Cd4238_qt_1

ERN

A

m

—X

—

u

x

M

—

——

—

——

m

——

T a

x

k

ETE

*we

-

w2

—

W

w

n

-

W.

R.

*

d

*

i

«

"

-

js

»

.

um

—

À

*

«

EM

E

uu

»

[*

a.

-

"

.

-

4

v*

*X

*

ä

-

:

T

P

L

*

-

|

*

h,»

3

"

"

K

P

*

L Em

t

w

a

»

"

E

a

*

*

N

M

*

*

*

*s

v*

s w

ER

^

Y

P s

P

m

—«

*

*

E

-

»-

"

*

as

N

-

A

*s

"

r

*

-

w

*

s.

-

&

:

*

^

E

Avl

T

i

)

P

$-

I

v

«.

^*

t

N

4

AH

m

*

a

hu

Á

"

A

*

n

*

E

A

^

4

t

»

-

* o

*

s

z»a

.MM

J

T

4

n

x

.

"u

i

&

N

-

47X

*

^

g

*

^

T

i

$

:

W.

i.

x

E

Y x

d

«

-

W

*

x

m

uf

f

«

*

?

"

i

P

w.

r

p

»

o

d

D OE

$s

-

v

*

"

|

2 hn

Y^

"

M

E

w

n

*

a,

.

*

*

$-

EY

j

L s

n

d

^

$x

P

E

w

w

s ii

&

"

A

*

E

X

T

i

-

22

;

[*

Y^

g

N

" T

E

4

A

E

E

g

m

p

À

2

[

d at

:

äv

E

V

M

E

Y«

DA

ts

P

N

3

m

^.

v

£ (

nv

-

pova

k

*

4

T

CY*

boxt

"

n d

N

-

Es

i

^

Rs

f,(

$

P

t

1

Er

—

"

1y

a A

d

i

-

X

E

a

Eo3

r

*

T

iX

E

nis

:

*

dier m

z*

"p

-

E

*

Eb

i

,

EM

&

A

E

T

E i

r2

od

[ -^

€

z

»

&

»

ww

^^

M

p

-

s

À

r

i

[

*

Li

P.

i

A

i

P

»

$3

"4

E

$4

w

-

**

".

j

7

.

Es

o

"

j

T

Pt

tv

$s

:

»

W

A

L*

P&

-^

vt

£

*s

L 4

*

Mw

E.

MR

fs.

*

*

u

-

DAW Rs N

E

I

-

-

t a

X

*

r

i

^

w

L ad

-R

33

-

e 1

eí

.w—ï

Tw^

*

L

uT

i

d

i

À

-

-

X E

*s

L

Y

.

x

E

x*

U..

H

m

T

Lo8 4

*

Y

H

W.m.

M Cat

k:

*

E.

-

k:

-

M

£f*

:

A

.

emw d

p

P d

st

X

ii

*

RU

-

-—

R

«

^

M

Ed

d

d

w

t

r

E

i

s

*

l

x

R

E RT

v

AX

3-

£

o

j*

Ms

-

j

Fs

yäwæ

"

-

IN

w,.

j

p

P

i

LE

^

r*

Jise r

Éw

xm-

j

.

x

Dd

.

L

x

m

B

*

:

*

vt

"

wm..ï.

d

PL MM

o

.

-

b

ub

^

X

j2

ab

w

æmw

"

u

W

*

P

$s

OP* x

j

wer

d

*

A hs

E

lo

*

z

MC

*

p

*

t

v

h

LY

"

W

*

^

"

*2

&

L

Rs

AE

A

."u

b

p*

EA

$

*

.&.,s

.

W

us

t

—

w»

depea

*

dR

du

mx

d

M

W R^

—

24

P

*

h

PT

x-

E

*

*

n«

*

E

d

P

2

- M

i

Á

*

i

Ea

P

AOT

"

&-.

x

£

d

-

-

I

X

Y

*

a

o

n

X .

L.

^

d

*

r

1245 d-

v

*

o

EN.

*

dirs

M

o m

x

*

*

"

dv

m

m.?ä

h

-

e

s

EE

:

o

3

w

N A i. agf

"

E

A

* s

P s

w.w

P ER

4551

j

-

W

"s

x

i

a

[

A

:

— ÁASN.

m

«

s ^

X

-

ROT

»

p m

$ at

pE

N

P

ss

n

wv*

A

st

"

".

i

z

L

s

"

d at

w

Pt

L

t a

-

e

t

&

& s

d

M

;

M

taeN

"A

»

-

A

m

dN

i.

A

?

T. d

m

Ls

A

b i

d.

»-

ss

r

s

i

L

2

Pb

R,

.W.,,

VF(

w

3

A

ab

m

s

A a

EM

x

t

T

r

w)u

a Wb

& E N m T*

a

P

b

*

2 a

u

d

:

j

*

m

o

m

3

w

a

i

Es

i

*

"r

As

*

*|

*

2

E WE

Y

r

$

s

fs

-

M

x

j

s

E

x

A.

QUi

P*

$e

*

x

*

-

E

d

A

Eu

Ls

:

:

X

T

D

*

-

-

vt

x f

i

v

,.m

-

m

Pa

L

nes

--

"

""

-

x

—

"-

l

-

—

ii ER a

i.

—— ——

REU

z

MUAR

MEEERT

TEUEIUE

z

x

a,

r n

I

——

—— —

— —

—

Ài

s

EXPOSITIO ET DILVCIDATIO

AA

LIBRI QVINTI ELEMENTORVM

EVCLIDIS

wa————æä

CVIVS PARTEM PRIMAM

RECTORE FNIFERSITATIS EBERHARDIN.E CAROLINA

MAGNIFICENTISSIMO

öERENISSIMO ATQVE CLEMENTISSIMO DVCE rrT DOMINO-

DOMINO

CAROLO

DVCE WIRTEMBERGEUE

ET TECCIJE REGNANTE

.REL. REL,

$

A d

e

(;I( fi*ä( sf

PRAESIDE

CHRISTOPH

E RID. PFLEIDERER

PHYSICES ET MATHESEOS PROF.

PVBL.

ORD,

PRO RITE CONSEQVENDIS MAGISTERII PHILOSOPHICI

HONORIbBVS

DIEBPFS

AFG, MDCCLXXXII

PVBLICE

AD DISPVTANDVM

PROPONVNT

CAROLVS FELIX SEYFFER, Aefeldenfis

ï

IMMANVEL DAVID MAVCHART, Zubingenfis,

CANDIDATI MAGISTERI] PHILOSOPHICI IN ILLV$TRI STIPENDIQ

THEOLOGICO,

Qm:züw.———

TFPBINGZ 1yris SCHRAMMIANIS,

Fa

-

m

Id a i ia

—

p

^

3*

3

*

I

*

Ls

1$

23

TU

*

;:f;f

E^

T

EUR

B

ag

;M

ä;;

ä

2

ïä

/?;:

r)'F

NU

n

[

:

S.

LP

D efinitio [. Magnïtudo minor mejorem metiri dicitur; quando minor

aliquoties repetita majorem exacte producit, five majori equalem efficit ;

feu quando major minorem exacte aliquoties continet.

Etc magnitudo minor C majorum -& B communis memfura dicitur :

fi C utranque // & B metitur; hoc eft, fi magnitudo C aliquot, di-

verfis quidem, vicibus repeuita utramque 7 & B exacte producit, feu

utrique zquales eflicit.

. 2.

Definitio

II. Duabus maguitudinibus in-äzquäïibns propofitis,

quarum minor majorem metitur: major Jultiplex five Multipla minoris;

minor, Pars feu Submulipla majoris vocatur.

Ejusmodi igitur pars prodit, fi magnitudo in quotcunque partes

zquales dividitur,

Que quidem partes etiam vocantur Zf/iquotae ; & di-

ftinguuntur ab 4liquantis, magnitudinem ipfam nou metientibus, conflatis

ex fumma aliquot ejus partium aliquotarum, | Evcripgs Libro VIT. & fqq.

partes aliquotas & aliquantas ita diftin

guit, ut priores ümplicitgr Pariem ;

pofferiores , Partes appellet.

D

23

Definitio 11I.

ue magnitudines , P duafum C;, D ar-

quemultiplae feu. aeguemultiplices effe dicuntur: fi major 247 minorem C

toties exacte continet, quoties Z continet D; feu fl minor C toties prz-

cife repetenda eft, ut efficiat equalem majori 4/, quoties D repeti de-

bet, ut eífficiatur equalis magnitudini Z. — Eodem cafu magnitudines C,

D duarum 44, B portes aequealiquotae vocantur. Aequemultiplices au-

tem partüum zquealiquotarum . duarum magnitudinum vocantur magni-

tudinum harum partes aequealiquantae,

Partes xquealiquotas duarum

magnitudinum Evcripss eznmdem ilarum gartem ; zquealiquantas vero,

2asdem partes appellat.

k d- d Ixima.

Aequalium magnitudinum squemultiplices , &

partes tam zquealiquote quam zquealiquante mutuo zquales funt; in-

squalium autem , inequales; majoris nempe, majores.

Vicilfim zqua-

les funt magnitudines, quarum equemultiplices, vel partes squeali-

quote, aut zquealiquante mutuo equales funt: inequales autem, qua-

rum funt inzquales; nominatim major eft magnitudo, cujus zquemulti-

plices, vel partes æqlfealiquotæ , 8üt zquealiquante majores funt.

$. 5.

-

p2

AT

$ s Pæ;apnjitin l. (EVCUD. V,1) $i cjuotcunque magnitudines

4, B, C &c. fuerint magnitudinum homogenearum L, JJ, N , &c,

equalium numero, fingulz fingularum; zquemultiplices: quam multiplex

una Z eít unius L; tam multiplices & erunt omnes fimul 4-F- Z 4- C 4- &c.

omnium fimul L 4- M 4 N 4- &c.

Breviter fi. 4 — 7L

B: v

C—rTN

&e,

* denotante numerum integrum quemcunque: erit etiam

A 4- B 4- C - &c.

feu

rL 4- vM 4- N d- &c.

b — ( 4 M N- &e)

Dumonjir. Quippe 4f confïabic r partibus zqualibus, fingulis — L,

-

-

-

»

-

D

-

C

N;

&c.

& fi fingulis illis s partibus magni.tudinis 44 adduntur fingule vt«

artes magnitudinum 2, C &c.; elficiuntur fummz , quarum quzevis

Harum autem fümmarum, quz omnes junctz

c., tot fieri pote-

efficient fummam ipfam magnitudinum , J C

runt , quot funt partes in fingulis; hoc eft, r, ltaque

[

A4- B 4- C4- &c.

erU0LAqMAN - . &e.).

»

Fig. Y

Ex. gr. fint 242,

Bb, Cc ipfarum L, M,N aquemultipïices;

lingule — L,

hoc eft fint in Zs totidem partes /42, de, va,

quot fünt in Bb

partes Bf, fz, gb, lingule — M,

—

—

an- Ce

artes Ch, hk, kc, lfingule

?

Erunt tam

Ad 4- Bf - Ch

l

quam de

Tf s

b du M d

&

& - gb d- k )'

Bb, €; fimul fumtis funt magui-

Totidem ergo in magnitudinibus a,

E

tudinum L, JMJ, N; quot in

tudines, fingule zquales fumme magni

ualibet feorüm 44a, Bb, Cc infunt maguitudines,

fingus L, M, N

refpective equales.

Scholiom, Propofitioni huic,

quam fenfu communi facile

S. 6.

liplicandum compofitum per

affequimur, vulgaris innidtur praxis mu

Nunirum ut v, gr. Dnumerum

mulüplicatorem fimplicem. m

ultiplieandi.

e

7364 per 8 multiplicemus,

feu ut octuplun

) efficiamus numeri 7364:

o&ties fumimus primum 4 unitates,

tum 6 denarios, dein j eentenarios»

étuplorum conficimus fummam.

denique 7 millenarios; horumque o

6s

£

fu——i

s5

5

[

l

H

4o II (Evcrnm. V, y.j Pariter fumtis duarum

E

* Z/e€

: Proþoji

lum L, J zquemulüplis 4, B:

magnitudinum h

omogenearum inzqua

quam multiplex eft majo

r.4 majoris , feu minor B minoris M: tam

multiplex etiam excelfus unius t

nagnitudinis 4 fuper J erit ejus excet-

fus, quo magnitudo £ fuperat alteram M.

r fi

A———-ïL,

Brevite

& B o-trM;

« denotante rurfus numerum integrum quamcunque: er

it ätiam

p

rL —vM

feu -

Namr

(L—M) 4- r — v ( L—M - M1) per Prop.T. hï eft — rä

: Demonfir.

feu r L—M) 3- B

Igitut demta utrinque Z, fi

c r L—2M)

— — B.

Fig. 2

Seu lint a,

Bb equemultplices magnitudinum L/, JIm:

& fiat A4K tam mulüplex excelfu

s Ol, quo major Lf fuperat mino-

ipfius L/, & Zb feu Z4D ipfius /Mm

rem J/m, quam multiplex eft 442

feu LO. Erit pariter ifg? 4AÀAK, hoc eft DÉ, tàm multiplex

fummze

J

L

g -- 01, hoc eft, magnitudinis L/, quam mulüplex eft

Aa hujus :L4, (Prop. L) Ergo 44a -- DK (Ax. $. 4.): unde demta

r Ol per conftr.

utrinqne AD, etiam Da — AK; hoc eft 4a—Bb—

r (LI— Im).

. 8. Propofítio III. (Evcnup. V, 2.) Sint , B, C &c. di-

verfe multiplices quecunque ejusdem magnitudinis L; & alius cujus-

cunque

magnitudinis JJ totidem muliplices E; F, G, &c,; fingule

gquemulaplz

prioribus, nimirum 4 & E, B& F, C& G, &c. . erunt

etiam fummz

A -- B4- C 4- &c., E4- F4- G 4- &c., magttitudinum

L, M zquemultiplices, DBreviter fi 4 — vL,;

& E-—rHM,

.B:pL,

F2pM,

&c.

G :c.qM,

denotantibus : numeros

erunt -tatm

£. i

integros quoscunque :

A. BC

&c. — (r--p4.q4- &c.) L, quam E--F4-G-- &c, — (r-cp-rg &c.) M.

Demonfr.: Numerus quippe partium, fingularum — Z, quz infunt

fumme 44--B--C-4-&c. , componitur ex numeris harum partium , qua

fingulis 44, B, C &c. infunt, fimul fumtis, Pariter numerus partium,

fingularum —

M, quz infünt fumme E -- F-- G 4- &c., componitur ex

s E, F, G &c. infunt, fimul fumtis.

par;iu'm harum numeris ,. que iinggli

2

2tum

4

GR

u

Cum igiturt numeri partium — , que magnitudinibus .4, B, C &c.

feorfim infunt, iidem refpective fint (fupp.) ac finguli numeri par-

tium — J7, quz infunt magnitudinibus £, F, G &c. feorfim: fumma

quoque priorum ac pofteriorum numerorum eadem prodit.

B g.

Seholion.

Propofitioni ,

quod

TL L 4 4L4- &e.

L—

—

(r 3- p &e.) L,

innititur praxis, numerum per multiplicatorem compofitum multiplican-

di.

Nempe ut ex. gr. numerum 5728 per 634 multiplicemus: primum

quater fumimus nunierum propofitum ;728, tum tricies, dein fexcenties ;

horumque productorum partcularium. colligimus fummam.

10. . Corollarium.

S

(Evcub. V, 3.) Aequemultiplorum 4 & E

maguitudinum L & M zquemulüplices 7 & K pariter magnitudinum L & J

equemultiplices tunt.

Hoc eft fi 4 — 7L

& Ecr,

I —n4

K —wnub

atque

erit tam.. J — (nr) L quam K — (ur) M:

& r defignante

5 & r defignantibus numeros integros quoscunque ;

produéctum, quod fit ex nuniero x toties lumto, quot alter » continet

unitates,

.Quippe cum fingulis 4 totidem infint magnitudines — Z, quof

fingulis E infunt maguitudines — J/: fimul fumtis quotcunque //, ac

totidem E, hoc elt equemultiplicibus ipfarum 4 & £,

ariter magni-

tudines £ & M inerunt eodem numero. (Propof. 111.),

Breviter Corol-

is Ill ;

quo

larium propofitum fiftit cafum particularem Propofition

numeri 7 ,

p. 4 &c., adeoque magnitudines, 4, B 20&8C. E. P.G

refpective funt equal.s.

Iav M.

Scholion.

Propofitioni, Corollario precedenti contentz ,

quod n4 feu n (vL) — (ur ) L, innititur praxis multiplicandi numerum

integrum per multiplicatorem , qui folis denarüis, vel centeuariis &c.;

conitat. . Nempe ut v. gr. numerum 5728 per 30, vel per 6oo multi-

plicemus :

triplo vel fextuplo numeri ;728 unum ,. vel duo zero ad

dextram adjungimus; hoc el

i tiplum numeri 5728 decuplicamus, fex-

tuplum centup

licamus; ficque efficimus numeri *7:8 trigecuplum, fex-

centuplum.

Pariter duodecuplum: ex.;gr.

numeri alicujus eHicimps,

fumto tvipli ejus quadruplo , vel quadruphi triplo.

$. 12. - Propofitio I7. (Evctip. V, 6.) Rurfus fumtis duabus

multiplis quibuscunque diverfis 4, B. ejusdem magnicudinis 5; & alius

gque-

m

-

WE . 4*A .. ume

cujugsqe magnitudins M zquemulüplis E, F: eXceHüs,) queis

[

WE

—&æ*ä

y

multiple majores £ & E fuprerant minores J & F, vel fimul zquales

funt magnitudinibus L & M,

vel earundem funt zquemultipli-

ces

Breviter fi

A-———- W.L,

& E-rM,

B:.":pL,& F:ï)M,'

*, p denotantibus numeros integros quoseunque, quorum p

i'ior Y major

altero p: erit em 4 — B — (r—p) L, quam E—F — (r—p) M;-

fpeciatim tam 4— B — L, quam E — F— M, fi r —p-—z, feurz p z.

Demonfir. Quippe 1mofi r — p4- r, feu r—p — z:

quia ($.8.)tam L--pL 2 (; L feur.L, quam. M2--pAL — (1-p) Mfeur M

»oe eft

tam L 4 B — 4,

quam Z--P—E

5

B

fit

tam Z

—E—F.

—— A'—B,

quam 7

ade fi r— p 4- n, feu r — p-- "; denotante y numerum integrum.

quemcunque :

quia rurfus

(S. 8.) tam nL--pL-- (4-p) LfeurL, quam nJI-E-pAM — (n4-p) M feu r AT.

hoc eft

tam nL-- B — .4,

quam »M-4- F—

5

.

fit

tam nZ,

quam n.M

]

Ls BRRT

feu(r —p) Jl

T

J

*

-E—EF,

feu (r—g) L

Fig. 3, 4« Vel fint a & Ee, Bb & Ff equemultiplices refpeCtivz

magnitudinum L &Jf. Tum

- Fig. 3

mo f1- Do :Aa-—Bbef'c::L; fat EK — JV.

Quia

f Bb )

f Ff

E4

AD

2

& (L EGf zquim

ultple (fupp.) funt magnitudinum Z & J/; erunt

L

j

L

l& ra - 4 15

quoque .4D 4- (L Daf-

])a hoc eft 44 & GK magnitudi-

num L & M zquemultipiices ( Prop. I1I.). Sed quam multiplex eft 43

ipfius £, ram mulüplex (fupp.) E£e eft magnitudinis JJ. Igitur Ee & GK

equemultiplices funt ejusdem magnitudinis 47; nimirum utraque ejus eft

tam multiplex, quam .4a eft ipfius L.

Ergo Ee-— GK ($. 4.)

f EK)

Quare demta communi £EG;

eft etiam Ge feu Ee — Ff —

(LM)"

Fig. 4. 24e fi Da eft mulüplex aliqua magnitudinis L; fiat EK

( Bb

&

*

f Pf2

magnitudinis JJ equemultiplex. Quia

iADf

EGf

funt (fupp.)

zquemultiple magnitudinum £ & J/; pariterque (conttr.) Da& EK funt

earundem zquemultplices : erunt etiam 74a & GK earundem L & .M

vquemultiple (Prop. I) |Quare iterum. .Ee & GK «quemultiplices

erm;t ejüsdem magnitudinis /4; nempe

utraque illius tam multplex, quam

à

j

6

695

i

Ed

7da eft magnitudinis T Ergo Ee z2 GK (Ax. $.4.): & dämta com-

G2

muni GE; etiamïfeu

Es —f

s — EK, hoc eft, tam mulüplex ma-

Do

'la

B? ipfius L.

gnitudinis 77, quam eft 1feu

$. r3.. Defiuitio IV. — Per Rationem duarum Quantitatum, generalif-

fimo acceptam fenfu, intelligitur modus quocunque ex earum mutua

comparatione erutus , magnitudinem unius ex maguitudine alterius de-

terminandi feu inferendi: ficque conceptus Rationis ad duas quascunque

magnitudines homogeneas, v. gr. àad duas quascunque lineas, ad duas

quascunque fuperficies, ad duo quecunque folida; nec vero ultra, fci-

licet ad duas magnitudines heterogeneas feu diverfi generis , extenditur.

Concipi vero infinite multi poffunt modi diverfi magnitudinem duorum

Quantorum unam ex altera determinandi.

Horum . fimpliciffimi funt,

qui Quantitates ipfas immediate, absque ulla earum przevia mutatione,

invicem comparant; magnituüdinemque unius ex altera determinant, in-

i

dicando: vel quanto una alteram excedat, aut ab ea deficiat; vel

Pofleriorem modum

quoties una alteram contineat, aut in illa infit,

quantitates invicem comparandi, magnitudinemque unius ex magnitu-

dine alterius determinandi, accuratiffime Libro V. difcutit, atque in fe-

;

quentibus Libris ad objeéta Geometrie applicat Evcripss; nulla ufpiam

injecta mentione expreffa prioris: unde futpicari licet factum effe, tt

ejusmodi ARatones Geometricae; sltere autem priores, quz excelfu unius

magnitudinis füper alteram, feu defectu unius ab altera occupantur,

& que primarum Arithmetices opefationum fimplicium, Additionis ac

Subtractionis, objeétum conítituunt, Zrithmeticae vocari confueverint,

Ceterum neutra harum Rationum ad Arithmeticam vel ad Geometriam

ä

feorfim pertinet; verum utraque in numeris pariter & extenfis locum

li

habet; & ambz conjunctim limites fere figunt Mathefeos, quam vocant,

elementaris : generalis autem ipfarum zque ac reliquarum rationum

|

theoria proprie ad tractationem peculiarem de Quantis in genere perti-

net, quz tractationi de numeris & extenfis in fpecie premitt deberet;

uifi metuendum jure effet, ne abílracte ejusmodi meditationes animos

d

&

eorum, qui ftudiis his operam navare volunt, in ipfo limine deterre-

rent.

k

Q

$, r4. Ad folas igitur rationes, quas vocant geometricas, fpectat

& tractatio, & Definitio 4* Libri V. Evcripis; ezdemque in pofterum

It

Communiter, uti

al

intelligentur ,: cum rationum fimpliciter fiet mentio.

jam dictum $. 13, rationes hz ita explicantur, ut in illis.

dicatur difpici,

quo-

R

7

N

quoties

una magnitu(äO alteram. cöntineat,' xlzevl in altera infit.. Cum

vero quz

libet magnitudo aliam quameunque minorem ejusdem generis,

ex. gr. quxlibet linea aliam quamcunque minorem , integro quodam

numero vicium non contineat: ne idea rationis geometrice anguíliori

ehje&torum ambitu coérceatur quam notio rationis in genere (j. 13.),

fradi etiam numeri vicium in illa admittuntur; quamvis re vera tum

major magnitudo non minorem ipfam , fed aliquam tantum *jus aliquo-

tam partem aliquoties contineat.

Seu, ut genio Evcripis conformius

rem exprimamus, ratio (geometrica) duarum magnitudinum conftitui-

tur non in inveftigatione folum: quodnam mulüplum minoris zquale

fit magnirudini majori? fed generalius in determinatione: quanam

multipla duarum maguitudinum invicem fint zqualia? ta ratio (geo-

metrica) duarum magnitudinum indicari cenfetur: five major magni-

tudo minorem ex. gr. bis, five 3 vicibus continere; hoc eft, five

major duplo minoris, five tribus ejus partibus dimidiis zqualis elfe de-

prehendatur ac pronuncietur. Pofteriori autem in cafu duplum majoris

equabitur triplo minoris.

Rationis terminus prior,- ejus Zfntecedent ; pofterior, Confequens ;

& numerus integer aut fractus, hicque vel fpurius vel verus, qui indicat

quoties Antecedens contin

t

eat Coni'equentem-, Exponems Ratiomis vocari

confueverunt.

$. 15. Needum tamen notio rationis geometricz eo, quem ($.14.)

diximus, modo amplificata ad duas quascunque magnitudimnes ejusdem

generis, V.gr. ad duas quascunque lineas, extenditur. Occurrunt quippe

magnitudines ejusdem. generis, ex. gr. linez, quarum major minorem

nec ipfam , nec ullam ejus partem aliquotam , exacte aliquoties continet;

feu quarum major nec ipfa, nec ullum ejus multiplum, minoris cuipiam

mulüplo equatur. Ejusuiodi magnitudines , menfuram quippe communem

nullam habentes, ?2ncommenfurabiles. vocantur.

ÜTales effe latus & dia-

gónalem quadrati cujusvis, partes rectz in media & extrema ratione

J

fe&te, làtus pentagoni regularis ac diametrum cireuli cireumferipti ;

Evcupzs demonftrat X, 117. XlIl, 6..1. Ratonis igitur iftiusmodi

duarum magnitudinum exponens allignari exacte numeris nequit; quare

etiam rrationales appellantur: limites tamen exponentis hujus definiri

poffust, qui invicem minus differant quam da:o numero fracto quo-

cunque; feu duo aífignari poffunt multipla immediate contigua magni-

tudinis unius, quz fint limites mulüpli cujuscunque d:ti magnitudinis

alterius; hoc eft quorum unum dato hoe multiplo mnus fit, alterum

ü

majus. Sic cum quadratum diagonalis quadrati duplum fit ipfius quadrati,

II,

14

1eu

8

m

feu. qu^drati fui !äteris;

200

20 O0O0O

2000 OoOoO

vel eum quadratum diagonslis weqwipolleat

190?5 T0 Oo00 )

A————————

I000^oo0o?

pE bt i nl ( odb £

200 OOO OOO

ioo ooo' ooo?

&c. quadraü lateris; ipfa

diagonalis eft

l

-

EEE

$

d

5

c.

ï

ää ^

ï

i

à

Lateris;

!

&

:

ä

)

ï

oo2

ï

ï

B- r m

ol ol

Olm O|n

ï

olo ol«

n

C.

«

feu roplum Diagonalis eft. ——

-

-

14plo

I,S

plo

100plum

-

e-

141plo

—

142 plo

t

10ooplum

-

-

-

Lateris ;

-

-

-

7 I414plo

- r415plo

1oocoplum

e 14142plo

gäz;

«114143plo

ï:ï

[v

Ut igitur, quod communis acceptio vocis jubet, hujusmodi etiam

quandtates notione rationis complectatur; ac que deinceps demonftrat,

omnimode generalia efficiat :

EvcLipzs, fepofita wqualitate multiplo-

rum, defintionem fuam hoc folo caractere, omnibus ejusdem generis

1

maguitudinibus communi, terminat: ut multiplum aliquod unius excede-

re polfit multiplum aliquod alterius.

Qui quidem caracter eos etiam

cafus complectitur, quibus mulüplo alicui unius magnitudinis B vel

altera 44 ei commenfurabilis ipfa, vel hujus aliquod multiplum zqua-

tur. "um enim,; priori quidem in cafu duplum magnitudinis 2Z, pofte-

Í

riori mulüplum ejus immediate fuperius, dato magnitudinis J multi-

U

plo majus eft. . Generatim vero poffibilitatem proprietatis hujus magni-

ü

tudinum homogenearum, nempe datam quamlibet magnitudinem polle

D

toties multiplicari, donec aliam ejusdem generis magnitudinem datam

1

C

quamlibet excedat, Evcripzs poftulat initio X*i Libri; quo de quantis

incommenfurabilibus fpeciatim agit.

p

S. 16. Ceterum Definitio 4 Libri V, Evcrmis, de vqua fermo

tj

eft, & qua rationem inter f& magmitudimes habere dicuntur, que multi-

plicate fe invicem fuperare poffunt, non tam rationis geometrice no-

[

f

tionem ipfam explicat; quam caracterem aílignat diftinctivum magnitu-

!

dinum, quas vocant, homogenearum, & qui terminos rationis alicujus

conftituere poffunt: ita tamen ut fimul innuat, quid in illis, qua-

tenus ratio earum geometrica fpectatur , przecipue fit confiderandum.

Accuratiorem notionis evolutionem definitionibus identitatis-ac diver-

fitatis rationum (geometricarum) refervavit: quze rationum zqualitas

& inequalitas proprium funt tractationis fubfequentis objectum; quarum

ü

i

igitur notiones diftinCke explicare, & carackeres accurate definire, pro-

prie e re erat.

Cort-

g

A m

IK

—

3

(

d

*(fonfeqüitur quidem ex fuperius dictis (S ,4^ ;x $.) rationem geo-

Tetricam duarum magnitudinum aífignari, determinando ejus exponen-

tem vel limites exponentis: modoque huic illam concipiendi, quem

fenfus & ufüs loquendi communis immediate offerunc, fuperftrui fine

dubio & .convenire debent genuina theorize rationum harum fundamen-

ta & accurate accepüonis terminorum ad eas pertinenttum determina-

xiones. Tdem tamen modus geometricam duarum magnitudinum ratio-

mem exprimendi, ad numeros reítrictus, nec unicus eft; nec, quande

de incommenfurabilibus agitur, aptilfimus.

Unde patere poteft, cut

Evcupbszs

;

ab Xproponenda iplius raüonis geometricx dJinitione abfti-

Duerit,

D

Quo magis fufpicari

eum RosznTO SIxMSON ( Notis Verfioni fuze

u

Anglice Elementorum adjectis, p. 305.) licet, genuinam non elfe,

ded ab Theone aliove commentatore infertam Defimtionem 3*m ratio-

.

nis in genere: qua pec ufpiam in fequenübus Evcniprs utiturj nec

&ti, ob vagem quem effert notionem, poterat.

;

À

S. 17. Defmitio V.

In £adem vatione ( geometrica ), fou (geomt-

tric) proportionales e[fe quatuor maguitudines /4, B, C, D vulgo cen-

(2

u

fentur: fi prima 4 toties continet fecundam J, quoties tertia C con-

tinet quartam D; idque admiílis exponentbus tam integris, quam

j«

l"

fractis quibuseunque: feu quando prima 27 & tertia C, vel ipfarum

quedam squemultplices, fimul equantur zquemultiplis quibusdam fe-

[

cunde'7 & quarte D, vel ipfis magnitudinibus J ac D: ex. gr. i

prima 4 fecundam .B continet bis, vel £, vel $, vel $ vicibus,

pariterque tertia C quartam JJ bis, vel 2, vel £, vel 2 vicibus con-

]

tinet; hoc eft, f prima 4 equalis eft duplo fecunde 5, pariterque

(

terüa C zqualis duplo quarte D; vel fi gr'sm primze 27 equatur sP!e

j«

fecunde B, pariterque 3Pls» tertie C zquale eft 5?'» quarte D;. vel

]«

fi primz 4 6P*» equatur fecunde B, pariterque 6P'"" tertiz C zquale

us

eft quarte D; vel íi 7?"- primz 4 xquale eft 4P* feeunde B; pari-

d

terque 7Pls» tertie C zxquatur 4Ple quarte JJ.

i,

[«

Viciffim fi quatuor magnitudines /7, B; C, D (geometrice) pro-

portionales, feu 1n eadem ratione effe dicuntur: per vulgarem propor-

4$

tionis geometrice conceptum , prima 24 fecundam J toties continere

intelligitur , quoties tertia C quartam D; feu prima 77 & tertia C,

(

vel ipfarum quzdam equemultiplices, fimul equales effe cenfentur zque-

mulüplis .

B ac D.

quibusdam fecundg 8 ac quarte D, vel iplis maguitudinibus

o

B

B,nes;

io

æg:z:äægää

Breviter identitss. duarum rationum (geometricarum ) in identitate

exponentum illarum confütuitur. Sicque etiam Evcuipzs (Libri VII.

Defn. 20.) Numeros (integros) proportionales effe dicit: quando

primus fecundi, & tertius quarü xquemultiplex eft, vel eadem pars;

vel eedem. partes.

S

18.

Sed

ut ad niaguitudihes quoque incommenfurabiles notio

identitatis rationis feu proportionis (geometrice ) extendatur: identi-

ä

tati exponenüum rationum adjungere oportet identitatum limitum ,

qui

bus exponentes illarum continentur; eamque otmnimodam. Neque

enun in eà

dem ratione elfe magnitudines 44, B, C, I) poterunt cen-

5 B& « - B,quam tertia

feri: fi quidem tam prima 44 ex. gr. —

127

C - ?D&-3D;led dum prima 4 —

35

B&-"55B,

12

2 p, vel tertia C etiamnum

terta C tantum — *3—5(- -B &i

35

P

I28

D, & demum -

9

25

D: verum identitas rationum 24 ad Z,

35

Cad D,requirit, ut pariter C

L I po& -D fie dein-

Ceps, quicunque fumantur magnitudinum B & D partes zquealiquotz,

limites exponentium ambarum rationum conftanter ridem maneant; bre-

, quando

viter ut, quicunque figuis m & v fubftituantur numeri integri

r.'.l

e

75

D

?

A ,-;—;-B& (:"':-'-I B, femper fimul fit C.':-—,?D& «

atque etiam quando 42 —;-B & 4—?;3, pariter fimul fit C — —;- D

& g:-ä-D; nec non fi fimpliciter 4 — -:7 B, limul etiam fit C(::TD,

ita ut nec unitas, nec zero ex valoribus figni * excludatur.

Idem aliter fic effertur, Ut magnitudines incommenfurabiles 4

B, C, D fint in eade

m ratione, non fufficit, ut ex. gr. 7?l"» quidem

& «26Po fecunde , pariterque 7Pm tertiz

prime 44 fit z 25Pe

C P 25Pe & « 26Po quar

te D; dein vero dum 35P'"n primz A . 127lo

& « 128?* fecundz B,

fit 35Pi:m tertie C vel E. 1289* & demum

& jam « 127?e quarte D; fed requi-

1 ZQPXO »

vel faltim — 126Po

ritur, ut etiamnum fimul fit 3

jgrium terü& Cp- 127

Ppo & .^ rog?lo quar-

neratim ut quicunque fignis s

& v fubftituantur numeri in-

te D. ge

tegri, fimu

lfit tam wr»» prime 44 . rPe & « (rd- 1)P»

fecundz £ ,

ertig Cr» rPo& - (r4J-1)!e quarte D; utque etiam fi

quam splum t

g plum

rimz

A tantum t fimplo & 4 2?^ fecunde B, pariter sPium

tertie. C fit - fimplo

& - o quarte D; & quoque fi w'"n primg

fimul fit neum terte C — ipla quarta D.

A « ipfa fecunda B

S, 19.

EMi Hs

it

$. 19. Generatim igitur quatuor magnitudines 4, B, C, D in

,

eadem ratione (geometrica) feu (geometrice) proportionsles effe di-

centur: [i utriusque rationis idem elt exponens; vel fi exponentes am-

barum rationum 44 ad B & C ad D iisdem conflanter limitibus con-

tinentur, ad quascunque referantur partes equealiquotas magnitudinum

B ac D: feu fi primz 44 ac tertiz C equemulüplices quecunque zque-

multiplas quascunque fecunde B & quarte D vel unà adequant, vel

unà faperant, vel unà ab illis deficiunt: & viciffim.

Pofterior quidem modus diftinctivum identitatis duarum rationum

ä

caracterem enuneiandi exprelle non indicat cafum , quo exponens utrius-

que rationis idem eít numerus integer, feu quo ipfe prima 44 & tertia

'n

€ equemulüplis quibusdam fecundz B ac quartz £ equales funt: eun-

dem tamen non excludit, íed tacite complectitur; cum tuüc equemul-

tiplices quecunque prime 44 & tertiz C necelfario fimul fint equemul-

tiplis illis fecundz J ac quartz D majores, Idem intelligendum de eo

cafu, quo exponens utriusque rationis eft numerus fractus, cujus nu-

merator eft unitas; feu quo equemulüplices quedam primz 277 ac ter-

tie C ipfis magnitudinibus B & D íimsl equales funt : tum quippe

&quemultiplices ille prime 4f ac tertie C fimul funt zquemultiplis

quibuscunque fecunde J ac quarte D minores. Pariter quando termini

rationum invicem incommenfurabiles fünt; identitas limitum exponentis

earum pro quibuscunque partibus zquealiquotis fecundz Z ac quarte D

id tantum requirit, ut zquemultiplices quecunque prime 4 ac tertie C

fimul fint equemultiplis quibusdam fecunde B & quarte D majores,

earundemque squemultplis immediate fuperioribus minores: his etiam

inclufis conditionibus particularibus , ut zquemultplices prime 44 ac

tertie C fimul fint ipfis tantum magnitudinibus J & D majores, earun-

dem vero duplis minores;. pariterque ut primz 4 & tertie C zquemul-

tiplices fimulfint ipfis magnitudinibus Z ac D minores, Que quidem

omnia requifita fine dubio complectitur mentio indefinita zquemulti-

plicium tam fecunde Z ac quarte D, quam prime 44 & terüz C; fed

hoc modo plus iterum, quam przcile fufficiebat ac necelle erat, exi-

Prudepter vero ita Evcripss Definitionem fuam adornavit :

ut

git.

tam in illa enuncianda, quam przefertim applicanda, non tantum tribus,

qui, cum ad exponentes refpicitur, obtinent, cafibus generalibus, fed

& fpecialibus quos incommenfurabiles offerunt, feorfim recenfendis fu-

perledere poffet; & demonftrationes, falvo rigore, co

ceret,

4

ncinpiqres gfïi.

B 2

Quod

12

[C :

E .

sU

Quod ut exemplis, ha&enus*diöf;a" ufu. ipfo illuffrantibus, ffatim:

pateat: anrequam ad evolvendam inequalitatis rationum notionem pro-

grediamur,, fpecialem primum propofitionem, que prima eft V]IS Libri

EvcLiDis; ex utroque 1dentitatis. rationum caractere fupra expofito de-

monftrabimus; tum immediate generales Libri V* propofitiones füb-

jungemus, quz ad rationes invicem zquales pertinent, & quarum de-

monítrationes directe notionem inzqualitatis rationum haud fupp(-)nunt.,.

S

20

Propofitio F.

(Evcup. VI, r.)

Parallelogramma &

triangula ejusdem vel :zqualium altitudinum, feu inter easdemr coníti-

tuta parallelas, funt inter fe uti Dafes.

y

Demonfiratio. generatim. innititur Libri I* propofitionibus 36 & 38 ,.

earundemque Corollariis: quibus parallelogramma ac triangula ejusdem

vel eaualium altitudinumi, feu inter easdem parallelas conftituta, qux

æqualifms infiftunt bafibus , equalia ; quz vero inequalibus infiftunt ba-

*

1i

bus, inequalia; nominatim, quod majuri infiftit bafi, majus elfe

eftenditur.

J OLT Q d

Fig. s. 6. ltaque Íi r-» commenfurabiles funt Bafes 4B, EF;

& major Z4B ipfam minorem EF exacte alioquoties conüinet: majori

AB. divifa 3. partes 415 1K, KL, LB, lingulas equales minori EF;,

& per

unéta divifionum I, K, L ductis in parallelogrammo quidem

ABDCD rettis que parallelz fint lateribus 4D, .8C; in triangulo autem

f parallelogr. 445 CD)

ABC ad. verticem € duétis rectis;

itriangulum 4 DC

» in totidem

fparallelogrammo .E FGJT

dividitur

'parallelogramma

T» fíngula: zqualia

Ü

p . triangula

t

triangulo EFG

per I, 36.38. quot ba

fis AH continet partes equales bafl EF. Itaque

Í

hoc cafu (S. 17.)

parallelogr. E FGETY

l

tam parallelogr. 4BCD:

f

— A: EF.

quam : triangulum. 445 C: triaog. ETG.

Quippe fi generatim bafi 4B infunt r partes fingule — EF; etiam

fparallelogr. 448 C

N

parallelogr. £ FGH)

1

€

conftat r partibus Kühg:uli-s* -

:

k

criangulo EFG — f

i criangulum ADC

x

fi

r denotante numerum. integrunt quemcunque.

-

p

Fig. 79 8

5do

Si Bafium etiam nunc commenfurabilium major 45

M

fed ejus quampiam partem aliquotam EN,.

nop ipfam minorem £F,

I

exa(le aliquoties eontinet: utraque bafi 48 , £F divifa 1m partes fin-

rnlás — ÉA; & per punéta divilionum duéctis in. parallelogrammis qui-

AB

i

xslfm 4BCD, EFGH reétüs, . qu& -pax'allelæ fint lateribus eorum -

&

-

13

& CD, EH & FG; in triangulis autem äB'C', EFG du&s rectis sd

1

illorum vertices C, G: «

parallelogramma 48CD., EFGH

*s dividentur

triangula 4B8C, EFG

arallelogr.

4

f

rallelogr. ENVAMHBY

in totidem. rä[fpeöti've J; P

triangula

* fingula —

t

triangulo ENG

per l, 36. 38. quot bafes 4B, EF continent partes. — EN.

1taque

fi generacim bafi EF infunt & partes & .EEN; bafi autem 42 in(unt

partes eidem. EN zquales; w & r defignanübus numeros integros

hoc eft fi EW eít bafis EF

quoscunque diverfos, quorum major r

f

pars n* , & A4B — ä EF

etiam «4

parallelogr. EFGH

»

t

trianguülum EFG

3; conftat "

«

f parallelogr. 48CD

partibus, &

triangulum 458C

» conftat v partibus, fingulis -«

f parallelogr.

NMH)

(«

f

parallelogr.

ENMH)

L triangulo ENG-

23

&

.triangulum. .ENG

))

eít ',pars n

fparallelogr. EFGH] -

?T

& parallelogr. 4BCD. —— EFGE , pariter-

L

trianguli EFG

que trianguum .48C - — -:7 EFG.

Unde rurfus (S. 17.)

EFGH)

tam parallelogr. 4B8CD : .

- A4B. EF.

quam triangu;um ABC s

EFG f

Fig. 9, ro. 3:'56; Si bafes A4B, EF fünt ihcommenüxl'abiieä":* no-

minatim fi minoris EF fumta parte aliquota quacunque Z , hec repe-

tità nunquam exaéte producit majorem 2445'; fed quando aliquoties re-

petita EN efficit lineam. £R proxime & .4B , adhuc femel addita

femper jam efficit lineam 45 — 4B: ita ut fl bafi EF infunt w partes,

*

I—

—

liaez autem .4R infunt s partes, [fingule

EN; adeoque fit EN.

4

I :

E

pars n* bafis EF, & AR — — KF,A4S —

äEF&(Zr':"—f EF; v & m denotantibus numeros. integros quoscunque ;

tum du&tis per puncta & & S in Fig. o. parallelis lateribus 44D, BC

párallelogrammi , in Fig. 1o. autem. reCtis ad verticem C trianguli;

eodem modo, quo. in cafü 23e, demonftratur , elfe parallelogram--

mum RPD — -;:— EIGH, & parallelogr. 430D. — "':I' EFGH ,

Y

"-

parierque tcriang, 4£AC —

5

EF G;,,& triangulum 43C —

Q. ! EFG;

B s

adeo-

z

14

[

ä:..—:.—..-.m

?

-- EFGH,

ädeoqpe tam parallelogr; /22CD t ä EFGH fed «

r.*.l

' quam triangulum 4BC — - -;—EFG fed 4

[

EFGI

Itaque & hoc cafu (S$. 18.

tam parallelogr. 4B8CD: EFGH!

z bafis A4B: EF.

quam triangulum 4B8C : EFG

as WUR ab um i. O ETQ E.

Similiter propofitum demonftratur, quan

do bafis AZB. 44 EF

feu 447 confervata & EF, fimiliter oftenditur elfe

tam parallelogr.

EFGH: ABCD)

quam triangulum £

FG: ABC f —

EF HO ii

Fig; rr; 153. . S. 21 Juxta Defiixitionem EvcLiDEAM dem.dn-

ftratio ejusdem Propofitionis V, fic inftruicur, Sumtis A4L, EJT mul-

tiplicibus quibuscunque bafium 447 , EF; & per puncta L, 7M ductis

vel parallelis lateribus 4D & BC, EH & FG parallelogrammorum ,

donee productis DC, FG occurrant in punctis K, 15 vel ductis rectis

ä

ad vertices C, G triangulorum: ex 1, 36. 38. eodem modo, quo

rallelogr. AL D)

f

paralielogr.ZZBCD

$.20. cafu Imo efficitur, ut

t

L criangulum 4LC

J

* fit£

"

trianguli J4BC F£

tam muliplex, /quam muláplex 74L eft bafis 48 ; pariterque

]

f

]

?

fparallelogr. ETH

r«

parallelogr, EFGH

'triangulum EMG

J

tdjanguli EFG

?ftam multipex, quam

multiplex ;eft EM bafis £F.

Atqui ex l, 36.

EID & Coroll.

n

ítam parallelogr. A4LKD1 - fparallelog . EMIH

]

s

)

$

|quam triangulum 4LC f Z 1

triang. EMG

pfouti AL ([:

g

-

EM. Cum igitur, fumtis primz (L A B-(? ïf & tertie 4B. zquemultiplis

( ALKD)

T

& AL; ac fecunde (r

EFGH)

& quarte EF fumtis zquemul-

(l ALC ))

EG)')

tiplicibus

[ EMIH)

& EM; multiplicesl

ALKD, EMIEIn

prime ac

iEMG f

i

ALC, EMG j

fecundz

4

(ABCD, EFGH)

Q

L

ABC, EFG

?

, ac mulüplices 4L, EM tertie & quarte

AB, EF, utraque utrique, juxta quamcunque multiplicationem, fem-

J

ü

per fimul invicem zquales fint, vel fimul.deficiant, vel fimul fuperent:

]

lequitur ( ex 5. 19.) efle

tam parallelogr. 45CD: EFGH

le

quam triangulum ,48C: .EFG

ääAB:EF.

SO 221

Qu——án

ag

15

$. a2. Seholiom 1. Eodem modo ex III, 26. 27. earumque Co-

rollarüs: quibus demonftratur, in eodem vel zqualibus circulis angü-

los five ad centrum five ad peripheriam, qui zqualibus infiftunt arcu-

bus, refpective zqvales eife; qui autem inzqualibus infiftunt arcubus,

efle inequales; nempe majores, qui infiftunt arcui majori; & viciffim ;

deducitur VI, 33: quod in eodem vel zqualibus circulis anguli tam

ad centrum, quam ad peripheriam, fint inter fe uti arcus quibus in-

fiftunt.

€. 23. Scholion 2; Pariter iisdem modis generatim demonftratur:

fi magnitudo quanti alicujus ab magnitudine quanti alterius ita pendeat,

ut quz zquelibus quanti pofterioris magnitudinibus refpondent magni-

tudines prioris, pariter xquales fint; que autem refpondent inzquali-

je

bus, fint inequales; nonunnatüm ez majores, que refpondent - majori-

bus (quo modo arez parallelogrammorum & triangulorum equealtorum

pendent ab magnitudine bafium, anguli tam ad centrum quam ad pe-

ripheriam ejusdem vel zqualium circulorum ab arcubus, quibus infi-

ftunt ); fintque 4, B duz magnitudines quanti prioris, quz refpondent

duabus quibuscunque magnitudinib

—

]

femper 4: B

m

C'.

L]

bus C, D quagti poiïe?'ior;s: fore

Quia enim (ut poüerioreth ta&tum. demonftrandi modum expreffe

repetamus) magnitudinibus pofterioris quanti, sxqualibus magnitudini

C, refpondent (fupp.) magnitudines quanti prioris zquales magnitudini

44: erit ea prioris quanti magnitudo, que pofterioris magnitudini 2 C'

refpondet, — 2.4; quz mignitudini 3 C' refpendet, erit

—

34; &

generaum que ma

nitudini zC refpondet, erit — .

i

t

Pariter que

)7

magnitudini rJ) po

erioris quanti refpondet magnitudo prioris ,

erit

— rB:r &n defignantibus numeros integros quoscunque. . Atqui prio-

ris quanti magnitudines, que magnitudinibus pofterioris refpondent,

fimul cum his invicem funt equales, vel unà fuperant, vel unà defi-

ciunt (fupp.) ltaque fi nCJ ä]) YD, pariter n4

6

1 Z 5 rB; proinde-

que 4: B — C. D (S. 19.)

;

S. 24. Propofttio ]. — Quatuor magnitudinum geometrice pro-

portionalium tertia zqualis eft quartz,

1j prima zqualis fecundz ; ter-

:

tia major elt

uam quarta, fi prima major quai fecunda;

pariterque

iertia münor eft quam quarta, fi prima m nor

quam fe.unda.

"

Demon(iratio, Sit 44: B —— C: D,

Ime,

2-

-j

* 16

G

hL

x

3f«

Imo, Si 7 — B; adeoque rationis J ad 7 exponens — r: erit

etiam (S. 17.) rationis C ad D exponens — 1; ac proinde C — D.

Si 44 — B; rationis Z/ ad D, i commenfurabiles funt, exponens

ent P i fi 'inco-mmenfurgbiles, exponentis limes inferior ad minimum

(

ert —

L

» quia (fupp.) 4 B feu ——::- B, n defignante numerum in-

EU

Ergo ($. 17. 19.) & rationis C ad D vel ex-

tegrum quemceunque.

—

*

L

ponens & I; vel certe &exy-onent,is limes iuferior —

[

unde pari-

tll n od

Si ff « B: rationis 7 ad , quan/äoï .commenülra-bïïäs funt, ex-

Q

ponens erit — 1; Ífi incommenfurabiles, expoaentis limes fuperior ad

&

dummum -erit PL quia (fupp.) 4 — B feu —'—ï— 4 Ergo ( $ 17. I89

etiam rationis C ad D) vel exponens -« i; vel fuperior exponentis

li

——

—

limes ad fummum

7;5 :jproindeque pariter C « D.

E

1

u

*

i& ï'Idf. Si

([

j

B; etiam (S. 4.) 24 (rg j» 28. Tum —vew

i2

D

ä

upp.) etiam 2(54; E]» 2D ($.19.); adeoque

($. 4.) pariter C ([ 53» D.

ut

li

S. 2«. Stholien. In quibusdam elementorum eäitïonïbus propofitio

Tec (veltota, vel faltim ejus duo cafus pofteriores) i:6'* Libri V. ut

fi

Corollarium fubjungitur; & ejus ope demonftratur: uude nonnifi ad

quatuor magnitudines ejusdem generis pertinere videretur.

Ceterum

eadem propofitio generalius poteft ut converfa ejus, que demonltrata

p

fuit $. 23, enunciari; eodemque, quo nunc ufi fumus; modo ftabiliri.

Si magünitudo quanti alicujus ab magnitudine alterius cujuspiam quanti

!

ita pendet, ut generatim, quam rationem inter fe habent magnitudines

quecunque C, J) quanti pofterioris, in eadem ratione invicem fint,

quze ipfis refpondent, magnitudines 4, D quanti prioris: cum quz magni-

«

tudinibus quanti pofterioris xqualibus relpondent magnitudmes quanti

prioris; pariter equales funt; qux autem inzqualibus refpondent, &

E

|

iplz: funt inzquales; ez feilicet majores, quz refpondent majoribus.

til

Nam

—

æ::ægäïö

17

-

—

ia

—

—

Á

—

Nam fi Cä

ä D; etiam 2C ä

ä 2D (9.4.); Quare cüm

1l

Tl

(fupp.) generatim fit 7: B:.C: D; etiam (S. 19.) 24 ää—ä 2 B:

adeöque (8$.4.) 4 ä ;ä B.

S. 26.

$i quatuor

m

Propofitio FT.

(Evctip. V, 4. Córoll.)

magnitudines. propordonales funt; eedem etiam zmeerfó eruut propor-

tionales'; lioc elt, n u-——-c: u um g2—-B

C & D invicem

— Demonftvatio.

Ivo,. $i magnitudines 44 & B,

commenlurabiles funt; & utriusque rationis 4 ad , C ad D idem

eft exponeus integer r, vel fraftus quicunque 5— ($.17.), ita ut

li

limul fint 'A:': rB & C-—rD, vel fimul 4— ;— B&Cc ::7:— D:

erunt etiam fimul B:-!; A& D-—ä C, vel fimul n.d — B & nC—vD,

adeoque 5 — ï—A&D-—-—?(*;

expohentes igitur rationum J ad 4, D ad C, pariter xquales.

u

Quodfi incommenfurabiles funt magnitudines 4 & 7 , C & D:

utriusque rationis 47 ad B, C ad D, exponens iisdem contineb/igxt

[/!

ïll.i.. I

*

limitibus ($. 18.) ex. gr.

ita ut femper fimul

o

fint

t (n 4- 1) NLCE E ?

Jf

vÜ

N Es

x

«

yn--Y

B tantoque inagis d

s'n.*.r

B,

i

2 ( 4- 1)

2 (n -- 1)

n n 4 )

(

yu

D&«

vü -- i

r4-r

S8Cc

n(n4- )

n(n4. )

D tantoque magis us

fi (f 4- 1)

D.

,J

Inde vero pariter fimul erunt

:

j

"-t

p ED 4

n(n 't.!)

Ag feu B. «

T

A&» 4

Th--T

?b

aed) 21 12 (f -- ) C & :

u) C, feu D w lo

H

[i/7

vt 4- f

Y

de R HC

adeoqüe exponentes rationum £ ad

tibus continebuntur.

44, D ad C iisdem pariïer limi-

€

IHo,.

i

G

x

3

18

"

IHo, Cüm fit 4: & — C: D (fupp.); erunt (S. 19.) fimul

P

- nD

VW

ïA(ïä

)r

»B, atque rC

Q

Y

plfoinde etiam fimul

:

al

nBiäïä r4, atque sD « jþrC,

ä

& hine (S. 19.) B; 4 — D: C..

X

$. a7. Scholion, Simfon in notis fupra (S. x6.) citatis, p. 306 fq.

re&te . obfervat: propofinonem hane VII. perperam 4:* quinti libri

Evcuiprs tanquam Corollarium vulgo fubjungi; nec legitimam effe, qux

x ejusdem 4'* propofitionis demonftratione nectitur, confequentiam ad

W

Vlisam pnoftram inde inferendam,

$. 28. dPropofiio 7I1Il. (Evcub. V, 4.) Si quatuor magnitu-

?

dines funt geometrice proportionales: equemultiplices quecunque prime

ac tertim ad fecundam & quartam, vel ad squemultiplices quascunque

lt

fecunde & quarte; pariterque prima ac tertia ad fecundze & quarte

)

quascunque zquemultiplices

" f:asdem refpective habent rationes.

Hoc eft, fi 4: B —

i

etiam .

p4: B

I

wC: D,

44: qB

$

--

C: 4D,

4: B—:p

C: 4D;

Q & q denotantibus numeros integros quoscunque.

Demon[iratio.

Imo, Quando commenfurabiles funt magnitudines

&

A& B, C&D: ob 4: B— C: D (fupp.), fimul erunt ($.17.)

ti

A— rB& C vD; ved A——:—-;-B& C— dR

Adeoque pariter fimul

fi

— L

pA-— yrD &pC:'prD—; vel p4 — 1:

B &yC

^"

,

qB& C:::

— aD:

:;;qB& C':-—-:;qD; VP o

4n

q Hn

p*

p4 ::1;98 &pC:pqu; vel gA —

qu

gb & pC— 5 qD.

Igitir exponentes rationum p4: B, & pC: D; 4: 4B, & C: 4D5

p4: q B, & pC: qD; gtiam refpective iidem funt: nimiFum pr vel ï—rä

E.

P ogyel

P

1

4

vel qïn,

4

qn*

Quodfi

19

; Quodfi -inagnitudines 4 & B, C & D funt incommenfurabiles :

utriusque rationis exponens iisdem continebitur limitibus ($. 18.) ;

ita ut fimul fint

EE

P

D&«

..—.—.l)v

pr-t t

A)P

T—B&(pïä—lB,ac C)g

P 4

adeoque etiam 1imulpd)2£- B&« EV-F B; ac PC)L,:

p&«"—p

Y

.X

[4

vel quoque fimul AnczB&«

"u

B,ac C);— D&«

nxD'

Ír

n

unde rurfus fimul — .4 )ä qB& '( ï;;,,—l qB, ac C)ä 9D &«

qu

7-*-[ D

Qu

|ad

vel & fimul

—

Ed

qB,ac C)Pl;"r,,qD& E

PV-*-[ qD;

pqu

445 48 & «*

pqn

(ü

adeoque pariterüinulPA)Z—;qB & CF^ 9B , ac 07711,7: "s ('rq-: -4D

"

N

& C: gD; n &

que

Itaque etiam rationum p4::B, & pC: D; 4: qB,

—

It

gB, & pC: qD exponentes iisdem refpective limitibus -l:—:- &

kpr:-rþ

?

noo

pv

pr4-1i

vel M

u

l

continentur.

qll

qu ?

qu

4

][4, Cum ob 4: B —C: D (fupp.); fumtisk quibuscunque prime

A & tertie C, fecundz B ac quarte D equemultplis, multiplices pri-

mze 4 & fecunde P, ac multiplices tertie C & quarte D fimul refpective

hties

squales fint, velfimul deficiant, vel fimul fuperent (S. 19.) sequemul-

tiplices autem magnitudinum pZ & pC, 48 & qD fint quoque ipfarum

,

A4 & C, B& D xquemuliple (S. 10.) : fequi;ur effe

fimul tam 2(p4) 4[;3; rB, a2c n(pC) «ï ;]þ vYD;

p d 151 ag oc. [l um

)

paritärque n(pA) 451; r/qB), ac n' PC)JL ä]þ r(4D):

Unde (per S. 19.) conftat propofitum.

!L

Pï

9

S. so. Propofitio IX. — Magnitudinum 4 &LBk æquemultiplie&s,

[]

vel partes sequealiquote, vel & partes zquealiquantz , ad magnitudines

k

ipfas 44 & , easdem refpeCtive habent rationes:

€ 2

fioc

jl

A0

[ej

1

T

N

hoc eft

J

o

B;

P

—

i

ll

B;

m

8 lts

&

—ZäZA

m h

1l

s

Oy

B;

f & m defiguanübus numer

os integros quoscurnque,

. Demon[iratio. 1mo

Utriusque enim rationis p: 4, & pB: B

exponens eft p; —utriusque rationis t 4, & P. B exponens eü';:;

p

& 'uti'iusque rationis ,. 4: 4, &

;'.z

B: B exponens eít -ä.

IHe. Cum tam s(p.4) — (np)-4, quam n'pB) — (np) B. ($. 10.):

—

erunt fimul n/p44)4 & »74, ac n(pB) (L

—

J)- rB; prouti np« - .;- PA

Sint dein — — E, & ; — F; adeoque Z — mE, & B — mF.

mE

E-TmElE: F.

.;(

Erit per modo demonftrata

?0

adeoque etiam . inverfe

mEOZ-: I:: mF (So 26. )5

A

P s

p

B

hog eft

"h

Cumque fic fit

Es

Ai;:;B: B

N

p

etiam erit

L4

?h

Bt: . B8.X$29)

p

$.30. Propofitio X. 'Vicifïim fi quatuor magnitudines , B, C, D

funt geometrice proportionales; primaque 74 fecunde B eft quedam

[

multiplex, vel pars aliquota, vel pars aliquanta: tertía C quarte D

xquemultiplex erit, vel pars equealiquota, vel pars zquealiquanta.

Demonftratio, 1me, Si 4: B — C: D; & 4 — qDB, vel 4 — 7

&

vel 4 —

E

i

D; hoc eft fi exponens rationis J/ ad B eft g, vel -,;l;,

E

vel 1;,,2: erit etiam rationis C ad D exponens 4, Velf;ïz* "m 51"7 " 17')';

adeo-

Ye

21

adeoque pariter Cs qD; vel C & —; vell C— P &m de-

Botandbus numeros integros quoscunque.

:

füpp.) fit : B — C: D; erit etiam ($.28.)

i, Cum :(

q.

Qs

i

5

mA4: B

E mC':

TE

zcOhO .. g.

& .wA: qB

Ul 4 -;

pariter ($.24.)) C— 4D:

j

-

-

fi mj ss . Ieuü ---

.-..B)

3

h m4--Q4B, feuA: ;nfB; -- mC-mqD, feuC::-ä D.

$. 31.. Propofitio X1

- (Evcu. V, x7.) Si quatuor magnitudines

44, B, C, D funt geometrice proportionales; & prima 27 major quam

fecunda J, adeoque etiam (S. 24.) tertia C major quam quarta Jj: erit

,

etiam exceffus prime 4 fuper fecundam B ad hanc minorem 2; ud ex-

ceffus tertie C fuper quartam , ad hanc quartam D, .

previer 5 P—UCU DI5 pu

dj (IS) 24.) C 2Di

erit edam dividendo feu divifm 4— B: B—

Demonfratio, ]* Cum (fupp.) 4: B — C: D. erunt (S. 17.18.)

TTI

fimul

A —vD; vel A':-ï Bivxel — ;;—.B, d

n

E

"

TA

pariterque Cä:sz; vel u — ;ï-*D; vel C)äD, & —

w D

v & n denotantibus numeros integros quoscunque: ita tamen, ut quia

if

funt commenfturabiles ;

(fupp.) 4 B&Cc D,üütr E s, fj magnitudines Z& B, C& D

quando autem incommenfhrabiles funt, non

hml

fit v — m.

Tum vero pariter fimu] erunt

4-B-(r-0)Bivel4- B-(7.-1)Bíeu Bvl 4-B 7 B& 4 —5 B;

fen

[71

D&qg*—l D:

?JC-- D-(r-1)D; vel C-—D-(ï'f I)Dfeüf;—:,-l])g velc- D2

adeoque exponentes rationum //—: B, & C— D: D, vel iidem;

vel contend iutra eosdem. limites,

»

A

€ 3

ndo,

"

22

II5 Si »/2—)4.

?

P5

7B: cum fit nL4—B) —n4A-—AB ($.7)i

— N

erit

v.B

&,

3

addita

utrinque

nB,

fiet

nH—nB (ï

.

2"

nÁ (L

VIIAVUAVIT

]

B rB feu (n-r) B. ($.8..

Cum igitur fit (fupp.) 4

B -—ED; ent $. 19.)

fimd aC (L:J; (n--r) D feu nD -vD (S. 8.): & füubtratta

utrinque »D, etiam &C—n5D. hoc eft ($. 7.) «(C— D)

T lml n

( «&)

C

Proinde fimul funt &«(/2—5) ((ä 2rB, &nC(räjþ YD; atque hinc

Fig. 1'3. Alter hic ratiocinandi modus fic quoque poteft exponi.

Reprefentent linee EF, FG, H1, IK magnitudines , D, C, D; ita

nt fit EF: FG — Hl: IK. Tum EG, HK reprzfentabunt exceffus

.4 — B; C — D majorum füper minores; demonftrandumque erit, effe

pariter EG; FG — HK: IK. — Quod ut fiat, fumantur magnitudinum

EG, FG, HK, IK zquemulüplices quzcunque (sP*), quz fíint LJI,

LP, NO, NQ.

Ita. (S.6.) PM, QO erunt magnitudinum EF, HI

ezdem zquemultplices (pariter mP*). Infuper fumantur magnitudinum

FG, lK zquemulüplices quecunque (v?*) PR, Qs.

Quo facto,

etiam LA, NS erunt ($. 3.) magnitudinum FG, JK zquemultiplices

(n--rP*), Cum igitur (fupp.) EF: FG— HI: I&; erunt ($,19.) ümul

PM4S)LA, & Q04 BP NS:

ex quo fi confequi demonftretur, elfe etiam fimul

f &

(«

LM«e-c.PR,& NOXEPRQS

inferre licebit (LS.VIQ.) effe pariter EG: FG—HK: 1K,

Atqui fi LMxï:)) PR: addita utringue eadem LP, ft

etiam — . PM (; ä JLLR; & hinc (fupp. & j. 19.) pariter Q,O([äj gNs ;

-

unde utrinqüä fubtracta communi N Q, fit quoque N()(rL

-

];- 0S.

S. 32*

U

——

23

$. 32. Corollarium 1. Si quatuor magxgitudirium 44, B, C, D binz fuerint

in eadem ratione; & prima Z minor quam fecunda P, igitur quoque (S. 24.)

tertia C minor quam quarta Z) : erit etiam inverfe (S. 26.) B: 4 — D: C;

übi jam prima B — fecunda , & tertia D P- quarta C: igitur (S. 31.)

B——A:A:;D—-C: .

S. 33.

Corollarium 2. Generatim igitur fi duz magnitudines inz-

quales 44 & B eandem mutuo habent rationem, quam aliz duz inzquales

C & D: differentia quoque duarum priorum erit ad earundem minorem,

uti differentia duarum pofteriorum ad ipfarum minorem; veletiam in-

verfe (S. 26.) minor duarum priorum erit ad ipfarum differentiam, uti

minor duarum pofteriorum ad earundem differentiam.

Breviter fi

4; B—C: D:

etiam dividendo 4—B ; B—C-—D: D; feu B: 4—B-—D: C—D

vel

B—4: A—D—C: C; feu 4: B—4-C: D—C

Es B

. $. 34. . Propofitio XIJ.. (Evcup. V, r9. Coroll.) Si quatuor magni-

*o^ &a

tudines Z, P, C, D géometrice funt proportionales; & prima 44 major

quam fecunda P , adeoque etiam (S. 24.) tertia C major quam quarta D:

erit quoque prima 4 ad excelfum, quo fu

tia C ad excelfum, quo fuperat quartam D,

perat feþu'üdam H; uti ter-

— 000

e

. Breviter 1. 4: B8— C: D; & A -

-

erit etiam qunvertemlo 44 — B-

:

B ï-—parï.t:erque ($.24.) C ï) D:

— a

Demonfiratio. |»o, Cum fit 4: B — C: D (fupp): erunt (S. 17 18.)

T-d-1

fimul

A:(B; vel A.—.—.ZB; vel 4 7—1;13 & 4

ac

f

C—rD; vel C:--«D;' yel Cie — D. & «

7 A

feu erunt finul 2— —; vel B— —4; vel B«

Ed

LA

4 & ——

ac

H vH D:;C; vel 1)470 &» j;f':fcä

r & n denotantibus numeros integros quoscunque ; ita tamen, ut in cafu

commenfurabilitatis fit & 5 &; in cal

u autem incommenfurabilitatis cïgx'tg T

non fit « 2 (uti in Dem. S. 31,).

^

'Tum

UI

——

Tum vero pariter fimul erunf

1;

, AfB:CF-g-) 4; vclA-B:(I':") 4; vll 4-B5 (x-g) , &. ((14

F--1

i

ac C-D:(I'&)C; vel C-D:(I*E*)C—; velC-D :»(I-;-) C& 4(1-;—:?) É:

fe

EL L EL

7-

,'..

IIA tanroqqc magis «

p EE LT

"-- r

,

b.e. tam A-B::t;/ï;vel 4;3;?::4; vel 4-B» r—;-"A& €r;;

Y-n-2-I

TY.

fj

h

2

Ctantoque magis 4

quim - C-D— Civel C-D—2' G vdC-D» " C&

——

ï.!.ï

6

Proinde ($. 17.:8.) 4—8BD: 4

C—D: C; hincque etiam inverfe

(5.416.)

:A4— B—C: C—D.

Ri 14. 15« 16, t 1149. Repi'æfentent linee EF, LG. HI I

magnitudines //, 8, C, D; itaut fit EF: FG — HI:IK. Tum EG, EK

reprefentabunt exceffus 44 — B, C — D majorum fuper minores: de-

£. CT. PA -

monftrandumque erit, elle pariter EF: EG — HI: HK.

Quo fine magnitudinum EG, FG, HK, IK famantur equemultipli-

ces quzcunque (7z?*), que fint LM, LP, NO, NQ.

lta (S. 6.)

PAL,

O erunt magnitudinum EF, 71 exdem zquemultiplices ( pariter

[

rplæ ).

Infuper fumantur magnitudinum EF, ZI zquemulüplices quz-

cunque (uPl«) ; quz fint PR, OS.

l

Fig.14. 1tj. Sim4 "; »r; erunt fimul PR(L;])PM,& 234[;

0

HO:

J)m

igitur cum. PA t LII, & QO & NO (S. 4.) utroque cafu fimul erunt

PA LM,& 0sf NO; hoc eft EF — rEG, & nHI

erHk;

feu fimul u £ v(/4—B), & nC 7 «( C—D).

.

I GE n

Fig. 16. 17.

Quodfíi autem v 7 5; erunt fimul PZ PA2,& 00

t O0S. Porro quia tam P& QO, quam PR & Qs funt (conftr.) magni-

tudinum EF, HI zquemultiplices; priores nempe earum rP*, pofterio-

res n?*: exceffus priorum fuper pofteriores, AJZ & S0, erunt (S. r2.)

velipfis EF & EI equales ( uimirum fi r — n -- 1); vel earundem zque-

multiplices (fcilicet f — nplz),

Atqui ob EF: FG — HI: IK (fupp.)

F:vFG--HLErIK,

.

eü'"(S., 28.) tam E

quam (r—4) EF: rFG —(r—n) HI: rIK;

hoc eft, utroque cafu, fit RM L PEI50:0N,

Tgitur

C*

29

—

Igitur (S 24.) fimul PL.

—

RM, & QN

A

Hss

-

Ly9—

«

2»80

LRLM,& QN4-NS

4v

AI

S4-50;

Unde pariter fimul BL-&-L/?

——

— —

feu fimul

PR

LM, & QS

wo

]

hoc eft fimul funt

nEF

z

rEG, & nHI

-rHÉ,

m m N

i

feü fimul

3

N

IAVUAVIIAVITAV

—

-*

(4—B) ,

& nsC

&

»r(C—D).

n

VILAVHAVITLAVITA Vi1A

Quoscunque igitur & & r denotent numeros integros ; feu duæcunqüe;

prime 44 & tertiz C, itemque fecunde /—.B & quartz C — D (umautur

€quemultiplices: femper multiplices primse 44 & fecunde — B , ac mul-

tipliees tertiz C & quarte C— D vel fimul invicem equales funt, vel una

deficiunt, vel una fuperant.. Quare(S. 19) 44 4— B —C: C'--D

$. 35. Corollarium 1. Si quatuor magnitudines Z, F, C, D pro-

porüonales funt ; & prima Z minor quam fecunda J, adeoque etiam (S. 24.)

tertia C minor quam quarta : erit etiam inverfe 8: 4—42D: C(S. 26.);

ubi prima J — fecunda Z/, & tertia D - quarta C.

Igitur 2: 8—4—D: 0—C (S. 34-)

- $.56. Corollarium 3. Generatim itaq;ze, il du magnitudines ïn?-

quales 44 & J eandem invicem habent rationem, quam alie duz inzquales

)

C& D: erit & major priorum duarum ad ipfarum differentiam, uti major

duarum pofteriorum ad earundem differentiàm ; vel etiam inverfe ($. 26.)

differentia duarum priorum ad earundem majorem erit, uti differentia

duarum pofteriorum ad ipfarum majorgm.

Breviter fi

A: B—CiD:

etiàm convertendo

A: 4— Bzs€: C— D, (éu 4— B: 4—C—D: Ci

vel

::

$: 37. Corollarium 3. — Generaliusque, fi due maguitudines inz-

1es

quales eandem invicem habent rationem, quam alie dus maguitudir

inequales: etiam alterutra priorum erit ad ipfarum

differentiam ,

uti

;

pofterior homologa, feu qux priori ordine refpondet ;

pofteriorum ; & inverfe. (S. 53. 30.)

elt ad diiïerentiaä*-

D

$. 353

[

26

S. 38. Scholion. Propotido noflra XII. perperam vulgo r9»s Libri

U

quinti Evcripis tanquam corollarium fübjungitur; & ex illa, ope : 6*e, de-

ducitur: cum hoc modo, contra ac res eft, tantum ad quatuor magnitu-

dines proportionales ejusdemgeneris pertinere videretur.

Id quod etiam

1

obfervarunt Siwsow in notis jam gitatis, P* 3165 & Ciavivs in. editione

]

fua Evcrpis, Vol. I p. 511. qui pofterior tsmen locum ac titulum illius

non mutavit , quin expreffe eam his verbis ,hinc facile demonítrabitur *

exorfus eft; quamvis vitiofe vulgari legitimam ipfius demonftratio-

Y

nem, ex quinti libri propofitionibus 1774 & 1$*« deductam, fub(tituat,

&$.39. JPropofitio XIII.

(Evctip. V, 18.) Si quatuor magnitu-

dines funt geometrice proportionales: fumma quoque duarum priorum

erit ad ipfarum alterutram; uti fumma duarum pofteriorum ad eam

I;af

fum, que priori in proportionem affumtz ordine refpondet,

T

Hoe elt, fi

4: B—-C:D;

l

A B:

s

[

:C-I-D:

Fd

[C)

eFiam componendo

N

BJ)

"Dbmonjïmtio. I»». Erunt enim (ex fapp. & $. 17. 18.) -

;;

T

-

ümul 4—rB, vl 4— B; vl 4 IB &4

—B

[

—

]

atque C::.rb; vel C—

n

D; vl C -LD & - D

proindeque pariter fimul

29

f

n

Tcn--

B;

A.B—(r)B;vel d-t—B::Z?B ;vl B-

B&

"

; rd-u

rin4l

f

stque C4-D-(r44) D; vel CeD—^ ^ D,vel C&

DDTD& -—TD-

Igitur. ($.17. 18.) DRB: B— C D:D;

feu lumma duarum priorum 'ad earum confequentem, uti fummma duarum

polteriorum ad confequentem iplarum.

Atqui fi 44: B— C: D; eiüiam inverfe (8$.26.) B: 4—D: C:

indeque per modo demonflrata eüiam .4-4- B: 44— C D: C,

JEiRe 19. 105 20, 21.

I|ie Reprefentent linee EG, FG, HK,

IK magnitudines 44, B, C,

—— --

Diaaut ht EG: . FG-— HK- IK X«an

EF, HI, réprefentabunt earundem iummas 4-- B. C--D: demon-

r

Fa

M

N

t

furandumque erit, effe pariter EF :

Quod

G

9s

SUS

27

n

Quod ut fiat, fumantur imagnitudinum EF, FG, Hf, JK zquemul.

LM, NO erunt magnitudinum. EG ,. K, eedem zquemulüplices (pa-

riter n?l«).

j

Infuper fumantur magnitudinum £G, EK squemultiplices

€

quacenque -

(rPl?), que fint LR , NS.

US

f

[

Fig.18, 19.. Sims . ?r: erunt fimul L«

""];LR, & Nüïfzï N$:

igitur cum PM

2-LM, &

00 5. N0; utroque cäfu fimul erunt P4/ J)LR',

& 00

NS;

hoe eft »nEF — rEG, & &HI — rHK; feu fimul' erunt

n D) r4, & n(CD) » rC.

äï:

Fig.:0,21. Quodfi antem v ; erunt fimul LR LAM, & NS- NO*

Porro quia tam LA & NS, quam LJMI & NO funt (conftr.) magnitudi-

num EG, HK zquemultiplices; priores nempe earum rPl, pofterio-

res m»«; excelfus AA & 50 priorum fuper pofteriores erunt (S. 12.)

vel ipfis EG, K zquales (mmirum fi z—z--1)5. vel earundem

equemultplices .(fclicet/ r—2»*). Atqui ob EG; FG— EK; IK

EG :

1

(fupp.): eft (S.28.) tam

sFEG-—.HkK:

nlK,

quam (r—») EG : nFG —(r—n) HK ;

'an;

hoc eft, utroque eafu fit

RM:LDPe-S0:

NO.

*

H

ET

^

LPi

-v-.-.l

RM, & NQ

$

;gitur (S.24.) fimul

é.

s

?

LM «

À

Unde pariter fimul LP4-

RM*L?*(, & Ng-i-NO

SO4-NO;

j

RT OE R s

AIMAEASV T

;

feu fimul

z

LK

& QO

;

MM ——

NS

^

H

hoc eft fimul

&

m

rEG

& nHl

N

:3

MUU Ro u ULP O Cs

l

;

N U IN N

—Jæ—v...Jæ——v-..) CXOREQEQ T ) af

;

' í

feu fimul

A

j;

IPASVAPANVA

H

rC.

nC44 B)

i

»

J

P

rÁ, & 'n(cæpp 4

(

3

J

'-V—-.Jx..v u C

Quoseunque igirur & & r defignent numeros integros; feu quscun-

que primz 444- B & tertie . C-- D), itemque fecunde 4 ac quarte C

fumantur zquemultiplces; femper mulüplices primze 4/--B ac feeun-

i

dr . & multphives rerüe C4-7) ac quarte D, vel fimul invicem

n-

xquales funt, vel uài fuperant, vel unà deficiunt.

E

Kure RD

i A:'C—(-Df C

D 5

Eodem

j

28

Eodem modo,, poft primss magnitudinum EF, FG, HI, ]K, eque-

multiplices (n?35) PAI, LP, QO, NQ, fumtis inde a punctis L, N ver-

4

equemultiplicibus (v?5) magnitudinum FG, IK; de-

ífus punéta P, Q

monítratur effe etam -- DB: B—— C-- D: D.

$. 40. Scholion 1. Recte Hieron. SAccHERIVS, in libro quem in-

fcriplit: Evcripzs ab omni nevo vindicatus, five conatus geometricus ,

quo ftabiliuntur prima ipfa univerfe Geometriz principia , p. ztr. f]q. &

SiusoN in uotis citatis, p. 314. obfervant: Demonftrationem propofitionis

precedentis, qus vulgo in editionibus Elementorum traditur, a genio

Evcripis abhorrere, nec legitimam effe; cum poftulet ; quod nullibi

ante fuit oftenfum , ut tribus datis magnitudinibus quarta geometrice

proportionalis affiguetur. Sed modum, quo prior (l.c. p. u15« fqq.)

huic nezyo mederi füufcipit, jure pofterior reprobat (1.c.p. 315 fq.). -

S. 41.

Scholion 9.

Propofitio XII.

poteft ex propofitionibus XIm:

&lelltia ope Vi1I»e fic inferri,

Si

A

:B—C: D;ubi 4 D, pariterque (S-&4-)

M D

tum . 4—B: B— C— D: D per Prop. XI.

:

&

B: A—B—D: C—D per Prop. VtI.

Unde J44—B: 4—B—D - C— DB: C— D per Prop. XIII.

hoc eft

4 d—B-—C:i C— D que eft propofino XLI.

- "Hicque eft demonftrandi modus, quem Cravivs loco fupra (S. 38-)

citat, vulgari fubftituit; &

torum p. 156. adoptavit.

quem etiam SiMsoN in yerüone lua Elemen-

$.42. Propofitie XIF. '(Evcm). V, t1.)

Rationes, quz ezdem

funt eidem tertiz, & inter fe funt ezdem..

"

fi

AZ B:C: D,

Hqc eít

&

C: D—E: F;

A: B—E: E

,eti;xm

Demonflratio 1mo, — Quodfi enim rationis 4 ad B vel exponens .eft

/f4t

f5 Ut 'vel exponentis limitesxr funt—;— &

b.4: B:C:D

,(fupp.-), etianx rationis C ad 7) erunt v?l exponens r aut ,-:—, vel ex-

4

poh.entis; linütes;-;;—. & — á - ($.17.18.): proindeque pariter ob

C

79

/

j

PC: D-—E:F, erunt ratïonïä E;F vel exponens f'auþ 3 vel Iexp'onel

T-EI

üs limites fZ- aut

T (So 174 180

)

Ilde, Sumts magnitudinum, 4, C, E equemultiplis quibuscunque

Y

n4,nC,nE; & mag

nitudinum Z, D, F fumtis æguemuluplis quibus-

cunque B. rD, vF:

In

n

Z

f -&

—

IQ

fi

N

CU

ï) vB, erítetiamnC

rD($.ig ;),quïaA:B;C: L (fupp.) "

li

E

)ïï

-Qüando autem iC* s ]þrD,etiam n

ï;k

ä

M

rF($.19 .),'quia C: D5 E: F (fupp.).

:

2

j

f &

—

Igitur fimul quoque funt 4«

—

-7

B; ac nE(ïän» rF;

A. B -E

|*.

u

& proinde (S. 19.)

$- 43.

Propofíti

o XF. (Evcup. V, 12.

) Si magnitudines homo-

genez quotcunque 4, C, E, G &c.

ad totidem alias ( pariter tam invicem

uam eum prioribus homogeneas, $

.13.) ,. D, F, H &c. fingule ad

ingulas,

easdem liabent rationes; ita ut 44: £— C: D-— E; F—6G: H &c.

erit quoque ut unia antece

dentium Z ad unam confequentium ; ita fumma

omnium antecedentium 4-- C4- E-- G &c. ad fummam ommium confequen-

tium Z2-4- D4- F-4- H-p-&c.

Demon[iratio Ymo,

Quia enim .4: J—€. D—E: F—G: H &c.

j

(fupp) erunt ( $. 17. 18.). fimul

f --1

«5

"

4-—rsB ved fl.....;:—B veI.A')—;;—B

« p

T41

C-—rD

QÉ cA

( uD

T--1

E — rF

E

—-F

r d

G-——H

- H

ä

Y

eli

G —rH

G-

&c.

&c.

&c,

C

adeoque pariter (S.5.) — 44

vl-—r (B&D4PRHA&c) vel — (BDAFEHE&C)

o

cvd» LODRÉRHR&o) & «ÜC Q RDEFEHR)

Uüde conftat propoi'ltum ($.17.1& )

M

]H4e,

2

39

A

IIb, Quia 4: B—C: D—E: F—G: H&c.

-

grunt fimul (S. 19.)

i.

x

^

—

näg

P j

r

*

w

l—— |

nCä

C

--

nEä

7

F,

Ls

d n d E E

vH,

g VIIAVIIAVITAVITA

[c]

Iraque etiam

quoseunque ^s &

v defignent Bumeros integros.

14 3- nC 4-nE-- nG 4- &c,

«mPrBMrDAVF

,

TrH-A &c.

i

"

hoc eft ($.5.). s C E-I-;Q-&-&c'.)

D (B-i-D-i—F-i—H-&-&c.-)

nÁ

(';

ä

c»rb.

J]

pro eo &c

ï

Igtur (S,19.). : B- 44 CLEXGi&: B4D4FAHA4&c.

44. . Corollarium 1. (EvcLtD. V, IX5.)

Si magnitudines

G &c. funt invicem xquales; pariterque magnitudines

;

4, C, E,

j

B, D, F, H &c. fumme A C3-E - G- &c, B- D4 P H- &c. eque-

multiplices fiunt magnitudinum 4 & Z "Tum igitur Propofitio XV. trans-

P

formatur in hanc 4: B—gp4 . gB;

s defignante numerum integrum quemcuhque : hoc eft, due magnitudi-

mes funt inter fe, uti ipfarum zquemultiplices quecunque; feu duarum

magnitüdinum partes zquealiquotz eandem inter fe habent rationem, quam

ipfe magnitudines

*

$. 45-

Coro

llarium z. Pariter duarum magnitudinum partes zque-

aliquantze eandem inter fe habent rationem , qua

B,

i

m magnitudineg ipf&.

Etex.;.im(ü pR - As -—

feu

-M4MG w —-B

tum

Tz,oR pS ($.

44*

feu

R

pariterque, &

]ïfg

—

44

::R mS (S. 44-)

feu

A: $--

$-B

E

P

Igit;lr (S. 421) etiam. 3/*!:;;?5 AST. m5

m & p defignantibus numeros integros quoscunque«

4

Qäg.———'æams——-

H

HN

*

M

&

] —— —

-

?

eX

[-——— .—.ül'—lll—.llll-ll'- —— — [

emo unmwo Y — r um ] n a )

&b

l——1

[

a

&

*

M—'

D

] -———

us

A

r.—

s

)]LI——

*

R—

E.2

—l

e

W

É

— | —— — —j — ]

W.

W—u

w—

——

AAE

83 -

W

5

I

AK

1

a.

x

]—1

IL——1————1

m

pP——l

—— ——

II.IILM

1

I

M—N—

4

w

.-IIIII'III—L

m

FWJ..IO

JOAEREMIS r r II e-

—— HM

R

— "— — — — — — À — [

m

O

...LIIII'I—L

&

hd

L

ænD

m

.yw

mc

.W

h:

Pt

wä/

--

l

-QX**N ;

w

ER LE

E

E

p

T

".

m

——

——

--

W«

-

—— ETU

SPEARSALA NU L

i

h:

ll n

s

W

HH"

—

z

——

m

x,.x

xx

9

Jizadr d* A

—«X

^ ^

w

xäx

/

7A

2 2"

W

I

W

-

Pf 4

TE

E

V RS LUE ii

?/

N

L

u

L

us

XN

s

m..w

IT

^

/,

^

j

mb mET

.«."

l

W

——

— ——

Ww

$

M .y

//,

-7 -

C»fT

.,WWW

mz-I---—.

S

Ut m a m m a

—— i

P22

HH4

M

/1

W

mv

U

p

L!

g

W

d

Wmï.

, p

^ z

W

Mi

D7

?

P

i

VL

M

aM

"a

£

SS

.

N

[--—

lt«nbtttkt(ttlttt»

E--—-— TEU

u

,

f .m.

d

";

X

O

08

WWH

^

N

$ 96

TupdpEageu s MRU

i

-

TEUM us

:

—

W

W

X

W

,Woor

c

LR VURUDBIRO EE n

94

$

- —

SUERURTA MTO OLU AR b 1 pE

-

o

—— ll:)llA&(Al

—— —————----.--------------l13-.

—

"

: : : 3 ibds hd CR

sx

1

E

5

"

n

&

vlll«clntttll(llll.lll

C

T

m

2

B

ER

DI

EEE

——

T

3

W

La

- Pt 3

— llollllollll

mu,

M

[

-

g ais

IHM':/.

p

*

H

—

u

lm

i

Fig.18

IFig.19.

p Fig.20. p Figar.

;

|

ä

-—;—AI

;.ï;

J

—— | — À — 1

nl

ï

L-G- Kl

N-

L-Gi K3

N- L

G-K

N

N

L- GTK

II

H-

T[E-

EL

LE

)95

(01A

M-

M-

S-

0-S$

o

s-—

MR

x

LE

—.

77 d

m

—

WTH m

— — ÓURRU

[

—

E

s

—

-

—

H

E

ER

"

:

ais

W

P

"

*f

—

u

A

—

p

UE

8

"

o*

d

f

b

PX

M

l

-X

ss

d*

um

D

a

d

*

*

-

"Ui

L

E

d

rl

u-

m

M s

.(«V

d

*

^s

*

h:

:

od

i

*

la

A.

d

^

E

x5

ET

A

s

ALE

a

h

-

X

à:

i

*

£

Av

*

T

D

i

75

C a

*

E C

&-

-

*

"

2

UCR.

at

Em

a

z

bX $us

A-

"

w

d

R

MA MR

AM?

AU

s

J

m

—

CX

D

n

k

u

m x

*

us

*

i.

L

x

»

P*

t

x

XEE.

- o

d

d

72

A g

—

VR

T

t A npI

u

sE

A

x

x g*v

-

d

iun

z

g

d

us

g

Lw?».

s

*

A

x

MC

MA*

X

"

SURA

P

Es

s

E

AX

Yv

a

b u

i

u

cae

x

—.Rf

RUE

VA

v

D

AA

i

on

k

A

x

s

,äw,.

$

WE

L

T*

"

A.

AAs

"

d.

r

p

E

*

A 6s

:

&

um

j

a

*

T

*

Ts

j5 z

o d

-

d

r

*

i

A&v

-

u

s

T

Pyr

-——

A

v

e-

:

r

^

b?t»þ

-

OE

$d

-

-

É

:

$-

$n m

X

-

TECCI

X

mmx

--

*

3

E

*

--

d o

PA

Es

h as

P«

Y

»-

.

^

-

-

f

x

í

a.

*

.,w

5*

Y*

u

Ya w

d

a.

P d

r

^*

o

L

d

w

-«

d

:

AC

b

P

^

VX

..Mk..a

*x

Y

-

ve

p

-

D

£

".

JX

ho

*

X

-

LAG

$x

& t

m

M

^*

V

?

"T m

M

A

...j

o

* o

p

*

n

« .

X

-

u-

-

- aW

LT

-

*

r

"

"

N

*

N

*

e.

4

,äfm -

x

asl

n

&

:

K

v

E

v

*s

-

W

t

iA

$s

n

--

LU.

R

t

X

[

*

.*

L*

-

A a

"as

I

A

M

A «

£

P

"

i

"

*5

Ty

E

4

W.,

4 n

»

a^

Y*

*

X

2

v

r

*

3*

«

iiX

M&

—Mx

P

x

*

*

Y

»

v

ærv

s

s

a

l

i

*

V

X

»

1&

t

E

»

X oA

^

- l.

"

F

En

"

»

-t

J*

i

E d

H

Y

d

al n

N

Ed

þa».«m-.«

-

j

"s

u

*

&&

*

s

d

3

d

m

-

2

^

w

X

!

"P

$:

?*

Mr

*

€

AA A

p

s

$t

"

i

2

7

i

^

W

v

r«

R—X

f

E

x

x*

-

—

WM)&

7

*

u

H

Y/

-.W.

W

-

"« ,

u

y^oow

Lse

al

PT

A

E.

71

p

m

Hs

r

N

*

AA

la

2

U

A

i

E

-

M

e^

v

*

-

$o

-

Q.M

a.uwü

;

1

M..

?.

Bv

*v

£

M

x

m us

i

:

A

*

i

*

K

*

s.

G

D

-

de

2"

"7u

L

a

WLLT

W

w-

o

X o

m

w

M

w

"

s.

;

*l

*

v*

*

v

Kai

-

Db

A

E^

I

a

o

$

*

$.

€

KF u

MC

à

"

ï

4

as

4

La d

t

rm

——

VA

b

-

M

&

*

*

jnex

»

*

Tf

d

e

"aV

*

:

L

w

ii

l

AE

x

x

L

IY

&

*

KM

P

j

*x

&

^

p

Á

i

*

P

v o

X

*

UE s

ag

-

4

p

:y

e^

^d

- d

-

m

Mn

W

M

um

iA

z

d

N

o

(r

:

f .

A

f

"

s

EN

y

x

»i

.

$4

m d

. AK

r

t

ag

€

-

$2*

d

E

Y

-

ia

EUN

:

&

*

M/

*

E t

*

*

-

*

ha

jPe

"

E

""

í

M

!

W

"

*

u^

sls

P

H

$^

fs

u

Y

4

X

B.

T

« «

is

-

5 ryn,

--

E

A À

$

w&&u.

"s

t

£s

(

m

»

"s

s

£

o

od

o d

H.

i

.Mw

z

YX

MM

s

Y

,...Mä

LP .

P *4

64.

Ló

LA

"Y

-

M UM

R.

*

RW.

J

s od

"

"Nb

W.

v

3-

T

n

-

&«

Pa

«

x

FW

,.a

ii

-

vt

o^

tX

*

"

z

&

»

?

at d

"m

UR

*

fs

L

s.

G

as

M udique

* a

^

-

^

-

N P

La r

"

^

"

Plx

*

p

P

*

*

p

[.s

1.

f

r

—

L

u

EM

lp* i

3

?

x* t

L

"

-

*

&^

N

W

E

"

^

*

1

w

-

*

2

"

4

1j

»

.

-

*

j

[

H

?

L]

—

«

-

M

"

£f

m

TA

i

?*

Á

M

[

$

f

:

»

»

*

"

^

*

?^

.w

e..w,

t

^

B.a

A

^

at

&i

h

*

-

-

—

W»

V.

X

i

X £

^

a

fi

z

W

"

j

M

&

Es

"

w

N

L

,».

?

6

?

$

N

w

*

v

a

a

(,,.

4

,,

*

,.m

x

M

D

"-

-

--

-

$o

"

*

A

-

T

H

J

"i

^

Ws,

3

»

-

"

*

»

*

"

--

*

$

d

&

D

w

"

W

&

C

LE

Z

i

d^.

3

hé

LO

*

s

"

-

P

M

*

E

A

P.

E

x

"

As d

E

*

*

eaà

-

»

*

N

.

p

-

du 44

-t

-

-

$

—

IN

-

s

MH

*X

*

]

-

"

-

*

*

M

*

;

*

-

w

-

"

*

p*

A

LA

diaee -

"

d

-

k

R

lÀ.

s

x d

d

R.

À

- n

ET

-

o

-!

M . d

n

---

—

em

20

!/

EXPOSITIO ET DILVCïDATIO

LIBRI QVINTI ELEMENTORVF-

W

EVCLIDIS

19

æg—-—————————-wä)ï"änp———-æ

AC

,ïw

VierFarbSelector Standard* - Euroskala Offset

CVIVS PARTEM PRIMAM

17

RECTORE VNIVERSITA TIS EBERHARDINA£ CAROLIN

O Baancee Q

16

MAGNIFICENTISSIMO

ä

15

SERENISSIMO AToy& CLEMENTISSIMO DVCE rr DOMINO| .

j

ä

T M

DOMINO

CAROLO

N

DVCE WIRTEMBERGIE .

sT TECCLE REGNAN'];

.REL. REL,

*«

-

N

/f«r*«*

i

PRAESIDE

CHRISTOPH FRID. PFLEIDERE

PHYSICES ET MAT

HESEOS PROF.

PVBL.

ORD,

PRO RITE CONSEQVE'NDIS MAGISTERII. PHILOSOPHICI

HONORIBVS

DIEBPFS

AFG, MDCCLXXXII

PVBLICE

AD DISPVTANDVM

PROPONVNYT

d

CAROLVS FELIX SEYFEER, 4seldenjs.

ä

——

IMMANVEL DAVID

MAVCHART, Zubingenfs.

CANDIDATI MAGISTERI) PHILOSOPHICI IN ILLVSTRI STIPENDIG

THEOLOGICO,

u áMg——— HÓ— —— — H i al —]ÜÓ—

TFBINGZ 1iveis SCHRAMMIANIS,

ä/ Copyright 4/1999 YxyMaster GmbH www.yxymaster.com

»