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 Praktische Feldmeßkunst für Land-Feldmesser, oder für diejenige, welche sich in der Feldmeßkunst selbst unterrichten wollen, 1 õ = Dri . lkl1—U—wNE Sae — — Praktiſche Selinefinne Land⸗Feldmeſſer, oder fuͤr diejenige, welche ſich in der Feldmeßkunſt ſelt ſt unterrichten wollen. +☛ Entworfen von H G. Boͤbel. —,.ẽ— .“ Nit 5 Kupfertafeln. — Dritte verbeſſerre und vermehrte Auflage. . Täbingen, bei Jakob Friedrich Heerbranbdt. 1 7 9 8. Vorrede zur erſten Auflage. M⸗ oͤtter wiederholtes Anrathen verſchiedener Freunde und Feldmeß Liebhaber iſt dieſes Buͤchlein entworfen worden; Es iſt blos, wie man ſchon aus dem Titelblatt ſieht, nur fuͤr diejenige Feldmeſſer eingerichtet, die nicht Mathematik, ſondern nur die vier Rechnungsarten und die Regel detri gelernt haben. Weil nun dieſer Art Buͤcher vom Feldmeſ⸗ ſen auch fuͤr den gemeinen Mann ſehr rar ſind, ſo habe mich entſchloſſen, ein brauchbares Buͤchlein hiemit in die Haͤnde der Feldmeß⸗Liebhaber zu lie⸗ fern. Es fehlt an Buͤchern, die von der Geome⸗ trie handeln, gar nicht, man hat ſolche im Ueber⸗ fluß, aber ſie ſind meiſtentheils fuͤr diejenige ge⸗ ſchrieben, die ſchon Mathematik ſtudirt haben oder ſtudiren wollen, mithin ſchon mathematiſche Kennt⸗ niſſe, z. E. eine ne vollſtaͤdige Arithmetik, eine gruͤnd⸗ A 32 iiiieche 4 W orre d e liche Einſicht der Algebra, vorausſezen, wenn man ſie gruͤndlich verſtehen will; dieſe Gattung Buͤcher ſind fuͤr den gemeinen Mann beinahe unbrauchbar, weil derſelbe theils die dazu gehoͤrige Kenntniſſe, oder noch beſſer zu reden, die mathematiſche Spra⸗ che nicht verſteht, theils nicht ſo viel Zeit anwen⸗ den kann, ſie zu lernen. Ein Buch von der Feldmeßkunſt, ohne Theo⸗ rie und mathematiſche Beweiſe eingerichtet, iſt eben eine Sache, die heut zu Tage nicht allen Beifall ſindet; wenn man aber vor diejenige ſchreibt, die eine Sache ohne Theorie, alſo nicht mathematiſch beweiſen, ſondern ſo wie ein Beweis ihrem Ver⸗ ſtande am natuͤrlichſten vorkommt, darthun wol⸗ len, ſo faͤllt ein ſolcher Zweifel von ſelbſt weg. Aus dieſer Urſache habe ich mich an verſchiedenen Orten ganz anders faſt wider die mathematiſche Sprache ausdruͤcken muͤſſen, um mich recht nach der Sprache des gemeinen Manns und Feldmeſ⸗ ſers zu richten. Es wuͤrde ein deutlicher Ausdruk oͤfters einem Feldmeſſer undeutlich werden, wenn er nicht ſeiner Sprache angemeſſen waͤre, ſo iſt zum Beiſpiel der Ausdruk bei der Erklaͤrung des rechten Winkels §K. 21. da es heißt: „ein rechter „Winkel iſt, wo beide Schenkel, die den rechten Winkel formiren, aufrecht aufeinander ſtehen“ ei⸗ nem allgemeinen Feldmeſſer viel deutlicher, als wenn es hieße: Ein kechter Winkel ſei der, wenn beide — W e = = =2 — —= Se =☛T — = — zur erſten Auflage. 5 beide Schenkel pervendikulaͤr aufeinander ſtehen, ohnerachtet der leztere Ausdruk viel deutlicher als der elſtere iſt. Was die Einrichtung dieſes Buͤchleins betrifft, ſo bin ich immer nur dem leichteſten und nuͤzlichſten gefolgt, und habe uͤberfluͤßige Saͤze, Aufgaben, mit Vorſaz weggelaſſen, und nur diejenige Faͤlle angezeigt, welche am haͤufigſten vorkommen, oder aus welchen man eine vorkommende Sache herlei⸗ ten kann, und ich zweiſßte nicht, daß auch andere vorkommende Faͤlle, deren es ja eine unzaͤhliche Menge geben kann, ſowohl bei Ausmeſſung als Theilung der Figuren, werden leicht verſtanden werden, wenn man ſich die in dieſem Buͤchlein vorkommende Faͤlle auf dem Papier ſowohl, als auf dem Felde recht bekannt macht. Auch darf es dem Leſer nicht auffallend vor⸗ kommen, wenn er hierinnen einige Berechnungen antrifft, die nicht auf das genaueſte ausgerechnet ſind, man bedenke allemal nur dabei, daß es fuͤr das Feldmeſſen ſcharf genug iſt, weil man ohne⸗ hin beim Ausmeſſen mit Stangen, Ketten und Seilern ſo gar genau nicht verfahren kann, und es auch nicht darauf ankommt, ob dieſer oder jener Beſizer zwei, drei oder vier Linien eines Zolles mehr oder weniger Feld hat. Alle Berechnungen ſind nach dem leichten de⸗ amal Maas eingerichtet, und weil mehrentheils A 3 Land⸗ 6 Vorrede zur erſten Auflage. Land. Feldmeſſer die alte Rechnungsart, oder ſo. genannte Regel detri, und nicht den Reeſiſchen Seaz gelernt haben, ſo habe bei den meiſten Be⸗ rechnungen, wo es thunlich war, zuerſt den Saz nach der alten Art angezeigt, nachgehends aber durch den Reeſiſchen Saz ausgerechnet, mithin dieſes Buͤchlein auch fuͤr diejenige brauchbar iſt, ſo nicht nach der alten Art, ſondern nach dem Ree⸗ ſiſchen Saz rechnen. Die uͤbrige Vortheile, ſo nicht angezeigt ſind, werden Liebhaber, wenn ſie dieſes wenige mit Aufmerkſamkeit durchgehen, ſelbſt hinzuzufuͤgen wiſſen, und den groſſen Lehr⸗ meiſter der Erfahrung zu Rathe ziehen. Sollte ich mich aber in dieſem oder jenem Saz nicht deut⸗ . lich genug erklaͤrt haben, ſo bin ich bereit, wenn mehrere Erlaͤuterung verlangt wuͤrde, dieſelbe mit Vergnuͤgen zu geben. Uebrigens wuͤnſche ich, daß der Gebrauch die⸗ ſes Buͤchleins zum vielfaͤltigen Naten der Liebha⸗ ber ausſchlagen moͤge. Vor. 7 hin he wep een inf Un i Seoe ☛, ich n Ni ſo ſ⸗ hen Be⸗ a; ber in t SS Vorrede zur zweiten Auflage. Mar Plan bei der erſten Auflage war, dem gemei⸗ nen Feldmeſſer einen brauchbaren Werkzeug in die Haͤnde zu liefern, aber die Schranken welche ich mir dabei ſezte, waren oͤfters Gegenſtaͤnde, welche mich mehr als einmal in Verlegenheit ſezten; beſonders wenn mir noch neben dieſen die groſe Anzahl Buͤcher einfiel, die auf eben das abzwekten, wo meine Abſicht hinzielte, dieſes war ein Haupt⸗Gegenſtand, welcher mich bei dem erſten Gedanken beinahe von dem ganzen Vorhaben abhielt. Weiters ſollte noch in meinem Plan liegen, ein dem gemeinen Mann angemeſſener Vortrag ohne Theorie, und ein⸗ geringer Preis, folg⸗ lich auch keine unnoͤthige Weitlaͤuftigkeiten, wodurch nur die Bogenzahl angehaͤuft worden waͤre; Alles dieſes ſollte innerhalb meines Plans liegen. Beinahe ſollte ich glauben meine Abſicht erreicht zu haben, weili in einem ſo kurzen Zeitraum ſchon die zwote Auf⸗ A 4 lage . ä 8 4 ⸗ z Vorrede. S lage veranſtaltet werden mußte. Inzwiſchen will ich es als ein gutes Zeichen anſehen, nichts unnuͤzes ge⸗ ſchrieben zu haben. Es ſind freilich von Sachverſtaͤn⸗ digen hie und da einige Bemerkungen gemacht wor⸗ den, welches ich mit vielem Dank erkenne, und welche ich bei dieſer neuen Auflage, ſo viel als es mein Plan erlaubte , benuzt habe. „Daß mathematiſche Praxis ohne gruͤndl iche „Theorie, nicht anders als vielen Fehlern und Verir⸗ „rungen unterworfen ſeie,“ wie Recenſent in der all. gemeinen Litteraturzeitung bemerkt, war mir eines Theils nur gar zu wohl bekannt, allein mein feſtge⸗ ſezter Plan erlaubte mir nicht mehr beizuſezen. Ue⸗ berhaupt einen Feldmeſſer auf dem Lande nach der ſchaͤrfſten Theorie unterrichten und belehren zu wollen, kaͤme mir gerad ſo vor, als wenn man einem Handwerksmann ſeine Profeßion nach der ſchaͤrfſten Theorie beibringen wollte, alles richtet ſich nach den Umſtaͤnden. Ein Buͤrger auf dem Lande kan nicht ſo viel Zeit anwenden, alles das, was die ſchaͤrfſte Theorie erfordert, zu lernen, mithin muß man ihm nur dasjenige in die Hand geben, was in⸗ nerhalb in ſeinem Wirkungskreiſe liegt. Aus dieſem Grunde mußte freilich vieles wegbleiben, was von rechtswegen ſollte geſagt werden. Ich verweiſe daher diejenige, welche etwas weiter gehen wollen, auf die von örn. Pfr. M. Wurſter vor einigen Jahren berausgenebene Linleitung zur praktiſchen Feld⸗ meß⸗ met. Dint ſchnt erf ert heutl An N N ln ſin/ ſehr We i heſt — SSGõG zuiuuurr zweiten Auflage. 9 illich meskunſt, ein ſehr brauchbares und mit vieler 6 g⸗ Deutlichkeit geſchriebenes Buͤchlein. dunun Diie Verbeſſerungen hin und wieder, betreffen und meeiſtens die Berechnungen, ich ließ nemlich die Be⸗ G rechnungen nach der alten Art, weil ſie mir ganz überfluͤſſig ſchienen, hinweg, hingegen ſezte ich die Berechnungen nach dem Decimal⸗Maas, etwas iche deutlicher auseinander; auch mußte noch mehr von te dem Vertheilen der irregulaͤren Figuren geſagt wer⸗ dall⸗ den, freilich war deßwegen noch eine neue Kupfer⸗ AnrG8 blatte noͤthig. Die Anmerkung vom Schrittmeſſen lyt⸗ wird hoffentlich nicht am unrechten Ort angebracht i, ſeyn, die Erfahrung von mehreren Jahren hat ge⸗ der lehrt, wie nuͤzlich es ſeie, wenn man ſich auch ohne iu Maasſtab auf der Stelle zu helfen weiß; man kommt naa ͤ;ters in Faͤlle, wo man in der Geſchwindigkeit, der z. E. bei Anlegung einer Chauſſee, eines Grabens, ſich beſtimmen ſoll, wie lang, wie viel Ruthen ſolche nde von einem gemeinſchaftlichen Gut hinweg nehme, die was ſie im Durchſchnitt koſten koͤnne? Alles dieſes mus und noch unzaͤhlig viel andere Faͤlle, ſind ſolche, -„ welche hauptſaͤchlich zu einer ſolchen Praktik gehoͤren. 4 Uebrigens ſind die Zahlen der §. §. durchaus her geblieben, und das, was hin und wieder verbeſſert die und vermehrt wurde, als Aufgaben und Anmer⸗ Stan kungen angezeigt worden. eld⸗ 2 10 Vorre de zur zweiten Auflage. Von der Zeit und von den Umſtaͤnden wird es abhangen, ob ich mein Verſprechen bei der erſten Ausgabe werde halten koͤnnen, indeſſen er⸗ laubte mir mein gegenwaͤrtiger Wirkungskreis nicht, ſolches zu erfuͤllen, weil die Zeit zu meinen eigenen Geſchaͤften ſehr koſtbar iſt, und ich nicht anders als nur verſtohlene Blike darauf werfen muß. Sollte mir aber Gott das Leben friſten, ſo werde dennoch nicht muͤßig, ſondern nach al⸗ len Kraͤften, welche in meinem Wirkungskreiſe liegen, thaͤtig ſeyn. Eiuttgerd, im Monat Jan. ŚM 1 7 89. Der Verfaſſer. J. G. Boͤbel, Hofmeiſter, auch Lehrer der Mathematik an der Her⸗ Poglichen Hohen Carls⸗Schule. Vor⸗ E ſnen 1. N Wn meßtn yer! Lube⸗ ge R ſehn ge. 1wird ei der n er⸗ kreis einen nicht derfen iſten 1 al⸗ kreiſe her⸗ VBVorred e zur dritten Auflage. E⸗ war mir ganz unerwartet, daß es mit dieſem kleinen Buche zu einer dritten Auflage kommen ſoll⸗ te. Ich will es als einen Beweis anſehen, daß die Neigung zu den praktiſchen Kenntniſſen der Feld⸗ meßkunſt, unter den Liebhabern derfelben, ſich im⸗ mer mehr vermehre. Das Bewußtſeyn etwas zur Erweiterung der Kenntniſſe der Feldmeß⸗Liebhaber beygetragen zu haben, iſt für mich die beſte Be⸗ ſte Belohnung, die ich, fuͤr dieſe nicht gar ange⸗ nehme Arbeit, erwarten kann. Bey HZ 6 f22 VBorred.e Bey dieſer neuen Auflage wurde ich veranlaßt, hin und wieder Verbeſſerungen anzubringen, wel⸗ che ich fuͤr weſentlich noͤthig hielt. Im Ganzen eine Veraͤnderung vorzunehmen, ſchien mir aus gewieſen Gruͤnden nicht rathſan. Um aber die⸗ ſem Buche mehr Vollkommenheit zu geben, ſo hade ich nach dem Wunſche d des Hen. Necenſen. in dem Anhange eine Anleitung zu der eben ſb noͤthig als nuͦzlichen Decimal⸗Rechnung, wie auch zur Extraktion der Quadrat und Kubik⸗ Wurzeln beigefüͤgt; dadurch wurden zwar eines Theils die in §. 7. bis 10. gegebene Regeln uͤber⸗ fluͤßig gemacht, ich wollte ſie aber dennoch Faus dem Buche, aus grundlichen urſachen nicht ver. draͤngen. Es hat alſo fuͤr den der jene Regeln ſchon gelernt hat, noch eben den Nuzen wie vorher, und dem neuangehenden Feldmeßer, welcher doch eins von beyden lernen muß, kann es gleichguͤltig ſeyn, welches er lernen will; ich rathe ihm aber die Decimal⸗ Rechnung und Extraktion der Wurzeln aus dieſer hinzugefuͤgten Anleitung zu erlernen. Wenn ranlaßt D wel⸗ Ganzen mie ans ber dit ⸗ en, ſ tenſen⸗ 1789. ben ſo. We Kubik⸗ kaines uͤber⸗ ch aus ht ver⸗ 1 ſchin vorher, och gültig ſaber urſeln n. Wenn. zur dritten Auflage. 13 WVenn ſchon die hie und da beigefuͤgte An⸗ merkungen auſſer der Sphaͤre deß groͤßten Theils der Feldmeßer, fuͤr welche eigentlich dieſes Buch beſtimmt iſt, liegen, ſo ſchienen ſie mir doch nicht uͤberfuͤßig zu ſeyn; ſie ſollen den Nachdenkenden aufmuntern, und zugleich erinnern, daß um ein geometriſches Problem zu verſtehen, etwas mehr als nur Regeldetri gehoͤre. Die hei uns im Wir⸗ tenbergiſchen ſeit einigen Jahren gemachte weiß⸗ liche Verordnung, daß auch in den Landſchulen, wochentlich einige Stunden auf Mathematik ver⸗ wendet werden ſollen, laͤßt mich vermuthen daß der neuangehende Feldmeßer in der Folge mit den 4. Rechnungsarten und Regeldetri nicht mehr zu⸗ frieden ſeyn werde, ſondern noch mehr mathema⸗ tiſche Kenntniße als nur dieſe erwerben will. Weil alle unſere Meßungen nur beinahe wahr ſind, ſo iſt es nicht genug, blos Meßen zu koͤn⸗ niße beſaͤſſe, ſeine Schuͤler mit den richtigen Begrif⸗ nen, im Grunde weiß man in dieſem Falle nichts; daher waͤre es ſehr zu wuͤnſchen, daß jeder Leh⸗ rer der Feldmeßkunſt, wenn er die noͤthige Kennt⸗ 8 1 14 Vorrede zur dritten Auflage. Begriffen mathematiſcher Groͤßen mehr beſchaͤf⸗ tigte, damit ſie doch wenigſtens beurtheilen koͤnn, ten, wie viel ſie fehlen koͤnnen und doͤrffen, wo⸗ i freilich die theoretiſche Kenntniße vermittelſt der Trigonometrie zu Grunde gelegt werden muͤſſen. Stuttgardt, im Monat Apr. 157 9 6. Sum⸗ h kit. ge. beſchif⸗ n konn, fen, wo⸗ ewittelſt muͤſten. umè Tabelle fuͤr die Quadratwurzeln von 1. g Summariſcher Inhalt. Vorlaͤufige Erklaͤrungen . .—½ .. 1 Von den Inſtrumenten . g. 3 — Von dem Laͤngen⸗Maas . 8. 5 Von der Addition des Decimal⸗ Maaſes §. 7. — — Subtraction 8. 8. — — Multiplikation Z . §K. 9. — — Dirviſion 8. 10. Wie das Decimal⸗Maas i in gewoͤhnliches und die⸗ ſes in jenes zu verwandlen ſey §. 12. und 13. (500. be⸗ rechnet, ihr Gebrauch . K. 1ε½11s. 16. Allgemeine Erklaͤrungen der Linien, Winkel und der Figuren §. 17. bis §. 24. Wie eine grade Linie auf dem Felde zuͦziehen ſey. d. 2 Wie auf dem Feld Perpendikular⸗Linien, Parallel⸗ Linien zu ziehen, auch eine gerade Linie gemeſſen werde g. 26 bis 28. Gebrauch und Behandlung der Meßkette §. 28. Eine Linie horizontal zu meſſen . g. 299 Eine Linie in 2. gleiche Theile zu theilen §. z0. Von dem Maas der Planimetrie §K. 31. bis g. 34 Quadrat, Decimalmaas in gewoͤhnliches Qugdra⸗ maas zu verwandlen Von dem Ausmeſſen und Ausrechnen den keidir 36 bi „582. Das Ausmeſſen der Linien und Felder mit Schrit⸗ ten Anmerk. J. 52. Von der Theilung der Felder und der Figuren §. 53. Von den Vortheilen die man bei der Theilung der Felder anwenden kann . g. 56. Etwas aus der Stereometrie, nnd zwar von dem Maas derſelben . §. 69. . 70. Vom Ausrechnen einiger Koͤrver . g. 71. Berechnung des voli, Gehelis e eines Baunnſima⸗ õ 16 Summariſcher Inhalt. nach der Forſtwiſſenſchaftlichen Regel und nach der algebraiſchen Formel 2 (Ra + Rr †+ 1²½) 2 die Unrichtigkeit der Forſtwiſſenſchaftlichen Re⸗ . „ . 74. b. Etwas vom Viſiren 8. 75. Wie ein Maasſtab zum Viſiren der Faͤſſer nach A⸗ mer Imji ꝛc. zu verfertigen ſey) ⸗ d. 80. Beſchreibung eines einſachen und wohlfeilen Meß⸗ tiſches und deſſen Gebrauch §. 82 und 83. Die Hoͤhe eines Baums aus ſeinem Schatten ver⸗ mittelſt der bekannten Laͤnge eines Stabs zu meſſen . S. . 94. Vom Aſehmen der Gegenden 8. 97. Die Rechnung mit Decimalbruͤchen §. 104. Die Addition derſelben §. 109. — Subtraktion ⸗ g. III. — Multiplication . §. 1I4. — Diviſion . Q. 116. Die Verwandlung der gewoͤhnlichen Bruͤche in De⸗ cimal⸗ Bruͤche . . 8èg 1I199 Von dem Extrahiren der Quadrat und Cubic⸗Wur⸗ zzlele. „„ . §. 12 I. Von den Quadrat⸗Zahlen und ihren Wurſein 8. 122. Die Quadratwurzel zu extrahiren, ein Exempel §. 127 Die Quadratwurzel aus irrational Zahlen zu ſin⸗ den —;—.⸗ . . §. 128. Aus Bruͤchen die Quadratwurzel zu fſinden §. 130. Von der Probe ob man richtig extrahirt habe §. 152. Von den Kubikzahlen und dem Extrahiren der Ku⸗ bikwurzel S . . 133. Die Extraction der Kubikwurzel . . 139⸗ Die Extraction der Kubikwurzel aus irrationa! Zah⸗ len . * „ * d. 141. Die Extraction der Kubikwurzel aus Bruͤchen §. 142. nd nech 1† 1²) .d. . el Praktiſche Geometrie. do. Meß⸗ k Vorlaͤufige Erklaͤrungen. ⸗ A y. g. k. . 8 as praktiſche Feldmeſſen iſt eine Kunſt, wel⸗ — che lehret, wie man alle vorkommende Fel⸗ der ordentlich ausmeſſen und austheilen ſolle, ſo ſ do. daß ſowohl dieſer als jener Beſizer eines ſolchen 1I9. Stuͤk Feldes, ſeinen gehoͤrigen Theil bekomme; Wur⸗ es iſt alſo dem Landmann ein nothwendiges Stuͤk . la⸗ bei ſeiner Oekonomie. Dieſe Kunſt iſt nicht nur gurzeln . i2. von den Alten ſehr hoch gehalten, ſondern iſt auch n noch bis gegenwaͤrtig ein nothwendiges Stuͤk ver⸗ zum bhlieben, immer weiter getrieben, und in Auf⸗ . 129. nahme gebracht worden. h. 10, .192, der N⸗ . 7. . 133. Di g „ TSE ie erſten Anfaͤnge des Feldmeſſens muß gr man bei den Egyptern ſuchen, welche durch die 4l. jaͤhrliche Ueberſchwemmung des Nil⸗ Fluſſes ge⸗ . 14 7 noͤthiget wurden, die Felder wieder von neuem Abzumeſſen und einzutheilen. Peab Von W in 10 gleiche Theile getheilt, welche decimal Zol⸗ 19 Von den Inſtrumenten, welche man beim praktiſchen Feldmeſſen noͤthig hat. Diie Anzahl der Inſtrumente, welche ein Feldmeſſer noͤthig hat, iſt gering. I. Die NMreßruthe. Sie iſt eine lange, runde Stange von Tannenholz, weil dieſes Holz am wenigſten krumm wird, in der Laͤnge nach dem einmal von der Obrigkeit angeordneten und gebraͤuchlichen Maaſe. Gemeiniglich theilt man die Ruthe in 10 gleiche Theile, welche decimal Schuh genennt werden; der Schuh wird wieder le ſind, und ein jeder Zoll wieder in 10 decimal Linien. Gut iſts, wenn ſich ein Feldmeſſer zwei dergleichen Meßſtangen anſchaft, damit, wenn im Meſſen die eine liegt, die andere wieder dar⸗ an geſtoſſen werden koͤnne. Weil ſich aber die Stangen durch vielen Gebrauch abſtoſſen, daß ſie kuͤrzer werden, ſo iſt es gut, wenn ſie an den Enden mit Moͤſſing oder Eiſen beſchlagen II. Die Meßketten ſind von ſtarkem Drat, ungefaͤhr in der Dike eines mittelmaͤſigen Federkiels, ein jedes Gelenk derſelben iſt Einen Schuh lang, und werden mit kleinen Ringen zu⸗ ſamen gehaͤngt, welche auch zugleich die Ab⸗ theilung der Schuhe vorſtellen. Fig. I. Tab. I. ſtellt 4 Lil ſtelt, kynn hu Nr ͤne Naf nar erwen eui e inde der tlng I fuͤche⸗ ſn Cyhr e, ig hat. belche ein lange, ſes Holz ge nach len und lt man Rümal wieder l Yu⸗ ecimal er zwei wenn r dar⸗ der die „daß ſie an ihlagen atkemn aſigen Einen en zi⸗ 9b. I. ſtelt ſtellt ein Stuͤk von einer Meßkette vor. Man kann auf dieſe Art 3. 4. bis 5. Ruthen aneinan⸗ der haͤngen, und erhaͤlt dadurch den Vortheil, daß man mit Meſſung einer Linie bald fertig, aber wenigſtens drei Perſonen beim Meſſen ge⸗ genwaͤrtig ſeyn muͤſſen die Eine an dieſem — die andere an dem andern Ende, und die dritte in der Mitte, um die Gelenke, wenn ſie in Un⸗ ordnung ſind, zurecht zu bringen. III. Die Meß⸗Schnuͤre, ſind gezwirn⸗ te Saile in Leinoͤl geſotten, und mit Wachs be⸗ ſtrichen. Die Abtheilung der Schuhe, Zolle ꝛc. geſchiehet nach dem decimal Maas, und an dem Ende eines Schuhes wird ein zarter Drat, oder rothe, auch anders gefaͤrbte Fleken von Tuch angebunden. Auch dieſe koͤnnen 4 — 6 bis 8 Ruthen lang ſeyn. Anmerkung. Die Schnuͤre werden kuͤrzer, wenn ſie naß werden, und laͤnger, wenn ſie troken ſind, wiewohl dieſem durch das Oelſieden meiſtens begegnet wird; aber das iſt eben nicht zu verhuͤten, daß ſie nicht bald ſtaͤrker, bald ſchwaͤcher angezogen werden. Die Ketten ſind ſchwer, verwikeln ſich leicht, und wenn der Boden nicht eben, ſo ſenken ſie ſich in die Tieffungen, daß ſie nicht ſtark genug an⸗ gezogen werden koͤnnen. Dahero wohl die Stangen vorzuziehen, wenn man recht mit umgeht, ob es wohl etwas langſamer damit zu gehen ſcheint. B BS IV. 20 IV. Die Winkel⸗Scheibe. Sie iſt ein von ſchoͤnem hartem Holz abgedrehtes Stuͤk, in der Geſtalt einer Scheibe, nur daß ſie auch zu⸗ gleich eine Dike hat. Fig. 2. Lab. I. ſtellt eine ſolche Winkel⸗Scheibe vor. Der Diameter derſel⸗ ben kann 4, 6 bis 8 Zoll ſeyn; in derſelben ſind 2 Diameter AC und BD accurat rechtwinke⸗ licht mit einer feinen Saͤge eingeſchnitten. Die Saͤgenſchnitte, welche einander rechtwinkelicht durchkreuzen, dienen ſtatt zweier Abſehen, um auf dem Feld rechte Winkel damit abzuſteken. Der Fuß E iſt ebenfalls ein wohl abgedrehter runder Stab, der unten mit einem ſpizigen Ei⸗ ſen beſchlagen, damit das Inſtrument bequem in die Erde eingeſtekt werden kann. Z Anmerkung. Es iſt oͤſters noͤthig, daß ein halbrechter Win⸗ kel d. i. ein Winkel von 45. Graden mit der Winkel⸗Scheibe abgeſtekt werden ſolle, wie weiter unten ſolle gezeigt werden, da aber die⸗ ſes durch den rechtwinkelichten Kreuz⸗Schnitt nicht kann bewerkſtelligt werden, ſo iſt es gut, wenn noch ein dritter Schnitt wie ab Fig. 2. Tab. 1. eingeſchnitten wird, dieſes geſchie⸗ het wenn die Boͤgen AB und CD halbirt werden. Man muß aber ſorgfaͤltig bei Ab⸗ ſtekung eines rechten Winkels Achtung ge⸗ ben, welche Schnitte einander rechtwinkelicht durchkreuzen. V. Einen vollſtaͤndigen Reißzeug muß auch ein praktiſcher Feldmeſſer haben, oder doch wenig⸗ ſKens ſten⸗ hn — — — —— —— — —— = A⸗ We ſttl en nen ſe⸗ geſte Bei ller it, (ifAlt Aſ ees e iſt in k, in uch zu⸗ lt eine derſel⸗ ben ſind twinke⸗ .Die nkelicht 1, um ſſieken. Rchter gen Er⸗ mem in Win⸗ mit der e, wie ber die⸗ Scheitt 8 gut, Fig. 2 geſchie⸗ hylbirt bei Ab⸗ ung ge⸗ nkelich 4 uch wenig⸗ ſtene ſtens einen ſolchen, worinnen⸗ ſolgende Stuͤke enthalten ſind: 1.) Ein alle ggemeiner Handzirkel; 2.) ein Ein⸗ ſazzirkel, worein man Reißblei, Reißfedern einſchrauben kann; 3) eine Handreißfeder; . 4.) einen Transporteue; 5) einen verjungten H Maasſtab; 6.) einen Winkelhaken; 7.) ein Linial, Bleiſtefte, und mehrere dergleichen Kleinigkeiten, ſo man beim Aufzeichnen der Figuren noͤthig hat. Alle dieſe Inſtrumente ſind von Moͤſſing, ausge⸗ nommen Linial⸗W nkelhaken, verjuͤngter Maas⸗ ſtab koͤnnen von ſchoͤnem hartem Holz, z. E. Birn⸗ baͤume gemacht werden. Einige Felbmeſſer bedienen ſich auch eines Meßtiſchleins, welches ein wohl abgehobeltes birn⸗ baͤumenes Brettlein, ungefaͤhr ein oder andert⸗ halb Schuh ins Geviert iſt, und auf 3 Fuͤſſen geſtellt werden kann, wenn es gebraucht wird. Beim Gebrauch wird es mit weiſſem Papier uͤberzogen. Wenn man einen Halbzirkel von 180 Graden darauf abzeichnet, und ſo einrich⸗ tet, daß es horizontal und vertikal zugleich ge⸗ ſtellt werden kann, ſo kann es die Stelle eines Aſtrolabii vertretten. Vom weitern Gebrauch des Meßtiſchleins wird unten im Anhang beſen⸗ ders gehandelt werden. 22 Vom Laͤngenmaas, und zwar beim Ausmeſſen der Linien. Das einmal angenommene und faſt uͤberall eingefuͤhrte Maas iſt: Ruthe, Schuh, Zoll und Linien ꝛc. die Ruthe wird aber bald in 16, bald in 12 Schuhe eingetheilt, der Zoll aber in 12 Linien, und eine Linie in 12 Serupel. Bei uns im Wirtembergiſchen iſt die Ruthe, ſo 10 Schuh haͤlt, eingefuͤhrt. Es haͤlt daher die Ruthe, welche 16 Schuh haͤlt 12 Schuh haͤlt Schuh — — r1I2 Zool 102 — — 144 Linien 2304 — — 1728 Scrupl 27648 — 2020736 Da nun eine ſolche Eintheilung im Rechnen hoͤchſt beſchwerlich iſt, wie unten bei dem Flaͤchen⸗Maas wird gezeigt werden, ſo hat man, um ſich das Rech⸗ nen zu erleichtern, der Ruthe zwar ihre nemliche Laͤnge gelaſſen, ihr aber 10 Schuh, dem Schuh 10 Zoll und dem Zoll 10 Linien gegeben, und die⸗ ſes heiſſet das Decimal⸗Maas. Es haͤlt alſo eine Ruthe 10 Schuh, oder 100 Zoll, oder 1000 Linien, oder 10000 Serupel. F. 6. Das Zeichen der Ruthe iſt (*); des Schu⸗ hes (); des Zolls (”ò); der Linie (—ò“*); des Seru⸗ pels = — überel Dol und , bald in 12 ei uns Eih l 12 144 17²8 9735 chſt Maas Rech⸗ mliche Schlh die⸗ eine 000 hu⸗ ru⸗ els — pels ); Es heiſſen demnach 12° 6 8“ 3““ 4 12 Ruthen, 6 Schuh, 8 Zoll, 3 Linien, 4 Scrupel. Es koͤnnen nun leicht auf dieſe Art leimn Decimal⸗Maas Ruthen in Schuh, Zoll ꝛc. verwandelt werden, man darf nur Nullen anhaͤn⸗ gen; ſo geben z. E. 8 Ruthen, wenn eine Nulle angehaͤngt wird, 80 Schuh, wenn noch eine Nulle angehaͤngt wird, 800 Zolle u. ſ. w. Hat man Ruthen, Schuh, Zoll ꝛc. und man will ſie zu ei⸗ nerlei Sorten haben, ſo darf man ſie nur an ein⸗ ander ſezen. Z. E. 6⁰, 7⁄ 80, 4““ geben 6784““ Linien. Wuͤrde aber eine Sorte fehlen, z. B. man haͤtte 6784 ſo muͤßtte dieſe mit einer o erfuͤllt werden, naͤmlich 6704“ Linien. Von der Addition, des Decimal⸗Maaſes. §. 7. Man ſezt hartige Sachen, z. E. Ruthen unter Ruthen, Schuh unter Schuh, Zolle unter Zoll ꝛc. unter einander, und addirt wie in der Ad⸗ dition der genannten Zahlen⸗Rechnung. Zum Beiſpiel es ſeie in der 26 Fig. Tab. II. BE = 120 7‧ 4“ 5” 37, DE=I8⁰ 3 8, 55 6 6 * BF †+ DE= 31 173 0““ 7 . Anmerkung. Haͤtte man mehrere Poſten zuſamen zu addiren, und es wuͤrde ſich geben, daß bei ein oder dem — 24 , dem andern einige Stellen fehlen ſollten, ſo koͤnnen ſolche leicht nach J. 6. durch Hinzuſe⸗ zung der Nullen ergaͤnzt werden. 2. E. es ſeie Fig. 29. Tab. II. GH= 4 2£ o o H= 8 2 3 A 1 5 4 ͤ“ AB= 300 9, 20 5 Anderes Beiſpiel. Es ſeie Fig. 29. Lab. II. Nrrrr. 1 = 49 54“ 36“ — 2 =— 24 10 00 — 3 — 45 36 17 — 4 — I3 17 22 132 C23C75 2. Anmerkung. 2 Weil oͤfters Faͤlle vorkommen koͤnnen, beſon⸗ ders wenn man nicht all in beim Ausmeſſen der Linien bleiben will, daß die Winkel der Felder mit einem Grad⸗Bogen gemeſ⸗ ſen werden, ſo muß man vorher ſowohl die Eintheilung des Grad⸗Bogens oder Zirkels wiſſen, als auch die Addition, Subtraktion ſolcher Theile verſtehen. Ein jeder Zirkel, er mag groß oder klein ſeyn, wird in 360 Gra⸗ de eingetheilt, ein jeder Grad in 60 Minu⸗ ten, und eine Minute in 60 Sekunden u. ſ. w. Die Zeichen der Grade, Minuten ꝛc. ſind wie Gi e 25 ten, o wie die Zeichen der Ruthen, Schuh und Zolle, linzuſe mithin muß man aus der Sache und den Um⸗ ſtaͤnden urtheilen, ob Ruthen, Schuhe ꝛc. oder Grade, Minnten verſtanden werbden. Iun der Addition iſt nichts beſonders deßwegen zu bemer ken, als daß Grade unter Grade, Minun⸗— ten unter Minuten u. ſ. w. geſezt werden. z. E. Die Winkel Fig. 67. Tab. IV. ſeien gemeſ⸗ ſen und gefunden worden für den Winkel bei A = 98° 2 „*. — — — B= 99 58. — — — C= 88 12. — — — D —– 156 58. — — — E— 96 50. n Summe aller Winkel = 5 40 67 Anderes Beiſpiel. Es ſeie ſerner Fig. 58. Tab. IV. Winkel bei C =– 48° 12. 13“ j eſon⸗ — — A=– 90 36 40. inkel ðð ”MUDẽB/ enef⸗ Von der Subtraktion ii⸗ des Decimal⸗ Maa es. er Hier hat man weiter nichts zu behalten, als ra⸗ daß man den Regeln der Subtraktion in genann⸗ nu⸗ ten Zahlen der Arithmetik folgt; Ruthen unter n. Ruthen, Schuh unter Schuh, die groͤſſere Zahl d oben, und die kleinere unten hinſezt: ie B 5 Man — Man ſoll von 43*⁰ 15 3“ 4“ 3 7 ſubtrahiren 12° 67 1“ 297 5 bleiben 30° 5 2“ 1392 817 Ein Feld wie ACB Fig. 47. Tab. III. halte im Maas 153° 25“ 13“ 12““ davon ſoll ein Stuͤk wie ADEB welches 51 89 4“ 4““ hal⸗ ten ſolle, abgemeſſen werden. a 4 bleibt = 102° 17 9“ 8“”¹ Aufgabe. Man ſoll von 345˙ 46: 33˙ abziehen 75 57 50 bleiben = 269° 88/ 83“ Von der Multiplikation des Decimal⸗Maaſes. S. 9. WiDaenn man bei der Multiplikation nur Ruͤk⸗ ſicht auf die Multiplikation zwoer Zahlen nimmt, ohne durch deren Produkt ſich eine Flaͤche vorzu⸗ ſtellen, ſo hat man nicht noͤthig Ruthen unter Ruthen, Schuh unter Schuhe zu ſezen; ſondern man ſezt die Zahl, welche multiplicirt werden ſolle, oben, und die andere, welche multiplicirt, unten, wie in der allgemeinen Multiplikarion der Arith⸗ metik, und multiplicirt von der Rechten gegen der Linken. Die Zeichen aber des herausgebrach⸗ ten Produkts werden gefunden, wenn man das lezte l. halte ſoll ein 1 hal⸗ Rü⸗ mmt, orzi⸗ nnter bern ten, ith⸗ ger ⸗ s te lezte Zeichen des Multiplikandi, und das lezte des Multiplikanten addirt, und mit der Summe die⸗ ſer lezten Zeichen die lezte Zahl des herausgebrach⸗ ten Produkts bezeichnet, und mit Abſteigung der Zeichen in dieſem Produkt bis zu den ganzen Ru⸗ then fortfaͤhrt. Zum Beiſpiel: 6 4⁹ 3 5“ 2“ 55 2 5 7 4 % 8 3 2 1I 7 6 3 4 7⁰° 5 O“ 8 Anderes Exempel: 1 2 °5 6“ 7948* 3“ 4“ 5 b 2 7 1 2 3 7 7 o 3z 4 4* 2“ 7“ 3 0*1 2 * Gedenkt man ſich durch die Multiplikation zwoer Zahlen eine Flaͤche zu beſtimmen, ſo muͤſ⸗ ſen jedesmal Ruthen unter Ruthen, Schuh un⸗ ter Schuh geſezt werden, im Fall bei einem oder dem andern eine oder mehrere Stellen fehlen ſoll⸗ ten, ſo koͤnnen ſolche jedesmal durch Hinzuſezung der Nullen ergaͤnzt werden, die Ruthen, Schuh, Zolle, Linien beſtimmt man alſo: man ſezt auf die lezte Zahl des Produkts das lezte Zeichen des zu multiplicirenden Maaſes, welches in gegen⸗ waͤrtigem Beiſpiel (ò“) iſt, eignet demſelben zwo Zahlen von der Rechten gegen die linke Hand zu, und 4 uund faͤhrt ſo fort bis auf die Ruthen. 3. E. die Flaͤche G'HB Fig. 37. Tab. III. ſei auszu⸗ meſſen. HB halte = 24⁰ 5 3“ 267 HG aber = 9 7 0% 1I 7 I 7 2 4 0% 0 2 2 O0 7 8 8 Innhalt 2 3 7°9 6 % 4“ % 0 Es ſei Pig. 40. Tab. III. AB — 409 5 66 767 AC = — D 077 on der Diviſion des zehentheiligen Maaſes, H. 10. Bei der Diviſion hat man dreierlei zu be⸗ merken, entweder werden 1) Ruthen, Schuh, Zoll ꝛc. mit einer unge⸗ nannten Zahl dividirt, oder 2) Laͤnge Maas mit Laͤngen Maas oder 3) Quadrat Maas mit Laͤngen Maas. IJI. Beiſpiele da Laͤngen Maas mit einer ungenaunten Zahl dividirt wird. Hier verfaͤhrt man wie in der gewoͤhnlichen Diviſion in der Arithmetik z. E. 4 7°37 4 5 8 8⁰* 2: — — 2 350 65 79 2“ 9* 12) ſin R N + — — — S ☛ — 06 —ð . „ 9 12) 36 % 4“8“ 3““ 6 ʃ* . 3°04“ 0“ 3 * „* 3 — 4 4 0 80 4 — * 00 62 6 6 Es ſeie ferner zu dividiren: 48 12½ 36 O0“ 5 . 9* 62* 47“ 20“ II. Beiſpiele wo Laͤngen Maas mit Laͤn⸗ gen Maas dividirt wird. Anmerkung. . Die Zeichen des Quotienten werden gefunden, wenn das lezte Zeichen des Diviſors von dem lez⸗ ten Zeichen des Dividendi ſubtrahirt, und der Reſt auf die lezte Ziffer des Quotienten geſezt wird. Zum Beiſpiel: 5·4 3) 86 7 3.“3.“3 — 9 15 9,77431. 5 4 3 3˙2 4 3 2 7 1 5 5. 2. 8. 3 4 8 8 7 — 3 9 0 3 3 8 ° 1 . I 6 2 9 1 6 2 9 0 Wuͤrde rn 3 ⸗— 3⁰ Wuͤrde aber der Diviſor groͤſer als der Dividen⸗ dus ſeyn, ſo darf man an den Dividendum Nul⸗ len anhaͤngen, ſoviel man will, und ſolchen ihre gehoͤrige Zeichen beiſezen. Zum Beiſpiel 2°4 ſollen dividirt werden mit 6°4 694 2 4.. O ( 3 7 5, . 4 Ss o – A4 4 3⁸ - 3 2 0 Auf dieſe Art verfaͤhrt man in allen dergleichen vorkommenden Faͤllen, es kann aber gleichwol Faͤl⸗ lee geben, die ſich nicht aufheben laſſen, man mag ſo viel Nullen anhaͤngen, als man will, in ſol⸗ chen Faͤllen kann man ſchon beim ten Zeichen abbrechen, weil die uͤbrige Theile ſehr klein, und folglich wohl ohne einen groſen Fehler zu begehen, koͤnnen weggelaſſen werdnen. III. Beiſpiele da Flaͤchen Maas mit Laͤn⸗ gen Maas dividirt wird. Aufgabe. Man ſoll aus dem gegebenen Inhalt Fig. 37. Tab. III. und aus der gegebenen Hoͤhe HG die Grundlinie HB finden. Es ſeye der Innhalt = 2 37 6%4ο0ο“ Diie Hohe HG – 9°77. “ Anmerkuun. Hier muͤſſen die Zeichen des Diviſors mn des Divi⸗ 8 we 9107. haie den . eine ſhr len Fa⸗ mag ſol⸗ ſchen und hen, aͤm 31. die Dividendi, wenn ſie nicht gleich ſind, vorher gleich gemacht werden, welches geſchiehet, wenn man bei dieſem oder jenem das Fehlen⸗ de durch Nullen ergaͤnzt, z. E. 9°7%“ %“ 237 990˙040%“ 24 5˙3 2 194 . 00 Anmerkung. Die Zeichen der Maaſe im Quotienten findet man, wenn das lezte Zeichen des Diviſors auf die lezte Zahl des Quotienten geſezt wird, und ſo fort vorwaͤrts jeder Zahl im Quotien⸗ ten ein Zeichen zueignet, wie in gegenwaͤr⸗ tigem Exempel gezeigt worden. Man koͤnnte auch Beiſpiele des 12 und 16 theiligen Maaſes anfuͤhren, da es aber einem je⸗ den leichter ſeyn wird, durch eine leichte als durch eine weitlaͤuftige Rechnung das verlangte hervor zu bringen, ſo ſind mit Fleiß derlei Rechnungen aus⸗ ausge elaſſen un d uͦ kergangen worden; ja man muͤß⸗ te auch ſehr fur das Alterthum eingenommen ſeyn, wenn man behaupten wollte, durch das 12 oder 16theilige Maas mehr Vortheile als durch das Decimal Maas zu haben. Eine gruͤndliche und ſehr leichte Anleitung zur Decimal⸗ Rechnung füͦr allerlei F lle ſiehe im Anhang. §. 12. Decimal⸗ taas in Gemeines zu verwandeln. Weil der Innhalt der Felder in den ſoge⸗ nannten Lager Buͤchern nicht nach dem Decimal⸗ Maas eingetragen iſt, ſondern nach dem im Lan⸗ ge eingefuhrten Maas z. E. nach der 16 ſchuhi⸗ den oder 12 ſchuͤhigen Ruthe u. ſ. w. ſo muß man ſich in dieſem Fall immer nach der einmal einge⸗ fuhnen Ordnung richten; und weil der Feldmeſ⸗ ſer die Decimal Ruthe zu ſeinem Gebrauch wegen der leicht zu fuͤhrenden Rechnung waͤhlet, ſo muß man darauf bedacht ſeyn, wie ein jedes ans in ein anderes koͤnne verwandelt werden, dieſes aber erhaͤlt man wenn die Verhaͤltniſſe derſelben gegen einander bekannt ſind. Beiſpiele koͤnnen die Sache deutlich machen. AB Fig. 44. Tab. III, ſei mit der Decimal⸗ Ruthe gemeſſen und gefunden worden 36 977395 4 man verlangt zu wiſſen wie viel das Maas nach der roſchnhigen Ruthe betrage. Aufloͤſung. Weil. das Rilßen⸗Mant bei be beiden ch iſt, ſo Pft dey toe 100 Ne X“ loc eer Gene ln; D n Gerf ufi⸗ „ 1 ge G Get Rð”ÿMA‧ — 43 is ſchneidet man gleich anfangs die 36 ab, bei den noch uͤbrigen 735)“ ſpricht man nach §. 5. er 1000““ geben 2304““ was geben 735““ .ds Nach der Reeſiſchen Rechnung aber: und X“! gemeines Ms. 735““ Decimal⸗Ms. n. 1000“ Dec. Ms. 2304““ gemeines Ms. Fac. 1693 4388““ Linien. Dieſen herausgebrachten Bruch 449 kann man als eine Kleinigkeit weglaſſen, oder wenn es die „ Nothwendigkeit erfordert, in Scrupel verwand⸗ ſc⸗ len; die gefundene Linien 1693 aber verwandelt ſmi mman durch Diviſion mit 12 in Zoll, und die Zok dun ebenfalls mit 12 in Schuh, ſo iſt geſchehen, was Gihi man verlangt. mnin 12 1693) 141 Zoll. 12] 141) 11 Schuh. nge⸗ 12 ( 12 meſ⸗ — egen 49 21 nuß 498 12 1 4 „ ° lk 1 dLinie. Es waͤre alſo das vorgegebene Decimal⸗Maas in gemeines Maas verwandelt = 36° Ruthen, 3 11/Schuh, 9“Zoll, 1) Linie. ch §. 13. Sechzehntheiliges Maas in Decimal⸗Maas zu ver⸗ wandlen. Zum Beiſpiel: , 18 Ruthen, 9 Schuh, 11 Zoll, 7 Linien. CE Hier —. . Hier muß alles auſſer den Ruthen zur kleinſten Sorte verwandelt werden. 245 119 Nun ſpricht man: 3304““ geben 1000“; was Und nach dem Reeſiſchen Saz: 2304“ gem. 1000““ Decimal. PFac. 622“ Decimal⸗Lin. folglich 18622“ Deeimal⸗Linien. Anmerkung. Auuf dieſe Art nun kann man ein jedes Maas in ein anderes verlangte verwandeln. Ue⸗ berhaupt kann man mit der Deeimal⸗Rurhe jedes Feld ausmeſſen, und das Maas, wel⸗ ches in der Gegend eingefuͤhrt iſt, beſtimmen. Geſezt es ſeie der Fall: an irgend einem Ort ſeie die Ruthe ſo 12 Schuhe haͤlt, eingefuͤhrt, ſo darf man ſich nur die Ruthe deſſelben Orts geben laſſen, ſolche in 10 gleiche Theile ein⸗ theilen, ſo hat man ja offenbar wieder eine Deeimal⸗Ruthe, mit welcher man wieder wie bisher verfahren kann. Es ſeie z. E. eine Li⸗ nie wie AB Fig. 24. Lab. II. gemeſſen, und durch D uth In leins . leinſin durch die Decimal⸗Ruthe gefunden worden, 55 5 4““, man verlangt das Maas nach der eingetheilten 12theiligen Ruthe. Aufloͤſung. Auch hier ſchneidet man gleich Anfangs die 55 ab, mit den uͤbrigen 9‧54“ verfaͤhrt man nach F§. 5. MUE 1000“ geben 1728“ was geben 9‧594““ Ausarbeitung nach dem Reeſiſchen Saz. X“” Duod. Mo. 954“ Dec. MA. 3 was 10007“ Dec. Ms. 17286* Fac. 16481235“ Duod. Ms. Dieſen Bruch 12323 laͤßt man als eine Kleinig⸗ keit weg, die uͤbrige 1648“ aber verwandelt man durch die Diviſion mit 12 in Zoll, die Zoll mit u. 12 in Schuh und die Schuh wenn es noͤthig iſt n. in Ruthen, ſo hat man das verlangte. Z. E⸗ 12 11 16 844 ( 12976 Mo83 = 12 37 Nthe. 244 , H 36 mmen.⸗ 88 1 D 8 4 S 4* 4 Linien, 1 . 12 137 (11 ein⸗ 12 ) jeint r nuie .⸗1272 eeiGs 12 utch 2 mitz mithin waͤre bas verlangte Maas = 55 Ruthen 4 11 Schuh 5 Zoll und 4 Linien. Weil das Extrahiren der Wurzeln nicht je⸗ dermanns Sache iſt, und man oͤfters beim Meſ⸗ ſen auf dem Feld nicht ſo viel Zeit anwenden kann, die Wurzeln zu extrahiren, ſo wird das Kapitel von Ausziehung der Wurzeln hier uͤbergangen. Wenn es aber einige geben ſollte, welche das Extra⸗ hiren der Wurzeln lernen wollen, ſo finden ſie im Anhang eine zu dieſer Abſicht beſtimmte Anleitung. Denjenigen aber, die nicht Gebrauch davon ma⸗ chen wollen, wird hier eine Tabelle eingeruͤkt, worinnen ſie die Wurzeln bis auf 500 ſchon aus⸗ gerechnet finden können. Tabelle fuͤr die Quadratwurzeln von 1 bis 500. auadr. Wurz.] Quadr. Wurz. Quadr. Wurz. 1 T 196 14 729 27 4 2 225 15 784 28 9 3 256 16 841 29 16 4 289 17 900 30 25 5 324 18 961 31 36 6 361 19 1024 32 49 7 40⁰0 20 1089 33 64 8 441 21 r1I56 E34 81 9 484 22 1225 35 IOOoO 100 529 23 1296 36 rzZI rI 576 24 1369 37 144 12 625 25 1444 38 69] 131 676 26] 1521] 39 duth nict i n Ueß n kann, Kptel Gngen. Entn n ſein l n m Neritt, 1 Alc, 37 e QOuadr. Wurz.] Quadr. wurz. Quadr. [wurz. 1600 40 5041 71 I0404 102 1681 41 5184 72 10609 103 1764 42 5329 73 II816 104 1849 43 5476 74 IIO25 105 1936 44 5625 75 II236 106 2025 45 5776 76 11449 107 2116 46 5929 77 11664 108 2209 47 6084 78 II881I 109 2304 48 6241 79 12100 1I10 2401 49 6400 80 12321 111 2500 5 6561 81 12544 112 2601 51 6724 82 12769 113 2704 52 6889 83 12996 114 2809 53 7056 84 13225 115 2916 54 7225 85 13456 116 3225 55 7396 86 13689 117 3136 56 7569 87 13924 118 3249 57 7744 88 14161 119 3364 58 7921 89 14400 120 3481 59 8100 90 14641 121 3600 60 8281 91 14884 122 3721 61 383464 92 15129 123 3844 62 8649 93 15376 124 3969 63 8836 94 15625 125 4096 64 9025 95 15876 126 4225 65 9216 96 16129 127 435606 66 9409 97 16384 128 4489 67 9604 98 16641 129 4624 68 9801 99 16900 130 3761 69 10000 100 17161 131 4900 70! 1020 10I 17424 132 38 Quadr. Wurz. Cuadr. Quadr. wurz 17689 17956 18225 18496 18769 19044 19321 19640 19881 20164 20449 20736 21025 21316 21609 21904 22201 22500 22801 23104 2340⁰9 23716 24336 124649 24967 25281 25600 250921 26244 [26569 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 146 147 148 149 1750 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 26896 27225 27556 27889 28224 28561 28900 29241 29584 29929 30276 144 145 30625 30⁰976 31329 31684 32041 32400 32761 33124 33489 33 880 3422 34595 34969 35344 35721 36100 36481 36864 37249 37636 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 177 178 181 183 184 185 188 190 191 192 1193 194 176 179 180 182 186 189 38025 38416 38809 39204 39601 40000 40401 40804 41209 41616 42025 42436 42849 43264 43681 44100 44521 —44944 45369 45796 46225 46656 47089 47524 47961 48400 48841 49284 49729 50179 50625 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 211 212 213 214 215 217 218 219 220 221 222 224 225 210 216 223 asse— Se S= — — — — — — SM. ᷣ0— ‚⏑ ⏑ er — —,— — — — — mimim— — — 195 196 197 198 199 200 201 39 203 210 Quadr. Wurz. Quadr. Wurz. Ouadr. Wurz. 515 29 51984 52441 52900 53361 53824 54289 54756 55225 55696 56169 56644 57121 5760⁰0 58081 58564 59949 59536 60025 60516 61009 61504 63054 64009 64516 65025 51076 62001 62500 63001 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 247 248 249 250 251 252 253 254 255 65536 66049 66564 67081 67600 68121 68644 69169 69696 60225 70756 71289 71824 72361 72900 73441 73982 74529 75⁰79 75625 76176 76729 77284 77841 78400 78961 79524 80089 80656 81225 256 257 258 259 260 261 † 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 81796 82369 82944 83521 84100 84681 85264 85849 86436 870⁰25 87616 88209 88804 89401 90000 90601 91204 91809 92416 93925 93636 94249 94864 95481 96100 96721 97344 97969 98596 99225 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310⁰ 311 312 313 314 315 EC 4 4 —— Ouadr. Wurz. Quadr. — 100489 101124 101761 102400 103041 103684 14329 104976 105625 106276 106929 107584 108241 108900 109561 1IOZ24 110889 111556 112225 112896 113569 114244 I1II4921 115600 116281 116964 117649 118336 119025 IO210 99856 316 317 318 319 320⁰ 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330⁰ 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 120409 121104 121801 122500 123201 123904 124609 125316 126025 126736 127449 128164 128881 129600 130321 131040 131769 132496 133225 133956 134689 135424 136161 136900 137641 138384 139 129 139876 140625 141376 142129 wurz. 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 37 1 372 373 374 375 376 377 Quadr. 159201 142884 143641 144409 145161 145924 146689 147456 148225 148996 149769 150544 151521 152821 153664 154449 155236 156025 156816 157609 158404 160000 160801 161604 162409 163216 164025 164836 165649 166464 wurz. 378 379 38⁰ 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 39'N 39 8 399 400 401 40⁰² 403 4⁰4 405 406 407 408 — 4 AQuadr. Wurz. Quadr. Wurz. Quadr. Wurz. 167281 168100 160921 169744 170569 171396 172225 173056 173889 175561 176400 177241 178084 178929 179776 180625 181476 182329 183184 184041 184900 185761 186624 187489 188356 189225 190096 190969 191844 221 174724 409 410 411 412 413 414 415 4¹18 419 4²⁰ 4²1 4²³ 4²4 4²5 4²6 427 428 4²9 43⁰ 43 43² 433 434 435 439 416 417 422 193600 194481 195364 196249 197136 198025 198916 199809 200704 201601 202500 203401 204304 205209 206110 207025 207936 208849 209764 210681 211600 212521 213444 214369 215296 216225 217156 218089 437 438 219024 210961 229900 440 44 1 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 4⁵1 462 463 464 465 466 467 468 469 221841 222784 223729 224676 225625 226576 2275 29 228484 229441 23040900 231361 232324 233289 234256 235225 236196 237 169 238144 239121 240100 241081 242064 243049 244036 245075 246016 247009 248004 249001 250000 471 47² 473 474 475 476 477 478 479 480⁰0 481 482 483 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 5⁰⁰ο —☛ S 5 1 õü Der Gebrauch dieſer Tabelle wird keine be⸗ ſondere Erklaͤrung noͤthig haben, man ſucht nem⸗ lich in der Columne Quadrat diejenige Zahl, aus welcher man die Wurzel verlangt, trift ſie mit einer andern in der Tabelle uͤberein, ſo iſts gut, wo nicht, ſo nimmt man diejenige, ſo ihr am naͤchſten, alsdenn ſteht neben derſelben in der Columne Wurzel die geſuchte Wurzel⸗Zahl. Z. E. Man wollte in dieſer Tabelle die Wur⸗ zel aus 30659 ſuchen, ſo findet man zwar dieſe Zahl, aber es treffen nur die 3 erſten Ziffern mit einander uͤberein, und die Wurzel waͤre alſo 175⸗ Wuͤrde man die folgende 30976 waͤhlen, ſo wuͤrde fuͤr die Wurzel zu viel herauskommen, wo hingegen bei der erſten nemlich bei 30659 der Fehler nicht ſo groß waͤre. Man koͤnnte dieſe Tabelle noch weiter fortſezen, wenn man die fol⸗ gende Zahlen der natuͤrlichen Zahlen⸗ Ordnung mit ſelbſt multiplicirte, da dann allemal eine Quadrat⸗Zahl herauskommt, z. E. fuͤr Serz iſ die Quadrat⸗Zahl = 25 1001. Dieſe T belle hat auch darinn ihren Nuzen, wenn man eine Zahl quadriren ſoll, man darf nur die Zahl in der Columne wurzel aufſuchen, und man wird alsdenn neben ihr finden in der Columne Quadrat die geſuchte Zahl. Z. E. es ſei zu quadrixen 224. Dieſe Zahl hat neben ihr in der Columne Quadrat 5079. §. 16. leine be⸗ iht nem⸗ trift ſie ſo iſts ſ ihr in der 2 Wur⸗ war diſe Difen Nine al⸗ ilen, imen, , der dieſe e ſol⸗ mung ane l iſt . Tu mun N Min une zn der — ===—— §K. 16. Wenn die Zahl worauns die Wurzel begehrt wird, Ruthen ſind, ſo iſt begreiflich, daß in der Wurzel auch Ruthen heraus kommen muͤſſen; wuͤr⸗ den aber neben den Ruthen noch Schuh, Zolle, Linien ſtehen, ſo hat man nur dieſes zu merken, daß, wenn das Zeichen, womit die lezte Zahl bezeichnet worden, ungerad iſt, ſo muß an die Zahl, aus welcher eine Wurzel geſucht wird, ei⸗ ne Nulle angehaͤngt werden, um ein gerades Zei⸗ chen zu bekommen. Die Zeichen fuͤr die Wur⸗ zel aber ſindet man: wenn das lezte Zeichen, woraus Wurzel gezogen, halbirt, und mit dieſer Haͤlfte die lezte Zahl der Wurzel bezeichnet wird; dieſes iſt die Urſache, warum man eine Nulle bei⸗ ſezen muß, wenn das lezten Zeichen ungerad iſt, weil man es ſonſt nicht halbiren kann. Zum Beiſpiel aus 24 °%°“““ ſoll die Wur⸗ zel in der Tabelle geſucht werden. Weil hier das lezte Zeichen auf der Zahl 9 ein ungerades Zei⸗ chen iſt, ſo muß man noch eine Nulle anhaͤngen, damit man ein Zeichen erhalte, welches gerade und alſo im gegenwaͤrtigen Fall (“) iſt. Nach dieſem ſucht man dieſe Zahl in der Columne Quadr. gibt fuͤr die Wurzel beinahe 496. Das lezte Zeichen“⸗ halbirt gibt “. welches auf die lezte Zahl der Wurzel welches hier 6 iſt, muß geſezt werden, ſo bekon mt man: 4: 4 19,07 das iſt, 4 Ruthen 9 Schuh und 0 Zoll. Anmer⸗ Anmerkung. Die in H. 9. bis J. 16. gegebene Regeln die Bezeichnung der Zahlen betreffend, findet man deutlicher in der im Anfang angehaͤng⸗ ten Decimal⸗Rechnung und Extraktion der Algemeine Erklaͤrungen der Linien, Win⸗ keln und der Figuren. Daß es zweierlei Linien, krumme und gera⸗ de, gebe, iſt jedermann ohne Erklaͤrung bekannt; man muß ſich aber huͤten, daß man krumme und ſchiefe nicht fur einerlei Linien halte. Eine Perpendikularlinie iſt, die auf einer andern Linie oder Ebene aufrecht ſtehet, daß ſie auf keine Seite mehr hangt, als auf die ande⸗ ve, wie Fig. 3. Tab. I1I. die Linie DC auf AB ſtehet. Hangt aber die Linie mehr auf die eine als auf die andere, wie Pig. 4. HF auf EG, ſo heißt die Linie ſchief. MVMV FK. 19. Parallel⸗Linien ſind, die neben einander her⸗ gebhen, und uͤberall einerlei Weite haben. Wenn ein Wagen oder Karren fortgezogen wird, ſo machen die Raͤder auf der Erde Linien, und dieſe ſind parallel. =èð H. 20. tdete entſcc⸗ en kas, Ade⸗ ſe anf nigt Pütte hen de win G d Und beet lie W R le ggeln die ſidet pehing⸗ ktin de Pl⸗ enn §. 20. Wenn auf eine gerade Linie A PFig. 5. eine andere BC ſchief oder aufrecht gezogen wird, ſo entſteht ein Winkel, der Punkt B, wo beede Li⸗ nien zuſamen ſtoſſen, heiſet die Spize des Win⸗ kels, die beede Linien BC und AB aber die Schen⸗ kel des Winkels. Wenn ſich die Linie BC wei⸗ ter aufthut gegen E, ſo wird der Winkel groͤßer; neigt ſie ſich aber weiter gegen A, ſo wird der Winkel kleiner. Einen Winkel zeigt man durch einen kleinen Buchſtaben an, der in den Win⸗ kel eingeſchrieben iſt, zum Beiſpiel hier Fig. 5. wuͤrde es heiſſen, der Winkel o. Oder zeigt man den Winkel mit den drei Buchſtaben an, welche die Schenkel anzeigen, ſezt aber den Buchſtaben an der Spize des Minkels in die Mitte. Es wird alſo der Winkel o auch alſo angezeigt: Win⸗ Es gibt dreierlei Winkel, rechte, ſtumpfe und ſpizige. Ein rechter Winkel iſt, wo ſeiune beede Schenkel aufrecht aufeinander ſtehen, wie Fig. 6. Ein ſtumpfer Winkel iſt derjenige, ſo groͤßer als ein rechter, wie Fig. 7. Ein ſpiziger Winkel aber, welcher kleiner als ein rechter, wie Fig. 5. S F. 22. . Ein Triangel iſt eine Ebene, die in drei Linien eingeſchloſſen iſt, wie Fig. 8. Wenn man eiinen — =— einen Triangel in Abſicht auf die Winkel betrach⸗ tet, ſo gibt es dreierlei, nemlich rechtwinkelichte “ wie big. 9. worinnen zwei ſpizige, und ein rech⸗ ter Winkel; oder ſtumpfwinkelichte, wie Fig. 10. worinnen ein ſtumpfer und zwei ſpizige Winkel ſind, oder ſpizwinkelichte, wie Fig. 8. worinnen alle drei Winkel ſpizig ſind. Man kann aber auch einen Triangel nach ſeinen Seiten betrachten; hat der Triangel 3 gleiche Seiten, wie Fig. 8. ſo iſt er gleichſeitig, ſind nur 2 Seiten einander gleich, ſo iſt es ein gleichſchenkelichter Triangel; ſind aber alle 3 Seiten einander ungleich, wie dig. 10. ſ iſt es ein ungleichſeitiger Trtmmgel. §. 23. Vaon den vierekichten Figuren kommen ſech⸗ ſerlei Gattungen vor: 1) das Qnadrat, welches 4 gleiche Seiten und 4 gleiche Winkel hat, wie Fig. II. 20 Das Rektangulum Oblongum der ver⸗ laͤngerte Vierek, hat 4 rechte Winkel, aber nur die Seiten, welche enander entgegen ſtehen, ſind gleich wie Fig. 12. 3) Ein Rhombus hat vier gleiche Seiten, aber ſchiefe Winkel, und welche einander entge⸗ gen ſtehen, ſind gleich, Fig. 13. 4) Ein Rhomboides hat 4 ſchiefe Winkel, und die einander entgegen ſtehende Seiten und Winkel ſind eich, wie Fig. 14. Anmer⸗ — = — — . = — e bel t Dl kllicht, iin rech⸗ kig.l0. Wurt rinnen ber anch tucte; li8. nther unge; wie und Anmerkung. Dieſe viererlei Figuren heißt man insgemein Parallelogramme, weil ihre gegenuͤber ſte⸗ hende Seiten parallel ſind. 5) Trapezium, iſt ein ungleichſeitiges Vierek, woran aber noch zwei Seiten miteinander parallel gehen, wie Fig. 15. M 6) Trapezoid, iſt eine ganz irregulaͤre Fi⸗ gur, wie Fig. 10. §. 24. Wenn Figuren mehr als vier Seiten haben, ſo nennt man ſie Bieleke. Z. E. 5 Ek, 6 Ek, 7 Ek ꝛc. Auf dem Feld eine gerade Linie zu ziehen. Eine Linie wird auf dem Feld mit 2 Staͤ⸗ ben abgeſtekt, oder es wird eine Schnur ange⸗ ſpannt, und nach dieſer werden die Furchen und Graͤben abgeſtochen. Man hat aber oͤfters ſolche lange Linien, daß man keine ſo lange Schnur bei der Hand hat, und in ſolchem Fall muͤſſen mehrere Staͤbe in gerader Linie geſtekt werden, welches geſchieht, wenn man ſich einige Schritte hinter den einen Stab ſtellt, uns ſich den Zten und 4ten ſo einſteken laͤßt, daß man ſie alle in einer vertikalflaͤche ſtehen ſieht, alsdenn ſind alle in gerader Linie, wo man hernach Stozen einſchla⸗ gen, und Markſteinen einſezen kann. MR Karkkein 6. .6. F. 26. Auf dem Feld eine Perpendikular⸗Linie auf eine uuin,dere Linie aufzurichten. Man ſezt die Winkel⸗Scheibe auf den Punkt C Fig. 17. wohin der Perpendikul aufgerichtet werden ſoll, und dreht ſie ſo lang, bis man durch das Abſehen den Stab B deutlich ſiehet; in die⸗ ſem Stand laͤßt man die Winkel⸗Scheibe unbe⸗ weglich in der Erde ſtehen, und ſieht durch das andere Abſehen gegen D, und laͤßt ſich alsdenn in dieſer Gegend einen Stab in D ſteken, ſo iſt die Linie DC auf Aß perpendikular. Auf dem Feld eine Parallel⸗Linie mit einer —= andern zu ziehen. Man nimmt auf der gegebenen Linie zwei Punkte an, wie A und B Fig. 18. Tab. 2. und richtet 2 gleich groſſe Perpendikular⸗Linien AC und BD auf, §. 25. und ſtekt an deren Ende Staͤbe ein, ſo kann man von C gegen D eine Li⸗ nie ziehen, die parallel mit AB ſeyn wird. EEiine gerade Linie zu meſſen. Es iſt bei Meſſung einer Linie begreiflich, daß man die Meßſtange ſo oft als miglich an⸗ ſchla⸗ in! dur len G — rr- – — — = = —— — — f eine Punkr tichtt ndurch in di amde urh N Won ei tei 1 en M. Erd ge n⸗ gle ſchlagen muͤſſe, um ihre wahre Laͤnge zu erfahren. Es gibt aber Linien, die ſehr lang ſind, und bei ſolchen zaͤhler man mit der Ruthen⸗Zahl nicht in einem fort, weil man im Zaͤhlen irren und feh⸗ len kann, ſondern man zaͤhlt etwa 10, 15, 25 bis 30 Ruthen, und ſchreibt dieſelbe ordentlich auf in die Schreibtafel, welche ein Feldmeſſer immer bei der Hand haben muß, und ſo fort bis zu Ende der Linie, alsdenn addirt man die abge⸗ meſſene Stuͤke zuſammen, die Summe iſt die Laͤnge der Linie. HW Anmerkung. r Bei Meſſung einer Linie mit der Kette bedient man ſich des Vortheils, indem man ſich ei⸗ ne Parthie kleiner Vorſtek⸗Staͤbe verfertigt, von welchen man bequem 10 bis 15 bei ſich im Sak tragen kann, man uͤberhebt ſich da⸗ durch des Zaͤhlens der Ruthen, auch koͤn⸗ nen dadurch grobe Fehler vermieden werden. Ehe man mit der Kette eine Linie wirklich ausmißt, ſo muß vorher ihre Richtung be⸗ ſtimmt ſeyn, wenn man nicht nach den Mark⸗ ſteinen zu meſſen hat, das iſt: man ſtekt vermittelſt zweier Staͤbe die Linie vorher ab. Da bekanntlich wenigſtens 2 Perſonen ge⸗ genwaͤrtig ſeyn muͤſſen, ſo nimmt derjenige, welcher ſich an dem vordern Theil der Ket⸗ re befindet, die oben erwaͤhnte Vorſtekſtaͤ⸗ be zu ſich, und geht mit der Kette vor⸗ waͤrts, indem der andere den Kettenſtab an dem Anfang der Linie i die Erde ſtekt, iſt die die Kette wirklich ganz ausgezogen, ſo laͤßt . man den vordern Kettenſtab nach dem aus⸗ geeſtekten Stab richten (§. 25.) iſt die Rich⸗ tung in Richtigkeit, ſo wird die Kette ſtark angezogen, und an deren Ende einer von den Vorſtek⸗Staͤben eingeſtekt, in dieſer Rich⸗ tung gehen beede mit der Kette fort, und verfaͤhrt beim 2ten, Zten ꝛc. Kettenzug wie veinn erſten. Iſt nun auf dieſe Art die gan⸗ ze Linie gemeſſen worden, ſo wird nachgeſe⸗ hen, wie viel von denen Vorſtek⸗Staͤben vor⸗ geſtekt worden ſeien, ich ſeze den Fall, es ſeien 12 dergleichen Staͤbe vorgeſtekt wor⸗ den. Iſt die Keite 5 Ruthen lang geweſen, ſo darf man nur 5mal 12 nehmen, ſo ergibt ſich die ganze Laͤnge der Linie in Ruthen, nemlich 600. Waͤre aber die Linie ſo lang, daß durch das odͤftere Ausſpannen der Kette die Vorſtek⸗Staͤbe nicht hinreichend waͤren, ſo muß in dieſem Fall damit gewechſelt wer⸗ den, das iſt, der am hinterſten Ende muß len, ſo geben ſolche 45 †+ 5 = 5Homal 5 = 250 Ruthen fuͤr die ganze Laͤnge der Linie ſeine geſammelte Staͤbe wieder an den vor⸗ dern abgeben, ſo oft es noͤthig iſt, ich ſeze den Fall, man haͤtte beim Anfang 15 Vor⸗ ſtek⸗Staͤbe zu ſich genommen, und waͤhrend dem Meſſen zmal gewechſelt, und uͤberdiß noch § deraleichen Staͤbe uͤber das Zte wechs⸗ an. Uebrigens wird man leicht einſehen, daß man auf alle Unbequemlichkeiten, wel⸗ che Eder Geſr nigt⸗ Er n nd ſo liß dem aus die Rich⸗ tte ſtark bon den et, und eneg die in e gw⸗ nucheſ⸗ iben wwr⸗ l , 4 ſin wu⸗ geweſen, Ruthen, ſ lang, en Ken waͤren, ſeln wer⸗ ide mi den por⸗ ih ſ I5 Ar⸗ “ end ſterdiß vechs⸗ 15= r Linii nen, wel⸗ che ſo ergit —— 51 che hie und da vorkommen koͤnnen, genau Adchtung geben muͤſſe, um theils grobe Irr⸗ thuͤmmer zu vermeiden, andern theils aber dadurch die Lange der Linie ſo genau als moͤg⸗ lich zu beſtimmen. Aufgabe. Eine gerade Linie zu ziehen, wo man von keinem Endpunkte zum andern, auch nicht aus ei⸗ nem darzwiſchen liegenden Punkt ſehen kann. “ Aufloͤſung. Von A bis C Fig. 68. Tab. V. ſeie ein gerader Weg durch einen Wald zu machen, das Geſtraͤuche und die Baͤume des Waldes laſſen es nicht zu daß man von A nach C ſehen kann, wohl aber kann man von A nach B in gerader Linie ſe⸗ hen und meſſen, daher waͤhle man die Linie A B zu einer Standlinie, und ziehe ſolche ſo lang fort, bis man auf den Ort C von B aus kann einen Per⸗ pendikel fallen laſſen, ſo wird ein rechtwinkelich⸗ ter Triangel ACB ſtehen. Nun mißt man die Linie AB und ſchlaͤgt in waͤhrendem Ahmeſſen alle 5, 10, 15, 20 ꝛc. Ruthen, z. E. in der Figur in ig und e Pfaͤhle ein; weiters mißt man auch den aͤuſſern Perpendikel BC, ſo wird ſich verhalten AB: Ae = BC: ed. das iſt nach der Feldmeſſerſprache: die Linie AB gibt die Hoͤhe BC, was fuͤr eine Hoͤhe gibt die Linie Ae: das herausgebrachte wird zeigen, wie weit von dem Punkt e nach d muͤſſe gemeſſen werden. Ferner AB: Ag= BC: gf. und D 2 “”c 52 — das iſt: Aß gibt B0, was gibt 4 A9: und Alß gibt B0, was gibt ih? Het man die angenommene Verhaͤltniſſe ausge⸗ rechnet, ſo werden die gefundene Maaße aus den angenommenen Punkten perpendikular auf der Li⸗ nie AB aufgetragen, und an deren Endpunkte wieder Pfaͤhle eingeſchlagen, daß man von Cnach d, von d nach f, von f nach h und von h nach A eine gerade Linie ziehen kann. Um den gemei⸗ nen Feldmeſſer hierin noch beſſer zu belehren, ſo ſoll gegenwaͤrtiges Beiſpiel in Zahlen beige⸗ ſezt werden. Es ſeie die Linie AB = 200 L BC = 100* von A nach e – 150⁰° von A nach g = 1005 von A nach i – 500 iſt die Berechnung nach Neeſiſher Manker alſo: . H 5 X ed 1500 Ae * 200 100° BC Fac. 75 5° muͤſſen von e nach d petpendikular abgemeſſen und bei d ein Pfahl ein⸗ geſchlagen werden. ) Xo gt roo Ag „ 4A 200 100° BC e Fac. 50⁰ von 8 nach f. II) Xoih 500 Ai AB 200 %N 100° BC kac. 25 von i nach h. An⸗ Pn We nol⸗ ißt ſiſte aher lictf ie Cpe D muge as den uf der Li enbpurke n nh 1 nnc 4 gemii⸗ Aehren, n Ege⸗ Anmerkung. Auf dieſe Art laͤßt ſich zwar eine gerade Linie ziehen, ſezt aber voraus, daß man eine ſchik⸗ liche Standlinie wie AB ziehen koͤnne; . mit⸗ hin die Art nicht allgemein iſt. DHZ §F. 29. Eine Linie horizontal zu meſſen. Ehe man eine Horizontal⸗ ⸗Linie oder Hori⸗ zoutal⸗Flaͤche ausmeſſen will, muß man vorher wiſſen, was eine Horizontal⸗Linie oder Horizon⸗ tal⸗Flaͤche ſeye. Um ſich aber einem Feldmeſſer recht nach ſeiner Sprache verſtaͤndlich zu machen, ſo iſt eine Horizontal⸗Flaͤche diejenige Ebene, auf welcher eine Kugel liegen bleibt, oder das Waſſer nicht fort lauft; die Horizontal⸗ LLinie aber iſt die⸗ jenige Linie, ſo auf einer horizontalen Ebene fort⸗ gezogen wird. Nun wird man erſt verſtehen, daß eine Horizontal⸗Linie, und eine andere, wel⸗ che Berg aufgeht, nicht einerlei ſeyn kann. Es ſei die Weite von A bis B uͤber den Berg AC Pig. 18. TLab. I. zu meſſen, ſo iſt offenbar, daß, wenn man von A uach C hinauf, und von Cwieder herunter nach B mißt, es viel mehr Ru⸗ then geben muß, als wenn man gerade haͤtte durchmeſſen koͤnnen, nemlich von A nach B, wel⸗ ches die Horizontal⸗Linie iſt, weil allemal uͤber ei⸗ nen Berg ein groſſer Umweg iſt. Wenn nun an 3 ber⸗ S. bergigten Orten ſtatt der Linie AC und CB die Horizontal⸗Linie gemeſſen werden ſolle, ſo heißt man es horizontal meſſen. Man verfaͤhrt hiebei alſo: In A ſtekt man einen Stab aufrecht, und legt die Stange man horizontal an die Anhoͤhe n und den Stab a, ſo hat man die erſte Horizon⸗ tal⸗Ruthe, weil min ſo groß als AF. In n ſtekt man wieder einen Stab b, und legt daran die Stange pq, ſo hat man die zweite Ruthe, und auf dieſe Art faͤhrt man fort, bis auf die Hoͤhe C des Bergs, und von da herunter bis zu dem Punkt B. Das Augenmaas iſt hinrei⸗ chend, die Stange horizontal zu legen, weil es vei ſolchem Meſſen nicht viel betraͤgt, ob die Stan⸗ ge 1 oder 2 Zoll uͤber oder unter die horizontale Lage kommt: doch kann man ſich auch einer all⸗ gemeinen Eezwage bedienen, wenn man genauer verfahren will. Auf dieſe Art werden die Linien an den Aeckern, ſo an ſteilen Vergen liegen, und Weinberge gereſſen. ene Linie in zwei gleiche Theile zu theilen. Man ſpannt von dem einen Ende der Linie eine Schnur bis zu dem andern, und legt ſie dop⸗ pelt zuſammen, ſo hat man die Helfte, oder man mißt die Linie mit der Meßſtange, und halbirt die herausgebrachte Ruthen, ſo iſt ſie in zwei glei⸗ ge Theile getheilt. ſo iſt ſi zwei 9 gie iten ſede ſſe in ſite ſite Unſen t M wde⸗ W⸗ aubn ler ſict nche lig1 ſe nn Chen 10 u 10 4””M ANA B i ſo heißt htt hiebei icht, und Anhohen e Horizon⸗ F. Nn ſegt darnn ? Nuthe, auf bie nter bis wil es Nie Stan, riontnte ner all⸗ genanet ie Einien ,, ud en. t Ainie e dop⸗ t mar glbirt i⸗ Von Von den Maaſen in der Planimetrie. . z1. mnerie Flaͤche ſich eines Maaſes bedienen, das der aus⸗ zume ſſenden Flaͤche aͤhnlich iſt, das iſt, eine Flaͤ⸗ che muß wieder durch eine Flaͤche ausgemeſſen werden. Dieſes Flaͤchen⸗Maas nennt man Qua⸗ drat⸗Maas, weil die Flaͤche, mit welcher man ausmißt, ein Quadrat ſeyn muß, insbeſondere aber Quadrat⸗Ruthen, Quadrat⸗Schuhe ꝛc. die nicht nur eine Ruthe oder Schuh lang, ſondern auch eben ſo breit ſind. Man ſiehet leicht aus Fig. 10. Lab. 2. daß eine Quadr. Ruthe, weil ſie auch zugleich eine Breite hat, nicht auch 10 Schuh halte, wie die Laͤngen⸗Ruthe; ſondern daß die Linie CD 10 Schuh habe, und 10 dergleichen Reihen ſeien, folglich die Quadrat⸗Ruthe 10mal 10 Quadrat⸗Schuh, d. i. 100 halte. Eben ſo haͤlt die 12ſchuhige Ruthe 12 mal 12 oder 144 Quadrat⸗Schuh, und die 16 ſchuhige Ruthe 16 mal 16 Quadrat⸗Schuhe. Der Quadrat⸗Schuh hat im 12 und 16theiligen Maas 144. U1. Zoll der C1 Zoll 144. HQ. Linien. Es hat demnach im Man hat ſich bisher bei Ausmeſſung der Li⸗ nie eines Maaſes bedient, welches den auszu⸗ meſſenden Linien aͤhnlich war, das iſt, man hat eine Linie wieder mit einer Linie ausgemeſſen; auf gleiche Art nun muß man bei Ausmeſſung einer —— die 10 ſchubige Ruthe. 12 ſchuhige R. Schuh⸗ 100 biged. e bugteen. Zolle = 10000 20736 36864 Linien = 1000000 2985984 [5308416 Serup.=Foooοο 429981696 764411904 §. 32. Die Ruthen, Schuh, Zolle werd en net wie im Laͤngen⸗Maas. Ob aber . oder Quadrat⸗Maas darunter verſtan erhellt theils aus den Umſtaͤnden, ſe enm den dem Inhalt eines Feldes die Rede iſt, ſo weiß man ſchon, daß es Quadrat⸗ Maas ſeie, theils wird es deutlich hinzugeſezt, und dem Zeichen ein Quadruͤtlein (◻Ü beigefugt, z. E. 345678 H“. Das groͤſte Feloutnas wird im A Ruthen, jede zu 16 Schuh. Ein halber Mor⸗ gen alſo 75 Quadrat⸗Ruthen, ein Vrtl. 37 ⅞ Ru⸗ dn Ein Jauchardt, Mannsmad, Tagwerk iſt 1 ½ Morgen, mithin 225 Quadrat⸗ Ruthn. 8. 34 Aus bisherigem kann m an nun Deeimal⸗ alen lac welches wir ins kuͤnftige brauchen wo en, leicht in kleinere Sorten verwandlen, man “ darf 41 Wuͤrtember⸗ aiſche Morgen oder Jauchardt, Mannsmad, Tag⸗ werk genannt. Ein Morgen haͤlt 150 Quadrat⸗ darf Me 0 Pnk en, N Gel ſe⸗ e den en hiceh. 416 ugo⸗ geſech ingen⸗ werbe, nn don waß en ein nber⸗ Vig⸗ dea⸗ Mor⸗ NH reack n. n⸗ hen un ef 87 darf nur 2 und 2 Nullen anhaͤngen, ſo kommen Schuh, wenn es vorher Ruthen waren, oder Zolle, wenn es Schuhe ſind, ſo ſind zum B. 45 = = 4500â— = 450000◻1*. oder wenn man kleinere Sorten in größere verwandlen will, ſo darf man nur zwei und zwei Ziffern abſchnei⸗ den, ſo ſind z. E. 73453435“ = 73⁰, 45 9 349, 35““. Hieraus erhellet ſogleich, daß, wo zwei und zwei Zahlen abgeſchnitten, oder unter einerlei Zeichen ſtehen, daß es Quadrat⸗Maas ſeie. Wenn groͤßere und kleinere Sorten vorkom⸗ men, darf man ſolche nur aneinander ſezen, wuͤr⸗ den aber in der Mitten Stellen fehlen, ſo muß man ſie mit Nullen ausfuͤllen, z. E. man haͤtte 45° 12“ 8“, ſo muß man ſezen: 45° 12‧00“ 085“. Uebrigens wird das Quadrat⸗Maas eben ſo addirt, ſubtrahirt, multiplicirt und dividirt, wovon das meiſte H. 7. u. f. ge ſagt worden. Nur dieſes hat man zu merken, wenn eine Zahl z. B. 3° 45“ 33“ durch eine andere z. E. mit 2 di⸗ vidirt werden ſolle, und es nicht aufgienge, man zulezt nicht nur eine einzige Nulle anhaͤnge, wie beim Laͤngen⸗Maas, ſondern es muͤſſen hier zwei ſeyn. Zum Beſpielt . 58 Auadrat⸗Decimal⸗Maas in gemeines Qua⸗ drat⸗Maas zu verwande. Man verfaͤhrt hier vollkommen wie bei dem Laͤngen⸗Maas (§. 12.); nur muß man das Qua⸗ drat⸗Maas (§F. 31.) in Acht nehmen. Auch hier ſind alle Ruthen einander gleich, mithin werden ſie bei der Verwandlung weggelaſſen, und nur die Schuh, Zolle Linien ꝛc. werden verwandelt. Waͤre daher 98° 17 24“ 13“ in gemeines 16 ſchuhiges Maas zu verwandlen, ſo muͤßte man alſo ſagen: 1000000“ geben 53084166; was ge⸗ nnnach dem Reeſiſchen Saz aber: X⸗Sechszehentheil. Mo. 172413“ Dec. Ms. 1000000 Decimal 5308416 Sechsze⸗ Mos. hentheiliges Ms. — — ⸗292262089EE Fac. 9 152397S86568 Würde man 12°, 117, 97“ zwoͤlftheiliges Maas, in Decimal⸗Maas verwandlen, ſo blie⸗ ben die 12 Ruthen weg, die 117 97“ geben aber nach J. 31. 16945“, und man muͤßte hier 20736“ geben 10000“; was geben 16945“² Und nach dem Reeſiſchen Saz: S X Decimal⸗Mo.16945 Duodec. 20736 Duodec. [10000Dec. Fac. 817711258“ Ven 2 —ä ſid drr Fel hen ſ lann o N Aua⸗ bei den sJun ih hier verden d wer wbel. 1 16 wan 1 ge M. choze⸗ 6. liges hlien geben für en Von Ausmeſſung u und 5 Aeregnun der Felder. „ . 356. Felder auszumeſſen heißt nichts anders, „ als finden, wie vie: ein Feld Quadrat⸗Ruthen, Qua⸗ drat⸗Schuh ꝛc. halte. Ehe man aber wirklich ein Feld ausmißt, ſo muß man ſolches vorher umge⸗ hen, und ſich Staͤbe auf die Marktſteine ſteken laſſen, damit man mit der Figur des Feldes be⸗ kannt werde, und zeichnet ſolches in die Schreib⸗ tafel nur ungefaͤhr, und erkundigt ſich alsdenn, vermittelſt der Feldmeß⸗Scheibe, ob das Feld rechtwinkelicht, ſtumpfwinkelicht oder ſpizwinke⸗ licht, oder ob es ein Vierek ſeie, und mißt es denn aus, wie wirklich ſoll gezeigt werden. Der Inhalt eines ſolchen Feldes wird Area genannt. F. 37. Den Inhalt eines Feldes zu finden, welches vier gleiche Seiten, und vier gleiche Winkel hat. Es ſeie die Figur 21. Tab. II. auszumeſſen. Hier iſt nicht nothig, daß man alle 4 Seiten ab⸗ mißt; ſondern man darf nur die Seite AB meſ⸗ ſen, und die Ruthen, Schuh, Zolle ꝛc. die her⸗ auskommen, mit ſich ſelber multiplieiren. 3. B. die Linie AB halte 12 6 6 12 5 6 157° 75˙ 36= = = Arrea der Fig gür. Anmer⸗ Anmerkung. Hiem Der Grund von dieſer Aufloͤſung liegt i in 5. 31. S”” Nennt man die Seite eines Quadrats = a “= ſo iſt ſein Fnhalt = a?. Wenn man daher 1 aus dem gegebenen Inhalt eines Quadrats 0D ſeine Seite finden will, ſo darf man nur die 9 Quadrat Wurzel aus dem Inhalt extrahiren. K. 38. Den Inhalt eines verlaͤngerten Viereks zu finden. Hier mißt man die Seite AB Fig. 22. und die Seite AC, die beede Maaſe der Linien AB und AC multipliciret man mit einander, was alsdenn herauskommt, iſt der Inhalt des ver⸗ Nen laͤngerten Viereks. Zum Beiſpiel: n Es werde de gefunden fuͤr die Linie AB = 20 ° 4159 NeG fur die Linie AC 8 2 1 6 d fit — = 107° 89 94⁵ neches Anmerkung. hen tn Ohne mich auf eine weitere Unterſuchung einzu⸗ iſeb laſſen, warum die Grundlinie in die Hoͤhe nder multiplieirt den Inhalt des Rechteks giebb, M ſo ſey nach dieſer Vorausſezung AB = b Ac p und der rdalt = d. Mithin iſt mer bp = Nimmt man nin in dieſer Gleichung 2 Groͤſ⸗ ls ſen als bekannt an, ſo laßt ſich die Zte al⸗ lemal finden. So findet man fur die Hoͤhe p = = ind fuͤr die Grundlinie b = = el. . Hier⸗ Hieraus ſolgt allgemein die Regel: 1. Wenn man den gegebenen Inhalt des Recht⸗ eks mit der Grundlinie dividirt, ſo erhaͤlt man ſeine Hoͤhe, und wenn man 2. Den Inhalt des Rechteks mit der Hoͤhe di⸗ vidirt, ſo erhaͤlt man die Grundlitie. g. 30. Den Inhalt eines Feldes zu finden, welches die Ge⸗ ſtalt eines Rhombi, oder Rhomboides hat. Es ſeie zu meſſen das Feld Fig. 23. Tab. II. Man kann hier eine Stelle zur Grundlinie an⸗ nehmen welche man will, nur ſo, daß man ſich die Sache ſelbſt leicht macht. Z. E. die Linie AB, und faͤllet darauf die P. rpendikular⸗ ⸗Linie CD . welches mit der Winkel⸗Scheibe am beſten geſche⸗ hen kan, (§. 20.) man heißt ſie die Hoͤhe, man meſſe beede, und multiplicire ihre Maaſe mitein⸗ ander; das Produkt iſt der Inhalt des Feldes. Man habe fuͤr die Hoͤhe DC ge⸗ funden = 3° 9 8“ und fuͤr die Grundlinie AB = 5° 2/ 20“ Inhalt des Feldes = 20 77 56“ das iſt: nach dem 16theiligen Maas 20° 198,797 Anmerkung. Die bei dieſer Aufgabe gegebene Regel gruͤndet ſich auf den geometriſchen Saz: Parallelo⸗ gramme von gleichen Grundlinien und Hoͤhen ſind 1 ſind gleich. In der 70. Fig. ſeien AlIKD. und AKDF: ſolche Parallelogramme deren Grundlinie = Al) und ihre Hoͤhe = DK Nun iſt noch §. 38. Inhalt AlkD = AD. KD weil aber AlKD = AKDF folglich iſt auch AKDF = AD. KD. aun findet hier alles ſtatt was in Ruͤkſicht aus dem bekannten Inhalt und der Grundlinie die Hoͤhe zu finden, in der Anmerkung des vorhergehenden §. geſagt worden. Bei dergleichen Feldern und Figuren hat man ſich ſehr in Acht zu nehmen, daß man ja nicht die Seite AD oder BE fuͤr die Hoͤhe annehme, wie es viele Feldmeſſer aus Un⸗ wiſſenheit thun, ſondern die Linie DC, weil eine jede Kihe eine e Perpewiknlar ⸗ Linie ſeyn muß. Den Inhalt eines Feldes zu ſinden ‚welches die Ge⸗ ſtalt eines rechtwinkelichten Triangels hat. Es ſei der Triangel ABC Fig. 24. Tab. II. Man meſſe die Grundlinie AB und die Hoͤhe des Triangels BC, und multiplieire die herausge⸗ brachte Maaſe mit einander, was herauskommt, dividirt man mit 2, ſo zeigt der Quotient den J In⸗ halt des Triangels an. Es ſei die Grundlinie AB = 6°4˙8“ die Hoͤhe BC = z° 29 4⁰ 2) 20°99 52“ Inhalt des Feldes = 10* 49˙76“. . Oder Ober Gtun Ge ſerus en ulig W. AlKb deren D. KD iit n s üülinle ing des en hat man ie He 1s ln ned G60 t.ll. e des loͤge⸗ mmt, Iin der Oder wenn man gleich Anfangs das Maas der Grundlinie halbirt, und mit dieſer Haͤlfte in die Hoͤhe multiplicirt, ſo kommt eben dieſer Inhalt heraus; Eben dieſes gilt auch von der Hoͤhe, wenn ſie halbirt, und in die ganze Grundlinie multiplieirt wird. Z. E. die JYMBẽ halbe Grunll. ganze Grund⸗ iſt = 3° 25‧4 linie =— 6* 4* 8“ gauze Hoͤhe = 3²° 2˙4“ halbe Hoͤhe = 1°632“ Area wie oben. das iſt: H nach dem 16theiligen Maas = 10° 127/56“. Waͤre ein ſolches dreiekichtes Feld kein recht⸗ winkelichter Triangel, ſondern in der Geſtalt wie Fig. 25. ſo muß man auf der Grundlinie AB hin und her gehen mit der Winkelſcheibe, und eine Perpendikular⸗Linie CD aufrichten (F. 26.) Die Ausrechnung geſchiehet alsdenn vollkommen wie bei vorhergehendem Triangel; man multi⸗ plicirt nemlich die Linie AB mit der Hoͤhe CD, und halbirt das Produkt. l 1. Anmerkung. Daß man das Produkt der Grundlinie in die Hoͤhe noch mit 2. dividiren muß, um den Inhalt des Dreieks zu erhalten, gruͤndet ſich ſich auf den in der Elemen tar⸗Geometrie 4 bekannten Saz: Jedes Dreiek iſt die Helfte Gſ⸗ eines Parallelogramms, welches Grundlinie e⸗ und Hoͤhe mit ihm hat: da alſo das Pro⸗ dukt der Grundlinie in die Hoͤhe immer den 314 Inhalt eines Parallelograms giebt, ſo muß nothwendig, da nur die Helfte, das iſt, der Inhalt des Dreieks begehrt wird, ein ſol⸗ ches Produkt nach durch 2. dividirt werden. R 2. . Anmerkung. 4 Wenn n man den Inhalt eines ſolchen Triangels weißt, und man dividirt mit der halben Grundlinie in den Inhalt, ſo kommt die Hoͤ⸗ he des Triangels heraus. Denn wenn der Inhalt des Dreieks = q, die Grundlinie = b, ſeine Hoͤhe — p, ſo iſt allemal . bp = = q = Inhalt u aus s dieſer Gleichung laͤßt ſich immer das 3te n finden wenn die 2 andere gegeben ſind. G 1. Fuͤr die Hoͤhe erhaͤlt man aus dieſer 4 Gleichung D = q: E½ 2. und fur die Grundlinte 3 4 1 aus btmettie helſt ndlinie Pro⸗ ner den muf iſ, der in ſc⸗ werden. aangels pylben e n der ſlinie 338 4 Es ſeie Pig. 25%. . halbe S. = 30 aus nr. 1. folgt dieſe Berechnung? Es ſeie der Inhalt = 10* 4976 — 4 halbe Grundlinie = 3 2 4° b 3⁵²254in 10° 49 76“) 3 °2 4“ wie oben. WW §. 42 Den Inhalt eines jeden Triangels zu finden; da man nemlich nicht Gelegenheit hat, eine Perpendi⸗ kular, Linie zu faͤllen, ſondern nur die 3 Seiten des Triangels gemeſſen wer⸗ den koͤnnen. M Man addirt alle drei Seiten, und halbirt die Summe, von dieſer halben Summe ſubtra⸗ hirt man jede Seite beſonders, alsdenn werden dieſe 3 Reſte mit einander multiplicirt, und das Produkt wird noch einmal mit der halben Sum⸗ me multiplicirt, aus dieſem lezten Produkt wird die Quadrat⸗Wurzel extrahirt, ſo kommt der wahre Inhalt des Triangels. Zum Beiſpiel: Tab. AB= 25⁰, AC=I5* und 30 = 20⁰° AC= 15 25 15 20 —— 5„ 15 10.ſ ganze Sume60 1ter Reſt. 2ꝛter Reſt. Zter Reſt. «E mul⸗ 1ter Reſf⸗ = mutipl. 4 zter Reſt 75 12 1 zter Reſt 7560 mit der halen Sunnne = = 30 multiplieirt. 22500. Dieſes her⸗ ansgebrachte Pradukt ſuche man in der Wurzel⸗ afel, ſo wird man daneben in der Columne Wurz. fuͤr den wahren Inhalt finden = = 18 Quadtal⸗ ⸗ z NRnthen. Anmerkung. deſe ſo ſchoͤne als nuͤzliche Aufgabe kann nur inn der Trigonometrie vermittelſt der Alge⸗ bra erwieſen werden. Indeſſen merke man ſich die zu dieſer Aufgabe allgemeine Formel. Inhalt des Dreieks= / S (S- ) (S-b) (S-c) oder durch Logarithmien = log S + log (S-a) + log (S-b) + log (S- c) wo 2, b, c die Seiten und S die halbe Summe dieſer Seiten bedeutet. Hieher gehoͤren noch folgende Aufgaben , welche in dielen Faͤllen noͤthig und nuͤzlich ſind. 1. In einem Dreiek ABC Fig. 25. ſind alle 3. Seiten gegeben, man ſoll durch Rechnung finden, wie weit man auf der Grundlinie von 4 A nach D oder von B nach D zu meſſen habe, pitti e Wunn = — =2 ieirt. ſe her⸗ Vurel⸗ lumne = 19G mn ur Alge⸗ ſe wan Formel. Gh 8.0) w. Sumne telce in ſind ale⸗ dechrung undlinie neſen jabe, è habe, von wo aus der Perpendikel in die entgegen geſezte Spize C falle. H Aufloͤſung. Es ſey AC =a; BC= b: AB = c; AD=x mithin DB = c — X Nun iſt CD2 = a? — x2 und (D2 = b — c2 †+ 2c X – x — daher aà — X²* = b? –— Cc² + 2 c æ—– x?*, und wenn man X beederſeits weghebt, ſo iſt ಠ— b 3 — C2 + 2 cX folgl. *½ = a²* + c2 — ba 2 £G “YM Aus dieſer Formel folgt die allgemeine Regel? Wenn man deß Perpendikels Entfernung AD von der Spize des groͤſern Winkels A an der Grundlinie finden will, ſo addire man das Qua⸗ drat der Grundlinie zum Quadrat der an dieſer Spize A liegenden Seite, von der Summe ziehe man das Quadrat der Zten Seite ab, und dividire den Reſt durch die doppelte Grundlinie, ſo erhaͤlt man die verlangte Entfernung AD. Begreiflich aͤndert ſich die Formel folglich auch die Regel, wenn des Perpendikels Entfernung BD von der Spize des kleinern Winkels B an der Grund⸗ linie geſucht wird. Nennt man 2.) BD = 2 ſo iſt nach obigen Vorausſezungen 2 =– b † c? —– a? folgl. heißt in dieſem Fall 2 G . die Regel ſo: Man addire das Quadrat der Grundlinie zum Quadrat der an 2 liegenden E z Sei⸗ . * Seite, von der Summe ſubtrahire man das Quadrat der 3Zten Seite, und dividire den Reſt durch die doppelte Grundlinie, ſo erhaͤlt man die Entfernung BD. Beede Regeln gelten im⸗ mer, ſo lange die Winkel an der Grundlinie 3. Iſt einer von den W. ſtumpf wie Fig. 64. s abd, und man verlangt den Ort c des Perpendikels de auf der verlaͤn⸗ gerten Grundlinie ab ſo iſt wenn be = xX; ad = m; db = n; ab = p folg ac = p † x dces= n? -xX und de = m'ep?-2pX-X? daher n? — £“2 = m — p? —– 2pX-X *, und wenn man X beederſeits weghebt, ſo iſt nnnN= m — p — 2p X folglich X = m² — p —– ne —— WWoraus die allgemeine Regel folgt: Die Entſernung be des Perpendikels dc von dem ſtumpfen Winkel abd iſt gleich dem Quadrat der dem ſtumpfen Winkel gegen uͤberliegenden Seite, weniger den Quadraten der beeden andern Seiten, duividirt durch die doppelte Grundlinie. 4. Beiſpiel fuͤr die Entfernung AD nach der Formel Nr. I. „ — a* + 0c9 — Man hat oben §. 42 fur AB =– c — 25* fur AC= àa = 15 BC = b= 206 ange⸗ noma⸗ zinkeln an der Grundlinie man dat en Reſt ilt man lten im⸗ uundlinie 4 zſte undlime dellant jberlan⸗ — ; † 1 x.X 1 , n den tn der Geitt, Heiten, tmel nge⸗ om⸗ — 65 nommen, ſezt man dieſe Werthe ſatt der Buch⸗ ſtaben ſo iſft X ober AD= 15. 25 — 25.: 25 — 20. 20 2. 25 das i AD = (225 1 — 4⁰⁰⁹ AD= 5 59. Ruthen. 5. Beiſpiel fuͤr die Entfernung BD nach der For⸗ mel Nr. 2. 2 oder BD = ba e — a à* ſr die Buchſtaben ihre Werthe geſezt ſo iſt BD e 20. 29 + 25. 25 — 15. 15 2. 2 5 1. iſt Bo⸗ (d0o † 625) — 225 — — — daher BD = a99 — 16. Ruthen. 6. Beiſpiel fuͤr die Entfernung be nach der J For⸗ mel Nr. 3. X = m?² n — n2 Sa ſey m= 360⁰; b= I20; n = 30 ſo iſt wenn man fuür die Buchſtaben ihre Werthe ſezt oder be = 36. 306 — 12. † 12 — 30 80 . 2. 12 . M be = 1296. — 144— 20 folgl. bo= 2 32 10 14 Ruthen. E 3 =ððDUMB Wenn 70 —à 7. Wenn man ſich nun des Sazes aus der Geo⸗ metrie erinnert daß im rechtwinklichten Dreyek das Quadrat der Hypothenuſe den Quadraten der beeden Katheten gleich iſt, ſo wird man durch Huͤlfe dieſes Sazes und der bisherigen Betrachtungen noch mehrere nuͤzliche Aufgaben berechnen koͤnnen; wovon die folgende zur Pro⸗ ber dienen kann. Z. E. Aus den gegebenen Seiten eines Dreieks ABC Fig. 25 den Inhalt deſſelben zu finden. Der Inhalt ABC = AB. D0 Man muß alſo den vendikel bc finden. er iſt CD2 = AC2 — ADz2 CD = W (XC AD- ſolgl. Inh. des Dreieks ABCAB (AC'.- AD²) Nun iſt AB = 255; AC = 15* und füͤr AD hat man in Nr. 4 gefunden = 9. dieſe Wer⸗ the in der Formel fbſtituirt ſo iſt AQ ABC= 25. — . 15 — 9. 9) △ ABC=: 25. 4 ABC 25. 12= 150 Quadr. Ruthen Wie oben §. 42. 8. *Rrr nach Nr. 7, Inhalt des ₰ J ͤABC =– 2 Paral⸗ 4 Ac. AD²) ſo iſt der Inhalt eines Te b i eherc n ſgi Wk 8 tr er Oen Dreyet ladraten de mian herigen ifgaben r Pro⸗ Dreiets fnden. icn. WD ſir40 Dae⸗ Paralllogrums welches gleiche Grundlinie und Hoͤhe mit dieſem Dreiek hat Es laͤßt ſich alſo aus der gegebenen Grundlinie, einer an derſelben liegenden Seite, und der dieſe beede Seiten einſchlieſſenden Diagonale, der In⸗ halt eines Parallelograms finden. §. 43. Den? Inhalt eines Feldes zu ſinden, welches einem Trapez aͤhnlich iſt. Hier muß man wiſſen, daß es zweierlei Trapezen gebe, nemlich allgemeine wie Fig. 26. und parallele wie Fig. 27. Iſt es ein paralleles wie Fig. 27. ſo ad⸗ dirt man die zwei Seiten AB und DE, ſo mit einander parallel laufen, und halbirt die Sum⸗ me. Um alsdenn den Inhalt zu finden, mul⸗ tiplicirt man die Haͤlfte mit der ſenkrechten Breite AE. Z. E. es ſeie AB = 12° 55 3 DE = 8*⁰ 2* 1êò 2) 2 05 7 4 1 0° 3 7*⁰ multiplicirt mit A = 6° °% 3 3 1 I 1 6 2 2 2 O 6 2° 5 3 119— Area. Das iffnach dem roteiligen Ra d dan 1357 138“ C 4 Dd. 44 S. 44. Die cllgemene Trapezen, worinnen keine Seite mit der andern parallel iſt, werden aus⸗ gemeſſen, wenn man eine Diagonal⸗Linie von—² dem Ek A in das Ek CFig. 26. Tab. II. ziehet, daß zwei Triangel entſtehen, deren jeder beſon⸗ “ ders ausgerechnet werden kann. “ Es ſe die Linie AG =– 8 6 44 Hoͤhe B =– 4° 3 1 Lohe DE = 3° 8 5 naig,. E4. 3 mulktipl. DE= 8 8 15 561727 H — 10° 206 Inhalt d. Triangels ABCInhalt d. Triang. A DC Man addire jezt beede Inhalte der Triangel. Area ABC = 18° 61 92 Area ADC = = 16 63 200⁰ 35* 25“ 12“ ganzer Jnhalt des Trapezes. Das iſt nach dem eingefuͤhrten gtheiligen 1. Aumerkung. Nach dieſen bisher angefuͤhrten zwei Ausrech⸗ nungs⸗ ⸗Arten der Parallelen und allgemei⸗ nen Trapezen werben alle dergleichen Figu⸗ Len — r Cr.0 reen ausgerechnet, und ausgemeſſen. Wenn keine bber dieſe leztere Ausrechnung beſchwerlich — ans, waͤre, ſo kann man ſich folgender Methode e n bedienen, da man den ganzen Inhalt des ehe, Trapezes auf einmal finden kann. Weil in leſr voriger Fig. 26. Tab. II. die Linie AC bei⸗ der Triangel Grundlinie iſt, ſo kann man die beede Perpendikel BF und DE addiren, die Summe mit der Diagonal⸗Linie AC multiplieiren, und das herausgebrachte hal⸗ biren, ſo kommt auch⸗ der Inhalt. 3. E. bege DE — 3 8 5˙ ℳ àAC = 8 6 4²⁰ multipl. 1206 70⁰° 5024“ 40 2: — H 35 255‧12“ nhalt wie oben. 3. Aumerkung. he Die Auflöͤſung der Aufgaben §. 4 3. und : 44. u Arnmerkung grüͤndet ſich darauf Bei dem Parallel⸗Trapez. Min nehme von der 69. Fig. das Stuͤk ADFB als ein ſolches Parallel⸗Trapez wo Dr und AB ch⸗ die Harallele Seiten. ci⸗ pA ſei eine Diagonale und PE. Hohe des Drei⸗ eks AFfB. DF ſei = b AB — c, AD = a ſo iſt wenn Al) F recht winklich ADE = b und A AFB = H mithin ₰ ADF† AAFBal ab . EE das iſt ANR EN und weil Fk= DA=zD2 r. . ab e 5 aber eis = 3. ( ) folgl. ADFB =– a. (bk e) ober = 2. bc. 2. Es ſei Fig. 26. die gemeinſchaftliche Grund⸗ linie beider Dreieke ALQ = a, Hoͤhe B = b, Hohe ED = c ſo iſt ABC = 2 ADGC mithin ABC +£ We⸗ — 8 e a0 das iſt 4ABCD = 4 b †, e ad ſialih ABECD = ata⸗ = a. () 3 An⸗ Dü 3. Anmerkung. Es iſt nöͤthig, hier einen Irrthum anzumer⸗ . ken, den viele Feldmeſſer begehen, wenn ih⸗ nen ein ſolcher vierekichter Plaz vorkom mt, wie Fig. 26. ſo adbdiren ſie die Seiten AB und DC, desgleichen BC und AD, halbiren alle beide, und multipliciren ſodann beide Haͤlften, und meynen, ſie haben den In⸗ halt, es iſt aber grundfalſch, denn auf dieſe D⸗ Art wuͤrde der Inhalt immer gleich groß ſeyn, wenn das Trapez auch noch ſo ſtark verſchoben waͤre. Auch muß hiebei wohl . bemerkt werden, daß, wenn ein Trapez auf vor beſchriebene Art berechnet wird, jedes⸗ te. mal die beede Perpendikel auf der nemlichen Grundlinie ſtehen muͤſſen. Man muß ſich Gtund⸗ nicht einbilden, daß die halbe Summe der h beeden Perpendikel DG und EF in die Dia⸗ gonale AD multiplicirt, des Trapezes AEDC kig. 28. Juhalt gebe. J. 45. Ein jedes geradlinigtes Feld auszumeſſen, welches mehr als vier Seiten hat. r) Man zerlegt ein ſolches Feld in lauter Tri⸗ angel durch Diagonalen wie Fig. 28. Tab. II. und ) rechnet ſodann jeden Triangel beſonders aus. Be⸗ kommen aber einige Triangel eine gemeinſchaftli⸗ che Grundlinie, wie AC gemeinſchaftlich iſt, de⸗ n⸗ nen nen beeden daran liegenden Triangeln, ſo wer⸗ den ſie ausgerechnet, wie in der 2ten Art des F. 44. gezeigt worden. Z. E. Es ſeie BH = 2 °⁸⅝% ferner ſeie AD = 5 42 DG= 3 4°6Ü mult. EF = 2 05010 “Z 2 Sl 6 2 13 ⁰0042“ mult. mit AC= 6 o 2 QADE 66 S021] ad, 138⁰,067˙ 20 ½ AACBPADC ſdirt. Inhalt der beeden Trian⸗ — 18 66 20) 25 46 41 = Inhalt des ganzen Stuͤk Feldes. §. 46. Wuͤrde dieſe Art, ein Feld auszumeſſen, durch ſo vielerlei Linien zu weitlaͤuftig ſeyn, ſo kann man folgenden Weg einſchlagen, nemlich, man zerlegt das Feld in lauter Parallel⸗Trapezen, und an den Enden in rechtwinkelichte Triangel, (Fig. 29.) welches geſchiehet, wenn man auf der Linie AB vermittelſt der Meßſcheibe⸗Perpen⸗ dikel in die entgegenſtehende Winkel C, D, E, F aufrichtet, und ſodann ein jedes Parallel⸗ Trapez beſonders ausrechnet, nach J. 43. Z. E. das Feld Fig. 29. werde gemeſſen, und gefunden für die Perpendikular⸗Linien AF — 3°5˙ 1“ — — 65= 4* 2 3 — — – — — Hh= 2⁰96˙7726 fuͤr wen⸗ let zes 4 3 1 — — fuͤr die Grundlinie AG des 1) Trapezes 3 Al 2 5˙6“ mult. 17* 86˙88“ 8 93 4 4“ = — — — 61 — 2) 2*° 463, — — — Hl- — 3) 2° 56 ſo iſt die Bertchuung AF = 3 5 1“ CGE =— 4° 23* GE = 4 2 3 mde⸗ 2°677“ 7874“ 6⁰ 9˙ Or⸗ AG 3 4 o multipl. GH=S 2° 37 37 *31 0 2) 199 0 707 r mult· . 1509 — 8 3 85 == 3 Area Areg 2) . HD=2 6 77 10 4 3 12 10 — 73 3519 IB = 3 270:6 6* 1914 21— — 2.8 12 9376 80“ 6,46 o — Areg 4) Area 3) Jezt addire man Area 1) Area 2) Area 3) Area 4) Inhalt des ganien Felbes = 30. 427 55.. alle Ares zuſammen. = 13* 15 80 ₰ = 16 07 70 — 8* 92 44“ — 6* 469 50 78 S, 7. Wuͤrde das auszumeſſende Feld nicht ſo ſchi⸗ lich da liegen, wie Pig. 29. ſondern ganz irregu⸗ laͤr wie Fig. 30. ſo muͤßte man mitten durch das ganze Stuͤk, wo es am ſchiklichſten, z. E. von A nach K eine Linie ziehen, und auf alle Eke Plaͤle ausſteken, und vermittelſt der Winkelſcheibe Per⸗ pendikular⸗Linien auf die Linie AK aufrichten, ſo kann man das ganze Feld ausrechnen wie §. 46. F. 48. Diejenige Felder, welche Stelzen haben, wie ſie der Landmann nennt, Fig. 49. Tab. III, ha⸗ ben in ihren Ausmeſſungen nichts beſonders, man theilt ſie nach der bisherigen Anweiſung in Trian⸗ gel oder Parallel⸗Trapezen ab, aber nur ſo, daß man ſich die Ausmeſſung ſelbſt erleichtert; So⸗ wird zum Beiſpiel in der 49. Fig. das Stuͤk ABCD beſonders, und das Stuͤk EDFG be on⸗ ders ausgemeſſen, beeder Inhalt zuſammen ad⸗ dirt, die Summe iſt der ganze Inhalt. Man ſeze vorans BC ſeye auf BA, und GE auf DC ſenkrecht. Es ſeie A B = 29 °562 DE= r5. 87 CD = 27° 8 FG ☛ 13 2 29 0. mult mit BC.36 50, EFG= 29 0 F mltirl. 1033 107507 290 00ο. Ab⸗ = e Leri s ⸗ lie hetn lec ien e enl (dnr Gerc Vn kon des wie ſe erh N iſß ſchih itregt⸗ urch das .don 4 t Pfͤl e Pen ihten, ſ e. 46. en, we Il h 5, mun Trien⸗ , daß 1; & Etil heon⸗ en ad⸗ an ſeze ſrecht. Addirt. Area ABCD = 1033*° 10 50˙ Area DEFG – 290° 00 00 1323 10/ 50“ Area des gan⸗ H zen Feldes. Dieſe bisher angezeigte Faͤlle ſind nun die gewoͤhnliche, welche ſich beinahe auf alle Faͤlle die nur vorkommen koͤnnen, anwenden laſſen; es giebt aber viele Felder die an Waſſergraͤben oder Straſſen liegen, dieſe haben nicht allemal gerade Linien, ſon⸗ dern vielerlei Kruͤmmungen, deswegen man ſich beſonderer Vortheile und Handgriffe bedienen muß, wie wirklich ſoll gezeigt werden. Ein Stuͤk Feld, wie Fig. 31. Tab. II. kommt gar oſt vor, da nemlich beede Kruͤmmungen AFB und CED mit einander parallel laufen. Hier mißt man von A gerabe nach B, und multiplicirt dieſe geſundene Linie mit der ſenkrechten Breite AC oder BD, ſo kommt der Inhalt des Feldes richtig. Iſt aber das Feld wie Pig. 32. ſo mißt man mitten durch, wie A, errichtet ſodann Perpendikul, und mißt ſie aus wie oben H. 46. Fig. 29. Begreiflich erhaͤlt man den Inhalt um ſo genauer jemehr man an die krumme Linie Perpendikel faͤllt. §. 50. F. 50. Ein Feld, welches an einem Graben oder Fluß liegt, und viele Kruͤmmungen hat, auszumeſſen. Auuußoͤſung. Fig. 33. Tab. II. Bei ſolchen Feldern kann man die gerade Li⸗ nie A gelten laſſen, weil das, was auf der einen Seite weg, auf der andern wieder hinzufaͤllt; frei⸗ lich darf man ſich durch eine ſolche Durchſchnitts⸗ Linie nicht viel Genauigkeit verſprechen. Es laͤßt ſich alsdenn ein ſolches Stuͤk Feld leicht nach bishert gen, beſonderd aber nach §. 45. aubmeſſen. Den Inhalt eines Seeszu finden, welchen n man zwar umgehen, ‚ aber nicht in denſelben hins⸗ ein gehen kann. Man ſteke rings um den See ein verlaͤn⸗ gertes Vierek oder Quadrat ab ABCD Pig. 34. nach Beſchaffenheit der Umſtaͤnde, und meſſe die Grundlinie CD und die Breite der Hoͤhe AC, multiplicire dieſe gefundene Maaſe mit einan⸗ der, ſo kommt der Inhalt des ganzen Oblongs her, auch den See mitgerechnet. Z. E. die Linie CD halte 24° 3, 5“ und die Breil te AC 140° 7 8, ſo iſt 24°3“˙5“ 14 7˙8 mult. 4597 8o⸗ 30“ = Area des ganzen Oblongs ABCD Nun Nun muß man Perpendikular⸗Linien auf A B igfin und CD aufrichten, wie ab, cd, ef ꝛc. ſo viel e. man glaubt, daß zur richtigen Ausmeſſung ge⸗ nug ſeien, ſo entſtehen die kleine Parallel⸗Tra⸗ edek vpezen I. 2. 3. 4. Le. welche man beſonders der ien ausmißt, nach der Methode, welche §. 43. vor⸗ ich getragen worden; wird alsdenn ihr Maas zu⸗ ſſhrins ſammen addirt, und die Summe von dem gan⸗ —„Zen Inhalt des oben herausgebrachten Oblongs ſßt n ſubtrahirt, ſo bleibt der Inhalt des Sees uͤbrig. gren. Zum Exempel : ”MMcß das Stuͤk Nro. 1.½ halte 3* 1272 4 . en e — 2. — 7*°14 104 5 — 3 — 7°12 18˙“ — 5 — 83 36 64“ herlin⸗ — 6. 5° 64˙ 12 eſe die — 38. — 8 84* 169 C — 93 — 9 16/31“ * tinam 10. = 3* 12 16 Plamn I1. — 83 * 362704 64 = — 12, — 8 36 276 Inhalt aller Trapezen 91*°75* 25“ lo⸗ Dieſer herausgebrachte Inhalt der Trapezen muß von 359°89 309 als E dem ganzen Oblong Nun abge⸗ R 2 abgezogen werden, wenn man den Inhalt des Sees erhalten will. * 7 5˙ 2 257 6 14˙05“ = Inhalt des Seez. §. 52. Den Inhalt eines zirkelrunden Feldes auszumeſſen. Fig. 3 5. Tab. II. Zirkelrunde Felder kommen ſelten vor, da⸗ her die Ausmeſſung eines zirkelfoͤrmigen Feldes nicht allgemein iſt; man weißt, daß, wenn man den Diameter eines jeden Zirkels in 7 gleiche Theile theilt, der Umkreis beinahe 22 dergleichen Theile habe, mithin kann jede Zirkel⸗Linie nach dieſer Verhaͤltnis gefunden werden, wenn man den Diameter oder Durchmeſſer eines ſolchen Zir⸗ kel⸗ Bogens weißt. Man muß aber bei Ausmeſ⸗ ſung eines ſolchen Feldes den Diameter und den Umkreis zugleich wiſſen. Man wuͤrde ſchlecht zu⸗ recht kommen, wenn man mit der Meßruthe r rings umher meſſen wollte, mithin muß man vorher wiſſen, wie aus dem bekannten Diameter der Um⸗ kreis gefunden werde. Es ſeie aus dem bekannten Diameter, welcher 100 iſt, des Zirkels Fig. 35. der Umkreis durch obige Verhaͤltnis zu finden. Man ſpricht: 7/ gibt 22 was gibt 10072 Rach dem Reeſiſchen Saz aber X Periph. 100 pac. 314⅞. Will inie ni enn m. ſhen Zi⸗ Alamß⸗ lnb den lechtzu⸗ hhe ungs 8 vorhet der nn⸗ kipvteu den, 1 10⁰ . , 22 314. Wuill Will man nun den Inhalt eines zirkelrunden Fel⸗ des wiſſen, ſo muß man den Diameter mit dem Umkreis multipliciren, und das Produkt mit 4 dividiren. Z. E. “ der Diameter AB iſt = 1007 der gefundene Kreis 3142 — 7 22°00 006”* 4 divid. mit 28 in 78 574“ = Inhalt des ganzen Zirkels. Anmerkung. 2 Wuͤrde die Berechnung der Peripherie, aus dem Diameter den Umkreis zu finden, je⸗ mand zu ſchwer vorkommen, ſo kann man ſich auf folgende Art leicht helfen. Man ſtekt rings um den Umkreis des Feldes Staͤbe je 3 und 3 Schuh weit von einander, (man kann den Abſtand der Staͤbe, wenn man will kleiner annehmen), und zieht um die Staͤbe eine Schnur rings um das Feld, ſo iſt die Schnur das Maas und beinahe den Umkreis gleich, und man kann alsdenn den Umkreis des Feldes leicht finden, wenn man den Dia⸗ meter mit dem Umkreis multiplicirt, und das Produkt mit 4 dividirt. Z. E. der Dia⸗ meter eines runden Feldes ſeie = 87 die Schnur, ſo um das Feld ge⸗ zogen worden, halte im Mags 25*½† divid. mit 4 200 beinahe wahrer Inhalt des Feldes = 50/. F 2 Wollte — Wollte man nach einem genaueren Verhaͤltniſſe rechnen, als 72: 22, ſo koͤnnte man folgendes nehmen, nemlich wenn man den Diameter in 100 Theile theilt, ſo hat der Umkreis beinahe 314. Es iſt aber obige Verhaͤltnis 7 22 zum Feldmeſſen richtig genug. Annmerkung. Des ein richtiges Augen⸗ und Schritt⸗Maas einem Feldmeſſer noͤthig und nuͤzlich ſeie, wird wohl niemanden in Zweifel ziehen. Was das erſte betrift, ich meyne das Au⸗ genmaas, ſo erlaubt es der Raum hier nicht, ſich darauf einzulaſſen. Wie aber in gewiſ⸗ ſen vorkommenden Faͤllen durch das Schritt⸗ mDaas eine Linie oder auch eine Flaͤche be⸗ ſtimmt werden koͤnne, davon ſollen einige Prroben angefuͤhrt werden, welche denjenigen hinlaͤnglich in Stand ſezen werden, der die Laͤnge einer Linie oder den Inhalt einer Flaͤ⸗ che nur ungefaͤhr beſtimmen will „ und da ohnehin dergleichen Faͤlle ſehr oft vorkom⸗ men koͤnnen, wo man ſo etwas in der Ge⸗ ſchwindigkeit ohne einen Maasſtab bei der Hand zu haben, beſtimmen ſolle, ſo glaube ich, ein kurzer Unterricht werde hier nicht am unrechten Ort angebracht ſeyynn. Wenn man eine Linie mit Schritten meſ⸗ ſen und das Schrittmaas auf Ruthen oder Schuh bringen will, ſ⸗ muß zwiſchen einer Anzahl — —— — — — , Verhel niiß nnn ſolgendes Manettt in tris beinehe n it⸗Maas iſel zehen. zn W o⸗ n hier nicht⸗ 1 in geni⸗ Flache be⸗ ullen uͤnige e denjetigen en, der die t einer ⸗ 1, ind d ft horkonn in der G tuh ei der ſ glaube er nicht ten m⸗ ler lher , einer naht Anzahl Schritte und einer Ruthe ein Ver⸗ haͤltnis beſtimmt werden, das iſt: man muß wiſſen, wie viel Schritte auf eine Ruthe ge⸗ hen; da aber eine allgemeine Regel ſchwer⸗ lich zu beſtimmen iſt, welche ſo wohl fuͤr den der groſſe Schritte, als fuͤr den welcher mit⸗ telmaͤßige und kleine Schritte macht, paſſend iſt, ſo muß jeder, welcher ſich mit der Meß⸗ kunſt abgibt, ſelbſt fuͤr ſich ein Verhaͤltnis beſtimmen. Dieſes nun erhaͤlt man am ſicherſten, wenn die Laͤnge einer Linie genau auusgemeſſen und ihr Maas dadurch beſtimmt wird, die Linie oͤfters (welches ja beim Spa⸗ zierengehen in muͤßigen Stunden geſchehen kann), hin und her geht, und die Schritte je⸗ desmaͤl zaͤhlt; man muß ſich aber im Ab⸗ ſchreitten und Schrittmachen keinen Zwang anthun, ſondern nur ſo fort gehen, wie man beim ordentlichen Gehen gewohnt iſt; denn wenn man beim Anfang groͤſſere Schritte macht als die Gewohnheit es mit ſich bringt, G ſoo wird man nicht nur gar bald ermudet, und welches gemeiniglich geſchiehet, am En⸗ de ſich vergißt und ſtatt groͤſſerer kleinere Schritte macht; eine Bemerkung, die man nicht als etwas unbedeutendes anſehen darf. Auf dieſe Art habe ich z. eine gewiſſe Wei⸗ te oͤfters durch gewoͤhnliche Schritte gemeſ⸗ ſen, und beim Zaͤhlen meiſtens einerlei An⸗ zahl gefunden, nachgehends habe ich die Li⸗ nie mit der Meßruthe gemeſſen, das gefun⸗ F 3 dene 26 dene Maas mit den gefundenen Schritten verglichen, und gefunden, daß von meinen Schritten gewoͤhnlich 6. auf eine Ruthe ge⸗ hen, auch mehre Proben haben gezeigt, daß ich mich jeder Zeit auf das Schrittmeſſen zu meiner Abſicht, ſo ziemlich habe verlaſſen koͤn⸗ nen. Da ich nun ein Verhaͤltnis zwiſchen mmeinen Schritten und einer Ruthe weiß, ſo iſt es mir auch etwas leichtes, eine Anzahl Schritte in ordentliches Laͤngenmaas zu ver⸗ . wandlen. Anſgebe . Es ſeie die Linie Aß Fig. 44. Tab. III. mi Schritten abgemeſſen worden, und man haͤtte gefunden 220 Schritte, man ſolle das Maasi in Ruthen beſtimmen. Auflöͤſang. Hier darf man nur ſprechen? 65⁶ Schritt geben 1 Ruthe, wie viel Ru⸗ Veen geben 220 Schritt? Xe R. 220 Schritt. 2 Schritt 1 Ruthe. 3 in II0 ä 6½ Ruthen, 5. i. i. 36 Ruthen und⸗ 6 Schuh Decimal⸗ Maas. Dieſes heraus gebrachte Maas mit dem Muas, welches H. 12 gefunden wor⸗ den Schrine n meinen Ruthe ge⸗ tuneſen aleſentmn. i niſt ſcen eniſ, ir Aughl us n ben IIh. I. Min ſole ds bil Ru⸗ inb⸗ zus mit wor⸗ den den verglichen, ſo wird man finden, daß nur 1 Schuh 3 Zoll und 5 Linien Unterſchied iſt, wwelches eine Kleinigkeit gegen eine ſo lange Liiinie, und folglich beim ungefähren Meſſen von keiner Bedeutung iſt. Auf⸗ gabe. Eine Anzahl Quadrat⸗ Schritte i in 2 Qua⸗ drat⸗Ruthen zu verwandlen. Aufloͤſung. Es ſeie gefunden worden fuͤr die Linie AB Fig. 22. Tab. Il. in Schritten 123. für K— . .. 49.·ſo wird der Inhalt in Quadrat⸗Schritten ſeyn, wenn die Grundlinie in die Hoͤhe multiplicirt wird = 6027. Da nun eine Laͤnge⸗Ruthe nach obigem Verhaͤltnis = 6 Schritte augenom⸗ men worden, ſo muß folglich 1 Quadrat⸗ Ruthe = 36 Quadrat⸗Schritte halten, mit⸗ hin man leicht beſtimmen kann, wie viel obig geſundene 6027 Quadrat⸗ Schritte Quadrat⸗ Ruthen geben. Man ſpricht nemlich: 36 Quadrat⸗Schritt geben 1 Quadrat⸗Ru⸗ the, wie viel geben 6027 Quadrat⸗Schritt? Nach der Reeſiſchen Rechnung: X. Q. R. 6027 Q. Schr. 36 Q. Schr.] 1 Q. R. PFac. 167 †2 Quadr. Ruthen. bei nahe dem Maas des Feldes gleich, wel⸗ ches §. 38. herausgebracht worden. Auf dieſe Art kann man eine Linie wie auch den Inhalt einer Flaͤche ſo zimlich ge⸗ nan beſtimmen, hauptſaͤchlich aber in ſol⸗ chen Faͤllen, wo man mit dem Ungefaͤh⸗ ren zufrieden iſt. Wo man aber eine Ge⸗ nauigkeit bis auf Zolle nnd Linien verlangt o verſteht ſich von ſelbſten, daß dazu beſtimmte Inſtrumente gebraucht werden muͤſſen. =SJ=òUVMWM =W Von Theilung der Figuren und Felder. Ein Feld in etliche gleiche oder ungleiche Theile zu theilen, iſt in der Feldmeßkunſt die ſchwerſte und muͤhſamſte Arbeit. Dys meiſte kommt darauf an, daß man wiſſe, wie ein Stuk von ſo und ſo viel Ruthen von einem Stuͤk Feld abgeſchnitten werden ſolle, und dieſes abzuſchnei⸗ dende Stuͤk verlangt man entweder in Geſtalt ei⸗ nes Triangels oder gleich breiten Stuͤks. Man heißt die Linie, welche ein gewiſſes Stuͤk ab⸗ ſchneidet, Theilungs⸗Linie oder Scheidlinie. 86. z Ein iedes Stuͤk Feld, welches einem Oblong oder verlaͤngerten Vierek gleicht, in ſo viele Theile zu tlheilen, als man verlangt, z. E. in 3 Theile. Weeil die Linien AC und BD einander gleich ſind, ſo darf man nur dieſe Linien meſſen, und = – S‚(=ꝛ — —– ☛ l⸗ ſi P ln kine e. nlich 9 in ſa⸗ Ungeſihe⸗ üne Ge⸗ wim es du warden e. Anhlei⸗ uſ Ke 8 weiſt⸗ inEn it en ſnei⸗ ſolt ei⸗ „Mu tit s inie er ile r ſt. licg d ſie jede in 3 gleiche Theile theilen, und aus den ge⸗ fundenen Punkten die Scheid⸗ ⸗Linien GF und HI abſteken. Auf dieſe Art werden nun alle verlaͤn⸗ gerte, ſchiefe oder gerade Oblonge abgetheilt, wenn man nur die einander entgegen ſtehende Seiten richtig in ihre gehoͤrige Theile eintheilt, und die Scheid⸗ Linien zieht. g. 55. Ein ſolches verlaͤngertes Vierek alſo zu theilen, daß die Scheid⸗Einie ue te gewiſſen Punkt gehe. Aufgabe. Es ſeie ein Stuͤk Gut unter zwei Beſizer auszutheilen, worinnen ſich ein Brunnen A be⸗ findet, Fig. 37. Tab. III. Nun ſoll die Scheib⸗ Linie ſo gezogen werden, daß jeder Beſizer frei auf ſeinem Eigenthmm zum Brunnen kommen koͤnne. Aufloſung. Man ziehe die Linie BG, und theile ſe Be in zwei gleiche Theile, in C, ſo kan man durch den Punkt G und den Brunnen A die Scheid⸗ ⸗Linie abſteken; alsdann iſt das Feld in zwei gleiche Theile getheilt, und jeder kan zum Brunnen auf finem Eigenthum kommen. Anmerkung. Dieſe Aufzabe gruͤndet ſich auf den geometri⸗ ſchen Saz: Jede arade Linie durch den Mi⸗ 90⁰ telpunkt einer Diagonal⸗ Linie gezogen, theilt das Parallelogramm in 2 2 leiche Theile. §. 56. Weil aber auf eine ſolche Art ein Feld ab⸗ zutheilen nicht ſehr vortheilhaft iſt, weil die Thei⸗ le ſo irregulaͤr werden, ſonderheitlich wenn das Feld in mehr als zwei Theile gerheilt wird, ſo muß man ſich in ſolchen Faͤllen nach der Will⸗ kuͤhr der Beſizer richten, unter welche ein ſolches Stuͤk Gut ausgetheilt wird. Geſezt nun big. 38. ſollte in 3 gleiche Theile getheilt werden; A iſt der Eingang, welcher ſonſt nirgends am gan⸗ zen Gut kann angebracht werden. Wuͤrde man das Feld in 3 gleiche Theile theilen, ohne den Eingang mit in Betracht zu ziehen, ſo wuͤrde der mittlere Theil, auf welchen der Eingang faͤllt, Schaden leiden, wegen des Aus⸗ und Einlau⸗ fens. Dieſen Schaden wieder zu erſezen, laͤßt man beim Eingang A ein gemeinſchaftliches Stuk BCDE liegen, mißt es beſonders aus, und ſiehet, was dem mittleren Stuͤk dadurch abgehet, und erſezt ſolches durch Abſchneiden, von den Stuͤken 1. und 3. wie wir bald zeigen werden. Z. E. das ganze Feld halte 2469. ſolglich kommt auf einen dritten Theil 829. Das Maas aber des gemeinſchaftlichen ens. BCDE betraͤgt 180 welche dem mittleren Stuͤk abgehen. Dieſe 18 ſind allen dreien Beſizern gemein, weil jeder dar⸗ auf aus⸗ und eingeht oder ſährt, folglich muß jeder jeder 6/ am Weg leiden, mithin fehlen dem mitt⸗ leren Stuͤk 2. nur noch 12, welche von dem er⸗ ſten und dritten Stuͤk abgemeſſen werden muͤſſen. Da denn die Scheid⸗Linien BF und CG koͤnnen abgeſtekt werden, und ein jeder Theil iſt alsdenn nur noch ohne den gemeinſchaftlichen Weg 18* 94 groß. In aundern Faͤllen theilt man das Gut in die gehoͤrige Theile, und laͤßt die Sache durch die Beſizer ausmachen „denn es ereignet ſich oöͤf⸗ ters, daß nicht nur in ſolchen Faͤllen bei Eingaͤn⸗ gen, Thuͤren oder Brunnen, oder auch wenn ein Feld nicht durchaus gleich gut iſt, ein jedes Stuk beſonders angeſchlagen, darum geloſet, und das uͤbrige mit Geld bezahlt wird. Gut iſt es, wenn ein Feldmeſſer ſelbſt ein verſtaͤndiger Mann iſt, der nicht nur die Gegenden und Guͤte der Felder kennt, und dadurch den Bauren mit Rath in derlei Faͤllen an die Hand gehen kan. §K. 57. Von einem Stuͤk Feld ein anderes abzumeſſen, das die Geſtalt eines Triangels hat. Man meſſe die Grundlinie AB Fig. 40. und halbire ſie, ſie ſei 36, ſo iſt die Helfte = = I8 °. Mit dieſer Helfte dividire man in den Inhalt des abzuſchneidenden Stuͤks oder Triangels, welcher in gegenwaͤrtigem Fall 21 °78“ 00“ ſeie, ſo hat man die Hoͤhe des verlangten Triangels. 18 : 2a1 78 10% 1J2710 9 ²½ — In dieſer Weite der gefundenen Hoͤhe zieht man mit der Grundlinie AB eine Parallel⸗Linie C(D, und wo dieſe die Seiten⸗Linie ſchneidet, ſo kan, von welchem Ek man will, eine gerade Linie ge⸗ zogen werden, alsdenn iſt der Triangel ABD ab⸗ geſchnitten. Der Grund dieſes Verfahrens be⸗ = ruht auf J. 41. Anmerk. 2. Nr. 1. Aufloſung. Man meſſe die Grundlinie AB; ſie ſei im — gegenwaͤrtigen Fall = 4⁰, und dividirt ſie in den Inhalt des abzuſchneidenden Stuͤks, ſo bekommt man die Breite des verlangten Stuͤks, wenig⸗ 5 37 “Z 2* 3 45 +. In dieſer gefundenen Breite muß man mit der Grundlinie AB eine Parallel⸗Linie CD ziehen, alsdenn mißt man die gezogene Linie, iſt ſie ſo groß als die Grundlinie AB, ſo hat man das ver⸗ langte Stuͤk richtig, iſt ſie aber laͤnger, ſo iſt das Stuk zu groß, iſt ſie aber kuͤrzer, wie in gegen⸗ waͤrtigem Fall, ſo iſt das Stuk zu klein. Um aber Ein gleich breites Stuͤt von einem Feld abzumeſſen. Man ſolle 9 37 von big. 39. abmeſſen. abe dun ⸗ ſen ſee⸗ iht ni iie Ch, ln . Unie ge g⸗ W i⸗ Utens be umeſten. en. ſi in nd emnt ui⸗ aber das wahre Stuͤk zu bekommen, ſo muß man durch Rechnung finden, um wie viel das Stuͤk zu klein oder zu groß ſeie. Die Laͤnge der gezoge⸗ nen Linie CD ſeie 3 4 2. Dieſe Laͤnge ſub⸗ nahe man von der Grundlinie AB, welche iſt. 4* / / 3 427 87 ex t ſpricht man: die Linie CD = 3* 4 27 gibt 5 8“, was gibt 2 34“² oder nach dem Reeſiſchen Saz: X! 2 3 4“ Fac. 37 9“. Waͤre nun das abgeſchnittene Stuͤk zu groß ge⸗ weſen, ſo muͤßte man dieſe leztgefundene 3 9 gegen B auf der Linie DB herunter meſſen, waͤre es aber zu klein geweſen, wie in gegenwaͤrtigem Fall, ſo muß man gegen F die gefundene 39“ abmeſſen, da man ſodenn von F nach C die wahre Scheidlinie ſchen kan. Anmerkung. Dieſes Verfahren gruͤndet ſich darauf: Es iſt nemlich, wenn die Linie CD kleiner oder groͤſſer als AB, das abgeſchnittene Stuͤk ACDB allemal um das Dreiek AK C zu klein oder zu groß. Man hat alſo den Inhal 1 Inhalt deſſelben im erſten Fall, oberhalb, — im andern Fall aber unterhalb der Linie CD abzuſchneiden nach J. 57. Der Inhalt die⸗ ſes Dreieks iſt allemal bekannt. Es ſei das Stuͤk um welches die Parallele CD entweder kleiner oder groͤſſer als die Grund⸗ linie = b die Hoͤhe CE = p, ſo iſt der Inhalt des Dreieks ACE = P E. Eben ſo viel Flaͤchenraum muß man an CD in Geſtalt eines Dreieks, deſſen Grundlinie CD = a, und ſeine Hoͤhe — X iſt, ab⸗ mnnun leicht berechnen, was man bei D hinauf Nach dieſer ſehr ein ſchneiden. Der Inhalt deſſelben iſt 2 2 Jezt kann man folgende Gleichung formiren: ax— bp — aAXx = bp a fachen Formel kann man oder herunter zu meſſen habe. Eben dieſes wird man auch erhalten, wenn man die Dreieke AEC und CDF (nach dem 15. Saz 6. Buch Euclid) mit einander vergleicht. Nach dieſem Saz hat man in obigen Benennungen a: b = p: x. das gibt X = wie vorher. een ade M der ſer die ☛ oberhi, lirie 0 Prhelt die⸗ Esz ſi lele D ie Grupd⸗ 1. len en ( ir Grunölinie iſ al⸗ den it 2, ſeminn: kenn tmm D Vmarf ten, venn ich denn nanderr man in . .. 59, L §. 59. Bon Fig. 41. ſoll man 44* 84˙ biueſſen. Aufloͤſung. Weil hier die Grundlinie nicht gerad iſt, ſon⸗ dern ei en Winkel bei D macht, ſo muß man eine gerade Linie AB ziehen, den Triangel ABD beſon⸗ ders ausrechnen, und deſſen Inhalt von dem was abgemeſſen werden ſolle, abziehen, und den Reſt alsdenn vollends auf der gezogenen Linie AB abſchneiden. Z. E. die Linie AB halte 11 67 die Linie DC 3 4 ſo iſt AB=IIO 67 DC = = 33 4˙ multipl. 2: 39 44 4½ H 19 ⁄72 Inhalt des Triangels. Dieſen ſubtrahire man von dem ganzen abzuſchnei⸗ denden Stuͤk⸗ 44 8 4 Area ABD 19*° 72² ſubtr. alſo hat man noch auf der Linie AB = 25 12 abzuſchneiden. Dieſes leztere dividire man mit der Linie AB, ſo kommt die Breite A, wo man aus G gegen F die Scheidlinie ziehen kann. Berechnung. 11°6 in 25* 42 d dividirt, kommt 2 19939 fuͤr die Breite 46. RNan Nun haͤlt die gefundene Linie GFE I2˙* 46 ſie ig aber um 8 groͤſſer als AB. Jezt ſpricht man: 12° 40“ geben 8 was geben 2° 19“ oder nach dem Reeſiſchen Saz: XX 1197’ rac. 1 4 17. Muß man noch ge⸗ En A herunter meſſen, ſo ergibt ſich die wahre Scheidlinie aus E. gegen F. F. 60. Waͤrde die untere Linie einen Winkel ma⸗ chen, wie E Fig. 42. ſo muß man den Inhalt des Triangels ABE ausrechnen, und zu dem Stuͤk, welches abgemeſſen werden ſoll, addiren, und erſt nach dieſer Summe das verlangte Stuͤk auf der Linie AB abſchneiden. 3. B. man ſoll von der ganzen Fig. 12˙ 54“ 36“ abſchneiden. Man ziehe die Linie AB, und meſſe ſie, und rechne den Inhalt des Triangels AEB aus, er halte im gegenwaͤrtigen Fall = 5 46“ Dieſes zum abſchneidenden Stuͤk addirt; 12° 54 ‧36“ 5 46˙00 koimmt = 18 00 b36˙ welches Maas auf der Linie A abgeſchnitten werden muß⸗ §. 61. un en R ſpie ea Perbe, 1 Dait M Penit ncin fignia n ſſfe in hſas eus, hetlin 40 l geih 54 4 lenn 6 Nfü 1 nochge⸗ die wahre Nre ,/ Fhi 1 d ngte nn ſ lſcteden. ſen ud Dems, e chniten . 61. Von einem Feld das die Geſtalt der 4. Figur ber, ſoll man 18° 24 abmeſſen. Man ſiehet hier ſogleich, daß die Scheid⸗ linie noch uͤber den Winkel C hinauf kommen werde, mithin muß man in ſolchem Fall die Linie CD mit Al gleichlauffend ziehen, und das Stuͤk ABCD beſonders ausmeſſen, welches im ge⸗ genwaͤrtigen Fall 10° 16/ 26“ haͤlt, und vom gan⸗ zen abzuſchneidenden Stuͤk ſubtrahiren. Z. KE. 18°24700 10 16526“ folglich muß noch 8007774“ auf der Linie CD abgeſchnitten werden, da ſodenn die wahre Scheid⸗ linie in GF kommt. “ §. 62, ein edes Stuͤk Feld in verlangte Theile zu tellen⸗ Pig. 44. Tab. III. Man rechnet den Inhalt des ganzen Feldes aus, und dividirt ihn in ſo viel Theile, als man verlauat, zum Beiſpiel, der Inhalt des Feldes ABCD ſeie 116° J67, und ſoll i in 3 gleiche Thei⸗ le getheilt werden. 1162 67 38 897 koutnt auf jeden Thei. Nun 4 kann die Linie AB. zur Grundlinie angenommen, G und und ein Theil nacht dem andern i abgeſchnitten wer⸗ den. Z. E. die Laͤnge AB ſeie 160° 5 ½ divid. mit 169 5⁰ 28. ooo⸗ Dieſe⸗ 2°3à6* 3156 muͤſſen von B ich und von A nach G abgemeſſen werden, ſo kann man die erſte Scheidlinie GH ziehen. Ferner meſſe man von H nach F und von G nach E wieder 2° 35“, ſo bekommt man die zweite Scheidlinie EF, nun ſind 2 Theile abgeſchnitten, das dritte Stuͤß aber darf man nicht gbſchneiden, weil e es von ſelbſten ubrig bleibt. „ Anmerkung. Man ſezt hier voraus daß AC und 8D auf AB ſenkrecht ſeien, wo nicht ſo muͤſſen jedesmal ſolche Perpendikel auf der Grundlinie AB er⸗ richtet werden, auf welchen die Theil⸗Punk⸗ te G, E, H und F bemerkt werden koͤnnen. Vorheriges S Staͤt Feld in ungleiche Theile zu theilen. 3. E. Jakob ſoll davon haben ztel ß. Jerg ztel, Michel Eiel. Hier N— R — ſtten ten D uuf M Biceiinel Me⸗ uͤ hynen. heilen. Jerg 4 Hier — 99 Hier muß eines jeden Theil nach der Ge⸗ 9 ſellſchafs⸗Regel alſo gefunden werden: . 1 1I 2 3 — 7 muunter einerlei Benennung. 5 54 41 6o zo! 15 24 1 „ „½ — 59 — 73. Nun ſpricht man alſo: 35 gibt 116⁰ 677; was gibt 42 ⸗„ 1 gibt 116° 67; was gibt 42 gibt 1162 677; was gibt 22 Oder nach dem Reeſiſchen Saz: I1. II. III. 35 II0 67⁵ 116 67⁰°. * 116°67. fac. 39 ‧54 f. 29° 66 ¼ 4f. 47* 448 ¾. Es bekommt alſo zu ſeinem gehöͤrigen Theil Jakob 39° 54379] weil dieſe Bruͤche nicht Hß. Jerg 29° 66 ½191 viel betragen, ſo kann Michel 47°45 2 %] man ſie fahren laſſen, Wieil 100 Weil man jezo weißt, was eines jeden Theil iſt, ſo kann ein jedes Stuͤk beſonders abgeſchnitten werden, wie bisher gezeigt worden. S G. 64. = Ein Stuͤk Feld wie ABCD Fig. 50. Tab. 4. ſoll in 3. ungleiche Theile getheilt werden, davon ſoll Conrad haben 3tel, Joſef Atel und Matthes Ttel. Waͤre vorhergehende Methode etwa nicht bequem, ſo kann man ſich folgender Art bedienen: Man meſſe die Seite AC und BD. Zum Bei⸗ ſpiel: AC halte 36°, BD, 24°. Nun addirt man alle 3 Theile zuſammen, und ſpricht: alle Theile bekommen die ganze Linie AC; was fuͤr einen Theil von von der Linie AC bekommen ztel, tel, ntel? auf gleiche Art verfaͤhrt man bei der Linie B, da man ebenfalls ſpricht: alle 3 Thei⸗ le bekommen die Linie BD; was bekommen ztel, Etel, Ltel? ſo werden ſich, wenn man nach der Ausrechnung die gehoͤrige Theile auf AC und BD abmißt, Punkte ergeben, aus welchen die Scheid⸗ linien gezogen werden koͤnnen. Wenn AC = 36° und BD = 24, ſo iſt die Berechnung: Kon! Gaß⸗ Tel it eſchtitten AA/. 1 Conrad n. a icht Wieden: Zum Dii⸗ lun ANr ſt: d⸗ mmi fit nnn n y Mider 3 Ver nel, nch der und Si⸗ = 8 3 2 7 „ 3 3 8 9„ 4 4 3 11 2 241 9 16] .⸗ addirt. 3 TI 31 — .* Run ſerih man bei der Linie AC: 1geben 36; was geben 3 ztel? 4 geben 36; was geben tel? 2¼ geben 36; was gibt tel 2 Eben ſo ſpreche man bei der Linie DB: ½ geben 24; was geben ztel? 4 ½ geben 24; was geben ztel? † geben 24; was gibt 4 Ttel? Ausrechnung nach dem Reeſiſchen Saz: . I. Saz. X à AOC 2 PD IL 36 1 24* Facit 10 475 + 69/6. . II. Saz. X ½% འAC * BD . . 3tl 306 1 24 Facit 18°5589+ 12° 38† G 3 I. S III. Saz. X. 1 AC I BD mn l 36 66ʃ 24% — Facit 6°9 10 †+ 4 °65“ . Dem Conrad muß man alſo auf der Linie W AC.von C gegen A abmeſſen 10°4 54+, und auf der Linie DB von D gegen 4 6°9 56, ſo 3 kann man die Scheidlinie E ziehen, und Con: I1 rad bekommt zu ſeinem Theil das Stuk Nr. l. “ Ferner muß man dem Joſef von E nach A — abmeſſen 18°5⸗ 86 +, und von F nach B 12 “ frd 3˙8“+, ſo bekommt Joſef fuͤr ſeinen Theil das uh 6 Siut Nr. II. Sind dieſe 2 Stuͤke richtig abge⸗ . mmeſſen, ſo hat man nicht noͤthig, das leztere “ Stuͤk beſonders auszinechnen, weil es von ſelb⸗ Ken uͤbrig bleibt. Ein Stuͤk Feld, wie Fig. 4 5½. Tab. III. ſoll manin ſ. 2 drei gleiche Theile theilen. 4 Man mißt das ganze Stuͤk aus: zum Bei⸗ . ſpiel, es halte 420°, und dividirt den Inhalt mit 3, ſo kommt heraus, wie viel ein jeder Rus then haben muß. Nun ſtekt man mit Staͤben nach Gutduͤnken die Scheidlinien BD und HF N ab, und mißt ſodann ein jedes Stuͤk beſonders aus; hat ein jedes abgeſchnittenes Stuͤk ſein ge⸗ hüiges Maas, ſo iſt⸗ gut, wo o nicht, ſo muß man, der di †, ld 357 6 und Con⸗ Bunch 4 N Del NOE i e⅓ laten n ſch WoNNR ⸗ = 103 7 man, itn Fall das Stuͤk zu groß waͤre, davon — oder zu klein, dazu meſſen. Z. E. 420⁰ div. mit 3: 140 kommen auf einen Theil. Man meſſe das erſte Stuͤk, welches haͤlt 1105 Ruthen, mithin fehlen zu dieſem Stuͤk noch 30; dieſe muß man auf der Linie DB ab⸗ meſſen, ſo kommt die wahre Scheidlinie i in EC. Man meſſe auch das Stuͤk Nr. 2. kommt fuͤr deſſen Inhalt 156, mithin iſt das Stuͤk noch um 16 °zu groß. Dieſe muß man auf der angenommenen Scheidlinie HF ablchnelden, kommt die wahre Scheidlinie in 1G. Das zte Stuͤk hat man nicht nothig z zu meſſen, weil ſich deſſen Inhalt von Klbſten er⸗ gibt. Anmerkung. Auf dieſe Art ein Feld abzutheilen, iſt ſehr vortheilhaft, ſonderheitlich wenn das Feld Alullllerlei Kruͤmmungen har, folglich andern Abtheilungs⸗Arten vorzuziehen. Noch etwas vom Theilen der irregulaͤren Fi⸗ guren, wie auch einiger Vortheile, die man dabei anbringen kann. G 4 Saz Wenn die Grundlinie eines recht winkelich⸗ ten Triangels in 2 gleiche Theile getheilt wird, wie Fig. 69. Tab. V. und aus dem Theilungs⸗ Punkt eine Parallel⸗Linie EF mit dem perpendi⸗ kulare Kathetus AC gezogen wird, ſo verhaͤlt ſich das Dreiek EFB zum groſſen Dreiek ABC wie 1: 4; oder das durch die Parallel⸗Linie Efp abgeſchnittene Stuͤk iſt der 4te Theil vom ganzen Dreiek. ꝗ ᷑ ᷑ Eben ſo = Wenn die Grundlinie eines rechtwinkelich. ten Triangels ABC Fig. 70. Tab. V. in 3 gleiche Theile getheilt wird, und die Linien KF und DG mit AC parallel gezogen werden, ſo verhalten ſich die 3 Abſchnitte unter ſich wie 1: 3: 5. das iſt der groͤſſere Abſchnitt ACGD hat 5. — der mittlere DGEF hat 3. und der kleinere Theil EFB hat I. Theil, und dieſe Theile ſind einan⸗ der gleich und aͤhnlich. Die fuͤr den gemeinen Feldmeſſer ſo nuͤzliche Anwendung wird ſich ſo gleich zeigen. Z Ets ſeie Fig. 71. Tab. V. in 2 gleiche varallel. . L Aufloͤſung. Man meſſe die Linie A., ſie ſei = 16. — und weil Al mit BC parallel, ſo iſt auch EC or vinkel klich bilt witd, hellungs⸗ erpendi⸗ herhalt AO A⸗Lirie hell vonn twinkelih 53 gleie und DE veralten 14 *° 315 5.— danm⸗ gemenen ſt5H geiche ſind 16 07 C = 16⁰0; Aß wie auch EC werden ohne weite⸗ re Umſtaͤnde ſogleich in 2 gleiche Theile getheilt, in dem man von A gegen B 8°0° und von E gegen C 8°0 abmißt und die Scheidlinie g f abſtekt, ſo waͤre alſo das Parallelogram ABEC in 2. gleiche Theile getheilt, da aber das Drei⸗ ek DEC gemeinſchaftlich iſt, und noch in zwei Theile muß vertheilt werden, ſo muß n man vor⸗ her deſſen Inhalt ausrechnen. Es iſt fuͤr EC gefunden = — 160˙, und für ED . = 10°07 mithin der Inhalt. 2: 160 ůο% des Triangels: = — 80² 00. Dieſer gefundene Inhalt muß in 2 Theile ge⸗ theilt werden, kommen 40°00ο°6 und welche noch zum Stuͤk Nr. J. und II. muͤſſen gemeſſen wer⸗ den; da nun in obigem Saz und Fig. 2. Lab. V. gezeigt worden, daß wenn die Grundlinie ei⸗ nes rechtwinkelichten Triangels in zwei gleiche Theile getheilt werde, der kleinere Theil ½ vom Ganzen ſeie, ſo ſiehet man ſchon in gegenwaͤr⸗ tigem Beiſpiel, daß dem 2ten Theil nicht mehr die ganze Helfte 40006 doͤrfen zugemeſſen wer⸗ den, weil ihm ſchon vorher durch die punktirte Scheidlinie Fg zugefallen iſt, mithin hat er nur noch ½ noͤthig, welches nach der Rechnung 2000 ſeyn wird, und welche alsdann noch von dem Sthͤk Rr. l. nach §. 57. u. f. f. muͤſ⸗ G S5 ſen 106 ammmrn ſen abgeſchnitten werden; man mißt nemlich die Linie F g, ſie ſei lei e = 30⁰0 und dividire mit der Helfte = 1500 in die noch fehlende 20°00°⅓6 ſo kommt 1 %%; welche alsdenn von g gegen A abzumeſſen ſind, ſo kann man von dem gefun⸗ denen en Puntt h die rechte Scheidlinie ziehen. Anmerkung. Wollte man aber die Scheidlinie ſo ziehen, daß ſolche mit AD gleichlaufend waͤre, ſo muͤßte man mit der ganzen Linie EFg = 30⁰0 in 20 %% dividiren, da denn der Quotient ebenfalls zeigen wuͤrde, wie viel von i gegen E und von g gegen A muͤßte abgemeſſen wer⸗ den; doch wuͤrde alsdenn die neue Scheid⸗ linie erwas zu lang und folglich der Theil Nr. I. etwas zu klein ſeyn. Ein verſtaͤndi⸗ ger Feldmeſſer koͤnnte in dem Fall dieſem DeG⸗ fekt ein wenig abhelfen, wenn er im Divi⸗ diren dem Diviſor durch 1 oder 2 Schuh Zuſaz, je nachdem das Drei⸗Ek hoch oder niedrig waͤre, zu Huͤlfe kaͤme; das ſicherſte Verfahren aber, bleibt immer dasjenige, wenn man das Fehlende in der Geſtalt eines Triangels abſchneidet. Aufgabe. Ein irregulaͤres Viel⸗Ek wie Fig. 72. Tab. V. in 3 gleiche T heile zu theilen. Auf⸗ au di ſier, den ſole potnmnen Etie be gnpfre uitet II Ne Ve N Eu⸗ Fen Aun ger ſen wi Ghen V Es In henlichte te mit de 2000,, 3 gegen in gefune hen. zihen, winre, 000 Omhot migege ſen wen Steid⸗ t Thel eſtändß Aufloͤſung. Man nimmt hier ſogleich bei dem Abſieken auf die Theilpunkte Ruͤkſicht, daher laͤßt man hier, weil die Figur in 3 Theile getheilt wer⸗ den ſolle, die Linie Cg wie auch Dh als ange⸗ nommene Scheidlinien durchlaufen, und zieht die Linie von A nach B, auf welche alsdenn die Per⸗ pendikel wie §. 46. und 47. gezeigt worden, auf⸗ gerichtet werden; ſo kann man jeden Theil Nr. I. II. und III. beſonders ausrechnen, nachher aber die Anzahl Ruthen von jedem Stuͤk zuſammen addiren. Wenn man alsdenn in die gefundene Summe mit der Anzahl Theile, in welche die— Figur getheilt werden ſoll, dividirt, ſo wird der. Quotient anzeigen, um wie viel ein jedes Stük zu groß oder zu klein ſeie. Das ganze Verfah⸗ ren wird folgende Berechnung deutlich machen. In dem Theil Nr. I. haͤlt der Triangel AsC =– = 8 1⁰9 273 das T Trapez utf e = 3 8 6 4 tt Es haͤlt alſo das Stuͤk aceg⸗ 169 28˙ In dem Theil Nr. II. haͤlt . . Chsp= 213 2237 das Trapez srhg =– 679 0. addirt. . . . rqih =D 9016. 2 2* . qpki = 936.1 kemunt fur das Stuk CDgk = 380 zo In —— In dem Theil Nr. III. haͤlt der Triangel BDp = 12 3 0 0 das Trapez pokl = 4 3 12 atie ,„ o nml = 12707 2˙ . der Triangel n Bm = I 3 80 kommt für das Stuͤk DBmIk = =— 307 047. Es haͤlt demnach 6 Nr. I. = 169 287 Nr. II. = 380 70] addirt. Rr. III. = 30 7 044 857 0 2 Area der gan⸗ zen Figur. Dieſe Summe muß man durch 3 dividiren, wenn man den zten Theil von der Figur erhalten will, kommt = 285* 87 ⁶ Nun ſiehet man wohl . daß das Stuͤk Nr. I. unm vieles zu klein gegen dem Zten Theil iſt, deß⸗ wegen muß man ſolches von dem Zten Theil ab⸗ ziehen, wenn man das Fehlende erhalten will. 4 1I I 6°5 9 *½ Dieſes gefundene muß man noch von dem Stut Nr. II. abmeſſen, welches geſchiehet, wenn man mit dem Maas der Linie cg= = 20 %° 6 in II60 59 9 dividirt, gibt er gin igur. n, wem ten nil, Nr.l. 1, den hell ch⸗ nil ndene eſen, sder itt, gbt gibt zum Quotienten = — 5 8 89e, welchen man doppelt nehmen muß, weil man nur auf einer Seite bei C gegen D am ſchiklichſten nbeuriſen kann. Doppelt genommen iſt er 1 61 18 dieſes muß von C gegen D abgeme eſſen wers den, gibt den Punkt N, aus welchem man die Lime N g ziehen kann, welches die wahre Scheidlinie ſeyn wird. Da durch die Beſtimmung des I. Theils von dem Stuͤk Nr. II. noch 116 59 ½ zu jenem abgemeſſen worden ſind, ſo muͤſſen ſolche jezo von dem Stuͤk Nr. II. abgezogen werden, MMD II6 59 264 10 4 S Werden dieſe 2,64 1 0% von dem gefundenen zten Theil abgezogen, ſo wird der Reſt zeigen, wie viel man von dem Stuͤk Nr. III. nehmen muͤſſe, um dem Theil Nr.1 II. ſein gehbriges Maas zu geben. 2 8 5˙S 7 20 4 1 0 2² 2 1 7 6 3. In n dieſe geſundene 21 376 muß mit dem Maas der Linie D K divibirt werden, ſo wird der 110 èẽ der Quotient doppelt genommen anzeigen, wie viel noch bei D muͤſſe gegen B gemeſſen werden. Das Maas von D K iſt 2067 29096/ 21769 1003α das Doppelte von 1°%½ welches 2 8, iſ, muß von D ge⸗ gen B gemeſſen werden, kommt in M, und MKñ j(lilſt die Scheidlinie, weil ſolche aber wegen dem Winkel bei D etwas zu kurz iſt, ſo muß noch etwas zugegeben werden. Aufgabe. Ein irregulaͤres Viel⸗Ek wie Fig. 7 3. Tab. W v. in zwei gleiche Theile D theilen, daß die Scheidlinie auf den Punkt C. zu laufe. Zuerſt wird die ne F Figur ausgemeſſea en, darmnit man wiſſe, wie viel man auf einen Theil zuzumeſſen habe. Es werde gefunden ſer den Triangel ABC = 10I* 4 8 „ ACG — 10 6 20. * CEF= r23 20. .2 CDE = 74 4 8. Zihilt der ganzen Fi igur = 49 1 26˙ „ % * . Dieſe Dieſ zui ſen, i werben, Depen nun D MI, ud her nent nnuß w „ u. daf Ne Tl diſſ⸗ Dieſe heraus gebrachte Summe theile man in zweit gleiche Theile, 49 12 6 22 –— 2 4 5 *6 3“ muͤſſen fuͤr einen jeden Thei zugemeſſen werden. Jezt addire man die 2 Drei⸗Eke CDE und CEF zuſammen, und nehme die Linie Cr fuͤr die blinde Scheidlinie an. Triangel CDE = 7 4 4 8 . „ CEF= I 2 5 2 19 956 8 Den gefundenen Inhalt dieſer zweien Drei⸗ Eken ziehe man von dem oben gefundenen halben Theil = 2 4 5 °% 3 ab, 19% 9% 6 8 ſo fehlen noch 4 5 5 welche alsdenn von dem Theil Nr. 1 muͤſſen abgeſchnitten werden. In dieſe 45°5“ dividire man mit der halben Linie CF, welche im gegenwaͤrtigen Fall = 12 7 iſt 4 5 9 5 3 6 127: Dieſe Dieſe hier in Vorſchein gekommene 3⁰6“ (den Bruch kann man auslaſſen) meſſe man auf h G welche auf FC ſenkrecht von h gegen G ab, und ziehe durch den gefundenen Punkt eine Parallele mit PC, welche die Linie G F bei i ſcheiden wird, ſo kann man von i aus die wahre Scheidlinie Aufgabe. Fig. 74. Tab. V. ſtellt einen gebogenen Aker vor, den Abraham mit der Sara verheyrathete, und zu welchem er nachher, da er die Hagar an⸗ nahme, denſelben durch ihr Beibringen vergroöſe ſerte, und die Markung dadurch als entbehrlich abſchafte; da aber Iſaak und Iſmael Streit be⸗ kamen, ſo mußte lezterem ſein Theil abgemeſſen werden. Wenn nun dem erſten 2 Morgen, 3 ½ Viertel und 4 Ruthen, dem andern 1 Morgen und 11 Vrtl. in den Verzeichniſſen zugeſchrieben waͤre; ſo ſoll man die Markung wieder beſtimmen. Man verfahre alſo: Aus T nach U wird die gerade Linie O gezogen, und auf derſelben, je mehr deſto beſe ſer, perpendikulare Linien errichtet, wie Z. E. Nach dieſem werden die 27 Morgen, wie auch 1 ¾ Morgen zuſammen addirt, geben 641 ¾ Ruthen. “ 6(u uf h n wd Partlle n wid, heblin⸗ en Ar⸗ hruthete, gat en dergeiß behrli tnit ſemiſen en, 5 Worpen hriben utnen⸗ 713 Alsdenn ſpricht man; 641½¼ Ruthen geben die Linie VW. was fuͤr eine Liinnie geben 206 ¼ Ruthen als des Iſmaels Theiilll ðDU gibt = die Linie Vk. 6412 geben Xy, was geben 206 ¼ % = 2 y. 641 ¾° geben a b, was 206 4¼ 2 = ac. 641 ¾9 geben ed, was 206 1 2 = dY. 641 ¾ geben Gi, was 206 ¼ 2 = gh. Durch dieſe Berechnung waͤre die Theilung ohne weitere Abſtichs-Rechnung gruͤndlich ver⸗ richtet, bis auf die 2 Triangel TVw. und GUi. Man muß daher die 2 Drei⸗Eke nkV und hm G, wie auch das Stuͤk Twnk und himU beſonders ausrechnen, deren Summen zuſam⸗ men addiren, und alſo ſprechen: 641¼½* geben fuͤr den Iſmael 206 ¾ , was gibt die Summe der gefundenen Abſchnitte TwVXYGUi? Von dem Gefundenen werden die Gehalte der beeden Drei⸗Eke nkV und hm G abgezo⸗ gen, ſo zeigt die Diferenz an, wie viel dem Iſmael noch durch die ganze Laͤnge muͤſſe zuge⸗ geben werden. 4 Voeom— 114 — Vom Theilen der Triangel. i Ein dreietichtes Feld in verlangte gleiche Theile uu (eitn theilen. Zum Exempel in; Theile. ſad chet. Man theile die Linie AB Fig. 46. Tab. III. D in 5 gleiche Theile, und ziehe aus C die Scheid⸗ linien CG, CD, CE, Cb, ſo iſt der Triangel N richtig rbgetheilt. Anmerkung. S DJYMZW Die Theilung gruͤndet ſich auf den geometri⸗ ſchen Saz: Drei⸗Eke von gleichen Grund⸗ linien und Hoͤhen ſind gleich. M “ ler Einen Triangel in dret gleiche Theile zu theilen, daß it die Theilungs⸗Linien mit der Grundlinie parallel laufen. Fig. 47. Tab. II. M GK Man meſſe die Linie AC oder Bc. Z. E. BC ſeie = 21, dieſes multiplicire man mit ſich ns ſelbſt, kommt 441. Dieſe Quadratzahl dividi⸗ re man mit 3 als mit der Zahl der Theile, in nelche der Triangel getheilt werden ſoll. 3 in: 441 147 hieraus die Quadratuunze, ſe hat man die Linie CG = 12 ¾ * ungeſaͤhr. Ferner lut helle in b Il. Shed⸗ Aung Reonmeire Cmunm Uule pir ſh Midi⸗ il, ir unl, 4 ener Ferner ziehe man aus Stel 147 † 147 = 294 die Auadrurwurzel, ſo bekommt man die Linie CE = 17° ungefaͤhr. Wenn man nun aus G und E die Linien FG und DE parallel mit AB zieht, ſo iſt der Triangel in drei gleiche Theile getheilt. Anmerkung. Der Grund dieſes Verfahrens beruht auf dem Saz: Aehnliche Drei⸗Eke verhalten ſich wie die Quadrate ihrer aͤhnlich liegenden Seiten. Weil die Scheidlinien FG, DE mit der Grundlinie parallel ſeyn ſollen, ſo ſind of⸗ fenbar die Drei⸗Eke ABC, DEC und FGC aͤhnlich, und da die ganze Figur in 3 gleiche Theile getheilt werden ſoll, ſo bekommt je⸗ der 5 des ganzen, ſolglich 3: ½ = CBa: CGa hieraus findet ich 66 H Es iſt nemlich CG²⁸ = 25CB2 daher CG = CB= Aus gleichem Grunde iſt: 3 :C 3¾ = CB2 : CKIs alſo CEAE = 3052 folgl. CE: — 774CB Auufgabe. Von einem Triangel eine beliebige Anzahl Ruthen abzuſchneiden. Z. B. von Fig. 75. 2 2 Tab., * Tab. V. ſollen aben i im Ens c. 75 abgemeſ⸗ ſen werden. Aufloͤſung. Zuerſt wird der Inhalt des ganzen Trian⸗ gels gemeſſen, und berechnet. Es ſeie AB = 30007 De = 19°5. 5* 2) 5850 Zuhalt des Triangels ABC. 29 2 50%.⁰ 07. Nun ſpricht man: Der Inhalt des Drei⸗Eks ABC 292 050, verhaͤlt ſich zum Quadr. der Seite AB = 900 9006 wie ſich verhalten die abzuſchneidende 75° zur ge⸗ ſachten Linie ef. hieraus Quadrat⸗ Wurzel. Berechnung. . 2922 50.. 90 ⁵ο Fac. 2309 168 ,77: dieſe geſucte Zahl ſuche man in der Wurzel⸗ ⸗Tabelle, in der Col. Quadr., ſo wird die Wurzel anzeigen 1 50 1. Dieſe hier in Vorſchein gekommene 1 5² 1 ſind das Maas fuͤr die Grundlinie ef. Wenn man nnun die Grundlinie und den Inhalt eines Trian⸗ geels weiß, ſo kann man leicht die Hoͤhe finden, man darf nur mit der Helfte der Grundlinie in die en r die M neſen e⸗ ſet die ilgin erzend Pfindenen ſien, lur. thei ſ der ͦ then an 117 die Ruthen⸗Zahl dividiren, welche man abze⸗ meſſen gedenkt. Die Helfte von 1 5°1 iſt = 7* 5.. 54. mit dieſem dividire man in 7 ˙5˙57) 7. 5. 7 c, 9* 9 3“ 6 7 9 5 — 7. O. 5. O . 5b 7 9% 5 2 5· 5. 0 2 2 6 5 — 2 8 5. Dieſe gefundene 99 3“ kann man von C gegen D perpendikular herunter meſſen, und durch den gefundenen Punkt L eine Parallel⸗Linie mit A3 ziehen, ſo wird das Drei⸗Ek eCf richtig 75 halten. Trigt⸗ 2 %% 000,/ r ge Aufgabe. Einen Triangel in verlangte gleiche Theile zu theilen, ſo daß die Scheidlinien perpendikular aol auf der Grundlinie ſtehen. 70 1 ſid Aufloͤſung. nu Es ſeie Fig. 76. Tab. V. in 4 gleiche Theile mm/ zu theilen. . Man ziehe den Perpendikel C, und meſſe jeden rechtwinkelichten Triangel ADC nund BCcD H 3 peſon⸗ beſonders aus. AD ſeie 18 4˙. ¼ CD = 9 *3 und DB = 36 °067. “MMä Berechnnn. AD = 18 4 DB= 36 0 HWKW 4CD = 93 CD= 9 3 k 5 52 1 08 0 Eet 1656 32 4 000 1I7 1I I 2 A ADC. 334°80=— BCD. Fnhalt des ganzen Triangels 4A6C= 505 92. 8 MU Dieſen gefundenen Inhalt dividire man in 4 4 gleiche Theile. 66 A: 5 „ 5 9 2 ⸗ kommen auf einen Theil = 1 2 6 2 8 Wenn man nun auch hier den Lehrſaz zur Huͤlfe nimmt, daß ſich aͤhnliche Drei⸗Eke verhal⸗ ten, wie die Quadrate ihrer aͤhnlich liegenden Seiten, ſo kann man alſo ſchlieſſen: Wut Deer Inhalt von ACD = I71 12‧ verr⸗ R haͤlt ſich zum Inhalt des vierten Theils 126 487 wie ſich verhaͤlt das Quadrat von AD = 33856 zum Quadrat von Ae. „ v das n e deendh⸗ legemnen 1 ber⸗ 687 3856 das — 11 das iſt: 12648 12 2 38* 5 6 Fac. 25 0* 24 hieraus Ouedrat⸗ Wurzel, kommt in der Taſel = 15 85 †+. Dieſes muß dem erſten von A gegen D abgemeſ⸗ ſen werden, die Perpendikular⸗Linie ef iſt die Scheidlinie fuͤr Nr. I. und II. 171 Um die noch uͤbrige Theile zu finden, ſ fange man auf der andern Seite bei dem Winkel B an. Der Inhalt von CDB = 334 ‧80. Das Quadrat von DB 36 %° 1296°%0%, ſo iſt: 334 80 126 487 = 1296%: . x. oder: X/ 126 4387 334 80 41 1296 %°¾60.° Fac. 489 60 hieraus Quadr. Wurzel beinahe 220°1. Dieſe von B gegen D in k getragen, ſo iſt die Pervendiknlar⸗ Linie k i. die Scheidlinie fuͤr Nr. IV. und III. AUm die Richtigkeit der zwei mittleren Theile zu entſcheiden, ſo merke man noch folgendes: 120 8 8 Man nehme den Gehalt von dem 4ten Theil des ganzen Triangels doppelt, 2 12 6 4 87 koeommen = 2 5 2 % 66 Fezt ſpreche man? ”M 334 °⅛80: 25 2°% 6 =— 1296%%: X. odder: Aà ,25 296 834 80.˙1 1296 o Fac. 975 97 hieraus Radix Quadr. kommt = 3 1 è2 + Dieſe meſſe man wieder von B gegen D ab, und an dem Ort, wo das Maas eintrift, wird die ſenkrechte Linie g h auf⸗ gerichtet, ſo iſt die Theilung zu Ende. Einen Triangel in ungleiche Theile zu thei⸗ len, ſo daß die Scheidlinien mit der Baſis paral⸗ lel laufen. Z. E. M Fig. 77. Lab. V. ſoll in 3 Theile alſo ein⸗ getheilt werden, daß A ½, B 3, und C 5F ha⸗ ben ſoll. Aufloͤſung. Man meſſe die Linie AC, ſie ſeie = 28°82 dieſe multiplicire man mit ſich ſelbſt, gibt 829*44/˙. Die n n Die vorhandene Bruͤche werden addirt. △ HM 3 5 2 5 5 3 3 IILZS 105]35] 63 75 A63 w: J. .. 35 173 = 118 Jezt ſchtieſe man: 1 18 ⅜: ⅞ = 829 44˙: X. . 0, oder: edeer 5 3 . wa das 1 3207 44. H Zn auß⸗ Fac. 1 67 ‧805+2 3 „hieraus die Quadrat⸗ drat⸗Wurzel, kommt nach der Tabell = 12 %9 + dieſe 12°9“ werden von C gegen A herunter ge⸗ meſſen, gibt den Punkt d, aus welchem man die n Prnee de ziehen kann, ſo iſt alsdenn 0 de ur A. Der Theil fuͤr B wird alſ⸗ gefunden: . ſein Man addire des A Thell = = 1 zu B Theil = . 3 19 * 5 D 9 4. 555 Die 14 = 2 .„*„½ und 122 ———N* und ſhließe al ſo MW e 1 4 2: 14 = 829 44,: X. “”M nach der Reeſiſchen Rechnung aber;« “ B. K. 2 132 ð ncbſt I1 5b„ 829⁰44* GSte FPac. Ti5 52 5 hieraus wieder h deie Quadrat,Wunzel kommt beinahe = 21 77, es welche man ebenfalls von C gegen A herunter e meſſen muß, der Endpunkt kommt in g, und die uſe Parallel⸗Linie gf wird die Scheidlinie ſeyn. Des ce C ſeinen Theil hat man nicht noͤthig zu ſuchen, wiſh weil er von ſelbſten uͤbrig bleibt. Wer den Hand⸗ ſhi griff nicht weiß, wie aus einem Punkt eine Pa⸗ ul rallel⸗Linie mit einer geraden Linie zu ziehen iſft, mmm, der kann ja auf der Linie CB die nemliche Opera⸗ aen tion vornehmen, da ſich dann darauf die MPunkte i e und f ergeben werden. ð . lit, le. §. 68. Dieſes ſind nun die gewoͤhnliche Faͤlle die beim Feldmeſſen oft vorkommen, ſind ungemein nuͤzlich, beſonders da wo die Meßungen nicht ins Große gehen, ſie aber einzeln auf ſehr groſſe Ver⸗ mmeſſungen von mehreren 100. bis 1000. Mor⸗ gen anzuwenden, waͤre auf dem Felde wegen den mannigfaltigen Rechnungen zu langweilig und be⸗ ſchwerlich. In dieſem Fall geht man am ſicher⸗ ſten, wenn man den zu vermeſſenden Diſtrikt vor⸗ her nach ſeinem ganzen Uumſange genau aufnimmt, (wovon e 217 herunter und de ſnn. Des n ſochen, denhend, eine Pu ſefen if, Oery Punkt. File de ungenen ict ins Pyr⸗ en den nd be⸗ ſite⸗ tt⸗ mmt, ebon (wovon im Anhang etwas mehr von dem Aufneh⸗ men vermittelſt des Meßtiſches ſolle geſagt wer⸗ den) und von demſelben einen General⸗Riß ent⸗ wirft, ihn in ſeine Zelgen und Gewandte abtheilt, und ſodann erſt die Theilung der einzelnen kleinern Stuͤke vornimmt, alles dieſes kann vermittelſt der gehoͤrigen Rechnung und des verjuͤngten Maas⸗ ſtabes zu Hauſe vorgenommen werden. Auf dieſe Art erhaͤlt man den Vortheil, daß man ein ſolch groſſes Stuͤk nicht nur mit einem Blik uͤberſehen, ſondern auch die Theilung ſelbſten nach dem öcono⸗ miſchen Nuzen einrichten kann. Nach dieſer Vor⸗ ſchrift habe ich die ganze Anlage in Hohenheim, welche ſich auf 1766. Morgen belauft, aufgenom⸗ inen, und einen groſſen Theil von ungefaͤhr 680 Morgen, von Morgen zu Morgen, abgetheilt, nach dem ich vorher das ganze Gut in Grund ge⸗ legt, und die Theilung zu Haus vorgenommen hatte. Eben da ich dieſes ſchreibe, ſo erhalte ich: A. Kochs, Schul⸗ und Privat⸗Lehrers der Mathematiki in Lehnweiler, Verſuch einer theoretiſch⸗praktiſchen Anleitung zur Aus⸗ Ausuͤbung der Geometrie ꝛc. Ein Lehrbuch fuͤr Landſchullehrer, und wiederholter Un⸗ terricht fur angehende Feldmeſſer. Mit Kupfern. Stuttg. bei Erhard und Löͤflund 1796. 1 Ich Idch beſorge daß es den Landſchullehrern und Allin angehenden Feldmeſſern, die ſich in dieſem Buche utt Raths erhohlen wollen, eben ſo ergehen werde, als i es vor einigen Jahren mir ergieng. Ich wollte Hll⸗ einen Freund auf dem benachbarten Dorffe N. ... u beſuchen, weil ich aber ſeine Wohnung nicht ge⸗ fff nau wußte, ſo fragte ich oben am Dorffe einen udu Krrnaben, ob er mir nicht ſagen koͤnne, in welchem Hauſt der Hr. D . . . . wohne? O ja, erhielt in ich zur Antwort, gehen ſie nur da hinunter, und ..l! grad von meines Vetters Haus gegenuͤber wohnt Auf er, und hiemit war ich belehrt, das heißt, wil Mr mir des Vetters Haus auch nicht bekannt war, ſo 1 wußte ich eben ſo viel als vorher ehe ich fragte. Es iſt noͤthig einige ganz falſche Saͤze und Unrich⸗ ſir tigkeiten hier anzuzeigen. In F. 23. wird geſagt, nutde daß alle rechtwinklichte Dreieke aͤhnlich ſeyen. Die ie ſynthetiſche Beweiſe uͤber mehrere Saͤze ſind ver⸗ en worren, unverſtaͤndlich und heiſſen ſo viel als nichts, wovon H. 22. §. 29. hauprſaͤchlich aber der Hauptꝛ. ſaz §. 32. und die darauf folgende Aufloͤſung (Auf⸗ loͤſung?) nebſt Beweis zur Probe dienen koͤnnen. R“” Dieſes Buch ſoll ein Lehrbuch fuͤr Landſchullehrer ſeyn, and ſoll hauptſaͤchlich zur Aufklaͤrung und Bildung dienen, damit ein guter Same auf die Folgezeit keimen moͤchte,“ wie in der Vorrede ge⸗ ſagt wird. Der aufmerkſame Leſer wird hin und un wieder auf ſolche Beweiſe ſtoſſen, welche mehr oder uſi weniger undentlich und unrichtig ſind. Bei der uns im Anhang beigefuͤgten Winkelmeſſer⸗Tabelle haͤtte ine doch auch angegeben werden ſollen, wie groß der 3 khrern ich ſen Buhe werde, als ch wolle nicht ge⸗ ſſe einen n welchem 1 ethielt hmet, und ltel wehut hast, wil in wer, 6 ig ſnge. Nunit⸗ geſagt, en. Die ſnd ben nichts, hrge⸗ n⸗ khunn. hllhrer nung und ußf bi⸗ nde ge⸗ in und 7 hr oder Bei N 1Me der hulb⸗ Ethnannerzae 125 Halbmeſſer zur Berechnung derſelhen angen worden. Sie ganz zu pruͤfen, halte ich keine uͤbri⸗ ge Zeit, ich fand aber, da ich ſie mit der für den Halbmeſſer von 30. Fuß berechneten Tafel in Hrn. Prof. Eberts Unterweiſung in den Math. Wiſ⸗ ſenſchaften p. 453 verglich, daß ſie an mehre⸗ rven Orten um 1 auch 2 bis 3 Minuten von ein⸗ ander abwichen. Der Gebrauch derſelben wird FK. 20. Nr. V. in etwas, und in der Aufgabe F. 77. ganz undentlich und unrichtig gezeigt. Der Verf. ſagt zwar darinn: dieſe Winkelmeſſer⸗Ta⸗ belle werde keine beſondere Erklarung noͤthig ha⸗ ben, weil die in §. 77. angefuͤhrte Aufgabe die Sache anſchaulich genug machen koͤnne. Ich hielt es fuͤr Pflicht nur einige in dieſem Buche vorkom⸗ mende Unrichtigkeiten aufzudeken, damit die Leſer ihre Zeit mit Aufſuchungen der Wahrheiten aus dieſem Buche nicht verlieren mochten. H Etwas aus der Stereometrie, Sð und zwar von den Maaſen in der Stereometrie. §. 69. DW Wenn man etwas ausmeſſen will, ſo muß man den Maasſtab wiſſen, welcher zu der anszu⸗ meſſenden Sache tauglich iſt; dieſes ſiehet man aus dem bisherigen, indem man eine Linie, und eine Flaͤche ausgemeſſen hat. Eben ſo verhaͤlt es ſich beim Ausmeſſen der Korper. Es nus — 3, womit ein Koͤrper ausgemeſſen . eig ein Koͤrper ſeyn, und zwar ein Kubus, o Schuh ꝛc. lang, eine Ruthe ꝛc. breit, und eine Ruthe hoch oder dik iſt. Eine ſolche Kubic⸗Ru⸗ the oder Schuh ꝛc. hat alſo ein Quadrat zur Grundflaͤche, welches nach dem Quadrat⸗Maas im 1otheiligen Maas 100 Quadrat⸗Schuhe ꝛc. im 12theiligen Maas aber 144 Quadrat⸗Schuh ꝛc. hat. Weil aber eine Kubic⸗Ruthe auch zugleich eine Dike hat, ſo kann Quadrat⸗Maas und Ku⸗ bie⸗Maas nicht einerlei ſeyn. Eine Kubie⸗Ru⸗ the haͤlt nach dem 1otheiligen Maas 1000 Ku⸗ bie⸗Schuh, weil 10 Schichten auf einander lie⸗ gen. Nach dem 12theiligen Maas 1728 Ku⸗ bic⸗Schuhe. Es hat demnach die Decimal⸗Ruthe 12Schu. Rut. Schuh 1000 1728 4096 ZSeoll 1000000 2985984 7077888 QL.i. 1000000000 5159780352112230690464. Man wird leicht begreifen, daß man die Verwandlung des Kubic⸗Maaſes, z. E. 10thei⸗ liges in 12theiliges oder 16theiliges, und dieſes in jenes eben ſo anbringen koͤnne, wie §. 33. 34. und 35. gezeigt worden, man muß dabei nur bedenken, daß man mit Kubic⸗Maas zu thun habe, wo man beim Abſchneiden, Anhaͤngen der Zahlen, allemal 3 Zahlen nehmen muͤſſe. ”ZM “S Vom der Würfel, der eine Ruthe oder 16 Schuh. Rut. W. t tel wie iel e le duer ſ 1 ſſche in ho ſen w Hemeſe nd zuct the oder und eine bie⸗NRr⸗ nt zut ⸗Mus hete. im gleich und Kr⸗ ie⸗Ro⸗ 1000 Kl under li⸗ 29 Ku⸗ Rut. len wir ſolche auf etliche Aufgaben anwenben. – ener,.n 127 Vom Ausrechnen einiger Koͤrper. F. 71. Mas einen Koͤrper ausrechnen heiſſe, braucht nicht viel Erklaͤrens. Es heißt nemlich finden, wie viel er Kubic⸗Ruthen, Kubic⸗Schuh ꝛc. hal⸗ te, daher heißt man es auch kubiren. 4 Den Inhalt eines gleichdiken Koͤrpers, der 12/lang 7breit, und 8 hoch iſt, zu finden. Die Grundflaͤche des Koͤrpers wird zuerſt nach der Flaͤchenmeſſung ausgerechnet, dieſen Inhalt multiplieire man mit der Hoͤhe, ſo kommt der Inhalt des Koͤrpers. Zum Beiſpiel: lang = 12 HMUMUẽ breit = 7 84 = Area der Grundflaͤche. 672 Kubic⸗Schuh. g. 73. Da es uns vor allen Dingen darum zu thun iſt, um den Nuzen der kubiſchen Rechnungen ein⸗ zuſehen, und zugleich zu zeigen, wie man ſie auch in okonomiſchen Faͤllen gebrauchen koͤnne, ſo wol⸗ Ein 128 e Ein Keller ſeie auszugraben, der 3⁰2lang, 2°9 breit, und 1°5 tief, wie viel Kubic⸗Ru⸗ ihen muß man ausgraben? Laͤnge — 3* 2* Breite = 2⁰° 9˙ multiplicirt 9* 287 Tiefe 1 5 mult. 13°920“ muͤſſen ausgegraben werden. Aufgabe. Es ſeie ein Graben zu machen, deſſen obe⸗ re Breite = 18/, die untere aber 14, die Tie⸗ fe 20, wie viel Kubie⸗Schuh Erde muß man aus⸗ graben, wenn der Grab 4000“ lang werden ſolle? Aumerkung. S Weil hier die obere und untere Breite ungleich iſt, ſo muß man eine mittlere Breite ſu⸗ chen, welches geſchiehet, wenn man die obe⸗ ree und untere Breite zuſammen addirt, und daas herausgebrachte halbirt, z. E. Obere Breite = 18“ “ untere Breite = 14 32 2: mittlere Breite = 166 Tiefe = 20 820 Laͤnge des Grabens = 40006 “ 1280000“ Kubic⸗Schuh Erde muͤſſen ausgegraben werden. . §. 74* Uln ie⸗N he ſen ch⸗ e Te⸗ mnan arc , ſle⸗ nſech en ſo die cho dtt, ud h en⸗ 74˙ — 139 Anmerkung. Wenn man einen ſolchen Graben deſſen obere Breite groͤſſer als ſeine untere iſt, als eine abgekuͤrzte Pyramide anſieht, ſo kann man zeigen daß dieſe Regel immer ſehlerhaft bleibt; ſich aber auf die algebraiſche Berech⸗ nung einzulaſſen, iſt hier der Ort nicht. Hr. Hofrath Kaͤſtner hat in ſeinen Anfangsgruͤn⸗ den der Arith. und Geom. 63. Saz und f. f. gruͤndlich erwieſen, wie viel die gewoͤhnliche Regel von der gruͤndlichen abweichen koͤnne, Man ſfordert oͤfters auch von einem Feld⸗ meſſer eine Berechnung, was ein ſolcher Gra⸗ ben im Durchſchnitt koſten koͤnne, wenn man weißt, wie viel Kubic⸗Schuh ein Mann des Tags wegſchaffen kann, und wie viel fuͤr den Kubie⸗ Schuh auszugraben bezahlt werde. Zum Bei⸗ ſpiel, es ſolle ein Ueberſchlag uͤber den in voriger Aufgabe angeführten Graben entworfen werden, wenn fuͤr den Kubic⸗Schuh 1 ½ kr. bezahlt wird. Hier darf man nur nach der Regel de tri ſagen: 1 Kubic⸗Schuh gibt 1 ½ kr. was geben 12800000 Kubie⸗Schuhe? è Odder nach dem Reeſiſchen Saz: W X fl. 12800000. H 1 Kubic Sch. 11 kr. 60 kr. 1 fl. Facit = 320000 fl. „= Man 130 —- Man will ein Gebaͤude aufrichten, die Laͤn⸗ ge des Grundriſſes AB Fig. 48. Tab. III. iſt = 60 die Breite AC = 40 die Dike der Mau⸗ xen EF = 3 9 und die Hoͤhe des unterſten Stoks iſt 12,, wie viel Kubic⸗ Schuh wird das Gemaͤuer im erſten Stokwerk halten? Man rechne den Inhalt einer jeden Mauer deſned⸗ und addire alle Produkte zuſammen. Berechnung. Laͤnge AB = 600 Dike EF = 34 180° . des Statwerks = 12 2160 Kubie⸗ „Schuh der Seite AßB, eben ſo viel haͤlt auch CD. mithin 2160. 4320/ — Inhalt der beeden Seiten AB und CD. gezt ſache man den Inhalt in Kubic⸗ Schuh der beeden Seiten AC und B0D. es gehen aber von beeden Seiten 6 Schuh ab, mithin iſt AGC De bk: — in dirt etmeu⸗ lnicnet das de ls die! Strtkner tre N gan ſohn Stin Lechne s GH ſen auf B eiin 5 forde die V⸗ Il itz er Mo⸗ n Soks Hemaͤner Muer Umen. hal ke n 01. Gohter et ton — 131 AC noch = 34 Dike EF = 3˙ 102 12˙ Hoͤhe des Stokwerks. 1224 eben ſoviel haͤlt auch die Seite BD mithin 2 uoddirt 448 Inhalt d. zwo Mauren ACu. BD. addirt 143 20 Inhalt d. zwo Mauren ABu. CD. 0768 kubiſcher Inhalt des unterſten Stokgebaͤudes. Auf gleiche Art werden die Mauren im Fun⸗ dament, im Keller, im 2ten und Zten Stokwerk berechnet, nur muß man aber in Acht nehmen, daß die Mauren in obern Stokwerkern duͤnner als die Mauren in untern Stokwerkern, und die Stokwerks⸗Hoͤhen nicht uͤberall gleich ſind. Und ſo kann man den Inhalt von dem Mauerwerk ei⸗ nes ganzen Hauſes finden. Weißt man dieſes, ſo kann man den Mauerlohn, imgleichen wie viel Steine, Kalch und Sand erfordert werden „ be⸗ rechnen, wenn man weißt, daß dem Maurer fuͤr das Kubicklafter, das iſt 36 Schuh, bezahlt wer⸗ de, im Fundament und im Keller 22 kr. im er⸗ ſten Stok 26 kr. im 2ten Stok 28 kr., und daß auf 4 Klaſter Mauerwerk 1 Fuder Kalch, auf ein Klafter Mauerwerk aber 1 Karren Sand er⸗ fordert werdre. MB JIs Es Es geht freilich noch e etwas wegen den Thuͤ⸗ ren und Fenſtern ab, aber nicht an Mauerlohn, weil ſolche zu ſezen eben ſo viele Zeit erfordert als auszumaltrer. Aufgabe. In einer Scheuren iſt der Garben⸗Barn 30 lang, 24 breit, und 46 hoch; wenn nun eine Gar⸗ be 3 Kubie⸗ ⸗Schuh Plaz einnimmt, wie viel Gar⸗ ben kann man in den Barn einlegen? Zuerſt rechne man, wie viel Kubice Schuh der Barn halte. Laͤnge = — 324 Breite = 249 mutizliänt Hoͤhe = = 46 m mult. 3 in: 33120. dieſen Inhalt dividire man mit 3, ſo kommt 11040 als die Anzahl Garben, welche in den Barn koͤnnen eingelegt werden. Aufgabe. Den Inhalt eires hohlen Gefaͤſſes, z. E. ei⸗ nes vierekigten Bronnentrogs oder Fruchtfachs zu finden. Man meſſe die inwendige Laͤnge, Breite, und Tiefe, multiplieire die gefundene Maaße mit einander, ſo zeigt das Produkt den Inhalt des Bronnentrogs oder Fruchtfachs an. Z. E. die inwendige Laͤnge . eines Bronnentrogs ſeie — 8‧ 4“ . die Breite = 4 5 die Tiefe = 3“ 4˙ Dieſe F der Burn 39 eine⸗ nill Gr⸗⸗ „ 17 ⸗Si Rwa Deſe — 133 Dieſe dreierlei Maaße miteinander multi⸗ plicirt gibt ðU Laͤnge = 8˙4“ Breite = 4 3. mult. 37-80“ Tiefe = 3˙ 4 1238˙520“ Inhalt des Bronnen⸗ trogs. Anmerkung. mult. ) Würde aber der Bronnentrog oben weiter als unten ſeyn, ſo muͤßten die untere und obere aber innere Weiten genau gemeſſen, und mit einander verglichen werden, wobei im⸗ mer die Anmerkung H. 73. gilt, z. E. die untere Laͤnge ſeie = 84“] addirt die obere⸗ ⸗ — 8˙8“] aoder 856“ mittlere Laͤnge. die untere Breite = 45“ „ddirt die obere Breite = 4⁰9“ addirt 477“ mittlere Breite. „△ *$ die Tiefe = 3 4. Jezt multiplieire man die verglichene Laͤngen mit der verglichenen Breite, und das kommende Pro⸗ dukt mit der Hoͤhe oder Tiefe, ſo kommt der In⸗ halt des Bronnenkaſtens heraus. S3 mit⸗ mittlere Laͤnge = 8¹69 mittlere Breite = 240 132 r. Iihalt des Ka⸗ Berechnung des Holz⸗ Gehalts eines Baum⸗ ſtamms. H. 74. b multipl. In Forſtwiſſenſchaftlichen Schriften giebt man fuͤr die Berechnung des Holz⸗Gehalts eines Baumſtamms folgende Regel: „Man berechne den Baumſtamm als einen „Cylinder „deſſen Laͤnge = der Laͤnge des „Stamms, und deſſen Durchmeſſer das Mittel „zwiſchen dem obern und untern Durchmeſſer „1 .* Nun wird der Kubiſche Inhalt eines Chlinders gefunden, wenn man ſeine Grundflaͤche nach F. 52. nach dem in der Anmerkung gegebenen Verhaͤlt⸗ niß 100: 314 berechnet, und dieſe mit der Hoͤ⸗ he des Cylinders multiplieirt. Aufgabe. Ein Baumſtamm deſſen Krone abgeſchnitten iſt, halte im obern Durchmeſſer 18. Zoll, im un⸗ tern 40. Zoll, und ſeine Laͤnge ſey 40 Schuh = 40. 12 = 430 Zorl „wie viel haͤlt er Kubik Jol⸗ Ry 4 Baune in giht Als ines 6 enn ge ds Nmd nchhcſe⸗ lirbe 9r Verhele der H itten in un⸗ — 40, 6 Es iſt alſo der mittlere Durchmeſſer⸗4 0 18=29. folglich die Grundflaͤche des Cylinders x. 29. 29 4 und ſein Inhalt = n. 29. 29 480. . hier bedeutet die Verhaͤltniß Zahl 314. ſolgl. 314. 29. 29. 480 = 316889 Kubiczoll. 4. I000 Ein genaueres Reſultat giebt die Formel fuͤr den Inhalt = ⸗n (R- + Rr + 12). Die Entſte⸗ huang dieſer Formel auseinander zu ſezen, iſt hier der Ort nicht, ſie wird aus der analyti⸗ ſchen Berechnung des abgekuͤrzten Kegels her⸗ geleitet. Indeſſen bemerke man zu gegenwaͤr⸗ tigem Gebrauch nur die Bedeutung der Buch⸗ ſtaben - = 3,14. h = Hoͤhe R der groſſe und r der kleine Radius des Baumſtamms. R = 10 = 20 Zoll 2 r = à = 9 Zoll. 2 Mithin der Inhalt⸗ 2 6. 4 48 (20. 20 † 20. 9 + 9. 9) = 314. 16. 661 3320 86,4 Kubikzoll 4 dieſes Reſultat mit dem welches die Forſtwirth⸗ ſchaftliche Regel gab, verglichen, ſo ergiebt ſich daß dieſe ſo allgemeine Regel nur einen Fehler J 4 von fuß zu wenig angiebt. Noch etwas aus der Stereometrie, und zwar vom Viſiren. Viſiren heißt uͤberhaupt, durch einen ge⸗ wiſen Maasſtab ausmeſſen und beſtimmen, wie viel ein gewiſes Gefaͤß von einer darinnen ange⸗ fuͤllten Materie z. E. Waſſer, Wein, Frucht ꝛc. enthalte. Die Hauptſache wird darauf ankom⸗ men, daß man ſich beſondere Maasſtaͤbe ſowohl zur Frucht als zum Wein verfertigt, hat man die⸗ ſe, ſo kann man leicht beſtimmen, wie viel ein ſol⸗ ches Geſaͤß, Maas Wein oder Waſſer, Srj. Frucht halten kann. Um aber die Sache nicht ſchwer, ſondern vielmehr leicht und nuͤzlich zu ma⸗ chen, ſo wird mehrentheils nur Ruͤkſicht auf eini⸗ ge Gefaͤſſe genommen. Eine weitlaͤuftigere und leichte Abhandlung von Ausmeſſung der kubiſchen und eylindriſchen Gefaͤſſe hat der ehmalige Herr Pfarrer zu Weil im Schoͤnbuch, M. Zennek, Anno 1774. herausgegeben, unter dem Titel: Anweiſung den Inhalt cylindriſcher und kubiſcher Gefaͤſſe, auch nicht voller Faͤſ⸗ ſer, wie viel ſolche leer oder voll ſeyen, auf eine ſehr leichte und richtige Art zu berechnen. Dieſe Abhandlung iſt hinreichend, den Meßliebhaber in Meſſuug der kubiſchen Ge⸗ WðDG faͤſſe En i . Kutt nd zwre iinen ge met, we wwen mge⸗ Fruct . duf miorn le ſnrht man di⸗ lein ſcl⸗ 1, Er⸗ che mich Hiu me⸗ uf ein⸗ gere d kubiſhen ige er ne Uil: rund⸗ Nen. tz ſan, Ge⸗ fiſſe faͤſſe zu unterrichten, unerachtet ſie nur 1 ½ Bogen ſtark iſt. In folgendem werden einige Saͤze und Aufgaben daraus angegeben werden. §. 265. Man weißt, daß zu Ausmeſſung eines Koͤr⸗ pers ein Kubus oder Wuͤrfel zum Maasſtab an⸗ genonmmen wird; Wuͤrde nun ein Wuͤrtemb. Srj. Arnnt⸗ Imi Waſſer oder Wein, genau einen Kubic⸗Schuh halten, ſo wuͤrden die Gefaͤſſe, wor⸗ ein Fluͤßigkeiten gegoſſen werden, eben ſo leicht auszumeſſen ſeyn, als wie ein anderer Koͤrper ausgemeſſen wird. Weil aber weder 1 Srj. Frucht noch 1 Imi Waſſer einem Kubic⸗Schuh gleich iſt, ſo muß man 1 Imi oder Srj. Frucht in ei⸗ nen Kubum verwandeln, den man hernach zu Ausmeſſung der Früuͤchten und Clüßigkeiten ge⸗ brauchen kann. 5S. 77 Ein Wärtembergiſches Imi von 10 Maas in ei⸗ nen Kubum zu verwandeln. Man laſſe ſich von einem Schreiner ein recht⸗ winklichtes Gefaͤß von Brettern zuſammen ſchla⸗ gen, welches ungefaͤhr etliche Zoll uͤber einen Schuh lang, breit und hoch iſt, faſt wie ein Wuͤrfel, und wenn allenfalls die Fugen das Waſ⸗⸗ ſer nicht hielten, ſo kann man ſie ganz duͤnn mit Pech ausgieſſen. Man ſtelle dieſes Gefaͤß auf eine ſenkrechte Ebene, und gieſſe 1 Imi oder 10 35 Maas „* 188 — Maas darein, man meſſe die Hoͤhe des Waſſers ſamt der Laͤnge und Breite deſſelben, nach einem gewiſen Maasſtab, und rechne daraus den In⸗ halt, aus dem kommenden Produkt extrahirt man die Kubic⸗Wurzel, da man denn die Seite von einem Kubo erhaͤlt, der 10 Maas oder 1 Imi halten wird. Z. E. die innere Laͤnge des Kubi ſeie! Nach dem Wuͤr⸗ SS 9“ temb. Schuh, der die innere Breite = 9“ο aber in 10 Theile die Tiefe des = 780“,oder Zolle einge⸗ Waſſers theilt iſt. Berechnung. 4 Breite — 900“] Laͤnge = 9 962] multipl. MV 98/01 %ο Tiefe des Waſſers = 7’8046 Hieraus Radix Cubica = 9/144“. Das iſt: 9 Wuͤrtemb. Decimal⸗Zoll, 1. Decimal⸗ Linie, und 4 Deeimal⸗Scrupell. Da man nun das Maas von einer Seite eines Kubi, der 1 Imi haͤlt, gefunden, ſo trage uan dieſe gefundene Laͤnge auf einen beſonders darzu gemachten vierekichten Stab, der beliebig lang ſeyn kann, ſo vielmal man will. Einen Theil von der auf den Stab getragenen Laͤnge theile man in 10 Theile, und einen 10den Theil wieder in 10 leitete der die l nen Ghn i Linie ncſ⸗ cſen W ben Wiß v,2 Nuusſt ſch i der D ah N Wafes nuch einenn 9 den Ir nhirt mn Seite don 4 I Im den Wur⸗ Pioh der 10 Thell Nle inga . D Decinel ie inis an darzut g lang il wn nan ir 1110 klei⸗ — 13⁹ kleinere Theile; ſo kann man einen n ſolchen Theil, der die Laͤnge des gefundenen Kubi hat, fuͤr ei⸗ nen Schuh den 1oden Theil eines Zolles fuͤr ei⸗ ne Linie anſehen. Einen Schuh bezeichnet man mit (o), einen Zoll mit (¹), und eine Linie mit 0. Nun wird der Gebrauch dieſes Maasſtabs nicht ſchwer ſeyn, wenn man ſich vorher das Aus⸗ meſſen der Koͤrper recht bekannt macht, wovon in vorigem Kapitel hinlaͤnglicher Unterricht gege⸗ ben worden. Wie viel ein Bronnenkaſten Imi Waſſer halte, wird gefunden, wenn man die Laͤn⸗ ge, Breite und Tiefe mit dieſem verfertigten Maasſtab ausmißt, und die Maaſe, wie gewoͤhn⸗ lich, in einander multiplicirt. Z. E. Der Bronnentrog halte nach ſeiner inmwendigen Laͤnge =— 8²°00ο nach der Breite = 5 °%° °%“ nach der Tiefe = 4 %°% ſo iſt die Berechnung Laͤnge = 8000 1 multipl Breite = 5000“ m m. 40°%%ο Tiefe = 400%“ 160 °%0%0°—65 %°5⁄ι°5‧/167“ d. i. 160 Imi. Wollte man dieſes herausgebrachte Maas auf Wuͤrtembergiſche Aimer reduciren, ſo muͤß⸗ te 140 — te man ſolches mit 16 dividiren, weil 1 Aimer Ale 16 JImi haͤlt. L Tel 16 1600 10 Aimer. “ ie⸗ un S 3 24 were — — iyß Anmerkung. Auf dieſe Art nun wird jedes hn 4ekichte Gefaͤß, worinnen Waſſer oder ⸗ Wein befindlich, ausgemeſſen. 5§. 79. Einen Maaeſtab zu verfertigen, womit Aekichte Ge⸗ faͤſſe, z3. E. Fruchtbehaͤlter oder Fruchtfaͤſſer ausgemeſſen werben. Man nehme das oben erwaͤhnte Gefaͤß, und ſchutte 1 Srj. Frucht, z. E. Gerſten oder Ker⸗ nen darein, und meſſe wieder beede inwendige Weiten, desgleichen die Tiefe der Frucht. Die Laͤnge halte 9ο, die Breite 9“ο, die A Tiefe nae — ſo iſt der lde Inhalt: 98°1 οο Tiefe = 9 49““ 93071 1490. Hieraus Radix Ku⸗ Eie bica beinahe 976“ Dieſe Laͤnge nehme man von dem Wuͤrtembergi⸗ ſchen Maasſtab, und trage ſie ſo vielmal auf ei⸗ nen vierekichten Siab als man will, und theile P te M 11 A. mundie Ne , Ne 4 4 t Ku⸗ 74 6 hbere Af ei⸗ Hale ſche nach Aimer, Imi und Maas ausgemeſſen wer⸗ ſolche Laͤuge in 10 Theil, und einen ſolchen 1oden Theil wieder in 10 kleinere Theile, ſo kann man die erſte Theile fuͤr Schuh, die 2te fuͤr Zolle, und die dritte fuͤr Linien gelten laſſen, die Schuh werden alsdenn mit (), die Zolle mit (¹), und die Linien mit (ò) bezeichnet. Mit dieſem Maae⸗ ſtab werden alle ekichte Fruchtgefaͤſſe ausgemeſſen, z. E. Ein Fruchtfach hale der Laͤnge nach 42°0°% der Breite — 24* o der Tiefe — 6 006“ Berechnung. Laͤnge — 42 0 60%¾6² Breite =— 24 00 I1008²9000006 Tiefe— 60ʃ062 ——— 6048°00%0 ο0ο Wollte man wiſſen, wie viel dieſes Schl. ausma⸗ che, ſo muͤßte das Produkt mit 8, als dem Maas eines Scheffels, dividirt werden. 86048 6755 Wuͤrtemb. Scheffel. G. 80. Einen Maasſtab zu verfertigen, womit cylindriſche Gefaͤſſe, z. E. Faͤſſer nach Aimer, Imt und Maas koͤnnen ausgemeſſen werden. Wenn ein Maasſtab, womit die Faͤſſer den 142 den ſollen, ſolle verfertigt werden, ſo muß man vor allen Dingen ein ſo viel als immer moͤglich genaues Verhaͤltniß zwiſchen den chlind riſchen und kubiſchen Gefaͤſſen finden, welches man nach dem Ludolphiſchen Verhaͤltniß 1000: 3141, als den beſten Verhaͤltnißzahlen zur Quadratur des Zirkels finden kann, hat man ein ſolches Verhaͤlt⸗ niß zwiſchen den kubiſchen und chlindriſchen Ge⸗ faͤſſen, ſo kann leicht ein Maasſtab zur Ausmeſ⸗ ſung der eylindriſchen Gefaͤſſe verfertiget werden. Es ſolle alſo zuforderſt gezeigt werden, wie ſich die Grundlinie eines Kubi zum Diameter eines gleichviel haltenden Cylinders, deſſen Hoͤhe dem . Diameter gleich iſt, verhalte. Berechnung. Man nehme an, der Inhalt eines Kubi ſeie = 135791000000. Der Diameter eines Cylinders = 12000, ſeine Hoͤhe = 12000. ſo wird der Inhalt deſſelben nach dem Reeſtſcen Saz alſo gefunden. X Inhalt 12000 Diameter. 1000 Diam. 3141 Periph. 4 12000 12000 135791000000 = Inhalt des Cylin⸗ ders. Da nun der Inhalt des obigen Kubi dieſer ge⸗ fundenen Zahl gleich iſt, ſe darf man nur die Kubic⸗ Kulie⸗ die Gn Mihin ges Kul den C ſech ſ Wede ſih ſ wähete nal g ln S lla ( ſf tuß möglih indriſhen nann noh 11, 685 Aur des Verhalt⸗ hen Ge⸗ luome⸗ werden. wie ſich er eins ihe den s K ter eines 12000, l Gin⸗ ſr ur die ubi⸗ * Kubie⸗Wurzel daraus extrahiren, da ſich ſodann die Grundlinie des Kubi ergibt. 13579 1000000. hieraus Radix Kubiea beinahe = 1107 —. Mithin waͤre das Verhaͤltniß der Grundlinie ei⸗ nes Kubi zum Diameter eines gleichviel halten⸗ den Cylinders, deſſen Hoͤhe dem Diameter gleich iſt wie rI0Z;: 1200. Wie dieſes Verhaͤltniß koͤnne genuzt werden, wird ſich ſogleich zeigen. Man nehme das oben er⸗ waͤhnte kubiſche Gefaͤß, und gieſſe darein ein ge⸗ nan gemeſſenes Imi Waſſer, und zeichne auf al⸗ len Seiten inwendig, wie weit das Waſſer an denſelben gereicht habe. Es iſt ſchon oben vor die innere Weite des Kubi gefunden worden = 9 °9¹0“ innere Breite 99307“ vor die Tiefe des Waſſers 798706 Alſo der Inhalt des Kubi = 764 47 8·000“. hieraus Radix Kubiea = 9 134“. Hieraus wird ſich nun gleich ergeben, wie der Maasſtab fuͤr die cylindriſche Gefaͤſſe muͤſſe ver⸗ fertigt werden. ⸗ Man ſpricht nach dem eben gefundenen Vers haͤltniß: Die Grundlinie eines Kubi 1107 gibt 12000 zum Diameter eines gleichviel haltenden Cylinders; was gibt eines andern Kubi Grund⸗ linie 144 linie 9 14. fuͤr einen mit eben dieſem Kubo gleich⸗ vwiel haltenden Cylinders, Diamerrunm? Brerechnung nach dem Reeſiſchen Saz:;: X dDiam. 914 Grundl. eines Kubi Grundl. eines Kubi 1107112000. Diam. FPac. 909¹1“ – .. das iſt: 9° Wuͤrtemb. Decimalzoll, 9 Linien, und 1“ Serupel. Dieſe gefundene 9˙971“ werden genau auf einem 1000theiligen Maasſtab, deſſen Laͤnge genau 1 Wuͤrtemb. Schuh, aber in 10 gleiche Theile oder Zolle eingetheilt iſt, abgenommen, und auf ei⸗ gen beſonders darzu verfertigten vierekigten Stab— getragen, ſo vielmal als die Laͤnge des Stabs es erlaubt; den erſten Theil auf dem Stab kann man wieder in 10 gleiche Theile, und einen ſolchen Theil wieder in 10 kleinere Theile eintheilen, ſo beden⸗ tet ein groſſer Theil 1 Jmi, ein kleinerer Theil 1 Maas, und der noch kleinere Theil den zehen⸗ den Theil einer Maas. “ “ Gebrauch dieſes Viſter⸗Stabs. Man meſſe mit dem verfertigten Stab die Laͤnge des Faſſes, wovon aber die Zargen und Dike der Boͤden abgezogen werden muͤſſen; Fer⸗ ner werden die zwei Diametri der beeden Boͤden gemeſſen, und wenn ſie ungleich ſind, muͤſſen ſie mit einander verglichen werden, das iſt: man addirt ihr Maas zuſammen, und dividirt die Sum⸗ me mne nn tiefe dentie dividi eines E☛ S= — — R gefund mer, mlti in gen unden C Dum ſi Kut 4 ulpel, ern . änen mmun 1 ile oder i i⸗ en Snl ts 65 un han Dil haenn dh uG ſen SN N und Fen Bden an Sum⸗ G me E ”M 145 me mit 2. Nun muß man die gemeſſene Spond⸗ tiefe zweimal nehmen, und die verglichene Bo⸗ dentiefe darzu addiren, und die Summe mit 3 dividiren, da man denn den wahren Diameter eines Faß⸗ Eylinders erhaͤlt. Es ſei⸗ der vordere Boden⸗Diameter 4 243“ der hintere ⸗ „ = 4 °4˙56 2 in — 8° 6˙8 ſo iſt der verglichene Boden⸗Diameter = 4° 3444 Die Spondtiefe ſeie = 4 °%71“ Man ſuche jezt den wahren Diameter Spondtiefe = 4 gere verglichener Boden Diam. = 4 °3 4“ divid. in 1416 4 °712“ wahrer Diameter ded Faß⸗Cylinders. — De man alſo den Diameter des Faß⸗Cylinders geſunden, ſo kann auch leicht der Inhalt nach Ai⸗ mer, Imi und Maas gefunden werden. Man multiplieirt nemlich die Laͤnge des Faſſes, welche im gegenwaͤrtigen Fall 8°02“ iſt, mit dem ge⸗ fundenen Diameter 4 7 1“. und das heraus⸗ gebrachte Produkt noch einmal mit eben dieſem Diameter 8 aahrer H 146 = wahrer Diameter = 4°7 2 Laͤnge des Faſſes = 8°0“2“ 3 08 5 4 14 I 7 80⁰0 7 2˙7 6 8 „ Das iſt 178 Jmi 6 ¾ Maas, oder 11 Aimer, 2 N “”YUM Anmerkung. Arth Die Ausmeſſung und Berechnung der Oval⸗ neſen Faͤſſer iſt eine ſehr muͤhſame und beſchwerliche laſt Arbeit, daher wir es uͤbergehen, weil wir etne uns meiſtens nur auf ſolche Faͤlle einſchraͤn⸗ 61 ken, die am haͤufigſten vorkommen; hat man Ufte aber dasjenige, was bisher geſagt worden, hnute reecht gut verſtanden, ſo wird derjenige, ſo iſeͤ ſich mit Ausmeſſen der Faͤſſer beſchaͤftigt, ng auch leicht die ſeltene Faͤlle von ſelbſten ver. Un ſteehen lernen, und man wird auch finden, l wenn man aufmerkſam iſt, und auf alles Ach⸗ tuung gibt, ſollten es auch nur Kleinigkeiten lunn ſeyn, daß man ſich die aͤuſſerſte Genauigkeit es nicht verſprechen doͤrfe „ wegen Ungleichheit eume des Faſſes, Boͤden und der Taugen. anch ſol An⸗ linet, 2 de Wl⸗ ſhverlige weil ui einſchrin n min worden, init, ß ſten d⸗ ſiden, as AH entigkien nnickir Hihfent 1 Anbhang. §F. 81. Meine bisherige Abſicht war, einem praktiſchen Feldmeſſer nur diejenige Handgriffe und Vortheile zu zeigen, die beim allgemeinen Feld⸗ meſſen vorkommen, und wie dieſelbe bei der Win⸗ kelſcheibe koͤnnen genuzt werden, ſo habe nicht ermanglen wollen, auch etwas von dem Gebrauch deß in der praktiſchen Geometrie ſo nuͤzlichen Meßtiſches, und die Vortheile, ſo man dabei anwenden kann, hier gleichſam in einem Anhang dieſes bisherigen vorzutragen, weil es doch unter vielen Koͤpfen auch ſolche gibt, die nicht gerad bei dem Feldmeſſen ſtehen bleiben wollen, ſondern auch zu wiſſen verlangen, wie Linien zu meſſen, zu denen man nicht oder nur zum Theil kommen kann, und wie ein Stuͤk Gut, oder der Plan ei⸗ ner Markung, einer Stadt, eines Dorfs auf⸗ zunehmen ſeie, und weil mir ſonderheitlich einige Gelehrte und Kunſtverſtaͤndige, denen ich dieſe Schrift zum Durchleſen uͤbergab, angerathen, auch den Gebrauch des Meßtiſches zu zeigen, ſo ſoll gegenwaͤrtiger Anhang darzu gewidmet ſeyn. Beſchreibung des Meßtiſchleins. . F. 82. Das Meßtiſchlein beſteht: I. Aus 2 vierekichten Brettlein, jedes davon kann I 11 ¼ bis 2 Schuh im gevierten halten, ſie ſind am beſten, wenn ſie von hartem Birnbaum⸗ n Holz recht glatt abgehobelt, und auf den Sei⸗ 1s ten mit Leiſten verwahrt werden, daß ſis ſich l⸗ nicht ſo leicht werfen koͤnnen oder krumm wer⸗ len den. Das erſte Brettlein iſt und bleibt wie hed es vom Schreiner verfertigt wird, nur wird unten an daſſelbe ein 12 bis 15 Zoll langer Zapfen angeſchraubt, der durch die Huͤlſe AB tn Fig. 51. Lab. IV. geht. Auf dem andern Brett aber, welches beim Gebrauch auf das untere gelegt, und mit etlichen Schrauben feſt ge⸗ ſu macht wird, iſt ein ganzer Zirkelbogen in 360 der Grade getheilt, aufgezeichnet; es kann auch nur il ein halber Zirkelbogen von 180“ ſeyn; dieſes i leztere Brett vertritt die Stelle eines Aſtro⸗. II. Aus dem Fuß oder Stativ. Aß Pig. 52. iſt eine von hartem Holz gedrehte runde Huͤlſe, welche 5 Zoll lang und im Durchmeſſer 2 ¼ Zoll N iſt. Durch die Mitte iſt der Laͤnge nach ein n Loch durchgebohrt, im Diameter 1 ¼ Zoll hal⸗ n tend. Bei D iſt eine Stellſchraube ange⸗ N bracht; in dieſe Huͤlſe ſind 3 Zapfen, E, F und d G eingemacht, (in der Zeichnung koͤnnen aber S äl nux nur 2 derſelben geſehen werden) in welche die 3 Fuſſe EH, Gl und PK welche 34 auch 4 Schuh hoch ſeyn koͤnnen, angeſchraubt, und ſich leicht herum drehen laſſen. Hnk II. Aus dem Dioptern Lineal. AB Fig. 53 .iſt ein ſe ſn von hartem Holz gemachtes Lineal von 15 Zoll nbuun lang und 3 Zoll breit, worauf bei C ein kleis i⸗ nes und 5½¼ Zoll hohes Poſtement oder Sta⸗ ſſ⸗ tiv, das oben bei D ein Gewind hat, in wel⸗ in nen chein ſich das eigentliche Dioptern⸗Lineal, wel⸗ ebt ni ches ungefaͤhr 13 — 14 Zoll lang iſt, drehen ur win laͤßt, um die Abſehen leicht nach den Gegen⸗ Ulne ſtaͤnden richten zu koͤnnen, an das obere Diop⸗ e tern⸗Lineal iſt ein moͤſſingner Halbzirkel GNH But angeſchraubt „der 3 Zoll zum Radio hat, und otere in 2 mal 90*⁹ abgetheilt. Aus dem Centro K Eÿ fuaͤllt ein von Pferdehaar gemachter Senkel, to der beim Gebrauch die Grade auf dem Halb⸗ chtur zirkel anzeigt und abſchneidet. Unter dem Ge⸗ ie winde D befindet ſich ein Getrieb N, welches e in ein gezahntes Raͤdle eingreift, und durch deſſen Herumdrehung das Disptern⸗Lineal bald hoͤher bald tiefer ſtellt. Die zwei Abſehen F, E ſind an der Schaͤrfe des obern Lineals per⸗ , pendikular aufgerichtet, ſie ſind von Moͤſſing 41 und etwa I1 ½ bis 2 Zoll hoch, in jeder Diop⸗ en ter iſt ein kleines Loͤchlein und eine Oefnung, bh durch welche kreuzweis Pferdehaare 3. b. in Wm der Höhe des Loͤchleins gezogen ſind, daß wenn Wdoaas Auge durch das Loͤchlein und Kreuzlein ſer wegſiehet, ſolches genan parallel mit dem Li⸗ mut K3 nial ial geſchehe; Die Punkte oder Loͤchlein in gers den Dioptern liegen genau in einer Vertikaʃles üln Flaͤche dem untern Lineal, ſo daß, wenn eie fer Perpendikularlinie von dem Punkte a oder b wnl herunter gefaͤllt wird, dieſelbe genau an der dieſt Nebenſeite des untern Linials ſtreift, voraus⸗ Pyn geſezt, wenn das Inſtrumentle auf einer ho⸗ he rizontalen Ebene ſtehet. Ferner gehoͤrt noch iche zu dem Meßtiſchlein ein Senkelblei wie ig. dn 34. welches auf zweierlei Art gebraucht wid, un wovon wir beim Gebrauch des Meßtiſchleins de e deſſelben Gebrauch und Nuzen anzeigen wol⸗ ders len. Bei O iſt ein kleines Stukchen Moͤſſing, worein ein Loͤchlein gemacht, daß eine etwas ſtarke Nadel durchgeſtekt werden kann, dieſes Stuͤk laͤßt ſich nicht nur an dem Rand des un2⸗: tern Linials der Laͤnge nach hin und her ſchie⸗ ben, ſondern auch leicht hinweg nehmen. . Voon dem Gebrauch des Meßtiſchleins. ſit Euv' he man Gebrauch des Meßtiſchleins macht. muß das untere Brett, welches wir A, das an⸗ dere aber auf welches ein Halbzirkel gezeichnet 1 worden, B nennen wollen, mit weiſſem Papier überzogen werden, welches geſchiehet, wenn man das Papier vorher mit einem ſauberen Schwamm, d der in reines Waſſer gedaucht und angefeuchtet worden, ein wenig anfeuchtet, und eines Fin⸗ “ S gers dhlanag. Verttie wenn eire 4 bder b an eer. Horans⸗ iner hy⸗ ſit woch ie lig inn wird, Pſſtlerte. igen wa Miſin inr ams , deſ des un⸗ het ſcies . i. Putnd . „an kicndt Pyen un men wanmn, uttet Fin⸗ gers uund lege das Dioptern⸗Linial daran, und richte gers breit rings herum mit Pappe oder Mund⸗ leim anſtreicht, und ſodann auf das Tiſchlein an⸗ klebet, ſo ſpannt es ſich ſo ſchoͤn als moͤglich an, wenn das angefeuchtete Pappier troken iſt; Auf dieſe Art kann man 3, 4, auch mehrere Boͤgen Pappier aufziehen, ſonderheitlich iſt dieſes noͤ⸗ thig, wenn man den ganzen Tag mit dem Meß⸗ tiſchlein ſort arbeiten muß, da man ſodenn, wenn das erſte Pappier gebraucht iſt, daſſelbe mit ei⸗ nem Federmeſſerlein nach und nach an dem Ran⸗ de herum abloͤſet, ſo liegt ſchon wieder ein an⸗ deres zum Gebrauch da. ßMB F. 84. Einen vorgegebenen Winkel zu meſſen. I. Mit dem Brett A. Hier wird das Tiſchbrett B abgeſchraubt, und der Tiſch ſamt dem Sta⸗ tiv auf den Winkel A Fig. 55. hingeſtellt; nun nird das Senkelblei Fig. 54. welches ein um⸗ gebogener Drat, und an dem Ringle bei A ein Faden mit einer kleinen Kugel B verſehen, an den Meßtiſch angeſtekt, aber ſo, daß die kleine Kugel genau auf die Spize des Win⸗ kels A falle, ſo zeigt das Ende des Drats C auf dem Meßtiſch den nemlichen Punkt des Winkels A an, und welcher perpendikular in die Spize des Winkels A herunter faͤllet. Man bezeichne dieſen Punkt mit einem Bleiſtift, KJ 4 daſ⸗ daſſelbe genau nach der Gegend c, daß die ————— 3 Abbſehen und das Objekt C genau in einer ge⸗ raden Linie liege, ſo kann man mit einem Blei⸗ ftift auf dem Meßtiſchlein die Linie AE ziehen, eben ſo richtet man das Dioptern⸗Linial gegen 6 den Baum B, und ziehet die Linie AD, ſo ergibt ſich der Winkel DAE auf dem Meßtiſch von ſelbſt, welchen man mit dem Transpor⸗ teur leicht meſſen kann. Ere II. Mit dem Tiſchbrett B. Wenn man den Winkel ſogleich in Graden beſtimmen will, ſo wird das Brett mit dem in Graden eingetheil ten Bogen wieder auf den Tiſch A aufge⸗ D⸗ ſchraubt, und das Senkelblei in den Haken, der— ds⸗ in den Zapfen m, welcher durch die Huͤlſe des 9 Meßtiſches geht, und unten eingeſchraubt iſt, ein⸗ ſlt, gehaͤngt, und der Meßtiſch auf den vorgegebes natt nen Winkel geſtellt, daß das Senkelblei genau ene auf des Winkels Spize A falle; man ſtellt und alsdenn das Dioptern⸗Linial alſo, daß der unm Stift i in dem Centro des eingetheilten Bogens durch die Oefnung O gehe, in dieſer Richtung wird das Linial hin und her gedreht, bis es Es genau den Grad o oder das Zero des einge⸗ Win theilten Bogens ſtreift. Nach dieſer Vor⸗ Win richtung muß man die Stellſchraube D losma⸗ i chen, und den Meßtiſch ſo lang hin und her Mul drehen, bis man durch das Dioptern⸗Linial kl, den Gegenſtand C Fig. 55. genan durch die Enn Abſehen ſiehet. Alsdenn ſchraubt man die Stellſchraube wieder zu. Wenn man folglich ie das das eͤ er R n We⸗ zehn gegn , ſ Neßtiſch Pwerers fan den ngelei⸗ A ui ln, NMNe ſe Ns iſ ein⸗ mey⸗ ei ennn ſelt Bogens Richtang bis 6 ein⸗ Wr⸗ ſome⸗ d her Linia d nn die gich das 153 das Dioptern⸗Linial um den eben erwaͤhnten Stift ſo lang hin und her fuͤhret, bis der Beaum durch die Abſehen deutlich geſehen wird, ſo ſchneidet das Linial auf dem Gradbogen einen Grad ab, der die Groͤſe des Winkels BAC beſtimmt. H §5. 85. Einen Vertikal⸗Winkel zu meſſen. Z. E. den Win. teel B4C, Fig. 56. Tab. IV. Man ſtellt den Meßtiſch an einen ſchiklichen Ort, ſo viel als moͤglich waagrecht, und ſtellt das Dioptern⸗Linial darauf, daß der kleine Sep⸗ kel, welcher aus dem Centro des Transporteurs faͤllt, genau den Grad o abſchneidet, und be⸗ merkt den Ort an dem Thurn, wo die Abſehen in einem ſolchen Stand hinzielen, und richtet als⸗ denn das bewegliche Dioptern⸗Linial, vermittelſt des angebrachten Gewindes, bis man die Spize des Thurns genan in den Dioptern hat, ſo ſchnei⸗ det der Senkel auf dem Gradbogen die Grade des geſuchten Winkels. Wollte man aber den Winkel CAhD beſtimmen, ſo muͤßte man noch den Winkel DAB meſſen, und zu dem erſten geſuch⸗ ten Winkel addiren, da ſich dann die Groͤſe des Winkels CAD ergeben wird. Z. E. der Sen⸗ kel, nach dem die Abſehen gegen C als zu der Spize des Thurns gerichtet worden, ſchneide ge⸗ nau 43° von o an gezaͤhlt ab, ſo waͤre dieſes die Groͤſe des Winkelb CAB, und, nachdem fer⸗ K „ r ner 154 H ger die Abſehen gegen D, als zu dem Fuß des Thurns gerichtet worden, ſchneide der Senkel den 13° von e an gezaͤhlt ab, ſo waͤre der Win⸗ kel BAD bekannt, da nun CAD =– CAB + BaD BAD =D — to . ſinſt achẽa . — F— C&AD = 50⁰ Groͤße des gefuchten WWinkels. Eine ginte zu meſſen, zu deren beeden Endpunkten . man zwar kommen, aber nicht gerad von dem einen sum andern, ſondern einen Umweg machen muß. Fig. 57. Hier nimmt man den Tiſch A. ſtellt ihn an einen ſchiklichen Ort, wo beede Endpunkte der Linie koͤnnen uͤberſehen werden; ; Man nehme als⸗ dann den Senkel Fig. 54., und bemerke vermit⸗ telſt deſſelben den Punkt C auf dem Meßtiſch ſo⸗ wohl als auf der Erde, jenen zeigt das Ende des Drats C, dieſen aber der Senkel B an. Nun legt man das Dioptern⸗Linial an den auf dem Meßtiſch gemachten Punkt C, richtet die Abſe⸗ hen gegen A, und zieht auf dem Meßtiſch die Li⸗ nie ac. Eben ſo richtet man die Abſehen gegen B, und ziehet die Linie cb. Hierauf miſitt man von dem Punkt Can auf der Erde die Linien AC und d bC, und traͤgt ihr Maas vermittelſt des Her⸗ lerin is k ing ſitn pull n ine in d lte der ne alt⸗ bermi⸗ tſch ſ⸗ nde un ſden Abſe⸗ ie ⸗ gegen m 4 des N⸗ verjuͤngten Maasſtabes (den man beſtaͤndig bei ſich fuͤhren, oder aber vorher auf den Meßtiſch zeichnen muß. Gut iſt es, wenn man mehrere dergleichen verjüngte Maasſtaͤbe, groſſe und klei⸗ ne, auf ein Linial von Holz oder Moͤſſing, wel⸗ ches einen Schuh lang, neben einander abzeich⸗ net, im Fall einer zu groß oder zu klein waͤre, man geſchwind einen andern in Bereitſchaft habe) auf den Meßtiſch. Z. E. die Linie AC halte 144, ſo nehme man auf dem verjuͤngten Maas⸗ ſtab eben auch 140 4 mit dem Zirkel ab, und trage dieſe verjuͤngte Weite aus c gegen a, und bemerke den Punkt a. Eben ſo mißt man die Linie 08, welche haͤlt 12° 5“, und trage ihr ver⸗ juͤngtes Maas aus c gegen b, und merket den Punkt b. Wenn man alsdenn auf dem Meß⸗ tiſch die Punkte a und b zuſammen zieht, ſo ent⸗ ſteht der kleine Triangel abe, welcher dem groſ⸗ ſen Triangel ABC aͤhnlich iſt, und das Maas der Linie ab hat nach dem verjuͤngten Maasſtab eben ſo viel Ruthen oder Schuh ꝛc. als die Linie 4AB Ruthen oder Schuh hat nach dem wirkli⸗ chen Maas. Man darf alſo, um die Linie AB zu bekommen, nur die kleine Linie ab mit dem verjuͤngten Maasſtab meſſen, ſo gibt zugleich das kleine Maas auch das Maas der Linie AB im groſſen an. N „ g. 27. Eine Linie zu meſſen, zu deren einem Ende man nur ”MM kommen kann. Fig. 58. Es ſeie die Linie AB, welche ſich noch jen⸗ ſeits eines Fluſſes erſtrekt, zu meſſen, man kann aber nur zu dem Ende A derſelben kommen, doch kann man das andere Ende B der Linie bequem ſehen. Man ſtelle das Meßtiſchlein in A, und richte es vermittelſt des Senkels, daß der Punkt aàa auf dem Meßtiſchlein, und A auf der Erde in einer Perpendikularlinie liegen; Hierauf legt man das Dioptern⸗Linial an den Punkt a, und ſiehet nach B und nach dem in C ausgeſtekten Stab, und ziehet auf dem Meßtiſchlein die Linien ac und ab. Alsdenn mißt man die angenommene Stand⸗ linie AC, und traͤgt ihr verjuͤngtes Maas, wie (H. 86.) gezeigt worden, aus a gegen c. Fer⸗ ner traͤgt man das Meßtiſchlein in die Gegend C, und ſtellt es daſelbſt alſo, daß der Punkt c genau perpendikular auf C falle, welches am be⸗ quemſten mit dem oben angezeigten Senkel ge⸗ ſchehen kann. Iſt dieſes geſchehen, ſo muß man das Dioptern⸗Linial an die Linie ac anlegen, die Stellſchraube D losmachen, und das ganze Meß⸗ tiſchlein drehen, bis man durch die Dioptern den Stab, welcher in A ausgeſtekt worden, genau ſiehet, hierauf wird die Stellſchraube wieder zu⸗ geſtellt. Nun wird auch das Dioptern⸗Linial um den Punkt c ſo lang gedreht, bis man das Ende der Linie B ſiehet, und zieht nachher die Linie be euf in b noch die ( nun tu ch in n kunn 1, dcch hegtem , ud Pentn Erde in n d ſehe e ui⸗ Stend⸗ We Fn enen hnn e en de imn , de⸗ Ulß⸗ 1 den enal zu⸗ Am Gde be iuf S= 1857 auf dem Meßtiſchlein , welche endlich die Linie ab in b ſchneiden, und ſo viel Ruthen, Schuh ꝛc. nach dem verjuͤngten Maasſtab halten wird, als die Linie im großen haͤlt. Aufgabe. Die Breite eines Fluſſes mit der Winth⸗ L Scheibe zu meſſen. Aufloͤſung. Man bemerke mit der Winkel⸗ ⸗Scheibe aus A den Gegenſtand B Fig. 78. Tab. V. welcher ſich noch jenſeits des Fluſſes beſindet, und ſteke ſich aus A den rechten Winkel DAB ab. Als⸗ denn geht man mit der Winkel⸗Scheibe auf der abgeſtekten Linie AD gegen D zuruͤk, bis der Schnitt a b. welcher in der Scheibe den halbrech⸗ ten Winkel macht, genau gegen B, der andere aber beſtaͤndig gegen A gerichtet iſt und auf der ausgeſtekten Linie AD liege, ſo wird die Linie AAN ſo gros als die Linie AB ſeyn, folglich darf man alsdenn nur die Linie AC meſſen, wenn man die Breite des Fluſſes beſtimmen will. Anmerkung. Dieſe Aufgabe gruͤndet ſich auf den Saz: die 3. Winkel eines Dreieks ſind = 2. Rech⸗ te. Nun iſt der Winkel bei A 1. Rechter und der bei C ein halbrechter, mithin auch Winkel bei B ein halbrechter, daher das Dreiek gleichſchentliche, , folgl. 40 G F. 88. Man kann dieſe Aufgabe auch noch auf eine andere Art durch eine leichte Rechnung finden. Man ſtellt das Mefßtiſchlein in A Fig. 59. und macht daſelbſt einen rechten Winkel, welches am beſten durch die Quer⸗Diametere auf dem Tiſch⸗ brett B geſchehen kann, und ſtekt in C einen Stab. Hierauf mißt man die Standlinie AC, ferner richtet man auf der Linie AC den Perpendikel aà b auf, und laͤßt ſich auf dieſer Perpendikular⸗ Linie einen Stab ausſteken, welcher genau in einer ge⸗ raden Linie mit BC ſeyn muß, und mißt die Li⸗ nie .0 und ab, ſo verhaͤlt ſich 20: AC = = ab: AnB. Es ſeie die angenommene Standlinie AC = 24° die Linie aC = 8 und die Perpendikularlinie = 4* ſo iſt nach voriger Proportien die Rechnung iiiin Zahlen: H“ 8° . 24* 4 X 8 in 96 12 Ruthen. oder nach dem R deeſiſchen Saz: X* Ruthen. 24* Grundlinie AB 8⁰° a0 4 ab Facit 12 Ruthen. Aamer Ene nes g l n furin⸗ wen die ſcen in lißk iiß icta n Ducd Ren e ſe ni Uud tri Ußf hite ſbeſen ſtcen n getpen n genan n Mueßti i R andet in. g. N. welchs Lich⸗ Gt. , ſeent Aktl al t,Err einet ge⸗ — S ng 8 ier⸗ Anmerkung. Wuͤrde man in A keinen rechten Winkel we⸗ gen einigen Hinderniſſen machen koͤnnen, ſo muͤßte man zwar eben ſo verfahren „wie ge⸗ genwaͤrtig gezeigt worden, nur muͤßte in a eben ein ſolcher Winkel gemacht werden, wie in . H §. 89. Eine Weite zu meſſen, zu deren keinem Endpunkten man kommen kann. Es ſeie die Weite DC PFig. 60. jenſeits ei⸗ ues Fluſſes zu meſſen, man kann aber nicht dar⸗ zu kommen, ſondern ſie nur ſehen. Man waͤhlt hier in A und B beliebige Punkte, aus welchen man die Endpunkte DC der gegebenen Weite gut ſehen kann; ſtellt das Meßtiſchlein in A, und laͤßt ſich in B einen Stab ausſteken; Alsdenn richtet man das Dioptern⸗Linial nach C, nach D und B, und zieht auf dem Meßtiſchlein die Li⸗ nien ac, ad und a b. Wenn dieſes geſchehen, ſo mißt man die angenommene Standlinie AB, und traͤgt ihr verjuͤngtes Maas aus a in b. Hier⸗ auf nimmt man das Meßtiſchlein, traͤgt es in B, indeſſen aber hat man in den Ort A einen Stab ſteken muͤſſen, richtet es alſo, daß der Punkt b genau auf dem Punkt B falle, und die Linie a b genau nach A gerichtet ſei: in dieſem Stand des Meßtiſchlens richtet man das Dioptern⸗Linial nach D und nach C, zieht die Linien he und bd auf 160 auf dem Meßtiſchlen, ſo durchſchneiden ſie ein⸗ ander in c und in d; wenn man alsdenn von c gegen d eine Linie c d ziehet, ſo kann man ſie nach dem verjuͤngten Maasſtab meſſen, welche als⸗ denn eben ſo viel nach dem verjuͤngten Maasſtab halten wird, als die Linie DC im groſſen haͤlt. Man wird aber leicht einſehen, daß man in bis⸗ herigen und auch noch in folgenden Faͤllen eine behutſame Akkurateſſe beobachten muͤſſe, weil es hier auf die Aehnlichkeit der Figuren ankommt, und ein kleiner Fehler, der auf dem Meßtiſchlein kaum die halbe Breite eines Punkts ausmacht, in einer Weite von 60 Ruthen, ſchon ½ bis eine ganze Ruthe betraͤgt. Z. E. die Linie A Fig. 65 ſei gemeſſen worden, und fuͤr das wahre Maas haͤtte man gefunden 84°, ſo ſoll man fin⸗ den, wie groß der Fehler ſei, wenn in der Aus⸗ meſſung und Ausziehung der Linie a b um 15 ei⸗ nes Zolles gefehlt worden. Wenn AC = 600°, C = 50 und ab = 4/, ſo iſt das wahre Maas der Linie AB 48⁰°. e Wienn daher der Fehler an der Linie ab = 14 betraͤgt, ſo iſt 3 50 “: 600006 — 41: X* alſo Xx =— 40027. = oder nach dem Reeſiſchen Saz: X 4 1 50 % 60000“”“ L “ 9 2*. E ( a DaSs Das ! abgere in 5 , e 40 ſh⸗ enſehen, Eine ℳ G lk ſetet tnte. Mhre N weſenk ges ge Eerader Unber 6 Uufti P, und f mis ihr derj dieſes a en e ſtin Das wahre Maas von dieſem hier gefundenen ben: abgezogen MU he * 48 90 8 Alleiben 122 man wuͤrde alſo, wenn man li um 5 eines Zolles auf der Linie a b gefehlt haͤt⸗ KWK/ te, in einen Fehler verfallen, der auf der Linie i 6 AB ſchon 1⁰27 ausmacht. Man wird leicht nan, einſehen, daß je groͤſſer die Linie AB iſt, je groͤſ M ſer auch der Fehler werden köne. M JF. 90 le Eine Weite CD Fig. 62. aus einem einzigen Stand, umti durch das Meßtiſchlein, ohne daß es verruͤltt un fu werden doͤrfe, zu ſinden. MD “ Es ſeie zu meſſen die Weite CD, die man o nur ſiehet, ohne daß man zu C noch D kommen koͤnnte. Man ſeze das Meßtiſchlein in A, und nehme AB zur Standlinie, welche man bequem meſſen kann, und ſuche zu rſt die Linie AC, wel⸗ “ ches geſchiehet, wenn man in E und B Staͤbe in gerader Linie mit C einſtekt, ſo daß CEB in ge⸗ rader Linie liege; hierauf richtet man auf dem Meßtiſchlein das Dioptern⸗Linial nach C, E und B, und zieht die Linien Ac, Ae und Ab, hier⸗ auf mißt man die Linie AB und Ak, und traͤgt ihr verjuͤngtes Maas, jenes aus A gegen b, und dieſes aus A gegen e; wenn man alsdenn von bd gegen e durch den Punkt e eine Linie zieht, ſo iſt 7„ 162 — ber Triangel Aeb dem Triangel AEB aͤhnlich. e t Eben ſo iſt alsdenn auch der Triangel Ace dem A Triangel ACE aäͤhnlich, und es verhaͤlt ſich Ae: lmm AE = Ac: AcC, folglich laͤßt ſich alsdenn die hier h Linie AC beſtimmen, denn ſo viel die Linie Acj£ utß welche man mit dem verjuͤngten Maas meſſen kann, nach dem verjungten Maasſtab betraͤget, ſo viel betraͤgt auch die Linie ACim wirklichen. Fer⸗ ner ſucht man mit unverruͤktem Meßtiſchlen aus bin h eben dem Punkt A die Weite CD, zu welchem Ende man nur zwiſchen den Punkten DB einen f. Stab F einſteken muß, der mit D und B in ei⸗ Nn ner geraden Linie liege; hernach zieht man von A (er ſ gegen E die Linie Af, und mißt die Linie AF, b und traͤgt ihr verjungtes Maas aus A gegen f, Uneng wenn man alsdenn von b gegen f, desgleichen von Nener A gegen d die Linien bd und Ad zieht, ſo ſchnei⸗ iauce den ſie einander in d. Nun kann alsdenn von is E dem Punkt c gegen d eine Linie ed gezogen wer⸗ ſerni ſ den, welche nach dem verjuͤngten Maasſtaab eben e ſo viel halten wird, als die Linie CD im groſſen, denn es verhaͤlt ſich: Ac: cd = AC: CD. ant üüea Von Wſmn der Döhen. e . 1gegen b JS. 91. letlirie! Wir haben bisher diejenige Linien und Wei⸗ Mad ten auf der Erden, zu welchen man theils kome (ahenſ men, theils nicht kommen konnte, auszumeſſen ine, gelernt; z da es aber auch Faͤlle gibt, daß Limien, Ma⸗ ie 6 Nn h de: enn N neſn t, ſ. 1. e⸗ glen al5 7 welcen P einen B in en Nn4 gie AH, lent, e Ppri⸗ n en men aen enſen 0. d Wer 1s his Uneſen hien, dte 163 die aufrecht ſtehen, worunter die Hoͤhe eines Thurns, Baums zu zaͤhlen, auszumeſſen vor⸗ kommen koͤnnen, ſo wird nun auch gezeigt, wie hier der Meßtiſch ſamt dem Dioptern⸗Linial mit Vortheil koͤnne genuzt und angebracht werden. H. 92. Eine Hoͤhe zu meſſen, zu deren untern Fuß man kommen und meſſen kann. Es ſeie zu meſſen die Hoͤhe DC Fig. 56. Man ſtelle das Meßtiſchlen an einen beliebigen aber ſchiklichen Ort, ſo viel als moͤglich wagrecht, und haͤnge das oben erwaͤhnte Senkelblei in den untern Zapfen ein; Hierauf ſtelle man das Dioptern⸗Linial darauf, richte ſodann daſſelbe vermittelſt des Gewindes ſo, bis man die Spize des Thurn durch die Dioptern genau ſiehet: hierauf ſehe man auf dem angebrachten Gradbo⸗ gen, wie viel von o an gezaͤhlt der Senkel Gra⸗ de abſchneidet; dieſen Winkel CAB trage man vermittelſt eines Transporteurs auf das Papier, wie cab Fig. 56. s. Ferner meſſe man die Linie ED, und trage ihr verjuͤngtes Maas aus a gegen b, aus b errichtet man eine Perpendiku⸗ lar⸗Linie be, (weil vorausgeſezt wird, die Linie BC oder der Thurn ſeie perpendikular,) und ver⸗ laͤngert ſie, bis ſolche die Linie a b irgendwo ſchnei⸗ det in c, ſo haͤlt die Linie be nach dem verjuͤng⸗ ten Maas ſo viel als die Hoͤhe BC im wirklichen. L 2 Weil Weil aber die Hoͤhe BD, als die Hoͤhe des Meß⸗ tiſchleins, nicht darzu gemeſſen worden, ſo muß dieſe Hoͤhe noch zur Hoͤhe BC addirt werden, da man alsdenn die ganze Hoͤhe des Thurns erhaͤlt. Eine Hoͤhe BC Fig. 63. nur mit 2 Staͤben von be⸗ kkgaannter Laͤnge zu meſſen. Man ſtekt ſich in einen beliebigen Punkt B. einen Stab ED ſenkrecht in die Erde ein, mit ei⸗ nem andern Stab Ab, der 2 bis 3 Schuh kuͤr⸗ ker iſt, gehet man auf der Linie AE zuruͤk, bis man uͤber ſeine Hoͤhe F und des andern Hoͤhe D die Hoͤhe C des Thurns in gerader Linie ſiehet, und ſtekt ihn gleichfalls ſenkrecht ein. Hierauf mißt man die Weite AE und die Weite von A vis zum Grund des Thurns B und ſpricht: wie ſich verhaͤlt AE zur Laͤnge 6D, um wie viel nem⸗ lich ED groſſer als Ab, ſo verhaͤlt ſich auch die Grundlinie AB zur geſuchten Hoͤhe des Thurns. Zum Beiſpiel: Es ſeie die Hoͤhe des kleinen Stabs AF = 4, JMBU des groͤſſeren DF = 6, folg⸗ lich um 2’ grdſſer als AF. ”MD linie AB aber = 54°; ſo ſpricht man: 3° geben 2 was geben 54 °2 oder nach dem Reeſiſchen Saz: 3 24 M rPæc. 36 Hohe HCI. Schu, n Be unge ſ Eante Darzu Darze Stabe hilt ma Ge ſ „Lten iſekt, d ge des tift, ur Pganns, fwn wan derhilt Shlten ſat. P 0 Yar Nn Et Me ſmi tden, d rhalt. hon be⸗ hunkt E mi di⸗ un r rük, ti Gehe D). ie ſiehe Heru o 4 we anenn⸗ guch de Wurns. Darſs Darzu muß aber noch die Hoͤhe AF des erſten Stabs oder die Hoͤhe HB addirt werden, ſo er⸗ haͤlt man die Hoͤhe des Thurns 364 + 4=— 40 Eben dieſe Aufgabe kann man auch aufls⸗ ſen, wenn man bei Sonnenſchein einen Stab einſtekt, deſſen Laͤnge bekannt iſt, und ſodann die Laͤnge des Schattens, den der Stab wirft, ab⸗ mißt, und auch den Schatren des Thurns oder Baums, deſſen Hoͤhe gemeſſen werden ſoll. So kann man hier ſprechen: Der Schatten des Stabs verhaͤlt ſich zu der Laͤnge des Stabs wie der Schatten des Thurns zur Hoͤhe des Thurns. Zum Beiſpiel: Es ſeie die Laͤnge eines Stabs = 5“, die Laͤnge ſeines Schattens = 4 gie Laͤnge des Schattens vom Thurn = 120˙; ſo ſpricht man: 4 Schuh Schatten geben 5 Schuh Hoͤhe, was geben 12° Schuh Schatten? Nach dem Reeſiſchen Saz aber: * Hoͤhe 120“ Schuh Schatten 4 Schatten 5 Hoͤhe Facit: 150 Schuh. Annpmerkung. ”M Man wird leicht begreifen, daß man die Be⸗ obachtung auf einerlei Ort, und zu einerlei Stunde des Tags anſtellen muͤſſe, weil die Sonne nicht immer gleich hoch iſt, folg⸗ 1656 lich die Koͤrper nicht einerlei Schatten werfen khknOnen. S. 95. Eine Hoͤhe zu meſſen, zu deren unteren Fuß man nicht kommen, ſondern eine Standlinie an⸗ nneehmen muß. Man waͤhle zwei beliebige Standpunkte, z. Ex. A und B Pig. 64. deren Weite von ein⸗ ander bekannt ſeyn muß, und meſſe vermittelſt des Meßtiſchleins und Dioptern⸗Linials, wie bis da⸗ her gezeigt worden, den Winkel DAC, und trage denſelben vermittelſt des Transporteurs auf das Papier, wie dac. Fig. 64. 6. ferner mißt man die angenommene Standlinie, und traͤgt ihr ver⸗ juͤngtes Maas aus a gegen b. Hierauf traͤgt man das Meßtiſchlein in B, und mißt den Winkel DEBC, und traͤgt ihn ebenfalls auf das Papier auf die Linie ac in b, ſo verurſacht die Linie bd, wenn ſie verlaͤngert wird, eine Durchkreuzung in d, aus welcher man alsdenn eine Perpendiku⸗ lar⸗Linie de faͤllen, und dieſelbe mit dem ver⸗ juͤngten Maasſtab meſſen kann, und welche nach dem verjuͤngten Maasſtab eben ſo viel halten wird, als die zu meſſende Hoͤhe DC im wirk⸗ lichen Maas. M Man hat noch eine Menzge Verfahrungsar⸗ ten, wodurch die bisherige und noch unzaͤhlig viel andere Aufgaben koͤnnen aufgeloͤſet werden, theis als ! ſtens ken, und omnen WrKe, enen, dher n i 6 Wr her fdog Phher ſgen. 6 liAn u dn hen; O Serr Etanhe Eihee. Zus nn lle ann⸗ röpute hon iin telſt ie bis d uudtru alf d t mun ihr hen⸗ n wan Wut Pyyir niehc, unpeg them den ben blheng Alen in with tunptr⸗ nihlig vetden, heis theils ſind ſie zu weitlaͤuftig, theils mehr curios als brauchbar, und weil wir ohnehin uns mei⸗ ſtens auf die Anwendung des Meßtiſches einſchraͤn⸗ ken, ſo werden ſie hier mit Vorſaz uͤbergangen, und weil ferner dergleichen Aufgaben durch trigo⸗ nometriſche Rechnungen am ſicherſten aufgeloͤſet werden, worein wir uns auch hier nicht einlaſſen koͤnnen, ſo muß auch dieſes uͤbergangen werden, daher wir ſogleich zum Aufnehmen der Gegenden und Flaͤchen uͤbergehen. Vom Aufnehmen der Gegenden. Ein Feld, Gut oder Markung aufzuneh⸗ men oder in Riß zu bringen, heißt: daſſelbe ſo auf das Papier zeichnen, daß die Figur auf dem Papier und die Figur im Feld einander aͤhnlich ſeyen. Eine ſolche Aufnehmung kann auf dreier⸗ lei Art geſchehen. 1) Entweder kann man ganz auf dem Gut, welches aufzunehmen iſt, herum⸗ gehen; oder 2) kann man nur um die Graͤnze des Guts herum laufen, wie z. E. um einen See; oder kann man 3) das Gut nur aus zwei Staͤnden uͤberſehen. Ein Feld in Grund zu legen, in welchem man ganz herum gehen kann. ́”MUéẽ½ Man ſolle das Stuͤk Feld ABDEF PFig. 65. mit dem Meßtiſchlein in Grund legen. Man 2 4 waͤhle 6 „ 608s — waͤhle ſich ungefaͤhr in der Mitte des Feldes ei⸗ gen ſchiklichen Ort, aus welchem man die aus⸗ geſtekte Pfaͤle ABDEF gut ſehen kann, und ſtelle daſelbſt das Meßtiſchlein z. E. in C. Nun wird das Dioptern⸗Linial auf das Meßtiſchlein geſtellt, und aus dem Punkt Cnach allen ausgeſtekten Pfaͤlen geſehen, ſo kann man auf dem Meßtiſch⸗ lein die Linien aus Cac, be, de, ec, fe ziehen. Hierauf mißt man von C, wo der Senkel auf der Erde hinfaͤllt, alle Linien AC, CD, CE, EE, traͤgt das verjungte Maas dieſer Linien auf das Meßtiſchlein aus c gegen a, gegen b, gegen d, gegen e und gegen f, ſo ergeben ſich die Punkte a, b, d, e, f. Wenn man alsdenn dieſe Punkte durch die Linien ab, bd, de und ef verbindet, ſo entſteht die kleine Figur a b d ef, welche der groſ⸗ ſen Figur ABDEF aͤhnlich iſt. JQ. 90. Ein Feld ohne Meßtiſchlein, ſondern nur mit der Meßſcheibe und Meßſtange in Grund zu legen. Es ſeie das Stuͤk Gut ABCDEF Fig. 29. Tab. 2. in Grund zu legen, ſo umgeht man⸗ erſtlich das Stuͤk Feld, ſtekt in alle Eke Pfaͤle, und zeichnet die Figur nur ungefaͤhr in die Schreibtafel. Hierauf richtet man auf der Linie Al die Perpendikular⸗Linien GE, HD und 10 auf, und ſtekt in GHI Pfaͤle, alsdenn mißt man die Linien, AG, GH, HI, B, jede beſon⸗ “ nens, und ſchreibt ihe⸗ Maas in die ungeſahre Fi⸗ di W ſie ytfm ae Elen 10 g Se! Pye zihe inen Ptitt wn! dee Gerit pondſa H,II du Fig. tet d usge iſbt die b det i⸗ e ane⸗ ſale in wird eſtcht, ſtekten ſticch⸗ ehen. dui der⸗ , uf das gen d, Pube Punte Nt, rgene⸗ — 169 gur, z. E. die Linie AG haͤlt 12 , GH 4° u. f. Eben ſo werden die Perpendikel A, GF, HD IC gemeſſen, und ihr Maas darzu geſchrieben. So kann man alsdenn zu Hauſe die Figur auf das Papier zeichnen, da man nemlich die Linie AB ziehet, und nach dem verjuͤngten Maasſtab die Linien AG, GH, HI, IB, desgleichen die Per⸗ pendikel AF, GE, HD, ic auftraͤgt, ſo ergibt ſich die Figur auf dem Papier im kleinern, wie ſie im groͤſſern iſt. Auf die nemliche Verfahrungs⸗Art kann man jede andere Figur in Grund legen, ſollte aber die Grundlinie, auf welche die Perpendikel auf⸗ gerichtet werden, nicht ſo ſchiklich ſeyn wie AB, ſo darf man nur eine ſchikliche Linie mitten durch das Feld ziehen, wie AK Fig. 30. Tab. II. und Per⸗ pendikel aufrichten, ſo viel man noͤthig hat, wie Hf, IE, Mo, und LC, 6B. FK. 100. Den Grundriß eines Sees aufzunehmen, um wel⸗ chhen man nur gehen kann. Es ſeie in Riß zu bringen der See A BCD Fig. 66. Man ſtellet den Meßtiſch in B, rich⸗ tet das Dioptern⸗Linial nach denen in A und O ausgeſtekten Staͤben, und zieht auf dem Meß⸗ tiſchlein die Linien ab und be. Hierauf mißt man die Linie BC, und traͤgt ihr verjuͤngtes Maas ans b d kch c, alodenn nimmt man das ektilhlen 2 5 c auf 170⁰ — c auf dem Meßtiſchlein vermittelſt des Senkels genan auf C, und dreht ſolches ſo lange, bis die Linie be genau auf BC liegt; ſiehet ſodann nach dem in D ausgeſtekten Stab durch die Dioptern, und ziehet die Linie c d. Eben ſo traͤgt man das Meßtiſchlein in D, und mißt die Linie CD, und traͤgt ihr verjuͤngtes Maas aus c gegen d; wenn man alsdenn in D verfaͤhrt, wie in B und C, ſo ergibt ſich endlich die Figur von ſelbſten. Ein Stuͤk Gut in Grund zu legen, welches man nur aus zwei Staͤnden A und B uͤberſehen kann. Fig. 67. Man ſeze das Meßtiſchlein in 4, viſiret mit dem Dioptern⸗Linial nach allen entgegen ſte⸗ henden Winkeln, und zieht die Linien a b, a e. a d, ac. Hierauf mißt man die Linie AB, und traͤgt ihr verjuͤngtes Maas auf das Meßtiſchlein aus a gegen b. Alsdenn traͤgt man den Meß⸗ tiſch in B, und richtet den Punkt b mit dem Senkel genau auf B, und die Linie ab genau auf AB. Nach dieſer Vorrichtung viſiret man nach allen ausgeſtekten Staͤben C, D, E, und zieht die Linien be, bd und be, ſo ergeben ſich die Durchkreuzungs⸗Punkte c, d, e, durch wel⸗ che, wenn ſie mit Linien zuſammen gezogen wer⸗ den, die Figari in Grund gelegt hekſtellet. ſo n Vunm ge die walf Wen ſehter RNn NW beſe er 1 N den und wer entes dis dit munh pten, in das „und wenn ,ß nan u! , a en ſe⸗ 17 „4t, ,„ und ſchlein Meß t den 102. — 171 H. 102. H D Man wird leicht einſehen, daß man ein Feld auch vermittelſt des Bretts B, worauf der Halbzirkel gezeichnet worden, oder des Aſtrolabii in Grund legen koͤnne: wenn man nemlich die Winkel in Graden mißt, ſie ordentlich aufſchreibt, die Linien ausmißt, und ſodann ihr verjuͤngtes Maas ſamt den Winkeln auf das Papier traͤgt, und die Figur aufzeichnet. Uebrigens verſteht ſich das was in F. 97. bis F. 101. von dem Aufnehmen der Gegenden ge⸗ ſagt worden, nur von kleinen Diſtrikten. Es ſoll nur zur Entwiklung der Begriffe von groͤſſeren Vermeſſungen dienen; zu gar groſſen Bermeſſun⸗ gen dieſe Vorſchriften zu gebrauchen, ſind ſie zu unvollſtaͤndig. Ein Feldmeſſer der ſich vorneh⸗ men wollte dieſe Aufgaben auf einen Diſtrikt von mehreren Stunden im Umfang anzuwenden, wuͤr⸗ de damit, dem Ganzen ſoviel abgewinnen, als ei⸗ ne Maus einem eiſernen Speidel. H. 103. Oeſters iſt noͤthig, daß wenn viele Felder beſonders gemeſſen worden, aus ſolchen ein Ge⸗ neral⸗Riß von einer ganzen Marktum ausgefer⸗ tigt werden ſoll; ſo muß man in ſolchem Fall den Riß durch gewiſſe Linien in ſeine Gewandte und Zelgen abtheilen, und uͤberall gezeichnet werden, ob es Waͤlder, Wieſen, Weinberge, . ) Felder ꝛc. ſeien. Was Gewandte ſind, wird nicht viel Erklaͤrens brauchen, weil ſie ohnehin einem Feldmeſſer bekannt genug ſind. Es ſind nemlich gewiſſe Stuͤk F elder, die alle zuſammen einen Diſtrikt ausmachen, und einen gewiſſen Namen haben, und ein jedes Feld, ſo einen an⸗ dern Namen hat, iſt auch ein anderes Gewand, z. E. das eine heißt, Neueaͤkern, ein anderes Waldaͤker, Thalaͤker, Hohewieſen ꝛc. Eine Zelg aber iſt bei denen Feldenn derjenige Theil, welcher ganz mit Winterfrucht angeſaͤet, oder derjenige Theil, ſo ganz brach lieget, und üuͤber Somimer gebaut wird. Alles dieſes bisherige wird mit ihren Namen in dem Riß bezeichnet. Ob es aber Felder, Wieſen, Waͤlder ꝛc. ſind, werden mit Farben, die aber ſehr düͤnne aufge⸗ tragen werden muͤſſen, angezeigt; Die Felder macht man gelb, die Wieſen aruͤn, Waſſer blau⸗ lecht, Haͤuſſer roth, die Waͤlder aber zeigt man an mit dik an einander ſtehenden Baͤumen, und Pflanzgaͤrten mit weit auseinander ſtehenden Baͤumen, die Weinberge mit Pfaͤhlen, um welche Reben gewunden, die Berge aber mit gewiſſen Schattirungen. Es wird niemand miß⸗ faͤllig ſeyn, wenn auch eine kleine Anweiſung von den Farben und deren Gebrauch gegeben wird. Die Linien werden mit Tuſch gezogen, der mit Maſſer in einem kleinen Gefaͤß abgerieben und angemacht iſt, oder fuͤllt man den Pinſel mit Waſſer, und faͤhrt damit auf dem Tuſchtaͤfelein hin und her. Die gelbe Farbe erhaͤlt man von dem 6 dentn wie und ſpnn ſeln ere wenn herfriſ Niſh it ii ee n de wenn N Pugpe Gen den Cer w Wn nun fn Ht hHn den, ehi wſe S ſo, der — 173 dem Gummigutt, und wird eben ſo angemacht wie der Tuſch. Karmin gibt die rothe Farbe, und wird auch mit Waſſer angemacht. Gruͤn⸗ ſpan wird mit Eßig angemacht, worzu auch et⸗ was Weinſtein⸗Salz genommen wird. Berli⸗ nerblau aber muß auf dem Reibſtein mit Waſſer abgerieben werden. Purpur⸗Farbe erhaͤlt man, wenn Karmin und Gummigutte mit einander vermiſcht wird. Strohfarbe erhaͤlt man aus der Miſchung Purpur und Tuſch, Blau und Gelb mit einander vermiſcht aber gibt gruͤn. Es iſt oͤfters auch noͤthig, daß die vier Weltgegenden in den Riß getragen werden. Die ſes geſchiehet, wenn man die Magnet⸗Nadel auf eine Seite des Felds ſtellt, und den Winkel, den die Magnet⸗Nadel mit der Seite macht, bemerkt, alsdenn wird ein ſolcher Winkel, welcher Nor⸗ dern zeiget, ausgezogen. In den meiſten Riſſen aber wird ein kleiner Zirkel gezogen, worein eine Magnet⸗Nadel gezeichnet wird, deren Spize ge⸗ nau gegen Norden ſtehet; Man trift ſolche Zir⸗ kel mit Magnet⸗Nadeln in allen Landkarten an. Hat man aber keine Magnet⸗Nadel bei der Hand, ſo kann man die vier Weltgegenden fin⸗ den, wenn man nur mit dem Ungefaͤhren vorlieb nehmen will, auf folgende Art: Ein jeder wird wiſſen, wo ungefaͤhr auf ſeinem Horizont die Sonne auf⸗ oder untergehet: Man ſtelle ſich alſo ſo, daß man das Geſicht gegen dem Aufgang der Sonne wende, alsdenn hat man Oſt oder Morgen vor ſich, Sud oder Mittag auf der rech⸗ . ten 174 ten Seite, Weſten oder Abend auf dem Rüken, Norden oder Mitternacht auf der linken Seite. Auf eine andere Art aber kann man auch Norden ſfinden, wenn man ein Baͤumlein horizontal ab⸗ ſchneidet, und wo alsdenn das Mark der Rinde am naͤchſten iſt, daſelbſt iſt Norden. Daß man auch den verjuͤngten Maasſtab auf jeden Riß zu tragen habe, nach welchem er gezeichnet worden, wird nicht zu erinnern ſeyn. Auch pflegt man, wenn eine ganze Markung oder Zelg aufgezeich⸗ net worden, in eine Einfaſſung, welche auf das Ende des Riſſes gezeichnet wird, zu ſchreiben, was es fuͤr eine Markung, Gut oder Zelg und dergleichen ſeie, eine ſolche Einfaſſung heißt man eiine Kartuſche (Cartouche), man verziert ſol⸗ che auf allerlei Art, die Zierathen aber werden hergenommen von denen Dingen, die auf dem Gut wachſen, z. E. ſind es Weinberge, ſo wer⸗ den Traubenſtoͤke mit Pfaͤhlen u. dergl. gezeich⸗ net. Auf allen Landkarten werden ſolche Kartu⸗ ſchen angetroffen. “” N 1 nl⸗J n Wrere⸗ en, de ie N e i Worunn legtff den al Whel volke ter wille ſe, Rüktn, Seite. Norden tal c⸗ Rinde ß man ſis zu rden, man, zezeich⸗ uf das teiben, g ud St mer rt ſol⸗ verden dem wer⸗ lic⸗ iw⸗ ie H Die Decimal⸗Rechnung oder die Rechnung mit Decimal⸗ Bruͤchen. „ e4 §F. 104. 5Pn den gewoͤhnlichen Buͤchern uͤber die Geome⸗ O trie, wird die eben ſo noͤthig als nuͤzliche De⸗ eimal⸗Rechnung gar nicht, oder doch aͤuſſerſt ſel⸗ ten erklaͤrt, und bei dem Leſer ſchon als bekannt vorausgeſezt; der Grund davon iſt leicht einzuſe⸗ hen, denn um die Geometrie und die dahin gehö⸗ rige Rechnungen zu verſtehen, ſezt in der That eine richtige Kenntniß der Arithmetik voraus, worunter begreiflich die Decimal⸗Rechnung mit „* begriffen iſt. Dieſe Rechnungs ⸗ Art, ohnerachtet ſie in den alltaͤglichen Rechnungsfaͤllen und in den ge⸗ woͤhnlichen Rechenbuͤchern ſelten oder gar nicht vorkommt, verdient doch in der That, wegen ih⸗ rer Leichtigkeit und ihres ausgebreiteten Nuzens willen, beſonders in mathematiſchen Berechnun⸗ gen, hier etwas mehr als man ſonſten zu thun pflegt, pflegt, erklͤrt zu werden. Die Decimal⸗ Rec⸗ nung iſt nicht nur leichrer und kuͤrzer als jede Be⸗ rechnung mit gewoͤhnlichen Bruͤchen, und da ohne diß einige Maaße beſonders in der Geometrie ze⸗ hentheilig ſind, und in der Feldmeßkunſt groſſen Nuzen verſchaffen, ſo hat man ſich hierinnen um ſo mehr zu uͤben, weil man ohne dieſe nuͤzliche Rechnung viele mathematiſche Berechnungen ent⸗ weder gar nicht, oder doch wenigſtens nur mit ei⸗ ner r heſchwerlichen Arbeit ausfuͦhren koͤnnte. F. 105. Eine Decimalzahl iſt ein ſolcher Bruch deſ⸗ ſen Nenner 10, oder ein Produkt aus 10 in 10. Da nun die Produkte aus 10. in einer beſtimm⸗ ten Ordnung ſteigen oder fallen, z. E. 10. 100. TIOOO, I0000. 100000. u. ſ. w. ſo verſchaffen ſie im Rechnen eine beſondere Bequemlichkeit. Iſt der Zaͤhler eines ſolchen Bruchs eine einfache Zahl z. E. 3, ſo iſt ſein Nenner 10 folglich . Iſt der Zaͤhler eine zuſammengeſezte Zahl z. E. 13 oder o5, ſo iſt der Nenner 100, alſo * oder =5. Beſteht der Zaͤhler aus 3 Zahlen z. E. 127. ſo iſt der Nenner 1000. ſigiich der Bruch = 1α u. ſ. w. Der Nenner eines Deeimalbruchs hat alſo ſo viele Nullen, als der Zaͤhler Zahlzeichen hat, daher kann man jedesmal zu einem ſolchen Zaͤhler den ihm zugehdrigen Nenner hinzugedenken, ohne 3 zu haben den⸗ ſelben dazn zu ſchreiben, z. E. 2s iſt le 6 wel eine n chet B ußt zahli⸗ lein Giuh lan die ie Rn von dek d — r Nr nnen in let denm die hurs ſetde gedes en 8 3407 n ent⸗ it H . S 777 ſo viel als 37346. Dieſes verſchaft im Rechnen eine nicht geringe Bequemlichkeit. Iſt ein ſol⸗ cher Bruch noch mit einer ganzen Zahl verbunden, ſo wird ſolche durch ein Koma von der Decimal⸗ zahl abgeſondert z. E. 3 iſt eben ſoviel als 3, 17; woraus man erkennen kann, daß eine ſolche Zahl ein wirklicher Decimal⸗Bruch ſei. Iſt der Bruch mit keiner ganzen Zahl verbunden, ſo hat man die Gewohnheit an die Stelle der Ganzen eine Nulle zu ſchreiben, und unterſcheidet ſolche von dem Bruch durch ein Koma, z. E. T Diie ganze Zahlen werden eben ſo geleſen wie in der Rechenkunſt gelehrt wird; hingegen kom⸗ men in die erſte Klaſſe des Decimal⸗Bruchs hin⸗ ter dem Koma die Zehner, in die naͤchſtfolgende die Hunderte, in die Zte darauf folgende die Tau⸗ ſende, in die 4te die Zehntauſende u. ſ. w. Fol⸗ gendes Schema wird die Sache noch deutlicher Man habe folgenden Decimal⸗Pruch;: 346, 7 8 3 4 5 2 2 S. – S — ☛n —— — E K £. = = E EES9/ N §. 107. F. 107. Ein ſolcher Bruch laͤßt ſich auf eine doppelte Art leſen, entweder kann man jede Ziffer d Deeimal⸗Bruchs als einen beſondern Aſfe d ſehen, und den dazu gehoͤrigen Renner ausſpre⸗ chen, z. E. 3, 3241 kann man ausſprechen: 3 Ganze 1T6 + 133 + 7& T68 + 1T8555/ oder kann man alle Ziffer des Zaͤhlers mit ihrem ge⸗ meinſchaftlichen Renner ansſprechen, welcher 1. nebſt ſo viel Nullen in ſich enthaͤlt als der Zaͤhler Zahlzeichen hat. Z. E. obiger Bruch 3, 3241 kann auch alſo geleſen werden 3 1806. Waͤren folgende Bruche 186 + 18188 + r1SSS585 mit einem gemeinſchaftlichen Nen⸗ ner anzuſchreiben, ſo muß man im Zaͤhler die fehlende Stellen mit Nullen ergaͤnzen, damit die ubrige ihre gehoͤrige Stellen erhalten. Z. E. QAQYQO 106 + f 166065 + T553858656 – — 0, T686886 oder 0, 030709. 2 T556560 T550556055 wird geſchrieben 0,000070b2. H . 108. Wenn man eine jede Ziffer des Zaͤhlers als einen beſondern Bruch anſchreibt, z. E. ſtatt 3,47 77 den ihm gleichviel geltenden Werth V 5 † T 58 + X† † 856 + T5 865 + TSö5SSS 4 7583888, ſent/ P her man ugleich eine kurze Ueber⸗ leberſ Und mn von de daß di Bruts 15 6 guſen: ſigen bne Tht n lch nut m de ma n in ſus e ſlecde ſene I ſor. Driche Dher tepplt ffer is ruch am⸗ aubſore⸗ chen: 3 / lder Nem ge⸗ lcher 1, 5 7 fbbdG6 Nan⸗ N de dumit die E. 030100. [000000 Eſhrite Pers is E. ſian Wuth — 505 helurſe lcher⸗ Ueberſicht von dem Werth einer jeden Stelle, und man bekommt dadurch auch richtige Begriffe von deren Werthe. Man ſieht hieraus klar, daß die hintere Theile zur Rechten eines ſolchen Bruchs, ſehr kleine Theile des Ganzen ſeyn muͤſ⸗ ſen; Daher kann man, wenn man nicht mit gar groſſen Zahlen rechnen will, von den leztern zur Rechten, einige Stellen ohne einen groſſen Fehler zu begehen gar weglaſſen, denn man laͤßt in der That nur ſehr kleine Theile des Ganzen weg, auch wird uͤberdiß ſelten mit mehr als 6. oft gar nur mit 2 oder 3 Decimalziffern gerechnet. Wuͤr⸗ de man durch dieſes Weglaſſen der lezten Ziffern zu aͤngſtlich ſeyn, und ſich dadurch ſeines Gewiſ⸗ ſens beſchwert glauben, ſo koͤnnte man indeſſen folgende Regel beobachten: Wenn die weggelaſ⸗ ſene Ziffer groͤſſer als 5 oder 50 oder 500 u. ſ. w. ſo wird die lezte Zahl des noch ſtehen gebliebenen Bruchs um 1. vermehrt. õ Daher man fuͤr 3, 7837 ſezen kann 3,784. fuͤr 7,83762 = 7,838. B fur 9,87673682 = 9, 87674 Auf dieſe Art wuͤrde man ſich ohne einen groſſen Fehler zu begehen, der Wahrheit etwas mehr naͤhern. M 2 F. r109, 180 — J. 100. Ein Decimal⸗Bruch verliert nichts an ſei⸗ nem Werth, man mag zur Rechten ſo viel Nul⸗ len anhaͤngen als man will. Addiren der Deeimal⸗ Bruͤrche. Aufgzabe. Die Summe mehrerer Decimal⸗ Bruche zu finden. Aufloͤſung. Man ſchreibt die gegebene Zahlen alſo un⸗ tereinander, daß gleichartige Zahlen der Ganzen, ſo wie die Zehntheile, Hunderttheile, Tauſend⸗ theile u. ſ. w. untereinander zu ſtehen kommen, und addirt ſolche als wenn ſie ganze Zahlen waͤ⸗ ren, jedoch muß man nicht vergeſſen, in der Summa das Koma an ſeine gehdrige Stelle her⸗ abzuſezen. Z. E. Man ſoll addiren 3,4 + 2, 21 + 6,721 + 14, 51. Man ſchreibe ſolche nach der gegebenen Regel alſo untereinander. S 6, 721 14, 51 Summe = 26, 841 “ Be⸗ n ſinge ieſe, ſ Uund 5 ſentung o id w lumurt Gbt wen Nen ne der a ſi⸗ iel Na⸗ Brue n Ae n Giner, Tuberd⸗ kommn, len ni in der ale het⸗ + 241 Repel ii Be — 181 Beweis dieſer Regel. MM Es iſt (nich . 105.) 3,4 = 3 2/21 = 27 5 14, 51 = I14 75 Man addire die Ganze beſonders, die Bruͤche bringe man auf gleiche Benennung und addire auch dieſe, ſo kommt fur die Summme der Ganzen = 25. und ½ 18 + †35 1 + * 785 auf gleiche Be⸗ nennung gibt ddn 21008000 22¹⁰000 + 51000000 100000000 und wenn man die gefundene Zaͤhler addirt, ſo kommt fuͤr die Summe = 184 58888 das gibt wenn man bei Zaͤhler und Nenner gleichviel Nullen weglaͤßt I1 + 33 zu dieſem die Sum⸗ me der Ganzen addirt gibt 25 + 1 + ¾ ½1, = 26, 841. wie oben. Weitere Beiſpiele 41, 203 367, 6702 375, 312 57/7 342 12, 7 36, 1564 5, 73423 57, 678456 11, 95144 644, 157056 H NM 3 F. 1I9. 182 —= §F. IIo. Seollte etwa dieſe Addition wegen der un⸗ gleichen Anzahl der Deeimalſtellen undeutlich ſeyn, ſo kann man alle Zaͤhler bei einer ſolchen Rechnung durch Nullen ergaͤnzen, und dadurch gleich machen, alsdenn werden obige Beiſpiele ſo ausſehen: 4I, 20300 367, 670200 2375, 31200 57, 342000 12, 70000 36, 156400 „, 13423 —. 1845˖ Subtrahiren der Decimal⸗ Bruͤche. Eine gegebene Deceimalzahl von einer andern zu ſubtrahiᷓren. Aufloͤſung. Man ſeze Einheiten, zehentheile ,Z hundert⸗ theile u. ſ. f. untereinander, und ſubtrahire wie gewoͤhnlich. 3- 79, 90⁰35 §. II2Z ders imn D 6, a ruch ſlchen Ghneſu llin ibtige iſ, Libt S 9. L⸗ en ſim n N nie t vorhaud dde uf di igkei itakt der in⸗ nbeth ſlhen dodurch ſpiele ſ . ie det. c. get ende Murt ſie wit ſ. In Es ſcheint oͤfters als ob man eine gegebene Zahl von einer andern nicht abziehen koͤnne, beſon⸗ ders in dem Fall wenn die Anzahl der Zahlzeichen im Deeimalbruch des Subtrahendi nicht ſo gros iſt, als die Anzahl der Zahlzeichen im Decimal⸗ Bruch deß Subtrahenten, man bedenke aber in ſolchen Faͤllen, daß man an einen Decimal⸗Bruch, ohne ſeinem Werth etwas zu benehmen, ſo viel Nullen anſezen koͤnne als man noͤthig hat; wem uͤbrigens nur die Einheit deß Subtrahendi groͤſſer iſt, als die Einheit deß Subtrahenten, ſo iſt die Subtraktion fuͤr poſitive Zahlen immer moͤglich. Z. E. von 736,1 ſoll man 125, 7346789 ab⸗ zishen. Weil in der Decimalzahl 736, 1 nur eine einzige Decimalſtelle vorhanden, ſo ſeze man noch ſo viel Nullen an dieſelbe, bis man eben ſo viel Stellen hat, als derſelben im Decimal⸗Bruch vorhanden ſind, alsdenn wird der Subtrahendus und die ganze Rechnung ſo ausſehen: 736, 1000000 Subtrahendus 125, 3746789 Subtrahens. 5610, 365321I GMGU auf dieſe Art laͤßt ſich die Subtraktion ohne Schwie⸗ rigkeit verrichten. “è Es kommt nun bei der Addition und Sul⸗ traktion vorzuͤglich darauf an, daß man die Koma⸗ 134 ta unmittelbar Uuntereinander ſezt, und daß man in der Summe oder Differenz das Koma an eben den Ort ſezt wo es bei den gegebenen Zahlen ge⸗ ſtanden, weil man eigentlich nur die Einheiten und Zaͤhler addirt, und die Nenner unveraͤndert laͤßt. Uebrigens beruht der Beweiß der Subtraktion auf den bekannten Gruͤnden der Arithmetik, und daß man die Probe uͤber das bei einer ſolchen Rech⸗ nunge gefundene Reſultat eben ſo leich anſtellen koͤnne, erhellet von ſelbſten. De Multiplieation der Dernal Bruͤche. 6 . II14. Alufzabe. 5 4. Man ſoll 2 gegebene Decimalzahlen mit ein⸗ ander multipliciren. Aufloͤſung. Man ſchreibe die gegebene Zahlen wie bei dem gewoͤhnlichen multiplieiren untereinander. Um aber im Produkt die ganze Zahlen von den Einheiten zu unterſcheiden, merke man ſich fol⸗ gende Regel: Man zaͤhle die Anzahl der in bee⸗ den Faktoren enthaltenen Decimalſtellen zuſam⸗ men, ſo zeigt die Summe dieſer Decimalſtellen, wie viel Deeimal Zahlen im Produkt von der Recͤten gegen die Linke abgeſchnitten werden muͤſ⸗ Man Korn lug Pſonn biel Z hen werde wi der Ate bis In Man ſoll 34,203, mit 2,03 multipliciren. itengdd — 2,0 3 en li . 1026 09 bunktin 6840 60 ne 669432 9 ſlll Im gegenwaͤrtigen Beiſpiel haben beede Faktoren zuſammen genommen 5 Decimal Ziffer, eben ſo viel Ziffer im Produkt muͤſſen von der Rechten ihe. gegen die Linke abgeſchnitten, da den, durch ein K Koma die Ganze von den Deeimalen unterſchieden werden. nemlich 69, 43209. ifu D §. 115. D = Oefters iſt der Fall, daß im Produkt nicht ſo viel Deeimalſtellen abgeſchnitten werden koͤnnen We als erforderlich ſind; in dieſem Fall werden zur inude, Linken deß Produkts ſo viel Nullen angehaͤngt, mng beies die Anzahl der abzuſchneidenden Zahlen ganz iſt⸗ ſſtt, und ſezt dem Koma noch eine Nulle vor, z. E. u inlee Mn⸗ Es ſei zu multipliciren o,4325 mit o,00006. lſelen, L ““è ꝗ”MUM * 3ʒÿH 9,009025950 186 — Weitere Beiſpiele. “ den. 4,7873 48,02 A O0, 0023 4,01 Quel 143619 48 02 ” N 95146 1920 80 ,1ονο 1992,5602 e Aufgabe. Eift Ein verlaͤngertes Rechtek iſt linga 24 4 67 und breit 4 2856. man verlangt deſſen Quadrat Inhalt. Hier ſi nd offenbar die vorhandene Ruthen als Ganze die Schuh und Zoll aber als Decimalzah⸗ len anzuſehen, vorausgeſezt die Linien ſeyen, mit der zehentheiligen Ruthe gemeſſen worden. Man multiplicirt alſo wieder wie F. 114. 24,46 4,25 489 2£ M de⸗ 9278 4 nud 4 103,9550 das giebt 103. Ruthen. Um nun zu entſcheiden wie viel die hinter dem Ko⸗ ma vorhandene Decimalzahl 9550, Schuh und Zoll geben, ſo erinnere man ſich deſſen was H. 34. in Ruͤkſicht deß Decimal Quadratmaſſes geſagt wor⸗ 2 den. 165 4 40 Oudrt et Ko⸗ ind ell „ ot⸗ den. den. Nach kner Den waͤre al ſo obiges Pro⸗ ukt = 103. Ruthen, 95. Schuh 50. Zoll Quadrat⸗Maas. 1 d5. Schnh 5 Ze Aufgabe. Eine Mauer iſt 3602, 3“ lang, 127 4 hoch und 0²°,85“ dik wie viel betraͤgt ihr toͤrperlicher Inhalt. luang — 36,2 3¹ hoch = 1,24 4 144 92 l 7² 4f6 36 23 dike —= o85 22 46200 35 940 ̃16ͦ — — — —— — 38,186420“ das iſt 38 Kubik⸗Ruthen und nach §. 70. giebt die Decimalzahl 186420 = 186. Kubik⸗/ Schuh und 420. Kubikzoll. g. 116. = Die Dioiſion mit Decimalzahlen. Aufgabe. Mit einer gegebenen Derimalzahl eine ande⸗ e gegebene zu dividiren. Auflö⸗ 188 Aufloͤſung. Man dividirt die gegebene Zahlen als ob ſie gewoͤhnliche Zahlen waͤren. Um aber im Quo⸗ lict tienten die Decimalzahlen von den Ganzen abzu⸗ lnren ſondern, ſo merke man ſich dieſe Regel: Man der Aſubtrahire von der Anzahl der Deecimalſtellen des Pori Dividendi die Anzahl der Decimalſtellen des Di⸗ viſors, ſo giebt der Reſt beeder Zahlen an, wie viel Decimalſtellen im Quotienten abgeſchnitten werden ſollen, z. Ex Man ſoll mit 6, 4 die Zahl 37 12224 dividiren. . 6,4 87,22241 5816 32 G 52 2 TI0 2 lpbe 81. nicht ⅓—. “ Die Deelmalſtelle des Diviſors von den Deeimal⸗ dieſe ſtellen deßt Dividendi abgezogen, bleiben zum Reſt die 3. und eben ſo viel Ziffer im Quotienten von der en Rechten gegen die Linke abgeſchnitten Ziebt als⸗ 10 denn = 5, 816, . aſe n Au n a Man len des s Di⸗ w, We pniith Ndüten. . – — — - D⸗ 189 §. 1172 Es iſt oͤfters der Fall daß im Quotienten nicht ſoviel Deeimalſtellen abgeſchnitten werden koͤnnen als erforderlich ſind, daher man wie bei der Multiplikation (H. 115.) ſo viele Nullen im Quotienten vorſezt als man noͤthig hat, z. Ex. 36,72] o, 14688 14 hier waͤre alſo der Quotient = 0,0004., §. 118. Weil es ſich in den meiſten Faͤllen ereignet, daß bey einer ſolchen Diviſion die Diviſion nicht au⸗ geht, ſo koͤ?nnte man zwar mehrere Nullen an den Dividendum ſezen und weiter fort dividiren, da⸗ durch wuͤrde man ſich der Wahrheit naͤhern, aber nicht immer ganz erreichen, weil ſich die Diviſion manchmal ins Unendliche fortſezen lieſſe. In dieſen Faͤllen muß man vorher beſtimmen, auf wie viel Deeimalſtellen man den Quotienten berech⸗ nen will, z. Ex. auf I100theile, 1000theile, 10000theile u. ſ. w. 3. E. 3. E. Man ſoll den Quotienten von 6, 821 32 in 71,1 bis in die 1000 ſendtheile berechnen. 6,82132] 71,10000000 10,423 Quotient. 682132 2886800 1582720 1364264 2184560 2046396 138164 4 Den uͤbrig gebliebenen Reſt kann man fahren laſ⸗ Quotienten betraͤgt, man koͤnnte ihn zwar als ei⸗ nen Bruch, deſſen Zaͤhler dieſer Reſt, der Nen⸗ ner aber der vorige Diviſor iſt mit ſo viel ange⸗ haͤngten Nullen als der Reſt Zahlzeichen hat, dem Quotienten anhaͤngen, dadurch wuͤrde man ſich aber nur eine weitlaͤuftige Rechnung verurſachen, die bei einer nur kleinen Rechnung unertraͤglich wuͤrde. 8 ę AAuſ dieſe Art wuͤrde der Quotient ſo ausſehen. 733132900SS 10,423 P† 14rà Aluf⸗ ſen weil er immer weniger als 1. Tauſendtheile des (cs 3 9 6 n. olint, in aß ile des de⸗ er Nen⸗ l ange⸗ hen den man ſih utſcher, eurigth iſter. Auf⸗ Aufgabe. Der F laͤchen Inhalt eines verlaͤngerten Raeht⸗ eks iſt =– 54⁰, 56‧16“ und ſine Hoͤhe = 4 . 3 2“ wie lang iſt es? 4,32 ]5 4,56 10 12 6/3 Lange des Rechteks. 43’ͦ2 1136 84 2721 2592 1296 1290 §H. 119. Die Verwandlung der gewoͤhnlichen Bruͤche in Decimal⸗Bruͤche. Aufgabe. Einen gegebenen gewoͤhnlichen Bruch in ei⸗ nen Decimal⸗Bruch zu verwandlen. * Aufloͤſung. Auf ſo viel Decimalſtellen man den Bruch berechnen will, eben ſo viel Nullen muͤſſen an den Zehler geſezt und mit dem Nenner dividirt wer⸗ * den. SH 192 den. 3. E. Man den Bruch bis in die 1000ſend Theile berechnen, ſe in mithin waͤre alſo der gegebene nch dem Deci⸗ mal Bruch 0, 375 gleich Wenn man alſo einen gegebenen Bruch in einen audern verwandlen will, deſſen Nenner 10000 ſeyn ſoll, oder welches gleichviel iſt, den gegebe⸗ nen Bruch in die 10000ſendtheile berechnen, ſo darf man nur des Bruchs Zehler mit 10000 mul⸗ tipliciren und mit dem vorigen Nenner dividiren, ſo erhaͤlt man den verlangten Zehler deſſen Nen⸗ ner = 10000 iſt. 3. E. 1 ſoll in Million Theile berechnet werden. ſo iſt E = 0,266666 Man ſl : 2 in die 1000 millionentheil kerechnen. §. 120. Auf dieſe Art kann man einen jeden Bruch in einen andern verwandeln, deſſen Nenner eine willkuͤhrliche Zahl aus den Produkten von 10 in 10 iſt; daß man aber in vielen Faͤllen nicht im⸗ mer einen Decimal⸗Bruch angeben kann, der ei⸗ nem gegebenen Bruch genau gleich ſei, erhellt aus den Beiſpielen F. 119. beſonders in den Faͤllen vVo ſich die Zahlen des Quotienten i in der nen ichen ſ rd⸗ Otdͤn berechni einten gt kuotmnt, herſhuß glen de lein Son! H Kubiem entweder deutlich licht m uhſan Aef 4 Sohe⸗ ne De in einen 10000 Negehen ten, ſr o nul didiren, n Nenn taßn tichet. Bng ner ene 1 I Gitinn det elt eus a glifen Oth⸗ 197 Irdnung widerholen z. E. 5, in 10000ſenbtheile berechnet gibt 0,4166. Dafuͤr kann man ohne einen groſſen Fehler zu begehen, ſezen = 0,417 (K. 108.) welcher der Wahrheit etwas naͤher kommt, er iſt zwar groſſer als o,4166; der Ue⸗ berſchuß betraͤgt nur 2 = = wo hin⸗ gegen der Bruch 0,4 166 um 1 = — 3 000 zu klein iſt. 2 = 0,14285 — ,1429 SUDð Von dem Extrahiren der Quadrat⸗ und Kubic⸗ Wurzel. §K. 121. Man hat das Extrahiren der Quadrat⸗ und Kubicwurzel in den gewoͤhnlichen Rechenbuͤchern entweder gar nicht, oder meiſtens ſo kurz und un⸗ deutlich vorgetragen, daß eine ſolche Anleitung nicht nur fuͤr Anfaͤnger unbrauchbar, oder aͤuſſerſt muͤhſam fuͤr die ſel be iſt, daher es kommt daß das Ausziehen der Wurzeln immer fuͤr eine ſchwere Sache gehalten, und noch bis gegenwaͤrtig als eis⸗ ne ſchwere Rechnung angeſehen wird, NN (CTCon — Won den Ouspramaplen und ihren Wurzeln. §. 122. Der Name eines Quadrats iſt aus der Gee⸗ metrie genommen, wo eine gleichſeitige Figur ein Quadrat genannt wird, deren Inhalt man findet, wenn man das Maas einer Seite mit ſich ſelbſt multiplicirt; dieſes herausgebrachte Produkt nennt man eine Quadratzahl. Eine Quadratzahl ent⸗ ſteht alſo, wenn man eine Zahl mit ſich ſelbſt mul⸗ tiplicirt, oder wenn 2. gleiche Faktoren mit ein⸗ ander multiplicirt werden. 3Z. E. 81. iſt ein n Produkt aus 9. 9. Ei⸗ ne e Quadratzahl oder das Quadrat von einer Zahl wird dadurch angezeigt, wenn man oben zur Rech⸗ ten derſelben die kleine Zahl 2. ſchreibt, 3. E. 92² bedeutet eben Fviel als 9. 9, mithin 9² = 81. Das Anſchreiben einer Quadratzahl auf dieſe Art, iſt eigentlich eine Abbreviatur Wothrgung. 4 deren Nuzen ſch erſt in der er Aigedta zeigt. F. 123. Es iſt alſo leicht eine Zahl ins Quadrat zun erheben, man darf nur jedesmal die Zahl mit ſich ſelbſt multipliciren, z. E. Wenn man das Qua⸗ drat von 4 haben will, ſo iſt 4½= 4. 4 = 16. von 7 iſ das Quadrat = = 7² — 7.7 =— 49. Wenn welhhe den N einfcch niplkt A⸗ Eine ſ⸗ m wi man un Go⸗ Ven ie 1 Qunt Wu E. Ki⸗ ein drate Ben der S. igur in findet, hſitt ltmennt ſſt mul⸗ mit ein⸗ . EH er yl Sd. et nit ſih O; — Is, Penn n ahl tt⸗. 1 Ng⸗ D — ———¶—¶— Wenn man auf dieſe Art die Ouadrate der einfachen Zahlen ſucht, ſo erhaͤlt man eine Tafel, welche bei dem Extrahiren der Quadratwurzel eben den Nuzen hat, als das Eimmaleins bei der Mul⸗ tiplikation 7 Zahlen !1 M 1 L 21 812 Quadrate] II 4 1 9 16 [251 26] 49 164 8 7 Eine ſolche Tafel kann man erweitern, ſo weit man will, zum wirklichen Extrahiren aber, hat man nur die Quadrate der einfachen Zahlen im Gedaͤchtniß zu behalten. In den Wolfiſchen und Vegaiſchen Logarithinen Tafeln, findet man ſol⸗ che Tabellen bis auf 1000. ausgerechnet⸗ 5 Auf gleiche Weiſe werden die Bruͤche ing Quadrat erhoben, man multiplieirt nemlich einen Bruch mit ſich ſelbſt re. G. r= 1 : . ſ G⸗ es (2)²* = . 3 E 68. e Es iſt alſo das Quadrat eines enme, wieder ein Bruch, deſſen Zehler und Nenner die Qua⸗ drate des Zehlers und Nenners des gegebenen Bruchs ſind. 200 — §. 125. Die Quabratwurzel einer gegebenen Zahl iſt diejenige Zahl, die mit ſich ſelbſt multiplicirt die Quadratzahl gibt. Z. E. von 40 iſt die Wurzel = 7. Dieſe aber mit ſich ſelbſt multiplicirt, gibt— wieder 49. Das Zeichen der Quadratwurzel iſt 2 2 2 7. z. E. 36 = 6. 64 = 8. 81 = 9. §K. 126. Von obigen Zahlen 1 2 3 4 u. ſ. w. in der Tafel J. 123. ſind die ihnen korreſpondirende Zahlen, die Quadrate der einfachen Zahlen, ſo wie jene die Wurzeln derſelben ſind. Aus den Zahlen der untern Reihe laͤßt ſich die Quadrat⸗ wurzel in allen Faͤllen genau finden; man nennt ſie daher Rationalzahlen. Es fallen aber zwi⸗ ſchen dieſe Quadratzahlen noch mehrere andere Zahlen hinein, z. E. zwiſchen die Quadratzahlen 1 und 4 liegen noch die Zahlen 2 und 3. zwiſchen und 9 fallen die Zahlen 5. 6. 7. 8. zwiſchen 9 und 16. fallen 10. 1II. 12. 13. 14 und 15. Dieſes ſind keine vollkommene Quadratzahlen, weil die Wurzeln derſelben keine ganze Zahlen ſeyn koͤnnen; Denn da die Wurzel von 1. wie⸗ der 1. von 4 = 2 iſt, ſo muß die Wurzel aus 2 oder 3. groͤſſer als 1. und kleiner als 2. ſeyn. Eben ſo, da die Wurzel aus 4 = 2 und aus 9 = 3 iſt, ſo muͤſſen die Wurzeln aus den Zah⸗ en 5. ſfſyn. Zehei (Siſ der nen r ei. htn (en le ₰△G Ousdrat ſlgt de ſeſtitun Koxrgl fönren Aune Lerden, hulmng dnder ndittde. len, 5 lus nadrt 1 Meun SeH audele iphen wiſhen ſchen ind 1, gehle Zin 1. wie⸗ as . ſchr, 1 1di⸗ len 4 201 len 5. 6. 7. 3. graͤſſer als 2. und kleiner als 3 ſeyn. Es kommt alſo fuͤr die Wurzeln dieſer Zahlen neben den Ganzen noch ein Bruch, aber es iſt unmoͤglich einen ſolchen Bruch anzugeben, der nebſt der ganzen Zahl in ſich ſelbſt multipli⸗ cirt eine Quadratzahl wie 3, 5 oder 6. u. ſ. w. genau zum Produkt gibt. Dieſe Zahlen von wel⸗ chen hier die Rede iſt, ſind keine vollkommene Quadratzahlen, man nennt ſie irrational. Es folgt deßwegen nicht, daß man ihre Wurzeln nicht beſtimmen koͤnne, ſondern nur ſo viel, daß die Wurzeln von ſolchen Zahlen durch Bruͤche nicht koͤnnen angegeben werden. Uebrigens koͤnnen die Wurzeln durch Naͤherung doch ſo genau beſtimmt werden, als man in der Ausubung nur immer verlangen kann. §. 127. 4 — Das Ausziehen der Quadratwurzel. Aufgabe. Aus einer gegebenen Ritonaluihl die Wur,⸗ zel zu finden. 3. E. aus 2304. Aufloſung. Man theile die gegebene Zahl von der Rech⸗ N 3 ten gegen die Linke in Klaſſen, und gebe jeder 202 Klaſſe 2 Zahlen, in die erſte Klaſſe zur Linken moͤgen 2 Ziffer oder eine kommen, beedes iſt gleichviel Z. E. 2310 04. Nun ſuche man 1I.) in deh Wrzeltafel §. 123. eine Quadratzahl welche der erſten Klaſſe zur Lin⸗ ken am naͤchſten kommt, und ſich noch von ihr abziehen laͤßt, es iſt die 16. die Wurzel davon iſt 4, welche man in den Quotien⸗ 231 94 1l48 ten ſezt, und 16 von 23 abzieht bleibt zum Peſt 7. — —,s 6 (8)8 die noch uͤbrige Klaſſe o4, ſo hat 704 man 7904, und ſuche zu den zwo erſten Zahlen 70 einen Diviſor, welcher gefunden wird, wenn man die gefundene Wurzel 4 dop⸗ pelt nimmt = 8. Dieſe ſind in 170. 8mal enthalten, welche man alsdenn in Quotienten ſowohl als auch neben den Diviſor ſezt. Das Quadrat von dem Quotienten 8 und das Produkt des Diviſors in 8 giebt 704, dieſe von obigen 704 abgezogen, laͤßt zum Reſt o. und die Wurzel aus 2304 iſt = = 4”8. Aufgabe. Aus einer groͤſſern Rational Zahl die Wur⸗ zel zu finden. Es ſei die gegebene Zahl = 28398 241. S Außcöing. 3 Man 7 0 4 2.) Seze man zu dieſem Reſt gepeb in G Aſten leiken ſohen dem ſten 3 33²2 203 t Aine Man theile wie in der vorigen Aufgabe die Ndes i gegebene Zahl von der Rechten gegen die Linke in Klaſſen, und verfahre mit den Zahlen der 2 erſten Klaſſen, wie bereits gezeigt worden, ſo ſ. m. bleiben zum Reſt 30. zu welchem neuerdings die zur bin⸗ folgende Klaſſe 82 herabgeſezt wird. hon ihr n 28]ſ39]182141 S329 Jezt nehme man die Ountien⸗ 2 5 in der Wurzel heraus⸗ elſie . 9 gebrachte Theile 53 (1 0)3 doppelt gibt 106, und K, . dividire damit in die ſen N 309 drei erſten Zahlen des ,, oe 3 08 2 Reſtes, alſo in 308, len iun (I O 6)2 welche 2mal darinnen Dibiſet, 2 I 2 4 enthalten ſind. Den 1, Wend 9 5 841 Quotienten 2 ſeze man l ten (1 5 6 4)99 in die Wurzel, und ieſ ſin 9 5 84 1 auch in die leere Stel⸗ Nen un —— le neben den Diviſor; diſet ſct. 9 dieſe Zahl 2 mit ſich und du auch mit dem Diviſor hiſe in 106 multiplieirt gibt . ud de⸗ 2124, welche von 3082 abgezogen zum Reſt 958 laͤßt. die Nx Endlich nehme man noch die lezte Klaſſe 41 zu dem Reſt herunter gibt 95841 zu deren 4 er⸗ „ ſtten Ziffern 9583 das doppelte der Wurzel 2. eſ 53² – = 1064 der Diviſor, und in derſelben 9 204 — mal enthalten iſt. Dieſe 9 werden in die Wurzel und neben den Diviſor geſchrieben, mit ſich ſelbſt und dem Diviſor multiplicirt gibt 95841, wel⸗ ches Produkt von 95841 abg. gezogen zum Reſt o laͤßt. Der Reſt o beweißt, daß die gegebene Zahl eine vollkommene Quadratzahl war. Haͤtte man noch mehrere Klaſſen von der ge⸗ gebenen Zahl herunter zu ſezen, ſo wird jedesmal der neue Diviſor gefunden, wenn man die bereits gefundene Zahlen der Wurzel doppelt nimmt, und nach der angezeigten Art die Rechnung fort⸗ ſezt, bis man alle Zahlen der Wurzel entdekt hat. Weitere noch nicht ausgearbeitete Beiſpiele. 7 84r = = 29.. 7 2401 == 49. 77331776 = 576. V4477456 = 2116. 7 4805201 = 8649. V57 289761 = 7569. 71102525276151521 = 6857496. 7 121389589838336r 8493468. Anmerkung. In ſo viel Klaſſen ſich eine gegebene Zahl thei⸗ len laͤßt, eben ſo viel Theile oder Zuhleu umug die Wurzel erhalten. Die A lamme ſerung A punr dend dene Ne uete gſhrit Mou Wurg 4 ſi I1, W⸗ Reſo egebee den a.⸗ ddesmal hereis ümmt, ing ſotn⸗ det ht . — 205 Die Extraction der Quadratwurzel aus Ir⸗ rational zahlen. K. 128. Aufg be. Aus einer gegebenen Zahl welche keine voll⸗ fommene Quadratzahl iſt, die Wurzel burch J Naͤ⸗ herung zu finden. Es ſei de gegebene Zahl = = 7. Aufloͤſung. Man laͤnge an die gegebene Zahl ſo viel paar Nullen als man will, und extrahire wie bei den Rationazahlen gezeigt worden. In der gefun⸗ denen Wurzl ſchneidet man von der Rechten gegen die Linke ſo biele Ziffer ab, als man paar Nullen angehaͤngt lat, ſo erhaͤlt man Ganze und die ab⸗ geſchnittene Zahlen ſind ein Decimal⸗Bruch, deſſen Renner ſich nach F. 105. von ſelbſt ergibt. 3Z. E. 7 oo oo 2045 4)6 2 7 6 (5 2) 4 2 0 9 6 (5 2 8)5 42 5 Reſt. 3 9 7 ans die Wurzel aus 7 = 2, 6s. N 5 g. 129. 306 — §. 129. Durch das Anhaͤngen der Nullen kann eine ſolche Rechnung ins Unendliche fortgeſezt werden, welches theils ſchon daraus erhellet, daß, mit welcher Klaſſe man auch immer aufhoͤren mag, immer das Quadrat der lezten Ziffer der Wurzel von einer Nulle ſubtrahirt werden, mithin im⸗ mer ein Reſt uͤbrig bleiben muͤſſe, anderntheils aber auch nach H. 126. uͤberhaut kein Bruch moͤglich iſt, welcher die Quadratvurzel genau ausdruͤkt, ob man ſie gleich deſto genauer findet, je weiter man eine ſolche Rechnung fo⸗ tſezt. Den uͤbrigen Reſt laͤßt man am Ende iner ſolchen Rechnung weg, weil er, wenn man viele Paare Nullen angehaͤngt hat, ſehr kleine Deile in ſich enthaͤlt; ſo wird der Reſt 3975 in dr vorherge⸗ henden Aufgabe, wenn man die Rechmng fortſe⸗ zen wollte, immer weniger als = es Ganzen betragen. Weil alſo eine ſolche Rechung durch dies Anhaͤngen der Nullen, „ ſich ins lnendliche fortſezen laͤßt, ſo muß man, ehe man rechnen anfaͤngt, vorher beſtimmen, auf wie Lel Deci⸗ malſtellen die Wurzel berechnet werden ill; hie⸗ bei iſt noch anzumerken, daß eben ſo viel Paare⸗ Nullen angehaͤngt werden muͤſſen, auf ſo iel De⸗ eimalſtellen man die Wurzel verlangt. Aufgabe. die 4te Deekmalſtele berthhnrn. Man ſoll die Quadratwurzel aus 3 b anf Aflö⸗ Pee nn eie berden, , mit Imag, Vrnel in im⸗ ntheis Bruch gunnn, finde, 1. Den ſalchen Pur inſch he⸗ Man haͤnge an die gee gebene Zahl 3. 4 Naar Nullen. 3. loo oo ooe 17320 0°90 . MR 1 8 9 1IIO (3 43 102 9 RDW 7100O (3 4 ⁶)2 69 2 4 17600 (3 4 ˙° 4)0 Reſt = 17600 folgl. P3 = 1, 7320. Wutere Beiſpiele. 7 350000 = 5,91. 7:Soα⁵d e. Vr,7500 –0,86 V Oa6923076–0,5iB8 N3,4r060 3,602. Das Extrahiren der Quadictivurzel aus Bruͤchen. F. 130. WBenn Zaͤhler und Nenner eines Bruchs rationale Zahlen ſind, ſo iſt die gewoͤhnliche Re⸗ gel dieſe: daß man aus dem Zaͤhler und Nenner, jedem beſonders die Quadratwurzel extrahire. 2 3 2 2 Z 1— I1. 4 — 2: 8 1 ⁹° — 3 3. E. †= 4½; 2 = ; 7 11 – 12 – . Es iſt alſo die Wurzel aus einem Bruch wieder ein Bruch, deſſen Zaͤhler und Nenner die Wur⸗ zeln jenes Zaͤhlers und Nenners ſind. „ §. 131. Wenn Zaͤhler und Renner eines Bruchs ir⸗ rationalzahlen ſind, ſo muß man den gegebenen Bruch in einen Decimal⸗Bruch verwandlen §. 119. ſo kann man doch wenigſtens aus dem Nen⸗ ner die Wurzel genan erhalten, wobei aber noch zu bemerken iſt, daß bei der Verwandlung ſo viele Paar Nullen angehaͤngt werden muͤſſen, auf ſo viele Decimalſtellen die e Wurzel verlangt wird. . Aufgabe. Man ſoll aus ¾ die Quabratwurzel bis in die ate Decimalſtel lle berechnen. Auf⸗ AI malbr gus Wure a Bruchs Renner, it. 11 — widder e Wun⸗ lchs i⸗ Nchenen Nen⸗ ber noch lung ſ. nlſſen, Nrlamt Auf ſga abe. 209 Auflbſang. Man verwandle den Bruch 3 in einen Deci⸗ malbruch ſo iſt 3 =– 0,7500. aus dem gefundenen Decimalbruch o, 500 die Wurzel ᷑/ævO q 75 000, 86 104 1100 (16)6 995 Reſt = 104 alſo % 3— o0, 86 „2 / Man ſoll aus ½† die Wurzel bis in⸗ die 1000 Theile berechnen. .V Aufloͤſung. = 0,63 63 63. hieraus die Wurzel. %5 63 f631 63 ,797 149 14 63 (14)9 folgl. . 2 — — OW * Watere Beiſziel⸗ zur Uebung. Man ſoll aus 3 + die Quadratwurzel bis in die 100 , Theile berechuen. Auflſun ſung ¾ 2 + 4 X =— — :³ = 4 dieſen Bruch in einen Decimalbruch verwandelt gibt = , 9 166. hieraus die Wurzel. 8 1 10 6 6 2 2² 5 folgl. W. ( † 4) = ,95‧ * * Aufgabe. Man ſoll 1. (Cà& † . 4) bis auft die 3te Stell⸗ finden. G 1† P. 4 = 2a. 4 = 44. 4 = I = 4 ½ gibt zum Decimalbruch = 1,100000 hieraus die Wurzel ſo wird 2 22 (SGS + ⁸). 4) = 1,048. ol= Meh⸗ De Tuuſen e ter Ulictten zunn 3 e Z heraun us die Rche che Faktoren in einander multiplieirt, ſie iſt alſo Mehrere Beiſpiele dieſer Art. (. 2 Y Fz O, 8SIO. 7(1: (3 † 1Wri z8r G 1) S8. Die Quadratwurzel aus 4¾ 8 ¾ bis in die Tauſeudtheie berechnet gibt = 3,652 . . . (2 †+ *½) — bis in die 10000 Thl. be⸗ rechnet iſt = o, 2700 . . . Die Wurzel aus (4. 2) + (8. 2) bis in die 100 Theile iſt = — 2,78 —.. Von der Probe. §H. 1 32. Bei der Probe iſt zu erinnern, daß man die herausgebrachte Wurzel mit ſich ſelbſt multi⸗ pliciren, im Fall ein Reſt geblieben, denſelben zum Produkt addiren muͤſſe, da ſodann die gegebe⸗ ue Zahl aus welcher die Wurzel gezogen wieder heraus kommen muß. Von den Kubiezahlen und dem Enrahlten der Kubicwurzel. §. 133. Eine Kubiczahl entſteht, wenn man 3. glei⸗ ein — 2 ein Produkt aus 3. gleichen Faktoren, z. E. 125 iſt ein Produkt aus 5mal 5 mal 5§. Ein ſol⸗ chees Produkt nennt man auch den Kubum eines £ ſolchen Faktors. Das Wort Kubus oder Wuͤrer. Qul fel iſt aus der Stereometrie genommen, wo es git als ein Koͤrper betrachtet wird, der eben ſo breit als er hoch und dik iſt, und gleiche Koͤrperwinkel hat; Eine Kubiczahl iſt alſo auch der korperlich (e, Inhalt eines ſolchen Koͤrpers. GC. 1 ⸗ wurge. Wenn man den Kubus einer Zahl anzeigen der will, ſo ſchreibt man oberhalb zur Rechten derſel⸗ ben den Wurzel Exponenten, d. i. die Zahl 3. z. E. 53 bedeutet ſo viel als 5. 5. 5 =– 125. Es iſt alſo leicht eine Zahl in den Kubum zu er⸗ heben, man darf nur die gegebene Zahl mit ſich . ſelbſt, und was heraus kommt noch einmal mit der gegebenen Zahl multipliciren. Auf dieſe Art e erhaͤlt man die aus den einfachen Zahlen die Kubik⸗ zahlen, wenn man die Quadratzahlen in obiger Wurzeltafel §. 123. noch einmal mit der Wur⸗ zel multiplieirt. Bringt man ſie in eine Tabelle, ſo erhaͤlt man eine Wurzeltafel welche bei dem Ku⸗ biewurzel extrahiren von groſſem Nuzen iſt. 7 ein is ſol n ines Mr wo & ſ bret winkel ellihe mzigen berſeh l3 115. n mit ðDðW 3. E. 47³⁸ = 47. 47 = 103823 An mn Ky⸗ I. lblc⸗ Kubit⸗ dbigeert WuvwH Kubic⸗ Tafel. Wurzeln 1] 2] 31 41 51 6 1 71 8I 9 Quadrate 11419lI16ſ 25] 36 1491 64 [8 1 Kubi 1I18 [27164 l1251216 3431 512 1729 Wiill man alſo die Kubikwurzel aus 512. wiſſen, ſo ſucht man dieſe Zahl in der Zten Rai⸗ he Kubi, ſo iſt die daruͤber in der erſten Raihe Wurz. lenbtiche Zahl 8 die verlangte Kubik⸗ wurzel. Eben dieſe Tafel wird auch bei der Ex⸗ traktion zuſammen geſezter Zahlen gebraucht, wie in der Folge ſolle gezeigt werden. Groͤſſere Zahlen in Kubum zu erheben. 298² =– 298. 298. 298 = 26463592 487 ² = 487. 487. 487 = 115501303 879 = 879. 879. 879 = 679151439. Einen gegebenen Bruch in Kubum leu er⸗ heben. M O D Auſ⸗ Auflöſung. dUð Hier bedenke man, daß ein Bruch 3. E. ) eben ſo viel iſte⸗ als 3 4. 4. ſol gl. = Eben ſo⸗ =ðWM () = = 4. 2. 3 = p4 (23)3 = (43) 3 13. 13. 1,3 — 3 hier, folgt aus daß der Kubus eines Bruchs wieder ein Bruch ſey, deſſen Zehler und Nenner die Ku⸗ bikzahlen von dem Zehler und Nenner des gegebe⸗ nen Bruchs ſind. Die Kubikwurzel einer Zahl, iſt diejenige Zahl, welche in itr eigenes Quadrat multiplicirt, die gegebene Kubikzahl giebt, z. E. von 512 iſt 8 die Kubikwurzel. Das Quadrat von 8 iſt 64 mit 8. multiplicirt gibt = 64. 5 = = 512. Man bezeichnet die Kubikwurzel mit , die in dieſes Zeichen eingeſchriebene Zahl 3. nennt man den Wurzel⸗Exponenten. Wenn man alſo anzeigen will, daß aus 512 die Kubikwurzel gezogen wer⸗ den l, ſo ſchreibt man: 7 512 = 8; 7 27 Von Wo Di le E. 1 A= 8 Rmie fine ren N iſt ſt nunelr gebtohe gliſe d ſih hni nie Pn⸗ — Kwen den, ſih 11 1¹⁵ 6 wieden die R geebe Reege. lilir, 312 t Zſte 2. Wa. n dieſ⸗ man den anſeigran el ve⸗ Von den rationalen und irrationalen Ku⸗ bikzahlen. §. 1382 Diejenige Zahlen deren Kubikwurzeln gan⸗ ze Zahlen ſind, werden Rationalzahlen genennt, z. E. 512 iſt eine Rationalzahl weil ihre Wur⸗ zel = 8 iſt; ſo ſind z. E. die Zahlen der 3ten Rraihe obiger Tabelle H. 134. Rationalzahlen, hingegen ſind diejenige Kubikzahlen irrational de⸗ ren Kubikwurzeln keine ganze Zahlen ſiud. Z. E. 5 iſt eine Irrationalzahl weil ihre Murzel groſ ⸗ ſer als 1. und kleiner als 2 iſt. Die Kubike⸗ wurzeln aus Irrationalzahlen ſind weder ganze noch gebrochene Zahlen, und gehoͤren uͤberhaupt in die Klaſſe der irrational Groͤſſen; Jedoch kann man ſich ihren MWurzeln naͤhern ſo weit man will, aber nie ganz erreichen. Das Extrahiren der Kubikwurzel. Das Verfaͤhren bei dem Extrahiren der Ku⸗ bikwurzel iſt mit mehr Weitlaͤuftigkeit verbun⸗ den, als jenes bei der Quadratwurzel, daher man ſich in ihren Regeln ſehr zu uͤben hat. „ F. 140. Aus einer gegebenen 3 1 die abſtaanzi zu extrahiren. “ Die Zahl ſei 157464. „ Wenn die gegebene Zahl 4, 5 bis 6 Zif⸗ fer hal, ſo theile man ſie von der Rechten gegen die Linke in Klaſſen, jede zu 3 Ziffern, wenn auch die zur Linken nur zwey oder eine enthiel⸗ te, und verfahre alsdenn auf folgende Art: Man nehme 1571464 5 4 1.) aus der Wurzeltaſel 125 HG. 134. eine Kubikzahl — 12”325. die ſo groß oder 75⁵: 3² 404. Zzju naͤchſt kleiner iſt als 300l0 deie Klaſſe zur Linken, 2404 ⁵¹uůund bemerke ihre Wur⸗ 64 — E 5. als den erſten eoer heil der geſuchten Wurzel. „¾½ “ 2.) Solchen Kubus 125 ſubtrahire man von der Klaſſe zur Linken, und fuͤge dem Reſt 32 die Klaſſe zur Rechten 464 bei. “ 3.) Man nehme das dreifache Quadrat, des ge⸗ fundenen Theils 3· 25 =— 75 dividire damit, bis i bis in d Oue ten 9 in der ſen denn (. dder Uen Ste iſea iſ, ihn bernit ware mußt Blat 60) M die Alden 217 bis in die Hunderte der folgenden Klaſſe, oder ikrurei in die 3 erſte Zahlen 324, und bemerke den Quotienten 4, als den 2ten Theil der rgeſuch⸗ ten Wurzel. D 4.) Man ſeze das Produkt aus dem 2ten Theil M 36 3; in den Diviſor 4. 75 = 300. unter die 3 er⸗ egen ſten Zahlen 324. Das dreifache Produkt aus , Wein dem Quadrat des zweiten Theils in den erſten ellſie (d. i. 3. 16. 5 – 240) unter die Zehner nK. oder eine Stelle weiter zuruͤk; den Kubus des 2ten Theils (d. i. 43 = 64 wieder eine Stelle ruͤkwaͤrts, und t dir⸗ die Summe bikeht A 5.) Wuͤrde die Summe groͤſſer als dieſe Zahl aſts iſt, gefunden,: ſo muͤßte man den angenom⸗ nken, menen Quotienten, immer um Eins ſo lange te Wro vermindern, als es erforderlich iſt, z. E. n aſten waͤre die gegebene Zahl 157456 geweſen: ſo Ueſtiten muͤßte man in der Wurzel 3. ſtatt 4. ſe»zen. H Bleibt i 6D 6.) nach geabigter Extraktion kein Reſt, ſo iſt H die gefundene Zahl die genaue Wurzel, folg⸗ 1eY lich der Kubus von 54 der gegebenen Zahl 157456 gleich. des in Anderer Fall. re domi, is WDDienn die gegebene Ziht mehr als ſechs O 3 Differn 218 — Ziffern hat; ſo theilt man ſie wie im er Fail in Klaſſen, und verfaͤhrt alſloꝛ ſten Es ſei die gegebene Zahl = 75955677875. 1719551077 1825 4285 arr 955 1 9 6 48 10088 : 1807677 . 15876 534 14 ,„ 536787: 268710875 25683935 31725 ——— 25 H 268710875 0 1 ) Aus den zwey erſten Klaſſen. zur Linken ziehe man nach dem vorigen Fall die beeden erſten Bifern 42. der geſichten Wurzel. 2.) Zu 12) 8u Klaſ Die ſten das divibi Klaſſe der T wie i⸗ . 3) 81 gleſ⸗ man Wut; wieder⸗ liſe Zuiſer handen ſ die R. De e l fuinmer rung 14a 2.) Zu dem Reſte 1867 ſeze man die folgende Klaſſe 677, welches die Zahl 1867677 gibt. Diie gefundene Zahl 42 ſehe man als den er⸗ DS. ſten Theil der geſuchten Wurzel an, nehme daas Quadrat davon dreimal gibt 5292, und dividirt damit bis in die Hunderte der Zten Klaſſe; da denn der Quotient 3. die Zte Ziffer der Wurzel gibt, und man verfaͤhrt damit wie im erſten Fall Nr. 4. und 5. B 3.) Zu dem Reſt 268710 ſeze man die folgende AKlulaſſe 875, die gefundene Ziffern 423 ſehe man wieder als den erſten Theil der geſuchten Wurzel an, verfahre damit wie Nr. 2. und wiederhole dieſes Verfahren fuͤr jede folgende Klaſſe bis zur lezten, da man denn ſo viele Ziiffern fuͤr die Wurzel findet als Klaſſen vor⸗ handen ſind. Die hier gefundene Zahl 4235 iſt die geſuchte Wurzel wie im erſten Fa Nr. 6.“ Die Extraktion der Kubikwurzel aus Irra⸗ tionalzahlen. §. 141. Aus einer ganzen Zahl welche keine voll⸗ in ſiſaee kommene Kubikzahl iſt, die Wurzel durch Raͤhe⸗ . etſten Lung zu finden. 1) 3 OD 4= Es— Es ſei die gegebene Zahl = 17. Aufloͤſung. Man haͤnge der gegebenen Zaht 7 eine be⸗ I — 3:6000 2 29 35859 1083: 141000 567 = 32129 Die Rechnung kann auch hier wie §. 129. õ liebige Anzahl Klaſſen von Nullen an, jede Klaſſe zu 3 Nullen, und verſahre uͤbrigens wie in §. 140. In der gefundenen Wurzel ſchneidet man durch ein Koma ſo viele Stellen von der Rechten gegen die Linke ab, ſo viel man Klaſſen von Nul⸗ len der Zahl 7 ange⸗ haͤngt hat, ſo erhaͤlt man die Ganze und De⸗ cimaltheile wie hier I, 91 .. . ins Unendliche fortgeſezt werden, daher man bei einer ſolchen Rechnung gleichfalls beſtimmen muß, auf wie viel Decimalſtellen eine ſolche Rechnung berechnet werden muͤſſe, den Reſt am Ende laͤßt man ganz weg, weil er nicht viel betragen kann; ſo wird der Reſt 32129 in voriger Aufgabe⸗ wenn mon noch weiter extrahiren wollte, immer weniger als 13 des Ganzen betragen. Daß ane ſolch geben w. Weite P loooſen 6 . — 3¹5 981 eine eim h Klſan 1n, ſ. Nulen, ihrigns — õõ 221 eine ſolche Rechnung ins Unendliche gehe, beruht auf eben den Gruͤnden, welche in . 129. ange⸗ geben worden. Weitere Aufgaben zur Uebung. Man ſoll aus 6. die Kubikwurzel bis in die r100ſend Theile berechnen. 6 [oOO 00Oοο 1⁄ο 1, 817 . L 3: 5000 24 192 D 512 4832 972: 168000 972 H 1 54 1 97741 98283: 70259000 687981 26607 32761 69096931 1162069 alſo V0O = I, 8172 „ O 5 n 222 — Aufgaben. Was iſt die Wurzel aus 312 bis in die 1000 Theile berehner = 00 berechnet? 3 d. i. 7 3 000 0ο = 1,44. . .. Was iſt die Kubikwurzel aus 487352 bis auf 100 Theile berethnet d. i 7 487352 000 000ο° 18,69 ... Das Extrahiren der Kubikwurzel aus Bruͤchen. 5. 142. Wienn die Bruͤche rational ſind, 6 extra⸗ hirt man aus dem Zehler und Nenner jedem be⸗ ſonders die Wurzel. Die Wurzel des Zehlers und des Nenners geben fuͤr den neuen Bruch den Zehler und Nenner. Z. E. M T. 2 216 3 5 3 — 3 729 – 57 O H. 143. d. i. * 317000000000 = — 6,818.... . Was iſt die Wurzel aus 3. in die 100 Theile wandel man v len ein Deeitne in de Ne D Waͤren aber die Bruͤche irrational, ſo ver⸗ wandelt man ſolche in Decimal⸗Bruͤche, nur muß . . man vorher beſtimmen auf wie viel Deeimalſtel⸗ len ein ſolcher Bruch berechnet werden ſoll, jede IoH H Deeimalſtelle erhaͤlt 3 Nullen z. E. 7 5 ſoll bis in die 100 Theile berechnet werden, ſo hat man , 3 – 122222 „ 777 777 hieraus f— die Wurzel cT77177 l,0r 272²9 223: 48 777 ry 1 b⸗ 2451— 24206 Reſt 4 mithin iſt die Wurzel ans 5 = 0,91. .. 5. Beiſpiele zur Uebung. , Man ſoll die Kubikwurzel aus 5 5 bis i in die 1000 Theile berechnen. 3 — 2 = hieraus Radix. 0,62 5000 oool 2854 512 192: 113900 600 125 I0O2125 21675: 10875000% 86700 7 4080 64 8710564 164136 Reſt. aß 74 — O0, 854. Auf⸗ 000 222. 5., 625000 o0o . Pen nige ein ſmn man dee der ſn — — 225 Aufgabe. Was iſt die Rigilaunze aus 4 + à3¾ 1I00 Theile berechnet? 7' (4 † 3) = 7 = N 1,29. Bei der Probe merke man ſich folgendes: Wenn man die herausgebrachte Wurzel in dieje⸗ nige Potenz der Kubikzahl erhebt, und im Fall ein Reſt geblieben denſelben zum Produkt addirt, ſo muß die Zahl wieder heraus kommen, woraus man die Wurzel geſucht hat. §F. 145. Auf dieſe Art konnte man auch die Biqua⸗ dratwurzel, und die folgende hoͤhere Wurzeln, aus den Zahlen extrahiren; allein das was bisher ge⸗ ſagt worden, iſt fuͤr den Gebrauch des gemeinen Lebens hinreichend, und uͤberbiß waͤre hier das Extra⸗ Extrahiren der hoͤhern Wurzeln, mit ihren Re⸗ geln viel zu weitlaͤuftig und zu beſchwerlich; da⸗ her man in der hoͤhern Rechenkunft andere Mit⸗ tel hat, wodurch man bequemer zur Antwort ge⸗ fangen kann. Geie BVer⸗ deS Verbeſſerungen. Seite 11 Zaie 11 iſt das Wort, Beſte wegin⸗ ſtreichen — 21 — 13 ſtatt Linial⸗ Wnukelhaten, lies Linial, Winkelhaken. — 23 — 14 ſtatt erfuͤllt, lies erſeit. — 32 — 113 ſtatt Lange lies Lande. — — — 14 ſtatt 16ſchuiden l. 16ſchuhigen — 42 — 1o von unten ſtatt mit ſelbſt lies mit ſich ſelbſte — 43 — 2 v. u ſtatt 4: 4°9,6 lies 409,660 6 — 44 — 5 v. o. ſtatt Anfang l. Anhang — 61 — 12 v. o. ſtalt Stelle l. Seite. — 62 — 14 v. o. ſtatt BC l. BC Fig. 23. — 63 — ir v. o. ſtatt 102 916² lies DW 100 49/ 760. — 64 — 4 v. oben ſtatt welches Grundlinie lies welches gleiche Grundlinie — 76 — 10 ſtatt ₰Oi ADE = 600 807214 lies ſıu ADE = 6 °S⁸°5 216. — 99 — 6⁶ v. u. ſtatt 22 l. 1 eben da⸗ ſelbſt ſtatt l. 58 Seite — — —☛nRr Seite 115 Zeile 4 von unten ſtatt CE² = 4 — 112 — 9 v. u. ſtatt ſind ungemein l. ſie ſind ungemein — 189 — 12 v. o. ſtatt o,000ο4 l. eoO04. 199 men 8 v. uUu. ſtatt (32) 2 l. (2)* eben daſelbſt ſtatt (23) 2 lies und wieder ſtatt ¾ l. 12 4 — nein l. ſie 9,/004. 23) 2 lies I. 12= 4 4 — „ 9 — „ 7 . — 17 —,— - . —.W— — — — X 1 . S „ 7 ) / — „ . 14 5 4 R —– . 17 * 7 — „ D 14 . 7 1 4r — ——ʒ— . — , ö — —— — — 4 . „ — 2 „ . 3 — — „ . — . . — — 6 . 17 4 . . . * 8 34. 7 . — „ . . — . 6 4 . 7 8 . *₰ — . 4 . 4 . . 8 . . 72 „ . 7 „ . . „ . / . . 1 1 . . 2 4 . 7/ 47 / . –— „ . 2 4 — — . . . „ . 7* . — 7 . . — . 1 1 1 4 . . 4 . — — — – ☛ = ☛ G „ = = --- . . . . * . . 4 7 „ 7 2 ) 1 . 4 3 — * 7 1 „ 7 — ſ 4 1 7 1 . . –— — — —— B 4 — —.— õ l . / £ . . 4 2 . G 1 X* 1 1 14 1 . . 1 2 „ — . / 1 5 . . . 4 „* 1 . . 1 7 4 . 1 „ — 4 — / . 4 4 1 X 7 ( X * 1 . — — . ) 4 7 7 4 1 . — ( N .* 5 5 7 . 5 8 „ . . 4 R — . . . . . — — — — . 4 — —bb S 4 N 7 7 . X J . 1 . / 7 / 1 4 . . 1 . 1 . 8 . . . N 7 1. — 4 1. 4 W — — f2222 „ 4 / . . 1 4 1 1 7 4 1 . —– — „ 4 . S 4 1 ℳ 1 R 2 . J . . 1 1 . 6 4 . . . V . 1 1 * ,. 3 „ . 4 3 . . — — innninm . . N . . ð 3 . . . 4 . 4 1 7 / / 5 „ . — 4 . . „— . . 4 . 4 „— . . 1 . . . / . . . 5 . 4 . . . N N KX . . 5 . . . 4 — 1 4 2WZM . S . „ 1 „ G . „ — - . 2 — 3 . . . P . 7 . 1 —* . . N . . . —– 2 . . . 2 . . * X 4. 6 . N 1 B . . — . 1 2 . 7 1. 7 — . – ℳ — ðò 8 . . 4 RS 7 7 — „ . . 1 X 8 D „ R 4 4 N ſ . . . — — 4 4 . 1 N . 5 4 4 . 4 . . 3 - 4 2 . 1 3 „* 1 N 1 4 * . . „ 1 . . . 1 SS ) . . — 3 . 6 4 N . 1 . 7 L . . * N . N. 4 4 . . Z . . — 8 — D 1 . . X . — – D X . X X . . 3 2 . . / . . .B „ Praktiſche Feldmeßkunf fuͤr Land⸗Feldmeſſer, oder fuͤr diejenige, welche ſich in der Feldmeßkunſt ſelbſt unterrichten wollen. — Entworfen D J. G. Boͤbel. Mit 5 Kupfertafeln. — Dritte verbeſſerte und vermehrte Auflage. — Tuüͤbingen, bei Jakob Friedrich Heerbrandt, I1798. 5 1 VierFarbSelector Standard* -Euroskala Offset 4 Copyright 4/1999 VXyVMaster GmbH wWwW.yXymaster. com