Be175-2
author: Gabler, Matthias

=

Naturlehre.

—— —
.

N

Matthias Gablers
der Gottesgelehrtheit und Weltweisheit Doktors, Sr. churfuͤrſil.
Durchleucht in Baiern wirklichen Rathes, oͤffentlichen und ordent⸗
lichen Lehrers in der philoſ. Facultat zu Ingolſtadt, in dem
churfuͤrſtl. albertiniſchen Kollegium Praͤfects der Studien,
und der deutſchen Geſellſchaft der Wiſſenſchaften
in Jena Mitgliedes

L

Zum Gebrauch
oͤffentlicher Erklaͤrungen.

Zweyter Theil.

Von den Geſetzen der Bewegung und
des Gleichgewichtes.

Muͤnchen,

bey Joſeph Aloys von Craͤtz.
1 7 7 8.

Zweyter Theil

Von den Geſetzen der Bewegung, und

des Gleichgewichtes.

§F. 133.

Ein richtiger Beobachtungsgeiſt hat in den Wir⸗
kungen der Koͤrper eine Art von Gleich
S foͤrmigkeit aufgedeckt. Dieſe allgemeine
Gleichfoͤrmigkeit in Wirkungen macht die allgemeinen
Koͤrpergeſetze aus. 2.) Einige dieſer Geſetze betref⸗
fen die Bewegung, andere das Gleichgewicht
der feſten, wieder andere die Bewegung und
den Druck der fluͤßigen Koͤrper. 3.) Ich wer⸗
de alſo zuerſt von der Bewegung, bernach vom Gleich⸗
gewichte der ſeſten Koͤrper, und endlich von der
Bewegung und dem Drucke der fluͤßigen
Koͤrper die allemeinen Koͤrpergeſetze aufſuchen.

—

Zweyter Theil. 3 I. Ka⸗

12 24 Ata e Ra
I. Kapitel.
Von der Bewegung.

ê

Die Geſetze der Bewegung
uͤberhaupt.

§. 134.

Der Raum, den der bewegte Koͤrper
durchlaͤuft, laͤßt ſich fuͤglich durch eine
Linie ausdruͤcken. Denn in der Bewegung eines Koͤr⸗
pers kann man alle ſeine Theile in einem Punkte vereinigt
denken, der eine Linie formirt, und den Weg bezeichnet,
welchen der Koͤrper in der Bewegung zuruͤcke legt. 2.) Das
Verhäaͤltniß zwiſchen Raum und Zeit iſt eben
das, was wir Geſchwindigkeit beiten.
§. 135
IJ. Geſetz. Die einmal angefangene
Bewegung wird mit der naͤmlichen Ge⸗
ſchwindigkeit, und nach der naͤmlichen Rich⸗
tung fortgeſetzt, ſo lange von außen keine
neue Wirkung auf den bewegten Koͤrper
geſchieht. Denn die Elemente des Koͤrpers haben die
Kraft ſich nach dieſen Geſe n zu bewegen (5. 27.03

4
8

mthin muß auch die Beweg un 9 nach dieſen Geſetzen
geſchehen. Wirkt aber eine Reue NrA. ft auf den Kor⸗
. 8 per;

ü eeen üe

per, muß eine Aenderung vorgeben. Die Urſache
dieſer Aenderung liegt abermal in den Kraͤften der Koͤrper:
und eben darum
II. Geſetz. Muß die Aenderung, die
aus dieſer Wirkung entſteht, dieſer Wir⸗
kung proportionirt ſeyn. Anſonſt wuͤrde die hin⸗
laͤngliche Urſache ohne Wirkung, oder dieſe ohne ihrer hin⸗
laͤnglichen Urſache ſeyn.
III. Geſetz. Die Wirkung und Ge⸗
genwirkung iſt allemal gleich. Die Wirkung der
Koͤrper enkſteht aus den Kraͤften der Elemente (5§. 5.6.),
und iſt mit den Abſtaͤnden im Verhaͤltniſſe (§. 11. 17.
126. 132.); weil nun die Abſtaͤnde in zween Koͤrpern gleich
fſind; muß auch die Wirkung zweer Koͤrper, das iſt, jede
Wirkung und Gegenwirkung gleich ſeonn.
Dieſes Geſetz, und audere in dieſer Materie vor⸗
kommende Saͤtze werden in den oͤffentlichen Vorleſungen
auch durch Verſuche, Beobachtungen, und zerſchiedene Betz⸗

ſpiele erklaͤret.
Geſetze der einfachen gleichfoͤrmigen
Bewegung.

In der gleich foͤrmigen Bewegung muß
die Geſchwindigkeit zweener Koͤrper alle⸗
mal mit dem Produkte aus dem Raum und

verkehrt aus der Zeit proportional ſeyn

(S. 134. n. 2). C: c = †—: — z mithin
C — — S
iſt

II.

went

126 6 *

wenn aber S = s; C: c =

t —
I. Der Raum, den der Körper durch⸗
laͤuft, kann ſchicklich durch ein Parallelo⸗
gram ausgedruͤckt werden, deſſen Seite
burch Zeit und Geſchwindigkeit geſtaltet
werden. Denn es iſt S = CT.

II. Die Geſchwindigkeit in der gleich⸗ “

foͤrmigen Bewegung iſt auch mit dem an⸗
ziehenden, oder zuruͤcktreibenden Kraͤften
in Proportion. Denn die Kraͤften ſind der hinrei⸗
chende Grund von dem Daſeyn der Geſchwindigkeit (§. 25.).

VS VS
C: .C — — * —
mithin iſt : -é
C: c — VSt: vsT.
CVS I =— cVSt.

Geſetze der einföormig beſchleunigten,

und einfoͤrmig abnehmenden Bewegung.
§. 137.
I. Hauptſatz. In der einfoͤrmig be⸗

ſchleunigten Bewegung waͤchſt die Ge⸗

ſchwindigkeit, wie die Zeit, C = T.
ſie waͤchſt; denn ſonſt koͤnnte nimmer eine Beſchleuni⸗
gung gedacht werden. Sie waͤchſt wie die Zeit,

ſonſt koͤnnte die Beſchleunigung unmoͤglich einfoͤrmig ſeyn.
* Der

N E e eee 127

*Der Beweis iſt ſo richtig, als der Begrif von
einer einfoͤrmig beſchleunigten Bewegung vollſtaͤndig iſt
(§. 26.).

„

§. 138.

II. Hauptſatz. In einer einfoͤrmig be⸗
ſchleunigten Bewegung laͤßt ſich der Raum
durch einen rechtwinklichten Triangl (big. I.)
ausdruͤcken, deſſen Hoͤhe = AB der Zeit
= T, und die Geſchwindigkeit = C, wel⸗
che am Ende der angegebenen Zeit erhal⸗
ten wird, der Grundlinie BC gleich iſt.
Weil ſich die Bewegung in A anfaͤngt, und hernach durch
die ganze Hoͤhe — AB gleichförmig beſchleunigt wird, muß
die Geſchwindigkeit = BC anfangs unendlich klein ſeyn, und
hernach immer mit der Hoͤhe in gleicher Proportion wachſen.
Hat dieſes Verhaͤltniß ſeine Richtigkeit, ſo muß aus der
Zeit und immer zunehmenden Geſchwindigkeit das AQ ABC
entſtehen. Weil nun der Raum dem Produkte aus Zeit und
Geſchwindigkeit gleich iſt, 8S = CT (§. 136.) und CT in ge⸗
gebenem Falle das ABC ausmacht, kann auch der Raum
durch das ₰ ABC fuͤglich ausgedruckt werden.

* In der gleichfoͤrmigen Bewegung formirt das Pro⸗
dukt aus Zeit und Geſchwindigkeit ein Parallelogram
ABCm, und in der beſchleunigten Bewegung das
Dreyeck ABC.

I. Das Dreyeck iſt die Helfte eines Parallelograms,
wenn die Hoͤhen, und Grundlinien gleich ſind. Mithin muß
in der gleichfoͤmigen Bewegung der durchgelaufene Raum
noch einmal ſo groß als in der gleichfoͤrmig beſchleu⸗
nig⸗

vigten ſeyn; wenn man der gleichfͤrmigen Bewegung die enb⸗
liche Geſchwindigkeit der gleichfoͤrmig beſchleunigten zugiebt.
Weil alſo in der gleichoͤmigen Bewegung S = CT iſt,
ſo wird, wenn die endliche Geſchwindigkeit in der Einſörtnig
beſchleunigten bewegung = Ciſt, der Raum S = = 1 ſeyn.

II. Dieſe Folge iſt allgemein. Denn der
naͤmliche Schluß paßt auf jede gleichſoͤrmige Bewegung einer
beſtimmten Zeit.
III. Mithin wird der Raum, den der einfoͤrmig be⸗
ſchleunigte Koͤrper im zweyten und dem vorigen gleichen Zeitchen
(tempuſculo) durchlaͤuft, — 3, und im dritten = 5 ſeyn. Denn
der Koͤrper wird im zweyten Zeitchen theils mit der bis itzt
erhaltenen Geſchwindigkeit fortbewegt, theils aber erhaͤlt
er einen neuen Zuwachs von Geſchwindigkeit, wie jener
im erſtem Zeitchen war, u. ſ. w.
* Die Figur macht die Sache deutlicher. AB iſt
= BD = DE; denn dieſe Linien druͤcken gleiche Zei⸗
ten aus. Das Dreyeck ABC formirt die Idee vom
Raume im erſten Zeitchen, das Trapetzium BCDEF vom
Raume im zweyten Zeitchen, und das Trapetzium DEFG
vom Raume im dritten Zeitchen. Nun aber enthaͤlt
das letzte Trapetzium 5 Dretzecke, und das zweyte 3
Dreyecke, die alle unter ſich, und dem A ABC gleich
ſind. Mithin wie die Dreyecke, alſo ſtehen auch die
Rouͤume im arithmetiſchen Verhaͤltniſſe = 1. 3. 5. u. ſ. w.
IV. Dieß gilt nur von den Raͤumen einzeln be⸗
trachtet. Denn zuſammengeſetzt ſind die Raͤume, wie
die Quadrate der Zeiten, So iſt 1 †+3 = 4 = dem Qua⸗
drate von 2 ꝛc⸗

Tabell.

,

kr aft.

Se e ee 129

Tabell.
Zeiten. [Quadrate der Zeiten.
2 -= I
2 -⸗ 72 z ⸗ ez z 4
S C ⸗ =S= ⸗ 25
Raͤume in einzelnen Raͤume zuſammen ge⸗
Zeiten. nommen.
I = 2⸗ z 2= 2= I
7 = = = = . . 19
9 “W 2⸗2 z z = 25
§. 139.

Jene Kraft, welche der erſten Geſchwindigkeit immer
neue Zuſaͤtze verſchaft, nenne ich de Beſchleunigungs⸗

So eine Beſchleunigungskraft iſt die zuruͤcktrei⸗
bende, welche ſich auf einen theilbaren Abſtand erſtreckt
(S. 10. r1.), die anziehende in den fuͤr unſere Sinne noch
unmerkbaren Abſaͤnden (§. 17.) und endlich die ſch were
(8. 128. 130. 132.):
II. Eine mit vollkommener Einfoͤrmig⸗

keit durch dieſe Kraͤften beſchleunigte Be⸗

wegung iſt fuͤr ſich unmoͤglich. Denn die zu⸗
rücktreibenden (§. I1. I. II. III. IV.), und die anziehenden

Kraͤſten ſowohl in den kleinern (§. 17.), als groͤßern Ab
ſtaͤnden (§. 126. 132.) ſind ſehr verſchieden „und koͤn⸗
nen unmoͤglich der Grund einer nicht verſchiedenen

Geſchwindigkeit ſeyzn.
III*

130⁰ KS e ee

III. Die beſchleunigte Bewegung der

Koͤrper auf unſer Erdeflaͤche iſt ſo ziem⸗
lich einfoͤrmig. Denn die Verſchiedenheit der Abſtaͤn⸗
de, und ihrer Quadrate im Vergleiche mit dem Durchmeſſer
der ganzen Erdekugel iſt nicht ſonderbar merklich. Eben dieß
gilt pon den Koͤrpern anderer Planeten im abnlichen Falle.

§. 140.
III. Hauptſatz. In der einförmig
beſchleunigten Bewegung ſind die Raͤume
zuſammen genommen wie das Produkt aus
dem Quadrate der Zeiten, und den Be⸗
ſchleunigungskraͤften = V. Denn wenn die Be⸗
ſchleunigungsgewalt verſchieden iſt; muß ſchon die erſte Ge⸗
ſchwindigkeit, und jeder Juwachs verſchieden und der Be⸗
ſchleunigungskraft angemeſſen ſeyn. Der Raum alſo, ſo

(S. 138. IV.) mit dem Ouadrate der Zeiten im Verhaͤltniſſe

ſteht, bleibt auch der Beſchleunigungskraft propor⸗
tional, und iſt uberhaupt S = VT2.
Aus dieſer Gleichung entſtehen folgende allgemeine Saͤ⸗
tze, als ſo viele Abdrucke der Koͤrpergeſetzen.

T= vV
Aus der vorigen Fermel (§. 138. I.) iſt
§ — Cr:
=
mithbin C = , und
T = 28.

— — — — — —

— —

AE ta 131

II. Wenn S = VT⸗ = CI.;

iſt VTe = .
und C = 2VT.

III. Weil auch T = V 7 (I.)
S= z ſo iſt
28 S
C — V V 9
und C = 2 VVS.
* Aus dieſen laſſen ſich ſehr viele Aufgaben üͤber die
Zeit und den Raum der mit einfoͤrmiger Beſchleuni⸗
gung bewegten Koͤrper ohne Muͤhe aufloͤſen. Und dieſe
Anwendung würde allemal die nuͤtzlichſte Materie zu pri⸗
vaten Uebungen und oͤffentlichen Vorleſungen abgeben⸗

S§. 141.

IV. Hauptſatz. Wenn ein Koͤrper
in ſo einer Richtung bewegt wird, die in
einer geraden Linie der Beſchleunigungs⸗
kraft entgegen wirkt, muß die Bewegung
immer abnehmen. Dieſe Grundwahrheit iſt ein un⸗
mit eldarer Folgeſatz aus der Natur der Gegenwir⸗
kungen derſchiedener Kraͤften (§. 28.).
I. Wenn die beſchleunigende Kraft immer die naͤmliche
bleibt, wird das Abnehmen der Bewegung einfoͤrmig ſeyn.
II. Mithin wuͤrden die Raͤume in der arithme⸗

tiſchen Proportion abnehmen = 5. 3. 1. und zuſammenge⸗

ſetzt wie die Quadrate der Zeiten — 9. 4. 1.
III.

Se ee e e

III. Eben darum verhaͤlt ſich in einfoͤrmig abnehmender
Bewegung das Abnehmen der Geſchwindigkeit,
wie ihr Anwachs in einfoͤrmig beſchleunigter Bewegung.
* Wenn (bPig. I.) das Dreyeck AFG mit dem Zuſatze
des ϑALG zum Parallelogram gemacht wird, wird
das A AEG alle Grundregeln fuͤr die einfoͤrmig be⸗
ſchhleunigte, und das ½ AGL. alle Saͤtze für die einfoͤr⸗
mig abnehmende Bewegung vorſtellig und begreiflich
machen.
* * Aus dieſem fließt von ſelbſt wieder die Aufloͤſung
etlicher Aufgaben uͤber die Hoͤhe, den Rqum, und die
Zeit der in einfoͤrmig abnehmender Bewegung aufſtei⸗
genden Koͤrper; wenn man das Hinderniß fluͤßiger Mit⸗
telmaterien weg rechnet.

Von der zuſammen geſetzten
Bewegung.
§S. 142.
Wenn mehrere Kraͤften in der naͤm⸗
lichen Richtung, oder ſich einander in
gerader Linie entgegen wirken, kann un⸗
moͤglich eine zuſammengeſetzte Bewegung
entſtehen.
* Dieſer Satz iſt ein Axiom, das von der Erklaͤ⸗
rung der zuſammengeſetzten Bewegung (9. 29.) nur im
Ausdrucke unterſchieden iſt.
§. 143. .
I. Hauptſ atz. Wirken mehrere Kraͤf⸗
ten auf einen Körper nach Richtungen, die
nicht

— —— — —

— „„— —6—.

—

—

—

— ᷑ꝝ̃S»——V——enn

ſung

ddie
ſti⸗

K X e e 133

nicht in gerader Linie entgegen liegen, ent⸗

ſtehet allemal eine zuſammengeſetzte Bewe⸗

gung. 2.) Die Richtung dieſer Bewegnng

wird durch die Diagonal eines Parallelo⸗
grams ausgedruͤckt, welches die Kraͤften
formiren. 3.) Die Geſchwindigkeit des
Koͤrpers verhaͤlt ſich zu jener Geſchwindig⸗
keit, die aus einer einzelnen Kraft entſtuͤnde,
wie die Diagonal zu jener Linie, welche
die einzelne Kraft ausdruͤckt. Dieſe 3 Saͤtze
ſind (§. 30.) von den Elementen richtig bewieſen worden.
Mithin behalten ſie ihre Guͤltigkeit auch in den Koͤrpern, die

keiner Aenderung, Geſchwindigkeit, Richtung, und Bewegung
faͤhig find, als in den Elementen, und durch die Elemente.

I. Die Summe der beeden Seiten in einem Parallelo⸗
gram iſt allemal groͤßer, als die Diagonal; mithin iſt die
Geſchwindigkeit in einer zuſammengeſetzten Bewegung klei⸗
ner, als jene, die aus einzelnen Kraͤften zuſammen gerech⸗

net entſtuͤnde, wenn ihre Wirkung nach der naͤmlichen Nich⸗

tung abzweckte.
II. Der Koͤrper in der zuſammengeſetz⸗
ten Bewegung macht zwar den einfachſten
Wegz; denn er durchlaͤuft die Diagonal. Aber den⸗
noch durchlaͤuft er nach jeder Richtung den
Raum, welchen er durch jede einzelne Kraft
allein in gleicher Zeit wuͤrde gemacht haben.
III. Iſt aber die Bewegung vollkom⸗
men die naͤm liche, muß auch die Wirkung

auf

134 0e

auf den in jeder Richtung entgegen ſtehen⸗
den Koͤrper die naͤmliche ſeyn.
IV. Die Geſchwindigkeit in der zuſam⸗
mengeſetzten Bewegung wird allemal deſto
kleiner ſeyn, je groͤßer der Winkel iſt, un⸗
ter dem die Kraͤften nach verſchiedenen
Richtungen zuſammen ſtimmen. Denn die Ge⸗
ſchwindigkeit gleicht der Diagonal, und der kleinſte Winkel
giebt allemal dir groͤßeſte Diagonal.
Die Urſache davon iſt offenbar. Wenn der Win⸗
kel X kleiner iſt, wird der Winkel y groͤßer ſeyn, dem
die Diagonal entgegen liegt. Nun aber dem groͤßeſten
Winkel iſt allsmal die groͤßeſte Seite entgegen geſetzt.
Vv. Die zuſammengeſetzte Bewegung

muß in der naͤmlichen Flaͤche geſchehen, in

welcher die Kraͤften wirken. Denn die Diago⸗
nal und die Seiten des Parallelograms liegen in der naͤmli⸗
chen Ebne.
VI. Die zuſammengeſetzte Bewegung
wird geradlinicht, wenn
a) Die Geſchwindigkeit nach jeder Richtung die naͤm⸗
liche iſt,
b) ober aber nach der einen Richtung in der Proportion

waͤchſt oder abnimmt, in der ſie nach der andern
abnimmt oder waͤchſt.

VII. Wenn aber die Geſchwindigkeit nach jeder Richtung
oder nicht die naͤmliche bleibt, oder nicht im gleichen Verhaͤlt⸗
niſſe wechſelweis ab und zunimmt, entſteht eine krumm⸗
linichte zuſammengeſetzte Bewegung.
§. 144.

H

iſ⸗

m⸗
ſto
un⸗
en
Gi⸗
kel

Du⸗

n
I⸗

EE e ee 135
§. 144.

Beſondere Folgeſaͤtze aus dem I. Hauptſatze.
I. Jede BVewegung kann als zuſam⸗

mengeſetzt betrachtet werden. Denn ich kann

jede gerade Linie als die Diagonal eines Parallelograms an⸗
ſehen.
II. Wenn alſo ein Koͤrper auf eine Eb⸗
ne ſchief auffaͤllt, wird ſeine Wirkung eben
die naͤmliche ſeyn, als wenn er durch die
einte Kraft verpendiculaͤr gegen die Ebne,
und durch die andere Kraft in paralleler
Richtung mit der Ebne bewegt wuͤrde.
Denn jede Linie kann als eine Diagonal angeſehen, und die
Diagonal in zwo Linien aufgeloͤßt werden, deren eine mit der
Ebne parallel, die andere auf ſelbe perpendiculaͤr ſteht.
III. Sowohl die ſenkrechte, als paral⸗
lele Linie druͤckt eine Gewalt aus, die klei⸗
ner iſt, als die ſchiefe.

§. 145.
II. Hauptſatz. Wenn ein Koͤrper ſchief
auf eine Ebne auffaͤllt; iſt ſeine Wirkung
auf die Ebne perpendiculaͤr, 2.) und ver⸗
haͤlt ſich zur ganzen Gewalt, wie der Sinus
des Winkels, unter dem er auffaͤllt, zum Ra⸗
dius. 3.) Die Gewalt nach der parallelen
Richtung iſt zur ſchiefen, wie der Koſinus

zum Radius. (ig. II.) Es falle ein Koͤrper auf die
„Ebne

136 Ae ü ee

Ebene AB nach der Richtung DC und auch mit der Gewalt

0. Dieſe Linie iſt die Diagonal von dem Parallelogram
DACEF. Mitbin wird ſie nach der Linie DA ſo bewegt, und
wirkt auf die Ebne ſo, als wenn dieſe Richtung und Gewalt
allein in dem Koͤrper waͤre (§. 143. II. III.). Ihre Wirkung
muß alſo ſenkrecht ſeyn. Ferner geſchieht alle Wirkung im
Aufſtoſſen durch die zuruͤcktreibende Kraft (§. 5. II. 69. 9. 10.).
Nun aber dieſe wirkt allemal ſenkrecht. 2.) DA drüͤckt die
ſenkrechte Kraft auf die Ebne = v und zugleich den Sinus
des Winkels DCA aus; DC aber druͤckt die ſchiefe Gewalt
— V und zugleich den Radius aus. Mithin
— Radius: Sinus
3.) AC drückt die parallele Kraft = u, und zugleich den Co⸗
ſinus aus⸗. Folglich iſt
V: u = DC : AC
= Radius: Coſinus.
* Dieß Theorem verdient die ganze Aufmerkſamkeit
eines jungen Naturforſchers wegen ſeiner Wichtigkeit in
der Naturlehre.

Von der Bewegung uͤͤber die

ſchiefen Ebnen.

S. 1464

Eine ſchiefe Ebne (Planum inelinatum) heißt jebs
ebne Flaͤche, die mit der Horizontallinie einen ſpitzigen Win⸗

kel macht (Fig. III.). Die Linie AC wirb die Laͤnge .

Aß die Hoͤhe, BC die Grundlinie der ſchieſen Ebne,
E — N .
der Winkel ACBder Neigungswinkel genennt. Mithin
iſt

8

kung
eich
neſ⸗
lir
gr
diler
auhi

ein
wii
wal
wie
ode

gona
Den

Denn
erhel
und
W

„ e een ,

iſt AC = dem Radius = der Laͤnge
AB = dem Sinus = der Hd
CB = Coſinus = der Grundlinie.
2.) Die Gewalt mit der ein Koͤryer nach der ſenkrechten Rich⸗
tung der Schwere wirkt, und die allemal ſeinem Gewichte
gleich iſt, wird die ganze Gewalt (abſoluta vis) genennt;
reſpectiv aber heißt jede, die kleiner iſt als die abfolute,
hier aber bedeutet es diejenige Gewalt, mit welcher ein Kor⸗
per uͤber die geneigte Flaͤche hinfaͤllt in einer Richtung, die mit
dieſer parallel iſt; wenn ihn anders keine ſonſtige Gewalt
aufhaͤlt.

I. Hauptfatz. Ein Koͤrper der auf
einer ſchiefen Ebne oder ruht, oder bewegt

wird, druͤckt auf die Ebne mit einer Ge⸗
walt = b. die ſich zur ganzen = W verhaͤlt;
wie die Grundlinie = CB zur Laͤnge AC,

oder wie der Coſinus des Winkels C zum
Radius = Cſ: R. Die ganze Gewalt ca iſt die Dis⸗
gonal von dem Parallelogram abed, deſſen Seite cb den
Druck auf die Ebne anzeigt. Nun aber
cb ca — BC: AC.
Denn das △ ABC iſt dem QAabe aͤhnlich. Dieſe Aehnlichkeit
erhellt daraus, weil ac die Richtung der Schwere ausdrückt,
und auf BC ſenkrecht, mithin mit AB parallel: folglich der
Winkel a = A iſt, b und B aber rechte Wintel ſind; nun iſt
cb: ca = P : V; alſo iſt auch
P;: V — BC : A G
+△m C1 : Re

§. 147.

133 6 H e
§. 147. 4
II. Hauptſatz. Die reſpective Ge⸗
walt des Koͤrpers auf eine geneigte Ebne
= v iſt zur ganzen = V, wie die Hoͤhe zur
Laäͤnge. : VS= A: L. Denn cd: ac = AB: AC.
Nun aber e0 iſt die reſpeetive, und ac die abſolute Gewalt.

Es iſt alſo
V =— . — Kad—
II. Wenn ich die reſpective Gewalt von mehrern Kor⸗ n
pern auf verſchiedenen geneigten Flaͤchen zuſammen vergleiche, 4
und ſie durch W und w ausdruͤcke, bleibt
— —,2 ie
W : w = —
— VAI: va L.
III. Weil ferner V, die Schwere, die ganze Gewalt, w
in allen uns vorkommenden Faͤllen die naͤmliche iſt,
W: v = A 2.
„21
— Al: a L. .R
WaL = WwAI. .
IW. Wenn alſo a = A, ſo iſt W.: w = 1: L. e
und L = 1, W: w= A: a. zi
§. 148.
III. Hauptſatz. Die Bewegung uͤber
eine ſchiefe Ebne iſt einfoͤrmig beſchleunigt.
Denn ſie unterſcheidet ſich von der ſenkrechten nur in
der Beſtiminung der reſpeetiven Kraſt, die ſtatt der

abſo⸗

.

lr it

N

ber

S ae iee 39

abſoluten wirkt. Mithin muß dieſe Bewegung eben ſo
wie in der ſenkrechten (§5. 138. 139.) einformig beſchleuniget
werden.
* Alle Geſetze alſo, die wir oben (§. 137. r.) ent⸗
wickelt haben, paſſen auch auf die ſchiefen Ebnen.
„ I. Das Geſetz der Geſchwindig⸗
keit in der Bewegung uͤber ſchiefe Ebnen.
Sie verhaͤlt ſich zur Geſchwindigkeit in ei⸗
ner ſenkrechten Bewegung von gleicher Zeit,
wie die Hoͤhe zur Laͤnge, das iſt,
c: C = A: L, wenn c und C die Geſchwindigkeit in
beeden Bewegungen ausdrückt. Denn in der beſchleunigten
Bewegung iſt
c: C = 2tV: 2 T V (5. 140. II.)
weil im gegenwaͤrtigen Falle T = t,
iſt c: C = v: V;
nun aber (§. 147.) V: V = A : L,

mithin iſt e: C = A: L.

II. Geſetz des Raumes. Auch der
Raum, den der Koͤrper in der Bewegung uͤͤber eine ſchiefe
Ebne macht, verhaͤlt ſich zum Raum in der ſenkrechten gleich⸗

zeitigen Bewegung, wie die Hoͤhe zur Laͤnge. S: S = A : L.

Denn s: S = Vta: VT2. (§. 140.). Nun aher t = T;
mitbin s: S = Vv: V.
Weil nun v: V= A: L.;
iſt auch s: S = A : L.

* Praktiſche Beyſpiele (pig. IV.)
42) Wenn der Koͤrper mit der reſpeetiven Gewalt den
Raum Ab durchlaͤuft; ſo wird er in gleicher Zeit mit der

ab oluten den Raum = AC zuruͤck legen.

Sweyter Theil. K b) Mack

144090 2 d eee

(b Macht der Koͤrper mit der reſpeetiven Gewalt den
Raum = AC, wird er mit der abſoluten den Raum = AD
durchlaufen.
c) Wird endlich der Koͤrper durch die reſpeetide Gewalt
von A bis E bewegt, koͤmmt er durch die abſolute in gleicher

Zeit von A bis B;
Denn alle Q ABE, ABC, ACD, ſind rechtwinklicht,

und baben den Winkel A oder C gemein: mithin ſind ſie
aͤhnlich, und enthalten dem Grund zu folgenden Analogien
V : V = AB: AC erſten
— AC: AD im zweyten Falle⸗
= AE: AB dritten

à) Alle Sennen eines Zirkels werden

in gleicher Zeit durchgelaufen. Denn un jedes
Dreyeck kann ein Zirkel beſchrieben werden, und jeder Win⸗
kel der auf dem Diameter ſieht, iſt ein rechter Winkel⸗

III. Geſetz. Die Zeit, in der die

ſchiefe Laͤnge durchgelaufen wird, verhaͤlt
ſich zur Zeit, in der ein Koͤrper durch die

Hoͤhe der ſchiefen Ebne faͤllt, wie die Laͤn⸗

ge zur Hoͤhe.
T : t = L: A; oder t: T A: L.

Denn in der einfoͤrmig beſchleunigten Bewegung iſt

. — „ : (§. e Te J*
t :. = V 7 . = (§. 140. I.)

nun aber iſt in der ſenkrechten Bewegung
S = A.

V = LI.

in der ſchiefſen aber S = I⸗
V= A (II. Geſetz)⸗

Wenn

„

sesn e een e

Weni ich alſo dieſen Ausdruck ſtatt des vorigen ſetze, wird

I.
t: 1 = v: VX
= VAA : VLS=

* Dieſe Geſetze (I. II. III.) enthalten alle Beſtim⸗
mungen der einſoͤrmig beſchleunigten Bewegung uͤber
ſchiefe Ebnen; in ſo weit dieſe mit der ſenkrechten ver⸗
glichen wird. Nur haben wir noch die Bewegung auf
Flaͤchen von verſchiedener Neigung mit der ſenkrechten
zu vergleichen. Aber auch in dieſer Sache giebt uns
das obige Theorem (§. 148.) die natüͤrlichſten

§. 149.
Folgeſaͤtze. I. Geſetz. Die Ge⸗
ſchwindigkeit welche ein Koͤrper auf ſchie⸗
fen Ebnen ungleicher Neigungen erhaͤlt, iſt
mit der Wurzel der Hoͤhe im geraden Ver⸗
haͤltniſſe. C: c = VA: Va
C: c = V: v. (5§. 140.)
S: s = L: 1.
ferner iſt C: c = 2 VVS: 2VVS (5. 140. III.) ,
V = + (§. 147. III.),

8 = L,
mithin iſt c: e= 2V 4L: 2 7 21.
= 2VA : 2 Vaà
VA;: VA
K ² * Wenn

142 KN e

* Wenn alſo die Hoͤhe in verſchiedenen Ebnen gleich
iſt, muß auch die Geſchwindigkeit am Ende gleich ſeyn.
b) Eben dieß gilt im Falle, wenn mehrere Ebnen von
verſchiedener Neigung zuſammengeſetzt ſind. c) Daher
wird in einem Zirkelbogen die naͤmliche Geſchwindigkeit .
erhalten, welche durch die Sennen eben dieſes Bogens

——.

erhalten wuͤrde.
II. Geſetz. Die Raͤume auf Flaͤchen
von verſchiedener Neigung ſind zu gleicher
Zeit wie die Produkte aus der Hoͤhe,
und verkehrt aus der Laͤnge. Sß:s = P. + L
Denn S: s =— VT2 : vt2. (§. 140.) .
Weil T =t; S: s = V V ; 1
nun aber V: v = 3 (J. 1427. III.) 5
mithin iſt 5: s =— * . † *
III. Die Zeiten im gegebenen Falle
N
ſind = =
nun S: s = L: “
und V: v — A!1 al (§. 142. III.) .
mithin T⸗=t = vI: V ., — Val.² . VAI2. h⸗
Das iſt T: t = L. Va: I. VA
ä
Iſt L= 1/ wird I : = : v

2à2 ☛ A; T : t = : 1 ſeyn.⸗

§. 150.

E H ee 143

§. 150.
Anwendung auf aͤhnliche Figuren.

Die Zeiten, in denen ihre Perimeter
durchgelaufen werden, ſtehen mit den Wur⸗
zeln ähmicher Seiten im Verhaͤltniſſe (F. V.),
das iſt I: t = MAB : Va b
= VBC : Vbc .
= VCD : Ve d, wenn ich das Verhaͤltniß
von den Zeiten unterſuche, in denen AB †+ BC †+ CD und
ab + b c + cd durchgelaufen werden.

Denn T: t = VS: VS (. 138. IV.)
mithin iſt T: t = VAB: Va b
= VBC; be
— vCD: Vc d. folglich
I. T: 1= VAB + BC †+ CD: Vab † be † cd.
II. Die aͤhnliche Figuren ſind durchaus wie die Qua⸗
drate ihrer Hoͤhen, Diagonalen, und aller aͤhnlichen Ausmeſ⸗
ſungen. Mithin verhalten ſich auch die Zei⸗
ten wie die Quadratwurzeln der aͤhnlichen
Ausmeſſungen.
III. Alle Zirkelboͤgen, die mit der Ho⸗
rizontallinie gleiche Neigung haben, wer⸗
den in Zeiten durchgelaufen, die den Durch⸗
meſſern proportional ſind,
T: t = ͤ/DzZ : Adz: — D : dG
= OͤQRA2 : Or23 — K : r
benn unter allen Zirkeln herrſcht Aehnlichkeit.

144 e eH e

Geſetze der krummlinichten
Bewegung.

Von den Pendeln.

S. I5I.
Koͤrper, die durch einen Faden ꝛc. an einem unbewegli⸗
chen Punkte angeheftet ſind, heißen Pendeln. Einfache
waͤren jene, derer Gewicht in einem Punkte verſammelt, und
der Hangfaden ohne Schwere ſeyn würde. Im Gegentheile
nennt man ſie zuſammengeſetzte.
I. In der Natur exiſtirt kein einfaches
Pendel.
II. Man kann dennoch ein einfaches

Pendel annehmen, unm die Geſetze davon leichter und
richtiger zu beſtimmen.

III. Wenn man ein einfaches Pendel

denkt, muß man ſich die ganze Koͤrperſchwe⸗
re in einem Punkte verſammelt vorſtellen.
IV. Den Punkt, in dem wir uns die Schwere verſam⸗
melt vorſtellen, kͤnnen wir Schwingunspunkt (cen⸗
trum ofcillationum) beißen.
§. 152.
I. Hauptſatz. Wenn ein Pendel aus
der Verticalrichtung mit geſpannten Fa⸗
den bewegt, und hernach frey gelaſſen
wird, verhaͤlt ſich die reſpective Kraft,
mit der es bewegt wird, zur abſoluten,
wie der Sinus des Winkels, den die Rich⸗
tung

— — —

se üH i 145

tung der ganzen Sch were mit dem geſpann⸗
ten und in der Einbildung verlaͤngerten
Faden macht, zum Radius (Fig. VI.). Es ſey
cd die ganze oder abſolute; ſo wird ce =a d die reſpective Ge⸗
walt ſeyn, und v: V = ce: c d. Denn c d kann als zuſam⸗
mengeſetzt und = ac + ce angeſehen werden. ac muß alſo die
Wirkung auf den Faden, und ce die Gewalt zur Bewegung
ausdrucken. Eben dieß gilt, wenn wir ge als eine zuſammen⸗
geſetzte Bewegung, und als die Diagonal eines Parallelo⸗
grams aus den Seiten cd +— cf betrachten.
I. Die reſpeetive Gewalt aͤndert ſich in
jedem Theile des Schwingbogens; denn auch
der Winkel, den die abſolute mit der reſpeetiven Gewalt for⸗
mirt, aͤndert ſich ſo lange, bis er in der Verticalrichtung voll⸗
kommen verſchwindet.⸗ ðD

II. Dieſe Bewegung des Pendels muß
beſchleunigt werden. Denn die reſpective Gewalt,
ob ſie gleich immer abnimmt, dauert doch bis in die Mitte,
und giebt dadurch dem Koͤrper immer einen Zuſatz von Ge⸗
ſchwindigkeit.

III. Doch kann dieſe Beſchleunigung

nimmer einfoͤrmig ſeyn. Denn die Grade der an⸗
wachſenden Geſchwindigkeit werden immer kleiner⸗
IV. Das Pendel ſchwingt ſich auf der
andern Seite in die naͤmliche Hoͤhe. Da es
in die Verticalrichtung koͤmmt, hat es den groͤßten Grad der
Geſchwindigkeit erhalten. Denn bis dahin ward die Bewe⸗
gung beſchleuniget. Es wuͤrde alſo mit der naͤmlichen Ge⸗
ſchwindigkeit nach der Tangentiallinie fortgehen, wenn es nicht

an dem Faden Hinderniß faͤnde. Weil nun die Sdane im
uf⸗

146 e e üen e

Aufſchwingen wie im Herabſchwingen gleich wirkt, muß im
erſten Falle die Geſchwindigkeit eben ſo gbnehmen, wie ſie im
zweyten zugenommen hat.
v. Der Weg, den das Pendel zeichnet,
iſt ein Zirkelbogen. Denn er wird von dem aͤußer⸗

ſten Theile einer Linie beſchrieben, die ſich um einen unbeweg⸗
lichen Punkt dreht.

§. 153.
So wie die ganze Bewegung des Pendels von c bis g
S Schwingung heißt, eben ſo nennt man die Summe der
Momente, in denen die Bewegung vorgeht, die Schwin⸗
gungszeit.

II. Hauptſatz. Die Schwingungs⸗
zeiten ſind gleich, wenn die Schwingungs⸗
boͤgen ganz klein ſind. Denn die ganz kleinen Boͤ⸗

gen kommen mit den Chorden uüͤbereins, und die Chorden
werden in gleichen Zeiten durchgelaufen. (§. 148. II. d.).

§. 155.

III. Hauptſatz. Wenn verſchiedene
Pendeln ahnliche Boͤgen durchlaufen, ver⸗
halten ſich die Schwingungszeiten wie die
Produkte aus der Wurzel der Laͤnge und

verkehrt aus der Wurzel der Schwere.

T: t = V F V .Die Zirkelbogen ſind aͤhnliche Fi⸗

guren; und beſteßen us ſchiefen unendlich kleinen Ebnen;
nun

—

3

ℳ.

N 6 KE2* 147

nun aber in den ſchiefen Ebnen iſt
T: t = V w V V (§. 140. I.), und in den Zir⸗

kelboͤgen iſt S: s R: r.
= L: 1 ; wenn L. die Laͤgge,
ferners iſt G: g = V: v; Wenn die Schwere ausbrͤck.
mithin iſt T: t = VF: G1.
I. Wenn alſo G = ⅛; iſt T: t = VL.: V1.

I. Wenn aber L. = 1; T: t π Vg VG.

III. Die Anzahl der Schwingungen iſt im verkehrten
Ver chaͤltniſſe mit den Schoimgungeniten, XN: n = t: TI

Mithin n: N = V E; V
2* Weil in verſchiedenen Orten die Schwere gleichfalls
verſchieden, im naͤmlichen Orte aber allemal einerley iſt;
hangen die Schwi gungszeiten im naͤmlichen Orte von
der Laͤnge, in verſchiedenen Orten aber auch von der
Schwere ab. 2.) Eben darum ſind die Pendeln das
einzige Mittel, die in verſchiedenen Theilen verſchiedene
Schwere zu entdecken. Richer, da er in der Inſul Cajen
mit Beſtimmung der Figur der Erde beſchaͤftigt war,
mußte das Pendel, welches in Paris = 440, 67 Linien
lang, ihre Schwingung in 1 machte, merklich abkuͤrzen;
denn nur in der Laäͤnge 440, 12 Linien vollbrachte es
ſeine Schwingung waͤhrend 1. Die Schwere in Par is
verhaͤlt ſich alſo zur Schwere in der Inſul Cajen wie
44067: 44012. 3.) Es laͤßt ſich auch durch die Pendeln
die Hoͤhe eines Gebaͤudes beſtimmen, wenn man eine
andere bekannte Hoͤhe und eihtreffende Zahl der Schwir⸗
gungen annimmt; denn N: n= VI: VL. 4. Alles
diet iſ nur von einfachen Pendeln erwieſen, gilt

aber

148 eHe e

aber auch von zuſammengeſetzten, wenn man

nur den Schwingungspunkt mit in die Rechnung kom⸗
men laͤßt.

Von der Bewegung der Erdkoͤrper,
wernn ſie ſchief fortgeworfen werden.

§. 156.
Es werde (Fisg. VII.) der Koͤrper in der
Richtung AB parallel mit der Horizontal⸗
linie fortgeworfen. Wirkte keine andere Kraft auf
ihn, wuͤrde er dieſe Linie mit gleichfoͤrmiger Bewegung durch⸗
laufen, und die Raͤume würden ſich wie die Zeiten 1. 2. 3.
verhalten. Weil aber der Koͤrper zugleich ſchwer iſt, wird er nach
der Richtung der Schwere Raͤume durchlaufen, die zuſammenge⸗
nommen wie 1. 4. 9. ſind (§. 138. IV.). Nun aber die letzten
Raͤume ſind Abſciſſen, die erſtern Semiordinaten. Es verhal⸗
ten ſich alſo die Abſeiſſen wie die Quadrate der Semiordinaten:
mithin wuͤrde der Koͤrper eine Linie beſchrei⸗
ben, die beynahe paraboliſch iſt; denn die Para⸗
bel hat dieſes Kennzeichen, daß ihre Abſciſſen = X allemal
wie die Quadrate der Semiordinaten = y? ſich verhalten.
2.) Eben dieſe Linie wuͤrde entſtehen, wenn

der Koͤrper ab oder aufwaͤrts ſchief gewor⸗
fen wuͤrde. Denn man kann dieſe ſchiefe Richtung auch
in die horizontale und ſenkrechte auflbſen. Mithin iſt
es ein richtiger Satz, daß alle Erdkoͤrper,
ſchief fortgeworfen, beynahe eine Parabel
beſchreiben.

* Bey⸗

E ee 149

ur * Beynahe eine Parabel. Denn 1.) iſt die Tan⸗
gentialbewegung wegen dem Widerſtande der Luft nie⸗
mals gleichͤrmig, und die Centralbewegung 2.) aus
eben der Urſache niemals einfoͤrmig beſchleunigt. 3.) Koͤn⸗
1, nen die Abſciſſen nimmer parallel ſeyn, wenn der Schwere⸗
punkt nicht bis ins Unendliche entfernet iſt. Nun aber
alle dieſe drey Stücke werden zur vollkommenen Parabel
als nothwendig erfordert. 4.) Warum aber eine Kanon⸗
er kugel, da ſie in horizontaler Richtung weggeſchoſſen wird,
hb durch die Schwere lange nicht ſo weit von ihrer Rich⸗
tung abweiche, als ſie in der ſenkrechten Richtung allein

f . zu fallen pflege, wird in den Vorle ſungen ehen vom Wi⸗
i⸗ derſtande der Luft hergeleitet werden.
5 * X* Ferner, wie man den Weg des Koͤrpers fin⸗
ni⸗ den kann, wenn man die gleichfoͤrmige Geſchwindigkeit
e und den Wurfswinkel angiebt, 2.) unter welchem Win⸗
u kel der Koͤrper in die groͤtte Entfernung geworfen wer⸗
ht⸗ de, 3.) wie groß die Anfangsgeſchwindigkeit ſeyn
ai müͤßte, daß der Koͤrper ein gewiſſes Ort erreiche u. ſ. w.
y alle dergleichen Aufgaben ſind uͤberhanpt Folgefaͤtze aus
re⸗ dem bewieſenen Theoreme.
nal * ½ * Ueber gegenwaͤrtigen Innhalt moͤgen H. Ro⸗
ke. bins und Daniels Bernounlls Schriften Tom. II.
n Coment. Acad. Petrop. nachgeleſen werden.

4 Von der freyen Bewegung der Koͤrper
um einen Schwerepunkt.

er, † Dieſe Materie iſt zu wichtig, als daß wir nichts,
b und zu weitſchichtig, als daß wir in einem Elementar⸗
buche alles ſagen koͤnnen. Nur jene Saͤtze alſo werden hier
behandelt werden, welche nothwendig und zugleich der
Grund

Grund von allen Erfindungen des Mewtons im aſtrono⸗
miſchen Fache, und doch hinlaͤnglich ſind, uns zu ſer⸗
nern aſtronomiſchen Wiſſenſchaften auszurüſten⸗

§. 157
Naaͤhere Beſtimmung einiger
Kunſtwoͤrter. Wenn ſich ein Koͤrper
um einen Schwerepunkt dreht, wirken Kraͤf⸗
ten von verſchiedenen Richtungen.
1.) Jene, durch die er gegen den Schwerepunkt getrie⸗
ben wird, heißt (Cenitipeta) Kraft nach dem Schw es
repunkt,
2.) Die andern aber, welche den Koͤrper nach dem Tan⸗
genten der krummen Linie fort bewegen wuͤrde; wenn die erſtere
ihr Daſeyn, oder wenigſt ihre Thaͤtigkeit verloͤhre, nennt man
Tangential kraft (vis projectilis, tangentialis).
3.) Beede zuſammengenommen kommen unter dem Na⸗
men der Tentralkraͤften vor. Ich werde aber Kuͤrze
halber die erſtere ſchlechtweg die Centralkraft nennen.

4. Die Bewegunslinie (radius vector) iſt eine
gerade Linie, vom Mittelpunkte aus bis zum Koͤrper gezogen.

5.) Die Raͤume, die von der Bewegunslinie be⸗

ſchrieben werden, werden Sectorn der Laufbahne genennt.
I. Hauptſaßz. Wenn auf einen Koͤr⸗ 4
per die Tangential und Centralkraft zu⸗
gleich wirkt, wird er 1.) in einer gegen den 2
Schwerepunkt concaven, und 2.) ſtettig

krum⸗

⸗
ſen

er

ee

ſ⸗

t⸗
ert
n

AE E eee 11
krummen Linie bewegt, alſo, daß 3.) die
Sectorn den Zeiten proportiona! ſind.
(Fig. VIII.). Es mache der Koͤrper durch die Tangentialkraft
allein den Raum = ab, und durch die Centralkraft allein den
Raum = a d; es muß alſo die Diagonal ae entſtehen, und
die zuſammengeſetzte Bewegung ausdruͤcken. In der zwoten
Zeit iſt der Raum, der durch die Tangentialkraft entſtehen
wuͤrde, = ef = ae, und der Raum, den der Koͤrper durch
die Centralkraft allein machen wuͤrde, = eg. Die Diagonal
eh wird abermal die zuſammengeſetzte Bewegung ausdrü⸗
cken u. ſ. w. Es wuͤrde alſo eine Linie entſtehen, die gegen
den Mittelpunkt concav, 2.) und ſtettig krumm iſt;
denn der Winkel aeh muß als unendlich ſtumpf, und der
Winkel feh als unendlich klein angenommen werden. 3.)
Ferner iſt das Dreyeck ace = Qbecf; weil ae = ef; und
die Spitze c gemeinſchaftlich iſt. Auch das Hech iſt = Aecf,
weil beyde Dreyecke zwiſchen zwo Parallellinien ec und fh
liegen, und eine gemeinſchaftliche Grundlinie ec haben.
Wenn nun das ace = ecef,
und das △ ech — Q ecf,
iſt auch das Q ace — Q ech.
Nun aber ace und ech ſind die SGectorn, die in gleichen
Zeiten die Bewegungslinie durchlaͤuft. Sie ſtehen alſo
mit den Zeiten im geraden Verhaͤltniſſe.
J. Dieſe unendlich kleinen Theile der
krummen Linie verhalten ſich verkehrt, wie
die ſenkrechten Linten, welche aus dem
Schwerepunkte auf dieſe kleinen Theile
oder ihre verlaͤngerte Sennen gezogen ſind.
Denn die ϑ ſind einander gleich, und in gleichen Q △

verhalten ſich die Grundlinien allemal verkehrt, wie die Hoͤhen.

II. Eben

152 NeE e e

u. Eben ſolches Verhaͤltniß beobach⸗
tet die Geſchwindigkeit an jedem Punkte
der krummen Linie. Denn die Grundlinien haben mit
der Geſchwindigkeit und der Zeit einerley Gleichungen; weil
ſie der Raum ſind, den der Koͤrper in gleichen Zeiten durchlaͤuft⸗
III. Haben die Winkel, die von den
Richtungen der Centralkraͤften formirt wer⸗
den, ungleiche Groͤße, muß auch die Ge⸗
ſchwindigkeit verſchieden ſeyn. Denn je kleiner
der Winkel iſt, deſto mehr waͤchſt die Diagonal, und umge⸗
kehrt (§. 143. IV.).
IV. Wenn die Schwerekraſt zu wirken aufhoͤrte, muͤßte

der Koͤrper nach der Richtung der unendlich kleinen Linie fortge⸗
hen; es wuͤrde alſo nimmer eine ſtettig krumme Linie entſtehen.

Mithin muß die Schwerekraft in einer krum⸗

men ſtettigen Linte immer fortwirken.

v. In einer Zirkelbewegung muß die
Geſchwindigkeit gleich, und der Winkel,
unter dem die Centralkraͤften zuſammen
wirken, ein rechter ſeyn. Denn alle ſenkrechten
Linien, welche vom Mittelpunkte auf den Zirkelbogen gezogen
werden, ſind gleich, und machen mit der Tangentiallinie

einen rechten Wintel.

§. 159.
II. Hauptſatz. In der Zirkelbewe⸗
gung iſt die Centralkraft ed (F. IX.) dem
Produkte aus dem Quadrat der unendlich
kleinen Linie eb, und verkehrt aus dem
Durch⸗

kel
Wit
lieſ

igt

——

h⸗
fte
mit
weil
lſt,

lich
den

E H ie 153

Durchmeſſer ae gleich, V = hu., oder wenn
wir die kleine Linie a, und den Diameter d nennen, iſt

— 232

— —„

d

Das QHabe iſt dem A bde aͤhnlich. Denn der Win⸗
kel abe iſt ein rechter, und dem Winkel bde gleich, der
Winkel bea aber iſt beyden Dreyecken gemein. Sind nun
dieſe Dreyecke ſich aͤhnlich, ſo iſt
ae: eb = eb: de
mithin ae de = ebe

und de = 2 bz2

I. Weil ſich der Diameter verhaͤlt, wie der Radius,
iſt V = -—
1
II. Ferner iſt in der Zirkelbewegung wegen der einfoͤr⸗
migen Bewegung (§. vorg. V.) der Raum eb der Geſchwin⸗
digkeit c gleich.

.J . 2
Folglich iſt v C

TP

und V: v = .: 82.
R r.
III. Wenn alſo Ca = ca; V: VyV – r : R
R = r; V : vV = C⸗: cz.
Wenn endlich C: c = R: r; V: v = HE: 12,

— R ur.
IV. In einer Zirkelbewegung muͤſſen
die Fentralkraͤften dem Produkte aus dem
Radius, und verkehrt aus dem Quadrate

der periodiſchen Zeit gleich ſeyn. Denn in
ddr

154 e ee

der gleichförmigen Bewegung iſt
= ; und weil S: s = R:r
— R
C =
c2 = R.
⸗
——2 R . I

— Rt?Z ⸗ rT 2

V. Wenn in verſchiedenen Zirkeln V: v = re= : Ra;
ſo iſt auch T2?: t2 = R3 : rs. Denn
V: Vv = Rtz : rL2 (IV.) .
nun aber V: v = ra : R im gegebenen Falle;
mithin r2 : R2 = Rt?à : rTZ.
r3 L 2 = R3t2, Alſo L z: t2 = R3 : r5

VI. Und umgekehrt, wenn T⸗: t2 = R3 : rs, ſo
verhalten ſich V: v = r2 ; R2. Denn
r 3T2 = Rst2. Folglich
r2 : RA — Rt? ; rrzZ.
Es iſt aber auch V: v = Rt? : rT2, (IV.):
mithin V vV = r²: Ka.
. III. Hauptſatz. Wenn der Koͤrper
in einem Zirkel bewegt wird, muß die Tan⸗
gentialgeſchwindigkeit jener gleich ſeyn,
welche er durch die allezeit gleiche Schwere
erhalten wuͤrde, wenn er in gleichfoͤrmig
beſchleunigter Bewegung durch den halben
Ra⸗

NE

6 A 155
Radius gegen ſeinen Schwerepunkt hin⸗
fiele (F. IX.).
Es ſey der Mittelpunkt c, der Radius ca, die kleine
Zeit in der durch die Schwere der Raum ed gemacht wuͤr⸗
de, = t, die Geſchwindigkeit, welche der Koͤrper durch den
kleinen Raum erhaͤlt, = c, die Tangentialgeſchwindigkeit
= C, und die Zeit, in welcher dieſe Geſchwindigkeit durch
die Schwere erhalten wuͤrde, = T, und endlich der Raum,

den der Koͤrper machen muͤßte, bis er dieſe Geſchwindigkeit
erhielte, = = X.

1.) Weil in der deſcleunigten Bewegüng noch ſo
großer Raum gemacht wuͤrde, wenn der Koͤrper mit der end.

lichen Geſchwindigkeit gleich lang und gleichfoͤrmig waͤre be⸗
wegt worden; ſo i.

C=2de: eb.
ehe H
Weil aber .— 32 gi = — und 2 de = 222;
2 ⁶Cc e C
ji e: C = l: eb,
E C

= e ba: eb, ec,;
= eb ec-

2.) Da ſerner in einer einfbrmig beſchleunigten Bewe⸗
ung ſich die Geſchwindtgeiten wie die Zeiten verhalten, iſt
: 1 — c : C
T = ct.
C
3.) J In der gleichſoörmigen Bewegung verhalten ſich auch
die Raͤume, wie die Zeiten; mithin, wenn die endlehe Ge⸗
Zweyter Theil. L ſchwin⸗

156 KaNA n ee

ſchwindigkeit die ganze Zeit über gleichfoͤrmig geweſen waͤre,
wuͤrde t: T = eb: 2
tC
1 : — eb;:; 2X (n. 2.)

mithin tc tC = eb: 2 X
C. = eb: 2X5
da nun c: C = eb ec;
wuͤrde eb: ec = eb: 2 *
eb. ec

alſo 2 ¾ = —

1. Es kann alſo kein Zirkel beſchrieben werden, ohne
daßb
1.) Die Centralkraft auf die Tangentialkraft ſenkrecht
wirke (§e 158. V.)/
2.) Die Tangentialgeſchwindigkeit jener gleich ſey, die
in einer einſoͤrmig beſchleunigten Bewegung durch den hal⸗
ben Radis erreicht würde⸗
II. Die Zeit, in welcher die Periphe⸗
rie des Zirkels in gleichfoͤrmiger Bewegung
von dem Koͤrper durchgelaufen wird, ver⸗
haͤlt ſich zur Zeit, in welcher der halbe
Radius mit einfoͤrndig beſchleunigter Be⸗
wegung durchgelaufen wuͤrde, wie die Pe⸗
ripherie zum Radius. De n wenn der Koͤrper mit
jener Geſchwindigkeit waͤre gleichſoͤrmig wegt worden, wel⸗

che er dosch den halben Radius am Ende Wuürde erhalten
ba⸗

— — — — —

—

— R.—

a esn een ,

haben, haͤtte er den ganzen Radius durchgelaufen. Nun aber
die Bewegung in der Peripherie iſt allemal gleichfoͤrmig.
* Aus dieſen laͤßt ſich nun leicht beſtimmen „welch
eine Geſchwindigkeit nach der Tangentialrichtung einem
Planeten müͤßte ertheilet werden, wenn er einen voll⸗
kommenen Zirkel beſchreiben ſollte. Nur ſeine Entfernung
vom Schwerepunkte und die Centralkraft muͤßte bekannt
ſeyn. Auf dieſe Weiſe iſt beſtmmt worden, das, wenn
ein Koͤrper auf der Erde nach horizontaler Richtung mit
einer Geſchwindigkeit fortgeworfen wuͤrde, welche in der
Zeit = 1. 2919098 Zoll machte, er um die Erde einen
Zirkel beſchreiben wuͤrde, ſo, daß ſeine periodiſche Zeit
106 gleich waͤre. Doch koͤmmt hier weder der Widerſtand
der Luft, weder die Maſſe des bewegten Koͤrpers mit
in die Rechnung. Denn in dieſem Falle muß die For⸗
mel V ⸗ (8. 140. 1) in dieſe V = Bn umgeaͤn⸗
dert werden; und nur dieſe Formel kann dienlich ſeyn,
die Verſuche, welche von Centralkraͤften mit Maſchinen
gemacht worden, richtig zu erklaͤren, weil in dieſen noth⸗
wendig auf die Maſſe muß geſehen werden.
** Auf dieſe Saͤtze (§§. vorgeh.) iſt die Aſtronomie
gebaut. Ja ſelbſt die Beweiſe von der Ellips als der
Laufbahne andrer Planeten gruͤnden ſich auf dieſe Grund⸗
lehren. Deßwegen bab ich ſie naher entwickeln, und den
Anfaͤngern biedurch zeigen wollen, wie auch von entfern⸗

ten Koͤrpern wichtige Wahrheiten ſind aufgedeckt worden.
Nun waͤre noch uͤbrig von der Ellips zu beweiſen,

L. Dafß ſich die Centralkraft in jedem
Punkte verkehrt wie die Quadratentfer⸗

nung vom Schwerepunkis verhalte, v= 5
II. Und

158 NS ü ee

II. Und alſo verhalten muͤſſe auch in
verſchiedenen Ellipſen, wenn die Quadra⸗
te der periodiſchen Zeiten, wie die Cubi
der Entfernungen ſind, das iſt wenn
T2 : 12( D5 : d3.
uI. Und umgekehrt; wenn

V: v = 5s: s ſo ſind Tat2 — D 3: ds.
w. Endlich welche Geſchwindigkeit
nach der Tangentialrichtung erfordert wer⸗
de, daß eine Ellips, und keine Parabel, und
keine Hyperbel beſchrieben werde. Alein weil
dieſe Saͤtze ohne boͤhere Geometrie nimmer leicht woͤgen be⸗
wieſen werden, dieſe aber von wenigen in die Naturlehre
mitgebracht wird; ſo verweiſe ich die wenigen auf Haul Fri⸗

ſius L. Ie de grav. univerſ. und Boſckowicks Diſlertat. und

erbiete mich aus dieſen jedem meiner Schüler ins beſondere zu
erklaͤren, was er immer verlangen wird⸗

Pon dem Auf⸗ und Zuſammenſtoſſen

der Koͤrper,
nieht elaſtiſcher Roͤrper.
§. 1612
Erklaͤrungen. I. Weil die Ruhe der Koͤrper aus
gegenſeitiger gleicher Wirkung nach gerad entgegengeſetzten
Richtungen entſteht, kann kein Zweifel ſeyn, daß auch ein

ruhender Koͤrper auf den andern wirke. Dieſe Art von Wir⸗
kung

—, .S¶ ————— -—*7

—. — —

6 e eee 15

kung ruhender Koͤrper heißt Druck. II. Wirkt ein beweg⸗
ter Koͤrper auf einen entgegengeſetzten, heißt dieſe verſchiede⸗
ne Art von Wirkung Stoß. III. Der Stoß iſt entweder

ein ſenkrechter, oder ſchiefer, nachdem die Richtung des

wirkenden Koͤrpers auf den andern oder ſenkrecht, oder ſchief
ſeyn daͤrfte. IV. Ferners wenn der Koͤrper (auf den ein an⸗
derer bewegter wirkt), oder ruht, oder in einer dem Stoße
entgegengeſetzten Richtung bewegt wird; ſtoſſen ſie zu⸗
ſammen. Sind aber die Richtungen des Stoſſes und der

Gegenwirkung nicht einander entgegengeſetzt, ſtoßt der erſie

auf den andern.

Verſuche. I. Wenn ein Koͤrper von verſchiedenen

Hoͤhen auf einen andern auffäaͤllt; ſteht ſeine Wirkung allemal

mit der Hoͤhe in einem Verhaͤltniſſe, z. B. die naͤmliche Kugl
von Bley macht von einer merklichern Hoͤhe allemal eine groͤße⸗
re Grube in den Thon. II. Laͤßt man von gleicher Hoͤhe mit
gleicher Geſchwindigkeit im luſtleerem Raume zween Koͤrper
von ungleicher Maſſe auf einen weichen Koͤrper auffallen,
hoͤhlt die groͤßere Maſſe allemal eine groͤßere Grube aus.

Folgeſaͤtze. I. Der Stoß ſteht mit

der Geſchwindigkeit im Verhaͤltniſſe. Denn

die verſchiedene Hoͤhe kann nichts in der Maſſe, wohl aber

in der Geſchwindigkeit aͤndern.

II. Indeſſen bleibt der Stoß dennoch auch
mit der Maſſe proportionaͤl, (Verſ. II.).

III.

160 eSEE ü ee

III. Die Groͤße des Stoſſes gleicht
alſo dem Produkte aus der Geſchwindig⸗
keit, und der Maſſe.
* Muß man aber die einfache Geſchwindigkeit, oder
ihr Quadrat berechnen? Fuͤrs erſte war Cartes, fuͤrs
letzte Leibnitz. Leibnitzens Beweis war folgender:
„ Die Urſache verhaͤlt ſich allemal wie ihre Wirkung;
„ nun die Wirkung iſt dem Quadrate der Geſchwindig⸗
„ keit gleich; mithin auch die Urſache, das iſt, die Groͤße
„ der Bewegung. „ Den Mittelſatz beweißt er durch
Verſuche (a); ich waͤhle einen einzigen, mit dem die uͤbri⸗
gen ſo ziemlich gleich ſind.
„ Es ſeyn zween Koͤrper von gleichem Innbegrif.
2, Das Gewicht des einen A ſey = 1, des andern B
„ — = 4. Wenn der Koͤrper A von einer Hoͤhe = 4,
, und der Koͤrper B von einer Hoͤhe = 1 auf einen wei⸗
,; chen Thon berabfallen, wird die Groͤße der Bewegung
„ im Koͤrper A = 2, und im Koͤrper B = 4 ſeyn, und
„ dennoch boͤhlen ſie gleiche Gruben aus. Mithin iſt ihre
„ Wirkung gleich; alſo muß auch die Groͤfe der Bewe⸗
„ gung gleich ſeyn. Nun ahber die Groͤße der Bewegung
„ kann wohl nimmer gleich werden, wenn man ſie nicht
aus dem Quadrate der Geſchwindigkeit berechenet.

§. 163.
Wenn die Wirkungen des bewegten
Koͤrpers ſich wirklich wie das Produkt aus
der Maſſe und dem Quadrat der Geſchwin⸗
dig⸗

((a) Act. Acad. Petropol. T. I. Clar. Hermann.

digkeit verhielten, koͤnnte man dennoch
nicht mit Richtigkeit folgern, daß die
Groͤße der Bewegung eben dieſem Pro⸗
dukte gleich ſey. Als eine Wirkung der beſchleunigten
Bewegung koͤnnen die Raͤume, ſo der Koͤrper durchlaͤuft, an⸗
geſehen werden; nun aber dieſe wachſen, wie die Quadrate
der zZeiten, obſchon die Geſchwindigkeit mit der Zeit die naͤm⸗
ſiche Proportion hat (5§§. 137. 138.). Ein gleiches verſteht
ſich von der abnehmenden Bewegung. Aber in dem
Stoſſe? Auch aus dieſer Wirkung kann nicht richtig fuͤr
das Quadrat gefolgert werden. Wenn die Geſchwindigkeit
= 2 des Koͤrpers A noch ſo lange wirkt, als die Geſchwin⸗
digkeit = 1 des Koͤrpers B, muß die Wirkung nicht nur
2, ſondern = 4 ſeyn. Sie wirkt aber noch ſo lange:
denn im Stoſſe verhaͤlt ſich Wirkung und Zeit, wie in der
einfoͤrmig abnehmenden Bewegung; in der ein Korper, wenn
er mit einer Geſchwindigkeit = 2² in die Hoͤhe geworfen wird,
einen Raum = 4 macht, und jener, der die Geſchwindigkeit
= 1 erhaͤlt, gleichfalls den Raum = 1 durchlauft (§. 141.
I. II. III.). .
I. Die Groͤße der bewegung wird alſo mit Rechte dem
Produkte aus der Maſſe und der Geſchwindigkeit gleich an⸗
geſetzt. = MC. Dieſer Folgeſatz iſt in gegenwaͤrtiger
Materie der I. Hauptſatz.
II. Wenn zugleich auf die Zeit geſehen wird, iſt auch
in jeder einzelnen Zeit die Wirkung, wie eben dieſes Pro⸗
dukt; gleichwie die Geſchwindigkeit in einer unendlich kleinen
Zeit dem Raume gleicht:

He 1 ℳ4.

16, See e
§. 164.

II. Hauptſatz. So oft ein bewegter
Koͤrper A auf den andern B aufſtoͤßt, ver⸗
liehrt der Koͤrper A allemal ſo viel von ſei⸗
ner Geſchwindigkeit, als er dem Koͤrper
B mittheilt. Denn die Mittheilung der Geſchwindigkeit
durch den Stoß iſt eine Wirkung der Kraͤſten (5§. 5. II.), und
zwar der zuruͤcktreibenden (ebendaſ. V.). Nun aber die Wir⸗
kung der zuruͤcktreidbenden Kraͤften iſt gegenſeitig, und
der auf ſie zuſtoſſenden gleich; nur mit dem Unterſchiede,
daß die gegenſeitigen Kraͤften des Koͤrpers B der Bewegungs⸗
richtung des Koͤrpers Aà in der geraden Linie, die Kraͤften
des Koͤrpers A hingegen der Bewegungsrichtung des Koͤr⸗
pers B gar nicht entgegen geſetzt ſind. Mithin muß in dem
Koͤrper A eben ſo viel Geſchwindigkeit verloren gehen, als
den Koͤrper B mitgetheilet wird (§. 23. IV.).

Folgeſaͤtze. I. Von dem Aufſtoſſen der

nicht elaſtiſchen Koͤrper in ſenkrechter Rich⸗
tung.

J. Wenn durch das Aufſtoſſen des
nicht elaſtiſchen Koͤrpers A der gleichfalls
nicht elaſtiſche Koͤrper B in eine Bewegung
verſetzet wird, muͤſſen beede nach dem
Stoſſe einerley Geſchwindigkeit haben.
Denn die Geſchwindigkeit des Koͤrpers A nach dem Stoſſe
kann nicht groͤßer ſeyn, als jene des Koͤrpers B; denn ſonſt
wuͤrde der Stoß nach dem Uebemaß der Geſchwindigkeit im⸗

mer fortgeſetzet werden: nicht kleiner; ſonſt enge dem
dr⸗

—

—

— — 2u. — —— — — 2. 24

— — —

— —

—

— —

Ke üH eee 163

Koͤrper B mehr Geſchwindigkeit mitgethele werden muͤſſen,
als der Koͤrper A verlohren hat.

II. Die Groͤße der Bewegung nach dem
Stoſſe iſt jener vor dem Stoſſe gleich.

Denn der Köoͤrper B erhaͤlt ſo viel von Geſchwindigkeit, als
A verliehrt.

III. Iſt der Koͤrper B, auf den der Koͤr⸗
per A ſtoͤßt, ſchon vorhin in einer Bewegung
nach der naͤmlichen Richtung mit dem Koͤr⸗
per A; enſteht der Stoß durch das Ueber⸗
maß von Geſchwindigkeit, die im Koͤrper
A einen hoͤhern Grad als im Koͤrper B be⸗
hauptet. Denn die gleiche Geſchwindigkeit macht die An⸗
naͤherung und den Stoß ſelbſt unmoͤglich.

IV. Die gemeinſchaftliche Geſchwindig⸗
keit nach dem Stoſſe wird gefunden, wenn
die ganze Groͤße der Bewegung durch die
SESumme der Maſſen getheilet wird. Denn
wenn ich ein Produkt durch den einten Factor theile, er⸗
balte ich den andern. Nun aber die Groͤße der Bewegung

iſt = MC, und jener nach dem Stoße gleich (II.).
. HS . MC + me
Hierzu dienet folgende allgemeine Formul C = K
in welcher die groͤßern Buchſtaben die Maſſe und Geſchwin⸗
digkeit des Koͤrpers A, die kleinern jene des Koͤrpers B aus⸗

drüͤcken.
V.

14 WEe5H üen ee,

V. Wenn die Maſſe des ruhenden Koͤrpers B ſehr
MC mmc

groß, und mithin die Geſchwindigkeit C = nim⸗
mer merklich iſt; kann auch keine merkliche Bewegung folgen.
§. 16 5.

Fernere Folgeſaͤtze. II. Vom Zuſam⸗
menſtoſſen nicht elaſtiſcher Koͤrper in ſenkrech⸗
ter Richtung.
1I., Stoſſen zween Koͤrper mit gleicher
Groͤße der Bewegung zuſammen; entſteht
keine Bewegung. Denn die vorige Geſchwindigkeit iſt
der Wirkung des zuſammenſtoſſenden Koͤrpers gleich, und
in einer geraden Linie entgegen geſetzt.
„Stoſſen ſie aber mit unsgleicher
Groͤße der Bewegung in einer geraden Li⸗
nie zuſammen, muß ſich die Wirkung ſo
verhalten, als wenn der Koͤrper A, deſ⸗
ſen Bewegung groͤßer iſt, mit dem Ueber⸗
maß allein bewegt wuͤrde, und der Koͤr⸗
per B ruhete. Denn in ſo weit die Bewegungsgroͤße
gleich iſt, iſt die Ruhe nothwendig, und die Bewegung unmoͤglich
III. Es muß ſich alſo nach dem Zuſam⸗
menſtoſſen in betref des Uebermaßes alles
ſo verhalten, wie im Aufſtoſſen (. vorg.);
IV. Mithin findet man die gemeinſchaftliche Geſchwin⸗
digkeit, wenn das Uebermaß der groͤßern Bewegung durch die

Summe der Maſſen getheilet wird C = —me.

☛,0 S

i

ü eee Ä165
V. Die Formul dienet alſo mit dieſem Ausdrucke
MC m
(= = = fuͤr beede Faͤlle

§. 166
Folgefaͤtze. III. Vom ſchiefen Auf⸗

und Zuſammenſtoſſen.

IJ. Auch auf das ſchiefe Auf⸗ und Zu⸗
ſammenſtoſſen paſſen alle bisherige Saͤtze,
wenn nur nicht die ganze Gewalt (EFig. II.)
= D0C ſondern nur die ſenkrechte DA mit
in die Rechnung koͤmmt; denn nur dieſe wirkt auf
den Koͤrper, der der Gegenſtand des Stoſſes iſt.
II. Der aufſtoſſende Koͤrper wird alſo nach der Nich⸗
tung A B mit einer Geſchwindigkeit AC = CB bewegt wer⸗
den, wenn der geſtoſſene Koͤrper unbeweglich iſt (§. 164. V.).

III. Iſt aber der geſtoſſene Koͤrper be⸗
weglich, muß er nach der Richtung DA
bewegt werden, mit einer Geſchwindigkeit
= - z in welcher Formul C nicht die ganze Geſchwindig⸗
keit ausdrückt, ſondern nur jene, die ſich zur ganzen verhaͤlt, wie
DA: DC (§. 145.). 2.) Der aufftoſſende Koͤrper
aber wird ſich aus einer zuſammengeſetz⸗
ten Bewegung aus CB= AB und der
neuen Geſchwindigkeit nach der Richtung
FC = DA fortbewegen.

* Fuͤr

166 6e üe e e

* Füuͤr jedem Falle ein Beyſpiel⸗
x..) Die Maſſa des Koͤrpers A ſey = 6 = M, ſeine Ge⸗
ſchwindigkeit = 5 = C; die Groͤße der Bewegung wird
alſo = MC = 6.5 = 30 ſeyn. Wenn die Maſſe des
AC1 +
Koͤrpers B = 4= m iſt, wird =Cc=
ſeyn. Nun 3. 6 + 3.4 = d. i. nach dem Stoſſe
iſt die naͤmliche Groͤße der Bewegung (5§. 164. II. IV.).
2.) Stoſſe der Koͤrper A, deſſen Maſſe = 3, mit der Ge⸗
ſchwindigkeit = 4 auf den Koͤrper B, deſſen Maſſe gleich⸗
falls = 3, und die Geſchwindigkeit nach einerley Rich⸗
tund = 2; ſo wird die Groͤße der Bewegung vor dem
Stoſſe = MC + me = 12 + 6 = 18; die Geſchwindig⸗

MC + me — 18
keit nach dem Stoſſe = — T = ꝙ

ganze Groͤße der Bewegung = + 9 = 18 ſeyn.
3.) Stoſſen zween Koͤrper A und B in gerader Linie zu⸗
ſammen; die Maſſe von A ſey = 6, die Geſchwindig⸗
keit = 3. Die Maſſe B ſey = 3, die Geſchwindigkeit
= 6, Vor dem Stoſſe iſt in beeden die Groͤße der Be⸗
wegung = 18. Die gemeinſchaftliche Bewegung nach dem

Stoſſe iſt = = 0 (5. 165. I.). Im Gegenthei⸗

le ſey M = 4, C=9, m = 3, c = 5; ſo wird die Ge⸗
meinſchaftliche Geſchwindigkeit nach der naͤmlichen Nich⸗

= 49 — 225 = .
tung = ⸗ 3 ſeyn.

4.) Wenn endlich der Koͤrper A, deſſen M = 3, C = 5
auf den Korper B von einerley Maſſe unter einem ſol⸗
chen Winkel PDC (big. II.) ſtoſſet, daß der Radius DC
zum Sinus FC = 5: 3 ſey: wird die ganze Bewegung
DC

— ₰
— J

— — — —

=—

ung

ü eee 167

Dé zur ſenkrechten DA ſich = 15: 9 verhalten. Mit⸗
hin wird die Groͤfe der Bewegung = 9, und die Ge⸗
ſchwindigkeit des Koͤrpers nach der Richtung DA = % =—
+ *½ ſeyn. Es muß alſo die Groͤße der Bewegung des
Koͤrpers B nach der Richtung DA ſeyn = 4 ¼. Eben
dieß gilt von der Bewegungsgroͤße des Koͤrpers A nach
der naͤmlichen Richtung, außer daß er wegen einer an⸗
dern Gewalt nach der Richtung A eine Diagonal be⸗
ſchreibt, deſſen Seite die Linie 1 + DA und AC aus⸗
machen. Iſt aber der Koͤrper B unbeweglich, wird die
ganze Geſchwindigkeit 2 A D = 3 getilget ſeyn, und der
Koͤrper A ſich von C in B bewegen.

Vom Auf⸗und Zuſammenſtoſſen
elaſtiſcher Koͤrper.

§. 167.
Hauhptſatz. Bey dem Auf⸗ und Zu⸗
ſammenſtoſſen der elaſtiſchen Koͤrper muß
die Wirkung allezeit noch ſo groß ſeyn,
als bey den nicht elaſtiſchen Koͤrpern, d. i.
jeder Grad von Geſchwindigkeit, mit welch
einer Richtung er immer in den nicht ela⸗
ſtiſchen oder erhalten, oder verlohren wird,

verdoppelt ſich in den elaſtiſchen. Denn da

die elaſtiſchen Koͤrper die abgeaͤnderte Figur mit eben jener
Krafſt, mit der ſie iſt abgeaͤndert worden, wieder herſtellen,
und in Herſtellung der Figur nach der naͤmlichen Richtung

wirken, nach welcher ſie in der Abaͤnderung gewirket haben,
muß

1r63 R üe ee,
muß die Wirkung in elaſtiſchen Koͤrpern noch einmal ſo groß
werden, als in den nicht elaſtiſchen.
* Mehrere Deutlichkeit auf dieſe Materie zu verbrei⸗
ten, verſuche ich es die Weiſe zu erklaͤren, wie dieſe Mit⸗

theilung der Geſchwindigkeit einerſeits, und ihr Verlurſt

andrerſeits vorgehen daͤrfe⸗
1.) Es falle ein vollkommen elaſtiſcher
Koͤrper auf einen andern unbeweglichen
und vollkommen harten Koͤrper auf, mit der
Bewegungsgroͤße = 12, daß alſo M = 2, und C = 6 ſey.
a) So bald der Koͤrper in jene Entfernüng koͤmmt, in
der die zurücktreibende Kraft zu wirken anfaͤngt, muß ein
Grad der Geſchwindigkeit verlohren gehen; und wenn dieſer
der einzige waͤre, wuͤrde der Koͤrper ruhen.
b) Da aber noch 5 Grad von der Geſchwindigkeit uͤbri⸗
gen, naͤhert ſich der Koͤrper, und die zuruͤcktreibende gegen⸗
ſeitige Kraͤſten vermehren das Zuſammendrucken, und zwar
mit einer Gewalt = 2, weil die Kraͤften in kleinern Abſtaͤn⸗
den wachſen (§. 11.). Mithin iſt der neue Verlurſt von Ge⸗
ſchwindigkeit = 2. Auch in dieſer unendlich kleinen Zeit wur⸗
de der Koͤrper ruhen, wenn nicht noch die Geſchwindigkeit
= 3 Akbrig waͤre.
c) Es waͤchſt alſo das Zuſammendrucken in Proportion
mit der Geſchwindigkeit = 3, und iſt der ganze Verlurſt von
Geſchwindigkeit = 6, obgleich in der zwoten 2, in der dritten
3 verlohren giengen. .
d) Weil der Koͤrper Schnellkraft im vollkommenſten Gra⸗
de inne hat, wirkt dieſe Kraft im Zuſtande des groͤßeſten Zu⸗
ſammendruckes wie 3, im mittlern wie 2, und im erſten Zu⸗
ſtande wie 1. Es wird alſo die vorige Figur hergeſente
e) Se

A

tii⸗
t⸗
dg

er⸗

ins
Ge
r⸗

ft

SoG4

n
tn

ra⸗

3
2
4

e) Ferners weil der gegenſeitige Koͤrper unbeweglich und
vollkommen hart iſt, muß die ganze Gewalt auf den zuſam⸗
mengedruͤckten Koͤrper verwendet, und, weil die elaſtiſche der
zuſammendruͤckenden Gewalt gleich iſt, die vorige Geſchwin⸗
digkeit herfuͤrgebracht werden, obgleich in einer Richtung, die
der vorigen gerad entgegen geſetzt iſt.
f) Eben darum wird die Bewegung ſo lange bez
ſchleunigt werden, bis die vorige Figur vollkommen her⸗

geſtellt iſt.

2.) Wenn wir jetzt den naͤmlichen Koͤr⸗
per mit der naͤmlichen Geſchwindigkeit auf
einen andern gleichfalls unbeweglichen aber
elaſtiſchen Koͤrper auffallen laſſen,
a) Werden beyde Koͤrper ihre Figur
aͤndern, doch keiner nach Maaß der ganzen
Bewegung. Denn die Abaͤnderung der Figur iſt eine
Wirkung des Stoſſes. Wenn nun die Figur von beyden
Koͤrpern eben jene Aenderung erfuhr, die im vorigen Falle
bey dem auffallenden Koͤrper allein vorgegangen, wuͤrde
die Wirkung groͤßer als ihre Urſache ſeyn.
b) Mithin muß jeder nur nach der halben Bewegungs⸗

groͤße zuſammengedruͤckt werden.

c) Der auffallende Koͤrper kann alſo durch ſeine Schnell⸗
kraft nur die halbe Geſchwindigkeit zuruͤck erhalten, weil ſein
Zuſammendrucken nur der halben Geſchwindigkeit gleicht⸗
d) Es iſt aber auch der Koͤrper B zuſammengedrückt⸗
Mithin hindert er nicht nur, daß ſich der Koͤrper A ge⸗
gen ihn nicht ausdehne, ſondern theilt ihm auch durch ſeine
Schnellkraſt die andere Helfte der Geſchwindigkeit mit.

e) Dee

170 M e

e) Der Koͤrper A muß alſo mit der naͤmlichen Ge⸗
ſchwindigkeit zurüͤckkehren, mit der nuvor ſein Auffallen be⸗
wirkt ward.

†f) Da ſich dieſe Erklörung auf andere Faͤlle ohne
Mühe anwenden laͤßt, wird nachſtehenden

Folgeſaͤtzen die Richtigkeit nimmer ab⸗
geſprochen werden.
I. Wenn ein elaſtiſcher Koͤrper auf ei⸗
nen unbeweglichen oder vollkommen har⸗
ten oder gleichfalls elaſtiſchen in perpendi⸗
kulaͤrer Richtung auffaͤllt, wird er mit der
näͤmlichen Geſchwindigkeit nach der ſenk⸗
rechten Richtung zuruͤck gehen. Denn wenn er
weich waͤre, wuͤrde er nach getilgter Geſchwindigkeit ru⸗
hen. Nun aber in elaſtiſchen Koͤrpern muß nach dem Zuſam⸗
mendrucken in einer entgegengeſetzten Richtung der vorige
Grad der Geſchwindigkeit hergeſtellt werden, und alſo der
Koͤrper mit ſelber zuruͤckprellen.

II. Stoͤßt ein elaſtiſcher Koͤrper A auf
einen andern ruhenden von gleicher Maſ⸗
ſe, wird A ruhen, und B mit der Geſchwin⸗
digkeit des Koͤrpers A bewegt werden.
III. Sind aber die Maſſen verſchieden, laſſen ſt ſch nach

MGC
der allgemeinen Formul C = und nachdem im
.

gegenw. §. angegebenen Theoreme verſchiedene Faͤlle erklaͤren.
Beyde Koͤrper werden bald nach einer Richtung doch mit
un⸗

— ——

—. -- ——

—

— — N Na — —

—

—

NSE H e 171

ungleicher Geſchwindigkeit ſort bewegt werden, bald wird
der auffallende zuruͤcke tretten.

IV. Stoͤßt der Koͤrper A auf einen a gleichfags elaſti⸗

ſchen B, der zwar von gleicher Maſſe iſt, aber mit einer klei⸗

nern Geſchwindigkeit bewegt wird, werden ſie nach dem Stoſſe
mit veraͤnderter Geſchwindigkeit bewegt werden. (§. 164. III.).
V. Sind aber die Maſſen verſchieden, wird das Ueber⸗
maaß der Bewegung allein die Verſchiedenheit der e Wirkun⸗
gen beſtimmen.

VI. Im Zuſammenſtoſſen wenn die Maſſen
und Geſchwindigkeiten oder gleich, oder vom verkehrten Ver⸗
haͤltniſſe ſind, geben die Koͤrper mit der vorigen Geſchwin⸗
digkeit zuruͤcke. 2.) Sind die Maſſen gleich, und die Ge⸗
ſchwindigkeiten ungleich, weichen die Koͤrper mit verwechſel⸗
ten Geſchwindigkeit zuruͤcke. 3.) Sind aber Maſſen und Ge⸗
ſchwindigkeiten zugleich verſchieden, ergeben ſich mehrere ver⸗
ſchiedene Faͤlle, die ſich nach den Geſetzen (§§. 165. 166.) leicht
beſtimmen laſſen.
VII. Stoͤßt ein elaſtiſcher Koͤrper auf ei⸗
nen harten, oder gleichfalls elaſtiſchen doch
unbeweglichen Koͤrper ſchief auf, wird er un⸗
ter einem gleichen Winkel mit gleicher Ge⸗
ſchwindigkeit zuruck prellen. Waͤren die Koͤrper
nicht elaſtiſch, ſo würde der ſchief auffallende ach dem Sroſſ⸗
(Fig. II.) in der Richtung = CB mit der Geſchwindigkeit
AC = DF bewegt werden (§. 166. 1.); die Schnelkeoft
muß ihm alſo noch eine andere Beſtimmung nach der Rich⸗
tung CF = AD verſchaffen, ſo, daß die Diagonal CG ſei⸗

nen Weg auszeichnet. Dieſe Diagonal gleicht der Linie CD

Zweyter Theil. M und

172 00

und der Winkel GCB dem Winkel DCA; denn die Dreyecke
GCB und DCA hoben zwo Geiten und die eingeſchloſſenen
Winkel B und A gleich; mithin iſt die Geſchwindigkeit CD
— CG, und der Auffallungswinkel = dem Reflexionswinkel.
VIII. Iſt aber der Koͤrper B, auf den der Stoß ge⸗
chieht, ein beweglicher von gleicher Maſſe, wird der Koͤrper
A nach der vorigen, B aber nach der Nichtung AD mit der
Geſchwindigkeit AD bewegt werden. 2.) Sind aber die
Maſſen ungleich, wird der Köͤrper B mit verſchiedener Geſchwin⸗
digkeit nach der Richtung AD fortgehen, und der Koͤrper A
unterſchiedliche theils Richtungen, theils Geſchwindigkeiten er⸗
halten; weil, obgleich die Beſtimmung CB die naͤmliche bleibt,
dennoch die ſenkrechte als die zwote Beſtimmung nach Ver⸗
ſchiedenheit der Maſſe ſehr verſchieden ſeyn muß (§. 166. III.).
* Die Richtigkeit dieſer Geſetze leidet eine doppelte
Einſchraͤnkung, einmal; weil eine vollkommene Schnell⸗
tkraft in der Natur nicht exiſtirt, und hernach, weil der
Widerſtand der Luft und andere Hinderniſſen einen Aus⸗
nahm machen: eben darum ſind die Verſuche mit dieſen
Geſetzen nicht vollkommen eins⸗

Von der Bewegung in einem
Mittelkoͤrper.

Wenn der Körper ſeine Bewegung in eittem Raume

macht, der mit einem flüßigen Koͤrper angefuͤllt iſt; beißt

das eine Bewegung in einem Mittelkoͤrper

(in medio)

§. 169.
Haupßtſatz⸗ In einem ſolchen Rau⸗
me kann keine Bewegung eines andern
. Koͤr⸗

5 — 1 S

der
Aut⸗
eſen

ont

gaſt
de

☛ —
—
☛

KS ee 173

Koͤrpers vorgehen, ohne daß 1.) die Thei⸗
le des Mittelkoͤrpers getrennet, und ſelbſt
2.) in Bewegung verſetzt werden. Der Be⸗

weis liegt in der Sacherklaͤrung von Bewegung und Mittel⸗

koͤrpern.

Folgeſaͤtze, wenn der Mittelkoͤrper

ruht, und von ſelbſt keine eigene Bewe⸗

gung hat. HM
I. Die Geſchwindigkeit der Bewegung

muß in einem gleichen Mittelkoͤrper im⸗
mer abnehmen. Denn ſowohl die Kraͤften des Zuſam⸗
menhanges als die Zuruͤcktreibenden des Mittelko pers wirken

der Bewegung des andern Koͤrpers entgegen; mithin muß im⸗
mer ein Grad der Geſchwindigkeit, der Gegenwirkung gleich,

verlohren gehen (5§. 23. IV. §. 141.).

II. Der Widerſtand des Mittelkoͤr⸗

pers, und folglich der Verlurſt von Ge⸗
ſchwindigkeit ſteht mit der Dichtigkeit des

Mittelkoͤrpers im Verhaͤltniſſe. Denn je dich⸗
ter der Koͤrper, deſto groͤßere Gewalt braucht es, ihn in Be⸗
wegung zu ſetzen.

III. Aus eben dieſem Grunde waͤchſt
der Widerſtand auch mit den Kraͤften des
Zuſammenhanges, der ſowohl den bewegten Koͤrper

mit dem Mittelkorper, als deſſen Theilen unter ſich eigen iſt.

Denn auch dieſer muß überwunden werden.
IV. Der Wrderſtand des Mittelkoͤr⸗
pers hat auch mit der Oberflaͤche ein Ver⸗
M 2 hale

174 E üe eee
haͤltniß, mit welcher der bewegte Koͤrper immer auf den
Mittelkoͤrper wirkt. Denn die Oberflaͤche beſtimmt die Groͤße

der zu bewegenden Maſſe des Mittelkorpers, und den Zuſam⸗
menhang, der getrennet werden muß.

V. Der Widerſtand iſt auch mit der
Geſchwindigkeit der Bewegung in einem
Verhaͤltniſſe. Denn die Maſſe des Mittelkoͤrpers, die
in einer gegebenen Zeit in Bewegung verſetzt werden muß,
waͤchſt wie die Geſchwindigkeit. ,Z
VI. Wahrſcheinlicher Weiſe iſt das
Quadrat der Geſchwindigkeit der Verhaͤlt⸗
nißpunkt. Denn auch die Maſſe muß in der naͤmlichen
Proportion, in der ihre Groͤße anwaͤchſt, geſchwinder bewegt
werden. 2è
* Aus dieſen Geſetzen laͤßt ſich unſchwer erklaͤren,
1.) Warum ein Pendel, das Raͤdchen in der Uhr ſich im
luftleeren Raume fertiger bewege,
2.) Warum jeder Koͤrper mit der naͤmlichen Geſchwindig⸗
keit in eben demſelben luftleeren Raume herunterfalle,
3.) Warum in Bewegung der himmliſchen Koͤrper nicht auf
ihren Innbegrif geſehen werden daͤrfe,
4. Warum die in der Luſt beſchleunigte Bewegung endlich
gleichfoͤemig werde, und ein Regentropfen ſchneller als
der Sneeflocke herabfalle, wenn gleich die Hoͤhe beeder⸗
ſeits gleich waͤre,
5.) Warum gleiche Maſſe von Bley oder Eiſen, wenn ſie
ungetheilt iſt, von gleicher Pulverkraft weiter hinausge⸗
worfen werde, als die getheilte,

6.) Warum eine Kanonkugel, die in 1 in der Nichtung

der Schwere allein 15 Sch. 1. z. I % L. machte, lange nicht
ſo weit herunter falle, wenn ſie in horizontaler Richtung

fortgeſchoſſen wird, und endlich
fortg “ 7.) Warum

— — —

— — –

1

üee e 175

7.) Warum kleine Erdtheilchen ꝛe. in der Luft ſich halten
koͤnnen, und ſchwerere Koͤrperchen in einem fluͤßigen aber
leichtern Koͤrpern nicht untergehen⸗

§. 170.
Folgeſaͤtze, wenn der Mittelkoͤrper
ſchon fuͤr ſich eine Bewegung hat.
I. Wenn die Bewegung des Mittel⸗
foͤrpers mit der Bewegung des andern Koͤr⸗
pers einerley Richtung und Geſchwindig⸗
keit hat, wird die Bewegung des Mittel⸗

koͤrpers jene des andern Koͤrpers noch ver⸗

ſtaͤrken, noch hemmen.
II. Iſt aber die Bewegung des Mittelkoͤrpers dem an⸗
dern Koͤrper gerade entgegen, ſo koͤmmt zur vorigen
Hinderniß (§. 169.) noch die Geſchwindig⸗
keit des Mittelkoͤrpers.
III. Hat aber die Bewegung des Mittelkoͤrpers zwar
mit dem andern Koͤrper einerley Richtung, aber weniger
Geſchwindigkeit, iſt der Widerſtand nur nach
dem Uebermaaß der Geſchwindigkeit zu be⸗
rechnen; mithin kleiner.
IV. Wird aber der Mittelkoͤrper geſchwinder als der an⸗
dere Koͤrper nach einerley Richtung bewegt; muß er des

andern Koͤrpers Geſchwindigkeit einen Zu⸗

ſatz geben, nach dem Uebermaaß der eignen
Geſchwindigkeit.

V. Iſt

176 Eee e ee
V. Iſt endlich die Bewegung des Mittelkoͤrpers auf die
Richtung der Bewegung des andern Koͤrpers ſchief; macht
dieſer die Diagonal eines Parallelograms,
deſſen einte Seite die Bewegung des Mit⸗
telkoͤrpers, und die zweyte die Bewegung
des andern Koͤrpers ausdruͤckt.

VI. Dieſe Diagonal wird oder eine

ſtettig gerade, oder eine ſtettig krumme Linie
werden, nachdem das Wirken jeder Kraft gleichfoͤrmig, oder
ungleich ab und zunehmend iſt (§. 143. VI. VII.).

Von der gebrochenen Bewegung.

§. 171.
Wenn der bewegte Koͤrper von der vorigen Nichtung
abweicht, und hernach wieder eine gerade Linie macht; heißt

ſeine Bewegung eine gebrochene (motus refractus
Fig. X.) 2.) Der Winkel, den die neue Richtungslinie mit
der vorigen in Gedanken verlaͤngerten Richtungslinie formirt,

wird NReſractions, Abweichunngswinkelde benamſet⸗

§. 172.
I. Hauptſatz. Geht ein ſohaͤriſcher
Koͤrper ſenkrecht in einen neuen Mittel⸗
koͤrper; kann zwar ſeine Geſchwindigkeit
vermindert, aber ſeine Richtung nimmer
gebrochen werden.

Das erſte geſchieht, wenn der neue Mittelkoͤrper oder

dichter, oder vom ſiaͤrkern Zuſammenhange waͤre; denn bey⸗
des

—- —— ——.. — — —

— - — —

NNF eeen

des vermehrt den Widerſtand, und vermindert die Geſchwin⸗

dizkeit. Das zweyte iſt darum unmoͤglich,
weil der Widerſtand immer nach der vorigen Richtung oder
ab oder zunimmt. S
* Hat der Koͤrper keine ſphaͤriſche Figur, ſo kann

das Auffallen der Oberflaͤche auch bey ſenkrechter Riche⸗

—„

tung ſchief ſeyn; und in dieſem Falle gilt nachſtehender

II. Hauptſatz. Geht der Koͤrper aus
dem vorigen Mittelkoͤrper in einen neuen,
der ſeiner Bewegung mehr widerſteht
(§. 169.), ſchief uͤber, wird ſeine Bewegung
gebrochen, und weicht von der ſenkrechten
Richtung merklicher ab. Denn die ſchieſe Bewe⸗

wegung gleicht der Diagonal eines Parallelograms ‚ und die

Diagonal erhaͤlt allemal eine andere Richtung; alsbald in ei⸗
ner Gewalt eine Aenderung vorgeht, die in der andern nicht
erſcheint (5. 143. VII.). Nun aber dieß geſchieht im gegebe⸗
nen Falle, ſo lange der Koͤrper nicht ganz in den neuen Mit⸗

telkorper eingetretten iſt; denn in der ſenkrechten Richtung

ſtoͤßt der Koͤrper auf den Mittelkoͤrper mit einer groͤßern Ober⸗
flaͤche als in der horizontalen. Mithin empfaͤngt die fenkrechte

Bewegung mehr Widerſtand als die horizontale, oder, was

eines iſt, die Bewegung wird von der ſenkrechten Richtung

gegen die Horizontallinie gebrochen (fit refractio a perpen-

diculo).
* Ich erlaͤutere den Beweis durch eine Figur (X.).
Faͤngt eine Sphaͤre an in einen neuen mehr widerſtehen⸗

den Mittelkoͤrper zu übergehen; wird der Widerſtand
nach

nach der ſenkrechten Bewegung z. B. = dem ganzen Bo⸗
gen mon, Uund jener nach der parallelen = on dem hal⸗
ben Bogen ſeyn, und weil dieſes von allen Zirkelboͤgen
gilt, wird der ſenkrechte Widerſtand allezeit noch ſo groß
als der parallele ſeyn; bis der halbe Koͤrper in den neuen
Mittelkoͤrper eingetretten iſt. Alsdenn wird der ſenkrechte
Widerſtand ſich immer gleich bleiben, der horizontale aber
wachſen, bis er dem ſenkrechten gleich wird, d. i. bis der
Koͤrper ganz im Mittelkoͤrper verſenkt iſt.
* * Deutlichkeit halber habe ich einen ſphaͤriſchen Koͤr⸗
per angenommen: hat der Koͤrper ſelbſt eine unregulaͤre
Figur, muß auch dieſe mit in die Rechnung kommen.

§. 174.
III. Hauptſatz. Verurſachet der neue Mittel⸗
koͤrper einen ſchwaͤchern Widerſtand, wird die Bewegung al⸗
lemal gebrochen, und die Richtung weicht von der
parallelen merklicher zur ſenkrechten ab.
Der Beweis und die Erklaͤrung iſt der naͤmliche wie §. vor⸗
geh. außer daß in dieſem Falle die parallele Bewegung mehr
Widerſtand als die ſenkrechte erfaͤhrt.

Folgeſaͤtze. I. Die Abweichungen von
der vorigen Richtung, mithin auch der Ab⸗
weichungswinkel, iſt um ſo viel groͤßer, als
kleiner der Auffallungswinkel. Denn bey einem
kleinern Auffallungswinkel haͤlt die Ungleichbeit des Wider⸗
ſtands laͤnger an.
II. Je groͤßer die Ungleichheit der Mit⸗
telkoͤrper, in welche der Uebergang ge⸗
ſchieht

E H e 179
ſchieht, deſto groͤßer iſt auch die Abwei⸗
chung ſelbſt. L
III. Iſt dieſe Verſchiedenheit des Widerſtandes ſtettig,
muß die Abweichung von der vorigen Rich⸗

tung eine krumme Linie beſchreiben (9. 143.
VI. VII.).

IV. Und weil dieſe Verſchiedenheit in jedem Uebergange
anbaltend iſt macht der Koͤrper beym Eintritte
in den Mittelkoͤrpver eine krumme Linie;

hernach eine gerade, alsbald die Ungleichheit des
Widerſtands aufhoͤrt.

* In dieſer Erklaͤrung liegt zwar ein Theilgrund,
warum z. B. ein Fiſch unter dem Waſſer durchs Feuer⸗
rohr nicht getroffen wird, außer wenn man mit dem
Schuß merklich unter dem Fiſche antraͤgt. Allein der an⸗

dere Theilgrund wird ſich erſt aus der Erklaͤrung des
Lichts entwickeln.

II. Kapitel.
Von dem Gleichgewichte der
feſten Koͤrper.
§. 175.
Das Gleichgewicht uͤberhaupt iſt eine Ruhe,

welche aus gleichem Beſtreben nach gerad entgegengeſetzten
Richtungen entſteht.
I. Alle ruhende Koͤrper ſind im Gleich⸗
gewichte. Denn ihre Ruhe kann nur aus gleichem Be⸗

Kreben nach gerad entgegengeſetzten Richtungen entſtehen.
II. So

180 N F n

II. So lang alſo die Kraͤſten ſich in geraber Linie ent⸗
gegen wirken; bleibt alle Bewegung unmoͤglich.
III. Indeſſen koͤnnen auch bewegte Koͤrper in
Ruckſicht auf die reſpective Ruhe im Gleich⸗

gewichte ſeyn. Denn der Begrif der reſpectiven Ruhe
und der Begrif der Bewegung ſtehen wohl beyſammen.

§. 176.
Jenen Punkt des Koͤrpers, um den alle Theile nach je⸗
der geraden Linie im Gleichgewichte ſind, nennen wir den

Schwerepunkt.
I. Ruht der Schwerepunkt; muß der

ganze Koͤrper ruhen; wird jener bewegt,

koͤnmt auch dieſer in Bewegung.
II. Was den Schwerepunkt haͤlt, muß
den ganzen Koͤrper halten.
III. Ich kann alſo die Schwere des

ganzen Koͤrpers gleichſam im Schwerepunk⸗

te conc entrirt denken.

§. 177.
Der Punkt, auf dem der Schwerepunkt aufliegt, heißt
Ruhepunkt; z die Linie, nach der er ſich zu bewegen be⸗
ſtrebt, oder, wenn kein Hinderniß zugegen, wirklich bewegt,
iſt die Richtungslinte.

§. 178.
JI. Zieht ſich die Richtungslinie noch
durch den Unterſatz des Koͤrpers; iſt das
Um⸗

ü wee 1

* Umſtuͤrzen des Koͤrpers unmoͤglich; denn es
h. kuoͤnnen ſich weder die Theile des Koͤrpers bewegen, weil ſie
in im Gleichgewichte ſind (§. 176.), noch der Schwerepunkt,
weil ihn der Ruhepunkt zurück halt (5§. vorg.).
4— II. Faͤllt aber die Richtungslinie uͤber
den Ruhepunkt hinaus, iſt das Umſtuͤrzen
nothwendig. Denn alle Urſachen des Nichtfallens blei⸗
ben weg.
*Dieſe zween Folgeſaͤtze ſind oder blos vom Um⸗
fallen, oder auch von der Bewegung zu verſte⸗
bhen; wenn man hinzu ſetzt: daß die Richtungslinie

! ſenkrecht durch den Unterſatz faͤllt.
t. * Aus dieſen laͤßt ſich mit Borellus erklaͤren,
a.) Daß Thiere bey Aufhebung eines oder zween Fuſſe nicht
umfallen.
2.) Warum ſich unſer Koͤrper vorwaͤrts neige, wenn wir

das Gewicht rüͤckwaͤrts tragen, und umgekehrt;
3˙) Warum ſich die zweenfuͤßigen Thiere unten in einen
preiten Raum ausdehnen;
4.) Warum wir, ohne den Fuß zuruͤck zu ziehen ‚oder den
obern Theil des Koͤrpers vorwaͤrts zu neigen, nicht vom
Sitze aufſtehen koͤnnen;
5.) Warum ein großes Gewicht unter dem Tiſch an einem
gt gebogenen Drat hangen bleibt, wenn gleich nur das
das Aeußerſte des Drats auf dem Tiſche aufliegt;
6.) Was den Seiltaͤnzern die lange Stange in der Hand
nuͤtze;
7.) Warum ein leichter cylindriſcher Koͤrper die geneigte
Ebene binaufſteige, wenn ihm nahe bey der Oberflaͤche
Bley eingegoſſen wird u. d. m.

☛

Se

§. 179.

182 KES e
§. 179.

Eine gerade Stange haͤlt uͤber einem
Unterſatze das Gleichgewicht, wenn die

Maſſen beeder uͤber dem Unterſatze hinge⸗

henden Theile M und m mit den Entfernun⸗
gen ihres Schwerepunktes vom Ruhepunkte

D und d gleiche Produkte formiren d. i. wenn
MD — md.

Im Schwerepunkte laͤßt ſich die ganze Schwere als ver⸗

ſammelt denken. Nun aber bey dem Unterſatze iſt die Ge⸗
walt auf den Zuſammenhang allemal wie das Produkt aus dem
angehaͤngten Gewichte, und deſſen Entfernung (§. 72. II. 73.) ½
mithin muß auch in unſerm Falle die Wirkung auf den Zu⸗
ſammenhang dem Produkte aus der Schwere eines jeden
Armes und ſeiner Entfernung gleich ſeyn. Folglich wenn
beyde Producte einander gleich ſind, muß die Stange uͤber
dem Unterſatze das Gleichgewicht halten; weil beede Aerme,
d. i., beede uͤber den Unterſatz hingehende Theile mit gleichen
Kraͤften nach gerad entgegen geſetzten Richtungen gezogen werden.
I. In einer gleichartigen Stange muß
der Unterſatz in der Mitte angebracht wer⸗
deu, um ihr das Gleichgewicht zu ver⸗
ſchaffen; denn nur in der Mitte iſt MD = md (§. 73.).

II. In einer Stange, die ungleichartig
iſt, kann das Gleichgewicht durch den Un⸗
terſatz in der Mitte nicht erhalten werden.
III. In einer gleichartigen Stange fin⸗
det ſich der Schwerepunkt in der halben
Laͤnge

=

6

C

ſte
r

=S = = ☛

XE e ee 183
Laͤnge der Aerme, und zwar in jenem
Punkte, in dem ſich die Horizontal⸗ und
Perpendicularflaͤchen durchſchneiden.

* Aber in einer ungleichartigen Stange? — Auf gut
mechaniſch den Schwerepunkt zu finden, darf man blos
den Koͤrper ſo lange auf dem Unterſatze hin und her
ſchieben, bis er das gleichgewicht erhaͤlt; der Schwere⸗
punet liegt alſo in jener Flaͤche, welche ſenkrecht uͤber den
Unterſatz ſteht. Mach ich dieſe Probe mit dem Koͤrper
nach verſchiedenen Richtungen; erhalt ich einen Punkt,
in dem ſich alle Flaͤchen durchſchneiden, und dieſer wird
der Schwerepunkt ſeyn. — Allein eine allgemeine Regel
zur Erfindung des Schwerepunkts angeben, laͤßt eben ſo
hart, als richtig der obige Hauptſatz erwieſen iſt, wenn
gleich die Anwendung ſchwer fallen daͤrfte.

§. 180.
Werden einer Stange, die fuͤr ſich

ſchon das Gleichgewicht haͤlt, zween Koͤr⸗
per angehenkt, deren Gewichte mit ihren
Entfernungen in umgekehrten Verhaͤltniſſe
ſtehen, halten auch dieſe das Gleichge⸗
wicht. Denn wenn D: d = m: M ſind; wird auch
MD = md ſeyn. D

I. An einer Stange, die uͤber einem

Unterſatze das Gleichgewicht haͤlt, koͤnnen
gleiche Gewichter nur in gleichen, unglei⸗
che nur in verkehrt berechneten Entfer⸗
nungen ruhen.

II. Iſt

14 38= n e

II. Iſt die Gewalt ſchief an den ein⸗

ten Arm der Stange gebracht; darf man
nur auf die Richtung der Gewalt eine ſenk⸗
rechte Linie ziehen, um die Entfernung zu

beſtimmen, welche in Betracht kommen

muß.
III. Es muß alſo auch ein gerades Joch,

welches mittels einer Achſe ſchief aufliegt,

im Gleichgewichte ſeyn; wenn nur die beeden
Aerme gleichartig und gleichlang ſind: oder wenn das Pro⸗

dukt MD des einen dem Produkte md des andern Armes

gleich iſt. Denn in beeden Faͤllen wird die Wirkung auf den

Zuſammenhang bey dem Unterſatze gleich ſeyn (Fig. XI.).

IV. Eben ſo bleibt das Gleichgewicht,
wenn an einem dergleichen Joche gleiche
Gewichter angehaͤngt ſind. Denn von dieſem
verſteht ſich alles, was vom Schwerepunkte geſagt worden.⸗
V. So lange alſo eine Stange ſenkrecht auf die Hand
gebalten wird, laͤßt ſie ſich ohne ſonderbare Muͤbe in der
Hoͤhe erhalten; wird ſie geneigt, waͤchſt die Beſchwerniß; biß
ſie in der horizontalen Richtung den groͤßten Grad erhaͤlt⸗

§. 181.

VI. Mithin behaͤlt das Theorem (J2.
vorg.) die vorige Richtigkeit, ob die Aerme der

Stange in gerader Linie liegen, oder einen Winkel formiren;
wenn nur die Gewichter auf beede Aerme
ſenkrecht wirken (Fig. XII.). Denn in jedem Falle
wirkt M und m auf den Zuſammenhang in c, wie das Pro⸗
dutt

dul
du
vo
n

indukt aus dem Gewichte und der Entfernung. Sind die Pro⸗
un dukte gleich, wird der Arm ec von cb eben ſo ſtark, als cb
von ec Mittels des Zuſammenhanges bey c gezogen we den,

itund folglich eine gegenſeitige Ruhe entſtehen.
nen 8. d1.

VII. Wird aber das Gewicht m un⸗
chh ter dem ſchiefen Winkel obd angebracht,
gt, iſt es nur alsdenn mit M im Gleich gewich⸗
un te, wennm: M=ec: Cd. Denn in dieſem Fal⸗
p leer iſt die Wirkung von m auf c = m c d; eben ſo, als wenn
nes das Gewicht m an dem Arme cd in d angebracht waͤre.
den Dieſes deutlich zu beweiſen nenne ich die abſolute Kraft von
m =— V, und die ſenttechte =— v.
Es wird alſo V: v = cb: cd ſeyn (§. 147.), weil
iht, ich mir eine ſchiefe Eone denken kann. Mithin iſt V. cd =
iche V. c b; d. i. das Produkt der reſpectiven Gewalt, mit der
ſeſem m auf c wirkt, in die Entfernung cb gleicht dem Produkte

. der ganzen Gewalt in die Entfernung c d.
Hiid
Anwendung dieſer Saͤtze auf
6 Maſchinen.
Alt⸗
Vom Zebel insgemein.
(Gͤ §. 183
Die Mechanik betrachtet den Hebel (vectis) als eine
un; gerabe, unbiegſame, nicht ſchwere Linie, die ſich um den Puntt

e auf dem ſie aufliegt (als ihren Bewegungspunkt) key
ue bewegen laͤßt. Das, worauf der Bewegungspunktt negt, heißt

Pu⸗ Unterſatz Chy pomochlion); der ſchwere Koörper weicher—
dn vder

18⁵ SeS een eeen

oder zu bewegen, oder im Gleichgewichte zu halten iſt, wird
das Gewicht (pondus), jene Kraft, die angebracht wird,
das Gewicht oder zu bewegen oder im Gleichgewichte zu hal⸗
ten, die Potenz (potentia) genennt.

§. 184.

Der Ort des Unterſatzes beſtimmt

die Gattung des Hebels. Denn entweder iſt
der Unterſatz zwiſchen der Potenz und dem Gewichte, oder
das Gewicht zwiſchen dem Unterſatze und der Potenz, oder
endlich die Potenz zwiſchen dem Unterſatze und dem Gewichte⸗
Die Hebel von der erſten Gattung (primi generis) ſind

doppelarmichte, jene von der zwoten und dritten Gat⸗—

tung (ſecundi & tertii generis) einarmichte.
§. 185.

Die Potenz in einem Hebel iſt wie das

Produkt aus ihrer Kraft und Entfernung
vom Ruhepunkte. Bieß Theorem kann der mathe⸗
matiſchen Beweiſe gar leicht entrathen, nachdem wir aus phy⸗
ſikaliſchen Gruͤnden gezeigt haben, daß die Wirkung eines an
einer Stange angehaͤngten Gewichtes — PD ſeyn muͤſſe
(§. 179. 180.).
I. Die Potenz P haͤlt das Gewicht M in der Ruhe,
wenn das Produkt aus P und ihrer Entfernung D dem Pro⸗
dukte aus M, und ihrer Entfernung d gleich iſt, wenn PD
= MdAJ. Ia

II. Im Gleichgewichte iſt alſo P = .

III. Iſt aber P D aroßer a als Md folgt die Bewe⸗
gung.

IV. Im

1152%1

t
5

SSee wee Hee 187

IV. Im Falle der Bewegung iſt die bewegende Potenz
= PD — Md. Denn die Bewegung entſteht nur nach dem

Uebermaaße der Potenz.
V. Iſt der Hebel ſelbſt ſchwer, muß auch dieſe Schwere
auf die naͤmliche Art mit berechnet werden. (§. 179.).
VI. Weil die Entfernung der Potenz vom Ruhepunkte,

oder, was eins iſt, die Laͤnge des einten Arms, an dem die

Potenz angebracht iſt, immer mag verlaͤngert werden; koͤnn⸗
te auch die Potenz faſt ins Unendliche ver⸗
groͤßert werden, wenn man nur fuͤr den Zuſammen⸗
bang des phyſikaliſchen Hebels gut ſtuͤnde.

* Alles dieß laͤßt ſich auch auf die Hebel von der
zwoten und dritten Gattung anwenden. Nur iſt zu mer⸗
ken, daß im Hebel von der letzten Gattung die Potenz ei⸗
ne kleinere Entfernung vom Unterſatze habe; folglich iſt
die Vermehrung der Kraft (VI.) in dieſer nicht eben ſo
wie in den zwo andern Gattungen zu erhalten.

** Erklaͤrung alltaͤglicher Beobach⸗
tungen, wie H
1.) zween Traͤger, die einen ſchweren Koͤrper an
einer Stange halten, ungleichen Druck vermerken, wenn
das Gewicht von ihrer Hand oder Schulter ungleiche
Entfernung hat; denn das Gewicht kann als der Unter⸗
ſatz, die Hand aber als die Potenz betrachtet werden.
2.) Warum die Scheere einen Koͤrper leichter theile, wenn
oder er weniger von der Achſe entfernet, oder ihre Hand⸗
hebe laͤnger iſt.

3.) Wie auch ein Meſſer als ein Hebel kann betrachtet

werden. u. ſ. w. ”MMMVB

Zweyter Theil. N 4.) Wie

188 ee Hn eee
4.) Wie aus dieſen Gruͤnden die Theorie der Waage,
und Schnellwaage abgeleitet werde: von denen ich
gleich mehr reden werde. Zuvor nur noch ein Wort
von dem

Zuſammengeſetzten Hebel.
§. 186. ,

Ein zuſammengeſetzter Hebel iſt jener, in
den allemal die Potenz mittels des vorgehenden Hebels auf
den nachſtehenden ſo wirkt, wie das Gewicht iſt, mit dem die
Potenz im vorgehenden Hebel das Gleichgewicht hielt.
I. In dem zuſammengeſetzten Hebel

gelten alle Geſetze des einfachen; denn die

Summe der Einfachen macht in der Verbindung einen Zu⸗
ſammengeſetzten⸗ =
II. Die Potenz im Zuſammengeſetzten (Fig- XIII.)
gleicht dem Produkte aus dem Gewichte und allen Entfernun⸗

gen, getheilt durch das Produkt aller Entfernungen, ?5 =

ac. de f
Aade⸗ 7 £ (§. 185. II.).
III. Iſt dieß Produkt dem Gewichte gleich, wird die

Ruhe; iſt es groͤßer, die Bewegung erfolgen.
Von der Waage, Schnellwaage.
§. 187.
Die gemeine Waage iſt ein Inſtrument von
zween gleichen Aermen, welche nur alsdenn in horizontaler
Richtung ſeyn koͤnnen, wenn die an beeden Aermen von dem
Ruhe und Schwerepunkss gleich weik Goſtehende Koͤrper voll⸗

kom⸗

—2———

⸗—

a —⸗æ — — —— —

41

E ü ee 189

kommen gleiches Gewicht haben. Zur Vollkommenheit der
Waage wird erfordert,

IJI. Daß beede Aerme vollkommen in dem Gleichgewichte
ind,

II. Daß ſie vollkommen gleiche Laͤnge haben.

Daher muß man acht haben, daß nicht etwa bey
Neigung der Waage dieſe gleiche Entfernung von dem Be⸗
wegungspunkte mittels einiger Hacken gehoben werde;
weil ſonſt auch gleiche Gewichter in der ſchiefen Rich⸗
eung ruhen muͤßten.

I. Daß der Schwerepunkt unter dem
Bewegungspunkte ſtehe. Denn die Theile des
Joches muͤſſen von ihm gleichweit entfernet ſeyn. Alſo muß er
1.) in der naͤmlichen Perpendiculaͤrlinie
ſeyn. 2.) Kann er der Bewegungspunkt
ſelbſt nicht ſeyn; denn ſonſt wuͤrde die Waage in ſchiefer Rich⸗
tung auch bey gleichen Gewichtern ruhen. 3.) Kann er
nicht ober dem Bewegungspunkt liegen.
Benn in dieſem Falle waͤre alle Ruhe unmoͤglich, und die
Waage würde bey der geringſten Ungleichheit der Gewichter
uͤberſchnellen, und alſo unbrauchbar werden. 4.) Mithin
muß er unter dem Bewegungspunkte zu
ſtehen kommen.
lIV. Wenn auch die Gewichter ungleich
ſind, entſteht in einer vollkommenen Waa⸗
ge die Ruhe, ſobald eine hinlaͤngliche Nei⸗
gung des Joches hinzu koͤmmt. Denn mit der
Neigung des Joches ſteigt der Schwerepunkt uͤber den Bewe⸗

gunspunkt und Unterſatz hinaus; mithin erhaͤlt das Gewicht in

N 2 dem

1e en ee e

dem hoͤher ſteigenden Arme eine groͤßere Entfernung von dem

Ruhepunkte, und dieſe Ungleichheit der Entfernungen kann
ja die Ungleichheit der Gewichter wieder gut maͤchen.

v. Je empfindſamer d. i. je geſchmei⸗
diger zur Bewegung das Joch iſt, deſto
vollkommener laͤßt die Waage.
VI. Mithin muß man dem Reiben auf dem Unkerſatze
nach Moͤglichkeit abhelfen. Denn das Reiben mindert die
Fertigkeit zur Bewegung⸗
VII. Das Staͤngelchen, das die Neigung der Waage
anzeigt, muß auf dem Schwerepunkt ſenkrecht, nicht zu
ſchwer, nicht zu lang und nicht zu kurz ſeyn. Denn
waͤre es zu kurz, wuͤrde die Neigung nicht merklich,
waͤre es nicht ſenkrecht, wüurde die Neigung nicht richtig
angezeigt werden. Das Uebermaaß der Schwere oder Laͤnge
koͤnnte den Schwerepunkt bey der Neigung an einen an⸗
dern Ort verſetzen⸗

VIII. Ob dieſe oder jene Waage gerecht ſet? —

wird durch Abwechslung der Gewichter an den Aermen entdeckt.
IX. Wenn im Joche eine verdeckte Hoͤhle und z. B⸗
OHueckſilder in der Hoͤhle ſich befaͤnde, muͤßte durch das Hin⸗
und Herfließen dieſes ſchweren Koͤrpers manche Aenderung im
Schwerepunkte vorgehen.

„ Von mehr dergleichen Betruͤgereyen wird ich in

oͤffentlichen Vorleſungen reden⸗
Zur Benutzung der Waage muß man die ver⸗
ſchiedenen Abtheilungen des Gewichts inne haben. Hier
liefre ich eine kleine Anzeige davon⸗
1.) Das

2——

KSy e e Ior
1.) Das gemeine Gewicht

1 Zentner haͤlt 100 1B
1 = 16 Loth
1 = 4 Quintl
Mithin iſt I 15 = 64 Quintl.
2.) Das Apotheckergewicht
1 B = 12 Unzen

1 —
1 —

D
2
—.
S

= 4 Drachm.
1 — 3 SEerupel
1 = 20 Gran.

3.) Das Gewicht in der Probierkunſt
ergzentner = 1 Quintl im gemeinen Gewichte
1 = 100 5
1 = 32 Unzen.
1 = 4 Quintl.
Darum muͤſſen in der Probierkunſt die empfindlichſten
Waagen angewendet werden. Eine genaue Beſchreibung
giebt Herr Crammer in ſeinen Elementen der Docimaſt⸗
§. 303, Herr Schluͤtter in dem Probierbuche S. 32.

§. 188.

Alle obige Bemerkungen gelten beynahe
auch bey der Schnellwaage, wenn man die
Laͤnge der Aerme ausnimmt. Man bedient ſich im⸗
mer des naͤmlichen Gegengewichtes. Dieß zeigt durch die Ent⸗
fernung, in der es mit dem zuwiegenden Koͤrper das Gleich⸗
gewicht haͤlt, die Groͤße ſeines Gewichtes an, und iſt unter
dem Name Laufer bekannt. Vor allem muß man acht
baben, daß der Laufer mit dem andern Arme genaues
Sleichgewicht halte⸗
Von

192 üH ee
Von dem Rade.

§. 189.
Wenn man einen ungleicharmichten Hebel um ſeinen

Ruhepunkt herum bewegt, wird von dem kuͤrzern Arme ein

kleineres, von dem laͤngern ein groͤßers Rad, von beeden Aer⸗
men eine Maſchine beſchrieben, die (axis in peritrochio) oder
das Rad im ſtrengſten Verſtande genennt wird.

I. Von dem Rade gelten alle Geſetze
des Hebels.

II. Wenn ich alſo den Radius vom kleinern Rade = r⸗
und jenen vom groͤßern = R, die Potenz = P, den Koͤrper
= M ſetz; iſt ? = —.
III. Es liegt nichts an der Sache, ob
um das kleinere Rad ein groͤßeres herum ſey, oder nur Quer⸗
ſtangen durchgeſteckt ſind.
IV. Unter dem kleinern Rade kann auch ein Regender
oder ſtehender Cylinder verſtanden werden.

v. Auch mehrere vereinigte Raͤder,
wenn die Zaͤhne des erſten kleinern auf die Zaͤhne des zwey⸗

ten groͤhern Rades u. ſ. w. eingreifen, ſind nichts als

ein zuſammengeſetzter Hebel, und behaupten die
naͤmlichen Geſetze.
VI. Iſt aber die Wirkung oder Potenz auf das Rad
ſchief, folgt ſie auch den Geſetzen eines Win⸗
kelhebels.

Von

ü eee 193
Von der Rolle.

§. 190.
Gleichwie das Raͤderwerk (5§. vorg.) aus einem un⸗
gleicharmichten Hebel entſteht, alſo entſteht die Rolle (Troch-
lea) aus einem gleicharmichten Hebel, der um ſeinen Ruhe⸗
punkt gedrehet wird.
I. Auf die Rolle paſſen alle Geſetze des
gleicharmichten Hebels; es mag die Potenz ſenk⸗
recht (§. 180.), oder ſchief (§. 182.) angebracht ſeyn.
II. In der feſtgemachten Rolle muß
die Potenz der Laſt gleich ſeyn, um ihr das
Gleichgewicht zu verſchaffen. Es koͤnnen alſo die Kraͤften
nicht vermehret werden.
III. In der beweglichen Rolle, wenn z. B.
(Fig. XIV.) der Ruhepunkt in c, die Potenz in P iſt, ent⸗
ſteht ein Hebel von der zwoten Art; und
die Potenz iſt vom Ruhepunkte noch ſo weit entfernet als das
Gewicht .⸗ mithin im Gleichgewichte iſt P: M = 1: 2, und

IV. Werden mehrere Rollen zuſammengeſetzt, und in
einen Flaſchenzug vereiniget; wird die Potenz vom Ruhepunkte
allemal um 2 weiter entfernet; die Entfernung des Gewichtes
aber bleibt = I.
* Dieß gilt von beweglichen Rollen (II. III.).
V. Wenn ich alſo die Zahl der Rollen durchen aus⸗
6
druͤcke, wird ?P = — — ſeyn; oder wenn ich die Zahl der
Stricke, den letzten abwaͤrtsgehenden weggerechnet, = N
ſetze, iſt P = ; weil die Zabl der Stricken noch ſo

groß iſt als jene der Rollen⸗
Von

194 E H ieee

Von der Schraube und
4 dem Keile.

§. 191.
Wenn ein Koͤrper auf einer ſchiefen
Ebne nach einer auf die Ebne parallelen
Richtung gezogen wird; ſo entſteht das
Gleichgewicht, wenn ſich die Potenz P zum
Gewicht M. wie die Hoͤhe A zur Laͤnge L.

verhaͤlt, d. i. P: M = A: L.. Denn in dieſem
Falle darf nur der zuase⸗ Gewalt des Koͤrpers das Gleich⸗
gewicht verſchaffet werden; nun aber dieſe verhaͤlt ſich zur Gan⸗

MA
zen M = A: L. (§. 147.). Mithin muß auch P = 1 ſeyn.

S. 192.
Wird aber eben dieſer Koͤrper (E. vorg.)
nach einer auf die Grundlinie parallelen
Richtung gezogen; muß, um das Gleich⸗
gewicht zu erhalten, P: M = à: B (zur

Grundlinie) ſeyn. Denn auf dieſe Art entſteht aus
der Schwere des Koͤrpers und der Potenz eine Gewalt, wel⸗
che ſenkrecht auf eine Ebne wirkt, und mithin die Bewegung

unmoͤglich macht. Dieß zu erweiſen mache ich (Fig. XV.) ei⸗

nen = cab = — A, und eine Linie bo ſenkrecht auf ad.
Es wird alſo 1.) Q̊ a bc αA BC, und
ac: cb = AC: CB ſeyn. Ferner iſt

2.) Die Linie ab auch auf A B ſenkrecht.
Denn der = cbd= BAC, weil cb und AC parallel ſind;

und der = bac = BAC; denn er iſt gleich groß errichtet worden.

Mithin iſt ☛ bac = chd.
Weil

— -– — ,.——,, —

— —

*¾= —

*

oSE E ee 195

Weil aber cba †+ bac = 180, iſt auch
cha + cbd = 180, und
ab ſenkrecht auf AB,
3.) Nun iſt ab die Diagonal von ac und cb, und ac: cb
= AC: CB (1.); mithin erhaͤlt ſie ihxr Daſeyn, wenn P: M
=— AC: CB = wie die Hoͤhe zur Grundlinie⸗
* Wer die Potenz, die unter jedem Winkel das
Gleichgewicht haͤlt, ſinden will, leſe das Kaͤſtneriſche
Handbuch, und in Herrn Clemens Mechanick den §. 86.
mir ſcheint der Beweis fuͤr Anfanger zu hart, und zu
meinen Vorhaben unnoͤthig⸗

§. 193.

Schraube (Cochlea) heißt ein gerader Cylinder,
Uum welchen eine ſchiefe Ebne unter dem naͤmlichen Winkel
herumgezogen iſt. Der Cylinder ſelbſt, an dem die ſchiefe

Ebne bervorſteht, und in andere gleiche Aushoͤlungen ein⸗

pPaßt, wird die Spindl (mas), jener Koͤrper aber in deſſen
Hoͤhlungen die Spindel einpaßt, die Schraubemutter
(Cochlea femina) genennt.
I. In der Spindl und der Schraube⸗
mutter muß die geneigte Ebne den naͤm⸗

lichen Winkel haben; ſonſt koͤnnten die Schraube⸗
gaͤnge nicht aufeinander paſſen.

II. Da die Gewalt, mit der die Spindl bewegt wird,
mit der Grundlinie parallel iſt; muß auch hier im
Gleichgewichte (§. 102.) P: M = A: B ſeyn, d. i.
= wie die Entfernung der Schraubegaͤnge
zur Peripherie des Cylinders; denn dieſe macht
die Grundlinie, jene aber die Hoͤhe der Ebne aus.

III. In

196 E üHe ie

. MA
III. In einer Schraube iſt alſo P = — —; und waͤchſt

mit der Entfernung der Schraubegaͤnge im geraden, mit der
Dicke der Spindel aber im verkehrten Verhaͤltniſſe.

§. 194.
Eine Schraube ohne Ende (Cochlea infi-
nita) ſind etliche Schraubegaͤnge, die auf die Zaͤhne eines Ra⸗
des eingreifen, und ſelbe ſo lange bewegen, als die Schrau⸗
be ſelbſt umgetrieben wird. Das Rad muß alſo
beym fortdaurenden Umtreiben um ſo viele
Zaͤhne bewegt werden, als Schraubegaͤn⸗
ge auf die Zaͤhne wirken.

§. 19ſ.
Ein Keil iſt ein Inſtrument, das aus zwo ſchiefen
Ebnen, in der Grundflaͤche zuſammengefuͤgt, entſteht.
I1. Da der Keil nach der Grundlinie der ſchiefen Ebne
getrieben wird, hat die Potenz zur Laſt das
naͤmliche Verhaͤltniß, wie auf der ſchiefen
Ebne (§. 192.) und in der Schraube (§. 103.).

II. Die Kraft des Keils waͤchſt alſo mit der Grund⸗
flaͤche im geraden, und mit der Hoͤhe der zuſam⸗
mengefuͤgten Ebnen im verkehrten Verhaͤltniſſe.

x* —

In den Schneidinſtrumenten iſt eine Art von
Keilen zu bemerken.

7 * Das ſind nun alle einfache Maſchinen, und aus
dieſen ſind alle übrige zuſammengeſetzt; daher ſie auch
den Geſetzen des Hebels nnd der geneigten Ehne folgen.
Ueber

. =

4

☛G

WAN —

— .⏑

N ee 197

Ueber die zuſammengeſetzten Maſchinen ſind Jakob Leu⸗
pold in ſeinem Theater der Maſchinen, Gallon in ei⸗
ner Abhandlung der koͤnigl. Akademie zu Paris, Beli⸗
dor in der bydrauliſchen Baukunſt, Beyer in dem Thea⸗
ter der Muͤhlen mit Vergnuͤgen und Vortheile zu leſen.
* ** Ferner muß ich anmerken, daß ich in dieſer
ganzen Materie das Reiben (affrictus) niemals mit be⸗
rechnet habe. Weil es aber viele Hinderniſſe verurſacht,
folgen kuͤrzlich einige Bemerkungen uͤber

Die Hauptgeſetze von dem Neiben.

In jeder Oberflaͤche auch der ebneſten und glatteſten
Koͤrper kommen viele Ungleichheiten, d. i. Hervorragungen
und Vertiefungen der Theile vor; es kann alſo kein Körper
über den andern hinbewegt werden, ohne daß die hervorra⸗
genden Theile oder uͤberſprungen, oder gebogen, oder abge⸗
ſtoſſen werden. Jeder Fall hemmt die Bewegung; und dieß
Hinderniß der Bewewegung nenne ich das Hinderniß
vom Reiben.

Wenn man die Geſetze des Reibens beſtimmen will;
muß man 1. auf die Groͤße, Figur, und
Haͤrte der hervorragenden Theile ſehen.
II. Auch auf die Geſchwindigkeit der
Bewegung; denn in einer geſchwindern Bewegung

muͤſſen mehrere Theile oder uͤberſprungen, oder gebogen, oder
abgeſtoſſen werden.

III. Auch auf die Schwere des zu be⸗

wegenden Koͤrpers; weil ein ſchweres Gewicht alle⸗
mal

18 an Äa

mal die hervorragenden Theile in die Vertiefungen des an⸗

dern Koͤrpers mehr verſenkt.
IV. Auch auf die Oberflaͤche des zu
bewegenden Koͤrpers; denn mit ihr waͤchſt die Zahl
der zu uͤberwindenden Theile.
V. Wenn die hervorragenden Theile nur zu uͤberſprin⸗
gen ſin; kann die Oberflaͤche vermehrt wer⸗

den, ohne das Reiben zu vermehren; weil
durch die naͤmliche Gewalt mehrere Anhoͤhen in einer Reihe
zugleich überſprungen werden.

§. 197.
Inndeſſen koͤnnen doch von dem Reiben
keine beſtimmte allgemeine Geſetze fuͤr ver⸗
ſchiedene Koͤrper angegeben werden. Denn
I. Kann man weder die Ungleichheit noch die
durch langes Glatmachen erhaltene Ebne emer Ober⸗
flaͤche richtig beſtimmen.
II. Laͤßt ſich mancher Koͤrper anfangs leichter; ber⸗
nach auch durch ein doppeltes Gewicht lange nicht ſo
merklich zuſammen druͤcken.

III. Muß die Figur und der Zuſammen⸗

hang der bervorſtehenden Theile in verſchiedener Hoͤbe
gleichfalls verſchieden ſeyn.
WWvV. Läaͤßt ſich kaum ein Reiben denken, wo nicht
einige Theile abgeſtoſſen, gebogen, andere nur uͤberſprungen
werden.
V. Viel minder laͤßt ſich dee Anzahl der abgeſtoſſe⸗
nen oder nur gebogenen oder nur uͤberſprungenen Theile an⸗
geben.
VI. Sind

le
zu

6

D

NS E eEe 199

VI. Sind einige Theile nach einer Richtung
leichter als nach der andern i biegen, oder ab⸗
zuſtoſſen.
VII. Werden in einer geſchwindern Bewe⸗
gung viele Theile überſprungen, die in einer langſamern
Bewegung gebogen, oder abgeſtoſſen würden u. ſ. w.

§. 198.

Auch aus der Erfahrung laͤßt ſich kein
allgemeines Geſetz angeben. Ven dieſem über⸗
zeigen uns die mühſamſten und richtigſten Verſuche der groͤ⸗
ten Mechaniker. Van Muſchenbroͤck (a) koͤnnte nicht ein⸗
mal ein Verhaͤltniß des Gewichtes mit der Groͤße des Re⸗
bens entdecken, ob er es ſchon in verſchiedenen Hoͤlzern und
mit verſchiedenen Gewichtern verſuchte. Eben ſo war ſeine
Mühe in Unterſuchung der Metalle (5) umſonſt. Die Be⸗

muͤhungen des Amantons (c); de la Hire (4), Leibnitz (e):,

Parentius (F), Bellidor (g) u. a. m. ſind ſelbſt aus dem
ſchlechten Erfolge, ein allgemeines Geſetz ausſindig zu machen,
nur gar zu bekannt.

§. 199.
l. Was aus den Verſuchen gewiß iſt?
1.) Die Koͤrper reiben ſich meiſtentheils an gleichar⸗
tigen Thbeilen meht als an andern.

(4) Inſltut. Phyt. Cap. K. de atiritn g. 405.
() Eben daſelbſt.
(e) Les Memoires de l'Academie Royal de l'année 1699.
(4) l'Hiſtoire de même année.
(e) Berlin 1. Band.
(V) l'Hiffeire de l'Acad Royal ann. 1700 und 1704.
(£) Waſſerbaukunſt 1. B. 2. K.

200 ü en

2.) Der Stahl reibt am wenigſten au Meßing,
ſtaͤker auf Bley, noch ſtaͤrker auf Kupfer, am ſtaͤrk⸗
ſien auf Stahl.
3.) Das Holz reibt ſich mehr, wenn der Körper uͤber

die Fibern Quer, als in gleicher Richtung mit ihnen bewegt
wird, u. ſ. w.

II. Mittel wider das Reiben. Ages bilſt
wider das Reiben, was immer die Urſache des Reibens tilgt

oder vermindert, wennn
1.) Die Oher ſlaͤche des berührenden Koͤrpers ver⸗
2.) wenn die Oberflaͤhe glakt gemacht, oder die
Vertiefungen durch einen weichen und ſchlupfrigen Koͤrper aus⸗
gefullet werden,
3.) wenn Koͤrper von verſchiedener Art vereinigt wer⸗
den (I. 2.),
4.) der Bewegung eine bequemere Richtung gegeben wird
(I. 3.),
3.) wenn die Koͤrper nicht ſo faſt uͤbereinander hinglitſchen,
als vielmehr gedreht werden.

* Auch in dieſen Mitteln rathet die Erfahrung Aus⸗

naͤhme; ſo z. B. nuͤtzt die Fette nichts, wenn Holz auf

Holz gerieben wird⸗

Drit⸗

der

g
Hen
den

ſch⸗

er

t

,

.
üe 201
Drittes Kapitel.
Geſetze der fluͤßigen Koͤrper.

§. 200.

Hier kann blos von dem Gleichgewich⸗
te der fluͤßigen Koͤrper in einer groͤßern
Maſſe die Rede ſeyn. Benn die kleinſten Theilchen
der fluͤßigen Koͤrper, in ſoweit ſie ſchwer, und als kleine feſte
Koͤrperchen anzuſehen ſind, folgen im Gleichgewichte den feſten

Koͤrpern (K. vorh.). Ferner wie ein einzelner Tropfe ru⸗

hen, wie ſeine Figur nach Verſchiedenheit der Koͤrper, an
denen er haͤngt, verſchieden ſeyn muͤſſe, davon haben wir
ſchon im erſten Theile das Noͤthige geſagt (§9. 64⸗ 65. 66. 67.).

Von dem Drucke und Gleichgewichte
uͤberhaupt.
§. 201.
I. Hauptſatz. Der ſenkrechte Druck
eines gleichdichten Koͤrpers iſt in jedem
Horizontalſchnitte, und auf dem Grund⸗
ſchnitte ſelbſt, wie die Perpendieulaͤrhoͤhe.
Eine ruhige Maſſe eines flußigen Koͤrpers zu denken, muß
man alle Theile oder ſenkrecht, oder ſchief aufeinander liegen
denken. In der ſenkrechten Lage iſt der Druck und die Viel⸗
heit der Theile wie die Hoͤhe, in der ſchiefen iſt zwar die
Vielheit der Theile wie die Laͤnge, aher die Gewalt des

Druckes, wie die Hoͤhe ( 147.).

§. 202

3
202 ee eeee.
§. 202.

II. Hauptſatz. Wenn fluͤßige Koͤr⸗
per von verſchiedener Dichtigkeit in Ver⸗
gleich kommen, verhaͤlt ſich ihr ſenkrechter
Druck P wie das Produkt aus der Hoͤhe
A, und der ſpecifiſchen Schwere, P= AG.
Der Druck entſteht aus der Schwere, und Zahle der uͤber⸗

einanderliegenden Theile, die der Hoͤhe proportionaͤl iſt: folg⸗
lich P = GA.

Falgeſa he⸗ I. Die Oberflaͤche aller

fluͤßigen Koͤrper muß mit der Horizontal⸗

flaͤche Parallel ſeyn. Denn ſonſt entſtunden Vertie⸗
fungen, und Erhoͤhungen, die allemal den Druck verſchieden,
und die Ruhe unmoͤglich machen.

II. Laͤßt ſich der fluͤßige Koͤrper zu⸗
ſammen drucken; ſo kann der Druck auch
im naͤmlichen Koͤrper durch die Hoͤhe al⸗

lein nicht gemeſſen werden. Denn nicht nur Hoͤhe,
ſelbſt die Dichtigkeit der tiefliegenden Theile muß berachtl⸗
cher werden.

§. 203.

III. Hauptſatz. Der Druck iſt durch

die ganze Hortzontalflaͤche in jeder be⸗
ſtimmten Hoͤhe gleich Jeder gedruͤckte Theil drückt
mit der naͤmlichen Gewalt zurücke, mit welcher er gedrückt
wird. Nun aber jeder Theil wird nicht nur nach ſenkrech⸗
ter, ſondern nach jeder moͤglichen Richtung wegen der erſtaun⸗
chen Theilbarkeit und Feinheit der kleinſten Theik⸗
chen

A
Unt

hen
no
Ge
oben

o

Ge⸗
le⸗
ni
han

e S 2 2* 203

chen gedruͤckt; und wuͤrde wegen der Fluͤßigkeit auch
nach jeder Richtung bewegt werden, wenn nicht von allen
Seiten ein gleicher Widerſtand entgegen wirkte. Wie koͤnnte

aber dieſer Widerſtand durchaus gleich ſeyn, wenn nicht alle

Theile nach alen Richtungen mit gleicher Gewalt
gedruͤckt waͤren? Mithin ꝛc.
I. Da die fluͤßigen Theilchen auch an die Waͤnde des
Gefaͤßes bingedruckt werden, und dieſe hindruͤckende Gewalt
allemal im Verhaͤltniſſe mit der Hoͤhe ſteht; druͤcken auch die
Waͤnde mit gleicher Gewalt zuruͤcke. Es iſt alſo das

naͤmliche, ob ein Waſſertheilchen unmittel⸗

bar auf die Waͤnde des Geſchirrs, oder auf

andere Waſſertheilchen druͤcke.

II. Es mag das Geſchirr gleichfoͤrmig, oder aber oben oder
unten weiter ſeyn (vas divergens); ſo muß dennoch der
Druck in jedem Theile der naͤmliche ſeyn,
ſo lang die naͤmliche Hoͤhe bleibt (§. 147.).
III. Auch die Neigung, Kruͤmmung,
und was immer fuͤr ein Form des Ge⸗
ſchirrs aͤndert den Druck bey gleicher Hoͤhe
nicht.
IV. Selbſt dort bleibt der naͤmliche
Druck, wenn ein kleines Rohr in ein groͤ⸗
ßers Geſchirr hineingeſenkt iſt, und dieß
vollkommen ſchließt (Fig. XVI.) Denn z. B. die
kleine Waſſerſaͤule ab druͤckt auf das Waſſer in dem Geſchir⸗

Pre, wie ihre Hoͤhe, und die ſpeeifiſche Schwere iſt, und muß

ſo lang herunter ſinken, bis der Widerſtand des uͤbrigen Waſ⸗
ſers dem Drucke gleich koͤmmt. Ruht einmal die Saͤule a b,
Zweyter Theil. O muß

204 NS Eü eee

muß in jeder Hoͤhe des ganzen Geſchirrs der Druck, wie die
Hohe der Waſſerſaͤule in dem engen Rohre ab ſeyn, das iſt,

vollkommen jenem Drucke gleich, welcher erfolgen mußte, wenn

ein gleichoͤrmiges Geſchirr A BDC mit Waſſer in gleicher Hoͤ⸗
be z. B. bis cd gefuͤllet waͤre. Aus eben dieſem Grunde muß
der Deckel EFG mit jener Gewalt in die Hohe gedruckt wer⸗
den, als die Gewalt von EGà mit ſich braͤchte.
2 Obſchon der Druck auf den ganzen Boden AB dem
Produkte des Bodens und der Hoͤhe der kleinen Waſſer⸗
ſaͤule gleich iſt; ſo kann dennoch der Druck des Geſchirrs
auf den Unterſatz nicht groͤßer als das Gewicht des Ge⸗
ſchirrs, und die Maſſe des Waſſers ſeyn. Denn der Bo⸗
den haͤngt mit den Seiten des Geſchiers zuſammen, und
dieſer Zuſammenhang ertraͤgt den ganzen Druck. Ein
deweglicher Boden würde einen Ausnahm machen⸗
§. 204. .
In zweyen oder mehrern Geſchirren; die durch einen
Kanal verbunden ſind, erhaͤlt der fluͤßige Koͤrper
ſein Gleichgewicht; wenn das Produkt
der ſpeciſiſchen Schwere und der Hoͤhe in
einem dem Produkte in dem andern Ge⸗
ſchirre gleich iſt. Denn auf ſolche Art iſt Druck und
Gegendeuck einander gleich (5§. 202.)⸗

1. Wenn alſo die flußigen Koͤrper an der ſpecifiſchen

Schwere gleich ſind, wird das Gleichgewicht von
gleichen Hoͤhen beſtimmt.
II. Iſt aber die Schwere verſchieden,
ſo haͤlt ſie mit den Hoͤhen verkehrte Pro⸗
por⸗

T——22—— — — —

— , —

„

eS ü eee 05

portion; denn wenn P: p = AG ag, muß A: a =
: G ſeyn, um das Gleichgewicht herzuſtellen.
III. Laͤßt ſich der fluͤßige Koͤrper, z. B. die Luft zuſam⸗
mendruͤcken; ſo kann im Gleichgewichte mit ei⸗
nem andern weder auf ſeine Dichtigkeit,
noch auf die Hoͤhe richtig gefolgert werden;
Denn die ſpeeifiſche Schwere waͤchſt mit der Hoͤhe, und die
Hoͤhe nimmt nach Maaße des Zuſammendruckes nicht genau ab.
EEin einziger Fall fodert Ausnahm; naͤmlich, wenn
beede Koͤrper gleich ſtark zuſammen gedruͤckt wuͤrden, und
das Zuſammendrücken mit der Hoͤhe genau abnaͤhme.

IVV. Alle dieſe Regeln behalten ihre
Richtigkeit, ſo verſchieden die Figur und der Durchſchnitt
des Geſchirrs immer ſeyn kann; denn jedes Theilchen wird in
gleicher Hoͤhe gleich gedruckt, ohne daß die Weite oder Enge
des Geſchirrs eine Aenderung machen kann.
* Das iſt der Grund des anatomiſchen Hebers.
V. Wird in einem Geſchirre durch Zugießen die Hoͤhe
vermehrt; muß ſie auch in dem andern vermehret werden.
* Hier moͤchte man zweifeln, ob, wenn (Fig. XVII.)
in dem Rohre ab Waſſer aufgegoſſen wird, die ganze
Saͤule ed, oder nur mn erhoͤhet werde, und alsdenn in
der Oberflaͤche zerfließen muͤtze. Ich antworte: wenn das
Waſſer in das kleinere Rohr zu geſchwind aufgegoſſen
wird, als daß es ſich in op nach Maaß der Geſch vindig⸗
keit vertheilen koͤnnte, oder wenn die Hoͤhe 0m eben nicht
betraͤchtlich waͤre; wird die kleinere Saule in der
Mitte allein erhoͤhet, weil das zugegoſſene Waſſer
Macht genug hat, die mittlere Saͤule unmittelbar zu er⸗
O 2 theile

206 e ee

theile wird die kleinere Saͤule zwar in etwas, doch un⸗
merklich, erhoͤhet, und hernach durch den etwas ſtaͤrkern

Druck die nachfolgenden Theilchen ſeitwaͤrts fließen ma⸗

chen. Dieſe Erklaͤrung rechtfertiget folgender Verſuch⸗
Ich füllte das engere Rohr mit ſchwarzen undurchſichti⸗
gen, das weitere mit hellem Waſſer. und ſtreute auf die
Oberflaͤche kleine Erdetheilchen hin. Das ſchwarze Waſ⸗
ſer zerfloß unten in der Horizontalrichtung; in der Ober⸗
flaͤghe aber entſtund nur alsdenn eine Bewegung, wenn
oder das Eingießen des Waſſers mit groͤßerer Geſchwin⸗
diskeit geſchah, oder die Hoͤhe im groͤßern Geſchirre ziem⸗
lich klein war.
* * Pou dieſen Geſetzen verſpricht ſich die Erklaͤrung
der Waſſerleitungen in der Partikularphyſik große Dienſte.
Auch in der allgemeinen Phyſik werden wir bald her⸗
nach die Beſtimmung der ſpecifiſchen Schwere in verſchie⸗
denen fluͤßigen Koͤrpern aus dieſen Gründen herholen⸗
Itzt reden wir

Vom Gleichgewichte an den Waͤnden
der Gefaͤße, und in den Haarroͤhrchen.
§. 26 5. .Z
Wenn die Materie der Gefaͤßen die
Theile des fluͤßigen Koͤrpers ſtaͤrker oder
ſchwaͤcher anzieht, als ſich dieſe unterein⸗
ander anziehen (§K. 64. 65.); kann die fluͤßige
Oberflaͤche unmoͤglich horizontal ſeyn.
Denn wegen der Schwere alein ſtuͤnde der Koͤrper in

einer vollkommnen Horizontalebne (§. 202.). Kommen nun zur

Schwere noch andere Kraͤften hinzu; muß der fluͤßige Koͤrper
ſich

—0 -2 —

6E e 207

ſich gegen die Waͤnde oder erhoͤben, oder vertiefen, je nach⸗
dem die Waͤnde mit ſtaͤrkerer oder ſchwaͤcherer Gewalt den
fluͤßigen Koͤrper anziehen, als ſich deſſen Theile ſelbſten un⸗
tereinander anziehen.
I. Sowohl in der Erhoͤhung als Vertiefung der fluͤßi⸗
gen Tbeilchen kömmt es lediglic auf das Uebermaaß
der Kraͤften an.
II. Wie nun dieſes Uebermaaß bey verſchiedenen Ge⸗
ſaͤßen und fluͤßigen Koͤrpern verſchieden iſt; alſo muß

auch der Grad von Erhoͤhung oder Ver⸗
tiefung verſchieden ſeyn.
uII. Indeſſen kommen bloß die aͤuſſerſte
Theile der Gefaͤße mit in die Rechnung;

denn nur dieſe wirken auf den fluͤßigen Koͤrper. 3. B. in ei⸗
nem vorgoldeten Becher muß man nur auf das Gold, in ei⸗
nem mit Fette überſchmierten Glaſe nur auf die Fette ſehen.

* Warum wird etwa ein Luſtblaͤschen, auch in einer
ziemlichen Entfernung gegen die Waͤnde des Gefaͤßes
hingetrieben? Liegt vielleicht in den anziehenden Kraͤften
der Waͤnde der Grund? — Allein die Entfernung iſt zu
groß, und die anziehende Kraft aͤußert ſich nur in den
kleinſten Abſtaͤnden. Ich glaube, das Luftblaͤschen werde
von dem Waſſertheilchen ſelbſt gezogen, nicht als wenn
ihre Kraft ſtaͤrker waͤre, ſondern weil ihrer mehrere von
der Anhoͤhe wirken. Eben darum mag es geſchehen, daß
in einer converen Oberflaͤche dergleichen Luftblaͤschen von
den Waͤnden gegen die Mitte bewegt werden, und uur
dort ruhen koͤnnen.

§. 206.

203 E H eeee
§. 206.
Ein Haarroͤhrchen heißt jedes Roͤhrchen, deſſen
Durchmeſſer 1 nicht übertrift. Man kann es aus lauter
Ringen zuſammengeſetzt denken. Je nachdem dieſe Ninge
gleich ſind, oder es nicht ſin; nennt man die Haarroͤhrchen
gleichfoͤrmige, oder ungleichfoͤrmige.
Verſuche. I. Beynahe alle Naterien laſſen ſich
zu Haarroͤhrchen arbeiten.
II. Das naͤmliche Haarroͤhrchen zieht fluͤßige Koͤrper
von verſchiedener Art verſchieden an.
III. Der naͤmliche fluͤßige Koͤrper wird von Haarroͤhr⸗
chen verſchiedener Art verſchieden angezogen (§H. 64. 65. 67.):
IV. Zre Figur leidet auch allerhand Geſtalten.

§.⸗ 207.
I. Hauptresel. Der fluͤßige Koͤrper
kann in den Haarroͤhrchen nicht gleiche
Hoͤhe mit der uͤbrigen Oberflaͤche haben,
wenn er von der Materte des Roͤhrchens
ſtaͤrker, oder ſchwaͤcher angezogen wird,
als ſich ſeine Theile ziehen. Denn im erſten
Falle entſteht eine Erpöhung, im zweyten eine Vertiefung
(5S. 205.).
* Die Verſuche, welche Stoff zum Beweiſen herge⸗
ben, ſind meiſtentheils mit den glaͤſernen Haarroͤhrchen
angeſtellt. Deutlichkeit halber werde ich mich im Beſtimmung
der Geſetze auch nur glaͤſerner Roͤhrchen bedienen, ohne
der Allgemeinheit der Beweiſe zu nahe zu kommen;
die Anwendung auf andere Roͤhrchen bleibt immer eine

leichte Sache⸗
§. 208.

E üe 209
§. 208.
II. Hauptregel. Nur jener Ring
des Roͤhrchens, der an dem Waſſer oben
unmittelbar der naͤchſte iſt, kann die Erhoͤ⸗
hung des Waſſers bewirken. 2.) Und bey
der Erhoͤhung muß Schwere und Zuſam⸗

menhang der Waſſertheilchen unter ſich
uͤberwunden werden. Denn die Ringe unter

der Oberflaͤche des Waſſers koͤnnen die Erhoͤhung des Waſſers
nicht bewirken; weil ſie die unter ſich ſtehende Waſſerflaͤche
nicht ſtaͤrker aufwaͤrts, als die ober ſich ſtehende abwaͤrts zie⸗

hen. Auch jene Ringe die ober der Waſſerflaͤche weiter

entfernet ſind, koͤnnen unmoͤgiich der hinlaͤngliche Grund zur
Erhoͤhung des Waſſers ſeyn, gauf das ſie nicht wirken koͤn⸗

nen, bis es durch andere Urſachen in kleinere Abſtände heran

gezogen wird. Alſo kann nur durch jene Ning, der an
der Oberflaͤche des Waſſers der naͤchſte iſt, die Erboͤhung
des Waſſers wirklich werden. Der zweyte Theil des Satzes
iſt vor ſich ſelbſt klar genug; denn die Erhoͤhung ei⸗
niger Waſſertheilchen laͤßt ſich unmoͤglich ohne aue Trennung
von den uͤbrigen denken. Dieſe Trennung fodert Ueberwin⸗

dung des Zuſammenhanges, und der Schwere,

als ein nothwendiges Bedingniß zur Bewegung in entgegen

geſetzter Richtung.

I. Die Erhöhung geſchieht alſo nicht durch die
ganze anziehende Kraft des anziehenden
Ringes, ſondern nur durch das Ueber⸗
maaß dieſer Kraft uͤber iene des Zuſammenhanges⸗

II. Wenn

210 e2 20 3*

II. Wenn ich alſo die ganze Kraft des Roͤhrchens = V,

und jene der Waſſertheilchen = v annehme, gleicht die erhoͤ⸗
hende Kraft = V=— v, welche ich hinfuro = W nennen werde.
III. Iſt das Gewicht des erhoͤhten Koͤrpers der Kraſt
W gleich; ſo wird die Bewegung unmoͤglich.
Denn auch die fernere Erhoͤhung geſchieht nur durch das Ueber⸗
maaß der Kraͤften.
* Die Geſetze der Haarroͤhrchen kuͤrzer zu beweiſen,
will ich die erhoͤhenden Kroͤtten W: vr, die Hoͤhen der
fluͤßigen Koͤrper in den Roͤhrchen uͤber die uͤbrige Ober⸗
flaͤche A, a, die ſpecifiſche Schwere C ,g, die Durch⸗
meſſer D, d, und die Gewichte P, p nennen.

IV. Haben die Roͤhrchen ungleiche Durchmeſſer; iſt
die erhoͤhende Kraft = WD. Denn die Kraft
waͤchſt wie die Vielheit der Theile, und dieſe wie die Peri⸗
pherie, oder, was eines iſt, wie der Durchmeſſer.
V. Der ſtußige Koͤrper wird ſich ſo lang in das Roͤhr⸗

chen erhoͤben, bis P, Z WD (III.). Es iſt alſo WD: wd

= P: p.
VI. Das Gewicht der erhoͤhten Saͤule gleicht dem Pro⸗
dukte des Innbegrifes in die ſpecifiſche Schwere; der Innbe⸗
grif aber gleicht dem Produkte der Hoͤhe in das Quadrat des
Durchmeſſers A Dz. Mithin iſt P = ADza G, und
WD: wd = P: p = AD⸗G; adag.
VII. Iſt G = g, wird
WD: wd = p: p = ADa: ada.
VIII. Wenn D = d, iſt
W: w = AG z ag, und
W w
A: a = 86
d. j.

e. ie ee
d. i. in den Roͤhrchen von gleicher Materie und gleichem
Durchſchnitte ſind die Hoͤhen der fluͤßigen Koͤrper mit den

erhoͤhenden Kraͤften im geraden, mit der ſpecifiſchen Schwere
im verkehrten Verhaͤltniſſe. DMM

§. 209.

IX. Sind aber die Roͤhrchen nur in dem Durchmeſſer
ungleich; iſt A: a = d: D. Denn

P : p = WD: w d (§. vorg. V.), und
P : p = ADa: ad⸗ (5. vorg. VII.): mithin iſt
ADa; ade = WD; w d,
D 7d .—
34 A: a = — — zund weil W= weaeſetzt wird,
1 1
— d D.
Mithin AD = ad.
§. 210.

X. In den naͤmlichen Roͤhrchen (5. vorg.) ſind die
Quantitaͤten der fluͤßigen Koͤrper, oder Q: q = D: d. Denn
Q = P: p
= AD?: ada; und weil AD=ad (§. vorg.),
—AD-:⸗ ad⸗
— AD ad3d
= D : de

* Die Allgemeinheit dieſer Geſetze leidet nicht dabey;
man mag die Roͤhrchen in ſchiefer oder ſenkrechter Rich⸗
tung in den fluͤßigen Koͤrper hineinlaſſen. Nur das iſt
im erſten Falle zu bemerken, daß W nicht das ganze
Gewicht,

212 NE
Gewicht, ſondern nur die reſpective Schwere (5§. 147.)

bewegen, und nur mit dieſer das Gleichgewicht halten

*

muſſe.
* * Ferner haben wir bisher nur von gleichfoͤrmigen
Roͤhrchen (§. 206.) gehandelt; von dem Beſondern der
ungleichförmigen reden wir im folgenden §.
§. 211.
III. Hauptregel. Der fluͤßige Koͤr⸗
per wird in einem ungleich foͤrmigen Roͤhr⸗
chen von den Ringen, derer Durchmeſſer
kleiner ſind, mit groͤßerer Gewalt gezogen.
Denn obgleich in dem groXͤßern Ringe (§. 208. IV.) die ganze
Kraft fuͤr ſich betrachtet agroͤßer iſt, ſo wirkt doch
die Kraft im kleinern Ringe auf jeden beſtimmten
Theil des fluͤßigen Koͤrpers ungemein ſiaͤrker; weil der
naͤmliche Theil des flußigen Koͤrpers, je kleiner die Abſtaͤnde
von den Theilchen der Roͤhrchen ſind, von deſto mehrern Thei⸗
len angezogen wird.
* Weinprecht giebt davon einen geometriſchen Be⸗
weis Comment. Acad. Petrop. Tom. INX. 1737. 9. 19.

1. Wenn in den Roͤhrchen der Durchmeſſer mit der

Hoͤhe abnimmt; muß der fluͤßige Koͤrper nothwendig hoͤher

ſteigen.
II. Nimmt er mit der Hoͤhe zu; wird das Waſſer von
jedem kleinern Ringe mit einem kleinen Uebermaaße zurück
gehalten.
II. Im erſten Falle geſchieht das Aufſteigen mit groͤße⸗
rer Geſchwindigkeit als im zweyten.
* Hier

SEE e e 213

* Hier liegt der Grund jenes bekannten Verſuches.,
welchen H. Jurin zuerſt mit 3 Haarroͤhrchen angeſtellt,
derer eins gleichföͤrmig, zwey ungleichfoͤrmig waren, doch
ſo, daß bey einem der Durchmeſſer mit der Hoͤhe zu,
bey dem andern ordentlich abnahm. Das Waſſer ſtand
in allen dreyen ruhig dort, wo die Ringe gleich waren.
** Nach dieſen Geſetzen wird unſchwer erklaͤrt, daß
ſich die fluͤßigen Koͤrper nicht nur an der Oberflaͤche der
feſten anhaͤngen, ſondern auch in die Zwiſchenraͤume drin⸗
gen, wie z. B. das Oel in den Dacht, das Waſſer in
Holz, Leder, Leinwand, Wolle, Schnee ꝛc.

§. 212.
Fernere Beobachtungen in den ge⸗
kruͤmmten Haarroͤhrchen.

I. Wenn der Arm ad eines gekruͤmmten Haarroͤhrchens
adc (Fig. XVIII.) eine kleinere Hoͤhe hat als jene iſt, wel⸗

che ſonſt der erhoͤhte fluͤßige Koͤrper in dieſem Haarroͤhrchen

erreichen wuͤrde, und in den flüͤßigen Koͤrper geſtoſſen wird;

ſo wierd nicht nur der Arm ad, ſondern

auch der abwaͤrts ſtehende de ganz gefuͤllt;
ſo lang er immer iſt. 2.) Wenn aber die Hoͤhe des einge⸗
ſenkten Armes jene uͤbertrift, in die ſich ſonſt der fluͤßige
Koͤrper erhebt; wird das Roͤhrchen nur bis zur
gewoͤhnlichen Hoͤhe gefuͤllt.
II. Haͤlt man ein ſo gekruͤmmtes und gefuͤlltes Roͤhr⸗
chen in der Luft frey, und iſt die Differenz der Hoͤhen be
nicht groͤßer als jene, zu der ſich ſonſt das Waſſer erhebt;
ſo fließt nichts heraus. 2.) Iſt ſie aber groͤßer,
ſo

214 NBe EH e

ſo waͤhrt das Herausfließen ſo lange,

bis der fluͤßige Koͤrper in der ſonſt gewoͤhnlichen Hoͤhe ſteht.
III. Bleibt aber der einte Arm in dem fluͤßigen Koͤr⸗
per; fließt er immer durch den andern Arm: wenn anders
ſeine Oeffnung um eine und die andere Linie uͤber die Ober⸗
flaͤche des fluͤßigen Koͤrpers außer dem Geſchirre hinunter
reicht, z. B. bis in e⸗

§. 213.

Zureichender Grund dieſer Beobach⸗

tungen.

I. Nicht nur ein Arm, ſondern auch
der andere muß ganz gefuͤllet werden,
wenn der eingeſenkte ad nicht ſo hoch iſt, als anſonſt die
Hoͤhe des fluͤßigen Koͤrpers in dergleichen Roͤhrchen austruͤge⸗
Denn das Aufſteigen des flußigen Koͤrpers dauert ſo lange,
bis W = P wird. Nun aber dieß bleibt im gegebenen
Falle unmoͤglich.

II. Hat aber der eingeſenkte Arm eine

groͤßere Hoͤhe, ſo wird W = P, ehe der ganze Arm
gefuͤllet iſt.

* Die Sache deutlicher zu erklaͤren, muß man ſich
zuvor üͤberzeugen, daß der letzte Ring des Haarroͤhr⸗
chens, durch den ſich der fluͤßige Koͤrper au sgießen ſoll,
zum wirklichen Ausfließen eben nichts beytrage.
Denn ſo bald das Waſſer unter dieſen Ring koͤmmt, zieht
er es mit der naͤmlichen Gewalt zuruͤcke, mit der das
ober ihn ſtehende von ihm abwaͤrts gezogen wird. 2.) Iſt
durch die einte Oeffnung kein Ausfließen moͤglich, ohne
daß

0 215

daß der flüßige Koͤrper oder von der anderten Oeffnung,
oder aber von ſich ſelbſt getrennet werde. Nun aber
beydes bleibt ſchlechterdings unmoͤglich; denn die anzie⸗
de Kraft bey a, wo die Abſoͤnderung geſchehen muͤßte,
iſt dem Gewichte des fluͤßigen Koͤrpers in der angezeigten
Hoͤhe gleich (W = P §. 208. V.). Iſt nun be kleiner,
ſo kann die Kraft bey a von dem fluͤßigen Koͤrper in be
unmoͤglich überwunden werden. Und dennoch müͤßte das
geſchehen, wenn bo jene Hoͤhe uͤbertrift, welche ſonſt
der fluͤßige Koͤrper in dieſem Roͤhrchen erreichen wuͤrde.
In dieſem Falle wüuͤrde ja das Gewicht des fluͤßigen Saͤul⸗
chens groͤßer ſeyn, als die zuruͤckhaltende Kraft des Rin⸗
ges a (5§. 208. III.). Auch eine Abſoͤnderung in d
oder anderswo von fluͤßigen Theilen iſt unmoͤglich;
einmal, weil der Zuſammenhang des fluͤßigen Koͤr⸗
pers an und vor ſich erklecklich iſt, ſein eigenes ganzes
Gewicht in der gewoͤhnlichen Hoͤhe zu tragen. Her⸗
nach; weil dadurch offenbar ein luſtleerer Raum ent⸗
ſtehen muͤßte, das fuͤr ſich unmoͤglich iſt, wie wir unten
zeigen werden. Es muß auch niemand irre machen, daß
ich nur das Gewicht in be; und nicht jenes von dem gan⸗
ganzen Arm doe berechne, wenn von der Gewalt auf den
Zuſammenhang in a die Rede iſt. Denn db iſt mit a d
im Gleichgewichte, und kann zur Ueberwindung des Zu⸗
ſammenhanges mit a eben nichts beytragen.

III. Durch eine ganz kleine Differenz

(§. vorg. III.) der Armeshoͤhen muß das Aus⸗
fliesen bewirket werden; weil nicht der Zuſam⸗
menhang mit einem Ringe des Roͤhrchens, ſondern nur jener

der

216 60ee
der fluͤßigen Theilchen unter ſich, und zwar nicht der Zuſam⸗
menhang einer ganzen Lamelle, die einen Ring des Roͤhrchens
ausfuͤllt, ſondern nur deſſen Peripherie allein muß uͤberwun⸗
den werden. Denn nur in der Peripherie wird dieſe Lamelle
von andern fluͤßigen Theilchen abgeſoͤndert. Dazu erkleckt ein
ganz kleines Gewicht; und wie durch dieſes das wirkliche
Ausfließen anfaͤngt, alſo muß es auch fortgeſetzt werden, ſo
lang die Oeffnung des kuͤrzern Armes den fluͤßigen Koͤrper
beruͤhrt.

* Alle dieſe Erklaͤrungen zeigen ganz deutlich, wie

vergeblich viele Phyſiker die Urſache dieſer Beobachtun⸗

gen in dem Drucke der Luft geſucht haben.
* * Ueber gegenwaͤrtige Materien kann man Mu⸗
ſchenbroͤck Diſl. Phyſ. Experim. C. V. Exper. I. II.
III. XIII. Joſeph Weinbrecht in Actis Academ.
Reg. Petrop. Tom. IX. ad an. 1737;, Sirgogne Inſtit.
Phyſ. Newton. und meine Abhandlung de vaſis capil-
laribus P. I. C. II. nachleſen.
** Die Anwendung dieſer Materie macht die ſon⸗
derbare Phyſik in dem Thier⸗ und Pflanzenreiche.

Von dem Gleichgewichte der flußigen
Koͤrper mit den feſten.

§. 214.
I. Hauptſatz. Ein feſter Koͤrper,
auf den fluͤßigen hingelegt, muß ſich in
dieſen ſo lang hineinſenken, und abwaͤrts
ſteigen, bis der von ſeinem Innbegrife aus⸗
ge⸗

tte
ets
un⸗
ſele
eit
iche

ther

e e 217

geſchloſſene fluͤßige Theil ein ſolches Ge⸗
wicht erhaͤlt, das dem eingeſenkten gleich
koͤmmt. Denn der feſie Koͤrper ſenkt ſich ſo lang, bis die
entgegenwirkende Kraft feinem Gewichte gleicht. Run aber
Wirkung und Gegenwirkung wird nur im angenommenen
Falle einander gleich.
I. Hat der feſte Koͤrper mit dem fluͤßi⸗
gen einerley ſpecifiſche Schwere; wird er
ruhen, alsbald er ganz eingeſenkt iſt. Denn

ſchon dort gleicht das Gewicht des auazeſchloſſenen flußigen

Koͤrpers jenem des eingeſenkten.

II. Iſt er aber ſpecifiſch leichter, als

der fluͤßige; wird eine vollige Einſenkung

unmoͤglich: weil die Gleichung zwiſchen dem Gewichte des

eingeſenkten und des ausgeſchloſſenen Korpers ſchon eher ihre

Wirklichkeit erhaͤlt.

* Daher die Einſenkung deſto kleiner wird, je groͤßer
das Uebermgaß der Schwere im flüßigen Khrper iſt.

III. Waͤre er endlich ſpecifiſch ſchwerer,
muͤßte er nothmendig zu Boden fallen,
wenn anders der fluͤßige Koͤrper durchaus gleich dicht iſt.
Denn in dieſem Falle kann die Gegenwirkung niemal ſeinem
Gewichte gleich kommen.
IV. Hat der fluͤßige Koͤrper in groͤßerer Hoͤhe groͤßere
Dichtigkeit; ſo muß der ſeſte Koͤrper ſo lange ſinken, bis
ſeine und des Fluͤßigen Schwere gleich werden. Aber
auch dort kann er wegen der Geſch hwindig⸗
keit,

218 üe eee
keit, die er im Fallen erhalten hat, nicht
ſo gleich, ſondern erſt nach wiederholten
und immer abnehmenden Schwingungen
(5§. 28. III.) ruhen.
* Aus dieſen Geſetzen laͤßt ſich erklaͤren,
1.) warum ein Schif nicht untergehe,
2.) und, wenn es ſchwerer beladen iſt, tiefer,
3.) endlich aber gar verſenket werde;
4.) wie die Fiſche in dem Waſſer auf und abſteigen,
5.) Was das Verhaͤltniß der ſpecifiſchen Schwere zum Flug
der Voͤgel beytrage,
6.) wie es mit der Bewegung des Carteſianiſchen Teufels
bergehe,

7.) wie in dem naͤmlichen Waſſer der erwaͤrmete Koͤrper

ſteige, und der erkaltete falle,
3.) warum ein Kadaver untergehe, bey angehender Faͤul⸗
niß wieder aufſteige, und hernach wieder zu Boden ſinke⸗
9.) wie und wann ein Thier im Waſſer ſchwimme,
10.) Warum metallene Gefaͤße im Waſſer nicht unterge⸗
hen, und endlich
11.) wie man die Waſſer⸗Wein⸗und Salzwaage verferti⸗
geen und gebrauchen muͤſſe.

§. 215.
II. Hauptſatz. Der Innbegrif des
ins Waſſer geſenkten Theiles verhaͤlt ſich
zum Innbegrif des ganzen Koͤrpers, wie

die ſpeeifiſche Schwere des feſten zu jener

des

dee
Rr
D
ſeie

i

ſes

eg een e

des fluͤßigen Koͤrpers im Falle daß dieſer
ſpecifiſch ſchwerer iſt. Das Gewicht des ganzen fe⸗
ſten Koͤrpers iſt dem Gewichte des ausgeſchloſſenen Waſſers
vollkommen gleich (5§. vorg.); mithin iſt die ſpecifiſche Schwere
des Waſſers zu jener des feſten Koͤrpers verkehrt, wie der
Innbegrif des feſten Köoͤrpers zum Innbegrif des ausgeſchloſ⸗
ſenen Waſſers. Es iſt aber auch der Innbegrif des Waſſers
jenem des eingeſenkten Theiles gleich; mithin muß ſich der

Innbegrif des ganzen Koͤrpers zu jenem des eingeſenkten Thei⸗

les, wie die ſpecifiſche Schwere des Waſſers zu jener des ein⸗
geſenkten Koͤrpers verhalten, d. i. wenn ich die Innbegrife
V „V; und die Schwere G, g heiße, wird G: g = v: V ſeyn.
I. Ich kann alſo aus der vorber bekannten Proportion
der ſpecifiſchen Schwere ausfindig machen, wie weit z.
B. ein Schiff muͤſſe eingeſenkt werden,
oder, wenn die Einſenkung bekannt iſt, wie ſich die ſpe⸗
cifiſchen Schweren untereinander verhalten.
II. Eben ſo kann man aus dem bekannten Gewichte

des ganzen Schiffes, und dem Gewichte eines Cubickſchuhes

vom Waſſer die Grade der Einſenkung, oder
aus dieſem, und aus der Schwere eines Cubickſchuhes vom
Waſſer das Gewicht des ganzen Schiffes

leicht angeben. Denn wenn man den Innbegrif eines Cubick⸗

ſchuhes = v und ſeine Schwere = p, den Innbegrif des

eingeſenkten Theiles = V⸗ und die Schwere des ganzen Schif⸗
V
fes = P vonniumt, wird P: *= = V: v; P = —, und
V= — — ſeon. = =S”
Zweyter Theil. 44 6. 2r6.

20% N 35 ün e
§. 216.

III. Hauptſatz. Die Wirkung des in
einen fluͤßigen eingeſenkten Koͤrpers auf

das, an dem er haͤngt, oder zuvor gehan⸗
gen hat, nimmt in dem naͤmlichen Ver⸗

haͤltniſſe ab, in welchem das Gewicht des
ausgeſchloſſenen fluͤßigen Koͤrpers zunimmt.
Denn die Wirkung des flüͤßigen auf den feſten gleicht dem
Gewichte des ausgeſchloſſenen (§. 214.); mithin traͤgt
der fluͤßige Koͤrper ſo viel, als ſein Ge⸗
wicht ausmacht, d. i. die Wirkung auf das, auf was
der feſte Koͤrper vorher gewirket hat, nimmt im naͤmlichen
Maaße ab, in dem das Gewicht des ausgeſchloſſenen zunimmt⸗
1. Iſt alſo der eingeſenkte Koͤrper oder von gleicher
oder gar von kleinerer ſpecifiſchen Schwere als der fluͤßige,
wird jener ganz von dieſem getragen; folg⸗
lich iſt alle Wirkung auf einen andern Koͤrper unmoͤglich.

II. Iſt aber ſeine ſpeeifiſche Schwere groͤßer, ver⸗
liert er nur einen Theil ſeiner Kraft auf
andere Koͤrper.

§. 217.
uI. Der Verlurſt des Gewichtes in
dem naͤmlichen Koͤrper, wenn er in mehrere
flußige Koͤrper von verſchiedener Schwere
ganz verſenkt iſt, verhaͤlt ſich wie die ſpecifi⸗
ſche Schwere eben dieſer fluͤßigen Koͤrper.

Denn

— — — — —

—=

EE e eee 221

Denn der Innbegrif des ausgeſchloſſenen bleibt immer gleich;
alſo verhaͤlt ſich ſein Gewicht, wie die ſpecifiſche Schwere;
nun aber der Verlurſt iſt dem Gewichte gleich, mithin auch
der Schwere. A: a = G ? g, wenn ich den Verlurſt A, a,
und die Schwere C,‚ heiße.

§. 218.
Iv. Wenn aber verſchiedene Koͤrper
von gleichem Gewichte in dem naͤmlichen
fluͤßigen z. B. im Waſſer gewogen werden,
haben die verlohrnen Gewichter mit der
ſpecifiſchen Schwere der eingeſenkten Koͤr⸗
per ein verkehrtes Verhaͤltniß. Der Verlurſt
des gewichtes iſt dem Gewichte des ausgeſchloſſenen
Waſſers gleich, dieß iſt wie der Innbegrif, weil der
flußige Koͤrper von der naͤmlichen Art angenommen wird. Der

Innbegrif iſt mit der ſpecifiſchen Schwere im verkehrten Ver⸗
haͤltniſſe: mithin ꝛc.

* Wenn ich die Schwere G:g das verlohrne Gewicht
A: a den Innbegriff V: v nenne, erhaͤlt der Bewels die
faßlichſte Form:

A= V
V= T
Mithin auch A =

und G: g = a: A = v: V.
** Dieſe Wahrheiten (5§. vorg. und gegenw.) ſetzen
van Muſchenbroͤck (a) in den Stand, die ſpeciſiſche
d Inhit. Ppyi, P. I. am Enbe.

222 EE E ee
Schvwere der meiſten Koͤrper zu entdecken, wie aus nach⸗
ſtehendem Tabellauszuge offenbar iſt.

Metalle.

Kupfer japoniſcheD”ſ ⸗⸗⸗ ⸗ 9, 000.
ſchwediſches ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 8, 784⸗
geſchlagenes ⸗ =⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 2, 991.
Meßing geſchlagener ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 2 3, 3409
gegoſſene ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 8, 6000.
Silber feines ⸗ -⸗ 2 2 11, 091⸗
Gold feinſtes ⸗ =⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 19, 640.
. Bley deutſches ⸗ ⸗ ⸗ = ⸗ II, 310⸗
engliſches ⸗ „ 2 2 3 11„ 325.

—
— = =

14, 000.

11
1
VU

AQueckſilber deutſches
100 mal mit Gold deſtillirtes 13, 550.
100 mal mit Silber deſtillirtes 13, 590⸗

Steine und Glas.

Achat der engliſche ⸗ 2, Frz.
Bleichrothe⸗— ⸗ 2, 631.
. Diamant = ⸗ -⸗ 2 s z 2 3, 5172
Alabaſter ⸗⸗ = = ⸗ s = z I, 872
Arſenik rother ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 3, 223⸗
. gelber ⸗ =⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 3, 313.
Selenit ⸗ ⸗ ⸗ 2,322
Smaragd ⸗⸗ 3, 95.
Kieſel ⸗⸗ ⸗⸗ ⸗ ⸗ 2, 542.

Sand weißer .„ s 52 ⸗ ⸗ z 2, 631.
Glas

1
N

5

u
N
1

11

U
U
1
U
1
V

„
R

S ü e. 223

Glas weißes engliſches ⸗ ⸗ s s. 3, 510.
gemeines gruͤnes ⸗ s aD s s 2, 666.

Salz e.

Alaun z⸗ z -⸗ -⸗ „ ⸗ s z 1, 714.
Borax = ⸗ ⸗ ⸗ e ⸗ ⸗ e ⸗ 1, 720.
Pottaſche =. 2 * = = g 3/ II 2.
Salpeter ⸗ 2 ⸗ ⸗ ⸗ ⸗= z z 1, 900.
Salmiak z⸗ z s „ z s 1, 453-

Glaubers Wunderſalz „ 2, 246.
Geholzze.

Ahorn 2. ⸗ s s z- ⸗ 0, 755.
Erle ⸗ 2⸗ c ⸗= ⸗ „ ⸗ ⸗ s O, 800.
Pomeranzenholz , 705.

N
4
4
U
1

Bux ⸗= ⸗= 2= 2 ⸗= = * ⸗= ⸗= 1, O031I.
Krrſchholz ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ P, 715.
Buche ⸗ ⸗ ⸗ z ⸗ zE z - , 7983.

.

Eſchenholz g DW z 5 2 , 734.
Wacholder ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 9, 556.
Pappeln ⸗ e⸗ z z „, 383.
Linde ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ , 604.
Ulmenholz ⸗ a, 600.

Fluͤßige Körper.

1 U
A R
1
1

n
U
41
1

⸗ 1I, 000.

Waſſer Regen 2= 2 2 2 2 2
Meer ⸗ ⸗= ⸗ ⸗ Ü⸗„ e 1, 030.
Brunnen⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ - 0, 9009.
Fluß z⸗ = z eo s ⸗ 1, 009.
Schei⸗

224 Ae ü eeee
Waſſer Scheide

⸗ ⸗ ⸗= s z 1, 300.
Koͤnig g = æ 2 = = 2 1, 234.
Del Mandel ⸗-⸗ ⸗ ⸗ z⸗ ⸗ 0, 928.
Nelken ⸗ ⸗ ⸗ -⸗ ⸗ 1, 034.
Zimmet ⸗ ⸗ ⸗ -⸗ ⸗ „ 1I, 035.
Oliven s ⸗ ⸗ 2 s z O, 913.
„FTerpenthin⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ , 792.
Wein Burgunder ⸗ ⸗⸗ ⸗ „, 9532⸗
Ehampagner ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ , 962.
Moſeler⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ „, 916.

Von den fluͤßigen Koͤrpern, die aus
einem gefuͤllten Gefaͤße durch kleine
Deffnungen hervorſpringen.

§. 219.

Erfahrungen. I. Wenn an einem etwa 4 Schuhe
hohen Cylinder (Fig. XIX.) unten eine Oeffnung mittels ei⸗
ner beweglichen Nuße ſeitwaͤrts in e ſo angebracht wird,
daß man dieſer Oeffnung alle moͤglichen Richtungen geben
kann; wird das Waſſer aus dem gefüllten CEylinder nach der
Nichtung, die der Oeffnung gegeben worden, hervorſpringen.
II. In dem Cyhlindriſchen Gefaͤße ABCD (Fig. XVII.)
wenn der untere Theil bis vopl mit ſchwarzen Waſſer
gefuͤllt wird, und alsdenn uͤber dieß ein helles Waſſer durch
eine ganz kleine Oeffnung durch den Hahn e ganz ſanft hinein⸗
fließt; wird nach und nach das Gefaͤß bis cd, und zwar der
Raum vcdl mit hellem, der untere aber bis vI mit ſchwar⸗

zem Waͤſſer gefuͤllet werden. Nimmt man den Hahn e hin⸗

weg

6 * 6% △ . 22 5
weg, ſo laͤuft das Waſſer ſowohl aus dem kleinern Cylinder
ab, als aus dem groͤßern Gefaͤße ABCD heraus.
* In dieſer Erfahrung iſt zu bemerken,
1.) Daß das ſchwarze Waſſer auch beym Ablaufen nicht mit
dem hellen in dem Gefaͤße ABCD vermiſcht werde;
2.) Doch zugleich mit ihm durch die Oeffnung op ausfließe,
ob es gleich in einer kleinern Hoͤhe, als die Oeffnung
ſelbſt ſteht,
3.) und endlich daß, nachdem ſich das Waſſer bis zur Oeff⸗
nung ausgegoſſen, ein ziemlicher Theil von dem Rau⸗
me vIC D mit hellem Waſſer ober dem ſchwarzen er⸗
fuͤllet werde.

§. 220.

Folgeſaͤtze. I. Der fluͤßige Koͤrper,
der durch eine kleine Oeffnung herausge⸗
druckt wird, wird nach der Richtung eben
dieſer Oeffnung bewegt (§. vorg. I.). Denn ſeine
Theile werden, in jeder Hoͤhe, nach allen Richtungen gedruckt;
mithin auch nach jener der Oeffnung.⸗
II. Wenn der Durchmeſſer der Oeff⸗
nung zu jenem des Gefaͤßes ein ganz klei⸗
nes Verhaͤltniß hat; wird nicht nur das
Waſſerſaͤulchen, das unmittelbar ober der
Oeffnung ſteht, ſondern auch das Waſſer
von allen Seiten her ausfließen. Denn es
werden alle Tbeile nach jeder Richtung gedruͤckt; mithin
müſſen alle geghen die Oeffnung bewegt werden, und durch
dieſe ausfließen (5§. vorg. II. 2.). III.

226 Se ü e

III. Auch auf die wirklich ausflieſſen⸗
den Theile iſt der Druck wie die Hoͤhe
(§. 201.). Denn nur alsdenn muß die Wirkung auf einen
bewegten kleiner als auf einen ruhenden Koͤrper ſeyn, wenn
die Bewegung und Wirkung einerley Richtung haben. Nun
aber dieß iſt nicht moͤglich; weil beym Ausfließen die Waſ⸗
ſertheilchen von allen Seiten her und ſo gar aufwaͤrts ge⸗
gen die Oeffnung bewegt werden.
IV. Der Druck bleibt einerley, die Oeff⸗
nung mag groͤßer oder kleiner ſeyn, wenn nur ihr Verhaͤlt⸗
niß gegen das Gefaͤß ſehr gering iſt. 2.) Eben dieß
gilt von der Geſchwindigkeit.

44000 -—

S. 221I.
Die Geſchwindigkeit des durch die
Deffnung hervorbrechenden Waſſers iſt wie
die Maſſe. Die Maſſe koͤnnen wir oder als einen Cy⸗
linder, wenn die Oeffnung rund iſt, oder als ein Prisma, oder
als einen andern gleichfoͤrmigen Koͤrper nach Art der Figur,
die der Oeffnung zukoͤmmt, denken. Die Maſſe iſt alſo all zeit,
weil doch die Oeffnung dieſes Gefaͤßes die naͤmliche bleibt, wie die
Laͤnge dieſes Cylinders u. ſ. w. Nun die Geſchwindigkeit ver⸗
haͤlt ſich eben wie dieſe Laͤnge, weil ſie in gleichen Zeiten allemal
wie der durchgeloffene Raum iſt. Mithin iſt C: c — M: m.
I. Wenn aͤhnliche Oeffnungen, die doch immer ein kleines
Verhaͤltniß zum Durchmeſſer des Geſaͤßes haben muͤſſen, ungleich
ſind; verhalten ſich die Maſſen, die in gleicher
Zeit mit gleicher Geſchwindigkeit hinausge⸗
druckt werden, wie die Quadrate aͤhnlich er
Seiten D⸗: de.

— —— —— — —.

— - ᷑— —

II. Sind

A4 =nr =

SEE H e 227

II. Sind aber ſowohl die Oeffnungen, als die Geſchwin⸗
digkeit gleich; ſo verhaͤlt ſich die Maſſe wie die
Zeit M: m = T: t. Denn die Maſſen ſind wie die
Raͤume, die das Waſſer durchlaͤuft, und die Raͤume wie die
Zeiten.
III. Zuſammengerechnet iſt alſo M: m = CD2T: cdæat-
IV. Weil denn M: m = CT: cet; ſo muß, wenn M=m
iſt, CT =ct, mithin C: c = t: I ſeyn.

§. 222.

Verſuche. Ich ließ einen blechernen Cylinder
(Fig. XIX.) ABCD, im Durchſchnitte 2 Zoll und 8 Linien,
mit Waſſer fuͤllen, und oben bey AB eine flache Schuͤſſel an⸗
machen, durch welche das Waſſer ſanft in den Cylinder floß,
und ihn auch bey dem Ausfließen voll erhielt. Nun an die⸗
ſen Cylinder brachte ich
1.) in der Hoͤhe = 9 Zoll eine kleine Oeffnung in f an,
welche im Durchſchnitte 1 Linie hatte, und durch dieſe Oeffnung
fieng ich das Waſſer in einem Gefaͤße auf, das 182¾ Cubikzoll faß⸗
te; dieß Gefaͤß ward in einer Zeit von 46 gefuͤllt, da das Waſ⸗
ſer im Cylinder immer von gleicher Hohe = 9 Zoll war.
2.) Alsdenn brachte ich eine Oeffnung, die im Durch⸗
ſchnitte abermal 1 hatte, in der Hoͤhe = 3 Schuhe in e an;
und das Gefaͤß von 18 ¾ Cubickzoll ward in einer Zeit
— 23 gefuͤllt.
3.) Eben ſo, da ich das Waſſer in der Hoͤhe = 9 Zoll
und hernach in der Hoͤhe = 3 Schuhe durch die naͤmliche
Oeffnung laufen ließ; ward das Gefaͤß in der Hoͤhe = 9 Zoll
innerhalb 26 einmal, in der Hoͤhe = 3 Schuhe aber zwey⸗

mal gefuͤllt.

§. 223.

I. Wenn ich alſo die Hoͤhe A und a, die Zeit, in welcher
gleiche Maſſe ausfließt, und t nenne;

ſo iſt A : a — 3 :9
— 4 : I (Fig. XIX.)
VA: Wa = 2 : I.
Nun aber I: t = 23 : 46 (§. vorg. 1.2.)
— I : 2
= Va: VA.
II. Weil C : c = t : T. (SS. 221. IV.) 5
iſt C : c = VA: Va.
III. Und weil ferner GC: c =

M ‚: m (. 221. )
iſt auch M: m = VWA: Va.
IV. Wenn ich alſo in der vorigen Proportion
M: m — CDsT: cdzt (S. 221. III.)
ſtatt der Geſchwindigkeiten die Wurzelhoͤhen anſetze, wird
M : m = D2TWVA: datVa
die Quantitaͤt der ausfließenden Maſſen ausdrücken.
* Daß C: c = VA: Va ſeyn muͤſſe, beweiſet die
Erfahrung. Allein wo liegt der hinlaͤngliche Grund
dieſer Erfahrung? — Meine Vorſtellung iſt dieſe:

Wenn ein Theil, der mittels des Druckes durch die

Oeffnung hervorſpringt, wieklich durch die Hoͤhe, wel⸗
che mit dem Drucke im Verhaͤltniſſe ſtuͤnde, gefallen

waͤre; muͤßte C = WVA ſeyn (§. 138. IV.). Mithin

muß auch dieß eben ſo durch den Druck geſchehen; denn
gleichwie in jedem Theile der Hoͤhe ein neuer Grad von
Geſchwindigkeit erhalten wird, ſo waͤchſt auch der Druck
mit der Hoͤhe.
P. Georg Kratz zeigte durch Verſuche, und ana⸗
litiſche Beſtimmungen, daß ſich die Geſchwindigkeiten in
verſchiedenen Hoͤben genau unter ſich verhalten, wie ihre
Wurzelhoͤben; hingegen die Geſchwindigkeit in einer her⸗
vor⸗

e 229

vorſpringenden Waſſerader nur dort der Wurzelhöhe
ih⸗ vollkommen gleich werde, wo ſie kleiner und zuſammen⸗
gezogener erſcheint (vena contracta); und dieß geſchieht
erſt in einer Entfernung von der Oeffnung. Siehe die
Abhandlung Principia Hydraulica P. Georgii Kraz S. J.
D edita a P. Joanne Kerſchbaumer Ingolſtadii 1770.
* * Warum Bellidors Beweis in dieſem Punkte
unrichtig ſey; wird in den Vorleſungen erklaͤret werden.
) * *x Letztlich kann man ohne Gefahr eines betraͤcht⸗
lichen Feblers die Hoͤhe von dem Mittelpunkte oder Oeff⸗
nung berechnen. Man koͤnnte zwar genau hbeſtimmen,
von welchem Punkte an eigentlich die Hoͤhe muͤßte be⸗
trachket werden; allein es ſcheint mir, bey Anfaͤngern
die Muhe nicht zu belohnen⸗

hitd
Von der Wellebewegung
de motu undulatorio.
u
§. 224.
ſe Jene Bewegung, durch welche ein Theil Waſſer uͤber

de die Oberflaͤche des Uebrigen wechſelweiſe erhoͤhet, und unter
un dieſe erniedrigt wird, nenne ich eie Wellebewegung.
hn Die Hoͤhe, welche das Waſſer ober der Flaͤche bekoͤmmt, heißt
em Wellehoͤhe, und jede mit der uͤbrigen Waſſerflaͤche pa⸗
doon rallele Linie, die den Raum der Welle nach der Breite, oder
u nach der Laͤnge ausmißt, wird Wellebreite, und Wel⸗
lelaͤnge genennt.
jin * Von dieſer Bewegung werde ich nur ſo viel un⸗
hr⸗ terſuchen, als ich nach der Hand brauchen werde, in
de⸗ den folgenden Theilen der Phyſik verſchiedene Erſchei⸗
nungen

a⸗

230⁰ EE E iee

tungen zu erklaͤren. Die Sache deutlicher zu machen,
weerde ich mich zweyer mittheilender Cylinder mit Mew⸗
ton bedienen.

§. 225.

Wenn zween mittheilende Cylinder (Fig. XX.) vom
gleichen Durchmeſſer, A und B, mit Waſſer bis d und g ge⸗
fuͤlt ſind, und das Waſſer durch eine aͤußere Gewalt bis e
hinuntergedruckt, und hiedurch in dem Eylinder B bis f er⸗
hoͤhet wird, ſo muß, alsbald dieſe Gewalt zu wirken auf⸗
gehoͤrt, I.) eine ſchwingungsfoͤrmige Be⸗
wegung entſtehen, 2.) in der ſich die
Schwingungen zu gleichen Zeiten endigen.
Denn das Waſſer kann in dem Rohre A nicht bis e hinun⸗
tergedruckt werden, wenn es nicht in B bis f binaufſteigen
wuͤrde, und wegen der Differenz in der Hoͤbe = fh eine
gleiche Differenz im Drucke entſtuͤnde. Mithin kann das
Waſſer wegen anhaltender Differenz des Druckes nicht ruhen,
ſondern muß wenigſt ſo lange in B ſinken, und in A auf⸗
ſteigen, bis die Hoͤhe in d und g gleich wird. Aber auch in
dieſem Falle bleibt die Ruhe unmoͤglich; denn durch die ganze
Zeit des Herabfallens haͤlt die Differenz an, und macht
eine beſchleunigte Bewegung. Es muß alſo das
Waſſer in d und die groͤßte Geſchwindigkeit erreichen, wel⸗
che hinlaͤnglich iſt, das Waſſer in einem Rohre nach Maaße,
als es im andern gefallen, wieder zu erhoͤhen. Erhaͤlt das
Waſſer auf dieſe Art die Hoͤhe c im Rohre A, muß es aus
gleicher Urſach in A ſinken, und ſich in B erhoͤben, d. i.
in eine ſchwingungsfoͤrmige Bewegung
verſetzet werden. 2.) Dieſe Schwingungen ſind
gleichzeitig. Denn weil ſich die Differenz der Hoͤhe
allemal wie der Raum, den das Waſſer durchlaͤuft, verhalten
muß

mu

erl
der

hen,
lew⸗

e e 231

muß, ſo iſt auch die Urſache der Beweguns der Druck wie der
Raum. Kuͤrzer: A: a = V: v“

Mithin wird V: v = S s
und Vs = vS. Es iſt aber auch .
8 8
T: t = : — (5§. 136.)
V: v= C : c (5§. naͤml.)
5 8
mithin T: t = V
— SV: sV.
Da nun Sv = sV, iſt auch
Gnn T=t.
§. 226.

Folgeſaͤtze. I. Wenn auch in einem
offenen Waſſer ein Theil der Oberflaͤche
durch eine Gewalt gedruͤckt wird, muß ſich
ringsherum eine Welle erhoͤhen. Denn das
gedruckte Waſſer laͤßt ſi⸗ ch nimmer ſo leicht zuſammen drucken;

mithin muß es weichen, und im Weichen findet es nur in der
Hoͤhe keinen Widerſtand.

II. Je ſtaͤrker die aͤußere Gewalt auf
das Waſſer wirkt, deſto hoͤher und breiter
muß die Welle werden Denn die Menge des

wDeichenden Waſſers haͤngt von der Groͤße der aͤußern Kraſt
dagb, und beſtimmet hinwieder die Groͤße der Welle.

III. Aus der erſten Welle entſteht die

zweyte, und aus dieſer die dritte u. ſ. w.
Denn das zuvor erhoͤhte und nun ſinkende Waſſer druͤckt und
erhoͤht ein anders. Mithin müuͤſſen die Wellen von dem Orte

der erſten Gewalt nach allen Richtungen fortgehen⸗ WV

234 õ

wirrung ganz ordentlich durchkreuzen. Denn
ein wechſelndes Vertiefen und Erhoͤhen iſt auch in dem ſchon er⸗
hoͤhten oder vertieften Waſſer nothwendig, alsbald die hinlaͤngli⸗
che Urſache vorhanden iſt. Sie koͤmmt zum Vorſchein, wenn ei⸗
ne Welle von einer andern Richtung her auf die vorige wirkt;
dieſes Wirken geht in den erhoͤhten und geſunkenen Theilen eben

ſo wie auf der ebnen Flaͤche vor; mithin kann nimmer eine Ver⸗
wirrung entſtehen.

* Wenn Koͤrperchen oder zu viel oder zu geſchwind nach⸗
einander auffallen; ſcheint es dem Auge, daß Verwirrung
entſtehe. Allein dieſe Truͤgidee ruͤhrt nur von dem Unver⸗
moͤgen ber, alle zirkelfoͤrmige Bewegungen einzeln uͤberſehen
zu koͤnnen.
§. 230.
Iſt das Waſſer, in dem Dieſe Wellen
rege werden, ſchon zuvor in Bewegung;
muͤſſen die Wellen nach der Richtung dieſer
Bewegung weiter ausgedehnet werden.
Denn nach dieſer Richtung wird das von ſich erhoͤhte oder ver⸗
tiefte Waſſer durch die gemeinſchaftliche Bewegung mit fortge⸗
fuͤhrt, nach der entgegengeſetzten Richtung aber zuruͤckgehalten
und abwaͤrts getrieben. Mithin muß die Welle nach der gun⸗
ſtigen Richtung ausgedehnt, nach der widrigen gehemmet werden.
I. Nur in ſtillen ruhigen Wäaſſern koͤnnen alſo zirfelſortnige
Wellen eneſehen
II. In ſtark bewegten oder gar fließenden Wſſern muß
das Regenmaͤßige der Figur eine Abaͤnderung leiden.
*Von der Wellenbewegung koͤnnte ich freylich noch vie⸗
lees ſagen; allein wenn ich der Abſicht, ein Elementarbuch
zu ſchreiben, getreu bleiben will, mußte ich mich mit den
Hauptſaͤtzen begtlgen, und zugleich auf den Nungein und
die ie Fahlichkeit mejner Schuͤler ſehen.

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Matthias Gablers

der Gottesgelehrtheit und Weltweisheit Doktors „Sx. churfuͤrſil.
da. Durchleucht in Baiern wirklichen Rathes, oͤffentlichen und ordent⸗

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e . lichen Lehrers in der philoſ. Facultat zu Ingolſtadt, in dem
.) churfuͤrſtl. albertiniſchen Kollegium Praͤfects der Studien, .
und der deutſchen Geſellſchaft der Wiſſenſchaften
der in Jena Milgliedes
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Naturlehre. –
Zum Gebrauch 3
“ oͤffentlicher Erklaͤrungen. .
Zweyter Theil. 5à
n Von den Geſetzen der Bewegung und —
des Gleichgewichtes. —–—
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Muͤnchen, 3
bey Joſeph Aloys von Craͤtz.
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