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 Praktische Feldmeßkunst für Land-Feldmesser, oder für diejenige, welche sich in der Feldmeßkunst selbst unterrichten wollen, 2 ð Fortſetzung der praktiſchen Feldmeßkunſt, welche die Theilung der Triangel, der Trapezen und einige andere Aufgaben enthaͤlt: Nebſt einem Anhang uͤber den Gebrauch der kleinen logarithmiſchen Aaſein. Von J. G. Boͤbel, Praͤceptor am Koͤniglichen Gymnaſium zu Stuttgardt. Mit 3 Kupfertafeln. Tuͤbingen, bey C. F. O ſiander. 1 ⅛ 1 8. Praktiſche F eldmeſßk I I 11 f uͤ r Landfeldmeſſer, oder fuͤr bdie jenige, welche ſich in der Feldmeßkun ſt ſel b’ſt unterrichten wollen. Von Präceptor am Kboniglichen Gymnaſium zu Stuttgardt. Mit 3 Kupfertafeln. Zweiter Theil. Tuͤbingen, bey C. F. O ſiander. 1818. 4 — =ẽ = –. =ã — ☛ — — — =e= =S = S= = = = = = = = SES S = E — = w =S=S — S= — E = iEe e S — 1 4 „ „ . * . 4 Borred e. Di⸗ Zertheilung der Triangel und der Figuren uͤberhaupt iſt von jeher immer ein ſchwieriger Gegenſtand fuͤr die Feldmeſſer geweſen, die Urſache davon laͤßt ſich leicht entdecken, man darf nur auf die Art und Weiſe zuruͤck gehen, nach welcher dieſelbe ihre Kunſt gelernt haben; denn wer nach Regeln lernt, ohne vorher gelernt zu haben, ſelbſt Regeln erfinden zu koͤnnen, dem wird die Aufloͤſung eines Problems immer ſchwer blei⸗ ben, beſonders wenn es ſo gegeben iſt, daß die Regel dem Problem nicht wie ein Leiſten angepaßt iſt. Ich habe in der gegenwaͤrtigen Abhandlung die Theilung der Triangel deßwegen gewaͤhlt, weil der Triangel die einfachſte Figur iſt; dieſe Theilungen aber habe ich nur ſo weit ausgedehnt, ſo weit ſich nemlich dieſelben noch durch die Arithmetik und etwa noch durch die einfachſte Hilfsmittel der Buchſtaben⸗Rechnung berechnen laſſen; trigo⸗ nometriſche Rechnungen habe ich uͤberall ſorgfaͤltig vermieden, weil dieſe ſchon mehrere Kenntniſſe vorausſetzen, und nur in den Faͤllen die Logarithmen gebraucht, wo die Be⸗ rechnung mit gewoͤhnlichen Zahlen unertraͤglich weitlaͤuſig geworden waͤre. VI Es giebt viele ſchoͤne und ſinnreiche Regeln uͤber das Theilen der Figuren, durch welche eine Figur auch ohne Rechnung leicht und ſicher getheilt werden kann, aber ſie ſind in der praktiſchen Feldmeßkunſt, wo alles, Rechnung und Theilung auf der Stelle bewerkſtelligt werden muß, auf dem Felde ſelbſt nicht anwendbar. Ich habe in meiner praktiſchen Feldmeßkunſt die gewoͤhnlich in der Ausuͤbung vorkommende Theilungs⸗ Regeln angegeben, und ſchon bey der erſten Aufage 1784. am Ende der Vor⸗ rede mich anheiſchig gemacht: „Wenn im Buche etwas nicht deutlich oder fuͤr die Feldmeſſer zu ſchwer waͤre, ſo ſey ich auf Verlangen erboͤtig die noͤthige Erlaͤuterun⸗ gen zu geben.“ Dieſes hatte die Folge, daß meine Correſpondenz ſowohl uͤber Erlaͤu⸗ terungen als auch uͤber Anfragen wegen anderer nicht in meinem Buche aufgenomme⸗ ner Gegenſtaͤnde die zur praktiſchen Geometrie gehoͤren, ſehr vermehrt wurden; dieſes gab hernach bey der zweiten und dritten Außage zu einer betraͤchtlichen Verbeſſerung und Vermehrung Anlaß. Aber nicht ſelten mußte ich bey den vielen Anfragen, bey den meiſten Feldmeſſern die Bemerkung machen, daß es denſelben am guten Willen et⸗ was mehr zu lernen, gar nicht, deſto mehr aber an mathematiſchen Kenntniſſen fehle. Die Erlaͤuterungen auf Anfragen betrafen oft nur marhematiſche Ausdruͤcke, (z. E. ein Loth von einem Punkt zu faͤllen) die ich oͤfters nur mit andern Worten uͤberſetzte, wel⸗ che nicht mehr und nicht weniger ſagten, als was ich in mathematiſchen Ausdruͤcken ſo deutlich vor Augen gelegt hatte. Das iſt nun freylich ein großer Beweis, daß man bey Leuten, welche die mathematiſche Sprache nicht verſtehen, ſelbſt nicht viel mathe⸗ matiſche Kenntniſſe ſuchen darf. Ich darf es hier oͤffentlich ſagen, dem groͤßeren Theil unſerer Feldmeſſer fehlt eine natuͤrliche Mathematik gar nicht, ſondern vielmehr an der ordnungsmaͤßigen Ausbildung ihrer Kenntniſee. Was wuͤrde nicht die weiſe Koͤ⸗ nigliche Verordnung, welche ſchon vor einigen Jahren veranſtaltet wurde, das nemlich in jedem Kreiſe des Koͤnigreichs ein Ober⸗Feldmeſſer aufgeſtellt werden ſollte, welcher hernach der Lehrer der neuangehenden Feldmeſſer waͤre, fuͤr einen herrlichen und weit ausgebreiteten Nutzen fuͤr die gute Sache gehabt haben, wenn die damals aufgeſtellte Grundſaͤtze nicht zu ſtreng fuͤr dieſe ungelehrte Leute geweſen waͤren; denn ein großer Theil dieſer Saͤtze, von welchen die Aufgaben §. 82. 83. 84. zur Probe dienen, war in der That nur für gewandte Geometer, und nicht fuͤr Ungeuͤbte, dieſes war auch die Urſache, daß dieſe ſo weiſe Veranſtaltung ſcheiterte, weil ſich auch unter den geſchickte⸗ — vit ſten Feldmeſſern, die ſich pruͤfen ließen, keiner fand, der den gegebenen Vorſchriften voͤllige Genuͤge leiſten konnte. Wenn man nun bedenkt, daß das, was der gemeine Feldmeſſer zu leiſten hat, kaum die Grenzen der allexerſten Anfangsgruͤnde uͤberſteigt, ſo iſt leicht einzuſehen, daß die mathematiſchen Kenntniſſe der gemeinen Feldmeſſer, weit nicht von einem ſo großen Umfange ſeyn kann und darf, als man gewoͤhnlich von ihnen fordert. Ich habe deß⸗ wegen in der Vorrede zur dritten Auflage meiner Feldmeßkunſt einen ungefaͤhren Plan vorgezeichnet, der, wenn er ausgefuͤhrt, den Feldmeſſer genugſam in den Stand ſetzen wuͤrde, ſich ſo zu bilden, daß er ſeiner Funktion mit Nutzen vorſtehen koͤnnte. Die ins Wichtige und große gehende Geſchaͤffte, z. E. geographiſche Vermeſſun⸗ gen; Nivellements zu Waſſerleitungen; zu Chauſſee⸗Zuͤgen uͤber Berg und Thaͤler; Arbeiten, welche zur Baukunſt, Waſſer⸗ und Bruͤcken⸗Baukunſt gehoͤren, und andere dergleichen Geſchaͤffte erfordern allerdings ausgebreitete mathematiſche Kenntniſſe, aber dieſe Geſchaͤffte werden ihrer Wichtigkeit wegen den Feldmeſſern nicht anvertraut; da⸗ zu ſind Geographen, Waſſer⸗Baumeiſter, Baumeiſter, Ober⸗Chauſſee⸗Inſpektoren noͤ⸗ thig, und an ſolchen geſchickten Maͤnnern fehlt es bey uns gewiß nicht. Sondert man nun das, was zu den eben angefuͤhrten wichtigen Geſchaͤfften gehoͤrt, von denen, wel⸗ che man dem gemeinen Feldmeſſer mit Unrecht zumuthet, gehoͤrig ab, ſo bleibt demſel⸗ ben nicht mehr viel uͤbrig als einen Acker, eine Wieſe, einen Wald dem Inhalte nach gehoͤrig zu meſſen, und in eine verlangte Anzahl gleicher Theile zu theilen, und etwa noch, daß er als Handlanger in wichtigen Geſchaͤften bey einem Sachverſtandigen ge⸗ braucht wird. Bey all dieſem koͤnnte man freylich immer noch einwenden: je mehr ein Feldmeſ⸗ ſer Kenntniſſe beſitzt, deſto ſicherer wird er ſeiner Funktion vorſtehen. Hierauf ant⸗ worte ich, daß die Einwendung allerdings gegruͤndet ſey; aber wo findet der groͤßere Theil Gelegenheit ſich die noͤthigen Kenntniſſe zu erwerben? Geſetzt auch, daß er alle Gelegenheit dazu haͤtte, wie wird er ſich ohne allen Gehalt, fuͤr die aufgewandte Ko⸗ ſten wieder entſchaͤdigen? Doch wohl nicht durch ſeine Feldmeſſers⸗Verdienſte? welche ſich, wenn er auch hie und da Geſchaͤffte bekommt, wahrhaftig nicht ſo hoch belaufen, VIII — daß er in mehreren Jahren durch ſeinen Verdienſt das herausſchlagen wird, was er fuͤr Collegien⸗ und andere Lektions⸗ und Examinations⸗Gelder hat ausgeben muͤßen; uͤberdiß iſt der groͤßte Theil nicht einmal im Stande bey aller guten Gelegenheit die Koſten auf Lektionen zu verwenden. Merkwuͤrdig bleibt es uͤbrigens doch, daß gerade diejenige, welche durch einen natuͤrlichen Antrieb auf Geometrie verfallen, und am we⸗ nigſten darauf verwenden koͤnnen, meiſtens die faͤhigſten Koͤpfe ſind, die blos durch den Fleiß das ſind, was ſie ſind. Wie kann man demnach von ſolchen Leuten eine gruͤndliche Kenntniß erwarten oder fordern, wenn ſie keine Gelegenheit haben, ihre mit vielem Fleiß geſammelte Kenntniſſe zu ordnen und ſich zu bilden? Es iſt in der That ein ganz beſonderer Zufall fuͤr einen ſolchen Mann, wenn er durch beſondere Umſtaͤnde geleitet, das Gluͤck hat, mit Sachverſtaͤndigen in Verbindung zu kommen, wo er Ge⸗ legenheit hat ſeine Kenntniſſe in etwas zu ordnen. Ich darf mich wohl auf mein ei⸗ gen Beiſpiel berufen. Ich hatte ſchon vor 40 Jahren einen ungemeinen Hang zu den mathematiſchen Wiſſenſchaften, aber kein Vermoͤgen und keine Gelegenheit ſolche zu lernen. Der mir noch immer verehrungswuͤrdige Paſtor Zennek zu Weil im Schoͤn⸗ buch, wo ich mich damals aufhielt, war ein großer Liebhaber der praktiſchen Mathe⸗ matik, beſonders aber der Sonnenuhrkunſt, dieſer gab mir ſeine Auffſaͤtze uͤber zerſchie⸗ dene Gegenſtaͤnde der Mathematik zum Abſchreiben, und dieſes erweckte bey mir im⸗ mermehr Begierde den mathematiſchen Wahrheiten nachzuforſchen, ſo daß ich durch ei⸗ genen Fleiß es ſo weit brachte, daß ich bey meiner nachherigen Orts⸗Veraͤnderung, in Stuttgardt durch Privat⸗Lektionen immer mehrere Kenntniſſe ſammelte, und dadurch ein gutes Einkommen erwarb, das mich vor Nahrungs⸗Sorgen hinlaͤnglich ſicherte Durch meine Privat⸗Lektionen wurde ich dem damals regierenden Herrn Herzog Carl be⸗ kannt, dieſer nahm mich als Lehrer in ſeine Akademie auf, und wies mir zu meinem Penſum die Arithmetik und die Anfangsgruͤnde der Geometrie an, welche ich nach ei⸗ nem mir vorgeſchriebenen Lehrbnche lehren mußte; dadurch und durch den Umgang mit den damaligen rechtſchaffenen Lehrern der Mathematik, konnte ich meine geſammelte Kenntniſſe und Begriffe ordnen, und es hieß bey mir docendo discimus Es war allerdings eine weiſe koͤnigliche Verordnung eine beſondere Commiſſion zur Pruͤfung der Feldmeſſer nieder zu ſetzen, an deren Spitze gegenwaͤrtig zwey Maͤn⸗ ner von Verdienſt und anerkannten mathematiſchen Kenntniſſen ſtehen, welche fuͤr die — = —— — — — gute Ordnung wachen. Dieſe Ordnung ſetzt veſt, daß die Feldmeſſer gehoͤrig gepruͤft, und nur dann zur Ausuͤbung ihrer Kunſt zugelaſſen werden ſollen, wenn ſie bey der Pruͤfung gezeigt haben, daß ſie dem, was ein Feldmeſſer leiſten ſolle, gewachſen ſind. Haͤtte man ſolche ſolide Pruͤfungen ſchon vor 20 und mehreren Jahren vorgenommen, als man ſie wirklich vornimmt, ſo waͤren ohne Zweifel unſre heutige Feldmeſſer un⸗ gleich weiter, als ſie gegenwaͤrtig ſind, und die Anzahl derjenigen, die ihre Kunſt als ein Handwerk getrieben haben, und zum Theil noch treiben, wuͤrde weit geringer ſein. In der That hatte eine ſolche Pruͤfung keinen Nutzen, der Examinandus erhielt ein Certiſicat, daß er in Stuttgardt das Examen uͤberſtanden habe, und jetzo ein verpflich⸗ teter Feldmeſſer ſey; die Certiſiegte waren wie Lehr⸗Briefe und Wanderungs⸗Kund⸗ ſchaften der Handwerks⸗Purſche eingerichtet, meiſtens einerley Inhalts, nur nicht ge⸗ Noch ein Umſtand iſt zu beruͤhren, der ſich mit wiſſenſchaftlichen Kenntniſſen, und mit den Grundſaͤtzen, nach welchen die Feldmeſſer gepruͤft werden, nicht wohl vereini⸗ gen laͤßt. Ich meyne das Unſchickliche, daß man heut zu Tage wiſſenſchaftliche geo⸗ metriſche Geſchaͤffte mit den Handarbeiten der gemeinen Handwerks⸗Leute aller Art in eine Kategorie ſetzt, und ſie im Abſtreich verhandelt. Dergleichen Abſtreichs⸗Verhand⸗ lungs⸗Anzeigen ſinden ſich mehrere in den Stuttgardter privilegirten Anzeigen und in der ſchwaͤbiſchen Chronik, wovon ich nur auf eine in dem ſchwaͤbiſchen Merkur 1814. p. 1012. u. Jahrg. 1816. p. 1696, hinweiſe. Der Moderation der Feldmeſſer⸗Verdienſt⸗ Zettel nicht zu gedenken, welche meiſtens noch das Ungluͤck haben, ſolchen Leuten zur Moderation in die Haͤnde zu fallen, welche nicht einmal einen Begriff von mathema⸗“ tiſchen Rechnungen und geometriſchen Zeichnungen haben; das heißt nichts anders als einen Conto fuͤr gefertigte Schneiders⸗Arbeit einen geſchickten Baumeiſter zur Mode⸗ Y”B ration geben; die Sache iſt hier nicht uͤbertrieben, ich rede aus Erfahrung, die ich aus meinem Vermeſſungs⸗Diario, das jetzt uͤber 25 Jahre alt iſt, beweiſen kann. Wie beugend und herabwuͤrdigend muß es demnach einem Manne ſeyn, der ſeine Kunſt nach Grundſaͤtzen gelernt, und ſich durch eine reine Vernunft⸗Wiſſenſchaft gebildet hat, wenn er ſiehet, daß ſeine Arbeit einer Moderation, einer Abſtreichs⸗Verhandlung un⸗ terworfen wird. Dieſes hat meiſtens das zur Folge, daß der geſchickte Mann ſich von einem bedeutenden Geſchaͤft, wo er zum voraus ſieht, daß er umſonſt arbeiten muß, zu⸗ . H *ς ruͤck zieht, da hingegen das wichtige Geſchaͤft einem Ignoranten zu Theil wird, der, wenn es zur Verantwortung kommt von ſeinem Geſchaͤfte nicht einmal im Stande iſt Rechenſchaft zu geben. Es ſind ja Geſetze vorhanden, welche die Verdienſte der Feld⸗ meſſer entweder nach Taggelder oder nach Morgen und Jaucherten genau beſtimmen, wozu denn eine Abſtreichs⸗Verhandlung und Zettel⸗Moderation? In der Vorausſetzung, daß der Feldmeſſer alles verſtehe, was ich in meiner prak⸗ tiſchen Feldmeß⸗Kunſt vorgetragen habe, ſo wird leicht begreiflich ſeyn, warum ich in den Saͤtzen und Aufgaben bald die Syntheſe, bald die geometriſche und algebraiſche Analyſis gebraucht habe, diß hat ſeinen Grund darinn: ich wollte dadurch die Feld⸗ meſſer nur aufmerkſam darauf machen, daß, wenn die Begriffe der Schluͤſſe geordnet werden ſollen, die mechaniſche Regeln nicht hinreichend genug ſeyen, auf den Grund einer Sache zu ſehen, und daß es ferner nicht genug ſey zu wiſſen, wie man nach der vorgeſchriebenen Regel verfahren muͤſſe, ſondern man muß auch wiſſen, warum man gerade ſo und nicht anders verfahren koͤnne und ſolle. Vielleicht giebt es unter den vielen Feldmeſſern doch einige, die aufmerkſam darauf werden, uud dadurch aufgemun⸗ tert werden die Geometrie, die doch eine reine Vernunft⸗Wiſſenſchaft iſt, ſo zu ler⸗ nen, wie ſie gelernt werden muß; wozu die Elemente des Euclids den leichteſten und deutlichſten Stoff darbieten. Um endlich mit einem Blicke zu uͤberſehen und zugleich Rechenſchaft zu geben, wie ich jede Aufgabe bey der Aufloͤſung behandelt habe, ſo habe ich mir jede Figur derſelben auf eine ganz mechaniſche Art vorgezeichnet, und auch die Theilungs⸗Linien gezogen, ohne zu wiſſen, wohin und in welche Punkte der Grundlinie ſie gezogen wer⸗ den muͤſſen, gleichſam als ob ich das Geſuchte ſchon wuͤßte. So gering dieſes auch ſcheinen moͤchte, ſo wichtig iſt es in der analytiſchen Aufioͤſung ſelbſt. Um deßwegen nur eine Probe zu geben, ſo will ich die Aufgabe §F. 3. „Einen gegeben Triangel „ABC (Fig. 3.) aus einer Winkelſpitze in zwey gleiche Theile zu theilen,“” aufloͤſen: Ich ziehe die Theilungs⸗Linie Ch auf eine mechaniſche Art, gerathe wohl, ob ich ſchon nicht weiß nach welchem Punkt hin auf der gegenuͤber ſtehenden Seite AB ich ſie zu ziehen habe, blos um ihre Beſtimmung und Lage aus dem Gegebenen und Ge⸗ ſuchten deſto leichter einzuſehen. Damit ich nun von dem Gegebenen auf das Geſuchte ſchließen kann, ſo ziehe ich den Perpendikel CE. Hierauf richte ich mein Augenmerk auf den Punkt D, welcher geſucht werden ſolle: Nun leuchtet in die Augen, daß die beyde Triangel ACD und DCSB von gleicher Hoͤhe ſind; da aber nach der Vorausſe⸗ tzung DC die Theilungs⸗Linie ſeyn ſoll, ſo iſt nichts natuͤrlicher als ſo zu ſchließen: Weil — = — und —2. = — — folglich wird auch ſeyn (L ax. 1.) D CE DB CCG 2 4 = B — ,/ mithin auch AD CE= DB X„ CE. Hieraus wird AD: CE= DB: CE, folglich (nach V. 9.) AD = DB. Hieraus ſchließe ich: wenn der A ADC dem △ DCS gleich ſeyn ſoll, ſo muß die Grundlinie jeder dieſer Triangel die Haͤlfte von AB ſeyn, und daß man alſo nur die gegebene Grundlinie AB in D halbiren muͤße, um die Theilungs⸗Linie CD ziehen zu koͤnnen. So wie ich nun in dieſer Analyſis von einer Wahrheit auf die andere geſchloſſen habe, ſo darf man ſicher auf das Verfahren bey der Aufloͤſung aller uͤbrigen Aufgaben ſchließen. Der letzte Schluß der Analyſis iſt es, aus welchem ich allemal die Regel fuͤr die Feldmeſſer abgeleitet, und bey vielen Aufgaben am Ende der Analyſis woͤrt⸗ lich beygeſetzt habe. M Ich habe ſchon bey der erſten Auflage von 1784. meiner praktiſchen Feldmeßkunſt bemerkt, daß ich von den gemeinen Feldmeſſern an Kenntniſſen weiter nichts als die vier Rechnungs⸗Arten und die Regel de tri verlange; ich habe aber bey der zweiten, dritten und vierten Aufage auf freundſchaftliches Erinnern einiger Sachverſtaͤndigen, und auf die Fingerzeige mehrerer Recenſionen, hie und da, wo ich es dem Plane ge⸗ maͤß fuͤr thunlich hielt, mit dem praktiſchen etwas Theorie verbunden, und ich ſehe jetzt mit Vergnuͤgen, daß das Wenige, was ich aus der Algebra, nebſt der Deecimal⸗ Rechnung beygeſetzt habe, bey vielen Eingang gefunden hat, und das veranlaßte, daß Einige, theils ſelbſt Unterricht bey mir nahmen, theils ihre Soͤhne mir dem theoreti⸗ ſchen Unterricht uͤbergaben. Uebrigens bemerke ich noch, daß es nicht genug iſt, blos den Unterricht eines Lehrers in einer Wiſſenſchaft genoſſen zu haben; ſondern denſel⸗ ben mit anhaltendem Privat⸗Fleiß zu verbinden, iſt das wahre Mittel, durch welche man in den Geiſt der Wiſſenſchaft einzudringen im Stande iſt. HW Fuͤr die Leſer bemerke ich, daß die hin und wieder angezeigte Citate, z. E. (I. 37.) (VI. 1.) u. ſ. w. auf die Elemente des Euelids gehen, die roͤmiſche Zahl zeigt das Buch, die daneben ſtehende Zahl den Satz deſſelben an. Ebenſo gehen die Citate (dat. 28.) (dat. 32.) u. ſ. w. auf Euclids Datg, ins Deutſche uͤberſetzt von dem Herrn Geh. Hofrath Schwab. Hiemit ſchließe ich mit der Bemerkung, daß die Herausgabe dieſes zweiten Theils eine Arbeit in den Nebenſtunden iſt, welche mir mein oͤffentliches Lehramt uͤbrig laͤßt; das iſt auch die Urſache, warum dieſer zweite Theil 3 Jahre ſpaͤter erſcheint, als er haͤtte erſcheinen ſollen. Dieſe Verzoͤgerung ſoll zugleich Rechenſchaft geben, daß ich durch die Herausgabe eines mathematiſchen Buches meinen amtlichen Geſchaͤften kei⸗ nen Eingriff gethan habe; ob ich gleich nicht der einzige bin, ſondern mich mehrerer Gelehrten erinnere, welche mathematiſche Buͤcher geſchrieben haben, ohne daß gerade die Mathematik nothwendig mit ihrem Amte verbunden geweſen waͤre. Vielleicht iſt dieſes fuͤr jedes amtliche Geſchaͤft ein zutes Vorurtheil, wenn man ſieht, daß die Ma⸗ thematik als eine reine Vernuaft⸗ Wiſſenſchaf t, ſich mit jedem Amte, was es auch fuͤr eines ſeyn mag, wohl vertraͤgt. Geſchrieben im Monat December 1816. Johann Georg Boͤbel, Praͤceptor am Koͤniglichen Gymnaſium, Summa⸗ * Sammariſcher Inhalt. . Aſöniir. Von dem Theilen der Triangel. 4 Einleitung ⸗ ,2 . „ „ „ ,„1 J. r Auf wie vielerley Arten ſich ein Triangel theilen laſſe ⸗ 2 ⸗ §. 2. Wie ein Triangel zu theilen ſey, wenn die Theilungs⸗ ⸗Linien durch eine Winkelſpitze ge⸗ hen ſollen ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ . ⸗ . 8. S. Nach einem gegebenen Verhaͤltniß zu theilen ⸗ ⸗ — ⸗ 6. 5. Was man zu beobachten habe, wenn die Verhaͤltniſſe, wornach getheilt werden ſolle, Bruͤche ſind ⸗ ⸗ . ⸗ 2 ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ §. 7. Theilung eines Triangels, wenn die Theilungs⸗Linien aus einem in einer Seite ange⸗ nommenen Punkt laufen ⸗ ⸗ ⸗ -—2 ⸗ „ . 12. Analytiſche Unterſuchung uͤber die Lage der Theilungs⸗Linie, wenn man zwey gleiche Theile verlangt ⸗ ⸗ 2 ⸗ ⸗ 2 ⸗ ⸗2 s. 12. Bey 3 und mehreren gleichen Theilen ⸗ ⸗ ⸗ —2 ⸗ §. 14. Wenn die Verhaͤltniſſe, nach welchen getheilt wird, ganze oder gebrochene Zahlen ſind §. 15. 16. Theilung eines Triangels, mit irgend einer Seite parallel ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ §. 19. Nutzen fuͤr die Berechnung, wenn man die Wurzel⸗Groͤße V”2½ durch einen Decimal⸗ Bruch ausdruͤckt. Anmerk. I. . 2 2⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ §. 21. Theilung eines Triangels, wenn die Scheidlinien auf einer Seite ſenkrecht ſtehen ſollen ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 3 ⸗ ⸗ §. 30. Unterſuchung uͤber die Lage der Theilungs⸗ Linien und der durch ſie abgeſchnittene Stuͤcke ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ §. 30. 31. 32. 33. Theilung der Triangel, wenn die Theilungs⸗Linien durch einen gegebenen Punkt inner⸗ §. 38. halb des Triangels gehen, oder von eben dieſem Punkt aus getheilt werden ſoll Noͤthige Saͤtze zur Beſtimmung der Theilungs⸗ Linien ⸗ ⸗ ⸗ §. 3 38. 39. 40. 41. Theilung eines Triangels, wenn die Scheidlinie durch keine Winkelſpitze, ſondern durch einen innerhalb angenommenen Punkt geht; keine leichte Aufgabe ⸗ ⸗ 8s. 45. Die hiezu gebrauchte geometriſche Analyſis nach Art der Alten, nebſt Conſtruktion, Be⸗ weis und Berechnung ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 2 §. 46. 47. Aufloͤßung dieſer Aufgabe, wenn der gegebene Punkt außerhalb des Triangels liegt §. 48. Geometriſche und algebraiſche Analyſis hiezu. ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 2 ⸗ 8. 43. Einen Triangel aus einem innerhalb angenommenen Punkt in mehrere gleiche oder un⸗ „gleiche Theile zu theilen. ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 2 ⸗ §. 49. 54. Weitere Bemerkungen hieruͤber. ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ §. 55. Theilung eines Triangels, daß die Theilungs⸗Linien mit irgend einer der Lage nach ge⸗ gebenen Linie gleich laufen. ⸗⸗ 2 ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ §. 56. 57. Triangel ohne Rechnung blos durch eine leichte Conſtruktion zu theilen, einige Bez⸗ ſpiele. ⸗ ⸗ 2 ⸗ 2 ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ §. 58. 59. II. Abſchnitt. Die Theilung der Trapezen, mit den parallelen Seiten gleichlaufend. 2 6F. 61. Die hiezu noͤthigen algebraiſchen Formeln aus dem Triangel abgeleitet. . §. 61. 62. Was man entdecke, wenn man auf dieſe Formeln genau merke, und wie man zu allge⸗ meinen Formeln gelange. ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ §. 63. Was man durch eine leichte Buchſtaben⸗Rechnung ausrichten koͤnne, und wie ſie ein Mittel zur Erfindung nuͤtzlicher Regeln ſey. 4 . ⸗ ⸗ ⸗ §. 64. Anwendung der algebraiſchen Formeln anf verſchiedene Aufgaben. ⸗ ⸗ ⸗ §. 65. Eine geometriſche Conſtruktion fuͤr die Theilung eines Trapezes wird aus den Formeln abgeleitet. 3 ⸗ — 2 ⸗ 2 ⸗ §. 65. N. I. 2. 3. Die algebraiſche Formeln werden auch auf ſolche Faͤlle angewandt, in welchen man ein Trapez nach einer gegebenen Verhaͤltniß zu theilen verlangt. ⸗ ⸗ ⸗ F. 67. Algebraiſche Formeln zu eben der Theilung, aus dem Parallel⸗Trapez abgeleitet. §. 69. Auf was man komme, wenn man die aus dem Triangel abgeleitete Formeln mit denen aus dem Parallel⸗Trapez abgeleiteten verbinde. ⸗ ⸗ ⸗ . ⸗ §. 73. Einen gegebenen Triangel in ein gleich großes Parallel⸗Trapez zu verwandeln, nebſt der geometriſchen Analyſis und Conſtruktion. 2 ⸗ èM ⸗ §K. 74. Mit einem angehaͤngten Deeimal⸗Bruch. ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ . ⸗ Die Theilung der Trapezen, nicht mit den parallelen Geiten gleichlaufend. ⸗ §. 75. Umſtaͤndlichkeit mit der Winkelſcheibe Parallelen abzuſtecken, wie man ſich helfen koͤnne. Nr. 14. ⸗ ⸗ ⸗ z 2 ⸗ 2 6 2 ⸗ §. 75. Die Faͤlle werden unterſucht, wenn das re⸗ in n gleiche Theile getheilt wird. §. 76. Die Theilung nach Verhaͤltniſſen, wie m: r: s: q etc. . ⸗ ⸗ §. 77. Ein jedes Trapez ſo zu theilen, daß die rheilnes „Linien mit irgend einer Seite vo⸗cꝛ⸗ rallel feyen. ⸗ 2 2 . 2 2 ⸗ . ⸗ ⸗ 8§. 78. Weitere Zuſaͤße. Analytiſche Berechnung aus den 3 Seiten eines Triangels den Inhalt ZM zu finden. ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ §. 79. In einer getheilten Figur die Theilungs⸗ Linien nach Gefallen zu veraͤndern, beſonders wenn ſie gebrochen ſind, in gerade zu verwandeln. ⸗ v 1 §. 80. gI. Noch einige nuͤtzliche Aufgaben aus der Polygonometrie, fuͤr Feldmeſſer, welche ein we⸗ nig Trigonometrie gelernt haben. ⸗ ⸗ ⸗ 2 . ⸗ ⸗ §. 82. Aus dem Umfang einer vielſeitigen Figur und den von den Seiten eingeſchloſſenen aus⸗ waͤrts gehenden Winkeln den Inhalt zu finden, nebſt algebraiſchen Formeln. ⸗ §. 82. Ein Beyſpiel mit einwaͤrts gehenden Winkeln. 2 ⸗ 2. ⸗ g. 84. Ohne algebraiſche und trigonometriſche e Kenntniſſe koͤnnen die ſchoͤnſten Aufgaben nicht aufgeloͤßt werden in den Anmerkungen zu J§. 82. 83. Nr. 3. Mas man bey den Formeln zu dieſen Aufgaben in Abſicht auf die Zeichen DS und — zu merken habe. Anmerk. zu 6. 82. u. 83. Nr. 3. Ueber den Gebrauch der Logarithmen⸗Tafeln, beſonders der kleinen Vlag'ſchen und Wolfiſchen. Anhang. ⸗ ⸗ ⸗ 5 ⸗ ⸗ 8 §. I. Syſtem, nach welchem die Logarithmen berechnet ſind. ⸗ ⸗ . §. 3. Die Kennziffer einer gegebenen Zahl ohne Tabelle anzugeben. . ⸗ 2 §. s. Wie vielzifferig die, einem gefundenen Logarith. zugehoͤrige Zahl ſey; aus der Kennziffer zu entſcheiden. . ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ 2 §. 9. Den Log. einer Zahl die 10000 nicht uͤberſteigt, zu finden. . H ⸗ ⸗ F. II. Den Log. einer Zahl zu finden, welche groͤßer als 10000 iſt. Zwey Wege, und was dabei zu beobachten. 2 ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ —2 ⸗ §. 12. 13. Den Log. zu einer ganzen Zahl, nebſt angehaͤngtemn geme inen Bruch zu finden. g. 14. ⸗ §. 15. * Der Logarithme eines eigentlichen Bruchs wird negativ, und wie man die negative Log. vermeiden koͤnne. ⸗ 2 . ⸗ — ⸗2 ⸗ Der Logarithme eines Decimal⸗Bruchs, was er ſey. ,2 ⸗ Die Ertraktion der Wurzeln aus Logarithm. ⸗ — ⸗ 2 ⸗ Wie der Logarith. einer Wurzelgroͤße zu finden ſey. ⸗ ⸗ —⸗—kͤ⸗ . Wie die Lo garithmen, die hinten eine angehaͤngte Kennziffer haben, veraͤndert werden koͤnnen? ⸗ ⸗ ⸗ . ⸗ ⸗ ⸗ . ⸗ Wann dieſe Veraͤnderung vorgenommen werden muͤſſe, die Zahl zu einem gegebenen oder gefundenen Logarithme zu ſuchen. ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ ⸗ . Zu einem gegebenen Logarithmen, deſſen Kennziffer in den Tabellen nicht mehr vor⸗ kommt, die zugehoͤrige Zahl zu ſuchen. ⸗ . . ⸗ 5 5 Zu einem Logarithmen, der ruͤckwaͤrts eine negative Kennziffer hat, die zugehoͤrige Zahl zu ſuchen. 2 ⸗ wæpꝑ, 5 5 5 5 2. 5 Die zu einem negativen Logarithmen gehoͤrige Zahl; zu ſuchen. 5 2 ⸗ Anwendung der Logarithmen an ein paar Aufgaben gezeigt. ⸗ 2 . Ein Vorſchlag zu einer einfachen Maſchine in Geſtalt eines Schubkarren, ſehr lange Li⸗ nien damit zu meſen. ⸗ ⸗ „ 2 . . „S. I8. §. 19. §. 20. §. 22. §. 17. I. M bſchnitk. Von dem Theilen der Triangel. §. r. Einen gegebenen Triangel in gleiche, oder in ſolche Theile zu thei⸗ len, die eine gegebene Verhaͤltnis zu einander haben, iſt oft wegen der Lage der Theilungs⸗Linien, und der gegebenen Dingen, durch welche man die Theilung verlangt, fuͤr die Feldmeſſer ein Gegenſtand von einer nicht geringen Schwie⸗ rigkeit, theils wegen der Conſtruktion, theils aber auch wegen den verſchiedenen Rechnungen, welche man dabey anwenden muß: denn hier wird erfordert, daß man nicht nur die Quadratwurzel extrahiren koͤnne, ſondern auch daß man die geometriſche Verhaͤltniſſe und Proportionen gruͤndlich verſtehe. §. 2. Ein gegebener Triangel aber kann auf zerſchiedene Arten getheilt werden, denn man kann verlangen, 1) daß die Theilungs⸗Linien aus der Spitze eines Winkels gezogen werden ſollen. Oder kann man 2) verlangen, daß die Theilungs⸗Linien aus irgend einem Punkt, der in eiiner Seite liegt, laufen ſollen. 3) Oder die Theilungs⸗Linien ſollen mit einer gegebenen Seite parallel laufen. — 4) Ruer die Theilungs⸗Linien ſollen auf einer gegebenen Seite ſenkrecht ſtehen. 5) Oder ſollen endlich die Theilungs⸗Linien von einem innerhalb oder außer⸗ halb des Triangels gegebenen Punkte aus, gezogen werden. 6) Koͤnnte man noch hinzu thun, daß die Theilungs⸗Linien mit irgend einer der Lage nach gegebenen geraden Linie parallel laufen ſollen. Dieſe hier aufgeſtellte Faͤlle erſchoͤpfen beinahe alle Arten von Theilungen derxr Triangel. Aufgaben uͤber den erſten Fall, wenn die Theilungs⸗Linien aus einer Winkelſpitze laufen ſollen. §. 3. Aufgabe. Einen gegebenen Triangel ABC aus der Winkelſpitze . in zwey gleiche Theile zu theilen. (Fig. 1. Tab. I.) Soll die Aufgabe aufgeloͤst werden koͤnnen, ſo muß die dem Winkel C gegenuͤber liegende Seite AB gegeben ſeyn. Marn ſetze, CD ſey die Scheidungs⸗Linie, und theile alſo den Triangel ABC, daß ACD = CDh; man faͤlle noch den Perpendikel CEe ADX CE ABC Nun iſt == DBX CE AlC — , ADXCI X* CI folglich iſtauch = — daher ADXCE = DBXCE foglich auch AD = DB. — Soll alſo der Triangel ADC = DCB ſeyn, ſo muß man die dem Winkel C Gegenuͤber liegende Seite AB in D halbiren, ſo theilt die Linie CD den vor⸗ Zelegten Triangel in 2 gleiche Theile. Dieſe Schluͤſſe gelten auch, wenn der gegebene Triangel in 3, 4 und meh⸗ rere gleiche Theile getheilt werden ſolle; demnach iſt die Regel allgemein: Man theile die Seite, welche dem Winkel gegenuͤber liegt, und aus welchem die Theilungs⸗Linien gezogen werden ſollen, in ſo viele gleiche Theile, als man den Triangel zu theilen verlangt, und ziehe aus C die Theilungs⸗Linien, ſo iſt der Triangel getheilt, wie man verlangt. L Das bisherige laͤßt ſich auch unmittelbar aus I, 37. und VI, 1. herleiten. F. 4. Aus dem Verhergehenden folgt: Wenn man die Seite eines Trian⸗ gels in gleiche Theile theilt, und es ſollen aus dieſen Theilungs⸗Punkten ge⸗ rade Linien gezogen werden, die den Triangel in eben ſo viele gleiche Theile theilen ſollen, als man die Seite getheilt hat, ſo muͤßen die Theilungs⸗Linien durch die gegenuͤber ſtehende Winkelſpitze gehen. §. 5. Aufgabe. Einen Triangel in ungleiche Theile aus einer Winkel⸗ ſpitze ſo zu theilen, daß die Theile eine gegebene Verhaͤltniß zu einander haben. „ Oder der Triangel ABC ſoll aus C alſo getheilt werden, daß ACD = ½ und DCB = ¾ vom ganzen Triangel ſey. (Fig. 2. Tab. I.) Geſetzt, DC ſey ſo gezogen, daß ACD = ABC und CDB = ABC. Man ziehe noch aus C den Perpendikel CE, ſo iſt ADCE ⸗ABXCE. 2 5 2 DBXCE ABXCE und = 3 — „ AbDXCE DBXCESE 2ABCE ABXCE fogüch — —: —2 — . 5 — ADXCE: DBxXCE = 2½ABXCE: 3 ABXCE folglich auch AD: DB = 2AB: 2AB. SZ G Soll alſo der Triangel ACD = 3½ACB, und CDB = ¾ACB werden, ſo muß nach der letzten Proportion die Grundlinie AD = ⅜ von AB, und DB muß ½ von AB ſeyn. Da ſich alſo die verlangte Theile auf der Linie AB wie die ge⸗ gebene Bruͤche verhalten, deren gemeinſchaftlicher Nenner § iſt, die Zehler aber ein Ganzes ausmachen, ſo iſt klar, daß die dem Winkel C gegenuͤber liegende Seite Al nach eben dieſer Verhaͤltniß getheilt werden muͤße. Man theile alſo die Linie AB in 5 gleiche Theile, und mache AD = 2, und DB = 3 Theile, und ziehe die Theilungs⸗Linie CD, ſo iſt der Triangel getheilt, wie verlangt wird. Die Eintheilung der Linie Ab in § gleiche Theile laͤßt ſich auf dem Pappier unmittelbar ohne alle Zeichnung bewerkſtelligen. Berechnung in Zahlen. Es ſey die Linie A8 = 48 ſo iſt AB = 9 7, folglich 3AB oder AD = 19, 4 —☛ und 2AB oder DB = 29, 06. §. 6. Die Schluͤſſe in §. 5. gelten auch noch, wenn der Triangel in meh⸗ rere Theile getheilt werden ſoll, und die Theile ſich wie gegebene Bruͤche verhal⸗ ten ſollen, unter der Vorausſetzung, daß dieſe Bruͤche ein Ganzes ausmachen. Mithin iſt fuͤr dieſe Art Bruͤche die Regel allgemein: Man bringe die gegebene Bruͤche auf gleiche Benennung, und theile die Linie AB in ſo viele gleiche Theile, als der ge⸗ meinſchafttliche Nenner anzeigt, von dieſen nehme man her⸗ A 2 4 nach ſo viele Theile, als der Zehler eines ſolchen Bruchs fuüͤr jeden Theil beſonders verlangt. F. 7. Im geweinen Leben ſagt man oͤfters, eine Figur ſoll ſo gethellt werden, daß der eine die Helfte, der andere ztel, und der dritte bekommen ſle; allein dieſes iſt nicht ſo zu verſtehen, daß der erſte gerade die Helfte der Figur, der andere * und der dritte ½ derſelben bekommen ſolle, dieſes waͤre nicht moͤglich, n die gegebene Bruͤche mehr als ein Ganzes ausmachen, ſon⸗ dern der wahre Sinn iſt immer der: Man ſoll die Figur ſo theilen, daß ſi n ch die Theile wie die Zahlen 2; 3; 3 zu einander verhalten. §. 8. Soll nun eiue ſolche Theilnng bewerkſtelligt werden, ſo muß man die gegebene Bruͤche vorher unter gleicher Benennung darſtellen, alsdenn erhaͤlt man ſtatt: ; 3; ¾ jezo: 11; à,. Demnach muß die dem gegebenen Punkt C gegenuͤber liegende Seite AB (Fig. 3. Tab. I.) eben ſo getheilt wer⸗ den, wie ſich dieſe Zahlen verhalten, alſo wie ι: : / oder welches einerley iſt, wie 6 4 2 Man theile al o in dieſem Fen die dem Winkel C gegenuͤber liegende Seite BC in 13 gleiche Theile, und gebe der BD = 6 von dieſen Theilen, DE = 4 und EC = 3 Theile, und ziehe die Scheidungs⸗Linien AD, AE, ſo iſt der Triangel, wie verlangt wird, getheilt. Der Beweis erhellt aus (VI. 1.). Denn da ACD: CDE: CEB = AD: DE: EB aber AD: DE: EB = 6: 4: 3 ſo iſt auch ACD: CDE: CEB= 6: 4: 3 Dieſe Schluͤſſe gelten auch noch, wenn die gegebene Broͤche kleiner als 1 Gan⸗ zes waͤren. Beyſpiel in Zahlen. Es ſey AB = 36 4 S .„W ſo iſt 28 = 30 ¼. = 2⁰⁸ folglich d= 62 8S = 16°38 DE = 4 2 % = 11 2 — 8°4. — 2 Dieſe hier gefundene Theile muß man auf der Linie AB abmeſſen, nemlich 26 4 von A nach D; 1I1 2 von D nach E, der uͤbrige Theil EB ergibt ſich von ſelbſt. F. 9. Auf dieſe Art laͤßt ſich auch die Aufgabe aufloͤſen, wenn gefordert würde, man ſolle den Triangel in 4 Theile ſo theilen, daß der erſte 2, der zweite 4, der dritte 3 und der vierte 5 Theile erhalten ſolle. Das iſit nun nichts anders, als man ſoll die dem Winkel C gegenuͤber liegende Seite AB ſo theilen, daß ſich die Grundlinien wie die gegebene Theile verhalten ſollen. Man wird leicht einſehen, daß ſich dieſe Theilung nicht blos auf 2, 3 ober 4 Theile des Triangels einſchraͤnkt, ſondern fie laͤßt ſich auch noch anwenden, es moͤgen der Theile ſo viel ſeyn, als man verlangt. . F. 10. Zu dem Bisherigen koͤnnte man noch folgende Aufgaben hinzu⸗ ſetzen: ẽ Man ſoll einen gegebenen Triangel alſo theilen, daß der zweite Theil um 3 Ruthen groͤßer als der erſte, und der dritte Theil um 7 Ruthen groͤßer als der zweite ſey. Bey der Aufloͤſung dieſer Aufgabe wird es vorlaͤufig noͤthig ſeyn, daß man das, was nach der Angabe fuͤr die unmittelbare Theilung noch nicht genug be⸗ ſtimmt iſt, genauer beſtimme. l ABC (Fig. 3. Tab. I.) ſey der zu theilende Triangel. CE, CD ſeyen die Theilungs⸗Linien. Geſetzt nun es ſey BE = x, ſo wird ſeyn DE = X + 3 1 und AD = X + 10. Da nun die Grundlinie AB nach dieſer Verhaͤltniß getheilt werden muß, auch dieſe hier beſtimmte Theile zuſammengenommen die ganze Grundlinie AB aus⸗ machen muͤßen, ſo iſt offenbar MB ZX + 13 = AB X = Weil alſo die Grundlinie BE fuͤr den Triangel des erſten Theils beſtimmt iſt, ſo folgt — und fuͤr AD — + 7 = AB- . . Diieſe Theilung ſetzt alſo voraus, daß man. die Laͤnge der Grundlinie AB wiſſe e, oder daß man ſie meſſen koͤnne. Beyſpiel in Bahten. Es ſey AB = 49° OeTOO 60 9 ſo iſt BE = 42 7 13 =— 3 z = 123 DE = 22 –– 4 — 45 2 =– 15° 37 AD = 2209I20 =— 6609 – 3 3 Dieſes fuͤr BE und DE gefundene Maaß trage man von B nach E, und von E nach D, ſo ergiebt ſich EB von ſelbſt; zieht man hernach die Scheidungs⸗ Linien CE und CD, ſo iſt der Triangel getheilt, wie man verlangt hat. Der Beweis folgt aus (VI. I.). Denn es iſt BCE: ECD: DCA = BE: ED: DA, aber BE: ED: DA = 12° 9 : 15 ·3 : 2237, folglich auch BCE:; ECD: DCA = I2 %9: 15 %: 22⁰3. F. 11. Aufgabe. Einen gegebenen Triangel ABC (Fig. 4 Tab. I.) aus dem Punkt C ſo zu theilen, daß der zweite Theil und jeder folgende noch einmal ſo groß werden ſoll, als jeder zunaͤchſt vorhergehende. Geſetzt, man verlange den Triangel in vier Theile zu theilen. CD, CE, EfF ſeyen die Theilungs⸗Linien. Es ſey alſo AD = x, ſo wird ſeyn DE = 2 EF = 22°3'. FB = Da nun dieſe beſtimmte Theile der Grundlinie A gleich ſeyn muͤſſen, ſo iſt I5SX = AB und X = A5 15 Weil ſich nun jeder Theil aus dem vorl ergeh nden herleiten laͤßt; ſo finden ſich alle Theile leicht, wenn man den erſten einmal geſunden hat. Es ſey die gegel ene Grundlinie A8 = 127 „ . .„ — I1I 275 „WDV 7 ſo iſt xX = AD = —2-= 8⁰5 DE = 28˙5 = 17⁰ EF = 4 25, = 34 FB = SKSOS = 080⁰. Mißt man alſo von A nach D 8°5; von D nach E 17°; von E nach F 34°; ſo wird der Triangel getheilt ſeyn, wie man verlangt hat. II. Aufgaben uͤber den zweiten Fall, wenn die Theilungs⸗Linien aus einem in einer Seite angenommenen Punkt laufen ſollen. §. 12. Aufgabe, Einen gegebenen Triangel alſo zu theilen, daß die Theilungs⸗Linien aus einem in einer Linie AB angenommenen Punkt D aus laufen. Z. E. Der Triangel ABC (Fig. S. Tab. I.) ſoll aus dem Punkt D in zwey gleiche Theile getheilt werden. Es wird zufoͤrderſt nothwendig ſeyn zu unterſuchen, was es mit der Thei⸗ lungs⸗Linie fuͤr eine Beſchaffenheit habe, wenn der angenommene Punkt D in der Mitte der Linie AB oder auſſerhalb der Mitte derſelben liegt. Liegt D in der Mitte von AB, ſo daß AD = Dß, ſo erhellt aus §. 4., daß die Theilungs⸗ Linie in den Punkt C gehen muͤſſe; iſt aber der Punkt C außer der Mitte der AB, daß alſo AD W☚ Aß, ſo kann die Theilungs⸗Linie nicht in C, ſondern ſie muß nothwendig außerhalb irgend in einen Punkt G der Linie AC fallen, demnach muß der eine halbe Theil des Triangels ABC, welcher auf dem klei⸗ nern Abſchnitte DB liegt, ein Trapez, der andere, welcher auf dem groͤßern AD liegt, muß ein Triangel werden. Iro Es ſey alſo AD — 2AB, folglich iſt DB 3AB. Mithin faͤllt ein Triangel wie A6D, welcher die Helfte des ganzen Triangels ABC iſt, auf AD, die andere Helfte . welche ein Trapez DGGCB iſt, faͤllt auf DB. Geſetzt, 60D ſey die Theilungs⸗Linie . ſo daß AGD = DGCB, ſo ſieht man leicht ein, daß in dem Triangel AGD, welcher die Helfte von ABC, der Perpendikel OF zu ſuchen iſt. D „GTXAD 2 folglich GK. = ABC Ab-? Die Aufloͤſung dieſer Auſgabe ſetzt alſo voraus, daß man auß:er der Linie AD enc noch den Inhalt des Triangels ABC, oder deſſen Grundlinie AB und Hoͤhe CE wiſſe. Hat man die Hoͤhe GF einmal gefunden, ſo hat man auch den Punkt G, und die Theilungs⸗Linie D laͤßt ſich ziehen. Fuͤr das Trapez D' als fuͤr die andere Helfte hat man keine weitere Operation mehr noͤthig, weil die Thei⸗ lungs⸗Linie, daſſelbe auch unmittelbar abſchneidet. Beyſpiel. Der Inhalt des Triangels ABC ſey = 190²°32 AD = 1892%¾ die Hoͤhe des Triangels AD = Gf. ſo iſt GExXISD2 – 190 32 GFX I8‧2 = 190 °32 GF 90,30“, 18 2˙ * Iſt der Inhalt des Triangels ABC nicht unmittelbar gegeben, ſondern nur die Grundlinie AB und Hoͤhe CE, ſo iſt GFXAD — ABXCE —„ 6 2 2. 2 A ß XCE folglich GF = X Iſt alſo AB = 31 2; CE = 12 2 und AD= 18 27, . O0* Oo“ ſo iſt GF = 312 σ1202., und wenn man aufhebt, 2 ¾ 1862 ſo wird GF = 21506 K61. 9677 GF = 10 4˙5 + . wie oben. Um alſo den Punkt G zu finden, ſo errichte man auf die Linie AB irgend ei⸗ nen Perpendikel etwa EC, und trage auf denſelben das gefundene Maas der GF = 10 5 von E nach I1, und errichte vermittelſt des Meßinſtruments aus H den Perpendikel HG, dieſer geht durch den Punkt G. Zieht man endlich die gerade Linie 6GD, ſo iſt der Triangel AD die Helfte von ABC. ᷓèð §K. 13. Weil es fuͤr die Theilung unbequem, ja in manchen Faͤllen oft ſchwer iſt, die Theilungs⸗Linie des Trapezes durch Rechunng zuerſt zu ſuchen, ſo iſt es fuͤr die Ausuͤbung bequemer, wenn man die Theile, welche Triangel werden ſollen, zuerſt ſucht, dadurch entgeht man einer muͤhſamen Rechnung, weil ſich am Ende der Theil, der als Trapez zum Vorſchein kommt, von ſelbſt ergibt. §K. 14. Aufgabe. Einen Triangel in mehr als zwey gleiche Theile zu theilen, daß die Theilungs⸗Linien durch einen in einer Seite des Triangels an⸗ genommenen Punkt gehen. Z. E. in 3 gleiche Theile. ABC ſey der gegebene Triangel, welcher aus dem gegebenen Punkt D in drey gleiche Theile getheilt werden ſoll. Fig. 6. Tab. I. . Es wird hier abermal noͤthig ſeyn zu unterſuchen, was es vor eine Beſchaf⸗ fenheit mit der Lage der Theilungs⸗Linien D und DH habe, wenn entweder der Punkt D genau auf einem Punkt liegt, der den dritten Theil der Linie AB bezeichnet, ſo daß z. E. AD = ½A B. Oder wenn er außer dem dritten Theile von AB liegt, ſo daß entweder AD ☚ 3 AB oder AD .π2 AB. Was nun das erſte betrift, nemlich wenn AD = ½AB, ſo muß die eine Theilungs⸗Linie DC in den Punkt C fallen §. 4., und dann iſt ACD gewis der dritte Theil von ACB §. 3. Weil nun der uͤbrige Triangel noch 3BC0 ſeyn muß, ſo waͤre alſo dieſer noch zu halbiren, indem man CB in H in zwey gleiche Theile theilte, und ſodann DH zoͤge, und ſomit waͤre auch der Triangel in drey gleiche Theile getheilt, und die Scheidungs⸗Linien CD, DH giengen aus dem Punkt D. K Waͤre zweitens der Punkt D ſo angenommen, daß ſowohl AD3 AB als auch DB— 24E, ſo giebt es auch auf AD und DB Triangel, wovon jeder dem dritten Theil von ABC gleich ſeyn kann, und die Scheidungs⸗Linien aus D muͤſſen die beyden uͤbrigen Seiten in G und H ſchneiden §. 12., folglich muß das noch uͤbrige Drittel DCH ein Trapez werden. Waͤre drittens der Punkt D ſo angenommen, daß AD ½Aß, ſo giebt es auf AD keinen Triangel, der 5ABC waͤre §. 12., es muß alſo der dritte Theil von dem Triangel auf AD ein Trapez werden, und die uͤbrigen zwey Drittel, welche auf die Seite gegen DE fallen, muͤſſen Triangel werden. Man kann alſo allgemein annehmen: Wenn ein Triangel in drey gleiche Theile getheilt werden ſolle, und es iſt BD W AD2 2¾“, ſo ſind unter den gleichen Theilen, in welche man den Triangel theilt, allemal zwey Triangel, der uͤbrige Theil muß ein Trapez ſeyn, welches zwiſchen beyden Theilungs⸗Linien liegen muß. Iſt AD AB, ſo muß das Trapez auf AD nud an der Seite AC liegen, und die beyden uͤbrigen Theile, welche Triangel ſeyn muͤſſen, liegen ne⸗ ben einander auf der Seite gegen DB. Verlangt man alſo, 1.) daß die gleichen Theile, in welche der Triangel aus einem gegebenen Punkt getheilt werden ſolle, daß jeder Theil wieder ein Triangel werden ſolle, ſo muß AD = 3AB ſeyu. 2.) Verlangt man den Triangel ſo zu theilen, daß der eine Theil ein Trapez, die uͤbrigen aber wieder Triangel werden ſollen, die an den beyden Seiten AC und BC liegen, ſo muß ſowohl AD als auch BD— 3Aß ſeyn. 3.) Soll der Theil, welcher ein Trapez wird, entweder auf der Seite AD an AC, oder auch auf der Seite BD an BC liegen, ſo muß in beyden Faͤllen AD oder BD π AB ſeyn. Verlangt man den Triangel in n gleiche Theile zu theilen, ſo folgt allgemein, wenn AD = AB, ſo werden die Theile wieder Triangel. Iſt ſowohl AD als BD 14B, ſo erhaͤlt man n — 1 Triangel, und ein Trapez, das zwiſchen dieſe Triangel hinein faͤllt. Iſt AD . AB, oder BD ◻△ 1 A, ſo faͤllt im erſten Fall das Trapez an die Seite AC, im andern Falle an die Seite BC. Berechnung der bisher aufgeſtellten Faͤlle, und zwar des erſten Falls, wenn AD = 3AB. Man theile AB in 3 gleiche Theile (Fig. 7. Tab. I.), und ziehe CD und CE, ſo iſt, weil AE = 3AB, der Triangel ACD = 3ABC (F§. 3.) und die Schei⸗ dungslinie faͤllt in C (§. 4.), mithin iſt der Triangel DCB noch 5ABC; und weil die Scheidungs⸗Linie fuͤr dieſe zwey Theile durch D gehen ſoll, ſo muß ſie nothwendig die BC in der Mitte ſchneiden (K. 4.). Man halbire alſo BC in F, und ziehe 5D, ſo iſt der Triangel in 3 gleiche Theile getheilt, wie verlangt wird. Daß E = ABC erhellt daraus: weil ED = EB und CF = FB, B ——--- . 11 ſo iſt ACED = 1DCB und CDF = 2DCB, folglich CED = CDF. Eben ſo iſt und DFB = 2DCB, daher auch CEB = DFB. Nun iſt CED = 245 f CEB = 1ABCY A 3. folglich iſt auch H = 44 BC. 2ðM Fuͤr die Berechnung in Zahlen muß man alſo die beyden Seiten AB und 30 meſſen koͤnnen. = Es ſey 42 = 54,99 1I 54,9⁰° — 001 folglich AD = 3AB = 18 3 BF = -BC = 6. = 24⁸⁹3. Man meſſe alſo von A nach D 18°3“, und von B nach F 24°33, ſo kann man die Scheidungs⸗Linien DC und DF ziehen, wodurch der Triangel alſo gehoͤrig getheilt ſeyn wird. Berechnung des zweiten Falls, wenn 183) 3AB. Weil in dieſem Fall unter den drey gleichen Theilen, in welche der Trian⸗ gel getheilt werden ſolle, ein Trapez und zwey Triangel ſind, wovon der eine diſſeits des Punkts D gegen A, der andere jenſeits gegen B liegt, ſo ſuche man wegen der Bemerkung in F. 13. die Perpendikel GE und Hl, (big. 6. Tab. I.) r 4 EGXAD 1 „ ſo iſt 1.) — = ABC, 2.) HlXDBZ= 44BC, folglich HI = 3 3*². B 2 Hier muß alſo der Inhalt des Triangels ABC gegeben ſeyn. Dieſer ſey 230,64⁰. . AD = 9,3⁰° DB = 15,5 ° Hieraus wird 1.) fuͤr CE 9,3 das giebt GE = 16 °½6¾⁄⁷ 2.) fuͤr HI = 230,640 3, 15,5 folglich HI = 9 982. Anmerkung. Wenn der Inhalt des Triangels nicht unmittelbar gegeben iſt, welches in den meiſten Faͤllen in der Ausuͤbung immer der Fall ſeyn wird, dieſer aber ABXCF / . auch durch . ausgedruͤckt werden kann, ſo kann man in den Formeln in nr. . EC = ¾ A CE und in nr. 2. HI = 2¾ ✕ ABxXCE. ₰ Dieſe letzte Formeln geben eben das in der Berechnung, was jene geben, wenn der Inhalt des Triangels unmittelbar gegeben iſt. Es ſey AB = 24⁹8 und FC = 9 3 ſo iſt fͤr EG = ¾ * aS und EG = 16 °5½% wie oben. Für HI = 23 A. Hieraus wird HI = 9 °2“ wie oben. Dieſes letzte Verfahren iſt oft in der Ausuͤbung bequemer als jenes, weil dabey gar oft der Fall eintritt, daß ſich Nenner und Zehler gegen einander aufheben, und dadurch eine leichte Rechnung verurſachen. Weil der Inhalt eines jeden Triangels, deſſen Grundlinie = AB, und Hoͤhe = CF iſt, durch ² ECR ausgedruͤckt wird, ſo kann dieſe Aumerkung fuͤr jeden aͤhnlichen Fall in den folgenden Aufgaben gelten. Man meſſe alſo auf dem Perpendikel FC, 16 = ſeE ab, errichte aus dem Punkt L mit dem Meß⸗Inſtrument einen Perpendikel LG, dieſer geht durch den Punkt E; zieht man hernach die Scheidungs⸗Linie GD, ſo iſt A6 D = ABC. Eben ſo meſſe man auf dem Perpendikel FC 9°%2 = ) ab, und er⸗ richte aus K mit dem Meß⸗Inſtrument den Perpendikel KH, dieſer geht durch den Punkt H. ZSieht man endlich die Theilungs⸗Linie D, ſo iſt auch HDB= 3 ABC, demnach muß nothwendig auch das Trapez GDHC=ABC ſeyn. „Berechnung des dritten Falls, wenn AD AB oder DB .C. A”ù¹ß. In dieſem Fall, wenn AD ◻ AB, ſo faͤllt das Trapez, welches der dritte Theil des Ganzen iſt, auf AD an die Seite AC G. 14. (Fig. 8.) Geſetzt, D ſey die Scheidlinie, ſo daß ADCG = 3A BC, ſo iſt offen bar der Triangel DBG = 3ABC. Da nun der Inhalt des Triangels ABC gegeben ſeyn muß, ſo wird folglich auch der Inhalt von 3ABC gegeben ſeyn; demnach laͤßt ſich der Perpendikel GE, folglich auch der Punkt G finden. Denn es iſt SK ; = 234BC, — 440 folglich e 5S5E 1 — — 2A BC Es ſe bernal der Inhalt des Triangels ABC = 230,64. 45 =— 6,2° folglich OB = 18,6°⁰. 4 A BC Weil nun GE = 4 Pf., ſo wird ſeyn GE = 4 X*☚ 23 2*2, folglich GE = 15 45 5,25, wofuͤr man in der Ausbung ſehen kann 15 4 555“, folglich 3= 7 772 3, wofuͤr man ſetzen kann 7 %733. 14 ien Traͤgt man nun das gefundene Maaß fuͤr OGE auf den Perpendikel CF von F nach L, und das Maaß fuͤr ½GE = HI von F nach K, und errichtet aus den Punkten L und K die Perpendikel L&, KH mit dem Meß⸗Inſtrument, ſo er⸗ haͤlt man die Punkte G und H, aus welchen mau hernach die Theilungs⸗Linien GD und DIH ziehen kann. Das Verfahren iſt daſſelbe, wenn DB 2A iſt, wie aus der Natur der Sache von ſelbſt erhellt. Hat man den Punkt G einmal gefunden, und es laͤßt ſich B bequem meſ⸗ ſen, ſo lieſſe ſich der Punkt H dadurch leicht finden, daß man die BG in H hal⸗ birte (§. 3.), wo man hernach die Scheidungs⸗Linie HD ebenfalls ziehen koͤnnte. §K. 15. Bepy dem zweiten Falle iſt noch zu zeigen, was es fuͤr eine Beſchaf⸗ fenheit mit der Lage der Theilungs⸗Linien DH, DL, DN (Fig. 9. Tab. I.) habe, wenn der gegebene Triangel aus einem, in einer ſeiner Seite gegebenen Punkt ſo getheilt werden ſolle, daß ſich die Theile wie gegebene Zahlen verhalten ſol⸗ len. Z. E. wie 2: 3:51 8, oder, welches auf eins hinaus laͤuft: der erſte ſoll zwey, der andere drey, der dritte fuͤnf und der vierte acht Theile von dem Ganzen bekommen. Aus dieſer Anzahl Theile ſieht man ſchon, daß die Summe aller Theile 18 iſt, und daß man den Triangel in eben ſo viele gleiche Theile theilen muͤßte, wenn jedem ſo viel gegeben werden ſollte, als vorgeſchrieben iſt. ABC ſey der zu theilende Triangel. D ſey der Theilungs⸗Punkt. Weil die Lage der Theilungs⸗Linien von der Lage des Punkts D abhaͤngt, aus welchem man die Theilung verlangt, ſo ſey in vorliegendem Fall AD .t 1 AB. Man ziehe noch DC. Verlangt man die drey erſten Theile ABCT 3⁶ABC †+ 5°ABC = 1 ABC, auf AD, an der Seitenlinie AC, und die noch uͤbrigen 3 ABC auf DB abzu⸗ ſchneiden, ſo muß ACD als DCB ſeyn, weil 12 ☚ . Nun iſt aber ACD & DCB, weil AD Db iſt, folglich iſt ACD 1 ε%à BC, demnach muß ACD groͤßer werden, und die Scheidungs⸗Linie DC muß mehr von C gegen H ruͤcken, und dann wird 1 ABC ein Triangel, und 19ABC wird ein Trapez. Geſetzt nun, DH, DL, DN ſeyen die Scheidlinien, ſo laſſen ſich die Punke H, L, N, wohin die Scheidungs⸗Linien aus D gezogen werden ſollen, ſo finden: 1.) den Punkt H. ſo wird HI = 34 C. 2.) Der Punkt L findet ſich ſo: Man ſuche die Hoͤhe eines Triangels ALD = †ADB + 4 ¾ ADB = ¾°ADB. Weil nun DXLG = 15ABC, ABC Endlich iſt 3.) fuͤr den Punkt N 2 — f F 5 ABC NO = 5AD-: Berechnung in Zahlen. Es ſey der Inhalt des Triangels A8C = 1236° AD = 30⁰° DB = 52 °4. ſo wird HI = 3 *½ 6 = 20,9666⁰.., wofuͤr man in der Ausuͤbung ſetzen kann 20 °%96“29, 36 = 2, 888⁰..„ wofuͤr man ſeßen kann = 227. 55* = 9,1555 J⁰, wofuͤr man in der Ausuͤbung ſetzen kann 9 °1˙6. Damit man nun in der Ausuͤbung die geſuchte Punkte H, L, N erhalte, ſo £△ muß man dieſes gefundene Maaß auf den Perpendikel CF tragen, wie in dem vorhergehenden gelehrt worden iſt, und ſodann aus den Punkten M und E die Perpendikel MN, EL faͤllen, ſo koͤnnen in die Punkte L, N die Theilungs⸗ Linien DL, DN gezogen werden. . 16. Aufgabe. Einen gegebenen Triangel aus einem gegebenen Punkt ſo zu theilen, daß ſich die Theile verhalten, wie die gebrochene Zahlen 3: : †. Hier gilt die Bemerkung in §. 7. Man muß nemlich die gegebene Bruͤche vorher auf gleiche Benennung bringen, damit man deutlich ſehe, ob die Bruͤche der weniger 1 — 838. — — BHSC 5 13 † 5 T2 Mithin verhalten ſich die geſuchte Theile auch wie sS=: 2„½: , oder welches gleichviel iſt, wie 8: 9: 6. Da nun die Verhaͤltnis der gegebenen Bruͤche durch ganze Zahlen ausgedruͤckt iſt, ſo reducirt ſich dieſe Aufgabe auf die vorige. §. 17. Hieher koͤnnen noch folgende Aufgaben gezaͤhlt werden: Einen gegebenen Triangel aus einem, in einer ſeiner Seiten gegebenen Punkt D, ſo zu theilen, daß der zweite Theil 12 Ruthen groͤßer als der erſte, und der dritte 8 Ruthen groͤßer als der zweite Theil ſey. Der gegebene Triangel ſey ABC (Fig. 6. Tab. I.) Geſetzt, auf den erſten Theil kommen = X Ruthen, ſo kommen auf den zweiten = X + 12, folglich auf den dritten = X + 20. Da nun die Summe der Ruthen aller 3 Theile den Flaͤchenraum des gegebenen Triangels ausmachen ſollen, ſo iſt Z3ZXx + 32 = Inhalt ABC, folglich = . Es kommen alſo auf den erſten Theil = . 32², folglich auf den zweiten = AEC + 12 — ABG + 4 = , 3 auf den dritten = ABCA †+ 8 — AB88 Man verlangt die Anzahl der Ruthen des erſten Theils an der Seite AC „und den dritten Theil an BC abzuſchneiden; der zweite Theil wird alsdann zwiſchen den erſten und dritten Theil in der Geſtalt eines Trapezes fallen, wenn der Thei⸗ lungs⸗Punkt D naͤher bey der Helfte von AB als gegen A liegt. als ein Ganzes ausmachen. Fuͤr den gegenwaͤrtigen Fall iſt 9 6 2 — — Es ſey daher AD 2AB, aber doch groͤßer als 3(2AB), GD und OI ſeyen die Theilungs⸗Linien. Weil nun der Inhalt des Triangels ADG und ſeine Grundlinie AD gege⸗ ben iſt, ſo laͤßt ſich die Hoͤhe EG finden; eben ſo iſt die Grundlinie DB und der Inhalt des Triangels DHSB gegeben, demnach laͤßt ſich die Hoͤhe Hl finden. Nun iſt fuͤr die Hoͤhe EG ADXEG ABG-— 32 — 2 „ 4 BC— 32 EG = ₰ X — 5 —- Fuͤr die Hoͤhe HI iſt DBAHI ABCX8 2 3 . 2 ABC 28 Berechnung in Zahlen. Es ſey der Inhalt des Triangels ABC = 643 Quadr. Ruthen, die Grundlinie AB = 51,44° oder 51 4˙4“. folglich DB = 33 . Hieraus wird fuͤr die Hoͤhe LG 0.* * — 2 W— 643—3 2 =— 2 % 611 = 6 11 EE 3 72//8 3 X 1773 2677 Fuͤr die Hoͤhe Hl wird . HI = 2 ☛ &43 —☚½ 8 = 61 3 5 0,46 3/6 4 folglich HI = 13°9,2 9. .. . „ wofüͤr man ſetzen kann = 13°93˙. Wie nun in der Ausuͤbung die Punkte G und IH gefunden werden, das iſt in §. 12. und 14. gelehrt worden. F. 18. Aufgabe. Einen gegebenen Triangel aus einem gegebenen Punkt ſo zu theilen, daß der zweite noch einmal ſo viel als der erſte, und der dritte ſo viel als der erſte und zweite bekommen ſolle. Der gegebene Triangel ſey àa BC (Fig. 6. Tab. I.) Der gegebene Punkt ſey D. F 18 Geſetzt, der erſte bekomme = X, ſo bekommt der zweite = 2X, folglich der drite = 3xX2. Da nun das, was ſie miteinander bekommen, den Flaͤchenraum des ganzen Triangels ausmachen ſoll; ſo iſt nothwendig 6X = Znhalt Triangels ABC, 5 S V folglich bekommt der zweite = 4 = A80 und der dritte = A— = 6GE. 2 Der Flaͤchenraum des gegebenen Triangels die Grundlinie AB = 51 4 4 AD = 17 8, „ DB = 3300 4 — So findet ſich ſey wieder = 643 Quadr. Ruthen, EGXAD 4A830 5 ABC EG = 5X D8ü85c »folglich EE = ⅛ W 2 ,34. Hieraus wird EGE = 12004I. . . — 2.) HDB AC x A HI = P5 ſolglich HI = Hieraus wird HI = 19 °II4 „. .. . Hieraus laſſen ſich die Punkte E und IH in der Ausuͤbung nach §. 12. und 14. finden, und die Scheidlinien DG, DIH ziehen. III. Aufgaben uͤber den dritten Fall, wenn die Theilungs⸗Linien mit einer Seite des Triangels parallel laufen ſollen. §. 19. Soll eine Linie DE, (Fig. 10. Tab. I.) die einen beſtimmten Theil von einem Triangel abſchneiden ſolle, mit einer Seite parallel gezogen ◻ —— — — . —2 — 2– — 2— g 1 19 werden koͤnnen, ſo muß wenigſtens einer von den Punkten D, G, E gegeben ſeyn, oder ſie muͤſſen ſich aus andern gegebenen Dingen finden laſſen. §. 20. Es ſey ABC ein Triangel; aus der Winkelſpitze C ſey ein Per⸗ pendikel CF auf Al gefaͤllt, mit AB ſey eine Parallele DE gezogen, ſo ſchneidet ſie die beypen andern Seiten AC, BC und den Perpendikel in den Punkten D, G, E, und der abgeſchnittene Triangel DSC iſt dem ganzen Triangel ABC aͤhnlich. (I. 29. VI. 4.) Nun verhalten ſich aͤhnliche Triangel wie die Quadrate ihrer aͤhnlich liegen⸗ den Seiten, oder wie die Qnadrate ihrer Hoͤhen. (VI. 19.) Demnach iſt DWM 1I) ABC : DELC = CE 2) ABC: DEC = BC2⸗ 3) ABC: DEC = AC a DC?, 4) AßC: DEC = AB2 : DE. Wir wollen nun unterſuchen, was es mit jeder von dieſen Proportionen CG⸗, CE, 4 %*% „5„ % „½ *%2% fuͤr eine Beſchaffenheit habe, und welche Vortheile ſich fuͤr die praktiſche Feld⸗ meßkunſt daraus herleiten laſſen. §. 21. Verlangt man irgend einen Theil DEC, durch eine mit AB Pa⸗ rallele DE abzuſchneiden, daß der abgeſchnittene Theil DEC = des ganzen Triangels ABC ſeyn ſolle, ſo wird aus der erſten Proportion, wenn man ſtatt DEC die ihr gleichgeltende Groͤße ABC ſetzt: ABGC : ABC = CF2: CGJ. Weil nun der Triangel ABC als eine Einheit anzuſehen iſt, ſo iſt 1) 1: ½ = CF=: CG. Hieraus wird CG = CFE X Y Wenn alſo der Theil vom Ganzen, welcher abgeſchnitten werden ſoll, beſtimmt, und die Hoͤhe des Triangels CF gegeben iſt, ſo laͤßt ſich die Hoͤhe CE des Trian⸗ gels CDE, folglich auch die Punkte D, G, E finden, n mag eine Zahl beden⸗ ten, was ſie fuͤr eine will. MM Fuͤr eben dieſen Werth en findet ſich 2) für EC = BC X ., 3) fuͤr DC = AC à, 4) und fuͤr DE = AB ☚ OX.ι. Aus dieſen drey letzten Formeln iſt klar, daß die Seiten des Triangels ABC ge⸗ geben ſeyn muͤſſen, wenn man PD, DC und Dk finden will. Berechnung der Formel CG = FCX VX̊ mit Zahlen. Man verlangt von einem gegebenen Triangel ABG, die Helfte deſſelben, oben in der Spitze C abzuſchneiden. Weil alſo der Perpendikel CF gegeben ſeyn muß, ſo ſey CF = 36 4 Ruthen. ier iſt = 7, folglich CC = CF X CG = 36,4 ☚ P,5 1= Loak,Svv Hieraus wird CG = 25 7 3 8 6 86792. Um alſo den Punkt G zu erhalten, ſo muß man mit dem Meß⸗Inſtrument auf Al einen Punkt F ſuchen, von dem ein Perpendikel EC durch den Punkt C geht; alsdann muß man auf dieſen Perpendikel das gefundene Maaß von CG, von C nach G abmeſſen, ſo erhaͤlt man den Punkt G, aus welchem hernach die Linie DE. perpendikular auf CF mit dem Meß⸗Inſtrument abgeſteckt werden kann, welche parallel mit AB ſeyn wird. 1. Anmerkung zu obiger Rechnung. Es kann in der Ausuͤbung von Nutzen ſeyn, wenn man die Groͤße R durch einen Decimalbruch ausdruͤckt, wie bereits in der Rechnung geſchehen iſt, und ein fuͤr allemal berechnet, und hernach von den Zahlen des Deci⸗ malbruchs ſo viel Stellen nimmt, als man zu der Abſicht ſeiner Genauig⸗ keit noͤthig hat. In der Berechnung iſt “â½ bis auf 8 Decimalſtellen berechnet, ſo daß V2 = 0,70710678... eine Genauigkeit, die außerordentlich iſt. Weil nun die praktiſche Operationen keine ſolche Genauigkeit erfordern, auch un⸗ ſere Meß⸗Inſtrumente dieſe Genauigkeit nicht einmal angeben, ſo iſt es ſchon genug, wenn man von dieſem Decimalbruch die 4 erſten Stellen nimmt, und dann iſt: C& = 36,4 μ 0,7071 —CG =– 25 7 38 44 . Dieſe vier erſten Stellen geben eine Genauigkeit bis auf Quinten, die man mit den gewoͤhnlichen Feldmeß⸗Inſtrumententen nicht mehr angeben kann. 2. Anmerkung. Iſt der Triangel rechtwinklicht, ſo hat man nicht noͤthig, einen Perpendi⸗ — 21 kel auf der Grundlinie zu ſuchen, weil der perpendikulare Cathetus ſelbſt die Hoͤhe des Triangels iſt. . WM §. 22. Wenn man etwa den Perpendikel CF wegen Hinderniſſen nicht wohl meſſen koͤnnte, wohl aber die beyden Seiten⸗Linien AC, BC, ſo kann man durch die beyden Formeln Nr. 2. und Nr. 3. die Punkte D und E finden. Es ſey daher AC = 52,8 und BC = 40 ſo wird EC = 40o XK daher EC = 28,284 Ruthen. Eben ſo wird aus DC = 52,8 ½ V ½ DC = 52,8 0,707 1, daher DC = 37,33488 Ruthen. Mißt man das fuͤr EC und CD gefundene Maaß von C nach E, ſo erhaͤlt man die verlangte Punkte, und die Linie DE wird mit der Grundlinie A parallel ſeyn, wie man verlangt. Anmerkung. Dieſer Fall erfordert nur dann eine doppelte Rechnung, wenn die beyden Seiten AB und B0 ungleich ſind, iſt der Triangel gleichſchenklicht, oder gleichſeitig, ſo darf man nur einen Abſchnitt wie CD berechnen, weil der — andere dieſem gleich ſeyn wird. §. 23. Die Laͤnge der Scheidungs⸗Linie erhaͤlt man aus der Formel Nr. 4. Es ſey die Grundlinie AB = 57,3 Ruthen, ſo iſt DE = 57,3 0,7071 . DE = 40,5 10683. So haͤtte man zwar die Linie DE gefunden, aber die Berechnung giebt die Punkte D und E noch nicht an, und kann auch ohne weitere Hilfsmittel nicht gezogen werden. Damit man aber die Punkte finde, und die Scheidlinie ziehen koͤnne, kann man ſo verſahren: Man trage das Maaß von DE auf die Grundlinie AB von A nach I, und von B nach H, und bemerke die Punkte H und I mit Pfaͤhlen. An dem Punkt I mache man mit dem Meß⸗Inſtrument, womit Winkel gemeſſen werden koͤnnen, den Winkel EIB = CAB, und ſtecke dadurch den Punkt E ab; eben ſo ſetze man an Heinen Winkel DHA = CBA, und ſtecke den Punkt D ab, ſo iſt DE die Scheidlinie, und mit AB parallel. Anf dieſe Art findet man ohne weitere Berechnung die Punkte D und E. Wollte man aber noch eine weitere B Zerechnung vornehmen, ſo laſſen fich die Punkte D und E, ohne daß man noͤthig haͤtte, auf eine muͤhſame Art die Win⸗ kel CAB und CBA an die 1 und H zu tragen, ſo ſinden: Wenn man die gefundene Scheidlinie DE von A nach I, und von B nach H traͤgt, und ſich die L Linien HD mit BC, und IE mit AC parallel gedenkt, ſo iſt DE 1) AB: las = AC : CD, 2 2 DE XπAD hieraus wird C(d = — — 7 DE AGS und 2) AB : ſar = BC: EC, EC DEBC A B Weil nun dieſe Berechnung fuͤr CD und EC vorausſetzt, daß man die 3 Seiten des Triangels me eſſen koͤnne, ſo ſey AB = 57,3, 4 C = 52,89 BC = 40° und DE= 40,5 1683 . Aus dieſen gegebenen Dingen ergiebt ſich 1) für DC = DC = 37,33482 Ruthen, „ 1683 X✕ 40 2) fuͤr EC = 3245½ 33 10 EC = 28 2 8 3 . .. Ruthen. Anmerkung. Obigen Decimalbruch c,70710678.. . . „ der aus entſtanden iſt, muß man ſich wohl bekannt machen, indem man, wie aus bisherigen Rechnungen erhellt, den andern Faktor in vorkommenden Faͤllen nur damit multipliciren darf, ohne vorher noͤthig zu haben, eine beſchwerliche Wizel⸗ Extraction vorzunehmen. §. 24. Aufgabe. Einen Triangel in drey gleiche Theile ſo zu theilen, daß die Theilungs⸗Linien mit einer ſeiner Seiten parallel laufen. hieraus wird ABC ſey der vorgelegte Triangel, DE und EI ſeyen die Theilungs⸗Linien, auch ſey auf AB aus Cder Perpendikel CF gefaͤllt. (Fig. 11. Tab. I.) Weil demnach die Theile gleich ſeyn ſollen, ſo iſt CDE = A BC CGH — 2ABC. — Nun iſt 1) ACB: CDE = CF : CI (V. 19.) und ACB: 3A BSC = . Cl. Hieraus wird I: 4 = CF: Cl⸗ ſolglich CI = CF X . 2) ACB: CoH = CF=: CK⸗ (VI. 19.) oder ACB: zACB = CE: CK. Hieraus wird 1 ½ = CFE: CK? folglich CK = CF » 62. Die Rechnung iſt alſo eben dieſelbe wie in der vorhergehenden Aufgabe. Es wird alſo für die Rechnung in Zahlen darauf ankommen, daß man die Wurzelgroͤßen 4, VU3 in Deckualerhchen ausdruͤcke. Es iſt aber U = Log. (¹): Cog. ? = o,οοοο0 Log. 3 = 0,477 12 13 1,5228787—2 2 ———= Log. V= 0,7614393 — I. = 0,57735 „ ſehr nahe. V3 = Log. (3): 2 Log. 2 = 0,30 10300 Log. 3 = 0,477 1213 1,8239087—2 . ,t14543 — 1. e 0,8 15557 ſehr nahe. ſo iſt S = 21778 o, 577. 35 CI = 12 7 4683, wofuͤr man ſetzen kann: 12 477 27. 2) CK = 21,78 0, 815557 „ „7 „ CK = 17 7-6 3 03146, wofuͤr man ſetzen kann: 177'67. Wie nun die Scheidungs⸗ Linien zu ziehen ſind, das iſt in dem Vorherehen⸗ den zur Genuͤge gezeigt worden. 1. Anmerkung. Man ſieht leicht ein, daß die Decimalbruͤche aus den Wurzelgroßen ; V& bleiben, wenn man auch die Abſchnitte CD, CE oder die Scheidlinie DE oder GH berechnet. Denn es iſt fuͤr DC = AC N CE = BC 5 fuͤr CG = AC XXn ͤ5 CH = BC P und ſo fuͤr DE = AB „ U4 GH = ABX 3. 2. Anmerkung. Die in dieſer Aufgabe vorkommende Wurzelgroͤßen: O4, Và ſind der Bequemlichkeit wegen durch Logarithmen berechnet worden, man wird aber leicht einſehen, daß ſie auch ohne Logarithmen berechnet werden koͤnnen. Man darf die Bruͤche nur in Decimalbruͤche verwandeln, und aus denſelben die Quadratwurzel extrahiren. (Siehe meine prakt. Feldmeßkunſt F. 52. und 63 ff. 4. Aufl. 1809.) Dieſes gilt auch von allen folgenden Wurzelgroͤßen. FK. 25. Aufgabe. Einen Triangel zu theilen, daß der erſte Theil ½; der andere ½ und der dritte ½ des Ganzen ſey, oder daß ſich die Theile wie die Bruͤ⸗ che ½; 3½; 2 verhalten. Wenn man zu dieſen gegebenen Bruͤchen den gemeinſchaftlichen Nenner ſucht, ſo erhaͤlt man: ½; ½; 2¾, und ſomit iſt die Aufloͤſung der Aufgabe auf die Vo⸗ rige zuruͤckgefuͤhrt, und es wird, wenn man die Theile auf dem Perpendikel abſchneidet: CI = CF X V1„ und CK = CFEXVà = CFX V. Da nun n ſchon aus §. 21. bekannt iſt, ſo darf man nur noch den Decimal⸗ bruch aus . ſuchen, alsdann iſt die Rechnung vollkommen wie die vorhegehende. Es iſt ͤà = Log. (5): 2 og. I = OC, O000000 Log. 6 = 0,7781513 1 1,2218487—2 §F. 26. Einen gegebenen Triangel ſo zu theilen, daß ſich die Theile wie die ganze Zahlen 2: 5: 7 verhalten. Oder, welches einerley iſt: der erſte ſoll 2 Theile, der andere 5 und der dritte 7 Theile bekommen. Aus der Aufgabe erhellt, daß der ganze Triangel 14 Theile halten muͤſſe, wenn jeder das bekommen ſoll, was vorgeſchrieben iſt. Die Theilungs⸗Linien ſollen mit einer Seite des Triangels parallel laufen. ABCG ſey der Triangel, DE, Ol ſeyen die Theilungs⸗Linien, und auf AB ſey aus C der Perpendikel CF gefaͤllt. (Fig. II. Tab. I.) Hier iſt alfo DCE = †–†⁄—ÄßD BC = 2A BC GCH = † ABC = 24BC. . D . DCE — 2 Nun iſt 1.) ABC: Pan = CF: CIH&à Hieraus wird 1: 7 = CF: Cl, I I folglich CIl = CF X Vr. 2.) ABC CC = CFE : CN 1: † = CF; Ck „ folglich cK = CF *ι Vx. In dieſer Berechnung hat man alſo nur den Decimalbruch aus Vz zu ſuchen, weil W ſchon aus §. 21. bekannt iſt. Es iſt aber W V = Log. (2): 2 Log. 1 O,0000000 Log. 7 = 0,8450980 1,1549020—2 Log. / = 0,57745 10. ' 4½ = 0,3779645.. demnach wird CI = CF X 0,3779645 —B und CK = CF O,70710678... §. 27. Einen gegebenen Triangel ſo zu theilen, daß ſich die Theile ver⸗ halten wie die Bruͤche z: : ½: ¾; und daß die Theilungs⸗Linien mit einer Seite parallel laufen. JUW S Man bringe die gegebene Bruͤche auf gleiche Benennung, ſo wird aus 2 „ 1 2 „ 3 — 80 „ 30 4, 45 I 3* 4 - 7 — ☛ S Ie⸗ S * 1 25,/ oder welches gleichviel iſt . 80⁰ 30: 48: 45, wodurch alſo die Aufgabe auf die vorige zuruͤckgefuͤhrt iſt, und ſo ausgedruͤckt werden kann: Einen Triangel ſo zu theilen, daß der erſte 80, der zweyte 30, der dritte 48 und der vierte 45 Theile erhalten ſolle. Aus dieſer Angabe erhellt, daß, da die Summe dieſer Theile = 203 ſey, und daß der Triangel eben ſo viel Theile halten muͤße, wenn jeder das bekommen ſoll, was vorgeſchrieben iſt. D 26 Es ſey ABC der Trfangel, DE, CH, MN ſehen die Theilungs⸗ Linien, und CF ſey auf AB perpendikular herunter gelaſſen. (Fig. 12. Tab. 1.) Es iſt alſo DCE = 7 rAEC CGCH = 2 = 1534 BC MCN = 2 1àotaa = 25 A0. Weil nun 1) ABßC: DCE = CF: Cl⸗ ABG: 5 ABC = CF: ClI I 2 365 g* CF: CI , folglich CI = CF X 1 8. 2) ABC: CGCH = CF-; CK⸗= 40: X33 ABC = CF*: CK?² 1½* = CFA: CX. . folglich CK = CF2 PaS 3) ABCG: MCN = CF: CL.⸗ ABC: 2 5ABC = CF=: CL-⸗ ¹) V ) v. I 7 4 ¾ ☚ CI. = CFx Wa5. Sucht man fuͤr die Wurzelgroͤßen in Nr. I. 2. und 3· die ihnen zugehöͤri⸗ gen Decimalbruͤche, ſo wird 3& = Log. (8* 3) : 2 Log. 80 = 1,9030900 Log. 203 = 2,3074960 1,5955940 — 2 Log. V⸗; = 0,797797 0— 1. V 8= 0,627748... ſehr nahe. 3145 = Log. 48) : 2. Log. 110 = 2,0413927 Log. 203 = 2,3074960 2 1,7338967 — 2 Log. PSS 6,8669488—1. P 59= 0,7361195.. 32—9 —— 3) V4353 = Log. sn, 2 Log. 15 8 = 2,1986571 Log. 203 = 2,3074960 1,8911611—2 Log. l. 1X5 5 = 0,9455805 — I. V15 = 0,8822274. Die Formeln lür die Punkte auf dem Perpendikel IKkL ſind alſo: = CF X 0,7043 76 S = CK XK 0O,7361195 cL = CF X 0o,8822274 Nimmt man nun an, der Perpendikel ſey 20 4, ſo wird CI = 20,4 μ 0,704376 = 14 53,6 9)7.. „ . CK — 20,4 ⅓ 0,7361195 1500 16 . .... CL. = 20,4 0,8822274 997 17˙997 g. 28. Hieher gehoͤren noch folgende Aufgaben. Einen Triangel in 3 Theile ſo zu theilen, daß der zweite 36 Ruthen mehr als der Erſte, und der dritte 9 Ruthen weniger als der Erſte erhalten ſolle, und daß die Scheidungs⸗Linien mit einer Seite des Triangels parallel laufen. Geſetzt, ABC (Fig. I1I. Tab. I.) ſey der gegebene Triangel, DE und GH ſeyen die Scheidlinien, und aus C ſey der Perpendikel CF auf die Grundlinie AB gezogen. Die Theile, in welche man den Triangel zu theilen verlangt, beſtimme man ſo: Geſetzt, der erſte bekomme = X Ruthen, ſo bekommt der zweite = X + 36 und der dritte = X –— 9 3 ½ + 37 ganzer Inhalt des Triangels, daher 3X + 27 = ABC. Hieraus wird X = ½A BC – 9. Iſt alſo der Inhalt des Triangels = 252 Quadrat⸗ Ruthen ſo wird X = (3 252) — 9, daher X = 75, ſoviel bekommt demnach der erſte ſolglich bekommt der zweyte = 1II und der dritte = 66. Hiedurch iſt alſo die Aufloͤſung dieſer Aufgabe auf die vorige zu ruͤckgefuͤhrt. D 2 28 rr Es iſt alſo: DEC = 25 = 34ABC ABC : 34 ABC = CF: CIE 1: 5 = CF2: CI, hieraus wird Cl = CFX 1 . 2) Weil ABC: CeH = CF ABC : 6 A BC = CF?* hieraus wird CK = CFEX V4. Aus den Formeln in Nr. 1 und 2. erhellt, daß die Hoͤhe CF des Trian⸗ gels gegeben ſeyn muͤſſe, wenn die Aufgabe ſoll aufgeloͤſet werden koͤnnen. Es ſey die Hoͤhe CE= 14 Ruthen, und weil nach obigem der Inhalt des Triangels = 252 Quadr. Ruthen iſt, ſo wird CI = 14 P*& und CK = 14 V τ, und wenn man die Wurzelgroͤßen durch Logarithmen ausdruͤckt, ſo wird V4 = Log. (54) :ͤ 2 und V33 = Log. (F5) : 2 Log. 25 = 1,397 94⁰0 Log. 62 = 1,7923917 Log. 84 = 1,9242793 1,47 26607—2 Log. V45 = 0,7363303 — I. V 3 = 0,544917 . 1,8681124—2 Log. 524 =– 0,9340562 — I. V 6= 0,859 125. Folglich CI = 14 0,544917 = 7,62883 8 CK = 14 0,859125 = 12,02875. F§K. 29. Einen gegebenen Triangel ſo zu theilen, daß der zweite zmal ſo viel Flaͤchenraum als der erſte und der dritte 2 mal ſo viel als der erſte haben ſoll. ABC (Fig. II. Tab. I.) ſey der gegebene Triangel, CF ſey ein von C auf AßB gefaͤllter Perpendikel, DE und H ſeyen die Scheidungs⸗Linien, Man beſtimme die verlangte Theile ſo: 4 £ 9 *△ K* K ² —„⏑☚ — X %½ % %4 — —— 29 Geſetzt, der erſte bekomme vom ganzen Triangel = X Quadr. Ruthen, ſo bekommt der zweite = 3X, der dritte = 2x. Folglich bekornmen alle zuſammen = 6x. Da nun dieſes dem Flaͤchenraum des Triang els gleich ſeyn ſolle, ſo iſt 6« = ABC. daher x = Theil des Erſten, ſolslich 2i0 Theil des Zweiten Ahe Theil des Dritten. Nachdem alſo die Theile, nach welchen der Triangel getheilt werden ſolle, be⸗ ſtimmt ſind, ſo iſt zugleich die Aufloͤſung auf die vorhergehenden Aufgaben zu⸗ ruͤckgefuͤhrt. Beroch ueg. Aße 1) Weil DCE = und a CI = t 3 = CEK : CK¹, foglich CK = CF W2. Nach dieſen Ausdruͤcken muß alſo CF gegeben ſeyn. Es ſey nun CF = 33 Ruthen, und V = 0,815557rz„. G 2. Folglich iſt CI = 13 σ 0, 408249 = 5,307237 und CK⸗ = 13 % 0,815557 = 10,5 0224i. Betrachtung des IV. Falls. §F. 30. Bey dem IV. Fall, in welchem man die Theilung ſo verlangr, daß die Theilungs⸗Linien auf einer gegebenen Seite ſenkrecht ſtehen ſollen, wird es noͤthig ſeyn, die einfachſte Faͤlle voraus zu ſchicken. Unſtreitig iſt die Theilung durch Perpendikularen die einfachſte, wenn der gegebene Triangel rechtwinklicht iſt, und die Theilungs⸗Linien auf einer ſeiner Seiten um den rechten Winkel ſenkrecht ſtehen ſollen; in dieſem Fall ſind her⸗ nach die Theilungs⸗Linien mit der andern Seite um den rechten Winkel, pa⸗ rallel, demnach gehoͤrt dieſer Fall in das Capitel, wo man die Theilung ſo ver⸗ langt, daß die Theilungs⸗Linien mit einer Seite parallel laufen. Bey andern Triangeln, welche nicht rechtwinklicht ſind, erwaͤge man fol⸗ gendes. 1) Entweder faͤllt der Perpendikel CF aus der Winkelſpitze Cauf die Grund⸗ linie, auf welcher die Theilungs⸗Linien perpendikular ſtehen ſollen, ſelbſt (wie Fig. 4. Tab. I.), oder faͤllt er 2) auf ihre Verlaͤngerung, (wie Fig. 13. Tab. I.) Was nun das Erſte betrift, ſo iſt hiebey zu unterſuchen, was es mit der Lage der perpendikularen Theilungs⸗Linie fuͤr eine Beſchaffenheit habe; zuvor aber wird es noͤthig ſeyn, folgende Saͤtze voraus zu ſchicken. F. 31. Wenn man in einem gleichſchenklichten oder gleichſeitigen Triangel aus der Winkelſpitze, welche die beiden gleichen Seiten einſchlieſſen, auf die ge⸗ genuͤberſtehende Seite einen Perpendikel faͤllt, ſo halbirt er die dritte Seite, und theilt den ganzen Triangel in zwey gleiche Theile. “M ABC (Fig. 4. Tab. I.) ſey ein gleichſchenklichter Triangel, auf deſſen Grund⸗ linie AB ſey aus C der Perpendikel CF gefaͤllt. ſo iſt AC —AF = BC— FB (I. 47.) AC: † FB2 = BC: AFr AC = BC (Vorausſetzung) folglich FB; = AF, daher auch FB = AF und -EB = kAF, mithin ½AFNX FC = 2 FBXFC. Weil alſo der Perpendikel aus der Spitze auf die Grundlinie eines gleichſchenk⸗ lichten Triangels, die Grundlinie und den Triangel ſelbſt halbirt, ſo iſt es nnn geg ine als dee auc den in und Tr⸗ — 1 See r. . 3 1 7 leicht, einen gleichſchenklichten Triangel durch eine perpendikulare Theilungs⸗Linie zu halbiren. Man darf nur die Grundlinie A in F (Fig. 4. Tab. I.) halbiren, und in F einen Perpendikel FC errichten, welcher durch die Spitze C gehen, (§. 4.) und den vorgelegten Triangel in 2 gleiche Theile theilen wird. Wird der Triangel in mehrere gleiche TDheile getheilt, ſo faͤlly die eine Helfte dieſer The ile auf die linke Seite des Perpendikels „die andere Helfte auf die rechte, Soll der Triangel in 2 ungleiche Theile getheilt werden, ſo folgt ferner, daß die perpendikulare S cheidungs⸗Linie nicht in dem Halbirungspunkt F der Grundlinie AB aufgerichtet werden koͤnne, ſondern daß dieſelbe mehr gegen A oder B ruͤcken muͤſſe, je nachdem der kleinere Theil gegen 4 oder B liegen ſolle, und dann ſaͤllt die Theilungs⸗Linie außer C, und macht den einen Theil zu einem Triangel, den andern zu einem Trapez. §. 32. Wenn man aus der Spitze eines ungleichſeitigen Triangels auf die gegenuͤberſtehende Grundlinie einen Perpendikel faͤllt, ſo macht ſie auf derſelben ungleiche Abſchnitte, und der Triangel auf dem groͤßern Abſchnitte iſt groͤßer als der Triangel auf dem kleinern. ABC (Fig. 3. Tab. I.) ſey ein ungleichſeitiger Triangel, aus C ſey auf die gegenuͤberſtehende Seite AB der Perpendikel CD gefaͤllt, ſo iſt, wenn AC 2CB auch AD— DB; und ADCZDOB. Denn es iſt AC*— AD = BC²— DB² (I. 47.) AC2 + DB2 = BC 2 + AD² AC BC Boransſeßung) urnd AC? BC folglich DB — 4D2, daher auch DB ADb und 2DB W 2AD; mithin auch 4DB DC — 1AD DC. Wenn alſo ein ungleichſeitiger Triangel in zwey gleiche Theile getheilt wer⸗ den ſolle, ſo faͤllt die auf der Grundlinie zu errichtende perpendikulare Theilungs⸗ Linie gegen die groͤßere Seite AC, und ſchneidet ſie in irgend einem Punkte, und macht die eine Helfte zu einem Triangel, und die andere Helfte zu einem Trapez. Wird der Triangel in mehrere gleiche Theile getheilt, ſo erhellt von ſelbſt, daß die groͤßere Anzahl dieſer Theile diſſeits des Perpendikels, gegen die groͤßere 32 Seite AC fallen muͤſſen. Eben ſo erhellt, wenn der Triangel in n gleiche Theile zu theilen verlangt wird, und es iſt ODB 1 AB, ſo muͤſſen uothwendig alle per⸗ pendikulare Theilungs⸗Linien diſſeits des Perpendikels DC aus der Spitze C fallen, und die groͤßere Seite AC ſchneiden. H Ueberhaupt iſt noch anzumerken: wenn ein Triangel durch Perpendikularen in n gleiche Theile zu theilen iſt, und es iſt ſowohl AD als auch DBn, ſo werden die Theile, welche gegen A und B zu liegen kommen, allemal wieder Triangel, die uͤbrigen Theile, es moͤgen ihrer auch ſo viel ſeyn als es wollen, werden Trapezen. K. 33. Was das Zweite betrift, wenn der Perpendikel von der Spitze auſſerhalb auf die Verlaͤngerung der Grundlinie faͤllt, ſo iſt klar, daß, je nach⸗ dem man den Triangel in mehr oder weniger gleiche Theile zu theilen verlangt, die perpendikulare Theilungs⸗Linien entweder alle auf die Grundlinie ſelbſt, oder nur einige, und die andere auf die verlaͤngerte Grundlinie fallen muͤſſen. Um dieſes zu zeigen, ſo ſey A BC (Fig. 13. Tab. I.) ein Triangel, deſſen Perpendikel aus C auf die Verlaͤngerung der Grundlinie in D falle. Man errichte aus B den Perpendikel BE, und ziehe noch ED, ſo iſt der Triangel BED = BEC (L. 37.), und wenn beyderſeits der Triangel ABE hinzu⸗ kommt, ſo iſt BED + ABE = BEC + ABE, folglich A; D = ABC. Wird nun der Triangel AED in n gleiche Theile getheilt, und es iſt DB◻ AD, ſo iſt auch BED AED, folglich iſt auch EBC ABC, folglich faͤllt die perpendikulare Theilungs⸗Linie zwiſchen A und B; iſt aber BD £ 2 D, ſo iſt auch BEDE EAED, folglich auch EBCEZEABC. Demnach faͤllt die perpendikulare Theilungs⸗Linie auf die Verlaͤngerung BD oder in den Punkt B ſelbſt. §. 34. Aufgabe. Einen Triangel in 3 gleiche Theile zu theilen, daß die Theilungs⸗Linien auf einer Seite perpendikular ſtehen. ABC (Fig. I14. Lab. I.) ſey der Triangel, ans C ſey auf A der Perpendi⸗ kel CD gefaͤllt, und FE und HG ſeyen die perpendikulare Theilungs⸗Linien. Weil alſo vorausgeſetzt wird, daß FE und H die Theilungs⸗Linien ſeyen, ſo iſt AEF = 3A BC . und GHB = 3„ABC. Nun iſt 1) Ach: AEF = AD: AF, daher auch ACD : zABC = ADZ : AF'. Hieraus wird AF = AD V16%7 — —— 22 k Es iſt aber ABC = 4AB X CD, und ACD = 1AD *τ CD, .. F = KABc0) folglich A = AD . 6 oder AK = A D X V 5. n 2) Weil BDC: BHG = BD: BH', 1, auch 350 : 5ABC = BD?: BH, und weil BDC = 3DB * DC h AlBC = AB X 50, ſo iſt ½DB W☛ DC: 3(4A B *DC= = BD: : BH. Hieraus 4 wird DB: 32AB = BD ½ BIHI², 4 folglich BH = BD . oder BH = BD X 4 Aus den Formeln in Nr. 1 u. 2. folgt klar, daß die Grundlinie DB, und die beyden r Abſchnitte der Grundlinie AD, DB gegeben ſeyn muͤſſen, wenn man dieſe Aufgabe S aufloͤſen will. Es ſey alſo AB = 32, 8 un AD = 20 Ruthen. ch folglich BD = 12,8 re Berechnung. b, Log. AB = 1,5 158738 ti Log. 34 D = 1,7781513 Log. 3 D B = 1,5563025 “ A B die H Log. 5 = 1,7377225—1 Log. Al = —1 di 63. z- = 1,9595713- , Log. VN 5 = 0,8688612—1 Log. V A 3 = 0,97 92856— I Log. AD = 1,30 10300 Log. DB = 1I,1072100 Log. AF = 1,1698912 AFK = 1497,8, 11141v Log. BH = 1,0869956 BH = 12 %1 7 7*7. E Um endlich die Scheidlinien auf dem Felde zu ziehen, ſo muß man das von Af gefundene Maaß von Anach F tragen, und das von BH, von nach H; he ernach kann man aus den gefundenen Punkten F und H die Perpendikel FE und HIG mit W Meß⸗ Inſtrument abſtecken, ſo iſt der Triangel getheilt, wie man ver⸗ angt hat. §. 35. Aufgabe. Einen Triangel durch perpendikulare Scheidungs⸗Li⸗ nien in 5 gleiche Theile zu theilen. Es ſey à BC der zu theilende Triangel (Fig. 24. Tab. II.), CD ſey ein aus C auf die Grundlinie AB geſaͤllter Perpendikel, IK, GH, EF, LM ſeyen die perpendikulare Theilungs⸗Linien, und es ſey ſowohl AD als auch AD ½AB, auch ſey AD ☚. DS, folglich fallen mehr Theilungs⸗Linien auf AD als auf BD. Nach dieſer Vorausſetzung iſt AlK = TABC = z(rAB W DC ACGCH = 3ABGC = 2(XAB X DC)) AEFE = ABC = 2(AB X OC) und LMB = 1ABC = 2(4½AB DC). Auch iſt ACD = 2A D X DC DBC = 1DB DC. Nun iſt 1) ADC: Alk = AD: : AkK-⸗ folglich 1A D X DC: ½ (AB „DC) = 4D: AkK?, folglich AD: sAE = AD: A. Hieraus wird AK = ναπ 2) ADC: AGH = AD: 5A⸗ folglich 2A D X DC: 2A DC) = AD²: AH', daher AD: gAB = AD?: AH'. Hieraus wird AH = 4D X PR 245. 3) ADC: AFE = AD?: AF-⸗ XADXDC: GADC)= AD: AF’, folglich AD : 3AB = AD: AF', folgli«ch A = AD VMaas. „— — — — —M— — — DBC: LMB = DB: MBh 2DBX DC: „(XABX DC) = DB: MB ²½ ſolglich DB: XAB = DB? : MW . . en R1AB Hieraus wird MB = DBRXU 55: 35 Aus der gegebenen Grundlinie AB und aus den durch den Perpendikel DC auf dieſer Grundlinie gemachten Abſchnitten AD und Ds laſſen fich alſo die Punkte K, A, H, M finden. Es ſey demnach AB = 33,3, folglich DB = 10,5 Daher AK = 22,8 * D AH = 22,8 A AF = 22,8 *° P es- MB = 10,5 % =⸗ Log. 33,3 = 1,5224442 Log. 2x33,3 = 1,8234742 Log. 3533,3 = 1,9995655 Log. 5X22,8 = 2,0569049 Log. 5X10,B,5 = 1,7201593 Log. V2 42. = 0,7327696 — I. / 52 eà. = 0,5 404673 „. 1,7665693—2 3 „ ,3 – — 1 ͤ A3 323 = Log. 32 243. = 0,9713303 — 1. V 33 5 0,936117... 1,8022849—2 Log. 2 4 = 0,90 11424 — I. H ; = 0,7964203 „ S Folglich iſt AXK = 22,8 0,54046-3 = 12,32266... AH 22,8 △ 0,7643365 = 17,42727 1 Ruthen. AF 22,8 0, 936117 = 21,34347.. . MB 10,5 0, 7964203 = 8,36241. . . §. 36. Aufgabe. Einen Triangel ſo zu theilen, daß ſich die Theile wie die gegebene Zahlen 4: 7: 9 verhalten. Gebgdenkt man ſich den Triangel in ſo viele gleiche Theile getheilt, als die Summe der gegeebenen Theile betraͤgt, ſo kommen auf den erſten Theil 4; auf den zweiten 7, und auf den dritten 9 ſolcher Theile. ABC (Fig. 15. TLab. II.) ſey der zu theilende Triangel, auf deſſen Grundlinie AB, von der Spitze C ein Perpendikel C) gefaͤllt iſt; GH, EF ſeyen die perpen⸗ dikularen Scheidungs⸗Linien; die Summe der gegebenen Zahlen 4 + 7 +9 = 20. 4 BD ſey = AB, folglich fallen die Scheidungs⸗Linien auf den Abſchnitt ” Nach dieſer Vorausſetzung iſt: AGH = A BGC = . (24 B DC) AEF = 11ABC = 11A B „ DC) ADC = 1ADX DC. Nun iſt 1) ADC: AGH = AD=: AH⸗= ADxDC : 3 (1A BxDGC) = AD?Z : AH“, 2 — folglich AD : AB = AD?² Aile, hieraus wird IT 4 AH = AD V5 2) ADC: AEF = AD?: AF-⸗ 2ADxDC: 1½(1ABxDC) = ADA: AF’, folglich AD: 3 ½AB = AD²¹ Ab', hieraus wird 11 AE = ADX V 45˖- Hieraus folgt eben ſo wie F. 35, daß die Punkte H und F, in welchen die perpendikularen Theilungs⸗Linien aufgerichtet werden ſollen, aus der gegebenen Grundlinie AB und dem Abſchnitte AD gefunden werden koͤnnen, Es ſey daher AB = 28,6 4D = 17,8 Ruthen. e 26X 1 7/8 Mithin AHl = 1I7,8 ☚ V. X S,6 Log. 4X28,6 = 2,05 842 60 Log. 11X28,6 = 2,4977587 Log. 20X17,8 = 2,55 11500 1,5069760—2 Log. V e = 0,7534880—1 1,9463087—2 2 2 Log. — — e6 = 0,97 3 1543 — T „ 2 06XI7,8 Log. 17,8 = 1,2504200 Log. A H = 1,0039080. AH = 10,0903 Log. AF = 1,2235743. AF = 16, 733 uthen. Anmerkung zu dieſer Berechnung. Weil Log. A H = Log. 17,8 † dog. — X n Cog. AF = Log. 17,8 + Log. —2840 —Tog: ſo hat man dadurch die Berechnung um eine Operation abgekuͤrzt, daß man zuerſt den Log 20 17,8 von den Log 4 28,6 und Log. 20 X 17,8 abzog, und ſodann jeden dieſer Logarithm. Reſten durch 2 theilte; denn die folgende Ansdruͤcke Log. AH = Log. 428 —aga + Log. 17,8 Log. A = Log. —— Log 3 H Log. 17,8 ſind mit vorhergehenden gleichbedeutend. Weil aber die Log. 428,6 und Log. 1128,6 kleiner ſind als Log. 20 17,8, ſo mußte man zu den Kennziffern der beyden noch 1 hinzudenken, um den leztern von den erſten abziehen zu koͤnnen. Damit aber die Gleichheit in den Log. der Reſte wieder hergeſtellt werde, ſo mußte am Ende derſelben dieſe hinzugedachte 1 als eine negative Kennziffer wieder angehaͤngt werden, weil aber dieſe angehaͤngte negative Kennziffer durch 2 theilbar ſeyn muß, ſo mußte ſowohl die negative Kennziffer 1 und die poſitive o, ebenfalls 38 wegen der Herſtellung der Gleichheit um 1 vermehrt werden. Endlich wurde der Log. von 17,8 zu den vorher durch 2 getheilten Log. addirt, wo⸗ durch die negative Kennziffer wieder aufgehoben wurde. Anmerkung. Auf eben die Art, wie bey den vorhergehenden Aufgaben gezeigt wor⸗ den iſt, werden auch diejenige Fragen aufgeloͤſet, wo ſich die verlangte Theile wie gegebene Bruͤche verhalten, die Bruͤche moͤgen hernach in ihrer Summe mehr oder weniger als ein Ganzes betragen; eben dieſes gilt auch von ſolchen, denen in §. F. 17. 18. 28. 29. aͤhnlichen. §. 37. Aufgabe. Einen Triangel, in welchem der Perpendikel CD aus der Spitze C auf die verlaͤngerte Grundlinie àB faͤllt, in 4 gleiche Theile zu theilen, daß die Theilungs⸗Linien auf der Grundlinie Al perpendikular ſtehen. ABC (Fig. 16. Tab. I.) ſey der vorgelegte Triangel; aus C ſey der Per⸗ pendikel CD gefaͤllt, welcher die AB in ihrer Verlaͤngerung D ſchneidet. Aus B ſey der Perpendikel BN = DC gezogen, welcher die AC in I ſchneidet; man ziehe noch CGN. EF, HG und ML ſeyen die Theilungs⸗Linien. Weil BD — 2AbB angenommen wird, ſo wird ML in ihrer Verlaͤngerung außer den Punkt B in K fallen. §. 33. Nach dieſen Vorausſetungen iſt AEF = ABC = (AB 58) AHG = 2ABC = 3(AB (50) 50 ABI = -=AB X Bl —— ° BN 1 BIC = ABC-—ABI = 1AB x (50) — 1AB Bl Nun iſt 1) Aß AEF = AB2 1 AK2 ABXBIL: à (4A Bx DC) = AB2: AF⸗ BI : 3DC = AB:: AK?, 2) ABl: AHG = AB: : :AG- — 2 XABMXBL : 4(xABXDC) = AB: : AG⸗ folglich AG = ABx VN 4 B1I * — = 2 3) BIC: MLC = BD: DK: 2ADxDC-ABXBIL: 4; BxDC) = BD2 DR 1ABIDC— BI) : 1ABxDC = BD : DkK- „* ° %° folglich DC— BI : zDGC: BD2 : DK: D0 DK = BDx / — 6 1* Aus den bi isherigen Formeln geht deutlich hervor, daß, um die Aufgabe aufzuloͤſen, die Grundlinie AB, der aus der Spitze Cgefaͤllte Perpendikel CD, und der aus dem Punkt B aufgerichtete Perpendikel nebſt der Verlaͤngerung BD gegeben ſeyn muͤſſe. Es ſey AB = 22,3)] DC 22,8 Ruthen. BI = 15,4 BLD. = 10,6 daher iſt A = 22,3 *ι P AGs= 22,3 F 1 2 2,/8 — 2 2/8 DK = 10,6 ITi SeT5- D = 10,0 « 6 P- Log. 22,8 = 1,3579348 Log. 2 22,8 = 1,6589648 Log. 415,4 = 1,7895807 1,5683541—2 Log. = 0,7841770—1 1,8693841—2 2 ¾ 2 2/8 — 16920—1 Log. 1 1374 2,934092 Log. 4 7,4 = 1,4712917 1,8866431—2 Log. V 3273. = 0,9433215— Log. 10,6 = 1,025 3059 Log. DK = ,96 6274 DK = 9,3031 Log. 22,3 = 1,3483049 Ruthen. Log. A = 1I,1324819 AF = 13,5660) Log. AG = 1,2829969 A G = 19,1865 ͦ 40⁰ errrr Betrachtung über den V. Fall, wenn die Theilungs⸗Linien durch einen in dem Triangel gegebenen Punkt gehen, oder von dieſem Punkt aus gethellt werden ſolle. §. 38. Damit man der Sache etwas naͤher auf den Grund ſehe, ſo wird es bey dieſem Falle noͤthig ſeyn, folgenden Satz vorauszuſchicken. Wenn durch einen in einem Triangel angenommenen Punkte E eine ge⸗ rade Linie aus einer der Winkelſpitzen C gezogen wird, und es iſt das Linien⸗ ſtůck DE = 100; und wenn man von den beyden andern Winkelſpitzen, A, B durch eben dieſen Punkt E die Linien AE und Bk zieht, ſo iſt der Trian⸗ gel ALB = kABC (Eig. 17. Tab I.) Der Beweis dieſes Satzes gruͤndet ſich darauf. Weil nach der Vorausſetzung DE = 1DC, ſo iſt ADE = 1ADC und BDE = 1DBC folglich, wenn gleiches zu gleichem addirt wird, ſo wird ADE + BDE = F(ADC + DBC), hieraus wird AL B = 1ABC. §. 3. u. ff. Iſt alſo n = 2, ſo iſt AEB = T†ABC, ſo iſt A B = 3zABOG ALEB = 1ABC B AEB = 5ABC u. ſ. w. Man wird leicht einſehen, daß n jede ganze und gebrochene Zahl bedeuten koͤnne. §. 39. Wenn man durch den gegebenen Punkt E die HI parallel mit AB zieht, ſo ſind alle Triangel wie AB, AEB, deren obere Winkelſpitzen in HI liegen, einander gleich (I. 38.), demnach iſt jeder derſelben = ½ABC, wenn AEB = 1ABC iſt. §K. 40. Es kann aber der Punkt E, durch welchen ein Triangel getheilt werden ſoll, ſo gegeben ſeyn, daß DE g 1DC. Iſt nun DE = 1D0 oder GF = 1GC, ſo muß die Theilungs⸗Linie AEB fuͤr 1ABC nethwendig durch die Winkel⸗Punkte Al gehen, der gegebene Punkt E mag in der Linie HI liegen, wo er will, es iſt immer EK = FC = 1CG, folglich auch AB Wι Gp = (AB W CG). . 41 ſ. 41. Iſt DE „ 00 oder GF GC Rſo iſt offenbar auch AB FG; 1(AB X CG). Nimmt man nun an, daß EB durch B gehe, und es ſoll ABx EB] = IABXACG werden, ſo kann EA nicht in den Winkel⸗Punkt à, ſondern ſie muß außer A und zwar gegen N zu fallen. §. 42. Iſt DE 100 oder GF 1G0, ſo iſt klar, daß AB X i ☚ (AB ✕ CG) ſeyn muͤ»ße. Nimmt man nun an, daß das eine Ende der Theilungs⸗Linie OEB durch die Winkelſpitze B gehe, ſo wird das andere nicht durch die Winkelſpitze A ge⸗ hen koͤnnen, ſondern es muß irgend einen Punkt O in der Linie à treffen. Begreiflich wird die Theilungs⸗Linie AEB, die in dieſen Faͤllen immer ge⸗ brochen ſeyn wird, den Punkt o und p treffen, wenn ſie durch den Punkt A gehen ſoll, wenn Pg DC iſt. Die bisherige Beſtimmungs⸗Gruͤnde vorausgeſett, ſo wird nun ein Trian⸗ gel leicht zu theilen ſeyn. F. 43. Aufgabe. Einen gegebenen Triangel in zwey gleiche Theile zu theilen, daß die Theilungs⸗Linie durch einen in demſelben gegebenen Punkt E gehe, deſſen Abſtand EK von der Grundlinie = 406 ſey. (Fig. 17. Tab. I.) Aufloͤſung. “ä Weil nach der Vorausſetzung EK = 10G, ſo muß nach der Beſtimmung (§. 40.) die gebrochene Theilungs⸗Linie AEB durch die Winkel⸗Punkte A und B gehen, deßwegen man nur EA und Eß ziehen darf, alsdann iſt AEB = AEBCA. Der Beweis gruͤndet ſich darauf. Man ziehe Hl mit Aß parallel, und verbinde die Punkte A, F und B, F. ſo iſt A G = gACGCN K und BFG = 13007J. 3. folglich A G BFG = 2(AGG TBGC), das iſt ArB = kabC, es iſt aber A B = AEB, folglich AEB = -ABC, 2.) Wenn der Abſtand EK des Punkts E von der Erundlinie A kleiner als 2C iſt (Fig. 17. Tab. I.), ſo muß nach der Beſtimmung (F§. 41.) die Linie AE gegen NE hinaufruͤcken. Geſetzt, NEB ſey die Scheidungs⸗Linie, ſo daß ANEB = 2ABC ſey. Hier iſt alſo AN’ zu ſuchen. Nach dieſer Borausſetzung iſt: AEB +AAN E = 2(2ABXCG), aber AEB = =ABXEK und ANE = IANX TE, daher ½ABXEK + 4ANX TE = 21(2ABX GC) d. i. ABEK — ANX TE = 2AB X GGCGC. Hieraus wird AN' = (4l EK) AN = (2GC—EK) A B TE Wenn alſo die Aufgabe aufgeloͤſet werden ſolle, ſo muß der Perpendikel G6C, und die aus E auf AC und A gefaͤllte Perpendikel E und EK, nebſt der Grundlinie AB, des vorgelegten Triangels gegeben ſeyn. Es ſey GC = 18,6 IIE = 5,5. Daher 26C0C = 9,3 EK = SZ folglich (2GC- EK) AB = 102,9 † (46G— EK) AÜB8 102,0 folglich TE Z mithin AN = 15,8307 +. Wenn man alſo das gefundene Maaß von A nach N gehoͤrig auftraͤgt, und NE und BE zieht, ſo iſt AN EB = NEBC. 3.) Wenn der Abſtand EK des Punkts E von der Grundlinie AB groͤßer als GC, ſo muß nach der Beſtimmung (in §F. 42.) die Linie AE gegen O fallen, und Ab in irgend einem Punkt ſchneiden, (Fig. 17. Tab. I.) Geſetzt, der Punkt, in welchem die Linie AbF die Alß ſchneide, ſey O. Man ziehe OE und EB, ſo iſt OEB die Scheidungs⸗Linie, und BEO ſey = 1ABC, ſo iſt B0 zu ſuchen. Nach der Vorausſetzung iſt BEO = 2ABC, aber BEO = 1BO x EK und ABC = AB GC, D foolglich XBO X EK = 2(2XAB X GC) BOX EK = -AB GC Aus dieſer Formel erhellt deutlich, daß die Grundlinie AB und der Perpen⸗ dikel GC nebſt dem perpendikularen Abſtand EK des Punkts E von Al ge⸗ geben ſeyn muͤſſe, wenn man O finden will. I Es ſey daher AB = 30,7 EK = 13,1 ſo iſt 32A B = 15,35 60 = 23,4 folglich ABxXGC = 359,190 4 B XGG 35190 EK 131T7 mithin BO = 27,419 P F§. 44. Die Formeln in Nr. 2. und 3. ſind noch ziemlich einfach, und das Geſuchte laͤßt ſich leicht, wie die vorhergehende Rechnungen zeigen, berechnen. Beyde Faͤlle in Nr. 2. und 3. laſſen ſich auch ohne Rechnung durch eine leichte geometriſche Conſtruktion aufloͤſen, denn aus der Formel in Nr. 2. wird AN'/X TIE = ¹(GC— EK) AB. Hieraus erhaͤlt man folgende Proportion: TE: 1(GC-— EkK) = AB: AN. Da nun die 3 erſten Glieder bekannt ſind, ſo laͤßt ſich AN als die vierte Pro portional⸗Linie leicht finden. Eben ſo wird aus der Formel in Nr. 3. PB0O EK = AB GC, hieraus wird BO : AB = GC : EK, F 2 44. — woraus ſich die vierte Proportional⸗Linie BO leicht finden laͤßt, weil die uͤbri⸗ gen Glieder bekannt ſind. = Anmerkung. Obgleich auf dieſe Art einen Triangel zu theilen, die Theile ſehr irregu⸗ laͤr ausfallen, auch ſelten eine ſolche Theilung in der Ausuͤbung vorkommt, ſo ſchien es mir doch noͤthig, die Moͤglichkeit der Theilung eines Triangels auch in ungewoͤhnlichen Lagen der Theilungs⸗Linien zu zeigen; denn wenn man einmal angefangen hat, die gewoͤhnliche Faͤlle zu unterſuchen, ſo er⸗ fordert es die Ordnung, daß man auch die ungewoͤhnlichen mitnehme und ihre Eigenſchaften unterſuche, wodurch man hernach von dem Ganzen hellere Begriffe bekommen wird. K. 45. Nicht ſo leicht iſt dieſe Aufgabe aufzuloͤſen, wenn man verlangt, daß die Theilungs⸗Linie durch den gegebenen Punkt eine gerade Linie ſeyn ſoll, und durch keine Winkelſpitze gehen ſoll. §K. 46. Aufgabe. Einen gegebenen Triangel in zwey gleiche Theile zu theilen, daß die gerade Theilungs⸗Linie durch einen innerhalb deſſelben ange⸗ nommenen Punkt gehe. Zu dieſer Aufgabe ſuchte ich lange vergeblich eine Analyſis, fand aber keine, weder eine geometriſche, noch eine algebraiſche, die mich auf eine einfache Glei⸗ chung fuͤhrte. Zufaͤlliger Weiſe las ich Euclids Data von Schwab, und fand im Anhang: Sammlung geometriſcher Aufgaben die XX. Aufg. S. 226., die ich zur Aufloͤſung dieſer Aufgabe benuͤtzte. Ob nun gleich die daſelbſt angefuͤhrte Aufgabe auf die Lage zweyer geraden Linien und auf den von denſelben der Groͤße nach gegebenen eingeſchloſſenen Winkel ſich einſchraͤnkt, ſo laͤßt ſich jene Aufloͤ⸗ ſung hier ganz gut anwenden, wenn vorausgeſetzt wird, daß der abzuſchneidende Triangel nicht groͤßer als der gegebene Triangel ſelbſt iſt. ABC (Fig. 18. Tab I.) ſey der gegebene Triangel. E ſey der gegebene Punkt, und FG ſey die Theilungs⸗Linie. Analyſis. Ich nehme an, daß die Linien AC und AB der Lage und der von ihnen eingeſchloſſenen Winkel ABC der Groͤße nach gegeben ſey. Man ziehe durch den gegebenen Punkt E eine unbegrenzte gerade Linie LM mit AB parallel. An AlL. ſetze man ein Parallelogramm ALMD, das dem hal⸗ ben Inhalt des gegebenen Triangels ABC gleich ſey. (I. 45.) gu⸗ mt, els enn et⸗ nd ere 45 alſo ALMD = AFG. Nun iſt ALEHD = ALEHD. Das Letzte vom Erſten weggenommen, ſoo iſt EMH = FLE + DHCG. Nun ſind dieſe Triangel, wie aus der Zeichnung erhellt, unter ſich aͤhnlich. Daher FLE: DHG = LEà: DG', folglich Compon,. FLEPDHG: DHG = LETDG: DG'. Auch iſt DHG: EMH = DG;: EM , folglich FL-EDHG: EFMH = LE2†DG;: EM. Nun iſt nach obigem FLE DHG = EMH, folglich iſt EMH: EMH = LE †DG: EM, daher auch LE⸗ †+ DG = EM. (V. 99. Nun iſt LE der Lage und Groͤße nach gegeben (33. dat.), und EM iſt gegeben (4. dat.), folglich iſt auch DOE gegeben, und der Punkt G iſt gegeben; demnach iſt auch die Linie GEF der Lage und Groͤße nach gegeben, mithin auch der Punkt F, folglich iſt der Triangel AGF der Groͤße nach gegeben. Hieraus ergibt ſich folgende Conſtruktion: Wenn man das Parallelogramm ALMD der Helfte des Triangels ABC gleich gemacht hat, ſo faͤlle man aus D ei⸗ nen Perpendikel Dl, und mache DI = LE; und ſchneide die AB in G mit EM = IG. Zieht man von G durch E eine gerade Linie FG, ſo jiſt der Trian⸗ gel AFG = 4ABC. Beweis. Weil ALEHD = ALEHD und LFETDHGE = EMiI (ex Analys.) ſo wird ALMD = AFfG, aber ALMD = 4ABC (ex Constr.) folglich A G½æ ͤ= 2ABC. X folgt, daß DG = EM ² — LE und DG = P+ V (EM —– LE*). Soll nun D einen Werth haben, ſo darf LE nicht groͤßer als EM ſeyn; iſt aber LE = EM, ſo wird DGC =o, und der geſuchte Punkt faͤllt in B ſelbſt; §. 47. Aus der durch die Analyſis hergeleiteten Formel L EP†DG = EM iſt LEEM, ſo wird die EM = [G allemal die Aß in G ſchneiden. Was aber die zwey Zeichen + vor dem Wurzelzeichen fuͤr eine Bedeutung haben, ſo merke man ſich; wenn der Punkt E ſo angenommen wird, daß die 46 Grundlinie AD des Parallelogramms ALMD kleiner wird als die Grundliute AB des gegebenen Triangels ACB (Fig. 18. Tab. I.), ſo muß der Schnitt mit IG immer auf der Grundlinie AB gemacht werden, und das iſt die Bedeutung des Zeichens †+i. Wird aber die Grundlinie AD des beſchriebenen Parallelogramms LADM groͤßer als A (Fig. 19. Tab. II.), ſo muß der Schnitt mit IC = EM nicht auf der verlaͤngerten AB, ſondern auf der Linie Aß gegen A hin gemacht werden, und das iſt die Bedeutung des Zeichens .27.. §. 48. Bey der Berechnung des Punkts G Pig. 18. u. 19. Tab. I. II., wenn er ohne trigonometriſche Rechnung gefunden werden ſoll, wird man ſo ver⸗ fahren koͤnnen: Weil die Helfte des Triangels durch die Linie FG abgeſchnitten werden ſoll, ſo muß der Inhalt des Triangels ABC entweder unmittelbar gege⸗ ben ſeyn, oder wenn dieſes nicht iſt, ſo muß man den Perpendikel CG meſſen koͤnnen, und aus dieſem und der Grundlinie AB, den Inhalt beſtimmen. Da⸗ mit man die Seite LM oder AD des Parallelogramms ALMD erhalte, welches dem Inhalt des halben Triangels ABC gleich ſeyn muß, ſo faͤlle man aus dem gegebenen Punkt E auf die Grundlinie AB den Perpendikel ED Fig. 18. Tab. I. Ed Fig. 19. 'ab. II., und dividire mit dem Maaß deſſelben in den halben In⸗ halt des Triangels a BC, ſo ergibt ſich die Linie AD oder LM, woraus man her⸗ nach auch LE und EM erhaͤlt, wenn man das Parallelogramm ADML. vollendet, und ſodann nach der Formel DCG = EM — LE’ die Linie DG leicht berech⸗ nen kann. LE = 1402, ſo iſt der Inhalt des Triangels ABC . AB CG 25,8 X 16,8 = 225,14, 2 2 folglich ſeine Helfte oder A G = 112,57 AKG AD) 112, 57 0 ον und. PDE 1LM) 33 108 8 3 4 Me 5 — — —— — —ꝰ N auf den, Lu, ber⸗ ten ege⸗ eſſen De ſches dem 1b.l. „ n⸗ her⸗ tech⸗ 47 Weil nun D& = ͤ(EM— LE) = (EMTLE) X (EM-LE) und EM = 18,9088 LE = 14,2 EM + LE = 33,1088 EM— LE — SS Log. EM- IE = , 29402 2 2,0 55 37 §. 49. Aöſung dieſer Aufgabe, wenn der gegebene Punke E auſter⸗ halb des Triangels ABC liegt. (Fig. 20,. Tab. II.) Analyſis. Es ſey der zu ſuchende Punkt G und die durch K und G gezogene gerade Linie EG, ſchneide von dem gegebenen Triangel ABC einen Triangel AFG ab, der der Helfte des gegebenen Triangels gleich ſey. Durch den gegebenen Punkt E ziehe man EM mit AB und EO mit AC parallel. Endlich lege man an AK unter dem gegebenen Winkel CAB (nach I. 44.) ein Parallelogramm AKMD, deſſen Flaͤchenraum der Helfte des Triangels ABC gleich ſey; alsdann iſt das Parallelogramm AK MD = AFG (ex hyp.), und wenn man beeberſeits das Pa⸗ rallelogramm OEKA hinzuthut „ ſo iſt Prllgr. OEMD = OEG — EFK, und wenn man beederſeits das Trapez OELD wegnimmt, ſo wird PMr. = DLG - EKF. Weil nun dieſe Triangel unter ſich aͤhnlich ſind, ſo iſt (VI. 19. ) EFK : DLG = EK : DG und componendo EFKTDLG: DLG = EK- +DG : DG; es iſt aber auch DLE: EML,. = DG : EM*, folglich ordinatim et ex æquo EFKPDLG: E:ML = EK †DGE: EM*. Nun iſt nach obigem EFK †+ DLG = EML, folglich iſt auch E.EM = EK † DG:, und wenn man zu beiden Seiten EK* wegnimm, ſo wird DeE? = EM — EKAK. Weil nun der Punkt E und die Linie A0 der Lage nach gegeben, ſo iſt ſowohl EM als auch KM (wegen des bekannten Flaͤchenraums des Parallelogramms A M), 48 mithin die ganze Linie EM der Lage und Groͤße nach gegeben (dat. 33.), und weil der Punkt D gegeben iſt, ſo iſt auch der Punkt G gegeben, mithin iſt auch (dat. 29.) die Linie D der Groͤße nach gegeben. Hieraus fließt folgende Conſtruktion: H ”M Aus dem gegebenen Punkt E ziehe man eine unbegrenzte Linie EM mit Aß pa⸗ rallel, welche die AC in K ſchneiden wird; auf AK ſetze man unter dem gegebe⸗ nen Winkel CAß ein Prllgr. AXMD = 2ABC. Durch E ziehe man noch EO mit AC parallel, ſie wird die verlaͤngerte BA in O ſchneiden. In D errichte man den Perpendikel DI = Ek ½; aus I ſchneide man mit EM die AB in G. Zieht man endlich die Linie EG, ſo iſt AFG der verlangte Triangel, welcher der Helfte des Triangels ABC gleich ſeyn wird. Beweis. Weil EKF + DLG = EML (ex Analysi), fo iſt, wenn man beyderſeits das Trapez OELD hinzuthut, OEMD = OEG + EFK; und wenn man bey⸗ derſeits das Parallelogramm OEKA wegnimmt, ſo iſt AFG = AKMD. Es iſt aber AxKMD = 4ABC (constr.), folglich A G = 4½ABC. Quod erat demon- strandum. Berechnung. S Weil der Perpendikel EN gegeben, (dat. 33.) ſo laͤßt ſich wegen dem ge⸗ gebenen Inhalt des Parallelogramms AKMD die Grundlinie AD deſſelben be⸗ rechnen, und wegen der gegebenen EK die ganze EM = OD finden. Nun iſt DG = (EM — EK*) = EM + EK) (EM — EK) Es ſey der gegebene Inhalt des Triangels ABC = 18 S227507 folglich XABC = 9 °1II25. EN = 3 °6 77 EK = ro0 5/ 8. Weil nun K X EN = 4A BC 2 FN Hieraus wird Kn! = 2 34/8,2 9 5* EK = 1⁰°58 EKTKM= EM = 4,0 6 2 9 G EMTrEK = 5, 6 4 2 9 5 EM— EK = 2, 4 8 2 9 5. In A 4 al dr⸗ 0 6. der its ſt 0n⸗ ge⸗ be⸗ rallelogramms AKMD, Log. EM -+ EK = 0,75 1505 3 Log. EM — EK = 0,3949680 Log. DEG = 1,1464743 Log DOHG = 0,573237 1.DGC = 3 7 4 3 157. Algebraiſche Analyſis. SZZ Es ſey alles wie vorher, man faͤlle noch aus F den Perpendikel FH. Weil nun der Punkt E der Lage nach gegeben, ſo iſt auch der Perpendikel EN unb AN gegeben. Man ſetze AOD = a; EN = b; Inhalt des halben Triangels ABC = P; AG = xX; alsdenn iſt OG = OA + A G= àa + x. Nun iſt wegen der Aehnlichkeit der Triangel OEG, AFG, 1) OG 2 AG = PN : FEH ax: X = b : FH und FII –— —. X* 2) Es iſt aber auch . = AAFG = P r. 2 L und FHI = —, v⸗ bx a 9 =W folglich = — S a Px X bx²à = 2a P?P + 2xP bzx — 2XP = 2aP x²* — 2X P — 2 a P H 5 P und wenn man das Qunadrat ergaͤnzt, — NE 25 Pz D P2 „ HSl ſo iſt x — PX +† 57 — 2 + 5 hieraus wird Nun iſt nichts anders als die Grundlinie AB des auf AK errichteten Pa⸗ folglich x — AD = +£ V (AD) (za † AD) und weil x — AD = DG . ſo iſt DGE = £ /(AD) G04 4)). P 901I25“˙ 8 ſey = AD = = 2,48295 OA = 1,58 20ATAD = 5,64295. Log. AD S 0,39490680 Log.20 A †4 D = o,75 15063 1,1404743 Log. DGö = 0,5732371.DG = 3 7 4 3 175“, wie oben. Anmerkug. Daß man auf dieſe Art einen Trfangel auch nach einer gegebenen Ver⸗ haͤltniß theilen koͤnne, erhellet von ſelbſt; denn da alles auf das Parallelo⸗ gramm ALMD (Fig. 18. u. 19. Lab. IL. II) und AKMD (Fig. 20.) an⸗ kommt, ſo darf man daſſelbe nur ſo groß machen, als die Verhaͤltniß ver⸗ langt. Z. E. ABC, azABC u. ſ. w. J. 50. Wenn ein gegebener Triangel aus einem in demſelben der Lage nach gegebenen Punkt, in 3 gleiche oder ungleiche Theile getheilt werden ſoll, ſo iſt zufoͤrderſt zu beſtimmen, was es mit der Lage der Theilungs⸗Linien fuͤr eine Beſchaffenheit habe. Ich nehme zuerſt an, daß der Triangel in drey glei⸗ che Theile getheilt werden ſoll. Daß die Theilungs⸗Linien aus dem gegebenen Punkte gegen die Seiten des Triangels hin, oder in die Winkelſpitzen deſſelben laufen muͤſſen, lehrt der Augenſchein, ob aber alle drey Theilungs⸗Linien durch die drey Winkelſpitzen, oder nur eine, und die andere die Seiten des Triangels ſchneiden, das wird von der Lage des gegebenen Punkts abhaͤngen. ABC (Fig. 21. Tab. II.) ſey der gegebene Triangel, aus C ſey auf die Grundlinie AB ein Perpendikel CG gefaͤllt. In dieſem Perpendikel ſey der Punkt 1, oder in der durch l mit A gezogenen Parallele [E in E ſo angenom⸗ men, daß, wenn EA und El gezogen wird, der Triangel AEB = 31ABC ſey. Weil nun AEB = 4A B X EF und ABC = 4AB xX GC, ſo wird auch ſeyn 4ABX EF = 3 (1[ABX GC), und hieraus EF = GC. Wenn demnach ein auf der Grundlinie 3B aufgerichteter Triangel AEB = 3ABC ſeyn ſoll, ſo muß ſeine Hoͤhe EF nothwendig 3 des Perpendikels GC, oder die We deſe h⸗ in weri 1 En Wün the der⸗ elo⸗ an⸗ er⸗ age l, für lei⸗ en den els die der Entfernung des Punkts E, von AB muß GC ſeyn, und die beyden Schei⸗ dungs⸗Linien AE, EB müſſen nothwendig durch die Winkelſpitzen A und B ge⸗ hen; zieht man durch den Punkt l die IE mit AB parallel, ſo iſt ihre Lage gege⸗ ben, wenn man die AB der Lage nach gegeben, annimmt; demnach, wenn der Junkt E irgend in der Linie [E gegeben iſt, ſo werden die Scheidlinien immer durch die Winkelſpitzen A und B gehen, denn jeder Punkt in der Linie El, iſt 3 G0C des Perpendikels von der Grundlinie àlB entfernt. Dieſe Benennung iſt allgemein, und gilt fuͤr jede angenommene Seite, wenn die Entfernung des Punkts E von der angenommenen Seite 3 des Perpendikels iſt, der von der gegenuͤberſtehenden Winkelſpitze auf die gedachte Seitegefaͤllt iſt. §. 51. Wenn des Punkts E Entfernung FE2 4060, ſo wird *AB X FE 3(1AB X GC), folglich AEB ☚3 1ABC. Wenn alſo FE GC, ſo kann 4 nicht die Grundlinie eines 2 Tringels ſeyn, deſſen Inhalt = ABG iſt, demnach muß die Grundlinie des Triangels, deſſen Hoͤhe groͤßer als 360 iſt, kleiner als AB ſeyn, folglich kann die Scheidlinie nicht in B fallen, ſondern ſie muß die AB irgend in einem Punkte ſchneiden. §. 52. Iſt aber des Punkts E Entfernung FE 31 GC, ſo wird ½A BX FE 3 (4A BX GC) folglich AEB C3 ABC. Wenn daher FE Q, à GC, ſo kann AB nicht die Grundlinie eines Triangels ſeyn, deſſen Inhalt = 5½ABC iſt, demnach muß die Grundlinie des Triangels, deſſen Hoͤhe FE 3 GC ſſt, groͤßer als AB ſeyn, daher kann die Scheidlinie Eß nicht in B fallen, ſondern ſie muß die BC irgendwo in einem Punkte ſchneiden. Es iſt uͤbrigens, wie man leicht einſehen wird, bey dieſen Beſtimmungen die Scheidlinie Eà durch den Punkt A gehend vorausgeſetzt worden; daß dieſelbe Reſul⸗ tate ebenſo kommen muͤſſen, wenn man Eß durch den Punkt B gehend vorausſetzt, braucht man nicht zu erinnern, weil dieſes ſchon der geſunde Menſchenverſtand lehrt. §. 53. Soll ein Triangel aus einem Punkt E in n gleiche Theile getheilt werden, und es iſt des Punkts E Entfernung FE von der Grundlinie entweder = 6C, ſo wird im erſten Falle AB = kABC. Iſt FE 1 GC, ſo iſt auch AEB 1½ABC. Iſt FE GC, ſo wird auch AEB — ABC; demnach ſind die Beſtim⸗ mungsgruͤnde (in F. 50. § I. 52.) allgemein. §. 54. Aufgabe. Einen gegebenen Triangel in drey gleiche Theile zu theilen. G 2 Es ſey ABC (Fig. 21. Tab. II.) der gegebene Triangel; E ſey der gege⸗ bene Punkt, AE, ED, EH ſeyen die Theilungs⸗Linien. Man faͤlle aus C nnd E die Perpendikel CG und EF. Ak werde als eine gemeinſchaftliche Theilungs⸗ Linie angenommen. Ueberdiß ſey EF 3 GC. . 5: Nach dieſen Vorausſehungen muß demnach die Theilungs⸗Linie ED die AB in D ſchneiden (§. 52.), und es iſt 1) 4A D X EF = 4½ (ABX CG) 14BXCGC Um alſo den Punkt D zu ſinden, muß AB, CG und Ef gege Iſt daher D einmal gefunden, ſo kann man 1D ziehen, al AED = 1ABC. 2) Fuͤr BH hat man: 2DB W EF + 4 BH X EL = 2(4†½ABX CG) DBXEF + BHXEL = 3A BX CG, hieraus wird BH = 48 2 C PanE. ben ſeyn. Aus AB, CG, DB, EF und EL findet man den Punkt Hʒ zleht man hernach EH, ſo iſt EDBH = 3ABC, die Linie HE aber ſchneidet auch gegen der Seite AC hin, ein Trapez AEHC = ½ABC ab, welches aus der Natur der Sache von ſelbſt erhellet. Berechnung in Zahlen. Es ſey AB = 37,84 66 — I 6,5 . Rathen⸗ = Log. A B = 1,5158738 Log. CG = 1,2355284 Log. ½ = 9,522 8787 — T Log. I X B CG = 2,2742809 A BxCG — 188,0 53 Log. EF = o,8129134. A= =32,3 Log. AD = 1,4613675. 4 —28 ,93 127 AB=ADDB= 3,86873 25,1463 bgezogen, —..ꝗ˙⸗bn0— g. D B = 0,5875611 g. EF = o,8129 134 Log. D B X EF = 1,4004745 DBEF — 2 ABXCG—DBXEF 162,9070. —. 4 26☚ L L S5 O E 62,90 daher BH = 162.,207 91 BH = 17,9 Ruthen. Fuͤr den Inhalt des ganzen Triangels hat man = 1AB COE und fuͤr den dritten Theil = 44 3B200 Log. A B = 1,5158738 Log. OCCG = 1,2355284 2,75 14022 Log. 2 = 0,3010300 Log. ABC = 2,4503722 4BC= 282,038 Ruthen. Log. 3 = ,4771213 Log. ABC = 1,9732509 3ABC = 94,026 Ruthen. F. 55. Aufgabe. Einen gegebenen Triangel ABC (Fig. 22. Tab. II.) in fuͤnf gleiche Theile zu theilen, unter der Vorausſetzung, daß EF 5CGC. Der gegebene Punkt ſey E. ED, EH, EK, EN und EA ſeyen die Thei⸗ lungs⸗Anien. Man ziehe noch EB, und aus E die Perpendikel EF, EL, EM, ſo iſt 1) ½A D X« EF = ½(1ABXCG) 4èòècl D = 1A BXCG 2) 4DBXEF TEHBXEL = 2(4ABX CG) DBXEF HB EL = 1ABX CG HK ) E FL 3) 4 HK EL = 4(4AB CG) —. Uk = z46 4) 2AN X* EM = „(HAB * CG) EFEN : Berechnung in Zahlen. Es ſey A8 = 30,9; CG = 15,06 EF = 35,33 LI. = 3,0 Ruthen. „ 54 Log. AB Log. CG = 1,193 1246 Log. ½ = 0,3010300—1 . Log. ½ABxCG = 1,9841331 5AB X CG == 96,408 Log. EL = 0,90 30900 Log. EM = 0,6989700 Log. AD = 1,2598572 AD = 18,19014 Log. AK = 1,0810431 AK = 12,05 Log. A N = 1,285 1631 AN = 19,28155 Log. DB = 1,1031408 AB = 30,9 Log. ?;aF = 0,7242759 DB = 12,70986 Log. DBxEF = 1,8274167 DBxEFE = = 67,207 3 A BxCG— DBxEF = 29,2007 folglich HB = De , HB = 3,65 Log. A Bx CGC = 2,6830831 Log.⸗ = 0,30 10300 Log. ABC = 2,3820531 ABC = 241,02 ABGC = 48,304 Ruthen. Weitere Bemerkungen. §F. 56. Wenn man A nach der Formel (in Nr. 1. F. 55.) gefunden, und AD auf As getragen hat, und es iſt der Reſt DB AD, ſo traͤgt man AD ſo oft auf A als moͤglich iſt, und je groͤßer EF iſt, deſto mehr Abſchnitte wie AD wird man auf As machen koͤnnen, und fuͤr jeden dieſer Abſchnitte wird AD = ½ , wird aber EF = CG, ſo wird AD = AB, und Aß iſt als⸗ dann ein Multiplum der AD; das heißt, alle Theilungs⸗Linien, ſo viel es ihrer auch ſeyn moͤgen, gehen hernach von Cnach der Grundlinie Al hin; in dieſem Fall wird die Aufgabe auf die in F§. 3. zuruͤckgefuͤhrt. Iſt aber AD kein aliquoter Theil von Aß, ſo wird, ſo viel man auch Thei⸗ lungs⸗Punkte auf AB hat machen koͤnnen, immer ein Reſt D bleiben, welcher —n 55 kleiner ſeyn wird als AD, und dieß wird auch immer der Fall ſeyn, ſo lange EF CG iſt. Je kleiner aber der Reſt Db wird, deſto groͤßer wird alsdann BH werden. Uebrigens mag nun D ſo klein ſeyn, als es immer will, ſo bleibt immer BH = L . Dß wird man immer erhalten, wenn man die gefundene Theile wie AD, die man auf A hat tragen koͤnnen, von AB wegnimmt. Hat man den Punkt H vermittelſt der Formel in Nr. 2. einmal gefunden, ſo finden fich auf dem uͤbrigen Abſchnitte ECmehr oder wentger verlangte Ab⸗ ſchnitte, wie HkK einer iſt, je nachdem der Perpendikel EL gegen CG kleiner oder groͤßer iſt. Bleibt endlich auf BC ein Reſt wie KC, ſo ſchneidet man auf dieſem, wenn er groͤßer iſt als KH, ſo viel Theile ab, als moͤglich ſind, da denn fuͤr jeden Abſchnitt = KH immer ſeyn wird KH = —. Hat man auf BC ſo viele Theile abgeſchnitten, als moͤglich waren, ſo ſchnei⸗ det man auf der dritten Seite des Triangels AC die noch uͤbrigen Theile wie AN ab, da denn fuͤr jeden Abſchnitt ſeyn wird: AN = . F. 57. Endlich iſt noch der VI. Fall zu betrachten uͤbrig, wenn nemlich ein Triangel ſo getheilt werden ſoll, daß die Scheidungs⸗Linien mit einer der Lage nach gegebenen Linie gleich laufen ſollen. — Dieſer Fall gehoͤrt eigentlich zum IV. Fall; der Unterſchied beſteht blos darinn, daß dort die Scheidungs⸗Linien auf einer gegebenen Seite des Triangels ſenkrecht angenommen worden; hier aber koͤnnen die Scheidungs⸗Linien eine will⸗ kuͤhrliche Lage haben, je nachdem man die Lage der gegebenen Linie angenommen hat. Fuͤr den gegenwaͤrtigen Zweck will ich innerhalb des gegebenen Triangels, eine der Lage nach gegebene gerade Linie annehmen. §. 58. à BC (Fig. 23. Tab. II.) ſey der gegebene Triangel, CE die der Lage nach gegebene Linie. FG, Hl, KL, MN ſeyen die Theilungs⸗Linien. Man ziehe noch die CD auf à ſenkrecht, ſo iſt AFG = 1 A BC = 1(AB CD) AIH = 2A BC = 20(4A B xX CD) BMN = 2 BC t4 X CD) Auch iſt AE C = 2=AE X CD und BEC = 2 BE X CD P h Nun iſt 1) AEC: AFGC = AE : AG?* 4AEX CD: 1(1AB CD) = AE: AG', d. i. AL ?: 1AB = AF. : AG?2* AG = = „AB m AE. 2) AEC: AlH = AE= : Al- 1AEXCD: 2(=ABX CD = AE- AE: 2à B = AE: Al- Al = 2AB AE. 3) BEC: BMN = BE: BN-- 1BEX CD: 1(4AB C0) = BE-= BE : 1A B = BE: BN-- BN;Z = EAB X BE. 4) BEC: BLK = BE- : Bl. 1BE CD : 20(4A B CO) = BE-⸗ BE : 2AB — BEE : Bl. BL. = 2 ABX BE. Es ſey Pey der Berechnung in Zahlen AB = 30; CD = 13,6; AE = 13,6; EB = 16,4, * AI²) „ * BI.“ ⁹ Log. 4A = 1I,4771213 Log. 5 = 0,6989700 Log. 3. = 0,7781513 Log. AE = 1,1335389 Log. 2 A LE = 1,4345689 Log. BE = 1,2148438 Log. 2X BE = 1,5 158738 Log. A G = 1,9116902 Log. AG = 0,955 845 1 AG = 9,03327 Log. Al² = 2,2127202 Log. Al = 1,1063601 Al = 12,775 Log. BN ² = 1,992995 1 Log. BN = 0,996497 5 BN = 9,91957 Log. BL = 2,294025 1 Log BL. 1,1470125 BL = 14,02. zu hen 1 §. 590. Die Theilung der Triangel des III. IV. und VI. Falles laͤßt ſich auch ohne alle Rechnung durch eine leichte Conſtruktion bewerkſtelligen; die Auf⸗ gaben des §. 24. und 58. ſollen hier zu einem Beiſpiel dienen. 1.) Man theile die Grundlinie AC (Fig. 25. Tab. II.) in ſo viele gleiche Theile, als man den Triangel AbC zu theilen verlangt, hier in 3. in L und K, und beſchreibe aus F uͤber AC einen Halbkreis; errichte in L und K die Perpen⸗ dikel Kl und LM. 2.) Aus C beſchreibe mit den Halbmeſſern CI, CM die Kreiſe ID und MG, welche die Linie AC in D und G ſchneiden. 23.) Zieht man endlich durch die Punkte D, G die Linien DE, H mit AB parallel, ſo iſt der Triangel getheilt, wie verlangt wird. §. 60. Einen Triangel ABC (big. 26. Tab. II.) durch eine Conſtruktion in 5 gleiche Theile zu theilen, daß die Theilungs⸗Linien mit einer willkuͤhrlich aus C gezogenen Linie CE parallel laufen J 1.) Man theile die Grundlinie Al in 5 gleiche Theile in a, b, c, d; be⸗ ſchreibe uͤber die Abſchnitte AK, EB Halbkreiſe AQ und EDB. Aus den Punk⸗ ten a, b, c, d errichte man die Perpendikel aQ, be; cO und dD. 2.) Aus A beſchreibe mit den Halbmeſſern 4 Q., Ab die Boͤgen Q., PJ. Ebenſo beſchreibe man aus B mit den Halbmeſſern BD, B0 die Boͤgen DN, OL. 3.) Zieht man enblich aus den Punkten G, I, L, N die Linien, GF, IH, LK, NM mit CE parallel, ſo iſt der Triangel ABC, wie verlangt wird, getheilt. §. 61. Dieſe Beyſpiele werden hinreichend ſeyn, ſich auch einen Begriff zu machen, wie jeder Triangel in gleiche Theile, oder in Theile, die eine gege⸗ bene Verhaͤltniß haben, durch eine bloſe Conſtruktion zu theilen ſey. Bemerkungen zu §. §59. und 60. Aus den Conſtruktionen gehen ſolgende Demonſtrationen hervor: I1.) Man ziehe (Fig. 25. Tab. II.) noch [C, IA; CM, MA., ſo ſind die Winkel AlC, AMC im Halbkreis, folglich Rechte. (III. 31.) Nun iſt AC: IC = IC: CK (VI. 8. Zuſatz) d. i. AC: DC = DC: AC (weil 1C = DCund CK= ½ ACex constr.) woraus DC = V(31AC X AC) = ACV3; 2.) IJtt AC: CM = CAM: CL. (VI. 8. Zuſ.) AC: GC = GG: 2AC (weil CM= GCund CL= AC ex constr.) woraus GC = (32AC. AC) = . Dieſe in Nr. I1. und 2. gefundene Formeln ſtimmen vollkommen mit den Formeln in §. 24. Anmerk. I. uͤberein, und die Conſtruktion in F. 59. iſt dar⸗ aus hergeleitet worden. Aus der Conſtruktion in §K. 60 hat man, wenn noch (in Fig. 26. Tab. I.) die Linien AQ, QE; AP, PE; BD, DE; B0, O gezogen werden, bey P; D, O rechte Winkel in Halbkreiſen II. 31.); da denn 3.) AE: AQL = AQ: Aa (VI. Z. Zuſ.) AkbE: ACU = AG: 1AB (ceil A A und Aa = 34B (Constr.) Hieraus wird: AG* = 2AB X AE. 4.) AE: A? = AbP: Ab (VI. 8. Zuſ.) AE: Al = Al: 2AB (weil AP=Al und Ab = 2AB Constr.) Hieraus wird: Al? = 2AB Xι AE. 5.) BE: BD = BD: Bd (VI. 8. Zuſ.) BE: BN = BN: 2AB (weil BD = BN und Bd = 1AB Constr.) folglich BN ² = 2AB X BE. 6.) BE: B0 = 30: B0 (VI. 8. Zuſ.) BkE: BL = BL: 2AB (weil BO = BL und Bc = 34 Constr.) folglich BL= 2AB * BE. Dieſe in Nr. 3. 4. 5. 6. gefundene Formeln ſtimmen vollkonnnen mit den in F. 58, uͤberein, aus welchen die Conſtruktion in §. 60, hergeleitet worden. en gr⸗ ey II. Abſchnitt. Die Theilung der Trapezen. §S. 62. Die Aufloͤſung der Aufgabe in meiner praktiſchen Feldmeßkunſt §. 253. 4te Aufl. iſt ohne Zweifel die leichteſte Art, welche ein Trapez in zwey, drey gleiche Theile zu theilen lehrt. Verlangt man aber, daß die Theilungs⸗Li⸗ nien mit den parallelen Seiten des Trapezes parallel laufen ſollen, ſo reichen die daſelbſt angegebene Hilfsmittel nicht ſo weit, daß man dieſes damit bewerkſtelli⸗ gen koͤnnte. Es wird alſo darauf ankommen, hier zu zeigen, wie die Regel be⸗ ſchaffen ſeyn muͤſſe, durch welche die Theilung verrichtet werden koͤune, daß die Theilungs⸗Linien mit den gleichlaufenden Seiten des Trapezes parallel laufen. Geſetzt, ABCD (Fig. 27. Tab. II.) ſey ein Parallel⸗Trapez. Verlaͤngert man die nicht parallelen Seiten AC, BC gegen F, ſo entſteht ein Triangel ABF. GH ſey eine Theilungs⸗Linie und mit AB und CD parallel, und ſchneide, wenn das Trapez inn gleiche Theile getheilt werden ſoll, ½ von demſelben ab, ſo daß alſo CDH = 1ABDC ſey. Man ziehe noch von der Spitze F einen Perpendi⸗ kel FK auf die Grundlinie AB. I1. Es ſey gegeben: AB = a; CD = c; die Entfernung der Parallelen LK = b. Des Triangels CDF Hoͤhe FL ſey x, ſo iſt des Triangels ABF Hoͤhe 2) Weil AB: CD = FK : Fſ. oder a: cC = brX:; X Hieraus wird ax = bc + cx ax — CXx = b0 (a — C)xX = bo „ — do . H . – ₰ 2 3) Weil alſo die Hoͤhe X des Triangels PCD bekannt iſt, ſo iſt der Inhalt bez G 2 (a — c) 4) Inhalt des Triangels cb ABFE = ra X + b 1a α (ch-ab — be) D a — Cc a ?2h ——— 2 (à — Cc) — H 2 — — 60 5) Inhalt des Trapezes ABDC = (—) b 2 4ABDC = 2(—.) b a † CGN L. J = —) b. 6) Aus Nr. 3 und 5. ergiebt ſich der Inhalt des Triangels = be- - (à c) b GHF = C) — C2 2 †+ CcN 1. . ( 1 2n ) b — ( 2a ? — 20 ² ) b oaonon(a-0) 2n(a — c) zn (a — C) folglich GHF = (2 7) Weil nun ABF: GHF = AB ¹: CH', ſo iſt, wenn man die Werthe aus Nr. 4 und 6. ſubſtituirt, aab . (— —)b = a2 ; CGH'. 2(a — c) X 2n (a — c) ,„ „ a 2 L(n-—IC2* Hieraus wird a? 1 — 8 . = a ; CH? und 1 : — . = 1: oll’, olalich GEI a² † (n — 1) e olgalich OHI = —— folglich . und GH = /K(a? + 4 — ) . Dieſe gefundene Formel gilt alſo fuͤr die Theilungs⸗Linie CH, welche von dem Trapez A BCU abſchneidet, ſie ſoll die eeſte Theilungs⸗Linie heißen, und mit GH' bezeichnet werden. 61 8) Soll die Theilungs⸗Linie 2 von dem Trapez abſchueiden, ſo iſt 2ABCD = K. b, aus dieſem und aus Nr. 3. wird GHF = + )b ””URVU + ) t — (. ) b 2(a — c) . n 2a? + (n —2) c *NXI. — — b. 2 (a — Cc). n 9) Nun iſt ABF: CHF = AB¹: GH, die ie Werthe aus 4 u. 8. ſubſtituirt, a b . G +(n-— 2) c“* b= 2 : CII8. 2 (à — b) 2(a — c) — . Hieraus wird a : — = a*: GH? — 2 und 1 : 2( = I: CGIH;, n ich GII“ = 2² † — a)c⸗ folglich GH = H 2 2 n —2 2 Dieſe Formel gilt fuͤr die Theilungs⸗Linie, welche ½ von dem Trapez abſchnei⸗ det, man heiße ſie die zweite Theilungs⸗Linie, und benenne ſie mit GH'. ertte nirt, — §. 63. Gibt man auf die beyde in Nr. 7 und 8. gefundene Formeln ge⸗ hoͤrig Alchtung⸗ ſo wird man finden, daß der Zehler des Coefficienten 2 der Groͤße a in der Formel Nr. 8. um eine Einheit gewachſen iſt, der Coefficient 1— aber bey der Groͤße c um eben dieſelbe Einheit abgenommen hat. Da⸗ 2 jden durch iſt man alſo auf ein allgemeines Geſetz gekommen, durch welches man jezo, tt fuͤr jede folgende Theilungs⸗Linie, eine allgemeine Formel angeben kann. Bey der Theilung eines Trapezes von n gleichen Theilen iſt alſo 62 — GH = V(a' † (—u)e) die erſte Theilungs⸗Linie fuͤr die zweite — — — fuͤr 2 Gil = V(2a † (— 2) 2) die dritte — — — fuͤr 3 GH = (2a † (—) o2) die verte — — — für 4 GH = /(4a2 † (2—) c2 u. ſ. w. §. 64. D eſe Betrachtung fchien mir lehrreicher und bequemer, die Rech⸗ nung mit Buchſtaben zu fuͤhren. Lehrreicher, weil die einfache Formeln beym erſten Anblick eine kurze Ueber⸗ ſicht uͤber die ganze Operation darbietet. Bequemer, weil man fuͤr jede Theilungs⸗Linie ſogleich eine Formel ange⸗ ben kann, ohne noͤthig zu haben, den Calcul in F. 62. von neuem zu fuͤhren. Z. E. wenn man von einem Trapez irgend einen Theil, etwa ½, abſchneiden will, ſo iſt hier n = 38, folglich wird die Formel ſeyn fuͤr die Theilungs⸗Linie GH'n = /(a: + 2c ²). Dieſe Betrachtung zeigt zugleich, was durch eine leichte Buchſtaben⸗Rech⸗ nung ausgerichtet werden kann, und wie ſie zugleich ein Mittel zur Erfindung nuͤtzlicher und brauchbarer Regeln iſt. Anwendung des Bisherigen auf verſchiedene Aufgaben. J. 65. Aufgabe. Ein Trapez ABCD (Fig. 27. Tab. II.) in zwey gleiche Theile zu theilen, daß die Theilungs⸗Linie mit A parallel laufe. Hier iſt n = 2. Es ſey AB = a = 33 %; DC = C = 20⁰°. Mithin iſt die Formel GH = V(Ka + c²). Aus dieſer Formel folgt die allgemeine Regel: Man addire zur Helfte des Quadrats der groͤßeren Parallele AB, die Helfte des kleineren DC, und nehme aus der Summe die Quadrat⸗ wurzel, ſo erhaͤlt man die Laͤnge der Theilungs⸗Linie GH'’'. Berechnung. Weil Ja = 232er = 546, 12 zxc = = 200 (GH) == 746,12 11iR. und GH — 27093˙25. die Dieſes gefundene Maaß fuͤr OI trage man von B nach I; aus I ziehe man mit BC die IGQ, und aus G die H mit A parallel, ſo iſt das Trapez getheilt wie verlangt wird. ðð . Aus der obigen Formel folgt eine leichte geometriſche Conſtruktion, wo⸗ durch die Aufgabe ohne alle Berechnung leicht aufgeloͤst wird. Man zerlege die Quadrate der Formel a und c' in ihre Faktoren, ſo wird GH = (a. àa + c. Zc). Zu a und da wie auch zu c und ½ c, ſuche man ihre mittlere geometriſche Proportionalen, dieſe ſetze man unter einem rechten Winkel zuſammen, und ziehe die Hypothenuſe, ſo iſt ſie die Theilungs:⸗Linie. Die Conſtruktion ſelbſt iſt folgende: 1) Man ziehe CN mit DB parallel, theile jede von den Linien AB und BN bey E und f in zwey gleiche Theile. Ueber AB und BN beſchreibe man die Halb⸗ kreiſe AlB und NkB. 2) Aus den Punkten E und f errichte man die Perpendikel El, fk, welche die Kreiſe in 1 und Kk treffen; zieht man Bl, Bk, ſo iſt Bl die mittlere geome⸗ triſche Proportionale zwiſchen a und za, und Sk iſt die mittlere geometri⸗ ſche Proportionale zwiſchen c und 2c. (VI. 8. Zuſatz.) 3) Errichtet man endlich auf A an B den Perpendikel Bm, und beſchreibt mit Bl den Bogen Im, und mit Bk den BVogen kb, ſo iſt die Hypothenuſe mP die verlangte Theilungs⸗Linie, welche man von B nach I traͤgt, und 10 mit BD, und H mit Ab parallel zieht, ſo iſt das Parallel⸗Trapez durch eine geometriſche Conſtruktion in zwey gleiche Theile getheilt. §. 66. Aufgabe. Ein gegebenes Parallel⸗Trapez in drey gleiche Theile zu theilen, daß die Theilungs⸗Linien mit der Grundlinie AB parallel laufen. ABCD ſey das Trapez ABCD (Fig. 28. Lab. II). 1) Weil hier n = 3, ſo iſt die erſte Theilungs⸗Linie die zweite GH“ = Wͤ(a †+ c) † d. 63. Es ſey AB = a = 31 %; CD = c = 16⁰8,, ſo iſt die Berechnung fuͤr die erſte The ungs⸗Linie 1) fa? = 2n 334,9 633.. 3 30² — — =— 18 8, 16 == 22⁰, 87 I8 „„ 2) Berechnung der zweiten Theilungs⸗Linie za = — = 0 6 9, 9 2 66 3 122 — I1778XI6,8 (GhH“) 2 —= 764,0066 Das fuͤr OH und GH gefundene Maaß trage man auf AB von B nach F und E, ziehe F& und EG“ mit BD, und GH, GH' mit AB parallel, ſo iſt die Thei⸗ lung vollendet. Die geometriſche Conſtruktion wird ebenſo gemacht, wie die §. 65. K. 67. Um alſo die Formeln in J§. 63. auch auf andere Aufgaben, welche ein Trapez nicht in gleiche, ſondern nach einem beſtimmten Verhaͤltniß zu thei⸗ len verlangen, anzuwenden, ſo merke man ſich, daß die Theilung vermittelſt dieſer Formeln immer von der kleineren parallelen Seite des Trapezes an ge⸗ ſchieht, und daß jede folgende Formel auch den Werth der unmittelbar vorher⸗ gehenden in ſich enthalte. Dieſes vorausgeſetzt, ſo wird folgende Aufgabe leicht koͤnnen verſtanden werden. Aufgabe. Ein vorgelegtes Trapez ABCD in drey gleiche Theile alſo zu theilen, daß auf den erſten Theil, welcher an der kleinern Seite CD liegen ſoll, 2 des Ganzen, der an dieſem liegenden = des Ganzen, und der dritte Theil den Reſt, der noch ¾ iſt, enthalte. (Fig. 29. Tab. II.) Geſetzt, GH und H ſeyen die geſuchte Scheidungs⸗Linien, ſo iſt CDGH = gABCD unnd CDCG H = (1 + à) = 44 BCD, folglich iſt die Scheidlinie, weil hier n = iſt, fuͤr und fuͤr iſt G H = ͤ(Aa + 4c²) ) ; 3. Fuͤr den dritten Abſchnitt ABG“H hat man keine Formel noͤthig, weil derſelbe, wenn die vorhergehende einmal abgeſchnitten ſind, von ſelbſt uͤbrig bleibt. 1) Berechnung von GH = W(za? + Jc ). Es ſey AB = 27 ; CD = 18 ⁸⅝ ſo iſt a = 2ei 9 4,53125 c2 =— E = 309, 16 (GH) 2 — 403, 6 9 1 2 5 ,, 11, 111 GH —= 200°, 09 2 Z*. A. des dje hel⸗ che ei⸗ elſt ge⸗ er⸗ cht l, eil 2) von G'H = /(4a: + 40c²) 4 a — — 37 8,125 8 402 — — 176, 72 (E/H) == 55 4, 845 G H = = 23 75 5 5 F. 68. Aufgabe. Von einem gegebenen Parallel⸗Trapez ſoll man dem A. die Helfte, dem B. drey Viertel und dem C. vier Fuüͤnftel zutheilen Oder das Trapez (Fig. 29. Tab II)) ſoll ſo getheilt werden, daß ſich die Theile wie die gegebene Bruͤche verhalten 2 ₰: 2. Aufloͤſung. Man bringe die gegebene Bruͤche auf gleiche Benennung, ſo iſ 1 2 0°2 „ 1I „Le. . *; 34 42 — 25 2 x3; 20* Mithin verhalten fich die gegebene Theile auch 5 2 wie X * 23 : 2 oder welches gleichviel iſt, wie die ganze Zahlen Nach dieſen Ausdruͤcken bekommt alſo A. 10 Theile, B. 15 und C. 16 Theile. Man muß ſich alſo hier das ganze Trapez in 10 + 15 † 16 = 41 Theile ge⸗ theilt, vorſtellen. Hier iſt alſo n = 41. Hieraus ergibt ſich fuͤr die erſte Theilungs⸗Linie GH = V(ia † 22)c¹) §. 63. oder G H = (1† a — 40¹²), Fuͤr die zweite Theilungs⸗Linie GH = (* 8 ½1) a (4— 1 3) c ) 2* * * 4 47 oder G“H = W(2a? + 4c²). Wenn alſo wie vorhin AB = a = 275; CD = c = 18⁹887, ſo iſt die Berechnung fuͤr G H J Log. 10 = 1,0000000 Log. 41 = 1,6 127839 0,3872161—I 2 Log. a = 2,8786654 Log. 2a2 = 2,2658815.4 1àa = 184,454 Log. 31 = 1,49 13617 Log. 41 = 1,6 127839 0,8785778—1 2Log. c = 2,54 83 156 Log. 1 C = 2,4268934. 1Cc2 = 267,235 (GH): 451,689 G. = 258 25 367. Berechnung fuͤr G'H Log. 25 = 1,3979400 Log. 44 = 1,6 127839 0,785 1571—1 2Log.a = 2,87 86654 Log. 1a? = 2,6638225 7 a = 461,229 Log. 16 = 1,204 1200 Log. 41 = 1,6127839 0,50 13361—1 2 Lg. c = 2,5483 156 Log. ½ c? = 2,13965 17.40c =— S (G/H): — 599, 1 B . GIHI = 24 ,nn. F. 69. Auf eine andere Art einen Punkt T auf dem Perpendikel CI (Fig. 27. Tab. II.) zu finden durch welchen die gerade Linie OGH mit Aß pa⸗ rallel gezogen, einen beſtimmien Theil von dem Trapez abſchneidet, lehrt fol⸗ gende Betrachtung Man ziehe auf AB aus C den Perpendikel CI, und CN mit BD parallel. IH ſey eine Theilungs⸗ Linie, und ſchneide von dem Trapez ABDC einen ge⸗ gebenen Flaͤchenraum p ab. ind l „ l⸗ Es ſeh A = a; DC=c; CI=bz CI =x; CH = y., ſo iſt AN = AB — ſpo! = = à — C und GR = GH— = V — 1) Nun iſt in dem Triangel ACN AN : GR = : CT . oder a—= c: y— C = 2 3 X, WD hieraus wird X = . 2— C 2) Iſt der Inhalt des Trapez GHCD = = P = — X, und wenn man den Werth von Nr. 1. ſubſtituirt, C ſanien d —— (E b 4— 0° hieraus wird y?* . 4 + C². Es ſey p = ABCD = ( P); dieſen Werth in Nr. 2. ſubſtituirt, ſo wird y = 20 4 b) ) + C2 — (a-c) (a — c) + C* a2 — c2 nce= = 4 ()en und y = (na — ) ca) und wenn man den Abeh von y in Nr. 1. ſulſtituirt, R—— e ſo wird X = CTY = — CT = — . (— a: + WV(Ha? + ()e⸗ . ter dem Wurzelzeichen ſteht, iſt eben die 4) Das, was in dieſer Gleichung un ichts anders als die Theilungs⸗Linie GH’'. Formel in §. 62. Nr. 7. und iſt ni Demnach iſt CI“ = )(61-—.). JI 2 — 68 FK. 70. Nach den in §. 63. gemachten Bemerkun en, wird zweite Theilungs⸗ Linie aus der Formel (§. 69. Nr. 3. 3 wird alſe laͤr di⸗ fuͤr . oder CT“ = (£ ). (— C PV (a fuͤr 2 oder CI“= (— ) . (— c+ (2a⸗ E 1. fuͤr 2 oder cxI = . ). Ea⸗ — )c: . fuͤr — oder CT" = (. 5). (=— † Ga: + (— —),). §K. 71. Man verlangt nach dieſen Formeln ein Trapez A Tab. II.) in drey gleiche Theile zu theilen. pez ABCD Ge. 28. Es ſey AB= a e 31 87, DC== 20; CS=b= Ia . hier n = 3 iſt, ſo iſt 4 4 Weil alſo fuͤr die erſte Theilane⸗ Linie GH für die zweite CL = (59. (— c †+ Pae er. 1) Berechnung der erſten Formel: 2 „ zc = 266, 6666 .. WV(ga †+c = U603,7 466 = 24,32 — 200 A⅓ 14,4 % multiplicirt, gibt 11,8 Fec = 527˙8 „, — ſel Pen r die 65 2) Berechnung der zweiten Formel: V(ꝭa + zc²) = V 807,4933 = 20 —„ = 14,4 multiplieirt, gibt 11,8 =— 180 2 69, F. 72. Ein Trapez ABCD (Fig. 28. Tab. II.) das 373 Ruthen haͤl ſoll in drey gleiche Theile getheilt werden. Der erſte Theil ſoll 120, ſe zolt, 184° und der dritte den Reſt erhalten. Die Theilungs⸗Linien ſollen mit AB parallel gezogen werden. Auch hier gelten die Bemerkungen §. 63. u. ff. Weil hier n = 373 iſt, ſo iſt fuͤr die erſte Theilungs⸗Linie äsäl b CT = LV (S32 ; c) cl. (=. = lG † 453c — c]. (:), die zweite Theilungs⸗Linie CT“ = [v ( + 223 de—d. (—, = Iva † h c²)—,l. (. ). Es ſey wie im vorigen F. A = a = 310S; CD = c= 20; CS= b= 10 4’. 1) Berechnung der erſten Formel CT’. Weil die Zahlen groß ſind, ſo gebrauche ich Logarithmen, Log. 120 = 2,0791812 Log. 373 = 2,5717088 0,5074724 — 1 2 Log. a 3,0048544 — Log. (123a²) = 2,512 3266. (3 3 a) = 325,3319 Log. 353 = 2,5477747 Log. 373 = 2,57 17088 0,9760659 —1 2 Log. G = 2,6020600 Log. (333c¹) = 2,5781259 ⸗(33 0c2²* = 3798,5521 V(52sa PTP3330 *)= P 703,8840 26²5 8‧44 20 6,5 8 ( b =144 multiplicirt 1 1/ 8 gibt fuͤr CI“ = 860,3 2) Berechnung der zweiten Formel C(I“:; Log. 304 =– 2,4828736 Log.373 = 2,5717088 0,9 111643—1 2 Log. a = 3,0048542 . Log. (323a?) = 2,9 160190. (394a²) = 824,174 Log. 69 = 1,83 88491 Log. 373 = 2,57 17088 0,2671403—1 dog. c = 2,6020600 (32a †+ ce) /808,a = 29,96 1 b - 1,96177 multiplicirt 4 — 6G “H 1 1, 8 gibi fuͤr CT = S 111676 1 251558”6. §. 73. Weil der unter dem Wurzelzeichen ſtehende Theil der Formeln CI, CTI u. ſ. w. nichts anders iſt, als eine Theilunss⸗ Linie wie GH/, GH“ hie⸗ tion⸗ gefu lebi und ſe tion die Tr go⸗ des T gege W u. ſ. w., deren Conſtruktion oben §F. 65. gelehrt worden, ſo wird, wenn man alſo die Linien in den Formeln ſelbſt ſubſtituirt: CT = (—) (GH— c) CT“ = (—) (GHI“-—c) und weil (— — CS; und c = D C, C S ſo wird CT’ = X (GH— DC) das iſt CI = 6 Wα¾ GV und C T”= D X GV“ u. ſ. w. Hieraus wird fuͤr CT“ AN : GV = CS : CI/ und fuͤr CT“ AN : GV = CS: CI“. Hieraus folgt demnach, daß CT’ nichts anders als eine vierte geom. Propor⸗ tionale zu A N, GV“, CS; und CT“ zn AN, GV“, Cs ſey, welche Linien leicht gefunden werden koͤnnen. Man zieht nemlich in den Punkt A eine gerade Linie AW unter einem be⸗ liebigen Winkel, und macht NO = GV, AQ= CS; zieht man hernach NQ. und mit ihr die OX parallel, ſo iſt QX die erſte vierte Proportionale CT“, die man auf den Perpendikel CS von C nach L’ traͤgt. Ebenſo mache man NR = GV“, und ziehe KX mit NQ parallel, ſo iſt QV die zweite Propor⸗ tionale CI“, die man ebenfalls von C nach I“ traͤgt. Zieht man endlich durch die gefundene Punkte P’, T“ die Linien GH’, GH“ mit AB parallel, ſo iſt das Trapez getheilt, wie man verlangt. F. 74. Aufgabe. Auf die Grundlinie eines gegebenen Triangels ein gleich großes Trapez zu zeichnen, daß die andere Seite deſſelben mit der Grundlinie des Triangels parallel laufe, und daß der eine Winkel an der Grundlinie, ein Winkel des Trapezes, der andere Winkel an eben dieſer Grundlinie aber einem gegeben Winkel « gleich ſey. ABC (Fig 30. Tab. [1.) ſey der gegebene Triangel, der Winkel an E ſoll unveraͤndert bleiben; « ſey der gegebene Winkel. An das andere Ende der 22 Grundlini⸗ 0 lege man einen Winkel BCFE = bdem gegehenen 5 ziehe die AF mit BC, und AH mit CE parallel. Analyſis. DE ſey die Linie, welche das Trapez BDEC dem gegebenen T Tri angel ABC = abſchneidet. Weil AF und DE mit D0C, welche leztere der Lage und Groͤße nach gege⸗ ben, parallel iſt, und die beyden Winkel ABC, BCE gegeben ſind, ſo ſind, ſo⸗ wohl AF, DC, wie auch AB und CF der Lage nach gegeben (dat. 28— 32). Und weil AB auch der Groͤße nach gegeben, ſo iſt das Trapez ABCF gegeben, und Af iſt der Groͤße nach gegeben, folglich, wenn AH mit FC parallel gezogen wird, ſo iſt HC = AF (I. 34.) gegeben, mithin auch der Punkt H und BH (dat. 4.). Beſchreibt man uͤber 80 einen Halbkreis, und errichtet aus H den Perpendikel HI, ſo iſt der Halbkreis CIB und IH der Lage und Groͤße nach ge⸗ gegeben, und wenn man 10 zieht, und CC = IC macht, ſo iſt folglich auch IC und GC (l. 47. ) der Groͤße nach gegeben, und es iſt (nach VI. 8. Zuſ.) BC: GC = GC: HC; zieht man enblich GD mit AH parallel, ſo iſt 568 der Lage und Groͤßte nach gegeben, weil der Winkel DB = ECG = « gegeben, mithin iſt der Punkt D und die Linie DE gegeben. Conſtruktion. 1.) Ueber BC beſchreibe man einen Halbkreis BIC, und errſichte in H den Per⸗ pendikel HI. Mit Cl beſchreibe man aus C den Bogen IG, welcher die BC in G ſchneide. 2.) Zieht man endlich aus G die GD mit AlH parallel, welche die AB in D ſchnei⸗ det, ſo wird die durch D mit BC gezogene Parallele DE das verlangte Tra⸗ pez BDEC begraͤnzen, welches dem gegebenen Triangel ABC gleich ſeyn wird. Beweis dieſer Conſtruktion. Man ziehe noch DC. Wweil 6C = DE und HC = AF, ſo iſt 1¹) BG: DE = DE: HCG (VI. 8. Zuſ.) BC-DE: DE —HC = BGC : DE d. i. BG : HG = BC: DE. Hieraus BG T+ HG: BG = BC + DE: BC d. i. BH : BG = BC + DE: BC. 2) Nnn iſt in dem Triangel ABH BH : BGE = AB : BD (VI. 2.) folglich BC-—DE: BC = AB : B5 (V. 1I1.) nd nd 3) Auch iſſt DBC : DCE = BC : D-E (VI. 1.) daher auch DBGC bcCE: DBC = BCTDE: BGG d. i. DBCD : DBC = BCTDE: 30. Aus Nr. 2 und 3. wird DBCE : DBC = AB: BD (VI. rI.) 4) Nun iſt DBC : ABC = BD : AB (VI. I.) Aus den 2 letzten Proportionen wird ordinatim ex xdus DBCE : ABC = AB ‧ AB, folglich DBCE = ABCG. (v. 9.) Berechnung. 5) Man mache HC = A, und ſuche zu HC und BH eine mittlere geonetti⸗ ſche Proportſonale HI. H I = Hl: BH (VI. 8. Zuſ.) HCX B 2 hieraus IIIaD Nun iſt 10²¾ ries (I. 47.) ICa H foglich HC W BH+ HC = (BH + HC) HC. daher DEAI = BC XHC und DE = ͤ (BC. HC). Verlangt man den Abſtand oder die Entfernung DkK der beyden Seiten BCund DE, ſo iſt DK = = A (DEBC) DK = BCXAI. BC AL. DK = 5 E + BG Es ſey BC = 325; AL= 18⁰83 AF = HC= 24 59 Log. BC = 1,5132176 Log. C = 1,3891661 Log. DE = LI4511918. DE = — 28 2ᷓ693 Lag. BC = 1,5132176 L Log. Al⸗ = 1222 157 2,7873754 Log. (DE T BC) = 1,7843534 Log. DK = ,0030220. DK 2= = 10⁰07. Wie dieſer Saßs angewendet werde, wird ſich im Folgerden zeigen. §. 75. Aufgabe. Ein Parallel⸗Trapez in zwey gleiche Theile ſo zu thei⸗ len, daß die Theilungs⸗Linie nicht mit den gleichlaufenden Seiten deſſelben, ſon⸗ dern mit einer andern der uͤbrigen Seiten BC, AD parallel laufe, (Fig. 31. Tab. II.) Hiebey merke man vorlaͤuſig Folgendes: 1.) Man verlaͤngere die kuͤrzere Parallele CD nach k, und ziehe ED mit BC parallel. Hierauf theile man AE in 1 gleich, und ziehe IK mit ED parallel, ſo erhellt aus der Zeichnung, daß der Triangel ALD = Prllgr. IKDE, und wenn beyderſeits das Prllar. EBCD hinzukommt, ſo iſt Trapez ABCD = Prllgr. IBCK. 2.) Theilt man EB in zwey gleiche Theile, und zieht durch den Halbirungs⸗ Punkt mit BC eine Parallele, ſo iſt ſowohl das Trapez APCD, als auch das Prllgr. IBCK in zwey gleiche Theile getheilt. 3.) Dieſe Theilungs⸗Linie falle nun in D wie DE, ſo iſt . 4AE = EB, folglich muß ſeyn AE = 2 ſ56 ½¾ 4.) Wenn alſo AE iſt als 2EB, ſo iſt auch AE D .tEBCD, und in die⸗ ſem Fall muß die Theilungs⸗Linie unterhalb ED in LM fallen. 5.) Iſt AEL Wι 2EB, ſo muß die Theilungs⸗Linie oberhalb ?D iu FH fal⸗ len, weil in dieſem Fall ALD auch . EBCD iſt. ðè 6.) Was nun Nr 3. betriſt, ſo kann man in dieſem Fall die Theilungs⸗Linie ED unmittelbar durch D mit BC parallel ziehen. . 7.) Im zweiten Fall Nr. 4. (Fig. 32. Tab. II.) zieht man ED mit BC parallel, und halbirt den Abſchnitt AE in l. Wird nun I oder das Maaß der⸗ ſelben in L halbirt, und LM mit BC parallel gezogen, ſo iſt das Trapez, wie verlangt wird, getheilt. “ 8.) Im dritten Fall Nr. 5., in welchem AE ι 2EB (Fig. 33. Tab. III.), iſt allerley zu merken: Man ziehe ED mit 8C parallel, halbire AE in I, und ziehe 1K mit ED parallel, bis ſie der verlaͤngerten CD in K begegnet, alsdann iſt Prllgr. IBCK = dem Trapez AbBCD. Man halbire Bl in F, und ziehe FH mit ED parallel, ſo iſt FBCH = 4 Prllgr. IBCK = ¾Trapez ABCD. Weil aber der Triangel OHD außerhalb des Trapezes ABCD faͤllt, ſo iſt Trapez FODCB æ—AFO, und folglich auch — ¼ Trapez ABCD, und zwar um den Triangel OHD. Damit nun FODCB = ¾A BCD werde, ſo mache man N⸗ Dieſe ziehe gebe meine Heer⸗ ngb⸗ das FN = FE, und zfehe ND, ſo iſt der Triangel NED = Prllar. FEDIHI. Dieſen Triangel NED verwandle man nach §. 73. in ein Trapez QEDR, und ziehe QK; ſo iſt QBCDR = ½ Trapez ABCD. 9.) Aus dieſer Conſtruktion laͤßt ſich ſowohl fuͤr die Berechnung der Auf⸗ gabe des letzten Falles als auch fur die Berechnung des Punkts N eine allge⸗ meine leichte Regel ableiten. Weil AB — 156 = AEF 4 AB — DC) =– IE (weil 1AE = IE Conſtr.) (AB — DC) = N weit IE = BN Conſtr.). 10.) Weil der Triangel ANP und PUD aͤhnlich, ſo iſt AN: N? = DU: (Eo— NP (VI. 4.) AN: NP = NE: BC—– Nb (weil DU= NE und NU= BC). Hieraus wird ANBC— NP) = NPXNE (VII. 19.) AN x BBC – AN X NP = NP X NE AN W BC = NP NE + AN X NeP AN X BC = (NE + AN) Np. Weil NE + A N = AE, ſo iſt AN K BC = AE. X Nbe, aber AN = AB — BN, BN) BC = AE X NP, und weil nach Nr. 9. BN = 2 (AB — DC) demnach (AB-=— — I(AB—DC)) BC = = ALX NP d. i. 2(AB + DC) BC = AE X Nb, folglich NP = H B6) * BC (weil AE = AB-=— DC), 11.) Weil nun nach der Analyſis J. 74. Ne: QK = = R: 1k 4½, ſo wird () BC: QR = QR: BC. AB-DC Hieraus QR = (A 50) C (VII. 19.) 8B D0 und QR = BC † U a 55) 12.) Die Theilungs⸗Linie findet man alſo, wenn man die Summe der parallelen Seiten des Trapezes mit der doppelten Differenz derſelben dividirt, und aus dem Quotienten die Quadratwurzel extrahirt, und die Wurzel mit der Seite BC, mit welcher die Theilungs⸗Linie parallel gezogen werden ſolle, mul⸗ tiplicirt. .“ 13.) Beyſpiel in Zahlen. Es ſey BC = 22 ‧66 DC = 8 2 AB +DC = 45,2 AB — DC = 31, 8 Log.AB + DC = 1,6551384 Log.2 (AB—DC) = 1,8034571 “ p X 1,85 168 13—2 Q (SCABECo QDT H Log. /(C. = 0,925 8406—ç; 7„ Log. BC = 1,3541084 Log. QK = 1,2799490 QR = 19°0°“2337* genau. 14.) Weil es umſtaͤndlich und muͤhſam iſt, die gefundene Theilungs⸗Linie 1 Q mir ED oder B0C auf dem Felde parallel zu ziehen, beſonders wenn man blos auf die Feldmeß⸗Scheibe eingeſchraͤnkt iſt, ſo muß man den Inhalt des Triangels NED ſuchen, und denfſelben mit dem Inhalt des Trapezes QEDR, deſſen parallele Seiten ED, QR man jezo kennt, vergleichen, und den Abſtand der Parallelen finden und meſſen. Man faͤlle nemlich aus dem Punkt N den Perpendikel NV, ſo iſt —= I e + QRI X — (BC +† R) WV ED NV EDxNV WV = 5TRX Aus Nr. 13, iſt 58 ½ = 2 2⁰°6 S — 19 2 075 2 31 v7* „ BC-†Q = 4 1,6 5 2 3 7ʃ der gemeſſene Perp. NV = 8°⁸ au bor de D de die fil he⸗ e le, 2 der itt, der nul⸗ nie nan des and Log. PD = 1,354 1084 Log. N V = 0,9444827 — 2,2985911 Log. BC-+ QR = 1,6 196397 Log. WV = 1,67895 14. WV V = 4 7 7 4 5171707. Traͤgt man dieſes Maaß auf den Perpendikel NV von V nach W, ſo laͤßt ſich aus dem Punkt W die Parallele QK leicht mit der Winkelſcheibe abſtecken. §. 76. Weil ſich das Bisherige nur auf den Fall einſchraͤnkt, wenn das vorgelegte Trapez in zwey gleiche Theile zu theilen verlangt wird, ſo wird es ſich der Muͤhe lohnen, auch die Faͤlle u unterſuchen, wenn das Trapez in n gleiche Theile getheilt wird. Hiebey koͤnnen nun folgende Faͤlle ſtatt finden: 1) Entweder faͤllt die erſte Theilungs⸗Linie ED in den Punkt D ſelbſt, und die uͤbrigen uͤber ED gegen A (wie Fig. 34. Tab. III.). Wenn alſo, wie in dieſem Fall angenommen wird, die erſte Theilungs⸗Linie ED in den Punkt D faͤllt, ſo kann man dieſelbe unmittelbar aus dem Punkt D mit BC parallel zie⸗ hen, wo alsdenn das Prllgr. EBCD = † des ganzen Trapezes iſt, und der ab⸗ geſchnittene Triangel AED enthaͤlt, wie der Augenſchein lehrt, noch n— 1 Thei⸗ le, welche man (nach F. 20. 21.) mit ED parallel abſchneidet. II) Koͤnnen die Theilungs⸗Linien alle unterhalb ED fallen. In dieſem Fall zieht man ED mit BC parallel, und halbirt AE in K. Hernach theilt mau BK inn gleiche Theile, und zieht die Parallelen F&, Hl mit BC (Fig. 35. Tab. III.). nn Koͤnnen alle Theilungs⸗Linien oberhalb ED gegen A fallen. Hier ſoll folgende Aufgabe die Sache weiter erlaͤutern. ABCD (Fig. 36. Tab. III.) ſey ein parallel Trapez, das in n gleiche Theile getheilt werden, und die Theilungs⸗Linien mit der Seite BC parallel ſeyn ſollen. Conſtruktion. M 1.) Aus D ziehe man die DE mit BC parallel, halbire AE in I, und ziehe IK mit ED parallel, ſie wird der verlaͤngerten CD in K begegnen, ſo iſt Prllgr. IBCK = Trap. ABCD. 2.) Theile man IB inn gleiche Theile, und ziehe aus den Theilpunkten die mit BCParallelen FH, ST u. ſ. w., ſo iſt das Prllgr. BIKCin n gleiche Theile getheilt, und es iſt Prllgr. BF HC = Prllgr. = Trap. ABCD. 3.) Es iſt aber BFHC = Trap. BFGCDC + GDH, ſolglich BFGDC BFHC und zwar um den Triangel GHD, welcher außerhalb des Trapezes ABOCD liegt. 4.) Damit nun BFCDC = 1 Trap. ABCD werde, ſo mache man NF= EF, und ziehe ND, ſo iſt der Triangel NED = Prllgr. FEDH. 5§.) Dieſen Triangel verwandle man nach §. 73. in ein Trapez EQRD; ſo iſt QBCDR = 4 Prllgr. IBCK = 1 Trap. A BCD. 6.) Aus dieſer Conſtruktion ergibt ſich folgende Rechnung. Zuerſt beſtimme man den Punkt N. BN =– FB + FE = FB + FB — EB (weil FE= EB—EB) = 2 F B – EB = 315 – EB (weil FB = xIB) 21B— nEB E (weil IB = AB- AE= 24BAB--nEBB — 4 8 — AE nEB AEAr) 22B- Al E— E B— („ — 1) EB A e 8 (weil vEB = EB — (n — 1) EB) (weil — AE— EB = = A B) = — (weil EB = = D0). 7.) Weil nun die Triangel ANbP, OD ahnlich ſind, ſo iſt AN: NP = DU: (E — Nb (V. 4.) AN : NP = NE : 86— Nb (weil DU= NE u. NU= BC). Hieraus wird AN X BC —– ANNXNP = NEXNP ANX BG = NP(AN +NE) ANNX BC = NPX AE (weil AN+NE = AE) (AB — BN) X BC = NPX AE (weil AN = AB — BN) ABABHKEX—l C) ,BCENPxAE (weil BN = —“—⁄n N 10) 79 (AEGHαπςh . BC = N oA ODW— e π⁵hAB DC) BC= NPXAE. Weil aber AE = AB — DC, n 5 ſo iſt ()CAE C) X BC = NP xX (AB-= DC), — 1N (A BP PDc) – ſſt folglich ((— . 30* X B0C. R g.) Weil nun nach der Analyſis in §. 73. nie NP: R —(MK: : 18 , . 1— 1 + ſo iſt (—Do X— 5 D BC: Q = Qt: BC Rr 7.) Hieraus wi wird R = =— (—) (Rttn) „ BCi KR [GS —) *X— 55 9.) Man findet alſo die erſte Theilungs⸗ -Linie QR bey n gleichen Theilen, wel⸗ che uͤber ED faͤllt, die demnach mvon dem gegebenen Trapez AB CD = 90CK abſchneidet, wenn man den Quotienten der Differenz in die Summe der parallelen Seiten 33100. mit multiplicirt, und aus dem Pro⸗ dukt die Quabratwurzel nimmt, und die Wurzel mit der Seite BC, mit welcher die Theilungs⸗ Linie parallel gezogen werden ſoll, multiplirirt. 10.) Beyſpiel in Zahlen, fuͤr 3, gleiche Theile, Es ſey BC = 20 ⁰4 AB = 42 7 bC e AB+ DC — 48, 1 „ n 3 Log. A B+ DC = 1,6821451 Log. AB — DC = 1,5763414 ⸗ 0,1058037 80⁰ — Log. 3 = 9,5239087—1 1,9297124—2 n — 1NAB-PDCG 94 Log. 5— 506 – 0,9648562 — rI Log. BC = 1,3096 302 Log. QRR = 1,2744864 QR = 18 ů°1 4237. 11.) Da man jezo die Laͤnge der Theilungs⸗Linie QR kennt, ſo kann man den Triangel NED mit dem Trapez QRDF vergleichen, und ſeine Hoͤhe VW. ſuchen, um die QK mit ED bequem parallel ziehen zu koͤnnen, Es iſt nemlich CR Ee *Xι VW. = N (QR BGC) X VW = NNxBG QRTBG Es ſey der gemeſſene Perpendikel NN = 5°38’. Aus Nr. 10. iſt QR. = 18 *S,1 4) 2 * 3* und BC. =— 200°4 QRX BC = 39 2 1 4 2 3 Log. NW = 0,7634280 Log. BC = 1,3096302 2,5730582 Log. QR† BC = 1,5934436 Log. VW = 0,4796146 V = 300"1 7"2 v. 12.) Weil alſo das abgeſchnittene Stuͤck QBCDR = ABCD = 34BCD iſt, ſo iſt der Triangel AQR noch — ABCD = 44BCD, mithin wird die noch uͤbrige Theilungs⸗Linie LM nach §. 20. und 21. gefunden. Dort iſt nemlich D = ACXN V, hier AL = AQX V AQ = AB – GB. Wenn nun QB = 8° 87 gefunden wird, ſo iſt: AQ = 42 9² — 8* 8¹ AQ = 34 1 daher AL = 34 1 V ——,—£ 2 den W. noch Log. 34 r“ = 1,5327544 Log. H2 = 0,8494850— I Log. A Q = 1,3822394 àA = 24⁰ I 132 3 r4s. Traͤgt man das gefundene Maaß von ACQ., von A nach Q, ſo kann man durch Q ieeate Scheidlinie ziehen, und ſomit iſt das Trapez, wie verlangt wird, getheilt. IV.) Iſt noch der Fall zu betrachten uͤbrig, wenn einige Theilungs⸗ Linien uͤber, einige unter ED fallen. (Fig. 37. Tab. III.) 1.) Hier wird abermal die ED mit BC parallel gezogen, und AE in I halbirt. Verlangt man alſo, daß das Trapez in n gleiche Theile getheilt werden ſoll, ſo theile man IB in n gleiche Theile. Da ſich nun die Theilungs⸗Li⸗ nien durch die Punkte H, M, Sꝛzꝛc, welche unterhalb ED fallen, unmit⸗ telbar mit BC parallel ziehen laſſen, und keine beſondere Rechnung erfor⸗ rern⸗ ſo hat man die Theilungs⸗Linien, welche oberhalb ED lallen, zu be⸗ richtigen. „7 1 2.) Weil in der III. Conſtr. 1. FB = 1IB, ſo wurde BN = AB=(— ) pc. III. Nr. 6. wird nun FB = 21B 318 4IB u. ſ. w. ſo wird auch BN = A-()D = 4—( 2)DC u. ſ. w. Demnach auch nach III. Nr. 8. R= BCXVX“) (AEEGE 1 QR = BCX ) X* G TDe) 1 OR = BCRX. d) . ſn. 2.) Aufgabe. Das Trapez ACD ſoll in 5 gleiche Theile getheilt werdben. Es ſey BC = 27 2122 46 = 66 14, DC = egg AB + DC = 102, 2 . .- A8. DC = 36, 6 Fe lkeite Log. a.De = 2,0094509 Log . 4 — DC = = 1,5634811 it: 0,4459698 te Log. 5 = O3010300 — 1,746999 8 — 2 kern 9,87 34999—1 Log. BC = 1,43 13638 B Log. QRK = 1,3048637. CR = 20 173 3 3*7 r EN guch 4.) Weil QRTſs X — NVXR 2 (QR + BC X WV = N ”” WV = ☛† 6o6;- “” Es ſey der gemeſſene Perpendikel NV = 15 4 . e= = 20,17333 Rr. 3* BC = 27 1„ KRPrc = 47,17333 Log. NV = I,1875207 Log. BC = 1,4313638 Log. CR BC = 1,6736965 Log. WV = 0,945 1 980, W V = 8°g'1. 4 5, 5.) Da man alſo die Entfernung WV der beyden bekannten Parallelen ED, Qg kennt, ſo laͤßt ſich durch Huͤlfe derſelben die QK leicht mit der Winkel⸗ ſcheibe abſtecken. . 6.) Weil unn durch die gefundene Theilungs⸗Linie QR ¾ von dem Trapez ABPCD abgeſchnitten ſind, ſo iſt der Triangel AQR = ½ABCD. F. 77. Hieher gehoͤrt noch der Fall, wenn die Theile eine gegebene Ver⸗ haͤltniß zu einander haben, das nicht die Verhaͤltniß der Gleichheit iſt. Dieſes leitet uns nun auf die Aufgabe: Ein gegebenes Trapez ABCD (Fig. 38. Tab. III.), in welchem zwey Sei⸗ ten parallel ſind, in § Theile zu theilen, daß ſich die Flaͤchenraͤume verhalten wie m: r: s 21 4q: p. Ob ſich nun gleich fuͤr dieſe Theilung eine allgemeine Formel aus dem vor⸗ hergehenden ableiten ließe, ſo ſoll doch um der Deutlichkeit willen der ganze Cal⸗ cul aus der Fig. 38 Tab III. abgeleitet werden. Wenn man nach dem Vorhergehenden das Trapez ABCD in das Prllar⸗ IBCK verwandelt, K ſo getheilt und die Linien ST, MO, FH, GL mit ED parallel gezogen hat, daß ſich die Abſchnitte 18, 8 M, MF, FG, GB, folglich auch die Flaͤchenraͤume ICFK, GMOF, MFHO, FGLH, GBCC verhalten wie mir:s: q : p, ſo mache man noch FN = FE, und ziehe ND. 1.) Vorlaͤufig ſey auch m + r †+ s †+ q + P = n. 2.) Weil BN = BF + FE, ſo iſt BN = 2 BF — EB (wegen FE = BF— EB) BN = (2) (21B) — EB (weil BF = AIyB) BN = (2) (2AB — AE) — EB (weil IB = AB AE) BN = (H) 2AB — AB T† EB) — EB (weil AE = AB — EB) BN = (EHA) (AB PDC) — DC (weil EB = DC) BN = (H“) A † (—αC- BN = (2) A † (—. L 2 Nun iſt aus Nr. J. p + q = n — (m + r + ⁸) folglich BN = (— 12) AB † (— r n) DC d. i. BN = (— )AB — (—— DC. 3.) Nun ſind die Triangel ANP, PUD aͤhnlich, dahe AN: NP = DU: o— Ne VI. 4 AN : NP = NE: BC — Nb (weil Du=NE und NU=BGC) Hieraus wird ANX BC—ANX NP = NPX NE AN B8cG = NPXNE TT AN XNP = (NE +AN) N ANX BGG = AEXNb (weil NELAN= 4) (AB— BN) BBG = AENX NP (weil AN = AB — BN) ä (wegen BN=(Wnitris) AB. .) nach Nr, 2, (nAB—(2 En) AB(— P)pC )BC = AEXNP (PHH*) (ABDC) “ BC = AEXNP (2*) e 3C = NP (weil AE = AB — DC. 4.) Weil nun nach der Analyſis in F. 73. . NY * ◻ . Kan⸗ = St * C⸗: 5) Bepyſpiel. ſe 8C S 26 64 AB = 6557 bde re. - ABPDC = 82,0 8 6.) q = 954 P = 10 32 8 = 8⁰9“ r = 6077 m = 5 4 Y mr†S = 21990 mrPSs† p† q=n = 41 2% Log. A B+ DC = 1,9138139 Log. A B— DC = 1,6901961 0,2238178 Log. ) = 0,7073221—1 2 3 1,93 11399 — 2 Tr-PsN /ABDC Log.l/(—) p 0,9655699—1 Log. BC 1,4248816 Log. R = 1,39045 15. QR = 24°577 2)76 . Nachdem alſo die zwey Theile GBCL, QμDR, die ſich wie q: p ver⸗ halten, richtig abgeſchnitten ſind, ſo muß der noch uͤbrige Triangel AQR, noch die drey Theile enthalten, welche ſich verhalten ſollen, wie m:r:s. Wie nnn auch dieſe abgeſchnitten werden ſollen, lehrt §. 19. 20 ff. Da⸗ mit aber die vorgelegte Aufgabe vollſtaͤndig aufgeloͤßt werde, ſo wird man ſo verfahren koͤnnen: Weil die drey gegebene Groͤßen m, r, s die Verhaͤlt⸗ niſſe der Flaͤchenraͤume vorſtellen, ſo wird ſeyn ) nrtrs: m = 4RA: 4 V:) VLr r9 2) m†r-Ps: mr = AC: AX VI. 19. Hieraus wird AV = AQV( ) m- 1 +s m+ r N Es entſteht alſo hier eine neue von der vorigen ganz unabhaͤngige Rechnung und Meſſung. ⸗ Man muß alſo hier noch die Linie AQ meſſen, ſie halte 44 06⁰ „ 326 Log.m = 0,732398 . Log. m † r = 1,0827854 Z Log. m †r †s = 1,3222193 . mrr — — Log. = 1,4101745 — 2 m-Pr — Log. PR.mr. = 0,8802830—1I me r44- Log. A Q = 1,6464037 Log. A = 1,3514909. A V = 22 4'6 4 72 7 Log. AX = 1,5266 867.A N = 33 °2 681, §. 78. Ein Trapez ACHC (Fig. 39. Tab. III.), in welchem keine Seite mit der gegenuͤberſtehenden parallel iſt, in eine beſtimmte Anzahl gleicher Theile oder in ſolche Theile zu theilen, welche eine gegebene Verhaͤltniß unter fich ha⸗ ben, daß die Theilungs⸗Linien mit einer gegebenen Seite parallel laufen. 1.) 2.) Die praktiſche Operation iſt dieſe: . Man verlaͤngere HC, und ziehe durch A und C die BC unb AF mit GH parallel, die AF wird die verlaͤngerte HC ſchneiden und den Punkt F be⸗ ſtimmen; mithin laͤßt ſich die Linie AF meſſen. Auch laͤßt ſich BC meſ⸗ ſen, und die Linie DE laͤßt ſich nach §. 73. Nr. 5. finden, und ſo wird das Parallel⸗Trapez GDEH dem gegebenen AGHC gleich. Weil nun DE mit H parallel iſt, ſo laͤßt ſich das Trapez DHE in die verlangte Theile theilen (nach §. 65. u. ff.), und wenn man AF auf BC von Cnach K traͤgt, ſo iſt DE = /(BC W CK) nach §. 74. Nr. 5. 3.) Das gegebene Trapez AGHC ſoll in 3 gleiche Theile getheilt werden, und es ſey BC = 17 ° DE= 12 77; GH = 33 °5“, ſo iſt (GH“) z2CH † 3D5- GH' V( GH + 32DE ) . 63. und (GH“)? 2GH- + 2yDE: 03. HI hI ite ile ⸗ 4 be⸗ eſ⸗ r 4.) Hieraus geht folgende Berechnung in Zahlen hervor: GH = (33,5 33,5) = 1122,25 DE; = (13,4 13,4) = 179,56 ,õ 4GH — 374,086 „4 3DE* —= 59,853 „ 7 DE- — 119,706. (H)y ==S 493,792 (GH) == 808,025 S5SH —— 22 2%2 2 1, 4*7 GH — 284/2 5 Z˙*. Dieſes fuͤr G'H und G“”H“ gefundene Maaß traͤgt man auf HG „ veon H nach I und nach M, und zieht aus dieſen Punkten die IC, MG“ mit HG parallel, wodurch die Punkte G’“ auf AG beſtimmt werden, und durch welche, wenn die G’H' und G“H“ mit CH parallel gezogen, das vorge⸗ legte Trapez in die verlangte gleiche Theile GACH; G’&Gι“H’/H“; GuGHH“ theilen wird. Man koͤnnte auch, weil jezo die Linie DE, folglich auch der Punkt D, be⸗ ſtimmt iſt, von D den Perpendikel DN faͤllen, und meſſen, und ſodann die Punkte I’Tu“ nach §. 69. 70. ſuchen, durch welches Verfahren man zu ei⸗ ner leichteren Operation mit der Kreuzſcheibe gefuͤhrt wuͤrde. Die fuͤr dieſe Operation gefundene Formeln ſind am angefuͤhrten Orte fuͤr die erſte Theilungs⸗Linie DT“ = ( Cc /(Ea 2-Pac)) fuͤr die zweite — — DT“= (2—) (—c +— (42 +. a6a2)) Und hier fuͤr die Benennung des vorliegenden Falles, iſt die erſte Thel⸗ lungs⸗Linie DI = (z—. 5E) (DE T+ (1GH- + 3 DE²)), die zweite DI“ = D) (— DE + V(GGH' + DE2²)). Nun iſt in den beyden letzten Formeln das, was unter dem Wurzelzeichen ſteht, nach Nr. 3, nichts anders als CH“ und G“H“; folglich werden beyde Formeln DN DN und DT“= (öäöE) (C“H“— DE). Hieraus wird DT = 2. G (weil GH—DE=GO; und GH’— DE=G'P) und aus der zweiten DN S DT“= 55 GQ (weil G“H“— DE = G6“Q). Berechnung. Es ſey DN = 25 CH = 33034 DE = I2 0% GH-DE=GO = 20,6 G’H’ = 22,2224 . GH/— DE=GP = 9,5224 GH—DE=C = 15,725,8 Log. DN = 1,3979400 Log CO = 1,3138672 Log. ν = 0,0 840728 Log. G = ,9787464 Log. G“Q = 1,1966 128 Log. DT = 1,0528192 DT/ = 11 °2 9 3 2 * Log. DI“ = 1,2806856 DT= 19°0%8 4 7. Weitere Zuſaͤtze. §. 79. Die Aufgabe: Aus den drey gegebenen Seiten eines Triangels den Flaͤchenraum zu finden, von welcher ich in meiner praktiſchen Feldmeßkunſt §. 216. vierte Aufl. eine Regel und in §. 217. eine allgemeine Formel zu einer leichten Berechnung ohne irgend einen Beweis angegeben habe, woraus die Re⸗ gel und Formel hergeleitet worden iſt, laͤßt ſich die algebraiſche Formel aus dem unmittelbar darauf folgenden §. 218. ſo ableiten: 40 der her diel 4) ) eis nſt einer Re⸗ denm ABC (Fig. 3. Tab. I.) ſey der Triangel, deſſen drey Seiten, AB, BC, AC gegeben ſind. Aus der Spitze C ſey auf die gegenuͤberſtehende Seite AB der Perpendikel CD gefaͤllt. Z Es ſey wie dort AC =a; BC= b; AB=c; der Abſchnitt AD = xX, da⸗ her wird der andere Abſchnitt DB = c — X; der Perpendikel CD ſey = y und die halbe Summe der Seiten A = 8, .— ſo iſt 1.) y = a – X (I. 47.) und y = (a + X) (a — X). 2.) Es iſt aber auch y-* = b'=— c' P+zcx — X (I. 47.) Aus Nr. I. und 2. wird 3) b— C² + 2Cx — XxX = a* — X, und wenn zu beyden Seiten X* weggehoben wird, ſo wird b'c“ + 20x = a? und X = c— b, 2⁰ 4.) Wenn man den Werth von X aus Nr. 3. in Nr. 1. ſubſtitnirt, 2 2 2— P2 ſo wird a + X = a † ²—7 b2 —..ox————— I20 2ac Pa -Pc2 — be 20 . MRB — (a (weil 2 ac Pa? + c ² = (à †+c) ²) Te - b) (Te-b) 20 (a Pb-Ec) ( b- Le — b) = – (weil a† b† c = 28), ſolglich afx = 2A—. Ferner iſt: a — àa ² — c²2 † be zac — a?* — C?* b* 20 by—a ²*+ 2 ac2— C ² — * ₰ 20 = 2. (weil (a* 2 ac — c²) (b-Pa-Po — 20) (b-La-c — 2 a) 20 (28—20) (28— 2 a) — = — (weil a⸗ b-c = 25) = 22 D folglich a—X = — —2 6.) Weil alſo a + zæ in Nr. 4. und a — X in Nr. z. durch bekannte Werthe ausgedruͤckt iſt, ſo wird aus Nr. 1. y = 28. (§ — b) (28 — c) (S — a) . y 8 S(8 — b) (8 — c) (§S — a) y = † V(Sx (S—b) ((— ) (— a)), demnach waͤre jezo die Hoͤhe des Triangels ABC gefunden. 7.) Nun iſt der Inhalt des Triangels ABC = bd, und wenn man fuͤr AB und DC die gehoͤrige Werthe ſetzt, c½2/(S(S — a) (S — b) (5— c) ſo iſ ACB = — — das iſt ABC = (S (S— a) (S— b) (S — c)), durch Logarithmen ausgedruͤckt, wird Log. A BC = Log. S + Log. (S — a) + Log. (8— b) + Log. (S — c), welches eben dieſelbe Formel iſt, welche ich in §. 217. angegeben, und woraus ich die Regel in §. 216. gefolgert habe. Beyſpiel einer Berechnung in Zahlen. Es ſeg AC = a = 17⁰8* BC = b = 20⁰57* AB = c = 24 °4˙ a-b--c = 62, 7 a † bo 8 — — à = 13, 55 8— b = 10, 85 8—Cc = 5,95. dun in jte l. 2. de ithe für und - . — o Log. 5 = 1,496237 5 Log. S— à = 1,1319393 Log. S— b = 1,03542 97 . Log. S— c = 0,8419848 2: 4,5055913 Log. ABC Jnhalt = 2,25 27956. A BC Jnhalt = 178,98˙63 Maaß. Log. 2 = 0,3010300 2,5548256 Log.. = 1,3873898 ,„ Log. (D = 1,1674358.CD die Hoͤhe = 14 70 4. §. 80. Aufgabe. IKGL (Fig. 40. Tab. III.) iſt ein Trapez, welches durch die Linie AC in 2 Theile getheilt worden, man verlangt aber die Theilungs⸗— Linie ſo zu ziehen, daß ſie mit der Seite LG parallel laufe, und das Trapez in zwey regulaͤrere Theile theile. Aufloͤſung. 1.) Man ziehe aus C und à die CB nnd AF mit GLE parallel, ebenſo aus A die AH mit IC; alsdenn iſt nach §. 74. Nr. 5. DE = BC X HC oder 2.) Die gefundene Linie DE trage man von C nach M, und ziehe MD mit AH parallel, ſie wird KG in D ſchneiden. 3.) Zieht man endlich aus D die DE mit L.G parallel, ſo iſt der Triangel ABC in das Trapez ECBD verwandelt, nach §. 74., und ELGD iſt = CLGA. Berechnung. . Es ſey BC = 25‧8 H1 — AF = 21 „ daher DE = BCX HC = 25,8 K 21. Log. BCG = 1,4116197 Log. HC = 1,3222 193 Log. DEA = 2,3338290 Log. D E = 1,3699 145⸗DE = 23 27 6 3 .... Dieſes gefundene Maaß von DE trage man von C nach M oder von L nach N, und ziehe aus N die ND mit II parallel, ſie wird die GK in D treffen. Aus D wird die Theilungs⸗Linie DE mit LG parallel gohegen und ſo iſt die Thei⸗ 2 — EDKkEL = ICAK. lungs⸗Linie nur nach ihrer Lage veraͤndert, und es iſt jezo ELGD = CLGA und Anmerknung. Waͤre irgend eine Figur in mehr als zwey Theile getheilt, und die Thei⸗ lungs⸗Linien ſollten ebenfalls nach ihrer Lage veraͤndert werden, daß ſie mit einer andern gegenuͤberliegenden eine gegebene Lage haben, ſo wird mit den uͤbrigen Theilungs⸗Linien eben die Operation vorgenommen, wie bereits bey der erſten gezeigt worden iſt. L. 81. Aufgabe. Ein Stuͤck Feld ABLM (Fig. 41. Tab. III.) iſt in drey Theile getheilt, man verlangt aber die gebrochene Theilungs⸗Linien CDF , SHkK in gerade Linien CE und Gl zu verwandeln. Aufloͤſung. . 1.) Man ziehe von C nach F eine gerade Linie CF und mit derſelben aus D die D parallel; ebenſo ziehe man von & nach K eine gerade Linie, und mit derſelben aus H die HI parallel, die Parallelen DE und HI werden die MB treffen. 2.) Zieht man endlich von C nach E, und von G nach l gerade Linien CE und GI, ſo ſind ſie die neue und zugleich verlangte Theilungs⸗Linien. Anmerkung. Dieſes Verſahren, die gebrochene Theilungs⸗Linien in gerade zu verwan⸗ deln, beruht darauf: ?ZMVU Weil DE mit CF parallel gezogen werden, ſo iſt ACDE = AEDE (1. 37.) uud ACDEB = ACDEB, und wenn gleiches zu gleichein kommt, das iſt ACEB = ACDFB. Auf eben die Art wird auch gezeigt;,; daß LelM = LOHKM. Noch einige nüuͤtzliche Aufgaben aus der Polygonometrie fuͤr diejenige Feldmeſſer, welche ein wenig Trigonometrie gelernt haben. §. 82. Aufgabe. Man hat ein vierſeitiges Stuͤck Feld, das man blos umgehen und den Umfang nebſt den Winkeln meſſen kann. Man ſoll aus dem Umfang und den gemeſſenen Polygon⸗Winkeln den Inhalt der Figur finden. 10, MC derg ſenkr man; Auſe ſin .: Und ſo iſt gegeb ſo iſt Trin der gegeb 069 Irhe ncch und Lhei⸗ e mit t den eleits ſt in D die d mit e M und won⸗ llos dem n. 4 ABCD (TFig. 42. Tab. III.) ſey die gegebene Figur. Die 3 Seſten 4B, BC, CD und die von ihnen eingeſchloſe ne Winkel B und C ſind gegeben. Man ziehe d die Diagonale 5⁸, ſo iſe die Figur in die Triangel ADB und BDC getheilt, zieht man noch die P Lerpen dikel DF, DC, ſo ſind ſie die Hoͤhen der geunannten Triangel. Man verlaͤnge re noch AB und BC, und ziehe CM. ſenkrecht auf die verlaͤngerte AB, und DG ſenkrecht auf die verlaͤngerte 30; man muß alſo DF und DG finden. Geometriſche Analyſis. 1.) Weil die Winkel ABC und BCD (ex hyp.) gegeben, ſo ſind auch die Auſſen⸗Winkel und 68 gegeben. Weil alſo « und 30 gegeben, ſo iſt auch ſin == MC gegeben; zieht man durch Cdie LE mit Aß parallel, ſo iſt EF= MC, und weil MC gegeben, ſo iſt auch EF gegeben. Weil LC mit MA parallel iſt, ſo iſt α = , Und da dieſer, und auch β gegeben, demnach iſt auch ſin(a?†) = DE gegeben. Nun iſt DF= FE + ED, und weil FE + ED (ex analysi) gegeben, ſo iſt folglich der ganze Perpendikel DF gegeben. Es iſt aber der Inhalt des Triangels ADB = 43 „und weil AB und DF gegeben, ſo iſt folglich auch der Inhalt des Triangels ADB gegeben. 2.) Weil der Winkel 3 und die Seite CD gegeben ſo iſt auch ſin = DG gegeben. Nun iſt der Inhalt des Triangels BDC = — „und weil BC und DG gegeben, ſo iſt folglich auch der Inhalt des Triangels BDC gegeben. 4.) Endlich iſt die vierſeitige Figur ABCD = ADB + BDC; und weil der Inhalt der beyden Triangel ADB und BDC gegeben (Nr. 1. u. 2.), ſo iſ dem⸗ nach der Inhalt der ganzen Figur ABCD gegeben. Allgemeine Berechnung. 4.) Der Kuͤrze wegen ſey AB = a; BC= b; cD= c. Vorläuß iſt Inhalt des Triangels ADB = Ar Inhalt des Triangels BDC = cns. Folglich ABCD = 22D C tn und weil DF = FE †+ ED, ſo iſt 2 5.) 480 = 4X (EELED) LBCKXDG . £ Nun iſt FE= MC = bn⸗ = c ſin. Dieſe und die in Nr. 4. angenonnnene Werthe in der Formel Rr. 5. ſubſtituirt, ſo iſt ABCD = à (b. fin. n + b. c ſin. 8) ab. ſin. « + ac ſin. +8) †bb. cſin. — und wenn man die Gleichung vordnet, ſo iſt ab ſin. + bo. ſin. 8. 6.] ACD= ae ſi ſin. (æ⸗† 8) : 2. 7.) Berechnung in Zahlen. Es ſey AB = a = 27 2 0= b = 16°85; DC= c— 23 D Winkel ABC = 108 5 54“, folglich - = 71 54˙6“, Winkel BCD = I05 48 124“, folglich 3 = 74 1136“. Log. a = 1,4345 089 Log. b = 1,2253093 Log. ſin = 9,9770634 Log. ab. ſin. — = 2,6378416. ab. ſin. « = 434 35,20“ ◻Maaß. 38.) Log. a = 1,4345689 Log. c = 1,3617278 Log. ſin. (æ⸗+) = 9,7464922 Log. ac ſin. (æ+½) = 2,5427889. a0 ſin. 3) = 348 7°6“ MHäMaaß. 9.) Log.b = 1,2253093 Log. = 1,3617278 Log. ſin. 6 = 9,983259 1 Log. be ſin. 5 = 2,5702962. b. ſin.5 = 371078/90“ ◻Maaß. Die gefundene Werthe i in Nr. 7. ab ſin.. = 434 35 20“ — in Nr. 8. ac. ſin. («„+8) = 348 97 06 addirt — 2 — in Nr. 9. bo. ſin.. = 371 78 90⁰ IIS55 0°113 167 57755 58 Maaß. ſo wird ABCD faleel die ſin.⸗ gebe ſſan §. 83. Aufloͤſung eben dieſer Aufgabe, wenn die Seiten BA, AD, DC nebſt den von ihnen eingeſchloſſenen Winkeln BAD und ADC gemeſſen werden. (Fig. 43. Tab. III.) H Hier muß man von C nach A eine Diagonale ziehen, und dadurch erhaͤlt man die Triangel AßC, ACD. Man ziehe noch die CM auf die verlaͤngerte tuin, Grundlinie AB, und CL auf AD. Dieſe muͤ»ßen alſo gefunden werden. Zieht man noch DH auf AB ſenkrecht und verlaͤngert die MC, bis ſie der DE, die mit AB parallel gezogen iſt, in F begegnet, und die CE mit BA pa⸗ rallel, ſo iſt die Conſtruktion zur Analyſis gemacht. Analyſis. 1.) Weil die Winkel BAD und ACD (ex hypoth.) gegeben, ſo ſind auch die Auſſen⸗Winkel « und β gegeben. Weil alſo « und A gegeben, ſo iſt auch ſin.æ = DH gegeben. V Weil Df mit B4 parallel iſt, ſo iſt “= a, und da e auch 6 und DC ge⸗ geben, demnach iſt auch ſin. („“ + 8⁸) = CF gegeben, und weil CE = DE, daher iſt auch DE gegeben; nun iſt HE = HD — ED, es iſt aber DE gegeben, daher iſt auch HE = MC gegeben. Da nun der Inhalt des Triangels ABC = 23 DA 2 ⸗ und weil AB und CM gegeben, ſo iſt folglich auch der Inhalt des Triangels ABC gegeben. Z 2.) Weil der Winkel 6 und die Seite CD gegeben, ſo iſt folglich auch der ſin.̊ = CL gegeben. Nun iſt der Inhalt des Triangels ACD = r, und weil AD (ex hyp.) und CL (ex analysi) gegeben, ſo iſt folglich auch der Inhalt des Triangels ACD gegeben. 3.) Weil ABCD = ABC + A C D, und dieſe Triangel gegeben ſind, ſo iſt alſo auch der Inhalt der ganzen Figur gegeben. Allgemeine Berechnung. 4.) Es ſey AB = a; AD = b; DC= c. Vorlaͤufig iſt: Inhalt des Triangels ABC = AU Inhalt des Triangels ADC = Folglich AB8CD = AXCNAACLE 2 und weil [α = HD— DE, ſo iſt 96 5§ ) ABCD ABX HD- DE) ADCL. ⸗ 62 ½ Nun iſt HD = b ſir⸗ = CL. = cſin.. Dieſe und die in Nr. 4. angen ommene Werthe i in der Formel Nre. 5. ſubſtituirt, L ſo iſt ABCD = ſin — ſin. + be ſin.6 Ab ſin — ae ſin. (=1 + be ſin.6⁶ * 2 und wenn man en dieſe Formel r bie ga- Nr. 6. ordnet, ſ⸗ wird ab ſin. Pbc ſin. 6.) ABCD = ac ſin. (æP† 3) :2 7.) Berechnung in Zahlen. Es ſey AB = à = 27 2 AD = b = 31 ⁹6; Dc=c=a82 Winkel BAD = 66 25˙5 2“; ſolglich «= 1135 93483 Winkel 4 b0c=79 39˙50“; folglich 68 = 110 20510“ Log. a = 1,4345689 Log.b = 1,499687 1 Log. ſin. = 9,9621704 Log. ab. ſin. æ = 2,8963264. ab ſin. « = 787⁰63 70“ Masß. 8.) Log.a = 1,4345689 Log. c = 1,3617278 Log. ſin. (2 8) = 9,7464922 Log. ac ſin. (æ†+ 8) = 2,5427889. ac ſin. (a1 8= 34 97 06 Maaß. 9.) Log.b = 1,4096871 Log. c = H Log. ſin. 6 = 9,9928945 Log. bo ſin. ͤ = S y be ſin. 58 = 715 % ° 6% Maaß. Die gefundene Werthe in Nr. 7. ab fin.« = 787 63 70 addirt in Rr. 9. be ſin. 6 = 715 00 50 ab ſin. æ Cbe ſin. 8 = 1502 64 20 ac ſin. (æ . ⁶) = 348 97 06 . . 11 1153 97 14 576 8357Maaß. irt, 9297 Anunmerkungen zu §. 82. und 83. 1.) In den Formeln §§. 82. 83. iſt der Sinus totus nicht angezeigt worden, er iſt aber, wie aus den Rechnungen erhellet, gehoͤrig abgezogen, ohne ihn in der Rechnung beſonders anzuſchreiben. 2.) Beyde Figuren 42. und 43. Lab. I11. ſind einander gleich und aͤhnlich ge⸗ zeichnet, und nur die Diagonalen verſchieden gezogen worden. Begreiflich muß auch bey der Gleichheit der Flaͤchenraum bey beyden gleich kommen; jedoch finder ſich bey der Vergleichung der Reſultate in §. 82. und 83 ein Unterſchied von 0,7201, d. i. ungefaͤhr à Ruthen welcher bey einem Flaͤ⸗ chenraum von 576 Ruthen von geringer Bedeutung iſt; dieſer Unterſchied kommt von den Logarithmen her, welche ich in den Sekunden nicht nach der groͤßten Schaͤrfe genommen habe. 3.) Beyde Formeln in §. 82. u. 83. ſind voͤllig einerley und nur in den Zeichen verſchieden. Die weitere Eigenſchaften und de uberaus ſchoͤne Ordnung derſelben, hier weiter auseinander zu ſetzen und zu erklaͤren, geſtattet hier der Raum nicht, indem ſie eine eigene Abhandlung erfordern wuͤrde; das, was ich uber die Aufgabe ſelbſt geſagt habe, ſoll nur dazu dienen, daß ein praktiſcher Feldmeſſer ohne algebraiſche und rrigonometriſche Kenntniſſe die ſchoͤnſten Aufgaben gar nicht einmal aufloͤſen koͤnne. Indeſſen merke man ſich wegen den Zeichen der Formel die Groͤßen, die, je nachdem die Figur mehr oder weniger Seiten hat, bald + bald — ha⸗ ben, folgenden trigonometriſchen Saz: Der Sinus eines Winkels oder Bogens, oder der Sinus von mehreren Winkeln, welcher kleiner als zwey rechte Winkel oder 180 Grade iſt, iſt allemal poſitiv, und was in denſelben multiplicirt, macht das Produkt . . Der Sinus eines Winkels oder mehrerer Winkel, welche zwey rechte Winkel betragen, oder 180 Grade machen, iſt = o, und verſchwindet. Der Sinus eines oder mehrerer Winkel, welcher groͤßer als zwey rechte Winkel, oder 186 Grade betraͤgt, iſt negativ, und was in denſelben mul⸗ tiplicirt, macht das Produkt negativ oder —. §F. 84. Aufgabe eben dieſer Art, wenn die Figur einwaͤrts gehende Win⸗ kel hat; Man ſoll ihren Inhalt finden, wenn vier Seiten, AB, BC, CD, DE und die von ihnen eingeſchloſſene Winkel ABC, BCD, CDE gegeben ſind,. ABCDE (Fig. 44. Tab. III.) ſey die gegebene Figur. Man zerlege die Fi⸗ gur durch die Diagonalen BE, EC in die Diangel AEB, BEC, CED, und faͤlle aus E auf die Grundlinien dieſer genannten Triangel, die Perpendikel EH, EM, EQ. Dieſe Perpendikel muß man ſuchen. Analyſis. I.) Weil die eingeſchloſſene Winkel bey B, C, D gegeben, ſo ſind auch ihre Auſſenwinkel «, 6, 7% gegeben. Weil alſo „ und BC (ex hyp.) gegeben, ſo iſt auch ſin.« = IC = OH gegeben. Weil LC mit BA parallel, ſo iſt 4 = LCR = “; da nun „ und 6 gegeben, ſo iſt auch (“— β) = LCD nund CD gegeben, und wenn man durch den Punkt D die Linie NF mit AB pa⸗ rallel zieht, ſo iſt F& = LD mithin gegeben. Weil NDO = NDP— Obb, das iſt “ — 6s, und ODE = y, ſo iſt N DE d. i. — 6+ v, und da dieſe Wirnkel nebſt DE gegeben ſind, ſo iſt auch ſin. N DE = ſin. 2“ — 8 y = FE gegeben. Da alſo die drey Abſchnitte des Perpendikels EH gegeben, ſo iſt der ganze Perpendikel gegeben. Nun iſt der Inhalt des Triangels AEB = I und weil AB und EH gegeben, ſo iſt folglich auch der Inhalt des Triangels ABE gegeben. ” 2.) Weil 6 und OCD gegeben, ſo iſt auch ſin. = DR gegeben, und wenn man aus E die Linie EP mit DR und De mit der bis nach Q verlaͤngerten BC parallel zieht, ſo iſt ?Q= DR, demnach iſt auch PQgegeben. Weil ferner der Winkel PDE = ODE — ODb' d. i. »— 6β und dieſe Winkel nebſt DE gege⸗ ben ſind, ſo iſt auch ſin. (»— 6ß“) = PE gegeben. Nun iſt QE = PE — PQ, und weil ſowohl PE und PQgegeben, demnach iſt auch Q gegeben. Es iſt aber der Inhalt des Triangels BEC = = „ und weil BC und gege⸗ ben, folglich iſt der Inhalt des Triangels BEC gegeben. 3.) Weil der Winkel ODE = „ nebſt der Linie DE gegeben, ſo iſt auch ſin.- = EM gegeben. Nun iſt der Inhalt des Triangels CED = — und weil DC und EM gegeben, ſo iſt demnach der Inhalt des Triangels CED gegeben. 4.) Endlich iſt die fuͤnfſeitige Figur ABCDE = AAEB + BEC + CED; und da dieſe genannte Triangel (ex analysi) gegeben, ſo iſt folglich auch der Inhalt der ganzen Figur gegeben. 5.) Allgemeine Berechnung. Vorlaͤufig ſey A = a; BC= b; CD= c; DE= d, ehen, ſo iſt und Pe⸗ Do, dieſe PE 1 der NL wenn 150 erner gegen C. iſt ee⸗ — * AB X EH ferner Inhalt des Triangels AEB = folglich Inhalt ABCDE = ä und weil E& = HG + GF †+ FFE und ◻ = PE — PC. ABXCHG LCGF FB) BGX (PE — PQ) DQXEM 2 Daher iſt Nun iſt (ex analysi) HG= bſin.«; GF= c ſin. (-— ;); FE= d ſin. (a= 8ty) PE = d ſin. (2— ⁸); PQ= c ſin. s; EM = d ſin. . Dieſe und die in Nr. 5. angenommene Werthe in Nr. 6. geſetzt, ſo iſt ABCDE = 99 aCbfina toſ n õ » — — 2 Dieſe Gleichung geordnet, ſo iſt ab ſin. — be ſin. 8) +Ped ſin.» 7.) ABCDE = aa ſarle Th in.- -ee :. ad ſin. (z⸗— 6 Pv) 8.) Berechnung in Zahlen. Es ſey Ab = a =65; BC= b= 28 8; CD = c=z8 3 DE= d=69 Winkel = 102 ; 6 = 44 922 „= 9806. Log. ab ſin. Se = 3,2623300 = = 1829⁰50 Maaß. Log. ac ſin. („— 6) = 3,1878587 =– 1541 20 Log. ad fin. (⸗— ⁶ P†2) = 3,2635269 = 1834 54 — Log. bd ſin. (— 6 †) = 3,2060076 — 1609 20 — Log. cd ſin. » = 3,2835368 = 1921 20 — 8735 64 Log. be ſin. 6 = 2,7511815 = 563 88 Durch 2 diyvidirt gibt den Inhalt — S fur ABCDE = 4085 S 'Maaß. N 2 abſin 2acſincz — )adſind — 6 2) + bdſin („— β) — beſing-Pedſin- 37 Ueber den Gebrauch der kleinen Logarithmen⸗Tafeln, beſonders der Vlacgq'ſchen, Wolfiſchen ꝛc. F. 1. Weil in dem vorhergehenden I. und II. Abſchnitte die meiſten Auf⸗ gaben mit Logarithmen berechnet worden ſind, auch zu vermuthen iſt, daß viele den richtigen Gebrauch der Logarithmen⸗Tafeln nicht voͤllig einſehen, ſo wird es noͤthig ſeyn, den Gebrauch derſelben, in ſoferne er ſich auf bloße geometriſche Linien einſchraͤnkt, hier vorzutragen, um ſo mehr da den gewoͤhnlichen kleinen Tafeln der Gebrauch entweder gar nicht oder meiſtens in der lateiniſchen Sprache beygefuͤgt iſt, und dieſe nicht alle Felsmeſſer verſtehen. §F. 2. Es iſt gar ſelten der Fall, wenn man bey einer Rechnung einen Logarithmen gefunden hat, daß derſelbe ganz genau mit einem Logarithmen in den Tafeln uͤbereinſtimmend iſt, ja es geſchiehet gar haͤufig, daß man auf große Zahlen kommt, fuͤr welche man nicht einmal einen Logarithmen direkte findet. §F. 3. Das Syſtem, nach welchem die gemeine Logarithmen berechnet ſind, iſt * I. 10. 100. 1000, „ „„ „ O. I. 2* 3 B, in welchem die obere Reihe A eine geometriſche Progreſſion, deren Exponent L0, die untere Reihe B aber eine mit o anfangende arithmetiſche Progreſſion mit der Differenz 1 iſt Die obere Reihe A enthaͤlt die natuͤrlichen Zahlen, und die dieſen corre⸗ ſpondirenden der untern Reihe 8 ſind die Logarithmen der Reihe A. Demnach iſt der Logarithme von 1 = 0; von 10 = I; veon 100 = 2 u. ſ. w. FK. 4. Weil aber zwiſchen 1 und Io die Zahlen 2, 3, 4 u. ſ. w., zwiſchen 4. und 100 die Zahlen 11, 12, 13 u. ſ. w. liegen, welche gewiß auch ihre Lo⸗ garithmen haben, ſo iſt der Log. von 2 groͤßer als o und kleiner als 1, folglich kann der Log. von 2 nichts anders als ein Bruch ſeyn, weil zwiſchen o und 1 keine andere Zahlen als WMruͤche liegen; ebenſo verhaͤlt es ſich mit allen einfachen Zahlen, die groͤßer als und kleiner als 10 ſind. FK. 5. Ebenſo liegen zwiſchen der Zahl 10 und 100 noch mehrere, und weil der Log. don 10 = 1iſt, ſo iſt der Log. einer Zahl zwiſchen 10 und 100, z. E. 36, groͤßer als 1 und kleiner als 2, und das, um was der Log. von 36 groͤßer als 1 iſt, kann nichts anders als ein Bruch ſeyn, Eben das gilt von allen zwiſchen 10 und 100 liegenden Zahlen. und ſogti und welch obge nen ffr len gew gefn ſeh, eis und lg del nn ſeyt ſon ne⸗ w. len o⸗ ich 1 elt nd 9/ Nn Auf gleiche Weiſe find die Logarithmen der Zahlen, welche zwiſchen 100 und 1000 liegen, groͤßer als 2 und kleiner als 3, und der Ueberſchuß muß folglich ein Bruch ſenn. ſ. 6. Dieſe Bruͤche, welche man nun auf 7 Dezimal⸗Stellen berechnet, und in den Tabellen den Ganzen angehaͤngt hat, heißen Logarithmen. Die Bruͤche ſelbſt heißt man die Mantiſſe, und ſind von der ganzen Zahl, welche die Kennziffer genannt wird, durch einen Punkt (*) oder Comma (,) abgeſondert. §. 7. Aus dem Bisherigen folgt nun, daß die Kennziffer des Logarith⸗ men einer einziffrigen Zahl = o; die einer zweyziffrigen = 1; die einer drey⸗ ziffrigen = 2; die einer vierziffrigen = 3 ſey u. ſ. w. S. 3. Man kann alſo die Kennziffer eines Logarithmen einer jeden gan⸗ zen Zahl, was es immer fuͤr eine ſeyn mag, ſogleich angeben. Von 7 iſt ſie gewiß = 0°; von 59 = 1; von 721 = 2; von 3439 = 3 und ſo fort. §. 9. Hieraus folgt auch umgekehrt, daß man aus der Kennziffer eines gefundenen Logarithmen ſogleich erkennen koͤnne, wie vielziffrig die ganze Zahl ſey, welche ihm zugehoͤre. Geſetzt, man habe folgende Logarithmen gefunden: 0,37340S85 hiezu gehoͤrt eine einziffrige Zahl, 1,7847513 — — eine zweiziffrige — 2,3030145 — — eine dreiziffrige — 3,6843251 — — eine vierziffrige — U. ſ. w. §. 10. Jede Logarithmen⸗Tafel der kleinen BVlacq'ſchen und Wolfiſchen iſt in 2 Columnen abgetheilt, in der zur Linken ſtehenden und oben mit N. be⸗ zeichneten, ſtehen die natuͤrlichen Zahlen 1, 2. 3. 4. §. u. ſ. f. bis auf I10000, und in der neben ihr ſtehenden mit Logarithmen bezeichneten Columne ſtehen die Logarithmen, ſo daß alſo neben jeder Zahl zugleich ihr Logarithme anzutreffen iſt. F. 11. Es wird alſo jezt darauf ankommen, zu einer jeden vorgegebenen Zahl den zugehoͤrigen Logarithmen, und umgekehrt zu jedem Logarithmen die zugehoͤrige Zahl zu finden. Aufgabe. Den Logarithmen zu einer ganzen Zahl zu finden, welche nicht uͤber 10000 geht, und alſo in den Tabellen noch anzutreffen iſt⸗ 102 ,,õ Aufloͤſung. M Man ſuche die gegebene Zahl in irgend einer oben mit N bezeichneten Co⸗ lumne, ſo ſteht neben derſelben zur Rechten der ihr zugehoͤrige Logarithme, den man alſo geradezu herausſchreiben kann. Z. E. man verlangt den Log. zu der Zahl 517, ſo iſt derſelbe = 2,7134905. Von 3936 iſt der Logarithme = 3,5950551. §. 12. Aufgabe. Zu einer gegebenen Zahl, welche groͤßer als 10000 iſt, und alſo nicht mehr in den Tabellen anzutreffen iſt, zu finden. In dieſem Fall hat man zwey Wege, den vLogarithmen zu finden. Der erſte iſt, wenn ſich die gegebene Zahl in Faktoren zerfaͤllen laͤßt. Z. E. man verlangt den Log. zu 26082. Weil nun 26082 = 4347 X 6, ſo ſuche man die Log. der beyden Faktoren nach §. 11. Aufg. und addire ſie, ſo iſt die Summe ihrer Logarithmen, der Lo⸗ garithme der gegebenen Zahl, Z. E. Log. 4347 = 2,6381896 Log. 6 = 0,7781513 3,4163409 Der zweite Weg, wenn ſich die gegebene Zahl nicht in Faktoren zerfaͤllen laͤßt. In dieſem Fall ſucht man — 1.) den Logarithmen zu den vier erſten Zahlen 2608 nach §. 11. Aufg. 2.) dieſen gefundenen Logarithmen ſubtrahire man von dem zunaͤchſt groͤßern, der zu 2609 gehoͤrt. = 3.) den Reſt multiplieire man mit der noch uͤbrigen gegebenen Zahl 2, divi⸗ dire das Produkt mit 10, und addire den Quotienten zu dem aus den vier erſten Zahlen gefundenen Logarithmen. “́VMVD 4.) dieſem Logarithmen muß man alsdann die gehoͤrige Kennziffer vorſezen, welche im gegenwaͤrtigen Fall, weil die gegebene Zahl fuͤnfziffrig iſt, 4 ſeyn muß. Es ſey alſo die gegebene Zahl 26082, ſo iſt Der Log. von 2608 == 4167076 “ der Log. der zunaͤchſt groͤßern 2609 = 4164741 dieſen Reſt mit 2 multiplicirt nnd mit 1665 10 dividirt, gibt— = 333,0 und zum Log. 2603 addirt = 4163409 und die Kennziffer 4 vorausgeſetzt, ſo iſt , Log. 26082 =4,4163409. 1a unk 103 HM K. 13. Wenn die gegebene Zahl aus 6 Ziffern beſteht, ſo iſt die Ope⸗ ration die nemliche, nur mit dem Unterſchied, daß man den Reſt des zu naͤchſt groͤßeren und kleinern Logarithmen mit den beyden uͤbri gen Zahlen multipli cirt, und das Produkt mit 100 dividirt. Z. E. Man ſoll zu der gegebenen Zahl 793643 den ihr zugehörigen Logarithmen finden. Nun iſt Log. 7936 = 8996017 Log. 7937 = 8996564 Reſ. 81 B H = 262,5 6 166 ⸗ Log. 79364 8 = 5,8996279.56. Anmerkung. Bey dem abgeſchnittenen Reſt 56, welcher hinter dem Logarithmen ſteht, iſt zu merken, wenn er kleiner als 53; 50; 500; 5000 u. ſ. f., ſo wird er nicht geachtet, iſt er aber groͤßer als 5; 50; 500; 5000 u. ſ. f., ſo vermehrt man die letzte Zahl des gefundenen Logarithinen um 1, mithin wird in dieſem Fall: Log. 793648 = 5,8996280. Roch ein Beiſpiel. Man ſoll zu 85436739 den zugehoͤrigen Logarithmen finden. Hier iſt Log. 8543 = 9316104 Log. 8544 = 9316612 Reſ 508 folglic 85430 39 = P Si 5,3312 oder = 7,9316446. Anmerkung. Wenn zu einer gegebenen Zahl, welcher hinten eine oder mehrere Nullen angehaͤngt ſind, der Log. zu beſtimmen iſt, ſo beſtimme man zuerſt ihre Kennziffer nach F. 8. Alsdenn ſuche man zu den vorhandenen Zahlen den zugehoͤrigen Logarithmen. 3. E. man ſoll den Log. von 181500000 ſu⸗ chen, ſo iſt die Kennziffer = 8. Daher Log. 181500000 = 8,2588766 und ſo bey allen Zahlen dieſer Art. K. 14. Den Logarithmen einer gegebenen Zahl, die einen Bruch bey ſich hat, zu finden. Es ſey die gegebene Zahl ſamt dem Bruch = 4363. ufloͤſung. 6 2 Man bringe die gegebene Zahl auf einen uneigentlichen Bruch, ſo wird 436 ¾ = =— 2,) Hierauf ſucht man nach dem Vorhergehenden den Logarithmen des Zehlers, und zieht den Log. des Nenners davon ab, ſo hat man den verlangten Loga⸗ rithmen. Log. 1747 = 3,2422929 Log. 4 = 0,6020600 Log 436 3q = 2,64 2329. H. 15. Den Logarithmen einer Zahl zu ſuchen, welche einen Decimal⸗ Bruch bey ſich hat. Die gegebene Zahl ſey 67,45. Au floͤſung. 1.) Man ſehe die gegebene Zahl 67,45 ſo an, als ob ſie eine ganze Zahl waͤre, und ſuche nach den bisherigen Regeln den ihr zugehoͤrigen Logarithmen. 2.) Dieſem gefundenen Logarithmen ſetzt man hernach diejenige Kennziffer vor, welche der ganzen Zahl 67 zugehoͤrt (§. 7.). Z. E. Log. 67,45 = 1,8289820 Ebenſo Log. 836,9 = 2,9226736 und Log. 4,327 = 0,6361869. Anmerkung. Wenn man alſo zu einer ganzen Zahl mit einem angehaͤngten eigentlichen Bruch den Logarithmen finden will, ſo darf man nur den angehaͤngten Bruch in einen Decimal⸗Bruch verwandeln, und ſo den Log. nach §. 15. ſuchen. 8. E. 436 ¾ = 436,75 und Log. 436,75 = 2,6402329, wie oben J. 17. Nr. 2. §K. 16. Aufgabe. Den Logarithmen eines eigentlichen Bruchs zu finden. Der gegebene Bruch ſey = 3. Aufloͤſung. 1.) Nach §. 14 ſoll man den Log. des Nenners von dem Log. des Zeh⸗ lers ſubtrahiren, weil aber bey den eigentlichen Bruͤchen der Nenner groͤßer iſt als der Zehler, ſo iſt auch der Log. des Nenners groͤßer als der Log. des Zeh⸗ lers, da dieſer aber von jenem nicht abgezogen werden kann, ſo ſubtrahire man tan de menden den, ſ Wil nicht Geden ren kor den L können Hier ziehen Fun; henl die he ſnden wird lers, oge⸗ mal⸗ hen „ ee⸗ ſt ih⸗ nan man den Log. des Zehlers vom Log. des Nenners, und ſetzt dem herauskom⸗ menden Log. das Zeichen — vor. Auf dieſe Art wird Z. E. Log. 3 = O,477 1213 . Log. 4 = ,6020600 folglich Log. ½ = — 0,12 49387. Ein anderes Beyſpiel. Der Bruch ſey 3=, der Logarithme negativ. ſo iſt Log. 13 = 1,1139433 Log. 125 = 2,0969100 2.) Will man aber in den Rechnungen die negativen Logarithmen vermei⸗ den, ſo ſubtrahire man den Log. des Nenners von dem Logarithmen des Zehlers. Weil man aber in den meiſten Faͤllen die Kennziffer des Log. vom Nenner, nicht von der Kennziffer des Zehlers abziehen kann, ſo muß man zu dieſer in Gedanken ſo viele Einheiten hinzudenken, als noͤthig ſind, damit man ſubtrahi⸗ ren koͤnne. Aber dieſe hinzugedachte Einheiten muß man alsdenn dem kommen⸗ den Logarithmen als eine negative Kennziffer hinten anhaͤngen; auf dieſe Art koͤnnen die Logarithmen der obigen Bruͤche auch ſo ausgedruͤckt werden: Log. 3 = 0,4771213 Log. 4 = 0,6020600 Log. ½ = 0,8750513—1 und Log. 13 1,1139433 Log. 125 = 2,0969100 Log. 5 = 0,0170333—1I. Hier mußte man alſo im erſten Exempel, weil ſich die Ziffer 6 von 4 nicht ab⸗ ziehen ließ, zur Kennziffer des obern Logarithmen die Zahl 1 hinzudenken; Im zweiten Exempel, weil ſich die Kennziffer 2 von der obern 1 nicht abzie⸗ hen ließ, ſo mußte noch eine Einheit hinzugedacht werden, auf dieſe Art bleiben die herausgebrachte Decimal⸗Ziffern der Logarithmen poſitiv. F. 17. Aufgabe. Den Logarithmen eines gegebenen Decimal⸗Bruchs zu finden. Es ſey der gegebene Dec. Bruch = 0,732. Aufloͤſung. Jeder Dec. Bruch laͤßt ſich durch einen eigentlichen Bruch ausdruͤcken, wenn O man dem gegebeuen Dec. Bruch einen Nenner 1 mit ſo vielen angehaͤngten Nul⸗ 802 „ –— len gibt, als der Dec. Bruch Dec. Stellen hat. J. 19. Prakt. Feldm. Kunſt. Nach dieſem wird alſo o,732 = und aus 0,0732 = † ebenſo o,00732 = r SS5SS. Sucht man nun zu dieſen veraͤnderten Bruͤchen nach 6. 15. Nr. 2. die Logarithmen, ſo iſt Log. 732 = 2,8645111 Log. 1000 = 3,0 000000 Log. o, 732 = 0,8045 111 Ä— I und Log. 732 = 2,8645 III „ 20 ol „0α S S Log. 10000 = 4,000 0 0οι.⁴ ND Log. o, o7 32 = 0,8645111—2 ebenſo Log. 732 = 2,8645111 Log. 100000 = 5,0000000 0,8645111—3. Hieraus folgt alſo, daß der Logarithme eines Dec. Bruchs nichts anders ſey als der Logarithme von den wirklichen Zahlen des Dec. Bruchs (hier 732), deſſen Kennziffer = o iſt, ruͤckwaͤrts aber eine negative Kennziffer mit ſo vielen Ein⸗ heiten hat, als an dem gegebenen Dec. Bruch von vornen Nullen ſind. Demnach iſt auch Log. o,0οοοοονàâν = 0,8645111—7. Die Extraktion der Wurzeln aus den Logarithmen. F. 18. Einen vorzuͤglichen Nutzen verſchaffen die Logarithmen bey der Ex⸗ traktion der Wurzeln, und man wuͤrde, je nachdem die Wurzel beſchaffen waͤre, eine vorgelegte Aufgabe ohne Logarithmen gar nicht aufloͤſen koͤnnen. Aufgabe. Den Logarithmen, irgend einer Wurzel, einer gegebenen Zahl zu finden. Es ſey die gegebene Wurzelgroͤße V343. Aufloͤſung. 1.) Man ſuche den Log. zur Zahl 343. nach §. 1I. 2.) Den gefundenen Log. dividire man mit dem Wurzel ⸗Exponenten 3, ſo iſt der Quotient der verlangte Logarithme. Naͤmlich Cog.3 343 = 2,5252941 mit 3 dividirt, —— ſo iſt Log. /“343 = 0,8450980 Ebenſo 5331. Log. 533 1 3,7268087 Log. y5331 = ,535 40 12. §. 19. Den Logarithmen einer Wurzel, aus einer Zahl mit angehaͤngtem Bruch zu finden. Es ſey die gegebene Wurzelgroͤße = v748 ¾. Aufloͤſung. 1.) Man richte den Bruch ein, und ſuche zu dem uneigentlichen Bruch den zugehoͤrigen Log. §. 14. 2.) Den gefundenen Log. dividire man mit dem Wurzel⸗ Exponenten, ſo iſt der Quotient der Log. der gegebenen Wunzelgroͤe. Nemlich V748 5 =— 2 2 Log. 3989 = 3,7773543 8 =— 29530900 4: Log. V7485 = o,7185660. Aufgabe. Den Logarithmen einer Wurzel aus einer Zahl mit angehaͤug⸗ ten Dec. Zahlen zu finden. Es ſey die gegebene Wurzelgroͤße = 3,748. Aufloͤſung. Man ſuche zu der g egebenen Zahl und Dec. Bruch den zugehbrigen Log. nach §. 15., und diclogre mit dem Wurzel⸗Exponenten den gefundenen Loga⸗ garithmen, ſo iſt der Quotient der Log. der gegebenen Wurzelgroͤße. Es iſt nemlich Log. 3745 = 0,5737996 Log. 3, 48 = 0,1912665 §. 20. Wenn man einen Log. mit einer ruͤckwaͤrts angehaͤngten Kennziffer hat, etwa 0,8645 I111—I, ſo laͤßt ſich derſelbe auf mancherley Art veraͤndern, ohne daß dadurch der Werth des Log. ſelbſt veraͤndert wuͤrde; eine ſolche Veraͤn⸗ O 2 derung iſt um ſo mehr wohl zu bemerken, weil es Rechnungen gibt, in welchen ſie nothwendig vorgenommen werden muß, und ohne dieſelbe die Rechnungs⸗ Aufgabe nicht aufgeloͤßt werden kaun. Ein ſolcher Logarithme bleibt nemlich, was er iſt, wenn man die vordere und die ruͤckwaͤrts angehaͤngte Kennziffer deſ⸗ ſelben um gleichviel Einheiten vermehrt oder vermindert. Demnach wird auch ſeyn der Log. 0,8645 111—1 = dem Log. 2,8645 111—3 = dem Log. 4,8645 111— 5 = dem Log. 7,8645111—8. §F. 21. Dieſe Veraͤnderung muß alsdann vorgenommen werden, wenn man aus einem Logarithmen mit einer negativen Kennziffer irgend eine Wurzel extra⸗ hiren will, weil man den Log. mit dem Wurzel⸗Exponenten dividiren, und die⸗ ſer Exponent jedesmal ein Theiler der negativen Kennziffer ſeyn muß. Aufgabe. Den Logarithmen einer Wurzel aus einer Zahl zu finden, deren Log. ruͤckwaͤrts eine negative Kennziffer hat. Es ſe die gegebene Zahl VIII. Aufloͤſung. R 1.) Man ſuche zu dem gegebenen Bruch den zugehorigen Log. nach §. 16. 2.) Iſt dieſes Log. negative Kennziffer eine ſolche Zahl, in welche man mit dem Wurzel⸗Exponenten nicht dividiren kann, ſo vermehre oder vermin⸗ dere man die vordere und die ruͤckwaͤrts angehaͤngte Kennziffer mit ſo viel Einheiten (H. 20.), daß der Wurzel⸗Exponent in die negative Kenn⸗ ziffer aufgeht, und dividire den gefundenen Log. mit dem Wurzel⸗Expo⸗ nenten, ſo iſt der Quotient der verlangte Log. der Wurzel, Nemlich Log.5 = 0,6989700 Log. 217 = 2,3364597 Log. „ = 0,3625 103—2 mit 1 vermehrt PI — 1 folglich auch Log. 2 = 1,3625 103— 3 mit 3 div., ſo wird Log. 11 = 0,4541701—1. Ein anderes Beiſpiel. Man ſoll den Logarith. von „sr finden, mit — — — — ⸗ — — denſe 1) L einen ie zu — —— 2 i¹ — —2 —— —,—— — —-— —- nan tnm⸗ die⸗ ren nit in⸗ ſel Ni Log. 3 S= 0,4771213 Log 2319 = 3/,3653007 Log. =3=ö = „,1118206—3 M mit 6 vermehrt 16 — 6 folglich auch Log. = 6,1118206—9 mit 9 div., ſo wird Log. 5 = 0,6790912—1I. 6 Anmerkung. WDienn nach der Diviſion eines Log, ein Reſt bleibt, wie es meiſtens immer der Fall ſeyn wird, ſo laͤßt man denſelben gewoͤhnlich weg, weil derſelbe auf die Wahrheit nur einen ſolchen Einfluß hat, der von keiner Bedeu⸗ tung mehr iſt. §. 22. Aufgabe. Zu einem gegebenen oder gefundenen Logarithmen die demſelben zugehoͤrige Zahl zu ſuchen. Aufloͤſung. HW 1.) Wenn der gegebene Log. genau mit einem Log. in den Tafeln uͤbereinſtimmt. — Der gegebene Log. ſey 3,5903956. Man ſuche in den Tafeln unter der Kennzi ffer 3 in der Columne Logarith. die zur Linken in der Columne N ſtehende Zahl die verlangte. Fur den gegebenen Log. 3,5903959 findet ſich die Zahl 3894. 2.) Wenn der gegebene Logarithme nicht genau mit einem Log. in den Tabellen uͤbereinſtimmt. Es ſey gegeben der Log. 3,576342 8. Aufloͤſung. 1.) Man ſuche unter der Kennziffer 3 einen Log., welcher dem gegebenen am naͤchſten kommt, ſo ſtehen die ihm zugehoͤrigen Zahlen zur Linken. Im gegenwaͤrtigen Fall faͤllt er zwiſchen 3770 und 377 1. mithin iſt die geſuchte Zahl groͤßer als 3770 und kleiner als 3771, und weil ſich die Zahl 3770 der Wahrheit mehr naͤhert als 3771, ſo kann man, wenn die Rechnung keine Genauigkeit erfordert, die erſtere ohne Bedenken fuͤr den gegebenen Log. annehmen. Will man aber den Ueberſchuß uͤber 3770 be⸗ ſtimmen, ſo verfahre man ſo: 2.) Wenn man den gegebenen Log. unter der Kennziffer 3 gefunden hat, daß er mit einem in den Tafeln am naͤchſten kommt, ſo ſchreibe man den zu⸗ einen Logarithmen, der mit dem gegebenen genau uͤbereinſtimmend iſt, ſo iſt naͤchſt darauf folgenden groͤßern Log. heraus, er wird ſeyn: 3,5764565 Unter dieſen ſchreibe man den gegebenen . . — 3,5763428 und unter dieſen den zunaͤchſt kleinern 3.) Hierauf den kleinſten vom groͤßten abgezogen, gibt = 1151 Ebenſo den kleinſten vom mittlern abgezogen, gibt = 14. Jezt ſpreche man: wie ſich verhaͤlt IIJI „ 14 — T,5555555 T, 5556565886 — 1I „ X oder 1151I : 14 = 1 : X ſolglich xX =ẽ riir = O,0I1 21, „ —- 4.) Dieſen herausgebrachten Decimal⸗Bruch haͤnge man an die in Nr. I1. gefun⸗ dene Zahl 3770, ſo erhaͤlt man 3770012I... 5.) Um unn endlich zu entſcheiden, wie viel Ganze von dieſer Zahl zu dem ge⸗ gebenen Logarithmen gehoͤren, ſo muß man ſich aus §. 9. erinnern, daß der Kennziffer 3 eines Log. eine vierziffrige Zahl zugehoͤre. Man ſchneide alſo von der gefundenen Zahl in Nr. 4. von der Linken gegen die Rechte 4 Ziffer ab, ſo hat man die verlangte Zahl 3770,121.. „welche dem gege⸗ benen Log. zugehoͤrt. 6.) Man koͤnnte die Diviſion in Nr. 3. noch weiter fortſetzen und ſo mehrere Stellen finden, dieſe Genauigkeit aber iſt fuͤr den praktiſchen Feldmeſſer ſcharf genug, weil ſchon bey dieſer ſeine unvollkommene Inſtrumenteé nicht mehr hinreichen, ſie aufzunehmen, geſchweige denn eine noch ſchaͤrfere. F. 23. Aufgabe. Zu einem gegebenen Logarithmen, deſſen Kennziffer 4, 5, 6 iſt, und alſo in den kleinen Tafeln nicht mehr angetroffen wird, die ihm zugehoͤrige Zahl zu ſuchen. Der gegebene Log. ſey 5,4576834. Aufloͤſung. Man ſuche in den Taſeln unter der Kennziffer 3 einen Log., der dem ge⸗ gebenen wieder am naͤchſten kommt, und ſchreibe die daſelbſt angetroffene ganze Zahlen, als auch den zunaͤchſt groͤßern und kleinern Log. heraus, und verfahre uͤbrigens wie in der vorigen Aufgabe. Z. E. der gegebene Log. kommt der Zahl 2868 am naͤchſten. Der zunaͤchſt groͤßere Log. ohne Kennziffer iſt = 0,4 577305 der gegebene .. . . . = 0,4 576835 der zunaͤchſt kleinere . ,— — „,4575791 1514 1044. dieſe der — nen des age⸗ unze yre I OD Jezt ſchließe man: 1,535 1 4 4 — SSSSSS! T,SSSeese = I: X oder 1514 : 1044 = I : X,„ . O — ◻ S folglich Xx = 1I314 = „, 689564. dieſe herausgebrachte Zahl an die oben gefundene 2868 gehaͤngt, ſo erhaͤlt man 28683689564, und weil die Kennziffer des gegebenen Log. 5§ iſt, ſo iſt nach §. 9. die dem gegebenen Log. zugehoͤrige Zahl = 286868,9564. §. 24. Aufgabe. Es iſt ein Logarithme mit einer ruͤckwaͤrts angehaͤng⸗ ten negativen Kennziffer gegeben, man ſoll die ihm zugehoͤrige Zahl ſuchen. Der gegebene Log. ſey = 0,8543765—3. Aufloͤſung. 1.) Man ſuche aus dem gegebenen Log., ohne auf die negative Kennziffer zu achten, nach den vorausgeſchickten Aufgaben §. 22. und 23. unter der Kenn⸗ ziffer 3. die ihm zugehoͤrige Zahl, und ſetze derſelben ſo viele Nullen vorwaͤrts als die negative Kennziffer Einheiten hat. 2.) Setzt man hinter die erſte Nulle von vornen ein Comma, ſo iſt der gefnndene Decimal⸗Bruch die Zahl, welche man verlangt. Z. E. der gegebene Log. kommt der Zahl 7151 am naͤchſten. Der zunaͤchſt groͤßere Log. ohne Kennziffer iſt = 0,8544275 der gegebene . . . = 0,98543765 der zunaͤchſt kleinre . . „D = 0,85 43668 607 87 folglich 607: 87 = 1: X und x = 33r5 = 0, 433278.‧. J HW dieſe gefundene Zahl der obigen angehaͤngt, gibt 71511433278, und wegen der negativen Kennziffer 3 drey Nullen vorgeſetzt, ſo iſt die verlangte Zahl = 0,007 1511433278. . F. 25. Aufgabe. Zu einem negativen Logarithmen die zugehoͤrige Zahl zu finden. Es ſey der gegebene Log. = — 2,5370632. Aufloͤſung. H Damit der ganze Logarithme poſitiv werde, ſo addire man zu demſelben ei⸗ nen Log., der in der Kennziffer ſo viele Einheiten hat, damit der Kennziffer des geſuchten o werde, und haͤnge dieſelbe wieder mit dem Zeichen — ruͤckwaͤrts 112 e⸗rrr,+ an, ſo hat man einen poſitiven Log., deſſen zugehoͤrige Zahl nach den bisherigen ſti Aufgaben gefunden wird. ue Beyſpiel — 2,5370632 JYJYÿMGMU ſig⸗ 3,0000 000 — 3 itr 82,4629368—3. ve Dieſer gefundene Log. kommt der Zahl 2903 am naͤchſten. 2 der zunaͤchſt groͤßere Log. iſt = 0,46299 66 der gegebne . = 0,4629368 der zunaͤchſt kleinre . = 0,462 8470 1496 898. Nun iſt 1496: 898 = 1: X folglich x = 3 6. = 0,6 Dieſe gefnndene Zahl der obigen angehaͤngt, gibt = 29036... ., und wegen der negativen Kennziffer 3 (nach §. 9.) drey Nullen vorangeſetzt, ſo hat man De die verlangte Zahl, nemlich = 0,209036 und ſo in allen aͤhnlichen Faͤllen. ! Anmerkung. Das bisherige Verfahren bey gegebenen Log., welche nicht genau mit denen in den Tafeln uͤbereinſtimmen, die ihnen zugehoͤrigen Zahlen zu finden, gruͤndet ſich auf den Satz: Die Unterſchiede der Logarithmen verhalten ſich gegen einander beinahe wie die Unterſchiede der ihnen zugehoͤrigen Zahlen. ſi §S. 26. Daß man die Logarithmen auch bey arithmetiſchen Aufgaben, die Un eine weitlaͤuftige und beſchwerliche Multiplication erfordern, anwenden koͤnne, wird nicht zu erinnern noͤthig ſeyn. Um davon ein Beyſpiel zu geben, ſo will ich die Aufgabe in L. Eulers Algebra von Ebert herausgegeben I. Thl. F. 403. mit Logarithmen berechnen. Sie heißt ſo: Man hat ein Capital a, bey wel⸗ ler chem man die Intereſſen zu 5 Procent alle Jahr zum Capital ſchlaͤgt, und jedes Jahr noch eine neue Summe b zum Capital legt. Wie groß wird das Capital nach n Jahren ſeyn? Ohne hier die Rechnung ſelbſt auszufuͤhren, ſo will ich nur die daſelbſt an⸗ gegebene Formel ausheben, und nach Logarithmen berechnen. Der Anwuchs des Capitals iſt fur n Jahren = (4 5½) (a + 20 b) — 20b. Es kann aber nur der erſte Terminus dieſer Formel (2½⅛) (a + 20 b), wie wie igen gen nan 4* ſchon Euler erinnert, mit Log. berechnet werden, der andere nemlich — 20 , wird von der Zahl des Log., welche der erſte gibt, abgezogen, welches aus der folgenden Rechnung noch deutlicher erhellen wird. Ich nehme an, es ſey das Capital àa = 845 Rthlr. Die Summe, welche jaͤhrlich noch dazu gelegt wird, b = 125. Die Anzahl der Jahre, wie lange die Intereſſen zum Capital geſchlagen und die neue Summe hinzugelegt worden, I = 12 ſo iſt Log. 21 = 1,3222193 Log. 20 = 1,3010300 Log. (2⅜) = 0,0211893 — 122 multipl. Log. (2½) = 0,2 542716 Log. (a20 b) = 3,5 2 13961 Log. (2 ½) (a-20 b) = 3,7786677. (2) (ataob) = = 6007. Dieſer Log. faͤllt zwiſchen 6007 und 6003. Daher iſt nach §. 22. Log. 6008 = 3/7787299 gefundener Log. = 3,7786677 101 daher 723 : I01 = 1: & X = 72 = 0,14. Dieſen Dee. Bruch ſehe man an die oben ge⸗ fundene 6007, ſo erhaͤlt man 600714, und wenn man aus der Kennziffer die ganze Zahl beſtimmt, ſo iſt (22) (a--20b) = 6007,14. Glevon — 20 b = 2500 Anwuchs des Capitals = 3507,14 Rthlr. Noch eine Aufgabe aus eben dieſem Buche nach der Formel daſelbſt §. 413. berechnet. Es hat jemand eine jaͤhrliche Rente von 856 plen auf 25 Jahre lang zu genießen. Dieſelbe will er jezt fuͤr baares Geld zu ſ5 Procente verkaufen; wie viel Rthlr. wird er dafuͤr bekommen? Die daſelbſt angegebene Formel iſt fuͤr n Jahre — 21a — 21(3* 2. In dieſer Formel bedeutet a die jaͤhrliche Rente „und n HW Anzahl Jahre, wie lang man ſie zu genießen haͤtte, alſo 856 = a; =— Der erſte Terminus 21a = 21. 856 = 17976 Rthlr. Der zweite mit Logarithmen berechnet Log. 20 = 1,30 10300 Log. 21 = 1,3222193 Log. 1? = 0,97 88107— 1 multiplicirt mit 26 0,4490728—1 Log. 2 1 (22) t = 0,77129214 W Log. a = 2,9324738 Log. 21(22) a = 3,703765 9,21 (22) a = 5055,52 129 20,4 8 das gibt 12920 Rthlr. 43175 kr. fuͤr den gegenwaͤrtigen Werth der Rente. §K. 27. Ein Vorſchlag, ſtatt der Meßruthe oder einer Meß⸗ kette, lange gerade, in einer ebenen Flaͤche liegende Linien, bequemer mit einem um ſeine Achſe ſich bewegenden Rade zu meſſen. Es iſt denjenigen, welche mit der Meßruthe oder Meßkette viel meſſen muͤßen oder ſchon gemeſſen haben, gar wohl bekannt, wie muͤhſam es ſey, lange Linien zu meſſen; des Zaͤhlens der angelegten Meßruthen und der Kettenzuͤge, durch welches gar oft grobe Fehler ſich einſchleichen koͤnnen, nicht einmal zu ge⸗ denken. Ferner iſt bekannt, daß bey der Meſſung der Linien die Meßruthe niemal genau genug angelegt wird, und bey der groͤßten Sorgfalt die Meßkette nie genug ausgeſtreckt werden kann: und daß alſo bey jeder einzelnen Ruthe und jedem einzelnen Kettenzug nothwendig ein Fehler ſich einſchleichen muͤße. Ich will den Fall ſetzen, es ſey bey einer gemeſſenen Linie von 1000 Ruthen, und zwar bey jeder einzelnen Ruthe nur um 1 Linie oder ½ Zoll gefehlt wor⸗ den, welches in der That ein ſehr kleiner Fehler zu ſeyn ſcheint, ſo betraͤgt doch der Fehler auf die ganze Diſtanz ſchon 1 Ruthe; und wie leicht iſt es moͤglich, wenn man beym Meſſen auch ganz in der geraden Linie bleibt, daß der Fehler bey jeder einzelnen Ruthe mehr als ½z Zoll, folglich auf die ganze gemeſſene Linie mehr als Ruthe betragen muß. Man hat zwar durch den Schrittmeſſer, ein Inſtrument, das man in der Taſche traͤgt, und bey jedem gemachten Schritt, den Schritt vermittelſt eines Zeigers auf einem Kreis anzeigt, ſich eine Erleich⸗ tern im abe⸗ in Gen V des ein R der detr A ten eir — terung des Meſſens zu verſchaffen geſucht, und auch wirklich eine Erleichterung im Meſſen, wobey keine gar zu ſcharfe Genauigkeit verlangt wird, verſchaft; aber eben dadurch, daß man die Haltung der immer gleich großen Schritte nicht in ſeiner Gewalt bat, ſo iſt der Schrittmeſſer fuͤr das Feldmeſſen, wo mehr Genauigkeit verlangt wird, nicht anwendbar. Etwas mehr Genauigkeit ſcheint mir ein um ſeine Achſe ſich drehendes Rad, von einem beſtimmten Durchmeſſer oder Umfang, zu leiſten. Ein ſolches Werkzeug hat ſchon vor 40 Jahren der laͤngſt verſtorbene Paſtor Zennek zu Weil im Schoͤnbuch an ſeinem Reiſe⸗Gefaͤhrte vermittelſt einer Vorrichtung, das in Verbindung mit einem Rade des Gefaͤhrtes ſtand, angebracht, wodurch man vermittelſt einer inwendig im Gefaͤhrte angebrachten Tafel, mit einigen eingetheilten Kreiſen, an welchen eben ſo viele Zeiger herumgiengen, und die Ruthen und Stunden anzeigten, und bequem im Gefaͤhrte bemerken konnte. Dieſer fuͤr das Nuͤtzliche nud vortheilhafte im Praktiſchen, beſonders aber fuͤr das Mechaniſche ſehr eingenommene Mann, theilte mir ſchon im Jahr 1775. den Plan zu einer ſolchen Maſchine, die bey dem Feldmeſſen anwendbar waͤre, mit, ich hatte aber damals fuͤr die Sache nicht genug Intereſſe, weil mir zur Ausfuͤhrung des Plans theils die noͤthigen Mittel, theils die Kenntniſſe fehl⸗ ten. Die Maſchine ſelbſt hatte die Form eines Schubkarren, deſſen Rad mit einem einfachen Raͤderwerk in Verbindung gebracht war, und mit leichter Muͤhe durch einen Mann in gerader Linie fortgeſchoben werden konnte. So vieles ſich nun auch gegen die Genauigkeit und wegen der Unebenheit des Bodens und ei⸗ niger anderer Umſtaͤnde, bey dieſer Maſchine einwenden laͤßt, ſo ſcheint mir die⸗ ſelbe doch fuͤr die Feldmeßkunſt, bey langen Linien auf ebenem Boden, beſon⸗ ders bey dem Chauſſébau, wo es auf ein paar Fuß nicht ankommt, von einem nicht geringen Nutzen zu ſeyhn. Ohne Zweifel gibt es aͤltere Schriftſteller, die ſchon laͤngſt den Gedanken gehabt, und uͤber eine ſolche Maſchine geſchrieben ha⸗ ben, ſie ſind mir aber voͤllig unbekannt. Es iſt nicht die Meynung, mit dieſer Maſchine alles zu meſſen, was in der Feldmeßkunſt auszumeſſen vorkommt; das Scheermeſſer hat gewiß ſeinen großen Nutzen, man braucht es aber nicht zum Brodſchneiden, dazu hat man andere Meſſer, die brauchbarer ſind als die ſchaͤrfſte Scheermeſſer; das heißt: wer vernuͤnftig iſt, wird keine Meßmaſchine zum Ausmeſſen einer Linie von 3, 4 Ruthen anwenden, ſondern er wird die Meßruthe oder den Zollſtab ge⸗ brauchen. P 2 Mein Verſchlag fuͤr dieſe Maſchine waͤre folgender? Das Rad, deſſen Umfang dſe Linie auf der Erde meſſen ſolle, halte im Umfang genau 5 Fuß, folglich der Durchmeſſer = 1/5 912 + und ſey auf einer Seite je von einem Fuß zum andern mit einem Ausheber verſehen, der bey einer jedesmaligen Beruͤhrung am Raͤderwerk einen Zahn aushebe. . Das angebrachte Raͤderwerk beſtehe aus 4 Raͤdern. Das erſte habe 10 Zaͤhne mit einem ſechsſer Getriebe, mit einem an daſſelbe angebrachten Ziehhacken und Einfall⸗Aufhalter, nebſt Druck und Aushebe⸗Federn verſehen. Das zweite Rad habe 60 Zaͤhne mit einem ſechsſer Getrieb. Das dritte Rad, ebenfalls 60 Zaͤhne mit einem ſechsſer Getrieb. Das vierte Rad habe 60 Zaͤhne ohne Getrieb; und ſo wuͤrde, wenn an jede Achſe dieſer Raͤder ein Zeiger, und von auſſen Kreiſe angebracht wuͤrden, von welchen jeder in 10 gleiche Theile getheilt iſt, der Zeiger des erſten Rades die Schuhe von 1 zu 1; das zweite die Schuhe von 10 zu 10; das dritte die Schuhe von 100 zu 100, und endlich das vierte die Schuhe von 1000 zu 1000 anzeigen. Dieſes ganz einfache Raͤderwerk kann leicht, auch nur von einem halbge⸗ ſchickten Mechaniker ausgearbeitet werden. Auch wuͤrde ſich die Lage des Raͤ⸗ derwerks aus dem Mechanismus eines Schnellerhaſpels gar leicht abſtrahiren la ſſe n. . ſſan ſich mit ſtis 1 „ Rachtr a g. “ Das den 14. Het. 1816. erlaſſene Wirtemb. Miniſterial⸗Reſeript wegen der ge⸗ nauen Befolgung der den 30. Nov. 1806. erſchienenen Maaß⸗Ordnung hinſicht⸗ lich des Laͤngen⸗Maaßes, gibt mir Anlaß jenes Reſeript nicht nur woͤrtlich hier mitzutheilen, ſondern auch noch mit einigen Bemerkungen zu begleiten. Das Re⸗ ſeript lautet ſo: „Man hat mit Mißfallen wahrnehmen müßen, daß bisher in Anwendung der Maaß⸗ „Ordnung nicht uͤberall die ſtrenge Konſequenz und Gleichfoͤrmigkeit beobachtet wor⸗ „den, die zu Erfuͤllung des Geſitzes und ſeines Zweckes in offentlichen und Privatver⸗ „haͤltniſſen und Rechnungen jede Verwirrung zu vermeiden, welche aus den vielen von „einander verſchiedenen Maaßen aller Art, die zuvor in den einzelnen Theilen des Koͤ⸗ „„Nigreichs Statt gefunden haben, entſtehen mußte, erforderlich iſt. 2 „Vorzuͤglich iſt die Vorſchrift der Maaß⸗Ordnung in Anſehung der Deeimal⸗Ein⸗ „theilung des Schuhes ſo wie der Ruthe bay wettem nicht ſo allgemein, wie man bil⸗ „lig haͤtte erwarten koͤnnen, angewendet worden, ungeachtet die Vorzuͤge der Decimal⸗ „Eintheilung allgemein anerkannt, und zur Erleichterung der Sache beſondere Reduk⸗ „tions Tabellen entworfen und bekannt gemacht worden ſind. Es wird deßwegen die „genaue Beobachtung der Maaß⸗Ordnung im Allgemeinen hier eingeſchaͤrft, und in „Beziehung auf das Laͤngen⸗Maaß ins beſondere erklaͤrt: 1.) Daß von der geſetzlichen Beſtimmung, wornach der Schuh 10 Zolle, der Zoll aber 10 Linien haben ſoll, nicht abgegangen werden duͤrfe: 2.) „daß es auch dabey ſein Verbleiben habe, daß die Laͤngen⸗Ruthe 10 Wuͤrttemb.⸗ „Laͤngen⸗Schuhe halte, woraus von ſelbſt folgt, daß die Quadrat⸗Ruthe 100 „Quadrat⸗Schuhe, und die Kubie⸗Ruthe 1000 Kubie⸗Schuhe halte;! L 3.) „Daß dieſem jedoch nicht entgegen ſtehe, bey koͤrperlichen Maaßen, bey welchen „die Kubic Ruthe eine zu große Einheit ſeyn wuͤrde, Decimal⸗Theile derſelben „als Einheit zu gebrauchen. Namentlich kann bey dem Bauweſen und ſonſt ein „Parallelepipedum, das 10 Schuh lang und 10 Schuh breit und 1 Schuh hoch „iſt, mithin 100 Kubie⸗Schuhe haͤlt, unter dem lbeſtimmten Namen Schacht⸗ „Ruthe als Maaß zum Grunde gelegt werden. . „Hienaͤchſt baben ſich nicht allein alle Baumeiſter, Weg⸗Inſpektorent Feldmeſſer und „Handwerks⸗Leute, ſondern auch die Rechnungs⸗Begmten und Behoͤrden, welchen die „Pruͤfung von Bau⸗Koſten⸗Ueberſchlaͤgen oder Rechnungen zukommt, pflichtmaͤßig zu 118 B r „achten, und werden die Beamten angewieſen, die nicht nach dem geſetzlichen Maaße „gefertigten Riſſe, Bau⸗Ueberſchlaͤge, Koſten⸗Zettel, Mes⸗Urkunden, geradezu zuruͤck „zu geben, dabey jedoch, wo es noͤthig ſeyn wird, die Handwerkos⸗Leute von dem Ver⸗ »haͤltnißs und dem Unterſchiede des alten und neuen Maaßes deutlich zu belehren. „Vornemlich wird von den hoͤheren Technikern erwartet, daß ſie, wie bereits bey meh⸗ „keren unter ihnen mit Wohlgefallen wahrgenommen worden iſt, die wohithaͤtige Ab⸗ „ſicht des Geſetzes durch ihren Eifer und ihre Velebrungen zu befoͤrdern, und etwa „⸗kleine vorkommende Schwiertgkeiten mit Reduktion der Maaße oder der Dimenſionen „der Materialien auf die ſchicklichſte Weiſe zu heben, beſliſſen ſeyn werden. Endlich „wird noch verordnet, daß kuͤnftig kein Steinhauer, Mauxrer, Zimmermann, Schreiner, „Glaſer Schloſſer Schmid und Wagner ꝛc. das Meiſter⸗Recht erlangen koͤnne, wenn „er nicht bey Verfertigung des Meiſter⸗Stuͤcks oder einer Pruͤfung bewieſen haben „wird, daß er das Decimal Maaß fuͤr die Arbeit ſeiner Profeſſion gehoͤrig anzuwen⸗ „den verſtehe; auch ſollen die Handwerks⸗Meiſter auf ihre Geſeilen, beſonders wenn „ſie Auslaͤnder ſind, genaue Aufſicht tragen und ſie uͤber das richtige Maaß belehren, „für welches der Meiſter jederzeit zu haften hat.“ Stuttgardt den 14. Oct. 1816. Koͤnigliches Miniſterium des Innern 1.) Ob ich nun gleich in dem erſten Theil meiner praktiſchen Feldmeß⸗Kunſt die Gruͤnde der Decimal⸗Rechnung deutlich gezeigt, auch in Schmalzrieds Rechen⸗— Kunſt einen Auszug mitgetheilt und dieſe leichte Rechnungs⸗Art in meiner Maaß⸗ Vergleichung (Stuttgart bey Metzler 1810) allen Rechnern, beſonders aber den Geometern empfohlen habe, ſo will ich das Mathematiſche des Reſcripts, das ich in der Anleitung zur Decimal⸗Rechnung und in der Reduktion der Maaße in meiner Feldmeßkunſt nicht beruͤhrt habe, hier auseinander ſetzen. 2.) Bekanntlich verſteht man unter einer Kubic⸗Ruthe einen Koͤrper, der eine Ruthe lang, eine Ruthe breit und eine Ruthe hoch iſt. Wenn demnach eine Laͤngen⸗Ruthe = 10 Wuͤrtemb. Schuh haͤlt, ſo heißt man den Koͤrper, der 10 Schuh lang, 10 Schuh breit und 10 Schuh hoch iſt, eine Kubie⸗Ruthe, deren Inhalt = 10.I0.10 = 1000 Kubie⸗Schuh haͤlt. 3.) Gedenkt man ſich eine ſolche Kubic⸗Ruthe in 10 gleiche Theile mit der Grundflaͤche parallel geſchnitten, ſo entſtehen 10 ſolcher Abſchnitte oder aufein⸗ ander gelegte Schichten, wovon jeder 10 Schuh lang, 10 Schuh breit und 1 Schuh hoch iſt. Eine ſolche Schichte oder Parallelepipedum, das demnach der 10te Theil einer Kubic⸗Ruthe iſt, iſt das, was man eine Schicht⸗ oder Schacht⸗Ruthe heißt; ſie haͤlt nach ihren Dimenſionen 10.10.1 = 100 Kubic⸗ Schuh Grund ſeder 1 hoch iſ Kubie⸗ und K ſolgend IK 5 10 Se bie⸗S tlel e 15 Sc chen Al Schth gleiche wodon ein ſole ſo bey 101 weln urüͤck Ver⸗ lehren. mneh⸗ ge üb⸗ Detwe nſonen Fdlich keiner, veaan Kunſt echen⸗ Naaß⸗ den g ich ße in der hͤeine „ der uthe, t der und mnoch oder dubicc Ufeire Schuh. Ebenſo kann man einen Kubic⸗Schuh in 10 gleiche Theile mit der Grundflaͤche parallel ſchneiden, da man denn Schacht⸗Schuhe enthaͤlt, wovon jeder 1 Schuh oder 10 Zoll lang, 1 Schuh oder 10 Zoll breit und 1 Zoll hoch iſt. Auf ſolche Art enthaͤlt alſo der Schacht⸗Schuh = 10,10. 1 = 100 Kubie⸗Zoll. Eben dieſes Schacht⸗Maaß laͤßt ſich auch bey den Kubic⸗Zollen und Kubic⸗Linien gedenken. 4.) Aus dem bisherigen ergeben ſich fuͤr das neue Kubie⸗Schacht⸗Maaß folgende Verhaͤltniſſe: 1 Kubie⸗R. = 10 Schacht⸗R. 1 Schacht⸗R. = 100 Kubic⸗Schuh. I Kubic⸗Sch. = 10 Sch. Sch. 1 Sch. Sch. = 100 K. 3. §.) Weil bey der alten Eintheilung einer Kubie⸗Ruthe 16 Schuh lang, 16 Schuh breit, 16 Schuh hoch iſt, ſo iſt ihr Innhalt = 16.16.16. = 4096 Ku⸗ bic⸗Schuh. Gedenkt man ſich dieſe in 16 gleiche Theile mit der Grundflaͤche pa⸗ rallel geſchnitten, ſo entſtehen 16 ſolcher Abſchnitte, wovon jeder 16 Schuh lang, 16 Schuh breit und 1 Schuh hoch iſt, folglich iſt der kubiſche Inhalt eines ſol⸗ chen Abſchnitts oder einer alten Schacht⸗Ruthe = 16.16. 1 = 256 Kubic⸗Schuh. Weil der Schuh nach der alten Eintheiluug 12 Zoll hat, ſo haͤlt 1 Kubie⸗ Schuh = 12. 12.12 = 1728 Kubic⸗Zoll. Wird ein ſolcher Kubic⸗Zoll in 12 gleiche Theile mit der Grundflaͤche parallel geſchnitten, ſo entſtehen 12 Abſchnitte, wovon jeder 12 Zoll lang, 12 Zoll breit und 1 Zoll hoch iſt; demnach enthaͤlt ein ſolcher Abſchnitt oder Schacht⸗Schuh = 12. 12.1 = 144 Kubic⸗Zoll. Eben⸗ ſo bey den weitern folgenden Unterabtheilungen. 6.) Hieraus erhaͤlt man fuͤr das alte Schacht⸗Maaß folgende Verhaͤltniſſe: I alte Kub. R. = 16 Schacht⸗R. 1 alte Scht. R. = 256 Kub. Sch. 1 Kub. Sch. = 12 Scht. Sch. 1Scht Sch. = 144 K. Zoll. 7.) Aus den Verhaͤltniſſen in Nr. 4. u. 6. laſſen ſich nun die noͤthige For⸗ meln zur Vergleichung des alten und neuen Schacht⸗ Maaßes herleiten. 8.) Weil nach Nr. 6. Alt. Scht. R. : Kub. Sch. = 256: 1. folglich Alt. Scht. R. : N. Scht. R. = 256; 100., 120 Hieraus wird:— 1.) 100 Alt. Scht. R. = 256. N. Scht. Ruth. und 1 A. Scht. R. — (2) 2,56. N. Sit⸗ R. 2.) 256 N. Scht. R. = 100. = Alt. Scht. R. 1 N. S Scht. R. = = O,390625. Alt. Scht. R. 9.) Weil nach Nr. 6. Alt. Scht. Sch.: Kub. Scht. Sch. = 1 : 12. Nr. 4. Kub. Sch. : N. Scht. Schuh = 10: 1. folglich iſt Alt. Scht. Sch.: N. Scht. Schuh = 10: 12. Hieraus wird: 1.) 12 Alt. Scht. Schuh = 10 Neue Scht. Sch. 1I Alt. Scht. Schuh — (12) — 09,8333 N. Sch. Sch. 2.) 10 N. Scht. Schuh = 12 Alt. Scht. Sch. I. N. Scht. Schuh = († 3) = 1/ 2 Alt. Scht. Sch. S Fuͤr die Verhaltniß des alten Schacht⸗Schuhes zur neuen Schacht⸗ uthe iſt . Alt. Scht. Sch.: Kub. Sch. = 1: 12. nach Nr. 4. u. 6. ſKuz. Schuh : N. Scht. RN. = I : 1000. folglich Alt. Scht. Sch: : N. Scht. R.= = I: 1200. Hieraus wird: 1200 Alt. Scht. Sch. = 1 N. Scht. R. 1 Alt. Scht. Sch. = (Tz65,) = o,000833.. N. Scht. R. 11.) Fuͤr die Verhaͤltniß des alten Schacht⸗ Zolles zur neuen Schacht⸗ Ruthe iſt (Alt. Scht. Zoll 7. Alt. Scht. Sch. = 1 144. nach Rr. 4. u. 6. Alt. Scht. Sch.: Kubic⸗Schuh = 1: 12. Kubie⸗Schuh : N. Scht. Ruthe = 1: 100. I 172800. folglich Alt. Scht. Zoll: N. Scht. Ruche — 1:1 Hieraus wird: 172800 A. Scht. Z. = 1I N. Scht. R. 1 A. Scht. Z. r — O,Oονa78 R. Scht. R. 12.) Fuͤr die Verhaleniſ des neuen Schacht⸗Schuhes zur alten Schacht⸗ Ruthe iſt nach Nr. 4. u. 6. Aulh doll gen Ruthe iſt nach Nr. 4. u. 6. R. Scht. Schuh: Kub. Sch. = 1: 10. Kubic⸗Schuh : A. Scht. R. = 1I: 256. folglich N. Scht. Schuh: A. Scht. R. = I: 2560. Hieraus wird: . 2560 N. Scht. Sch. = I A. Scht. R. 1 N. Scht. Sch. = (21⁄½) = O, 000390625 Alt. Scht. R. 13.) Fuͤr die Verhaͤltniß des neuen Schacht⸗Zolles zur alten Schacht⸗ N. Scht. Zoll: N. Scht. Schuh = 1: 100. N. Scht. Sch.: Kubie Schuh = 1:;: I0. Kubie⸗Schuh : Alt. Schacht⸗R. = 1: 256. folglich N. Scht. Zoll: Alt. Schacht⸗R. Hieraus wird: = 1 N. Scht. Zoll = (X513) = O,00000390625 A. Scht. R. 14.) Wie man nun irgend eine vorkommende Aufgabe, vermittelſt der For⸗ meln in Nr. 7. bis 13. aufloͤſen koͤnne, ſoll an einigen Beyſpielen gezeigt werden. 1. Aufgabe. Einige Tagloͤhner haben bey Anlegung einer Landſtraße eine Erdſchichte von 136 alten Schacht⸗Ruthen, 5 Schacht⸗Schuhen und 8 Schacht⸗ Zoll abgetragen, der Verdienſt wird nach der neuen Schacht⸗Ruthe bezahlt. Wie viel macht es neue Schacht⸗Ruthen? Nach Nr. 8. iſt H 1 A. Scht. RN. = 2,56 M. Scht. R. Daher 136 A. Scht. R. — (2,56 X 136) — 348,1 6. N. Scht. R. . 1 A. Scht. Sch. = 0,000833 alſo 5 A. Scht. R. = (0,000833 ½ 5) = „ ,004166. N. Scht. R. Nach Nr. 1I1. iſt 1 A. Scht. Zoll = 0,00000578 alſo 8 A. Scht. Zoll = (O, 0000057 8 X 8) = ,000462. N. Scht. R. = 348,1642 122. N. Scht. R. Verlangt man den hier gefundenen Decimal⸗Bruch in den Unterabtheilun⸗ gen auszudruͤcken, ſo muß man ſich aus Nr. 4. erinnern, daß die neue Schacht⸗ Q I: 256000. . Schacht⸗Schuh 100 Kubic⸗Zoll hat. Unm alſo zu finden, wie viel der gefundene Decimal⸗Bruch, Kubie⸗Schuh, Schacht⸗ Schuh, Kubie⸗Zoll u. ſ. f. betrage, ſo muß man denſelben zuerſt mit 100 multiplieiren und vom Produkt 7 Decimal⸗Stellen abſchneiden, ſo erhaͤlt man zur Linken Kubie⸗Schuh. Hernach wird der zur Rechten uͤbrige Deeimal⸗Bruch mit 10 multiplicirt vom Produkt wieder 7 Decimal⸗Stellen abgeſchnitten, ſo erhaͤlt man Schacht⸗Schuhe, und ſo muß man mit der Multiplikation der noch uͤbrigen Reduktions⸗Zahlen und mit dem Abſchneiden der Decimal⸗Stellen fortfahren bis zum Ende. S 3. E,. der obige Decimal⸗Bruch itt 0,1642122 α✕ 100 = 16 42 12200 10 mult. gibt 4 2122000 100 mult. gibt 21 2200000 folglich machen 136 Alt. Schacht⸗Ruthen 5 Schacht⸗Schuhe 8 Schacht⸗Zoll ſo viel als 348 N. Schacht⸗Ruthen, 16 Kubic⸗Schuh, 4 Schacht⸗Schuh und 21,22 Kubie⸗Zol. Weil die genaue Berechnung der Unterabtheilungen bey dergleichen Ar⸗ beiten von keiner großen Bedeutung iſt, auch ſolche Kleinigkeiten nicht ein⸗ mal mit in den Accord aufgenommen werden, ſo rechnet man in ſolchen Faͤl⸗ len nur bis auf die Kubic⸗Schuh. Man kann alſo fuͤr obige Berechnung annehmlen 348 N. Schacht⸗Ruthan und 16 Kubice⸗Schuh. 2. Aufgabe. Wie viel alte Schacht⸗Ruthen, Kubie⸗Schuh ꝛe. machen 350 neue Schacht⸗Ruthen, 8 Schacht⸗Schuh, 5 Schacht⸗Zoll? Aufloͤwſung. 1 N. Scht. Ruth. = 0,3906285 Alt. Scht. R. mithin 350 N. Scht. R. = (0,390625 350) = 136,71375 A. Scht. R. 1 N. Scht. Sch. = 0,000 390625 mithin 8 R. Scht. Sch. = (o,000390625 %J 8) = „;ο3τ⅞1 ⅓½ A. Scht. R. Ruthe 100 Kubic⸗Schuh, der Kubie⸗Schuh 10 Schacht⸗Schuh, und der cht⸗ iren lken nan gen hren chen ng⸗ dient zur Verwandlung des Neuen in das Alte. Nach Nr. 13. iſfſtt 4 mithin 5 N. Scht. Zoll = (o, ooOOO390 5) = ,0000195 A. Scht. R. D L = 136,7218945 Weil der hier zum Vorſchein gekommene Decimal⸗Bruch in alten Schacht⸗ Ruthen ausgedrüͤckt iſt, ſo findet man die Unterabtheilungen deſſelben vermittelſt der Reduktions⸗Zahlen in Nr. 6. Man multiplicirt nemlich den Dec. Bruch zuerſt mit 256, und ſchneidet von dem Produkt von der Rechten gegen die Linke, 7 Deeimal⸗Stellen ab, ſo zeigen die zur Linken abgeſchnittene Stellen Kubic⸗ Schuh an. Hierauf wird der zur Rechten abgeſchnittene Decimal⸗Bruch mit 12 multiplieirt, vom Produkt abermal 7 Stellen abgeſchnitten, ſo erhaͤlt man Schacht⸗ Schuhe. Wird endlich der noch uͤbrige Dec. Bruch mit 144 multiplicirt, und abermal 7 Stellen abgeſchnitten, ſo erhaͤlt man Kubie⸗Zoll. 3. E. 0,7218945 256 multipl. ð 12 mult. . 144 mult. Es machen alſo 350 neue Schacht⸗Ruthen, 8 Schacht⸗Schuh und 5 Schacht⸗Zoll nach dem alten Maaß = 136 Schacht⸗Ruthen, 184 Kubie⸗ Schuh, 10 Schacht⸗Schuh und 54,7061760 nach dem neuen; wofuͤr man ſetzen kann: — 136 Schacht Ruthen, 184 Kubic⸗Schuh, 10 Scht. Schuh, 54 ¾ Kub. Zoll, oder 136 Schacht⸗Ruthen, 184 Kubic⸗Schuh. 15.) Damit man nicht in jedem beſonderen Fall noͤthig habe, eine gegebene W Aufgabe aus den in Nr. 7. bis 13. gefundenen Formeln eine weitlaͤuftige Rech⸗ nung anzuſtellen, ſo habe ich aus dieſen Formeln die zwey folgende Tabellen be⸗ ſonders berechnet, aus welchen man auf eine leichte Art die Zahlen er ade ſihrei⸗ ben, und das verlangte durch eine leichte Addition finden kann. Die Tabelle I. dient, das alte Schacht⸗Maaß in das neue zu verwandeln; die Tabelle II. aber Der Gebrauch beyder Tabellen leucht in die Augen und kann auch aus der Erlaͤuterung F. 176. I. Theil zur Genuͤge abgeſehen werden. Ich will den Nutzen dieſer Tabellen nur an zwey Beyſpielen zeigen, und da⸗ zu ſollen die beyden Aufgaben in Nr. 14. zur Probe dienen. Man hat 136 Schacht⸗Ruthen, 5 Schacht⸗Schuh und 8 Schacht⸗Zoll altes Maaß, wie viel ſind es neue Schacht⸗Ruthen? Hiezu dient die Tabelle I. 136 = 256 Alte Scht. R. = 76,8 = 15,36 Alte Scht. Sch. 5 = O, e04 166 Alte Scht. Zoll. = Q,oOOOAA 62) folglich 136 Alte Scht. R., ꝛc. = 348,1642122 endac⸗ Ruthen. wie oben. Anderes Beyſpiel. 350 Schacht⸗Ruthen, 38 Schacht⸗Schuh, 5 Schacht⸗ Zoll neues Maaß, wie viel machen ſie altes? Hiezu dient die Tabelle II. . Scht. Ruth. Geo = 17,t875 folglich 350 R. Scht. R. ꝛe. 1367228945. Alte Schacht⸗Ruthen. 16. ) Die Decimal⸗Bruͤche in den obigen Formeln von 7 bis 13, wie auch die in den Tabellen, habe ich auf mehr Stellen berechnet, als man g. woͤhnlich braucht. Es iſt aber dabey nicht die Meynung, daß man in jeder vorkommenden Rechnung gerade auch ſo viel Stellen aufnehmen muͤße, ſondern die Anzahl der Stellen des Deeimal⸗Bruchs richtet ſich nach der Genauigkeit der Abſicht, und das muß der Rechner ſelbſt zu entſcheiden wiſſen. Geſetzt nun man wollte die Aufgabe 1. in Nr. 14. nur auf Kubic⸗Schuh genau haber, ſo ſind 3 Deeimal⸗ Stellen hinreichend; nimmt man alſo nur 3 Stellen, ſo ſieht die Rechnung ſo aus: 4 n d ie l⸗ 9 Nach der Tabelle I. iſt: I00 = 256 Alte Scht. Ruth.) 30 = 76,8 7 6 = 15,36 Neue Schacht⸗Ruthen. Scht. Schuh 5 = n Scht. Zoll 8 = , 000 = 348,164 Reue Schacht⸗Ruthen. welches noch genauer iſt, als man verlangt hat. Man ſieht hieraus, daß da, wo keine auſſerordentliche Schaͤrfe verlangt wird, 3 Deecimal⸗Stellen hinreichend ſind. 17.) Fuͤr die Beſtimmung der Unterabtheilungen aus einem gefundenen De⸗ cimal⸗Bruch, der in Ruthen des rotheiligen Maaßes ausgedruͤckt iſt, koͤnnte man ohne die Multiplication in 14. ff. folgende allgemeine Regel aus den Reduktions⸗ Zahlen in Nr. 4. herleiten Nemlich da dieſe Reduktions⸗Zahlen in der Ord⸗ nung 100; 10; 100; 10 u. ſ. w. auf einander fol. 4, ſo darf man nur von dem gefundenen Decimal⸗Bruch von der Linken gegen die Rechte, gerade zu, zu⸗ erſt 2, von da an 1, und dann wieder 2 Stellen u. ſ. f. abſchneiden. So erhaͤlt man beym erſten Abſchnitt Kubic⸗Schuh; beym ꝛten Schacht⸗Schuh; beym dritten Kubie⸗Zoll; beym 4ten Schacht⸗Zoll u. ſ. w. Geſetzt man haͤtte eine beſtimmte Menge alter Schacht⸗Ruthen, Schacht⸗Schuhe und Schacht⸗ Zoll ein neues Maaß verwandelt, und gefunden: 236,637245 Schacht⸗Ruthen, ſo iſt die Abtheilung nach obiger Regel 236, 36 7] 24] 5] Das iſt 236 Schacht⸗Ruthen, 36 Kubic⸗Schuh, 7 Schacht⸗Schuh, 24 Kubie⸗Zoll und 5 Schacht⸗Zoll neues Maaß. Und ſo in andern aͤhnlichen Faͤllen. IJ. Tabelle 2= zur Verwandlung des alten Schacht⸗Maaßes in das Neue. ane Schacht⸗ zane geben neue Scact. Ruth ne Echacht. Nuth. geben neue Sacccht⸗ Rd. 1 0,0000 0578 . 2, 56 2 o,0000 1157 2 5, 12 3 o,0οοο 1736 3 7, 68 4 0,0000 2315 4 10, 2 5 ,0000 2893 58 12, 80 6 0,0000 3472 6 15, 36 7 o,0οοο 4051 7 177 92 8 0,/00ο0οοh4629 8 20, 48 5 9)oooo 5208 9 23, 04 10. 0,0009 5787 10 25, 6 1I1 0,/0000 6369 5 20 5r, 2 — 5,9900 63 = G ⸗ 30 76, 8 — säse Neu Alte Schacht⸗Schuh geben neue Schacht⸗Ruth. 50 128, 0 h —— 60 153, 6 1 0,/000 833... 7⁰ 179, 2 2 o,0ο1 666. 3⁰ 204, £ 3 0,002 499 . „ 90 230, 4 * o,ο3, 333. 100 256 5 ,004 166 . 200 522 7 0,005 833 „* 4⁰⁰ 102 4 8 O,006 666.. 500 1280 9 0,007 499 .. 600 1536 10 0,008 333.. 700 L 1792 11 0,9009 166 N „ S00 2048 12 9,009 999 . 90⁰⁰ 2304 1000 2560 2000 5120 . 3000 7680 4⁰⁰0 10240 500⁰00 I1800 6000 15360 700Hb 17920 L 8000 20480 9000 23040 10000 25600 II. Tabelle =— 4 zur Berwandlung des neuen Schacht⸗ Maaßes in das Alte. Neue Eact⸗ Ruth. — RNeue Schacht⸗Zonl geben alte Eααt, Nat. 1 /00οο0οο 1 2 o0οον d οω ο 8.. 2 3 o/ooο οο ö1171.. 3 4 0,0OOO I5S6. , 4 5 0,0000 195 . 5 6 o,0οο 234.. 6 7 0/00ο0°0° 273.. . 7 8 o,oooo 312... 8 9 9,0000 351 .„ % % 9 10 000ο.ο 391 10 11 0,0000 429.„ 20 12 5,0000 468 „„* 30 — — 18 Neue Schacht⸗Schuh geben alte Schacht⸗ Nuib. 50 1 ,000 391 70⁰ 2 /%0°0° 781 80 3 0,/001 171 90 4 0,001 562 100 5 0,00ο4 953 200 6 0,002 348 300 7 0,002 734 400 8 0,1003 120 500 9 0,003 515 600 10 o,003 906 700 11 0,/004 297 800 72 0,004 688 900 1000 2000 3000 4 000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 0, 390 625 0, 781 250 1, 171 875 1 562 500 1/953 125 2, 343 750 2, 734 375 3/ 125 000 3/ 515 62 3/ 906 250 7/ 812 §50 11, 718 15, 62 5 19/ 531 23, 437 27/ 343 31, 250 35) 156 39, 062 78, 125 117, 187 156, 250 195, 312 234/ 375 273/ 437 312, 500 351, 562 390, 625 781, 112 1171, 875 1562, §00 1953/ 125 2343, 750 2734, 375 3 125, 000 3515, 625 3906, 25 75⁵ 00 25 50 75 00 2 5 50 0o0 5 0 5 0 5 0 5 geben alte Schacht⸗ Ruth. — --- ſ ¶ ¶ ¶— 2a 98 — Weitere Bemerkungen und Zuſaͤtze zu §. §K. 20. 2I. U. ff. Es iſt allerdings muͤhſam eine Wurzel⸗Groͤße durch einen Decimal⸗Bruch auszudruͤcken, und um ſo mehr noch muͤhſamer, wenn in einer und eben derſelben Rechnung zwey, drey, und noch mehrere Wurzel⸗Groͤßen zum Vorſchein kom a— men, wie dieſes auch wirklich der Fall in den angefuͤhrten und folgenden §. §. iſt. Es kann demnach von Nutzen ſeyn, hier eine Tabelle anzugeben, in welcher die Wurzel⸗Groͤßen von /½; V1; W.2 bis M 1 berechnet worden, und die den⸗ ſelben zu gehoͤrigen Logarithmen neben bey geſetzt ſind. Da dieſe Tabelle nur zu einem Muſter dienen ſolle, und zum allgemeinen Gebrauch zu unvollſtaͤndig iſt, ſo kann man dieſelbe erweitern ſo weit man nur immer will, wie aus folgenden Beyſpielen erhellet. Man verlangt z. E. die in der Tabelle nach der Ordnung folgende Wurzel⸗ Groͤßen / 1/; 2 u. ſ. f. in Decimal⸗Bruͤchen auszudruͤcken. Log. 1 = O,0000000 Log. 13 = 1,1139434 2 : ,8860566 — 2 2 : U⸗ Log. VI= — 0,4430293— 1I. T 7 = 9 27745. Fuͤr V1. iſt Log. 2 Log. 13 0,30 10300 1,1139434 Log. M1, = 0,5935433 — I. Vi; = 392232. und ſo fort bey z; V1zy; V1z ꝛc. Verlangt man nun den Decimal⸗Bruch zu /à, ſo darf man R nur in der Tabelle aufſuchen, ſo ſteht daneben die Zahl o,707106, welche der verlangte Decimal⸗Bruch iſt. Fuͤr iſt der Deeimal⸗Bruch in der Tabelle = 0,408249. Erfordert die Weitlaͤuftigkeit einer Rechnung, daß ſie mit Logarithmen gefuͤhrt werden muß, ſo ſtehen neben den Decimal⸗Zahlen in der Colum. Log die ihnen zugehoͤrigen Logarithmen. Die Wurzel⸗Groͤßen /; V4; Và‿; V u. ſ. w. ſind nicht berechnet und in die Tabelle aufgenommen worden; wenn man ſich aber aus der Arithmetik I — 8 — — — — — —9 —— —— — —— — 6— H—3— —b.——iCwfff ett ſß, en get it erinnert, daß H4½ = 4; 4 = WM3; V = ; 4 = V4 iſt, ſo kann man die auf die kleinſte Benennung reducirte Wurzel⸗Groͤßen 4½ = 2 u. ſ. w. nehmen, die man hernach gewiß in der Tabelle wird finden koͤnnen. Dee. Bruͤche Logarithmen Barzel Dee. Bruͤche Logarithmen P o, 707 106 (0,849 4850 — 1 M6 0,666 666 0,823 9087—1 2,577 350 0,761 4393 — 1 ,745 355 0,872 3685 q́ 1 ,815 557 ,911 7091 — 1 5 ,881 91 0,945 4275 — I 2°500 00οο 0,698 97 00— 1 V5 „, 942 808 0,974 4236 — 1 O½ 9,971 616 0°,987 5306—1 VI5 3 16 300 500 &ο0ο0ο P ,447 213 ,650 5150 — 1 ,; ,547 722 0,738 5606— 1 V ,632 455 ° 801 0300— 1 2 ,836 660 , 922 5490 — f 290,774 597 0,889 0756—1 25 0,948 683 0, 977 1212—1 9,894 427 0,951 5450—1 0,301 511 do,479 3036—ç 1 „½ „°408 249 C0,610 9235 — Va ,426 398 0,629 8149 —1 4 2,912 871 ⏑ 960° 4093—1 V ,522 233 0,717 8640— 1 2 2,377 964 ,577 3507 —–g 1 4 „603 0o17 0780 3298 – 1 „ 2,534 521 ,727 0562 — 1 Wi ,674 191 0,8287834—1 2 ,553 24 % ,8 15 0063 –g 1 „°738 549 0,868 3790 — 1 4 0,755 928 0, 878 4807—1 PI 9,797 723 0,90I 98524— 1 5 0,845 118 0,926 9175—1 F 9,852 802 0,930 8484—1 4 2,925 820 ,960 5204 — 1 ½ „9 4 533 ,956 4247 — I ,353 553 0,548 4550— 1 8,951 270 , 978 3034— 1I 9,612 372 787 0156—1 P ,288 675 0,460 4094— 1 °790 570 ,897 9400— 1 0,645 499 ſo, 809 8944— 7 ,935 515 0,971 0045 — 1 3 ,679 921 [, 832 45 84 — 1 „ 9,333 333 0,522 ½ 2,957 427 (0,981 1057—1 3! „,471 404 [o,673 3935 — 11 Seite ILIIIIIIII Verbeſſerungen. 1. Linie 7 von oben ſtatt wegen den, leſe man wegen der — „ von oben ſtatt ½, leſe man 2 — „ von unten ſtatt 2907 leſe man 29°1“ 138 von oben ſtatt 10 4 KW. . leſe man 10 45 P. „ 6 von oben ſtatt Rechunng lies Rechnung 12 von oben ſtatt ſeyu l. ſeyn 3. 3z. 8. 10. 14. 26. 5e. 5§2. 57. 5 18 15 3 24 von oben ſtatt mau l. man von oben ſtatt Wnurzelgroͤße l. Wurzelgroͤße von oben ſtatt 3 lies 2 von oben ſtatt und l. und von oben ſtatt Conſtruktion l. Conſtruktion 3 von unten ſtatt ac ſin. («+ 6) l. — 1ic ſin. (a-P6) 3 von oben ſtatt kaun l. kann. n õ — R — . . 4 4 I. — — — - 2- = — ———— s . N — —. æ —ͥ 2 K ErFr H B —R—— AXRN A —— — „ 1 = 8 4 ſab. M. R rS = — . — — =—=—— 7* — . A — — —,—,— = 1 VV –– = — — — — — X — . - 7 ‚— / — 7 4 — - — — X — 38 1 — , . Bi 7 — 1 — — —- -ͤ — — — — - =– — — — -— - — — —- - – N 2 lõ . 9 1 5 2 , . 2 7 6 1 . * . N . . 8* 5 4 . 4 . 7 „ 7 . . — . * —– 7 . — .„ „ — . . 4 . ₰ * 7 „ „₰ . . — praktiſcheösö FJecldmeßklun ſt Landfeldmeſſer, oder S . fuͤr diejenige, welche ſich in der Feldmeßkunſt ſel b'ſt unterrichten wollen. Von J. G. B o b f. l, Präceptor am Koniglichen Gymnaſium zu Stuttgardt. Mit 3 Kupfertafeln. Zweiter Theil. Tuͤbingen, beh C. F. O ſiander. 181 8. 3 4 5 6 Copyright 4/71999 VxVMaster Gmbhl WwwW.yXVMaster. com 2 1 VierFarbSelector Standard* -Euroskala Offset