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Praktiſche

Selinefinne

Land⸗Feldmeſſer,

oder
fuͤr diejenige, welche ſich in der
Feldmeßkunſt
ſelt ſt unterrichten wollen.

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Entworfen
von

H G. Boͤbel.

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.“ Nit 5 Kupfertafeln.

—

Dritte verbeſſerre und vermehrte Auflage.

. Täbingen,
bei Jakob Friedrich Heerbranbdt.

1 7 9 8.

Vorrede
zur erſten Auflage.

M⸗ oͤtter wiederholtes Anrathen verſchiedener
Freunde und Feldmeß Liebhaber iſt dieſes Buͤchlein

entworfen worden; Es iſt blos, wie man ſchon aus

dem Titelblatt ſieht, nur fuͤr diejenige Feldmeſſer
eingerichtet, die nicht Mathematik, ſondern nur die
vier Rechnungsarten und die Regel detri gelernt
haben. Weil nun dieſer Art Buͤcher vom Feldmeſ⸗
ſen auch fuͤr den gemeinen Mann ſehr rar ſind, ſo
habe mich entſchloſſen, ein brauchbares Buͤchlein
hiemit in die Haͤnde der Feldmeß⸗Liebhaber zu lie⸗
fern. Es fehlt an Buͤchern, die von der Geome⸗
trie handeln, gar nicht, man hat ſolche im Ueber⸗
fluß, aber ſie ſind meiſtentheils fuͤr diejenige ge⸗
ſchrieben, die ſchon Mathematik ſtudirt haben oder
ſtudiren wollen, mithin ſchon mathematiſche Kennt⸗
niſſe, z. E. eine ne vollſtaͤdige Arithmetik, eine gruͤnd⸗
A 32 iiiieche

4 W orre d e
liche Einſicht der Algebra, vorausſezen, wenn man

ſie gruͤndlich verſtehen will; dieſe Gattung Buͤcher
ſind fuͤr den gemeinen Mann beinahe unbrauchbar,
weil derſelbe theils die dazu gehoͤrige Kenntniſſe,

oder noch beſſer zu reden, die mathematiſche Spra⸗
che nicht verſteht, theils nicht ſo viel Zeit anwen⸗
den kann, ſie zu lernen.

Ein Buch von der Feldmeßkunſt, ohne Theo⸗

rie und mathematiſche Beweiſe eingerichtet, iſt eben
eine Sache, die heut zu Tage nicht allen Beifall
ſindet; wenn man aber vor diejenige ſchreibt, die

eine Sache ohne Theorie, alſo nicht mathematiſch

beweiſen, ſondern ſo wie ein Beweis ihrem Ver⸗
ſtande am natuͤrlichſten vorkommt, darthun wol⸗
len, ſo faͤllt ein ſolcher Zweifel von ſelbſt weg.

Aus dieſer Urſache habe ich mich an verſchiedenen

Orten ganz anders faſt wider die mathematiſche

Sprache ausdruͤcken muͤſſen, um mich recht nach
der Sprache des gemeinen Manns und Feldmeſ⸗

ſers zu richten. Es wuͤrde ein deutlicher Ausdruk
oͤfters einem Feldmeſſer undeutlich werden, wenn
er nicht ſeiner Sprache angemeſſen waͤre, ſo iſt
zum Beiſpiel der Ausdruk bei der Erklaͤrung des
rechten Winkels §K. 21. da es heißt: „ein rechter

„Winkel iſt, wo beide Schenkel, die den rechten
Winkel formiren, aufrecht aufeinander ſtehen“ ei⸗

nem allgemeinen Feldmeſſer viel deutlicher, als

wenn es hieße: Ein kechter Winkel ſei der, wenn
beide

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zur erſten Auflage. 5

beide Schenkel pervendikulaͤr aufeinander ſtehen,

ohnerachtet der leztere Ausdruk viel deutlicher als
der elſtere iſt.

Was die Einrichtung dieſes Buͤchleins betrifft,
ſo bin ich immer nur dem leichteſten und nuͤzlichſten
gefolgt, und habe uͤberfluͤßige Saͤze, Aufgaben,

mit Vorſaz weggelaſſen, und nur diejenige Faͤlle

angezeigt, welche am haͤufigſten vorkommen, oder

aus welchen man eine vorkommende Sache herlei⸗

ten kann, und ich zweiſßte nicht, daß auch andere
vorkommende Faͤlle, deren es ja eine unzaͤhliche
Menge geben kann, ſowohl bei Ausmeſſung als

Theilung der Figuren, werden leicht verſtanden

werden, wenn man ſich die in dieſem Buͤchlein
vorkommende Faͤlle auf dem Papier ſowohl, als
auf dem Felde recht bekannt macht.

Auch darf es dem Leſer nicht auffallend vor⸗

kommen, wenn er hierinnen einige Berechnungen

antrifft, die nicht auf das genaueſte ausgerechnet
ſind, man bedenke allemal nur dabei, daß es fuͤr
das Feldmeſſen ſcharf genug iſt, weil man ohne⸗

hin beim Ausmeſſen mit Stangen, Ketten und

Seilern ſo gar genau nicht verfahren kann, und es

auch nicht darauf ankommt, ob dieſer oder jener

Beſizer zwei, drei oder vier Linien eines Zolles
mehr oder weniger Feld hat.

Alle Berechnungen ſind nach dem leichten de⸗

amal Maas eingerichtet, und weil mehrentheils

A 3 Land⸗

6 Vorrede zur erſten Auflage.

Land. Feldmeſſer die alte Rechnungsart, oder ſo.

genannte Regel detri, und nicht den Reeſiſchen

Seaz gelernt haben, ſo habe bei den meiſten Be⸗

rechnungen, wo es thunlich war, zuerſt den Saz
nach der alten Art angezeigt, nachgehends aber
durch den Reeſiſchen Saz ausgerechnet, mithin
dieſes Buͤchlein auch fuͤr diejenige brauchbar iſt,
ſo nicht nach der alten Art, ſondern nach dem Ree⸗
ſiſchen Saz rechnen. Die uͤbrige Vortheile, ſo

nicht angezeigt ſind, werden Liebhaber, wenn ſie

dieſes wenige mit Aufmerkſamkeit durchgehen,
ſelbſt hinzuzufuͤgen wiſſen, und den groſſen Lehr⸗
meiſter der Erfahrung zu Rathe ziehen. Sollte

ich mich aber in dieſem oder jenem Saz nicht deut⸗

. lich genug erklaͤrt haben, ſo bin ich bereit, wenn
mehrere Erlaͤuterung verlangt wuͤrde, dieſelbe mit
Vergnuͤgen zu geben.

Uebrigens wuͤnſche ich, daß der Gebrauch die⸗
ſes Buͤchleins zum vielfaͤltigen Naten der Liebha⸗

ber ausſchlagen moͤge.

Vor.

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Vorrede

zur zweiten Auflage.

Mar Plan bei der erſten Auflage war, dem gemei⸗

nen Feldmeſſer einen brauchbaren Werkzeug in die
Haͤnde zu liefern, aber die Schranken welche ich mir
dabei ſezte, waren oͤfters Gegenſtaͤnde, welche mich
mehr als einmal in Verlegenheit ſezten; beſonders

wenn mir noch neben dieſen die groſe Anzahl Buͤcher

einfiel, die auf eben das abzwekten, wo meine Abſicht
hinzielte, dieſes war ein Haupt⸗Gegenſtand, welcher

mich bei dem erſten Gedanken beinahe von dem ganzen

Vorhaben abhielt. Weiters ſollte noch in meinem

Plan liegen, ein dem gemeinen Mann angemeſſener

Vortrag ohne Theorie, und ein⸗ geringer Preis, folg⸗
lich auch keine unnoͤthige Weitlaͤuftigkeiten, wodurch
nur die Bogenzahl angehaͤuft worden waͤre; Alles

dieſes ſollte innerhalb meines Plans liegen. Beinahe

ſollte ich glauben meine Abſicht erreicht zu haben,

weili in einem ſo kurzen Zeitraum ſchon die zwote Auf⸗
A 4 lage

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4 ⸗

z Vorrede.

S lage veranſtaltet werden mußte. Inzwiſchen will ich

es als ein gutes Zeichen anſehen, nichts unnuͤzes ge⸗
ſchrieben zu haben. Es ſind freilich von Sachverſtaͤn⸗
digen hie und da einige Bemerkungen gemacht wor⸗

den, welches ich mit vielem Dank erkenne, und

welche ich bei dieſer neuen Auflage, ſo viel als es
mein Plan erlaubte , benuzt habe.

„Daß mathematiſche Praxis ohne gruͤndl iche
„Theorie, nicht anders als vielen Fehlern und Verir⸗

„rungen unterworfen ſeie,“ wie Recenſent in der all.

gemeinen Litteraturzeitung bemerkt, war mir eines
Theils nur gar zu wohl bekannt, allein mein feſtge⸗
ſezter Plan erlaubte mir nicht mehr beizuſezen. Ue⸗
berhaupt einen Feldmeſſer auf dem Lande nach der
ſchaͤrfſten Theorie unterrichten und belehren zu
wollen, kaͤme mir gerad ſo vor, als wenn man
einem Handwerksmann ſeine Profeßion nach der
ſchaͤrfſten Theorie beibringen wollte, alles richtet ſich
nach den Umſtaͤnden. Ein Buͤrger auf dem Lande
kan nicht ſo viel Zeit anwenden, alles das, was die
ſchaͤrfſte Theorie erfordert, zu lernen, mithin muß
man ihm nur dasjenige in die Hand geben, was in⸗
nerhalb in ſeinem Wirkungskreiſe liegt. Aus dieſem
Grunde mußte freilich vieles wegbleiben, was von
rechtswegen ſollte geſagt werden. Ich verweiſe daher
diejenige, welche etwas weiter gehen wollen, auf die
von örn. Pfr. M. Wurſter vor einigen Jahren
berausgenebene Linleitung zur praktiſchen Feld⸗
meß⸗

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zuiuuurr zweiten Auflage. 9

illich meskunſt, ein ſehr brauchbares und mit vieler
6 g⸗ Deutlichkeit geſchriebenes Buͤchlein.
dunun Diie Verbeſſerungen hin und wieder, betreffen
und meeiſtens die Berechnungen, ich ließ nemlich die Be⸗
G rechnungen nach der alten Art, weil ſie mir ganz

überfluͤſſig ſchienen, hinweg, hingegen ſezte ich die
Berechnungen nach dem Decimal⸗Maas, etwas

iche deutlicher auseinander; auch mußte noch mehr von
te dem Vertheilen der irregulaͤren Figuren geſagt wer⸗
dall⸗ den, freilich war deßwegen noch eine neue Kupfer⸗
AnrG8 blatte noͤthig. Die Anmerkung vom Schrittmeſſen
lyt⸗ wird hoffentlich nicht am unrechten Ort angebracht
i, ſeyn, die Erfahrung von mehreren Jahren hat ge⸗
der lehrt, wie nuͤzlich es ſeie, wenn man ſich auch ohne
iu Maasſtab auf der Stelle zu helfen weiß; man kommt
naa ͤ;ters in Faͤlle, wo man in der Geſchwindigkeit,
der z. E. bei Anlegung einer Chauſſee, eines Grabens,
ſich beſtimmen ſoll, wie lang, wie viel Ruthen ſolche
nde von einem gemeinſchaftlichen Gut hinweg nehme,
die was ſie im Durchſchnitt koſten koͤnne? Alles dieſes
mus und noch unzaͤhlig viel andere Faͤlle, ſind ſolche,
-„ welche hauptſaͤchlich zu einer ſolchen Praktik gehoͤren.
4 Uebrigens ſind die Zahlen der §. §. durchaus
her geblieben, und das, was hin und wieder verbeſſert
die und vermehrt wurde, als Aufgaben und Anmer⸗
Stan kungen angezeigt worden.
eld⸗

2

10 Vorre de zur zweiten Auflage.

Von der Zeit und von den Umſtaͤnden wird
es abhangen, ob ich mein Verſprechen bei der
erſten Ausgabe werde halten koͤnnen, indeſſen er⸗
laubte mir mein gegenwaͤrtiger Wirkungskreis
nicht, ſolches zu erfuͤllen, weil die Zeit zu meinen

eigenen Geſchaͤften ſehr koſtbar iſt, und ich nicht
anders als nur verſtohlene Blike darauf werfen

muß. Sollte mir aber Gott das Leben friſten,
ſo werde dennoch nicht muͤßig, ſondern nach al⸗
len Kraͤften, welche in meinem Wirkungskreiſe

liegen, thaͤtig ſeyn.

Eiuttgerd, im Monat Jan. ŚM
1 7 89.

Der Verfaſſer.

J. G. Boͤbel, Hofmeiſter,
auch Lehrer der Mathematik an der Her⸗
Poglichen Hohen Carls⸗Schule.

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zur dritten Auflage.

E⸗ war mir ganz unerwartet, daß es mit dieſem
kleinen Buche zu einer dritten Auflage kommen ſoll⸗

te. Ich will es als einen Beweis anſehen, daß die
Neigung zu den praktiſchen Kenntniſſen der Feld⸗
meßkunſt, unter den Liebhabern derfelben, ſich im⸗
mer mehr vermehre. Das Bewußtſeyn etwas zur
Erweiterung der Kenntniſſe der Feldmeß⸗Liebhaber

beygetragen zu haben, iſt für mich die beſte Be⸗

ſte Belohnung, die ich, fuͤr dieſe nicht gar ange⸗

nehme Arbeit, erwarten kann.

Bey

HZ 6

f22 VBorred.e
Bey dieſer neuen Auflage wurde ich veranlaßt,
hin und wieder Verbeſſerungen anzubringen, wel⸗
che ich fuͤr weſentlich noͤthig hielt. Im Ganzen

eine Veraͤnderung vorzunehmen, ſchien mir aus

gewieſen Gruͤnden nicht rathſan. Um aber die⸗
ſem Buche mehr Vollkommenheit zu geben, ſo
hade ich nach dem Wunſche d des Hen. Necenſen.
in dem Anhange eine Anleitung zu der eben ſb
noͤthig als nuͦzlichen Decimal⸗Rechnung, wie

auch zur Extraktion der Quadrat und Kubik⸗

Wurzeln beigefüͤgt; dadurch wurden zwar eines
Theils die in §. 7. bis 10. gegebene Regeln uͤber⸗

fluͤßig gemacht, ich wollte ſie aber dennoch Faus
dem Buche, aus grundlichen urſachen nicht ver.

draͤngen.

Es hat alſo fuͤr den der jene Regeln ſchon
gelernt hat, noch eben den Nuzen wie vorher,

und dem neuangehenden Feldmeßer, welcher doch
eins von beyden lernen muß, kann es gleichguͤltig
ſeyn, welches er lernen will; ich rathe ihm aber

die Decimal⸗ Rechnung und Extraktion der Wurzeln

aus dieſer hinzugefuͤgten Anleitung zu erlernen.
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zur dritten Auflage. 13

WVenn ſchon die hie und da beigefuͤgte An⸗

merkungen auſſer der Sphaͤre deß groͤßten Theils

der Feldmeßer, fuͤr welche eigentlich dieſes Buch
beſtimmt iſt, liegen, ſo ſchienen ſie mir doch nicht
uͤberfuͤßig zu ſeyn; ſie ſollen den Nachdenkenden
aufmuntern, und zugleich erinnern, daß um ein
geometriſches Problem zu verſtehen, etwas mehr
als nur Regeldetri gehoͤre. Die hei uns im Wir⸗

tenbergiſchen ſeit einigen Jahren gemachte weiß⸗
liche Verordnung, daß auch in den Landſchulen,
wochentlich einige Stunden auf Mathematik ver⸗

wendet werden ſollen, laͤßt mich vermuthen daß
der neuangehende Feldmeßer in der Folge mit den
4. Rechnungsarten und Regeldetri nicht mehr zu⸗
frieden ſeyn werde, ſondern noch mehr mathema⸗
tiſche Kenntniße als nur dieſe erwerben will.

Weil alle unſere Meßungen nur beinahe wahr

ſind, ſo iſt es nicht genug, blos Meßen zu koͤn⸗

niße beſaͤſſe, ſeine Schuͤler mit den richtigen
Begrif⸗

nen, im Grunde weiß man in dieſem Falle nichts;
daher waͤre es ſehr zu wuͤnſchen, daß jeder Leh⸗
rer der Feldmeßkunſt, wenn er die noͤthige Kennt⸗

8

1

14 Vorrede zur dritten Auflage.
Begriffen mathematiſcher Groͤßen mehr beſchaͤf⸗
tigte, damit ſie doch wenigſtens beurtheilen koͤnn,
ten, wie viel ſie fehlen koͤnnen und doͤrffen, wo⸗
i freilich die theoretiſche Kenntniße vermittelſt
der Trigonometrie zu Grunde gelegt werden muͤſſen.

Stuttgardt, im Monat Apr.
157 9 6.

Sum⸗

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fen, wo⸗

ewittelſt

muͤſten.

umè

Tabelle fuͤr die Quadratwurzeln von 1. g

Summariſcher Inhalt.

Vorlaͤufige Erklaͤrungen . .—½ .. 1
Von den Inſtrumenten . g. 3 —
Von dem Laͤngen⸗Maas . 8. 5
Von der Addition des Decimal⸗ Maaſes §. 7.
— — Subtraction 8. 8.
— — Multiplikation Z . §K. 9.
— — Dirviſion 8. 10.

Wie das Decimal⸗Maas i in gewoͤhnliches und die⸗

ſes in jenes zu verwandlen ſey §. 12. und 13.
(500. be⸗
rechnet, ihr Gebrauch . K. 1ε½11s. 16.
Allgemeine Erklaͤrungen der Linien, Winkel und
der Figuren §. 17. bis §. 24.

Wie eine grade Linie auf dem Felde zuͦziehen ſey. d. 2

Wie auf dem Feld Perpendikular⸗Linien, Parallel⸗
Linien zu ziehen, auch eine gerade Linie gemeſſen

werde g. 26 bis 28.
Gebrauch und Behandlung der Meßkette §. 28.
Eine Linie horizontal zu meſſen . g. 299

Eine Linie in 2. gleiche Theile zu theilen §. z0.
Von dem Maas der Planimetrie §K. 31. bis g. 34
Quadrat, Decimalmaas in gewoͤhnliches Qugdra⸗
maas zu verwandlen
Von dem Ausmeſſen und Ausrechnen den keidir
36 bi „582.
Das Ausmeſſen der Linien und Felder mit Schrit⸗
ten Anmerk. J. 52.
Von der Theilung der Felder und der Figuren §. 53.

Von den Vortheilen die man bei der Theilung der

Felder anwenden kann . g. 56.
Etwas aus der Stereometrie, nnd zwar von dem
Maas derſelben . §. 69. . 70.
Vom Ausrechnen einiger Koͤrver . g. 71.

Berechnung des voli, Gehelis e eines Baunnſima⸗

õ

16 Summariſcher Inhalt.

nach der Forſtwiſſenſchaftlichen Regel und nach
der algebraiſchen Formel 2 (Ra + Rr †+ 1²½)

2

die Unrichtigkeit der Forſtwiſſenſchaftlichen Re⸗ .
„ . 74. b.

Etwas vom Viſiren 8. 75.

Wie ein Maasſtab zum Viſiren der Faͤſſer nach A⸗

mer Imji ꝛc. zu verfertigen ſey) ⸗ d. 80.
Beſchreibung eines einſachen und wohlfeilen Meß⸗
tiſches und deſſen Gebrauch §. 82 und 83.
Die Hoͤhe eines Baums aus ſeinem Schatten ver⸗
mittelſt der bekannten Laͤnge eines Stabs zu

meſſen . S. . 94.
Vom Aſehmen der Gegenden 8. 97.
Die Rechnung mit Decimalbruͤchen §. 104.
Die Addition derſelben §. 109.
— Subtraktion ⸗ g. III.
— Multiplication . §. 1I4.
— Diviſion . Q. 116.
Die Verwandlung der gewoͤhnlichen Bruͤche in De⸗
cimal⸗ Bruͤche . . 8èg 1I199
Von dem Extrahiren der Quadrat und Cubic⸗Wur⸗
zzlele. „„ . §. 12 I.
Von den Quadrat⸗Zahlen und ihren Wurſein
8. 122.

Die Quadratwurzel zu extrahiren, ein Exempel §. 127
Die Quadratwurzel aus irrational Zahlen zu ſin⸗
den —;—.⸗ . . §. 128.
Aus Bruͤchen die Quadratwurzel zu fſinden §. 130.
Von der Probe ob man richtig extrahirt habe §. 152.
Von den Kubikzahlen und dem Extrahiren der Ku⸗
bikwurzel S . . 133.
Die Extraction der Kubikwurzel . . 139⸗
Die Extraction der Kubikwurzel aus irrationa! Zah⸗
len . * „ * d. 141.
Die Extraction der Kubikwurzel aus Bruͤchen §. 142.

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1† 1²)
.d. .
el Praktiſche Geometrie.
do.
Meß⸗
k Vorlaͤufige Erklaͤrungen.
⸗ A
y. g. k.
. 8 as praktiſche Feldmeſſen iſt eine Kunſt, wel⸗
— che lehret, wie man alle vorkommende Fel⸗
der ordentlich ausmeſſen und austheilen ſolle, ſo

ſ do. daß ſowohl dieſer als jener Beſizer eines ſolchen
1I9. Stuͤk Feldes, ſeinen gehoͤrigen Theil bekomme;
Wur⸗ es iſt alſo dem Landmann ein nothwendiges Stuͤk

. la⸗ bei ſeiner Oekonomie. Dieſe Kunſt iſt nicht nur
gurzeln .
i2. von den Alten ſehr hoch gehalten, ſondern iſt auch
n noch bis gegenwaͤrtig ein nothwendiges Stuͤk ver⸗
zum bhlieben, immer weiter getrieben, und in Auf⸗
. 129. nahme gebracht worden.

h. 10,
.192,
der N⸗ . 7.
. 133. Di g „ TSE
ie erſten Anfaͤnge des Feldmeſſens muß

gr man bei den Egyptern ſuchen, welche durch die
4l. jaͤhrliche Ueberſchwemmung des Nil⸗ Fluſſes ge⸗
. 14 7 noͤthiget wurden, die Felder wieder von neuem
Abzumeſſen und einzutheilen.
Peab Von

W

in 10 gleiche Theile getheilt, welche decimal Zol⸗

19
Von den Inſtrumenten,
welche man beim praktiſchen Feldmeſſen noͤthig hat.

Diie Anzahl der Inſtrumente, welche ein
Feldmeſſer noͤthig hat, iſt gering.

I. Die NMreßruthe. Sie iſt eine lange,
runde Stange von Tannenholz, weil dieſes Holz

am wenigſten krumm wird, in der Laͤnge nach

dem einmal von der Obrigkeit angeordneten und
gebraͤuchlichen Maaſe. Gemeiniglich theilt man
die Ruthe in 10 gleiche Theile, welche decimal
Schuh genennt werden; der Schuh wird wieder

le ſind, und ein jeder Zoll wieder in 10 decimal
Linien.
Gut iſts, wenn ſich ein Feldmeſſer zwei

dergleichen Meßſtangen anſchaft, damit, wenn

im Meſſen die eine liegt, die andere wieder dar⸗
an geſtoſſen werden koͤnne. Weil ſich aber die
Stangen durch vielen Gebrauch abſtoſſen, daß
ſie kuͤrzer werden, ſo iſt es gut, wenn ſie an

den Enden mit Moͤſſing oder Eiſen beſchlagen

II. Die Meßketten ſind von ſtarkem

Drat, ungefaͤhr in der Dike eines mittelmaͤſigen

Federkiels, ein jedes Gelenk derſelben iſt Einen

Schuh lang, und werden mit kleinen Ringen zu⸗

ſamen gehaͤngt, welche auch zugleich die Ab⸗
theilung der Schuhe vorſtellen. Fig. I. Tab. I.

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ſtellt ein Stuͤk von einer Meßkette vor. Man
kann auf dieſe Art 3. 4. bis 5. Ruthen aneinan⸗
der haͤngen, und erhaͤlt dadurch den Vortheil,
daß man mit Meſſung einer Linie bald fertig,
aber wenigſtens drei Perſonen beim Meſſen ge⸗
genwaͤrtig ſeyn muͤſſen die Eine an dieſem —
die andere an dem andern Ende, und die dritte
in der Mitte, um die Gelenke, wenn ſie in Un⸗
ordnung ſind, zurecht zu bringen.
III. Die Meß⸗Schnuͤre, ſind gezwirn⸗

te Saile in Leinoͤl geſotten, und mit Wachs be⸗

ſtrichen. Die Abtheilung der Schuhe, Zolle ꝛc.
geſchiehet nach dem decimal Maas, und an dem
Ende eines Schuhes wird ein zarter Drat, oder
rothe, auch anders gefaͤrbte Fleken von Tuch
angebunden. Auch dieſe koͤnnen 4 — 6 bis 8
Ruthen lang ſeyn.
Anmerkung.
Die Schnuͤre werden kuͤrzer, wenn ſie naß
werden, und laͤnger, wenn ſie troken ſind,
wiewohl dieſem durch das Oelſieden meiſtens
begegnet wird; aber das iſt eben nicht zu
verhuͤten, daß ſie nicht bald ſtaͤrker, bald
ſchwaͤcher angezogen werden. Die Ketten
ſind ſchwer, verwikeln ſich leicht, und wenn
der Boden nicht eben, ſo ſenken ſie ſich in
die Tieffungen, daß ſie nicht ſtark genug an⸗
gezogen werden koͤnnen. Dahero wohl die
Stangen vorzuziehen, wenn man recht mit
umgeht, ob es wohl etwas langſamer damit
zu gehen ſcheint. B
BS IV.

20

IV. Die Winkel⸗Scheibe. Sie iſt ein
von ſchoͤnem hartem Holz abgedrehtes Stuͤk, in
der Geſtalt einer Scheibe, nur daß ſie auch zu⸗
gleich eine Dike hat. Fig. 2. Lab. I. ſtellt eine
ſolche Winkel⸗Scheibe vor. Der Diameter derſel⸗
ben kann 4, 6 bis 8 Zoll ſeyn; in derſelben ſind
2 Diameter AC und BD accurat rechtwinke⸗

licht mit einer feinen Saͤge eingeſchnitten. Die

Saͤgenſchnitte, welche einander rechtwinkelicht
durchkreuzen, dienen ſtatt zweier Abſehen, um

auf dem Feld rechte Winkel damit abzuſteken.
Der Fuß E iſt ebenfalls ein wohl abgedrehter
runder Stab, der unten mit einem ſpizigen Ei⸗

ſen beſchlagen, damit das Inſtrument bequem in
die Erde eingeſtekt werden kann.
Z Anmerkung.
Es iſt oͤſters noͤthig, daß ein halbrechter Win⸗
kel d. i. ein Winkel von 45. Graden mit der

Winkel⸗Scheibe abgeſtekt werden ſolle, wie

weiter unten ſolle gezeigt werden, da aber die⸗
ſes durch den rechtwinkelichten Kreuz⸗Schnitt

nicht kann bewerkſtelligt werden, ſo iſt es gut,

wenn noch ein dritter Schnitt wie ab Fig. 2.
Tab. 1. eingeſchnitten wird, dieſes geſchie⸗

het wenn die Boͤgen AB und CD halbirt

werden. Man muß aber ſorgfaͤltig bei Ab⸗

ſtekung eines rechten Winkels Achtung ge⸗

ben, welche Schnitte einander rechtwinkelicht
durchkreuzen.
V. Einen vollſtaͤndigen Reißzeug muß auch
ein praktiſcher Feldmeſſer haben, oder doch wenig⸗

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ſtens einen ſolchen, worinnen⸗ ſolgende Stuͤke
enthalten ſind:

1.) Ein alle ggemeiner Handzirkel; 2.) ein Ein⸗
ſazzirkel, worein man Reißblei, Reißfedern
einſchrauben kann; 3) eine Handreißfeder; .
4.) einen Transporteue; 5) einen verjungten H
Maasſtab; 6.) einen Winkelhaken; 7.) ein
Linial, Bleiſtefte, und mehrere dergleichen
Kleinigkeiten, ſo man beim Aufzeichnen der

Figuren noͤthig hat.

Alle dieſe Inſtrumente ſind von Moͤſſing, ausge⸗

nommen Linial⸗W nkelhaken, verjuͤngter Maas⸗
ſtab koͤnnen von ſchoͤnem hartem Holz, z. E. Birn⸗
baͤume gemacht werden.
Einige Felbmeſſer bedienen ſich auch eines
Meßtiſchleins, welches ein wohl abgehobeltes birn⸗
baͤumenes Brettlein, ungefaͤhr ein oder andert⸗
halb Schuh ins Geviert iſt, und auf 3 Fuͤſſen
geſtellt werden kann, wenn es gebraucht wird.

Beim Gebrauch wird es mit weiſſem Papier

uͤberzogen. Wenn man einen Halbzirkel von
180 Graden darauf abzeichnet, und ſo einrich⸗
tet, daß es horizontal und vertikal zugleich ge⸗
ſtellt werden kann, ſo kann es die Stelle eines
Aſtrolabii vertretten. Vom weitern Gebrauch

des Meßtiſchleins wird unten im Anhang beſen⸗

ders gehandelt werden.

22

Vom Laͤngenmaas,
und zwar beim Ausmeſſen der Linien.
Das einmal angenommene und faſt uͤberall
eingefuͤhrte Maas iſt: Ruthe, Schuh, Zoll und
Linien ꝛc. die Ruthe wird aber bald in 16, bald
in 12 Schuhe eingetheilt, der Zoll aber in 12
Linien, und eine Linie in 12 Serupel. Bei uns

im Wirtembergiſchen iſt die Ruthe, ſo 10 Schuh

haͤlt, eingefuͤhrt.
Es haͤlt daher die Ruthe, welche
16 Schuh haͤlt 12 Schuh haͤlt

Schuh — — r1I2
Zool 102 — — 144
Linien 2304 — — 1728
Scrupl 27648 — 2020736

Da nun eine ſolche Eintheilung im Rechnen hoͤchſt
beſchwerlich iſt, wie unten bei dem Flaͤchen⸗Maas
wird gezeigt werden, ſo hat man, um ſich das Rech⸗
nen zu erleichtern, der Ruthe zwar ihre nemliche
Laͤnge gelaſſen, ihr aber 10 Schuh, dem Schuh
10 Zoll und dem Zoll 10 Linien gegeben, und die⸗
ſes heiſſet das Decimal⸗Maas. Es haͤlt alſo eine

Ruthe 10 Schuh, oder 100 Zoll, oder 1000

Linien, oder 10000 Serupel.

F. 6.
Das Zeichen der Ruthe iſt (*); des Schu⸗
hes (); des Zolls (”ò); der Linie (—ò“*); des Seru⸗
pels

= —

überel
Dol und
, bald
in 12
ei uns

Eih

l
12

144

17²8
9735
chſt
Maas
Rech⸗
mliche
Schlh
die⸗
eine
000

hu⸗
ru⸗
els

—

pels ); Es heiſſen demnach 12° 6 8“ 3““
4 12 Ruthen, 6 Schuh, 8 Zoll, 3 Linien,
4 Scrupel. Es koͤnnen nun leicht auf dieſe Art
leimn Decimal⸗Maas Ruthen in Schuh, Zoll ꝛc.
verwandelt werden, man darf nur Nullen anhaͤn⸗
gen; ſo geben z. E. 8 Ruthen, wenn eine Nulle
angehaͤngt wird, 80 Schuh, wenn noch eine Nulle
angehaͤngt wird, 800 Zolle u. ſ. w. Hat man
Ruthen, Schuh, Zoll ꝛc. und man will ſie zu ei⸗
nerlei Sorten haben, ſo darf man ſie nur an ein⸗

ander ſezen. Z. E. 6⁰, 7⁄ 80, 4““ geben 6784““

Linien. Wuͤrde aber eine Sorte fehlen, z. B. man
haͤtte 6784 ſo muͤßtte dieſe mit einer o erfuͤllt
werden, naͤmlich 6704“ Linien.

Von der Addition,
des Decimal⸗Maaſes.

§. 7.

Man ſezt hartige Sachen, z. E. Ruthen
unter Ruthen, Schuh unter Schuh, Zolle unter
Zoll ꝛc. unter einander, und addirt wie in der Ad⸗
dition der genannten Zahlen⸗Rechnung.
Zum Beiſpiel es ſeie in der 26 Fig. Tab. II.
BE = 120 7‧ 4“ 5” 37,
DE=I8⁰ 3 8, 55 6

6 *

BF †+ DE= 31 173 0““ 7

. Anmerkung.
Haͤtte man mehrere Poſten zuſamen zu addiren,

und es wuͤrde ſich geben, daß bei ein oder
dem

—

24 ,
dem andern einige Stellen fehlen ſollten, ſo
koͤnnen ſolche leicht nach J. 6. durch Hinzuſe⸗
zung der Nullen ergaͤnzt werden.
2. E. es ſeie Fig. 29. Tab. II.
GH= 4 2£ o o
H= 8 2 3

A 1 5 4 ͤ“

AB= 300 9, 20 5
Anderes Beiſpiel.
Es ſeie Fig. 29. Lab. II.
Nrrrr. 1 = 49 54“ 36“

— 2 =— 24 10 00
— 3 — 45 36 17
— 4 — I3 17 22

132 C23C75
2. Anmerkung. 2
Weil oͤfters Faͤlle vorkommen koͤnnen, beſon⸗
ders wenn man nicht all in beim Ausmeſſen
der Linien bleiben will, daß die Winkel
der Felder mit einem Grad⸗Bogen gemeſ⸗
ſen werden, ſo muß man vorher ſowohl die
Eintheilung des Grad⸗Bogens oder Zirkels
wiſſen, als auch die Addition, Subtraktion
ſolcher Theile verſtehen. Ein jeder Zirkel, er
mag groß oder klein ſeyn, wird in 360 Gra⸗
de eingetheilt, ein jeder Grad in 60 Minu⸗
ten, und eine Minute in 60 Sekunden u. ſ. w.
Die Zeichen der Grade, Minuten ꝛc. ſind
wie

Gi

e 25
ten, o wie die Zeichen der Ruthen, Schuh und Zolle,
linzuſe mithin muß man aus der Sache und den Um⸗

ſtaͤnden urtheilen, ob Ruthen, Schuhe ꝛc. oder
Grade, Minnten verſtanden werbden. Iun
der Addition iſt nichts beſonders deßwegen zu
bemer ken, als daß Grade unter Grade, Minun⸗—
ten unter Minuten u. ſ. w. geſezt werden. z. E.
Die Winkel Fig. 67. Tab. IV. ſeien gemeſ⸗
ſen und gefunden worden für
den Winkel bei A = 98° 2

„*.

— — — B= 99 58.
— — — C= 88 12.
— — — D —– 156 58.
— — — E— 96 50.

n

Summe aller Winkel = 5 40 67
Anderes Beiſpiel.
Es ſeie ſerner Fig. 58. Tab. IV.

Winkel bei C =– 48° 12. 13“ j
eſon⸗ — — A=– 90 36 40.
inkel ðð ”MUDẽB/
enef⸗ Von der Subtraktion
ii⸗ des Decimal⸗ Maa es.
er Hier hat man weiter nichts zu behalten, als
ra⸗ daß man den Regeln der Subtraktion in genann⸗
nu⸗ ten Zahlen der Arithmetik folgt; Ruthen unter
n. Ruthen, Schuh unter Schuh, die groͤſſere Zahl
d oben, und die kleinere unten hinſezt:

ie B 5 Man

—

Man ſoll von 43*⁰ 15 3“ 4“ 3 7

ſubtrahiren 12° 67 1“ 297 5

bleiben 30° 5 2“ 1392 817
Ein Feld wie ACB Fig. 47. Tab. III. halte

im Maas 153° 25“ 13“ 12““ davon ſoll ein

Stuͤk wie ADEB welches 51 89 4“ 4““ hal⸗
ten ſolle, abgemeſſen werden.

a 4
bleibt = 102° 17 9“ 8“”¹
Aufgabe.

Man ſoll von 345˙ 46: 33˙
abziehen 75 57 50
bleiben = 269° 88/ 83“

Von der Multiplikation
des Decimal⸗Maaſes.

S. 9.
WiDaenn man bei der Multiplikation nur Ruͤk⸗
ſicht auf die Multiplikation zwoer Zahlen nimmt,
ohne durch deren Produkt ſich eine Flaͤche vorzu⸗
ſtellen, ſo hat man nicht noͤthig Ruthen unter

Ruthen, Schuh unter Schuhe zu ſezen; ſondern

man ſezt die Zahl, welche multiplicirt werden ſolle,
oben, und die andere, welche multiplicirt, unten,
wie in der allgemeinen Multiplikarion der Arith⸗
metik, und multiplicirt von der Rechten gegen
der Linken. Die Zeichen aber des herausgebrach⸗
ten Produkts werden gefunden, wenn man das

lezte

l. halte
ſoll ein
1 hal⸗

Rü⸗
mmt,
orzi⸗
nnter
bern
ten,
ith⸗
ger
⸗
s
te

lezte Zeichen des Multiplikandi, und das lezte des
Multiplikanten addirt, und mit der Summe die⸗
ſer lezten Zeichen die lezte Zahl des herausgebrach⸗
ten Produkts bezeichnet, und mit Abſteigung der

Zeichen in dieſem Produkt bis zu den ganzen Ru⸗
then fortfaͤhrt. Zum Beiſpiel:

6 4⁹ 3 5“ 2“

55
2 5 7 4 % 8
3 2 1I 7 6
3 4 7⁰° 5 O“ 8
Anderes Exempel:
1 2 °5 6“ 7948*
3“ 4“
5 b 2 7 1 2
3 7 7 o 3z 4

4* 2“ 7“ 3 0*1 2 *
Gedenkt man ſich durch die Multiplikation
zwoer Zahlen eine Flaͤche zu beſtimmen, ſo muͤſ⸗
ſen jedesmal Ruthen unter Ruthen, Schuh un⸗
ter Schuh geſezt werden, im Fall bei einem oder
dem andern eine oder mehrere Stellen fehlen ſoll⸗
ten, ſo koͤnnen ſolche jedesmal durch Hinzuſezung
der Nullen ergaͤnzt werden, die Ruthen, Schuh,
Zolle, Linien beſtimmt man alſo: man ſezt auf
die lezte Zahl des Produkts das lezte Zeichen des
zu multiplicirenden Maaſes, welches in gegen⸗
waͤrtigem Beiſpiel (ò“) iſt, eignet demſelben zwo
Zahlen von der Rechten gegen die linke Hand zu,
und

4

uund faͤhrt ſo fort bis auf die Ruthen. 3. E.
die Flaͤche G'HB Fig. 37. Tab. III. ſei auszu⸗
meſſen.

HB halte = 24⁰ 5 3“ 267
HG aber = 9 7 0%
1I 7 I 7 2 4 0% 0
2 2 O0 7 8 8
Innhalt 2 3 7°9 6 % 4“ % 0

Es ſei Pig. 40. Tab. III.
AB — 409 5 66 767
AC = — D 077

on der Diviſion
des zehentheiligen Maaſes,

H. 10.

Bei der Diviſion hat man dreierlei zu be⸗
merken, entweder werden
1) Ruthen, Schuh, Zoll ꝛc. mit einer unge⸗
nannten Zahl dividirt, oder
2) Laͤnge Maas mit Laͤngen Maas oder
3) Quadrat Maas mit Laͤngen Maas.
IJI. Beiſpiele da Laͤngen Maas mit einer
ungenaunten Zahl dividirt wird.
Hier verfaͤhrt man wie in der gewoͤhnlichen
Diviſion in der Arithmetik z. E.
4 7°37 4 5 8 8⁰*
2: — —
2 350 65 79 2“ 9*

12)

ſin
R
N

+
—
—
—

S ☛

—

06

—ð . „ 9

12) 36 % 4“8“ 3““ 6 ʃ* . 3°04“ 0“ 3

* „*

3

— 4
4

0 80

4

—

*

00 62

6
6

Es ſeie ferner zu dividiren:
48 12½ 36 O0“

5 . 9* 62* 47“ 20“
II. Beiſpiele wo Laͤngen Maas mit Laͤn⸗
gen Maas dividirt wird.
Anmerkung. .
Die Zeichen des Quotienten werden gefunden,

wenn das lezte Zeichen des Diviſors von dem lez⸗

ten Zeichen des Dividendi ſubtrahirt, und der
Reſt auf die lezte Ziffer des Quotienten geſezt

wird. Zum Beiſpiel:
5·4 3) 86 7 3.“3.“3 — 9 15 9,77431.

5 4 3
3˙2 4 3
2 7 1 5
5. 2. 8. 3
4 8 8 7
— 3 9 0 3
3 8 ° 1
. I 6 2 9
1 6 2 9

0 Wuͤrde

rn

3 ⸗—
3⁰

Wuͤrde aber der Diviſor groͤſer als der Dividen⸗
dus ſeyn, ſo darf man an den Dividendum Nul⸗

len anhaͤngen, ſoviel man will, und ſolchen ihre

gehoͤrige Zeichen beiſezen. Zum Beiſpiel 2°4
ſollen dividirt werden mit 6°4

694 2 4.. O ( 3 7 5,
. 4 Ss o –
A4 4 3⁸
- 3 2 0

Auf dieſe Art verfaͤhrt man in allen dergleichen

vorkommenden Faͤllen, es kann aber gleichwol Faͤl⸗
lee geben, die ſich nicht aufheben laſſen, man mag
ſo viel Nullen anhaͤngen, als man will, in ſol⸗

chen Faͤllen kann man ſchon beim ten Zeichen

abbrechen, weil die uͤbrige Theile ſehr klein, und
folglich wohl ohne einen groſen Fehler zu begehen,
koͤnnen weggelaſſen werdnen.
III. Beiſpiele da Flaͤchen Maas mit Laͤn⸗
gen Maas dividirt wird.
Aufgabe.
Man ſoll aus dem gegebenen Inhalt Fig. 37.
Tab. III. und aus der gegebenen Hoͤhe HG die
Grundlinie HB finden.
Es ſeye der Innhalt = 2 37 6%4ο0ο“
Diie Hohe HG – 9°77.
“ Anmerkuun.
Hier muͤſſen die Zeichen des Diviſors mn des
Divi⸗

8
we

9107.

haie
den .
eine

ſhr

len
Fa⸗
mag
ſol⸗
ſchen
und
hen,

aͤm

31.
die

Dividendi, wenn ſie nicht gleich ſind, vorher
gleich gemacht werden, welches geſchiehet,
wenn man bei dieſem oder jenem das Fehlen⸗
de durch Nullen ergaͤnzt, z. E.
9°7%“ %“ 237 990˙040%“ 24 5˙3 2
194 . 00

Anmerkung.
Die Zeichen der Maaſe im Quotienten findet
man, wenn das lezte Zeichen des Diviſors
auf die lezte Zahl des Quotienten geſezt wird,
und ſo fort vorwaͤrts jeder Zahl im Quotien⸗
ten ein Zeichen zueignet, wie in gegenwaͤr⸗
tigem Exempel gezeigt worden.
Man koͤnnte auch Beiſpiele des 12 und 16
theiligen Maaſes anfuͤhren, da es aber einem je⸗
den leichter ſeyn wird, durch eine leichte als durch
eine weitlaͤuftige Rechnung das verlangte hervor
zu bringen, ſo ſind mit Fleiß derlei Rechnungen
aus⸗

ausge elaſſen un d uͦ kergangen worden; ja man muͤß⸗
te auch ſehr fur das Alterthum eingenommen ſeyn,
wenn man behaupten wollte, durch das 12 oder

16theilige Maas mehr Vortheile als durch das
Decimal Maas zu haben. Eine gruͤndliche und

ſehr leichte Anleitung zur Decimal⸗ Rechnung füͦr
allerlei F lle ſiehe im Anhang.

§. 12.

Decimal⸗ taas in Gemeines zu verwandeln.
Weil der Innhalt der Felder in den ſoge⸗

nannten Lager Buͤchern nicht nach dem Decimal⸗

Maas eingetragen iſt, ſondern nach dem im Lan⸗

ge eingefuhrten Maas z. E. nach der 16 ſchuhi⸗

den oder 12 ſchuͤhigen Ruthe u. ſ. w. ſo muß man

ſich in dieſem Fall immer nach der einmal einge⸗

fuhnen Ordnung richten; und weil der Feldmeſ⸗

ſer die Decimal Ruthe zu ſeinem Gebrauch wegen

der leicht zu fuͤhrenden Rechnung waͤhlet, ſo muß
man darauf bedacht ſeyn, wie ein jedes ans
in ein anderes koͤnne verwandelt werden, dieſes
aber erhaͤlt man wenn die Verhaͤltniſſe derſelben
gegen einander bekannt ſind.
Beiſpiele koͤnnen die Sache deutlich machen.
AB Fig. 44. Tab. III, ſei mit der Decimal⸗
Ruthe gemeſſen und gefunden worden 36 977395 4
man verlangt zu wiſſen wie viel das Maas nach
der roſchnhigen Ruthe betrage.
Aufloͤſung.

Weil. das Rilßen⸗Mant bei be beiden ch iſt,
ſo

Pft

dey toe
100
Ne
X“

loc

eer

Gene

ln; D

n

Gerf
ufi⸗

„ 1

ge

G

Get

Rð”ÿMA‧

— 43

is ſchneidet man gleich anfangs die 36 ab, bei
den noch uͤbrigen 735)“ ſpricht man nach §. 5.

er 1000““ geben 2304““ was geben 735““
.ds Nach der Reeſiſchen Rechnung aber:
und X“! gemeines Ms. 735““ Decimal⸗Ms.
n. 1000“ Dec. Ms. 2304““ gemeines Ms.

Fac. 1693 4388““ Linien.
Dieſen herausgebrachten Bruch 449 kann man
als eine Kleinigkeit weglaſſen, oder wenn es die
„ Nothwendigkeit erfordert, in Scrupel verwand⸗
ſc⸗ len; die gefundene Linien 1693 aber verwandelt
ſmi mman durch Diviſion mit 12 in Zoll, und die Zok
dun ebenfalls mit 12 in Schuh, ſo iſt geſchehen, was
Gihi man verlangt.
mnin 12 1693) 141 Zoll. 12] 141) 11 Schuh.
nge⸗ 12 ( 12

meſ⸗ —

egen 49 21
nuß 498 12
1 4 „ °
lk 1 dLinie.

Es waͤre alſo das vorgegebene Decimal⸗Maas
in gemeines Maas verwandelt = 36° Ruthen,

3 11/Schuh, 9“Zoll, 1) Linie.
ch §. 13.
Sechzehntheiliges Maas in Decimal⸗Maas zu ver⸗
wandlen. Zum Beiſpiel:
, 18 Ruthen, 9 Schuh, 11 Zoll, 7 Linien.
CE Hier

—. .

Hier muß alles auſſer den Ruthen zur kleinſten
Sorte verwandelt werden.
245
119

Nun ſpricht man: 3304““ geben 1000“; was

Und nach dem Reeſiſchen Saz:
2304“ gem. 1000““ Decimal.

PFac. 622“ Decimal⸗Lin.
folglich 18622“ Deeimal⸗Linien.
Anmerkung.
Auuf dieſe Art nun kann man ein jedes Maas
in ein anderes verlangte verwandeln. Ue⸗
berhaupt kann man mit der Deeimal⸗Rurhe
jedes Feld ausmeſſen, und das Maas, wel⸗

ches in der Gegend eingefuͤhrt iſt, beſtimmen.

Geſezt es ſeie der Fall: an irgend einem Ort
ſeie die Ruthe ſo 12 Schuhe haͤlt, eingefuͤhrt,
ſo darf man ſich nur die Ruthe deſſelben Orts

geben laſſen, ſolche in 10 gleiche Theile ein⸗

theilen, ſo hat man ja offenbar wieder eine
Deeimal⸗Ruthe, mit welcher man wieder wie
bisher verfahren kann. Es ſeie z. E. eine Li⸗
nie wie AB Fig. 24. Lab. II. gemeſſen, und
durch

D
uth
In

leins .
leinſin durch die Decimal⸗Ruthe gefunden worden,

55 5 4““, man verlangt das Maas nach
der eingetheilten 12theiligen Ruthe.
Aufloͤſung.
Auch hier ſchneidet man gleich Anfangs die
55 ab, mit den uͤbrigen 9‧54“ verfaͤhrt man
nach F§. 5. MUE
1000“ geben 1728“ was geben 9‧594““
Ausarbeitung nach dem Reeſiſchen Saz.
X“” Duod. Mo. 954“ Dec. MA.
3 was 10007“ Dec. Ms. 17286*

Fac. 16481235“ Duod. Ms.
Dieſen Bruch 12323 laͤßt man als eine Kleinig⸗
keit weg, die uͤbrige 1648“ aber verwandelt man
durch die Diviſion mit 12 in Zoll, die Zoll mit
u. 12 in Schuh und die Schuh wenn es noͤthig iſt

n. in Ruthen, ſo hat man das verlangte. Z. E⸗
12 11 16 844 ( 12976
Mo83 = 12 37
Nthe. 244
, H 36
mmen.⸗ 88
1 D 8 4 S
4* 4 Linien,
1 . 12 137 (11
ein⸗ 12 )
jeint
r nuie .⸗1272
eeiGs 12

utch 2 mitz

mithin waͤre bas verlangte Maas = 55 Ruthen

4

11 Schuh 5 Zoll und 4 Linien.

Weil das Extrahiren der Wurzeln nicht je⸗
dermanns Sache iſt, und man oͤfters beim Meſ⸗

ſen auf dem Feld nicht ſo viel Zeit anwenden kann,

die Wurzeln zu extrahiren, ſo wird das Kapitel

von Ausziehung der Wurzeln hier uͤbergangen.
Wenn es aber einige geben ſollte, welche das Extra⸗
hiren der Wurzeln lernen wollen, ſo finden ſie im

Anhang eine zu dieſer Abſicht beſtimmte Anleitung.

Denjenigen aber, die nicht Gebrauch davon ma⸗
chen wollen, wird hier eine Tabelle eingeruͤkt,

worinnen ſie die Wurzeln bis auf 500 ſchon aus⸗

gerechnet finden können.
Tabelle fuͤr die Quadratwurzeln von 1 bis 500.
auadr. Wurz.] Quadr. Wurz. Quadr. Wurz.

1 T 196 14 729 27
4 2 225 15 784 28
9 3 256 16 841 29
16 4 289 17 900 30
25 5 324 18 961 31
36 6 361 19 1024 32
49 7 40⁰0 20 1089 33
64 8 441 21 r1I56 E34
81 9 484 22 1225 35

IOOoO 100 529 23 1296 36
rzZI rI 576 24 1369 37
144 12 625 25 1444 38
69] 131 676 26] 1521] 39

duth

nict i

n Ueß

n kann,
Kptel
Gngen.
Entn
n ſein
l
n m
Neritt,
1 Alc,

37

e

QOuadr. Wurz.] Quadr. wurz. Quadr. [wurz.
1600 40 5041 71 I0404 102
1681 41 5184 72 10609 103
1764 42 5329 73 II816 104
1849 43 5476 74 IIO25 105
1936 44 5625 75 II236 106
2025 45 5776 76 11449 107
2116 46 5929 77 11664 108
2209 47 6084 78 II881I 109
2304 48 6241 79 12100 1I10
2401 49 6400 80 12321 111
2500 5 6561 81 12544 112
2601 51 6724 82 12769 113
2704 52 6889 83 12996 114
2809 53 7056 84 13225 115
2916 54 7225 85 13456 116
3225 55 7396 86 13689 117
3136 56 7569 87 13924 118
3249 57 7744 88 14161 119
3364 58 7921 89 14400 120
3481 59 8100 90 14641 121
3600 60 8281 91 14884 122
3721 61 383464 92 15129 123
3844 62 8649 93 15376 124
3969 63 8836 94 15625 125
4096 64 9025 95 15876 126
4225 65 9216 96 16129 127
435606 66 9409 97 16384 128
4489 67 9604 98 16641 129
4624 68 9801 99 16900 130
3761 69 10000 100 17161 131
4900 70! 1020 10I 17424 132

38

Quadr.

Wurz.

Cuadr.

Quadr.

wurz

17689
17956
18225
18496
18769
19044
19321
19640
19881
20164
20449
20736

21025
21316
21609

21904

22201

22500

22801
23104
2340⁰9

23716

24336

124649

24967
25281

25600
250921
26244
[26569

133

134
135
136

137
138
139

140

141
142
143

146
147

148

149
1750
151
152
153
154
155
156
157
158
159

160

161
162

163

26896
27225

27556
27889

28224

28561
28900

29241
29584
29929
30276
144
145

30625

30⁰976
31329
31684
32041

32400
32761

33124

33489
33 880
3422

34595
34969

35344
35721
36100
36481
36864

37249

37636

164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175

177
178

181

183
184
185

188

190
191
192
1193
194

176
179
180
182

186

189

38025
38416
38809
39204

39601

40000

40401

40804
41209

41616

42025
42436
42849
43264
43681

44100

44521

—44944

45369

45796
46225

46656

47089
47524

47961

48400
48841
49284

49729

50179

50625

195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209

211
212
213
214
215

217
218
219
220
221
222

224
225

210

216

223

asse—

Se
S=

— — —

— —

— SM. ᷣ0— ‚⏑ ⏑

er —
—,— — —

—
—
mimim— — —

195
196
197
198
199
200
201

39

203

210

Quadr.

Wurz.

Quadr.

Wurz.

Ouadr.

Wurz.

515 29
51984
52441

52900

53361
53824
54289

54756

55225
55696
56169
56644
57121
5760⁰0
58081
58564
59949

59536

60025

60516
61009

61504

63054
64009
64516

65025

51076

62001
62500
63001

226
227
228
229

230

231
232
233
234
235

236

237
238
239
240
241

242

243
244
245

247
248
249
250
251
252
253
254
255

65536
66049

66564
67081

67600

68121
68644
69169

69696

60225
70756
71289
71824

72361

72900

73441

73982
74529

75⁰79
75625
76176

76729

77284
77841

78400

78961
79524
80089

80656

81225

256
257
258

259

260

261 †

262
263

264

265
266
267

268
269
270

271

273
274
275
276

277

278
279
280
281
282
283
284
285

81796
82369
82944
83521
84100
84681
85264
85849
86436
870⁰25
87616

88209

88804
89401
90000

90601

91204
91809
92416
93925
93636
94249
94864
95481
96100
96721
97344
97969
98596

99225

286
287
288
289

290

291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310⁰
311
312
313
314
315

EC 4

4

——

Ouadr. Wurz.

Quadr.

—

100489

101124

101761
102400

103041
103684
14329
104976
105625
106276
106929
107584

108241

108900
109561
1IOZ24

110889
111556
112225
112896
113569

114244
I1II4921

115600
116281
116964
117649

118336
119025

IO210

99856

316
317

318
319
320⁰
321
322
323
324

325

326
327
328

329

330⁰
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343

344

345
346

120409
121104
121801
122500
123201
123904
124609
125316

126025

126736
127449
128164
128881

129600

130321

131040

131769
132496
133225

133956

134689
135424
136161
136900
137641
138384
139 129
139876
140625
141376
142129

wurz.

347
348
349
350

351

352
353

354

355
356
357
358
359
360
361
362
363
364

365

366
367
368
369
370
37 1
372
373
374
375
376
377

Quadr.

159201

142884
143641
144409
145161
145924
146689
147456
148225
148996
149769
150544
151521

152821

153664
154449
155236
156025
156816
157609

158404

160000
160801
161604
162409
163216
164025
164836
165649

166464

wurz.

378
379
38⁰

381

382
383
384
385

386
387
388
389
390

391

392

393
394
395
396
39'N

39 8

399
400
401
40⁰²
403
4⁰4
405
406

407

408

—

4

AQuadr.

Wurz.

Quadr.

Wurz.

Quadr.

Wurz.

167281
168100
160921
169744
170569

171396

172225
173056

173889

175561
176400
177241
178084
178929

179776
180625
181476

182329

183184

184041
184900
185761
186624
187489
188356
189225
190096
190969
191844
221

174724

409

410

411
412
413
414
415

4¹18
419
4²⁰
4²1

4²³
4²4
4²5
4²6
427
428
4²9
43⁰
43
43²
433
434
435

439

416
417

422

193600

194481

195364

196249
197136
198025
198916

199809

200704
201601

202500

203401

204304
205209

206110
207025

207936
208849

209764

210681
211600
212521

213444

214369
215296
216225
217156

218089
437
438

219024

210961

229900

440
44 1
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
4⁵1
462
463
464

465

466
467
468
469

221841

222784

223729

224676

225625
226576
2275 29
228484

229441

23040900
231361
232324

233289

234256
235225
236196
237 169
238144

239121

240100

241081

242064
243049
244036
245075
246016
247009
248004
249001
250000

471
47²
473
474
475
476

477

478
479
480⁰0
481
482

483

485
486

487
488
489
490
491

492
493

494
495
496
497
498

499

5⁰⁰ο

—☛

S

5

1
õü

Der Gebrauch dieſer Tabelle wird keine be⸗
ſondere Erklaͤrung noͤthig haben, man ſucht nem⸗
lich in der Columne Quadrat diejenige Zahl,
aus welcher man die Wurzel verlangt, trift ſie
mit einer andern in der Tabelle uͤberein, ſo iſts
gut, wo nicht, ſo nimmt man diejenige, ſo ihr
am naͤchſten, alsdenn ſteht neben derſelben in der
Columne Wurzel die geſuchte Wurzel⸗Zahl.
Z. E. Man wollte in dieſer Tabelle die Wur⸗

zel aus 30659 ſuchen, ſo findet man zwar dieſe

Zahl, aber es treffen nur die 3 erſten Ziffern
mit einander uͤberein, und die Wurzel waͤre alſo
175⸗ Wuͤrde man die folgende 30976 waͤhlen,

ſo wuͤrde fuͤr die Wurzel zu viel herauskommen,

wo hingegen bei der erſten nemlich bei 30659 der

Fehler nicht ſo groß waͤre. Man koͤnnte dieſe

Tabelle noch weiter fortſezen, wenn man die fol⸗
gende Zahlen der natuͤrlichen Zahlen⸗ Ordnung
mit ſelbſt multiplicirte, da dann allemal eine
Quadrat⸗Zahl herauskommt, z. E. fuͤr Serz iſ
die Quadrat⸗Zahl = 25 1001. Dieſe T
belle hat auch darinn ihren Nuzen, wenn man
eine Zahl quadriren ſoll, man darf nur die Zahl
in der Columne wurzel aufſuchen, und man
wird alsdenn neben ihr finden in der Columne
Quadrat die geſuchte Zahl. Z. E. es ſei zu
quadrixen 224. Dieſe Zahl hat neben ihr in der
Columne Quadrat 5079.

§. 16.

leine be⸗
iht nem⸗
trift ſie
ſo iſts
ſ ihr
in der
2 Wur⸗
war diſe
Difen
Nine al⸗
ilen,
imen,
, der
dieſe
e ſol⸗
mung
ane
l iſt
. Tu
mun
N
Min
une
zn
der

— ===——

§K. 16.
Wenn die Zahl worauns die Wurzel begehrt
wird, Ruthen ſind, ſo iſt begreiflich, daß in der
Wurzel auch Ruthen heraus kommen muͤſſen; wuͤr⸗
den aber neben den Ruthen noch Schuh, Zolle,

Linien ſtehen, ſo hat man nur dieſes zu merken,
daß, wenn das Zeichen, womit die lezte Zahl

bezeichnet worden, ungerad iſt, ſo muß an die
Zahl, aus welcher eine Wurzel geſucht wird, ei⸗
ne Nulle angehaͤngt werden, um ein gerades Zei⸗
chen zu bekommen. Die Zeichen fuͤr die Wur⸗
zel aber ſindet man: wenn das lezte Zeichen,
woraus Wurzel gezogen, halbirt, und mit dieſer
Haͤlfte die lezte Zahl der Wurzel bezeichnet wird;
dieſes iſt die Urſache, warum man eine Nulle bei⸗
ſezen muß, wenn das lezten Zeichen ungerad iſt,
weil man es ſonſt nicht halbiren kann.

Zum Beiſpiel aus 24 °%°“““ ſoll die Wur⸗

zel in der Tabelle geſucht werden. Weil hier das

lezte Zeichen auf der Zahl 9 ein ungerades Zei⸗
chen iſt, ſo muß man noch eine Nulle anhaͤngen,
damit man ein Zeichen erhalte, welches gerade
und alſo im gegenwaͤrtigen Fall (“) iſt. Nach
dieſem ſucht man dieſe Zahl in der Columne
Quadr. gibt fuͤr die Wurzel beinahe 496. Das
lezte Zeichen“⸗ halbirt gibt “. welches auf die
lezte Zahl der Wurzel welches hier 6 iſt, muß
geſezt werden, ſo bekon mt man: 4: 4 19,07 das
iſt, 4 Ruthen 9 Schuh und 0 Zoll.

Anmer⸗

Anmerkung.

Die in H. 9. bis J. 16. gegebene Regeln die
Bezeichnung der Zahlen betreffend, findet

man deutlicher in der im Anfang angehaͤng⸗

ten Decimal⸗Rechnung und Extraktion der

Algemeine Erklaͤrungen der Linien, Win⸗

keln und der Figuren.

Daß es zweierlei Linien, krumme und gera⸗

de, gebe, iſt jedermann ohne Erklaͤrung bekannt;
man muß ſich aber huͤten, daß man krumme und

ſchiefe nicht fur einerlei Linien halte.
Eine Perpendikularlinie iſt, die auf einer
andern Linie oder Ebene aufrecht ſtehet, daß ſie
auf keine Seite mehr hangt, als auf die ande⸗
ve, wie Fig. 3. Tab. I1I. die Linie DC auf AB
ſtehet. Hangt aber die Linie mehr auf die eine
als auf die andere, wie Pig. 4. HF auf EG, ſo
heißt die Linie ſchief.
MVMV FK. 19.

Parallel⸗Linien ſind, die neben einander her⸗

gebhen, und uͤberall einerlei Weite haben. Wenn
ein Wagen oder Karren fortgezogen wird, ſo
machen die Raͤder auf der Erde Linien, und
dieſe ſind parallel.
=èð H. 20.

tdete
entſcc⸗
en
kas,
Ade⸗
ſe anf
nigt
Pütte
hen
de
win
G
d

Und
beet
lie
W
R

le

ggeln die

ſidet

pehing⸗
ktin de

Pl⸗

enn

§. 20.
Wenn auf eine gerade Linie A PFig. 5. eine
andere BC ſchief oder aufrecht gezogen wird, ſo
entſteht ein Winkel, der Punkt B, wo beede Li⸗
nien zuſamen ſtoſſen, heiſet die Spize des Win⸗
kels, die beede Linien BC und AB aber die Schen⸗
kel des Winkels. Wenn ſich die Linie BC wei⸗
ter aufthut gegen E, ſo wird der Winkel groͤßer;
neigt ſie ſich aber weiter gegen A, ſo wird der

Winkel kleiner. Einen Winkel zeigt man durch

einen kleinen Buchſtaben an, der in den Win⸗
kel eingeſchrieben iſt, zum Beiſpiel hier Fig. 5.
wuͤrde es heiſſen, der Winkel o. Oder zeigt man
den Winkel mit den drei Buchſtaben an, welche
die Schenkel anzeigen, ſezt aber den Buchſtaben
an der Spize des Minkels in die Mitte. Es
wird alſo der Winkel o auch alſo angezeigt: Win⸗
Es gibt dreierlei Winkel, rechte, ſtumpfe
und ſpizige. Ein rechter Winkel iſt, wo ſeiune
beede Schenkel aufrecht aufeinander ſtehen, wie
Fig. 6. Ein ſtumpfer Winkel iſt derjenige, ſo
groͤßer als ein rechter, wie Fig. 7. Ein ſpiziger
Winkel aber, welcher kleiner als ein rechter,
wie Fig. 5. S
F. 22. .
Ein Triangel iſt eine Ebene, die in drei
Linien eingeſchloſſen iſt, wie Fig. 8. Wenn man
eiinen

— =—

einen Triangel in Abſicht auf die Winkel betrach⸗

tet, ſo gibt es dreierlei, nemlich rechtwinkelichte “

wie big. 9. worinnen zwei ſpizige, und ein rech⸗
ter Winkel; oder ſtumpfwinkelichte, wie Fig. 10.
worinnen ein ſtumpfer und zwei ſpizige Winkel
ſind, oder ſpizwinkelichte, wie Fig. 8. worinnen
alle drei Winkel ſpizig ſind. Man kann aber auch
einen Triangel nach ſeinen Seiten betrachten;

hat der Triangel 3 gleiche Seiten, wie Fig. 8.

ſo iſt er gleichſeitig, ſind nur 2 Seiten einander
gleich, ſo iſt es ein gleichſchenkelichter Triangel;
ſind aber alle 3 Seiten einander ungleich, wie
dig. 10. ſ iſt es ein ungleichſeitiger Trtmmgel.

§. 23.

Vaon den vierekichten Figuren kommen ſech⸗
ſerlei Gattungen vor: 1) das Qnadrat, welches
4 gleiche Seiten und 4 gleiche Winkel hat, wie
Fig. II.
20 Das Rektangulum Oblongum der ver⸗
laͤngerte Vierek, hat 4 rechte Winkel, aber nur
die Seiten, welche enander entgegen ſtehen,
ſind gleich wie Fig. 12.
3) Ein Rhombus hat vier gleiche Seiten,
aber ſchiefe Winkel, und welche einander entge⸗
gen ſtehen, ſind gleich, Fig. 13.
4) Ein Rhomboides hat 4 ſchiefe Winkel,
und die einander entgegen ſtehende Seiten und
Winkel ſind eich, wie Fig. 14.

Anmer⸗

—
=
— —

. = —

e
bel

t

Dl
kllicht,
iin rech⸗
kig.l0.
Wurt
rinnen
ber anch
tucte;
li8.
nther
unge;
wie

und

Anmerkung.
Dieſe viererlei Figuren heißt man insgemein
Parallelogramme, weil ihre gegenuͤber ſte⸗
hende Seiten parallel ſind.
5) Trapezium, iſt ein ungleichſeitiges Vierek,
woran aber noch zwei Seiten miteinander parallel
gehen, wie Fig. 15. M
6) Trapezoid, iſt eine ganz irregulaͤre Fi⸗
gur, wie Fig. 10.

§. 24.
Wenn Figuren mehr als vier Seiten haben,

ſo nennt man ſie Bieleke. Z. E. 5 Ek, 6 Ek,
7 Ek ꝛc.

Auf dem Feld eine gerade Linie zu ziehen.
Eine Linie wird auf dem Feld mit 2 Staͤ⸗

ben abgeſtekt, oder es wird eine Schnur ange⸗

ſpannt, und nach dieſer werden die Furchen und
Graͤben abgeſtochen. Man hat aber oͤfters ſolche
lange Linien, daß man keine ſo lange Schnur
bei der Hand hat, und in ſolchem Fall muͤſſen
mehrere Staͤbe in gerader Linie geſtekt werden,
welches geſchieht, wenn man ſich einige Schritte
hinter den einen Stab ſtellt, uns ſich den Zten
und 4ten ſo einſteken laͤßt, daß man ſie alle in
einer vertikalflaͤche ſtehen ſieht, alsdenn ſind alle

in gerader Linie, wo man hernach Stozen einſchla⸗

gen, und Markſteinen einſezen kann. MR
Karkkein 6. .6.

F. 26.
Auf dem Feld eine Perpendikular⸗Linie auf eine
uuin,dere Linie aufzurichten.

Man ſezt die Winkel⸗Scheibe auf den Punkt
C Fig. 17. wohin der Perpendikul aufgerichtet

werden ſoll, und dreht ſie ſo lang, bis man durch
das Abſehen den Stab B deutlich ſiehet; in die⸗

ſem Stand laͤßt man die Winkel⸗Scheibe unbe⸗
weglich in der Erde ſtehen, und ſieht durch das
andere Abſehen gegen D, und laͤßt ſich alsdenn

in dieſer Gegend einen Stab in D ſteken, ſo iſt
die Linie DC auf Aß perpendikular.

Auf dem Feld eine Parallel⸗Linie mit einer
—= andern zu ziehen.
Man nimmt auf der gegebenen Linie zwei
Punkte an, wie A und B Fig. 18. Tab. 2. und
richtet 2 gleich groſſe Perpendikular⸗Linien AC
und BD auf, §. 25. und ſtekt an deren Ende
Staͤbe ein, ſo kann man von C gegen D eine Li⸗
nie ziehen, die parallel mit AB ſeyn wird.

EEiine gerade Linie zu meſſen.

Es iſt bei Meſſung einer Linie begreiflich,
daß man die Meßſtange ſo oft als miglich an⸗
ſchla⸗

in!
dur
len
G

— rr- – —

— = =

—— — —

f eine

Punkr

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amde
urh N

Won
ei

tei
1
en M.
Erd
ge

n⸗

gle

ſchlagen muͤſſe, um ihre wahre Laͤnge zu erfahren.
Es gibt aber Linien, die ſehr lang ſind, und bei
ſolchen zaͤhler man mit der Ruthen⸗Zahl nicht in
einem fort, weil man im Zaͤhlen irren und feh⸗
len kann, ſondern man zaͤhlt etwa 10, 15, 25

bis 30 Ruthen, und ſchreibt dieſelbe ordentlich

auf in die Schreibtafel, welche ein Feldmeſſer
immer bei der Hand haben muß, und ſo fort bis
zu Ende der Linie, alsdenn addirt man die abge⸗
meſſene Stuͤke zuſammen, die Summe iſt die
Laͤnge der Linie. HW
Anmerkung. r
Bei Meſſung einer Linie mit der Kette bedient
man ſich des Vortheils, indem man ſich ei⸗
ne Parthie kleiner Vorſtek⸗Staͤbe verfertigt,
von welchen man bequem 10 bis 15 bei ſich
im Sak tragen kann, man uͤberhebt ſich da⸗
durch des Zaͤhlens der Ruthen, auch koͤn⸗
nen dadurch grobe Fehler vermieden werden.
Ehe man mit der Kette eine Linie wirklich
ausmißt, ſo muß vorher ihre Richtung be⸗
ſtimmt ſeyn, wenn man nicht nach den Mark⸗
ſteinen zu meſſen hat, das iſt: man ſtekt
vermittelſt zweier Staͤbe die Linie vorher ab.
Da bekanntlich wenigſtens 2 Perſonen ge⸗
genwaͤrtig ſeyn muͤſſen, ſo nimmt derjenige,
welcher ſich an dem vordern Theil der Ket⸗
re befindet, die oben erwaͤhnte Vorſtekſtaͤ⸗
be zu ſich, und geht mit der Kette vor⸗
waͤrts, indem der andere den Kettenſtab an
dem Anfang der Linie i die Erde ſtekt, iſt
die

die Kette wirklich ganz ausgezogen, ſo laͤßt
. man den vordern Kettenſtab nach dem aus⸗
geeſtekten Stab richten (§. 25.) iſt die Rich⸗
tung in Richtigkeit, ſo wird die Kette ſtark

angezogen, und an deren Ende einer von den
Vorſtek⸗Staͤben eingeſtekt, in dieſer Rich⸗

tung gehen beede mit der Kette fort, und
verfaͤhrt beim 2ten, Zten ꝛc. Kettenzug wie

veinn erſten. Iſt nun auf dieſe Art die gan⸗

ze Linie gemeſſen worden, ſo wird nachgeſe⸗
hen, wie viel von denen Vorſtek⸗Staͤben vor⸗

geſtekt worden ſeien, ich ſeze den Fall, es

ſeien 12 dergleichen Staͤbe vorgeſtekt wor⸗

den. Iſt die Keite 5 Ruthen lang geweſen,

ſo darf man nur 5mal 12 nehmen, ſo ergibt
ſich die ganze Laͤnge der Linie in Ruthen,

nemlich 600. Waͤre aber die Linie ſo lang,

daß durch das odͤftere Ausſpannen der Kette
die Vorſtek⸗Staͤbe nicht hinreichend waͤren,

ſo muß in dieſem Fall damit gewechſelt wer⸗

den, das iſt, der am hinterſten Ende muß

len, ſo geben ſolche 45 †+ 5 = 5Homal 5 =
250 Ruthen fuͤr die ganze Laͤnge der Linie

ſeine geſammelte Staͤbe wieder an den vor⸗
dern abgeben, ſo oft es noͤthig iſt, ich ſeze
den Fall, man haͤtte beim Anfang 15 Vor⸗
ſtek⸗Staͤbe zu ſich genommen, und waͤhrend
dem Meſſen zmal gewechſelt, und uͤberdiß

noch § deraleichen Staͤbe uͤber das Zte wechs⸗

an. Uebrigens wird man leicht einſehen,
daß man auf alle Unbequemlichkeiten, wel⸗

che

Eder
Geſr
nigt⸗

Er n

nd

ſo liß
dem aus
die Rich⸗
tte ſtark
bon den

et, und

eneg die

in e gw⸗

nucheſ⸗

iben wwr⸗

l , 4

ſin wu⸗
geweſen,

Ruthen,
ſ lang,
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waͤren,
ſeln wer⸗
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den por⸗
ih ſ
I5 Ar⸗
“ end
ſterdiß
vechs⸗
15=
r Linii
nen,
wel⸗

che

ſo ergit

—— 51

che hie und da vorkommen koͤnnen, genau
Adchtung geben muͤſſe, um theils grobe Irr⸗
thuͤmmer zu vermeiden, andern theils aber
dadurch die Lange der Linie ſo genau als moͤg⸗
lich zu beſtimmen.
Aufgabe.
Eine gerade Linie zu ziehen, wo man von

keinem Endpunkte zum andern, auch nicht aus ei⸗

nem darzwiſchen liegenden Punkt ſehen kann.
“ Aufloͤſung.
Von A bis C Fig. 68. Tab. V. ſeie ein

gerader Weg durch einen Wald zu machen, das

Geſtraͤuche und die Baͤume des Waldes laſſen es
nicht zu daß man von A nach C ſehen kann, wohl
aber kann man von A nach B in gerader Linie ſe⸗
hen und meſſen, daher waͤhle man die Linie A B
zu einer Standlinie, und ziehe ſolche ſo lang fort,
bis man auf den Ort C von B aus kann einen Per⸗
pendikel fallen laſſen, ſo wird ein rechtwinkelich⸗
ter Triangel ACB ſtehen. Nun mißt man
die Linie AB und ſchlaͤgt in waͤhrendem Ahmeſſen
alle 5, 10, 15, 20 ꝛc. Ruthen, z. E. in der

Figur in ig und e Pfaͤhle ein; weiters mißt man

auch den aͤuſſern Perpendikel BC, ſo wird ſich
verhalten AB: Ae = BC: ed. das iſt nach der
Feldmeſſerſprache: die Linie AB gibt die Hoͤhe
BC, was fuͤr eine Hoͤhe gibt die Linie Ae: das
herausgebrachte wird zeigen, wie weit von dem
Punkt e nach d muͤſſe gemeſſen werden.
Ferner AB: Ag= BC: gf. und
D 2 “”c

52 —

das iſt:
Aß gibt B0, was gibt 4 A9: und
Alß gibt B0, was gibt ih?
Het man die angenommene Verhaͤltniſſe ausge⸗

rechnet, ſo werden die gefundene Maaße aus den

angenommenen Punkten perpendikular auf der Li⸗
nie AB aufgetragen, und an deren Endpunkte

wieder Pfaͤhle eingeſchlagen, daß man von Cnach

d, von d nach f, von f nach h und von h nach A
eine gerade Linie ziehen kann. Um den gemei⸗
nen Feldmeſſer hierin noch beſſer zu belehren,
ſo ſoll gegenwaͤrtiges Beiſpiel in Zahlen beige⸗
ſezt werden.
Es ſeie die Linie AB = 200
L BC = 100*
von A nach e – 150⁰°
von A nach g = 1005
von A nach i – 500
iſt die Berechnung nach Neeſiſher Manker alſo: .
H 5 X ed 1500 Ae *
200 100° BC
Fac. 75 5° muͤſſen von e nach d
petpendikular abgemeſſen und bei d ein Pfahl ein⸗
geſchlagen werden.
) Xo gt roo Ag
„ 4A 200 100° BC

e Fac. 50⁰ von 8 nach f.
II) Xoih 500 Ai
AB 200 %N 100° BC

kac. 25 von i nach h.
An⸗

Pn
We
nol⸗
ißt
ſiſte
aher
lictf
ie
Cpe

D

muge
as den
uf der Li
enbpurke

n nh

1 nnc 4
gemii⸗
Aehren,
n Ege⸗

Anmerkung.
Auf dieſe Art laͤßt ſich zwar eine gerade Linie
ziehen, ſezt aber voraus, daß man eine ſchik⸗
liche Standlinie wie AB ziehen koͤnne; . mit⸗
hin die Art nicht allgemein iſt. DHZ

§F. 29.
Eine Linie horizontal zu meſſen.

Ehe man eine Horizontal⸗ ⸗Linie oder Hori⸗
zoutal⸗Flaͤche ausmeſſen will, muß man vorher
wiſſen, was eine Horizontal⸗Linie oder Horizon⸗
tal⸗Flaͤche ſeye. Um ſich aber einem Feldmeſſer
recht nach ſeiner Sprache verſtaͤndlich zu machen,
ſo iſt eine Horizontal⸗Flaͤche diejenige Ebene, auf
welcher eine Kugel liegen bleibt, oder das Waſſer

nicht fort lauft; die Horizontal⸗ LLinie aber iſt die⸗

jenige Linie, ſo auf einer horizontalen Ebene fort⸗
gezogen wird. Nun wird man erſt verſtehen,

daß eine Horizontal⸗Linie, und eine andere, wel⸗

che Berg aufgeht, nicht einerlei ſeyn kann.
Es ſei die Weite von A bis B uͤber den Berg

AC Pig. 18. TLab. I. zu meſſen, ſo iſt offenbar,

daß, wenn man von A uach C hinauf, und von
Cwieder herunter nach B mißt, es viel mehr Ru⸗
then geben muß, als wenn man gerade haͤtte
durchmeſſen koͤnnen, nemlich von A nach B, wel⸗
ches die Horizontal⸗Linie iſt, weil allemal uͤber ei⸗

nen Berg ein groſſer Umweg iſt. Wenn nun an
3 ber⸗

S.

bergigten Orten ſtatt der Linie AC und CB die

Horizontal⸗Linie gemeſſen werden ſolle, ſo heißt

man es horizontal meſſen. Man verfaͤhrt hiebei
alſo: In A ſtekt man einen Stab aufrecht, und
legt die Stange man horizontal an die Anhoͤhe n

und den Stab a, ſo hat man die erſte Horizon⸗

tal⸗Ruthe, weil min ſo groß als AF. In n
ſtekt man wieder einen Stab b, und legt daran

die Stange pq, ſo hat man die zweite Ruthe,

und auf dieſe Art faͤhrt man fort, bis auf die
Hoͤhe C des Bergs, und von da herunter bis
zu dem Punkt B. Das Augenmaas iſt hinrei⸗
chend, die Stange horizontal zu legen, weil es
vei ſolchem Meſſen nicht viel betraͤgt, ob die Stan⸗
ge 1 oder 2 Zoll uͤber oder unter die horizontale

Lage kommt: doch kann man ſich auch einer all⸗

gemeinen Eezwage bedienen, wenn man genauer

verfahren will. Auf dieſe Art werden die Linien
an den Aeckern, ſo an ſteilen Vergen liegen, und

Weinberge gereſſen.

ene Linie in zwei gleiche Theile zu theilen.

Man ſpannt von dem einen Ende der Linie
eine Schnur bis zu dem andern, und legt ſie dop⸗

pelt zuſammen, ſo hat man die Helfte, oder man

mißt die Linie mit der Meßſtange, und halbirt

die herausgebrachte Ruthen, ſo iſt ſie in zwei glei⸗
ge Theile getheilt. ſo iſt ſi zwei 9

gie iten
ſede
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ſite
ſite
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W⸗
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t Ainie
e dop⸗
t mar
glbirt
i⸗

Von

Von den Maaſen in der Planimetrie.
. z1. mnerie

Flaͤche ſich eines Maaſes bedienen, das der aus⸗
zume ſſenden Flaͤche aͤhnlich iſt, das iſt, eine Flaͤ⸗
che muß wieder durch eine Flaͤche ausgemeſſen

werden. Dieſes Flaͤchen⸗Maas nennt man Qua⸗

drat⸗Maas, weil die Flaͤche, mit welcher man
ausmißt, ein Quadrat ſeyn muß, insbeſondere
aber Quadrat⸗Ruthen, Quadrat⸗Schuhe ꝛc. die
nicht nur eine Ruthe oder Schuh lang, ſondern
auch eben ſo breit ſind. Man ſiehet leicht aus
Fig. 10. Lab. 2. daß eine Quadr. Ruthe, weil

ſie auch zugleich eine Breite hat, nicht auch 10

Schuh halte, wie die Laͤngen⸗Ruthe; ſondern daß

die Linie CD 10 Schuh habe, und 10 dergleichen

Reihen ſeien, folglich die Quadrat⸗Ruthe 10mal
10 Quadrat⸗Schuh, d. i. 100 halte. Eben ſo

haͤlt die 12ſchuhige Ruthe 12 mal 12 oder 144

Quadrat⸗Schuh, und die 16 ſchuhige Ruthe 16 mal
16 Quadrat⸗Schuhe. Der Quadrat⸗Schuh hat

im 12 und 16theiligen Maas 144. U1. Zoll der

C1 Zoll 144. HQ. Linien. Es hat demnach im

Man hat ſich bisher bei Ausmeſſung der Li⸗
nie eines Maaſes bedient, welches den auszu⸗
meſſenden Linien aͤhnlich war, das iſt, man hat
eine Linie wieder mit einer Linie ausgemeſſen; auf
gleiche Art nun muß man bei Ausmeſſung einer

——

die 10 ſchubige Ruthe. 12 ſchuhige R.
Schuh⸗ 100 biged. e bugteen.
Zolle = 10000 20736 36864
Linien = 1000000 2985984 [5308416
Serup.=Foooοο 429981696 764411904

§. 32.

Die Ruthen, Schuh, Zolle werd
en
net wie im Laͤngen⸗Maas. Ob aber .

oder Quadrat⸗Maas darunter verſtan
erhellt theils aus den Umſtaͤnden, ſe enm den
dem Inhalt eines Feldes die Rede iſt, ſo weiß
man ſchon, daß es Quadrat⸗ Maas ſeie, theils
wird es deutlich hinzugeſezt, und dem Zeichen ein

Quadruͤtlein (◻Ü beigefugt, z. E. 345678 H“.

Das groͤſte Feloutnas wird im A

Ruthen, jede zu 16 Schuh. Ein halber Mor⸗

gen alſo 75 Quadrat⸗Ruthen, ein Vrtl. 37 ⅞ Ru⸗

dn Ein Jauchardt, Mannsmad, Tagwerk
iſt 1 ½ Morgen, mithin 225 Quadrat⸗ Ruthn.

8. 34

Aus bisherigem kann m
an nun Deeimal⸗
alen lac welches wir ins kuͤnftige brauchen
wo en, leicht in kleinere Sorten verwandlen, man
“ darf

41

Wuͤrtember⸗
aiſche Morgen oder Jauchardt, Mannsmad, Tag⸗
werk genannt. Ein Morgen haͤlt 150 Quadrat⸗

darf
Me
0
Pnk
en,
N
Gel
ſe⸗
e
den
en

hiceh.

416

ugo⸗

geſech
ingen⸗
werbe,
nn don
waß
en ein

nber⸗

Vig⸗
dea⸗

Mor⸗

NH

reack

n.

n⸗
hen
un
ef

87

darf nur 2 und 2 Nullen anhaͤngen, ſo kommen
Schuh, wenn es vorher Ruthen waren, oder
Zolle, wenn es Schuhe ſind, ſo ſind zum B.
45 = = 4500â— = 450000◻1*. oder wenn
man kleinere Sorten in größere verwandlen will,
ſo darf man nur zwei und zwei Ziffern abſchnei⸗

den, ſo ſind z. E. 73453435“ = 73⁰, 45 9

349, 35““. Hieraus erhellet ſogleich, daß, wo

zwei und zwei Zahlen abgeſchnitten, oder unter

einerlei Zeichen ſtehen, daß es Quadrat⸗Maas

ſeie. Wenn groͤßere und kleinere Sorten vorkom⸗

men, darf man ſolche nur aneinander ſezen, wuͤr⸗
den aber in der Mitten Stellen fehlen, ſo muß
man ſie mit Nullen ausfuͤllen, z. E. man haͤtte
45° 12“ 8“, ſo muß man ſezen: 45° 12‧00“
085“. Uebrigens wird das Quadrat⸗Maas eben
ſo addirt, ſubtrahirt, multiplicirt und dividirt,
wovon das meiſte H. 7. u. f. ge ſagt worden. Nur
dieſes hat man zu merken, wenn eine Zahl z. B.
3° 45“ 33“ durch eine andere z. E. mit 2 di⸗
vidirt werden ſolle, und es nicht aufgienge, man
zulezt nicht nur eine einzige Nulle anhaͤnge, wie
beim Laͤngen⸗Maas, ſondern es muͤſſen hier zwei
ſeyn. Zum Beſpielt .

58
Auadrat⸗Decimal⸗Maas in gemeines Qua⸗
drat⸗Maas zu verwande.

Man verfaͤhrt hier vollkommen wie bei dem

Laͤngen⸗Maas (§. 12.); nur muß man das Qua⸗
drat⸗Maas (§F. 31.) in Acht nehmen. Auch hier

ſind alle Ruthen einander gleich, mithin werden
ſie bei der Verwandlung weggelaſſen, und nur
die Schuh, Zolle Linien ꝛc. werden verwandelt.
Waͤre daher 98° 17 24“ 13“ in gemeines 16
ſchuhiges Maas zu verwandlen, ſo muͤßte man

alſo ſagen:

1000000“ geben 53084166; was ge⸗

nnnach dem Reeſiſchen Saz aber:
X⸗Sechszehentheil. Mo. 172413“ Dec. Ms.
1000000 Decimal 5308416 Sechsze⸗
Mos. hentheiliges Ms.

— — ⸗292262089EE
Fac. 9 152397S86568

Würde man 12°, 117, 97“ zwoͤlftheiliges
Maas, in Decimal⸗Maas verwandlen, ſo blie⸗
ben die 12 Ruthen weg, die 117 97“ geben

aber nach J. 31. 16945“, und man muͤßte hier

20736“ geben 10000“; was geben 16945“²
Und nach dem Reeſiſchen Saz: S
X Decimal⸗Mo.16945 Duodec.
20736 Duodec. [10000Dec.

Fac. 817711258“

Ven

2 —ä

ſid
drr
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1 16
wan

1 ge

M.

choze⸗
6.

liges
hlien
geben
für

en

Von Ausmeſſung u und 5 Aeregnun der
Felder.

„

. 356.
Felder auszumeſſen heißt nichts anders, „ als
finden, wie vie: ein Feld Quadrat⸗Ruthen, Qua⸗
drat⸗Schuh ꝛc. halte. Ehe man aber wirklich ein
Feld ausmißt, ſo muß man ſolches vorher umge⸗
hen, und ſich Staͤbe auf die Marktſteine ſteken
laſſen, damit man mit der Figur des Feldes be⸗

kannt werde, und zeichnet ſolches in die Schreib⸗
tafel nur ungefaͤhr, und erkundigt ſich alsdenn,
vermittelſt der Feldmeß⸗Scheibe, ob das Feld
rechtwinkelicht, ſtumpfwinkelicht oder ſpizwinke⸗

licht, oder ob es ein Vierek ſeie, und mißt es
denn aus, wie wirklich ſoll gezeigt werden. Der
Inhalt eines ſolchen Feldes wird Area genannt.

F. 37.
Den Inhalt eines Feldes zu finden, welches vier
gleiche Seiten, und vier gleiche Winkel hat.
Es ſeie die Figur 21. Tab. II. auszumeſſen.
Hier iſt nicht nothig, daß man alle 4 Seiten ab⸗
mißt; ſondern man darf nur die Seite AB meſ⸗
ſen, und die Ruthen, Schuh, Zolle ꝛc. die her⸗
auskommen, mit ſich ſelber multiplieiren. 3. B.
die Linie AB halte

12 6 6
12 5 6
157° 75˙ 36= = = Arrea der Fig gür.

Anmer⸗

Anmerkung. Hiem
Der Grund von dieſer Aufloͤſung liegt i in 5. 31. S””
Nennt man die Seite eines Quadrats = a “=
ſo iſt ſein Fnhalt = a?. Wenn man daher 1
aus dem gegebenen Inhalt eines Quadrats 0D
ſeine Seite finden will, ſo darf man nur die 9
Quadrat Wurzel aus dem Inhalt extrahiren.
K. 38.
Den Inhalt eines verlaͤngerten Viereks zu finden.

Hier mißt man die Seite AB Fig. 22. und
die Seite AC, die beede Maaſe der Linien AB
und AC multipliciret man mit einander, was

alsdenn herauskommt, iſt der Inhalt des ver⸗ Nen
laͤngerten Viereks. Zum Beiſpiel: n
Es werde de gefunden fuͤr die Linie AB = 20 ° 4159 NeG
fur die Linie AC 8 2 1 6 d fit
— = 107° 89 94⁵ neches
Anmerkung. hen tn
Ohne mich auf eine weitere Unterſuchung einzu⸗ iſeb
laſſen, warum die Grundlinie in die Hoͤhe nder
multiplieirt den Inhalt des Rechteks giebb, M

ſo ſey nach dieſer Vorausſezung AB = b
Ac p und der rdalt = d. Mithin iſt
mer bp =
Nimmt man nin in dieſer Gleichung 2 Groͤſ⸗ ls
ſen als bekannt an, ſo laßt ſich die Zte al⸗
lemal finden.

So findet man fur die Hoͤhe p = =
ind fuͤr die Grundlinie b = =

el. .

Hier⸗

Hieraus ſolgt allgemein die Regel:

1. Wenn man den gegebenen Inhalt des Recht⸗
eks mit der Grundlinie dividirt, ſo erhaͤlt
man ſeine Hoͤhe, und wenn man
2. Den Inhalt des Rechteks mit der Hoͤhe di⸗
vidirt, ſo erhaͤlt man die Grundlitie.

g. 30.

Den Inhalt eines Feldes zu finden, welches die Ge⸗
ſtalt eines Rhombi, oder Rhomboides hat.

Es ſeie zu meſſen das Feld Fig. 23. Tab. II.
Man kann hier eine Stelle zur Grundlinie an⸗
nehmen welche man will, nur ſo, daß man ſich
die Sache ſelbſt leicht macht. Z. E. die Linie AB,
und faͤllet darauf die P. rpendikular⸗ ⸗Linie CD .
welches mit der Winkel⸗Scheibe am beſten geſche⸗
hen kan, (§. 20.) man heißt ſie die Hoͤhe, man
meſſe beede, und multiplicire ihre Maaſe mitein⸗

ander; das Produkt iſt der Inhalt des Feldes.

Man habe fuͤr die Hoͤhe DC ge⸗
funden = 3° 9 8“
und fuͤr die Grundlinie AB = 5° 2/ 20“

Inhalt des Feldes = 20 77 56“
das iſt: nach dem 16theiligen Maas 20° 198,797

Anmerkung.

Die bei dieſer Aufgabe gegebene Regel gruͤndet
ſich auf den geometriſchen Saz: Parallelo⸗
gramme von gleichen Grundlinien und Hoͤhen
ſind

1

ſind gleich. In der 70. Fig. ſeien AlIKD.

und AKDF: ſolche Parallelogramme deren
Grundlinie = Al) und ihre Hoͤhe = DK
Nun iſt noch §. 38. Inhalt AlkD = AD. KD
weil aber AlKD = AKDF
folglich iſt auch AKDF = AD. KD.

aun findet hier alles ſtatt was in Ruͤkſicht aus
dem bekannten Inhalt und der Grundlinie
die Hoͤhe zu finden, in der Anmerkung des

vorhergehenden §. geſagt worden.
Bei dergleichen Feldern und Figuren hat
man ſich ſehr in Acht zu nehmen, daß man
ja nicht die Seite AD oder BE fuͤr die Hoͤhe
annehme, wie es viele Feldmeſſer aus Un⸗
wiſſenheit thun, ſondern die Linie DC, weil
eine jede Kihe eine e Perpewiknlar ⸗ Linie
ſeyn muß.

Den Inhalt eines Feldes zu ſinden ‚welches die Ge⸗

ſtalt eines rechtwinkelichten Triangels hat.
Es ſei der Triangel ABC Fig. 24. Tab. II.

Man meſſe die Grundlinie AB und die Hoͤhe des
Triangels BC, und multiplieire die herausge⸗

brachte Maaſe mit einander, was herauskommt,
dividirt man mit 2, ſo zeigt der Quotient den J In⸗
halt des Triangels an. Es ſei die
Grundlinie AB = 6°4˙8“

die Hoͤhe BC = z° 29 4⁰
2) 20°99 52“
Inhalt des Feldes = 10* 49˙76“. .

Oder

Ober
Gtun
Ge
ſerus
en
ulig
W.

AlKb
deren
D. KD

iit n s
üülinle

ing des

en hat
man
ie He
1s ln

ned

G60
t.ll.

e des

loͤge⸗
mmt,

Iin

der

Oder wenn man gleich Anfangs das Maas der
Grundlinie halbirt, und mit dieſer Haͤlfte in die
Hoͤhe multiplicirt, ſo kommt eben dieſer Inhalt
heraus; Eben dieſes gilt auch von der Hoͤhe,
wenn ſie halbirt, und in die ganze Grundlinie
multiplieirt wird. Z. E. die JYMBẽ
halbe Grunll. ganze Grund⸗
iſt = 3° 25‧4 linie =— 6* 4* 8“
gauze Hoͤhe = 3²° 2˙4“ halbe Hoͤhe = 1°632“
Area wie oben.

das iſt: H
nach dem 16theiligen Maas = 10° 127/56“.

Waͤre ein ſolches dreiekichtes Feld kein recht⸗
winkelichter Triangel, ſondern in der Geſtalt wie
Fig. 25. ſo muß man auf der Grundlinie AB
hin und her gehen mit der Winkelſcheibe, und
eine Perpendikular⸗Linie CD aufrichten (F. 26.)
Die Ausrechnung geſchiehet alsdenn vollkommen

wie bei vorhergehendem Triangel; man multi⸗

plicirt nemlich die Linie AB mit der Hoͤhe CD,
und halbirt das Produkt. l

1. Anmerkung.
Daß man das Produkt der Grundlinie in die
Hoͤhe noch mit 2. dividiren muß, um den
Inhalt des Dreieks zu erhalten, gruͤndet

ſich

ſich auf den in der Elemen tar⸗Geometrie 4

bekannten Saz: Jedes Dreiek iſt die Helfte Gſ⸗
eines Parallelogramms, welches Grundlinie e⸗

und Hoͤhe mit ihm hat: da alſo das Pro⸗
dukt der Grundlinie in die Hoͤhe immer den 314
Inhalt eines Parallelograms giebt, ſo muß
nothwendig, da nur die Helfte, das iſt, der
Inhalt des Dreieks begehrt wird, ein ſol⸗
ches Produkt nach durch 2. dividirt werden. R

2. . Anmerkung. 4

Wenn n man den Inhalt eines ſolchen Triangels
weißt, und man dividirt mit der halben
Grundlinie in den Inhalt, ſo kommt die Hoͤ⸗
he des Triangels heraus. Denn wenn der
Inhalt des Dreieks = q, die Grundlinie

= b, ſeine Hoͤhe — p, ſo iſt allemal
. bp = = q = Inhalt u
aus s dieſer Gleichung laͤßt ſich immer das 3te n
finden wenn die 2 andere gegeben ſind. G
1. Fuͤr die Hoͤhe erhaͤlt man aus dieſer 4
Gleichung
D = q: E½
2. und fur die Grundlinte 3
4

1

aus

btmettie
helſt

ndlinie

Pro⸗

ner den

muf

iſ, der
in ſc⸗
werden.

aangels
pylben
e

n der

ſlinie

338

4

Es ſeie Pig. 25%. .

halbe S. = 30

aus nr. 1. folgt dieſe Berechnung?
Es ſeie der Inhalt = 10* 4976 — 4
halbe Grundlinie = 3 2 4° b
3⁵²254in 10° 49 76“) 3 °2 4“ wie oben.

WW §. 42
Den Inhalt eines jeden Triangels zu finden; da
man nemlich nicht Gelegenheit hat, eine Perpendi⸗
kular, Linie zu faͤllen, ſondern nur die 3
Seiten des Triangels gemeſſen wer⸗

den koͤnnen. M
Man addirt alle drei Seiten, und halbirt
die Summe, von dieſer halben Summe ſubtra⸗
hirt man jede Seite beſonders, alsdenn werden
dieſe 3 Reſte mit einander multiplicirt, und das
Produkt wird noch einmal mit der halben Sum⸗

me multiplicirt, aus dieſem lezten Produkt wird
die Quadrat⸗Wurzel extrahirt, ſo kommt der

wahre Inhalt des Triangels. Zum Beiſpiel:

Tab. AB= 25⁰, AC=I5* und 30 = 20⁰°

AC= 15 25 15 20

—— 5„ 15 10.ſ
ganze Sume60 1ter Reſt. 2ꝛter Reſt. Zter Reſt.

«E mul⸗

1ter Reſf⸗ =
mutipl. 4 zter Reſt 75
12
1 zter Reſt 7560
mit der halen Sunnne = = 30 multiplieirt.

22500. Dieſes her⸗
ansgebrachte Pradukt ſuche man in der Wurzel⸗
afel, ſo wird man daneben in der Columne
Wurz. fuͤr den wahren Inhalt finden = = 18
Quadtal⸗ ⸗ z NRnthen.

Anmerkung.

deſe ſo ſchoͤne als nuͤzliche Aufgabe kann nur
inn der Trigonometrie vermittelſt der Alge⸗
bra erwieſen werden. Indeſſen merke man
ſich die zu dieſer Aufgabe allgemeine Formel.

Inhalt des Dreieks= / S (S- ) (S-b)
(S-c) oder durch Logarithmien = log S +

log (S-a) + log (S-b) + log (S- c) wo
2, b, c die Seiten und S die halbe Summe
dieſer Seiten bedeutet.

Hieher gehoͤren noch folgende Aufgaben , welche in

dielen Faͤllen noͤthig und nuͤzlich ſind.
1. In einem Dreiek ABC Fig. 25. ſind alle
3. Seiten gegeben, man ſoll durch Rechnung
finden, wie weit man auf der Grundlinie
von 4 A nach D oder von B nach D zu meſſen

habe,

pitti
e
Wunn

=

—

=2

ieirt.

ſe her⸗
Vurel⸗
lumne

= 19G

mn ur
Alge⸗
ſe wan
Formel.
Gh
8.0) w.
Sumne

telce in

ſind ale⸗
dechrung
undlinie
neſen

jabe,

è

habe, von wo aus der Perpendikel in die
entgegen geſezte Spize C falle. H
Aufloͤſung.
Es ſey AC =a; BC= b: AB = c; AD=x
mithin DB = c — X Nun iſt CD2 = a? — x2
und (D2 = b — c2 †+ 2c X – x —
daher aà — X²* = b? –— Cc² + 2 c æ—– x?*, und
wenn man X beederſeits weghebt, ſo iſt
à² — b 3 — C2 + 2 cX
folgl. *½ = a²* + c2 — ba

2 £G “YM

Aus dieſer Formel folgt die allgemeine Regel?

Wenn man deß Perpendikels Entfernung AD
von der Spize des groͤſern Winkels A an der
Grundlinie finden will, ſo addire man das Qua⸗
drat der Grundlinie zum Quadrat der an dieſer
Spize A liegenden Seite, von der Summe
ziehe man das Quadrat der Zten Seite ab, und
dividire den Reſt durch die doppelte Grundlinie,
ſo erhaͤlt man die verlangte Entfernung AD.
Begreiflich aͤndert ſich die Formel folglich auch die
Regel, wenn des Perpendikels Entfernung BD
von der Spize des kleinern Winkels B an der Grund⸗

linie geſucht wird. Nennt man
2.) BD = 2 ſo iſt nach obigen Vorausſezungen

2 =– b † c? —– a? folgl. heißt in dieſem Fall
2 G .
die Regel ſo: Man addire das Quadrat der
Grundlinie zum Quadrat der an 2 liegenden
E z Sei⸗

. *

Seite, von der Summe ſubtrahire man das
Quadrat der 3Zten Seite, und dividire den Reſt
durch die doppelte Grundlinie, ſo erhaͤlt man

die Entfernung BD. Beede Regeln gelten im⸗

mer, ſo lange die Winkel an der Grundlinie

3. Iſt einer von den W.

ſtumpf wie Fig. 64. s abd, und man verlangt

den Ort c des Perpendikels de auf der verlaͤn⸗
gerten Grundlinie ab ſo iſt wenn be = xX;
ad = m; db = n; ab = p folg ac = p † x
dces= n? -xX und de = m'ep?-2pX-X?

daher n? — £“2 = m — p? —– 2pX-X *, und

wenn man X beederſeits weghebt, ſo iſt
nnnN= m — p — 2p X
folglich X = m² — p —– ne

——
WWoraus die allgemeine Regel folgt:

Die Entſernung be des Perpendikels dc von dem

ſtumpfen Winkel abd iſt gleich dem Quadrat der
dem ſtumpfen Winkel gegen uͤberliegenden Seite,
weniger den Quadraten der beeden andern Seiten,
duividirt durch die doppelte Grundlinie.

4. Beiſpiel fuͤr die Entfernung AD nach der Formel

Nr. I. „ — a* + 0c9 —

Man hat oben §. 42 fur AB =– c — 25*
fur AC= àa = 15 BC = b= 206 ange⸗
noma⸗

zinkeln an der Grundlinie

man dat
en Reſt
ilt man
lten im⸗
uundlinie

4 zſte
undlime

dellant

jberlan⸗
— ;
† 1
x.X
1 ,

n den
tn der
Geitt,
Heiten,

tmel

nge⸗
om⸗

— 65

nommen, ſezt man dieſe Werthe ſatt der Buch⸗
ſtaben ſo iſft
X ober AD= 15. 25 — 25.: 25 — 20. 20
2. 25

das i AD = (225 1 — 4⁰⁰⁹

AD= 5 59. Ruthen.

5. Beiſpiel fuͤr die Entfernung BD nach der For⸗
mel Nr. 2. 2 oder BD = ba e — a à*

ſr die Buchſtaben ihre Werthe geſezt ſo iſt
BD e 20. 29 + 25. 25 — 15. 15

2. 2 5

1. iſt Bo⸗ (d0o † 625) — 225

— — —

daher BD = a99 — 16. Ruthen.

6. Beiſpiel fuͤr die Entfernung be nach der J For⸗

mel Nr. 3.
X = m?² n — n2

Sa ſey m= 360⁰; b= I20; n = 30

ſo iſt wenn man fuür die Buchſtaben ihre Werthe

ſezt oder be = 36. 306 — 12. † 12 — 30 80

. 2. 12 . M
be = 1296. — 144— 20
folgl. bo= 2 32 10 14 Ruthen.
E 3 =ððDUMB Wenn

70 —à
7. Wenn man ſich nun des Sazes aus der Geo⸗
metrie erinnert daß im rechtwinklichten Dreyek
das Quadrat der Hypothenuſe den Quadraten
der beeden Katheten gleich iſt, ſo wird man
durch Huͤlfe dieſes Sazes und der bisherigen
Betrachtungen noch mehrere nuͤzliche Aufgaben

berechnen koͤnnen; wovon die folgende zur Pro⸗
ber dienen kann.

Z. E. Aus den gegebenen Seiten eines Dreieks

ABC Fig. 25 den Inhalt deſſelben zu finden.

Der Inhalt ABC = AB. D0

Man muß alſo den vendikel bc finden.
er iſt CD2 = AC2 — ADz2
CD = W (XC AD-
ſolgl. Inh. des Dreieks ABCAB (AC'.- AD²)

Nun iſt AB = 255; AC = 15* und füͤr AD
hat man in Nr. 4 gefunden = 9. dieſe Wer⸗
the in der Formel fbſtituirt ſo iſt
AQ ABC= 25. — . 15 — 9. 9)

△ ABC=: 25. 4
ABC 25. 12= 150 Quadr. Ruthen

Wie oben §. 42.

8. *Rrr nach Nr. 7, Inhalt des ₰ J ͤABC =–

2

Paral⸗

4 Ac. AD²) ſo iſt der Inhalt eines

Te
b

i

eherc
n
ſgi
Wk
8

tr

er Oen
Dreyet
ladraten

de mian

herigen
ifgaben

r Pro⸗

Dreiets
fnden.

icn.

WD

ſir40
Dae⸗

Paralllogrums welches gleiche Grundlinie und
Hoͤhe mit dieſem Dreiek hat
Es laͤßt ſich alſo aus der gegebenen Grundlinie,
einer an derſelben liegenden Seite, und der dieſe
beede Seiten einſchlieſſenden Diagonale, der In⸗
halt eines Parallelograms finden.

§. 43.
Den? Inhalt eines Feldes zu ſinden, welches einem
Trapez aͤhnlich iſt.
Hier muß man wiſſen, daß es zweierlei
Trapezen gebe, nemlich allgemeine wie Fig. 26.
und parallele wie Fig. 27.
Iſt es ein paralleles wie Fig. 27. ſo ad⸗
dirt man die zwei Seiten AB und DE, ſo mit
einander parallel laufen, und halbirt die Sum⸗
me. Um alsdenn den Inhalt zu finden, mul⸗
tiplicirt man die Haͤlfte mit der ſenkrechten
Breite AE.
Z. E. es ſeie AB = 12° 55 3
DE =

8*⁰ 2* 1êò
2) 2 05 7 4
1 0° 3 7*⁰
multiplicirt mit A = 6° °% 3
3 1 I 1

6 2 2 2 O
6 2° 5 3 119— Area. Das

iffnach dem roteiligen Ra d dan 1357 138“
C 4 Dd. 44

S. 44.

Die cllgemene Trapezen, worinnen keine
Seite mit der andern parallel iſt, werden aus⸗
gemeſſen, wenn man eine Diagonal⸗Linie von—²

dem Ek A in das Ek CFig. 26. Tab. II. ziehet,

daß zwei Triangel entſtehen, deren jeder beſon⸗ “

ders ausgerechnet werden kann.

“ Es ſe die Linie AG =– 8 6 44
Hoͤhe B =– 4° 3 1
Lohe DE = 3° 8 5

naig,. E4. 3 mulktipl. DE= 8 8
15 561727 H — 10° 206

Inhalt d. Triangels ABCInhalt d. Triang. A DC
Man addire jezt beede Inhalte der Triangel.
Area ABC = 18° 61 92
Area ADC = = 16 63 200⁰

35* 25“ 12“ ganzer Jnhalt
des Trapezes. Das iſt nach

dem eingefuͤhrten gtheiligen

1. Aumerkung.

Nach dieſen bisher angefuͤhrten zwei Ausrech⸗
nungs⸗ ⸗Arten der Parallelen und allgemei⸗

nen Trapezen werben alle dergleichen Figu⸗

Len

— r Cr.0

reen ausgerechnet, und ausgemeſſen. Wenn

keine bber dieſe leztere Ausrechnung beſchwerlich —
ans, waͤre, ſo kann man ſich folgender Methode
e n bedienen, da man den ganzen Inhalt des
ehe, Trapezes auf einmal finden kann. Weil in
leſr voriger Fig. 26. Tab. II. die Linie AC bei⸗

der Triangel Grundlinie iſt, ſo kann man
die beede Perpendikel BF und DE addiren,
die Summe mit der Diagonal⸗Linie AC
multiplieiren, und das herausgebrachte hal⸗
biren, ſo kommt auch⸗ der Inhalt. 3. E.

bege DE — 3 8 5˙
ℳ àAC = 8 6 4²⁰ multipl.
1206 70⁰° 5024“
40 2: —
H 35 255‧12“ nhalt wie oben.
3. Aumerkung.
he

Die Auflöͤſung der Aufgaben §. 4 3. und : 44.

u Arnmerkung grüͤndet ſich darauf
Bei dem Parallel⸗Trapez.
Min nehme von der 69. Fig. das Stuͤk ADFB
als ein ſolches Parallel⸗Trapez wo Dr und AB

ch⸗ die Harallele Seiten.
ci⸗

pA ſei eine Diagonale und PE. Hohe des Drei⸗
eks AFfB.
DF ſei = b AB — c, AD = a
ſo iſt wenn Al) F recht winklich

ADE = b
und A AFB = H
mithin ₰ ADF† AAFBal ab . EE

das iſt ANR EN und weil Fk= DA=zD2

r. . ab e 5
aber eis = 3. ( )
folgl. ADFB =– a. (bk e) ober = 2. bc.
2. Es ſei Fig. 26. die gemeinſchaftliche Grund⸗

linie beider Dreieke ALQ = a, Hoͤhe B = b,

Hohe ED = c
ſo iſt ABC = 2

ADGC
mithin ABC +£ We⸗ — 8 e a0
das iſt 4ABCD = 4 b †, e ad

ſialih ABECD = ata⸗ = a. ()
3 An⸗

Dü 3. Anmerkung.

Es iſt nöͤthig, hier einen Irrthum anzumer⸗ .
ken, den viele Feldmeſſer begehen, wenn ih⸗
nen ein ſolcher vierekichter Plaz vorkom mt,
wie Fig. 26. ſo adbdiren ſie die Seiten AB
und DC, desgleichen BC und AD, halbiren
alle beide, und multipliciren ſodann beide
Haͤlften, und meynen, ſie haben den In⸗
halt, es iſt aber grundfalſch, denn auf dieſe
D⸗ Art wuͤrde der Inhalt immer gleich groß
ſeyn, wenn das Trapez auch noch ſo ſtark
verſchoben waͤre. Auch muß hiebei wohl

. bemerkt werden, daß, wenn ein Trapez auf
vor beſchriebene Art berechnet wird, jedes⸗
te. mal die beede Perpendikel auf der nemlichen
Grundlinie ſtehen muͤſſen. Man muß ſich
Gtund⸗ nicht einbilden, daß die halbe Summe der
h beeden Perpendikel DG und EF in die Dia⸗

gonale AD multiplicirt, des Trapezes
AEDC kig. 28. Juhalt gebe.

J. 45.

Ein jedes geradlinigtes Feld auszumeſſen, welches
mehr als vier Seiten hat.

r) Man zerlegt ein ſolches Feld in lauter Tri⸗
angel durch Diagonalen wie Fig. 28. Tab. II. und
) rechnet ſodann jeden Triangel beſonders aus. Be⸗
kommen aber einige Triangel eine gemeinſchaftli⸗
che Grundlinie, wie AC gemeinſchaftlich iſt, de⸗
n⸗ nen

nen beeden daran liegenden Triangeln, ſo wer⸗

den ſie ausgerechnet, wie in der 2ten Art des
F. 44. gezeigt worden. Z. E.
Es ſeie BH = 2 °⁸⅝% ferner ſeie AD = 5 42
DG= 3 4°6Ü mult. EF = 2 05010

“Z 2 Sl 6 2

13 ⁰0042“

mult. mit AC= 6 o 2 QADE 66 S021] ad,
138⁰,067˙ 20 ½ AACBPADC ſdirt.
Inhalt der beeden Trian⸗ — 18 66 20)

25 46 41 =
Inhalt des ganzen
Stuͤk Feldes.

§. 46.

Wuͤrde dieſe Art, ein Feld auszumeſſen,

durch ſo vielerlei Linien zu weitlaͤuftig ſeyn, ſo
kann man folgenden Weg einſchlagen, nemlich,

man zerlegt das Feld in lauter Parallel⸗Trapezen,

und an den Enden in rechtwinkelichte Triangel,
(Fig. 29.) welches geſchiehet, wenn man auf
der Linie AB vermittelſt der Meßſcheibe⸗Perpen⸗
dikel in die entgegenſtehende Winkel C, D, E,
F aufrichtet, und ſodann ein jedes Parallel⸗
Trapez beſonders ausrechnet, nach J. 43. Z. E.
das Feld Fig. 29. werde gemeſſen, und gefunden
für die Perpendikular⸗Linien AF — 3°5˙ 1“
— — 65= 4* 2 3
— — – — — Hh= 2⁰96˙7726

fuͤr

wen⸗
let zes

4 3 1

—

—

fuͤr die Grundlinie AG des 1) Trapezes 3

Al 2 5˙6“ mult.
17* 86˙88“
8 93 4 4“ =

— — — 61 — 2) 2*° 463,
— — — Hl- — 3) 2° 56
ſo iſt die Bertchuung
AF = 3 5 1“ CGE =— 4° 23*
GE = 4 2 3 mde⸗ 2°677“
7874“ 6⁰ 9˙ Or⸗
AG 3 4 o multipl. GH=S 2° 37 37
*31 0 2) 199 0 707 r mult·
. 1509 — 8 3 85 ==
3 Area Areg 2)
. HD=2 6 77 10 4 3 12
10 — 73 3519 IB = 3 270:6
6* 1914 21— —
2.8 12 9376 80“

6,46 o —
Areg 4)

Area 3)
Jezt addire man
Area 1)
Area 2)
Area 3)
Area 4)

Inhalt des ganien Felbes = 30. 427 55..

alle Ares zuſammen.
= 13* 15 80 ₰
= 16 07 70
— 8* 92 44“
— 6* 469 50

78

S, 7.
Wuͤrde das auszumeſſende Feld nicht ſo ſchi⸗
lich da liegen, wie Pig. 29. ſondern ganz irregu⸗
laͤr wie Fig. 30. ſo muͤßte man mitten durch das
ganze Stuͤk, wo es am ſchiklichſten, z. E. von A
nach K eine Linie ziehen, und auf alle Eke Plaͤle
ausſteken, und vermittelſt der Winkelſcheibe Per⸗
pendikular⸗Linien auf die Linie AK aufrichten, ſo
kann man das ganze Feld ausrechnen wie §. 46.

F. 48.

Diejenige Felder, welche Stelzen haben, wie
ſie der Landmann nennt, Fig. 49. Tab. III, ha⸗
ben in ihren Ausmeſſungen nichts beſonders, man

theilt ſie nach der bisherigen Anweiſung in Trian⸗

gel oder Parallel⸗Trapezen ab, aber nur ſo, daß
man ſich die Ausmeſſung ſelbſt erleichtert; So⸗
wird zum Beiſpiel in der 49. Fig. das Stuͤk
ABCD beſonders, und das Stuͤk EDFG be on⸗
ders ausgemeſſen, beeder Inhalt zuſammen ad⸗
dirt, die Summe iſt der ganze Inhalt. Man ſeze

vorans BC ſeye auf BA, und GE auf DC ſenkrecht.

Es ſeie A B = 29 °562 DE= r5. 87
CD = 27° 8 FG ☛ 13 2
29 0.

mult mit BC.36 50, EFG= 29 0 F mltirl.

1033 107507 290 00ο.

Ab⸗

=

e

Leri
s
⸗
lie
hetn
lec
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Gerc
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des
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N

iſß ſchih
itregt⸗
urch das
.don 4
t Pfͤl
e Pen
ihten, ſ
e. 46.

en, we
Il h
5, mun
Trien⸗
, daß
1; &
Etil
heon⸗
en ad⸗
an ſeze
ſrecht.

Addirt.
Area ABCD = 1033*° 10 50˙

Area DEFG – 290° 00 00

1323 10/ 50“ Area des gan⸗
H zen Feldes.

Dieſe bisher angezeigte Faͤlle ſind nun die
gewoͤhnliche, welche ſich beinahe auf alle Faͤlle die
nur vorkommen koͤnnen, anwenden laſſen; es giebt
aber viele Felder die an Waſſergraͤben oder Straſſen
liegen, dieſe haben nicht allemal gerade Linien, ſon⸗
dern vielerlei Kruͤmmungen, deswegen man ſich
beſonderer Vortheile und Handgriffe bedienen muß,
wie wirklich ſoll gezeigt werden. Ein Stuͤk Feld,
wie Fig. 31. Tab. II. kommt gar oſt vor, da

nemlich beede Kruͤmmungen AFB und CED mit

einander parallel laufen. Hier mißt man von A
gerabe nach B, und multiplicirt dieſe geſundene
Linie mit der ſenkrechten Breite AC oder BD, ſo
kommt der Inhalt des Feldes richtig. Iſt aber
das Feld wie Pig. 32. ſo mißt man mitten durch,

wie A, errichtet ſodann Perpendikul, und mißt

ſie aus wie oben H. 46. Fig. 29. Begreiflich
erhaͤlt man den Inhalt um ſo genauer jemehr man
an die krumme Linie Perpendikel faͤllt.

§. 50.

F. 50.

Ein Feld, welches an einem Graben oder Fluß liegt,

und viele Kruͤmmungen hat, auszumeſſen.
Auuußoͤſung. Fig. 33. Tab. II.

Bei ſolchen Feldern kann man die gerade Li⸗
nie A gelten laſſen, weil das, was auf der einen
Seite weg, auf der andern wieder hinzufaͤllt; frei⸗

lich darf man ſich durch eine ſolche Durchſchnitts⸗

Linie nicht viel Genauigkeit verſprechen. Es

laͤßt ſich alsdenn ein ſolches Stuͤk Feld leicht nach
bishert gen, beſonderd aber nach §. 45. aubmeſſen.

Den Inhalt eines Seeszu finden, welchen n man zwar
umgehen, ‚ aber nicht in denſelben hins⸗
ein gehen kann.

Man ſteke rings um den See ein verlaͤn⸗
gertes Vierek oder Quadrat ab ABCD Pig. 34.

nach Beſchaffenheit der Umſtaͤnde, und meſſe die
Grundlinie CD und die Breite der Hoͤhe AC,

multiplicire dieſe gefundene Maaſe mit einan⸗

der, ſo kommt der Inhalt des ganzen Oblongs
her, auch den See mitgerechnet. Z. E. die
Linie CD halte 24° 3, 5“ und die Breil te AC
140° 7 8, ſo iſt
24°3“˙5“
14 7˙8 mult.

4597 8o⸗ 30“ = Area des ganzen Oblongs
ABCD

Nun

Nun muß man Perpendikular⸗Linien auf A B

igfin und CD aufrichten, wie ab, cd, ef ꝛc. ſo viel
e. man glaubt, daß zur richtigen Ausmeſſung ge⸗
nug ſeien, ſo entſtehen die kleine Parallel⸗Tra⸗
edek vpezen I. 2. 3. 4. Le. welche man beſonders
der ien ausmißt, nach der Methode, welche §. 43. vor⸗
ich getragen worden; wird alsdenn ihr Maas zu⸗
ſſhrins ſammen addirt, und die Summe von dem gan⸗

—„Zen Inhalt des oben herausgebrachten Oblongs
ſßt n ſubtrahirt, ſo bleibt der Inhalt des Sees uͤbrig.
gren. Zum Exempel : ”MMcß

das Stuͤk Nro. 1.½ halte 3* 1272 4 .
en e — 2. — 7*°14 104
5 — 3 — 7°12 18˙“

— 5 — 83 36 64“
herlin⸗ — 6. 5° 64˙ 12
eſe die — 38. — 8 84* 169
C — 93 — 9 16/31“ *
tinam 10. = 3* 12 16
Plamn I1. — 83 * 362704
64 = — 12, — 8 36 276

Inhalt aller Trapezen 91*°75* 25“
lo⸗ Dieſer herausgebrachte Inhalt der Trapezen muß
von 359°89 309 als E dem ganzen Oblong

Nun abge⸗

R 2

abgezogen werden, wenn man den Inhalt des
Sees erhalten will.
* 7 5˙ 2 257
6 14˙05“ = Inhalt des Seez.
§. 52.

Den Inhalt eines zirkelrunden Feldes auszumeſſen.
Fig. 3 5. Tab. II.

Zirkelrunde Felder kommen ſelten vor, da⸗

her die Ausmeſſung eines zirkelfoͤrmigen Feldes
nicht allgemein iſt; man weißt, daß, wenn man
den Diameter eines jeden Zirkels in 7 gleiche
Theile theilt, der Umkreis beinahe 22 dergleichen
Theile habe, mithin kann jede Zirkel⸗Linie nach
dieſer Verhaͤltnis gefunden werden, wenn man
den Diameter oder Durchmeſſer eines ſolchen Zir⸗

kel⸗ Bogens weißt. Man muß aber bei Ausmeſ⸗

ſung eines ſolchen Feldes den Diameter und den

Umkreis zugleich wiſſen. Man wuͤrde ſchlecht zu⸗

recht kommen, wenn man mit der Meßruthe r rings
umher meſſen wollte, mithin muß man vorher
wiſſen, wie aus dem bekannten Diameter der Um⸗
kreis gefunden werde. Es ſeie aus dem bekannten
Diameter, welcher 100 iſt, des Zirkels Fig. 35.
der Umkreis durch obige Verhaͤltnis zu finden.
Man ſpricht: 7/ gibt 22 was gibt 10072
Rach dem Reeſiſchen Saz aber X Periph. 100

pac. 314⅞.
Will

inie ni

enn m.

ſhen Zi⸗
Alamß⸗
lnb den
lechtzu⸗
hhe ungs
8 vorhet
der nn⸗

kipvteu

den,
1
10⁰
.

,
22

314.

Wuill

Will man nun den Inhalt eines zirkelrunden Fel⸗
des wiſſen, ſo muß man den Diameter mit dem
Umkreis multipliciren, und das Produkt mit 4
dividiren. Z. E. “
der Diameter AB iſt = 1007
der gefundene Kreis 3142

—

7 22°00 006”*
4

divid. mit 28 in 78 574“ = Inhalt des

ganzen Zirkels.
Anmerkung. 2

Wuͤrde die Berechnung der Peripherie, aus
dem Diameter den Umkreis zu finden, je⸗
mand zu ſchwer vorkommen, ſo kann man ſich

auf folgende Art leicht helfen. Man ſtekt
rings um den Umkreis des Feldes Staͤbe je
3 und 3 Schuh weit von einander, (man
kann den Abſtand der Staͤbe, wenn man will
kleiner annehmen), und zieht um die Staͤbe

eine Schnur rings um das Feld, ſo iſt die

Schnur das Maas und beinahe den Umkreis
gleich, und man kann alsdenn den Umkreis

des Feldes leicht finden, wenn man den Dia⸗

meter mit dem Umkreis multiplicirt, und das

Produkt mit 4 dividirt. Z. E. der Dia⸗

meter eines runden Feldes ſeie = 87
die Schnur, ſo um das Feld ge⸗
zogen worden, halte im Mags 25*½†
divid. mit 4 200
beinahe wahrer Inhalt des Feldes = 50/.
F 2 Wollte

—

Wollte man nach einem genaueren Verhaͤltniſſe

rechnen, als 72: 22, ſo koͤnnte man folgendes
nehmen, nemlich wenn man den Diameter in
100 Theile theilt, ſo hat der Umkreis beinahe

314.

Es iſt aber obige Verhaͤltnis 7 22 zum

Feldmeſſen richtig genug.

Annmerkung.

Des ein richtiges Augen⸗ und Schritt⸗Maas

einem Feldmeſſer noͤthig und nuͤzlich ſeie,

wird wohl niemanden in Zweifel ziehen.

Was das erſte betrift, ich meyne das Au⸗

genmaas, ſo erlaubt es der Raum hier nicht,

ſich darauf einzulaſſen. Wie aber in gewiſ⸗
ſen vorkommenden Faͤllen durch das Schritt⸗

mDaas eine Linie oder auch eine Flaͤche be⸗

ſtimmt werden koͤnne, davon ſollen einige

Prroben angefuͤhrt werden, welche denjenigen
hinlaͤnglich in Stand ſezen werden, der die
Laͤnge einer Linie oder den Inhalt einer Flaͤ⸗

che nur ungefaͤhr beſtimmen will „ und da

ohnehin dergleichen Faͤlle ſehr oft vorkom⸗

men koͤnnen, wo man ſo etwas in der Ge⸗
ſchwindigkeit ohne einen Maasſtab bei der
Hand zu haben, beſtimmen ſolle, ſo glaube

ich, ein kurzer Unterricht werde hier nicht
am unrechten Ort angebracht ſeyynn.

Wenn man eine Linie mit Schritten meſ⸗

ſen und das Schrittmaas auf Ruthen oder
Schuh bringen will, ſ⸗ muß zwiſchen einer

Anzahl

— —— —

— — ,

Verhel niiß

nnn ſolgendes
Manettt in
tris beinehe

n

it⸗Maas
iſel zehen.
zn W o⸗
n hier nicht⸗
1 in geni⸗

Flache be⸗
ullen uͤnige
e denjetigen
en, der die
t einer ⸗
1, ind d
ft horkonn
in der G
tuh ei der
ſ glaube

er nicht

ten m⸗
ler lher
, einer

naht

Anzahl Schritte und einer Ruthe ein Ver⸗

haͤltnis beſtimmt werden, das iſt: man muß
wiſſen, wie viel Schritte auf eine Ruthe ge⸗

hen; da aber eine allgemeine Regel ſchwer⸗

lich zu beſtimmen iſt, welche ſo wohl fuͤr den
der groſſe Schritte, als fuͤr den welcher mit⸗
telmaͤßige und kleine Schritte macht, paſſend
iſt, ſo muß jeder, welcher ſich mit der Meß⸗

kunſt abgibt, ſelbſt fuͤr ſich ein Verhaͤltnis
beſtimmen. Dieſes nun erhaͤlt man am
ſicherſten, wenn die Laͤnge einer Linie genau

auusgemeſſen und ihr Maas dadurch beſtimmt
wird, die Linie oͤfters (welches ja beim Spa⸗

zierengehen in muͤßigen Stunden geſchehen

kann), hin und her geht, und die Schritte je⸗
desmaͤl zaͤhlt; man muß ſich aber im Ab⸗
ſchreitten und Schrittmachen keinen Zwang

anthun, ſondern nur ſo fort gehen, wie man
beim ordentlichen Gehen gewohnt iſt; denn
wenn man beim Anfang groͤſſere Schritte

macht als die Gewohnheit es mit ſich bringt, G
ſoo wird man nicht nur gar bald ermudet,
und welches gemeiniglich geſchiehet, am En⸗

de ſich vergißt und ſtatt groͤſſerer kleinere
Schritte macht; eine Bemerkung, die man

nicht als etwas unbedeutendes anſehen darf.

Auf dieſe Art habe ich z. eine gewiſſe Wei⸗

te oͤfters durch gewoͤhnliche Schritte gemeſ⸗
ſen, und beim Zaͤhlen meiſtens einerlei An⸗

zahl gefunden, nachgehends habe ich die Li⸗

nie mit der Meßruthe gemeſſen, das gefun⸗

F 3 dene

26

dene Maas mit den gefundenen Schritten
verglichen, und gefunden, daß von meinen
Schritten gewoͤhnlich 6. auf eine Ruthe ge⸗

hen, auch mehre Proben haben gezeigt, daß

ich mich jeder Zeit auf das Schrittmeſſen zu
meiner Abſicht, ſo ziemlich habe verlaſſen koͤn⸗

nen. Da ich nun ein Verhaͤltnis zwiſchen
mmeinen Schritten und einer Ruthe weiß, ſo

iſt es mir auch etwas leichtes, eine Anzahl

Schritte in ordentliches Laͤngenmaas zu ver⸗
. wandlen.

Anſgebe .
Es ſeie die Linie Aß Fig. 44. Tab. III.

mi Schritten abgemeſſen worden, und man
haͤtte gefunden 220 Schritte, man ſolle das

Maasi in Ruthen beſtimmen.

Auflöͤſang.
Hier darf man nur ſprechen?

65⁶ Schritt geben 1 Ruthe, wie viel Ru⸗

Veen geben 220 Schritt?

Xe R. 220 Schritt.
2 Schritt 1 Ruthe.

3 in II0

ä

6½ Ruthen,
5. i. i. 36 Ruthen und⸗ 6 Schuh Decimal⸗
Maas. Dieſes heraus gebrachte Maas mit
dem Muas, welches H. 12 gefunden wor⸗
den

Schrine
n meinen
Ruthe ge⸗
tuneſen

aleſentmn.

i niſt ſcen
eniſ,
ir Aughl
us n ben

IIh. I.

Min
ſole ds

bil Ru⸗

inb⸗
zus mit
wor⸗

den

den verglichen, ſo wird man finden, daß nur
1 Schuh 3 Zoll und 5 Linien Unterſchied iſt,
wwelches eine Kleinigkeit gegen eine ſo lange
Liiinie, und folglich beim ungefähren Meſſen
von keiner Bedeutung iſt.

Auf⸗ gabe.
Eine Anzahl Quadrat⸗ Schritte i in 2 Qua⸗
drat⸗Ruthen zu verwandlen.
Aufloͤſung.

Es ſeie gefunden worden fuͤr die Linie AB

Fig. 22. Tab. Il. in Schritten 123.
für K— . .. 49.·ſo wird
der Inhalt in Quadrat⸗Schritten ſeyn, wenn
die Grundlinie in die Hoͤhe multiplicirt wird
= 6027. Da nun eine Laͤnge⸗Ruthe nach

obigem Verhaͤltnis = 6 Schritte augenom⸗
men worden, ſo muß folglich 1 Quadrat⸗

Ruthe = 36 Quadrat⸗Schritte halten, mit⸗
hin man leicht beſtimmen kann, wie viel obig
geſundene 6027 Quadrat⸗ Schritte Quadrat⸗

Ruthen geben.

Man ſpricht nemlich:
36 Quadrat⸗Schritt geben 1 Quadrat⸗Ru⸗
the, wie viel geben 6027 Quadrat⸗Schritt?
Nach der Reeſiſchen Rechnung:
X. Q. R. 6027 Q. Schr.
36 Q. Schr.] 1 Q. R.

PFac. 167 †2 Quadr. Ruthen.
bei nahe dem Maas des Feldes gleich, wel⸗

ches §. 38. herausgebracht worden.

Auf dieſe Art kann man eine Linie wie
auch den Inhalt einer Flaͤche ſo zimlich ge⸗
nan beſtimmen, hauptſaͤchlich aber in ſol⸗
chen Faͤllen, wo man mit dem Ungefaͤh⸗
ren zufrieden iſt. Wo man aber eine Ge⸗

nauigkeit bis auf Zolle nnd Linien verlangt

o verſteht ſich von ſelbſten, daß dazu
beſtimmte Inſtrumente gebraucht werden
muͤſſen. =SJ=òUVMWM =W

Von Theilung der Figuren und Felder.
Ein Feld in etliche gleiche oder ungleiche
Theile zu theilen, iſt in der Feldmeßkunſt die
ſchwerſte und muͤhſamſte Arbeit. Dys meiſte
kommt darauf an, daß man wiſſe, wie ein Stuk
von ſo und ſo viel Ruthen von einem Stuͤk Feld
abgeſchnitten werden ſolle, und dieſes abzuſchnei⸗
dende Stuͤk verlangt man entweder in Geſtalt ei⸗
nes Triangels oder gleich breiten Stuͤks. Man
heißt die Linie, welche ein gewiſſes Stuͤk ab⸗
ſchneidet, Theilungs⸗Linie oder Scheidlinie.

86. z
Ein iedes Stuͤk Feld, welches einem Oblong oder
verlaͤngerten Vierek gleicht, in ſo viele Theile zu
tlheilen, als man verlangt, z. E. in 3 Theile.
Weeil die Linien AC und BD einander gleich
ſind, ſo darf man nur dieſe Linien meſſen, und

= – S‚(=ꝛ — —–

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jede in 3 gleiche Theile theilen, und aus den ge⸗

fundenen Punkten die Scheid⸗ ⸗Linien GF und HI
abſteken. Auf dieſe Art werden nun alle verlaͤn⸗

gerte, ſchiefe oder gerade Oblonge abgetheilt,
wenn man nur die einander entgegen ſtehende

Seiten richtig in ihre gehoͤrige Theile eintheilt,
und die Scheid⸗ Linien zieht.

g. 55.

Ein ſolches verlaͤngertes Vierek alſo zu theilen, daß

die Scheid⸗Einie ue te gewiſſen Punkt
gehe.
Aufgabe.

Es ſeie ein Stuͤk Gut unter zwei Beſizer
auszutheilen, worinnen ſich ein Brunnen A be⸗
findet, Fig. 37. Tab. III. Nun ſoll die Scheib⸗

Linie ſo gezogen werden, daß jeder Beſizer frei
auf ſeinem Eigenthmm zum Brunnen kommen
koͤnne.

Aufloſung.
Man ziehe die Linie BG, und theile ſe Be in
zwei gleiche Theile, in C, ſo kan man durch den
Punkt G und den Brunnen A die Scheid⸗ ⸗Linie

abſteken; alsdann iſt das Feld in zwei gleiche

Theile getheilt, und jeder kan zum Brunnen auf

finem Eigenthum kommen.

Anmerkung.

Dieſe Aufzabe gruͤndet ſich auf den geometri⸗
ſchen Saz: Jede arade Linie durch den Mi⸗

90⁰

telpunkt einer Diagonal⸗ Linie gezogen, theilt

das Parallelogramm in 2 2 leiche Theile.

§. 56.

Weil aber auf eine ſolche Art ein Feld ab⸗
zutheilen nicht ſehr vortheilhaft iſt, weil die Thei⸗
le ſo irregulaͤr werden, ſonderheitlich wenn das
Feld in mehr als zwei Theile gerheilt wird, ſo
muß man ſich in ſolchen Faͤllen nach der Will⸗

kuͤhr der Beſizer richten, unter welche ein ſolches
Stuͤk Gut ausgetheilt wird. Geſezt nun big.
38. ſollte in 3 gleiche Theile getheilt werden; A

iſt der Eingang, welcher ſonſt nirgends am gan⸗

zen Gut kann angebracht werden. Wuͤrde man

das Feld in 3 gleiche Theile theilen, ohne den
Eingang mit in Betracht zu ziehen, ſo wuͤrde
der mittlere Theil, auf welchen der Eingang faͤllt,
Schaden leiden, wegen des Aus⸗ und Einlau⸗
fens. Dieſen Schaden wieder zu erſezen, laͤßt

man beim Eingang A ein gemeinſchaftliches Stuk
BCDE liegen, mißt es beſonders aus, und ſiehet,
was dem mittleren Stuͤk dadurch abgehet, und
erſezt ſolches durch Abſchneiden, von den Stuͤken

1. und 3. wie wir bald zeigen werden. Z. E.
das ganze Feld halte 2469. ſolglich kommt auf
einen dritten Theil 829. Das Maas aber des
gemeinſchaftlichen ens. BCDE betraͤgt 180

welche dem mittleren Stuͤk abgehen. Dieſe 18
ſind allen dreien Beſizern gemein, weil jeder dar⸗

auf aus⸗ und eingeht oder ſährt, folglich muß
jeder

jeder 6/ am Weg leiden, mithin fehlen dem mitt⸗

leren Stuͤk 2. nur noch 12, welche von dem er⸗
ſten und dritten Stuͤk abgemeſſen werden muͤſſen.

Da denn die Scheid⸗Linien BF und CG koͤnnen
abgeſtekt werden, und ein jeder Theil iſt alsdenn

nur noch ohne den gemeinſchaftlichen Weg 18*
94 groß. In aundern Faͤllen theilt man das Gut
in die gehoͤrige Theile, und laͤßt die Sache durch
die Beſizer ausmachen „denn es ereignet ſich oöͤf⸗
ters, daß nicht nur in ſolchen Faͤllen bei Eingaͤn⸗
gen, Thuͤren oder Brunnen, oder auch wenn ein
Feld nicht durchaus gleich gut iſt, ein jedes Stuk
beſonders angeſchlagen, darum geloſet, und das
uͤbrige mit Geld bezahlt wird. Gut iſt es, wenn
ein Feldmeſſer ſelbſt ein verſtaͤndiger Mann iſt,
der nicht nur die Gegenden und Guͤte der Felder
kennt, und dadurch den Bauren mit Rath in
derlei Faͤllen an die Hand gehen kan.

§K. 57.
Von einem Stuͤk Feld ein anderes abzumeſſen, das
die Geſtalt eines Triangels hat.

Man meſſe die Grundlinie AB Fig. 40. und
halbire ſie, ſie ſei 36, ſo iſt die Helfte = = I8 °.
Mit dieſer Helfte dividire man in den Inhalt des
abzuſchneidenden Stuͤks oder Triangels, welcher
in gegenwaͤrtigem Fall 21 °78“ 00“ ſeie, ſo hat
man die Hoͤhe des verlangten Triangels.
18 : 2a1 78 10%
1J2710

9 ²½ —

In dieſer Weite der gefundenen Hoͤhe zieht man
mit der Grundlinie AB eine Parallel⸗Linie C(D,
und wo dieſe die Seiten⸗Linie ſchneidet, ſo kan,

von welchem Ek man will, eine gerade Linie ge⸗

zogen werden, alsdenn iſt der Triangel ABD ab⸗
geſchnitten. Der Grund dieſes Verfahrens be⸗

=

ruht auf J. 41. Anmerk. 2. Nr. 1.

Aufloſung.
Man meſſe die Grundlinie AB; ſie ſei im

—

gegenwaͤrtigen Fall = 4⁰, und dividirt ſie in den
Inhalt des abzuſchneidenden Stuͤks, ſo bekommt

man die Breite des verlangten Stuͤks, wenig⸗
5 37
“Z 2* 3 45 +.

In dieſer gefundenen Breite muß man mit der

Grundlinie AB eine Parallel⸗Linie CD ziehen,
alsdenn mißt man die gezogene Linie, iſt ſie ſo
groß als die Grundlinie AB, ſo hat man das ver⸗
langte Stuͤk richtig, iſt ſie aber laͤnger, ſo iſt das

Stuk zu groß, iſt ſie aber kuͤrzer, wie in gegen⸗

waͤrtigem Fall, ſo iſt das Stuk zu klein. Um

aber

Ein gleich breites Stuͤt von einem Feld abzumeſſen.
Man ſolle 9 37 von big. 39. abmeſſen.

abe
dun
⸗
ſen
ſee⸗

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iie Ch,

ln .

Unie ge g⸗
W i⸗
Utens be

umeſten.
en.

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emnt
ui⸗

aber das wahre Stuͤk zu bekommen, ſo muß man
durch Rechnung finden, um wie viel das Stuͤk
zu klein oder zu groß ſeie. Die Laͤnge der gezoge⸗
nen Linie CD ſeie 3 4 2. Dieſe Laͤnge ſub⸗

nahe man von der Grundlinie AB, welche

iſt.
4* / /
3 427
87
ex t ſpricht man: die Linie CD = 3* 4 27 gibt
5 8“, was gibt 2 34“² oder nach dem
Reeſiſchen Saz:

X! 2 3 4“
Fac. 37 9“.
Waͤre nun das abgeſchnittene Stuͤk zu groß ge⸗

weſen, ſo muͤßte man dieſe leztgefundene 3 9
gegen B auf der Linie DB herunter meſſen, waͤre

es aber zu klein geweſen, wie in gegenwaͤrtigem

Fall, ſo muß man gegen F die gefundene 39“
abmeſſen, da man ſodenn von F nach C die wahre
Scheidlinie ſchen kan.

Anmerkung.

Dieſes Verfahren gruͤndet ſich darauf:
Es iſt nemlich, wenn die Linie CD kleiner
oder groͤſſer als AB, das abgeſchnittene
Stuͤk ACDB allemal um das Dreiek AK C
zu klein oder zu groß. Man hat alſo den

Inhal 1

Inhalt deſſelben im erſten Fall, oberhalb,

—

im andern Fall aber unterhalb der Linie CD

abzuſchneiden nach J. 57. Der Inhalt die⸗

ſes Dreieks iſt allemal bekannt. Es ſei

das Stuͤk um welches die Parallele CD

entweder kleiner oder groͤſſer als die Grund⸗

linie = b die Hoͤhe CE = p, ſo iſt der
Inhalt des Dreieks ACE = P E. Eben

ſo viel Flaͤchenraum muß man an CD in

Geſtalt eines Dreieks, deſſen Grundlinie

CD = a, und ſeine Hoͤhe — X iſt, ab⸗

mnnun leicht berechnen, was man bei D hinauf

Nach dieſer ſehr ein

ſchneiden. Der Inhalt deſſelben iſt 2

2
Jezt kann man folgende Gleichung formiren:
ax— bp

—

aAXx = bp

a
fachen Formel kann man

oder herunter zu meſſen habe.

Eben dieſes wird man auch erhalten, wenn
man die Dreieke AEC und CDF (nach dem

15. Saz 6. Buch Euclid) mit einander

vergleicht. Nach dieſem Saz hat man in

obigen Benennungen

a: b = p: x.

das gibt X = wie vorher.

een

ade
M
der
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die

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iſ al⸗

den it 2,

ſeminn:

kenn tmm

D Vmarf

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ich denn

nanderr

man in

.
.. 59,

L §. 59.
Bon Fig. 41. ſoll man 44* 84˙ biueſſen.
Aufloͤſung.

Weil hier die Grundlinie nicht gerad iſt, ſon⸗
dern ei en Winkel bei D macht, ſo muß man eine
gerade Linie AB ziehen, den Triangel ABD beſon⸗

ders ausrechnen, und deſſen Inhalt von dem
was abgemeſſen werden ſolle, abziehen, und den
Reſt alsdenn vollends auf der gezogenen Linie AB
abſchneiden. Z. E. die Linie AB halte 11 67
die Linie DC 3 4 ſo iſt

AB=IIO 67
DC = = 33 4˙ multipl.
2: 39 44 4½ H

19 ⁄72 Inhalt des Triangels.

Dieſen ſubtrahire man von dem ganzen abzuſchnei⸗
denden Stuͤk⸗ 44 8 4

Area ABD 19*° 72² ſubtr. alſo hat man noch auf

der Linie AB = 25 12 abzuſchneiden. Dieſes

leztere dividire man mit der Linie AB, ſo kommt

die Breite A, wo man aus G gegen F die

Scheidlinie ziehen kann.

Berechnung.
11°6 in 25* 42 d dividirt,

kommt 2 19939 fuͤr die Breite 46.
RNan

Nun haͤlt die gefundene Linie GFE I2˙* 46 ſie ig
aber um 8 groͤſſer als AB.

Jezt ſpricht man:
12° 40“ geben 8 was geben 2° 19“
oder nach dem Reeſiſchen Saz:
XX 1197’
rac. 1 4 17. Muß man noch ge⸗

En A herunter meſſen, ſo ergibt ſich die wahre
Scheidlinie aus E. gegen F.

F. 60.
Waͤrde die untere Linie einen Winkel ma⸗

chen, wie E Fig. 42. ſo muß man den Inhalt
des Triangels ABE ausrechnen, und zu dem

Stuͤk, welches abgemeſſen werden ſoll, addiren,
und erſt nach dieſer Summe das verlangte Stuͤk
auf der Linie AB abſchneiden. 3. B. man ſoll

von der ganzen Fig. 12˙ 54“ 36“ abſchneiden.
Man ziehe die Linie AB, und meſſe ſie, und
rechne den Inhalt des Triangels AEB aus, er
halte im gegenwaͤrtigen Fall = 5 46“
Dieſes zum abſchneidenden Stuͤk addirt;
12° 54 ‧36“
5 46˙00
koimmt = 18 00 b36˙
welches Maas auf der Linie A abgeſchnitten
werden muß⸗
§. 61.

un en

R
ſpie ea
Perbe, 1
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1 d

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lſcteden.
ſen ud
Dems, e

chniten
. 61.

Von einem Feld das die Geſtalt der 4. Figur ber,

ſoll man 18° 24 abmeſſen.

Man ſiehet hier ſogleich, daß die Scheid⸗
linie noch uͤber den Winkel C hinauf kommen
werde, mithin muß man in ſolchem Fall die Linie
CD mit Al gleichlauffend ziehen, und das Stuͤk
ABCD beſonders ausmeſſen, welches im ge⸗
genwaͤrtigen Fall 10° 16/ 26“ haͤlt, und vom gan⸗
zen abzuſchneidenden Stuͤk ſubtrahiren.
Z. KE. 18°24700
10 16526“

folglich muß noch 8007774“ auf der Linie CD

abgeſchnitten werden, da ſodenn die wahre Scheid⸗
linie in GF kommt. “

§. 62,

ein edes Stuͤk Feld in verlangte Theile zu tellen⸗

Pig. 44. Tab. III.

Man rechnet den Inhalt des ganzen Feldes
aus, und dividirt ihn in ſo viel Theile, als man
verlauat, zum Beiſpiel, der Inhalt des Feldes
ABCD ſeie 116° J67, und ſoll i in 3 gleiche Thei⸗

le getheilt werden.

1162 67

38 897 koutnt auf jeden Thei. Nun 4
kann die Linie AB. zur Grundlinie angenommen,
G und

und ein Theil nacht dem andern i abgeſchnitten wer⸗
den. Z. E.
die Laͤnge AB ſeie 160° 5 ½
divid. mit 169 5⁰ 28. ooo⸗
Dieſe⸗ 2°3à6* 3156 muͤſſen von B ich und von A
nach G abgemeſſen werden, ſo kann man die erſte
Scheidlinie GH ziehen. Ferner meſſe man von
H nach F und von G nach E wieder 2° 35“,
ſo bekommt man die zweite Scheidlinie EF, nun
ſind 2 Theile abgeſchnitten, das dritte Stuͤß aber
darf man nicht gbſchneiden, weil e es von ſelbſten
ubrig bleibt.

„

Anmerkung.

Man ſezt hier voraus daß AC und 8D auf AB
ſenkrecht ſeien, wo nicht ſo muͤſſen jedesmal
ſolche Perpendikel auf der Grundlinie AB er⸗
richtet werden, auf welchen die Theil⸗Punk⸗
te G, E, H und F bemerkt werden koͤnnen.

Vorheriges S Staͤt Feld in ungleiche Theile zu theilen.
3. E. Jakob ſoll davon haben ztel ß. Jerg
ztel, Michel Eiel.

Hier

N—
R —

ſtten ten

D uuf M
Biceiinel
Me⸗
uͤ
hynen.

heilen.

Jerg

4

Hier

— 99

Hier muß eines jeden Theil nach der Ge⸗

9

ſellſchafs⸗Regel alſo gefunden werden:

.
1 1I 2
3 — 7 muunter einerlei Benennung.
5 54 41
6o zo! 15 24 1

„ „½

—

59 — 73.

Nun ſpricht man alſo:

35 gibt 116⁰ 677; was gibt 42 ⸗„
1 gibt 116° 67; was gibt 42

gibt 1162 677; was gibt 22
Oder nach dem Reeſiſchen Saz:

I1. II. III.
35 II0 67⁵ 116 67⁰°. * 116°67.

fac. 39 ‧54 f. 29° 66 ¼ 4f. 47* 448 ¾.
Es bekommt alſo zu ſeinem gehöͤrigen Theil
Jakob 39° 54379] weil dieſe Bruͤche nicht
Hß. Jerg 29° 66 ½191 viel betragen, ſo kann
Michel 47°45 2 %] man ſie fahren laſſen,

Wieil

100

Weil man jezo weißt, was eines jeden Theil iſt,

ſo kann ein jedes Stuͤk beſonders abgeſchnitten
werden, wie bisher gezeigt worden. S

G. 64. =

Ein Stuͤk Feld wie ABCD Fig. 50. Tab. 4. ſoll in 3.

ungleiche Theile getheilt werden, davon ſoll Conrad

haben 3tel, Joſef Atel und Matthes Ttel.

Waͤre vorhergehende Methode etwa nicht
bequem, ſo kann man ſich folgender Art bedienen:

Man meſſe die Seite AC und BD. Zum Bei⸗
ſpiel: AC halte 36°, BD, 24°. Nun addirt
man alle 3 Theile zuſammen, und ſpricht: alle

Theile bekommen die ganze Linie AC; was fuͤr
einen Theil von von der Linie AC bekommen ztel,
tel, ntel? auf gleiche Art verfaͤhrt man bei der

Linie B, da man ebenfalls ſpricht: alle 3 Thei⸗

le bekommen die Linie BD; was bekommen ztel,
Etel, Ltel? ſo werden ſich, wenn man nach der

Ausrechnung die gehoͤrige Theile auf AC und BD
abmißt, Punkte ergeben, aus welchen die Scheid⸗
linien gezogen werden koͤnnen. Wenn AC =
36° und BD = 24, ſo iſt die Berechnung:

Kon!

Gaß⸗

Tel it
eſchtitten

AA/.
1 Conrad
n.

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7 „
3 3 8 9„
4 4 3
11 2
241 9 16] .⸗
addirt.
3 TI

31 — .*
Run ſerih man bei der Linie AC:
1geben 36; was geben 3 ztel?
4 geben 36; was geben tel?
2¼ geben 36; was gibt tel 2

Eben ſo ſpreche man bei der Linie DB:

½ geben 24; was geben ztel?
4 ½ geben 24; was geben ztel?
† geben 24; was gibt 4 Ttel?
Ausrechnung nach dem Reeſiſchen Saz: .
I. Saz. X à AOC 2 PD
IL 36 1 24*
Facit 10 475 + 69/6. .

II. Saz. X ½% à½ AC * BD . .

3tl 306 1 24
Facit 18°5589+ 12° 38†

G 3 I.

S

III. Saz. X. 1 AC I BD mn
l 36 66ʃ 24% —
Facit 6°9 10 †+ 4 °65“ .
Dem Conrad muß man alſo auf der Linie W
AC.von C gegen A abmeſſen 10°4 54+, und
auf der Linie DB von D gegen 4 6°9 56, ſo 3
kann man die Scheidlinie E ziehen, und Con: I1
rad bekommt zu ſeinem Theil das Stuk Nr. l.
“ Ferner muß man dem Joſef von E nach A —
abmeſſen 18°5⸗ 86 +, und von F nach B 12 “ frd
3˙8“+, ſo bekommt Joſef fuͤr ſeinen Theil das uh
6 Siut Nr. II. Sind dieſe 2 Stuͤke richtig abge⸗ .
mmeſſen, ſo hat man nicht noͤthig, das leztere “
Stuͤk beſonders auszinechnen, weil es von ſelb⸗
Ken uͤbrig bleibt.
Ein Stuͤk Feld, wie Fig. 4 5½. Tab. III. ſoll manin ſ.
2 drei gleiche Theile theilen.
4
Man mißt das ganze Stuͤk aus: zum Bei⸗ .
ſpiel, es halte 420°, und dividirt den Inhalt
mit 3, ſo kommt heraus, wie viel ein jeder Rus
then haben muß. Nun ſtekt man mit Staͤben
nach Gutduͤnken die Scheidlinien BD und HF N
ab, und mißt ſodann ein jedes Stuͤk beſonders
aus; hat ein jedes abgeſchnittenes Stuͤk ſein ge⸗
hüiges Maas, ſo iſt⸗ gut, wo o nicht, ſo muß
man,

der di
†, ld
357 6
und Con⸗

Bunch 4

N

Del NOE
i e⅓

laten
n ſch

WoNNR

⸗

= 103

7

man, itn Fall das Stuͤk zu groß waͤre, davon

— oder zu klein, dazu meſſen. Z. E.

420⁰

div. mit 3: 140 kommen auf einen Theil.

Man meſſe das erſte Stuͤk, welches haͤlt

1105 Ruthen, mithin fehlen zu dieſem Stuͤk

noch 30; dieſe muß man auf der Linie DB ab⸗
meſſen, ſo kommt die wahre Scheidlinie i in EC.

Man meſſe auch das Stuͤk Nr. 2. kommt
fuͤr deſſen Inhalt 156, mithin iſt das Stuͤk
noch um 16 °zu groß. Dieſe muß man auf der

angenommenen Scheidlinie HF ablchnelden,
kommt die wahre Scheidlinie in 1G.

Das zte Stuͤk hat man nicht nothig z zu
meſſen, weil ſich deſſen Inhalt von Klbſten er⸗
gibt.

Anmerkung.

Auf dieſe Art ein Feld abzutheilen, iſt ſehr
vortheilhaft, ſonderheitlich wenn das Feld

Alullllerlei Kruͤmmungen har, folglich andern

Abtheilungs⸗Arten vorzuziehen.

Noch etwas vom Theilen der irregulaͤren Fi⸗
guren, wie auch einiger Vortheile, die
man dabei anbringen kann.
G 4 Saz

Wenn die Grundlinie eines recht winkelich⸗
ten Triangels in 2 gleiche Theile getheilt wird,

wie Fig. 69. Tab. V. und aus dem Theilungs⸗

Punkt eine Parallel⸗Linie EF mit dem perpendi⸗

kulare Kathetus AC gezogen wird, ſo verhaͤlt
ſich das Dreiek EFB zum groſſen Dreiek ABC

wie 1: 4; oder das durch die Parallel⸗Linie
Efp abgeſchnittene Stuͤk iſt der 4te Theil vom
ganzen Dreiek.

ꝗ ᷑ ᷑ Eben ſo =

Wenn die Grundlinie eines rechtwinkelich.
ten Triangels ABC Fig. 70. Tab. V. in 3 gleiche
Theile getheilt wird, und die Linien KF und DG
mit AC parallel gezogen werden, ſo verhalten

ſich die 3 Abſchnitte unter ſich wie 1: 3: 5.

das iſt der groͤſſere Abſchnitt ACGD hat 5. —

der mittlere DGEF hat 3. und der kleinere Theil
EFB hat I. Theil, und dieſe Theile ſind einan⸗
der gleich und aͤhnlich. Die fuͤr den gemeinen
Feldmeſſer ſo nuͤzliche Anwendung wird ſich ſo
gleich zeigen. Z

Ets ſeie Fig. 71. Tab. V. in 2 gleiche

varallel. . L
Aufloͤſung.

Man meſſe die Linie A., ſie ſei = 16.

—

und weil Al mit BC parallel, ſo iſt auch EC

or

vinkel klich
bilt witd,
hellungs⸗
erpendi⸗

herhalt
AO

A⸗Lirie
hell vonn

twinkelih

53 gleie
und DE

veralten

14 *°

315

5.—

danm⸗
gemenen

ſt5H

geiche
ſind

16 07

C

= 16⁰0; Aß wie auch EC werden ohne weite⸗
re Umſtaͤnde ſogleich in 2 gleiche Theile getheilt,

in dem man von A gegen B 8°0° und von E

gegen C 8°0 abmißt und die Scheidlinie g f
abſtekt, ſo waͤre alſo das Parallelogram ABEC

in 2. gleiche Theile getheilt, da aber das Drei⸗

ek DEC gemeinſchaftlich iſt, und noch in zwei

Theile muß vertheilt werden, ſo muß n man vor⸗
her deſſen Inhalt ausrechnen.

Es iſt fuͤr EC gefunden = — 160˙, und für
ED

. = 10°07

mithin der Inhalt. 2: 160 ůο%
des Triangels: = — 80² 00.

Dieſer gefundene Inhalt muß in 2 Theile ge⸗
theilt werden, kommen 40°00ο°6 und welche noch
zum Stuͤk Nr. J. und II. muͤſſen gemeſſen wer⸗
den; da nun in obigem Saz und Fig. 2. Lab.

V. gezeigt worden, daß wenn die Grundlinie ei⸗
nes rechtwinkelichten Triangels in zwei gleiche

Theile getheilt werde, der kleinere Theil ½ vom
Ganzen ſeie, ſo ſiehet man ſchon in gegenwaͤr⸗
tigem Beiſpiel, daß dem 2ten Theil nicht mehr

die ganze Helfte 40006 doͤrfen zugemeſſen wer⸗
den, weil ihm ſchon vorher durch die punktirte

Scheidlinie Fg zugefallen iſt, mithin hat er
nur noch ½ noͤthig, welches nach der Rechnung
2000 ſeyn wird, und welche alsdann noch
von dem Sthͤk Rr. l. nach §. 57. u. f. f. muͤſ⸗
G S5 ſen

106 ammmrn

ſen abgeſchnitten werden; man mißt nemlich die

Linie F g, ſie ſei lei e = 30⁰0 und dividire mit der

Helfte = 1500 in die noch fehlende 20°00°⅓6
ſo kommt 1 %%; welche alsdenn von g gegen
A abzumeſſen ſind, ſo kann man von dem gefun⸗
denen en Puntt h die rechte Scheidlinie ziehen.

Anmerkung.

Wollte man aber die Scheidlinie ſo ziehen,

daß ſolche mit AD gleichlaufend waͤre, ſo
muͤßte man mit der ganzen Linie EFg = 30⁰0
in 20 %% dividiren, da denn der Quotient
ebenfalls zeigen wuͤrde, wie viel von i gegen
E und von g gegen A muͤßte abgemeſſen wer⸗
den; doch wuͤrde alsdenn die neue Scheid⸗

linie erwas zu lang und folglich der Theil
Nr. I. etwas zu klein ſeyn. Ein verſtaͤndi⸗
ger Feldmeſſer koͤnnte in dem Fall dieſem DeG⸗

fekt ein wenig abhelfen, wenn er im Divi⸗
diren dem Diviſor durch 1 oder 2 Schuh

Zuſaz, je nachdem das Drei⸗Ek hoch oder

niedrig waͤre, zu Huͤlfe kaͤme; das ſicherſte
Verfahren aber, bleibt immer dasjenige,
wenn man das Fehlende in der Geſtalt eines
Triangels abſchneidet.

Aufgabe.

Ein irregulaͤres Viel⸗Ek wie Fig. 72. Tab.
V. in 3 gleiche T heile zu theilen.

Auf⸗

au di

ſier,
den ſole
potnmnen
Etie be

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000

Omhot
migege
ſen wen
Steid⸗
t Thel

eſtändß

Aufloͤſung.
Man nimmt hier ſogleich bei dem Abſieken
auf die Theilpunkte Ruͤkſicht, daher laͤßt man
hier, weil die Figur in 3 Theile getheilt wer⸗
den ſolle, die Linie Cg wie auch Dh als ange⸗
nommene Scheidlinien durchlaufen, und zieht die
Linie von A nach B, auf welche alsdenn die Per⸗

pendikel wie §. 46. und 47. gezeigt worden, auf⸗

gerichtet werden; ſo kann man jeden Theil Nr.
I. II. und III. beſonders ausrechnen, nachher aber
die Anzahl Ruthen von jedem Stuͤk zuſammen

addiren. Wenn man alsdenn in die gefundene
Summe mit der Anzahl Theile, in welche die—
Figur getheilt werden ſoll, dividirt, ſo wird der.
Quotient anzeigen, um wie viel ein jedes Stük
zu groß oder zu klein ſeie. Das ganze Verfah⸗

ren wird folgende Berechnung deutlich machen.
In dem Theil Nr. I.
haͤlt der Triangel AsC =– = 8 1⁰9 273

das T Trapez utf e = 3 8 6 4 tt

Es haͤlt alſo das Stuͤk aceg⸗ 169 28˙
In dem Theil Nr. II.

haͤlt . . Chsp= 213 2237
das Trapez srhg =– 679 0. addirt.
. . . rqih =D 9016.
2 2* . qpki = 936.1
kemunt fur das Stuk CDgk = 380 zo

In

——

In dem Theil Nr. III.

haͤlt der Triangel BDp = 12 3 0 0

das Trapez pokl = 4 3 12 atie
,„ o nml = 12707 2˙ .

der Triangel n Bm = I 3 80
kommt für das Stuͤk DBmIk = =— 307 047.

Es haͤlt demnach

6

Nr. I. = 169 287
Nr. II. = 380 70] addirt.
Rr. III. = 30 7 044

857 0 2 Area der gan⸗

zen Figur.
Dieſe Summe muß man durch 3 dividiren, wenn
man den zten Theil von der Figur erhalten will,
kommt = 285* 87 ⁶

Nun ſiehet man wohl . daß das Stuͤk Nr. I.

unm vieles zu klein gegen dem Zten Theil iſt, deß⸗
wegen muß man ſolches von dem Zten Theil ab⸗
ziehen, wenn man das Fehlende erhalten will.

4 1I I 6°5 9 *½ Dieſes gefundene
muß man noch von dem Stut Nr. II. abmeſſen,
welches geſchiehet, wenn man mit dem Maas der
Linie cg= = 20 %° 6 in II60 59 9 dividirt,
gibt

er gin
igur.
n, wem
ten nil,

Nr.l.

1, den

hell ch⸗
nil

ndene
eſen,
sder
itt,
gbt

gibt zum Quotienten = — 5 8 89e, welchen man

doppelt nehmen muß, weil man nur auf einer

Seite bei C gegen D am ſchiklichſten nbeuriſen

kann.

Doppelt genommen iſt er 1 61 18
dieſes muß von C gegen D abgeme eſſen wers
den, gibt den Punkt N, aus welchem man
die Lime N g ziehen kann, welches die wahre

Scheidlinie ſeyn wird.

Da durch die Beſtimmung des I. Theils von
dem Stuͤk Nr. II. noch 116 59 ½ zu jenem
abgemeſſen worden ſind, ſo muͤſſen ſolche jezo von
dem Stuͤk Nr. II. abgezogen werden, MMD
II6 59
264 10

4

S

Werden dieſe 2,64 1 0% von dem gefundenen
zten Theil abgezogen, ſo wird der Reſt zeigen,
wie viel man von dem Stuͤk Nr. III. nehmen
muͤſſe, um dem Theil Nr.1 II. ſein gehbriges
Maas zu geben.

2 8 5˙S 7
20 4 1 0 2²
2 1 7 6 3.

In n dieſe geſundene 21 376 muß mit dem

Maas der Linie D K divibirt werden, ſo wird
der

110 èẽ

der Quotient doppelt genommen anzeigen, wie

viel noch bei D muͤſſe gegen B gemeſſen werden.

Das Maas von D K iſt 2067

29096/ 21769 1003α das Doppelte
von 1°%½ welches 2 8, iſ, muß von D ge⸗
gen B gemeſſen werden, kommt in M, und

MKñ j(lilſt die Scheidlinie, weil ſolche aber wegen

dem Winkel bei D etwas zu kurz iſt, ſo muß noch

etwas zugegeben werden.

Aufgabe.
Ein irregulaͤres Viel⸗Ek wie Fig. 7 3. Tab.

W v. in zwei gleiche Theile D theilen, daß die

Scheidlinie auf den Punkt C. zu laufe.

Zuerſt wird die ne F Figur ausgemeſſea en,
darmnit man wiſſe, wie viel man auf einen Theil

zuzumeſſen habe.

Es werde gefunden
ſer den Triangel ABC = 10I* 4 8
„ ACG — 10 6 20.
* CEF= r23 20.
.2 CDE = 74 4 8.

Zihilt der ganzen Fi igur = 49 1 26˙

„ % *

.

Dieſe

Dieſ

zui

ſen, i
werben,

Depen
nun D
MI, ud
her nent

nnuß w

„ u.
daf Ne

Tl

diſſ⸗

Dieſe heraus gebrachte Summe theile man in
zweit gleiche Theile,

49 12 6

22 –—
2 4 5 *6 3“ muͤſſen fuͤr einen

jeden Thei zugemeſſen werden.

Jezt addire man die 2 Drei⸗Eke CDE
und CEF zuſammen, und nehme die Linie Cr
fuͤr die blinde Scheidlinie an.

Triangel CDE = 7 4 4 8

. „ CEF= I 2 5 2
19 956 8

Den gefundenen Inhalt dieſer zweien Drei⸗
Eken ziehe man von dem oben gefundenen
halben Theil = 2 4 5 °% 3 ab,
19% 9% 6 8
ſo fehlen noch 4 5 5 welche alsdenn
von dem Theil Nr. 1 muͤſſen abgeſchnitten
werden.

In dieſe 45°5“ dividire man mit der
halben Linie CF, welche im gegenwaͤrtigen Fall

= 12 7 iſt

4 5 9 5
3 6

127:

Dieſe

Dieſe hier in Vorſchein gekommene 3⁰6“ (den
Bruch kann man auslaſſen) meſſe man auf h G
welche auf FC ſenkrecht von h gegen G ab, und
ziehe durch den gefundenen Punkt eine Parallele
mit PC, welche die Linie G F bei i ſcheiden wird,

ſo kann man von i aus die wahre Scheidlinie

Aufgabe.

Fig. 74. Tab. V. ſtellt einen gebogenen Aker

vor, den Abraham mit der Sara verheyrathete,
und zu welchem er nachher, da er die Hagar an⸗

nahme, denſelben durch ihr Beibringen vergroöſe
ſerte, und die Markung dadurch als entbehrlich

abſchafte; da aber Iſaak und Iſmael Streit be⸗
kamen, ſo mußte lezterem ſein Theil abgemeſſen
werden. Wenn nun dem erſten 2 Morgen, 3 ½
Viertel und 4 Ruthen, dem andern 1 Morgen
und 11 Vrtl. in den Verzeichniſſen zugeſchrieben

waͤre; ſo ſoll man die Markung wieder beſtimmen.

Man verfahre alſo:

Aus T nach U wird die gerade Linie O
gezogen, und auf derſelben, je mehr deſto beſe
ſer, perpendikulare Linien errichtet, wie Z. E.

Nach dieſem werden die 27 Morgen, wie

auch 1 ¾ Morgen zuſammen addirt, geben 641 ¾

Ruthen. “

6(u
uf h
n wd
Partlle
n wid,
heblin⸗

en Ar⸗
hruthete,
gat en
dergeiß
behrli
tnit
ſemiſen
en, 5
Worpen
hriben
utnen⸗

713

Alsdenn ſpricht man;
641½¼ Ruthen geben die Linie VW. was fuͤr eine
Liinnie geben 206 ¼ Ruthen als des
Iſmaels Theiilll
ðDU gibt = die Linie Vk.
6412 geben Xy, was geben 206 ¼ % = 2 y.
641 ¾° geben a b, was 206 4¼ 2 = ac.
641 ¾9 geben ed, was 206 1 2 = dY.
641 ¾ geben Gi, was 206 ¼ 2 = gh.

Durch dieſe Berechnung waͤre die Theilung
ohne weitere Abſtichs-Rechnung gruͤndlich ver⸗
richtet, bis auf die 2 Triangel TVw. und GUi.

Man muß daher die 2 Drei⸗Eke nkV und
hm G, wie auch das Stuͤk Twnk und himU
beſonders ausrechnen, deren Summen zuſam⸗
men addiren, und alſo ſprechen:

641¼½* geben fuͤr den Iſmael 206 ¾ , was
gibt die Summe der gefundenen Abſchnitte
TwVXYGUi?

Von dem Gefundenen werden die Gehalte
der beeden Drei⸗Eke nkV und hm G abgezo⸗
gen, ſo zeigt die Diferenz an, wie viel dem
Iſmael noch durch die ganze Laͤnge muͤſſe zuge⸗
geben werden.

4 Voeom—

114 —

Vom Theilen der Triangel. i
Ein dreietichtes Feld in verlangte gleiche Theile uu (eitn
theilen. Zum Exempel in; Theile. ſad

chet.
Man theile die Linie AB Fig. 46. Tab. III. D
in 5 gleiche Theile, und ziehe aus C die Scheid⸗

linien CG, CD, CE, Cb, ſo iſt der Triangel N
richtig rbgetheilt.
Anmerkung. S DJYMZW
Die Theilung gruͤndet ſich auf den geometri⸗
ſchen Saz: Drei⸗Eke von gleichen Grund⸗
linien und Hoͤhen ſind gleich. M
“ ler
Einen Triangel in dret gleiche Theile zu theilen, daß it
die Theilungs⸗Linien mit der Grundlinie parallel
laufen. Fig. 47. Tab. II. M GK
Man meſſe die Linie AC oder Bc. Z. E.
BC ſeie = 21, dieſes multiplicire man mit ſich ns

ſelbſt, kommt 441. Dieſe Quadratzahl dividi⸗
re man mit 3 als mit der Zahl der Theile, in
nelche der Triangel getheilt werden ſoll.

3 in: 441
147 hieraus die Quadratuunze,

ſe hat man die Linie CG = 12 ¾ * ungeſaͤhr.
Ferner lut

helle in

b Il.
Shed⸗
Aung

Reonmeire
Cmunm

Uule

pir ſh
Midi⸗
il, ir

unl,
4

ener

Ferner ziehe man aus Stel 147 † 147 = 294
die Auadrurwurzel, ſo bekommt man die Linie
CE = 17° ungefaͤhr. Wenn man nun aus
G und E die Linien FG und DE parallel mit AB
zieht, ſo iſt der Triangel in drei gleiche Theile

getheilt.

Anmerkung.

Der Grund dieſes Verfahrens beruht auf dem
Saz: Aehnliche Drei⸗Eke verhalten ſich
wie die Quadrate ihrer aͤhnlich liegenden
Seiten.
Weil die Scheidlinien FG, DE mit der
Grundlinie parallel ſeyn ſollen, ſo ſind of⸗
fenbar die Drei⸗Eke ABC, DEC und FGC
aͤhnlich, und da die ganze Figur in 3 gleiche
Theile getheilt werden ſoll, ſo bekommt je⸗
der 5 des ganzen,
ſolglich 3: ½ = CBa: CGa hieraus findet
ich 66 H

Es iſt nemlich CG²⁸ = 25CB2
daher CG = CB=
Aus gleichem Grunde iſt:
3 :C 3¾ = CB2 : CKIs
alſo CEAE = 3052
folgl. CE: — 774CB
Auufgabe.

Von einem Triangel eine beliebige Anzahl
Ruthen abzuſchneiden. Z. B. von Fig. 75.
2 2 Tab.,

*

Tab. V. ſollen aben i im Ens c. 75 abgemeſ⸗

ſen werden.

Aufloͤſung.

Zuerſt wird der Inhalt des ganzen Trian⸗
gels gemeſſen, und berechnet.

Es ſeie AB = 30007
De = 19°5. 5*

2) 5850
Zuhalt des Triangels ABC. 29 2 50%.⁰ 07.

Nun ſpricht man:
Der Inhalt des Drei⸗Eks ABC 292 050,

verhaͤlt ſich zum Quadr. der Seite AB = 900 9006

wie ſich verhalten die abzuſchneidende 75° zur ge⸗
ſachten Linie ef. hieraus Quadrat⸗ Wurzel.
Berechnung. .
2922 50.. 90 ⁵ο

Fac. 2309 168 ,77: dieſe geſucte Zahl

ſuche man in der Wurzel⸗ ⸗Tabelle, in der Col.

Quadr., ſo wird die Wurzel anzeigen 1 50 1.

Dieſe hier in Vorſchein gekommene 1 5² 1 ſind
das Maas fuͤr die Grundlinie ef. Wenn man

nnun die Grundlinie und den Inhalt eines Trian⸗
geels weiß, ſo kann man leicht die Hoͤhe finden,
man darf nur mit der Helfte der Grundlinie in
die

en r

die M
neſen
e⸗
ſet die

ilgin
erzend
Pfindenen
ſien,
lur.

thei

ſ der

ͦ then

an 117

die Ruthen⸗Zahl dividiren, welche man abze⸗
meſſen gedenkt.

Die Helfte von 1 5°1 iſt = 7* 5.. 54.
mit dieſem dividire man in
7 ˙5˙57) 7. 5. 7 c, 9* 9 3“
6 7 9 5
— 7. O. 5. O
. 5b 7 9% 5
2 5· 5. 0
2 2 6 5
— 2 8 5.

Dieſe gefundene 99 3“ kann man von C gegen
D perpendikular herunter meſſen, und durch den
gefundenen Punkt L eine Parallel⸗Linie mit A3
ziehen, ſo wird das Drei⸗Ek eCf richtig 75
halten.

Trigt⸗

2 %%
000,/
r ge

Aufgabe.

Einen Triangel in verlangte gleiche Theile
zu theilen, ſo daß die Scheidlinien perpendikular

aol auf der Grundlinie ſtehen.
70 1
ſid Aufloͤſung.
nu Es ſeie Fig. 76. Tab. V. in 4 gleiche Theile
mm/ zu theilen.
. Man ziehe den Perpendikel C, und meſſe

jeden rechtwinkelichten Triangel ADC nund BCcD
H 3 peſon⸗

beſonders aus. AD ſeie 18 4˙. ¼ CD = 9 *3
und DB = 36 °067.
“MMä Berechnnn.
AD = 18 4 DB= 36 0 HWKW
4CD = 93 CD= 9 3 k
5 52 1 08 0 Eet
1656 32 4 000
1I7 1I I 2 A ADC. 334°80=— BCD.
Fnhalt des ganzen Triangels 4A6C= 505 92. 8
MU Dieſen gefundenen Inhalt dividire man in 4
4 gleiche Theile. 66
A: 5 „ 5 9 2 ⸗
kommen auf einen Theil = 1 2 6 2 8
Wenn man nun auch hier den Lehrſaz zur
Huͤlfe nimmt, daß ſich aͤhnliche Drei⸗Eke verhal⸗
ten, wie die Quadrate ihrer aͤhnlich liegenden
Seiten, ſo kann man alſo ſchlieſſen: Wut
Deer Inhalt von ACD = I71 12‧ verr⸗ R
haͤlt ſich zum Inhalt des vierten Theils 126 487
wie ſich verhaͤlt das Quadrat von AD = 33856
zum Quadrat von Ae. „ v
das

n e
deendh⸗
legemnen

1 ber⸗
687
3856

das

— 11
das iſt:
12648
12 2 38* 5 6
Fac. 25 0* 24 hieraus Ouedrat⸗
Wurzel, kommt in der Taſel = 15 85 †+.
Dieſes muß dem erſten von A gegen D abgemeſ⸗

ſen werden, die Perpendikular⸗Linie ef iſt die
Scheidlinie fuͤr Nr. I. und II.

171

Um die noch uͤbrige Theile zu finden, ſ
fange man auf der andern Seite bei dem Winkel
B an. Der Inhalt von CDB = 334 ‧80.

Das Quadrat von DB 36 %° 1296°%0%,
ſo iſt:
334 80 126 487 = 1296%: . x.

oder:
X/ 126 4387
334 80 41 1296 %°¾60.°
Fac. 489 60 hieraus Quadr.

Wurzel beinahe 220°1. Dieſe von B gegen

D in k getragen, ſo iſt die Pervendiknlar⸗ Linie
k i. die Scheidlinie fuͤr Nr. IV. und III.

AUm die Richtigkeit der zwei mittleren Theile
zu entſcheiden, ſo merke man noch folgendes:

120 8 8
Man nehme den Gehalt von dem 4ten Theil
des ganzen Triangels doppelt, 2
12 6 4 87
koeommen = 2 5 2 % 66
Fezt ſpreche man? ”M
334 °⅛80: 25 2°% 6 =— 1296%%: X.
odder:
Aà ,25 296
834 80.˙1 1296 o
Fac. 975 97 hieraus Radix Quadr.
kommt = 3 1 è2 + Dieſe meſſe man wieder
von B gegen D ab, und an dem Ort, wo das
Maas eintrift, wird die ſenkrechte Linie g h auf⸗
gerichtet, ſo iſt die Theilung zu Ende.

Einen Triangel in ungleiche Theile zu thei⸗

len, ſo daß die Scheidlinien mit der Baſis paral⸗
lel laufen. Z. E. M

Fig. 77. Lab. V. ſoll in 3 Theile alſo ein⸗
getheilt werden, daß A ½, B 3, und C 5F ha⸗

ben ſoll.
Aufloͤſung.
Man meſſe die Linie AC, ſie ſeie = 28°82
dieſe multiplicire man mit ſich ſelbſt, gibt 829*44/˙.
Die

n n Die vorhandene Bruͤche werden addirt.
△ HM
3 5 2
5 5 3 3
IILZS
105]35] 63 75
A63
w: J. .. 35
173 = 118

Jezt ſchtieſe man:
1 18 ⅜: ⅞ = 829 44˙: X.

. 0, oder:
edeer 5 3 .
wa das 1 3207 44. H
Zn auß⸗ Fac. 1 67 ‧805+2 3 „hieraus die Quadrat⸗

drat⸗Wurzel, kommt nach der Tabell = 12 %9 +
dieſe 12°9“ werden von C gegen A herunter ge⸗
meſſen, gibt den Punkt d, aus welchem man die
n Prnee de ziehen kann, ſo iſt alsdenn 0 de
ur A.

Der Theil fuͤr B wird alſ⸗ gefunden: .
ſein Man addire des A Thell = = 1 zu B Theil = .

3
19 * 5 D 9
4. 555
Die 14 = 2

.„*„½

und

122 ———N*
und ſhließe al ſo MW e
1 4 2: 14 = 829 44,: X. “”M
nach der Reeſiſchen Rechnung aber;« “
B. K. 2 132 ð ncbſt
I1 5b„ 829⁰44* GSte
FPac. Ti5 52 5 hieraus wieder h
deie Quadrat,Wunzel kommt beinahe = 21 77, es
welche man ebenfalls von C gegen A herunter e
meſſen muß, der Endpunkt kommt in g, und die uſe
Parallel⸗Linie gf wird die Scheidlinie ſeyn. Des ce
C ſeinen Theil hat man nicht noͤthig zu ſuchen, wiſh
weil er von ſelbſten uͤbrig bleibt. Wer den Hand⸗ ſhi
griff nicht weiß, wie aus einem Punkt eine Pa⸗ ul
rallel⸗Linie mit einer geraden Linie zu ziehen iſft, mmm,
der kann ja auf der Linie CB die nemliche Opera⸗ aen
tion vornehmen, da ſich dann darauf die MPunkte i
e und f ergeben werden. ð . lit,
le.
§. 68.

Dieſes ſind nun die gewoͤhnliche Faͤlle die
beim Feldmeſſen oft vorkommen, ſind ungemein
nuͤzlich, beſonders da wo die Meßungen nicht ins
Große gehen, ſie aber einzeln auf ſehr groſſe Ver⸗
mmeſſungen von mehreren 100. bis 1000. Mor⸗
gen anzuwenden, waͤre auf dem Felde wegen den
mannigfaltigen Rechnungen zu langweilig und be⸗
ſchwerlich. In dieſem Fall geht man am ſicher⸗
ſten, wenn man den zu vermeſſenden Diſtrikt vor⸗
her nach ſeinem ganzen Uumſange genau aufnimmt,
(wovon

e
217
herunter
und de

ſnn. Des

n ſochen,
denhend,
eine Pu
ſefen if,
Oery

Punkt.

File de
ungenen
ict ins
Pyr⸗
en den
nd be⸗
ſite⸗
tt⸗
mmt,
ebon

(wovon im Anhang etwas mehr von dem Aufneh⸗

men vermittelſt des Meßtiſches ſolle geſagt wer⸗

den) und von demſelben einen General⸗Riß ent⸗

wirft, ihn in ſeine Zelgen und Gewandte abtheilt,
und ſodann erſt die Theilung der einzelnen kleinern

Stuͤke vornimmt, alles dieſes kann vermittelſt

der gehoͤrigen Rechnung und des verjuͤngten Maas⸗
ſtabes zu Hauſe vorgenommen werden. Auf dieſe

Art erhaͤlt man den Vortheil, daß man ein ſolch

groſſes Stuͤk nicht nur mit einem Blik uͤberſehen,

ſondern auch die Theilung ſelbſten nach dem öcono⸗

miſchen Nuzen einrichten kann. Nach dieſer Vor⸗

ſchrift habe ich die ganze Anlage in Hohenheim,
welche ſich auf 1766. Morgen belauft, aufgenom⸗
inen, und einen groſſen Theil von ungefaͤhr 680
Morgen, von Morgen zu Morgen, abgetheilt,
nach dem ich vorher das ganze Gut in Grund ge⸗

legt, und die Theilung zu Haus vorgenommen
hatte.

Eben da ich dieſes ſchreibe, ſo erhalte ich: A.

Kochs, Schul⸗ und Privat⸗Lehrers der
Mathematiki in Lehnweiler, Verſuch einer

theoretiſch⸗praktiſchen Anleitung zur Aus⸗

Ausuͤbung der Geometrie ꝛc. Ein Lehrbuch

fuͤr Landſchullehrer, und wiederholter Un⸗

terricht fur angehende Feldmeſſer. Mit

Kupfern. Stuttg. bei Erhard und Löͤflund

1796.

1

Ich

Idch beſorge daß es den Landſchullehrern und Allin
angehenden Feldmeſſern, die ſich in dieſem Buche utt
Raths erhohlen wollen, eben ſo ergehen werde, als i
es vor einigen Jahren mir ergieng. Ich wollte Hll⸗
einen Freund auf dem benachbarten Dorffe N. ... u
beſuchen, weil ich aber ſeine Wohnung nicht ge⸗ fff
nau wußte, ſo fragte ich oben am Dorffe einen udu
Krrnaben, ob er mir nicht ſagen koͤnne, in welchem
Hauſt der Hr. D . . . . wohne? O ja, erhielt in
ich zur Antwort, gehen ſie nur da hinunter, und ..l!
grad von meines Vetters Haus gegenuͤber wohnt Auf
er, und hiemit war ich belehrt, das heißt, wil Mr
mir des Vetters Haus auch nicht bekannt war, ſo 1

wußte ich eben ſo viel als vorher ehe ich fragte.
Es iſt noͤthig einige ganz falſche Saͤze und Unrich⸗ ſir

tigkeiten hier anzuzeigen. In F. 23. wird geſagt, nutde
daß alle rechtwinklichte Dreieke aͤhnlich ſeyen. Die ie

ſynthetiſche Beweiſe uͤber mehrere Saͤze ſind ver⸗ en
worren, unverſtaͤndlich und heiſſen ſo viel als nichts,
wovon H. 22. §. 29. hauprſaͤchlich aber der Hauptꝛ.
ſaz §. 32. und die darauf folgende Aufloͤſung (Auf⸗
loͤſung?) nebſt Beweis zur Probe dienen koͤnnen. R“”
Dieſes Buch ſoll ein Lehrbuch fuͤr Landſchullehrer
ſeyn, and ſoll hauptſaͤchlich zur Aufklaͤrung und
Bildung dienen, damit ein guter Same auf die
Folgezeit keimen moͤchte,“ wie in der Vorrede ge⸗

ſagt wird. Der aufmerkſame Leſer wird hin und un
wieder auf ſolche Beweiſe ſtoſſen, welche mehr oder uſi
weniger undentlich und unrichtig ſind. Bei der uns
im Anhang beigefuͤgten Winkelmeſſer⸗Tabelle haͤtte ine

doch auch angegeben werden ſollen, wie groß der 3

khrern ich
ſen Buhe
werde, als
ch wolle
nicht ge⸗

ſſe einen

n welchem
1 ethielt
hmet, und
ltel wehut

hast, wil

in wer, 6
ig ſnge.
Nunit⸗
geſagt,
en. Die
ſnd ben
nichts,
hrge⸗
n⸗
khunn.
hllhrer
nung und
ußf bi⸗
nde ge⸗
in und

7

hr oder
Bei N
1Me
der

hulb⸗

Ethnannerzae 125

Halbmeſſer zur Berechnung derſelhen angen
worden. Sie ganz zu pruͤfen, halte ich keine uͤbri⸗
ge Zeit, ich fand aber, da ich ſie mit der für den
Halbmeſſer von 30. Fuß berechneten Tafel in Hrn.
Prof. Eberts Unterweiſung in den Math. Wiſ⸗
ſenſchaften p. 453 verglich, daß ſie an mehre⸗
rven Orten um 1 auch 2 bis 3 Minuten von ein⸗
ander abwichen. Der Gebrauch derſelben wird
FK. 20. Nr. V. in etwas, und in der Aufgabe
F. 77. ganz undentlich und unrichtig gezeigt. Der
Verf. ſagt zwar darinn: dieſe Winkelmeſſer⸗Ta⸗
belle werde keine beſondere Erklarung noͤthig ha⸗
ben, weil die in §. 77. angefuͤhrte Aufgabe die
Sache anſchaulich genug machen koͤnne. Ich hielt

es fuͤr Pflicht nur einige in dieſem Buche vorkom⸗

mende Unrichtigkeiten aufzudeken, damit die Leſer
ihre Zeit mit Aufſuchungen der Wahrheiten aus
dieſem Buche nicht verlieren mochten. H

Etwas aus der Stereometrie,
Sð und zwar
von den Maaſen in der Stereometrie.
§. 69. DW
Wenn man etwas ausmeſſen will, ſo muß

man den Maasſtab wiſſen, welcher zu der anszu⸗

meſſenden Sache tauglich iſt; dieſes ſiehet man
aus dem bisherigen, indem man eine Linie, und
eine Flaͤche ausgemeſſen hat. Eben ſo verhaͤlt
es ſich beim Ausmeſſen der Korper. Es nus

—

3, womit ein Koͤrper ausgemeſſen
. eig ein Koͤrper ſeyn, und zwar
ein Kubus, o
Schuh ꝛc. lang, eine Ruthe ꝛc. breit, und eine
Ruthe hoch oder dik iſt. Eine ſolche Kubic⸗Ru⸗
the oder Schuh ꝛc. hat alſo ein Quadrat zur
Grundflaͤche, welches nach dem Quadrat⸗Maas
im 1otheiligen Maas 100 Quadrat⸗Schuhe ꝛc. im
12theiligen Maas aber 144 Quadrat⸗Schuh ꝛc.
hat. Weil aber eine Kubic⸗Ruthe auch zugleich
eine Dike hat, ſo kann Quadrat⸗Maas und Ku⸗
bie⸗Maas nicht einerlei ſeyn. Eine Kubie⸗Ru⸗
the haͤlt nach dem 1otheiligen Maas 1000 Ku⸗
bie⸗Schuh, weil 10 Schichten auf einander lie⸗
gen. Nach dem 12theiligen Maas 1728 Ku⸗
bic⸗Schuhe. Es hat demnach die
Decimal⸗Ruthe 12Schu. Rut.
Schuh 1000 1728 4096
ZSeoll 1000000 2985984 7077888
QL.i. 1000000000 5159780352112230690464.

Man wird leicht begreifen, daß man die
Verwandlung des Kubic⸗Maaſes, z. E. 10thei⸗
liges in 12theiliges oder 16theiliges, und dieſes
in jenes eben ſo anbringen koͤnne, wie §. 33. 34.
und 35. gezeigt worden, man muß dabei nur
bedenken, daß man mit Kubic⸗Maas zu thun

habe, wo man beim Abſchneiden, Anhaͤngen der

Zahlen, allemal 3 Zahlen nehmen muͤſſe.
”ZM “S Vom

der Würfel, der eine Ruthe oder

16 Schuh. Rut.

W.

t tel
wie iel e

le duer

ſ 1
ſſche
in ho
ſen w

Hemeſe
nd zuct
the oder
und eine
bie⸗NRr⸗
nt zut
⸗Mus
hete. im
gleich
und Kr⸗
ie⸗Ro⸗
1000 Kl
under li⸗
29 Ku⸗

Rut.

len wir ſolche auf etliche Aufgaben anwenben.

–

ener,.n 127
Vom Ausrechnen einiger Koͤrper.
F. 71.
Mas einen Koͤrper ausrechnen heiſſe, braucht
nicht viel Erklaͤrens. Es heißt nemlich finden,
wie viel er Kubic⸗Ruthen, Kubic⸗Schuh ꝛc. hal⸗
te, daher heißt man es auch kubiren.

4

Den Inhalt eines gleichdiken Koͤrpers, der 12/lang

7breit, und 8 hoch iſt, zu finden.

Die Grundflaͤche des Koͤrpers wird zuerſt
nach der Flaͤchenmeſſung ausgerechnet, dieſen

Inhalt multiplieire man mit der Hoͤhe, ſo kommt

der Inhalt des Koͤrpers. Zum Beiſpiel:
lang = 12 HMUMUẽ
breit = 7
84 = Area der Grundflaͤche.
672 Kubic⸗Schuh.

g. 73.

Da es uns vor allen Dingen darum zu thun
iſt, um den Nuzen der kubiſchen Rechnungen ein⸗
zuſehen, und zugleich zu zeigen, wie man ſie auch
in okonomiſchen Faͤllen gebrauchen koͤnne, ſo wol⸗

Ein

128 e

Ein Keller ſeie auszugraben, der 3⁰2lang,

2°9 breit, und 1°5 tief, wie viel Kubic⸗Ru⸗

ihen muß man ausgraben?

Laͤnge — 3* 2*
Breite = 2⁰° 9˙ multiplicirt

9* 287
Tiefe 1 5 mult.
13°920“ muͤſſen ausgegraben
werden.
Aufgabe.
Es ſeie ein Graben zu machen, deſſen obe⸗
re Breite = 18/, die untere aber 14, die Tie⸗
fe 20, wie viel Kubie⸗Schuh Erde muß man aus⸗
graben, wenn der Grab 4000“ lang werden ſolle?
Aumerkung. S
Weil hier die obere und untere Breite ungleich
iſt, ſo muß man eine mittlere Breite ſu⸗
chen, welches geſchiehet, wenn man die obe⸗
ree und untere Breite zuſammen addirt, und
daas herausgebrachte halbirt, z. E.
Obere Breite = 18“ “
untere Breite = 14
32

2:
mittlere Breite = 166
Tiefe = 20

820
Laͤnge des Grabens = 40006
“ 1280000“ Kubic⸗Schuh
Erde muͤſſen ausgegraben werden.
. §. 74*

Uln
ie⸗N

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e Te⸗
mnan arc
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die cho
dtt, ud

h

en⸗

74˙

— 139

Anmerkung.
Wenn man einen ſolchen Graben deſſen obere
Breite groͤſſer als ſeine untere iſt, als eine
abgekuͤrzte Pyramide anſieht, ſo kann man
zeigen daß dieſe Regel immer ſehlerhaft
bleibt; ſich aber auf die algebraiſche Berech⸗
nung einzulaſſen, iſt hier der Ort nicht. Hr.
Hofrath Kaͤſtner hat in ſeinen Anfangsgruͤn⸗
den der Arith. und Geom. 63. Saz und f. f.
gruͤndlich erwieſen, wie viel die gewoͤhnliche
Regel von der gruͤndlichen abweichen koͤnne,

Man ſfordert oͤfters auch von einem Feld⸗
meſſer eine Berechnung, was ein ſolcher Gra⸗
ben im Durchſchnitt koſten koͤnne, wenn man
weißt, wie viel Kubic⸗Schuh ein Mann des Tags
wegſchaffen kann, und wie viel fuͤr den Kubie⸗

Schuh auszugraben bezahlt werde. Zum Bei⸗

ſpiel, es ſolle ein Ueberſchlag uͤber den in voriger

Aufgabe angeführten Graben entworfen werden,

wenn fuͤr den Kubic⸗Schuh 1 ½ kr. bezahlt wird.
Hier darf man nur nach der Regel de tri ſagen:
1 Kubic⸗Schuh gibt 1 ½ kr. was geben 12800000
Kubie⸗Schuhe? è
Odder nach dem Reeſiſchen Saz: W
X fl. 12800000. H
1 Kubic Sch. 11 kr.

60 kr. 1 fl.
Facit = 320000 fl.
„= Man

130 —-

Man will ein Gebaͤude aufrichten, die Laͤn⸗
ge des Grundriſſes AB Fig. 48. Tab. III. iſt =

60 die Breite AC = 40 die Dike der Mau⸗

xen EF = 3 9 und die Hoͤhe des unterſten Stoks
iſt 12,, wie viel Kubic⸗ Schuh wird das Gemaͤuer
im erſten Stokwerk halten?

Man rechne den Inhalt einer jeden Mauer

deſned⸗ und addire alle Produkte zuſammen.

Berechnung.

Laͤnge AB = 600
Dike EF = 34
180°

. des Statwerks = 12
2160 Kubie⸗ „Schuh der

Seite AßB, eben ſo viel haͤlt auch CD.

mithin 2160.

4320/ — Inhalt der

beeden Seiten AB und CD.

gezt ſache man den Inhalt in Kubic⸗ Schuh der
beeden Seiten AC und B0D. es gehen aber von

beeden Seiten 6 Schuh ab, mithin iſt

AGC

De bk:

—

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n 01.
Gohter
et ton

— 131
AC noch = 34

Dike EF = 3˙
102

12˙ Hoͤhe des Stokwerks.
1224 eben ſoviel haͤlt auch die Seite BD
mithin 2
uoddirt 448 Inhalt d. zwo Mauren ACu. BD.
addirt 143 20 Inhalt d. zwo Mauren ABu. CD.
0768 kubiſcher Inhalt des unterſten
Stokgebaͤudes.

Auf gleiche Art werden die Mauren im Fun⸗
dament, im Keller, im 2ten und Zten Stokwerk
berechnet, nur muß man aber in Acht nehmen,

daß die Mauren in obern Stokwerkern duͤnner

als die Mauren in untern Stokwerkern, und die
Stokwerks⸗Hoͤhen nicht uͤberall gleich ſind. Und
ſo kann man den Inhalt von dem Mauerwerk ei⸗
nes ganzen Hauſes finden. Weißt man dieſes,
ſo kann man den Mauerlohn, imgleichen wie viel
Steine, Kalch und Sand erfordert werden „ be⸗

rechnen, wenn man weißt, daß dem Maurer fuͤr

das Kubicklafter, das iſt 36 Schuh, bezahlt wer⸗
de, im Fundament und im Keller 22 kr. im er⸗

ſten Stok 26 kr. im 2ten Stok 28 kr., und daß

auf 4 Klaſter Mauerwerk 1 Fuder Kalch, auf
ein Klafter Mauerwerk aber 1 Karren Sand er⸗
fordert werdre. MB

JIs Es

Es geht freilich noch e etwas wegen den Thuͤ⸗
ren und Fenſtern ab, aber nicht an Mauerlohn,

weil ſolche zu ſezen eben ſo viele Zeit erfordert als

auszumaltrer.
Aufgabe.
In einer Scheuren iſt der Garben⸗Barn 30
lang, 24 breit, und 46 hoch; wenn nun eine Gar⸗
be 3 Kubie⸗ ⸗Schuh Plaz einnimmt, wie viel Gar⸗
ben kann man in den Barn einlegen?

Zuerſt rechne man, wie viel Kubice Schuh

der Barn halte.

Laͤnge = — 324
Breite = 249 mutizliänt

Hoͤhe = = 46 m mult.

3 in: 33120. dieſen Inhalt dividire man
mit 3,
ſo kommt 11040 als die Anzahl Garben,
welche in den Barn koͤnnen eingelegt werden.
Aufgabe.
Den Inhalt eires hohlen Gefaͤſſes, z. E. ei⸗
nes vierekigten Bronnentrogs oder Fruchtfachs
zu finden.

Man meſſe die inwendige Laͤnge, Breite,

und Tiefe, multiplieire die gefundene Maaße mit

einander, ſo zeigt das Produkt den Inhalt des

Bronnentrogs oder Fruchtfachs an. Z. E.
die inwendige Laͤnge

. eines Bronnentrogs ſeie — 8‧ 4“
. die Breite = 4 5
die Tiefe = 3“ 4˙

Dieſe

F
der

Burn 39
eine⸗

nill Gr⸗⸗

„ 17
⸗Si

Rwa

Deſe

— 133

Dieſe dreierlei Maaße miteinander multi⸗
plicirt gibt ðU
Laͤnge = 8˙4“
Breite = 4 3. mult.
37-80“
Tiefe = 3˙ 4
1238˙520“ Inhalt des Bronnen⸗
trogs.
Anmerkung.

mult.

)

Würde aber der Bronnentrog oben weiter als

unten ſeyn, ſo muͤßten die untere und obere
aber innere Weiten genau gemeſſen, und
mit einander verglichen werden, wobei im⸗
mer die Anmerkung H. 73. gilt, z. E.
die untere Laͤnge ſeie = 84“] addirt
die obere⸗ ⸗ — 8˙8“] aoder
856“ mittlere Laͤnge.
die untere Breite = 45“ „ddirt
die obere Breite = 4⁰9“ addirt

477“ mittlere Breite.

„△ *$

die Tiefe = 3 4.
Jezt multiplieire man die verglichene Laͤngen mit
der verglichenen Breite, und das kommende Pro⸗
dukt mit der Hoͤhe oder Tiefe, ſo kommt der In⸗
halt des Bronnenkaſtens heraus.
S3 mit⸗

mittlere Laͤnge = 8¹69
mittlere Breite = 240

132 r. Iihalt des Ka⸗

Berechnung des Holz⸗ Gehalts eines Baum⸗
ſtamms. H. 74. b

multipl.

In Forſtwiſſenſchaftlichen Schriften giebt

man fuͤr die Berechnung des Holz⸗Gehalts eines
Baumſtamms folgende Regel:
„Man berechne den Baumſtamm als einen
„Cylinder „deſſen Laͤnge = der Laͤnge des
„Stamms, und deſſen Durchmeſſer das Mittel
„zwiſchen dem obern und untern Durchmeſſer
„1 .*
Nun wird der Kubiſche Inhalt eines Chlinders
gefunden, wenn man ſeine Grundflaͤche nach F. 52.
nach dem in der Anmerkung gegebenen Verhaͤlt⸗
niß 100: 314 berechnet, und dieſe mit der Hoͤ⸗
he des Cylinders multiplieirt.

Aufgabe.

Ein Baumſtamm deſſen Krone abgeſchnitten
iſt, halte im obern Durchmeſſer 18. Zoll, im un⸗

tern 40. Zoll, und ſeine Laͤnge ſey 40 Schuh = 40.
12 = 430 Zorl „wie viel haͤlt er Kubik Jol⸗

Ry

4

Baune

in giht
Als ines

6 enn
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9r
Verhele
der H

itten
in un⸗
— 40,

6

Es iſt alſo der mittlere Durchmeſſer⸗4 0 18=29.

folglich die Grundflaͤche des Cylinders x. 29. 29

4

und ſein Inhalt = n. 29. 29 480.

.
hier bedeutet die Verhaͤltniß Zahl 314.
ſolgl. 314. 29. 29. 480 = 316889 Kubiczoll.

4. I000
Ein genaueres Reſultat giebt die Formel fuͤr den
Inhalt = ⸗n (R- + Rr + 12). Die Entſte⸗
huang dieſer Formel auseinander zu ſezen, iſt

hier der Ort nicht, ſie wird aus der analyti⸗
ſchen Berechnung des abgekuͤrzten Kegels her⸗

geleitet. Indeſſen bemerke man zu gegenwaͤr⸗

tigem Gebrauch nur die Bedeutung der Buch⸗
ſtaben - = 3,14. h = Hoͤhe R der groſſe
und r der kleine Radius des Baumſtamms.

R = 10 = 20 Zoll
2
r = à = 9 Zoll.
2

Mithin

der Inhalt⸗ 2 6. 4 48 (20. 20 † 20. 9 + 9. 9)

= 314. 16. 661 3320 86,4 Kubikzoll 4

dieſes Reſultat mit dem welches die Forſtwirth⸗

ſchaftliche Regel gab, verglichen, ſo ergiebt ſich

daß dieſe ſo allgemeine Regel nur einen Fehler
J 4 von

fuß zu wenig angiebt.

Noch etwas aus der Stereometrie, und zwar
vom Viſiren.

Viſiren heißt uͤberhaupt, durch einen ge⸗

wiſen Maasſtab ausmeſſen und beſtimmen, wie
viel ein gewiſes Gefaͤß von einer darinnen ange⸗
fuͤllten Materie z. E. Waſſer, Wein, Frucht ꝛc.

enthalte. Die Hauptſache wird darauf ankom⸗
men, daß man ſich beſondere Maasſtaͤbe ſowohl

zur Frucht als zum Wein verfertigt, hat man die⸗
ſe, ſo kann man leicht beſtimmen, wie viel ein ſol⸗
ches Geſaͤß, Maas Wein oder Waſſer, Srj.
Frucht halten kann. Um aber die Sache nicht
ſchwer, ſondern vielmehr leicht und nuͤzlich zu ma⸗
chen, ſo wird mehrentheils nur Ruͤkſicht auf eini⸗
ge Gefaͤſſe genommen. Eine weitlaͤuftigere und

leichte Abhandlung von Ausmeſſung der kubiſchen

und eylindriſchen Gefaͤſſe hat der ehmalige Herr
Pfarrer zu Weil im Schoͤnbuch, M. Zennek,
Anno 1774. herausgegeben, unter dem Titel:
Anweiſung den Inhalt cylindriſcher und
kubiſcher Gefaͤſſe, auch nicht voller Faͤſ⸗
ſer, wie viel ſolche leer oder voll ſeyen,
auf eine ſehr leichte und richtige Art zu
berechnen. Dieſe Abhandlung iſt hinreichend,
den Meßliebhaber in Meſſuug der kubiſchen Ge⸗
WðDG faͤſſe

En

i

. Kutt

nd zwre

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Fruct .

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le ſnrht
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Hiu me⸗
uf ein⸗

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kubiſhen

ige er

ne
Uil:

rund⸗
Nen.
tz
ſan,
Ge⸗
fiſſe

faͤſſe zu unterrichten, unerachtet ſie nur 1 ½ Bogen
ſtark iſt. In folgendem werden einige Saͤze und
Aufgaben daraus angegeben werden.

§. 265.

Man weißt, daß zu Ausmeſſung eines Koͤr⸗
pers ein Kubus oder Wuͤrfel zum Maasſtab an⸗
genonmmen wird; Wuͤrde nun ein Wuͤrtemb. Srj.
Arnnt⸗ Imi Waſſer oder Wein, genau einen
Kubic⸗Schuh halten, ſo wuͤrden die Gefaͤſſe, wor⸗
ein Fluͤßigkeiten gegoſſen werden, eben ſo leicht
auszumeſſen ſeyn, als wie ein anderer Koͤrper
ausgemeſſen wird. Weil aber weder 1 Srj. Frucht
noch 1 Imi Waſſer einem Kubic⸗Schuh gleich
iſt, ſo muß man 1 Imi oder Srj. Frucht in ei⸗
nen Kubum verwandeln, den man hernach zu
Ausmeſſung der Früuͤchten und Clüßigkeiten ge⸗
brauchen kann.

5S. 77
Ein Wärtembergiſches Imi von 10 Maas in ei⸗
nen Kubum zu verwandeln.

Man laſſe ſich von einem Schreiner ein recht⸗
winklichtes Gefaͤß von Brettern zuſammen ſchla⸗
gen, welches ungefaͤhr etliche Zoll uͤber einen
Schuh lang, breit und hoch iſt, faſt wie ein

Wuͤrfel, und wenn allenfalls die Fugen das Waſ⸗⸗

ſer nicht hielten, ſo kann man ſie ganz duͤnn mit

Pech ausgieſſen. Man ſtelle dieſes Gefaͤß auf

eine ſenkrechte Ebene, und gieſſe 1 Imi oder 10
35 Maas

„*

188 —

Maas darein, man meſſe die Hoͤhe des Waſſers
ſamt der Laͤnge und Breite deſſelben, nach einem

gewiſen Maasſtab, und rechne daraus den In⸗

halt, aus dem kommenden Produkt extrahirt man

die Kubic⸗Wurzel, da man denn die Seite von

einem Kubo erhaͤlt, der 10 Maas oder 1 Imi
halten wird. Z. E.
die innere Laͤnge des Kubi ſeie! Nach dem Wuͤr⸗
SS 9“ temb. Schuh, der

die innere Breite = 9“ο aber in 10 Theile

die Tiefe des = 780“,oder Zolle einge⸗
Waſſers theilt iſt.
Berechnung.
4 Breite — 900“]
Laͤnge = 9 962] multipl.

MV 98/01 %ο
Tiefe des Waſſers = 7’8046
Hieraus Radix Cubica = 9/144“. Das
iſt: 9 Wuͤrtemb. Decimal⸗Zoll, 1. Decimal⸗
Linie, und 4 Deeimal⸗Scrupell.
Da man nun das Maas von einer Seite eines

Kubi, der 1 Imi haͤlt, gefunden, ſo trage uan
dieſe gefundene Laͤnge auf einen beſonders darzu

gemachten vierekichten Stab, der beliebig lang

ſeyn kann, ſo vielmal man will. Einen Theil von
der auf den Stab getragenen Laͤnge theile man in
10 Theile, und einen 10den Theil wieder in 10

leitete
der die l
nen Ghn
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10 Thell
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Decinel

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darzut
g lang
il wn
nan ir
1110
klei⸗

— 13⁹

kleinere Theile; ſo kann man einen n ſolchen Theil,
der die Laͤnge des gefundenen Kubi hat, fuͤr ei⸗
nen Schuh den 1oden Theil eines Zolles fuͤr ei⸗
ne Linie anſehen. Einen Schuh bezeichnet man
mit (o), einen Zoll mit (¹), und eine Linie mit

0.
Nun wird der Gebrauch dieſes Maasſtabs
nicht ſchwer ſeyn, wenn man ſich vorher das Aus⸗
meſſen der Koͤrper recht bekannt macht, wovon
in vorigem Kapitel hinlaͤnglicher Unterricht gege⸗
ben worden. Wie viel ein Bronnenkaſten Imi
Waſſer halte, wird gefunden, wenn man die Laͤn⸗
ge, Breite und Tiefe mit dieſem verfertigten
Maasſtab ausmißt, und die Maaſe, wie gewoͤhn⸗
lich, in einander multiplicirt. Z. E.
Der Bronnentrog halte nach ſeiner inmwendigen
Laͤnge =— 8²°00ο
nach der Breite = 5 °%° °%“
nach der Tiefe = 4 %°%
ſo iſt die Berechnung
Laͤnge = 8000 1

multipl
Breite = 5000“ m m.
40°%%ο
Tiefe = 400%“
160 °%0%0°—65 %°5⁄ι°5‧/167“ d. i. 160
Imi.

Wollte man dieſes herausgebrachte Maas

auf Wuͤrtembergiſche Aimer reduciren, ſo muͤß⸗
te

140 —

te man ſolches mit 16 dividiren, weil 1 Aimer Ale
16 JImi haͤlt. L Tel
16 1600 10 Aimer. “ ie⸗
un
S 3 24 were
— — iyß
Anmerkung. Auf dieſe Art nun wird jedes hn

4ekichte Gefaͤß, worinnen Waſſer oder ⸗
Wein befindlich, ausgemeſſen.

5§. 79.

Einen Maaeſtab zu verfertigen, womit Aekichte Ge⸗
faͤſſe, z3. E. Fruchtbehaͤlter oder Fruchtfaͤſſer
ausgemeſſen werben.

Man nehme das oben erwaͤhnte Gefaͤß, und
ſchutte 1 Srj. Frucht, z. E. Gerſten oder Ker⸗
nen darein, und meſſe wieder beede inwendige
Weiten, desgleichen die Tiefe der Frucht. Die

Laͤnge halte 9ο, die Breite 9“ο, die A
Tiefe nae — ſo iſt der lde Inhalt:
98°1 οο
Tiefe = 9 49““
93071 1490. Hieraus Radix Ku⸗ Eie

bica beinahe 976“
Dieſe Laͤnge nehme man von dem Wuͤrtembergi⸗
ſchen Maasſtab, und trage ſie ſo vielmal auf ei⸗
nen vierekichten Siab als man will, und theile
P te M

11 A.

mundie
Ne
, Ne

4
4

t Ku⸗
74 6
hbere
Af ei⸗

Hale
ſche

nach Aimer, Imi und Maas ausgemeſſen wer⸗

ſolche Laͤuge in 10 Theil, und einen ſolchen 1oden
Theil wieder in 10 kleinere Theile, ſo kann man
die erſte Theile fuͤr Schuh, die 2te fuͤr Zolle,

und die dritte fuͤr Linien gelten laſſen, die Schuh

werden alsdenn mit (), die Zolle mit (¹), und
die Linien mit (ò) bezeichnet. Mit dieſem Maae⸗
ſtab werden alle ekichte Fruchtgefaͤſſe ausgemeſſen,
z. E. Ein Fruchtfach hale

der Laͤnge nach 42°0°%
der Breite — 24* o
der Tiefe — 6 006“
Berechnung.
Laͤnge — 42 0 60%¾6²
Breite =— 24 00

I1008²9000006
Tiefe— 60ʃ062

———

6048°00%0 ο0ο

Wollte man wiſſen, wie viel dieſes Schl. ausma⸗

che, ſo muͤßte das Produkt mit 8, als dem Maas
eines Scheffels, dividirt werden.
86048 6755 Wuͤrtemb. Scheffel.
G. 80.
Einen Maasſtab zu verfertigen, womit cylindriſche
Gefaͤſſe, z. E. Faͤſſer nach Aimer, Imt und
Maas koͤnnen ausgemeſſen werden.
Wenn ein Maasſtab, womit die Faͤſſer

den

142

den ſollen, ſolle verfertigt werden, ſo muß man
vor allen Dingen ein ſo viel als immer moͤglich
genaues Verhaͤltniß zwiſchen den chlind riſchen
und kubiſchen Gefaͤſſen finden, welches man nach
dem Ludolphiſchen Verhaͤltniß 1000: 3141, als
den beſten Verhaͤltnißzahlen zur Quadratur des
Zirkels finden kann, hat man ein ſolches Verhaͤlt⸗
niß zwiſchen den kubiſchen und chlindriſchen Ge⸗
faͤſſen, ſo kann leicht ein Maasſtab zur Ausmeſ⸗
ſung der eylindriſchen Gefaͤſſe verfertiget werden.
Es ſolle alſo zuforderſt gezeigt werden, wie ſich
die Grundlinie eines Kubi zum Diameter eines
gleichviel haltenden Cylinders, deſſen Hoͤhe dem
. Diameter gleich iſt, verhalte.

Berechnung.
Man nehme an, der Inhalt eines Kubi

ſeie = 135791000000. Der Diameter eines

Cylinders = 12000, ſeine Hoͤhe = 12000.
ſo wird der Inhalt deſſelben nach dem Reeſtſcen
Saz alſo gefunden.
X Inhalt 12000 Diameter.
1000 Diam. 3141 Periph.
4 12000
12000

135791000000 = Inhalt des Cylin⸗
ders.
Da nun der Inhalt des obigen Kubi dieſer ge⸗
fundenen Zahl gleich iſt, ſe darf man nur die
Kubic⸗

Kulie⸗

die Gn

Mihin

ges Kul
den C

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Wede
ſih ſ
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indriſhen
nann noh

11, 685

Aur des
Verhalt⸗
hen Ge⸗
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werden.
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er eins
ihe den

s K
ter eines
12000,

l

Gin⸗

ſr
ur die
ubi⸗

*

Kubie⸗Wurzel daraus extrahiren, da ſich ſodann

die Grundlinie des Kubi ergibt.

13579 1000000. hieraus Radix Kubiea
beinahe = 1107 —.
Mithin waͤre das Verhaͤltniß der Grundlinie ei⸗
nes Kubi zum Diameter eines gleichviel halten⸗
den Cylinders, deſſen Hoͤhe dem Diameter
gleich iſt
wie rI0Z;: 1200.
Wie dieſes Verhaͤltniß koͤnne genuzt werden, wird
ſich ſogleich zeigen. Man nehme das oben er⸗
waͤhnte kubiſche Gefaͤß, und gieſſe darein ein ge⸗
nan gemeſſenes Imi Waſſer, und zeichne auf al⸗
len Seiten inwendig, wie weit das Waſſer an

denſelben gereicht habe.

Es iſt ſchon oben vor die innere Weite des Kubi
gefunden worden = 9 °9¹0“
innere Breite 99307“
vor die Tiefe des Waſſers 798706

Alſo der Inhalt des Kubi = 764 47 8·000“.
hieraus Radix Kubiea = 9 134“.
Hieraus wird ſich nun gleich ergeben, wie der
Maasſtab fuͤr die cylindriſche Gefaͤſſe muͤſſe ver⸗

fertigt werden.
⸗
Man ſpricht nach dem eben gefundenen Vers
haͤltniß: Die Grundlinie eines Kubi 1107 gibt
12000 zum Diameter eines gleichviel haltenden
Cylinders; was gibt eines andern Kubi Grund⸗
linie

144
linie 9 14. fuͤr einen mit eben dieſem Kubo gleich⸗
vwiel haltenden Cylinders, Diamerrunm?
Brerechnung nach dem Reeſiſchen Saz:;:
X dDiam. 914 Grundl. eines Kubi
Grundl. eines Kubi 1107112000. Diam.

FPac. 909¹1“ – .. das iſt:

9° Wuͤrtemb. Decimalzoll,

9 Linien, und 1“ Serupel.

Dieſe gefundene 9˙971“ werden genau auf einem
1000theiligen Maasſtab, deſſen Laͤnge genau 1
Wuͤrtemb. Schuh, aber in 10 gleiche Theile oder

Zolle eingetheilt iſt, abgenommen, und auf ei⸗
gen beſonders darzu verfertigten vierekigten Stab—
getragen, ſo vielmal als die Laͤnge des Stabs es
erlaubt; den erſten Theil auf dem Stab kann man

wieder in 10 gleiche Theile, und einen ſolchen Theil
wieder in 10 kleinere Theile eintheilen, ſo beden⸗
tet ein groſſer Theil 1 Jmi, ein kleinerer Theil
1 Maas, und der noch kleinere Theil den zehen⸗
den Theil einer Maas. “

“ Gebrauch dieſes Viſter⸗Stabs.
Man meſſe mit dem verfertigten Stab die

Laͤnge des Faſſes, wovon aber die Zargen und

Dike der Boͤden abgezogen werden muͤſſen; Fer⸗

ner werden die zwei Diametri der beeden Boͤden
gemeſſen, und wenn ſie ungleich ſind, muͤſſen ſie
mit einander verglichen werden, das iſt: man
addirt ihr Maas zuſammen, und dividirt die Sum⸗

me

mne nn
tiefe
dentie
dividi
eines

E☛

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Sum⸗ G

me

E ”M 145

me mit 2. Nun muß man die gemeſſene Spond⸗
tiefe zweimal nehmen, und die verglichene Bo⸗
dentiefe darzu addiren, und die Summe mit 3
dividiren, da man denn den wahren Diameter
eines Faß⸗ Eylinders erhaͤlt.

Es ſei⸗ der vordere Boden⸗Diameter 4 243“
der hintere ⸗ „ = 4 °4˙56
2 in — 8° 6˙8
ſo iſt der verglichene Boden⸗Diameter = 4° 3444
Die Spondtiefe ſeie = 4 °%71“
Man ſuche jezt den wahren Diameter
Spondtiefe = 4 gere
verglichener Boden Diam. = 4 °3 4“
divid. in 1416

4 °712“ wahrer
Diameter ded Faß⸗Cylinders.

—

De man alſo den Diameter des Faß⸗Cylinders

geſunden, ſo kann auch leicht der Inhalt nach Ai⸗
mer, Imi und Maas gefunden werden. Man
multiplieirt nemlich die Laͤnge des Faſſes, welche
im gegenwaͤrtigen Fall 8°02“ iſt, mit dem ge⸗
fundenen Diameter 4 7 1“. und das heraus⸗
gebrachte Produkt noch einmal mit eben dieſem
Diameter

8 aahrer

H

146 =
wahrer Diameter = 4°7 2
Laͤnge des Faſſes = 8°0“2“

3 08 5 4 14

I 7 80⁰0 7 2˙7 6 8 „
Das iſt 178 Jmi 6 ¾ Maas, oder 11 Aimer, 2 N

“”YUM Anmerkung. Arth
Die Ausmeſſung und Berechnung der Oval⸗ neſen
Faͤſſer iſt eine ſehr muͤhſame und beſchwerliche laſt
Arbeit, daher wir es uͤbergehen, weil wir etne
uns meiſtens nur auf ſolche Faͤlle einſchraͤn⸗ 61
ken, die am haͤufigſten vorkommen; hat man Ufte
aber dasjenige, was bisher geſagt worden, hnute
reecht gut verſtanden, ſo wird derjenige, ſo iſeͤ
ſich mit Ausmeſſen der Faͤſſer beſchaͤftigt, ng
auch leicht die ſeltene Faͤlle von ſelbſten ver. Un
ſteehen lernen, und man wird auch finden, l
wenn man aufmerkſam iſt, und auf alles Ach⸗
tuung gibt, ſollten es auch nur Kleinigkeiten lunn
ſeyn, daß man ſich die aͤuſſerſte Genauigkeit es

nicht verſprechen doͤrfe „ wegen Ungleichheit eume

des Faſſes, Boͤden und der Taugen.
anch
ſol

An⸗

linet, 2

de Wl⸗

ſhverlige

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worden,
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ſiden,

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Hihfent
1

Anbhang.

§F. 81.

Meine bisherige Abſicht war, einem praktiſchen
Feldmeſſer nur diejenige Handgriffe und
Vortheile zu zeigen, die beim allgemeinen Feld⸗

meſſen vorkommen, und wie dieſelbe bei der Win⸗

kelſcheibe koͤnnen genuzt werden, ſo habe nicht
ermanglen wollen, auch etwas von dem Gebrauch
deß in der praktiſchen Geometrie ſo nuͤzlichen
Meßtiſches, und die Vortheile, ſo man dabei
anwenden kann, hier gleichſam in einem Anhang
dieſes bisherigen vorzutragen, weil es doch unter
vielen Koͤpfen auch ſolche gibt, die nicht gerad bei
dem Feldmeſſen ſtehen bleiben wollen, ſondern
auch zu wiſſen verlangen, wie Linien zu meſſen,
zu denen man nicht oder nur zum Theil kommen
kann, und wie ein Stuͤk Gut, oder der Plan ei⸗
ner Markung, einer Stadt, eines Dorfs auf⸗
zunehmen ſeie, und weil mir ſonderheitlich einige
Gelehrte und Kunſtverſtaͤndige, denen ich dieſe
Schrift zum Durchleſen uͤbergab, angerathen,

auch den Gebrauch des Meßtiſches zu zeigen, ſo

ſoll gegenwaͤrtiger Anhang darzu gewidmet ſeyn.

Beſchreibung des Meßtiſchleins.
. F. 82.
Das Meßtiſchlein beſteht:
I. Aus 2 vierekichten Brettlein, jedes davon kann I
11 ¼ bis 2 Schuh im gevierten halten, ſie ſind
am beſten, wenn ſie von hartem Birnbaum⸗ n
Holz recht glatt abgehobelt, und auf den Sei⸗ 1s
ten mit Leiſten verwahrt werden, daß ſis ſich l⸗
nicht ſo leicht werfen koͤnnen oder krumm wer⸗ len
den. Das erſte Brettlein iſt und bleibt wie hed
es vom Schreiner verfertigt wird, nur wird
unten an daſſelbe ein 12 bis 15 Zoll langer
Zapfen angeſchraubt, der durch die Huͤlſe AB tn
Fig. 51. Lab. IV. geht. Auf dem andern Brett
aber, welches beim Gebrauch auf das untere
gelegt, und mit etlichen Schrauben feſt ge⸗ ſu
macht wird, iſt ein ganzer Zirkelbogen in 360 der
Grade getheilt, aufgezeichnet; es kann auch nur il
ein halber Zirkelbogen von 180“ ſeyn; dieſes i
leztere Brett vertritt die Stelle eines Aſtro⸗.
II. Aus dem Fuß oder Stativ. Aß Pig. 52. iſt
eine von hartem Holz gedrehte runde Huͤlſe,
welche 5 Zoll lang und im Durchmeſſer 2 ¼ Zoll N
iſt. Durch die Mitte iſt der Laͤnge nach ein n
Loch durchgebohrt, im Diameter 1 ¼ Zoll hal⸗ n
tend. Bei D iſt eine Stellſchraube ange⸗ N
bracht; in dieſe Huͤlſe ſind 3 Zapfen, E, F und d
G eingemacht, (in der Zeichnung koͤnnen aber
S äl nux

nur 2 derſelben geſehen werden) in welche die
3 Fuſſe EH, Gl und PK welche 34 auch 4
Schuh hoch ſeyn koͤnnen, angeſchraubt, und
ſich leicht herum drehen laſſen.
Hnk II. Aus dem Dioptern Lineal. AB Fig. 53 .iſt ein

ſe ſn von hartem Holz gemachtes Lineal von 15 Zoll
nbuun lang und 3 Zoll breit, worauf bei C ein kleis
i⸗ nes und 5½¼ Zoll hohes Poſtement oder Sta⸗
ſſ⸗ tiv, das oben bei D ein Gewind hat, in wel⸗
in nen chein ſich das eigentliche Dioptern⸗Lineal, wel⸗
ebt ni ches ungefaͤhr 13 — 14 Zoll lang iſt, drehen
ur win laͤßt, um die Abſehen leicht nach den Gegen⸗
Ulne ſtaͤnden richten zu koͤnnen, an das obere Diop⸗
e tern⸗Lineal iſt ein moͤſſingner Halbzirkel GNH
But angeſchraubt „der 3 Zoll zum Radio hat, und
otere in 2 mal 90*⁹ abgetheilt. Aus dem Centro K
Eÿ fuaͤllt ein von Pferdehaar gemachter Senkel,
to der beim Gebrauch die Grade auf dem Halb⸗
chtur zirkel anzeigt und abſchneidet. Unter dem Ge⸗
ie winde D befindet ſich ein Getrieb N, welches
e in ein gezahntes Raͤdle eingreift, und durch

deſſen Herumdrehung das Disptern⸗Lineal bald
hoͤher bald tiefer ſtellt. Die zwei Abſehen F,

E ſind an der Schaͤrfe des obern Lineals per⸗
, pendikular aufgerichtet, ſie ſind von Moͤſſing
41 und etwa I1 ½ bis 2 Zoll hoch, in jeder Diop⸗
en ter iſt ein kleines Loͤchlein und eine Oefnung,
bh durch welche kreuzweis Pferdehaare 3. b. in
Wm der Höhe des Loͤchleins gezogen ſind, daß wenn
Wdoaas Auge durch das Loͤchlein und Kreuzlein
ſer wegſiehet, ſolches genan parallel mit dem Li⸗

mut K3 nial

ial geſchehe; Die Punkte oder Loͤchlein in gers
den Dioptern liegen genau in einer Vertikaʃles üln
Flaͤche dem untern Lineal, ſo daß, wenn eie fer
Perpendikularlinie von dem Punkte a oder b wnl
herunter gefaͤllt wird, dieſelbe genau an der dieſt
Nebenſeite des untern Linials ſtreift, voraus⸗ Pyn
geſezt, wenn das Inſtrumentle auf einer ho⸗ he
rizontalen Ebene ſtehet. Ferner gehoͤrt noch iche
zu dem Meßtiſchlein ein Senkelblei wie ig. dn
34. welches auf zweierlei Art gebraucht wid, un
wovon wir beim Gebrauch des Meßtiſchleins de e
deſſelben Gebrauch und Nuzen anzeigen wol⸗ ders

len. Bei O iſt ein kleines Stukchen Moͤſſing,
worein ein Loͤchlein gemacht, daß eine etwas
ſtarke Nadel durchgeſtekt werden kann, dieſes

Stuͤk laͤßt ſich nicht nur an dem Rand des un2⸗:
tern Linials der Laͤnge nach hin und her ſchie⸗
ben, ſondern auch leicht hinweg nehmen. .
Voon dem Gebrauch des Meßtiſchleins. ſit
Euv' he man Gebrauch des Meßtiſchleins macht.
muß das untere Brett, welches wir A, das an⸗
dere aber auf welches ein Halbzirkel gezeichnet 1
worden, B nennen wollen, mit weiſſem Papier
überzogen werden, welches geſchiehet, wenn man
das Papier vorher mit einem ſauberen Schwamm, d
der in reines Waſſer gedaucht und angefeuchtet
worden, ein wenig anfeuchtet, und eines Fin⸗
“ S gers

dhlanag.

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wenn eire
4 bder b
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Putnd .

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uttet
Fin⸗
gers

uund lege das Dioptern⸗Linial daran, und richte

gers breit rings herum mit Pappe oder Mund⸗
leim anſtreicht, und ſodann auf das Tiſchlein an⸗
klebet, ſo ſpannt es ſich ſo ſchoͤn als moͤglich an,
wenn das angefeuchtete Pappier troken iſt; Auf
dieſe Art kann man 3, 4, auch mehrere Boͤgen
Pappier aufziehen, ſonderheitlich iſt dieſes noͤ⸗

thig, wenn man den ganzen Tag mit dem Meß⸗

tiſchlein ſort arbeiten muß, da man ſodenn, wenn
das erſte Pappier gebraucht iſt, daſſelbe mit ei⸗
nem Federmeſſerlein nach und nach an dem Ran⸗
de herum abloͤſet, ſo liegt ſchon wieder ein an⸗
deres zum Gebrauch da. ßMB

F. 84.

Einen vorgegebenen Winkel zu meſſen.

I. Mit dem Brett A. Hier wird das Tiſchbrett

B abgeſchraubt, und der Tiſch ſamt dem Sta⸗
tiv auf den Winkel A Fig. 55. hingeſtellt; nun
nird das Senkelblei Fig. 54. welches ein um⸗
gebogener Drat, und an dem Ringle bei A
ein Faden mit einer kleinen Kugel B verſehen,
an den Meßtiſch angeſtekt, aber ſo, daß die
kleine Kugel genau auf die Spize des Win⸗
kels A falle, ſo zeigt das Ende des Drats C
auf dem Meßtiſch den nemlichen Punkt des
Winkels A an, und welcher perpendikular in
die Spize des Winkels A herunter faͤllet. Man
bezeichne dieſen Punkt mit einem Bleiſtift,

KJ 4 daſ⸗

daſſelbe genau nach der Gegend c, daß die

—————

3
Abbſehen und das Objekt C genau in einer ge⸗
raden Linie liege, ſo kann man mit einem Blei⸗
ftift auf dem Meßtiſchlein die Linie AE ziehen,
eben ſo richtet man das Dioptern⸗Linial gegen 6
den Baum B, und ziehet die Linie AD, ſo
ergibt ſich der Winkel DAE auf dem Meßtiſch
von ſelbſt, welchen man mit dem Transpor⸗
teur leicht meſſen kann. Ere
II. Mit dem Tiſchbrett B. Wenn man den
Winkel ſogleich in Graden beſtimmen will, ſo
wird das Brett mit dem in Graden eingetheil
ten Bogen wieder auf den Tiſch A aufge⸗ D⸗
ſchraubt, und das Senkelblei in den Haken, der— ds⸗
in den Zapfen m, welcher durch die Huͤlſe des 9
Meßtiſches geht, und unten eingeſchraubt iſt, ein⸗ ſlt,
gehaͤngt, und der Meßtiſch auf den vorgegebes natt
nen Winkel geſtellt, daß das Senkelblei genau ene
auf des Winkels Spize A falle; man ſtellt und
alsdenn das Dioptern⸗Linial alſo, daß der unm
Stift i in dem Centro des eingetheilten Bogens
durch die Oefnung O gehe, in dieſer Richtung
wird das Linial hin und her gedreht, bis es Es
genau den Grad o oder das Zero des einge⸗ Win
theilten Bogens ſtreift. Nach dieſer Vor⸗ Win
richtung muß man die Stellſchraube D losma⸗ i
chen, und den Meßtiſch ſo lang hin und her Mul
drehen, bis man durch das Dioptern⸗Linial kl,
den Gegenſtand C Fig. 55. genan durch die Enn
Abſehen ſiehet. Alsdenn ſchraubt man die
Stellſchraube wieder zu. Wenn man folglich ie
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153
das Dioptern⸗Linial um den eben erwaͤhnten
Stift ſo lang hin und her fuͤhret, bis der Beaum
durch die Abſehen deutlich geſehen wird, ſo
ſchneidet das Linial auf dem Gradbogen einen
Grad ab, der die Groͤſe des Winkels BAC
beſtimmt. H

§5. 85.

Einen Vertikal⸗Winkel zu meſſen. Z. E. den Win.
teel B4C, Fig. 56. Tab. IV.

Man ſtellt den Meßtiſch an einen ſchiklichen
Ort, ſo viel als moͤglich waagrecht, und ſtellt
das Dioptern⸗Linial darauf, daß der kleine Sep⸗
kel, welcher aus dem Centro des Transporteurs

faͤllt, genau den Grad o abſchneidet, und be⸗

merkt den Ort an dem Thurn, wo die Abſehen
in einem ſolchen Stand hinzielen, und richtet als⸗

denn das bewegliche Dioptern⸗Linial, vermittelſt

des angebrachten Gewindes, bis man die Spize
des Thurns genan in den Dioptern hat, ſo ſchnei⸗
det der Senkel auf dem Gradbogen die Grade
des geſuchten Winkels. Wollte man aber den
Winkel CAhD beſtimmen, ſo muͤßte man noch den
Winkel DAB meſſen, und zu dem erſten geſuch⸗
ten Winkel addiren, da ſich dann die Groͤſe des

Winkels CAD ergeben wird. Z. E. der Sen⸗

kel, nach dem die Abſehen gegen C als zu der
Spize des Thurns gerichtet worden, ſchneide ge⸗
nau 43° von o an gezaͤhlt ab, ſo waͤre dieſes

die Groͤſe des Winkelb CAB, und, nachdem fer⸗

K „ r ner

154 H
ger die Abſehen gegen D, als zu dem Fuß des

Thurns gerichtet worden, ſchneide der Senkel

den 13° von e an gezaͤhlt ab, ſo waͤre der Win⸗
kel BAD bekannt, da nun
CAD =– CAB + BaD

BAD =D — to .
ſinſt achẽa . — F—
C&AD = 50⁰ Groͤße des gefuchten
WWinkels.

Eine ginte zu meſſen, zu deren beeden Endpunkten .
man zwar kommen, aber nicht gerad von dem einen

sum andern, ſondern einen Umweg machen
muß. Fig. 57.

Hier nimmt man den Tiſch A. ſtellt ihn an
einen ſchiklichen Ort, wo beede Endpunkte der
Linie koͤnnen uͤberſehen werden; ; Man nehme als⸗

dann den Senkel Fig. 54., und bemerke vermit⸗

telſt deſſelben den Punkt C auf dem Meßtiſch ſo⸗
wohl als auf der Erde, jenen zeigt das Ende des

Drats C, dieſen aber der Senkel B an. Nun
legt man das Dioptern⸗Linial an den auf dem

Meßtiſch gemachten Punkt C, richtet die Abſe⸗
hen gegen A, und zieht auf dem Meßtiſch die Li⸗

nie ac. Eben ſo richtet man die Abſehen gegen

B, und ziehet die Linie cb. Hierauf miſitt man
von dem Punkt Can auf der Erde die Linien AC
und d bC, und traͤgt ihr Maas vermittelſt des

Her⸗

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gegen
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4
des
N⸗

verjuͤngten Maasſtabes (den man beſtaͤndig bei
ſich fuͤhren, oder aber vorher auf den Meßtiſch
zeichnen muß. Gut iſt es, wenn man mehrere
dergleichen verjüngte Maasſtaͤbe, groſſe und klei⸗
ne, auf ein Linial von Holz oder Moͤſſing, wel⸗
ches einen Schuh lang, neben einander abzeich⸗

net, im Fall einer zu groß oder zu klein waͤre,

man geſchwind einen andern in Bereitſchaft habe)
auf den Meßtiſch. Z. E. die Linie AC halte
144, ſo nehme man auf dem verjuͤngten Maas⸗
ſtab eben auch 140 4 mit dem Zirkel ab, und
trage dieſe verjuͤngte Weite aus c gegen a, und
bemerke den Punkt a. Eben ſo mißt man die
Linie 08, welche haͤlt 12° 5“, und trage ihr ver⸗
juͤngtes Maas aus c gegen b, und merket den
Punkt b. Wenn man alsdenn auf dem Meß⸗
tiſch die Punkte a und b zuſammen zieht, ſo ent⸗
ſteht der kleine Triangel abe, welcher dem groſ⸗

ſen Triangel ABC aͤhnlich iſt, und das Maas

der Linie ab hat nach dem verjuͤngten Maasſtab
eben ſo viel Ruthen oder Schuh ꝛc. als die Linie
4AB Ruthen oder Schuh hat nach dem wirkli⸗
chen Maas. Man darf alſo, um die Linie AB
zu bekommen, nur die kleine Linie ab mit dem
verjuͤngten Maasſtab meſſen, ſo gibt zugleich
das kleine Maas auch das Maas der Linie AB

im groſſen an.

N „

g. 27.

Eine Linie zu meſſen, zu deren einem Ende man nur
”MM kommen kann. Fig. 58.
Es ſeie die Linie AB, welche ſich noch jen⸗
ſeits eines Fluſſes erſtrekt, zu meſſen, man kann
aber nur zu dem Ende A derſelben kommen, doch
kann man das andere Ende B der Linie bequem

ſehen. Man ſtelle das Meßtiſchlein in A, und

richte es vermittelſt des Senkels, daß der Punkt
aàa auf dem Meßtiſchlein, und A auf der Erde in
einer Perpendikularlinie liegen; Hierauf legt man
das Dioptern⸗Linial an den Punkt a, und ſiehet

nach B und nach dem in C ausgeſtekten Stab,
und ziehet auf dem Meßtiſchlein die Linien ac und

ab. Alsdenn mißt man die angenommene Stand⸗

linie AC, und traͤgt ihr verjuͤngtes Maas, wie

(H. 86.) gezeigt worden, aus a gegen c. Fer⸗

ner traͤgt man das Meßtiſchlein in die Gegend

C, und ſtellt es daſelbſt alſo, daß der Punkt c

genau perpendikular auf C falle, welches am be⸗

quemſten mit dem oben angezeigten Senkel ge⸗

ſchehen kann. Iſt dieſes geſchehen, ſo muß man

das Dioptern⸗Linial an die Linie ac anlegen, die
Stellſchraube D losmachen, und das ganze Meß⸗
tiſchlein drehen, bis man durch die Dioptern den
Stab, welcher in A ausgeſtekt worden, genau
ſiehet, hierauf wird die Stellſchraube wieder zu⸗
geſtellt. Nun wird auch das Dioptern⸗Linial um
den Punkt c ſo lang gedreht, bis man das Ende
der Linie B ſiehet, und zieht nachher die Linie be

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auf dem Meßtiſchlein , welche endlich die Linie ab
in b ſchneiden, und ſo viel Ruthen, Schuh ꝛc.
nach dem verjuͤngten Maasſtab halten wird, als
die Linie im großen haͤlt.
Aufgabe.
Die Breite eines Fluſſes mit der Winth⸗ L
Scheibe zu meſſen.
Aufloͤſung.
Man bemerke mit der Winkel⸗ ⸗Scheibe aus

A den Gegenſtand B Fig. 78. Tab. V. welcher

ſich noch jenſeits des Fluſſes beſindet, und ſteke
ſich aus A den rechten Winkel DAB ab. Als⸗
denn geht man mit der Winkel⸗Scheibe auf der

abgeſtekten Linie AD gegen D zuruͤk, bis der

Schnitt a b. welcher in der Scheibe den halbrech⸗
ten Winkel macht, genau gegen B, der andere
aber beſtaͤndig gegen A gerichtet iſt und auf der

ausgeſtekten Linie AD liege, ſo wird die Linie AAN

ſo gros als die Linie AB ſeyn, folglich darf man
alsdenn nur die Linie AC meſſen, wenn man die
Breite des Fluſſes beſtimmen will.

Anmerkung.

Dieſe Aufgabe gruͤndet ſich auf den Saz:
die 3. Winkel eines Dreieks ſind = 2. Rech⸗
te. Nun iſt der Winkel bei A 1. Rechter
und der bei C ein halbrechter, mithin auch

Winkel bei B ein halbrechter, daher das

Dreiek gleichſchentliche, , folgl. 40 G

F. 88.

Man kann dieſe Aufgabe auch noch auf eine andere

Art durch eine leichte Rechnung finden.
Man ſtellt das Mefßtiſchlein in A Fig. 59.

und macht daſelbſt einen rechten Winkel, welches
am beſten durch die Quer⸗Diametere auf dem Tiſch⸗
brett B geſchehen kann, und ſtekt in C einen Stab.

Hierauf mißt man die Standlinie AC, ferner
richtet man auf der Linie AC den Perpendikel aà b
auf, und laͤßt ſich auf dieſer Perpendikular⸗ Linie
einen Stab ausſteken, welcher genau in einer ge⸗

raden Linie mit BC ſeyn muß, und mißt die Li⸗
nie .0 und ab, ſo verhaͤlt ſich

20: AC = = ab: AnB.
Es ſeie die angenommene Standlinie AC = 24°

die Linie aC = 8 und die Perpendikularlinie = 4*

ſo iſt nach voriger Proportien die Rechnung
iiiin Zahlen:
H“ 8° . 24* 4 X
8 in 96
12 Ruthen.

oder nach dem R deeſiſchen Saz:
X* Ruthen. 24* Grundlinie AB
8⁰° a0 4 ab

Facit 12 Ruthen.

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8

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Anmerkung.

Wuͤrde man in A keinen rechten Winkel we⸗
gen einigen Hinderniſſen machen koͤnnen, ſo
muͤßte man zwar eben ſo verfahren „wie ge⸗
genwaͤrtig gezeigt worden, nur muͤßte in a
eben ein ſolcher Winkel gemacht werden,
wie in . H
§. 89.

Eine Weite zu meſſen, zu deren keinem Endpunkten

man kommen kann.
Es ſeie die Weite DC PFig. 60. jenſeits ei⸗
ues Fluſſes zu meſſen, man kann aber nicht dar⸗
zu kommen, ſondern ſie nur ſehen. Man waͤhlt
hier in A und B beliebige Punkte, aus welchen
man die Endpunkte DC der gegebenen Weite gut
ſehen kann; ſtellt das Meßtiſchlein in A, und
laͤßt ſich in B einen Stab ausſteken; Alsdenn
richtet man das Dioptern⸗Linial nach C, nach
D und B, und zieht auf dem Meßtiſchlein die Li⸗
nien ac, ad und a b. Wenn dieſes geſchehen,
ſo mißt man die angenommene Standlinie AB,
und traͤgt ihr verjuͤngtes Maas aus a in b. Hier⸗
auf nimmt man das Meßtiſchlein, traͤgt es in B,
indeſſen aber hat man in den Ort A einen Stab
ſteken muͤſſen, richtet es alſo, daß der Punkt b
genau auf dem Punkt B falle, und die Linie a b
genau nach A gerichtet ſei: in dieſem Stand des
Meßtiſchlens richtet man das Dioptern⸗Linial
nach D und nach C, zieht die Linien he und bd
auf

160
auf dem Meßtiſchlen, ſo durchſchneiden ſie ein⸗
ander in c und in d; wenn man alsdenn von c
gegen d eine Linie c d ziehet, ſo kann man ſie nach
dem verjuͤngten Maasſtab meſſen, welche als⸗
denn eben ſo viel nach dem verjuͤngten Maasſtab
halten wird, als die Linie DC im groſſen haͤlt.
Man wird aber leicht einſehen, daß man in bis⸗
herigen und auch noch in folgenden Faͤllen eine
behutſame Akkurateſſe beobachten muͤſſe, weil es
hier auf die Aehnlichkeit der Figuren ankommt,

und ein kleiner Fehler, der auf dem Meßtiſchlein

kaum die halbe Breite eines Punkts ausmacht,
in einer Weite von 60 Ruthen, ſchon ½ bis eine
ganze Ruthe betraͤgt. Z. E. die Linie A Fig.
65 ſei gemeſſen worden, und fuͤr das wahre
Maas haͤtte man gefunden 84°, ſo ſoll man fin⸗

den, wie groß der Fehler ſei, wenn in der Aus⸗

meſſung und Ausziehung der Linie a b um 15 ei⸗
nes Zolles gefehlt worden. Wenn AC = 600°,
C = 50 und ab = 4/, ſo iſt das wahre
Maas der Linie AB 48⁰°. e

Wienn daher der Fehler an der Linie ab = 14

betraͤgt, ſo iſt
3 50 “: 600006 — 41: X*
alſo Xx =— 40027. =
oder nach dem Reeſiſchen Saz:

X 4 1
50 % 60000“”“

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ſtin Das wahre Maas von dieſem hier gefundenen
ben: abgezogen MU
he * 48 90 8

Alleiben 122 man wuͤrde alſo, wenn man
li um 5 eines Zolles auf der Linie a b gefehlt haͤt⸗
KWK/ te, in einen Fehler verfallen, der auf der Linie
i 6 AB ſchon 1⁰27 ausmacht. Man wird leicht
nan, einſehen, daß je groͤſſer die Linie AB iſt, je groͤſ
M ſer auch der Fehler werden köne.
M JF. 90
le Eine Weite CD Fig. 62. aus einem einzigen Stand,
umti durch das Meßtiſchlein, ohne daß es verruͤltt
un fu werden doͤrfe, zu ſinden. MD

“ Es ſeie zu meſſen die Weite CD, die man
o nur ſiehet, ohne daß man zu C noch D kommen

koͤnnte. Man ſeze das Meßtiſchlein in A, und
nehme AB zur Standlinie, welche man bequem
meſſen kann, und ſuche zu rſt die Linie AC, wel⸗
“ ches geſchiehet, wenn man in E und B Staͤbe in
gerader Linie mit C einſtekt, ſo daß CEB in ge⸗
rader Linie liege; hierauf richtet man auf dem
Meßtiſchlein das Dioptern⸗Linial nach C, E und
B, und zieht die Linien Ac, Ae und Ab, hier⸗
auf mißt man die Linie AB und Ak, und traͤgt
ihr verjuͤngtes Maas, jenes aus A gegen b, und
dieſes aus A gegen e; wenn man alsdenn von bd
gegen e durch den Punkt e eine Linie zieht, ſo iſt

7„

162 —

ber Triangel Aeb dem Triangel AEB aͤhnlich. e t
Eben ſo iſt alsdenn auch der Triangel Ace dem A
Triangel ACE aäͤhnlich, und es verhaͤlt ſich Ae: lmm
AE = Ac: AcC, folglich laͤßt ſich alsdenn die hier h
Linie AC beſtimmen, denn ſo viel die Linie Acj£ utß
welche man mit dem verjuͤngten Maas meſſen
kann, nach dem verjungten Maasſtab betraͤget, ſo
viel betraͤgt auch die Linie ACim wirklichen. Fer⸗

ner ſucht man mit unverruͤktem Meßtiſchlen aus bin h
eben dem Punkt A die Weite CD, zu welchem
Ende man nur zwiſchen den Punkten DB einen f.
Stab F einſteken muß, der mit D und B in ei⸗ Nn
ner geraden Linie liege; hernach zieht man von A (er ſ
gegen E die Linie Af, und mißt die Linie AF, b
und traͤgt ihr verjungtes Maas aus A gegen f, Uneng
wenn man alsdenn von b gegen f, desgleichen von Nener
A gegen d die Linien bd und Ad zieht, ſo ſchnei⸗ iauce
den ſie einander in d. Nun kann alsdenn von is E
dem Punkt c gegen d eine Linie ed gezogen wer⸗ ſerni ſ
den, welche nach dem verjuͤngten Maasſtaab eben e
ſo viel halten wird, als die Linie CD im groſſen,
denn es verhaͤlt ſich: Ac: cd = AC: CD. ant
üüea
Von Wſmn der Döhen. e
. 1gegen b
JS. 91. letlirie!

Wir haben bisher diejenige Linien und Wei⸗ Mad
ten auf der Erden, zu welchen man theils kome (ahenſ
men, theils nicht kommen konnte, auszumeſſen ine,
gelernt; z da es aber auch Faͤlle gibt, daß Limien, Ma⸗
ie

6 Nn

h de:
enn N

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t, ſ.
1. e⸗
glen al5

7

welcen

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B in en
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lent,
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Ppri⸗
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enſen

0.

d Wer

1s his

Uneſen
hien,

dte

163

die aufrecht ſtehen, worunter die Hoͤhe eines
Thurns, Baums zu zaͤhlen, auszumeſſen vor⸗

kommen koͤnnen, ſo wird nun auch gezeigt, wie
hier der Meßtiſch ſamt dem Dioptern⸗Linial mit
Vortheil koͤnne genuzt und angebracht werden.

H. 92.

Eine Hoͤhe zu meſſen, zu deren untern Fuß man
kommen und meſſen kann.

Es ſeie zu meſſen die Hoͤhe DC Fig. 56.

Man ſtelle das Meßtiſchlen an einen beliebigen

aber ſchiklichen Ort, ſo viel als moͤglich wagrecht,
und haͤnge das oben erwaͤhnte Senkelblei in den
untern Zapfen ein; Hierauf ſtelle man das

Dioptern⸗Linial darauf, richte ſodann daſſelbe
vermittelſt des Gewindes ſo, bis man die Spize

des Thurn durch die Dioptern genau ſiehet:
hierauf ſehe man auf dem angebrachten Gradbo⸗
gen, wie viel von o an gezaͤhlt der Senkel Gra⸗
de abſchneidet; dieſen Winkel CAB trage man
vermittelſt eines Transporteurs auf das Papier,
wie cab Fig. 56. s. Ferner meſſe man die
Linie ED, und trage ihr verjuͤngtes Maas aus
a gegen b, aus b errichtet man eine Perpendiku⸗
lar⸗Linie be, (weil vorausgeſezt wird, die Linie
BC oder der Thurn ſeie perpendikular,) und ver⸗

laͤngert ſie, bis ſolche die Linie a b irgendwo ſchnei⸗
det in c, ſo haͤlt die Linie be nach dem verjuͤng⸗
ten Maas ſo viel als die Hoͤhe BC im wirklichen.

L 2 Weil

Weil aber die Hoͤhe BD, als die Hoͤhe des Meß⸗
tiſchleins, nicht darzu gemeſſen worden, ſo muß
dieſe Hoͤhe noch zur Hoͤhe BC addirt werden, da
man alsdenn die ganze Hoͤhe des Thurns erhaͤlt.

Eine Hoͤhe BC Fig. 63. nur mit 2 Staͤben von be⸗
kkgaannter Laͤnge zu meſſen.

Man ſtekt ſich in einen beliebigen Punkt B.

einen Stab ED ſenkrecht in die Erde ein, mit ei⸗
nem andern Stab Ab, der 2 bis 3 Schuh kuͤr⸗
ker iſt, gehet man auf der Linie AE zuruͤk, bis
man uͤber ſeine Hoͤhe F und des andern Hoͤhe D
die Hoͤhe C des Thurns in gerader Linie ſiehet,
und ſtekt ihn gleichfalls ſenkrecht ein. Hierauf
mißt man die Weite AE und die Weite von A
vis zum Grund des Thurns B und ſpricht: wie
ſich verhaͤlt AE zur Laͤnge 6D, um wie viel nem⸗
lich ED groſſer als Ab, ſo verhaͤlt ſich auch die
Grundlinie AB zur geſuchten Hoͤhe des Thurns.
Zum Beiſpiel:
Es ſeie die Hoͤhe des kleinen Stabs AF = 4,
JMBU des groͤſſeren DF = 6, folg⸗
lich um 2’ grdſſer als AF.

”MD linie AB aber = 54°;
ſo ſpricht man: 3° geben 2 was geben 54 °2
oder nach dem Reeſiſchen Saz:
3 24 M

rPæc. 36 Hohe HCI.

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Wurns.

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Darzu muß aber noch die Hoͤhe AF des erſten
Stabs oder die Hoͤhe HB addirt werden, ſo er⸗
haͤlt man die Hoͤhe des Thurns 364 + 4=— 40

Eben dieſe Aufgabe kann man auch aufls⸗
ſen, wenn man bei Sonnenſchein einen Stab
einſtekt, deſſen Laͤnge bekannt iſt, und ſodann die
Laͤnge des Schattens, den der Stab wirft, ab⸗
mißt, und auch den Schatren des Thurns oder
Baums, deſſen Hoͤhe gemeſſen werden ſoll. So
kann man hier ſprechen: Der Schatten des Stabs
verhaͤlt ſich zu der Laͤnge des Stabs wie der
Schatten des Thurns zur Hoͤhe des Thurns.

Zum Beiſpiel:

Es ſeie die Laͤnge eines Stabs = 5“, die
Laͤnge ſeines Schattens = 4 gie Laͤnge des
Schattens vom Thurn = 120˙; ſo ſpricht
man: 4 Schuh Schatten geben 5 Schuh
Hoͤhe, was geben 12° Schuh Schatten?
Nach dem Reeſiſchen Saz aber:
* Hoͤhe 120“ Schuh Schatten
4 Schatten 5 Hoͤhe

Facit: 150 Schuh.

Annpmerkung. ”M
Man wird leicht begreifen, daß man die Be⸗
obachtung auf einerlei Ort, und zu einerlei
Stunde des Tags anſtellen muͤſſe, weil die
Sonne nicht immer gleich hoch iſt, folg⸗

1656

lich die Koͤrper nicht einerlei Schatten
werfen khknOnen.

S. 95.
Eine Hoͤhe zu meſſen, zu deren unteren Fuß man
nicht kommen, ſondern eine Standlinie an⸗
nneehmen muß.
Man waͤhle zwei beliebige Standpunkte,
z. Ex. A und B Pig. 64. deren Weite von ein⸗
ander bekannt ſeyn muß, und meſſe vermittelſt des
Meßtiſchleins und Dioptern⸗Linials, wie bis da⸗
her gezeigt worden, den Winkel DAC, und trage
denſelben vermittelſt des Transporteurs auf das
Papier, wie dac. Fig. 64. 6. ferner mißt man
die angenommene Standlinie, und traͤgt ihr ver⸗
juͤngtes Maas aus a gegen b. Hierauf traͤgt man

das Meßtiſchlein in B, und mißt den Winkel

DEBC, und traͤgt ihn ebenfalls auf das Papier
auf die Linie ac in b, ſo verurſacht die Linie bd,
wenn ſie verlaͤngert wird, eine Durchkreuzung
in d, aus welcher man alsdenn eine Perpendiku⸗
lar⸗Linie de faͤllen, und dieſelbe mit dem ver⸗
juͤngten Maasſtab meſſen kann, und welche nach
dem verjuͤngten Maasſtab eben ſo viel halten
wird, als die zu meſſende Hoͤhe DC im wirk⸗
lichen Maas. M

Man hat noch eine Menzge Verfahrungsar⸗

ten, wodurch die bisherige und noch unzaͤhlig

viel andere Aufgaben koͤnnen aufgeloͤſet werden,

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theils ſind ſie zu weitlaͤuftig, theils mehr curios
als brauchbar, und weil wir ohnehin uns mei⸗
ſtens auf die Anwendung des Meßtiſches einſchraͤn⸗
ken, ſo werden ſie hier mit Vorſaz uͤbergangen,
und weil ferner dergleichen Aufgaben durch trigo⸗
nometriſche Rechnungen am ſicherſten aufgeloͤſet
werden, worein wir uns auch hier nicht einlaſſen
koͤnnen, ſo muß auch dieſes uͤbergangen werden,
daher wir ſogleich zum Aufnehmen der Gegenden
und Flaͤchen uͤbergehen.

Vom Aufnehmen der Gegenden.

Ein Feld, Gut oder Markung aufzuneh⸗

men oder in Riß zu bringen, heißt: daſſelbe ſo
auf das Papier zeichnen, daß die Figur auf dem

Papier und die Figur im Feld einander aͤhnlich
ſeyen. Eine ſolche Aufnehmung kann auf dreier⸗
lei Art geſchehen. 1) Entweder kann man ganz
auf dem Gut, welches aufzunehmen iſt, herum⸗
gehen; oder 2) kann man nur um die Graͤnze

des Guts herum laufen, wie z. E. um einen
See; oder kann man 3) das Gut nur aus zwei

Staͤnden uͤberſehen.

Ein Feld in Grund zu legen, in welchem man ganz
herum gehen kann. ́”MUéẽ½
Man ſolle das Stuͤk Feld ABDEF PFig. 65.
mit dem Meßtiſchlein in Grund legen. Man
2 4 waͤhle

6 „

608s —

waͤhle ſich ungefaͤhr in der Mitte des Feldes ei⸗
gen ſchiklichen Ort, aus welchem man die aus⸗
geſtekte Pfaͤle ABDEF gut ſehen kann, und ſtelle
daſelbſt das Meßtiſchlein z. E. in C. Nun wird
das Dioptern⸗Linial auf das Meßtiſchlein geſtellt,
und aus dem Punkt Cnach allen ausgeſtekten
Pfaͤlen geſehen, ſo kann man auf dem Meßtiſch⸗
lein die Linien aus Cac, be, de, ec, fe ziehen.

Hierauf mißt man von C, wo der Senkel auf der

Erde hinfaͤllt, alle Linien AC, CD, CE, EE,
traͤgt das verjungte Maas dieſer Linien auf das

Meßtiſchlein aus c gegen a, gegen b, gegen d,

gegen e und gegen f, ſo ergeben ſich die Punkte

a, b, d, e, f. Wenn man alsdenn dieſe Punkte
durch die Linien ab, bd, de und ef verbindet, ſo

entſteht die kleine Figur a b d ef, welche der groſ⸗
ſen Figur ABDEF aͤhnlich iſt.

JQ. 90.

Ein Feld ohne Meßtiſchlein, ſondern nur mit der
Meßſcheibe und Meßſtange in Grund zu legen.

Es ſeie das Stuͤk Gut ABCDEF Fig. 29.

Tab. 2. in Grund zu legen, ſo umgeht man⸗

erſtlich das Stuͤk Feld, ſtekt in alle Eke Pfaͤle,

und zeichnet die Figur nur ungefaͤhr in die

Schreibtafel. Hierauf richtet man auf der Linie
Al die Perpendikular⸗Linien GE, HD und 10

auf, und ſtekt in GHI Pfaͤle, alsdenn mißt

man die Linien, AG, GH, HI, B, jede beſon⸗
“ nens, und ſchreibt ihe⸗ Maas in die ungeſahre Fi⸗

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— 169

gur, z. E. die Linie AG haͤlt 12 , GH 4° u. f.

Eben ſo werden die Perpendikel A, GF, HD
IC gemeſſen, und ihr Maas darzu geſchrieben.
So kann man alsdenn zu Hauſe die Figur auf das
Papier zeichnen, da man nemlich die Linie AB
ziehet, und nach dem verjuͤngten Maasſtab die
Linien AG, GH, HI, IB, desgleichen die Per⸗

pendikel AF, GE, HD, ic auftraͤgt, ſo ergibt

ſich die Figur auf dem Papier im kleinern,

wie ſie im groͤſſern iſt.

Auf die nemliche Verfahrungs⸗Art kann

man jede andere Figur in Grund legen, ſollte aber

die Grundlinie, auf welche die Perpendikel auf⸗
gerichtet werden, nicht ſo ſchiklich ſeyn wie AB, ſo
darf man nur eine ſchikliche Linie mitten durch das

Feld ziehen, wie AK Fig. 30. Tab. II. und Per⸗

pendikel aufrichten, ſo viel man noͤthig hat, wie

Hf, IE, Mo, und LC, 6B.

FK. 100.

Den Grundriß eines Sees aufzunehmen, um wel⸗
chhen man nur gehen kann.
Es ſeie in Riß zu bringen der See A BCD
Fig. 66. Man ſtellet den Meßtiſch in B, rich⸗
tet das Dioptern⸗Linial nach denen in A und O
ausgeſtekten Staͤben, und zieht auf dem Meß⸗
tiſchlein die Linien ab und be. Hierauf mißt man
die Linie BC, und traͤgt ihr verjuͤngtes Maas ans
b d kch c, alodenn nimmt man das ektilhlen

2 5 c auf

170⁰ —

c auf dem Meßtiſchlein vermittelſt des Senkels
genan auf C, und dreht ſolches ſo lange, bis die
Linie be genau auf BC liegt; ſiehet ſodann nach

dem in D ausgeſtekten Stab durch die Dioptern,

und ziehet die Linie c d. Eben ſo traͤgt man das

Meßtiſchlein in D, und mißt die Linie CD, und
traͤgt ihr verjuͤngtes Maas aus c gegen d; wenn
man alsdenn in D verfaͤhrt, wie in B und C, ſo

ergibt ſich endlich die Figur von ſelbſten.

Ein Stuͤk Gut in Grund zu legen, welches man nur
aus zwei Staͤnden A und B uͤberſehen kann.
Fig. 67.

Man ſeze das Meßtiſchlein in 4, viſiret
mit dem Dioptern⸗Linial nach allen entgegen ſte⸗

henden Winkeln, und zieht die Linien a b, a e.

a d, ac. Hierauf mißt man die Linie AB, und
traͤgt ihr verjuͤngtes Maas auf das Meßtiſchlein
aus a gegen b. Alsdenn traͤgt man den Meß⸗

tiſch in B, und richtet den Punkt b mit dem

Senkel genau auf B, und die Linie ab genau
auf AB. Nach dieſer Vorrichtung viſiret man
nach allen ausgeſtekten Staͤben C, D, E, und
zieht die Linien be, bd und be, ſo ergeben ſich

die Durchkreuzungs⸗Punkte c, d, e, durch wel⸗

che, wenn ſie mit Linien zuſammen gezogen wer⸗
den, die Figari in Grund gelegt hekſtellet.

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102.

— 171

H. 102. H D
Man wird leicht einſehen, daß man ein
Feld auch vermittelſt des Bretts B, worauf der
Halbzirkel gezeichnet worden, oder des Aſtrolabii
in Grund legen koͤnne: wenn man nemlich die

Winkel in Graden mißt, ſie ordentlich aufſchreibt,

die Linien ausmißt, und ſodann ihr verjuͤngtes
Maas ſamt den Winkeln auf das Papier traͤgt,

und die Figur aufzeichnet.

Uebrigens verſteht ſich das was in F. 97. bis
F. 101. von dem Aufnehmen der Gegenden ge⸗

ſagt worden, nur von kleinen Diſtrikten. Es

ſoll nur zur Entwiklung der Begriffe von groͤſſeren

Vermeſſungen dienen; zu gar groſſen Bermeſſun⸗

gen dieſe Vorſchriften zu gebrauchen, ſind ſie zu
unvollſtaͤndig. Ein Feldmeſſer der ſich vorneh⸗
men wollte dieſe Aufgaben auf einen Diſtrikt von
mehreren Stunden im Umfang anzuwenden, wuͤr⸗
de damit, dem Ganzen ſoviel abgewinnen, als ei⸗

ne Maus einem eiſernen Speidel.

H. 103.

Oeſters iſt noͤthig, daß wenn viele Felder
beſonders gemeſſen worden, aus ſolchen ein Ge⸗
neral⸗Riß von einer ganzen Marktum ausgefer⸗
tigt werden ſoll; ſo muß man in ſolchem Fall
den Riß durch gewiſſe Linien in ſeine Gewandte
und Zelgen abtheilen, und uͤberall gezeichnet
werden, ob es Waͤlder, Wieſen, Weinberge,

. )

Felder ꝛc. ſeien. Was Gewandte ſind, wird
nicht viel Erklaͤrens brauchen, weil ſie ohnehin

einem Feldmeſſer bekannt genug ſind. Es ſind
nemlich gewiſſe Stuͤk F elder, die alle zuſammen

einen Diſtrikt ausmachen, und einen gewiſſen

Namen haben, und ein jedes Feld, ſo einen an⸗
dern Namen hat, iſt auch ein anderes Gewand,

z. E. das eine heißt, Neueaͤkern, ein anderes

Waldaͤker, Thalaͤker, Hohewieſen ꝛc. Eine
Zelg aber iſt bei denen Feldenn derjenige Theil,
welcher ganz mit Winterfrucht angeſaͤet, oder
derjenige Theil, ſo ganz brach lieget, und üuͤber

Somimer gebaut wird. Alles dieſes bisherige

wird mit ihren Namen in dem Riß bezeichnet.

Ob es aber Felder, Wieſen, Waͤlder ꝛc. ſind,

werden mit Farben, die aber ſehr düͤnne aufge⸗
tragen werden muͤſſen, angezeigt; Die Felder

macht man gelb, die Wieſen aruͤn, Waſſer blau⸗

lecht, Haͤuſſer roth, die Waͤlder aber zeigt man
an mit dik an einander ſtehenden Baͤumen, und
Pflanzgaͤrten mit weit auseinander ſtehenden
Baͤumen, die Weinberge mit Pfaͤhlen, um

welche Reben gewunden, die Berge aber mit
gewiſſen Schattirungen. Es wird niemand miß⸗
faͤllig ſeyn, wenn auch eine kleine Anweiſung von
den Farben und deren Gebrauch gegeben wird.

Die Linien werden mit Tuſch gezogen, der mit
Maſſer in einem kleinen Gefaͤß abgerieben und
angemacht iſt, oder fuͤllt man den Pinſel mit

Waſſer, und faͤhrt damit auf dem Tuſchtaͤfelein

hin und her. Die gelbe Farbe erhaͤlt man von
dem

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— 173

dem Gummigutt, und wird eben ſo angemacht

wie der Tuſch. Karmin gibt die rothe Farbe,

und wird auch mit Waſſer angemacht. Gruͤn⸗
ſpan wird mit Eßig angemacht, worzu auch et⸗
was Weinſtein⸗Salz genommen wird. Berli⸗
nerblau aber muß auf dem Reibſtein mit Waſſer

abgerieben werden. Purpur⸗Farbe erhaͤlt man,

wenn Karmin und Gummigutte mit einander
vermiſcht wird. Strohfarbe erhaͤlt man aus der
Miſchung Purpur und Tuſch, Blau und Gelb
mit einander vermiſcht aber gibt gruͤn. Es iſt

oͤfters auch noͤthig, daß die vier Weltgegenden

in den Riß getragen werden. Die ſes geſchiehet,
wenn man die Magnet⸗Nadel auf eine Seite
des Felds ſtellt, und den Winkel, den die
Magnet⸗Nadel mit der Seite macht, bemerkt,
alsdenn wird ein ſolcher Winkel, welcher Nor⸗

dern zeiget, ausgezogen. In den meiſten Riſſen

aber wird ein kleiner Zirkel gezogen, worein eine

Magnet⸗Nadel gezeichnet wird, deren Spize ge⸗

nau gegen Norden ſtehet; Man trift ſolche Zir⸗
kel mit Magnet⸗Nadeln in allen Landkarten an.
Hat man aber keine Magnet⸗Nadel bei der

Hand, ſo kann man die vier Weltgegenden fin⸗

den, wenn man nur mit dem Ungefaͤhren vorlieb
nehmen will, auf folgende Art: Ein jeder wird

wiſſen, wo ungefaͤhr auf ſeinem Horizont die

Sonne auf⸗ oder untergehet: Man ſtelle ſich alſo
ſo, daß man das Geſicht gegen dem Aufgang
der Sonne wende, alsdenn hat man Oſt oder
Morgen vor ſich, Sud oder Mittag auf der rech⸗
. ten

174

ten Seite, Weſten oder Abend auf dem Rüken,
Norden oder Mitternacht auf der linken Seite.
Auf eine andere Art aber kann man auch Norden

ſfinden, wenn man ein Baͤumlein horizontal ab⸗

ſchneidet, und wo alsdenn das Mark der Rinde
am naͤchſten iſt, daſelbſt iſt Norden. Daß man
auch den verjuͤngten Maasſtab auf jeden Riß zu

tragen habe, nach welchem er gezeichnet worden,

wird nicht zu erinnern ſeyn. Auch pflegt man,
wenn eine ganze Markung oder Zelg aufgezeich⸗
net worden, in eine Einfaſſung, welche auf das
Ende des Riſſes gezeichnet wird, zu ſchreiben,

was es fuͤr eine Markung, Gut oder Zelg und

dergleichen ſeie, eine ſolche Einfaſſung heißt man

eiine Kartuſche (Cartouche), man verziert ſol⸗

che auf allerlei Art, die Zierathen aber werden
hergenommen von denen Dingen, die auf dem
Gut wachſen, z. E. ſind es Weinberge, ſo wer⸗
den Traubenſtoͤke mit Pfaͤhlen u. dergl. gezeich⸗
net. Auf allen Landkarten werden ſolche Kartu⸗
ſchen angetroffen. “”

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H Die
Decimal⸗Rechnung

oder die

Rechnung mit Decimal⸗ Bruͤchen.

„ e4

§F. 104.

5Pn den gewoͤhnlichen Buͤchern uͤber die Geome⸗
O trie, wird die eben ſo noͤthig als nuͤzliche De⸗
eimal⸗Rechnung gar nicht, oder doch aͤuſſerſt ſel⸗
ten erklaͤrt, und bei dem Leſer ſchon als bekannt
vorausgeſezt; der Grund davon iſt leicht einzuſe⸗
hen, denn um die Geometrie und die dahin gehö⸗
rige Rechnungen zu verſtehen, ſezt in der That
eine richtige Kenntniß der Arithmetik voraus,
worunter begreiflich die Decimal⸗Rechnung mit

„*

begriffen iſt.
Dieſe Rechnungs ⸗ Art, ohnerachtet ſie in

den alltaͤglichen Rechnungsfaͤllen und in den ge⸗

woͤhnlichen Rechenbuͤchern ſelten oder gar nicht
vorkommt, verdient doch in der That, wegen ih⸗
rer Leichtigkeit und ihres ausgebreiteten Nuzens
willen, beſonders in mathematiſchen Berechnun⸗
gen, hier etwas mehr als man ſonſten zu thun
pflegt,

pflegt, erklͤrt zu werden. Die Decimal⸗ Rec⸗

nung iſt nicht nur leichrer und kuͤrzer als jede Be⸗
rechnung mit gewoͤhnlichen Bruͤchen, und da ohne
diß einige Maaße beſonders in der Geometrie ze⸗

hentheilig ſind, und in der Feldmeßkunſt groſſen

Nuzen verſchaffen, ſo hat man ſich hierinnen um
ſo mehr zu uͤben, weil man ohne dieſe nuͤzliche

Rechnung viele mathematiſche Berechnungen ent⸗

weder gar nicht, oder doch wenigſtens nur mit ei⸗
ner r heſchwerlichen Arbeit ausfuͦhren koͤnnte.

F. 105.

Eine Decimalzahl iſt ein ſolcher Bruch deſ⸗

ſen Nenner 10, oder ein Produkt aus 10 in 10.

Da nun die Produkte aus 10. in einer beſtimm⸗

ten Ordnung ſteigen oder fallen, z. E. 10. 100.
TIOOO, I0000. 100000. u. ſ. w. ſo verſchaffen
ſie im Rechnen eine beſondere Bequemlichkeit.
Iſt der Zaͤhler eines ſolchen Bruchs eine einfache

Zahl z. E. 3, ſo iſt ſein Nenner 10 folglich .
Iſt der Zaͤhler eine zuſammengeſezte Zahl z. E.

13 oder o5, ſo iſt der Nenner 100, alſo *

oder =5. Beſteht der Zaͤhler aus 3 Zahlen

z. E. 127. ſo iſt der Nenner 1000. ſigiich der
Bruch = 1α u. ſ. w. Der Nenner eines
Deeimalbruchs hat alſo ſo viele Nullen, als der
Zaͤhler Zahlzeichen hat, daher kann man jedesmal
zu einem ſolchen Zaͤhler den ihm zugehdrigen

Nenner hinzugedenken, ohne 3 zu haben den⸗

ſelben dazn zu ſchreiben, z. E. 2s iſt le

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ſo viel als 37346. Dieſes verſchaft im Rechnen
eine nicht geringe Bequemlichkeit. Iſt ein ſol⸗
cher Bruch noch mit einer ganzen Zahl verbunden,
ſo wird ſolche durch ein Koma von der Decimal⸗
zahl abgeſondert z. E. 3 iſt eben ſoviel als 3,
17; woraus man erkennen kann, daß eine ſolche
Zahl ein wirklicher Decimal⸗Bruch ſei. Iſt der
Bruch mit keiner ganzen Zahl verbunden, ſo hat
man die Gewohnheit an die Stelle der Ganzen
eine Nulle zu ſchreiben, und unterſcheidet ſolche

von dem Bruch durch ein Koma, z. E. T

Diie ganze Zahlen werden eben ſo geleſen wie
in der Rechenkunſt gelehrt wird; hingegen kom⸗
men in die erſte Klaſſe des Decimal⸗Bruchs hin⸗

ter dem Koma die Zehner, in die naͤchſtfolgende

die Hunderte, in die Zte darauf folgende die Tau⸗
ſende, in die 4te die Zehntauſende u. ſ. w. Fol⸗
gendes Schema wird die Sache noch deutlicher
Man habe folgenden Decimal⸗Pruch;:

346, 7 8 3 4 5
2 2 S. –
S — ☛n —— —
E K £. = = E
EES9/
N §. 107.

F. 107.

Ein ſolcher Bruch laͤßt ſich auf eine doppelte

Art leſen, entweder kann man jede Ziffer d
Deeimal⸗Bruchs als einen beſondern Aſfe d
ſehen, und den dazu gehoͤrigen Renner ausſpre⸗
chen, z. E. 3, 3241 kann man ausſprechen: 3
Ganze 1T6 + 133 + 7& T68 + 1T8555/ oder
kann man alle Ziffer des Zaͤhlers mit ihrem ge⸗
meinſchaftlichen Renner ansſprechen, welcher 1.
nebſt ſo viel Nullen in ſich enthaͤlt als der Zaͤhler
Zahlzeichen hat. Z. E. obiger Bruch 3, 3241
kann auch alſo geleſen werden 3 1806.

Waͤren folgende Bruche 186 + 18188
+ r1SSS585 mit einem gemeinſchaftlichen Nen⸗
ner anzuſchreiben, ſo muß man im Zaͤhler die
fehlende Stellen mit Nullen ergaͤnzen, damit die
ubrige ihre gehoͤrige Stellen erhalten. Z. E.

QAQYQO

106 + f 166065 + T553858656 – — 0, T686886
oder 0, 030709.
2
T556560 T550556055 wird geſchrieben
0,000070b2. H

. 108.
Wenn man eine jede Ziffer des Zaͤhlers als
einen beſondern Bruch anſchreibt, z. E. ſtatt

3,47 77 den ihm gleichviel geltenden Werth

V 5 † T 58 + X† † 856 + T5 865 + TSö5SSS
4 7583888, ſent/ P her man ugleich eine kurze
Ueber⸗

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lcher⸗

Ueberſicht von dem Werth einer jeden Stelle,
und man bekommt dadurch auch richtige Begriffe
von deren Werthe. Man ſieht hieraus klar,
daß die hintere Theile zur Rechten eines ſolchen
Bruchs, ſehr kleine Theile des Ganzen ſeyn muͤſ⸗
ſen; Daher kann man, wenn man nicht mit gar
groſſen Zahlen rechnen will, von den leztern zur
Rechten, einige Stellen ohne einen groſſen Fehler
zu begehen gar weglaſſen, denn man laͤßt in der
That nur ſehr kleine Theile des Ganzen weg,
auch wird uͤberdiß ſelten mit mehr als 6. oft gar
nur mit 2 oder 3 Decimalziffern gerechnet. Wuͤr⸗
de man durch dieſes Weglaſſen der lezten Ziffern
zu aͤngſtlich ſeyn, und ſich dadurch ſeines Gewiſ⸗
ſens beſchwert glauben, ſo koͤnnte man indeſſen
folgende Regel beobachten: Wenn die weggelaſ⸗

ſene Ziffer groͤſſer als 5 oder 50 oder 500 u. ſ. w.

ſo wird die lezte Zahl des noch ſtehen gebliebenen
Bruchs um 1. vermehrt. õ

Daher man fuͤr 3, 7837 ſezen kann 3,784.
fuͤr 7,83762 = 7,838. B
fur 9,87673682 = 9, 87674
Auf dieſe Art wuͤrde man ſich ohne einen groſſen

Fehler zu begehen, der Wahrheit etwas mehr
naͤhern.

M 2 F. r109,

180 —

J. 100.

Ein Decimal⸗Bruch verliert nichts an ſei⸗

nem Werth, man mag zur Rechten ſo viel Nul⸗
len anhaͤngen als man will.

Addiren der Deeimal⸗ Bruͤrche.
Aufgzabe.

Die Summe mehrerer Decimal⸗ Bruche
zu finden.

Aufloͤſung.

Man ſchreibt die gegebene Zahlen alſo un⸗
tereinander, daß gleichartige Zahlen der Ganzen,
ſo wie die Zehntheile, Hunderttheile, Tauſend⸗
theile u. ſ. w. untereinander zu ſtehen kommen,
und addirt ſolche als wenn ſie ganze Zahlen waͤ⸗
ren, jedoch muß man nicht vergeſſen, in der
Summa das Koma an ſeine gehdrige Stelle her⸗
abzuſezen.
Z. E. Man ſoll addiren 3,4 + 2, 21
+ 6,721 + 14, 51.
Man ſchreibe ſolche nach der gegebenen Regel alſo
untereinander. S

6, 721
14, 51

Summe = 26, 841 “

Be⸗

n
ſinge

ieſe, ſ

Uund 5
ſentung

o

id w

lumurt
Gbt wen
Nen
ne der

a ſi⸗

iel Na⸗

Brue

n Ae n
Giner,
Tuberd⸗
kommn,
len ni
in der

ale het⸗

+ 241

Repel ii

Be

— 181
Beweis dieſer Regel. MM

Es iſt (nich . 105.) 3,4 = 3
2/21 = 27 5
14, 51 = I14 75

Man addire die Ganze beſonders, die Bruͤche

bringe man auf gleiche Benennung und addire auch
dieſe, ſo kommt fur die Summme der Ganzen = 25.
und ½ 18 + †35 1 + * 785 auf gleiche Be⸗

nennung gibt

ddn 21008000 22¹⁰000 + 51000000
100000000
und wenn man die gefundene Zaͤhler addirt, ſo
kommt fuͤr die Summe = 184 58888 das
gibt wenn man bei Zaͤhler und Nenner gleichviel
Nullen weglaͤßt I1 + 33 zu dieſem die Sum⸗
me der Ganzen addirt

gibt 25 + 1 + ¾ ½1, = 26, 841. wie oben.

Weitere Beiſpiele

41, 203 367, 6702
375, 312 57/7 342
12, 7 36, 1564
5, 73423 57, 678456

11, 95144 644, 157056

H NM 3 F. 1I9.

182 —=
§F. IIo.

Seollte etwa dieſe Addition wegen der un⸗
gleichen Anzahl der Deeimalſtellen undeutlich

ſeyn, ſo kann man alle Zaͤhler bei einer ſolchen

Rechnung durch Nullen ergaͤnzen, und dadurch
gleich machen, alsdenn werden obige Beiſpiele ſo

ausſehen:

4I, 20300 367, 670200

2375, 31200 57, 342000
12, 70000 36, 156400

„, 13423 —. 1845˖

Subtrahiren der Decimal⸗ Bruͤche.

Eine gegebene Deceimalzahl von einer andern
zu ſubtrahiᷓren.

Aufloͤſung.

Man ſeze Einheiten, zehentheile ,Z hundert⸗

theile u. ſ. f. untereinander, und ſubtrahire wie
gewoͤhnlich.
3-
79, 90⁰35

§. II2Z

ders
imn D
6, a
ruch
ſlchen
Ghneſu
llin
ibtige

iſ,

Libt

S

9. L⸗

en

ſim n

N

nie t
vorhaud

dde

uf di
igkei

itakt

der in⸗

nbeth

ſlhen
dodurch
ſpiele ſ

.

ie det.

c.

get ende

Murt
ſie wit

ſ. In

Es ſcheint oͤfters als ob man eine gegebene
Zahl von einer andern nicht abziehen koͤnne, beſon⸗

ders in dem Fall wenn die Anzahl der Zahlzeichen
im Deeimalbruch des Subtrahendi nicht ſo gros
iſt, als die Anzahl der Zahlzeichen im Decimal⸗

Bruch deß Subtrahenten, man bedenke aber in
ſolchen Faͤllen, daß man an einen Decimal⸗Bruch,
ohne ſeinem Werth etwas zu benehmen, ſo viel
Nullen anſezen koͤnne als man noͤthig hat; wem
uͤbrigens nur die Einheit deß Subtrahendi groͤſſer
iſt, als die Einheit deß Subtrahenten, ſo iſt die
Subtraktion fuͤr poſitive Zahlen immer moͤglich.
Z. E. von 736,1 ſoll man 125, 7346789 ab⸗
zishen. Weil in der Decimalzahl 736, 1 nur

eine einzige Decimalſtelle vorhanden, ſo ſeze man

noch ſo viel Nullen an dieſelbe, bis man eben ſo
viel Stellen hat, als derſelben im Decimal⸗Bruch
vorhanden ſind, alsdenn wird der Subtrahendus

und die ganze Rechnung ſo ausſehen:

736, 1000000 Subtrahendus
125, 3746789 Subtrahens.

5610, 365321I GMGU
auf dieſe Art laͤßt ſich die Subtraktion ohne Schwie⸗
rigkeit verrichten. “è
Es kommt nun bei der Addition und Sul⸗

traktion vorzuͤglich darauf an, daß man die Koma⸗

134

ta unmittelbar Uuntereinander ſezt, und daß man

in der Summe oder Differenz das Koma an eben
den Ort ſezt wo es bei den gegebenen Zahlen ge⸗

ſtanden, weil man eigentlich nur die Einheiten und

Zaͤhler addirt, und die Nenner unveraͤndert laͤßt.
Uebrigens beruht der Beweiß der Subtraktion
auf den bekannten Gruͤnden der Arithmetik, und
daß man die Probe uͤber das bei einer ſolchen Rech⸗
nunge gefundene Reſultat eben ſo leich anſtellen
koͤnne, erhellet von ſelbſten.

De Multiplieation der Dernal Bruͤche. 6

. II14.
Alufzabe. 5 4.

Man ſoll 2 gegebene Decimalzahlen mit ein⸗
ander multipliciren.

Aufloͤſung.

Man ſchreibe die gegebene Zahlen wie bei
dem gewoͤhnlichen multiplieiren untereinander.
Um aber im Produkt die ganze Zahlen von den
Einheiten zu unterſcheiden, merke man ſich fol⸗
gende Regel: Man zaͤhle die Anzahl der in bee⸗
den Faktoren enthaltenen Decimalſtellen zuſam⸗
men, ſo zeigt die Summe dieſer Decimalſtellen,
wie viel Deeimal Zahlen im Produkt von der
Recͤten gegen die Linke abgeſchnitten werden muͤſ⸗

Man

Korn

lug
Pſonn
biel Z
hen

werde

wi
der
Ate
bis

In Man ſoll 34,203, mit 2,03 multipliciren.
itengdd — 2,0 3
en li . 1026 09
bunktin 6840 60
ne 669432 9
ſlll Im gegenwaͤrtigen Beiſpiel haben beede Faktoren

zuſammen genommen 5 Decimal Ziffer, eben ſo
viel Ziffer im Produkt muͤſſen von der Rechten

ihe. gegen die Linke abgeſchnitten, da den, durch ein
K Koma die Ganze von den Deeimalen unterſchieden
werden.
nemlich 69, 43209.
ifu D
§. 115. D =
Oefters iſt der Fall, daß im Produkt nicht
ſo viel Deeimalſtellen abgeſchnitten werden koͤnnen
We als erforderlich ſind; in dieſem Fall werden zur
inude, Linken deß Produkts ſo viel Nullen angehaͤngt,
mng beies die Anzahl der abzuſchneidenden Zahlen ganz
iſt⸗ ſſtt, und ſezt dem Koma noch eine Nulle vor, z. E.
u inlee
Mn⸗ Es ſei zu multipliciren o,4325 mit o,00006.
lſelen, L ““è ꝗ”MUM
* 3ʒÿH
9,009025950

186 —

Weitere Beiſpiele. “ den.
4,7873 48,02 A
O0, 0023 4,01 Quel
143619 48 02 ” N
95146 1920 80
,1ονο 1992,5602 e
Aufgabe. Eift

Ein verlaͤngertes Rechtek iſt linga 24 4 67
und breit 4 2856. man verlangt deſſen Quadrat

Inhalt.

Hier ſi nd offenbar die vorhandene Ruthen als
Ganze die Schuh und Zoll aber als Decimalzah⸗
len anzuſehen, vorausgeſezt die Linien ſeyen,
mit der zehentheiligen Ruthe gemeſſen worden.
Man multiplicirt alſo wieder wie F. 114.

24,46
4,25
489 2£ M de⸗
9278 4 nud

4 103,9550
das giebt 103. Ruthen.
Um nun zu entſcheiden wie viel die hinter dem Ko⸗
ma vorhandene Decimalzahl 9550, Schuh und Zoll
geben, ſo erinnere man ſich deſſen was H. 34. in
Ruͤkſicht deß Decimal Quadratmaſſes geſagt wor⸗
2 den.

165
4 40
Oudrt

et Ko⸗

ind ell
„

ot⸗
den.

den. Nach kner Den waͤre al ſo obiges Pro⸗
ukt = 103. Ruthen, 95. Schuh 50. Zoll
Quadrat⸗Maas. 1 d5. Schnh 5 Ze

Aufgabe.
Eine Mauer iſt 3602, 3“ lang, 127 4 hoch
und 0²°,85“ dik wie viel betraͤgt ihr toͤrperlicher

Inhalt.
luang — 36,2 3¹
hoch = 1,24 4
144 92 l
7² 4f6
36 23
dike —= o85
22 46200
35 940 ̃16ͦ

— — — —— —

38,186420“

das iſt 38 Kubik⸗Ruthen und nach §. 70. giebt
die Decimalzahl 186420 = 186. Kubik⸗/ Schuh

und 420. Kubikzoll.
g. 116. =
Die Dioiſion mit Decimalzahlen.

Aufgabe.
Mit einer gegebenen Derimalzahl eine ande⸗

e gegebene zu dividiren.
Auflö⸗

188

Aufloͤſung.
Man dividirt die gegebene Zahlen als ob ſie
gewoͤhnliche Zahlen waͤren. Um aber im Quo⸗ lict
tienten die Decimalzahlen von den Ganzen abzu⸗ lnren
ſondern, ſo merke man ſich dieſe Regel: Man der
Aſubtrahire von der Anzahl der Deecimalſtellen des Pori

Dividendi die Anzahl der Decimalſtellen des Di⸗
viſors, ſo giebt der Reſt beeder Zahlen an, wie
viel Decimalſtellen im Quotienten abgeſchnitten
werden ſollen, z. Ex

Man ſoll mit 6, 4 die Zahl 37 12224 dividiren.

.
6,4 87,22241 5816
32 G
52 2
TI0 2 lpbe
81. nicht
⅓—. “
Die Deelmalſtelle des Diviſors von den Deeimal⸗ dieſe
ſtellen deßt Dividendi abgezogen, bleiben zum Reſt die
3. und eben ſo viel Ziffer im Quotienten von der en

Rechten gegen die Linke abgeſchnitten Ziebt als⸗ 10
denn = 5, 816, .

aſe
n Au
n a
Man
len des
s Di⸗
w, We

pniith

Ndüten.

. –
— —

-
D⸗

189
§. 1172
Es iſt oͤfters der Fall daß im Quotienten

nicht ſoviel Deeimalſtellen abgeſchnitten werden

koͤnnen als erforderlich ſind, daher man wie bei
der Multiplikation (H. 115.) ſo viele Nullen im

Quotienten vorſezt als man noͤthig hat, z. Ex.

36,72] o, 14688 14
hier waͤre alſo der Quotient = 0,0004.,

§. 118.

Weil es ſich in den meiſten Faͤllen ereignet,
daß bey einer ſolchen Diviſion die Diviſion nicht au⸗
geht, ſo koͤ?nnte man zwar mehrere Nullen an den
Dividendum ſezen und weiter fort dividiren, da⸗
durch wuͤrde man ſich der Wahrheit naͤhern, aber
nicht immer ganz erreichen, weil ſich die Diviſion
manchmal ins Unendliche fortſezen lieſſe. In
dieſen Faͤllen muß man vorher beſtimmen, auf wie
viel Deeimalſtellen man den Quotienten berech⸗
nen will, z. Ex. auf I100theile, 1000theile,
10000theile u. ſ. w.

3. E.

3. E. Man ſoll den Quotienten von 6, 821 32
in 71,1 bis in die 1000 ſendtheile berechnen.

6,82132] 71,10000000 10,423 Quotient.
682132
2886800
1582720
1364264
2184560
2046396

138164

4

Den uͤbrig gebliebenen Reſt kann man fahren laſ⸗
Quotienten betraͤgt, man koͤnnte ihn zwar als ei⸗
nen Bruch, deſſen Zaͤhler dieſer Reſt, der Nen⸗
ner aber der vorige Diviſor iſt mit ſo viel ange⸗
haͤngten Nullen als der Reſt Zahlzeichen hat, dem
Quotienten anhaͤngen, dadurch wuͤrde man ſich
aber nur eine weitlaͤuftige Rechnung verurſachen,
die bei einer nur kleinen Rechnung unertraͤglich
wuͤrde. 8 ę

AAuſ dieſe Art wuͤrde der Quotient ſo ausſehen.

733132900SS

10,423 P† 14rà

Aluf⸗

ſen weil er immer weniger als 1. Tauſendtheile des

(cs

3 9

6

n.

olint,

in aß
ile des
de⸗
er Nen⸗
l ange⸗
hen den
man ſih
utſcher,
eurigth

iſter.

Auf⸗

Aufgabe.

Der F laͤchen Inhalt eines verlaͤngerten Raeht⸗
eks iſt =– 54⁰, 56‧16“ und ſine Hoͤhe = 4 .
3 2“ wie lang iſt es?

4,32 ]5 4,56 10 12 6/3 Lange des Rechteks.
43’ͦ2
1136
84
2721
2592
1296
1290

§H. 119.

Die Verwandlung der gewoͤhnlichen Bruͤche
in Decimal⸗Bruͤche.
Aufgabe.
Einen gegebenen gewoͤhnlichen Bruch in ei⸗

nen Decimal⸗Bruch zu verwandlen.

*

Aufloͤſung.
Auf ſo viel Decimalſtellen man den Bruch

berechnen will, eben ſo viel Nullen muͤſſen an den

Zehler geſezt und mit dem Nenner dividirt wer⸗
* den.

SH

192

den. 3. E. Man den Bruch bis in die
1000ſend Theile berechnen, ſe in

mithin waͤre alſo der gegebene nch dem Deci⸗
mal Bruch 0, 375 gleich
Wenn man alſo einen gegebenen Bruch in einen
audern verwandlen will, deſſen Nenner 10000
ſeyn ſoll, oder welches gleichviel iſt, den gegebe⸗
nen Bruch in die 10000ſendtheile berechnen, ſo
darf man nur des Bruchs Zehler mit 10000 mul⸗
tipliciren und mit dem vorigen Nenner dividiren,

ſo erhaͤlt man den verlangten Zehler deſſen Nen⸗

ner = 10000 iſt.

3. E. 1 ſoll in Million Theile berechnet

werden.
ſo iſt E = 0,266666

Man ſl : 2 in die 1000 millionentheil kerechnen.

§. 120.

Auf dieſe Art kann man einen jeden Bruch
in einen andern verwandeln, deſſen Nenner eine
willkuͤhrliche Zahl aus den Produkten von 10 in
10 iſt; daß man aber in vielen Faͤllen nicht im⸗
mer einen Decimal⸗Bruch angeben kann, der ei⸗
nem gegebenen Bruch genau gleich ſei, erhellt aus

den Beiſpielen F. 119. beſonders in den Faͤllen

vVo ſich die Zahlen des Quotienten i in der nen ichen
ſ rd⸗

Otdͤn
berechni

einten gt

kuotmnt,
herſhuß

glen de

lein

Son!

H
Kubiem
entweder
deutlich
licht m

uhſan

Aef 4
Sohe⸗
ne

De

in einen
10000

Negehen
ten, ſr
o nul
didiren,

n Nenn

taßn

tichet.

Bng
ner ene
1 I

Gitinn
det

elt eus
a
glifen
Oth⸗

197

Irdnung widerholen z. E. 5, in 10000ſenbtheile

berechnet gibt 0,4166. Dafuͤr kann man ohne
einen groſſen Fehler zu begehen, ſezen = 0,417
(K. 108.) welcher der Wahrheit etwas naͤher
kommt, er iſt zwar groſſer als o,4166; der Ue⸗

berſchuß betraͤgt nur 2 = = wo hin⸗

gegen der Bruch 0,4 166 um 1 = — 3 000
zu klein iſt.

2 = 0,14285 — ,1429 SUDð

Von dem Extrahiren der Quadrat⸗ und
Kubic⸗ Wurzel.

§K. 121.

Man hat das Extrahiren der Quadrat⸗ und
Kubicwurzel in den gewoͤhnlichen Rechenbuͤchern
entweder gar nicht, oder meiſtens ſo kurz und un⸗
deutlich vorgetragen, daß eine ſolche Anleitung
nicht nur fuͤr Anfaͤnger unbrauchbar, oder aͤuſſerſt
muͤhſam fuͤr die ſel be iſt, daher es kommt daß das
Ausziehen der Wurzeln immer fuͤr eine ſchwere
Sache gehalten, und noch bis gegenwaͤrtig als eis⸗

ne ſchwere Rechnung angeſehen wird,

NN (CTCon

—

Won den Ouspramaplen und ihren Wurzeln.

§. 122.
Der Name eines Quadrats iſt aus der Gee⸗

metrie genommen, wo eine gleichſeitige Figur ein

Quadrat genannt wird, deren Inhalt man findet,
wenn man das Maas einer Seite mit ſich ſelbſt
multiplicirt; dieſes herausgebrachte Produkt nennt
man eine Quadratzahl. Eine Quadratzahl ent⸗

ſteht alſo, wenn man eine Zahl mit ſich ſelbſt mul⸗

tiplicirt, oder wenn 2. gleiche Faktoren mit ein⸗
ander multiplicirt werden.

3Z. E. 81. iſt ein n Produkt aus 9. 9. Ei⸗

ne e Quadratzahl oder das Quadrat von einer Zahl
wird dadurch angezeigt, wenn man oben zur Rech⸗

ten derſelben die kleine Zahl 2. ſchreibt, 3. E. 92²
bedeutet eben Fviel als 9. 9, mithin 9² = 81.

Das Anſchreiben einer Quadratzahl auf dieſe

Art, iſt eigentlich eine Abbreviatur Wothrgung.
4 deren Nuzen ſch erſt in der er Aigedta zeigt.

F. 123.

Es iſt alſo leicht eine Zahl ins Quadrat zun

erheben, man darf nur jedesmal die Zahl mit ſich

ſelbſt multipliciren, z. E. Wenn man das Qua⸗
drat von 4 haben will, ſo iſt 4½= 4. 4 = 16.

von 7 iſ das Quadrat = = 7² — 7.7 =— 49.
Wenn

welhhe
den N

einfcch

niplkt

A⸗

Eine ſ⸗

m wi

man un

Go⸗

Ven
ie

1
Qunt
Wu

E.

Ki⸗

ein
drate
Ben

der S.
igur in

findet,

hſitt
ltmennt

ſſt mul⸗
mit ein⸗

. EH

er yl

Sd.

et

nit ſih

O;
— Is,

Penn

n
ahl tt⸗.

1 Ng⸗ D

— ———¶—¶—

Wenn man auf dieſe Art die Ouadrate der
einfachen Zahlen ſucht, ſo erhaͤlt man eine Tafel,
welche bei dem Extrahiren der Quadratwurzel eben
den Nuzen hat, als das Eimmaleins bei der Mul⸗

tiplikation 7

Zahlen !1 M 1 L 21 812
Quadrate] II 4 1 9 16 [251 26] 49 164 8 7

Eine ſolche Tafel kann man erweitern, ſo weit
man will, zum wirklichen Extrahiren aber, hat
man nur die Quadrate der einfachen Zahlen im

Gedaͤchtniß zu behalten. In den Wolfiſchen und

Vegaiſchen Logarithinen Tafeln, findet man ſol⸗
che Tabellen bis auf 1000. ausgerechnet⸗

5

Auf gleiche Weiſe werden die Bruͤche ing

Quadrat erhoben, man multiplieirt nemlich einen
Bruch mit ſich ſelbſt

re. G. r= 1 : . ſ G⸗ es
(2)²* = . 3 E 68. e

Es iſt alſo das Quadrat eines enme, wieder

ein Bruch, deſſen Zehler und Nenner die Qua⸗

drate des Zehlers und Nenners des gegebenen
Bruchs ſind.

200 —
§. 125.
Die Quabratwurzel einer gegebenen Zahl iſt

diejenige Zahl, die mit ſich ſelbſt multiplicirt die
Quadratzahl gibt. Z. E. von 40 iſt die Wurzel

= 7. Dieſe aber mit ſich ſelbſt multiplicirt, gibt—
wieder 49. Das Zeichen der Quadratwurzel iſt

2 2 2
7. z. E. 36 = 6. 64 = 8. 81 = 9.
§K. 126.

Von obigen Zahlen 1 2 3 4 u. ſ. w. in der
Tafel J. 123. ſind die ihnen korreſpondirende

Zahlen, die Quadrate der einfachen Zahlen, ſo
wie jene die Wurzeln derſelben ſind. Aus den
Zahlen der untern Reihe laͤßt ſich die Quadrat⸗
wurzel in allen Faͤllen genau finden; man nennt

ſie daher Rationalzahlen. Es fallen aber zwi⸗
ſchen dieſe Quadratzahlen noch mehrere andere
Zahlen hinein, z. E. zwiſchen die Quadratzahlen
1 und 4 liegen noch die Zahlen 2 und 3. zwiſchen

und 9 fallen die Zahlen 5. 6. 7. 8. zwiſchen 9
und 16. fallen 10. 1II. 12. 13. 14 und 15.

Dieſes ſind keine vollkommene Quadratzahlen,
weil die Wurzeln derſelben keine ganze Zahlen

ſeyn koͤnnen; Denn da die Wurzel von 1. wie⸗
der 1. von 4 = 2 iſt, ſo muß die Wurzel aus 2

oder 3. groͤſſer als 1. und kleiner als 2. ſeyn.

Eben ſo, da die Wurzel aus 4 = 2 und aus

9 = 3 iſt, ſo muͤſſen die Wurzeln aus den Zah⸗

en 5.
ſfſyn.

Zehei

(Siſ

der nen

r ei.

htn

(en le

₰△G

Ousdrat
ſlgt de

ſeſtitun
Koxrgl

fönren
Aune

Lerden,

hulmng

dnder

ndittde.
len, 5

lus
nadrt
1 Meun

SeH

audele
iphen
wiſhen

ſchen

ind 1,

gehle
Zin
1. wie⸗
as
. ſchr,
1

1di⸗

len

4

201

len 5. 6. 7. 3. graͤſſer als 2. und kleiner als 3
ſeyn. Es kommt alſo fuͤr die Wurzeln dieſer
Zahlen neben den Ganzen noch ein Bruch, aber
es iſt unmoͤglich einen ſolchen Bruch anzugeben,
der nebſt der ganzen Zahl in ſich ſelbſt multipli⸗
cirt eine Quadratzahl wie 3, 5 oder 6. u. ſ. w.

genau zum Produkt gibt. Dieſe Zahlen von wel⸗

chen hier die Rede iſt, ſind keine vollkommene

Quadratzahlen, man nennt ſie irrational.

Es

folgt deßwegen nicht, daß man ihre Wurzeln nicht

beſtimmen koͤnne, ſondern nur ſo viel, daß die
Wurzeln von ſolchen Zahlen durch Bruͤche nicht

koͤnnen angegeben werden. Uebrigens koͤnnen die
Wurzeln durch Naͤherung doch ſo genau beſtimmt
werden, als man in der Ausubung nur immer

verlangen kann.

§. 127.

4

—

Das Ausziehen der Quadratwurzel.

Aufgabe.

Aus einer gegebenen Ritonaluihl die Wur,⸗

zel zu finden.
3. E. aus 2304.
Aufloſung.

Man theile die gegebene Zahl von der Rech⸗

N 3

ten gegen die Linke in Klaſſen, und gebe jeder

202
Klaſſe 2 Zahlen, in die erſte Klaſſe zur Linken

moͤgen 2 Ziffer oder eine kommen, beedes iſt

gleichviel
Z. E. 2310 04.

Nun ſuche man 1I.) in deh Wrzeltafel §. 123.

eine Quadratzahl welche der erſten Klaſſe zur Lin⸗
ken am naͤchſten kommt, und ſich noch von ihr
abziehen laͤßt, es iſt die 16. die Wurzel davon iſt
4, welche man in den Quotien⸗

231 94 1l48 ten ſezt, und 16 von 23 abzieht

bleibt zum Peſt 7.

— —,s 6

(8)8 die noch uͤbrige Klaſſe o4, ſo hat

704 man 7904, und ſuche zu den zwo
erſten Zahlen 70 einen Diviſor,

welcher gefunden wird, wenn
man die gefundene Wurzel 4 dop⸗

pelt nimmt = 8. Dieſe ſind
in 170. 8mal enthalten, welche man alsdenn in

Quotienten ſowohl als auch neben den Diviſor ſezt.

Das Quadrat von dem Quotienten 8 und das
Produkt des Diviſors in 8 giebt 704, dieſe von
obigen 704 abgezogen, laͤßt zum Reſt o. und die

Wurzel aus 2304 iſt = = 4”8.

Aufgabe.

Aus einer groͤſſern Rational Zahl die Wur⸗
zel zu finden.

Es ſei die gegebene Zahl = 28398 241. S

Außcöing. 3 Man

7 0 4 2.) Seze man zu dieſem Reſt

gepeb
in G

Aſten
leiken

ſohen

dem

ſten 3
33²2

203

t Aine Man theile wie in der vorigen Aufgabe die
Ndes i gegebene Zahl von der Rechten gegen die Linke
in Klaſſen, und verfahre mit den Zahlen der 2
erſten Klaſſen, wie bereits gezeigt worden, ſo
ſ. m. bleiben zum Reſt 30. zu welchem neuerdings die
zur bin⸗ folgende Klaſſe 82 herabgeſezt wird.

hon ihr
n 28]ſ39]182141 S329 Jezt nehme man die
Ountien⸗ 2 5 in der Wurzel heraus⸗
elſie . 9 gebrachte Theile 53
(1 0)3 doppelt gibt 106, und
K, . dividire damit in die
ſen N 309 drei erſten Zahlen des
,, oe 3 08 2 Reſtes, alſo in 308,
len iun (I O 6)2 welche 2mal darinnen
Dibiſet, 2 I 2 4 enthalten ſind. Den
1, Wend 9 5 841 Quotienten 2 ſeze man
l ten (1 5 6 4)99 in die Wurzel, und
ieſ ſin 9 5 84 1 auch in die leere Stel⸗
Nen un —— le neben den Diviſor;
diſet ſct. 9 dieſe Zahl 2 mit ſich
und du auch mit dem Diviſor
hiſe in 106 multiplieirt gibt
. ud de⸗ 2124, welche von

3082 abgezogen zum
Reſt 958 laͤßt.

die Nx Endlich nehme man noch die lezte Klaſſe 41
zu dem Reſt herunter gibt 95841 zu deren 4 er⸗
„ ſtten Ziffern 9583 das doppelte der Wurzel 2.
eſ 53² – = 1064 der Diviſor, und in derſelben 9

204 —

mal enthalten iſt. Dieſe 9 werden in die Wurzel
und neben den Diviſor geſchrieben, mit ſich ſelbſt
und dem Diviſor multiplicirt gibt 95841, wel⸗
ches Produkt von 95841 abg. gezogen zum Reſt o
laͤßt. Der Reſt o beweißt, daß die gegebene
Zahl eine vollkommene Quadratzahl war.

Haͤtte man noch mehrere Klaſſen von der ge⸗
gebenen Zahl herunter zu ſezen, ſo wird jedesmal
der neue Diviſor gefunden, wenn man die bereits
gefundene Zahlen der Wurzel doppelt nimmt,
und nach der angezeigten Art die Rechnung fort⸗

ſezt, bis man alle Zahlen der Wurzel entdekt hat.

Weitere noch nicht ausgearbeitete Beiſpiele.
7 84r = = 29.. 7 2401 == 49.
77331776 = 576. V4477456 = 2116.
7 4805201 = 8649. V57 289761 = 7569.
71102525276151521 = 6857496.
7 121389589838336r 8493468.

Anmerkung.

In ſo viel Klaſſen ſich eine gegebene Zahl thei⸗

len laͤßt, eben ſo viel Theile oder Zuhleu

umug die Wurzel erhalten.

Die

A

lamme
ſerung

A

punr
dend
dene
Ne
uete
gſhrit

Mou

Wurg 4
ſi

I1, W⸗

Reſo

egebee

den a.⸗

ddesmal
hereis

ümmt,
ing ſotn⸗
det ht .

— 205

Die Extraction der Quadratwurzel aus Ir⸗
rational zahlen.
K. 128.
Aufg be.
Aus einer gegebenen Zahl welche keine voll⸗
fommene Quadratzahl iſt, die Wurzel burch J Naͤ⸗
herung zu finden.
Es ſei de gegebene Zahl = = 7.
Aufloͤſung.
Man laͤnge an die gegebene Zahl ſo viel
paar Nullen als man will, und extrahire wie bei

den Rationazahlen gezeigt worden. In der gefun⸗

denen Wurzl ſchneidet man von der Rechten gegen

die Linke ſo biele Ziffer ab, als man paar Nullen

angehaͤngt lat, ſo erhaͤlt man Ganze und die ab⸗
geſchnittene Zahlen ſind ein Decimal⸗Bruch, deſſen

Renner ſich nach F. 105. von ſelbſt ergibt. 3Z. E.

7 oo oo 2045
4)6
2 7 6
(5 2) 4
2 0 9 6
(5 2 8)5
42
5 Reſt.

3 9 7
ans die Wurzel aus 7 = 2, 6s.
N 5 g. 129.

306 —

§. 129.

Durch das Anhaͤngen der Nullen kann eine
ſolche Rechnung ins Unendliche fortgeſezt werden,

welches theils ſchon daraus erhellet, daß, mit

welcher Klaſſe man auch immer aufhoͤren mag,
immer das Quadrat der lezten Ziffer der Wurzel
von einer Nulle ſubtrahirt werden, mithin im⸗
mer ein Reſt uͤbrig bleiben muͤſſe, anderntheils
aber auch nach H. 126. uͤberhaut kein Bruch
moͤglich iſt, welcher die Quadratvurzel genau
ausdruͤkt, ob man ſie gleich deſto genauer findet,
je weiter man eine ſolche Rechnung fo⸗ tſezt. Den
uͤbrigen Reſt laͤßt man am Ende iner ſolchen
Rechnung weg, weil er, wenn man viele Paare
Nullen angehaͤngt hat, ſehr kleine Deile in ſich
enthaͤlt; ſo wird der Reſt 3975 in dr vorherge⸗
henden Aufgabe, wenn man die Rechmng fortſe⸗
zen wollte, immer weniger als = es Ganzen
betragen. Weil alſo eine ſolche Rechung durch

dies Anhaͤngen der Nullen, „ ſich ins lnendliche

fortſezen laͤßt, ſo muß man, ehe man rechnen

anfaͤngt, vorher beſtimmen, auf wie Lel Deci⸗
malſtellen die Wurzel berechnet werden ill; hie⸗

bei iſt noch anzumerken, daß eben ſo viel Paare⸗

Nullen angehaͤngt werden muͤſſen, auf ſo iel De⸗

eimalſtellen man die Wurzel verlangt.
Aufgabe.

die 4te Deekmalſtele berthhnrn.

Man ſoll die Quadratwurzel aus 3 b anf
Aflö⸗

Pee

nn eie
berden,
, mit
Imag,
Vrnel
in im⸗
ntheis
Bruch
gunnn,
finde,

1. Den

ſalchen
Pur
inſch

he⸗

Man haͤnge an die gee gebene Zahl 3. 4

Naar Nullen.

3. loo oo ooe 17320
0°90 .
MR
1 8 9
1IIO
(3 43
102 9

RDW 7100O
(3 4 ⁶)2
69 2 4
17600
(3 4 ˙° 4)0
Reſt = 17600

folgl. P3 = 1, 7320.

Wutere Beiſpiele.
7 350000 = 5,91. 7:Soα⁵d e.

Vr,7500 –0,86 V Oa6923076–0,5iB8
N3,4r060 3,602.

Das Extrahiren der Quadictivurzel aus

Bruͤchen.

F. 130.

WBenn Zaͤhler und Nenner eines Bruchs
rationale Zahlen ſind, ſo iſt die gewoͤhnliche Re⸗

gel dieſe: daß man aus dem Zaͤhler und Nenner,

jedem beſonders die Quadratwurzel extrahire.

2 3 2 2 Z
1— I1. 4 — 2: 8 1 ⁹° — 3
3. E. †= 4½; 2 = ; 7 11 – 12 – .

Es iſt alſo die Wurzel aus einem Bruch wieder

ein Bruch, deſſen Zaͤhler und Nenner die Wur⸗

zeln jenes Zaͤhlers und Nenners ſind.

„ §. 131.

Wenn Zaͤhler und Renner eines Bruchs ir⸗
rationalzahlen ſind, ſo muß man den gegebenen

Bruch in einen Decimal⸗Bruch verwandlen §.
119. ſo kann man doch wenigſtens aus dem Nen⸗
ner die Wurzel genan erhalten, wobei aber noch
zu bemerken iſt, daß bei der Verwandlung ſo
viele Paar Nullen angehaͤngt werden muͤſſen,
auf ſo viele Decimalſtellen die e Wurzel verlangt
wird. .

Aufgabe.

Man ſoll aus ¾ die Quabratwurzel bis in die

ate Decimalſtel lle berechnen.

Auf⸗

AI

malbr
gus

Wure

a

Bruchs
Renner,
it.

11 —
widder

e Wun⸗

lchs i⸗

Nchenen
Nen⸗
ber noch
lung ſ.
nlſſen,
Nrlamt

Auf ſga abe.

209

Auflbſang.
Man verwandle den Bruch 3 in einen Deci⸗

malbruch ſo iſt 3 =– 0,7500.

aus dem gefundenen Decimalbruch o, 500 die
Wurzel
᷑/ævO q 75 000, 86
104
1100
(16)6
995
Reſt = 104

alſo % 3— o0, 86 „2

/

Man ſoll aus ½† die Wurzel bis in⸗ die 1000
Theile berechnen. .V

Aufloͤſung.

= 0,63 63 63. hieraus die Wurzel.
%5 63 f631 63 ,797
149
14 63
(14)9

folgl. . 2

—
—
OW
*

Watere Beiſziel⸗ zur Uebung.

Man ſoll aus 3 + die Quadratwurzel

bis in die 100 , Theile berechuen.

Auflſun ſung ¾ 2 + 4 X =— — :³ = 4 dieſen
Bruch in einen Decimalbruch verwandelt gibt =

, 9 166. hieraus die Wurzel.
8 1
10 6 6
2 2² 5
folgl. W. ( † 4) = ,95‧ * *
Aufgabe.

Man ſoll 1. (Cà& † . 4) bis auft die 3te
Stell⸗ finden.

G 1† P. 4 = 2a. 4 = 44. 4 =

I
= 4 ½
gibt zum Decimalbruch = 1,100000 hieraus die
Wurzel ſo wird

2
22 (SGS + ⁸). 4) = 1,048.

ol=

Meh⸗

De

Tuuſen

e ter
Ulictten
zunn 3
e Z
heraun

us die

Rche

che Faktoren in einander multiplieirt, ſie iſt alſo

Mehrere Beiſpiele dieſer Art.
(. 2 Y Fz O, 8SIO.

7(1: (3 † 1Wri z8r G 1) S8.
Die Quadratwurzel aus 4¾ 8 ¾ bis in die
Tauſeudtheie berechnet gibt = 3,652 . .

. (2 †+ *½) — bis in die 10000 Thl. be⸗
rechnet iſt = o, 2700 . . .

Die Wurzel aus (4. 2) + (8. 2) bis in die
100 Theile iſt = — 2,78 —..

Von der Probe.

§H. 1 32.
Bei der Probe iſt zu erinnern, daß man
die herausgebrachte Wurzel mit ſich ſelbſt multi⸗
pliciren, im Fall ein Reſt geblieben, denſelben
zum Produkt addiren muͤſſe, da ſodann die gegebe⸗

ue Zahl aus welcher die Wurzel gezogen wieder
heraus kommen muß.

Von den Kubiezahlen und dem Enrahlten
der Kubicwurzel.

§. 133.
Eine Kubiczahl entſteht, wenn man 3. glei⸗

ein

—
2

ein Produkt aus 3. gleichen Faktoren, z. E. 125
iſt ein Produkt aus 5mal 5 mal 5§. Ein ſol⸗

chees Produkt nennt man auch den Kubum eines £
ſolchen Faktors. Das Wort Kubus oder Wuͤrer. Qul
fel iſt aus der Stereometrie genommen, wo es git
als ein Koͤrper betrachtet wird, der eben ſo breit
als er hoch und dik iſt, und gleiche Koͤrperwinkel
hat; Eine Kubiczahl iſt alſo auch der korperlich (e,
Inhalt eines ſolchen Koͤrpers.
GC. 1 ⸗ wurge.
Wenn man den Kubus einer Zahl anzeigen der
will, ſo ſchreibt man oberhalb zur Rechten derſel⸗
ben den Wurzel Exponenten, d. i. die Zahl 3.
z. E. 53 bedeutet ſo viel als 5. 5. 5 =– 125.
Es iſt alſo leicht eine Zahl in den Kubum zu er⸗
heben, man darf nur die gegebene Zahl mit ſich .
ſelbſt, und was heraus kommt noch einmal mit
der gegebenen Zahl multipliciren. Auf dieſe Art e
erhaͤlt man die aus den einfachen Zahlen die Kubik⸗

zahlen, wenn man die Quadratzahlen in obiger
Wurzeltafel §. 123. noch einmal mit der Wur⸗
zel multiplieirt. Bringt man ſie in eine Tabelle,
ſo erhaͤlt man eine Wurzeltafel welche bei dem Ku⸗
biewurzel extrahiren von groſſem Nuzen iſt.

7

ein
is ſol

n ines

Mr
wo &
ſ bret

winkel

ellihe

mzigen
berſeh

l3

115.
n

mit ðDðW 3. E. 47³⁸ = 47. 47 = 103823

An

mn Ky⸗

I.

lblc⸗

Kubit⸗
dbigeert
WuvwH

Kubic⸗ Tafel.

Wurzeln 1] 2] 31 41 51 6 1 71 8I 9
Quadrate 11419lI16ſ 25] 36 1491 64 [8 1
Kubi 1I18 [27164 l1251216 3431 512 1729

Wiill man alſo die Kubikwurzel aus 512.
wiſſen, ſo ſucht man dieſe Zahl in der Zten Rai⸗
he Kubi, ſo iſt die daruͤber in der erſten Raihe
Wurz. lenbtiche Zahl 8 die verlangte Kubik⸗
wurzel. Eben dieſe Tafel wird auch bei der Ex⸗
traktion zuſammen geſezter Zahlen gebraucht, wie
in der Folge ſolle gezeigt werden.

Groͤſſere Zahlen in Kubum zu erheben.

298² =– 298. 298. 298 = 26463592
487 ² = 487. 487. 487 = 115501303
879 = 879. 879. 879 = 679151439.

Einen gegebenen Bruch in Kubum leu er⸗
heben. M

O D Auſ⸗

Auflöſung. dUð
Hier bedenke man, daß ein Bruch 3. E. )
eben ſo viel iſte⸗ als 3 4. 4. ſol gl. =
Eben ſo⸗ =ðWM

() = = 4. 2. 3 = p4

(23)3 = (43) 3 13. 13. 1,3 — 3

hier, folgt aus daß der Kubus eines Bruchs wieder

ein Bruch ſey, deſſen Zehler und Nenner die Ku⸗

bikzahlen von dem Zehler und Nenner des gegebe⸗
nen Bruchs ſind.

Die Kubikwurzel einer Zahl, iſt diejenige

Zahl, welche in itr eigenes Quadrat multiplicirt,

die gegebene Kubikzahl giebt, z. E. von 512 iſt

8 die Kubikwurzel. Das Quadrat von 8 iſt 64
mit 8. multiplicirt gibt = 64. 5 = = 512. Man

bezeichnet die Kubikwurzel mit , die in dieſes

Zeichen eingeſchriebene Zahl 3. nennt man den

Wurzel⸗Exponenten. Wenn man alſo anzeigen
will, daß aus 512 die Kubikwurzel gezogen wer⸗
den l, ſo ſchreibt man:

7 512 = 8; 7 27

Von

Wo

Di
le
E. 1
A= 8
Rmie
fine
ren N
iſt
ſt
nunelr

gebtohe

gliſe d
ſih hni

nie Pn⸗

—

Kwen

den,

ſih

11
1¹⁵

6 wieden

die R
geebe

Reege.

lilir,

312 t

Zſte

2. Wa.
n dieſ⸗
man den

anſeigran

el ve⸗

Von den rationalen und irrationalen Ku⸗
bikzahlen.

§. 1382

Diejenige Zahlen deren Kubikwurzeln gan⸗
ze Zahlen ſind, werden Rationalzahlen genennt,
z. E. 512 iſt eine Rationalzahl weil ihre Wur⸗
zel = 8 iſt; ſo ſind z. E. die Zahlen der 3ten

Rraihe obiger Tabelle H. 134. Rationalzahlen,

hingegen ſind diejenige Kubikzahlen irrational de⸗
ren Kubikwurzeln keine ganze Zahlen ſiud. Z. E.
5 iſt eine Irrationalzahl weil ihre Murzel groſ ⸗
ſer als 1. und kleiner als 2 iſt. Die Kubike⸗
wurzeln aus Irrationalzahlen ſind weder ganze noch
gebrochene Zahlen, und gehoͤren uͤberhaupt in die
Klaſſe der irrational Groͤſſen; Jedoch kann man
ſich ihren MWurzeln naͤhern ſo weit man will, aber

nie ganz erreichen.

Das Extrahiren der Kubikwurzel.

Das Verfaͤhren bei dem Extrahiren der Ku⸗
bikwurzel iſt mit mehr Weitlaͤuftigkeit verbun⸗

den, als jenes bei der Quadratwurzel, daher man

ſich in ihren Regeln ſehr zu uͤben hat.
„ F. 140.

Aus einer gegebenen 3 1 die abſtaanzi
zu extrahiren. “

Die Zahl ſei 157464.

„ Wenn die gegebene Zahl 4, 5 bis 6 Zif⸗
fer hal, ſo theile man ſie von der Rechten gegen
die Linke in Klaſſen, jede zu 3 Ziffern, wenn
auch die zur Linken nur zwey oder eine enthiel⸗
te, und verfahre alsdenn auf folgende Art:

Man nehme
1571464 5 4 1.) aus der Wurzeltaſel

125 HG. 134. eine Kubikzahl
— 12”325. die ſo groß oder
75⁵: 3² 404. Zzju naͤchſt kleiner iſt als
300l0 deie Klaſſe zur Linken,
2404 ⁵¹uůund bemerke ihre Wur⸗
64 — E 5. als den erſten
eoer heil der geſuchten
Wurzel.
„¾½ “ 2.) Solchen Kubus 125

ſubtrahire man von der

Klaſſe zur Linken, und fuͤge dem Reſt 32 die
Klaſſe zur Rechten 464 bei.

“ 3.) Man nehme das dreifache Quadrat, des ge⸗

fundenen Theils 3· 25 =— 75 dividire damit,
bis

i

bis
in d
Oue

ten

9
in der
ſen
denn
(.
dder
Uen
Ste
iſea

iſ,

ihn

bernit
ware
mußt
Blat

60) M

die

Alden

217

bis in die Hunderte der folgenden Klaſſe, oder
ikrurei in die 3 erſte Zahlen 324, und bemerke den
Quotienten 4, als den 2ten Theil der rgeſuch⸗
ten Wurzel. D

4.) Man ſeze das Produkt aus dem 2ten Theil M
36 3; in den Diviſor 4. 75 = 300. unter die 3 er⸗
egen ſten Zahlen 324. Das dreifache Produkt aus
, Wein dem Quadrat des zweiten Theils in den erſten
ellſie (d. i. 3. 16. 5 – 240) unter die Zehner
nK. oder eine Stelle weiter zuruͤk; den Kubus des
2ten Theils (d. i. 43 = 64 wieder eine
Stelle ruͤkwaͤrts, und t dir⸗ die Summe

bikeht
A 5.) Wuͤrde die Summe groͤſſer als dieſe Zahl
aſts iſt, gefunden,: ſo muͤßte man den angenom⸗
nken, menen Quotienten, immer um Eins ſo lange
te Wro vermindern, als es erforderlich iſt, z. E.
n aſten waͤre die gegebene Zahl 157456 geweſen: ſo
Ueſtiten muͤßte man in der Wurzel 3. ſtatt 4. ſe»zen.
H Bleibt
i 6D 6.) nach geabigter Extraktion kein Reſt, ſo iſt
H die gefundene Zahl die genaue Wurzel, folg⸗
1eY lich der Kubus von 54 der gegebenen Zahl
157456 gleich.
des in Anderer Fall.
re domi,

is WDDienn die gegebene Ziht mehr als ſechs
O 3 Differn

218 —

Ziffern hat; ſo theilt man ſie wie im er
Fail in Klaſſen, und verfaͤhrt alſloꝛ ſten

Es ſei die gegebene Zahl = 75955677875.

1719551077 1825 4285
arr 955 1
9 6
48

10088

: 1807677 .
15876
534 14

,„
536787: 268710875
25683935
31725
——— 25 H
268710875
0
1 ) Aus den zwey erſten Klaſſen. zur Linken ziehe

man nach dem vorigen Fall die beeden erſten

Bifern 42. der geſichten Wurzel.
2.) Zu

12) 8u
Klaſ
Die

ſten
das

divibi

Klaſſe
der T
wie i⸗

. 3) 81
gleſ⸗

man
Wut;
wieder⸗

liſe

Zuiſer

handen
ſ die

R.

De e

l

fuinmer

rung

14a 2.) Zu dem Reſte 1867 ſeze man die folgende
Klaſſe 677, welches die Zahl 1867677 gibt.
Diie gefundene Zahl 42 ſehe man als den er⸗
DS. ſten Theil der geſuchten Wurzel an, nehme
daas Quadrat davon dreimal gibt 5292, und
dividirt damit bis in die Hunderte der Zten
Klaſſe; da denn der Quotient 3. die Zte Ziffer
der Wurzel gibt, und man verfaͤhrt damit
wie im erſten Fall Nr. 4. und 5. B
3.) Zu dem Reſt 268710 ſeze man die folgende
AKlulaſſe 875, die gefundene Ziffern 423 ſehe
man wieder als den erſten Theil der geſuchten
Wurzel an, verfahre damit wie Nr. 2. und
wiederhole dieſes Verfahren fuͤr jede folgende
Klaſſe bis zur lezten, da man denn ſo viele
Ziiffern fuͤr die Wurzel findet als Klaſſen vor⸗
handen ſind. Die hier gefundene Zahl 4235
iſt die geſuchte Wurzel wie im erſten Fa

Nr. 6.“
Die Extraktion der Kubikwurzel aus Irra⸗
tionalzahlen.
§. 141.

Aus einer ganzen Zahl welche keine voll⸗
in ſiſaee kommene Kubikzahl iſt, die Wurzel durch Raͤhe⸗
. etſten Lung zu finden.

1) 3 OD 4= Es—

Es ſei die gegebene Zahl = 17.

Aufloͤſung.

Man haͤnge der gegebenen Zaht 7 eine be⸗

I

—

3:6000
2
29
35859
1083: 141000
567

=
32129

Die Rechnung kann auch hier wie §. 129.

õ

liebige Anzahl Klaſſen
von Nullen an, jede
Klaſſe zu 3 Nullen,
und verſahre uͤbrigens
wie in §. 140. In
der gefundenen Wurzel
ſchneidet man durch ein

Koma ſo viele Stellen
von der Rechten gegen
die Linke ab, ſo viel

man Klaſſen von Nul⸗

len der Zahl 7 ange⸗

haͤngt hat, ſo erhaͤlt

man die Ganze und De⸗
cimaltheile wie hier

I, 91 .. .

ins Unendliche fortgeſezt werden, daher man bei
einer ſolchen Rechnung gleichfalls beſtimmen muß,
auf wie viel Decimalſtellen eine ſolche Rechnung
berechnet werden muͤſſe, den Reſt am Ende laͤßt
man ganz weg, weil er nicht viel betragen kann;
ſo wird der Reſt 32129 in voriger Aufgabe⸗
wenn mon noch weiter extrahiren wollte, immer

weniger als 13 des Ganzen betragen.

Daß

ane ſolch
geben w.
Weite
P
loooſen
6
.

—

3¹5

981

eine

eim h
Klſan

1n, ſ.

Nulen,
ihrigns

—

õõ 221

eine ſolche Rechnung ins Unendliche gehe, beruht

auf eben den Gruͤnden, welche in . 129. ange⸗

geben worden.
Weitere Aufgaben zur Uebung.
Man ſoll aus 6. die Kubikwurzel bis in die
r100ſend Theile berechnen.
6 [oOO 00Oοο 1⁄ο 1, 817
. L

3: 5000
24
192 D
512
4832
972: 168000

972
H
1

54
1

97741
98283: 70259000
687981
26607
32761
69096931
1162069

alſo V0O = I, 8172 „
O 5

n

222 —

Aufgaben.
Was iſt die Wurzel aus 312 bis in die 1000
Theile berehner = 00

berechnet?
3
d. i. 7 3 000 0ο = 1,44. . ..

Was iſt die Kubikwurzel aus 487352 bis auf

100 Theile berethnet

d. i 7 487352 000 000ο° 18,69 ...

Das Extrahiren der Kubikwurzel aus
Bruͤchen.

5. 142.

Wienn die Bruͤche rational ſind, 6 extra⸗

hirt man aus dem Zehler und Nenner jedem be⸗
ſonders die Wurzel. Die Wurzel des Zehlers
und des Nenners geben fuͤr den neuen Bruch den
Zehler und Nenner. Z. E. M

T. 2

216

3 5
3
— 3 729 – 57

O

H. 143.

d. i. * 317000000000 = — 6,818.... .
Was iſt die Wurzel aus 3. in die 100 Theile

wandel
man v
len ein

Deeitne

in de

Ne D

Waͤren aber die Bruͤche irrational, ſo ver⸗
wandelt man ſolche in Decimal⸗Bruͤche, nur muß
. . man vorher beſtimmen auf wie viel Deeimalſtel⸗
len ein ſolcher Bruch berechnet werden ſoll, jede

IoH

H Deeimalſtelle erhaͤlt 3 Nullen z. E. 7 5 ſoll bis
in die 100 Theile berechnet werden, ſo hat man
, 3 – 122222 „ 777 777 hieraus
f— die Wurzel
cT77177 l,0r
272²9
223: 48 777
ry
1 b⸗ 2451—
24206 Reſt
4

mithin iſt die Wurzel ans 5 = 0,91. ..

5.

Beiſpiele zur Uebung. ,

Man ſoll die Kubikwurzel aus 5 5 bis i in die
1000 Theile berechnen.

3 —

2 =
hieraus Radix.

0,62 5000 oool 2854
512

192: 113900
600

125

I0O2125
21675: 10875000%
86700 7
4080
64
8710564
164136 Reſt.
aß 74 — O0, 854.

Auf⸗

000 222. 5., 625000 o0o .

Pen
nige
ein
ſmn
man

dee
der

ſn

—

— 225

Aufgabe.

Was iſt die Rigilaunze aus 4 + à3¾
1I00 Theile berechnet?

7' (4 † 3) = 7 = N 1,29.

Bei der Probe
merke man ſich folgendes:

Wenn man die herausgebrachte Wurzel in dieje⸗
nige Potenz der Kubikzahl erhebt, und im Fall
ein Reſt geblieben denſelben zum Produkt addirt,
ſo muß die Zahl wieder heraus kommen, woraus
man die Wurzel geſucht hat.

§F. 145.
Auf dieſe Art konnte man auch die Biqua⸗
dratwurzel, und die folgende hoͤhere Wurzeln, aus
den Zahlen extrahiren; allein das was bisher ge⸗
ſagt worden, iſt fuͤr den Gebrauch des gemeinen
Lebens hinreichend, und uͤberbiß waͤre hier das
Extra⸗

Extrahiren der hoͤhern Wurzeln, mit ihren Re⸗
geln viel zu weitlaͤuftig und zu beſchwerlich; da⸗
her man in der hoͤhern Rechenkunft andere Mit⸗
tel hat, wodurch man bequemer zur Antwort ge⸗
fangen kann.

Geie

BVer⸗

deS Verbeſſerungen.

Seite 11 Zaie 11 iſt das Wort, Beſte wegin⸗
ſtreichen

— 21 — 13 ſtatt Linial⸗ Wnukelhaten, lies
Linial, Winkelhaken.

— 23 — 14 ſtatt erfuͤllt, lies erſeit.
— 32 — 113 ſtatt Lange lies Lande.
— — — 14 ſtatt 16ſchuiden l. 16ſchuhigen
— 42 — 1o von unten ſtatt mit ſelbſt lies
mit ſich ſelbſte
— 43 — 2 v. u ſtatt 4: 4°9,6 lies 409,660 6
— 44 — 5 v. o. ſtatt Anfang l. Anhang
— 61 — 12 v. o. ſtalt Stelle l. Seite.
— 62 — 14 v. o. ſtatt BC l. BC Fig. 23.
— 63 — ir v. o. ſtatt 102 916² lies
DW 100 49/ 760.

— 64 — 4 v. oben ſtatt welches Grundlinie
lies welches gleiche Grundlinie

— 76 — 10 ſtatt ₰Oi ADE = 600 807214
lies ſıu ADE = 6 °S⁸°5 216.

— 99 — 6⁶ v. u. ſtatt 22 l. 1 eben da⸗
ſelbſt ſtatt l. 58

Seite

—
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—☛nRr

Seite 115 Zeile 4 von unten ſtatt CE² = 4

— 112 — 9 v. u. ſtatt ſind ungemein l. ſie
ſind ungemein
— 189 — 12 v. o. ſtatt o,000ο4 l. eoO04.
199 men 8 v. uUu. ſtatt (32) 2 l. (2)*
eben daſelbſt ſtatt (23) 2 lies

und wieder ſtatt ¾ l. 12 4

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nein l. ſie
9,/004.

23) 2 lies

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Praktiſche

Feldmeßkunf

fuͤr
Land⸗Feldmeſſer,
oder
fuͤr diejenige, welche ſich in der
Feldmeßkunſt
ſelbſt unterrichten wollen.

—

Entworfen
D

J. G. Boͤbel.

Mit 5 Kupfertafeln.

—

Dritte verbeſſerte und vermehrte Auflage.

—

Tuüͤbingen,
bei Jakob Friedrich Heerbrandt,
I1798.

5

1

VierFarbSelector Standard* -Euroskala Offset

4 Copyright 4/1999 VXyVMaster GmbH wWwW.yXymaster. com