantibus, ffatim: pateat: anrequam ad evolvendam inequalitatis rationum notionem pro- grediamur,, fpecialem primum propofitionem, que prima eft V]IS Libri EvcLiDis; ex utroque 1dentitatis. rationum caractere fupra expofito de- monftrabimus; tum immediate generales Libri V* propofitiones füb- jungemus, quz ad rationes invicem zquales pertinent, & quarum de- monítrationes directe notionem inzqualitatis rationum haud fupp(-)nunt.,. S 20 Propofitio F. (Evcup. VI, r.) Parallelogramma & triangula ejusdem vel :zqualium altitudinum, feu inter easdemr coníti- tuta parallelas, funt inter fe uti Dafes. y Demonfiratio. generatim. innititur Libri I* propofitionibus 36 & 38 ,. earundemque Corollariis: quibus parallelogramma ac triangula ejusdem vel eaualium altitudinumi, feu inter easdem parallelas conftituta, qux æqualifms infiftunt bafibus , equalia ; quz vero inequalibus infiftunt ba- * 1i bus, inequalia; nominatim, quod majuri infiftit bafi, majus elfe eftenditur. J OLT Q d Fig. s. 6. ltaque Íi r-» commenfurabiles funt Bafes 4B, EF; & major Z4B ipfam minorem EF exacte alioquoties conüinet: majori AB. divifa 3. partes 415 1K, KL, LB, lingulas equales minori EF;, & per unéta divifionum I, K, L ductis in parallelogrammo quidem ABDCD rettis que parallelz fint lateribus 4D, .8C; in triangulo autem f parallelogr. 445 CD) ABC ad. verticem € duétis rectis; itriangulum 4 DC » in totidem fparallelogrammo .E FGJT dividitur 'parallelogramma T» fíngula: zqualia Ü p . triangula t triangulo EFG per I, 36.38. quot ba fis AH continet partes equales bafl EF. Itaque Í hoc cafu (S. 17.) parallelogr. E FGETY l tam parallelogr. 4BCD: f — A: EF. quam : triangulum. 445 C: triaog. ETG. Quippe fi generatim bafi 4B infunt r partes fingule — EF; etiam fparallelogr. 448 C N parallelogr. £ FGH) 1 € conftat r partibus Kühg:uli-s* - : k criangulo EFG — f i criangulum ADC x fi r denotante numerum. integrunt quemcunque. - p Fig. 79 8 5do Si Bafium etiam nunc commenfurabilium major 45 M fed ejus quampiam partem aliquotam EN,. nop ipfam minorem £F, I exa(le aliquoties eontinet: utraque bafi 48 , £F divifa 1m partes fin- rnlás — ÉA; & per punéta divilionum duéctis in. parallelogrammis qui- AB i xslfm 4BCD, EFGH reétüs, . qu& -pax'allelæ fint lateribus eorum - & - 13 & CD, EH & FG; in triangulis autem äB'C', EFG du&s rectis sd 1 illorum vertices C, G: « parallelogramma 48CD., EFGH *s dividentur triangula 4B8C, EFG arallelogr. 4 f rallelogr. ENVAMHBY in totidem. rä[fpeöti've J; P triangula * fingula — t triangulo ENG per l, 36. 38. quot bafes 4B, EF continent partes. — EN. 1taque fi generacim bafi EF infunt & partes & .EEN; bafi autem 42 in(unt partes eidem. EN zquales; w & r defignanübus numeros integros hoc eft fi EW eít bafis EF quoscunque diverfos, quorum major r f pars n* , & A4B — ä EF etiam «4 parallelogr. EFGH » t trianguülum EFG 3; conftat " « f parallelogr. 48CD partibus, & triangulum 458C » conftat v partibus, fingulis -« f parallelogr. NMH) (« f parallelogr. ENMH) L triangulo ENG- 23 & .triangulum. .ENG )) eít ',pars n fparallelogr. EFGH] - ?T & parallelogr. 4BCD. —— EFGE , pariter- L trianguli EFG que trianguum .48C - — -:7 EFG. Unde rurfus (S. 17.) EFGH) tam parallelogr. 4B8CD : . - A4B. EF. quam triangu;um ABC s EFG f Fig. 9, ro. 3:'56; Si bafes A4B, EF fünt ihcommenüxl'abiieä":* no- minatim fi minoris EF fumta parte aliquota quacunque Z , hec repe- tità nunquam exaéte producit majorem 2445'; fed quando aliquoties re- petita EN efficit lineam. £R proxime & .4B , adhuc femel addita femper jam efficit lineam 45 — 4B: ita ut fl bafi EF infunt w partes, * I— — liaez autem .4R infunt s partes, [fingule EN; adeoque fit EN. 4 I : E pars n* bafis EF, & AR — — KF,A4S — äEF&(Zr':"—f EF; v & m denotantibus numeros. integros quoscunque ; tum du&tis per puncta & & S in Fig. o. parallelis lateribus 44D, BC párallelogrammi , in Fig. 1o. autem. reCtis ad verticem C trianguli; eodem modo, quo. in cafü 23e, demonftratur , elfe parallelogram-- mum RPD — -;:— EIGH, & parallelogr. 430D. — "':I' EFGH , Y "- parierque tcriang, 4£AC — 5 EF G;,,& triangulum 43C — Q. ! EFG; B s adeo- z 14 [ ä:..—:.—..-.m ? -- EFGH, ädeoqpe tam parallelogr; /22CD t ä EFGH fed « r.*.l ' quam triangulum 4BC — - -;—EFG fed 4 [ EFGI Itaque & hoc cafu (S$. 18. tam parallelogr. 4B8CD: EFGH! z bafis A4B: EF. quam triangulum 4B8C : EFG as WUR ab um i. O ETQ E. Similiter propofitum demonftratur, quan do bafis AZB. 44 EF feu 447 confervata & EF, fimiliter oftenditur elfe tam parallelogr. EFGH: ABCD) quam triangulum £ FG: ABC f — EF HO ii Fig; rr; 153. . S. 21 Juxta Defiixitionem EvcLiDEAM dem.dn- ftratio ejusdem Propofitionis V, fic inftruicur, Sumtis A4L, EJT mul- tiplicibus quibuscunque bafium 447 , EF; & per puncta L, 7M ductis vel parallelis lateribus 4D & BC, EH & FG parallelogrammorum , donee productis DC, FG occurrant in punctis K, 15 vel ductis rectis ä ad vertices C, G triangulorum: ex 1, 36. 38. eodem modo, quo rallelogr. AL D) f paralielogr.ZZBCD $.20. cafu Imo efficitur, ut t L criangulum 4LC J * fit£ " trianguli J4BC F£ tam muliplex, /quam muláplex 74L eft bafis 48 ; pariterque ] f ] ? fparallelogr. ETH r« parallelogr, EFGH 'triangulum EMG J tdjanguli EFG ?ftam multipex, quam multiplex ;eft EM bafis £F. Atqui ex l, 36. EID & Coroll. n ítam parallelogr. A4LKD1 - fparallelog . EMIH ] s ) $ |quam triangulum 4LC f Z 1 triang. EMG pfouti AL ([: g - EM. Cum igitur, fumtis primz (L A B-(? ïf & tertie 4B. zquemultiplis ( ALKD) T & AL; ac fecunde (r EFGH) & quarte EF fumtis zquemul- (l ALC )) EG)') tiplicibus [ EMIH) & EM; multiplicesl ALKD, EMIEIn prime ac iEMG f i ALC, EMG j fecundz 4 (ABCD, EFGH) Q L ABC, EFG ? , ac mulüplices 4L, EM tertie & quarte AB, EF, utraque utrique, juxta quamcunque multiplicationem, fem- J ü per fimul invicem zquales fint, vel fimul.deficiant, vel fimul fuperent: ] lequitur ( ex 5. 19.) efle tam parallelogr. 45CD: EFGH le quam triangulum ,48C: .EFG ääAB:EF. SO 221 Qu——án ag 15 $. a2. Seholiom 1. Eodem modo ex III, 26. 27. earumque Co- rollarüs: quibus demonftratur, in eodem vel zqualibus circulis angü- los five ad centrum five ad peripheriam, qui zqualibus infiftunt arcu- bus, refpective zqvales eife; qui autem inzqualibus infiftunt arcubus, efle inequales; nempe majores, qui infiftunt arcui majori; & viciffim ; deducitur VI, 33: quod in eodem vel zqualibus circulis anguli tam ad centrum, quam ad peripheriam, fint inter fe uti arcus quibus in- fiftunt. €. 23. Scholion 2; Pariter iisdem modis generatim demonftratur: fi magnitudo quanti alicujus ab magnitudine quanti alterius ita pendeat, ut quz zquelibus quanti pofterioris magnitudinibus refpondent magni- tudines prioris, pariter xquales fint; que autem refpondent inzquali- je bus, fint inequales; nonunnatüm ez majores, que refpondent - majori- bus (quo modo arez parallelogrammorum & triangulorum equealtorum pendent ab magnitudine bafium, anguli tam ad centrum quam ad pe- ripheriam ejusdem vel zqualium circulorum ab arcubus, quibus infi- ftunt ); fintque 4, B duz magnitudines quanti prioris, quz refpondent duabus quibuscunque magnitudinib — ] femper 4: B m C'. L] bus C, D quagti poiïe?'ior;s: fore Quia enim (ut poüerioreth ta&tum. demonftrandi modum expreffe repetamus) magnitudinibus pofterioris quanti, sxqualibus magnitudini C, refpondent (fupp.) magnitudines quanti prioris zquales magnitudini 44: erit ea prioris quanti magnitudo, que pofterioris magnitudini 2 C' refpondet, — 2.4; quz mignitudini 3 C' refpendet, erit — 34; & generaum que ma nitudini zC refpondet, erit — . i t Pariter que )7 magnitudini rJ) po erioris quanti refpondet magnitudo prioris , erit — rB:r &n defignantibus numeros integros quoscunque. . Atqui prio- ris quanti magnitudines, que magnitudinibus pofterioris refpondent, fimul cum his invicem funt equales, vel unà fuperant, vel unà defi- ciunt (fupp.) ltaque fi nCJ ä]) YD, pariter n4 6 1 Z 5 rB; proinde- que 4: B — C. D (S. 19.) ; S. 24. Propofttio ]. — Quatuor magnitudinum geometrice pro- portionalium tertia zqualis eft quartz, 1j prima zqualis fecundz ; ter- : tia major elt uam quarta, fi prima major quai fecunda; pariterque iertia münor eft quam quarta, fi prima m nor quam fe.unda. " Demon(iratio, Sit 44: B —— C: D, Ime, 2- -j * 16 G hL x 3f« Imo, Si 7 — B; adeoque rationis J ad 7 exponens — r: erit etiam (S. 17.) rationis C ad D exponens — 1; ac proinde C — D. Si 44 — B; rationis Z/ ad D, i commenfurabiles funt, exponens ent P i fi 'inco-mmenfurgbiles, exponentis limes inferior ad minimum ( ert — L » quia (fupp.) 4 B feu ——::- B, n defignante numerum in- EU Ergo ($. 17. 19.) & rationis C ad D vel ex- tegrum quemceunque. — * L ponens & I; vel certe &exy-onent,is limes iuferior — [ unde pari- tll n od Si ff « B: rationis 7 ad , quan/äoï .commenülra-bïïäs funt, ex- Q ponens erit — 1; Ífi incommenfurabiles, expoaentis limes fuperior ad & dummum -erit PL quia (fupp.) 4 — B feu —'—ï— 4 Ergo ( $ 17. I89 etiam rationis C ad D) vel exponens -« i; vel fuperior exponentis li —— — limes ad fummum 7;5 :jproindeque pariter C « D. E 1 u * i& ï'Idf. Si ([ j B; etiam (S. 4.) 24 (rg j» 28. Tum —vew i2 D ä upp.) etiam 2(54; E]» 2D ($.19.); adeoque ($. 4.) pariter C ([ 53» D. ut li S. 2«. Stholien. In quibusdam elementorum eäitïonïbus propofitio Tec (veltota, vel faltim ejus duo cafus pofteriores) i:6'* Libri V. ut fi Corollarium fubjungitur; & ejus ope demonftratur: uude nonnifi ad quatuor magnitudines ejusdem generis pertinere videretur. Ceterum eadem propofitio generalius poteft ut converfa ejus, que demonltrata p fuit $. 23, enunciari; eodemque, quo nunc ufi fumus; modo ftabiliri. Si magünitudo quanti alicujus ab magnitudine alterius cujuspiam quanti ! ita pendet, ut generatim, quam rationem inter fe habent magnitudines quecunque C, J) quanti pofterioris, in eadem ratione invicem fint, quze ipfis refpondent, magnitudines 4, D quanti prioris: cum quz magni- « tudinibus quanti pofterioris xqualibus relpondent magnitudmes quanti prioris; pariter equales funt; qux autem inzqualibus refpondent, & E | iplz: funt inzquales; ez feilicet majores, quz refpondent majoribus. til Nam — æ::ægäïö 17 - — ia — — Á — Nam fi Cä ä D; etiam 2C ä ä 2D (9.4.); Quare cüm 1l Tl (fupp.) generatim fit 7: B:.C: D; etiam (S. 19.) 24 ää—ä 2 B: adeöque (8$.4.) 4 ä ;ä B. S. 26. $i quatuor m Propofitio FT. (Evctip. V, 4. Córoll.) magnitudines. propordonales funt; eedem etiam zmeerfó eruut propor- tionales'; lioc elt, n u-——-c: u um g2—-B C & D invicem — Demonftvatio. Ivo,. $i magnitudines 44 & B, commenlurabiles funt; & utriusque rationis 4 ad , C ad D idem eft exponeus integer r, vel fraftus quicunque 5— ($.17.), ita ut li limul fint 'A:': rB & C-—rD, vel fimul 4— ;— B&Cc ::7:— D: erunt etiam fimul B:-!; A& D-—ä C, vel fimul n.d — B & nC—vD, adeoque 5 — ï—A&D-—-—?(*; expohentes igitur rationum J ad 4, D ad C, pariter xquales. u Quodfi incommenfurabiles funt magnitudines 4 & 7 , C & D: utriusque rationis 47 ad B, C ad D, exponens iisdem contineb/igxt [/! ïll.i.. I * limitibus ($. 18.) ex. gr. ita ut femper fimul o fint t (n 4- 1) NLCE E ? Jf vÜ N Es x « yn--Y B tantoque inagis d s'n.*.r B, i 2 ( 4- 1) 2 (n -- 1) n n 4 ) ( yu D&« vü -- i r4-r S8Cc n(n4- ) n(n4. ) D tantoque magis us fi (f 4- 1) D. ,J Inde vero pariter fimul erunt : j "-t p ED 4 n(n 't.!) Ag feu B. « T A&» 4 Th--T ?b aed) 21 12 (f -- ) C & : u) C, feu D w lo H [i/7 vt 4- f Y de R HC adeoqüe exponentes rationum £ ad tibus continebuntur. 44, D ad C iisdem pariïer limi- € IHo,. i G x 3 18 " IHo, Cüm fit 4: & — C: D (fupp.); erunt (S. 19.) fimul P - nD VW ïA(ïä )r »B, atque rC Q Y plfoinde etiam fimul : al nBiäïä r4, atque sD « jþrC, ä & hine (S. 19.) B; 4 — D: C.. X $. a7. Scholion, Simfon in notis fupra (S. x6.) citatis, p. 306 fq. re&te . obfervat: propofinonem hane VII. perperam 4:* quinti libri Evcuiprs tanquam Corollarium vulgo fubjungi; nec legitimam effe, qux x ejusdem 4'* propofitionis demonftratione nectitur, confequentiam ad W Vlisam pnoftram inde inferendam, $. 28. dPropofiio 7I1Il. (Evcub. V, 4.) Si quatuor magnitu- ? dines funt geometrice proportionales: equemultiplices quecunque prime ac tertim ad fecundam & quartam, vel ad squemultiplices quascunque lt fecunde & quarte; pariterque prima ac tertia ad fecundze & quarte ) quascunque zquemultiplices " f:asdem refpective habent rationes. Hoc eft, fi 4: B — i etiam . p4: B I wC: D, 44: qB $ -- C: 4D, 4: B—:p C: 4D; Q & q denotantibus numeros integros quoscunque. Demon[iratio. Imo, Quando commenfurabiles funt magnitudines & A& B, C&D: ob 4: B— C: D (fupp.), fimul erunt ($.17.) ti A— rB& C vD; ved A——:—-;-B& C— dR Adeoque pariter fimul fi — L pA-— yrD &pC:'prD—; vel p4 — 1: B &yC ^" , qB& C::: — aD: :;;qB& C':-—-:;qD; VP o 4n q Hn p* p4 ::1;98 &pC:pqu; vel gA — qu gb & pC— 5 qD. Igitir exponentes rationum p4: B, & pC: D; 4: 4B, & C: 4D5 p4: q B, & pC: qD; gtiam refpective iidem funt: nimiFum pr vel ï—rä E. P ogyel P 1 4 vel qïn, 4 qn* Quodfi 19 ; Quodfi -inagnitudines 4 & B, C & D funt incommenfurabiles : utriusque rationis exponens iisdem continebitur limitibus ($. 18.) ; ita ut fimul fint EE P D&« ..—.—.l)v pr-t t A)P T—B&(pïä—lB,ac C)g P 4 adeoque etiam 1imulpd)2£- B&« EV-F B; ac PC)L,: p&«"—p Y .X [4 vel quoque fimul AnczB&« "u B,ac C);— D&« nxD' Ír n unde rurfus fimul — .4 )ä qB& '( ï;;,,—l qB, ac C)ä 9D &« qu 7-*-[ D Qu |ad vel & fimul — Ed qB,ac C)Pl;"r,,qD& E PV-*-[ qD; pqu 445 48 & «* pqn (ü adeoque pariterüinulPA)Z—;qB & CF^ 9B , ac 07711,7: "s ('rq-: -4D " N & C: gD; n & que Itaque etiam rationum p4::B, & pC: D; 4: qB, — It gB, & pC: qD exponentes iisdem refpective limitibus -l:—:- & kpr:-rþ ? noo pv pr4-1i vel M u l continentur. qll qu ? qu 4 ][4, Cum ob 4: B —C: D (fupp.); fumtisk quibuscunque prime A & tertie C, fecundz B ac quarte D equemultplis, multiplices pri- mze 4 & fecunde P, ac multiplices tertie C & quarte D fimul refpective hties squales fint, velfimul deficiant, vel fimul fuperent (S. 19.) sequemul- tiplices autem magnitudinum pZ & pC, 48 & qD fint quoque ipfarum , A4 & C, B& D xquemuliple (S. 10.) : fequi;ur effe fimul tam 2(p4) 4[;3; rB, a2c n(pC) «ï ;]þ vYD; p d 151 ag oc. [l um ) paritärque n(pA) 451; r/qB), ac n' PC)JL ä]þ r(4D): Unde (per S. 19.) conftat propofitum. !L Pï 9 S. so. Propofitio IX. — Magnitudinum 4 &LBk æquemultiplie&s, [] vel partes sequealiquote, vel & partes zquealiquantz , ad magnitudines k ipfas 44 & , easdem refpeCtive habent rationes: € 2 fioc jl A0 [ej 1 T N hoc eft J o B; P — i ll B; m 8 lts & —ZäZA m h 1l s Oy B; f & m defiguanübus numer os integros quoscurnque, . Demon[iratio. 1mo Utriusque enim rationis p: 4, & pB: B exponens eft p; —utriusque rationis t 4, & P. B exponens eü';:; p & 'uti'iusque rationis ,. 4: 4, & ;'.z B: B exponens eít -ä. IHe. Cum tam s(p.4) — (np)-4, quam n'pB) — (np) B. ($. 10.): — erunt fimul n/p44)4 & »74, ac n(pB) (L — J)- rB; prouti np« - .;- PA Sint dein — — E, & ; — F; adeoque Z — mE, & B — mF. mE E-TmElE: F. .;( Erit per modo demonftrata ?0 adeoque etiam . inverfe mEOZ-: I:: mF (So 26. )5 A P s p B hog eft "h Cumque fic fit Es Ai;:;B: B N p etiam erit L4 ?h Bt: . B8.X$29) p $.30. Propofitio X. 'Vicifïim fi quatuor magnitudines , B, C, D funt geometrice proportionales; primaque 74 fecunde B eft quedam [ multiplex, vel pars aliquota, vel pars aliquanta: tertía C quarte D xquemultiplex erit, vel pars equealiquota, vel pars zquealiquanta. Demonftratio, 1me, Si 4: B — C: D; & 4 — qDB, vel 4 — 7 & vel 4 — E i D; hoc eft fi exponens rationis J/ ad B eft g, vel -,;l;, E vel 1;,,2: erit etiam rationis C ad D exponens 4, Velf;ïz* "m 51"7 " 17')'; adeo- Ye 21 adeoque pariter Cs qD; vel C & —; vell C— P &m de- Botandbus numeros integros quoscunque. : füpp.) fit : B — C: D; erit etiam ($.28.) i, Cum :( q. Qs i 5 mA4: B E mC': TE zcOhO .. g. & .wA: qB Ul 4 -; pariter ($.24.)) C— 4D: j - - fi mj ss . Ieuü --- .-..B) 3 h m4--Q4B, feuA: ;nfB; -- mC-mqD, feuC::-ä D. $. 31.. Propofitio X1 - (Evcu. V, x7.) Si quatuor magnitudines 44, B, C, D funt geometrice proportionales; & prima 27 major quam fecunda J, adeoque etiam (S. 24.) tertia C major quam quarta Jj: erit , etiam exceffus prime 4 fuper fecundam B ad hanc minorem 2; ud ex- ceffus tertie C fuper quartam , ad hanc quartam D, . previer 5 P—UCU DI5 pu dj (IS) 24.) C 2Di erit edam dividendo feu divifm 4— B: B— Demonfratio, ]* Cum (fupp.) 4: B — C: D. erunt (S. 17.18.) TTI fimul A —vD; vel A':-ï Bivxel — ;;—.B, d n E " TA pariterque Cä:sz; vel u — ;ï-*D; vel C)äD, & — w D v & n denotantibus numeros integros quoscunque: ita tamen, ut quia if funt commenfturabiles ; (fupp.) 4 B&Cc D,üütr E s, fj magnitudines Z& B, C& D quando autem incommenfhrabiles funt, non hml fit v — m. Tum vero pariter fimu] erunt 4-B-(r-0)Bivel4- B-(7.-1)Bíeu Bvl 4-B 7 B& 4 —5 B; fen [71 D&qg*—l D: ?JC-- D-(r-1)D; vel C-—D-(ï'f I)Dfeüf;—:,-l])g velc- D2 adeoque exponentes rationum //—: B, & C— D: D, vel iidem; vel contend iutra eosdem. limites, » A € 3 ndo, " 22 II5 Si »/2—)4. ? P5 7B: cum fit nL4—B) —n4A-—AB ($.7)i — N erit v.B &, 3 addita utrinque nB, fiet nH—nB (ï . 2" nÁ (L VIIAVUAVIT ] B rB feu (n-r) B. ($.8.. Cum igitur fit (fupp.) 4 B -—ED; ent $. 19.) fimd aC (L:J; (n--r) D feu nD -vD (S. 8.): & füubtratta utrinque »D, etiam &C—n5D. hoc eft ($. 7.) «(C— D) T lml n ( «&) C Proinde fimul funt &«(/2—5) ((ä 2rB, &nC(räjþ YD; atque hinc Fig. 1'3. Alter hic ratiocinandi modus fic quoque poteft exponi. Reprefentent linee EF, FG, H1, IK magnitudines , D, C, D; ita nt fit EF: FG — Hl: IK. Tum EG, HK reprzfentabunt exceffus .4 — B; C — D majorum füper minores; demonftrandumque erit, effe pariter EG; FG — HK: IK. — Quod ut fiat, fumantur magnitudinum EG, FG, HK, IK zquemulüplices quzcunque (sP*), quz fíint LJI, LP, NO, NQ. Ita. (S.6.) PM, QO erunt magnitudinum EF, HI ezdem zquemultplices (pariter mP*). Infuper fumantur magnitudinum FG, lK zquemulüplices quecunque (v?*) PR, Qs. Quo facto, etiam LA, NS erunt ($. 3.) magnitudinum FG, JK zquemultiplices (n--rP*), Cum igitur (fupp.) EF: FG— HI: I&; erunt ($,19.) ümul PM4S)LA, & Q04 BP NS: ex quo fi confequi demonftretur, elfe etiam fimul f & (« LM«e-c.PR,& NOXEPRQS inferre licebit (LS.VIQ.) effe pariter EG: FG—HK: 1K, Atqui fi LMxï:)) PR: addita utringue eadem LP, ft etiam — . PM (; ä JLLR; & hinc (fupp. & j. 19.) pariter Q,O([äj gNs ; - unde utrinqüä fubtracta communi N Q, fit quoque N()(rL - ];- 0S. S. 32* U —— 23 $. 32. Corollarium 1. Si quatuor magxgitudirium 44, B, C, D binz fuerint in eadem ratione; & prima Z minor quam fecunda P, igitur quoque (S. 24.) tertia C minor quam quarta Z) : erit etiam inverfe (S. 26.) B: 4 — D: C; übi jam prima B — fecunda , & tertia D P- quarta C: igitur (S. 31.) B——A:A:;D—-C: . S. 33. Corollarium 2. Generatim igitur fi duz magnitudines inz- quales 44 & B eandem mutuo habent rationem, quam aliz duz inzquales C & D: differentia quoque duarum priorum erit ad earundem minorem, uti differentia duarum pofteriorum ad ipfarum minorem; veletiam in- verfe (S. 26.) minor duarum priorum erit ad ipfarum differentiam, uti minor duarum pofteriorum ad earundem differentiam. Breviter fi 4; B—C: D: etiam dividendo 4—B ; B—C-—D: D; feu B: 4—B-—D: C—D vel B—4: A—D—C: C; feu 4: B—4-C: D—C Es B . $. 34. . Propofitio XIJ.. (Evcup. V, r9. Coroll.) Si quatuor magni- *o^ &a tudines Z, P, C, D géometrice funt proportionales; & prima 44 major quam fecunda P , adeoque etiam (S. 24.) tertia C major quam quarta D: erit quoque prima 4 ad excelfum, quo fu tia C ad excelfum, quo fuperat quartam D, perat feþu'üdam H; uti ter- — 000 e . Breviter 1. 4: B8— C: D; & A - - erit etiam qunvertemlo 44 — B- : B ï-—parï.t:erque ($.24.) C ï) D: — a Demonfiratio. |»o, Cum fit 4: B — C: D (fupp): erunt (S. 17 18.) T-d-1 fimul A:(B; vel A.—.—.ZB; vel 4 7—1;13 & 4 ac f C—rD; vel C:--«D;' yel Cie — D. & « 7 A feu erunt finul 2— —; vel B— —4; vel B« Ed LA 4 & —— ac H vH D:;C; vel 1)470 &» j;f':fcä r & n denotantibus numeros integros quoscunque ; ita tamen, ut in cafu commenfurabilitatis fit & 5 &; in cal u autem incommenfurabilitatis cïgx'tg T non fit « 2 (uti in Dem. S. 31,). ^ 'Tum UI —— Tum vero pariter fimul erunf 1; , AfB:CF-g-) 4; vclA-B:(I':") 4; vll 4-B5 (x-g) , &. ((14 F--1 i ac C-D:(I'&)C; vel C-D:(I*E*)C—; velC-D :»(I-;-) C& 4(1-;—:?) É: fe EL L EL 7- ,'.. IIA tanroqqc magis « p EE LT "-- r , b.e. tam A-B::t;/ï;vel 4;3;?::4; vel 4-B» r—;-"A& €r;; Y-n-2-I TY. fj h 2 Ctantoque magis 4 quim - C-D— Civel C-D—2' G vdC-D» " C& —— ï.!.ï 6 Proinde ($. 17.:8.) 4—8BD: 4 C—D: C; hincque etiam inverfe (5.416.) :A4— B—C: C—D. Ri 14. 15« 16, t 1149. Repi'æfentent linee EF, LG. HI I magnitudines //, 8, C, D; itaut fit EF: FG — HI:IK. Tum EG, EK reprefentabunt exceffus 44 — B, C — D majorum fuper minores: de- £. CT. PA - monftrandumque erit, elle pariter EF: EG — HI: HK. Quo fine magnitudinum EG, FG, HK, IK famantur equemultipli- ces quzcunque (7z?*), que fint LM, LP, NO, NQ. lta (S. 6.) PAL, O erunt magnitudinum EF, 71 exdem zquemultiplices ( pariter [ rplæ ). Infuper fumantur magnitudinum EF, ZI zquemulüplices quz- cunque (uPl«) ; quz fint PR, OS. l Fig.14. 1tj. Sim4 "; »r; erunt fimul PR(L;])PM,& 234[; 0 HO: J)m igitur cum. PA t LII, & QO & NO (S. 4.) utroque cafu fimul erunt PA LM,& 0sf NO; hoc eft EF — rEG, & nHI erHk; feu fimul u £ v(/4—B), & nC 7 «( C—D). . I GE n Fig. 16. 17. Quodfíi autem v 7 5; erunt fimul PZ PA2,& 00 t O0S. Porro quia tam P& QO, quam PR & Qs funt (conftr.) magni- tudinum EF, HI zquemultiplices; priores nempe earum rP*, pofterio- res n?*: exceffus priorum fuper pofteriores, AJZ & S0, erunt (S. r2.) velipfis EF & EI equales ( uimirum fi r — n -- 1); vel earundem zque- multiplices (fcilicet f — nplz), Atqui ob EF: FG — HI: IK (fupp.) F:vFG--HLErIK, . eü'"(S., 28.) tam E quam (r—4) EF: rFG —(r—n) HI: rIK; hoc eft, utroque cafu, fit RM L PEI50:0N, Tgitur C* 29 — Igitur (S 24.) fimul PL. — RM, & QN A Hss - Ly9— « 2»80 LRLM,& QN4-NS 4v AI S4-50; Unde pariter fimul BL-&-L/? —— — — feu fimul PR LM, & QS wo ] hoc eft fimul funt nEF z rEG, & nHI -rHÉ, m m N i feü fimul 3 N IAVUAVIIAVITAV — -* (4—B) , & nsC & »r(C—D). n VILAVHAVITLAVITA Vi1A Quoscunque igitur & & r denotent numeros integros ; feu duæcunqüe; prime 44 & tertiz C, itemque fecunde /—.B & quartz C — D (umautur €quemultiplices: femper multiplices primse 44 & fecunde — B , ac mul- tipliees tertiz C & quarte C— D vel fimul invicem equales funt, vel una deficiunt, vel una fuperant.. Quare(S. 19) 44 4— B —C: C'--D $. 35. Corollarium 1. Si quatuor magnitudines Z, F, C, D pro- porüonales funt ; & prima Z minor quam fecunda J, adeoque etiam (S. 24.) tertia C minor quam quarta : erit etiam inverfe 8: 4—42D: C(S. 26.); ubi prima J — fecunda Z/, & tertia D - quarta C. Igitur 2: 8—4—D: 0—C (S. 34-) - $.56. Corollarium 3. Generatim itaq;ze, il du magnitudines ïn?- quales 44 & J eandem invicem habent rationem, quam alie duz inzquales ) C& D: erit & major priorum duarum ad ipfarum differentiam, uti major duarum pofteriorum ad earundem differentiàm ; vel etiam inverfe ($. 26.) differentia duarum priorum ad earundem majorem erit, uti differentia duarum pofteriorum ad ipfarum majorgm. Breviter fi A: B—CiD: etiàm convertendo A: 4— Bzs€: C— D, (éu 4— B: 4—C—D: Ci vel :: $: 37. Corollarium 3. — Generaliusque, fi due maguitudines inz- 1es quales eandem invicem habent rationem, quam alie dus maguitudir inequales: etiam alterutra priorum erit ad ipfarum differentiam , uti ; pofterior homologa, feu qux priori ordine refpondet ; pofteriorum ; & inverfe. (S. 53. 30.) elt ad diiïerentiaä*- D $. 353 [ 26 S. 38. Scholion. Propotido noflra XII. perperam vulgo r9»s Libri U quinti Evcripis tanquam corollarium fübjungitur; & ex illa, ope : 6*e, de- ducitur: cum hoc modo, contra ac res eft, tantum ad quatuor magnitu- dines proportionales ejusdemgeneris pertinere videretur. Id quod etiam 1 obfervarunt Siwsow in notis jam gitatis, P* 3165 & Ciavivs in. editione ] fua Evcrpis, Vol. I p. 511. qui pofterior tsmen locum ac titulum illius non mutavit , quin expreffe eam his verbis ,hinc facile demonítrabitur * exorfus eft; quamvis vitiofe vulgari legitimam ipfius demonftratio- Y nem, ex quinti libri propofitionibus 1774 & 1$*« deductam, fub(tituat, &$.39. JPropofitio XIII. (Evctip. V, 18.) Si quatuor magnitu- dines funt geometrice proportionales: fumma quoque duarum priorum erit ad ipfarum alterutram; uti fumma duarum pofteriorum ad eam I;af fum, que priori in proportionem affumtz ordine refpondet, T Hoe elt, fi 4: B—-C:D; l A B: s [ :C-I-D: Fd [C) eFiam componendo N BJ) "Dbmonjïmtio. I»». Erunt enim (ex fapp. & $. 17. 18.) - ;; T - ümul 4—rB, vl 4— B; vl 4 IB &4 —B [ — ] atque C::.rb; vel C— n D; vl C -LD & - D proindeque pariter fimul 29 f n Tcn-- B; A.B—(r)B;vel d-t—B::Z?B ;vl B- B& " ; rd-u rin4l f stque C4-D-(r44) D; vel CeD—^ ^ D,vel C& DDTD& -—TD- Igitur. ($.17. 18.) DRB: B— C D:D; feu lumma duarum priorum 'ad earum confequentem, uti fummma duarum polteriorum ad confequentem iplarum. Atqui fi 44: B— C: D; eiüiam inverfe (8$.26.) B: 4—D: C: indeque per modo demonflrata eüiam .4-4- B: 44— C D: C, JEiRe 19. 105 20, 21. I|ie Reprefentent linee EG, FG, HK, IK magnitudines 44, B, C, —— -- Diaaut ht EG: . FG-— HK- IK X«an EF, HI, réprefentabunt earundem iummas 4-- B. C--D: demon- r Fa M N t furandumque erit, effe pariter EF : Quod G 9s SUS 27 n Quod ut fiat, fumantur imagnitudinum EF, FG, Hf, JK zquemul. LM, NO erunt magnitudinum. EG ,. K, eedem zquemulüplices (pa- riter n?l«). j Infuper fumantur magnitudinum £G, EK squemultiplices € quacenque - (rPl?), que fint LR , NS. US f [ Fig.18, 19.. Sims . ?r: erunt fimul L« ""];LR, & Nüïfzï N$: igitur cum PM 2-LM, & 00 5. N0; utroque cäfu fimul erunt P4/ J)LR', & 00 NS; hoe eft »nEF — rEG, & &HI — rHK; feu fimul' erunt n D) r4, & n(CD) » rC. äï: Fig.:0,21. Quodfi antem v ; erunt fimul LR LAM, & NS- NO* Porro quia tam LA & NS, quam LJMI & NO funt (conftr.) magnitudi- num EG, HK zquemultiplices; priores nempe earum rPl, pofterio- res m»«; excelfus AA & 50 priorum fuper pofteriores erunt (S. 12.) vel ipfis EG, K zquales (mmirum fi z—z--1)5. vel earundem equemultplices .(fclicet/ r—2»*). Atqui ob EG; FG— EK; IK EG : 1 (fupp.): eft (S.28.) tam sFEG-—.HkK: nlK, quam (r—») EG : nFG —(r—n) HK ; 'an; hoc eft, utroque eafu fit RM:LDPe-S0: NO. * H ET ^ LPi -v-.-.l RM, & NQ $ ;gitur (S.24.) fimul é. s ? LM « À Unde pariter fimul LP4- RM*L?*(, & Ng-i-NO SO4-NO; j RT OE R s AIMAEASV T ; feu fimul z LK & QO ; MM —— NS ^ H hoc eft fimul & m rEG & nHl N :3 MUU Ro u ULP O Cs l ; N U IN N —Jæ—v...Jæ——v-..) CXOREQEQ T ) af ; ' í feu fimul A j; IPASVAPANVA H rC. nC44 B) i » J P rÁ, & 'n(cæpp 4 ( 3 J '-V—-.Jx..v u C Quoseunque igirur & & r defignent numeros integros; feu quscun- que primz 444- B & tertie . C-- D), itemque fecunde 4 ac quarte C fumantur zquemultiplces; femper mulüplices primze 4/--B ac feeun- i dr . & multphives rerüe C4-7) ac quarte D, vel fimul invicem n- xquales funt, vel uài fuperant, vel unà deficiunt. E Kure RD i A:'C—(-Df C D 5 Eodem j 28 Eodem modo,, poft primss magnitudinum EF, FG, HI, ]K, eque- multiplices (n?35) PAI, LP, QO, NQ, fumtis inde a punctis L, N ver- 4 equemultiplicibus (v?5) magnitudinum FG, IK; de- ífus punéta P, Q monítratur effe etam -- DB: B—— C-- D: D. $. 40. Scholion 1. Recte Hieron. SAccHERIVS, in libro quem in- fcriplit: Evcripzs ab omni nevo vindicatus, five conatus geometricus , quo ftabiliuntur prima ipfa univerfe Geometriz principia , p. ztr. f]q. & SiusoN in uotis citatis, p. 314. obfervant: Demonftrationem propofitionis precedentis, qus vulgo in editionibus Elementorum traditur, a genio Evcripis abhorrere, nec legitimam effe; cum poftulet ; quod nullibi ante fuit oftenfum , ut tribus datis magnitudinibus quarta geometrice proportionalis affiguetur. Sed modum, quo prior (l.c. p. u15« fqq.) huic nezyo mederi füufcipit, jure pofterior reprobat (1.c.p. 315 fq.). - S. 41. Scholion 9. Propofitio XII. poteft ex propofitionibus XIm: &lelltia ope Vi1I»e fic inferri, Si A :B—C: D;ubi 4 D, pariterque (S-&4-) M D tum . 4—B: B— C— D: D per Prop. XI. : & B: A—B—D: C—D per Prop. VtI. Unde J44—B: 4—B—D - C— DB: C— D per Prop. XIII. hoc eft 4 d—B-—C:i C— D que eft propofino XLI. - "Hicque eft demonftrandi modus, quem Cravivs loco fupra (S. 38-) citat, vulgari fubftituit; & torum p. 156. adoptavit. quem etiam SiMsoN in yerüone lua Elemen- $.42. Propofitie XIF. '(Evcm). V, t1.) Rationes, quz ezdem funt eidem tertiz, & inter fe funt ezdem.. " fi AZ B:C: D, Hqc eít & C: D—E: F; A: B—E: E ,eti;xm Demonflratio 1mo, — Quodfi enim rationis 4 ad B vel exponens .eft /f4t f5 Ut 'vel exponentis limitesxr funt—;— & b.4: B:C:D ,(fupp.-), etianx rationis C ad 7) erunt v?l exponens r aut ,-:—, vel ex- 4 poh.entis; linütes;-;;—. & — á - ($.17.18.): proindeque pariter ob C 79 / j PC: D-—E:F, erunt ratïonïä E;F vel exponens f'auþ 3 vel Iexp'onel T-EI üs limites fZ- aut T (So 174 180 ) Ilde, Sumts magnitudinum, 4, C, E equemultiplis quibuscunque Y n4,nC,nE; & mag nitudinum Z, D, F fumtis æguemuluplis quibus- cunque B. rD, vF: In n Z f -& — IQ fi N CU ï) vB, erítetiamnC rD($.ig ;),quïaA:B;C: L (fupp.) " li E )ïï -Qüando autem iC* s ]þrD,etiam n ï;k ä M rF($.19 .),'quia C: D5 E: F (fupp.). : 2 j f & — Igitur fimul quoque funt 4« — -7 B; ac nE(ïän» rF; A. B -E |*. u & proinde (S. 19.) $- 43. Propofíti o XF. (Evcup. V, 12. ) Si magnitudines homo- genez quotcunque 4, C, E, G &c. ad totidem alias ( pariter tam invicem uam eum prioribus homogeneas, $ .13.) ,. D, F, H &c. fingule ad ingulas, easdem liabent rationes; ita ut 44: £— C: D-— E; F—6G: H &c. erit quoque ut unia antece dentium Z ad unam confequentium ; ita fumma omnium antecedentium 4-- C4- E-- G &c. ad fummam ommium confequen- tium Z2-4- D4- F-4- H-p-&c. Demon[iratio Ymo, Quia enim .4: J—€. D—E: F—G: H &c. j (fupp) erunt ( $. 17. 18.). fimul f --1 «5 " 4-—rsB ved fl.....;:—B veI.A')—;;—B « p T41 C-—rD QÉ cA ( uD T--1 E — rF E —-F r d G-——H - H ä Y eli G —rH G- &c. &c. &c, C adeoque pariter (S.5.) — 44 vl-—r (B&D4PRHA&c) vel — (BDAFEHE&C) o cvd» LODRÉRHR&o) & «ÜC Q RDEFEHR) Uüde conftat propoi'ltum ($.17.1& ) M ]H4e, 2 39 A IIb, Quia 4: B—C: D—E: F—G: H&c. - grunt fimul (S. 19.) i. x ^ — näg P j r * w l—— | nCä C -- nEä 7 F, Ls d n d E E vH, g VIIAVIIAVITAVITA [c] Iraque etiam quoseunque ^s & v defignent Bumeros integros. 14 3- nC 4-nE-- nG 4- &c, «mPrBMrDAVF , TrH-A &c. i " hoc eft ($.5.). s C E-I-;Q-&-&c'.) D (B-i-D-i—F-i—H-&-&c.-) nÁ ('; ä c»rb. J] pro eo &c ï Igtur (S,19.). : B- 44 CLEXGi&: B4D4FAHA4&c. 44. . Corollarium 1. (EvcLtD. V, IX5.) Si magnitudines G &c. funt invicem xquales; pariterque magnitudines ; 4, C, E, j B, D, F, H &c. fumme A C3-E - G- &c, B- D4 P H- &c. eque- multiplices fiunt magnitudinum 4 & Z "Tum igitur Propofitio XV. trans- P formatur in hanc 4: B—gp4 . gB; s defignante numerum integrum quemcuhque : hoc eft, due magnitudi- mes funt inter fe, uti ipfarum zquemultiplices quecunque; feu duarum magnitüdinum partes zquealiquotz eandem inter fe habent rationem, quam ipfe magnitudines * $. 45- Coro llarium z. Pariter duarum magnitudinum partes zque- aliquantze eandem inter fe habent rationem , qua B, i m magnitudineg ipf&. Etex.;.im(ü pR - As -— feu -M4MG w —-B tum Tz,oR pS ($. 44* feu R pariterque, & ]ïfg — 44 ::R mS (S. 44-) feu A: $-- $-B E P Igit;lr (S. 421) etiam. 3/*!:;;?5 AST. m5 m & p defignantibus numeros integros quoscunque« 4 Qäg.———'æams——- H HN * M & ] —— — - ? eX [-——— .—.ül'—lll—.llll-ll'- —— — [ emo unmwo Y — r um ] n a ) &b l——1 [ a & * M—' D ] -——— us A r.— s )]LI—— * R— E.2 —l e W É — | —— — —j — ] W. W—u w— —— AAE 83 - W 5 I AK 1 a. x ]—1 IL——1————1 m pP——l —— —— II.IILM 1 I M—N— 4 w .-IIIII'III—L m FWJ..IO JOAEREMIS r r II e- —— HM R — "— — — — — — À — [ m O ...LIIII'I—L & hd L ænD m .yw mc .W h: Pt wä/ -- l -QX**N ; w ER LE E E p T ". m —— —— -- W« - —— ETU SPEARSALA NU L i h: ll n s W HH" — z —— m x,.x xx 9 Jizadr d* A —«X ^ ^ w xäx / 7A 2 2" W I W - Pf 4 TE E V RS LUE ii ?/ N L u L us XN s m..w IT ^ /, ^ j mb mET .«." l W —— — —— Ww $ M .y //, -7 - C»fT .,WWW mz-I---—. S Ut m a m m a —— i P22 HH4 M /1 W mv U p L! g W d Wmï. , p ^ z W Mi D7 ? P i VL M aM "a £ SS . N [--— lt«nbtttkt(ttlttt» E--—-— TEU u , f .m. d "; X O 08 WWH ^ N $ 96 TupdpEageu s MRU i - TEUM us : — W W X W ,Woor c LR VURUDBIRO EE n 94 $ - — SUERURTA MTO OLU AR b 1 pE - o —— ll:)llA&(Al —— —————----.--------------l13-. — " : : : 3 ibds hd CR sx 1 E 5 " n & vlll«clntttll(llll.lll C T m 2 B ER DI EEE —— T 3 W La - Pt 3 — llollllollll mu, M [ - g ais IHM':/. p * H — u lm i Fig.18 IFig.19. p Fig.20. p Figar. ; | ä -—;—AI ;.ï; J —— | — À — 1 nl ï L-G- Kl N- L-Gi K3 N- L G-K N N L- GTK II H- T[E- EL LE )95 (01A M- M- S- 0-S$ o s-— MR x LE —. 77 d m — WTH m — — ÓURRU [ — E s — - — H E ER " : ais W P " *f — u A — p UE 8 " o* d f b PX M l -X ss d* um D a d * * - "Ui L E d rl u- m M s .(«V d * ^s * h: : od i * la A. d ^ E x5 ET A s ALE a h - X à: i * £ Av * T D i 75 C a * E C &- - * " 2 UCR. at Em a z bX $us A- " w d R MA MR AM? AU s J m — CX D n k u m x * us * i. L x » P* t x XEE. - o d d 72 A g — VR T t A npI u sE A x x g*v - d iun z g d us g Lw?». s * A x MC MA* X " SURA P Es s E AX Yv a b u i u cae x —.Rf RUE VA v D AA i on k A x s ,äw,. $ WE L T* " A. AAs " d. r p E * A 6s : & um j a * T * Ts j5 z o d - d r * i A&v - u s T Pyr -—— A v e- : r ^ b?t»þ - OE $d - - É : $- $n m X - TECCI X mmx -- * 3 E * -- d o PA Es h as P« Y »- . ^ - - f x í a. * .,w 5* Y* u Ya w d a. P d r ^* o L d w -« d : AC b P ^ VX ..Mk..a *x Y - ve p - D £ ". JX ho * X - LAG $x & t m M ^* V ? "T m M A ...j o * o p * n « . X - u- - - aW LT - * r " " N * N * e. 4 ,äfm - x asl n & : K v E v *s - W t iA $s n -- LU. R t X [ * .* L* - A a "as I A M A « £ P " i " *5 Ty E 4 W., 4 n » a^ Y* * X 2 v r * 3* « iiX M& —Mx P x * * Y » v ærv s s a l i * V X » 1& t E » X oA ^ - l. " F En " » -t J* i E d H Y d al n N Ed þa».«m-.« - j "s u * && * s d 3 d m - 2 ^ w X ! "P $: ?* Mr * € AA A p s $t " i 2 7 i ^ W v r« R—X f E x x* - — WM)& 7 * u H Y/ -.W. W - "« , u y^oow Lse al PT A E. 71 p m Hs r N * AA la 2 U A i E - M e^ v * - $o - Q.M a.uwü ; 1 M.. ?. Bv *v £ M x m us i : A * i * K * s. G D - de 2" "7u L a WLLT W w- o X o m w M w " s. ; *l * v* * v Kai - Db A E^ I a o $ * $. € KF u MC à " ï 4 as 4 La d t rm —— VA b - M & * * jnex » * Tf d e "aV * : L w ii l AE x x L IY & * KM P j *x & ^ p Á i * P v o X * UE s ag - 4 p :y e^ ^d - d - m Mn W M um iA z d N o (r : f . A f " s EN y x »i . $4 m d . AK r t ag € - $2* d E Y - ia EUN : & * M/ * E t * * - * ha jPe " E "" í M ! W " * u^ sls P H $^ fs u Y 4 X B. T « « is - 5 ryn, -- E A À $ w&&u. "s t £s ( m » "s s £ o od o d H. i .Mw z YX MM s Y ,...Mä LP . P *4 64. Ló LA "Y - M UM R. * RW. J s od " "Nb W. v 3- T n - &« Pa « x FW ,.a ii - vt o^ tX * " z & » ? at d "m UR * fs L s. G as M udique * a ^ - ^ - N P La r " ^ " Plx * p P * * p [.s 1. f r — L u EM lp* i 3 ? x* t L " - * &^ N W E " ^ * 1 w - * 2 " 4 1j » . - * j [ H ? L] — « - M " £f m TA i ?* Á M [ $ f : » » * " ^ * ?^ .w e..w, t ^ B.a A ^ at &i h * - - — W» V. X i X £ ^ a fi z W " j M & Es " w N L ,». ? 6 ? $ N w * v a a (,,. 4 ,, * ,.m x M D "- - -- - $o " * A - T H J "i ^ Ws, 3 » - " * » * " -- * $ d & D w " W & C LE Z i d^. 3 hé LO * s " - P M * E A P. E x " As d E * * eaà - » * N . p - du 44 -t - - $ — IN - s MH *X * ] - " - * * M * ; * - w - " * p* A LA diaee - " d - k R lÀ. s x d d R. À - n ET - o -! M . d n --- — em 20 !/ EXPOSITIO ET DILVCïDATIO LIBRI QVINTI ELEMENTORVF- W EVCLIDIS 19 æg—-—————————-wä)ï"änp———-æ AC ,ïw VierFarbSelector Standard* - Euroskala Offset CVIVS PARTEM PRIMAM 17 RECTORE VNIVERSITA TIS EBERHARDINA£ CAROLIN O Baancee Q 16 MAGNIFICENTISSIMO ä 15 SERENISSIMO AToy& CLEMENTISSIMO DVCE rr DOMINO| . j ä T M DOMINO CAROLO N DVCE WIRTEMBERGIE . sT TECCLE REGNAN']; .REL. REL, *« - N /f«r*«* i PRAESIDE CHRISTOPH FRID. PFLEIDERE PHYSICES ET MAT HESEOS PROF. PVBL. ORD, PRO RITE CONSEQVE'NDIS MAGISTERII. PHILOSOPHICI HONORIBVS DIEBPFS AFG, MDCCLXXXII PVBLICE AD DISPVTANDVM PROPONVNYT d CAROLVS FELIX SEYFEER, 4seldenjs. ä —— IMMANVEL DAVID MAVCHART, Zubingenfs. CANDIDATI MAGISTERI) PHILOSOPHICI IN ILLVSTRI STIPENDIG THEOLOGICO, u áMg——— HÓ— —— — H i al —]ÜÓ— TFBINGZ 1iveis SCHRAMMIANIS, ä/ Copyright 4/1999 YxyMaster GmbH www.yxymaster.com »