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Michael Scheffelts, Ulm. Instrumentum Proportionum, Oder Unterricht Vom Proportional-Cirkul Scheffelt, Michael Unte Aufs lhe Michael Scheffelts, Umm. INSTRUMENTUM PROPORTIONUM. Oder Unterricht Proportional⸗Gircul, Durch welchen Sowohl Macthematiſche als Mechaniſche, unter die Proportion gehoͤrige Fragen, in Theoria und Praxi, mit behender und accurater Fertigkeit aufzuloͤſen ſeyn; Aufs neue uͤberſehen, nebſt den behoͤrigen Figuren, zu deut⸗ licherm Begriff mit Exempeln aus der Rechen⸗Kunſt erlaͤutert, auch andern nüͤgtichen Dugahen vermehret. Ulm, 1755. Verlegts Daniel Bartholomaͤi und Sohn. 1 E 3 S E RuiRTRTZNHSNUNNEE SANRE R mg s ℳ 9 — E J E AAW £ ASS R. NE e „AAEE c SN S. . ,E Ae S. Vorrede. ☛ er Unterricht des ſeel. Herrn Scheffelts vom Proportional-Cir⸗ ecul, tritt vermittelſt dieſer neuen Auflage zum fuͤnften mal her⸗ vor, und recommenqdiret ſich hierdurch ohne unſere Lob⸗Spruͤ⸗ che, als ein Buch, welches die Lebhaber Mathematiſcher Kuͤn⸗ ſten und Wiſſenſchafften bis daher eſtimirt, und vor eine ſehr deutliche und umſtaͤndliche Erlaͤuterung der vorhin ſchon bekandten, aber nie ſo ausfuͤhrlich angewieſenen Praxi dieſes ſo noblen Inſtruments, ge⸗ halten haben. Man hat in der Vorrede der erſten Edition bemercket, daß man die Invention dem Welt⸗beruͤhmten Galilæo Galilæi zu dancken, und daß hernach viele ſich darhinter gemacht haben, das Erfundene durch ihre Schrifften zu erweitern, und zu mehrerm Gebrauch zu appliciren. Unter ſolchen wird angefuͤhret der unvergleichliche Teutſche Architect. Nic. Goldmann, als welcher Anno 1656. ſeinen Tractat vom Proportional- Circul Teutſch und Lateiniſch zu Leyden in fol. in Druck gegeben, und ſol⸗ chem die dahin gehoͤrige Tabellen einverleibet hat, aus dem ſie auch unſer Autor genommen. Auch wird dortſelbſten unſers ehmaligen allhieſigen Ingenieurs, Herrn Johann Faulhabers ſeel. gedacht, und ſonder Zweifel auf die Beſchreibung des neu⸗ erfundenen Gebrauchs eines Niederlaͤndi⸗ ſchen Inſtruments, zum Abmeſſen und Grundlegen mit ſehr geſchwindem Vortheil, ꝛc. ꝛc. Augſpurg 1610. in 4. gezielet, in deren er pag. 27. eben⸗ falls einen Bericht vom Proportional-CEircul gibt, mit dem Anerinnern, daß ihme ſolcher zuerſt von Herrn Berneggern, nachmaligen Profeſſoren in Straßburg, (der ſelbſten auch des Galilæi Tractat mit einer Vorrede ans Licht geſtellet, und ſolches Inventum eines ewigen Ruhms wuͤrdig ge⸗ achtet,) communicirt worden, welchen er⸗ Faulhaber, in vielen Sen⸗ en Vorrede. cken vermehrt und verbeſſert habe, ꝛc. Man haͤtte noch eines anderen un⸗ ſerer Lands⸗Leuten gedencken moͤgen, namentlich Herrn M. Galgenmayers, Paſt. Haunsheim eines Mannes, der ſich zu ſeiner Zeit in Matheſi recht⸗ ſchaffen hervor gethan. Von dieſem iſt A. 1610. in 4. zu Lauingen eben⸗ falls ein kurtzer Unterricht, wie der kuͤnſtliche Proportional-Circul auszu⸗ theilen, und aufzuzeichnen ſey, hervor gekommen, in deſſen Vorrede ge⸗ meldet wird, daß bereits etliche Jahre vorher 2. ſolche Tractaͤtlein verfer⸗ tiget worden, eines von M. Levino Hulſio, zu Franckfurt A. 1604. und zwar in Teutſcher; das andere von Philippo Horcher, Med. Doct. in Lateiniſcher Sprache, zu Mayntz, 1605. Jener lehre und unterrichte, wie man den Proportional⸗-Cireul recht, wohl, und nuͤtzlich gebrauchen: dieſer aber neben dem Gebrauch und Nutzen, wie er nach Geometriſcher Kunſt gemacht, und ausgetheilet werden ſolte. Solche Art und Weiß aber ſeye nicht allein ſchwer, lang⸗ und muͤhſam, ſondern werde auch miß⸗ lich verrichtet, ꝛc. er, Galgenmayer, habe dann alles zu erleichtern ge⸗ ſucht, auch ſeye er unter ſolcher Arbeit auf einen andern Proportional- Circul, den er ein Schreg⸗Waͤß nennet, gekommen, und derſelbe ſey das Fundament und Grund des erſten Proportional-Circuls, welcher, (wie er ſagt,) Juſto Byrges zugeſchrieben werde; ꝛc. Ob nun alſo gleich Herr Scheffelt in dieſer Materie viele Vorgaͤnger gehabt, ſo nimmt doch ſolches alles dem Lob ſeiner Arbeit nichts, indem gewiß iſt, auch aus Col⸗ lation der vorhin bemeldten Schrifften, (deren meiſte gar klein, und nur aus wenigen Blaͤttern oder Bogen beſtehen,) genug erhellet, daß keiner von beſagten Autoren die Sache ſo umſtaͤndlich, deutlich, und mit ſo vie⸗ len Exemplen, oder Problematibus, erklaͤret habe, als eben er. Wir er⸗ achten unnoͤthig zu ſeyn, alle 13. Linien, die auf dieſem Inſtrument be⸗ findlich ſind, hier vorlaͤufftig zu erzehlen, und welcherley Operationes dar⸗ auf verrichtet werden koͤnnen, anzufuͤhren, immaſſen das Regiſter der Fragen, oder Problematum, die in gegenwaͤrtigem Buch abgehandelt werden, ſolches von ſelbſten zu erkennen gibt. Nur eines einigen zu gedencken, ſo hat der Author ſich befliſſen, nicht etwa in generalibus zu verbleiben, ſondern das meiſte auf den wuͤrcklichen Gebrauch in dieſer oder jener Profeſſion einzurichten; als zum Exempel, wie einer, der ſeine Ergoͤtzlichkeit in der Geometrie ſuchet, ein Stuͤck Feldes meſſen, in glei⸗ che oder ungleiche Theile nach Begehren theilen, die Hoͤhe eines Thurns, man koͤnne gleich darzu kommen, oder nicht, finden? Ein Ingenieur einen Grund⸗Riß aufreiſſen, und in Perſpectiv legen, (welches ſo wohl durch den Proportional-Circul als durch beſondere Linien, auf eine neu⸗erſon⸗ Nene Vorrede. nene Art gezeiget wird,) ein Bildhauer die Groͤſſe eines Bilds, nach ge⸗ gebener Diſtanz, formiren? ein Goldſchmidt die Laͤnge eines Bleches, welches ein Gefaͤß umgeben ſoll, finden? ein Uhrmacher ein Rad, welches eine gewiſſe Proportion gegen einem andern habe, machen? ein Glocken⸗ Gieſſer den Thon einer Glocken gegen der andern, ein Orgelbauer aber einer Pfeiffen zu der andern geben; ein Feuerwercker und Conſtabel einen Kugel⸗Maaß⸗Stab, oder Caliber machen, die Weite eines Wurffs aus einem Boͤler erfahren, oder dieſen nach einer gegebenen Diſtanz richten; ein Viſirer eine Viſir-Ruthe verfertigen, und allerley Gefaͤſſe und Coͤrper viſiren; ein Schreiner und Zimmermann den Werth eines Stuck Holtzes nach Proportion eines andern ſuchen koͤnne. Schließlichen, ſo wird auch eine Anleitung gegeben, wie alle in dieſem Buch proponirte Fragen, auch ohne den Proportional-Circul, durch Huͤlffe gerader Linien ſolvirt werden koͤnnen. Wie nun alſo Neperus in Erfindung der Logarithmorum ſich zwar einen unſterblichen Ruhm erworben, Briggius aber durch derſelben Erleichterung ſich nicht minder verdient gemacht: alſo mag man auch wohl billig ſagen, daß zwar GALILXEUs, als Erfinder des Proportional- In- ſtruments, ſich einen ewigen Namen gemacht, nicht weniger aber auch der Herr Autor, durch deſen viel vermehrt⸗und facilitirten Unterricht, groſ⸗ ſen Ruhm, und vor deſſen Communication ſchuldigſten Danck verdienet abe. Gleichwie aber in andern menſchlichen Erfindungen die Curæ po- ſteriores vieles an einer Arbeit beſſern, vermehren, und erleichtern, alſo hat auch unſer Herr Autor bey der andern Edition ſich angelegen ſeyn laſſen, den Anfaͤngern zu gut, und die ſchwerere Problemata deſto deutli⸗ cher zu machen, ſolche Fuͤrgaben mit Exempeln aus der Rechen⸗Kunſt zu erlaͤutern. Zwar iſt ſolches bey der erſtern Edition an etlichen Orten, ab⸗ ſonderlich im Anfang, da er die Lineam Arithmeticam erklaͤret, auch ge⸗ ſchehen. Allein es ſind einige Dinge ſo wohl daſelbſt, als bey den uͤbrigen Lineis, und vornemlich der Geometrica, zuruck geblieben, welche man ge⸗ wuͤnſchet hat, auf gleiche Weiſe vorgeſtellt zu haben. Um mun dieſem VPerlangen, inſonderheit derjenigen, ein Genuͤgen zu thun, die der Sa⸗ e nicht weitlaͤufftig nachdencken, oder ſich deßwegen bey practicirten Leu⸗ ten erkundigen koͤnnen: So hat mehrgedachter unſer Autor allenthal⸗ ben, und wo es thunlich geweſen, durch die gemeine und Trigonometri- ſche Rechnung ſolche Anweiſung gegeben, daß einer, der auf dieſem Ruhm⸗ wuͤrdigſten Inſtrument operiren will, und ſonſten keinen Abgang am Ju- dicio hat, mit einer genugſamen Deutlichkeit verſehen iſt. Ferner iſt das Fundament der Tabell pro tronsmutaNdn corporibus, und wie ſolche 2 calcu- Vorrede. calculirt werden muͤſſe, gar ausfuͤhrlich beſchrieben. Anderswo ſind neue Aufgaben mit eingeruͤckt, und uͤberall die eingeſchlichene kleine Fehler der erſten Edition mit Fleiß verbeſſert worden. Kein Zweifel iſts, wann Herr Scheffelt dieſe neue Auflage erlebet haͤtte, er wuͤrde abermals Hand ange⸗ legt, und dieſe ſeine Schrifft mit noch neuern Erfindungen ausgeſchmuͦ ck haben. Es hat ihn aber der Tod dieſer Zeitlichkeit und aller Arbeit ent⸗ riſſen, nachdem er kurtz zuvor die 2. Edition ſeines Pedis Mechanici Ar- tificialis zum Druck beſoͤrdert, von welchem er ſich perſuadiret hat, daß ſolcher, der curieuſen Invention halber, dem Proportional- Circul we⸗ nig oder nichts nachgebe; um ſo mehr man auf jenem die artigſte Proble- mata ſolviren koͤnne, welche alle aufzuloͤſen, dieſer nicht durchgehends zu⸗ langen wolle. P. Lenepp, ein Oeſterreichiſcher Religios, zwar hat ihm die erſte Gelegenheit, ſolchem Pedi Mechanico nachzuſinnen gegeben, auſ⸗ ſer dieſem aber iſt, unſers Wiſſens, kein eintziger Scribent, der ſich haͤtte angelegen ſeyn laſſen, ein ſo ſchoͤnes Inſtrumentum zu verbeſſern, zu er⸗ leichtern, und ihme eine ſo gute und vollkommene Geſtalt zu geben, als eben unſer Herr Scheffelt. Er hatte vor, in einem beſondern Gnomoni- ſchen Tractat mehrbeſagten Pedem Mechanicum mit beſonderer realité zu recommenqdiren, und zu zeigen, wie alle, ſo wohl Regular- als Irregular- Sonnen-Uhren, durch Huͤlffe deſſelben Maaß⸗ Stabs aufs Papier, oder an die Wand getragen werden koͤnnten; ſolch Vorhaben aber iſt nicht werckſtellig gemacht, ſondern durch oben bemeldten Tod verhindert wor⸗ den. Der geneigte Leſer laſſe ſich dieſen kleinen Vorbericht zu gegen⸗ waͤrtigen Buch nicht mißfallen, und gehabe ſich wohl. Ulm, am Tage Bartholomæi, Anno 1723. =l Regiſter, Derjenigen Fragen, welche in gegenwaͤrti⸗ gem KTractaͤtlein kurtz und deutlich beantwor⸗ tet, und ſattſam erklaͤret werden. Von dem Proportional-Circul insgemein. 1. as iſt der Proportional-Circul? Pag. I. 2. Wie wird ſolcher zugerichtet? ibid. 3. Woran erkennet man, daß das Inſtrument juſt und gut gemacht ſey? 2——MW ibid. 4. Wie groß ſolle das Inſtrument verfertiget werden? 2. 5. Woran erkennet man, daß die Linien recht gezogen ſeyn? ibid. 6. Wie viel Linien befinden ſich auf dieſem Inſtrument? ibid. 7. Wie werden dieſe Linien genannt? ibid. 3. Koͤnnen noch mehrere Linien aufgetragen werden? 3. 9. Was gebraucht man noch zu dieſem Inſtrument? ibid. 10. Was iſt directè, transverſim, obliquè und verſuchend nehmen? ibid. Von der Linea Arithmetica. 1. Was iſt die Linea Arithmetica? Pag. 3. 2. Aus was Fundament wird fie aufgetragen? ibid. 3. In wie viel Theil wird ſie abgetheilet? 8 14. 4. Mit was Vortheil kan ſie getheilet werden? ibid. S 3 2 5. Kan Regiſter derjenigen Fragen, 5. Kan man durch Huͤlff dieſer Lineæ Zahlen addiren? Pag. 4. 6. Wie wird ſolches mit Linien verrichtet? ZD ibid. 7. Wann aber eine Linea ohne das Maaß der Zahlen gegeben wird, und man ſolle ihr noch einen Theil oder etliche beylegen, wie procedirt man? 5. 8. Kan man auch Zahlen von einander ſubtrahiren? ibid. 9. Wie wird ſolches mit Anien verrichtet? ibid. 10. Wann aber eine unbekandte Linea gegeben wurde, und ſolte ein ge⸗ wiſſes Theil, oder Stuͤck, darvoͤn abgeſchnitten werden, wie operiret man? ibid. 11. Kan man durch Huͤlff dieſer Linie auch multipliciren? 6. 12. Wie wird das Multipliciren in Linien verrichtet? ibid. 13. Wann aber eine Linea am Maß nicht bekandt waͤre, wie verhaͤlt e ſich? ibid, 14. Kan man auch durch Huͤlff dieſer Lineæ dividiren? ibid. 15. Wie wird ſolches in Linien verrichtet? ibid. 16. Wann aber eine unbekandte Linea ſoll abgetheilet werden, wie verhaͤlt man ſich? . . 7. 17. Kan man auch Zahlen in ungleiche Theile theilen? ibid. 18. Wie wird ſolches durch Linien verrichtet? ibid. 19. Wie ſoll eine Zahl oder Linea in ungleiche Theil durch Bruch⸗Zahlen getheilet werden? 8. 20. Wie ſoll man einen Bruch einer Lineæ darſtellen? ibid. 21. Wann ein gewiſſer Theil einer Lineæ oder eines Maß⸗Stabs gege⸗ ben wird, wie ſoll die gantze Laͤnge der Lineæ oder eines Maß⸗Stabs gefunden werden? . ibid. 22. Wann eine Linea nach einem gewiſſen Maß gegeben wird, wie kan man eine andere gegebene Laͤnge nach ſelbigem Maß erforſchen? 9. 23. Wann 2. Linien ungleicher Laͤnge gegeben werden, wie kan man wiſ⸗ ſen, wie ſie ſich gegen einander verhalten? ibid. 24. Wie ſoll ein Maß⸗Stab nach Begehren getheilet werden? ibid. 25. Wann eine allzu groſſe Laͤnge geben wurde, und ſolte nach Begehren getheilet werden, wie verhaͤlt man ſich? 10. 26. Wie ſoll zu einer geraden Linea eine Circul⸗Linea gefunden werden? ibid. 27. Wie kan man durch Huͤlffe dieſer L.ineæ ein Perpendiculum auf eine gerade Lineam ſtellen? I11. welche kurtz und deutlich erklaͤret werden. 28. Wie kan die Linea Arithmetica nach einem rechten Winckel eroͤffnet werden? Paag. II. Von der Regula De-Tri. 29. Wie ſoll zu zweyen Zahlen die dritte gefunden werden, daß, gleichwie die andere zu der erſten, alſo die dritte zu der andern, oder wie die kleine zu der groͤſſern, alſo die dritte zu der kleinern ſich verhalte? Pag. 11. 30. Wie wird ſolches durch Linien verrichtet? 12. 31. Wann aber die Linien nicht bekandt, wie procedirt man? ibid. 32. Wie wird zu dreyen Zahlen die vierdte gefunden? ibid. 33. Wie ſoll zu dreyen Linien die vierdte gefunden werden? 13. 34. Wann Zahlen vorkommen, allwo die andere oder dritte zwiſchen die er⸗ ſte Zahl nicht koͤnnte geſtellet werden, wie operiret man? ibid. 35. Wie wird ſolches in Linien verrichtet? ibid., 36. Wann aber die erſte Zahl groͤſſer iſt, als die Linea Arithmetica Theil hat, wie procedirt man? 14. 37. Wie wird ſolches durch Linien verrichtet? ibid. 38. Wann aber eine jede Zahl groͤſſer iſt, als die Linea Arithmetica Theil hat, wie verhaͤlt man ſich? ibid. 39. Wie wird dieſes durch Linien verrichtet? ibid. 40. Wie wird die Regula inverſa durch Zahlen verrichtet? 15 41. Wie operiret man in Linien? (bbbid. 42. Wie kan man unterſchiedliche Sorten Geldes verwechſein? ibid. 43. Wie wird ſolches mit Linien verrichtet? 16. 44. Wie ſoll man die Intereſſe und Super-Intereſſe zum Capital ſchla⸗ gen? . V 17. 45. Wie wird es durch Linien verrichtet? 18. 46. Wie ſoll in einem Triangulo die Perpendicular-Linea gefunden wer⸗ den? ibid. 47. Wie kan man wiſſen, in welchen Puncten auf der Baſi die Perpendi- cular-Linea falle? ibid. 48. Wie kan man einen Grund⸗Riß in die Perſpectiv bringen? 19. 49. Wie kan die Linea Muſica oder Harmonica durch die Lineam Arith- mmeticam vorgeſtellet werden? 214 Tabella Scalæ Muſicæ. 22. Tabella Conſonantiarum. ibid. 50. Wie ſoll man die Saiten eines Monochordii, Lauten, Chytar, oder der⸗ gleichen Inſtrument, nach den Buchſtaben recht abtheilen? ibid. g 3 51. Wie Regiſter derjenigen Fragen, 5§51. Wie verhaͤlt es ſich mit den Orgel⸗Pfeiffen? Pag. 23. 52. Wie ſoll man zu einer gegebenen Laͤnge eine andere finden, welche die begehrte Einſtimmung vorſtelle? ibid. 53. Wie ſoll der Ton einer Glocken zu einer andern, nach Begehren, ge⸗ funden werden? ibid. 54. Wie ſoll man zu einer gegebenen Linea eine andere erfinden, welche deen gegebenen Ton, oder Semitonium vorſtelle? 24. 55. Wie ſeynd die Quæſtiones in dieſem Buͤchlein zu ſolviren, ohne den Proportional-Circul? ibid. Von der Linea Geometrica. Tabula pro Diviſione Lineæ Geometricæ, 25. 1. Zu was dienet die Linea Geometrica? ibid. 2. Wie wird ſie aufgetragen? . ibid. 3. Aus was Fundament wird obige Tabell bereitet? 26. 4. Wie wird ſolche Linea probiret, ob ſie juſt aufgetragen? ibid. 5. Wie ſoll Racix quadrata extrahirt werden? ibid. 6. Wie ſoll aus einer gevierdten Schlacht⸗Ordnung eine verlaͤngte ge⸗ mmPacht werden? . 27. 7. Wie wird zwiſchen zweyen Zahlen Media Proportionalis gefunden? . 27. 3. Wie wird ſolches durch Linien verrichtet? 29. 9. Wie kan durch Huͤlff dieſer Lineæ ein juſtes Quadrat aufgeriſſen wer⸗ . en? 1 big. 10. Wie ſoll die Diagonal-Linea eines Oblongi, oder die Hypothenuſa eines Anguli reéti gefunden werden? 31. 11. Wie ſoll der Inhalt einer Figur gefunden werden? 34. 12. Wi⸗ kan man die Proportion zweyer gleichfoͤrmigen Figuren erfor⸗ en? ibid. 13. Wann aber der Inhalt nicht bekandt waͤre, wie procedirt man? 35. 14. Wie ſollen gleichfoͤrmige Figuren addirt werden? 36. 15. Wie ſollen gleichfoͤrmige Figuren ſubtrahirt werden? ibid. 16. Wie ſoll ein Triangul vergroͤſſert oder verkleinert werden? 37. 17. Wie ſoll ein Quadrat vergroͤſſert oder verkleinert werden? 38. 18. Wie wird ein ungleich⸗ſeitiger Triangul vergroͤſſert oder verkleinert? 19. Wie welche kurtz und deutlich erklaͤret werden. 19. Wie ſoll eine Circul⸗Flaͤche vergroͤſſert werden? Pasg. 38. 20. Wie verhaͤlt man ſich in Vergroͤſſerung eines Circul? Stüͤckea 6 1bid. 21. Wie ſoll eine ungeſchickte Figur vergroͤſſert oder verkleinert werden? . 39* 22. Wann aber eine Flaͤche nach einem gewiſſen Werth oder Preiß ver⸗ kaufft wuͤrde, wie kan man den Preiß einer andern gleichfoͤrmigen Flaͤche erkundigen? ibid. 23. Wann aber die Flaͤchen nicht gleichfoͤrmig, wie operiret man? 40. 24. Wann der Inhalt eines Circuls mit deſſen Semi-Diametro gegeben wuͤrde, und der Semi-Diameter ſolte vergroͤſſert oder verkleinert wer⸗ den, womit der begehrte Circul⸗Riß gemacht wurde, wie koͤnnte man alsdann deſſen Inhalt erforſchen? ibid. 25. Was hat es fuͤr eine Bewandtniß mit den Waſſer⸗Roͤhren? 41. 26. Wie wird ein Triangul in etliche gleiche Theil getheilet? 43. 27. Wie wird ſolches durch Parallel-Linien verrichtet? ibid. 28. Wie ſoll ein Quadrat in gleiche Theil getheilet werden? 44. 29. Wie ſoll ein Juadrat oder gleich⸗ſeitiges viereckichtes Feld in unglei⸗ che Theil getheilet werden? ibid. 30. Wie ſoll ein ungleich⸗ſeitiges Viereck, an welchem 2. Seiten gleich weit von einander liegen, in gleiche Theil getheilet werden? 45. 31. Wie ſoll ein Parallelogrammum in ungleiche Theil getheilet werden? ibid. 32. Wie ſoll ein Triangul in ungleiche Theil getheilet werden? 46. 33. Wie wird ſolches durch Parallel-Linien verrichtet? 47. 34. Wie ſoll man von einem Triangul oder dreyeckichtem Felde etliche Ruthen aus einem fuͤrgegebenen Winckel auf gegenuͤber ſtehender Li- nea abmeſſen? .B ibid. 35. Wie ſollen von einem Triangul etliche Ruthen durch Parallel-Linien ohbgeſchnitten werden? . 4”8. 36. Wie ſoll ein Triangul aus einem auf einer Seiten ſtehenden Puncten, in begehrte Theil getheilet werden? 45. 37. Wie ſollen von einem Trapezio etliche Ruthen nach Begehren abge⸗ ſchnitten werden?ꝰ ibid. 38. Wie wird ein Triangul nach begehrtem Inhalt formirt? 5o. 39. Wann aber die Baſis gegeben wurde, wie iſt ein Triangul nach begehr⸗ tem Inhalt zu machen? ibid. 40. Wie Regiſter derjenigen Fragen, 40. Wie ſoll ein Triangul nach begehrtem Inhalt, und nach gegebener Hoͤ⸗ he, formirt werden? Pag. 50. 41. Wie kan man zu zweyen gleichfoͤrmigen Figuren die dritte finden? 5 I. 42. Wie ſoll man zu drey gleichfoͤrmigen Figuren die vierdte finden? 52. 43. Wann aber die dritte ungleichfoͤrmige gegeben wird, wie ſoll die vierd⸗ te darzu gefunden werden? 53. 44. Wie kan man aus einer gegebenen Zahl die Breite und Laͤnge diner Flaͤchen erkundigen? 45. Wie ſoll in und um einen Circul ein Quadrat beſchrieben werdent⸗ ibi 46. Wie kan man einen halben oder Viertheils⸗ Circul in einen gantzen Circul verwandeln? 55. 47. Wie ſoll ein Triangul in ein Parallelogrammum oder in ein Quadrat verwandelt werden? ibid. Von der Linea Tetragonica. Tabula Tetragonica, ibid. 1. Was iſt die Linea Tetragonica? ibid. 2. Aus was Fundament wird obige Tabell gerechnet? 57. 3. Wis ſ ſoll eine gegebene Regular-Figur in einen Circul verwandelt wer⸗ en? 58. 4. Wie ſoll ein gegebener Circul in ein Quadrat, oder in eine andere Re⸗ gular-Figur, verwandelt werden? 59. 5. Wie ſoll eine jede Regular-Figur in eine andere verwandelt werden? 60. 6, Wie koͤnnen unterſchiedliche Regular-Figuren, wann ſie nicht eines In⸗ halts ſeyn, in eine Regular-Figur, oder in einen Cireul, verwandelt werden? ibid. 2. Wie ſoll eine jede Irregular-Figur in eine Regular-Figur, oder in ei⸗ nen Cireul verwandelt werden? 2 61. Von der Linea Subtenſarum Angulorum Prolygonorum. Tabula Subtenſarum, 62. . 1. Was 4. Wie koͤnnen die Corpora Regularia durch einander verwandelt w welche kurtz und deutlich erklaͤret werden. I. Was iſt die Linea Subtenſarum Angulorum Polygonorum? Pag. 62. 2. Aus was Fundament iſt obige Tabell gerechnet? ibid. 3. Wie ſoll auf eine gegebene gerade Linea ein Winckel einer begehrten Figur geſtellet werden? 64. 4. Wie ſoll an eine gerade Linea, und einen darauf gegebenen Puncten, der Angulus Centri, einer begehrten Figur verfertiget werden? ibid. 5. Wann ein Winckel gegeben wird, wie kan man wiſſen, welchem Figur⸗ Winckel er gleich oder nahe ſey? =ð 65. 6. Wie ſoll auf eine gegebene gerade Linea eine begehrte Regular-Figur beſchrieben werden? .. U 66. 7. Wie ſoll zu einem gegebenen Semi-Diametro die Seite, und der begehr⸗ ten Figur Winckel gefunden werden? ibid. Von der Linea Reductionis Planorum & Cor- porum Regularium. Tabula pro Transmutandis Corporibus, 67. Tabula Conſtructionis, ibid. Tabula Planorum, ibid. 1. Was wird durch die Linea Reducendorum Planorum & Corporum Regularium verſtanden? 69. 2. Aus was Faundament wird dieſe Linea bereitet? ibid. 3. Wie ſoll ein gleichſeitiger Triangul in ein Quadrat, oder in einen Cir⸗ cul verwandelt werden? 70. er⸗ den? ibid. 5§. Wie ſoll ein Corpus Regulare in eine Kugel verwandelt werden? . 71. 6. Wie ſoll eine Kugel in ein Corpus Regulare verwandelt werden? ibid. Von der Linea Corporum Sphæræ Inſcri- bendorum. Tabula Laterum Corporum Regularium eidem Sphæræ Inſcribendorum poſita Diametro Sphæræ 10000. particularum. . . . . 4 2 72. 1, Zu was dienet dieſe Linea Corporum Sphæræ Inſcribendorum? ibid. b 2. Wie Regiſter derjenigen Fragen, 2. Wie wird dieſe Tabell ausgerechnet? Pag. 72. 3. Wann der Diameter einer Kugel gegeben wird, wie ſollen die Seiten der trorporum Regularium, ſo darein koͤnnen beſchrieben, geſtinden werden 4. Wann die Seite eines Corporis Regularis gegeben wird, wie ſoll der Benheter der Kugel, welche ſolches umfaſſen kan, gefunden wer⸗ en tbigd. 5. Wann die Seite eines Corporis Regularis gegeben wird, wie ſoll die Seite eines andern Corporis gefunden, ſo, daß beede Corpora mit einerley Kugel moͤgen umfaſſet werden? 7 ibid. 6. Wie ſoll man eine Kugel in ein Corpus Regulare beſchreiben, daß der Semi-Diameter des Globi gefunden werde? 74. Von der Linea Tangentium. Tabula Tangentium, ad Radium 10000. 75. 1. Zu was dienet die Linea Tangentium? ibid. 2. Wie wird dieſe Linea Tangentium gerechnet? ibid. 3. Wann ein Winckel gegeben wird, wie kan man erfahren, wie lang def ſen Tangens ſey, den Radium fuͤr 1000. gerechnet? 4. Wie kan aus der gegebenen Tangenten⸗Linea der Winckel bekandi werden? ibid. 5. Wie ſoll die Laͤnge der Secanten⸗Lineæ nach einem gegebenen Winckel . gefunden werden? ibid. 6. Wie kan durch Huͤlff dieſer Lineæ ein Winckel formirt, oder ein Cireul in gleiche Theil getheilet werden? 77. 7. Wie ſoll man die Hoͤhe nach einer gegebenen Weite erkundigen? ibia Die andere Seite des Propor. tional-Circuls. . Von der Linea Cubica. . Tabula pro Diviſione Lineæ Cubicyz, 4c 79. 1. Was iſt die Linea Cubica, und worzu dienet ſie? 80. 2. Aus was Fundament wird obige Tabell bereitet? iiibid. welche kurtz und deutlich erklaͤret werden. 3. Wie kan man wiſſen, daß dieſe Linea auf dem Inſtrument juſt aufge⸗ tragen worden? Pag. 80. 4. Wie ſoll man Radicem Cubicam extrahiren? 81. 5. Wie ſollen zwiſchen 2. Zahlen oder Linien, 2. Mediæ Proportionales ge⸗ funden werden? 84. 6. Wie kan man die Proportion zwiſchen gleichfoͤrmigen Coͤrperlichen Fi⸗ guren erforſchen? 85. 7. Wann ungleichfoͤrmige Corpora vorhanden, wie ſoll ihre Proportion erforſchet werden? ibid. 3. Wie ſollen gleichfoͤrmige Corpora addirt werden? 86. 9. Wie ſollen ungleichfoͤrmige Corpora addirt werden? ibid. 10. Wie werden gleich foͤrmige Corpora ſubtrahirt? ibigd. 11. . e ſollen gleichfoͤrmige Corpora multiplicirt oder vergroͤſſert wer⸗ en? 87. 12. Wie ſollen gleichfoͤrmige Corpora dividirt oder verkleinert werden? 88. 13. Wie ſoll der Inhalt eines Pyramidis gefunden werden? ibid. 14. Wie ſoll ein Priſma oder eckichte Saul ausgerechnet werden? 89. 15. Wie ſoll der Inhalt eines Coni gefunden werden? ibid. 16. Wie iſt der Inhalt eines Cylinders zu finden? ibid. 17. Wie wird ein Parallelopipedum ausgerechnet? ibid. 18. Wie ſoll ein ſtumpffer Pyramis ausgerechnet werden? ibid. 19. Wie ſoll der Inhalt eines ſtumpffen Coni gefunden werden? 8r. 20. Wie ſoll eine Sphera oder Kugel ausgerechnet werden? 21. Wie wird ein Cubus, deſſen Seiten mit binomiſchen Zahlen gegeben werden, zu Papier gebracht, und ausgerechnet? ibid. 22. Wie ſoll zu zweyen Coͤrpern der dritte gefunden werden? 92. 23. Wie ſoll zu dreyen Coͤrpern der vierdte gefunden werden? 93. 24. Wie ſoll ein Cylinder, oder ein anders Corpus, nach gegebener Hoͤhe fformirt werden, damit es doch gleichen Inhalt bekomme? 94. 25. Wie ſoll ein Cyl inder formirt werden, daß er gleiche Hoͤhe und Dicke bekomme? 95. 26. Wie ſoll man zu zweyen Coͤrpern das dritte finden / welches dem einen an der Form aͤhnlich, dem andern aber am Inhalt gleich ſeye? ibid. 27. Wie ſoll ein Pyramis in ein Priſma verwandelt werden, daß es gleichen Inhalt habe? 96. 128. Wie ſoll ein Priſma in einen Pyramidem verwandelt werden? 97. b 2 29. Wie Regiſter derjenigen Fragen, 29. Wie ſoll ein Priſma, oder Parallelopipedum, in einen Conum ver⸗ wandelt werden? Pag. 98. 30. Wie ſoll ein Conus in einen Cylinder verwandelt werden? 99. 31. Wie ſoll ein Priſma, oder Parallelopipedum, in einen Cylinder ver⸗ wandelt werden? D ibid. 32. Wie ſoll ein Cylinder in einen Cubum verwandelt werden? ibid. 33. Was Nutzen hat dieſes Exempel? 100. 34. Wie ſoll ein Priſma, oder Parallelopipedum, in einen Cubum verwan⸗ delt werden? 101. 35. Wie ſoll ein Cubus in ein Priſma, oder Parallelopipedum, nach gege⸗ bener Hoͤhe oder Breite verwandelt werden? ibid. 36. Wie, ſoll eine Sphæra oder Kugel in einen Cylinder verwandelt wer⸗ Den? 102. 37. Wie ſoll ein Conſtabel, durch Huͤlffe dieſer Lineæ, einen Caliber oder Kugel⸗Maß⸗Stab verfertigen? 103. 38. Wie koͤnnen die Loth auf den Caliber getragen werden? ibid. 39. Waern eite allzu groſſe Kugel begehret wurde, wie iſt der Diameter zu nden?ꝰ? 104. 40. Wie ſoll eine Viſier⸗Ruthen gemacht werden? ibid. 41. Wie kan man aus einem Cylindriſchen Gefaͤß eine Viſier⸗Ruthen machen? 105. 42. Wie wird die Viſier⸗Ruthen gebrauchet? 106. 43. Wann ein Cylinder in eine bequemere Form ſolte verwandelt werden, alſo, daß er hoͤher oder laͤnger begehret wuͤrde, wie operirt man? . ibid. 44. Wie ſoll man einen Viſier⸗Riemen verfertigen? 107. 45. Wie kan ein Zimmermann den Werth des Bau⸗ ein Schreiner des Eichen⸗ oder Nuß⸗Baum⸗ ein Binder des Tannen⸗Holtzes erkun⸗ digen oder erforſchen, und einen Viſier⸗ oder Maß⸗Stab darnach machen? 108. Von der Linea Chordarum. Tabula pro Diviſione Lineæ Chordarum. r. 1. Aus was Fundament wird obige Tabell bereitet? 111. 2. Zu was dienet die Linea Chordarum? ibid. 3. Wie welche kurtz und deutlich erklaͤret werden. 3. Wie kan man den Sinum eines Winckels von halben Graden zu hal⸗ ben Graden finden? Pag. 111. 4. Wie kan man durch Huͤlff dieſer Lineæ die Circumferenz eines Eirculs nach Begehren theilen? II 2. 5. Wie kan man eine Regular-Figur in den Circul beſchreiben? ibigd. 6. Wie kan man erfahren, wie viel ein gegebener Winckel Grad hat? I13. 7. Wie kan man die Grad eines gegebenen Bogens erfinden? ibid. 8. Wie ſoll man einen Winckel nach Begehren formiren? 114. 9. Wie ſoll man ein Circul⸗Stuck nach Begehren aufreiſſen? ibid. 10. Wann die Chorda mit der Zahl der Graden gegeben wird, wie ſoll man das Circul⸗Stuck und deſſen Semi-Diametrum finden? ibid. 11. Wie ſoll auf eine gegebene Linea eine Regular-Figur geſtellet wer⸗ den? 115. 12. Wie ſoll eines gegebenen Winckels Sinus reétus gefunden werden . 1b1d. 13. Wann aber der gegebene Winckel uͤber 90. Grad iſt, wie ſoll der Si- mnus rectus gefunden werden? ibid. 14. Wie wird der Sinus Verſus gefunden? 1716. 15. Wann bey einem Angulo recto Baſis und Cathetus bekandt gegeben werden, wie iſt die Hypothenuſa zu finden? ibid. 16. Wie ſoll man in obigem Triangul die Winckel finden? 117. 17. Wann in einem Angulo recto Cathetus und Hypothenuſa bekandt gegeben „wie ſollen die uͤbrige Seiten und Winckel gefunden wer⸗ en? II18. 18. Wann in einem Angulo recto die Hypothenuſa, ſamt einem ſcharf⸗ fen Winckel, bekandt gegeben werden, wie iſt das uͤbrige zu finden 7 ibid. 19. Wie ſollen in einem Angulo recto, wann ein ſcharffer Winckel und eine Seite, Baſis oder Cathetus bekandt ſeyn, die uͤbrige Seiten ge⸗ funden werden? . 119. 20. Wie ſollen in einem Triangul, wann zwey Seiten und ein Winckel bekandt gegeben, die uͤbrige Seite und Winckel gefunden werden? ibid. 21. Wie ſollen in einem Triangul die Winckel gefunden werden, wann alle drey Seiten bekandt ſeyn? 120. 22. Wie wird in einem Triangul, wann zwey Winckel und eine Seite be⸗ kandt ſeyn, das uͤbrige gefunden? ibid. b 3 23. Wie Regiſter derjenigen Fragen, 23. Wie wird in einem Triangul, wann zwey Seiten und ein Winckel, (Dwelcher der einen Seiten gegen uͤber ſtehet,) bekandt ſeyn, das uͤbri⸗ ge gefunden? 4 Pag 121. 24. Wann der Sinus Anguli gegeben wird, wie kan man ohne die Sinus- Tafeln derſelben Grad erfahren? 122. 25. Wie wird an einem recht⸗wincklichten Triangul, wann Secans und der darinn liegende Winckel bekandt iſt, der Sinus des gegenuͤberſte⸗ henden Winckels gefunden? ibid. 26. Wann an einem Angulo recto die Seite des Radii, wie auch deſſen Tangens bekandt ſeyn, wie iſt deſſen Winckel zu finden? 123. 27. Wie wird Secans Anguli recti gefunden? ibid. 28. Wie wird der Sinus, Tangens, Secans, oder dero Winckel eines An- guli recti, auf eine leichtere Manier gefunden? 124. 29. Wie ſoll die Hoͤhe eines Thurns, zu welchem man wegen eines darzwi⸗ ſchen liegenden Waſſers, oder anderer Verhinderung nicht kommen kan, aus einer gegen derſelben gerichteten geraden Linea und zweyen Staͤnden gemeſſen werden? ibid. 30. Wie kan ein Conſtabel oder Feuerwercker, durch Huͤlff dieſes Inſtru⸗ ments, die Weite eines Wurffs aus einem Boͤler finden? 125. 31. Nach was fuͤr einer Elevation iſt der Boͤler zu richten, wann die Di- ſtanz gegeben wird? 126. Von der Linea Circuli Dividendi. Tabula pro Conſtrucétione Lineæ Circuli Dividendi, 11228. 1. Wie iſt dieſe Tabell ausgerechnet? ibid. 2. Zu was dienet die Linea Circuli Dividendi? ibid. 3. Wie wird die Circumferenz eines Circuls nach Begehren getheilet? 129. 4. Wie wird in einem Circul eine Regular-Figur beſchrieben? 1174. 5. Wann eine Regular-Figur gegeben wird, wie ſoll der Semi-Diameter darzu gefunden werden?ꝰ ibid. 6. Wann ein Circul gegeben wird, und ein Theil der Circumferenz, wie kan man erfahren, der wievielſte Theil des Circuls ſolcher ſene ibid. 7. Wie ſoll ein Zimmermann, nach gegebener Hoͤhe, ein Rad austheilen? 130. Von welche kurtz und deutlich erklaͤret werden. Von der Linea Rectæ Dividendæ. Tabula pro Dividenda Linea Recta, 10000. Particularum, Pag. 13 1. 1. Wie wird dieſe Tabell ausgerechnet? ibid. 2. Zu was dienet die Linea Rectæ Dividendæ? ibid. 3. Wie ſoll eine gerade Linea nach Begehren getheilt werden? 132. 4. Wann eine Linea gegeben wird, wie ſoll der begehrte Theil darvon gefunden werden? ibid. 5. Wann 2². Linien gegeben werden, wie kan man wiſſen, was fuͤr ein Theil die kleine der groͤſſern ſey? ibid. 6. Wie werden etliche Theil einer gegebenen Lineæ gefunden? ibid. 7. Wie ſont eine Linea nach aͤuſſerſter und mittelſter Proportion getheilet werden? ibid. 8. Wie ſoll ein Iſoſceles, daß jeder Winckel auf der Baſi doppelt ſo groß, als der obere, welcher der Baſi entgegen ſtehet, wie auch ein 5. und 10. Eck in einem Circul beſchrieben werden? 133. 9. Wie kan man die Circumferenz eines Circuls erfinden? ibid. Von der Linea Fortificatoria. Tabula Lineæ Fortificatoriæ, 1. Aus was Fundament wird dieſe Tabell gerechnet? 134. 2. Zu was dienet die Linea Fortificatoria? ibid. 3. Was bedeuten die Puncta auf dieſer Linea? 135. 4. Was iſt eigentlich der Gebrauch dieſer Lineæ? ibbid. 5§. Wie ſoll der Haupt⸗Riß einer Redouten gemacht werden? 136. 6. Wie ſoll der Haubl⸗eNi⸗ eines Sterns beſchrieben werden? ibid. 7. Wie ſoll eine 4. eckichte Stern⸗Schantz aufgeriſſen werden? ibid. 3. Wie ſoll eine 5. eckichte Stern⸗Schantz aufgeriſſen werden? ibid. 9. Wie ſoll eine 6.eckichte Stern⸗Schantz aufgeriſſen werden? 137. 10. Wie ſoll ein halbes 6. Eck beſchrieben werden? ibid. II. Wie iſt ein Haupt⸗Riß einer 4eckichten Regular-Schantz mit halben Bollwercken zu machen? ibid. 12. Wie ſoll ein Haupt⸗Riß einer Regular-Schantz aufgeriſſen werden? 13. Wie ſoll ein Haupt⸗Riß einer Irregular-Schantz mit halben Bollwer⸗ cen aufgeriſſen werden? 133. 14. Wie Regiſter derjenigen Fragen, welche kurtz und deutlich ꝛc. 14. Wie ſoll ein Haupt⸗Riß einer beſtaͤndigen Regular-Figur gemacht werden? . . Pag. 139. 15. Wie ſoll auf einen Winckel, der nicht ſcharff iſt, der Haupt⸗Riß ei⸗ nes Bollwercks gemacht werden? 141. 16. Wie ſoll auf einen rechten oder ſcharffen Winckel ein halbes Bollwerck beſchrieben werden? 142. 17. Wie ſoll ein Haupt⸗Riß einer Irregular-Figur aufgeriſſen werden? ibid. 18. Wie ſollen die Auſſenwercke, als Ravelin, halbe Mond und Hornwerck zugerichtet werden? 143. 19. Wie ſoll ein Kronwerck verfertiget werden? 144. Von der Linea Metallica. Tabula Metallica, 1. Wie wird dieſe Tabell gerechnet? Pag. 145. 2. Zu was dienet und gebrauchet man die Lineam Metallicam? 146. 3. Wie kan man aus dem Diametro einer gegebenen Kugel eines Metalls, den Diametrum einer gleichen ſchweren Kugel eines andern Metalls finden? . ibid. 4. Wie kan man, wann man einen Caliber eines Metalls hat, zu einem an⸗ dern Metall einen Caliber verfertigen? 137. 5. Wie kan man die Schwere der Corporum Regularium, ſo aus einer⸗ ley Metall gemacht, und mit einerley Kugeln koͤnnten umſchrieben werden, finden . . ibid. 6. Wie kan man die Seite eines Wuͤrffels, ſo ein Pfund wieget, in jedem Metall, der wievielſte Theil eines Rheinlaͤndiſchen, in 1000. Theil getheilten Schuhes, es ſeye, erforſchen? 148. Bericht an die Buchbinder. Die Kupffer muͤſſen alle nach dem Ende der Materie gebunden, und an Papier geleimet werden, damit der geneigte Leſer ſolche heraus ſchla⸗ gen, und immer im Geſichte vor ſich haben kan. Jn BB In JESll Namen! Von dem Proportional- Circul insgemein. Aℳ I. Was iſt der Proportional- Circul? r iſt ein Inſtrument und Kunſt⸗Zeug, woraus ein je⸗ 1 der Mechanicus, Kuͤnſtler und Handwercks⸗Mann, viel ſchoͤne und herꝛliche Vortheil finden, und wann er damit weiß umzugehen, ſelbiges hoͤher als Gold æſtimiren wird. 2. Wie wird ſolcher zugerichtet? Er wird entweder von hartem Holtz, Meſſing, Kupffer oder Silber gemacht, mit 2. breiten Fuͤſſen, gehet auf, gleich wie ein gemeiner Hand⸗ Circul, hat oben 3. Scheiblein, allwo die 2. kleine in den einen, das groͤſte Scheiblein aber in den andern Fuß geloͤtet iſt, durch welche ein dicker Stefft gehet, daran viel gelegen, weil das Centrum oder der Mittel⸗Punet dar⸗ ein geſtellet wird, woraus alle Linien ihren Anfang nehmen, ob ſie wohl nicht alle von demſelben ausgehen, oder in denſelben gezogen ſeyn, wie aus der Figur Num. r. zu erſehen iſt. Ich habe wohl noch andere Proportio- nal- Circul verfertigen laſſen, welche von 2. Scheiben, und die auf eine gar artige und kuͤnſtliche Manier gemacht ſeyn. A4 3. Woran 2 Von dem Proportional- Circul insgemein. 3. Woran erkennet man, daß das Inſtrument juſt und gut gemacht ſey? Wann das Inſtrument gantz eroͤffnet, uͤber den Mittel⸗Punct oder Centrum eine Schnur⸗gerade Lineam machet; Oder „wann man mit einem Hand⸗Circul vom Centro aus die gantze Laͤnge einer Lineæ nimmt, und eroͤffnet hernach das Inſtrument, wordurch der Mittel⸗Punct oder Centrum verdrehet wird, und findet auf beeden Seiten oder Fuͤſſen die vo⸗ rige Laͤnge wiederum, ſo iſt der Stefft und Mittel⸗Punct recht und gut ge⸗ macht, wie ich dann deren von unterſchiedlicher Groͤſſe verfertiget, und die bey mir zu finden und zu verkauffen ſeyny. S 4. Wie groß ſolle das Inſtrument verfertiget werden? Einem jeden nach Belieben, je groͤſſer aber ſolches iſt, je ſchaͤrffer wir die Theilungen haben koͤnnen, doch laͤnger als einen Schuh iſt nicht rath⸗ ſam, dann ſonſten in Auftragung und Operirung deſſelben ein gar zu groſ⸗ ſer Hand⸗Circul erfordert wuͤrde, wormit allzu ſcharffe Austheilungen uübel zu machen ſeyn. . 5. Woran erkennet man 7 daß die Linien recht ge⸗ zogen ſeyn: . Wenn die Linien vom Centro in gleicher Weite auslauffen. Ferner iſt auch in Acht zu nehmen, daß die Puncten mitten in den Limien nicht all⸗ zu groß und ungleich tieff, mit einem ſcharffen dreyeckigten Stahl eingerie⸗ ben, oder mit einem ſpitzigen runden Stahl ſubtil eingeſchlagen werden, dann man ſonſten ſo wohl directè, oder nach der Laͤnge, als transverſim, oder nach der Queere, nicht genau und ſcharff oper ren kan. . 6. Wie viel Linien befinden ſich auf dieſem Inſtrument? Dreyzehen, auf jeder Seite ſechſe, welche von dem Centro ausgehen, ob ſie wohl nicht alle in das Centrum lauffen, (wie oben gedacht,) und wird jede Linea auf beeden Fuͤſſen zu finden ſen; darbey iſt auch eine Seiten⸗ Linea, welche nicht vom Centro ausgehet. 7. Wie werden dieſe Linien genannt? Linea Arithmetica. . ⸗ Geometrica. Tetragonica. Subtenſarum. Reducendorum Planorum & Corporum Regularium. Corporum Sphæræ Inſcribendorum. Tangentium. Linea ſt , Von dem Proportional-. Circul insgemein. 3 Linea Cubica. = Chordarum. ⸗= Circuli dividendi. -= Rectæ dividendæ. - Fortificatoria. = Metallica. 8. Konnen noch mehrere Linien aufgetragen werden? Ja, aber wegen Enge der Linien, welche oberhalb zuſammen lauffen, und alſo Confuſion zu vermeiden, kan ein beſonderer Proportional. Cir⸗ cul (wer zu mehreren Linien Luſt hat,) darzu gemacht werden, allhier ſeynd die vornehmſte und noͤthigſte Linien aufgetragen. 9. Was gebraucht man noch zu dieſem Inſtrument!? Einen Reiß⸗Zeug, worunter fuͤrnemlich ein guter Hand⸗Circul,. oder 6. Zoll lang, ſeyn ſolle, durch deſſen Huͤlff man, was ſo wohl directè, trans- erüm, Ahnaue, als auch verſuchend genommen wird, alles auf das Papier ringen kan. . 10. Was iſt directè, transverſim, obliquè und verſuchend nehmen? . Directè oder nach der Laͤnge nehmen oder meſſen iſt, wann ich den ei⸗ nen Fuß des Haud⸗Circuls in das Centrum ſtelle, und mit dem andern die gegebene oder genommene Laͤnge auf einer Linea meſſe. Transverſim oder uͤberzwerch nehmen oder ſtellen iſt, wann ich mit dem Hand⸗Circul eine Laͤnge genommen, und ſolche zwiſchen zwey gleiche Zah⸗ len einer Lineæ ſtelle, das geſchiehet mit Auf⸗ und Zuthun des Inſtruments; Wann ſolches geſchehen, ſo bleibet das Inſtrument unverruckt liegen, und wird mit dem Hand⸗Circul eine andere Weite zwiſchen zwey gleichen Zah⸗ len auf ſelbiger Linea nach Begehren genommen. Obliquè ſtellen oder nehmen iſt, wann man eine Lineam zwiſchen zwey Ungleiche Zahlen nimmt, oder ſtellet. Verſuchend nehmen iſt, wann das Inſtrument eroͤffnet, und mit dem Hand⸗Circul ein gewiſſes Maas genommen wird, ſo verſucht man, zwi⸗ ſchen welchen gleichen Zahlen auf der begehrten Linea ſolches uͤberzwerch eintreffe. A 2 Von Von der Linea Arithmetica. Von der Linea Arithmetica. I. Was iſt die Linea Arithmetica! Wie iſt eine gleich getheilte Linea, der Urſprung aller andern Linien, und koͤnnen auch kuͤnſtliche und vortreffliche Sachen durch ſie zu⸗ wegen gebracht werden. 2. Aus was Fundament wird ſie aufgetragen: Sie hat kein anderes Fundament, als daß ihre Laͤnge in gar ſcharffe und gleiche Theile getheilet werde. 3. In wie viel Theile wird ſie abgetheilet? Allhier in 200. Theil, damit ſie zugleich den Diametrum der Sinus- Tafeln fuͤr 2000. geltend, vorſtelle. ⸗ . 4. Mit was Vortheil kan ſie getheilet werden? Erſtlich theile ich die gantze Laͤnge der Linie in 2. gleiche Theil, gibt ein Theil 100. Hernach theile ich ſolchen Theil wieder in 2. gleiche Theil, damit wird die gantze Laͤnge in 4. Theil getheilet ſeyn; Einen ſolchen vierten Theil theile ich in 5. gleiche Theil, darmit die gantze Laͤnge getheilet, ſo ſeynd es 20. Theil, ein ſolches Theil halbiere ich wieder, gibt 40. Theil; Wann ich nun von ſolchen einen Theil in 5. gleiche Theile theile, und jede Theil darmit ab⸗ theile, ſo wird dieſe Lange der Lineæ in 200. Partes getheilet ſeyn. Oder, ich mache einen guten und juſten 1000. . theiligen Maaß⸗Stab, in der Laͤnge, als ich die Linien auf dem Proportional-Circul mache, wie Fig. 2. weiſet, welcher ſonſten die Fundamental-Linea genannt wird, woraus man die Theil (wie ſie in den Tabellen uͤber einer jeden Linie ausgerechnet be⸗ findlich,) ſcharff und genau nimmt, und die Linien darmit abtheilet; alſo wird allhier auch dieſe Linea darmit getheilet, da dann fuͤr jeden Theil F. o. gerechnet werden, alſo daß die halbe Linea 50o. o. giebet; in welches ſich ein Jeder gar leicht wird finden, und die gantze Linea auf obige Weiß in gleiche Partes gar behende theilen koͤnnen. ð 5. Kan man durch Huͤlffe dieſer Lineæ Zahlen addiren? DJaa, allein wird ſolches durch die Rechnung eher und geſchwinder ver⸗ richtet; e. g. man ſolle 27. und 36. addiren, ſo nimmt man vom Centro aus directè mit einem Hand⸗Circul 27. und ſtellet ſolche genommene Laͤnge, das iſt, den einen Fuß des Hand⸗Cireuls in den 36. Puncten, und giebet Ach⸗ tung, wo der andere Fuß der Laͤnge nach hinreichet, welcher in dem 63. Pun⸗ eten eintrifft, und ſo viel machen dieſe 2. Zahlen in einer Suimma wi ☛n n S Von der Linea Arithmetica. 5 6. Wie wird ſolches mit Linien verrichtet: E. Ich ſolle zu der Linea a b, 20. Pedes lang,noch 12. addiren, ſo addi- re ich vorher ſolche Zahlen, thun 32. Hernach nehme ich die Lineam ab, 20. ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 20. uud 20. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 32. und 32. gibt die Lineam cd, wie die Fig. 3. ſolches weiſet. 7. Wann aber eine Linea ohne das Maaß der Zahlen ge⸗ geben wird, und man ſolle ihr noch einen Theil oder et⸗ liche beylegen, wie procedirt man? E. g. Es werden gegeben in der Fig.4. die Laͤnge der Linea a b; ich ſolle aber noch ½. derſelben darzu thun, ſo multiplicire ich 4. mit einer beliebigen Zahl, als hier mit 10. gibt 40. und mit 5. gibt 50. ſtelle alſo die Lineam ab. zwiſchen 40. und 40. transverſim, und unverruckt nehme ich die Weite zwi⸗ ſchen 50. und 50. gibt die Lineam c d, welche ½. laͤnger iſt als a b. 8. Kan man auch Zahlen von einander ſubtrabiren? Ja, wann ſolche die Lineam Arithmeticam nicht uͤbertreffen, als: Ich ſolle 45. von 180. ſubtrahiren, ſo nehme ich vom Centro aus directè 45. ſtelle ſolche in 180. und ſehe, wo mir der andere Fuß des Hand⸗ Circuls ge⸗ gen das Centrum zu, der Laͤnge nach, eintreffe, finde in 135. ſage alſo, daß 135. uͤberbleiben. = 9. Wie wird ſolches mit Linien verrichte Man begehret,ich ſolle von der Linea a b, welche 54. Ruthen, Schuhe oder Zoll lang iſt, 26. ſubtrahiren, oder darvon thun; ſo nehme ich nur die Laͤnge, a b, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 54. und 54. und unverruckt neh⸗ me ich die Weite zwiſchen 36. und 36. gibt die Laͤnge b d, ſolche von der Li- nea a b, abgeſchnitten, reſtirt a d 18. Oder ich ſubtrahire die Zahlen von einander, Reſt 18. nehme alſo unverruckt die Weite zwiſchen 18. und 18. gibt die Lineam a d, welche verlanget worden. Vide Fig. 5. I0. Wann aber eine unbekandte Linea gegeben wurde, und ſolte ein gewiſſes Theil, oder Stuͤck, darvon abge⸗ ſchnitten werden, wie operiret man: E g. Es werden gegeben die Linea a b. ich ſolle . von derſelben abſchnei⸗ den, ſo nehme ich die Lineam a b, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen §0. und So. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 30. und 30. gibt die Li- neam b d, 3i. darmit die Lineam a b, abgeſchnitten in d, gehet alſo a d . der Reſt darvon. Oder ich nehme die Weite zwiſchen 20. und 20. gibt die Lineam a d, von a b, abgeſchnitten Reſt b d. Vide Fig. 6. 5 Von der Linea Arithmetica. II. Kan man durch BGuͤlff dieſer Linie auch multipliciren: Ja, wann die Zahlen nicht zu groß ſeyn, allein durch die Rechnung iſt es eher vollbracht; E. g. Ich ſoll 8. mit 9. multipliciren, ſo nehme ich mit dem Hand⸗Circul directè 9. und ſchlage ſolche 8. mal um, darmit finde ich 72. Oder, ich nehme 80. direétè, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 100. und 100. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 90. und 90. gibt directè gemeſſen das Facit 72. das iſt ſo viel als 126. geben 87. was 9S. Facit. 72. 12. Wie wird das Multipliciren in Linien verrichtet: Es werde gegeben die Linea a b, 25. ſolche wird 6. mal laͤnger ver⸗ langet; ſo erwaͤhle ich mir eine beliebige Zahl, als hier 10. mit 6. multi- plicirt, macht 60. nehme derowegen die Lineam a b, 25. ſtelle ſolche trans⸗ verſim zwiſchen 10. und 10. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen E. und 60. gibt die Lineam c d, 150. welche 6. mal laͤnger als a b. Vide jg. 7. 13. Wann aber eine Linea am Maaß nicht bekandt waͤre, wie verhaͤlt man ſichh E. g. Die gegebene Linea ſeye a b, ſolche ſolle 5.mal laͤnger ſeyn; ſo nehme ich nur die Laͤnge a b, ſtelle ſolche zwiſchen eine beliebige Zahl, als hier zwiſchen 80. und 80. transverſim, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 130. und 130. gibt die Lineam c d, welche um ½. mal laͤnger iſt, als a b. Vide Fig. 8. 14. Kan man auch durch Huͤlffe dieſer Lineæ dividiren: Ja, allein durch die Rechnung viel geſchwinder. E. g. es ſollen 38. in 5. gleiche Theile getheilet werden, ſo nehme ich directè 5. und trage ſolche auf der Linea Arithmetica ſo offt fort, bis daß ich 38. erreiche, ſo gibt die Anzahl des Fortſetzens 7. mal, und bleiben 3. uͤbrig, gibt den Bruch 2. iſt alſo 7. das Facit. 15. Wie wird ſolches in Linien verrichtet? E. g. Es ſolle die Linea a b, 72. Pedes, in 8. gleiche Theile getheilet werden, ſo nehme ich die Lineam a b, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 72. und 72. und theile dieſelbige durch die Rechnung, gibt 1. Theil 9. nehme alſo unverruckt die Weite zwiſchen 9. und 9. gibt die Laͤnge a c einen Theil; zwiſchen 18. und 18. den andern Theil; zwiſchen 27. und 27. den 0 — — 4 iſt t e n 0. s S — — ——— Von der Linea Arithmetica. 7 den dritten, ꝛc. Vide Fig. 9y. Oder, ich ſtelle die Lineam a b, zwiſchen eine beliebige Zahl, welche mit 8. multiplicirt worden, nemlich 8. mal 20. iſt 160. als zwiſchen 160. und 160. transverſim geſtellet, und unverruckt die Weite zwiſchen 20. und 20. genommen, darmit die Lineam a b in 8. Theile getheilet: Oder ich nehme die Weite zwiſchen 140. und 140. ſchneide dar⸗ mit auf beeden Enden der Lineæ a b einen Theil ab; ferner nehme ich die Weite zwiſchen 120. und 120. ſchneide alſo darmit 2. Theile ab, ꝛc. 16. Wann aber eine unbekandte Linea ſoll abgetheilet werden, wie verhaͤlt man ſich: E. g. Ich ſolle die Lineam a b in §. gleiche Theile theilen, ſo ſuche ich eine beliebige Zahl, ſo durch 5. kan dividirt werden, je groͤſſer die Zahl, ſe accurater kan die Linea getheilet werden, wann ſie nur die Lineam Arith- meticam nicht uͤbertrifft, nehme alſo 200. der fuͤnffte Theil iſt 40. ſtelle alſo die Lineam a b zwiſchen 200. und 200. transverſim, und unverruckt neh⸗ me ich die Weite zwiſchen 40. und 40. gibt einen Theil, oder die Weite zwiſchen 160. und 160. genommen, ſo wird auch ein Theil darvon abge⸗ ſchnitten werden; Ferner die Weite zwiſchen 120. und 120. genommen, und darmit 2. Theile abgeſchnitten, ſo wird dieſe Linea a b in 5. gleiche Theile abgetheilet ſeyn. Vide Fig. 10. 17. Kan man auch Zahlen in ungleiche Theile theilen? E. g. Man ſolle 120. in 4. 5. und 6. Theile abtheilen, ſo addire ich die Theile, gibt 15. ſolche multiplicire ich mit einer beliebigen Zahl, als hier mit 10. gibt 150. Nehme demnach directè 120. und ſtelle ſolche trans⸗ verſim zwiſchen 150. und 150. und unverruckt nehme ich die Weite zwi⸗ ſchen 40. und 40. gibt directè 32. fuͤr die 4. Theile; Ferner nehme ich die Weite zwiſchen 50. und 5o. gibt directè 40. fuͤr die 5. Theile; endlich neh⸗ me ich die Weite zwiſchen 60. und 60. gibt directè 48. fuͤr die 6. Theile, machen alſo 32. 40. und 48. zuſammen 120. 18. Wie wird ſolches durch Linien verrichtet? E. g. Es werde gegeben die Linea a b, ſolche ſolle in 3. 4. und 5. Theile abgetheilet werden, dieſe Zahlen addire ich, machen 12. mit 10. als einer be⸗ liebigen Zahl multiplicirt, gibt 120. multiplicire auch 3. 4. und 5. mit 10. thut 30. 40. und 50. derowegen nehme ich die Laͤnge a b, ſtelle ſolche trans⸗ verſim zwiſchen 120. und 120. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 98 Von der Linea Arithmetica. 30. und 30. gibt die 3. Theil a c. Ferner zwiſchen 40. und 40. gibt die 4. Theil c d, und endlich zwiſchen 50. und 50. gibt die 5§. Theil d b, dieſe e 5. Theil/wann die andern abgeſchnitten werden, bleiben fuͤr ſich ſelbſt uͤbrig: iſt alſo dieſe Linea nach Begehren getheilet. Vide Fig. rI. . 19. Wie ſoll eine Zahl oder Linea in ungleiche Theil durch Bruch⸗Zahlen getheilet werden: E. g. Es werde gegeben die Linea a b, dieſe ſolle in 1. 1. und 11. Theil getheilet werden. Dieſe Zahlen bringe ich erſtlich unter gleiche Benennung, als . 4. Und 5. ſolche Zehler addire ich, machen 15. mit 10. als einer belie⸗ bigen Zahl multiplicirt, gibt 150. Alſo auch die Zehler mit 10. multiplicirt, thun 40. 5o. und 60. hernach nehme ich die Lineam a b, ſtelle ſolche trans⸗ verſim zwiſchen 150, und 150. und unverruckt nehme ich die Weite zwi⸗ ſchen 40. und 40. gibt a c, 1. ferner, die Weite zwiſchen 50. und 5o. genom⸗ men, gibt c d, 12½. reſtirt alſo d b, 12. fuͤr ſich ſelbſt, welches zwar zwiſchen 60. und 60. auch koͤnnte genommen werden. Wormit alſo dieſe Linea nach Begehren getheilet worden. Vide Fig. 12. 20. Wie ſoll man einen Bruch einer Line darſtellen? E. g. Es werde gegeben die Linea a b. und ſolle 3. derſelben dargeſtel⸗ let werden, ſo multiplicire ich Nenner und Zehler mit einer beliebigen Zahl, als allhier mit 50. gibt 158. ſtelle demnach die Lineam a b, zwiſchen 200. und 200. transverſim, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 150. und 150. darmit wird die Linea a b in c durchſchnitten, machet alſo c b 32. der gantzen Lineæx. Vide Fig. 13. 21. Wann ein gewiſſer Theil einer Lineæ oder eines Maaß⸗Stabs gegeben wird, wie ſoll die gantze Laͤnge der Lineæ oder des Maaß⸗Stabs gefunden werden? E. g. Es werde gegeben die Linea a b, 3 ½. Zoll lang, zu dieſer ſolte ein Schuh 12. Zoll lang gefunden werden, dieſe Zahlen multiplicire ich mit einer beliebigen Zahl, als allhier mit 10. gibt 35. und 120. nehme alſo die Laͤnge a b, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 35. und 35. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 120. und 120. ſo habe ich die gantze Laͤnge c d des Maaß⸗Stabs von 1. Schuh oder 12. Zoll. Vide Fig 14. 22. Wann „— .— — —— —, —— . 1 Von der Linea Arithmetica. 9 22. Wann eine Linea nach einem gewiſſen Maaß gege⸗ ben wird, wie kan man eine andere gegebene Laͤnge nach ſelbigem Maaß erforſchen: E. g. Es werde gegeben die Linea a b, 98. Pedes, und man begehret zu wiſſen, wie lang c d ſeye; ſo nehme ich nur die Laͤnge a b, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 98. und 98. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, hernach nehme ich die Laͤnge cd, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zah⸗ len ſolche eintreffe, finde zwiſchen 36. und 36. iſt alſo c d, 36. Pedes gegen a b. Vide Fig. 15. 23. Wann 2. Linien ungleicher Laͤnge gegeben werden, wie kan man wiſſen, wie ſie ſich gegen einander verhalten: E. g. Hier werden gegeben die Linien a b und c d, ſtelle demnach die Lineam a b zwiſchen eine beliebige Zahl, als hier zwiſchen 200. und 200. transverſim, laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, nehme hernach die Lineam c d, und ſehe, zwiſchen welch gleichen Zahlen ſolche eintreffe, be⸗ finde ſelbige zwiſchen do. und 80. verhalten ſich alſo gegen einander wie 80. gegen 200. oder wie 8. gegen 20. oder wie 2. gegen 5. Solte aber ſolche Linea c d zwiſchen keinen gleichen Zahlen eingetroffen haben, ſo ſtelle ich die Lineam a b zwiſchen eine andere Zahl, bis daß mir die Linea c d zwiſchen gleichen Zahlen eintrifft. Vide Fig. 16. 24. Wie ſoll ein Maaß⸗Stab nach Begehren getheilet werden? Es werde gegeben eine gewiſſe Laͤnge, als Fig. 2. welche in 100, Theil ſoll getheilet werden, dieſe Laͤnge ſtelle ich zwiſchen 200. und 200. transver- ſim, ſo wird es zwiſchen 100. und 100. die Weite genommen, den halben Theil, zwiſchen 50. und §0. den vierdten Theil, alſo allezeit um 2. Pun⸗ eten weniger, einen Theil weniger geben; und auf ſolche Weiſe kan man einen groſſen oder kleinen Maaß⸗Stab verfertigen, und nach Begehren theilen. Dieſes Stuͤck ſolte allein den Proportional- Circul lieb und werth achen, weilen ſolches allen und jeden Mechanicis ſonderbaren Nutzen ringet. B 25. Wann 10 Von der Linea Arithmetica. 25. Wann eine allzu groſſe Laͤnge gegeben wurde, und ſolte nach Begehren getheilet werden, wie verhaͤlt man ſich? Solche wird nach den Ruthen, Schuhen oder Zollen gemeſſen, und auf dem Inſtrument nach dem verjuͤngten Maaß gehandelt, als: Ich ſolle 15. Schuh lang in 12. Theile theilen, ſo multiplicire ich mit 15. mit 12. Zoll, gibt 180. nehme demnach 180. directè, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 120. Und 120. ſo wird jeder Theil fuͤr 10. gerechnet, und unverruckt neß⸗ me ich die Weite zwiſchen 10. und 10. meſſe ſolche wieder directè, gibt 1. Theil 15. Zoll: dieſe 15. Zoll nehme ich von dem groſſen Maaß, und theile darmit die gegebene Laͤnge in 12. Theile. 26. Wie ſoll zu einer geraden Linea eine Circul⸗Linea gefunden werden? . E. g. Es wird von einem Gold⸗Schmidt begehret, er ſolle eine ſilber⸗ ne Zwinge um ein Gefaͤß machen, welches am Durchſchnitt oder Diame- tro 3. Zoll haͤlt, fragt ſichs, wie lang das Blech ſeyn ſolle, ehe er daſſel⸗ bige zuſammen hloͤtet. Errſtlich ſoll er wiſſen, wie ſich der Diameter gegen der Circumferenz verhalte; nemlich, wie 7. gegen 22. multiplicire alſo dieſe Zahlen mit 8. als einer beliebigen Zahl, gibt 56. und 176. ſtelle alſo den Diametrum a b, 3. Zoll lang, zwiſchen 56. und 56. trans verſim, und nehme unverruckt die Weite zwiſchen 176. und 176. gibt die Laͤnge c d, 93. Zoll, ſo lang wird er das Blech nehmen muͤſſen. Vide Fig. 17. ⸗ Ein anders Exempel: Es hat ein Wirth einen runden Tiſch, oder Tafel, ſo am Diametro 4. Schuh breit iſt, daran 8. Perſonen zu ſitzen Platz haben; ſolcher begehret von dem Schreiner, er ſolle ihme eine derglei⸗ en machen, woran 10. Perſonen ſitzen koͤnnen. Solches nun zu machen, nimmt man nur den Diametrum oder Semi-Diametrum, ſtellet ſolchen zwi⸗ ſchen 80. und do. transverſim, und unverruckt nimmt man die Weite zwi⸗ ſchen 100. und 100. gibt den Diametrum c d, 5. Schuh breit, an welcher 10. Perſonen ſitzen koͤnnen. Vide Fig. 18. — Noch ein Exempel: Eg hat ein Uhrmacher ein Rad, deſſen Semi- Diameter a b, wolte gern ein anders darzu machen, welches 4. mal um⸗ lieffe, bis das a b, 3. mal umlaufft; ſo erwaͤhle ich mir nur 2. Zahlen, die ſich verhalten, wie 3. gegen 4. nemlich 60. und 380. ſtelle demnach a b trans- —J-—-— ̃ᷓꝝ —U— — — Von der Linea Arithmetica. 1r transverſim zwiſchen do. und 80. und unverruckt nehme ich die Weite zwi⸗ ſchen 60ο. und 60. gibt den Semi-Diametrum a c des Rads, ſo 4. mal herum lauffen ſolle, bis a b, 3. mal herum kommt. Vide Fig. 19. 27. Wie kan man durch Huͤlffe dieſer Lineæ ein Perpendi- culum auf eine gerade Lineam ſtellen: Gleichwie aus dem Triangulo recto alles fließt, deſſen Baſis 3. Cathe- tus 4. und Hypothenuſa §: iſt, alſo multiplicire ich dieſe Zahlen mit 10. als einer beliebigen Zahl, und nehme von der Linea ab einen beliebigen Theil⸗, als a c, ſtelle ſolchen transverſim zwiſchen 30. und 30. und unverruckt neh⸗ me ich die Weite zwiſchen 40. und 40. mache darmit nach d aus a einen Bogen; ferner nehme ich die Weite zwiſchen 5o. und §o. ſtelle ſolche in e und mache darmit den Creutz⸗Bogen in d, wo nun ſolcher durchſchnitten wird, aus ſelbigem Puncten ziehe ich eine Lineam nach a, welches mein Per⸗ pPendiculum giebet. Vide Fig. 20. 28. Wie kan die Linea Arithmetica nach einem rechten Winckel eroͤffnet werden? Man nehme nur directè §o. und ſtelle ſoiche obliquè zwiſchen 30. und 40. ſo iſt ſie gleich einem Angulo recto eroͤffnet. Von der Regula De-Tri. 29. Wie ſoll zu zweyen Zahlen die dritte gefunden wer⸗ den, alſo daß, gleich wie die andere zu der erſten, alſo die dritte Zzuzu der andern, oder wie die kleine zu der groͤſſern, alſo die dritte zu der kleinern ſich verhalte: E. g. Es werden gegeben 36. und 48. darzu ſoll ich die dritte groͤſſe⸗ re, oder kleinere finden: Erſtlich nehme ich directè 48. ſtelle ſolche trans⸗ Verſim zwiſchen 36. und 36. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 48. Und 48. ſo finde ich directè 64. welches die groͤſſere Zahl iſt. Neh⸗ und nehme unverruckt die Weite zwiſchen 36. und 36. mwe ich aber directè 36. und ſtelle ſolche trans verſim fwſ en 48. und 48. o gibt ſolche dire- ctè 27. die kleinere Zahl, alſo, wie ſich verhaͤlt 36. zu 48. ſo auch 27. zu 36. Und 48. zu 64. B 2 Durch 12 Von der Linea Arithmetica. Durch Rechnung wird es alſo verrichtet. 12) 36 gibt a8 was gibt 48 6 3) „ 4 4 64 die groͤſſere Zahl. ibt 36 ibt. a6 12) gibt X was gibt . 9 — 27 die kleinere Zahl. 30 Wie wird ſolches durch Linien verrichtet? E. g. Es werden gegeben die Linien a b, 24. und c d, 36. zu ſolchen ſolle die dritte gefunden werden, die ſich zu e d verhalte, wie a b zu c d. Ich nehme die Lineam c d, ſtelle ſolche zwiſchen 24. und 24. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 36. und 36. gibt die Lineam e f, 54. oder ich duplire die Zahlen, und ſtelle c d zwiſchen 48. und 48. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 72. und 72. gibt die Lineam e f, 54. Vide Fig. 21. 31. Wann aber die Linien nicht bekandt, wie procedirt man: E. g. Es werden gegeben die Linien a b und eH d, die dritte kleinere ſoll darzu gefunden werden; Erſtlich erforſche ich, wie ſich a b zu c d verhalte, das iſt, ich ſetze a b zwiſchen eine beliebige Zahl, als hier zwiſchen 60. und 60. und ſehe, wo mir e d eintreffe, finde zwiſchen 50. und 50. ſo nehme ich alsdann die Laͤnge c d, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 60. und 60. und nehme unverruckt die Weite zwiſchen 5o. und 50. gibt die Lineam e f. Vide Fig. 22. 32. Wie wird zu dreyen Zahlen die vierdte gefunden? E. g. 72. Maaß Wein um 24. fl. wie kommen 48. Maaß? So neh⸗ me ich die mittlere oder hintere Zahl directè, als hier 24. ſtelle ſolche zwiſchen den Diviſorem 72. und 72. transverſim, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 48. und 48. gibt directè das Facit 16. fl. Oder ich ihme . W IreE 6 N lckt der ſkt de te, Von der Linea Arithmetica. 13 directè 48. ſtelle folche transverſim zwiſchen den Diviſorem 72. und 72. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 24. und 24. gibt directè auch 16. fl. Durch die Rechnung. Maaß Wein pro fl. wie kommen Maaß. 12) . 43³ 6) —. 4 4 1 4 Fac. 16 fl. 33. Wie ſoll zu dreyen Linien die vierdte gefunden werden? E. g. Es werden gegeben die Linien a b, 36. c d, 30. e f, 24. Wie ſich nun verhaͤlt a b, 36. zu c d, 30. alſo ſoll ſich auch verhalten ef 24. zu der vierdten, ſo begehret wird. Nehme demnach die Lineam e f 24. ſtelle ſolche transverſim zwiſchen den Diviſorem c d 36. und 36. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 30. und 30. gibt die Lineam g h, 20. Wird aber eine Linea begehret zu c d, 30. die ſich verhalten ſoll, wie a b 36. zu e f, 24. ſo nehme ich die Laͤnge c d, 30. ſtelle ſolche zwiſchen a b 36. und 36. trans- verſim, und nehme unverruckt die Weite zwiſchen e f 24. und 24. ſolche gibt auch die Lineam g h, 20. Vide Fig. 23. Verlangte man aber die vierdte, die ſich zu c d, 30. verhalte, wie e f 24. zu a b. 36. ſo nehme ich die Laͤnge c d, 30. ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 24. und 24. e f. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen a b, 36. und 36. gibt die Lineam g h, 45. Vide Fig. 24. 34. Wann Zahlen vorkommen, allwo die andere oder dritte zwiſchen die erſte Zahl nicht koͤnnte geſtellet wer⸗ den, wie operiret man? E. g. 20. geben 48. Wie viel geben 60? Hier nehme ich directè 48. ſtelle ſolche zwiſchen das Duplum 20. das iſt, zwiſchen 40. und 40. und un⸗ verruckt nehme ich die Weite zwiſchen dem Duplo 6. das iſt, zwiſchen 120. und 120. gibt directè 144. G 35. Wie wird ſolches in Linien verrichtet: E. g. Es werden gegeben die dneen a b, 12. C d, 30. e f, 48. Wie ſich 1 3 . ver⸗ I4 Von der Linea Arithmetica. verhaͤlt a b 12. zu c d 30. alſo ſoll ſich ef 48. verhalten zu der vierdten, ſo begehret wird. Nehme derowegen die Laͤnge ek, 48. ſtelle ſolche zwiſchen 4. mal 12. das iſt, zwiſchen 48. und 48. transverſim, und unverruckt neh⸗ me ich die Weite zwiſchen 4. mal 30. das iſt, zwiſchen 120. und 120. gibt die Lineam g h, 120. Vide Fig. 25. 36. Wann aber die erſte Zahl groͤſſer iſt . als die Linea Arithmetica Theil hat, wie procedirt man: E. g. 240. geben 96. was 100? Ich nehme directè 96. ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 240. halben Theil, das iſt, zwiſchen 120. und 120. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 100. halben Theilen, das iſt, zwiſchen 5o. und 5o. gibt directè das Facit 40. als die vierdte Zahl. 37. Wie wird ſolches durch Linien verrichtet? E. g. Es werden gegeben die Linien a b, 360. c d, 80. und e f, 100. Wie ſich nun verhaͤlt a b, 360. zu c d, 80. alſo ſoll ſich halten e f 100. zu der vierdten, ſo begehret wird. Nehme demnach die Lineam ef, 100. ſtelle ſolche zwiſchen 360. a b vierdten Theil, das iſt, zwiſchen 90. und 90. transverſim, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 20. und 20. als dem vierdten Theil aus 80. gibt directè 22 ¾. die Lineam g h. Vide Fig. 26. 38. Wann aber eine jede Zahl groͤſſer iſt, als die Linea Arithmetica Theil hat, wie verhaͤlt man ſich: Man kan die Lineam Arithmeticam fur 2000. gelten laſſen, oder ir⸗ gend die Zahlen durch eine bequeme Zahl aufheben, und mit den kleinern Zahlen operiren, hernach das Facit mit der Zahl, womit mans aufgehebt, multipliciren, als v. g. 480. geben 320. Was 225? ſolche durch §. di- vidirt, gibt 96. „64. 45. Nehme alſo directe 64. ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 96. und 96. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 45. und 45. gibt direétè 30. mit 5. als dem Diviſore, mul- tiplicirt, macht 150. die vierdte Zahl. ” 39. Wie wird dieſes durch Linien verrichtet? Es werden gegeben die Linien a b, 240. c d, 336. e f 300. Wie ſich nun a b 240. zu c d. 336. alſo ſoll ſich e f 300. verhalten zu der vierdten, ſo begehret wird. Nehme derowegen die Lineam e f, 300. ſtelle ſolche trans- verſim — ,— — — — —. he 10. 4 0. t e 44 — — .⸗—— — dem Duplo 60. gibt directè das Facçit 114. fl. Von der Linea Arithmetica. 15 verſim zwiſchen den Diviſorem 80. und 80. als dem dritten Theil aus a b 240. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 112. und 112. als dem dritten Theil aus c d 336. gibt die Lineam gh, 420. Vigde Fig. 27. 40. Wie wird die Regula Inverſa durch Zahlen verrichtet? E. g. 40. Mann bauen in 90. Tagen eine Schantze auf, in wie viel Tagen wuͤrde dieſelbe von 72. Mann verfertiget werden; Ich nehme di- rectè 90. ſtelle ſolche trans verſim zwiſchen 72. und 72. und unverruckt neh⸗ me ich die Weite zwiſchen 40. und 40. gibt directe 5o. Oder ich nehme directè 40. ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 72. und 72. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 90. und 0. gibt directè 5o. In ſo viel Ta⸗ gen wuͤrde die Schantze verfertiget werden. Durch die Rechnung. Mann Tag Mann 8) – 29099 40 9 10 5 9) — 5 Facit 50. Tag. 41. Wie operiret man in Linien: Es werden gegeben die Linien a b, 40. c d, 90. und e f, 72. Wie ſich verhaͤlt ef 72. zu a b, 40. alſo ſoll ſich auch verhalten e d 9o. zu der vierdten, ſo begehret wird. Nehme alſo die Lineam a b 4. ſtelle ſolche zwiſchen e f, 72. und 72. transverſim, und unverruckt nehme ich die Weite zwi⸗ ſchen c d, 90. und 90. gibt die Lineam g h, 50. Vide Fig. 28. 42. Wie kan man unterſchiedliche Sorten Geldes verwechſeln: E. g. 60. Burgundier⸗Thaler, wie viel machen ſie Gulden? den Tha⸗ ler zu 28 ½. Batzen, und den Gulden zu 15. Batzen gerechnet. Ich nehme erſtlich directé 284. ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 30. und 30. als dem Duplo 15. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 120. und 120. als Durch 165 Von der Linea Arithmetica. Durch Rechnung wird es alſo gemacht, daß ich ſpreche: Thl. gibt Batzen was gibt Thl. 1 28 ⅞ 60 60 1680 30 1710 Batzen Batzen geben fl. was geben Batzen „ 1 1710 5. 342 3) Oder alſo durch Rech Fac. 114 fl. er alſo dur echnung. Batzen Thal. Batzen 15) 14 60 28 ½ 1 4 Fac. 114 fl. Wir wollen dieſes Exempel umkehren: wenn ich ſpreche 114. fl. wie viel machen ſie Thaler, den Thaler zu 28 ½¼. Batzen gerechnet? ich nehme 15. directè, und ſtelle es zwiſchen meinen Diviſorem 28 ¾. und nehme un⸗ verruct die Weite zwiſchen 114. und 114. gibt directè 60. Thaler das acit. Oder ich nehme 15. directè, ſtelle es zwiſchen meinem Diviſorem 28. oder deſſen Duplo 57. und nehme unverruckt die Weite zwiſchen 114. und 114. gibt directè 30. dieſes duplirt (weilen ich 18 ¾. Batzen auch du⸗ plirt habe) gibt 60. Thaler. 43. Wie wird ſolches mit Linien verrichtet? E. g. Es werde gegeben die Linea a b, haͤlt 84. und Linea c d, 35. Wann nun c dq, 20. lang waͤre, wie lang ſolte wohl a b ſeyn? Nehme dem⸗ nach die Laͤnge c d, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 20. und 20. und un⸗ verruckt verſuche ich, zwiſchen welchen gleichen Zahlen a b 84. eintreffe, finde zwiſchen 48. und 48. Wann alſo c d, 20. Pedes lang waͤre, ſo wur⸗ de a b, 48. Pedes halten. Vide Fig 29. . Durch die Rechnung. Wann ich ſpreche, die Linea c d 35. haͤlt auf meinem Maaß⸗ Sind . en —, —— — —0--ʒ Von der Linea Arithmetica. 12 den ich mir ſelbſten ausgetheilt habe nur 20. wie viel wurde wohl die Li- nea a b 84., auf meinem Maaß⸗Stab halten? Fac. 48. Linea cd haͤlt was geben 35 20 84 5 20 7) ⸗ 15680 336 PFac. 48 — 44. Wie ſoll man die Intereſſe und Super-- Intereſſe zum Capital ſchlagen: . V. g. Es leihet einer dem andern 80. Gulden, 2. Jahr lang mit 5. pro Cento pro Anno zu verintereſſiren; wie viel wird der Zinß und Zinß de Zinß ſamt dem Capital belauffen? Nehme alſo directé 80. ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 100. und 100. und unverruckt nehme ich die Weite tie zwiſchen 105. und 105. gibt directè 84. dieſe 84. ſtelle ich wieder zwiſchen ihn⸗ 100. und 100. und unverruckt nehme ich wieder die Weite zwiſchen 105. jun⸗ ud 1 “ gibt directè 88 ˙. Gulden, den Zinß und Zinß de Zinß, ſamt dem das Tabitäl. Durch die Rechnung wirds alſo verrichtet. H n2:. f. geben fl. was geben fl. . 114. 120) —— 105 80⁰ W Ho. 35 2 1 4 Fac. 84 ff. l. geben fl. was geben ſ. 45. 5) — — 4 dem⸗ 20 21 21 d un⸗ 4) 5 2 1 reſfe, . 21 wu⸗ . 42 1 Fac. 88 ¼, fl. i 45. Wie 18 Von der Linea Arithmetica. 45. Wie wird es durch Linien verrichtet? E. g. Es werden gegeben die Linien a b, 80. und c d, 100. Wann nun der Lineæ c d. 10. Theil beygeleget wurden, wie lang muͤßte a b ſeyn? Ich nehme die Laͤnge a b, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 100. und 100. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 110. und 110. gibt die Li- neam ef, 88. Vide Fig. 30. J Durch Rechnung. 193 geben 11⁰ was geben 80 8 Fac. 88 46. Wie ſoll in einem Triangulo die Perpendicular- J . Linea gefunden werden: E. g. Wann die Seiten eines Trianguls bekandt ſeyn, als hier a b, 13. b c, 15. a c, 14. Ruthen, ſo nehme ich die Seiten, an welcher das Per- pendiculum herab fallen ſoll, hier a b, 13.0. von der Linea Arithmetica directè, ſtelle ſolche obliquè zwiſchen 14. o. und 15. 0. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, und den einen Fuß des Hand⸗Circuls in 15. . ſtehen, den andern thue ich um ſo viel zu, daß ich in Machung eines Bogens die Lineam Arithmeticam auf der andern Seite nur beruͤhre, ſolche meſſe ich directè, gibt 12. O. ſage alſo, daß ſie 12. Ruthen oder 120. Pedes lang ſeye. Vide Fig. 31. Durch die Rechnung ſolches zu machen, gibt Anweiſung mein Pes mechanicus pag. 95. wie ſolches durch den Circul und Maaß⸗Stab ver⸗ richtet ſoll werden, auf ſolche Weiß wird es auch durch die Rechnung ver⸗ richtet; aber noch leichter durch Linien zu machen, ſo nehme ich nur aus einem Maaß⸗Stab oder von der Linea Arithmetica die 3. Linien, und formire darmit den Triang a b c, hernach ſetze ich den Hand⸗Circul in b, und thue ihn ſo weit zu, daß er mit Machung eines Bogens die Lineam a c nur be⸗ ruͤhre, ſolche Eroͤffnung trage ich auf den Maaß⸗Stab oder Lin. Arithm. ſo werde ich befinden 12. das Perpend. b. d. Vide Fig. 31. 47. Wie kan man wiſſen, in welchen Puncten auf der Baſi die Perpendicular-Linea falle: Ich eroͤffne die Lineam Arithmeticam nach einem Angulo recto, und nehme directè 15. 0. ſo lang die Seite in dem Triangul, Fig. 3 1. iſt, von welcher ich will ausmeſſen, als b c dahin das Perpendiculum ſoll geſtel⸗ let werden. Stelle den einen Fuß des Hand⸗Circuls in das Perpendiculum . 12.0. — — ——, — —,— „ tn W 100. 1b, ber⸗ tica gent n, die n Pes ber⸗ et⸗ ein ire hue be⸗ l. Von der Linea Arithmetica. 19 12.0. wo nun der andere Fuß die Lineam Arithmeticam durchſchneidet, als allhier in 9. . ſo viel ſchneide ich aus e nach a in d ab. Nehme ich aber directé das andere Latus a b, 13. 0. ſo ſtelle ich es wieder in 20. 0. wird als⸗ dann der andere Fuß des Hand⸗Circuls in 5. o. fallen, ſo viel meſſe ich von a nach c, in d, ziehe oder faͤlle alſo mein Perpendiculum aus b, in d. Vide Fig. 31. Durch Rechnung erfordert ſolches mehrere Muͤh zu machen, man beſehe aber meinen pedem mechanicum, pag. 94. Ein anders Exempel. Zwey Baͤume ſtehen auf ebenem Felde, der eine iſt 40. der andere 30. Schuh hoch, ſtehen §o. Schuh weit von einander, fallen mit den Gipfeln zuſammen; wann man nun das Perpendiculum von ſolchen herunter fallen laͤſſet, iſt die Frage, wie weit es von jedem Baum entlegen waͤre? Ich nehme directè 30. ſtelle ſolche oblique zwiſchen 50. und 40. faͤlle aus 40. das Perpendiculum, das iſt, ich thue den Hand⸗Circul zu, bis daß der eine Fuß die Lineam Arithmeticam nur beruͤhret, ſo finde ich ſolches directe 24. Alsdann eroͤffne ich die Lineam Arithmeticam nach einem Angulo recto, nehme hernach 30. directè, ſtelle ſolche in 24. wo nun der eine Fuß des Hand⸗Circuls die Lineam Arithmeticam abſchneidet, als hier in 18. dahin wird das Perpendiculum fallen. Vide Fig. 32. 48. Wie kan man einen Grund⸗Kiß in die Perſpectiv bringen: Erſtlich wird die Hoͤhe des Aug⸗Punctens, hernach die Diſtanz oder Weite bis an die Grund⸗Linie erwaͤhlet, nach welchen alles durch die Regul De-Tri, oder durch die Proportional- Linien verrichtet wird. V. g. Die Aug⸗Hoͤhe ſeye a b. 6. Schuh hoch, und die Diſtanz bis an die Grund⸗Li- neam a c und d c, 10. Schuh, was nun hinter der Grund⸗Lineæ lieget, wird alſo gerechnet, ſo wohl nach der Breite fe, als nach der Weite ck, und Hoͤhe 1 k. Als der Grund lieget hier an der Grund⸗Linea a c, 4. Schuh breit, und 4. Schuh lang, ſo ſage ich, 14. Schuh lang, de, geben 4. Schuh breit e f. was geben 10. Schuh lang d c? nehme derowegen 40. directeè, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 14.0. und 14. 0. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 10. 0. und 10. O. gibt directè 28 2. das iſt, 2. Schuh, 8. Zoll, 5. Seru⸗ pel, gibt alſo dieſes die hintere Breite h. i, die vordere Breite bleibet, wie ſie iſt, weilen ſie an der Grund⸗Linea lieget. Will ich nun die Laͤnge des Perſpecti- viſchen Grund⸗Riſſes wiſſen, in was Hoͤhe ſolche die Tafel⸗ Lineam c d abſchneide, ſo ſage ich 14. Schuh lang, a k geben die Augen⸗Hoͤhe, a b, 6. Schuh hoch, was 4. Schuh lang, c k. Nehme demnach directe 60. ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 14.0. und 14.0. und unverruckt nehme ich die C 2 Weite —„ 20 Von der Linea Arithmetica. Weite zwiſchen 40. und 40. gibt directè 17 3:. das iſt, 1. Schuh, 7. Zoll, 1. Scrupel, i c. Wird nun ſolchem Grund⸗Riß eine Hoͤhe gegeben, als hier 4. Schuh hoch kl, ſo wird ſolche von der Aug⸗Hoͤhe a b gezogen, als 4. von 6. Reſt 2. Schuh o b, und procedire darmit, wie oben, und ſage 14. Schuh lang ol, geben 2. Schuh hoch o b. was 4. Schuhl! m. Nehme demnach Qirectè 26. ſtelle ſolche trans verſim zwiſchen 14. O. und 14. O. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 4. 6. und 4. . gibt directè §. Zoll, 7. Scrupel, m n, wie in der 33. Figur zu erſehen iſt, und hiervon Herꝛ Andreas Alber- tus gar ſchoͤne Problemata vorſtellet. DADedoch will ich dem Kunſt⸗liebenden Leſer meine Manier auf eine ſon⸗ derbare und leichte Art, mit einem einigen Exempel, communjiciren, welche vielleicht denſelben beſſer, als alle andere, contentiren ſolle, weilen dardurch alle Grund⸗Riſſe, ſie moͤgen ſeyn wie ſie wollen, in die Perſpectiv koͤnnen ge⸗ bpracht werden. Obwol die blinden Linien in dieſer 34. Figur gezogen ſeyn, damit ein jeder ſolches Procedere deſto leichter begreiffen koͤnne; ſo gebrau⸗ chet man doch die blinden Linien nicht mehr, wann man weiß, wie man es ma⸗ choen ſolle, ſondern allein ein Reiß⸗Bret und Winckel⸗Maaß, neben einem Hand⸗Circul, dardurch man einen Grund⸗Riß behend und geſchwind, ohne einige blinde Linea. in die Perſpectiv bringen kan, wie folget: Ich ziehe eine Grund⸗Eineam e g, darunter lege ich den Grund⸗Riß an die Grund⸗Linea, oder etwas darvon, wie hier a b c d, wo ich nun ſolchen begehre anzuſehen, gerad, oder an der Seiten, dahin ſtelle ich den Fern⸗Puncten nach der Brei⸗ te, nicht zu nahe, daß der Aug⸗Winckel, welcher auf den Grund⸗Riß faͤllet, ſo wohl nach der Breite, Weite und Hoͤhe, nicht uͤber 90. Gr. auch nicht zu weit, daß er nicht unter 30. Gr. mache, als hier in h. Aus dieſem Puncten h laſſe ich ein Perpendiculum auf die Grund⸗Linea e g, fallen in f, dieſe Di- ſtanz f h, trage ich auch aus f in e, darauf ſtelle ich die Aug⸗Hoͤhe, als e i, welches den Fern⸗Puncten nach der Weite gibt. Ferner lege ich meinen Grund⸗Riß a b c d hinter das Perpendiculum hf, welches die Tafel⸗Hoͤ⸗ he vorſtellet, ſolcher iſt g. darauf ſtelle ich des Corporis Hoͤhe, als K 1, als⸗ dann lege ich ein Lineal an den Fern⸗Punct i, und an den Grund m, wo nun die Tafel⸗Linea f h durchſchnitten wird, als in n, ſolche Hoͤhe fn, nehme ich mit dem Circul, und lege das Lineal in den Fern⸗Punct h. und auf den Grund in c und d, wo nun die Grund⸗Linea e f in o und p durchſchnitten wird, dahin ſtelle ich den Cireul, und trage die genommene Hoͤhe f n, perpen- diculariter uber ſich in q und r. gibt die vordere Perſpectiviſche Breite. Fer⸗ ner lege ich das Lineal auf undl, wo nun die Tafel⸗Linea f hins durchſchnit⸗ ten wird, ſolche Hoͤhe trage ich wieder qus o und p. perpendiculariter zber . ſich, —,— en Dd⸗ ſi⸗ i en ten l⸗ ⸗ et h, ſch Von der Linea Arithmetica. 21 ſich, gibt t und u, weiter lege ich das Lineal auf i und g, darmit wird die Ta⸗ fel⸗Linea f h in w durchſchnitten, ſolche Hoͤhe f w nehme ich mit dem Eir⸗ cul, und lege das Lineal an den Fern⸗Puncten h und auf die Ecke des Gruud⸗ Riſſes a und b, wo nun die Grund⸗Linea in X und y durchſchnitten wird, dahin ſtelle ich den Circul perpendiculariter uͤber ſich, gibt die hintere Per- ſpectiviſche Breite 22. Endlich lege ich das Lineal an den Fern⸗Punct i, und auf das Eck k, darmit wird die Tafel⸗Linea in 1. durchſchnitten, ſolche Hoͤhe f 1. mit dem Circul genommen, aus den Puncten undy uͤber ſich ge⸗ tragen, gibt die hintere Hoͤhe 2. und 3. dar mit iſt das Corpus in die Perſpe- iv gebracht worden. Will ich nun ſolchem Corpori den Schatten geben, ſo ſtelle ich den Licht⸗Puncten in den Grund, als hier in 4. und bringe ſolchen auch in die Perſpectiv, gibt den Puncten §. ſolchem Licht gebe ich auch ſeine Hoͤhe an der Tafel kh in 6. die Weite des Puncten 4. bis an die Grund⸗Li- neam e f, nehme ich mit dem Circul, und trage ſolche aus 6. in 7. als des Lich⸗ tes Hoͤhe, lege das Lineal an den Fern⸗Puncten 1. und an den Puncten 7. wo nun die Tafel⸗Linea fh in 8. durchſchnitten wird, ſolche Hoͤhe f 8. mit dem Circul genommen, und von der Grund⸗Linea aus dem Puncten 4. uͤber ſich getragen, gibt die Perſpectiviſche Hoͤhe des Lichts, aus dieſem Hoͤhe⸗ Puncten 9. lege ich ein Lineal auf alle obere Ecken des Corporis, und ziehe blinde Linien; wann dieſes geſchehen, lege ich das Lineal an den untern Puncten 5. und auf die untere Ecke des Corporis q r2, wo nun die blinde Linien einander durchſchneiden, ſo weit erſtrecket ſich der Schatten, wie aus der 34. Figur zu erſehen. Aus dieſem Bericht wird ſich hoffentlich ein Kunſt⸗ Liebender gar wohl finden koͤnnen, wo aber einer oder der andere einige Du- bia haben ſolte, befinde ich mich ſo bereit als willig, einem jeden, ſo lang mir GOtt das Leben goͤnnet, auf alle Weiß zu dienen. Au0us dieſem Fundament habe ich auch ein Scenograph. Inſtr. erfun⸗ den, wordurch alles, was mir zu Geſicht kommt, und ich mit unverwandtem Kopff uͤberſehen kan, es moͤgen ſeyn Staͤdte, Laͤnder, Landſchafften, Feld⸗ Lager, Gebaͤu, ꝛc. ohne Grund⸗Riß und Profil in einen Perſpectiv- Riß behend und geſchwind zu bringen iſt, woruͤber ich mich manchmal nicht ge⸗ nug verwundern kan, daß ſich alles ſo nett darſtellet, und werden ſich we⸗ nige unter den Mahlern befinden, die einen ſolchen Perſpectiv- Riß von freyer Hand zuwegen bringen werden, welches ich fuͤr mein rareſtes Kunſt⸗ Stuͤck ſtimire. V 49. Wie kan die Linea Muſica oder Harmonica durch die Lineam Arithmethicam vorgeſtellet werden: B E 3 Hier⸗ 22 Von der Linea Arithmetica. einer Octav, die andere aber die Zuſammenſtimmung vorſtellet. TABULA SCALE MVUSICE. Clavis. Partes. Clavis. Partes. E. 2000. Bfa. 1417. F. 1875. Bmi. 1333. 1. 1770. C. 1250. G. 1667. CI. 1178. Gd. 1583. D. IIIO. A. 1500. Dd. 1057. TABULA CONSONANTIARUM. Nomen Diapaſon, eine Octav, - . . 2. 1I. FDiepente, eine Quint, ⸗ .- „ 3. 2. = Diateſjaron, eine QLuart, ⸗ .⸗ 4. 3. —Di- Tonus, Tertia major, . . - 5. 4. .Sesqui Di- Tonus, Tertia minor, . 6. F. .Hexachord major, Sexta major, - . 5. 3. .Hexachord minor, Sexta minor, .- 8. 5F. Dieapaſon cum Diapente, eine Octav mit der Qvint, 3. I. = Tonus major, - . . 9. g. = Tonus minor, . - 10. 9. .Soemitonium majus, ⸗ ⸗ . 16. I5. = Semitonium minus, - -⸗ . 25. 24. „ „ Hierzu dienen nachfolgende 2. Tabellen, da die eine die Buchſtaben TLermini. 4 DW 4 DsDHE D 11 Wie ſoll man die Saͤiten eines Monochordii, Lauten, Chytar, oder dergleichen Inſtrument, nach den Buchſtaben recht abtheilen: Man nehme die Laͤnge der Saͤiten vom Steeg bis an den oͤberſten Ab⸗ ſatz, wie hier die Linea H E vorſtellet, und ſetze ſolche, oder ihre Helffte in Li- neam Arithmeticam zwiſchen 200. und 200. transverſim, welches den Buchſtaben e vorſtellet, und klinget wie e, laſſe das Inſtrument unverruckt liegen; hernach nehme man die Zahlen aus der erſten Tabell den andern Buchſtaben f, worbey die Zahl 1875. das iſt, die Weite zwiſchen 187. 5. und 187. 5. transverſim genommen, und ſolche von Hnach E in f getragen, klinget wie f. Ferner die Weite zwiſchen 177. und 177. Vermoͤg der Ta- bell — —,.v =–¼+ — — ben ſini⸗ i⸗ dent kt een VY „Je Von der Linea Arithmetica. 23 bell genommen, aus H nach E in F d getragen, und ſo fort an alle Buch⸗ ſtaben. Vide Fig. 35. . Wann aber eine niedrige Octav ſolte begehret werden, ſo nimmt man nur die Laͤnge doppelt; wann man aber alsdann ſolche Laͤnge wieder duplirt, ſo hat man der Octaven tieffere Octav, welche man Disdiapaſon nennet. Und alſo kan man weiter andere Octaven erfinden, ſo offt man begehret. Auf den Saͤiten⸗Spielen daͤrffen auf jeder Saiten nur diejenigen Buchſta⸗ ben getragen werden, welche darauf gehoͤren. 51. Wie verhaͤlt es ſich mit den Orgel⸗Pfeiffen: Wann eine derſelben mit der Menſchlichen Stimme uͤberein treffen ſolle, ſo muß ihre Hoͤhe 1. Schuh lang ſeyn, nach welcher die andere Pfeif⸗ fen ihre Proportion bekommen, alſo muͤſſen auch die Dicken der Pfeiffen ihre Proportion haben. 52. Wie ſoll man zu einer gegebenen Laͤnge eine andere erfinden, welche die begehrte Einſtimmung vorſtelle? Hierzu wird die andere Tabell gebraucht, als wann man eine hoͤhere Quint bedarff, ſo ſchreibt man 3. bedarff man aber eine niedrigere, ſo ſetzet man 2. dieſe Zahlen multiplicire ich mit einer beliebigen Zahl, als hier mit 50. gibt 15. und 192. v. g. die gegebene Laͤnge ſeye a b, ſolche ſtelle ich trans⸗ verſim zwiſchen 150. und 150. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 100. Und 100. gibt die Laͤnge c d die hoͤhere Quint; ſtelle ich aber a b zwi⸗ ſchen 100. und 100. und nehme die Weite zwiſchen 150. und 150. ſo habe ich die Laͤnge eſf die niedrige Luint. Vide Fig. 36. 53. Wie ſoll der Ton einer Glocken zu einer andern, nach Begehren, gefunden werden? Es werde gegeben der Diameter a b, als die Weite einer Glocken, wel⸗ che den Klang gibt. Man verlangt aber noch eine Glocke, die darzu ſolle gemacht werden, welche den Klang a haben ſolle; ſo nehme ich nur den Dia- metrum a b, ſtelle ſolchen zwiſchen 187. 5. und 187. 5. ttansverſim, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 150. und 150. gibt den Diametrum c d, und klinget wie A. Wie ich nun hier mit der Weite procedirt ha⸗ be, ſo mache ich es auch mit der Hoͤhe und Dicke; in welchem Stuͤck Herꝛ Theodoſius Ernſt, wohl- erfahrner Stuͤck⸗ und Glocken⸗Gieſſer allhier, von mir iſt unterrichtet worden, und bereits unterſchiedliche Proben darinn gethan hat. Vide Fig. 37. B B 54. Wie 4 Von der Linca Arithmetica. 54. Wie ſoll man zu einer gegebenen Linea eine andere erfinden, welche den gegebenen Ton oder Semitonium vorſtelle? E. g. Es werde gegeben die Linea a b. zu welcher 2. andere Linien ſol⸗ len gefunden werden, da die erſte einen groͤſſern Ton hoͤher, die andere aber einen groͤſſern Ton niedriger vorſtellen ſolten, als ö. Allhier multiplicire ich die Zahlen mit 20. als einer beliebigen Zahl, gibt 3. nehme alſo die Li. neam a b, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 180. und 180. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 160. und 160. gibt die Lineam c d, welche den groͤſſern Ton hoͤher giebet: ſtelle ich aber die Lineam a b, zwiſchen 160. und 160. und nehme unverruckt die Weite zwiſchen 180. und 180. ſo gibt ſolche die Lineam e f, als den groͤſſern Ton niedriger, und alſo auch mit andern Exempeln. Vide Fig. 38. 55. Wie ſeynd die Quæſtiones in dieſem Buch zu ſolvi. ren, ohne den Proportional-Circul? Man kan auf hart Holtz, oder Meſſing, gerade Linien (in beliebiger Laͤnge eines 1000. theiligen Maaß⸗Stabs,) ziehen, und nach den Tabellen ſolche Linien auftragen, ſo wird man durch Huͤlff gedachter Linien alles ſol⸗ viren koͤnnen, auf folgende Weiſe: E. g. Es werden gegeben die Linien a b. 60. c b, 48. und a f, 80. Wie ſich nun a b zu c b verhaͤlt, alſo ſoll ſich auch a fverhalten, zu der vierdten, ſo verlangt wird. Nehme alſo von einer Linea, ſo in gleiche Theile getheilet iſt, und durch ſolche die Linea Arithmetica ver⸗ ſtanden wird, als hier a b, 60. und ſtelle ſolche auf eine gerade Linea, aus a nach b, und mache zugleich mit dem Circul den Bogen be, hernach nehme ich die gegebene Laͤnge c b, 48. ſtelle ſolche in den Bogen aus b in c, ziehe aus a durch c eine gerade Lineam, ferner nehme ich von der Linea Arithmetica 30. ſtelle ſolche aus a nach f, und mache damit den Bogen f d, wo nun die Linea a d durchſchnitten wird, wie hier in d, gibt dieſe Linea d f, 64. die vierd te, ſo geſucht worden. Vide Fig. 30. Wer mnun dieſes lernet recht ver⸗ ſtehen, wird das andere alles gar leicht auf dieſe Weißs ſolviren koͤnnen. 3 (0) 6£ . . Von Von der Linea Geometrica. 25 ae Von der Linea Geometrica. TABUILA pro Diviſione Lineæ Geometricæ. ſol Pundt. Radix. Puntt. Radiv. Puntt. Radix. Punit. Radix. eober I. 100.0. 26. 509.9. ] 51. 714. 1. 76. 871.8. leei 2. 1I41.4. 27. 519.6. 52. 721.1. 77. 877.5. eli. 3. 173.2. 28. 529.2. 53. 728.0. 78. 883.2. ruckt 4. 200.0. 29. 538.5. 54. 734.8. 79. 888.8. bulche 5. 223.6. 30. 547.7. 55. 741.65. 80. 894.4. 160, 6. 244.9. 31. 5506.8. 56. 748.3. 8r. 900.0. gibt 7. 264.6. 32. 565.7. 57. 755. 0ö. 82. 905.5. ,tnit 8. 282.8. 33. 574.5. 589. 761.6. 83. o11.0. “S 9. 300.,0. 34. 583.1. 59. 768.17. 84. 916.5. „ 10. 316.2. 35. 591.6. 60. 774.6. 85. 922.0. lvi. II. 33 1.7. 36. 600.0. 61. 781.0. 86. 927.4. 12. 346.4. 37. 608.3. 62. 787.4. 87. 932.7. 13. 360.6. 398. 616.4. 63. 793.7. 88. 938.1. iger 14. 374.2. 39. 624.5. 64. 800. o. 89. 943.4. elen 15. 387.3. 40. 632.5. 65. 806.2. 90. 948.7. ſok 16. 400.9. 41. 640.3. 66. 812.4. 9r. 953.9. lab, 17. 412.3. 42. 648.0. 67. 818.5. 92. 95⁵9.2. ch 18. g24.2. 43. 655.7. 68. 824.6. 93. 964.4. ine, 19. 435.9. 44. 663.3. 609. 830.7. 94. 969.5. be ⸗ 20. 447.2. 45. 670.8. 70. 836.7. 95. 974.7. 63 21. 458.3. 46. 678.2. 71. 842.6. 96. 979.9. 164 23. 479.6. 48. 692.8. 73. 854.4. 98. 990.0. eiien 24. 489.9. 49. 700,0. 74. 860.2. 99. 995. 0. ine 25. 500.0. 50. 707. 1. 75. 866.0. 1100. 1000.0. letd⸗ . . , I. Zu was dienet die Linea Geometrica? Sie dienet, alle flache Figuren, der Geometriſchen Proportion nach, zu vergroͤſſern und zu verkleinern. 2. Wie wird ſie aufgetragen: Madn muß dieſe Lineam (von einem Maaß⸗Stab, welcher in 10000. Theil getheilet iſt, und in der Laͤnge, wie die Linien auf dieſem Inſtrument ſeyn, nach obiger Tabell nehmen, und ſolche auftragen. n 3. Aus 26 Von der Linea Geometrica. 3. Aus was Fundament wird obige Tabell bereitet: Wann man die Zahl 1000. als die Laͤnge der gantzen Lineæ quadrirt, kommt 1000000. ſolche mit 1. als dem erſten Puncten multiplicirt, und Ra- dicem quadratam extrahirt, kommt 1000. fuͤr den erſten Puncten. Setze ich aber 2000000. als den zweyten Puncten, und extrahire, ſo bekomme ich 141. 4. fuͤr den zweyten Puncten, und ſo fort an. 4. Wie wird ſolche Linea probiret, ob ſie juſt aufgetragen? Wann die Umſchlaͤge des Hand⸗Circuls in Geometriſcher Progreſ- ſion recht zutreffen, als wann ich directe 1. nehme, und ſchlage den Hand⸗ Circul um, ſo offt ich kan, ſo finde ich 1. 4. 9. 16. 25. 36. 49. 64. 81. und 100. Nehme ich aber directè 2. ſo finde ich in den Umſchlaͤgen 2. 8. 18. 32. 5§0. 72. 98. &c. 5. Wie ſoll Radix quadrata extrahirt werden? 1. Wann die Zahl, ſo extrahirt ſoll werden, die Lineam Geometri- cam nicht uͤbertrifft, als aus 81. Radicem quadratam zu extrahiren, ſo nehme ich von der Linea Arithmetica directè &1. ſtelle ſolche in Lineam Geometricam transverſim zwiſchen 81. und 81. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 1. und 1. gibt auf der Linea Arithmetica directé 9. die Wurtzel. 2. Wann eine Zahl gegeben wird, welche 10000. nicht uͤbertrifft, als aus 1000. Radicem quadratam zu extrahiren, ſo nehme ich von der Linea Arithmetica directè 10. als die erſte puncétirte Zahl, ſtelle ſolche in Linesm Geometricam transverſim zwiſchen 10. und 10. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 100. und 100. an ſtatt daß ich ſie zwiſchen 1. und 1. neh⸗ men ſolte, dann weilen ich 2. Zahlen zur Wurtzel bekomme, vermoͤg des Punctirens, ſo muß ich die Weite zwiſchen 100. und 100. nehmen, gibt di- rectè 31. und etwas daruͤber; iſt alſo 31. beynahe die Wurtzel. Noch ein Exempel: Ein Officier hat 9g604. Muſquetierer unter ſich, und will dieſelbe in eine gevierdte Schlacht⸗Ordnung ſtellen; iſt die Frage, wie viel Glieder, und wie viel Mann in ein Glied, ſollen geſtellet werden? ich nehme von der Linea Arithmetica directè 96. als die erſtere punctirte Zahl, ſtelle ſolche in Lineam Geometricam transverſim zwiſchen 96. und 96. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 100. und 100. damit ich 2. Zahlen zur Wurtzel bekomme, gibt auf der Linea Arithmetica directe 1 ſr irt, Ra. Bige ich ref. ind⸗ Und⸗ 19. Von der Linea Geometrica. 27 98. die Wurtzel, das iſt ſo viel Glieder, und daß in jedem Glied ſo viel Mann, ſollen geſtellet werden. 3. Wann Zahlen nicht uͤber 1000000. gegeben werden, als aus 876235. die Quadrat-Wurtzel zu ziehen, weilen ſich allhier 3. Puncta in der Zahl befinden, und ich 3. Zahlen zur Wurtzel haben muß, ſo nehme ich von der Linea Arithmetica direétè die erſte punctirte Zahl 87. die uͤbrige ſo genau als 6. oder %. das iſt, 87. 6. ſtelle ſolche in Lineam Geometricam transverſim zwiſchen 87. 6. und 87. 6. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 100. und 100. gibt auf der Linea Arithmetica directè 03. S. wei⸗ len ich aber 3. Zahlen vermoͤg des Punctirens zur Wurtzel haben muß, ſo⸗ ſpreche ich es fuͤr 3. Zahlen aus, das iſt 936. beynahe die Wurtzel. Durch Rechnung wirds alſo gemacht: 876235 936 81 662 183 549 11335 1866 11196 Reſt. 139 6. Wie ſoll aus einer gevierdten Schlacht⸗Ordnung eine verlaͤngte gemacht werden? E. g. Es hat ein Officier eine gevierdte Schlacht⸗Ordnung, 98. Mann in einem Glied, und 98. Glieder, wolte gerne 120. Mann in einem Glied haben, wie viel Glieder wird er alsdann bekommen? ich nehme von der Linea Arithmetica directè 120. ſtelle ſolche in Lineam Geometricam transver- ſim zwiſchen 606. und 60. als 120. halben Theil, (weilen die Linea Geome- trica nicht ſo viel Theil haͤlt,) laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, her⸗ nach nehme ich von der Linea Arithmetica directè 98. und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche auf der Linea Geometrica eintreffe, finde zwiſchen 40. und 40. deſſen Duplum iſt 80. ſage alſo, daß 80. Glieder, und in jedem Glied 120. Mann zu ſtehen kommen. D 2 Durch 28 Von der Linea Geometrica. Durch Rechnung wird es alſo verrichtet: Erſtlich quadr. ich 88 9 784 882 mit 12]0. Mann div. 9606 4 ſo viel Mann, Fac. 80 ſo viel Glieder wird er bekommen. Verlangte man aber 80. Glieder zu ſtellen, und die Frage waͤre, wie viel Mann in ein Glied ſolten geſtellet werden? ſo nehme ich von der Linea Arithmetica directè 80. ſtelle ſolche in Lineam Geometricam transver- ſim zwiſchen 80. und 80. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen; hernach nehme ich von der Linea Arithmerica directè 98. und ſehe, zwiſchen wel⸗ chen gleichen Zahlen ſolche eintreffen; finde aber, daß die genommene Laͤn⸗ ge 98. zwiſchen dieſe Aufſperrung der Lineæ Geometricæ nicht kan geſtel⸗ let werden, derowegen nehme ich directè den halben Theil aus 98. iſt 490. und ſehe, wo ſolche eintreffen; finde zwiſchen 30. und 30. dieſe ſoll ich du⸗ pliren, ſo muß ich mit 4. multipliciren, gibt 120. Mann in einem Glied. Hieraus erhellet, daß Geometricè duphiren iſt mit 4. und tripliren mit 9. multipliciren; dann, wann ich von der Linea Geometrica directè I. neh⸗ me, und ſchlage den Hand⸗Circul um, ſo finde ich 4. das heißt duplirt; ſchlage ich den Hand⸗Circul noch einmal um, ſo finde ich 9. das iſt tri⸗ plirt, ꝛc. Oder, ich nehme von der Linea Arithmetica directè 80. ſtelle Ele in Lineam Geometricam transverſim zwiſchen 40. und 40. als dem alben Theil aus 80. hernach nehme ich ferner directè 98. und ſehe, zwi⸗ ſchen welchen gleichen Zahlen ſolche eintreffen, finde zwiſchen 60. und 60. dieſe quplirt, weilen ich 80. halbirt, gibt 120. Alſo auch durch Rechnung, wann ich den Quadrat-Inhalt 9604. di en „und mit 80. dividire, ſo bekomme ich 120. Mann in einem Glied zu ſtellen. 7. Wie wird zwiſchen zweyen Zahlen Media Pro- portionalis gefunden: Es werden gegeben 40. und 90. zu dieſen ſoll ich Mediam Proportio- nalem finden; ſo nehme ich von der Linea Arithmetica directè 40. ſtelle ſolche in Lineam Geometricam transverſim zwiſchen 40. und 40. und un⸗ verruckt nehme ich die Weite zwiſchen 90. und 90. gibt directè auf der Li- nea Arithmetica 6o, die Mediam Proportionalem: oder ich nehme von der der Un der 6⁰ gi⸗ en. ,wie Line SVer⸗ tnach wel⸗ geſtel⸗ e. Hau. ſed. it 9. neh⸗ Mitt; Ptri. ſeke dem 60. 604, Gd rtio⸗ ſele d⸗ bon der Von der Linea Geometrica. 29 der Lin. Arith. 90. ſtelle ſolche in die Lin. Geom. zwiſchen 90. und 90. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 40. und 40. gibt directè auf der Linea Arithm. 60. mediam proportionalem, verhaͤlt ſich alſo 40. zu 60. wie 60. zu 90. Durch Rechnung wirds alſo verrichtet: Ich multiplicire 40. mit 90. und extrahire, ſo bekomme ich die me⸗ diam proportionalem 60. als 40 90 3600 60. Fac. — 0 Nota. Wann ich von der Lin Arithm. 4o. directè nehme, und in die Lin. Geom. zwiſchen 40. und 40. ſtelle, iſt ſo viel, als wann ich 40. quadrirte, daß ich aber die Weite auf der Lin. Geom. zwiſchen 90. und 90. nehme, und directè quf der Lin. Arithm. meſſe, iſt ſo viel als extraheren, das iſt, ich haͤtte ſollen 40. mit 90. multipliciren, und alsdann extrahuren, ſo allhier auf dem Proportional-Circul die mediam proportionalem gibt. 8. Wie wird ſolches durch Linien verrichtet? E. g. Es hat einer ein Stuͤck Feld, ſo gleiche Winckel hat, und iſt lang 64. und breit 16. Ruthen; darfuͤr will ihm ein anderer ein gevierdtes Stuck, von gleichen Seiten und Winckeln, einhaͤndigen, iſt die Frag, wie lang jede Seite ſeyn ſolle? Hier nehme ich die Breite a b, 16. ſtelle ſolche in Lineam Geometricam transverſim zwiſchen 16. und 16. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 64. und 64. gibt die Lineam e h, 32. Oder ich nehme die Laͤnge a e. 64. ſtelle ſolche zwiſchen 64. und 64. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 16. und 16. gibt auch das Latus e h, 32. Iſt alſo das Quadrat B, ſo groß am Inhalt, als das Oblongum A. Vigde Fig. 40. 9. Wie kan durch Buͤlffe dieſer Lineæ ein juſtes Quadrat aufgeriſſen werden? — Ich nehme hier die Seite des Quadrats, B, ſtelle ſolche zwiſchen eine be⸗ liebige Zahl, als hier zwiſchen 10. und 10. transverſim in Lin Geom. und mache darmit aus e den Bogen in g, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 20. und 20, gibt die Diasonal- kieam g h, ſolche ſtelle ich in 6 3 nach 30 Von der Linea Geometrica. nach g, wo nun der Bogen in durchſchnitten wird, dahin ziehe ich das Perpendiculum e g, und formire darmit das Quadrat. Vide Fig. 40. Aus dieſem erhellet, daß das Quadrat der Diagonal-Lini doppelt ſo groß iſt, als das Quadrat der Baſeos oder der Seiten, weilen 10. gegen 20. auf der Linea Geometrica genommen das Duplum iſt. Durch Rechnung die Diagonal-Lini eines Quadrats zu finden. Geſetzt, die Seite eines Quadrats waͤre 12. fragt ſich, wie lang die Diagonal-Lini ſeye? 12 —9 12 24 12 144 2 Extr. 288 17 ſo lang waͤre die Diag. Linie. I1I . 188 27 189 Dieſes iſt eben ſo viel, als wann ich zwiſchen 12. und 24. mediam proportionalem ſuchen wolte, als: 24 12 —— 48⁸ 24 288 17. Das iſt die Media Prop. oder die 1 Diag. Linie des Quadrats. 188 27 189 Alſo, wann ich auf der Lin. Arithm. directè 12. nehme, und zwiſchen 12. und 12. quf die Lin. Geom. ſtelle, ſo wird zwiſchen 24, und 24. als dein uploò das 0. ſtſo 120. die liam N 1o Von der Linea Geometrica. 31 duplo von der Lin. Geometr. genommen, und auf der Lin. Arithm. dire- e gemeſſen, wird 17. die Diagonal oder die med. proport. geben. 10. Wie ſoll die Diagonal-Linea eines Oblongi, oder die Hypothenuſa eines Anguli recti gefunden werden: E. g. Es iſt ein Thurn, 5o. Ellen hoch, und um denſelben ein Graben, 18. Ellen breit; auſſerhalb dieſes Grabens ſoll eine Leiter angelehnet wer⸗ den, welche die 24. Ellen hoch am Thurn erreichen ſolle, nun fragt ſichs, wie lang die Leiter ſeyn muͤſſe? Dieſes zu erfinden, nehme ich erſtlich das Latus 24. wohin die Leiter reichen ſolle, aus einem Maaß⸗Stab, oder von der Linea Arithmetica directè, ſtelle ſolche in Lineam Geometricam transver- ſim, zwiſchen eine beliebige Zahl, als hier zwiſchen 60. und 60. laſſe das In⸗ ſtrument unverruckt liegen; hernach nehme ich von der Linea Arithme- tica das Latus 18. als die Breite des Grabens, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen in der Linea Geometrica ſolche eintreffe, finde zwiſchen 34. und 34. addire dieſe Zahlen 60. und 34. gibt 94. nehme alſo noch unverruckt die Weite zwiſchen 94. und 94. gibt auf der Linea Arithmetica directè 30. die Diagonalem oder Hypothenuſam, das iſt die Laͤnge der Leiter. Daß ich allhier von der Linea Arithm. 24. directè nehme, und auf die Lin. Geometricam, zwiſchen einer beliebigen Zahl als 60. ſtelle, iſt ſo viel als quadrirt, ob es wohl das wahre Quadrat nicht ſelbſt iſt; hernach das andere Latus 18. von der Lin. Arithm. directè nehme, und ſehe, wo es in der Lin. Geom. einſchlaͤgt, als zwiſchen 34. das iſt quadrirt nach voriger Proportion, ſolche Quadrata, als 34. und 60. addirt, und von der Linea Geometr. genommen, und auf der Linea Arithmetica directè gemeſſen, das iſt, extrahiren gibt 30. die Hypothenuſam. Durch Rechnung wirds alſo gemacht: Baſ. 18 ◻ 24 Cathetus. 18 24 644 96 18 48 324 576] 224 add. extr. 900] 36 ſo lang wird die Hypo- 91 thenuſa ſeyn. 000 Den 32 Von der Linea Geometrica. Den Cathetum eines Ang. recti zu finden: Solte mir aber die Laͤnge der Leiter 30. Ellen, und die Breite des Gra⸗ bens 18. Ellen bekandt ſeyn, und ich verlangte zu wiſſen, in welcher Hoͤhe die Leiter den Thurn erreichen ſolte; ſo nehme ich von der Linea Arithmetica directè 30. als die Laͤnge der Leiter, ſtelle ſolche in Lineam Geometricam transverſim, zwiſchen 90. und 90. als einer beliebigen Zahl,laſſe das Inſtru- ment unverruckt liegen, hernach nehme ich von der Linea Arithmetica di- rectè 18. als die Breite des Grabens, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche eintreffen, finde beynahe zwiſchen 33. und 33. ſubtrahire ſol⸗ che von 90. Reſt. 57. nehme alſo noch unverruckt die Weite zwiſchen 52. und 57. voͤllig, gibt directè auf der Linea Arithmetica 24. den Cathetum oder die Hoͤhe am Thurn, dahin die Leiter reichen wird. Durch Rechnung wirds alſo verricht: Hypot. 30 Q◻ Baſ. 18 ◻ 30⁰ 18 90⁰ . 144 324 18 extr. 576 24. Cathetus. 324 — –— 176 44 176 0000 Die Baſin an einem Ang. recto zu finden: Solte mir aber die Laͤnge der Leiter, und die Hoͤhe am Thurn, dahin die Leiter langen ſolte, bekandt ſeyn, und ich verlangte zu wiſſen, wie weit die Leiter vom Thurn aufſtehen ſolte, damit ſie dieſe Hoͤhe erreichete. So nehme ich wieder von der Linea Arithmetica directè 30. als die Laͤnge der Leiter, ſtelle ſolche in Lineam Geometricam zwiſchen 100. und 100. als einer beliebigen Zahl, laſſe das Inſtrument unverruckt liegen; her⸗ nach nehme ich directè 24, als die Hoͤhe am Thurn, dahin die Leiter reichen ſolle, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche eintreffen, finde zwi⸗ ſchen 63. und 63. ſolche von 100. fubtrahixrt, Reſt 37. nehme alſo noch un⸗ verruckt die Weite zwiſchen 37. und 37. gibt direétè auf der Linea Arith- metica 18. die Baſin, oder die Weite vom Thurn, dahin die Leiter ſoll ge⸗ ſtellet werden. Vide Fig. 4. 2 . Durch — —,, = — — — — —.—- — Gra⸗ chedie imetica tricanm Unſru. tica di. leicher ire ſo⸗ len 57. hetum dehin eit die oe und het⸗ ichen e zwi⸗ ul⸗ e M⸗ —= =ẽ — lch Von der Linea Geometrica. 33 Durch die Rechnung. Hypoth. 30 ◻ Cathetus. 24 30⁰ 24 900⁰0 96 576 48 324 18 Baſ. 576 I 224 28 224 000 Auf der Linea Arithmetica wird ſolches noch leichter verrichtet, nem⸗ lich: Ich eroͤffne dieſelbe nur nach einem Angulo recto, und nehme die Weite oblique, zwiſchen 24. und 18. gibt directè 30. die Laͤnge der Leiter. Nehme ich aber direcétè 30. und ſtelle ſolche in 18. ſo wird mir der an⸗ dere Fuß des Hand⸗Circuls obliquè in 24. fallen, welches die Hoͤhe am Thurn iſt, ſo die Leiter erreichen wird. Nehme ich dann directè 30. und ſtelle ſolche in 24. ſo wird mir der eine Fuß des Hand⸗Circuls obliquè in 18. fallen, ſo weit muß die Leiter vom Thurn aufgeſtellet werden. . Hieraus kan ein jeder ſehen, was fuͤr herꝛlichen Nutzen dieſes Inſtru- ment geben kan; dahero ich auch, in deſſen Betrachtung, vieler andern Exempeln nicht gedencken will. Wie die Diagonal-Linea eines Trapezii ſoll gefunden werden, das lehret Linea Chordarum. Noch eines Exempels zu gedencken: Es iſt ein Baum, deſſen Hoͤhe ac, 108. Schuh; wann nun ſolcher ſolte abgehauen werden, alſo, daß der Gipf⸗ fel c, von dem Stamm a, 36. Schuh weit fallen ſolte; fragt ſichs, in welcher Hoͤhe der Baum muͤßte behauen und gebrochen werden? ſolches zu ſuchen, ſo eroͤffne ich die Lineam Arithmeticam nach einem Angulo recto, hernach ſtelle ich den einen Fuß des Hand⸗Circuls in 36. thue den andern ſo weit auf, bis er die Lineam Arithmeticam oblique erreichet; als poſito, er treffe in 60. ſo laſſe ich den einen FJuß darinnen ſtehen, und ſehe, wo der andere Fuß directè hinlanget, finde in 130. derowegen thue ich den Hand⸗Circul je mehr und mehr zu, bis ich endlich 108. erreiche: alſo, wann ich ihn in 36. ſtelle, und thue ihn zu, bis ich oblique den 48. Puncten bekommen / aſſe ſolchen in 48. ſte⸗ hen, und ſetze den andern Fuß des Hand Cieruis directè fort, ſo wird er in den 34 Von der Linea Geometrica. den 180. Puncten fallen; ſage alſo, daß der Baum 48. Schuh hoch muͤſſe gbrochen werden, daß er mit dem Gipffel c die Baſin b beruͤhre. Vide ig. 42. II. Wie ſoll der Inhalt einer Figur gefunden werden? E. g. Es werde gegeben ein Quadrat, welches 4. Ruthen breit und lang iſt, ſo multiplicire ich 4. in ſich ſelbſt quadrate, gibt 16. gevierdter Ruthen fuͤr den Inhalt. Vide Fig. 43. Iſt es aber ein Oblongum, oder verlaͤngte Vierung, e g. 12. Schuh lang, und 5. Schuh breit; ſo multiplicire ich die Laͤnge 12. mit der Brei⸗ te 5. gibt 60. gevierdter Schuh den Inhalt. Vide Fig. 44. Iſt es aber ein Triangul, ſo faͤlle ich die Perpendicular-Lineam, und multiplicire die 3½. Baſin mit der gantzen Perpendicular-Linea, oder die 4. Perpendicular-Lineam mit der gantzen Baſi; e. g. die 4. Perpendicular- Linea 20. mit der Baſi 6o. multiplicirt, gibt 1200. Oder die 4. Baſis 30. mit der Perpendicular-Linea 40. gibt auch 1200. den Inhalt. Vide Fig. 45. Iſt es aber ein Rhombus, eine ſchraͤge Vierung, oder ein Rhomboi- des, eine verlaͤngte ſchraͤge Vierung, ſo faͤlle ich das Perpendiculum, und multiplicire ſolches mit der Baſi; e. g. das Perpendiculum 4. mit der Baſi 5. gibt 20. den Inhalt. Vide Fig. 46. Iſt es aber ein Circul, deſſen Diameter a b, 28. ſo ſuche ich deſſelben Circumferenz, und ſage, 7. Diametr. geben 22. Circumferenz, was 28. Diamet. a b? Facit 38. Circumferenz. Hieraus ein ½.e gibt 22. mit dem Diametro 28 multiplicirt, gibt 616. den Inhalt. Oder ich nehme 4. aus 28. dem Diametro, gibt 7. mit der Circumferenz multiplicirt, thut auch 616. den Inhalt. Vide Fig. 4272. Seyynd es aber Trapezia, oder ungeſchickte Figuren, ſo reſolvirt man ſie in Triangula, und operirt, wie oben. 12. Wie kan man die Proportion zweyer gleichfoͤr⸗ migen Figuren erforſchen: E. g. Es werde gegeben das 3. Eck A, deſſen Inhalt 12. Ruthen; nun fragt ſichs, wie groß das 3. Eck B ſeye? ich nehme das Latus des 3. Ecks A, ſtelle ſolches trans verſim in Lineam Geometricam, zwiſchen 12. und 12. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen; hernach nehme ich das Latus des 3. Ecks B, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolches eintreffe, finde zwiſchen 15. und 15. ſage alſo, daß ſie ſich gegen einander verhalten, wie 4. gegen 5. Vide Fig. 48. V Geſetzt, e ſi⸗ gl ro 4) 499 3 22 36 Von der Linea Geometrica. 35 Geſetzt, das Latus des Trianguls A waͤre 20. auf meinem Maaß⸗Stab gefunden, es ſagt aber einer, deſſen Inhalt waͤre 12. quadrat-Ruthen, iſt alſo die Frag, wie viel der Triang. B. am Inhalt halte? welcher auf mei⸗ 0/ nem Maaß⸗Stab 2236. haͤlt? 20 gibt aream triang. A. was gibt 0 11 20 12 2236 7 † 13416 6708 4472 4472 o 11 S 4999696 oder an deſſen Statt △⬤ oꝓg bey nahem. 3 Fac. 15 Area triang. B. 13. Wann aber der Inhalt nicht bekandt waͤre, wie procedirt man: Ich nehme die Seiten eines 3. Ecks, allhier B, ſtelle ſolche zwiſchen eine beliebige Zahl, als hier zwiſchen 92. und 92. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, hernach nehme ich die Seite des 3. Ecks A, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche eintreffe, finde aber nirgend, daß ſie juſt eintrifft; de⸗ rowegen ſetze ich die Seite des 3. Ecks B, zwiſchen eine andere Zahl, als hier zwiſchen 90. und 90. ſo finde ich, daß die Seite des 3. Ecks A, zwiſchen 72. und 72. juſt eintrifft. Iſt alſo die Proportion wie 90. gegen 72. oder wie 5. gegen 4. Vide Fig. 48. , R Alſo operirt man auch mit andern Figuren, ſie moͤgen formirt ſeyn, wie ſie wollen, wann ſie nur gleichfoͤrmig ſeyn. Ich examinire die Seite beyder Triang. auf einem Maaß⸗Stab, ha⸗ 011/ be oben gefunden A 20. und B 2236. dieſe Zahlen jede inſonderheit qua. drirt, finde A 400. und B bey nahem 500. ſchneide die Nulla beyderſeits ab, ſo iſt ihre Proportion wie 4. gegen 5. . 6 2 14. Wie 36 Von der Linea Geometrica. 14. Wie ſollen gleichfoͤrmige Figuren addirt werden: E. g. Hier werden gegeben 3. gleichfoͤrmige Triangula A. B. C. folche ſollen addirt werden; ſo nehme ich die Seite des Trianguls A, ſtelle ſelbige in Lineam Geometricam transverſim, zwiſchen 4. und 4. als einer beliebi⸗ gen Zahl, laſſe das Inſtrument unverruckt liegen; hernach nehme ich die Seiten der Trianguln B und C, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche eintreffen, finde B, zwiſchen 8. und 8. und C, zwiſchen 13. und 13. dieſe Zahlen 4. 8. 13. addirt, machen 25. nehme alſo noch unverruekt die Weite zwiſchen 25. und 25. gibt die Seiten des Trianguli D, welcher am Inhalt ſo groß, als A. B. und C. Vide Fig. 49. Sõ Durch die Rechnung. Erſtlich examinire ich ihre Seite auf einem 1000. Theiligen Maaß⸗ 0 0 1/ O Stab, geſetzt/ ich befinde A 2. B 283. und C 3605. nun quadrire ich eine jede Seite inſonderheit, als: 0,/. 0/ A 2 B 283 C 36 0°11 2 283 36 4 489 216 2464 IO0O0 566 oMs inII1I11 1296 — r bey nahem 13 bey nahem 8. Dieſe Ouadrata 4. 8. 13. addirt und extrahirt, gibt 5. ſo groß als die Triangula A BC. 4 3 —2— extr. 25 5 Der Triang. D. — 00 ſo groß als AB C. 15. Wie ſollen gleichformige Figuren ſubtrahirt werden? Wir wollen obige Triangula wieder gebrauchen, alſo, von D, 25. ſoll 3. und 13. ſubtrahirt werden; ſo nehme ich nur das Latus D, ſtelle ſolches trans- 12 ſche e lebi⸗ hdie len 1 3. tdie amn dit ſl hes us⸗ Von der Linea Geometrica. 37 transverſim zwiſchen 25. und 25. in Lineam Geometricam, und unver⸗ ruckt nehme ich die Weite zwiſchen 8. und 8. gibt das Latus B, und zwi⸗ ſchen 13. und 13. das Latus C, bleibet alſo noch uͤbrig zwiſchen 4. und 4. das Latus A. Vide Fig. 49. Durch die Rechnung. Ich meſſe das Latus D, finde auf meinem 1000. Theiligen Maaß⸗Stab . 17 . 0. §. hernach das Latus C, finde 36. ferner das Latus B, 283. quadrire jede Seite inſonderheit, finde D 25. C 13. und B 8. dieſe 8. und 13. addirt, thut 21. von dem Inhalt D 25. ſubtrahirt, Reſt 4. dieſes extrahirt, gibt 2. als die Seite des Friang. A, ſo von Duͤbrig bleibt. 16. Wie ſoll ein Triangul vergroͤſſert oder ver⸗ kleinert werden:? E.ß g. Es werde gegeben das gleichſeitige 3. Eck A, ſolches aber wird 3. mal groͤſſer verlanget; ſo nehme ich die Seite a b, des 3. Ecks , ſtelle die⸗ ſelbige zwiſchen 10. und 10. als einer beliebigen Zahl, transverſim, und un⸗ verruckt nehme ich die Weite zwiſchen 30. und 30. gibt die Seite a c des 3. Ecks B, welches 3. mal groͤſſer als A. Vide Fig. 5o. Will ich dann die Figur oder das 3. Eck B verkleinern, ſo ſtelle ich ſolche zwiſchen 30. und 30. und nehme unverruckt die Weite zwiſchen 10. und 10. gibt das Latus A, welches 3. mal kleiner als B iſt. Geſetzt, ich meſſe die Seite des 3. Eckes A, und haͤtte befunden auf mei⸗ nem 1000. Theiligen Maaß⸗Stab 4. ſolches quadrire ich, gibt 16. weil es nun 3. mal ſo groß ſoll gemacht werden, multiplicire ich es mit 3. gibt 48. ſol⸗ 6 ,) . 119 ches etrahirt, gibt 693. die Seite des 3. Ecks B, welches 3. mal groͤſſer iſt, als A. Will ich nun den Triangul A, 3, mal kleiner machen, ſo dividire ich 7 0 , 0/ den Inhalt 16. durch 3. kommt 533. dieſes extrahirt, gibt 23. die Seite des kleinern 3. Ecks, welches 3. mal dem Inhalt nach kleiner waͤre, als A. Alſo verhaͤlt ſichs mit allen andern Figuren, ſie moͤgen regular oder irregular, Circul, Trapezia, oder andere ungeſchickte Figuren ſeyn, ſo pro⸗ cedire ich nur mit ihren Seiten, Diametris obder Semidiametris, gleichwie ich bey obigen Triangul operirt habe. 1 Wie 38 Von der Linea Geometrica. 17. Wie ſoll ein Quadrat vergroͤſſert oder verkleinert werden? Solches wird auf obige Weiſe verrichtet; e g. das Quadrat A, ſoll um 2. 3. und 4. mal kleiner gemacht werden, ſo nehme ich die Seite des Quadrats A., ſtelle ſolche zwiſchen eine beliebige Zahl, als hier zwiſchen 60. und 60. in Lineam Geometricam transverſim, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 30. und 30. gibt das Latus B, iſt 2. mal kleiner; zwiſchen 20. und 20. gibt das Latus C, iſt 3. mal kleiner; zwiſchen 15. und 15. gibt das Latus D, iſt 41. mal kleiner, als A. Alſo procedire ich auch, wann ich es vergroͤſſern will, nur daß ich daſſelbe umkehre. Vide Fig. 5§I. Von andern viel⸗ſeitigen Regular-Figuren wird auch nur eine Seite genommen, und darmit gehandelt, wie oben. 18. Wie wird ein ungleich⸗ſeitiger Triangul ver⸗ groͤſſert oder verkleinert: E. g. Es werde gegeben der Triangul a b c, ſolcher ſolle noch eins ſo groß gemacht werden; ſo verlaͤngere ich ſeine 2. Seiten, nehme das Latus a b, ſtelle ſolches in Lineam Geometricam transverſim, zwiſchen 10. und 10. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 20. und 20. gibt das La- tus a d, ferner nehme ich das Latus a c, ſtelle ſolches auch zwiſchen 10. und 10. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 20. und 20. gibt das La- tus a e, ziehe alſo aus e nach d eine gerade Lineam, ſo iſt der Triangul a e d fertig, welcher noch ſo groß, als a b c. Alſo operirt man contra, wann man eine Figur verkleinern will. Vide Fig. 52. 19. Wie ſoll eine Circul⸗Flaͤche vergroͤſſert werden? E. g. Es werde gegeben der Circul⸗Riß a, ſolcher ſolle 2. 3. 4. und 5. mal groͤſſer gemacht werden; ſo nehme ich nur deſſen Semi- Diametrum a b, ſtelle ſolchen in Lineam Geometricam transverſim, zwiſchen eine be⸗ liebige Zahl, als in 10. und 10. und unverruckt nehme ich die Weite zwi⸗ ſchen 20. und 20. gibt den Semi-Diametrum a c, mache damit den Cir⸗ cul⸗Riß, welcher 2. mal groͤſſer; ferner die Weite zwiſchen 30. und 30. ge⸗ nommen, gibt a d, ſo 3. mal groͤſſer, zwiſchen 40. und 40. a e, und zwi⸗ ſchen 50. und 50. a f. Vide Fig. 53. 20. Wie verhaͤlt man ſich in Vergroͤſſerung eines Circul⸗Stuͤckes: Es werde gegeben das Circul⸗Stuͤck A, ſolches ſolle duplirt, oder noch ſo groß gemacht werden; ich verlaͤngere deſſen Semi-Diametrum, nehm. als⸗ ann — – — — — l es 6. en bt ich gn n e I⸗ N bl 6 nn Von der Linea Geometrica. 39 dann a b⸗ ſtelle ſolchen in Lineam Geometricam transverſim, zwiſchen r. und 1. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 2. und 2. gibt den Se- mi-Diametrum a c, wormit das groͤſſere Circul⸗Stuck gemacht wird, ſo noch einmal ſo groß iſt, als A. Vide Fig. 54. 21. Wie ſoll eine ungeſchickte Figur vergroͤſſert oder verkleinert werden: Es werde gegeben die ungleichſeitige Figur ab edef, ſolche ſolle halb ſo groß gemacht werden; ſo ziehe ich aus einem, durch alle Winckel blinde Linien, und ſetze eine Lineam nach der andern in Lineam Geometricam, zwiſchen 20. und 20. transverſim, und nehme allezeit unverruckt die Weite zwiſchen 10. und 10. trage ſolche auf die blinde Linien, ziehe ſelbige Puncten zuſammen, darmit wird die Figur am Inhalt noch ſo klein. Vide Fig. 55. 22. Wann aber eine Flaͤche nach einem gewiſſen Werth oder Preiß verkaufft wuͤrde, wie kan man den Dreiß einer andern gleichfoͤrmigen Flaͤche erkundigen: E. g. Es werde gegeben das Quadrat A, welches 3. Schuh lang, und 3. Schuh breit iſt, ſolches wurde verkaufft pro 3. Gulden. Iſt die Frage, wie viel das Quadrat B werth ſeye, welches einen halben Schuh breiter und laͤnger iſt? Nehme alſo das Latus A, ſtelle ſolches in Lineam Geometri- cam transverſim zwiſchen 45. und 45. (dann 3. Gulden machen 45. Ba⸗ tzen,) laſſe das Inſtrument unverruckt liegen; hernach nehme ich das Latus B, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolches eintreffe, finde beynahe zwiſchen 61. und 67. ein wenig daruͤber; iſt alſo der Werth der Flaͤche B, 4. Gulden, 5. Kreutzer, oder 61½. Batzen. Vide Fig. 56. Durch die Rechnung wirds alſo gemacht: Erſtlich quadrire ich jede Seite des Quadrats, als A 3. gibt 9. und B 3 ², gibt, 12 ¼, hernach ſetze ſolche in die Reg. Detri, und ſpreche: A 3 ◻ koſtet 3 fl. was koſtet B. 3 12 ¼ 3 9 9) 363 7— 7 49 12 ⅓ 2 — 2 4 Fac. 4. fl. 5. kr. ſo viel iſt B werth. 23. Wann 40 Von der Linea Geometrica. 23. Wann aber die Flaͤchenen nicht gleichfoͤrmig, wie operiret man: E. g. Ein Schreiner kaufft ein Duͤllen⸗Stuck Eichen⸗Holtz, welches 16. Schuh lang, und 1. Schuh breit iſt, um 16. Batzen; nun will er wieder eines dergleichen kauffen, iſt aber 12. Schuh lang/ und 2. Schuh, 1. Zoll breit; fragt ſichs, wie viel es gegen dem andern werth ſey? Ich nehme die Laͤnge und Breite der Duͤllen A, ſuche Mediam Proportionalem, finde die Laͤnge a b, 4. hernach ſuche ich auch Mediam Proportionalem zwiſchen der Laͤn⸗ ge und Breite der Duͤllen B, finde die Laͤnge cd, S. Nehme derowegen ab, ſtelle ſolche in Lineam Geometricam transverſim, zwiſchen den Werth 16. Batzen, das iſt, zwiſchen 16. und 16. und laſſe das Inſtrument unver⸗ ruckt liegen; hernach nehme ich die Laͤnge c d, und ſuche, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche eintreffe, finde zwiſchen 25. und 25. Iſtalſo die Duͤl⸗ len B, 25. Batzen werth, gegen der Duͤllen A. Vide Fig. 57. Au0us dieſem und dergleichen Exempeln kan mancher Handwercks⸗Mann groſſen Nutzen und Vortheil ſuchen. Durch die Rechnung wird es alſo verrichtet, wann ich ſpreche: 16 Schuh lang koſtet 16 Batzen A was koſtet B Schuh breit 12 Schuh lang 16) 165 2, breit 1 24 TI 25 Batzen, ſo viel koſtet B. 24. Wann der Inhalt eines Circuls mit deſſen Semi-Dia- metro gegeben wuͤrde, und der Semi-Diameter ſolte vergroͤſſert oder verkleinert werden, womit der begehrte Circul⸗Biß ge⸗ macht wurde, wie koͤnnte man alsdann deſſen Inhalt erforſchen:? E. g. Wann der Diameter eines Circuls iſt 7. und deſſen Inhalt 38 ¾. fragt ſich/ wann der Diam. S. iſt wie viel deſſen Inhalt waͤre? Ich nehme von der Linea Arithmetica directè 7. oder deſſen Duplum 14. ſtelle ſolche in der Linea Geometrica zwiſchen 38 ½. und 38 ¾. hernach nehme ich von der Li- nea Arithmetica directè 8. oder deſſen Duplum 16. und ſehe, in wvelchegiſi ahlen hes eder keitz hnge ſnge an⸗ ab, luth ber⸗ hen ⸗ ohtt ang Von der Linea Geometrica. 41 Zahlen ſolche in der Linea Geometrica eintreffe, finde zwiſchen 50. und 50. bey nahem, welches der begehrte Inhalt ſeyn ſolte. Durch die Rechnung alſo: Diam. gibt Area was gibt Diam. quad. 7 38 3 quadr. 49 64 64 49) 2164 Fac. §oz Wann der Inhalt eines Circuls als 28. gegeben wird, wie iſt deſſen Diameter zu finden. E. g. Ich nehme directè auf der Linea Arithmetica 7. oder deſſen Duplum iſt 14. ſtelle ſolche zwiſchen 38 ¾. und 38 ½. in die Lineam Geome- tricam transverſim, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 28. und 28. und meſſe ſolche directè auf der Linea Arithmetica, finde 12. Dieſes halbirt, gibt 6. den Diametrum. Durch die Rechnung wirds alſo gemacht. 38 ¾ gibt 7 was gibt 28. 7 49 28 — 392 — 2 1372 2 . 77) 2oα 36 bey nahem ſolches extrahirt 43 kommt 6. fuͤr den Diameter. 25. Was hat es fuͤr eine Bewandtnuͤß mit den Waͤſſer⸗Roͤhren: E. g. Es haben 2. Nachbarn ein Waſſer in ihre Behauſung leiten laſ⸗ ſen, welches 150. Gulden Unkoſten verurſachet hat, befinden, daß der Dia- meter der Roͤhren ſo groß, als a b, welcher in einer Stund 90. Maas Waſ⸗ ſer gibt. Nun hat der eine hieran nicht mehr als 5o. Gulden bezahlet, wie groß ſoll eines jeden Diameter der Raͤhren gemacht werden, und wie viel Waſſer 42 Von der Linea Geometrica. Waſſer ſolte wohl ein jeder von ſeiner Roͤhren in einer Stunde bekommen? Nehme alſo den Diametrum a b, ſtelle ſolchen in Lineam Geometricam transverſim, zwiſchen 75. und 75. als 150. halben Theil, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 50. und 50. gibt den Diametrum ac der Roͤh⸗ ren, worfuͤr 100. Gulden, und zwiſchen 25. und 25. gibt den Diametrumad der Roͤhren, fuͤr welche 50. Gulden ausgeleget worden. Ferner nehme ich von der Linea Geometrica directè 90. Maas, ſtelle ſolche transverſim zwi⸗ ſchen 75. und 75. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 50. und 50. gibt directè auf der Linea Geometrica 60. Maas, ſo die Roͤhren a c geben wird; endlich nehme ich noch unverruckt die Weite zwiſchen 25. und 25. gibt directè auf der Linea Geometrica 30. Maas, ſo viel wird die Roͤhren a q, in einer Stund Waſſer geben. Vide Fig. 58. Durch die Rechnung alſo: Erſtlich meſſe ich meinen Diameter, welcher vo. Maas Waſſer in einer Stund gibt auf einem lecc i, unr Maaß⸗Stabhb, geſetzt, ich haͤlte befun⸗ den 5o. alsdann operire ich alſo, und ſpreche: fl. geben den Diametrum, was geben fl. 0° . 150 50 quadr. 100 95 2500 100 — 7 150) 250000 .°//1. Dieſes extrahirt 1666 0 6 . — gibt 408. fuͤr den Diameter vor 100, fl. Weiter: . ⸗ V fl. gibt den Diam. was gibt fl. 150 50° quadr. 50 2500 50 . 150) 125000 Dieſes extrahirt 833 o ρ u gibt 288 fuͤr den Diameter vor Fo. fl. welcher wieder auf dieſem 1000. Theiligen Maaß⸗Stab gemeſſen und dargeſtellet wird. Weiter n! dm kt ad ich wvi⸗ ſo. ben 25. ken iter⸗ fun⸗ iab iter Von der Linea Geometrica. 43 Weiter die Maas zu finden: fl. geben Maas was geben ſl. 150 90 100 100 15 900 Fac. 60 Maas. fl. geben Maas, was geben fl. 150 90⁰ 50 D 15⁰ 450 Fac. 30 Maas. 26. Wie wird ein Triangul in etliche gleiche Theil getheilet: E. g. Der Triangul ſey a b c, ſolcher ſolle in 3. gleiche Theil getheilet werden, ſo nehme ich nur die Baſin, ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam transverſim, zwiſchen 150. und 150. als einer beliebigen Zahl, und unver⸗ ruckt nehme ich die Weite zwiſchen §o. und §o. darmit theile ich die Ba⸗ ſin in 3. gleiche Theil, und ziehe aus a in jeden Puncten Linien, ſo iſt es geſchehen. Vide Fig. 59. Hier wird nur die Baſis gemeſſen, und durch 3. dividirt, als geſetzt, die Baſis waͤre 60. mit 3. dividirt, gibt 20. fuͤr einen Theil. 27. Wie wird ſolches durch Parallel-Linien verrichtet:? E. g. Es werde gegeben der Triangul a bc, ſolcher ſolle in 3. gleiche Theil getheilet werden. Nehme derowegen die Seite a b, ſtelle ſolche in Lineam Geometricam transverſim, zwiſchen 30. und 30. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 20. und 20. trage ſolche aus a nach b in c. Ferner nehme ich die Weite zwiſchen 10. und 10. gibt a d. Hernach nehme ich die andere Seite ac, ſtelle ſolche auch zwiſchen 30. und 30. transverſim, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 20. und 20. gibt a f, zwiſchen 10. und 10. a g, ſolche Puncten mit Linien zuſammen gezogen, ſo iſt der Triangul a b c durch Parallel-Linien in 3. gleiche Theil getheilet. Vide Fig. 60. . Durch Rechnung alſo: Erſtlich meſſe ich eine jede Seite des Trianguls als a b, und a c: geſetzt, ich haͤtte das Latus a b 40. und a c 50. beſunden „ſo quadrire ich erſtlich das 2 Latus 44 Von der Linea Geometrica. Latus a b 40. gibt 1600. div. ſolche durch 3. macht 533. ſolches extrahire, 7 gibt 222. ſolche aus a nach b in d getragen, hernach ½. Theil aus dem Qua⸗ 0/ drat 1600. gibt 1066. dieſes extrahirt, gibt 326. ſolche aus a R in e ge⸗ tragen, darmit werden 2. Theil abgeſchnitten ſeyn. Der dritte Theil bleibt fuͤr ſich ſelbſten, hernach nehme ich das andere Latus a c So. und procedire wie oben: Man koͤnnte es auch allein durch die Perpendicular-Linie ver⸗ richten, und dann Parallel-Linien mit der Baſin ziehen. 28. Wie ſoll ein Quadrat in gleiche Theil gethei⸗ let werden: E. g. Das Quadrat a b cq, ſolle in 3. gleiche Theil getheilet werden: ſo nehme ich eine Seite, als a b, ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam transverſim zwiſchen 60. und 60. und unverruckt nehme ich die Weite zwi⸗ ſchen 20. und 20. theile damit beyde Seiten ab und c, in 3. Theil, ziehe die Puncten zuſammen, ſo iſt es nach Begehren getheilet. Vide Fig. 61. Wann aber ein gleichſeitiges Quadrat darvon ſolte genommen werden, als von abcd, ſoll der halbe Theil, als ein Quadrat, getheilet werden; ſo nehme ich die Seite a b, ſtelle ſolche in Lineam Geometricam transverſim zwiſchen 100. und 100. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 50. und 5o. ſolche trage ich aus a nach b und diin e und f, und aus e und fin g, ziehe die Puncten zuſammen, ſo iſt es nach Begehren getheilet. Iſt alſo das aͤuſſere Feld ſo groß, als das innere. Vide Fig. 62. 3 Durch die Rechnung alſo: Geſetzt, die Seite eines Quadrats ſeye auf meinem 1000. Theiligen Maaß⸗Stab 60. dieſes quadrire ich, thut 3600. folches ½. gibt 1800. 09 dieſes extrahirt, gibt 424. ſolches nehme ich von meinem 1000. Theiligen Maaß⸗Stab, und trage es aus a nach b in e, und aus a nach d in f, und formire daraus das Quadrat. 29. Wie ſoll ein Quadrat oder gleichſeitiges viereckichtes Feld in ungleiche Theile getheilet werden? E. g. Das Quadrat abc d, ſoll in 3. ungleiche Theil getheilet werden, alſo, daß der erſte Theil 3. der andere 2. und der dritte 1. Theil habe, ſolche Zahlen 3. 2. und 1. addirt, machen 6. nehme alſo das Latus a b, ſtelle ſol⸗ ches in Lineam Arithmeticam transverſim zwiſchen 60. und 60. und un⸗ verruckt nehme ich die Weite zwiſchen 30. und 30. trage ſolche aus a in k und aus d in g, hernach nehme ich die Weite zwiſchen 20. und 20. trage ſolche L aus — — — — ä — - – — — 1 ſ tr Von der Linea Geometrica. 45 aus f in e, und aus g in h. Oder ich nehme die Weite zwiſchen 50. und 5o. trage ſolche aus a in e, und aus d in h, ziehe ſolche Puncten mit Linien zu⸗ ſammen, ſo iſt es nach Begehren getheilet. Vide Fig. 63. Durch Rechnung alſo: Geſetzt, die Seite a b und c d ſeye eine jede 60. durch 6. dividirt, gibt ein Theil 10. die 2. Theil 20. die 3. Theil 30. 30. Wie ſoll ein ungleich⸗ſeitiges Viereck, an welchem 2. Seiten gleich weit von einander liegen, in gleiche Theil getheilet werden? E. g. Es werde gegeben das Parallelogrammum ab cd, ſolches ſolle in 4. gleiche Theil getheilet werden. So nehme ich die Seite, welche mit der an⸗ dern parallel lauffet, als a d, ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam transver- ſim zwiſchen 40. und 40. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 10. und 10. theile darmit die Lineam ad, in 4. gleiche Theil; hernach nehme ich die Seite bc, ſtelle ſolche auch zwiſchen 40. und 40. und nehme wieder die Wei⸗ te zwiſchen 10. und 10. und theile darmit die Lineam be in 4. gleiche Theil, ziehe die Puncten zuſammen, ſo iſt es nach Begehren getheilet. Vide Fig. 64. Die ſes iſt auch ſonſten gantz leicht: man meſſe nur jede Seite, und theile ſolche in 4. Theil. 31. Wie ſoll ein Parallelogrammum in ungleiche Theil getheilet werden: E. g. Das Parallelogrammum ſeye abcd, ſolches ſolle in 4. 5. und 6. Theil getheilet werden; ſolche Zahlen addirt, machen 15. nehme alsdann die Seite ad, ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam transverſim zwiſchen 150. und 150. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 60. und 60. trage ſolche aus a nach d in e; ferner nehme ich die Weite zwiſchen 5o. und 50. trage ſolche aus e in f; oder ich nehme die Weite zwiſchen 110. und I1I10. und trage ſolche aus a nach f; alsdann nehme ich die andere Seite be, ſtelle ſolche auch zwiſchen 150. und 150. und unverruckt nehme ich die Weite zwi⸗ ſchen 60. und 60. ſolche trage ich aus b nach e in g; ferner nehme ich die Weite zwiſchen 5o. und §0. dieſe aus g in h getragen; Oder ich nehme die Weite zwiſchen 110. und 110. trage ſolche aus b in h, die Puncten eg und h f zuſammen gezogen, ſo iſt es nach Begehren abgetheilt. Vide Fig. 65. Anderſt: Man meſſe nur jede Seite, geſetzt, a d waͤre 50. und ,B . D11/ . . .. b c 45. erſtlich theile 5o, durch 15. gibt 333. dieſes mit 4. multipli- F 3 cirt, 46 Von der Linea Geometrica. 0.1 . . . . . . . cirt, gibt 1332. ſo viel meſſe ich von d nach f, multiplicire ich es aber mit 5. 0 1 „ gibt 1665. die Weite von f nach e, und dann mit 6. gibt 1998. die Weite von e nach a. Alſo auch die andere durch 15. getheilt, gibt 3. mit 4. mul- tiplicirt, macht 12. die Weite von nach h; alsdann mit 5. multiplicirt, macht 15. die Weite von henach g, und endlich mit 6. multiplicirt, macht 18. die Weite von g nach b. 32. Wie ſoll ein Triangul in ungleiche Theil getheilet werden? E. g. Drey Bauren kauffen ein 3. eckichtes Stuͤck Feld a be mit ein⸗ ander um 150. Gulden, daran bezahlt der erſte 60. der andere S0. der drit⸗ te 40. Gulden; ſolches wollen ſie untereinander vertheilen, daß jedem, der Proportion nach, ſo viel vom Feld werde, als ein jeder Geld darfuͤr aus⸗ geleget hat. Nehme derowegen die Baſin a b, ſtelle ſolche in Lineam A- rithmeticam transverſim zwiſchen 150. und 150. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 60. und 66u. ſolche aus a in d getragen; ferner neh⸗ me ich die Weite zwiſchen 110. und 110. dieſe aus a in e getragen, und ſol⸗ che Puncten aus c mit geraden Linien zuſammen gezogen, ſo iſt es nach Begehren getheilet. Vide Fig. 66. Durch die Rechnung wird es alſo verrichtet: Ich meſſe die Baſin auf meinem 1000. Theiligen Maaß⸗Stab, oder im Feld mit Ruthen, geſetzt, ich haͤtte befunden 60. darauf ſpreche ich: fl. gibt die Baſin, was gibt fl. 150 60 60 60 15) 3609⁰ Latus 24 aà d. fl. gibt die Baſin a b, was gibt fl. 150 60⁰ 50 50 15) 300⁰ Latus 20 de. fl. Baſin 5. ite nul. ett, acht ein⸗ rit⸗ der lls⸗ 1A⸗ hne ſol⸗ ach rin alin⸗ Von der Linea Geometrica. fl. Baſin a b ft. 150 60 4⁰ 40 156) 2409 Latus 16 chb. 33. Wie wird ſolches durch Parallel Linien verrichtet?: Ich nehme die Lineam c a, ſtelle ſolche in Lineam Geometricam transverſim, zwiſchen 15. und 15. und unverruckt nehme ich die Weite zwi⸗ ſchen 9. und 9. trage ſolche aus e in d; ferner nehme ich die Weite zwiſchen 4. und 4. und trage dieſe aus e in e; hernach nehme ich das Latus cb, ſtelle ſolches auch zwiſchen 15. und 15. transverſim, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 9. und 9. trage dieſe aus cin f, und endlich die Weite zwiſchen 4. und 4. genommen, aus c in g getragen, ziehe die Puncten eg und f d zuſam⸗ men, damit iſt das Feld nach Begehren getheilet. Vide Fig. 67. Durch die Rechnung. Ich meſſe das Latus, welches ich Geometricè, oder durch Parallel-L.i. nien aus dem Winckel e will getheilet haben, geſetzt, die Seite a c ſeye 48. ſolche quadrirt, gibt 2304. dieſes mit 150. dividirt, gibt 1536. mit 4. mul- 0 0/ tiplicirt, als dem erſten Theil, thut 6111ο. dieſes extrahirt, kommt 247. ſo viel wird aus c nach h in e gemeſſen, hernach nehme ich die 2. Theil als 40. und §o. macht 90. multiplicire ſolche mit 1536. kommt 138240. dieſes ex- trahirt, thut 37 18. ſo viel meſſe ich aus e gegen a in e. das dritte Theil bleibt von ſich ſelber uͤber, alſo procedire ich auch mit der Seite b c, und ziehe die Parallel-Linien zuſammen. . 34. Wie ſoll man von einem Triangul oder dreyeckichtem Felde, etliche Ruthen aus einem fuͤrgegebenen Winckel, auf gegenuͤberſtehender Linea abmeſſen E. g. Der FTriangul ſeye a b c, der fuͤrgegebene Winckel a bc, nun ſollen 375. Ruthen darvon abgeſchnitten werden; ſo ſuche ich erſtlich die Perpendicular-Lineam, finde ſolche 30. Ruthen, ſelbige halbirt, thut 15. in 375. dividirt, macht 25. meſſe alſo von a nach c bis in e, 25. Ruthen, ziehe aus b nach e, eine gerade Lineam, ſo iſt der Inhalt des Trianguls a be, 375. Ruthen; oder ich kan von e gegen a, in f. meſſen 25. Ruthen, ſo iſt der Triangul ef b gleich ſo groß, als ab e. Waͤre aber die Linea ac nicht 25. Ruthen lang, ſo waͤre es eine Anzeigung, daß das Stuͤck Feld nicht ſo groß waͤre, daß es 375. Ruthen in ſich begreiffe. Vide Fig. 68. wi 35. le 48 Von der Linea Geometrica. 35. Wie ſollen von einem Triangul etliche Ruthen durch Parallel-Linien abgeſchnitten werden: E. g. Der gegebene Triangul ſeye a bc, von ſolchem ſollen 375. Ru⸗ then abgeſchnitten werden. So faͤlle ich die Perpendicular-Lineam bd, finde ſolche 30. Ruthen lang, wie auch die Baſin 60. Ruthen, ſolche mit 15. als der 4. Perpendicular-Linea, multiplicirt, macht 90ο. Quadrat-Ru⸗ then den Inhalt. Nehme derowegen das Latus a b, ſtelle ſolches in Lineam Geometricam transverſim zwiſchen 90. o. und 90. 0. und unverruckt neh⸗ me ich die Weite zwiſchen 37. 5. und 37. 5. gibt die Laͤnge von b nach g, her⸗ nach nehme ich die Seite beo, ſtelle ſolche auch zwiſchen 90. . und 90. 0. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 37. 5. und 37. 5. gibt die Laͤnge bf, ziehe die Puncten Fund g zuſammen, ſo iſt der Triangul g b f am Inhalt 375. Ruthen. Vid. Fig 69. Durch Rechnung. Wann mir nun der Inhalt eines Trianguls bekandt gegeben wird, als allhier 900. ſo meſſe ich nur auf meinem Maaß⸗Stab, oder im Feld mit Ruthen, die Seiten a b und bec, geſetzt, ich haͤtte befunden die Seite be 36. und a b 48. ſo nehme ich eine Seite darvon als a b 48. quadrire ſol⸗ che, kommt 2304 darnach ſpreche ich: Area Trianguli gibt a b, was gibt 900 quadrir. 48 375 ſo viel darvon 2304 geſchnitten ſoll werden. 3725 — 9SS 8640SS —.— extrah. 960 01/ 3098 ſo viel meſſe ich aus dem Win⸗ Ferner operire ich alſo: ckel b gegen a in g. Area Triang. gibt b c, . was gibt 900 36 quadr. 375 1296 375 9296) 48699 540 extrahirt. 1 2323 ſo viel meſſe ich aus dem Win⸗ S ckel b gegen c in f. 36. Wie „ — — „ℳ— —– — —, — — — — — „ —. — ,(çT —, — — —,,— –m, — N⸗ be, 15. cam neh⸗ her⸗ und halt ne hie Von der Linea Geometrica. 49 36. Wie ſoll ein Triangul aus einem auf einer Seiten ſtehenden Puncten, in begehrte Theil ver⸗ theilet werden? E. g. Es ſoll ein Garten oder dreyeckichtes Feld unter 4. Geſchwiſtrige in 4. gleiche Theil vertheilet werden, alſo weilen an der Seiten a c ein Brun⸗ nen lieget, daß jeder gleichen Zugang zu demſelbigen haͤtte. Erſtlich meſſe ich die 3. Seiten, finde a c, 60. Ruthen, von a nach d, zum Brunnen 20. Ru⸗ then, a c, 48. und a b, 36. Ruthen. An dieſem Triangul finde ich, daß die Seite a b das Perpendiculum iſt, derowegen halbire ich ſolche, thut 18. mit der Baſi 48. bc multiplicirt, gibt 864. Quadrat-Ruthen den Inhalt. Sol⸗ che theile ich in 4. Theil, gibt 1. Theil 216. Ruthen, ſo viel gebuͤhret jedem Theil. Allhier laſſe ich a e fuͤr die Baſin gelten, von e nach d iſt 40. Ruthen, dividire alſo 216. durch 40. gibt 5z. die halbe Perpendicular-Lineam, ſol⸗ che duplirt, macht 10⁄½. dieſe auf die Baſin d c geſtellet; wo nun die Linea b c in e beruͤhret wird, dahin ziehe ich aus d in e eine Lineam, ſo wird der Triangul d e c, 216. Ruthen davon abgeſchnitten. Wann ich nun die Per- pendicular-Lineam eb, oder die Seite e c, duplire, kommt ſolche in k, zie⸗ he df, werden 2. Theil darvon abgeſchnitten. Ferner den dritten und vierd⸗ ten Theil zu finden, laſſe ich a d fuͤr die Baſin gelten, dividire alſo 216. durch 20. gibt 10¾. ſolches duplirt, macht 213. die Perpendicular-Lineam, dieſe auf die Baſin geſtellet, wo nun das Latus a b darvon beruͤhret wird, als in g, aus ſolchem Puncten nach d eine Lineam gezogen, darmit iſt das Feld in 4. gleiche Theil getheilet, daß jedes ohne Hindernuͤß zum Brunnen ge⸗ langen kan. Vide Fig. 70. 37. Wie ſollen von einem Trapezio etliche Ruthen nach Begehren abgeſchnitten werden: E. g. Das Trapezium ſeye a bcd, von ſolchem ſollen 400. Ruthen von a b gegen c d, durch eine Perpendicular-Linea abgeſchnitten werden. Allhier erlaͤngere ich beyde Linien b und ad, wo ſolche einander durchſchnei⸗ den, als in e, daraus wird ein Triangul aeb, aus b faͤlle ich die Perpendi- cular-Lineam bf, meſſe ſolche, finde 16. Ruthen, wie auch die Baſin ef, 31. und af, 11. Ruthen, rechne jedes Rectangulum beſonders aus, finde ebf, 248. und bfa, 88. Ruthen. Nun ſollen zu b fa, 400. Ruthen addirt wer⸗ den, derowegen nehme ich das Latus ef, ſtelle ſolches in Lineam Geometricam transverſim, zwiſchen 24. 8. und 24. 8. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 73.6. und 73.6. gibt das Latus e 8 worauf in g das Perpendicu- lum 50 Von der Linea Geometrica. lum geſtellet, reichet in h. Iſt alſo der Inhalt des Trapezii g abh, 400. Ruthen, ſo von a bcd abgeſchnitten worden. Vide Fig. 71. Durch die Rechnung wirds alſo gemacht. Triangul ebf gibt ef was gibt 248 31 quadr. 736 961 — 26 248) 707296 285⁵2 dieſes extrah. 0 534 vor das Latus eg. 38. Wie wird ein Triangul nach begehrtem In⸗ halt formiret; Z E. g. Es ſoll ein Triangul gemacht werden, welcher am Inhalt 60. Quadrat-Ruthen halten ſolle. Ich dividire dieſe 60. durch eine Zahl, welche ich zur Baſin an dieſem Triangul nehmen vwill, ſolche ſeye allhier 12. gibt den Guotumn 5. welches die a½. Perpendicular-Lineam giebet, ſolche duplirt, thut 10. die gantze Perpendicular-Linea, darff alſo die Perpendicular- Lineam auf die Baſin ſtellen, wohin ich will, werde allezeit 60. und alſo ei⸗ nerley Inhalt finden. Vide Fig. 72. 39. Wann aber die Baſis gegeben wurde, wie iſt ein Trian- gul nach begehrtem Inhalt zu machen: E. g. Es werde gegeben der Inhalt eines Trianguls 6o. Quadrat-Ru⸗ then, daran die Baſis 22. Ruthen halten ſolle; ſo dividire ich die 60. durch 22. kommt i2. die 4. Perpendicular-Linea, ſolche duplirt, gibt 2. die gantze Perpendicular-Linea, oder . dieſe ſtelle ich auf die Baſin, wohin ich will, und formire darmit aus beyden Enden der Baſeos mit Linien an die Hoͤhe der Perpendicular-Lineæ den Triangul ab c, ſo hat ſolcher am Inhalt 6ο. Ruthen. Vide Fig. 73. 40. Wie ſoll ein Triangul nach begehrtem Inhalt, und nach gegebener Hoͤhe, formirt werden? E. g. Es ſoll ein Triangul von 300. Ruthen groß gemacht werden, in welchem die Perpendicular-Linea 20. Ruthen halten folle. Allhier nehme ich den halben Theil der Perpendicular-Lineæ, und dividire darmit den Inhalt, 00, den ⸗ ſ, e 0. 1, n Von der Linea Geometrica. 51 Inhalt, als 10. in 300. macht 30. zur Baſin, darauf ſtelle ich die Perpen- dicular-Lineam wohin ich will, und formire den Triangul. Solte aber der Triangul nach einem gegebenen Winckel formiret werden, geſchiehet ſolches durch die Lineam Chordarum. Vide Fig. 74. A41. Wie kan man zu zweyen gleichfoͤrmigen Figuren die dritte finden? 4 E. g. Es werde gegeben das 3. Eck A und B, zu dieſen ſolle die dritte groͤſſere oder kleinere gefunden werden. Erſtlich erforſche ich ihre Propor- tion, wie ſie ſich gegen einander verhalten, das iſt, ich nehme das Latus A, ſtelle ſolches zwiſchen eine beliebige Zahl, als zwiſchen 10. und 10. in Li- neam Geometricam transverſim, laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, hernach nehme ich das Latus B, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen olches eintreffe, finde zwiſchen 25. und 25. Will ich nun die dritte groͤſ⸗ ere ſuchen, ſo nehme ich das Latus B, ſtelle ſolches transverſim zwiſchen 10. und 10. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 25. und 25. gibt das Latus der Figur C. Will ich aber die kleinere ſuchen, ſo nehme ich das Latus A, ſtelle ſolches transverſim zwiſchen 25. und 25. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 10. und 10. gibt das Latus der Figur D. Verhaͤlt ſich alſo D zu A, wie A zu B; und Czu B, wie B zu A, und iſt die Proportion wie 10. gegen 25. oder wie 2. gegen 5. Vide Fig. 75. Durch die Rechnung. Erſtlich examinire ich ihre Seiten auf einem Maaß⸗Stab, geſetzt, ich 0//1 0° 11// haͤtte bey dem Triangul A befunden 447. und bey dem Triangul B 707. Folgends laͤßt ſichs ſo wohl Arithmeticè als Geometricè machen Triang. A, gibt B, was gibt 0οω1 1 0 1 0°111 447 70⁰7 707 707 447) 499849 1117 fuͤr das Latus C, oder die dritte groͤſſere. Geometricè aber, wann ich die Seite quadrire. 01 0, 447 quadr. 707 quadr. 20 bey nahem. 50 bey nahem. G 2 20. gibt 52 Von der Linea Geometrica. 20 gibt 50 was gibt 50 50 29) 25092 125 extrahire ſolches. 0 1117 deie dritte groͤſſere. Alſo procedire ich/ wann ich die kleinere finden will, und ſpreche nur §0. gibt 20. was gibt 20. Fac. 3. dieſes extrahirt, gibt das Latus des Trianguls D, 0 1 282., oder die dritte kleinere. . . . 42. Wie ſoll man zu 3. gleichfoͤrmigen Figuren . die vierdte finden: E. g. Es werden gegeben die 3. Quadrata, A6. B 9. und C 8. wie ſich nun verhaͤlt A zu B, alſo C zu der vierdten, ſo begehret wird; oder wie Bzu A, alſo C zu der vierdten. So nehme ich das Larus C. ſtelle ſolches in Lineam Geometricam transverſim zwiſchen 60. und 60. als das Latus A, und un⸗ verruckt nehme ich die Weite zwiſchen 90. und 90. gibt das Latus D. 12. nehme ich dann das Latus C. ſtelle ſolches transverſim zwiſchen 90. und 90. und nehme unverruckt die Weite zwiſchen 60. und 60. ſo habe ich das Latus E, 5ʒ. Vide Fig. 76. Durch Rechnung. Dieſes laͤßt ſich ſo wohl wieder Arithmeticè als Geometricè machen. Erſtlich examinire ich ihre Seiten auf meinem 1000. Theiligen Maaß⸗Stab, 7 geſetzt, ich haͤtte befunden, das Latus des Trianguls A 14. B 172. C163. darauf ſpreche ich: gibt B was C 0 05 0° 14 172 163 163 14) 28036 Fac. 20 Das Latus D, oder die 4te groͤſſere. Die kleinere zu finden. B gibt C was A O* 06 △ 172 163 14 . I. — el, 172) 2282 . 132 Die Ate kleinere oder Latus E. Will gibt l, ie ſch uA, neam du⸗ h. 12. doo. atus chen. Stab, / 0 1169. Von der Linea Geometrica. 53 Will ich es nun Geometrieè machen, ſo muß ich jede Seite, die ich auf meinem Maaß⸗Stab befunden, quadriren, und alsdann mit ihren Quadratis operiren, als: 0 0o/ / A 14 quadr. gibt B 172 quadr. was C 163 quadr. 196 29584 26569 26569 196) 786016296 o ioi,Ss, iG. 4010287 dieſes extrah. Fac. 20 Latus D, die 4te groͤſſere. Die vierdte kleinere zu finden: „ 0ι/ △ B 172 quadr. gibt C 163 quadr. was A 14 quadr. 29584 26569 196 196 4 o// 29584 5207524 0111 17603 dieſes extrah. ω/ Fac. 132 fuͤr die 4te kleinere, Latus E. 43. Wann aber die dritte ungleichfoͤrmig gegeben wird, wie ſoll die vierdte darzu gefunden werden: E. g. Obige 2. Quadrata, A 6. und B 9. werden wieder gegeben, und der ungleichſeitige Triangul E, zu welchem ein anderer ſolle gefunden wer⸗ den, der ſich zu dieſem verhalte, wie die Ouadrata A zu B. So nehme ich eine Seite nach der andern des Trianguls E, ſtelle ſolche transverum zwi⸗ ſchen 6. und 6. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 9. und 9. ſo gibt es allezeit die Seiten des Trianguls D, verhalten ſich alſo gegen einan⸗ der, wie 2. gegen 3. Nehme ich aber die Seiten E, und ſtelle ſolche trans- verſim zwiſchen 9. und 9. und nehme unverruckt die Weite zwiſchen 6. und 6, ſo bekomme ich die Seiten des Trianguls C, und verhalten ſich gegen einander, wie 3. gegen 2. Vide Fig. 77. Dieſes wird durch die Rechnung verrichtet wie das vorhergehende. G 3 44. Wie 54 Von der Linea Geometrica. 44. Wie kan man aus einer gegebenen Zahl die Breite und Laͤnge einer Flaͤchen erkundigen? E g. Es bauet ein Herꝛ eine Brucken, iſt 3. mal laͤnger als breit, gibt von einer gevierdten Klaffter ſo viel zu bauen, als die gevierdte Breite der Brucken Klafftern gibt, koſtet der gantze Bau 768. fl. Iſt die Frag, wie lang und breit die Brucke ſeye? Erſtlich theile ich 768. in 3. Theil, thut 256. Gulden; ſo viel koſtet die gevierdte Breite der Brucken; ſolche extrahirt, das iſt, ich nehme von der Linea Arithmetica directè 256. halben Theil, nemlich 128. ſtelle ſolche in Lineam Geometricam transverſim zwiſchen 256. halben Theil, das iſt mit 4. dividirt, nemlich zwiſchen 64. und 64. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 1. und 1. gibt auf der Linea A- rithmetica directè 16. ſo viel Klafftern hat die gevierdte Breite der Bruͤ⸗ cken, und ſo viel, nemlich 16. Gulden, gibt er von der gevierdten Klaffter zu bauen. Dieſe 16. wieder in Lineam Geometricam zwiſchen 16. und 16. transverſim geſtellet, und die Weite zwiſchen 1. und 1. genommen, gibt directè auf der Linea Arithmetica die Breite der Bruͤcken 4. Solche mit 3. als der Laͤnge, multiplicirt, gibt 12. Iſt alſo die Bruͤcke 4. Klafftern breit, und 12. Klafftern lange Vide Fig. 78. 45. Wie ſoll in und um einen Circul ein Quadrat beſchrieben werden? E. g. Der Circul ſeye a b c d, ich nehme deſſen Semi- Diametrum ac, ſtelle ſolchen in Lineam Geometricam transverſim zwiſchen 25. und 25. als einer beliebigen Zahl, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 50. und F§o. gibt die Seiten des innern Quadrats a b cd, wie auch die halbe Diagonal-Lineam des aͤuſſern Quadrats und den Semi-Diametrum des groͤſſern Circuls; ferner nehme ich die Weite zwiſchen 100. und 100. gibt die Seiten des groͤſſern Quadrats, ſo um den Circul a b c d beſchrieben wird; alſo kan mit der Seiten ad, oder Semi-Diametro ef, der Circul um das groͤſſere Quadrat beſchrieben werden. Verhalten ſich alſo die Quadrata und Circuli gegen einander, wie 1. gegen 2. Vide Fig. 79. Durch Rechnung: Erſtlich nehme ich den Semi-Diameter a e, meſſe ſolchen auf einem 2 △ 1000. Theiligen Maaß⸗Stab, geſetzt, ich haͤtte befunden 10. ſolche quadrire ° ich, macht 100. dieſes duplirt, thut 200. ſolches extrahire, gibt a14. das iſt die Seite a d des innern Quadrats, ſo in den Circul beſchrieben wird/ end zugleic =,6 — — —. — —— — — —— — ite htit, tet ,wie 25, hitt, heit, ſchen und⸗ 14 Gru⸗ hffter und gibt it teen 1ae, 25. 5o. lbe des gibt ben umn rata rite ſt ind⸗ ich Von der Linea Geometrica. 55 zugleich auch der Semi-Diameter des groͤſſern Cireuls e f. oder die ½. Dia- gonal-Linie des Quadrats, ſo um den Cireul beſchrieben wird, wann ich nun das Quadrat 100. mit 4. multiplicire und extrahire, ſo gibts 20. das Latus des groͤſſern Quadrats, ſo um den kleinen Eircul beſchrieben worden, ver⸗ haͤlt ſich alſo der Semi-Diameter ae des kleinern Circuls zu der Seiten des groͤſſern Quadrats, ſo um den Circul beſchrieben worden, wie 1. gegen 2. Arithmeticè, Geometricè aber wie 1. gegen 4. dann Arithmeticè dupli- ren iſt nichts anders, als Geometricè mit 4. multipliciren. 46. Wie kan man einen halben oder Viertheils⸗ Circul in einen gantzen Circul verwandeln: E. g. Es werde gegeben der ½. Circul bet, und der Quadrant a eb, und ſolle ein jeder inſonderheit in einen gantzen Circul verwandelt werden. So nehme ich den Semi-Diametrum a b, ſtelle ſolchen zwiſchen eine beliebige Zahl, als hier zwiſchen 20. und 20. in Lineam Geometricam transverſim, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 10. und 10. gibt den Semi- Diametrum cb, des gantzen Circuls, welcher ſo groß als der halbe Cireul; nehme ich dann die Weite zwiſchen 5. und 5. gibt den Semi-Diametrum a d, des kleinern gantzen Circuls, welcher ſo groß am Inhalt, als der Quadrant a e b. Vide Fig. 8o0. Durch Rechnung: H Ich meſſe den Semi-Diametrum a b des 2. Circuls, geſetzt, ich haͤtte befunden auf meinem 1000. Theiligen Maaß⸗Stab 10. dieſes quadrire ich, i thut 100. ſolches halbirt, macht 5o. extrahire dieſes, kommt 7 riden Semi- Diametrum bc des gantzen Cireuls, der ſo groß iſt, als der halbe, wann ich nun das Quadrat 100. mit 4. dividixe, weil es ein Quadrant iſt, oder der ate Theil des Circuls, kommt 25. ſolches extrahire, gibt 5. vor den Semi- Diameter des kleinen gantzen Eirculs, welcher ſo groß iſt, als der Quadrant. Alſo kan hingegen ein gantzer Cireul in einen halben, Viertheil⸗ oder Achttheil⸗Eircul verwandelt werden. 47. Wie ſoll ein Triangul in ein Parallelogrammum oder in ein Quadrat verwandelt werden? E. g. Der Triangul ſeye a b c, nehme alſo deſſen ½ Perpendicular- Lineam, ſtelle ſolche auf der Baſis End⸗Puncten, und mache daraus das Oblongum ab d e, ſuche ich aber zwiſchen der Baſi a b und der 1. Perpen- dicular-Linea b e, Mediam proportionalem, gibt ſolche die Seite des Quadrats gfhb. Vigde Fig. 81. Sch 56 Von der Linea Geometrica. Ich meſſe die Baſin des Trianguls auf einem 1000. Theiligen Maaß⸗ Stab; geſetzt,ich haͤtte befunden a b 40. das gantze Perpendiculum 20. neh⸗ me alſo nur das 4. Perpendiculum als 10. und ſtelle es an beeden Enden Winckel⸗recht auf, ſo gibt es ein Parallelogrammum; wann ich aber das t. Perpendiculum mit der gantzen Baſi multiplicire, macht 400. ſolches ex⸗ trahirt, gibt 20. das Latus des Quadrats b h. Von der Linea Tetragonica. TABULA TETRAGONICA. Punbtum Fig. Latus. 3. IOOOO. 4. 6580. 5§.* 5017 6. 40822 7* 34522 8. 2995* 9. 2647. 10. 23722 II,. 2150. 12. 1967. 13. 1812. 14. 1680. 15. 1567. 16. 1467. 17. 1380. 18. 1303. 19. 1233. 20. 1171. Semi-Diameter. O. 3712. I. Was iſt die Linea Tetragonica⸗ ieſe Linea ſtellet vor den Inhalt der Regular-Figuren, welche gleiche Seiten und gleiche Winckel haben, vom 3. Eck bis auf das 20. Eck. Wann alſo eine Seite einer Regular-Figur gegeben wird, kan man ſolche nach Begehren dem Inhalt nach in eine anders verwaneln⸗ eß⸗ haaß⸗ neh⸗ nden er das 65 ex. eſche uf furd, ldein, Von der Linea Tetragonica. 57 deßgleichen kan auch der Inhalt eines Circuls in eine Regular-Eck⸗Figur, und hingegen eine Eck⸗Figur in einen Circul verwandelt werden. 2. Aus was Fundament wird obige Tabell gerechnet: Erſtlich muß man wiſſen, daß die gantze Laͤnge der Lineæ Tetrago- nicæ (worauf alle Puncten der Seiten der Regular Figuren aufgetragen,) 10000. Theile halte, welche die Seite eines gleichſeitigen 3. Ecks vorſtellet, worinnen ein jeder Winckel 60. Grad, deſſen Sinus oder Perpendiculum cd, 8660. mit der halben Seiten oder Baſi bd 5οο. multiplicirt, giebt den Inhalt 43 300000. des 3. Ecks. Vide F ig. 82. Will ich nun die Seite des Quadrats erfinden, welches auch dieſen Inhalt haben ſolle, ſo ziehe ich aus dieſem Inhalt Radicem quadratam, giebt 6580. die Seite des Quadrats; will ich den Diametrum Circuli ſuchen, ſo ſpreche ich: 11. geben 14. was Area? 43300000. Facit, §5 1090. 90. Hieraus Radicem quadratam extrahirt, gibt 7424. den Diametrum, ſolches halbirt, gibt 3712. den Semi-Diametrum. Aber die Seiten der andern Regular-Figuren nach dieſem Inhalt zu erfinden, iſt etwas muͤheſamer: E. g. Die Seite des 5. Ecks zu bekommen, laſſe ich ſolche fuͤr 1000. Theil gelten, da dann ein 5§. Eck in 5. Triangulæ reſolvirt wird, und rechne erſtlich von dieſen einen Triangul aus, worinnen der Angulus Centri 72. Grad, die Polygon-Winckel aber jeder 54. Grad hat; weilen mir nun die Seite ab, 10000. und die Winckel bekandt ſeyn ſo ſpreche ich; Ut Sinus Anguli deb 36. Log. 9. 76922. Ad Latus oppoſitum db, 5ooo. Log. 3. 69897. Ita Sinus Anguli cb d, 54. - Log. 9. 90796. Log. 13. 60693. Ad Perpendiculum cd, 6882. Log. 3. 83771. Dieſes Perpendiculum c d, 6882. mit der 4. Baſibd. 5000. multi- plicirt, gibt Aream oder den Inhalt 44410000. des Trianguli eines 5. Ecks, multiplicire alſo ſolchen Inhalt mit 5. weilen 5§. Triangula ſeyn, macht 172050000. den Inhalt des 5. Ecks. Nun aber ſolle der Inhalt nur 43300000. gleich obigem 3. Eck halten, ſo ſetze ich es in die Regul De-Tri, Und ſpreche: H.H Der 58 Von der Linea Tetragonica. Der Inhalt des 5. Ecks, hat zur Seite, was hat der Inhalt des 3. Ecks zur 172050000. 10000. 43 300000. Seite? Facit, 2516. mit 10000. multiplicirt, als der Seite des 5. Ecks, 25 160000. Hieraus Radicem quadr. extr. Facit, §5017. die Seite des §5. Ecks. Auf die Weiſe werden die andern Seiten der uͤbrigen Regular-Figu⸗ xren erfunden. Vide Fig. 83. Diieſes auf unſerm Inſtrument zu erfinden, ſo halbire ich die vordere Zahlen des Inhalts, 1720. und 433. gibt 860. und 216. Nehme derowe⸗ gen von der Linea Arithmetica directè die Seite 100. O. ſtelle ſolche in Lineam Geometricam transverfim, zwiſchen 86. . und 86. 0. und unver⸗ ruckt nehme ich die Weite zwiſchen 21. 6. und 21. 6. gibt auf der Linea Arithmetica directè §o. 2. die Seite des 5. Ecks. 3. Wie ſoll eine gegebene Regular- Figur in einen Circul verwandelt werden? E. g. Es werde gegeben das Quadrat, ſolches ſolle in einen Circul ver⸗ wandelt werden. So nehme ich nur eine Seite des Quadrats, ſtelle ſolche in Lineam Tetragonicam transverſim zwiſchen 4. und 4. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen dem Zeichen O des Cireuls, gibt deſſen Semi- Diametrum, welcher ſo groß am Inhalt, als das Quadrat. Vide Fig. 82. Durch die Rechnung alſo: Geſetzt es wurde mir gegeben die Seite eines Quadrats 20. auf einem 1000. Theiligen Maaß⸗Stab genommen, ſolches ſolle in einen Cireul ver⸗ wandelt werden, der mit dem Quadrat gleiches Inhalts waͤre, ſo ſuche ich in der Tabell das Latus des Quadrats, finde 6580. und den Semi-Diamet. des Circuli 37 12. hierauf ſpreche ich: Das Latus des gibt den Semi-Diameter was gibt das in der Tabell 6580 in der Tabell 37 12 Latus 20. * 20 ⸗ 6580) 74240 011/ Fac. 1128 Semi-Diameter Cir- culi. Oder Oder alſo: B Area gibt den Diam. was gibt Von der Linea Tetragonica. 59 11 20 quadrirt. 0— 1 — 14 Area 400 Quadrati. 14 11) 5600 oii, extrahire dieſes 50909ο 01 / Fac. 2256 Diam. Circuli. 01/ , . 1 126 Semi-Diameter. 4. Wie ſoll ein gegebener Circul in ein Quadrat oder in ei⸗ ne andere Regular Figur verwandelt werden?: Ich nehme in voriger 82. Figur den Semi-Diametrum des Circuls „ ſtelle ſolchen trans verſim zwiſchen das Zeichen des Circuls, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 4. und 4. gibt das Latus des 4. Ecks; zwiſchen 5· und §. die Seiten eines 5. Ecks, und ſo fort an. Durch Rechnung alſo: Dieſes iſt nur umgekehrt, und wird alſo gemacht: Semi Diam. Circuli gibt das Latus was Semi Diam. Circul. . 0/ 3712 6580 1128 1I128 3712) 7422240 0° 11/ 1999 Oder bey nahem 20. Latus Quadrati. Oder alſo: Diam. Area, was Diin. Circuli. 0/ 1 1I1 2256 quadrirt, o SIsSH 14 5089536 II 14) 55984896 οσiIIWe, dieſes extrah. 3998921 0öi Fac.- 1999 Oder bey nahem 20. Latus Quadrati. H 2 5. Wie 60 Von der Linea Tetragonica. 5. Wie ſoll eine jede Regular- Figur in eine andere . verwandelt werden? E. g. Es werde gegeben die Seite des 4. Ecks ab, Fig. 84. ſolches ſolle in ein 5. Eck, oder in eine andere Regular Figur verwandelt werden. So nehme ich die Seiten ab des Vierecks, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 4. und 4. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 5. und 5. gibt die Sei⸗ te c d des 5. Ecks, und alſo zwiſchen 6. und 6. die Seite des 6. Ecks ef, und ſo fort an. Vide Fig. 85. Durch die Rechnung alſo: Hier gehe ich nur wieder in die Tabell, und ſehe wie ſich das 4. Eck ge⸗ gen dem 5. Eck verhaͤlt; geſetzt die Seite des Quadrats ſeye wieder 20. ſol⸗ ches ſolle in ein 5. Eck verwandelt werden: iſt die Frag nach der Seiten des 5. Ecks, ſo ſetze ich alſo: Latus Quadrati gibt das Latus des 5. Ecks, was Latus Quadrati, 6583 590 17 20 20 659) 100346 0 / . . Fac. 1525 fuͤr das Latus des 5. Ecks. 6. Wie koͤnnen unterſchiedliche Regular- Figuren, wann ſie nicht eines Inhalts ſeyn, in eine Regular-Jigur, oder in einen Circul verwandelt werden? E. g. Es werden gegeben ein 3. Eck A, 4. Eck B, 5. Eck C. und ein6. Eck D, deren eine jede Seite 40. Pedes haͤlt, ſolche ſollen in eine Figur verwan⸗ delt werden; erſtlich verwandle ich das 3. 5. und 6. Eck, jedes in ein Qua⸗ drat. Das iſt: Ich nehme die Seite des 3. Ecks A, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 3. und z. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 4. und 4. gibt die Seiten des Ouadrats A. Die andere Figur iſt ſchon das Quadrat B, nehme alſo die Seiten des 5. Ecks C, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 5. und 5. und nehme unverruckt die Weite zwiſchen 4. und 4. das giht die Seiten des Quadrats C. Endlich nehme ich die Seiten des 6. Ecks D. ſtelle ſolche trans⸗ verſim zwiſchen 6. und 6. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 4. und 4. gibt die Seiten des Quadrats D. Solche nun in ein Quadrat, her⸗ nach in ein 5. Eck, oder in einen Circul zu verwandeln, ſo formire ich erſtlich einen Angulum rectum, und ſtelle das Latus des Quadrats A, in die Per- pendicular-Lineam, das Latus des Quadrats B aber auf die Baſin, ziehe die Puneten zuſammen, ſo iſt die Hypothenuſa A B die Seite des Rriern —— — — - ——000,,—/-— en 4. Ser⸗ Sef, ſol n des rati, n .Ec wan⸗ Our gibt NB, und⸗ des ran⸗ enn 4. her⸗ rſich Per- ſehe ſern⸗ Aa: Von der Ljinea Tetragonica. 61 Quadrats, welches ſo groß als A und B. Dieſe Hypothenuſa A B, trage ich auf die Perpendieular-Lineam, gibt A B, ferner nehme ich das Latus C, ſtelle ſolches auf die Baſin in C, ziehe aus A B in C die Hypothenuſam, gibt A B C, ſolche ſtelle ich wieder auf die Perpendicular Linea, gibt A B C. End⸗ lich nehme ich das Latus D, ſtelle ſolches auf die Baſin in D, ziehe auch aus A B Cin D die Hypothenuſam, trage ſolche auf die Perpendicular-Li- neam, gibt A B CD, formire darmit das Quadrat, welches am Inhalt ſo groß, als die 4. Figuren A BCD. Auf der Linea Geometrica koͤnnen die Quadrata gar leicht addirt werden, wie gelehrt worden, wann man ihre Pro- portion zuvor erforſchet, wie ſie ſich gegen einander verhalten. Will ich nun diß groſſe Quadrat in eine andere Figur verwandeln, ſo procedire ich, wie oben, ſtelle nur ſolche Seiten in Lineam Tetragonicam transverſim zwi⸗ ſchen 4. und 4. und in dieſer Aufſperrung kan ich die Seiten der andern Fi⸗ guren haben, alſo auch zwiſchen dem Zeichen des Circuls habe ich den Se- mi-Diametrum des Circuls, ꝛc. Vide Fig. 86. Wer obiges recht verſteht, wie es durch die Rechnung ſolvirt wird, wird ihme dieſes nicht ſchwer fallen durch die Rechnung aufzuſetzen, die Ad- ditio aber der Quadraten iſt bey der Linea Geometrica ſchon angewieſen. 7. Wie ſoll eine jede Irregular- Figur in eine Regular- Figur, oder in einen Circul verwaͤndeit werden: E. g. Es werde gegeben die Irregular Figur ab c de, ſo reſolvire ich ſolche in 3. Triangula, und faͤlle in jedem Triangul die Perpendicular-Li- neam, und ſuche zwiſchen der a. Baſi und der gantzen Perpendicular-Linea, durch Huͤlffe der Lineæ Geometricæ, Mediam Proportionalem, finde bey dem 1. Triangul die Seite eines Quadrats a b, bey dem 2. c d, und bey dem 3. f, ſolche addirt, gibt gh die Seite des Quadrats A, welches ſo groß, als die Irregular- Figur abeqde. Will ich nun diß Quadrat in eine andere Re- gular Figur verwandeln, als in ein 5. Eck, oder in einen Circul, ſo nehme ich die Seite g h, ſtelle ſolche in Lineam Tetragonicam transverſim zwiſchen 4. und 4. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 5. und 5. gibt die Sei⸗ ten des 5§. Ecks B, nehme ich aber die Weite zwiſchen dem Zeichen des Cir⸗ culs, ſo habe ich den Semi-⸗Diametrum des Circuls C. Vide Fig 87. Durch Rechnung: Erſtlich wird ein jeder Triangul an dieſer vielſei⸗ tigen Figur ausgerechnet, deren Inhalt addirt und extrahirt, ſo bekommt man die Seite des Quadrats, welche ſo groß iſt, als die vielſeitige Fi⸗ gur, will ich es aber in eine andere Figur verwandeln, ſo procedire ich wie oben. O 3 Von 62 Von der Linea Subtenſarum Von der Linea Subtenſarum Angulorum Polygonorum. TABULA SuBTENSARUM. Punttum Fig. Subtenſu. Fig. Subtenſa. Semi-Diametr. 3. 5028. 13. 9763. vel Latus. 4. 7111. 14. 9803. 5. 8135. 15. 9835. 6. 8708. 16. 9862. 7 9059. 17. 9884. 8. 9290. 18. 9902. 9. 9449. 19. 9918. 10. 9563. 20. 9931. II. 9648. 25. 9976. 12. 9712. 30. 10000. I. Was iſt die Linea Subtenſarum Angulorum . Polygonorum? das 20. Eck, wie auch das 25. und 30. Eck verfaſſet ſeyn, da dann die Subtenſa des 30. Ecks die gantze Laͤnge der Linex auf unſerm Inſtru⸗ ment, 10000. Theil haͤlt, zwiſchen 3. und 3. aber die Seiten jeder Figur, wie auch der Radius, und zugleich die Subtenſa des 3. Ecks zu finden iſt. 2. Aus was Fundament iſt obige Tabell gerechnet? Ich nehme die Seiten einer Figur, laſſe ſolche fuͤr den Radium ab gel⸗ ten, welcher auf dieſer Linea 5ozS. Theil hat, und zwiſchen 3. und 3. zu finden iſt, beſchreibe darmit einen Circul⸗Riß, dieſer Radius gibt zugleich die Sub- tenſam bd des gleichſeitigen 3. Ecks; wann ich alſo den Eircul in 4. Theil theile, ſo iſt die Zubtenſa be, theile ich ihn in 5. Theil, ſo iſt ſolche bf, und ſo fort an. Iſt alſo die Subtenſa des 30. Ecks bꝛ, das iſt, wann ich den Circul in 30. Theil theile, gibt 1. Theil 12. Grad, welches der Winckel ca 2, der Winckel a bz und az b aber jeder ö. Gr. und der Figur⸗Winckel baz . 168. Grad iſt. Wann ich nun den Diametrum b c, 20000. Theil gelten laſſe, und wolte die Subtenſam bz finden, ſo ſpreche ich: . t S' iſt eine Linea, worinnen die Regular-Figuren vom 3. Eck biß auf — de ſdie tru. ur, Angulorum l'olygonorum. 6 3 Ut Sinus totus vel Radius bz c, 90. Gr. Log. 1I0. 00000. Ad Latus oppoſitum b c, 20000. - Log. 4. 30103. Ita Sinus Anguli bcz, 84. Gr. -⸗ ⸗ Log. 9. 99762. Log. 14. 29865. Ad ſubtenſam bz, 19890. - ⸗ ⸗ Log. 4. 2986 5 Nun will ich, daß die Subtenſa des 30. Ecks 10000. Theil halten ſol⸗ le, welche nach obiger Rechnung 19890. Theil hat, wie viel wurde alsdann der Semi-Diameter ab halten, ſo ſpreche ich ferner: Latus b 2 hat nach obiger Rechnung 19890. und hat zu ſeinem Semi- Diametro a b 10000. was gibt aber die Subtenſa b 2, wann ſie an Laͤnge der ſubtenſen Linie 10000. als die Fundamental. Linie, wornach die ſubtenſa aufgetragen, halten wird. Fac. 5028. a b, oder die Subtenſam des 3. Ecks b d. Latus bz. Semi Diam. ab. was Latus b 2 19890 10000 IOOOO. 10000 19896) 10000000⁰ L Fac. 5028 ab Semi- Diam. oder hd die Win ach munn die Sabtentam 9 D dentcn § Wi ill ich nun die dubtanſam des 4. Ecks befinden, deſſen Figur⸗Win⸗ ckel bae, 90. Gr. das iſt, wann ich den Eircul 360. Gr. in 4. Theil theile/ gibt 1. Theil o. Gr. die Winckel abe und a eb, jeder 45. Gr. ſo ſpreche ich: Ut Sinus Anguli a eb, 45. Gr. - ⸗ Log. 9. 84948. Ad Latus oppoſitum ab, 5oz 8. -⸗Log. 3. 70139. Ita Sinus Anguli bae, 90. Gr. - - Log. 10. 00οοο. Log. 13. 70139. Ad Subtenſam be, 71II. - - .Log. 3. 85191. Alſo auch die Subtenſam des §. Ecks zu finden, ſo theile ich den Circul 360. Gr. in 5. Theil, macht 1. Theil 72. Gr. den Angulum Centri fa c, von 180. Gr. ſubtrahirt, Reſt, 108. Gr. der Figur⸗Winckelbaf, und das Com⸗ plement der Winckel afbund a bk, jeder 36. Grad; darum ſpreche ich: Ut Sinus Anguli b fa, 36. Gr. — .⸗ Log. 9. 76921I. Ad Latus oppoſitum ab, 502 8. - - Log. 3. 70139 Ita Sinus Anguli baf, 108. Gr. - . Log. 9. 97820. Log. 13. 67959. Ad Subtenſam bf, 8135. - - - Log. 3. 91038. Und alſo ferner mit allen andern Eck⸗Figuren. 3. Wie 64 Von der Linea Subtenſarum 3. Wie ſoll auf eine gegebene gerade Linea ein Winckel einer begehrten Figur geſtellet werden: . E. g. Es werde gegeben die Linea ab, worauf ein Winckel eines 5. Ecks ſolle geſtellet werden. Sonehme ich die Laͤnge a b, mache darmit ei⸗ nen Bogen b c, und ſtelle ſolche in Lineam Subtenſarum transverſim zwi⸗ ſchen 3. und 3. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 5. und §. ſtelle ſolche in b; wo nun der Bogen be, als hier in durchſchnitten wird, ziehe ich aus e nach a eine gerade Lineam, ſo iſt der Winckel cab der Figur⸗Winckel eines 5. Ecks, und be die Subtenſa. Vide Fig. 89. Durch Rechnung Geſetzt es werde gegeben das Latus a b, ich ſolle den Winckel eines 5§. Ecks darauf ſtellen, ſo meſſe ich erſtlich das Latus auf meinem 1000. Thei⸗ ligen Maaß⸗Stab, geſetzt ich haͤtte befunden 20. ſo gehe ich in die Tabell, und ſuche wie ſich der Kadius oder die Seite des 3. Ecks verhalte gegen der Sub⸗ tenſa des 5. Ecks, finde wie 5028. gegen 8135. darauf ſetze ich es in die Re⸗ gula De-Tri, und ſpreche: Radius gibt die Subtenſa des 5. Ecks was Radius a b 5028. 8135 . 20 20 5028) 162700 7. . Fac. 32² 36 vor die Subtenſam be des 5. Ecks Oder durch die Trigonometrie. Ut Sinus Ang. a cb 36. Gr. - - Log. 9. 76921. 87⸗ Ad Latus oppoſitum ab 20 - -Log. I. 30103. 00. Ita Sinus Ang. ba c, 108. Gr. - Log. 9. 97820. 63. Log. 11. 27923. 63. .°11 Ad Subtenſam be 3236. - -Log. I. 51001. 76. 4. Wie ſoll an eine gerade Linea, und einen darauf gege⸗ benen Puncten, der Angulus Centri, einer begehrten Figur verfertiget werden? Das Fundament ſolcher Zubereitung iſt, daß der Figur⸗ und Centri- Winckel einer Regular-Figur ſo groß ſeye, als zwey rechte Winckel. Nun wird gegeben die Linea ab, und man begehret, es ſolle an den Puncten b, der Angulus Centri eines §. Ecks geſtellet werden; erlaͤngere demnach die Li- neam ab mit einer blinden Linea, hernach mache ich mit der Laͤnge a b⸗ als em „„ — ckel ines hit ei⸗ mn wi⸗ ſtele ehe ich inckel ints ll vod er Sub⸗ die Re⸗ ius ab 5Ecs bege⸗ Centli⸗ Mn br Neli- b, als dem hei⸗ Angulorum Polygonorum. 65 dem Radio, den Circul⸗Bogen ad c, und ſtelle die Laͤnge a b transverſim zwiſchen 3. und 3. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 5§. und §. gibt die Subtenſam c d, trage ſolche aus c gegen d, ziehe b d, ſo gibt a b d, den Angulum Centri eines 5. Ecko. Vide Fig. 90. Durch Rechnung wird es wie oben verrichtet. Nur iſt zu mercken, daß dbe der Figur⸗Winckel, ab d aber der Center-Winckel iſt. 5. Wann ein Winckel gegeben wird, wie kan man wiſſen, welchem Figur⸗Winckel er gleich oder nahe ſey? E. g. Hier werden gegeben die beyde Winckel abe, und def. Ich mache mit einer beliebigen Weite die Boͤgen ca und f d, ſtelle ſolche ge⸗ nommene Weite, als den Semi-Diametrum, transverſim zwiſchen 3. und 3. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, nehme alsdann mit dem Hand⸗Cir⸗ cul die Subtenſam a c, und ſehe, wiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche eintreffe, finde zwiſchen 5. und 5. Iſt alſo abc ein Winckel eines 5. Ecks. Nehme ich aber die Subtenſam fd, und ſehe, wo ſolche eintreffe, ſo finde ich, daß ſie zwiſchen 7. und 7. zu lang, und zwiſchen 8. und 8. zu kurtz ſeye, iſt alſo der Winckel def groͤſſer, als ein Winckel eines 7. Ecks, und kleiner, als eines 8. Ecks. Vide Fig. 91. Durch Rechnung alſo: Geſetzt ich meſſe die Linea b c auf meinem 1000. Theiligen Maaß⸗ 0 1 Stab, und befinde wiederum 20. und die Subtenſa ac 3236. darauf ſtelle ich es in die Regula De-Tri: Semi-Diameter bc gibt in der Tabell was gibt die Subtenſa a e 0 / 20 5028 3236 3236 20) 16270608 . 813530 ſolche ſuche ich in der Tabell, und finde, daß es die Subtenſa des 5. Ecks ſeye. Trigonometricè wirds alſo gemacht: Weilen mir nun alle 3. Seiten bekandt ſeyn, ſo faͤlle ich aus b auf die Lineam ac ein Perpendiculum, darmit bekomme ich 2. rechte Winckel, und die Baſin ac theilet ſich in zwey gleiche Theil, weilen ab und a c einan⸗ der gleich ſeyn, darauf ſpreche ich alſo: J Ut 66 Von der Linea Subtenſarum &c. Dt Latus be 20. Gr. - ⸗ ⸗ Log. I. 30 103. 00. . Ad Sinum tot. ang. 90. Gr. - ⸗ Log. I0. O0αοοιο%⅓ ο. 0 R16/. Ita 2. Latus ac 1618. - - ⸗ Log. I. 20924. 68. S= Log. I1. 20924. 68 Ad ang. quæſ. 54. Gr. -⸗ ⸗ . Log. 9. 90821. 68. ſolche dupl. 2. 108. Gr. Ang ab c, das iſt der Figur⸗oder Polygon- Winckel eines 5. Ecks. 6. Wie ſoll auf eine gegebene gerade Linea eine begehrte Regular-Figur beſchrieben werden: E. g. Es werde gegeben die Seite eines 5. Eckes a b, darauf ſoll ein Regular- 5. Eck beſchrieben werden, ſo nehme ich die Seite a b, mache dar⸗ mit den Eircul⸗Bogen b, und ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 3. und 3. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 5. und 5. gibt die Subtenſam b c. Dieſe Subtenſam theile ich in 2. gleiche Theil, dardurch ziehe ich aus à eine blinde Lineam a d, hernach theile ich a b auch in 2. gleiche Theil in e, richte in e das Perpendiculum auf, ef, wo nun a d inf durchſchnitten wird, gibt af den Semi-Diametrum, beſchreibe darmit den Circul, deſſen Cen- trum f iſt, trage das Latus a b, in der Cireumferentz 5§. mal herum, ziehe die Puncten zuſammen, ſo iſt die Regular-Figur fertig. Vide Fig. 92. Dieſes und folgendes iſt oben ſchon angewieſen, wie es durch die Rechnung zu machen. 7. Wie ſoll zu einem gegebenen Semi-Diametro die Seite, und der begehrten Figur Winckel gefunden werden? E. g. Es werde gegeben der Semi-Diameter ab, zu ſolchem ſolle die Seiten eines 5. Ecks, und derſelben Figur⸗ und Center. Winckel gefunden werden; ſo erlaͤngere ich den Semi. Diametrum ab in c, mache mit a b ei⸗ nen Circul⸗Riß, und ſtelle ſolchen transverſim zwiſchen 3. und 3. und un⸗ verruckt nehme ich die Weite zwiſchen 5. und §5. gibt die Subtenſam c d, iſt alſo bd die Seite des 5. Eckes, dac und dbe der Figur⸗ Winckel, und dann dab der Center-Winckel eines S. Ecks. Vide Fig. 93. Von SZ Bon der Linea Redticſtionis Planoerum & Corpoerum Regalarium- „C. SE iiibeb, IIn eeen n 0I9 - ⸗ neapen) - 000OI IInse L. Sn-e- unoup, I vinqut. * 809 88 bz3 2 828 06 1098 *O00OT vunq qOOen Hpetoesp n peeoh ee apeeee pee e L sne-I1 g eaodio Suot nAſuo ingn . Gagot :Idolo seipHIOS I: seaplos eldmixag quv q esV Jne.xemn a eseeen Jna.- Ig iueIC-Iin g ooοοοορ8v I νvριοοο%ο ρ⅓%1ν 7% «τι ÿοννττâ οοοοιντ οοο *8 89 1088 poroopOCI ob 62861812 299968660601 888 ½ 1IIS6 00ο0οℳ0ο ε8 0οον 2897 8275 Apoejool ooooooοοοàοHο οτ 999999991 00ο 0ο99 000ο0ο°ο0οϑ0οο1ä οο . ᷣ 00oο I . suqny oooοο? οοSoτ1⅓⅞ 8 69 880 b I204 [ooosoggy ooosS 288S 8445 IpoEO ooοοννSρςν οοRοοαο6 666τ 8to II9 οοο0οορ οο1 288 S 8 SE rpeE. 9 . SIdodaog sIpluneaA Siodao) sIaodao æan S A ndn .e *S1A V O00O01 snnoa seip sngun seiplos pusdasgq! snipeg I eeiV Ie.-ieg pusdasq snipegsdaog snie 'shgIxOdxOD sSIdNVINNSNVNI ONJ VINAVI umen umaodcho) uN eg S npe esee ne d. 49 uungen uin din umOoued sluolpnpo veaur o und3. enſamm hauts hird, 9, ſt Cen. ,tiehe unden ab dm⸗ Von in e, 92. ch die bite, ledie Vgon- hte ſol ein he dar⸗ . 68 Von der Linea Reductionis Planorum ie Tafel pro Transmutandis Corporibus auszurechnen, ſo wollen wir vor uns nehmen das Tetraedrum, welches zur Seiten hat 10000. wornach alle 5§. Corpora regularia gerechnet ſeyn. Erſtlich den Radium und die Perpendicular-Linie in dieſem Triangulo zu finden? Weilen nun an dieſem Triangulo die Seiten gleich, ſo faͤllt das Per- pendiculum mitten auf die Baſin: ſolche zu finden, ſo quadrire ich die Sei⸗ ten 10000. thut 100000000. wie auch die ½. Baſin 5ooo. macht 25000000. ſolche Quadrata von einander ſubtrahirt, Reſt 75000000. dieſes extrahirt macht 8661. das gantze Perpendiculum des 3. Ecks, ſo von dem Scheitel⸗ Punct mitten auf die Baſin faͤlt. Wann ich nun dieſes Perpendiculum in 3. Theil theile, macht ein Theil 2887. das iſt das Perpendiculum, ſo von dem Centro des Trianguls mitten auf die Baſin faͤllt, die uͤbrige« aber, als 5773. geben den Radium, wormit ich einen Circul um einen Triangul beſchrei⸗ ben kan, wie dieſe Zahlen in der Tabell ausweiſen. Die Semicircumferentz des Trianguls zu finden ie leicht, wann alle 3. Seiten addirt werden, ma⸗ chen in Summa 30000. ſolche halbirt, macht 15000. das iſt die Semi-Cir- cumferentz. Den Inhalt des Trianguls zu ſuchen, nehme ich die halbe Baſin 5000, multiplicire ſolche mit dem gantzen Perpendiculo 8661. ſo bekomme ich den Inhalt des Trianguls, als 43305000ο. Nun wollen wir auch den Radium und das Perpendiculum Corporis finden; wann ich den Radium des Trianguls 5773. wie auch das Latus des Tetraedri 10000. jedes qua- drire, ſo habe ich 332 175 29. das iſt das Quadrat des Radii; und 100000000. als das Quadrat der Seiten: ſubtrahire ſolche von einander, Reſt ö67 82471. ſolches extrahirt, kommt 8172. das gantze Perpendiculum Corporis, die⸗ ſes theile ich in 4. Theil, gibt 1. Theil 2043. das Perpendiculum Corpo- ris, ſo aus dem Centro Corporis in das Centrum der Flaͤche des Trian- guls faͤllet. Wann ich nun 2043. das Perpendiculum Corporis quadri- re, ſo habe ich 4173849. wie auch den Radium Trianguli 5773. quadrirt, kommt 32217529. beyde Quadrata addirt, thut 37391378. dieſes extra- hirt, kommt 6114. das iſt der Radius Corporis, womit ein Globus oder Sphæra um das gantze Tetraedrum beſchrieben wird. Wann alſo aus dem Centro des Tetraedri in alle 4. Ecke Linien gezogen werden, ſo gibt es 4. Pyra- mides. Den Inhalt eines ſolchen Pyram. zu finden, ſo nehme ich ½. aus dem Perpendiculo 2043. das iſt, 68 1. und multiplicire es mit dem gantzen In⸗ halt des Trianguls 43305000. kommt 29490705000. das iſt der Inhalt tines yram. deſſen Spitze in das Centrum Corporis gehet: weilen nun 4. ſolche Pyram. in dem Tetread enthalten ſeyn, ſo multiplicire ich dieſen Coͤr⸗ perlichen Inhalt 29490705000, mit 4. kommt 117962820000, oder us em den h de wollen en hat Trſich Golo zin aser. 00000. trahirt heitel⸗ nlumig ſo hon Nt, als eſchrei⸗ ferent ,y Mo⸗ ni⸗ Cir. e Baſin onme i den adium 8 ga. 00000,. 24471. 8, die⸗ Lorpo. Trian= Nari- rirt, extka⸗ oder 6 n Pyr˖. den 1 nhott hnna Gor⸗ raus dem & Corporum Regularium. 69 dem gantzen Perpend. Corp. als 8172.. nehme, und ſolches mit dem In⸗ halt des Trianguls multiplicire, ſo habe ich auch den Coͤrperlichen Inhalt des Tetraedr. Wer nun dieſes recht verſteht, wird ſich in die andere Cor- pora leichtlich finden. I. Was wird durch die Linea Reducendorum Planorum &ε Corporum Regularium verſtanden: Erſtlich ſtellet ſie vor den Inhalt des 3. und 4. Ecks, wie auch des Cir⸗ culs. Zum andern den Inhalt der 5. Corporum Regularium, und des Globi, wie ſolche durch einander koͤnnen verwandelt werden, wann die Sei⸗ te einer Flaͤche oder eines Corporis gegeben wird, ſo kan man die Seiten ei⸗ ner andern Figur finden, alſo, daß ſie einerley Inhalt behalten. 2. Aus was Fundament wird dieſe Linea bereitet? Belangend den Triangul, das Quadrat und den Circul, ſo werden ſol⸗ che gerechnet, wie in der Linea Tetragonica geſchehen iſt, derowegen dieſe Zahlen von derſelbigen genommen ſeyn. Die 5. Corpora Regularia und den Globum betreffend, muß man erſt⸗ lich deren Inhalt ausrechnen, und eine jede Seite derſelben, wie auch den Diametrum des Globi fur 10000. Theilgelten laſſen, wie aber ſolche ſollen ausgerechnet werden, wird ein jeder, der einen Pyramidem auszurechnen weiß, den Inhalt gar leicht finden koͤnnen, wie ſolches aus der ausgerechne⸗ ten Tabeh klaͤrlich zu erſehen iſt. Ein Incipient kan ſich aus dem obigen erholen: Dergleichen auch noch in der Linea Cubica vorkommet. Jetzo wollen wir nur aus ihrem Inhalt, die Seiten eines jeden Corporis zu erfin⸗ den, anzeigen, durch welche die Corpora gleichen Inhalt bekommen: dem⸗ nach ſtelle ich ſie nach der Regu! De-Tri, und ſpreche: Der Inhalt des Octaedri, hat zur Seite, was gibt der Inhalt des Tetraedriꝰ 471504840000. 10000. 117962820000, un Facit, 2502. Mit der Seiten 10000. ihrem Quadrat ⸗= . I00000000. multiplicirt, Dieſes cubicè extrahirt, 250200000000. FTacit, 6301. die Seite des ORaedri. Auf ſolche Weiſe werden die andere Seiten auch gefunden. Die Seite des Cubi zu finden, darff man ſchlechterdings nur den In⸗ halt des Tetraedri cubicè extrahiren, ſo bekommt man ſeine Seiten/4005. J 3 Mit 70 Von der Linea Reductionis Planorum Mit dem Diametro Globi hat es eben auch dieſe Beſchaffenheit, wann ich ſpreche: Area Globi, hat am Diametro, was gibt Area Tetraedri? 523600000000 10000 11792850000. Facit, 2253 —òè Mit 100000000. multiplicirt, Dieſes cubicè extrahirt, 22 5300000000 . Facit, 6085. Diametrum Globi. ð Wie ſolches auch aus den Figuren, da die Corpora A, jede Seite 10000. die Corpora B aber die Seiten nach der Tabula Conſtructionis genommen und aufgeriſſen ſeyn, zu erſehen. Vide Fig. 94. M 3. Wie ſoll ein gleichſeitiger Triangul in ein Quadrat oder in einen Circul verwandelt werden: . E. g. Es werde gegeben der gleichſeitige Triangul A, ſolcher ſolle in ein Quadrat und in einen Circul verwandelt werden, nehme derowegen ſeine Seiken, ſtelle ſolche in Lineam Reductionis Planorum & Corporum Regu- larium transverſim zwiſchen das Zeichen des Trianguls, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen dem Zeichen des Quadrats, ſo habe ich die Seite des Quadrats B. Nehme ich aber die Weite zwiſchen dem Zeichen des Circuls, ſo habe ich den Diametrum des Circuls C, welche am Inhalt einander gleich ſeyn. Alſo hingegen, wann der Diameter des Circuls ge⸗ geben wird, ſtelle ich ſolchen transverſim zwiſchen das Zeichen des Cireuls, ſo habe ich unverruckt zwiſchen dem Zeichen des Quadrats die Seiten des Quadrats, und zwiſchen dem Zeichen des Trianguls die Seiten des Trian- Dieſes iſt ſchon oben bey der Linea Tetragonica angewieſen worden, wie ſolches durch die Rechnung zu machen. 4. Wie koͤnnen die Corpora Regularia durch einander verwandelt werden:? ðèð Dieſes wird verrichtet, wie in vorhergehender Quæſtion, durch die Seiten der flachen Figuren, iſt vorgeſtellet worden, als e. g. Es werde ge⸗ geben die Seite eines Wuͤrffels a b, Fig. 97, ſo ſtelle ich ſolche transverſim zwiſchen das Zeichen des Cubi, und unverruckt nehme ich die Weite zwi⸗ ſchen dem Zeichen des Tetraedri, gibt die Seiten eines Tetraedricd; zwi⸗ ſchen dem Zeichen des Octaedri, die Seiteef des Octaedri; zwiſchen dem Zeichen des lcoſaedri, die Seite gh des Icoſaedri; zwiſchen dem Geichen — ſch onm di woo nnen KR ſole in ſeine Regu- tuckk chdie ichen Unhoſt lls ge⸗ reuls, in des Trian- rden; e. de⸗ de ge⸗ erſin tie 1hann ſchen des & Corporum Regularium. 71 des Dodecaedri, die Seite ik, des Dodecaedri; welche, wann ſie formirt werden, alle gleiches Inhalts ſeyn. Vide Fig 96. Durch Rechnung wird es alſo verrichtet, wann ich ſpreche: Latus Cubi in der Tabell gibt Latus, was Latus Tetraed. 4905 20 10000 20 4905) 200000 △/ D 408 Welches ſo groß iſt ð als der Cubus. Alſo operire ich auch mit den andern Corporibus. 5. Wie ſoll ein Corpus Regulare in eine Kugel verwandelt werden: Ich nehme allhier die Seite des obigen gegebenen Cubi, ſtelle ſolche SVenerertinn zwiſchen das Zeichen des Cubi, und unverruckt nehme ich die Beite zwiſchen dem Zeichen des Globi, gibt den Diametrum Im, der Ku⸗ gel. Vide Fig. 97. Durch Rechnung: Ich meſſe das Latus Cubi, geſetzt ich haͤtte befunden 20. ſo ſpreche ich: Latus Cubi in der Tabell gibt was der Diam. in der Tabell. 20 4905) 121700 0/ Facit, 248 6. Wie ſoll eine Augel in ein Corpus Regulare verwandelt werden? Ic nehme den Diametrum der Kugel ! m, ſtelle ſolchen transverſim ſiſchen das Zeichen der Kugel, und unverruckt nehme ich die Weite zwi⸗ ſchen dem Zeichen des Cubi, ſo habe ich die Seite des Wuͤrffels a b, alſo auch unverruckt die Weite zwiſchen den Zeichen der andern Corpo-⸗ rum genommen, ſo bekommt man ihre Seiten, ꝛc. Vide Fig. 96. und 97. Von 72 Von der Linea Corporum Von der Linea Corporum Sphæræ Inſcribendorum. TABULA Laterum CorporumRegularium eidemphæræ Inſcribendorum, poſita Diametro Sphæræ 10000. Particularum. Tetraedr. Oltaedr. Cubus. Loſaedr. Dodecaedr. 8165. 7071. 5774. 5257. 3568. I. Zu was dienet dieſe Linea Corporum Sphæræ IInſcribendorum? ben werden, daß alle Eck der Corporum die Circumferenz der Ku⸗ ie lehret, wie die 5. Corpora Regularia in eine Kugel ſollen beſchrie⸗ gel beruͤhren, und wie lang eine Seite eines jeden Corporis ſeyn ſolle, wann der Diameter einer Kugel gegeben wird; allhier wird die gantze Laͤnge der Lineæ 10000. fuͤr den Diametrum der Kugel geſetzet. 2. Wie wird dieſe Tabell ausgerechnet?: Erſtlich die Seiten des Tetraedri zu finden, ſo quadrire ich den Diame- trum der Kugel 10000. gibt 100000000. Hieraus ¾½. gibt 666666. Aus dieſem Radicem quadratam extrabirt, kommt 8165. die Seite des Tetraedri. Die Seiten des Octaedri finde ich, wann ich das Quadrat des Diame- tri halbire, gibt 50000000. und hieraus Radicem Quadratam extrahire, ſo kommt 707 1. die Seite des Octaedri. . Die Seite des Cubi wird gefunden, wann ich aus 5½. des Quadrats des Diametri, das iſt, aus 33333333. Radicem Quadratam extrahire, kommt 5774. die Seite des Cubi. Die Seite des Icoſaedri wird gefunden, wann ich aus 20000000. als ½. aus dem Quadrat des Diametri, Radicem Quadratam extrahire, ſo bekomme ich 4472. den Semi-Diametrum eines 5. Ecks; aus dieſem finde ich die Seite, wann ich ſpreche, 8507. der Radius des 5. Ecks, hat zur Seiten 10000. was gibt obiger gefundener Radius 4472? Facit, 5257. die Seite des Icoſaedri. r: Endlich die Seite des Dodecaedri ſuche ich, wann ich die obige gefun⸗ dene Seite des Cubi, 5774. nach mittler⸗und aͤuſſerſter Proportion ſhelle⸗ 9 4 Verſi iſc &E run, ſchie⸗ Kl⸗ ſeyn rni fet. iame⸗ As necri. iame⸗ lire, drats Ahire, 000. bire 4 eſenn t zur 257 un⸗ Helle, das Sphæræ inſeribendorum. 73 das iſt, ich quadrire die Seiten des Cubi 5774. b g, thut ⸗ 33339076. das Quadratabge. Solches mit 4. dividirt, gibt ⸗ ⸗ 8334796. das Quadrat a c. Solche Quadrata addirt, gihb -⸗ ⸗ 41673845. das Quadratbc. Hieraus Radicem quadratam extrahirt, komt ⸗ 6456. die Seiteb c. Darvon die halbe Seite des Cubibg oderac, ⸗ ⸗ 2887. ſubtrahirt, reſtirt d a, die Seite des Dodecaedri. Vide Fig. 98. - 3569. 3. Wann der Diameter einer Augel gegeben wird, wie ſollen die Seiten der Corporum Regularium, ſo darein koͤn⸗ nen beſchrieben, gefunden werden? E. g. Es werde gegeben der Diameter einer Kugel ab, ſo ſtelle ich ſol⸗ chen transverſim zwiſchen das Zeichen der Kugel, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen den Zeichen der andern Corporum, ſo habe ich ihre Sei⸗ ten, als e d, iſt die Seite des Tetraedri; ef, des Octaedri; g h, des Hexae- dri oder Cubi; i k, des Icoſaedri, und ! m, des Dodecaedri. Vide Fig. 99. Durch Rechnung. Geſetzt der Diameter Globi waͤre 20. iſt die Frag nach der Seiten des Tetraedri, &c. Diam. Globi in der Tabell gibt was gibt Latus Tetraedri in der Tabell. 10000 20 8165 20 Fac. 16336 Latus Tetraedri Auf ſolche Weiß ſeyn alle andere Seiten zu finden. 4. Wann die Seite eines Corporis Regularis gegeben wird, wie ſoll der Diameter der Kugel, welche ſolches um⸗ fauſſen kan, gefunden werden: Es werde gegeben die Seite eines Cubi a b, ſo ſtelle ich ſolche trans⸗ verſim zwiſchen das Zeichen des Cubi, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen dem Zeichen des Globi, gibt den Diametrum c d der Kugel. Vi⸗ e Fig. 100. Allhier wird es durch die Rechnung nur umgekehrt. 5. Wann die Seite eines Corporis Regularis gegeben wird, wie ſoll die Seite eines andern Corporis gefunden, ſo, daß beede Corpora mit einerley Kugel moͤgen umfaſſet werden: E. g. Es werde gegeben die Seite eines Wuͤrffels ab, und wurde die Seite des Dodecaedri begehret, ſo nehme ich die Seite des Wuͤrffels 3 elle 74 Von der Linea Corporum Sphæræ inſcribendorum. ſtelle ſolche zwiſchen das Zeichen des Cubi transverſim, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen dem Zeichen des Dodecaedri, gibt die Seite cd, des Dodecaedri. Vide Fig. 101. Durch Rechnung: Geſetzt die Seite des Cubi waͤre 20. und man herlangt die Seite des Dodecaedri, ſo ſpreche ich: Latus Cubi in der Tabell gibt was Latus Dodecaedri. 5774 200 3568 2 5774) 71360 „△/ Fac. 124 Latus Dodecaedri. 6. Wie ſoll man eine Kugel in ein Corpus Regulare beſchrei⸗ ben, daß der Semi-Diameter des Globi gefunden werde? E. g. Es werde gegeben die Seite eines Cubiab, und die Seite eines Dodecaedri, e. g. Ich nehme die Seite des Cubi ab, formire darmit ein Quadrat, und mit der Seite des Dodecaedri, e. g. ein 5. Eck, in dieſen Fi⸗ guren ſuche ich das Centrum a, und beſchreibe um ſolche einen Circul, aus ſolchem Centro a, faͤlle ich auf die Baſin das Perpendiculum af, welches die Baſin in 2. gleiche Theil theilet, ſolche ½. Seite ſtelle ich transverſim zwi⸗ ſchen das Zeichen des gegebenen Corporis, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen dem Zeichen des Globi, ſolche ſtelle ich auf die Ende des Diametri be, beſchreibe darmit den Creutz⸗Bogen in d, von d in das Cen- trum a eine Lineam gezogen, gibt den Semi-Diametrum des Globi, wel⸗ cher in das Corpus kan beſchrieben werden, und alle Seiten des Corporis anruͤhren wird. Vide Fig. 102. Durch die Rechnung alſo: Geſetzt das Latus Dodecaedri ge 20. ſeye gegeben, und es ſoll der Radius hierzu gefunden werden, welcher in das Dodecaedrum kan beſchrie⸗ ben werden, ſo gehe ich in die Tabell pro transmutandis Corporibus, und ſuche, was alldorten das Perpendiculum Corporis iſt, finde 11134. darauf ſpreche ich: Latus Dodecaedri hat zum Perpend. Corporis was Latus Dod. △ 10000 11134 20 △ 20 10000) 222680 0°1 . Fac. 2227 Iſt der Radius a, oder Perpend Cor- poris, ſo in das Corpus regulare kan beſchrieben werden. Von Von der Linea Tangentium. 75 Von der Linea Tangentium. TABULA TANGENTIUM, ad Radium 10000. Gradus Tangens. Gradus Tangens. Gradus Tangens. Gradus Tangens. Gradus Tangens. 1. 175. 14. 2493. 27. 5095. 40. 8391. 53. 13270. 2. 349. 15. 2679. 28. 5317. 41. 8693. §4. 13764. 3. 524. 16. 2867. 29. 5543 42. 9004. 55. 14281I. 4. 699. 17. 3057. 30. 5774. 43. 9325. 56. 14826. 5§5. 875. 18. 3249. 31. 6009. 44. 9657. 57. 15399. 6. 1051. 19. 3443. 32. 6249. 45. 1000. 58. 16003. 7. 1228. 20. 3640. 33. 6494. 46. 10355.59. 16643. 8. I1405. 21. 3839. 34. 6745. 47. 10724. 60. 17321I. 9. 1584. 22. 4040. 35. 7002. 48. II 100. 6IJ. 18040. 10. 1763. 23. 4245. 36. 7265. 49. IIS04. 62. 18807. II. 1944. 24. 4452. 37. 7536. §0. 11918. 63. 19626. 12. 2126. 25. 4663. 398. 7813. §I. I12349. 64. 20503. 13. 2309. 26. 4877. 39. 8098. 52. 12799. 65. 214452 I. Zu was dienet die Linea Tangentium? De Linea hat aus den Sinus-Tafeln ihren Urſprung, allwo der Tangens von 45. Grad gleich ſo groß, als der Radius von 90. Grad iſt, mit welchem ein Circul beſchrieben, und der vierte Theil deſſel⸗ ben in 90. Grad oder Theil getheilet wird. Wann nun der Tangens, oder die anruͤhrende Linea b k, auf den Radium in B perpendiculariter geſtel⸗ let, und aus a, durch den abgetheilten Bogen, Linien oder die Secantes an die Tangenten⸗-Lineam B K und D L, gezogen worden, ſo wird ſolche nach obiger Tabell getheilet ſeyn. Alſo kan man hinwiederum durch die abgetheilte Tan- genten⸗Lineam, die Winckel nach Begehren aufreiſſen, oder einen Cireu in ſeine Grad abtheilen. Vide Fig. 103. Dieſe Linea kan auch zu Aufreiſſung der Sonnen⸗Uhren dienen, allein, weilen dieſe Kunſt zu weiſen etwas weitlaͤufftig, und einen beſondern Tra- ctat hierzu erfordert, will ich hier vorbey gehen, und zu andeen Authoren gewieſen haben. 2. Wie wird dieſe Linea Tangentium gerechnet: Dieſe Linea darff nicht von neuem ausgerechnet, ſondern nur aus den Tabulis Tangentium, nach dem Radio 10000. genommen, und dieſe K 2 Linea 76 Von der Linea Tangentium. Linea darnach aufgetragen werden, allhier auf dem Inſtrument reichet ſie biß in den 65. Grad, ob ſie wohl von 45. Grad genug waͤre. 3. Wann ein Winckel gegeben wird, wie kan man er⸗ fahren, wie lang deſſen Tangens ſey, den Radium fur 1000. gerechnet: E. g. Es werde gegeben der Winckel bac, 40. Grad, der Radius ab, 1000. Fragt ſichs, wie lang der Tangens be ſeye? Ich nehme mit dem Hand⸗Circul den Radium a b, ſtelle ſolchen transverſim in Lineam Arith- meticam, zwiſchen 100. und 100. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen. Hernach nehme ich die Laͤnge be, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zah⸗ len ſolche eintreffe, finde zwiſchen 84. und 84. iſt alſo der Tangens b e, von 40. Grad, 840. Oder, ich nehme auf dem Inſtrument von der Linea Tan- gentium 45. Grad, ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam transverſim, zwiſchen 100. o. und 100. 0. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen; hernach nehme ich von der Tangenten-Linea 40. Gr. und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche eintreffen, finde zwiſchen 84. O. und 84. welches der Tangens von 40. Gr. iſt. Vide Fig. 104. 4. Wie kan aus der gegebenen Tangenten⸗Linea der Winckel bekaͤndt werden?: E. g. Es werde gegeben der Winckelbac, und der Tangens, be. Fragt ſichs, wie groß der Winckel bac ſeye? Ich nehme die Laͤnge ab, ſtelle olche in Lineam Arithmeticam transverſim zwiſchen 100. und 100. her⸗ nach nehme ich den Tangenten b e, und ſehe, wo ſolcher eintreffe, finde zwi⸗ ſchen 84. und 84. dieſe Zahlen mercke ich; nehme alsdann von dem Inſtru- ment die Tangenten⸗-Lineam, 45. Grad, ſtelle ſolche in Lineam Arithme- ticam transverſim zwiſchen 100. und 100. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 84. und 84. ſolche meſſe ich auf der Linea Tangentium, finde 40. Grad. Iſt alſo der Winckel b ac, 40. Grad. Vide Fig. 104. 5. Wie ſoll die Laͤnge der Secanten⸗Lineæ nach einem gegebenen Winckel gefunden werden? E. g. Es werde gegeben der Winckel bac, 60. Grad, beſchreibe aus a den Bogen bc, an b ſtelle ich das Perpendiculum b d, erlaͤngere a c in d, nach dieſem ſtelle ich die Laͤnge a b in Lineam Arithmeticam transverſim zwiſchen Von der Linea Tangentium. 77 zwiſchen 100. 0. und 100, o. hernach nehme ich die Laͤnge a d, und ſehe, zwi⸗ ſchen welchen gleichen Zahlen ſolche eintreffe, finde zwiſchen 200. O. und 200.0. ſpreche alſo, daß Secans des Winckels bac, von 60. Grad, 200. O. ſeye. Solte aber ein groͤſſerer Winckel gegeben werden, daß der Secans laͤnger, als 200. . waͤre, ſo meſſe ich nur die Laͤnge cd, und addire ſolche zu 100. 0. Vide Fig. 105. 6. Wie kan durch Buͤlff dieſer Lineæ ein Winckel formirt, oder ein Circul in gleiche Theil getheilet werden: E. g. Es werde begehret, man ſolle auf die Lineam a b, einen Winckel von 30. Grad formiren. Weil nun die Tangenten⸗Linea auf unſerm In- ſtrument von 45. Grad, die Laͤnge der Lineæ Arithmeticæ aber 100. Theil hat, ſo nehme ich von der Tangenten⸗Linea 30. Grad, und ſehe, wie viel ſol⸗ ches auf der Linea Arithmetica gibt, finde 57. 7. Stelle demnach die Li- neam ab in Lineam Arithmeticam transverſim zwiſchen 100. und 100. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen §58. und §8. ſtelle ſolche in b Perpendiculariter uͤberſich, ziehe aus c nach a eine gerade Lineam, ſo iſt der Winckel bac, 30. Grad. Vide Fig. 106. Fini. ſolche Weiſe kan ein Circul nach Begehren getheilet werden. Vi· e Fig. 103. 7. Wie ſoll man die Hoͤhe nach einer gegebenen Weite erkundigen: E. g. Es iſt an einem Tempel, von der Aug⸗Hoͤhe 40. Schuh hoch, ein Bild, das 7. Schuh lang iſt, uͤber welches ein anders Bild ſoll geſtellet wer⸗ den, 80. Schuh hoch, von der Aug⸗Hoͤhe. Nun wird von einem Bildhauer begehret, daß er auf ſolche Hoͤhe ein Bild formiren ſolle, wann man 50. Schuh weit darvon ſtehet, daß die Bilder gleich groß erſcheinen ſollen. Fragt ſichs, wie hoch er das Bild machen ſolle? Ich nehme von der Linea Arithmetica directè So. ſtelle ſolche, als die gegebene Weite, auf eine gerade Lineam a b, mache darmit einen Bogen b c, die 50. ſtelle ich in Lineam Arithmeticam transverſim zwiſchen 100. und 100. welche die Tangentem vorſtellet, laſſe alſo das Inſtrument un⸗ verruckt liegen; in b ſtelle ich ein Perpendiculum auf, hernach nehme ich von der Linea Arithmetica directè 40. ſtelle ſolche auf das Perpendiculum in d, und ſehe auch, wo ſolche in Linea Arithmetica eintreffen, finde zwiſchen 30. und 80. Dieſe 80. nehme ich directè, und ſehe, wie viel Grad ſolche auf der Tangenten⸗Linea machen, finde 382. Grab. Hernach nehme ich dar⸗ 3 zu 78 Von der Linea Tangentium. zu die Hoͤhe des Bildes 7. Schuh. Nehme ferner von der Linea Arith- metica directè 47. trage ſolche von b nach e, und ſehe auch, wo ſolche trans-⸗ verſim eintreffen, finde zwiſchen 94. und 94. Dieſe nehme ich directè, trage ſolche auf die Langenten⸗Lineam, finde 43 ¾. Grad, darvon ſubtrahire ich 384¾. Grad. Reſt 44. Grad fuͤr die Hoͤhe des Bildes. Ferner nehme ich di- rectè 80. die Hoͤhe, wohin das andere Bild ſolle geſtellet werden, trage ſolches von b nach t, und ſehe, wo ſolche transverſim eintreffen, finde zwiſchen 160. und 160. nehme ſolche directè, nemlich von 100. biß 160. trage dieſe auf die andere Tagenten⸗Lineam, welche von dem 45. Grad anfahet, und ſehe, wo ſolche eintreffe, finde 58. Grad. Zu dieſen addire ich 4½. Grad, gibt 622¾². Grad, nehme ſolche von der Tangenten⸗Linea directè, ſtelle ſie in Lineam Arithmeticam in 100. directè, und ſehe, wo ſolche eintreffen, finde in 192. nehme alſo noch unverruckt die Weite zwiſchen 192. und 192. gibt directè auf der Linea Arithmetica 96. ſolche trage ich aus b nach g. ſubtrahire 80. von 96. Reſt k g, 16. So viel Schuh hoch ſolle das obere Bild ge⸗ macht werden, ſo wird es dem untern in dieſer Diſtanz gleich groß ſcheinen. Vide Fig. 107. Ende der erſten Seiten des Proportional-Circuls. I. 2. 3. 4. 5§. 6. 7. 8. 9. 10. I1. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. Puntt. Radix. 2154. 2714. 3107. 3420. 3684. 3915. 4121. 43⁰9. 4481. 4642. 4791. 4932. 5066. 5192. 5313. 5429. 5540. 5646. 5749. 5848. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37: 38. 39. 40. 41 422 43. 44* 454 46. 47. 48. 49. 6383. 6463. 6542. 6619. 6694. 6768. 6840. 6910. 6980. 7047. 7114. 7179. 7243. 7306. 7368. 7429. 7489. 7548. 7606. 7663. 7719. 7775. 7830. 7884. 7937: „ Punct. Radix. 51. 52. 53. 54. 55§: 56. 57: 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74 75. eEr e ,e e O: seee Folget Diie andere Seite des PROPORTIONAL-Circuls. Von der Linea Cubica. TABULA PRO DIVISIONE LINEE CüBICX. Pundt. Radix. 7990. 8041. 8093. 8143. 8193. 8243. 8291. 8340. 8387. 8434. 8527. 8573. 8618. 8662. 8707. 8750. 8794. 8836. 8879. 8921. 8963. 9904. 9045. 9⁰³⁸6. 2 Pundbt. Radix. 76. 77. 78. 79. 80. 8 1. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. 91. 92. 93 94. 95 96. 97. 98. 99. 100. 9126. 9166. 9205. 9244. 9283. 9322. 9360. 9398. 9435. 9473 95 10. 95⁵546. 95⁵83. 9619. 9655. 9681. 9726. 9761. 9796. 9830. 9865. 9899. 9933. 9967. 10000. I. Was 80 Von der Linea Cubica. 1I. Was iſt die Linea Cubica, und worzu dienet ſie: aller gleichfoͤrmigen Coͤrperlichen Figuren, wie ſolche koͤnnen ver⸗ groͤſſert oder verkleinert werden, dardurch man auch Radicem Cu- bicam finden kan. 2. Aus was Fundament wird obige Tabell bereitet: Die gantze Laͤnge der Cubic Lineæ hat 10000. Theil gleich dem Maaß⸗ Stab, Fig 2. woraus dieſe Linea aufgetragen wird. Wann ich nun die 10000. cubicé multiplicire, bekomme ich 1001οο°οοοοο,. äHiervon 100. abgeſchnitten, weilen die Linea Cubica biß in 100. aufgetragen, reſtiren alſo noch 10. Nullen, welche hinter jede Zahl, ſo auf dieſer Linea befindlich iſt, geſetzt werden; hernach Radicem Cubicam extrahirt, ſo kommen die Zah⸗ len, ſo in der Tabell verzeichnet ſeynd, als fuͤr den erſten Puncten ſetze ich 10000000000. ſolche extrahirt, gibt die Zahl 2154. des erſten Punctens: bey dem andern Puncten ſetze ich 20000000000. Hieraus Radicem Cubi- cam extrahirt, kommt die Zahl 27 14. des andern Punctens, und ſo fort an. 3. Wie kan man wiſſen, daß dieſe Linea auf dem Inſtrument juſt aufgetragen worden Wann die Umſchlaͤge des Circuls juſt eintreffen, als wann ich mit dem Hand⸗Circul directè 1. nehme, und laſſe den einen Fuß in 1. ſtehen, ſchlage den andern um, und ſehe, wo er directè in dieſer Linea hinreichte, ſo finde ich 8. ſchlage ich ihn noch einmal um, finde ich 27. und endlich bey dem dritten Umſchlag 64. das entſpringet aus Cubiſcher Multiplicirung. Dann erſt⸗ lich nehme ich 1. dieſes laͤßt ſich nun nicht multipliciren, derowegen bleibet es 1. Der erſte Umſchlag, (wie ihn die Conſtabel nennen,) iſt der andere Begriff, darum multiplicire ich 2. in ſich ſelbſt cubicè, als 2. mal 2. iſt 4. und 2. mal 4. iſt 8. das heißt duplirt. Bey dem andern Umſchlag oder 3. Begriff, ſage ich, 3. mal 3. iſt 9. und 3. mal 9. iſt 27. das heißt triplirt, ꝛc. Nehme ich aber directè 2. 3. 4. ꝛc. ſo multiplicire ich ſolche Zahlen mit 8. bey dem andern Begriffe, alſo, 2. gibt 16. 3. gibt 24. und 4. gibt 32. Wann ich alſo mit 8. multiplicire, das iſt cubicè duplirt, nehme ich dann einen Begriff weiter, ſo multiplicire ich mit 27. das iſt triplirt, als 2. triplirt, oder mit 27. multiplicirt, gibt 54. alſo auch 3. gibt 81. ꝛc. Wann nun dieſe Umſchlaͤge recht gefunden werden, ſo iſt dieſe Linea juſt auſgetrage 4. Wie Se iſt eine Coͤrper⸗ meſſende Linea, und dienet zur Proportionirung Fac. 128. Ruthen der Inhalt, gleich 93312. die Laͤnge der Gruben. Vide Fig. 168. Von der Linea Cubica. 81 4. Wie ſoll man Radicem Cubicam extrahiren? Wann Zahlen vorkommen, welche 100. nicht uͤbertreffen, ſo erwaͤhle ich eine Cubic. Zahl, als 64. deſſen Radix 4. iſt; nehme alſo von der Linea Arithmetica directè 40. aqn ſtatt 4. ſtelle ſolche in Lineam Cubicam trans- vVerſim zwiſchen 64. und 64. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, darmit kan ich aus allen Zahlen, die 100. nicht uͤbertreffen, die Cubie. Wurtzel ha⸗ ben; als aus 27. ſo nehme ich nur die Weite zwiſchen 27. und 27. gibt di- rectè auf der Linea Arithmetica 30. das iſt 3. weil ich 40. an ſtatt 4. ge⸗ nommen, ſo werffe ich von 30. die Null hinweg, bleibet 3. die Wurtzel; alſo auch aus 81. ſo nehme ich die Weite zwiſchen 81. und 81. gibt dire- Qè auf der Linea Arithmetica 43. das iſt 4 ½. die Wurtzel. NB. Wann ich die Zahlen punctire, wie gebraͤuchlich, ſo ſehe ich nur, wie viel ich Zahlen bey der erſten punctirten Zahl habe, als bey 64. und 81. habe ich nur 2. Zahlen, deßwegen brauche ich 40. an ſtatt 4. und ſtelle es zwi⸗ ſchen 64. wann alſo die Zahlen uͤber 100. ſeyn, ſo gebrauche ich 100. an ſtatt 10. Und ſtelle ſolche zwiſchen 100. das iſt ſo viel als 1000. B Wann Zahlen vorkommen zwiſchen 100. und 1000. ſo nehme ich von der Linea Arithmetica directe 10. oder an deſſen ſtatt 100. ſtelle ſolche in Li- neam Cubicam transverſim zwiſchen 100. und 100. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen. E. g. Es wird eine Gruben gemacht, iſt 2 ¾. mal laͤnger als breit; die Tieffe haͤlt ſich gegen der Breite wie 3. gegen 4. Wann ich ſolches mit oder in einander multiplicire, ſo gibt es am Inhalt 923 12. Ru⸗ then. Iſt die Frag, wie breit, lang und tieff die Gruben ſeye? ſo ſetze ich: 3. Nuthen die Lieffe, 4. Ruthen die Breite, 4. Ruthen die Breite, 2 ⁄ mal laͤnger, 12. V 10². Ruthen die Laͤnge, 10⁄. Ruthen die Laͤnge. der Inhal H dem wahren Inhalt, dividirt mit 128.) :729. Hieraus Radicem Cu- bicam gezogen, das iſt, ich nehme die Weite zwiſchen 72. 9. und 72. 9. jeden Theil der Lineæ Cubicæ fuͤr 10. gerechnet, gibt auf der Linea Arithmeti- ca directè 9o. das iſt y. Weilen ich directe 100. genommen, ſo ſchneide ich die o ab, multiplicire alſo 9. mit 3. gibt 27. Ruthen die Tieffe; fer⸗ ner 9. mit 4. gibt 36. die Breite, und dann 9. mit 102. gibt 96. Ruthen 82 Von der Linea Cubica. Wann Zahlen vorkommen, ſo zwiſchen 1000. und 100000. daß 2. Zah⸗ len zur Wurtzel kommen, ſo gebrauche ich wieder 40. von der Linea Arith- metica directè genommen, und in Lineam Cubicam transverſim zwiſchen 64. und 64. geſtellet, als aus 74088. Radicem Cubicam extrahirt, ſo nehme ich unverruckt die Weite zwiſchen 74. 1. und 74. 1. die letztere Zahlen wer⸗ den verkuͤrtzt, ſo finde ich in Linea Arithmetica directe 42. die Wurtzel. Allhier nehme ich nur die erſte punctirte Zahl, und weilen ſolche nur 2. Zahlen hat, ſo brauche ich wieder nur 40. Und ſtelle es zwiſchen 64. al⸗ lein muß ich mercken, weilen ich 2. punstirte Zahlen habe, ſo muß ich an⸗ noch 2². Zahlen zur Wurtzel ausſprechen. Wann Zahlen vorkommen, ſo zwiſchen 100000. und 1000000. ſich befinden, ſo nehme ich von der Linea Arithmetica directè 100. und ſtelle ſol⸗ che in Lineam Cubicam transverſim zwiſchen 100. und 100. als aus 5921704. Allhier ſchneide ich hinten 3. Zahlen ab, und nehme unverruckt die Weite zwiſchen 59. 3. und 59. 3. gibt directè auf der Linea Arithme tica die Wurtzel 84. Es finden ſich hier bey der erſten punctirten Zahl 3. Zahlen, derowegen nehme ich wieder von der Linea Arithmetica 100. und ſtelle es in der Linea Cubica zwiſchen 100. und 100. weilen im Punctiren 2. Puncta; alſo muß ich auch zum Radice 2. Zahlen zur Wurtzel ausſprechen. Wann allzu groſſe Zahlen vorkommen, muß man die Rechnung zu Huͤlffe nehmen, und die gegebene Zahl irgend durch eine Cubic-Zahl, als durch 8. 27. 64. 125. 216. 343. 5 12. 729. 2c. Jividiren, hernach aus dem Product Radicem Cubicam extrabiren, was kommt, mit dem Radice des genommenen Diviſoris mult pliciren, welches die Wurtzel geben wird. Als aus 4741632. ſo dividire dieſe Zahl mit 64. kommt 74088. Hieraus Radi- cem Cubicam extrahirt, wie oben gelehret, gibt 42. ſolche mit 4. als dem Ra- dice aus 64. womit die Zahl dividirt worden, multiplicirt, thut 168. die Wurtzel. Oderich ſchneide die hintere 3. Zahlen ab, 47411632 aus der vor⸗ dern 47a . ſuche ich die Wurtzel, als 40. von der Linea Arithmetica directè genommen, ſolche in Lineam Cubicam transverſim zwiſchen 64. und 64. ge⸗ ſtellet, und unverruckt die Weite zwiſchen 4 ¼¾. und 4 ι genommen, gibt di- rectè auf der Linea Arithmetica 16 ⁄. das iſt 168. die Wurtzel. Allhier habe ich 3. Puncta, alſo bekomme ich 3. Zahlen zur Wurtzel, aber die erſte punctirte Zahl iſt nur eine Zahl, derowegen mache ich die Auf⸗ ſperrung als wie mit 2. Zahlen, das iſt, ich nehme von der Linea Arithmetica directè 40. ſtelle ſolche in der Linea Cubica zwiſchen 64. und 64. und 1.. unver⸗ Von der Linea Cubica. 83 unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 41. gebt directè auf der Linea Arithmetica 16138. das iſt, weilen ich auch 3. punctirte Zahlen habe, ſo muß ich es auch fuͤr 3. gantze Zahlen ausſprechen, als 168. die Wurtzel. .. . Durch die Rechnung alſo 4741632 168 Fac. die Wurtzel. 1 . . 3741 3 . 18 108 216 3096 645623 48 768 6144 3072 5 12 64 5§632 Wann Surdiſche Zahlen vorkommen, ſo nicht Radicem haben, kan man ſolche wohl aufs genaueſte auf dem Inſtrument finden, allein durch die Rechnung wird es richtiger gefunden, und oͤffters eine ſolche Surdiſche Zahl mit dem , Radical Zeichen, bemercket, als v. g. Es werde ein Graben ge⸗ macht, welcher 2. mal breiter, als tieff, und 2. mal laͤnger, als breit. Wann⸗⸗ ſolches in einander multiplicirt wird, gibt der Inhalt 144. Cubic-Ruthen So ſetze ich: Die Tieffe ſeye 1. Nuthen, ſo iſt die Breite 2. Ruthen, multiplicirt, Kacit, 2. . . und die Laͤnge 4. Ruthen, multiplicirt, Facit, 8. Ruthen der Inhalt, gleich 144. dem wahren Inhalt, mit 8. dividirt, l Facit, 18., Weilen aber dieſes eine Surdiſche Zahl, ſo wird es alſo geſchrieben, vW., 18. das heiſſet Radix:: Cubica aus 1 8. waͤre alſo dieſes die Diefledes Grabensac, dieſe ℳ . 8. 2 ollen 84 Veon der Linea Cubica. ſollen duplirt werden, ſo gibt es die Breite; aber cubicè dupliren iſt nichts anders, als mit 8. multipliciren, wie bey der 3. Quæſtion angemercket, alfo, 3. mal 18. thut , 144. Ruthen die Breite des Grabens b c. Dieſes wieder duplirt, das iſt, mit 8. multiplicirt. Facit, W, 1152. Ruthen, die Laͤnge des Grabens b d. Vide Fig. 109. 5. Wie ſollen zwiſchen 2. Zahlen oder Linien, 2. Mediæ Proportionales gefunden werden? E. g. Es werde gegeben ein Priſma, deſſen Baſis a b und bd, 81. und die Hoͤhe ac 24. Pedes, dieſes ſolle in einen gleichſeitigen Cubum verwan⸗ delt werden, muͤſſen alſo zwiſchen a b, 81. und a c, 24. 2. Mediæ Propor- tionales geſucht werden; ſo nehme ich die Lineam a b, 81. ſtelle ſolche in Lineam Cubicam transverſim, zwiſchen 81. und 81. und unverruckt neh⸗ me ich die Weite zwiſchen 24. und 24. gibt die Lineam e f, 54. daraus wird ein gleichſeitiger Cubus formirt, welcher am Inhalt ſo groß, als das Priſma. Nehme ich aber die Lineam a c, ſtelle ſolche in Lineam Cubicam transverſim, zwiſchen 24. und 24. und nehme unverruckt die Weite zwi⸗ ſchen 81. und 81. ſo bekomme ich die Lineam g h, 36. kan alſo mit den ge⸗ fundenen 2. Zahlen, als mit 36. und 54. und mit der Baſi a b. 81. ein ander Priſma verfertigen, welches gleich groß am Inhalt iſt; alſo, wann zwi⸗ ſchen 81. und 36. Media Proportionalfis geſucht wird, bekomme ich 54. fuͤr eine Seite; weil alſo die Hoͤhe auch 54. iſt, ſo gibt es einen gleich ſeiti⸗ gen Cubum. Vide Fig. 100. ðWð Weilen hier die Baſis gleichſeitig, und groͤſſer iſt als die Hoͤhe, ſo ge⸗ brauche ich die groͤſſere Mediam Proportionalem, waͤre aber die Baſis un⸗ gleichſeitig, ſo muͤßte ich es vorhero in ein gleichſeitig Quadrat verwandeln, und alsdann zwiſchen der Hoͤhe und der Baſi zwey Medias Proportiona: les ſuchen. Durch Rechnung 31 a b 24 a G 87 b d 24 6561 576 24 ac (trahirt. 81 ab 157464 dieſes cubicè ex 46656 cubicè extrah. 54 die groͤſſere Media 36 die kleinere Media proportionalis. proportionalis. Wann die gegebene Zahlen die Lineam Cubicam uͤbertreffen, ſo di⸗ vidire ich ſolche durch eine beliebige Zahl, hernach multiplicire ich die Pro- duét- Von der Linea Cubica. 85 duct-Zahlen wieder mit der Zahl, wormit ich dividirt habe, oder ich ver⸗ richte ſolches durch einen 10000. Theiligen Maaß⸗Stab. 6. Wie kan man die Proportion ʒzwiſchen gleichfoͤrmi⸗ gen Coͤrperlichen Figuren erforſchen:? E. g. Es werden gegeben die Sphæræ a und b, ſo nehme ich den Dia- metrum b, ſtelle ſolchen in Lineam Cubicam transverſim, zwiſchen 100. und 100. als einer beliebigen Zahl, laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, hernach nehme ich den Diametrum a, und verſuche, zwiſchen welchen glei⸗ chen Zahlen ſolcher eintreffe, finde zwiſchen 25. und 25. verhalten ſich alſo gegen einander, wie 4. gegen 1. S Durch Rechnung: Wann mir die Diametri der Kugeln gegeben werden, ſo darff ich nur jeden Diameter cubiren, und alsdann ſehen, wie ſie ſich gegen einander ver⸗ O /11K halten, als der Diameter A ſeye 1. und B 1589. wann ich nun jedes cubire, △ oρ IIII ſo finde ich A 1. und B 4012. iſt alſo bey nahem wie 1. gegen 4. Alſo auch die Proportion zwiſchen den dreyen Cubis a b, und ec, deren Seiten a 3. b 4. c 5. zu erfinden, nehme alſo die Seite des Cubi a, ſtelle folche in Li- neam Cubicam transverſim, zwiſchen eine beliebige Zahl, als hier zwiſchen 9. und 9. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, hernach nehme ich die Seite des Cubi b, und ſehe, wo ſolches eintreffe, finde 21½. Endlich neh⸗ me ich das Latus des Cubi c, und ſehe auch, wo ſolches eintreffe, finde 41½. ſolche Zahlen mache ich zu gantzen Zahlen, gibt 27. 64. und 125. welches ihre Proportion iſt. Vide Fig. I11I. Bey dieſen Cubis thue ich eine jede Seite cubiren, ſo bekomme ich 27. 64. und 125. ſo verhalten ſie ſich gegen einander, daraus erhellet, daß, was ich von dem 1000. Theiligen Maaß⸗Stab oder von der Linea Arithmetica nehme, und in die Lineam Cubicam ſtelle, ſo viel iſt, als wann ich durch Rech⸗ nung die Zahlen cubirte, und daß alſo von der Linea Cubica wieder eine Zahl genommen, und auf dem 1000. Theiligen Maaß⸗Stab, oder der Linea Arithmetica gemeſſen, durch die Rechnung ſo viel iſt, als extrahiren. 7. Wann ungleich⸗ foͤrmige Corpora vorhanden, wie ſoll ihre Proportion erforſchet werden? Es werden gegeben der Cubusa und Globus b, ſo verwandele ich erſt⸗ lich den Cubum in einen Globum, oder den Globum in einen Cubum, durch Huͤlffe der Lineæ Reductionis Corporum, und operire alsdann, wie oben. Vide Fig. 11I. 1 86 Von der Linea Cubica 8. Wie ſollen gleichfoͤrmige Corpora addirt werden? E. g. Es werden wieder gegeben obige 3. Cubi, ab c, Fig. IrI. ſolche ſollen addirt, und in einen Cubum gebracht werden, welcher Cuborum Seiten oder Inhalt 27. 64. 125. befunden; ſolche nun addirt, gibt 216. weilen aber dieſe Zahl auf der Linea Cubica nicht zu finden, ſo dividire ich ſie mit einer beliebigen Zahl, als hier mit 4. gibt 54. Von den Coͤrpern nehme ich die Seite b, 64. dividire ſolche auch mit 4. gibt 16. nehme alſo die Seite b, ſtelle ſolche in Lineam Cubicam transverſim, zwiſchen 16. und 16. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 54. und 54. gibt die Seite des Cubi d, welcher ſo groß am Inhalt, als ab c. Vide Fig. 112. Durch Rechnung: Wann ich nun der Cuborum Inhalt 27. 64. und 125. addire, thut 216. dieſes cubicé extrahirt, ſo bekomme ich 6. die Seite des Cubi d, wel⸗ cher ſo groß iſt als abc. e Wann ungeſchickte Zahlen vorkommen, kan man durch Multipliciren oder Dividiren geſchicktere erfinden; als der Inhalt eines Globi waͤre 122. des andern 10. ſo bringe ich ſie unter einen Nenner, gibt und 42. ſolche addirt, gibt 93. Nehme demnach cd, 12¾,. ſtelle ſolche zwiſchen 51. und 5§1. in Lineam Cubicam transverſim, und unverruckt nehme ich die Weite zwi⸗ ſchen 93. und 93. gibt den Diametrum e f. Oder, ich theile dieſe Zahlen durch 3. bekomme 17. und 14. ſolche addirt, gibt 31. nehme alſo den Dia- metrum c d, ſtelle ſolchen transverſim in Lineam Cubicam, zwiſchen 17. und 17. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 31. und 3 1. gibt den Diametrum e f. Vide Fig 113. Durch Rechnung: Obige beede Diametros Globorum meſſe ieh auf einem 1000. Theili⸗ SS . . 0/1 voT /// gen Maaß⸗Stab, geſetzt ich haͤtte die Axin a b 218. und c d 233. befun⸗ IIIIIvvvͦ, II. den, wann ich nun 218. cubire, ſo habe ich 10360232. wie auch 233. ſo °,IIIIIIvvo/ oιι v. bekomme ich 12649337. beyder Inhalt addirt, kommt 23009569. ſol⸗ ches cubicè extrahirt, gibt den Diameter oder Axin ef, 29. welcher ſo groß iſt als alle beyde. 1. 9. Wie ſollen ungleich foͤrmige Corpora addirt werden E. g. Es werden gegeben der Cubus und Globus a, zu addiren. So 3 verwandle ich erſtlich den Globum in einen Cubum, gibt die Seiten a b eines f Von der Linea Cubica. 87 eines Cubi. Nun erforſche ich auch die Proportion, finde auf der Linea Cubica die Seite des Cubi a, 12. und die Seiten a b, 15. ſolche addirt, gibt 27. Nehme demnach a b, ſtelle ſolche in Lineam Cubicam transver- ſim, zwiſchen 15. und 15. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 27. und 27. gibt die Seiten c d, eines Cubi, welcher ſo groß, als der Glo⸗ bus und Cubus a. Vide Fig I14 Nachdeme nun der Globus a in einen Cubum, deſſen Latus a b, ver⸗ wandelt worden, ſo meſſe ich die 2. Seiten auf einem 1000. Theiligen 0 11 . Maaß⸗Stab, geſetzt das Latus des Cubi a hielte 101. und das Latus des an⸗ ⸗ 0/ , . . ,. 1v . dern Cubi hielte 11. wann ich nun jedes cubire, ſo finde ich 1030301. und 0%M- △ 7 .ι/1/ 133 1. beyde addirt, macht 2361301. dieſes cubicè extrahirt, kommt 133. das Latus cd, welcher Cubus alsdann ſo groß iſt, als alle beyde. 10. Wie werden gleichfoͤrmige Corpora ſubtrahirt? E. g. Es werden gegeben die Seiten des Cubi a, 12. Und die Seite eines Cubic d, 27. welche von einander ſollen ſubtrahirt werden. Nehme derowegen die Seite c d, ſtelle ſolche in Lineam Cubicam transverſim „ zwiſchen 27. und 27. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 15. und 15. gibt und reſtirt die Seite a b, 15. ſo auf der Linea Cubica muß ge⸗ meſſen werden. Vide Fig. 114. Geſetzt ich meſſe das Latus e d auf meinem 1000. Theiligen Maaß⸗ 0° 1/ v/ Stab, und befinde 133. ſolches cubirt, thut 2352637. wie auch das Latus 0 ² . 0 μä τ*äñ, des Cubi a finde 101. dieſes auch cubirt, kommt 1030301. einen Inhalt von dem andern ſubtrahirt, Reſt 1322336. dieſes cubicè extrahirt, kommt 109. fuͤr den Reſt der Seiten des Cubi a. 11. Wie ſollen gleichfoͤrmige Corpora multiplicirt oder vergroͤſſert wer den: Es werde gegeben das Parallelopipedum A. ſolches ſolle um 4. mal groͤſſer gemacht werden. So nehme ich deſſen Seiten a b, ſtelle ſolche in Lineam Cubicam transverſim, zwiſchen 10. und 10. als einer beliebigen Zahl, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 40. und 40. gibt die Sei⸗ ten ae. Ferner nehme ich die Seiten beo, ſtelle ſolche wieder zwiſchen 10. und 10 und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 40. und 40. gibt die Seiten ef. Endlich nehme ich die Hoͤhe b , ſtelle ſolche zwiſchen 1. und 1. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 4, und 4. gibt die Hoͤhe eg. 88 Von der Linea Cubica. e g. Iſt alſo Parallelopipedum B, 4. mal groͤſſer am Inhalt, als A. Vide Fig. 11I5. Durch Rechnung: Erſtlich muß man wiſſen, ob das Parallelopipedum ſo wohl nach der Laͤnge, Breite und Hoͤhe ſolle 4. mal groͤſſer werden, welches dann an der Form jenem wird gleich ſeyn, ſo cubire ich alle 3. Seiten, und multiplicire jede mit 4. und extrahire jedes inſonderheit, ſo bekomme ich ein Paralle- lopipedum, welches 4. mal groͤſſer, und an der Form aͤhnlich: geſetzt ich meſſe die Breite guf einem 1000. Theiligen Maaß⸗Stab, und finde 10. Dicke 8. und Hoöhe 1656. Breite. Dicke. Hoͤhe. 10 cubirt. 8 cubirt. 16 cubirt. 1000 5 12 4096 4 4 4 — — — —————— 4000 extr. 2048 extr. 16384 extr. o e olmn 159 die Breite 1269 die Dicke. 2545 die Hoͤhe. 12. Wie ſollen gleichfoͤrmige Corpora dividirt oder verkleinert werden? E. g. Es werde gegeben der Semi-Diameter einer Kugel a b, ſolche um 3i. 4½. und ½¼. mal kleiner zu machen; Nehme ich den Semi-Diametrum ab, ſtelle ſolche in Lineam Cubicam transverſim, zwiſchen 4. und 4. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 3. und 3. 2. und 2. 1. und 1. ſo ha⸗ be ich die Semi . Diametros der kleinern Kugeln. Vide Fig. 116. G Durch Rechnung: Geſetzt ich habe gemeſſen auf meinem 1000. Theiligen Maaß⸗Stab den Diameter ab, und finde 12. ſo cubire ich ſolchen, gibt 1728. hieraus = 4 / ) —- 2) 864) extrah.- 952 2 — 65⁵ . 42 . 2 Diameter Glo- 1296) ⸗ „ 1089 borum. 13. Wie ſoll der Inhalt Eeineo Pyramidis gefunden werden? Erſtlich meſſe ich nach einem Maaß⸗Stab die Baſin a b, finde 4. und deſſen Perpendicular-Lineam 3. Pedes, ſolche mit der 2. Baſi 2. multipli- — N— — — —— ——L8·-/ ——. — Von der Linea Cubica. cirt, gibt?. Quadrat. Schuh, den Inhalt der Baſeos. Ferner meſſe ich auch das Perpendiculum, oder die Hoͤhe des Pyramidis, finde 9. 3. gibt 3. mit dem Inhalt 6. multiplicirt, macht 18. Cubiſche Sch gantze Inhalt des Pyramidis. Vide Fig. 117. 14. Wie ſoll ein Priſina oder eckichte Saul ausgerechnet werden: Diie Baſis der 3. eckichten Saul ſeye 8. Schuh, und die Perpendicu- lar-Linea 6. deſſen Helffte 3. mit der Baſi 8. multiplicirt, gibt 24. Qua- drat-Schuh. Ferner meſſe ich auch die Hoͤhe, finde 12. mit 24. als dem Quadrat-Inhalt multipiicirt, gibt 288. Cubiſche Schuh, fuͤr den Coͤr⸗ perlichen Inhalt des Priſmatis. Alſo kan ein 4. 5. und mehreckichte Saul ausgerechnet werden. Vide Fig. 118. 15. Wie ſoll der Inhalt eines Coni gefunden werden: Der Diameter der Baſeos des Coni ſey 14. Schuh. Nun ſpreche ich, 7. Diametr. geben 22. Circumferenz. Was 14. Diametr. Facit 44. Hieraus ½.e macht 11. ſolche mit 14. dem Diametro multiplicirt, gibt 154. Quadrat-Schuh, fuͤr den Superficial-Inhalt der Baſeos des Coni. Das Perpendiculum oder die Hoͤhe des Coni finde ich 18. Schuh, daraus 3. gibt 6. mit 154. multiplicirt, Facit 924. Cubiſche Schuh, fuͤr den Coͤr⸗ perlichen Inhalt des Coni. Vide Fig. 119. 16. Wie iſt der Inhalt eines Cylinders zu finden? Der BDiameter der Baſeos ſeye hier wieder 14. Schuh, und die Hoͤhe 18. Schuh, wie an obigem Cono; kommt alſo, nach obiger Ansrechnung, fuͤr den Superficial- Inhalt der Baſeos 154. Quadrat-Schuh, dieſe mit 18. als der gantzen Hoͤhe des Cylinders multiplicirt, Facit 2772. Cubiſche Schuh, fuͤr den Coͤrperlichen Inhalt des Cylinders. Vide Fig. 120. 17. Wie wird ein Parallelopipedum ausgerechnet? Ich meſſe die Seiten, finde a b, 10. b c, 8. und die Hoͤhe, a d, 16. Schuh, ſolche in einander multiplicirt, Facit 1280. Cubiſche Schuh, fuͤr den Coͤrperlichen Inhalt des Parallelopipedi. Vide Fig. 1ar. 18. Wie ſoll ein ſtumpffer Pyramis ausgerechnet werden? Ich meſſe die Seiten der Baſeos, finde unten 4. und oben 2. Schuh, gleichſeitig und gleichwincklicht, und die Perpendicular- Hoͤhe 10. Schuh. 90⁰ Von der Linea Cubica Ich quadrire die untere und obere Seiten, eine jede inſonderheit, gibt 16. und 4. ſolche mit einander multiplicirt, thut 64. Hieraus Radix qua- drata extrahirt, thut 8. Hierzu die Summa 16. und 4. beeder Flaͤchenen addirt, Facit 28. Diß mit der Hoͤhe 10. multiplicirt, thut 280. Hieraus 3. gibt 933. Cubiſche Schuh fuͤr den Coͤrperlichen Inhalt des ſtumpffen Pyramidis. Vide Fig. 122. . Man koͤnnte auch den Pyramidem mit Linien ergaͤntzen, und gantz aus⸗ rechnen, hernach muß das obere Theil a parte ausgerechnet, und von dem gantzen abgezogen werden. B 19. Wie ſoll der Inhalt eines ſtumpffen Coni gefunden werden:? Dieſes wird auf obige Weiß verrichtet, wie bey dem abgekuͤrtzten Pyramide gewieſen; allhier aber durch 2. andere Wege: Erſtlich durch eine andere Ergaͤntzung des Coni, ich meſſe den Diametrum des Bodens b. finde 14. und den Diametrum des Bodens a, 12. Schuh, und die Perpen- dicular Hoͤhe a b, 9. Schuh, beeder Boͤden Diametr. von einander ſub⸗ trahirt, reſtirt zur Differenz 2. Schuh. Spreche darauf, wie ſich die Differenz 2. zur Hoͤhe a b, 9. alſo der Dfaweterbe 14. zur gantzen Hoͤhe des 7 2.)) 2. Coni, Facit, 63. Schuh, wann er gantz waͤre. Hierauf den Inhalt des gantzen Coni, nach Unterricht der 15. Ouæſtion, geſucht, kommt 32 34. Cubiſche Fuß, oder Schuh, wann er gantz waͤre. Von dieſem gan⸗ tzen Inhalt muß nun der zugeſetzte Theil ſubtrahirt werden, welcher einen abſonderlichen kleinen Conum machet, deſſen Baſis a, der Diametr. 12. deſ⸗ ſen Hoͤhe 54. ſolchen nun auch nach der 15. Quæſtion ausgerechnet, thut 2936 ¾. Cubiſche Schuh, fuͤr den Coͤrperlichen Inhalt des kleinen Coni, dieſen von ergaͤntzten ſubtrahirt, reſtirt 11973. Cubiſche Schuh, fuͤr den rechten Inhalt des ſtumpffen Coni a b. Zum andern, kan man den Coͤrperlichen Inhalt des ſtumpffen Coni auch alſo finden: Erſtlich ſucht man den Superficial- Inhalt beeder Boͤden, thut b, 154. und a, I13 ½. Quadrat-Schuh, ſolche addirt, Facit, 267 ¾. dieſes halbirt, thut 1334. fuͤr den Inhalt des æquirten Bodens. Nun Equirt man auch die Diametr. beeder Boͤden, als a 12. und b 14. addirt, gibt 26. das halbirt, thut 13. fuͤr den equirten Diametrum. Ferner ſucht Von der Linea Cubica. 91 man den Superficial Inhalt, thut 132 ½. ſolches von dem Inhalt 133¾. des »quirten Bodens ſubtrahirt, Reſt 1½. dieſes in 3. Theil getheilet, thut 2. ſolches zum Inhalt 132 4t. des Eirculs der quirten Diametr. addirt, thut 1334·:. dieſes mit der Hoͤhe, a b, 9. multiplicirt, gibt 11973¾. Cubiſcher Schuh, den Coͤrperlichen Inhalt des ſtumpffen Comi a b. Vi. de Fig. 123. 20. Wie ſoll eine Sphæra oder Kugel aus⸗ gerechnet werden? Ich nehme mit einem Taſter⸗Circul den Diametrum der Kugel, ſol⸗ cher ſey allhier 12. Zoll. Nun ſpreche ich, 7. Diametr. geben 22. Circum- ferenz, was 12. Diametr. Facit, 375⁄. Solche mit 12. dem Diametr. multiplicirt, Facit, 452 ¾. Quadrat- Zoll, fuͤr den Superficial- Inhalt um die Kugel. Hieraus ½. oder 4. aus dem Diametro 12. thut 2. mit 452 ¾–. multiplicirt, Facit, 905? Cubiſche Zoll, fuͤr den Coͤrperlichen Inhalt der Kugel. Vigde Fig. 124. 21. Wie wird ein Cubus, deſſen Seiten mit binomi- ſchen Zahlen gegeben werden, zu Papier gebracht, uund ausgerechnet: E. g. Es werden gegeben die Seiten eines Cubi, 3 ,2. Schuh, und darmit ſoll ein Cubus formirt, und ausgerechnet werden. Weilen 16 4 aus V 2. die Quadrat. Wurtzel ſoll gezogen werden, ſo nehme ich von der Linea Arithmetica directe 20. an ſtatt 2. ſtelle ſolche transverſim in Li- neam Geometricam, zwiſchen 20. und 20. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 10. und 10. gibt auf der Linea Arithmetica directè bey nahe 1. 4. I. das iſt 141%. ſolche zu der Abſolut Zahl 3. addirt, gibt 44. dieſe von einem Maaß⸗Stab genommen, und darmit den Cubum formirt. Deſſen Inhalt zu finden, lehret die Regula Coſs oder Algebræ, welche Aus⸗ rechnung ich hier beygefuͤget, um Liebhaber zu erwecken, ſolche edle Kunſt⸗ Rechnungen zu erlernen, die einem jeden groſſen Nutzen in allen Kuͤnſten bringen wird. Von der Linea Cubica. 2. 3. V. 18. duplirt, iſt V 2. 3. mit 4. multiplicirt, NJ. V9y. 72. 2. V.:2. Die Breite des Cubi, 3. V 2. V 18. Mit der Laͤnge multiplicirt, 3. + V 2. 9. +£ 18. 3 xI. V. 2. FK V I8. —-— 2 Area des Quadrats, - II. P V 72. Vi. Wa. V 134. Mit der Hoͤhe multiplicirt, 3. PB 2. V 648. V242. 12. P 648. m — — . 1 890. 156816. Facit Area Cubi,-- 45. †+ V 1682: 9 4. multiplicirt V 627264. 792. 890. addirt, V 1682. Thut alſo der Inhalt des Cubi 45. P. 1682. Schuh, das wird alſo ausgeſprochen „45. plus Radix quadrata aus 1682. Vide Fig. 125. * Wer hiervon mehrern Unterricht verlanget, dem will ich gern nach meiner Gabe, ſo mir GOTT verliehen, mittheilen. 22. Wie ſoll zu zweyen Coͤrpern das dritte gefunden werden? E. g. Es werden gegeben die Seiten zweyer Cuborum, welche am Inhalt als ab, 27. und cd, 36. zu dieſen ſoll der dritte Cubus gefunden werden. So nehme ich die Seiten c d, 36. ſtelle ſolche in Lineam Cubi- cam transverſim, zwiſchen 27. und 27. und unverruckt nehme ich die Wei⸗ te zwiſchen 36. und 36. gibt das Latus ef, 48. des groͤſſern Cubi. Neh⸗ me ich aber das Latus ab, und ſtelle ſolches zwiſchen 36. und 36. und un⸗ verruckt nehme ich die Weite zwiſchen 27. und 27. ſo bekomme ich die Sei⸗ ten gh, 20¾, des kleinern Cubi. Vide Fig. 126. Durch Rechnung: Dieſes laͤßt ſich ſo wohl Arithmeticè als Stereometricè machen, wann ich nun die Seiten der Cuborum auf einem 1000. Theiligen. Waſe ta Von der Linea Cubica. 93 Stab meſſe, geſetzt ich befinde a b 30. cd 33. ſo ſtelle ich es in die Regul De-Tri, und ſpreche: 3) 30 gibt 33 was gibt 33 10 . 11 11 Fac. 363 Welches ⸗ 01 die dritte groͤſſere iſt e f. 33 gibt 3⁰ was gibt 30 30 33) 900 Fac. 273 Die dritte kleinere. g h. Stereometricè. 9) — 2 gibt 36 was gibt 36 3 4 12 3) 1 12 48 Dieſes cubicè extrah. Fac. 363. Die dritte groͤſſere. 9) 36 27 27 4 3 3 20 dieſes cub. extr. Fac. 2273 die dritte kleinere. 23. Wie ſoll zu dreyen Coͤrpern das vierdte ge⸗ funden werden? E. g. Es werden gegeben die Diametr. einiger Kugeln, als a b, 6. cd, 10. und ef, 15. Wie ſich nun der Diameter a b zu c d, alſo verhaͤlt ſich ef zu dem, der begehrt wird, nehme alſo die Laͤnge ef, ſtelle ſolche in Lineam Cu- bicam transverſim, zwiſchen 6. und 6. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 10. und 10, gibt den Diametrum gh, 25. Vide Fig. 127. . .DDurch Rechnung: Erſtlich meſſe ich die Diametros der Kugel auf einem 1000. Theili⸗ gen Maaß⸗Stab, geſetzt ich befinde a b 181. c d 214. und ef 247. ſo ſtelle ich es nun in die Regul De-Tri, und Hrache⸗ 7. ſo ſt 3 a b Von der Linea Cubica. ab 18 ibt cd 214 was gibt ef 245 247 181) 52858 Fac. 292 g h. Stereometricè. à b 6 gibt c d 10 was ef I5 10 6 150 dieſes cubicè extrahirt, 25 Fac. 292 g h. 24. Wie ſoll ein Cylinder, oder ein anders Corpus, nach gegebener Hoͤhe formirt werden, damit es doch glei⸗ chen Inhalt bekomme? E. g. Es werde gegeben der Cylinder A, welcher 36. Zoll hoch, und 12. Zoll weit iſt. Nun wird begehrt, es ſolle ein anderer Cylinder von 16. Zoll hoch gemacht werden, und ſolle am Inhalt ſo viel halten, als der Cylin- der A, fragt ſichs, wie weit er ſeyn muͤſſe? Erſtlich ſuche ich zwiſchen der Hoͤhe c d, 36. und e f 16. Mediam proportionalem, finde g h, 24. alsdann zu dieſen dreyen die vierdte, alſo, wie g h, 24. zu c d, 36. alſo cb, 12. zu der vierdten, Facit e k, 18. den Diametrum des Cylinders B. Vide Fig. 128. Durch Rechnung: c d 36 ef 16 multiplicirt, 576 dieſes quadratè extrahirt, 12) — 2. S h gibt ced 36 was ef 12 2 Fac. 18 e k 1 Oder: ef 12 quadr. 144 B 36 c d multiplicirt, 16) 5184 —324 dieſes quadratè extrahirt. Fac. 18 ek. Von der Linea Cubiĩca. 95 25. Wie ſolle ein Cylinder formirt werden, daß er gleiche Ooͤhe und Dicke bekommt; E. g. Es werden gegeben obige Cylindri A und B, ſolche ſollen gleich ſo hoch als dick, oder weit, gemacht werden, und doch den Inhalt behal⸗ ten; Ich ſuche zwiſchen der Hoͤhe e d, 36. und der Weite c b, 12. zwey Me- dias Proportionales, das iſt, ich nehme 12. c b, ſtelle ſolche in Lineam Cu- bicam transverfim, zwiſchen 12. und 12. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 36. und 36. giht die Lineam a c, 17 ¼. oder ich nehme die Lineam ek, 18. und ſtelle ſolche in Lineam Cubicam transverſim „zwi⸗ ſchen 18. und 18. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 16. und 16. gibt auch beynahe 17 ¾. den Diametrum des Cylinders C, welche glle 3. gleiches Inhalts ſeyyn. Vide Fig. 129. Durch Rechnung: Erſtlich quadrire ich die Baſin c b 12 144 Hoͤhe c d, 36 cubicè extrahirt, 5 184 Fac. 173 Hoͤhe und Dicke, Oder alſo: . Hoh BFBaaal. e Kk 18 quadr. 324 mit der Hoͤhe ef, 16 multiplicirt, IFISA4 rad. cub. extr. —“ ͤ ——————— Fac. 173 Hoͤhe und Dicke. 26. Wie ſoll man zu zweyen Coͤrpern das dritte finden, welches dem einen an der Form aͤhnlich, dem andern aber am Inhalt gleich ſeye: E. g. Es werden gegeben 2. Cylinder, A und B, die Hoͤhe A, 25. und deſſen Diameter oder Weite 14. und am Inhalt, welches leicht zu rechnen, 3850. der Cylinder B, iſt hoch 15. und weit 2 8. deſſen Inhalt 9240. Nun Ee aus A, ein anderer Cylinder gemacht werden, welcher dem B an der orm aͤhnlich, dem A aber am Inhalt gleich ſeyn ſolle. Ich nehme den Diametrum ef, 28. ſtelle ſolchen in Lineam Cubicam transverſim, zwi⸗ ſchen 92. 4. und 92. 4. als deſſen Inhalt, und unverruckt nehme S die == eite 96 Von der Linea Cubica. Weite zwiſchen 38. 5. und 38. 5. als dem Inhalt A, gibt den Diametrum no, beynahe 21. Ferner nehme ich die Hoͤhe B 15. ſtelle ſolche wieder zwi⸗ ſchen 92. 4. und 92. 4. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 38. 5. und 38. 5. gibt die Hoͤhen p. 1 1 ½, beynahe. Iſt alſo der Cylinder Can der Form wie B, am Inhalt aber gleich A. Vide Fig. 130. L Durch Rechnung: Erſtlich quadrire ich den Diam. .14 — Diam. 28 196 WM 784 mit der Hoͤhe 25 mult. Hoͤhe 15 mult. 4900 /, 11760 Darauf ſtelle ich ich es in die Regul De-Tri: 11769⁰ gibt 28 Diam. ef, was 490 cubirt, 21952 490 1176) 10756480 9325§ cubicè extrahirt, fuͤr den Diam. no 21 Ferner ſpreche ich. . . 1176 gibt die Hoͤhe 15 cubirt, was 490 3374 490 1176) 1653750 1406 cubicè extrah. Fac. für 112 die Hoͤhe n p. 27. Wie ſoll ein Pyramis in ein Priſma verwandelt werden, daß es gleichen Inhalt habe: Wann man ein Priſma auf eben dergleichen Baſin formirt, wie der Pyramis hat, ſie mag hernach in der Eck⸗Figur beſchaffen ſeyn, wie ſie will, ſo wird ſolche nicht veraͤndert, es ſey dann, daß man aus einer drey⸗ eckichten Baſi eine 4. oder 5. eckichte machen wolte, ſolches geſchiehet durch Huͤlff der Lineæ Tetragonicæ, als: E. g. Es werde gegeben der Pyra- mis A, ſolcher ſolle in ein 3. und 4. eckichtes Priſma verwandelt werdeni iſ nehme zwiſchen 3. und 3. gibt das Latus ſolche veraͤndere ich, durch Huͤlffe Von der Linea Cubica. 97 nehme ich nur ½. der Hoͤhe des Pyramidis, und formire das Priſma B, auf eben eine ſolche Baſin, wie der Pyramis hat, ſo iſt es fertig. Oder, ich theile die Baſin in 3. Theil, und ſtelle ein Priſma darauf, in des Pyramidis Hoͤhe, wie C, oder ich mache die Baſin, durch Huͤlff der Lineæ Geome- tricæ, 3. mal kleiner, und ſtelle die gantze Hoͤhe des Pyramidis darauf, wie D. Will ich nun das 3. Eck in eine mehreckichte Figur verwandeln, ſo neh⸗ me ich die Lineam Tetragonicam zu Huͤlff, wie an E. zu erſehen iſt. Vide Fig. 13 I. Durch Rechnung: Aus dem Pyramide ein Priſma zu machen. Geſetzt die Baſis des 3. E⸗ ckichten Pyramidis ſeye 12. und die Hoͤhe 18. nehme alſo ½. aus 18. machté. und bleibt bey der Hoͤhe, gibt das Priſma B, oder ich nehme . aus der Baſi 12. thut 4. und bleibt bey der Hoͤhe des Pyramidis, formire damit das Priſ- ma C, oder ich nehme . aus der quadrirten Baſi 12. das iſt aus 144. thut 4⅛. ſolches extr. gibt 693. fuͤr die Baſin, ſtelle darauf des Pyramidis Hoͤhe, und formire darmit das Priſma D, oder ich verwandle die 3. Eckichte Baſin des Pyram. in ein Quadr. wann ich ſpreche: . 10000 gibt 12 was 6580 12 Ir rr. Ior,. „. = 7896 die Baſin, ſtelle darauf 6½. der Hoͤhe des Pyram. das iſt 6. welches das Priſma E. iſt. 28. Wie ſoll ein Priſma in einen Pyramidem voeoeUeUerwandelt werden: Ich nehme des obigen Priſmatis B. Hoͤhe 3. mal, und formire auf ſolche Baſin den Pyramidem A, iſt alſo nur umgekehret. Vide Fig. 131. 29. Wie ſoll ein Priſma oder Parallelopipedum in einen Conum verwandelt werden? H E. g. Das Parallelopipedum ſeye a, deſſen Seiten a b, 12. b c, 3. und die Hoͤhe a d, 20. ſolches ſolle in einen Conum verwandelt werden. Erſtlich ſuche ich zwiſchen a h. 12. und b c, 3. Mediam Proportionalem, finde e f, 6. die Seiten eines gleichſeitigen Quadrats, ſolche ſtelle ich in Li- neam Geometricam, zwiſchen 1. und 1. und unverruckt nehme ich die Weite der 98 Von der Linea Cabica. der Lineæ Tetragonicæ, in einen Cireul, und ſtelle perpendiculariter dar⸗ auf die Hoͤhe a d, 20. und formire darmit den Conum, ſo ſeynd ſie glei⸗ ches Inhalt. Vide Fig 132. . . der, ich verwandele die Seite ek, 6. in einen Circul, ſtelle die Hoͤhe ad, 3. mal darauf, und formire den Conum darmit, ſo hat er auch den Inhalt. Alſo hingegen einen Conum in ein Priſma zu verwandeln, wird nur umgekehret. Durch Rechnung: a b 12 de 3 extr. 36 6 ef iſt med. proport. 36 3 — 108 dieſes extrah. OM 1036 Latus Quadrati, ſo 3. mal groͤſſer iſt, dieſes in einen Cireul zu verwandeln, ſo ſpreche: Latus Quadrati gibt was gibt Diam. Circ. Mνn 6580 . 1036 74²6 . 1036 6580) 7693336 117 Diam. Coni, dar⸗ auf die Hoͤhe des Parallelopipedi geſtellt, ſo iſt ſolcher Conus ſo groß Aals das Parallelopipedum. 1. Oder alſo: . Wann man die Baſin dem Inhalt nach ſeyn laͤßt, und die Hoͤhe des Priſmatis 3. mal hoͤher macht. 6580 gibt 6 was 7426 6580⁰) 44556 677 Diam. Coni, dar⸗ auf die Hoͤhe 3. mal iſt 60. geſtellet, iſt der Conus mit dem Paralle- lopipedo gleiches Inhalts. 30. Wie a — gibt directè 856. bey nahe die Seiten des Cubi B. Vide Fig. 135. Von der Linea Cubica. 99 30. Wie ſoll ein Conus in einen Cylinder ver⸗ wandelt werden? E. g. Es werde gegeben obiger Conus, Fig. 132. ſolcher ſolle in einen Cylinder verwandelt werden; ſo nehme ich nur den dritten Theil der Hoͤ⸗ he des Coni, und ſtelle ſolche auf deſſen Circul⸗runde Baſin, formire dar⸗ mit den Cylinder, ſo iſt er mit dem Cono gleiches Inhalts. Alſo iſt hin⸗ wiederum der Cylinder leichtlich in den Conum zu verwandeln. Fig. 133. 31. Wie ſoll ein Priſma oder Parallelopipedum in einen Cylinder verwandelt werden: E. g. Es werde gegeben das §.eckichte Priſma, ſolches ſolle in einen Cylinder verwandelt werden; ſo verwandele ich vorhero den 5. eckichten Grund, durch Huͤlff der Lineæ Tetragonicæ, in einen Circul, und ſtelle darauf des Priſmatis Hoͤhe, formire den Cylinder, ſo hat er gleichen In⸗ halt. Vide Fig. 134. Durch Rechnung: H Geſetzt das Latus des §. Ecks ſeye 55. darauf ſpreche ich alſo: Das 5. Eck iſt in der Tabula Tetrag. hat Semi- Diam. was Latus n, 5017 3712 55 55 5017) 204160 „ . . 2 407 Hierauf die Hoͤhe des §. Ecks geſtellt, und damit ein Cylinder formiret. 32. Wie ſoll ein Cylinder in einen Cubum ver⸗ wandelt werden: E. g. Es werde gegeben der Cylinder A, welcher 10. Zoll weit, und 8. Zoll hoch iſt, ſolcher faßte einen Metzen Getraͤyd, aus dieſem ſolle ein Cubus gemacht werden. So verwandle ich erſtlich den Diametrum des Cylindri in die Seiten eines Quadrats, durch Huͤlff der Lineæ Tetrago- nicæ, gibt 886. zwiſchen dieſem und der Hoͤhe des Cylindri 8. Zoll, ſuche ich 2. Medias Proportionales, das iſt, ich nehme von der Linea Arithme- tica directè 886. ſtelle ſolche in Lineam Cubicam transverſim, zwiſchen 886. und 886. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 80. und 80. Durch N 2 100 Von der Linea Cubica. B , Durch Rechnung. Erſtlich rechne ich den Inhalt der Baſeos des Cylindri, und ſpreche: „ Beibt 22 was Diam. Cyl. 1“ 7) 220 =è 3143 LCircumf. 10 4½ 31430 7857 Area Quadrati. mit der Hoͤhe mult. 8 Area Cylindr. 62856 dieſes cubicè extr. Latus 856 Cubi C. Oder alſo: B Diam. Circuli in der Tabell gibt Diam. was Latus R. Pl. Corp. 7424 Cyl. 10 65ß06 . 2 10 742 65800 L 8863 U◻ 78552769 dieſes cub. extr. 8 6298422 12— . fuͤr das 856 Latus Cubi. 33. Was Nutzen hat dieſes Exempel: Wann ich nun einen juſten Cylindriſchen Metzen in einen Cubum verwandelt habe, und mache aus ſolcher Seiten einen Maaß⸗Stab/ wor⸗ auf ich die Lange etliche mal hinaus trage, und theile den erſten Theil in 30. Theil, ſo kan ich einen Hauffen Getraͤyds, welcher in eine Vierung geſchuͤttet, abmeſſen. E. g. Ein Hauffen Getraͤyds haͤlt 12. ſolcher Cubi- ſcher Metzen auf dem Maaß⸗Stab, in die Laͤnge, und 10. in die Breite und 2. in die Hoͤhe, ſolche in einander multiplicirt, gibt 240. Metzen, wel⸗ ches ohngefaͤhr kan uͤberſchlagen werden. èä 34. Wie 17 Von der Lineà Cubica. I01 34. Wie ſoll ein Priſma oder Parallelopipedum in einen Cubum verwandelt werden?: —L. g. Es werde gegeben das Priſma, oder Parallelopipedum, Fig. 110‧* deſſen Laͤnge, 81. die Breite, 36. die Hoͤhe, 54. ſolches ſolle in einen Cu- bum verwandelt werden. So veraͤndere ich erſtlich die Baſin in ein gleich⸗ ſeitiges Quadrat, das iſt, ich ſuche Mediam Proportionalem zwiſchen 81. und 36. gibt 54. Weilen nun die Hoͤhe auch 54. iſt, ſo gibt es cen einen gleichſeitigen Cubum: waͤre aber die Hoͤhe eine andere Zahl, ſo ſetzte ich dieſe 5a. in Lineam Cubicam transverſim; zwiſchen 54. und 54. und nehme unverruckt die Weite zwiſchen der Zahl der Hoͤhe, ſolches gebe die Seite des gleichſeitigen Cudi, welche einander am Inhalt gleich ſeyn. Vide Fig. 110. HW Durch Rechnung: Die Laͤnge 81 Die Breite 36 H 2916 Area quadr. extr. 54. gleich der Die Hoͤhe s4 Hoͤhe oder Cub. extr. 175464 Area Cubi. Latus 54 Cubief. Item: Ich habe ein Parallelogrammum, deſſen Laͤnge iſt 72. die Breite 40. und die Hohe 52. ſolches ſolle in einen Cubum verwandelt werden: Die Laͤnge 77 Die Breite 40 „2880 Die Hoͤhe 52 deerer 5760 14400 149760 dieſes cubice extr. 532 Die Seite des Cubi. 35. Wie ſoll ein Cubus in ein Priſmma, oder Parallelopipedum, nach gegebener Hoͤhe oder Breite verwandelt werden: E. g. Es werde wieder gegeben der obige Cubus, Fig. 110. deſſen Sei⸗ ten 54. Nun ſolle ſolcher in ein Parallelopipedum verwandelt werden, N 3 deſſen 102 Von der Linea Cubica. deſſen Breite 36. und die Hoͤhe 54. bleiben ſolle. So nehme ich das La- tus 54. ſtelle ſolches in Lineam Arithmeticam transverſim, zwiſchen 36. und 36. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 54. und 54. gibt das Latus 81. die Laͤnge. Iſt alſo 54. hoch, 36. breit, und 81. lang, und mit dem Cubo gleiches Inhalts. Vide Fig. 110. Durch die Rechnung: 54 cubirt, Breite 36⁰) 157464 Hoͤhe 54) 4374 JU/ Fac. S&1 die Laͤnge, 36. die Breite, und 54. Hoͤhe. Ein anders: Obiges Exempel wollen wir wieder gebrauchen, allwo des Cubi Sei⸗ ten ſey 5§532. ſolches ſolle in ein Parallelopipedum verwandelt werden, deſ⸗ ſen Laͤnge 72. die Breite 4. iſt alſo die Frag nach der Hoͤhe. 532 cubirt, 8 Laͤnge 72) 15058] 768 mit 40) 209 Fac. 52 die Hoͤhe. V ßMVM 36. Wie ſoll eine Sphæra oder Kugel in einen Cylinder verwandelt werden? Ich nehme mit einem Taſter⸗Circul den Diametrum einer Kugel cher ſeye allhier ab, ſtelle denſelben in Lineam Cubicam Transverin ‚ſe⸗ ſchen 30. und 30. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 20. und 20. gibt die Hoͤhe und Dicke des Cylinders. Vide Fig. 136. Durch Rechnung: Geſetzt der Diameter einer Kugel ſey 20. ſolcher ſolle in einen Cylin- der verwandelt werden, von gleicher Hoͤhe und Dicke, nun verhaͤlt ſch di⸗ Kugel gegen dem Cylinder, vermoͤg des Archimedis Regel wie 3. gegen 2. darauf ſpreche ich: 3 gibt — — —— Von der Linea Cubica. 103 3 gibt 20 cubirt, was gibt 2 8000 M 2 16000 5333Extr. Fac. 1746 fuͤr die Hoͤhe und Dicke des Cylinders. 37. Wie ſoll ein Conſtabel durch Huͤlff dieſer Lineæ einen Caliber oder Rugel⸗Maaß⸗Stab verfertigen· E. g. Es werde gegeben der Diameter einen bleyernen Kugel, welche 5. 15. wieget; nach ſolchem ſolle ein Caliber gemacht werden. Ich nehme den Diametrum, ſtelle ſolchen in Lineam Cubicam transverſim, zwiſchen 5. und 5. ſo habe ich in dieſer Aufſperrung alle h. von 1. bis auf 100. wor⸗ nach der Caliber aufgetragen wird. Will ich nun ſolchen uͤber 100. 15. auf⸗ tragen, ſo nehme ich die Weite zwiſchen 100. und 100. und ſtelle ſolche transverſim zwiſchen §o. und 5§0. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 50½. und 50:. ſo gibt es den Diametrum einer Kugel von 101. t. zwiſchen §1. und § 1. den Diametr. einer Kugel von 102. 15. und ſo fort an. . Durch Rechnung: Geſetzt der Diameter einer 5. Bigen Kugel ſeye nach dem 1000. Theili⸗ gen Maaß⸗Stab 25. aus dieſem ſolle das erſte 15 gezogen werden, wor⸗ nach alsdann ein Caliber kan verfertiget werden, ſo eubire ich dieſe Zahl, gibt 15625. dividire ſolche durch 5. kommt 3 125. dieſe cubicé extrahirt, gibt 146 ſolche nehme ich wieder vom obigen 1000. Theiligen Maaß⸗Stab, mache daraus einen 100. Theiligen Maaß⸗Stab, aus welchem nach Herrn Tobias Beutels Cubiſchen Tabell alle f. koͤnnen aufgetragen werden. 38. Wie koͤnnen die Loth auf den Caliber getragen werden: Ich nehme den Diametrum der Kugel von 1. †. ſtelle ſolchen trans- verſim zwiſchen 32. und 32. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen r. und 1. gibt den Diametrum einer Kugel von 1. Loth, alſo zwiſchen 2. und 2. den Diametrum einer Kugel von 2. Loth, und ſo fort an. Nehme ich dann 1. Loth, und ſtelle ſolches zwiſchen 16. und 16. ſo kan ich ein Loth wie⸗ der in 16. Theil theilen, welches in andern Coͤrperlichen Sachen groſſen Nutzen hat. H Durch 104 Von der Linea Cubica. —NANDurch Rechnung: Oben her haben wir gefunden, daß der Diameter von 1. 1. Bley ſey 146. nun wollen wir hieraus das erſte Loth finden, ſo cubire ich dieſe Zahl 146. kommt 3112136. dieſe mit 32. dividirt, gibt 97254. ſolche cubicè ex- trahirt, kommt 46. ſolche nehme ich vom 1000. Theiligen Maaß⸗Stab/ ma⸗ che daraus einen 1000. Theiligen Maaß⸗Stab, und trage nach der Cubic- Tafel die Loth auf, damit wird der Caliber fertig ſeyn. 39. Wann eine allzu groſſe Kugel begebret wurde, wie iſt der Diameter zu finden? ”èä HE. g. Man begehrte den Diametrum einer Kugel von 512. 15. Wann mir nun der Diameter einer Kugel ſelbiger Materie von 1. W. bekandt iſt, ſetze ich ſolchen zwiſchen 1. und 1. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen; hernach dividire ich die gegebene 1. durch 8. gibt 64. nehme alſo die Weite ſiſchen 64. und 64. ſolche Laͤnge mit dem Hand⸗Circul duplirt, gibt den jametrum von 5 12. 15. . Durch Rechnun: J Obiger Diameter einer thigen Kugel ſeye wieder gegeben, nun wolte man gerne wiſſen, wie groß der Diameter von §12. 1. waͤre: erſtlich cubire ich den Diameter von einem w̃. welcher iſt 146. gibt 3112136. dieſes mit 512. multiplicirt, thut 1593413632. dieſes cubicè extrahirt, kommt 11665. für den Diameter der Kugel von 512. f5. ſchwer. 40. Wie ſoll eine Viſier. Ruthen gemacht werden? Erſtlich laſſe ich mir aus Holtz ein ablanges viereckichtes Kaͤſtlein zu⸗ richten, hernach theile ich einen⸗ Maaß⸗Stab 1. Schuh lang in 1000. Theil; mit ſolchem meſſe ich des Kaͤſtleins Laͤnge, allhier 800. die Breite 400. die Tieffe 300. Ferner fuͤlle ich das Kaͤſtlein mit J. Maaß Waſſer, finde aber nur 200. an der Tieffe, dieſes verwandle ich in einen Cubum. Ich multiplicire die Laͤnge 800. und die Breite 400. thut 320000. und dann mit der Tieffe 200. gibt 64000000. Hieraus Radicem Cubicam extrahirt, gibt 400. oder 4. Decimal-ZSoll, formire alſo damit einen Cubum 4. Zoll lang, 4. Zoll breit, und 4. Zoll hoch, ſo ein Maaß Waſſer oder Wein haͤlt. Vide Fig. 137. . . Will ich nun wiſſen, wie groß ein Eymer ſey, ſo ſetze ich dieſe 4. Zoll in Lineam Cubicam zwiſchen 1. und 1. und unverruckt nehme ich eaſoeen . zwiſchen Von der Linea Cubica. 105 zwiſchen 6. und 60. gibt die Laͤnge, Hoͤhe und Breite eines halben Eymers: Ferner nehme ich dieſe Laͤnge 60. ſtelle ſolche zwiſchen 30. und 30. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 60. und 60. gibt die Laͤnge, Hoͤhe und Breite eines Cubi von 120. Maß, oder eines Eymers allhier; ſolche Laͤnge eines Eymers trage ich auf einen Stab etliche mal hinaus, und theile eine Laͤnge davon in 100. gleiche Theil, die andere aber in 10. Theil, ſo kan ich damit alle Roͤhr⸗Kaͤſten, und was ſonſten in gevierdter Form A „behend viſiren; Alſo, ich meſſe, e.ge mit dieſem Stab einen Waſſer⸗ rog, die Laͤnge 200. die Tieffe 20. die Breite 30. ſolches in einander multiplicirt, gibt 120000. dieſe mit 1000000. dividirt, gibt 133. dann 1. Eymer hat 100. ſolche in ſich cubicè multiplicirt, gibt 1000000. wer⸗ den alſo von beeden Zahlen oooο. abgeſchnitten. Weilen nun 100. einen Eymer von 20. Maß gibt, ſo multiplicire ich 12. mit 120. gibt 1440. mit 100. dividirt, gibt 14½. Maß, oder die uͤberbliebene 40. mit 4. multipli⸗ cirt, gibt 160. mit 100. dividirt, gibt 13. Quart einer Maß. Durch Rechnung: Wann mir 1. Maß 4. Zoll gibt, ſo cubire ich die 4. Zoll, macht 64. 00·“/ 111 mit 120. multiplicirt, bringt 7680. dieſes cubicè extrahirt, kommt 197. fuͤr die Hoͤhe, Breite und Laͤnge eines Eymers. Ein anders Exempel: Es iſt ein gevierdter Roͤhr⸗Kaſten lang 130. breit 120. und tieff 80. Iſt die Frag nach dem Inhalt? Ich multiplicire dieſe Zahlen in einander, gibt 12482%. ſolche mit 100052. dividirt, gibt 1. Eymer, Reſt 2. mit 120. multiplicirt, gibt 39760. mit 1000. dividirt, macht 39 ¾ Maß. Auf ſolche Weiſe kan man nicht allein die 4. ſondern auch 5. und mehreckichte Roͤhr⸗Kaͤſten, wie auch Cylindriſche Gefaͤß, und anders mehr, viſiren, wann ſolche durch Huͤlffe der Lineæ Tetragonicæ verwandelt werden. Es iſt auch rathſamer, wann an ſtatt eines maͤſſigen Cubi ein groſſes Gefaͤß, ſo einen Eymer und mehr haͤlt, ab⸗ gemeſſen, und daraus ein Cubus formirt wird, welches weniger Irrthum bringet, dann ein Kleines in ein Groſſes verwandlen, wann es um ein Haar breit fehlet, kan es in dem Groſſen viel ausmachen, hingegen von dem Groſſen auf das Kleine zu kommen, wird wenigere Errores verurſa⸗ chen. Vide Fig. 138. = 41. Wie kan man aus einem Cylindriſchen Gefaͤß eine Viſier- Ruthen machen: .— Wann ich einen geraden Cylinder nehme, der auch mehr als eine 106 Von der Linea Cubica. Maß Waſſer haͤlt, ſo meſſe ich an ſolchem die Breite, fuͤlle denſelben mit einer Maß Waſſer, urd nehme die inwendige Hoͤhe, ſo weit das Waſſer gehet, ſolches ſtelle ich in Lineam Cubicam transverſim, zwiſchen 1. und 1. unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 60. und 60. dieſe Wei⸗ te ſtelle ich zwiſchen 30. und 30. und unverruckt nehme ich die Weite wieder zwiſchen 60. und 60. ſo habe ich die Hoͤhe von 120. Maß, oder einem Ey⸗ mer. Ferner nehme ich die Weite des Cylindri, ſtelle ſolche abermal zwiſchen 1. und 1. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 60. und 60. dieſe wiederum zwiſchen 30. und 30. geſtellet, und unverruckt die Weite zwiſchen 60. und 60. genommen, gibt den Diametrum des Cylindri von 120. Maß, oder eines Eymers. Oder, ſo ich einen maͤſſigen Cubum habe, ſo veraͤndere ich nur die Baſin, durch Huͤlffe der Lineæ Tetragonicæ, in einen Circul, und ſtelle darauf des Cubi Hoͤhe. Alſo kan ich auch mit einem Eymerigen Cubo procediren. Wann nun dieſes geſchehen, nehme ich einen Stab, und ſtelle darauf des Eymerigen Cylindri Hoͤ etliche mal, hernach theile ich eine ſolche Hoͤhe in 10. gleiche Theil. Ferner, den Tieff⸗Stab zu machen, ſo nehme ich den Diametrum des Eymerigen Cylindri, ſtelle ſolchen in Lineam Geometricam transverſim zwiſchen 12. und 12. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 1. und 1. ſo habe ich 1. Maß, ſolche trage ich auf den Tieff⸗Stab; ferner die Weite zwi⸗ ſchen 2. und 2. genommen, gibt die andere Maß, und ſo fort an, alſo kan ich den Tieff⸗Stab vermehren, wie ich will, und auf ſolche Weiß wird die Viſier-Ruthen verfertiget. V 42. Wie wird die Viſier Ruthen gebrauchet? Ich meſſe mit dem Stab, ſo in gleiche Theil getheilet worden, die Laͤnge oder Hoͤhe des Cylinders oder Faſſes, und mit dem Tieff⸗Stab die Tieffe oder Breite des Cylinders, multiplicire ſolche mit einander, ſo Pe ich den Inhalt; v. g. der Cylinder hielte am Laͤng⸗Stab 12. und am nſ Stab 15. ſolche mit einander multiplicirt, gibt 180. Maß, oder 43. Wann ein Cylinder in eine bequemere Form ſolte ver⸗ wandelt werden, alſo, daß er hoͤher oder laͤnger begeh⸗ ret wurde, wie operirt man? “ E. g. Ein Eymeriger Cylinder iſt hoch 16. und deſſen Diameter 18. Nun ſolle ſolcher 25. hoch gemacht werden, wie groß waͤre alsdann deſſen Diameter? Ich nehme die Hoͤhe ef, 25. und ca, 16, ſuche nwiſchen deſen . ahlen — — ũ — —6G.—— —. —,— Von der Linea Cubica. 107 Zahlen Mediam Proportionalem, gibt ! k, 20. zu dieſen ſuche ich die vierdte, alſo, wie Ik, 20. zu a c, 16. glſo a b, 18. zu der vierdten; fin⸗ de f h, I4½¾. den Diametrum, mache alſo den Cylinder 25. hoch, und 14 ¾. weit den Diametrum, und ſeynd alsdann einander am Inhalt gleich. Thei⸗ le alſo die Hoͤhe auf den Laͤng⸗Stab in 10. gleiche Theil, und trage ſolche etliche mal in die Laͤnge auf, hernach nehme ich den Diametr. 14 ¾, ſtelle ſolchen in Lineam Geometricam transverſim., zwiſchen 12. und 12. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen den andern Zahlen, von 1. bis auf 100. damit trage ich den Tieff⸗Stab auf, ſo ſeyn ſie zum Gebrauch fer⸗ tig. Vide Fig. 139. M “ . Erſtlich quadrire ich den Diameter 18. thut 324. dieſes mit der Hoͤhe 16. multiplicirt, kommt 5184. ferner mit der begehrten Hoͤhe 25. divi- , 2/7 dirt, bringt 20736. ſolches quadratè extrahirt, kommt 144. der begehr⸗ te Diameter. 44. Wie ſoll man einen Viſier · Riemen verfertigen 7 Man nehme ein wohl⸗proportionirtes Faß, welches in der Eich juſt geeichet worden, und beziehe ſolches mit einem Riemen, als von einem Ende des Bodens, an der Zarg, Gorgel oder Kimming, uͤber das Faß bis zum Ende des andern Bodens, ſolches bemercke ich mit den Maßen, ſo viel das Faß haͤlt, e g. das Faß hielte 64. Maß, ſolche Laͤnge theile ich in 4. Theil, gibt 1. Theil darvon die erſte Maß; nach ſolcher Maß kan man einen Maaß⸗Stab machen, und nach einer Cubic-Tabell; da die erſte Maß 100. die achte Maß 200. Theil hat, den Riemen auftragen und verferti⸗ gen; hielte aber das Faß eine andere Zahl der Maßen, als geſetzt 60. ſo theile ich die Laͤnge in 4. Theil, und ſtelle den vierdten Theil in Lineam Cu- bicam transverſim zwiſchen 60. und 60. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 64. und 64. ſo habe ich auch die erſte Maß, wornach ich, den Riemen auftragen kan. Durch Rechnung: Dieſes kan durch die Rechnung ſolvirt werden, wie oben bey dem Caliber aufzutragen gelehret worden. 2 5 45. Wie o38 Von der Linea Cubica. 45. Wie kan ein Zimmermann den Werth des Bau⸗ ein Schreiner des Eychen⸗ oder Nuß⸗Baum⸗ ein Binder des 4 Dannen⸗Soltzes erkundigen oder erforſchen, und einen 3 Viſier- oder Maaß⸗Stab darnach machen? . Erſtlich, wann einer, der in Holtz arbeitet, ein Holtz oder Baum zu kauffen begehret, ſo ſolle er die Dicke und Laͤnge des Baums meſſen, er fin⸗ det aber gemeiniglich, daß ſolcher unten dicker, als oben, derowegen muß er ſolches equiren; geſetzt, er haͤtte befunden die obere Dicke am Diameter 2. Schuh, die untere Dicke aber 3. Schuh, ſolche addirt, gibt §. dieſes halbirt, macht 2 ½. Schuh der equirte Diameter, darauf ſpricht er: 7. Diameter gegeben 22. Circumferenz. Was 2 ½. Diameter, . 2 ¾. . 1 44. . 11. — 75. Circumferenz. mit z. multiplicirt Facit, 4 ⁄1. Quadrat- Schuh Area Circuli. Nun findet er 20. Schuh die Laͤnge des Baums multiplicirt, 80. 1812¾. Facit, 9814¾. Cubiſche Schuh den Inhalt des Baums. Wann nun ſolcher Baum um 5. Gulden bezahlt wuͤrde, ſo wuͤrde der Cubiſche Schuh beynahe 3. Kreutzer belauffen. Und wann dann ei⸗ . ner in dieſem Preiß ſeinen Nutzen haͤtte damit ſchaffen koͤnnen, ſo kan er enr wann er einen andern kauffen will, auf obige Weiß leicht erfor⸗ en, wie theuer er ſolchen bezahlen ſolle. Oder, er kan ihme ſelbſten einen Viſier-oder Maaß⸗Stab machen, auf folgende Weiſe: Wann er einen Quadrat- Schuh in einen Circul, durch Huͤlff der Lineæ Tetragonicæ, verwandelt, traͤget ſolchen Geometricè auf einen Maaß⸗Stab, mit demn⸗ ſelben miſſet er allezeit die Dicke des Baums. Auf die andere Seiten des Stabs traͤget er den Schuh Arithmeticè, das iſt, nach der Laͤnge des Werck⸗Schuhs, etliche mal auf, theilet ſolchen in die Zoll ab, darmit miſſet . 2 tr Von der Linea Cubica. 109 er die Laͤnge des Baums, multiplicirt ſolches mit der gegebenen Dicke, ſo hat er den Inhalt. Ferner wird er leichtlich rechnen koͤnnen, wie theuer er einkauffen ſolle. Dieſem nach kan ihme ein Handwercks⸗Mann allerley Viſier-Staͤbe, wie er ſie bedarff, verfertigen, dardurch er groſſen Nu⸗ tzen finden wird. Auf ſolche Weiſe wird auch ein jeder finden koͤnnen, wann er ein Holtz kaufft, und wolte ſolches zu Brenn⸗Holtz hauen laſſen, wie viel Klaſſtern er darvon bekommen wuͤrde. Aber vorhero muß er wiſſen, wie viel Cubiſche Schuh die Stadt⸗ oder Wald⸗Klaffter an ſeinem Ort haͤlt. Allhier iſt die Klaffter 6. Schuh hoch, und 6. Schuh breit, das Holtz oder die Scheiter ſollen 3 ½¼. Schuh lang ſeyn, ſolche in einander multi⸗ ðU plicirt, macht 126. Cubiſche Schuh der Inhalt einer Klaffter. H 5 Von 110 Von der Linea Chordarum. Von der Linea Chordarum. TABUILA PRO DIVISIONE LINEE CHORDARUM. Grad. Chord. Grad. Chord. Grad. Chord. Grad. Chord. Grad. Ghord. 1. 87.34. 2924. 67. 5519. 100. 7660.133. 9171. 2. 175. 35. 3007. 68. 5592. 101I. 77 16.134. 9205. 3. 262. 36. 3090. 69. 5664. 102. 7771. 135. 92239. 4. 349. 37. 3 173. 70. 5737.103. 7826. 136. 9272. 5. 436. 38. 3256.71. 5807. 104. 7880. 137. 9304. 6. 5§523. 39. 3338.72. 5878. 105. 7934. 138. 9336. 7.2 610. 40. 3420.73. 5948.106. 7986.139. 9367. 8. 698.41. 3502. 74. 6018. 107. 8039. 140. 9397. 9. 785. 42. 3584. 75. 6088. 108. 8090. 141. 9426. 10. 872. 43. 3665§. 76. 6157. 109. 8141. 142. 9455. II. 958. 44. 3746.77. 6225. 110. 8192. 143. 9483. 12. 1045. 45. 3827.78. 6293. III. 8241.144. 951I. 13. 1132.46. 3907.79. 6361.112. 8290. 145. 9537. 14. 1219.47. 3987.80. 6428.113. 8339.146. 9563. 15. 1305. 48. 4067. 81. 6494. 114. 8387. 147. 9588. 16. 1392. 49. 4147. 82. 656I. 115. 8434. 148. 9613. 17. 1478. 50. 4226. 83. 6626. 116. 8480.149. 9636. 18. 1564 5 I. 4305. 84. 6691. 117. 8526. 150. 9659. 19. 1650. 52. 4384. 85. 6756. 118. 8572. I51. 9681. 20. 1736. 53. 4462. 86. 6820. 119. 8616. 152. 9703. 22. 1908.55. 4617. 88. 6947. 121. 8704. 154. 9744. 23. 1994. 56. 4695. 89. 7009. 122. 8746. 155. 9763. 24. 2079. 57. 4772. 90. 7071. 123. 8788.156. 9781. 25. 2164. 58. 4848.9 I. 7133. 124. 8829. 157. 9800. 26. 2250.59. 4924.92. 7193.125. 8870.158. 9816. 27. 2334. 60. 5000. 93. 7254. 126. 8910. 159. 9833. 28. 2419. 61,. 50975. 94. 7314. 127. 8949. 160. 9848. 29. 2504. 62. 5150. 95. 7373. 128. 8988.165. 9914. 30. 2588.63. 5225. 96. 743 I. 129. 9026. 170. 9962. 31. 267 2. 64. 5299. 97. 7490. 130. 9063. 175. 9990⁰. 32. 2756. 65. 5373.98. 7547. 13I. 9100. 180. 10000. 33. 2840. 66. 5446.99. 7604. 132. 9135. e Von der Linea Chordarum. 111 I. Aus was Fundament wird obige Tabell zubercitet: Bie wird aus den Tabulis Sinuum genommen, da die gantze Linea Chordarum von 180. Gr. fuͤr den Sinum totum oder Radium ☛ von 10000. Theil genommen, und gerechnet wird, und iſt alſo einer jeden Chordæ halber Theil der Sinus des halben Winckels; alſo 30. Minuten, ſo in den Tabulis Sinuum 87. hat, wird hier fuͤr . Grad genommen; der Radius oder Sinus totus, welcher ſonſt 10000. iſt hier nur 5000. und gibt den 60. Grad, welches der Sinus von 30. Grad iſt, wie aus nachfolgendem zu erſehen. ⸗ H 2. Zu was dienet die Linea Chordarum:? Sie dienet zur Trigonometria, dardurch die Grad eines Cireuls oder Winckels erkundiget und aufgeſtellet werden, wie auch die Sinus ei⸗ nes Winckels, oder die Seiten eines Trianguls, durch Huͤlff der Lineæ Arithmeticæ, zu erfinden. D 3. Wie kan man den Sinum eines Winckels von halben SHZ Grraden zu halben Graden finden: Die Sinus ſeynd Perpendicular-Linien, welche vom Ende eines Bo⸗ gens in den Radium fallen, als c d iſt der Sinus des Bogens ac, oder des Winckels abc, von 30. Grad, ef iſt der Sinus des Bogens a e, oder des Winckels abe, von 60. Grad, alſo auch 4 b, iſt der Zinus des Bogens ag, oder des Winckels abg, von 90. Grad. Dieſer Sinus g b, wird Sinus totus genannt, und if⸗ ſo groß, als der Radius a b, welcher in den Sinus Tafeln 10000. iſt, und wir ſolche auf der Linea Arithmetica 1000. gelten laſſen. Weilen nun die Linea Chordarum die Chordas Graduum begreiffet und verfaſſet, als ci, e k und gh, welche g h den Diametrum Circuli giebet, ſo iſt einer jeden Chordæ halber Eheil der Sinus des 4. Winckels, alſo der halbe Theil ci der Chordæ von 60. Grad, gibt e d den Sinum von 30. Grad; der halbe Theil ek der Chordæ von 20. Grad, iſt der Sinus ef von 60. Grad; der halbe Theil g h der Chordæ von 180. Grad, oder des Diametri Circuli iſt g b, der Sinus totus, oder Semi- Diameter von 90. Grad; derowegen, wie g h, 2000. zu der gantzen Chorda von 180. Grad, alſo iſt g b, der Sinus totus, 1000, zur halben Chorda, nemlich zum Sinu des Winckels von 90. Grad. Derohalben nimmt man aus der Linea Arithmetica directè 100. fuͤr 1000, gerechnet, und ſtellet ſolche in Lineam Chordarum transverſim zwiſchen 180, und 180. und unverruckt die Weite zwiſchen 60, und 60. genommen, gibt ar . F6etE 112 Von der Linea Chordarum. rectè auf der Linea Arithmetica 500. den Sinum von 39. Grad, nimmt man dann die Weite zwiſchen 120. und 120. gibt es directè 866. den Si- num von 60. Grad. Vide Fig. 140. 4. Wie kan man durch Huͤlff dieſer Lineæ die Circum- ferenz eines Circuls nach Begehren theilen? Man nehme den Semi-Diametrum des Circuls, und ſtelle ſolchen in Lineam Chordarum transverſim zwiſchen 60. und 60. oder den Diame- trum zwiſchen 180. und 180. iſt einerley Aufſperrung, laſſe das Inſtru- ment unverruckt liegen, und nehme die Weite, zwiſchen 120. und 120. gibt den dritten Theil des Circuls, zwiſchen 90. und 90. den vierdten, zwiſchen 72. und 72. den fuͤnfften, und ſo fort an. Wann man alſo den achten Theil des Circuls, das iſt von 90. bis zu 45. Grad, von einem Grad zu dem andern fleiſſig abtraͤgt, damit wird man behend den gantzen Circul, in 360. Grad getheilet haben; oder wann von. 10. zu 10. hernach von 5. zu 5. Grad die Umſchlaͤge des Circuls netto eintreffen, ſeynd die andern Grad deſto leichter und fleiſſiger auf⸗ oder abzutragen, wie es ein jeder in der Praxi ſelbſt erfahren wird. Vide Fig. 141. 5. Wie kan man eine Regular-Figur in den Circul beſchrieben: L Ich nehme den Semi-Diametrum a b, ſtelle ſolchen transverſim in Lineam Chordarum, zwiſchen 60. und 60. E. g. Ich ſolle ein §. Eck darein beſchreiben, theile derowegen 360. Grad, ſo viel ein jeder Circul Grad hat, in 5. Theil, gibt 1. Theil 72. nehme alſo unverruckt die Weite zwiſchen 72. und 72. und trage ſolche in der Circumferenz 5. mal herum, ziehe die Puncten mit Linien zuſammen, ſo iſt das 5. Eck fertig. Vide Fig. 141. Durch Rechnung: WDeenn ich aber keinen Proportional-Circul haͤtte, wie koͤnnte ich durch Huͤlff dieſer Tabell einen Winckel oder Regular-Figur darſtellen? Hierzu wird erfordert ein 1000. Theiliger Maaß⸗Stab, von ſolchem nehme ich allezeit 500. oder 5§o. fuͤr meinen Radium, mache darmit einen Cir⸗ cul, geſetzt ich ſolle ein 5. Eck darſtellen, ſo dividire ich 5. in 360. bekomme 72. ſolche ſuche in der Tabell, finde 5878. ſtelle ſolche in den Circul 5. mal her⸗ um, ziehe die Linien zuſammen, ſo habe ich mein 5. Eck, ſolte mir aber die Sei⸗ ten 25. gegeben ſeyn, ſo ſtelle ich es in die Regul De-Tri, und ſpreche: 72. Grad Von der Linea Chordarum. 113 72 Grad in der Labell gibt was Radius 5878 L 25 5000 5000 5878) 125000 . . 2126 Dieſes iſt der Radius, wor⸗ mit ein Circul beſchrieben, und 25. in der Circumferentz 5. mal herum getragen wird. . . 6. Wie kan man erfahren, wie viel ein gegebener Winckel Grad hat? “ Der Winckel hat an und vor ſich ſelbſten keine Grad, ſondern der Bogen, welcher den Winckel, durch Huͤlffe des Circuls, in Aufſperrung der Laͤnge des Radii, oder Semi-Diametri machet. Wann die Winckel b a c gegeben werden, fragt ſich, wie viel Grad ſie halten? Ich eroͤffne den Hand⸗Circul nach Belieben, mache aus a die Boͤgen b c, ſtelle ſol⸗ chen Radium a b, in Lineam Chordarum transverſim zwiſchen 60. und 60. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, hernach nehme ich mit dem Hand⸗ Circul die Chordam b c, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen auf der Linea Chordarum ſolche eintreffen, finde bey dem Angulo acuto 35. Grad, und bey dem Obtuſo 150. Grad. Bey den allzu ſtumpffen Win⸗ ckeln iſt es rathſamer, wann man den Semi-Diametrum a b verlaͤngert, in d, und mit dem Complement operirt, welches weniger Errores brin⸗ get, da mir die Chorda c d, 30. Grad giebet; ſolche von 180. ſubtra- hirt, Reſt 150. Grad fuͤr den Winckel bac, oder fuͤr den Bogen b c. Vide Fig. 142. 3 7. Wie kan man die Sad eines gegebenen Bogens Wann der Bogen nicht gar zu klein, ſo ſuche ich erſtlich deſſen Cen⸗ trum durch Huͤlffe der Creutz⸗Boͤgen; wann ſolches gefunden, ſo mache ich den Circul oder Semi-Circulum gantz und voͤllig, und ſtelle den Semi-⸗ Diametrum zwiſchen 60. und 60. transverſim, hernach ſehe ich, wo mir. die Chorda a b oder b feintrifft, finde a b zwiſchen 150. und 150. und bf⸗ zwiſchen 30. und 30. ſage demnach, daß der Winckel adb, des Bogens acb, 150. Grad ſeye. Oder, nachdem ich das Centrum gefunden, ſo theile ich den Bogen a cb in 2. gleiche Theil, und ziehe die Chordas a c, cb, a b, nehme alſo a c oder à b fuͤr Pen Radium, ſtelle ſolche trans- verſim 114 on der Linea Chordarum. 7 ¹ verſim zwiſchen 60. und 60. ſo gibt mir die Chorda a b, des Winckels a c b, 105. Grad, ſolche von 180. ſubtrahirt, Reſt 75. Grad, dieſes du- plirt, macht 1½6. Grad fuͤr den Winckel a d b, ſo viel der Bogen a cb Grad hat. Wann ich nun aus c, durch das Centrum d, den Diametrum c e, und aus e nach a und b die Chordas ziehe, ſo hat der Winckel a eb, 75. Grad, welcher das Complement des Winckels a c b, oder der halbe Theil des Winckels ad b iſt. Alſo hat auch der Winckel a de und edb, jeder 165. Grad, gleich dem Winckel a cb. Haben alſo die Win⸗ ckel ca b und c b a zuſammen 75. oder jeglicher 37¼. Grad, woraus noch unterſchiedliches zu demonſtriren waͤre, weilen aber ſolches mein Worhalen nicht- iſt, laſſe ich es einem jeden zu bedencken uber. Vide ig. 143. . 8. Wie ſoll man einen Winckel nach Begehren formiren? M . g. Es werde begehret, einen Winekel von 32. Grad aufzureiſſen, ſo ziehe ich eine gerade Lineam nach Belieben, nehme darvon einen Theil, als a b, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 60. und 60. und mache darmit den Bogen be, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 32. und 32. ſolche trage ich auf den Bogen, aus b nach c, ziehe aus a nach c eine gerade Lineam, darmit iſt der Winckel von 32. Grad fertig. Vide Fig. 114. 9. Wie ſoll man ein Circul⸗Stuck nach Begeh / ren aufreiſſen? E g. Es werden Circul⸗Stuͤcke begehrt, von 90. 150. und 320. Grad. So nehme ich den gegebenen Semi-Diametrum, wo nicht, ſo er⸗ waͤhle ich mir ſelber einen, als a b, und mache darmit einen Circulum, ſtelle ſolchen transverſim zwiſchen 60. und 60. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 90. und 90. gibt das Circul⸗Stuck oder den Bogen b. c. Ferner zwiſchen 150. und 150. gibt den Bogen bc d. Oder, ich nehme die Weite zwiſchen 30. und 30. ſtelle ſolche aus e nach d, dann 30. von 180. Reſt 150. der Bogen bed: ferner ſubtrahire ich 320. von 360. Reſt, 40. Nehme derowegen die Weite zwiſchen 40. und 40. trage ſolche aus d nach f, gibt das Circul⸗Stuck debf, 320. Grad. Vide Fig. 145. wird, wie ſoll man das Circul⸗Stuck und deſſen Semi-Diametrum finden: DMD 10. Wann die Chorda mit der Zahl der Graden gegeben der L. g. Es werde gegeben die Chorda a b, von70. Grad. Nun ſolle. — 2–— —, — — ☛ = –– – — — — — ☚n —⅓☛☚ Von der Linea Chordarum. 115 der Winckel oder das Circul⸗Stuck gefunden werden; nehme demnach a b, ſtelle ſolche trans verſim zwiſchen 70. und 70. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 60. und 60. gibt den Semi-Diametrum, ſolchen aus a und b nach c mit dem Creutz⸗Bogen bemerckt, aus c von a nach b den Bo⸗ gen forwirt, ſo iſt das Circul⸗Stuck fertig. Vide Fig. 146. II. Wie ſoll auf eine gegebene Linea eine Regular- M Figur geſtellet werden? . E. g. Es werde gegeben die Seite eines 5. Ecks, als ab, und darmit ſolle ein Regular-S. Eck formirt werden. So theileich erſtlich 360. Grad, als einen gantzen Circul, in 5. Theil, gibt ein Theil 72. Grad; nehme demnach a b, ſtelle ſolche zwiſchen 72. und 72. transverſim, und unver⸗ ruckt nehme ich die Weite zwiſchen 60. und 60. mache aus a und b nach den Creutz⸗Bogen, gibt das Centrum c, mache mit a c den Circul, und nehme das Latus a b, trage ſolches in der Circumferentz 5. mal herum, ziehe die Puncten zuſammen, ſo iſt das Regular- 5. Eck fertig. Vide Fi- guram 147. “D U 12. Wie ſoll eines gegebenen Winckels Sinus rectus ——— gefunden werden: . Ich nehme die Grad des gegebenen Winckels, welcher den 90. Grad nicht uͤbertrifft, aus der Linea Chordarum directè, und ſtelle ſolche in Li- neam Arithmeticam transverſim zwiſchen 100. und 100. laſſe das Inſtru- ment unverruckt liegen, und den einen Fuß des Hand⸗Circuls in 100. ſte⸗ hen, den andern Fuß thue ich ſo weit zu, daß er die Lineam Arithmeti. cam in Machung eines Bogens nur beruͤhret. Wann ich nun ſolche Wei⸗ te auf der Linea Arithmetica directè meſſe, jedes Theil fuͤr 10. gerechnet, ſo iſt ſolches der Sinus rectus, als d e iſt Sinus rectus des Winckels dab, von 45. Grad, gibt bey nahem 707. Sinus rectus Anguli hef, von 60. Grad, gibt hi, 866. Vide Fig. 148. JJ”UðUU 13. Wann aber der gegebene Winckel uͤber 90. Grad iſt, wie ſoll der Sinus rectus gefunden werden? Ich ſubtrahire den gegebenen Winckel von 180. Grad. E. g. der ge⸗ gebene Winckel ſeye 120. Grad, ſolche von 180. Grad ſubtrahirt, Reſt 0ο. Grad, deſſen Sinus rectus iſt 866. welcher auch der Sinus rectus von 120. Grad iſt. Wann der gegebene Winckel 135. Grad iſt, ſo ſubtrahire ich ſolchen von 180. Reſt, 45. Grad. Deſſen Sinus rectus 707. welcher auch Sinus rectus von 135. Grad iſt. Vide Fig. 148. P 2 14. Wie r , 116 Von der Linea Chord arum. 14. Wie wird der Sinus Verſus gefunden? Solcher iſt ein Stuck des Diametri oder Semi Diametri, welcher durch den Sinum rectum abgeſchnitten wird, und ſolcher iſt in den Angulis Acutis kuͤrtzer, als der Semi-Diameter, wie n o, in den Angulis rectis iſt er dem Semi Diametro gleich, als! m, in den Angulis Obtuſis aber iſt er laͤnger, als der Semi- D ameter, wie mo, vx. Vide Fig. 149 EjIx gr. Bey dem Angulo Acuto ziehe ich die Grad des Winckels bad. 45. Grad, von 90. Grad ab, Reſt 45. Grad. Angulus dac, deſſen Sinus rectus iſt 707. d e, gleich e a, ſolche ſubtrahire ich vom Semi-Diametro a b. 1000. Reſt 293. b e, der Sinus Verſus des Winckels ba d, von 45. Grad. Will ich nun den Sinum Verſum, Anguli Acuti fe h, von 60. Grad ſuchen, ſo ſubtrahüre ich ſolche von 90. Grad, Reſt 30. Grad. Angulus heg, deſſen Sinus rectus iſt h k, gleich i e, dieſe vom Semi-Diametro ef, 1000 ſubtrahirt, Reſt 500. i f, welcher der Sinus Verſus Anguli fe h, von 60. Grad iſt. Vide Fig. 148. In den Angulis rectis ziehe ich den SZinum totum 90. Grad, welcher 1000, vom Diametro 2000. ab, ſo bleibet der Sinus Verſus Anguſi recti iſt auch 1000. In den Angulis Obtuſis, als den Sinum Verſum Anguli, m 1 k, von 135. Grad zu finden, ſo ſubtrahire ich 90. Grad darvon, reſtirt Angulus pl k, 45. Grad, deſſen Sinus rectus iſt k q, gleich ol, 707 den Semi- Diametrum l m, 1000. addirt, gibt om, 707. den Sinum Verſum An- guli kl m, 135. Grad. Alſo auch den Sinum Verſum Anguli Obtuſi ts v, von 120. Grad zu finden, ſo ſubtrahire ich 90ο. von 120. Grad, Reſt 30. Grad, Angulus tsy, deſſen Sinus rectus t 2, gleich 8, 500. den Semi-Diametrum s v addirt, gibt X v, 1500. den Sinum Verſum. Vide Fig. 149. 1. 15. Wann bey einem Angulo recto Baſis und Cathetus bekandt gegeben werden, wie iſt die Hypothe- nuſa zu finden? E g. Es werde gegeben Angulus ab c, 90. Grad, Baſis b c, 45. Gr. und Cathetus a b. 60. Pedes. Fragt ſichs, wie lang die Hypothenuſa à c ſeye? So nehme ich von der Linea Chordarum directè 90. ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam transverſim, zwiſchen 100. und 100. laſſe das Inſtru- ment unverruckt liegen, ſetze den einen Juß des Hand⸗Circuls in 60. den andern thue ich zu, bis ich den 45. Puncten ſchlimms oder obliquè crrehe⸗ ieſe Von der Linea Chordarum. 117 dieſe Weite meſſe ich auf der Linea Arithmetica directè, gibt 75. die Laͤn⸗ ge der Hypothenuſæ a c. Vide Fig. 150. MVMB Durch Rechnung: M Dieſes zu machen, muß ich erſtlich einen Winckel, welcher der bekand⸗ ten Seiten gegen uͤber liegt, finden, darauf ſpreche ich alſo: Ut Latus b c 45. PeÄdes. „2 Log. 16532I. 25. Ad Sinum tot. Ang. ab c 90. Gr. - Log. 1000000. 00. Ita Latus a b 0o. PeÄd. - - . . Log. I. 77815. 12. . 11.7781I5S. 12. Ad tang. quæſ. ang. a c b 538. „ „ I0.12493. 87. Weiter das Latus zu finden, ſo ſetze ichs alſo: Ut Sinus ang. a c b 5338. - — -⸗ Log. 9. 903 10. 84. Ad Latus oppoſ. ab 60. PeÄed. - - Log. I. 77815. 12. Ita Sinus totus a bc 90. Gr. - -⸗ Log. IO. 000Oůο. σ0. D II. 778IS. 12. Ad Latus quæſ. a c75. -⸗ - . Log. I. 87504. 28. 16. Wie ſoll man in ebegem Triangul die Winckel nden?; Wann alle 3. Seiten bekannt ſeyn, ſo nehme ich einen Winckel, als hier b ac, den ich zu finden begehre, und deſſen gegenuͤber ſtehende Seitebe, 45. Pedes von der Linea Arithmetica directè, ſtelle ſolche obliquè in Li- neam Arithmeticam, zwiſchen die Zahlen der andern beyden Seiten, als zwiſchen 60. und 75. darmit laſſe ich das Inſtrument unverruckt liegen, und nehme die Weite zwiſchen 100. und 100. ſolche gibt auf der Linea Chorda- rum directè gemeſſen, den Winckel bac, 37. Grad. Will ich nun den Win⸗ ckel a c b finden, ſo ſubtrahire ich 37. von 90. Grad, Reſt 53. Grad. Oder ich nehme die gegenuͤberſtehende Seiten a b, 60. von der Linea Arithmetica directè, und ſtelle ſolche in L[ineam Arithmeticam obliquè zwiſchen 75. und 45. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 100. und 100. gibt auf der Linea Chordarum directe 53. Grad, Angulum a c b. Alſo auch mit dem dritten Winckel ab c, von der Linea Arithmetica directe 75. genom⸗ men, zwiſchen 60. und 45. obliquè geſtellet, und unverruckt die Weite zwi⸗ ſchen 100. und 100. genommen, gibt auf der Linea Chordarum directe 90, Grad, Angulumabc. Vide Fig. 150. 4 G P Z3 Durch 118 Von der Linea Chordarum. Durch Rechnungͤg. Allhier iſt der Angulus rectus 90. Grad a bc fuͤr ſich ſelbſt bekannt, derowegen ſage ich alſo: Ut Latus a c 7S. PeÄdes. - - -Log. I. 87506. 13. Ad Sinum totuma bc 90. Gr. - Log. 10. 00000ο. 00. Ita Latus b c 45. Pedes. - - ⸗ Log. I. 6532 I. 25. II. 65321I. 25. Ad Sinum Ang. b a c 3652 .⸗ Log. 9. 77815. 12. Ad Ang. a c b. 53 L — ..W 17. Wann bey einem Angulo recto Cathetus nndò Hy pothe- nula bekannt gegeben, wie ſoll die uͤbrige Seiten, und die Winckel gefunden werden?: Im obigen Exempel iſt Cathetus 60. die Hypothenuſa 75. Pedes, und der Winckel abc 90. Grad bekannt, nehme derowegen von der Linea Chordarum directè 90. ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam transver- ſim, zwiſchen 100. und 100. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, und nehme von der Linea Arithmetica directè 75. ſtelle den einen Fuß des Hand⸗Circuls in 60. und ſehe, wo der andere Fuß obliquè eintreffe, finde in 45. welches die Baſin b c gibt. Will ich nun die Winckel ſuchen, ſo procedire ich nach obiger 16. Quæſtion. Vide Fig. 150. Dieſe und dergleichen Exempla habe ich in meinem Pede Mechanico ſo wohl durch Rechnung als durch den Maaß⸗Stab dargeſtellt, alſo iſt un⸗ noͤthig, ſolche zu wiederholen. 18. Wann in einem Angulo recto die Hypothenuſa, ſamt einem ſcharffen Winckel, bekandt gegeben werden, wie iſt das Ubrige zu finden? 4 E. g. Es werde gegeben Angulus a bc, oo. Grad, und b ca, 54. Grad, die Hypothenuſa 55. Pedes; ſo ſubtrahire ich 54. von 90. Grad, Reſt, 36. Grad, Angulus b ac. Die Seiten betreffend, ſo nehme ich von der Linea Chordarum directè 54. Grad, ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam trans- verſim, zwiſchen 100. und 100. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, her⸗ nach nehme ich von der Linea Arithmetica directè 55. laſſe den einen Fuß Reh Hand⸗Circuls in 55. ſtehen, und ſehe, in welchen Puncten der andere Fuß obliqué eintreffe, finde in 65. gibt c d, welche doppelt ſo lang, zais — — —S — ᷓ— ——/— ☛n£d — — — —„ —, Von der Linea Chordarum. 119 b c; folget alſo, daß be, 324. lang ſeye. Die dritte Seiten zu finden, ſo nehme ich noch unverruckt die Weite zwiſchen 5S. und 32 ½¼, oblique, ſolche gibt directè den Cathetum a b, 44½. Pedes. Vide Fig. 151. 19. Wie ſollen in einem Angulo recto, wann ein ſcharffer Winckel, und eine Seite, Baſis, oder Cathetus bekandt ſeyn, die uͤbrige Seiten gefunden werden?: E. g. Es werde gegeben Angulus abe, 90. Grad, und b ca, 54. Grad, die Baſis bc, 6́5. Pedes. So ſubtrahire ich 54. Grad von 90. Reſt Angulus ba c, 36. Grad; dieſen Winckel duplire ich, gibt 72. Grad, ſolche nehme ich directè von der Linea Chordarum, und ſtelle ſie in Lineam Arithme- ticam transverſim zwiſchen 100. und 100. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, hernach nehme ich von der Linea Arithmerica directè das Latus b c, 65. und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche uͤberzwerch eintref⸗ fen, finde zwiſchen 55. und 55. deſſen Duplum gibt die Hypothenuſam a c 110. Pedes. Oder, ich nehme von der Linea Arithmetica directè das Du- plum 65. das iſt 130. und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche transverſim eintreffen, finde zwiſchen 110. und 110. ſo die UHypothenuſam a c giebet. Die dritte Seite, als Cathetus a b, wird leicht gefunden, wann man von der Linea Chordarum directe 90. nimmt, ſolche in Lineam Arithmeticam zwiſchen 100. und 100. transverſim ſtellet, unverruckt von der Linea Arithmetica directèe 110. nimmt, und den einen Fuß des Hand⸗ Circuls in 65. ſtellet, ſo wird der andere Fuß obliquè in 89. fallen, welches den Cathetum a b giebet. Vide Fig. 152. 20. Wie ſollen in einem Triangul, wann zwey Seiten und ein Winckel bekandt gegeben, die uͤbrige Seite und Winckel gefunden werden? =? E. g. Es werden gegeben die Seiten ac, 100. und b c, 90. Pedes, und der darzwiſchen liegende Winckel a c b, 48. Grad; ſo nehme ich von der Linea Chordarum direété 48. ſtelle ſolche transverſim in Lineam Arith- meticam zwiſchen 100. und 100. darmit wird das Inſtrument nach einem Winckel von 48. Grad eroͤffnet, und unverruckt nehme ich die Weite obli⸗ què zwiſchen 9o. und 100. gibt auf der Linea Arithmetica directè die Laͤn ge der dritten Seiten ab, 78. Pedes. Ferner die Winckel zu finden, ſo neh⸗ me ich die gegenuͤber liegende Seite des Winckels, den ich ſuchen will, als die Lineam ac, des Winckels a bc, von der Linea Arithmetica directè 100. Weite und ſtelle ſolche oblique zwiſchen ho. und 78. und unverruckt nehme ich die 120 Von der Linea Chordarum. Weite zwiſchen 100. und 100. gibt directè auf der Linea Chordarum 73. Grad fuͤr den Winckel a b c. Wann ich nun 73. Grad zu 48. Grad ad- dire, bekomme ich 121. Grad. Solche von 180. Grad ſubtrahirt, Reſt 59. Grad der Winckel bac. Oder, ich nehme von der Linea Arithmetica directè 90. ſtelle ſolche obliquè zwiſchen 100. und 78. und unverruckt neh⸗ me ich die Weite zwiſchen 100. und 100. gibt auf der Linea Chordarum directè 59. Grad den Winckel bac. Vide Fig. 153. 21. Wie ſollen in einem Triangul die Winckel gefunden werden, wann alle 3. Seiten bekandt ſeyn: 3 E. g. Es werden gegeben 3. Seiten in einem Triangul, als a b, 50. bc, 120. und a c, 130. Pedes, in dieſem ſollen die Winckel gefunden wer⸗ den. Nun will ich erſtlich den Winckel ab c ſuchen, ſo nehme ich die ge⸗ genuͤber ſtehende Seiten ac, 130. von der Linea Arithmetica directè, ſtelle ſolche obliquè in Lineam Arithmeticam zwiſchen 50. und 120. und unver⸗ ruckt nehme ich die Weite zwiſchen 100. und 100. gibt auf der Linea Chor- darum directè 90. Grad den Winckel a b c. Ferner nehme ich von der Li⸗ nea Arithmetica directè 120. ſtelle ſolche obliquè zwiſchen 50. und 130. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 100. und 100. gibt auf der Linea Chordarum directè 68. Grad den Winckelbac. Den dritten Win⸗ ckel zu finden, ſo addire ich 0. und 68. gibt 158. von 180. ſubtrahirt, Reſt 22. Grad. Oder, ich ſubtrahire 68. von 90. reſtirt auch 22. Grad der Winckel a c b. Oder, Gich nehme von der Linea Arithmetica directè 50. ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam oblique, zwiſchen 120. und 130. und nehme unverruckt die Weite zwiſchen 100. und 100. gibt directè auf der Linea Chordarum den Winckel a c b, 22. Grad. Vide Fig. 154. 22. Wie wird in einem Triangul, wann zwey Winckel und eine Seite bekandt ſeyn, das uͤbrige gefunden:? E. g. Es werde bekandt gegeben die Seite a b, 5§o. Pedes, der Win⸗ ckel b a c, 45. Grad, und a c b, 30. Grad. Dieſe beede Winckel addirt, geben 75. Grad, von 180. ſubtrahirt, reſtirt 105. Grad, der dritte Winckel a b c. Dieſer 3. Winckel Sinum rectum ſuche ich nach der vorhergehenden 12. Quæſtion, und finde den Sinum des Winckels ba c, von 45. Grad, 707. den Sinum des Winckels a cb, von 30. Grad, 500. den Sinum des Winckels a b c, von 105. Grad, oder deſſen Complement von 75. Grad, 966. Hieraus nun die Seiten zu finden, ſo nehme ich das Latus ab, §o. von der Linea Arithmetica directè, ſtelle ſolches in Lineam Arithmeti- p. — — —, — — —.,G — —, —ec— — — =,— Voon der Linea Chordarum. 121 transverſim, zwiſchen die Zahlen des Sinus gegenuͤber ſtehenden Winckels a cb, von 30. Grad, als zwiſchen 50. und §0. fuͤr 5oo. gerechnet, und un⸗ verruckt nehme ich die Weite zwiſchen den andern Sinus-Zahlen, als zwi⸗ ſchen 70. 7. und 70. 7. dem Sinui Anguli b a c, von 45. Grad, gibt di- rectè 71. das Latus be, und zwiſchen 96. 6. und 96. 6. dem Sinui Angu- li a b c, von 105. Grad, gibt directè beynahe 97. Pedes das Latus a c. Vide Fig. 155. 23. Wie wird in einem Triangul, wann zwey Seiten und ein Winckel, (welcher der einen Seiten gegenuͤber ſtehet) bekandt ſeyn, das uͤbrige gefunden? . Allhier iſt wohl in Acht zu nehmen, wann der Winckel der kuͤtzern ge⸗ gebenen Seiten gegenuͤber ſtehet, daß ſolcher Triangul aus einerley be⸗ kandten Seiten, auf zweyerley Art kan vorgeſtellet werden; derowegen muß die Art eines von beeden unbekandten Winckeln angezeiget werden, ob er ſcharff oder ſtumpff ſeye. 2 E. g. Der Triangul abc, deſſen Latus a b, 5o. Pedes, bc, 71. und der Winckel a cb, 30. Grad, ſamt der Art des Winckels b ac, daß er ſcharff ſey, werde gegeben. So ſuche ich erſtlich den Sinum rectum des Win⸗ ckels a cb, von 30. Grad, finde 500. Nehme demnach das Latus ab, 5o. welches, dem Winckel a cb gegen uͤber ſtehet, von der Linea Arithmeti- ca directè, ſtelle ſolches in Lineam Arithmeticam transverſim zwiſchen 5§o. o. und 5o. o. als den Sinum des Winckels von 30. Grad, und unver⸗ ruckt nehme ich die Weite zwiſchen der andern Seiten b c, 71. und 71. ſol⸗ ches gibt directè auf der Linea Arithmetica beynahe 71. oder 70. 7. wel⸗ ches der Sinus des Winckels ba c, von 45. Grad iſt; dieſe 30. und 45. Grad addirt, gibt 75. Grad, von 180. ſubtrahirt, Reſt Angulus a bc, 105. Grad. Ferner ſuche ich den Sinum des Winckels von 105. oder deſſen Complement. von 75. Grad, welcher iſt 96. 6. und alſo noch unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 96. 6. und 96. 6. gibt directè beynahe 97. Pedes fur das Latus a c. Oder, wann mir nun beede Seiten ab und bo, und der Winckel ab c, bekandt ſeyn, damit ich die dritte Seiten finde, ſo nehme ich von der Linea Chordarum directè 105. ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam transverſim, zwiſchen 100. und 100. und unverruckt nehme ich die Weite obliquè zwiſchen beeden Seiten, 71. und 5o. gibt directè 97. Pedes das Latus a c. Vide Fig. 155. SJMD Wann aber der Triangul alſo vorgegeben wird, daß die Seite a b; 5So. und bc, 71. Pedes, und der Wuartcelae b., 30. Grad, wie zuvor hiel⸗ te, 122 Von der Linea Chordarum. te, aber die Art des Winckels ba c ſtumpff gegeben wird, ſo mache ich es, wie zuvor, und nehme das Latus ab, 5o. Pedes, ſo dem Winckel b ca 30. Grad gegenuͤber lieget, von der Linea Arithmetica directè, ſtelle ſolche trans- verſim in Lineam Arithmeticam, zwiſchen den Sinum von 30. Grad, wel⸗ cher 500. iſt, alſo zwiſchen 5o. o. und 50. o. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 71. und 72. als der Seitenb c, gibt directè den Sinum des Winckels von 45. Grad, 707. dieſe 45. Gr. ſubtrahire ich von 180. Grad, Reſt 135. Grad, der Winckel bac. Der dritte Winckel gibt ſich ſelbſten, wann ich 135. zu 30. Grad addire, gibt 165. Grad; ſolche von 180. Grad ſubtrahirt, Reſt Angulus ab c, 15. Grad. Die dritte Seite ſuche ich, wann ich zuerſt den Zinum von 15. Grad gefunden, als 259. ſolche von der Linea Arithmetica directe genommen, transverſim zwiſchen 100. und 100. geſtel⸗ let, und unverruckt die Weite zwiſchen beyden Seiten 71. und 50. oblique genommen, gibt directè 26. Pedes das Latus a c. Vide Fig 156. 24. Wann der Zinus Anguli gegeben wird, wie kan man ohne die Sinus Tafeln derſelben Grad erfahren: Ich nehme die gegebene Zahl des Sinus aus der Linea Arithmetica directe, allhier 70. 7. und ſtelle ſolche in 100. thue das Inſtrument ſo weit auf oder zu, daß der eine Fuß des Hand⸗CEirculs die Lineam Arithmeticam auf der einen Seiten, in Machung eines Bogens, nur beruͤhret, alsdann nehme ich unverruckt die Weite zwiſchen 100. und 100. gibt auf der Linea Chordarum direéte 45. Grad. Vide Fig. 157. 35. Wie wird an einem recht⸗ wincklichten Triangul, wann Secans und der daran liegende Winckel bekandt iſt, der Sinus des gegenuͤberſtehenden Win⸗ chhhels gefunden: E. g. Es werde gegeben der Triangul abc, der Secans ab, 36. 6. und deſſen Winckel ca b. 35. Grad, wird begehret der Sinus a c. Ich ſubtrahire 35. Grad, von 90. Grad, Reſt 55. Grad, Angulus ab c. Nehme demnach aus der Linea Chordarum directè 55. Grad, ſtelle ſolche transverſim in Lineam Arithmeticam, zwiſchen 100. und 100. hernach ſtelle ich den Hand⸗ Cireul in 366. und faͤlle darmit das Perpendiculum, meſſe ſolches directe, gibt den Sinum, oder Latus ac, 30. Will ich dann den Sinum b c, als des Winckels von 35. Grad ſuchen, ſo nehme ich von der Linea Chordarum di- rectè 35. Grad, ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam transverſim zwi⸗ ſchen 100. und 100. und unverruckt ſetze ich den Hand⸗Circul in 36. 6. ie “ — Zaͤlle Von der Linea Chordarum. 12 3¾ faͤlle damit die Perpendicular Lineam, gibt directè das Latus oder Si- num b c, des Winckels von 35. Grad, 21. Pedes Vide Fig. 158. 26. Wann an einem Angulo recto die Seite des Radi, wie auch deſſen Tangens bekandt ſeyn, wie iſt S” deeſſen Winckel zu finden: E. g. Der Angulus rectus iſt a c b, der Radius oder Seite ac, 30. der Tangens b c, 21. nun ſolle der Winckel bac des Tangentis gefunden wer⸗ den. So nehme ich von der Linea Arithmetica directè 21. ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam transverſim, zwiſchen 30. und 30. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 100. und 100. gibt directè 70. Oder ich neh⸗ me von der Linea Arithmetica directè 30. ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 100. und 100. alsdann nehme ich directè 21. und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche eintreffen, finde zwiſchen 70. und 70. dieſe 70. nehme ich directè von der Linea Arithmetica, und meſſe ſolche nur auf der Tan- genten⸗Linea, gibt der Winckel bac, 35. Grad. Vide Fig. 158. 27. Wie wird Secans Anguli recti gefunden? E. g. Es werde gegeben Angulus a cb, 90. Grad, c ab, 35. Grad, und ac 30. Pedes, fragt ſich, wie lang Secans a b ſeye? Ich ſubtrahire 35. Gr. von 90. Gr. reſtirt Angulus ab c, 55. Grad. Nehme alſo von der Linea Chordarum directè 5§S5. Gr. ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam trans- verſim, zwiſchen 100. und 100. hernach nehme ich von der Linea Arith- metica directè 30. und ſehe, aus welchen Puncten ſie perpendiculariter herab falle, daß ſie auf dem einen Schenckel die Lineam Arithmeticam be⸗ ruͤhret, finde aus 36. 6. welches der Secans von 35. Grad iſt. Wann aber die Linea a c, 100. waͤre, als Sinus totus, ſo nehme ich von der Linea Arith- metica directè 100. und faͤllete darmit das Perpendiculum, ſo wuͤrde ſol⸗ ches aus 122. herab fallen, welches auch Secans Anguli von 35. Grad iſt. Wann ich nun 122. directè nehme, und transverſim zwiſchen 100. und 100. elle, und unverruckt die Weite zwiſchen 30. und 30. als der Seiten, die am Winckel von 35. Grad lieget, nehme, ſo gibt ſolche directè den Secantem 36. 6. Wann aber an ſtatt a c, das Latus b c, 21. waͤre gegeben worden, ſo nehme ich von der Linea Chordarum directè 35. Grad, und ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam transverſim, zwiſchen 100. und 100. laſſe das In- ſtrument unverruckt liegen; hernach nehme ich von der Linea Arithmetica directè 21. faͤlle darmit das Perpendiculum, welches aus 36. 6. herab faͤl⸗ let, und der Secans von 35. Grad iſt oder ich nehme von der Linea Arith⸗ Oäl 2 Metica 124 Von der Linea Chordarum. metica directè 100. und faͤlle darmit das Perpendiculum, ſo wird ſol⸗ ches aus dem 174. Puncten herab fallen, und die Lineam Arithmeticam beruͤhren, welches der Secans von 55. Grad iſt. Wann ich nun directè 174. nehme, transverſim zwiſchen 100. und 100. ſtelle, und unverruckt die Weite zwiſchen 21. und 21. nehme, gibt ſolches directè 36. 6. den Secan- tem. Vide Fig. 158. 28. Wie wird der Sinus, Tangens, Secans, oder dero Winckel eines Anguli recti, auf eine leichtere Manier, gefunden?: Wann in obigem Rect-Angulo die Seiten und Winckel juſt aufgeriſ⸗ ſen ſeyn, und eine Seite bekandt iſt, ſo kan man das uͤbrige gar leicht finden: als, die Seite a c, 30. ſeye bekandt, ſolche nehme ich, mache darmit den Bo⸗ gen c e, und ſtelle ſolche in Lineam Chordarum transverſim zwiſchen 60. und 60. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, hernach nehme ich mit dem Hand⸗Circul die Chordam c e, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche eintreffe, finde zwiſchen 35. und 35. welches der Winckel b a c, von 35. Grad iſt, auf ſolche Weiſe kan ich auch den Winckel ab e finden. Fer⸗ ner, die Seiten zu ſuchen, ſo nehme ich das Latus a c, 30. ſtelle ſolches in Li⸗ neam Arithmeticam transverſim zwiſchen 30. und 30. laſſe das Inſtru- ment unverruckt liegen, nehme hernach das Latus bc, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolches eintreffe, finde zwiſchen 21. und 21. welches der Sinus oder Tangens Anguli b ac, von 35. Grad iſt; nehme ich dann das Latus ab, und ſehe, wo ſolches noch unverruckt eintreffe, finde zwiſchen 36. 6. und 36. 6. welches der Secans beyder Winckeln a be, von 55. Grad, und bac, von 35. Grad iſt, welche leichte Art bey allen Triangulis angehet, wann ſolche gleich nicht aufgeriſſen, ſondern nur 2. Winckel und eine Seite, oder 2. Seiten und ein Winckel gegeben werden. Vide Fig. 158. . 29. Wie ſoll die Hoͤhe eines Thurns, zu welchem man wegen eines darzwiſchen liegenden Waſſers, oder anderer Ver⸗ hinderung, nicht kommen kan, aus einer gegen derſelben gerichteten geraden Linea und zweyen Staͤn⸗ den gemeſſen werden: E. g. Die Hoͤhe des Thurns ſeye b c, die Stand⸗Linea a d, 75. Pedes. Erſtlich obſervire ich bey jedem Stand, durch Huͤlffe eines Semi-Circuli, oder Quadrantens, die Winckel, und finde bad, 5o. Grad, und bdc, 65. Grad, Von der Linea Chordarum. 125 65. Grad, 30. Minuten. Dieſe ſubtrahire ich von 180. Reſt Angulus a d b, 114. Grad, 30. Minuten. Solches bringe ich zu Papier, durch Huͤlffe mei⸗ nes Inſtruments, als durch die Lineam Chordarum formire ich die Win⸗ ckel, und durch die Lineam Arithmeticam die Seiten. Wann diß geſche⸗ hen, laſſe ich aus b das Perpendiculum fallen in c, hernach ſtelle ich die Sei⸗ tea d, 75. in Lineam Arithmeticam transverſim zwiſchen 75. und 75. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, nehme alsdann die Hoͤhe des Thurnsbe, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolches eintreffe, finde zwiſchen 195. 6. und 195. 5. nehme ich aber das Latus d c, und verſuche, wo ſolches eintreffe, finde zwiſchen 89. und 89. ſo weit iſt es uͤber das Waſſer. Will ichs nun durch die Sinus erkundigen, ſo ſuche ich vorhero den Win⸗ ckel ab d, das iſt, wann ich 5o. und 114½. Grad, addire, gibt 164 ½¼. Grad, ſolche von 180. ſubtrahirt, Reſt Angulus ab d, 15. Grad, 30. Minuten, deſſen Sinum ſuche ich, wann ich von der Linea Chordarum directè 15 ¾. Grad nehme, und ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam transverſim zwi⸗ ſchen 100. Und 100. faͤlle aus 100. das Perpendiculum, gibt directè 26. 7. den Sinum von 15 ½¼. Grad; ferner ſuche ich auch den Sinum von 50. Grad, das iſt, ich nehme von der Linea Chordarum directè So. ſtelle ſolche in Li- neam Arithmeticam transverſim, zwiſchen 100. und 100. faͤlle aus 100. das Perpendiculum, gibt directè 76. 6, den Sinum von 50. Grad. Hernach nehme ich von der Linea Arithmetica directèe 75. das Latus a d, ſtelle ſol⸗ ches zwiſchen 26. 7. welches aber nicht ſeyn kan, ſo ſtelle ich es zwiſchen deſſen Duplum, als zwiſchen 53. 4. und 53. 4. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 76. 6. und 76. 6. gibt directè 107 ¾. ſolches duplirt, macht 215. die Hypothenuſam b d. Weilen mir nun der Winckel bde, 65½. Grad be⸗ kandt iſt, ſo nehme ich ſolche von der Linea Chordarum directè, und ſtelle ſie in Lineam Arithmeticam transverſim, zwiſchen 100. und 100. und faͤlle aus 215. als der Seiten bd halben Theil, (weilen ſolche Zahl auf der Linea Arithmetica nicht befindlich,) das iſt aus 107. 5. das Perpendiculum, gibt directè bey nahem 98. ſolches duplirt, macht 196. Pedes die Hoͤhe des Thurns bc. Vigde Fig. 159. . 30. Wie kan ein Conſtabel oder Feuerwercker, durch Huͤlff dieſes Inſtruments, die Weite eines Wurffs aus . einem Boͤler finden? Erſtlich richte ich meinen Boͤler nach einer gewiſſen Elevation, als ge⸗ Per nach dem 45: Grad, welcher den weiteſten Wurff giebet, und meſſe die Diſtanz, wie weit ich darmit geworffen; geſetzt, ich haͤtte befunden 1000. 126 Von der Linea Chordarum. Schritt oder Ruthen, wann ich nun meinen Boͤler nach dem 30. Grad rich⸗ ten wolte, wie weit ſolte wohl der Wurffreichen? Ich nehme allhier den dop⸗ pelten Sinum von 45. Grad, das iſt die chordam von 180. Grad, aus der Linea Chordarum directè, ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam trans- verſim, zwiſchen 100. . und 100. o. weilen aber dieſe Aufſperrung zu groß, ſo ſtelle ich ſie zwiſchen ihr Duplum 200. O. 200. O. hernach nehme ich den Sinum Duplum von 30. Grad, das iſt die Chordam von 120. Grad directè, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche eintreffen, finde zwiſchen 173. 2. und 173. 2. dieſe halbirt, weilen ich 100. doppelt genommen, gibt 866. Schritt oder Ruthen, ſo weit wird der Wurff, nach dem 30. Grad gerichtet, reichen. Vide Fig. 160. und 161. Durch Rechnung: Doppelter Sinus von 45. Gr. das iſt ho. 2 Log. 10. O0OOO. 0ö. gibt 1000. ⸗ ⸗ ⸗ Log. 3. 00000. 00. was gibt der doppelte Sinus 30. Gr. d. j. 60. Log. 9. 93753. 06. Facit 866. Ruthen. ⸗ ⸗ ⸗ L.og. I2. 93753. 06. Ein anders Exempel: Ich richtete den Boͤler nach der Elevation von 21. Grad, darmit haͤtte ich geworffen 400. Ruthen weit, und wolte wiſſen, wie weit ich nach der Elevation von 30. Grad werffen wurde? So nehme ich den Sinum Duplum von 21. Grad, das iſt aus der Linea Chordarum directè 84. ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam transverſim, zwiſchen 100. und 100. als dem vierdten Theil aus 400. Ferner nehme ich von der Linea Chordarum directè 120. als den Sinum Duplum von 30. Grad, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche auf der Linea Arithmetica eintreffen, finde zwiſchen 1204¾. und 129½. ſolche mit 4. multiplicirt, weilen ich 400. mit 4. dividirt, gibt 518. Ruthen die Diſtanz, ſo weit der Wurff reichen wird. Vide Fig. 162. und 163. Der doppelte Sinus von 21. Grad, iſt 422,. 2 Log. 9. 8255 I. 09. gibt 400. Ruthen, —27 2 Log. 2. 60206. 00. was gibt der doppeltedinus von 30. Gr. iſt 60. Gr. Log. 9. 93753. 06. l — 12. 53959. 06. Facit 518. Ruthen „ ⸗ Log. 2. 71407. 97. 31. Nach was fuͤr einer Elevation iſt der Boͤler zu rich⸗ ten, wann die Diſtanz gegeben wird E. g. Nach der Elevation von 21. Grad, hat man aus einem Boͤler 400. Ruthen weit geworffen. Nun ſolte 520. Ruthen weit geworffen wer⸗ Von der Linea Chordarum. 127 den, fragt ſichs, nach was fuͤr einer Elevation der Boͤler zu richten ſeye? So nehme ich aus der Linea Chordarum directè 84. als den Sinum Duplum von 2 1. Grad, ſtelle ſolche in Lineam Arithmeticam transverſim, zwi⸗ ſchen 100. und 100. als dem vierdten Theil aus 400. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 130. und 130. als dem vierdten Theil aus 520. gibt directè auf der Linea Chordarum 120. den Sinum Duplum, das iſt den 30. Grad, wornach der Boͤler zu richten iſt. 400. Ruthen, ,⸗2⸗ Log. 2. 60206. 00. gibt den Sinum dupl. 2. Gr. Log. 9. 82551. 09. was gibt §518. Ruthen, ⸗ Log. 2. 71432. 98. . S 12. 53984. 07. Sinus 60. Grad, ⸗⸗ Log. 9. 93778. 07. Facit, 30. Grad. Nach dieſem Grad iſt der Boͤler zu richten. Hieraus erhellet, daß ein jeder Horizontal- Schuß, vermittelſt der Richtung des Abſehens, einen Winckel, die Kugel einen Boͤgen, der Bogen eine Parabolam machet, und daß wegen ſeiner eigenen Schwere, welche, wann die Kugel oder Bombe von der Mundung ausgehet, beginnet zu ſincken: dann indem ſie ſteiget, ſo faͤllet ſie. Alſo kan ein jedes Rohr, durch Hoͤhe der Abſehen, auf eine gewiſſe Weite proportionirt werden, welches zwar ihrer viel nicht wiſſen wollen, ſtelle aber ſolches einem jeden Phyſico und Mathe- matico zu bedencken anheim, und weiſe dieſelbe in des vortrefflichen Ma⸗ thematici Blondels, Koͤnigl. Frantzoͤſiſchen General. Lieutenants, Buͤch⸗ lein, welches handelt von der Kunſt Bomben zu werffen, worinnen die Mathematiſche Demonſtrationes, von der Natur und Ei⸗ genſchafft aller Wuͤrffe und derer Bewegung, vortrefflich zu finden ſeyn. 128 Von der Linea Circuli Dividendi. Von der Linea Circuli Dividendi. „ TABuILA PRO CONSTRUuCTIONE LINEE CIRCULI DIVIDENDI. Pundta. Partes Pundta. Partes. 3. 10000. 17. 2122. 4. 8166. 18. 2005. 5. 6788. 19. 1901. 6. 5774. 20. 1807. 7. 5010. 21. 1720. 8. 4419. 22. 10432. 9. 3950. 23. 1572. I10. 3569. 24 1507. I1I. 3253. 25. 1447. 12. 2990. 26. 1392. 13. 2764. 27. 1341. 14. 2570. 28. 1293. 15. 2401. 29. 1249. 16. 2253. 30. 1207. I. Wie iſt dieſe Tabell ausgerechnet? den der Boͤgen oder Winckeln, die eine jede Figur machet: als ein Y 3. Eck in einem Circul iſt, oder machet einen Bogen und Winckel von 120. Grad; dann, wann ich 360. Grad in 3. Theil theile, ſo be⸗ komme ich 120. Grad, deſſen Chorda iſt 8660. Nun aber hat die gantze Laͤn⸗ ge der Lineæ, als die Seite des 3. Ecks, 10000. und wolte die Circumferenz des Circuls 360. Grad, in 4. Theil theilen, gibt ein Theil 90. Grad, deſſen Chorda 707 1. iſt, ſo ſpreche ich: 8660. als Chorda von 120. Grad, hat an der Laͤnge die Seiten des 3. Ecks auf dem Inſtrument 10000. Was gibt 707 1. die Chorda von 90. Grad, als die Seite des 4. Ecks, Facit, 8166. Auf 2£ ſolche Weiſe koͤnnen auch die andere Seiten ausgerechnet werden. 2. Zu was dienet die Linea Circuli Dividendi? Sie dienet, die Circumferenz des Circuls zu theilen, die Seiten der Regular-Figuren von 3. bis auf das 30. Eck darein zu ſtellen, den Semi- Diametrum einer Regular-Figur zu finden, den Theil eines gegelenen ircul⸗ De Seiten der Regular- Figuren ſeynd nichts anders, als die Chor- n — =— — — —— Von der Linea Circuli Dividenén. 129 Circul⸗Stucks, wann der Semi Diameter bekandt gegeben wird, zu be⸗ nennen. 3. Wie wird die Circumferenz eines Circuls nach Begehren getheilet: E. g. Allhier ſoll die Circumferenz des Circuls in 7. Theil getheilet werden; ſo nehme ich deſſen Semi-Diametrum a b, ſtelle ſolchen in Lineam Circuli Dividendi transverſim zwiſchen 6. und 6. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 7. und 7. theile darmit die Circumferenz in 7. Theil. Vide Fig. 164. 4. Wie wird in einem Circul eine Regular-Figur —— beſchrieben: E. g. Es werde verlangt eine 9eꝑeckichte Regular-Figur, in einen Cir⸗ eul zu beſehreiben „deſſen Semi. Diameter 3. Zoll halte. So nehme ich die Laͤnge 3. Boll, reiſſe darmit den Circul⸗Riß, ſetze hernach den Semi-Diame- trum transverſim zwiſchen 6. und 6. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 9. und 9. trage ſolche in der Circumferenz herum, ziehe die Pun⸗ cten mit Linien zuſammen, ſo iſt das 9. Eck fertig. Vide Fig. 165. Durch Rechnung: Dieſes iſt oben bey der Linea Subtenſarum und Chordarum ſchon an⸗ gefuͤhret worden, wie es durch die Rechnung zu machen; wir wollen hier nur eines Exempels gedencken, und durch dieſe Tabell ſolviren: Der Radius in der gibt Semi- Diametr. was gibt das 9. Eck in der Tabell 5774 3 Zoll, Tabell 3950 11850 — 7 7 1t rih⸗ Facit Latus des 9Ecks. 204 5. Wann eine Regular-Figur gegeben wird, wie ſoll der Seumi-Olameter darzu gefunden werden? E. g. Es werde gegeben ein §. Eck, ſo nehme ich deſſen Seite, und ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 5. und ”., und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 6. und 6. gibt den Semi-Diametrum, ſolchen ſtelle ich auf beyde Ende der Seiten, und mache darmit den Creutz⸗Bogen, welcher das Cen- trum Circuli der Figur gibt. Vide Fig. 166. 6. Wann ein Circul gegeben wird, und ein Theil der Circumferenz, wie kan man erfaͤhren, der wievielſte Theil des Lieeue⸗ ſolcher ſey: Wann 130 Von der Linea Circuli Dividendi. Wann ich das Centrum des Circuls noch nicht weiß, ſo nehme ich den Diametrum, ſtelle ſolchen in Lineam Chordarum transverſim zwiſchen 180. und 180. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 60. und 60. gibt den Semi-Diametrum, ſolchen ſtelle ich in Lineam Circuli Dividendi transver- ſim zwiſchen 6. und 6. hernach nehme ich die Chordam des gegebenen Bo⸗ gens, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche eintreffe, finde all⸗ hier zwiſchen 8. und 8. derohalben iſt d e, der achte Theil der Circumfe- rentz. Ferner beſchreibe ich mit der Weite zwiſchen 6. und 6. genommen, den Semi-Diametrum, aus d und e den Creutz⸗Bogen f, ſo gibt h das Cen- trum des Circuls an ſtatt der Prob. Vide Fig. 167. 7. Wie ſoll ein Zimmermann, nach gegebener Hoͤhe, ein Rad austheilen? E. g. Das Rad ſoll 7. Schuh hoch ſeyn, und 64. Kamma bekom⸗ men, welches ſie die Schrifft nennen, fragt ſichs/ wie weit die ſogenannte Schrifft ſeyn ſolle? Ich nehme die halbe Hoͤhe des Rads 3 ¾. Schuh, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 6. und 6. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 4. und 4. trage ſolche in der Circumferentz herum, darmit iſt das Rad in 4. Theil getheilet. Ferner nehme ich die Weite zwiſchen 8. und 8. gibt den achten Theil, und zwiſchen 16. und 16. die Weite genom⸗ men, ſolche herum getragen, darmit wird es in 16. Theil getheilet ſeyn. Einen ſolchen Theil kan ich gar leicht halbiren, durch Huͤlffe eines Creutz⸗ Bogens, worauf ein Lineal gelegt, und in das Centrum gezogen, ſo wird die Circumferentz durchſchnitten, krage ſolches Theil wieder Boamn ſo iſt es in 32. Theil getheilet. Ein ſolches Theil halbire ich wieder, und trage es herum, ſo iſt es in 64. Theil getheilet worden. Die Chordam eines ſolchen Theils meſſe ich, das iſt, ich nehme vom Diametro einen Schuh, ſolchen multiplieire ich mit 12. Zoll, und jeden anniehe mit 12. Theil oder Seru⸗ pel, gibt 144. Theil der gantze Schuh, ſolchen ſtelle ich in Lineam Arithme- ticam transverſim zwiſchen 144, und 144. laſſe das Inſtrument unverruckt liegen, hernach nehme ich mit dem Hand⸗Eircul den ſten Theil der Circum. ferentz, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolcher eintreffe, finde zwi⸗ ſchen 492½2 und 4902. das iſt 4. Zoll, 1 Scrupel, oder 4 ½. Zoll die Weite der Chordæ oder der ſogenannten Schrifft. Alſo kan man auch die Chordam vom vierdten, achten, ſechzehenden und zwey und dtehſſigſten Theil des Rads finden. Von 4 Von der Linea Rectæ Dividendæ. 131 Von der Linea Rectæ Dividendæ. TABUI.A PRO DIVIDENDA LINEA RECTA. 10000. Particularum. Pundt. Part. Punct. Part. Punct. Part. Med. & Extr. 6180. 5S. 2000. 9. rIIII. 2. 5000. 6. 1666. 10. 1000. 3˙ 3333 7. 1428. 11I. 909. 4. 2500. 8. 1250. 12. 8332 Diam. 3182. 1. Wie wird dieſe Tabell ausgerechnet: ie hat keine beſondere Kunſt, als daß ich die gantze Lineam 10000. ( mit den Zahlen, ſo auf der Linea befindlich ſeyn, theile, als bey dem 2. Puncten theile ich 10000. in 2. Theil, gibt 5oc0ο. bey dem 3. Puncten mit 3. gibt 3333. und ſo fort an. Der Punct aber, wo darbey ſtehet Extrema ac Med. Rat. Secant. wird alſo gerechnet: Ich nehme das Quadrat der gantzen Lineæ 100000000. wie auch das Quadrat der halben Lineæ 25000000. und addire ſolche, gibt 125000000. Hier⸗ aus Radicem Quadratam extrahirt, gibt 1180. darvon ſubtrahire ich die halbe Lineam 5oo0. Reſt 6180. ſo viel Theil hat dieſer Punct von der gantzen Linea. . . 2. Zu was dienet die Linea Rectæ Dividendæ: Durch Huͤlff dieſer Lineæ kan man eine andere gerade Lineam nach Begehren theilen und erkundigen, das wievielſte Theil eine gegebene Li- nea einer andern ſeye, auch die Theil einer begehrten Lineæ, durch eine an⸗ dere Lineam vorzuſtellen, deßgleichen eine Lineam nach aͤuſſerſter und mit⸗ telſter Proportion zu theilen, und endlich einen lſoſcelem, da die beede Winckel auf der Ban jeder doppelt ſo groß, als der obere, wie auch ein Regular- 5a und 10. Eck in einen Circul zu beſchreiben. Ferner dienet ſie auch, wann der Diameter eines Cireuls gegeben wird, die Laͤnge der Cin. cumferentz zu finden; ſolcher verhaͤlt ſich, wie 7. gegen 22. oder 3182. ge⸗ gen 10000 — SE MM =èð R 2 3. Wie 132 Von der Linea Rectæ Dividendæ. 3. Wie ſoll eine gerade Linea nach Begehren ge⸗ theilet werden —— E. g. Die gegebene Linea ſeye ab, ſolche ſolle in 2. oder 3. Theil ge⸗ theilet werden. Ich nehme die Lineam a b, ſtelle ſolche transverſim zwi⸗ ſchen 1. und 1. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 2. und 2. ſo wird ſie in 2. Theil getheilet; nehme ich aber die Weite zwiſchen 3. und 3. ſo kan ich ſie darmit in 3. Theil theilen. Vide Fig. 169. 4. Wann eine Linea gegeben wird, wie ſoll der begehrte Theil darvon gefunden werden? E. g. Die gegebene Linea ſeye a b, darvon begehret man den ſieben⸗ den Theil. So nehme ich die Lineam a b, ſtelle ſolche transverſim zwi⸗ ſchen 1. und 1. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 7. und 7. welches der ſiebende Theil der gantzen Lineæ iſt, nemlich ac. Wide Figu- ram 170. 5. Wann2. Linien gegeben werden, wie kan man wiſſen, was fuͤr ein Theil die kleine der groͤſſern ſeye? * E. g. Es werden gegeben die Linien ab und ed. So nehme ich die Lineam a b, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 1. und 1. laſſe das Inſtru- ment unverruckt liegen, hernach nehme ich die Lineam c d, und ſehe, zwi⸗ ſchen welchen gleichen Zahlen ſolche eintreffe, finde zwiſchen 5. und 5. ſage alſo, daß die Linea e d, der fuͤnffte Theil von der Linea a b ſeye. Vide ig. 17 1. . .. . e e 6. Wie werden etliche Theil einer gegebenen Lineæ gefunden: E. g. Es werde gegeben die Lineaa b, und wird 3. derſelben verlan⸗ get. So ſtelle ich die Lineam ab, transverſim zwiſchen 1. und 1. und un⸗ verruckt nehme ich die Weite zwiſchen 4. und 4. gibt den vierdten Theil, ſolchen ſchneide ich von ab weg in e, ſo iſt b c, 3. der gegebenen Lineæ. Vide Fig. 172. “ 7. Wie ſoll eine Linea nach aͤuſſerſter und mittelſter Proportion getheilet werdennß? E. g. Die gegebene Linea ſeye a b, ſolche ſtelle ich transverſim zwi⸗ ſchen 1. und 1. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen dem Puncten Extr. ac. Med. Rat. Secant. gibt ac, welche nach Begehren getheilet wor⸗ den; verhaͤlt ſich alſo c b zu ac, wie ac zu ab. Vide Fig. 173. w. Von der Linea Rectæ Dividendæ. 133 8. Wie ſoll ein Iſoſceles, daß jeder Winckel auf der Baſi doppelt ſo groß, als der obere, welcher der Baſi entgegen ſtehet, wie auch ein 5. und 10. Eck in einen Circul beſchrieben werden: E. g. Es werde gegeben ein Circul, durch deſſen Centrum ziehe ich den Diametrummon, durch dieſen ziehe ich perpendiculariter den an⸗ dern Diametrum poq, nehme alsdann den Semi-Diametrum o m, ſtelle ſolchen transverſim zwiſchen 1. und 1. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen den Puncten Extr. ac Med. Rat. Secant. gibt die Lineam qr oder qs, ziehe r’s zuſammen, und formire aus p den Iſoſcelem prs, da dann der Winckel prs und p sr doppelt ſo groß, als rp s. Wann ich dann die Laͤnge qr von o nach t trage, und die Laͤnge p t nehme, ſolche in der Circumferenz herum trage, ſo gibt es ein Regular-§. Eck, trage ich aber q r in der Circumferenz herum, ſo gibt es ein Regular- 10. Eck. Vide Fig. 174. . . „ „ „ . 9. Wie kan man die Circumferenz eines Circuls Z . erfinden? E. g. Es hat ein Binder ein Faß, deſſen aͤuſſerſte Weite hat am Dia- metro 3. Schuh, fragt ſichs, wie lang der Raͤiff ſeyn muͤſſe, dahin er die Schloß ſchneiden ſolle? Ich nehme von einem Maaß⸗Stab 3. Schuh, ſtelle ſolche zwiſchen die Puncta des Diametri, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen den Puncten, wobey die Circumferenz ſtehet, als zwiſchen 1. Und 1. gibt auf dem Maaß⸗Stab 9. Schuh/S. Zoll, 1½, Scrupel. Vide Fig. 175. R 3 Von 134 Von der Linea Fortificatoria. Von der Linea Fortificatoria. TABILA LINEB FORTIFICATORIK. Punck. Part. Pund. Part. Punct. Part. 1. 517 7.] §. 4403. 9. 7567. 2. 10355. 6. 5176. 10. 8376. 3. 1552 %. 7. 5965. II. 9187. 4. 3660. 8. 6763. 1 12. 10000. I. Aus was Fundament wird dieſe Tabell gerechnet: B ie gantze Linea hat 10000. Theil, und wird fuͤr den Semi-Diame- trum eines 12. Ecks genommen, deſſen Seiten oder Chorda zwi⸗ ſchen 6. und 6. gefunden wird. Wann ich nun einen Cireul, Ddaas iſt, 360. Grad in 12. Theil theile, ſo gibt 1. Theil 30. Grad. Solche Chordam zu finden, wird aus den Tabulis Sinuum geſucht, allwo der Sinus von 30. Grad, 5000. gefunden wird, deſſen SZinum verſum zu ſu⸗ chen, nehme ich das Complement von 30. Grad, das iſt 60. Grad, deſſen Si⸗ nus iſt 8660. vom Sinu toto 10000. ſubtrahirt, Reſt 1340. der Sinus Ver- ſus. Macht alſo ein jeder Sinus rectus mit dem Sinu verſo einen Angulum rectum, und gibt der Secans oder die Hypothenuſa die Seite deſſelben Winckels. Wann ich alſo den Sinum rectum 5ooo. und Sinum verſum 1340. jeden inſonderheit quadrire, kommt 25000000. und 1795600. dieſe Quadrata addirt, gibt 26795600. hieraus Radicem Quadratam gezogen, Facit 5176. die Seite des 12. Ecks. Wann ich nun die Seite des 6. Ecks fuͤr 5 176. gelten laſſe, ſo iſt ſolches auch der Radius oder Semi-Diameter des 6. Ecks, iſt alſo der ſechste Punct die Seite aller Figuren. Daraus finde oder ſuche ich ferner den Radium oder Semi-Diametrum der andern Figu⸗ ren alſo, und ſage: die Seite des 4. Ecks, wann ich ſie nach obiger Manier rechne, hat 1414. zur Chorda, deſſen Radius iſt 10000. was gibt 5 176. der Radius zur Seiten des 4. Ecks, Facit 3660. welches der Radius oder Semi- Diameter des 4. Ecks iſt. Alſo wird es ferner bey den andern Figuren auch gerechnet. Die erſte 3. Puncta zu finden, dividire ich die Seite 5176. durch 10. gibt der erſte Punct 5§517 ⅞ ſolche duplirt, gibt 1035 ½. den 2. Pun⸗ cten, wann ich es triplire, gibt es 1552 ¾. den dritten Puncten, wie ſolches aus der Tabell zu erſehen. 2. Zu was dienet die Linea Fortificatoria? Durch Huͤlff dieſer Lineæ kan man die Haupt⸗Riſſe einer Figur, ſo S . man — — = — — — — — — — — — — — —ʒ — — Von der Linea Fortificatoria. 135 man fortificiren will, aufreiſſen. Ob wohl derſelben unterſchiedliche, und auch von unterſchiedlichen Kunſt⸗Erfahrnen erfunden worden, ſo will ich doch allein bey Herrn Nicolai Goldmanns, des weit⸗beruͤhmten Mathe- matici, Manier verbleiben, und iſt deſſen Erfindung auf 4. Stuͤcke ge⸗ gruͤndet, welche zugleich erfordert werden, nemlich: 1. Daß die Defenſio oder Beſchuͤtzung vor der Face oder Geſichts⸗Linea vornemlich ſehr breit ſeye. 2. Daß die Defenſions⸗Linea, oder ſtreichende Verwehr⸗Linea, kurtz ſey. 3. Daß der Streich⸗Platz groß ſey, und endlich 4. daß alles mit dem geringſten Koſten verrichtet werde. 3. Was bedeuten die Puncta auf dieſer Linea: Von Centro aus, bis zu Ende der Lineæ, iſt ſie in 12. Theil abge⸗ theilet, und bedeuten die Puncta, wo darbey ſtehet: 1. Ala, die Streich, oder Schulter-Linea. 2. Collum, die Kehl⸗Linea. 3. Capitalis, die Haupt⸗Linea. 4. Semi-Diameter des 4. Ecks. 5. Semi-Diameter des 5. Ecks. 6. Semi-Diameter und die Seite des 6. Ecks, 7. Semi- Diameter des 7. Ecks. 8. Semi-Diameter des 8. Ecks. 9. Semi-Diameter des 9. Ecks. 10. Semi-Diameter des 10. Ecks. II. Semi-Diameter des 1I. Ecks. 12. Semi-Diameter des 12. Ecks. 4. Was iſt eigentlich der Gebrauch dieſer Lineæ Der vornehmſte Gebrauch dieſer Lineæ iſt, daß man daraus die Haupt⸗Riſſe der beveſtigten Figuren aufreiſſen kan, ſo wohl in Feld⸗Wer⸗ cken als auch in beſtaͤndige Wercken. Die Feld⸗Wercke Bwwon ohne ſtrei⸗ chende Beſchuͤtzung, als Redouten; oder mit ſtreichender eſchuͤtzung, als da ſeyn, die Regular- Figuren, ſo wohl Stern⸗Schantzen, nemlich die darein moͤgen beſchrieben werden, als Schantzen mit halb⸗ und gantzen Bollwer⸗ cken, wie auch Irregular-Figuren. Die beſtaͤndige Wercke, Regularia und Irregularia, werden ſo wohl fuͤr ſich ſelbſt beſchrieben, als daß ſie an andere gefuͤget werden, nemlich an Hornwercke und Kronwercke. H 136 Von der Linea Fortificatoria. 5. Wie ſoll der Haupt⸗ Riß einer Redouten gemacht werden: Diie Redouten werden gemeiniglich in der Form eines Quadrats ge⸗ macht, derohalben darff man nur die gegebene Seite, als hier 60. Pedes, aus einem Maaß⸗Stab nehmen, und ſolche transverſim zwiſchen 6. und 6. ſtellen, ſo wird unverruckt die Weite zwiſchen 4. und 4. der Semi -Diame- ter a c des Circuls befunden, damit den Circul⸗Riß gemacht, und die ge⸗ gebene Seite umher getragen, die 4. Puncta zuſammen gezogen, ſo hat man den Haupt⸗Riß einer Redouten, als a bde, fertig. Vide Fig. 176. 6. Wie ſoll der Haupt⸗Riß eines Sterns beſchrieben werden?: 6 Dergleichen Stern⸗Schantzen werden 4. §. oder 6. eckichte verferti⸗ get, die innere Seite kan 60. Rheinlaͤndiſche Pedes halten; Man pfleget auch halbe 6.eckichte Stern⸗Schantzen vor die Brucken der Fluͤſſe und die Canal zu legen, da die Breite von 200. bis 600. Pedes iſt, wie in den Exempeln folgen wird. Es wird aber geſetzt, daß jede Seite derſelben 60. Rheinlaͤndiſche Pedes halte. “ 7. Wie ſoll eine 4. eckichte Stern⸗Schantz aufgeriſſen werden: 13 Man nehme die Seite 60. und ſtelle ſolche zwiſchen 6. und 6. trans- verſim, ſo kommt unverruckt die Weite, zwiſchen 4. und 4. genommen, der Semi . Diameter a b, wormit den Circul⸗Riß gemacht, das Latus her⸗ um getragen, gibt die Puncten bed e, hernach mit der Laͤnge der Seiten aus b und e den Creutz⸗Bogen in f gemacht, die Linien aus b und e nach f gezogen, gibt die Spitze des Sterns; auf ſolche Weiſe verfahre ich mit den andern Puncten, ſo iſt die 4. eckichte Stern⸗Schantz Fghi fertig. Vide Fig. 177. 8. Wie ſoll eine 5. eckichte Stern⸗Schantz “H aufgeriſſen werden 1 Ich nehme die gegebene Seite 6ο. Pedes, ſtelle ſolche transverſim zwi⸗ ſchen 6. und 6. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 5. und 5. gibt den Semi-Diametrum k 1, darmit formire ich den Circul; in ſolcher Cir- cumferenz trage ich die Seite S. mal herum/ gibt Imnop, aus dieſen Pun⸗ eten beſchreibe ich die Creutz⸗Boͤgen, ziehe die dinien zuſammen, darmit iſt die S. eckichte Stern⸗Schantz qrs tv fertig. Vide Fig 177hd/9s9s Von der Linea Fortificatoria. 137 9. Wie ſoll eine 6. eckigte Stern⸗Schantz aufgeriſſen werden: Ich nehme wieder die gegebene Seite 60. Pedes, welche auch den Se- mi Diametrum a b gibt, beſchreibe darmit den Cireul, trage ſolche in der Circumferenz 6. mal herum, gibt die Puncten bedefg, aus ſolchen Pun⸗ cten beſchreibe ich die Creutz⸗Boͤgen, ziehe die Linien zuſammen, ſo gibt es die 6. eckigte Stern⸗Schantz hiklmn. Vide Fig. 179. 10. Wie ſoll ein halbes 6. Eck beſchrieben werden? Erſtlich ziehe ich eine gerade Lineam t x, auf ſolche ſtelle ich ein Per- pendiculum in der Laͤnge der Seiten 6. Pedes, als op, mache darmit den halben Circul, hernach ſtelle ich die Seiten aus p nach t und x, und aus P nach q und t, ferner aus p und g nach s, und aus p und r nach v die Ereutz⸗ Boͤgen, wo ſolche einander durchſchneiden, dahin ziehe ich die Linien zuſam⸗ men, und darmit iſt die halbe Stern⸗Schantz fertig. Vide Fig. 180. 11. Wie iſt ein Haupt⸗Riß einer 4. eckigten Regular- Schantz mit halben Bollwercken zu machen: Die Seite dieſer Figur mag anfangen, wo die Seite der Redoute auf⸗ hoͤret, und mag 120. oder 132. Pedes halten; dann, wann man die Seite kleiner brauchte, wuͤrde ein 6. eckigter Stern breitere Beſchuͤtzung als dieſe Schantz haben; nun iſt es beſſer, daß die Beſchuͤtzung wachſe, welches ge⸗ ſchiehet, wann die Seite genommen wird. Die Formirung geſchiehet alſo: Ich mache den 4. eckigten Stern, wie oben geſchehen, doch mit der Seiten in vorgeſchriebener Laͤnge, die Puncten des Sterns ſeyn, a f, b g, c h, de, ziehe ſolche mit blinden Linien zuſammen; hernach ſetze ich eine Seite in Li- neam rectæ dividendæ transverſim, zwiſchen 1. und 1. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 2. und 2. gibt i. Ferner die Weite zwiſchen 6. und 6. genommen, gibt a n, aus e nach die blinde Lineam gezogen und aus n die Weite an nach o und p getragen, dahin ſchwartze Linien gezogen, darmit iſt das ½. Bollwerck fertig. Alſo procedire ich auch mit den andern und uͤbrigen Seiten. Vide Fig. 181. 12. Wie ſoll ein Haupt . BRiß einer Regular-Schantz aufgeriſſen werden: Dieſe Figuren werden 4. 5. und 6 eckigt gebrauchet, die Seite mag 144. oder 156. Pedes halten, ſolche Seite aus einem Maaß⸗Stab genom⸗ men, und transverſim zwiſchen 6. und 6.9eelet, ſo wird zwiſchen Krund 4. er 138 Von der Linea Fortificatoria. der Semi-Diameter des 4. Ecks,zwiſchen 5. und 5. der Semi- Diameter des 5. Ecks, und zwiſchen 6. und 6. der Semi-Diameter des 6. Ecks befunden. Wannich nun die Seite 144. Pedes zwiſchen 6. und 6. geſtellet, und die Weite unverruckt zwiſchen 4. und 4. genommen, ſo mache ich darmit den Cir⸗ cul⸗Riß. Hernach nehme ich wieder die Seite, trage ſolche in der Circum- ferenz 4. mal herum, und mache die Form eines 4. eckigten Sterns; dar⸗ nach ziehe ich aus dem Centro a nach b und c eine blinde Lineam, und thei⸗ le den Winckel bac durch a d, ſo kommt die Geſicht⸗ Linea b d; mit ſolcher Weite b d mache ich die andern Geſicht⸗Linien, und ziehe ſolche gegen ein⸗ ander uͤber blind zuſammen, als dg. Nach dieſem ſtelle ich die Seite 144. Pedes in Lineamrectæ dividendæ, zwiſchen 1. und 1. transverſim, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 6. und 6. (welches zwar auf der Linea Arithmetica eben ſo fuͤglich geſchehen kann, wann ich ſie zwiſchen 60. und 60. ſtelle, und unverruckt die Weite zwiſchen 10. und 10. nehme,) gibt den ſechſten Theil, ſolchen trage ich aus d nach g in h, und aus f in k, ziehe die Mittel⸗Lineam h k zuſammen, welches die Courtin, und h f die Flanc, Strich oder Schulter gibt. Alſo mache ich es auch mit den uͤbrigen Seiten ſo wird es fertig. Vide Fig. 182. Auuf ſolche Weiſe wird auch die §. und 6. eckigte Figur gemachet, nur dieſes iſt in Acht zu nehmen, daß in den 4. und 6. Ecken zwey gegenuͤberſtehen⸗ de Flanc oder Streichen an den gleichfalls gegenuͤberſtehenden Courtinen, zuſammen gezogen werden. Im . Eck aber iſt jede Courtin gegen dem Boll⸗ werck gezogen, worauf nur eine Streiche geſtellet wird. Vide Fig. 183. Die halben6. Eck moͤgen vor Bruͤcken, die 720. bis 800. Pedes lang ſeyn, geleget werden. 13. Wie ſoll ein Haupt⸗Riß einer lrregular. Schantz mit halben Bollwercken aufgeriſſen werden: Dergleichen Schantzen koͤnnen vor Bruͤcken, welche 600ο. bis 700 Pe- des lang ſeyn, geleget werden, und geſchiehet, wie folget: Ich nehme die Seite aa, 120. Pedes, ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 6. und 6. und un⸗ verruckt nehme ich die Weite zwiſchen 12. und 12. gibt das Latus ab, und zwiſchen 4. und 4. a c. Nachdem ich nun die Laͤnge der Linien gefunden, ſo mache ich den Haupt⸗Riß, und ſtelle die Seite 120. Pedes, auf eine lange Lineam, aus a ſtelle ich mit der Laͤnge ab den Bogen in b. ziehe dahin blinde Linien, auf dieſe blinde Linien ſtelle ich aus a das Latus a c, und mit dieſer Weite beſchreibe ich aus e beyde blinde halbe Circul⸗Riß ad, hernach ſetze ich die Seite a a aus a in e, und reiſſe die halbe Sternafegd. denertheiſ⸗ i —. —. Von der Linea Fortificatoria. 139 ich die Lineam aa in 6. Theil, und ſtelle den ſechſten Theil aus e in k, und aus k in l und m, ziehe af, fm, ſchwartz, darmit iſt ein halbes Bollwerck fer⸗ tig; alſo formire ich auch die andern aus d. Dergleichen Schantzen koͤn⸗ nen vor Bruͤcken geleget werden, daß die Seite tf am Waſſer liege, ange⸗ ſehen ſie keine ſtreichende Beſchuͤtzung hat; wann aber eine ſolche Schantz ins freye Feld geleget wird, ſo muß das gleichſeitige 3. Eck aga daran ge⸗ riſſen werden. Vide Fig. 184. L 14. Wie ſoll ein Haupt-⸗Riß einer beſtaͤndigen Regu⸗— lar-Figur gemacht werden? Beſtaͤndige Wercke werden genannt ſo wohl die Schantzen, als die Veſtungen, welche lange Zeit ſollen ſtehen bleiben. Solche moͤgen allhie auf dreyerley Art vorgeſtellet werden. Die erſte Art: Die gegebene Seite wird transverſim zwiſchen . und 6. geſtellet, ſo wird zwiſchen den Zahlen der Figur der Semi-Diameter, zwiſchen 3. und 3. die Capital Linea, zwiſchen 2. und 2. die Kehl Linea, und zwiſchen 1. und 1. die Streiche befunden. Die Seite aber ſoll in den Schantzen, als in 4. 5. und 6. Ecken zum wenigſten 240. aufs hoͤchſte 600. Pedes lang ſeyn. In den Veſtungen aber ſoll die Seite 740. Pedes in 7. Eck ſeyn, und nimmt hernach um 10. Pedes zu, vor jede folgende Figur; alſo be⸗ kommt ſie in 8. Eck 750. im 9. Eck 760. im 10. Eck 770. im 11. Eck 780. und im 12. Eck 790. Pedes. Alſo, wann im 4. Eck allhier die Seite 480. Pedes, im 5. Eck 360. Pedes, im 7. Eck 740. Pedes gegeben wird, ſo nehme ich nur die Seite des 4. Ecks, 480. Pedes, ſtelle ſolche trans verſim zwiſchen 6. und 6. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 4. und 4. gibt den Semi-Diametrum a b, darmit be⸗ ſchreibe ich den Circul, und ſetze die Seite be, 4. mal herum, ziehe das Quadrat mit blinden Linien zuſammen; ferner nehme ich noch unverruckt die Weite zwiſchen 2. und 2. trage ſolche aus dem Eck oder Winckel b und c nach tund g. gibt die Kehl⸗Linien bi und ge, und folglich die andere Kehl⸗ Linien. Aus dem Centro aziehe ich durch die 4. Eck blinde Linien, als von a nach d, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 3. und 3. trage ſolche aus b in d, gibt die Capital-Lineam bd; Ferner nehme ich die Wei⸗ te zwiſchen 1. und 1. lege ein Lineal auf beede End⸗Puncten der Kehl⸗Li⸗ nien fi, ſtelle ſolche aus f in m, ſo gibt Im, die Alam, Flanc, Schulter oder Streich, ziehe dm, gibt die Face oder Geſicht⸗Lineam, und ſo fer⸗ ner herum. Vigde Fig. 185. In dem 5. Eck nehme ich die gegebene Seite hier 360. Pedes, ſtelle ſolche S 2 trans- 140⁰ Von der Linea Fortificatoria. transverſim zwiſchen 6. und 6. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 5. und 5. gibt den Semi Diametrum ab, darmit reiſſe ich den Circul⸗Riß, trage die Seite be in der Circumferenz S. mal herum, und ziehe das 5§. Eck mit blinden Linien zuſammen, hernach nehme ich noch unverruckt die Weite . zwiſchen 2. und 2. mache darmit aus b in h und die Kehl⸗Lineam; ferner ziehe ich aus dem Centro a durch das Eck b eine blinde Lineam, und nehme die Weite zwiſchen 3. und 3. ſtelle ſolche aus d in i, gibt die Capital-Lineam bi, mit dieſer Weite beſchreibe ich auch einen kleinen Circul ak, lege ein Li- neal an den Punct und an den kleinen Gircul⸗Riß, und nehme die Weite zwiſchen 1. und 1. trage ſolche aus g nachl, welches die Streiche gibt,ziehe li zuſammen, gibt die Geſicht⸗Lineam. Auf ſolche Weiſe werden die andere Bollwerck auch verfertiget, die Courtinen geben ſich ſelbſten, die Streichen werden in allen Figuren, welche eine ungerade Zahl der Seiten haben, auf dieſe Weiſe gemacht. Vide Fig. 186. . Im 7. Eck nehme ich die Seite 740. Pedes, ſtelle ſolche transverſim zwi⸗ ſchen. und 6. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 7. und 7, mache darmit den Circul⸗Riß, trage die Seiten herum, ziehe die Puncten mit blin⸗ den Linien zuſammen, alsdann nehme ich unverruckt die Weite zwiſchen 3. und 3. gibt die Capital-Lineam zwiſchen 2. und 2. die Kehl⸗Lineam zwi⸗ ſchen 1. und 1. die Streiche; aus den befundenen Linien iſt die Figur nach vorbeſchriebener Art leicht aufzureiſſen, wie das §. Eck. Vide Fig. 187. Die 2. Art iſt vor diejenigen, welche an langen Streichen und Geſicht⸗ Linien Belieben tragen. Die Geſicht⸗Linea wird hier allezeit 24. Ruthen, oder 288. Rheinlaͤndiſche Pedes halten, die Courtin oder Mittel⸗Linea 36. Ruthen, oder 432. Pedes, die Streich wird im 4. Eck 6. Ruthen, oder 72. Pe- des, im 5. Eck 7. Ruthen, oder 84. Pedes, im 6. Eck 8. Ruthen, oder 96. Pedes, im 7. Eck 9. Ruthen, oder 108. Pedes, im 8. Eck 10. Ruthen, oder 120. Pedes, im 9. Eck 11. Ruthen, oder 132. Pedes, im 10. Eck und allen folgenden Fi⸗ guren 12. Ruthen, oder 144. Pedes lang geſetzet. Nehme demnach die Seite eines 12. Ecks, 720. Pedes, damit die Cour- tin 432. Pedes lang werde, ſtelle ſolche trans verſim zwiſchen 6. und 6. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 12. und 12. gibt den Semi Diame- trum ab, darmit formire ich den Circul, hier aber iſt nur ein Stuͤck eines 12. Ecks aufgeriſſen. Nach dieſem verlaͤngere ich die Streichen kund gl, und zeichne die Laͤnge der neuen Streichen, hier 144. Pedes lang; aus den Pun⸗ eten kund ziehet man die Geſicht⸗Linien, als Parallel-Linien km, In, u dieſelbe traͤget man die Laͤnge der neuen Geſicht⸗Linien 288. Pedes; endli ziehet man gus m und n mit dem Semi-Diametro Parallel-Linien in o, gibt n o und Von der Linea Fortificatoria. 1I41 no und mo, ſo kommt die neue Seitep q, der Semi Diametero p, die Ca- pitalis pm, und die Kehl⸗Linea pf, dergleichen Handlung iſt auch in an⸗ dern Exempeln zu behalten. Vide Fig. 188. Diie dritte Art iſt fuͤr diejenige, welche Belieben tragen an langen Mit⸗ tel⸗Linien oder Courtinen; allhier haben ſolche Courtinen 480. Pedes zur Laͤnge, die Geſicht Linea haͤlt hier 120. Bedes, die Streichen nehmen zu, nach den Figuren, als im 4. Eck ſeyn ſie 60. Pedes, im 5. Eck 80. im 6. Eck 90. im 7. Eck 100. im 8. Eck 110. und im 9. Eck, wie auch in allen andern folgen⸗ den Figuren, 120. Pedes. Wann man derohalben nach dieſer Art eine Figur beveſtigen will,/ ſo reiſſet man erſtlich den Haupt⸗Riß einer ſolchen Figur nach der erſten Art/jedoch, daß die Seite allezeit 800. Pedes halte, damit die Mit⸗ tel⸗-Linea 480. Pedes bekomme, alſo iſt hier ein Stuck eines 12. Ecks aufgeriſ⸗ ſen; hernach ſeynd die Streichen verlaͤngert, und die neuen Streichen k,. 91, 120. Pedes lang worden, und aus den Puncten k und hat man den Ge⸗ ſicht⸗Linien Neben⸗Streiche gezogen, und darauf die neue Geſicht⸗Linien kmIn, 240. Pedes lang gemacht. Endlich hat man den Linien da, ia, Neben⸗Streiche gezogen, mo, und no, ſo kommen die neue Semi-Diametri op, q, die neue Kehl⸗Linien pf, qg, und die neue Haupt⸗oder Capital- Linien pm, und qn. Vid. Fig. 189. Die Figuren, welche mehr als 12. Seiten haben, belangend, ſo wird in denſelben der Semi-Diameter durch die Lineam Circularem gefunden, das andere macht man, wie hier gelehret worden. Allein iſt in Acht zu nehmen, daß die Seiten der Figuren nach der erſten Art ferner genommen werden, als im 13. Eck 800. im 14. Eck 810. im 15. Eck 820 im 16. Eck 830. im 17. Eck 840. im 18. Eck, wie auch in allen andern folgenden Figuren 850. Pedes, daraus die uͤbrige Linien gefunden werden. 15. Wie ſoll auf einen Winckel, der nicht ſcharff iſt, der Haupt Riß eines Bollwercks gemacht werden? Ehe wir zu den Irregular- Figuren kommen, muß zuvor gelehret werden, wie man ein Bollwerck aufreiſſen ſoll, auf folgende Weiß: Ich nehme die Seite 720. Pedes, und ſtelle ſolche transverſim zwiſchen 6. und 6. und un⸗ verruckt nehme ich die Weite zwiſchen 2. und 2. dieſe ſetze ich aus a in b und c, hernach beſchreibe ich aus bund e, als Centris, den Ereutz⸗Bogen d, mit ei⸗ nerley Weite nach Belieben, ziehe die Lineam a d, ferner nehme ich die Wei⸗ te zwiſchen 3. und 3. und trage ſolche aus anach d, hernach richte ich das Per- pendiculum qus b und c, und ſtelle darauf die Weite, zwiſchen 1. und 1. — 3 genom⸗ 142 Von der Lin ea Fortificatoria. genommen, gibt die Streichen, ziehe die Geſicht⸗Linien ed, fd, ſo iſt das Bollwerck fertig. Wer aber die Geſicht⸗Linien von gewiſſer Laͤnge begeh⸗ ret, der mag nach der andern oder dritten Art weiter procediren. Vide Fig. 190. 16. Wie ſoll auf einem rechten oder ſcharffen Winckel ein halbes Bollwerck beſchrieben werden? Iſch richte aus a ein Perpendiculum auf, und ſetze die Seite 720. Pedes transverſim zwiſchen 6. und 6. und unverruckt nehme ich die Wei⸗ te zwiſchen 3. und 3. gibt die Capital-Lineam ab, mit dieſer Weite der Capital.Lineæ beſchreibe ich aus a und b den Creutz⸗Bogen c, (auf dem Feld formirt man den Winckel, abd, von 60. Gr.) ziehe bod, ferner nehme ich die Weite zwiſchen 1. und r1. ſolche ſtelle ich aus d in e, und aus e in Fund g, ziehe die Capital-Lineam a b, die Streiche f g, und die Ge⸗ ſicht⸗Lineam bg, ſo iſt es fertig. Vide Fig. 191. 17. Wie ſoll ein Haupt⸗Riß einer Irregular-Figur aufgeriſſen werden? Diieſe ſchwere Sachen wollen wir in dieſer Quæſtion abzuhandeln fuͤr uns nehmen. Erſtlich wird die Figur betrachtet, ob ſie geſchickte Sei⸗ ten und Winckel habe. Geſchickte Seiten wollen wir nennen, die nicht kuͤr⸗ er als 600. Pedes, und geſchickte Winckel, die nicht kleiner als 60. Grad ſeyn. Dafern aber ungeſchickte Seiten oder Winckel vorkommen, ſo muß die Figur durch einen Zuſatz veraͤndert werden. Im uͤbrigen werden fol⸗ gende Regeln hierzu genug ſeyn. . Die 1. Regul. Vor allen Dingen muß man ſehen, ob irgend ein ſcharffer Winckel in der Figur befindlich ſey; dieſer wird folgender Geſtalt verbeſſert: Wofern die Seiten, ſo wohl ac als bc, nicht kuͤrtzer als 720. Pedes lang befunden werden, ſo ziehet man a c, und theilet den Winckel ab e durch bd. Ferner theilet man die Lineam ac in 2. gleiche Theil in e, aus ſolchem Centro beſchreibet man den Semi-Circulum afe, ziehet af, f c, und leget auf af e nach der vorhergehenden 14. Quæſtion, ein Boͤll⸗ werck. Dafern aber der ſcharffe Winckel nicht kan geaͤndert werden, we⸗ gen Verhinderung der Umſtaͤnde, ſo leget man nach der 15. Quæſtion 2. halbe Bollwercke darauf. Vide Fig. 102. Die 2. Regul. Auf die Winckel, die da nicht ſcharff oder nicht unter 90. Grad ſeyn, legt man, nach der 14. Quæſtion, gantze Bollwerck. Vi⸗ de Figuram 193. Di Die — — — ——.— , — — = —,- —, — — — ;— — gm☛ — — ☛ = — + — — — — — £ ☛ –☛☛ , – = — — — Von der Linea Fortificatoria. 143 Die 3. Regul. Auf den Fall, wann die Bollwercks⸗Puncten allzuweit von einander liegen, ſo muß man in Acht nehmen, wie weit ſie eigentlich von einander ſeyn; ſo dieſe Weite weniger, als 1440. Pedes, ſo leget man mit⸗ ren ein Ravelin, in der Form eines Bollwercks, jenſeits des Grabens. Vide ig 194. Wann die Weite groͤſſer bis auf 2160. Pedes befunden wird, ſo thei⸗ let man ſie in 2. gleiche Theil, und leget in die Mitte ein platt Bollwerck. Vide Fig. 195. Wann die Linea von 2160. Pedes und daruͤber befunden wird, ſo theilet man ſie in 3. Theil, alſo, daß erſtlich beede Theil an den Enden 720. Pedes abgeſchnitten werden, an dieſe Puncten werden platte Bollwercke ge⸗ leget, (nach den vorigen Faͤllen dieſer Regul,) die Weite der Bollwercks⸗ Puncten gibt die Nachricht, wie man verfahren ſoll. Eben dieſes iſt in den aͤuſſern Winckeln, wann ſie lange Linien haben, zu behalten. Vide Figu- ram 196. und 197. Die 4. Regul. Vor einen aͤuſſern Winckel, dafern er von beeden naͤchſt⸗ folgenden Bollwercks⸗Puncten uͤber 600. Pedes entlegen iſt, leget man ein Ravelin, und wann die Linien laͤnger ſeyn, ein Hornwerck; wann ſie auch gar lang ſeyn, werden noch wohl platte Bollwerck gebraucht, allein muß man in Acht nehmen, daß die beſtaͤndige Verwoͤhr⸗Linea 720. Pedes nicht uͤ⸗ bertreffe, und die Bollwercks⸗Puncten auch nicht naͤher beyſammen liegen, als 720. Pedes. Vide Fig. 198. . Die 5. Regul. Vor die ſchwache Oerter werden Auſſenwercke nach den folgenden beeden OQuæſtionen vorgeleget. Vide Fig. 199. und 200. Die 6. Regul. Am Waſſeriſt die halbe Beſchuͤtzung gut genug, und wird nach Belieben angegeben, alſo, daß die Streichen nach rechten Win⸗ cteln aufgeſetzet, 72. und die lange Linien 480. oder 600. Pedes halten. Vi- de Fig. 201. Nota: In den platten Bollwercken kan man 720. transverſim zwi⸗ ſchen 6. und 6. ſtellen, und beedes, die Streich und Kehl⸗Lineam, unver⸗ ruckt zwiſchen 2. und 2. nehmen, die Capital- Lineam machet man doppelt ſo lang, ſo hat man lange Streichen. 18. Wie ſollen die Auſſenwercke, als Ravelin, halbe Mond und Hornwerck zugerichtet werden? Die erſten beede Auſſenwerck haben der Lineæ Fortificatoriæ faſt nicht vonnoͤthen, als im Ravelin ziehet man ac, und verfertiget das gleich⸗ ſeitige 3. Eck ab c. Vide Fig. 202. 144 Von der Linea Fortificatoria. OIm halben Mond ſtellet man die Perpendicular-Lineam auf beede Geſicht⸗Linien des Bollwercks aus d, als de und df, und ſetzet jede Strei⸗ che 72. Pedes lang darauf, ziehet ek. und verfertiget das gleichſeitige 3. Ecke eikf, der Bogen g h wird aus k beſchrieben, nemlich aus dem Puncten vornen auf der Berm. Vide Fig. 203. Im Hornwerck muß man erſtlich die Weite ab erkundigen, welche, wann ſie frey ſtehet, wie da geſchiehet in den Hornwercken, ſo man vor die Bollwerck, oder vor die aͤuſſern Winckel leget, ſo nimmt man ſie von 400. bis 600. Pedes, wann aber gedachtes Hornwerck vor einer Courtin oder Mittel⸗Linea liegen ſoll, ſo wird a b der Mittel⸗Lineæ gleich lang genommen, theilet a b in 2. gleiche Theil in c, ſetzet a c zwiſchen 12. und 12. transverſim, und unverruckt die Weite zwiſchen 4. und 4. genommen, giebet ec d, dieſer macht man c e gleich, aus d und e ein Perpendiculum aufgericht, und die Laͤnge ce in und h getragen, wie auch aus und h nach g und i ziehet a f. fg, gi, ih und hb zuſammen, die Linien ah und bk moͤgen eine Laͤnge nach Belieben haben, wann ſie nur uͤber 720. Pedes nicht lang werden, von ihrer Beſchuͤtzung an zu rechnen. Die Winckel hab, K b a, ſollen recht oder ſtumpff, niemalen aber ſcharff⸗wincklicht ſeyn. Vide Fig. 204. Eine andere Art der Hornwerck kann gebraucht werden, wann derglei⸗ chen Werk eine groͤſſere Breite haben muͤſſen, nemlich von 600. bis 720. Pedes. Die Laͤnge der Linien wird alſo gefunden: Die gegebene oder ge⸗ nommene Seite ſetzet man transverſim zwiſchen 6. und 6. und unverruckt die Weite zwiſchen 3. und 3. genommen, gibt die Fronte oder Stirn,/ und zwi⸗ ſchen 1. und 1. die Streich oder Flanc, ſolche wird 2. mal verlaͤngert. Der Haupt⸗Riß wird folgender Maſſen vollendet: Man ziehet ab nach begehrter Laͤnge, und ſchneidet von beeden Enden ab, die Stirn a cund b d. aus c und drichtet man das Perpendiculum auf, darauf traͤget man ce, ef, dg und gh, gleich der Laͤnge der Streich, ferner ae, ef, fh, hg und gb, zuſammen gezogen, auf ae, dafern es noͤthig, beſchreibet man das gleichſei⸗ tige 3. Eck aie, und verlaͤngert ai in k, alſo findet man auch bl, jedoch moͤ⸗ gen die Winckel bey a und b auch recht und ſtumpff genommen werden, al⸗ lein iſt Achtung zu geben, daß dieſe Puncten nicht uͤber 720. Pedes von dem Punct ihrer Beſchuͤtzung entlegen ſeyen. Vide Fig. 205. 19. Wie ſoll ein Kronwerck verfertiget werden? In den rechten Kronwercken iſt weder die Rechnung, noch die Auf⸗ reiſſung, von der vorhergehenden letzten Art unterſchieden, auſſer, daß der Winckel kab, 90. Und abi, 60. Grad halten ſoll, im uͤbrigen weiſe die igur — — —— = — — — Von der inea Fortificatoria. 145 Tur und die Ubereinſtimmung der Buchſtaben, die Ubereintreffung der ache; eine Helffte kommt auch mit der andern durchaus uͤberein. Fig. 206. Die falſche Kronwercke, welche vor die Hornwercke koͤnnen geleget wer⸗ den, verfertiget man alſo: Wann ein Hornwerckgegeben wird, mit ſeinem Graben, ſo verlaͤngert man beyde Streiche, einegegen a, die andere gegen b. und ziehet ab, ſtellet ſolche transverſim zwiſchen 2. und 2. und unverruckt die Weite zwiſchen 1. und 1. genommen, gibt ac und be, wie auch das Perpen- diculum c d, damit kan man das Ravelin aufreiſſen, hernach fuͤhret man den Graben und die Feld⸗Wehr herum, das iſt, den bedeckten Weg mit ſei⸗ ner Bruſt⸗Wehr. Ferner werden die aͤuſſern Linien des Grabens gefuͤhret, in der Weite von ungefehr 30. Pedes, die Neben⸗Streiche ef, fg, gh, hi, ik, und kl, man nimmt gh, ſtellet ſolche transverſim zwiſchen 2. und 2. und unverruckt die Weite zwiſchen i und i genommen, ſo kommt gm, mh, hn, ni, und beede Perpendicula mo und n p, ziehet o p, und formiret darmit das gleichſeitige 3. Eck oq p. Die beede Puncten e und l, liegen mit dem Mit⸗ ten⸗Wall des Hornwercks in einer geraden Linea. Vide Fig. 207. Nota: Wann dieſe Haupt⸗Riſſe jemand auf dem Feld abſtecken will, ſo miſſet man die Linien im Riß, und ſchreibet ihre Laͤnge darzu, hernach muß man nach den Beſchreibungen der Ingenieur-Kunſt im Ausſtecken verfahren. Von der Linca Metallica. TABuLA METALLICA. Metallum. Partes. Metallum. Partes. Lp. Marmor-Stein, -=⸗⸗ 150. Cuprum, Kupffer, = ⸗ 94. & Ferrum, Eyſen ⸗ ⸗ 100. C Argentum, Silber, ⸗ 90. Zv. StannumVulg. Gem. Zinn, 99½. H Plumbum, Bley, ⸗⸗ 86. ZA. StannumAngl Engl. Zinn, 97 ½¼. 8 Hydrargyrum, Queckſilber, 78 ¾. ., Glockenſpeiß, ⸗ ⸗ 97. Aurum, Gold,⸗ ⸗ ⸗ 24 ½. I. Wie wird dieſe Tabell gerechnet: Bie kan aus Geometriſchen Fundamenten nicht demonſtrirt werden, S ſondern beruhet gantz auf der Erfahrung. Man hat Kugeln aus Me⸗ tallen gegoſſen, und geſchmiedet, und aus ihrem erkundigtem Gewicht obige Tabell gemacht. Indeſſen iſt unſchwer zu ſchlieſſen, daß die Sache in gar zu ſcharffer Probe nicht beſtehen koͤnne, dann die Metall haben ihre Loͤchlein oder Blaͤßlein, alſo, daß 2. gleich groſſe Klumpen einerley Metalls ie⸗ led⸗ 146 Von der Linea Metallica. ſchiedliche Schwere haben, das mehr⸗ geſchlagene Metall zwar ſchwerer „ als das ungeſchlagene oder gegoſſene. Ja auch das Metall einer Art uͤber⸗ trifft einander am Gewicht, alſo iſt das feine Gold ſchwerer, als das un⸗ reinere, derowegen kan man von dieſer Linea nicht mehr fordern, als die Praxis zulaͤſſet. Anlangend die Vermiſchung der Metall, kan man (was zwey Metall anbetrifft,) die Muthmaſſung nicht ſo gar verneinen. In mehrern Metallen iſt alle Muthmaſſung vergebens, des Archimedis Art ſelbſt „ deren Vitru⸗ vius im 3. Cap. des 9. Buchs gedencket, hat ihre Beſchwerde. Je unvollkom⸗ mener ein Metall iſt, je mehr gehet demſelben im Feuer ab am Gewicht, ja ein Theil des vollkommeneren Metalls flieſſet in die Blaͤßlein oder Loͤchlein des unvollkommeneren; auch iſt die Waſſer⸗Probe, wegen Ungewißheit der obern Flaͤchen, betruͤglich. Man nehme nur ein Glaͤßlein oder Kelchlein, und n. ſolches mit Waſſer, ſo voll es ſeyn kan, ſo wird er Wunder ſehen, wie viel Ducaten (wann er eine nach der andern allgemach in das Glaͤßlein wird fallen laſſen,) noch hinein koͤnnen gethan werden, daß annoch das Waſ⸗ ſer nicht uͤberlauffen wird; dahero mag man des Archimedis Bad⸗Wannen zwar nachſinnen, aber was dem vortrefflichen und Kunſt⸗erfahrnen Manne, welcher auf alle Umſtaͤnde hat Rath erfinden koͤnnen, angangen iſt, deſſen daͤrffen ſich unſere ungeſchickte Haͤnde allemal nicht unterfangen. . 2. Zu was dienet und gebraucht maͤn die j Lineam Metallicam? Dieſe Linea hat dannoch ihren Ruhm, dann, ob ſchon die Vermiſchung der Metallen unaufloͤßlich iſt, ſo kan man doch die Diametros zweyer gleich⸗ ſchweren Kugeln unterſchiedliches Metalls finden, auch aus dem Kugel⸗Maß⸗ Stab oder Caliber eines Metalls, alſobald einen Laliber eines andern Me⸗ talls machen. Man kan ſagen, wie viel die Corpora Regularia, die aus einer⸗ ley Metall ſeynd, und in einer Kugel Raum haben, am Gewicht halten; auch wie groß die Seite eines Wuͤrffels, welcher 1. Pfund wieget, in jedem Me⸗ tall ſey. Dieſe Erfindungen werden Anl leitungen geben, allerley andere Fra⸗ gen aufzuloͤſen. Die Zeichen der Metallen und des Marmels ſeynd i in der Figur bey⸗ geſetzet, wiewol des Steins und Marmels ſehr viel Arten und Schweren gefunden werden. 3. Wie kan man aus dem Diametro einer gegebenen Au⸗ gel eines WMetalls den Diametrum einer gleich⸗ſchweren Kugel eines andern Metalls finden? Ich nehme den Diametrum einer gegebenen Kugel, als a b, von G t. ey⸗ ʒ Von der Linea Metallica. 147 Bley, und ſtelle ſolche transverſim zwiſchen das Zeichen H des Bleyes. Run wird begehrt, die Groͤſſe einer Kugel von Gold, welche 1. Pfund ſchwer halten ſolle; ſo nehme ich unverruckt die Weite zwiſchen dem Zeichen O des Goldes, welches den Diametrum c d, einer guͤldenen Kugel von 1. Pfund geben wird. Vide Fig. 208. 4. Wie kan man, wann man einen Caliber eines Metalls hat, zu einem andern Metall einen Caliber verfertigen? E. g. Der Diameter einer eiſernen Kugel von 1. Pfund aus einem Ca- libro genommen, ſeye e f, und man ſolte einen Caliber vor bleyerne Kugeln verfertigen; ſo nehme ich den Diametrum ef, ſtelle ſolchen transverſim zwi⸗ ſchen das Zeichen des Eyſens, und unverruckt nehme ich die Weite zwi⸗ ſchen dem Zeichen H des Bleyes, gibt den Diametrum i k, der bleyernen Kugel von 1. Pfund. Nach ſolchem kan ich durch Huͤlffe der Lineæ Cubicæ den Caliber machen, wie alldort gelehret worden. Vide Fig. 209. 5. Wie kan man die Schwere der Corporum Regularium, ſo aus einerley Merall gemacht, und mit einerley Kugeln koͤnnten umſchrieben werden, finden: E. g. Der Diameter einer ſolchen Kugel, worein die 5. Corpora Re- gularia koͤnnten beſchrieben werden, wurde gegeben Im, und man fraget, wie viel Loth jedes Corpus am Gewicht halten ſolte, wann ſie gantz aus Gold gemacht wuͤrden? nehme derowegen den Diametrum l m, ſtelle ſol⸗ chen transverſim zwiſchen die End⸗Puncten der Lineæ Corporum Sphæ- ræ Inſcribendorum, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen den Zei⸗ chen der Corporum, ſo gibt no die Seiten des Tetraëdri, p q die Seiten des Octaëdri, rs die Seiten des Cubi, t u die Seiten des Lcoſaëdri, y2 die Seiten des Dodecaëdri Dieſe Seiten verwandle ich, jede inſonderheit durch die Lineam Reductienis Corporum, in den Diametrum der Kugel, ſo kommen die Diametri der Kugeln mit ihren Buchſtaben, ſo den gezeichne⸗ ten Coͤrpern an der Groͤſſe gleich ſeyn, als NO, P O, RS, PV und Z. Wann mir nun der Diameter einer guͤldenen Kugel von einem Pfund, als oben cd, Fig 208 bekandt iſt, ſo maͤche ich ſolches zu Loth, Quint oder halbe Quint, das iſt, ich nehme den Diametrum cd, der guͤldenen Kugel von einem Pfund, ſtelle ſolchen in Linenm Cubicam transverſim zwiſchen 32. und 32. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 1. und 1. damit habe ich den Diametrum der Kugel von einem Loth; dieſen ſtelle ich ferner zwi⸗ ſchen 8. und 8. und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen 1. und 1. gibt den Diametrum einer guͤldenen Kugel von .. Loth, oder 3½. Quintl. alſo zwi⸗ T 2 ſchen 148 Von der Linea Metallica. ſchen 64. und 64. den Diamerrum der Kugel von d. Loth, gibt alſo der achte Punct allezeit 1. Loth weiter. Derowegen nehme ich die Linien nach ein⸗ ander, und ſehe, zwiſchen welchen gleichen Zahlen ſolche eintreffen, finde das Gewicht des . Teetraëdri NO, ] [II.] I ½. Octaẽdri P QQ, . 28. 3 Cubi RS, zwiſchen 3 32. das thut 4 4 Icoſaëdri PTV, 55. 6 %⅞. Dodecaëdri ́ Z,) C64. ( 8. J Die uͤbrige Minutias habe ich ſo eigentlich nicht obſervirt, ſondern nur zur Recreation, ſo viel es zugelaſſen, gemuthmaſſet. Vide Fig. 210. 6. Wie kan man die Seite eines Wuͤrffels, ſo ein Pfund wieget, in jedem Metall, der wievielſte Theil eines Rheinlaͤndiſchen in 1000. Theil getheilten Schuhes es ſeye, erforſchen? E. g. Der Diameter einer eyſernen Kugel von einem Pfund werde ge⸗ geben, welcher hier ab, ſolchen ſtelle ich transverſim zwiſchen die Zeichen des Eiſens, und unverruckt nehme ich die Weite zwiſchen den andern Signis, gibt die Diametros der andern Metallen und des Marmors. Dieſe Diame- tri alle verwandle ich jeden inſonderheit in die Seiten eines Cubi oder Wuͤrf⸗ fels, durch Huͤlffe der Lineæ Reducendorum Planorum & Corporum. Wann ich nun die Seiten gefunden, ſo nehme ich die Laͤnge eines Rheinlaͤn⸗ diſchen Schuhs, der in 1000. Theil getheilet iſt, und meſſe eine jede Seite auf ſolchem Maaß⸗Stab, gibt die Theile, wie die Figur 211. weiſet. Nota: Man muß allhier die Sach nicht ſo genau zu nehmen begehren, ſondern mit moͤglicher Gewißheit zufrieden ſeyn. E D E. 1 1* * Loth. Gedruckt bey Chriſtian Ulrich Wagner, Canzley⸗Buchdruckern, Gar s r Herzogl. tenſgen Geſiſſchf in heden en, S 22 N: 2 ſchi 9 . P. 12, 3 2 & 628 91ο 1. 123 * 6 7 8 ,9 10 — g Karzck – — —— 222 S 141 22 Sli) — n. orI. r K.. SSõ 1. — —— — —= — — RR. — — F e.- 9,. „ ri, TII. Putatze un . 5 ð .1.. RAS N, aä P aea er r . .. . õ . n söi — nic, r. — E. — = ðð u, — ⸗= i o nb, = i dD c atcco =èð RrrJrE—-—--— — deo r: D. 5 S2 ig 1. k 1.„3) 911100 — — NS — opoi t. Cncul. Aig S Lmea Aritlmetca. Jig t . . 32 4 A1 C. † 7 15 —2 R Rrevort. noad. — 1 F. Fsg dd abnucad,d, R 53: N 10 6 1◻ 120α90 2 150 5 . 10% à 19: ₰3. JFP.ęR S. 787 A, c . d 19: S 8. . 2980 2 4 60 à5 4à g SEpin JZä. 3 CriIr F 1 ☛G. õ SBfreaar. S A Vmea Geometncza 29 13 Nℳ: 44 * * EE 5 . * 12 8iy.: 26 Bg: * N Aot;AX 2 —,., 1 Linea R 4 Sud terfarmn Tiguilor riunm o onνι⅓⅓ A⸗ 6 ig⸗ 6⁸ — . .. Linea Teductiont. Planorun et Cor Po 2122 2 Regullar, i 1 1 . 2 99 9 ½ 3. 99 27227 ℳ — 1 . P . 4 17 . CLmea Sn gentinnmt 4 19:104 2. . W — 7 750σ 4 b 10. N D a R Ne „ 376 6 5 S G . 0 S O . ◻ — Linea Cubica N H iso u — — — K — = , — CWekiud —— ullHNII 929. 117 JR. 128 14 5 Iig 12S — — 4 . 8 6 2 707 4 ? 2 DRE S. SAR Dd owv‿vwouvdιτs. Su. e 4 — ) l. Aum Mul 32 e Rers Kig 336 190 5 boτο 180 . 432 780 Lunen Fiataic 3S Sll eine wercks Shazs Fe ² 2 6 1 g Denm oli 22 . 0 11 Y‿tracdru G = 0 dr J- B 4 a , ädr S. atg Cubi 12 . 5 13.9 24 E – 8 7 128 EC 5 123 a B. az æz— agS% Wa e 2 15 5 — ☚ — R — — O Balance Q R Focus H¶ 1 J K 1. G F E Copyright 4/1999 2u 8 S E 3 RHHN EZGRUTNE = ln, X/ N 700 GS S 6 3 NR ₰ W 3 VierFarbSelector Standard*-Euroskala Offset Vorrede. des ſeel. Herrn Scheffelts vom Proportional-Cir⸗ mittelſt dieſer neuen Auflage zum fuͤnften mal her⸗ ommendiret ſich hierdurch ohne unſere Lob⸗Spruͤ⸗ Buch, welches die Liebhaber Mathematiſcher Kuͤn⸗ ſenſchafften bis daher eſtimirt, und vor eine ſehr he Erlaͤuterung der vorhin ſchon bekandten, aber ieſenen Praxi dieſes ſo noblen Inſtruments, ge⸗ ſt in der Vorrede der erſten Edition bemercket, dem Welt⸗beruͤhmten Galilæo Galilæi zu dancken, ih darhinter gemacht haben, das Erfundene durch itern, und zu mehrerm Gebrauch zu appliciren. fuͤhret der unvergleichliche Teurſche Architect. Nic. Anno 1656. ſeinen Tractat vom Proportional- iniſch zu Leyden in fol. in Druck gegeben, und ſol⸗ „ Tabellen einverleibet hat, aus dem ſie auch unſer 8 uch wird dortſelbſten unſers ehmaligen allhieſigen ann Faulhabers ſeel. gedacht, und ſonder Zweifel s neu⸗ erfundenen Gebrauchs eines Niederlaͤndi⸗ 1 Abmeſſen und Grundlegen mit ſehr geſchwindem urg 1610. in 4. gezielet, in deren er pag. 27. eben⸗ Proportional-. Circul gibt, mit dem Anerinnern, don Herrn Berneggern, nachmaligen Profeſſoren oſten auch des Galilæi Tractat mit einer Vorrede * olches Inventum eines ewigen Ruhms wuͤrdig ge⸗ 8 vorden, welchen er, Faulhaber, in vielen E⸗ en xXyMaster Gmbh