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 Von den Gesetzen der Bewegung und des Gleichgewichtes, 2 Gabler, Matthias = Naturlehre. —— — . N Matthias Gablers der Gottesgelehrtheit und Weltweisheit Doktors, Sr. churfuͤrſil. Durchleucht in Baiern wirklichen Rathes, oͤffentlichen und ordent⸗ lichen Lehrers in der philoſ. Facultat zu Ingolſtadt, in dem churfuͤrſtl. albertiniſchen Kollegium Praͤfects der Studien, und der deutſchen Geſellſchaft der Wiſſenſchaften in Jena Mitgliedes L Zum Gebrauch oͤffentlicher Erklaͤrungen. Zweyter Theil. Von den Geſetzen der Bewegung und des Gleichgewichtes. Muͤnchen, bey Joſeph Aloys von Craͤtz. 1 7 7 8. Zweyter Theil Von den Geſetzen der Bewegung, und des Gleichgewichtes. §F. 133. Ein richtiger Beobachtungsgeiſt hat in den Wir⸗ kungen der Koͤrper eine Art von Gleich S foͤrmigkeit aufgedeckt. Dieſe allgemeine Gleichfoͤrmigkeit in Wirkungen macht die allgemeinen Koͤrpergeſetze aus. 2.) Einige dieſer Geſetze betref⸗ fen die Bewegung, andere das Gleichgewicht der feſten, wieder andere die Bewegung und den Druck der fluͤßigen Koͤrper. 3.) Ich wer⸗ de alſo zuerſt von der Bewegung, bernach vom Gleich⸗ gewichte der ſeſten Koͤrper, und endlich von der Bewegung und dem Drucke der fluͤßigen Koͤrper die allemeinen Koͤrpergeſetze aufſuchen. — Zweyter Theil. 3 I. Ka⸗ 12 24 Ata e Ra I. Kapitel. Von der Bewegung. ê Die Geſetze der Bewegung uͤberhaupt. §. 134. Der Raum, den der bewegte Koͤrper durchlaͤuft, laͤßt ſich fuͤglich durch eine Linie ausdruͤcken. Denn in der Bewegung eines Koͤr⸗ pers kann man alle ſeine Theile in einem Punkte vereinigt denken, der eine Linie formirt, und den Weg bezeichnet, welchen der Koͤrper in der Bewegung zuruͤcke legt. 2.) Das Verhäaͤltniß zwiſchen Raum und Zeit iſt eben das, was wir Geſchwindigkeit beiten. §. 135 IJ. Geſetz. Die einmal angefangene Bewegung wird mit der naͤmlichen Ge⸗ ſchwindigkeit, und nach der naͤmlichen Rich⸗ tung fortgeſetzt, ſo lange von außen keine neue Wirkung auf den bewegten Koͤrper geſchieht. Denn die Elemente des Koͤrpers haben die Kraft ſich nach dieſen Geſe n zu bewegen (5. 27.03 4 8 mthin muß auch die Beweg un 9 nach dieſen Geſetzen geſchehen. Wirkt aber eine Reue NrA. ft auf den Kor⸗ . 8 per; ü eeen üe per, muß eine Aenderung vorgeben. Die Urſache dieſer Aenderung liegt abermal in den Kraͤften der Koͤrper: und eben darum II. Geſetz. Muß die Aenderung, die aus dieſer Wirkung entſteht, dieſer Wir⸗ kung proportionirt ſeyn. Anſonſt wuͤrde die hin⸗ laͤngliche Urſache ohne Wirkung, oder dieſe ohne ihrer hin⸗ laͤnglichen Urſache ſeyn. III. Geſetz. Die Wirkung und Ge⸗ genwirkung iſt allemal gleich. Die Wirkung der Koͤrper enkſteht aus den Kraͤften der Elemente (5§. 5.6.), und iſt mit den Abſtaͤnden im Verhaͤltniſſe (§. 11. 17. 126. 132.); weil nun die Abſtaͤnde in zween Koͤrpern gleich fſind; muß auch die Wirkung zweer Koͤrper, das iſt, jede Wirkung und Gegenwirkung gleich ſeonn. Dieſes Geſetz, und audere in dieſer Materie vor⸗ kommende Saͤtze werden in den oͤffentlichen Vorleſungen auch durch Verſuche, Beobachtungen, und zerſchiedene Betz⸗ ſpiele erklaͤret. Geſetze der einfachen gleichfoͤrmigen Bewegung. In der gleich foͤrmigen Bewegung muß die Geſchwindigkeit zweener Koͤrper alle⸗ mal mit dem Produkte aus dem Raum und verkehrt aus der Zeit proportional ſeyn (S. 134. n. 2). C: c = †—: — z mithin C — — S iſt II. went 126 6 * wenn aber S = s; C: c = t — I. Der Raum, den der Körper durch⸗ laͤuft, kann ſchicklich durch ein Parallelo⸗ gram ausgedruͤckt werden, deſſen Seite burch Zeit und Geſchwindigkeit geſtaltet werden. Denn es iſt S = CT. II. Die Geſchwindigkeit in der gleich⸗ “ foͤrmigen Bewegung iſt auch mit dem an⸗ ziehenden, oder zuruͤcktreibenden Kraͤften in Proportion. Denn die Kraͤften ſind der hinrei⸗ chende Grund von dem Daſeyn der Geſchwindigkeit (§. 25.). VS VS C: .C — — * — mithin iſt : -é C: c — VSt: vsT. CVS I =— cVSt. Geſetze der einföormig beſchleunigten, und einfoͤrmig abnehmenden Bewegung. §. 137. I. Hauptſatz. In der einfoͤrmig be⸗ ſchleunigten Bewegung waͤchſt die Ge⸗ ſchwindigkeit, wie die Zeit, C = T. ſie waͤchſt; denn ſonſt koͤnnte nimmer eine Beſchleuni⸗ gung gedacht werden. Sie waͤchſt wie die Zeit, ſonſt koͤnnte die Beſchleunigung unmoͤglich einfoͤrmig ſeyn. * Der N E e eee 127 *Der Beweis iſt ſo richtig, als der Begrif von einer einfoͤrmig beſchleunigten Bewegung vollſtaͤndig iſt (§. 26.). „ §. 138. II. Hauptſatz. In einer einfoͤrmig be⸗ ſchleunigten Bewegung laͤßt ſich der Raum durch einen rechtwinklichten Triangl (big. I.) ausdruͤcken, deſſen Hoͤhe = AB der Zeit = T, und die Geſchwindigkeit = C, wel⸗ che am Ende der angegebenen Zeit erhal⸗ ten wird, der Grundlinie BC gleich iſt. Weil ſich die Bewegung in A anfaͤngt, und hernach durch die ganze Hoͤhe — AB gleichförmig beſchleunigt wird, muß die Geſchwindigkeit = BC anfangs unendlich klein ſeyn, und hernach immer mit der Hoͤhe in gleicher Proportion wachſen. Hat dieſes Verhaͤltniß ſeine Richtigkeit, ſo muß aus der Zeit und immer zunehmenden Geſchwindigkeit das AQ ABC entſtehen. Weil nun der Raum dem Produkte aus Zeit und Geſchwindigkeit gleich iſt, 8S = CT (§. 136.) und CT in ge⸗ gebenem Falle das ABC ausmacht, kann auch der Raum durch das ₰ ABC fuͤglich ausgedruckt werden. * In der gleichfoͤrmigen Bewegung formirt das Pro⸗ dukt aus Zeit und Geſchwindigkeit ein Parallelogram ABCm, und in der beſchleunigten Bewegung das Dreyeck ABC. I. Das Dreyeck iſt die Helfte eines Parallelograms, wenn die Hoͤhen, und Grundlinien gleich ſind. Mithin muß in der gleichfoͤmigen Bewegung der durchgelaufene Raum noch einmal ſo groß als in der gleichfoͤrmig beſchleu⸗ nig⸗ vigten ſeyn; wenn man der gleichfͤrmigen Bewegung die enb⸗ liche Geſchwindigkeit der gleichfoͤrmig beſchleunigten zugiebt. Weil alſo in der gleichoͤmigen Bewegung S = CT iſt, ſo wird, wenn die endliche Geſchwindigkeit in der Einſörtnig beſchleunigten bewegung = Ciſt, der Raum S = = 1 ſeyn. II. Dieſe Folge iſt allgemein. Denn der naͤmliche Schluß paßt auf jede gleichſoͤrmige Bewegung einer beſtimmten Zeit. III. Mithin wird der Raum, den der einfoͤrmig be⸗ ſchleunigte Koͤrper im zweyten und dem vorigen gleichen Zeitchen (tempuſculo) durchlaͤuft, — 3, und im dritten = 5 ſeyn. Denn der Koͤrper wird im zweyten Zeitchen theils mit der bis itzt erhaltenen Geſchwindigkeit fortbewegt, theils aber erhaͤlt er einen neuen Zuwachs von Geſchwindigkeit, wie jener im erſtem Zeitchen war, u. ſ. w. * Die Figur macht die Sache deutlicher. AB iſt = BD = DE; denn dieſe Linien druͤcken gleiche Zei⸗ ten aus. Das Dreyeck ABC formirt die Idee vom Raume im erſten Zeitchen, das Trapetzium BCDEF vom Raume im zweyten Zeitchen, und das Trapetzium DEFG vom Raume im dritten Zeitchen. Nun aber enthaͤlt das letzte Trapetzium 5 Dretzecke, und das zweyte 3 Dreyecke, die alle unter ſich, und dem A ABC gleich ſind. Mithin wie die Dreyecke, alſo ſtehen auch die Rouͤume im arithmetiſchen Verhaͤltniſſe = 1. 3. 5. u. ſ. w. IV. Dieß gilt nur von den Raͤumen einzeln be⸗ trachtet. Denn zuſammengeſetzt ſind die Raͤume, wie die Quadrate der Zeiten, So iſt 1 †+3 = 4 = dem Qua⸗ drate von 2 ꝛc⸗ Tabell. , kr aft. Se e ee 129 Tabell. Zeiten. [Quadrate der Zeiten. 2 -= I 2 -⸗ 72 z ⸗ ez z 4 S C ⸗ =S= ⸗ 25 Raͤume in einzelnen Raͤume zuſammen ge⸗ Zeiten. nommen. I = 2⸗ z 2= 2= I 7 = = = = . . 19 9 “W 2⸗2 z z = 25 §. 139. Jene Kraft, welche der erſten Geſchwindigkeit immer neue Zuſaͤtze verſchaft, nenne ich de Beſchleunigungs⸗ So eine Beſchleunigungskraft iſt die zuruͤcktrei⸗ bende, welche ſich auf einen theilbaren Abſtand erſtreckt (S. 10. r1.), die anziehende in den fuͤr unſere Sinne noch unmerkbaren Abſaͤnden (§. 17.) und endlich die ſch were (8. 128. 130. 132.): II. Eine mit vollkommener Einfoͤrmig⸗ keit durch dieſe Kraͤften beſchleunigte Be⸗ wegung iſt fuͤr ſich unmoͤglich. Denn die zu⸗ rücktreibenden (§. I1. I. II. III. IV.), und die anziehenden Kraͤſten ſowohl in den kleinern (§. 17.), als groͤßern Ab ſtaͤnden (§. 126. 132.) ſind ſehr verſchieden „und koͤn⸗ nen unmoͤglich der Grund einer nicht verſchiedenen Geſchwindigkeit ſeyzn. III* 130⁰ KS e ee III. Die beſchleunigte Bewegung der Koͤrper auf unſer Erdeflaͤche iſt ſo ziem⸗ lich einfoͤrmig. Denn die Verſchiedenheit der Abſtaͤn⸗ de, und ihrer Quadrate im Vergleiche mit dem Durchmeſſer der ganzen Erdekugel iſt nicht ſonderbar merklich. Eben dieß gilt pon den Koͤrpern anderer Planeten im abnlichen Falle. §. 140. III. Hauptſatz. In der einförmig beſchleunigten Bewegung ſind die Raͤume zuſammen genommen wie das Produkt aus dem Quadrate der Zeiten, und den Be⸗ ſchleunigungskraͤften = V. Denn wenn die Be⸗ ſchleunigungsgewalt verſchieden iſt; muß ſchon die erſte Ge⸗ ſchwindigkeit, und jeder Juwachs verſchieden und der Be⸗ ſchleunigungskraft angemeſſen ſeyn. Der Raum alſo, ſo (S. 138. IV.) mit dem Ouadrate der Zeiten im Verhaͤltniſſe ſteht, bleibt auch der Beſchleunigungskraft propor⸗ tional, und iſt uberhaupt S = VT2. Aus dieſer Gleichung entſtehen folgende allgemeine Saͤ⸗ tze, als ſo viele Abdrucke der Koͤrpergeſetzen. T= vV Aus der vorigen Fermel (§. 138. I.) iſt § — Cr: = mithbin C = , und T = 28. — — — — — — — — AE ta 131 II. Wenn S = VT⸗ = CI.; iſt VTe = . und C = 2VT. III. Weil auch T = V 7 (I.) S= z ſo iſt 28 S C — V V 9 und C = 2 VVS. * Aus dieſen laſſen ſich ſehr viele Aufgaben üͤber die Zeit und den Raum der mit einfoͤrmiger Beſchleuni⸗ gung bewegten Koͤrper ohne Muͤhe aufloͤſen. Und dieſe Anwendung würde allemal die nuͤtzlichſte Materie zu pri⸗ vaten Uebungen und oͤffentlichen Vorleſungen abgeben⸗ S§. 141. IV. Hauptſatz. Wenn ein Koͤrper in ſo einer Richtung bewegt wird, die in einer geraden Linie der Beſchleunigungs⸗ kraft entgegen wirkt, muß die Bewegung immer abnehmen. Dieſe Grundwahrheit iſt ein un⸗ mit eldarer Folgeſatz aus der Natur der Gegenwir⸗ kungen derſchiedener Kraͤften (§. 28.). I. Wenn die beſchleunigende Kraft immer die naͤmliche bleibt, wird das Abnehmen der Bewegung einfoͤrmig ſeyn. II. Mithin wuͤrden die Raͤume in der arithme⸗ tiſchen Proportion abnehmen = 5. 3. 1. und zuſammenge⸗ ſetzt wie die Quadrate der Zeiten — 9. 4. 1. III. Se ee e e III. Eben darum verhaͤlt ſich in einfoͤrmig abnehmender Bewegung das Abnehmen der Geſchwindigkeit, wie ihr Anwachs in einfoͤrmig beſchleunigter Bewegung. * Wenn (bPig. I.) das Dreyeck AFG mit dem Zuſatze des ϑALG zum Parallelogram gemacht wird, wird das A AEG alle Grundregeln fuͤr die einfoͤrmig be⸗ ſchhleunigte, und das ½ AGL. alle Saͤtze für die einfoͤr⸗ mig abnehmende Bewegung vorſtellig und begreiflich machen. * * Aus dieſem fließt von ſelbſt wieder die Aufloͤſung etlicher Aufgaben uͤber die Hoͤhe, den Rqum, und die Zeit der in einfoͤrmig abnehmender Bewegung aufſtei⸗ genden Koͤrper; wenn man das Hinderniß fluͤßiger Mit⸗ telmaterien weg rechnet. Von der zuſammen geſetzten Bewegung. §S. 142. Wenn mehrere Kraͤften in der naͤm⸗ lichen Richtung, oder ſich einander in gerader Linie entgegen wirken, kann un⸗ moͤglich eine zuſammengeſetzte Bewegung entſtehen. * Dieſer Satz iſt ein Axiom, das von der Erklaͤ⸗ rung der zuſammengeſetzten Bewegung (9. 29.) nur im Ausdrucke unterſchieden iſt. §. 143. . I. Hauptſ atz. Wirken mehrere Kraͤf⸗ ten auf einen Körper nach Richtungen, die nicht — —— — — — „„— —6—. — — — — ᷑ꝝ̃S»——V——enn ſung ddie ſti⸗ K X e e 133 nicht in gerader Linie entgegen liegen, ent⸗ ſtehet allemal eine zuſammengeſetzte Bewe⸗ gung. 2.) Die Richtung dieſer Bewegnng wird durch die Diagonal eines Parallelo⸗ grams ausgedruͤckt, welches die Kraͤften formiren. 3.) Die Geſchwindigkeit des Koͤrpers verhaͤlt ſich zu jener Geſchwindig⸗ keit, die aus einer einzelnen Kraft entſtuͤnde, wie die Diagonal zu jener Linie, welche die einzelne Kraft ausdruͤckt. Dieſe 3 Saͤtze ſind (§. 30.) von den Elementen richtig bewieſen worden. Mithin behalten ſie ihre Guͤltigkeit auch in den Koͤrpern, die keiner Aenderung, Geſchwindigkeit, Richtung, und Bewegung faͤhig find, als in den Elementen, und durch die Elemente. I. Die Summe der beeden Seiten in einem Parallelo⸗ gram iſt allemal groͤßer, als die Diagonal; mithin iſt die Geſchwindigkeit in einer zuſammengeſetzten Bewegung klei⸗ ner, als jene, die aus einzelnen Kraͤften zuſammen gerech⸗ net entſtuͤnde, wenn ihre Wirkung nach der naͤmlichen Nich⸗ tung abzweckte. II. Der Koͤrper in der zuſammengeſetz⸗ ten Bewegung macht zwar den einfachſten Wegz; denn er durchlaͤuft die Diagonal. Aber den⸗ noch durchlaͤuft er nach jeder Richtung den Raum, welchen er durch jede einzelne Kraft allein in gleicher Zeit wuͤrde gemacht haben. III. Iſt aber die Bewegung vollkom⸗ men die naͤm liche, muß auch die Wirkung auf 134 0e auf den in jeder Richtung entgegen ſtehen⸗ den Koͤrper die naͤmliche ſeyn. IV. Die Geſchwindigkeit in der zuſam⸗ mengeſetzten Bewegung wird allemal deſto kleiner ſeyn, je groͤßer der Winkel iſt, un⸗ ter dem die Kraͤften nach verſchiedenen Richtungen zuſammen ſtimmen. Denn die Ge⸗ ſchwindigkeit gleicht der Diagonal, und der kleinſte Winkel giebt allemal dir groͤßeſte Diagonal. Die Urſache davon iſt offenbar. Wenn der Win⸗ kel X kleiner iſt, wird der Winkel y groͤßer ſeyn, dem die Diagonal entgegen liegt. Nun aber dem groͤßeſten Winkel iſt allsmal die groͤßeſte Seite entgegen geſetzt. Vv. Die zuſammengeſetzte Bewegung muß in der naͤmlichen Flaͤche geſchehen, in welcher die Kraͤften wirken. Denn die Diago⸗ nal und die Seiten des Parallelograms liegen in der naͤmli⸗ chen Ebne. VI. Die zuſammengeſetzte Bewegung wird geradlinicht, wenn a) Die Geſchwindigkeit nach jeder Richtung die naͤm⸗ liche iſt, b) ober aber nach der einen Richtung in der Proportion waͤchſt oder abnimmt, in der ſie nach der andern abnimmt oder waͤchſt. VII. Wenn aber die Geſchwindigkeit nach jeder Richtung oder nicht die naͤmliche bleibt, oder nicht im gleichen Verhaͤlt⸗ niſſe wechſelweis ab und zunimmt, entſteht eine krumm⸗ linichte zuſammengeſetzte Bewegung. §. 144. H iſ⸗ m⸗ ſto un⸗ en Gi⸗ kel Du⸗ n I⸗ EE e ee 135 §. 144. Beſondere Folgeſaͤtze aus dem I. Hauptſatze. I. Jede BVewegung kann als zuſam⸗ mengeſetzt betrachtet werden. Denn ich kann jede gerade Linie als die Diagonal eines Parallelograms an⸗ ſehen. II. Wenn alſo ein Koͤrper auf eine Eb⸗ ne ſchief auffaͤllt, wird ſeine Wirkung eben die naͤmliche ſeyn, als wenn er durch die einte Kraft verpendiculaͤr gegen die Ebne, und durch die andere Kraft in paralleler Richtung mit der Ebne bewegt wuͤrde. Denn jede Linie kann als eine Diagonal angeſehen, und die Diagonal in zwo Linien aufgeloͤßt werden, deren eine mit der Ebne parallel, die andere auf ſelbe perpendiculaͤr ſteht. III. Sowohl die ſenkrechte, als paral⸗ lele Linie druͤckt eine Gewalt aus, die klei⸗ ner iſt, als die ſchiefe. §. 145. II. Hauptſatz. Wenn ein Koͤrper ſchief auf eine Ebne auffaͤllt; iſt ſeine Wirkung auf die Ebne perpendiculaͤr, 2.) und ver⸗ haͤlt ſich zur ganzen Gewalt, wie der Sinus des Winkels, unter dem er auffaͤllt, zum Ra⸗ dius. 3.) Die Gewalt nach der parallelen Richtung iſt zur ſchiefen, wie der Koſinus zum Radius. (ig. II.) Es falle ein Koͤrper auf die „Ebne 136 Ae ü ee Ebene AB nach der Richtung DC und auch mit der Gewalt 0. Dieſe Linie iſt die Diagonal von dem Parallelogram DACEF. Mitbin wird ſie nach der Linie DA ſo bewegt, und wirkt auf die Ebne ſo, als wenn dieſe Richtung und Gewalt allein in dem Koͤrper waͤre (§. 143. II. III.). Ihre Wirkung muß alſo ſenkrecht ſeyn. Ferner geſchieht alle Wirkung im Aufſtoſſen durch die zuruͤcktreibende Kraft (§. 5. II. 69. 9. 10.). Nun aber dieſe wirkt allemal ſenkrecht. 2.) DA drüͤckt die ſenkrechte Kraft auf die Ebne = v und zugleich den Sinus des Winkels DCA aus; DC aber druͤckt die ſchiefe Gewalt — V und zugleich den Radius aus. Mithin — Radius: Sinus 3.) AC drückt die parallele Kraft = u, und zugleich den Co⸗ ſinus aus⸗. Folglich iſt V: u = DC : AC = Radius: Coſinus. * Dieß Theorem verdient die ganze Aufmerkſamkeit eines jungen Naturforſchers wegen ſeiner Wichtigkeit in der Naturlehre. Von der Bewegung uͤͤber die ſchiefen Ebnen. S. 1464 Eine ſchiefe Ebne (Planum inelinatum) heißt jebs ebne Flaͤche, die mit der Horizontallinie einen ſpitzigen Win⸗ kel macht (Fig. III.). Die Linie AC wirb die Laͤnge . Aß die Hoͤhe, BC die Grundlinie der ſchieſen Ebne, E — N . der Winkel ACBder Neigungswinkel genennt. Mithin iſt 8 kung eich neſ⸗ lir gr diler auhi ein wii wal wie ode gona Den Denn erhel und W „ e een , iſt AC = dem Radius = der Laͤnge AB = dem Sinus = der Hd CB = Coſinus = der Grundlinie. 2.) Die Gewalt mit der ein Koͤryer nach der ſenkrechten Rich⸗ tung der Schwere wirkt, und die allemal ſeinem Gewichte gleich iſt, wird die ganze Gewalt (abſoluta vis) genennt; reſpectiv aber heißt jede, die kleiner iſt als die abfolute, hier aber bedeutet es diejenige Gewalt, mit welcher ein Kor⸗ per uͤber die geneigte Flaͤche hinfaͤllt in einer Richtung, die mit dieſer parallel iſt; wenn ihn anders keine ſonſtige Gewalt aufhaͤlt. I. Hauptfatz. Ein Koͤrper der auf einer ſchiefen Ebne oder ruht, oder bewegt wird, druͤckt auf die Ebne mit einer Ge⸗ walt = b. die ſich zur ganzen = W verhaͤlt; wie die Grundlinie = CB zur Laͤnge AC, oder wie der Coſinus des Winkels C zum Radius = Cſ: R. Die ganze Gewalt ca iſt die Dis⸗ gonal von dem Parallelogram abed, deſſen Seite cb den Druck auf die Ebne anzeigt. Nun aber cb ca — BC: AC. Denn das △ ABC iſt dem QAabe aͤhnlich. Dieſe Aehnlichkeit erhellt daraus, weil ac die Richtung der Schwere ausdrückt, und auf BC ſenkrecht, mithin mit AB parallel: folglich der Winkel a = A iſt, b und B aber rechte Wintel ſind; nun iſt cb: ca = P : V; alſo iſt auch P;: V — BC : A G +△m C1 : Re §. 147. 133 6 H e §. 147. 4 II. Hauptſatz. Die reſpective Ge⸗ walt des Koͤrpers auf eine geneigte Ebne = v iſt zur ganzen = V, wie die Hoͤhe zur Laäͤnge. : VS= A: L. Denn cd: ac = AB: AC. Nun aber e0 iſt die reſpeetive, und ac die abſolute Gewalt. Es iſt alſo V =— . — Kad— II. Wenn ich die reſpective Gewalt von mehrern Kor⸗ n pern auf verſchiedenen geneigten Flaͤchen zuſammen vergleiche, 4 und ſie durch W und w ausdruͤcke, bleibt — —,2 ie W : w = — — VAI: va L. III. Weil ferner V, die Schwere, die ganze Gewalt, w in allen uns vorkommenden Faͤllen die naͤmliche iſt, W: v = A 2. „21 — Al: a L. .R WaL = WwAI. . IW. Wenn alſo a = A, ſo iſt W.: w = 1: L. e und L = 1, W: w= A: a. zi §. 148. III. Hauptſatz. Die Bewegung uͤber eine ſchiefe Ebne iſt einfoͤrmig beſchleunigt. Denn ſie unterſcheidet ſich von der ſenkrechten nur in der Beſtiminung der reſpeetiven Kraſt, die ſtatt der abſo⸗ . lr it N ber S ae iee 39 abſoluten wirkt. Mithin muß dieſe Bewegung eben ſo wie in der ſenkrechten (§5. 138. 139.) einformig beſchleuniget werden. * Alle Geſetze alſo, die wir oben (§. 137. r.) ent⸗ wickelt haben, paſſen auch auf die ſchiefen Ebnen. „ I. Das Geſetz der Geſchwindig⸗ keit in der Bewegung uͤber ſchiefe Ebnen. Sie verhaͤlt ſich zur Geſchwindigkeit in ei⸗ ner ſenkrechten Bewegung von gleicher Zeit, wie die Hoͤhe zur Laͤnge, das iſt, c: C = A: L, wenn c und C die Geſchwindigkeit in beeden Bewegungen ausdrückt. Denn in der beſchleunigten Bewegung iſt c: C = 2tV: 2 T V (5. 140. II.) weil im gegenwaͤrtigen Falle T = t, iſt c: C = v: V; nun aber (§. 147.) V: V = A : L, mithin iſt e: C = A: L. II. Geſetz des Raumes. Auch der Raum, den der Koͤrper in der Bewegung uͤͤber eine ſchiefe Ebne macht, verhaͤlt ſich zum Raum in der ſenkrechten gleich⸗ zeitigen Bewegung, wie die Hoͤhe zur Laͤnge. S: S = A : L. Denn s: S = Vta: VT2. (§. 140.). Nun aher t = T; mitbin s: S = Vv: V. Weil nun v: V= A: L.; iſt auch s: S = A : L. * Praktiſche Beyſpiele (pig. IV.) 42) Wenn der Koͤrper mit der reſpeetiven Gewalt den Raum Ab durchlaͤuft; ſo wird er in gleicher Zeit mit der ab oluten den Raum = AC zuruͤck legen. Sweyter Theil. K b) Mack 144090 2 d eee (b Macht der Koͤrper mit der reſpeetiven Gewalt den Raum = AC, wird er mit der abſoluten den Raum = AD durchlaufen. c) Wird endlich der Koͤrper durch die reſpeetide Gewalt von A bis E bewegt, koͤmmt er durch die abſolute in gleicher Zeit von A bis B; Denn alle Q ABE, ABC, ACD, ſind rechtwinklicht, und baben den Winkel A oder C gemein: mithin ſind ſie aͤhnlich, und enthalten dem Grund zu folgenden Analogien V : V = AB: AC erſten — AC: AD im zweyten Falle⸗ = AE: AB dritten à) Alle Sennen eines Zirkels werden in gleicher Zeit durchgelaufen. Denn un jedes Dreyeck kann ein Zirkel beſchrieben werden, und jeder Win⸗ kel der auf dem Diameter ſieht, iſt ein rechter Winkel⸗ III. Geſetz. Die Zeit, in der die ſchiefe Laͤnge durchgelaufen wird, verhaͤlt ſich zur Zeit, in der ein Koͤrper durch die Hoͤhe der ſchiefen Ebne faͤllt, wie die Laͤn⸗ ge zur Hoͤhe. T : t = L: A; oder t: T A: L. Denn in der einfoͤrmig beſchleunigten Bewegung iſt . — „ : (§. e Te J* t :. = V 7 . = (§. 140. I.) nun aber iſt in der ſenkrechten Bewegung S = A. V = LI. in der ſchiefſen aber S = I⸗ V= A (II. Geſetz)⸗ Wenn „ sesn e een e Weni ich alſo dieſen Ausdruck ſtatt des vorigen ſetze, wird I. t: 1 = v: VX = VAA : VLS= * Dieſe Geſetze (I. II. III.) enthalten alle Beſtim⸗ mungen der einſoͤrmig beſchleunigten Bewegung uͤber ſchiefe Ebnen; in ſo weit dieſe mit der ſenkrechten ver⸗ glichen wird. Nur haben wir noch die Bewegung auf Flaͤchen von verſchiedener Neigung mit der ſenkrechten zu vergleichen. Aber auch in dieſer Sache giebt uns das obige Theorem (§. 148.) die natüͤrlichſten §. 149. Folgeſaͤtze. I. Geſetz. Die Ge⸗ ſchwindigkeit welche ein Koͤrper auf ſchie⸗ fen Ebnen ungleicher Neigungen erhaͤlt, iſt mit der Wurzel der Hoͤhe im geraden Ver⸗ haͤltniſſe. C: c = VA: Va C: c = V: v. (5§. 140.) S: s = L: 1. ferner iſt C: c = 2 VVS: 2VVS (5. 140. III.) , V = + (§. 147. III.), 8 = L, mithin iſt c: e= 2V 4L: 2 7 21. = 2VA : 2 Vaà VA;: VA K ² * Wenn 142 KN e * Wenn alſo die Hoͤhe in verſchiedenen Ebnen gleich iſt, muß auch die Geſchwindigkeit am Ende gleich ſeyn. b) Eben dieß gilt im Falle, wenn mehrere Ebnen von verſchiedener Neigung zuſammengeſetzt ſind. c) Daher wird in einem Zirkelbogen die naͤmliche Geſchwindigkeit . erhalten, welche durch die Sennen eben dieſes Bogens ——. erhalten wuͤrde. II. Geſetz. Die Raͤume auf Flaͤchen von verſchiedener Neigung ſind zu gleicher Zeit wie die Produkte aus der Hoͤhe, und verkehrt aus der Laͤnge. Sß:s = P. + L Denn S: s =— VT2 : vt2. (§. 140.) . Weil T =t; S: s = V V ; 1 nun aber V: v = 3 (J. 1427. III.) 5 mithin iſt 5: s =— * . † * III. Die Zeiten im gegebenen Falle N ſind = = nun S: s = L: “ und V: v — A!1 al (§. 142. III.) . mithin T⸗=t = vI: V ., — Val.² . VAI2. h⸗ Das iſt T: t = L. Va: I. VA ä Iſt L= 1/ wird I : = : v 2à2 ☛ A; T : t = : 1 ſeyn.⸗ §. 150. E H ee 143 §. 150. Anwendung auf aͤhnliche Figuren. Die Zeiten, in denen ihre Perimeter durchgelaufen werden, ſtehen mit den Wur⸗ zeln ähmicher Seiten im Verhaͤltniſſe (F. V.), das iſt I: t = MAB : Va b = VBC : Vbc . = VCD : Ve d, wenn ich das Verhaͤltniß von den Zeiten unterſuche, in denen AB †+ BC †+ CD und ab + b c + cd durchgelaufen werden. Denn T: t = VS: VS (. 138. IV.) mithin iſt T: t = VAB: Va b = VBC; be — vCD: Vc d. folglich I. T: 1= VAB + BC †+ CD: Vab † be † cd. II. Die aͤhnliche Figuren ſind durchaus wie die Qua⸗ drate ihrer Hoͤhen, Diagonalen, und aller aͤhnlichen Ausmeſ⸗ ſungen. Mithin verhalten ſich auch die Zei⸗ ten wie die Quadratwurzeln der aͤhnlichen Ausmeſſungen. III. Alle Zirkelboͤgen, die mit der Ho⸗ rizontallinie gleiche Neigung haben, wer⸗ den in Zeiten durchgelaufen, die den Durch⸗ meſſern proportional ſind, T: t = ͤ/DzZ : Adz: — D : dG = OͤQRA2 : Or23 — K : r benn unter allen Zirkeln herrſcht Aehnlichkeit. 144 e eH e Geſetze der krummlinichten Bewegung. Von den Pendeln. S. I5I. Koͤrper, die durch einen Faden ꝛc. an einem unbewegli⸗ chen Punkte angeheftet ſind, heißen Pendeln. Einfache waͤren jene, derer Gewicht in einem Punkte verſammelt, und der Hangfaden ohne Schwere ſeyn würde. Im Gegentheile nennt man ſie zuſammengeſetzte. I. In der Natur exiſtirt kein einfaches Pendel. II. Man kann dennoch ein einfaches Pendel annehmen, unm die Geſetze davon leichter und richtiger zu beſtimmen. III. Wenn man ein einfaches Pendel denkt, muß man ſich die ganze Koͤrperſchwe⸗ re in einem Punkte verſammelt vorſtellen. IV. Den Punkt, in dem wir uns die Schwere verſam⸗ melt vorſtellen, kͤnnen wir Schwingunspunkt (cen⸗ trum ofcillationum) beißen. §. 152. I. Hauptſatz. Wenn ein Pendel aus der Verticalrichtung mit geſpannten Fa⸗ den bewegt, und hernach frey gelaſſen wird, verhaͤlt ſich die reſpective Kraft, mit der es bewegt wird, zur abſoluten, wie der Sinus des Winkels, den die Rich⸗ tung — — — se üH i 145 tung der ganzen Sch were mit dem geſpann⸗ ten und in der Einbildung verlaͤngerten Faden macht, zum Radius (Fig. VI.). Es ſey cd die ganze oder abſolute; ſo wird ce =a d die reſpective Ge⸗ walt ſeyn, und v: V = ce: c d. Denn c d kann als zuſam⸗ mengeſetzt und = ac + ce angeſehen werden. ac muß alſo die Wirkung auf den Faden, und ce die Gewalt zur Bewegung ausdrucken. Eben dieß gilt, wenn wir ge als eine zuſammen⸗ geſetzte Bewegung, und als die Diagonal eines Parallelo⸗ grams aus den Seiten cd +— cf betrachten. I. Die reſpeetive Gewalt aͤndert ſich in jedem Theile des Schwingbogens; denn auch der Winkel, den die abſolute mit der reſpeetiven Gewalt for⸗ mirt, aͤndert ſich ſo lange, bis er in der Verticalrichtung voll⸗ kommen verſchwindet.⸗ ðD II. Dieſe Bewegung des Pendels muß beſchleunigt werden. Denn die reſpective Gewalt, ob ſie gleich immer abnimmt, dauert doch bis in die Mitte, und giebt dadurch dem Koͤrper immer einen Zuſatz von Ge⸗ ſchwindigkeit. III. Doch kann dieſe Beſchleunigung nimmer einfoͤrmig ſeyn. Denn die Grade der an⸗ wachſenden Geſchwindigkeit werden immer kleiner⸗ IV. Das Pendel ſchwingt ſich auf der andern Seite in die naͤmliche Hoͤhe. Da es in die Verticalrichtung koͤmmt, hat es den groͤßten Grad der Geſchwindigkeit erhalten. Denn bis dahin ward die Bewe⸗ gung beſchleuniget. Es wuͤrde alſo mit der naͤmlichen Ge⸗ ſchwindigkeit nach der Tangentiallinie fortgehen, wenn es nicht an dem Faden Hinderniß faͤnde. Weil nun die Sdane im uf⸗ 146 e e üen e Aufſchwingen wie im Herabſchwingen gleich wirkt, muß im erſten Falle die Geſchwindigkeit eben ſo gbnehmen, wie ſie im zweyten zugenommen hat. v. Der Weg, den das Pendel zeichnet, iſt ein Zirkelbogen. Denn er wird von dem aͤußer⸗ ſten Theile einer Linie beſchrieben, die ſich um einen unbeweg⸗ lichen Punkt dreht. §. 153. So wie die ganze Bewegung des Pendels von c bis g S Schwingung heißt, eben ſo nennt man die Summe der Momente, in denen die Bewegung vorgeht, die Schwin⸗ gungszeit. II. Hauptſatz. Die Schwingungs⸗ zeiten ſind gleich, wenn die Schwingungs⸗ boͤgen ganz klein ſind. Denn die ganz kleinen Boͤ⸗ gen kommen mit den Chorden uüͤbereins, und die Chorden werden in gleichen Zeiten durchgelaufen. (§. 148. II. d.). §. 155. III. Hauptſatz. Wenn verſchiedene Pendeln ahnliche Boͤgen durchlaufen, ver⸗ halten ſich die Schwingungszeiten wie die Produkte aus der Wurzel der Laͤnge und verkehrt aus der Wurzel der Schwere. T: t = V F V .Die Zirkelbogen ſind aͤhnliche Fi⸗ guren; und beſteßen us ſchiefen unendlich kleinen Ebnen; nun — 3 ℳ. N 6 KE2* 147 nun aber in den ſchiefen Ebnen iſt T: t = V w V V (§. 140. I.), und in den Zir⸗ kelboͤgen iſt S: s R: r. = L: 1 ; wenn L. die Laͤgge, ferners iſt G: g = V: v; Wenn die Schwere ausbrͤck. mithin iſt T: t = VF: G1. I. Wenn alſo G = ⅛; iſt T: t = VL.: V1. I. Wenn aber L. = 1; T: t π Vg VG. III. Die Anzahl der Schwingungen iſt im verkehrten Ver chaͤltniſſe mit den Schoimgungeniten, XN: n = t: TI Mithin n: N = V E; V 2* Weil in verſchiedenen Orten die Schwere gleichfalls verſchieden, im naͤmlichen Orte aber allemal einerley iſt; hangen die Schwi gungszeiten im naͤmlichen Orte von der Laͤnge, in verſchiedenen Orten aber auch von der Schwere ab. 2.) Eben darum ſind die Pendeln das einzige Mittel, die in verſchiedenen Theilen verſchiedene Schwere zu entdecken. Richer, da er in der Inſul Cajen mit Beſtimmung der Figur der Erde beſchaͤftigt war, mußte das Pendel, welches in Paris = 440, 67 Linien lang, ihre Schwingung in 1 machte, merklich abkuͤrzen; denn nur in der Laäͤnge 440, 12 Linien vollbrachte es ſeine Schwingung waͤhrend 1. Die Schwere in Par is verhaͤlt ſich alſo zur Schwere in der Inſul Cajen wie 44067: 44012. 3.) Es laͤßt ſich auch durch die Pendeln die Hoͤhe eines Gebaͤudes beſtimmen, wenn man eine andere bekannte Hoͤhe und eihtreffende Zahl der Schwir⸗ gungen annimmt; denn N: n= VI: VL. 4. Alles diet iſ nur von einfachen Pendeln erwieſen, gilt aber 148 eHe e aber auch von zuſammengeſetzten, wenn man nur den Schwingungspunkt mit in die Rechnung kom⸗ men laͤßt. Von der Bewegung der Erdkoͤrper, wernn ſie ſchief fortgeworfen werden. §. 156. Es werde (Fisg. VII.) der Koͤrper in der Richtung AB parallel mit der Horizontal⸗ linie fortgeworfen. Wirkte keine andere Kraft auf ihn, wuͤrde er dieſe Linie mit gleichfoͤrmiger Bewegung durch⸗ laufen, und die Raͤume würden ſich wie die Zeiten 1. 2. 3. verhalten. Weil aber der Koͤrper zugleich ſchwer iſt, wird er nach der Richtung der Schwere Raͤume durchlaufen, die zuſammenge⸗ nommen wie 1. 4. 9. ſind (§. 138. IV.). Nun aber die letzten Raͤume ſind Abſciſſen, die erſtern Semiordinaten. Es verhal⸗ ten ſich alſo die Abſeiſſen wie die Quadrate der Semiordinaten: mithin wuͤrde der Koͤrper eine Linie beſchrei⸗ ben, die beynahe paraboliſch iſt; denn die Para⸗ bel hat dieſes Kennzeichen, daß ihre Abſciſſen = X allemal wie die Quadrate der Semiordinaten = y? ſich verhalten. 2.) Eben dieſe Linie wuͤrde entſtehen, wenn der Koͤrper ab oder aufwaͤrts ſchief gewor⸗ fen wuͤrde. Denn man kann dieſe ſchiefe Richtung auch in die horizontale und ſenkrechte auflbſen. Mithin iſt es ein richtiger Satz, daß alle Erdkoͤrper, ſchief fortgeworfen, beynahe eine Parabel beſchreiben. * Bey⸗ E ee 149 ur * Beynahe eine Parabel. Denn 1.) iſt die Tan⸗ gentialbewegung wegen dem Widerſtande der Luft nie⸗ mals gleichͤrmig, und die Centralbewegung 2.) aus eben der Urſache niemals einfoͤrmig beſchleunigt. 3.) Koͤn⸗ 1, nen die Abſciſſen nimmer parallel ſeyn, wenn der Schwere⸗ punkt nicht bis ins Unendliche entfernet iſt. Nun aber alle dieſe drey Stücke werden zur vollkommenen Parabel als nothwendig erfordert. 4.) Warum aber eine Kanon⸗ er kugel, da ſie in horizontaler Richtung weggeſchoſſen wird, hb durch die Schwere lange nicht ſo weit von ihrer Rich⸗ tung abweiche, als ſie in der ſenkrechten Richtung allein f . zu fallen pflege, wird in den Vorle ſungen ehen vom Wi⸗ i⸗ derſtande der Luft hergeleitet werden. 5 * X* Ferner, wie man den Weg des Koͤrpers fin⸗ ni⸗ den kann, wenn man die gleichfoͤrmige Geſchwindigkeit e und den Wurfswinkel angiebt, 2.) unter welchem Win⸗ u kel der Koͤrper in die groͤtte Entfernung geworfen wer⸗ ht⸗ de, 3.) wie groß die Anfangsgeſchwindigkeit ſeyn ai müͤßte, daß der Koͤrper ein gewiſſes Ort erreiche u. ſ. w. y alle dergleichen Aufgaben ſind uͤberhanpt Folgefaͤtze aus re⸗ dem bewieſenen Theoreme. nal * ½ * Ueber gegenwaͤrtigen Innhalt moͤgen H. Ro⸗ ke. bins und Daniels Bernounlls Schriften Tom. II. n Coment. Acad. Petrop. nachgeleſen werden. 4 Von der freyen Bewegung der Koͤrper um einen Schwerepunkt. er, † Dieſe Materie iſt zu wichtig, als daß wir nichts, b und zu weitſchichtig, als daß wir in einem Elementar⸗ buche alles ſagen koͤnnen. Nur jene Saͤtze alſo werden hier behandelt werden, welche nothwendig und zugleich der Grund Grund von allen Erfindungen des Mewtons im aſtrono⸗ miſchen Fache, und doch hinlaͤnglich ſind, uns zu ſer⸗ nern aſtronomiſchen Wiſſenſchaften auszurüſten⸗ §. 157 Naaͤhere Beſtimmung einiger Kunſtwoͤrter. Wenn ſich ein Koͤrper um einen Schwerepunkt dreht, wirken Kraͤf⸗ ten von verſchiedenen Richtungen. 1.) Jene, durch die er gegen den Schwerepunkt getrie⸗ ben wird, heißt (Cenitipeta) Kraft nach dem Schw es repunkt, 2.) Die andern aber, welche den Koͤrper nach dem Tan⸗ genten der krummen Linie fort bewegen wuͤrde; wenn die erſtere ihr Daſeyn, oder wenigſt ihre Thaͤtigkeit verloͤhre, nennt man Tangential kraft (vis projectilis, tangentialis). 3.) Beede zuſammengenommen kommen unter dem Na⸗ men der Tentralkraͤften vor. Ich werde aber Kuͤrze halber die erſtere ſchlechtweg die Centralkraft nennen. 4. Die Bewegunslinie (radius vector) iſt eine gerade Linie, vom Mittelpunkte aus bis zum Koͤrper gezogen. 5.) Die Raͤume, die von der Bewegunslinie be⸗ ſchrieben werden, werden Sectorn der Laufbahne genennt. I. Hauptſaßz. Wenn auf einen Koͤr⸗ 4 per die Tangential und Centralkraft zu⸗ gleich wirkt, wird er 1.) in einer gegen den 2 Schwerepunkt concaven, und 2.) ſtettig krum⸗ ⸗ ſen er ee ſ⸗ t⸗ ert n AE E eee 11 krummen Linie bewegt, alſo, daß 3.) die Sectorn den Zeiten proportiona! ſind. (Fig. VIII.). Es mache der Koͤrper durch die Tangentialkraft allein den Raum = ab, und durch die Centralkraft allein den Raum = a d; es muß alſo die Diagonal ae entſtehen, und die zuſammengeſetzte Bewegung ausdruͤcken. In der zwoten Zeit iſt der Raum, der durch die Tangentialkraft entſtehen wuͤrde, = ef = ae, und der Raum, den der Koͤrper durch die Centralkraft allein machen wuͤrde, = eg. Die Diagonal eh wird abermal die zuſammengeſetzte Bewegung ausdrü⸗ cken u. ſ. w. Es wuͤrde alſo eine Linie entſtehen, die gegen den Mittelpunkt concav, 2.) und ſtettig krumm iſt; denn der Winkel aeh muß als unendlich ſtumpf, und der Winkel feh als unendlich klein angenommen werden. 3.) Ferner iſt das Dreyeck ace = Qbecf; weil ae = ef; und die Spitze c gemeinſchaftlich iſt. Auch das Hech iſt = Aecf, weil beyde Dreyecke zwiſchen zwo Parallellinien ec und fh liegen, und eine gemeinſchaftliche Grundlinie ec haben. Wenn nun das ace = ecef, und das △ ech — Q ecf, iſt auch das Q ace — Q ech. Nun aber ace und ech ſind die SGectorn, die in gleichen Zeiten die Bewegungslinie durchlaͤuft. Sie ſtehen alſo mit den Zeiten im geraden Verhaͤltniſſe. J. Dieſe unendlich kleinen Theile der krummen Linie verhalten ſich verkehrt, wie die ſenkrechten Linten, welche aus dem Schwerepunkte auf dieſe kleinen Theile oder ihre verlaͤngerte Sennen gezogen ſind. Denn die ϑ ſind einander gleich, und in gleichen Q △ verhalten ſich die Grundlinien allemal verkehrt, wie die Hoͤhen. II. Eben 152 NeE e e u. Eben ſolches Verhaͤltniß beobach⸗ tet die Geſchwindigkeit an jedem Punkte der krummen Linie. Denn die Grundlinien haben mit der Geſchwindigkeit und der Zeit einerley Gleichungen; weil ſie der Raum ſind, den der Koͤrper in gleichen Zeiten durchlaͤuft⸗ III. Haben die Winkel, die von den Richtungen der Centralkraͤften formirt wer⸗ den, ungleiche Groͤße, muß auch die Ge⸗ ſchwindigkeit verſchieden ſeyn. Denn je kleiner der Winkel iſt, deſto mehr waͤchſt die Diagonal, und umge⸗ kehrt (§. 143. IV.). IV. Wenn die Schwerekraſt zu wirken aufhoͤrte, muͤßte der Koͤrper nach der Richtung der unendlich kleinen Linie fortge⸗ hen; es wuͤrde alſo nimmer eine ſtettig krumme Linie entſtehen. Mithin muß die Schwerekraft in einer krum⸗ men ſtettigen Linte immer fortwirken. v. In einer Zirkelbewegung muß die Geſchwindigkeit gleich, und der Winkel, unter dem die Centralkraͤften zuſammen wirken, ein rechter ſeyn. Denn alle ſenkrechten Linien, welche vom Mittelpunkte auf den Zirkelbogen gezogen werden, ſind gleich, und machen mit der Tangentiallinie einen rechten Wintel. §. 159. II. Hauptſatz. In der Zirkelbewe⸗ gung iſt die Centralkraft ed (F. IX.) dem Produkte aus dem Quadrat der unendlich kleinen Linie eb, und verkehrt aus dem Durch⸗ kel Wit lieſ igt —— h⸗ fte mit weil lſt, lich den E H ie 153 Durchmeſſer ae gleich, V = hu., oder wenn wir die kleine Linie a, und den Diameter d nennen, iſt — 232 — —„ d Das QHabe iſt dem A bde aͤhnlich. Denn der Win⸗ kel abe iſt ein rechter, und dem Winkel bde gleich, der Winkel bea aber iſt beyden Dreyecken gemein. Sind nun dieſe Dreyecke ſich aͤhnlich, ſo iſt ae: eb = eb: de mithin ae de = ebe und de = 2 bz2 I. Weil ſich der Diameter verhaͤlt, wie der Radius, iſt V = -— 1 II. Ferner iſt in der Zirkelbewegung wegen der einfoͤr⸗ migen Bewegung (§. vorg. V.) der Raum eb der Geſchwin⸗ digkeit c gleich. .J . 2 Folglich iſt v C TP und V: v = .: 82. R r. III. Wenn alſo Ca = ca; V: VyV – r : R R = r; V : vV = C⸗: cz. Wenn endlich C: c = R: r; V: v = HE: 12, — R ur. IV. In einer Zirkelbewegung muͤſſen die Fentralkraͤften dem Produkte aus dem Radius, und verkehrt aus dem Quadrate der periodiſchen Zeit gleich ſeyn. Denn in ddr 154 e ee der gleichförmigen Bewegung iſt = ; und weil S: s = R:r — R C = c2 = R. ⸗ ——2 R . I — Rt?Z ⸗ rT 2 V. Wenn in verſchiedenen Zirkeln V: v = re= : Ra; ſo iſt auch T2?: t2 = R3 : rs. Denn V: Vv = Rtz : rL2 (IV.) . nun aber V: v = ra : R im gegebenen Falle; mithin r2 : R2 = Rt?à : rTZ. r3 L 2 = R3t2, Alſo L z: t2 = R3 : r5 VI. Und umgekehrt, wenn T⸗: t2 = R3 : rs, ſo verhalten ſich V: v = r2 ; R2. Denn r 3T2 = Rst2. Folglich r2 : RA — Rt? ; rrzZ. Es iſt aber auch V: v = Rt? : rT2, (IV.): mithin V vV = r²: Ka. . III. Hauptſatz. Wenn der Koͤrper in einem Zirkel bewegt wird, muß die Tan⸗ gentialgeſchwindigkeit jener gleich ſeyn, welche er durch die allezeit gleiche Schwere erhalten wuͤrde, wenn er in gleichfoͤrmig beſchleunigter Bewegung durch den halben Ra⸗ NE 6 A 155 Radius gegen ſeinen Schwerepunkt hin⸗ fiele (F. IX.). Es ſey der Mittelpunkt c, der Radius ca, die kleine Zeit in der durch die Schwere der Raum ed gemacht wuͤr⸗ de, = t, die Geſchwindigkeit, welche der Koͤrper durch den kleinen Raum erhaͤlt, = c, die Tangentialgeſchwindigkeit = C, und die Zeit, in welcher dieſe Geſchwindigkeit durch die Schwere erhalten wuͤrde, = T, und endlich der Raum, den der Koͤrper machen muͤßte, bis er dieſe Geſchwindigkeit erhielte, = = X. 1.) Weil in der deſcleunigten Bewegüng noch ſo großer Raum gemacht wuͤrde, wenn der Koͤrper mit der end. lichen Geſchwindigkeit gleich lang und gleichfoͤrmig waͤre be⸗ wegt worden; ſo i. C=2de: eb. ehe H Weil aber .— 32 gi = — und 2 de = 222; 2 ⁶Cc e C ji e: C = l: eb, E C = e ba: eb, ec,; = eb ec- 2.) Da ſerner in einer einfbrmig beſchleunigten Bewe⸗ ung ſich die Geſchwindtgeiten wie die Zeiten verhalten, iſt : 1 — c : C T = ct. C 3.) J In der gleichſoörmigen Bewegung verhalten ſich auch die Raͤume, wie die Zeiten; mithin, wenn die endlehe Ge⸗ Zweyter Theil. L ſchwin⸗ 156 KaNA n ee ſchwindigkeit die ganze Zeit über gleichfoͤrmig geweſen waͤre, wuͤrde t: T = eb: 2 tC 1 : — eb;:; 2X (n. 2.) mithin tc tC = eb: 2 X C. = eb: 2X5 da nun c: C = eb ec; wuͤrde eb: ec = eb: 2 * eb. ec alſo 2 ¾ = — 1. Es kann alſo kein Zirkel beſchrieben werden, ohne daßb 1.) Die Centralkraft auf die Tangentialkraft ſenkrecht wirke (§e 158. V.)/ 2.) Die Tangentialgeſchwindigkeit jener gleich ſey, die in einer einſoͤrmig beſchleunigten Bewegung durch den hal⸗ ben Radis erreicht würde⸗ II. Die Zeit, in welcher die Periphe⸗ rie des Zirkels in gleichfoͤrmiger Bewegung von dem Koͤrper durchgelaufen wird, ver⸗ haͤlt ſich zur Zeit, in welcher der halbe Radius mit einfoͤrndig beſchleunigter Be⸗ wegung durchgelaufen wuͤrde, wie die Pe⸗ ripherie zum Radius. De n wenn der Koͤrper mit jener Geſchwindigkeit waͤre gleichſoͤrmig wegt worden, wel⸗ che er dosch den halben Radius am Ende Wuürde erhalten ba⸗ — — — — — — — R.— a esn een , haben, haͤtte er den ganzen Radius durchgelaufen. Nun aber die Bewegung in der Peripherie iſt allemal gleichfoͤrmig. * Aus dieſen laͤßt ſich nun leicht beſtimmen „welch eine Geſchwindigkeit nach der Tangentialrichtung einem Planeten müͤßte ertheilet werden, wenn er einen voll⸗ kommenen Zirkel beſchreiben ſollte. Nur ſeine Entfernung vom Schwerepunkte und die Centralkraft muͤßte bekannt ſeyn. Auf dieſe Weiſe iſt beſtmmt worden, das, wenn ein Koͤrper auf der Erde nach horizontaler Richtung mit einer Geſchwindigkeit fortgeworfen wuͤrde, welche in der Zeit = 1. 2919098 Zoll machte, er um die Erde einen Zirkel beſchreiben wuͤrde, ſo, daß ſeine periodiſche Zeit 106 gleich waͤre. Doch koͤmmt hier weder der Widerſtand der Luft, weder die Maſſe des bewegten Koͤrpers mit in die Rechnung. Denn in dieſem Falle muß die For⸗ mel V ⸗ (8. 140. 1) in dieſe V = Bn umgeaͤn⸗ dert werden; und nur dieſe Formel kann dienlich ſeyn, die Verſuche, welche von Centralkraͤften mit Maſchinen gemacht worden, richtig zu erklaͤren, weil in dieſen noth⸗ wendig auf die Maſſe muß geſehen werden. ** Auf dieſe Saͤtze (§§. vorgeh.) iſt die Aſtronomie gebaut. Ja ſelbſt die Beweiſe von der Ellips als der Laufbahne andrer Planeten gruͤnden ſich auf dieſe Grund⸗ lehren. Deßwegen bab ich ſie naher entwickeln, und den Anfaͤngern biedurch zeigen wollen, wie auch von entfern⸗ ten Koͤrpern wichtige Wahrheiten ſind aufgedeckt worden. Nun waͤre noch uͤbrig von der Ellips zu beweiſen, L. Dafß ſich die Centralkraft in jedem Punkte verkehrt wie die Quadratentfer⸗ nung vom Schwerepunkis verhalte, v= 5 II. Und 158 NS ü ee II. Und alſo verhalten muͤſſe auch in verſchiedenen Ellipſen, wenn die Quadra⸗ te der periodiſchen Zeiten, wie die Cubi der Entfernungen ſind, das iſt wenn T2 : 12( D5 : d3. uI. Und umgekehrt; wenn V: v = 5s: s ſo ſind Tat2 — D 3: ds. w. Endlich welche Geſchwindigkeit nach der Tangentialrichtung erfordert wer⸗ de, daß eine Ellips, und keine Parabel, und keine Hyperbel beſchrieben werde. Alein weil dieſe Saͤtze ohne boͤhere Geometrie nimmer leicht woͤgen be⸗ wieſen werden, dieſe aber von wenigen in die Naturlehre mitgebracht wird; ſo verweiſe ich die wenigen auf Haul Fri⸗ ſius L. Ie de grav. univerſ. und Boſckowicks Diſlertat. und erbiete mich aus dieſen jedem meiner Schüler ins beſondere zu erklaͤren, was er immer verlangen wird⸗ Pon dem Auf⸗ und Zuſammenſtoſſen der Koͤrper, nieht elaſtiſcher Roͤrper. §. 1612 Erklaͤrungen. I. Weil die Ruhe der Koͤrper aus gegenſeitiger gleicher Wirkung nach gerad entgegengeſetzten Richtungen entſteht, kann kein Zweifel ſeyn, daß auch ein ruhender Koͤrper auf den andern wirke. Dieſe Art von Wir⸗ kung —, .S¶ ————— -—*7 —. — — 6 e eee 15 kung ruhender Koͤrper heißt Druck. II. Wirkt ein beweg⸗ ter Koͤrper auf einen entgegengeſetzten, heißt dieſe verſchiede⸗ ne Art von Wirkung Stoß. III. Der Stoß iſt entweder ein ſenkrechter, oder ſchiefer, nachdem die Richtung des wirkenden Koͤrpers auf den andern oder ſenkrecht, oder ſchief ſeyn daͤrfte. IV. Ferners wenn der Koͤrper (auf den ein an⸗ derer bewegter wirkt), oder ruht, oder in einer dem Stoße entgegengeſetzten Richtung bewegt wird; ſtoſſen ſie zu⸗ ſammen. Sind aber die Richtungen des Stoſſes und der Gegenwirkung nicht einander entgegengeſetzt, ſtoßt der erſie auf den andern. Verſuche. I. Wenn ein Koͤrper von verſchiedenen Hoͤhen auf einen andern auffäaͤllt; ſteht ſeine Wirkung allemal mit der Hoͤhe in einem Verhaͤltniſſe, z. B. die naͤmliche Kugl von Bley macht von einer merklichern Hoͤhe allemal eine groͤße⸗ re Grube in den Thon. II. Laͤßt man von gleicher Hoͤhe mit gleicher Geſchwindigkeit im luſtleerem Raume zween Koͤrper von ungleicher Maſſe auf einen weichen Koͤrper auffallen, hoͤhlt die groͤßere Maſſe allemal eine groͤßere Grube aus. Folgeſaͤtze. I. Der Stoß ſteht mit der Geſchwindigkeit im Verhaͤltniſſe. Denn die verſchiedene Hoͤhe kann nichts in der Maſſe, wohl aber in der Geſchwindigkeit aͤndern. II. Indeſſen bleibt der Stoß dennoch auch mit der Maſſe proportionaͤl, (Verſ. II.). III. 160 eSEE ü ee III. Die Groͤße des Stoſſes gleicht alſo dem Produkte aus der Geſchwindig⸗ keit, und der Maſſe. * Muß man aber die einfache Geſchwindigkeit, oder ihr Quadrat berechnen? Fuͤrs erſte war Cartes, fuͤrs letzte Leibnitz. Leibnitzens Beweis war folgender: „ Die Urſache verhaͤlt ſich allemal wie ihre Wirkung; „ nun die Wirkung iſt dem Quadrate der Geſchwindig⸗ „ keit gleich; mithin auch die Urſache, das iſt, die Groͤße „ der Bewegung. „ Den Mittelſatz beweißt er durch Verſuche (a); ich waͤhle einen einzigen, mit dem die uͤbri⸗ gen ſo ziemlich gleich ſind. „ Es ſeyn zween Koͤrper von gleichem Innbegrif. 2, Das Gewicht des einen A ſey = 1, des andern B „ — = 4. Wenn der Koͤrper A von einer Hoͤhe = 4, , und der Koͤrper B von einer Hoͤhe = 1 auf einen wei⸗ ,; chen Thon berabfallen, wird die Groͤße der Bewegung „ im Koͤrper A = 2, und im Koͤrper B = 4 ſeyn, und „ dennoch boͤhlen ſie gleiche Gruben aus. Mithin iſt ihre „ Wirkung gleich; alſo muß auch die Groͤfe der Bewe⸗ „ gung gleich ſeyn. Nun ahber die Groͤße der Bewegung „ kann wohl nimmer gleich werden, wenn man ſie nicht aus dem Quadrate der Geſchwindigkeit berechenet. §. 163. Wenn die Wirkungen des bewegten Koͤrpers ſich wirklich wie das Produkt aus der Maſſe und dem Quadrat der Geſchwin⸗ dig⸗ ((a) Act. Acad. Petropol. T. I. Clar. Hermann. digkeit verhielten, koͤnnte man dennoch nicht mit Richtigkeit folgern, daß die Groͤße der Bewegung eben dieſem Pro⸗ dukte gleich ſey. Als eine Wirkung der beſchleunigten Bewegung koͤnnen die Raͤume, ſo der Koͤrper durchlaͤuft, an⸗ geſehen werden; nun aber dieſe wachſen, wie die Quadrate der zZeiten, obſchon die Geſchwindigkeit mit der Zeit die naͤm⸗ ſiche Proportion hat (5§§. 137. 138.). Ein gleiches verſteht ſich von der abnehmenden Bewegung. Aber in dem Stoſſe? Auch aus dieſer Wirkung kann nicht richtig fuͤr das Quadrat gefolgert werden. Wenn die Geſchwindigkeit = 2 des Koͤrpers A noch ſo lange wirkt, als die Geſchwin⸗ digkeit = 1 des Koͤrpers B, muß die Wirkung nicht nur 2, ſondern = 4 ſeyn. Sie wirkt aber noch ſo lange: denn im Stoſſe verhaͤlt ſich Wirkung und Zeit, wie in der einfoͤrmig abnehmenden Bewegung; in der ein Korper, wenn er mit einer Geſchwindigkeit = 2² in die Hoͤhe geworfen wird, einen Raum = 4 macht, und jener, der die Geſchwindigkeit = 1 erhaͤlt, gleichfalls den Raum = 1 durchlauft (§. 141. I. II. III.). . I. Die Groͤße der bewegung wird alſo mit Rechte dem Produkte aus der Maſſe und der Geſchwindigkeit gleich an⸗ geſetzt. = MC. Dieſer Folgeſatz iſt in gegenwaͤrtiger Materie der I. Hauptſatz. II. Wenn zugleich auf die Zeit geſehen wird, iſt auch in jeder einzelnen Zeit die Wirkung, wie eben dieſes Pro⸗ dukt; gleichwie die Geſchwindigkeit in einer unendlich kleinen Zeit dem Raume gleicht: He 1 ℳ4. 16, See e §. 164. II. Hauptſatz. So oft ein bewegter Koͤrper A auf den andern B aufſtoͤßt, ver⸗ liehrt der Koͤrper A allemal ſo viel von ſei⸗ ner Geſchwindigkeit, als er dem Koͤrper B mittheilt. Denn die Mittheilung der Geſchwindigkeit durch den Stoß iſt eine Wirkung der Kraͤſten (5§. 5. II.), und zwar der zuruͤcktreibenden (ebendaſ. V.). Nun aber die Wir⸗ kung der zuruͤcktreidbenden Kraͤften iſt gegenſeitig, und der auf ſie zuſtoſſenden gleich; nur mit dem Unterſchiede, daß die gegenſeitigen Kraͤften des Koͤrpers B der Bewegungs⸗ richtung des Koͤrpers Aà in der geraden Linie, die Kraͤften des Koͤrpers A hingegen der Bewegungsrichtung des Koͤr⸗ pers B gar nicht entgegen geſetzt ſind. Mithin muß in dem Koͤrper A eben ſo viel Geſchwindigkeit verloren gehen, als den Koͤrper B mitgetheilet wird (§. 23. IV.). Folgeſaͤtze. I. Von dem Aufſtoſſen der nicht elaſtiſchen Koͤrper in ſenkrechter Rich⸗ tung. J. Wenn durch das Aufſtoſſen des nicht elaſtiſchen Koͤrpers A der gleichfalls nicht elaſtiſche Koͤrper B in eine Bewegung verſetzet wird, muͤſſen beede nach dem Stoſſe einerley Geſchwindigkeit haben. Denn die Geſchwindigkeit des Koͤrpers A nach dem Stoſſe kann nicht groͤßer ſeyn, als jene des Koͤrpers B; denn ſonſt wuͤrde der Stoß nach dem Uebemaß der Geſchwindigkeit im⸗ mer fortgeſetzet werden: nicht kleiner; ſonſt enge dem dr⸗ — — — — 2u. — —— — — 2. 24 — — — — — — — — Ke üH eee 163 Koͤrper B mehr Geſchwindigkeit mitgethele werden muͤſſen, als der Koͤrper A verlohren hat. II. Die Groͤße der Bewegung nach dem Stoſſe iſt jener vor dem Stoſſe gleich. Denn der Köoͤrper B erhaͤlt ſo viel von Geſchwindigkeit, als A verliehrt. III. Iſt der Koͤrper B, auf den der Koͤr⸗ per A ſtoͤßt, ſchon vorhin in einer Bewegung nach der naͤmlichen Richtung mit dem Koͤr⸗ per A; enſteht der Stoß durch das Ueber⸗ maß von Geſchwindigkeit, die im Koͤrper A einen hoͤhern Grad als im Koͤrper B be⸗ hauptet. Denn die gleiche Geſchwindigkeit macht die An⸗ naͤherung und den Stoß ſelbſt unmoͤglich. IV. Die gemeinſchaftliche Geſchwindig⸗ keit nach dem Stoſſe wird gefunden, wenn die ganze Groͤße der Bewegung durch die SESumme der Maſſen getheilet wird. Denn wenn ich ein Produkt durch den einten Factor theile, er⸗ balte ich den andern. Nun aber die Groͤße der Bewegung iſt = MC, und jener nach dem Stoße gleich (II.). . HS . MC + me Hierzu dienet folgende allgemeine Formul C = K in welcher die groͤßern Buchſtaben die Maſſe und Geſchwin⸗ digkeit des Koͤrpers A, die kleinern jene des Koͤrpers B aus⸗ drüͤcken. V. 14 WEe5H üen ee, V. Wenn die Maſſe des ruhenden Koͤrpers B ſehr MC mmc groß, und mithin die Geſchwindigkeit C = nim⸗ mer merklich iſt; kann auch keine merkliche Bewegung folgen. §. 16 5. Fernere Folgeſaͤtze. II. Vom Zuſam⸗ menſtoſſen nicht elaſtiſcher Koͤrper in ſenkrech⸗ ter Richtung. 1I., Stoſſen zween Koͤrper mit gleicher Groͤße der Bewegung zuſammen; entſteht keine Bewegung. Denn die vorige Geſchwindigkeit iſt der Wirkung des zuſammenſtoſſenden Koͤrpers gleich, und in einer geraden Linie entgegen geſetzt. „Stoſſen ſie aber mit unsgleicher Groͤße der Bewegung in einer geraden Li⸗ nie zuſammen, muß ſich die Wirkung ſo verhalten, als wenn der Koͤrper A, deſ⸗ ſen Bewegung groͤßer iſt, mit dem Ueber⸗ maß allein bewegt wuͤrde, und der Koͤr⸗ per B ruhete. Denn in ſo weit die Bewegungsgroͤße gleich iſt, iſt die Ruhe nothwendig, und die Bewegung unmoͤglich III. Es muß ſich alſo nach dem Zuſam⸗ menſtoſſen in betref des Uebermaßes alles ſo verhalten, wie im Aufſtoſſen (. vorg.); IV. Mithin findet man die gemeinſchaftliche Geſchwin⸗ digkeit, wenn das Uebermaß der groͤßern Bewegung durch die Summe der Maſſen getheilet wird C = —me. ☛,0 S i ü eee Ä165 V. Die Formul dienet alſo mit dieſem Ausdrucke MC m (= = = fuͤr beede Faͤlle §. 166 Folgefaͤtze. III. Vom ſchiefen Auf⸗ und Zuſammenſtoſſen. IJ. Auch auf das ſchiefe Auf⸗ und Zu⸗ ſammenſtoſſen paſſen alle bisherige Saͤtze, wenn nur nicht die ganze Gewalt (EFig. II.) = D0C ſondern nur die ſenkrechte DA mit in die Rechnung koͤmmt; denn nur dieſe wirkt auf den Koͤrper, der der Gegenſtand des Stoſſes iſt. II. Der aufſtoſſende Koͤrper wird alſo nach der Nich⸗ tung A B mit einer Geſchwindigkeit AC = CB bewegt wer⸗ den, wenn der geſtoſſene Koͤrper unbeweglich iſt (§. 164. V.). III. Iſt aber der geſtoſſene Koͤrper be⸗ weglich, muß er nach der Richtung DA bewegt werden, mit einer Geſchwindigkeit = - z in welcher Formul C nicht die ganze Geſchwindig⸗ keit ausdrückt, ſondern nur jene, die ſich zur ganzen verhaͤlt, wie DA: DC (§. 145.). 2.) Der aufftoſſende Koͤrper aber wird ſich aus einer zuſammengeſetz⸗ ten Bewegung aus CB= AB und der neuen Geſchwindigkeit nach der Richtung FC = DA fortbewegen. * Fuͤr 166 6e üe e e * Füuͤr jedem Falle ein Beyſpiel⸗ x..) Die Maſſa des Koͤrpers A ſey = 6 = M, ſeine Ge⸗ ſchwindigkeit = 5 = C; die Groͤße der Bewegung wird alſo = MC = 6.5 = 30 ſeyn. Wenn die Maſſe des AC1 + Koͤrpers B = 4= m iſt, wird =Cc= ſeyn. Nun 3. 6 + 3.4 = d. i. nach dem Stoſſe iſt die naͤmliche Groͤße der Bewegung (5§. 164. II. IV.). 2.) Stoſſe der Koͤrper A, deſſen Maſſe = 3, mit der Ge⸗ ſchwindigkeit = 4 auf den Koͤrper B, deſſen Maſſe gleich⸗ falls = 3, und die Geſchwindigkeit nach einerley Rich⸗ tund = 2; ſo wird die Groͤße der Bewegung vor dem Stoſſe = MC + me = 12 + 6 = 18; die Geſchwindig⸗ MC + me — 18 keit nach dem Stoſſe = — T = ꝙ ganze Groͤße der Bewegung = + 9 = 18 ſeyn. 3.) Stoſſen zween Koͤrper A und B in gerader Linie zu⸗ ſammen; die Maſſe von A ſey = 6, die Geſchwindig⸗ keit = 3. Die Maſſe B ſey = 3, die Geſchwindigkeit = 6, Vor dem Stoſſe iſt in beeden die Groͤße der Be⸗ wegung = 18. Die gemeinſchaftliche Bewegung nach dem Stoſſe iſt = = 0 (5. 165. I.). Im Gegenthei⸗ le ſey M = 4, C=9, m = 3, c = 5; ſo wird die Ge⸗ meinſchaftliche Geſchwindigkeit nach der naͤmlichen Nich⸗ = 49 — 225 = . tung = ⸗ 3 ſeyn. 4.) Wenn endlich der Koͤrper A, deſſen M = 3, C = 5 auf den Korper B von einerley Maſſe unter einem ſol⸗ chen Winkel PDC (big. II.) ſtoſſet, daß der Radius DC zum Sinus FC = 5: 3 ſey: wird die ganze Bewegung DC — ₰ — J — — — — =— ung ü eee 167 Dé zur ſenkrechten DA ſich = 15: 9 verhalten. Mit⸗ hin wird die Groͤfe der Bewegung = 9, und die Ge⸗ ſchwindigkeit des Koͤrpers nach der Richtung DA = % =— + *½ ſeyn. Es muß alſo die Groͤße der Bewegung des Koͤrpers B nach der Richtung DA ſeyn = 4 ¼. Eben dieß gilt von der Bewegungsgroͤße des Koͤrpers A nach der naͤmlichen Richtung, außer daß er wegen einer an⸗ dern Gewalt nach der Richtung A eine Diagonal be⸗ ſchreibt, deſſen Seite die Linie 1 + DA und AC aus⸗ machen. Iſt aber der Koͤrper B unbeweglich, wird die ganze Geſchwindigkeit 2 A D = 3 getilget ſeyn, und der Koͤrper A ſich von C in B bewegen. Vom Auf⸗und Zuſammenſtoſſen elaſtiſcher Koͤrper. §. 167. Hauhptſatz. Bey dem Auf⸗ und Zu⸗ ſammenſtoſſen der elaſtiſchen Koͤrper muß die Wirkung allezeit noch ſo groß ſeyn, als bey den nicht elaſtiſchen Koͤrpern, d. i. jeder Grad von Geſchwindigkeit, mit welch einer Richtung er immer in den nicht ela⸗ ſtiſchen oder erhalten, oder verlohren wird, verdoppelt ſich in den elaſtiſchen. Denn da die elaſtiſchen Koͤrper die abgeaͤnderte Figur mit eben jener Krafſt, mit der ſie iſt abgeaͤndert worden, wieder herſtellen, und in Herſtellung der Figur nach der naͤmlichen Richtung wirken, nach welcher ſie in der Abaͤnderung gewirket haben, muß 1r63 R üe ee, muß die Wirkung in elaſtiſchen Koͤrpern noch einmal ſo groß werden, als in den nicht elaſtiſchen. * Mehrere Deutlichkeit auf dieſe Materie zu verbrei⸗ ten, verſuche ich es die Weiſe zu erklaͤren, wie dieſe Mit⸗ theilung der Geſchwindigkeit einerſeits, und ihr Verlurſt andrerſeits vorgehen daͤrfe⸗ 1.) Es falle ein vollkommen elaſtiſcher Koͤrper auf einen andern unbeweglichen und vollkommen harten Koͤrper auf, mit der Bewegungsgroͤße = 12, daß alſo M = 2, und C = 6 ſey. a) So bald der Koͤrper in jene Entfernüng koͤmmt, in der die zurücktreibende Kraft zu wirken anfaͤngt, muß ein Grad der Geſchwindigkeit verlohren gehen; und wenn dieſer der einzige waͤre, wuͤrde der Koͤrper ruhen. b) Da aber noch 5 Grad von der Geſchwindigkeit uͤbri⸗ gen, naͤhert ſich der Koͤrper, und die zuruͤcktreibende gegen⸗ ſeitige Kraͤſten vermehren das Zuſammendrucken, und zwar mit einer Gewalt = 2, weil die Kraͤften in kleinern Abſtaͤn⸗ den wachſen (§. 11.). Mithin iſt der neue Verlurſt von Ge⸗ ſchwindigkeit = 2. Auch in dieſer unendlich kleinen Zeit wur⸗ de der Koͤrper ruhen, wenn nicht noch die Geſchwindigkeit = 3 Akbrig waͤre. c) Es waͤchſt alſo das Zuſammendrucken in Proportion mit der Geſchwindigkeit = 3, und iſt der ganze Verlurſt von Geſchwindigkeit = 6, obgleich in der zwoten 2, in der dritten 3 verlohren giengen. . d) Weil der Koͤrper Schnellkraft im vollkommenſten Gra⸗ de inne hat, wirkt dieſe Kraft im Zuſtande des groͤßeſten Zu⸗ ſammendruckes wie 3, im mittlern wie 2, und im erſten Zu⸗ ſtande wie 1. Es wird alſo die vorige Figur hergeſente e) Se A tii⸗ t⸗ dg er⸗ ins Ge r⸗ ft SoG4 n tn ra⸗ 3 2 4 e) Ferners weil der gegenſeitige Koͤrper unbeweglich und vollkommen hart iſt, muß die ganze Gewalt auf den zuſam⸗ mengedruͤckten Koͤrper verwendet, und, weil die elaſtiſche der zuſammendruͤckenden Gewalt gleich iſt, die vorige Geſchwin⸗ digkeit herfuͤrgebracht werden, obgleich in einer Richtung, die der vorigen gerad entgegen geſetzt iſt. f) Eben darum wird die Bewegung ſo lange bez ſchleunigt werden, bis die vorige Figur vollkommen her⸗ geſtellt iſt. 2.) Wenn wir jetzt den naͤmlichen Koͤr⸗ per mit der naͤmlichen Geſchwindigkeit auf einen andern gleichfalls unbeweglichen aber elaſtiſchen Koͤrper auffallen laſſen, a) Werden beyde Koͤrper ihre Figur aͤndern, doch keiner nach Maaß der ganzen Bewegung. Denn die Abaͤnderung der Figur iſt eine Wirkung des Stoſſes. Wenn nun die Figur von beyden Koͤrpern eben jene Aenderung erfuhr, die im vorigen Falle bey dem auffallenden Koͤrper allein vorgegangen, wuͤrde die Wirkung groͤßer als ihre Urſache ſeyn. b) Mithin muß jeder nur nach der halben Bewegungs⸗ groͤße zuſammengedruͤckt werden. c) Der auffallende Koͤrper kann alſo durch ſeine Schnell⸗ kraft nur die halbe Geſchwindigkeit zuruͤck erhalten, weil ſein Zuſammendrucken nur der halben Geſchwindigkeit gleicht⸗ d) Es iſt aber auch der Koͤrper B zuſammengedrückt⸗ Mithin hindert er nicht nur, daß ſich der Koͤrper A ge⸗ gen ihn nicht ausdehne, ſondern theilt ihm auch durch ſeine Schnellkraſt die andere Helfte der Geſchwindigkeit mit. e) Dee 170 M e e) Der Koͤrper A muß alſo mit der naͤmlichen Ge⸗ ſchwindigkeit zurüͤckkehren, mit der nuvor ſein Auffallen be⸗ wirkt ward. †f) Da ſich dieſe Erklörung auf andere Faͤlle ohne Mühe anwenden laͤßt, wird nachſtehenden Folgeſaͤtzen die Richtigkeit nimmer ab⸗ geſprochen werden. I. Wenn ein elaſtiſcher Koͤrper auf ei⸗ nen unbeweglichen oder vollkommen har⸗ ten oder gleichfalls elaſtiſchen in perpendi⸗ kulaͤrer Richtung auffaͤllt, wird er mit der näͤmlichen Geſchwindigkeit nach der ſenk⸗ rechten Richtung zuruͤck gehen. Denn wenn er weich waͤre, wuͤrde er nach getilgter Geſchwindigkeit ru⸗ hen. Nun aber in elaſtiſchen Koͤrpern muß nach dem Zuſam⸗ mendrucken in einer entgegengeſetzten Richtung der vorige Grad der Geſchwindigkeit hergeſtellt werden, und alſo der Koͤrper mit ſelber zuruͤckprellen. II. Stoͤßt ein elaſtiſcher Koͤrper A auf einen andern ruhenden von gleicher Maſ⸗ ſe, wird A ruhen, und B mit der Geſchwin⸗ digkeit des Koͤrpers A bewegt werden. III. Sind aber die Maſſen verſchieden, laſſen ſt ſch nach MGC der allgemeinen Formul C = und nachdem im . gegenw. §. angegebenen Theoreme verſchiedene Faͤlle erklaͤren. Beyde Koͤrper werden bald nach einer Richtung doch mit un⸗ — —— —. -- —— — — — N Na — — — — NSE H e 171 ungleicher Geſchwindigkeit ſort bewegt werden, bald wird der auffallende zuruͤcke tretten. IV. Stoͤßt der Koͤrper A auf einen a gleichfags elaſti⸗ ſchen B, der zwar von gleicher Maſſe iſt, aber mit einer klei⸗ nern Geſchwindigkeit bewegt wird, werden ſie nach dem Stoſſe mit veraͤnderter Geſchwindigkeit bewegt werden. (§. 164. III.). V. Sind aber die Maſſen verſchieden, wird das Ueber⸗ maaß der Bewegung allein die Verſchiedenheit der e Wirkun⸗ gen beſtimmen. VI. Im Zuſammenſtoſſen wenn die Maſſen und Geſchwindigkeiten oder gleich, oder vom verkehrten Ver⸗ haͤltniſſe ſind, geben die Koͤrper mit der vorigen Geſchwin⸗ digkeit zuruͤcke. 2.) Sind die Maſſen gleich, und die Ge⸗ ſchwindigkeiten ungleich, weichen die Koͤrper mit verwechſel⸗ ten Geſchwindigkeit zuruͤcke. 3.) Sind aber Maſſen und Ge⸗ ſchwindigkeiten zugleich verſchieden, ergeben ſich mehrere ver⸗ ſchiedene Faͤlle, die ſich nach den Geſetzen (§§. 165. 166.) leicht beſtimmen laſſen. VII. Stoͤßt ein elaſtiſcher Koͤrper auf ei⸗ nen harten, oder gleichfalls elaſtiſchen doch unbeweglichen Koͤrper ſchief auf, wird er un⸗ ter einem gleichen Winkel mit gleicher Ge⸗ ſchwindigkeit zuruck prellen. Waͤren die Koͤrper nicht elaſtiſch, ſo würde der ſchief auffallende ach dem Sroſſ⸗ (Fig. II.) in der Richtung = CB mit der Geſchwindigkeit AC = DF bewegt werden (§. 166. 1.); die Schnelkeoft muß ihm alſo noch eine andere Beſtimmung nach der Rich⸗ tung CF = AD verſchaffen, ſo, daß die Diagonal CG ſei⸗ nen Weg auszeichnet. Dieſe Diagonal gleicht der Linie CD Zweyter Theil. M und 172 00 und der Winkel GCB dem Winkel DCA; denn die Dreyecke GCB und DCA hoben zwo Geiten und die eingeſchloſſenen Winkel B und A gleich; mithin iſt die Geſchwindigkeit CD — CG, und der Auffallungswinkel = dem Reflexionswinkel. VIII. Iſt aber der Koͤrper B, auf den der Stoß ge⸗ chieht, ein beweglicher von gleicher Maſſe, wird der Koͤrper A nach der vorigen, B aber nach der Nichtung AD mit der Geſchwindigkeit AD bewegt werden. 2.) Sind aber die Maſſen ungleich, wird der Köͤrper B mit verſchiedener Geſchwin⸗ digkeit nach der Richtung AD fortgehen, und der Koͤrper A unterſchiedliche theils Richtungen, theils Geſchwindigkeiten er⸗ halten; weil, obgleich die Beſtimmung CB die naͤmliche bleibt, dennoch die ſenkrechte als die zwote Beſtimmung nach Ver⸗ ſchiedenheit der Maſſe ſehr verſchieden ſeyn muß (§. 166. III.). * Die Richtigkeit dieſer Geſetze leidet eine doppelte Einſchraͤnkung, einmal; weil eine vollkommene Schnell⸗ tkraft in der Natur nicht exiſtirt, und hernach, weil der Widerſtand der Luft und andere Hinderniſſen einen Aus⸗ nahm machen: eben darum ſind die Verſuche mit dieſen Geſetzen nicht vollkommen eins⸗ Von der Bewegung in einem Mittelkoͤrper. Wenn der Körper ſeine Bewegung in eittem Raume macht, der mit einem flüßigen Koͤrper angefuͤllt iſt; beißt das eine Bewegung in einem Mittelkoͤrper (in medio) §. 169. Haupßtſatz⸗ In einem ſolchen Rau⸗ me kann keine Bewegung eines andern . Koͤr⸗ 5 — 1 S der Aut⸗ eſen ont gaſt de ☛ — — ☛ KS ee 173 Koͤrpers vorgehen, ohne daß 1.) die Thei⸗ le des Mittelkoͤrpers getrennet, und ſelbſt 2.) in Bewegung verſetzt werden. Der Be⸗ weis liegt in der Sacherklaͤrung von Bewegung und Mittel⸗ koͤrpern. Folgeſaͤtze, wenn der Mittelkoͤrper ruht, und von ſelbſt keine eigene Bewe⸗ gung hat. HM I. Die Geſchwindigkeit der Bewegung muß in einem gleichen Mittelkoͤrper im⸗ mer abnehmen. Denn ſowohl die Kraͤften des Zuſam⸗ menhanges als die Zuruͤcktreibenden des Mittelko pers wirken der Bewegung des andern Koͤrpers entgegen; mithin muß im⸗ mer ein Grad der Geſchwindigkeit, der Gegenwirkung gleich, verlohren gehen (5§. 23. IV. §. 141.). II. Der Widerſtand des Mittelkoͤr⸗ pers, und folglich der Verlurſt von Ge⸗ ſchwindigkeit ſteht mit der Dichtigkeit des Mittelkoͤrpers im Verhaͤltniſſe. Denn je dich⸗ ter der Koͤrper, deſto groͤßere Gewalt braucht es, ihn in Be⸗ wegung zu ſetzen. III. Aus eben dieſem Grunde waͤchſt der Widerſtand auch mit den Kraͤften des Zuſammenhanges, der ſowohl den bewegten Koͤrper mit dem Mittelkorper, als deſſen Theilen unter ſich eigen iſt. Denn auch dieſer muß überwunden werden. IV. Der Wrderſtand des Mittelkoͤr⸗ pers hat auch mit der Oberflaͤche ein Ver⸗ M 2 hale 174 E üe eee haͤltniß, mit welcher der bewegte Koͤrper immer auf den Mittelkoͤrper wirkt. Denn die Oberflaͤche beſtimmt die Groͤße der zu bewegenden Maſſe des Mittelkorpers, und den Zuſam⸗ menhang, der getrennet werden muß. V. Der Widerſtand iſt auch mit der Geſchwindigkeit der Bewegung in einem Verhaͤltniſſe. Denn die Maſſe des Mittelkoͤrpers, die in einer gegebenen Zeit in Bewegung verſetzt werden muß, waͤchſt wie die Geſchwindigkeit. ,Z VI. Wahrſcheinlicher Weiſe iſt das Quadrat der Geſchwindigkeit der Verhaͤlt⸗ nißpunkt. Denn auch die Maſſe muß in der naͤmlichen Proportion, in der ihre Groͤße anwaͤchſt, geſchwinder bewegt werden. 2è * Aus dieſen Geſetzen laͤßt ſich unſchwer erklaͤren, 1.) Warum ein Pendel, das Raͤdchen in der Uhr ſich im luftleeren Raume fertiger bewege, 2.) Warum jeder Koͤrper mit der naͤmlichen Geſchwindig⸗ keit in eben demſelben luftleeren Raume herunterfalle, 3.) Warum in Bewegung der himmliſchen Koͤrper nicht auf ihren Innbegrif geſehen werden daͤrfe, 4. Warum die in der Luſt beſchleunigte Bewegung endlich gleichfoͤemig werde, und ein Regentropfen ſchneller als der Sneeflocke herabfalle, wenn gleich die Hoͤhe beeder⸗ ſeits gleich waͤre, 5.) Warum gleiche Maſſe von Bley oder Eiſen, wenn ſie ungetheilt iſt, von gleicher Pulverkraft weiter hinausge⸗ worfen werde, als die getheilte, 6.) Warum eine Kanonkugel, die in 1 in der Nichtung der Schwere allein 15 Sch. 1. z. I % L. machte, lange nicht ſo weit herunter falle, wenn ſie in horizontaler Richtung fortgeſchoſſen wird, und endlich fortg “ 7.) Warum — — — — — – 1 üee e 175 7.) Warum kleine Erdtheilchen ꝛe. in der Luft ſich halten koͤnnen, und ſchwerere Koͤrperchen in einem fluͤßigen aber leichtern Koͤrpern nicht untergehen⸗ §. 170. Folgeſaͤtze, wenn der Mittelkoͤrper ſchon fuͤr ſich eine Bewegung hat. I. Wenn die Bewegung des Mittel⸗ foͤrpers mit der Bewegung des andern Koͤr⸗ pers einerley Richtung und Geſchwindig⸗ keit hat, wird die Bewegung des Mittel⸗ koͤrpers jene des andern Koͤrpers noch ver⸗ ſtaͤrken, noch hemmen. II. Iſt aber die Bewegung des Mittelkoͤrpers dem an⸗ dern Koͤrper gerade entgegen, ſo koͤmmt zur vorigen Hinderniß (§. 169.) noch die Geſchwindig⸗ keit des Mittelkoͤrpers. III. Hat aber die Bewegung des Mittelkoͤrpers zwar mit dem andern Koͤrper einerley Richtung, aber weniger Geſchwindigkeit, iſt der Widerſtand nur nach dem Uebermaaß der Geſchwindigkeit zu be⸗ rechnen; mithin kleiner. IV. Wird aber der Mittelkoͤrper geſchwinder als der an⸗ dere Koͤrper nach einerley Richtung bewegt; muß er des andern Koͤrpers Geſchwindigkeit einen Zu⸗ ſatz geben, nach dem Uebermaaß der eignen Geſchwindigkeit. V. Iſt 176 Eee e ee V. Iſt endlich die Bewegung des Mittelkoͤrpers auf die Richtung der Bewegung des andern Koͤrpers ſchief; macht dieſer die Diagonal eines Parallelograms, deſſen einte Seite die Bewegung des Mit⸗ telkoͤrpers, und die zweyte die Bewegung des andern Koͤrpers ausdruͤckt. VI. Dieſe Diagonal wird oder eine ſtettig gerade, oder eine ſtettig krumme Linie werden, nachdem das Wirken jeder Kraft gleichfoͤrmig, oder ungleich ab und zunehmend iſt (§. 143. VI. VII.). Von der gebrochenen Bewegung. §. 171. Wenn der bewegte Koͤrper von der vorigen Nichtung abweicht, und hernach wieder eine gerade Linie macht; heißt ſeine Bewegung eine gebrochene (motus refractus Fig. X.) 2.) Der Winkel, den die neue Richtungslinie mit der vorigen in Gedanken verlaͤngerten Richtungslinie formirt, wird NReſractions, Abweichunngswinkelde benamſet⸗ §. 172. I. Hauptſatz. Geht ein ſohaͤriſcher Koͤrper ſenkrecht in einen neuen Mittel⸗ koͤrper; kann zwar ſeine Geſchwindigkeit vermindert, aber ſeine Richtung nimmer gebrochen werden. Das erſte geſchieht, wenn der neue Mittelkoͤrper oder dichter, oder vom ſiaͤrkern Zuſammenhange waͤre; denn bey⸗ des —- —— ——.. — — — — - — — NNF eeen des vermehrt den Widerſtand, und vermindert die Geſchwin⸗ dizkeit. Das zweyte iſt darum unmoͤglich, weil der Widerſtand immer nach der vorigen Richtung oder ab oder zunimmt. S * Hat der Koͤrper keine ſphaͤriſche Figur, ſo kann das Auffallen der Oberflaͤche auch bey ſenkrechter Riche⸗ —„ tung ſchief ſeyn; und in dieſem Falle gilt nachſtehender II. Hauptſatz. Geht der Koͤrper aus dem vorigen Mittelkoͤrper in einen neuen, der ſeiner Bewegung mehr widerſteht (§. 169.), ſchief uͤber, wird ſeine Bewegung gebrochen, und weicht von der ſenkrechten Richtung merklicher ab. Denn die ſchieſe Bewe⸗ wegung gleicht der Diagonal eines Parallelograms ‚ und die Diagonal erhaͤlt allemal eine andere Richtung; alsbald in ei⸗ ner Gewalt eine Aenderung vorgeht, die in der andern nicht erſcheint (5. 143. VII.). Nun aber dieß geſchieht im gegebe⸗ nen Falle, ſo lange der Koͤrper nicht ganz in den neuen Mit⸗ telkorper eingetretten iſt; denn in der ſenkrechten Richtung ſtoͤßt der Koͤrper auf den Mittelkoͤrper mit einer groͤßern Ober⸗ flaͤche als in der horizontalen. Mithin empfaͤngt die fenkrechte Bewegung mehr Widerſtand als die horizontale, oder, was eines iſt, die Bewegung wird von der ſenkrechten Richtung gegen die Horizontallinie gebrochen (fit refractio a perpen- diculo). * Ich erlaͤutere den Beweis durch eine Figur (X.). Faͤngt eine Sphaͤre an in einen neuen mehr widerſtehen⸗ den Mittelkoͤrper zu übergehen; wird der Widerſtand nach nach der ſenkrechten Bewegung z. B. = dem ganzen Bo⸗ gen mon, Uund jener nach der parallelen = on dem hal⸗ ben Bogen ſeyn, und weil dieſes von allen Zirkelboͤgen gilt, wird der ſenkrechte Widerſtand allezeit noch ſo groß als der parallele ſeyn; bis der halbe Koͤrper in den neuen Mittelkoͤrper eingetretten iſt. Alsdenn wird der ſenkrechte Widerſtand ſich immer gleich bleiben, der horizontale aber wachſen, bis er dem ſenkrechten gleich wird, d. i. bis der Koͤrper ganz im Mittelkoͤrper verſenkt iſt. * * Deutlichkeit halber habe ich einen ſphaͤriſchen Koͤr⸗ per angenommen: hat der Koͤrper ſelbſt eine unregulaͤre Figur, muß auch dieſe mit in die Rechnung kommen. §. 174. III. Hauptſatz. Verurſachet der neue Mittel⸗ koͤrper einen ſchwaͤchern Widerſtand, wird die Bewegung al⸗ lemal gebrochen, und die Richtung weicht von der parallelen merklicher zur ſenkrechten ab. Der Beweis und die Erklaͤrung iſt der naͤmliche wie §. vor⸗ geh. außer daß in dieſem Falle die parallele Bewegung mehr Widerſtand als die ſenkrechte erfaͤhrt. Folgeſaͤtze. I. Die Abweichungen von der vorigen Richtung, mithin auch der Ab⸗ weichungswinkel, iſt um ſo viel groͤßer, als kleiner der Auffallungswinkel. Denn bey einem kleinern Auffallungswinkel haͤlt die Ungleichbeit des Wider⸗ ſtands laͤnger an. II. Je groͤßer die Ungleichheit der Mit⸗ telkoͤrper, in welche der Uebergang ge⸗ ſchieht E H e 179 ſchieht, deſto groͤßer iſt auch die Abwei⸗ chung ſelbſt. L III. Iſt dieſe Verſchiedenheit des Widerſtandes ſtettig, muß die Abweichung von der vorigen Rich⸗ tung eine krumme Linie beſchreiben (9. 143. VI. VII.). IV. Und weil dieſe Verſchiedenheit in jedem Uebergange anbaltend iſt macht der Koͤrper beym Eintritte in den Mittelkoͤrpver eine krumme Linie; hernach eine gerade, alsbald die Ungleichheit des Widerſtands aufhoͤrt. * In dieſer Erklaͤrung liegt zwar ein Theilgrund, warum z. B. ein Fiſch unter dem Waſſer durchs Feuer⸗ rohr nicht getroffen wird, außer wenn man mit dem Schuß merklich unter dem Fiſche antraͤgt. Allein der an⸗ dere Theilgrund wird ſich erſt aus der Erklaͤrung des Lichts entwickeln. II. Kapitel. Von dem Gleichgewichte der feſten Koͤrper. §. 175. Das Gleichgewicht uͤberhaupt iſt eine Ruhe, welche aus gleichem Beſtreben nach gerad entgegengeſetzten Richtungen entſteht. I. Alle ruhende Koͤrper ſind im Gleich⸗ gewichte. Denn ihre Ruhe kann nur aus gleichem Be⸗ Kreben nach gerad entgegengeſetzten Richtungen entſtehen. II. So 180 N F n II. So lang alſo die Kraͤſten ſich in geraber Linie ent⸗ gegen wirken; bleibt alle Bewegung unmoͤglich. III. Indeſſen koͤnnen auch bewegte Koͤrper in Ruckſicht auf die reſpective Ruhe im Gleich⸗ gewichte ſeyn. Denn der Begrif der reſpectiven Ruhe und der Begrif der Bewegung ſtehen wohl beyſammen. §. 176. Jenen Punkt des Koͤrpers, um den alle Theile nach je⸗ der geraden Linie im Gleichgewichte ſind, nennen wir den Schwerepunkt. I. Ruht der Schwerepunkt; muß der ganze Koͤrper ruhen; wird jener bewegt, koͤnmt auch dieſer in Bewegung. II. Was den Schwerepunkt haͤlt, muß den ganzen Koͤrper halten. III. Ich kann alſo die Schwere des ganzen Koͤrpers gleichſam im Schwerepunk⸗ te conc entrirt denken. §. 177. Der Punkt, auf dem der Schwerepunkt aufliegt, heißt Ruhepunkt; z die Linie, nach der er ſich zu bewegen be⸗ ſtrebt, oder, wenn kein Hinderniß zugegen, wirklich bewegt, iſt die Richtungslinte. §. 178. JI. Zieht ſich die Richtungslinie noch durch den Unterſatz des Koͤrpers; iſt das Um⸗ ü wee 1 * Umſtuͤrzen des Koͤrpers unmoͤglich; denn es h. kuoͤnnen ſich weder die Theile des Koͤrpers bewegen, weil ſie in im Gleichgewichte ſind (§. 176.), noch der Schwerepunkt, weil ihn der Ruhepunkt zurück halt (5§. vorg.). 4— II. Faͤllt aber die Richtungslinie uͤber den Ruhepunkt hinaus, iſt das Umſtuͤrzen nothwendig. Denn alle Urſachen des Nichtfallens blei⸗ ben weg. *Dieſe zween Folgeſaͤtze ſind oder blos vom Um⸗ fallen, oder auch von der Bewegung zu verſte⸗ bhen; wenn man hinzu ſetzt: daß die Richtungslinie ! ſenkrecht durch den Unterſatz faͤllt. t. * Aus dieſen laͤßt ſich mit Borellus erklaͤren, a.) Daß Thiere bey Aufhebung eines oder zween Fuſſe nicht umfallen. 2.) Warum ſich unſer Koͤrper vorwaͤrts neige, wenn wir das Gewicht rüͤckwaͤrts tragen, und umgekehrt; 3˙) Warum ſich die zweenfuͤßigen Thiere unten in einen preiten Raum ausdehnen; 4.) Warum wir, ohne den Fuß zuruͤck zu ziehen ‚oder den obern Theil des Koͤrpers vorwaͤrts zu neigen, nicht vom Sitze aufſtehen koͤnnen; 5.) Warum ein großes Gewicht unter dem Tiſch an einem gt gebogenen Drat hangen bleibt, wenn gleich nur das das Aeußerſte des Drats auf dem Tiſche aufliegt; 6.) Was den Seiltaͤnzern die lange Stange in der Hand nuͤtze; 7.) Warum ein leichter cylindriſcher Koͤrper die geneigte Ebene binaufſteige, wenn ihm nahe bey der Oberflaͤche Bley eingegoſſen wird u. d. m. ☛ Se §. 179. 182 KES e §. 179. Eine gerade Stange haͤlt uͤber einem Unterſatze das Gleichgewicht, wenn die Maſſen beeder uͤber dem Unterſatze hinge⸗ henden Theile M und m mit den Entfernun⸗ gen ihres Schwerepunktes vom Ruhepunkte D und d gleiche Produkte formiren d. i. wenn MD — md. Im Schwerepunkte laͤßt ſich die ganze Schwere als ver⸗ ſammelt denken. Nun aber bey dem Unterſatze iſt die Ge⸗ walt auf den Zuſammenhang allemal wie das Produkt aus dem angehaͤngten Gewichte, und deſſen Entfernung (§. 72. II. 73.) ½ mithin muß auch in unſerm Falle die Wirkung auf den Zu⸗ ſammenhang dem Produkte aus der Schwere eines jeden Armes und ſeiner Entfernung gleich ſeyn. Folglich wenn beyde Producte einander gleich ſind, muß die Stange uͤber dem Unterſatze das Gleichgewicht halten; weil beede Aerme, d. i., beede uͤber den Unterſatz hingehende Theile mit gleichen Kraͤften nach gerad entgegen geſetzten Richtungen gezogen werden. I. In einer gleichartigen Stange muß der Unterſatz in der Mitte angebracht wer⸗ deu, um ihr das Gleichgewicht zu ver⸗ ſchaffen; denn nur in der Mitte iſt MD = md (§. 73.). II. In einer Stange, die ungleichartig iſt, kann das Gleichgewicht durch den Un⸗ terſatz in der Mitte nicht erhalten werden. III. In einer gleichartigen Stange fin⸗ det ſich der Schwerepunkt in der halben Laͤnge = 6 C ſte r =S = = ☛ XE e ee 183 Laͤnge der Aerme, und zwar in jenem Punkte, in dem ſich die Horizontal⸗ und Perpendicularflaͤchen durchſchneiden. * Aber in einer ungleichartigen Stange? — Auf gut mechaniſch den Schwerepunkt zu finden, darf man blos den Koͤrper ſo lange auf dem Unterſatze hin und her ſchieben, bis er das gleichgewicht erhaͤlt; der Schwere⸗ punet liegt alſo in jener Flaͤche, welche ſenkrecht uͤber den Unterſatz ſteht. Mach ich dieſe Probe mit dem Koͤrper nach verſchiedenen Richtungen; erhalt ich einen Punkt, in dem ſich alle Flaͤchen durchſchneiden, und dieſer wird der Schwerepunkt ſeyn. — Allein eine allgemeine Regel zur Erfindung des Schwerepunkts angeben, laͤßt eben ſo hart, als richtig der obige Hauptſatz erwieſen iſt, wenn gleich die Anwendung ſchwer fallen daͤrfte. §. 180. Werden einer Stange, die fuͤr ſich ſchon das Gleichgewicht haͤlt, zween Koͤr⸗ per angehenkt, deren Gewichte mit ihren Entfernungen in umgekehrten Verhaͤltniſſe ſtehen, halten auch dieſe das Gleichge⸗ wicht. Denn wenn D: d = m: M ſind; wird auch MD = md ſeyn. D I. An einer Stange, die uͤber einem Unterſatze das Gleichgewicht haͤlt, koͤnnen gleiche Gewichter nur in gleichen, unglei⸗ che nur in verkehrt berechneten Entfer⸗ nungen ruhen. II. Iſt 14 38= n e II. Iſt die Gewalt ſchief an den ein⸗ ten Arm der Stange gebracht; darf man nur auf die Richtung der Gewalt eine ſenk⸗ rechte Linie ziehen, um die Entfernung zu beſtimmen, welche in Betracht kommen muß. III. Es muß alſo auch ein gerades Joch, welches mittels einer Achſe ſchief aufliegt, im Gleichgewichte ſeyn; wenn nur die beeden Aerme gleichartig und gleichlang ſind: oder wenn das Pro⸗ dukt MD des einen dem Produkte md des andern Armes gleich iſt. Denn in beeden Faͤllen wird die Wirkung auf den Zuſammenhang bey dem Unterſatze gleich ſeyn (Fig. XI.). IV. Eben ſo bleibt das Gleichgewicht, wenn an einem dergleichen Joche gleiche Gewichter angehaͤngt ſind. Denn von dieſem verſteht ſich alles, was vom Schwerepunkte geſagt worden.⸗ V. So lange alſo eine Stange ſenkrecht auf die Hand gebalten wird, laͤßt ſie ſich ohne ſonderbare Muͤbe in der Hoͤhe erhalten; wird ſie geneigt, waͤchſt die Beſchwerniß; biß ſie in der horizontalen Richtung den groͤßten Grad erhaͤlt⸗ §. 181. VI. Mithin behaͤlt das Theorem (J2. vorg.) die vorige Richtigkeit, ob die Aerme der Stange in gerader Linie liegen, oder einen Winkel formiren; wenn nur die Gewichter auf beede Aerme ſenkrecht wirken (Fig. XII.). Denn in jedem Falle wirkt M und m auf den Zuſammenhang in c, wie das Pro⸗ dutt dul du vo n indukt aus dem Gewichte und der Entfernung. Sind die Pro⸗ un dukte gleich, wird der Arm ec von cb eben ſo ſtark, als cb von ec Mittels des Zuſammenhanges bey c gezogen we den, itund folglich eine gegenſeitige Ruhe entſtehen. nen 8. d1. VII. Wird aber das Gewicht m un⸗ chh ter dem ſchiefen Winkel obd angebracht, gt, iſt es nur alsdenn mit M im Gleich gewich⸗ un te, wennm: M=ec: Cd. Denn in dieſem Fal⸗ p leer iſt die Wirkung von m auf c = m c d; eben ſo, als wenn nes das Gewicht m an dem Arme cd in d angebracht waͤre. den Dieſes deutlich zu beweiſen nenne ich die abſolute Kraft von m =— V, und die ſenttechte =— v. Es wird alſo V: v = cb: cd ſeyn (§. 147.), weil iht, ich mir eine ſchiefe Eone denken kann. Mithin iſt V. cd = iche V. c b; d. i. das Produkt der reſpectiven Gewalt, mit der ſeſem m auf c wirkt, in die Entfernung cb gleicht dem Produkte . der ganzen Gewalt in die Entfernung c d. Hiid Anwendung dieſer Saͤtze auf 6 Maſchinen. Alt⸗ Vom Zebel insgemein. (Gͤ §. 183 Die Mechanik betrachtet den Hebel (vectis) als eine un; gerabe, unbiegſame, nicht ſchwere Linie, die ſich um den Puntt e auf dem ſie aufliegt (als ihren Bewegungspunkt) key ue bewegen laͤßt. Das, worauf der Bewegungspunktt negt, heißt Pu⸗ Unterſatz Chy pomochlion); der ſchwere Koörper weicher— dn vder 18⁵ SeS een eeen oder zu bewegen, oder im Gleichgewichte zu halten iſt, wird das Gewicht (pondus), jene Kraft, die angebracht wird, das Gewicht oder zu bewegen oder im Gleichgewichte zu hal⸗ ten, die Potenz (potentia) genennt. §. 184. Der Ort des Unterſatzes beſtimmt die Gattung des Hebels. Denn entweder iſt der Unterſatz zwiſchen der Potenz und dem Gewichte, oder das Gewicht zwiſchen dem Unterſatze und der Potenz, oder endlich die Potenz zwiſchen dem Unterſatze und dem Gewichte⸗ Die Hebel von der erſten Gattung (primi generis) ſind doppelarmichte, jene von der zwoten und dritten Gat⸗— tung (ſecundi & tertii generis) einarmichte. §. 185. Die Potenz in einem Hebel iſt wie das Produkt aus ihrer Kraft und Entfernung vom Ruhepunkte. Bieß Theorem kann der mathe⸗ matiſchen Beweiſe gar leicht entrathen, nachdem wir aus phy⸗ ſikaliſchen Gruͤnden gezeigt haben, daß die Wirkung eines an einer Stange angehaͤngten Gewichtes — PD ſeyn muͤſſe (§. 179. 180.). I. Die Potenz P haͤlt das Gewicht M in der Ruhe, wenn das Produkt aus P und ihrer Entfernung D dem Pro⸗ dukte aus M, und ihrer Entfernung d gleich iſt, wenn PD = MdAJ. Ia II. Im Gleichgewichte iſt alſo P = . III. Iſt aber P D aroßer a als Md folgt die Bewe⸗ gung. IV. Im 1152%1 t 5 SSee wee Hee 187 IV. Im Falle der Bewegung iſt die bewegende Potenz = PD — Md. Denn die Bewegung entſteht nur nach dem Uebermaaße der Potenz. V. Iſt der Hebel ſelbſt ſchwer, muß auch dieſe Schwere auf die naͤmliche Art mit berechnet werden. (§. 179.). VI. Weil die Entfernung der Potenz vom Ruhepunkte, oder, was eins iſt, die Laͤnge des einten Arms, an dem die Potenz angebracht iſt, immer mag verlaͤngert werden; koͤnn⸗ te auch die Potenz faſt ins Unendliche ver⸗ groͤßert werden, wenn man nur fuͤr den Zuſammen⸗ bang des phyſikaliſchen Hebels gut ſtuͤnde. * Alles dieß laͤßt ſich auch auf die Hebel von der zwoten und dritten Gattung anwenden. Nur iſt zu mer⸗ ken, daß im Hebel von der letzten Gattung die Potenz ei⸗ ne kleinere Entfernung vom Unterſatze habe; folglich iſt die Vermehrung der Kraft (VI.) in dieſer nicht eben ſo wie in den zwo andern Gattungen zu erhalten. ** Erklaͤrung alltaͤglicher Beobach⸗ tungen, wie H 1.) zween Traͤger, die einen ſchweren Koͤrper an einer Stange halten, ungleichen Druck vermerken, wenn das Gewicht von ihrer Hand oder Schulter ungleiche Entfernung hat; denn das Gewicht kann als der Unter⸗ ſatz, die Hand aber als die Potenz betrachtet werden. 2.) Warum die Scheere einen Koͤrper leichter theile, wenn oder er weniger von der Achſe entfernet, oder ihre Hand⸗ hebe laͤnger iſt. 3.) Wie auch ein Meſſer als ein Hebel kann betrachtet werden. u. ſ. w. ”MMMVB Zweyter Theil. N 4.) Wie 188 ee Hn eee 4.) Wie aus dieſen Gruͤnden die Theorie der Waage, und Schnellwaage abgeleitet werde: von denen ich gleich mehr reden werde. Zuvor nur noch ein Wort von dem Zuſammengeſetzten Hebel. §. 186. , Ein zuſammengeſetzter Hebel iſt jener, in den allemal die Potenz mittels des vorgehenden Hebels auf den nachſtehenden ſo wirkt, wie das Gewicht iſt, mit dem die Potenz im vorgehenden Hebel das Gleichgewicht hielt. I. In dem zuſammengeſetzten Hebel gelten alle Geſetze des einfachen; denn die Summe der Einfachen macht in der Verbindung einen Zu⸗ ſammengeſetzten⸗ = II. Die Potenz im Zuſammengeſetzten (Fig- XIII.) gleicht dem Produkte aus dem Gewichte und allen Entfernun⸗ gen, getheilt durch das Produkt aller Entfernungen, ?5 = ac. de f Aade⸗ 7 £ (§. 185. II.). III. Iſt dieß Produkt dem Gewichte gleich, wird die Ruhe; iſt es groͤßer, die Bewegung erfolgen. Von der Waage, Schnellwaage. §. 187. Die gemeine Waage iſt ein Inſtrument von zween gleichen Aermen, welche nur alsdenn in horizontaler Richtung ſeyn koͤnnen, wenn die an beeden Aermen von dem Ruhe und Schwerepunkss gleich weik Goſtehende Koͤrper voll⸗ kom⸗ —2——— ⸗— a —⸗æ — — —— — 41 E ü ee 189 kommen gleiches Gewicht haben. Zur Vollkommenheit der Waage wird erfordert, IJI. Daß beede Aerme vollkommen in dem Gleichgewichte ind, II. Daß ſie vollkommen gleiche Laͤnge haben. Daher muß man acht haben, daß nicht etwa bey Neigung der Waage dieſe gleiche Entfernung von dem Be⸗ wegungspunkte mittels einiger Hacken gehoben werde; weil ſonſt auch gleiche Gewichter in der ſchiefen Rich⸗ eung ruhen muͤßten. I. Daß der Schwerepunkt unter dem Bewegungspunkte ſtehe. Denn die Theile des Joches muͤſſen von ihm gleichweit entfernet ſeyn. Alſo muß er 1.) in der naͤmlichen Perpendiculaͤrlinie ſeyn. 2.) Kann er der Bewegungspunkt ſelbſt nicht ſeyn; denn ſonſt wuͤrde die Waage in ſchiefer Rich⸗ tung auch bey gleichen Gewichtern ruhen. 3.) Kann er nicht ober dem Bewegungspunkt liegen. Benn in dieſem Falle waͤre alle Ruhe unmoͤglich, und die Waage würde bey der geringſten Ungleichheit der Gewichter uͤberſchnellen, und alſo unbrauchbar werden. 4.) Mithin muß er unter dem Bewegungspunkte zu ſtehen kommen. lIV. Wenn auch die Gewichter ungleich ſind, entſteht in einer vollkommenen Waa⸗ ge die Ruhe, ſobald eine hinlaͤngliche Nei⸗ gung des Joches hinzu koͤmmt. Denn mit der Neigung des Joches ſteigt der Schwerepunkt uͤber den Bewe⸗ gunspunkt und Unterſatz hinaus; mithin erhaͤlt das Gewicht in N 2 dem 1e en ee e dem hoͤher ſteigenden Arme eine groͤßere Entfernung von dem Ruhepunkte, und dieſe Ungleichheit der Entfernungen kann ja die Ungleichheit der Gewichter wieder gut maͤchen. v. Je empfindſamer d. i. je geſchmei⸗ diger zur Bewegung das Joch iſt, deſto vollkommener laͤßt die Waage. VI. Mithin muß man dem Reiben auf dem Unkerſatze nach Moͤglichkeit abhelfen. Denn das Reiben mindert die Fertigkeit zur Bewegung⸗ VII. Das Staͤngelchen, das die Neigung der Waage anzeigt, muß auf dem Schwerepunkt ſenkrecht, nicht zu ſchwer, nicht zu lang und nicht zu kurz ſeyn. Denn waͤre es zu kurz, wuͤrde die Neigung nicht merklich, waͤre es nicht ſenkrecht, wüurde die Neigung nicht richtig angezeigt werden. Das Uebermaaß der Schwere oder Laͤnge koͤnnte den Schwerepunkt bey der Neigung an einen an⸗ dern Ort verſetzen⸗ VIII. Ob dieſe oder jene Waage gerecht ſet? — wird durch Abwechslung der Gewichter an den Aermen entdeckt. IX. Wenn im Joche eine verdeckte Hoͤhle und z. B⸗ OHueckſilder in der Hoͤhle ſich befaͤnde, muͤßte durch das Hin⸗ und Herfließen dieſes ſchweren Koͤrpers manche Aenderung im Schwerepunkte vorgehen. „ Von mehr dergleichen Betruͤgereyen wird ich in oͤffentlichen Vorleſungen reden⸗ Zur Benutzung der Waage muß man die ver⸗ ſchiedenen Abtheilungen des Gewichts inne haben. Hier liefre ich eine kleine Anzeige davon⸗ 1.) Das 2—— KSy e e Ior 1.) Das gemeine Gewicht 1 Zentner haͤlt 100 1B 1 = 16 Loth 1 = 4 Quintl Mithin iſt I 15 = 64 Quintl. 2.) Das Apotheckergewicht 1 B = 12 Unzen 1 — 1 — D 2 —. S = 4 Drachm. 1 — 3 SEerupel 1 = 20 Gran. 3.) Das Gewicht in der Probierkunſt ergzentner = 1 Quintl im gemeinen Gewichte 1 = 100 5 1 = 32 Unzen. 1 = 4 Quintl. Darum muͤſſen in der Probierkunſt die empfindlichſten Waagen angewendet werden. Eine genaue Beſchreibung giebt Herr Crammer in ſeinen Elementen der Docimaſt⸗ §. 303, Herr Schluͤtter in dem Probierbuche S. 32. §. 188. Alle obige Bemerkungen gelten beynahe auch bey der Schnellwaage, wenn man die Laͤnge der Aerme ausnimmt. Man bedient ſich im⸗ mer des naͤmlichen Gegengewichtes. Dieß zeigt durch die Ent⸗ fernung, in der es mit dem zuwiegenden Koͤrper das Gleich⸗ gewicht haͤlt, die Groͤße ſeines Gewichtes an, und iſt unter dem Name Laufer bekannt. Vor allem muß man acht baben, daß der Laufer mit dem andern Arme genaues Sleichgewicht halte⸗ Von 192 üH ee Von dem Rade. §. 189. Wenn man einen ungleicharmichten Hebel um ſeinen Ruhepunkt herum bewegt, wird von dem kuͤrzern Arme ein kleineres, von dem laͤngern ein groͤßers Rad, von beeden Aer⸗ men eine Maſchine beſchrieben, die (axis in peritrochio) oder das Rad im ſtrengſten Verſtande genennt wird. I. Von dem Rade gelten alle Geſetze des Hebels. II. Wenn ich alſo den Radius vom kleinern Rade = r⸗ und jenen vom groͤßern = R, die Potenz = P, den Koͤrper = M ſetz; iſt ? = —. III. Es liegt nichts an der Sache, ob um das kleinere Rad ein groͤßeres herum ſey, oder nur Quer⸗ ſtangen durchgeſteckt ſind. IV. Unter dem kleinern Rade kann auch ein Regender oder ſtehender Cylinder verſtanden werden. v. Auch mehrere vereinigte Raͤder, wenn die Zaͤhne des erſten kleinern auf die Zaͤhne des zwey⸗ ten groͤhern Rades u. ſ. w. eingreifen, ſind nichts als ein zuſammengeſetzter Hebel, und behaupten die naͤmlichen Geſetze. VI. Iſt aber die Wirkung oder Potenz auf das Rad ſchief, folgt ſie auch den Geſetzen eines Win⸗ kelhebels. Von ü eee 193 Von der Rolle. §. 190. Gleichwie das Raͤderwerk (5§. vorg.) aus einem un⸗ gleicharmichten Hebel entſteht, alſo entſteht die Rolle (Troch- lea) aus einem gleicharmichten Hebel, der um ſeinen Ruhe⸗ punkt gedrehet wird. I. Auf die Rolle paſſen alle Geſetze des gleicharmichten Hebels; es mag die Potenz ſenk⸗ recht (§. 180.), oder ſchief (§. 182.) angebracht ſeyn. II. In der feſtgemachten Rolle muß die Potenz der Laſt gleich ſeyn, um ihr das Gleichgewicht zu verſchaffen. Es koͤnnen alſo die Kraͤften nicht vermehret werden. III. In der beweglichen Rolle, wenn z. B. (Fig. XIV.) der Ruhepunkt in c, die Potenz in P iſt, ent⸗ ſteht ein Hebel von der zwoten Art; und die Potenz iſt vom Ruhepunkte noch ſo weit entfernet als das Gewicht .⸗ mithin im Gleichgewichte iſt P: M = 1: 2, und IV. Werden mehrere Rollen zuſammengeſetzt, und in einen Flaſchenzug vereiniget; wird die Potenz vom Ruhepunkte allemal um 2 weiter entfernet; die Entfernung des Gewichtes aber bleibt = I. * Dieß gilt von beweglichen Rollen (II. III.). V. Wenn ich alſo die Zahl der Rollen durchen aus⸗ 6 druͤcke, wird ?P = — — ſeyn; oder wenn ich die Zahl der Stricke, den letzten abwaͤrtsgehenden weggerechnet, = N ſetze, iſt P = ; weil die Zabl der Stricken noch ſo groß iſt als jene der Rollen⸗ Von 194 E H ieee Von der Schraube und 4 dem Keile. §. 191. Wenn ein Koͤrper auf einer ſchiefen Ebne nach einer auf die Ebne parallelen Richtung gezogen wird; ſo entſteht das Gleichgewicht, wenn ſich die Potenz P zum Gewicht M. wie die Hoͤhe A zur Laͤnge L. verhaͤlt, d. i. P: M = A: L.. Denn in dieſem Falle darf nur der zuase⸗ Gewalt des Koͤrpers das Gleich⸗ gewicht verſchaffet werden; nun aber dieſe verhaͤlt ſich zur Gan⸗ MA zen M = A: L. (§. 147.). Mithin muß auch P = 1 ſeyn. S. 192. Wird aber eben dieſer Koͤrper (E. vorg.) nach einer auf die Grundlinie parallelen Richtung gezogen; muß, um das Gleich⸗ gewicht zu erhalten, P: M = à: B (zur Grundlinie) ſeyn. Denn auf dieſe Art entſteht aus der Schwere des Koͤrpers und der Potenz eine Gewalt, wel⸗ che ſenkrecht auf eine Ebne wirkt, und mithin die Bewegung unmoͤglich macht. Dieß zu erweiſen mache ich (Fig. XV.) ei⸗ nen = cab = — A, und eine Linie bo ſenkrecht auf ad. Es wird alſo 1.) Q̊ a bc αA BC, und ac: cb = AC: CB ſeyn. Ferner iſt 2.) Die Linie ab auch auf A B ſenkrecht. Denn der = cbd= BAC, weil cb und AC parallel ſind; und der = bac = BAC; denn er iſt gleich groß errichtet worden. Mithin iſt ☛ bac = chd. Weil — -– — ,.——,, — — — *¾= — * oSE E ee 195 Weil aber cba †+ bac = 180, iſt auch cha + cbd = 180, und ab ſenkrecht auf AB, 3.) Nun iſt ab die Diagonal von ac und cb, und ac: cb = AC: CB (1.); mithin erhaͤlt ſie ihxr Daſeyn, wenn P: M =— AC: CB = wie die Hoͤhe zur Grundlinie⸗ * Wer die Potenz, die unter jedem Winkel das Gleichgewicht haͤlt, ſinden will, leſe das Kaͤſtneriſche Handbuch, und in Herrn Clemens Mechanick den §. 86. mir ſcheint der Beweis fuͤr Anfanger zu hart, und zu meinen Vorhaben unnoͤthig⸗ §. 193. Schraube (Cochlea) heißt ein gerader Cylinder, Uum welchen eine ſchiefe Ebne unter dem naͤmlichen Winkel herumgezogen iſt. Der Cylinder ſelbſt, an dem die ſchiefe Ebne bervorſteht, und in andere gleiche Aushoͤlungen ein⸗ pPaßt, wird die Spindl (mas), jener Koͤrper aber in deſſen Hoͤhlungen die Spindel einpaßt, die Schraubemutter (Cochlea femina) genennt. I. In der Spindl und der Schraube⸗ mutter muß die geneigte Ebne den naͤm⸗ lichen Winkel haben; ſonſt koͤnnten die Schraube⸗ gaͤnge nicht aufeinander paſſen. II. Da die Gewalt, mit der die Spindl bewegt wird, mit der Grundlinie parallel iſt; muß auch hier im Gleichgewichte (§. 102.) P: M = A: B ſeyn, d. i. = wie die Entfernung der Schraubegaͤnge zur Peripherie des Cylinders; denn dieſe macht die Grundlinie, jene aber die Hoͤhe der Ebne aus. III. In 196 E üHe ie . MA III. In einer Schraube iſt alſo P = — —; und waͤchſt mit der Entfernung der Schraubegaͤnge im geraden, mit der Dicke der Spindel aber im verkehrten Verhaͤltniſſe. §. 194. Eine Schraube ohne Ende (Cochlea infi- nita) ſind etliche Schraubegaͤnge, die auf die Zaͤhne eines Ra⸗ des eingreifen, und ſelbe ſo lange bewegen, als die Schrau⸗ be ſelbſt umgetrieben wird. Das Rad muß alſo beym fortdaurenden Umtreiben um ſo viele Zaͤhne bewegt werden, als Schraubegaͤn⸗ ge auf die Zaͤhne wirken. §. 19ſ. Ein Keil iſt ein Inſtrument, das aus zwo ſchiefen Ebnen, in der Grundflaͤche zuſammengefuͤgt, entſteht. I1. Da der Keil nach der Grundlinie der ſchiefen Ebne getrieben wird, hat die Potenz zur Laſt das naͤmliche Verhaͤltniß, wie auf der ſchiefen Ebne (§. 192.) und in der Schraube (§. 103.). II. Die Kraft des Keils waͤchſt alſo mit der Grund⸗ flaͤche im geraden, und mit der Hoͤhe der zuſam⸗ mengefuͤgten Ebnen im verkehrten Verhaͤltniſſe. x* — In den Schneidinſtrumenten iſt eine Art von Keilen zu bemerken. 7 * Das ſind nun alle einfache Maſchinen, und aus dieſen ſind alle übrige zuſammengeſetzt; daher ſie auch den Geſetzen des Hebels nnd der geneigten Ehne folgen. Ueber . = 4 ☛G WAN — — .⏑ N ee 197 Ueber die zuſammengeſetzten Maſchinen ſind Jakob Leu⸗ pold in ſeinem Theater der Maſchinen, Gallon in ei⸗ ner Abhandlung der koͤnigl. Akademie zu Paris, Beli⸗ dor in der bydrauliſchen Baukunſt, Beyer in dem Thea⸗ ter der Muͤhlen mit Vergnuͤgen und Vortheile zu leſen. * ** Ferner muß ich anmerken, daß ich in dieſer ganzen Materie das Reiben (affrictus) niemals mit be⸗ rechnet habe. Weil es aber viele Hinderniſſe verurſacht, folgen kuͤrzlich einige Bemerkungen uͤber Die Hauptgeſetze von dem Neiben. In jeder Oberflaͤche auch der ebneſten und glatteſten Koͤrper kommen viele Ungleichheiten, d. i. Hervorragungen und Vertiefungen der Theile vor; es kann alſo kein Körper über den andern hinbewegt werden, ohne daß die hervorra⸗ genden Theile oder uͤberſprungen, oder gebogen, oder abge⸗ ſtoſſen werden. Jeder Fall hemmt die Bewegung; und dieß Hinderniß der Bewewegung nenne ich das Hinderniß vom Reiben. Wenn man die Geſetze des Reibens beſtimmen will; muß man 1. auf die Groͤße, Figur, und Haͤrte der hervorragenden Theile ſehen. II. Auch auf die Geſchwindigkeit der Bewegung; denn in einer geſchwindern Bewegung muͤſſen mehrere Theile oder uͤberſprungen, oder gebogen, oder abgeſtoſſen werden. III. Auch auf die Schwere des zu be⸗ wegenden Koͤrpers; weil ein ſchweres Gewicht alle⸗ mal 18 an Äa mal die hervorragenden Theile in die Vertiefungen des an⸗ dern Koͤrpers mehr verſenkt. IV. Auch auf die Oberflaͤche des zu bewegenden Koͤrpers; denn mit ihr waͤchſt die Zahl der zu uͤberwindenden Theile. V. Wenn die hervorragenden Theile nur zu uͤberſprin⸗ gen ſin; kann die Oberflaͤche vermehrt wer⸗ den, ohne das Reiben zu vermehren; weil durch die naͤmliche Gewalt mehrere Anhoͤhen in einer Reihe zugleich überſprungen werden. §. 197. Inndeſſen koͤnnen doch von dem Reiben keine beſtimmte allgemeine Geſetze fuͤr ver⸗ ſchiedene Koͤrper angegeben werden. Denn I. Kann man weder die Ungleichheit noch die durch langes Glatmachen erhaltene Ebne emer Ober⸗ flaͤche richtig beſtimmen. II. Laͤßt ſich mancher Koͤrper anfangs leichter; ber⸗ nach auch durch ein doppeltes Gewicht lange nicht ſo merklich zuſammen druͤcken. III. Muß die Figur und der Zuſammen⸗ hang der bervorſtehenden Theile in verſchiedener Hoͤbe gleichfalls verſchieden ſeyn. WWvV. Läaͤßt ſich kaum ein Reiben denken, wo nicht einige Theile abgeſtoſſen, gebogen, andere nur uͤberſprungen werden. V. Viel minder laͤßt ſich dee Anzahl der abgeſtoſſe⸗ nen oder nur gebogenen oder nur uͤberſprungenen Theile an⸗ geben. VI. Sind le zu 6 D NS E eEe 199 VI. Sind einige Theile nach einer Richtung leichter als nach der andern i biegen, oder ab⸗ zuſtoſſen. VII. Werden in einer geſchwindern Bewe⸗ gung viele Theile überſprungen, die in einer langſamern Bewegung gebogen, oder abgeſtoſſen würden u. ſ. w. §. 198. Auch aus der Erfahrung laͤßt ſich kein allgemeines Geſetz angeben. Ven dieſem über⸗ zeigen uns die mühſamſten und richtigſten Verſuche der groͤ⸗ ten Mechaniker. Van Muſchenbroͤck (a) koͤnnte nicht ein⸗ mal ein Verhaͤltniß des Gewichtes mit der Groͤße des Re⸗ bens entdecken, ob er es ſchon in verſchiedenen Hoͤlzern und mit verſchiedenen Gewichtern verſuchte. Eben ſo war ſeine Mühe in Unterſuchung der Metalle (5) umſonſt. Die Be⸗ muͤhungen des Amantons (c); de la Hire (4), Leibnitz (e):, Parentius (F), Bellidor (g) u. a. m. ſind ſelbſt aus dem ſchlechten Erfolge, ein allgemeines Geſetz ausſindig zu machen, nur gar zu bekannt. §. 199. l. Was aus den Verſuchen gewiß iſt? 1.) Die Koͤrper reiben ſich meiſtentheils an gleichar⸗ tigen Thbeilen meht als an andern. (4) Inſltut. Phyt. Cap. K. de atiritn g. 405. () Eben daſelbſt. (e) Les Memoires de l'Academie Royal de l'année 1699. (4) l'Hiſtoire de même année. (e) Berlin 1. Band. (V) l'Hiffeire de l'Acad Royal ann. 1700 und 1704. (£) Waſſerbaukunſt 1. B. 2. K. 200 ü en 2.) Der Stahl reibt am wenigſten au Meßing, ſtaͤker auf Bley, noch ſtaͤrker auf Kupfer, am ſtaͤrk⸗ ſien auf Stahl. 3.) Das Holz reibt ſich mehr, wenn der Körper uͤber die Fibern Quer, als in gleicher Richtung mit ihnen bewegt wird, u. ſ. w. II. Mittel wider das Reiben. Ages bilſt wider das Reiben, was immer die Urſache des Reibens tilgt oder vermindert, wennn 1.) Die Oher ſlaͤche des berührenden Koͤrpers ver⸗ 2.) wenn die Oberflaͤhe glakt gemacht, oder die Vertiefungen durch einen weichen und ſchlupfrigen Koͤrper aus⸗ gefullet werden, 3.) wenn Koͤrper von verſchiedener Art vereinigt wer⸗ den (I. 2.), 4.) der Bewegung eine bequemere Richtung gegeben wird (I. 3.), 3.) wenn die Koͤrper nicht ſo faſt uͤbereinander hinglitſchen, als vielmehr gedreht werden. * Auch in dieſen Mitteln rathet die Erfahrung Aus⸗ naͤhme; ſo z. B. nuͤtzt die Fette nichts, wenn Holz auf Holz gerieben wird⸗ Drit⸗ der g Hen den ſch⸗ er t , . üe 201 Drittes Kapitel. Geſetze der fluͤßigen Koͤrper. §. 200. Hier kann blos von dem Gleichgewich⸗ te der fluͤßigen Koͤrper in einer groͤßern Maſſe die Rede ſeyn. Benn die kleinſten Theilchen der fluͤßigen Koͤrper, in ſoweit ſie ſchwer, und als kleine feſte Koͤrperchen anzuſehen ſind, folgen im Gleichgewichte den feſten Koͤrpern (K. vorh.). Ferner wie ein einzelner Tropfe ru⸗ hen, wie ſeine Figur nach Verſchiedenheit der Koͤrper, an denen er haͤngt, verſchieden ſeyn muͤſſe, davon haben wir ſchon im erſten Theile das Noͤthige geſagt (§9. 64⸗ 65. 66. 67.). Von dem Drucke und Gleichgewichte uͤberhaupt. §. 201. I. Hauptſatz. Der ſenkrechte Druck eines gleichdichten Koͤrpers iſt in jedem Horizontalſchnitte, und auf dem Grund⸗ ſchnitte ſelbſt, wie die Perpendieulaͤrhoͤhe. Eine ruhige Maſſe eines flußigen Koͤrpers zu denken, muß man alle Theile oder ſenkrecht, oder ſchief aufeinander liegen denken. In der ſenkrechten Lage iſt der Druck und die Viel⸗ heit der Theile wie die Hoͤhe, in der ſchiefen iſt zwar die Vielheit der Theile wie die Laͤnge, aher die Gewalt des Druckes, wie die Hoͤhe ( 147.). §. 202 3 202 ee eeee. §. 202. II. Hauptſatz. Wenn fluͤßige Koͤr⸗ per von verſchiedener Dichtigkeit in Ver⸗ gleich kommen, verhaͤlt ſich ihr ſenkrechter Druck P wie das Produkt aus der Hoͤhe A, und der ſpecifiſchen Schwere, P= AG. Der Druck entſteht aus der Schwere, und Zahle der uͤber⸗ einanderliegenden Theile, die der Hoͤhe proportionaͤl iſt: folg⸗ lich P = GA. Falgeſa he⸗ I. Die Oberflaͤche aller fluͤßigen Koͤrper muß mit der Horizontal⸗ flaͤche Parallel ſeyn. Denn ſonſt entſtunden Vertie⸗ fungen, und Erhoͤhungen, die allemal den Druck verſchieden, und die Ruhe unmoͤglich machen. II. Laͤßt ſich der fluͤßige Koͤrper zu⸗ ſammen drucken; ſo kann der Druck auch im naͤmlichen Koͤrper durch die Hoͤhe al⸗ lein nicht gemeſſen werden. Denn nicht nur Hoͤhe, ſelbſt die Dichtigkeit der tiefliegenden Theile muß berachtl⸗ cher werden. §. 203. III. Hauptſatz. Der Druck iſt durch die ganze Hortzontalflaͤche in jeder be⸗ ſtimmten Hoͤhe gleich Jeder gedruͤckte Theil drückt mit der naͤmlichen Gewalt zurücke, mit welcher er gedrückt wird. Nun aber jeder Theil wird nicht nur nach ſenkrech⸗ ter, ſondern nach jeder moͤglichen Richtung wegen der erſtaun⸗ chen Theilbarkeit und Feinheit der kleinſten Theik⸗ chen A Unt hen no Ge oben o Ge⸗ le⸗ ni han e S 2 2* 203 chen gedruͤckt; und wuͤrde wegen der Fluͤßigkeit auch nach jeder Richtung bewegt werden, wenn nicht von allen Seiten ein gleicher Widerſtand entgegen wirkte. Wie koͤnnte aber dieſer Widerſtand durchaus gleich ſeyn, wenn nicht alle Theile nach alen Richtungen mit gleicher Gewalt gedruͤckt waͤren? Mithin ꝛc. I. Da die fluͤßigen Theilchen auch an die Waͤnde des Gefaͤßes bingedruckt werden, und dieſe hindruͤckende Gewalt allemal im Verhaͤltniſſe mit der Hoͤhe ſteht; druͤcken auch die Waͤnde mit gleicher Gewalt zuruͤcke. Es iſt alſo das naͤmliche, ob ein Waſſertheilchen unmittel⸗ bar auf die Waͤnde des Geſchirrs, oder auf andere Waſſertheilchen druͤcke. II. Es mag das Geſchirr gleichfoͤrmig, oder aber oben oder unten weiter ſeyn (vas divergens); ſo muß dennoch der Druck in jedem Theile der naͤmliche ſeyn, ſo lang die naͤmliche Hoͤhe bleibt (§. 147.). III. Auch die Neigung, Kruͤmmung, und was immer fuͤr ein Form des Ge⸗ ſchirrs aͤndert den Druck bey gleicher Hoͤhe nicht. IV. Selbſt dort bleibt der naͤmliche Druck, wenn ein kleines Rohr in ein groͤ⸗ ßers Geſchirr hineingeſenkt iſt, und dieß vollkommen ſchließt (Fig. XVI.) Denn z. B. die kleine Waſſerſaͤule ab druͤckt auf das Waſſer in dem Geſchir⸗ Pre, wie ihre Hoͤhe, und die ſpeeifiſche Schwere iſt, und muß ſo lang herunter ſinken, bis der Widerſtand des uͤbrigen Waſ⸗ ſers dem Drucke gleich koͤmmt. Ruht einmal die Saͤule a b, Zweyter Theil. O muß 204 NS Eü eee muß in jeder Hoͤhe des ganzen Geſchirrs der Druck, wie die Hohe der Waſſerſaͤule in dem engen Rohre ab ſeyn, das iſt, vollkommen jenem Drucke gleich, welcher erfolgen mußte, wenn ein gleichoͤrmiges Geſchirr A BDC mit Waſſer in gleicher Hoͤ⸗ be z. B. bis cd gefuͤllet waͤre. Aus eben dieſem Grunde muß der Deckel EFG mit jener Gewalt in die Hohe gedruckt wer⸗ den, als die Gewalt von EGà mit ſich braͤchte. 2 Obſchon der Druck auf den ganzen Boden AB dem Produkte des Bodens und der Hoͤhe der kleinen Waſſer⸗ ſaͤule gleich iſt; ſo kann dennoch der Druck des Geſchirrs auf den Unterſatz nicht groͤßer als das Gewicht des Ge⸗ ſchirrs, und die Maſſe des Waſſers ſeyn. Denn der Bo⸗ den haͤngt mit den Seiten des Geſchiers zuſammen, und dieſer Zuſammenhang ertraͤgt den ganzen Druck. Ein deweglicher Boden würde einen Ausnahm machen⸗ §. 204. . In zweyen oder mehrern Geſchirren; die durch einen Kanal verbunden ſind, erhaͤlt der fluͤßige Koͤrper ſein Gleichgewicht; wenn das Produkt der ſpeciſiſchen Schwere und der Hoͤhe in einem dem Produkte in dem andern Ge⸗ ſchirre gleich iſt. Denn auf ſolche Art iſt Druck und Gegendeuck einander gleich (5§. 202.)⸗ 1. Wenn alſo die flußigen Koͤrper an der ſpecifiſchen Schwere gleich ſind, wird das Gleichgewicht von gleichen Hoͤhen beſtimmt. II. Iſt aber die Schwere verſchieden, ſo haͤlt ſie mit den Hoͤhen verkehrte Pro⸗ por⸗ T——22—— — — — — , — „ eS ü eee 05 portion; denn wenn P: p = AG ag, muß A: a = : G ſeyn, um das Gleichgewicht herzuſtellen. III. Laͤßt ſich der fluͤßige Koͤrper, z. B. die Luft zuſam⸗ mendruͤcken; ſo kann im Gleichgewichte mit ei⸗ nem andern weder auf ſeine Dichtigkeit, noch auf die Hoͤhe richtig gefolgert werden; Denn die ſpeeifiſche Schwere waͤchſt mit der Hoͤhe, und die Hoͤhe nimmt nach Maaße des Zuſammendruckes nicht genau ab. EEin einziger Fall fodert Ausnahm; naͤmlich, wenn beede Koͤrper gleich ſtark zuſammen gedruͤckt wuͤrden, und das Zuſammendrücken mit der Hoͤhe genau abnaͤhme. IVV. Alle dieſe Regeln behalten ihre Richtigkeit, ſo verſchieden die Figur und der Durchſchnitt des Geſchirrs immer ſeyn kann; denn jedes Theilchen wird in gleicher Hoͤhe gleich gedruckt, ohne daß die Weite oder Enge des Geſchirrs eine Aenderung machen kann. * Das iſt der Grund des anatomiſchen Hebers. V. Wird in einem Geſchirre durch Zugießen die Hoͤhe vermehrt; muß ſie auch in dem andern vermehret werden. * Hier moͤchte man zweifeln, ob, wenn (Fig. XVII.) in dem Rohre ab Waſſer aufgegoſſen wird, die ganze Saͤule ed, oder nur mn erhoͤhet werde, und alsdenn in der Oberflaͤche zerfließen muͤtze. Ich antworte: wenn das Waſſer in das kleinere Rohr zu geſchwind aufgegoſſen wird, als daß es ſich in op nach Maaß der Geſch vindig⸗ keit vertheilen koͤnnte, oder wenn die Hoͤhe 0m eben nicht betraͤchtlich waͤre; wird die kleinere Saule in der Mitte allein erhoͤhet, weil das zugegoſſene Waſſer Macht genug hat, die mittlere Saͤule unmittelbar zu er⸗ O 2 theile 206 e ee theile wird die kleinere Saͤule zwar in etwas, doch un⸗ merklich, erhoͤhet, und hernach durch den etwas ſtaͤrkern Druck die nachfolgenden Theilchen ſeitwaͤrts fließen ma⸗ chen. Dieſe Erklaͤrung rechtfertiget folgender Verſuch⸗ Ich füllte das engere Rohr mit ſchwarzen undurchſichti⸗ gen, das weitere mit hellem Waſſer. und ſtreute auf die Oberflaͤche kleine Erdetheilchen hin. Das ſchwarze Waſ⸗ ſer zerfloß unten in der Horizontalrichtung; in der Ober⸗ flaͤghe aber entſtund nur alsdenn eine Bewegung, wenn oder das Eingießen des Waſſers mit groͤßerer Geſchwin⸗ diskeit geſchah, oder die Hoͤhe im groͤßern Geſchirre ziem⸗ lich klein war. * * Pou dieſen Geſetzen verſpricht ſich die Erklaͤrung der Waſſerleitungen in der Partikularphyſik große Dienſte. Auch in der allgemeinen Phyſik werden wir bald her⸗ nach die Beſtimmung der ſpecifiſchen Schwere in verſchie⸗ denen fluͤßigen Koͤrpern aus dieſen Gründen herholen⸗ Itzt reden wir Vom Gleichgewichte an den Waͤnden der Gefaͤße, und in den Haarroͤhrchen. §. 26 5. .Z Wenn die Materie der Gefaͤßen die Theile des fluͤßigen Koͤrpers ſtaͤrker oder ſchwaͤcher anzieht, als ſich dieſe unterein⸗ ander anziehen (§K. 64. 65.); kann die fluͤßige Oberflaͤche unmoͤglich horizontal ſeyn. Denn wegen der Schwere alein ſtuͤnde der Koͤrper in einer vollkommnen Horizontalebne (§. 202.). Kommen nun zur Schwere noch andere Kraͤften hinzu; muß der fluͤßige Koͤrper ſich —0 -2 — 6E e 207 ſich gegen die Waͤnde oder erhoͤben, oder vertiefen, je nach⸗ dem die Waͤnde mit ſtaͤrkerer oder ſchwaͤcherer Gewalt den fluͤßigen Koͤrper anziehen, als ſich deſſen Theile ſelbſten un⸗ tereinander anziehen. I. Sowohl in der Erhoͤhung als Vertiefung der fluͤßi⸗ gen Tbeilchen kömmt es lediglic auf das Uebermaaß der Kraͤften an. II. Wie nun dieſes Uebermaaß bey verſchiedenen Ge⸗ ſaͤßen und fluͤßigen Koͤrpern verſchieden iſt; alſo muß auch der Grad von Erhoͤhung oder Ver⸗ tiefung verſchieden ſeyn. uII. Indeſſen kommen bloß die aͤuſſerſte Theile der Gefaͤße mit in die Rechnung; denn nur dieſe wirken auf den fluͤßigen Koͤrper. 3. B. in ei⸗ nem vorgoldeten Becher muß man nur auf das Gold, in ei⸗ nem mit Fette überſchmierten Glaſe nur auf die Fette ſehen. * Warum wird etwa ein Luſtblaͤschen, auch in einer ziemlichen Entfernung gegen die Waͤnde des Gefaͤßes hingetrieben? Liegt vielleicht in den anziehenden Kraͤften der Waͤnde der Grund? — Allein die Entfernung iſt zu groß, und die anziehende Kraft aͤußert ſich nur in den kleinſten Abſtaͤnden. Ich glaube, das Luftblaͤschen werde von dem Waſſertheilchen ſelbſt gezogen, nicht als wenn ihre Kraft ſtaͤrker waͤre, ſondern weil ihrer mehrere von der Anhoͤhe wirken. Eben darum mag es geſchehen, daß in einer converen Oberflaͤche dergleichen Luftblaͤschen von den Waͤnden gegen die Mitte bewegt werden, und uur dort ruhen koͤnnen. §. 206. 203 E H eeee §. 206. Ein Haarroͤhrchen heißt jedes Roͤhrchen, deſſen Durchmeſſer 1 nicht übertrift. Man kann es aus lauter Ringen zuſammengeſetzt denken. Je nachdem dieſe Ninge gleich ſind, oder es nicht ſin; nennt man die Haarroͤhrchen gleichfoͤrmige, oder ungleichfoͤrmige. Verſuche. I. Beynahe alle Naterien laſſen ſich zu Haarroͤhrchen arbeiten. II. Das naͤmliche Haarroͤhrchen zieht fluͤßige Koͤrper von verſchiedener Art verſchieden an. III. Der naͤmliche fluͤßige Koͤrper wird von Haarroͤhr⸗ chen verſchiedener Art verſchieden angezogen (§H. 64. 65. 67.): IV. Zre Figur leidet auch allerhand Geſtalten. §.⸗ 207. I. Hauptresel. Der fluͤßige Koͤrper kann in den Haarroͤhrchen nicht gleiche Hoͤhe mit der uͤbrigen Oberflaͤche haben, wenn er von der Materte des Roͤhrchens ſtaͤrker, oder ſchwaͤcher angezogen wird, als ſich ſeine Theile ziehen. Denn im erſten Falle entſteht eine Erpöhung, im zweyten eine Vertiefung (5S. 205.). * Die Verſuche, welche Stoff zum Beweiſen herge⸗ ben, ſind meiſtentheils mit den glaͤſernen Haarroͤhrchen angeſtellt. Deutlichkeit halber werde ich mich im Beſtimmung der Geſetze auch nur glaͤſerner Roͤhrchen bedienen, ohne der Allgemeinheit der Beweiſe zu nahe zu kommen; die Anwendung auf andere Roͤhrchen bleibt immer eine leichte Sache⸗ §. 208. E üe 209 §. 208. II. Hauptregel. Nur jener Ring des Roͤhrchens, der an dem Waſſer oben unmittelbar der naͤchſte iſt, kann die Erhoͤ⸗ hung des Waſſers bewirken. 2.) Und bey der Erhoͤhung muß Schwere und Zuſam⸗ menhang der Waſſertheilchen unter ſich uͤberwunden werden. Denn die Ringe unter der Oberflaͤche des Waſſers koͤnnen die Erhoͤhung des Waſſers nicht bewirken; weil ſie die unter ſich ſtehende Waſſerflaͤche nicht ſtaͤrker aufwaͤrts, als die ober ſich ſtehende abwaͤrts zie⸗ hen. Auch jene Ringe die ober der Waſſerflaͤche weiter entfernet ſind, koͤnnen unmoͤgiich der hinlaͤngliche Grund zur Erhoͤhung des Waſſers ſeyn, gauf das ſie nicht wirken koͤn⸗ nen, bis es durch andere Urſachen in kleinere Abſtände heran gezogen wird. Alſo kann nur durch jene Ning, der an der Oberflaͤche des Waſſers der naͤchſte iſt, die Erboͤhung des Waſſers wirklich werden. Der zweyte Theil des Satzes iſt vor ſich ſelbſt klar genug; denn die Erhoͤhung ei⸗ niger Waſſertheilchen laͤßt ſich unmoͤglich ohne aue Trennung von den uͤbrigen denken. Dieſe Trennung fodert Ueberwin⸗ dung des Zuſammenhanges, und der Schwere, als ein nothwendiges Bedingniß zur Bewegung in entgegen geſetzter Richtung. I. Die Erhöhung geſchieht alſo nicht durch die ganze anziehende Kraft des anziehenden Ringes, ſondern nur durch das Ueber⸗ maaß dieſer Kraft uͤber iene des Zuſammenhanges⸗ II. Wenn 210 e2 20 3* II. Wenn ich alſo die ganze Kraft des Roͤhrchens = V, und jene der Waſſertheilchen = v annehme, gleicht die erhoͤ⸗ hende Kraft = V=— v, welche ich hinfuro = W nennen werde. III. Iſt das Gewicht des erhoͤhten Koͤrpers der Kraſt W gleich; ſo wird die Bewegung unmoͤglich. Denn auch die fernere Erhoͤhung geſchieht nur durch das Ueber⸗ maaß der Kraͤften. * Die Geſetze der Haarroͤhrchen kuͤrzer zu beweiſen, will ich die erhoͤhenden Kroͤtten W: vr, die Hoͤhen der fluͤßigen Koͤrper in den Roͤhrchen uͤber die uͤbrige Ober⸗ flaͤche A, a, die ſpecifiſche Schwere C ,g, die Durch⸗ meſſer D, d, und die Gewichte P, p nennen. IV. Haben die Roͤhrchen ungleiche Durchmeſſer; iſt die erhoͤhende Kraft = WD. Denn die Kraft waͤchſt wie die Vielheit der Theile, und dieſe wie die Peri⸗ pherie, oder, was eines iſt, wie der Durchmeſſer. V. Der ſtußige Koͤrper wird ſich ſo lang in das Roͤhr⸗ chen erhoͤben, bis P, Z WD (III.). Es iſt alſo WD: wd = P: p. VI. Das Gewicht der erhoͤhten Saͤule gleicht dem Pro⸗ dukte des Innbegrifes in die ſpecifiſche Schwere; der Innbe⸗ grif aber gleicht dem Produkte der Hoͤhe in das Quadrat des Durchmeſſers A Dz. Mithin iſt P = ADza G, und WD: wd = P: p = AD⸗G; adag. VII. Iſt G = g, wird WD: wd = p: p = ADa: ada. VIII. Wenn D = d, iſt W: w = AG z ag, und W w A: a = 86 d. j. e. ie ee d. i. in den Roͤhrchen von gleicher Materie und gleichem Durchſchnitte ſind die Hoͤhen der fluͤßigen Koͤrper mit den erhoͤhenden Kraͤften im geraden, mit der ſpecifiſchen Schwere im verkehrten Verhaͤltniſſe. DMM §. 209. IX. Sind aber die Roͤhrchen nur in dem Durchmeſſer ungleich; iſt A: a = d: D. Denn P : p = WD: w d (§. vorg. V.), und P : p = ADa: ad⸗ (5. vorg. VII.): mithin iſt ADa; ade = WD; w d, D 7d .— 34 A: a = — — zund weil W= weaeſetzt wird, 1 1 — d D. Mithin AD = ad. §. 210. X. In den naͤmlichen Roͤhrchen (5. vorg.) ſind die Quantitaͤten der fluͤßigen Koͤrper, oder Q: q = D: d. Denn Q = P: p = AD?: ada; und weil AD=ad (§. vorg.), —AD-:⸗ ad⸗ — AD ad3d = D : de * Die Allgemeinheit dieſer Geſetze leidet nicht dabey; man mag die Roͤhrchen in ſchiefer oder ſenkrechter Rich⸗ tung in den fluͤßigen Koͤrper hineinlaſſen. Nur das iſt im erſten Falle zu bemerken, daß W nicht das ganze Gewicht, 212 NE Gewicht, ſondern nur die reſpective Schwere (5§. 147.) bewegen, und nur mit dieſer das Gleichgewicht halten * muſſe. * * Ferner haben wir bisher nur von gleichfoͤrmigen Roͤhrchen (§. 206.) gehandelt; von dem Beſondern der ungleichförmigen reden wir im folgenden §. §. 211. III. Hauptregel. Der fluͤßige Koͤr⸗ per wird in einem ungleich foͤrmigen Roͤhr⸗ chen von den Ringen, derer Durchmeſſer kleiner ſind, mit groͤßerer Gewalt gezogen. Denn obgleich in dem groXͤßern Ringe (§. 208. IV.) die ganze Kraft fuͤr ſich betrachtet agroͤßer iſt, ſo wirkt doch die Kraft im kleinern Ringe auf jeden beſtimmten Theil des fluͤßigen Koͤrpers ungemein ſiaͤrker; weil der naͤmliche Theil des flußigen Koͤrpers, je kleiner die Abſtaͤnde von den Theilchen der Roͤhrchen ſind, von deſto mehrern Thei⸗ len angezogen wird. * Weinprecht giebt davon einen geometriſchen Be⸗ weis Comment. Acad. Petrop. Tom. INX. 1737. 9. 19. 1. Wenn in den Roͤhrchen der Durchmeſſer mit der Hoͤhe abnimmt; muß der fluͤßige Koͤrper nothwendig hoͤher ſteigen. II. Nimmt er mit der Hoͤhe zu; wird das Waſſer von jedem kleinern Ringe mit einem kleinen Uebermaaße zurück gehalten. II. Im erſten Falle geſchieht das Aufſteigen mit groͤße⸗ rer Geſchwindigkeit als im zweyten. * Hier SEE e e 213 * Hier liegt der Grund jenes bekannten Verſuches., welchen H. Jurin zuerſt mit 3 Haarroͤhrchen angeſtellt, derer eins gleichföͤrmig, zwey ungleichfoͤrmig waren, doch ſo, daß bey einem der Durchmeſſer mit der Hoͤhe zu, bey dem andern ordentlich abnahm. Das Waſſer ſtand in allen dreyen ruhig dort, wo die Ringe gleich waren. ** Nach dieſen Geſetzen wird unſchwer erklaͤrt, daß ſich die fluͤßigen Koͤrper nicht nur an der Oberflaͤche der feſten anhaͤngen, ſondern auch in die Zwiſchenraͤume drin⸗ gen, wie z. B. das Oel in den Dacht, das Waſſer in Holz, Leder, Leinwand, Wolle, Schnee ꝛc. §. 212. Fernere Beobachtungen in den ge⸗ kruͤmmten Haarroͤhrchen. I. Wenn der Arm ad eines gekruͤmmten Haarroͤhrchens adc (Fig. XVIII.) eine kleinere Hoͤhe hat als jene iſt, wel⸗ che ſonſt der erhoͤhte fluͤßige Koͤrper in dieſem Haarroͤhrchen erreichen wuͤrde, und in den flüͤßigen Koͤrper geſtoſſen wird; ſo wierd nicht nur der Arm ad, ſondern auch der abwaͤrts ſtehende de ganz gefuͤllt; ſo lang er immer iſt. 2.) Wenn aber die Hoͤhe des einge⸗ ſenkten Armes jene uͤbertrift, in die ſich ſonſt der fluͤßige Koͤrper erhebt; wird das Roͤhrchen nur bis zur gewoͤhnlichen Hoͤhe gefuͤllt. II. Haͤlt man ein ſo gekruͤmmtes und gefuͤlltes Roͤhr⸗ chen in der Luft frey, und iſt die Differenz der Hoͤhen be nicht groͤßer als jene, zu der ſich ſonſt das Waſſer erhebt; ſo fließt nichts heraus. 2.) Iſt ſie aber groͤßer, ſo 214 NBe EH e ſo waͤhrt das Herausfließen ſo lange, bis der fluͤßige Koͤrper in der ſonſt gewoͤhnlichen Hoͤhe ſteht. III. Bleibt aber der einte Arm in dem fluͤßigen Koͤr⸗ per; fließt er immer durch den andern Arm: wenn anders ſeine Oeffnung um eine und die andere Linie uͤber die Ober⸗ flaͤche des fluͤßigen Koͤrpers außer dem Geſchirre hinunter reicht, z. B. bis in e⸗ §. 213. Zureichender Grund dieſer Beobach⸗ tungen. I. Nicht nur ein Arm, ſondern auch der andere muß ganz gefuͤllet werden, wenn der eingeſenkte ad nicht ſo hoch iſt, als anſonſt die Hoͤhe des fluͤßigen Koͤrpers in dergleichen Roͤhrchen austruͤge⸗ Denn das Aufſteigen des flußigen Koͤrpers dauert ſo lange, bis W = P wird. Nun aber dieß bleibt im gegebenen Falle unmoͤglich. II. Hat aber der eingeſenkte Arm eine groͤßere Hoͤhe, ſo wird W = P, ehe der ganze Arm gefuͤllet iſt. * Die Sache deutlicher zu erklaͤren, muß man ſich zuvor üͤberzeugen, daß der letzte Ring des Haarroͤhr⸗ chens, durch den ſich der fluͤßige Koͤrper au sgießen ſoll, zum wirklichen Ausfließen eben nichts beytrage. Denn ſo bald das Waſſer unter dieſen Ring koͤmmt, zieht er es mit der naͤmlichen Gewalt zuruͤcke, mit der das ober ihn ſtehende von ihm abwaͤrts gezogen wird. 2.) Iſt durch die einte Oeffnung kein Ausfließen moͤglich, ohne daß 0 215 daß der flüßige Koͤrper oder von der anderten Oeffnung, oder aber von ſich ſelbſt getrennet werde. Nun aber beydes bleibt ſchlechterdings unmoͤglich; denn die anzie⸗ de Kraft bey a, wo die Abſoͤnderung geſchehen muͤßte, iſt dem Gewichte des fluͤßigen Koͤrpers in der angezeigten Hoͤhe gleich (W = P §. 208. V.). Iſt nun be kleiner, ſo kann die Kraft bey a von dem fluͤßigen Koͤrper in be unmoͤglich überwunden werden. Und dennoch müͤßte das geſchehen, wenn bo jene Hoͤhe uͤbertrift, welche ſonſt der fluͤßige Koͤrper in dieſem Roͤhrchen erreichen wuͤrde. In dieſem Falle wüuͤrde ja das Gewicht des fluͤßigen Saͤul⸗ chens groͤßer ſeyn, als die zuruͤckhaltende Kraft des Rin⸗ ges a (5§. 208. III.). Auch eine Abſoͤnderung in d oder anderswo von fluͤßigen Theilen iſt unmoͤglich; einmal, weil der Zuſammenhang des fluͤßigen Koͤr⸗ pers an und vor ſich erklecklich iſt, ſein eigenes ganzes Gewicht in der gewoͤhnlichen Hoͤhe zu tragen. Her⸗ nach; weil dadurch offenbar ein luſtleerer Raum ent⸗ ſtehen muͤßte, das fuͤr ſich unmoͤglich iſt, wie wir unten zeigen werden. Es muß auch niemand irre machen, daß ich nur das Gewicht in be; und nicht jenes von dem gan⸗ ganzen Arm doe berechne, wenn von der Gewalt auf den Zuſammenhang in a die Rede iſt. Denn db iſt mit a d im Gleichgewichte, und kann zur Ueberwindung des Zu⸗ ſammenhanges mit a eben nichts beytragen. III. Durch eine ganz kleine Differenz (§. vorg. III.) der Armeshoͤhen muß das Aus⸗ fliesen bewirket werden; weil nicht der Zuſam⸗ menhang mit einem Ringe des Roͤhrchens, ſondern nur jener der 216 60ee der fluͤßigen Theilchen unter ſich, und zwar nicht der Zuſam⸗ menhang einer ganzen Lamelle, die einen Ring des Roͤhrchens ausfuͤllt, ſondern nur deſſen Peripherie allein muß uͤberwun⸗ den werden. Denn nur in der Peripherie wird dieſe Lamelle von andern fluͤßigen Theilchen abgeſoͤndert. Dazu erkleckt ein ganz kleines Gewicht; und wie durch dieſes das wirkliche Ausfließen anfaͤngt, alſo muß es auch fortgeſetzt werden, ſo lang die Oeffnung des kuͤrzern Armes den fluͤßigen Koͤrper beruͤhrt. * Alle dieſe Erklaͤrungen zeigen ganz deutlich, wie vergeblich viele Phyſiker die Urſache dieſer Beobachtun⸗ gen in dem Drucke der Luft geſucht haben. * * Ueber gegenwaͤrtige Materien kann man Mu⸗ ſchenbroͤck Diſl. Phyſ. Experim. C. V. Exper. I. II. III. XIII. Joſeph Weinbrecht in Actis Academ. Reg. Petrop. Tom. IX. ad an. 1737;, Sirgogne Inſtit. Phyſ. Newton. und meine Abhandlung de vaſis capil- laribus P. I. C. II. nachleſen. ** Die Anwendung dieſer Materie macht die ſon⸗ derbare Phyſik in dem Thier⸗ und Pflanzenreiche. Von dem Gleichgewichte der flußigen Koͤrper mit den feſten. §. 214. I. Hauptſatz. Ein feſter Koͤrper, auf den fluͤßigen hingelegt, muß ſich in dieſen ſo lang hineinſenken, und abwaͤrts ſteigen, bis der von ſeinem Innbegrife aus⸗ ge⸗ tte ets un⸗ ſele eit iche ther e e 217 geſchloſſene fluͤßige Theil ein ſolches Ge⸗ wicht erhaͤlt, das dem eingeſenkten gleich koͤmmt. Denn der feſie Koͤrper ſenkt ſich ſo lang, bis die entgegenwirkende Kraft feinem Gewichte gleicht. Run aber Wirkung und Gegenwirkung wird nur im angenommenen Falle einander gleich. I. Hat der feſte Koͤrper mit dem fluͤßi⸗ gen einerley ſpecifiſche Schwere; wird er ruhen, alsbald er ganz eingeſenkt iſt. Denn ſchon dort gleicht das Gewicht des auazeſchloſſenen flußigen Koͤrpers jenem des eingeſenkten. II. Iſt er aber ſpecifiſch leichter, als der fluͤßige; wird eine vollige Einſenkung unmoͤglich: weil die Gleichung zwiſchen dem Gewichte des eingeſenkten und des ausgeſchloſſenen Korpers ſchon eher ihre Wirklichkeit erhaͤlt. * Daher die Einſenkung deſto kleiner wird, je groͤßer das Uebermgaß der Schwere im flüßigen Khrper iſt. III. Waͤre er endlich ſpecifiſch ſchwerer, muͤßte er nothmendig zu Boden fallen, wenn anders der fluͤßige Koͤrper durchaus gleich dicht iſt. Denn in dieſem Falle kann die Gegenwirkung niemal ſeinem Gewichte gleich kommen. IV. Hat der fluͤßige Koͤrper in groͤßerer Hoͤhe groͤßere Dichtigkeit; ſo muß der ſeſte Koͤrper ſo lange ſinken, bis ſeine und des Fluͤßigen Schwere gleich werden. Aber auch dort kann er wegen der Geſch hwindig⸗ keit, 218 üe eee keit, die er im Fallen erhalten hat, nicht ſo gleich, ſondern erſt nach wiederholten und immer abnehmenden Schwingungen (5§. 28. III.) ruhen. * Aus dieſen Geſetzen laͤßt ſich erklaͤren, 1.) warum ein Schif nicht untergehe, 2.) und, wenn es ſchwerer beladen iſt, tiefer, 3.) endlich aber gar verſenket werde; 4.) wie die Fiſche in dem Waſſer auf und abſteigen, 5.) Was das Verhaͤltniß der ſpecifiſchen Schwere zum Flug der Voͤgel beytrage, 6.) wie es mit der Bewegung des Carteſianiſchen Teufels bergehe, 7.) wie in dem naͤmlichen Waſſer der erwaͤrmete Koͤrper ſteige, und der erkaltete falle, 3.) warum ein Kadaver untergehe, bey angehender Faͤul⸗ niß wieder aufſteige, und hernach wieder zu Boden ſinke⸗ 9.) wie und wann ein Thier im Waſſer ſchwimme, 10.) Warum metallene Gefaͤße im Waſſer nicht unterge⸗ hen, und endlich 11.) wie man die Waſſer⸗Wein⸗und Salzwaage verferti⸗ geen und gebrauchen muͤſſe. §. 215. II. Hauptſatz. Der Innbegrif des ins Waſſer geſenkten Theiles verhaͤlt ſich zum Innbegrif des ganzen Koͤrpers, wie die ſpeeifiſche Schwere des feſten zu jener des dee Rr D ſeie i ſes eg een e des fluͤßigen Koͤrpers im Falle daß dieſer ſpecifiſch ſchwerer iſt. Das Gewicht des ganzen fe⸗ ſten Koͤrpers iſt dem Gewichte des ausgeſchloſſenen Waſſers vollkommen gleich (5§. vorg.); mithin iſt die ſpecifiſche Schwere des Waſſers zu jener des feſten Koͤrpers verkehrt, wie der Innbegrif des feſten Köoͤrpers zum Innbegrif des ausgeſchloſ⸗ ſenen Waſſers. Es iſt aber auch der Innbegrif des Waſſers jenem des eingeſenkten Theiles gleich; mithin muß ſich der Innbegrif des ganzen Koͤrpers zu jenem des eingeſenkten Thei⸗ les, wie die ſpecifiſche Schwere des Waſſers zu jener des ein⸗ geſenkten Koͤrpers verhalten, d. i. wenn ich die Innbegrife V „V; und die Schwere G, g heiße, wird G: g = v: V ſeyn. I. Ich kann alſo aus der vorber bekannten Proportion der ſpecifiſchen Schwere ausfindig machen, wie weit z. B. ein Schiff muͤſſe eingeſenkt werden, oder, wenn die Einſenkung bekannt iſt, wie ſich die ſpe⸗ cifiſchen Schweren untereinander verhalten. II. Eben ſo kann man aus dem bekannten Gewichte des ganzen Schiffes, und dem Gewichte eines Cubickſchuhes vom Waſſer die Grade der Einſenkung, oder aus dieſem, und aus der Schwere eines Cubickſchuhes vom Waſſer das Gewicht des ganzen Schiffes leicht angeben. Denn wenn man den Innbegrif eines Cubick⸗ ſchuhes = v und ſeine Schwere = p, den Innbegrif des eingeſenkten Theiles = V⸗ und die Schwere des ganzen Schif⸗ V fes = P vonniumt, wird P: *= = V: v; P = —, und V= — — ſeon. = =S” Zweyter Theil. 44 6. 2r6. 20% N 35 ün e §. 216. III. Hauptſatz. Die Wirkung des in einen fluͤßigen eingeſenkten Koͤrpers auf das, an dem er haͤngt, oder zuvor gehan⸗ gen hat, nimmt in dem naͤmlichen Ver⸗ haͤltniſſe ab, in welchem das Gewicht des ausgeſchloſſenen fluͤßigen Koͤrpers zunimmt. Denn die Wirkung des flüͤßigen auf den feſten gleicht dem Gewichte des ausgeſchloſſenen (§. 214.); mithin traͤgt der fluͤßige Koͤrper ſo viel, als ſein Ge⸗ wicht ausmacht, d. i. die Wirkung auf das, auf was der feſte Koͤrper vorher gewirket hat, nimmt im naͤmlichen Maaße ab, in dem das Gewicht des ausgeſchloſſenen zunimmt⸗ 1. Iſt alſo der eingeſenkte Koͤrper oder von gleicher oder gar von kleinerer ſpecifiſchen Schwere als der fluͤßige, wird jener ganz von dieſem getragen; folg⸗ lich iſt alle Wirkung auf einen andern Koͤrper unmoͤglich. II. Iſt aber ſeine ſpeeifiſche Schwere groͤßer, ver⸗ liert er nur einen Theil ſeiner Kraft auf andere Koͤrper. §. 217. uI. Der Verlurſt des Gewichtes in dem naͤmlichen Koͤrper, wenn er in mehrere flußige Koͤrper von verſchiedener Schwere ganz verſenkt iſt, verhaͤlt ſich wie die ſpecifi⸗ ſche Schwere eben dieſer fluͤßigen Koͤrper. Denn — — — — — —= EE e eee 221 Denn der Innbegrif des ausgeſchloſſenen bleibt immer gleich; alſo verhaͤlt ſich ſein Gewicht, wie die ſpecifiſche Schwere; nun aber der Verlurſt iſt dem Gewichte gleich, mithin auch der Schwere. A: a = G ? g, wenn ich den Verlurſt A, a, und die Schwere C,‚ heiße. §. 218. Iv. Wenn aber verſchiedene Koͤrper von gleichem Gewichte in dem naͤmlichen fluͤßigen z. B. im Waſſer gewogen werden, haben die verlohrnen Gewichter mit der ſpecifiſchen Schwere der eingeſenkten Koͤr⸗ per ein verkehrtes Verhaͤltniß. Der Verlurſt des gewichtes iſt dem Gewichte des ausgeſchloſſenen Waſſers gleich, dieß iſt wie der Innbegrif, weil der flußige Koͤrper von der naͤmlichen Art angenommen wird. Der Innbegrif iſt mit der ſpecifiſchen Schwere im verkehrten Ver⸗ haͤltniſſe: mithin ꝛc. * Wenn ich die Schwere G:g das verlohrne Gewicht A: a den Innbegriff V: v nenne, erhaͤlt der Bewels die faßlichſte Form: A= V V= T Mithin auch A = und G: g = a: A = v: V. ** Dieſe Wahrheiten (5§. vorg. und gegenw.) ſetzen van Muſchenbroͤck (a) in den Stand, die ſpeciſiſche d Inhit. Ppyi, P. I. am Enbe. 222 EE E ee Schvwere der meiſten Koͤrper zu entdecken, wie aus nach⸗ ſtehendem Tabellauszuge offenbar iſt. Metalle. Kupfer japoniſcheD”ſ ⸗⸗⸗ ⸗ 9, 000. ſchwediſches ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 8, 784⸗ geſchlagenes ⸗ =⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 2, 991. Meßing geſchlagener ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 2 3, 3409 gegoſſene ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 8, 6000. Silber feines ⸗ -⸗ 2 2 11, 091⸗ Gold feinſtes ⸗ =⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 19, 640. . Bley deutſches ⸗ ⸗ ⸗ = ⸗ II, 310⸗ engliſches ⸗ „ 2 2 3 11„ 325. — — = = 14, 000. 11 1 VU AQueckſilber deutſches 100 mal mit Gold deſtillirtes 13, 550. 100 mal mit Silber deſtillirtes 13, 590⸗ Steine und Glas. Achat der engliſche ⸗ 2, Frz. Bleichrothe⸗— ⸗ 2, 631. . Diamant = ⸗ -⸗ 2 s z 2 3, 5172 Alabaſter ⸗⸗ = = ⸗ s = z I, 872 Arſenik rother ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 3, 223⸗ . gelber ⸗ =⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 3, 313. Selenit ⸗ ⸗ ⸗ 2,322 Smaragd ⸗⸗ 3, 95. Kieſel ⸗⸗ ⸗⸗ ⸗ ⸗ 2, 542. Sand weißer .„ s 52 ⸗ ⸗ z 2, 631. Glas 1 N 5 u N 1 11 U U 1 U 1 V „ R S ü e. 223 Glas weißes engliſches ⸗ ⸗ s s. 3, 510. gemeines gruͤnes ⸗ s aD s s 2, 666. Salz e. Alaun z⸗ z -⸗ -⸗ „ ⸗ s z 1, 714. Borax = ⸗ ⸗ ⸗ e ⸗ ⸗ e ⸗ 1, 720. Pottaſche =. 2 * = = g 3/ II 2. Salpeter ⸗ 2 ⸗ ⸗ ⸗ ⸗= z z 1, 900. Salmiak z⸗ z s „ z s 1, 453- Glaubers Wunderſalz „ 2, 246. Geholzze. Ahorn 2. ⸗ s s z- ⸗ 0, 755. Erle ⸗ 2⸗ c ⸗= ⸗ „ ⸗ ⸗ s O, 800. Pomeranzenholz , 705. N 4 4 U 1 Bux ⸗= ⸗= 2= 2 ⸗= = * ⸗= ⸗= 1, O031I. Krrſchholz ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ P, 715. Buche ⸗ ⸗ ⸗ z ⸗ zE z - , 7983. . Eſchenholz g DW z 5 2 , 734. Wacholder ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 9, 556. Pappeln ⸗ e⸗ z z „, 383. Linde ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ , 604. Ulmenholz ⸗ a, 600. Fluͤßige Körper. 1 U A R 1 1 n U 41 1 ⸗ 1I, 000. Waſſer Regen 2= 2 2 2 2 2 Meer ⸗ ⸗= ⸗ ⸗ Ü⸗„ e 1, 030. Brunnen⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ - 0, 9009. Fluß z⸗ = z eo s ⸗ 1, 009. Schei⸗ 224 Ae ü eeee Waſſer Scheide ⸗ ⸗ ⸗= s z 1, 300. Koͤnig g = æ 2 = = 2 1, 234. Del Mandel ⸗-⸗ ⸗ ⸗ z⸗ ⸗ 0, 928. Nelken ⸗ ⸗ ⸗ -⸗ ⸗ 1, 034. Zimmet ⸗ ⸗ ⸗ -⸗ ⸗ „ 1I, 035. Oliven s ⸗ ⸗ 2 s z O, 913. „FTerpenthin⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ , 792. Wein Burgunder ⸗ ⸗⸗ ⸗ „, 9532⸗ Ehampagner ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ , 962. Moſeler⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ „, 916. Von den fluͤßigen Koͤrpern, die aus einem gefuͤllten Gefaͤße durch kleine Deffnungen hervorſpringen. §. 219. Erfahrungen. I. Wenn an einem etwa 4 Schuhe hohen Cylinder (Fig. XIX.) unten eine Oeffnung mittels ei⸗ ner beweglichen Nuße ſeitwaͤrts in e ſo angebracht wird, daß man dieſer Oeffnung alle moͤglichen Richtungen geben kann; wird das Waſſer aus dem gefüllten CEylinder nach der Nichtung, die der Oeffnung gegeben worden, hervorſpringen. II. In dem Cyhlindriſchen Gefaͤße ABCD (Fig. XVII.) wenn der untere Theil bis vopl mit ſchwarzen Waſſer gefuͤllt wird, und alsdenn uͤber dieß ein helles Waſſer durch eine ganz kleine Oeffnung durch den Hahn e ganz ſanft hinein⸗ fließt; wird nach und nach das Gefaͤß bis cd, und zwar der Raum vcdl mit hellem, der untere aber bis vI mit ſchwar⸗ zem Waͤſſer gefuͤllet werden. Nimmt man den Hahn e hin⸗ weg 6 * 6% △ . 22 5 weg, ſo laͤuft das Waſſer ſowohl aus dem kleinern Cylinder ab, als aus dem groͤßern Gefaͤße ABCD heraus. * In dieſer Erfahrung iſt zu bemerken, 1.) Daß das ſchwarze Waſſer auch beym Ablaufen nicht mit dem hellen in dem Gefaͤße ABCD vermiſcht werde; 2.) Doch zugleich mit ihm durch die Oeffnung op ausfließe, ob es gleich in einer kleinern Hoͤhe, als die Oeffnung ſelbſt ſteht, 3.) und endlich daß, nachdem ſich das Waſſer bis zur Oeff⸗ nung ausgegoſſen, ein ziemlicher Theil von dem Rau⸗ me vIC D mit hellem Waſſer ober dem ſchwarzen er⸗ fuͤllet werde. §. 220. Folgeſaͤtze. I. Der fluͤßige Koͤrper, der durch eine kleine Oeffnung herausge⸗ druckt wird, wird nach der Richtung eben dieſer Oeffnung bewegt (§. vorg. I.). Denn ſeine Theile werden, in jeder Hoͤhe, nach allen Richtungen gedruckt; mithin auch nach jener der Oeffnung.⸗ II. Wenn der Durchmeſſer der Oeff⸗ nung zu jenem des Gefaͤßes ein ganz klei⸗ nes Verhaͤltniß hat; wird nicht nur das Waſſerſaͤulchen, das unmittelbar ober der Oeffnung ſteht, ſondern auch das Waſſer von allen Seiten her ausfließen. Denn es werden alle Tbeile nach jeder Richtung gedruͤckt; mithin müſſen alle geghen die Oeffnung bewegt werden, und durch dieſe ausfließen (5§. vorg. II. 2.). III. 226 Se ü e III. Auch auf die wirklich ausflieſſen⸗ den Theile iſt der Druck wie die Hoͤhe (§. 201.). Denn nur alsdenn muß die Wirkung auf einen bewegten kleiner als auf einen ruhenden Koͤrper ſeyn, wenn die Bewegung und Wirkung einerley Richtung haben. Nun aber dieß iſt nicht moͤglich; weil beym Ausfließen die Waſ⸗ ſertheilchen von allen Seiten her und ſo gar aufwaͤrts ge⸗ gen die Oeffnung bewegt werden. IV. Der Druck bleibt einerley, die Oeff⸗ nung mag groͤßer oder kleiner ſeyn, wenn nur ihr Verhaͤlt⸗ niß gegen das Gefaͤß ſehr gering iſt. 2.) Eben dieß gilt von der Geſchwindigkeit. 44000 -— S. 221I. Die Geſchwindigkeit des durch die Deffnung hervorbrechenden Waſſers iſt wie die Maſſe. Die Maſſe koͤnnen wir oder als einen Cy⸗ linder, wenn die Oeffnung rund iſt, oder als ein Prisma, oder als einen andern gleichfoͤrmigen Koͤrper nach Art der Figur, die der Oeffnung zukoͤmmt, denken. Die Maſſe iſt alſo all zeit, weil doch die Oeffnung dieſes Gefaͤßes die naͤmliche bleibt, wie die Laͤnge dieſes Cylinders u. ſ. w. Nun die Geſchwindigkeit ver⸗ haͤlt ſich eben wie dieſe Laͤnge, weil ſie in gleichen Zeiten allemal wie der durchgeloffene Raum iſt. Mithin iſt C: c — M: m. I. Wenn aͤhnliche Oeffnungen, die doch immer ein kleines Verhaͤltniß zum Durchmeſſer des Geſaͤßes haben muͤſſen, ungleich ſind; verhalten ſich die Maſſen, die in gleicher Zeit mit gleicher Geſchwindigkeit hinausge⸗ druckt werden, wie die Quadrate aͤhnlich er Seiten D⸗: de. — —— —— — —. — - ᷑— — II. Sind A4 =nr = SEE H e 227 II. Sind aber ſowohl die Oeffnungen, als die Geſchwin⸗ digkeit gleich; ſo verhaͤlt ſich die Maſſe wie die Zeit M: m = T: t. Denn die Maſſen ſind wie die Raͤume, die das Waſſer durchlaͤuft, und die Raͤume wie die Zeiten. III. Zuſammengerechnet iſt alſo M: m = CD2T: cdæat- IV. Weil denn M: m = CT: cet; ſo muß, wenn M=m iſt, CT =ct, mithin C: c = t: I ſeyn. §. 222. Verſuche. Ich ließ einen blechernen Cylinder (Fig. XIX.) ABCD, im Durchſchnitte 2 Zoll und 8 Linien, mit Waſſer fuͤllen, und oben bey AB eine flache Schuͤſſel an⸗ machen, durch welche das Waſſer ſanft in den Cylinder floß, und ihn auch bey dem Ausfließen voll erhielt. Nun an die⸗ ſen Cylinder brachte ich 1.) in der Hoͤhe = 9 Zoll eine kleine Oeffnung in f an, welche im Durchſchnitte 1 Linie hatte, und durch dieſe Oeffnung fieng ich das Waſſer in einem Gefaͤße auf, das 182¾ Cubikzoll faß⸗ te; dieß Gefaͤß ward in einer Zeit von 46 gefuͤllt, da das Waſ⸗ ſer im Cylinder immer von gleicher Hohe = 9 Zoll war. 2.) Alsdenn brachte ich eine Oeffnung, die im Durch⸗ ſchnitte abermal 1 hatte, in der Hoͤhe = 3 Schuhe in e an; und das Gefaͤß von 18 ¾ Cubickzoll ward in einer Zeit — 23 gefuͤllt. 3.) Eben ſo, da ich das Waſſer in der Hoͤhe = 9 Zoll und hernach in der Hoͤhe = 3 Schuhe durch die naͤmliche Oeffnung laufen ließ; ward das Gefaͤß in der Hoͤhe = 9 Zoll innerhalb 26 einmal, in der Hoͤhe = 3 Schuhe aber zwey⸗ mal gefuͤllt. §. 223. I. Wenn ich alſo die Hoͤhe A und a, die Zeit, in welcher gleiche Maſſe ausfließt, und t nenne; ſo iſt A : a — 3 :9 — 4 : I (Fig. XIX.) VA: Wa = 2 : I. Nun aber I: t = 23 : 46 (§. vorg. 1.2.) — I : 2 = Va: VA. II. Weil C : c = t : T. (SS. 221. IV.) 5 iſt C : c = VA: Va. III. Und weil ferner GC: c = M ‚: m (. 221. ) iſt auch M: m = VWA: Va. IV. Wenn ich alſo in der vorigen Proportion M: m — CDsT: cdzt (S. 221. III.) ſtatt der Geſchwindigkeiten die Wurzelhoͤhen anſetze, wird M : m = D2TWVA: datVa die Quantitaͤt der ausfließenden Maſſen ausdrücken. * Daß C: c = VA: Va ſeyn muͤſſe, beweiſet die Erfahrung. Allein wo liegt der hinlaͤngliche Grund dieſer Erfahrung? — Meine Vorſtellung iſt dieſe: Wenn ein Theil, der mittels des Druckes durch die Oeffnung hervorſpringt, wieklich durch die Hoͤhe, wel⸗ che mit dem Drucke im Verhaͤltniſſe ſtuͤnde, gefallen waͤre; muͤßte C = WVA ſeyn (§. 138. IV.). Mithin muß auch dieß eben ſo durch den Druck geſchehen; denn gleichwie in jedem Theile der Hoͤhe ein neuer Grad von Geſchwindigkeit erhalten wird, ſo waͤchſt auch der Druck mit der Hoͤhe. P. Georg Kratz zeigte durch Verſuche, und ana⸗ litiſche Beſtimmungen, daß ſich die Geſchwindigkeiten in verſchiedenen Hoͤben genau unter ſich verhalten, wie ihre Wurzelhoͤben; hingegen die Geſchwindigkeit in einer her⸗ vor⸗ e 229 vorſpringenden Waſſerader nur dort der Wurzelhöhe ih⸗ vollkommen gleich werde, wo ſie kleiner und zuſammen⸗ gezogener erſcheint (vena contracta); und dieß geſchieht erſt in einer Entfernung von der Oeffnung. Siehe die Abhandlung Principia Hydraulica P. Georgii Kraz S. J. D edita a P. Joanne Kerſchbaumer Ingolſtadii 1770. * * Warum Bellidors Beweis in dieſem Punkte unrichtig ſey; wird in den Vorleſungen erklaͤret werden. ) * *x Letztlich kann man ohne Gefahr eines betraͤcht⸗ lichen Feblers die Hoͤhe von dem Mittelpunkte oder Oeff⸗ nung berechnen. Man koͤnnte zwar genau hbeſtimmen, von welchem Punkte an eigentlich die Hoͤhe muͤßte be⸗ trachket werden; allein es ſcheint mir, bey Anfaͤngern die Muhe nicht zu belohnen⸗ hitd Von der Wellebewegung de motu undulatorio. u §. 224. ſe Jene Bewegung, durch welche ein Theil Waſſer uͤber de die Oberflaͤche des Uebrigen wechſelweiſe erhoͤhet, und unter un dieſe erniedrigt wird, nenne ich eie Wellebewegung. hn Die Hoͤhe, welche das Waſſer ober der Flaͤche bekoͤmmt, heißt em Wellehoͤhe, und jede mit der uͤbrigen Waſſerflaͤche pa⸗ doon rallele Linie, die den Raum der Welle nach der Breite, oder u nach der Laͤnge ausmißt, wird Wellebreite, und Wel⸗ lelaͤnge genennt. jin * Von dieſer Bewegung werde ich nur ſo viel un⸗ hr⸗ terſuchen, als ich nach der Hand brauchen werde, in de⸗ den folgenden Theilen der Phyſik verſchiedene Erſchei⸗ nungen a⸗ 230⁰ EE E iee tungen zu erklaͤren. Die Sache deutlicher zu machen, weerde ich mich zweyer mittheilender Cylinder mit Mew⸗ ton bedienen. §. 225. Wenn zween mittheilende Cylinder (Fig. XX.) vom gleichen Durchmeſſer, A und B, mit Waſſer bis d und g ge⸗ fuͤlt ſind, und das Waſſer durch eine aͤußere Gewalt bis e hinuntergedruckt, und hiedurch in dem Eylinder B bis f er⸗ hoͤhet wird, ſo muß, alsbald dieſe Gewalt zu wirken auf⸗ gehoͤrt, I.) eine ſchwingungsfoͤrmige Be⸗ wegung entſtehen, 2.) in der ſich die Schwingungen zu gleichen Zeiten endigen. Denn das Waſſer kann in dem Rohre A nicht bis e hinun⸗ tergedruckt werden, wenn es nicht in B bis f binaufſteigen wuͤrde, und wegen der Differenz in der Hoͤbe = fh eine gleiche Differenz im Drucke entſtuͤnde. Mithin kann das Waſſer wegen anhaltender Differenz des Druckes nicht ruhen, ſondern muß wenigſt ſo lange in B ſinken, und in A auf⸗ ſteigen, bis die Hoͤhe in d und g gleich wird. Aber auch in dieſem Falle bleibt die Ruhe unmoͤglich; denn durch die ganze Zeit des Herabfallens haͤlt die Differenz an, und macht eine beſchleunigte Bewegung. Es muß alſo das Waſſer in d und die groͤßte Geſchwindigkeit erreichen, wel⸗ che hinlaͤnglich iſt, das Waſſer in einem Rohre nach Maaße, als es im andern gefallen, wieder zu erhoͤhen. Erhaͤlt das Waſſer auf dieſe Art die Hoͤhe c im Rohre A, muß es aus gleicher Urſach in A ſinken, und ſich in B erhoͤben, d. i. in eine ſchwingungsfoͤrmige Bewegung verſetzet werden. 2.) Dieſe Schwingungen ſind gleichzeitig. Denn weil ſich die Differenz der Hoͤhe allemal wie der Raum, den das Waſſer durchlaͤuft, verhalten muß mu erl der hen, lew⸗ e e 231 muß, ſo iſt auch die Urſache der Beweguns der Druck wie der Raum. Kuͤrzer: A: a = V: v“ Mithin wird V: v = S s und Vs = vS. Es iſt aber auch . 8 8 T: t = : — (5§. 136.) V: v= C : c (5§. naͤml.) 5 8 mithin T: t = V — SV: sV. Da nun Sv = sV, iſt auch Gnn T=t. §. 226. Folgeſaͤtze. I. Wenn auch in einem offenen Waſſer ein Theil der Oberflaͤche durch eine Gewalt gedruͤckt wird, muß ſich ringsherum eine Welle erhoͤhen. Denn das gedruckte Waſſer laͤßt ſi⸗ ch nimmer ſo leicht zuſammen drucken; mithin muß es weichen, und im Weichen findet es nur in der Hoͤhe keinen Widerſtand. II. Je ſtaͤrker die aͤußere Gewalt auf das Waſſer wirkt, deſto hoͤher und breiter muß die Welle werden Denn die Menge des wDeichenden Waſſers haͤngt von der Groͤße der aͤußern Kraſt dagb, und beſtimmet hinwieder die Groͤße der Welle. III. Aus der erſten Welle entſteht die zweyte, und aus dieſer die dritte u. ſ. w. Denn das zuvor erhoͤhte und nun ſinkende Waſſer druͤckt und erhoͤht ein anders. Mithin müuͤſſen die Wellen von dem Orte der erſten Gewalt nach allen Richtungen fortgehen⸗ WV 234 õ wirrung ganz ordentlich durchkreuzen. Denn ein wechſelndes Vertiefen und Erhoͤhen iſt auch in dem ſchon er⸗ hoͤhten oder vertieften Waſſer nothwendig, alsbald die hinlaͤngli⸗ che Urſache vorhanden iſt. Sie koͤmmt zum Vorſchein, wenn ei⸗ ne Welle von einer andern Richtung her auf die vorige wirkt; dieſes Wirken geht in den erhoͤhten und geſunkenen Theilen eben ſo wie auf der ebnen Flaͤche vor; mithin kann nimmer eine Ver⸗ wirrung entſtehen. * Wenn Koͤrperchen oder zu viel oder zu geſchwind nach⸗ einander auffallen; ſcheint es dem Auge, daß Verwirrung entſtehe. Allein dieſe Truͤgidee ruͤhrt nur von dem Unver⸗ moͤgen ber, alle zirkelfoͤrmige Bewegungen einzeln uͤberſehen zu koͤnnen. §. 230. Iſt das Waſſer, in dem Dieſe Wellen rege werden, ſchon zuvor in Bewegung; muͤſſen die Wellen nach der Richtung dieſer Bewegung weiter ausgedehnet werden. Denn nach dieſer Richtung wird das von ſich erhoͤhte oder ver⸗ tiefte Waſſer durch die gemeinſchaftliche Bewegung mit fortge⸗ fuͤhrt, nach der entgegengeſetzten Richtung aber zuruͤckgehalten und abwaͤrts getrieben. Mithin muß die Welle nach der gun⸗ ſtigen Richtung ausgedehnt, nach der widrigen gehemmet werden. I. Nur in ſtillen ruhigen Wäaſſern koͤnnen alſo zirfelſortnige Wellen eneſehen II. In ſtark bewegten oder gar fließenden Wſſern muß das Regenmaͤßige der Figur eine Abaͤnderung leiden. *Von der Wellenbewegung koͤnnte ich freylich noch vie⸗ lees ſagen; allein wenn ich der Abſicht, ein Elementarbuch zu ſchreiben, getreu bleiben will, mußte ich mich mit den Hauptſaͤtzen begtlgen, und zugleich auf den Nungein und die ie Fahlichkeit mejner Schuͤler ſehen. S Dere Denn ae witkt; n eben Nen ⸗ . . . . w . ᷣ ᷑ 44 ——⸗— H trung s S be ec 0 de eée o Unber⸗ Aſhen ellen mg; teſer tt der⸗ ſortge⸗ alu⸗ hemge — ======———ʒN m hwe⸗ rbuch it den und S ee —,TWs — Kr 4„ .* N Matthias Gablers der Gottesgelehrtheit und Weltweisheit Doktors „Sx. churfuͤrſil. da. Durchleucht in Baiern wirklichen Rathes, oͤffentlichen und ordent⸗ VierFarbSelector Standard* -Euroskala Offset e . lichen Lehrers in der philoſ. Facultat zu Ingolſtadt, in dem .) churfuͤrſtl. albertiniſchen Kollegium Praͤfects der Studien, . und der deutſchen Geſellſchaft der Wiſſenſchaften der in Jena Milgliedes er g 6 E 83 Naturlehre. – Zum Gebrauch 3 “ oͤffentlicher Erklaͤrungen. . Zweyter Theil. 5à n Von den Geſetzen der Bewegung und — des Gleichgewichtes. —–— ſach 2 be, he⸗ 6 an M . Muͤnchen, 3 bey Joſeph Aloys von Craͤtz. 177 8. — L 0 „ B . Re