Bb527a-2

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Vorlesungen über Algebra, 2 Bln ma nrn E vnnn S _ —- — nr E e > „ r — Pn or Sn WE . —E ebrr Z z EEZn AT CLE S el o g S S e HA DE ITE Z s 4W AA e S A Ba PF — S RE H8 .£ 7 N /: &R ; d e „ﬁm S C ( qü‚ H Ü.\ e d P &A AF .r * « * n H M x P 71 n } $ D A yı B . n M 6 F e (} v.*l# S % A T N r ® \ K 9 \ı ® A % w& FA cm A XC ;& { &. £ e < DE ; ä „ r vr; e R d NWA v x Knl >a N O &N %„ 3 S . An x - *& S x z A . „{r. , Ü L p a ‚ MN %%.3.. M1P CR - PE Y P, A A ..*.4 n A S San A $ „ 8 \.. J$.w.. ET Ka hY..'.G».. 2 3 } aal P w äm;. * K U3 K y Aı e D: ....c.r k Ga } x ‚P $ y A * „*ß 4 S w o Wn X f.«v«m. A a n K //... 7 A Al R RO N x . o Z .MI ag 4, s F VE € 7% ÖR .Ünf. „ R .Jl W S s S V\* A B& $ W & M er NS x “ 8 1A3 FA 7 MM s Ü 3 M 4Q ® 1 ' - M x C Kn Aı A % A E 4> ..4J*’ n Y c x w A N A b Ma B N 3 3 w IC @ 5 S c H N @ ® n A \ .w@ E 7 A S n J E S &ı AA !u $ ‚.M A L n Y A A 3 3 y CSR z mÜW X A a 7a { vr % n “ 5‚. : } e F «& ® O, O A 7.r +& K %3: S $& w O %, A «| d N &5 } P * E D £ M. r B 7 n L D \M& * e Ia .\;.r M# N DA < Dr LB ö \o a Aa —}.l\ z / n ;< X ..«ü.lg e D in < 3 X X 4$ A e x 4R \ # C ; © > K . N1 ‘“51S U i ı Y 1 ]] M | | (l U HMMM ““[‘ Il { ul W Da AL F A OR r SE Va 8 Z S CS F Ar n K A e e m S 2 % E& W.ﬁ %s .„.WWL„. S Kr /.„Wqu„\ . Er E W 4 R F w R g e Cn er 3 > C . M 5 M A n SE E E Ba C ‚Mw f D e TI SS 73 S N s x A C © Sg „ e x © E %. E - Z Z s M D s A A A Y \«% E A 3 e F $ A Z a A r © A s «w. F 0614 A k E &S f Z D x r %€ N . E S Sar CA N V 6> n k 3 f E n ] B I SS E %M © f.&v } N a X ® © S %} F S , b z i E E SE S e w A p 70 X; Pg A WE ü f 3E M En S S w F ba s D A R A E $ a C DE Sn x PE Sa On n A &y Z n w 7 C An U Da SE A 2 6 L Ur S A - A $ m. * O R 4 TEs AT S s R 8 j 3 ia W e ® Ü e ' e R S C S ‚„ x S k ® an S - n E in a <& S .. ME S x %e A X ; K * _- 3 e Zn n A i D e { e x s} Mm S DE &x SE - U Z %, ja N A F X d R w i ö M w E m A A E K 3 B ® C \ S Bl &: E a e B e - 0 w„ A W an A a E * $ Z , R br Cn R S Y s K .‚„ &} &e E : O B O A N A Sn G m B «. e C A . E %. D S E A C n RS . S e Han A n %3 n K 3 W «vuv„uüW@„; in 8 Ü K Ar Ea A A n © © z z S S W Aa z e E SE $ E 5 JEo * r r ® > N > ® „w Z Hr F „„ aV Sa m fr S R S 4M u A © A a e a n m. S ‚NaCE F H 2 %. A E e ® A s HS DEn S o Ör E S 3 E s . A} i A A E d X 7 P 3 Z A UE E A P FE e E A x K W„ x f E e CD Ea Z P Zr N B 8 F © n p } &® H 5„ A Ö O n Y 1 B HE „.r\ S O E x &B CM R n B E S - 84} ‚er : &s a w.u% n‚w Ea f ä Z A R w S E M * s Tn Q S X O Z %. A S S E e $ 7 C vr 3 Ü# A N ® E E A S ; A } M e S x K s z &X Sr C K e ® %. i A B E S S E 0 A Kl W x S w E P n E S _ 5 s . x & L SC K 8 W O A 63 S „\w.v: K A r RS E S ON r A e Z S r A i& „„ 4 . D CS f d n < x S on S Y A Yn n N S S E A D £ An An ® s Ga 3R n E R S S En Da z . ( 0 > E R A A P A f $ a e A B z E IX A Z A Xr * Ar d S Z O I M n R i7 A j fa RX a W.W e ® P x e“ S > Ta A& w! + Z A S + . E K ı { 267 a D A E F S ® % SEA Au cr S N 6 SR 35 N 2R n B Z M x SEA A a D % a S &7 © ..‚„Nn A ; A a A F sn © W D S x \& r a„ * S W S: DE Er S .7 8 x _ SC x K b A A DA Z Zl j& ® F ö 3 B S< E I2 L 6S KGr f Ar B E © A Z C . e n x r Ü A? A - A A % W FE K SS S 5 A A& S z < E H R i Br A . 433 B R % S e E B r A > &x 3 Z er S B S An K $ &. S zn % ...» f\\ % . W IR S25 S e D G s AüY, E SA &. “ ® D CI Y d s r i e 02 B3 3 CM Ü S S .«. K A Ha A A . A SE a e A S S Z SAr SE W A D © S N A [ w. e F &. HI B F „W C z a e Z An Ar S E S E S ET N i > B 3 B $ GE x E N S GE B Z ö e FE Aa £ S Z n %i S S En 4E Z 5M.ﬂ. N g D S DB A $ E $ 3r E 6S { d X N S e E S „u E S S Yı „.„n * W C S e HOEn 8 x @ HR f e a S E %. . E &x AT A SN FAn 5 R &Y A n r E Yla SA A B P 4E S Z K DEr S . &- 3 I S E ea EM B . M N S w R M Z D X n n S * Sa H S 5 A ; X A & E A Zr G5 Dn X ( 2 Ca X Z z AA S 4& A A z r Ca k En F N s } S e S 5 z „. C S Z gz v 3 X DE s N A ..W an E € . —E x„‚ £ A DE i v S , M A D OS R Ta A A D - a Pa Ka OR m C W m„.. 3} Z 0S ..„„ rn n SA 3 S A * E &> c R C A i %s A , Y} n H CO DB n mM. \ D e R Tf . A ;.n.‚ S ara A . ® A E A Z D € Dn Z «u‚.W K z e aD s D . .& M.I.t.W‚@F ®& An ® A E Z e Y A } n E3 A Y - S T D 63 Cn Ha 5 $ A © HN Ar A DE . E E VORLESUNGEN ÜBER LORBEBR VoN Drs. EUGEN NETTO, O. Ö. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT ZU GIESSEN. DE IN ZWEI BÄNDEN. FEEDE SO ZWEITER BAND. MIT EINGEDRUCKTEN_HOLZSCHNITTEN. SE \\ Pa S S BING ( m} LEIPZIG, DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER. 19_00. F } } 4 / f j V An v }.. / A sra 33 > \ s i\) „g z OB N S& &‘b«5‘2$2ß‘ ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN. Vorwort. L z Der vorliegende zweite und letzte Band meiner „Vorlesungen über Algebra“ umfasst zwei getrennte,, von einander weit verschiedene Stoffe, die Theorie der Elimination und diejenige der höheren Gleichungen einer Unbekannten. Ein Abschluss konnte, wie dies ja für ein wissenschaftliches Werk naturgemäss ist, in keinem der beiden Abschnitte erreicht werden; aber bei der Behandlung der Elimination liess sich nach der Richtung eine gewisse Vollständigkeit erreichen, als die hauptsächlichsten Resultate der bisherigen auf diesem Gebiete angestellten Untersuchungen besprochen und verwerthet wurden; es sind wohl kaum wichtigere Forschungen über die Elimination unerwähnt geblieben. Eine kurze Theorie der ganzen Funetionen mehrerer Veränderlichen musste vorausgehen, in welcher die Grundeigenschaften, die Irreductibilitätsfragen, die Wurzeln ganzer Funetionen besprochen wurden. Hierher hätte wohl auch eine eingehende Darstellung der Modulsysteme gehört; doch glaubte ich von dieser absehen zu müssen, da die schwierigen Fragen, welche dabei auftauchen, noch nicht hinlänglich ihre Beantwortung gefunden haben. Bei der Theorie der Elimination wurden die Hauptmethoden behandelt. In der Bezeichnung folgte ich den englischen Forschern, indem ich zwischen „Resultante“ und „Eliminante“ sorgfältig unterschied. Lässt es sich auch nicht durchaus rechtfertigen, diesen Abschnitt an die Stelle gesetzt zu haben, an welcher er steht, so blieb doch kaum eine Wahl, da seine Resultate sich auf das Vorhergehende stützen und beim Nachfolgenden benutzt werden. Bei der Besprechung der höheren Gleichungen einer Unbekannten musste, aus Gründen des Raumes, sowohl auf eine Berücksichtigung aller werthvollen Forschungen in den behandelten Gebieten, als auch auf eine Darlegung aller ihrem Wesen nach hergehöriger Gebiete ver- zichtet werden. Es war dies dem Verfasser um so weniger angenehm, als dadurch die Behandlung von Fragen bei Seite geschoben werden musste, die in neuester Zeit wesentlich gefördert wurde und eine ab- geschlossene Darstellung erlaubt hätte. Vielleicht wird es 1th möglich @& 1V: Vorwort. Dass bei sein, in anderer Weise die gebliebenen Lücken auszufüllen. dieser Lage der Abschluss des ganzen Werkes etwas Willkürliches auf- weist, ist nur zu erklärlich; aber ein genaues Eingehen zeigt, dass dieser Mangel auch beim Weiterschreiten sich nicht hätte beseitigen lassen, da aller Orten am Ausbau der Theorien gearbeitet wird. Das Heranziehen der Gruppen- und der Substitutionentheorie, welches im ersten Bande und auch im ersten Abschnitte des zweiten Bandes vermieden werden konnte, war hier eine Nothwendigkeit. Ich habe versucht, Alles was von dieser Theorie gebracht werden musste, in unmittelbare Beziehung zu den algebraischen Gleichungen zu setzen, selbst wenn dabei manches interessante und für andere Zweige der Wissenschaft durchaus wichtige Theorem unberücksichtigt bleiben musste. Mit einigem Widerstreben habe ich in diesem Abschnitte eine viel- fach neue Nomenclatur benutzt; es galt den Versuch, etwas schwer- fällige Bezeichnungen durch bequemere zu ersetzen; und leider ist die Mannigfaltigkeit in den Benennungen zur Zeit noch eine so grosse, es haben sich einheitliche Bräuche so wenig ausgebildet, dass der Versuch wenigstens nicht als etwas ganz Besonderes bezeichnet werden kann. Auch in diesem Bande habe ich die Literaturangaben möglichst vollständig zu liefern gesucht. Giessen. Eugen Netto. Inhaltsverzeichniss. Vierter Abschnitt. : Gleichungen mit mehreren Unbekannten (Vorlesung 30—48). I. Funetionen mehrerer Variablen (Vorlesung 30—32). Ganze Functionen mehrerer Variablen. Dreissigste Vorlesung. S. 1—10. $ 327. Ganze Functionen mehrerer Variablen. Definitionen. $ 32é. Zahl der Glieder vollständiger Functionen. $ 330. Gliederzahl unter gewissen Bedingungen. $ 331. Reductionsformeln. Einunddreissigste Vorlesung. Fundamentaleigenschaften ganzer Func- tionen von mehreren unabhängigen Variablen. Reductibilität. Zer- legung. S.10—25. $ 337. Identisches Verschwinden. $ 339. Identisches Verschwinden eines Products. $ 340. Substitution, welche den Grad gleich der Dimension macht. $ 341. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen. $ 342. Zerlegung in irreductible Factoren. $ 343. Theilbarkeitssätze. $ 345. Grösster gemeinsamer Theiler. Zweiunddreissigste Vorlesung. Wurzeln einer Gleichung und eines Gleichungssystems mehrerer Variablen. S. 25—33. $ 347. Wurzeln einer Gleichung. $ 348. Wurzeln eines Gleichungssystems. $ 349. Unendlich grosse Wurzeln. $ 350. Versuch einer Zerlegung nach linearen Factoren. $ 351. Vielfache Wurzeln. $ 352. Relationen zwischen den Wurzeln eines Gleichungssystems. $ 353. Stetigkeit der Wurzeln. $ 354. Fragestellungen. II. Elimination (Vorlesung 33—47). Dreiunddreissigste Vorlesung. Elimination bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. S. 33—42. $ 355. Bildung der Eliminante. Ihr Grad. $ 357. Berechnung der Wurzeln mit Hülfe der Eliminante. $ 358. Anzahl der Wurzeln. $ 359. Liouville’sche Substitution. $ 360. Structur der Eliminante. VI Inhaltsverzeichniss. Vierunddreissigste Vorlesung. Uebergang vom allgemeinen zu beson- deren Fällen. S. 42 —49. e $ 362. Gradreduction der Eliminante. $ 363. Die Complexe der Glieder höchster Dimension beider Gleichungen haben Factoren gemein. $ 365. Unend- lich grosse Wurzeln. $ 366. Hülfssatz über die Structur der Resultanten. $ 368. Unendlich viele Wurzeln. Fünfunddreissigste Vorlesung. Die Minding’sche Re gel. Das Labatie’sche Theorem. S. 49—62. $ 369. Entwickelung einer Wurzel in eine unendliche Reihe. 8 370. Newton- sches Polygon. $ 374. Erste Minding’sche Regel. $ 375. Zweite Minding’sche Regel. $ 376. Labatie’sches Theorem. Sechsunddreissigste Vorlesung. Symmetrische Functionen mehrerer Grössenreihen. S. 683 — 76. $ 377. Definitionen. $ 378. Reductionsformeln. $ 379. Darstellung durch die Potenzsummen, 8 380. Zweite Methode dieser Darstellung. 8& 382. Dritte Methode. $ 383. Relationen zwischen den elementaren Funetionen. Unabhängige Systeme. $ 386. Partielle $ 385. Abhängigkeit der Relationen von der Zahl der Grössen. Differentialgleichungen. Siebenunddreissigste Vorlesung. Resultante und Eliminante. Poisson’sche Methode. S. 76 —87. $ 387. Einführung der Liouville’schen Hülfsgrösse. $ 388. Resultanten von m Gleichungen. 8 389. Grundeigenschaften der Resultanten. $ 390. Ihre Irreductibilität. $ 391. Verschiedene mögliche Bildungen. $ 392. Poisson’sche Darstellung. & 393. Eliminante. Grad derselben. $ 396. Eigenschaften der Eliminante. Achtunddreissigste Vorlesung. Unendlich grosse Wurzeln. Vielfache Wurzeln. Unendlich viele Wurzeln. S. 88—97. $ 398. Unendlich grosse Wurzeln. 8 399. Mehrfache Wurzeln. Functional- determinante. $ 408. Abhängigkeit der Multiplicität der Wurzel eines Gleichungs- systems von ihrer Multiplicität als Wurzel einer der Gleichungen. $ 404. Un- endlich viele Wurzeln. $ 405. Stufe oder Rang eines Systems. Neununddreissigste Vorlesung. Elimination. BeEzout’sche Methode. S. 97—115. & 406. Nothwendigkeit gleichzeitiger Elimination. $ 407. Behandlung des Problems durch die Liouville’sche Substitution. $ 408. BEzout’sche Methode. 8& 412. Darstellung der Eliminante als lineares, homogenes 8 410. Ergänzungen. Aggregat der Gleichungspolynome, $ 414. Die Wurzeln des Systems werden aus denen der Eliminante hergeleitet. 8& 417. Graderniedrigung der Eliminanten. 8& 419. B6zout’s Resultate für besondere Fälle. 8 420. Reduction einer belie- bigen Funetion auf eine Normalform. VIT Inhaltsverzeichniss. Vierzigste Vorlesung. Eigenschaften der Eliminanten und der Resultanten. S. 115 —127. 8& 421. Homogeneität; Gewicht. 8& 422. Differentialgleichungen. $ 423. Be- rechnung der Wurzeln aus der Resultante. $ 424. Einführung neuer Variablen in die Gleichungen. $ 425. Liouville’scher Satz. $426. Schwerpunkt der Be- $ 427. Darstellung einer Function, die rührungspunkte paralleler Tangenten. für alle Wurzeln eines Systems verschwindet, 8 428. Noether’scher . Satz. $ 480. Hilbert’scher Satz. Einundvierzigste Vorlesung. Kronecker’s Eliminationsmethode. S. 127 —135. Reductibilität und Irreductibilität. $ 432. Fragestellung. $ 433. Das „Gemeinsame‘“ der Gleichungen eines Systems. $ 434. Gesammteliminante und Theileliminante. $ 435. Reductibilität $ 487. Dar- und Irreductibilität eines Systems. $ 436. Theiler eines Systems. stellung jedes Gleichungssystems von m Variablen durch (m + 1) Gleichungen. Zweiundvierzigste Vorlesung. Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Functionen und von Gleichungen. Die Functionaldeterminante. S. 135 —145. $ 438. Unabhängigkeit von Functionen. 8& 439. (m -+ 1) Functionen von m Variablen sind nie unabhängig von einander. $ 440. Bildung der Abhängig- Functionaldeterminante keitsrelation. 8 441. Funetionaldeterminanten. $ 442,. homogener Gleichungen. $ 443. Die homogenen Gleichungen mit einer von Null verschiedenen Wurzel. $ 444, Jacobi’s Betrachtungen. $ 445. Homogene Re- lationen zwischen unabhängigen Functionen. Dreiundvierzigste Vorlesung. Die Cayley’sche und die Sylvester’sche Eliminationsmethode. S. 145 — 154. $ 447. Die Methode Cayley’s. $ 448. Herstellung eines Multiplums. der Resultante. $ 449. Die Resultante als Quotient. $ 450. Bedenken gegen die Methode. $ 451. Die Methode Sylvester’s bei homogenen Gleichungen der- selben Dimension. Vierundvierzigste Vorlesung. Discriminanten. S. 154 —165. $ 452. Definition. $ 453. Discriminante als das Quadrat einer Determinante. $ 454. Erweiterung des Discriminantenbegriffes. $ 455. Discriminante einer ho- mogenen Function. $ 456. Gewicht. $ 457. Lineare Substitutionen. $ 458. Discriminante der Function einer Function. $ 459. Bestimmung der singu- lären Punkte durch die Discriminante. 8 460. Discriminante der Functional- determinante. Fünfundvierzigste V01'lésuug. Jacobi’s Erweiterung eines Euler’schen Satzes. S. 165—173. $ 461. Beweis des Satzes. $ 462. Einschränkung. $ 463. Kronecker’s Beweis. $ 465. Liouville’s Beweis. $ 466. End’s Untersuchungen. VIN Inha.ltsverzeichnigs. Sechsundvierzigste Vorlesung. Die Kronecker’sche Charakteristiken- theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s. S. 173 — 188. 8& 467. Theilung des Raumes durch Vorzeichen von Functionen. Fort- schrittsrichtung. $ 468. HEintritts- und Austrittspunkte. $ 469. Charakteristik. $ 470. Darstellung der Charakteristik durch die Zahl der Wurzeln in einem Gebiete, $ 471. Constanz der Charakteristik. $ 472. Anwendungen. 8 4738. Varia- tion.. $ 474. Beweis der Wurzelexistenz. $ 475. Hermite’s quadratische Formen. $ 476. Besondere Fälle. $ 477. Beziehung der Charakteristik zu den Hermite- schen Formen. Siebenundvierzigste Vorlesung. Die Auflösung linearer Gleichungen. S. 188—192. $ 478, Rang eines Systems nach Frobenius. $ 479. Allgemeine Lösung. $ 480. Eigenschaft eines Pfaffian. $ 481. Unabhängige Lösungen. III. Der Hilbert’sche Irreductibilitätssatz (Vorlesung 48). Der Hilbert’sche Irreductibilitätssatz. Achtundvierzigste Vorlesung. S. 193 — 203. $ 482. Problemstellung, Hülfssatz. $ 485. Erste Erweiterung. $ 486. Defini- tive Fassung. Fünfter Abschnitt. Allgemeine Theorie der algebraischen Gleichung unter Verwendung der Substitutionengruppen (Vorlesung 49—68). I. Cyklische und Abel’sche Gleichungen (Vorlesung 49—50). Neunundvierzigste Vorlesung. Die cyklischen Gleichungen. S. 203 — 229. 8& 488. Definition. $ 489. Irreductible Gleichungen, bei denen eine Wurzel rationale Function einer anderen 1st. $ 490. Reduetion der Lösung auf die zweier Gleichungen. $ 491. Primitive und imprimitive Gleichungen. $ 492. Cyk- 8 493. Gauss’sche Methode; Reduction auf die ein- lische Gleichungen. fachsten Elemente. $ 494. Lagrange’sche Methode. $ 495. Präcisirung dieser Methode. $ 496. Darstellung der Wurzeln, durch nicht verschwindende Grössen. $ 497. Reelle_Rationalitätsbereiche. $ 498. Beispiele. $.499. Herstellung cyk- lischer Gleichungen. 8 500. Beispiele. $ 502. Kriterium darüber, ob eine Gleichung cyklisch ist. Fünfzigste Vorlesung. Abel’sche Gléichungen. S. 230—235. $ 5038. Definition. 8 504. Reduection der Lösung. 8 505. Reduetion auf cyklische Gleichungen. $ 506. Kreistheilungsgleichung als Beispiel. IX Inhaltsverzeichniss. II. Gruppen und Funetionengattungen (Vorlesung 51—59). Einundfünfzigste Vorlesung. Abel’sche Gruppen. S. 235—2256. &$ 507. Definition der Gruppe. 8 508. Elementareigenschaften endlicher 8& 509. Abel’sche Gruppen. Invarianten. $ 510. Elemente mit vor- Gruppen. geschriebenen Exponenten. &$ 513. Unabhängigkeit der Invarianten von der Basis. 8& 514. Zerlegung Abel’scher Gruppen. $ 515. Eindeutigkeit der Zer- $ 517. Zerlegung der legung. & 516. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen. Lösung in ihre invarianten Elemente, Zweiundfünfzigste Vorlesung. Alternirende und cyklische Functionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen. S. 256 — 274. 8 520. Gerade und ungerade $ 518. Substitution. $ 519. Transposition. Substitutionen. Alternirende Gattung. $ 521. Zweiwerthige Funetionen. 8 522. Zerlegung der Substitutionen in Cykel. 8 523. Cyklische Funetionen und Gruppen. $ 524. Erweiterte cyklische Funetionen und Gruppen. $ 526. Darstellung ratio- naler Funetionen mit Hülfe cyklischer Funetionen. $ 527. Anwendung auf Abel- sche Gleichungen. Ihr Rang. $ 528. Reduction des Ranges. Dreiundfünfzigste Vorlesung. Die lineare Gruppe. S. 274—294, 8& 529. Arithmetische und geometrische Substitutionen. $& 530. Geometrische $ 581. Ordnung der geometrischen Gruppe. $ 532. Elementare Trans- Gruppe. formationen. Diagonalsubstitutionen. 8 5383. Lineare, homogene und nicht ho- mogene Gruppe. $ 534. Metacyklische Gruppen und Functionen. 8& 536. Halb- Binäre Substitutionen für Primzahlmoduln., metacyklische Gruppen. S 587 $ 5838. Homogene lineare Substitutionen, von denen eine Potenz zu 1 wird. Vierundfünfzigste Vorlesung, Functionengattungen. S. 294—- 309. $ 539. Functionen, die zu einer Gruppe gehören. Functionen von ! Werthen. Galois’sche Gruppe und Gattung. 8 540. Anzahl der Werthe einer Funetion. Conjuge Werthe. Functionen derselben Gattung. Lagrange- scher Satz. $ 541. Conjuge Gattungen und Gruppen. Conjuge Complexe. $ 542. Transformationen. Fünfundfünfzigste Vorlesung. Gattungseigenschaften. S. 309 — 324. 8 543, Substitutionen , die allen conjugen Gruppen angehören. $ 544., Mehrwerthige Funetionen mit Potenzen von weniger Werthen. &8 546. Gat- tungen von möglichst wenigen Werthen. $ 547. Gattungen von ” Variablen mit %” Werthen. $ 548. Gemeinsamer Theiler der Discriminanten aller Func- tionen einer Gattung. Inhaltsverzeichniss. Sechsundfünfzigste Vorlesung. Composition und Isomorphismus. S. 324 — 344. 8 549. Vertauschbarkeit von Substitutionen. $ 550. Vertauschbarkeit von Gruppen mit Substitutionen. $ 551. Vertauschbare Gruppen. $ 552. Theiler und Vielfache von Gruppen. Autojuge Theiler. $ 553. Anwendung. 8 554. Hauptsätze über autojuge Theiler. $ 555. Maximaltheiler. Compositions - Reihen und -Factoren. Ihre Constanz. $ 556. Hauptcompositionsreihe. Vertauschung von Substitutionen einer Gruppe der Hauptreihe. $ 557. Isomorphismus. $ 558. Mehrstufiger Isomorphismus. $ 559. Factorgruppe. Siebenundfünfzigste Vorlesung. Die Galois’sche Gruppe einer Gleichung. 5S. 344—356. $ 560. Definition. $ 561. Herstellung der Galois’schen Resolvente. 8 562. Glei- Adjunetion von Functionen. $ 563. Beispiele. S 564. Affect. $ 565. chungen ohne Affect. Achtundfünfzigste Vorlesung. Transitivität und Primitivität. S. 356 — 368. 8& 567. Transitive und intransitive Gruppen. &$ 568. Gleichungen, deren Wurzeln rationale Functionen einer unter ihnen sind. 8 569. Abel’sche Glei- Zweifach transitive chungen. 8 570. Ordnung transitiver Gruppen. S SL, Gruppen. $ 572. Hülfssatz. 8 573. Gleichung deren Wurzeln die conjugen Werthe einer Function sind. $ 574. Primitive und imprimitive Gruppen. 8 575. Zusammenhang zwischen zusammengesetzten und imprimitiven Gruppen. Neunundfünfzigste Vorlesung. Resolventen. S. 368 — 374. 8 577. Resolventengleichung. Ihre Gruppe. $ 576. Resolventengattung. & 579. Alle Wurzeln einer Resolventengleichung werden adjungirt. Zerfällung der Gleichungen in Factoren. HN Algebraisclie Zahlen; Radicalzahlen (Vorlesung 60 — 65). Sechzigste Vorlesung. Algebraische Zahlen. S. 374—397. 8 580. Rationalitätsbereiche. 8& 581. Algebraische Zahlen. Gleichung, der alle conjugen Zahlen genügen. 8& 582. Zahlen verschiedener Ordnungen. 8 583. Imprimitive Gleichungen. & 584. Norm. Die Norm einer irreductiblen Func- tion .ist eine Potenz. & 585. Adjungirung verschiedener algebraischer Grössen. & 586. Ersatz derselben durch eine einzige Adjungirung. S 587. Grad der $ 588. Zerlegung von Gleichung, welcher eine algebraische Grösse genügt. Grössen innerhalb eines Gattungsbereiches. $ 589. Untersuchung eines beson- deren Falles. 8 590. Irreductibilität der binomischen Gleichung in einem be- liebigen Rationalitätsbereiche. & 591. Wann zerfällt eine Gleichung bei Ad- jungirung der Wurzel einer anderen? $ 592. Irreductibilität der Kreistheilungs- gleichungen. Inhaltsverzeichniss. XI Einundsechzigste Vorlesung. Radicalzahlen. S. 397—415. 8& 594. Abel’scher Hülfssatz. S 595. Vereinfachung 8& 593. Definition. der Darstellung einer Radicalzahl. 8 596. Normbildung. 8& 597. Gleichzeitiges Verschwinden zweier Endradicale. & 598. Verschwinden zweier auf einander folgender Radicale. $ 600. Verschwinden dreier auf einander folgender Radicale. 8 601. Beispiele. Zweiundsechzigste Vorlesung. Die Auflösbarkeit algebraischer S. 415 — 429. Gleichungen, 8& 602. Historisches. $ 603. Herleitung mehrerer Wurzeln aus einer einzigen. 8 604. Jede Radicalgrösse ist eine ganze Function der Gleichungswurzeln. & 605. Gruppe auflösbarer Gleichungen. 8 606. Allgemeine Gleichungen vom fünften Grade sind unauflösbar. 8& 607. Zerfällung auflösbarer Gleichungen in Factoren. & 608. Der Grad der Gleichung ist eine zusammengesetzte Zahl. 8& 609. Galois’sche Resolventengleichung. 8& 610. Elemente der Lösung einer Gleichung. Dreiundsechzigste Vorlesung. Auflösbare Gleichungen von Primgahl- grad. S. 429 — 441. 8 611. Willkürliche Deutung der Radicale. 8& 612. Gruppe der Gleichung. 8 613. Reduction der Auflösung auf die zweier cyklischen .Gleichungen. 8& 614. Darstellung jeder Wurzel durch zwei beliebige. 8 615. Kronecker’s Wurzelform. Vierundsechzigste Vorlesung. Auflösbare primitive Gleichungen von Primzahlpotenzgrad. S. 441 — 453. 8& 617. Gruppen der Gleichungen. 8& 618. 8 616. Hauptcompositionsreihe. Auflösbare Gleichungen des Grades m?. 8 619. Drei verschiedene Typen. 8 620. Ordnung p“ der Gruppe einer auflösbaren Gleichung. Fünfundsechzigste Vorlesung. Der Casus irreducibilis. Lösbarkeit im reellen Rationalitätsbereiche. S. 453 — 460. 8 624. Kneser- $ 621. Hölder’scher Beweis. $ 623. Allgemeinere Sätze. scher Beweis. $ 625. Gegenbauer’sche Beweise. $ 626. Allgemeinere Sätze. IV. Anwendungen der Theorie (Vorlesung 66 — 68). Sechsundsechzigste Vorlesung. Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung. Tripelgleichungen. S. 460 — 480. $ 627. Coordinaten. Singuläre Punkte. $ 628. Wendepunkte. 8& 629. Schnitt- punkte der Curve mit ihrer Hesse’schen. 8 630. Die neun. Wendepunkte. $ 631. Ihre Configuration. $ 632. Rationale Beziehung der Schnittpunkte einer Wendepunktsgeraden, $& 633. Tripelgleichungen. $ 634. Tripelgleichungen sieben- ten Grades. $ 635. Gruppe derer des neunten Grades. 8 636. Tripelgleichungen dreizehnten Grades. XII Inhä‚ltsverzei chniss. Siebenundsechzigste Vorlesung. Die auflösbaren Gleichungen fünften Grades. S. 480 — 486. $ 637. Metacyklische Function. $ 638. Berechnung in einem Specialfalle. 8 639. Allgemeine Darstellung in diesem Falle. $ 640. Reductibilität auflös- $ 641. Resolvente von Mec. Clintock. barer Gleichungen. Achtundsechzigste Vorlesung. Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades. S. 487—514. $ 642. Kiepert’sche Transformation. $ 643. Gordan’sche Transformation. $ 644. Resolventen mit einem Parameter. $ 645. Formeln zur Transformation der elliptischen Functionen. 8& 646. Multiplicatorgleichungen. $ 647. Hermite’sche Auflösung der Gleichungen fünften Grades. 8 648. Die Kronecker-Brioschi’sche Lösung. $ 649. Lüroth’scher Hülfssatz. $ 651. Gordan’sche Verallgemeinerung. $ 652. Resolventen mit Einem Parameter. 8 654. Hülfssatz aus der Gruppen- theorie. $ 655. Resolventen bei biquadratischen Gleichungen. Namen- und Sachregister S. 515—519. Dreissigste Vorlesung. Ganze Functionen mehrerer Variablen. $ 327. Die Behandlung von Gleichungen höherer Grade hat uns von selbst auf Funetionen mehrerer Variablen, nämlich auf solche der verschiedenen Wurzeln dieser Gleichungen geführt. Wir kommen jetzt zunächst zu einer systematischen Untersuchung der Eigenschaften von ganzen Funetionen beliebig vieler Veränderlichen und dann zur Be- handlung von Gleichungssystemen beliebig vieler Unbekannten. Ein Ausdruck von der Form @9 %9 %p )= 20a‚r5’„7‚- A (D &,, Yı V3 5 ..>} (a=021:"'/"13 ß=0;17 A 7=0717 X in welchem die 7,,72,73, ganze positive Zahlen, und die Ca ß yı Grössen eines gegebenen Rationalitätsbereiches bezeichnen, soll eine ganze rationale Function der Veränderlichen 2,, %, %, innerhalb des festgesetzten Rationalitätsbereiches heissen. Die einzelnen Terme 2% 2ß 27 nennen Wi1“ Potenzproducte der Va- riablen. Je nach der Anzahl der Veränderlichen unterscheiden wir ganze Funetionen von einer, zwei, drei, - - + Variabeln. Eine ganze Function von m Variablen kann in die Form einer ganzen Funetion einer ein- zigen dieser Variablen gebracht werden, deren Coefficienten ganze Func- tionen der (m — 1) anderen Variablen sind, — a 0, 1 ? 2 5 (1a> f(217 A9y Y3y i ) =;(Pa ('327 Aay i ) er7 (“ ebenso in die Form einer ganzen Function von zwei dieser Variablen, deren Coefficienten ganze Functionen der übrigen. sind, (1”) f(2’„ ar Bay c > a ä#’“‚ß'(%; Cr ) Z?Z(j und in gleicher Weise weiter. Netto, Algebra. II. D Dreissigste Vorlesung $ 328—330. $ 328. Die höchste Potenz, zu welcher eine Variable in f auf- steigt, giebt den Grad der Funetion nach dieser Variablen an. So ist in (1) der Grad von f nach z, gleich r7,, nach z gleich 7, u. s. f. Unter der Dimension der ganzen Funetion f verstehen wir den höchsten Werth, welchen die Summe (« EB + + --.) der Grade in den einzelnen_ Potenzproducten annimmt. Die Dimension kann die Summe der Grade nicht übertreffen. Haben die Summen («x + ß +7/7++---) in allen einzelnen Potenz- producten denselben Wert %, so heisst die Funetion homogen von der Dimension %. Für eine homogene Funetion (1) der Dimension n gilt bekanntlich der Kuler’sche Satz Z f öf Gl &y DE _l_ 59 8?2 302 Z $ 329. Kommen alle überhaupt bei einer ganzen Funetion %* Di- mension von ım Variablen möglichen Glieder in f vor, so nennen wir f eine vollständige ganze Function. KEine solche Function hat für m=1 gerade (n + 1) Glieder. Bei zwei Variablen &1 % kommen als mit %— multiplicirt (@x + 1) Glieder vor; da nun « von 0 bis % (n—i—2). gehen kann, so beträgt die gesamte Anzahl der Glieder © +i). 2 In derselben Art kann man schrittweise fortgehen und findet durch Inducetion, wenn N (n,m) die Anzahl der möglichen Potenzproducte n Diımension von m Variablen bedeutet, die Formel . n + m IN ( w) = @70 (7ll _l; Z M (n + m) b ( m ) (2) Ka (m+1) (m A2) - (m+mn) A 1.2...n (m ;L}— n) k Es ist N(n, 0) = N(0, m) =1. Für negative Werte eines oder beider Argumente wollen wir die Verabredung treffen, dem N den Wert 0 beizulegen, weıl dadurch die Formeln sich einfacher gestalten. $ 330. Jetzt untersuchen wir, wieviele der Potenzproducte einer vollständigen Funetion %*“ Dimension der m Variablen ,, %, Zm durch 2% teilbar sind (a, <m). Man erkennt sofort, dass, wenn man aus allen diesen Gliedern z“ herauszieht, die zurückbleibenden Potenz- producte alle Glieder einer vollständigen ganzen Funetion derselben Variablen von der Dimension (% — a,) bılden müssen. Die Anzahl der gesuchten Glieder beträgt demnach N (n — a,, m). Ebenso findet man für die Anzahl der Potenzproducte, welche als Factor 2 al z% enthalten (a, + a <mn), den Wert N(n — a — ay,m), u.s.£. Die Bedingungen &4, <n, a + @ <MNı,: : können gemäss der letzten Festsetzung des vorigen Paragraphen unterdrückt werden. Ganze Funetionen mehrerer Variablen. 5 Aus diesen Resultaten kann man ohne Schwierigkeit entnehmen, wieviel Glieder von f(Z,%,: : %m) der n Dimension durch keins der Monome a 2 B 2 Zm (a Z 1) theilbar sind, oder, wieviele Glieder in z, höchstens bis zum auf- Grade (a —1), in % höchstens bis zum Grade (a —1), - steigen. Ist ein @ gleich 1, dann darf also die entsprechende Va- riable überhaupt nicht vorkommen. — Subtrahirt man von der Anzahl N(n,m) aller in f auftretenden Potenzproducte die Summe aus der Anzahl derer, die z% enthalten, derer die z% enthalten, u. s. w. und be- zeichnet man diese Summe (3) N(n— ay, m) + N(n — ay,m) + + N(n — Am, m) = S,, so bleibt in der Zahl (4) N (n, m) — S, der restirenden Glieder keins der auszuschliessenden zurück. Jedoch sind dabei die durch z% z& theilbaren Potenzproducte zweimal fortgenommen worden, einmal unter den durch z% theilbaren und einmal unter den durch z% theilbaren. Alle diese Glieder, deren Zahl N (% — da,— 0,mM) beträgt, sind daher einmal zu addiren. Das Gleiche gilt von den Com- binationen 2% 2%, Z“m —1 z.“)n m—1 m Die obige Differenz ist also um ©6) äN(n——a„‚—a„„m)=% zu erhöhen, wobei die Summe sich auf alle Combinationen &, ß ohne Wiederholung der Zahlen 1,2,-..m bezieht. Jetzt sind alle, nur zwei Variable enthaltenden Potenzproducte richtig gestellt. Hingegen sind z. B. die durch 2% z% z% theilbaren in N(n%,m) einmal enthalten gewesen, durch S, dreimal in Fortfall gekommen, durch S, dann wieder dreimal zugefügt, so dass sie also schliesslich noch einmal weg- genommen werden müssen. Das sind also N(n — ar — dg — AAy , M) Glieder. So sind im Ganzen noch (6) 2N(n—a„—cq;——a„m)=»% &, Y Glieder zu subtrahiren, u. s. W. Man erkennt, dass die benutzten Schlüsse genau dieselben sind, wie die, welche wir $ 302, Bd. I verwendet haben, um die Form der Kreistheilungsgleichung zu bestimmen. Die hier gesuchte Anzahl er- ergiebt sich auf gleichem Wege als (7) N(n,m) —S +S& —S + +(— i>mSm 1* 4 Dreissigste Vorlesung S& 330—332 Nimmt man sämmtliche @ gleich 1, so entsteht hieraus N(n,m) —1=mN(n—1,m) <m)N(n—2 m)+(m)N(n—3 M) — $ 331. Wir bezeichnen, wie dies in der Differenzenrechnung ge- bräuchlich ist, für ein posat1ves oder verschwindendes « (8) N(n, m) N (n — &, m) 4,N(n, m) Dann ist N (n, m) — [N(n — «, m) + N'(n — ß,m)] + N(n — « — B, m) = 4N (n, m) A, N (n — ß, m) «6 N (n, m) = 46 N(n, m) — 48N (n — «, m) A6.2N(n, m) Statt Ag oder Ag„ werden wir auch 4S ) , g oder Ä/ja schreiben, um anzudeuten, falls dies nöthig ist, dass zwei untere Indiees vorkommen ’ und das soll in gleicher Weise allgemein gemacht werden Diese Einführungen ermöglichen es, den Ausdruck (7) kurz C A(m) A an N (n, m) zu schreiben Die unteren Indices @ können dabei willkürlich permu- tirt werden $ 332. Für die eingeführten Symbole besteht eine bemerkens- Die Addition der werthe Beziehung, die jetzt abgeleitet werden soll bekannten Formeln N (n, m) — N(n — 1, m) =N(n, m — 1), N(in—1 m) ——N(n—2 m) —N(n—1 n—1)7 N (n — a + 1,m) — N(n——a„m)_—].\f(n—al—}-l m — 1) liefert die Summe Q —1 4n N(n, m) = E N(n—n, m — 1) % Hierbei braucht a@, nicht der Beschränkung a, <m unterworfen zu werden Durch die Anwendung der Operation A, entsteht hieraus für be- liebige A, A, 409 N(n, m) = E An Nr — n, m— 1) i n=0,1 a —1 ——2N(n—n——u m— 2) ( %=0,1 —1 ) , Ganze Functionen mehrerer Variablen. 5 Ebenso erhält man aus dieser Formel durch die Anwendung der Ope- ration A„, weiter Aa N(n, m) = E Nn—n —x —2, m— 38) @= 0, 1 o a 16 Z=0 100 —I6 A0 10 D), und in derselben Weise kann man fortfahren, so dass allgemein entsteht (9) 2 (9) A Ay, Aa * . N(n, m) =2 Nn— n —n —mO @00 a U D In diese Formel traglen wir jetzt o= m ein, wodurch das zweite Argument von N zu Null gemacht wird. So oft dann das erste Ar- gument nicht negativ ist, so oft wird der entsprechende Summand den Wert 1 annehmen, während er sonst gleich Null wird. Ist also ( l =2a;— M, so ist jeder Summand gleich 1, und da A, - ---A„ Summanden be- stehen, (9°*) 4 Ahndty 600l (m) „ N(n, m) = Ar 0 Am (Z'a; —m< n) } Ist E a —m=14"-+1, dann liefert der eine auf Y A 1 No2 — 0 1, "’]m=am—l bezügliche Summand den Wert 0, die anderen stets den Wert 1 und daher ıst (m) (9b) A O, Aay ** ‚an N(n,mM) = AA 0m —1 (2a‚1 —m=n+ 1), Bei E a —m=n"-+2 lefern die (m + 1) Summanden 7]1=”1"_17 ;)7IIL = Am 1l m T 17 ’ 171—:a1_1‚ 7/]2_1=a1_1_17 7];_=@;_——2} 771+1=a)_+1—1; (Ä=17 2; s m) den Wert Null, so dass entsteht © Aa 2 (m +1) (Za;_— m=n+ 2) : Ebenso erhält man (m) (9d) A A, da, e N )=0 “ Am — (m? + 1) (2a;_—%z=;z-{—3) und in ähnlicher Weise weiter. Zu beachten ist aber bei diesen Rech- nungen, dass in (9°) z. B. keins der @ kleiner als 2, in (9%) keins kleiner als ] 5 yorausgesetzt ist. Dreissigste Vorlesung $ 333—334, $ 333. HEs seien wie oben < dı Z 27 Z“m m gegebene Monome, und &, bezeichne die Anzahl der Potenzproduecte aus f, welche durch v und auch nur durch v dieser Monome teilbar sind. Nun umfasst S, die Zahl aller Potenzproducte, die durch eins der Monome teilbar sind, und ausserdem alle, die durch zwei unter ihnen theilbar sind, doppelt; alle, die durch drei unter ihnen theilbar sind, dreifach u. s. w. HEs ist daher Sı = E& + 26 436 7 46 5: E MEn und ebenso folgt S =&+38 +68 + +(3) &, Sı = (10) ;3.+ 4€.4+.—-+(’;‘);„„ Sm i O Hieraus ergiebt sich 8 =;1+;2+ C3+ C4++gm, S — Sn S 8& 7726 4351 4 a <m—;— 1> En SA (10°) S3_SI+Sö— &s + 351 + X + (m2— 1) €m‚ Saı —B Saa so dass also sämmtliche links stehende Differenzen positive Werthe haben. Weiter liefert das erste System auch umgekehrt C1 An Sl F 2S2 + 383 . 4S.1 RE + (_ 1)’”_1m8,„‚ (} ©& — S —38 + 68 — +(— 17 (7) S, S — S —28 + 599 + F_ ]_).m—1 (7;2) Sa Die Formeln (7) und (7.a) zeigten, dass N(n, m) — Z TD N(n, m) = 8i —& +& — 0 ( D San ıst. Aus (10°) folgt, dass (S7 — Sz +--:) positiv seim muss; dem- nach wird Ganze Funetionen mehrerer Variablen. (11) Sı > N(n, m) — A AT D Als besonderer Fall ergiebt sich hieraus vermittels (9*) (11°) ä N(n — az, m) > N (n, m) —0, 0 + Am <Za < n 4- m) : Diese letzte Bedingung ist für n = &, - A Am erfüllt, sobald die « wenigstens zum Theil grösser als 1 sind. $ 334. Wir betrachten jetzt wieder eine vollständige Function der m Variablen 2,, Z2, Z von der Dimension %; sie hat N (n,m) Terme. Aus ihnen wollen wir alle diejenigen hinwegstreichen, die durch eins der Monome Z“m 80‚ 95 83 m theilbar sind, und aus den zurückbleibenden noch alle diejenigen, welche von der (n — Am+1)“ oder von einer geringeren Dimension sind. Die Bestimmung der Anzahl der restirenden Potenzproducte geschieht ge- nau nach der Methode des 8& 330. Zunächst nämlich erkennt man, dass in f gerade N (n — dn+1, M) Glieder von geringerer als der (n — Am41 + 1)® Dimension sind. Ferner ist die Anzahl der Glieder von geringerer als der (n — Am+1 F 1)%" Dimension, welche durch z% theilbar sind, gleich N(% — d — Am-4+1,M), u.s.f. Es sind also die Voraussetzungen, auf welche die Schlüsse von $ 330 beruhten, hier gewahrt. Bezeichnen wir daher m+1 Z =, N (n — a;,, m), 4=1 m+1 Z = } Nn — 0, —0, m), OE so folgt für die gesuchte Anzahl der Wert (12) N(n, m) — Z + Z—-Z A FD Za Die Verschiedenheit zwischen (7) und (12) liegt zu Tage. Gesetzt es wäre (“1"1)+(“2_1)+"‘+(%„—1)g%-—am-}-1, dann bleiben in f(z,, ) überhaupt keine Terme zurück. Denn das Glied höchster Dimension, welches durch keins der festgelegten Monome 1 theilbar ist, lautet z1—1z%—1 Z;Z" e und fällt also bereits unter diejenigen, welche ihrer Dimensionszahl wegen zu streichen sind. Dreissigste Vorlesung $ 334—336. Das zeigt: Der Werth von (12) ist gleich Null, wenn a + 0 + + Ompı <n m. Falls dagegen A, F &@ : + m+ı=2+m+1 ist, beträgt der Werth von (12) Eins, da dann offenbar 241 22— ... m * won der Dimension % + 1 — @41 das einzige zurückbleibende Glied ist. Ist weiter A A &a A A Am+1ı = % + m +2, dann ist der Werth von (12) gleich (m + 1), denn jetzt bleiben al ausser zu—1 ‚gzz—1 Ar Zazn—‘ noch die Glieder zurück, die aus ihm durch Natürlich ist hierbei Division mit z,, oder %, oder Z entstehen. die Voraussetzung zu machen, dass jedes der @ mindestens gleich 1 ist. Die weiteren hierher gehörenden Schlüsse übergehen wir. $ 335. Wir bezeichnen nun mit &, die Anzahl derjenigen Glie- der unseres Polynoms f, welche genau v und nur v .der im vorigen Paragraphen aufgestellten (m + 1) Bedingungen erfüllen. So ist z. B. E, die Anzahl der Potenzproducte, welche nur durch eins der Monome theilbar und zugleich von höherer als der (% — Am-+ı) Dimension sind, vermehrt um die Anzahl derjenigen, die von niederer als der (n — Am-+1)" Dimension, aber durch keins der Monome theilbar sind. Entsprechend den Formeln (10) aus $ 333 gilt hier 21=81+2‘%2+383+484+ MDB, Z= 5& + 35; 4 65, + + <7??: 72‘_ 1) äm+l ’ Z =— &, 4 4E, 7 (13) _ + (7n ä_ 1) %nz+1 ’ . . )n—.}-1 Em+1 u ( m—+1 ) g;„+1 S Daraus folgt dann weiter 21‘22+25*424+"'=‘%1+%2+ €3—l— + Ä„—|—1 ’ 2ya ‘g'2—}—2?‚‘3—]——. + M 8m+ 1, (13*) mM DE & + u 2 ) g„:+1; m—+1 Da nun nach dem vorigen Paragraphen (12) für aı <n + m den { 9 Ganze Functionen mehrerer Variablen Werth 0 hat, so folgt, weil die Ausdrücke (13*) nicht negativ sind, wie aus den rechten Seiten ersichtlich ist, in diesem Falle A N @ ) = 2 — Z ||V (14) (Zı — N(n, m) — Z = —Z 4 Z — Z<O (Zı — Nn,m) —- Z +Z=2 Z + z Das untere Zeichen kann dabei nur auftreten, wenn beim Abschlusse verschwinden auf der linken Seite mit + Xx alle &41, Sa+2, Aus der Bedeutung der & folgt dann, dass jeder der Ausdrücke in (14) mit Ausnahme des letzten unter ihnen das obere Vorzeichen erhalten muss; der letzte dagegen das untere $ 336. Aus (13) folgt, ähnlich wie früher S N E DE Wir wollen den Werth von &, unter der Voraussetzung bestimmen, dass A, - 0& —A + Am F Am4+1 < + m Sel Dazu bringen wir alle Glieder von f, so weit dies nöthig ist unter Einführung einer neuen Variablen w durch Multiplication mit einer passenden Potenz von w auf die Dimension % Dann wird jedes Glied, welches vorher von der (n — Am+1) oder von einer niedrigeren Dimension war, jetzt durch w”-+!' theilbar geworden sein Folglich umfasst in der umgeänderten Function die Zahl &, alle diejenigen Glie- der, welche durch eins und auch nur durch eins der Monome Zd z 20 Z“m umL theilbar sind. Um zunächst zu finden, wieviele durch 2% allein theil- bar sind aber durch keins der anderen Monome, bilden wir die Producte aus je einer Potenz von %, VON Zs, und von w aus den Reihen 1 2 —1 , 1, %, O u m1} Jedes so erhaltene Product hat eine Dimension kleiner oder gleich Q + 0 + + Am-+-ı —M <N multiplicirt man es also mit einer Potenz von 2,, die es auf die %“ Di- mension bringt, so hat diese einen Exponenten > a,, d. h. wir haben eins der gewünschten Glieder erhalten Es giebt also @ Az Am+1 solche, den verschiedenen Combinationen entsprechend. KEbenso finden wir für alle durch %“ und durch keins der anderen Monome theilbaren Potenzproducte die Zahl a, . d Am--1, . 8. W. Das ergiebt also 10 Dreissigste Vorlesung $ 336. Einunddreissigste Vorlesung $ 3837—8338. m+1 CZ (5) Z E Aa A 1 A=i &n m+1 ( 1 <n + m> . Auf weitere Formeln wollen wir nicht eingehen; (15) ist lediglich zu späterem Gebrauche abgeleitet worden. Es mag nur noch erwähnt werden, dass sich die an (7) und (12) anknüpfenden Untersuchungen verallgemeinern lassen und so zu interessanten Ergebnissen führen. Einunddreissigste Vorlesung. Fundamentaleigenschaften ganzer Functionen 9011 mehreren unab- Reductibilität. hängigen Variablen. Zerlegung, &$ 3837. Die bisherigen Untersuchungen bezogen sich auf den formalen Aufbau der ganzen Funetionen mehrerer Veränderlichen; jetzt kommen wir zu ihren Fundamentaleigenschaften. Verschwindet die ganze Function (I) f (& > %, Z0) =Z' O DE &, B, Yı (@=0, 1, ’ ß=0) 1}.../r2 ’ D 2) ) Hüxz yedes belıebise Werthsysten ( . 2 CLE dann sind alle Coefficienten c gleich Null, und umgekehrt. Der zweite Teil des Satzes ıst selbstverständlich. Den ersten be- weisen wir zunächst durch strenge Induction. Wir setzen 1 (@ı9 &a Z &m) =Z„; C und nehmen an, der zu beweisende Satz gelte für Funetionen von (m — 1) Variablen %, , ZI/I Legen wir nun den %, Zm ein ganz be- liebiges Werthsystem &,--- En bei und dem z, dann mehr als v”, Werthe B S ’ so müssen alle Coefficienten , (&, E, Em) verschwinden, da f(@,; &, - En) = 0 mehr als r, Wurzeln &, &, --: besıtzt. Das Gleiche gilt für alle Werthsysteme &, &,: Em; d. h. die Da(2, 23, * Zm) verschwinden für jedes willkürliche System der %, 2s, Z Z Gemäss der angenommenen Gültigkeit des Satzes sınd dann alle Coefficienten 11 Fundamentaleigenschaften ganzer Functionen. Reductibilität. Zerlegung der @, d. h. auch die von f gleich Null Für m=1 ist der Satz richtig; demnach gilt er allgemein Aus dem Gange des Beweises folgt die Erweiterung: Ist (1) für jede der (r, + 1) (r 1) (Im + 1) Combinationen von &1 ——;1‚ ( C aD /<>—;‚ C9 n Ka Cm; ;7’I;; O M gleich Null, so verschwinden in f alle Coefficienten Cx,g,y, $ 338. Wir wollen für den ersten dieser Sätze einen weiteren Beweis geben, der sich auf eine Bemerkung von L. Kronecker*) stützt. Wır setzen, indem wir unter qg eine noch zu bestimmende ganze positive Zahl verstehen x (2) = =U A = 4 2 dadurch geht das Potenzproduct 2“ gß zY ın {e+ßBatya über Es handelt sich jetzt zunächst darum, Fürsorge dafür zu treffen dass zu verschiedenen Systemen «,ß,v/, auch verschiedene Zahlen- werthe des Exponenten von , nämlich « + ßg +g + gehören Ist ” die grösste der Zahlen v,, Y3, Ym, welche die Grade von f INn Zi, %, Zm angeben, dann wählen wir q >r7+1 Daraus folgt der Reihe nach qg >gr+q>qr+7=r(@g+1), a +q >q1+qr+ﬂ—r(q‘+q+l)‚ qm > qm——l„. + qm——l> 7-(q777‚-——1 + qm—2 + + d + 1) Gesetzt nun, man hätte die Gleichheit zweier Ausdrücke « + Ba yd + + eq — =—> &, + Bı9 + 719° + SR und es wäre etwa &> &,, dann ergäbe sich daraus 6 — a)= (a — @) (Bı — B)a + ”ı —C + Nun sind («, «), (Bı ß), nıcht grösser als 7 und folghch ( — 8)g" <r1+g+@ + +gr < *) Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen 8& 4. J. f. M, 92 (1882). p. 1. 12 Einunddreissigste Vorlesung $ 338—341. d. h. &£= &. Aehnlich folgert man dann weiter und erkennt, dass aus der angenommenen Gleichheit der beiden Ausdrücke in q die Gleich- heit aller Exponenten folgt. Nach diesen Vorbereitungen gehen wir auf den zu beweisenden Satz zurück, Die Substitution (2) verwandelt (1) in eine ganze Func- tion g@(f) von , welche nicht identisch verschwindet, wenn dies nicht bei (1) der Fall ist. Denn nach unseren Vorbereitungen können nicht mehrere Glieder von (1) denselben Exponenten in % erlangen. Die umgewandelte Funetion kann nur für eine endliche Anzahl von Werthen verschwinden, wenn sie nicht identisch Null ist. Nach der Voraus- setzung des Satzes ist aber (1) gleich Null für Ya = 0 WO @ 0e- liebig genommen werden kann; also ist die Gleichung @ (£)=0 in € für jedes £= vr erfüllt, d. h. sämmtliche Coefficienten von @(f) und also auch von f(£) sind gleich Null. Der hier benutzte Uebergang von Functionen mit mehreren zu solchen mit einer Variablen wird sıch uns auch noch in der Folge als nützlich erweisen. $ 339. Wenn ein Product aus ganzen, rationalen Func- tionen mehrerer Veränderlichen für jedes beliebige System Zl;'/':2; Zn der m Variablen verschwindet, dann verschwindet einer seiner Factoren identisch. Wir führen die Kronecker’sche Substitution (2) durch, sorgen bei ihr aber auch dafür, dass. in dem Producte selbst keine gleichen KExponenten von € auftreten, was ja für hinlänglich grosse q leicht zu erreichen ist. Verschwindet nun das ursprüngliche Product für jede Wahl der Variablen, dann verschwindet auch das umgewandelte, ın dem nur eine Veränderliche % auftritt, für jeden Wert dieses {. Das ist allein dann möglich, wenn einer der Factoren in % ıdentisch ver- schwindet, da andernfalls jeder derselben nur für eine endliche Anzahl von Werthen * zu Null würde. Ist aber ein Factor ın £ identisch Null, dann ist es auch die Funetion, aus welcher er hervorgegangen war. $ 340. Wir müssen noch eine Substitution besprechen, durch welche (1) in eine neue Form übergeht, in der sie nun von gewissen Zufälligkeiten frei wird, die aus den Werthen der Constanten entspringen können. Wir setzen die linearen Gleichungen an 2 = U Yı F Ua Ya A . A UamYm, (3) Zol= .’M21.y1 + U/22' 7‚2'+.' D + Ua m El/1nf m = Um1Yı + .U‚„2 Ya + B7 .' + u’.'”my’“7 Fundamentaleigenschaften ganzer Functionen. Reductibilität. Zerlegung 13 wobei vorläufig über die Wahl der Coefficienten u nur die Bestimmung getroffen werden soll, dass die Determinante 4 = [ uu | von Null ver- schieden sei, damit auch umgekehrt ı = O1 % F Va % T + V1 Zm ’ Ya = O12 %ı F Yaa% D + Um2 m > (4) y:„ aa 7/1m'2(1 + 7}‘7m22 + + Vmm&m gesetzt werden kann Durch diese Substitution möge (21, %> Z7n) n (Jl> ./27 Yım) werden, d. h. es ist zu setzen O _ZCD‘ CHEA + Uım ‚7/m) (U/21_/1 + + u2m‚/m)ß den höchsten Nam- Hier bilden die Glieder, welche ın Yı,, %, lich den n“ Grad besitzen, die Summen u 2 u SE ? Yı 2®x ß; bez, w Zc„„ ß u für wobei die Summation über alle Glieder erstreckt werden muss welche die Summe der Exponenten «, ß, den Werth % besitzt Diese c können nicht sämmtlich verschwinden, denn sonst wäre f nicht von der %“* Dimension Man kann daher ($ 337) beliebig viele Werth- systeme U1o, U2a, Un bestimmen, für welche das Product | au an‚/>„ uß 21 D u nıcht verschwindet Dadurch haben wir eine umkehrbare lineare Sub- stitution (2) erhalten, durch deren Vermittelung aus f eine Funetion P (Yı, Ya, Ym) hervorgeht, welche sicher alle Glieder *, y%, Ynr Der mit nicht verschwindenden Coefficienten multiplicirt enthält Grad in jeder der Variablen ist gleich der Dimension der Function geworden Liegen mehrere Funetionen f(2,, &m)> 9(&,) Z nz) ’ vor, und unsere Transformation an, so ent- wendet man auf ihr Product f.g steht ein Produet @ (%;, Ym) ' O (Yı, Yın) 2 in welchem jedes Ya die Dimension des Productes hat Dies ist natürlich nur dann mög- lich, wenn die gleiche Eigenschaft schon bei jeder einzelnen der Func- tionen vorhanden ist Man kann also eine umkehrbare Substitution finden, durch welche beliebig viele Functionen gleichzeitig in der an- gegebenen Weise zubereitet werden 341 Ist die Funetion (1) in der Form eines Productes f=gI(@,, %, ) : A(@,, %, ) 14 Einunddreissigste Vorlesung $ 341—342. ° darstellbar, wobei g, / gleichfalls ganze Funetionen aber vbn geringeren Dimensionen bedeuten, deren Coefficienten genau wie die von f einem vorgegebenen Rationalıtätsbereiche angehören, dann heisst (1) reduc- tibel oder zerlegbar in die Factoren g und h. Ist eine Function f nicht reductibel, dann heisst sie irreductibel oder unzerlegbar. Es ist hier darauf aufmerksam zu machen, dass im Gegensatze zu Funetionen mit einer Veränderlichen jetzt auch bei beliebiger Erwei- terung des Rationalitätsbereiches eine Zerfällung in lineare Factoren nıcht nothwendig eintreten muss, sondern dass eine solche nur nach Erfüllung von gewissen Bedingungen zwischen den Coefficienten ein- treten kann. So ist z. B. C118ı F 206.98,% - Oo2%2” + 20,32, { 20032 A Ass nur dann in lineare Factoren zerfällbar, wenn O11 O9 043 =0 Ay9 A93 U93 Ar3 93 33 ıst Auf diese Frage wollen wir aber hier nicht eingehen*). Wir geben zunächst eine Methode an, wie eine Funetion f darauf hin geprüft werden kann, ob sie reductibel oder irreductibel ist, und wie man im ersten Falle ihre Factoren finden kann. Führen wir die Kronecker’sche Substitution (2) in f durch, dann erhalten wir dadurch eine Function F(£) einer Variablen *, welche sicher reductibel wird, falls f es ist, während das Umgekehrte nicht richtig zu sein braucht. /'(t) kanm nun nach früher angegebenen Methoden auf alle Arten in zwei Factoren zerlegt werden. Ist f reductibel, dann muss einer Zerlegung von f eine solche von / derart entsprechen, dass die Factoren von f durch (2) in die von F übergeführt werden. Bei Irreductibilität von / steht also die Irreductibilität von f gleich- falls fest. Hat dagegen F({) den Theiler 0 =Noit”, dann fragt es sich, ob dieses x (£) durch (2) überhaupt aus einer ganzen Funetion g(2,, %,: %m) hervorgehen kann. Dazu müsste es möglich sein, jeden Exponenten 6, in die Form O — 0 75 al A T (al g Yı), ß2 gr27 ) zu setzen. Wir wissen (& 338), dass dies höchstens auf eine Weise ä *) Ueber die Zerfällung von Ternärformen vgl. Aronhold: J.f. M. 55 (1858), 1905 Brioschi: Ann. d. M. (2) 7 (1875—76), p. 189. Thaer: Math. Ann. 14 (1879), p. 545. Brill: Math. Ann. 50 (1898), p. 157. Fundamentaleigenschaften ganzer Functionen. Reductibilität. Zerlegung. 15 möglich ist, so dass %(%) höchstens aus einer einzigen Funetion g entstanden sein kann. Diese Funetion wird dann g Zeft f sein. Man hat demnach nur noch die einzelnen so erhaltenen Func- tionen g darauf hin zu prüfen, ob sie Theiler von f sind; denn ausser ihnen kann es keine Theiler von f geben. Dadurch wird die Ent- scheidung über die Irreductibilität geliefert, und zugleich wird eine Zer- Die Prü- legung bestimmt, falls eine solche überhaupt vorhanden ist. fung geht theoretisch am einfachsten derart vor sich, dass man zuerst alle g bestimmt und dann je zwei, die passende Dimensionen besitzen, zur Probe mit einander multiplicirt. Die Prüfung durch directe Divi- sion ıst an dieser Stelle aus theoretischen Gründen noch nicht angängig. $ 342. Dass die Zerlegung einer Funetion f in irreductible Fac- toren wesentlich nur auf eine einzige Art möglich ist, können wir auf dem betretenen Wege nıcht beweisen. Zu diesem Fundamentalsatze gelangen wir durch eingehendere Betrachtungen. Wir werden ihn als Corollar aus dem folgenden Theoreme ableiten: Ist das Product fi(Zı, %y )falZ,, %, ) durch eine irreductible Funetion g(2,,2,:) theilbar, dann ist einer der Factoren f, oder fi durch g theilbar. Für m= 1 steht die Richtigkeit dieses Satzes fest ($ 68, Bd. I); seine allgemeine Gültigkeit kann also durch Induction bewiesen werden. Wir wollen deshalb annehmen, er sei schon für (m — 1) Veränderliche als richtig erkannt. Daraus wollen wir einige Folgerungen ziehen, die uns dann zum Beweise desselben Satzes für m Veränderliche führen werden. Zunächst ziehen wir aus der Annahme den Schluss, dass Func- tionen von (m — 1) Veränderlichen nur auf wesentlich eine Art in irreductible Factoren zerlegt werden können. Denn wäre (((& A = O O am wobei die g und die %ı ganze irreductible Funetionen von 2,, Z , -“ Zm—1 bedeuten, so ist A, -(h,---h„) durch g, theilbar, und also der Annahme nach auch entweder A, oder (A---h,). Sollte es (A---h,) sein, so wiederholen wir den gleichen Schluss bei A, -(Az---Iy) u.s.f. Es ist also ein %A durch g, theilbar, und da dies % selbst irreductibel ist, so muss es mit g, bis auf einen constanten Factor übereinstimmen. Es wird demnach. etwa h, =C, : gı, und durch Division erhält man I2° 93° Iu= C s h, 16 FEinunddreissigste Vorlesung $ 342—344. Fährt man in derselben Weise forf‚ dann überzeugt man sich von der Richtigkeit des Satzes. $ 343. Jetzt beweisen wir die folgenden Sätze: ( 50 @p 29 052 Zr)ı duneh ol 2y 70 82) 0aOilbar, SO ist jeder Coefficient der nach Potenzen von z, geordneten Function f f= W0(%, , Am) F ı( 23 Am) * 2 F WalR, E, Em) A Frr durch @(%,:-- %m) theilbar. Denn der Voraussetzung gemäss be- steht eine ganze Funetion g(2,,::-Zm), für welche die Gleichung f= q3(2‘;_„ y Zm) z 9(‘517 Z Zm) gilt. Entwickelt man g nach Potenzen von z, und führt die Multipli- cation durch, so erkennt man die Richtigkeit des Satzes, da eine Funection f von z, nur auf eine Art nach Potenzen von z, entwickelt werden kann. (II) Ist das Product fi(%, &m) * 2& Zm) durch die irreductible Function w(z, Zm) theilbar, dann sind minde- stens bei einem der Factoren f, oder fx alle Coefficienten der nach z, geordneten Function durch @ theilbar. Denn setzen wir fı =0%, Zm) A ı(a + Am) - 2 A ala 4 Em) A A f2 O (227 A @99 R En) AIa @9 7 8o) Z so wollen wir annehmen, dass %0, %,, 9 i und KXo> Kır 5 %/>’—1 durch @ theilbar seien, dagegen &„ und %g nicht. Nun müsste mit e Sauch! ( —y 200 Va ATa 7C/>"—15{5_1) Z j AA A egn A M Ba ) E durch @ theilbar sein, und somit nach (I) auch &, - %g. Nach dem für (m — 1) Variable als richtig vorausgesetzten Theorem geht das nicht, wenn &, und %g durch @ nicht theilbar sind. Die Existenz eines durch @ nicht theilbaren Coefficientenproducts ı, - xg ist also nicht möglich, d. h. alle Coefficienten einer der Funetionen f,, f> sind durch @ theilbar. (III) _ Ist fı (& &m) * I2 (& Zm) durch die Function D (%, Zm) theilbar, so ist jeder irreductible Factor von @ entweder ein Theiler aller Coefficienten von f oder von f. Das bleibt richtig, auch wenn ein solcher irreductibler Fac- S tor in höherer Multiplicität bei @ auftritt, derart, dass er in derselben Multiplieität in den beiden Coefficientensyste- men zusammen vorhanden ist. Fundamentaleigenschaften ganzer Functionen. Redklctibilität.. Zerlegung. 17 Ist z. B. wo(z,---Zm) ein irreductibler Factor von @, so gilt von ıhm der Satz (II); hebt man ihn dann aus @ und der passend ge- wählten der beiden Funetionen f weg, so kann man mit den zurück- bleibenden Factoren von @ ebenso verfahren. (IV) Ist einm Product fil(z, Zm) “ P ( Zm) durch Jal@n Zm) «theilbar, wo die nach z, geordnete Function f keinen gemeinsamen Theiler in ihren Coefficienten enthält, dann ist fi durch f theilbar. Denn aus fl(zl'7 Z2; Z,„) X qa(z'2l‚ Z‚„) a f2 (Zl7 Zm) - 921 Zm) folgt, dass f>-g durch @ theilbar ist. Nach (IIl) kann man nun jeden irreductiblen Factor von &, so oft er vorkommt, aus fz-g, also nach unserer Voraussetzung aus g wegheben. Ist so @ vollständig herausgehoben, dann zeigt die zurückbleibende Gleichung, dass f, durch f3 theilbar ist. ( IS6 @» 2 Zu) in zwei Factoren zerlegbar, die in 2, ganz und ın %, Zm ratiıonal aber gebrochen sind, dann giebt es auch eine Zerlegung von f, in welcher beide Factoren ganze Funectionen von Z,, %,-::Zm sSind. (Vgl. 8& 48, Bd. I.) Wir bringen in der vorliegenden Zerlegung die beiden gebrochenen Factoren auf die Form f1f(?1_7 AAy Z'nD Za E d (2(517Z27 ‘ Z) V‘P1 Z , 2 P ( , &) ° in welcher die f und die @ ganze Functionen der angegebenen Argu- mente bedeuten, derart, dass f durch keinen Factor von @,, und f, durch keinen Factor von @, theilbar ist. Nach (II) muss dann, weil ff durch @, - getheilt werden kann, f, die gesammte Function ®a und f ebenso die gesammte Function @, als Factor enthalten. Nach (I) kann man also aus den Coefficienten von f, und von fa herausheben 3 und bez. o@,. Dadurch gelangt man zu einer Zerlegung von f, Zm aufweist. welche lediglich ganze Factoren in 2,, %, $ 344. Nach diesem letzten Resultate (V) brauchen wir bei der Zerlegung von f nur darauf zu achten, dass die Factoren ganze Fune- tionen einer der Variablen, z. B. von z, sind. Ist der Rationalitäts- bereich der natürliche, d. h. umfasst er allein die rationalen ganzen Zahlen, so reicht es aus, alle ganzen ganzzahligen Factoren der ge- gebenen ganzen ganzzahligen Funetion zu suchen. Daraufhin lässt sich eine zweite Methode zur Aufsuchung der irreductiblen Factoren einer ganzen ganzzahligen Funetion (1) gründen, welche eine Erweiterung der Kronecker’schen Methode für %— 1 darstellt (vgl. $ 50, Bd. I). Netto, Algebra. IT. Dn 18 Einunddreissigste Vorlesung $ 344—345. Es möge f bis zur Dimension %=2wv oder n=(2vy+1) aufsteigen. Nach 8 340 denken wir uns die Funetion gleich so zubereitet, dass x mit dem Grade der Funetion in %, übereinstimmt, dass also der Coefficıent von z in f eine Constante +0 wird. Dadurch beseitigen wir die Möglichkeit, dass f“ einen von z, unabhängigen Factor enthält. s überhaupt zerlegbar, dann hat es einen Factor, dessen Grad im z, grösser als Null, aber nicht grösser als v ist. Wir wollen einen solchen Factor als vorhanden annehmen und ihn mit g(Z,,::-Zm) bezeichnen. Dann ist für jeden ganzzahligen Werth zı der Werth f(2i, %, ein Multiplum von g(Zı, %, Zu)- Liegt also bereits eine Methode vor, Funetionen von (m — 1) Variablen %, Zn in irreduetible Fae- toren zu zerlegen, dann können wir alle Theiler von f(2ı, %, Zm) Zm) unter ihnen befinden aufstellen und wissen, dass sich g(2i, %, MuUSsS. Nun möge für 2i die Funetion f(21, 2 , - --) die Theiler di(21, %,: "), dı (21, %, )y i „ 1 ” ” f(51„; ‘22;" ) ” ” dz,(zll’; Qay i )> d2„ Zl„;52.; A )7 A g(;‘*£* 1l) ” f(z(lv+.l)7zg ; > ” X dy'+l(z(lv+l);zg n .); d„!+. (Z(lv+l), A0n ) SA eıne besitzen. Die Funetion g(£,, %,: -:) muss dann für 2 = Zı1, 1, Werthcombination dga)('äll7 Za '); d{_)ß)(gi’} Z ')7 < aufweisen. Legt man alle Combinationen «, ß, 2) die überhaupt möglich sind, zu Grunde, dann kann man bei jeder die Lagrange’sche Interpolationsformel $ 37, Bd. I zur Bestimmung von g verwenden und erhält unter der entstehenden endlichen Anzahl von Functionen alle, welche bei einer Factorenzerlegung von f“ überhaupt in Frage kommen können. Mit jeder von ihnen muss dann die Division in f wirklich versucht werden; geht sie nicht auf, dann ist das g zu verwerfen; geht sie auf, dann hat man einen Divisor gefunden. KEine endliche Anzahl von ausführbaren Versuchen giebt demnach die Eintscheidung über die Irreductibilität. Freilich steht es auch hier noch nicht fest, ob die Zerlegung in irreductible Theiler nur auf eine einzige Art möglıch ist. Als Beispiel behandeln wir die Funetion (n=4). Pa A %) + 2 (& + 22 E1) + @* + 22)5 Hier ist freilich die geforderte Zubereitung der Function nicht aus- geführt. Diese verfolgte aber nur den Zweck, festzulegen, dass f keinen von 2 unabhängigen Theiler besitze. Das ist hier von selbst klar, und deswegen kann jene Zubereitung bei Seite gelassen, und v= 1 Nun sei ı = 0, Ü=11. Man hat dann gesetzt werden. 19 Fundamentaleigenschaften ganzer Functionen. Reductibilität. Zerlegung fF(0, %) = %4 (% + 1); O2 =C 2 2 F D, und es ergeben sich hieraus als mögliche Werthe für g0,%) 1, dE %9 @ + U @& a 2 9(1;32) z 18 @+ 1, Bei den Combinationen dieser beiden Werthesysteme giebt es 6.6 Mög- lichkeiten; es reicht aber offenbar aus, bei g(0, z,) die positiven Werthe allein zu betrachten, und dadurch reducirt sich die Anzahl auf 3.6 für g(0,2) 4 + g(1, 4) a = 2[90, %) — IL, @l + I, A)- Von diesen 18 Möglichkeiten können diejenigen sofort beseitigt werden, bei denen g(0, %) — g(1,%) kein Theiler von %, und diejenigen, bei denen g(1,%) kein Theiler von %* +z, ist. Daher fällt + (%*-+-2-+2) ganz heraus; von den übrigen 3 .4 kommen noch die beiden g(0,2,) =%4+1 und g(1, %) = + (% +1) in Wegfall, weil aus ihnen g als Multiplum von (% +1) hervorgehen würde, während doch f keinen von 2 freien Theiler besitzt. Aus gleichem Grunde kann man g(0, )=1, g(1, 2) =1 unterdrücken. Es bleiben demgemäss schliess- lich nur noch 9 Combinationen zurück; diese ergeben AF @A aa s aaa @ Da 21 %; @2a Z,% +1; R2 Za und nun überzeugt man sich leicht, dass z, % + 1 die einzige Function ersten Grades von 2, ist, welche in f aufgeht. Es wird j Ca DEa Fa @): Unsere erste Methode wäre so vorgegangen. Dn z= U E hätten wir P L Y L LL diese Funetion kann auf folgende Art in Factoren zerlegt werden f=tB+D@+2t+1). Wir hätten nun die einzelnen Factoren, sowie die Producte aus je zwei unter ihnen in Funetionen von 2,, %, zurück zu übersetzen. Dies ist freilich hier nicht auf eine einzige Art möglich, allein man überzeugt sich trotzdem leicht, dass P+A1=22+1 ein Factor ist. Die letzte auftauchende Schwierigkeit rührt offenbar daher, dass 9 zu klein genommen worden ist. $ 345. Wir kommen nun zur Aufsuchung des grössten gemein- samen Theilers zweier Funetionen f(2,, %,: --Zm) und fi(2,, %, Zm) * Z 9 0 Einunddreissigste Vorlesung $ 345. von den Dimensionen % und (% — n%,). Beide sollen bereits so zu- bereitet sein, dass ihre Dimensionen mit ihren Graden nach z, überein- stimmen. Wir ordnen beide Funetionen nach abnehmenden Potenzen von 2,, dividiren f durch f,, indem wir beide als Functionen von 2, behandeln, und erhalten f= f qı —f Dabei ist qg, eine ganze Funetion von Z,, %,: Zm;3 eS ist f, möglicherweise durch eine von Z;, unabhängige Funetion @,(%,-:: Zm) theilbar. Wir setzen, um diese zum Augenschein zu bringen, wenn sie vorhanden ist, f=fi dı —f %, wobei jetzt f keinen gemeinsamen Theiler aller seiner Coefficienten in 29 Zu mehr besitzen soll. Der Grad von f; nach z, ist geringer als der von f,, d. h. als (% — n,). Dividiren wir weiter f} durch f,, beide Funetionen als solche von z, betrachtet und nach fallenden Po- tenzen dieser Variablen entwickelt, so können in dem Quotienten und im Reste gebrochene Ausdrücke ın %, m erscheinen, und ausser- dem kann möglicherweise aus den Coefficienten des Restes eine ganze Function in %, &: 2 „ herausgezogen werden. Man kann demnach schreiben %f Sh ' k —s P wobei f1) f27 f3; 02 San in Zı Bay 5 Omy und U, O3 Zanz in Zay i &m sind. %, und @3 können ohne gemeinsamen Theiler vorausgesetzt werden, weil ein gemeinsamer Theiler auch den Coefficienten von q angehören würde und fortgehoben werden könnte. fz ist in z von geringerem Grade als f>. So geht man weiter und erhält das Euklid- sche Schema in der Gestalt Kl Q R O Ü1‘f.1=f2 92 — f3 O3 (5) >0 —n @ o f2=f3 Dr wr—2" fl——2 =.fr—.l '.Qr— il __];; wr——1'fr—l =ﬁ *Ar ) wobei wir allenfalls ein verschwindendes f.41 noch hinzugefügt denken können. Haben wir die Division nämlich hinreichend weit fortgesetzt, so wird der Grad von z,, der immer kleiner wird, ohne negativ werden zu können, einmal gleich Null werden, und die nächste Division nach 2, wird aufgehen, wenn dies nicht schon früher eintritt. Besitzen nun f und f, einen gemeinsamen Theiler, der hach unseren Vorbereitungen nicht von 2, unabhängig sein kann, so hat ihn auch fa und also nach $ 342, (IV) auch f>. Ebenso schliesst man, dass 21 Fundamentaleigenschaften ganzer Functionen. Reductibilität. Zerlegung. ihn die Funetionen fz, f : f besitzen. Umgekehrt ist f ein Theiler von fr_ı:W-—1, und da fx keinen Theiler in %, Zm besitzt, SO theilt f£. wiederum (nach $& 342, IV) auch f_1, U. S. W. Auf diesem Wege erkennt man, dass f auch f und f theilt. Hierdurch ist der Begriff des grössten gemeinsamen Theilers unserer beiden zube- reiteten Funetionen f und f festgelegt, und eine Methode zu seiner Aufsuchung gegeben. Es existirt, abgesehen von indifferenten Zahlen- factoren, nur eine unseren Forderungen genügende Funcetion von 2,, ** Zm- Wir definiren: Eine ganze Function T(Z%,, Zm) heisst dann grösster gemeinsamer Theiler zweier zubereiteter Functionen f und f;, wenn T beide Funetionen theilt, aber nicht Divısor einer anderen Funection derselben Eigenschaft ist. Unser Vor- gehen zeigt dann: T'(z,,-:- Zm) ist bis auf indifferente Zahlen- factoren eindeutig bestimmt. Diese Definition ist ebenso wie die Methode der Darstellung unseren zubereiteten Funetionen angepasst. Beides kann aber leicht verallge- meinert werden. Sind nämlich g und g, willkürliche Funetionen, so führt man sie durch eine lineare umkehrbare Substitution in die zu- bereiteten Formen f und f, über, sucht für diese den grössten gemein- samen Theiler T' und transformirt diesen durch die inverse Substitu- tion in ein U, welches dann für g und g, die gleiche Eigenschaft hat ? wie T für f und f,; denn auch U kann nicht in einer Funetion höherer Dimension aber gleicher Theilereigenschaft enthalten sein, weil dies sonst den gleichen Rückschluss auf 7' zuliesse. Ist der grösste gemeinsame Theiler 7' von f und f, eine Constante, so heissen f und f,; theilerfremd zu einander. Ist f} eine irre- ductible Function, so theilt sie entweder f oder sie ist zu f theilerfremd. Denn der grösste gemeinsame Theiler 7' muss als Theiler einer irreductiblen Funetion entweder gleich f, oder gleich einer Constanten sein. Jede der in dem Schema (5) auftretenden Functionen f2, f3 fr—ı, f- lässt sich als lineare homogene Function von f und fi darstellen. Es wird nämlich der Reihe nach aus (5) abgeleitet für ein be- liebiges A OE — Oa aa O C — (?z—1lßz_z) —f3 Qı 1ıs, Dı 2—3Q2—1) (gı 1ı 2) fı = fa—3 : (Qa— 1 Q2—292—3 — Oaı V2—2Qı—3 ——fa——4'(q/z—1?a—züifz—% - 4;01.—1.1l11_27111_4) ; 22 Einunddreissigste Vorlesung $ 345—346. so dass wir ansetzen können (6) (gı fı = Pırifı — Qı-ıfj; dabei sind die P und Q ganze Funectionen der 2,, Zm, für welche die Formeln gelten al = O I aaa ß (P0=1) P, =4,)), (7) Q+1 = Qı+1 Qı — Prı %ı Qa—ı; (QI=17 Q =6)- Hieraus folgt dann P = dı — ıı} Pı = 93 — VQı — PaVıd:; ( Q = 93 — O35 Qı = U2939ı — PaV3do — P3V2ds; In dem Specialfalle 4 == r liefert (6) die Beziehung (8) (3 : Pr) fr = D Durch Combination der beiden Gleichungen (7) und durch wiederholte Anwendung der so gewonnenen Formel auf sich selbst erlangt man mit Hülfe von (7°) das Resultat (9) PıQi41 — Prı Q = (1 4 O2) : (3 ° O2+1), aus dem ersichtlich wird, dass die linke Seite von z, unabhängig bleibt. Combinirt man ferner (6) mit der durch Erhöhung von 4 um 1 daraus entstehenden Gleichung und verwendet (9), so zeigt sich (10) (D 5 e D An aa (1/«'1 V 06 Oanı)lı= Oa — aan Qa Marn Die Gradbestimmung der hier auftretenden Funetionen nach 2;, entspricht durchaus derjenigen, welche $ 64, Bd.I vorgetragen wurde, und die dortigen Resultate gelten auch hier. [f.l S Mal a . [hl=% —M, 900 [ =2=— 09 ©< Z Z Z ZU) (gl = , [a]=% —M, nl= —M, Gl S —— [P]=%, [Pı]= %, [LPı] = %, [LP.] = %; 08 [ = 0 = D LQ1] =O; [Q2]=% — %, ı] — —, In (8) ist demnach der Grad von P,„_1 nach 2 gleich %_1, d.h. <n.<mn, also höchstens gleich (n — 1); und der Grad von O e y a< (w — nı) — 1. Das zeigt: Bei der Dar- stellung des grössten gemeinsamen Theilers von f mO ff durch (8) genügt für P,_1, eine Function, deren Grad in 2 kleiner als der von f ist, und für Q,_ı eine solche, deren Grad.in 2, kleiner als der von f, ist. Z 2 3 1<‘undamentzy1eigenschaften ganzer Functionen. Reductibilität. Zerlegung. $ 346. (VI) Sind fi(2, %,: 2m) und g(2,, %,: Zm) theiler- fremd zu einander, und ist das Produect fi(&,::: Zm):fa(21): : Zm) durch g theilbar, dann ist f> durch g theilbar. Wir nehmen, was den Charakter der Theilbarkeit ja nıcht beein- flusst, f\, > und g so vorbereitet an, dass ihre Grade in 2, mit ihren Dimensionen übereinstimmen. Da f und g theilerfremd sind, so kann man nach (8) A P+g:Q= ®(&, Z) setzen, woraus dann durch Multiplication mit f (Af)P+IRQ=0 f folgt; nach der Voraussetzung ist f;f> und also die linke Seite durch g theilbar; also auch ®.f, und nach & 343, (IV) auch f. Hierdurch haben wir den Satz für m Veränderliche bewiesen 2 welcher in $ 342 für (m — 1) Veränderliche als richtig angenommen wurde; und damit ist die Beweisführung geschlossen. (VII) Ist das Product f;-f2 durch eine irreductible Func- tion g theilbar, so ist mindestens einer der Factoren fi oder f> durch g theilbar. Denn da g irreduetibel ist, so muss es ent- weder f} theilen, oder zu f; theilerfremd sein. Der zweite Fall erledigt sich dann sofort durch Satz (VI). (VIII) Eine Funetion f(2,, %, Zm) von m Variablen ist Der nur auf Eine Art in irreductible Factoren zerlegbar. Beweis ist dem für (m — 1) Variable gegebenen durchaus entsprechend, so dass er hier nicht behandelt zu werden braucht. (IX) Wenn f(z,, Zm) für alle Werthsysteme verschwin- det, welche eine irreductible Function g(z,, Zm) zu Null machen, dann ist f durch g theilbar. Wäre das nicht der Fall, so würden f und g theilerfremd sein, und man könnte die Gleichung P.f+Q-g= D(@ - 8n) aufstellen, in welcher ® nicht identisch Null ist. Wir können daher 2 =%, Zm — En Setzen, wo die & so gewählt sind, dass sie ® nicht gleich Null machen. Zu diesem Systeme bestimmen wir ein 2, =, durch die Forderung g(2,, &, - Em) = 0. Dies ist natürlich nur möglich, wenn 2 aus g(2,, &, - Emn) nicht herausfällt. Wir ordnen daher g nach Potenzen von z, 9I= R AT RT A, wobei die & nur die nicht identisch verschwindenden Coefficienten be- zeichnen sollen, und beschränken die Wahl der &, --. &„ durch die 24 HKEinunddreissigste Vorlesung $ 346. Zweiunddreissigste Vorlesung $ 347. Forderung, dass %n ®=+0 sei. Dann kann man auch ein passendes 21 = &, fnden. Für dieses System der &£ müsste der Voraussetzung gemäss auch f verschwinden; das kann aber nicht sein, weil ® =+£O ist. Es muss deshalb g ein Theiler von f sei. (X) Wenn f(@,, Zm) für alle Werthsysteme verschwin- det, welche eine Function g(z,, Zm) zu Null machen, dann ist f durch jeden der verschiedenen irreductiblen Factoren von g theilbar, und eine passende Potenz von f durch g selbst. Das folgt sofort aus dem vorigen Satze. (XI) Besteht kein Werthsystem 6, %, ; Em, welches die beiden Gleichungen (1D) @9 Zn Zm) Tr O; fa(2ı, %, A)=0 gleichzeitig befriedigt, dann giebt es zwei ganze Functionen P ('Z1) 227 An) me ( A Zm), für welche die Relation (12) AB Q=u besteht. Umgekehrt: gilt (12), dann giebt es kein Werthsystem C1‚ g27 - En, welches (11) befriedigt. Zunächst ist es klar, dass im ersten Falle f} und f theilerfremd sein müssen, sodass man also zwei Funetionen P und Q so bestimmen kann, dass A Pa Q=Dlen, Zm) wird. Kann man nun &, En gemäss der Bedingung P(&,-.:En)=0 wählen, so entsteht f1(21; C27 S C‚„)P(‚Z„ g‘l; s E e 336 Nach 8 345 ist [P]<[R£] bezogen auf z,. Folglich hat fi(2,,6,, ) mit f(%,, &, -:-) einen Factor gemein; aus ıhm kann man Z =5, SO bestimmen, dass (11) befriedigt wird. Das widerspricht aber der Voraus- setzung. Also ist ©D eine Constante. Dividirt man ‚durch sıe, so kommt man auf (12). — Die Umkehrung bedarf keines Beweises. CI EL Zm) der grösste gemeinsame Theiıler, der nach 8 340 vorbereiteten Functionen fi(21,“ Zm), fa(21, “ Om), f3 (& Zn),:: :, dann giebt es ganze Functionen Pı(2,, : Zm), P, (& £‘,„)‚ P3 (£1; B Z„„)‚ ; D(2, : Zm), Wwelche die Gleichung (13) f1P1+ﬁng+féP3+"'=T'(p befriedigen. — Die Definition des grössten gemeinsamen Theilers beliebig vieler Funetionen ıst klar. Nun giebt es nach (8) für den grössten gemeinsamen Theiler 7,2 von f‚ und f eine Gleichung von der Form Wurzeln einer Gleichung und eines Gleichungssystems mehrerer Variablen. 25 fiPız + faQ1,2= Tız : Pi2; ebenso für den grössten gemeinsamen Theiler 7i23 von Ti2 und f eine Gleichung von der Form Tu2 4 P1‚2‚3 / Qı23 = Ti25: Di23- Daraus ergiebt sich Ha (P1‚2 P1‚2‚?.) /: (Q1‚2 P1‚2‚3) /° (®1‚2 Q1‚2,:;) = 1237 (®1,2 ®1‚2,3) . Dies entspricht der Behauptung im Falle dreier Funetionen. — In gleicher Art führt man den Beweis für mehr Funetionen. (XIII) Wenn es für jedes System &, &, --- En einen Werth E& giebt, derart, dass 7, =C ,, 4=&) ‘ Zm= En die Gleichungen (11) f(&,, %, An) = 0, fa(2ı) %, A = 0 befriedigt, dann haben fi und f> einen gemeinsamen Theiler. — Denn gesetzt, das wäre nicht der Fall, dann könnte man ansetzen f1'P1+f2'1)2=@(52; 5m) Wählen wir nun &, ; En sO, dass D(&, - Em) + 0, und dann €, der Voraussetzung gemäss, so dass (11) durch &, En befriedigt wird, dann stossen wir auf einen Widerspruch. Es muss also ® für jedes System &,--.- E, verschwinden, d. h. nach dem ersten Paragraphen dieser Vorlesung identisch gleich Null sein. Dann folgt, wie in (XT), dass f} und f, einen gemeinsamen Teiler besitzen. Zweiunddreissigste Vorlesung. Wurzeln einer Gleichung und eines Gleichungssystems mehrerer Variablen. $ 347. Wir haben im Laufe der beiden letzten Vorlesungen mit- unter den Satz benutzt, dass es Werthsysteme giebt, welche eine ganze Funetion von m Veränderlichen GE Zm) zu Null macht. Das bedurfte auch keines besonderen Beweises; denn es ist klar, dass man Z9, As, Zm beliebig gleich den Constanten &, &, : Em annehmen und dann die Gleichung f(2,, &, - En)=0 nach zı lösen kann. Hierbei könnte freilich Folgendes eintreten: es könnten in (1) f(2'„ Z'.3‚ 577’)=‘-p0(2-2; 2‚'[„)53'1 +9)1 (Z2‚ 5m> 571‘1—“1_{_... +q)).l (22‚ “ Zm alle Coefficienten @ für ( Da ) Z (Capoes Em) verschwinden. Dann genügt eben jedes Werthsystem ( &y 5 Em) der Forderung. Es 26 Zweiunddreissigste Vorlesung $ 347—350. könnte aber auch %,, %,, “* @r,—1 verschwinden, während @,, von Null verschieden bleibt. Um das zu vermeiden, reicht es aus, Pr (Za, - Zm) = 0 zu machen, und das reducirt unsere Forderung von m Variablen auf (m — 1). Da sie für m== 1 erfüllbar ist, so gilt also der Satz allgemein, dass man ein System finden kann, für welches f verschwindet. Die aufgeworfene Schwierigkeit lässt sich aber auch noch ın anderer Weise überwinden, wie wir im $ 349 zeigen werden. $ 348. Ein System von Werten z = , %4 =b&,) am — Cm; welches die Gleichung 2) f (1 %) An)= 0 befriedigt, soll eine Wurzel der Gleichung (2) heissen; ebenso ein System, welches die Gleichungen (8) fa(£f'„ %> än = 0 (« — 2 q) befriedigt, eine Wurzel des Gleichungssystems (3). Wir werden uns auch die Bezeichnung „Wurzel der Function f“ oder „Wurzel des Funetionensystems fx“ erlauben, da durch diese, freilich etwas Jlässige Benennung doch keinerlei Irrthümer entstehen können. Es kann auf den ersten Blick befremdlich erscheinen, ein solches System &,, &, ;: En von Werten als „eine Wurzel“ zu bezeichnen. Man möchte geneigt sein, bei zwei Gleichungen etwa von ‚Wurzel- Das Paaren“, bei dreien von „Wurzel-Tripeln“ u. s. f. zu sprechen. wäre aber durchaus unangebracht. Denn &,, & ist nicht ein Paar von Wurzeln einer Gleichung f(2,, %)= 0, weil & und & für sich keine Wurzeln sind; sie stellen erst in ihrer Verbindung ein Werthsystem dar, welches die vorgelegte Gleichung befriedigt. Es ist deshalb noth- wendig, bei der Wahl eines Namens darauf zu achten, dass das System der €& als Ganzes in die Bezeichnung eintritt. Passend würde auch die geometrische Bezeichnung „Wurzelpunkt“ sein, wobei dann ,, &,:En als seine Coordinaten aufgefasst werden könnten; es soll das auch mitunter geschehen, Die einfache Uebertragung der Nomenclatur „Wurzel“ von f(z)= 0 auf (2), (3) hat um so weniger Bedenken, als ja auch schon bei f(z) =0 der Name nur uneigentlich aufgefasst werden darf, sobald es sich wenigstens um andere als um binomische Glei- chungen f(z) = 0 handelt. $ 349. Wir haben schon bemerkt, dass bei einer Function (1) von m > 1 Variablen ein Fall eintreten kann, der bei Einer Variablen nicht möglich war; es kann der Coefficient 9y der höchsten Potenz Z einer der Variablen z, bei gewissen Werten %, = &, Äm — gm WG schwinden. Wurzeln einer Gleichung und eines Gleichungssystems mehrerer Variablen 27 Wenn wir nun statt z, eine neue Variable y, ==- einführen, dann geht (1) in Pr 22 Am) RA Ora ( 2m) Y ı( Zm) Yı + Do(22 Äm) OFE über, und man sieht, dass diese Gleichung in y, für 4=G, E éI?L die Wurzel yı = 0 besitzt Wir dürfen dies so aussprechen, dass wir sagen: (1) besitzt für &, En eine unendlich grosse Wurzel für z,, also , = 0© Wendet man aber auf (1) die vorbereitende Substitution des 8 340 an, so erscheint (1) in einer Form, in welcher die Coefficienten von Yı Yı sämmtlich Constanten + werden Dadurch ist die eben besprochene Kventualität ausgeschaltet. was hier Es fragt sich aber, aus der unendlich grossen Wurzel geworden ist. Die Betrachtung der Formel (4), $ 340 zeigt, dass eine Wurzel yı — ©0, Ya = ©, - Ym = 0© vorhanden sein muss. Wir denken uns dies folgendermassen: Wir ordnen die transfor- mirte Funetion in %,, %, Ym nach den Dimensionen ihrer Glieder Un (Yı, Ym) + Um— 1 (r} Yın) + + 9 (Yı, Ym) = 0 wobei ug alle Glieder der «x Dimension enthalten soll, und setzen nun Yı = &l ’ Yı = %l Ym — xmt unter der Annahme %, = 1. Dann erhalten wir ”ﬂ(”1; x,„_1‚1) Ü +””—1(x1; %'m—1‚1) tn_1+ +“0(x1) Kın — 1;1) O und nach dem soeben Besprochenen wird für jedes System x, = &,, ° m —ı = %m—1 ’ Wel(:hes 7,L„(E‚„ : En—1) 1) = 0 macht, £=— c eine szel der Gleichung in % sein. W ir können also Z =& Ü i — gm 1t Ym = © (lim t = ®) als Wurzel der Gleichung in y,, Ym ansehen Bei Gleichungen mit mehreren Variablen ist zwischen endlichen und unendlichen Lösungen scharf zu unterscheiden. Aehnliches findet bei Glemhun%systemen statt; wir werden auf Theoreme stossen, die nur dann gültig sind, wenn das Gleichungssystem, auf welches sie sich beziehen, nur endhche Wurzeln hat. In welchem Sinne bei einem Systeme (3) von unendlich grossen Wurzeln gesprochen werden kann, ist nach dem soeben für :eine Gleichung Dargelegten von selbst klar $ 350. Bei einer Gleichung mit einer Variablen f(2) = 0 folgte aus der Existenz einer Wurzel €& die Beziehung (z)—(z———;)g(z é); 28 Z€veiun«ldreissigste Vorlesung $ 350—3852. wobei g(z,5) eine ganze Funetion von z und & war, deren Grad in z um 1 geringer wurde, als der Grad von f(g). ISt (€17 C‘.H - Em) eine Wurzel von (2), so folgt (4) f& m) = (& — E) 9ı y(Z2 g2) I2 + B + (z7n RET Cm) °Im , Ya Cm wobei die g,, 9, ; Im Euncthonen der 2 %, my S17 S27 sind. Das ist leicht einzusehen; denn man hat ja f (& &m) = [f(&, %, Zm) — f (81> %> 2n)] + L/ (&, + R ‚Z‚„) _.f(é1; g27. + [f(€1; AD €m——-1‚ 5m) —f(C1; C71L—1, Cm)] + f(&, VM Cm——1; €7n)c Hier ist jede der eckigen Klammern durch eine der Differenzen (24 — &x) theilbar, und der letzte Summand verschwindet. Damit ist die Gültig- keit von (4) dargethan. Zugleich sieht man, dass die Darstellung (4) auf unendliche viele Arten vor sich gehen kann. (Vgl. 8& 463 ff.) Die Bedeutung von (4) liegt aber in anderer Richtung, als bei der entsprechenden Formel für eine Varlable. Wenn in diesem Falle &’ eine zweite Wurzel von f(z)==0 bedeutete, dann folgte weiter f@)= @— (@—5) h(e, 6, 5) u. s. £., so dass eine Zerfällung von f in lineare Factoren möglich wurde. Bei unserer jetzigen Formel versagen die entsprechenden Schlüsse. Ist (E', &, - Em) eine zweite Wurzel von (2), so ist zwar CS e C wobei die g Funetionen aller Coordinaten &,, & sind, aber eine ähn- liche Reduction wie oben tritt nicht ein. Man könnte versuchen, auf folgende Weise vorzugehen. Wir setzen Sm — Cm =— UrUn , Aı A Z & = U1U, 23 — S — UU , Dann kann %, aus und führen die neuen Unbekannten in (4) ein. allen Summanden herausgesetzt werden, derart, dass sich jetzt die Form Um), und wenn (6', &, - Cm) eine ergiebt f= u 9(U, U, neue Wurzel von (2) bedeutet, bei der etwa 6, =+76, sein soll, so muss für u = &/ —57 uu = 5& — &, uu = 6& — &, die Funetion g verschwinden, so dass in ähnlicher Weise aus ihr ein Factor abgesondert werden könnte. Allein man überzeugt sich leicht, dass damit kein Fortschritt verbunden ist, weıl man aus dem Bereiche ganzer Funectionen in denjenigen gebrochener Funetionen gelangt. Wurzeln einer Gleichung und eines Gleichungssystems mehrerer Variabeln. 29 Wir wollen dies an dem einfachen Beispiel der Funetion f==2," —* durchführen. Für 41 —0= U, %— A0= UU erhält man f= u (1 — U) ( F UUg F 20); benutzt man nun die Wurzel (z,, %) =(b, —b), so werden als Wurzel- Ca Es ist also werthe der w folgen (u,,4)= <b Zg ?a—b ) a+b v = U + (a — ), V = 6 — a— b einzuführen. Dadurch entsteht f= W (1 — ) v (a2_ab 7 © — @) ”1'”2) Nun ergiebt sich sofort, dass für jede Wurzel (z,, %)= (c, c) der zweite Factor verschwindet, und für (z,, %)=(c, —c) der letzte Factor, aber eine Einsicht in das Wesen der Function wird dadurch nicht gewonnen. $ 351. Aus (4) können wir aber eine ungezwungene Definition für vielfache Wurzeln einer Gleichung (2) ziehen. Sind auch g,= 0, g=0,- - 0m= 0 in (4) durch E, &,: - Em befriedigt, d. h. ist auch (5) f (& Z‚„) Ta H('Za e g“) (Z/>’ H ;/9)ga‚ß7 wobei «, ß alle gleichen wiıe ungleichen Combinationen zweier Zahlen 1>2;' m sein sollen, dann nennen wir (&,, &, --- Em) eine Doppel- wurzel von (2). Ebenso mag allgemein (&,, &, --- En) eine o-fache Wurzel oder eine Wurzel von der Multiplicität o genannt werden, wenn f als homogene Funetion o** Ordnung der m Grössen (z, — 6&,), + (Zm — Em) mit Coefficienten darstellbar ist, welche ganze Funetionen de Z Zm) Sır © - Em . sind. Wir können das Gleiche auch so aussprechen, dass für eine Doppelwurzel nicht nur die Function f, sondern auch ihre sämmtlichen ersten Ableitungen, nämlich LAn 5 öÖf Z öf f verschwinden; für eine al DE Ö m dreifache Wurzel ausserdem noch OÖ Ö Ö Dek? 0406 OE u. 8S. W., SO dass eine o-fache Wurzel dadurch charakterisirt ist, dass für sie die Function selber und alle ihre Ableitungen bis zu denen der (o — 1)** Ordnung inclusive verschwinden. Was unter mehrfachen Wurzeln eines Gleichungssystems zu ver- stehen ist, und wie solche mehrfachen Wurzeln ihrer Multiphicität nach zu bestimmen sind, lässt sich an dieser Stelle noch nicht aus- einandersetzen. $ 352. KEntsprechend der in 8 37 Bd. I behandelten Frage gehen wir jetzt dazu über, die Bestimmung einer Funetion f(2,, Zm) der I 9 0 Zweiunddreissigste Vorlesung $ 352—353. ' Dimension dadurch zu liefern, dass für eine ausreichende Zahl .0 von Werthsystemen für (z,, Zm), nämlich für (Er0, - Emo),- die Werte f(&0, - Emo)= (©% vorgeschrieben werden. Aus 8 329 folgt für die Anzahl der Coeffi- cienten, welche in f eingehen, der Wert N(n,m); sSo gross muss @ angenommen werden. Wir erhalten dann ebenso viele lineare Glei- chungen von der Form U DAn &« B3a OO (“=17 27 N 9) für die o Unbekannten C,2.,...; verbinden wir mit diesen noch die Gleichung 2 C ED —f=07 so können wir aus unserem Systeme sofort sämmtliche c eliminiren und erhalten als Resultat den gesuchten Ausdruck der Funetion f(2, ,: Zm)- Dabei ergiebt sich eine Determinante der Ordnung (0 + 1) F l ’ zl) 299 A 2 % Z U 1 17 gll) C217 DD D3A 2 =0 (6) > 2 % Za f( 12922 &, ’ )7 1 ? ; gl2.7 é22 7 Diese Form liefert f stets in einer ganz bestimmten Art, sobaldt die Subdeterminante 1 2 g11 ? &1 L alık 2 21 C31 2 SAn % Z 4, — 1 12 22 ? C12 ’ ; ;2.27 C„ 7 _—.i‚:() ist Es möge (6), nach den Elementen der ersten Spalte entwickelt, FA — fl Ol — OL 0 geben, dann ist das Analogon zur Lagrange’schen Interpolationsformel in der Formel (7) F(&, a)=fO ROR + FOR (0= Nln m) enthalten. Dabei ist 4, von den Varlablen 2;, Zn inen Die Ana- logie zeigt sich auch darin, dass 4, für alle Systeme &, : En mit Ausnahme von Eia, + me verschwindet und-für dieses System E1x, ** me gleich , wird; also verhält sich die Bildung hier ganz ähnlich wie die früher für eine einzige Variable gegebene. Hier ist noch der Nachweis dafür erforderlich, dass 4, nicht identisch, d. h. für jede Wahl des & verschwindet. Um diesen zu liefern, wenden wir zunächst die Kronecker’sche Transformation Wurzeln einer Gleichung und eines Gleichungssystems mehrerer Variablen. 31 Clrz—ta; Ä2a——to€, CJ(X_'tZC'L) an, und hätten zu zeigen, dass die Determinante { a tzlq°-+m+r‚ | («=1, 2, - 9) nicht verschwindet, falls 9 so hoch gewählt ist, dass alle Potenzpro- Die letzte ducte in A, verschiedene Kxponenten von * bekommen. Determinante ist eine Funetion von 4, mit endlicher Gradzahl; sie kann nicht identisch Null sein, wenn nicht auch ihr absolutes Glied identisch verschwindet. Bei dieser aber bleibt, falls %-& --.% herausgesetzt wird, eine Determinante ähnlicher Bildung von geringerer Ordnung zurück. Da nun der Satz für zweı Variable klar ist, so ist er allgemein richtig. Setzt man nun in (6) oder in (7) alle fF% =0, so folgt, dass, wenn nicht besondere Beziehungen zwischen den (Eix, S, C szx) bestehen, die Funetion f(2,, Zm) verschwindet; d. h. zwischen o= N(n, m) Wurzeln der Gleichung f=0 findet die Relation An = 0 Sanr Stimmen zwei Funectionen w“ Dimension von m Variablen für o= N(n, m) Werthsysteme überein, zwischen denen die Relation 4,==0 nicht stattfindet, dann sind sie identisch. Setzt man in (6) alle @© mit Ausnahme des letzten = 0, und dieses = (— 1)—1.c Z so entsteht al 2 21 %9 (8) f (& d ü 2 CI‚Q—1; €2,Q—1 somit ist hierdurch f bis auf einen constanten Factor durch (9 — 1) seiner Wurzeln bestimmt und damit die in $ 350 gesuchte Analogie zu den Funetionen einer Veränderlichen gefunden, soweit eine solche vorhanden war. $ 353. Wir wollen annehmen, was im Wesen der folgenden Be- trachtung nichts ändert, dass die Function f so vorbereitet sei, dass ihr Grad in z, gleich ihrer Dimension % geworden ist; dabei wird der Coefficient von ” eine Constante, die gleich 1 gesetzt werden mag. Es soll dann die Gleichung E S Dl A Pa (Aap * in& H P ( 2n =0 als Gleichung für 2, aufgefasst zu dem Werthsystem z = &,: 2n = En die x-fache Wurzel z, = 0 besitzen. Hierfür ist charakteristisch das Bestehen der Gleichungen Pnl Em) — 0, Onl Em) = 0, - Pr—a+1 (Cg; A8 Cm) =0 32 Zweiunddreissigste Vorlesung $ 353—354. Dreiunddreissigste Vorlesung 8 355. und der Ungleichung Pn—a (C„ G €m)ä=0 Wir wollen nun den %, %, Zm Incremente 0, 0,, Ö, erteilen, welche so klein angenommen werden können, dass alle Pn—k (;2 + Ö\27 e Cm + Öm) (x=0, 1, - &« — 1) ihrem absoluten Werthe nach unter einer beliebig kleinen Grenze blei- ben, während die Funetion Pn—a @2 + &, um eine angebbare endliche Grösse von der Null entfernt bleibt. Das Produet sämmtlicher Wurzeln &,, E, Eım der Gleichung in 2, f(&, 5& 4 0, S C„—{—Ö„)=O‚ ist dann + „,(& + 0, ) und daher beliebig klein. Deswegen muss mindestens eins der |E, | selbst hinreichend klein werden, etwa | &. Ferner ist die Summe der Producte von je (n — 1) der Wurzeln &, gleich + —1 (& + 0, - :) und somit auch beliebig klein. Nur einer der Summanden, nämlich 6, E3 : Sın, enthält E, nicht; . deswegen ist auch noch ein zweites |&, |, etwa | E, |, hinreichend klein. In dieser Weise kann man fortgehen und kommt zu der Einsicht, dass genau « der. absoluten Werthe der Wurzeln &, hinreichend klein werden, d. h. dass die Wurzeln den früheren Werten 0 hinreichend benachbart sind. Diese ändern sich also zugleich mit %, Zm in stetiger Weise. Die Beschränkung auf z, = 0 kann durch Einführung von (z, — a) statt z, aufgehoben werden; und was für die « Wurzeln z = 0 galt, gilt dem- gemäss allgemein: Die Wurzeln z, = Sy, S, von f= 0 ändern sich stetig zugleich mit Z%, %, Z?I7. S Aus diesen Betrachtungen geht hervor, dass die Wurzeln (2, , 2 ,: Zm) einer Gleichung f(2,, %,: 2m)= 0 aus der m-fachen, durch die Ver- änderlichen 2,, %, Zm gegebenen stetigen Mannigfaltigkeit eine (m — 1)-fach stetige Mannigfaltigkeit herausheben, $ 354. Aehnliche Ueberlegungen, wie die bisher in dieser Vor- lesung durchgeführten, kann man an ein System von Gleichungen mit Zm zu knüpfen suchen. Hierbei stösst man m Unbekannten 2,, %, aber sofort auf eine Reihe von fundamentalen Fragen, deren KErledigung zunächst zu erstreben ist. Während bei einer Gleichung f(2,, %, : Zm)=0 durch Fixirung der Werte von 2,::: 2n die Frage auf eine Gleichung mit einer einzigen Unbekannten gewendet wurde, ist hier über die Existenz von Wurzeln eines Systems von m Gleichungen mit ebenso vielen Unbekannten noch gar nichts bekannt. Es muss also zunächst die Entscheidung über folgende Fragen herbeigeführt werden: Elimination bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. 33 Giebt es Werthsysteme (Z,, %, Zm) der m Variıablen z2, durch welche m Gleichungen derselben Variablen gleich- zeitig erfüllt werden? Wieviele derartige Wurzeln des Systems giebt es? Auf welchem Wege können diese Wurzeln gefunden wer- den, oder wie lässt sich das Problem auf die Lösung einer Gleichung mit einer Unbekannten zurückführen? Den Weg zur Lösung dieser Probleme liefert die Theorie der Elimination. Durch passende Verbindungen der Gleichungspolynome werden neue Gleichungen hergeleitet, welche weniger als ın Unbekannte enthalten. Von den übrigen sagt man, sie seien eliminirt worden. Diese neuen Gleichungen sind Folgen der ursprünglichen; sie werden mit ihnen gleichzeitig befriedigt. Dadurch wird das Problem reducirt, indem man jetzt die neuen Gleichungen an der Stelle der gegebenen behandelt. Es wird angethan sein, das Problem der Elimination zunächst an zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten durchzunehmen. Dreiunddreissigste Vorlesung. Elimination bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. $ 355. Es seien zwei Functionen fi(2,, %) und fı(z,,%) der Dimensionen %” und % vorgelegt. Diese wollen wir uns nach 8& 340 bereits so zubereitet denken, dass sie die Glieder c,2,", c,2," und d,2,, d,2” enthalten. Wir wollen derartig zubereitete Funetionen kurz: präparirte nennen. KEin allgemeines, Gleichungssystem ist an sich schon präparirt. Ueber den Einfluss der vorgenommenen Transformation auf das Bestehen von Wurzeln können wir leicht in’s Klare kommen 2 wie im $ 356 gezeigt werden wird. In $ 136, Bd. I haben wir die charakteristischen Bedingungen dafür abgeleitet, dass zwei ganze Funetionen einer Variablen z f() = w an eı H G, (I) gl8) =b2" + b# + ÜEa 9 OR einen gemeinsamen Theiler besitzen. Als Resultat stellte sich heraus, dass eine gewisse ganze Function der Coefficienten @ und 0, nämlich die Resultante R,, verschwinden muss. Diese Resultante zeigte sich in den b homogen vom m' in den @ homogen vom n“" Grade und Netto, Algebra. II, 3 34 Dreiunddreissigste Vorlesung $ 355—356. in beiden Coeffieientenreihen isobarisch vom Gewichte m-n, wenn jeder Coeffieient als Gewicht den Werth seines Index erhielt. Nehmen wir nun in (1) statt z die Variable z, und setzen für die Coefficienten @ und b Funetionen einer zweiten Varlablen %, An —ı = 070 + CI/;_12'2+ G222'22+ s + Ar m— 2 Z72L_l (Ä = O‚ 1, er 777/), ( (Ä=O‚ 17"'”')7 baı =br0 + da1% + baa F F ban 2257 * dann können wir die Funetionen (1) durch richtige Wahl der az„u, b2u mit den vorgelegten Funetionen der beiden Gleichungen (3) f1(217 22) 7 O; falzı, %)= 0 identificiren; denn die Substitution von (2) in (1) liefert ja die all- gemeinste Form für zwei Funetionen m” und n“ Dimension. Tragen wir (2) auch in die Resultante K, ein, so entsteht eine Funetion von 29r welche wir die Eliminante von fi und f> in 2 nennen wollen. Da es sich hier vorläufig nur um zwei Gleichungen (3) handelt, so können wir kürzer (4) Raynl@)= R (%) schreiben. Die Bezeichnung „Resultante“ wollen wir für einen beson- deren Fall aufsparen, welcher die bisherige Benennung in sich fasst. Es bleibt R(z) natürlich auch in den a homogen vom Grade » und in den dzu, homogen vom Grade m. Hinsichtlich der Gewichte wollen wir folgende Festsetzungen machen: es möge jedem a das Gewicht (m——2A-—u), jedem bıu das Gewicht (n—1—w) beigelegt werden. Dadurch ist erreicht, dass, wenn wir %, und z je mit dem Gewichte (1) versehen, jedes Glied in M n (5) f(&1, %) =2a;_„z%.zé_‚‘‚ fa(&ı, %) =2 21+u=0 A+u= äht B bezw. das Gewicht m und x besitzt, so dass f, isobar mit dem Ge- wichte m, und f, isobar mit dem Gewichte % wird. Man kann dieselbe Bestimmung auch dadurch erreichen, dass man fi und fy durch Ein- führung einer neuen Variablen # homogen vom Grade m, bezw. %” macht und jedem Coefficienten als Gewicht den Exponenten von % giebt, der seinem Potenzproducte angehört. Dann ist es ersichtlich: R(z) ist in den Azu, bzus % isobarisch vom Gewichte mn; R(z,) steigt also in %, höchstens bis zu dem Grade mn auf. Wenn & eine Wurzel der Eliminantengleichung R(%)= 0 ist, dann haben, wegen der Eigenschaft der Resultanten, (6) (n &), fl &) Elimination bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten 35 einen gemeinsamen Factor, und also die Gleichungen in 2, (6°) f& &) 0, fal&, &) gemeinsame Wurzeln Und umgekehrt, wenn (&,, &) eine Wurzel von (3) ist, dann _ haben (6?) emeinsame Wurzeln, folglich (6) gemeinsame Factoren, und demnach ist R(&)==0. Das zeigt: Um für (3) alle Wurzeln zu finden, bestimmt man (4), sucht alle Wurzeln &, der Eliminantengleichung in %A und bestimmt zu jedem &, den grössten gemeinsamen Theiler d,(Z,, E&x) von fi(Z,, Cae) Wn /ın De) Die Wurzeln von dz =0 mögen Six, Sia, SS Dann haben wir in (ß) =6 1& > — Ce sämmtliche Wurzeln von (3) $ 356. Wir können jetzt an einem einfachen Beispiele die Wir- kung der vorläufigen Transformati®ön von $& 340 zeigen Es sei das nıcht präparirte System h=U% A=0 fa — Z E ZD2Z0 egeben Für dieses wird die Eliminantengleichung in %, R(2) = %— 4 =0 und man erhält die Wurzeln & =+1 —1; 0. Für sie gehen die Gleichungen und die Wurzeln über in —1=0 l=0 ’ (Eu> S21) = (1, 1); —4 -—1=0 >4 -1=0 (512; ?;22) a (— 1 ) 02 —1=0 02 —2=0 (E13, S3) = (00, 0) In diesem letzten Falle besteht also kein gemeinsamer Theiler zwischen f (2,, 0), fı(z,,0) im eigentlichen Sinne, und das erklärt sich durch das Auftreten einer Wurzel z, = c<o für einen endlichen Werth z = 0. In geometrischer Darstellung würde es heissen: die Curven fi=0, f =0 haben einen unendlich fernen Punkt in der Richtung einer der Coordinatenaxen gemeinsam. Bei diesen Verhältnissen kann es also geschehen, dass die Eliminanten R(z,) und R(z,) in ihren Graden nıcht ubere1nst1mmen auch wenn zu jedem &, nur ein & gehört, wel- ches mit ihm zusammen eine Wurzel bildet. So ist in unserem obigen Beispiele die Eliminante in z, nur vom zweiten Grade KO) z Um diese Ungleichmässigkeiten zu entfernen, legen wir unseren Betrachtungen präparirte Systeme zu Grunde. B81 diesen ist es näm- lich durch das Vorkommen von c,2,", 62,"; djeß , d,2,” ausgeschlossen, dass nur eine Coordinate einer Wurzel (£,, &) des Systems unendhch 3 36 Dreiunddreissigste Vorlesung $ 356—358 gross wird. Ob freilich die beiden Eliminanten von demselben Grade werden, steht auch jetzt noch nicht fest, da möglicherweise zu einem E, mehrere & ehören können, oder umgekehrt 357 Die Berechnung der zu einem &g ehörigen Werthe 6& wurde in $ 355 von der Auflösung der Gleichung dy(2,,C2«)= 0 ab- hängig gemacht Im Allgemeinen wird diese vom ersten Grade sein doch kann siıe auch zu höheren Graden aufsteigen Durch die im 149, Bd. I abgeleiteten Resultate werden wir aber der Mühe über- Dies hoben, den Teiler dg aufzusuchen und die Gleichung aufzulösen wollen wir besprechen, uns dabei aber freilich hieı wiıe auch dort auf den Fall beschränken, dass d„ von keinem höheren als dem zweiten Grade ist Wir können dann aus der dortigen Formel (12) im Falle dass d vom ersten Grade wird, das Resultat ablesen 1 Cloc Cloc R (&2«) Pn ML R (&20a) N R (&.) ( ) 2 P(C"o) R (&20) R (C2 a) Ist der Theiler d von höherem Grade so sınd natürlıch auch höhere Gleichungen aufzulösen. Die dortige Formel (16) giebt für den Fall eines quadraüschen d die beiden Wurzeln @„„‚ @ als Wurzeln von _4 OTE (8) 3“L+1 R (;" «) ‘1 (2022 R (E20) 2 + R(;„\ 20 $ 358. Die Frage, auf welche Weise die etwa vorhandenen Wur- zeln zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten zu bestimmen seien, ist durch die bisherigen Untersuchungen zwar erledigt, aber ohne dass dabei Resultate über die Anzahl der Wurzeln zu Tzwe getreten wären. Damit wollen wir uns jetzt beschäftigen Es kann vorkommen ($ 348, XI), dass überhaupt keine Wurzeln für die beiden Gleichungen (3) bestehen, wie dies ja auch schon das einfache Beispiel z A —+ 1=0 zeı1gt Es kann ferner vorkommen, dass die beiden Gleichungen un- endlich viele Wurzeln besitzen, wie dies in dem Falle eintritt, dass f, und f einen gemeinsamen Theiler aufweisen. Welches ist der, sozusagen allvemeine Fall, und wie gehen aus ihm die möglichen Besonderheiten hervor? Bei der Bildung der Eliminante R(z,) wollen wir ın allen einzelnen Elementen der Determinante (m + »„)'" Ordnung stets nur das Glied Dadurch ent- beibehalten, welches die höchste Potenz in 2, enthält steht unter Benutzung der Bezeichnungen (2) und (5) Elimination bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. 37 Aım 0 ’ a/m‚—l,l A 22 ’ am—2‚2 ß 222 ’ Ao,m ö 577 0 ] 0 ’ U, 0 > am—l‚1 - 22 ’ a1,m—1 . Zzz—1; Aom 57;L ’ bn0; Da p brz—2‚2 S 522 ’ Z)()7„ © Z'Z, 0 ? n 0, bn(); bn—1‚1 Z ı 22 - Ön DE . b0.„„ Z Multiplicirt man nun die zweite, dritte, - - - n° Zeile mit , 2*, - 2%71, dann die (n +2)°, (n +3)°, ... (n+m)® Zeile mit %, %7, zl;ä —1 so kann man aus jeder /“ Spalte 2%—1 herausziehen. Dadurch er- hält man für die Determinante den Werth 0 0 a'm0; Am—1,1 > UAm —2,2 » Aom ’ ? ? amO; 477 - 0 2 A1,m—1)> | Of)m‚' (9) 0 0 C Zg"” bn0 2 bn—1‚l ’ bn—2‚2 ’ b0‚n ? ? 5 bn0 ’ bn——1,1; b1‚n—l ’ b0n » 0 2 Hier ist der Factor von 2%" gleich der Resultante zweier Functionen x1(t) — A0 + am—l‚lt + Um —2,2 Ü + E + a0mtm; (10) XQ@) S 7On() + bn——l,lt + bn—2‚2t2 + VASEM + b0n R Die Bedeutung dieses Resultates ergiebt sich, wenn man die Funetionen fi und f nach den fallenden Dimensionen ihrer Glieder ordnet, fı = Um(81, %) F Um—ı (21, %) 4 F U, %) 4 , (11) fa Un (1 %) F Oarı C A) d s F @ 2) %; A UZı , 2a) = 202 al + 1A71 + + wnA, (12) Dr (81, %) = bzo A An zn AT r E a wobei also z. B. u alle Glieder 1'“ Dimension in z, und %, umschliesst, welche f, enthält. Hieraus entnehmen wir x @©) = um(1, £), %2(Ü n (17 t); so dass, wenn x,(£) und %, (£) keinen gemeinsamen Theiler haben, dies auch bei um(1,%), v„(1,%) und also auch bei u(2,,%) und v„(Z,, 2) niıcht vorkommt, und umgekehrt. In diesem und nur in diesem Falle, dass kein solcher Theiler besteht, ist (9) von 0 verschieden, und R(z,) erhebt sich bis zum Grade m-n. Die beiden Funetionen u (2,,2,) und v„(2,, %) sind homogen, so dass un = 0, v„= 0 die banale Wurzel (0,0) besitzen. Ausser ihr kommt nur dann eine Wurzel vor, wenn Rı ,, =0 ist. Diese Resul- 38 Dreiunddreissigste Vorlesung $ 358—360. tante wollen wir auch mit Ry,w bezeichnen und die Resultante der beiden homogenen Functionen u„ und v„, nennen. Wir haben dann das Resultat: Wenn die Resultante R„„„„„+ 0 ist, d. h. wenn kein (z,, %) ausser (0, 0) besteht, welches die Glieder höchster Dimension in f; und in f> zum Verschwinden bringt, dann und nur dann steigt die Eliminante R(z) zum Grade m-n auf. Dieser Fall kann als der allgemeine bezeichnet werden, da die beiden ganzen Funetionen (10) im Allgemeinen keine gemeinsame Wurzel besitzen. Man kann ja, selbst bei festem %, (%), das %, (£) immer noch auf unendlich viele Arten so bestimmen, dass Rı =++0 wird. $ 359. Unsere Betrachtungen zeigen ebenso, dass R(z,) im Al- gemeinen bis zum Grade m.n aufsteigt. Aber gleichwohl ist daraus direet noch kein Schluss auf die Anzahl der Wurzeln möglich. Denn es ist ja bei den präparirten Gleichungen freilich ausgeschlossen, dass zu einem % =& ein unendliches, und also nicht aus R(z,)= 0 zu entnehmendes z, eingeht; aber es wäre möglich, dass zu einem &/ mON B e undtzu &k ( olerchtalls CO gehörten. Dabei wäre die Anzahl der Wurzeln nicht zu überblicken. Dass aber die wirkliche Anzahl der endlichen Wurzeln bei präpa- rirten Gleichungen mit der Gradzahl der Eliminante R(2,) überein- stimmt, und zwar auch dann, wenn durch irgend welche Besonderheiten der Funetionen fi und fx dieser Grad geringer als m.n sein sollte, das lässt sich auf dem folgenden, von Liouville*) hierzu benutztem Wege nachweisen. Wir führen in f und in fz statt z eine neue Variable x durch die Substitutionen % = K, - A% , Z C E T (18) A ein, wobei x, 4 unbestimmte gewichtlose Parameter bedeuten, so dass also die neue Variable x auch vom Gewichte 1 wird, wie 2, und %. Da x, 4 unbestimmt sind, so entspricht jeder Wurzel (6E,, &) auch ein x — E& und umgekehrt jedem x = E& ein (6,, 6&). Zwei Wurzelpunkten ( e7) wa 66 ), die mear un beiden Coordinatenpaaren überein- stimmen, entsprechen verschiedene 5’, 5”. Wir tragen nun (13) in (3) ein; dann erhält /, als höchsten Nenner 2”, und f als höchsten Nenner Ä/L Setzen wir demnach %Z —42 Änﬁ2 (2'„ S A )=92(517 %), A e A )= 91(Z1;x)7 dann sind g, und g ganze Funetionen in 2,, %, %, A * J. d. Math. p. e. a. (1); 12 (1847), p. 68—72. Elimination bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. 39 Nun bilden wir die Eliminantengleichung (15) R91)92 (.7;') n O und betrachten eine ihrer Wurzeln &. Die beiden Funetionen g,(z,, &) und g (z,, E) besitzen dann einen gemeinsamen Factor, und daher K EW 42 E %er fl ? f2 (Zl7 A )=0 eine gemeinsame Wurzel z, =C . Folglich haben fil(%,, %)= 0, fz(&,, %) = 0 die Wurzel 2 = 5 Z =5_%. Diese Wurzel ist natürlich von x, 24 unabhängig, weil f und fz es sind. Daher muss &, von x und 2 unabhängig sein. Ferner muss (& — 6,x) setzen wir also von %x unabhängig und durch %Z theilbar sein; (E—E,x)= &1, so folgt, dass auch & von x und 2 unabhängig ist. Wir haben also , =& und &=xE, +126&. Alle Wurzeln von (15) haben die Form x=grx=%élo;+}féa; wobei Eıx, &a VOoN %* und 2 unabhängig bleiben. Hat man sämmtliche Wurzeln von (15) in der Gestalt ga(”; Ä) Za %€1a + Ä€2a (06=1‚2‚---) bestimmt, so erhält man sämmtliche Wurzeln von (3) fl %)=0, f2(51; Zz) =0 in der Gestalt (5,(1, 0), 5,(0, 1)), (%(1,0)‚ %2(07 1))7 24 Besitzt (15) den Factor (x — E) genau in der q“ Potenz, dann wollen wir das entsprechende (&,,6&) eine g-fache Wur- zel des Systems (3) nennen. Bei dieser Festsetzung giebt der Grad von Rı „(%) die Anzahl der endlichen Wurzeln des Sy- stems (3) an. $ 360. Wir setzen die Eliminante (16) P,g (@) = 09(%, 2) - &* — Q, (x,2): * 71L 0,(x, 2) : 72 — Im allgemeinen Falle ist /# = m-n. Die Wurzeln von R(x)= 0 sind von der Form x& +26&, wo E& und & endliche Grössen bedeuten. Es kann also für kein endliches Werthepaar x, 4 eine Wurzel x un- endlich gross werden. Dies müsste nun aber geschehen, wenn irgend eine Wurzel (x7, 2o) von 0,(x,2)=0 nicht zugleich Wurzel aller 91(”7 l) w O) 92(“7 Ä') SR O7 ; wäre. Die Coefficienten 0,, 0, verschwinden sonach für alle Werthsysteme, welche o,= 0 machen. 40 Dreiunddreissigste Vorlesung $ 360—361. Nach 8 348, (X) kann man daher alle irreductiblen Factoren von 0, aus 0,,02,::: herausheben. Ist dies geschehen, und bleiben dann noch weitere Factoren von 0, zurück, dann gelten dieselben Schlüsse. Wir können deshalb alle Theiler von 0,, welche überhaupt von %, 2 ab- hängen, aus allen o herausheben. Setzen wir daher R(x)= 0, so dürfen wir von vornherein die höchste Potenz von % mit einem von x und 2 freien Coefficienten versehen. Diesen können wir jetzt ım Falle unbestimmter Coefficienten az., bı leicht berechnen. Setzen wir %x —0, 1=1, dann geht x in %, und Rı „(x%) m Re,%(@) Üüber. U 9n Nach 8 358 ist in der letzten Function der höchste Coefficient £ und deswegen haben wir auch hier (17) 00 (%, 2) — Ba 94 Da die Wurzeln von (15) die Form (x&, + 2&) haben, und da ferner 01 (4, ) __ — E S(”Cloc F ÄZ2a); 00 *, 2) 02 (x, 2) O —— 00 (x, 2) AF S(*@1a 3F Äg2a) (”Ä1p* A ÄÄ2ß)‚ ist, so folgt, dass 9, homogen und linear in x, A ist, 0, homogen und quadratisch in x, A, u. s. W., unter der Voraussetzung, dass 0, bereits von x und 2 frei gemacht worden ist. Der erste Coefficient 09 hat in den az„., bıu das Gewicht 0, d61'111 nach $ 358 gehen in iılm nur Amo, Cm—1,17 ° 9 bn0; bn—l‚1; eIn, und alle diese Coeffieienten haben gemäss $ 355 das Gewicht 0. Weiter folgt dann aus den letzten Formeln, da Eg und Ex das Gewicht 1 besitzen, dass 0, isobarisch vom Gewichte 1, 0, vom Ge- wichte 2 ist u. s. f.; alles bezüglich der Coeffieientenreihen az„ und bzu. Die Substitution (13) wandelt f,, f in homogene lineare Fune- tionen der au bez. der bzu um. Leitet man nun (16) mit Hülfe der Determinantenform her ($ 151, Bd. I), dann folgt, dass (16) und also auch jedes einzelne o9, in den @u homogen vom Grade %” und in den bzu vom Grade m ıst. Wir sammeln die erhaltenen Resultate in folgenden Sätzen: Führt man bei allgemeinen Funcetionen fi, f die Substitution <13) durch und erhält dabei g,, %, SO 1st (16> Rﬂx‚ga(x) A 90(”7 ’1> ÜE 91(“7 Ä) Z + 92(“7 Ä> W vom Grade k=m-n. Sämmtliche o sind homogen in den A, vom Grade ” und in den bıu vom Grade m; ferner hat 0« in den beiden Coeffieientenreihen das Gewicht «. Es ist 0y von x und 2 unabhängig und Elimination bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. 41 R (17) 99 U n 5 nach 8 153, Bd. I ist dies eine irreductible Function. 0 1st ın den x, 4 homogen vom Grade «. Wenn für besondere Werte der a;„., bın die Grössen 05, O4> - 0u—1 identisch d. h. für alle Werte von x und 2 ver- schwinden, dann ist der von x und 2 unabhängige Theiler von 0, in allen folgenden 0.+1, Qu+2, enthalten und kann aus der Eliminantengleichung herausgehoben werden. Aus (16) folgt, wenn man 0e(%, 2) = 04“ + OXHEA F OTA setzt, eine Reihe von Formeln der Gestalt 008 (Eıx) = 04(1,0), 09 S (52x) = 01(0, 1); A $ 361. Wir können jetzt leicht die Frage entscheiden, in welcher Beziehung die Grade von Ry,,% (Z), RA (27,) und Roy,,g (x) zueimander stehen. Es ıst bereits erwähnt worden, dass durch die Annahme x=0,2=1 das R(%) in R(z%) übergeht, ohne dass der erste Coeffi- cient verschwinde. Beide Eliminanten stimmen demnach ım Grade überein, und das Gleiche gilt offenbar von R(z,), wie die Annahme x=1, 1= 0 zeigt. Denn setzen wir % — A x’”fl< %— A Bn ’ 52) 9 ( MO ) als neue Funetionen an und suchen von ihnen die Eliminante in z 2 so wird sie iıhrer Bedeutung nach mit (16) bis auf einen constanten Factor übereinstimmen, da beide &,, &, zu Wurzeln haben. Es muss aber auch hier hervorgehoben werden, dass diese Resul- tate nur für präparırte Gleichungssysteme richtig sind. Anderenfalls können R(2,), R(z) einzeln oder beide von höherem Grade werden als R(x). So hat man z. B. für fil&,, %)= 42 —1, fl %)= 244 +24 —2 die drei Eliminanten Rfufz (21) D 2'?”1 (2'1 Gr 1)? B, fı (2o) = — 22 ( — o Ra g (&) = 44 ( — x —. Aus der letzten Form ergiebt sich die einzige endliche Wurzel von f =0, gı= 0, nämlich &, =&= 1. Die Substitution von z,=0 und von 2 =0 in f und in f ruft 42 Dreiunddreissigste Vorlesung 8& 361. Vierunddreissigste Vorlesung S 362—363. f1(07 %2)= —1, f2(07 Z2) RZEr 23 f1(2/'1, O) FAnr 17 fl&,,0)=24 —2 hervor. Präparirt man dagegen zuerst f,, f durch die Substitution 21 = U, P U, — ı a so erhält man Pı (r , Uo)=Ur? — Up? —1, D(W , Uo) = U, * F U1 Ug —U Ug —U UU —2 und die Eliminanten Bnı 92 (u,) = — 8 ( — 1), B Pa (U) = — 84 geben jetzt die richtige Gradzahl 1 an. Vierunddreissigste Vorlesung. VUebergang vom allgemeinen zu besonderen Fällen. & 362. Wir haben gesehen, dass die Anzahl der Wurzeln des Systems g z (1D) fı (@1, %) =Zm7 Azu T fa (21, %) =j bzu 285 2+u=0 A+u=0 im Allgemeinen m -n beträgt, nämlich dann, wenn die @ru, b2u unbe- stimmte Grössen bedeuten, und wir haben auch erkannt, dass bei spe- ciellen Werthen von @u, bıu diese Zahl erhalten bleibt, so lange die Glieder höchster Dimensionen in den Funcetionen, also die der m“ in fi und die der n in fx, keinen gemeinsamen Wurzelpunkt besitzen. Wir bezeichnen wie früher die Polynome nach den Dimensionen geordnet (2) f (21, %) =j Un (21, 2%), fa (& %) =j U (21, %) x=0 x=0 Dann kann also eine Gradreduction nur dadurch entstehen, dass die = 0 wird. Resultante Ryy,o N Wählen wir ein solches Funetionenpaar f,, f zum Ausgangspunkte, bei welchem diese Resultante von Null verschieden, bei dem somit die Anzahl der Wurzeln m-n ist, und wandeln wir die Coefficienten von da aus in stetiger Aenderung sSo um, dass sie zu denen eines anderen Paares werden, dessen Eliminante nach % nicht bis zum Grade m:n in die Höhe geht, so ist nach $ 351 die Gradreduction durch das Un- endlichwerden von entsprechend vielen Wurzelcoordinaten z, und bei präparirten Gleichungen von entsprechend vielen Wurzeln (2,, %) zu erklären. Uebergang vom allgemeinen zu besonderen Fällen. 43 Bei geometrischer Repräsentation der Gleichungen durch Curven stellen sich die Verhältnisse recht übersichtlich dar. Haben 44 (Z,,22) und v„(2,,%) einen gemeinsamen Factor (z, — &«z), und setzt man ZI=QCOS(})‚ %2 = 08in @, dann werden durch Einführung dieser Polarcoordinat_en o und @ Fı (ı %) =0" [u.(cos , sin g) + un (c0s g, sin g) —+ ] fa(ı, %) = 0” [ w (cos @, sin ) + v.—1(cos @, sin w)% +-.J; für sehr grosse o kann man sich auf die Betrachtung der Glieder höchster Dimension, d. h. auf f1(@ı1, %) = 0" - um(cos , sin @), fa(Zı, %)=0" v (cos , sin @) beschränken. KEs liefert daher die Bestimmung cotg p = 2 : = « eine Richtung @, für welche die Curven fi= 0 und fı =0 einen und denselben unendlich fernen Punkt besitzen. Die Existenz eines solchen ist charakteristisch für die Reduction des Grades von Ra aı $ 363. Wir wollen jetzt untersuchen, welche Gradreduetion ein- tritt, wenn Un = 0 0, = 0 eine gemeinsame x-fache Wurzel besitzen, also u und v einen Faetor (2, — «%2)*. Wir können dabei x —0 setzen, weil dies ja nur auf eine lineare Transformation hinausläuft. Dann wird etwa Um(21 , 2a)ı= Am0 9R —E O A A 99 A Oa FE On (217 Z2) A bft‚0 1 an b"—1‚1 Z71L_1 Z AAA 5E b;7„_;„ ZÄ1 Z?2L_Ä; wobei i >x anzusetzen ist. E Unter dieser Annahme bilden wir die Eliminante R(z,) und behalten genau wie in $ 358 von jedem ihrer, als ganze Funetionen von z, auftretenden Elementen die Glieder höchster Dimension zurück. Dann ist die Determinante von der Form: a/m‚0; allt—l‚l'z2; an az‚m—x'zzz-x ax—l‚m—zz?zn—z; 5 a0‚m—15731_1; O bn‚0; bn—l,l'£2;"' b}_‚„_}_-ß'g_l‚ bl-—1‚n—-). Z‚{_€—Ä; PE b0‚n—122—1; 0 | | Wir gestalten sie so um, dass die zweite und die (n + 2)® Zeile mit 2,, ferner die dritte und die (% —- 3)° mit 22 u. s. w. multiplieirt wird; aus der zweiten Spalte ziehen wir dann Ba aus der dritten 2?, heraus. So entsteht Am,0 > Am—1,1 az,m—x, az—1,m—z Z_ 1; 2 a0‚m—122 1; O z‘)7l n bn‚ 0, bn—l,l ? SO b0‚n—lz—.>—1 ’ 0 . ELB, 44 Vierunddreissigste Vorlesung $ 363—366. KEs h%mdelt sich nun darum, die niedrigste Potenz von z zu be- stimmen, die bei der Entwickelung der Determinante auftritt. Offenbar sind die Elemente der x letzten Spalten durch z7* theilbar. Es tritt also jedenfalls z“ heraus, und man erkennt ohne Schwierigkeit, dass eines der dazu gehörigen Glieder, welches bei unbestimmten 07., bzu durch kein anderes zerstört werden kann, gleich MR L 6b3‚'m —% bä‚ N On,0 22 ist Folglich erscheint in R(z) die Potenz 27"—* als die höchste, d.h. haben um(2,,%) und v.(2,,%) einen Factor (g, — 0«4)* ge- meinsam, dann steigt R(z,) nur bis zum Grade (m -n — x%) auf. Wir können dies geometrisch wieder so ausdrücken, dass wir sagen: die Curven fi=0, fi=0 haben in der Richtung cotg dg — « unend- lich ferne x Punkte gemeinsam. S& 364. Wir gehen zu dem besonderen Falle x = 1, 1 — 1 über. Zieht man dabei aus der obigen Determinante den Factor z2—* der letzten Spalte heraus, dann findet man den zugehörigen Coefficienten, wenn man in der zurückbleibenden Determinante alle Glieder mit 271 unterdrückt. Hierdurch zerfällt sie aber "sofort in ein Produect einer Determinante zweiten und einer solchen (m + n — 2)“ Grades, deren Form als Coefficienten den Werth (8) R‘l’n Oa} R'/’n'‚”2 ergiebt, wenn man setzt 1 = Am0 + Am— 116 F : T Aa,m —ı frl — um(1,0), Oa — bn‚0 + bn——1‚1 b + VE + bl‚n—l frl= Un (1‚ t); U, = A1,m—ı - Aom— %, Ü2 a b1,n—1 + b0‚n—1t' Auch hier wird im Allgemeinen (3) nicht verschwinden, und auch numerische Bestimmungen lassen sich in beliebiger Menge angeben, Eine weitere Reduetion des Grades der bei denen dies nicht eintritt. Eliminante R(z) kann gemäss (3) auf zwei Arten zu Stande kommen. Die erste Möglichkeit wird durch Ra — O gegeben; das bedeutet, es haben 4 (2,, %) und v (2,,2) ausser dem einen gemeinsamen Thei- ler z, noch e inen anderen Theiler (z, — ß%) gemeinsam. Die zweite Möglichkeit wird durch Rıy, ı, —0 geliefert, d. h. durch das Bestehen : Do,n—1 Oder, was dasselbe aus- der Proportion A1m—ı : bi,n— 1ı Ao,m—ı sagt, durch das Bestehen der Gleichung Urrg (z1 , Zz)' U —1 @17 Z) ! D (&r %) 1 z=0 OLEn %) 2=0 S Nun verschwinden für z,= 0 Zähler und Nenner der linken Seite; deswegen können wir die Relation auch in der Form Uebergang vom allgemeinen zu besonderen Füällen. 45 ÖU (ı , %) Ön Cır %) 02 A 02 LA U (1 , %) z=0 Vn _1& > %) z=0 schreiben. Dies drückt, geometrisch gesprochen, ur aus, dass die zu dem gemeinsamen unendlich fern gelegenen Punkte geh örigen Asymptoten beider Curven zusammenfallen. $ 365. Das Schlussresultat von $ 363 lässt sich auch so aus- drücken, dass wir sagen: Haben u„(z,, z) und Vn(Z,, %) einen Fac- or (Z, — «2%)* gemeinsam, dann besitzen f; = 0 und o = 0 in der Richtung cotg g =« im Unendlichen x gemeinsame Punkte. Gesetzt nun, u (2,, 2) und v„(z,, %) hätten noch einen anderen Factor (Z, — ß2%)* gemeinsam, dann haben fi= 0, f;=0 auch in der Rich- tung cotg g = ß unendlich fern 4 gemeinsame Punkte. Wir machen nun von der Thatsache Gebrauch, dass der Grad der Eliminante um ebensoviele Einheiten vermindert wird, als es unendlich ferne Wurzeln giebt; dies ist dadurch sicher gestellt, dass man von dem allgemeinen Falle den Uebergang zu dem besonderen Systeme vornimmt, oder auch dadurch, dass man 2,= 0C0S®, %= o sin g einführt und die Werthe von — betrachtet. Durch diese Thatsache gelangen wir dann zu dem KErgebnisse: Haben u„(2,,z%) und V„(2,, %) einen Factor der Di- mension w gemeinsam, dann steigt die Eliminante R(z) von Ai= 0 und £=0 in 4 höchstens bis zum Grade (mn — u) auf. Wir haben diesen Satz nicht auf rein arithmetischem Wege her- geleitet. Ein Beweis desselben, der sich ausschliesslich auf determi- nanten-theoretische Betrachtungen stützt, wäre sehr erwünscht; er scheint aber nicht gerade einfach zu sein. $ 366. Wir wenden uns nun zu dem Falle, dass fi = 0 eine Wurzel (&,&) in der %-fachen, und fo= 0 dieselbe Wurzel in der /-fachen Multiplicität besitzt, und fragen, in welcher Multi plieität (&,, _C2) als Wurzel des Systems f;i=0, f2= 0 aufzufassen ist. Bevor wir dieser Frage näher treten, wollen wir, um eine spätere Unterbrechung zu vermeiden, einen für uns nothwendigen Satz aus der Theorie der Resultanten herleiten *). Wir setzen, indem wir unter @ einen willkürlichen Parameter ver- stehen, A(@) 0a 02 H H G m, (4) 9ı @007e 0 b e baa *) Fr. Meyer, Ueber die Structur der Discriminanten und Resultanten bi- närer Formen. Gött. N. 1895 Heft 1; vgl. auch ibid. Heft 2. 46 Vierunddreissigste Vorlesung $ 366 wobei % und 7 zwei posıitive ganze Zahlen sind, von denen / nicht kleiner als / sein soll. Wir schreiben die Resultante & von f und g, nach z in der gewöhnlichen Form als Determinante (m + n)“" Ord Nung indem wir unter die ersten / Zeilen mıt den Coefficienten « die S ersten & Zeilen mit den Coefficienten b _hinschreiben, nämlich 490 A0 k— 1 CO k A9O a QL—1 { Zeilen 00 b Qlk1 b 9Z—2 b,0 b‚0 k Zeilen darunter stellen wir zunächst die übrigen (n — 0) Zeilen miıt den « und zum Schlusse die übrigen (m — k) Zeilen mit den b. Nun theilen wir die Determinante in vier Theile nach dem Schema | S, S (k + 7 Zeilen) + = | | S} S, (m + n — k — 1 Zeilen) (k + 7 Spalten) (m +n — k — 1 Spalten) In den ersten / Spalten von S, stehen überhaupt nur Nullen; in jeder (1 + w«)'" Spalte von S, ist die niedrigste, in den einzelnen Elementen vorkommende Potenz von o die (k — « + 1)®; ihre Glieder enthalten gegen die entsprechenden Elemente einer beliebigen Spalte von S mindestens den Factor o*—-“+*1 mehr Die Elemente jeder (l + «) Die Glieder von Spalte von S, enthalten höchstens den Factor 0*—7“ S, enthalten o überhaupt nicht Wir berechnen nun R nach dem Laplace’schen Determinanten- zerlegungssatze Z OE aus S, S, dadurch abgeleitet werden dass WObEL SS SS man eine oder mehrere Spalten aus S, durch solche aus S, und gleich- zeitig die unter den letzteren stehenden von S, durch die unter den ersteren stehenden von S, ersetzt. Wählt man aus S, z. B. die (1 + «)® Spalte und ersetzt sie durch eine solche aus S,, so wird jedes Glied von S, hinsichtlich der vorkommenden Potenz von 9 höchstens um den Faetor 0*—“ erniedrigt; jedes Glied in Sı dagegen mindestens um den Factor o*—“+1 erhöht. Es folgt, dass die Glieder in R mit der niedrigsten Potenz von o sämmtlich in S, S, vorkommen. Als Glieder mit niedrigster Potenz von o enthält S, solche mit ©& Diese erhält man sämmtlich, wenn man in S, einfach o= 0 Ssetzt, Dadurch geht S, in die Determinante aus Uebergang vom ällgemeinen zu besonderen Fällen 47 070 Ar Aı Ar +2 0 Ur Ux+ 1 (n —1 Zeilen) b ı+ ı e 0 b Dn :( (m—k Zeilen) über, d. h. wenn wir (r‚) ak+a;„-+1?f+'-'+a‚„tm“k=zl;l(t), bz+bz+1t+"°+b„t”*l=il’2(t) setzen, in dıe Resultante R% 5Wa Bei S, ist gleichfalls das Resultat leicht zu erkennen. Denken wir uns für Ar+ 1, Ar+2, } bl+1; bl+2; wr in S, eingesetzt ax+1071, dUa-+207?, - ’ b1+19_ 9 bl-l-29— 9 :, so entsteht eine isobarische Function des Gewichtes 4&/. Diejenigen ihrer Glieder, welche ein axıı, Ar+2> ‘5 bi4+1, 0i4+2, - besitzen, haben dabei Factoren mit negativen Exponenten von o; es haben daher die in diese Glieder eintretenden Factoren, die von az+1, 3 bı41, - frei sind, für sich genommen höhere Potenzen von g als die (% - [)°. In S, haben deswegen diejenigen Glieder das Minimalgewicht % -7, welche ax+1, 0x+2, 5 041 D, gar nicht enthalten. Diese bilden demnach, wenn (6) %T ab+ : + UF = D, y A OE 9°2(Ü gesetzt wird, die Resultante Pır P2 Die Resultante der beiden Gleichungen (4) enthält nur Glieder, die mit gk*!, o4/+1, multiplicirt sind. Die mit o* multiplicirten haben als Gesammtcoefficienten das Product der beiden Resultanten (7) 'R(Pn Oa} RW17".”27 wobei die Functionen @ und % durch (6) und (5) definirt sind. Oder auch: Entwickelt man die Resultante k A9Q Ar— 10 0r Ak+1 A 0 a1 f)/c—1 (8) b0@l b19l—1 ö —- b;°_1f) .b[ bl+1 b„ (0) nach steigenden Potenzen von 0, so ist das Anfanésglied R‘/’n ( 'R‘.Ün W QLZ Hieraus findet man sofort, indem man statt o einsetzt o71: Ent- wickelt man die Resultante 48 Vierunddreissigste Vorlesung $ 366—368. Fünfunddreissigste Vorlesung $ 369 1 40 ak—l@k_ al Ur Qk Ap-4 10 + am9k O S UEa (9) b0 b19 bl 19l—1 . b;@l b'l+1@l 'bn€.)l O nach fallenden Potenzen von 0, dann ist das Anfangsglied RK/’H Pa °} Rl/"n‘/"z 0 mn— (m—k)(n—0), Ordnet man (8) derart, dass die von o freien Glieder vorn stehen und dann die Elemente nach steigenden Potenzen von o geordnet folgen, so sieht man: Die Entwickelung der Resultante !a 0 CZ Um—k Am—k+1 Ql $ 00 Ö L (10) b0 br b„_z bn—l-|-1@1 - bn0 0 1 2 nach steigenden Potenzen von o beginnt mit 'R5110'9. Z Rin'tz 8 le7 wobei zu setzen ist 6, Ü = 4a n O R Öa Tı (t> == Am-—k + Um—k-+1 ( + SA + Am tk; T (t) D bn—l + bn—l+lt + S + bzz—l D $ 367. Wir gehen jetzt zu den beiden Funetionen (1) zurück und nehmen an, dass fi= 0 die x-fache Wurzel (&, &) besitze, und dass (E, &) zugleich A-fache Wurzel von' f> =— O sei. Ohne Beschrän- kung können wir annehmen, (&,, &) seiı = (0, 0). Dann verschwinden in f alle Coefficienten au,„, in denen u - v< %, und in f alle Coeffi- cienten b„.,,, ın denen w y< ist. Bilden wir unter diesen Fest- setzungen R(z), so entsteht eine Determinante, bei deren HElementen wir nur die niedrigsten Potenzen von Z aufschreiben, die übrigen Theile dieser Elemente aber unterdrücken wollen. Man erhält dann UAm, 0> m —1,0> ax‚0; Ay—1,1%9) ax—2‚ 2 2"227 (Io)„5f_;, 0 bn107 bn—1‚0; Ab9 b2‚0; b3—1‚1 %> bz—2,2 5227 K b0‚15)%7 0 Auf diese Determinante können wir direct den letzten Satz des vorigen Paragraphen anwenden und erken nen daraus, dass in R(z,) die niedrigste Ein Hinweis auf die Liouville’sche Potenz von z die (x-1)® ist. Transformation genügt, um zu zeigen, dass (0,0) eine (x - 2)-fache Wurzel des Systems (1) werden wird. Die beiden Möglichkeiten, unter denen die Potenz von % eine Das Labatie’sche Theorem. Die Minding’sche Regel. 49 höhere werden kann, sind ihrer Bedeutung nach leicht zu unterscheiden. Die erste Möglichkeit tritt ein, wenn Am0 21 * + Am—-1,0277 *71 A a = 0, br 27 A barı 7l ... + b 0=0 eine Wurzel gemeinsam haben; die zweite, wenn dies bei 002 F Ay_ı112% 71 + - + d =0, eintritt. bo Z + bı 71 + + br =0 $ 368. Nach den bisherigen Darlegungen macht es keinen wesent- lichen Unterschied, ob fji=0, f>= 0 genau m-n oder weniger Wur- zeln besitzen, sobald man nur den Begriff von unendlich grossen Wur- zeln zulässt. Anders ist es jedoch, wenn fi=0, f;=0 mehr als m-n Wurzeln haben. Dann muss natürlich R(g,) identisch verschwinden. Ks fragt sich, was dies bedeutet. Die beiden Functionen f und f> mögen durch eine geeignete Transformation präparirt sein; wir suchen ihren gemein- samen Theiler. Gesetzt, ein solcher existirte nicht, dann könnte man f(&ı, %) P(@1, %) — aln &a) Oa @)= D (Z) bestimmen, wobei P von geringerem Grade in 2, ist als Y und O von geringerem als fi. Wählt man nun ein %, =CG&, für welches p (&)+0 ist, so können wir, weil wegen R(2,)=0 zu jedem z ein 2, besteht, welches mit jenem zusammen eine Wurzel von Z ausmacht, durch passendes (E,,&) die linke Seite zum Verschwinden bringen, während die rechte von Null verschieden bleibt. Dieser Wider- spruch fällt nur dann fort, wenn @ identisch Null ist. Dann hat aber, wegen der Grade von P und Q, die Funetion f mit g einen Factor gemeinsam vgl. 8344. Die Umkehrung des Satzes ist klar. Wir sehen: Die Existenz eines gemeinsamen Theilers von f (&1) 2) —— und f(2,,%) ist charakteristisch dafür, dass fi= 0 und f mehr als m-n und zwar unendlich viele W urzeln haben. FE SÜN EENOEONN Fünfunddreissigste Vorlesung. Die Minding’sche Regel. Das Labatie’sche Theorem. $ 369. Wie wir gesehen haben, führt die Aufstellung der Elimi- hante zur richtigen Anzahl der Wurzeln zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten, oder genauer: zur Anzahl der endlichen Wurzeln. Allein die Durchführung der dazu nothwendigen Rechnungen wird selbst bei Netto, Algebra. II. 4 :’)O> Fünfunddreissigste Vorlesung $ 369—370. niederen Graden der beiden Gleichungen von so ausserordentlicher Um- ständlichkeit, dass die Anwendung dieser theoretisch vollkommenen Methode bei einem praktisch vorliegenden KEinzelfalle kaum ın Erwä- gung zu ziehen ist. Man müsste sich deshalb, wenn weitere Hülfs- mittel nicht zu erlangen sind, im Allgemeinen darauf beschränken, das Maximum der Anzahl von Wurzeln anzugeben, trotzdem diese Anzahl bei weitem zu hoch sein kann. Diesen Uebelständen wird durch eine von Minding*) gegebene Regel abgeholfen, zu deren Ableitung wir jetzt übergehen wollen. Die- selbe fordert aber einige tiefergehende Vorbereitungen, die sich auf Reihenentwickelung von Wurzeln algebraischer Gleichungen beziehen. Es sei eine ganz beliebige algebraische Gleichung zwischen den beiden Variablen x und y gegeben (D f(x; ?/) — 07 in welcher x bis zum Grade a aufsteigen möge. Zu jedem Werthe von y gehören @ Wurzeln x von (1); diese sind nach $ 355 stetige Funetionen von y. Wir wollen annehmen, dass y über alle Grenzen hinaus wachse, und wollen das Verhalten der @ zugehörigen Wurzeln &% untersuchen. Kommen in (1) Glieder mit gleichen Potenzen von % aber ungleichen Potenzen von y vor, dann braucht man für den ersten. Schritt unserer Untersuchung nur dasjenige von diesen Gliedern bei- Unterdrückt zubehalten, welches die höchste Potenz von y besitzt. man die übrigen, so.reducirt sich (1) auf eine Function von höchstens (a + 1) Gliedern. Wir schreiben das so reducirte Polynom in der Form (2) o(x, y) = Aytar + Byba? + Oyya® + + Lytw', @>b>0> 00} Die Darstellung von x als Funetion von y soll nun durch eine nach absteigenden Potenzen von y geordnete Reihe geliefert werden. In ihr sei uy® das Glied höchster Potenz in y. Wir nennen es das Leitglied der Entwickelung, und o möge die Ordnung des zugehörigen X heissen. Setzen wir dies in (2) ein, so werden sich die Glieder höch- ster Potenzen von. y zerstören müssen. Ks müssen deshalb mindestens zwei Glieder höchster Ordnung gleichzeitig auftreten, wenn uy® wirk- lich das Leitglied einer Entwickelung abgiebt. Die Werthe von © können demnach nur solche sein, bei denen unter den G1'össen. *) Bestimmung des Grades einer durch Elimination hervorgehenden Glei- chung. J. f. M. Bd. 22 (1841), p. 178. — Entwickelung eines symmetrischen Aus- . Arucks für den Grad einer durch Elimi nation hervorgehenden Gleichung. J. f. M. Bd. 31 (1846), . 1. Die Minding’sche Regel Das Labatie’sche Theorem 51 (3) & + 4Q, ß +bo, Y +Co, A +l mindestens zwei vorhanden sind, deren Werthe übereinstimmen, und deren Werth zugleich von keinem anderen der Reihe (3) übertroffen wird. Setzt man zwei dieser Grössen einander gleich, z. B. (w + mo) und (v + n9), so folgt An — (4) m —n)? und es wird der gemeinsame Werth jener beiden Grössen M — NW ©) u +mo=v+n0= M Gefordert ist dann, dass dieser von keinem andern aus (3) x(m n) + k — w) (6) %x + ko ra übertroffen werde Ist dies der Fall dann giebt (4) eine passende Ordnung für die Entwickelung von &x $ 370. Am einfachsten lassen sich diese Verhältnisse übersehen wenn wir von einer geometrischen Darstellung Gebrauch machen, welche Newton angegeben hat, und die den Namen des Newton’schen Po- lygons führt*) In einer Hülfsebene ziehen wir zwei senkrecht auf einander stehende Axen, deren eine, etwa die horizontale, zur Darstellung der Exponenten von %, und deren andere, die verticale, zur Darstellung der Exponenten von y dienen soll Jedes der Werthepaare (a, «), (b, ß), (c, /), (2, 2) wird dann durch einen Punkt der Ebene repräsentirt Die Gerade welche die Punkte (m, u) und (n, v) mit einander verbindet, hat, wenn & und ” ihre laufenden Coordinaten bedeuten, die Gleichung (7) E —w g—mv—%p7 M Ur sie schneidet aus der durch (%, x) gehenden Senkrechten zur x-Axe das Stück WE 0 _ O A UL heraus, und die Erhebung des Schmttpunkl:es (k, n) über (k,x) be- trägt, m1t dem richtigen Vorzeichen genommen, Mv — NW U A R C y.) M —N —w Die Vergleichung dieses Werthes mit (5) und (6) zeigt, dass m N ED Pn ME J *) Newton, Opuscula; ed. Castillon, p. 12 u. 39. — Vgl. hierüber, sowie über die Entw1ckelunrr des x nach fa11enden Potenzen auch C. Jordan Cours d’analyse I, p. 89 ff. 4A# 52 Fünfunddreissigste Vorlesung $ 370—3871. nur dann ein als Exponenten des Leitgliedes brauchbares o liefern kann, wenn die gerade Linie, welche die Punkte (m,w) und (n, v) mit einander verbindet, keinen der übrigen Punkte (a,«), (b,ß),::: vom Nullpunkte trennt. Hiernach liefert eine einfache Zeichnung sofort alle überhaupt für o möglichen Werthe. Jedenfalls geht durch den äussersten nach rechts gelegenen Punkt (a,«) eine der Geraden des Newton’schen Polygons. Der äusserste auf ıhr nach Y links hin gelegene zu (2) gehörige Punkt sei etwa (d, 0). Dann kann, (a wie geometrisch klar ıst, keine weitere @3 Polygonseite durch einen der zwischen (a,«) und (d,&) liegenden System- Ö), punkt von (2) laufen. Dagegen muss (21) durch (d,0) eine zweite Gerade der angegebenen Art gezogen werden können; diese wırd eine geringere Steigung besitzen, als die erste, so dass das zu ihr gehörige o geringer ist, als das zur ersten Seite gehörige. In ähnlicher Weise kann man fortgehen, bis man zum linken Endpunkt des Polygons kommt, wel- cher auf der Verticalaxe liegt. Die letzte Seite liefert das kleinste o. Die Entfernung der Fusspunkte von (m,w) und (n,v) wollen wir die Horizontalcomponente der zugehörigen Seite nennen. Die Summe aller Horizontalceomponenten ist gleich dem Grade in %. Nach dem Dargelegten erklärt sich die Figur, welche zu O = (0= 0a a @0 — Aa A AD O(x,y) = ya) + y'a) A 2y %x + y gehört, von selbst. Sie liefert 1+30 =3+220; 0=2 =E= 3 +20'=4+0o'; R und D = U d = u'y24‚ $ 371. Wir wollen nun annehmen, es würden durch %=uy® die beiden unmittelbar aufeinander folgenden Glieder aus (3) (8) w + mo und v + (m= n + 1) einander gleich und grösser als die übrigen derselben Reihe. Das er- gäbe also o=(v—u4), und es sind sämmtliche anderen Exponenten (9) « + alv—p), ß'+' b('“'“”'); kleiner als w-+m(v—w). Die Minding’sche Regel. Das Labatie’sche Theorem. 53 Wir tragen nun in (1) ein (10) X =UYO + &, (0=v—u). Um das Resultat bequem übersehen zu können, machen wir die Sub- stitution in den beiden durch (8) angedeuteten Gliedern M(uy® + x )y“, Nuy® + &, )y” (M, N+0) und einem die simmtlichen übrigen Glieder repräsentirenden Term D(uy® + x )'y). Wir. erhalten diesen dreien entsprechend als transformirte Glieder ohne x, Mwr y„11 +mo ß Nw y v+no f (11) _D„dy(f+zl(), (m=n+1; o=v—U). Wegen (8), (9) haben die beiden ersten einen höheren Grad in y als alle anderen, welche um mindestens eine Einheit zurückstehen. Setzt man W F N (12) Mu + N= 0, E dann zerstören sich jene beiden und ein Glied der dritten Art bleibt als höchstes zurück. w soll diesen Werth (12) annehmen. Als Glieder, die x,* enthalten, finden wir in den Gliedern (11) MO D N U D (m=n+1; 0o=v—u). Die beiden ersten liefern gleiche, und zwar die höchsten Potenzen in y. Ihr Aggregat kann nicht verschwinden, da sonst wegen (12) auch M und N gleich 0 wären. Als Glieder mit x,” werden ebenso gefunden, M (m) wr —?_y‚u+(m—2)g .i(712, N (%) '“„__2 y„+(n_2)@ x12, d (m=n+1; o9o=v—u). © 2 ) u da Hog Auch hier erkennt man sofort, dass die beiden ersten Glieder unter allen denen mit x,* die höchsten Grade in y liefern. Beim Newton’schen Polygon der Gleichung in xz, und y kommen also für den Abschluss links drei Systempunkte in Frage 03) © 0 4 do)s 1, w + (m — 1)o); @2, w + (m — 2)o). Bestimmt man demgemäss x, = u,y%, so kommen als kleinste Werthe von 0, in Betracht die, für welche Q ar A @— o =0 0 Ln und an zweiter Stelle die, für welche 0, =(d0+do) —‚(" +mo)+o0 201 4 4 F (m — 2)0 = u + (m — 1)o d. h. N Q ıst Daraus folgt: Die letzte Polygonseite verbindet die beiden ersten 54 Fünfunddreissigste Vorlesung 8& 371—378. Systempunkte (13); sie liefert wegen (9) ein 0, <o. Die vorhergehende Seite liefert ein 0,, welches mindestens = 0 ist. Da nun eine Weiter- entwickelung %= uy® + u„y® + %, nur dann einen Sinn hat, wenn 0,< hat, so erkennt man, dass diese Entwickelung nur auf eine einzige Art mit einem ganzzahligen 0, < o fortgeführt werden kann. Macht man die Substitution %x = uy® + u,y® + x in (1), dann wiederholen sich alle besprochenen Schlüsse. Ferner ist aber ersicht- lich, dass durch unsere neue Transformation gegen (10) keine höheren Grade in y eingeführt werden; man braucht nur %, = u,Y% + x in die transformirte Gleichung zu setzen, um das einzusehen. Bei passender, der Annahme (12) entsprechender Wahl kann man das nunmehr höchste Glied in y tilgen, u.s. f._So folgt: Durch eine Substitution (14) Z= uy + uy“ + y + + Wle ist es möglich, die Gleichung f(z,y)= 0 bis auf Glieder zu befriedigen, die in y von niederer als der r“ Potenz sind, wobei ” eine beliebıg hohe negative Zahl bedeutet; oder auch: durch die Substitution (15) D = UyO + U,Y% + 9y# F E 02 A Xarı geht f(x,y) in ein fzrıl@z+1,y) über, welches nur Potenzen y—r——l’ y—7‘—2‚ in endlicher Anzahl besitzt. $ 372. Wir gehen nun zu dem allgemeinsten Falle über. Eine Seite des Newton’schen Polygons möge sich vom Punkte (m, w) bis zum Punkte (%,v) von rechts nach links erstrecken, und zwar möge m = (n + 6) seim. Wenn ferner %x == uy?® eingesetzt wird, sollen die auf dieser Seite liegenden Eckpunkte die höchsten Potenzen von y aufweisen. Es muss also v w == z 2 (8°) mo+uw=n0-+v, TE l (v—u=T, 0=9g7) sein, wobei X die kleinste Benennung des Bruches o angiebt. Kommt zwischen den beiden Grenzpunkten der Seite noch ein anderer System- punkt (m’, w’) auf ihr vor, so ist mo + uw= m9 +w'; (m — m’)p = (W — W)9, und da y und g theilerfremd sind, so muss es eine ganze Zahl % geben, für welche m =m—hg, uw= u + hp wird. Die höchsten Potenzen von y werden also durch Glieder (16) M«/nny}t + M/ xm—q?/‚u+p + M//%.m——2 Q .’E‘“+2 D + An + Nxzm— a ty‚u+pt geliefert. Die übrigen Systempunkte mögen generell durch Datyd Die Minding’sche Regel. Das Labatie’sche Theorem. 55 bezeichnet werden. Jetzt machen wır die Substitution Q (10°) X = U + z, (0— ) q und erhalten als transformirte Glieder ohne &, Mw" y‚u +om A _Z][’„m—q y‚l( +Fom 2 ? Nu”—a7? y# + m} (11%) Dutyd+04, als solche mit x,* muwr—1 y,u+q (m—1) , a M/(m Ba q)um—q—l ?/‘“+Q (m—1) , d (11) u. s. w. Dabei ist WDa Ag (17) @+ om>d+ od, @ o 1) >0 DW 1), Das Aggregat der ersten Glieder in (11®*) wird verschwinden, wenn w eine Wurzel der Gleichung (12%) Mwt + M'ur—de + M'uc—da L ... + N=0 ist Man überzeugt sich sofort davon, dass für eine k-fache Wurzel von (12°) auch die zu (16) gehörigen Glieder mit %,, x,*, Da verschwinden, während die mit x* von Null verschieden bleiben. Giebt man dem w in (10*) alle Wurzelwerthe von (12*) und rechnet jeden in der Multiplicität, mıt welcher er als Wurzel auftritt, dann giebt es tq= 6 Entwickelungsmöglichkeiten (10*) von x, bei denen die Seite von (m, w). bis (n,v) das leitende Glied liefert. Führt man dies Verfahren bei allen übrigen Polygonseiten durch, so kommt man zu genau so vielen KEntwickelungsanfängen, als der Grad von (1) in x angiebt. $ 373. Wir legen jetzt eine /%-fache Wurzel von (12*) den wei- teren Betrachtungen zu Grunde. Es werden dann, wenn wir (1) durch (10®) transformiren, in dem neuen Polynome fi(x,,y) aus dem Aggregate der zu (m,w)-:-(n,v) gehörigen Glieder diejenigen verschwinden, welche mit x,°, x - + + *— multiplicirt vorkommen würden; dagegen ist der Coefficient des mit x* multiplieirten Gliedes von Null verschieden. Es sind die Coeffi- cienten, wenn man die höchsten Glieder in y heraushebt, von D gleich Du®% . y)ıFoS: xl„—1 gleich D <k‘_l 1) Urn d H@ n k gleich (M("f) wr L ’ (";g) w ) „ yuto m— mM AD gleich (M ( ALa > um—k—1 + M (]„ﬁ 1) uyn'—k—l + N ) E y‚u+Q (m—k—1)y oder, wenn dieses Glied verschwindet, d gmhlm k+1 ) ud— AL . yd+o(d—k—n) 56 Fünfunddreissigste Vorlesung $ 373—374. Würde eine Seite des Newton’schen Polygons nach ihrer Hori- zontalcomponente von (& + 1) bis (%) gehen, dann müsste in %, = u yı Q 1D pr @— 0 baa A a =0 oder bei Eintreten der zweiten eben erwähnten Eventualität o (h& — 1) 3FT od—k—1U) =erk + olm —k) dh. 0,>0 gesetzt werden, wie aus (17) folgt, da ja hier 9,= 0 + [(w + om) — (0 + 0d)] sein würde. Machen wir die gleiche Substitution, um die Steigung der Polygonseite zu erhalten, deren Horizontalcomponente von (£) bis (k — «) geht, (x= 1,2,-..k), so ist zu setzen ok + u + olm—%)= 09,.(k—a) + 3 + o(m—k+«) d.h. 0,<o, da ja hier (18) @1=9—%[(u+@7%)—(5+@d)] sein wiırd. Dies zeigt, dass eine Seite des Polygons ihren linken End punkt in (k, w + o(m — k)) hat, und dass die links davon liegenden Seiten, deren Horizontaleomponenten zusammen /% betragen, sämmtlich durch Substitutionen %, =u, y befriedigt werden, bei denen 0, < © ist. Den Schlusssätzen des vorigen Paragraphen gemäss giebt es also k und auch nur % Entwickelungen % = uy® + u„y*, bei denen 0,< wird. Das ist so zu denken, dass für die Horizontalcomponente von (&%) bis (0) entweder % Seiten bestehen von der Länge 1 der Horizontalcom- ponente, oder auch weniger Seiten mıt grösserer Horizontalausdehnung. Wir wollen allgemein annehmen, dass eine der Seiten betrachtet werde, welche von (m,) bis (m, — 6,) sich erstreckt. Dabei ist natürlich 6, <khk<t; demn (12°) kann Wurzeln höchstens ın der z-fachen Multi- plicität besitzen. Das zugehörige 0, wird nach (18) den Nenner o, haben; wir setzen es, auf seine kleinste Benennung gebracht, (19) Q, B ’ 6, — Yı71) alko aua <0e= 0< 4: Von hier ab wiederholen sich die früheren Schlüsse. Der Werth von u‚ wird durch eine Gleichung bestimmt werden, welche der Gleichung (12*) entspricht, (12”) M1%'5191 + M{u(fx*“b?1 + GE + N1 — O‚ bei der die Multiplicität einer Wurzel die Ordnung r, nicht übertreffen kann, u. s. W. Transformirt man dann fi(x,,y) durch %ı = UL Y A %, so kommt man zu fz(%,y) u.s.f. Die neue Substitution %, = U,Y» Das Labatie’sche T'heorem. 57 Die Minding’sche Regel. führt auf 0,< 0,; bringt man 0, auf die kleinste Benennung %: q und setzt q-dq,- an, So wird dies wieder <a, u.s.f. So folgt, dass die Nenner qg, qı, Q, nicht alle grösser als 1 sein können. Von Führt man einer gewissen Stelle ab werden alle q gleich 1 sein. fL/ — :)791'99."'97« in (1) ein, wobei q„ der letzte Nenner ist, der die Einheit übertrifft, so wiırd f(@x, y) = @(z, n) werden, derart, dass die Eintwickelung der entsprechenden Wurzel von o = 0 nur ganze Potenzen von n enthält. Ja, wenn man alle @ Ent- wickelungen ın Betracht zieht, kann man z so bestimmen, dass sämmtliche @ Entwickelungen der Wur- zeln x von f(x,n°%)= 0 nur nach ganzen, abnehmenden Po- tenzen von n fortschreiten. Bevor wir diese letzte Kigenschaft bewiesen hatten, war es noch nicht möglich, zu erkennen, dass durch eine Substitution (14) Glieder in y getilgt werden konnten, derart, dass nur niedere Potenzen als y vorkommen; denn bei jedem Fortschritte der Substitution hätten durch neue Nenner des o neue Glieder eingeführt werden können, deren Exponenten zwar abnehmen müssen, aber sich doch einer festen Grenze hätten nähern können. Das ist jetzt ausgeschlossen, da kein KExponent einen Nenner > Q haben kann. Der Schlusssatz aus $ 371 gilt in jedem Falle. Nun denken wir uns (1) nach x aufgelöst; die @ Wurzeln werden Funetionen von y sein; man nennt sie algebraische Funetionen. Be- zeichnen wir sie mit w,(y), w,(y), w.(y), SO ist (20) f(@,9) = C) : @ — 0, (9)) @ — w,(9)) - @ — w(9)), wenn C,(y) den Coefficienten von x“ in f(x,y) bedeutet. Entwickelt man ferner alle o nach fallenden Potenzen von y in Potenzreihen und setzt dies, sowie einen der Werthe (14) in (20) ein, so muss in dem Producte rechts jede Potenz von y, die höher als y—” ist, verschwinden. Also stimmt (14) mit den Entwickelungen eines @ in den ersten Glie- dern überein, und diese Uebereinstimmung kann durch Vergrösserung von r beliebig weit getrieben werden. So erkennt man: Die Reihen (14) liefern die Anfangsglieder der Reihenentwickelungen dr z on $ 374. Durch diese Resultate haben wir die Mittel in Händen, die zu Anfang dieser Vorlesung aufgeworfene Frage zu erledigen. 58 Fünfunddreissigste Vorlesung $ 374—8375. Wir sahen ($ 136, Bd. I), dass die Resultante von f(x> Da aozm _l__ alzm—l + CL2Zm_2 + d + O g(e)= b# + bzgt-t + bgr + + Da durch die Formel bestimmt ist _ Ryy = ygl@,) gl@) : - g(0m) = (— 1DEF (B F (Ba) : F (Ba), in welcher die x die Wurzeln von f=0, die ß die Wurzeln von g= 0 bezeichnen. Wenden wir dies auf die beiden Gleichungen f(x7 y) Ga 07 9(x;.7/)=0 an, und nennen %,, %,, : %m die Wurzeln x von f @, y)= © er mn bestimmten y, und E, &, --- &, diejenigen von g(x, y)= 0; ferner ay(y) und b,(y) die höchsten Coefficienten von f und von g, so folgt Rıg (y) = wr(y) - g(@,, y) I& Y) + I(Xm; Y) (21) — (— 1yn omy) FE FE 9) s FEn Y) als Eliminante. Hat man die Anfangsglieder der Reihenentwickelungen der x; und der E& nach fallenden Potenzen von y, so giebt jeder der beiden Ausdrücke in (21) ein bequemes Mittel, den Grad von R zu bestimmen, da ja die Gradbestimmung jedes einzelnen Factors ohne Mühe geliefert werden kann. Jeder dieser Grade ist eine ganze oder gebrochene positive Zahl, weil die az in y mindestens den Grad Null haben. Ihre Summe ist eine positive Zahl, welche wegen der Bedeu- tung von R auch ganz sein muss. Führt man hinlänglich viele Glie- der der Entwickelungen ein, so kann man auf diesem Wege sogar die gesammte Eliminante herstellen. Nehmen wir, um das Verfahren an einem Beispiele zu erläutern, etwa wie ın $ 370 o = 0 —e - @— 208 O so haben wir dafür 1 V B Hierzu nehmen wir als zweite Funetion g(x, y) = 9 + 1a + * — 2y + 3)x + Qy* + y — 2), und dann ergiebt sich für die Gradbestimmung von Rr 9(y) [a (y)]1= 1; [9(x17 y)] TEn 6; [9('”27 ?/>] n [9(x3: y)] W 4; [BrsY)l=2+6+4+4=—16; also tritt gegen das Product der Dimensionen eine Verminderung der Wurzelanzahl um 4 ein. Die Minding’sche Regel. Das Labatie’sche Theorem. 5 Wenn wir dasselbe Verfahren auf R/,(x) anwenden, ergiebt sich Va R :]]1—-—____x2_.‚._...‚ y2=l/_]_.a;'_?'__.l_...‚ yä_—__‘l/__—_lx?+) y4=1_l_ [a (2)]=0, [g@, yı)=8, [, y)]=[Il &, n)]=3, [I@&, y=2. O20 Z Im Allgemeinen genügt es, die Werthe der leitenden Exponenten zu kennen, um die Gradzahlen zu bestimmen; doch kann es vorkommen, dass man mehrere Glieder der Entwickelung braucht. Dies tritt ein, wenn in g(x%,,y) durch Einsetzen von %, = uy® die höchsten vorkom- menden Glieder in y vermöge des besonderen Werthes zerstören *). Vvon w sich $ 375. Obwohl das angegebene Verfahren hinsichtlich der Leich- tigkeit der Rechnung nichts zu wünschen übrig lässt, so führt es doch nicht auf einen Ausdruck, welcher aus den durch beide Gleichungen gelieferten Elementen symmetrisch zusammengesetzt wäre. Ein solcher soll jetzt abgeleitet werden. Wir gehen dazu auf die Resultantenform (3) aus $ 136, Bd. I zurück, setzen statt der « die x2, d. h. die Wurzeln von f(x,y)= 0 bei unbestimmten y und statt der ß, die E, d. h. die Wurzeln von g(@, y)= 0 ein. So kommt Bı gY) — a5(9) 00 (9) (& — E1) (& — E&) + (& — En) ° . (xm F 81) '(xm —‘ %2) An (xm._‘. gn)‘ heraus, und für die x72, E, tragen wir die Entwickelungen nach fallen- den Potenzen in y ein. Dann ist der Grad einer jeden Differenz (%2 — Eu) durch den Grad desjenigen der Elemente bestimmt, welches *) Magnus hat J. f.M. Bd. 26, p. 365 die Methode als incorrect angegriffen. Sobald man auf die letzte oben gemachten Bemerkungen achtet, ist sie vollkommen correct. Das von Magnus gegebene Beispiel, bei welchem die Ordnungen un- richtig werden sollen, ist f(@,y) = *— (Ty — 7)@* + (14y* — 30y 4 7)% — 8y® + 20y* + 183y — 15 —0, I(@, Y) = %— (6Y — 4)x+8y*— 12y +5=0. Falls man als Wurzeln der ersten Gleichung annimmt S Y F %, 't'2=2y—6—{—502'‚ w8=4y_2+xs’a ergiebt sich richtig [B , W = 3, Vgl. J. f. M. 27 (1844), p. 379. 60 Fünfunddreissigste Vorlesung $ 375—876. den höheren Grad in y besitzt. Sind x, und &, von gleichem Grade, dann müssen die Entwickelungen so weit getrieben werden, dass (x2 — Eu) in seinem nicht verschwindenden leitenden Gliede bekannt ıst Es sei [l = Y [Em] Q Dieve ’ sowie die 0;, 02, mögen in eine einzige Reihe von nicht abnehmenden Gliedern eingeordnet sein. Dann sind so viele von MOS den Differenzen (x; — E&u) vom Grade r7„, als Grössen 0,, 0, handen sind, die kleinere Werthe als 7, haben. Setzen wir also fest, dass %, bedeuten soll, wie viele unter den Grössen 0,, 02,::: kleiner sind als 72; und xg, wie viele unter den Grössen r,,7z, . kleiner sınd als 0x, (wobei man i. A. für gleiche Grade nach Belieben die 7„ den 0« vor- oder nachsetzen kann), dann wird die Gradbestimmung der Eliminante durch die symmetrisch gebaute Formel geliefert [B 4] = nla + mb +D kara +D a00- In dem von uns oben behandelten Beispiele ıst al 1 91 17 92_17 2 = O UE 25 [a ] = 15 7‘1 C k = 0, b = 03 ar — N == 2° [bo] =23£ [FLE A 2 & 376. Eine Methode der Eliminantenberechnung ist, wie ange- deutet wurde, in dem Besprochenen enthalten. Wir wollen hier noch eine andere kurz herleiten, welche von Labatie*) angegeben worden ıst Sie geht von dem Algorithmus der Bestimmung des grössten ge- meinsamen Theilers aus. Sind die beiden vorgelegten Gleichungen f(517 Z2) A O: f’1(51; 2'2) a O7 (22) dann kann man auf rationalem Wege den grössten gemeinsamen Theiler f(2,, z) der beiden Polynome f und fr bestimmen und f(2,, %) = (& %) fr& Z)5 f& %) = O1 (&, 2a) fr (21, %) ansetzen. Jede Wurzel von f.= 0O ist auch eine Wurzel von (22); neben diese treten die Wurzeln von ‘P=O‚ f7:O und D O; f7= 07 welche zwar unter jenen schon vorkommen, die aber doch die Multi- plicität der betreffenden Wurzeln von f£;= 0 beeinflussen; und ferner noch die V_Vurzeln der beiden Gleichungen *) Labatie, Methode d’6limination par le plus grand commun diviseur en- Paris 1885. Bachelier. tierement rectifige et appliquee ete. Das Labatie’sche Theorem 61 Die Minding’sche Regel Ol A)=0 O (2,%)=0 deren Polynome zu einander theilerfremd sind. Diese bilden natürlich den Haupttheil der Untersuchung, und ihnen wollen wir uns zuwenden indem wir voraussetzen, dass (22) schon von gemeinsamen Factoren der Polynome befreit wäre Wir verwenden die Resultate von $ 345. Die dortige Formel (5) giebt f = f fa® , f = ıl fs®3 , %ı = f93 f4‘P—u f_91/}‚ 9—f/ 19/—1 ' ? wobei f;= 1 gesetzt ist Die %, ©3, Pr} ı, U, Y sınd ganze Funectionen von % allein meinsamen Theiler Wir können %, und Da-t+-2 Ohne ge- annehmen Denn haben beide Funetionen einen solchen, so hat ihn auch ean Oln Nun sind aber ($ 345) die fz als derartige Funetionen vorausgesetzt, dass sie keinen von z, freien Fac- tor besitzen; demnach haben ıx » Pa-+2, Ja-+1 einen gemeinsamen Theiler, und mit d1esem kann dann die ganze Gleichung durchdividirt werden. Wir bezeichnen nun den grössten gemeinsamen Theiler von U, 93 mit dpz; W, A und Ps sind ganz und theilerfremd A d, Yı U ? ” d, ı V ” Pa ” 2 2 ” dl d, d, d, K 'l/’1 % Vs Ps n ’ » ” d37 na ” Z ” ” ” ” d; wobei zu bemerken ist, dass wir d, — 1 hätten setzen können Wir entnehmen ferner aus 8 345 (9), (10) (23) (11}1 1p2 ıf = Sapı c fa — Oarı Sı farı, (24) (ı a Man f Oı+ı Za fatrı, (25) In fi8ı = — (D q91)fh (26) N fı = — P2P3 7 Wir beweisen nun die fol genden Sätze: Die Funetion Sı+1 ist durch das Produect d,.d, + dı 1 theilbar. Wir nehmen an, der Satz wäre für Sı und d‚ d, - d1_2 schon bewiesen. Dann folgt aus (23) Yı o E a — A e Erg Sarı pa Sa (27) d, d A—1 d,d, d, fz+1‚ On ran hier ist nach der Definition der d; die linke Seite oanz ebenso nach 62 Fünfunddreissigste Vorlesung $ 376. Sechsunddreissigste Vorlesung 8 377. Definition und nach der letzten Voraussetzung der zweite Summand Da aber fz7 keinen von z, un- der rechten Seite; also auch der erste. abhängigen Theiler besitzt, so ist Sı,+1 durch d,d,-:-dz_1 theilbar. Der Satz gilt daher allgemein, wenn er für 1==2 richtig ist, wenn also S, durch d, = 1 sich theilen lässt. Das ist aber selbstverständlich. Ebenso ist die Funetion Zz+1 durch das Produet d,d, - - dz_ theilbar. Das folgt ebenso aus a Trı f} Q 2 (28) d da + da 1fl=d %l d 1 T O d f1+1 d Wir können demnach aus (25) und (26) die Gleichungen folgern D 2 S, BA Pa Pz (29) fdld2_fd‚__;_fldldg...d‚_ k - a d; A S r 7 Pı Ps Pr (30) fdld2n»d 2*—fläl_d'2„.d 1 @ d r—2 Aus den vier letzten Gleichungen lassen sich die Labatie’schen Resultate ablesen. (30) zeigt, dass jede Wurzel (6&,,&) von (22) min- destens einen der Quotienten Pz z Pa P, (31) H d_17 a W welche sämmtlich ganze Funetionen von z allein sind, zum Verschwinden DAn die erste der Functionen (31), die für %A=&% bringt. KEs sei dr_ zeigt (29), dass fz(E&,&)=0 ist. Demnach wird gleich 0 wird. Dann L für (&,&) sein müssen f7=0 2 n DAn Wenn umgekehrt (6,, &) gleichzeitig die Funetionen fz und d, l zu Null macht, dann zeigen (27) und (28), dass für (£,, &) auch Yıa Ya d W, V * 1pl—l 'f1 d dn E d1d2"'d; verschwinden. Der erste Factor jedes dieser Producte ist relativ prim AAn Z und daher nicht gleich 0 für % = %. Deswegen wird Z %. fF(E&, &)=0 und fi(E&,&)=0. Somit gilt der Satz: Jede Wurzel von (22) befriedigt mindestens eins der Gleichungssysteme (32) fıl2,,%)= 0, D (Z) =0 (Ä=172;' r—U; d _1 (%) und umgekehrt liefern die Wurzeln von (32) sämmtliche Wurzeln von (22). D} Symmetrische Functionen mehrerer Grössenreihen. I Sechsunddreissigste Vorlesung. Symmetrische Functionen mehrerer Grössenreihen. $& 377. Wie bei zwei Gleichungen mit einer Unbekannten, so kann man auch bei drei Gleichungen mit zwei Unbekannten nach den charakteristischen Bedingungen für das Bestehen gemeinsamer Wurzeln fragen. Wenn f(217 Z2) O 07 .9(21) Z2) Ar O7 h(21,%)= 0 die drei Gleichungen sind, und f= 0, g=0 eine endliche Anzahl von Wurzeln 6115 Ej2, Sa2; - Eır Cox haben, dann besteht die ge- suchte Bedingung offenbar darin, dass die „Resultante“ M(Er1) Sar) A(Esa, Ep2) + A(Eın, Eax)= 0 Sse1l Diese Funetion links hat die HEigenthümlichkeit, dass sie sich nicht ändert, wenn man die zweiten Indices der &,, & beliebig unter einander vertauscht. Hierdurch kommt man zu dem Begriffe der sym- metrischen Functionen von zwei Grössenreihen; und schon durch die soeben gegebenen Andeutungen wird ihre Bedeutung für die Theorie von Gleichungssystemen ersichtlich. Allgemein könnte man symmetrische Funetionen von beliebig vielen Grössenreihen definiren und studiren; wir ziehen es aber vor, die Theorie für drei Reihen von je k& Grössen (I) CZ (%'2‚ y2; Z2); e (xk7 Yı Z’») durchzuführen, da es hierbei schon völlig klar wird, wie die Resultate auf mehr Reihen zu übertragen sind, und da andererseits die Darstellung durch diese Beschränkung an Einfachheit gewinnt. Wir nennen eine Funetion der unbestimmten Grössen (1) dann eine symmetrische Function dieser drei Reihen, wenn sie ihre Form bei jeder Vertauschung der unteren Indices 1 ‚2,---k beibehält, oder, was das Gleiche aussagt, bei jeder Vertauschung der Tripel (1). Jede ganze Funetion dieser Eigenschaft heisst eine ganze symme- trische Funetion; jede ganze symmetrische Funetion, deren Glieder sämmtlich durch Vertauschung der Indices aus einem ihrer Glieder hergeleitet werden können, heisst eine ein typige symmetrische Function. Daraus folgt, dass jede ganze symmetrische Funetion als Summe von eintypigen symmetrischen Functionen dargestellt werden kann, so dass es ausreicht, statt allgemein ganze symmetrische Fune- tionen zu betrachten, allein eintypige zu untersuchen. So lange nur ein System von Grössen gegeben war, 2,, %97 ** Zks hatten wir als elementare symmetrische Funetionen diejenigen. hervor- gehoben, welche von einer der Formen 64 Sechsunddreissigste Vorlesung 8 377—379. S(&.) = 6, S(2,%) = G, S S(5152 Z]„)=Cl„ waren, also diejenigen eintypigen, bei denen in jedem Summanden nur verschiedene untere Indices vorkommen. In ähnlicher Weise wollen wir hier elementare symmetrische Functionen der drei Reihen Xay Yay Zu diejenıigen eintypigen nennen, in denen kein Summand den gleichen unteren Index mehrere Male besitzt. Die Bezeichnung ge- schieht am einfachsten mıt Hülfe dieser Indices S(&,) = 6400 S(yı) = 0> S(21) = %> S(X, %) = C997 S(yıYo) = C207 S(2,%) = %02 (2) S(%,Yo) = G40) S(%,%) = G017 S(y1%) = C157 S(%, 4 Ba Ya-tpı 7 Ya Batrß+L 7 Bafpty) = Caßy- Dass unsere Definitionen für eine und für mehrere Reihen wirk- lich analoge Bildungen aufweisen, zeigt auch die folgende Betrachtung. Wir verstehen unter x, A, w willkürliche Parameter und bezeichnen (3) ta — XXa + Äya + UZa (“=1727"'7‘“'>3 die symmetrischen Funetionen der (3) nennen wir (4) S(tl) A S(th) = Ya S(t1 732t3) 9 und finden dann für sıe Vı = %C00 4 ACo10 F U Coo1> 6) Va ’f202.00 + “.'101.10 + °f(*c.101 + ./120.02„ + fll’“.0011.+.l*2.0002.; yw=2x9}„"yﬁce„‚ (9+6+77=m); so dass also die symmetrischen elementaren Funetionen der Grössen (3) linear durch die der Reihen (1) dargestellt werden können. Wir wollen weiter auch Functionen einführen, welche den Potenz- Diese Sg summen einer Reihe von Grössen sx = S(z%) entsprechen. sind solche eintypige Funetionen, bei denen nur ein einziger unterer Dieselbe Definition behalten wir Index in jedem Summanden auftritt. hier bei und setzen in entsprechender Weise (6) S(a4y5 8) = Saı SOI Bezeichnen wir die Potenzsummen der %„ mit 6,, 0, 03, ’ kennen wir leicht, dass die 0 sämmtlich linear aus den S%g, zusammen- gesetzt sind. KEs wird nämlich 01 — S1090 + AS910 7 W Soo1> (7) f72 r ’f25200 '+“ .2"'.1311'0 + 2."(“‘.3101. + Ä2.302(.)'“T'“- 2%!’«?()11.+'!"2.3002.7 AA @! S el x& AI [«L1 S @ H9 7=0) Symmetrische Functionen mehrerer Grössenreihen. 65 $ 378. Die in $ 93, Bd. I aufgestellte Formel (7) liefert die Darstellungen der 6„ durch die v. Trägt man in diese Formeln die Werthe (7) und (5) ein und setzt die Coefficienten gleicher Potenz- producte von x, A, w rechts und links einander gleich, so erhält man die S2gy sämmtlich durch die Czßy ayusgedrückt. So erhält man hei- spielsweise die Resultate S100 — CGi00» Sa00 = Cioo — 20200, S110 — C00 %10 — C110 > (8) S8300 = Cibo — 3C200C100 4 3C800 > Sa10= CivoCo10 C300 C010 — C110 6100 F C107 28111 = 2600C010%o1 — C00C11 C910 C101 Co01 C110 F C115 Die letzte Formel zeigt, dass die s hierbei nicht nothwendig ganzzahlige ganze Funetionen der c zu werden brauchen. (Vgl.‘ 8 385.) Umgekehrt giebt die Formel (10) aus 8 94 Bd.I die Darstellung der x durch die 6„ und damit diejenige der Cxßy durch die Sxp,. So erhält man z. B. C100 — S1007 C910 . So10 > 2 C900 = S10 — S200 ; C110 — Si008010 — S1107 (9) 66300 = Stbo — 381008200 + 28309 26210 = St008010 — 281008110 — Sox0S200 F 25910 Can — S100 Sor0Soo1 — St100$101 — Soo1 S101 — Soox S10 F 28111 , KEs ist nicht schwierig, mit Hülfe von (7), 8 92 Bd.I und (10), $ 94 Bd.TI die zu (8) und (9) gehörigen allgemeinen Ausdrücke ex- plieit darzustellen; doch hat das für uns keinen Zweck. KEbenso können aus allen, früher für eine Variablenreihe auf- gestellten Formeln durch Eintragung der y und der 6 neue hierher gehörige Beziehungen hergeleitet werden. So ergiebt z. B. die Formel Oa+k — Yıla+—1 7 Yada+t+k—-2 — * - 402 = 0 unter anderen die Recursionsformel (“ 3F 3)3a+2‚1‚0= (06 + 2>01003a+1‚1‚0+00103a+2,0‚0"_020030:‚1‚0_01105a+1‚0‚0 . $ 379. Den Betrachtungen in $ 96, Bd. I entsprechen jetzt ähn- liche, mit deren Hülfe es gelingt, alle eintypigen Funetionen durch die Potenzsummen 52g und folglich nach dem vorigen Paragraphen auch durch die Caßy darzustellen. Man hat zunächst, wenn (& — 0) (ß, — Bß) 7ı —N)+0 ist Z die Formel Sla yben) Slapylıap) = Sla aybchhamn) + S (geylen aag und also daraus Netto, Algebra, IT 66 Sechsunddreissigste Vorlesung $ 379—380. S(atıybı zl deybaz) = S(atyhah) Siapypar) — S (gn ayl T2 E 7) (10) A sa1ß1'}’1 S“aßz)’z C s“1+“2‚ ﬁ1+ßn Yıt Ya Wenn alle Differenzen &, — &, ßı —B Yı — Va Null werden, dann und nur dann tritt in der vorletzten Formel eine Aenderung ein, indem der letzte Summand der rechten Seite in 2S(xt yıg xaylızh) üÜber- geht. Man hat deshalb als Ergänzungsformel Bz7) — (10°) S(atyk 2y S ;7 [Säßy AI 820‘12P)12}'] S Mit Hülfe von (10) und (10°) kann man sonach sämmtliche eintypigen ganzen symmetrischen Funetionen darstellen, in deren einzelne Glieder nicht mehr als zwei untere Indices eingehen. Die Methode für den weiteren Fortschritt ist jetzt ersichtlich. Sind die drei Tripel &,, ß,,Y7ı; &X> Bay Vaj Us) P, V3 MOM einander verschieden, d. h. so beschaffen, dass nicht gleichzeitig die drei Ele- mente des einen gleich den drei entsprechenden eines anderen sind, dann ergiebt sich S(x‘1‘1 y{2’1 z};1 x‘äz y[jz g}22> S(x‘;'a y(f: z};::> =— S(x‘;x &s y/51 +ß3 5{1+ Y3 xé‘n ?/€227;2> + S(x‘;ü y{fx ;‚ﬁix x‘;z+ &3 y(jz+ ßa z}? al ')’3) + S(_;(;‘fl y(51 g};1 ;(;‘äz y{_jagäz a;£;: y(ia z}fa ) und also daraus mit Hülfe von (10) ( 1 S(x(;l y/51 Z);l x‘äz y(jz Z?_;’l xff° y{?: 2753) On S“1 Bı Yı SÜ‘2 ßa y2 s“s ßs A RE 80’1 ﬁ1 Yı Sa‚_+a;„ ß2+ßza Yat-Y3 Z 80‘2 BaYya Sa1+“;n ß1+/”s; Va 80‘3 B3 Ya 391+“2» ß1+ß2» Yıty2 + 2 Sal+o:2—}—a„ ß1+ß2+ß:ﬂ’1+)":‘l'}’z r Auch hierzu gehören ergänzende Formeln. Ist etwa &, = &, Bı= B, Va aber @, ßa,Vs VOn &,, ßı, yı verschieden, so wird jedes Glied von S(x yBı ygl oeylal) links in (11) zweimal auftreten. Dem- nach entsteht S(xeyß zl neyb ar aeıylıalı) = z SapySay pı yı 7 SaßySatar BBr Y (11°) 1 + S2u+&, 2ß+ßı> DA _‚‘—_Z—salßl)/1 82a‚ 2ß8,2y Wenn endlich auch noch &, = &, = &, ßi = B= Bıy Yı==% wird, wiederholt sich links in (11) jedes Glied sechsmal. Deshalb muss gesetzt werden (11”) S(xeyß z asyl 2 asylar)= %Säßy IR '%Saßysza‚2ß‚2y P % S3a,38,37 ° Da man genau in derselben Weise die Berechnung symmetrischer eintypiger Functionen mit (v-+1) unteren Indices auf solche mit v Indices zurückführen kann, so folgt der bereits angekündigte Satz: Jede symmetrische ganze Funetion ist als ganze Funetion der 8c(ﬁy und folglich auch der 0ß darstellbar*). * Poisson, Journ. d. l’Kcole Polyt. XI cah. p. 199 (An X) Symmetrische Functionen mehrerer Grössenreihen. 67 $ 380. Die im vorigen Paragraphen gewonnene Methode der Darstellung symmetrischer Funetionen durch die elementaren ist in- direct und zudem bei der Ausführung recht mühsam. Man könnte versuchen, eine der früher bei einer Elementenreihe besprochenen ($ 97 und $ 102, Bd. I) auf mehrere Variablenreihen auszudehnen. Abher beide, die Gauss’sche sowohl wie die Cauchy’sche versagen, wie man leicht erkennt. Zur wirklichen, praktischen Benutzung empfiehlt sich die Anwen- dung unbestimmter Coefficienten. Sie ist, nachdem man den litteralen Theil der Aufgabe gelöst hat, verhältnissmässig bequem durchzuführen. Für die Herstellung des litteralen Theils gelten folgende Regeln. Ist etwa (12) IC ;(;i‘zy{iazä:a) A Zkalblcnazbzcn"‘ calblclca2()202 ' zu behandeln, wobei die c die elementaren symmetrischen Funetionen und die & unbekannte Zahlencoefficienten bedeuten, dann braucht man nur solche aus den c gebildeten Producte zu betrachten, für welche ü A O A Ar A (18) b1+b2+"'=ßl+ßz+ß?n GF Bı A % wird. Denn setzt man statt der %,, %,, Xx etwa Xıb, Xl ? .9.’f]„-lf‚ dann tritt in (12) aus der linken Seite /ıt“+ heraus; rechts geht jedes Caz,c, In ein (“Caz c Über, so dass also a + ag + - = 0, +& +& sein muss, wie die erste der drei Gleichungen (13) behauptet. Aehn- lich erkennt man die Richtigkeit der beiden folgenden Gleichungen (13). Durch diese Regel wird die Anzahl der überhaupt möglichen Glieder der rechten Seite in (12) stark beschränkt. Die Summe sämmtlicher Exponenten. 2«+2ß +Zy nennen wir das Gesammtgewicht der symmetrischen Funetionen S (vgl. $ 99 Bd. I). Eoc heisst das Partialgewicht von S nach den %, u. s. w. Eine eintypige Funetion ist isobarisch im Gesammt- gewichte und in den Partialgewichten. (13) zeigt, dass jeder Summand rechts in (12) ım Gewichte mit dem eintypigen S der linken Seite übereinstimmt. Die Gesammtzahl der Factoren c rechts in (12) kann die Höhe des Gesammtgewichtes nicht überschreiten, da jedes c mindestens eine KEinheit zum Gesammtgewichte beisteuert. Dieses Maximum der Fae- torenanzahl wird bei gewissen Funetionen, z. B. bei den Saßy auch 5€< 68 Sechsunddreissigste Vorlesung $ 380—382. wirklich erreicht, wie (8) zeigt, und wie sich allgemein gleichfalls leicht nachweisen lässt, sobald man auf die Darstellung der 6 durch die y zurückgeht. Wir wollen das Besprochene an einem Beispiele darlegen. Ist a’1+a‘z+' '—27 b1+b2+"'=27 A A = 0, so wird in den c„gy der dritte Index stets Null sein, und es können nicht mehr als vier Factoren in jedem Summanden vorkommen. Es sind _ deswegen nur folgende neun Glieder mögliıch: Kı Ci06010 ; K3 C100C020 , K C00 C010 C110 > 7t‘4 Co10C200 , K Gr090C120 K Co10C210 > KazCi0, kz 6906020 > Ka Cag Dies findet statt, wie auch immer die Zahlen 2 in Summen &, +& + oder b, + b + - zerlegt werden mögen. $ 381. Zu der Bestimmung der Coefficienten % kann man auf zweierlei Art gelangen. Zunächst so, dass man eine Reihe von spe- ciellen Zahlenwerthen für die x,y,z nimmt, daraus den Werth der symmetrischen, darzustellenden Function, sowie die c berechnet, Alles dies in (12) einträgt und dadurch zu einer linearen Gleichung für die Hat man hinreichend viele solcher unbekannten Grössen k& gelangt. linearen Gleichungen aufgestellt, so folgen aus ihrer Auflösung die Werthe der k&. Wir wollen diese Vorschriften bei der Berechnung der Funetion S(x,"YaYs) durchführen, wobei also wegen A, +{ A, = 2, b +4=2, + =0 die oben aufgestellten Summanden die einzig möglichen sind. Wir müssen deswegen neun besondere Annahmen machen. Die Z können wir stets bei Seite lassen. IL x1=17 91=15 %'2=0, 92=O3 x3=0793=0;"'3 S=07 Gn = 1, w =1; Oa = 045 Resultat: LE I Z = 0, H= 0, —0 0 Go0=2, 0 1, Ho 1, C%20= 2 ’ 2% + kı + kr =0. M = d a= 0yl 00 S0 C100 = 1, @=2, C = 0 Ca 12 z Z D k + 2k + k =0. =0 7 Y = 1, H =1; m=2,n=0; G=0, = 0 8 Go0=3, w@=1, C00 — 2, Gno— 2 C 5 3% + kı + 26y =0. Symmetrische Functionen mehrerer Grössenreihen. 69 Die drei letzten Gleichungen liefern die Beziehungen k= —k ) kı =k, kı= k. V =1,4=1; @=1, “=1; Z =0, %u = 0, ; S—0; Go=2, w=2, Co= 1, G0=2, 0= 1, m 008 r — Al VI x1=1;y1=1; 5U2=1‚_1/2=0; x3=17y3=0;" ; S=O; Go0=8, @Q=1, 0=3, G10=2, ©0=0, u0= 1, G =0,-::; o = o VII a =1;y=1; ©=0, %“ =1; 4=0, %#=1,..; S=1; C100 =l1, @u=3, 00=0, 40=2, 00=3, 0=0, Gn=1,:: ll = 1 VL CZ 9 y1—17 %9=1‚ Y 7=1 %=1, %=1, 7) S 37 C00 Qu0=3 C090 —9 C0=0) C0 3, C0 C120 = kg —_ Ol Die bisherigen Resultate liefern nunmehr insgesammt il al 2 al al 4 ( =— ‚3_) I _3„ /U4=—ä—, k 5 37 o = __3_, I =‚3_} AL ©& IX %'1=%'2=.%3=.164‘=1; %=?/2=?/3=J4=1; x5=15=...=0; S12 . 7 G0=4, Qu0=4, 00=6, Gu0= 12, %200=6, 0=12, 0=6; 02u=6; Z= —z — —_ 2 k 3 Damit haben wir also erlangt, wenn wir die dritten Indices unterdrücken, S(x%,"Yay3) = % {0i10002 — 6061611 7 61020 F 2610612 — Co1C1 ( + 1 — 46020002 — 2022}' $ 382 Die Berechnung der % kann ferner auch derart stattfinden, dass man jedes Product der c auf der rechten Seite von (12) durch die x, y, z ausdrückt, dann die gleichen symmetrischen Functionen der Elemente, welche rechts in den einzelnen Summanden auftreten, sammelt und durch passende Wahl der % alle diejenigen zum Ver- schwinden bringt, welche links nicht vorkommen. Im Falle ür 0 = 2 Ör ar = Q a Es ist würde sich die Rechnung folgendermassen gestalten. 70 Sechsunddreissigste Vorlesung & 382—383. C{o0Co10 = Sa yı + 2S$12.@/1y2 + 2S%"Yays 4 Sa ya + 2 S aı + 4S%, %YıY2 F 4S2X,%YıY3 E 2 S, XY3” + 4 SX X Y3Yı, C{o0Co20 = SX“ Yıya + Sa Yoy3-+ 2 S XYıY2 - 2 S%,X Yız + 2 SX,XoY3Ys, C400 C010C110 = S” Yı Ya + Sa y + 2 SX Yayz + SE Yı + 2 S %, XYı Ya + 3S%, YYa { 2 SX XY3” + 4 S%, X YsYı > C610C200 = SX XoYı 42 S, %YY 28 XX Y3 F Sn Xays* + 28 X XY3Y4 , C1006C120 = SX1 ” YaYz A SX YıYs + 2 SX X Y3Yı) Co100210 = S, %YıY3 F 28%,XY3Yı F SX XYs”, o = Say’yo“ + 28x y +2 SX X Yıa - 2 SX,X, Yıyz + 2 Sx xys” + 4S% %, Y3Yı, Ca00C20 = SX XaYı Ya F SI XaYıYs F Sa X YsY4, Co20 = ST XaYsYs - Es ıst daher jede ganze symmetrische eintypige Function (15) S(aay wg (“1+“2=A31+ß2=2) ın der folgenden Form darstellbar k Sa yı“ 4 (2l6, A Ka 4 Ks) S(8 Yı Ya) + ( A ( 4 ) Sa + (2%, + Ra 4 2Rg A A A 2k7) SC& * YoYs) + (2%, A K3 A k4) S(2, %2 y4?) + (4%, + 2%, + 2%g 4 2%4 + 2%7 + kg) S(2, %o YıYo) (16) + (4%, + 2%, 4 3Rg + 2R + 5 + K 42 %7 4 kg) S(X, %Y Ys) + (2%, + 2%g + k4 + k6 4 2k7) S(%, %ys?) + (4%, + 2 %9 + 43 + 274 + 2Rg + 2g + 4k7 A kg + k9) S(2, XoYsYı) Setzt man nun z. B. den Coefficienten von Sx,?y,yz gleich 1 und alle übrigen Coefficienten in (16) gleich Null, dann erhält man wieder das Resultat (14). Man erkennt, dass, wenn einmal die Formel (16) ab- geleitet ist, die unter (15) fallenden Funetionen sämmtlich ohne be- sondere Mühe hergestellt werden können. Der in $ 379 gelieferte Beweis für die KExistenz einer ‚solchen Darstellung jedes S durch die c bietet die Gewähr dafür, dass beide Methoden der Bestimmung der % wirklich zum Ziele führen, dass also die erlangten linearen Gleichungen keine Widersprüche bergen*). Da- * Ueber den behandelten Gegenstand vgl. Schläfli, „Ueber die Resultante eines Systems mehrerer algebraischen Gleichungen‘“, Wiener Denkschriften IV (1852). — Cayley, „On the symmetric functions of the roots of certaim systems of two equations‘‘. Phil. Trans. Vol. 147 (1887). — Mac-Mahon, „Memoir on symmetric functions of the roots of gystems of equations‘“. Phil. Trans. Vol. 181 (1890). Symmetrische Funetionen mehrerer Grössenreihen 71 gegen wissen wir nicht, ob auf diesem Wege eine eindeutige Be- stimmung der % moghch ist. Mit dieser Frage kommen wir zur Dar- legung eines wesentlichen Unterschiedes, der zwischen den elementaren symmetrischen Funetionen einer und denjenigen mehrerer Reihen von Variablen besteht @& $ 383. Es giebt, wie man leicht erkennt, bei 7 Reihen %,, Y«, @w=1,2 k) von je k Grössen ” elementare symmetrische Fune- tionen der Dimension 1, nämlich Zx„ S E Ü 2u„, ; ferner (r + 1r SA 2 solche von der Dimension 2, nämlich Ea:„, Ex„ 9 Yn s. f bis zu solchen von der Dimension % zusammen. also 7 0 (1>+(1+1>+(7—}—“)+ +(1—{—k—-1) [(7—{—1) < ). M Zwischen diesen elementaren symmetrischen Functionen besteht eine grosse Anzahl rationaler Gleichungen Die Bildung eines Systems welches nur unabhängige Funetionen enthält durch deren Hülfe alle anderen Funetionen sich rational darstellen lassen, geschieht wohl am einfachsten auf dem folgenden Wege Wir beschränken uns dabei wieder auf den Fall 7 =3 Man hat das System der % linearen Gleichungen für die %x CZ + %g + 0100 ’ %, (Coo1 8) A Xo(Coox 2) + C017 ( DGn — y AA (Gym — Qyyı 8a A @ ’ dessen Auflösung, wie man mit Hülfe von %88 Bd. I erkennt k — C00 %a 0101 @ + c1o°z (18) Wa =3 (« =1,2 } ’ k Ka —@ _1)0001 fz_9 Ü 2) cn(w Z ergiebt Ebenso erhält man für die y COIO & — on + C912 Ck_ü GEn (19) Ya k—1 W3 @=1,2 k) kg —(k— 1 C901 %a Dn Die Bedeutung der im Nenner auftretenden Function ist klar Man hat für ein unbestimmtes & die Gleichung p(5)=(E—2) (& ) ( — %) E& — 0015 A Coo2 © so dass ] O en EDa @ (%) 72 Sechsunddreissigste Vorlesung 8 383—384. ist. Daraus ersieht man, dass zu jedem S&stem C Co02 » Co0,k&—1 die % Grössen Z,, %,: % gefunden werden können, ja sogar, da Coox nicht zu diesen c gehört, auf unendlich viele Arten; und dass dann, sobald diese %„ von einander verschieden, die Nenner ın (18) und (19) also nicht Null sind, für jedes System C,oo, CGio1) “ ** Ci0@, 2) Co107 Co11 7 5 5 Co1ap eindeutig ein System X,, Ya sSich den %„ zuordnet. Es sind demnach die Grössen CO O O 01‚0‚k—1.3 Cg107 Co117 * * * Co‚1,&—1 von einander unabhängige elementare symmetrische Functionen. In (18) und (19) sind nur diese (3%4—1) Grössen (20) benutzt. Von den übrigen Grössen c enthält nur coox keim x und kein y. Die übrigen noch vorhandenen, deren Zahl +% —1—3% <a k Drückt man ein beträgt, wollen wir generell mit c7 bezeichnen. solches coo- durch die Elemente x,y,z aus und ersetzt die ın jeden Summanden eingehenden x%,, Yx durch ihre Werthe (18) und (19), so erhält man eine symmetrische gebrochene Funection der z„. Diese ist durch die 6 Coox Tational ausdrückbar, und so haben wir jedes der Cooz durch die 3% Grössen (20°) Cgo1> Coo27 ** C00% 5 C007 C017 CO Co10> Co11> I C dargestellt. In den Nenner tritt dabei, weil z. B. (%, - X%oYo+1 Yo+o Zo+o+1 9 Zg+ 0'+1) dlll‘ch ’ (2) : P (0o)P (0o+1) + P (Zo+o) zu dividiren ist, einfach @’(2,)-:- @’ (zx), d.'h. die Diseriminante D, von @(z) oder ein Theiler von ıhr. Sonach ergiebt sich (21) -D(p $ Cgaz T -Fgat(co()a; 010/3; 0017) . Giebt man jedem der c ein Gewicht, welches gleich der Summe seiner Indices ist, oder, was damit übereinstimmt, giebt man jedem %, y, 2 das Gewicht 1, dann wird (21) eine isobarische Beziehung vom Ge- wichte k(& — 1) +o+6-+r. Ist z. B. 4 = 2, so gehen (18) und (19) in Wı F C00 %1 — Ci01 9 Yıa C910%1 — Co11 2 21 — Coo1 221 — Co1 C910 % — Co11 Ü =— C00 % — Ci01 Yla 222 — Coo1 223 — Cyo1 5 über; die ( 2 > —1 —6 =3 Relationen heissen dann Symmetrische Functionen mehrerer Grössenreihen. C00 (4 C902 — Coo1) = Cio0Coo2 — C1006101.C001 4 Cio1 3 C202 — Coo1) — 2C00.Co10C002 Cor010CooL C100Co11 %01 7 2601 C113 Co20(4 C002 — Coo1) = C610 C002 — Co10Co11Coo1 4 Coh1 - So erkennt man: Im allgemeinen Falle bilden die Func- t1ONEN Caa ... 0, für welche &, = ..=a]‚_1=0; (x‚.=1‚2‚'-°k nebst denjenigen, für welche S SS p = n = y =0; G=1;=0,1,.k—1;i=1,2,...y—1 ist, ein unabhängiges System. Durch die Darstellung der a& entstehen übrigen c vermittels der angegebenen Ca,... N rationale Relationen unter den elementaren symmetrischen Funetionen. Diese sind von einander unabhängig, und alle überhaupt vorhandenen Relationen sind durch sie rational darstellbar. Der Inhalt des letzten Satzes ist noch zu begründen. Die Unab- hängigkeit der Relationen folgt einfach daraus, dass in jeder eins der neuen C linear auftritt und nur in dieser einen Relation vorkommt. Wäre ferner irgend eine Relation zwischen den Cxßy gegeben — wir kehren zum Falle 7 = 3 zurück —, So könnten durch (21) alle darin auftretenden Cooz eliminirt werden; dadurch erhielten wir eine Relation zwischen den Grössen (20*), welche doch von einander unab- hängig sind. Folglich muss die Elimination auf eine identisch erfüllte Gleichung führen *). $ 384. Das im vorigen Paragraphen hergeleitete System von Relationen zwischen den c zeichnet sich durch seine Uebersichtlichkeit 2 sowie dadurch aus, dass die Unabhängigkeit der einzelnen aufgestellter 2 Gleichungen unter einander selbstverständlich ist. Dagegen sind die Relationen, nach der Höhe ihrer Gewichte betrachtet, nicht die ein- fachsten, welche es giebt, und es lassen sich noch andere Bildungs- methoden für Relationen angeben, bei denen niedrigere Gewichte er- langt werden. So erhält man aus (18) und (19) k—2 xa((:01027;— — Gı Zn Z (C1oozlt;— — CGi01 Za + ) *) Eingehende Untersuchungen über diese Relationen, ihre Herstellung und ihre Minimalgewichte hat Herr Fr. Junker angestellt, Math . Ann, 38 (1891), p. 92 und ibid, 48 (1898), p. 225. 74 Sechsunddreissigste Vorlesung $ 384—386. Erhebt man diese Gleichung in die A Potenz und summirt nach «, dann entsteht Da O A0 Co11S2,0,(k—1)2—1 T = Gc S(L ’ für 1= 2 wird das Gewicht dieser Relation (2% + 2). Ebenso könnte 1_0 z—k+1 man die vorletzte Gleichung mit x& YaZ multipliciren und nach &% summiren, dann entstände Cg10S$0, 0, 7 Üa ma AD 9 Z aa — Aıa vom Gewichte o +60-+r7+1; u.s.f. Aber hierbei ist es fraglich, ob nicht, nachdem die s durch die c ersetzt sind (nach (8)), alle Glie- Es wäre also vor allem zu unter- der links und rechts sich zerstören. suchen, welches das Minimalgewicht einer nicht verschwindenden Re- lation ıst. Herr Junker hat l. c. für die untere Grenze den Werth (k + 2) gefunden. Wir wollen auf diese Untersuchungen hier aber nicht eingehen. $ 385. Die Herleitung unserer Relationen knüpft die Gültigkeit an das zu Grunde gelegte &. So ist z. B. (vgl. S. 73 Z. 1) Cro0Co0o2 — C00C101Co1 T Cio1 -} C200 (06201 7a 4Coo2) ü 2 oleich Nulk Für &= 3 hat dieser Ausdruck dagegen den Wert Sa 883 + SW X83 — ST XaRBz - Es fragt sich aber noch, ob es nicht auch Relationen giebt, welche für unbestimmte %, d. h. für jeden Werth von % gültig sind. Wir werden zeigen, dass dies nicht der Fall ist. Gesetzt, wir fügen zu unseren &% Tripeln (1). noch ein Tripel (&, , 5) hinzu und bezeichnen die neuen elementaren symmetrischen Functionen mit yıu,, dann folgt sofort Yaıuv — Czuv + gcl—l„u‚v + NC u—1,v + C@.„u,v—1; und diese Relation bleibt auch für einen Index 1 oder 0 richtig, falls C00 — 1 und ein € mit negativem Index gleich Null gesetzt wird. Wir nehmen nun an, es sei bereits in einfachster Form H(Cl u „) =0 eine Relation, welche für jedes & gültig bleibt, und welche zugleich Dann unter allen etwa existirenden das Minimalgewicht besitzt. müsste auch H(7Luv) = H(cl,uv + gC;__1,#„, + SO .) — O sein, und da &, m,& beliebige Grössen sind, müssten die Coéfﬁcienten aller Potenzproducte von &, %, & verschwinden. Wir betrachten den Symmetrische Functionen mehrerer Grössenreihen. 75 Coefficienten der höchsten vorkommenden‘ Potenz von &. Dieser ent- steht aus denjenigen Gliedern von H, welche möglichst viele c„, (mit 2 >0) als Factoren besitzt, und er kann nicht für willkürliche c verschwinden, weil das Gleiche sonst auch bei jenen Gliedern von H stattfinden würde, die man hätte tilgen können. Dieser Coefficient hat ein geringeres Gesammtgewicht als H; das verstösst gegen die über H' gemachte Voraussetzung hinsichtlich des Minimalgewichtes. Folglich besteht eine solche Relation nicht. Bei unbestimmten % giebt es keine Relationen zwischen den C.,, und jede symmetrische ganze Function lässt sich in diesem Falle daher nur auf Eine Art durch die elemen- taren symmetrischen Functionen darstellen. Unsere früheren Formeln, z. B. (14), zeigen somit, dass diese Darstellung nicht noth- wendig eine ganzzahlige wird. Bisher wäre die Möglichkeit noch denk- bar gewesen, dass mit Hülfe bestehender Relationen auch ganzzahlige Ausdrücke zu erreichen gewesen wären., $ 386. Genau in derselben Art wie in S 123ff. Bd. I partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Funetionen einer Grössen- reihe aufgestellt worden sind, so kann dies hier bei denen von mehreren, z. B. drei Grössenreihen geschehen. Wir wollen wenigstens den ein- fachsten Fall hier besprechen. Statt Xar Ya Za Setzen Wir Xx + E, Ya A Ö x 6 bei w = 1,2,...% ein. Dadurch gehen, wie man leicht erkennt, Caß}’ in Cü‘ßy+(k+ 1—“_ß—y) [Ca»—1‚ß‚y+0a,(?—l,y+ Ca)ßa}’_1].t+ %C Saßy M Sapy t [%Sa—1,8,y F BSaß— 1y A Sag yl E, und, wenn »R eine beliebige symmetrische Funetion der X,Y, 2 bedeutet, R in R+;[%+'ß%+f“zzﬁ}t+"' über. Hierbei haben wir nur die Glieder ohne $ und die mit &* hin- geschrieben. Denkt man sich nun R gleichzeitig durch die x, y, 2, ferner durch die cxgy und endlich durch die Sapy ausgedrückt und entwickelt dann nach der Substitution nach Potenzen von 6, dann folgt in allen drei Ausdrücken die Gleichheit der entsprechenden Coefficienten der Potenzen von £, und so hat man für £! die Gleichungen R ÖR 2 +äz &« + Ya ) G@+1—a—ß—y) ß ÖC S Oj;y $ [Ca_1‚ B,Y + Ca‚ß_l‚}’ + cüf, ß‚ Y—1] R — A LE [&Sa —18y A BSaß—1,y A VSa,ßy—ıl]- &Y O84 76 Sechsunddreissigste Vorlesung $ 3éö. Siebenunddreissigsté Vorlesung $ 387. Hierzu ist zu bemerken, dass %o = 1, swo= k, und dass Grössen c oder s mit negativen Indices gleich Null zu setzen sind. Prüft man diese Formel z. B. an 2 %ı Ya83 = Cy11 Si00S0108001 — S100$011 — Sox0$101 — SoorS110 F 281117 so folgt (k — 2)[Sx,Y2 + Sy,% + Sa %] = (k— 26a A ol Z y — G { 9 — SCa A Sa — 25A6 Ir San T Sa0) = (& — 2)($100810 4 SoroSoo. F 1008001 — S110 Sıor — Sa was mit unseren früheren Resultaten übereinstimmt. Siebenunddreissigste Vorlesung. Resultante und Eliminante. Poisson’sche Methode. $& 387. Wir wollen zunächst die Resultate der dreiunddreissigsten Vorlesung in etwas geänderter Bezeichnung derart reproduciren, dass wir statt zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten m Gleichungen mit m Unbekannten betrachten. Für m= 2 kommen wir dann auf die bereits bewiesenen Sätze. Es seien m allgemeine Gleichungen mit unbestimmten Coefficienten (1) @n A an CZ der m Unbekannten 2,, %, : Zm gegeben. Die Dimension von fx sei gleich %4. Das Product sämmtlicher Dimensionen setzen wir @2) N No Nn = kö Die Coefficienten von f mögen mit A%, A«, und generell mit a bezeichnet werden. Jedem der a„ legen wir ein solches Gewicht hbei, dass, wenn 2,, %, - 2m die Gewichte 1 bekommen, f isobariısch vom Gewichte %„ wird. Das Gleichungssystem (1) besitzt & Wurzeln 05 Cn Z Zm1) ? (Z12> %27 Zm2)‚ (Zxk, Äakı) Zm k) . Alle diese kann man durch die Lösung einer einzigen Gleichung er- langen, indem man die Liouville’sche Methode anwendet. Setzt man nämlich die Substitution an: X = A, 8 + K9 R9 + Pg + XmEm > wobei die x unbestimmte gewichtlose Parameter bedeuten, und bezeichnet Resultante und Eliminante. Poisson’sche Methode. T7 (3) Xı — KLB12 + Xa Ra2 + M + Xm m2 > (’1=1‚2;"'k) ? dann besteht für x eine Gleichung k*" Grades (4) 90xk'—91(“1> W E Ha mit den Wurzeln (3). Hierin sind die Coefficienten 0o,0,,::-0x ganze Funcetionen sämmtlicher Reihen a,, &, am ’ und zwar sind sie homogen in den @„ vom Grade /: n„; es ist ferner 0, von den Para- mELErn Xı %o frei, während 0, eine homogene ganze Funetion '° Grades der x ist. Das Polynom in (4) ist isobarisch vom Ge- wichte % und also 0, isobarisch vom Gewichte 0, und 0, vom Gewichte u. Für allgemeine Funetionen (1) ist 0, irreductibel (vgl. $ 153, Bd. 1). o ist die Resultante der m Gleichungen 53 Z mM Ö5) Br Z M (“=1;27"'m)2 Pa (1‚ Br Z 1 wenn , den Complex der Glieder n„**, d. h. höchster Dimension in fx bedeutet. Diese Resultante wollen wir auch als die Resultante der m homogenen Gleichungen (5°) Da(&,, Z An = 0 bezeichnen. Ihr Verschwinden ist charakteristisch dafür, dass das Sy- stem (5*) Wurzeln hat, deren Coordinaten nicht sämmtlich verschwinden. Aus (4) ergeben sich die elementaren symmetrischen Funetionen der Wurzeln (2,1, %,, m 1) GÜ als gebrochene Funetionen der a in der Gestalt / Q =— == 91 __& CG100--- o ? 010 % ? ©& 00-.- —90’ ? wobei die 0, 0,”,-:- 0, eine sofort erkennbare Bedeutung haben. Jede ganze symmetrische isobarische Funetion der (n Za Bn aa kann als gebrochene isobarische Function gleichen Gewichtes in den « dargestellt werden, entweder durch Vermittelung der c„g,... oder direct mit Hülfe unbestimmter Coefficienten. Denken wir uns, die Darstel- lung sei mit Hülfe der c geschehen, und es kämen in einem Gliede w Factoren c vor; dann wäre der Nenner 09“. Diese w Factoren liefern bei der Darstellung der Funetion durch die @ mindestens u Factoren in diesen Coefficienten, und zwar tritt dieser Minimalfall nur ein, wenn alle c von der Form C09..., Co10--.> Coos-.. Sind. Hat umgekehrt die Darstellung einer ganzen symmetrischen Funetion der Wurzeln durch die @ nicht mehr als v Factoren @ in jedem Gliede, dann ist der Nenner höchstens 07”. Dieser hat, wie 0, selbst, das Gewicht O; folg- Funetion. lich ist der Zähler von demselben Gewichte, wie die dargestellte 78 Siebenunddreissigste Vorlesung $ 388—390. $ 388. Für m=2 sind diese Sätze bewiesen. Wir nehmen an, sie gelten für ein beliebiges m und wollen sie für (m + 1) nach- weisen. Dadurch ist dann ihre allgemeine Gültigkeit dargethan. Zu diesem Zwecke nehmen wir noch eine neue Gleichung 9{2 %, Zm) = 0 mit den Coefficienten b _an. Die Dimension von g sei q, und den b mögen solche Gewichte beigelegt werden, dass jedes einzelne Glied von g das Gewicht q besitzt. Nun bilden wir das Produet (Ä=1)2}...];;)} (6) ] [ 92 22 Zml) erstreckt über alle Wurzeln (2) von (1). Dieses Product nennen wir, ähnlich wie früher bei zwei Gleichungen mit einer Unbekannten, aber versehen mit einem Factor, der sogleich angegeben werden soll, die Resultante der Gleichungen f = 0, g== 0, und wir bezeichnen es mit R. Das Verschwinden von (6) ist charakteristisch dafür, dass (1) und g=0 gemeinsame Wurzeln besitzen. Die Bildung von (6) zeigt, dass das Product in den Coefficienten b _homogen vom Grade /& ıst Es ist ferner in den b, Z12, %2, Z (Ä=1‚2,„—k) isoba- risch vom Gewichte &q, da jeder Factor isobarisch vom Gewichte q ist. Es ist endlich in den Wurzeln (2) symmetrisch. Wir drücken sämmt- liche auftretenden symmetrischen Funetionen durch die @ als gebro- chene Funetionen aus; dabei kann nur eine Potenz von 0, in den Nenner treten; die höchste vorkommende Potenz sei 0,“. Da bei all- gemeinen Funetionen 0, nicht verschwindet (vgl. (5) und (5°) wegen der Bedeutung von 0,), so nehmen wir 0,“ als den eben erwähnten Faetor und setzen (7) R= R(f, + fni g) > 00 ] [9(e2, 202 8mi), wobei die fi, fm; g nach Art der Argumente hinter R gesetzt wer- den sollen, um complicirte Schreibweise zu vermeiden. Die Funetion g hat dabei eine Ausnahmestellung erhalten, da ja in der That aus der Definition die Vertauschbarkeit mit den f2 noch nicht hervorgeht, wäh- rend die f beliebig unter einander versetzt werden dürfen. (7) ıst Jetzt ganz in den a; das Gewicht hat sich, da 0, vom Gewichte 0 ist, durch die Multiplication mit 0,“ nicht geändert, und beträgt also auf die a, b statt auf die b; 2,, %, - %m bezogen auch kg. $ 389. Ersetzen wir eins der f, z. B. fi, durch das Produet f fi” zweier allgemeiner Funetionen, so gilt die Formel fn 9)- (8) RAr fa S Bl Sa 9) B Die Wurzeln des umgestalteten Systems (1) theilen sich nämlich ın Resultante und Eliminante Poisson’sche Methode 79 zwei Sorten, in diejenigen &12, &2, Em2, welche f = 0, f fn= 0 befriedigen, und in diejenıgen E, &22, Enı welche 7 —0 2 —0 fın= 0 befriedigen Demnach ıst m}) HJ(Z’„‚ Z /‚„7) —HJ (Ä1 2> ($) 2> &n1) [ [9Eı2, 7, Die Coefficienten von f und von f,” seien generell durch a,” bezw. a, bezeichnet Drückt man dann die beiden Producte auf der rechten Seite als gebrochene Funetionen der a,, 4, bezw. der a,”, Q, aus, dann möge im ersten Producte etwa eın 90° und im zweiten etwa ein 007 als Hauptnenner auftreten Macht man links die gleiche Ope- ration und ergiebt sich dabei 0,“, so muss dies ein Theiler von 00°00” sein, da ja links der Hauptnenner nicht weiter gehoben werden kann während dies rechts denkbar wäre Aber auch das geht nicht an denn 0,, 09 als Resultanten von Gleichungen mit (m — 1) Unbekannten sind der Annahme nach irreducetibel; o‚ kann sich aber, da im zweiten Producte keine @” vorkommen, nicht gegen Factoren dieses zweiten Produects heben lassen Gleiches gilt für 0, Demnach muss sogar der Hauptnenner rechts gleich dem auf der linken Seite sein, und multiplicirs man beide fort, so gelangt man zu (8). — KErsetzen wir ferner g durch das Product g’.g” zweier allgemeiner Functionen, bei denen die Summe der Dimensionen gleich q ist, so gilt die Formel (9) P(f])f‘>) fm, I ./„) D R(fuf‘?; Z R(fr , ’ ) Zuerst ist nämlich identisch H./ (21> %, Am) ' 9 (1 %0, * Em) ÜJ (21, 2a ** Zm) H9 (21) 2a Om Jedes der Producte wird durch Multiplication mit einer Potenz von 0, zu einer ganzen Funetion der @ wemacht Ist rechts 0,” der für das erste Product und 0,* der für das zweite nötige, so kann sich offen- bar auch links für o%+? nichts fortheben Durch Multiplication mit 0%+* folgt also (9) $ 390. Mit Hülfe der Formeln (8) und (9) können wir die Irre- ductibilität von R bei allgemeinen Coefficienten @ und b nachweisen Gesetzt, für ein System allgemeiner f, der Dimensionen %, gäbe es ein allgemeines g der Dimension q, für welches R sich in Faetoren zerlegen liesse, dann können wir q so klein als möglich gewählt denken d. h. so, dass bei Festhaltung der f kein allgemeines g von 111ede1e1 als der c_f°“ Dimension noch ein reductibles R besitzt. Es sei (10) EL wobei Rı und R anze Funetionen der @ und der b bedeuten Statt 80 Siebenunddreissigste Vorlesung $ 390—392. der allgemeinen Funetion g setzen wir nun das Product zweier allge- meinen Funetionen g’.g” ein, deren Dimensionszahlen die Summe q haben, und deren Coefficienten mit b’ bezw. 6” bezeichnet werden. Dann werden die b in g durch bilineare Formen (11) D n Oa a n fa e ersetzt werden. Trägt man alles dies in (9) ein, so entsteht (10*) R= Rı R =R(f1; O f Der Annahme nach sind die beiden Factoren rechts irreductibel, da ihre Dimensionen kleiner als q sind. Es müssen also auch die beiden Factoren Rı und R, irreductibel sein, und weiter etwa B(f1>' fmj 9')= B- R(f1; + fm5 g‘)= Rı, Nun war in (10) R, wie R, Funetion der Coefficienten b; in (10*) ist dafür eine Function der Grössen (11) eingetreten, so dass also in Rı wie in R, die Grössen b£, b vorkommen; links dagegen treten in den beiden letzten Gleichungen nur entweder die b’ oder die b” auf. Das ist ein Widerspruch, der nur dadurch gehoben werden kann, dass q nicht mehr in niedere Summanden zerlegt werden kann, d. h. dass ü == ] Genau entsprechend folgt unter Verwendung von (8), wenn wir jetzt die Dimensionen %,, M, -< Nm, 9= 1 festhalten und %, unter Wahrung der Zerlegungsmöglichkeit so klein als es angeht wählen, dass der Minimalwerth von %, gleich 1 wird. Das Gleiche gilt für alle %, und wenn also überhaupt die Funetion R für irgend ein System allgemeiner Functionen der Dimensionen %,, %,, - Nm, G zerlegbar ist, dann gilt dasselbe auch für die Resultante eines Systems allgemeiner linearer Funetionen. Berechnet man nun aus den ersten m linearen Gleichungen die m Unbekannten 2,, - Zm und setzt die erhaltenen Werthe in die (m + 1)® Gleichung g= 0 ein, so erhält man die allgemeine Deter- minante von (m + 1) Reihen von Coefficienten. Diese ist aber irre- ductibel, wie sich durch Induction leicht ergiebt. Für zwei Elementen- reihen ist es klar. Hat man es für v Elementenreihen bewiesen, so ergiebt es sich auf nachstehende Art für (v + 1) Reihen. Wir ent- wickeln die Determinante nach den Elementen einer Spalte. Da die Elemente derselben von einander unabhängig sind, so kann eine Zer- fällung der Determinante nur dadurch eimtreten, dass alle zu den Spaltenelementen gehörigen Adjuneten einen gemeinsamen Theiler be- sitzen. Der Voraussetzung nach sind sie irreductibel; sie müssten also übereinstimmen. Das ist unmöglich, weil je zwei immer eine besondere Elementenzeile haben. Resultante und Eliminante. Poisson’sche Methode. 81 Somit folgt schliesslich: Die durch (7) definirte Function R ist bei unbestimmten Coefficienten der Funcetionen f und g irreductibel. Der hier eingehaltene Gedankengang ist. etwas bequemer als der ın $ 153 Bd. I bei m = 1 benutzte. $ 391. In _ der Definitionsgleichung (7) ist der Funetion g eine Ausnahmestellung den Functionen f„ gegenüber gewahrt. In der That ist es nicht ohne Weiteres klar, dass man ein /„ mit g vertauschen kann. Bei einer Variablen folgte das sehr leicht auf Grund der dort möglichen Factorenzerlegung. Wir wollen nun mit Hülfe des Irreductibilitätssatzes die Gleich- berechtigung auch hier beweisen. Das Verschwinden von (7) giebt die charakteristische Bedingung dafür, dass die (m + 1) Gleichungen fx=0, g =0 mindestens eine gemeinsame Wurzel besitzen. Vertauscht man ein f mit g, so entsteht eine Resultante R’ von gleicher Eigenschaft. Verschwindet sonach die eine für irgend ein Werthsystem der Coeffi- cienten, so verschwindet die andere für dasselbe. Nach 8 346, (IX) stimmen also R und R’ im ihren irreductiblen Theilern überein, und nach den Ergebnissen des vorigen Paragraphen sind sie demnach bis auf einen Zahlenfactor identisch. Aus der Bedeutung von R folgt ferner, dass diese Function nicht identisch verschwindet, wenn die Coefficienten der Functionen allge- meine Grössen sind. Ja es reicht bereits aus, dass bei willkürlich ge- gebenen Coefficienten der f„ die Coefficienten von g unbestimmt bleiben, um das identische Verschwinden von R auszuschalten. Selbst wenn wir nur das absolute Glied in g variabel halten, genügt dies schon. $ 392. Wir können jetzt die Bezeichnungen derart ändern, dass wir statt g schreiben f+1, den Grad q durch N +1 ersetzen und die f nun gleichmässig in die Resultantegbezeichnung eingehen lassen. Dann ist bewiesen: Die Funection 1,2, k) (7a) R=R(fl;f2; "°f;'l+1)=9,) 1a1 f;„+1(2'1„;‚22a‚"'27„,1) (“ ist die Resultante des Gleichungssystems (12) f1(21‚22, --.2‚„)=0‚ f2(‘2117227 "Zm)=();"'ﬁn+l(zl;z27 Z’">=O Die Z1a, Za, * me Sind die Wurzeln des Gleichungssystems (1). Das Verschwinden von R ist charakteristisch für die Exi- stenz einer gemeinsamen Wurzel von (12). R ist bei allge- meinen Functionen (12) irreductibel und nicht identisch Null; es ist homogen in den Coefficienten jeder Function aus (12) Netto, Algebra. II 6 82 Siebenunddreissigste Vorlesung $ 392—393. von einem Homogeneitätsgrade gleich dem Producte der Di- Die f können be- mensionen aller übrigen m Gleichungen. liebig angeordnet werden. R ist isobariısch vom Gewichte ÜE l Nm A1> welches also dem Producte sämmtlicher Dimensionen gleich ist. Die behauptete Gradzahl der Homogeneität hinsichtlich der Coeffi- cienten der ersten Funetionen folgt daraus, dass alle f„ gleichberech- tigt sınd. Zu Wir wollen nun auch noch den Exponenten w bestimmen. diesem Zwecke müssen wir etwas weiter ausholen. Wir betrachten die symmetrische Funcetion Bay "Z“Zh NSI 12722 (@+B+- >a +D 0 und stellen sie durch die Coefficienten von (4) dar 2 (12) — Zl ? Q wobei die 0,”, 01, « 02,::- die Coefficienten von %,, %,, X1 , in 0, ©, sind, und 0,“ den Hauptnenner der Darstellung bedeutet. Statt n an setzen wır 21 %, 210, ’ während die übrigen ungeändert bleiben. Dadurch erhält (4) eine Z19) 7927 5 Zı3) 7a8 Wurzel, die mit £ zugleich ins Unendliche wächst. Berechnet man Z für (4) die elementaren symmetrischen Functionen der %,, %, so folgt Sı an S Zn Ar E @o FAa o) 0001 Ü ) Z;\ — tnlxlf(zl.151.z + + ) - %1 %a (211 %2 7 ) + a d. h. alle diese Grössen werden linear in &. Für grosse & wird also (4) annähernd in T MC H übergehen. Für unendlich grosse & wird die erste Darstellung der symmetrischen Funetion S als höchste Potenz von € liefern t“+ß+; die zweite dagegen &. Folglich ist u= « +ß +7 E ooo dl In @lech der Maximalsumme der Exponenten, die zu gleichem oberen Index einer Wurzelcoordinatenreihe gehören. Damit ist aber natürlich nicht gesagt, dass bei der gegebenen Darstellung (12*) von (12) die Zahl der in einzelne Glieder eingehenden Factoren u = « + ß + -:- nicht übertreffen dürfe; denn dieser Werth von w ist nur aus dem Hauptnenner hergeleitet, und dieser kann ge- ringer sein als einzeln vorkommende Nenner. Resultante und Eliminante. Poisson’sche Methode., 83 Um diese letzte Bemerkung durch ein Beispiel zu erläutern, nehmen wir A115 Za15 7127 Za9 5 Yı3) Y93 und S(Z11"Z2%5) Nach $ 381, (14) ist die symmetrische Function S gleich 3 { C{oCo2 GyoCa1 Cır Ar Cöd020 f QAenCa und es scheint hiernach, als ob bei den Substitutionen ” Q 91 95 05 © C0 99 Ca — 90 Cn — 9 Cy1 9 %2 — 9 der Hauptnenner 0,? auftreten müsste. Nach unserem Satze ist dies nicht der Fall; und in der That hebt sich aus dem Aggregate der ersten drei Klammerglieder 0, weg, und es bleibt nur 0,” als Haupt- nenner zurück, wie eine etwas umständliche Rechnung zeigt. Den gewonnenen Satz, den Schläfli (Wiener Denkschr. 4 (1852) S. 7) aufstellt und auf andere Art beweist, können wır folgendermassen aussprechen: Wenn man (12) S(Zf1 Zg1 Z Zi2 2'32 Aigesc) (@ E BL 000 @Da @A 400) durch die o ausdrückt, dann tritt als Hauptnenner auf S Vergleichen wir (12) mit der symmetrischen Funetion (7%), in welcher jedes Glied höchstens zur Dimension %41 in den Z1e, Z20, aufsteigt, und in welcher diese Dimension auch wirklich von einigen Gliedern erreicht wird, dann folgt: In (7°) ist der Exponent u = %41 Zu setzen. $ 393. Die Coefficientenreihen a,, 4, Am-+-1 der Funetionen /i7f27 fm-+ Waren bisher als unbestimmte Grössen angenommen, denen. solche Gewichte beigelegt wurden, dass jeder Summand in f das Gewicht %„ hatte. In allen Funetionen f ersetzen wir jetzt jeden Coeffi- cienten @ durch eine ganze Function einer neuen Variablen £ mit all- gemeinen unbestimmten Coefficienten a’, derart, dass £ bis zu einem Grade aufsteigt, welcher dem Gewichte des zu ersetzenden Coefficienten gleichkommt. Die Gewichte der a’ werden wieder so bestimmt, dass auch die umgewandelte Function in Hinsicht auf die a’, die 2,, %, und auf % isobarisch wird und das Gewicht n besitzt. Die neuen Funetionen bezeichnen wir mit (18) fa (ı Za ZI?L; t) (“=1727" ;m+1); und wenn wir f„ nach den fallenden Dimensionen seiner Glieder in den < D und % ordnen, dann sei (14) fa(£'„ 2 t) Z “E;la)(zly C t) + „(ana—l)(zl‚ Yay i t) + G 84 Siebenunddreissigste Vorlesung $ 393—395. so dass jeder in u““ eingehende Coefficient @” das Gewicht 0, jeder n U eingehende das Gewicht 1 besitzt, u. s. w.. Hierbei entsteht u("o;) z %g M (15) &% ( b ‚2} aus dem früheren fx(2,,2,::-£m), wenn man die Variablen 2,, ,° z Z durch T € ? ersetzt und die Coefficienten @ ın die neuen a’ überführt. (15) ist demnach auch eine allgemeine Funetion der Di- mension %, miıt unbestimmten Coeffieienten. $ 394. Wir führen jetzt dieselben Umänderungen, welche von (1) auf (13) leiteten, auch in R= R(f,, fm-+1) durch. Dabei entsteht eine ganze Funetion von € und den a’, die wir mit R(%) bezeichnen wollen. R(t) möge die Eliminante der (m+1) Gleichungen (138) heissen, genommen ın Beziehung auf die Unbekannten %,, 29 , Z]7L 2 Jedes Glied in dem früheren R war ein Potenzproduct der Coeffi- cienten @ und hatte in ihnen das Gewicht (== , - M * Nm-AL- Daraus folgt, dass in R(£) jedes Glied von R eine Funetion von € mit Coeffi- cienten a hervorruft, welche bis zum Grade 7 aufsteigt. Es ist dem- gemäss %' die höchste Potenz von %, die in R(%) auftreten kann. Wir wollen den Complex dieser Glieder mit %’ berechnen. Wir kommen zu ihnen, wenn wir in jedem f„ jedes ax (mit dem Gewichte w) durch agt“ ersetzen, wobei a” das Gewicht Null hat; denn dabei beschränken Dadurch bekommen wir aber offen- wir uns auf die höchsten Glieder. bar nichts anderes statt f als dieselbe, durch Einführung des % in Z1) %> *‘‘ %m, E homogen gemachte Funetion mit den Coefficienten a«, al WG B 0O Folglich bildet in R(t) der Complex der Coeffieienten von &* die Resultante von zI]L xa Z Gl 1)=0, au) ( C 2 4 )=O‚ (16) u@) ( O ‚{ ö Diese Resultante ist bei allgemeinen Coefficienten a’ nicht identisch Null. Somit steigt R(f) wirklich bis zum Grade 7 auf. Die Resultante von (16) wollen wir auch als Resultante der homo- genen Functionen ( un (2,, Bn 0 = 0, UG @, zm; t)=07"' bezeichnen. Ihr Verschwinden giebt an, dass das System (17) ausser der banalen Lösung z =0, .. m =0, t=0 noch andere Lösungen besitzt. Wir schreiben diese Resultante auch (18) uln2) Z uCm +D m-+1 ). R (u@), Resultante und Eliminante. Poisson’sche Methode. 85 Dann ist das leitende Glied von R (%) u +J1) R (u<;h>‚ uln) , m—+1 )_tl. Der Grad der Eliminante in € ist im Allgemeinen gleich dem Er wırd nur Producte der Dimensionen der Gleichungen. dann geringer, wenn die Aggregate (17) der Glieder höchster Dimension gleich Null gesetzt ein Gleichungssystem ergeben, welches ausser (0, 0, --- 0) noch andere Wurzeln besitzt. Zu jeder Wurzel &, von R(t)=0 giebt es Werthe 2ız, Z22, - Zma, für welche alle „ =0 befriedigt werden. KEin allgemeines System hat also mindestens / Wurzeln. Bei der Bestimmung der zu einem %’ gehörigen z’ stösst man auf dieselben Schwierigkeiten, die schon bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten auftraten. Auch hier lassen diese siıch am einfachsten durch die Liouville’sche Substitution überwinden. $ 395. Wir setzen, ähnlich wie früher, D = 419 + %8 + 4 - m@m + Ab und tragen in die Funetionen f„ für € ein % Z f x——%lzl—1f?fg—-" — mm, 2 ’ die Resultate multipliciren wir, um ganze Funetionen zu gewinnen, mit passenden Potenzen von 2 und schreiben sie dann (19) gc‘ (Zl7 Zf37 Aa @)= 0 CZ Die Dimensionen von f und gx sind die gleichen. Aus (19) eliminiren wir die z und bılden die Eliminante gm+1> =0. (20) R(x) Z R(917 Ia Nun sei xz, eine Wurzel von R(x) = 0. Dann haben die Ja (21, %, Zım) x1) =0 (x=1,2,...m +1) eine gemeinsame Wurzel 2,1, %1, Zm1, und also besitzen wegen der Herkunft der g auch die (18) f“ (Zl7 527 B 0)= 0 eine gemeinsame Wurzel, nämlich Z CR a a RA U S Z Z — i CO Z 217 x E F Zml, Ü= A Da diese Werthe ihrer Bedeutung nach von den Parametern x,,--: %m, A unabhängig sind, so folgt wie ın $ 358, dass jede Wurzel von (20) die Form %, = %214 + %%1 F: + 126 besitzt, wobei 21, Z) Z die Coordinaten einer Wurzel von (13) sind. Hat man sämmt- liche Wurzeln %,, %, von (19), so geben diese nach dem 86 Siebenunddreissigste Vorlesung $& 395—397. Es angegebenen Verfahren sämmtliche Wurzeln von (138). giebt also im allgemeinen Falle so viele Wurzeln, als das Product der Dimensionen der Gleichungen beträgt. Die Gleichung (20) dient ferner dazu, die elementaren symmetri- schen Functionen der %,, %, 2 und daraus nach $ 377 die symmetri- schen Funetionen der Wurzeln von (13) zu berechnen. $ 396. Wir setzen die Eliminante (20) in die Form (21) R(x)= Oa D — O A) Da Ü Die Wurzeln von (21) sind von der Form %21 + *+ + %m@m1 + Ab,, WO 211 Za17 t, endliche Grössen sind. Es kann also für kein end- liches Werthesystem x,, %,, Xm, A ein %, unendlich gross werden. Dies müsste aber geschehen, wenn irgend eine Wurzel (x,', %, ** %m, X') wäre. von 09=0 nicht zugleich Wurzel aller o,= 0, O = 0, Man kann also wie in 8& 360 schliessen, dass 09 von x,,:::A4 unab- Xm — O; hängig gemacht werden kann, und dann duwren 2 = 0, - t=1, dass 0, den Werth (18) hat. Da die Wurzeln von (21) die Form x; 211 + %21 4 ** A m@ma + Abı haben, und da 01 (1 0941 , 3 = SAn A an A Adı), so folgt, dass 0x eine homogene Function «“ Grades in den %,: %m, A ist Man sieht, dass alle bei m =1 gemachten Schlüsse sich hier wiederholen. Die Sätze aus 8 360 können direct übernommen werden. So können wir sagen: In (21) ist ox homogen in den Parametern vom Grade «. Verschwinden für besondere Werthe der Co- effieienten @ die Grössen 09 Q, - 0, ıdentssch d h sür alle Werthe der Parameter, dann ist jeder von den Para- metern abhängige Factor von 0ı in jedem folgenden 0u+1, Ou-+2)7 als Theiler enthalten, so dass in der Eliminanten- gleichung jeder solche Theiler fortgehoben werden kann. Das Gewicht von o@x in den Coefficienten @ beträgt «. Auch dies folgt sofort aus der Form und dem Gewichte der Wurzeln. Mit diesen Sätzen ist Alles für (m + 1) bewiesen, was zu Beginn der Vorlesung für m angenommen und früher für m=2 als richtig erkannt worden ist. Das Hauptproblem der Elimination ist damit er- Jedigt. Die dazu benutzte Methode stamm$ von Poisson, Memoire sur l’6limination dans les 6quations alg&briques; Journ. de l’Ecole poly- technique; IV; cahier 11, p. 199, der sie selbst als eine Krweiterung der von G. Cramer für zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ge- Resultante und Eliminante. Poisson’sche Methode. 87 gebenen in der Einleitung seiner Abhandlung erklärt. Das Theorem über die Zahl der Wurzeln war früher von Be&Ezout aufgestellt und führt seinen Namen. Wir kommen auf diese Untersuchungen noch zurück. $ 397. Von einer Wurzel x, der Gleichung (20) können wir durch die Annahme x = 1, %” =0,. 1=0zu %,, durch x = 0, al a=0, i =0 Z ıy W &W eanoen. Der Uebergang kann auch auf folgende analytische Art geschehen. Wir bilden ein System von l Gleichungen, die in den Z11, Zi2) Zı3) Zır linear sınd Zy11 + 219 + = S, Z1%ı A Saa Ar = S, Bnl E Aa e = Die rechten Seiten sind als symmetrische Funetionen der Wurzeln be- kannt. Die Determinante der linken Seite ist von Null verschieden, e d® d Oan yon einander verschieden sind. Das ist leicht einzu- sehen. Wäre nämlich im allgemeinen Falle bei unbestimmten Coeffi- cienten stets Wurzelgleichheit vorhanden, dann müsste dies auch in jedem besonderen Falle eintreten, während doch z. B. am r fı = g’111_1=0; fé*;:g’{_fa_1__—_())...f;n+lf_:t"m—f—l_l=o keine gleichen Wurzeln x liefern werden. Das System der linearen Gleichungen kann daher aufgelöst werden, und so entsteht 11 = T(:I„) (Ä=172)3;"'l) Das Gleiche lässt sich auch in folgender Art bewerkstelligen *). Der Ausdruck R(%J)Z — = H@ ist eine ganze Funetion von y, deren Coefficienten symmetrische Fune- tionen und somit bekannt sind. Setzt man y= ,, so entsteht, weil links nur ein Glied zurückbleibt, H(x;,) (22) 212 R’ (x;) c Auf dieselbe Art findet man die %. Man kann also den Uebergang von den x zu den Z auf rein analytischem Wege durchführen. n ELE *) Diese einfache Methode stammt wohl von Kronecker (J. f. M. 91, p. 307). 88 Achtunddreissigste Vorlesung $ 398—3899. Achtunddreissigste Vorlesung. Unendlich grosse Wurzeln. Vielfache Wurzeln. Unendlich . viele Wurzeln. $ 398. Wenn ein allgemeines System von m Gleichungen mit m Unbekannten gegeben ist, so kann man den unbestimmten Coeffi- cienten, wie wir gesehen haben, stets solche besonderen Werthe er- theilen, dass auch das neue besondere System k= N: - N Lö- sungen besitzt. Liegt nun ferner irgend eın System von m Gleichungen mit %, (<k) Lösungen vor, so kann der Uebergang von der ersten Eliminante zur zweiten nur dadurch geschehen, dass 09, 0,)* ** Ok—k— gleich Null werden; es giebt dann also (£% — *,) Wurzeln x, die ins Unendliche gewachsen sind, und also auch, falls die Gleichungen prä- parirt waren, ebensoviele Wurzeln (2,, %, Zm), deren Coordinaten sämmtlich c©o geworden sind. In dem einfachsten Falle %, = (& — 1) wl mu y = 0 oder Zr n{ D m ;lg mM ?“Li‚l’ 1) LEn O‚ Z M d. h. die homogenen Gleichungen, welche entstehen, wenn man in allen f die Glieder höchster, %,' Dimension gleich Null setzt, haben eine gemeinsame Lösung. Die Verhältnisse sind hier also genau denen analog © welche wir bei zwei Gleichungen miıt zwei Unbekannten be- sprochen haben. Schon Kuler*) nimmt bei der Zählung der Wurzeln Rücksicht auf solche unendlichen Wurzeln. Es ist vielleicht nicht unangebracht, folgende, freilich naheliegende Bemerkung zu machen. Es mögen qw,p beliebige ganze Funetionen der Z,,:::Zm bedeuten; dann sind die beiden Systeme (1) fi=0, f=0, : fa=0 und fl=0‚ F an f O f P Oa ffa E O f = On 000 ﬂ„ + 917n‚m—1ﬁu—1 + CTE + Qm‚2f'2 + Qm,l f1 y O insofern einander äquivalent, als jede endliche Lösung des einen der beiden Systeme auch das andere befriedigt, wie leicht zu sehen ist. Gleichwohl können die Gradzahlen der Gleichungen des zweiten Sy- stems beliebig erhöht auftreten. Dies erklärt sich dadurch, dass das zweite System eine Reihe unendlich grosser Wurzeln hat, die dem ersten fehlen. L * Me6m. de l’Acad. de Berlin (1748), p. 234. Unendlich grosse Wurzeln. Vielfache Wurzeln. Unendlich viele Wurzeln. 89 $ 399. Wir gehen jetzt zur Betrachtung mehrfacher Wur- zeln über. Bei allgemeinen Gleichungen können solche nicht auf- treten, denn das Gleiche müsste sonst auch in jedem besonderen Falle gewahrt bleiben, während sich ja leicht Beispiele aufstellen lassen, ın denen keine mehrfachen Wurzeln vorhanden sind, vgl. S. 87. Besitzt die Eliminante R(x)= 0 den Wert x =xz, als «-fache Wurzel, dann wollen wir das zugehörige (2,1, %,, Zn1) gleichfalls als «-fache Wurzel auffassen. Durch Berücksichtigung der unendlichen und der vielfachen Wurzeln erst wird der BEzout’sche Satz von der Anzahl der Wurzeln jedes Systems von Gleichungen richtig, falls nicht der später zu besprechende Fall unendlich vieler Wurzeln eintritt. Wir wollen noch von einer anderen Seite her die mehrfachen Wurzeln zu behandeln suchen. Wir setzen, indem wir unter &,: Sm beliebige aber. feste Werte verstehen, (2) 2 = 5& + 044, A €2 + 0U , Sm — €m + 0Un )} (u* E u A A m = 1). Dann gehört zu jedem Werthsysteme 4, 4, - Um; @ ein einziges Sy- stem Z,, %,' Zm; umgekehrt gehören zu jedem Werthsystem 2,,22, °° Zm die beiden Werthsysteme C iV(21_ E A F Ca C 0 = z Sı U 2 ==— 2 —& 2 © © m = Em, welchem o0==0; (4,,Uo, ausgenommen Zzu , = 6, %= %,' beliebig) entspricht. Trägt man (2) in (1) ein, so erhält man, wenn (E, - Em) keine Wurzel von (1) bedeutet, ein Gleichungssystem von (m + 1) Gleichungen mit (m + 1) Unbekannten und nach dem eben Dargelegten mit doppelter Zahl der endlichen Wurzeln gegenüber (1). Beschränkt man aber die Systeme auf positive o, so entspricht jeder Wurzel von (1) eine solche von (2) und umgekehrt. Wir wollen jetzt (&,,&,--:Emn) gleich einer Wurzel von (1) setzen. Dann ıst Öl SE N E AI @) fı =0[47E+ + m 8 M ]+9”G„=0 (« 2 wenn unter L Ö6 das Resultat der Substitution von (&, &, --- Em) in E verstanden wird, und &„ eine nach Potenzen von o aufsteigende 0 Funetion bedeutet. Unterdrücken wir in (3) den Factor 0, so müssen ( ] Qa ) [“1%%+"’+%„3—ﬁ31+9'6%„=0 @ = 12 00 @) M, 90 Achtunddreissigste Vorlesung 8 399—401. von allen übrigen Wurzelsystemen w,o, die aus den übrigen Wurzel- systemen (212, %2, Zmu2) entspringen, befriedigt werden; und um- gekehrt folgt aus jedem Wurzelsystem u, o ein solches (212, 222, : Zm2)- Wir' wollen unter' Wahrung (der‘ Wurzel (e1 ,, )=6, 6, ) die Coefficienten von (1) so abändern, dass eine zweite Wurzel (2,2, %,: Zm2) der ersten sich unendlich nähert. Dann wird das zugehörige o gleich 0 werden; und sonach muss es Werthe u geben, die das lineare System der m homogenen Gleichungen f a=0 @= 172 U %% + u ;% + + u,„ä Em ’ A0 7;z) befriedigen. Es wird demgemäss die Determinante J = Öfz Ö6, H (Ä')Au'=1727"'m) gleich Null sein. J ist die von Jacobi eingeführte Functional- determinante, auf deren Bedeutung für die Elimination wir später noch genauer eingehen werden. Ist umgekehrt J= 0, und bezeichnet U, Up', um eine Lösung von (4), für welche Eujf = ]L 186 Camm folgt aus ihr und o= 0 eine Lösung von (3*); d. h. (3) besitzt noch Daher ist J=0 charakteristisch eine zweite Wurzel o= 0. dafür, dass die Wurzel (&,--:En) des Systems (1) mindestens von der Multiplicıität 2 ıst. Die Behandlung vielfacher VVurzeln höherer Multiplicität nach der- selben Methode ist schwierig, da zu einem 0==0 verschiedene Sy- steme w gehören können, durch welche mehrere der in (3) rechts stehenden Anfangsglieder verschwinden. $ 400. Ein anderer wichtiger Satz über mehrfache Wurzeln be- darf zu seiner Ableitung einiger Vorbereitungen. Wir wollen annehmen, jedem Summanden einer Summe seil ein beliebiges Gewicht beigelegt worden. Unter dem unteren Grenz- gewichte oder kürzer dem Grenzgewichte der Summe, (da wir mit anderen in der Folge nicht zu thun haben), wollen wir ein Ge- wicht verstehen, unter welches kein Gewicht eines der' Summanden sinken kann, welches aber auch wirklich das niedrigste vorkommende ist Der Einfachheit Gewicht eines der vorhandenen Summanden halber beschränken wir uns von vornherein auf nicht negative Ge- wichte und Grenzgewichte. Bezeichnen wir nun mit g,, 92 : In die Grenzgewichte einer Reihe w4, W, - U von einander unabhängiger Grössen, wobei die w so angeordnet sind, dass gı <9a < SIn Unendlich grosse Wurzeln Vielfache Wurzeln Unendlich viele Wurzeln D ist, dann hat S(u,) als Grenzgewicht offenbar g,; ebenso S(u,w) als G1enzc7ew1cht gı ga, u s. w. Daraus folgt, dass die Coeffieienten von ( — u)= 0 W — W au = (u — U)(u — W6) + I> 7’2"91+./27 der Reihe nach die Grenzgewichte v,= 0, 7= haben. Dieser Satz lässt sich auch umkeh1@n Hat a das Grenz- gewicht y,, so muss dieses, da d, = S(u,) ist, Grenzgewicht eines der w sein, und zwar das kleinste vorkommende. Da ferner a = S(u,u) ist, so wird das nächst grössere Grenzgewicht eines u gleich (7%2 — %1) sein, u. s. f. bis zu Yı— Yn Wird somit eine symmetrische Funetion Z z - Dn im Anschlusse an die letzte S ( un U Gleichung gebildet, so ist deren G1enz%wwht durch die Grenzgewichte der Coeffieienten ausgedrückt, 09ı F Dla F + Dadn = D171 F o 2 + Da(Yn Yn—) $ 401 Von diesen allgemeinen Sätzen wollen wir wichtige An- wendungen machen Es seien die beiden Gleichungen gegeben (6) Ala)= a FA e A T (7) Al@)=bet mf F Ba + Bezst rı E b=0 Hier ertheilen wir den &,, Ay_ı, do 3 b Z)„‚1‚ b; die Grenz- gewichte Null, den folgenden a,, b, die Grenzgewichte o — x, 0 — x so dass insbesondere , das Grenzgewicht o, und b, das Grenzgewicht 6 hat Dann haben o der Wurzeln 2,1, %3, Zıo0 von (6) das Grenz- und die übrigen (r— o) das Grenzgewicht 0, wie aus gewicht 1 $ 400 folgt Es hat ferner die symmetrische Funetion S(Zn Z12 zlr) (Dı Z D Z Dr) das Grenzgewicht p-_o+1 + r—o+2 F + D, Wir bilden nun die Resultante von (6) und (7) (8) : fa(@ıı) fa (@a) f a D Die einzelnen und suchen für sie das Grenzgewicht zu bestimmen Summanden des ausgeführten Products haben die Form (9) babseb, S 2“ ß 27 31 a E ) Die Summanden der einzelnen Factoren rechts in (8) zerlegen wir ın zwei Theile; die ersten erstrecken sich vom Anfangsgliede bis b„,2° D die zweiten vom folgenden Gliede bis zu Ende Tritt in einen Sum- manden der Form (9) ein Glied der ersten Art ein (etwa « > 0), wird das Grenzgewicht sicher nicht vermehrt, wenn man dieses Glied durch das entsprechende b,z ersetzt; denn das alte wiıe das neue b haben das Grenzgewicht 0, und der Exponent von 2,,, der möglicher- 92 Achtunddreissigste Vorlesung $ 401—402. weise beim Grenzgewichte mitbestimmend auftritt, vermindert sich. ’ Kommt ferner ein Glied der zweiten Art in (9) vor (etwa ß <o), so wird das Grenzgewicht des Summanden sicher nicht vermehrt, wenn auch dieses Glied durch das entsprechende b 29 ersetzt wird. Denn der Exponent von 2,„, der möglicherweise mitbestimmend wirkt, wird nur um so viele Eimheiten erhöht, als das Grenzgewicht des b, welches sicher Einfluss besitzt, sich vermindert. Daraus folgt, dass (9*) 6 S(211%2 ' ı Aır)7 das niedrigste Grenzgewicht hat; d. h. o%’ ist das Grenzgewicht der Resultante. Dieses Resultat hätte sich kürzer aus $ 360 herleiten lassen; die weiteren nothwendigen Folgerungen wären aber auf dem dort eingeschlagenen Wege nicht zu erhalten gewesen. Unsere allgemeinen Annahmen über die Grenzgewichte werden durch die folgenden Festsetzungen nicht gestört. Wir nehmen 04 — O40 + Agı @& '+‘ + az‚r-—zß'€_”‚ 0, = sz + Z)„12'2 + + b„‚8_„‚2"?'_‚—/, schreiben statt f und f, jetzt f& %) =2“xl A =0 (”+Ä=O;1;"'T)> (10) fa (& %) =szlzyi Z =0 Z und geben den a,, (x + 21 > o) und den b,, (x + 1 > 06) die Grenz- gewichte 0, jedem A,ı (x +21<0) das Grenzgewicht (0o— x — 1), und jedem b„ı (x + 2 <o) das Grenzgewicht (60 — x — A); 2 Soll das Ge- wicht 1 haben. Dann besitzt die Eliminante R(z), sowie ihr absolutes Glied ın den Coefficienten und in %, das Grenzgewicht 00. Dasselbe bleibt gültig, wenn wir vermittels der Liouville’schen Substitution, unter U, U Parameter verstehend, %= u 2, + W% in (10) einführen und die Eliminante R(x) berechnen. Setzen wir sie gleich Null, x7'8+Alxrs—l__}_A2xrs—2_f___‚+Agaxglf+...+Ars=o’ so folgt, dass 06 der Wurzeln x das Grenzgewicht 1 und die anderen das Grenzgewicht 0 haben. Gehen wir zu den z zurück, so finden wir, dass beide Coordinaten für 06 der Wurzeln (Z1, 221), das Grenz- gewicht 1 haben, und dass bei den anderen die Grenzgewichte O auf- treten. Folglich hat (11) S(efi 2812 12 222 Da 92 ) (P1+%21’2+922"') das Grenzgewicht ( (Prs—@ü4-l al Qrs—(’6+1> a (Prs—ea+2 Al q7‘s—96+2) an (Drs - Grs)- Unendlich grosse Wurzeln. Vielfache Wurzeln. Unendlich viele Wurzeln. 93 Wir wollen hier gleich bemerken, dass wir für den Fall zweier Variablen das zu beweisende Theorem hierdurch schon als richtig erkannt haben, nämlich: Ertheilt man in (10) den Coefficienten solche Grenzgewichte, dass bei den Gewichten 1 für z, und z das Grenzgewicht von f; gleich o und das von f gleich o wird, dann haben die Coordinaten von 96 der Wurzeln des Systems fi=0, A=0 die Grenzgewichte 1. $ 402. Wir nehmen jetzt noch eine dritte Gleichung zu (10) hinzu: (12) fla 2)= er (x+’1=0;17"'t) und geben den 6,; (x + 2>r7) die Grenzgewichte 0, den 67 (x + 2 <r) die Grenzgewichte (v — x — A). Dann bilden wir wieder die Resultante (13) @9 Zu) Ma@ap Za) 99 fa(Zı,rs) Za,rs), wobei die (217, zaı) die Wurzeln von (10) sind. Wir verfahren, um das Grenzgewicht von (13) zu berechnen, genau wie ım vorigen Para- graphen, indem wir die Glieder von (12) in zwei Theile theilen, deren erster alle die enthält, bei denen x + 2>t ist. Tritt in einem Sum- manden des entwickelten Ausdrucks (13) CaßCyo : S(Aiı 20 Zla 2 ) ein Summand des ersten Theiles auf, so kann man iıhn ohne Erhöhung des Grenzgewichtes durch einen solchen ersetzen, bei dem x + 1 = T ıst Das Gleiche tritt im zweiten Falle auf, aus denselben Gründen wie oben, und so folgt, dass OCnl 9° Aa Caln 29 an (x + 1 =r) das Grenzgewicht liefert. Nach (11°) ist dies 06(x + 2) = 007. Unsere allgemeinen Annahmen über die Grenzgewichte werden Wir nehmen durch die folgenden Festsetzungen nicht gestört. 0A42 — 0420 + A 21 &3 + S + U ar—4— L Z7:;_z—)'‚ bx). F bxl() + bx?„1 23 + E + bx,l‚s—z—?. ng_x_z‚ OR = O0 a BAn E Caa schreiben statt fi, f‚ f3 jetzt fı (&1> %, 23) =2“':4Mc Zn =0 (x + 2+u=0,1,...7), (14) fa(%, %, %) :2bzl.u n =0 (“+Ä+“=071;"'8)) fa (8ı) 82y 2) = D urn ga =0 (x#+2+u=0,1,...%), und geben den @,ı das Grenzgewicht o — (x + + w), falls diese Differenz positiv ist, sonst das Grenzgewicht 0; ähnlich verfahren wir 94 Achtunddreissigste Vorlesung $ 402—404. mit den b,zu, C,zu und den 6 — (x +1A + w®), z —(x + 2-+w); 2 soll das Grenzgewicht 1 haben. Dann hat nach dem obigen Resultate die KEliminante R (z;) das Grenzgewicht oort. Dasselbe bleibt bestehen, wenn wir vermittels der Liouville’schen Substitution %=u,2, + 42 + u32 einführen, für R(x) und auch für ihr absolutes Glied. Daraus folgt dann, dass octT der Wurzeln von (14) in allen ihren Coordinaten Z,, %, @ die Grenzgewichte 1 besitzen. Folglich gelten, entsprechend modificirt, die obigen Sätze über symmetrische Funectionen u. s. w. In gleicher Weise können wir zu mehr Variablen aufsteigen. Unsere Methode zeigt uns also die Gültigkeit des allgemeinen Satzes: Geben wir den Coefficienten von (15) fl('äl7 29 Zm) = 0 Ü= 120° %) solche Grenzgewichte, dass jedes f das Grenzgewicht o‚ er- hält, falls man allen z das Gewicht 1 beilegt, dann haben 0102° 0Om der Wurzeln von (15) in allen ihren m Coordi- naten das Grenzgewicht 1. $ 403. Von diesem allgemeinen Satze machen wir eine Anwen- dung, indem wir alle diejenigen Coefficienten in jedem fz gleich Null setzen, deren zugehörige Potenzproducte geringere Dimension haben als 02 beträgt. Diese Coefficienten werden also bei der Berechnung der Gewichte ausgeschaltet. Die übrigen Coefficienten setzen wır constant. Tragen wir (16) % = %18 F Xoßa F 4 F KmEm ein, und berechnen die Eliminante R(x), so ist deren Grenzgewicht auch 0,0 ° Om;); da aber ’alle vorkommenden Coefficienten ganze Funetionen unserer Constanten sind, so ist dies nur mögliıch, wenn Glieder x*, bei denen 2 < 002 - - Om 1st, überhaupt nıcht vorkommen. Das zeigt: Ist (0,0,-...0) eine o,-fache Wurzel von f7ı= 0 (Ä':1;27' m), dann ist (0,0,-.-0) eine (0,02::-0Om)-fache Wurzel des Systems (15). Durch diesen Satz haben wir nur eine untere Grenze für die Multipliceität angegeben. Es lassen sich aber sofort Fälle construiren, für welche diese Grenze nicht überschritten wird; z. B. für ( 292 Q 2 b Z N ı sobald die c Constanten sind, deren letzte von Null verschieden seim muss. Daraus schliessen wir: Das obige Theorem giebt die wahre Multiplicität im allgemeinen Falle. Was von dem Specialpunkte (0, 0, --- 0) bewiesen wurde, gilt, wie man durch Coordinatenverschiebung erkennt, für jeden beliebigen Unendlich grosse Wurzeln. Vielfache Wurzeln. Unendlich viele Wurzeln. 95 Punkt (g,, , ‘ Im), SO dass wir sagen können: Ist (g,, %, ‘‘ dIm) m), eine o,-fache Wurzel der Gleichung f; 0 0 Z damm s e Im) im allgemeinen Falle genau eine (91 02 -- Om)-fache Wurzel des Systems (15). $ 404. Endlich wollen wir den Fall besprechen, dass unser System (1) f1(2'1,ß'2, "‘Z7“)=O; ﬁ3(21‚52,-"2’7„)=0,"-]('7„(21‚52‚ "Zm)=O Die einzelnen Fune- unendlich viele Wurzeln (2,, %, Zm) zulässt. tionen von (1) mögen durch vorläufige Transformation bereits präpa- rirt sein ($ 340, 8 353, $ 355), so dass etwaige Zufälligkeiten, die durch specielle Formen der f hervorgerufen werden, ausgeschlossen sind. Wir führen etwa an Stelle von z mittels der Liouyille’schen Substitution die Grösse (16) X — Kr + K9 %9 + An + Xn Em ein und bilden die Eliminante R(x). Charakteristisch für das Vor- handensein unendlich vieler Wurzeln ist es, dass R(x) identisch ver- schwindet; d. h. alle in R ‚auftretenden Coefficienten müssen unabhängig von den Werthen der x für sich gleich Null sein. Dasselbe gilt dann auch z. B. von R(z„); also kann man dem z jeden beliebigen Werth Zm geben, und zu ı1hm Systeme (Z,1, Z1, : Zmı) bestimmen, welche (1) befriedigen. Wir können dies auch so auffassen, dass wir in (1) die Grösse z als Parameter denken und dann die Resultante R (z„) bilden. Diese ist der Annahme nach gleich 0; sonach besitzen die Gleichungen (1) für jeden Werth des Parameters z gemeinsame Wurzeln. Es möge daher jetzt z unbestimmt. bleiben. Wir setzen nun (16°) Xı — 8 + X99g + N + Xm—1@&m —1 und führen dies statt z im (1) ein. Aus je (m — 1) der Glei- chungen (1) bilden wir die Eliminante nach x,. Dann können zwei Fälle eintreten: entweder nicht alle diese Eliminanten verschwinden identisch; oder alle diese Eliminanten verschwinden identisch. Hier- durch wird, je nachdem dieser oder jener Fall eintritt, das System (1) yerschieden geartet sein. Es sei zunächst ein R(x,) nicht identisch = 0, etwa das aus fi=0, R =0, ... fa =0 gewonnene. Dann wird durch die Auf- lösung von R(x,) = 0 jede Wurzel von (1) erhalten werden können. Die Coordinaten (21, 917 Zin—1,1) treten dabei i. A. als Funetionen des Parameters 2„ auf; es kann aber auch vorkommen, dass R (x;,) Faetoren enthält, deren Coefficienten von dem Parameter 2,, unabhängig sind, und dann treten neben die Lösungen erster Art 96 Achtunddreissigste Vorlesung $ 404—405. Neununddreissigste Vorlesung $ 406. 211 = O1 (@m), %ar = Oa (&m), m —1,1 — Pm — (Zm) 5 &m Lösungen zweiter Art, in denem alle Coordinaten feste Werthe haben. $ 405. Ist zweitens jede der ım möglichen Eliminanten R (&x,) identisch Null, so ist dies auch z. B. mit jeder Eliminante J (@) der Fall; also kann man dem 2„_, jeden beliebigen Werth ertheilen me2‚ 1) be- und zu den willkürlichen Zm_—1, m Systeme (Z,1, Zoı), stimmen, welche (1) befriedigen. Wir betrachten jetzt Zm—1 Und Zm als Parameter und setzen (16”) %o — H14 + X99 + SB + Xm —2 2m —2 5 dieses %, führen wir an Stelle von Zm—2 iM O en A 2) der Gleichungen (1) bilden wir die Eliminante nach %. Dann können zwei. Fälle eintreten: entweder verschwinden nicht alle diese 5- m (m — 1) Eliminanten identisch; oder sie verschwinden sämmtlich identisch. Es sei zunächst ein R(x,) nicht identisch = 0; dann wird durch die Auflösung von R(x,)= 0 jede Wurzel von (1) erhalten werden können. Die Coordinaten (Z11, %1) Zm—,1) treten dabei 1. A. _ als Funetionen beider Parameter auf; dann werden 2,, Zm—2,1 Fune- Es kann aber auch vorkommen, dass R (z) \MOMEM. OM Z O Z Factoren enthält, deren Coefficienten nur von einem der beiden Para- meter, etwa von Z abhängen; dabei werden durch Vermittelung von %, zuerst Z11, Zaı, ** Zm —2 ı Funetionen von 2„; und weiter liefert eine beliebige der Gleichungen (1) auch 2m—1,1 als Funetion von Z„. KEnd- lich ist es auch möglich, dass R(x,) Factoren besitzt, die von beiden Zm1 Constanten. Parametern frei sind; dabei werden 2,1, %, Die Charaktere dieser Lösungen sind also: I) BId F Ü1 (f%n—l‚ Zm), 5m—2‚1 GE 1P71L—2 (5m—17 Zm); Zm-—1; m beheblg I) 24 = %ı (Zm), Anl (z'm 5 Zm beheblg IIT) 211 %1, Zm1 fest. — In. solcher Weise kann man fortfahren. Kronecker hat diese Unterscheidungen zuerst scharf durchge- führt*). Die hier benutzte Methode leitet uns sofort zu den Resultaten des allgemeinen Falles. Wir nennen mit Kronecker das System (1) ein System m*“ Stufe (oder m' Ranges), wenn R (zx) nicht identisch verschwindet, wenn also sämmtliche Wurzeln feste Coordinaten haben, oder, was das Gleiche besagt, wenn sie eine Mannigfaltigkeit 0‘° Di- mension bilden. — Das System (1) heisst ein System (m— 1) - Sbuke *) Grundzüge einer arıthm. Theorie u.s. w. J.f M. 91 (1881) p. 1, S21 VL Vgl. auch Molk, Acta math. 6 (1884) p. 1, Cap. IIL Elimination. Be&zout’sche Me-tho de. O (oder (m— 1) Ranges), wenn R(x)= 0, aber ein R (x,) nicht iden- tisch. Null ist. Dann bilden die Wurzeln eine Mannigfaltigkeit erster Dimension; kommen ausser diesen keine anderen vor, so ist das System ein reines System (m—1)“" Stufe; kommen noch andere mit festen Coordinaten vor, dann ist das System ein solches (m—1)'” Stufe gemischt mit einem System m” Stufe. — Das System (1) heisst ein System (m—2)'" Stufe (oder (m — 2)”" Ranges), wenn R(x)=0, alle R(x,)= 0, aber ein R(x,) nicht =0 ist. Dann bılden die Wur- zeln eine Mannigfaltigkeit 2° Dimension; kommen ausser diesen noch andere vor, die eine Mannigfaltigkeit erster Dimension oder solche, die eine Mannigfaltigkeit nullter Dimension bilden, dann heisst das System ein gemischtes (m — 2)“" Stufe. — Ebenso bezeichnen wir (1) als Sy- stem A*r Stufe, wenn die Wurzeln eine Mannigfaltigkeit (m — k)*" Dimension biılden. Ist keine weitere Wurzel vorhanden, so heisst das System ein reines; treten Wurzeln auf, welche zu Mannigfaltigkeiten niederer Dimension zusammentreten, dann ist das System ein ge- mischtes. Es ist nicht immer möglich, Mannigfaltigkeiten (m — k)'“" Dimen- sion von m Variablen durch % Gleichungen dieser Variablen rein dar- zustellen; also es ist etwa für m=3, k=2, um geometrisch zu sprechen, nicht möglich, durch zwei Gleichungen zwischen 2,, %, %z jede Curve dritter Ordnung rein, d. h. ohne fremde Punkte als Schnitt zweıier Flächen zu bestimmen. K M HNR Neununddreissigste Vorlesung. Elimination. BeEzout’sche Methode. $ 406. Die Darlegungen der siebenunddreissigsten Vorlesung haben uns gezeigt, dass das Problem der Elimination mancherlei VUeberlegungen und Vorbereitungen zu seinerBewältigung bedurfte; da liegt die Frage nahe, ob nicht die stufenweise Entfernung von m Variablen 2,, %, Zm &us den (m —+ 1) Gleichungen (1) fl %, Z zm+1) =@ (Ä=17 2; } m + 1) rascher zum Ziele geführt hätte. Wenden wir die Methode der Elimi- nation einer Variablen, z. B. z, auf die m Gleichungspaare f1=07 f2=05 f1=07 f:%=05 ; A=0, a = 0 an, dann erhalten wir m Gleichungen mit den m” Unbekannten DE 7307 Zm-41+. Diese Gleichungen‚ welche wir mit Netto, Algebra. II. 7 98 Neununcidreissigste Vorlesung $ 406—407. 9172 (227 Zm—]»1) =0 ’ I1,m-+1 ('‚5'2; An +1) —0 bezeichnen, sind von den Dimensionen %,%,, ; N3, : Nı Nm-+1, falls die Dimensionen der f wie gewöhnlich mit %,, %, Nn +1 bezeichnet werden. Eliminiren wir hierauf ebenso z aus den (m — 1) Gleichungs- paaren I1 = 0, 913 = O; 9ı,2= 0, ı4 = ©° 912 = 0, Ium-+ı = 0, Zm41 von den dann ergeben sich (m —1) Gleichungen in , Z,, Dimensionen %” n,N3, N4 N,N4, N NaNm-+13 und fahren wir so fort, dann erlangen wir zwar eine Schluss-Eliminante, die nur Z 41 ent- hält; aber ihre Dimension am —1 aM—2 1 N .Nz Yn 7Z?‚? ° Nm-Aı ist, wie wir bereits wissen, viel zu hoch. Wir haben nämlich bei dieser successiven Elimination zu beachten, dass die Regel über die Gradbestimmung der Eliminante sich nur auf allgemeine Gleichungen bezieht; Functionen wie gı,2, 91,3, sind aber offenbar nicht allge- mein und auch nicht unabhängig von einander. Es kann und wird demnach schon hier eine Verminderung der Dimensionszahlen ein- treten. Andererseits ist es aber auch ersichtlich, dass wirklich fremde Wurzeln in die Schlussgleichung eingehen werden. Denn wenn Z. B das System vorliegt fl %> %) = 0 a@5 Z a)y= 0, @> Z 2)=0, R f = I0s(%, 2)=0, Bafı > 9o(2, 2) = © R931 92 (Z3) _ 0 2 dann wird zwar für jede Wurzel & von Ro,p(%)= 0 ein Werth Z = G& bestehen, so dass die beiden Gleichungen 93(&, &)= 0, 9a (&2, &)=0 befriedigt sind, und ferner deswegen zwei Werte &,, &,, so dass auch f1(g1‚; €2; ;3)=0; f2(€19 C2) g3)=O 111']d fl(;1//7 €2) g3)=0} f3(C1„) g27 C3)=O wird; aber C6 &) 6 möglicherweise keine Wurzel von f>= 0, und (& ©2 6;) kamo yon n= Auch durch die Combination von lässt sich dieser Uebelstand nicht beseitigen; denn un z es ist möglich, dass ein (& &, &) die Gleichungen f — O; / - 0 befriedigt, die Gleichung fi= 0 dagegen nicht. Wir wollen dies an einem Beispiele durchführen. KEis seien die drei Gleichungen vorgelegt fı 512*321+52+53+2=07 f3 512+5123+/72_1=0> EL E f3 — A —2=0; Elimination. BeEzout’sche Methode. 99 dann ergiebt sich bei der Resultantenbildung Rafı = Iı2(%, %) = (& + %) (@% + 3)°, Ra = 9a3l%, %) = (% — % — 1) %(& + 1), Rpyp = Iı,3(%, %) = 4(% + 22 + 2°); R(g1,8, 9e,5) = Mo(%z) — ost. 2 (4 +1) 22 +1), R(g1,2, Iı,3) = hl1 (2) = est. _Z'3 (@% = 1 @” + 3?3 — I R(g1,2, 92,3) — I9 (%) Z (& +1). Es kommen also nur die beiden Werthe z =0 und @2= —1 in Frage, da’diese allein alle drei Gleichungen h, =0, h2= 0, h=0 befriedigen. Der erste Werth giebt aus den g als gemeinsame Wur- zel von 0 = 0, 0=0, 44 =0 das Resultat z , =0. Aber für 2 = 0, z = 0 gehen die f über ın A f=4 —3, +2=0 h=24?—1=0 f3 A —— 2=0 E RE = = (# — 1)(#4,—2) C —0a1 @ =2) @ -41) so dass der oben als möglich hingestellte Fall hier wirklich auftritt. Dagegen liefert z = —1 zuerst %, = 1 und dann z,= 1, und die einzige Wurzel des gegebenen Systems wird (1, 1, —1). $ 407. . Unter solchen Umständen hat die Vermuthung Manches für sich, dass dieser letzte Uebelstand durch die schon früher als vor- theilhaft erkannte Liouville’sche Einführung von X = 48 + %% F : + m- Em- ‘ an Stelle von Z„+1 sSich heben lasse. In der That folgt aus dieser "Transformation, wenn wir die umgewandelten Gleichungen bei x = 2 mit 981 %, %)=0; Iı (&,, %, x%)=0, 93(217 Za x) =0 bezeichnen, Bayg (X,%) =h =0, Royg (X, %)= 42 =0; Rın m (@) = k (@) = 03 es wird also jede Wurzel von %= 0 direct eine gemeinsame Wurzel liefern, wenn sie gleich x 2, + %22 - %;2, gesetzt werden kann. Aber hier tritt der Umstand ein, dass dies nicht bei jeder Wurzel x von k=0 der Fall ist; und dadurch unterscheiden sich gerade die Wur- zeln des Systems fi=0, fi=0, f;=0 von den fremden Wurzeln, dass für jene die Liouville’sche Form vorhanden ist, für diese da- gegen nicht. Scheiden wir alle diejenigen Factoren von k(x)=0 aus, deren Wurzeln nicht in der Liouville’schen Form darstell- bar sind, dann bleibt die reine Eliminantengleichung zurück. m ( 100 Neununddreissigste Vorlesung $ 407—409. Ein Beispiel möge auch diese Verhältnisse erläutern. Wir nehmen &r 33=O7 2 —42=0, 2 —1=0 und erhalten durch 2 = %,%, + %% -+ @ die Gleichungen 2 1Z0 (# — 1)2, + %% 4 %— 0, %B A ( — 1 - —0, Z Durch Elimination von z, ergiebt sich (%982 + @)* — (1 — 1)* = #p"22” A 242 - Z FÜa =0, ((( 1)2 + — 1} > ( — 12 ( — 1)n : 2 — =0; und weiter durch Elimination von z als vorläufiges Eliminationsresultat * — [(x1 %g — %1 — %9 1 A , I — Ma + [(2x1%2 — %1 — % + 1)(4, + %a — D =0: Diese Gleichung zerfällt ın * — ( + %@ — 1 = 0 und C AT % + 1) —0, deren erste die Lösungen .’D/=%1—}—x2—1‚ W —1 und also (8”, 4, A )=(0,1, D (51,; 52,; Z3/) A (_ 1, "—17 N 1); liefert, während die zweite die Wurzeln a = — Q, % F %r —}—x2——i %' — Quı% — — %+ 1, ergiebt, von denen aus ein Uebergang zu den 2,, %, %3 nicht möglich ist. $ 408. Solche Ueberlegungen veranlassten B6&zout zu dem Aus- spruche, „dass man die schliessliche Eliminante wahrscheinlich nur dann frei von fremden Wurzeln erhalten würde, wenn es gelinge, alle Unbekannten mit Ausnahme einer einzigen gleichzeitig aus den Vvor- gelegten Gleichungen ZU ı eliminiren «“#), Er war dann auch der Erste, hode veröffentlichte**) und das nach ihm be- welcher eine solche Met nannte Theorem aufstellte und bewies. Seine Methode trägt über die sogenannten allgemein en Gleichungen hinaus. Wir wollen ihre Grund- Einige Vorbereitungen haben wir bereits in der züge jetzt darlegen. dreissigsten Vorlesung gegeben, und ein e weitere soll jetzt hergeleitet werden. en von m Va- $ 409. Es seien ” allgemeine vollständige Funetion: riablen 2,, %, Zm gegeben (Dimension von fy sei Na; &« — 1 Q 0 MS (1) f“('zl7 y Z„»,) ä l’usage des Gardes du Pavillon et de la Ma- *) Cours de MatheEmatiques rine p. 209, 210. Paris 1779. #%) Th6orie gEnerale des 6quations algebriques. Elimination. BeEzout’sche Methode. 101 Eine weitere noch unbestimmte, allgemeine, vollständige Funetion der- selben Variablen , habe die vorläufig noch nicht näher bestimmte Dimension %. Wir suchen Factoren %,, %, - @m auf, die gleich- falls Funetionen von 2,, %, Zn und zwar so gewählt sein sollen, dass das Aggregat (2) f0 + q)lfl + “P2f2 + E + (me;„ Zm—ı1 freiı wird und nur von den ersten (m — 1) Variablen Z,, %, noch die letzte z enthält. Die Dimensionen von %,, %,: : - m nehmen wir dabei gleich % — %1, %— %, No — Nın, SO dass alle Sum- manden in (2) dieselbe Dimension %, haben. Wir behandeln das Pro- blem so, dass wir (2) nach seinen verschiedenen Potenzproducten von A, %) Zm—1) %m entwickeln und alle die Coefficienten gleich Null Um setzen, die zu positiven Potenzen von Z,, %, Zm— gehören. dabei zu verhüten, dass (2) identisch verschwindet, schreiben wir dem Coefficienten einer der Potenzen von z noch einen Werth c=+0 vor. Nun hat nach $ 329, (2) unser Aggregat m +1) - (m + m) A No F m N ( m)= 1.2...m ( m ) Terme; von ihnen müssen alle, ausser denjenigen mit 1, %, Zu, *' —-.z,'ff‚ getilgt werden; dies giebt N (m, M) — (n + 1) Forderungen. Endlich ist noch einem der Coefficienten, etwa dem von Es sind deshalb Zu, der Wert c vorgeschrieben. (3) w + mM N(n,, m) — w = ( m )—no Bedingungen zu erfüllen. Die Form dieser Bedingungen ist leicht zu erkennen. Wenn wir die Coefficienten der f„ mit ax2, die des fy mit c, und die unbekannten Coefficienten der g mit uz bezeichnen, dann sind es lineare Gleichungen von der Form Anı Ur A Aa A G = 0 oder kürzer Ül+01=0‚ 2 V Ü:2—}T02=0‚ Wir müssen nun auch die An- deren Anzahl durch (3) bestimmt ist. zahl der verfügbaren Unbekannten w aufsuchen. Da „ die Dimension % — N besitzt, so ist die gesuchte Zahl (3°) (@= 120 )- ; N (ny — Na, M) KEs handelt sich nun zunächst darum, %, so anzunehmen, dass der 102 Neununddreissigste Vorlesung $ 409—411. Werth von (3*) demjenigen von (3) mindestens gleichkommt. Diese Aufgabe ist durch die Formel (11*), $ 333 bereits gelöst; sie lautet SE i=1 Setzt man also % = , M - Nm, dann ist (5) Ea N(n, N: Nm — Na, M) > NN No *+ Nom, M) —N N Nan Es reicht daher aus, wenn als Dimension von f das Product aller Dimensionen der fi, fo, : fm genommen wird. $ 410. Dadurch, dass in (4) die Anzahl der Unbekannten w die- jenige der Gleichungen übertrifft, ist aber die Lösbarkeit der Aufgabe noch nicht verbürgt. Denn es wäre möglich, dass die linken Seiten der Gleichungen (4) nicht von einander unabhängig sind, und es wäre weiter möglich, dass die von einander unabhängigen Gleichungen (4) sich widersprechen. Sobald aber für eine besondere Annahme der Fune- tionen fi,f, : fm bei unbestimmten c, eine Lösung nachgewiesen ist, können wir den Schluss ziehen, dass auch im allgemeinen Falle eine Lösung besteht. Im allgemeinen Falle ist nämlich die Lösung dann und nur dann unmöglich, wenn bei unbestimmten c, eine Gleichung (6) ”151+“252+"'+”9Ü9:O besteht, in der die x von den Variablen frei sind. Die x sind auf mancherlei Art als Subdeterminanten des zu @,, @,, gehörigen Coefficientensystems frei von den C darstellbar. Diese können bei be- sonderen Werthen der aı sämmtlich verschwinden; das ist dann ein Zeichen dafür, dass schon zwischen einer geringeren Anzahl von @ Relationen bestehen. Bleiben die c unbestimmt, so ist dieser beson- dere, wie jener allgemeinere Fall von Relationen ausgeschlossen, sobald die Gleichungen für specielle Annahme der f lösbar sind. Sind da- gegen die c gegeben, so könnte wohl die allgemeinere Relation (6) den gegebenen Werthen der c widersprechen, während die besonderen neuen Relationen keinen Widerspruch finden würden. Darin liegt der Grund, bei den beweisenden Beispielen die c unbestimmt zu lassen. Wir wollen das Besprochene an einem Beispiele erläutern. Es sei das System gegeben 2 , = (1 + «)2 + (l + 30)% 4 (1 — &) 2 A ®: 2 (1 —02 + (1 +202+(1—40)4=2, ® Il Za A= 1 . 7 3 Elimination BeEzout’sche Methode 108 - hier besteht zwischen den drei ( die Relation (7) (1 — «)x, — (1 + «)w + (« + 50) z = 0 da aber im Allgemeinen, d. h. für unbestimmte « a 2L «):2+(« + 5&0«) - 1+0 wird, so ist im Allgemeinen das System der obigen drei Gleichungen nicht lösbar Benutzen wir aber gerade die Beziehung Z —(1+«x): 2+(«+50w) : 1=0 zur Bestimmung von «, so folgt, dass für @ — O' und für %— — dıe Relation (7) identisch befriedigt ist; allein an ihre Stelle tritt für U = — die Relation 0, — 4 + 300;= 0 / und also. ist das besondere System auch jetzt nicht lösbar; und für x=0 die Relation , — @ =0 so dass dieses besondere System eine Lösung hat, obwohl das allge- meine nicht lösbar ist. Auf diese Verhältnisse hat Herr C. Schmidt Zur "Theorie deır Elimimation Schlöm. Zeitschr. 31 (1886), p. 214 zuerst aufmerksam gemacht Um die allgemeine Lösbarkeit des Systems (4) nachzuweisen, reicht es somit aus, sie für irgend eine besondere Wahl der f bei unbestimmt gelassenen c‚ darzulegen $ 411 Um ein solches Beispiel zu liefern, setzen wir*) fi= u —0 @ Z — %y m— =% 7ln f7u—1 KW ? M— 1 —OR f M Zm—1 Diese Funetionen verwenden wir zur Reduction einer allgemeinen Func- tion f von der Dimension (n Nm) mit unbestimmten Coeffi- cienten Zunächst dividiren wir f durch f, bis ein Rest f bleibt der in Z nicht bis zum Grade %„ aufsteigt Der Quotient steigt bis zur Dimension (%, - 1 %0 72lll auf: wir nennen ıhn m und haben fo + 1/anfm —f Die Dimension von f ist nicht grösser als (n Noyı) Wir diyıidiren f durch fr—1, bis ein Rest @ bleibt, der in 2 nicht bis zum Voy— Grade %„ _ aufsteigt. Den Quotienten, dessen Dimension (N1-Nop) nicht übertrifft, nennen wir Un und haben 2) % AL LD fo + wm—1fm öl + Ümfm S “ © Schumaiet, IL e , p-. 218 macht die Ueberlegungen in der ﬁ.ngefuhlben Weise am oben benuimten Belsplele 104 Neununddreissigste Vorlesung $ 411—413. Da die letzte Division einzeln in allen nach %, geordneten Gliedern ausgeführt werden kann, so ıst in dem Grade nach %„ keine Aenderung eingetreten, und f@ steigt in Z und z höchstens bis zu den Gra- den %n — bezZwW. Nın. Fährt man weiter so fort, dann gelangt man zu dem ersten Resultate: <8) fo 9r Oaa f Oala Ar 099 AF 1mem=2dh' 5';12].? . Z‚f;;” (h„< 7@„). Nach diesen vorbereitenden Vereinfachungen reicht es also aus, h das allgemeine Glied z 7... Z z behandeln, in welchem jedes hy < Nx zu nehmen ist, sonst aber einen beliebigen posıtiven Werth haben kann. Aus der Form von fz folgt f2 S [ZZQ(/„——1) AL Z;Lﬂ(h1_ ‘.>)Z1 + ... + z 21;1«2 + Zlil—1] J ZZzl„ F .Z’;l, so dass wir in dem zu reducirenden Gliede Z’;‘ =— Z’_31"2 — f2 s [zäz("l‘“ ._l_ 5 + 37;1—1] setzen können. Dies geht dadurch in die Form (9) Z’.;* Na hz Z’ia X th m + T über, wobei 7, als Dimension besitzt n (h, — 1) F F 4An < — N F MNag + Nm F AoNgN ** Y + < —M + (n —1)%N Nnı (No—1)% Nı NF Zn Nm) N, Tragen wir also die Reduction (9) in (8) ein, dann können wir links (% T,) statt &, schreiben, ohne die Dimensionsvorschriften zu ver- letzen. Jetzt setzen wir ähnlich auf Grund der Form von f; g'_;x"2+’ä — g’?"z":+”z"z R f3 S [g%z("1'”a+’h““ + EB + z%1"2+712_1], tragen dies in (9) ein und erhalten statt 212 ‚z 'm die Form i (10) g’_31 Na R3 F o R3 F3 , g7iq Z,h‚l”+ a I A e Dabei besitzt 7, als Dimension N (Aınz F A — 1) + A + + A A <—Nz + Ar NaNgz : Nın — aMa s Nn + AzN, + Nım F < MNg + (M—1)NN3 - Mom-A (1 — 1) N4 m A (3 — 1) 24 mF <n Na - + : Nm) V3 Also auch jetzt können wir, da die Dimension gewahrt bleibt, bei der Eintragung in (8) das 7, zu dem %; ziehen. So gelangt man schliess- lich zu der geforderten Reduction und Elimination Zf/‘;;"z"z'"7Lm+71271:'“"m+"'+hm + f2 ‚T2 + f3 T3 + O + fme. ] Der Exponent von Z erreicht höchstens den Werth (%,N - Nm) so dass also wirklich die Reduction abgeschlossen ist. Elimination. Bezout’sche Methodc. 105 $& 412. Wir können nunmehr den Satz aussprechen: Sınd (D C (Dimension von fz ist n„; «=1,2,...m) allgemeine Functionen der m Veränderlichen z, dann lassen sich eben so viele Factoren Da (21, %, * Zm) der Dimension (1 - Nm) Na derart herstellen, dass wenn f eine allgemeine Funection der z von der Dimension (n,n, - N) bezeichnet, das Aggregat (2) eine Function von 2 allein wird. Setzt man jetzt, was ja erlaubt ist, alle Coefficienten von f gleich Null, während die fi,-::fin allge- meine Funetionen bleiben, dann folgt: Bedeuten die f in (1) all- gemeine Functionen, dann kann man die @, so bestimmen, dass (11) Yıfı F Pafz F : A mfn = G(Zm) d. h. eine Funetion von z allein wird, deren Dimension das Product der Dimensionen der fi, ßh, fı nicht übersteigt. Geht man endlich von (11) zu speciellen Functionen f und bedenkt, dass dafür gesorgt ist, dass G nicht identisch verschwinde, dann folgt: Auch für beliebig vorgelegte besondere Functionen fz gilt der letzte Satz. $ 413. Wir wollen nun annehmen, es wäre möglich, auf zwei verschiedene Arten solche Eliminanten (11) O D (12) w1fl + 1P2f2 + V + wmfm SA H(Zm> herzustellen, wobei aber über die Dimensionen der @,, : m5 ı,' Um; G, H nichts vorausgesetzt werden soll. Angenommen, der Grad von G ist nicht kleiner als der von H, dann kann man durch Division G('ij F H(Zm) 9 Q(Z'm) + K(Zm) - erlangen und ‚demgemäss aus (11) und (12) Q ; w;„) fm x K(Z‚„) herleiten. Gesetzt nun, H sei die niedrigste nicht verschwindende Funetion, welche einer solchen Gleichung wie (11) genügt, dann zeigt (13), dass X identisch verschwinden muss, d. h.: Alle Funcetionen G(Zm), die sich in der Form (11) aus fiz y herleiten lassen, sind Multipla einer gewissen Funetion niedrigsten Grades H. Ist nun etwa G=H-@Q, so tritt an die Stelle von (13) (18°) (1 — Q‘l’1)f1 + (g Q$2)f2 + Jal + ((pm H Qd’m) fm ( 106 Neununddreissigste Vorlesung $ 413—415. Diese Gleichung kann nun entweder so erfüllt sein, dass jede der Klammern gleich Null ist, x = Qw%. für jedes «, oder dass eine Be- ziehung d (14) %1f1‘1'%2f2‘f‘“}‘%;; f 1 7L=O mit nicht verschwindenden Coefficienten y besteht. Nur wenn eine Relation (14) besteht, ist es möglich, eine Function G(z„) auf mehr- fache Weise in der Form (11) darzustellen. Von der Existenz solcher Relationen überzeugt man sich leicht; es reicht z. B. U Y = 9a % =—fi und alle anderen %= 0 zu wählen. Auf die allgemeine Herleitung derselben gehen wir später ein. Wir können jetzt beweisen: Bei allgemeinen Functionen fal&,, - &m) giebt es kein G-(Z.) von geringerem als dem (N, - M -Nm)” Grade, so dass bis auf einen constanten Fac: tor G(Zm) eindeutig bestimmt ist G (Zm) ist irreductibel. Gäbe es nämlich ein H(z„) von geringerem, so sei es zugleich von möglichst niedrigem Grade; dann wäre G ein Vielfaches von H. Es reicht also aus, an einem Beispiele nachzuweisen, dass G für einen besonderen Fall nicht zerlegbar ist und den angegebenen Grad hat, dann ergeben sich die obigen Sätze daraus ohne Weiteres. Unser voriges Beispiel ist auch für diesen Zweck ausreichend. Wir setzen a I 17 f2=zl‚fg‘ 15 (p2 — z7212('”1_1) —|—. g7lli(" _2)51 _I_ ON etS _I_ z71h_1 ; f3 — z’fz — A D =52:("2"1_1) + 5?3(712."1—.'2)2i'2 + Ö + z’_ji2”1._l.‚ — fı f/7111 C fid —_ W, fa —a Dn gıfı + Dafe F + + Omfın = Z m — @. Dieser Ausdruck hat den vorgeschriebenen Grad und ıst für ein all- gemeines @ irreductibel, weil er in a linear ist. Es möge hier nochmals hervorgehoben werden, dass zwar G(2,) bestimmt ist, dass aber die @ verschiedentlich gewählt werden können. $ 414. Die in $ 412, (11) gefundene Funetion lässt sich noch von anderen Gesichtspunkten aus betrachten. Sind die Gleichungen (1) vorgelegt, und bedeuten (‚2‘11 ? Z21 ’ Zm1) ’ (Z12 > %27 m 2) ’ An (2'17„«‚ Zakı Z k). ihre gemeinsamen Wurzelsysteme, dann wird gemäss (11) die Funetion G-(Zm) für jeden der Werthe 2„1, Zm,2, Zmx den Werth Null annehmen. G verschwindet also zugleich mit allen fx, und es kann G= 0 des- Jedenfalls halb als eine Folge der Gleichungen (1) angesehen werden. kommt daher das Product Elimination. Bezout’sche Methode. 107 (Zm v Zm1) (Zm a Z7n2) O (Zm K ka) als Factor von G(z„.) vor. Nach der Theorie der symmetrischen Functionen mehrerer Variablenreihen ist dieses Product durch die Coef- ficienten der f„ rational darstellbar. Es müsste also &, wenn es nicht jenem Producte bis auf einen von z unabhängigen Factor gleich ist, zerfallen. Das ist nach den Ergebnissen des vorigen Paragraphen nicht möglich. Folglich ist G(Zm) = est. (%n T7 O 1) (Zm RSN Zm2) S (Zm 5 ka); b a Vrn Damit ist die Uebereinstimmung von G(z„) mit der Eliminante R(zZm) nachgewiesen. Es ist aber wohl zu beachten, dass wir bei der Benutzung des Satzes aus der Theorie der symmetrischen Fune- tionen schon die Kenntniss eines grossen Theils der früher abgeleiteten Resultanteneigenschaften vorausgesetzt haben. Es ist deshalb sehr wün- schenswerth, die B6&zout’sche Theorie durch den Nachweis des letzten Satzes unabhängig von Früherem vollständig zu machen, indem wir zeigen, dass zu jeder Wurzel 24 von G(z„) = 0 Coordinaten Zie, 0, Zm—1,@ gefunden werden können, so dass (Zıu, 22a Ema) eine Wurzel von (1) ist. . B6zout hat die Nothwendigkeit dieses Nachweises nicht bemerkt ’ auch Liouryille hat sie übersehen; Serret*) giebt einen Beweis, der freilich den Satz versteckter Weise schon als richtig voraussetzt. Herr C. Schmidt hat (l. c.) einen Beweis geliefert, den wir mit einigen nothwendig erscheinenden Änderungen folgen lassen wollen. Wir setzen als Liouville’sche Substitution an $ 415. (15) &% — KL& + X92 + DA + Xm—1@%m —1 + Am > in welcher wir der Einfachheit halber den Coefficienten von 2 gleich 1 nehmen; in alle fx tragen WIr 2 = % — X1Z ein und erhalten dadurch die Umwandlung f€!(zl7 227 % 2//L) 5 !/a(31‚ o Zm—l; x) (@= 1 Q 00 0)- Das B&zout’sche Verfahren lieferbt dann bei der Elimination von A\) 227 Zu—1 eine Gleichung von der Form ; Va(@, m— 1 OIa& m; 0) = Hlx) (@«=1,2,...m). Trägt man hier umgekehrt (15) ein, so gehen die g„ wieder in die f, über, die von %,, %, - - %m— frei sind, (16> ;7%0: (51;' ‘Em) x„)fa (21 ‚"'Z‚„>=H(%lß'l+ "'+”m—l val+ Zm)} %1;"'>' xr N *V) Corur_s d’algebre superieure; 3. Aufl. Paris 1866. Bd. 1, p. 162. 108 Neununddreissigste Vorlesung $ 415—416 Nun entwickeln wir nach den x zuerst Pa + (‘Pa1 X + + Pam—1 %m‚——l) + (@= 12 m) (” X> = O(x) + [H (.’ÄC) X + + En—1(x) Xm 1J + und dann weiter Ha(@) H (-—*m) + Ha(zm) [Ä1 %1 + + Zm —1 * %m 1J + Tragen wir dies Alles in (16) ein und vergleichen die Coefficienten MOM %m— ı und die von den x unabhängigen Glieder, bedenken dabei aber zugleich, dass für %, = %, = Xn —1 = 0 das % zU Z und also Ho(x) zu G(z„) wird, so entsteht q)1fl + (p‘)ﬁ’ + + ‘mem - G(Z‚„)‚ Yufı F Pıafz + A Oal = AA (@) F LEn (@x)> (1 q721f1 + %2f + + ‘P9mfm 2 G (;',„) + H, (z‚„)‚ ‘pm—l 1f1 + + (pm—l mfm = Z G(Zm) + -H;u 1(-%n) Bezeichnen wir die Determinante der @ auf der linken Seite von (17) mit A, so folgt, dass die m Producte Z Zr f mM lineare ganze Funetionen der m Ausdrücke G(@), 2 G' (Zm) + H, (2m) , Zm— 1 G (Zm) + IIm—— 1 (Z7„) sind Wenn also z„1 als Wurzel von G(z„) = 0 genommen und Jal @ Jäl Zu1 m1> Äm —1, 1 1 (Zm 1) G (Zm 1> GL gesetzt wird, so ist das System (1) befriedigt, falls durch diese Sub stitutionen A einen von Null verschiedenen Werth annımmt Zu be- achten ist, dass G-(z„) irreductibel ist ($ 413), also G'(zm1) =+= 0 wird Wir haben demnach zu beweisen, dass A durch die Substitutionen Jal H, (2,) N 7 N 1( m> (18) Zr CC Zm—1 G @ 7)7‚> einen Werth annimmt, der durch G(z„) nicht theilbar ist Sollte eine solche Theilbarkeit bei allgemeinen Funetionen vorhan- den sein, so müsste sie auch bei jedem besonderen Systeme erhalten bleiben Besteht sie also in einem speciellen Falle nicht, dann sind wir sicher ass sie auch bei allgemeinen Funcetionen nicht vorhanden ist. Wir werden nun ein Beispiel liefern, bei welchem die Theilbarkeit nicht vorhanden ıst $ 416. Es sei N3 — Zm—1- /1=51 u hh=% A SE 2R — 29 WT m Elimination. BeEzout’sche Methode. 109 Wir untersuchen zunächst, welche Form eine identische Gleichung Afı + Afz + + Anfn = 0 haben muss, in welcher die 4 ganze Functionen von Z,, %, Zm be- deuten. Setzen wir z. B. fi=0, i=0; f\=0, fs=0,.: fm=0, so muss, weil dabei z ganz beliebig gewählt werden kann, A; identisch Null werden. In A; substituiren wir der Reihe nach Ö = z{.f" fn 2=Z —; D f6; I9 z:Lan dann entsteht Aln == J3 ı9 An) AF 029 fa Ar 05° f Ar @s e AF A O ferner dividiren wir B, durch zı —1=fi + -fz und den Rest sowie die Coefficienten des Quotienten durch Sm al Y° m — 83 = fa F C6 f5 A Cefe A A mfn - Hier sind die d und die c Funetionen der '2. So entsteht A; = Dy(%; %, %m) + dr fı H da fa + Aa fa H A am f3 D; steigt in %A nur bis zur (n,n, — 1) Potenz und in z nur bis zur (N,Ng : Nm — 1) Potenz. Wir untersuchen jetzt D z Oa An a wobei die e nur noch z und z enthalten. Nehmen wir für z eine Wurzel der Gleichung (19) Zm Nı Na Nı 23 =07 so können wir einerseits 2,, 2,::-Zm—1 SO bestimmen, dass fi=0,... fn =0 wird; und wenn dann andrerseits für %, alle Wurzeln von Z"1“2 — 1 =— 0 gewählt werden, so kann man zu jeder ein %, so bestimmen, dass fi=0, fı=0 wird. Folglich muss für jeden dieser n,n, Werthe von %, auch D, =0 sein, Das geht nur so, dass jedes &, e ,::- Null ist Da aber die e nur bis zum Grade (%, - Nm—1) aufsteigen, während 2 gemäss (19) 14 : --Nm verschiedene Werthe annehmen kann, so sind alle e identisch Null, und es wird (20) A3 . d31f1 + d32f2 + d34f4 + S + d3mfm- Die entsprechenden Resultate gelten für alle A,, 4,, Am: — Wir bilden jetzt mit den Funetionen f das H(x). Diese Function steigt bis zum Grade % = %4N - - Nm; Wir kennen die & Wurzeln von H(x) = 0, nämlich, wenn @ eine primitive /° Einheitswurzel bedeutet, %ı = 002 + %„,__1COZ Zı + %,„__2C02 Nın —1 Zın _I_ d=1,2 0 also ist 110 Neununddreissigste Vorlesung $ 416—417. H(%') u II(x — x;_) => H[(Z'‚„ == ﬁ)l> ——|— “"lfl(zm—1 D coi»„m;z) + Z ] Z [ 2n mM B L n A S (Z]727‚_ 1) + %m—l[kzm—l E Z;L;L—l aa 7€Z;nnm—l] e B A Die Richtigkeit der durchgeführten Summationen ist durch Zerlegung ın Partialbrüche leicht zu erkennen. Man hat also Ge)= DE 1° C Ym —L 2, G'(en) + Hı(em) = h(2, r — Zm ), Nz m mM ), A N m 1 Em—1 G,(Zm) '+' H;71—1 (zm) =% <Zm— E Z';n—l AAA M ) Damit ist der erste Theil der Aufgabe gelöst, indem die rechten Seiten der Gleichungen (17) gefunden sind. Wir müssen jetzt zweiıtens die gefundenen Funetionen in die Form der linken Seiten von (17) Dazu setzen wir bringen. (21) D f Eı El F F bmfan ferner ergiebt sich leicht für passende * und ı NoaNz : @ C Z Nz Nır @Bn SA (21°) O S 1 ÜT 1 k <zm—1 S z£z— — Bm )= e T: Formen wir in diesen letzten (m—1) Gleichungen je das letzte Glied der rechten Seite mit Hülfe der Darstellung (21) von (z — 1) um, dann sind die Ausdrücke sämmtlich in die vorgeschriebene Form gebracht. Bei der Bildung der Determinante A spielt diese Umformung aber keine Rolle, denn wir können ja, ohne A zu ändern, von den letzten (m—1) Zeilen die Elemente der Zeile (21), mit 7,, 72 Tm—1 multiplieirt abziehen. So erhält man als Resultat (kz! *— Das ist aber möglicherweise noch nicht der geforderte Ausdruck, denn die Nach dem ersten Resultate Darstellung (21) ist nicht eindeutig. dieses Paragraphen könnte noch zu jeder Zeile rechts ein Ausdruck Ala Aıa i An —O Elimination. BeEzout’sche Methode. 111 hinzükommen. Die Aenderung der Elemente der Determinante würde also nur darin bestehen, dass Ausdrücke der Form (20) hinzutreten Folglich ist Z (]„fﬂ—1)m—1 Ar Yafa A Oala Ar + Imfın - Jetzt können wir entscheiden, ob A unter den Annahmen (18) durch G(zm) theilbar wird, oder, was dasselbe sagt, ob A für An = @, Bı —i — Ü)nm ’ B a m—1 UZ gleich Null ist. Durch diese Werthe erhält man fi = 0, f©=0,-- I —0 und ‚Sonmit A — m— —m1L Es ist demnach A von Null verschieden. Damit ist der Beweis er- bracht. Die B6&zout’sche Methode liefert (11°) (plf1 + q32f2 + RE + ‘mem D R(Zm); wobei R(zn) die Eliminante der Functionen fx bedeutet. &$ 417. Die Funetionen f sind bisher als allgemeine, vollstän- dige Funetionen vorausgesetzt worden. Ist unter dieser Annahme (11*) gebildet, so reicht es bei besonderen, gegebenen f aus, die allgemeinen Coefficienten durch die besonderen zu ersetzen, um auch in diesem Natürlich kann Falle die Eliminante in der Form (11®) darzustellen. es dabei vorkommen, dass der Grad von R(z) sich vermindert, oder auch dass R direct identisch gleich Null wird. — Sind die f allgemeine Funetionen, so wollen wir sie sowie die « nach absteigenden Dimensionen der Potenzproducte ordnen, e S O A e H Ga H ? Da S Ya F Va z Ya + ? wobei also g alle Glieder enthält, die von der Dimension %„ sind, und %, alle von der Dimension (£& — n4). Trägt man dies in (11°) ein, dann folgt, dass ZEgxw die Glieder der höchsten vorkommenden Dimension k& umfasst. Folglich ist diese Summe gleich dem Gliede höchsten Grades in - G(Zm F R(Zm) S Qozfn + 9125»;2—-1 + ? d. h. man hat die Gleichung Iı + 1/’292 + San + Umndm = Qozaljz, worin 0, frei von den Varilablen ist. Dies zeigt uns: Sind in (11°) die Funcetionen f„ homogen von den Dimensionen %4, dann wird die rechte Seite = 0,%, wobei Q eine Function der Constanten allein ist. — Von diesem Satze aus können wir nun auch zur Darstellung der Resultanten für (m-+1) Gleichungen f, =0 («=1,2,...m+1) mit den m Unbekannten 2,, %,: Zm gelangen. 112 Neununddreissigste Vorlesung $ 417—419. Zu diesem Zwecke reicht es aus, in die fx eine neue Variable £ einzuführen, durch welche unter Wahrung der Dimensionen %„ jede der Funetionen homogen wird. Für das neue System von (m+-1) Gleichungen mit ebenso vielen Unbekannten bilden wir nach der B6zout’schen Methode die Eliminante für %. So entsteht in Gemäss- heit unseres letzten Resultates (11) Oala r Oa R F Om+1fm+ı = 000', wobei 0, von den Unbekannten frei ist. Denken wir nun € wieder durch 1 ersetzt, dann zeigt sich, dass die f = 0 nur dann eine ge- meinsame Wurzel haben, wenn 0, = 0 ist. Wenn umgekehrt 99 = 0 ist, so wird die Eliminante durch den Werth t=1 befriedigt. Ks giebt nach den Resultaten des vorigen Paragraphen also ein (Z, 917 -< mı, 1), welches alle fx — — © medaos 0L n 0O a = 0 m Z1, %,' %m haben eine gemeinsame Wurzel. 09 — Ost chazakı teristisch für die Existenz gemeinsamer Wurzeln der (m-+1) Gleichungen f} =0,- Im+1ı =0. Da dasselbe für die irreductible Funetion stattfindet, welche wir als Resultante definirt haben, so kann 0, nur eine Potenz der Resultanten sein. Ist dies aber im allgemeinen Falle eine höhere als die erste Potenz, so muss es auch in jedem be- sonderen Falle so sein. Es zeigt aber das Beispiel Nr mM Z 1 = Ylra Z L O m m— 1 ( D Z;n+l e t"m+l HG 2 dass 0, ın 00 ( E keine höhere Potenz ist. Damit ist gezeigt: Die Resultante des Systems fü(zl; Bay -Z‚„) =0 C=ZU 2 L ist in der Form darstellbar f n Oala A + Om-+1fm+ ı = 00 $ 418. Wenn zwischen Functionen fi, f,:::fm eine Beziehung — w1f1+'abzfz+""'l"wmfm — H (£Ön> besteht, bei der H irreductibel ist, so wird die durch (11°) definirte Eliminante R ein Vielfaches von H. Nun verschwindet aber R nur für alle die Z„x, welche aus den Coordinaten der Wurzeln von (1) entnom- men werden; für alle diese verschwindet auch H. Folglich muss R(zm) eine Potenz von Hi(gm) seın. Dies wenden wir auf die @,, ®2,::: @m in (11*) selbst an, wobei unter den f allgemeine Funetionen verstanden werden sollen, R also irreduetibel ist. Es folgt, dass die Eliminante von @,, %, ‘: m eine Elimination. BeEzout’sche Methode. 113 Potenz von R(zw„) wird. Aus den Gradzahlen findet man auch sofort den Exponenten: Die Eliminante von %,, %, © Dach! z ist gleich R(Zm)! ;g = (NNz : Nm — 1) MNg m — 1) :( Na Naı — 1). Allgemein zeigt sich, dass für ein System m a fa n FE m ? in dem jedes ö und & einen der Werte 0 und 1 haben darf, doch so, dass nicht Ö, und &7 gleichzeitig Null werden, die Eliminante eine Potenz von R(zm) ist. $ 419. B6özout hat seine Methode eingehend durchgearbeitet, ohne jedoch über die durch Constantenabzählung erlangten Möglich- keitsbeweise hinauszugehen. Insbesondere ist er auch auf unvollstän- dige Gleichungen eingegangen, d. h. auf solche, bei denen einzelne Terme fehlen, und hat für sie obere Grenzen der Wurzelzahl gegeben. Ohne darauf näher einzugehen, wollen wir zur Charakterisirung seiner Sätze noch das folgende Theorem anführen*): Sind die Gleichungen (1) so beschaffen, dass in jedem f7z die Variablen 21 Z ‚- bis zu den Graden v‚© 2 V («) 2 (x«=1,2,...m) aufsteigen, wobei die Summe je zweier dieser Gradzahlen grösser als m ist, dann kann man Factoren @„ so bestimmen, dass (11) besteht, und der Grad von G in z den Werth Nı N Nın — ( — V1 )(n ) 4 (n — v — (ı —@ — : (Nm — v@) — ( =— ”3,') (".2 U (.”m. D) nicht übertrifft. $ 420. Zum Schlusse dieser Vorlesung wollen wir noch eine Er- weiterung des Satzes aus $ 88, Bd. I geben. Dort gelang es uns, jede Potenz z“ als lineare Funetion von 1, z, z%,... —1 auszudrücken, wenn z einer Gleichung n*" Grades genügte, oder mit anderen W orten, wir konnten eine Congruenz #= A + 42 +4,2 ... + Ar_ ıgr 1 (mod, f(g)) ansetzen, in welcher die A Constanten bedeuten, und f(z) eine Func- tion n Grades repräsentirt. Sind jetzt unsere ” Gleichungen (1) gegeben, so wollen wir sie so geordnet denken, dass Nı <a < : <Nm ist. Man kann dann jeden Ausdruck 27 $ < Z m. als Agoregat ähnlicher Glieder ausdrücken, .*) Equations alg6briques; $ 62; p. 45. Netto, Algebra. II 114 Neununddreissigste Vorlesung $ 420. Vierzigste Vorlesung $ 421. bei denen jedes %, <n — 1 ist, oder mit andern Worten, wenn wir wieder die Congruenzbezeichnung benutzen, wir können jede Funetion 1 Z h;ı In Zm (m0dd' f] ;f27 "'f7n) C '??ZA;L (ha < Na — 1; @«=1,2,-.-m) darstellen. Der Versuch, die Herleitung dieses Resultates auf dem für eine Variable benutzten elementaren Wege zu liefern, stösst schon im einfachsten Falle von zwei Variablen auf merkliche Schwierigkeiten, wie das auch Serret, von welchem diese Ueberlegungen stammen © bemerkt hat. Auch neuerliche Versuche nach dieser Richtung sind missglückt ##). Wir wollen Facetoren &,, ®2 ,: m SO zu bestimmen suchen, dass in (22) F+q71f1+q)2/[-.3+"'+(})„„f‚„ Nı 1 oder 25° , oder 2," theilbar alle Glieder wegfallen, welche durch z sind. Die Dimension von ] nennen wir %; / sei eine vollständige Funetion mit unbestimmten Coefficienten. Für die &,, %3, : -- @m wählen wir Funetionen der Dimensionen % — 1, —M, No —- Dann haben wir in ihnen zur Verfügung (@«= 1,2,...m) a2 N(n% — Na, M) Constanten. Die Zahl .der Potenzproducete in (22) beträgt N(m,, m); von diesen sollen getilgt werden (vgl. $ 331; (7%) MT ( — Z An 70 und so viele Bedingungsgleichungen sind also zu erfüllen. Um das identische Verschwinden des zurückbleibenden Ausdrucks brauchen wir hier natürlich nicht besorgt zu sein. Nach 8 333, (11) wird aE Na Z N N A Nn m) (@«=1,2,.--m), d. h. die Anzahl der zu erfüllenden Gleichungen ist kleiner als die der vorhandenen verfügbaren Constanten. Die Lösungsmöglichkeit ist also im allgemeinen Falle dargethan, wenn sie an einem besonderen Systeme der fx bei allgemeinen Constanten der Funetion F gezeigt werden kann. Genau eine solche Reduction haben wir nun bereits in $ 411 durch- Nm) durch geführt. Es braucht nur die dortige Dimension (n, - > n, ersetzt zu werden; dann können wir durchaus so verfahren, wie ME Y 6 ea In seinem Traite *H‘) Laurent: Trait& d’analyse I. Paris (1885), p. 307. .. d’Algöbre. Comple&ment IV; Paris (1894) übergeht Laurent diese Frage. 115 Eigenschaften der Eliminanten und der Resultanten. dort geschehen ist. Damit ist bewiesen: Bedeutet / eine Funetion n Dimension von Z,, %,: %m, dann kann man Functionen @« der Dimension (m — %) so bestimmen, dass das Aggregat (20) JS (P1f'1+9)2f2+"'+‘})mfm=(p durch keins der Monome &m Yın , @ theilbar ist. Solche Functionen ® nennen wir: nach dem Modulsysteme f& reducirte Functionen. Vierzigste Vorlesung. Eigenschaften der Eliminanten und der Resultanten. $ 421. Wir nehmen wieder (m + 1) allgemeine Gleichungen f =0 mit m Variablen und den unbestimmten Coefficienten ax an; die Dimension von fyx sei %; das Product %, N - - Nm4+1 bezeichnen wir mit 7. Wir bilden die Resultante (D) R=R(f1; f2; fm+1)- Einige der Eigenschaften von R haben wir bereits kennen gelernt. Die wichtigsten derselben sınd : I. R ist in den a“ homogen vom Grade ;f— für x= 1,2,---m+1. IIl. R ist in allen Coefficienten isobarısch vom Gewichte /. IIl Es ıst (2) R(f1.,'f1”; f27 ﬁ71+1> x 'R(fl,7 f2; 3 fm+1> } R(f1„7 f2) fm-E1)- Wir wollen zunächst einige Differentialgleichungen ableiten, denen R genügt. Der Einfachheit halber nehmen wir vier Gleichungen mit drei Unbekannten und setzen die Glieder derselben in fi, f, bez am E an Tragen wir nun in die f für 2,, %, % bez. 2 }, % + %, z + ein, so wird die Eigenschaft des Systems f, = 0, gemeinsame Wurzeln zu besitzen oder nicht zu besitzen, dadurch nicht geändert. Für jedes Coefficientensystem, durch welches das ursprüngliche R Null wird, verschwindet also auch das neue; und da jenes R irreduetibel, und dieses von gleicher Dimension mit jenem ist, so haben beide Systeme falg,, : )=0 und fal& +, . )=0 das gleiche R als Resultante. 8 116 Vierzigste Vorlesung $ 421—424. Durch die angegebene Substitution geht a,;ı. Z in AAyın (& + E)* (& A C) (3 + 0)“ = Au 2 + C }„z'{zä_l‚z“g. A 9e) 000 über, und daraus folgt, dass @„ı ım neuen Systeme durch Oan S @ Ar e en a @A a a A ( A E ] A zu ersetzen ıst. Vergleicht man nun im alten und im neuen R die Coefficienten der ersten Potenzen von *, dann folgt für R die Diffe- rentialgleichung (3) 2 gii„[(x—l—l)a„+i‚ 240 F(2F1) A, 241 u A ( 1) A, 2,u+a]= 0, wobei die Summe auf alle Elemente a aller vier Gleichungen zu erstrecken ist. $ 422. Es möge ferner n, > n, sein. KErsetzen wir dann f (2,,2,23) durch fi(%,, %, %) + Cfa(Z,, %, @), SO bleibt die Resultante des neuen Systems der des alten gleich; der Coefficient aı von * 2% 24 wird dabei, falls (x + 2 + w) > %3 ist, ungeändert bleiben, dagegen, falls (x H+2+uw) <n ist, durch a,;. + Cazıu ersetzt werden. Daraus folgt durch Entwickelung der Resultante nach Potenzen von £: Für R be- steht die Differentialgleichung (4) (# —AF W<%). Z 87?% an = 0 Die hier benutzte Methode kann leicht verallgemeinert werden, indem man nämlich, ohne R zu ändern, fi durch fi + f2 - @(2,, %, %3) ersetzt, wobei g eine ganze Funetion ist, die bis zur Dimension (n, — %;) aufsteigt (vgl. $ 398). Aus jeder derartigen Annahme kann man eine Differentialgleichung herleiten, welche von der Natur der Gleichung (4) ist. $ 423. In fi mögen die beiden Glieder af„,gyz‘{‘zg z und a:;£;zlzézg vorkommen. Die Resultante R von fi=0,.:-f= 0 sei gleich Null. Wir ändern acgy und ad;: derart ab, dass die Bedingung R=0 ge- wahrt bleibt, während die beiden betrachteten Coefficienten in Aeßy + 6 und Adet + T übergehen. Wegen R = 0 muss also sein ÖR ÖR VE E 7 t=0. (5) 0« aßy 3a,äe;' Andrerseits ist durch fx=0,-:-fi=0 die gemeinsame Wurzel Z112 Q91 7 Za bestimmt , oder vielmehr sie SO DUN unter einer Eigensé:haften der Eliminanten und der Resultanten 117 endlichen Zahl von Werthsystemen auszuwählen. Daher wird nicht allein ME Za T a;„/972?12'g12%'1 an a2?655115;15g1 S =0 sondern auch 290 < (%ßy 3 Ö)Zi“1ﬁglzäl > (atlfsé' =F 77)2'312;12'g1 a —0 und daraus ergiebt sich durch Subtraction (6) u12 0 — Z‘1;1Z;12:%1 E Aus (5) und (6) schliessen wir ÖR 5 ÖR (7) S (ZÄ“1 Z€1 Zä'1> : (Zf1251 2’:€1) 5 äa’ßy ?a;„; und derartige Gleichungen gelten für alle Coefficienten a. Aus ihnen folgt, wenn z. B. 0= a — 1; s:==ß; £=) genommen wird, der Werth der Coordinate 2,4, u. S. W. Mit Hülfe von (7) lassen sich also die Coordinaten der gemeinsamen Wurzel berechnen. Dabei ist natürlich zu be- achten, dass diese Methode beim Vorhandensein mehrerer Wurzeln für fi=0,- - fm+1= 0 versagt; denn da R eine rationale Function der a ist, kann die linke Seite von (7) nicht mehrdeutig werden. Man darf hieraus also den Schluss ziehen, dass bei mehreren Wurzeln neben R = 0 für jeden Coefficienten @ auch ÖR =0 0a ıst $ 424. Für die folgenden Paragraphen wollen wir der Einfach- heit halber die (m-+1) Gleichungen fi =0,-.. fa+1= 0 unter Wah- rung der Dimensionen durch Einführung einer neuen Variabeln Za homogen machen. In den f führen wir jetzt die lineare umkehrbare Substitution mit constanten Coefficienten Za = 040 T 62 % A Gi30s F (8) e= 29 C21”1. + C‘_>'2 0 + C930 A durch, bei welcher dann die Determinante D= [|c,,| von Null ver- schieden ist. Hierdurch verwandele sich f in g«(v,, v ,: :); die Coef- ficienten der g sind ganze Funetionen der c,, und der a,. Da _ die J =0 nur dann gemeinsame Wurzeln besitzen, wenn die fxz= 0 solche haben und umgekehrt, und da R(fi, f::-) irreductibel ist, so folgt, dass die Resultante von gı = 0,--: m+1=0, die wir mit R(I1, I; ) bezeichnen, abgesehen von einem allein von den c ab- hängigen Factor, eine Potenz von R(f,, fz,-:.) ist. Aus dem Umstande, dass die Coefficienten der q„ linear in den ag sind, folgt zunächst, 118 Vierzigste Vorlesung 8 424—425. dass die Dimensionen beider Resultanten in den @ übereinstimmen, so dass der Exponent jener Potenz nur 1 sein kann. Um den allein von den c abhängigen Factor zu bestimmen, nehmen wir für die f„ besondere Functionen an; wir ersetzen jedes f„ durch ein Product aus %„ allge- meinen homogenen linearen Factoren von Z,, %,: Zm+1. Die Resul- tante R(f,,::) wandelt sich in das Product aus den 1 = %, -Ma- * Nytı Determinanten um, die bei Zusammenfassung je eines Factors von fi, ol /r yon fm4+1 entstehen; das folgt aus der Bedeutung von R. Durch (8) reproducirt sich jede dieser Determinanten multiplicirt mit D. Demnach haben wir: Durch die Substitution (8) erhalten wir (9) R(91; Iar i 'gm+1) = D'. R(f1; f27 Z fm+1)' Dieser Satz entspricht dem iın $ 147, Bd. I abgeleiteten. Auch für das am Schlusse von $ 146, Bd. I gegebene Theorem können wir ein Analogon ausfindig machen. Wir setzen fi, f2,: ‘ fm+1 als von gleicher Dimension % voraus und nehmen Üar Qa1f1 + 9a2f2 + A + Qa,m—}—lfm—l—l (a=1,2,...m +1) mit constanten q, die eine umkehrbare Substitution bılden. Dann erkennen wir genau wie soeben, dass die beiden Resultanten R(fi, fo, *‘ fim--1) und R(f/l} !/2 Z - + IJm+1) Sich nur durch einen von den Coefficienten Genau wie beim der f unabhängigen Factor unterscheiden können. vorigen Satze bestimmen wir diesen Factor hier durch ein besonderes System der f. Wir nehmen zu diesem Zwecke fı = Au F daß + + A Oemı8mAı (@= 12 m E: Dann ersieht man, dass die Determinante der @ der einzige Factor von R(f,,:::) sein kann, und die Kenntniss der Dimension zeigt uns R(f1; f27 } 'fm+1) D .!aZÄ l„"£_ Eine einfache Vergleichung mit den Resultaten der Substitution der g liefert, falls |q,ı|= 4 gesetzt wird, (9°) R(917 9a5} '9m+1) e Anv]er(f.1; f27' fm-1)- $ 425. Aus der Structur der Eliminante kann ein geometrisch besonders wichtiger Satz ohne Schwierigkeit abgelesen werden, den Liouville zuerst aufgefunden und bewiesen hat *). Wir waren auf folgendem Wege zur KEliminante R(Zm+1) von (m+1) Gleichungen mit ebensovielen Unbekannten 2,, Z, ° Zm+1 gelangt. Zunächst hatten wır (m + 1) Gleichungen mit % Unbekannten A ar° Zm angenommen und hatten ihre Resultante R(fi,- ﬁ]L + 1) gebildet. Diese war eine isobarische Funection der Coefficienten aller * J. d. Math. p. e. a. (1) 6 (1841), p. 359. ® I Eigenschaften der Eliminanten und der Resultanten. fır fm+1 vom Gewichte I = %, - Na Nm-1, falls den ax sSolche Gewichte gegeben werden, dass bei der Annahme der Gewichte 1 für die Unbekannten jedes f„ isobarisch vom Gewichte „ wird. KEins der Glieder von R(fi, fa,:::) möge durch (10) g(“) hOkC ... (a+b-+e++=D angedeutet werden. Dabei sollen die g, h, k, Coeffieienten sein, die irgend welchen Funetionen f„ angehören, und a, b, c,- sollen die entsprechenden Gewichte andeuten, so dass die Summe a + -c+... gleich / sein muss. War so R(fi,::fin+1) gebildet, dann hatten wir in die fy noch eine neue Unbekannte Z„-1 dadurch eingeführt, dass wir alle bis- herigen Coefficienten ay durch ganze Funetionen von 241 ersetzten, deren Grad in dieser neuen Unbekannten gleich der Dimension der ersetzten Coefficienten war; also tritt z. B. statt g° ein ga 4 Jaı 8m+1 4 Ia—28m+ı F F Yolmrı, (1D) h% ” ]L/‚ + ]lf[‚_1 Zm-+1 + hb—2 Ziz—l—l + E + h0'g1bn+l; R wo die unteren Indices der Coefficienten g, h, k ? wieder die Ge- wichte angeben. Hierdurch werden die oben angegebenen Resultate über das Ge- wicht von R(fi,:::) auch für das umgewandelte C ür die Eliminante der =—> fa(&ı, 2a 2m+ı) = 0 (& 1‚2‚'*'77’L—|—1) & gewahrt bleiben. Man hat also (12) R(Zm+l) % 57ln+1 — Q Zi7;i}—11 + (= M M Mmı), wobei 0, vom Gewichte « in den Coefficienten isobarisch wird. Wir wollen, nachdem die Einführung von 241 vorgenommen ist, die Funetionen nach fallenden Dimensionen der Potenzproducte der Unbekannten ordnen: («) falı , Emtı) = U + U ”C( ROn + 'Lßgfz_g + DA + „E)a) wobei u alle Glieder von fx enthält, die in 2, Z° Zm4+1 Von der Dimension x sind. Die Coeffieienten in u“ müssen daher sämmtlich vom Gewichte (1.,—x) sein. Es gehören sonach beispielsweise On ng k 0 ın (11) zu den Coefficienten von Gliedern der Art u€f2‚ ebenso Ir ı, K, zu den Coefficienten von Gliedern der Art uff;)_1‚ u.sS. W. und allgemein go, Ao, ko, zu den Coefficienten von Gliedern der Art u Rq—Q * 120 Vierzigste Vorlesung $ 425—427 Trägt man nun (11) in (10) ein, so giebt der Complex aller Aus- drücke (10) die Eliminante (12). 09 hat das Gewicht O; folglich können die in 09 eingehenden Coefﬁmenten b z an 0n ho © S hören, d. h. sie entstammen den Un Ebenso hat o, das Gewicht 1 fo]ghch können die Glieder in 0, nur von der Form g;hok; 5 «90h ]L0 ’ Johok Z S E SC deren Factoren aus den w und den w (ß no—1 entstammen, u. s. w. Das ist der Liouville’sche Satz dem wir fol- genden Ausdruck geben: Der Coefficient O; VON Zn+ hängt nur von solchen Coefficienten der f, ab (@x«=1,2 m-+1), die in Gliedern der Dimensionen %4, (ne D, (n —%i) der Potenz- producte vorkommen Für 0, war dies schon bekannt, vgl. 8 394 $ 426. Wie wir früher gezeigt haben, hängen die symmetrischen Funcetionen der 2,, %, Zm-+1 von den Coefficienten der Eliminanten- gleichung (13) R@)= 0 HC Xm + 1) & 1+92(“1; Xm + 1) x —0 ( = %2 + %8 + + %m+1 2m—{—1) ab. Von den Coefficıenten der Gleichung (13) gilt dasselbe, was so- eben für die von (12) bewiesen wurde Nun ergibt sich aus $ 379 dass jedes Pa S(511 Za1 ° + Z12 222 ) (Ze } z8 4 ) auS- durch ein Aggregat von Produceten der Potenzsummen Sooz gedrückt werden kann, bei denen o +06-+rt—+ <“ ist; und aus 8 377, (7) folgt, dass diese s aus den zu (13) gehörigen Potenzsummen Se+a+'t+ der Xı %a abgeleitet werden können bei denen Die S können aus den Coef- + 0 + + =0+6+7<@ ist ficienten von (13) dargestellt werden und so erkennen wir Die sym- metrischen Functionen i“ Dimension der Wurzeln von 0 = u„) + u(a) + + u(a) (“_“172; m + 1) (@) hangen nur von den Coefficienten der Aggregate Unnn (a) ab Un —i Der Liouville’sche Satz ist für die analytische Geometrie von so weıt grossem Interesse Man findet die Anwendungen desselben sie von Liouville stammen am angeführten Orte Weitere eınN- gehende Studien rühren von Humbert*) und von G. Fouret**) her Wir wollen wenigstens ein hierher gehöriges Theorem herleiten indem wir dabei den Betrachtungen Fouret’s folgen ELa L * J.d.M. p. e. a. (4) 3 (1887), p. 361 und Nouv. Ann, (3) 6 (1887) p. 533 **) Nouv. Ann. (8) 9 (1890), p. 258 Eigenschaften der Eliminanten und der Resultanten 121 Der Schwerpunkt der Berührungspunkte aller Tangenten welche einer gegebenen Richtung parallel an eine algebrai- sche Curve gezogen werden können ist ein fester, von der Richtung unabhängiger Punkt Es sei f(x, y)= 0 die Gleichung der Curve, bezogen auf recht- winklige Coordinaten x und y; sie steige bıs zur %” Dimension auf. Die Berührungspunkte aller Tangenten, welche der Richtung parallel laufen die mit der positiven Halbaxe der x den Winkel « bildet befriedigen gleichzeitig die Gleichungen f= 0 und (14) —|— öf tang « = 0. Nun sei die Eliminante dieser belden Gleichungen Q aM m—1) __ ( a m—1)—1 + 0 5 dann ıst die Absecisse des gesuchten Schwerpunktes 1 5 ©1 m(m — 1) 0 Nach dem Liouville’schen Satze hängen 0, und 0, nur von den Gliedern m* und (m — 1)*" Dimension in f ab, weil diese ja die Glieder (m —1)” und (m )'°r Dimension in (14) bestimmen E& ändert sich daher nicht, wenn man f durch ein f} ersetzt, welches in den Gliedern der beiden höchsten Dimensionen mit f übereinstimmt, sonst aber beliebig gebildet ist; es ist also nur nöthig, A /Ü un A =0 die gleichen Asymptoten haben Man kann daher insbesondere auch die vorgelegte Curye durch den Complex ihrer Asymptoten selbst ersetzen Hierbei fallen nun die Berührungspunkte mit den Schnittpunkten der einzelnen Asymptoten untereinander zusammen, und also haben diese sicher das gleiche &. Ferner aber sind die Schnittpunkte von « unab hängig; ©nö) daher & ebenfalls, und so ist das aufgestellte Theorem bewiesen Es ist für die Gültigkeit des Satzes wesentlich, dass die Curve keine parabolischen Zweige hat, da sonst Asymptoten ins Unendliche fallen würden $ 427 Zu einer anderen wichtigen Einsicht führen uns unsere Betrachtungen über die Resultante und Eliminante auf folgendem Wege Wir gehen von den m Gleichungen mit m” Unbekannten Jl &p Zn)= 0 @= 12 m) aus und führen nach Liouville die Substitution = C — (%12'1 + K9 R9 + + Xm —1 Zm——1> durch. Dadurch möge entstehen (15) fa(il‚ Z '“m) mL (Zl ? m— 1 7 x) (« — 1,2 mM) 122 Vierzigste Vorlesung $ 427—428, Aus den g bestimmen wir gemäss dem B€6Ezout’schen Verfahren die Eliminante (16) R(x)=.glpl +92P2 + SEL +9um' Nach Kronecker schreiben wir diese Gleichung bequem als Congruenz (17) W@) 0 mo dı O59 Ya)ı und von dieser können wir wegen (15) zurückgehen auf (17°) Nun zerlegen wir R(x) in seine linearen Factoren und bedenken dabei, dass jede Wurzel der Gleichung R = 0 von der Form %1;1 + %2C2 + C + xm—1€m—l + Cm ist Es seı R ın seine verschiedenen Wurzelfactoren zerlegt R = [x,(2 — Eı1) A %( BFF aalg E= @ = En) 7 @ S Ar Denkt man sich diesen Ausdruck nach Potenzproducten der x geordnet, so muss jeder einzelne Coefficient congruent 0 sein, da ja die Glieder f, des Modulsystems von den x unabhängig sind. Der Coefficient von %4 T4 F liefert dabeı (18%) (2 Ea e A U = 0 (modil, ; und derjenige von x“ «“ —1. %, liefert E 2 2 — Car @ — €11)‘ul[ aug 1 E ; 1 —é‘12 + e Multiplicirt man diese Congruenz mit (2, — E2) (1 — E3) , SO entsteht, da wegen (18°) alle Glieder, die auf das erste folgen, ==0 werden, (18”) (1 — Eu)4 71 — &u)- U =0 modd. fi,...), wobei U, = ( — E12)“ T 1(2, — Bg ist; es reicht also auch schon aus, für U, eine hinlänglich hohe Potenz von (z, — 52)(4, — E13)- sich zu denken. — Nun gehen wir zu den Gliedern %4« + —? %,7 in der Entwicke- lung von R über. Dabei erhalten wir zwei Arten von Gliedern, von deren jeder ein charakteristisches Glied angegeben werden soll: (%)(ä — 611) 47 — &9 O Ur E D ( 1 NO N aaa C21>‘(51 Z @ &a) : Vo, woben % ür @ e geschriebeﬁ ist. Multiplicirt man alle diese Glieder mit (2, — E2)"(2, — Ey3)? , So werden wegen (18°) und (18”) alle einzelnen Producte bis auf das hingeschriebene Erste = 0; dieses Erste giebt dann Veranlassung zu der Congruenz Eigenschaften der Eliminanten und der Resultanten. 123 (18°) @— B7 a —a U, =0 (modd. f - .), wobei U, wieder eine passende Potenz von (2, — &)(Z Ea) 4 bedeutet. — In den Coefficienten von x“ +—2. %. xg treten Glieder von zweierlei Form auf, nämlich erstens ( 1 ) (!;2) (ı — E) 71 ( — Eay) : (& — E12)“2 71 (3 — Ega) : (21 — S] , und zweıtens B En(@ — Gu) (21 — E2)“ 21 — Eis) Multiplicirt man hier mit einer hinlänglich hohen Potenz von @— Ga)(@ — Bn), ‚, so folgt wieder (18°) (Z1 = €11)‘U1“2(22 @— a =0 (modd. f, , ) So kann man fortfahren und sieht: Ist U eine hinlänglich hohe Potenz von (z, — E„)(2, — E) - -, dann wird (18) (& — B @ — E1)° (23 — A OZ0 (modd. f,, a9 ° fla wenn (@« +ß+7+:-)>u, ist; oder auch: man kann setzen (18*) ( — En)* (& — fa U= Qıfı F Qofa + + F Qln $ 428. Nach Herleitung dieses, als Hülfsatz dienenden Theorems betrachten wir eine Funetion 6, welche für alle Wurzeln (Grio Ca 729) ’ (Er2> So2, - -), - des Systems f =0 gleich Null wird. Aus $ 350, (4) wissen wir, dass dann mit passenden Coeffieienten ( D' = ( — E1) O11 + (Z E21) 912 F (23 — E1) 13 + _ .(5’1._'. Ü12? 9°2.1 + (22 — ?22).9322. ar (Zs — €32) ?23 + geschrieben werden kann. Ist nun w der grösste der Exponenten U, U, , und bildet man D“. [, wobei U” eine hinlänglich hohe 19900 On ( — E1a)(2&1 — Es) - - ist, so enthält jedes der Glieder des entwickelten Ausdrucks C — E1) Oı + ( — Sa1) O12 4 C E1) O13 + U _1+c Factoren von der Form (18), und daher ist (19) ©ZU Ga ebenso folgt, wenn man € S a b9) C21 ’ M S S (19% vertauscht, D“. U =0 (modd. ffa fn), wobei U” eine Potenz von @ = E@ — Ep) - bedeutet; ferner (19*) Z wobei U”” eine Potenz von ( —n — Ea)(2 — S4): sein wird; u.s.f, 124 Vierzigste Vorlesung $ 428—430. Die mc ROR O bezeichneten Funetionen der 915 %y} haben in ıhrer Gesammtheit keinen gemeinsamen Factor. Folglich kann man Functionen ı, v”, v” ? VON Z,, % ,: derart bestimmen, dass Ü’U’+?)”U”+U”’U”’+"'Z]_ wird ($ 346; XID. Z Z Multiplicirt man (19), (19%), (19”),--- der Reihe nach mit v', v A ’U” und addırt die Producte, so entsteht D“ —0 (20) (modd. ff fin) oder ausführlich geschrieben (20°) (D#=f1Q1 +sz2 P 999 P VQ Die U, v“ 2 werden noch CC enthalten, und dasselbe gilt auch von den Factoren Q,, Q, Nun kann man aber in (20*) d ME beliebig untereinander vertauschen. Thut man dies, addırt sämmtliche hierdurch entstehenden Gleichungen und bedenkt, dass dann die Factoren der f„ in den Wurzeln symmetrisch werden 2 so folgt, dass man sie rational in den Coefficienten der f„ darstellen kann. Demnach können wir den Satz aussprechen: Wenn eine Funcetion ® für alle, in endlicher. Anzahl vorhandenen Wur- zeln des Systems fal8ı, %: Em)= 0 («=1,2,...m) verschwindet, dann kann die Gleichung \ (20°) BD Z O f2Q2 + F f Qm aufgestellt werden, in welcher die Q ganze Functionen der z mit rationalen Coefficeienten bedeuten und w die höchste vorkom- mende Multiplicität einer Wurzel ist*). Es ist ersichtlich, dass dieser Satz von hoher Bedeutung für die Geometrie der Curven und Flächen ist; ®=0 stellt dabei eine Curve oder eine Fläche dar, welche durch alle Durchschnittspunkte der Curven oder Flächen f=0 hindurchgeht. $ 429. Bei den Untersuchungen der letzten beiden Paragraphen stimmte die Zahl der Gleichungen fx= © mit derjenigen der Unbe- kannten z überein. Wir können uns von dieser Voraussetzung frei machen. In der That, wenn die Anzahl m’ der Variabeln geringer ist als die Anzahl m der Gleichungen, während doch noch eine endliche z A ’) Herr Noether hat dieses Theorem in dem Aufsatze: „Ueber einen Satz aus der Theorie der algebraischen Functionen‘“ für m= 2 in etwas anderer, für unsere Zwecke weniger geeigneten Form abgeleitet. (Math. Ann. 6 (1852) p. 351.) Vgl. auch E. Bertini: Math. Ann., 34 (1889), p. 447; und 35 (1889), p. 456; ferner Noether: Math. Ann, 34 (1889), p. 450 und E. Netto: Actamath. 7 (1885), p. 101. 125 Eigenschaften der Eliminanten und der Resultanten, Anzahl von Wurzeln besteht, dann können wir mit willkürlichen Para- metern u„, neue Funetionen e = ma fa - eala A Wa m fm (@—1,2,...m)) ableiten, welche wegen der Unbestimmtheit der u„, nur für die Wurzeln der fx = 0 verschwinden und für alle diese Wurzeln. Daraus folgt D z U A Q A F I Q Die Q sind hier rational in den Coeffieienten der f und in den wu„. Für unbestimmte w verschwinden die etwa auftretenden Nenner nicht identisch, und folglich giebt es besondere Zahlenwerthe, für welche dies auch nicht der Fall ist ($ 337). Trägt man diese ein und geht auf die f zurück, dann ist der Satz des vorıgen Paragraphen von der Voraussetzung befreit, dass die Zahl der Variablen mit derjenigen der Gleichungen übereinstimmen müsse. $ 430. Wir können jetzt auch die Voraussetzung fallen lassen, dass die Gleichungen fx = 0 nur eine endliche Anzahl von Wurzeln besitzen. HEs seien m Functionen f7 mit (p + 1) Variablen gegeben. Das Theorem über die Darstellbarkeit seı bereits für m Functionen und n Variable bewiesen; wir wollen daraus herleiten, dass es auch für m Funetionen mit (p + 1) Variablen gilt. Da wir bei der Be- schränkung auf hinreichend wenige Variable zu einer endlichen Anzahl von Wurzeln kommen, weil sonst das System fx=0 identisch erfüllt wäre, so ist damit der allgemeine Satz bewiesen. Die Variablen seien 31 Z ** Bpy @p+1- Wir betrachten z,+1 als Parameter, dem wir Dann ist der einen beliebigen endlichen Werth zuertheilt denken. Voraussetzung nach für die p Variablen 2,, Zp ®”=P1f1+1)2f2+"‘+me111'&3 die P sind dabei rational in den Coefficienten der f und in Z+1. Der Hauptnenner der P sei o(2,+1); dann können wir schreiben (21) O(2p+ı) P“ = Qı + Qla F A Qmfn- Genau in der gleichen Art können wir herleiten =— Ea 6(2,) : Dr lel + R2f2 + +-Rmfm, (21%) z=— Ha . A e . . wobei offenbar das w in allen Gleichungen als dasselbe angenommen werden kann, da es ja in jeder solchen Gleichung beliebig vergrössert werden darf. Das System f1=0;"'ﬁn=o5 6(51)=07 r('z2) =O;"'@(Zp+l)=0 126 Vierzigste Vorlesung $ 430—431. Einundvierzigste Vorlesung $ 482. hat wegen seiner letzten (p+1) Gleichungen offenbar eine endliche Anzahl von Wurzeln, die wegen der ersten m Gleichungen sämmtlich D zum Verschwinden bringen. Folglich ist D' — M f + M + Manfn-N; 6(@,) E Nor(@) 4 — Np+ı 0 (p4) und also, wenn man mit ®“ multiplieirt und die Gleichungen (21) und (21*) verwendet, E D' Fr} © (odol fn a - Damit ist der allgemeine Satz bewiesen ®). $ 431. Es mögen jetzt m vollständige allgemeine Funetionen Fr 125 fın von den (m + p) Variabeln 2,, 22, : Zmj U1 V, Up Se- geben sein. Ferner sei ® eine Funetion derselben Variabeln, und &@ eine Funetion allein von %,, %, 9 Wir nehmen an, dass das Product D(2,--: m; Vıy‘:-Vp): P, %) für alle Wurzeln von Z n Z yerschwude Eine solche Wurzel sei (21, anl; Dı ’ . ./U]7 1ı). Dann können wir ($ 350) (22) D= 0 L — A F + (Zm Zm1) m F @ — Oal 999 P @ — Up1)Xo setzen, wobei 0 von Null verschieden ist, wenn ® nicht selbst schon für diese Wurzel (2,,:--vp1) verschwindet. Jetzt wählen wir %,, p 2 2 den Werthen %, U1 beliebig benachbart und auch v,„ dem v beliebig nahe, aber so, dass nicht @(0,2, V, Up2) = 0 ist. Dies geht bei passender Anordnung der w stets, wenn @ nicht identisch ver- schwindet. Wir können bei dieser Wahl direct festsetzen, dass | %12 Oala 10a — '”21!7"'l'”1>2 — Oı [< i sein soll, wo 0, beliebig klein sein mag. Jetzt bestimmen wir weiter 2,2,:-: %m2 SO, dass für diese Werthe fa(zl7 * Zm) V12> Do27 "7}132)=0 ; (“=‚1;27"'m) wird, was angeht, da die Anzahl der Gleichungen derjenigen der Un- bekannten gleich kommt, und da trotz der Einführung von %,, Vpo &9 D die x als Funetionen der aufgefasst, nach wie vor allgemein und Zm1 l vollständig sind. Nach $ 353 werden auch | 2,2 — Z bei hinreichend kleinem 0, beliebig klein. Wir können alle absoluten Beträge der Differenzen zweier Coordinaten < 0, machen, wo 0, mit 0, gleichzeitig unendlich klein wird. Für den Bereich der durch MDE LTE *) Diese und noch weitergehende Verallgemeinerungen des Problems der Dar- stellung stammen von Hermn Hilbert: „Ueber die vollen Invariantensysteme‘“. Math. Ann. 42 (1892), p. 320. Der hier gegebene Beweis ist dieser Arbeit ent- nommen, Kronecker’s Eliminationsmethode. — Reductibilität und Irreductibilität. 127 - 2ı — Au — A m zm1l; "l”p Üpll<ö() bestimmten Z,, Zm) Yı OD die Maxima der absoluten Beträge von %,: --WUmy X> Xp aus (22) und Q sel der grösste aller dieser Beträge. Da Z Zma, Dia‘ ‘ Upa eine Wurzel des Systems fxz= 0 ist, so wird für sie ®.o = 0, und weil y =+0 ist, so wird ®= 0, d. h. nach (22) Ö @p Auı @m mımO —u I p ı = 0 Der absolute Betrag der linken Seite ist grösser als 10 |— Z]| (Zus — Ba1) Va | — Z |(0p2 — Vp1)xp | Z | C |— (m +p)%E. Durch Verringerung von 0, kann man dies wesentlich positiv machen, falls [C| nicht verschwindet. Dann wäre aber ® =+0, und folglich ist 0=0. Das heisst: Verschwindet das Produect ®(‘217 ° &m, 1, "%’)'9”(”h" 7JP) für alle Wurzeln des Systems fa(£l; "Zm; 1]1’ ..1}p>=0 @= 1, 2,°°) von m Gleichungen mit (m+p) Unbekannten, dann ver- schwindet auch schon ® allein für alle diese W urzeln; des- halb ist auch hier (—D=f1@1 +f2Q2++ﬁ“Q”L Kinundvierzigste Vorlesung. Kronecker’s Eliminationsmethode. — Reductibilität und Irreductibilität. é 432. Sind 2,11, %2, : Zın irgend welche Grössen, deren sym- metrische Funetionen dem Rationalitätsbereiche angehören, so ist es Jeicht, alle Gleichungen aufzustellen, deren Coefficienten gleichfalls dem Rationalitätsbereiche zugehören, und unter deren Wurzeln 2,1, 2921n sich befinden. Die einfachste dieser Gleichungen ist diejenige, welche auch keine weiteren Wurzeln besitzt, nämlich f(@) = (& — (& — A Cı — An)=0, und die übrigen werden durch f(z,). @(z,) = 0 geliefert, wobei @(z,) eine beliebige ganze Funetion des Rationalitätsbereiches bedeutet. Die nächstliegende, dieser Aufgabe entsprechende, auf ein System von Gleichungen bezügliche Frage würde die folgende sein. Es sind ” 128 Einundvierzigste Vorlesung $ 431—432. k Werthsysteme (214, 220x, ° Zme) für «= 1,2,-.-.k der m Varilablen Z15 %37 Zm gegeben. Es sollen alle Gleichungssysteme mit rational bekannten Coefficienten gefunden werden, welche jene Werthsysteme und keine andern zu Wurzeln haben. Diese Aufgabe lässt unendlich viele Lösungen zu. Man könnte sie z. B. so behandeln, dass zuerst eın - (D f(&) — @ — Al@ — Ap) . ( — 212) = 0 bestimmt wird; dann könnte man mit Hülfe der Lagrange’schen Inter- polationsformel jedem 21 = Zıg €IN Za = Zaa vermittels 2) f (@) 0 fa(dı, %) = %o "‘a252a @& SO zuordnen; ähnlich jedem 21„ ein 23,, u s. f. In dieser Art lassen sich also m Gleichungen herstellen, die das Problem lösen. Jede lineare Man Combination derselben wird im Allgemeinen das Gleiche thun. darf dabei aber nicht vergessen, dass das aufgestellte System noch Sind z. B. vor- fremde, im Unendlichen gelegene Wurzeln besitzt. geschrieben (217 22) S (—17 O)7 (O> 1)7 (l; O)> dann findet man nach der angegebenen Vorschrift fı E HEa Fa l=0, so dass ausser jenen drei endlichen Wurzeln noch drei unendlich grosse bestehen. Dieser Uebelstand wird sich im Allgemeinen überhaupt nicht heben lassen; das erkennt man schon aus unserem Beispiele. Der Be6zout’sche Satz zeigt, dass die drei Wurzeln nur dann das volle Wurzelsystem zweier Gleichungen ausmachen können, wenn N, — 3, n — 1 ist; jene drei; Wurzeln können aber nicht einer linearen Glei- chung Genüge leisten. Hat man auf verschiedene Arten die Darstellung einer Reihe von Werthsystemen als Wurzeln geleistet,z. B. durch f1=07 f2=07 un dureh . * = 0, @= 0, dann wird jedes f für alle Wurzeln des zweiten Systems gleich Null werden und umgekehrt. Nach dem Schlussparagraphen der letzten Vorlesung giebt es also Darstellungen fZ“=P491+P02/92+" (@«=1,2,--); g = Quefi H Qafz F i (“=172;"')' $ 433. Im Falle, dass mehrere Gleichungen mit mehreren Un- bekannten vorliegen, braucht sich aber „das Gemeinsame“ des Systems nicht auf einzelne Werthsysteme in endlicher Anzahl zu beschränken Es können z. B. bei drei Variablen — geometrisch (vgl. $ 404). Kro'necker‘s Eliminationsmethode. — Reductibilität und Irreductibilität. 129 gesprochen — nicht nur gemeinsame Punkte der Gebilde vorhanden sein, sondern auch gemeinsame Curven, ja sogar gemeinsame Flächen- stücke. Man erkennt, dass in jedem der letztern Fälle die Darstellung (1), (2) versagen würde, da ja (1) für umendlich viele Wurzean erfüllt wäre, also f(z,) identisch verschwinden müsste. Züugleich ist es klar, dass das ganze Problem hier anders gefasst werden muss.. Die allgemeine Fragestellung ist die: Es sind beliebig viele Gleichungen (3> f1('21; '°Z‚„)=O, f2(517 -"Z„‚)=O,-*-]?(Zl7 —.‚gm)=0 Welche Einschrän- zwischen m Variablen ,: - %m gegeben. kungen werden durch die Gleichungen (3) auf die m-fache Mannigfaltigkeit der z ausgeübt? Insbesondere: Wieviele Glei- chungen sind höchstens nothwendig, um die durch (3) defi- nirten Gebilde rein darzustellen? In dieser umfassenden und weitblicekenden Form hat L. Kro- necker *) das Eliminationsproblem behandelt. Wir geben im, Folgenden die Hauptgesichtspunkte wieder. Gleich hier seı von vornherein darauf aufmerksam gemacht, dass die Frage nach der Multiplicität von Lö- sungen ganz zurücktritt. $ 434. Zunächst führen wır wieder nach Liourville (4) 2m= %— ( 24 + Um—18m—1); I=U 8 + i - UmEm (Um = 1) in (3) ein und erhalten dadurch statt fi, f, (5) @ Bg en = 0, H@ A a = 0 e Die f nehmen wir als präparirt an, um Besonderheiten auszu- schalten ($355). Es wird dadurch z. B. vermieden, dass nur einzelne Coor- dinaten einer Wurzel unendlich gross werden. Ebenso können nicht zu einem System 2,, %,: £m—1 unendlich viele Werthe z gehören. Den grössten gemeinsamen Theiler von g,,gz,::- befreien wir von etwa vorhandenen mehrfachen Factoren, benennen die zurückbleibende Funetion Rı(x; ,, Zm—1) und bezeichnen mit G, die in Rı nicht enthaltenen Factoren von gg. Dann entsprechen, abgesehen von der Multiplieität der Wurzeln, allen Lösungen von (5) alle von (6) R1(x; AAy Bg Z‚„__1> T0 09 (6%) G, %; 4,° @m-1) = 0, Ga(X; 1, Em-ı1) = 0, :3 und umgekehrt entspricht jeder Lösung von (6) oder von (6%*) eine solche von_(5). Es kann also aus jeder Lösung von (3) eine solche *) Grundzüge einer arithm. Theorie u. s.w. J. f. M. 92 (1882), p. 1, $ 10. Vgl. auch die ausführlichen Erläuterungen von J. Molk: Acta math. 6 (1885), p. 1. Netto, Algebra. II. 9 130 Einundvierzigste Vorlesung 8 434. von (6) oder (6%) hergeleitet werden; und umgekehrt lässt sich zu jeder von (6) oder von (6%*) ein z sSo bestimmen, dass man eine Lösung yon (3) erhält. Daraus folgt, dass bei der Zerlegung von R, in lineare Factoren nach x R M jedes &, &’,... linear und homogen in 4, ,---Um ist. Denn zu x =E; 21 ,° m— giebt es ein Zn = E— (u2 + + Um—1%m—1), welches mit 21 ,° Zm—1 zusammen eine Wurzel von (5) giebt. Diese Wurzeln sind von &4, Um—1 unabhä ngig; demnach ıst o e))) — U,& + JEn + Um—1%&m—1 + €m- Man hat deswegen Rl= (x_'u] 21‘_'"—unz——-lzm—l'— ;m) (%'—’Lbl 2'1_ K ‘_”///—1—2m——1_ C;/1) ? n (zm ITE C7'n) (Zm R €’I’IL> undi diee C sind Wurzeln einer Gleichung, deren Coefficienten rational von Z,, %, Zm—1 abhängen. Die durch (6) erlangten Wurzeln von (3) bilden also eine Mannigfaltigkeit (m — 1)'” Dimension. In ihnen lassen sich 2, , %,: Zm—1 beliebig wählen, Zn ist dadurch bestimmt. Alle nicht hierdurch gelieferten Wurzeln von (3) befriedigen (6®). Wir bilden mit unbestimmten Parametern v und w zwei Fune- tionen 6”) G C 4E 0G w G + WG + s + WG- Wenn ein System (&,, &,: Em—1) beide für jede Wahl der v, w zu Null macht, dann ist (6®) befriedigt, und umgekehrt macht jede Wurzel von (6°) die beiden Functionen (6”) zu Null. Wir eliminiren aus beiden die Grösse 2„_1 und ordnen die Eliminante nach Potenzproducten der Üa Die Coefficienten mögen C) h1(x; Z Zm__2) Z 07 h2(x; A Zm—2) — O) Ca Jede Lösung von sein, auf deren Anzahl es nicht weiter ankommt. (6°) liefert hiernach eine solche von (7); umgekehrt kann, zu jeder Wurzel (E, E, - Em—2) von (7) ein —1 So gefunden werden, dass (E, Er, : Em—1) jene beiden linearen Gleichungen (@°) ın @, 0 wn Dieses En 1 scheint, da es von (6”) ab- also auch (6%) befriedigt. hängt, eine Funetion der v, w zu sein; deshalb wollen wir &m— 1(v, w) schreiben. Dann wären g; C17 W ;m——2, Cm—1(% w) die Coordinaten einer Wurzel von (6%®). Von diesen Wurzeln kennen wir bereits die Form; sie haben die Coordinaten %=MIÄI+“'+%mC„„ é1; C2;"'ém——2; Cm—1* Kronecker’s Eliminationsmethode. — Reductibilität und Irreductibilität NS Daraus folgt, dass &_2 von v, w unabhängig ist, da es ja schon in 5& als Coefficient von un 1 auftrıitt Die durch (6) nicht gegebenen Wurzeln von (3) werden demnach von (7) geliefert befreien wir Den grössten gemeinsamen Theiler von h,, , von etwa vorhandenen mehrfachen Factoren, benennen die zurück- Zm—2) und führen ähnlich wie oben die bleibende Funetion Rı (X; 2,, H, ein. Dann entsprechen, abgesehen von der Multiplicität der Wurzeln allen Lösungen von (7) alle von (8) ‘R (x Zl7 Z27 äm— 2) — (8°) JEl @s An Bn—_a)=2 0, JEh(@ A, Ap_)= ©0 7 und umgekehrt entspricht jeder Lösung von (8) oder von (8*) eine solche von (7). Daraus folgt, dass alle Wurzeln von (8) oder von (8*) Coordinaten von der Form 5—ulgl—|—u2é'z—[— +“m€m; C1) C2) Cm 2 haben Nun schliesst man wıe oben, dass Em)] [“rn 1 (zrn— al Cm —l > + (Z'‚„ n [u7n —l (zm al Cm — 1) + (zm Cm)] sein wird. Die durch (8) erlangten Wurzeln von (9) bilden In ihnen also eine Mannigfaltigkeit (m — 2)*" Dimension SMI Z Za Z M beliebig; Z„—1 und z„ werden als Wurzeln von R =0 durch sie bestimmt Alle nicht durch (6) und (8) gegebenen Wurzeln von (3) werden durch (8*) geliefert An dieses System knüpfen wir dieselben Be- trachtungen wie oben an (6*). Man kann demgemäss durch Fort- setzung des Verfahrens folgenden Satz beweisen: Sämmtliche ver- schiedenen Wurzeln von (3) @ &m) = 0, fal&ı, Br)= © 2& Zn)= 0 werden durch eine der Gleichungen Ra (%5; 21, , Zm o:) = («=1,2,-- ) geliefert Hierbei bedeutet x den Ausdruck 4,2, + 62 + + Um —1 m— 1 + Zm Die durch Rı = 0 gegebenen Wurzeln bilden eine Mannigfaltigkeit (m — «)*" Dimension; es bleiben 1 %) 2n bebebre m werden durch sie alge- braisch bestimmt. Die einzelnen R, heissen Theileliminanten das Product Rı R R heisst die Gesammteliminante von (8) Wie man erkennt, sind _ wir auch hier wieder auf völlig natur- gemässem Wege zur Emtheüuno d91 Gebilde ihrer Stufenzahl nach gekommen ($ 405). g* 132 Kinundvierzigste Vorlesung $ 435—437. $ 435. Nach diesen Ergebnissen sind wir im Stande zu erklären, was man unter der Reductibilität und der Irreductibilität eines Funcetionen- oder eines Gleichungssystems zu verstehen hat. Ein System von Functionen oder Gleichungen (3) nennen wir irreductibel oder reductibel, je nachdem seine Gesammteliminante es ist. Daraus folgt sofort: Ist ein Gleichungssystem so beschaffen, dass jede Function, die einen Wurzelpunkt mit ihr gemein- sam hat, für alle seine Wurzeln verschwindet, dann ist das System irreductibel. Denn wäre es reductibel, dann könnte man seine Gesammteliminante zerlegen, R==S-.T, und die Gleichung S=0 gäbe gegen die Voraussetzung nur einen Theil der Wurzeln. Dagegen gilt der Satz nicht, dass wenn eine Wurzel eines irre- ductiblen Systems (3) eine Funetion ®(z,, Zm) zum Verschwinden bringt, dann ® für jede Wurzel von (3) verschwindet, wie man wohl zuerst geneigt wäre, der Analogie gemäss zu schliessen *). Hin ein- faches Beispiel zeigt dies; das Gebilde „die Kugel“ Ar A =0 ist sicher als irreductibles System aufzufassen; dies hat gleichwohl mit Ara ra l=0 Wurzeln gemeinsam, aber nicht sämmtliche. Das wirkliche, den Sätzen mit einer Variablen analoge Theorem würde sich etwas complicirter gestalten, ındem eine gemeinsame Wurzel von 5 =—0 und von (3) nur bei zwei Theileliminanten von gleicher Dimension der Mannigfal- tigkeit oder von gleicher Stufenzahl entscheidend wird. $ 436. Die Aufgabe, ein gegebenes System (3) in seine irreduc- tiblen Factoren zu zerlegen, ist hiernach einfach zu lösen. Wir bilden die Gesammteliminante, oder auch das System der Theileliminanten und zerlegen dieses oder jene in alle ihre irreductiblen Factoren S(wWi21 4 Ua%2 + * * + UmBm, 22 88) n Zm)- Entwickeln wir jetzt nach Potenzpröducten der Unbestimmten u, dann liefert das gleich Null gesetzte System der einzelnen Coefficienten ein Gleichungssystem, dessen Inhalt mit dem von S = 0 vollkommen übereinstimmt. Diese Darstellung gilt übrigens auch von reductiblen Theilern der Gesammteliminante, ja auch von ihr selbst. Die Anzahl der durch diese Entwickelung sich ergebenden Coeffi- cienten kann natürlich sehr bedeutend sein. Es lässt sich aber nach- weisen, dass (m+1) Funetionen stets ausreichen, um eine vollständige &X *) Herr Molk (l. c.) führt dieses Theorem an (V, S 3) und versucht auch einen Beweis desselben herzuleiten. Kronecker’s Eliminationsmethode. — Reductibilität und Irreductibilität. 133 Darstellung eines jeden S zu liefern. Das soll im nächsten Paragraphen geschehen. Aus dem Dargelegten ist ersichtlich, dass die Zerlegung: eines Systems in irreductible Systeme nur auf eine Art vor sich gehen kann, wobei freilich nur die dargestellten Mannigfaltigkeiten eindeutig fest- gelegt werden, nicht aber die darstellenden Funetionen der Systeme, weder ihrer Form noch ihrer Anzahl nach. KEin System ist ein Theiler eines anderen Systems, wenn die Gesammteliminante des ersten ein Theiler derjenigen des zweiten wird. Ferner wird es klar, was unter theilerfremden Systemen zu verstehen sei, nämlich Gleichungssysteme, deren Gesammteliminanten keinen gemeinsamen Faetor haben. Als grössten gemeinsamen Theiler zweier Systeme haben wir dasjenige System zu definiren, welches durch den gemeinsamen Factor ihrer Gesammteliminanten bestimmt wird. Aus dieser Definition ergiebt sich sofort weiter, d ass zu den beıiden Systemen f 1a fa und @,, ®: Dr das System, welches aus allen (g + x) Elementen f und @ besteht, der grösste gemeinsame Theiler ist. $ 437. Wir wollen jetzt den angekündigten Satz beweisen, dass wenn irgend ein System (3) vorgelegt ist, sein Gesammtinhalt durch höchstens (m + 1) Gleichungen vollständig ausgedrückt werden kann. Wir betrachten irgend einen Theiler der Gesammteliminante von (3), der nicht nothwendig irreductibel zu sein braucht. Durch sein Verschwinden werde eine (m — «)-fache Mannigfaltigkeit definirt, die aber auch mit Mannigfaltigkeiten niederer Dimensionen gemischt auf- treten kann. Wir bezeichnen diesen Theiler der Gesammteliminante mit (9) S,1(Ml 1 + E + umzm; Zl; RN Zm—a) a O Setzen wir hierin der Reihe nach alle w mit Ausnahme zuerst von Um—a-+1, „dann von m— o-+2,:. endlich von u gleich Null, und diese Um—a+1, Um gleich 1, so entsteht eine Reihe von Gleichungen (10) 6m—oc+l (Zm—a—l—l S 27n—a) S O, A C Z KEs ist klar, dass (9) ein Theiler von (10) ist. Die Gesammteliminante von (10) sei T'(x; 2,,---2m); dann wird Su(z; 21,- : Zm_a) ein Factor on @ A E SA y Ba UG z Zm) Da, wie gewöhnlich, mehrfache Wurzeln ausgeschaltet sind, so haben Sy und U keinen Theiler bei allgemeinen U, U, Um gemeinsam. Wir schreiben jetzt 134 HEinundvierzigste Vorlesung $ 487. ngiundvierzigste Vorlesung $ 438. S‚;„(.’I); Z1) "Zm—a>__—sa’(zlyz2) ** m5 M1;“2-"'“m)° Durch jeden gleich Null gesetzten Factor von U wird eine Mannigfal- tigkeit definirt, welche z. B. Z/?+1'_'“%1(21;"'»3(3’)‚ Zß+2=12(2’1,'“2‚3),'“ bestimmt. Es sind die % mehrwerthige algebraische Functionen, d. h. Wurzeln algebraischer Gleichungen. Tragen wir alle diese Werthe ıin S ein und multiplieiren wir die Resultate, dann haben wir eine Function, die In 28+1) 28+?) symmetrisch, also durch 2,,::: 2g und die Coefficienten jener Gleichungen darstellbar ist. In diesem Producte kommen somit nur die Varlablen 2,, 9° 85 Carn U vor; und bei unbestimmten w ist das Product von Null verschieden, weil Sı=0 mit Da das Produet bei unbe- U=0 keinen gemeinsamen Theiler hat. stimmten w ,: U nicht verschwindet, so kann man auch besondere Werthe ausfindig machen, für welche dies nicht geschieht. Ordnet man nämlich nach Potenzproducten der 2; , 2g, SO brauchen die w nur so gewählt zu werden, dass nicht alle Coefficienten dieser Potenzproducte verschwinden. Führt man diese Operationen bei allen Factoren von U durch, dann gelangt man zu besonderen Constanten 4, = ı, Um = Dm, für welche keins der Producte der S;, also auch kein S, selbst infolge von U = 0 verschwindet. Daher wird auch für diese Constanten die Gleichung Sa(plzl '+" Pa + S +_pm»%n3 Z A Zm——a) —. (1 mit U = 0 keine Wurzel mehr gemeinsam haben, und (10) und (11) Liefern zusammen (@« + 1) Gleichungen, welche den Inhalt von (9) rein und vollständig wiedergeben. » durrch welche Eine reine oder gemischte Theileliminante, keine höheren als (m — «)-fache Mannigfaltigkeiten definirt werden, kann vollständig und rein durch (@«x+1) Gleichungen dargestellt werden. Insbesondere: Jedes beliebige Gleichungs- system (3) zwischen m Variablen kann vollständig und rein durch höchstens (m + 1) Gleichungen dargestellt werden. Die Bedeutung dieses Satzes für die analytische Geometrie liegt auf der Hand. Er zeigt z. B., dass Raumcurven rein erst durch vier Gleichungen zwischen den drei Coordinaten dargestellt werden können, ode r dass eine beliebige Anzahl von Punkten in der Ebene erst als Durchschnittssystem dreier Curven rein geliefert werden wird. Es ist klar, dass (@« + 1) Gleichungen bei der Darstellung zwar stets ausreichen, aber nicht immer nothwendig sind, um eine Mannig- Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Funetionen und von Gleichungen 135 faltigkeit (m a)" Ordnung rein anzugeben Man kann ja eine solche direct durch « Gleichungen zwischen den m Variablen z definiren Zweiundvierzigste Vorlesung Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Funetionen und von Gleichungen, — Die Funetionaldeterminante $ 438. Sind zwei Funetionen einer Variablen z gegeben ag + agl . - Am, a a und bezeichnet man ihre Werthe für ein willkürliches z miıt @ und %, so sind die Gleichungen Z z + a mel + __(p___() b + ba H+ 0 glemhze1tw für jenes z erfüllt, und infolge dessen ist anL ED Am— 1 UAm— 2 O Aın — (P Am —1 1 Ö„—1/} bn al On—2 C w G b —'1/J bn—1 i d. h. es besteht eine Gleichung zwischen @ und ı, deren Coefficienten Constanten sind, und die nicht für alle beliebigen Werthe von @, w erfüllt sein kann Diese Thatsache dass die Werte der beiden Func- tionen nicht unabhängig von einander gewählt werden können, sprechen wır SO aus dass wir sagen die Funetionen seien nicht von einander unabhängig Sind q Funetionen von m Variablen D f1("”1; Z f"(zl7 Zm)> ,1(Zl, © m) gegeben, dann heissen sie unabhängig von einander wenn keine Gleichung (2) F(fl7 f2? j — besteht, deren Coefficienten von den Variablen unabhängig sind und die nicht ıdentisch erfüllt ist, d. h. nicht, wenn man fi, f, fz als be- liebige varlable Grössen ansieht Es sind also Gleichungen, wie etwa f1 +(f2—_fl)(f‘7+fl)_f2_o nıcht geeignet, eine Abhängigkeit zu begründen 136 Zweiundvierzigst_e Vorlesung $ 438—440. Besteht zwischen den f,, fa eine solche Gleichung (2), dann können nicht alle Werthe für f,, fz beliebig gewählt werden, da sie ja eben (2) befriedigen müssen Kann man umgekehrt das System D 295 SO wahlen? dass fa Jedes willkürlich vorgeschrie- bene Werthsystem annehmen kann, dann besteht natürlich keine Glei- chung (2) zwischen den Functionalwerthen, und die Funetionen sind yon einander unabhängig. Von diesem an sich klaren Satze haben wir schon früher Gebrauch gemacht. $ 439. Es möge” zunächst die Anzahl der Gleichungen diejenige der Variablen um 1 übertreffen, also 9g = m +1 sein. Giebt man den Variablen ein beliebiges Werthsystem, dann mögen die Werthe der Es Funcetionen durch die Symbole %,, %, - %, bezeichnet werden. sind folglich die Gleichungen @3) f“('317 CD Z‚„) 0 =0 @= 1, 2000 %A Il) mit einander verträglich, und ihre Resultante R ist daher =0. Diese ist eine ganze Funetion der Coefficienten aller f und zugleich der Werthe Pır P2> Dq Wir beweisen, dass R nicht identisch verschwinden kann, d. h. nicht dann, wenn man @,: %, alg unabhängige Variable auffasst. Nach der Poisson’schen Bildungsweise für Resultanten ist R] ]Chapaleuez + 8nc) — Pnl wobei die (Zıx,- * Zmo) alle endlichen ‘ Wurzeln der Gleichungen f{?(zla; .-Zma)——(p@=0 (9=1;2;"'m) zu durchlaufen haben. Aus dieser Poisson’schen Productform iıst ersichtlich, dass in R die Grösse @.41 nicht verschwinden kann. Das Gleiche gilt für alle übrigen ®%o. Unter Andeutung dieser Grössen schreiben wir für die Resultantengleichung R(‘P1; Da ‘Pm+1) =0, oder, da die @ ja nur eingeführt waren, um ohne Irrthümer und Zwei- deutigkeiten die fi,-::fm-+1 darzustellen, so erhält man jetzt eine Glei- chung von der Gestalt der Relation (2), nämlich (4) R(fir fr Im+ı) = 0. Ist die Anzahl der Functionen um eins grösser als die An- zahl der Variablen, dann besteht zwischen ihnen eine Glei- chung (2), welche aus der Resultante des Gleichungssystems (3) hergeleitet werden kann. Daraus folgt: Uebertrifft die An- zahl der Functionen diejenige der Variablen, dann bestehen mindestens so viele Relationen (2), als die Differenz der beiden %\bhängigkeit und Unabhängigkeit von Funetionen und von Gleichungen. 137 Anzahlen beträgt. Wir werden in der nächsten Vorlesung mit der Aufstellung derartiger Relationen zu thun haben und uns mit dem Problem beschäftigen, ein System unabhängiger Relationen aufzustellen. Die Funetion auf der linken Seite von (4) hat nur dann ein von den Yn fm+1 freies Glied, wenn das System 8 eine Wurzel besitzt ; bei allgemeinen Funetionen findet das also nicht statt. $ 440. Ist g >m, dann giebt es stets Relationen (2); es ist aber nicht ausgeschlossen, dass derartige Gleichungen auch für q <m auftreten, dass es also auch dann eine Gleichung F(fi,:-fy)==0 giebt. Wir wollen annehmen, dieser Umstand trete ein; dabei können wir voraussetzen, dass wir nur diejenigen Funetionen „ ım Betracht ziehen, welche wirklich in / eingehen, indem wir die übrigen einfach von unserer Betrachtung ausschliessen. Wir können ferner die Vor- aussetzung machen, dass nicht schon unter weniger als qg Funetionen fırfay fy eine Beziehung dieser Art stattfindet, da wir sonst unsere Dann kann Schlüsse sofort an diese geringere Zahl knüpfen könnten. man das System mit willkürlichen @,, %,: @®gı (S) fa(%; 2a9° -Z‚„) ';Da=0 (“=1;27"‘q—1) befriedigen. Denn wenn man anderenfalls 9g —2 Variable eliminirt, so fallen in der Eliminante alle Variablen fort, weil sie für keine Wahl derselben verschwinden dürfte, und sie selbst liefert gleich Null ge- setzt eine Relation zwischen den fz. Bei (5) ist es möglich, dass (g — 1) der m Variablen z bestimmt oder auch durch die übrigen ausgedrückt werden; m —g+-1 bleiben unbestimmt. Jene (g — 1) eliminiren wir aus (5) und (5°) fq(zl; z2,-«-z„„)—qaq———0, wobei @, einen Werth bezeichnet, der mit der Einschränkung der z durch (5) verträglich ist. Nun sind die Gleichungen (5) und (5?) gleichzeitig erfüllbar; ihre Resultante nach (g — 1) Variablen 2 9-+2, + Zm ist also Null. So erhalten wir R= 0, wobei in R ausser den Coeffi- cienten der f„ noch die Werte %„ und die unbestimmt gebliebenen Wir entwickeln R nach Variablen 2,,:--Zm—g+1 eingehen können. Potenzproducten der @,,---@7; dabei entstehe (6) S (rf)E Ag . D =0. Jetzt sollte der Voraussetzung nach eine von den Variablen freie Gleichung (6°) il fa a= O 138 Zweiundvierzigste Vorlesung $ 440—441. bestehen. Setzen wir in ihr fi= @, fa—-ı= 41, SO bestimmt sich daraus f, als Wurzel einer algebraischen Gleichung; d. h. zu jedem System @,, %— giebt es nur eine endliche Anzahl von Werthen %,, und diese sind frei von Z,, : Zm—g41 bestimmt, was aus (5*) noch nicht hervorging. Dies wirft ein neues Licht auf (6). Kommt in den Ag in (6) eine der Varlablen Z,,:-- Zm—g+1 wirklich vor, dann kann man nach der bei (5) gemachten Bemerkung für unendlich viele Werthe %41 erhalten und dann derselben festgegebene Werthe von @,, durch (6°) die möglichen Werthe von &, bestimmen. Für die festen Pı —ı und für ein unter einer endlichen Anzahl von Werthen vorkommendes , müsste (6) bei unendlich vielen Werthen der wirklich in den 4g vorkommenden Variablen befriedigt werden. KEs giebt daher auch unendlich viele Werthe dieser Variablen, für die Oaı und festem @, gilt. Folglich müss- (6) bei festem @,, %, ten alle Coeffieienten 4g identisch verschwinden, und da dies aus- 9 Z meb n O geschlossen ist, so kann keine der Variablen 2,, Coefficienten Ag eingehen. Die übrigen Variablen aber waren elimi- nirt; folglich ist R in seinen Coefficienten ganz von den Variablen frei, So haben wir ein und R=0 eine Relation wie sie gesucht wurde. Mittel erlangt, ein Funetionensystem darauf hin zu prüfen, ob eine Abhängigkeit zwischen seinen Elementen besteht, und wenn dies der Fall ist, solche Relationen (2) auch wirklich aufzustellen, Um zu untersuchen, ob die qg Funetionen fi,:::fz VON m S 0) an ablen 21 Zay .Zm ein unabhängiges oder ein abhängiges System bilden, bestimme man auf alle Arten die Eliminante in Beziehung auf die Elimination von (g — 1) Variablen zwischen den Gleichungen fa (& Em) d = 0 (‘x=l72;"'9)7 wobei die @ lediglich Bezeichnungen für die fa sind. Ist eine dieser Eliminanten auch von den übrigen Variablen unab- hängig, dann und nur dann bilden die f ein abhängiges Sy- stem, und diese Eliminante liefert direct die zwischen den f bestehende Relation. $ 441. Jacobi hat im seiner Abhandlung „de determinantibus funetionalibus“ (Werke III, p. 393) die Frage nach der Abhängigkeit von Funetionen oder von Gleichungen untereinander von anderen Ge- sichtspunkten her behandelt. Er setzt dabei nicht voraus, dass es sich gerade um ganze Funetionen oder um algebraische Gleichungen han- delt; als Haupttheorem stellt er das folgende auf, durch welches die Abhängigkeit oder Unabhängigkeit von m Funetionen ebensovieler Variablen erkannt wird. 139 Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Functionen und von Gleichungen, Sind m Functionen fx(Z,, %,: Zm) für « =1,2,-...m vorgelegt, so heisst die Determinante — Öf, Ölfıs fas U 3Z211 Z27 Z ) M CN Z02 . ) 02, die Functionaldeterminante des Systems. Englische Mathematiker bezeichnen sie als „Jacobian“. Wir sind dieser Determinante schon ım $ 399 begegnet. Ihr Verschwinden für eine Wurzel (2,, An 1) del' fı =0 war charakteristisch dafür, dass die Wurzel eine mehrfache Wurzel des Systems ist. Jacobi beweist von ıhr: Das identische Verschwinden der Functionaldeterminante ist charakteris- tisch für den Umstand, dass die Functionen nıcht von ein- ander unabhängig sind. Den analytisch gehaltenen Beweis Jacobi’s wollen wir hier nicht angeben; es sei auf die Originalabhandlung oder auf eine der Darstellungen in Lehrbüchern der Determinantentheorie oder der Analysis verwiesen. Verbinden wir das Jacobi’sche Resultat mit dem von uns im vorigen Paragraphen hergeleiteten, so folgt eine merkwürdige Beziehung zwischen dem Aufbau der Eliminante und dem der Functionaldeterminante. Lassen wir zunächst in den Funetionen f„ die Coefficienten unbe- stimmt, eliminiren Z,, 23 ,: - Zm aus den Gleichungen fa(& , 2 "%n)'“‘pa=o (“=1;2;"'m)7 behalten z, zurück, ordnen die Eliminante nach z, und setzen R(2; @1, --qvm)=2x;fz(wl‚ O A schreiben wir dann andrerseits die Funetionaldeterminante J=Z'@aß„- A außv"‘ durch welche so wird für jede Wahl der Coefficienten in f,, f é} 2 alle 0,8... zu Null werden, / identisch verschwinden; folglich bilden die fx ein abhängiges System, und nach & 440 wird eine der Elimi- nanten, etwa die obige von 2, frei; d. h. die r, (x* > 1) verschwinden. Dass wir hier gerade das obige R nehmen, ist natürlich bei der Allgemeinheit der Coefficienten keine Beschränkung. — Das Um- gekehrte findet ebenso statt; denn verschwinden alle diese Coefficienten in R, dann sind die Funetionen nicht unabhängig von einander, und in- folge dessen sind alle 045...=0. Wir haben also den Satz: Ordnet man R(2,5 Pı> ' Pm) =Z Tyaw PL, Z D a7ﬁ7“' 140 Zweiundvierzigste Vorlesung $ 441—443. dann sind Potenzen der 0„5... homogen und linear durch die Tzzu... (x>0) darstellbar und umgekehrt Potenzen der 7,3... durch die o Wir wollen zwei einfache Beispiele hierzu geben. Es sei zuerst fı — 9ı = 9° 4 200,% + b ” + 2602 + 2d% — @,, fa — Oa = &1 — 0y — %, dann wird R = (a*-+ 200 b) 2° 2((a--a) pA ca 4 d) 24 (D —2c0,—00,), —;J=(cc—f—a)zl—}—(aoc—{—b)zg+(occ—}—d). Hier ist die Richtigkeit des Theorems sofort ersichtlich, da man hat « + 200 + b= ala + «) + (a« + b) und a« + b= (« + 20a+ b)— a(a + «). Als zweites Beispiel wählen wir fı — Oı = 4 — 208,% F ba“ — O, fa — Oı = ° — 2u0,% F B“ — Oa; das giebt für R den Ausdruck [(ß — b) + (« — a)(«b — ßa) 22“ * Zl —0 — 0@) F O — BA e — a°)] %* + (g — %) und für %J den Ausdruck (« — a)a? + b — Bß)212 + (aß — ba)2, Auch hier erkennt man sofort die Gültigkeit des Satzes. & 442, Wir wollen jetzt noch einige, die Functionaldeterminan- ten betreffende Sätze ableiten. Sind (m + 1) Gleichungen fx= 0 in m Unbekannten 2,, : &m gegeben, so können wir sie durch die Kin- führung einer neuen Variablen 2„41 unter Beibehaltung der Dimen- sionen %„ homogen machen. So entsteht das System (7) 9a(21; Za, ** Am) 5nz+1) = (@«=1,2,...m + 1). Da nun nach dem Euler’schen Satze über homogene Functionen Oa Ia (8) + +Zm—|—1 e 513_Zf+52 02 ÜZ‚„+1 @= 12 m ; so wird jedes System &,, &,: Em+1, welches alle gu zu Null macht, die in 1, %> Zm+1 linearen Gleichungen (8) befriedigen, wenn die Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Functionen und von Gleichungen. 141 rechten Seiten =0 gesetzt werden. Ist nun (& ,& ,: Em+1) +(0,0,::0), dann muss durch die & die Determinante der linken Seiten J a(gl 9L gm+1> 0 7 OG SA werden, d. h. die Functionaldeterminante homogener Glei- chungen mit ebensovielen Unbekannten verschwindet für jede von (0,0,...0) verschiedene Wurzel des Gleichungssystems. $ 443. Die Form von J lehrt noch eine weitere Kigenschaft der Funetionaldeterminante. Wir addiren zu der mit z multipli- cirten ersten Spalte von J die zweite mit z, multiplieirte u. s. w. bis zu der (m+1)*" mit 241 multiplieirten und wenden den Kuler’schen Satz über homogene Functionen an. Dabei zeigt es sich: Das Pro- duct aus der Functionaldeterminante in eine beliebige der Variablen ist bei homogenen Functionen congruent Null nach dem aus den Functionen gebildeten Modulsysteme. Die Darstellung der Functionaldeterminante homogener Functionen kann noch von einer anderen Seite her in Angriff genommen werden. Ist das System (7) vorgelegt, und sind n,, M, wıie gewöhnlich die Dimensionen der Gleichungen, dann ist J von der Dimension (n, + 1, + + mı — M — 1). Nach $ 420 können wir nun Funetionen 1)17 P Z DPyn-+1 SO bestimmen, dass (9) DD m+1Im+1 in z, höchstens bis zur Dimension (%, —1), in % höchstens bis zur Dimension (n —1),-- aufsteigt. Dabei sind freilich die Funetionen P nicht sofort als homogen durch den angeführten Satz zu erkennen. Behält man jedoch aus etwaigen allgemeineren P je nur die Glieder höchster Dimension bei, so wird der Ausdruck (9) eine homogene Funetion der gleichen Eigenschaft. Es giebt aber nur das eine Potenz- mn—1 Z Yın 36 product z al '32—‘ . 99° Cmaki , welches den Gradbedingungen genügt. Folglich ist (9) gleich diesem Potenzproducte, multiplicirt mit einer Constanten. Gesetzt, die Gleichungen (7) hätten eine von (0,0,...0) ver- schiedene Wurzel (&,, &,-::-), dann wird für sie J==0 und g, =0, 9 = 0, : Im+1 = 0, also auch jene Constante =0. KHEine solche Wurzel besteht nur, wenn die Resultante der Gleichungen ver- schwindet. Demnach ist die Constante durch die Resultante R der Gleichungen theilbar, und es wird n—1 A 11 (10) J= P1.(/1 + + Pm+l,9m+l + 01R‘(Z 1 Zm+l ) 142 Zweiundvierzigste Vorlesung $ 443—445. Die letzten Schlüsse werden hinfällig, wenn eine der Coordinaten £ gleich Null ist; aber gerade dann ist die letzte Gleichung selbstver- ständlich. So sind wir zu dem Satze gelangt: Stets dann und nur dann, wenn R=0 ist, kann (11) J R e n + Pon-t19Im-41 gesetzt werden. Es ist also die Darstellungsmöglichkeit (11) charakteristisch dafür, dass die homogenen Gleichungen (7) eine von (0, 0,...0) verschiedene Wurzel besitzen. Wir wollen diesen Satz durch zwei Beispiele erläutern. Ist Iı = A8” A 2002 f C%*, Iı = B, A Bea, so wird %J= (aß — ba)z, + (bß — c«) 2 1 EL [(aß — ba)gı — (aß? — 2baß + ca«*)2], [04 und hier ist der Coeffieient von %, gleich der Resultante der Fune- tionen ı = 06 206 460 fa — WD Ist zweitens Jı = a8,? + 2be,% + 02*, Iı = &* + 2ß8,% + V, so wiırd I = Haß — do)a? + 20y — 00)2,4 +20y— 08 %* Setzt man dies = pgı + qgı, wobei p und q.Constanten bedeuten, dann wird durch Auflösung der Bedingungsgleichungen AAy — C n=20— @ ay — ca q= — 2b+a aß — ba? aß — ba? aber auch by cß ya — ß p=2ß —4« W —O Z g= — 2b— 44a ay — Ca Diese beiden Werthepaare stimmen hierbei nur dann überein, wenn (ay — 00} — 4(aß — bo)(by — oß)=0 ist, wie dies nach dem ausgesprochenen Satze sein muss, da der Aus- druck auf der linken Seite der Gleichung die Resultante aus a + 2ßt+y7y=0 ab E 206 -E6=0 ıst $ 444. Jacobi hat (l. c. $ 3) ein System von q Gleichungen mit m Variablen als ein solches von untereinander unabhängigen Gleichungen definirt, wenn keine derselben identisch erfüllt ist oder mit Hülfe der übrigen zu einer identisch erfüllten gemacht werden kann. Um ein System auf seine Unabhängigkeit hin zu prüfen, wird 9 Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Functionen und von Gleichungen. 14 ] aus einer ersten Gleichung fi = 0 eine Unbekannte z, bestimmt; der erhaltene Werth in die anderen eingetragen und nachgesehen, ob dabei eine identisch erfüllte Gleichung entsteht. Ist dies nıcht der Fall, so wird aus einer der neuen Gleichungen z bestimmt; der erhal- tene Werth wird in die anderen eingetragen u. s. f. Kommt man bei der Fortsetzung dieses Verfahrens auf keine identisch erfüllte Glei- chung, dann heisst das System unabhängig. Hierbei sieht man zugleich, dass in diesem Falle ‚ebensoviele Unbekannte bestimmt werden können, als Gleichungen vorhanden sind, während im Falle der Abhängigkeit das nicht eintritt. Deshalb gestaltet Jacobi seine Definition auch noch folgendermassen um: Dr Glerchunsen Y Z Z Z heissen unabhängig oder abhängig von einander, jenachdem es möglich oder unmöglich ist, aus ihnen qg Unbekannte zu bestimmen. Da es nun nicht angeht, mehr als 9 Unbekannte aus den q Gleichungen zu bestimmen, so folgt, dass die Anzahl unab- hängiger Gleichungen nicht grösser sein kann als die Anzahl der ein- gehenden Unbekannten. — Man sieht leicht ein, dass diese Jacobi’schen Definitionen strenger gefasst werden müssen. Will man sie z. B. auf die beiden Geichungen .21 F 2 3)=0, 444 —%—1)=0 anwenden, dann giebt der aus der ersten entnommene Werth z, =0 für die zweite Gleichung eine identisch erfüllte; dagegen z, =3—z2, nicht. Nach der ersten Definition könnten die Gleichungen wohl abhängig genannt werden, nach der zweiten wohl nicht. Es scheint naturgemässer, zu definiren: f = 0 ist von fi =0,..- fa—ı= 0 dann und nur dann abhängie ö75 wenn jede Wurzel des Systems fı =0,...f_1=0 auch die Gleichung f,=0 (abge- sehen von der Multiplicität) befriedigt. Oder auch: f; = 0 ist On A = 0y 0 abhängig, wenn die Gesammtelimi- nante der letzten (g — 1) Gleichungen mit der aller g Glei- chungen identisch ist. $ 445. Zum Schlusse dieser Vorlesung wollen wir noch ein mit den soeben behandelten Fragen verwandtes Problem untersuchen: Welche Gleichungen von der Form (12) ı falQ s mLa e @ Z können zwischen allgemeinen Funetionen VE fa be- stehen? Vgl. 8 413 u. 8 416. a 2 Zunächst sei q = Dann folgt aus A, +f2P2=O> 144 Zweiundvierzigste Vorlesung $ 445—446. dass die allgemeine Funetion f} das Product f,P, und daher auch P, theilen muss. Setzt man nun P,= — f Q, dann folgt P,=f- Q, so dass nur identische Gleichungen von der Form HOT H— möglich sind. Das Gleiche gilt auch bei besonderen Functionen f; und fx, sobald nur beide keinen Factor gemeinsam besitzen. Es seı ferner qg = 3, so dass f1P1 +f2P2+f31)3=0 zu erfüllen ist. Aus den drei f eliminiren wir 2,, % und erhalten als Eliminante R(2;, 21, - Zm). Aus der Annahme, dass die f allgemeine Funectionen sind, folgt, dass £% nicht ıdentisch verschwindet. Unsere folgenden Schlüsse gelten auch für jeden besonderen Fall, in welchem R nicht identisch Null ist, also für willkürliche Wahl von 23,2,,-:-Zm nicht unendlich viele Wurzeln für f} =0, f£==0, fs==0 vorhanden sind. Für jedes System ,, %, 2 welches die beiden Gleichungen fi=0, f=0 erfüllt, dagegen f; +0 macht, muss P, = 0 werden; für jedes System 2,, %, ? welches die drei Gleichungen fi= 0, n=0, A =0 el mu S = 0 werden, Folglich verschwindet P, . R für alle Systeme %, %, ? welehe OO machen Man hat also nach gleichgültig, wie sich f ıhnen gegenüber verhält. 8& 428, da bei allgemeinen Gleichungen nur einfache Wurzeln vor- kommen, @2 d @y ) AD r Da und deswegen nach $ 431 auch schon P& Z %, )= Q s A Daraus folgt dann f1(P1 + sz3) +f2(Pg RE Q1fs)=o7 und also nach dem Resultate für g= 2 P1 e Q3f2 DE Q2f3; P2 Z Q1f3_ Q.sf1 Die geforderte Relation nimmt somit die Gestalt an f1(sz3 ”f3@2) Sla f2(f3Q1 “”le3) +f3(f1@2 —f2Q1) 7 0; d. h. es ist eine identisch verschwindende Gleichung. Setzt man diese Betrachtungen fort, so gelangt man zu dem all- gemeinen Resultate: Die Gleichung (12) kann nur für Funetionen Poc z Qalfl + Qa2f2 + BENE + Qaqfq stattfinden, wobei die Q die Bedingungen Qa{f + Qßa - 07 Qaa=0 zu erfüllen haben, sonst aber beliebig gewählt werden dürfen. 145 Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Funetionen und von Gleichungen, $ 446. In ähnlicher Art behandeln wir die Frage: Welche Glei- chungen von der Form (13) f1f2-P1‚2+f1f?‚'1)1‚3+"'+fg—-1fq'Pq—l‚q:0 können zwischen allgemeinen Funectionen fi, %, fı be- stehen? Zunächst sei 9 ==3; dann folgt aus fi(f2Pı,2 + f3 Pı,3) +F (fPos) = 0 nach dem vorigen Paragraphen, dass P, 3 durch f, theilbar ist und ebenso weiter, so dass wir setzen können P1‚2 P Q/f3‚ P1,3 =0'%, Pas=@Q'fı, sobald die f allgemeine Funetionen sind, ja auch schon, wenn siıe keinen Factor gemeinsam haben. Setzt man diese Resultate ein, so folgt als Bedingungsgleichung Q+@&+Q"=0, Bei g = 4 ordnen wir die Gleichung folgendermassen : (18°) A[fıPı,2 f Pı,s-t faPıa] + ff Pa 3 + fa-Paa] + fefaPoa= 0. Genau derselbe Schluss wie im vorigen Paragraphen zeigt uns, dass bei der Klimination von z, und z, zwischen fi, f> und fzf, das Product Ps4 R(fi,fa,fzfa) und dann auch Ps4 durch fi und f> homogen und linear darstellbar ist; das Eintsprechende gilt von allen Pr p- Daher ist P1‚4 S Q1‚4‚2f2 + Q1,4‚3f3$ P2‚4 Z Q2‚4‚1f1 + Q2‚4‚3 fä; P3‚4 > Q3‚4‚1f1 . Q3‚4‚2f2- Tragen wir dies in die Gleichung (13°) ein, dann ist die Frage auf E q 3 reducirt, und wir erkennen, dass Potﬁ s Qa(?yfy + Qaßöf83 Qa(>’7 A Q(fya a Qywß =0; Qußy — Qpay zu setzen ıst, wobei ausser den angegebenen beiden Beschränkungen für die Q keine anderen bestehen. Dieselbe Methode führt auf das allgemeine Resultat: Sind Ya f2> /a allgemeine Functionen, dann kann (18) nur statt, finden, wenn jedes Pa/&’ a Qaßyfy + Qaß()‘f()‘ + A + Q“P'Qﬁ] ist, wobei die Q bis auf die Beschränkungen Qaß)’ Sa QP’W al Qy«ß =0; Qaßv O Qßü7 ganz willkürlich gewählt werden können. Man erkennt leicht, dass den Problemen dieses und des vorigen Paragraphen ähnliche in derselben Richtung zur Seite stehen, und man sieht auch, wie die Lösung sich gestalten wird. KFE Netto, Algebra. II 10 146 Dreiundvierzigste Vorlesung $ 447—448, Dreiundvierzigste Vorlesung. Die Cayley’sche und die Sylvester’sche Eliminationsmethode. 8& 447. In $ 139 (Bd. I) haben wir die Resultante zweier Glei- chungen f(z)= 0 vom m* und g(z) = 0 vom u“" Grade in der Form einer Determinante dargestellt, indem wir die (m + ” — 1) _ Potenzen Z, , gnl aus den (m + n) Gleichungen =0, Z = 00 g=0, 2y= 0, PAy=0 eliminirten. Sind mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten gegeben, dann liegen die Verhältnisse insofern complicirter, als bei ähnlichem Vorgehen die Anzahl der zu eliminirenden Potenzproducte nicht mit Bei hinreichend hoher der Anzahl der Gleichungen übereinstimmt. Dimension der Potenzproducete wird die Anzahl der Gleichungen die Wir grössere. Cayley hat diese Verhältnisse genauer studirt *). müssen uns damit begnügen, seine Untersuchungen kurz zu erwähnen, da seine Schlüsse nicht immer bindend und seine Hülfssätze zum Theil unrichtig sind. Ob seine Resultate dadurch beeinflusst werden, mag dahingestellt bleiben. Wir gehen von (m + 1) Gleichungen mit m Unbekannten aus (1) fal&) %y Am) — 0 («=1,2,---m +1); dabei habe /# die Dimension %q. Die Coefficienten der Funetion fa sollen generell mit cx und diejenigen eines unterschiedlos gewählten f mit c bezeichnet werden. Die f sollen allgemeine vollständige Fune- tionen sein. Nun multiplieiren wir jedes f„ mit jedem Gliede e n A A so weit, bis die Multiplication von f mit den Potenzproducten zu allen Ausdrücken der Dimension % geführt hat, wobei ” eine noch zu bestimmende Zahl bedeutet. Wir bekommen dadurch nach $ 334 m+1 N(n — na, Mm) = Z a=1 Gleichungen, die wir durch u = 0, w =0, w =0,-- bezeichnen wollen. Die Funetionen w steigen nur bis zur Dimension % hinauf; es kommen demnach nur N(n, m)= N verschiedene Potenzproducte der m Unbekannten vor. — 9 * On the theory of involution in Geometry. Cambr. a. Dubl. math. J. a (1847), p. 52; On the theory of Elimination; ibid. 3 (1848), p. 116, 147 Die Cayley’sche und die Sylvester’sche Eliminationsmethode. Es handelt sich nun zunächst um die Beantwortung der Frage ob man % so gross wählen kann, dass die Anzahl der Gleichungen gleich oder grösser wird als die Anzahl der Potenzproducte der Un- bekannten. Abgesehen von dem, beiden Zahlen gemeinsamen Nenner m! liefert die Entwickelung unserer Ausdrücke nach fallenden Potenzen yon % die Anfangsglieder (m + 1) n — und V _+_ Daraus folgt sofort die Möglichkeit der Bestimmung. Für die genauere Feststellung des % haben wir bereits in $ 335 die nothwendigen Vor- untersuchungen gemacht. Setzen wir @) Z e D dann ist die Voraussetzung der dort gegebenen Formel (14) erfüllt, und wir haben N Es reicht also aus, ” gemäss (2) zu wählen, um ein System von Gleichungen zu erhalten, deren Anzahl diejenige der in ihnen auftretenden verschiedenen Potenzproducte der m Un- bekannten %, %,: %m übertrifft. $ 448. Nehmen wir jetzt aus den X, so erhaltenen Gleichungen irgend welche N Gleichungen heraus und bilden die Determinante A der Coefficienten aller Potenzproduete inclusive z,°z,°...2%, dann muss A verschwinden, sobald (Z,, Z3,:::Zm) SO gewählt werden kann, dass die (m +1) Gleichungen (1) und mit ihnen die X Gleichungen u, = 0, u =0,--- befriedigt sınd. Verfährt man miıt A genau so, wie es in $ 149, Bd. I mit;der für zweiı Gleichungen einer Unbekannten ähnlich gebildeten Determinante geschehen ist, indem wir jede Spalte mit demjenigen Potenzproduete der Unbekannten multiplieiren, zu dessen Coefficienten gerade die Elemente dieser Spalte gehörten, und diese Produete dann sämmtlich zu den Ele- menten derjenigen Spalte addiren, die dem Potenzproducte 2,° 2,°... 2 =1 zuzuordnen ist, dann entsteht, genau wie dort, (3) 4 =f1M1 + f2M2 Aa +ﬂn+1 Mn+1; wobei M, höchstens bis zur Dimension (n — n) aufsteigen kann. Wir müssen nun die beiden Möglichkeiten in Betracht ziehen, dass entweder A =— 0 ist, oder dass A nicht identisch verschwindet. Im zweiten Falle erkennen wir aus dem Umstande, dass A für jedes Coefficientensystem der c verschwindet, welches die Resultante R von (1) befriedigt, nach $ 346, IX und 8 390 die Richtigkeit des Satzes: Die Determinante A ist, falls sie nicht identisch ver- schwindet, ein Multiplum der Resultante R der Gleichungen (1). 10% 148 Dreiundyvierzigste Vorlesung 8 448—449. Es handelt sich nun um die Frage, wann A in (3) identisch ver- schwinden kann. Nach den Erörterungen am Schlusse der letzten Vor- lesung ist dies nur dann möglich, wenn jedes M, linear und homogen m ffa auır fatrı, * fm-+1 gewählt wird. Man erhält demgemäss sämmtliche Gleichungen (4) 0 EflMl + f2M2 + W + fm+1an‚+1, wenn wir alle möglichen Ö5) falQußf8) — f (Qapfa)= 0 (“’ ß=172;°"7/n+1; 06+ß) bilden, worin Q,g nur bis zur Dimension (% — Ng — Ng) aufsteigen darf, weil M, die Dimension (n — %„) nicht überschreitet, und wenn wir dann alle (5) linear combiniren. Man erhält daher so viele Rela- tionen (5), als in allen Q,g Potenzproducte vorkommen; d. h. es giebt 2N(n — M — Ng M)= Z &, 5 Relationen (5), aus denen sich alle Gleichungen (4) linear zusammen- setzen. lassen. $ 449. Im Falle mm —2 K d. h. bei drei Gleichungen zwischen 2, und z folgt auch leicht weiter, dass die Relationen (5) sämmtlich untereinander unabhängig sind. Denn nach $ 446 können Relationen zwischen den Qap:fafg, Quyfalyı Qöy fpfy nur auftreten, wenn jedes Q durch das noch fehlende f theilbar ist. Dann würden aber die Glieder dieser Relationen bis zu Dimensionen (%, + %, +n3) aufsteigen, was nach (2) ausgeschlossen ist. Da also unter den 2 Gleichungen u =0, w =0,--. hier %, und nur so viele unabhängige Relationen bestehen, muss X, — X,= N sein, wie dies auch $ 335 zeigt, und wie es sich auch leicht durch direete Rechnung gemäss der Gleichung (n + Ng +n3) , + %+ %3 — 1) + M (n —1) + %( —1) + %( — 1) — ( + No) ( + %— 1)-E ( + s) ( + — 1)+ ( - o) 0 + —1) ergiebt. Die X Relationen (5) denken wir uns so geschrieben, dass Kı 2 Un ° * Zm geordnet alle (Qupfg), (Qapfe) nach Potenzproducten Z werden; multipliceirt man dann mit diesen Potenzproducten in die fx bezw. fe, dann bekommt man alle Relationen v, =0, u=0,---., welche zwischen den z 24... f bestehen, d. h. zwischen den u, =0, d =0 Im Falle m =3, also bei vier Gleichungen zwischen Z,, %, % nicht alle von einander sind die eben gebildeten v, =0, v =0,- unabhängig; es ist nach $ 335, (14) nämlich Zı — Z < N. In der That können hier auch zwischen den Qupfafßg in Formel (5) nach den Darlegungen von $ 446 Relationen von der Form (Qap’;f/%/) ö fa/;3’ u (Q“P’)’f;") If“f7 a (Qa{i’yfa} } f/'ff7 Die Cayley’sche und die Sylvester’sche Eliminationsmethode. 149 auftreten, wobei (Q„5, bis zur Dimension (n —7, —N5 —Ny) aufsteigen Diese Relationen wollen wir durch darf und sonst ganz beliebig ist. w =0, w,=0,.-- bezeichnen. Ihre Anzahl beträgt &, ß,Y ZN(7@—-%„—%,g—%„‚ 3)= Z und da nach $ 335, (14) bei m==3 N= 2 — Z Z ist, so lässt sich vermuthen, dass die w voneinander unabhängig sınd. Dies folgt auch wirklich aus den Resultaten von 8& 446. — In gleicher Weise können wir für m ==4 vorgehen; doch reicht es aus, wenn wir hier stehen bleiben. Cayley giebt nun ohne Beweis folgendes Resultat an: Die Coeffi- cienten der w werden iın einem Rechtecke Q, von N Spalten und X, Zeilen angeordnet, so dass die Coefficienten eines jeden w je eine Zeile füllen. — Dahinter werden die Coeffieienten der v in einem Rechtecke Q von E, Zeilen und &, Spalten angeordnet, so dass die Coefficienten eines jeden v je eine Spalte füllen, und die Elemente jeder Zeile dem- selben w entsprechen, dem diese Zeile in @Q, angehört. — Unter Q, werden die Coefficienten der w in einem Rechtecke Q, von X Spalten und , Zeilen angeordnet, so dass die Coefficienten eines jeden w je eine Zeile füllen, und die Elemente jeder Spalte dem v entsprechen, dem diese Spalte in ( angehört. Qr Q Coeffie. der u Coeffic. der v X Zeilen Z Zeilen N Spalten Z Spalten ME Z Z Qs Coeffie. der w X Spalten X Zeilen Aus Q, wählt man eine nicht identisch verschwindende Determinante A, der Ordnung X; aus den, den nicht benutzten entsprechenden Spalten von Q, eine nicht identisch verschwindende Determinante 4, der Ordnung (ZX, — X); und aus den, den nicht benutzten entsprechen- Dann ist den Zeilen von @Q, eine Determinante A, der Ordnung Z -(Z-Z)]=N. 4, 4, z Z 150 Dreiundvierzigste Vorlesung $ 449—450, die charakteristische Bedingung dafür, dass die w eine gemeinsame Wurzel haben. Der Quotient (A,4;): 4, hat als Dimension in den Coefficienten [El 7E (22 Al 3)]_[_20"“23]+23=21_22:"2+323> also nach $ 336, (15) = M% + N,Nz + H3n , so dass er mit der Resultante von (1) übereinstimmt. — Für m > 3 tritt hınter Q, 57 noch ein @,, unter (), noch ein @; u. s. f. Die Möglichkeit der Determinantenbildung wird dadurch gewährleistet, dass nach $ 335, (14) NS wird; so kann man Determinanten der Ordnungen Z Z Zn — Za ß Z — bilden. Nach Cayley soll der Quotient Z AA (6) ZEZWZIAG. durch sein Verschwinden die charakteristische Bedingung für die Er- füllbarkeit der u = 0, d. h. der f = 0 liefern; und da die Dimension des Ausdrucks (6) gleich derjenigen der Resultante [E1—22+23*j—[22—20+J+Lzä—]"“ =21—222+32-3———'-'=121')2‚2723„«(%—{——%+%+ --) ist, so würde (6) mit der Resultante R übereinstimmen. Wir wollen hier das von Cayley (On the theory of elimination) € S ebene einfache Beispiel für m = 25 %ı = %o = , = 2 und also i = 4 nachfolgen lassen: f I b f a& Aa d a% Agı —O, ET f 2 ==s 0 + 21 + 02 + 8 + @8% N4 =0, fı = 0 + 638 4 6% + 8 I 60% + Iı =0. 2 Die f sind der Reihe nach mit 1; 2,, %; 2 A Zo, %" zu multipliciren. So entstehen 18 Ausdrücke w /'1—%1, } Afı=U0 , fı = U ; Bl = Ua , kal = W5 , B f = W 5 f = W 3 51f2 Or “2„7 Z2f2 a “3N ) fı = Ua , Al = U6 , Bla = UG ; 7 / Z . Z f = U 7) Bıfs = U, Bafz =Us' ’ au » ABafs = U , fı U Zwischen den w bestehen wegen fafg — fpf« = 0 folgende drei Rela- tionen: 5 Die Cayley’sche und die Sylvester’sche Eliminationsmethode, A + ba + Ug + da + &U .92ü6, — aı — bl — U — d — U —I = 0, — 0U — b3Ug — CzUg — y — C3Ug — IUg + au ” + br A ug A d E e s gı = 0, Au + bzg + 633 + deu” + 3U6 + I3 ” — O” — byUg” Ug — da — &U5 ” — Jag 0 Aus diesen Gleichungen setzen sich Q, und @Q, zusammen : A 77 0 A, b G, d, e Iı A b G d, e Iı b; "_bs CZ b1 G d, E, Ir C —7 CZ b, C d E Iı dp CZ Z G d, € 9ı ©& an CZ b G d &, 9ı Iı %e A ba C da € 92 a Az b; 05 b, C ü @ 2 I2 _b1 7 6, C d % I _Cl C A b G da €& 92 __dl s & CZ b C da €& Iı &\ A b C d €& 9 A 93 Az O5 C dl @ 93 CZ A br E Az b; C da @ 93 z b; Cg d; C I3 G Aı CZ Ü © dz € 93 d, b; Cz d; € 93 &, R Az CZ Ö3 C d; 6 93 Iı . Die Resultante % wird gefunden, indem man aus den letzten drei Spalten eine der nicht identisch verschwindenden Determinanten A, bildet; das ist auf mancherlei Arten möglich. Aus den hierbei nicht benutzten Zeilen der ersten 15 Spalten wird die zweite Determinante A, gebildet; diese ist durch jene theilbar, und der Quotient 4, : 4, giebt bis auf einen constanten Factor die Resultante der drei Glei- chungen f = 0, —0, —0 $ 450. Zum Zwecke des Beweises fasst Cayley das Problem all- gemeiner. „Zwischen ” Grössen %,, %,: sind p (>n) homogene lineare Gleichungen gegeben, u, = 0, u =0,---; zwischen diesen be- stehen 9g = o — n lineare homogene Relationen. Die charakteristischen 152 Dreiundvierzigste Vorlesung $ 450—451. Bedingungen dafür zu suchen, dass die u = 0 eine von (0, 0,..:) ver- schiedene Wurzel haben“; dies ist die für m = 2 präcisirte Aufgabe. Wir wollen %n =2; d = 4, q= 2 nehmen, also etwa U, = A4%, I A2% =0,-- Ur = 04 %, F A43% = O; Q Zl p 0 % = bl F + bar =0. Dann lässt dass sich leicht zeigen, Arı A12 M1ı A19 U3ı A o oı 0A99 U3ı A3o — Ayı 45 l J =— b13 by4 Z)12 b14 Z)11 b12 A | b23 bSL 22 Oaa | | \ b21 b22 \ ist Nun behauptet Cayley und ebenso Salmon*), dass das Ver- schwinden dieses Quotienten die gesuchte Bedingung liefert. Das ist aber, wie aus einem Beispiel ersichtlich wird, unrichtig. Wir nehmen u = b — 2)x, + 1, U = H36 — 1)x, + 14,, U = ((— 46 + 3)z, — %, u = + 5tk, + %, wobei € einen beliebigen Parameter bedeutet. Dann gelten die Rela- tionen zwischen den w ”= u +(1+ 0 + (1 + 20 u + (— + P)u, =0, %”» =(1+04 + (1—0% + 1 + 20 u + (— + 20 u =0, und es wird der entscheidende Quotient 4, =—1. A9 2 Es dürfte also das System un = 0 nie befriedigt werden. Für t= 0 aber reicht %, = 0 bei beliebigem x, zur Befriedigung aus. Also schon in diesem einfachsten Falle versagt die Beweismethode. Es ist klar, wie das allgemeine Problem lautet. $ 451. J. J. Sylvester hat im Cambr. and Dubl. Math. J. 7 (1852), p. 68 „On the prineiples of the calculus of forms“ eine andere Methode angegeben, mit deren Hülfe es gelingt, die Resultante von drei Gleichungen derselben Dimension in zwei Unbekannten als eine Determinante darzustellen. Wir führen sie der Vollständigkeit halber hier an, trotzdem auch sie an Strenge der Beweisführung zu wünschen lässt. Der Bequemlichkeit halber schreiben wir die drei Gleichungen als homogene Gleichungen dreier Unbekannten von n“" Dimension n (7) ; 7f1(217 , %) =0, f2(51> Ay 9)= 0, faldı, %r %) =0. . I *) Lessons introduct. to the Modern Higher Algebra (4.) (1885), p. 88—89. 153 Die Cayley’sche und die Sylvester’sche Eliminationsmethode. Es sei auf .alle mögliche Weise die noch unbekannte positive Zahl % in drei ganze positive Summanden zerlegt Ö Wenn dann jeder von diesen <n ist, dann kann man sicher f1=szo; +Z{?(L)ﬁ/ +'33/“R);; h= 4 Pi + %Q + AR/, Z OR ansetzen, wobei die P, Q, R ganze Funetionen der Varlablen bedeu- ten. Die Zerlegung von k kann au p @— — 2 1-.2 verschiedene Arten vor 'sich gehen; für jede wählen wir eine solche Darstellung der f. Giebt es nun eine von (0, 0, 0) verschiedene Wurzel (&,, &, &) der drei Gleichungen (7), dann ist für diese die Determinante P, Q R _Da‚ß‚y z= PyQ8 R =0 P OE Man eal al ieruneh © — D verschiedene Funetionen il 7 (8) Daßy(@,, %) %), welche homogen in den 2,, %, %z Vvon der Dimension (3% — k) sind und für (&, &, &) verschwinden. Multiplieiren wir ferner die drei f(z,,%,23) der Reihe nach mit allen Potenzproducten z Z al 12 6l‚ 37 in denen x + 4 + u = 2n — k ist, dann er- halten wir zu (8) noch weitere 3N(2n— h, 2)=>Cn—-k+2Cn-k+1) homogene Gleichungen derselben Dimension (3% — k). Wir haben damit also im Ganzen —— C 44202 -B40 Gleichungen zwischen N®n —k, 2)= 5 (8n—k+2)(8n—k+1) Potenzproducten; diese Gleichungen werden für jede eigentliche Wurzel Setzt man nun die beiden letzten Anzahlen ein- von (7) befriedigt. ander gleich, so entsteht zur Bestimmung von % die Gleichung k* — 2n + 3)k + m* + 3n + 2)=0, welche £= n -+1: oder £/=n"+2 giebt. Damit ist auch die Bedingung befriedigt, dass keiner der Summanden «, ß, y grösser als n genommen 154 Dreiundvierzigste Vorlesung $ 451. Vierundvierzigste Vorlesung 8 452. werden darf. Wir haben also die Möglichkeit, aus den vorhandenen Gleichungen sämmtliche Potenzproducte zu eliminiren. Dabei entsteht, weil jedes der D„gy in den Coefficienten der f von der Dimension 3 ist, eine Determinante von der Ordnung 3: S (k — 1)( %— 2) E On k +QCa-4ED) = 3[ — 2n + 3)k + m* + 3n + 2)] + 3n = 3n”, so dass die Determinante des Gleichungssystems nicht nur die Resul- tante enthält, sondern bis auf einen constanten Factor mit der Resul- tanten identisch ıst. Diese Sylvester’sche Methode versagt schon bei vier homogenen Gleichungen unbestimmter Dimension f1(217 Z 93y 24) w O7 B f4(517 Za O87 24) =0. Verfährt man hier ähnlich wie oben, indem man fı= @ P Qf}° SS zäR$° + SQ (« +B+7+0=H%) setzt, und versucht man die Anzahl der Gleichungen derjenigen der Potenzproducte gleich zu machen, dann kommt man zur Bestimmung von % auf die Gleichung N(4n — k, 3) = 4N(8n — k, 3) + (k — 1)(k — 2)(& — 3); diese liefert aber für unbestimmte % keine ganzzahligen posıtiyen k als Wurzeln. Nur für n — 2 erhält man &/ = 5; dies heisst also, dass ım Falle von vier quadratischen homogenen Formen, wie Sylvester auch angiebt, die Methode verwendbar. bleibt. Vierundvierzigste Vorlesung. Diseriminanten. $ 452. Wir haben in $ 158, Bd. I, die Bedingung dafür be- sprochen, dass eine Gleichung f(2)= 0 mehrfache Wurzeln besıitzt; sie bestand darin, dass ein gewisser aus den Coefficienten der Gleichung rational gebildeter Ausdruck, die Discrim inante *), verschwindet. Die hierauf führenden Betrachtungen können nach zweierlei Rich- *) Es sei nachträglich bemerkt, dass diese Bezeichnung von Sylvester herrührt. Cambr. a. Dubl. M, J. 6 (1852), p. 52. Discriminanten. 155 tungen auf das Gebiet mehrerer Variabeln ausgedehnt werden. Zu- nächst bietet sich die folgende Verallgemeinerung dar. Ist ein System von m Gleichungen mit m” Variablen (1D) fa<zl; Bay i 27") =0 (05=1‚2‚--”)%) gegeben, welches nur eine endliche Anzahl von Wurzeln besitzt, so kann man dieselbe Frage aufwerfen: „welches ist die charakteristische Bedingung dafür, dass (1) mehrfache Wurzeln besitzt?“ Führen wir wie früher nach Liouville statt z in (1) ein %= %42 + + %m1 m— + und bilden dann die Eliminantengleichung R(x)= 0, so wird (1) dann und nur dann mehrfache Wurzeln haben, wenn Roy=0 solche besitzt. Die charakteristische Bedingung ist die, dass die Discriminante von R(x) verschwindet. Dieser Ausdruck ent- hält die Parameter x,, %,, ; es müssen also die einzelnen Coeffi- cienten der Potenzproducte dieser Parameter, so weit sie in der Diseri- minante vorkommen, verschwinden. Ist z. B. bei unbestimmten Coefficienten fı = 02 + 2b2,% + c + 2dz, + 2e2 + g=0, ﬁ3?“21'+ ß'32+7207 und führen wir für z ein %& — x2,, so ergiebt sich für die Eliminante J(@) = ( —2b0ß + ca’)x? + 2[(aßy — bay—daß + ca”) —x(bßy — cay — dß? + eoxß)]x + Lay” — 2day + ga?) — 2x(by” —.dßy — e«y + gaß) + x*(cy? — 2eßy + gß?)]. Die Diseriminante von R lässt sich auf die Form bringen (0% + ß)* - [a cg — e?) + 2«ß(de — bg) + 2«y(de — cd) 2) + B’(ag — d’) + 2ß7(bd — ae) + y’(ac — 0?)], und da der erste Factor nicht verschwinden kann, ohne die Existenz des Systems zu zerstören, so liefert das Verschwinden der eckigen Klammer in (2) die charakteristische Bedingung dafür, dass das be- trachtete System eine Doppelwurzel besitzt. Wir können aber weiter, gestützt auf die in 8& 399 abgeleiteten Resultate, die Frage noch von einer anderen Seite her betrachten. Wir haben dort gesehen, dass das Verschwinden der Funetionaldeterminante (3) VE OÖf, CR m) e _3(’317 Z2‚ 2;17'L) 02 für eine Wurzel (&, &, ; En) des Systems (1) charakteristisch dafür ist, dass diese Wurzel eine Multiplicität >1 besitzt. Sind also (Ste> Erar ‘ Ema) für w = 1, 2,-..% sämmtliche Wurzeln von (1), deren 156 Vierundvierzigste Vorlesung 8& 452—4583. Anzahl als endlich vorausgesetzt war, so folgt: Das Verschwinden der Funetion (4) (“=172; k) ];[J(@„„ E ist charakteristisch dafür, dass das System (1) mehrfache Wurzeln besitzt. Der Ausdruck (4) ist in den Wurzeln von (1) symmetrisch und also rational durch die Coefficienten von (1) darstellbar. Hieraus erkennen wir, dass eine einzige Rela- tion _ die Frage entscheidet; folglich muss aus der Discriminante der Eliminationsgleichung R(x)= 0 der Ausdruck (4) so als Factor her- austreten, dass der zurückbleibende, von den x abhängige Factor nicht gleich Null gesetzt werden kann, so lange das Gleichungssystem (1) bestehen bleibt. Bei der Berechnung von (4) ist zur Umsetzung der Function in einen Ausdruck, welcher nur die Coefficienten der f„ enthält, wieder die Kenntniss der Coefficienten von R(x) nothwendig. Im behandelten Beispiele wird (aß* — 2b« ß + ca?)(E14 F Ew)' =200ßy — cay — dß* + eaß), (aß? — 2b0ß + 00 )(Gxı A G) — 2(— aßy + bay+ daß — e0?), (aß? — 200«ß + C0)) - Cya S19 = 0 — Y0ßy (aß?* — 2baß + ca?) - Eo1Eo2 = ay* — 2day + g0*, (aß? — 2ba0ß + 0a”)(E11 522 + E62) = 2 —0y + dBy + eaxY — gaß). Ferner ıst %J(z„ A) Z (aß — be)zr - OB - oe) 2 E (dB — 00), und E Z @0ß — 00 nn H (B — bw)(0B — 00)(E141 52 + Eoy C12) + (bß — 060)* 691 &2 + (Aß — ba)(dß — e0)(En A Sı2) + ß — ca)(dß — 0a)(&ı + &2) + (Aß — ea Trägt man die Werthe für die symmetrischen Funetionen ein, dann entsteht wieder die eckige Klammer in (2). Wir wollen nachweisen, dass der Ausdruck (4) von mehrfachen Factoren frei ist, so lange die Funetionen (1) allgemein bleiben. Dazu reicht es aus, diese Eigenschaft an einem passend gewählten Beispiele zu zeigen, bei welchem natürlich keine Reductionen der Dimension eintreten dürfen. Ein solches Beispiel erhält man, sobald jedes f in na lineare Factoren zerlegbar angenommen wird. Wir setzen m==2, weil schon hierbei die Schlussfolgerungen deutlich heraustreten, Diseriminanten. 157 f =H(CL‚„% + Aa 222 + Aqo) =H““ (@= 1200 (@«=1,2,---%)- fa =H(%1% + baz2 + bao) =H““ Wir bezeichnen die Wurzel von u„= 0, UB 0 mit (;?’ß; €02(’ß); dann ıst a,1 Cty 2 Cl/yo Ua 1 Ua 2 Uy (C";»ß} €2‘7ß) = «1 Aa (270 3 b be1 O2 (5) Ö yı DE byo Oa 1 Aa2 0y (86P, 650) — 07 Üa 2 Ax0 . bp' 1 be2 b{31 B bgo Der Ausdruck (4) geht, wie man leicht sieht, in Ap1 ( Ua (EP2, ED2) vp(EP2, E7) (6) I1 Öaı ba (p=1,2, ; g=1,2,-- %5 05=1;2;"'P—1; P+17"'„1; ß:1;2;q_17 Q+1;"'n2) über, und aus (5) ist ersichtlich, dass keinerlei vielfache Factoren in (6) auftreten, wenn die @, b als unbestimmte Grössen genommen werden. $ 453. In dem Falle, dass & = %, - M, Nm ist, wenn also (1) keine unendlichen Wurzeln hat, lässt (4) noch eine weitere merkwür- dige Umformung zu, welche einen Ausdruck liefert ähnlich dem, der die Diseriminante als Quadrat einer Determinante darstellt *). Wir untersuchen die bereits in $ 352 betrachtete Determinante m— 1 Nal A()= | 1‚ Cla; C2a;' S äa; C]a;2a; 1& ? 2 A N : ‘ ? ın welcher die einzelnen Zeilen durch die Coordinaten der verschiedenen Wurzeln von (1), also durch den Index w sich unterscheiden, und in deren Elementen. alle Potenzproducte auftreten, welche in E, nicht die n,“, in & nicht die %„ ,... Potenz erreichen. Die Determinante ist also vom Grade (n, :, Nm). Wir wollen ihre Dimension in den 6& aufsuchen. Wir nehmen an, es sei schon für (m — 1) Grössen & bewiesen, dass die Dimension der Determinante A, dabei % (n, N («=1,2,...m) Nın 1) D] ( — 1) Se1l Tritt dann &„ dazu, dann kommt für die Subdeterminanten aus den mit ;SL1) C$n2;' multiplicirten Gliedern als Dimension *) Laurent: Traite d’Analyse. Paris (1885), I. p. 305—306. 158 Vierundvierzigste Vorlesung $& 453—455 m—1 5 (n n nn_ı) S! e — 14 0M Wr — ) heraus Man findet als Dimensionszahl indem man alle diese für O=0, 1 ”/HL 1 gebildeten Ausdrücke summirt - 5 (n O n‚„2 ( — 10 A „z(nw —» An Nın — 1) () ( 7, n‚„)2 (n — 1); es triıtt also wieder die oben angenommene Form heraus die für m =1 offenbar richtig ist Folglich gilt sie allgemein Nun verschwindet ,, sobald (1) eine mehrfache Wurzel hat, und ferner ist 4,° symmetrisch in den Wurzeln as Verschwinden des Ausdrucks (4) war aber charakteristisch dafür, dass mehrfache Wurzeln vorkommen; daher ist 4,? durch alle irreductiblen Faetoren von (4) und also, da (4) keine mehrfachen Factoren besitzt, durch (4) selbst theilbar, und der Quotient ist wieder eine symmetrische Funetion der € Die Dimension von (4) beträgt %. E(n« 1), also genau so viel wie diejenige von 4.* Folglich stimmen (4) und ,? bis auf einen von &E unabhängigen Factor überein, und man hat (8) éma) = 040 (& =1,% 2 N No Y) [ 170 Nach den bisherigen Betrachtungen dürfen wir diesen Ausdruck als die Diseriminante des Gleichungssystems (1) bezeichnen $ 454. Neben diese Verallgemeinerung des Discriminantenbegriffes durch den Uebergang von einer Gleichung mit einer Unbekannten zu einem Systeme von m Gleichungen mit ” Unbekannten tritt noch eine andere welche wır jetzt zu besprechen haben Wir hatten der Discriminante von f(@) = U + HA A ü die Form gegeben Aq CZ A (n — 1) Zeilen CZ CZ 1 D A nay (n—1)ay (n —2)0 0 n“ Zeilen NAg (n — 1)ay diesen Ausdruck gestalten wir folgendermassen um ($ 160, Bd. I) Discriminanten. 159 N Na NA, Na NO TE nay (n— 1)ay (n— 2)0 0 NA (n—l)a&1 CZ 20 25 20 CZ 1)7L——1 n N NAy (n — 1)ay (n — 2)0 N (n — 1)a, KEs wird daher, wenn wir fı — —_- na + (n — 1a + (n—2)a z + + 2022 + An 1, ==—> Z I2 aa + 2a2 7? L 3ag A ... + (n — 1)An_ 12 + Nar setzen, (_ 1>71—1 nW—?2D= R„ß werden. Diese Umgestaltung lässt eine symmetrische Behandlung zu, wenn wir f durch Einführung einer neuen Variablen zu einer homo- genen Form machen. Dabei folgt dann, wenn wir im Sehlussresulﬁate y= 1 setzen, f(@, y) = AD AT E A O öf Iı — ÖX na } &(n — 1a 2y + ; f A, ar L Za 2y Eı Öy qln_2D F Rf2?fl Da in den folgenden Paragraphen dieser Vorlesung hauptsächlich von einer einzigen Funetion @(2,, %,:::) die Rede sein wird, so wollen wir der bequemeren Schreibweise halber Ög 0 02a Öa Da 7 Yn OE T Z 7 DA M OE Pız> bezeichnen. Ferner wollen wir annehmen, @ sei homogen gemacht, aber in allen Resultaten werde die homogen machende Variable 2 gleich 1 gesetzt. $ 455. Unsere Verallgemeinerung soll nun folgende sein: Ist eine homogene Funection @(Z,, Z ,: - Zm) gegeben, so soll die als Discrimi- Resultante R der m Ableitungen @,, ®%o, Pın nante D bezeichnet werden. Hieraus folgt, dass wenn die Diserimi- nante D von @ verschwindet, es von (0,0,..- 0) verschiedene Werth- 160 Vierundvierzigste Vorlesung $ 455—456. systeme (&E,, 5&,::-Em) giebt, für welche %, =0, %, = O‚l .. und also auch y= A, e al e e K en& E gleich Null wird. Die geometrische Bedeutung dieser Diseriminante D erkennt man durch die folgende Betrachtung. Wir nennen jedes System (6&,, &,: Em), welches @ (Z,, %,: Zm) = 0 macht, einen Punkt des Gebildes » =0. Von einem solchen. Punkte des Gebildes g==0 lassen wir eine Gerade (8) x1 K é1 + @y17 x2 Ra €2 + Qf%‚ © ll C7n + Q?/1n ausgehen, welche den Punkt (65,,5,::En) mıt dem Punkte (%,,Yo,Ym) verbindet. In (8) laufe o durch alle reellen Werthe von —o bis +co, und der Inbegriff der so erhaltenen (X%,, %,: Xm) Stellt eben die Gerade dar. Wir fragen nach den Schnittpunkten unserer Geraden mit @. Diese werden durch die Wurzeln o von @(X,, X , Xm)= 0 geliefert, und da (&,, &,:::Em) dem Gebilde angehört, so ist P(X,, K, * Um) = E E N un ä9217_?/129011(51; C I gleich Null zu setzen. Die Anzahl der Wurzeln o ist also gleich der Dimension von @. KEine der Wurzeln ist o==0. Wählt man nun Yı, Ya,‘ “ Ym auf dem Gebilde ©) AlGn NC E Ym m (Ei, - é7n.) =0 ’ so werden zwei der Wurzeln o gleich 0 werden. Bezeichnen wir das Gebilde (9) als Tangentialebene von @(2,,:-:Zm)= 0 im Punkte (Er, + Em), SO ist es klar, dass jede Gerade (8), welche (&,,:-:En) und einen Punkt der Tangentialebene verbindet, mit g=0 in (&,- En)= ©0 eine Doppelwurzel o0=0 besitzt und umgekehrt. Es iıst ferner klar, dass jede solche Gerade ganz der 'Tangentialebene angehört. Die Gleichung (9) bestimmt im Allgemeinen die Tangentialebene eindeutig. Nur dann wird diese Bestimmung hinfällig wenn alle Coefficienten Pı> Pa in (9) einzeln verschwinden. In diesem Falle existirt keine durch (& ,: E&m) gehende Tangentialebene, sondern jede durch diesen Punkt des Gebildes gehende Gerade hat eine Doppelwurzel o= 0 mit dem- selben. ‚Diese Punkte sollen singuläre Punkte von @(&,,: Zm) = 0 heissen. Solche singulären Punkte bestehen stets dann und nur dann, wenn die Diseriminante D von @ verschwindet; sıe werden durch die gemeinsamen Wurzeln von q71(21; "an)=0; 932(51‚ "Z„,):O‚"' (;0m(51‚ "Zm()=0 geliefert. Discriminanten. 161 Ist (& ,: En) ein singulärer Punkt, und wählt man (Y1,Yo, : Ym) auf dem Gebilde (10) 9124P11(51 D E ém) + 2?/1y2q712(g1; C ;m) + öus=0 so erkennt man zuerst leicht aus den Sätzen über homogene Fune- tionen, dass die gesammte Gerade (8) dem Gebilde (10) angehört, und ferner, dass jede von (&,,:-:CEmn) ausgehende, auf (10) liegende Gerade mit f=0 in (&,---En) eine dreifache Wurzel o= 0 hat. Das Ge- bilde (10) heisst der Tangentialkegel von f= 0 für den singulären Punkt (&,-:-En). Natürlich kann (10) auch in zwei getrennte oder zusammenfallende lineare Ausdrücke zerfallen. Wir können dieselben Betrachtungen auch gänzlich analytisch wenden. Es sei (& ,---Em) ein Punkt des Gebildes y =0. Es soll versucht werden, ein lineares Gebilde mit festen Coefficienten n (11) ( — 6)@1 + ( ;2)p2 + NSI + (_”»/m Ra Cm) WD F 0 derart zu bestimmen, dass (y,,:- - Ym)= 0 mit (11) und den (m—2) folgenden linearen Gleichungen (12) (f£/l T7 @1)Q«1 + (y2 Kn C2)Qa2 + RA + (!/m AA Cm){[am —0 («=1,2,...m —2) bei willkürlichen g stets in (yı, %,: Ym) = (E, &,: Em) eine mehr- fache Wurzel besitze. Nach dem Satze über die Functionaldeter- minante aus $ 399 folgt, dass | 901(C1; Z gm)7 '*P2(£1) Em)> * PEr {‘7/L) | v V Pı I1 Yı2 91m Qm—— 2,1 ? Im— 2,2 } m— 2,m | für jede Wahl der q gleich Null sein muss. Wählt man Ohap Ok Jaı ea 57 gleich Null, die übrigen q beliebig, so folgt p,: d = Dr D u.s.f. Man erhält also für (11) wieder die Form (9). Man erkennt übrigens sofort, dass wir die linearen Gleichungen (12) durch völlig willkürliche höhere Gleichungen hätten ersetzen können. Auch hier zeigt es sich, dass p,, %,: - Dm ganz beliebig ange- nommen werden können, sobald g,(E&,::.)=0,--- @mE, )= 0 ist. $ 456. Da D die Resultante von @,, @,: m ist, so wird sie im den Coefficienten von @, homogen von einer Dimension, welche gleich dem Producte der Dimensionen der übrigen Funetionen @ ist, d. h. gleich (n — 1, Das Gleiche gilt für die Coefficienten von Pa, P3, , und da diese simmtlich zu den Coeffieienten von @ gehören, Netto, Algebra. IT, ilaß 162 Vierundvierzigste Vorlesung $ 456—459. so sieht man: Die Disecriminante D von @ ist in den Coefficien- ten von g homogen von der Dimension m(n -— 1)*—1. Es ist ferner D in den Coefficienten aller @,, @,: „ isobarisch, falls die Gewichte der Coefficienten der einzelnen Funetionen in der früheren Weise festgesetzt werden, wobei nur daran zu erinnern ist, dass durch die Annahme der Homogeneität die gegebene Vorschrift formal modificirt werden muss. Ist nämlich für eine allgemeine Func- tion von Z,, Z , Zm—1 das Gewicht der einzelnen Coefficienten fest- gesetzt, und macht man dann die Function durch die Einführung einer neuen Variablen z homogen, dann erkennt man, dass jeder Coefficient ein Gewicht besitzt, welches dem im zugehörigen Potenzproducte auf- tretenden Exponenten von z gleich ist. Es haben also z. B. die Glie- der, die Z nicht enthalten, Coefficienten des Gewichtes 0; die Glieder, welche mit z multiplicirt sind, Coefficienten des Gewichtes 1, u. s. f. Ist auf diese Art das Gewicht der Coefficienten von @ festgelegt ? dann erkennt man, dass durch dieselbe Regel auch die Gewichte der Coefficienten von @,, %,: @m— 1 bestimmt werden. Bei „ dagegen wird jeder Coefficient ein um 1 erhöhtes Gewicht gegenüber dem der angegebenen Regel gemäss abgeleiteten haben; denn in den ersten Fällen bleiben ja beim Uebergange von @ auf die Ableitung die Potenzen von Z ungeändert, ım letzten Falle werden sie um eine Kinheit vermindert. Wären alle Gewichte der Coefficienten nach der angegebenen Regel bestimmt, so wäre D isobarisch vom Gewichte (n — 1)*. Hier tritt für m bei jedem Coefficienten eine Erhöhung um 1 ein, und da die Coefficienten homogen von der Dimension (% — 1)”—*' in die Discriminante D eintreten, so ist das Gewicht von D gleich (n — 1 + (n — 1r = nn — 1)r—. $ 45%. Wir wollen jetzt o durch eine homogene lineare Sub- stitution 2y — Qu1Yı + Qx2Y2 + E + QxmYm @= 1 Z 00 0) transformiren, deren Determinante A =— |qa ßI von Null verschieden ıst. Man hat dann, wenn O(2,, %, Em) = YYı Ya Ym) gesetzt wird, Yır = Qı1x2 Pı + Q2rP2 + E + Üm k Pı - Demnach ist nach dem zweiten Satze aus $ 424 die Resultante der ı, V, m nach Yı, Ya, - Ym gleich der Resultante von %,, ®2,* * Om nach denselben Variablen multiplieirt mit der (n — 1)”—*-ten Potenz von 4. Ferner ist nach dem ersten Satze von $ 424 die Resultante der @, nach den y gleich der Resultante der @ nach den z multiplicirt Discriminanten 163 mit (n — 1)”-ten Potenz von A. Folglich ist die Discriminante der Function <P(Qn„/1 - + JımYm, Q21Yı F - QamYm ,, ) gleich der Discriminante von @(2,, %, ) multiplicirt mit A(„_1)//:—1 IO @= l M Ar n—1)M —1 $ 458. Ist @ eine homogene, nicht lineare Form gewisser anderer Functionen gı,, %, die so beschaffen sind, dass das System =0, n=0 unendlich viele Wurzeln besitzt, was also z. B stets dann eintritt, sobald die Anzahl der Variablen von @ grösser ıst als die Anzahl der g, dann verschwindet die Discriminante von @ ıdentisch >1 dann Hat man nämlich &» = Zq-g“gh bei x 21 + können %,, %, m auf dieselbe Form gebracht werden so dass sobald die Gleichungen %, = 0, %a = 0 m = 0 erfüllt sind Z0Z wird. Folglich hat das System %, =0 (pm E O unendlich viele Wurzeln, und daher ist seine Resultante, d. h. die Diseri minante von @ identisch 0 Im Falle m = 2 sind die Voraussetzungen erfüllt, sobald o einen mehrfachen Factor besitzt $ 459. Falls die Function @ einen nur einfachen singu- Tanem uunl (Gip &p Em) hat, kann derselbe durch Differen- tiatıon von D gefunden werden Der Voraussetzung nach ist D von @ gleich Null; wir wollen die Coefficienten. ay, A, , von @ in &o + 0&, A, + day, derart um- wandeln, dass D = 0 bleibt Dann gilt also die Gleichung ÖD ÖD (18) O ö‘o+g Öa + =0 C Durch die gemachte Umwandlung möge der singuläre Punkt (&,, Emi) in (& + 0, Cm + öCm> Ubel 0‘ehen Dann ist auch für diesen die umgewandelte Funetion sowie jede ihrer Ableitungen gleich Null; also 3tp‚ Ö, Ö@, ö“0+ Da Öa A +33,‘ äg1+3g Ö A 0 =0 C= 12 m) Wir multipliciren mit & und addiren die Producte Weil ö2 Ö, Ö Ö 0a, 060a ÖE ( 0a ) ist, so wird der Coefficient von daz gleich 11 164 Vierundvierzigste Vorlesung 459—460 Fünfundvierzigste Vorlesung 8 461 = (n — 1) 93;( >+ß2 Qa>+ nach dem Euler’schen Satze; und der Coefficient von 05 wird gleich 0, Ö@, Clog +C.z öé' + —Elf\é— +C2 gg + . = (n —1) € =0 Man erhält also als Summe (14) 0’G9 3(pö ‘|'3qj ÖE = 0 Durch die Bedingung (13) ist von den Inerementen day, 0a,, NUur eins durch die anderen bestimmt, etwa Öay durch 0a,, d0A,, 2 elche willkürlich bleiben; eliminirt man nun day aus (14) und (18), so kann die resultirende Gleichung nur dann erfüllt sein, wenn die Coefficienten von 0d,, 0, einzeln verschwinden, d. h es folet 0ID @ID ID 0S 0 0 O (15) Ol Öa 005 00 Öa, 005 Bedenkt man endlich, dass @ linear und homogen in den &v, A, ist, so folgt, dass jedes Glied der rechten Seite in (15) ein Potenz- product der &,, &, En wird. Passende Wahl der Exponenten führt also durch (15) zur Bestimmung von &, :& Em selbst. (Vgl. $ 163 Bd. I.) — Bei mehrfachen Wurzeln versagt dieser Schluss $ 460. Wir haben im 8 442 gefunden, dass wenn f=0, g=0 h=0 eine Reihe von m homogenen Gleichungen der m” Unbekann- ten Zı 2 Zm darstellt, dann die Funetionaldeterminante. J dieser Gleichungen für jede Wurzel (&,, &, En) von f=0, g=0, verschwindet Wir wollen jetzt alle diese Gleichungen von derselben Dimension % annehmen Dann folgt aus 2ıfı + 2afe + 8fs + + + Emfm = Nf, 191 + %292 + 2393 47 + ZmIm = NI , durch Auflösung nach den z die Relation f1) f27 f fa 1 N Iı I2 I, 925 wobei der Coefficient von 2 gleich J ist Differentiirt man nach %, so folgt nif: F +g G +h: Ho + ]= 4 %; denn die Differentiation nach den Elementen der ersten Spalte der Deter- minante rechts ergiebt eine verschwindende Determinante Ebenso ist nif: Fı +g Az : Hr + 1= 4, USN Jacobi’s Erweiterung eines Euler’schen Satzes,. 165 Für (&, &,: Em) verschwindet also ausser J auch noch J., J; ,: J und also auch J,, d. h. jede der ersten Ableitungen. Also ist die Diseri- minante der Functionaldeterminante J(z,, ‚:) Null, wenn das System Y 0 y= 0 der m homogenen Gleichungen eine Wurzel besitzt. Im Falle m=2 hat deshalb J jeden gemeinsamen Factor (x92, +4,%) von f und g als Doppelfaetor. GE ET E Fünfundvierzigste Vorlesung. Jacobi’s Erweiterung eines Euler’schen Satzes. $ 461. Im $ 38, Bd. I haben wir merkwürdige, von Euler stam- mende Formeln abgeleitet. Jacobi hat ein Analogon zu denselben für Sein Beweis kann zwei Funetionen mit zwei Variablen gefunden *). ohne Schwierigkeit auf ” Funetionen f„ von m Variablen 2,, %, Zm übertragen werden. Wir benutzen die B6zout’schen Eliminationsformeln ($ 412) und setzen, nachdem die f vorläufig präparirt sind, gufı + Pufz + : + Oımfm = A(2,), — —- D U R L7 ] =k , q)nzlfl + q7m‚2f2 + OE + 9Dmmfm Fr Gm(£m) . Die Wurzeln von G,(zx) = 0 seien Ex1, Saa Saßı‘ , und zwar mögen (Erx, Eax, * Emx) die Wurzeln der fx = 0 werden. Die Determinante der , bezeichnen wir mit ®. Geben wir nun den Z,, Z2): - * Zm irgend welche Werthe Eıx, & ß Emo, welche die G, = 0 machen, aber nicht das System der fi, fa,:::fin, dann folgt aus (1), dass ® verschwinden muss. Es gilt also der Satzı Die Determinante (2) ®(21) Qa Zm) Z 1‘Px).[ (x%, 4=1,2,...m) verschwindet für jedes System Cıa; &g,: Emo, welches die Gal(22)= 0 befriedigt, aber nicht die fa(2,--:2m)= 0. Zu einem zweiten Theoreme kommen wir auf folgende Art: Diffe- rentlirt man eine der Gleichungen (1) nach einer der Variablen 28 so entsteht, wenn &„g nach Kronecker 1 oder Null bedeutet, jenach- dem wir x = ß oder « =+ß haben, *) J. f. Math. 14 (1885), p. 281. — Werke III, p. 285. 166 Fünfundvierzigste Vorlesung $ 461—462 mM m Öl Pax öaö’ S 02 O 02 Gg (2p) = dup * Ap(@p) x=1 u= Trägt man ın diese Gleichung ırgend ein Wurzelsystem (&,, m y) so erhält man ein, für welches alle f, verschwinden, = Öaß Gg (E87) - z%=1 Z‘PW(£W; i= — Wegen des Multiplicationssatzes für Det91mmanten folgt daraus (3) ®(gl)'; Em Y) J(@1 Y2 y = ] [ 66 z=1 Wir wollen annehmen dass d A = 0 CZ m) keine mehrfachen Wurzeln besitzen Durch unsere Vorbereitung der Funetio- nen können wir es dann bewirken, dass auch keine der Gleichungen Gg (2) == 0 mehrfache Wurzeln hat; also bleiben die beiden Seiten von Insbesondere ist (3) für jedes y von Null ve1%ch1@den ®(Cl}’7 Emy) 0 $ 462. Wir haben nun das in $ 106, Bd. I bewiesene Cauchy’- sche Theorem anzuwenden Da es aber in etwas abweichender Form so mag hier noch ein directer Nachweis für diese gebraucht wird Platz finden Es sei eine Gleichung f(z) =0 mit den untereinander verschiedenen Wurzeln 2,, %, Z„ gegeben M(z) sei irgend eine ganze Function von Z Dann lässt sich, wenn E die grösste ganze Function bedeutet, die in M :f enthalten ıst MC) m (z) f@O = B) F A m(z,) il — E(e) +Z @) 28 mM(2, ) B =E@)+N; F B(e) f@) + m@ G7 A0 —2 — E(e) + NX — — f'(@,) Wa d a Z (2,) schreiben Es ist also die symmetrische Funetion M(2,) f'(&,) gleich dem Coefficienten von & Ar —1 in der nach fallenden Potenzen von 2 geordneten Entwickelung von M(2) : f(2). Jacobi’s Erweiterung eines Euler’schen Satzes. 167 Hiernach ist also die auf alle &x (x=1,2,-..k) bezogene sym- metrische Funetion :Zl[(gl a«? z2 ’ zm) (4) (a) G1’ (é‘1 a) G2’ (Z2) ABOn G7’IL (\Z„]) gleich dem Coefficienten von z ! in der Entwickelung nach z, von M (@49 Ba ‘ Z) Ö5) C 1 (Zfl) G2 @& Gm (Zyp) ; wenden wir denselben Satz auf (4) an, so folgt, dass die auf alle &x und auf alle &5 bezogene symmetrische Function M(é]_„a g2(‚‘7 331 Z) EB ACıo) AEg) F3 (@3) Frn gleich dem Coefficienten von (z,%) 71 in der Entwickelung von (5) nach z, und % ist, u. s. f. und schliesslich zeigt sich, dass ‘Z‘I(glon C2ß7 énz 0) (& 0) Gll (él a) Gé (£2(1’) Sl _Gi7;t (gmö) gleich dem Coefficienten von (2,2 - 2m) ! in (5) wird. Für M werde nun M-. @ gesetzt; dann ergiebt sich unter Berück- sichtigung der ersten Theoreme aus dem vorigen Paragraphen, dass S1a> gm 0:) ® (C1 &«> 2 M( Sma) ) & G{(é'1 A G7;L (gma) oder wegen (3), dass M(£lo: ’ Sma) (6) Z &« J(£la ’ £7IL &, ) gleich dem Coefficienten von (z,2 * Zm) ! in dem nach fallenden Potenzen der z geordneten Ausdrucke 3[(31 2 S DG Zy) (7) G, (81) A (@9) * G (Am) wird. Nun steigen die G,, G,--- bis zu dem Grade % auf, welcher dem Grade der Eliminante R(x) gleichkommt. Der Nenner in (7) hat also die Dimension /m. Ferner steigen die ,, ım Allgemeinen bis zur Dimension (£ — n„), und also steigt ® im Allgemeinen bis zu der Dimension (mk — Zn,) . Endlich bezeichnen wir mit w die Dimension von M. Dann hat der Ausdruck (7) die Dimension (w— Xn,). Ist nun oder U — ZN, < —m u< Zn— m ’ 168 Fünfundvierzigste Vorlesung $ 462—463. dann kommt in der Entwickelung von (7) gar kein Glied mit (2, - 2m)7* vor; folglich wird (6) gleich Null. Unsere früheren Untersuchungen über die BEzout’sche Kliminationsmethode zeigen, dass im allgemeinen Falle die angegebenen Dimensionen der @„ „ auftreten; diejenige von ® könnte (mk-— Zn, — o) sein, wobei o eine positive Zahl bedeutet; dadurch aber würde die rechte Seite der letzten Ungleichung nur noch vergrössert werden. Wir haben daher den Jacobi’schen Satz: Be- deuten die fx allgemeine Funectionen der Dimensionen %,, und ist M eine Function der Dimension u, wobei u< Zn, —m ist, dann wird (8) %(£1 a& ? EFE M £m l‘l) 0 Z &“ J(£1a ’ Ä7IL l1) Man sieht aber leicht, dass in besonderen Fällen die Bestimmung Nehmen wir der Dimensionen für die „g und für @ hinfällig wird. etwa z== f =a A —I=0, 40a22 —® mit den beiden Wurzeln 9 12 (C11> é21> va (— © 0)7 (Ä„, C22) 5 ( R ] ’ 5 } dann werden die Gleichungen (1) zu C222r GT A —0)— @a ©) @72 - —0y — 3) = — 5247 — 242 — 27, (22, + 2 —2): (512+322—’9)—(251+52'_6) $ (212+522+251_52—'3) Z D(8,, %) = 102, + 524 18; J(8,, %) = — 28 — 42 Hier übertrifft die Dimension der @,, die Differenz (& — n„), und andererseits ist die Dimension von ® geringer als die durch Grad- abzählung erlangte. In Specialfällen verliert also der Jacobi’sche Satz seine Giltigkeit. In dem angeführten Beispiele hat (7) die Dimen- sion (w— 3); nur für u = 0 ist (8) erfüllt. Kronecker hat zuerst auf diesen Umstand aufmerksam $ 463. gemacht*), doch habe ich in den hinterlassenen Papieren Jacobi’s eine Bemerkung gefunden, aus welcher hervorgeht, dass er selbst schon für die Gültigkeit des Satzes die Bedingung als nothwendig erkannt hatte, & müsse = N, + Na - Nm Sein *. *) Berl. Ber. (1863), 21. Dec. 50) ll WeHK© II 15 GLOs Jacobi’s Erweiterung eines Euler’schen Satzes. 169 Kronecker schlägt bei seiner Herleitung von (8) einen von dem obigen ganz verschiedenen Weg ein. Er geht von der in $ 350 gegebenen Darstellung aus (9) /(r (Zl; 8 Zm) Z (Z1 K C1 «/)‚Ü<(xyl) + E + (r%n A Emy).99?n (@«=1,2,:. m; y=1,2,.:-.%); hierin sind die g ganze Funetionen von 2,, 2 Zm und von Eiy, 52y gm Y* Eine solche Darstellung ist auf unendlich viele Arten möglich; gesetzt wir hätten neben (9) auch noch (9°) fa(zl‚ n Zm) F (Zl A g1y>hgcyl) + A + (Zm Zn Cmy>hgxy1)n (06=1‚2,-n77&; 7=172;"'7')7 dann folgt, dass die Differenz der beiden rechten Seiten von (9%) und (9) identisch, d. h. für jede Wahl der 2,, %,: %m verschwinden muss. Es ist demnach Y __(/al (y) ] + n + (Z;n An €my) [h ©2 a7n_'"g am — =0. (51 —G y) [hiﬂ Setzen wir hierin bei unbestimmtem z, für 2,:-- Zm ein Eay, * Smy, 7 © so folgt, dass (h @ arı ) für jedes z also identisch verschwinden wird. Es ist demnach kl — g = (m0dd' (z‘3 A Ä2 Y); (Z5 A €37)7"' (Z‚„ ‚NO gm)')) 9 und in Folge dessen für x=1,2,...m (10) —g Un ( O (modd (Z]_ €1 y), SN (Zm (n ;my))— Es ist deswegen nach dem gleichen Modulsystem auch die Determi- nante D, aus den An derjenigen aus den (](,’‚1) congruent. Eine solche Darstellung (9%) können wir leicht auf folgende Weise erlangen. Es sei u„ der Complex der Glieder von der Dimension %4 aus fx; dann wird EZ£ al 04 Wa N ( Z S + 580 + B B gee): fa=i(li(zlégw)äjjra++(zm _gmy)gizßi}+qa(zn"'zm3 y ); wobei qx in den z höchstens von der Dimension (%@% —1) ist und für verschwindet. CO Ä„, Wendet man das gleiche Verfahren auf qu an und geht so fort, dann erkennt man, dass gesetzt werden kann 0 (11) A Kn u% özf + (Glieder niederer Dimension). Hieraus ergiebt sich 1L Fünfundvierzigste Vorlesung $ 463—464. (12) Dy S lh9}{ z N Nz ; * Nn Tu(21> * * Am) + (Glieder niederer Dimensionen), wobei J„ die Functionaldeterminante der w,, U, - - - Um bedeutet. Kine andere Form für die A können wir gewinnen, wenn wir die f“ nach Potenzen von (2, — E17), : (Zm — Emy) entwickeln; dann folgt, wenn wir die neuen, den g,2 entsprechenden Coeffieienten mit %,7 be- zeichnen, k %A — OE | Öfe ÖE } (Iﬂ0dd (Zl F ;1 y), n (Z7n e émy)) . Hier wiırd also die Determinanﬁe der %; Z nach dem angegebenen Modul- systeme congruent J(E,,:--Emy), wobei J wie gewöhnlich die Fune- tionaldeterminante der f bezeichnet. Bedenken wir weiter, dass gemäss (10) ein jedes System 4 (modd. ( —Eıy) - ) durch die g ersetzt werden kann, so folgt, dass die Determinante D, für jedes System U congruent J(&iy,::) ist. Für andere Wurzeln (&9,:-: Eno) dagegen wird D, gleich Null; denn diese Substitution macht in (9) die linken Seiten zu Null, wäh- rend nicht alle (z, E,o) verschwinden, wenn das System fx= 0 keine mehrfachen Wurzeln hat. Das wollen wir von jetzt ab voraussetzen. Hiernach haben für alle Wurzeln (E&@x,-::Enoa) (@«=1,2,:- ‚k) des Systems alle D, dieselben Werthe, wie auch die g,„ gewählt sind; näm- lich für « =+y den Werth 0 und für « = / den Werth J(&ı17, ) Folglich sind alle D, einander (modd. f\,fa,: < fn) nach den Sätzen aus 8 428 congruent. Denn die Differenz zweier D, verschwindet für alle Wurzeln des Systems, und diese haben nur die Multiphcität 1. $ 464. In dem Quotienten D C Z %9 z’l'll) DG é4m y) d den wir kürzer mit D,: 4, bezeichnen wollen, haben wir einen Aus- druck, der sich zur Erweiterung der Lagrange’schen Interpolations- formel eignet, da das Aggregat, in dem g,, g»,::: qr Constanten bedeuten, (13) Q =ZQY O Y A;’ für jede Wurzel (&ıy, Eey,: : Emy) des Systems fx= 0 den Werth Der Unterschied zwischen dieser Formel und der ın qQy annımmt. S 352 gegebenen ist augenfällig; hier sind die 5 als Wurzeln eines Glei- chungssystems definirt; dort waren es gegebene, bekannte Werthsysteme. Jacobi’s Erweiterung eines Kuler’schen Satzes. 171 Gesetzt es gäbe eine andere Funetion der %7, welche gleichfalls für alle (&,,---) die Werthe q, annimmt, dann verschwindet die Dif- ferenz dieser Funetion und der Funetion (13) für alle Wurzeln des Gleichungssystems. Da nun die Voraussetzung gemacht worden ist, dass diese sämmtlich nur einfache Wurzeln sind, so ist schon die Diffe- renz und nicht erst die Differenz einer höheren Potenz beider Funetionen congruent 0 (modd. fi,-::). Jede Function, die für (£,,, Clll y) gleich qg, wird (y=1,2,-.-.k), ist congruent (13) nach dem Modulsysteme fi, fayfm- Wir nehmen nun eine Funetion Q(2,, %, £m), deren Dimension geringer sein soll als die von J(z,,-::2m) oder, was ja das Gleiche ist, als die von J„(2,, Zu)- Dann wählen wir für die g diejenigen Funetionen, welche auf (12) führen, und haben, wenn man Q(&1,,:)= 4y setzt, nach (12) und (13) für Q die Darstellung u Q Z 7'L1 © ‚n„€th <517 C Zm) E. Z + (Glieder niederer Dimensionen) Y 7 (modd. f}, fa fm)- Da nun Q von geringerer Dimension ist, als J„, so lässt sich 1y Jzo (21; O Z,„) Y X durch Hinzufügung eines linearen homogenen Ausdrucks von f,, fm auf niedrigere Dimension reduciıren, so dass also etwa ın Ju(£]_; E Zm) g)/-—(P1f1 ++ me?») © L die Glieder höchster Dimension von J, verschwinden. Nun ist n homogen; behält man ın den P und den f nur die Glieder höchster Dimension bei, die wir mit Ua Ug bezeichneten, so folgt die Gleichung Ju(21) * m) Yı DUr A A Dn Um © Y Wäre die Summe von Null verschieden, so müssten nach 8& 443 u = 0, 6 = 0, 4 = 0 gemeinsame Wurzeln haben; also wären Wurzeln von f =0,... unendlich, und %< (n -n Um). Setzen wir deshalb voraus, dass % = nn %m ist, dann muss die Summe ver- schwinden. Ist die Anzahl der Wurzeln von z Z gleich %.n - Nm, und ist die Dimension von Q(Z,, %,: 2m) geringer als (/7%2 — m), dann gilt 172 Fünfundyvierzigste Vorlesung $ 464—466. Sechsundvierzigste Vorlesung $ 467 (14 MC lll }'> G =0 7<g1/’ Sm y) E TG m y> 7) und dies ist der Jacobi’sche Satz Es ist jetzt noch nachzuweisen, dass wenn % < (n 1n, Nm) wird Dazu verfahren wir die Formel (14) nicht mehr allgemein gültig ist folgendermassen. Da wir die Glieder höchster Dimension aus fx mit o und die Funetionaldeterminante der w in (12) mit J, bezeichnet haben, so folgt jetzt die Gleichung J(2,, &m) = Ju(&) Zm) A Z (& Z‚„) ? in der L, von niederer Dimension ist als J„, also höchstens von der Dimension (Z%x — m — 1). Das erkennt man sofort, wenn man die einzelnen Elemente der Determinante J nach ihren Dimensionen an- ordnet Für unseren Fall %< IIn ist ferner J, linear und homogen in den ug nach 8 443; also etwa Iy = JıU F Qa F + Gım Ur Za =q4fı T+ F + Qmfın + Lo(&,, wobei Z, von niederer Dimension ist als (Zn4 — m), da ja jedes fa mit ug in den Gliedern höchster Dimension übereinstimmt Setzt an L = L, + ,, So ist J(“1 Z 4.)„L(Zl‚ Zm) (modd. f}, / fm), und also wird für jede Wurzel (&1x, gm a) J(€„„ gma) T L(Cla; Cm o:) Es giebt demnach eine Function £ von geringerer als der (Zny — m)* Dimension, die für alle Wurzeln der „ = 0 mit der Funetionaldeter- minante ubemmstunmt Nehmen wir diese für Q in (14) an und be- j——J(€1a; ) ist ($ 463), so folgt für denken, dass auch Da(Eie, diese Funct10n dass jeder der Summanden in (14) den Werth 1 hat, also ist dafür entcrecren dem Jacobi’schen Satze Il(£1y7 m y) k D (g1y7 m y) $ 465 In noch anderer Weise zeigt Liouville*) die Richtigkeit des Satzes. Er stellt die Eliminante R(g,) von fi= 0 a =0 au . En von je (m—1) verschiedene Arten her, indem er die W urzeln &, &,: dieser Gleichungen immer in die übrigbleibende einsetzt und nach der Poisson’schen Methode das Produet der Substitutionsresultate nimmt. So erhält er verschiedene Formen derselben Funetion R, deren SN E ) J. d.’M. p.e. a. 6 (1841), p. 345 Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s. 173 Vergleichung ihm dann den Jacobi’schen Satz liefert. Derselbe tritt bei ıhm in einer scheinbar grösseren Allgemeinheit auf; seine Formel lässt sich aber aus der Jacobi’schen leicht ableiten ° Setzt man nämlich statt f, das Product zweier Funetionen f%-/i ein, bezeich- net mit 5& die Wurzeln, mit J7 die Functionaldet. von fo, f, f, fn 7]7) ” ? ” Jı ” 2 fr kr f3 frn und bedenkt, dass das frühere J durch fidJ, + fiJo ersetzt werden muss, so entsteht aus (14) x Q& ) Nı , ) Z £11 'r')Jo (5 n Z ")‘[1(773 ) © Hier ersetzt man dann @Q noch durch QJ)y und kommt zu der Liou- yille’schen Formel Q, ) jS?(771 DE ) Joﬂ; , f S, — + 2 LO Z ﬂ;("71 RO )J1 (Ü1 5 ) welche sich sonach als einfache Folgerung aus der Jacobi’schen ausweist. $466. Eine sachliche Erweiterung giebt Herr W. End: „Algebraische Untersuchungen über Flächen mit gemeinschaftlicher Curve“, Math. Ann. 35 (1890), p. 82. Er weist nach (für m — 3), dass der Jacobi’- sche Satz unter gewissen Bedingungen auch dann gilt, wenn das System der Gleichungen von höherer Stufe ist, falls nur die Summation auf diejenigen Wurzeln allein ausgedehnt wird, welche als getrennte Wurzel- punkte des Gebildes auftreten. Sechsundvierzigste Vorlesung. Die Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s. $ 467. Der Cauchy’sche Satz ($ 34, Bd. I) über die Anzahl der innerhalb einer geschlossenen einfachen Curve (—0 liegenden Wurzel- punkte einer Gleichung f(z) = 0 lässt eine bedeutende KErweiterung zu, wenn man ihn nach Einführung von 2= %+ iy und f(2) =u(x,y) + io(x,y) = 0 so auffasst, dass man das ge genseitige Durchdringen ?er drei Curven C=0, u=0, v=0 studirt. Diese Betrachtungen *) Kronecker, 1. c. p. 690, 174 Sechsundvierzigste Vorlesung g 467—468. sind von Kronecker angestellt worden *). Wir wollen sie jetzt ın etwas veränderter Form hier wiedergeben. Es seien fo,fi,: : fm gegebene (m +1) ganze Funetionen der Variablen 2,, %, Zm mit reellen Coefficeienten; die Ableitung von f, nach zg bezeichnen wir mit fap- Jede der Funetionen f„ möge nur für endliche Werthe der Varıablen verschwinden; dabei wollen wir jedem f“ ein solches Vorzeichen geben, dass für unendlich orosse z jedes f, positiv wird. Diejenigen Stellen, in denen sgn f = — 1 ist, nennen wır das Innere des Gebildes f„ ==0. MEs besteht aus einer oder aus mehreren geschlossenen Mannigfaltigkeiten m” Dimension. —— D Betrachten wir zwei solche Gebilde fz O und /£ = 0, dann sollen diejenigen Stellen, in denen sgn (fx : fs) = — 1 ist, als Binnen- raum für (fx, fp) aufgefasst werden. Der Bequemlichkeit der Formeln wegen führen wir noch unbe- stimmte Elemente foo, fıo, fo eim und benutzen die Determinante V 4=[|f,2| (@Z= 0, 10000 ÜE L Die Ableitung = , ist der Funetionaldeterminante J,von fi,--fyı, öf, f+1) fın bis auf das Vorzeichen gleich; wir wollen das von J, direct gleich dem von , nehmen, also die Functionaldeterminante mit , einfach identificiren. Setzen wir alle f = 0, ausgenommen f und f;, so wird dadurch zwischen 2,, %, Zm eine einfache Mannigfaltigkeit bestimmt, die wir als die Linie [h/%] oder [%h] je nach der Richtung, in der sie durch- laufen wird, bezeichnen wollen. Die Richtung stellen wir folgender- massen fest: Ist (2,, %,: : Zm) ein Punkt der Linie, dann werden die benachbarten Punkte auf ihr durch Incremente (dz,, dz2, : dzm) be- stimmt, für die das Gleichungssystem Ö la ÖR da+ä%o%+—--+ Öß Z“„dz„= 0 («=0,1,-..-m ausser % und £) Aus diesem Systeme linearer Gleichungen folgt gelten muss. A 04 @° Al E O so dass gesetzt werden kann, wenn & reell und unendlich klein ge- nommen Wird, @7 2l 024 SE n da = - &5 frodfna Öfno OTra E E *) Berl. Ber. 1869 März und August; 1878 Februar. Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s, 175 Hiernach giebt es zwei verschiedene Fortschrittsrichtungen; wir wollen die Curve bezeichnen mit 074 [4Z4] bei der Fortschrittsrichtung dzu = &* 3fl\()afha 7 0?4 [%h] ” ” ” da = & 3/}‚oäf; . $ 468. Wir untersuchen nun die Schnittpunkte von [hk] mit fn=0. Ist (E,---Em) ein Schnittpunkt, so wird f„(E,::- Em)=0, und in dem benachbarten Punkte längs der Fortschrittsrichtung [hA/] hat f/1 den Werth 02 0°4 fn Öfn ln + n ä;; le + i + (}“Z;; (ZZ‚„ S i 02 OÖfro On Ö Ofr0 ım | == E 204 — 2AL Öfxo Daraus ersieht man: [h/] tritt bei (E,---Em) in das Innere von f;, wenn A, negativ ist, und ın das Aeussere, wenn 4, posıtiv ist. Wir nennen einen Punkt, in welchem [4A/“] beim Passiren von fi=0 in den Binnenraum von (fx,fx) eintritt, einen Eintrittspunkt; einen Punkt, in welchem [h4] beim Passiren von fx= 0 aus dem Binnenraume von (f,, /x) heraustritt, einen Austrittspunkt von [A4k]. Es lässt sich leicht feststellen, wann (E,, &,: CEm) das Eine oder das Andere ist. Tritt [hk] ms Innere von fx==0, und ist dabei san fr(& ,: Em)= + 1, so haben wir einen Eintrittspunkt; ebenso wenn [hk] aus f7=0 heraustritt, und wenn dabei sgn fx(E& ,: En)=—1 ıst In beiden Fällen wird sgn 4x f = — 1. Umgekehrt folgt für einen Austrittspunkt sgn A,fx = + 1. Wir setzen der Deutlichkeit halber noch die folgende Uebersicht her: Eintrittspunkte. ]l san f +1, 0, ’ sn f = —1, 0, +1 san f} — Er — —1 ’ sgn f% sgn A, —1 7 san A — z Ba sgn 4,f%x= — 1. Austrittspuhkte. san f} +1, ©, al ) Sg[lf;, =_17 O; +1 I Ar sgn f*x —.1 Y san fx A I —1 sgn 4, 2} Sgn 4x = + 1 son An = Al 176 Sechsundvierzigste Vorlesung $ 468—470. Hieraus kann man eine Reihe wichtiger Schlüsse ziehen. Auf einen Punkt (& ,---Em), in welchem [}Zk] ins Innere von fn = 0 tritt, folgt ein Schnittpunkt (&, . &) von [hk£] mit fi= 0, in welchem [hA4] aus dem Inneren heraustritt, und umgekehrt. Im ersten ist , negativ, im zweiten positiv; da die Curve |hk] geschlossen ist, weil alle / = 0 ganz im Endlichen liegen, so wird (1) ngnd;„=0 (erstreckt auf alle Schnitte von [hk%] mit f = 0). Bezeichnen wir die Anzahl der Male, in denen Eintrittspunkte bei son 4+ = — 1 auftreten, mit &,, und bei sgn 4,= 1 mit &; ferner die Anzahl der Austrittspunkte bei sgn 4, = —1 mit «,, und bei sn 42 = +1 mit @, dann ist nach (1) und der obigen Tabelle (2) E& f &y = 8& 1 %- $ 469. Verfolgen wir den Lauf von [hA%] und zählen die Kin- trittspunkte und die Austrittspunkte in den Binnenraum von (fz, fx), die beim Schnitte mit f = 0 statthaben, dann ist die Gesammtzahl bei einem vollständigen Umlaufe eine gerade Zahl, &, +& + &, +«x=0 (mod. 2), und also ist auch (3) (£1 A 52) Sn (“1 Sn “2) =24 eine gerade Zahl. Die Hälfte derselben, also y, nennen wir die Cha- rakteristik des Systems der Funetionen f%, fi,:::fnz dazu sind wir berechtigt, weil, wie sich gleich zeigen wird, % bei jeder Wahl von h und k denselben Werth besitzt. Aus (3) in Verbindung mit (2) folgt sofort (4) MC ZE ZA Infolge unserer Tabelle sehen wir, dass dies so ausgesprochen werden kann: Es ist ©6) ÜE& =ngnzl;„ wenn die Summe auf alle Punkte (&,-:-n) erstreckt wird, in denen (5°) f On Z N ist; oder auch (6) N= 6 =ngn Aln wenn die Summe auf alle Punkte (&, .. Em) erstreckt wird, in denen man hat: (6%) n A0 fo= 0, E Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s. 177 Dafür können wir auch sagen: Die Charakteristik von f%, fı fn ist gleich dem Ueberschuss der innerhalb fi=0 lie- genden Wurzeln von fi=0,:..fn= 0 mit sgn 4,= + 1 über diejenigen mit sgn 4, = — 1; oder gleich dem Ueberschuss der ausserhalb gelegenen mit sgn 4, = — 1 über diejenigen mit sgn 4, = + 1. Bei dieser Darstellung von y nimmt der Index % keine Ausnahme- stellung mehr ein; man kann ihn daher mit jedem anderen vertauschen, Lässt sich also noch nachweisen, dass auch A und % untereinander ver- tauscht werden dürfen, dann ist die Constanz der Charakteristik nach- gewiesen, denn man kann dann von [hk] zu [h’k], zu [kh'], zu [k’W] und endlich zu [h’k’] übergehen, wobei h’, k zwei willkürliche In- dices sind. Dieser Theil des Beweises ist aber sehr einfach zu führen. Be- zeichnen wir alle Eintritte der [hk] in den Binnenraum von (g f sowohl beim Schnitte mit f = 0 als auch bei dem mit fx = 0 der Reihe nach mit %, , ”,- und ebenso die Austritte mit 4', 4”, A/// % so ist, da auf jedes } ein A folgen muss und umgekehrt, die Summe der Anzahlen hier und da einander gleich. Die &W, E”,- und die 4', A7,- sind nun zunächst solche, bei denen f, geschnit- ten wird; diese Anzahlen sind (&, +,) und (&x, + cw); und weiter solche, bei denen f; geschnitten wird; diese Anzahlen seien e und a. Danach ist (’+(51+82)=a+(0‘1+“2); (7) 24 = (& + &) — (& + %)= a — e. Rechnet man, wie es die Regel vorschreibt, auf [%A4] die Eintritts- und die Austrittspunkte bei den Schnitten mit /;= 0, so ist, da nun die umgekehrte Richtung gilt, jeder Punkt, der unter @ vorkam ‚ ein Ein- trittspunkt und jeder, der unter e vorkam, ein Austrittspunkt; also zeigt (7) in Verbindung mit (3) die Richtigkeit des Theorems. $ 470. Infolge der Tabelle können wir dié Charakteristik noch anders deuten. Auf [A0] ist fi=0,..fi_1=0, fı+ı= 0, fa = O; folglich wird in den Schnittpunkten von [A0] mit f==0 jedes f gleich Null ausser . Jeder Schnittpunkt (&, &,--- En) ist also ein Wurzel- . punkt für das System fx 0 (@«=1,2,...m). Eintrittspunkte sind diejenigen unter ihnen, für welche sgn 4of9= — 1 _ ist, Austritts- punkte die, für welche son A4yfy = + 1 ist. Die Charakteristik ist gleich dem doppelten Ueberschuss der Anzahl der Wurzel- punkte (6,:::En), für welche sgn 4,f)= —1 über die, für welche sam 4 = +1 wird. Netto, Algebra, II, 12 Il ( 8 Sechsundvierzigste Vorlesung $ 470—472. Wenn man ferner statt der Funetion f) das Product fo4, nimmt, dann ist die Charakteristik der Funectionen (Äofo; f1: f97 "ﬁ?l) gleich dem doppelten Ueberschuss der im Innern von n= 0 gelegenen Punkte (& ,---En) über die im Aeusseren gelegenen Punkte. Wenn weiter der Bereich f einen anderen Bereich g) vollständig einschliesst, so wird die Anzahl der zwischen beiden Umgrenzungen f; und g gelegenen Punkte (&,---En) durch die Differenz der beiden Charakteristiken von (A0f()) f1’ ﬁ.>; "ﬁ”) und von (AO.[/O) f17 f2: "ﬁu) gegeben. Endlich können wir auch noch an die Stelle von sgn 4, fx setzen fo fo1 S /’0'u1‚ 1 san f ./i1. "./'1‚'„ son D [ ! fm fm. ıl fm m da ja in jedem Schnittpunkte von [hk] mit fxi= 0 alle f mit Ausnahme von fx gleich Null werden. Tst al ün C 9 da en — 1, so ist der Punkt ein KEintrittspunkt; ıst sgn D gleich +1, so ist er ein Austrittspunkt. Folglich ist auch (8) 2% A —Z sgn D (erstreckt auf alle Punkte, in denen die f= 0 werden, ausser f;). Aus der Constanz der Charakteristik folgt, dass (8) denselben Werth besitzt, was auch immer für ein Index % genommen wird. Die gleich im ersten Paragraphen dieser Vorlesung gemachte An- nahme, dass alle f= 0 ganz im Endlichen verlaufen, ıst für die ge- machten Schlussfolgerungen eine wesentliche Voraussetzung, da ja alle Sobald man aber die Curven [hk] geschlossene Curven sein müssen. Formel (5) anwendet, welche nur die Punkte im Innern von fx= 0 benutzt, kann man die geschlossenen Theile der Curven [hk], welche in fx >©0 verlaufen, auch durch ungeschlossene Theile in f7 >0 er- setzen; denn diese üben ja bei dieser Formel keinen Kinfluss aus. $ 471. Der Satz über die Constanz der als Charakteristik erklärten Zahl gehört in die Reihe der Theoreme der Lagen-Geometrie und muss Dies ist auch wirklich als solcher rein anschauliche Beweise zulassen. der Fall, wie wir jetzt zeıgen wollen. Dabei benutzen wir den In- ductionsschluss. Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Heärmii:6’s. 179 Es seı zunächst m=2, und f‚ fı, / seien die gegebenen Func- tionen. Wir betrachten einen Binnenraum B von (f,, f), der zwischen zweı aufeinanderfolgenden Schnittpunkten S, und S, von fi=0, L=0 gelegen ıst. Dabei mögen den f} =0, f© = 0 beliebige Fortschritts- richtungen zuertheilt sein. Dann hat S, als auf fi = 0 gelegen, einen bestimmten Charakter xz, = - 1 _ hinsichtlich des Ein- oder Austrittes in (f, f2); ebenso S,, als auf f© = 0 gelegen, einen solchen z =-+1 hinsichtlich (f, fi)/ Nun wird fy= 0 die Begrenzung des Raumes B eine gerade Anzahl von Malen treffen; also ist die Zahl der Schnitte mit f =0 congruent der mit f =0 (mod. 2). Jeder zwischen S/; und S, belegene Schnittpunkt auf f ändert aber x,; ähnliche Aende- rung ruft jeder Schnittpunkt auf f für x hervor. Da beidemale die Zahl der Schnitte congruent (mod. 2) ist, so werden beide Charaktere gleichzeitig geändert, oder sie bleiben gleichzeitig ungeändert. Zählt man also die x in dieser Weise auf den ganzen Curven fi =0 und auf f = 0, so findet man gleiche absolute Werthe für y, gleichgültig ob man auf f =0 oder auf f =0 die Zählung vornimmt. Giebt man also an einem beliebigen Schnittpunkte etwa S, den Curven fi= 0, f = 0 solche Richtungen, dass x, = x wird, dann sind die % auf beiden Curyen gerechnet auch unter Berücksichtigung des Vorzeichens ıdentisch. Nimmt man endlich f@=0 mit fi=0 zusammen, so folgt Gleiches; und daraus schliesst man dann, dass die Richtung, die dem / ertheilt werden muss, unabhängig davon ist, ob man f} =0 bei der Bestimmung derselben zu Hülfe nimmt, oder fx = 0. — Für (m + 1) Funetionen f, A, fm-4+1 kann man jetzt die Frage unmittelbar auf die für m Funectionen zurückführen. Studirt man die Schnitte von [hk] mit fi=0, fx= 0, so reicht es aus aus, von der gesammten. Figuration nur „die Schnitte“ z. B. mit f = 0 zu betrach- ten. Diese bilden genau die zu m Funetionen gehörige Figur, nur in _ der Mannigfaltigkeit f =0 aufgefasst. Da sieht man dann sofort die Gültigkeit des allgemeinen Satzes ein. $ 472. Wir wollen nun eine Anwendung der bisherigen allge- meinen Theorien geben. Es sei m = 2n. Wir verstehen unter den F nganze reelle Fune- tionen und setzen Fa(zl + izn—l—1; 5° 8 + 71.Z2n) Er fce(zl OS Z2n)+ fa—}—n(zj ON Z2n) (a=1‚2‚--—%)‚ so'dass die fi, f, 7: 9 2 9 „ reelle Funetionen von 2n reellen Variablen sınd. Nun ist 12 180 Sechsundvierzigste Vorlesung $ 472. Dn ÖF ÖF, = —14 E Öf. öfa+n 02 0% Z + Ö(zß + Ü 6) 0z„+ß 0 Z Öfz äfo;—{-n ÖR + ß 02 und die Functionaldeterminante 4, nimmt die Gestalt an | U1ı U3 13 O14 l — 29 AAyı Ara A13 U3ı A39 A33 U3 U3 ( — U34 A33 Zur ersten Spalte addiren wir die zweite mit %@ multiplicirte; ebenso zur dritten die mit % multiplieirte vierte, u. s. w.; subtrahiren dann von der zweiten Zeile die mit %@ multiplicirte erste, von der vierten die mit %@ multiplicirte dritte, u. s. w. Hierdurch entsteht A, F C492 Üa M1ı 1019 31 F{ 1 Ag9 (39 U31 — Ülr addiren wir dann zur ersten Zeile die mit ziz multiplicirte zweite, u. s. f. und subtrahiren von der zweiten Spalte die mıt 2i multiplicirte erste, u. s. f£., dann bekommen wir | d11 F Üd2 Aı — 0049 Aı F CCg U3ı U039 A F 0045, C — A F 4039 , U3ı 4039 , 1 Es ist also 4, in diesem Falle die Summe zweier Quadrate und daher niemals negativ. Schon daraus ist ersichtlich, dass die Funetionen f unseren Bedingungen nicht entsprechen. Denn es wird &, = &, =0, Wir können uns aber auch und also nach (2) auch &, =& =0. direct davon überzeugen, dass jedes f= 0 sich ins Unendliche erstreckt. Geben wir den 22 + C2n+2 , - Zn + 2n beliebige endliche feste n Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s. 181 Werthe, und lassen den absoluten Betrag von (zı + %2„41) ins Unend- liche wachsen, dann geht jedes . in ein (4 + Bi)(zı + 02n4-1)* über, Es ist wenn x den höchsten vorkommenden Exponenten bedeutet. ABa E Z ( A — B E A Die Gleichungen U(t, 1) = 0, V(t, 1) = 0 sind aber direct unter dem Biehler’schen Satze ($ 209, Bd. I) enthalten, und daraus folgt, dass sowohl sie selbst als auch, weil die Wurzeln von U= 0 und V/=0 sich gegenseitig trennen, AU-ZBYE0, BULAYEO reelle Wurzeln £ haben; d. h. fy= 0 und fx+.n = 0 erstrecken sich ins Unendliche. Wir wollen weiter annehmen, dass die Glieder höchster Dimension in den /x, gleich Null gesetzt, kein Gleichungssystem mit gemeinsamen Wurzeln ergeben* Dann kann man für die absoluten Beträge der Zi, ‘ %an eine Grenze 0n angeben, oberhalb deren das System fı=0 keine Wurzel mehr besitzt. Um dies zu zeigen, setzen wir 21 — O0U1, 22 =— 0U2, * Zan — OU2n 2 = 1) und nach Dimensipnen geordnet fal2ı, : 2an)= 0“ al ,: Uan) E 0 bal Üa e 90n Dann haben die x = 0 kein gemeinsames Wurzelsystem u, und also sinkt Eq>„‘* nicht unter einen endlichen positiven Werth. Bilden wır also e R Z2n) al 2 2%2+%‘F1+@i271f2+“'‚ ] o°a so kann das erste Glied rechts nicht unter einen endlichen positiven Werth abnehmen. Für D E kann man leicht obere Grenzen angeben, indem man alle w = 1 setzt und alle Coefficienten durch die grössten absoluten Werthe ersetzt, die sie erreichen dürfen. Danach lässt sich dann 0, so bestimmen, dass für o 0, die rechte Seite von Null verschieden hbleibt, und 0, ist somit die gewünschte Grenze. Nehmen wir also ein fi(2,, - 22n) =0, welches ganz im Aeusseren der Fläche X2;* — 09 = 0 verläuft, so können wir, ohne die Wurzel- anzahl von fi =0,: - fa = 0 innerhalb © =0 zu beeinflussen, alle F ausserhalb / =0 durch geschlossene Stücke ersetzt denken. Dann erst gelten die Formeln (5), (5°) für &=0, da sie sich nur auf Configurationen innerhalb des Gebietes fji = 0 beziehen. Das 182 Sechsundvierzigste Vorlesung $ 472—474 KErgebniss, dass 4,>0 ist, gilt also auch nur für sie In fy<0O giebt es daher nur Kintrittspunkte, d. h. die Charakteristik y=& to] siebt direct die Anzahl der Schnittpunkte von fi = 0 a = 0 Wir wollen jetzt die Beschaffenheit der durch { —O f/z——1“’0 f/1+1—() A0 auf / herausgeschnittenen Punkte untersuchen Geht man auf [40] vom Aeusseren f >0 kommend beim Punkte P in das Gebiet fi <0 hinein, und trifft man auf [Z0] bei Q den ersten Schnittpunkt von [/Z0] mit ; = 0, so muss, da Q ein Eintrittspunkt ist, nach der Tabelle f, vom Negativen ins Positive gehen; folglich liegt P im Bereiche f,<0 und da [0%] die entgegengesetzte Richtung hat, so tritt [0%] bei P aus %@ 0in A > 0, d.h. P ist auf [0%] eın Eintrittspunkt Geht man ferner auf [/0] vom Inneren fi<0 kommend beim Punkte S aus dem Gebiete f< O heraus, und ist R der letzte vorhergehende da R eın Schnittpunkt von |4/0] mit f7== 0, so ist auch hier wieder Fintrittspunkt ist, [L0] aus f <0 mm fı >0 getreten und S liegt deshalb in f)x>0. Deshalb tritt [0%] bei S in der Richtung RS betrachtet innerhalb f, >0 aus f >0 in f)i<O; S ist also nach der Tabelle ein Eintrittspunkt. Folglich giebt es auf / =0 an Schnitten mit einem beliebigen Systeme von (2% — 1) der f= 0 nur Eintritts- Also folgt: Inner- punkte Nun ist die Anzahl derselben gleich 2y halb @ =0 und ebenso auf fy=0 giebt es nur Kintritts- punkte, und zwar liegen auf f = ©0 doppelt so viel Schnitt- punkte mit jeder durch Ausschluss einer der übrigen Fune- tionen fı gebildeten Linien, als im Inneren Schnittpunkte der f17f27 vorhanden sind $& 473. Wir kehren zu dem allgemeinen Falle willkürlicher fi, f fn zurück, die nur den oben aufgestellten Bedingungen zu ge- nügen haben Gehen wir durch Variation der Constanten von jenem ersten Systeme zu einem zweiten über, so kann die Variation stets so vorgenommen werden, dass man zunächst eine der Funectionen ın die neue Form überführt, während die übrigen ungeändert bleiben; dann mit einer zweıten ebenso verfährt, u. s. £. Auf diese Weise kann man am Einfachsten übersehen, wie die Charakteristik des Systems sich ändert. Nach Formel (5) ist % = Eson ,:, ausgedehnt über die Stellen, an denen alle „ =0 sind, ausgenommen f%, welches negativ ist. Bei festen , und varlirtem %x kann in jenem Ausdrucke, in welchem ja dann auch A, für jedes System (&,, : Ä'm) constant ist, x sich nur d%nn ändern, wenn einer der Punkte (6,, - En) bei der Variation von fx aus dem Gebwte f< 0 im das Gebiet ﬁ >0 tritt, oder umgekehrt. Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s. 183 Dabei muss das Gebilde fx= 0 den Punkt (&,-:-CEn) überschritten haben, d. h. es müssen gleichzeitig alle (m + 1) Funetionen f, gleich Null geworden sein. Da Gleiches für alle anderen Funetionen gilt, so haben wir den Satz: Die Charakteristik kann bei Variıatıon der Functionen f nur dann eine Aenderung erfahren, wenn ein System von Functionen passırt wird, welche sämmtlich für Je- ein und dasselbe Werthsystem (E&,:::Cn) verschwinden. nachdem dabeı | fa | (%7 Ä=O;17 999 U f/0=f/) aus dem Positiyen ıns Negative übergeht oder umgekehrt, nimmt die Charakteristik um eine Einheit zu oder ab, wenn nicht etwa die passırte Stelle singulär ist. $ 474. Nach diesen Resultaten ändert sich in unserem Beispiele von $ 472 die Charakteristik nicht, wenn wir bei hinreichend hoch gewähltem 0, die Coefficienten der f um endliche Grössen variiren, die einen gegebenen Betrag nicht überschreiten. Da in diesem Falle die Charakteristik zugleich die Anzahl der Wurzeln der Gleichungen Fol(2, + Cen+1) * Zn A Ren)= 0 (@«=1,2,..:%) ergiebt, so bleibt auch sie ungeändert, wenn man die Funetionen für @ =1,2,-.. (n— 1) auf ihre Glieder höchster Dimensionen beschränkt. Liefern dann diese homogenen Gleichungen q Werthsysteme für die Verhältnisse der (2% + 02a +n) untereinander, und trägt man diese in die letzte Gleichung ein, deren Dimension £ sein mag, so folgt sofort, dass das System der F.=0 genau qt Wurzeln besitzt. Ist der BEzout’sche Satz also für (n — 1) Gleichungen schon bewiesen, so gilt er hiernach auch für %” Gleichungen. Im Falle » = 1 genügt es, die Funetion F, in (z, +i2)+a=0 zu verwandeln, um direct zu dem Fundamentaltheorem der Theorie der algebraischen Gleichungen zu gelangen. Hierdurch wird das eigent- liche Wesen des vierten Gauss’schen Beweises dargelegt, indem gezeigt wird, dass für die zwei durch irgend eine algebraische Gleichung F (2, + i%)=0 dargestellten Curvensysteme f=0 die Configuration in Bezug auf deren Schnittpunkte innerhalb eines hinreichend gross ge- wählten Kreises nicht anders ist, wie für diejenigen Curvensysteme, welche aus einer binomischen Gleichung desselben Grades hervorgehen. Man kann es übrigens an Gauss’ Deductionen selbst erkennen, dass dabei eigentlich nur die höchste Potenz von (z, +- iz,) und von den Coefficienten der übrigen Glieder der Gleichung nur die Kigenschaft in Betracht gezogen wird, dass ihre absoluten Werthe unter einer 184 Sechsundvierzigste Vorlesung $ 474—476 gewissen Grenze liegen so dass eine dabei zulässıge Veränderung der Coefficienten die Deduction nicht berührt *) $ 475 In engem Zusammenhange mit dieser Theorie steht eine Erweiterung der früher behandelten (Vorles. 20; $ 228 ff., Bd. I) Theo- Die reme von Hermite welche dieser selbst angedeutet hat**) hierzu nöthigen Erwägungen sind nicht sehr von jenen früheren ver- schieden, so dass wir kürzer sein und gleich, von allgemeinen Formeln absehend, die interessantesten und wichtigsten Specialfälle behandeln können Die m Gleichungen (9) f0!(21; ;27 än) = 0 @=1,2 m) zwischen den m Unbekannten 2;, Zm mögen k endliche Wurzeln (Ä„‚ C2@7 Cm@) haben Ö:—. O2 A deren Anzahl nicht nothwen- ist. Bei diesen dig gleich dem Producte der Dimensionen von f}, fz, Wurzeln können einige Coordinaten reell andere complex sein unter die nur reelle Coordi- einer reellen Wurzel verstehen wir eine solche naten hat; conjugirt complexe Wurzeln sind solche von einander ver- schiedene Wurzeln, von denen jede in die andere übergeht, wenn man in allen Coordinaten + durch — 4 ersetzt. Bei Gleichungen mit reellen Coordinaten kommen conjugirt complexe Wurzeln gleichzeitig vor Wir nehmen als Unbestimmte einer quadratischen Form u9,U, - ULEl ; und des %, an, bezeichnen mit %(2, ,: - Zm; £) eine ganze Function der 2 welche bei unbestimmtem % für keine VVu1 zel ( : Emo) verschwindet und mit w(2,, Zm) eine ganze Function der z, welche für alle % Wur- zeln voneinander verschiedene Werte annimmt; dann setzen wır ( t)=älß(@„‚ en o a a A * (EL 0 )n]® (10) k—1 t) ® +ß(äl@; ) —Zw Mß2w(él 0 a,p=0 Zur Bestimmung des Ranges dieser quadratischen Form ($ 166, Bd. I) und zuglewh um sie in eın Agg16gah von Quadraten zu Velwandeln bıldent ar fünl .1 die symmetrische Summe [a ‘°(g11>"')""°9 1(£11: ) (D A = S&n ; W(EL0 ;0) | 7 G ı (Ä1q:"')"'COQ 1@197 )1 * Kronecker, L. c., 1878 Febr., p. 151 *#) C, R. 36 (1859), p. 294 Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s. 185 insbesondere wird 05 Z =Üw(c„„ 390[ [D& ) — S(p, P (;:0 (l) ﬁ dies ist nach unseren Voraussetzungen von Null verschieden; also ist g vom Range %, d. h. in eine Summe von nicht weniger als % Quadra- ten transformiırbar. KEine solche Darstellung wird im regulären Falle (12) q)=211_7512+2'114727522+"'+2‚£2'„%2 Kommt es darauf an ‚ die A als von € abhängig zu kennzeichnen, dann schreiben wir A,(0), 4,(t),... Die Signatur von @ wird dabei durch die Differenz der Anzahl der positiven und der negativen Coeffieienten, P(t) und N(©), in (12) bestimmt; bezeichnen wir sie mit S(f), so ist O —NO 20 LO Es bleibt S(£) von der Art der Darstellung der Form @ als Aggregat von Quadraten unabhängig Genau wie in $ 229, Bd.I folgt daher: Die Signatur von @(u,f) ist (18) S(t) =(2 sgn ı (& 0> Emo5 ) (erstreckt über alie reellen Wurzeln der f = 0). P(t) ist die Summe aus der Anzahl der Paare complexer Wur- zeln und der Anzahl der reellen, für die son v = + 1 ist; S(£) die Summe aus der Anzahl der Paare complexer Wurzeln und der Anzahl der reellen, für die sgn d = — 1 ist. Ist &. > %, dann giebt N P(6) — P(%) den Ueberschuss der Anzahl reeller für die Wurzeln, Sgn Ü(é19‚ ‘ Eno; 4)= 1 ist, über die Anzahl derjenigen, für die sgn u (&,0, €IM{)E fg) d 1 Wi].'d. $ 476. Wir tragen zunächst v = 1 in (10) ein. Dadurch wird $ epSapgy Aı =|Sapı]| (M';”=O;1a""l—l>; falls wir unter S, die Summe der xn Potenzen aller Werthe von 0(E&,0,:::) verstehen. Hier ist stets sgn w = - 1; folglich wird nach (18) S gleich der Anzahl aller reellen Wurzeln, d. h.: Die Anzahl der reellen Wurzeln ist Z— N. wobei P die Anzahl der Zei- ? chenfolgen, N diejenige der Zeichenwechsel in 1) Ä1? ÄZ’ Ar 186 Sechsundvierzigste Vorlesung $ 476. bedeutet. Es ist dies genau derselbe Satz, der für eine Variable abgeleitet wurde. — An zweiter Stelle setzen wir Ü(%‚ d Am; b) = (1 a1) (52 A a2) 300 (Z‚„ — a„‚)‚ (t2> t1) D Ü(ä, Sm; b) = (Zı — bı)(Z1ı — ba) : - (Zm bm> ’ wobei jedes az kleiner als das entsprechende 6, sein soll. Dann giebt P(t.)) — P(&) den Ueberschuss der Anzahl der Wurzeln, für welche G —C0 — 0) ° Cao= M) >0 ist, über die Anzahl derer, für welche (€1 (a b1) (€1 @ b2) A (Cm@ a bnz) >0 wırd. Um dieses Resultat weiter ausnützen zu können, müssen wir folgende Betrachtungen anstellen, die ihrer Natur nach ın die Geometrie der Lage gehören. Es seien in einem m-fach ausgedehnten Raume 2,, 2,, : Zm die m Coordinaten eines Punktes; ferner seien a, und b, (>a,) zwei Spe- cialwerthe von z,, ebenso a und b, (>a,) zwei solche von z u.s. f. Es soll ferner y, einen der beiden Werthe a,, b, bezeichnen, y einen der beiden Werthe a,, b, u.s. f. Dann gilt es 2" Ausdrücke w A (Zl Z yl) (Z2 y2) STA (Z‚„ L 7m‚); je nach der Wahl der einzelnen . eine willkürliche Memenr Sal (Gay mp Gno) ür O= 1 20 Zahl von willkürlich im Raume vertheilten Punkten, wobei nur kein &o Wir bilden alle mit ax und b„ zusammenfallen soll. sgn1[;(é„„ C0 nn Va a Ym), behalten nur die positiven bei und multiplicıren ein jedes dieser sgn mit +1 oder —1, jenachdem unter den %,, 7, V7m eine gerade oder eine ungerade Anzahl von Werthen b vorkommt. Die Summe (14) 2ml——1 2j: sgn1/"(gl@’ E ;m‚g); VE %„.) Y erstreckt über alle 2” Combinationen der y ist gleich der Anzahl derjenigen Punkte (&,o, - - Emo), für welche (15) d <bo0<biy 0< &o< Oa Üm < €mg < bm) wird. Um diesen Satz zu beweisen, nehmen wir irgend ein %, dessen sgn = + 1 ist. In ihm möge etwa Bın < @, oder audh Gın > 0, in Dann ändert sich das sgn nicht, wenn man den vorkommenden Werth a, oder b, von y, durch den anderen b, oder a, ersetzt, wohl aber ändert sich das Vorzeichen vor dem sgn; beide Glieder der Summe zerstören Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s. 187 sich also. Ebenso ordnen sich alle anderen, bei denen mindestens ein E, <a, oder >b, ist, zu je zweien einander zu, die sich zerstören. Es bleiben also nur die Punkte zurück, deren Coordinaten sämmtlich den Bedingungen (15) genügen. Hier ist (z, — &4) *+ (Zm — Am) poSi- tiy, und ebenso jedes Product, bei dem eine gerade Anzahl der @ durch die entsprechenden O ersetzt ist. Alle erhalten ein + Zeichen vor das sgn Es sind also die einzigen, die in (14) zählen; solcher giebt es m m und damıt ıst der Satz be- 2m—1, nämlich 1+( 2 )+( 4 J ’) wiesen. Setzen wir nun direct unser jetziges & in die obigen Formeln ein, so erhalten wir den Satz:ı Die Anzahl aller Wurzeln von (9), welche die Bedingungen (15) befriedigen, wird durch die An- zahl (14) geliefert. Für mm=2 und m==3 stellt sich dies folgendermassen: Ver- wandelt man £ ==2 (&e—7) Ge—7) o @ (Ge B + +D H6o En in eine Summe von Quadraten und bezeichnet mit P(yı, Va) die Anzahl der positiven Summanden, dann giebt % [P(a,, &) — P(a,, b) — P(6,, @) + P, b)] die Anzahl derjenigen reellen Wurzeln von n =0, n = 0, welche in dem Rechtecke mit den Ecken (a,, @); (a,, b,); (b1, A); (b,, b) Megem — Verwandelt man P =ä(£l 0 Ya)&o — Y2) (& 0 M) [ E 00 A MG 09 S07 o ın eine Summe von Quadraten und bezeichnet mit OD 9 7%) die Anzahl der positiven Glieder unter ihnen, dann giebt i [P(a,,d,, 0A3) — P(a,, A, b;) — P(dy,b2, As) — P(b,,d,, A3) + P(a,,b,,b;) A O9 dop b3) + CO As) — P(6,, %, b3)] die Anzahl derjenigen /‘Z/rbzrl’a/ reellen Wurzeln von B f1=07 (a„ilg })J; fb„il‚ b f3 —0, 0 ? ra„@ a,) (b„£)„q„ welche in dem Paralle- (Ao , An 1 2 A,) lepipedon mit den Ecken /lt„a_?‚a.;; 188 Sechsundvierzigste Vorlesung 8 476 —477. Siebenundvierzigste Vorlesung 8 478. (& , G, As), (Ay, O, O3)p (dp s @), , d3), b 0, 0 o C 0)) C ; A3), (b,, 0, 0;) liegen. $ 477. Wir können auch die allgemeine Form (10) direct zu den Untersuchungen über die Charakteristik von Funetionensystemen in Beziehung setzen. Trägt man nämlich statt %(2,,---Zm;j) in (10) und in (183) ein fi4o, wo A, die gleiche Bedeutung hat, wie in den ersten Paragraphen dieser Vorlesung, dann zeigt (13), dass die Signatur S den Ueberschuss derjenigen Wurzeln von fx= 0, für welche Sgn fodo= 1 ist, über diejenigen angiebt, für welche sgn fi 4 =-+1 ist. Nach $ 470 hat dies den Werth der halben Charakteristik des Funetionensystems f%, fır fm Es gilt demnach die Gleichung 2y= P—N, durch welche die Bestimmung der Charakteristik eines Func- tionensystems auf die Untersuchung einer quadratischen Form reducirt wird. Hierdurch wird also eine wesentliche Lücke, die bei unserer Darstellung der Kronecker’schen Theorie offen blieb, in einfacher Weise durch die Hermite’schen Betrachtungen ausgefüllt. Siebeaundvierzigste Vorlesung. Die Auflösung linearer Gleichungen, $ 478. Wir wollen als Anhang zu der Theorie mehrerer Glei- chungen mit mehreren Unbekannten den einfachen Fall linearer Glei- chungen behandeln. Das erscheint deshalb nicht unangebracht, weil noch vielfach in Lehrbüchern dieser Gegenstand nicht ın der möglichen Kürze dargestellt wird, deren er fähig ist, und ferner, weil die mit- unter gewählte Reduction der Frage auf homogene Gleichungen den Kernpunkt der Sache insofern verschiebt, als die Erkenntniss der Be- dingungen für die Existenz endlicher Lösungen verhüllt und verhin- dert wird. . Es sei ein System constanter Grössen a;, gegeben (i=1,2,.:-p; k=1,2,-.-.q), welche in p Zeilen und q Spalten angeordnet sind; y sei die grösste Zahl, für welche nicht alle Determinanten verschwin- den, deren Elemente durch die Schnitte von r Zeilen und 7 Spalten qes $ystemg geliefert werden. Dann heisst 7 der Rang des 5y stems*). L *)V Kronecker, Berl. Ber. 1884 Dec., $ 5. Die Auflösung linearer Gleichungen. 189 Wir können durch Vertauschung von Spalten untereinander und von Zeilen untereinander die Elemente so angeordnet denken, dass die Determinante (1) D=l6&‚:;;] C022 ) eine der von Null verschiedenen Determinanten ' Ordnung des Systems wird. Nun mögen p lineare Funetionen gegeben sein 2) fa = Aa1% A Aa282 F: + Aug (a=1,2‚...p)‚ über deren Anzahl n hinsichtlich der Beziehung zur Anzahl q der P 2 keinerlei Voraussetzungen gemacht werden. Es ist jede Determinante (3) \ On O A, |= 0 (u==«, 1,2,...r). Denn trägt man (2) ein, so wird jedes z mit einer Determinante (r-+1)'" Ordnung der c@;; multiplicirt auftreten; diese verschwindet, da das System a;„ den Rang v hat. Ferner ist in (3) der Coefficient von f gleich D und also von Null verschieden. Man erhält durch Ent- wickelung die für jedes System z,,-::-2, geltenden Gleichungen (3 (‘X=l7 27"'P); vermittels deren man im Stande ist, jede der Funetionen f,, , . durch die 7 ersten unter ihnen linear und homogen auszudrücken. $ 479. Sind demnach die p Gleichungen vorgelegt (4) fı 40 = 0, ﬁ3+£‘20=0;"'ﬁ3+“p0=0; so sind diese wegen (3) nur dann lösbar, wenn alle i Uzo AAyı Aa * Ogr l = (x=a7172;"'7') sind, d. h. nur dann, wenn das System (5) | &9n | (g=1,2,--2; h=0,1,2, q) von dem gleichen Range ist wie (5*) ja @=1,2,...p; k=1,2;...g). Wir wollen annehmen, es wäre (5) vom Range ”. Dann bilden wir die Gleichung, deren Richtigkeit für unbestimmte z nun feststeht, (83°) D(fa + Aa0) F Dau(fa A A0) F + + Der (fr + ar) = 0 und entnehmen aus ihr, dass wenn die 7 ersten GIeichunéen (4°) fr d = 0 a =O erfüllt sind, alle übrigen von selbst befriedigt werden. Wir können also das System (4) jetzt durch (4°) ersetzen. Werden die Gleichungen (4*) durch gewisse Werthe der z be- friedigt, dann wird für diese Werthe z 190 Siebenundvierzigste Vorlesung $ 479—480 | f/ + Uz0> A ü |= 0 CG=1,2 ) Subtrahirt man hier die zweite mit z multiplicirte Spalte von der ersten, die dritte mit z, multiplicirte ebenfalls, u. s. w dann entsteht Ay121 F Onr 8r +ı d F A g8 F Azo, Azo Ar = 0 C =1,2 ) oder entwickelt D 21+Am+dl r+14+1+41 T+2Z'+"+ r Zı f1“q_0 und auf ähnliche Weise erhält man (6) Za+da()+da r+1&r+1 +Äa r+227'+2+ +Aa q°q —® @= 1 r) Diese Gleichungen bestimmen Z,, %, durch die wiıllkür- lich gebliebenen Grössen Z +1, Z+2 &q Endlich ist auch noch die Umkehrung zu beweisen dass durch alle Werthsysteme z, welche den Gleichungen (6) genügen auch alle Gleichungen (4*) befriedigt werden Dazu schreiben wir (6) etwas aus- führlicher in der Form ( ÖD 3a D£e +2'0'+{))<a1 n 3a An O ) +(“100a + +a10 88[)) O Wir multiplieiren diese Gleichung mit Ayx, wobei Q eine der Zahlen Z r sein soll und summiren über x«= 1,2 7 Dabei wird der Coeffieient von %+ ÖD Ar 7+ﬁ[ a910a 3 920a a A (;D + +“27+P[a91(}61 an Q°’ J& Offenbar verschwinden alle eckigen Klammem mit Ausnahme der einen welche Ao,-+p zum Factor hat, und diese nimmt den Werth D an Hierdurch geht die angegebene Summe ın D-(A9121 - 9222 - 4 A09% + A0)= 0 über, und also, weil D =+0 ist, in fy=0. Es sind demnach alle Glei- churmen (4*) W11k110h befuechgt und die Formeln (6) geben die allgemeine Lösung von (4). $ 480. Im Falle homogener Gleichungen gilt 4,o= 0; die Bedingung, dass (5) von gleichem Range mit (5°) sein soll, 1st des- wegen stets von selbst erfüllt Ferner wird in (6) 420=0 zu setzen sein "Die Auflösung linearer Gleichungen. 191 Ist dann 9 =r, d. h. die Anzahl der Unbekannten gleich dem Range des Coefficientensystems, dann giebt es nur die Lösung 2,=0,:.2,=0. Im Falle g=r7+M1 ist, kann die Lösung (6) homogener Glei- chungen auf bequemere Form gebracht werden. Nehmen wir zu dem Coefficientensysteme noch als erste Zeile hinzu @o1, Ao2, * UA99q und bezeichnen wir |a‚;‚|=6 (x =0,1 1,2 q), dann wird 00 09 00 (6°) Z Z H Ön ; Ö0 2 Den Fall g=r7-+2 kann man auf den vorigen zurückführen, indem man zu den gegebenen homogenen r Gleichungen noch eine mit willkürlichen Coeffieienten b& + ba% + + b = 0 hinzufügt. Dass jede Lösung des erweiterten Systems das gegebene engere auch befriedigt, ist klar. Umgekehrt kann zu jeder Lösung des engeren Systems auf unendlich viele Arten ein passendes System der b _bestimmt werden. Dieser letzte Umstand giebt Veranlassung zu einer interessanten Bemerkung. Wir stellen die linearen, nicht homogenen Gleichungen 00 00 00 ON O € Ö, unseres erweiterten Systems auf und betrachten in ihnen die b als Unbekannte. Da dieses System unendlich viele Lösungen besitzt, so muss seine Determinante verschwinden. Dabei erscheint die Determi- nante als halbsymmetrische. Fügen wir dem Systeme der a;; noch zwei ganz beliebige Zeilen oben an b]) b2? br und Ci> C Cq und nennen die Determinante der b, c, @, welche von der Ordnung r-+2 ist, 7, so wird jene halbsymmetrische Determinante ÖT OI Ö Öb, OC OE b10302 Qa Öb, 0C, Öb, 0C, \=0 @I b G Öb; 0C, Bekanntlich ist diese Determinante für gerade ” ein Quadrat, dessen zweite Wurzel als Pfaffian bezeichnet wird. Ein Pfaffian (r + 2)ter, gerader, Ordnung |d,,| verschwindet, wenn seine Elemente 192 Siebenundvierzigste Vorlesung $ 480—481. Auflösung linearer Gleichungen. ORl d„1 —> Öb„ 0C, gesetzt werden. $ 481. Aus (6) geht hervor, dass die Gesammtheit der Lösungen von (4°) (g — r) willkürliche Parameter einschliesst. Die Lösung (6) ist, wie wir gezeigt haben, die allgemeine Lösung. Diese hat aber insofern etwas Unbefriedigendes, als die einzelnen Unbekannten nicht gleichmässig behandelt werden; 2,.+1,' 27 können ganz willkürlich gewählt werden, während z,,---2, dadurch bestimmt sind. Wir wollen versuchen, diesem Uebelstande dadurch abzuhelfen, dass wir sämmtliche z als lineare homogene Funetionen von (g — r) Unbe- stimmten darstellen, denen jede Werthcombination beigelegt werden darf. Wählt man (g — r) Systeme r (@—7) @—) (T) 2t1) Zr 29y Ar , Srfa) q 5 ‘5 Ar 7 2 D 2 Ag A0—=0) 2 so wollen wır diese von einander unabhängig nennen, wenn die Deter- minante («) BA Z =— | 2 { (« ’ ‚d ß r+1,r+2,-:g) von Null verschieden ist. Aus solchen (q — r) . unabhängigen Syste- men kann durch homogene lineare Combination jedes andere System Z ( x 2 (0) U‘)+*1; } Q dargestellt werden: @=) (0 (8) 71240 F Taßrta 4 F Tarr8 na F + ) [24 (@=1,2,...09 —). Wir wählen nun (g —7r) unabhängige Systeme (7) und bestimmen zu jedem «” («=1,2,-..q—r) durch (6) die Grössen , («) bb z2(‘1) ; 4 Z]„(“) Ü Dann liefern die qg Werthe von z,, Z («) («) . Z («) (@) (@«) Z1 , % ‚, ’ ]‘+17"'5(] (oc=1‚ 27 80 20 Lösungen von (4*); und wenn nun (0) (0) 2 B (0) ? O Z 20 (0) die aus (6) entspringende, zu den willkürlichen A %9 gehörige Lösung von (4*) darstellt, so folgt wegen (8), dass ’Z€'(O) — 1159’_.l_ 12ng” + S + 1;q_7‘3(1(41_7') (9=.172;"'9) ıst ? dass man also alle Coordinaten ze(°) der allgemeinen Lösung in der nämlichen Weise als lineare homogene Funetionen von (g —r) Pa- rametern T darstellen kann. Achtundvierzigste Vorlesung. Der Hilbert’sche Irreduetibilitäts-Satz. $ 482. 198 Achtundvierzigste Vorlesung. Der Hilbert’sche Irreductibilitäts-Satz. $ 482. Ist eine ganze, ganzzahlige, irreductible Funetion der Ver- änderlichen %, y,---w; q,r7,-::t vorgelegt, und behalten wir in dieser Funetion einige der Veränderlichen, etwa x,y,::-:w als Unbestimmte bei, während wir für die übrigen g,r,--:tirgend welche ganzen Zahlen einsetzen, so entsteht ein System von unbegrenzt vielen ganzen, ganz- zahligen Funetionen von %, y, - --w; es fragt sich, ob in diesem Systeme nothwendig irreductible Funetionen der Veränderlichen %, y,---wW VOr- handen sein müssen. Diese Frage ist für die gesammte Algebra von der grössten Wichtigkeit. Ihre Erledigung hat sie durch eine Arbeit von D. Hilbert, J. f. M. 110 (1892) p. 104 gefunden, in welcher die aufgeworfene Frage bejaht wird. Die Behandlung derselben musste yon unseren Untersuchungen über Reductibilität und Irreductibilität (Vorlesung 31) getrennt werden, weil Reihenentwickelungen zu dem Beweise nothwendig sind, die erst an späterer Stelle (Vorlesung 35, $ 371) hergeleitet wurden. Wir wollen hier den Hilbert’schen Beweis mit einigen kleinen Aenderungen wiedergeben. Die Darlegungen beruhen auf dem folgenden Hülfssatze: Es sei eine unendliche Zahlenreihe a,, &, 0, - Ms, VOLs gelegt, in welcher allgemein a, eine der @ ganzen positiven Zahlen 1,2,3,--..«@ bedeutet. Es seı überdies m irgend eine ganze positive Zahl. Dann lassen sich stets (m — 1) ganze positive Zahlen 0,,0,, Ön—1 bestimmen (d, < d <-..<0m-ı), so dass unendlich viele Indices w bestehen, für welche alle die Zahlen D Au Au-+d, > Au+td, y Au-+d m—1 einen gleichen, von jenen Werthen w unabhängigen Werth annehmen. Wir beachten zunächst, dass unter je (@ +1) Elementen der vor- gelegten Zahlenreihe, die wir als aufeinanderfolgend annehmen und als ein „Intervall“ bezeichnen wollen, mindestens einer der Werthe f 2 25 @ wenigstens zweimal auftritt. Ebenso kommt in einem Intervall von der Ausdehnung (m — 1)@ + 1 eins der Elemente min- destens m-mal vor. Es mag dies bei einem bestimmten Intervalle das Element a’ sein. Die Indices derjenigen m ersten Elemente des Inter- valles, welche diesen Werth a’ haben, mögen in ansteigender Grösse geordnet die folgenden werden: (1°) W, w 0i, w + 0, Z 'y“/+ är;c—-—l' Netto, Algebra, II, 13 194 Achtundvierzigste Vorlesung $ 482—483 Sso Schiebt man ein Intervall von gleicher Ausdehnung an das erste oiebt es ın diesem neuen gleichfalls ein m-mal vorkommendes Element etwa a”, welches zu den Indices (1”) W @ @O Ü u +ö7;1,——1 gehören mag; u. s. f. Die m Stellen, welche a’ in seinem Intervall, @” in dem seinigen u. s. f annehmen kann, sind der Zahl nach beschränkt; damit ist es die Wahl der 0, Bei der Ausdehnung (m — 1)a + 1 des Intervalles wird b (m — 1)a + 1 ( M ) eine obere Grenze für diese Möglichkeiten Ebenso ist der Werth jedes a (22 ’ auf eine der @ Möglichkeiten 1, 2 @ beschränkt Also giebt es für die verschiedenen @ und 0 höchstens a - b Combi- natıonen Wählt man also ein Intervall von der Ausdehnung (ab + 1) ({m — 11a4 + 1), so giebt es in diesem gewiss zwei Indicesreihen (1“ ), die in den @0 und Ebenso kommen ın einem in dem zugehörigen @ übereinstimmen. Intervall von der Ausdehnun (xab + 1) ([m — 1]a + 1) mindestens + 1) solche Indicesreihen vor, die in den Werthen der 0 und ın der Grösse des zugehörigen @ übereinstimmen Damit ist der Hülfssatz bewıesen 483 Wir kehren jetzt zu unserem Problem zurück und be- trachten eine ganze, ganzzahlige Function von % Wa0l 6 (2) F, — Ta Ba D, ganzzahlige Funetionen von % bedeuten. in welcher 7, 7, T, ganze, g Wir nehmen an, d‘mss für- jeden oan1„zahhgen Werth von € die Funetion f (x,t) in zwei ganze, ganzzahlige Funetionen von % zerfällt, und wollen beweisen, dass dann ‘LuCh bei unbestimmten € die Funetion f (z, £) nıcht irreduetibel seim kann. Für die Substitution X = —_ erhalten wir zunächst die Umformung 11 (9a) (/(Z f) =—= _']'n—1f(1 G —le__i_ S „—:7L—1_+_ S n— + + S Dabei setzen wir fest, dass |$| grösser als der Betrag O, jeder Wurzel von 7 = 0 angenommen werden soll. Mit f wird auch g für jedes ganzzahlige % reductibel. Wir entwickeln nun die %» Wurzeln 2,, %, Z von gie@ 0 —0 Gemäss 373 können wir t == ı” setzen nach fallenden Potenzen von * Der Hilbert’sche Irreductibilitäts-Satz 195 wo r so gewählt ist, dass die Entwickelungen aller Wurzeln z; nach fallenden ganzen Potenzen von Tı vor sich gehen ßar ß)2 ß)3 (3) 2= a 01 + aın A A + + —19 ) Hierbei sind die Coefficienten « und ß sämmtlich vollständig be- stimmte rationale oder irrationale, reelle oder imaginäre Zahlen Die Potenzeihen conyergiren stets, wenn |£| eine gewisse positive Grösse C_ überschreitet Wir setzen fest, dass |t| oberhalb einer Grenze C welche grösser als C und C, sein soll, angenommen werde Nun bilden wir sämmtliche ganzen Funetionen von z (4) m =1,2 n—11), Y H(F — %) wobei 4, %, in alle möglichen Combinationen der Zahlen 1, 2 2 durchlaufen. Die Anzahl der so erhaltenen ganzen Funetionen von be- trägt (2% 2); wir wollen 2 — 2 = a setzen und die Functionen (4) in beliebiger Reihenfolge mit (4°) , (2), 9 (8), a (£) (@ 2%*.— 2) bezeichnen Tragen wir die Entwickelungen (3) in alle Funetionen (4*) ein so erhalten wir für eine jede einen Ausdruck, der in z ganz ist; bei dem der Coefficient der höchsten Potenz gleich 1 wird: und bei dem die Coefficienten der folgenden .Potenzen von D « Potenzreihen sind, die nach ganzen fallenden Potenzen von T fortschreiten Wir wollen die bei den %, auftretenden Potenzreihen mit W n), B m, und allgemein mit %, (z) bezeichnen. Der höchste in irgend einem % vorkommende Exponent von t sei (m — 1). Nun sei %_ irgend ein für * erlaubter Werth, und 7 = € Für ı setzen wir jetzt ein ,, 27,, 37%, d. h. für t die Werthe Q ÖTo, 3r7 6) 1) Dadurch gehen die %, (7) in Potenzreihen über, die nach ganzen fallenden Potenzen von 6 fortschreiten Wir setzen B (070) = %, (o) und schreiben die Entwickelung ®) G=1,92 ) B@O=Na, am—@+2 e=1 Lassen wir num 6_die 7ahlemexhe 1 Z - durchlaufen, so muss für jeden dieser Werthe ein Index x bestehen fur den @, eine ganze, IS 196 Achtundvierzigste Vorlesung $ 483—484 D ganzzahlige Funetion von O wird; denn die Functionen (4*) Liefern. alle ubenhaupt möglichen Factoren von g(z,t). Für diesen Index x müssen also alle zugehörigen Reihen (5) ganzzahlige Werthe haben Wir setzen fest, dass x = a„ dieser zu 6 gehörige Index sei, der dann einen der Werthe 1, 2 @ hat 484 Wir stehen jetzt auf dem Boden des Hülfssatzes &$ 482 und können daher (m — 1) feste Indices & i ö2) 0n —1 SO bestimmen dass es unendlich viele Zahlen w giebt, für welche alle Apız Au+dyy Au+t+ 0, Au —+ dın al den gleichen Werth haben Setzen wir diesen gleich «, so werden für die unendlich vielen u sämmtliche Potenzreihen Ba (u), Ba ( + 01), Ba + 0,), Pa ( + Im—1) ganze Zahlen liefern Zur Abkürzung setzen wir jetzt den Complex der Glieder aus Pa(w), die keine negativen Potenzen von w enthalten leich x (w) und seine Ableitungen nach y‚ gleich p; (y), De (w), Dann wird n—1 Ba + 0) = De(w) + Di(w) S +Pa (5'“) Tl 2+ +])m_l>(u> (m 1)' (6) Q) n+/ +z( „& 5) hierin bedeuten die cQ; die bei der Entwickelung von @+ (98+ (T 18r — ( 770 auftretenden Coefficienten Um —1 Sanz- Wir suchen nun die »” Unbekannten uo, U, Uo, zahlig so zu bestimmen, dass in dem Aggregate 0 Z T L keine ganzen positiven Potenzen von w vorkommen Dazu reicht es aus, die w so zu wählen, dass das System linearer Gleichungen , A U + U i F “0‚ Ö, -{ Oala S + Ö\m—lum—l — 0 024 + 024 + + öm—l“m—l e O öm—1‚„ _l_ö‘m—l„ + + 0iı = 0 ganzzahlig erfüllt werde, was stets möglich ist, sobald man w als ganzes V191faches der nicht verschwmdenden Determinante R { (« M) Der Hilbert’sche Irreductibilitäts-Satz 197 annımmt. Aus der Struetur der inneren Summe auf der rechten Seite von (6) erkennt man, dass bei jedem B.o die ersten m Glieder, d. h. die- Das nächste Glied da- jenigen mit 4 =0,1, .. (m — 1) Wegfallen gegen, dasjenige mit 4 = m, kann nicht verschwinden, weil die Gleichung ÖMg + ö"“%:; + + öm—-l”m—l =0 in Verbindung mit dem obigen linearen Systeme fordern würde dass [ |=0 ( m) erfüllt wäre, was ja nicht der Fall ist Ist deshalb in (6) der erste nicht verschwindende Coefficient eines Gliedes mit negatiyvem Exponenten von w, so beginnt die Knt wickelung von (ö) nach fallenden Potenzen von w mit F„„—B s [ö%u4, + 7U + + _ ıUm— ı] 0 CO v+m d. h. der Ausdruck, in den (7) übergeht „—v m—1 + (0') P(w) — D r In (Tav + 0) wird für unendlich viele Werthe von w rational und ganz Lässt man aber w hinlänglich gross werden, so wird der Werth von (7%) kleiner als 1 und folglich gleich 0; d. h. (7%) verschwindet für unendlich viele w Andererseits erkennt man aus der Form P (@) = 77 [Tav + I'a + ]» dass dies nicht möglich ist, da für hinlänglich grosse w der Werth von P(w) beliebig nahe an Iov —v—m gebracht werden kann Aus diesem Widerspruche schliessen wir dass in (6) überhaupt kein von Null verschiedenes B existirt. Wir haben daher: Die Function (5°) \'b(l(6) _2A m— besitzt für unendlich viele ganzzahlige Werthe 6 selbst ganzzahlige Werthe Daraus schliessen wir, dass die A sämmtlich rationale Grössen sind. Denn schreibt man die Gleichung (5%*) für m solche Werthe Ö = U1 U, Um an und berechnet daraus bei festem « die A, dann erhält man rationale Lösungen der linearen Gleichungen Geht man von (5%*) auf die %B (rT) zurück, so folgt T (8) S Ba(t) = Auı >m«l+Aa2( )m + + Aum‚ wobei die A rationale Grössen sind. Durch (8) hat sich dem 7, ein Index « zugeordnet, der & mcht überschreitet. Wählen wir jetzt 7,, 7, 7 - Ta innerhalb des erlaubten Gebietes für t, nehmen wir die T femer von einander verschieden und 198 Achtundvierzigste Vorlesung $ 484—486. als Primzahlen an, dann müssen mindestens zwei 7 vorhanden sein, die dasselbe « haben. Es seien dies etwa 77 und rt,; dann hat man Ba = L[ F Wer(E) H A am worin auch die X rationale Grössen sind. Vergleicht man die beiden letzten Ausdrücke und geht von 7,, 7, auf %, %, zurück, so folgt M —2 m—2?2 m— 1 m—1 YHoılo = Agıdı O = Aaalı ? ’ und da die %, 4, von einander verschiedene Primzahlen und die %, A rationale Zahlen sind, so ist dies nur möglich, wenn die Coefficienten in allen den Relationen Null werden, bei denen der Exponent der $ keine ganze Zahl ist. Folglich kommen in P.(r) nur ganze Potenzen von v”, d. h. von € vor. Man hat daher unter den Funetionen (4*) für ein gewisses « ‘PH(Z) Z 2F(Z; t); wo 3 eine ganze Funetion von z und von € mit rationalen Zahlen- coefficienten bedeutet; (2°) wird g(z,t) = W(2,t) : Pı(2,t), und I,: B, f('”; t)= Tn—l oder, wenn man von den rationalen zu ganzzahligen Coefficienten übergeht, E ${T7 t) A ®1 (CC‚ t) X DA an—1 Hierin sind f, ®, O, ganze, ganzzahlige Functionen von x und %, ferner ist T eine ganze, ganzzahlige Funetion von £ und A eine ganze Zahl. Nach 8 343 muss dann auch eine Zerlegung f(x; t) Z q>(w‚ t) S q)1(513‚ t) bestehen, wenn wir jetzt unter 9 und &, ganze, ganzzahlige Functionen verstehen. Damit ist der behauptete Satz bewiesen. Wir können ihn so aus- sprechen, dass wir sagen: Wenn f(z, t) für alle ganzzahligen Werthe von t, die oberhalb einer gewissen Grenze U liegen, in Factoren zerfällt, dann ist es reductibel. Folglich giebt es oberhalb einer Grenze C einen Werth von %, für den eine irreductible Funetion f(x,t) von x und von % irreduetibel bleibt. Ist %' dieser Werth, nimmt man eine weitere Grenze U > % an, So folgt die Existenz eines zweiten Werthes &, für den f“ irreductibel bleibt u.s.f. Es giebt unendlich viele Constanten (@, für welche f(x,W) irre- ductibel bleibt, falls f(x,t) in x und € irreductibel ıst. Der Hilbert’sche Irreductibilitäts-Satz K99 $ 485. Wenn f@, 0), @, D), k(x,t) sämmtlich ganze irreductible Funecetionen der beiden Veränder- ganzzahlige lichen x und £sind, so ist es stets auf unendlich viele Weisen möglich, für € eine ganze rationale Zahl einzusetzen, so dass dadurch jede dieser Functionen f(x,t), g(x,%), k(x,t) in eine irreductible Funetion der einen Veränderlichen x übergeht Um dies zu beweisen, stellen wir die Wurzeln aller der Gleichungen f(@,t)=0, @ ü = 0, k(x,t)= 0 dar, wie dies in (3) bei einer Gleichung geschehen ist, bilden dann die B11nct10nen welche denen in (4*) entsprechen Pa K‘°) , Ya (z) ’ %. (8), betrachten weiter die Systeme aller hierzu gehörigen Coefficienten-Potenz- reihen, und verfahren genau so, wıe dies oben geschehen ist Dann zeigt es sich: wenn für jeden Werth des %* mindestens‘ eine der Funectionen zerfällt, muss mindestens eine unter ihnen reductibel sein Sprechen wir den Satz für das Product /F(x,t) der sämmtlichen vorgelegten Functionen f(x,), g(x, %), k(x,€) aus, so ergiebt sich folgendes Theorem Ineiner beliebig gegebenen ganzen anzzahligen Function F(x,t) der beiden Veränderlichen x und t lässt sich stets für € auf unendlich viele Weisen eine ganze Zahl derart einsetzen dass in Bezug auf die Veränderliche x die entstehende Funetion geNnNau ın ebensoviele ganze ganzzahlıge, irreductible Functionen zerfällt, wie die ursprüngliche Function F(x,t bei unbestimmtem Parameter &* (Hilbert, 1. c. S. 117.) S 486 Zum Zwecke der weiteren Ausdehnung des Theorems aus $ 484 brauchen wir zunächst aus der Theorie der Funetionen folgenden Satz Es sei die Gleichung (z;t,7,- - q) = 0 mit der Un- bekannten z und den Parametern U :-q vorgelegt; es mögen 4, 7o, d Werthe des Parameters sein, für d18 @3 Vn l ’ 07 %) = 0 lauter ver- schiedene Wurzeln besitzt. Dann lassen sich alle Wurzeln 2,, , Zn; welche w(2; %, r, q) =0 hat, in der Form von Potenzreihen (9) —2® An O :(g — %) («=1,2 ) darstellen, welche nach positiven, steigenden Potenzen von 0, — %), ( — 96) fortschreiten und für hinlänglich kleine absolute Beträge dieser Diffe- E renzen COnvergıren Wir wollen nun beweisen, dass wenn JAl 0 ) eine irre- ductible ganze, ganzzahlige Funetion der Veränderlichen x und der 200 Achtundvierzigsté Vorlesung $ 486. Parameter %, 7,-:.dq/ bezeichnet, stets für t,r,-:-dq lineare, ganze, ganz- zahlige Functionen eines Parameters w eingesetzt werden können, so dass dadurch die Funection iın eine irreductible Funetion der beiden Veränderlichen x und w übergeht. Es sei W NT wo f,fi,: fn ganze ganzzahlige Funetionen von &, 7,--:- q sind. Setzen wır hıerın % = f ein und multiplieiren dann mit /”—!, so ergiebt sıch eine gleichfalls irreduetible Funetion GE Z WO 4, 9ey ‘ In Wiederum ganze Functionen von , V, -g Sind. Wir bilden die Diseriminante D(t,r7,---q) von G; diese ist nicht identisch Null, weil sonst &@ einen quadratischen Factor besässe. Es möge Co> Yo> --qo ein System ganzer Zahlen bedeuten, für welches D nicht D Z verschwindet. Dann gelten für alle Wurzeln 2,, 2 - „ von G= 0 Entwickelungen von der Form (9). Eine Beschränkung der Bestimmung von &,Fo, : qo wird noch eintreten (S. 202, Z. 10); diese ändert aber an unseren Ueberlegungen nichts. Jetzt bilden wir genau wie im früheren Falle alle Funetionen (4) q=i, Ü(£«*z«ß @ —130 0 und setzen in diese ganzen Funetionen von z dıe Entwickelungen der Dann kann in keiner der SI Wurzeln z von der Form (9) ein. haltenen Funetionen die Gesammtheit der als Coeffieienten auftretenden Potenzreihen im Endlichen abbrechen; denn sonst hätte G (z; 4, 7, - q) gerade diese Funetion als ganzen Theiler in z mit rationalen Coefficienten in den Parametern. Das würde aber die Voraussetzung der Irreducti- bilität verletzen. Nun setzen wir in diese so entwickelten Funetionen (4) ein (10) 0 = 0 5 r= mU{n ° 90l —O A yg wobei &,, 7, q, noch unbestimmte ganze Zahlen und w eine Variable sein sollen; es ist dann unsere Aufgabe zu zeigen, dass man stets für f F1 qı ganze rationale Zahlen derart wählen kann, dass auch nach dieser Substitution nicht alle Potenzreihen irgend einer Function (4) im Endlichen abbrechen. Das allgemeine Glied der entwickelten Func- tion (4) enthält Coefficienten der Potenzen von z von der Form 017/2‚"‘1'Ft TE t0)z ()' S 7'0)Ä' S (q B q())1/‚7 Der Hilbert’sche Irreductibilitäts-Satz. 201 diese gehen jetzt ın q w A Cn ‚Üf7ä über. Ordnen wir nach Potenzen von w, so entsteht die Reihe m=0 vauf"‘26',; br (FA U = M). Falls eine der ursprünglichen Reihen in (£— 6), (r—7%), * (d—%) im Endlichen nicht abbricht, liefert die transformirte Reihe beliebig hohe Potenzen w“ von w, deren Coefficienten nicht identisch ver- schwindende ganze Funetionen von %,,r,,:-:dq, Sind. Daher zeigen die in 8337 angestellten Schlüsse, dass f,,7,,:::dq, ganzzahlig so gewählt werden können, dass der Coefficient von w” nicht verschwindet. Demnach brechen nicht sämmtliche zu einer Function (4) gehörigen Reihen nach Substitution (10) im Endlichen ab.. Denn sonst würde (10) aus G-(z;t,r,---q) eine zerfallende Funetion von z und w herleiten; wäre nun in ihr d die Summe der höchsten vorkommenden Exponenten bei 4, r,--- q, So könnte in den Reihen (11) kein w” mit m > d vor- kommen, dessen Coeffieient von Null verschieden ist. Wir haben aber bei beliebig hoch angenommener Zahl m gleichwohl den Coefficienten von w* von Null verschieden machen können. Also kann man in (10) die Werthe £,,7,,:-: 0, ganzzahlig derart wählen, dass G (2; t,r,---q) irreductibel bleibt. Wenn wir also in der ursprünglich vorgelegten Function F'(x;t,r7, q) die Substitution (10) ausführen, so folgt, dass die entstehende Funetion der beiden Veränderlichen x, w keinesfalls in mehrere von x abhängige Factoren zerfällt. KEs bliebe mithin für eine Zerfällung nur die Mög- lichkeit, dass die aus /(x; %, r,---q) vermöge (10) entstehende Funetion einen Factor besitzt, der allein die Veränderliche w enthält. Nun war Iﬂ(x5 t77'7"'9)=/'(t>7";"'Q)'xn+fl(t;r7”'Q)'x"—.l+"'; wobei die Coefficienten f; fi,-:: keinen gemeinsamen Factor in &,r, q besitzen. Wir tragen (t= 0, Y7=1+n, g= d + 4 0in und erhalten C L NC wobei auch %, ,, -:- keinen gemeinsamen Faetor in , r',-.-q’ haben. Man kann deshalb nach $ 346, XII ganze, ganzzahlige Functionen P, Pır von t,r',-.-q’ bestimmen, so dass h(t,; ",;' K '(1/) Ü (p(t’‚?‘l‚° "Q,) +]l’l(t’;'rl7"')'q71(t' 7"/)"')+"'= @(V'‚-°-q') von * frei wird. Macht man nun f = tu, r'= TU 44 g’:_g„b‚ dann erhält man die Substitution (10), und es folgt, dass, wenn T ( 106 < q W) A, (b,, F1l e QLU) , 202 Achtundvierzigste Vorlesung 8 486 —487. Neunundvierzigste Vorlesung 8488 —489. als gemeinsamen Theiler eine Funetion von w hätten, diese von %, un- abhängig sein müsste. Aus dem gleichen Grunde könnte dieser Theiler auch nicht von 7,,::-, abhängen; also müsste er eine Funetion von w allein sein. Ordnet man jedoch die Ax(tu,r,u,---q,W) nach Potenz- produeten der 4, 7, -- ı, So sieht man, dass jener Theiler in w alle Coefficienten der Potenzproducte theilen müsste. Diese Coefficienten sind von constanten Factoren abgesehen lediglich Potenzen von w; folglich kann der Factor der h„ oder der fx in F nur von der Form w sein. Dass dies in der That möglich ist, sieht man sofort ein. Man kann dieser Möglichkeit aber ausweichen, wenn man %9,79,: o SO bestimmt, dass mindestens eine der Functionen h, h,;, ein von F r E ” unabhängiges nicht verschwindendes Glied besitzt, weil dann der Facetor w* in w° übergehen muss. Ist eine solche Bestimmung ge- troffen, dann kann man %,7,,: -gı den obigen Vorschriften gemäss wählen, ohne dass / zerfällt. Hiermit ist der Hülfssatz vollständig bewiesen. & 487. Wir kommen nunmehr zu dem Beweise des Haupt- satzes: Wenn F(x, y, w; t,r,---qg) eine irreductible, ganze, ganzzahlige Function der Veränderlichen z,y,-:. w und der Parameter 4,r,.-.gq bezeichnet, so ist es stets auf unendlich viele Weisen möglich, für die Parameter %,r7,---gq ganze rationale Zahlen einzusetzen, so dass dadurch die Function F(x,y,::-w; t,r,---q) in eine irreductible Function der Ver- änderlichen z,y,---w übergeht. (Hilbert 1. c. p. 121.) Wenn wir in der vorgelegten Function F(x,y,::-w; t,r,::d) zuerst die Substitution Y—NZ, 5 10776 o W — 0X vornehmen und dann die etwa als gemeinsamer Factor auftretende Potenz von z& fortlassen, so entsteht eine Funetion G e ® 6 Y Q) der Veränderlichen x und der Parameter %,-::@;,r,:::dq, welche ebenfalls irreductibel ist. Wir setzen, was nach dem eben bewiesenen Satze möglich ist, für diese Parameter lineare ganzzahlige Funetionen eines einzigen Parameters w ein, nämlich N= N + , O = 0W A 0, = 1U 6, q =U4U + %> so dass jene Funetion in eine irreductible Function g(x,u) der beiden Veränderlichen x und u übergeht. Es lässt sich dann nach dem Theoreme aus 8& 484 für w eine ganze rationale Zahl w einsetzen, so dass die Funetion g(zx, w) eine irreductible Funetion der einen Ver- änderlichen x wird. Nunmehr erkennen wir, dass die ursprünglich Die cyklischen Gleichungen. 203 vorgelegte Funcetion F(zx, y, - w; t,r,-::dq) nothwendig in eine irre- ductible Funetion der Veränderlichen x,y,:::w übergeht, wenn wir für die Parameter die ganzen Zahlen b F > *= U F, ‘ d= 0 % einsetzen; denn die so entstehende Function würde in eine irreductible Funetion der einen Veränderlichen x übergehen, wenn wir überdies noch setzten Y = (M U 4 M)X, ‘: W= ( + 0o)X und von einer etwa als Factor auftretenden Potenz der Veränderlichen x absehen. Damit ist der verlangte Nachweis geführt. Neunundvierzigste Vorlesung. Die cyklischen Gleichungen. $ 488, Die algebraische Auflösbarkeit der Kreistheilungsglei- chungen beruht auf folgendem Umstande: man kann die Gleichungs- wurzeln in eine solche geschlossene, cyklische Folge bringen, dass eine jede Wurzel dieselbe Funetion der vorhergehenden wird, wie die zweite von der ersten. Dass bei den Kreistheilungsgleichungen diese Funetion gerade in der einfachen Gestalt einer Potenz mit ganzzahligem Exponenten auftrat , — 0{, O; = @ g D Op— 1ı — mlgl—2; D — ﬁ)ä’,_„ vgl. $ 314, (11) Bd. I, ist völlig indifferent, und daher kommt es, dass die bei jenen Gleichungen benutzte Methode sich bei allen cyklischen Gleichungen verwenden lässt, d.h. bei allen solchen, bei denen die Wurzeln in der oben bezeichneten Weise angeordnet werden können*). Bevor wir aber auf diese Art von Gleichungen näher eingehen, wollen wir eine allgemeinere Art von algebraischen Gleichungen besprechen, durch die wir dann naturgemäss auf den be- sonderen Fall cyklischer Gleichungen geleitet werden. Wir folgen dabei dem Gange von Abel**), von dem diese Untersuchungen stammen. $ 489. Es sei OR A e © 2n) = 0 *) Kronecker hat diese Gleichungen in seinem Aufsatze: Berl. Ber. 1853, 10. Juni als „Abel’sche Gleichungen‘“ und später ibid. 1878, 16. April als „ein- fache Abel’sche Gleichungen‘“ bezeichnet. **) Oeuvres, 6d. Sylow et Lie, 1. p 479. 204 Neunundvierzigste Vorlesung $ 489—490. eine vorgelegte irreductible Gleichung, bei welcher zwei Wurzeln durch eine beliebige rationale Beziehung gemäss der Gleichung (2) 2 = @ (&,) miteinander verbunden sind; die rationale Funetion @ können wir ohne Beschränkung als eine ganze Funection voraussetzen ($ 108, Bd. I); ihre Coeffieienten gehören einem bestimmten Rationalitätsbereiche an, der natürlich auch die Coefficienten von (1) enthält. Nun hat die Gleichung f(g (z)) = 0 mit der irreduetiblen Glei- chung (1) eine und daher alle Wurzeln gemeinsam; insbesondere ist somit f(g(z))= 0, d.h. auch die Grösse w (2,) = @ (g (2)) = v (£,) In derselben Weise (vgl. $ 270, Bd. I) ist eine Wurzel von f(z2) = 0. zeigt man, dass alle Glieder der beliebig weit fortgesetzten Reihe von Iterationen 1, P(21)> o (21), Z (21)7 Oal Wurzeln von (1) Liefern. Da die Anzahl dieser Glieder aber beliebig gross gemacht werden kann, so muss es Indices x, 2 geben, für welche O42 (2,) = gı (@1) d.h. [ı (2)] — 1y (2)]= 0 ist Es haben demnach die beiden Gleichungen (PZ(2)—Z=O) f(5)=0 die Wurzel @; (z,) gemeinsam, und wegen der Irreductibilität von f(z) ist daher auch z, eine Wurzel der ersten Gleichung; d.h. es giebt einen Index x, für den @, (z,) = %, wird. Giebt es mehrere solche x von gleicher Eigenschaft, so sei % der kleinste Werth unter ihnen. Dann sind die Glieder der Reihe (3) 21 P(81), P (@) . Onı (21); (D (51) = %) sämmtlich von einander verschieden, weil im entgegengesetzten Falle der oben durchgeführte Schluss auf einen noch kleineren Index als » von derselben Eigenschaft leiten würde. Man erkennt ferner, dass Pntka(21) = Pa (4i) für jedes x werden wird, und dass q„(2,), @2»(&), O3n (21), die einzigen Iterationen von @ (z,) mit dem Werthe z, sind. Ist die Reihe der Wurzeln von (1) durch die Grössen (3) noch nicht erschöpft, so giebt es eine weitere, nicht in (3) enthaltene Wurzel, die wir z#/ nennen wollen. Da f (g (z)) = 0 alle Wurzeln von f(2z)=0 enthält, so ist auch f(g (z1)) = 0, und es ist g (zı) eine Wurzel von.(1). Wir wollen sie mit z2 bezeichnen und setzen also (2°) Hieran knüpfen sich wieder unsere obigen Betrachtungen, und wir ge- Die cyklischen Gleichungen 205 langen auf dem beschrittenen Wege zu einer Reihe von Wurzeln, die sich durch Iteration ergeben, Z1, @ (Zl} » P2 (“1>; Pr— 1 (Z1) ; ( (21) = %), wobei v die kleinste posıtıve, ganze Zahl von der Eigenschaft ist, dass O, (Z1) = 4 wird. Weil @„ (z) — 2=0 und w,(2) — z= 0 mit der irreductiblen Gleichung (1) je eine Wurzel gemeinsam haben, nämlich z und bezw. z1, so besitzt jede der beiden Gleichungen alle Wurzeln von (1), und insbesondere wird. @„ (21) = zı und @, (2,) = Z Daraus folgt aber erstens, dass ” ein Vielfaches von v, und zweitens, dass v ein Vielfaches von % ist, d. h. es wird n = v, und wir haben deshalb die auf zı aufgebaute Wurzelreihe (3°) 21 O (21), O2 (2i), Pn— 1 (“l) ’ (‘pn ("1) Z 71) Dabei hat die Wurzelreihe (3*) mit der Reihe (3) kein Glied gemeinsam Aus der Gleichheit D (&1) = po(2) würde nämlich folgen, wenn man auf beiden Seiten mit On —0 Iterirt 1 — On—0 (‘Pe (21)) = Pnto—o (21), so dass gegen die Annahme z; in (3) vorkäme Ist die Reihe der Wurzeln von (1) durch die beiden Serien (3) und (3*) noch nicht erschöpft, so gehen wir nach demselben Schema weiter und erkennen damit, dass sich alle Wurzeln 2,,%, Zm ın eine Tabelle Zl? @, Po (;'1); nl ('51); Z ’ Q>(/l)‚ P ("“1); (4) Pn— 1 (F1); (n-v= m) g(' 1 (d—9), , Cn einordnen lassen, und dass % ein Theiler von m wird. Ist O1 so erhält man (1) als cyklische Gleichung. Wir werden zunachst v >1 annehmen. $ 490. Wir wollen unter S(t,, 6, - t) eine beliebige Sym- metrische anze Funetion der Argumente &,6.- t„ verstehen; dann betrachten wir die » Werthe _‘“S("12 ‘P(41); P (21)! On 1 (8)) = JC& = Fg ('°1)) F S('“I; P ("1)7 992(/«1)‚ “ Pnı (21)) = F(&i) = Wo(z)) I Y = ST , ”)‚ ‚(F Pl Wir können es durch passende Wahl von S stets so einrichten, und zwar auf beheb1@ viele Arten, dass alle diese Werthe Yır Ya, ' Yı 206 Neunundvierzigste Vorlesung $ 490—491. von einander verschieden sind. Dazu reicht es z. B. schon aus, bei unbestimmtem w die Funetion in der Form Ya+ı = (U — 29) (u — pE) + (W — On 1 (@9)) anzusetzen, weil nur dann ein Werth y„4+1 einem anderen yg+1 gleich werden kann, wenn sämmtliche Wurzeln z©, miıt den Wurzeln 6, abgesehen von der Reihenfolge übereinstimmen; dies trifft aber nur für @ = ß zu. Nun wird die Summe der x Potenzen unserer v Grössen y A Üa a S (F*(@) + F*(@@)) + +Fgnı @)) + A F*@) + F*(p@)) + - + F"(@u_1@) . + == — — Z N eine symmetrische Funetion der Wurzeln von (1) und daher rational in unserem Rationalitätsbereiche darstellbar. Setzen wir x==1,2,...v und berechnen daraus nach $ 94, Bd.I die elementaren symmetrischen Functionen der Yı, %, - Yı, SO erkennen wir, dass die Grössen yl) yZ) y, die Wurzeln einer Gleichung v“ Grades Ö) M Z A E sind, deren Coefficienten unserem Rationalitätsbereiche an- gehören. Die Gleichung (5) ist iırreductibel. Der letzte Satz muss noch bewiesen werden. Wir betrachten zu dem Zwecke denjenigen irreductiblen Factor g,(y) von g(y), welcher den Nullwerth yı = F(z,) besitzt, und zeigen, dass er mit g(y) selbst zusammenfallen muss, woraus dann natürlich die Irreductibilität von (5) folgt. Da g.(F(2)) = 0 ist, so haben die beiden Gleichungen qFO)= 0 und f(z)= 0 eine Wurzel z, gemeinsam. Die zweite Gleichung ist der Voraus- setzung nach irreductibel; also hat g,(F@)==0 alle Wurzeln von f=0, und g,(y)=0 besitzt sicher die v Wurzeln y,, %, Yı Diese sind unter einander verschieden, und daher steigt g,(y) zum Grade v auf, d. h. es fällt mit g(y) zusammen. Jede symmetrische Function S, (z,, @,: D @))= Z@) kann rational durch y,= S(g,, p@), : n 1(@)) dargestellt werden. Denn verstehen wir unter w eine unbestimmte Grösse und bilden nun die Summe C il C F (&) + F @ı)_ B DE M ED u — F(z,) ME E U = F(zä"—l)) n u—F( )} Die cyklischen Gleichungen. 207 so zeigt die rechte Seite, dass dies eine symmetrische, gebrochene ? rationale Funetion der Wurzeln von (1) ist. Es wird daher, nach Multiplication mit dem Polynome g(w) von (5) 1 (y—1) Fı @ F + + M T(z al ) g(w) [;‚ __]W(5 3 u— F( z u“ F ( (v——l)) ]:G@ eine ganze Funetion von w mit rational bekannten Coefficienten. Trägt man hierin u = y,= F(z,) ein, so erhält man als Resultat G (yı) (6) Fı(2,) = g yı)? wobei g’ die Ableitung von g bedeutet*). Damit ist der ausgesprochene G (yı) Z S in Satz bewiesen. — Ebenso ist F (z1) = g' (ys)? $ 491. Nimmt man nun für Sı = F, der Reihe nach die elemen- taren symmetrischen Funetionen von 2,, @(2,), - - @— 1(2,), so erhält man dadurch die Coefficienten derjenigen Gleichung, deren Wurzeln eben jene Grössen z,, @(2), - sind, und da nach (6) die vorzu- nehmenden Rechnungen bei jedem der (y —1) oberen Index von 2, die- selben sind, so haben wir bewiesen: Die »” Grössen z«—09, E ), q7"—1(2(1a_1)) (für d = 1; 27 x v) sind die Wurzeln einer Gleichung .‚ mn— 1 D (7) h(@; ya) = Z — Yılye) JE Yalda) 27 0 A = 0, in welcher . die 7, %, - bestimmte rationale Functionen des Argumentes mit rational bekannten Coefficienten bedeuten. Ks ist deshalb das Gleichungspolynom von (1) als Produet darstellbar (8) f(@) = h(@;yı) h(@;yo) + h(e; yı), d. h. wenn man nach Auflösung der Gleichung v“ Grades ©) I) =Y —4y + day-7? —.. d =0 sämmtliche Wurzeln Oa 0 : % dem Rationalitätsbereiche hinzufügt, dann wird die vorher irreductible Funetion f(z) reductibel und zerfällt nach (8) in v Factoren desselben m Grades n = Das erhaltene Resultat können wir auch so deuten, dass wir die irreductible Gleichung D f D 2 ) — 0 EBEANL M *) Diese Art der Herleitung stammt wohl von L. Kronecker (J. für Math, Bd. 91 (1881) S. 307). 208 Neunundvierzigste Vorlesnng $ 491—492. als das Eliminationsresultat der Grösse y aus den beiden Gleichungen und (1*) CZ gy)=0 auffassen. In der That stimmt ja (8) mit der in $ 136, (4) Bd. I gegebenen Poisson’schen Darstellung der Resultanten vollkommen überein. Eine so darstellbare Gleichung (1) wollen wir eine ımprimi- tive Gleichung nennen. Gleichungen (1), welche nicht die KEıgen- schaft haben, als Eliminationsresultat einer Grösse y aus zwei anderen Gleichungen (1*) darstellbar zu sein, heissen primitiye Gleichungen. Die Gleichung (5) des abgeleiteten Theorems kann von ganz be- liebigem Grade sein, so dass sie im Allgemeinen nur auflösbar werden wird, wenn die Zahl v den Werth 4 nicht überschreitet, wie wir später zeigen werden. & 492. Wir gehen jetzt zu der Behandlung der besonderen, sogenannten cyklischen Gleichungen h(z; y.) = 0 über, für die also v=1 ist. Eine cyklische Gleichung des Grades u ist eine Z iın die eine Reihe solche, deren Wurzeln 2,, %, (9) A 2 = @(&), % = Q (%), DF m„——1(51> eingeordnet werden können, wobei g eine rationale Function mit Coefficienten ist, die dem Rationalitätsbereiche ange- hören, und für welche @„(z,) die erste iterirte Function ist, die gleich z, wird. Wir setzen fest, dass , = 2 Seın soll, wenn h= k (mod. n) ist, so dass wir also auch höhere positive Indices als (n — 1) und auch n negative bei D zulassen können. Ferner erinnern wir uns daran, dass es keine Beschränkung involvirt, @ als ganze Function vorauszusetzen. Zu erwähnen ist weiter, dass die Wurzeln z,, Z auch in die Tabelle (9a) Malg , AAn — ‘P(Za)7 Sa 3 — P2 (ZO!); Ba—ı — Pn—1 (Z„) gebracht werden können, wobei « ein beliebiger Index ist. Endlich zeigt die Anordnung (9), dass jede der Wurzeln der Gleichung eine rationale Function jeder anderen ist. Denn um Zu durch zg darzustellen, reicht es aus, wenn ßB+y= « (mod. n) iıst, die Gleichung y (es) = y (pp—1(@)) = Paıl8) = Za anzusetzen. Diese beweist sofort die aufgestellte Behauptung. Zunächst wollen wir, da Irreductibilität von f(z) = h(z, y«a) nicht in der Definition vorausgesetzt war, untersuchen, in welcher Weise unsere ecyklische Gleichung f(?) = h(z; ya) = 0 reductibel sein kann. Es sei / (2) derjenige irreductible Factor von f (z), welcher den Wurzel- factor (z — 2,) enthält. Ferner sei Za+1 = a(z,) die erste unter den 209 Die cykiischen Gleichunge1;. Wurzeln in der Reihenfolge (9), die auch zu den Wurzeln der irreduc- tiblen Gleichung fi(z) == 0 gehört. Dann hat man durchaus die Ver- hältnisse, die wir in $ 489 studirt haben; um dies einzusehen, braucht man nur das dortige @ hier durch @„ zu ersetzen. Daher ordnen sich die Wurzeln von f,=0 in eine Tabelle ein, die der Tabelle (4) ent- spricht. Die erste Zeile derselben wird Z1) Pa (Zl)7 932a(21) ’ Dzal2ı); (@za+a(»®'l) — zl) . Giebt es für fi(z)= 0 noch andere Wurzeln, so kann eine zweite Zeile construirt werden; diese nimmt, weil alle Wurzeln in (9) ent- . halten sind, die Gestalt an @p(2ı), Da+p(21), Pra +8(21); (‘Pza+a+/?(£l) x (Pß<zl>) In dieser Art kann man fortfahren. Nun sollte g„(zı) die erste unter den Wurzeln (9) sein, die zu den Wurzeln von f,(2z) = 0 gehört. Folglich darf ß nicht kleiner als « sein; läge aber ß z. B. zwischen « und 2&, so läge xw + ß zwischen (x +1)« und (x + 2)«; also könnte xa +ß=(x + 1a7 ” <@), Pratp(Zı) = Py [ Pr 1al(2ı)] = P, (Z1) gesetzt werden, und man dürfte die zweite Zeile der Tabelle durch ® die ihr äquivalente y (Zl) ’ ‘Pa+)'(zl); Pau+y(21), (y < «) ersetzen. Das widerspricht der Annahme über «. Folglich erschöpft die erste Zeile der Tabelle bereits alle Wurzeln von fi= 0, und wir können schreiben (10) f(e) — ( — 2) @ — pal@)) (@ — Prale)) - (g — P(u—1)« (@1)), (un= %; Pualdı) = 2). Ist dann f2(z) ein zweiter irreductibler Theiler von f, etwa der- jenige, welcher den Factor (z — @(2,)) enthält, falls « >1 ist, so folgt, dass fil@=0 und fı(@,@)=0 eine Wurzel gemeinsam haben; dass also flg @)= 0 alle Wurzeln von fi=0 besitzt, und daher f> = 0 die Wurzeln D(&1); Da Demnach ist f} von nicht geringerem Grade als fi. Da auch das Um- gekehrte gilt, wenn man fa(@)=0 und f1(@n—1(@) =0 betrachtet, so ergiebt sich, dass fi und f, von gleichem Grade sind. Es nimmt somit der zweite Factor die Form an (10&) f2(2»') S (Z 8 ‘P(%)) (?/ PE @a+l(zl>) K (Z FE (p(‚u—l)a+l(ß'l)). Netto, Algebra. II. 14 210 Neunundvierzigste Vorlesung $ 492—493 Auf diese Weise sehen wır dass eine etwa mögliche Zerfällung von f(z) nur (11) f(e) = f@)) fo(@) 0‘—1(2)7 (12) fo+ıle) = (@ — pol&ı)) (£ — Pa-Ho(@&)) (Z — @ c—1)o:+g@1>) ©=1,2 « — 1; Do@) = 2i) werden kann Jeder irreductible Factor gleich Null gesetzt liefert also ohne Be- wieder eine cyklische Gleichung Wir können demnach schränkung von vornherein voraussetzen, dass die vorgelegte cyklische Gleichung irreduetibel sei $ 493. Die bei der Kreistheilungsgleichung besprochene Gauss’sche Methode führt uns auch hier'zu den Elementen der algebraischen Lösung Es sei der Grad der cyklischen, irreductiblen Gleichung (18) f(g)_‚_zn_c An 1+CZ" 2 SE eine zusammengesetzte Zahl » =%-/. Die Wurzeln z2,, p(21), Pn 1(21) ordnen wir in folgende Tabelle ein, indem wir @(2,) = %, D (21) = %, (p]„—‚1(21) == Z% setzen Z1) Pr (‘Zl} ’ Pax(Zı), 1—1)% (21) 2 (p;„(2'>) ’ Pır (Z'9) , — 1< (&) (a = g(@1)) (14) Z ‘PÄ(7K>7 @“(ZL} 9 Yıı—ı L(h) (r = Or—1(@1)) Wir wählen wieder eine allgemeine, symmetrische Function (15) S(Zau, Pr (Ca), Yu—yr@) = F(8) = F(gpr@))= * = Ya @= 12 (6)o Dann für welche Yı, Y2 Yz von einander verschieden ausfallen ergiebt sich genau wie ın $ 490ff dass die y einer irreductiblen Gleichung &* Grades (8°) gy) = Y — diY 1_+_d yk—2 =0W0—-0) O — Yo) y—yı)=0 genügen, deren Coefficienten dem Rationalitätsbereiche angehören, und dass die Elemente der a Zeile von (14) Wurzeln einer cyklischen deren Coefficienten rational von Ya Gleichung ({° Grades werden abhängen « (7*) h(2; Ya) = (2 — Zu) (2 — Oa@a)) (Z — Pı—ı (zoz)) k) (x«=1,2 Um alle 27 zu finden, reicht es aber aus, eine einzige der Gleichungen (8) zu lösen, ja sogar auch nur eine Wurzel einer derselben zu bestimmen Die cyklischen Gleichungen Z denn mit irgend einem 2 sind die übrigen Wurzeln g(Z2), (2u), On—1(Z.) von (13) als rationale Funetionen von %, auch gegeben Diese Resultate stimmen miıt den früheren überein; als neuer Um- stand kommt aber noch dazu, dass die Gleichung (5*) ebenfalls eine cyklische Gleichung ist, während im früheren allgemeinen Falle die Gleichung (5) dieser Einschränkung nicht unterworfen war Um die ausgesprochene neue Kigenschaft herzuleiten, bringen wir auf die Formen die Funetionen %, Ys, = F(a) = F(o@), ; = F() = F(g@)), $ F(q3 Z„)), dann, wird, wenn w eine Unbestimmte bedeutet Ya F'(g(2,)) F (q;k+ A (zQ) F (Dar41@1) U — Yı u—F(@) u — I‘(qaÄ (71)) 2L—T(q>9‚_(‚al)) und also ergiebt sich die Summe Yı u —Y + u—y A A u—_; F(g(2,) F' (g (2,) F' (o„(&)) ZL Z + u — F'(g, (2,)) + + I u—T(qa„ @ )) als gebrochene, symmetrische Function sämmtlicher Wurzeln z,, @(2,), n—1(Zı); denn die rechte Seite ändert sich nicht, wenn man statt Z, irgend eine andere Wurzel einträgt Multiplieiren wir jetzt diesen letzten Ausdruck mit dem in den 21 ‘P(Z1); gleichfalls symmetrischen Polygone g(w) aus (5*), dann wird das Produect a u—y - +„_y] G(w) eine ganze Funetion von w und eine ganze, symmetrische Funetion der Wurzeln von (13) Also ist G(u) rational ‚darstellbar Trägt man hier a an Yı ein, so verschwinden jedesmal alle Glieder der linken Seite bis auf eins, und es folgt die Werthbestimmung für die Ya>, Y3, G(./1) G (ys) (16) y2= 8 G (Yr) T @° (J2j } I' (Yr) Diese Relationen zwischen den Wurzeln von (5°) sind charakteristisch dafür, dass (5*) ‚eine cyklische Gleichung ist Hiermit haben wir die folgenden Resultate bewiesen: Die voll- ständige Lösung einer cyklischen Gleichung (13) des Grades n=kl kann dadurch bewerkstelligt werden, dass man eine Wurzel einer ecyklischen Gleichung (5°) des Grades k er- mittelt mit ihrer Hülfe die’ Coefficienten einer anderen 14* 212 Neunundvierzigste Vorlesung &$ 493—495, cyklischen Gleichung (7%) des Grades / auf rationalem Wege bestimmt, und endlich auch noch eine Wurzel dieser letzten Gleichung des Grades 7 aufsucht. Sind % und 7 Primzahlen, dann hat unsere Reduction ihr Ende erreicht; ist aber auch nur einer der Factoren eine zusammengesetzte Zahl, so können wir auf die entsprechende Gleichung dieselbe Re- duction anwenden. So sehen wir: Ist %” in seine gleichen oder verschiedenen Primfactoren zerlegt = p,- - P,, dann hängt die vollständige Auflösung der cyklischen Gleichung des Grades (13) von der aufeinander folgenden Bestimmung je einer Wurzel je einer cyklischen Gleichung des Primzahl- GWAdOS MDı9 MDg ‘D ab. Durch die Bestimmung der Wurzel einer dieser Gleichungen werden die Coefficienten der Die An- nächstfolgenden cyklischen Gleichung festgelegt. ordnung der ü kann dabei völlig willkürlich getroffen werden. Nach der in $ 491 eingeführten Terminologie können wir sagen: Jede cyklische Gleichung, deren Grad keine Primzahl ist, gehört zu den imprimitiven Gleichungen. $ 494. Nach unseren bisherigen Schlüssen wären wir berechtigt die Gradzahl einer vorgelegten cyklischen Gleichung als Primzahl an- zunehmen und uns auf die Auflösung solcher Primzahlgleichungen zu beschränken. Wir brauchen diese Voraussetzung aber bei der nun zu besprechenden Lagrange’schen Methode nicht zu machen, ebenso wenig wie dies an der gleichen Stelle bei der Behandlung der Kreis- theilungsgleichungen nöthig war; und wir werden daher über die Gradzahl % keine beschränkenden Voraussetzungen zu Grunde legen. Wir verstehen unter « irgend eine n'® Einheitswurzel, bilden mit ihrer Hülfe die Lagrange’schen Resolventen für die ” Wurzeln z,, Zn Z„ von (13) (3e) a e aa AA T A (17) AD ) = 21{ «g (82) + *p (22) + + @” On 1(22) und finden für sie die fundamentale Beziehung ($ 321, Bd. I) (18) (21+1; 06) = Z+1 + @2242 + 06222—|—3 + + 712 = “M1('27»3 a) Aus dieser geht sofort hervor, da &” = 1 ist, (2a413 @' > (& 0)*, und demnach gilt für diese Potenz der Resolvente die Gleichungsreihe (19) ( a) = (&a = + = (& 0)*. > Die cyklischen Gleichungen. 213 Wir sind daher im Stande, (z,; «)” als symmetrische Funetion sämmt- licher Wurzeln z darzustellen; es giebt eine rationale Funetion 7(«) von @« mit Coefficienten, die dem Rationalitätsbereiche angehören, so dass ( 0 = z [3 0 + (23 a + + + (3 0)*] = D(0). Durch Ausziehung der n“ Wurzel erhalten wir aus dieser und aus * © [22 3 den entsprechenden Gleichungen für 2 2 «"—* das folgende System linearer Gleichungen mit den Unbekannten 2,, %, Sn 81 i &% 0 A m VT %i _+_ an—152 + a2n—2zg + IC + a("_;'1)22„ == '1‘L/T(OC"_]') . Wir nehmen jetzt « als primitive “ Einheitswurzel an, damit alle diese Ausdrücke formal von einander verschieden seien. Fügen wir zu jenen, Gleichüngen die aus (13) folgende %' lineare Gleichung 51+52+23+"'+Zn=(zäl)=cu so ergiebt sich durch geeignete Combination als Lösung der cyklischen Gleichung n—1 4 = + SV z=1 7 +ä@n «”), n—1 n—1 (20) a +ä““”VT—C“T') G +ä„;—2(‚g„ 07)o n—1 n=— 1 ÜE +ä„—2zi‘/f(?) l +ä“_2x(513 «”), S 49.5. Diese Formeln (20) bergen einen Missstand, der darin beruht, dass jede der in die rechten Seiten eingehenden n Wurzeln n Werthe hat, ohne dass über die Combination dieser Werthe etwas ausgesagt ist, so dass also die erste Formel in (20) nicht, wie es sein müsste, gerade die gesuchten » Werthe, sondern im Ganzen n"—1 Werthe besitzt. Ausser den Wurzeln von (13) werden also noch C —N) fremde Werthe durch (20) dargestellt. Diesem Mangel lässt sich auf folgende Art abhelfen. Aus (18) ersieht man wegen (22-413 @ (82413 @)7* = [@7* . (22; w)] [@—1 - (22; a)] * — (Z; «@) (&2; «) 7, 214 Neunundvierzigste Vorlesung 8 495—496. dass auch der Ausdruck auf der linken Seite symmetrisch in den z ist, wie dies oben bei (z,; x)“ der Fall war. Man kann ihn daher als rationale Function von « mit rationalen Coefficienten ausdrücken. Wir wollen diese Darstellung mit 7, bezeichnen, und setzen somit — — (21) @13 05) (Ca3.@) * z5 @z @)= U @ Demgemäss wird, wenn wir statt 7'(«) kürzer T schreiben, (21°) (ZÄ; 062) S0a T2 ?/T2; (Zi; “3) n T3 it/ﬂ‚ und aus (20) folgt, wenn man diese Werthe einträgt, na =6+ Va T VT + T VD + e = @y a R E —I Y (20°) NN Alle T sind rationale Funetionen; jede der Formen ist eindeutig be- stimmt, sobald der Werth für ?/ T festgelegt ist; ändert man ihn, was nur so möglich ist, dass ein Factor «* dazutritt, dann gehen die Zeilen in (20°) nur in einander über; die erste Zeile kann als %-deutiger Ausdruck aufgefasst werden, welcher sämmtliche %” Wurzeln lhiefert. Damit ist die ausgesprochene Schwierigkeit überwunden. $ 496. Es kann aber bei der Benutzung von (21), (21°) eine andere Schwierigkeit entstehen. @% bedeutet irgend eine primiıtive n“ Einheitswurzel; es könnte für jeden der o(n) Werthe « die Resolvente (zı; «) zu Null werden, so dass in (21) der Werth von 7, im un- bestimmter Form aufträte. Ja es reicht, um diesen Fall herbeizuführen, schon aus, dass für ein primitives @x die Resolvente verschwindet. Denn hat die Gleichung Ga A al AT —O eine primitive n“ Einheitswurzel £= « zur Wurzel, dann besitzt sie alle. Bei ” — y“ kann diese Schwierigkeit nicht eintreten. Denn setzen wir n= ng also q= p“ und ferner N(2+1 — %ı) = @72 — 1) (&,; @) 4 (@7?2 — 1) (& &*) Frn (@720 — 1) (a 091 + er2eet — 1) (0; ar 44 (u7e0 — 1) (3a 4 so kann, falls die Gleichung in z irreductibel ist, die linke Seite nicht —0 sein. Rechts verschwindet das Schlussglied jeder eckigen Klammer, Die cyklischen Gleichungen. 215 weil xpq ein Vielfaches von % ist. Es können also nicht alle übrigen Resolventen (z,; «?) Null sein; die zugehörigen «* gehören aber zu den primitiven Wurzeln. Wir entgehen also dieser Möglichkeit, wenn wir, was nach 8 493 erlaubt ist, % als Primzahlpotenz an- nehmen. Aber auch im allgemeinen Falle kann man jenem Uebelstande abhelfen, indem man, wie H. Weber es thut*), alle 22 durch eine und dieselbe nicht verschwindende ”-deutige Function ausdrückt. Es sei %” durch die. Primzahl % theilbar, und zwar %= üA. Dann können wir auch bei diesem allgemeineren q aus der letzten Gleichung in der angegebenen Weise schliessen, dass ein nicht ver- schwindendes (z,; «“) mit einem zu p theilerfremden Kxponenten x vorhanden ist. Nun sei, in seine verschiedenen Primzahlpotenzen zerlegt, . n =2)'f})5})%' O ='_pä‘ql =1')592 _—_2);ä'qs = ... 7) dann bestimmen wir nicht verschwindende Resolventen S (ZÄ3 “‘“1>7 (ZÄS “'“2)7 (ZÄ3 «*), ıst Hieraus für welche w, theilerfremd zu %,, ebenso u zuU %,, bilden wir mit willkürlichem x und noch unbestimmtem xg das Product @2) <‚/5';_; (x”) [(g[‚; a.“1)91 (g]„ 00“2)Q2 (ZÄ; (0“a)73 ]_Zo_ Ersetzen wir hierin 2 durch (2 +1), so bleibt nach (18) der Werth des Ausdruckes (22) unverändert, falls (22°) % = %o dı A d A s A : ) (mod. n) wird. Nun ist die Klammer theilerfremd zu %, wie man leicht sieht. Demnach kann man zu jedem x ein xg gemäss (22%) bestimmen. Für dieses x ist, (22) symmetrisch in den z und mit Hülfe von « rational darstellbar. Wir bezeichnen (22) mit U,(w«) oder kürzer mit U,. Ferner ist die %‘® Potenz der eckigen Klammer in (22) nach (19) symmetrisch in den z; wir bezeichnen sıe mit V(«) oder kürzer mit V. Diese Funcetion. verschwindet nicht. Dann gilt für jeden Exponenten x die Gleichung 2 ] ) e un und durch Substitution dieser Werthe in (20) ergiebt sich die Form e *) Algebra I; zweite Aufl. $ 172. 216 Neunundvierzigste Vorlesung 8 496—498 Wl W +/;; UzW; (20”) RE Z +;__2;“_2” UxW, durch welche die angegebene Schwierigkeit überwunden ist. $ 497. Wir machten soeben darauf aufmerksam, dass V(w«) eine rational darstellbare Grösse sei; setzen wir sie in die Normalform complexer Ausdrücke gemäss der Bezeichnung aus $ 7, Bd. I 7@) —2 . [7o], so wiırd (24) Vr R [ 70], wobei R und @ rational bekannt sind. Abel*) hat gezeigt, dass bei vorgelegtem reellen Rationalitäts- bereiche die Ausziehung der n Wurzel sich durch einfachere Opera- tionen ersetzen lässt. Schreiben wir 2 für die benutzte primitive Einheitswurzel, dann entsteht, da dies das einzige in V als complex eingehende Element ist, V(“)=Üo+g1'[j‘]3]+.%'[ 2‘P]+ bei reellen Coefficienten g. Daraus ergiebt sich c___ V(“_l) — % A da [ S N | 7(«) |=| V(@«7?) |= [ +gı 089 ) ® + (g.sin g +g sin2go + .)2]%, d. h. | V(«)|= |V(@«-!)| und = R. Hieraus folgt sofort V(„—1)=R.[g_. b % C — @}‚ LA (24°) V(a71)" = R” [ S N ] *) Oeuvres, Ed. Sylow et Lie, 1; p. 493, Die cyklischen Gleichungen. 217 Ferner ist nach (18) [(ZÄ+1; w“1)91 . ] [(z).+l; a_/11)91 ] — [05_:“1 Q (ZÄ; a}‘1)91 ] [a‚“1 9ı (gl 9 05—‚“1)91 ] — [(;_};;_; 05/‘1)91 - .] [(ZÄ; a_;“1)91 ö .]) so dass dieser Ausdruck in den 2 symmetrisch wird, und wir —z V{(e)* D(a-1)- setzen können, wobei Q eine rational bekannte Grösse bedeutet. Verbindet man hiermit das aus (24) und (24*) folgende Resultat al 2 ODEG ADn so ergiebt sich Rr VQ, und also 7(@)” =VO[ Lo], d. h.: Ist der Rationalitätsbereich der cyklischen Gleichung reell, dann kann ihre Auflösung so durchgeführt werden, dass man aus einer, nach Adjunction einer primitiven n Einheitswurzel bekannten, reellen Grösse Q die zweite Wurzel auszieht und einen bekannten Winkel in % gleiche Theile theilt. Abel macht ferner darauf aufmerksam, dass in einem reellen Bereiche die Realitätsverhältnisse der Wurzeln leicht zu überblicken seien. Ist nämlich 2, eine reelle Wurzel, so sind @(2,), @ (2,), - d. h. auch alle anderen Wurzeln reell. Demnach besitzt hier jede cyklische Gleichung entweder nur reelle oder nur complexe Wurzeln. Natürlich gehören die Gleichungen ungeraden Grades zu der ersten Art. $ 498. Jede Gleichung zweiten Grades —48 +a=0 ist cyklisch; denn man hat ja, wenn 2z,, z ihre Wurzeln bedeuten, % = O(@)= 4 —A, 2 = @(%)= C — % Die allgemeinen Gleichungen dritten Grades sind nicht cyklisch, wenn man zum Rationalitätsbereiche nur ihre Coefficienten nimmt. Erweitert man ihn jedoch durch Hinzunahme der Quadratwurzel aus der Diseriminante VD, so wird die Gleichung dritten Grades 2 — 48° + 62— 6 =f(e)=0 218 Neunundvierzigste Vorlesung 8& 498—499 mit den Wurzeln 2,, %, % cyklisch. Denn es ist in diesem Falle ( — %) (& — %) (z2—z3)—]/D Z 23 f (@)? % i %8 = G — %5 Z al VD A f'(2) } oder, wenn man in bekannter Weise umwandelt, UTE 609)2'1 —> (201 e 70109 + 905 + 1/D)2'1 ]/D {(201 + ((3109 + 36103 —4Cg + Cl-l/>)} Dass die Kreistheilungsgleichungen cyklisch seien, haben wir schon hervorgehoben. — Zu anderen cyklischen Gleichungen können wir durch den Satz gelangen dass jede rationale Function der Wurzeln einer irreductiblen cyklischen Gleichung selbst die Wurzel einer cyklischen Gleichung ist Wir deuten den einfachen Beweis kurz an Zuerst reicht es aus eine einzige Wurzel zu Grunde zu legen da jede andere durch die eine gewählte z, rational darstellbar ist Es sei (/(z,) eine ganze rationale Function von %,, und es seien G(2, G (9” ("‘1)) ’ G (q>7 (‘31)) 2 G (Pn—1(2)) ihre Werthe für die Wurzeln der cyklischen Gleichung. Durch unsere früher verwendeten Schlüsse erkennt man dass, wenn diese »” Werthe nicht sämmtlich von einander verschieden sind sondern etwa G(2,) = G(g,.(2,)) ist, eine Anordnung G-(2), G (g(2,)), G (‘P’» 1 (Zl>) ’ G-(gx (Zl)) ’ G (gr+1(2,)), G-(gox—1(2,)), getroffen werden kann, bei welcher die Elemente jeder Spalte unter- einander gleich, dagegen die einer Zeile sämmtlich von einander ver- schieden sind Zugleich werden dabei die Elemente einer Zeile zu Wurzeln einer irreductiblen Gleichung k(w) = (u — O(a)) @— Gp@) - . (u — Ggr @))= 0 deren Coefficienten dem Rationalitätsbereiche angehören; und die Be- trachtung von ( (&r G (o(@)) G (m(2)) =) % (w) [ C )+ u — G ( E G(z'‚L 1 | 219 Die cyklischen Gleichungen. zeigt wie oben, dass G(g(2,)) = %(A(@,)), G' (g (2,)) = 2(A(gp@)), wird, wobei y eine rationale Funetion bezeichnet. Damit ist aber der ausgesprochene Satz bewiesen. — Hiernach ist jede rationale Funetion einer Einheitswurzel wiederum die Wurzel einer cyklischen Gleichung. Bedeutet z. B. @ _ eine primi- tive fünfte KEinheitswurzel, und setzen wir “=1+0 +w?, ?/2=1+032+034; Ya D , ?/4=1+m3+‘”; dann müssen nach unseren Ueberlegungen rationale Grössen a, b, c, d, € existieren, für welche man hat . 1 + w* — w* = a(1+ w + 0w*)* +(1+ o + 0® + c(1+ o + w?)? 4 d @e die Methode der unbestimmten Coefficienten liefert in der That die Werthe Ü=0), D C= —3 Z d —z 6 Z e€= —2 Ferner wird die Gleichung (y—yı) : (Yy—yı) = 0 gefunden mit Hülfe von Z Z T ın der Form —20 An —8y 1=0; und hier ist also gemäss der Bestimmung der a,b,-.-.e %ı = O(yı) = 20 =— 3yi + 6y —2. Es ergiebt sich daraus durch Potenziren und Vereinfachen yı= 20 — 40 n =—= S %= —3 + 3 — 8y, == HO % —80 { 19301 — ögn - 18 trägt man diese Werthe für y,, yi, --: y4 in die Gleichung für y ein, so wird in der That y — 243 + 44 —3% +1=0, wie die KEıgen- schaft der cyklischen Gleichungen es forderte. $ 499, Kine andere Methode für die Herstellung cyklischer Gleichungen ist die folgende. Die Wurzeln der irreductiblen cyklischen Gleichung f(2) =0 seien S15 (,D(21) ’ D (21), Pn—1(2,), und q„(z,) sei die erste iterirte Funection, welche den Anfangswerth 2, wieder annimmt. Dann hat g.(?) — 2=0 mit f(z) =0 eine Wurzel 2, 220 Neunundvierzigste Vorlesung $ 499. gemeinsam, und wegen der vorausgesetzten Irreductibilität von f= 0 ist also f(z) ein Theiler von @„(z2) — %. Das lässt sich noch präci- siren. Wenn 5 eine Wurzel von @(?) —2 =0 ist, dann hat man auch @, (E)= p()=6, n(E)= E, und also ist E& zwar eine Wurzel von g„,(2) — z = 0, aber wegen der über ” gemachten Voraus- setzung nicht von f(z)=0. Wir erkennen daher (vgl. $& 270, Bd. JI), dass ONO (25) OO eine ganze Function von z, und dass f(z) ein Theiler derselben wird. Falls % eine Primzahl ist, können wir nicht über (25) hinausgehen; bedeutet % eine zusammengesetzte Zahl, so können wir ähnliche Schlüsse anwenden, wie bei der Herstellung der Gleichung, welche die primi- tiyen ”'° Einheitswurzeln liefert. Hierbei wird es nothwendig, vorauszusetzen, dass die Coefficienten der Funetion g(z) unbestimmte Grössen seien, um behaupten zu können, dass w„(2) — 2= 0 keine mehrfachen Wurzeln enthält; (der ähnliche Umstand wurde ja auch bei der Kreistheilungsgleichung benutzt). Gäbe es nun auch ım allgemeinen Falle mehrfache Wurzeln, so müsste dies ebenso bei der besonderen Wahl der Function &@ P (Z) z Po (Z) za 5'u27 Pn(8) = 2 On(2) — Z = (g —1 — 1) eintreten; da kommen aber gleiche Wurzeln nicht vor ($ 294, Bd. I). In besonderen Fällen kommen wirklich mehrfache Wurzeln vor. Setzt man z. B. 3 q)(ﬁ)=ß‘2—f‚ 932(2) = — Sa 167 dann wird —— = 9} O — 16 ( + W Wenn nun z, eine Wurzel von @„(2) — z2==0 ist, so wird ein Glied der Reihe, die wir beliebig weiıt fortgesetzt denken, Ag ) @ (2), @ (&.), wieder gleich 2,. Ist alz,) das erste dieser KHigenschaft, so wollen wir sagen, z, gehört zum Exponenten d. Nach bekannter Schluss- weise leitet man ab: Jeder Exponent, zu dem eine Wurzel ge- hört, ist ein Theiler von %. Ferner nennen wir eine Wurzel Ist also % eine primitiv, wenn sie zum Exponenten % gehört. Primzahl, so giebt es nur Wurzeln, die zu 1 oder die zu % gehören, Die cyklischen Gleichungen. 221 und weil keine vielfachen Wurzeln vorhanden sind, so hat (25) nur noch primitive Wurzeln. Um den allgemeinen Fall bequem schreiben zu können, setzen wir Yue(e) —2 [p: dl Ist nun die Gradzahl in ihre Primzahlpotenzen zerlegt % n= DD D 29 dann wird die Gleichung (26) D„(2) = m:1] m: P, D] m: P D] IM : DBl __ 9 m:, ]: ][n: D] [N: D, D] alle und nur die primitiven Wurzeln von @„(2) — z == 0, jede in der Multiplicıtät 1 ergeben. Durch Induetion kommt man leicht zu deı Form (26). Der Beweis ist dem in $ 302, Bd. I gegebenen durchaus analog. Es sei & eine Wurzel von w„(2) — 2 = 0, die zum Exponenten N V (d<u; 4 <w) z DEDS* : DG gehört; dann wird nicht nur @„(&)= E, sondern jedes Dor(E)= 6 befriedigt, wenn o eine ganze Zahl bedeutet. Insbesondere gilt das für N N N N N N 0V=MN; 1 ? Dı 1;;7 V _5 D Es tritt deshalb der Wurzelfactor (z — E) in (26) mit der Multiph- cität 1 in den folgenden Factoren des Zählers oder des Nenners z I] [ : 1, [% : Do]; [n : D, D, [% : Do—1Do]; auf. Sonach ist das gesammte Eingehen des Factors (z — €) in (26) von der Multiplicität Ö Ö D 1 b 2 )- O d. h. der Factor hebt sich überhaupt heraus. Nur wenn v= %, und also &5 eine primitive Wurzel ist, dann wird dieser Schluss ungültig, Ö gewissermassen Null, und man erhält (z — €) einmal im Zähler. Damit ist gezeigt worden, dass ®, eine ganze Function ist, und dass ®„(z)= 0 alle und nur die primitiyen Wurzeln von Pn(2) —2=0, jede ein einziges Mal liefert. Hierdurch sind wir zu Gleichungen gelangt, wie wir sie in $ 489 behandelt haben. Ihre Wurzeln können in das Schema (4) eingeordnet werden. So erhalten wir die Möglichkeit, alle Gleichungs-Polygone herzustellen, für welche @ und % gegeben ist; sie müssen sämmtlich Theiler von (26) sein. 222 Neunundvierzigste Vorlesung $ 499—500. Nach Auflösung einer gewissen Gleichung (5) kann man die Gleichungen %' Grades herstellen (7), von denen die Elemente je einer Zeile in (4) als Wurzeln abhängen. Hat insbesondere (5) eine rationale Wurzel, so befinden sich die Coefficienten der entsprechenden Gleichung (7) gleichfalls im natürlichen Rationalitätsbereiche, d. h. dem- jenigen, welcher aus allen rationalen Zahlen besteht. Damit haben wir also eine cyklische Gleichung erlangt und zugleich die charakteristische Bedingung dafür abgeleitet, dass eine solche für eine gewisse gegebene Function @(z) überhaupt besteht. Denn umgekehrt muss (5) eine rationale Wurzel haben, sobald eine solche cyklische Gleichung vorhanden ist. $ 500. Wir wollen die gegebenen allgemeinen Vorschriften durch zwei Beispiele illustriren. Zunächst sollen alle cyklischen Gleichungen dritten Grades bestimmt werden. Dabei dürfen wir O(2,) = mÜ + n +D setzen; da aber nach dem Satze aus $ 498 auch «2, + ß die Wurzel einer cyklischen Gleichung ist, so können wir « und ß so bestimmen, da-ss von vornherein das Glied mit z verschwindet, und dass sonach ola)= 2 + a Hierfür wird angenommen werden kann. @7 BOZT _ + + Ba+1)A + @a+D#+ Ba 3a12 + (a@ + 2a4 +1)2 + (& + 20° + a+1)=0 die Gleichung, deren Zerlegung in zwei cubische Gleichungen erstrebt werden muss. Wir verstehen unter 2’ eine Wurzel von (27) und setzen 2' + @(2') + 9 (e’)= 4, (2’), a’ p(e') + p(e’) p (e’) + Pal&') 2 = D (@), a’ p(@') p (e') = B3(8'). Als Werthe dieser Funetionen ergeben sich aus der Definition von @(z) und mit Hülfe von (27) , (2') = 2* + (2a +1) 2 4 2' + (a? + 20a), d (e)= 2° + 25 4 3a2%* + (2a + 1) 2° + (Ba® 4 a)z® + (a?* + 2a)2' + (a* + &@”) __ @s @) —7 D p@) — S ’31(z,) F (“ n 1)7 Die cyklischen Gleichungen. 223 d;(2') =2" + 3a2° + (3a + a)2? + (a + a?) ’ P @) —Z == (‚g' D d @FG HON A a'31(5/) +(a + 1); so dass die Gleichung (28) # — 0,(e') -# — (d(e') — (a —1)2 — (0d,(#) +a+1)=0 die Wurzeln z’, @(2'), , (2') besitzt. Bezeichnet man die übrigen drei Wurzeln von (27) mit z”, @(z2”), g (z”), so erhält man 6 1‘)1('Z/)_I—’31(5”) =ZZÄ = —1, 1 6 8(0) e D B =4-+Z2, und sonach wird (29) w +u+(a+2)=0 die Gleichung, deren Wurzeln &,(2’) und $,(z”) sind. Nach dem Schlusse des vorigen Paragraphen müssen wir dieser Gleichung (29) eine rationale Wurzel zu verschaffen suchen. Es iıst AD Z demnach entstehen für die allgemeinste Annahme —(da+7)=@2+1), a= — (P+2+2) die rationalen Wurzeln WE LT A SN und wir können setzen le)=2, He)= —AD Dadurch entstehen aus (28) die beiden eyklischen Gleichungen ( ) z"’—lzg——(‚lz+2l+3)z—}—(Ä3+2/12—[—3/1+1)=0‚ z'3—{—(‚1+1)22—(‚12+2)5——(‚13+‚12—]—2/1—}—1).=0. Das Produet der linken Seiten ergiebt (27), wenn 2? +2+2= —a gesetzt wird. Uebrigens sind die beiden Gleichungen (30) nicht wesent- lich von einander verschieden; denn durch } = — (2, + 1) geht die Form (2* - 2+2) in (4? + 2,+2), uud die erste der Gleichungen (30) 224 Neunundvierzigste Vorlesung $ 500—501. ın die zweite über. Wir können uns daher auf die erste der beiden beschränken. Nehmen wir noch, um die zweite Potenz der Unbekannten w w zu beseitigen, 4 = 2 aE+ D so entsteht (31) S—öH e DEFC@FEF OC Y=—0 mit den Wurzelrelationen €2=(P(C1) =ä+(*é1—2(!"2+!"+1>; C3:%(C1>=—Cä”“(!‘+1)£1+2(!*2+&‘+1)' Auf die Form (31) kann also jede cyklische Gleichung dritten Grades reducirt werden. Ist eine solche Gleichung (31) vorgelegt, so fordert die nach unserer Methode durchzuführende Auflösung vor Allem die Bildung der Lagrange’schen Resolvente (& + &w + &w*). Zur Be1:echnung dienen die Formeln €1+52+53= 0 ’ ü+rEr8=> 6(W+wu+1), E, 5 7 525 + &65 = — 3(# + w + 1), Qr EFE I — 3@u —D @ e D, =— G5 + &56 4 55 3(@ + 2) @ + @+ 0, 866555 E= 3( — 10 @w m D, B TF welche sich leicht durch die Relationen 8 = — (u+D8 — (W@+u +D& +200+2) @W + +1), S u& + (W+An+DE&E—20@—1) @W +“ +1) bilden lassen. Mit ihrer Hülfe erhält man (& + &0 +& @”)® = 27(0 — w) ( + +1), und also €1+ €2+ C3=O; &+ 06 +0'6=3V0 —u VW FTE+A1, ED OO Daher wird die Lösung der Gleichung (31) durch die Formeln geliefert ‚ &=Vo p VW FL Vore Va pa H1 +n H1 = V(0—#) @— u) F (@ — w)*(@* — w) Die cyklischen Gleichungen. 225 — A W 5 2 CC 3 n o V@— @— B 3 o V(o @+ 3 oV@— @— 0) Nach den Bemerkungen zu Anfang des $ 498 wissen wir jetzt, dass die Diserimimnante von (31) im natürlichen Rationalitätsbereiche . ein vollständiges Quadrat sein muss; in der That wird auch (vgl. $ 283, Bd. I) dieser Ausdruck gleich 108 (w* + w +1)® — 27 (w* + w + 1)? 24 + 1)? = 9° (u? + u A+1)?. Bemerkenswerth ist, was aus den beiden Gleichungen (30) hervorgeht: dass jeder cyklischen Gleichung dritten Grades eine andere zugeordnet ist, welche dieselben Wurzelrelationen aufweist, wie jene. Grades von der Form Aus (31) kann man die allgemeinste cyklische Gleichung dritten — BAn RO herleiten, wenn man auf (31) die allgemeinste Tschirnhausen- Transformation anwendet, für welche das Glied mit der zweiten Potenz der Unbekannten verschwindet. Diese ist, wie eine leichte Rechnung ergiebt, bei w” + w+-1=da, von der Form (32) E= au + ßBu—20«, und man erhält nach Unterdrückung des Factors (3a«?ß — ba — (3 / (33) 6 — 3(a°a? + aß? — baß)E + 2050 — 6a?auß? + 3aba?ß 4 DB} — T =0 a=w +u+1, d=(W + w+ 1) @u + 1)). Die erhaltenen Coefficienten geben die allgemeinste Lösung der Auf- gabe, 4 und B so zu bestimmen, dass (4 A° — B?) das Dreifache eines vollständigen Quadrates wird. $ 501. Wir fragen weiter nach denjenigen Gleichungen vierten Grades, deren Wurzeln durch 2 @ D (2”), I%(Z,) dargestellt werden können, wobei aber, um die Rechhung nıcht zu complicirt werden zu lassen, einfach pe)= Z +a angenommen werden soll. Hierfür findet man Netto, Algebra. II 15 226 Neunundvierzigste Vorlesung $ 501—502. P4(@) —2 =2 L 6a2° + 24 (150?-+3a)e+4 4a27 + (20a +12a?-1) 28 a(2) —2 + (6a? + 2a)2? + (15a* + 18a0° + 3a? 4 4a) z + (4a + 40 + 1) 2 + (605 + 12a* + 6a + 5a* A a)z* + (a* +2a + a? +20)2 + (a + 3a° + 3a*+3a° +2a? - 1)=0, so dass diese Gleichung die zwölf Wurzeln Z(') 2 (@&0), @ (20), D3 (20) (i=172; 3) besitzt. Die elementaren symmetrischen Funetionen der vier zu gleichem % gehörigen Wurzeln setzen wir d4(40), 0,(20), 94(20), 84l und wissen dann, dass die drei Grössen HCC C einer Gleichung dritten Grades mit rationalen Coefficienten genügen. Man findet für sie auf dem im vorigen Paragraphen eingeschlagenen Wege (34) u + (4a4+3)u +4=0. Mit Hülfe von (34) kann man die dritte und alle höheren Potenzen von $,(z) durch niedere ausdrücken; so erhält man d()= Z [9,(2')* — 9ı (e’) + 4a], &, (2') = 3 [,(6) — (2a—1)8(@) + 21, C L [a8,(e')? + a8,(e') + 20° + 2a +21. Demnach genügen die Grössen 2’, p(2'), p (2'), ps(e) der Gleichung u — O1 (e°) - u —+ % [, (2)? — &, (2') + 4a]u (35) + 3 [9,(#')* — Qa—1)8,(e) + 210 + 4 [ad,(e)? + a8d,(e’) + 20° + 2a +2]=0. Hat (34) eine rationale Wurzel &,(z’), dann ist (35) eine cyklische Gleichung. Wir setzen demnach das Polynom von (34) u3+(4a—|—3)u+4=(u—x)(M—l—xu—f—l) und erhalten für diese Zerlegungsmöglichkeit Die cyklischen Gleichungen. N — xA= —4, —w =44+3; (27 ONn S 4% 7) U= O0)= . Folglich ist die gesuchte allgemeinste cyklische Gleichung U: — uu — u2+3u+4/&2 2% —L r.i+ﬁijﬂﬁ R (35°) + x — 2ut + 44 — Qu? + 11u+4= 16% 0 mit der Wurzelrelation n3+3n+4. U = P(4) = U — 4 $ 502. Häufig erscheint eine Gleichung, von welcher eine Reihe unbekannter Grössen 2,, Z, Z„ als Wurzeln abhängt, als analy- tischer Ausdruck eines Problems, aus dem sich der Natur der Frage- stellung gemäss von vornherein erkennen.lässt, dass für 2,, %, Sn die charakteristischen Beziehungen für cyklische Gleichungen %, = @(2,), 2 = @(%), - herrschen; und häufig wird gleichzeitig die Funetion &@ selbst dabei gegeben sein. Hier macht es dann keine Mühe, die aus- einandergesetzten Methoden der Lösung ın Anwendung zu bringen. Anders ist es dagegen, wenn eine fertige Gleichung vorgelegt und gefragt wird, ob sıe zu den cyklischen Gleichungen gehört, und wie die Funetion @ bestimmt werden kann, falls eine solche besteht. Wir wollen die aufgeworfene Frage, soweit es hier möglich ist Z kurz behandeln. Auf die zu prüfende Gleichung f(z) =0 wenden wir eine Tschirn- hausen’sche Transformation mit noch unbestimmten Coefficienten an 6S TT AT o E Oß aus ihr folge, nach den nöthigen Reductionen durch f= 0, E = + B 0n E Ö, a Durch Elimination von #"—1, Z entstehe F'(&) ==0, welches wie f vom Grade % wird. Ist nun f(?) = 0 eyklisch, so müssen «,, ß,, Ö, sich so wählen lassen, dass /(£) bis auf einen constanten Factor mit f(2) übereinstimmt. Setzt man die hierzu nöthigen Gleichungen an, dann ist das Bestehen eines im Rationalitätsbereiche enthaltenen Lösungssystems charakteristisch dafür, dass f cyklisch sei. Die ge- fundene Tschirnhausen’sche Transformationsformel liefert gleichzeitig die Form der Function @(2). 15 228 Neunundyvierzigste Vorlesung $ 502. Wir wollen diese, in der Theorie sehr einfache, in der Ausführung recht umständliche Methode auf ein übersichtliches Beispiel anwenden. Wir nehmen als zu prüfende Gleichung f(@) = 2# —3a2 +b=0 und fragen also, wann diese cyklisch werden wird. Dafür erhält man mit Hülfe der Substitution (32), welche offenbar nothwendig ist, und durch welche die Rechnung abgekürzt wird, E = «2 +ßz—2a«, &— (ß? — au?) 2 + (2a0«ß — «?b)z + (4a* « —2ba«ß), 86 — (3a?0 + 3a«ß? — 3ba«?ß)2? + (3a?a?ß + 3aß — 3bauß*) z + (— 8003 + 3aboa?ß — bß* + Wo?). Aus der transformirten Function lässt sich (3acw«”ß — «*b — ß°) als gemeinsamer Factor aller Coefficienten heraussetzen. Die zurück- bleibende Funetion lautet F =8 — 3(a*ax? + aß? — baß)E 2 2 + (2a% « — 6a?xß? + 3aba*ß + bß* — b a°)- Hier sind nun « und ß so zu bestimmen, dass F(2) mit f(g) identisch wird; d. h. damit f(z)== 0 cyklisch sei, muss das System der beiden Gleichungen aß? — baß + (a?«? — a)= 0, B3 — 6a?aß? + Baba?ß + (2a?a0* — b’a? — b)= 0 eine rationale Wurzel («, ß) besitzen. Die Eliminante der Gleichungen wird (36) a(4a® — D°) [(4a® — B° «? — 30°] [(4a® — 07 * — 30x — D]. Das zu @« gehörige ß entnimmt man dann der Gleichung B[b.(4 a — b°) «® — a?b] = 2a (4a® — b°) «® + a(6* — Ga’)« — a’b. Hier führt der erste Factor von (36) auf ß=1 und somit zu dem banalen Resultate &=z; das ergiebt keine cyklische Gleichung. ” Der zweite Factor ist die Diseriminante der vorgelegten Gleichung; er verschwindet für a = g*, b=2g?, und das giebt f(g) =# — 3ggg +2gq°= (# + 2g) (@ — g)', F =—3(g°« — qß)'E— 2(d°« — aqß)'. Damit F(z)= f(g) werde, reicht es aus, bei beliebigem q B=0 1 zu setzen. Man hat also für jedes E=— a + (qu +1)2 — 2g°a = a (# — g) (& + 29) +# Die cyklischen Gleichungen 229 die gewünschte Identität. Dass unendlich viele Lösungen auftreten, ist durch das identische Verschwinden der Eliminante bedingt Zur Behandlung des Factors [(44° — 0”) « 3a°] führen wir 40 —W = 3 eın dadurch wird b—4 C — A 24 und es handelt sich also nur noch darum, @ und O so zu bestimmen dass die Grösse A _ dem Rationalıtätsbereiche angehört Dies wird ım natürlichen Rationalitätsbereiche, wie wir in $ 500 am Schlusse gesehen haben, durch die Annahme üW - b = (wW + w“ +1) 2w + 1) geleistet Hierbei wird A = a, und E= ole) = 2 + uz —2(“ +(*‘+1)7 (8) d (2) = @ + 08 2@ @D es entsteht demnach“‘ %, (z) aus @(z), wenn man A durch — 4 ersetzt. — Es wäre endlich noch der Factor (4a — 0°) « — 3a’x — 0 zu untersuchen weıl dies Darauf wollen wir nicht direcet eingehen zu complicirten Rechnungen führt, sondern die Frage durch die Be- merkung entscheiden, dass für jedes hierher gehörige 6 u B — 20 (& In diesem Falle ist nämlich a’°x—b=0, (4 a3 0) ® a (a + O«) ß— (4a3 b a? — a?? p (E) = (0ß* — a0? + aß) ” + (2a0?ß ba + 7E + (40°0® — 240 — 20°4ß — 2a«ß). Mit Hulfe der beiden ersten dieser Gleichungen verwandelt sich der letzte Ausdruck nun in @(5) =2. Da aber die drei Wurzeln von f=0 durch 2, (2), 9 (2) dargestellt werden, so kann nicht @, (z) = z sein, ohne dass sämmtliche Wurzeln einander gleich werden. — einfachsten durch die zu Wir bemerken. noch, dass der Uebergang von f(2) zu F(€) am f@=0 und a 1L Bn L + 0Ö —)=0 gehörige Eliminationsdeterminante vemacht wird 230 Fünfzigste Vorlesung $ 503—504. Fünfzigste Vorlesung. Die Abel’schen Gleichungen. $ 503. Nach den Darlegungen der letzten Vorlesung wird man zu der allgemeineren Frage nach denjenigen Gleichungen geführt, bei welchen alle Wurzeln durch eine unter ihnen rational darstellbar sind. Solchen Gleichungen werden wir später unsere Aufmerksamkeit zu- zuwenden haben; hier erwähnen wir nur, dass diese Gleichungen im Allgemeinen nicht algebraisch auflösbar sind. Dagegen hat Abel in seiner schon erwähnten Abhandlung eine Classe von Gleichungen speciellerer Art angegeben, bei denen durch Hinzufügung einer neuen Bedingung zur rationalen Darstellbarkeit aller Wurzeln durch eine unter ihnen die algebraische Auflösbarkeit herbeigeführt wird. Abel stellt folgenden Lehrsatz auf*): Es sei f(g)=0 eine algebraische Gleichung m' Grades, deren Wurzeln sämmtlich durch eine unter ihnen, z’, rational ausdrückbar sind. Sind in dieser Darstellung @(z'), %(2') zwei willkürliche Wurzeln, und ist für sie @(x(2)) = x(g(2')), so ist die Gleichung algebraisch auflösbar. Solche Gleichungen wollen wir Abel’sche Gleichungen nennen. Es ist ersichtlich, dass die cyklischen Gleichungen als Abel’sche Gleichungen einfachster Art aufgefasst werden können; „vergleiche dazu im Folgenden die Darlegungen aus $ 517, in denen eine Classification der eingehendere Abel’schen Gleichungen gegeben werden soll. $ 504. Unsere Gleichungen stehen unter den in $ 489 behan- delten, sobald wir auch hier die Irreductibilität voraussetzen. Das aber können' wir unbedenklich thun, da ja, wenn fi(@) ein irre- ductibler Factor von f(g) ist für die Wurzeln von fi= 0 die obigen Voraussetzungen gleichfalls gelten, und da andererseits mit der Kenntniss von z2’ alle anderen Wurzeln bekannt werden. Man kann sich somit auf einen und zwar auf denjenigen irreductiblen Factor von f beschränken, bei dem (Z — Z2’) als Wurzelfactor ; vorkommt. Demnach können wir unsere früheren Resultate verwerthen und die m Wurzeln von f= 0in das Schema NFT * Oeuvres, €d. Sylow et Lie; 1, p. 479. Die Abel’schen Gleichungen 231 D@) , 2 (2') , (,D„_1(Z ) ’ ( (2') =2') Z ( Z (2”) , @ (2”) , Pn 1(Z )} ( (2”) (1) z(’) p (20), o (20), Pn—1(2 (pn(207)) = 2") (n : v = m) einordnen Ist v= 1 dann befinden wir uns in dem Falle von cyklischen Gleichungen Wir setzen daher jetzt v >1 voraus und bilden die Werthe einer allgemeinen noch unbestimmten symmetrischen Function S ?/I —S(? ’ ‘P(Z) 9 q>2(z)‚ Puı(8') = F(@’) , —S(F ’ (P(Ä)‚ q)‘7(P); <ßn—1(z )) - T(Z”) , (2) yd=S (Z”‚ q>(Z( ); %(5<”))‚ Pn 1(Z(”))) UE ”) wobei wir wie dies auch früher geschehen ist, Sorge dafür tragen wollen dass alle diese v Werthe des S verschieden von einander ausfallen Nun wissen wir ($ 491), dass die Gleichung (3) ha(8) = (8 — #9) (# — p(@)) @— OO 0 @=1,2 ) welche z p (20) als Wurzeln liefert, eine cyklische Gleichung und deshalb durch Verwendung von Wurzelausziehungen auflösbar ist Wir wissen ferner, dass ihre Coefficienten als symmetrische Funetionen von @, &0, - rational durch jede andere symmetrische Function derselben Grössen ausdrückbar sind sobald diese für x«= 1, 2 verschiedene Werthe annimmt ($ 490); dass wir also gemäss unserer Vorbereitungen die Coefficienten von A„(z) rational durch y“ aus- drücken und somit statt h„(z) schreiben-dürfen (‘:L) 7b(.a 1 a)) = OO P O . F yayO)=0 Die Auflösung der Abel’schen Gleichung mit den Wurzeln (1) ist demnach abhängig von derjenigen einer Gleichung mit den Wurzeln (2), wobei die symmetrische Funetion S, abgesehen von der oben er- wähnten Einschränkung, beliebig angenommen werden kann Wir setzen nun die irreduetible Gleichung an © q =U —Y) —y Ua und erkennen, dass die Coefficienten von g rational durch die Coeffi- cienten. der v01gelegten Abel’schen Gleichung darstellbar sind ($ 490). Schreiben wir also 232 Fünfzigste Vorlesung $ 504—506. (6) gy0) = Y — dy7! + dy-?— ... +d,=0, so sind die d rational bekannt. Es hängt also Alles von der Natur der Gleichung (6) ab. Wir werden zeigen, dass sie wiederum eine Abel’sche Gleichung ist. $ 505. Es ist den Voraussetzungen gemäss auch z” eine Funetion von 2’, also etwa 2”== %(g’); ebenso sind die beiden Funectionalzeichen @ und %, auf 2 angewendet, mit einander vertauschbar, d. h. x%(@(z')) = y(y(#)); somit wird %(g (2')) = p (4(?)), :, und daher y“= F(e”)= Sly(e), py@)), P@)), : ) = S(y(@), x(pE@)), xlp@)), : ) T 1(ZI, ‘P(Z,); 932(Z/)7 ); wo S, auch eine symmetrische Funetion ist. Demnach wird, falls 2 eine passend gewählte rationale Funetion bedeutet, (7) y = F(g@) = 40’)- Ebenso folgt, wenn wir etwa 2””== @(gz’) annehmen, für eine passend gewählte Funetion w © y“= F@(@)) = #y’)- D A setzt Nun ergiebt sich aus (2), dass, wenn man an die Stelle von ” A der 2””, dann y' in y bezw. in y übergeht. Daher zeigen (7) und (7%) die Richtigkeit der Gleichungen MUy”) = F @")) d b 2W0') = Fz@@)I; w”)= F@@”) d BA = FLRGE@)N- Der Annahme nach ist y@(g’) = @4(g’); demnach hat man endlich (8) A(uy)) = uAYy’))- Die Gleichungen (7) und (7°) liefern den Nachweis dafür, dass jede Wurzel von (6) eine rationale Function von y’ ist, und (8) zeigt, dass die hierbei auftretenden Funetionaloperationen auf y’ angewendet mit einander vertauschbar seien. Folglich sind alle Voraussetzungen dafür erfüllt, dass auch (6) eine Abel’sche Gleichung ist. Auf sie kann wieder dieselbe Schlussweise angewendet werden. Hiermit ist dann zugleich die Auflösbarkeit der Abel’schen Glei- chung f(z) = 0 dargethan. Denn g(y)= 0 ist entweder cyklisch, und dann ist die Frage bereits erledigt; oder wenn dies nicht so ist, dann können wir auf g = 0 dieselben Schlüsse anwenden, wie soeben, und führen ihre Lösung dadurch auf die einer Abel’schen Gleichung eines Grades zurück, der ein echter Theiler von % ist. Die Methode führt daher stets auf eine Reihe cyklischer Gleichungen. Nach unseren Ab- Die Abel’schen Gleichungen. 233 leitungen ist es ersichtlich, dass das Product der Gradzahlen dieser Gleichungen m sein wird. Nehmen wir hierzu noch die Resultate aus $ 491, so erkennen wir: Die Auflösung einer irreductiblen Abel’schen Gleichung m“ Grades kann durch diejenige einer Reihe cyklischer Gleichungen von Primzahlgraden geliefert werden, bei denen das Product der Grade gleich m ist. $ 506. Als Beispiel für Abel’sche Gleichungen behandeln wir diejenigen, von denen die Theilung des Kreises in % gleiche Theile abhängt, indem wir dabei cos %;—t als Unbekannte ansehen. Die Wurzeln der Gleichung sind cos %—7E für 2=1,2,...n%; die Form der Glei- chung können wir aus $ 308, Bd. I entnehmen. Wenn wir daselbst für c eintragen FA 2 w und nach Potenzen von w ordnen, so ergiebt sich, gleichgültig ob % gerade oder ungerade ist, die Gestalt w n—2 Nn U n—4 n (n — 4) (n — 5) n—6 1 _F 2 31 (9) _F vn(n—5) (n — 6) (n — 7) un——8 ... = 2C08n6. 4! Hier ist nun %« = 2 zu setzen, also 2 cos n« = 2, dann erhält man die Gleichung Nn — 3) oder (0). — Zyp= A Z 2 „7L—4_...=-‚_2 D (0) = 0, wobei die linke Seite der ersten Form für ungerade %— 2m + 1 mit dem Gliede (— 1)" (2m +1)u, dagegen für gerade n — 2m mit (—1)”.2 schliesst. SEn Wir wollen jetzt 2 <30s—„£ u setzen, so dass (10) als Wurzeln die Grössen U, U, U besitzt. Aus den Lehren der Goniometrie etwa ist bekannt, dass w eine ganze, ganzzahlige Funetion von u ist, also 21x 0n = 2 C0S —— = O, (u,) = , <2 cos 7—f;) S 2 Uı = 2008 N = Oulu) = 0. (2 cos 2—E) . Hieraus ergeben sich die beiden Beziehungen O; (0.(u)) = O; (u)= 2 cos 22u n) N 22um O.(0;(u,)) = Ou(uz) = 2 cos N OE und daraus O.(0; (u)) = 6, (©.(u,)), 234 Einundfünfzigste Vorlesung $ 507. Fünfzigste Vorlesung $ 506. so dass wir es also wirklich mit einer Abel’schen Gleichung zu thun haben. Diese Gleichung ®„(uw)= 0 ist nicht irreductibel; sie hat ja stets u= 2 zur Wurzel, und wenn % gerade ist, auch w= —2. Ferner erkennt man, dass höchstens diejenigen Wurzeln 2 cos — einer irreductiblen Gleichung angehören und nicht schon durch ein %°„= 0 mit niedrigerem Index m geliefert werden können, bei denen 4 relativ prim zu % und kleiner als % ist. Man überzeugt sich weiter leicht, dass das Polynom ®„(w) abgesehen von dem Factor (u — 2) bei un- geradem, und (u® — 4) bei geradem % ein Quadrat wird; ebenso, wegen (9), dass die Zerlegung ®2m(“) sa (-Dm (“) [®m(“) + 4] gilt. Nehmen wir z. B. %n =48, so folgt hiernach D,s(u) = O, (u) [P.(u) + 41, D, (u) + 4 = [PBs(u) + 4] ( — 8u° + 20 u* — 16 + 1)*, und die Wurzelwerthe der letzten Klammer sind Uı — 2 cos —z 48 für A 5 A 3 a 9230 Hier gelten die goniometrischen Beziehungen u44 = W — 1149 + 4401 — 770 + 55405 — 1u4, =—=> n _u?+47 u 9 = W — 50 + 54, wobei die Reduction des Werthes von u vermittels der Gleichung u — 8u + 20u* — 16wW + 1=0 vor sich gegangen ist. Setzt man w”==v; 4 C =w,, so entsteht hieraus 2 für die neue Unbekannte v eine Gleichung — 803 + 200 — 160 +1=0 (1D) mit den Wurzeln 45 Z (12) %=— U + 60 — 80 +2; u=0 — 60H + 8 +2. Dies sind die entscheidenden VVurzelbéziehungen für die Abel’sche Gleichung (11). Setzt man S(t, *’) =& + 0 SO vmrl S (v1, vi) 47 S (02, 0) = 3, S (v1, vı) - S(v2, vo) = 16; S? —88 + 16=0, S=4. Die Abel’schen Gleichungen Abel’sche Gruppen 235 Hier tritt daher der früher vorgesehene und stets ausgeschlossene Fall eın dass S nur einen Werth besitzt Wir können somit aus dem ge- wählten S(v,,v;) den Werth von w -w;i nicht bestimmen und setzen um ihn zu erlangen, Sı(t,4’)=t.t Dann finden wir für diese sym- metrische Function Sı (v1, vı) = — vl + 4, Sı (02, 03) = 2° — — 60 + 80) = 0 — 40 + 4; Sı (v1, v1) + Sı (ve, va) = 4 S (7)1‚ 1)1) S (7)_‚ _‘) => 1 SEA G 8 =24 Daraus sehen wir, dass die Wurzeln von (11) durch die Gleichungen v—40+2+V3=0 gegeben werden d. h. dass — 80 + 20v0? — 16v + 1 ( 40 +2-+V3)( 4m —. 2—V3) wird. Der grösste Wurzelwerth wird durch die Combination der posi- tiven Vorzeichen der Quadratwurzeln bestimmt 294172733 aus diesem ergiebt sich dann für das entsprechende w 4 2 == COS = 0,9914449 . und damit die verlangte Theﬂung des Kreises in 48 gleiche Theile FEA SA PE Einundfünfzigste Vorlesung Abel’sche Gruppen $ 507 Durch die allgemeineren Betrachtungen, zu denen wir jetzt übergehen wollen gewinnen wir eınenN tieferen KEinblick ın as Wesen der Abel’schen Gleichungen und in die Methode ihrer Behandlung. Eine R91he von unter einander verschiedenen Elementen O, %, ®J7 bildet dann eine Gruppe, wenn sie den folgenden Bed1n gungen genügt: 236 Einundfünfzigste Vorlesung $ 507—508. $ I) Je zwei Elemente @, und @, bestimmen in der angegebönen Reihenfolge eindeutig ein drittes Element der Reihe, welches mit @, @, bezeichnet und durch @3 T @1 @2 angedeutet werden möge. Wir sagen ©, sei aus ©, und ®, componirt. Im Allgemeinen ıist @, ©, von ©@, 0, verschieden. Wir sagen ferner, O, seı durch linksseitige Composition von @, an @, entstanden und durch rechtsseitige Com- position von @, an &.. II Für die Operation, durch welche @, @, aus ®, und 6, ent- springt, gilt das associatiye Gesetz ($ 1, Bd. I), d. h. es ıist (®1 ®2) @4 a @1(@2 @4„)° Aus jeder der beiden Gleichungen II oder 0,0, = ©, @4 0,0,= 0,0, folgt O, = . Es giebt Gruppen aus unendlich vielen Elementen und solche aus einer endlichen Anzahl. Die ersteren nennen wir unendliche Gruppen; die letzteren nennen wir endliche Gruppen. Da wir uns im Fol- genden ausschliesslich mit den letzten beschäftigen, so lassen wir der Einfachheit halber das für uns unnöthige unterscheidende Beiwort weg. Die Anzahl der Elemente einer Gruppe, d. h. also einer endlichen Gruppe, wollen wir als ihre Ordnung bezeichnen. Kommen alle Elemente einer Gruppe ©, unter den Klementen einer anderen Gruppe ®, vor, so heisst ©‚ ein Vielfaches von ®,, und ®, ein Theiler oder Divisor oder eine Untergruppe von S,. Der Fall G, = ®, ist in unsere Definition einbegriffen; dabei ist ©, ein uneigentlicher Theiler von ®,. $ 508. Wir wollen einige elementare HEigenschaften solcher Gruppen herleiten. A) Lässt man in dem Ausdrucke @,0, oder @„,@,, in welchem @, ein festes Element von © bedeutet, @, alle Elemente der Gruppe durchlaufen, so kommen nach III) wiederum alle Elemente heraus. Folglich giebt es bei jeder Wahl von @,, @, ein und nur ein Gruppen- element @, und nur ein @,, welche die Gleichungen oder 0,0,;= © 0,09, = ©: befriedigen. Abel’sche Gruppen. 237 B) Bilden wir, von einem beliebigen Elemente @ der Gruppe ®© ausgehend, die Reihe @ O, @, 6, @, ... @, 2 ? wobei in Folge von II) die einzelnen Potenzen ganz bestimmte Be- deutung haben, so gehören sie wegen I) sämmtlich zu ®. Dann er- giebt sich aus dem Umstande, dass © nur eine endliche Anzahl von Klementen besitzt, die Folge, dass Gleichungen von der Form @* = @ bestehen müssen. Ist nun 21 = x + w, dann schliessen wir hieraus @O — 6*. O und @* = @« *, Bestimmen wir jetzt @, und @, so, dass für ein beliebiges ©, der Gruppe 0,.0*= @, und *0, = %, wird, dann folgen ans den beiden vorhergehenden Gleichungen, indem man ‚ die erste derselben links mit @, und die zweite rechts mit O, componirt, die Relationen O, 0"=— 0, und 0“0,= %; d. h. das Element @“ ändert weder durch rechtsseitige noch durch linksseitige Composition ein Element der Gruppe. Wir wollen @« das Einheitselement nennen und mit X bezeichnen. Es giebt nur ein einziges derartiges in einer Gruppe ®©; denn wäre H ein anderes von gleicher Eigenschaft, so folgte aus 0,E= 0,= 6,H wegen IIL) die Identität von X und H. C) Aus @“ = E erkennen wir, dass eine gewisse Potenz- jedes KElementes gleich dem Einheitselemente wird. Der niedrigste Exponent, für welchen dies bei © eintritt, sei x. Dann zeigt eine schon häufig benutzte Schlussweise, dass alle und nur diejenigen Potenzen von @ gleich £ werden, als deren Exponenten Vielfache von x auftreten, und dass alle Glieder der Reihe @} @27 S O 0°=E von einander verschieden sind. Wir sagen (vgl. 8 295, Bd. I) @© ge- hört zum Exponenten x und x giebt die Ordnung von @ an. Infolge der Gleichung @* = ] kann man Potenzen mit nega- tıven Exponenten durch die Definitionsgleichungen O71 = 071.E= @, D @z—2} einführen. Mit @ gehört auch @-—!1 einer Gruppe an, da es gleich einer Potenz von @ ist. 238 Einundfünfzigste Vorlesung 8 508—509. D) Giebt es in @6 ein Element @, welches zu einem bestimmten KExponenten x gehört, dann giebt es in © auch Elemente, die zu einem gegebenen Theiler v =x:uw von x gehören. Denn @“ liefert in die v Potenz erhoben ; und wenn andrerseits (0“)' = E ist, dann muss ur ein Vielfaches von x, und also 7 ein Vielfaches von v oder gleich v seın Im Allgemeinen ist, wie man an Beispielen sieht, @“ nicht das einzige Element mit dieser Kigenschaft E) Es sei ®©, mit den Elementen @,, ©,, O ein eigentlicher Theiler einer Gruppe © mit den Elementen ©,, %,, O, (n m), dann lässt sich beweisen, dass m” ein Theiler von %” ıst Ist @’ eins der zu ® aber nicht zu © ehörigen Elemente So bilden wir die Elemente 0.,0', 0,09 ’ ®m © Diese kommen sämmtlich wegen I) in © vor; sie sind ferner von ein- ander verschieden, da aus @, 0’= 6;0' nach III) folgen würde 0, = 0s; sie sind auch von den Elementen der Gruppe ©, verschieden, da aus 0,0'= ©g nach C) und IIMN) 0’= O7 Og folgen würde, so dass @’ selbst schon gegen die Annahme der Gruppe ®©, angehörte ® umfasst also mindestens 2m Elemente Besitzt ®© ausser diesen dann bilden Elementen @, und @,' noch ein weiteres Element ® wir mit seiner Hülfe ebenso @.0 0,.0% O„0” und führen dieselben Schlüsse durch wie oben, aus denen sich ergiebt dass ® auch alle diese neuen m Elemente enthält; dass diese unter- einander und dass sie von den früheren 2m Elementen verschieden sind. © umfasst also mindestens 3 Elemente. — So fahren wır fort und erkennen: Die Ordnung des Theilers einer Gruppe ist eın Theiler der Ordnung der Gruppe Die von einander verschiedenen Potenzen eines beliebigen KEle- mentes @ von ® bilden für sich einen eigentlichen Theiler von © Die Ordnung dieses Theilers ıst wenn sie nicht © selbst erschöpfen mit der Ordnung des Elementes identisch (vgl. C) Daher ist die ein Theiler der Ordnung der Ordnung jedes Elementes (D — Es liegt nicht in dem Plane dieser Vorlesungen, die Theorie der oben definirten, allgemeinen (endlichen) Gruppen eingehend zu behandeln. Nachdem wir in diesem Paragraphen die elementarsten Gruppeneigen- schaften hergeleitet haben, wenden wir uns zu einer ganz besonders einfachen Art von Gruppen Abel’sche Gruppen. 239 $ 509. In II) haben wir erwähnt, dass ©,@©, im Allgemeinen Wir wollen nun die Vertauschbarkeit der von &, @, verschieden. sel. KElemente in einer Composition zu den Voraussetzungen hinzunehmen. IV) Eine Gruppe heisst eine Abel’sche Gruppe, wenn für alle ihre Operationen das commutative Gesetz ($ 1, Bd. I) gilt 2 d. h. wenn ,, = 6,0, ist. Aus diesem Grunde heisst eine Abel’sche Gruppe auch eine Gruppe vertauschbarer Ele- mente. — Die Regeln der Composition entsprechen in diesem Falle denen der gewöhnlichen Multiplication; wir werden des- halb auch hier von Produet und von Potenz sprechen dürfen. Die besonderen Gesetze, denen die Abel’schen Gruppen unter- worfen sind, wurden von E. Schering*), von L. Kronecker**) und besonders eingehend von G. Frobenius und L. Stickelberger #*#*) untersucht. Wir leiten die für unsere Zwecke wichtigsten Resultate hier ab und schliessen uns dabei im Allgemeinen an die letztgenannten Untersuchungen an 7). F) Da für zwei beliebige Elemente der Abel’schen Gruppe X das commutative Gesetz gilt, so gilt es auch ($ 1, Bd. I) für das Resultat der Composition beliebig vieler Elemente. Für die Potenzerhebung eines Productes hat man also im Besonderen (®1®2®3"')“ o @ä‘ @% @;'Äf } G) Wenn die beiden Exponenten o und 6, zu denen bez. die KElemente @, und ©, gehören sollen, theilerfremde Zahlen sind, dann gehört das Product @,©, zu dem HExponenten 06. Denn bezeichnen wir mit 7 den Exponenten, zu welchem ©,0, gehört, so ist (0,0,)'= E, und also um so mehr auch =Z —— (@,0,)0* = O97 O27 O9=E da 0e=E ıst da ıst (0,0,) — 077007 — @— E 2 O =E 7} demnach ist or ein Vielfaches von 6, und also, weil o und 6 theiler- fremd sind, 7 selbst ein Vielfaches von o. Aus der zweiten Gleichungs- reihe folgt ebenso, dass 7 ein Vielfaches von o sei. Folglich ist 7 ein Vielfaches von 06. Da weiter aber (©,0,)%° = E ist, so gehört @, 6, schon zum Exponenten 06 selbst. H) Ist m, die kleinste Zahl, welche die sämmtlichen zu den Ele- menten von % gehörigen Exponenten zu Theilern hat, dann giebt es BA *) Götting. Abhandl. 14 (1869). Math. Cl. p. 3. **) Berl. Ber. (1870), 1. Dec., p. 881. *##) J. f.M. 86 (1879), p. 217. +) Es sei auch auf die inhaltreiche Abhandlung von K. Zsigmondy, Monatshefte f. Math, 7 (1896), p. 185, hingewiesen. 240 Einundfünfzigéte Vorlesung $ 509. in X auch Elemente, welche zu %, selbst gehören. Denn wenn %, ın seine Primfactoren aufgelöst = y“q®... ist, so giebt es nach der An- nahme über u, sicher ein @, welches zu einem durch y“ theilbaren Exponenten gehört, also nach D) auch ein Element @,, welches zu p“ selbst gehört; ebenso findet man ein zu q° gehöriges ©,, u. s. f. Also gehört nach G) das Element @,@,-.- zu n, selbst. Die Zahl %, nennen wir die erste Invariante der Abel’schen Gruppe %. Da m, ein ganzes Vielfaches jedes in % vorkommenden Kıx- ponenten ist, so wird für jedes Element @ von % die Gleichung @— E gelten. J) Ist @, eins der zu n, gehörigen Elemente von %, und er- schöpfen die untereinander verschiedenen Potenzen von ®, nämlich (1) ®17 @]27 @3 @p = E noch nicht alle %” Elemente der Gruppe %, dann sei @, eins der übrigen Elemente; wir bilden die Reihe der Produete @a; @0:@1; @a@?; 0.027* @) und benutzen die in E) abgeleiteten Resultate; ebenso gehen wir, wenn es nöthig ist, weiter zu (3) Os, O60,, ©9:0i, @ß @7121'“1 SSa Jede der Zeilen (1), (2), (3), - - fassen wir nun als ein Element auf; wir setzen (1) gleich H, (2) gleich H,, (3) gleich Hp, u s. £ und definiren die Composition der H derart, dass wir setzen H.H;= H,, wenn (0,0i)(0;0i) = 0.0; : 0i = 0,0i ıst Dies ist eine erlaubte Definition, da ja in der letzten Gleichung der Index y von « und ß allein, aber nicht von x und 2 abhängig ist. Es wird also, H, eindeutig durch H, und Hp bestimmt ($ 507, I). — Aus (0,0g;) @s = 0.(0; @5) folgt ferner (He H(g) an = (a &. h. es gilt das commutative Gesetz (II, $ 507). — Ist weiter H. Hs =H.Hy, S0 ist (@„@f)(%@i)=(@„@Q‘)(@‚@}’); weil sich nun aus der letzten Gleichung @; = ©;©7 ergiebt, so ist H: — Hy, me 1IIl, S 507 es fordert. — Endlich besteht wegen der Vertauschbarkeit der @ auch diejenige der H, d. h. die H bilden eine Abel’sche Gruppe (IV, $ 506). Wir wollen sie , nennen. In %, repräsentirt H, das Einheitselement, welches wir mit £, bezeichnen; denn aus @aE Z @a f01gt Ha-El - E1HDC a Ha S Abel’sche Gruppen. 241 Es gelten in der Gruppe %, der H alle in H) abgeleiteten Eigen- schaften, und demnach existirt eine kleinste Zahl %,, für welche jedes Element H von %, die Gleichung H: == E, befriedigt. Geht man zu den @ zurück, so kommt man auf das Bestehen der Gleichungen (0,00*= @ oder O — für jedes @, von % und passendes w; d. h. jedes Element @, von %l giebt in die %' Potenz erhoben eine Potenz von ®,. Da %, die erste Invariante von %, ist, so giebt es ein zu %, ge- höriges Element. H’; und wenn daher @’ zu der Reihe gehört, welche von H” repräsentirt wird, so ist @’ auch die niedrigste Potenz von @O’, welche zu einer Potenz von @, wird. Dann folgt nach bekannten Schlüssen, dass O @2n @3n ’ seine einzigen Potenzen dieser Eigenschaft sind; und weil @” = E ist, so muss %, ein Theiler von %, sein, der freilich auch m, selbst werden kann. Krheben wir An — @äl in die (n‚ : %„) Potenz, so folgt MN @’"1 = K — @1_7‘_2—, aus dieser Relation geht hervor, dass (w:%,) eine ganze Zahl ist, W = , M. Dann ergiebt sich für das Element © — O, welches natürlich auch zu H’ gehört, dass erst seine %„ Potenz eine Potenz von @, wird; es gilt daher die Gleichung @;„ S @’n‚_ @,1£1„2_„27„ SE @’n2 @;ll')'l2—‚lt A @111an — K. KEs giebt also ein kleinstes %, so, dass n ein eigentlicher oder uneigentlicher Theiler von %, ist; dass jedes @ in die n“ Potenz erhoben eine Potenz von ©, wird; und dass ein O; zu %, gehört, für welches die %' Potenz direct gleich E ist. Alle %,% Potenzproducte, welche mit Hülfe von @, und ©, gebildet werden können, nämlich (4) 0«ß @= 12 D B= 1 2 ° 2) sind von einander verschieden. Denn aus der Annahme O6 — 010 (“;7’£”15 ß‚8__£7’@; ß_>:ö) folgt ja sofort @(ä_(j* n @ä_a7 und also, da (ß — d) nicht grösser als (n,—1) sein kann, ß= 0, y=« Netto, Algebra. II. 16 24 7 2 KEinundfünfzigste Vorlesung $ 509—510. Erschöpfen die nın Elemente (4) noch nicht alle Elemente von 3, dann können wir eine neue Abel’sche Gruppe %, herstellen, deren KEinheitselement der Inbegriff der Elemente (4) ist, und deren andere KElemente je durch den Inbegriff von %, - %, Elementen, die mit Hülfe eines neuen @, von %X gebildet sind © 0,0% (“=1)27 V3 ß Ka 17 2; 722>; dargestellt werden. Die Composition für %, wird dabei wie oben bei %, definirt. Für % giebt es eine Zahl %; derart, dass jedes Element in die %, Potenz erhoben das Einheitselement von %, giebt; n ist ein Theiler von %; es giebt in %, ein zu %, gehöriges Klement. Folglich giebt es in %, ein @”, dessen n Potenz zu (4) gehört . Z daraus lässt sich ein @, in % herleiten, dessen n° Potenz = H ist. Alle %, n,nz Elemente (6) 6 68 0% il % 3 (@ = 103 B1 005 Y= 19 M) sind von einander verschieden. Durch Fortsetzung dieses Verfahrens kommt man zu dem Haupt- resultate: In jeder Abel’schen Gruppe X von % Elementen kann man ein System von r Elementen (6*) O, O, ®/‘—1 ’ @7 mit den zugehörigen Exponenten (6”) Nı, N 2 Z Nan N (no-+1 theilt na; %. > 1) mit folgenden Eigenschaften bestimmen: Jede der Potenzen @« wird dem KEinheitselemente gleich, aber keine niedere Potenz von 0,; gleichzeitig ist @,“ die niedrigste Potenz, welche als Potenzproduct der vorhergehenden Elemente (7) 005 @“a——1 & 1 darstellbar ist; jedes Element @ der Abel’schen Gruppe ist eindeutig in der Form (8) 0=0 0 O A < D) ausdrückbar; eine Gleichung von der Form Un .. Or (9) @i O 2 ... @r — 0107 kann nur dann bestehen, wenn jedes (UWx — vo) ein Vielfaches von ng ist. Man hat N — Nı Nz3 N, (10) Abel’sche, Gruppen. 243 .. @, eine Basıs Wir nennen ein jedes solche System ,, %,, der Abel’schen Gruppe. @1, O, - @, bilden eine Basis, wenn sie folgende Eigenschaften haben: 1) Jedes Element von % kann auf die Form O20 Or ge- _ bracht werden. Gleichung @äll @él2 @” = E fordert, dass jedes 2) Die @* — H ist. 3) Gehört @, zum Exponenten %A, SO ist %x durch %+ 1 theilbar ’ und 9 m- Die Zahlen %1, , %„ heissen die erste, zweite, variante von %. Diese Bezeichnung wird noch gerechtfertigt werden müssen. ($ 513). $ 510. Zunächst benutzen wir den abgeleiteten Hauptsatz zur Berechnung der Anzahl derjenigen Elemente von %, welche zu einem Wir be- vorgegebenen Theiler ” von % als Exponenten gehören. zeichnen diese Zahl durch %(m). Bedeuten @ und d theilerfremde Zahlen, so ist w (ab) = v(a)). Dies beweisen wir folgendermassen: Damit das Element (11) O1 05 O zum Exponenten @ gehöre, muss zunächst ( @‘i1 @%1 O%) V3 sein, d. h. wir können setzen (12) A0 — Nı &, , A0 = NoC, Z A0 = N-0r, wobei &1, &3, &, ganze, positive Zahlen bedeuten. Damit ferner keine niedere Potenz als die a dem Einheitselemente gleich wird, &- zu @ theiler- muss der grösste gemeinsame Theiler von «,, &, fremd sein; denn wäre das nicht der Fall, sondern wäre dieser ge- meinsame Theiler 0 von a1, &, &, @ grösser als 1, dann wären schon die Producte ==% A d 5 2972 Ur z S ganze Vielfache von %1, %, N%-, und es würde demnach bereits die A& ( Ö >e Potenz von (11) gleich X werden. Ebenso können wir, wenn das Potenzproduct (11°) 0r @ 16* 244 Kinundfünfzigste Vorlesung $ 510. zum Exponenten b gehört, die Gleichungen (12°*) bb = m ß,, bb, = %ß 27 00 = WB ansetzen, wobei ß,, ß, - ßr 0 den gemeinsamen Theiler 1 haben. Nun betrachten wir das aus (11) und (11°) componirte Element (18) @1‘1+51 @Z'z'f‘% Z 0%) ( 0 ... 0') und erkennen aus der zweiten Form, dass die (ab)® Potenz von (13) gleich X wird. Heisst jetzt x der Exponent, zu dem (13) gehört ? so wiırd (a, + b6,)% durch %; (a + b6,)% durch %; 5 (r + br) x durch Nr also aß, (a - b,)x durch ßn = Ob;; Aaßı(a, + b,)x durch ßn = bb,; theilbar; und da aa,= N,0,, ist, so müsste. aß b,% durch 06,; aß,b,x durch 46,; ’ d. h b Ö aßıx ” 7} A ßo% ” 7 ’ und weil @ zu O theilerfremd ist, endlich auch jede der Grössen BA N durcht theilbar sein. Der grösste gemeinsame Theiler von ß,, ß,::: ß. war zu O theilerfremd; daher ist x durch 6 theilbar. Ebenso folgt, dass x durch « theilbar ist; der Voraussetzung nach sind @ und 6 theiler- fremd; demnach ist x durch ab theilbar, und das componirte Element (13) gehört zu ab. Hiermit ist als erstes Zwischenresultat bewiesen, dass das Product zweier zu @ bez. zu b _gehöriger Elemente @ selbst zu dem Exponenten ab gehört, wenn @ und b theilerfremd sind. Umgekehrt wollen wir nachweisen: Wenn ein Element (13°) or0: .. 6 zu ab gehört, wobei @ und b theilerfremd zu einander sein sollen, dann kann man die positiven Zahlen a,, @, @, Wn Dıy 0a D so bestimmen, dass d = Or F Or (14) . = 4 + 6153 o = 4 + %; wird, und dass die dadurch festgelegten Ausdrücke (11) und (11°) zu a und bezw. zu b gehören. t1‚ t2‚ .. € müssen, wie ın der Voraus- setzung eingeschlossen liegt, so beschaffen sein, dass OO = W 400 = M4T4; O = Ma z.; ab theilerfremd sind. wird, und dass die r + 1 Zahlen T, %, 20 Abel’sche Gruppen. 245 Wir können stets nach einer elementaren Methode der Zahlen- theorie dıe Zerfällungen der T+ in die Formen (15) T, = &40 + ßıa; D = %0 F B@; Tr = &, + ßa durchführen. Ks ist ersichtlich, dass weder ß,, ß,, 0 noch &y X9 , &,, @ einen gemeinsamen Theiler haben; denn die r,, 79 „ würden denselben besitzen. Nun ist für jedes 1=1,2, V die Gleichung befriedigt ını = 0a0 = &, bnz + Bıanz, und da 4ab und «,bn;, durch b theilbar sind, so muss auch ß;an; durch 6 theilbar sein; deshalb ist auch ßınz durch b theilbar, weil « und O theilerfremd sind. Wir können demnach setzen Bın = b0,, Ba =bl, BAl = 00-o Aus ähnlichen Gründen ergiebt sich das entsprechende Resultat &1 Nı = 00,, W = W 0 = 00 mit ganzzahligen a1, A, Ar 01, 02, Ö, Für die so gefundenen Zahlen az und b; ist wegen (12) und (12*) CLZ)(CI3 + b/> a n;_(a;l) + ß}_d) == MTı = al)t;_. Daher ist die Forderungsreihe (14) befriedigt. Hiermit ist als zweites Zwischenresultat bewiesen, dass jedes zu ab gehörige Element @’ aus zwei anderen componirt werden kann, die zu @ und bez. zu b gehören. Es fragt sich nun endlich, auf wie viele verschiedene Arten eine solche Zerlegung (14) bei (13%) möglich sei. Befriedigen auch «;, ßj (1=1,2,...r7) die Forderungen (15), so wird, wie aus den Elementen der Zahlentheorie bekannt ist, bei beliebigen ganzzahligen m; 271 O Z T A M} ) ß = — D S CZÄ N} Z &Na { AN/ M7 M Bın = Bın — bn, Mı A C A0 + anım,, bb =bb — bnzmz; a = ı + nım; 2 b; a LO Hiernach kann man auf eine und nur auf eine Art a so bestimmen, dass @;ı kleiner als n wird; dadurch ergiebt sich dann sofort wegen der Gleichungen, die dem Systeme (14) entsprechen, dass b 2 entweder — (lf}_ 5 CLÄ) oder = ı — (& — 4) auch eindeutig bestimmt, kleiner als %2 und positiv wird. Die durch- geführte Zerlegung ist also nur auf eine Art möglich. Damit ist das zu Beginn des Par agraphen ausgesprochene Theorem bewiesen. 246 Einundfünfzigste Vorlesung $ 511—512. $ 511. Die Untersuchung von &%(m) ist jetzt also auf diejenige einfachere von %(y“) zurückgeführt, wobei p“ eine in n, vorkommende Primzahlpotenz bedeutet. Um. diese Frage zu erledigen, setzen wir die y Inyvarianten %1, N%2, - n der Gruppe M in die Form (16) Uı ID Na — V, P N. = v,Y“r, so dass die v7 zu p theilerfremd geworden sind. KEs sei dabei das &- bestimmt Grössenverhältniss von « zu den Eixponenten &,, &,, durch (16°) Z Z Z ZU Z Ugnr Z Cg Z 00 Z Cn Diese Folge ist aus dem Grunde möglich, weil %o durch %o+1 theil- bar, und also jedes folgende « höchstens so gross ist, wie das vorher- gehende. Soll nun ein @/ %* - @” so beschaffen sein, dass die Potenz ( 0 @H‚«) DE @;lulla @äe?“ en @if„7a AT wird, dann müssen u,p“, w p“, .. bezw. durch v, p“ı, v p°, und also U, U, . bezw. durch v,, %, - + theilbar seim. Setzen wir des- halb zu Abkürzung @* —r O = T 6 n 2 27 O7 =w ("'z gehört zu p"‘l)‚ dann muss jedes zu y“ gehörige Element in die Form gebracht werden können (} il O _0 2 2 T Z Z und wir brauchen nur zu fragen, welchen Bedingungen die 01, 02,::: 6, zu unterwerfen sind, damıt die Potenz r)']. 0,n“ 0, D“ Ü T(Irpa= .E . (rfl r;* r )= L 2 ist wird. Da 7,+1 zu p*#+1 gehört, und da « > &, +1 Z Uy+2 Z 2 so kann man 6„,+1 gleich einer beliebigen unter den Zahlen 0, 1,-.- D HLT wählen und ähnlich 6„+2, Die Anzahl der Möglich- keiten für 0,41, - 6, beträgt also insgesammt “x+1+“x+2+"'+“1: Für 0, muss ein Vielfaches von y““ eintreten, d. h. man darf für 6 nur ein yu—7«, 2pu &, ... p“. n“ als Werth annehmen, und Aehnliches gilt für 02, O, Die Anzahl der Möglichkeiten hierfür Bei dieser letzten Sorte ist aber zu bedenken, dass beträgt also p“*. auch erst die p“ Potenz gleich Z werden darf; es ist also auszu- 6, gleichzeitig durch schliessen, dass alle x Werthe von 01, 6,, Abel’sche Gruppen. 247 2)alfa+}; Pa‚„,—a+l) - theilbar sind; denn in diesem Falle wäre schon die p“—!* Potenz gleich . KEs bleiben also für 01, 0, --: 6, nur pC(Z ___P(a—l)z Werthsysteme zurück. Es sind demnach im Ganzen (17) D Z 4 D n >p“z—{—l+”z—{—‘„)+"-+c(,. Elemente in % vorhanden, die zum Exponenten p“ gehören. Die Anzahl aller Elemente, welche zu ” gehören, beträgt daher insbesondere R r DE < D > . $ 512. Im Anschlusse an dieses Resultat suchen wir die Anzahl der Elemente von %, die zu einer der Zahlen p“, p“—1, ... p% ph 1 als Exponenten gehören. Diese Anzahl wollen wir mit %(v“) bezeichnen. Hierbei bleibt die obige Bestimmung von 6,41, 0,+2, ungeändert, während bei der Bestimmung von 64, 03, 6, zu beachten ist, dass jetzt keine Exponentensysteme ausgeschlossen zu werden brauchen. In (17) ist also einfach das negative Glied der Klammergrösse zu unterdrücken. Es ist (17°) u(p°) =p rzz+c(x+1—{—w-+a‚.’ d. h. dies ist die Anzahl der Elemente in , welche zu einer der Potenzen 1, %, Es iıst n“ als Exponenten gehören. also insbesondere &X / (17”) u(p°)= 1 )((l+czz—f—--.—|—a‚.; uln7)= g Wir brauchen noch eine Umformung unserer Resultate und führen dazu gewisse Grössen qo, 41, do, ein. Es sei qgo die Anzahl derjenigen Glieder der Reihe Nı, M, N3, e welche durch y gar nicht, q„ die Anzahl derjenigen Glieder @=11,2 ,;-°)‚ welche durch p“, aber nicht durch eine höhere Potenz von n theil- bar sind. Dann giebt x in (16®) an, wie viele der «,, COn grösser oder gleich « sind, d. h. es ist Z el A Gln Ar A M Setzen wir ferner x (Prz——l) M 1)(a—1)/1+(11_1[_1_‘_..._}_a‚_’ so ist ebenso A — e A e E Oa 248 Einundfünfzigste Vorlesung $ 512—514. Nun ist aber nur dann A > %, wenn a—1=05;4+1=05z+2= = 0440 S ist, und zwar wird dabeı Ä‘”'%=Qa—«l":@' Dies ergiebt dann NS x (p°) ax—(cc—1)i.—l—a„+l—i---r—}—a;_ KL a %— («—1)(x#-+0)+(@—1)0 S % ) D JD x a1> =1) Q T la-+1 T T, Wir bemerken ferner noch, dass %+a Hdm=7 ist, wie man aus dem Umstande erkennt, dass beide Seiten die An- zahl sämmtlicher %„ geben; und weiter, wenn man die einander gleichen &, zusammenfasst, dass Zahlen in der Reihe «1, &, dı + 202 + 303 4: F &a Gay = &ı A 0 A Ar Or wird. Diese letztere Anzahl bezeichnen wir mit Q. Dann folgt aus (17”) und aus unserer Formel für %(p“) : x (p“—") p“) =1)} &, —1 I ‘ D JO £ (97)) —p in i ’ Q Ün Z E un = $ 513. Mit Hülfe der bisher gefundenen Resultate können wir jetzt den schon oben ($ 509, Schluss) angedeuteten Satz beweisen, dass die Anzahl sowie der Werth der einzelnen Invarianten Nı, Na, n. einer Abel’schen Gruppe X von der Wahl der Basis dieser Gruppe unabhängig sind. Von der ersten Invariante %, ist dies ja ihrer Bedeutung nach von selbst klar, da nach H) $ 509 n, die kleinste Zahl ist, welche die sämmtlichen Exponenten, zu denen die Elemente von %{ gehören, zu Theilern hat. Dagegen ist das Element , nicht eindeutig bestimmbar, und von der Wahl dieses @, könnte möglicherweise %, abhängen, u. s. f. Den Beweis des aufgestellten Theorems führen wir folgendermassen. Aus der Bedeutung von (17) und (17°) als Anzahl von Elementen der Gruppe A, welche eine ganz bestimmt definirte Kigenschaft haben, folgt, dass der Werth (17) von der Wahl der Basis unabhängig ist. Schreibt man nun (17) in der Gestalt (a—1)z+a„_‚_l+u-+ar (p/__ 1)) Abel’sche Gruppen. 249 so erkennt man, dass (y”—1) eindeutig durch den Werth von (17) gegeben ıst, nämlich als der durch y nicht theilbare Factor dieser Zahl, und daraus, dass auch x unabhängig von der Basis bestimmt ist. Die Zahl der durch ein p“ theilbaren Glieder der zu den Elementen irgend einer Basis gehörigen Exponenten (18) ıy Ma M 3 O N, ist von der Wahl der Basis unabhängig. Sind nun mindestens die ersten o Glieder von (18®) durch p“ theilbar, dagegen weniger als o der ersten Glieder durch y“+!, dann ist n genau durch p“ theilbar. Die höchste Potenz von p, welche ein seiner Stellung nach gegebenes Glied aus (18*) theilt, ist von der Wahl der Basis unabhängig. Führt man die Bestimmung dieser höchsten Primzahl- potenz in m%, für alle Primfactoren von %, oder, was dasselbe besagt, von %, durch, dann folgt, dass der Werth von n Selbst von der Wahl der Basis unabhängig sei; und damit ist der aufgestellte Satz bewiesen. Insbesondere ist auch die Zahl y nur von der Gruppe, nicht von ihrer Basis abhängig. Wir wollen diese Zahl 7 als den Rang der Abel’schen Gruppe bezeichnen. Auch der Rang der Gruppe ist invariant. KEine Abel’sche Gruppe vom Range 1 heisst eine cyklische Gruppe. Alle ihre Elemente können als Potenzen ein und desselben Elementes dargestellt werden. $ 514. Es möge eine Abel’sche Gruppe X die Elemente 0,, ©B 22 O, umfassen; dies wollen wir durch X =[0,, @, - 0,] kurz ausdrücken, wobei also die eckige Klammer sämmtliche Elemente von % einschliessen soll. Ferner sei n — h-.k, und es soll möglich sein, aus der Gruppe X zwei Theiler 3, und %, herauszuheben %[1= [äl; '32, A '9/1]; %[2 . [717 72, ’Z';„] von der Art, dass jedes @ als Product Da Tg (a=1,2,..-h; Bß=1,2,... k) dargestellt werden kann. Dann sagen wir, X sei aus X und %, componirt, oder XN= X- N sei das Product von I umnd Yı — 9 heisst in diesem Falle zerlegbar. Hierbei muss bemerkt werden, dass die Existenz eines Theilers W, von M durchaus nicht die Zer- legbarkeit der Gruppe X nach sich zu ziehen braucht. Da 3, und %, Gruppen sind, so hat jede das Einheitselement X von % unter ihren Elementen. Den gemachten Annahmen gemäss ist dies das einzige gemeinsame Element beider Gruppen. müssen bei den Z Denn alle &4 Z ; k _ verschiedenen Indexsystemen %, ß verschieden 250 Einundfünfzigste Vorlesung $ 514—515. ausfallen. Wäre aber ein von E verschiedenes &J gleich einem 7,, SO würde das formal von &,Tg verschiedene Product ( 90) (to 78) = Da gegen die Voraussetzung werden, und es wären also nicht alle h:ık= 1n Producte unter einander verschieden. Es ist klar, dass durch die Formel (8), $ 509 die Zerlegung einer Abel’schen Gruppe vom Range 7 in y Factoren vom Range 1, d. h. in ” cyklische Gruppen geliefert wird. Sobald also ”> 1 ist, ist eine Zerlegung der Gruppe X möglich. Hiermit ist jedoch die Frage nach der Zerlegbarkeit einer Abel- schen Gruppe noch nicht zu Ende geführt; es ist zur Ergänzung die Entscheidung darüber herbeizuführen, wann und wie auch eine cyklische Gruppe U = [®; @27 @3; W @"] (@7L N E) zerlegt werden kann. Gesetzt es gäbe zwei solche Factoren %, und %, von den Ordnungen %A und k, wie sie oben angedeutet sind, dann müsste es in W, ein Element & und in % ein T derart geben, dass t= 0 wird. Da nun die Elemente & und r vertauschbar sind, so folgt — E u = © U = 33 'L'3 A, @3} Q — @n und hierdurch werden alle Elemente der Gruppe %X festgelegt. Von diesen betrachten wir E — I OEgn „3‚2k ’E2k) ‚3.3k 'U3k7 Da z zu einer Gruppe von der Ordnung %& gehört, so ist gemäss 8& 508, E) zu setzen ı* = ], und also gehören ‚31„} 3.21„ SW zu &- Sie sind ferner von einander verschieden, weil sie bezw. ıhre Gesammtheit die gleich @*, @**, sind; folglich bildet Abel’sche Gruppe %,, d. h. es ist 6 ,3JLÄ‘]_ 2I1 En ['3k7 97% Ferner ist jede Substitution von %, so beschaffen, dass ihre ® Potenz gleich Z wird, da die Ordnung von 4, gleich Z ist; $ 508, E). Des- halb kann aus der Reihe %, 2%, - - hık der eben benutzten Exponenten nur der letzte durch % theilbar werden, d. h. % und % sind theiler- fremd zu einander. Abel’sche Gruppen. 251 Ebenso erkennt man, dass Sl[g B [’U"‚ 12/1 'Ekh] ist; ferner kann man beide Gruppen in die Formen bringen %[L= [@k7 ®2k; I @hk]; %[2 DE l;@h} @2]L‚ Kr @kh]. Umgekehrt ist klar, dass, wenn durch %=%-h die Zahl n% in zwei theilerfremde Factoren A und % zerlegt worden ist, die Zerlegung N= U, - gilt, weil man ganzzahlig x und y so bestimmen kann, dass @kr+/:y — 6 wird, So zeigt es sich: Eine cyklische Gruppe X kann dann und nur dann zerlegt werden, wenn ihre Ordnung % in zweı theilerfremde Factoren h, k zerfällt werden kann. — Nur cyklische Gruppen, deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist, sınd unzerlegbar. $ 515. Es fragt sich nun, ob diese Zerlegung einer Gruppe in unzerlegbare Factoren auf mehrfache oder nur eine einzige Art vor sich gehen kann; und falls die erste Möglichkeit eintreten sollte, ob es gewisse, für alle vorhandenen Zerlegungen invariante Beziehungen giebt. Das soll jetzt untersucht werden. Wir gehen auf die erste der Formeln (17”) zurück und beachten, dass der Exponent von y in (17*) x (p“) V Jal+aﬂ-l—»u—}—r(‚. die höchste Potenz der Primzahl y ist, welche %;- m2 -%-, d. h. die Ordnung % von %X theilt. (17”) giebt die Anzahl aller Elemente @ yvon %, welche der Gleichung O = E genügen. Da &, <o, + &@ + ---, so folgt: Ist n“ die höchste Potenz von p, welche die Ordnung % von MXM theilt, dann giebt es genau p“ Elemente in X, deren Ordnung eine Potenz von w ist. Weiter erkennt man sofort, wenn man ebenso eine zweite, dritte, -- - Primzahlpotenz betrachtet: Ist »=g-h, wo g und h theilerfremd sind, dann giebt es in X genau y Elemente, welche der Gleichung genügen OL = J Hat man also X in zwei Factoren X ar M , zerlegt, so dass g die Ordnung von %, und % diejenige von W, ist, dann kann bei theiler- fremden g, A diese Zerlegung nur auf eine Art vor sich gehen, da 252 Einundfünfzigste Vorlesung $ 515—516. eben , nur die eindeutig bestimmten qg Elemente enthalten kann, welche durch die letzte Gleichung bestimmt sind, und da für %, und h Aehnliches gilt. Dies zeigt uns: Die Zerlegung einer Abel’schen Gruppe in Theiler, deren Ordnungen Primzahlpotenzen sind, ist nur auf eine einzige Art möglich. Unsere Frage ist also auf die- jenige nach der Zerfällung solcher Gruppen reducirt. Wir betrachten demnach jetzt eine Abel’sche Gruppe %X der Ord- nung p“. Es seien ,, %,, .. die Elemente einer Basis der Gruppe und e 2)a1, Z (& +& + = @; U Z Z) die zugehörigen Invarianten, die ja gleichfalls Potenzen von p sein müssen. Ferner sei NN M H0> so dass ,, W, - W unzerlegbare Gruppen sind, also solche vom Range 1 und von einer Primzahlpotenz-Ordnung q,, bezw. 4, * doj dabei möge qı >4 Z Z qo Sem. R Dannsnd OC A durcht die Potenzen gewisser Elemente &1, 072, &, gebildet, und X besteht aus allen (19) (}Lﬂ=0‚l,---(‚]ü—l). Die qu sind sämmtlich Potenzen von p, und gq, wird die höchste vor- kommende Ordnung eines Elementes von X und also deswegen gleich der ersten Invariante q, = p“. Ferner zeigt die Form (19) der Elemente von %, dass jedes Ele- ment in die q° Potenz erhoben gleich einer Potenz von &, wird, und dass q die niedrigste derartige Zahl wird. Folglich ist q„ die zweite Invariante und also gleich p“. In dieser Art' kann man fortfahren und erkennt, dass %,, %,, A durch &, %, &o eine Basis von X liefern, und dass ir B° , z 1)a27 ü D wird. Ist die Zerlegung einer Abel’schen Gruppe von Prim- zahlpotenz-Ordnung auf mehrere Arten durchführbar, so ist die Anzahl der irreductiblen Factoren stets dieselbe, und eine solche Zuordnung der einen und der anderen Factoren zu einander möglich, dass entsprechende Factoren gleiche Ord- nungen haben. Dass wirklich verschiedene Zerfällungen eintreten können, erkennt man leicht. Es sei 7 = 1, j =1 und U = []4J7 Ti) D, Tl'ﬁl]; Abel’sche Gruppen. 253 dann kann man für H,: % = X %, = [F, 1, N =[L, %ıl, aber ebensogut auch 9I1 I [E7 'U1/31] 9 %[2 F [E; 771] oder U, = [L, 1, 91], Q[2 5 [E; 4f}1] setzen. Es ist also bewiesen: Wie auch eine Abel’sche Gruppe in irreductible Factoren zerlegt wird, die Ordnungen dieser Factoren und ihre Anzahlen haben stets dieselben Werthe. $ 516. Es möge nun , =[0,0”,-: : 0M ein beliebiger Theiler der Ordnung %/ von X mit der Ordnung n=h-k sein. Dabei wollen wir nochmals bemerken, dass dann % nicht noth- wendiger Weise in Factoren sich zerfällen lässt, deren einer gleich X- ıst Wir bilden eine symmetrische Funetion der Elemente von I welche wir bezeichnen wollen S(@’} @”} @(h)) = @. Ist @, ein Element von %, welches nicht in %, vorkommt, so sind auch die Producte 0, 0.0', 0.0', - sämmtlich in X enthalten und sie sind unter sich und von den Kle- menten von %, verschieden (8 509, J); wir bilden mit diesen neuen Elementen als Argumenten die entsprechende Function S(0,.0', 0.0”,::: 0,00) = gu und fahren so fort, wenn ®g ein neues Element bezeichnet, n So entstehen & Werthe @, w«, Pp, ? die wir als Elemente einer neuen Art auffassen, und zwischen denen wir folgendes Compositions- gesetz feststellen wollen. Es sei @, durch die Composition von @„ und q entstanden, d. h. Pr = Py, wenn [0, @] . [0;0W]= 6, @u ist; das y ist dabei von der Wahl v on x und Z unabhängig OrS” oder vielmehr: die ganze Zeile, welche @, enthält, mit der von ®g com- ponirt, giebt eine bestimmte dritte Zeile. HEs ist also die Composition 254 Einundfünfzigste Vorlesung $ 516—517. eine eindeutig durch die Factoren bestimmte ($ 507, I). Ferner gilt das associatıye Gesetz ($ 507, II), d. h. es ist L Pp] y = Da [PpPyl, weiıl (10.0%1[0,0%]) - [0,00] — [0,00] - ([0,0%][0,000)) ıst Ebenso zeigt man, dass wie $ 507, III) es fordert, aus Pa Pp — Pa Py folgt e A und dass endlich entsprechend $ 509, IV) auch PuPp — Pp Pa wird. biılden Die symmetrischen Functionen %, %«, ®%8, demnach die Elemente einer Abel’schen Gruppe. $ 517. Wir wollen von den in dieser Vorlesung bisher abge- leiteten Resultaten nun die Anwendung auf Abel’sche Gleichungen machen und zu diesem Zwecke zunächst nachweisen, dass die Wurzeln einer jeden Abel’schen Gleichung als die Elemente einer Abel’schen Gruppe aufgefasst werden können. Nach der Definition aus $ 503 ist es möglich, alle Wurzeln einer Abel’schen Gleichung f(g) = 0 rational durch eine von ihnen auszu- drücken. Wir wollen diese &O m nennen und setzen aus Gründen, die wir sofort erkennen werden, A=VCH das Symbol Z betrachten wir dabei als Einheitssymbol oder Ein- heitselement. Die weiteren Wurzeln der Gleichung mögen, als Functionen von 2’ dargestellt, @'(g'), 07(@), 07 @, sein. Bei ihnen wie bei £(z2’) unterdrücken wir das Arguﬁent und schreiben _E‚ @/’ @„7 @I//; OE Diese Symbole fassen wir als Elemente auf und definiren ihre Compo- sition durch die Gleichung @/@//= @/ [@//(5/)] = @’”(Z’) B @///. Aus der Definition der Abel’schen Gleichungen folgt dann die Kin- deutigkeit der Composition, sowie auch die Gültigkeit des assoclativen und des commutativen Gesetzes. Ist ferner @’—1(2’) diejenige Wurzel, die mit @’(z’) componirt E(2’) == 2 ergiebt, und deren Existenz aus der Reihe @/} @/(@/)} @/[@/(@/)]’ Abel’sche Gruppen. 255 zu entnehmen ist, so folgt aus der Richtigkeit einerﬂ Gleichung von der Form @/ [@”(Z’)] A @/[@/// (3/)] Z wird. Damiıt durch linksseitige Composition mit @’7!, dass O” = 0 sind alle Bedingungen als erfüllt nachgewiesen, welche sich auf Abel’sche Gruppen beziehen, und es folgt, dass die Wurzeln jeder Abel’schen Gleichung als Elemente einer Abel’schen Gruppe angesehen werden können. Nun sind wir auch im Stande, unsere Methode und unsere Resul- tate aus $ 504 zu erweitern. Bilden (20) Dn Da D 8]L einen Theil der Wurzeln der vorgelegten Abel’schen Gleichung: welchem auch die Gruppeneigenschaft zukommt, dann ıst erstens (21) (z @— C —O eine Abel’sche Gleichung h'°" Grades, und die &/ Werthe jeder sym- metrischen Function, welche innerhalb der vorgelegten Abel’schen Gleichung auftreten, N N S('317 Üy 9 'äh) W =) sind nach dem vorigen Paragraphen gleichfalls als Wurzeln einer Abel’schen Gleichung 4” Grades anzusehen, sobald feststeht, dass sie sämmtlich rationale Funetionen von @ sind. Das wird aber genau so bewiesen, wie der entsprechende Satz aus $ 505. Ist demnach (20) ein Theiler W” Ordnung der zu f(z)= 0 gehörigen Abel’schen Gruppe, dann kann die Lösung der Gleichung f(g)=0 auf diejenige einer Abel’schen Gleichung 4W“ und einer solchen k° Grades zurückgeführt werden, deren erstere die Glei- chung (21) ist. Ihre Coefficienten werden durch die Lösung der zweiten Gleichung vom %/ Grade rational bekannt. Aus den Untersuchungen über die Abel’schen Gruppen sind wir ferner in die Lage gesetzt, die Lösung von f(2) == 0 in ıhre einfachsten Bestandtheile zu zerspalten und diese als invariant nachzuweisen. Zu diesem Behufe zerlegen wir den Grad % der Gleichung, welche zugleich die Ordnung der zugehörigen Abel’schen Gruppe angiebt, in seine Basıs-Invarianten (10) N = Nı No - Nr3 die zu den einzelnen Invarianten gehörigen Elemente mögen @17 ®2‚ @, 256 HEinundfünfzigste Vorlesung $ 517. Zweiundfünfzigste Vorlesung $ 518. heissen; dann ist die Gruppe in die cyklischen Gruppen O (x#=1,2,-.. 75 0 =1,2,...%,) Ist ein %„ eine aus verschiedenen Primzahlen zusammen- zerlegbar. gesetzte Zahl, so kann die Zerlegung der Gruppen in unzerlegbare Factoren noch fortgesetzt werden. So entsteht eine Reihe einfachster Gruppen, deren Ordnungen Primzahlpotenzen sind, D M 7) (n = pn - DE ); es können unter den Primzahlen %,, D, auch gleiche vorkommen. Nimmt man dann als Hülfsgleichungen der Reihe nach eine solche des dann ist durch deren Lösung die Grades 7 g jl des Grades p$*, ’ Die Anordnung dieser Hülfs- Lösung von f(z)= 0 vollbracht. gleichungen ist dabei ganz beliebig. Die Invarianz ihrer Grade folgt aus 8 515. Hiermit ist eine wichtige Ergänzung zu unseren früheren Untersuchungen geliefert, bei denen noch nicht bewiesen war, dass nicht durch Aenderung der Operationenfolge auch die Grade *der auf- lösenden Hülfsgleichungen einer Aenderung unterworfen werden könnten. Br RE Zweiundfünfzigste Vorlesung. Alternirende und cyklische Functionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen. $ 518. Um die Abel’schen Gleichungen noch von einer anderen Seite her zu betrachten, haben wir jetzt eine gewisse Art von Funetionen von n Veränderlichen zu untersuchen, die eine ähnlich wichtige Rolle spielen, wie die symmetrischen Functionen. Es wird aber gut sein, hier gleich weiter auszuholen, um diesen Functionen ihre richtige Stelle anzuweisen und um den Boden für künftige Untersuchungen vorzu- bereiten. Wir wollen dazu direct an die symmetrischen Funetionen anknüpfen. In der neunten Vorlesung (Bd.I) haben wir eingehend die Haupt- eigenschaften der symmetrischen Functionen von % Grössen 2,, 9 , Z„ behandelt, welche als unbestimmte Grössen angenommen wurden; es sind dies diejenigen Funetionen, welch e ihre Form bei jeder möglichen Umstellung der z untereinander beibehalten. Wir können sie dieser HEigenschaft halber auch als einwerthige Func- tionen bezeichnen. Alle rationalen ganzen, symmetrischen Functionen der zx wollen wir in eine Gattung vereinigt denken. ° Alternirende u. cyklische Funetionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen. 257 Fassen wir die einzelnen Vertauschungen der z untereinander als Elemente im Sinne der vorigen Vorlesung auf, dann zeigt‘ es sich, dass ihre Gesammtheit eine Gruppe bildet. Wir bezeichnen die Vertauschung oder die Substitution, welche die Elemente 2;, %, Z in eine andere Anordnung Z; , %,, Z;„ überführt, wobei 4, %, --- . also irgend eine der ”! Permuta- tionen der Zahlen 1, 2,- % bedeutet, durch das Symbol (1) Z Z1 % Z n ( Y Q } oder auch wohl kürzer, falls keine Zweideutigkeit entsteht, durch (1*) ( m Als Einheitselement nehmen wir die durch 4, = 1, 4 =2 ’ Ön= 0 bestimmte identische Substitution [04 — - &, ) deren Existenz ja klar ist. Ferner definiren wir als Composionsresultat oder als „Product“ von S;, S diejenige Umstellung, welche entsteht, wenn man auf die durch s; hervorgerufene Umstellung s, anwendet; so entsteht das ein- deutig bestimmte durch „Multiplication“ gebildete Product Z &X &“ a / Z &X X E C® A = S Z &C & Zr z @& %n % ° L 7„}a @ &a=( ı / ( ) ( &X ) ( / ( >. Aus (2) folgt das associative Gesetz für irgend welche drei Sub- stitutionen S;, Sx, Sız denn man hat ST I ) [04 @Z % % k &@®=( ( V } Ist weiter S;5; ==S;S,, SO ergiebt sich sofort aus (2) L' l OL In ko = %ß (ß=172;"'“’) und daher sı ==$,. — Und ebenso liefert die Annahme s$,S;= 5$„,S; wegen (2) ikoz i” & d. h. 7va = Xg (“=1‚ 2; n) und deshalb s = 5$,. Netto, Algebra. II, 17 258 Zweiundfünfzigste Vorlesung $ 518—519. Greift man daher aus der Gesammtheit der %! Substitutionen einen Complex von der KEigenschaft heraus, dass das Product zweier KElemente desselben wiederum zu dem Complexe gehört, dann gelten die Bedingungen I, IL, III des $ 507, und dadurch ist der Complex als Gruppe erkannt; wir nennen sie Substitutionengruppe. Die Rolle der Einheit X übernimmt hier die identische Substitution E=— [24 Genau wie in $ 508, B weist man auch hier nach, dass für jedes ın der Gruppe enthaltene s; ein Element besteht, miıt dem s; componirt die Einheit ergiebt. Wir bezeichnen es mit s;—* und haben SS S Es ist (s,s) 7 != s 7!s—-*, wie man erkennt, wenn man beide Seiten rechts oder links mit s;s; multiplicirt. Die Bildung von Potenzen einer Substitution, die Ordnung einer solchen, der Begriff des Divisors oder Theilers einer Gruppe sind direct aus $ 508 zu entnehmen. Die Gesammtheit aller Substitutionen als Gruppe betrachtet nennen wir die symmetrische Substitutionengruppe. $ 519. Im 8 121 der zehnten Vorlesung (Bd. I) lernten wir eine Funetion — — B 1,2,...n — 1; u=4+1,-::%) AyM kennen, welche bei allen Substitutionen der symmetrischen Gruppe zwei und nur zwei Werthe, %, und %, = — @, annimmt. Wir wollen jede rationale Funetion der z, welche unter der Einwirkung der %! verschiedenen Substitutionen zwei, nur durch ihr Vorzeichen verschie- dene Werthe annimmt, eine alternirende Function nennen und zunächst sämmtliche ganzen, alternirenden Funetionen aufsuchen. Bei (3). haben wir gesehen, dass durch die Vertauschung zweier Elemente z untereinander eine Werthänderung von &, herbeigeführt wird. HEine solche Vertauschung, etwa von %, und 2g, schreiben wir (2.2g) oder (gg2«) und nennen diese specielle Substitution eine Trans- position. Jede Substitution der % Klemente %,, Z kann durch ein Product von höchstens (n — 1) Transpositionen ersetzt werden. Denn es ist, wenn s; die geforderte Substitution bedeutet, Zl B Ba 8 G1 n %“ n 8 7 O n ( U1 Ol N } Ql ) Alternirende u, cyklische Funetionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen. 259 so dass nach Ausführung der Transposition (2,2;) nur noch die Sub- stitution, beı welcher das z;, der oberen Zeile ungeändert bleibt, Z Z i 2 Z N 2 Z N Z Gl Z ( Z 7, 7 ( % n ( %L zu bewerkstelligen ist. Ihre letzte Form zeigt, dass wir dabei von %; absehen können und es dann lediglich mit einer Substitution von (n — 1) Elementen z zu thun haben. Gehen wir in derselben Art von ihr aus weiter, so gelangen wir nach (n — 2) Schritten zu einer Substitution von zwei Variablen, für welche der Satz dann selbst- verständlich ist. Daraus folgt: Eine Function, welche bei allen Trans- positionen ungeändert bleibt, ist eine symmetrische Func- tion. Denn sie bleibt gemäss der Voraussetzung und nach dem vorigen Satze für jede Substitution ungeändert. Die Zerfällung einer Substitution in Transpositionen kann auf mannigfache Arten vor sich gehen. So lässt sich z. B. die identische Substitution durch jede der Folgen von Transpositionen (2,%) (2,23) (%23) (2,23), (2,%) (23 24) (2224) (2,23) (212u) (%223) , ; (81%) (2324) (2125) (2224) (1 23) ( 23) (2225) CD darstellen. Die gesuchten ganzen, alternirenden Funbtionen %” müssen min- destens für eine Transposition, etwa für (z,2g), ihr Vorzeichen ändern. Dies können wir durch die Gleichung Ü(Zl‚" 72127"'7Z(5’7 '727t)=—w('2'1;' 2 Eß) , Ra » %n) darstellen. Hieraus ergiebt sich, dass jedem Potenzproduete ( al Z &“ 2 B @ 2 n 77'L‚„{ ß des Polynoms ı& ein in w& gleichfalls vorhandenes Potenzproduet mOO M Q Z M al & B n entspricht; und aus der Vereinigung je zweier so gestalteter erkennt man, dass ı durch (z, — Zg) theilbar ist. Die Function w? ist offenbar symmetrisch, und da sie den Factor (z2 — 2g)? enthält, so ist sie durch die Discriminante theilbar. Diese wollen wir, von dem in $ 158, Bd. I festgesetzten Vorzeichen absehend, D=g(zi.—z/l>2 (Ä‚=1,2‚.-—77/—1; !‚l,=,l+l)qz) schreiben. UD selbst ist einwerthig, VD ist alternirend. Bedeutet 17* 260 Zweiundfünfzigste Vorlesung $ 519—521. jetzt (VD)“ die höchste Potenz von VD, welche in w& als Factor enthalten ıst, Y=U- (VD)Ä7 so würde bei geradem %/ der Factor %' noch alternirend sein und müsste deshalb wieder VD als Factor haben. Dies ist ausgeschlossen, und folglich muss & ungerade = 2% + 1, und Y 1‚Ü’='( i/3j 2%+1 sein. Die rechte Seite wird hier nicht alternirend; denn sonst wäre ja @’ noch durch VD theilbar; sie ist also einwerthig. Wenn dem- nach S, eine beliebige ganze, symmetrische Function von Zı, %, Zn bezeichnet, dann können wir allgemein (4) Wla 2)= 5 VD setzen, da (/D)* ja selbst symmetrisch ist. Der Ausdruck (4) giebt jede ganze, alternirende Function der Elemente z;, C Zn $ 520. Aus $ 121, Bd. I kann man entnehmen, dass VD und damit jede alternirende Funetion unter dem HEinflusse jeder Trans- position ihr Zeichen ändert; denn was dort von z, und 2 gesagt Wwar, Dieser Umstand zeigt uns, dass die gilt für jedes za und jedes 2%. Anwendung einer geraden Anzahl von Transpositionen nach einander den Werth von % nicht ändert, während bei der Anwendung einer ungeraden Anzahl das Vorzeichen von % Hieraus kann man weiter in das entgegengesetzte übergeht. entnehmen , dass, wenn eine Substitution auf verschiedene Arten in Transpositionsfolgen zerlegt wird, die Anzahl der Transpositionen stets eine gerade oder stets eine ungerade ist, je nachdem nämlich die Substitution das Zeichen von VD unge- ändert lässt oder nicht. Demnach kann man widerspruchsfrei gerade oder ungerade Substitutionen als solche definiren, welche in eine gerade oder in eine ungerade Anzahl von Transpositionen zerlegbar sind. Die Einheitssubstitution gehört zu den geraden Sub- stitutionen; denn sie lässt & ungeändert. Dasselbe erkennt man aus dem Beispiele des vorigen Paragraphen. Sind unter den %! überhaupt vorhandenen Substitutionen der % Elemente x die geraden Substitutionen In Iar Iu (u+v7=n') %in a U ” ungeraden ” 261 Alternirende u, cyklische Functionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen. und bedeutet £ eine beliebige Transposition, so sind alle g„t von ein- ander verschiedene ungerade Substitutionen, und daher ist v>uw. Ebenso sind alle u„t von einander verschiedene gerade Substitutionen, und daher ist u >v. Folglich ist u=v=:=>n!. Es giebt ebenso viele gerade wie ungerade Substitutionen, nämlich von jeder Art ä—n!. Da gu und gg die Funetion nicht ändern, so thut es auch gx -g Nicht, d. h. dieses Product gehört wieder unter die g. Nach $ 518, Schluss besteht daher die Gruppeneigenschaft auch für die g; demnach können wir sagen: Alle geraden Substitutionen bilden eine Gruppe der Ordnung 5n!; wir werden sie als alternirende Gruppe bezeichnen. $ 521. Es sei nun y irgend eine ganze, zweiwerthige Function der Variablen z, d. h. eine solche, die unter dem Einflusse aller ! Substitutionen ihrer Elemente z zwei und nur zwei ihrer Form nach verschiedene Werthe annimmt; %, und %, seien diese beiden Werthe. Aendert eine Substitution s den Werth %, nicht, dann kann sie auch %, nicht in %, umändern, weil sonst s—1 gleichzeitig %, änderte und doch nicht änderte. Ebenso wird eine Substitution, welche Ya X% umwandelt, umgekehrt %, in %, überführen. Deshalb ist (X%1 — Xa) gleichfalls eine zweiwerthige Funetion und zwar eine alternirende, da ihr zweiter Werth (%, — %,) wird. Ferner ist (Xı + Xa) eine symme- trische Funetion. Wir können demnach ÖS) Jk AI =2S0 ’ a ra 2S11/55 u= S + S1VÜ: Xa ım So C S1VÜ von der Form setzen und erkennen: Jede zweiwerthige, ganze Function ist x=Soi;31]/ﬁ‚ in welcher S, S, beliebige ganze, symmetrische Functionen bedeuten. Also ist y Wurzel der quadratischen Gleichung W UZ Z % bleibt bei allen geraden Substitutionen und nur bei diesen ungeändert. Jede zweiwerthige Funetion ist durch jede andere als ganze, lineare Funection darstellbar, deren Coefficienten gebrochene, symmetrische Functionen sind. Wir rechnen alle zweiwerthigen Functionen zu einer Gat- tung, der „alternirenden Gattung“. 262 Zweiundfünfzigste Vorlesung $ 522. $ 522. Bevor wir zur Behandlung anderer Functionengattungen übergehen, wird es gut sein, statt der schwerfälligen Schreibweise für Substitutionen, die wir durch (1) in $ 518 eingeführt haben, eine ex- peditere zu erläutern und zu benutzen. Wenn durch (1) das Element 2 ıM , dıeses ım z., dıeses ın Zg übergeführt wird, so muss man einmal auf ein Element z, stossen, welches wieder in 22 üÜüber- geht. Denjenigen Theil der Substitution, welcher die angegebenen Umwandlungen umfasst, schreiben wir (2x2,2c::: 2g) und nennen dies einen Cyklus; denkt man sich die Elemente desselben in gleichen Abständen auf einem Kreise angeordnet, so kann man die Wirkung eines Cyklus als Drehung des Kreises um sein Centrum auffassen. Hat der Cyklus m Elemente, so ist die Grösse der Drehung — Wir nennen diese Anzahl m die Ordnung des Cyklus. Offenbar ist Aula 59 0n) = (r 9 Aya) = @& Alal)= Die Transpositionen sind Cyklen zweiter Ordnung. Giebt es in der Substitution noch andere Elemente ausser den in dem hergestellten Cyklus vorkommenden, so geben diese Veranlassung zu einem weiteren Cyklus u.s. f., und so lässt sich (1) in eine Anzahl von Cyklen zerlegen, von denen keiner mit einem anderen ein Klement =—= =—> gemeinsam hat. Wenn in (1) ein 4 @ ist, so erscheint ın der cyklischen Darstellung ein Cyklus der Ordnung 1; falls anderweitig feststeht, welche Elemente der Substitution unterworfen sind, kann man alle solche Cyklen von der Ordnung 1 unterdrücken. Jede Sub- stitution, die abgesehen von Cyklen der Ordnung 1 nur aus einem einzigen Cyklus besteht, heisst eine cyklische Substitution. Wir wollen diese neue Schreibweise beim Beweise einiger Kigen- schaften der alternirenden Gruppe verwenden ($ 519). Einen Cyklus k° Ordnung kann man in (& — 1) Transpositionen zerlegen (51 G3 2) = (& %) (& 8) 7 (1 %)5 daher gehört eine, aus einem einzigen Cykel bestehende Substitution der alternirenden Gruppe an oder nicht, je nachdem die Ordnung des Cykels ungerade oder gerade ist. Dies ergiebt: Mine Substitution gehört der alternirenden Gruppe an oder nicht, je nachdem sie eine gerade oder eine ungerade Anzahl von Cyklen gerader Ordnung enthält. Der oben (& 519) abgeleitete Satz, dass jede Funetion, die bei allen Transpositionen ungeändert bleibt, eine symmetrische Function sei, kann auch so ausgesprochen werden: Jede Gruppe, welche alle Transpositionen enthält, ist die symmetrische Gruppe. Alternirende u. cyklische Funetionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen. 263 Ja ? es reicht dafür schon aus, dass die Gruppe die (n — 1) Trans- positionen (2,%), (&1%), (91%u), ° (&19n) enthält, da jedes (Zh Z/) _ (Z1 2'h) (51 Zk) (51 Zn) ist Als Analogon hierzu stellen wir das Theorem auf: Jede Gruppe, welche alle cyklischen Substitutionen dritter Ordnung ent- hält, ist entweder alternirend oder symmetrisch. Denn jede Substitution der alternirenden Gruppe kann in eine gerade Anzahl von Transpositionen zerlegt werden; fasst man die beiden ersten dieser Transpositionen zusammen, dann die beiden folgenden u.s. f., so erhält man Paare von einer der drei Bildungsgestalten ® (a %) (Zu 2) , (a %) (2a 8) , (Zu %) (2020a)- Die erste Form ist der Einheit äquivalent und kann daher unterdrückt werden; die zweite ist einem Cykel dritter Ordnung (z.22.) äquivalent; die dritte ist gleich (2u2)(Za%) * (Z0 Za) (Z. 2za) und also zwei Cyklen dritter Ordnung äquivalent. Demnach ist die Substitution durch Damit ıist der Beweis des auf- Cyklen dritter Ordnung darstellbar. gestellten Satzes geliefert. Ebenso kann man zeigen: Jede Gruppe, welche alle cyk- lischen Substitutionen fünfter Ordnung enthält, ist alter- nirend oder symmetrisch. Es folgt dies einfach aus der Darstellung (& % 83) = (1 2403 O6 Q9) (ı 3 D4 %o 8)- Offenbar kann man in der Reihe dieser Sätze weiter gehen. — Ferner zeigt sich: Jede Gruppe, welche alle cyklischen Substitutionen vierter Ordnung oder alle diejenigen sechs- ter Ordnung u. s. w. enthält, ist symmetrisch. Denn man hat der Reihe nach (212) = (& % %s 24) (2ı 23 2 24) (21 2 24 %) 75 (‘”1 3i2 9g A4 05 86) (& Z.3 %5 %4% 26) (& 55 @3 86 84 %) und daher enthält diese Gruppe auch sämmtliche Transpositionen iM SICh, — Endlich erwähnen wir noch, dass die Potenzbildung sich bei Öyklen rechnerisch ausserordentlich einfach vollzieht. So ist für $ = (2,% 23 2,2 %) Sofort zu sehen, dass man hat $ = (Z, 23 %) ( 248), 8 = (& 24) (2 25) (2 2) , Ö] $* = (& 25 23) (2 2 84), $ = (1 06& 848 %), 264 Zweiundfünfzigste Vorlesung 8& 523. $ 523. Wir gehen jetzt zu einer anderen für uns wichtigen Art von Funectionen über, zu den cyklischen. Wir denken uns die Variablen‘ in eine beliebige aber feste Reihenfolge gebracht, etwa in die natürliche 21, Z2, Zn—1, %n, und fragen nach den ganzen Func- tionen der 2„, welche ungeändert bleiben, wenn man auf sie die cyklische Substitution (6) $ = (ZI'ZQ Z Zn) anwendet. Natürlich bleibt eine solche Funetion auch für die Potenzen von s, nämlich für sämmtliche (6*) s — (/51»Zk+1' BaBatrk ) = 1, 200 %) ungeändert, die nicht alle cyklisch zu sein brauchen. Bei der getroffenen Anordnung der z lässt sich eine noch ‚ein- fachere Bezeichnung von s an die Stelle von (6) und (6°) setzen, indem man (6”) 3=\za Saı [2 S = [ Za+R| @=1 n) schreibt. Hierbei müssen alle Indices, welche grösser als % sind, durch ihre kleinsten, positiven Keste modulo % ersetzt werden. — Die Potenz s* ist dann und nur dann gleichfalls cyklisch, wenn die Reihe © y Z .. (n — 1)% (mod. %) alle Indices 1, 2, ... (n — 1), %” umfasst, d. h. wenn £% zu % theiler- fremd ist. — Den Indices 1, 2, n der Varıablen z kann man %! verschiedene Anordnungen ertheilen. ISt 7/'1‚ ( 27 %n eine derselben, so liefert (Zi, 2ig “ * Rın) — [z,;a Arra \ eine cyklische Substitution; es giebt also für % Elemente n%! cyklische Substitutionen. Da aber bei einer jeden das Anfangsglied beliebig unter iıhren Elementen gewählt werden kann, so haben je % denselben Effect, und es giebt nur (n—1)! von einander verschiedene. Für 4 Elemente also bestehen z. B. die folgenden 6 cyklischen Substitutionen: (2, % %3 %4) , (21 % 24 %), (&1 %3 2 24), (& 2 24 %), (21 24 % %), (2, 24 %3 %)- Die % Potenzen s* (6®*) bilden eine Gruppe der Ordnung %; sie heisst die cyklische Gruppe oder genauer: die zu der getroffenen Elementenanordnung gehörige cyklische Gruppe. Eine ganze Function, welche ihre Form unter dem Einflusse der Substitutionen der cyklischen Gruppe nicht ändert, heisst eine für diese Elementenanordnung cyk- lische Funcetion. Es ist leicht, derartige Functionen zu bilden. Alternirende u. cyklische Functionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen. 265 Bedeuten « und ß von einander verschiedene positive Zahlen, so wird eine solche z. B. (7) p= Ü+ HA Dass (7) durch s und seine Potenzen nicht geändert wird, ist augenscheinlich. Umgekehrt ist jede Substitution 0, welche die Form von (7) nicht ändert, eine Potenz von s. Denn führt sie 2, in a& ß An und %, in 2z, über, so wird 72 in z k-41 7 umgewandelt. Da hierbei die Form von @ gewahrt bleiben soll, so muss dieses umge- wandelte Glied mit z K übereinstimmen, d. h. %, geht durch o A in %+2 über; daraus folgt ebenso, dass %, in 243 verwandelt wird, u. s. f.; die Substitution 6 ist demnach mit s* = |Zax Zr x | identisch. — Eine andere Art von Functionen, welche gleichfalls unseren For- derungen entspricht, wird für jede von + 1 verschiedene Constante c die Funetion werden (8) Y = (& + 0%) (& + 0%) + (&n + 68) (&n + 02). Auch diese bleibt für s und seine Potenzen ungeändert. Bleibt umge- kehrt ı& für eine Substitution 6 ungeändert, so braucht zwar nicht jeder Factor der ursprünglichen Form wieder in einen solchen um- gewandelt zu werden, aber dies muss wenigstens bis auf einen con- stanten Factor geschehen, und das Product aller constanten Factoren bei sämmtlichen Klammern muss gleich 1 werden. Verwandelt nun 6 das Element z, in 2441 und 22 in z, so geht (z, + c2) in (21+1-+4- C2ı) über. Dies wird also entweder gleich (2x%41 + c%x42) oder gleich (2x-41 + C2), abgesehen von constanten Factoren, sein müssen. Der erste Fall führt, gerade wie oben bei (7), sofort darauf, dass 6 eine Potenz von s ist. Der zweite fordert, dass 22 in 2x übergeht, und dass C (zk—f— S zk+1) bis auf den Factor c mit ( + czx41) identisch wird. Hierzu müsste c = + 1 sein, was oben ausgeschlossen wurde. Folg- lich kann die zweite Annahme sich nicht verwirklichen. — Eine dritte Art hierher gehöriger Funetionen wird durch die Lagrange’sche Resolvente geliefert. In der That bleibt der Ausdruck (9) O” = (Z1+ O22 + w*23 + + CO"_IZ„)"‚ in dem @ eine primitive %® Einheitswurzel bedeutet, für s und seine Potenzen ungeändert; und wenn umgekehrt 6 eine Substitution be- z zeichnet, welche =” nicht ändert, so kann sie die Klammergrösse ( selbst höchstens mit einer n HEinheitswurzel w* multiplieiren, wenn sie überhaupt eine Aenderung hervorruft. Setzen wir also, um diese Möglichkeit zu untersuchen, 266 Zweiundfünfzigste Vorlesung $ 523—524. 1 %9 @ O = B, Z CZ L so müsste die Gleichung A A @i f @R E @, —Z la E i E A E E w z gelten. Da alle Potenzen von @ links wie rechts jedesmal unterein- ander verschieden sind, so folgt hieraus 2;; = Za+1—21) %, = An+2—1) ’ und es ist o0= —1, $ 524. Wir können den Begriff der cyklischen Substitutionen und der eyklischen Gruppen auf folgende Art erweitern*). Es mögen N=1 m- n„, Grössen o = 1289003 O=S 1 2004 0) (10) Sl Ra D gegeben sein. Dann heisst eine . Substitution s in weiterem Sinne cyklisch, wenn sie hinsichtlich jedes der v Indices „ cyklisch im oben festgesetzten Sinne ist. Der Bezeichnung (6”) entsprechend können wir hier eine Erweiterung einführen, indem wir unter Xn (11) [ Zl'nhzy‘ hy Zl'1+“1w”2+”2;"' hy &y | n Sf‘1a“27‘ X diejenige Substitution verstehen, welche den ersten Index jedes z um < 2 W 09 UL S W VEr die Grösse «,, den zweiten Index eines jeden mehrt; dabei ist jedesmal, wenn der erste Index %, übertreffen würde, sein kleinster positiver Rest mod. %, zu setzen, und ähnlich bei den weiteren Indices**), Man erkennt sofort, dass Say,a,,: sich aus den y Substitutionen, bei denen nur ein Index um 1 vermehrt wird, (12) s‚u vr .Z/11‚"'—h (T h. V zlL„---/z„—f—l,---h„ ((“L=1727"'7/) zusammensetzen. lässt. Denn es wird ja, indem man die Potenzen und Potenzproducte bildet Z 3;2 AF lzh1,h‘zy"'hg/ Zhlyh2+a2)"'h'u }; 1 = |Zh„hz‚-nh„ Öfy + &y Ra s y 0 i‘1ng e IZ}‘1‚]'277‘37' hy z/zl+al‚7:2+0Q,l:3‚«4-/:1,I7 u.s. f. Man bemerkt ferner leicht, dass es eine und auch nur eine unter den Substitutionen (11) giebt, welche ein beliebiges 2% ,%,- in ein M, kl S D Insbesondere beliebiges Z l umwandelt, nämlich sl11 2 giebt es also nur eine Substitution, nämlich die Einheit, W610h9 ein * Vgl. Kronecker, Berl. Ber. 1877; Nachﬁrag zum Decemberheft, S. 846 ff. * Oauchy nennt (Exercices III, p. 232) die Substitution (11) eine „arith- metische‘‘ Substitution. Alternirende u. cyklische Funetionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen. 267 beliebiges Element nicht ändert; d. h. ausser der KEinheit lsetzt jede Substitution (11) alle Elemente z um. Lässt man negative Indices zu, so folgt die Relation = ] Sa„ C S——a„—a.„- Wir können daher den zweiten Factor mit s; _ bezeichnen. Das Product zweier Substitutionen (11) besitzt wieder die Form (11); es gilt das commutative und das associative Gesetz. Alle Substitutionen (11) bilden eine Abel’sche Gruppe von der Ordnung N= 11 % Ny Dies ist die erweiterte cyk- lische Gruppe. Eine rationale Function der N Grössen z soll eine cyklische Function in weiterem Sinne heissen, wenn sie unter der Kin- wirkung aller Substitutionen (11) ungeändert bleibt, sich dagegen bei Erfüllt eine rationale Funetion die jeder anderen Substitution ändert. erste Bedingung, bleibt sie aber noch bei anderen Substitutionen ausser (11) ungeändert, dann sagen wir, sie steht unter den cyklischen Funcetionen. Theoretisch am einfachsten stellen wir cyklische Funetionen ın weiterem Sinne auf folgende Art her. Wir bilden ein Glied R V Zı =H£Zf © 1" ( = 1, 060 M 1, Q.00 0, (%) in welchem die « beliebige ganze, positive, von einander verschiedene Zahlen bedeuten, wenden auf Z, alle Substitutionen (11) an derart, dass bei festen Exponenten die unteren Indices vertauscht werden, und erhalten dadurch die Glieder Z,, Z, Z, Zw Dann liefert die Summe d=Z+Z+ C + Z + Zy eine Function von den verlangten HEigenschaften. Dass @ für alle Substitutionen (11) ihre Form beibehält, folgt aus ihrer Herstellungsweise. Nun möge umgekehrt eine Substitution 6 von noch unbekannter Gestalt die Form von @ nicht ändern; durch sie möge 211... IN 24 +1,k-+1,--- Al 000 in Z übergehen, und also Z1..- LL Unter den Z kommt nur ein einziges Glied vor, welches z rlil 606 Dann k -+1,k-F1, enthält, etwa Z,. ist es nothwendig, dass 6 das Glied Z, in Z verwandelt. Durch diesen Uebergang ist aber jedes z in ein bestimmtes z übergeführt, d. h. 6 setzt alle z in dieselben zg um, wie jene Substitution (11) die Z in Z transformirte; d. h. @ ist mit dieser Substitution aus (11) identisch. 268 Zweiundfünfzigste Vorlesung $ 524—525. KEinfachere Funetionen als jenes 9 kann man auf mancherlei Weise erhalten, z. B. wenn man das eben benutzte Z, durch &y An 2 &3 Z = 0 -“n Z Dilil 99 Z (_)1„.2112.„ ersetzt; doch gestaltet sich der Beweis hier etwas umständlicher, so dass wir auf diese Dinge nicht eingehen wollen. Nur die hierher gehörige Verallgemeinerung der Lagrange’schen Resolvente wollen wir noch besprechen (vgl. $ 321, Bd. I). - . Einheits- Wir verstehen unter ,, ,, 9 JO Y wurzeln und bilden mit diesen die Function h —1 h,—1 A Z aß 9 e = 1, 20° Ma)3 (14) Z E [ (2) dann folgt zunächst, dass (14) für jedes s aus (11) ungeändert bleibt. Denn wenn man ein s„, aus (12) anwendet, dann kann man die Schlüsse des vorigen Paragraphen wiederholen. Die Verwendung von s, liefert z. B. h,—1 A —1 o Z al BT col—12co;'2—lv . '260]111—12111‚/‚2,- LL hr Aa Aay hr E E— O, so dass (14) wegen der Bedeutung von @, ungeändert bleibt. Wenn umgekehrt eine Substitution @ von noch unbekannter —z Gestalt (14) nicht ändert, dann kann sie ( selbst nur mit einer (n Na, : )" Einheitswurzel multipliciren, etwa mit w;/ “ 0, 7 in diesem Falle muss die Klammergrösse aus (14) in die Summe h, —1 l ha — @& —1 A 2 © Aa 1 2 Z 1 2 ; VLE al ; Zl'1+“u Aa Aay inı (%) (%) übergehen, d. h. es ist, wie behauptet wurde, die vermittelnde Sub- stitution nämlich — ‘\zhlyh2" Z"1+“1‚ a @o y 44ı ' eine der verallgemeinerten cyklischen Substitutionen (11). — Einleuchtend ist es auch, wovon wir bald Gebrauch machen werden, dass die Funetion 2 (14a) Ük„k„---=zmllcl(hl—l)win(ha_l) SE O = 1 Z Ne) @ unter dem Einflusse jedes (11) nur eine Einheitswurzel als Faector bedeuten erhält, Was K, Kos auch immer für ganze Zahlen mögen. Dieser Factor ist bei der Verwendung von S{ S5> gleich M} — Cl co2— Xg und also von k,, k,, unabhängig. Alternirende u. cyklische Functionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen. 269 Wir haben gesehen, dass die Anzahl der Substitutionen (11) gleich N= 1, - N, ist, also gleich der Anzahl der Elemente z selbst. Nach 8 508, E) schliesst man daraus, worauf wir in der nächsten Vorlesung noch ausführlich eingehen werden, dass jede Function @, welche cyklisch in weiterem Sinne ist, aber nicht unter den cyklischen Funetionen steht, welche also für alle (11) und nur für diese Substitutionen ungeändert bleibt, unter dem Einflusse sämmt- licher N! Substitutionen der N Elemente genau M=(N—1)! Werthe Pır Pa - + besitzt. Diese sind Wurzeln einer Gleichung @ =0" — Aa A — 000 5E Aa (15) = (g — ) — ): : =0, deren Coefficienten symmetrische Funetionen der sämmtlichen AEle- mente z werden. Jede Funetion % der N Grössen z, welche in der gegebenen An- ordnung erweitert-cyklisch ist, oder auch unter den cyklischen Fune- tionen der Form (11) steht, ist nun rational durch @, d. h. durch jede beliebige zu (11) gehörige cyklische Funetion darstellbar, sobald man die symmetrischen Funectionen der sämmtlichen Elemente z dem Ratio- nalıtätsbereiche zugeordnet denkt. Dies folgt genau durch dieselben Schlüsse, wie sie z. B. in $ 490 verwendet sind, nämlich durch die Betrachtung des Produectes 1 X + G(@)| P z P P s + ]= H), Da wir auch diesen Satz all- ın welchem @ eine Variable bedeutet. gemein in einer der nächsten Vorlesungen besprechen, so reicht es für Die Klammer auf der jetzt aus, die folgenden Punkte hervorzuheben. linken Seite ist, ebenso wie der Factor G-(g), eine symmetrische Funetion sämmtlicher z; die gesammte linke Seite wird eine ganze Funetion, wenn % eine solche ist; die Werthe @,, @,, sind alle untereinander verschieden, während die % zum Theil einander gleich werden können. Setzt man also 9 = @,, so erhält man aus der letzten Gleichung H(‘P1) —. %1 G (@) eine Reihe von $ 525. Versteht man unter f}, f\', 3 .1(a); N=n, - N rationalen Funetionen der N Variablen 2, ordnet sie in einer Zeile an und wendet nun auf diese Functionenreihe alle N Substitutionen s von (11) an, so entstehen N Zeilen f1” f]”7 f1(a) (16) f2';f2’; ".f2(ix)> 2 270 Zweiundfünfzigste Vorlesung & 525—527, und das so erhaltene Schema hat die Eigenthümlichkeit, dass bei der Verwendung jedes unserer s aus (11) nur die Zeilen von (16) in ein- ander übergehen. Die Art dieses Ueberganges hängt dabei lediglich von den s, nicht aber von den Functionen f ab. Macht man nun aus der Matrix (16) unter Beibehaltung der Anordnung der Elemente eine Determinante A — / (x),}‚=1)2)1\7) D so wird diese unter dem KEinflusse unserer erweiterten cyklischen Substitutionen Sxp... von (11) entweder ungeändert bleiben oder ledig- lich ihr Vorzeichen ändern. Ist also , eine aus einem anderen Funetionensysteme ähnlich gebildete Determinante, dann bleibt sowohl 4-.A, wie A4:A, für die erweiterte cyklische Gruppe ungeändert, da ja wegen der Anordnung der Zeilen beide Determinanten entweder gleichzeitig sich ändern oder gleichzeitig unverändert bleiben. Infolge des allgemeinen Theorems aus dem vorigen Paragraphen werden daher A-4, und A : 4, rational durch . irgend welche cyklische Funetion darstellbar sein. $ 526. Nun möge f; eine beliebige rationale Funetion der N ö Grössen D bedeuten. Wir wollen versuchen, sie andererseits auch als eine lineare Funetion der 2,,7x,... darzustellen, deren Coefficienten dann natürlich nicht constant sein können, die wir aber, wenn das möglich ist, so bestimmen wollen, dass sie cyklisch sind oder unter den cyk- lischen Funetionen stehen. Wir fordern also Coefficienten 4, durch welche‘ die Gleichung befriedigt wird: (17) ÜE ( == 1 2000 )8 derart dass sich hierbei die 4, 1 s nicht für die cyklischen Substitu- tionen (11) ändern. Wendet man die (11) nun sämmtlich auf (17) an ? so entstehen daraus N in ebenso vielen 4 lineare Gleichungen, durch deren Auflösung die Bestimmung dieser unbekannten Coeffi- cienten geliefert wird. Ein jeder wird dabei die Form eines Quo- tienten A: A, annehmen, wie wir ihn im vorigen Paragraphen be- handelt. haben und also thatsächlich cyklisch werden oder unter den cyklischen Funetionen stehen. Es handelt sich nur noch darum fest- zustellen, dass die Determinante, welche in den Nenner tritt, nämlich Al S lzhx+klyl‘z+]‘m"' l bei allgemeinen z von Null verschieden ist. Dies beweisen wir so: Wir betrachten die vier Schnittelemente der ersten und der «® Spalte mit der ersten und der ß“ Zeile, nämlich Alternirende u. cyklische Functionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen. 271 A Zl'1:"z:”a‚‘ 2 Zk1)k2»kz7' Z An i e Jede der Zeilen von A, multiplieiren wir mit dem folgenden Faector n ? in welchem Tt,, %, T3,::: feste Zahlen sein sollen, (69) 7, (k, —1) (69) Z (k — 1) 73 (ks — 1) al 2 3 ? dessen k,, ko, dem Anfangsgliede der Zeile entsprechen; ebenso multipliciren wir jede der Spalten von A, mit einem Faetor T, ( —1) 0012 (Z2—1) 0313 —U d 2 8 ’ dessen h,, h,,::- dem Anfangsgliede der Spalte entsprechen. Dadurch wird das Schnittglied der Spalte und der Zeile mit dem Faector CO;1 (%, H7 —2) CO;2 (%2 + Aa — 2) Ö multiplicirt; das entspricht aber genau dem Gliede selbst. Es ist somit :.QJÄI Lar CO;1 ( + —1) w;z(hz+kz—l) A - Ar F, Aa F kay e |? wobei Q eine N‘ KEinheitswurzel bedeutet, und jedes z„= 1,2,-..N« genommen werden kann. Addirt man hier die Elemente der zweiten, dritten, - - - Spalte zu den entsprechenden der ersten, so enthält diese Es tritt also nur gleiche KElemente, nämlich ® ,„.,... (vgl. 14%). Fä11 %o als Factor von A, heraus; ferner erhält man, da t,, T9, z an Werthecombinationen N, aufweisen, und da jedes solche ( heraus- gezogen werden kann, 4, = const. Oa (Ta D 2 (z) Dass die Constante nicht verschwindet, folgt, sobald man eins der z gleich 1 und die übrigen gleich 0 setzt. Die @ sind lineare Fune- tionen, welche bei allgemeinen. z nicht verschwinden. Der auftretende Nenner ist demnach von Null verschieden, und wir können sagen *): Jede rationale Function der Grössen 2ı ... , lässt sich als lineare homogene Function derselben Grössen so darstellen, dass ihre Coefficienten ungeändert bleiben für die cyk- lischen Substitutionen (11) i th+“1‚ ha - A, e 4ı hy k &y Sn 8“„%;“‘“ V $ 527. Die erlangten Resultate können wir jetzt dazu verwenden, B ST SE um die Abel’schen Gleichungen von einer neuen Seite her zu beleuchten. Z *) Kronecker, Berl. Ber. 1877; Nachtr. z. Decemberheft, p. 847. 272 Zweiundfünfzigste Vorlesung $ 527—528, Nıy feste Ks sei z eine Variable; ferner seien N= n %, Grössen Za ,n ..n gegeben; jedes h, ist mod. %„ auf seinen kleinsten, positiven Rest zu reduciren. Wir setzen das Product an D (@) =H[Z‘ O da = 12 000 a)- (%) Die Coefficienten dieser Gleichung sollen dem Rationalitätsbereiche angehören; eine genauere Bestimmung für sie wird bald erfolgen. Ferner nehmen wir ein ı O.(2) = SC) lel‚4--ha+l‚r W A z"17"2‚""'y %,('z/l1‚ Aa M ) (%) derart dass die Summation über alle N Combinationen der Werthe der h sıch erstreckt. Dadurch wird ©„.(z) zu einer ganzen Funetion von z, welche entweder direct cyklisch ist, oder doch unter den cyk- lischen Funetionen steht. Denn vermehrt man in dem hingeschriebenen Term irgend einen der Indices A%i um eine beliebige ganze Zahl, so kommt wieder ein Glied der hingeschriebenen Summe heraus. Die Bedeutung der ©,„(z) für die Beziehung der Wurzeln von Y = 0 untereinander zeigt sich leicht. Vergleicht man die obige Darstellung mit der Lagrange’schen Interpolationsformel, so folgt, was auch die unmiıttelbare Anschauung zeigt, sofort @a(2/„‚/‚.„4—./„‚) N „ba+'1‚» h Ferner erhält man hieraus, wenn die A-mal iterirte Funection @ mit @W bezeichnet wird, die Relationen @Ü—) @(“) &X 5 ( LO h‚) /1„w-/l„—}—}.‚—--h|„;+y‚- Ay? O @(!‘ ) ß ( hr,Ao, --h„) Sn @/()I’U)@(of) (Z/11,}4‚_„- .]11‚) g Die @ sind nach ihrer ersten oben abgeleiteten HEigenschaft durch eine beliebige cyklische Function rational darstellbar. Betrachtet man also die cyklischen Funectionen der Wurzeln von J(z) ==0 als bekannt, d. h. setzt man fest, dass sie im Rationalitätsbereiche vorkommen sollen, so fällt $ =0 unter die in $ 503 definirten Gleichungen, d. h. J(z)=0 ist eine Abel’sche Gleichung. Demgemäss kann man die Abel- schen Gleichungen auch folgendermassen definiren: $(z) =0 ist eine Abel’sche Gleichung, wenn ihre Wurzeln nach v Dimen- sionen so angeordnet werden können, dass die hiernach als cyklisch zu charakterisirenden Funcetionen derselben im fest- gesetzten Rationalitätsbereiche enthalten sind*). ) Vg£ hier und für das Folgende: Kronecker 1. c. Alternirende u. cyklische Funetionen. Anwendung auf A’bel’sche Gleichungen. 273 Von der früheren Definition können wir umgekehrt zur jetzigen kommen. Bildet man nämlich nach $ 509 zu den Elementen ®(6) eine Basis @,, @, :-- O, und setzt für die Exponenten ,, A, - I, welche das Element @ charakterisiren, die Bezeichnung an ? 0=00)...07(6)= A, Aayı A r so ist eine erweiterte cyklische Anordnung der Wurzeln erreicht. Hier- bei gelangt man auch zu der kleinsten Anzahl ” der einzuführenden Indices; y heisse der Rang der Abel’schen Gleichung (vgl. $ 509 und $ 513). Cyklische Gleichungen im engeren Sinne haben den Rang 1. $ 528. Jede rationale Funetion von Wurzeln beliebig vieler Abel’scher Gleichungen des Rationalitätsbereiches ist Wurzel einer Abel’schen Gleichung (vgl. $ 498). Dies folgt unmittelbar aus der obigen Definition, wenn man die festgelegte rationale Funetion der Wurzeln Abel’scher Gleichungen durch die Gesammtheit der verschie- denen Indices charakterisirt, welche die einzelnen Wurzeln der Glei- chungen kennzeichnen, d. h. wenn man etwa f(g7'n]‘ny x nk1‚]\ ÖM él„l„ 97 ) 9"11"2y' 5 Aı kayıı s ları setzt, wobei die & die Wurzeln der einen Abel’schen Gleichung sind, die %” die Wurzeln einer anderen u. s. f., und wobei f die gegebene rationale Funetion der Argumente ist. Umgekehrt kann jede Wurzel einer Abel’schen Gleichung höheren Ranges als rationale Function von Wurzeln cyk- lischer Gleichungen dargestellt werden. Dies wollen wir derart beweisen, dass wir zuerst Zh1:]12)' A V (Ra=1,2,-.-Na) als rationale Function der Summen (18) Z%„A-„k„ ; Z#x«„x-„k‚„ , (ko= 1,2, :< %) Kay kayt Aı karı darstellen, deren Coefficienten cyklische Funectionen der N Grössen 2 sein sollen. Wir bezeichnen jene Summe mit (2) A 5 L ? und betrachten die Produecte QQ“Ü=%MW Wendet man hierauf die Substitution (12) S‚u_"zll„-——h!l‚u—h„ 27'17""1„+1‚‘ lı i an, dann ändert sich dabei von den & nur dasjenige, dessen Index Kı Netto, Algebra. II. 18 274 Zweiundfünfzigste Vörlesung $ 528. Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 529. ist, da die übrigen Summen sich nur cyklisch in sich verschieben; dagegen gehtb 6 In 6 +ı über, und also entspricht der Substitution (12) zwischen den z die folgende zwischen den & On l%h„-—-/‚„‚——.h„ E Ma e Wir können daher die an (17) geknüpften Schlüsse hier bei der Gleichung (19) Zl'n"m' ]'1/=2 BÄ'.\JM‘“gl'1+7“177'2+k2‚‘ (a = 11 2 000 D) Kı kay ıı wiederholen und erkennen, dass die B cyklische Functionen der Z werden oder unter den cyklischen Funetionen stehen; sie gehören zu den bekannten Grössen. Auch hinsichtlich der Determinante A= lghl+kul’2+kz; l gelten die früheren Schlüsse, indem man durch passende Combination solcher Zeilen, in denen z. B. %, allein geändert wird, eine Zerlegung von A in lineare Factoren n a Al = const.l?„](2(üif €S.x)>N: © ( 2 a___1) erreichen kann; die Constante verschwindet dabei nicht. Es ist also für unbestimmte z die Determinante von Null verschieden. Mit der Darstellung (19) von Z,,m,-:4, durch die Grössen (18) ist («) aber die Behauptung erwiesen. Denn es sind alle Grössen Ci“)‚ 6 a 6 Wurzeln einer cyklischen Gleichung, und die Coefficienten dieser Glei- chung sind in allen Indices symmetrische Funetionen der %, %,...k, und gehören also zu den rational bekannten Grössen. Damit ist gezeigt, dass es ausreicht, statt der Wurzeln allgemeiner Abel’scher Gleichungen solche: der einfacheren cyklischen Gleichungen zu unt91°suche11. Dreiundfünfzigste Vorlesung. Die lineare Gruppe. $ 529. Wir haben erwähnt, dass Cauchy die allgemeinen. cyk- lischen Substitutionen mit dem Namen der arithmetischen belegt hat (8$ 524). Ihnen stellt er dann die geometrischen Substitutionen Mit diesen wollen wir uns jetzt beschäftigen. gegenüber: Altern. u. cykl. Funct. Anwendg. auf Abel’sche Gleichgn. Die lineare Gruppe. 275 Zwischen den N= 21 - %-n Grössen Zl'1;"27' y Co= 02 n) seı eine Substitution durch das Symbol (D) t= Z"n T, y Z“1711+b17‘2+"‘+017‘1„ A, bala F F Cal | ? oder kürzer bei blosser Angabe der Indicesumwandlung durch (1°) i= | A,ı + O4la A + + Calr | (x=1‚2‚--41) definirt, bei welcher jeder Index %, durch seinen kleinsten positiven Rest mod. %„ zu ersetzen ist. Diese heisst eine geometrische Sub- stitution. Der Einfachheit halber wollen‘ wir alle %,, %,: - %, ein- ander gleich und gleich % nehmen. Nicht für jede Wahl der a, b,--.-. c stellt dann (1) eine Substitu- tion _ dar. So führt das Symbol t= |I, a 2l + I, k A 20 | (n=3) die neun Grössen, welche durch 2,2 für h,, h,= 1, 2, 3 definirt werden, Z1197 %127 213 ? 917 927 2937 2a19 239 , Z iın die Grössen %8383 Z12) Za1 7 2917 233 , Z12) 212 ) 91 > CZ über; & ist also keine Substitution der neun Grössen, da es dieselben nicht permutirt, sondern zu je dreien immer in einen Werth umwandelt. Es muss, um eine Substitution zu charakterisiren, im allgemeinen Falle dafür gesorgt werden, dass alle die %” verschiedenen Systeme hı, ha, - h, durch € wieder in lauter verschiedene, d. h. wieder in alle n” verschiedenen Systeme übergeführt werden. Es dürfen demgemäss Iı ha, + I, und hi, hz, - hy nur dann die gleiche Umwandlung er- leiden, wenn ı = hı, h= 1, ıst Setzt man Aı —Y =hı, h — =hk, :, dann muss somit aus den linearen Congruenzen a kı + b k + + ak,=0, (2) (.12k1.+ b2?c2 + °.—i—.02?c„—__— @, (mod. %n) A, kı +.b„kg + E a =0 mit Nothwendigkeit folgen %, =0, k =0, - ... Bezeichnet man mit A die Determinante der @, b,---Cc, so wird 4k =0, 4k =0, 4k =0 (mod. n). Unsere Forderung wird deshalb stets dann und nur dann befriedigt sein, wenn A nicht =0 (mod. n) ist. Dafür, dass (1) eine geo- 18* 276 Dreiundfünfzigste Vorlesung 8 529—531. metrische Substitution darstellt, ist es charakteristisch, dass die Determinante A der Coefficienten mit dem Modul % keinen Theiler gemeinsam hat. $ 530. Wendet man nach Benutzung von (1) auf das Resultat eine andere geometrische Substitution Ö | aylı E ba + + Ghry| CZ v) an, so entsteht UW=|h, (a,a - bzaa + + 6, A,)l +(a,bı + 602 + + b |. Das Resultat hat also die Form einer geometrischen Substitution; und da seine Determinante gleich dem Producte der Determinante von % und der von %’ ist, so wird auch das Product %% wirklich wieder eine geometrische Substitution und zwar eine eindeutig bestimmte. Man überzeugt sich leicht davon, dass ({t)t”== (t't”) ist. Setzt man *’ ==, so erhält man %’; durch weitere „Multiplication“ C mit * entsteht %%, u.s. w. Wenden wir auf die Reihe t, %, t*%, ... die bekannten Schlussfolgerungen an, so zeigt sich, dass eine erste Potenz 4” besteht, welche jeden Index % in sich selbst umwandelt, so dass also £#” die Determinante besitzt LO @ 1 O (mod. %). 0.01 Mit ihrer Hülfe können dann die negatıven Potenzen t—1 Kn tm—1} t—2 EL tm—2} definirt werden. Uebrigens lässt sich #—! auch als diejenige Sub- stitution, welche die Wirkung von % wieder aufhebt, direct bestimmen, falls man il = |h, 0, + ß„hg—|— . + Yıla| ansetzt und die Coefficienten «, ß,:::- y aus den v* Congruenzen be- rechnet, die durch &BL A a b Z (3) &o ßa Va Aa Ög : C == o (1) (mod. %) geliefert werden. Die «, ß,--- bilden das zu den a, 0, - reciproke System. Hat man tt’==tt"” oder *’t=t"t, dann liefert die linksseitige oder die rechtsseitige Multiplication mit &—! das Resultat &’ = #". Die lineare Gruppe. 277 Es sind also alle Bedingungen für eine Gruppe durch die £ erfüllt. Wir wollen die Gruppe der & die geometrische Gruppe nennen. $ 531. Um die Ordnung der geometrischen Gruppe festzustellen, brauchen wir ein Hülfstheorem. Jedes System von v Coefficienten a,, b,,--- c,, welches einer geo- metrischen Substitution angehört, ist so beschaffen, dass der grösste gemeinsame Theiler g seiner Elemente theilerfremd zu ” ist. Umgekehrt können zu jedem System a,, b 17 C,, dessen grösster gemeinsamer Theiler zu % theilerfremd ist, andere (v — 1) Zeilen bestimmt werden A br G Ur Ug Uy (4) Vr %o 0y W, Wa Wy, so dass das Schema als System der Coefficienten einer geometrischen Substitution genommen werden kann, indem die Determinante von (4) —= q (mod. n) gemacht wird. Am einfachsten lässt sich dieser Satz folgendermassen ableiten*). Wir zerlegen % in seine Primzahlpotenzen 2)‘]‘1 ]}äa ; dann ist sicher eine der Zahlen a,, d,, C zu p, theiler- fremd z. B. a,. Bei der Entwickelung der Determinante von (4) möge nun ein Glied a u Vg Wy auftreten; dann setzen wir ÜÜ == Q} %=Us wy= 1 (mod. pA), und nach demselben Modul alle übrigen Elemente U, D 2 W CON- So erhalten gruent 0. In gleicher Weise verfahren wir mit DE wir eine Reihe von Congruenzsystemen. Diese sind lösbar, da jedes einzelne System jedes u, v,---. w nur einmal enthält, und da die ver- schiedenen Systeme zu theilerfremden Moduln gehören. Die Lösung und: also auf führt auf 4 = q (mod. pA), (mod. pz), - 4=4q (mod. n). Damit ist die Möglichkeit erwiesen. — Unter dem Symbole [n, ”] wollen wir nun die Anzahl der Mög- lichkeiten verstehen, v ganze Zahlen a, ‚ b,,*‘ C, So zu wählen, dass ihr grösster gemeinsamer Theiler zu % theilerfremd ist. Um diese Anzahl zu berechnen, nehmen wir zunächst alle überhaupt möglichen Systeme von v Zahlen (mod. %), also n”, wobei wieder %n — V sein soll. Von diesen Systemen sind alle diejenigen auszuschliessen, deren Ele- mente sämmtlich durch p, theilbar werden, das heisst (£) ; ebenso %) Frobe}nius, Journ, f. Math. 88 (1880), p. 97. 278 Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 581. sind _ diejenigen auszuschliessen, deren Elemente sämmtlich durch m, A N theilbar sind, d. h. ( V ) ; u.s. w. Nun folgen die bekannten Schlüsse, aus denen sich ergiebt, dass die Anzahl der gesuchten Systeme N N Nn %, ] =W — (1—)1>1— < D )"_ D V } — VW I (5) L 2 E „v< i ME D ) beträgt. Im Falle, dass % eine Primzahl wird, ergiebt sich das Resultat (5°) [, 7]= y —1. Nach diesen Vorbereitungen ist es leicht, die Ordnung der geo- metrischen Gruppe zu bestimmen. Wir setzen diese gesuchte Zahl, welche die Ordnung angiebt, gleich ® (n, v). Es seien zunächst alle diejenigen geometrischen Substitutionen Tı ? Z T3 ? %9 herausgehoben, die den ersten Index %, in (1) ungeändert lassen. Ist dann %, eine Substitution (1), welche %, in aylıy + al F + + cıh, umwandelt, dann thun dies auch alle Substitutionen T1 UT, %s 4 To und nur sie (vgl. die Schlüsse aus $ 508, E). Jede geometrische Sub- stitution wird also erhalten, wenn man alle Umwandlungsmöglichkeiten von h, aufzählt und eine jede mit der Gruppe aller 7 verbindet. Zur Art des &, gehört jede, bei der a,, 0,, c, mit % keinen gemeinsamen Theiler besitzt. Folglich giebt es von der ersten Art nach dem oben Besprochenen im Ganzen [n,v]. Ferner hat jedes 7 die Form ‘h1; ll2; &, hr I, , A , + balg + + A Cely, - Aylı + byliz E hw|; man sieht, dass zu ihr die Determinante 100 S C O> (6) 3 Ca O Ö Hieraus ersieht man, dass &,, Gs, - A, ganz beliebig gewählt gehört. werden können, während die Determinante C b (7) 4, = b; Cg O ea Die lineare Gruppe. 2 79 zu n theilerfremd sein muss. Es hat daher die Substitution Ü | n Ü e l baıa + + + CGhy, bla + + A CGhy, I für (v — 1) Indices dieselbe Bedeutung, wie £ für v Indices. Folglich ist die Anzahl der &’ oder der Determinanten (7) gleich ®(n, v — 1). Somit wird die Ordnung der geometrischen Gruppe bei v Indiees und dem Modul % D(n, v) = [n, v)w 71 B(n, v—1) (8) = [n, v)w - In, v —110 ? ... [n, 2]%* In 1]. Für eine Primzahl » = p wird dies einfach (8°) ü 2)= W —OT DO D NT E Die hierbei benutzte Methode der Berechnung beruht darauf, dass jedes %, welches h, durch ayh, + bıa + - - + Cıl ersetzt, durch das Product eines festen £ gleicher Eigenschaft und eines T dargestellt werden kann, wobei T7 das h, nicht umstellt, Für das T gilt dieselbe Reduction in Beziehung auf 4, u. s. f. Leicht können wir auch die Anzahl derjenigen geometrischen Sub- stitutionen berechnen, deren Determinante modulo % congruent zu einer beliebigen Zahl q ist; qp ist natürlich theilerfremd zu % anzunehmen. Wir gehen wie oben zur Bildung der gesuchten Substitutionen vor. Wir wählen auf [n,v] Arten a,, b,,--- C,; ihr grösster gemeinsamer Theiler sei qg,. Ferner wählen wir auf [n, v —1] Arten %,, G3 ihr grösster gemeinsamer Theiler sei qg; u. s. f. bis zu q„_1. Dann kann man stets ein letztes Element c, gemäss der Congruenz Qı Iv— 1G = I (mod. %) bestimmen, und erhält also, wie auch q,, %, “ Jv—1 angenommen waren, durch diese Wahl des c, eine passende Substitution. Bei diesem Vorgehen wird an der Bestimmung (8) nichts weiter geändert, als dass der letzte Factor [n,1] = @ (n) fortzulassen ist, d. h.: Der g(n)® Theil aller geometrischen Substitutionen hat eine Determi- nante =1 (mod. %), und ebensoviele geometrische Substitu- tionen haben als Werth der Determinante eine willkürliche zu % t$heilerfremde Zahl (mod. n%). Das gleiche Resultat hätte leicht auch so hergeleitet werden können, dass wir die Gleichheit der An- zahlen für alle diese einzelnen Classen nachgewiesen hätten. Die geometrischen Substitutionen, deren Determinante =1 (mod. n) ist, bilden eine Untergruppe der geometrischen Gruppe, die in jeder aus geometrischen Substitutionen bestehenden Gruppe vorkommt. 280 Dreiundfünfzigste Vorlesung 8 531—582. Bilden w zu % theilerfremde Zahlen g,, %, - Qqu insofern eine Gruppe, als das Product zweier unter ihnen qx-qg wieder zum Systeme der q gehört, dann bilden auch alle zu den einzelnen Determinanten- werthen Z EQ27 =% (mod. %) gehörigen geometrischen Substitutionen eine Gruppe. Dies findet ins- besondere statt, wenn g,, ,: qu alle quadratischen Reste (mod. x) darstellen. D S AT 1 Für %n= D wird u = 2 , und die so gebildete Gruppe enthält halb so viele Substitutionen als die gesammte geometrische Gruppe. $ 532. Wir haben bereits bemerkt, dass die Determinante, welche aus den Coefficienten von (1*) gebildet wird, sich als wichtig für die Substitutionen ausweist. Wir wollen jetzt (1”) t= |h, AAyı + Al + + A Ayylhy| (% = 12 v) auch in der determinantenähnlichen Form Ca Ci@ Ar 1‚\ C W5 A 2V ( — = (d;%) @ h= 119 000) a U, 1 (Z205) V schreiben und die elementaren Sätze über Determinanten mıt Theoremen über unsere Substitutionen $ ın Verbindung bringen. Zunächst überzeugt man sich durch wirkliche Ausrechnung sofort davon, dass wenn $ = (a;), u= (b;z) ist, dann wie bei Determinanten- multiplication t:u= (d;r) : (bix) = < Z£m O2r ) (2) wird. / Wir wollen ferner eine Anzahl besonders einfacher Determinanten oder Substitutionen in ihrer Wirkung auf % betrachten. Hier unter- suchen wir zunächst (9) Va F (£hr ) (a =1; A pg=1; alle anderen «,, gleich 0). Es ist, wie eine leichte Rechnung zeigt, A 1 6012 --. (die ßte Zeile um die Elemente der xt°n vermehrt), vap’t V Wq 1. + ap’1 a/c'r 2 + a%’2 ( &,, al A„3 ü11 R - .. (die x«t® Spalte um die Elemente t”ap’ =—= (22 y1 ) der ßlen vermehrt). yg + avß 281 Die lineare Gruppe. Weiter betrachten wir die Determinante oder Substitution von der Gestalt (10) Waß — (%'k) (a„ = 1 für alle x ausser &, ß; U3 ar 1; alle anderen a,, gleich 0). Für sıe erhält man ZU„ß Ü = (aﬁ) (diz = Ajp, VUSSEr W = Car Und Ao,= A;)s, ( D bWaß = (dir) (a2.‚g=a„g‚ ausser a;m=akp, und a‚’„„{‚=a„). Die Determinante oder Substitution (11) Na = (d;x) (a„= 1, ausser a,„=—1; alle anderen a,, gleich O) endlich ruft die Aenderungen hervor Nab = (Aix) (“;:;; =0,4, duUsser W, = — awk) Ö (11°) — Nx = (dix) (cß;k = (A;,4 , auUsser A, —aia). Durch passende rechts- oder linksseitige Multiplication mit einer der Substitutionen 7)a/>’, No ’6l}a{g, sind wir also im Stande, jedes £ in ein anderes umzuwandeln, bei welchem gegen das erste entweder zu einer Zeile (Spalte) die ent- sprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) addirt werden; oder bei welcher zwei Zeilen (Spalten) miteinander vertauscht werden; oder endlich, bei welchem alle Elemente einer Zeile (Spalte) mit dem Factor — 1 multiplicirt werden. Diese Umänderungen wollen wir als elementare Transforma- tionen der Substitution € auffassen. Wir können uns offenbar dabei auf die Benutzung der (v + 1) Substitutionen (12) Wıa) Wiz, Wıv5} V425 Z beschränken, da die anderen elementaren Transformationen leicht aus diesen abgeleitet werden können. Diese elementaren Transformationen wollen wir nun dazu . ver- wenden, um % aus besonders einfachen Formen zusammenzusetzen 5 Irgend ein gegebenes £ kann nämlich zuerst durch Vertauschung von Reihen oder Multiplication aller Elemente einer Reihe mit — 1 so eingerichtet werden, dass sein erstes Element @,, positiv und nicht grösser als der absolute Werth irgend eines der von Null verschie- denen Elemente der Determinante ist. Kommt dann in der ersten L Zeile oder Spalte ein Element vor, welches nicht ein ganzes Viel- M *) Kronecker, Journ. f. Math. 107 (1891), p. 185. 282 Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 532—533. faches von a,, ist, dann kann man dies durch passende Verbindung mit der ersten Zeile oder Spalte bei Verwendung der Umwandlung durch v„g in ein anderes positives von geringerem absoluten Betrag als a,, umwandeln. Dieses Element lässt sich‘ dann an die erste Stelle bringen. Da jede solche Transformation den absoluten Betrag des ersten Klementes verringert, dieser aber nicht Null werden kann, so führt unser Verfahren zu einem %, in dem 4, positiv, < |a;*| und ein Theiler aller übrigen Elemente a,; und a;1 wird. Dieses System kann man nun weiter durch elementare Trans- formationen der Form v„g so umwandeln, dass mit Ausnahme von a Kommt ferner in einer alle @;1 und alle @,7 gleich Null werden. Reihe dieses reducirten. Systems ein Element a vor, das kein Viel- faches von a,, ist, so addırt man die betreffende Zeile zur ersten und erhält ein t, ın dem a,, nicht Theiler aller a1» ist; das so erhaltene % kann dann noch weiter nach demselben Schema reducirt werden. Man kommt so, da das neue a,, noch kleiner geworden ist, schliesslich zu einem %, in dem das erste Element positiv und Divisor aller übrigen ist, und zugleich alle Elemente der ersten Zeile und Spalte mit Aus- nahme des ersten Elementes gleich Null sind. Wenn man dann die gleichen Reductionen auf das System der zweiten, y Spalten und Zeilen anwendet und so fort geht, dann erlangt man ein £, in welchem jedes Element ausserhalb der Diagonale gleich Null wird, jedes von Null verschiedene Diagonalglied Divisor des folgenden ist, und alle diese bis auf das letzte positiy sind. Ist, wie bei uns, die Determinante der Substitution von Null verschieden, dann sind auch die Diagonalglieder sämmtlich von Null verschieden. Ferner bleiben alle diese Ableitungen gültig, wenn man das System der Coeffieienten nach dem Modul % betrachtet. So _ folgt: Jede Substitution € lässt sich aus einer Diagonal- substitution der angegebenen Beschaffenheit 0 0 Arı d= 0 53 0 0 0 = %, Bra 2l (mod. %) A33 in Verbindung mit den Substitutionen (12) darstellen. Es ist klar, dass jede Substitution % das Index-System y =n, , =n oder, was das Gleiche sagt, h,= 0, l = 0, h=R, h,= 0 und also Z%o... ungeändert lässt. Bei einzelnen Substitu- tionen £ können aber auch noch andere Elemente ungeändert bleiben. Dafür, dass (1°) dies thue, ist nämlich nur nothwendig, dass die Congruenz Die lineare Gruppe. 28 Ay —1 Ag Z = CZ A — 1 O0 (mod.%) / erfüllt sel. Die Bestimmung der Elemente selbst hängt dann von der Auflösung eines Systems von linearen Congruenzen modulo % ab. Für v= 1 ist |4 4 |= %_ die einzige Substitution, welche mehr Ele- mente als das Eine zo,o,... ungeändert lässt, nämlich sämmtliche; 4 ist die identische Substitution oder die Einheitssubstitution. $ 533, Wir verbinden nun die arithmetischen Substitutionen (13) 3 = | e Ma A da | («=1,2,..:v; ka wird mod. % reducirt) mit den oben aufgestellten geometrischen (1) und bezeichnen die aus allen s und € bestehende Gruppe als die zu % gehörige lineare Gruppe. Entsprechend dieser Bezeichnung könnten wir die Gruppe der % auch wohl als die zu % gehörige lineare homogene Gruppe bezeichnen. Durch die s und £ wird jeder Index %„ in einen solchen von der Gestalt Cßa1h1 + a„hg + s —l— (h„,hv + d„ (“=172;"'”) umgeändert, gleichgültig ob wir die Folge s-.t oder £-s betrachten. Wir schreiben deshalb die linearen 811bstitutionen ın der Form (14) &@ = ] Oal - da E 000 AL l + da| (@=1,2,-+.9) Untersucht man wieder, wann das Symbol (14) eine Substitution dar- stellen kann, so kommt man hinsichtlich der Ag auf (2) und die daran geknüpften Folgerungen zurück. Für die Wahl der d“ bestehen keine KEinschränkungen. So ergiebt sich als Ordnung der linearen Gruppe der Werth w D(n, v). Bemerkenswerth ist das Verhalten der w gegenüber den s. HEs gilt nämlich zunächst die Gleichung (15) bS, =Sıt Ooder Ü C = p wo bei gegebenem * entweder sı aus gegebenem s, oder umgekehrt S, aus gegebenem s; bestimmt werden kann. Um dies zu beweisen, setzen wir S = [ ha + dea|, Sı =— [72„ Aa + gu |, Ü= |%x Agı F Ayalz L, A e uvnd daraus ergeben sich die beiden Gleichungen Z5$/ :a ;hcc aalhl+ S + a/ce1'hv + (aa1dl+ Ka a + aayd„‚>:7 Sıl = [h„ aa1h1—|—«'»—{— Ag v hy + qa}; 284 Dreiundfünfzigste Vorlesung 8 533—534 es sind also je nach den Voraussetzungen die d durch die qg oder um- gekehrt die q durch die d vermittels des Gleichungssystems arxldl+acz2d2+ +aocvda/—(_’a @=1,2 ) zu bestimmen Die Bestimmung der qg ist selbstverständlich; und da die Determinante der @ von Null verschieden ist, (mod. %) betrachtet so ist auch umgekehrt die Bestimmung der d durch die g stets möglich Hiermit haben wir zugleich gezeigt, dass jedes w ersetzt werden kann durch ein Product %“ = tsQ = ıin welchem das € in den Coefficienten a„,2 mıt u übereinstimmt, während die Substitutionen 57 bezw. S, derart gewählt sind, wie die obigen Gleichungen es vorschreiben Daraus folgt dann weiter dass man auch uWS, = SıU oder u-1su=S, (16) hat, wo bei gegebenem w entweder s;ı aus gegebenem s, oder umge- kehrt s, aus gegebenem sS; bestimmt werden kann Die Form u—-!s,u wird sich als besonders wichtig ausweisen ($ 541; 542) $ 534. Wir wenden uns jetzt zu dem hbesonderen Falle, dass v=1 und n= p d. h. eine Primzahl ist Dabei haben wir also die drei Formen zu beachten S$ =— IZ]‚ ©- d l i—IZ]„ Zahl b=1,2, D) U=/% zah+d‘ Alle s sind Potenzen der Substitution so = |Z Z.-+1|, und alle $ ebenso Potenzen der Substitution 4 = |Z Zyn|, wenn g eine pnm1t1ve Wurzel mod. p bedeutet. Jedes w lässt sich in die Form sı &% ‘{ oder fys bringen, D18 lineare so dass die Gruppe bereits durch s, und % best1mmt ist. Gruppe bezeichnen wir in diesem Falle nach Kronecker als meta- Ihre Ordnung ist gleich p(p — 1) cyklische Gruppe Lässt ein w zwei Elemente z ungeändert etwa z, und 2„, SO ist ah+d=h ak +d=hk (mod. p alh—k)=h—k und also, da (h — k) nicht durch p theilbar ist, @ = 1; daraus folgt dann d==0. Dieses u welches zwei Elemente nicht ändert, reducirt sich somit auf die Einheitssubstitution, d. h. es ändert überhaupt kein Element Die lineare Gruppe. 285 Lässt ein w hingegen kein Element 2 ungeändert, dann muss die Erfüllung der Congruenz h(a—1) +d=0 (mod. p) für A& unmöglich sein; @ ist =1 (mod. p) und d==0, d. h. w gehört zu den arıthmetischen Substitutionen. In der metacyklischen Gruppe giebt es nur (p—1) Sub- stitutionen nämlich die arıthmetischen s, welche alle Kle- mente umsetzen, und ur eine Substitution nämlich die als ein Element und Einheitssubstitution, welche mehr zwar alle ungeändert lässt. Die geometrischen Substitu- tionen t= |h g“h| sind die einzigen, welche das Element % nicht umstellen. Weitere Untersuchungen über die metacyklische Gruppe werden wir später in der Vorlesung über auflösbare Gleichungen eines Prim- zahlgrades anstellen. Eine metacyklische Function heisst jede solche, welche bei den Substitutionen der metacyklischen Gruppe und nur bei ihnen un- geändert bleibt. Eine solche ist z. B., wenn g wieder eine primitive Congruenzwurzel mod. p bedeutet, q) =(j;_(jzz (Zjo+dzyl+d + z;‘+d'zg*+d + RC + ij—2+dzg"—{—d). Denn erstens verschiebt sy= | h+1| nur die einzelnen Glieder der Summe X cyklisch. Zweitens wandelt 4& = |A gh| den hingeschrie- benen Summanden aus ©& in 3 Z dg (Z;j‘+dngß+da al Ar zä°+da'gg‘+dy) um; und da mit d zugleich dg alle Zahlen 0, 1,--. (p—1) durch- läuft, so bleibt @ auch für %_ ungeändert. Nun kann jedes w;, wie oben gezeigt wurde, aus sy und % in der Form u= s*t®? gebildet werden; folglich bleibt @ unter dem Kinflusse der metacyklischen Gruppe ungeändert. Wenn umgekehrt eine Substitution 6 die Function @ nicht ändert, und wenn durch 6 das Element z in 2a umgewandelt wird, dann muss, wie die Bildung von @ zeigt, der gesammte Summand Zä (ﬁä°'zgl+ Zjlzg“ a ) in zä(z;°+dzgl+d Ar Zä‘+dzy°+d An ) übergeführt werden. Geht dabei 2 in Za über, dann zeigt die Form des Summanden, dass zugleich 2n IM Zatfıpg, ferner 2 in 286 Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 534—B536. Zua+21 g U S. f umgewandelt werden muss. Demgemäss haben wir jene Substitution 6=.2£ zg Ü‘/L—i—d] als Substitution der metacyklischen Gruppe erkannt. Es ist klar, dass wir in @ die Exponenten 3, 2, 1 durch irgend welche von einander verschiedene ganze Zahlen ersetzen können. $ 535. Wir betrachten nun eine cyklische zu s = |Z Z—+1| gehörige Funcetion, d. h. eine solche, die 'sich nicht ändert, wenn z,, Z1) Zp—1 Cyklisch verschoben werden; wir bezeichnen sie CZ %—) =G- Dabei setzen wir fest, dass C nicht unter den cyklischen Fune- tionen steht, also nicht für weitere Substitutionen ungeändert bleiben soll. Das U mag durch Verwendung der geometrischen Substitutionen O= 0 g 6 =—=|% gh|, . E 0 = |h g” *n | der Reihe nach in die Formen C (& 29 %9y )= U, 0(207 Zg Zg )—027 C(Zo> Sap—2) ©° ) Ta CI'*‘3 übergehen. Dann wird 0, für s=|h h-+g|= $} ungeändert bleiben und also auch für s?9 992 56° In dieser Reihe befindet sich aber s, selbst, da ja die Gesammtheit der Exponenten g, 2g, 3g,--- für den Modul p mit 1, 2, 3, - übereinstimmt. Mithin bleibt C, für dieselben Substitutionen ungeändert wie U,. Das Gleiche gilt für die übrigen C-,. Alle Werthe &, C,, Cp—2 - bleiben für die Potenzen von S& und nur für diese ungeändert. Wir bilden nun eine cyklische Funetion der © , CL, ( der hingeschriebenen Anordnung genommen, also etwa, wenn @ eine primitive (p—1)® HEinheitswurzel bedeutet, die Lagrange’sche Re- solvente © 4 @C 4 @' A @ C_ dann ist dies eine metacyklische Funetion der %, %,, Zo—1, weıl ja % die einzelnen C cyklisch verschiebt, und sy sie ungeändert lässt. — Jetzt möge eine Gleichung y“" Grades (15) NO=C C —A ) (Z—'52) @— A=)=0 von der Art vorgelegt sein, dass man den Wurzeln 22 eine Anordnung geben kann, in welcher ihre metacyklischen Funetionen dem KRatio- nalitätsbereiche angehören. Eine solche Gleichung soll eine meta- ‘ Die lineare Gruppe. 287 cyklische Gleichung heissen. Dann sind für diese Gleichung die cyklischen Functionen &, C,, Cp—2 die Wurzeln einer Abel’schen Gleichung. Denn setzt man die Gleichung an, von welcher C,, C,, On als Wurzeln abhängen, (16) CO Z e O so sind die Coeffieienten von G als symmetrische Funetionen der C unter den cyklischen enthalten und somit durch die metacyklischen Funetionen der z ausdrückbar, d. h. rational bekannt. Ferner wird aus der Relation Ca Ca+1 Ca+2 G6)|; + Za v—C v—C + ]=H6) wie gewöhnlich erschlossen, dass die rationalen Beziehungen Ua = Va (CO} ’ Cla+1 T wa(Cl) ’ Cara = Va(Co), + bestehen; für «==1 folgt, dass alle ©2 in © rational sind; endlich ergiebt sich, wenn man in C = %, (Co) das C durch 05 = %g(C) und also C, durch C„+ ersetzt, Ca+ß = Va[Wg(Co)] = Wa [w«(C)]- Damit ist gezeigt, dass G-(v) = 0 eine Abel’sche Gleichung ist. Ist diese Abel’sche Gleichung aufgelöst, oder auch nur eine ihrer Wurzeln bestimmt, dann sind alle C bekannt; (15) ist dadurch also auf eine Abel’sche Gleichung reducirt und sonach (vgl. 8& 503) auf- lösbar. Die Auflösung der metacyklischen Gleichung (15) des Primzahlgrades y lässt sich durch die Auflösung zweier Abel’scher Gleichungen vollziehen, deren eine vom Grade D und deren andere vom Grade (p—1) ist. Es werden in den nächsten Vorlesungen noch wichtige Bemerkungen zu diesem Satze herzuleiten sein, durch den wir hinsichtlich der Auflösbarkeit der Gleichungen über die Abel’schen oder allgemeinen eyklischen Glei- chungen hinausgelangt sind. $ 536. Eine Untergruppe der metacyklischen Gruppe wird durch die Substitutionen v=|h g”h+d| (A d 212 „=1‚2‚...%(1‚_1)> gebildet. Aus unseren früheren Betrachtungen erkennt man sofort, dass die Ordnung der Gruppe % n(D—1) wird; sie heisst nach Kronecker die halbmetacyklische Gruppe. Der Coefficient g?” 288 Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 536—537 von “ durchläuft die Reihe der quadratischen Reste mod. p Eine zu der Gruppe gehorwe Function ist z. B U 29 Dra pa pa T Bpa® pa gra D} B Für p=5 ist in der Schreibweise von $ 522 die metacyklische Gruppe, falls nur die Indices in die Cyklen gesetzt werden l (14) (23) (1243) (1342) (01234) (04) (13) (0132) (0824) (02413) (08) (12) (0423) (0143) (03142) (02) (34) (0132) (0412) (04321) (01) (24) (0341) (0231), und die ersten beiden Spalten geben ihre halbmetacyklische Unter- gruppe Nach der Untersuchung der Substitutionen von der Form $ 537 Zan| Wollen wir zu denjenigen der homogenen, linearen Substitu- tionen miıt zweı Indices l?h ah--bk, a h-+&'k l (h,k=1,2 ) oder kürzer (17) [,L ah + bk, a’h + 6k | W b=1,9 ) übergehen, in denen alle Indices nach dem Modul p auf ihre kleinsten positiven Reste zu reduciren sind. Unsere Untersuchung soll sich auf die Frage nach der Ordnung solcher Substitutionen erstrecken, die wir als binäre Substitutionen für den Modul o bezeichnen Wir suchen zunächst zu entscheiden, ob es eine lineare Funetion (mh+1nk) giebt, welche durch (17) in eins ihrer Vielfachen o(mh-+1k) übergeführt wird. Durch (17) geht der Ausdruck mh + nk ın (am + a’n)h + (bm +b'n)k über; dies wird gleich o(mh+-nk), falls das System der Congruenzen (18) m(a—0) + na =0 (mod. p) mb + n(b’ erfüllt ıst Weil sich hieraus die quadratische Congruenz für o (19) 0 LE z =0 (mod.p) ergiebt, so folgt, dass reelle unserer Forderung entsprechende o nur dann existiren, wenn die Diseriminante von (19) = (a - 6)? — 4(ab'— a’b) = (a — b')* + 4a Die lineare Gruppe. 289 quadratischer Rest von p ist. Zu bemerken bleibt noch, dass (ab’— a’b) nicht congruent 0 (mod. p) werden kann, weil sonst (17) keine Sub- stitution wäre ($ 529). Wir haben also die drei Fälle zu unterscheiden: I) dass D ein quadratischer Rest für y ist; II) dass D durch ü theilbar wird und IIT) dass D quadratischer Nichtrest für n ist. Diesen drei Fällen ent- sprechend sind entweder zwei reelle von einander verschiedene, oder es 'ist ein reeller, oder endlich kein reeller Werth für o vorhanden. Wir behandeln an erster Stelle das Problem unter der An- nahme I), dass o, und 0, zwei reelle, von einander verschiedene Werthe sind, die (19) befriedigen. Dann giebt es auch zwei reelle Systeme M, , und m,, n,, welche Wurzeln von (18) für o0= 0, und 0= @ sind; und setzen wir, um abzukürzen, h,= m h + nık, k =m)h + nk, dann gehen durch (17) %, und %, in h,o, und k,o, über. Da man ferner als Auflösung der Congruenzen (18) M, =060'; nı = 6(0,—a) (mit beliebigen ganzzahligen 6, v) o =3 G ’ N = T (02—€) oder auch m, = 6,(0,—U'); ı = GD m, = , (02—0)); D = Al (mit beliebigen ganzzahligen 6,, 7,) setzen kann, so folgt, da a’b=E O ist, dass die Determinante MyNy — Ma N = 670 (03 — 91) = 470 (02 — Q1) von Null verschieden ist, und deshalb, dass % und % linear durch h, und %, ausgedrückt werden können; d. h. also, man kann an Stelle von h und % auch A, und k, als neue Indices der z annehmen. Wenn wir nun der bequemeren Bezeichnung wegen. statt h,, *; wieder h, % eintragen, so erhalten wir eine für diesen ersten Fall gültige Normalform (17°) u=|h,k o1h, 0,k| (mod. p). Es ist hierbei wW=/|h,k oih, o3k| (mod. p). Weil jede reelle Zahl o in die (p — 1)® Potenz erhoben = 1 (mod. p) wird, so ist sicher u?-!= 1 (mod. p). Daraus schliessen wir in bekannter Weise, dass die Ordnung jedes w ein Theiler von (p—1) sein muss. Netto, Algebra. II. 19 290 Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 537. Auf die Ableitung der Anzahl derjenigen binären Substitutionen, die zu einem bestimmten Exponenten gehören, wollen wir nicht ein- gehen; es mag genügen, das ohne Schwierigkeit herzuleitende Resultat anzugeben. Ist q qRq% ein in seine Primfacetor-Potenzen zerlegter Theiler von (p—1), so gehören zu ihm (dr— @— D@ —D binäre Substitutionen (17%). Die Summe aller so gebildeten An- zahlen hat demnach den Werth (p—1)?, was ja auch leicht zu verificıren ist. — An zweiter Stelle betrachten wir den Fall II), dass D=0 und also _ a+VU 01 die einzige, aber doppelt zu rechnende Congruenzwurzel von (19) ist. Es giebt dann eine Function h=mh +n k= ah + (0,—a)k=ah + b‚„+ak, . welche durch (17) in eins ihrer Vielfachen, o,h, umgewandelt wird 7 ausser den Vielfachen von A, giebt es keine solche Funetion. Wir suchen ferner, eine zweite Funetion kı =Moh +n k zu bestimmen, die durch (17) in h, + o,*, übergeführt wird. Dazu muss das System der linearen Congruenzen Ma (A — 0,) + 20 (18°) (mod. p) mb + n (b’— 0,) Il d Denn nach m,, %, lösbar sein. Das ist nun in der That der Fall. es ist zwar die Determinante der Coefficienten von m,, %, gleich Null, allein die beiden Systeme, welche sich aus den Constanten bilden_ lassen, a O9 A C C 2 M, und Ö ) 0 —© O ’ Ö 01 N, sind, wie die Bestimmung von m,, m%, ergiebt, von gleichem Range ($ 479), ‚und daher kann man geeignete ı, und %„ angeben, welche Da ferner die obigen Congruenzen lösen. m:n = d :(0,—0)= (0,—0):b und also d — 01.= E, — &m, — ÖM , b = 4n Ö —@ Die lineare Gruppe. 291 ist, so wird unter Berücksichtigung von (18°) Ma (@ — 0,) + %A = & (MNı —M )= m, Mb + m (b'— 0,) = *# (M Nn —M )= m. Folglich ist (m,%, — M,n,) nicht congruent 0 mod. p, da m, und m, A nicht gleichzeitig —— O sind, und %, % können durch A, k, dar- gestellt werden. In diesem Falle sind wir zu einer Normalform von der Gestalt (17”) u=|h, k o,h, h + 0,k| (mod. y) gelangt. Hier ist. die /° Potenz dieser Substitution wW=|h,k o*h, 20*-1h + 0?k| (mod. p); daraus erkennt man, für welche Werthe von 2 die Potenz w%= w werden wird: Es müssen gleichzeitig die Congruenzen 21—1 — C = 40 al 1 (mod.p) und folglich auch © A—1 — ıl Z 2 A=1 (mod.p) erfüllt sein. Die erste zeigt, dass 1— 1 ein Vielfaches des Kxpo- nenten g ist, zu dem 0, gehört; die zweite, dass 2 die Form xp + 1 hat. Demgemäss muss 41 —1 d.h. xp nun auch ein Vielfaches von q sein, damit o* = 0, werde; folglich muss x selbst ein Vielfaches von q sein; man hat daher 4 = w(p—1)p+1 bei jedem ganzzahligen uw. ls wird demnach u?—Dr+1=— 4 für jedes mögliche w von der Form (17”), weil g ein Theiler von p—1 ist d. h. die Ordnung jeder Substitution zweiter Art ist ein Theiler von (p—1)p. — Endlich an dritter Stelle nehmen wir an IIT), dass D ein quadratischer Nichtrest für p sei. Am einfachsten können wir diesen Fall durch die Einführung von imaginären Congruenzwurzeln erledigen, wie das zuerst‘ Galois *) gethan hat. Es sei N irgend einer der V 5 Nichtreste von :n unter den Zahlen 1, 2,...—1. Wir definiren j als Wurzel der Congruenz (20) j°= N (mod. p) und wollen mit j rechnen, wie mit einer reellen Zahl; dabei kann überall statt j? eingesetzt werden N. Dann lassen sich die W urzeln von (19) 0° — o(a+0') + (ab’— a’b)=0 (mod. p), wenn D ein Nichtrest ist, in die Form a DE E 0, =mM-—+nj, ©2 = M — Nj *) Sur la th6orie des nombres. Bullet. des Scienc. math. de Ferussac 13 (1830), p. 428; Oeuvres publices par E, Picard (1897), p. 15. 19 292 Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 537—538, bringen; denn es ist D: N ein Rest, den man gleich n*? setzen kann; also dürfen wır D= *N annehmen. Wir können dann weiter wie im ersten Falle. verfahren und als Normalform (17°) u=[|h,k (m+nj)h, (m — nj)k| aufstellen. Zu beachten ist dabei, dass die Indices h,% hier nicht reell sind, sondern in Beziehung auf j als „conjugirt complex“ auftreten, d. h. dass sie die Form (s + €j). und (s — tj) haben. Hierbei ist u mit der reellen Substitution h—;—k} h—k o,h+ o,k glh——_g2k 2 ? 29 27 identisch, deren Form aber weniger bequem ist. Es handelt sich nun noch um die Bestimmung der Ordnung von ( Erheben wir m” + ”j in die Potenz mit dem KExponenten p 2 so wird (mod. p) Z I 2 (m + nj)? = m? + n?j? = m + nj?-1.j= m+ Np 2 daraus folgt ebenso weiter D@O—) 2 ‘) —1 (m + nj)?? =m? + N NN ® 5 P =m-+nN.? .j (mod.p), n} und da ein ganzes Vielfaches von (p — I) 8 =m-+nj, so dass also jede unserer neuen complexen Zahlen in die Potenz (p” — 1) erhoben gleich der Einheit wird. Es kann deshalb die von nur eın Theiler dieses Ordnung (17°) Exponenten (p* — 1) sein. In der Congruenz (m+nj)?? = (m-+nj) (mod.p) ist der Fermat’sche Satz für unser Zahlengebiet enthalten. Verstehen wir unter @(w) die zahlentheoretische Funection, welche angiebt, wie viele ganze, positive Zahlen kleiner als w und theilerfremd zu w sind, so folgt genau‘ durch die in der Zahlentheorie üblichen Schlüsse, dass, wenn man unter f einen Theiler von (p* — 1) versteht, zu dem Exponenten f gerade q (f) Zahlen (m +-1nj) gehören, d. h. dass @(f£) Zahlen vorhanden sind, deren f'° Potenz der KEinheit con- gruent wird, während niedere Potenzen dieser Zahlen nicht = 1 werden. Die lineare Gruppe 2983 Erweitert man auf unser Gebiet den Begriff der primitiven Wurzeln, so ergiebt sich wieder ass gerade o(p? — 1) Zahlen (m, +19j) primi- einer Potenz ırgend tive Wurzeln sind, und dass jede Zahl (m + 2) einer solchen primitiven Wurzel (m, + %9j) congruent wird $ 535 Mit den Untersuchungen des vorigen Paragraphen hängt Betrachtet eine andere Frage zusammen, die,wir hier erledigen wollen man in der homogenen linearen Substitution mit reellen Coefficienten U—l/l k ah + bk, a'’h + b'k| die wirklichen Werthe der Indices, statt wie bisher ihre Reste modulo p, so kann man auch hier fragen, unter welchen Bedingungen eine Potenz von v gleich der Einheit wird; im Allgemeinen nämlich werden sämmt- liche Potenzen der Substitution v von einander verschieden 'sein Damit v überhaupt eine Substitution, darstelle, muss (ab’— a’b) + 0 sein Wir können nun genau wie im vorigen Paragraphen den Versuch machen, eine Funetion (mh + 1n”hk) zu bestimmen welche durch v ın ein Vielfaches o(mh nk) verwandelt wird. Damit dies möglich sei müssen m, %, o den Gleichungen (18*) m(a—0) + na = 0 mb+n(6b—0)= 0 Genüge leisten Also muss o eine Wurzel der Gleichung (19*) 0° — o(a +b') + (ab’—a’b) = 0 Sseın Hierbei unterscheiden wir wie oben drei Fälle, je nachdem näm- lich in dem Ausdrucke für die Wurzeln a—|—b VE + + (a’b ab') der Radicand positiv, Null, oder negativ ist Im ersten Falle seien 0,, o die beiden Wurzeln von (19*) und wW=|h,k onh, 9216 | die Normalform. Damit jetzt w*= 1 werde muss 067 = 1, 0=1 werden; es müssen also o, und 0, zwei reelle 2° Einheitswurzeln sein d. h. sie müssen die Werthe + 1, — 1 annehmen Das ist nur mög- lich bei a+0=0 ab—ab= +1 und 2 nimmt den Werth 2 an In der That findet man für jede solche Form 294 Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 538. Vierundfünfzigste Vorlesung 8& 539. w=|h,k ah-+bk, Lbi h — ak die zweite Potenz gleich der Einheit. — Im zweiten Falle kommen wir wie oben zu einer Normalform W | o ouh, h + o,k|, für welche W oih, 201 * h + o{k| wird. Damit W A = w _ Wwird, muss 0, eine (1 — 1)® Einheitswurzel und / = 1 sein. Also kann für 21 >1 nie w = w werden. — Im dritten Falle wird die Normalform äusserlich gleich der ım ersten Falle (ra l h; k 91h; Q2k 13 aber hier haben o, und 0, die conjugirt complexen Werthe a + O a + b' 9 +% V 2 )2—I— (ab’— a’b), a+ b a + b’ DA « Vl 2 ) + @b’ — @D). Damit w* = 1 wird, müssen beide Werthe conjugirt complexe A° Eıin- heitswurzeln sein, a+ O (22 2bl 2n A 2 2 )2—{- (ab'’— a’b) = cos%‘—7K + € sir S d. h. also I @O — OO = IL (21) CL+Z)'=2COS2 Z ’ In der That findet man auch, wenn die Bedingungen (21) erfüllt sind, 2um 2% und cos —” —ö I für 0,, 0, die Werthe cos 23;—75+7‚'sin 2 2 A 2 und also w =1. Man erkennt sofort den inneren Zusammenhang zwis_chen dieser Untersuchung und der gelegentlich der Frage nach den Iterationen einer gebrochenen linearen Funetion angestellten (Vorles. 24; Bd. I). Vierundfünfzigste Vorlesung. Functionengattungen. $ 539. Durch die Untersuchungen der letzten Vorlesungen sind wir zu der Bildung eines wichtigen Begriffes, dem der Gattungen von Funetionen geführt worden, auf welchen wir nunmehr genauer eingehen müssen, "Die lineare Gruppe. Functionengattungen. 295 Es seien %” von einander unabhängige, unbestimmte Grössen 2,, ZZ7 Z gegeben. Wir haben symmetrische Functionen dieser Grössen gebildet und gesehen, dass diese für alle %! Substitutionen der z ungeändert bleiben; diese ”! Substitutionen bilden die sym- metrische Gruppe; jede Function, die für alle diese Substitutionen ihre Form nicht ändert, ist eine symmetrische Funetion. Sämmtliche symmetrische Funetionen wollen wir zu einer Gattung rechnen, der symmetrischen Gattung. Wir haben dann WeiterA ($ 519) eine alternirende Function (1=1,2,---n—1; u=2+1,-.-m) VD =H(£’; — &%.) A, gebildet und gesehen, dass diese für alle geraden Substitutionen ihre diese Substitutionen bildeten die alternirende Form beibehielt; Gruppe; . der Inbegriff aller alternirenden und allgemeiner aller zwei- werthigen Funetionen bildet die alternirende Gattung. In ähnlicher Weise haben wir cyklische Functionen und cyk- lische Gruppen u. s. f. zusammengestellt; wir fassen die Funetionen jedesmal zu einer Gattung zusammen. Wir wollen nun allgemeiner eine beliebige, ganze, rationale Funection von % unabhängigen Elementen Z,, Z ,: Zn (1) ‘p(zl; y Zn) a Va bilden und alle die Substitutionen ins Auge fassen, deren Anwendung auf @ die Form und damit den Werth dieser Function nicht ändert. Sind sz und s zwei solche Substitutionen, so wird, wenn wir das Resultat ihrer Anwendung anf , mit @,, und s bezeichnen, ((p.s"„)s;_ L (‘ps;_)s„ —_ ‘Ps„ Pı>, d. h. die Folgen s.sSı und sıs. gehören auch zu den Substitutionen, die (1) nicht ändern; ihre Gesammtheit bildet eine Gruppe &. Diese Gruppe ordnen wir der Funetion @ zu; wir sagen: die Function &@ gehört zu der Gruppe G und umgekehrt, die Gruppe G gehört zu der Function @. Besteht G aus den r Substitutionen, unter denen natürlich die Einheitssubstitution vorkommt, @2) S 1; Sa S3 Sy , so bilden die y Substitutionen, bei denen s ein beliebiges Element aus (2) selbst bezeichnen soll, (3) Sy Sa 315„‚ S2Sa; 833a7 (a=1}2}...y) gleichfalls die Gruppe G; denn diese Producte kommen sämmtlich Ea 296 Vierundfünfzigste Vorlesung 8 539. ın G vor und sind alle unter einander verschieden. Das Gleiche gilt von der Reihe ) (4) 5a81; 5a32, 5a53; SS (“=1727"'7”) Insbesondere erkennt man, da 1 auch in (3) und in (4) vorkommen muss, dass mit jedem S, auch s;—' in (2) auftritt. Aus dem Vorhergehenden ist es klar, dass zu jeder Funetion eine Substitutionengruppe gehört. Es fragt sich, ob umgekehrt zu jeder irgendwie definirten Gruppe eine Function gefunden werden kann. Durch die Behandlung dieses allgemeinen Problems erledigen wir eine Reihe von‘ Fragen, die. früher jedesmal in Specialfällen behandelt werden mussten. Es wird sich zeigen, dass zu jeder Gruppe unendlich viele, miteinander durch wichtige gemeinsame Eigenschaften verknüpfte Funetionen existiren; diese schliessen wir dann in eine Functionen- gattung zusammen, welche durch die Gruppe als ihre Invariante ein- deutig bestimmt ist. Solche Gattungen (symmetrische, alternirende, cyklische u. s. f.) haben wir schon mehrfach benutzt. Wir wollen zunächst die einfachste Gruppe unseren Betrachtungen zu Grunde legen, nämlich die aus der identischen Substitution 1 allein bestehende Gruppe der Ordnung 1. KEine zugehörige Function v = ; muss daher bei jeder der %! vorhandenen Substitutionen einen anderen Werth annehmen. Daraus folgt, dass @ unter dem Einflusse verschie- dener Substitutionen auch stets verschiedene Werthe erhält. Denn aus der Gleichung Pı > Psa Psg würde folgen q)5a3{9—1 — q)Sßsp>_l d.h. @ bliebe für s,s;1 ungeändert, und es müsste infolge unserer Voraussetzung s,S7!1= 1, d.h. s, =5$, sein. Es hat demnach @, so viele Werthe als es Substitutionen giebt nämlich %!; @ ist eine n!-werthige Funetion; die Funetionen dieser Gattung nehmen da- her soviele Werthe an, als überhaupt möglich sind. Derartige Funetionen lassen sich in mannigfacher Art herstellen. Bedeuten wo, U, u unbestimmte Parameter, so genügt z. B. jedes lineare Aggregat dı = U F U1 81 F Uaß A T Unnn (5) der Forderung; denn wenn ;s, die Umänderung der Funetion , in Pı, = W F Uı Beay A Ua Ba Ar A UmBe hervorruft, wobei die Zq,, Zu. nur eine Umstellung der 2,, 2/’„ bedeuten, dann kann wegen der Unbestimmtheit der w nur dann Yı s Sein, wenn jedes Za, = %x wäre, d. h. wemnn Sx alle Ele- mente z ungeändert liesse. Functionengattungen 297 In ähnlicher Weise folgt, dass auch der Ausdruck Z U z7L (5) zur Gruppe 1 gehört, wenn die w wieder unbestimmte Grössen be- deuten, die sogar posıtıy und ganzzahlig sein dürfen Dn Wir haben hbisher vorausgesetzt, dass die Grössen 2,, %, unbestimmte Grössen seien Wir wollen jetzt annehmen, die z seien fest gegebene Grössen, zwischen denen beliebige numerische Beziehungen statthaben können Es ist nun möglich, in diesem Falle eine n!-werthige dass auch bei der Substitution dieser fest Funetion @, so zu bilden gegebenen Grössen &, &, NS Za Zn die %!-Werthe @ unter einander numerisch verschieden bleiben so lange nicht zwei oder mehrere Werthe &,, &, E, einander gleich werden In diesem letzten Falle ist eine solche Funetion @ (Z,, %, - Z.) natürlich nicht vorhanden; denn wäre z. B. &, = &, dann würde q(&, &,€ 537 En) T (P(Cg, €17 ga; - E&) werden, wie @ auch gewählt wird. Wir schliessen daher den Fall aus, dass numerische Relationen &, — Eg unter den 6& vorkommen Wenn nun alle & unter einander verschieden sind dann sei M as Maximum und m das Minimum der absoluten Beträge der Diffe- renzen zweier 6, ‘ 2 15 2 2 I _C3l; Ig9—gßl; l@n—l C7l'7 wir wählen jetzt eine Constante u, beliebig und die weiteren Con- stanten W, Us, nur den Bedingungen 0> ] 0, | > M [%, |; | 443 | > M (| m ff fa unterworfen Aus einer Gleichung zwischen den beiden linearen Agogregaten UWo + UE F UE A + u„E; U + U1r F UEr A + A UnEr würde dann folgen, wenn &, von &, verschieden wäre Un (& Stn) Z Un —1 (n a + U (;„ él]_) [n | - | S S 1< M - (|a6, | + 16 | A A ] n ]} Nach unseren Festsetzungen ist aber bei verschiedenen &s G, m Widerspruch zu dieser Ungleichung stets }n | - | 6, — &6, | >M ( | + 106 ] 4 - 4 [nl Demgemäss muss C = &. on Aus der resultirenden Gleichung W + U A E m16 = 09 + 152 + A G 2 298 Vierundfünfzigste Vorlesung $ 539. würde dann ebenso En A en u s has auf G = d. h. die beiden einander numerisch gleichen Ausdrücke würden identisch, ==—— un s Sße Zu diesem Satze können wir noch hinzufügen, dass w auf un- endlich viele Arten so gewählt werden kann, dass auch die absoluten Merthe e OC LO DG 2060 sämmtlich unter einander verschieden ausfallen. In der That, setzt man etwa bei allgemeinen complexen Werthen der w und der & = 64 + 72 0, Ur é0(1 + T + Un €a„[ Uln =2)+Q'7/.; dann kommt es nur darauf an, die beiden Constanten Y und q so zu wählen, dass alle Ausdrücke (p—%602—%(Qä—rﬁz==p24—qz%—2md?%—2raqä—öä+—ﬁ (“=1; 27' n!) yvon einander verschieden ausfallen. Das ist, wenn man z. B. p= q und g hinreichend gross annimmt, auf reellem Gebiete stets zu er- reichen, wie man leicht sieht. Da wir dieselben Schlüsse auch auf log &, log &, --- log &, an- wenden können, so folgt, dass sich auch in (5®) die Constanten w so wählen lassen, dass ı, (E,,--- E) nach wie vor %! von einander ver- schiedene Werthe annimmt, falls eben nur die &, &, - Em von ein- ander verschiedene Werthe besitzen. Die hier zu Grunde gelegte Gruppe mit der einzigen Substitu- tion 1 ist gewissermassen der andere Pol zur symmetrischen, welche alle Substitutionen umfasst. Wir wollen sie die Galois’sche Gruppe und die zu ihr gehörigen Funcetionen, deren Existenz wir eben her- geleitet. haben, Galois’sche Functionen nennen. Diese wollen wir zu der Galois’schen Gattung vereinigen. Mit Hülfe solcher %!-werthigen Galois’schen Functionen kann man leicht zu jeder anderen Gruppe G zugehörige Funetionen con- struiren. Besteht &G aus den Substitutionen (2), so bilden wir aus einer %!-werthigen Funetion %y = @, die y Werthe, welche durch jene Substitutionen S,, S, - S, .aus @ hervorgehen * (6) Yı — @, Psa > $—"a 2 Ps,. > und aus ihnen . setzen wir eine symmetrische Funetion, etwa die Potenzsumme zusammen O0 RO — a Functionengattungen 299 in welcher x noch unbestimmt bleiben soll P bleibt für jedes sa von G ungeändert da ja wegen der bei (3) gemachten Bemerkung der Werth — S @ 0 S25 D A (« r) wird Es ıst aber damit ® zu &G gehöre, umgekehrt auch noth- wendig dass D, nur für Substitutionen 6 der vorgelegten Gruppe G& oleich ® werde Um dies zu erreichen treffen wir die folgenden Vorkehrungen Es seien die @,, , 3, nach absteigenden Werthen ihrer absoluten Beträge geordnet, durch %,, X> Xs, dargestellt. Dann lässt sich der Exponent x so wählen, dass die Ungleichungen D Aa I+\%1I+ gelten Ist dies geschehen dann kann eine Gleichung mit willkür- lichen Indices «, ß, ; 6, 65 ME K e e nur dann stattfinden wenn alle Glieder der einen Seite auch auf der anderen Seite vorkommen Wenden wir dies auf D, = ®,| an, dann folgt bei dieser. Wahl des Exponenten, dass 6 die Werthe @,, CO s unter einander umwandelt und also zu G gehört; denn @ ist ja so eingerichtet dass es n! Werthe hat und dass jedem Werthe eine Substitution entspricht deren Anwendung auf @ gerade diesen Werth hervorruft. — Für die Rechnung stellt es sich bequemer, eine Function 21f__1[’1+’4’5 +d%+ _l_ "/"s mit Hülfe von (5%*) zu bilden Auch hier kann man auf unendlich viele Arten so vorgehen, dass W für alle und nur für die Substitu- tionen der Gruppe G ungeändert bleibt. KEine andere Methode, Funetionen zu construiren, die zu G gehören, ist die folgende. Nachdem wir eine n“!- werthige lineare Funetion (5) = 0 - W + F Un Zn hergestellt haben bilden wir mit einer Unbestimmten w das Produet IK 90s;) ÜL ) S, von G& ungeändert. Dies bleibt für alle Substitutionen s,, $,, Wenn um%kelnb für irgend eine Substitution 6 n WA;(T H(u — (p„ 300 Vierundfünfzigste Vorlesung $ 539—540. ist, dann folgt wegen der Unbestimmtheit des u, dass die linearen Factoren beider Seiten mit einander übereinstimmen müssen. Um dies einzusehen reicht es aus, w gleich einem Ps,o Zzu setzen. Insbesondere muss daher wird (w— dgs) unter den (uw— g;,) vorkommen. Do gleich einem @; sein. Weil nun @ als %!-werthige Function ange- nommen wurde, so ist dies nur möglich, wenn 6 =5; ist, d. h. wenn 6 selbst der Gruppe &@ angehört. Von dieser Construction werden wir in der siebenundfünfzigsten Vorlesung wichtige Vortheile ziehen können. Endlich ist noch zu erwähnen, dass die gemeinsamen Substitu- Denn sind tionen zweier Gruppen. selbst wieder eine Gruppe bilden. z. B. die beiden Gruppen @ und &, gegeben, und gehört zur ersten (z,, : ) und zur zweiten &%(z,,:--), dann wird die Function (;D(Z„ E ) + u1p(z„ )s in der u eine Unbestimmte bedeutet, nur für eine Substitution unge- ändert bleiben, welche sowohl @ als & ungeändert lässt, also zu G& und zu G, gehört. Umgekehrt lässt jede zu G und zu G,‚ gehörige Substitution © + ww ungeändert. Alle gemeinsamen Substitutionen bilden folglich die zu @ + uww% gehörige Gruppe. Für die folgenden Betrachtungen wollen wir nun wieder die z als unbestimmte Grössen voraussetzen, so lange das Gegentheil nicht aus- drücklich bemerkt wird. $ 540. Durch die eben besprochene Methode, Funetionen her- zustellen, die einer gewissen Gruppe G von Substitutionen angehören, haben wir die Existenz der zugehörigen Functionengattung nach- gewiesen. Ist also eine Gruppe G gegeben, so kann man beliebig viele Funetionen construiren, die für die Substitutionen von &G und nur für diese ungeändert bleiben (auch wenn für die z feste, von ein- ander verschiedene, sonst aber ganz willkürliche Werthe gegeben sind). Und wenn umgekehrt eine Funetion der % Grössen z gegeben ist, dann kann man durch Untersuchung ‚des Einflusses, welchen jede der n! Substitutionen auf die Funetion ausübt, die Gruppe bestimmen, die zu dieser Funetion gehört. Es ist leicht einzusehen, dass es nur eine endliche Anzahl von Gattungen giebt. Dazu reicht es aus, zu bedenken, dass die %! Sub- stitutionen nur eine endliche Anzahl von Gruppen zulassen. Die Zugehörigkeit zu derselben Gruppe von Substitutionen ent- scheidet darüber, ob Funetionen derselben Gattung angehören. Ks giebt aber weiter noch andere Eigenthümlichkeiten algebraischer Natur, 301 Functionengattungen. durch welche Funetionen derselben Gattung mit einander verknüpft sind. Zu diesen wenden wir uns jetzt. I) Ist G mit den Substitutionen (2) die vorgelegte Gruppe, ! und bezeichnen wir —=0, S0 ist jede zu @4 gehörige Funec- tion %, die Wurzel einer Gleichung o“ Grades, deren Coeffi- cienten in den z symmetrisch sind. Bei symmetrischen Funetionen ist. 7 =n”! und 0=1, so dass hier der Satz selbstverständlich wird. Ist , nicht symmetrisch, so giebt es ausser den zu G gehörigen Substitutionen (2) s = 1 Sa, S3 Sr noch eine neue 6,, welche @, in einen anderen Werth @,, = @, um- wandelt. Die Substitutionen, welche aus rechtsseitiger Multiplication von (2) mit 6, entstehen ‘ nämlich (2°) Ö3, Sa02, S302, S 02, sind ($ 508, E) sämmtlich unter einander und von (2) verschieden; sie rufen sämmtlich den gleichen Werth &, hervor, da ja Psp0o (‘P.»‘„)(fg — (‘Pi)o‘2 RE 2 ist Denn aus Und sie sind auch die einzigen dieser Eigenschaft. Pı = o folgt Oroz!= @; also gehört to;* zu (2), d. h. es wird sein O T =— 5,0. = %, Giebt es ausser (2) und (2*) andere Substitutionen der n Ele- mente 2, ist also %!> 2r7, so sei 6, eine solche Substitution; sie ruft einen von %, und &, verschiedenen Werth @,, = @, hervor. Wir be- trachten nun die Substitutionen, die ähnlich wie (2°) gebildet sind, (2”) O3, S03 S303, Sr 03 und können von ihnen die entsprechenden Eigenschaften wie von @) nachweisen: sie sind unter sich und von (2) und (2*) verschieden; sie wandeln sämmtlich % in @, um; und nur sie haben diese Wirkung. In dieser Art können wir fortgehen bis zu einem Funetionen- werthe %, und einer Substitutionenreihe, mit welcher das Schema (2), (2:).) S (2b) x abschliesst, (2°) Go, Sa00o, S300, Sr(7<‚. Die Reihen (2), (2*), (2”), - .. (2°) enthalten jetzt sämmtliche %! Sub- stitutionen, sodass also r.o0=n! ist. , ist eine o-werthige Function; die Anzahl der Werthe einer Funetion %, ist ein Theiler von n!. 302 Vierundfünfzigste Vorlesung $ 540. Die Anordnung der %! Substitutionen in die Reihen (2), (2°), .. - ist von der Wahl der 6, 6;, 6, unabhängig. Denn nimmt man z. B. statt o„ ein s,6x, Welches der gleichen Zeile wie o„ angehört 7 dann wird der Complex (SZ 66‘) » S3 (Sx 601) , S3 (8x 6a) DU bis auf die Reihenfolge mit dem durch o„ hervorgerufenen 6€(7 S;1601; 83606; übereinstimmen, da der Complex SA 828„, 8382; SS ? übereinstimmt (vgl. Formel (3) $ 539). Ferner ist diese Anordnung von der Wahl der zur gegebenen Gruppe gehörigen Funection @ unabhängig. Denn gehört auch X (21, < En) = %1 zu (2), dann wird 6, die Function % in ein % überführen, wobei % = %, ist. Alle (2*) thun dasselbe, und auch nur sie; u.s. f. Hieraus folgt, dass die Werthe @, und y,, ebenso @, und Xa sich einander derart zuordnen, dass jede Substitution der sym- metrischen Gi'upp@ gleichzeitig @, in g und %, In %g umändert. Nach $ 105, Bd. I ist jede symmetrische Funetion S(@u y ‘PQ) aller Werthe von @ eine symmetrische Funetion der Z,, %, An und wenn daher & eine unbestimmte Grösse bedeutet, dann wird der Ausdruck (7) (t_‘l’1>(t—%) (L‘—*%‚) Z — Ci07t A OT Z 000 Al Oe eine ganze Funetion von %, deren Coeffieienten symmetrische Fune- tionen der z sind. Die Gleichung (° e — O te-1 + CO te—? —... + C =D0)=0 hat daher die o Werthe @,, @,::: @o zu Wurzeln. Dies ist die Gleichung o*°" Grades, von welcher in dem Theorem zu Anfang dieses Paragraphen die Rede war. In 8& 573 werden wir beweisen, dass (@) im Rationalitätsbereiche der symmetrischen Functionen irreductibel ist. Die verschiedenen Werthe der o-werthigen Funetion @ nennen wir einander conjuge Werthe. — II) Gehören @ und % derselben Gattung an, dann ist jede dieser Funetionen rational durch die andere ausdrückbar mit Coeffieienten, die in den z symmetrisch sind, und um- gekehrt. In der That gehört die rationale gebrochene Funetion /1(511 n Zl 6 — Qr L_q’1( 17 %n) Functionengattungen 303 gleichfalls zu der Gattung von @, und %,, und sie nımmt für o,= 1 ? O, O3, 6 die Werthe Xı X2 %o — Q — @ t—q)e an Daher wird die rationale ganze Funcetion .yon € welche unter Benutzung von (7*) gebildet wird, Xı + ( —@ t—w )a><t> = V zugleich eine ganze symmetrische Funetion der 2,, %, Zn Aus dieser Gleichung folgt dann für &= @,, wie schon häufig früher vezeigt wurde P (D(& x)) (8) K (21) 22 77L) e B (‘P1 1> A (9) D' (g(@,, 21)) = (‘P1 ) ( (P5) ( ‘Py) Man kann die Form (8) so umgestalten, dass der Nenner frei von @, und in den z symmetrisch wird; dafür tritt dann eine Beziehung (8°) Xı (& %)= DICHEE )) 4 D ? (9° 4 = ] [@—9. C 9_17 l“"—“'1+1 ) auf, d. h. es erscheint die Diseriminante von (7) als Nenner des Aus- drucks (8°). Da %,, %, o von einander verschieden sind, so kann (8) oder (8%) nicht illusorisch werden Hierdurch ist der erste Theil des Satzes bewiesen Besteht ferner ausser (8) noch‘ umgekehrt eine Gleichun der gemäss @, durch %, ausgedrückt wird (8*) 931(/1; 77l \A(%1(”17 OS U ?)) M' Ar @5 ‚)7 so folgt aus (8), dass %, für alle Substitutionen ungeändert bleibt, Welche %, nicht ändern, und aus (8*), dass @, für alle Sub&t1tut1onen ungeändert bleibt, die %, nicht ändern Folglich gehören @, und %, zur selben Gattun<r Der obige Lehrsatz giebt also auch eine rein arithmetische Defini- tion der I‘unct10ne1wattun%n Alle Funetionen, die sich gegen- seitig rational durch einander ausdrücken lassen miıt Coeff1— c1enten welche in den z symmetrisch sind, bilden eine Gattunc Aus (8°) und (7) geht hervor, dass d1e%e Darstellung in der F01m einer ganzen Funetion gegeben Werden kann, deren Coeffi- cienten gebrochene symmetrische Funetionen mit dem N8111181 4, sind; 304 Vierundfünfzigste Vorlesung $ 540. die ganze Funetion braucht dabei nur bis zum Grade @ _ 1) auf- zusteigen, da höhere Potenzen von @ sich mit Hülfe von (7) ent- fernen lassen. Der abgeleitete wichtige, durch (8) oder (8°) ausgedrückte Satz stammt von Lagrange*). Er ist unter Wahrung des obigen Beweis- ganges einer weiteren Ausdehnung fähig, zu der wir zunächst übergehen. III) Wenn %(2,, : Z») eine Funetion bedeutet, die bei der An- wendung von &@ ungeändert bleibt, dann braucht sie nicht nothwendig zu der durch G& charakterisirten Gattung zu gehören; denn es ist mög- In lich, dass sıe noch für andere Substitutionen ungeändert bleibt. diesem Falle sagen wir, % gehöre einer Gattung an, die unter der Gattung G& steht, oder kürzer: y selbst steht unter der Gattung G& (vgl. $ 521). Es sei dies die durch G, charakterisirte Gattung, deren Ordnung wir durch 7, bezeichnen wollen. Dann gehört jede Sub- stitution on CZ GG s erne Suberuppe odez en Theiler von G, und G ist in G, enthalten, wenn die Gat- tung G, unter der Gattung G& steht. So steht jede Gattung unter der Galois’schen ($ 539); und umgekehrt steht die symmetrische Gattung unter jeder anderen. Ist nun 6, eine der zur G, gehörigen Substitutionen, die nicht in G vorkommen, dann: wird 6, die Funetion %, ungeändert lassen, dagegen &, in ein %, umwandeln. Man erkennt nun genau wie bei den obigen Schlüssen, dass alle Substitutionen (2*) gleichfalls , in @, umwandeln, und dass dies die einzigen dieser Eigenschaft sind. Weiter kann man, wenn 7, >2r ist, ebenso zu (2”) übergehen u.s. f. KEs wiederholen sich unsere früheren Schlüsse, und wir kommen zu folgenden Resultaten: Ist die Gruppe G von der Ordnung r ein Theiler der Gruppe G, von der Ordnung 7, und v,=r7g, dann hat jede zu G gehörige Function @ für die Substitutionen von G, genau qg Werthe, %,, %, Pa Die r, Substitutionen von G, vertheilen sich in g Zeilen von je 7 Substitutionen Sy s=1, S3 ? 53 2 S10 ? S2023 S3 09 , S, 02 (10) S1 03 Z 3263; S3 03 , S, 03 S1009 ’ S209, 835q‚ S69 derart, dass die Elemente einer jeden Zeile , in denselben Werth umwandeln, und dass insbesondere die erste Zeile k BA G * M6m. de Berl. 1771 = Oeuvres I, p. 359 und p. 374 ff 305 Funetionengattungen. alle die Substitutionen enthält, welche @, nicht ändern. Das Schema (10) ist ein Theil des Schemas (2). Auch hier ist %, rational durch @, darstellbar. Das er- giebt sich genau wie oben der entsprechende Satz; denn in dem Be- weise bleibt Alles wie früher, da nur die für den Satz unwesentliche E Y= Z und Aenderung der Voraussetzungen eintritt, dass , ebenso %a+1= * = Y2q U.8. W. wird. Unsere Ueberlegungen zeigen auch: Ist eine Funetion X1 rational durch eine andere @, darstellbar, dann ist der Grad der irreductiblen Gleichung, welcher %, genügt, ein Theiler des Grades derjenigen irreductiblen Gleichung, welcher g@, n! — © genügt. Denn die Anzahl der Werthe von %, ist %= T q q Handelt es sich hingegen umgekehrt darum, eine Function @ der enthaltenden Gattung G durch eine Function % der enthal- tenen Gattung G, auszudrücken, so kommen wir auf das durch (7) gelöste Problem zurück. Wir setzen wieder die Ordnung von & gleich 7, die von G, gleich 7, und nehmen 7, = 7g an. Dann rufen die Substitutionen von G, aus @= @, die q Werthe w@,, %, A @o hervor; ihre symmetrischen Funectionen bleiben für G, ungeändert und Jedenfalls gehören deshalb zur Gattung G, oder stehen unter ihr. lassen sie sich also rational durch %, mit Coefficienten ausdrücken, welche in den z symmetrisch sind. Setzen wır demgemäss Pı + ® A ° 99 A O = A, (761) ’ y O dann wird, wenn wir € als Unbekannte einführen, (0) 0 — Ala A Aa — o E Al z) = Bl = 0 die gesuchte Gleichung werden, deren Wurzeln %,, %, - @®2 Sind. Die Irreductibilität dieser Gleichung wird in $ 573 bewiesen werden. Bei den Ueberlegungen, die wir in diesem Paragraphen angestellt haben, tritt also die Gattung G, an der Stelle der ım vorigen Para- graphen behandelten Gattung der symmetrischen Funetionen auf, und Das insofern ist (7”) als Verallgemeinerung von (7) zu betrachten. Schema (10) ist ein Theil des durch (2), (2*), --- (2°) gegebenen‘; umgekehrt ist das Polynom von (7%) (g—gı) — w) : (D — Pa) ein Theiler des zu (7) gehörigen Polynoms, d. h. ®,(t; y,) ist' ein Divisor von S(*). Es ist r.o=7,:0,, und da r, ein Multiplum von v ist, so wird o das gleiche Multiplum von 0,. Netto, Algebra. II, 20 306 Vierundfünfzigste Vorlesung $ 541. 8& 541. Die o Wurzeln von (7*) sind die verschiedenen Werthe ı, Pa , Po ( 7=)), welche 9 = @, unter dem Einflusse sämmtlicher Substitutionen zwischen den 2,, Z. annehmen kann. Wir haben sie bereits oben als ein- ander conjuge Werthe bezeichnet. Jedem der conjugen Werthe Pı, Pay “ o entspricht eine Zeile von Substitutionen des Schemas (2), (2%), Diese bilden aber mit Ausnahme derjenigen der ersten Zeile G keine Gruppen, wie ja schon daraus hervorgeht, dass keins der übrigen Systeme die Kinheit enthält. Wir werden deshalb bei ihrer Bezeichnung auf die Benutzung des Wortes „Gruppe“ verzichten müssen und wollen sie als die der Gruppe G conjugen Complexe oder kurz als conjuge Complexe bezeichnen, und schreiben in ver- ständlicher Abkürzung (11) G; G6; 76;; G 6o. Wir können diesen Begriff nach der Richtung hin erweitern, dass wir auch die Systeme (12) G; 6G; 63G; G, welche aus einer Anordnung (4) entspringen, als conjuge Complexe bezeichnen, trotzdem sie mit der Ueberführung einer Funetion in ihre conjugen Werthe im Allgemeinen nichts zu thun haben *). Durch die conjugen Werthe %,, %, - @ Wwerden conjuge Gattungen charakterisirt. Da %, durch Verwendung von 6, auf &; entsteht, so entsteht die zu %, gehörige conjuge Gruppe &, dadurch aus G = G, dass man auch auf alle Elemente der als Cyklen ge- schriebenen Substitutionen von G, die gleiche Substitution 6, in An- wendung bringt. Ist also etwa _ eine Substitution von G und die transformirende Substitution O 6)= 2 &« ( Zka ) dann geht daraus für G, die Substitution hervor % [ O D ( Üg ) Das gleiche Resultat ergiebt sich nun aber für die Composition E SN OO E * Herr H. Weber gebraucht die Bezeichnung „Nebengruppen“. 307 Functionengattungen. Zr &X Z &« &“ Zr a& Z %o =—> —> Z Z Z in ( Z &« ı Z z &« ı Zr u ) ( &« ı O ı A L } wodurch W‘ir demnach erkennen, dass G, aus (13) 66 = 1, 6571 5,0,, 6,718,6,, 63150 Zu besteht und kurz durch G, = 6571 G-6, bezeichnet werden kann. Pı> Pa P, Po gehören demgemäss bezw. die einander conjugen Gruppen G C 0a 0‘Q_1G69 Die Operation, welche von s, zu 67!s,6 oder von einer Gruppe G zu 607!1G-6 führt, wollen wir eine Transformatiorm durch 6 nennen. Transformirte Substitutionen und transformirte Gruppen sind einander ähnlich, d.h. sie unterscheiden sich von einander lediglich durch die Bezeichnung der eingehenden Elemente z2. Ebenso sind die einander conjugen Funetionen einander ähnlich. Wir wollen diese Begriffe auf unsere einfachsten Gattungen an- wenden. Für die symmetrische Gattung ist > =n!, o= 1; hier giebt es keine conjugen Gattungen. Ist ferner @ eine zweiwerthige oder alternirende Funetion, so wird ($ 521) Pil — So+ SIVD7 Or So_ 81V5; wobei D die Diseriminante der Grössen %,, %, Z„ sein soll, und So, S, symmetrische Funectionen bedeuten. Ein Blick auf die Form von %, und von @, zeigt, dass @, und %, zu derselben Gruppe, der alternirenden, gehören. Das Gleiche ergiebt sich durch die obigen KEr- wägungen. Denn wenn G& die Gruppe aller geraden Substitutionen ($ 520) und 6 eine Transposition bedeutet, dann stellt auch 67!G 6 nur gerade Substitutionen dar. Die beiden conjugen Gattungen von @, und von , gehören also derselben Gruppe an, d. h. sie fallen ZzZUusammen. Am anderen Ende der Reihe der Substitutionengruppen treten gleiche Verhältnisse ein. Ist @, eine Galois’sche Function, so ist die zugehörige Gruppe gleich 1; jede hieraus transformirte Gruppe ist daher auch gleich 1, und so gehören alle conjugen Werthe derselben Gruppe an. Folglich ist von den conjugen Werthen einer Galois’schen Funetion jeder als rationale, ganze Funetion jeder anderen darstellbar, wobei die Coefficienten symmetrische Funetionen der Elemente z werden. 20° 308 Vierundfünfzigste Voflesung $ 541—542. Fünfundfünfzigste Vorlesung $ 543. Ja, weil jede Gattung unter der Galois’schen Gattung steht, so kann überhaupt eine jede ganze Function der z auf diese Weise ausgedrückt werden. Wir wollen hiervon sofort einige Anwendungen machen. Ist &@ eine Funetion, die zur erweiterten cyklischen Gruppe ($ 524) gehört, und ist Za ,m,...a, €n beliebiges ihrer Elemente, so wird X = Sayyd , ay T WO(21,1,...) ) zur Galoıs’schen Gattung gehören; denn y bleibt bei unbestimmtem w nur ungeändert, wenn Zg,,...«, UNnd @ ungeändert bleibt; es giebt aber nur die eine Substitution 1, welche zur cyklischen Gruppe ge- hört und ein Element nicht umstellt. Folglich gehört % zur Gruppe 1. Demgemäss kann jedes %, ,,,...o, rational durch , d. h. durch 20 ,@,...a, dargestellt werden, derart dass die Coefficienten cyklische Functionen der Elemente sind. — Bedeutet ferner @ eine Funection, die zur metacyklischen Gruppe gehört ($ 534), und sind z,, % zwei beliebige ihrer Elemente, so wird % = Uıa F U % + WO(2,, 2p) zur Galois’schen Gattung gehören, da nach $ 534 nur die Einheits- substitution der metacyklischen Gruppe mehr als ein Element unge- ändert lässt. Demgemäss kann jedes z, rational durch y, d. h. durch 24 und z, dargestellt werden, derart dass die Coefficienten metacyklische Funectionen werden, oder: Jede, Wurzel einer metacyklischen Gleichung kann als rationale ganze Function zweier belie- bigen anderen Wurzeln dargestellt werden, so dass diese Function Coefficienten besitzt, welche zur metacyklischen Gruppe gehören, und also rational bekannt sind. $ 542. Im vorigen Paragraphen haben wir den Begriff der Trans- formation einer Substitution oder einer Gruppe durch eine Substitution 6 eingeführt. 671s6 heisst die Transformirte oder die Conjuge von S dunch(o: Dann ist s die Transformirte von 67!s6 durch 671 Transformirte oder conjuge Substitutionen sind einander ähnlich. Transformiren wir alle Substitutionen s, einer Gruppe durch dieselbe Substitution 6, so bilden die Transformirten wieder eine Gruppe, da man hat: (@-78.0) 607 0)=07"@)6 Ebenso leicht beweist man, dass alle überhaupt vorhandenen oder auch alle ’einer Gruppe angehörigen Substitutionen 6’, 6”, - ? welche eine gegebene Substitution s in sich selbst transformiren, für sich eine Gruppe biılden. — Functionengattungen. Gattungseigenschaften. 309 Es sei nun G& eine beliebige Gruppe, s, eins ihrer Elemente und G' derjenige Theiler von &G, welcher s, in sich selbst transformirt. Wenn wir (8 514) G/==[1, , $3, - Sm] Setzen, so wird s-1s s == , sein. Ist hingegen &4 eine nıcht in G vorkommende Substitution von G, so wird 67!s, 4 =+ , sein; wir setzen diese Transformirte gleich s,; dann werden alle s„% dieselbe Conjuge s, von s, hervor- rufen und nur sie. Denn es ist Ja (Sat) * 8ı (Sabı) = W HS 615) %. = B7 Sh = 85 und hätte man umgekehrt für irgend eine Substitution o von G die Relation 07!S,0 = S, , dann wäre 4S =H0O O = @ Cr d. h. es gehörte wt;-* zu G, und man hätte O ı = %, O =— S;xig. Hat &G mehr Substitutionen als die 2m durch sı und sib re- präsentirten, so führen dieselben Schlüsse weiter auf eine neue Conjuge S; von S, und auf neue m Substitutionen s,t3, u. s. f. Daraus ergiebt sich: Die Anzahl w der zu s, conjugen Substitutionen aus G, die durch Transformation mit allen Substitutionen von G& entstehen, beträgt einen Theiler der Ordnung der Gruppe G; und die Anzahl m der Sustitutionen, die s, in sich selbst transformiren, den conjugen Theiler der Ordnung von G, so dass mw= r ist. Fünfundfünfzigste Vorlesung. Gattungseigenschaften. $ 543. Im vorletzten Paragfaphen der vorigen Vorlesung haben wir bei der symmetrischen, bei der alternirenden und bei der Galois’schen Gattung bemerkt, dass jedesmal die conjugen Gattungen zusammen- fielen oder genauer ausgedrückt, dass es in diesen Fällen gar keine conjugen Gattungen giebt. Wir wollen das hieraus sich ergebende Problem allgemein behandeln. Gehört 9 = @, zur Gruppe G, so gehören die conjugen Werthe von, @, nämlich D Pır P, D3 , Po 310 Fünfundfünfzigste Vorlesung $ 543. zu den Gruppen, die &@ ähnlich sind und durch Transformation aus G & entstehen, (2) G , 0Ga 6(71G6@ Giebt es nun ausser der in allen Gruppen (2) v'01'kommenden Substitution 1 noch andere Substitutionen, die gleichfalls zu allen 67'Go, gehören? Die Gesammtheit aller vorhandenen bildet jedenfalls wieder eine Gruppe H, da mit s’ und s” auch s’s” allen Gruppen angehört. H besitzt die charakteristische Eigenschaft, dass es durch jede Sub- stitution der Elemente z in sich selbst transformirt wird. Denn die Gesammtheit der Gruppen (2) stellt alle Transformirten von G dar und bleibt daher ungeändert, wenn sie durch irgend ein s transformirt wird; und dies muss mit der Gruppe HM, die in allen Gruppen (2) enthalten ist, natürlich auch stattfinden. Die eben aufgestellte, scheinbar allgemeinere Frage ist jetzt also in die umgewandelt, ob es eine Gruppe giebt, die gleich allen ihren conjugen Gruppen ist, d. h. genau in die Frage, welche unseren Aus- gangspunkt bildete. Enthält H irgend eine Substitution, so enthält es auch alle, welche dieser Substitution ähnlich sind; denn diese lassen sich ja aus jener durch eine Transformation herleiten. Wir betrachten zuvörderst diejenigen Substitutionen von H, die nächst der Einheit möglichst wenige Elemente umsetzen. Da H jeder Transposition gegenüber iınvarilant bleibt, so gilt dasselbe auch dem Complexe Hy dieser Substitutionen von möglichst wenigen Elementen gegenüber, d. h. H, enthält alle einander ähnlichen. Keine derselben kann nun einen Cyklus von mehr als drei Elementen umfassen. Denn wäre etwa eine Substitution mit mehr als drei Elementen eines Cyklus 51 = ( 8324 in H, enthalten, so käme auch für 6 = (2,%%3) die Transformirte vor (‚‘_1315 — (32233154 4 ) 00 = S so dass die Aenderung zwischen s, und s, lediglich in der Umstellung von Z,, % und z besteht; dann käme aber in H auch das Product der beiden Substitutionen s, und s;-! 5155 * = (%) (& vor } und dies hätte, ohne =1 zu werden, sicher weniger KElemente als s,, was der Annahme widerspricht, dass s, möglichst wenige Ele- mente ın sich fassen soll, Gattungseigenschaften. 311 Ebensowenig kann eine Substitution von mehr als drei Elementen auftreten, in welcher ein Cyklus dritter Ordnung vorkommt. Denn aus 5 = @, %8s) (B ) und 015160 = (: ) Z für 6 = (Z,%2,) folgt durch Multiplication, ähnlich wie soeben, dass ın H auch das Produect S15 = (@s) (a ) enthalten ist, also eine Substitution, welche gegen die Annahme weniger Elemente hat als s,. Kommt daher überhaupt ein Cykel dritter Ordnung in einer der von uns betrachteten Substitutionen vor, so bildet er für sich selbst schon die Substitution; H enthält dann alle Transformirte dieses einen und deswegen ($ 519) die alternirende Gruppe. Es ist noch der Fall zu betrachten, dass jede Substitution von H, lediglich aus Cyklen zweiter Ordnung besteht. Ist die Zahl ” der z, grösser als 4, so folgt aus dem Auftreten der beiden Substitutionen 5 = (2%) (02) 4, 957180 = (2,%)(24%) : = 5 für 0 = (2,%,2;) die Existenz von s,-s, in H, und dies hätte, ohne = 1 zu sein, weniger als „ Elemente als s,, da ja in 51 52 = (@,) (%) (3 2 F O OD höchstens (n — 1) Elemente vorhanden sind. Es ist also nur möglich, dass die gesuchten Substitutionen sich als Transpositionen ausweisen ’ und dann ist H nach $ 522 die symmetrische Gruppe. Ist dagegen n= 4, so 'giebt es für diesen Fall wirklich eine solche Gruppe, nämlich die aus den vier Substitutionen (3) 1, (& %)(2324), (2123) (% 24), (8,24) (22@3) bestehende, welche sich bei jeder Transposition reproducirt. Diese ist daher als eine Ausnahmegruppe zu bezeichnen. Als eine zu ihr ge- hörige Function führen wir die sechswerthige Funetion U = (8,% F %84) (212 + 224) an. Wir haben als erstes Resultat das folgende erlangt: Ausser der symmetrischen und der alternirenden Gruppe von beliebig vielen Elementen giebt es allein die Gruppe (3) von vier Elementen, welche durch Transformation mit jeder belie- bigen Substitution ihrer Elemente ungeändert bleibt. Nur in diesen Fällen gehören alle conjugen Gattungen derselben 312 Fünfundfünfzigste Vorlesung $ 543—544, Gruppe an, falls die Gruppe nicht allein aus der identischen Substitution 1 besteht. Von hier aus ist es leicht, zur allgemeinen Frage wieder zurück- zukehren. Da H in G enthalten ist, so kann G& auch nur alternirend oder symmetrisch sein, abgesehen von der besonders zu behandelnden Gruppe (3). Für diese kommt aber ausser der alternirenden oder der symmetrischen nur noch eine Gruppe der Ordnung 8 in Frage. Eine solche wird in der That durch das folgende G gegeben, dessen Trans- formirte ebenfalls angeführt werden sollen: (4) 1, (2,%)(@&2ı), (2123) (2224), (2,24) (2223) , (Z,%838u), (Z183), (21%483%), (2224)- (G) ET , D @ale2), Ca)cez)ı @ 21) (2%23), (657' G 6) (2, %0 8483), (818ı), (%83), 2183 248)- 0 = (2324) C E L 0 @ C) (21 23 %8a), (8,%4%83), (Z1%a), (232u)- Ö3 == (2223) Als einfachste zugehörige Funetionen führen wir die folgenden conjugen an, deren Wichtigkeit schon bei der Lösung der @Glei- chungen vierten Grades heraustrat: Ö5) Oı = 4183 F %4, D — 8184 F %, O3 = Z1% F W84- Ausser den symmetrischen, den alternirenden und den Functionen der Gattungen (3) und (4) giebt es keine anderen, deren conjuge Werthe sämmtlich für eine und dieselbe Sub- stitution ungeändert bleiben. Dieser Satz bleibt auch dann richtig, wenn man nicht sämmtliche conjugen Werthe der Function betrachtet, sondern nur die durch Transformationen mit geraden Substitutionen hervorgerufenen. Der Beweis ıst bereits dadurch geführt, dass die oben benutzten transformirenden Substitutionen 6 sämmtlich die Form (2„282,) haben und also der alternirenden Gruppe angehören. $ 544. Hieraus lässt sich ein weiterer interessanter Satz ableiten. Alternirende Funetionen, welche von der Form sind q7=S'VZ; haben die Eigenschaft, selbst zweiwerthig zu sein, während eine Potenz von ihnen, die zweite nämlich, unter der Gattung steht und ein- werthig wird. Wir wollen die Frage erörtern: Welche mehr- dass eine werthigen Functionen haben die KEigenschaft, ihrer Potenzen einwerthig wird? Gattungseigenschaften. 313 dann unterscheiden sich die conjugen Ist @* = S einwerthig Werthe von @ nur durch x Einheitswurzeln w, w°*, als Factoren 2 al da g = S* wird. Diese conjugen Werthe @, w“g, w?g,--- gehören deshalb sämmtlich zu derselben Gruppe; denn die constanten Factoren sind dabei einflusslos, weil bei einer Substitution gleich- @“*, P ? zeitig o und w“g ungeändert bleiben. Damit sind wir auf die Unter- suchungen des vorigen Paragraphen zurückgeführt worden. Ausser den ein- und den zweiwerthigen Funetionen können daheı höchstens noch solche Functionen von vier Variablen in Frage kommen ’ die zur Gruppe (3) gehören. Da (3) von der Ordnung 4 ist, so müsste es eine sechswerthige Function geben, deren sechste Potenz, und also müsste es, wenn man ihr Quadrat betrachtet, eine dreiwerthige Func- tion geben, deren dritte Potenz symmetrisch wird. Das könnte nur stattfinden, wenn eine Gruppe von vier Elementen von der Ordnung 8 vorhanden wäre, welche mit ihren conjugen Gruppen übereinstimmt; und da dies nach dem vorigen Paragraphen nicht der Fall ist, so giebt es keine derartige Funetion. Damit ist bewiesen: Es giebt ausser den alternirenden Functionen S.VA keine anderen mehrwerthigen Functionen, von denen eine Potenz ein- werthig wird. Giebt es nun vielleicht Functionen, welche mehr als zweiwel‘£hig sind und von denen eine Potenz zweiwerthig ist? Wir machen die- selben Schlüsse. Ist * zweiwerthig, so bleibt es für alle Substitu- tionen der alternirenden Gruppe ungeändert ($ 521). Unter dem Ein- flusse der geraden Substitutionen kann also g nur Werthe w“g, wg annehmen, bei denen @ eine x° Einheitswurzel bedeutet. Alle diese Werthe gehören nun zu derselben Gruppe; d. h. die Gruppe von @ ändert sich unter dem KEinflusse der Transformation durch irgend welche gerade Substitution nicht. Nach der Schlussbemerkung des vorigen Paragraphen kann also @, da es weder symmetrisch noch alternirend ist, nur zur Ausnahmegruppe (3) gehören, falls es über- haupt existirt; und nur eine zu (3) gehörige sechswerthige Function kann eine zweiwerthige dritte Potenz haben. In der That giebt es auch solche. Bedeutet w eine primitive dritte Einheitswurzel, so bilden wir aus den Functionen (5) die Summe —— Yr (2,% 4 2321) + @® (2183 { 2224) 4 @* (212 + 2283) 5 wenden wir auf sie die 6 .4 Substitutionen zwischen 2,, 2, 23 Zu an, dann entstehen die fünf zu ı, conjugen Functionen 314 Fünfundfünfzigste Vorlesung $ 544—545. W, = (2,8 + 284) + 0(2,24 F 2%) + * (2,2 + 2324) , U = (8, %41 + %83) F @(91% F 2384) + 0*(2,23 + 2%4), ı, = (81% 4 2324) + 0 (8, %4 F %88) + 0? (2, 23 + %24), s = (8,24 - %83) 4 @ (08 F 2984) + 0° (2,% 4 2324) , e = (0,8 4 %8ı) H 6 (2,% + 2324) A @* (2,21 F %8s)- Hier ist nun 0ı = Ol ‘l721‚1133 1/J4 S CO'(/}5 _ w21/}67 so dass wir für die dritten Potenzen der sechs ı, wie behauptet wurde, nur zwei verschiedene Werthe erhalten Y= 0 = %; Wa $ 545. Wir werden durch diese Untersuchungen zu einer allge- meineren Frage geführt: Wann wird die p®” Potenz einer p-o- werthigen Function @, die zur Gattung H gehört, eine o-werthige Funetion, die zur Gattung G gehört? Jede Substitution, welche @ nicht ändert, d. h. zur Gruppe H gehört, lässt auch g? ungeändert und gehört daher auch zur Gruppe &. Es steht daher g? unter der Gattung von @, und G& ist ein Viel- faches von H. Unsere Frage ist demnach aus folgendem Grunde wichtig. Nach 8 540 kann man allgemein den Uebergang von irgend einer Funetion % der Gattung G zu irgend einer Funetion % der Gattung H durch die Auflösung einer Gleichung p Grades be- wirken, deren Coefficienten in % rational sind. Wenn man nun ın unserem Falle zunächst von % zu ” geht, was auf rationalem Wege geschehen kann, und ebenso von % zu @, dann erkennt man, dass die Gleichung p“ Grades (7”) $ 540 zwischen x und & durch eine bino- mische Gleichung p“ Grades ersetzt werden kann. Dadurch ist dem- nach das Problem ausserordentlich vereinfacht. Wir wollen voraussetzen, dass p eine Primzahl bedeute. Das ist keine Einschränkung; denn wenn die (ng)® Potenz einer (pq)-o- werthigen Funetion o-werthig wird, so gilt von ihrer q“" Potenz die eben vorausgesetzte Eigenschaft, dass eine Primzahlpotenz von ıhr weniger Werthe besitzt als sie selbst. Es sei also die zur Gruppe H' gehörige Funetion @ eine p - werthige Funetion, während ” nur 0 Werthe besitzt, so dass die zu @” gehörige Gruppe @ eine p mal höhere Ordnung hat als die zu © gehörige Gruppe H. Nun sei 6 irgend eine Substitution von &, die ım H nicht vorkommt. Bilden wir H-o6, d. h. den Complex aller rechts- seitig mit o multipheirten Substitutionen von' H, so kommen alle diese in G vor und sind unter sich und von den Substitutionen von H Gattun gseigenschaffen. 315 verschieden. Unter ihnen findet sich 6* nicht, da aus 6” = 546 folgen würde 6 = $84. Wir bilden hiermit weiter H- c6? und dann ebenso bis zu H- 071 H- 6, falls 6” nämlich die erste in H vor- kommende Potenz von ©6 ist. Da 6 nicht zu H gehört, so wird es %, in einen Werth %, trans- formiren, der von @, verschieden ist; da aber @i = @i, so folgt Somit trans- %ı = 0o@,, Wobei @ primitive p° Einheitswurzel ist. formirt o” weiter @, in @; = w’g, u.s. f. und 6” transformirt es in q,07”. Dies muss wieder mit , zusammenfallen, weil o* zu H gehört; demnach ist x ein Vielfaches von m. Andererseits ist wlg = @,, d. h. o? gehört bereits zu H. Das lässt erkennen, dass n ein Viel- faches von z, und da y eine Primzahl ist, dass p= w wird; d. h.: Ist o irgend welche Substitution von G, die nicht selbst zu H gehört, dann gehört o” zu H. — Die Gruppe G entsteht, wenn man mit den Substitutionen von H noch 6 combinirt. Ferner haben %,, @,6, ,0°, - dieselbe Gruppe, d. h. die trans- formirte Gruppe o67!Ho stimmt für jede Substitution 6 aus G mit der ursprünglichen Gruppe H überein. Wenn umgekehrt jede p° Potenz 6” einer beliebigen Substitu- tion 6 aus G zum Theiler H gehört, und wenn (6) 61Ho= H ist, dann kann man eine zu H' gehörige Funetion construiren, deren p Potenz zu G& gehört. Es sei nämlich ı irgend eine zur Gattung H gehörige Funetion, und die Transformation mit 1, 6, o%,... c6P—1 möge aus ihr die Werthe %,, %, W3, - %, hervorrufen, die dann wegen (6) zu derselben Gruppe H gehören. Wir bilden hierauf mit Hülfe einer primitiven p“ Einheitswurzel o die Resolvente (7) %=%+ww»„>+w‘“’%+“'+w"“lwp‚ dann wird, da die Wirkung von o6? auf %, gleich der von 6 auf J ist u. s. f., die Verwendung von 6, 6®, ... daraus (p2=1‚02——]—a)1/}3—{—a)2'(/)4—{—--:—|—cofj_lwl=co_ltp“ (8) m hervorrufen, woraus nun wirklich (9) NS SY= u = D folgt. Die oben festgestellte Beziehung der Gruppen H und G zu ein- ander reicht also vollkommen aus. Wir müssen uns aber hüten, dieses 316 Fünfundfünfzigste Vorlesung 8& 545—547 Resultat als eine definitive Lösung des gestellten Problems anzusehen es ist lediglich eine Umformung desselben aus dem Gebiete der ratio- nalen Funetionen in dasjenige der Substitutionentheorie, in welchem freilich die Beantwortung der Frage häufig bequemer sich gestaltet Die Structur von (7) zeigt, dass die Gleichun deren Wurzeln Pı> P, @„ Sind, eine cyklische Gleichung wird; zugleich giebt sie an, auf welche Weise man mit Hülfe einer Substitution 6 die cyk- hsche Anordnung der Werthe @ finden kann. $ 546. Unter den Gruppen, die wir bisher studiert haben, nehmen die der einwerthigen und die der zweiwerthigen Functionen bedeutsame Stellen ein; sie liefern diejenigen Gattungen, bei denen die Anzahl der conjugen Gattungen so klein als möglich wird. Für jede Anzahl % der Variablen z bestehen solche Gattungen miıt den Werthezahlen o=1 und o0o=2. Wir wollen untersuchen, welches wohl die nächsten sich daran anschliessenden Gattungen mit möglichst geringem o sind Es wird sich bei dieser Untersuchung herausstellen, dass, wenn n > 4 ist, keine Gattung mit mehr als zwei und weniger als ” conjugen Werthen besteht*) Hat nämlich eine Funetion @ die o conjugen Werthe (10) Dı > Da , 3, Po, und wendet man auf diese Reihe alle %! Substitutionen s; der sym- metrischen Gruppe der < 2 an so erhält man %! Anordnungen der Reihe der Funetionen (1D) ‘Pq ? (p’27 q)’: ’ Pg welche man als ebensoviele Permutationen der Anordnung (10) auf- fassen kann Wir wollen also diese Umwandlungen in der Aufein- anderfolge Pır Pa>r P (12) Oa Pi, P ( als Substitutionen v; der o Elemente @ ansehen Nun giebt es an verschiedenen Substitutionen v; bei o HKElementen grade o!; ist also *) Ruffini (Teorica di Equaz. Bologna 1799) beweist, dass für n=5, o0<5 nur 0=2 sein kann; Abatti (Mem. della Soc. Ital. 10), dass für n, o S < 5 nur, o=2 sein könne C‘U.lchy (J. d. ’Ec. polyt. cah. 10, p. 17) erweitert diese Sätze dahin, dass für o>2 auch 9>% sein müsse, wo p die grösste Primzahl <mn bedeutet Der obige allgemeine Satz wurde zuerst von Bertrand bewiesen (J. d. ’Ee. polyt. (1845) p. 131); die Ausnahme für » = 4 wurde von Serret fest- gestellt (J. d. M. 15 (1850) p. 45) Der im Texte gegebene Beweis stammt von Kronecker — Weitere Beweise sowie tiefere Untersuchungen finden sich in meiner Substitutionentheorie, sowie in C. Jordan’s „Traite des substitutions‘“ Gattungseigenschaften. 317 0<n, so wird die Anzahl der v; kleiner als die Anzahl der Sub- stitutionen S;. Daher giebt es mindestens zwei Substitutionen der Z, etwa s; und s,, welche von einander verschieden sind, trotzdem aber dieselben Umstellungen der g unter einander hervorrufen, indem für sie v;= vr wird. In diesem Falle muss s;s; * die Reihe g,, @, - o ZU- erst in @;,, O, : O; und diese dann rückwärts In %,, %, D @Q um- wandeln. Es bleibt demnach unter dem Einflusse des von der KEinheit verschiedenen s,s;—* jedes Glied der Reihe (11) an seiner Stelle, d. h. $,S; * gehört jeder der Gruppen der conjugen Functionen &,, @,, ::: @o an Nach 8 543 ist dies jedoch nur dann möglich, wenn n = 4 ist; d. h. für %>4 ist o9>n. Für %” = 4 dagegen haben wir wirklich eine Gattung kennen gelernt, für welche o==3 ist; zu ihr gehören die conjugen Funetionen Dı = 419 T 2384, o = 48 F 4y D3 = B184 T Z83. $ 547. Die nächste in Betracht kommende Frage ist somit die Frage nach den n%-werthigen Functionen von % Elementen, 0=Nn; r = (n—1)!. Es giebt solche für jedes %; denn 2‚ ist ja selbst Repräsentant einer Gattung, deren % conjuge Werthe durch 217 Za) Z„ gegeben, sind. Wir wollen zeigen, dass für %” =+6 da- durch die einzige vorhandene Gattung geliefert wird, während für n= 6 ausserdem noch als eine Ausnahmegattung eine Funetion von sechs Werthen besteht. Ist o9=1%, so giebt es %! Substitutionen (12), und. diese müssen nach dem vorigen Paragraphen sämmtlich von einander verschieden sein. Es müssen also zwei beliebigen verschiedenen s;, sı auch zwei Die v; werden verschiedene v;, v, zugeordnet sein und umgekehrt. dabei dann die Gesammtheit aller 0! = 2! Substitutionen zwischen den g darstellen, wie die s; diejenige aller Substitutionen zwischen den s. Entspricht einem s, ein v,, so entspricht dem 5? das v?; ist also S, eine Transposition, so wird wv? der Einheit entsprechen, d. h. 1 sein. Folglich kann einer Transposition s; nur eine Substitution v; von der zweiten Ordnung entsprechen. Demgemäss unterscheiden wir zwei Fälle: = I) Einem $;= (2x2g) entspricht ein wv; C 1II) Keinem s; = (%,2g) entspricht ein v;= (g,@s). Wir betrachten zunächst den ersten Fall, d. h. den, in welchem die Transposition zweier Elemente 2,, Zg in (10) auch nur eine Trans- position zweier Elemente ,, @9 hervorbringt. Dann entspricht, was auch s bedeuten möge, dem 97"8,9, 0S 07200 318 Fünfundfünfzigste Vorlesung $& 547. und umgekehrt Das erstere liefert nun alle Transpositionen der z, wenn s„ geeignete Elemente durchläuft, und das zweite daher alle Transpositionen der wv. Diese entsprechen sich sonach gegenseitig ein- deutig. Ebenso folgt, wenn den Transpositionen S= @0, S @B)) entsprechen U <q)7 ‘PJ) ’ v = (g.@e), dass dem Cyklus dritter Ordnung entspricht v;v,. SiSk. = (Za2ß.2y) Da aber (s;5;)?= 1 ist, so muss gleichfalls (v;vx)*= 1 eintreten. Nun hat vv höchstens vier Elemente @; und daraus ıst ersichtlich, dass v;vx eine cyklische Substitution dritter Ordnung wird. Das ist nur möglich, wenn in v; und v, ein gemeinsames Element vorkommt, wenn also, da es auf die Indicesbezeichnung nicht ankommt, V (9°7 ‘;DÖ)> Üı (‘py w;) ist. Betrachtet man weiter s„ = (252,), dann folgt ebenso v„= (gsg.) u.s. f._ Man kann also, wenn man die Indicesbezeichnung der @ passend abändert, allgemein folgende Zuordnung treffen: Jedem Sı = (a 2ß) entspricht v;= (g @6)- Dann wird aus jeder Substitution der z die entsprechend zugeordnete der @ gefunden, indem man einfach in jener statt jedes Zeichens z das Zeichen @ setzt, ohne Indices oder Cyklen zu ändern. Hieraus ist ersichtlich, dass diejenigen Substitutionen der @ das Element , nicht ändern, welche die symmetrische Gruppe der @,, 3, Po bilden, d. h. , bleibt bei denjenigen S, ungeändert, welche die symmetrische Gruppe der %,, 2;,::: % ausmachen und also z, nicht umschliessen. Folglich gehört z, zu derselben Gattung wie w,. Dies ist der erste, allgemeine Fall für o= %. Kr entspringt aus der Annahme I[. Gehen wir nunmehr zu dem Falle II über, so können wir als einander entsprechend annehmen die beiden Substitutionen i = ( 2ß) und u;= (gao) (PePa) . Hieraus folgern wir, genau wie im vorigen Falle, dass allen Trans- positionen der z alle diejenigen . Substitutionen der @ entsprechen, welche mit wu; von gleichem Typus sind, d. h. welche w; ähnlich sind. Damit also eine solche Zuordnung möglich sei, muss es von beiden Sorten von Substitutionen in der symmetrischen Gruppe von % = 0 Elementen gleich viele geben. Nun existirt in ihr an Substitutionen yom Typus 319 Gattungseigenschaften die Anzahl (A) (Zu2ß) n (n — 1, ” ” (B) (2u28)(2,20) ; Zn(n—1) (n—2) (n—3), (C) (Zu86) (2y20) (2n29) ” ” i n(n—1)-- : (n—4)(n—5), (D) (2u8p) (2,20) (2n29) (212x) » ” j 2i n(n—1)-- : (n—6)(n—7), wıe man leicht erkennt Es könnte deshalb w; nur dann vom Typus (B) sein, wenn für ein ganzes, positives % n(n—1)—; %(n——l)(n—2)(n—3)‚ d.h. (n—2)(n—38) =4 Ferner könnte w; nur dann vom Typus wäre, was nicht möglich ist (C) sein, wenn für ein <fanz9‚s‚ positives n -n(n— Ü= zn (n —1) (n — 4) (n — 5), 3'22 (n — 2) (n — 3) (n — 4) (n — 5) = 24 ware Diese Gleichung hat nur die eine brauchbare Wurzel % = 6 Damit sind alle Möglichkeiten erschöpft; denn damit (D) oder eine der weiteren Möglichkeiten erfüllt wäre, müsste eine Zahl 4! 2 oder 5! 2* oder 6! 2° als Product von sechs oder acht oder zehn Das aufeinander folgenden ganzen Zahlen darstellbar sein ist nicht möglich. Dividirt man nämlich durch 6! oder 8! oder 10! so erscheinen einerseits yvanze Zahlen und andrerseits die U..S. W.) echten Brüche 22 93 24 2 6? 2 S 2 7-.8.9.107? Es fragt sich deshalb nur noch ob für o0= ” = 6 wirklich eine Ausnahmegattung vorhanden ist Kommt eine solche vor so ist dies allein bei einer Funetion g möglich, bei welcher sich Substitutionen der z und der @ von folgenden Typen (13) Y= (A%) un 0 = ( Po) (P3P4) (PzDs) entsprechen Wir fragen jetzt, was für ein u einem S, = (2,2) entsprechen kann, welches mit s, kein z gemeinsam hat. Da s,s; = (2,%) (22) ist ? und da diesem Typus gemäss unserer schematischen Uebersicht aus Gründen der Gleichheit der Anzahlen nur wieder eine Substitution yon gleichem Typus entsprechen kann so ist uu auch von der Form (gxOs) (D po) Wir müssen also untersuchen, wann aus u - W zwei Elemente @ herausfallen, die in « und in w einzeln vorkommen 320 Fünfundfünfzigste Vorlesu‘ng $ 547. Soll etwa @; herausfallen, so zeigt die Productbildung, dass u den Cyklus (g;g;) hat, und da man die Elemente g noch beliebig benennen kann, so dürfen wir als einander entsprechend setzen 3 = (@2ı) un u = (DaPo) (PcPa) (P5Po)- Wegen der Möglichkeit, die Zahlen a, b,c, d auf 1, 2, 3, 4 beliebig zu vertheilen, mit der Kinschränkung, dass a, b nicht gleichzeitig 1, 2 oder 3, 4 sein dürfen, kann man ohne Beschränkung setzen (14) 59 (z32,) und u = (g,@s) (D Pı) (P;@)- Dieselben Schlüsse gelten für das u3, welches der Substitution 53 = (2%,%) zugeordnet ist, d.h. uz hat mit u, und mit u je einen Cyklus zweier Elemente gemeinsam. Das kann nur (g;,g;) sein; also wird (15) S3 = ( %) und 4 = (g,O4) (g 3) ( e)- Die Construction des zu s,=(2,%) gehörigen u, gründen wir darauf, dass die Producte S,s, = (2,%%) und 8281 = (2,%2,) von dritter Ordnung sind, und dass demgemäss das Gleiche auch bei u,u, und uu, eintreten muss. Es könnte nun eins dieser Producte ein Cyklus dritter Ordnung werden, falls bei der Multiplication drei Elemente verschwinden würden. Wir sahen aber, dass bei der Form von 4, w,-:: Elemente nur verschwinden, wenn Cykel gemeinsam sind; sollen drei Elemente verschwinden, so kämen zwei gleiche Cyklen vor, und die w wären identisch. Es muss also ww und u„w, aus je zwei Cyklen dritter Ordnung bestehen. Hat nun u, mit w, und u keinen Cyklus gemein- sam, dann bleiben für u, die vier Möglichkeiten u = (9 D4) ( 5) (D ®%), u = (g Os) (D P3) (P.P6), ur = (g ı) (D Pe) ( ws), u = (D De) (PP3) (Y.Ps)- Nun ändert sich in (13), (14), (15) nichts, wenn man %, mit &; vertauscht. Dadurch.geht w in u und w im u über; man kann sich also auf die Möglichkeiten w und u41 beschränken. Transformiren wir ferner (13), (14), (15), sı und u4 durch sa und bezw. w2, dann ändern sich nur sı und w und diese geben (2,21) und (1 Pı) ( @;) ( %) = U4- Bezeichnet man dann also schliesslich die z so, dass man %, und Z vertauscht, so kommt man auch von dem Falle u4 durch die eben be- trachteten Umwandlungen auf (16) Sı = (e,%). und Uı — (1 Pı) (P2Ps) CD Durch Transformation von (16) mit s, und bezw. u, findet man weiter (17) s =(2,2) und u = (g,@s) (: Ps) (P4.P6)- Gattungseigenschaften. 321 Um das ug zu finden, welches dem s;, = (2,%;) entspricht, bedenken wir, dass S,Sg, S3S6, SaSc) SzSg und deshalb auch u,Ug, UgUg, UUg UsUG dritter Ordnung sind. Nach den eben angestellten Ueberlegungen kann ug mit U, U, U,, U, keinen Cyklus gemeinsam haben; es bleiben dem- nach für w nur die beiden Möglichkeiten u = (D Os) (D Ps) (P4Ps) oder u = (g,@%) (D Pı) (D3Ps)- Transformirt man dies durch die Substitutionen (15), so findet man als dem s; = (z,%) entsprechend U7 = ( Ps) (PaPı) (3 Ps) = U Oder ur = (g D3) (D Pe) (P1Ps) = - Es ist also gleichgültig, welche der beiden Möglichkeiten man für w wählt, da Vertauschung von z und %; untereinander eine jede auf die andere transformiren wird. Wir setzen somit (18) S = (&,%) und w = (g 3) ( P6) (94.s), (19) S = (2,%) und ur = (g e) (g ı) (3 5)- Durch die Formeln (13) bis (19) ist die Gruppe bestimmt, falls sie widerspruchsfrei existirt. Diejenigen Substitutionen s, deren zu- gehörige u das Element @, nicht umsetzen, bilden die zu @; gehörige Gruppe G;. Diese muss die Ordnung ” = 120 haben. Nun ist ea Ur UUg UUr ( 5) (D P4O3); S1 54555657 — (51225324352'6) = p Ur UUg U IR (‘P1 P2 P3 Pa %) 2} S41 S45755 = (1 %83 2624) =t„ U Ug Ur = (D O5 Pı) 7 Sg S65ı = (212425%) s Man erkennt leicht, dass 4, von allen Potenzen von &,, und dass f3 von allen Producten tf t; verschieden ist. Alle 6.5.4=120 Substitutionen @ (“=1727"'6; ß=172;"'53 7=1;2;"'4> sind von einander verschieden; G4; hat also mindestens die Ordnung 120. Andrerseits bleibt z. B. *) die Funetion D = (01% + + 2586) (81% F 8 + 2486) (2, 24 + 286 T 9385) (21 85 + Z 84 + 2386) (2,26 + Z &3 F 24%) für 4, %, % und also für die 120 Substitutionen &*# 7 ungeändert; aber auch nur für diese, da @,, wie man leicht sieht, sechs Werthe hat, und 6-120= 6! ist. Folglich geben die Substitutionen (20) eine Gruppe G; mit n=6, o0=6 als Ausnahmegruppe. *) Vgl. hierzu: Dziobek, Arch. f. Math. 68, p. 226 u. 280; Hölder, Math, Ann. 46, p. 333 ff. Netto, Algebra. II 21 322 Fünfundfünfzigste Vorlesung $ 548. &$ 548. Wir sahen oben $ 540, (8*), dass bei der Darstellung einer Funetion durch eine andere @ derselben Gattung die Diserimi- nante 4y = IT(9« — pp)* als Nenner des darstellenden Ausdruckes eine Rolle spielt. Wir wollen eine weitere Eigenschaft der Diserimi- nante herleiten. Die Substitutionen der %» Elemente z ordnen wir wie früher in eine Tabelle derart ein, dass die erste Zeile die Gruppe &G der Func- tion @ und jede der folgenden Zeilen je einen der Gruppe G conjugen Complex ($ 541) enthält: S Sg Z Sg % S, G 02 ’ S5202 , S5309 , Sr% 5 G 27 (ro=n!) 00 Z G 60 S00 S3 00 .0 Kommt eine Transposition etwa (2425) in einem der conjugen Complexe vor, z. B. in der zweiten Zeile, so zeigt dies an, dass @, durch (%x2g) in @, übergeführt wird. KEs ist deswegen, wenn die Relation 2 = 2g herrscht, auch @, = @; denn bei der Gleichheit dieser Elemente wird ihre Umstellung ja keine Werthänderung in @ hervorrufen; und dem- gemäss ist ihre Differenz (g; — @,) durch (Zx — 2g) theibar. Giebt es daher in der ersten Zeile, d. h. in der Gruppe G der Funetion @ selbst q Transpositionen der z, so kommen, weil das Schema alle Substitutionen und jede nur einmal enthält, die übrigen —;f n(n—1) —q Transpositionen der 2,, 22, - Z im den weiteren conjugen Complexen VOor 2} und demnach werden auch % n(n—1) —g Differenzen (2x — 2g) bestehen, welche das Product (21) (g — %) (Dı — Ds) + (ı %e) theilen. Diese Differenzen der Form (2u — 2g) sind alle unter einander verschieden, und somit ist (21) durch ihr Product theilbar. Da die Gruppe 6;1G-0,, welche zu @, gehört, dieselbe Constitution wie G besitzt, so ist auch das entsprechende Product (21°) (D2 — 1) (D — @s) ; ( — ‘Pe) nn—1) durch 2 — g _Transpositionen theilbar und die Discriminante SS o(e—1) 2 2 Z (_ 1) [ 10:—9) (2<w; 4, u=1,2,-:-0) durch das Product von © [n(—%j—l—) — q1 Differenzen von der Form ( — 2g). Gattungseigenschaften. 328 y ist symmetrisch in den z; das Vorkommen eines (2, — 25) beweist daher die Theilbarkeit durch die Disceriminante der z, die wir mit 4 bezeichnen wollen; und da diese von der Dimension % (n—1) ist, so erkennt man, dass die Discriminante jeder Function @ der Gattung G mindestens durch die Potenz & A"[2 T720=) ] (22) theilbar ist. Diese Potenz ist der grösste gemeinsame Theiler der Discriminanten der Functionen der Gattung. Die Richtig- keit dieser letzten Behauptung muss noch nachgewiesen werden. Wir haben ($ 539) gezeigt, dass, falls nur 2,, %,: Zn VON ein- ander verschieden sind, bei sonst willkürlichen aber durch algebraische Gleichungen ausgedrückten Beziehungen der z unter einander stets zu G gehörige Funetionen gefunden werden können, deren conjuge Werthe von einander verschieden sind, deren Discriminante also nicht gleich Null ist. Hätten nun die Discriminanten aller Functionen der Gattung G einen gemeinsamen Theiler w(2,, %,: Zn), SO würde es ausreichen, die z der Gleichung w(2,,-:-Z)= 0 entsprechend zu wählen, um eine Gattung von lauter Funetionen mit verschwindenden Diseriminanten zu haben. Das ist aber, wie oben gezeigt wurde, nur bei Gleichheiten z„, = zg möglich. Gemeinsame Theiler aller Diserimi- nanten können demnach nur Potenzen der Theiler von A sein. Es ist daher nur noch zu zeigen, dass die durch (22) bestimmte Potenz die höchste ist, welche als Theiler aller Discriminanten der Funetionen einer Gattung heraustritt. Wir bilden zu diesem Zwecke eine zu G& gehörige Funetion ($539; 5*) kı Ka kz ı _22' 22 Z)l N (&) und ihre Conjuge A In I3 BTB B 2IZ n ? o _2 () wobei die % gemäss $ 539 so angenommen sind, dass alle möglichen n ! Produete zi‘ ... zi" unter einander verschieden werden, und wobei die / eine Permutation der % darstellen. Gesetzt nun (@, — @,) hätte den Factor (%, — %), dann müssten bei der hinlänglich grossen Willkür in der Wahl der % die Functionen @, und @, aus Aggregaten von je zwei Gliedern sich zusammensetzen kı k K3 k k Z Z Z zIL kı B k Z7L al 2 3 und z’;* Z 3 Z die sich einander zuordnen und deren Differenz durch (z, — %) und zwar nur durch diese erste Potenz theilbar ist. Bei solcheli Zuordnung 20 394 Fünfundfünfzigste Vorlesung $ 548 Sechsundfünfzigste Vorlesung &$ 549 ist es aber klar, dass @, aus @, durch die Transposition 6 = (2,%) entsteht; d. h. bei diesen Funetionen kommt nur ünter den am Anfange des Paragraphen vorausgesetzten Verhältnissen der Factor (z, — z) und auch in keiner höheren als ın der ersten Potenz vor Damit ist die Berechtigung erwiesen, (22) als Gattungsdiscri- mınante zu bezeichnen @L Ia als gemeinsamen Theiler der Diseri- minanten aller zur Gattung gehörigen Funetionen. — Ist G eine unter G enthaltene Gattung, y’ die Ordnung von G& o =n! ferner q’ die Zahl der Transpositionen in G und 7’=7% d Q a al dann wird der Exponent 0 [ n(n—1) ].. % [ 2 nn — 1) ] offenbar <, Q und q >g ist kleiner als @[ 1>] da x mindestens = IS6 G unter de1 dann - therlt Kdıe Gattung G enthalten Gattungsdiscriminante von &/ diejenige von G*) Die oben definirte Zahl 9 wird nur dann zu Null, wenn G keine Transpositionen besitzt; also stets dann, wenn die alternirende Gattung unter G enthalten ist Natürlich ist dies aber nur eine hinreichende und keine nothwendige Bedingung Der Exponent in (22) verschwindet nur dann, wenn qg= -n (n—1) ist, d. h. wenn G die symmetrische Gattung repräsentirt und also con- juge Gattungen nicht vorhanden sind Aus (22) ist endlich ersichtlich, dass man die Gattungsdiscriminante jeder Gattun ausgenommen die symmetrische, in eine solche Potenz erheben kann, dass die Gattungsdiscriminante einer beliebigen anderen Gattung sie theilt oder mit anderen Worten dass die irreductiblen Theiler aller Gattungsdisceriminanten, von der symmetrischen abgesehen mit einander übereinstimmen Sechsundfünfzigste Vorlesung Composition und Isomorphismus $ 549. Wir haben bei der Behandlung von Abel’schen Gruppen ($ 509) den Begriff der vertauschbaren Elemente eingeführt, für welche also @0, = 0,0, wird. Diesem ordnet sich der Begriff der ver- tauschbaren Substitutionen unter; s und £ heissen vertauschbar ) Kronecker, Grundzüge u.s. w. $ 9. — Vgl auch meinen Aufsatz: Journ Math. 90, p. 164 Gattungseigenschaften. Composition und Isomorphismus. 325 wenn das Resultat ihrer Composition von ihrer Stellung unabhängig ist, d. h. s und % sind vertauschbar, wenn (I) St=s, also SS ==% un Ö A S wird. KEine Substitution ändert sich nicht, wenn man sie durch eine miıt ihr vertauschbare Substitution transformirt. Potenzen einer und derselben Substitution sind miteinander ver- tauschbar. Sind s und %4 miteinander vertauschbar, dann sind auch alle Po- tenzen s* von s mit allen &“ von € vertauschbar. Es ist deshalb auch 4—* mit s vertauschbar, wenn £ es ist, und es wird tst-1=s. Substitutionen, die kein Element mit einander gemeinsam haben, sind miteinander vertauschbar. Alle Substitutionen, die mit einer gegebenen Substitution ver- tauschbar sind, bilden eine Gruppe. Denn aus den beiden Gleichungen s 1uUs= u und t7lubt= u folgt die den Satz beweisende dritte Gleichung (vgl. S. 258, Z. 12) (st) 1u(st) = t-![s-1lus]t = t-lut=1u. Alle Substitutionen einer Gruppe, die mit den Substitutionen einer anderen Gruppe vertauschbar sind, bilden aus gleichen Gründen auch eine Gruppe. Sind die Substitutionen s und £ miteinander vertauschbar, hat s die Ordnung %, und ist 4” die niedrigste Potenz von £, welche zugleich eine Potenz von s ist, so' wird m entweder gleich der Ordnung von £ oder gleich einem Theiler dieser Ordnung, wie leicht zu sehen ist. Dann lassen sich die sämmtlichen ‘ Substitutionen der Gruppe G geringsten Umfanges, welche s und € umfasst, eindeutig in der Form (2) SC (x«=0,1,...n—1; ß=0,1,-..m—1) darstellen. Die Gruppe G hat also die Ordnung m - n. Zunächst ist es klar, dass jede Substitution von G als Combina- tion _ von Potenzen des s und des £ die Gestalt eines Potenzproductes mit beliebiger Factorenzahl S.“1 t"1 ö„“*: t"2 8“'a t"a A SÄUZ tr'z auftritt, wo die w„ die Ordnung von s, und die v die Ordnung von £ nicht überschreiten können. Da nunm s und £ miteinander vertauschhbar sind, kann man jedes solche Produet sla e . c a __ 77 f/ 326 Sechsundfünfzigste Vorlesung $ 549—551. setzen, wo auch w und v die Ordnungen der Substitutionen s und € nicht übertreffen. Da endlich #” eine Potenz von s wird, so kann man die durch (2) gegebene Form dafür einsetzen. Jede Substitution von & hat also die Form (2). Ferner sind alle (2) von einander verschieden. Denn wenn 6>ß und b, ß <m sind, dann folgt aus O = L sofort sa — tb——ß S ’ das aber führt zu dem Widerspruche mit der Voraussetzung, weıl nun eine niedrigere Potenz von %* als die m* unter den Potenzen von s auftritt. Als Corollar können wir aus diesem Satze entnehmen: Hat £ die Ordnung %,, und ist s” die niedrigste Potenz von s, welche zugleich eine Potenz von € ist, so folgt für die Ordnung von &G ebenso m, :n;. Folglich ist m: M = . $ 550. Eine Gruppe G = [, S 899 20'8] heisst mit einer Substitution £ vertauschbar, wenn für jedes « eine Gleichung (3) Sal = 88 oder 671546 = 88 besteht, d. h. wenn man zu jedem « ein ß finden kann, so dass (3) befriedigt wird. Jede Substitution s von G wird hierbei durch & in eine nicht nothwendig wieder mit 5x zusammenfallende Substitution von G trans- formirt. Wir schreiben dies symbolisch (3°) t-1Gt4=G, wobei also links und rechts G nur als Inbegriff aller Substitutionen S NO Alle Substitutionen, die mit einer gegebenen Gruppe vertauschbar sind, bilden selbst eine Gruppe. Ist G mit € vertauschbar, bedeudet ” die Ordnung von G, ist ferner 4” die niedrigste Potenz von t, welche in G vorkommt, dann ist m gleich der Ordnung von & oder gleich einem Theiler dieser Ord- Es lassen sich nun sämmtliche Substitutionen der Gruppe H, nung. die zugleich £ und alle Substitutionen von &@ umfasst, in der Form GB (B=Z0 1 m — darstellen, so dass diese Gruppe HM also die Ordnung mr besitzt. Der Beweis dieses Satzes entspricht durchaus dem im vorigen Paragraphen bei dem specielleren Satze gegebenen. Composition und Isomorphismus. 327 $ 551. Zwei Gruppen G = [1‚ SS 8‚«] und H= [1‚ tg‚ t3‚ 4] seien. gegeben. Die angewendete Bezeichnung bedeutet, dass G von der Ordnung 7 ist und aus den Substitutionen 1, S, S, besteht; und Aehnliches gilt für H' (vgl. $ 514). Wir nennen G und H mit einander vertauschbar, wenn zu allen Indicespaaren «, ß passende Indicespaare y, 0 gefunden werden können, welche die Gleichung (4) Salz = 1450 befriedigen. Wir drücken dies symbolisch durch die Formel aus (4*) GEl = Jal Eine Gruppe ist mit jedem ihrer Theiler vertauschbar. Nun möge K die Gruppe aller Substitutionen sein, welche G und H gemein haben; dass diese Gesammtheit wirklich eine Gruppe bildet, erkennt man sofort. Es möge ferner G aus den conjugen Complexen ($ 538) JS KGa CO K6,„ 9} und H aus den conjugen Complexen J9 19 Ka Kr, bestehen. Ist die Ordnung von K gleich 7, so ist diejenige von G gleich m, und diejenige von H gleich r%. Kein 67 kann einem Tß gleich werden. Wir suchen diejenige Gruppe J geringsten Umfanges auf, welche alle Substitutionen von G und von H in sich fasst. Diese kann das kleinste gemeinsame Vielfache von G und H genannt werden ’ ebenso wie K als der grösste gemeinsame Theiler von @ und H bezeichnet werden darf. Jede Substitution der Gruppe J hat die Form eines Potenzproductes OC d S ß8;, ?fa VAOTO / O9 dies kann wegen (4) auf die einfachere Form s,%, gebracht werden. Nun gehört aber jedes %, zu einem Complexe Kt.„, So dass man Suby = G(Ktn) = (GK)to= Grn = Koptn setzen kann, weil ja GK nichts anderes ist, als G selbst. Hieraus ist ersichtlich, dass die Ordnung von J nicht grösser als rmn sein kann. Sie ist aber wirklich so gross. Denn wenn man v=1 Z ? @ = 12 E n setzt, erhält man lguter verschiedene Substitutionen. 328 Sechsundfünfzigste Vorlesung & 551—553. Wäre nämlich Kobton — on (v,w>mr; 0,g <n), so würde GT w q =6'K 0 folgen, d. h. eine Substitution von H gehörte der Gruppe G an; das ist aber nur möglich, wenn q = @ und w = w ist. Ist K der grösste gemeinsame Theiler, J das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden vertauschbaren Gruppen G und H, und sind v, ym, r% die Ordnungen von K, G und H, so ist rmn die Ordnung von\J $ 552. Ist eine Gruppe G = [1> S3, S3 ’ . Sal gegeben, und ist H ein Theiler von &, derart dass H' mit allen Sub- stitutionen von & vertauschbar ist, s;1Hsa = /l <“:1;27"'7”)7 so müssen die conjugen Gruppen von H, welche Theiler von G& sind, gleich H selbst werden. Für dieses Verhältnis von H zu G sind mancherlei Bezeichnungen eingeführt. H heisst nach F. Klein ein „ausgezeichneter“ Theiler von G; nach G. Frobenius ein „mono- typischer“; nach H. Weber ein „Normal“-Theiler; englische Autoren bezeichnen ein solches H als „selbst-conjugirt“. Diese letzte Benennung ist wohl die treffendste; die Mängel, die man in ihr finden könnte, beruhen darin, dass sie nicht kurz genug ist; Bildungen wie „selbst- conjugirte Maximaluntergruppe“ wirken schleppend. Ich möchte des- halb im Anschluss an die bereıts von mir benutzte Abkürzung „conjug“ eine solche Gruppe einen autojugen Theiler von G& nennen. Hat eine Gruppe &@ einen von der Einheit verschiedenen auto- jugen Theiler niederer Ordnung, so heisst G& zusammengesetzt; ım entgegengesetzten Falle heisst es einfach. Aus den Untersuchungen der vorigen Vorlesung können wir ent- nehmen, dass die symmetrische Gruppe zusammengesetzt und die alternirende 4 ein autojuger Theiler ist, da für jede Substitution s die Gleichung s7!4s= 4 gilt. Ferner ist die alternirende Gruppe, falls die Anzahl der Elemente >4 wird, einfach. Denn dies ist genau der in $ 543 behandelte Fall, da die dort benutzten 6 sämmtlich zu 4 gehörten. 329 Composition und Isomorphısmus. $ 553. Aus $ 533, (16) entnehmen wir ferner, dass die lineare Gruppe U der u = | e @yı ı + Aul + + + Aeylıy + da | (@=1 20008 n = 0, 1 D zusammengesetzt, und dass die cyklische Gruppe S der Substitutionen S= | ha A da | @— 1, 900003 Ü =0) 1, @1 ein autojuger Theiler von U ist. Wir sind jetzt im Stande, die neu gewonnenen Begriffe dazu zu verwenden, um alle Substitutionen 7 aufzufinden, welche der Gleichung z-1St= 8 (5) genügen, also umgekehrt die grösste Gruppe zu bestimmen, für welche die eyklische Gruppe S ein autojuger Theiler ıst. Für die Behandlung dieses Problems brauchen wir den Hülfs- satz: Jede beliebige Umwandlung der Indices h,, h,,--- h, lässt sich bei passender Wahl der ganzen Functionen %,, @, ::- @, durch eine Substitution (6) | Z Pa (h17 h2) 4 h1'> ' ausdrücken. Um dies zu zeigen, lassen wir alle einzelnen h;,, h,, R die Werthreihe 0, 1,--. (n —1) unabhängig von einander durchlaufen; dann entspricht jedem Werthsysteme der ‘ı ein einziger Werth der Grösse (7) t=h + 1h + W E - A W, und diese Werthe von € durchlaufen die ganze Zahlenreihe von 0 bis (n” — 1). Umgekehrt entspricht jedem dieser Werthe von £ nur ein und stets ein System der A. Die Umformung eines Systems hı,, h,, - h, durch eine Substitution in das System ı, h2,--- h, kann also auch so aufgefasst werden, dass dem Zahlenwerthe (7) v Functionen w,(%), W, (C), - W,(*) zugeordnet werden, deren Werthe durch A1, %, - Iı bestimmt sind. Die %,, %, sind dabei durch die Lagrange’sche Interpolationsformel bestimmbar, und gemäss (7) kann endlich %. (f) = Oa (Iı, ho, - hy) gesetzt werden. — Nachdem dieser Hülfssatz bewiesen ist, nehmen wir eine noch un- bestimmte Substitution, in der die @„ auch die Indices % liefern, (;)„(/L„ ]L„ d= 2 (@=1, 2 %; %z =0,1,...n — 1) und fragen, wie die Funetionen @„ beschaffen sein müssen, damit alle Ausdrücke o 330 Sechsundfünfzigste Vorlesung $ 5 53 —555 Z [h„ 2 h, A h|-w 9 ] Aıp p Z h„ h2 + 1 .r lr‚ (8) ‚ h1) h27 h‚ h1 5 7u, S /a„+l| zu arıthmetischen Substitutionen werden Durch diese Forderung ist nämlich nach $ 524, (12) auch die anfängliche allgemeinere erfüllt Durch 7—* geht jedes , (h, k ) ın / über; durch | A, %, AA | geht dann A, in h, +1 über, während die folgenden %ı ungeändert bleiben; durch T endlich geht ( +1) in ( 41, 0, ) über, u.s.f. Die erste Zeile von (8) ruft also folgende Aenderungen hervor Jedes &. (Aı, A, h,) geht in %(1 +1, %, h,) über Ebenso ruft die zweite Zeile von (8) die Umwandelung jedes Pa ı, M, h,) in @« I, h +1 h,) hervor u. s. w Sollen die so bestimmten Substitutionen sämmtlich arithmetische Substitutionen bedeuten dann wird jeder durch ein %, (h,, ) dar- gestellte Index um eine Constante wachsen und es muss also, wenn Constanten bedeuten ® On Aa Da A A 1, 7‘27 h,) = « (hr, 6, 7@‚) + UZ Da (h1; 7‘2 + 15 Iı ) D (h1) hz; h1’) + Ua2 , Pa (hl; h‘H Y h‚) + e seın Setzt man endlich %, (0, 0 0)= da, SO folgt, wenn man /) die eben erhaltenen Gleichungen dazu verwendet, um in @, (N,, ,, die Argumente der Reihe nach bis auf 0 zu verringern Da A, , hy) = Oaı ı - Cag F + Arl + d Damit ist bewiesen: Die Substitutionen der linearen Gruppe U sind die einzigen, welche die cyklische Gruppe S in sich selbst transformiren Jede Gruppe, für welche die cyklische Gruppe S ein autojuger Theiler wird ist ın der linearen Gruppe U enthalten $ 554. Wir leiten nun einige Hauptsätze über autojuge Theiler ab I) Ist H ein autojuger Theiler von G, und ist K ein be- liebiger Theiler von G, dann sind H und X vertauschbar Denn bezeichnen wir die Substitutionen von K mit 4, W, U, ’ so wird für jedes « Ü = M IM) Sind H und H autojuge Theiler von G =[1,5,5;, IR dann ist die Gruppe geringsten Umfanges, welche H und H Composition und Isomorphismus. 331 enthält, auch ein autojuger Theiler von &; dieser kann freilich auch mit &@ zusammenfallen. Denn man hat S71 HHs, = (s7'Hs,) (s7*Hs.) = HH, und daraus folgt der Satz sofort. IM) Sind H und H autojuge Theiler von G=[1,5 ,5 , J, dann ist der grösste gemeinsame Theiler 9 von H und H auch ein autojuger Theiler von &. Denn man hat die Reihe der Gleichungen s7155,= H, weil $ zu H gehört; und — T —— DAn H, Z D » H ” % folglich ıst 571 H5,= O, weil es zu H und zu H gehört. ZWwei D) Sind e | me n = [, an a ] autojuge Theiler von G; ist ferner der grösste gemein- same Theiler 9 von H und H gleich [1, t,t,---], und ist K=[1, w, w,---] irgend eine ın H enthaltene und H ent- haltende Gruppe, dann ist K mit allen Substitutionen von H vertauschbar. Denn es ist —1 Ta ß T, Up = (r z p - %) Ü tyup‚ = %, weil u—' zu H gehört und H mit H vertauschbar ist; ferner ist aber zugleich auch r;1u{;1raup‚ = g (uß_1rauß) =1u 0 =T Z weil H autojug in G ist. Deshalb wird die linke Seite der beiden letzten Gleichungen zu © gehören müssen, da sie gleichzeitig ein f und ein T wird; d. h. man hat TUr U = 14, ß urı = ra ’ S da nun u;1 und ‚t, der Gruppe K angehören, so ist endlich auch U O A ’ i Krı, =K. Hierdurch ist der Beweis geliefert. $ 555. Ist H ein autojuger Theiler von G, der so beschaffen sein soll, dass es keinen anderen autojugen Theiler von G giebt, welcher H in sich einschliesst, so nennen wir H einen autojugen Maximaltheiler von G. Nun sei @ irgend eine zusammengesetzte Gruppe, und die Reihe (9) G Z Gl7 G 27 el 332 Sechsundfünfzigste Vorlesung $ 55 möge so gewählt sein, dass jedes ihrer Glieder G, (« > 1) autojuger Maximaltheiler des vorhergehenden wird. Dann nennen wir (5) eine zu G gehörige Compositionsreihe. Die Ordnungen der einzelnen Gruppen in (5) bezeichnen wir entsprechend 1 Y5 y Tx, Jl 2 jede dieser Zahlen ist ein Theiler der Vorhergehenden. Wir setzen ferner 7 4 C @ "V—l = ,, 7 V 1 =—= 6‚y‚+1; dann nennen wir die Quotienten €, %, die zur Com- Cy, Cy+1 positionsreihe (5) gehörigen Factoren oder die Compositions- factoren. Es kann vorkommen, dass eine Gruppe verschiedene autojuge Maximaltheiler besitzt. Infolge dessen kann es auch eintreten, dass zu einer Gruppe &@ verschiedene Compositionsreihen gehören. Wir werden nun beweisen, dass, wie auch die . Reihen gewählt werden mögen, die einzelnen. Compositionsfactoren, abgesehen von ihrer Auf- einanderfolge, für alle Reihen dieselben, und ihrer Gesammtheit nach daher invariant sind. Es bılde neben (9) auch noch die Reihe von Gruppen ( G) F1) F27 T> 1 eine zu &7 gehörige Compositionsreihe mitden Ordnungen al T, Q9ı, Q2) Ou > und den Compositionsfactoren 9‚u——1 QlL Pr 9 © © 1="72) — 9 na Qu Wir können von vornherein annehmen, dass I7 , von G, verschieden sei, da ja im entgegengesetzten Falle die Anfangsglieder, welche dem zu beweisenden Satze schon entsprechen würden, einfach weggelassen werden könnten. Die Gruppe geringsten Umfanges, welche T, und G, enthält, seı H; al der grösste gemeinsame Theiler von T, und G, sei K, und % die Ord- 3l nung von K. Nach II) des vorigen Paragraphen ist / ein autojuger Theiler von G; da er aber die beiden Maximaltheiler G, und I” um- fasst und eine höhere Ordnung besitzt als jeder derselben, so fällt H mit G zusammen, d. h. man hat H=G. Die Ordnung von H ist nach $ 551 gleich 1‘1—%; folglich hat man die Gleichungen Composition und Isomorphismus. 333 T, @: 25 © “=7 0 = A und deswegen (10) 91=k 15 Y = MN Nach III) des vorigen Paragraphen ist X ein autojuger Theiler von &4 und also auch autojug in G, und in TI}. Endlich ıst X auch ein autojuger Maximaltheiler von G, und von I7. Denn gäbe es zwischen G, und K noch einen in G, enthaltenen und X umschliessenden autojugen Theiler L, so wäre nach $ 554, IV) L mit allen Substitutionen von I7 vertauschbar. Da ferner L mit allen Substitutionen von G, vertauschbar ist, so findet dasselbe auch für die Substitutionen von H= G statt, d. h. Z ist sogar autojuger Theiler von @. Dann würde die Gruppe geringsten Umfanges, welche I und I, enthält, ein autojuger Theiler von G werden, ohne mit G zusammenzufallen; denn nach dem Lehrsatze aus $ 551 wäre ihre Ordnung geringer als v7,- Q, d.'h. geringer als v. Andrerseits würde D sie die Gruppe I7 enthalten; also könnte I} kein autojuger Maximal- theiler sein. Es darf sonach keine solche Gruppe L geben; d. h. K ist autojuger Maximaltheiler von G, und von I/. Man könnte demnach neben (5) und (5*) noch zwei Compositions- reihen für &/ construiren, deren drei Anfangsglieder bezw. (9”) C Cay 50 und G und deren Anfangsfactoren gemäss (10) &> M> Wn ıp Qı sind. Da X in beiden Reihen auftritt, kann man in beiden die auf die Gruppe K folgenden Glieder identisch machen. Der ausgesprochene Satz wird daher bewiesen sein, wenn er für (9) und die erste Reihe aus (9”) und ebenso für (9%) und die zweite Reihe von (9”) gilt. Dadurch wird der Beweis aber auf Reihen re- ducirt, die schon in den Anfangsfactoren übereinstimmen. Wendet man dieselben Schlüsse auf sie an, so erkennt man die Wahrheit des Satzes: Die Compositionsfactoren sind, abgesehen von ihrer Aufeinanderfolge, für alle zu G _ gehörigen Com- positionsreihen dieselben. Daher ist auch die Anzahl der Gruppen dieser Reihen constant. Die allmähliche Umwandlung der Gruppenreihe (9) in (9*) führt im allgemeinen Falle bei v Zwischengliedern zwischen G und 1 auf 2” Reihen. Im Falle v =4 z. B, hat man Folgendes. Die Umwand- lung erfolgt durch 334 Sechsundfünfzigste Vorlesung $ 555—556. 1) - ® . N G27 G3: G47 9) - - U Z 9 G ) w ( . 27 G“3 ’ 4> 10) . - N, 3) w DE = o 2 11) - - Nı 4) w s N c 12) - - P4 Q Q 5) > ‚.. S 13) - v P, 6) - Q - - 14) . . Qu) %) - S - w ää‚ % JII% 15) % e e - S HN > 1fäjä Q NN N K Q RQQ G 8) - 66 J27 J;37 (]'47 % 16) F1? T 27 I 37 F47 ]% Hierbei sind die Reihen 1) und 16) die Ausgangspunkte. Zwischen sie schieben sich zunächst 8) und 9) ein, so dass man hat D, 95 9), 16); dann zwischen 1) und 8) als neue Glieder 4) und 5); und zugleich zwischen 9) und 16) als neue 12) und 16), so dass entsteht 1), 45); 5), 8); 9), 12); 18), 16) u.s.f. Bei dieser Tabelle findet also von jeder Nummer zur folgenden nur je eine Abänderung statt. Nach der Einführung des Begriffes der Composition können wir den Satz aus $ 545 unserer Theorie anfügen. Er heisst in der anzu- wendenden Nomenclatur: Ist der zum Uebergange von G zu H gehörige Compositionsfactor gleich einer Primzahl p, dann gehört die p“ Potenz jeder zu G gehörigen, nicht in H vor- kommenden Potenz zu dieser Gruppe H. Der Beweis hierfür ist in $ 545 gegeben; er folgt daraus, dass wenn man eine Substitu- tion o aus G, die nicht zu H gehört, mit H verbindet, hieraus G ent- stehen muss, sowie daraus, dass 0cH = HO0 ıst. Wir können hier noch hinzufügen, was dann als wesentliche Eigenschaft der Compositionsreihe auftritt, dass zweiı Substitu- tionen s und sg von G bis auf eine Substitution von H mit einander vertauschbar sınd, falls der Compositions- factor eine Primzahl ist. In der That können wir dann Sa = 0409, S tß61 setzen, wenn %„ und %g zu H gehören. Daraus folgt =— D —> Sasp’ — ta049 ° tß61 ba (086g078) 0748 — bb 78 bn 07 0, HI = bg 67 - ba 68 = t/j‚ (51ta6—1) + — ;‚‘P‚tsaf+@ = OO Sa Sß = SpSa Ö ( und in der letzten Gleichung liegt der Beweis für die Behauptung Composition und Isomorphismus. 335 Den letzten Lehrsatz können wir umkehren: Sind die Sub- stitutionen Sy, Sp, von G bis auf Substitutionen £ von H mit einander vertauschbar, dann ist der zugehörige Com- positionsfactor eine Primzahl. Wählen wir ein 6 aus (/, welches nicht zu H gehört, und dessen x'° Potenz (x >1) die erste in H vorkommende ist, so wird die Ge- sammtheit der Substitutionen von H Ho Ho?, H67t—1 eine Gruppe bilden; denn es ist JEl = @ Jaln da wir ja H als autojugen Theiler von G angenommen haben. Diese Gruppe ist in G enthalten. Sie ist ferner autojug zu @. Denn man hat s;1Ho‘ßsa =— s;1Hsa . sa—16!°’sa — H- sa—16f5’sa Z und weil die Substitutionen von &@ miıt einander bis auf solche von H permutabel sind, so wird s;1H6ﬁsa = H- ty6f*s;lsa — Hoß. Demnach muss die aus allen Substitutionen von H6ﬂ— : Jäl ı Jal@, Ja bestehende Gruppe mit G zusammenfallen, weil G in der Compositions- reihe unmittelbar vor H steht. Wäre nun z keine Primzahl, und q ein Theiler von x, dann wäre Jal JEl Jal aus gleichen Gründen eine Gruppe, die in & enthalten ist, H enthält und autojug von G ist. Diese Gruppe würde also in die Reihe der Composition zwischen @& und H eingeschoben werden müssen, was unseren Voraussetzungen widerspricht. Folglich ist z eine Primzahl. Von dieser ergiebt sich sofort, dass sie der Compositionsfactor wird, der beim Uebergange von G zu H auftritt. Die Gleichung SaSg = SpSa * tu Ist also charakteristisch dafür, dass der Compositionsfactor eine Primzahl ist. $ 556. Im Allgemeinen wird ein jedes beliebige Glied der Com- positionsreihe (9) G, G, &, G nur vom vorhergehenden Gliede autojuger Theiler sein; es können aber auch Glieder auftreten, dıe autojug in weiter zurückliegenden Gruppen vorkommen. Insbesondere können gewisse Glieder G4, G, auto- juge Theiler von G& selbst sein. 336 Sechsundfünfzigste Vorlesung & 556. Wählen wir aus der Reihe (9) nur diejenigen aus (11) G TT welche autojuge Theiler von G sind, so heisst die Reihe (11)_ die Hauptcompositionsreihe oder kürzer die Hauptreihe von G. Gesetzt, die Hauptreihe stimmt nicht mit der Reihe der Zusammen- setzung überein, dann mögen sich z. B. zwischen H’ und J noch andere Gruppen von (9) einschieben. Die erste auf H' in (9) folgende sei Hi; dann ist H; autojug in H, aber nicht in G. Transformiren wir nun H; durch alle Substitutionen von G', so mögen dabei g conjuge Gruppen entstehen, und zwar sei wenn &, b, - Substitutionen von G& sind, (12) 6 Hı = H, i l = E o (1 H6 — HO, Da L A =0 "H6=-..= Üal = Wäl; J6 = 0 1J6 = o=d d T, so ist jedes H@ Theiler von H und Multiplum von J. Ferner ist jedes H(© autojug in H. Denn weil H' autojug in G& ist, so kann man für jedes u;, in H ein u in H so bestimmen, dass bala = Un Uulba = baUz H, wird; dann folgt aus w Hw al —l Ifl(a) Br WE &« l @=gwfm%a (Z2 2 E SR und diese Gleichung beweist die Behauptung. Endlich ist Hf‘” ein autojuger Maximaltheiler von H. Denn schöbe sich zwischen H und H© noch ein I”“ ein, welches autojug in H wäre, so würde durch Transformation mit %; * daraus ein I” entstehen, welches umfassender wäre als H, und autojug in H. Man kann also jetzt nach dem vorigen Paragraphen eine Com- positionsreihe für &/ construiren, die vom Beginn bis zu H mit (9) übereinstimmt, dann Hl(“) folgen lässt und, da dies J enthält, über JS fortgeht, wie leicht zu sehen ist; diese kann man, wie gezeigt wurde, so einrichten, dass auf H© der grösste gemeinsame Theiler von H” und H1(ß ) folgt; und zwar gilt dies für jedes Paar «, ß. Diesen grössten gemeinsamen Theiler bezeichnen wir mit flg(a“g). Dann können wir von H/“”, H«” ebenso zu ihrem grössten ge- meinsamen Theiler H/“*” übergehen, u.s. f. Dieses H/“”” jst damn gleichzeitig der grösste gemeinsame 'Theiler von JE H® und JE Composition und Isomorphismus. 33 - ( Da beim Fortschreiten jede der neuen Gruppen das J enthält, so kommt man nach g Schritten zu / als zum grössten gemeinsamen Theiler von JEl JR 6 60 TE Nun möge zum Uebergange von H zu H; der Compositions- factor € gehören. Derselbe gehört dann zum Uebergange von H zu jedem Hl(“) in (12), da alle diese Gruppen einander ähnlich sind. Folglich gehört nach dem vorigen Paragraphen zum Uebergange jedes H© zu jedem H, wiederum der Factor e u.s.f. Es tritt also bei jeder Reihe H7 IJ1; H’) HT überall, d. h. g-mal der Factor e auf. Wenn man von G aus in dem Falle, dass Reihe und Hauptreihe nicht übereinstimmen, die eben getroffene Anordnung macht, indem man zwischen je zwei Gruppen der Hauptreihe H, J alle Gruppen der Reihe einschaltet, dann tritt der gleiche Compositionsfactor e für alle Zwischenglieder auf. Der zur Hauptreihe gehörige Compositionsfactor ist also eine Potenz von e. Ist G keine einfache Gruppe, und besteht also (9) aus mehr als den beiden Gliedern G und 1, so hat G auch eine Hauptcompositions- reihe, da ja natürlich das erste auf G- folgende Glied der Compositions- veihe in @7 selbst autojug ist. Wenn in der Compositionsreihe (9) G) (}17 G27 G 1 G„ GZ+1 ’ B mit den Compositionsfactoren Cl 2 02 ’ C4 Üx+].; Cy, Cy+1 das Glied &, der Hauptreihe angehört, und wenn unter ()z+l‚ Cy, Cy+1 Verschiedene Zahlen vorkommen, dann liegt zwischen G, und 1 in (9) noch eine mit G autojuge Gruppe, d. h. noch ein Glied der Hauptreihe. Denn wäre keine der Gruppen G, 41, - G, zur Hauptreihe gehörig, dann wäre ex+1=(jz_l_2=...—cp=ev+l. Da Man sieht ferner leicht, dass wenn H ein autojJuger Theiler von G& ist, eine Compositionsreihe construirt werden kann , welche H als Glied enthält. — Wir bemerken, dass auch hier verschiedene Hauptreihen möglich, aber die Producte der Factoren, welche dem Uebergange von jedem Gliede der Hauptreihe zum folgenden angehören, nicht invariant sind } *) W. Burnside, Theory of groups, Cambr. 1897, $ 92 behauptet die Invarianz. Netto, Algebra. II, 22 36 8 Sechsundfünfzigste Vorlesung $ 556—557 Dies zeigt das Beispiel: 9 2 2 24)> (8124) (Z023), GQ =[1, (2,%), (@324), (2122)(2324), (2123)(2 (2. %320 84), (Z1%4%83)1; G —— 5 1, (8,89)(232u), (Zy2)(2024), (2,24)(2 2 G =[1, (2,%)(@24)]- % Hier fällt die Hauptreihe mit der Reihe G, G, 0, G, = 1 zusammen. Gleichzeitig ist aber für 7Dn Y!' Gı = [1, (2,%), @9u), (01%) (f7551„7 l1 ) ('2’1 22) l auch G, G, G2, G3 = 1 eine Compositionsreihe, aus welcher 7, G, 1 als Hauptreihe heraustritt. Im ersten Falle besitzt demnach die Haupt- reihe vier Glieder, hier dagegen nur drei. — Wir wollen die am Schluss von $ 555 aufgéstellten Theoreme über den Fall, dass ein Compositionsfactor eine Primzahl wird, hier verwenden. Wenn in der Compositionsreihe von @& die Glieder 1{7 'l—[17 11_>) l_[f1—«‘} J7 vorkommen, und H, J aufeinander folgende Glieder der Hauptreihe sind, wenn ferner zum Uebergange von H zu H, der Compositions- factor p gehört, der eine Primzahl sein soll, so erinnern wir uns, dass auf H in der Compositionsreihe auch ausser Hı = H; noch Gruppen H1„‚ H1m‚ 50 E folgen können, und dass J der grösste gemeinsame "Theiler dieser Gruppen ıst. Nun waren die Substitutionen von H mit einander bis auf solche von Hy vertauschbar; das Gleiche gilt für Hı, Hi”, ? Qa die Substitutionen von H sind mit einander bis auf Substitu- tionen von J vertauschbar. Umgekehrt, wenn dies stattfindet, so sind auch die Substitutionen von H,_, unter einander bis auf die von J vertauschbar. Folglich gehört dazu als Compositionsfactor eine Primzahl p, und deshalb zum Uebergange von H zu J die Potenz #%. Die Vertauschbarkeit der Substitutionen von H bis auf solche von J ist also charak- teristisch dafür, dass als Factor der Compositionsreihe da- bei eine Primzahl auftritt. Da auf die vorletzte Gruppe der Hauptreihe die Einheitsgruppe folgt, so muss diese Gruppe unter ein- Die vorletzte Gruppe ander vertauschbare Substitutionen haben. der Hauptreihe ist eine Ahbel’sche Gruppe, « Composition und Isomorphismus. 339 $ 55%. Wir gehen auf eine andere wichtige Erscheinung eın, auf den Isomorphismus. Es kommt vor, dass die Substitutionen zweier Substitutionen- gruppen G und I” einander so zugeordnet werden können, dass auch dem Produete zweier willkürlichen Substitutionen von &( das Produet der zugeordneten Substitutionen von I' zugeordnet ist. In diesem Falle heissen @ und I” isomorph. Am einfachsten gestalten sich die Verhältnisse, wenn jeder Sub- stitution _ der einen Gruppe nur eine der. anderen zugeordnet ist. In diesem Falle sprechen wir von einstufigem Isomorphismus Jedem 'Theiler H von @& entsprechen die Substitutionen eines Theilers H von I” Ist H autojug in (7, dann ist H autojug na JDE denn aus GG = Jal wla A Ml Ist H einm autojuger Maximaltheiler in @, dann gilt das Ent- sprechende für H in I” Denn aus der Existenz einer zwischen I” und H tretenden autojugen Gruppe 4 würde die einer entsprechenden L in G folgen. Der Compositionsreihe (und auch der Hauptcompositionsreihe) von ( entspricht die aus der isomorphen Gruppe I” abgeleitete ent- sprechende Folge von Gruppen als Reihe (bezw. als Hauptreihe). Kinstufig-isomorphe Gruppen besitzen gleiche Ordnungen, während ihre Grade. verschieden sein können. Sie haben ferner gleiche Com- positionsfactoren; sie sind gleichzeitig einfach oder zusammengesetzt. So bleibt eine Reihe wichtiger Eigenschaften, die mit der Mul- tiplication der Elemente zusammenhängen, bei isomorphen Gruppen invarlant. KEs ergiebt sich hieraus, dass diejenigen Gruppeneigenschaften; welche allen isomorphen Gruppen gemeinsam sind, als in der Natur der Gruppe tiefer begründet angesehen werden können. So haben wir die Ordnung als‘Invariante einstufig-isomorpher Gruppen, den Grad hingegen nicht. Wie wir ferner soeben sahen, bleibt für isomorphe Gruppen die Eigenschaft, einfach oder zusammengesetzt zu sein, bestehen Wir wollen eine Methode angeben, zu einer vorgelegten Gruppe G der Ordnung 7 eine einstufig-isomorphe von besonders interessanten Kigenthümlichkeiten zu bilden. Es sei, wie in $ 539, O(@y 0 a)= eine Galois’sche Funetion, d. h. eine solche, die %! Werthe besitzt. Wir wenden auf @, die Substitutionen der Gruppe G = [1; Say Say C S‚] 22“ 40 Sechsundfünfzigste Vorlesung $ d 558 an und erhalten daraus die Reihe der ” verschiedenen Werthe (12) Pır Pa, P3, (P/ Wird nun auf diese Reihe ein s, angewendet, dann geht die Ge- sammtheit ihrer Elemente in sich selber über. Wn bezeichnen die Umwandlung von @, durch s; mit Pe,; dann ruft also s aus der Anordnung (12) hervor Pa > (Pa2‚ @“.17 Pa Wir setzen jetzt als Zeichen für diesen. Uebergang 2 - Pa /> (”=1;2; 7); dann wird die Wirkung von sx auf die Elemente (12) als Funetionen der z aufgefasst dieselbe sein wie die von 6” auf dieselben als be- liebige Elemente aufgefassten Glieder folglich wird, wenn sich auch Sg und 6g entsprechen, die Wirkung von S% 3 dieselbe sein, wie die von 6x-65, d.h. auch s„Sg und 66g entsprechen einander; wir haben demnach Isomorphismus zwischen den s und den 6 Es können bei dieser Zuordnung nicht zwei verschiedene s, und Sı das <ﬂemhe 6, = 6, _ hervorrufen. Denn sonst würden sich 887° und 667 = 1 entsprechen, d. h. die von 1 verschiedene Subst1tut10n SS 1lefe keine Umänderung bei (12) hervor, während doch sogar ]edes Klement von (12) sich durch jede Subst1tut10n ändert. Um- gekehrt entspricht jedem s, ein 0, Folglich findet einstufiger Isomorphismus zwischen den s und den 6 statt, wobei die 6 eine Gruppe I” von der Ordnung 7 bilden I’ ist auch vom Grade r, da seine Elemente %,, %, @, sind I’ ist so beschaffen, dass jede seiner Substitutionen 6 (ab- gesehen von 6, = 1) alle Elemente umsetzt; denn jedes @ ist eine ”!-werthige Funetion Jedes 6 ist regulär d h. es enthält nur Cyklen von gleich vielen Elementen denn wäre dies nicht der Fall dann würde eine passende Potenz, ohne = 1 zu sein, einige Elemente niıcht umstellen S Wir können die angegebene Methode dadurch abändern, dass wir für @ eine beliebige q-werthige Funetion (q > 2) mit den Werthen (12*) Pı> P, D3 , Po nehmen und auf diese Reihe die Substitutionen s„ der Gruppe & an- wenden um dadurch jedem Sx einm 6 zuordnen zu können Ebenso wie oben folgt dann, dass dem Producte s7Sg das Product 0, 6y ent- spricht und aus $ 543 entnehmen wir dass jedem s nur Ein 0% Composition und' Isomorphismus. 341 entspricht, weil sonst ein s bestehen müsste, welches von der Einheit verschieden ist und doch alle Elemente aus (12*) ungeändert lässt. Die neue Gruppe I” ist sonach einstufig-isomorph zu &; aber freilich fehlen ihr die weiteren Eigenschaften der oben abgeleiteten Gruppe, die der Benutzung einer Galois’schen Funetion entstammte. $ 558. Wir hatten zu Beginn des vorigen Paragraphen den Be- griff des Isomorphismus weiter gefasst, indem wir nur forderten, dass eine Zuordnung der Substitutionen von &@ und I” möglich sein solle, bei welcher aus dem Entsprechen von s und 6, und demjenigen von Sg und 6, auch das von S«Sg und 646g für alle «, ß folgt. Hierbei können einem s mehrere 6 und zugleich einem 6 mehrere s entsprechen. Auf diesen allgemeinsten Fall wollen wir jedoch nicht eingehen, sondern uns allein mit demjenigen beschäftigen, in welchem der einen Sub- stitntion 1 von I” in G eine Reihe von m Substitutionen Sı, S, $ 5;u entspricht, und umgekehrt jeder von diesen m Substitutionen s’ allein 1 aus I; Dann sagen wir, G stehe zu I” in m-ein-stufigem Iso- morphismus oder kürzer, G sei zu I” m-stufig isomorph. Zuerst ist es klar, dass die s’ einen Theiler G' von G& bilden, da jedem Producte s,:sS; das Product 1.1==1 entspricht. — Ferner sieht man, dass jedem 6, aus I” gleichfalls »” Substitutionen aus G und nur so viele entsprechen. Wenn wir nämlich mit s,.eine dem 6, entsprechende bezeichnen, dann sind alle dem 6, entsprechenden durch die Producte SS S s gegeben. Dies folgt aus 6,-1==6, und andrerseits aus 6,-6, =1. - Ebenso erkennt man, dass einem Theiler von I” der Ordnung g ein Theiler von @ der Ordnung m-g entspricht, und dabei einem auto- jugen Theiler von I” ein autojuger Theiler von G. — Aus dieser letzten Eigenschaft ergiebt sich, dass G ein autojuger Theiler von G& ist, weil ja 1 in I” einen autojugen Theiler bildet. — G kann nur dann in m-stufigem Isomorphismus zu I” stehen, wenn es einen autojugen Theiler G' der Ordnung m besitzt. Ist diese Bedingung erfüllt, dann kann eine Gruppe I” zu welcher G in m-stufigem Isomorphismus steht, leicht construirt werden. Es sei G mit den Substitutionen 1, 5S;, 52, --- S dieser autojuge Theiler von &, und @(z,, Zm) = @, eine zu G gehörige Funetion. Es seıen ferner (12”) Pı> Pa, Ps3, Pr (m.t=r) die £ Werthe, welche w unter dem Einflusse der Substitutionen von G annımmt. Da @, für s CC ungeändert bleibt, so wird die 342 Sechsundfünfzigste Vorlesung $ 558—559. N Reihe (12”) völlig unberührt bleiben, wenn man ein s’ auf sıe anwendet. Die Umwandlung von (12”) durch ein s, wird die gleiche sein, wie durch s,-S Diese Umsetzung der %,, %, . Jässt sich wieder als eine Substitution 6, unter den Elementen @ auffassen, und so gelangt man zu der isomorphen Gruppe I” unter den @,, :-- @, bei welcher die Einheit jeder Substitution der Gruppe G zugeordnet ist. Hat man eine andere Gruppe ©, zu der G m-stufig isomorph ist, so werden natürlich © und I” einstufig-isomorph sein, falls G' in beiden Fällen der vermittelnde autojuge Theiler ist Ist umgekehrt I” zu @ einstufig-isomorph, und G zu I” m-stufig, dann wird G zu ®© gleichfalls m-stufig isomorph werden. $ 559. Im $ 540 haben W.il' gesehen, dass wenn G' = [1, 9 93y Sın ein Theiler der Gruppe &G der Ordnung 7 mb ist, dann € Sub- StnbubL OE SS - S“ bestehen, derart dass alle Substitutionen von G in die Tabelle Z S52 S3 S S92 S S2582 , 3 2 SS G' s (13) S S2853 k 5353 Sr’u S53 G/'S3 517 St , 52 54 3';’3 St y 5/’n St \ 54 eingeordnet werden können, deren einzelne Zeilen die einzelnen con- jugen Complexe G/’s„ enthalten. Aus den Betrachtungen. des vorigen Paragraphen ergiebt sich ein bedeutender Unterschied zwischen dem Falle, in welchem G autojug in G ist, und dem, in welchem dies nicht stattfindet. Ist G autojug in G, dann liefert das Product einer beliebigen Substitution der x'°" mit einer beliebigen der A“ Zeile von (13) eine Substitution einer durch x und 21 vermöge S,S; == SwSw eindeutig be- stimmten u'” Zeile. Es wird nämlich bei beliebigen @« und ß —z SS (S4S7) - (8382) = Sa (8,8p) 82 = Sa (SySu) Sz — 39 * SwSu Und wenn umgekehrt in (13) das Product zweier beliebiger Sub- stitutionen der x° und der 2 Zeile stets eine Substitution einer bestimmten u“ Zeile wırd, dann folgt, falls man s,52 = SySu Setzt, aus SaSn 5951 = S85 dass weiter auch Composition und Isomorphismus, 343 / l sLl b/ SpS2 w 4 S;„.%'„ F Sf9' *5452 , S L( S '5‚la‘ — 5'_.‚5z, / S99 = $ wird. Lässt man nun ß alle Werthe 1, 2,-.- % durchlaufen, dann folgt, dass jedes ’s, und also auch jede Substitution von &G mit G vertauschbar und deswegen &’ in G& autojug ist. Die Eigenschaft, dass dıe Zeılen von (13) als Elemente aufgefasst und als solche durch Vermittelung der s eindeutig componirt werden können, ıst demnach charakteristisch dafür, dass G' in G autojug ist. Wenden wir Nun möge dies für @& und G wirklich stattfinden. dann auf die Reihe der Complexe L C N G’S[ Z G'& G' eine Substitution S, an, dann geht sie in GIÖ.M; G/Ö'2SL'() G‚535(‚{; G S48a über; man erhält also eine Llem Sz entsprechende Substitution / G5 D (x > dl DA ) w=( G ) Bedeutet andrerseits vg = @, eine zu G gehörige Funetion, und ist P q7—>'2 _ $’) P 83 P3 , q)-5‘[ S q‘75 2 dann wandelt s„ diese Fo]ge ın q)\3'(; ’ q)—3'-:'\'(-( ? q)'3':s Sa 2 Psysx um; man hat also bis auf die Bezeichnung der Elemente die Sub- stitution 6, erhalten. Somit erzeugt man durch die Verwendung aller s die im vorigen Paragraphen besprochene Gruppe I” der 6, zu welcher G in m-stufigem Isomorphismus steht. Hölder hat für diese Gruppe den Namen Factorgruppe und die Bezeichnung (14) T C eingeführt *). Natürlich ist dabei I” weder in der Bezeichnung noch in der Anzahl der Elemente eindeutig bestimmt; es kann, wenn ein I” gefunden ist, jede andere dazu einstufig isomorphe Gruppe für G/G- genommen werden. A 3 X *) Math. Ann. 4 (1889), p. 26. 344 Sechsundfünfzigste Vorlesung 8 559. Siebenundfünfzigste Vorlesung 8 560. Jedem Theiler H von I’= G/G” entspricht ein Theiler H' von G, dessen Ordnung m-mal so gross ist, als die von H. Aber es entspricht nıcht umgekehrt jedem Theiler von G ein solcher von I, sondern nur ? denjenigen, welche G& selbst enthalten. Wenn hierbei H autojug in I” ıst, dann wird aus DA = R Olgen GAHG=H, und da M zugleich ein Multiplum von G ist, so zeigt es sich, dass dann G kein autojuger Maximaltheiler von &} seim kann. Umgekehrt folgt aus dem Bestehen der zweiten Gleichung die erste und damit, dass I” nicht einfach ist. Folglich "erkennt man: Die Factorgruppe I’= G/G’ ist dann und nur dann einfach, wenn-G’ ein autojuger Maximaltheiler von G ist. AA Siebenundfünfzigste Vorlesung. Die Galois’sche Gruppe einer Gleichung. & 560. Die Kreistheilungsgleichungen und noch mehr die Abel- schen Gleichungen haben uns zu der HErkenntnis geführt, dass die Aenderungen, welche gewisse Vertauschungen der Gleichungswurzeln unter einander bewirken, von Wichtigkeit für die Natur der Glei- chungen selbst seien. Diese Ueberlegungen leiteten uns zunächst zur Betrachtung der cyklischen und der metacyklischen Gruppe und dann zu allgemeineren Untersuchungen über die Substitutionen selber. Wir wollen jetzt dazu übergehen, die Resultate dieser Forschungen für die Theorie beliebiger Gleichungen in voller Allgemeinheit zu verwerthen und haben dabei die aus dem Bisherigen zu schöpfenden Andeutungen zu beachten, nämlich dass die behandelten speciellen Gleichungen stets durch eine gewisse Gattung von Funetionen der Wurzeln charakterisirt werden. Beispielsweise war eine cyklische Gleichung eine solche, bei welcher eine cyklische Funktion der Wurzeln zum Rationalitätsbereiche gehörte. — Wir haben gezeigt, dass wenn %,, %, 2 unbestimmte Grössen sind, und wenn @ (Z,, %,: %) eine rationale Function derselben be- deutet, dann alle Substitutionen unter den z, welche q nicht ändern, eine Gruppe bilden ($ 539). Dieser Satz lässt sich nicht auf den Z aufhören, unbestimmte Grössen Fall ausdehnen, dass die ,, %, zu sein, sondern er kann versagen, sobald zwischen ihnen rationale Composition und Isomorphismus. Die Galois’sche Gruppe einer Gleichung. 345 Beziehungen stattfinden. Hat man z. B. zwischen den drei Grössen Z1) %, % die Relation z, = %, dann wird die Funetion O= 4 7 %, welche bei unbestimmten Grössen z zu der Gruppe [1, (z,%)] gehört, für die folgenden vier Substitutionen von 2,, %, %3: 1 (0,%), @2), @2%) und nur für sie ihren Werth nicht ändern, ohne dass jedoch diese vier Substitutionen eine Gruppe bildeten. Das erklärt sich so, dass z. B. (z,%) zwar nicht den Werth, wohl aber die Form von @ ändert, so dass die darauf folgende Anwendung von (z,2) sich gar nicht mehr auf die vorgelegte Funetion @ beziehen würde. Z In dem Falle also, dass die D als Wurzeln irgend einer besonderen Gleichung definirt sind (D) f (?) = (2—2)(42—%) : (2—%)=0, deren Coefficienten nicht mehr unabhängige Grössen sind, muss die frühere Theorie durch eine andere, allgemeinere ersetzt werden. Wir können, um dies durchzuführen, zunächst die Voraussetzung aufnehmen, Denn sollte diese An- dass f= 0 keine gleichen Wurzeln enthält. nahme nicht erfüllt sein, dann haben wir ja Mittel an der Hand, um aus (1) eine Gleichung herzuleiten, welche jede der verschiedenen Wurzeln von (1) nur in der Multipliceität 1 enthält ($ 70; Bd. I). Nun haben wir früher gesehen ($ 539), dass, falls nur ,, %, “n Z unter einander verschieden sind, auch für beliebige andere Relationen zwischen ihnen bei unbestimmten 4, %, --- W, die lineare Funetion (2) O, — U I 8 A A Unnn %! von einander verschiedene Werthe besitzt. Diese bezeichnen wir in willkürlicher Ordnung mit äjn! @2 @,, @,, W, . Wir bilden nun, unter @ eine Unbestimmte verstehend, das Product (3) CC 2 © vom Grade %! in ®. Da y(®@) in den z, symmetrisch ist, so gehören seine Coefficienten dem Rationalitätsbereiche an, und y(®) ist rational darstellbar. Hierbei ist es möglich, dass auch schon ein Factor von y(®) ratio- nale Coefficienten besitzt, mit anderen Worten, dass (3) reductibel ist. Dies kann infolge der besonderen Werthe der z; geschehen. Wir nehmen an, es sei 346 Siebenundfünfzigste Vorlesung $ 560 (4) (®) = (@ — 0|) @ —0w,) (® — @) ein solcher irreduetibler Faetor von (3), und zwar derjenige fest be- stimmte, der den linearen Theiler (@© — ®,) enthält Al Substitutionen der z,, welche den Werth von (4) nıicht ändern bilden eine Substitutionengruppe &. Das muss nach unseren obigen Bemerkungen über Funetionen bestimmter fester Grössen zı ausdrücklich bewiesen werden Wir wollen mit g„ das Re- sultat der Anwendung einer Substitution 6 der z auf (4) bezeichnen Nun sei s eine Substitution die g nicht ändert, also gs = g Weil @ unbestimmt ist, müssen g, und g ın allen Coeffieienten und daher ım allen Linearfactoren übereinstimmen . 3ı S yertauscht. nur die O4 ) Q @, unter einander denn die Werthe (2*) sind ja sämmtlich unter einander verschieden Ist £ eine andere Substitution, welche den Werth von (4) nicht ändert, so vertauscht auch $ nur @,, @,, @, unter einander Daraus folet dass dann auch das Product st das Gleiche thut OL In dass Also gehört auch st zu den Substitutionen, welche U ZU Sn g nicht ändern; ihre Gesammtheit hat folglich, wiıe behauptet war, die Gruppeneig enschwft Daraus ergiebt sich weiter dass die Werthe aller zu g conjugen Denn hat man für Funetionen numerisch unter sich verschieden sind rgend eine Substitution 6 die numerische Beziehung g;=g, SO blieben alle gemachten Schlüsse bestehen und 6 &ehörte zu (. Wäre ferner Ix=g9o, SO hätte man g,,_1=g; also gehörte vo—' zu &, d.h. 6 und 7 wären Substitutionen eines zu G conjugen Complexes ($ 541) Es ist demnach die Diseriminante (« + ß) H(!h 9 von Null verschieden, und somit kann man nach $ 540, (8*) jede zur Gattung G gehörige Funetion rational durch g ausdrücken d. h. eine jede solche ist gleichfalls rational bekannt die Substitutionen der zu (4) gehörigen Sal mum Sı == 11 8 Substitutionengruppe G, dann gehört auch (®@ — @,) (@ — @s o (# —® © zur Gattung G, weil der Complex S1S« , SaSa , SySa mit 51, S2), él übereinstiummt Folglich ist (5) rational bekannt und also ein ratıo- naler Theiler von y(u) Gleichzeitig hat (5) mit dem irreductiblen gemeinsam; q(@) ist daher als Factor g(@) einen Factor (@ — @,) Die Galois’sche Gruppe einer Gleichung 347 Factor in (5) enthalten Andrerseits kommt jeder Factor von (5) in (4) vor, wie man sieht, wenn man auf qg(@) alle s,, %, S, anwendet und insbesondere dabeı die Umwandhmc von (® — ®,) beachtet — Folglich ist (5) mit (4) 1denf31sch und q Ist die Funetion (4£°) I(®) = (® — @,) (@ — 0,) (()—r0 ) Manl irreductibler Factor dann bilden die Sub- von (83), stitutionen S4 al ’ 597 S, eine Gruppe &, zu welcher g(®@) gehört Jede zur Gattung & gehörige oder unter ihr stehende Function ist rational durch g(@) darstellbar. — Den letzten Satz können wir auch umkehren: Es sei p(2,, , Zn) eıne atıonal bekannte Funetion Da ®, zur Galois’schen Gattung gehört und deswegen auch eine von Null verschiedene Diseriminante besitzt so kann jede Funetion der z durch @, rational ausgedrückt werden Insbesondere gelte für unsere Funetion (P(41; %9 .4„\ — l) (COI> Dann hat die Gleichung in @ , deren Coefficienten rational bekannt sind, P (®) D =0 mit ((.}) => O die Wurzel gemeinsam und alle Wurzeln O; da g irreduetibel ist gilt auch Demgemäss 0= V@)= * ) e e 5 Os )» oder mit anderen Worten: @ (z,, Zn) bleibt für alle Substitutionen von G ungeändert @l In Jede rational bekannte Function q>('“1; 7) Zn) ehört zur Gruppe G oder steht unter ihr Dieses letzte Theorem lässt auch noch eine andere, häufig nütz- liche Fassung zu Jede rationale Relation die zwischen den Wurzeln 2 SI 'ä‘)7 Z besteht, bleibt richtig, wenn in ihr auf die < 2 die Substitutionen von G angvewendet werden Denn eine jede solche Relation lässt sich in die Form g = 0 bringen So zeigt sich die grosse Bedeutung dieser Gruppe G oder ihrer Gattung für (1). Wir nennen &@ die Galois’sche Gruppe*) oder kürzer die Gruppe der Gleichung (1) ELE E E B d ) Oeuvres d’Evariste Galois, Cdit. p. Picard p- 33 Die Abhandlung stammt aus dem Jahre 1831 348 Fiehenundfünfzigstc Vorlesung $ 560—562. Da g(@) nur für G ungeändert bleibt, so ist es charakteristisch für jede Substitution der Gruppe, dass ihre Anwendung jede Funetion numerisch ungeändert lässt, welche sich ratıonal darstellen lässt. Hat also die irreductible Gleichung f(z)= 0 reelle Coefficienten, und besteht auch der Rationalitätsbereich aus reellen Grössen, sind HOMIER Zn 68 Za9 A 7 Zax— 1, %x die %x Paare conjugirt complexer Wurzeln, welche f(z) == 0 besitzt; und bedeutet endlich @ (2,, 2, - 2 eine jede rational bekannte Function, so wird @ seinen Werth nicht ändern, wenn das in 2,, %, Zax auftretende Symbol V—1 in ——]/;i i verwandelt, d. h. wenn jede der complexen Wurzeln durch ihre conjugirt complexe ersetzt wird. Diese Umänderung ıst einer Substitution $ = (2,%) (2324) - (2ax—1%) äquivalent; folglich gehört diese zur Gruppe der Gleichung*). Wenn also insbesondere f(z) = 0 nur die beiden complexen Wurzeln z, und z, enthält, dann gehört s == (z,%) zu der Gruppe. Daraus kann man (8 519 und 8 567) schliessen, dass die Gruppe einer irreductiblen numerischen Gleichung, welche nur zwei complexe Wurzeln besitzt, mit der symmetrischen Gruppe der Wurzeln zusammenfällt; d. h. die Gleichung ist so beschaffen, dass nur die symmetrischen Funetionen ihrer Wurzeln rational bekannt sind. Könnte man also zeigen, dass es in einem gegebenen reellen Rationalitätsbereiche irreductible Glei- chungen „ Grades mit nur zwei complexen Wurzeln giebt, so wäre bewiesen, dass diese als Gruppe die symmetrische Gruppe besitzen. (Vgl. hierüber weiter $ 566.) 8& 561. Es sei nun 6 eine Substitution der z, welche nicht in & enthalten ist; sie möge @, In @s umwandeln. Wir bilden (6) (® — ®o) (@ — Oos) : @ — Dos/)- Dieses Product gehört zur Gattung &@ und ist also rational darstellbar. Ferner hat es mit (5) keinen linearen Factor gemeinsam, weil _ alle 68. von den s verschieden sind. Endlich kommt jeder seiner Factoren in (3) vor. Folglich ist (6), genau wie g(@), 6in rationaler Theiler von y(®). (6) ist auch irreductibel. Denn könnte man es in rationale Factoren niederen Grades zerspalten, so wäre es möglich, einen der- selben zum Ausgangspunkte der, Untersuchung des vorigen Paragraphen zu wählen, und man käme statt auf die Gattung G& auf eine andere * E. Maillet, M6m. de l’Assoc. franc. pour l’Avancem. des Sciences (1897). — C. R. 127 (1898), p. 1004. Die Galois’sche Gruppe einer Gleichung. 349 mit geringerer Gruppe, was nicht möglich ist, weil sonst qg(w) zer- legbar würde, Die Bildung von (6) zeigt, dass die Gattung, zu der man von dieser Funetion aus gelangt, die gleiche ist, wie diejenige, welche (4) liefert. KEs ist demnach gleichgültig, von welchem der irreduetiblen Factoren von y(@) man ausgeht. Ist n!>2r, dann kann man in derselben Weise das Verfahren fortsetzen. Zerfällt (3), dann sind alle seine Factoren von demselben Grade v, und sie gehören sämmtlich derselben Gruppe & an. Es mag noch darauf aufmerksam gemacht werden, dass (6) nicht etwa ein zu (4) conjuger Werth ist KEin solcher würde, wenn er (0 — 0,) enthalten sollte, gleich Z —— ( @e ( wS„O' ) sein, und die zugehörige Gruppe wäre i. A. von G verschieden. $ 562. Wenn durch (1) die Gleichung (1) f(e)= —+La —. + @=0 gegeben ist, dann wird natürlich dadurch zugleich G bestimmt, ebenso wie der Complex der Wurzeln 2,, Sn Aber man kann die Natur der Gleichung (1°) immer noch dadurch ändern, dass man gewisse Be- ziehungen zwischen den Wurzeln festsetzt. Dies ist natürlich nur so möglich, dass diese Beziehungen in Uebereinstimmung mit den Wurzel- werthen stehen, und daher können sich solche Beziehungen auch nur auf den Rationalitätsbereich beziehen. Ihr Wesen kann somit nur darin bestehen, dass der Rationalitätsbereich durch sie über die symmetrischen Functionen hinaus erweitert wird. Jede Funetion der Wurzeln ist ja numerisch bestimmt, sobald (1*) gegeben ist. Aber man kann sie zum Rationalitätsgebiete hinzunehmen, sie diesem, wie man sagt, adjungiren und dadurch die Natur der Gleichung ändern. Das wird folglich dadurch und nur dadurch geschehen können, dass eine vorher nicht rational bekannte Function Z (Z,, * %n) als rational angesehen und dem bisherigen Rationalitätsbereiche (X', K, --) hinzu- gefügt, ınm adjungirt wird. Schon an den Gleichungen zweiten Grades lässt sich dies exemplificiren. Es sei die irreductible Gleichung zweiten Grades Z —2a42 +b=0 gegeben; wir setzen D3 3;'>(’1 Siebenundfünfzigste Vorlesung $ 562—56 . D 51 -{ U9% , 02 — U % A U, V(@) = @* — 2a(u +u) @ + ( — u0)*b + 40 uu = 0, Im Allgemeinen ist y(®@) unzerlegbar. Wir haben nun als rational bekannt die symmetrische Funetion (Z, — %)* = 4(a° —0); setzen wir a° — b= @ und nehmen &@ in den Rationalitätsbereich auf, dann entsteht A = Dn 2 und jetzt zerfällt, wie man leicht sieht, y(@) in zwei lineare Factoren. Hier wäre es noch möglich gewesen, die Bestimmung a° —b = 64 in die quadratische Gleichung selbst aufzunehmen, indem man sie unter Einführung von c& an Stelle von b 2 Z 2a2 + b I — 2a42 + * —6 0 2=0 schreibt. Aber es ist nıcht unwahrscheinlich, dass unter etwas compli- ecirteren Annahmen eine solche Uebertragung der "Thatsache, dass eine Function * (2,, 2„) als bekannt angesehen werden soll, ın dıie Gleichung selbst auf rationalem Wege nicht mehr durchführbar ıst. In besonders einfachen Fällen kann man durch Vermitte- &$ 563. Jung der Wurzeln selbst die Gleichungsform, welche zu einer gegebenen Gruppe gehört, berechnen. Wir wollen dies an den Gleichungen vierten Grades für einige Gruppen zeigen. Zunächst sei die cyklische Gruppe n 2 G =[1, (&,% <3 81), (& 23) ( 24), (1 2483 89)] die Gruppe einer Gleichung f(z) == 0 des vierten Grades. Dann wissen wir aus früheren Untersuchungen, dass diese Gleichung cyklisch und dass die Funectionen @ 0 - a @- - 0 —0a als Lagrange’sche Resolventen rational bekannt sind. Zugleich er- kennt man, dass jede dieser Functionen zu G gehört und nicht zu- gleich unter G steht. Ferner sieht man, dass auch (8, — 18 — @ + 084) (81 + 02 — % — 08) Man kann also mit rationalem b und s zu G& gehört. — — i = A0 Ala A — 45 V0® setzen; nur darf b keine vierte Potenz im Rationalitätsbereiche sein. Die Galois’sche Gruppe einer Gleichung. 351 Ferner gehört (2, — % + % — 2)* zu G und ist also im Rationalitäts- bereiche enthalten. Ebenso ist aber auch @— B F a ) @ — B 0a zu (} gehörig; deshalb können wir mit ratıonalem / A b A @y i= 4r VO* setzen. Wenn wir dann endlich die symmetrische Function 8 A F A a = A0 zu Hülfe nehmen, dann ergiebt sich durch Combination der vier in den z linearen Gleichungen als Resultat Q @ VDE S, Z =E=— ((( - ) @I0 = RE — IV & = a — 1'/Ö +r i/bé — s1‘/b‘‚ B Z @— 000 = WF A V und daraus findet man für y,= %, —@ die Gleichung mit den Wurzeln yı, Yo, Ya, Yı y“ — 20(2s + r") y — 4br (1 4 bs”) y 4-.6*(r* — 2s)* — b(1-46s’)”=0 als allgemeine cyklische Gleichung vierten Grades mit verschwindendem zweiten Gliede, Abel hat in einem Briefe an Crelle vom 14. März 1826 a A WLA A VA ( T —{—(“) als Wurzelform angegeben. Wir gelangen von (7) zu ihr, wenn wir F 4 0s? _ 40s? <} ( 82_\)i“' EB RN ’ A [ 25 ( da 6 ] ( ZED ). — er 1 — Ds* 25 Z B setzen. — Wir stellen uns zweitens das Problem, die Gleichungen vierten Grades mit der Gruppe H=[1, (& %)(@024), (& 83)(2224), (2,21) (223)] zu finden. Hier ist das Produet Cara 21) (81 — %a — % + 51) . und ebenso das Quadrat jedes einzelnen Factors in diesem Produet zu H gehörig. Wir können deshalb die Werthe der Factoren gleich 352 Siebenundfünfzigste Vorlesung $ 563—564 Vo, Ve, dVbe setzen, wobei b, c keine Quadrate im Rationalitäts- bereiche sein dürfen und b, c, d rational sind. Wir finden wie oben falls 2 + % + %3 + 2,= 4a gesetzt wird —(L ]/b Ve+dVobe _a+1/b—1f—d1/bc, (8) Z O FE V —a —Vb—Ve+dVbe Setzt man auch hier wieder y, = 2, — a, so entsteht y* — 2(b+c+bed?) y* — 8bedy + b —c bed?)? — 4bAd? = 0 Diese Gleichung löst die gestellte Aufgabe. — Wir untersuchen endlich drittens die Gleichungen vierten Grades mit der Gruppe K = (1 (@ 24), (2,23) (2924), (2124%3%), (2,2), (1 %) (& 2u), (2324), (Z,24)(%2s)] Hier ist (z, )? + (z — 2,)? rational bekannt; wir setzen es = 8 ebenso ıst @—a @— al für die Gruppe X unveränderlich und kann daher = 4°b, d. h @— Bı — (& — @ı) =8V0 venommen werden; b darf kein Quadrat sein Es folgt (21, — %) _‘4(C+Vb) (22 — %) '_4(0"_Vb) Weiter zu K gehörig und ebenso ıst es S — % F% ı) — 2,)!1(2, — % + % — 2ı); demnach wird Z —+ — A=4dVb und setzen wir endlich Aa a A, so folgt, wenn man wieder Y, = 2, — @ schreibt LLL B S 2L IV —V VO (9) LOn DE Z ——a—d1/b——Vc—Vö y* — 2(bd? +c)y* — 4bdy + (bd* — b=0 Hierbei müssen a, b, c, d rational sein, und b darf kein Quadrat werden. Ueber die Auf'dabf3n dieses Paragraphen vgl. H. Weber, Marburg. Ber. 1892 und Fr. Hack, Dissertation, Tübingen 1895, 353 Die Galois’sche Grupp'e einer Gleichung. Wir kehren nunmehr zu allgemeineren Betrachtungen zurück. &$ 564. Unsere Ueberlegungen haben uns gezeigt, dass der Glei- chung (1) durch Hinzufügung, Adjuncetion, einer als rational anzu- sehenden Funection (10) h (Zl7 Z Z'n) eine neue besondere Eigenschaft verliehen werden kann, dass sie da- durch nach der Kronecker’schen Ausdrucksweise einen Affect erhält. Eine solche Hinzufügung hat natürlich nur dann einen Nutzen, wenn die Gattung von % nicht schon mit der Gattung G& zusammenfällt oder unter iıhr steht. Denn in diesem Falle würde ja (10) bereits Ist aber eine solche Funetion (10) vor der Adjunetion bekannt sein. dem Rationalitätsbereiche adjungirt worden, dass dieser dadurch eine Erweiterung erfahren hat, dann geht die Zerfällung von y(@) noch über g(@) hinaus vor sich. Es wird qg(@) nämlich durch die Ad- junetion von (10) reductibel. Um dies zu zeigen, wollen wir unter q(Z,, %,: %) eine zu G gehörige Funetion und ferner unter H die zu h(2,, , %n) gehörige Gruppe verstehen. Dann ist die Funetion 7‘;‘(517 A Z„) 7 Q(Zl7 29 “&) 0 B(& %, Z) bei unbestimmten v rational bekannt. Diese Funetion gehört zu der aus den gemeinsamen Substitutionen von G und H bestehenden Gruppe K. Man sieht sofort, dass diese Substitutionen eine Gruppe bilden ($ 539, Schluss); und ferner ist es klar, dass % nur dann un- geändert bleibt, wenn g und % es bleiben. Es ist sonach jede zu K gehörige Funetion rational darstellbar. Wenn man nun auf den Factor (@ — @/,) alle Substitutionen von K anwendet und das Product der entstehenden Factoren bildet, so erhält man folglich einen rational bekannten Factor von g(@). Dabei zerfällt g(@) wieder in Factoren gleicher Grade, von denen jeder ein- zelne zu der Gruppe K gehört. Hierdurch ist zugleich gezeigt worden, dass es bei jeder Adjunetion ausreicht, für h eine Funetion zu wählen, deren Gruppe H ein Theiler von G wird, so dass g(@) unter h(2,, %,: : 2Z) steht. Weiter ist es ersichtlich, dass nur dann eine Adjunetion den Affect der Gleichung ändert, wenn durch sie g(@) reductibel wird. Endlich erkennt man, dass der scheinbar allgemeinere Fall der Ad- junetion zweier oder mehrerer Funetionen A(2,,::- 2n), N(2,, d Z")7 mit dem eben besprochenen identisch wird, sobald man’die eine Funetion (11) N (21, Zay * Bn) 4 O N(@1) %, Zu) adjungirt. Netto, Algebra. II, 23 354 Siebenundfünfzigste Vorlesung 8& 564—566. In (10) und in (11) haben wir der HEinfachheit des Beweises halber eine Unbestimmte v eingeführt. Man kann diese aber auch durch eine passend gewählte Constante ersetzen. Es kommt nämlich bei dem Beweise nur darauf an, wenn A, hg und nNe, Ng conjuge Fune- tionen sind, die Wahl so zu treffen, dass aus dem Bestehen der Gleichung ha (81) ** * Zn) 4 ONa (& 2n) = hg @p ) < UNB (& 2n) der Schluss « = ß gezogen werden darf. Ist nun M das Maximum, welches der absolute Betrag |Ax — hg |, und m das Minimum, welches |7]„—17„v| für alle möglichen « und ß annehmen kann, und wählt man die Constante E m* dann ıst offenbar die gestellte Bedingung erfüllt. $ 565. Wir wollen jetzt den Hilbert’schen Irreductibilitätssatz benutzen, um ein wichtiges Theorem über die Galois’sche Gruppe einer Gleichung herzuleiten (vgl. Hilbert, Journ. f. Math. 110 [1892] p- 123). Es sei eine Gleichung %“ Grades in z vorgelegt von der Gestalt F + FAr .. + F =0, deren Coefficienten F, Fı,::- F, ganze rationale Functionen der Para- meter %, r,--- q mit ganzen rationalen Zahlencoefficienten sind. Um die Gruppe &@ der Gleichung in dem durch die rationalen Zahlen und die Parameter %, 7, - q bestimmten Rationalitätsbereiche zu finden, bilden wir, wenn, 2,, %, - Z die Wurzeln der vorgelegten Gleichung sind, y(@). Dieser Ausdruck wird nach der Multiplication mit der (n!)'» Potenz von / eine ganze, ganzzahlige Function der Unbe- s stimmten O, U, Ua, 9 Ug Up W SE Ist nun g(@) ein ganzer, ganz- zahliger, im Bereiche der rationalen Zahlen irreductibler Factor von y(@), so wird die gesuchte Gruppe G durch diejenigen Substitutionen gebildet, welche g(@) ungeändert lassen. Wir wollen jetzt zeigen: Man kann in die vorgelegte Gleichung auf unendlich viele Arten für die Parameter %, r7,-.-. q ganze rationale Zahlen derart einsetzen, dass die so entstehende ganzzahlige Glei- chung im Bereiche der rationalen Zahlen die nämliche Gruppe G besitzt wie bei unbestimmten Parametern. Nach dem Hilbert’schen Theorem ($ 487) können wir zunächst für £ unbegrenzt viele ganze rationale Zahlen bestimmen, nach deren Einsetzung g(®@) eine im Bereiche der rationalen Zahlen irreductible Funetion der Veränderlichen @, &,:-: U, 7,:::q Wird. Dies allein Die Galois’sche Gruppe einer Gleichung. 355 reicht aber für unsere Zwecke noch nicht aus, denn es könnte dabei die vorgelegte Gleichung gleiche Wurzeln erhalten. Um dies zu vermeiden, berechnen. wir die Diseriminante D der vorgelegten Gleichung; die- selbe wird nach Multiplication mit einer Potenz von /} eine ganze, ganzzahlige, nicht identisch verschwindende Funetion der Parameter Ü, , q Es giebt bei unbestimmten 7,:-- q nur eine endliche Werthezahl von %, für welche die Discriminante verschwindet; diese erhält man, wenn man die Discriminante nach Potenzproducten der r,--- q entwickelt und die einzelnen Coefficienten, welche Functionen von £ werden, gleich Null setzt. Wir verfügen nun über unbegrenzt viele Zahlen %, welche g(@) irreducetibel lassen; folglich existiren auch unbegrenzt viele, die zugleich D=+0 lassen. Kine von diesen % wählen wir aus. Hierauf bestimmen wir eine ganze rationale Zahl 7,, bei deren Ein- setzung für ” die Function g(@) eine im Bereiche der rationalen Zahlen irreductible Function der übrig bleibenden Veränderlichen wird, und für welche überdies die Diseriminante D von Null verschieden bleibt. So fortfahrend erhalten wir für %, 7,--- q ganze rationale Zahlen to> Yo> ‘ qo, nach deren HEinsetzung eine ganzzahlige irreductible Z Funection g(@) der Unbestimmten W, U, U, Un herauskommt, und für welche die Diseriminante D der Gleichung eine von Null verschiedene rationale Zahl wird. Es ist nun einerseits offenbar, dass alle Substitutionen, welche g(®) ungeändert lassen, auch g,(@) nicht ändern werden; andrerseits kann qgp(@) bei keinen anderen Substitutionen ungeändert bleiben, da Z (& überein- die Ordnung der Gruppe mit dem Grade von g oder g% in stimmt. G ist mithin zugleich die Gruppe der durch Einsetzung jener ganzen Zahlen entstehenden ganzzahligen Gleichung. $ 566. Von dem angmeinen Satze des vorigen Paragraphen wollen wir eine Anwendung machen, indem wir für %, F,, v selbst die Parameter %, 7, --q, d. h. also unbestimmte Grössen ein- tragen. In diesem Falle ist y(@) irreductibel, und G wird zur sym- metrischen Gruppe. Denn gesetzt, y(@) zerfiele, so wäre, wie in dieser Vorlesung gezeigt wurde, eine rationale, nicht symmetrische Funetion der Wurzeln bekannt. Dies können wir durch, h(zl7 ag 9° Z"> =0 ausdrücken. Daraus würde folgen, dass das auf alle conjugen Werthe erstreckte symmetrische Product Z F Hh Can )=H(Fo; F1;"'Fn)=0 235 356 Siebenun£1fünfzigsteVorlesung 8 566. Achtundfünfzigste Vorlesung $:567—568. wäre. Da H= 0 für unbestimmte Parameter gilt, so muss H identisch gleich Null sein; also auch /Ih; folglich auch einer der Factoren, für den wir, da es sich nur um Aenderung der Bezeichnung handelt, h(Z,, %,: Zn) nehmen können. Gegen die Annahme wäre also h identisch Null und stellte also keine Funection dar, die zu einer unter der symmetrischen enthaltenen Gattung gehörte, Daraus folgt, dass es unbegrenzt viele Gleichungen n“ Grades mit ganzzahligen Coefficienten giebt, deren Gruppe im Bereiche der rationalen Zahlen die symmetrische Gruppe ist; diese haben demnach keinen Äffeoct. LÜ SERER KT Achtundfünfzigste Vorlesung. Transitivität und Primitivität. $ 567. Um die Wichtigkeit der Gruppe einer Gleichung für die Erkenntniss der Natur dieser Gleichung noch von einer anderen Seite her ersichtlich zu machen, wollen wir den Einfluss von Reductibilität und Irreductibilität auf die Constitution der Gruppe betrachten. Es sei f(z) = 0 gegeben, und der Rationalitätsbereich möge durch (1D) A (A(@,, - 2n), ı, No, ) bestimmt sein. In ihm möge f(z) reductibel werden, und zwar sei f(e) =n(e) : 4(2); (2) O =C—) C - HH n (4 D ‚Z'„). Ferner bezeichnen wir die Gruppe von f in (1) mit G. Da p(z) rational bekannt ist, so bleibt es unter der Einwirkung von G ungeändert, d. h. keine der Substitutionen von G ist im Stande, Z umzuwandeln. Die Sub- en %1, %, 58 Z n C Z a stitutionen. von G sind also so beschaffen, dass sie nur %,, %, Sa .. Z, unter sich yvertauschen. unter sich und ebenso nur Z4+4+1) Za+2, Umgekehrt möge G die Higenschaft haben, dass seine Substitu- tionen sı = 1, 5%,::-S- auf z, mnur einen, der Werthe 2,, %, ** %a folgen lassen; dann vertauschen sie die 2,, %,: Za überhaupt nur unter sich. Wendet man alle auf das Produect (z a an, dann bleibt dies hierfür ungeändert und ist folglich rational dar- stellbar. Es ist demnach p(z) rational bekannt, und f(£) reductibel. Die Galois’sche Gruppe einer Gleichung. Transitivität und Primitivität. 357 Kennt man mithin die Galois’sche Gruppe einer Gleichung, so weiss man sofort, ob die Gleichung reductibel oder irreductibel ist. Die Gruppe einer Zahlengleichung ist im Gebiete sämmtlicher com- plexer Zahlen gleich 1. Wir nennen eine Gruppe transitiv, wenn es durch ıhre Sub- stitutionen möglich ist, auf z, jedes andere Element %,, 2 ,° Zn folgen zu lassen, und intransitiv, wenn die Gruppe diese Kigenschaft nicht besitzt *). Mit Hülfe dieser Kimführung können wir sagen: Für die Irreductibilität einer Gleichung in irgend einem Ratio- nalitätsbereiche ıst die Transiıtıvyität ıhrer für diesen Be- reich bestehenden Gruppe charakteristisch. In 8 68, Bd. I_ sahen wir, dass wenn eine Funetion g(z) für die Wurzel z, einer irreductiblen Gleichung f(2) =0 verschwindet, Gleiches für alle Wurzeln von f=0 eintritt. Dieser Satz zeigt sich jetzt als besonderer Fall des Theorems von 8& 560, S. 347; denn ist g(z,) =0, so erlauben es die Substitutionen der Gruppe G von f, die Wurzel z, der Reihe nach durch alle anderen Wurzeln zu ersetzen. $ 568. Als Beispiele für die Bildung der Gruppe einer Gleichung und ihren Charakter für die Transitivität oder Intransitivität wollen wir zwei besonders wichtige Fälle besprechen. Wir suchen zunächst die Gruppe einer Gleichung auf, welche irreductibel und so beschaffen ist, dass alle ihre Wurzeln ratiıonal durch eine unter ihnen darstellbar sind; wir können hier also setzen (3) 19 2 = @(2), % = @s(@), An F q)n(zl). Da die Werthe der einzelnen Differenzen 2 — a(@), 2 — @3 (@), gleich Null und mithin bekannt sind, so müssen sie ungeändert bleiben, falls man eine Substitution s der Gleichungsgruppe auf sie anwendet. Führt diese Substitution s; die Wurzel z, in 2; über, so sind dem- nach auch (4) ‘Siy ‘p2(2'7); 903(Z'7)? Pn (2i) Wurzeln von. f(2)= 0. Diese Grössen sind nun sämmtlich unter einander verschieden; denn aus einer Relation Pe(Zi) = pp(z;) würde folgen g.(zı) = p(Z1), falls man die inverse Substitution verwendet oder falls man die Irreductibilität von f berücksichtigt; qw„(2,) = @p(z) ist aber wegen E *) Kronecker (Grundzüge 8& 12) nennt Gattungen mit transitiver Gruppe „eigentliche‘‘, diejenigen mit intransitiver Gruppe „uneigentliche Gattungen“‘. 358 Achtundfünfzigste Vorlesung $ 568—569. (3) und der Irreducetibilität von f ausgeschlossen. Folglich sind die obigen Grössen alle von einander verschieden; d. h. die Reihe (4) liefert alle Wurzeln, genau wie (3). Daraus folgt mithin, dass alle Wurzeln durch eine jede beliebige rational ausgedrückt werden können. Keine Substitution, welche z, etwa ın 2; umwandelt, lässt ein 2,= @.(zı) ungeändert, denn sonst wäre auch Pu(8ı) = Pu(&)- Infolge dessen würden die Schlüsse von $ 489 zeigen, dass die niedrigste Iteration der Reihe u (21) = p(Zi), [ p (21)] = p [ (&i)], 4, welche den Werth z, hervorruft, auch z; wieder liefert und umgekehrt, so dass Z1 = %; wird. Daraus ergiebt sich, dass jede Substitution s aus G, welche Z, umsetzt, alle Elemente Z,, 2,,::: Z an neue Stellen setzt. Wäre nun t= (za)(z2 - )-:- eine Substitution von G, die ein beliebiges Element z nicht umsetzt, ohne dass doch %= 1 wäre, so nehmen wir eine Substitution s aus &, die auf z% folgen lässt z,. Eine solche ist wegen der Transitivität von G sicher vorhanden. Wir bilden s-1ts und beachten, dass diese Transformirte nun z2, nicht ändert. Da dies Resultat unseren letzten Ergebnissen entgegen ist, so Ikann kein solches £ bestehen. Folglich setzt jede Substitution von G ausser der Einheit alle Wurzeln um. Wenn umgekehrt für eine transitive Gleichungsgruppe G& diese Eigenschaft gilt, dann kann man jede ihrer Wurzeln durch jede andere 2 rational darstellen. Adjungiren wir nämlich z, dem Rationalitäts- gebiete, dann geht die Gleichungsgruppe ın denjenigen ihrer Theiler über, welcher 2, ungeändert lässt (S$ 564). Dieser Theiler wird nach den jetzigen Darlegungen nur aus der identischen Substitution 1 be- stehen. Folglich ist im neuen Rationalitätsbereiche jede rationale Funetion der Wurzeln enthalten, und im Besonderen sind 2,, %, Zn rationale Funcetionen von Zg. Weiter erkennt man, dass G nur % Substitutionen hat, je eine nämlich, die z, in 2,, %,: : Z überführt. Denn hefern s und s’ dieselbe Umsetzung von 2,, dann lässt s *s’ das z, ungeändert. Endlich ist es klar, dass jede Substitution von G regel- mässig sein wird, d. h. dass jeder ihrer Cyklen von gleicher Ord- nung ist. Denn im entgegengesetzten Falle würden geeignete Potenzen, ohne = 1 zu werden, gewisse Wurzeln nicht umstellen, Transitivität und Primitivität. 359 So sehen wir: Für eine irreductible Gleichung %“" Grades, deren Wurzeln sämmtlich rational durch eine bestimmte unter ihnen darstellbar sind, ist es charakteristisch, dass ihre Galois’sche Gruppe G transitiv, von der Ordnung % und so beschaffen ist, dass jede Substitution mit Ausnahme der identischen alle Wurzeln umstellt; es sind alle Sub- stitutionen der Gruppe G regulär. Daraus folgt insbesondere noch, dass wenn % eine Primzahl p wird, dann die Gruppe aus den Potenzen einer cyklischen Substitution besteht. — Für n=4 giebt es zwei Typen derartiger Gruppen. Es sind dies die in $ 563 behandelten G =[1, (& %2324), (21%) (222u), (2,24%3%)]; H=[1, (2,2)(221), (2123) (222u), (21 24)(2223)]- Ebenso hat man für %n = 6 zwei Typen, von denen der eine die Potenzen einer cyklischen Substitution umfasst, während der zweite aus den sechs Substitutionen besteht 1, (2,%@3) (24%526) , (Z183%) (242625) , (2,24) (2226) (2325) , (2,25) (224) (3 26), (21%6) (2225) (2324)- Zu den behandelten Gleichungen gehören die in $ 560 besprochenen 7(@)= 0 mit den Wurzeln ; = ULB, + U3 Bi, + 0199 + ’M„Z,'„ ,7 falls sie irreductibel sind; sonst ihre irreductiblen Theiler g(@) == 0, die uns gerade auf die Gruppe G der Gleichung geführt haben. Wir können also jeder Gleichung f(z)== 0 eine solche Galois’sche Glei- chung g(®@)= 0 zuordnen, derart dass der Grad von g(@) mit der Ordnung der Gruppe G von f(z)= 0 übereinstimmt. Sind durch gewisse Adjunectionen alle Wurzeln von f==0 bekannt, so zerfällt g(®) in lineare, rational bekannte Factoren. $ 569. Von den im vorigen Paragraphen hbesprochenen Glei- chungen gelangen wir zu den Abel’schen Gleichungen, wenn wir zu den bisher zu Grunde gelegten Relationen unter den Wurzeln Z %= leı), % = @s (Z1)V; * %n = @n2ı) noch die Bedingungen der Vertauschbarkeit gı (gr (21)) = Dx (Pi(21)) für alle Combinationen %, £& hinzunehmen. Es fragt sich, welchen Einfluss diese neuen Bedingungen auf die Gruppe der Gleichung ausüben werden, 360 Achtundfünfzigste Vorlesung 8 569—571. Ist s, diejenige Substitution von G, welche z, In Za = @a(21) um- wandelt, so führt sie jedes z, = wı(Zı) in o(Zu) = o(ga(Z1)) über. Ist s diejenige Substitution von G, welche z, in z umwandelt, so führt sie 24 = @alZı) M Yal%) = Palpı(Z1)) über. Es führt also s,s, die Wurzel Z in a (go(21)), und s,s; die Wurzel ö Zil m @ (gpalZı)) = pu (po(21)) über. Da Gleiches von allen Wurzeln und allen Subhstitutionen gilt, so ist die Gruppe einer Abel’schen Gleichung G eine transı- tive, reguläre Gruppe vertauschbarer Substitutionen. Betrachten wir nun umgekehrt eine Gruppe der eben bezeichneten Art, deren Substitutionen also unter einander vertauschbar sein sollen, dann kann man die Schlüsse einfach umkehren. Es führt die An- wendung von S,S2 das Element z, ın q (g(z1)) über, und s,s, führt dasselbe Element z, nach @ (gul(2ı))- Da nun 8,52 = SSı seim soll, so muss sich ergeben, was auch @ und b sein mögen, (5) Da (Dr (21)) = Dı (Pal(Zı)) ; folglich haben wir es wieder mit einer irreductiblen Abel’schen Glei- chung zu thun. Nun hatten wir in 8 503 die Voraussetzung der Irreductibilität bei Seite gelassen. Genau das Gleiche können wir hier thun. Ist _ die Gruppe einer Gleichung nämlich intransitiv, und sind ihre Substitu- tionen regulär und vertauschbar unter einander, dann werden nach Adjunetion einer Wurzel sämmtliche Wurzeln bekannt sein, und ebenso folgt wie bisher (5). Es kommt nur die Irreductibilität von 7(@) mn Wegfall. Die Ordnung der Gruppe wird kleiner als der Grad von f. Wir können eine weitere Specialisirung dadurch eintreten lassen, dass wir statt der allgemeinen irreductiblen Abel’schen Gleichung eine cyklische Gleichung betrachten, d. h. eine irreductible Abel’sche, deren Wurzeln in einen einzigen Cyklus iterirter Funetionen einge- ordnet werden können. Deuten wir die Ordnung der Iterirung durch obere Indices an, so wird die Reihe der Wurzeln durch An Ol@), O9@), @n—V(2) gegeben. Bezeichnen wir nun diejenige Substitution der Gruppe, welche z, in O(z,) überführt, mit s, so sieht man sofort, dass diejenige, welche Z in @(z,) umwandelt, gleich s? sein muss, u. s. f. Daraus folgt: Die Gruppe einer cyklischen Gleichung ist cyklisch, und umgekehrt. Transitivität und Primitivität. 361 $ 570. Wir wollen uns mit einer gruppentheoretischen Eigenschaft der transıtiven Gruppen etwas eingehender beschäftigen. Wir haben eine transitive Gruppe als solche definirt, die auf 2, jedes andere Element 2,, %,:-- Z folgen lässt. Daraus ergiebt sich ’ dass sie Substitutionen besitzt, die jedes beliebige z„ in jedes beliebige Zg überführen. Denn wenn s, auf z, folgen lässt z4, und wenn Sg auf 2, folgen lässt z3, dann bewirkt die Substitution s; 'sg, welche ja eben- falls in der Gruppe vorkommt, dass 23 auf 24 folgt. Demnach können wir die Definition auch so fassen, dass man durch geeignete Sub- stitutionen einer transitiven Gruppe auf ein beliebiges Element 27 alle anderen Elemente folgen lassen kann. Aus der transitiven Gruppe G greifen wir zunächst diejenigen Substitutionen (6) i = 1; %, b 2 Z heraus, welche z, nicht umsetzen. Diese bilden einen Theiler T von G Ferner sei s, eine der Substitutionen, welche %, auf 2, folgen lassen. Dann werden (7) S, b52), ba t9 Sa sämmtlich das Gleiche thun, wie sofort zu sehen ist, und nur sie. Denn zuerst führt %, das Element z, in sich selbst, und s, führt es in z über. — Wenn andrerseits die Substitution z gleichfalls die Folge 2,2 enthielte, dann würde Ts;-! zu (6) gehören, und aus der dies ausdrückenden Gleichung SN — (04 folgt T = ta82. Ist die Gruppe G durch (6) und (7) noch nicht erschöpft, d. h. ist n > 2, dann gehen wir in der gleichen Weise weiter, indem wir irgend ein s; zu Grunde legen, welches 2; auf %, folgen lässt und mit ihm entsprechend (7) die Reihe (8) 83; t233) t3337 bS3 bilden. So geht man bis zu einem S, Welches die Folge 212 ent- hält. Hieraus ist ersichtlich: Die Ordnung 7 einer transitiven Gruppe G von % Elementen ist durch n theilbar, so dass r=%un”-q gesetzt werden kann. Dabei bedeutet q die Ord- nung desjenigen Theilers von G, dessen Substitutionen eins der Elemente ungeändert lassen. $ 571. Wir nennen eine Gruppe zweifach transıtiv, wenn wir mit Hülfe ihrer Substitutionen zwei Elemente Z und , an zwei will- Daraus kürlich vorgeschriebene Plätze z42 und 28 bringen können. 362 Achtundfünfzigste Vorlesung 8& 571—572. folgt zunächst, dass man überhaupt zwei willkürliche Elemente 2;, 2, durch zwei willkürliche %,, %g ersetzen kann. Denn, wenn s, auf Z % folgen lässt 2,, zu, und wenn s, auf 2,, % folgen lässt 2a, %, so wird s;!s, das Gewünschte leisten. Wir können nun ähnliche Schlussfolgerungen machen wie die im vorigen Paragraphen durchgeführten, indem wir die Gesammtheit der Substitution der Reihe (6) als denjenigen Theiler auffassen, dessen Sub- stitutionen weder z, noch z umstellen; dann wird (7) der Complex der Substitutionen, welche eine und «dieselbe Aenderung mit z, und z vornehmen, u. s. f. Daraus folgt: Die Ordnung r einer zweifach transitiven Gruppe G von % Elementen ist durch ( ) theil- bar, so dass r = <3)q gesetzt werden kann. Dabei bedeutet qg die Ordnung desjenigen Theilers von &, dessen Substitu- Die Minimal- tionen zwei der Elemente ungeändert lassen. ordnung einer solchen Gruppe ist also é n(n—1). Für n =5 hat mäan beispielsweise die Gruppe Il , (Z983858u), (8a@s) (@584) , (2o24%5 2), (21 %03848 s) , (81% Z48s), (21%) (2325) , (21%2524), (21 %38582 8u), (A,@s%8s), (2123) (24%5) , (81%324%), (Z 8402 8503), (Z1%485%), (2,2u) (2223), (21248385) , (Z, 058483 80) , (Z1% 83 24), (2,25) (2224) , (Z1%52% 23)- Besitzt eine Gleichung f(z) =0 eine zweifach transitive Gruppe &, dann ist.dies charakteristisch dafür, dass man in jeder rationalen Relation .9(21; Aay Bayt C Zﬂ) =0 zwei beliebige der Wurzeln, z. B. z,, %, durch zwei beliebige andere ersetzen: kann, während dabei die übrigen Wurzeln 2;,-:- 2 in gewisse neue übergehen; man hat also auch g(z„‚ &8 Bizy 5 Zi„) am O; wobei «, ß beliebig gewählt werden konnten. — Ist z. B. die Gleichung f(z) = 0 mit zweifach transitiver Gruppe so beschaffen, dass alle ihre Wurzeln durch zwei unter ihnen, z, und Z, rational darstellbar sind, etwa in der Form (6) D = Ol = D4 (2,, %), n — Pn (51; 52); dann hat man auch für beliebige «, ß (7) Zi, = Pslda, 98) y i — Dlg Ba)9 90 i — Qn (Za, 28) Transitivität und Primitivität. 363 Die 2i , Ziy, z; sind hier von einander verschieden, weil aus u (da, 2p) = Prlta, 2) folgt Pr(Zı, %) = Pı(Zı, %); ebenso sind sie von Z„ oder Zg selbst aus demselben Grunde verschieden. Folglich giebt (7) alle Wurzeln mit Ausnahme von Zx, 23 d. h. alle Wurzeln sind rational durch zwei beliebige unter ihnen darstellbar. Findet nun eine solche Darstellung statt, dann ist nach Adjunction zweier beliebiger Wurzeln z, und zg die Gleichung aufgelöst; die Gruppe reducirt sich dabei auf 1. Folglich enthielt sie vorher nur solche Substitutionen, welche alle »” Elemente, oder nur (x — 1) oder gar kein Element umsetzen. Die Umkehrung dieses Satzes ist, wie man leicht sieht, gleichfalls richtig. $ 572. Um die Natur derartiger Gruppen, welche nur %, ” — 1 oder 0 Elemente umsetzen, genauer zu erforschen, wollen wir folgenden Satz herleiten *): In jeder transitiven Gruppe G des Grades n giebt es mindestens (n — 1) Substitutionen, welche alle n Elemente umsetzen. Giebt es mehr als (n —1) derartige Substitutionen in G, so besitzt die Gruppe auch solche Substitutionen, welche weniger als (n—1) Elemente um- setzen. Wir bezeichnen denjenigen Theiler von G, welcher das Element %4 nicht ändert, mit G, und eine derjenigen Substitutionen, welche z, in Zx überführen, mit 6,. Dann ist G = O0 = CO = = 6„G n N O d. h. alle diese Gruppen G sind einander ähnlich. Nun möge m ihre gemeinsame Ordnung sein, und [q] die Zahl derjenigen Substitutionen von @/, und also auch von G&,, G„, welche genau q und nur q. Elemente umstellen. Diesen Definitionen gemäss haben wir m=[n—1]+n—2) + + + 01 Natürlich hat [0] den Werth 1, da es sich allein auf die identische Substitution bezieht. In allen G2, (x=1,2,-..:mn) zusammen kommen % - [n —1] Sub- stitutionen vor, welche (n — 1) Elemente umsetzen, und diese sind unter einander verschieden, da keine Substitution aus G4x, die nur Zg nicht umsetzt, auch in (g enthalten ist. In allen @2 zusammen kommen %-[n — 2] Substitutionen vor, welche genau (n — 2) Elemente umsetzen; aber diese sind zu je zwei E l * C. Jordan, Journ, de Math. (2), 17, p. 351. WE 364 Achtundfünfzigste Vorlesung & 572—574. und zwei identisch, da diejenigen Substitutionen, welche in Gx das Element 25 nicht umsetzen, dieselben sind wie diejenigen, welche in Gg das Element z7 nicht umsetzen. Es giebt also von diesen Sub- stitutionen -n . [n — 2]- Ebenso kommen in allen G, zusammen 3 %: [n—3] von einander verschiedene Substitutionen vor, welche genau (n — 3) Elemente um- stellen, u. s. w. Somit ist die Anzahl aller Substitutionen in G, welche weniger als ” Elemente umstellen, gleich V T+ + a Lal A e > A OT: Diese Zahl wollen wir von derjenigen aller Substitutionen in G& d. h. nach $ 570, Schluss, von mn abziehen. Benutzen wir den obigen Werth für m, so findet sich für jene Differenz n—1 n —+ A H N [0]); dies ist somit die Anzahl aller derjenigen Substitutionen aus G, welche sämmtliche Elemente umstellen. Jeder der einzelnen Summanden in der Klammer ist positiv oder Null. Der letzte ist sicher positiv, nämlich ozf1 VE =— Folglich hat jene Differenz einen positiven Werth, der nicht unter (n—1) sinken kann. Ist der Werth grösser als (n—1), so ist mindestens eines der Symbole [q] von Null verschieden, wobei g nicht grösser als (n — 2) werden kann. Damit ist der ausgesprochene Satz in allen Theilen bewiesen. Wenden wir ihn auf die im vorigen Paragraphen besprochenen Verhältnisse an, so sehen wir, dass eine transitive Gruppe G, welche nur Substitutionen von % und von (n—1) Elementen neben der Ein- heit besitzt, genau (n — 1) Substitutionen haben wird, welche alle Elemente umsetzen. Auch über die Anzahl derjenigen Substitutionen von G, welche genau (n — 1) Elemente umsetzen, können wir Aufklärung erhalten, wenn wir bedenken, dass in G, nıcht zwei Substitutionen S, Sy VOr- kommen dürfen, die eine gleiche Elementenfolge darbieten, weil sonst SuSy weniger Elemente umsetzen würde, ohne = 1 zu sein. Nun giebt es zwıschen %, %3, 2„ nur (n — 1) (n — 2) Folgen %, %, und jede Substitution aus G, enthält deren (n — 1); folglich kann G, höchstens (n — 2) solcher Substitutionen besitzen, und ın G& kommen höchstens n” (n — 2) vor, welche genau ein Element nicht ändern. Transitivität ynd Primitivität. 365 Demnach kann die Ordnung der Gruppe die Zahl (n—1) + n(n—2) + 1 = n(n—1) nicht übertreffen. — Auf dem in den letzten Paragraphen beschrittenen Wege kann man zum Begriffe drei- und mehrfacher Transıtivität gelangen. $ 573. Wir wollen noch eine Anwendung der eingeführten Be- griffe geben. Ist f(z) =0 eine irreductible Gleichung %” Grades mit der Galois’schen Gruppe &, so sei H ein Theiler von &@/. Dabei mögen H und G die Ordnungen 7, und ” ==r7,g besitzen. Eine zu H gehörige Funetion .(Z,, %,: %n)= @, möge durch die Sub- stitutionen von G die Werthe Pı> P, P3, Pa annehmen, und 6, = 1, %, 63, 6, seien Substitutionen aus G, welche @, in diese verschiedenen conjugen Werthe umwandelt. Wir haben im $ 540 gezeigt, dass &,, %, %, Wurzeln einer Gleichung sind, deren Coefficienten zu dem Rationalitätsbereiche von f(z) gehören. Hier soll nun die Irreductibilität dieser Gleichung nach- gewiesen werden; und damit ist natürlich auch die Irreductibilität der in $ 540; I abgeleiteten Gleichung o“ Grades gezeigt. Gesetzt, die Gleichung q'°" Grades zerfalle, und %,, @,: p (D<q) seien die Wurzeln einer der irreductiblen Factorengleichungen. Dann sind _ die symmetrischen Functionen von %,, @,: @„ bekannt, und so bleibt Z B: (8) OE für alle Substitutionen der Gruppe G ungeändert, wie auch w ganz- zahlig gewählt werden mag. Wir wählen es so, dass aus einer Relation Y die Gleichheit der einzelnen Summanden links und rechts folgt ($ 539). Nun wenden wir auf (8) die Substitution 641 aus G an. Diese führt , In p41 Über. Folglich kann (8) für die Gruppe der Gleichung nicht ungeändert bleiben. Das ist ein Widerspruch, der nur durch P=g gehoben wird, d. h.: Die Gleichung, von welcher @ ab- hängt, ist irreductibel. $ 574. Die bisher in dieser Vorlesung durchgeführten Unter- suchungen hatten in dem Begriffe der Reductibilität oder der Irre- ductibilität einer Gleichung ihren Ausgangspunkt. Wir wollen jetzt in ähnlicher Art die Primitivität oder die Imprimitivität von Gleichungen untersuchen. 366 Achtundfünfzigste Vpr1esung $ 574—575. Im $ 491 kamen wir auf irreductible Gleichungen f(z)=0, deren Polynom f(z) in folgender Weise ausgedrückt werden konnte: (9) f(@) =h(e;yı) h(e;y) : h(z; yu); (n=u-m), (10) A(2; Ya) = 2” — yı (ya) I + yo(ya) 2 — .. + ym(Ya), wobei die y rationale ganze Funetionen des Argumentes y„ waren, und die y Wurzeln einer Gleichung u“ Grades bedeuteten, (11) MKO) Z — T T — an O, Es wird dabei also f(z) = 0 die Eliminante von h(z; y) = 0 und g(y)=0. Nach der Auflösung von (11) und Adjungirung aller ihrer Wurzeln zerfällt f(z) in w Factoren des Grades m. Wir werfen die Frage auf, wie diese Eigenschaft von f(z)= 0 sich bei der Galois’schen Gruppe der Gleichung kenntlich macht. Wir wollen die Wurzeln von h (Z; :l/a) =0 mG Za1) Za2, zam (“=1;2)"'!") bezeichnen. Nun sind durch die Adjunetion von Yz die symmetrischen Functionen der 2x1, Ze2, ** Zam bekannt. Es sei S(2x1, ** Zam) eine solche; dann'‘ sind die Werthe, die $ annehmen kann, Wurzeln einer irreductiblen Gleichung ($ 578). Drückt man S(Z1, Z ) als Funetion von yx aus, dann zeigt (11), dass der Grad dieser Gleichung nicht höher werden kann als w. Andrerseits giebt es wirklich u Werthe (12) S(Zn‚ A ß’1m)‚ S(£'21, &5 Z2m); + S(Zu1) ** Sum); dies sind mithin die einzigen, welche S für die Substitutionen der Gruppe G von f(z) = 0 annehmen kann. Wenden wir somit eine Substitution s von G auf die Reihe (12) an ? so kann sie nur in sich selbst übergehen abgesehen von der Aufeinanderfolge der Funetionen. Führt also ein s, eins der Elemente VON. Zg1, * ** Zam in eins derjenigen von 2gı, - Zgm Üüber, dann muss der ganze Complex jener Elemente in denjenigen dieser Klemente um- gewandelt werden. Lässt insbesondere s, ein zg ungeändert, dann gehen die übrigen 2g1,::- Z%gem nur unter einander Vertauschungen ein. G versetzt also nur die Serien der in (12) angeordneten Elemente unter sich und weiter auch in jeder einzelnen Serie die zugehörigen Elemente unter einander. Eine derartige Gruppe heisst eine imprimitive; ebenso heisst die zugehörige Gattung imprimitiv, und ebenso die Gleichung, deren Galois’sche Gattung imprimitiv ıst. Hat eine Gruppe diese HKigen- schaft nicht, so heisst sie primitiv; das Gleiche gilt von der Gattung und von der Gleichung. Transitivität upd Primitivität. 367 Es ist z. B. die Gruppe, welche aus den Potenzen der Substitution $ = (1 %23240 ) besteht, imprimitiv. Die Eintheilung der Elemente kann in die Serien Zı Q, Z und Za 3479A6 geschehen, aber ebenso gut auch in die Serien Z5 Z %3 o ) O a Wenn umgekehrt die Gruppe G einer Gleichung f(z)= 0 im- primitiv ist, und wenn Za1; Z(I2; Z(X m (“ =172; w) die Eintheilung der Wurzeln in die Systeme der Imprimitivität anglebt, dann sei S(Zx1, : Zam) irgend eine symmetrische Funetion. Durch (12) werden dann wegen der Imprimitivität alle Werthe gegeben, die S(Zı1, ' Zım) im Rationalitätsbereiche annehmen kann; die symmetrischen Functionen der Grössen (12) sind also rational bekannt, und sie selbst genügen einer Gleichung (18) S LD L D D mit rational bekannten Coefficienten D. Weiter lässt sich jede andere symmetrische Funetion von 241,--- 2am durch SCn * Zam) im Ratio- nalitätsbereiche darstellen; folglich kann man setzen F(@)= h(e; S\) h(e; S) - h(e; S\), wo die $ die Wurzeln der Gleichung (13) und die sınd. h(2; Sa) = (2 — 2a1) : (£ — Zam) Demnach ist f(z) =0 das Eliminationsresultat von S aus (13) und aus h(2; S)=0, und wir können sagen: Dafür dass eine Gleichung f(z)=0 das Eliminationsresultat von h(z;y)= 0 und g(y)=0 wird, ist es charakteristisch, dass die Galois- sche Gruppe von f=0 imprimitiv sei. $ 575. Wir betrachten denjenigen Theiler H' der imprimitiven Gruppe G des vorigen Paragraphen, dessen Substitutionen nur die Elemente jedes einzelnen Imprimitivitätssystems unter sich vertauschen. Diese Gruppe ist ein autojuger Theiler in G. Denn wenn 6 auf H zur Transformirung verwendet wird, so gehen dadurch z. B. die Ele- mente 2,1, - Zum IM 221, ° Zım Über; und wenn H die Systeme nicht vertauschte, so kann auch 6, *Ho, es nicht thun. Ist also H von der Einheit verschieden, dann ist G& zusammengesetzt. 368 Achtundfünfzigste Vorlesung $ 575. Neunundfünfzigste Vorlesung $ 576—577. Beim Beispiele des vorigen Paragraphen giebt es Substitutionen, welche die Systeme nicht ändern; deswegen ist auch jene Gruppe zu- sammengesetzt; ım Falle der ersten Systemeintheilung sind s? und s* diese Substitutionen; im Falle der zweiten ist es s®. Umgekehrt erkennt man leicht: Hat eine zusammengesetzte Gruppe &@ einen intransitiven, autojugen Thei?er‚ dann ist G imprimitiv. Neunundfünfzigste Vorlesung. Resolventen. $ 576. Wir hatten einer Gleichung f(z) = 0 mit der Gruppe G eine rationale ganze Function der % Wurzeln h(2,, %, Z.) adjungirt, d. h. &/ im Bereiche G.als bekannt angesehen. Eine solche adjungirte Function wird häufig als Resolvente bezeichnet, und wir haben diese Bezeichnung schon gelegentlich bei der Einführung der Lagrange’schen Resolvente (Bd. I, $ 320) benutzt. Hiernach ist jede beliebige ganze Function der Wurzeln geeignet als Resolvente zu fungiren. Von Vortheil können aber nur diejenigen Funetionen für die Lösung der Gleichung werden, welche nicht schon dem Rationalitätsbereiche angehören; so ist es z. B. zwecklos, einer allgemeinen Gleichung eine symmetrische Function zu adjungiren. Die Wirkung einer Adjunetion von h(z,,-:- 2Z) beruht nämlich darauf, die Gruppe G auf die desjenigen iıhrer Theiler zu reduciren, welcher h(2,,:-- 2.) ungeändert lässt. HEs reicht daher stets aus, / so> zu wählen, dass die zugehörige Gruppe H ein Theiler von G ist. Bedeutet G die symmetrische Gruppe, so können wir einige für jedes %” vorhandene Resolventen, oder besser Resolventengattungen anführen; denn nach dem Dargelegten kommt es nicht auf das In- Zu diesen Resol- dividaum %, sondern nur auf die Gruppe H an. venten gehören die zweiwerthigen, insbesondere die alternirenden Funetionen, welche durch die Quadratwurzel aus der Discriminante charakterisirt sind. Ist ” > 4, dann giebt es keine Resolventen, deren Werthezahl o<mn ist. Für 90= n haben wir die durch h==2, charak- terisirte Gattung; ihre Gruppe H besteht aus allen Substitutionen, durch welche eins der Elemente nicht umgesetzt wird. Für n= 6 giebt es daneben gemäss $ 547 noch eine durch @yı Ze) — C Z586) (%1 2 4 2285 I B486) (21 24 1 2a86 F %25) (2, 25 { 2a81 4 2 26) (& %6 7 2a8 A 242%5) Transitivität und Primitivität. Resolventen. 369 charakterisirte Gattung. Von der grössten Wichtigkeit ist die Galois- sche Gattung, zu der Resolventen mit o= ”! Werthen gehören, O = 42 + U F: A Unßn- $577. Wir wissen bereits, dass eine solche Resolvente h(2,,::- 2 mit o Werthen die Wurzel einer Gleichung o*" Grades ist, deren Coefficienten dem Rationalıtätsbereiche angehören. Die Gleichung ist irreductibel ($ 573). Die Adjungirung von %Z ist also identisch mit der Annahme, dass eine Wurzel dieser Resolventengleichung bekannt sei, oder dass man eine solche bestimmen könne, falls gewisse Hülfsmittel zugelassen werden. Man könnte also z. B. die Ausziehung einer Wurzel aus einer bekannten Grösse als erlaubte Operation ansehen; wenn jetzt eine Resolventengleichung binomisch wird, dann müsste die zugehörige Funetion: h (2, , Zn) als bekannt gelten. Die Thatsache allein, dass die Resolventengleichung den Grad o besitzt und irreductibel ist, reicht für die Einsicht in ihre Natur noch nicht hin. Wir wollen, um diese genauer zu erkennen, die Gruppe der Resolventengleichung aufsuchen. Es sei der Gleichung f(2) = 0 mit den Wurzeln 2,, %, ::- Z und der Gruppe &4 die Resolvente h(2,, %,: 2.) = h, adjungirt, welche zur Gruppe H gehören möge; die übrigen Werthe in dem durch G& bestimmten Rationalitätsbereiche seien A,, 3, --- ho, und D @— G — ) ° (@ —hq) = 0 — AT A AT Ö sei die Resolyentengleichung. Ihre Gruppe H hat die KEigenschaft, dass alle und nur diejenigen Funetionen von A, A, ho, welche unter dem KEinflusse der Substitutionen von H, ungeändert bleiben, rational durch die 4, d. h. also auch durch die Coefficienten von f(z) darstellbar sind. Zu dem Zwecke der Feststellung dieser Gruppe wenden wir auf die Reihe der in @ conjugen Werthe von %, nämlich @) h,, I, ho die sämmtlichen Substitutionen s von G an; durch eine solche s; geht (2) bis auf die Reihenfolge in sich selbst über; denn (2) umfasst eben alle Werthe, die %, überhaupt unter dem Einflusse der Substitutionen von G annehmen kann. Die neue Reihe der Werthe 4A4 wollen wir mit (3) ]L,'l , h Ü7 h; © bezeichnen; dann lässt sich der Uebergang von (2) auf (3) als eine Netto, Algebra. II. 24 370 Neunundfünfzigste Vorlesung $ 577—578. Substitution ($ 518) auffassen, die wir entsprechend früheren Fest- setzungen bezeichnen h % ( > (”=1;2; 9) Ist s; eine zweite Substitution. aus G, und bedeutet in gleicher Weise h, —( 7sz > (x:172) 9) die entsprechende Substitution unter den A, dann erkennt man, dass dem Produete s;s; entsprechen wird h, hfx h, A % } hji„ ı hj[‘ % > (%=1‚2‚ 9>7 und daraus schliesst man, dass die %,, % 27 sämmtlich eine Gruppe bilden; diese wollen wir mit H, bezeichnen. Ferner sieht man, dass wenn G die symmetrische Gruppe der n” Elemente z, ist, dann G und Hy im Allgemeinen einstufig 1somorph zu einander sind. Denn jedem s„ entspricht ein &; wenn ferner aber ent- einem 4 sowohl s„ als s4 entspräche, dann würde dem SaS« sprechen fa Ü 1, d. h. die Substitution s„S, würde in (2) keine Aenderung der Folge hervorrufen, was nach $ 543 nur bei o= 1, bei o0=2 und bei gewissen Gruppen von vier Elementen vorkommen kann. Es ist deswegen Hy im allgemeinen Falle von derselben Ord- nung wie G, bei allgemeinen Gleichungen also von der Ordnung %!. Der Compositionsreihe von G- entspricht diejenige von H, und die Compositionsfacetoren sind für beide Gruppen dieselben. Wir fragen nun, wann eine Funetion der hy;, h Q B(ı Map s hq) = 4 (1) %, Zn) rational bekannt ıst? Da &% als Funetion der 2,, %, - dargestellt werden kann = %, so ist es charakteristisch dafür, dass % für G& ungeändert bleibt. Den Substitutionen von G entsprechen die von H; demnach muss & zu H, gehören. Wenn umgekehrt & zu H, gehört, so wird y zu G gehören, und somit ist # = % rational bekannt. Folglich ist H, die zur Resolventengleichung (1) ge- hörige Gruppe. Der Definition nach giebt es Substitutionen von &, welche jedes Element in (2) auf A, folgen lassen; es kommen daher in H, alle Folgen %>; Ayhs; - hıhp vor; d. h. die Gruppe H ist, wie früher schon auf andere Art bewiesen wurde ($ 573), transıtiv. Resolventen. DUal Aus dem abgeleiteten Theoreme kann man noch einen für die Theorie der Abel’schen Gleichungen wichtigen Satz ablesen. Sind Zı %, ‘‘‘ %n die n Wurzeln einer Abel’schen Gleichung f(z) = 0, so betrachten wir eine Resolvente h(2,,--- Z„), die wegen der charak- teristischen Eigenschaft der Abel’schen Gleichungen auch h ( 2y En) S M (@&,, Pa(tı), : Pnlzı)) = k(@2) geschrieben werden kann. Hieraus ergiebt sich die Gruppe der zu h(Z,, : 2n) gehörigen Resolventengleichung. Es hat nämlich % nur o Werthe h(@), B@), 5 D (z<‚) Wendet man die Gruppe der Abel’schen Gleichung auf diese Reihe än, die man auch k(2,), k (2)), : k (‘Pe (z1)) setzen kann, so erkennt man aus den Betrachtungen des vorigen Para- graphen über &, und %, dass mit den Substitutionen der s von G& zugleich die unter den %/ hervorgerufenen Substitutionen vertauschbar sind. Jede rationale Function der Wurzeln einer Abel’schen Gleichung ist wiederum Wurzel einer Abel’schen Gleichung. Ebenso ergiebt sich, dass jede rationale Function der Wurzeln einer cyklischen Gleichung wiederum Wurzel einer cyklischen Gleichung wird. $ 578. Es sei @ eine beliebige Gruppe, und die adjungirte Funetion h(2,, - Zn)= , gehöre zu einem autojugen Theiler H von G. Wendet man nun auf die Reihe (2) eine Substitution 6 aus H an, so wird sich %, dabei nicht ändern. Gleichzeitig werden mit h}, alle %; ungeändert bleiben. Denn setzt s; das Element %; an die Stelle von h,, so gehört zu h; dieselbe Gruppe sS&1Hs,= H ? weil H autojug in G ist. Also bleibt (2) für alle Substitutionen 6 aus H auch der Reihenfolge nach ungeändert. Allgemeiner kann man sagen, dass zwei Substitutionen s und S dieselbe Umstellung von (2) und also eine gleiche Substitution der hx bewirken, wenn s, = 6s ist, wobei 6 der Gruppe H angehört. Besitzt H' die Ordnung qg, G die Ordnung r, und ist r = Q m, dann gehören je q Substitutionen von G zu einer Substitution von n Diese Gruppe H, der Resolventengleichung besitzt die Ordnung m, und G ist zu ihr q-stüufig isomorph. 24} 37 2 Neunundfünfzigste Vorlesung 8 578—579. Wählen wir z. B. für @/ die symmetrische Gruppe der vier Ele- mente Z,, %, %3, %, und für H die autojuge Gruppe H=[1, (2,%)(@%21), (9,%)(22.), (Z124) (223)], setzen wır ferner A Z (2, — %) ( — 24), hs= C 2 , (2,—2,)(%2 — %3); h, — @— 2)C-2) b Ca -8), h=- @ -2) @ —, dann erhalten wir als Gruppe Hy eine Gruppe der Ordnung 6, zu welcher G- vierstufig isomorph wird. Es ist dies die Gruppe, welche aus 1, (Derlp) Dozhes) (Malg) , M laz) (Dla (Aeses) , y lesles) (a lız s /.) Ol NOl ( 6/ CN besteht. Jeder ihrer Substitutionen entsprechen vier Substitutionen der symmetrischen Gruppe; insbesondere ihrer Einheit die der Gruppe H. — Wir wollen allgemeiner annehmen, dass die zu h gehörige Gruppe H nicht selbst autojug in G sei, aber eine Gruppe K als höchsten zu G Bezeichnen wir mit r die Substitutionen autojugen Theiler enthalte. von K, so wird, weil s-1Ks= K ist, vı jeder Gruppe der zu (2) ge- hörigen Elemente angehören und also die Reihe (2) auch in ihrer Folge nicht ändern. Ist qg, die Ordnung von K, so wird G zu Hr in gqg,-stufigem Isomorphismus stehen. $ 579. Es ist naheliegend, nicht nur eine sondern alle Wurzeln I, ho, : ho einer Resolventengleichung als bekannt anzusehen und sie sämmtlich zu adjungiren. Das bedeutet also, dass man .die Resolventengleichung als vollständig aufgelöst annımmt. Eine solche Adjunetion ist nach unseren Ueberlegungen identisch mit derjenigen einer einzigen Function ( D(@y 29 8.)= Alh(@9 0 2u) - Ola(@p9 Au) AF e R in welcher v,, v%,: - v Unbestimmte bedeuten. Dadurch geht dann die Galois’sche Gruppe G in denjenigen Theiler X über, welcher alle gemeinsamen Substitutionen von H, 65 Ho,, 6, Hogz, 6()_ 'H| 6@ enthält. Hieraus ersieht man, dass X sich unter dem Einflusse der Transformationen durch G nicht ändert; es wird, wenn s generell die Substitutionen von G bedeutet, daher SA = , d.h. K ist der grösste autojuge Theiler von G, welcher in H ent- halten ıst. Adjungirt man der Gleichung f(z)=0 von der Gattung G sämmtliche Wurzeln einer Resolventengleichung Resolventen, 373 (1), so reducirt sich dadurch die Gruppe G& auf den höchsten autojugen Theiler X von &, welcher in der Gruppe H der Resolvente enthalten ist. Ist daher die Gruppe einer Gleichung einfach ($ 552), so reducirt sie die Adjunetion aller Wurzeln irgend einer Resolventengleichung (1) auf die Einheit; denn dies ist der einzige autojuge Theiler einer ein- fachen Gruppe. Nach $ 552 findet dies bei jeder allgemeinen Gleichung statt, und auch wenn man solcher eine alternirende Funetion adjungirt. Gehört dann aber k(2,,::: 2) zur Gruppe 1, also zur Galois’schen Gattung \2) 0 so ist jede rationale Funetion der Wurzeln und insbesondere die Galois’sche Resolvente @, durch % ratıonal darstellbar. Sucht man durch derartige Adjunetionen der sämmtlichen Wurzeln von Resolventengleichungen die vorgelegte Gleichung f(z)==0 zu lösen, dann braucht zwar nicht bei jeder Adjunetion f(z) selbst zu zerfallen; hingegen wird y(0o) mehr und mehr zerlegt, weil ja der Grad jedes ıhrer irreductiblen Factoren mit der Ordnung der Gruppe , übereinstimmt, welche jedesmal die bekannte, adjungirte Gattung charakterisirt. Aber damit man zur definitiven Lösung von f=0, d. h. zu seiner Zerfällung in lineare Factoren kommt, muss mindestens einmal bei solcher Adjunetion auch f in rationale Factoren sich spalten. Es fragt sich, auf welche Weise dies geschehen kann. Wir wollen annehmen, f(z)= 0 mit der Gruppe G& sei noch irreductibel; durch die Adjunetion aller Wurzeln %„ von (1) werde es reductibel, und &G werde zugleich auf K reducirt. Dabei möge Ö5) (2 8) (@ — %) : (8 — %) ein irreductibler, rationaler Factor von f(z) werden. Die autojuge Gruppe X von G darf ihn nicht ändern; X kann also nur die HEle- MG Zn Aa Z, unter einander transitiv verbinden. Nun ist aber G n Z, transitiy und besitzt daher auch eine Substitution 6,, welche die Folge z,2,4+1 enthält. Transformirt man K durch &,, so gehen 2,, %, - &, in neue KElemente Z 41, über, die sämmtlich von den ersten verschieden sind, weil sonst X = 0,1Ko, die früheren auch mit 2,41 in Verbindung setzen würde. Es giebt also eine. zweite Serie Z,+1, : Zax, die, wie leicht zu sehen ist, unter einander durch K transitiv verbunden sind, weil 2,,--- 2, transitiv verbunden waren. Jede Substitution von G, welche auf ein Element der ersten Serie ein anderes derselben Serie folgen lässt, vertauscht nur diese Z,,-:: Z unter einander; denn hätte man z. B. ein A 28 9 Zn } 374 Neunundfünfzigste Vorlesung $ 579. Sechzigste Vorlesung &8 580. so würde aus 67!Ko= K folgen, dass K auch %, mit 2441 verbindet. Ebenso erkennt man, dass wenn eine Substitution von G auf ein Ele- ment der ersten Serie ein solches der zweiten folgen lässt, das Gleiche mit allen Elementen der ersten Serie stattfindet. Giebt es noch andere Elemente ausser Z Z : Zax) SO wiederholen sich die eben durchgeführten Schlüsse. Man erkennt auf diesem Wege: Die Elemente z,, %,--- %, von G theilen sich in Systeme der Imprimitivität von je x Wurzeln. G ist eine imprimitive Gruppe. Falls umgekehrt & eine imprimitive Gruppe ist, und Z11 > ** Zim;5 S91 , °° Zam)5 Z‚u 1)> E me (um=n) ihre in Systeme der Imprimitivität eingetheilten Wurzeln sind; falls ferner H derjenige (von der Einheit verschiedene) Theiler von G ist, welcher die Wurzeln jedes einzelnen Systems unter sich, nicht aber die Systeme unter einander vertauscht, dann erkennt man sofort, dass der Uebergang von G zu H ein Zerfallen von f(z) in einzelne Factoren gleichen Grades m im Gefolge haben wird, so dass je die Wurzeln eines Systems diejenigen je eines rational darstellbaren Factors aus- machen. Dass H autojug in G& ist, haben wir im $ 575 gezeigt. Ist G& imprimitiv, dann findet durch den Uebergang zu H eine Zerfällung von f(z) in nichtlineare Factoren statt. Ist G _ primitiv, dann ist nur durch den Uebergang zu dem Theiler 1 eine Zerfällung möglich; die einzelnen Factoren werden dabei linear. Wir bemerken noch, dass auch bei Adjungirung einer einzigen Wurzel einer Resolventengleichung f(z) zerfallen kann, dass dann aber die Factoren nicht nothwendiger Weise von d&mselben Grade sind. Man sieht dies an dem banalen Beispiele, in welchem man der Gleichung f=0 die Resolvente z, selbst adjungirt; dann zerfällt nämlich f(z) in einen Factor ersten und einen solchen (n — 1)*” Grades. Sechzigste Vorlesung. Algebraische Zahlen. $ 580. VVir haben uns früher bereits mit dem Begriffe des Rationalitätsbereiches vertraut gemacht ($ 47, Bd. I;. $ 314, Bd. I u. s. w.). Es ist der Bereich aller derjenigen rationalen Funetionen und Resolventen. Algebraische Zahlen. 375 Grössen, welche als rational bekannt anzusehen sind*). Bei der Fixirung eines solchen Bereiches genügt es, diejenigen Grössen anzugeben, aus denen sich alle seine als rational geltenden Grössen in Form rationaler Funetionen mit ganzzahligen Coefficienten ableiten lassen. Sind solche darstellenden Grössen oder Elemente %’, N”, auf irgend eine Weise gewählt, dann mag die Klammer (X’, K, -:-.) den Rationalıtätsbereich andeuten. „Die Wahl der Grössen X’, N”, R',---, d. h. also der Ele- mente eines Rationalitätsbereiches unterliegt an sich keinerlei Be- schränkung, doch ist es für die Behandlung der algebraischen Fragen vollkommen bedeutungslos, transcendente Zahlengrössen oder transcen- dente Funectionen von Variablen unter die Elemente mit aufzunehmen; denn die Resultate bleiben ungeändert, wenn an Stelle solcher trans- cendenten neue unabhängige Veränderliche gesetzt werden. Sind nämlich mr die Resultate der Theorie algebraischer Funetionen von NR’, N”, R 2 erst für diesen Fall, wo die transcendenten % durch unabhängige Variable ersetzt sind, entwickelt, so können dieselben, ihrer Natur und Herleitung nach, nur durch solche Specialisirung von Grössen X alterirt oder modificirt werden, bei welcher algebraische Beziehungen zwischen denselben eintreten. Es kann daher unbeschadet der Allgemeinheit angenommen werden, dass die Elemente eines Rationalitäts- bereiches aus einer Anzahl veränderlicher oder unbestimmter Grössen und algebraischer Functionen derselben bestehen,” wobei unter einer algebraischen Funetion jede Wurzel einer Gleichung zu verstehen ist, deren Coefficienten rational bekannt sind. In dieser Vorlesung wollen wir uns der Betrachtung solcher Grössen zuwenden. Die Wahl der X ist, wie eben erwähnt wurde, keiner Beschränkung unterworfen. Bei gewissen Rationalitätsbereichen sind nun aber die constituirenden Elemente % derartige, dass man den Bereich als einen natürlich abgegrenzten Bereich bezeichnen kann. Das findet zu- nächst statt für (%)=(1), d. h. für den Bereich der gewöhnlichen rationalen Zahlen, welcher als der absolute, einfachste, in allen Ratio- nalitätsbereichen enthalten ist, da ein jeder die Grösse R’: ’ ein- S — SE E *) Abel hat zuerst die Nothwendigkeit der Einführung‚cIr dieses Begriffes erkannt: „Sur la r6solution algebrique des Equations“, Oeuvres, publ. p. Lie et Sylow 2, p. 217; er glaubte aber den Fall transcendenter Grössen noch berück- sichtigen zu müssen. Kronecker hat diese Begriffe weiter ausgestaltet (Berl. Ber., Juni 1853; Februar 1873; März 1879; Journ. f. Math. 92 S21 8 p. 7ff.). Vgl. auch Molk, Acta math. 6. — Dedekind gebraucht statt ‚,Ratio- nalitätsbereich‘‘ den Ausdruck „Körper“, als „Vereinigung von zusammen- ‘ gehörigen Dingen, denen eine gewisse Vollständigkeit zukommt“ (Weber, Algebra (2. Aufl.), I, 8& 146). 376 Sechzigste Vorlesung $ 580—581 schliesst; dieser Bereich repräsentirt gewissermassen die absolute Ein- heit des Rationalitätsbegriffes Ebenso sprechen wir auch in dem Falle von einem natürlichen Rationalitätsbereiche, wenn die %’, R”, R” sämmtlich unabhängige Variable bedeuten, und also (%’, R” ) alle ationalen Functionen derselben repräsentirt In allen anderen Fällen haben wir es mit algebraisch abgegrenzten Bereichen zu thun für sie hat Kronecker den Namen Gattungsbereich eingeführt 8& 581 Ist f(z) O eine irreduetible Gleichung n“ Grades, deren Coefficienten einem gewissen Rationalitätsbereiche (X) angehören, und bezeichnen wir mit Z,, %, Z die Wurzeln von f= 0, dann heisst jede derselben (vgl. den vorigen Paragraphen) eine algebraische Zahl oder Grösse n“" Ordnung dieses Rationalitätsbereiches (%); die (einzelnen‘ Z 2 heissen zu einander conjuge Grössen in Hinsicht auf die Gleichung f(z)= 0 Wir wollen eine solche algebraische Zahl z,, welche Wurzel der dem Rationalıtätsbereiche irreductiblen Gleichung f(z) == 0 sein soll (RN) adjungiren und ihn also zu (XR, z,) erweitern; dann besteht dieser neue jetzt aus allen ganzen und gebrochenen rationalen Funetionen P (Zl) w (2)? bei denen %(z,)=+0 ist, und in denen sämmtliche Coefficienten von Zähler wie von Nenner dem Bereiche (%) angehören Diese allgemeine Form lässt sich vereinfachen Da %(z,) + 0 ist so sind %(z) und f(z) theilerfremd, und es giebt ganze Funetionen x(z), o(z), für welche die Gleichung stattfindet z (@)F(e) + o(e)(2)= 1 Daraus folgt o(z,)= 1:%(z), d. h P (&,) _f— % (2,) p (2,) 0(2)- Man kann sich daher zunächst auf alle ganzen Functionen von 2, be- schränken, deren Coefficienten zu (%) gehören Setzt man weiter, indem die Division durch f(z) ausgeführt wird so lange es angeht [R]<m, p(2) o(e) = Y(e)F(@) + Rle) dann ıst für D n 2 2,, weil f(z,) verschwindet P (@) am R(ZJ‚ w (@) d. h. jede Grösse des Bereiches (%, z,) ist in der Form einer ganzen Funetion höchstens vom Grade (n — 1) darstellbar Algebraische Zahlen. T7 R(2) = &% F 48 F AA A An % deren Coefficienten dem Bereiche (X) angehören Die Grössen, welche aus R(z,) durch HEintragung der anderen Wurzeln entstehen al R (2u) = 00 + A1%« F Aa% F + An 18a (« n), heissen zu einander conjug. ‘ HEbenso heissen die Bereiche (X, 2,), (N, %), zu einander conjuge Bereiche Jede Grösse des Bereiches (%, z,) ist eine der oben gegebenen Denn nehmen wir : eine Definition entsprechende algebraische Zahl solche Grösse in der Form an 3l CD Yı = 0 + A1ßa A 0a8 F - O @= 12 ) so wird das Product der % conjugen Werthe (y — yı), nämlich (2) g@) @ —@ — %) OI T a eine symmetrische Funetion der 2,, %, Zn, und die 0 werden dem- nach dem Rationalitätsbereiche (%) angehören Jedes y„ ist somit Wurzel der Gleichung (3) gy)=0 und also eine algebraische Zahl; denn sollte g(y) reductibel sein, so kann man ja denjenigen passenden irreductiblen Factor g,(y) heraus- nehmen, dem y„ als Wurzelpunkt angehört Es ist von Interesse, zu wissen, ob und wann (3) zerfallen kann. g,(y) sei der irreductible Theﬂer von g(y), welcher den Factor (y J—yl) enthält. Die beiden Gleichungen in z F(@)=0 und gı(& + 42 + @2 .. + amı 71 =0 haben die Wurzel z == z, gemeinsam und daher wegen der Irreductibili- tät der Funetion f alle Wurzeln von f. Folglich verschwindet g,(y) für alle conjugen Grössen (1) Sind alle conjugen Werthe (1) unter einander verschieden, dann ist (3) unzerlegbar, und y, eine algebraische Zahl u d. h. derselben Ordnung wie z, selbst Sind hingegen die Werthe (1) nicht alle unter einander verschieden dann wird g,(y) von geringerem Grade sein als g(y). Ist hierbei g (y) eın weiterer irreductibler Factor von g(2), so wird ebenso geschlossen dass die Gleichung in z Ia (A9 + 0412 + 2 E + An 12 — mit f=0 eine und daher alle Wurzeln dieser Gleichung gemein hat. Des- halb muss dieses g,(a,--a,2-----) mit jenem g, (ay--ayz-+ ), d.h. g(y) 378 Sechzigste Vorlesung 8& 581—583. mit g,(y) zusammenfallen. Da Gleiches von allen einzelnen irreductiblen Factoren der Function g(y) gilt, so folgt: Ist die Function (?2) zer- legbar, so ist sie eine Potenz einer unzerlegbaren Function © I(9) = qı Y)- In diesem Falle wird jedes y„ eine algebraische Zahl der Ordnung —=9g $& 582. Es lassen sich ın (N, z,) stets Zahlen y, bestimmen, welche von der %” Ordnung sind. Denn dazu ist es nach den bis- herigen Resultaten ausreichend, die Coefficienten @ so zu wählen, dass —l l l (a1(za—‚z/‚) C 4f‚) SC ß ) ( @ B= 1, 20000 ( «> ß ) von Null verschieden bleibt; nach $ 539 ist dies möglich. VUebrigens ist ja z, selbst von der n Ordnung. Ist y, eine derartige Zahl %“* Ordnung, dann können wir umge- kehrt auch z, durch y, und allgemein jedes 2„ durch das entsprechende Y« darstellen. Denn der Ausdruck Z Z Z7L 9@[ Ya Yıa )5 + ?____f_..._‚_. Yla 1=G@ ist eine ganze symrhetrische Funection der z7, und also sind die ein- zelnen Glieder von G durch y und die Coefficienten von f(z) darstell- bar, d. h. sie gehören dem Bereiche (%, y) an. Aus dieser Gleichung f01gt für Y — Yı, Ya, wie gewöhnlich — G G (y2) G (y,) Ö5) 1 K 2 C B TO) Demnach kann man die beiden Bereiche einander gleich setzen: (6) (2R; Za) E (2R, f'/£‘); so bestimmten Rationalitätsbereiches ol a alle Grössen des einen kommen gleichfalls in dem anderen Bereiche vor. $ 583. Es fragt sich nun weiter, wann der eben behandelte Fall eintreten kann, dass nämlich g(y) reductibel und also gleich einer Potenz, d. h. dass (4) g(y) = qı YY (n=wv-9g) wird. Algebraische Zahlen. 379 Es werde die irreductible Function g, ım Linearfactoren zerlegt, (7) gu y) = U—) Y—Y+1) Y—Ya-yr+)- Wir wollen ferner annehmen, dass die v Wurzeln von g= 0, welche gleich y, sind, durch (8) a V gegeben werden, so dass demgemäss (9) R(2)= R(4)= R(8)= . = R(e,) ist, dass aber kein anderes y„ dem betrachteten Werthe y, gleich werde. Wendet man nun auf die Relationen (9) die Substitutionen der Gruppe @ von f(z)=0 an, so entstehen daraus gleichfalls gültige Wenn daher eine Substitution Relationen ($ 560; Schlusstheorem). von &@ den Werth y, in ya (« <vwv) dadurch umwandelt, dass sie die Folge 212 besitzt, so werden durch sie die Werthe y,, Ya,:-- Yı ledig- lich unter einander vertauscht, und deshalb ebenso die Werthe 2,, %9 Ay) 2 weil sonst noch andere Werthe in die Reihe (8) eintreten. Da f(z) irreductibel ist, so wird es weiter auch Substitutionen in der transitiven Gruppe &G geben, welche z, in 2,+1 und also y, in Yı-+1 umwandeln. Dadurch müssen dann alle Werthe (8) oder (9) in neue übergehen; und wir finden so die weiıteren Relationen unter den y, welche aus (8), (9) stammen, (8°) Yı+ı = Yı+t2 =Yı+H3= i = 43 (9*) R (2y41) = R(@&,+2) = R(&,+4+3) = * = R(%»). Die Substitutionen von &, welche auf eins der Glieder (8*) ein anderes folgen lassen, vertauschen diese Glieder sämmtlich nur unter sich. Geht man so fort, dann zeigt es sich, dass die Gruppe G von f(z) = 0 imprimitiv, und dass f(z) = 0 also selbst eine imprimitive Gleichung ist ($ 578). Dasselbe Resultat kann man auch auf rein algebraischem Wege herleiten. Gelten die Formeln (4), (7), (8), (9), dann wird für jedes x der Ausdruck Z+ A Zgn 36 A m@i7 ÜT Ya =m@< Yn + ) a=1 Y Ya eine ganze symmetrische Function der Wurzeln z, und kann daher gleich G, (y) gesetzt werden, wobei die Coefficienten von G, dem Bereiche (X) angehören. Nimmt man dann hierin an Y — Yı, Y=— Yu+1), , So entstehen die Gleichungen 380 Sechzigste Vorlesung 8 583—584. Z1 +Z + —_- G (yı) Z 7 C (10) G Yy+ı) @=1,2 v) Z4+1 F Zu42 + .. + Z, I, ) Es kann demnach, wenn man die Newton’schen Formeln über den Zusammenhang der Wurzelpotenzen und der elementaren symmetrischen Funetionen anwendet, hierdurch eine Gleichung h(6 y)=7 — AI =0 von der Beschaffenheit gefunden werden, dass h(z; y,) =0 die Wurzeln Ag y 9 Au aaı @ Oharı) = 0 die \Wurzeha . Zaun, Z SN Eliminirt man mithin aus den beiden Gleichungen (11) 91(3’) =0 und h(e;y)= 0 die Unbekannte y nach der Poisson’schen Methode, so findet sich (12) F(@) = h(2; yı) : h(@; Yoı) * h(25 Yo_nr41)- Folglich ist nach $ 573 die Gleichung f(z)=0 eine imprimitive Gleichung. Wenn umgekehrt f(z) eine Funetion von der Form (12), und also f(z) = 0 eine imprimitive Gleichung ist, dann giebt es Funetionen R(@) = 0n —E an A aa E 000 I O welche mehr als einen, aber weniger als %» von einander verschiedene Werthe besitzen. Zunächst ist ersichtlich, dass die symmetrischen Funetionen von 2Z,, %,: 2, nur n:v==q Werthe haben, und dass eine jede solche Function rational in y, ist = @(y,), wie (10) zeigt. Denn aus Weiter lässt sich nun y, durch z, allein ratiıonal darstellen. (12) ist ersichtlich, dass h(2,; yı) = 0 ist, während h(z,; y) + wird für Yy-+1) Yar+ı, Folglich haben die beiden Gleichungen in y und (1 Iı (y) =0 h(2,; y)= 0 nur die eine Wurzel y = y, gemeinsam, und der grösste gemeinsame Theiler beider Polynome in (11®) wird (y — yı)- Dieser lässt sich daher nach dem HEuklid’schen Schema rational im Bereiche (X, z,) ausfindig machen, d. h. y, ist durch z, allein darstellbar n—1 Yı = 0 F 8 F AA T An 18 Setzt man dies in @(y,) ein, dann ist eine Funetion von z, mit mehr als einem und weniger als ” Werthen gefunden. 381 Algebraische Zahlen. Eine Grösse, welche von höherer Ordnung als der ersten, aber von geringerer als der %“* ist, nennen wir eine imprimitive Grösse, solche Grössen dagegen, die von der n“ Ordnung sind, primitive Grössen. Durch eine primitive Grösse lässt sich jede andere (primitive oder imprimitive) des Rationalitätsbereiches (X, z,) rational darstellen. Die Darstellung einer primitiven Grösse durch eine imprimitive ist nicht möglich, wie schon die Verschiedenheit der Anzahlen ihrer Werthe zeigt. Die bisherigen Resultate können wır folgendermassen zusammen- fassen: Nur wenn f(z)=0 eine imprimitive Gleichung, also die Gruppe G von f(g)=0 eine imprimitive Gruppe ist, giebt es im Rationalitätsbereiche (X, z,) imprimitive Zahlen Yx. — Ist in (, zu) jede Grösse mit Ausnahme der zu (X) selbst gehörigen, welche ja von der Ordnung 1 sind, eine primi- tive, dann ist f= 0 eine primitive Gleichung. Jede irreduc- tible Gleichung eines Primzahlgrades ist primitir. Einen Rationalitätsbereich (X, z,), welcher ausser den Grössen in (X) keine anderen imprimitiven enthält, nennen wir einen primitiven, jeden anderen einen imprimitiven Rationalitätsbereich. $ 584. Für die weiteren Entwickelungen müssen wir die folgende Zwischenbetrachtung anstellen. Es sei g(*)=0 mit den Wurzeln ,, &, „ eine beliebige irreductible Gleichung %' Grades, deren Coefficienten dem Ratio- nalıtätsbereiche (X) angehören. Ferner sei h(u, t,) eine in (X, 4,) rationale Funetion von w und 4, mit Coefficienten, die zu (%X) gehören. Wir nennen das Produet (13) N(h(u, t,)) = h(u, t,) - h(u, 6) - h(u, t,) die Norm von h(u, t,) im Bereiche (%). Die Norm eines Productes ist gleich dem Producte der Normen seiner Factoren, d. h. N(h-k) = N(Ah) - N(£). Wir wollen nun beweisen: Die Norm einer irreduetiblen Function h(w, t,) ist entweder selbst irreductibel, oder sie ist eine Potenz einer in (%) irreductiblen Funection. Dieser Satz umfasst den in $ 581 bewiesenen als besondeyen Fall in sich. 382 Sechzigste Vorlesung 8 584 Wir denken uns die Norm (13) innerhalb (%) in irreductible Factoren zerlegt N (h(u, t,)) = kı (w) - k (w) dann hat innerhalb (X%, %) der Factor %,(w) mit einem der Factoren aus (13), etwa mit Ah(w, t,), eine Nullstelle u —= @ gemeinsam. Man kann also setzen k (®) = ? h(®, t,)=0 In (X, 4) ist A(u, 4,) irreductibel deshalb ist k,(w) durch h(uw, t,) theilbar, und wir können mithin %,(w) in die Form (14) kı(u) = h(u, 4) - Q(u, 4) bringen, d. h. es haben die Gleichungen mit der Unbekannten % k (w) h(@u, %- Q(u,)= 0 und g(0)= 0 die Wurzel t= 4 so hat die gemeinsam. Da g(%) irreductibel ist, erste dieser beiden Glemhungen mit der zweiten alle Wu1zeln gemein- sam, d. h. es gilt für jedes %, die Gleichung (14*) B = 0, ) 0, &) @=1,2 ) Statt dieses algebraischen Schlusses hätte man auch den Satz über die Galois’sche Gruppe benutzen können, um (14*) aus (14) abzu- leiten; denn da g(£) irreductibel ist so muss die zu g = 0 gehörige Gruppe transıtiy seın und die Verwendung einer passenden Substitu- tion würde den Uebergang liefern Das Gleiche ergiebt sich für %,(w); folglich haben %,(w) = 0 und k (u) = 0 eine Wurzel o und daher einen ın (M) rationalen Faector gemeınsam Weil beide irreductibel sind so stimmen sie deshalb überein und man hat also, wie behauptet wurde (15) N (h(u, t,)) = g [k(w)]”, wobei g eine dem Bereiche (%) angehörige Grösse bedeutet Ist v = 1, dann sind alle Wurzeln der Gleichungen h(u, )y= 2 ( a)= 0 @, )= 0 von einander verschieden, weil &% =0 als irreductible Gleichung keine mehrfachen Wurzeln besitzt Bezeichnet also w irgend eine Wurzel von h(w, )= 0, so wird h(u,, )y= 0 h(4,, 6) E 0 h(d, bn) + 0 und es haben sonach die beiden Gleichungen h(m, O=0, gl =0 Algebraische Zahlen. 383 nur die eine Wurzel £= €, gemeinsam. Folglich lässt sich der gemein- same Theiler beider Gleichungspolynome (£ — t,) rational durch u, mit Coefficienten‘ in (%) darstellen, d. h. es wird bei v = 1 für eine jede Wurzel u, von h(uw, t,)= 0 eine Beziehung bestehen 4, = @ (u); (16) hierin bedeutet c eine rationale Funetion des Bereiches (%). Umgekehrt wollen wir annehmen, ohne über v eine Voraussetzung zu machen, es sei möglich, 4, durch eine Wurzel u, von h{(u, t)= 0 in der Form (16) rational auszudrücken. Dann hat, wenn u,, U, Um die Wurzeln von k&(w)= 0 sind, die Gleichung @— yu)) E — p)) : € — p (Um)) = 0 mit g() = O eine und also sämmtliche Wurzeln von g=0 gemeinsam, d. h. es ist etwa 41 (p(u1)> b = @(“2) 9 tn A €0(“n) ’ und da 4, %, .. € von einander verschieden sind, so ıst m>mn. Ferner hat die Gleichung 6 — vu 6& — yl ı— au =0 mit %(u)= 0 eine und also sämmtliche Wurzeln gemeinsam, d. h. es ist umgekehrt für « ==1,2,- m jedes @ (ux) gleich einem 4;. Sobald nun m> ist, müssen mehrere @ (u„) einander gleich werden. Es seien alle Werthe der Reihe p (u4) = p(u) = p(m)= - = p(ug) und nur sıe einander ‚gleich. Wendet man auf diese Relationen die Substitutionen der transitiven Gruppe G von k(uw)= 0 an, so folgt, dass jede Substitution, die eins der U1, Ua, W, Ug auf ein anderes derselben Reihe folgen lässt, nur sie unter einander vertauscht; und dass jede Substitution, die auf eins derselben ein neues folgen lässt, lauter neue Elemente w hervorruft. So erkennen wir, dass &G im- primitiv ist ($ 574), und wir können die g@(u”) in Reihen von gleich vielen Elementen anordnen, bei denen wir die oben benutzten Indices @, b,--- d durch bequemere ersetzen: g (4,) = P (Um+1) = P (Uan+1) = * = D (U@_yaı) P (®f2) I ‘P (W+z)=tp (Mzn+2) = ... =-q) (.u(k.—l).n—f—.2) (kn =m). Y — E 200 = (@0) Hier bilden die Argumente jeder Reihe ein System der Imprimitivität. 7 384 Sechzigste Vorlesung $ 584—585. Hieraus folgt, dass wegen h(u,, @ (u)) = 0 und h(u, 6,) = h(u, p (u)) = H (w, p (Un+1)) = * = A (U, D(W 1n++1)) die Gleichung (17) ( u = 0 die Grössen U, Un+1) Uan+1) ** Wx—1)n+1 Zu Wurzeln hat. Das sind aber auch die einzigen Wurzeln von (17). Denn das Produet, welches jedenfalls als Factor in h(w,t,) vorkommt, U E a bleibt für die Gruppe von (17) ungeändert. Diese besteht nämlich aus denjenigen Substitutionen von G, welche die 41, Un+1, nur unter sich vertauschen und also %, nicht ändern. Das angegebene Product ist folglich rational bekannt. Da aber Z%(w,%,) irreductibel ist, so fällt es mit diesem Producte zusammen. Demnach ist (17) vom Grade % in w, und die linke Seite von (15) wird vom Grade %.4 = m; die rechte dagegen ist vom Grade m - v. Folglich wird v= 1, d. h. N(h(u, t,)) ist irreductibel. Es ist charakteristisch für die Irreduetibilität der Norm von h(u,t,), dass t, durch eine Wurzel der Gleichung h(u,4)=0 rational darstellbar ist*). $ 585 Wir wollen nun untersuchen, was eintritt, wenn wir eine Reihe von Adjunetionen nach einander machen, von denen jede folgende in dem Bereiche stattfindet, der durch die früheren festgelegt ist. Es sei (%) ein natürlicher Rationalitätsbereich, und in ihm @ =W C - =0 eine irreductible Gleichung. Wir adjungiren zunächst z, und gelangen zu dem neuen Bereiche (%, z,). In diesem bilden wir wiederum eine irreductible Gleichung hY=0U—ı) U—%): '°(y%y‚vl)=0‚ deren Coefficienten aber nicht nothwendig z, enthalten. Wir adjungiren yı und gelangen zu dem Bereiche (%, %,, yı). Auch in diesem bilden wir eine irreductible Gleichung fıl@) = (@ — a) @— @) : @— @, deren Coefficienten also y, und z, enthalten können aber nicht zu enthalten brauchen. E *)VA.V 77Kneser‚ Math. Ann. 30 (1887), p. 179 ff. 385 Algebraische Zahlen. Ebenso erweitern wir den erhaltenen Rationalıtätsbereich durch Adjunetion von x, und bilden eine neue in (X, %,, Yı, %) irreductible Gleichung fı(u) = (u — uy) (u— U) + (U— 0)=0, in deren Coefficienten möglicherweise %,, Yı, 2# eingehen. So kann man fortschreiten; wir bleiben aber, da dies für die Er- kenntniss der Verhältnisse völlig ausreicht, hier stehen und betrachten den Bereich (18) (R, U1 Xı Yır %)- Es ist nicht ausgeschlossen, dass z. B. f”x mit f, identisch ist, so dass z, und y, conjuge Grössen bedeuten, da sie Wurzeln einer und derselben irreductiblen Gleichung sind. Den durch (18) definirten Bereich können wir dadurch verein- fachend umgestalten, dass wir zeigen: yı, %, und u sind Wurzeln je einer schon in (X) irreductiblen Gleichungen.: Um anzudeuten, dass die Coefficienten von f,(w) Funetionen von %, sind, schreiben wir f,(uw; x,) und bilden nach $ 584 die Norm von f im Bereiche (%) N (fı(w; 2,)) = fılw; z,) fa (; &) 3 Fl %i) = [g (u)}. Dann ist u, eine Wurzel der irreductiblen Gleichung g;(w) = 0, deren Coefficienten dem Bereiche (%, y,, z,) angehören. Kam x, in den Coefficienten von f, nicht vor, dann wird f, =gz. Schreiben wir aus- führlicher g;(w; y,), dann wird die Norm dieses Ausdrucks N (gs (w; yı)) = gs(w; yı) - 93 (W; Yo) + + I3 (W; Ym) = [g (u)]“ die Potenz einer in (, z,) irreductiblen Funetion, und u‚ eine Wurzel der in demselben Bereiche irreductiblen Gleichung g„(u) =g,(u; 2,)=0. Endlich ergiebt die weitere Normbildung N (g (u; 2,)) = g (w; 21) * Ia (W5; Z%) + Io (w; 2n) = [g,(u)]* das Resultat, dass u, Wurzel einer in (%) irreductiblen Gleichung gı (u)=0 wird, deren Coefficienten rationale Grössen in () sind. Die entsprechenden Resultate gelten für x, und für y Netto, Algebra. II. 25 386 Sechzigste Vorlesung $ 586—587. $ 586. HEine weitere Vereinfachung von (18) erlangen wir durch den Satz, dass die Adjunction mehrerer algebraischer Grössen durch diejenige einer einzigen ersetzt werden kann. Wir wollen dies für den vorliegenden Fall zeigen, in welchem 2,, Yı, %,, 4 Wurzeln irreductibler Gleichungen in (X) von den Graden %, m, l und X sein sollen. Wir benennen die &/ -1-m -n Grössen Dıa F DaYp F D3%y F DaUo (“=172;"'"3 B== 1l 20° Mg 00o) Dabei sollen in beliebiger Ordnung genommen @1, @2, : Okımn- Pı Da, P, Dı Constanten sein, die wir so wählen können und wollen, dass keine zwei der @„ einander gleich werden. Hierzu reicht es aus 0 den ü solche Werthe zu geben, welche keiner der nur in endlicher Anzahl vorhandenen Gleichungen Dı (2a — Ba) A Ba (Yp — Yo) F{ D3 (Xy — Xe) 4 Da (Us — Ua) = 0 @ Ü=all 2 00003 B O==1, 200° 083 22°) genügen. Dann gehören die Coefficienten der Gleichung (19) P (o) = (@0—8,) (0—®)-- + (0—Ann) =0 als symmetrische Funetionen der Wurzeln des Gleichungssystems fi=0 2 =0, A = 0, 1 =0 dem Conor (X) an P(0o)= 0 hat keine gleichen Wurzeln; es ist also P’(@,) von Null verschieden. Bildet man nun etwa bei Bevorzugung von Z vor y, % und q den Ausdruck X Z a& P(m)207—17130;_172 a)/3777(j Ya — Ba%y — Pa “ä= Q(m)7 dann ist Q(w.) eine ganze Funetion in @ und den Wurzeln der vier Gleichungen f= 0; zugleich ist Q symmetrisch in den Wurzeln der- selben, so dass die Coefficienten von Q(®) zu (NX) gehören. So folgt hieraus die Darstellung Q(-pl'za+p2yp'+ * a Q(wg) a = P’(Plza+172yp’+“ )_ P’(('Ö@), d. h. zx ist eine rationale Funetion von @, ın welcher der Nenner nicht verschwinden kann. Setzt man , 2, + D Yı 7 D3X, A Da — @, so folgt die Darstellung von %, durch @,. Kbenso ergeben sich aber auch Yı, %,, - Man kann deswegen setzen T @,) CZ nn Q @,) _ RG@,) 1 e Ur C VD P'’@\)? — P@)? Algebräische Zahlen. 387 und es reicht also aus, statt gleichzeitig %,, Yı, %,, W, allein die eine Wurzel @, von P(w)= 0 zu adjungiren, d. h. es ist (20) (8l1\7 Zı Yır Zi) 7"’1) a (2R7 651)' Die in 8585 gemachte mehrfache Adjunetion führt demnach auch nur auf algebraische Zahlen, wie sie ın $ 581 definirt worden sind, und hiernach könnte es scheinen, als ob die Betrachtung dieser allein ausreichte und unsere neue Kinführung gänzlich überflüssig wäre. Dies ist jedoch nicht der Fall. Denn wenn z. B. eine Wurzel von (19) dem Bereiche (%) adjungirt ist, dann kann die Umwandlung, wie sie durch (20) gegeben wird, dadurch wichtig und wesentlich werden, dass die Gleichungen fi=0,-.-. fi= 0 von besonders hervor- ragenden, einfachen KEigenschaften sind, so dass hierdurch die Erkennt- niss der Constitution von (X, @,) gefördert wird. In der nächsten Vorlesung haben wir den hauptsächlichsten derartigen Fall eingehend zu besprechen. $ 58%. Die Einführung von ®, an Stelle von Z Ya Za U Jässt die Frage entstehen, von welchem Grade derjenige in (%) irreductible Theiler von (19) sein wird, dem ®, als Wurzel genügt. Wir betrachten zunächst nur fi(z)= 0 vom n Grade mit der Wurzel z, und fı(y)= 0 vom m* Grade mit der Wurzel y,; beide Gleichungen seien in dem Bereiche (%), dem ihre Coefficienten an- gehören, irreductibel. KEs möge nach Adjunetion von 2,, also in (%, z,) die Funcfion f2(y) in irreduetible Factoren A,, ko, zerfallen; wir schreiben @21) f y)= k (y; 2) : k (y; ALACHHA und %, sei derjenige dieser Factoren, dem y, als Wurzelpunkt ange- hört. Wir setzen k yı a)= — yı)Y—%): : Y — Yı)- Dann gilt für die Grösse o = y + pz,, bei welcher p einen Parameter bedeutet, wie die Substitution zeigt, die Gleichung k (0 — D2,; 2,) = K (w; 4)= (co—[p‚e'l—}—yl]) R (°"“[2”1+.%]) Weil ferner nach (21) f(Y) — kı (y;2) ka(y;2) + ks(y;2)::=0 mit der irreductiblen Gleichung f,(2) = 0 eine Wurzel 2, gemeinsam hat, so gilt auch die Reihe der Gleichungen (21°) falW) = kı (Y; Zu) k (U3 2u) K3 (Y3 Zu) + + @=i1 n), 25* 388 Sechzigste Vorlesung $ 587—588. und daraus ergiebt sich, dass jede der Gleichungen kı (0 —D8ax; Za) = &(3 Zu)= 0 (“=1;27"'") als Wurzeln o gewisse Grössen (pz„ 4 yYs) hat, in denen die Yg zu den Wurzeln von f,(y)=0 gehören. Die r zu einer solchen Gleichung gehörigen Wurzeln sind unter einander verschieden, da ja A, (y; 2u) genau wie /,(y; z,) irreductibel ist; und die zu den verschiedenen Gleichungen K(‘”; Zl) =O) K(m5 Z2) R O7 K(@ a)= 0 gehörigen Wurzeln sind gleichfalls' von einander verschieden, falls p so bestimmt ist, wie dies zu Beginn von $ 586 geschah; denn die Coefficienten von p sind ja von einander verschieden. Bildet man also die Norm von k,(@® — pZ,; %,), nämlich N (k, ( — ya,; 2,) = K(w; 2;) : K(w; %) : K(0; 2), dann ist. dies eine in (%) rationale Function, welche als Potenz einer Nach dem soeben Bewiesenen irreductiblen Funetion auftritt ($ 584). hat aber diese Norm keine mehrfachen Wurzelwerthe; folglich ist sie selbst schon irreductibel. Weil k,(y; zu) den Grad 7 besitzt, so steigt die Norm in @ bis zum Grade %-r auf; d. h.: Wenn nach Adjunction von z, die Gleichung m“ Grades f(y)== 0 zerfällt, und der Factor kı (y; 2,), welcher gleich Null gesetzt y‚ zur Wurzel hat, vom Grade v ist, dann hängt ®,= UZ + yı von einer irre- ductiblen Gleichung des Grades nr ab, deren Coefficienten rational in (X) sind; dabei bedeutet n eine unbestimmte Grösse. Vertauscht man in der Beweisführung f und fx, adjungirt man also zunächst y, und betrachtet die dann etwa erfolgende Zerfällung von fi in irreductible Factoren, wobei s der ‘Grad des Factors sein mag, der gleich Null gesetzt z, als Wurzel giebt, dann zeigt sich ebenso, dass o die Wurzel einer Gleichung des Grades ms ist. Hieraus ziehen wir den Schluss: Sind z und y, Wurzeln bezw. von fi@)=0 und fi(y)= 0, zweier in (R) irreductiblen Gleichungen der Grade n bezw. m; ist ferner vr der Grad derjenigen nach Adjunction von Z; irreductiblen Gleichung, welcher y, genügt, und s der Grad derjenigen nach Adjunction von y, irreductiblen Gleichung welcher z, genügt, so gilt dıe Proportion n:m=S:r. Algebraische Zahlen. 389 Von dem ersten der beiden Resultate kann man nun zu dem Falle dreier Gleichungen f,(2) = 0, f£(y) =0, fz(x) = 0 fortschreiten, indem man die Adjunction von %, und y, zunächst durch diejenige einer Wurzel @, von N(K,(w; z,)) = 0 ersetzt und darauf von ®, zu (%, + 9,@,) Üübergeht. Man gelangt dadurch zu dem Resultate: Genügt zı im Bereiche (X) einer irreductiblen Gleichung vom Grade v,; ferner y, im Bereiche (%, z,) einer irreduc- tiblen Gleichung des Grades 7,; und endlich x, im Bereiche (N, yı, zı) einer irreductiblen Gleichung des Grades 7,, so hängt die Grösse @, = %, + Yı + D, durch welche X,, yı, Z rational darstellbar sind, als Wurzel von einer irreductiblen Gleichung des Grades r,-r72-r7, ab. Der allgemeine Satz ist hier- nach. klar. (Vgl. A. Kneser 1. c.) $ 588. Wir haben in den vorhergehenden Paragraphen dieser Vorlesung die Aufgabe als gelöst angesehen, eine Funetion innerhalb eines Gattungsbereiches in ihre irreductiblen Factoren zu zerlegen. Es ist jedoch zu bemerken, dass das Problem der Zerlegung bisher nur für natürliche Rationalitätsbereiche behandelt und erledigt worden ist ($ 50, Bd.I und 8 341); an erster Stelle für den natürlichen Ratio- nalitätsbereich (X)= 1, an letzterer für (X, , ---) =(1, %, , "), indem wir f(z,) mit Coefficienten dieses Bereiches versehen dachten, der aus lauter Unbestimmten %, Z3, zusammengesetzt war. Die allgemeinste Zerlegungsaufgabe würde sıch auf eine Funetion J(Z,, Zay ‘ Zn) beziehen, deren Coefficienten ın einem Gattungsbereiche (X, M', R”, ---) enthalten sind; wie kann man g innerhalb dieses Rationalitätsbereiches in irreductible Factoren zerlegen? Zunächst kann man die Frage so umgestalten, dass man eine Variable z allein als Argument von g ansıeht und die übrigen ın den Rationalitätsbereich verweist ($ 343, V); weiter kann man den Ratio- nalitätsbereich so zubereiten, dass er ausser unbestimmten Grössen nur eine einzige algebraische Zahl enthält [$ 586; (20)]. Hiernach reicht es aus, die Zerlegung (22) f(@; @,) = gı(2; @,) : g (2; @) g (2; @] der Funetion f in irreductible Factoren g„ des Gebietes (@,, N', R”, - --) zu fordern, wobei die X’, X”,-.. Unbestimmte bedeuten, und @, die Wurzel einer irreduetiblen Gleichung P(®) = (0—0,) (0—®) : (0—Wm)=0 ist, deren Coefficienten dem Bereiche (%’, R”, - - -) angehören. Endlich kann man ohne Beschränkung annehmen, dass f(z; @,) von mehrfachen 390 Sechzigste Vorlesung $ 588—589 Theilern frei sei, und dass auch kein gemeinsamer Factor aller Coeffi- cıenten von (z; @,) besteht Wir wollen in (22) statt z eintragen 2 = d + @,, wobei t ein unbestimmter Parameter sein soll Das hat zwei Vorzüge ım Gefolge Zuerst tritt in den Coefficienten der Potenzen von x ın f jetzt wirk- während das lich die Grösse w, auf, was für uns von Gewicht iıst bisher nicht nöthig war; zweitens wird dabei die Norm von f(x +7o,) keine Potenzen als Factoren enthalten Gesetzt nämlich man hätte V(f(x + %0,; 2 (@) - Q5' (@) als Zerlegung der Norm im Gebiete (X’, X” ), dann würde, wenn auch nur einer der Exponenten x grösser wäre als 1, N(f) mit seiner Ableitung einen gemeinsamen Theiler haben, also f (& + 6@,; @ı) f (@ + 00@3; 2) f(&% + @m5 Om) mıt f(x+tﬁi S f(x F @ ı) fle 4 1n a) f (@ +t@ Z ; Kommt derselbe nun etwa in f(x —+ *@,; a) von so müsste weil f(@% + 6@,; @. ©,) von mehrfachen Factoren frei ist und also mit f (a + 4@,; @,) keinen gemeinsamen Theiler hat, ein solcher etwa für die beiden Funetionen (28) ( A 0 @;) und f(x + *%,; 2) bestehen. Auf die Irreductibilität von f(@x + 6@;; ‚) können wir uns um diese Eventualität abzuweisen, hier nicht berufen, weil Irredueti- bilität im Bereiche (@,, @,, N’, R” ) nicht zu gelten braucht. Aber auf anderem Wege lässt sich leicht die Unmöglichkeit der Existenz eines gemeinsamen Factors für (23) zeigen. Wir setzen % + @, = Y, dann giebt die erste jener Functionen f(y; @ ®,) und die zweite F + 4(@: — @,); ®) = /: ®) +t(w2_031) f 0 @) E +tq(c‘72”_ml)q Wegen der Unbestimmtheit von % müssten fF(y; @ ®,) und (9, — ®} einen gemeinsamen Theiler besitzen, d. h. (®, — @,) müsste Factor aller Coefficienten von f werden. D16 Existenz eines solchen war aber ausgeschlossen. KEs sind demnach alle x gleich 1 zu setzen, und man hat °") (24) N (f(@ +6@,; @ @,)) = Q&) Q (@) - Q, (@)- ( OE ) Molk, Acta math. 6, p 41 ff. — Kronecker, Journ. f. Math. 91 (1882), p. 12. — Kneser 1, c., p. 187 Algebraische Zahlen. 391 wobei die Q von einander verschiedene rationale irreductible Func- tionen in (’, X”, - - -) bedeuten. Wir suchen nun nach dem Euklid’schen Algorithmus den grössten gemeinsamen Theiler von Q,(x) und f(x + #@,; @1), indem wir beide Funetionen von x in bekannter Weise behandeln und P (®@,) = 0 zur Reduetion der Coefficienten benutzen. Dieser Theiler sei @ (x; @,), und es werde gesetzt p (x; @,) : p (@; ®,) = Q.@), p (x; W,) - P @; ®,) = f (%# + @; @)- Das ergiebt dann, wenn man die Normen nimmt, N (g(x; @)) - N (g (@; @,)) = Q @), N (m(z; @,)) : N (g (z; @,)) = Q.@) - Q, (@x) - Q (z) . Aus der ersten dieser Gleichungen schliesst man, dass N (g) eine Potenz von @Q, wird und aus der zweiten, dass der Exponent dieser Potenz 1 ist; folglich wird zu setzen sein N (g (x; @,)) = @- Daraus folgt weiter, dass q(x; @®,) irreductibel wird, denn nach 8 560 würde sonst folgen, dass @Q, auch zerlegbar wäre. Es ist dem- nach der grösste gemeinsame Theiler von f(x +%®@,; @,) und Q, einer der irreductiblen Factoren von f(x + t@,; ®@,). Durch die grössten gemeinsamen Theiler von f(@% + 4*@,; @,) mit Q1; Q2; Q37 werden sämmtliche irreductiblen Factoren von f geliefert. Setzt man in ihnen dann %=2-—(#®,, So erhält man die Zerlegung von f(z; @,) in seine irreductiblen Theiler inner- halb des Bereiches (®,, R, N,---) Damit ist die gestellte Auf- gabe gelöst, und die Irreductibilitätsuntersuchungen sind auch für Gattungsbereiche erledigt. $ 589. Wir wollen eine praktische Anwendung für die Methode zeigen, eine Funetion ınnerhalb eines gegebenen Gattungsbereiches zu zerlegen, indem wir die Reductibilıtät oder Irreductibilität der Function (25) f(?) = O, (©,(g)) untersuchen, in welcher @, und @, ganze Functionen sein sollen, deren Coefficienten dem Rationalitätsbereiche (X) angehören. Diese Unter- suchungen stammen von A. Capelli*). E — ;°) Rend. d. R. Acc. d. Napoli. (1897) Dicembre; (1898) Febbraio; Maggio. 392 Sechzigste Vorlesung $ 589—590. Als erste Bedingung für die Irreductibilität von f innerhalb (%) erkennt man die Irreductibilität von ©,(y) innerhalb des gleichen Be- reiches. Diese Bedingung sei erfüllt; dann sind die Wurzeln von O y)=U0-—yı) Y—%): : (Y—yYm)=0 von einander verschieden. Aus dieser Gleichung folgt f(2) = 0, (0,(@)) = (©2(£) — ?/1) (©,(2) — Y) - (©O,(?) — Ym)- Gesetzt der Factor @,(z) — y, wäre im Gebiete (X; y,) reductibel, was wir nach dem vorigen Paragraphen prüfen können, und es wäre O; (2) — yı = $,(2; yı) - &o(2; Yı), wobei &,, &o rationale ganze Functionen von z und Yır mit Coeffi- cienten aus (X) sind, dann gilt O, (2) — Yu = P1(@; Yu) * Öo(2; Y,) (“=1;27"'m); weil die vorhergehende Gleichung mit der irreductiblen Gleichung O,(y) = 0 eine Wurzel gemeinsam hat. Deswegen wird @= 1, 2 °°<) F@= [ [ 90 y ] [ 8 u = Y() : Z@). Die T sind hier ganze Funetionen in (X), und f(z) ist daher reduectibel. Wir zeigen weiter, dass 7, in (%) irreductibel ist, falls © (2; yı) es in (X; yı) Ist. Hätte 7,(z) den Faetor T7(z), so müsste dieser mit einer der Funetionen &,(z; y,) einen Theiler gemeinsam haben, z. B. mit d;(2; yı)- Da &, (2; yı) als irreduetibel in (; y,) vorausgesetzt wird, so muss demnach &;,(z; yı) die Funetion t(z) theilen: v (2) = d1(2; yı) - Dol&; Yı)- Ersetzt man hierin y, durch %2,“--Ym, SO sind auch die neu ent- stehenden Gleichungen richtig, weil @, (y) = 0 irreductibel ist. Folg- lich sind alle m Funetionen (26) 31('Z; 3/1)7 Ö, (2; Ya), O1 (2; Ym) Theiler von t(z). Keins der &, liefert, gleich Null gesetzt, mehrfache Wurzeln. Ferner haben aber auch nicht zwei Gleichungen O, (8; yı)= 0 ”31(55 ?/f') = 0, gemeinsame Wurzeln. Denn wäre & eine solche, so hätte man ©(6) — yı= d (6E; yı) , (E; yı)= 0, O, (8) — yı= D(6; y0) : D (5; ı) = 0, Algebraische Zahlen. 393 d. h. es wäre gegen die Annahme der Irreductibilität von ©,(y) gleich- wohl yı = yı. Es enthält daher T(z) das Product der Funetionen (26), d. h. 7(z) fällt mit 7,(z) zusammen. Zerlegt man also im Rationalitätsbereiche (X; y,) die Differenz (0,(z) — yı) in ihre irreductiblen Factoren O; (z) — yı = Du(e; yı) ' d (£; Yı) - Ow(@; Yı), dann sind @= 1 2 2, m) LﬁMw%[ßWw%--[ﬁ#w) die in (X) irreductiblen Factoren von (25) O, (©,(2)). Die Ordnung jedes dieser irreductiblen Factoren ist ein Viel- faches von m, d. h. vom Grade der Function O, (y). Für die Irreductibilität von (25) ist es charakteristisch, dass O,(z) in (X) und ®@,(2) — yı in (X; %) irreductibel sind. Hieran schliesst sich folgendes Theorem. HEs sei (25°) f(?) = 0,(0,(2)) = %1 (x(2)), wobei O,(2) sowie %(z) vom Grade m, und ©,(z) sowie y (2) vom Grade % sind. Die Zahlen m und % seien theilerfremd. Dann ist es für die Irreductibilität von (25*) im Bereiche (%) charakteristisch, dass O‚(z) und %,(z) in demselben Bereiche irreductibel seien. Dass diese Bedingungen nothwendig sind, ist klar. Sie sind aber auch hinreichend. Denn ist t(z) ein irreductibler Theiler von f(g), dann muss sein Grad nach dem vorigen Satze ein Vielfaches von m wie von % und also von mm sein; d. h. der Theiler fällt mit f(z) ZUusammen. $ 590. Diese beiden Theoreme benutzt Capelli, um die Irredueti- bilıtätsfragen für die binomische Gleichung Z — A=0 (27) in einem beliebigen Rationalitätsbereich (%), dem A angehört, zu entscheiden. Es sei in seine verschiedenen Primzahlpotenzen zerlegt q7‚=p“qﬁr}’...=pa.»u. Wir setzen O, ()=2" _ A, 0,(0)=z; Xl(£”) 7 ar A; Xa (Z) S Zpa; 394 Sechzigste Vorlesung 8 590—591. dann folgt, dass (27) dann und nur dann irreductibel ist, wenn es die beiden Gleichungen zr —_ A=0, A sind. Wendet man auf die zweite dieselben Schlüsse an und geht so fort, danın kommt man zu dem Satze: Für die Irreductibilität von (27) n A 0} n =2)“QP’W’. C ist es charakteristisch, dass ” A =0, U Z0 N A=Z0, innerhalb (%) irreductibel sind. Hierdurch ist die Frage also auf binomische Gleichungen vom Primzahlpotenzgrade reducirt. Wir betrachten deswegen jetzt nur (28) gr° — A4=0 und setzen O.(e)=2" — A, O,(e)= ar“ O, (z) = 2? — A ist innerhalb (X) irreductibel, sobald in dem gleichen Bereiche 4 nicht eine vollständige p® Potenz ist. Diesen Satz wollen wir als richtig voraussetzen; er wird in der folgenden Vorlesung, un- abhängig von unseren jetzigen Betrachtungen, ım $ 594 bewiesen werden. Wäre 4 keine solche vollständige w Potenz, dann könnte trotz- dem (28) noch reductibel sein, wenn nämlich gemäss dem ersten Lehr- satze des vorigen Paragraphen (29) O, (2) —yı= 2 —y es in (R; y,) ist. Dabei bedeutet y, eine Wurzel von O —A Z0—WCO—) HO —O Es fragt sich also, ob (29) in (M; y,) reductibel oder irreductibel ıst Diese Gleichung ist der Gleichung (28) völlig ähnlich, da ja, wie wir nachweisen wollen, y, im Gebiete (%; y,) auch keine vollständige y° Potenz ist. Wäre nämlich yı = [h(y4)]?, so würde die Gleichung, welche durch Eintragung von y; statt y, ent- steht, auch richtig sein, da y” — A = 0 irreductibel ist. Folglich wäre Yıa Yn = [h(yı) h%) h(yp)1P- Ist nun y eine ungerade Primzahl, dann wird die linke Seite gleich 4, während die eckige Klammer auf der rechtep Seite dem Bereiche (X) Algebraische Zahlen. 395 angehört. Folglich wäre A gegen die Annahme eine vollständige p“ Potenz. Für p==2 gilt dieser Schluss nicht, da für p= 2 die linke Seite zu (— 4) würde. Wir setzen jetzt p >2 voraus und haben dann in (29) das voll- Die- kommene Analogon von (28), sobald wir (%; yı) = (X’) setzen. selben Schlüsse gelten weiter, d. h. (29) ist nur dann reductibel, wenn die binomische Gleichung (y“—?)' Grades es ist, welche daraus her- geleitet werden kann, nämlich ZP &— 2 —y{=07 u.s.f. So kommt man endlich auf eine Gleichung des Grades p ZP — yi“_2) =— O) wormm y“—2 keine vollständige p° Potenz im entsprechenden Ratio- nalitätsbereiche wird. Folglich ist diese Gleichung irreductibel, und damit zugleich auch (28). Dafür dass (28) 2° _ 4A=0 (n—>2) irreductibel in (X) sei, ist es charakteristisch, dass 4 in dem gleichen Rationalitätsbereiche keine vollkommene p“ Potenz wird. Wie schon bemerkt wurde, gilt der Beweis nicht für den Fall P=2. Aber auch der Satz selbst muss hierbei modificirt werden, wie das Beispiel En Al = 2 + 40 — (# — 2b2 + 20°)(2? + 202 +20°) zeigt, in welchem Zerlegung stattfindet, trotzdem A kein Quadrat ist. KEs ist also für Potenzen von 2 ein Ergänzungssatz nöthig. Capelli leitet diesen in der zweiten der angeführten Noten ab. Wir begnügen uns, ohne den dort gegebenen Beweis zu reproduciren, mit der An- gabe des Theorems: Dafür dass E in einem gegebenen Rationalitätsbereiche reductibel sel, ist es charakteristisch, dass entweder 4 in diesem Bereiche ein Quadrat, oder dass — 4 in ihm das Vierfache einer vierten Potenz bildet. $ 591. Wir haben in unseren Untersuchungen die Möglichkeit an- genommen, dass durch Adjunetion einer Wurzel y, von f(y)= 0 des Grades m_ die Gleichung f,(z) = 0 des Grades % in Faetoren zerfällt. Dass derartige Verhältnisse eintreten können, ist ersichtlich, wenn man f3 = f Setzt. Wir fragen nach den allgemeinen Bedingungen, unter denen ein solcher Fall von Zerlegung vorkommt. 396 Sechzigste Vorlesung $ 591—592. Einundsechzigste Vorlesung 8 593. Ist nach Adjunetion von y, zu fi(z) == 0 die Function h.(@) = (@—2)(@—2) - (@—%) (v<mn) ein irreductibler Factor von f,(z), dann heisst dies, dass die sym- metrischen Funetionen von Z,, %, Z, rational durch y, darstell- bar sind. Gesetzt p(2,, - 2.) und w(2,,:-: Zn) wären beide durch y, dar- stellbar, dann ist es auch P (Zı> 4 8n) H U (21, 7 An) Daraus folgt, dass es eine kleinste Gruppe K, giebt, derart, dass alle zu ihrer Gattung und unter ihr stehenden Funetionen, aber keine andere rational durch y, ausdrückbar ist. Bezeichnen wir mit %, (21, *- Zn) jede zu K, gehörige Funetion, dann ist also I, (81, %ar En) = R(y,)- Andrerseits ist durch R(y,) eine Gattung der y bestimmt, zu der entweder y, gehört, oder über der y, steht. Ihre Gruppe mag K, sein; o (Yı>* - Ym) bedeute jede zu K, gehörige Funetion. Dann ist durch k, jede zu K, gehörige und durch %, jede zu K, gehörige Funetion rational darstellbar. Dies bedeutet: Die Gattung K, der Z,, %,: % stimmt mit der Gattung K, der Yı, Ya, ‘:“ Ym überein. Wenn umgekehrt für fi und fz zwei solche übereinstimmende Gattungen bestehen, dann braucht bei Adjunetion von Yı noch nicht (1 zu zerfallen. Hierzu ist zweierlei nothwendig. Zunächst muss K, intransitiv sein; denn es müssen schon die symmetrischen Funetionen von weniger als ” der z rational darstellbar werden; und dann muss k, unter der Gattung stehen, welche durch die eine Wurzel y, bestimmt ist; denn jene Funetion von %,, welche die symmetrischen Functionen von 21,: : Z darstellt, muss durch y, dargestellt werden können. $ 592. Wir wollen durch Verbindung des eben abgeleiteten Satzes mit einem früher $ 548 über Gattungsdiseriminanten bewiesenen ein Irreduetibilitätstheorem aufstellen. Bedeutet G, die Gruppe von fi(#)= 0 und G, die Gruppe von f2(y) = 0, dann können wir die Resultate aus $ 548 verwerthen, denen zufolge die irreductiblen Theiler der Gattungsdiseriminanten von G, und K, und ebenso von G, und K, übereinstimmen. Da nun die beiden Gattungen X, und K, identisch sind, so stimmen G, und &7, in _ den irreductiblen Factoren ihrer Gattungsdiseriminanten überein. Dies ist also eine nothwendige Bedingung dafür, dass fi — O durch Adjunetion einer Wurzel von f;= 0 reducirt werde. Algebraische Zahlen. Radicalzahlen. 397 Wir wollen diese Ueberlegungen auf die zu einer Primzahl w gehörige Kreistheilungsgleichung N z—1 = gl } —2 L... + 2+}1=0 anwenden. Jede Function irgend einer Gattung der Wurzeln ist in der Form a bo+cw?+-... + dar—! ausdrü%:kbar‚ wobei @ eine primitive p“ Einheitswurzel bedeutet. Jeder Factor der Discriminante hat die Form b (0* — wP) + 6(0?* — 0B) A + d_(a‚<p—1)a — we—P); folglich ist die Diseriminante durch 11& —« d. h. auch durch % theilbar. Die Primzahl y ist also jedenfalls ein irreductibler Factor aller Gattungsdisceriminanten für die Kreistheilungs- gleichung. Die Kreistheilungsgleichung kann nur dann durch Adjunetion einer Wurzel y, der Gleichung f(y)=0 reductibel werden, wenn die Discriminante von f>(y) durch m@ theil- bar ist®). KEinundsechzigste Vorlesung. Radicalzahlen. $ 5938. Aus der Gesammtheit der algebraischen Zahlen heben wir eine besondere Art heraus, die wir Radicalzahlen im Ratio- nalitätsbereiche 1 oder kürzer Radicalzahlen nennen. wollen. Wir definiren sie auf folgende Art. Wir gehen von dem aus der Einheit gebildeten natürlichen Ratio- nalıtätsbereiche (X) = (1) aus und erweitern ihn durch die Adjunetion einer Wurzel v, einer reinen Gleichung oder binomischen Glei- chung, deren Grad eine Primzahl p, ist, so dass also y =F(R) wird. Aus dem so festgelegten Rationalitätsbereiche (v,; R) treten wir durch fernere Adjunetion einer Wurzel v,_, wieder einer reinen ALn * Kronecker, Journ. de math. 19 (1854), p. 177. — Schönemann, Journ. f. Math. 32 (1846), p: 100. — Kronecker, Journ, f. Math. 100 (1887), p. 79. 398 Einundsechzigste Vorlesung $ 593—594. Gleichung von Primzahlgrad, die auch mit der ersten zusammenfallen kann, e CN in ein erweitertes Gebiet; n„_1 bedeutet wieder eine Primzahl, und F,_, eine ganze rationale Function der Argumente; dass die Benutzung gebrochener Funetionen keine Verallgemeinerung bietet, haben wir $ 581 gezeigt. In der angegebenen Weise kann man fortschreiten, bis man nach einer endlichen Anzahl von Schritten zu dem für unsere Zwecke nöthigen, völligen Schema einer Kette reiner Gleichungen von Primzahlgrad gelangt, welche die Form hat 7, V V , 7)7’1/—1 DE y—1 F, 0, , va Z (1 v—2 VQ $)‚ D a 1P2 (US; On 9° D ER); ı8 Zı =F1(”27 Us, °° Dr) 2R) Hierbei ist es nicht nöthig, dass in die Definitionsgleichung eines vx jede vorhergehende Grösse vx+1, Va-2, eingeht; sie können sogar sämmtlich fehlen. Wir nennen jede Grösse von der Form ı—l (2) %= M + M0 I M0 E + B 0 1 2 in welcher sämmtliche m7 dem Bereiche (v,, v3, v,, R) angehören, i = I (@9 O5 %, 8?.)‚ eine zur Kette (1) gehörige Radicalgrösse, weil sie durch Ad- junetionen allein von Wurzelgrössen erlangt wird. Ob nicht etwa jede algebraische Grösse zugleich eine Radicalgrösse ist, d. h. ob sich nicht etwa jede algebraische Grösse in der Form (2) darstellen lässt, gehört zu den wichtigsten und interessantesten Fragen der Algebra. Ihre Beantwortung liefert die Entscheidung über die sogenannte Auf- Jösbarkeit der algebraischen Gleichungen, d. h. eben über die Frage, ob die Wurzeln jeder algebraischen Gleichung in der Form (2) darstellbar sind. Wir kommen hierauf bald zurück. Die Anordnung der v in die Tabelle (1) ist nicht in allen Fällen fest bestimmt. Ist z. B. Fı bei u <w eine Function im natürlichen Radicalzahlen. 399 Bereiche (X), dann kann die Gleichung für v ebensogut an die erste Stelle statt der für v, gesetzt werden. Solche Radicale mögen Anfangs- radicale heissen. Es. kann ferner vorkommen, dass ein Radical v. in keiner der folgenden Definitionsgleichungen mehr auftritt, so dass wir schreiben könnten a — (l 14'ju—1(?)‚u—}—17 0, I, yPeZ2 — ] v’ , u—2 f 4—2( —12 v[u+17 dann lässt sich dieses vu an jede tiefere Stelle bringen, speciell auch an die letzte statt v,. KEin solches Radical wollen wir ein Endradical nennen; es wird bei der Darstellung (2) nur in den Coefficienten m>; auftreten, welche ganze Functionen dieses äusseren Radicals werden. Es ist x eine ganze Funetion jedes derartigen Endradicals v %= M + MD + M% + ’ D U og Du—1) VutF1) *5 Or, €R) Zwischen die Anfangs- und die Endradicale ordnen sich die Mittel- radicale ein, deren Stellung von den übrigen Gliedern abhängiger ist. $ 594. Für unsere weiteren Entwickelungen brauchen wir einen, zuerst von Abel ausgesprochenen Hülfssatz*): Bedeutet mn eine Primzahl, und fi, fr fa—ız F eine Reihe von Grössen, die einem gegebenen Rationalitätsbereiche angehören, so folgt aus dem gleichzeitigen Bestehen der beiden Gleichungen fo + fiw + faw® + + fornw? 1 =0, (A) w? —f=0, dass entweder f%, i fa—ı einzeln verschwinden, oder dass eine der Wurzeln w der zweiten Gleichung dem Rationalitäts- bereiche angehört. Sind nämlich nicht alle Coefficienten f7, fiy::- fn—1 gleich Null, dann haben die Polynome in (A) einen gemeinsamen Theiler, der als Divisor des zweiten Ausdruckes die Form V besitzt, und in dem alle g ganze Grössen des Rationalitätsbereiches sind. Die Wurzelpunkte dieses Ausdruckes sind unter den Wurzeln *) Oeuvres, Edit. Sylow et Lie, I, p. 228. — A. Kneser, Journ. f. Math. 106 (1890), p. 46 hat einen rein arithmetischen Beweis für diesen Satz gegeben. 400 Einundsechzigste Vorlesung $ 594—595. von w? = f enthalten. Ist nun w, eine derselben, und bedeutet w eine primitive m' Kinheitswurzel, dann sind alle Wurzelpunkte jenes Ausdruckes von der Form w,w“ ’ w B, .. 2 und deshalb wird . ihr Produect 9o = WT @. Nun können wir zwei ganze Zahlen bestimmen, welche der Gleichung mr= 1 — ps genügen. KErhebt man die Gleichung für gn in die y Potenz, dann folgt — ww W W, — 95f3; d. h. die Wurzel we”w, von w? zZf gehört dem Rationalitätsbereiche an. Wir wollen uns auf diesen Hülfssatz durch dem Hinweis „nach (A)“ berufen. Dieser Hülfssatz ist nur dann von Nutzen, wenn f von 1 ver- Denn für w? = 1 verwirk- schieden, also w keine KEinheitswurzel ist. licht sich ja stets die Eventualität, dass eine der Wurzeln rational seı. Es ist deshalb von Wichtigkeit, eine genaue Unterscheidung zwischen den in (1) eingeführten Einheitswurzeln und den übrigen Radicalen zu treffen. Wir setzen daher fest: Ist in dem Schema (1) irgend eine y und durch der eingeführten Grössen vn durch %x+1, irgend welche primitiven Einheitswurzeln von Primzahlgrad rational darstellbar, dann ersetzen wir die Eınführung von v durch diejenige jener Einheitswurzeln und gestalten da- durch unser Schema um. So wird z. B. die Kinführung einer durch w*?= 2 definirten Radicalgrösse w durch diejenige einer primi- tiven achten Einheitswurzel, also durch die Einführung der Ketten- glieder Ol D 3 l zu ersetzen sein, da, wenn c jene primitive 8° KEinheitswurzel ist, die Irrationalität w d. h. hier V2=0-+ w wird. Diese Umformung einer vorgelegten Kette (1) wird bei v, ihren Anfang zu nehmen haben, und wenn sie bis zu Ende durchgeführt ist, wird keine Beziehung zwischen den v und Einheitswurzeln Va = T(Üa+1; SE ’Üy, ﬁ)„ 09”, O ‚ %) mehr bestehen dürfen. ‘dass die in (1) Daraus können wir sofort den Schluss ziehen, Radicalzahlen, 401 zurückbleibenden Gleichungen, welche keine Einheitswurzeln definiren, irreducetibel im jedesmal angegebenen Rationalitätsgebiete sind. Denn wäre eine Gleichung von der Form v%= F nicht irreductibel, dann gäbe es eine Gleichung fo+ fır + fa + =0, h= T('Z)„+„ © O9 %) von niederem als dem p“”" Grade mit nicht verschwindenden Coeffi- cienten, welche mit der ersteren eine Wurzel gemeinsam hat. Nach (A) hätte v% = / eine rationale Wurzel; und also sind alle Wurzeln rational, wenn man eine primitive p Wurzel der 1, etwa w„, zum zationalitätsgebiete rechnet; denn aus einer Wurzel von v = F ent- stehen alle übrigen durch Multiplication mıt p“ Einheitswurzeln. Das adjungirte vu wäre mithin auch schon in (®p, Va+1, ** V, N) ent- halten, und danach könnte die Kette der Gleichungen (1) noch MEIS einfacht werden. $ 595. Ist v, keine Einheitswurzel, dann können wir über (2) eine Voraussetzung machen, oder dieselbe eventuell durch eine Um- formung verwirklichen, welche oft von Vortheil ist. Es sei m, einer der von 0 verschiedenen Coefficienten von (2), nur nicht m%. Wir setzen dann die Gleichungen an (3) Wı= MAVi; Ülla2 — (7}27 U3 ) Es wird deren zweite den Rationalitätsbereich angiebt. (3*) “’fl‘—“ 7”£l $ Fa(”2; D, ) = D (%, V, ; ferner bestimmen wir ” und s ganzzahlig gemäss der Gleichung «r = 1 — p,S; dann ist, wenn man (3) in die y° Potenz erhebt, _pw $ (4) wı = (F ; 0 = Wı = N-Wi, mM wobei %, = (%, v,, R) ist. (4) giebt die Umkehrung von (3). Trägt man (4) in (2) ein und berücksichtigt dabei das Glied m„ vf gemäss (3), dann entsteht Zı (2%) % = m + Wı + mw + ... + mﬁx ON )) mf’1 n (”27 Ua '); also eine Darstellung, die genau den Charakter von (2) und dabei die Kigenthümlichkeit hat, dass der Coefficient von w} gleich 1 ist. An die Stelle von ”fl=F1 trıtt dabei wi”1 al &.. Ist dagegen v, eine Einheitswurzel, dann kann man die besprochene Umänderung nicht ausführen, da dies gegen die Reductionsvorschriften des vorigen Paragraphen verstossen würde. Netto, Algebra. II. 26 402 KEinundsechzigste Vorlesung $ 595—596 Jede der Gleichungen (1) lässt sich, wenn vg dasjenige letzte vor Vx—1 Stehende Kettenglied bedeutet, welches in F._ , wirklich vorkommt me p——l ’ a—1 a—i—avﬁ—i—avﬁ+ ° Aßb ß 02 = (0g-+1, O8+2> ) schreiben. Dieser Ausdruck kann nach der eben besprochenen Methode umgestaltet werden, wenn vg keine Einheitswurzel ist. Dabei bemerken Pa_=) , dass wenn z. B. vr gleichfalls Vn iın derselben Weise enthält 2 1 ? OT b2vß + + bpﬂ_„; ß mit Hervorhebung des Rationalıtätsbereiches )o (0p-+1, VB+2, nicht in beiden Ausdrücken gleichzeitig diese Reduction gemacht werden kann $ 596. Wir führen für diese Vorlesung als bleibende Bezeichnung ein, dass w„ eine primitive y° Kinheitswurzel sein soll Wenn v, keine Einheitswurzel ist, dann bilden wır das Product Dı (5) P(z) )] &« =0 H[ab — (m + m 0,0% + m, 0i0i* + Mal (”2 ? ) Da dies in 0, vV,0,, V,@{i, symmetrisch ist, so enthält es v, über- haupt nicht mehr, und alle die Coefficienten der Potenzen von %P AL gehoren Z ) Es ist leicht zu zeigen, dass P(x) im Gebiete (’U2, Oag ) irre- duetibel ist. Denn P ist die Norm einer linearen und also irreductiblen Funetion und daher nach $ 584 die Potenz einer irreductiblen Function Der zugehörige Exponent kann nur dann grösser als 1 werden, wenn für verschiedene x und ß M + mı 0,0% + mi® +ı = M F mlvlco + m010 + - und sonach M, Or (‘°1 wf) + m,v2(02e — w2B) + würde. Berücksichtigt man aber vj” = =— F,, so würde daraus nach (A) 2 c,) wird, was durch unsere folgen, dass entweder v,= (0,, %, Reducetionsvorschriften ausgeschlossen ist, oder dass alle Coefficienten der letzten Gleichung verschwinden. Da nun die M, Ma, nicht sämmtlich Null sind, so müsste «.= ß sein Das widerspräche der Annahme «=+ß. Folglich ist P(x) im Bereiche (v,, %, ) RS Radicalzahlen 403 ductibel und P(x)= 0 ist diejenige irreductible Gleichung dieses Bereiches (v,, V, ), welche —1 2) % = M + M, + m0i A + m —1 1 Q als Wurzel hat Ist dagegen in (2) wv, gleich einer Kinheitswurzel w,‚, dann braucht das Product statt , nur (p, — 1) Faetoren zu umfassen nämlich für x«= 1,2 —1 )] 0 (n O ), H[x — (m + m, o% + m, w< + um von , frei zu werden, wie man daraus erkennt, dass @,, w%, die Wurzeln der irreductiblen Gleichung sind —1_{_00291—9+ + +1—0 Dabei ist zugleich in diesem Falle das entstandene Product nicht nothwendig in (v,, ) irreductibel, sondern es kann eine Potenz werden Denn betrachten wir den Exponenten « und einen anderen beliebigen ß, den wir = —- schreiben können, da ßx = : @« (mod. p,) stets lösbar ist Z so wird die Gleichung (0) M 0* + M 02“ + = M + il © + oder =0 (M1 — My) @1 + (Mo — May) 0i“ + stets dann befriedigt sein, wenn die Gleichungen gelten M1 = M, Ma — Ma„, M3 — M3y%, Das kann nun, falls x keine primitive Congruenzwurzel für p, ist sehr wohl möglich sein, ohne dass alle m” einander gleich werden Dieser letzte Fall ist mtu1hch auszunehmen, da sonst schon der in (6) eingehende Faetor % — (m + m0, + m02 + )= z — (m — mı) von @, frei sein würde Man erkennt leicht, dass bei einem solchen Falle der Reductibilität in dem Ausdrucke (6) die HEinheitswurzeln CO(X w.4 A zu Kreistheilungsperioden angeordnet auftreten, dass also die Form entsteht (vgl. I, 8 314) H @ — [my + m’ (v, g) + m” (v, g + ) Als Beispiel mag für p, = 5 die Funetion H(x — [Mo + M, 0 + m, w“ A m„ 03“ + m, w4@]) = @ — m)* + (m, + m) (& — m) — (m? + m? — 3 m, m,)] gelten, bei der in der That die Norm nicht irreduetibel ist 26 404 Einundsechzigste Vorlesung $ 597. $ 59%. Wir fragen jetzt, ob bei der Productbildung (5), also unter der Annahme, dass v, keine Einheitswurzel sei, noch ein anderes, früheres Kettenglied verschwinden kann, und zwar wollen wir zu- nächst untersuchen, ob neben dem Endradical v, noch ein anderes KEndradical wegfallen kann. Nach $ 593 können wir, falls dies bei einem Endradicale eintritt, dasselbe unmittelbar als v, in die Kette über v, setzen. Ordnet man x nach dem einen und nach dem anderen Radicale an, so entsteht die doppelte Form X = M F M V, + m0i + ’ M (1)2, Oan 9 )7 9 Ar Q Ar A V (”1; Us, ) Der Voraussetzung nach wird in dem Producte (@)= lal (% — [my + m 0,0% + m v02e + ...]); Mal (02; %, ) neben v, auch v, verschwinden, so dass die Coefficienten von P(x) zu (v3, ,, ) gehören. Nun war P im Bereiche (v,,v3,::-) irreductibel; die Irreductibilität gilt also um so mehr im Bereiche (v;, v,,- ) Ebenso ist das Produet Q@= [ ] @ — m + m00 + m8088 + 4]); ß U — (1}1; Us, ) im Bereiche (v,, v3,:::) irreductibel, falls wir v als von einer Einheits- wurzel verschieden annehmen; und da Q rational in (%, %,, ) ist, so ist es auch ın diesem Bereiche irreductibel. Die beiden in (v;, %, -:-) irreductiblen Funetionen P(x) und Q(z) haben einen und denselben Factor, nämlich den zu « = ß =0 gehörigen gemeinsam. Folglich sind sie identisch; d. h. alle einzelnen Factoren des einen Ausdruckes stimmen mit denen des anderen überein, woraus dann auch p,= % folgt. Wir schreiben jetzt, um anzudeuten, das die m” ganze Functionen von v sind, für den ersten Factor von P(x) ausführlicher % — [mo(v) + mı (%) : 0, + M (@) - - I8 die Factoren von Q werden dann durch die Formel GE [mo('"2 CO/;) + m, (”2 oo£) : + Mo 0 CO/;) ‚+ ] gegeben; und da diese Factoren von @Q mit denen von P überein- stimmen, so muss für ein passend gewähltes o die Differenz zweier solcher Ausdrücke und deswegen auch Radicalzahlen 405 % (8) 2[m (7) ( ) m„ (v,) ”] o 1 % verschwinden. Verbindet man mit (8) die Definitionsgleichung v/* = F, so giebt (A) folgende Alternative: Entweder ist v, = (v,, %, , ©,, @) oder es ver- R (7)2; V3‚ ? @,), was ausgeschlossen werden muss schwinden in (8) alle einzelnen Coefficienten, was also eintritt Wir setzen nun, um diesen letzten Fall zu untersuchen m (@) = ß 4 0, A 0 7 I = (03, 4, )) dann giebt das eben erhaltene Resultat, da 0, — , wegen p; V nommen werden kann, für ß=1 und für ein passendes o die Gleichung =0 q@(1 a07) 4 @ — ) 0 O (w? oa<”) vA Wegen v G (U3; ) und der Unmöglichkeit von v% , = (%, m1) liefert (A) das Ergebniss dass in der letzten Gleichung alle Coeffi- cıenten verschwinden Da aber die in dieser Gleichung auftretenden Klammern ı. A. nicht verschwinden so folgt, dass nur qg von Null verschieden sein kann, wobei wie gewöhnlich der untere Index auf seinen kleinsten nicht negativen Rest mod. %, zu reduciren wäre Hiernach erhalten wir den einfachen Ausdruck 0% M (@) = q0727 = (03, %4, ); der jetzt unnöthige obere Index des q ist hier fortgelassen Daraus folgt- durch Substitution dieses Werthes in (2) N Wenn man deshalb, statt nach einander v, und dann w, einzuführen die Grösse w = vv durch die Definitionsgleichung 0 ( ) TQ(”5; ) einführt, dann kommt man zu einer vereinfachten Kette von Radicalgrössen, welche hinsichtlich der Darstellung von x dasselbe leistet, wie (1). Denkt man sich diese Vereinfachungen von vornherein durchgeführt, was natürlich erst geschehen kann, wenn %x vorliegt, dann ist bei der Productbildung (5) das Verschw1nden zweier Endradicale, unter denen keine Einheitswurzel sich befindet ausgeschlossen Wir fügen daher den Bedingungen aus $ 594 über die Reduection der Kette noch hinzu dass es nicht möglich sein soll ohne Verletzung der bisherigen Festsetzungen bei der ersten Productbildung (5) und den weiteren Productbildungen i 406 Einundsechzigste Vorlesung $ 597—598 ($ 585) durch andere Wahl der Definitionsgleichungen die Anzahl der Kettenglieder zu vermindern Ist hingegen eine der Grössen v, und v,, oder sind sie beide Einheitswurzeln, dann ist es möglich, dass sie gleichzeitig bei der Productbildung (5) fortfallen Man erkennt leicht dass ım ersten Falle, wenn v, = 6, ist, (p, 1) ein Vielfaches von %, werden muss und dass im zweiten Falle v,= w,, v , = , Kreistheilungsperioden va D3 on 2 1 Gliedern in Combination auftreten Die folgen- den Beispiele geben Belege hierfür i @1 ,5 DA= 4 x'_]/qcol Vqw? — Vqw +Vqo P(z) [ T x — Va@r+ ot°) +Val@ir + wi)] = @— 5g) a=1 so dass bei der Produetbildung v, und v, wegfallen Aehnlich gestaltet es sich bei = 5 0 Z Qis V 0 = @, z—(w2—f—co“ w4> (031 + Co*) Za (C02 + COG + co2) (co 1)7 P (z) = H[x— (0,+ 02 + w4)(0*+ wt“) — (03+ 04 02) (0?“+n0?*)] &=1 (x —J?+9)‚ wo v, und v als Einheitswurzeln angenommen sind $ 598. Wir gehen jetzt zu der Untersuchung über, ob hei deı Productbildung (5) mit v, zugleich das unmittelbar vorher- gehende Anfangs- oder Mittelradical % wegfallen kann Hierbei kann w, selbstverständlich keine Einheitswurzel sein, denn eine solche wäre ein Anfangsradical und könnte als solches nicht von v abhängen Ebenso soll v, von einer Einheitswurzel verschieden sein Wir setzen F %+ a% + @U + 7 Ü (123‚ 4, ) und gehen nun auf die Norm Dra (5) P(@)= H z — (m + m005 + m 0108 4 )], Mı = (%, :: ° zurück; diese kann nur dadmch von v, frei werden, dass ın dem aus- aefuh1ten Producte auf der rechten Smte led1gl1ch d18 Potenzen w9, 0 Q 202 eingetragen 2 ) 2Q auftreten, für welche dann ja 1, /%, 2) Radicalzahlen 407 werden darf. P(x) ändert sich daher nicht, wenn in (m,)-+ M, vA 4+.) überall v, durch v,@% mit beliebigem Exponenten « ersetzt wird. Wir wollen die Werthe, welche dadurch an die Stelle von m,, M, M, 9 O treten, mit Mo« , Mıa Mza, 5) Die bezeichnen, so dass man auch statt (5) hat zı—1 (9) B(G@) H (m + m 1El ,, + 7"Za ia M + )] Q Z M, = (0,05, %, ) Da vw, keine Einheitswurzel ist, so können wir hier den Coefficienten m, und also Mıg leich 1 setzen ($ 595) Die einzelnen Wurzeln in (5) stimmen mit denen in (9) überein demnach gilt für passend gewählte o, ? das System von y, Gleichungen 0& + Ulrc + Üla ;a + : = M + 008 —{—m„l 29—{— (10) m +v 0, + m 2u« 1& ’U 01 + “= M + 0, ‘°1+m 0GD der rechten Seiten bıs auf ihre Folge wobei die Kxponenten 0, ’ den Zahlen 0, 1 ‚: (D1—1) gleich sein werden Aus (10) folgt durch Combination der Gleichungen der Werth von vıg in der Form 031) (11) ıe = M0 F 09ı + aV + ’ e = (Oay 0y Durch Potenzirung möge sich aus (11) ergeben v — F 1& C 97 37 ) (Ooc+”la 1+”2a 1+ ) AAan 1al+ IN 20L __l_ 79 N, _(02703; m1) Mit dieser Gleichung für v, verbinden wir die Definitionsgleichung C F, und schliessen nach (A), dass entweder v,= (v, %, @,, @2) ist, oder dass die Nıgy, No«, sämmtlich verschwinden Das Erste ist wegen der Vorschriften über die Reduction von (1) ausgeschlossen folglich ist jedes Nx = 0 für 1=1,2 , und demnach N = (”"; Vs; 0;) von v, unabhängig. Eine Umänderung in (11) von v, in v,w, kann da hierbei v ungeändert bleibt, dem vı„, höchstens einen Factor w* anfügen, d. h. man hat (12) Vıa 01 = Ma F NıaV1i01 { NagV1i0L F 408 Einundsechzigste Vorlesung 8 598. Durch Combination von (11) und (12) ergiebt sich M, (r — 1) F %,, (0i — 0,) 0, F 1, (0f — wi) V + — und daraus in bekannter Weise nach (A), dass alle %,, mit Ausnahme von %, verschwinden. Man darf demnach statt (11) die vereinfachte Form ansetzen Oa =— ”za”ä'‚ r = (09 09 99° 03 i Diese tragen wir ın die erste der Gleichungen (10) ein und be- achten, dass x, 2x%, 34, nach dem Modul p, mit 1, 2,3,--- bis auf die Folge übereinstimmen; dann ergiebt wieder der Abel’sche Hülfssatz (A) das Resultat: % (13) v 1& = % D al ._CO 0% 12 M, = (%, V,) v Zı XDı (14) ıl = %' ıl ? Gleichzeitig wird ersichtlich, dass, weil jeder der HExponenten 1,2,--- , —1 von v, rechts und links in (10) je einmal auftritt, die einzelnen Glieder, welche durch Potenzirung der Summanden in (10) entstehen, Q Pı (15) 12 (m,vi)“*, (m3vi)“, durch die Einführung von @%v, an Stelle von v, nur in einander Dabei ist es nicht möglich, dass zwei verschiedene HKx- übergehen. ponenten « und ß von w, die gleiche Umstellung der Glieder von Denn sonst müssten zwei Aus- (15) unter einander hervorbringen. drücke aus (15), welche die Form haben (16) d + div205 + d0305* z 4i und &o + d 05 + da , (@ 4 ß) können nicht sämmtlich ver- einander gleich sein. Die dı, Q, schwinden, weil sonst v” von v unabhängig wäre; ferner kann nicht %” = , ’ ,, 0,) sein; folglich zeigt (A), dass « = ß wird, ent- gegen der Annahme « =+ ß. Die besprochene Umwandlung in der Folge der Glieder von (15) können wir folgendermassen bequem darstellen. Geht durch HEin- führung von @% der Term v” in (m„vi)“* über, so wird die noch- malige Einführung von w% das w{/” abgesehen vom zugehörigen m in v**2 umwandeln; das Gleiche geschieht‘ also bei der sofortigen Eın- führung von v,w2* statt v,. Da nun p, eine Primzahl ist, so können wir eine primitive Congruenzwurzel e für p, annehmen, und wollen für den Augenblick unter [@x] den kleinsten positiven Rest von €“ Wir setzen bei diesen Annahmen mod. (p, — 1) verstehen. Radicalzahlen. 409 al 1 v = R” mU, = Rf_*, m [2] 1 D [2] R und schreiben mit unserer neuen Bezeichnung statt (2) die Form für die Grösse x al al il 1 (17) :c=mb—{—R?‘—{-ﬁiä+ﬁgl+"‘+R;?_g Führt dann die Eintragung von v,w&% statt v, etwa R ın K, über, dann wird jedes Ry hierdurch in Ro, umgewandelt. KEbenso liefert die Eintragung von v,65“ statt v, die Umwandlung von Rg in Rg+ux für jedes w und jedes ß. Dabei sind die Indices der R natürlich nur mod. (p, — 1) zu betrachten, so dass P bei «=ß (mod. (p, — 1)) zu setzen ist. Wir wollen jetzt unter x den kleinsten Index der von Ry aus erreichbaren R ver- durch Umwandlung von v In %6,, v,Ww2, stehen; dann werden von Ro aus überhaupt nur die , von einander verschiedenen Werthe (18) Ro, Ry, Rax, Blg —1)% erreichbar sein. Alle in (18) auftretenden Indices sind verschieden und kleiner als (Bı — 11 Denn wäre etwa “”<P1_1<(0‘+1)%7 dann folgte daraus weiter 2 i 0 so dass der Rest von (« +1)x mod.(, —1) auf einen Index führte, Da ferner der noch unter x läge; das war aber ausgeschlossen. R = Ro wird, weil w;”= 1 ist, so ergiebt sich (19) D *=% —1, d. h.: Verschwindet bei der Productbildung (5) das Mittel- radical v, zugleich mit dem Endradical v,, wobei v, und w% keine Einheitswurzeln sind, dann ist %, ein Theiler von (B = 1 Aus (14) kann man einen weiteren Schluss ziehen. Schreibt man beide Seiten ausführlicher in der Form 09 i 0, 05 + A,0305* + = &y + di% + da Aı und bedenkt, dass die a,, @, nicht sämmtlich verschwinden können, weil v, der Annahme nach in vf auftritt, dann giebt (A) entweder 410 Einundsechzigste Vorlesung $& 598—600. % = (%, @,, ©,), Was.auszuschliessen ist, oder, was also wirklich eintritt, A, 05 = d , 005° = 0, 7 a und d,= (v;, D4 ) Demnach gehört w selbst dem Rationalitätsbereiche (v,, wv,, Z ) an Wäre nun * ﬁ)2=00+€17%‚+6{1)3+-- 5 — (UQ+17 Vo+F2) ° ')7 wobei also vo das niedrigéte‚ wirklich in @, eintretende Radical ist 2 dann liefert (A) wieder, da 61=0; 32=0‚.. unmöglich ist ? U (602‚ Vo+1, ) Das ist gleichfalls nach unseren Reductions- Mit dieser vorschriften nicht der Fall, wenn nicht v,= , Wird. Annahme ist p,=2 stets verträglich, weil dafür bereits w, = — 1 innerhalb (%) == (1) vorhanden ist. — $ 599. Wir wollen nunmehr auf die zu Anfang des vorigen Paragraphen zurückgestellte Voraussetzung %. = @, eingehen. Dann bleibt also (5) ungeändert, wenn v, durch v“ ersetzt wird (@«=1,2, V Die Aenderung, welche dadurch m7 und w, erfahren, machen wir wieder durch die Bezeichnung mM37., ıx kenntlich. Die Schlussfolgerungen, welche an (10), (11), (13) geknüpft sind, bleiben ungeändert. Insbesondere gilt auch hier (13) und (14). Dagegen Hier haben wir liefert jetzt (16) ein anderes Resultat. (20) do + d o$ + da L ... = dy + dieß + da + - zu betrachten, und wıe sich schon bei (7) gezeigt hat, ist die Er- füllung dieser Gleichung wohl möglich, ohne dass alle d,, d,, ein- ander gleich werden. Der Grund dieser Verschiedenheit liegt darin, dass (A) nicht verwendet werden kann. Die Form (17) bleibt wieder bestehen; die daran geknüpfte Um- wandlung von Rı muss aber folgendermassen abgeändert werden. Es seı qg eine primitive Congruenzwurzel für %. Wir ersetzen v = , durch @3 und erreichen dadurch die Umwandlung von R etwa in R,; dieselbe Aenderung zum zweiten Male ausgeführt liefert von R, aus So Raoz; das entspricht also der Einführung von w für w, in Ro- fahren wir fort bis zur (p, — 2)“ Potenz von g. Die (% — 1)® Potenz liefert wieder w,„, also bleibt R ungeändert. Man erhält dem- nach an Stelle von (18) die Reihe der von R} aus erreichbaren Glieder in der Form (21) R07 R%; R2#7 Rıpm—2)% + Auch hier sind alle Indices kleiner als (p, — 1). Folglich tritt an die Stelle von (19) hier Radicalzahlen 411 (22) ( —1)x= —1 d. h. verschwindet mit v, gleichzeitig bei der Productbildung (5) das Radical v , = 6,, dann ist (%—1) ein Theiler von (D —ID Als Beispiel hierzu möge Folgendes dienen Es seı definirt n= 1 u=1+%, also D Pa m2 und wir nehmen %= 0 V u Dann wird das Produet (5) hier @ = 04 0)) @ V, 0, { 0070i) (% — 0,61 + 02070,) = %— 3r —1 so dass also miıt v, gleichzeitig v, verschwunden ist $ 600. Wir wollen jetzt einen Schritt weiter gehen und an- nehmen, dass bei der Productbildung (5) mit v, zugleich die beiden unmittelbar vorhergehenden Mittelradicale v und w verschwinden es kann übrigens v dabei auch ein Anfangs- radical sein Wir setzen für F, und für F, ausführlicher 1 = 0 + % + 4 + —_ (®57 O4 ), = %- 0 A 00 - 2 b= (U47 57 ) Verwandelt man v, in v;6%, so soll die linke Seite der letzten Glei- chung mit w bezeichnet werden Ebenso wollen wir mit A, das durch die gleiche Substitution aus a entstehende Resultat bezeichnen so dass wir schreiben = by + 008 + bla + Z = R0 37 v47 ), wenn a — R0 0, ’ ) Trägt man diese Grössen in die Deﬁn1t10nsglewhung für v[* ein und fügt gleichzeitig dem vo„ noch den Factor cop hinzu, so entstehe die neue Form 1) (69) 30 1rxo —a0a + D‘>(raj + a2a” L‘021 + dy 3 2 + Falls nun in dem früher betrachteten Produete il (5) P@) H[x — (m + m v,09 + mı02028 L )] 9=0 M ('”2; Us, ) mit v, zugleich v und v; wegfallen, dann ändert sich P nicht, wenn 412 Einundsechzigste Vorlesung $ 600. ‚& man auf der rechten Seite v 8 statt v einführt und dann ausserdem ß noch O 00 2 umwandelt; « und ß sind dabei ganz beliebig. Geht hierdurch mz in %] ( M 2aß (”2 CZ ( O 8 S0 O1 ) über, so können wir auch —l 2 2 (9) P@)=[[[z (m0ap‚ FB A 2uß V 1ap @r 9+...)1 0=0 setzen. Da v, keine Einheitswurzel sein kann, so lässt sich von vorn- herein die Voraussetzung nı = Mı«g= 1 verwirklichen. Die einzelnen Wurzeln in (5) stimmen mit denen in (9*) überein, da in (5) die beiden Grössen v,, v keinen Kinfluss ausüben. Demnach wird für passend gewählte 0, 6 ’ --- das System von , Gleichungen bestehen moap'+ DLaß aln Mag Laß + -=m„—|— 1)lco‘l)—i— m27)2m2@_|_ 00 20210 (09) + ’ (GL0) m0ap‚—f— ’l)mßü)1.—*_?"'fga/gv‘iaﬁmi._*‘-' '='”7’0‘_*_1.)103.;‚_{.—”%2?) wobei die Exponenten 0, 6,-::-- der rechten Seiten bis auf ihre An- Aus ordnung mit den Zahlen 0,1,2,--- (n — 1) übereinstimmen. (10®) folgt zunächst durch Combination der Gleichungen der Werth von vg In der Form u + . ’ ; 03) (E) Oa F Aa P pa F 2aß 1 ”;„a{'‚*= (”2; 3, Durch Potenzirung möge sich dann aus (11*) ergeben v DE ONn F1 DE 0, V A ) 1axß (0,. 0, o 2xß 1 >P1 — (”0aß+ Nıg pY A Wa . N 20 v + 3 2 N, 2 aß=(v27 Us, 7) 0L’1) N0ap‘ + N1a ‚1)1 + +L Wie leicht zu sehen ist, können wir hieraus noch nicht wie an der entsprechenden Stelle des 8 598 schliessen, dass Nıg =0, Naxp= O, - Ssel Hier verfahren wir folgendermassen: Die letzte Gleichung setzt sich auf Grund der Definitionsgleichung für vi4g in 2 Un AF v2acog + A, .0 2u 2a w A N0aß X N1ap”1 a N2ap‘”i um; tragen wir hierin ß= 0, 1,..- ( —1) ein, so erhalten wir eın System, welches dem Systeme (10°) entsprechend gebaut ist und auch ähnliche Folgerungen zulässt, die zu dem Ergebnisse 7 Gra = (02,%, ’ 01 @3) (23a) U2a a q0a + qlavl + q2av2 + Radicalzahlen 413 führen Erhebt man dies in die %° Potenz, so ergiebt sich by + 0308 + b 0365“ 4 TE Q0a + Qla©l + Q _‘(U27 Vs , 5 @1, C°2) Jetzt lassen sich die Schlüsse verwenden, welche an (11) des $ 598 geknüpft wurden Sie zeigen, dass Qıx = 0, Q2u =0 werden, dass folglich v = Q von v, unabhängig, und also DA (23”) Aa AF A OBa P Aa ® ist; und es folgt endlich, wenn man (23*) und (23”) vergleicht, dass auch —0 ( 1) A E 0,) 0, + 9o,(03 — wi) i wird. Weil nun in (5) v, wegfallen sollte, so ist nach dem Haupt- ergebniss des vorigen Paragraphen p, ein Theiler von (p,—1); und daher ist kein w% = w* ausser wenn x =1=0 wird. Nach (A) schliesst man mithin x =1= 0; gıa =0, x = 0 ? und weiter nach den bisher benutzten Prineipien aus (23*) der Reihe nach v 2 To« 0& + 71av‘) + U D 'Ü" + 10 = 0, 4, ; 091;%); by + 0308 + b,ia3® + Z Z R 2a 0& + R1a/v 2) R (Us , 4, ; °’17°°2)> R 1 = 0 R 2 — 7 vr —R 2u 0&x? U, 6 y A DDa A 2« 2 0365 + 7 al —1> + 11a(co 02) 0 + 7„a(col— w3) %S =0 v = / (23) 2a DE , Tragen wir dies in die oben hergeleitete Gleichung vlc«p’_a0rc+v‘>«co +a?a ;aco? + S Oaß+ 1ap’vl+i2orp’ 1+ ein, dann können wir jetzt die Schlüsse ziehen, welche vorher bei (11®) noch nicht möglich waren, weil vo2 kein dem v, vorhergehendes Mittelradical war Diese Schwierigkeit ist jetzt fortgefallen, und so findet man nach (A) A =0. 20 = N 1aß 0a(9’ und also unter Benutzung der Gleichung (11°) v 1xß 1 aß A Nı qg01 0, T N u2 C02 g) 2axß 1 Oaß( )+ "1aß(‘” =0 2 0,) %, + 77‚‘‚0‘{)‚(coz — oo2) —A (24) D 1&«ß N Tß N 414 HEinundsechzigste Vorlesung $ 600—601. Zweiundsechzigste Vorlesung $ 602. Trägt man die Resultate (23) und (24) in (10®) ein, dann stehen links ausser den @ auch nur Grössen v,, %, %, ‚ und nach (A) wird es ersichtlich, dass die einzelnen Glieder links den einzelnen Insbesondere ist also zu setzen Gliedern rechts gleich sind. (25) Q 1@«ß —= mM U“ A aa Wir gehen jetzt auf die Gleichung (23) zurück. Diese zeigt uns, dass bis auf einen in (v3, %,, ’ @,, 0,) rationalen Factor 7,„ durch die Substitution von v,6% statt v, die Grösse v, in vi übergeht. Macht man nun in der Definitionsgleichung von v;a dieselbe Substitution, so erhält man W2,2x, und dies ist demnach bis auf einen solchen ın (U3, D4 ? ,, ©2, 03) rationalen Facetor gleich v/. KEbenso zeigt sich allgemein, dass va,,x bis auf einen in (%, %, ?) @1, @, @3) ratlo- nalen Factor mit der (2°)*" Potenz von v übereinstimmt. Nehmen wır o = %, dann muss / =1 (mod.%,) sein, weil vo, p,«= Va Wird; d. Bı der Hxponent 7, st eın Lheiler yon x U Natürlich ist hierbei zu beachten, dass vp* wirklich eine Funetion von v sein muss, wie das ja durch die Form der Definitionsgleichung auch angedeutet wurde; das Gleiche gilt für (238). Sind v, und w zwei Mittelradicale, von denen jedes einzelne un- mittelbar in das Kettenschema vor v, gestellt werden kann, dann gelten von v die im $ 598 für v, gefundenen Resultate. $ 601. Da jedes Kettenglied, welches in der Reihe der Definitions- gleichungen als Endradical auftritt, an die letzte Stelle gesetzt werden kann, so gilt bei einer nach einem solchen Endradical vorgenommenen Normbildung Alles, was bisher über v, abgeleitet ist. Bei der Her- stellung von Normen hingegen, welche nicht an Endradicale anknüpfen, werden die bisherigen Theoreme ungültig. Wir wollen dies an dem Beispiele der Gleichungen vierten Grades Dabei benutzen wir die in 8 290, Bd. I gegebene Lösungs- zeigen. methode. Wir setzen, indem wir in der allgemeinen Gleichung vierten Grades das Glied mit z3 getilgt denken, was ja durch einfache lineare Transformation bewirkt werden kann, # — 12a2° — 16b2z + 12c = (# +202+19) (%2_ 202 +qu) = 0. Um diese Zerlegung hervorzubringen, muss q=2% — f—6a, q=2@ä—}—äf—öct; (27) 8 — 6av‘£—}— (9a? — 3c) 0 — 40°= 0 sein. Danach ergiebt sich v, durch die Kette Radicalzahlen. Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen. 415 —3020 CD B = (— a° +3ac+20?) + w,, AA S ÜT H=2a+ 0 (a* + 0)° 3 Hieraus erhält man die Wurzeln der biquadratischen Gleichung, wenn man vä=6a—{—%—vä einfachen Form setzt, ın der 42=%-+4. Gehen wir von ihr aus und bilden wir zunächst die Norm nach v,, So folgt 4Z)_ ( —0 — 9)(@—% +0,) = 2 — 202 + 20 — 60 — V Hier fällt also kein weiteres Radical fort. Bilden wir jedöch weiter die Norm nach v, (Z2 —202 + 20 — 6a — ?) (ZZ + 202 + 205 — 6a + i4ul‘)> = (# + 20 — 6a)? — (2@25 En %?) 160? =# — 120# — 16b2 + (4v4 — 24a02 + 360 — 2 > ] so giebt die Benutzung von (27) das Resultat = # — 12a2° — 16dz + 12c; hier verschwindet also mit v, zugleich v; und w,, trotzdem =2 = und j 3, 0ı = 2 war. Bei einem Endradical wäre eine solche Tilgung nicht möglich gewesen. AL Zweiundsechzigste Vorlesung. Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen. $ 602. Eine der interessantesten Fragen der Albgebra ist die, ob jede Gleichung „auflösbar“ ist. Nachdem es gelungen war, die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades aufzulösen, d. h. die expliciten Ausdrücke für ihre Wurzeln lediglich mit Hülfe von Wurzel- zeichen darzustellen, richteten sich die Bemühungen der Algebraiker darauf, das gleiche Problem für den fünften Grad zu erledigen. Alle 416 Zweiundsechzigste Vorlesung $ 602—603. hierauf verwendeten Anstrengungen waren aber vergebens, und so wandelte sich das Problem allmählich in das andere um, zu entscheiden, ob die Gleichungen fünften Grades überhaupt in dieser Form lösbar seien; oder noch allgemeiner, welche Gleichungen fünften Grades lös- bar seien. P. Ruffini war der Erste, welcher die Unmöglichkeit der Auflösung allgemeiner Gleichungen höherer Grade bestimmt behauptete und zu beweisen versuchte. Seine Verdienste sind von H. Burkhardt*) eingehend gewürdigt worden. Gauss scheint einen Beweis für die Un- auflösbarkeit besessen zu haben**); Abel publicirte 1826 einen solchen und beschäftigte sich auch weiterhin eingehend mit diesen Fragen, über die eine von ıhm selbst nicht veröffentlichte Abhandlung vorhanden ist *#*). An seine Untersuchungen schliesst sich eine vervollständigende und abkürzende Darstellung L. Kronecker’s an-7), die wir in unserer Auseinandersetzung theilweise benutzen. $ 603. Die allgemeine Frage lautet in unserer jetzıgen Sprech- weise: Kann eine Wurzel z, jeder irreductiblen algebraischen Gleichung f(z)= 0 als Radicalgrösse dargestellt werden? Gesetzt es wäre eine solche Darstellung etwa für die Gleichung f(z) = 0 möglich, dann könnten wir unter Beibehaltung der Bezeich- nungen unserer vorigen Vorlesung hinsichtlich der Ketten © 2 = M + %ı + M + M0r A setzen. Wenn wir von vornherein die Einheitswurzeln, soweit sie noth- wendig sind, zum Rationalitätsbereiche ziehen, ist es erlaubt ($ 595) den Coeffiecienten von v! gleich 1 zu setzen, wie dies soeben ge- schehen ist. Tragen wir (1) in f(2z)= 0 ein, so entsteht, da alle Potenzen von , in ähnliche Form gebracht werden können, die Identität N@)- M A M0 r M0 A p AL —11 — E O Nach dem Abel’schen Hülfssatze (A) in $ 594 folgt daraus, dass M07 JV[1; ﬂ12) c einzeln verschwinden; setzt man also @2) Byı = M H 0101 F mvr E mviait + s (Ä=0717"'191'—1) n *) Die Anfänge der Gruppentheorie und Paolo Ruffini, Abhandl. z. Ge- schichte d. Mathematik VI; Supplement zur Zeitschr. f. Math. u. Phys. v. Schlö- milch (1892). *#) Demonstr. nova etce. Werke II, p. 17, Nr. 9: „Forsan non ita difficile foret, impossibilitatem iam pro quinto gradu omni rigore demonstrare, de qua re alio loco disquisitiones meas fusius proponam.‘ *##) Werke, Edit. Sylow et Lie, IL, p. 217. +) Berl. Ber. 1879, 3. März, p. 205. Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen. 417 und bedenkt, dass dann entsprechend v A O f('g;‚_‚_1) - M0 + M17/‘103i + M21)‘1)c022 *... + Mp —171 1 wird, so ergiebt sich, dass Z, 23,::: Zp, gleichfalls Wurzeln von f(2z)=0 sind. Dass diese sämmtlich von einander und von z, verschieden sind, zeigt wieder der auf die Differenz von zweien unter ihnen angewendete Satz (A). Demnach ıist das Product (@ — 2) (# — %) (Z C ZP1) oder die Norm ım Gebiete N(Z A 21)7 0, : %; R) genommen, ein Theiler von f(2). Diese Norm ist sicher von w, frei; möglicherweise verschwinden in ihr noch die Radicale v,, V, Va—ı, während v„ wirklich auftritt. Wir setzen, um das Auftreten des v, durch die Bezeichnuug kenntlich zu machen, (3) N@ — a)= @ — 2): ı @ — oı) = fal@; Var Varız ' ) Im Gebiete (vx, Va-+1, * Uy; %) ist diese Funetion irreductibel. Als Norm von z—Z2, wird sie die Potenz einer irreductiblen Function in (U2 ’ ° 09 80)3 da eb Z &p yon einander verschieden sind, muss es die erste Potenz sein; und die Irreductibilität gilt natürlich um so mehr für den engeren Rationalitätsbereich (v, 08 I Wir bilden wieder die Norm von (3), also Nfa(g) im Gebiete (va+17 1 ER)> nämlich das Product aus „ Factoren ELE * va—|—l’ ) U'=O; 1;27"'(.pa—1))' 1;[ü(a v Hierin ist sicher v„, verschwunden; möglicher Weise auch vx+1, Es sei vv das erste darin wirklich vorhandene v; dann setzen wir } Z ähnlich wie oben, die Bezeichnung an (4) Nfa(z) = ﬁ(Z; D, Vo+1, ° ) Wir weisen nun zunächst die Irreductibilität von f im Bereiche (%,---) nach. Ist O (Z; v,-::) bei einer möglichen Zerlegung der- jenige Factor von f, welcher fx(2; va,::-) enthält, dann kann man ‘P(Z; Qn ) F fa('g; Var Vatı) ** ) Y X(Z5 Vay Va+ı, ** ) Ö5) oa Q 005 setzen. Wegen (A) muss qg,=0, %. =0,- sein; also ist auch bei Aenderung von v die Gleichung gültig (} 0, ) = U F H00 + qla ... =fa(z; vacoil7 /Ua+17 z ) . X(z7 ’l)a0‚)aL7 {Ua+1’ ) Netto, Algebra. II, 27 418 Zweiundsechzigste Vorlesung $ 603—604. Es ist demgemäss @ durch jedes f„(z; v„w5,:-.) bei w=0,1,2,-..- Da — 1 theilbar. Da alle diese f in (vx, vVa+1,-:-) irreductibel sind, so könnte nur dann @ nicht durch ihr Gesammtproduct theilbar sein, wenn zwei derselben einander gleich wären: fa('75 'Üawä‚ Da+t+ı, } ) — fa(25 Vawa, Vatı, )= ©0 7 d. h. wenn man . fa(f°“'3 Var Va+ı, ) = %n + N0a + %+ 7) 1ı (@ Va-+1) Vat2) * ) setzt, dann müsste die Gleichung gelten 2vV Al — ) n — a )+ —. Aus (A) erkennt man, dass die Coeffieienten aller Potenzen von v ver- schwinden müssen; weil nun nicht alle y gleich Null sein können, so O 0 = Dies zeigt uns, dass der irreductible Factor @ mit f} zusammen- fällt, dass somit f} selbst irreductibel im Gebiete (v;, D3 3R) 6 Wir haben ferner gesehen, dass f(z) durch fz theilbar ist; man kann demnach setzen: f(z> Z fa(z3 Vay Va+ı) * ) ß 1p(Z‚ Vary Va+t+ı, “ ) =80+810a+8203+"'. Wendet man hier genau dieselbe Schlussweise an, wie sie bei (5) aus- einandergesetzt wurde, so folgt, dass f(z) durch alle conjugen Werthe von f theilbar ist, d. h. dass f(gz) die Function fi(z) als Factor ent- hält. Folglich sind auch alle im Gebiete (vs, v+1, : %; R) zu Z conjugen Werthe Wurzeln von f(z2)= 0. In derselben Weise kann man von f)(g) durch Normbildung weiter zu einem fx(2; v.,:::) gehen, u.s. f., bis etwa auf fx(2; vx,:::) ein fı(g) = f (z) folgt. Dann zeigt es sich, dass der Grad ” von f(?) gleich dem Producte 1’L=pl.pa.-pb-...pk (6) wird, und dass alle zu z, im Bereiche (X) conjuge Werthe Wurzeln von f(z)=0 sind. Man kann also allen Grössen w,, Vy_1) ** O, 0, irgend welche mit den Definitionsgleichungen der v verträgliche Werthe geben, der Ausdruck (1) wird stets eine Wurzel von f(z)= 0 darstellen, aber nur pı Pa Pr der erhaltenen Ausdrücke sind unter einander verschieden. $ 604. Aus den Gleichungen (1) und (2) ergiebt sich durch Combination Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen. 419 (7) 0 = 2%[zg + 207 + 207 A + .07 H, d. h. das letzte eingeführte Radical ıst eine rationale, ganze Funetion von Wurzeln der Gleichung f(z)= 0 und von w,. In (7) setzen wir an die Stelle von 2,, %,: %p auf der rechten Seite beliebige Wurzeln, etwa Z;,, 2u, Zi, von f(z) =0 und bezeichnen den so erhaltenen Werth der rechten Seite mit v,,; Nimmt man dann das Product I1 0 —0*) = g (i) erstreckt über alle Wurzelpermutationen unter %,, %, -::2, SO ist g(y) eine symmetrische Function der z und ihre Coefficienten finden sich also unter (w,; %). Es sei g,(y) =0 diejenige irreductible Gleichung in (w,; R), bei der g, ein Theiler von g ist, und welche von dem Ausdrucke (8) 2 ol n= T =H FF + C befriedigt wird, dann gilt von der Wurzel (8) von g,(y)= 0 genau das Gleiche wie von der Wurzel z, von f(z)= 0, und daraus folgt ’ dass auch v eine rationale, ganze Function der Wurzeln von g,(y)=0 Z also auch derjenigen von f(z)= 0 und von w, und w, wird. Gehen wir so fort und beachten, dass wir jedes w in derselben Weise erlangen können, dann erhalten wir das Resultat: Jede der Radicalgrössen v,, v,_1, %, 0, Welche zur Darstellung der Wurzel einer auflösbaren irreductiblen Gleichung nöthig sind, ist eine ganze rationale Function von Wurzeln der Gleichung selbst und von Einheitswurzeln. Schon in $ 282 (Bd.I) haben wir diese Eigenschaft für die Gleichungen zweiten Grades z2—2alg—f— 0 = 0 mit den Wurzeln 2=4 FVa — @ z a 21 7 E LEr und in $ 288 (Bd. I) für die Gleichungen dritten Grades hervorgehoben. Bei diesen wird, wenn man —D + g2—r=0 ansetzt, die Lösung gegeben durch N - 420 Zweiundsechzigste Vorlesung $ 604—605. C 5} D+ W? E P (03=1); W3 ) W=P+V0; 2D 3g G - (p + w W WD >‚ P=—ä—(2pg—9pq—{—27r)‚ D I0 Z S — al P? — (n qg)® W3 ) ; Wir haben dort gezeigt, dass die beiden Radicale die Form annehmen VQ e 3Vf3 AA —@ —A, VW=2 + 032 F 0323 . Die Lagrange’sche Methode der Lösung der Gleichungen vierten Grades führt zu den entsprechenden Resultaten ($ 291; Bd. I). Winr haben für z — 462° — 868 — 463 = 0 21=71’(t1+t2+t3) NLB — 6) 2 — ıl 4 (— t1" t2 + t3); 53=%(_t1+t?+53)7 CZ wobei 4, —4; %, %; I, —b die sechs Wurzeln von —.26 + 4*.(@ + a)t? — 4A =0 sind. Nach dem Ergebnisse über die Gleichungen dritten Grades sınd alle bei der Darstellung von %, t2, t? auftretenden Radicalgrössen rational in den sechs Grössen %, und diese selbst, wegen b = 2 7 % — % — 84y ı A AT Ö = A An y — a B= b = 7411 % — % 4 ı, b = 21 — %a — 88 A Bay B= AT in den Wurzeln z2. Also sind es alle lin die Wurzeldarstellung ein- tretenden Radicale. Das zuerst einzuführende Radical besitzt den Werth 3V —B( —# @— 8) @— 6) = 2°3V— 3 (01 — 2u) (& — 8) : (21 — Z) (& — 9u) : (1 A ( — 24) und steht also in engster Verbindung mit der Discriminante der Gleichung). RN SS M * Jacobi (Werke 3, p. 269) hat diese Darstellupgen für die Gleichungen aten, 8ten, 4ten Grades ausführlich hergeleitet. 421 Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen &$ 605 Ist v, in der Kette der Radicale das oberste, d. h. das zuerst eingeführte Glied, dann kann v, nicht selbst bekannt sein, weıl es sonst eben keiner neuen Einführung bedurft hätte nachdem die Einheitswurzeln dem Rationalitätsbereiche zugeordnet waren; dagegen ist vr bekannt Demnach gehört die Grösse EK (517 An) 1, ) nicht zur Gruppe G der Gleichung f(z)=0, während f” zu gehört Es ist also @, eine Funetion der %, welche p,-mal mehr Werthe be- Die Frage nach der Existenz solcher Fune- sitzt, als ihre p° Potenz tionen haben wir in 8 544 und .8 545 erledigt und haben gefunden dass ein solches @, nur besteht, wenn G einen autojugen Theiler der Ordnung — besitzt; v, gehört dann zu ıhm Ist durch die Einführung von @, die Gruppe &G auf den autojugen p.‚_1 Theiler G, mit dem Compositionsfactor p, reducirt, so wird v aus gleichen Gründen, wie sie soeben für v”” galten, noch zu G1 ge— hören, dagegen v,_1 nicht mehr Es muss also, wenn ein v,_1 VOr- handen ist, einen weiteren autojugen Theiler G, von G, geben, und zu ihm muss der Compositionsfactor p„_1 gehören. In derselben Art oeht es weiter Umgekehrt haben wir im $ 545 gleichfalls nachgewiesen, dass die Existenz solcher autojugen Theiler das Mittel zur Constructwn passender v,, Vy_1, * in der Form Pr (Z’1, ZIL7 C01; ), Pr—1 (51, Zn) 0O1, ); an die Hand giebt Wir haben demnach das Resultat: Es ist für eine auflösbare Gleichung charakteristisch, dass die Factoren %,, dı—ı, ihrer Compositionsreihe (9) G, G, &, v—1)>) G "—1 sämmtlich Primzahlen sınd. Die Ordnung der Gruppe G ist (DB p,); die Ordnung von G, ist gleich (D W) deren ausschliesslich Gruppen, Compositionsfactoren Primzahlen sind, he1ssen metacyklische oder auch auflös- bare Gruppen. Nach den in $ 555 und $ 556 jedesmal am Schlusse durehgefuh1ten Untersuchungen können wir die soeben abgeleitete Bedingung auch in die Form bringen Es ist für eine auflösbare Gleichung charakteristisch, dass die Substitutionen jeder Gruppe & ihrer Compositionsreihe bis auf Substitutionen der folgen- den Gruppe G4+1 mit einander vertauschbar sind 42 2 Zweiundsechzigste Vorlesung $ 605—607. Es ist für eine auflösbare Gleichung charakteristisch, dass die Substitutionen jeder Gruppe ihrer Hauptreihe bis auf Substitutionen der folgenden Gruppe mit einander ver- tauschbar sınd. Natürlich ıst in diesen Sätzen keine Lösung des Problems ent- halten, sondern nur eine Umgestaltung, eine Uebertragung auf die Gruppen- oder die Substitutionentheorie. Gleichwohl aber sind diese Theoreme von ausserordentlich grosser Bedeutung. Denn ganz abge- sehen von dem wichtigen Resultate, welches wir im folgenden Para- graphen daraus ziehen werden, zeigen sie uns, dass die Gruppe der Gleichung von höchster Bedeutung für die algebraische Auflösung einer Gleichung ist, derart dass die Gradzahl dagegen zurücktritt, weiıl eben die Constitution der Gruppe enger mit der Natur der Gleichung verknüpft ıst. Es können zwei Gleichungen verschiedener Grade die- selbe, oder genauer gesprochen, einstufig isomorphe Gruppen besitzen — wie wir noch in dieser Vorlesung an einem wichtigen Beispiele sehen werden —, dann wird ihre Auflösung in beiden Fällen durch dieselben Hülfsmittel zu erreichen seıin. $ 606. In dem Falle, dass wir es mit einer allgemeinen Gleichung f(z)=0, d. h. mit einer solchen zu thun haben, deren Gruppe die symmetrische ist, ergeben sich auf Grund unserer früheren Resultate noch weitere Folgerungen aus unseren Lehrsätzen des vorigen Para- graphen. Wir wissen ($ 544), dass die alternirende Gruppe der einzige Theiler der symmetrischen Gruppe ıst ’ und dass die autojuge Quadratwurzel aus der Diseriminante, abgesehen von symmetrischen Factoren, die einzige rationale Function der Gleichungswurzeln ist, von der eine Potenz, nämlich die zweite, symmetrisch wird. HEs ist folglich p,=2, und, wenn D die Diseriminante bedeutet, am ein- fachsten und dabei völlig ausreichend v„=VD zu setzen. Es müsste jetzt, um in der Kette weiter gehen zu können, eine weitere Funetion v,_1 = O, 1(Zı, Zn) bestimmt werden, die selbst nicht zweiwerthig ist, von der aber eine Primzahlpotenz es wird. Nach. 8& 543, 8& 544, 8 546 giebt es, falls » >4 ist, eine solche Function @,_.1 nicht mehr, weil die alternirende Gruppe A von mehr als vier Elementen einfach ist. Da die Ordnung von A ferner eine zusammengesetzte Zahl, nämlich —ä—n! ist, so entspricht der Uebergang von 4 zu 1 auch nicht den Forderungen, und deshalb ist die Bedingung 423 Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen. des vorigen Paragraphen nicht erfüllt; d. h.: Die allgemeinen Glei- chungen von höherem als dem vierten Grade haben keine Radicalzahlen als Wurzeln und sind daher nicht algebraisch auflösbar. $ 607. Wir kehren zu dem allgemeinen Falle einer auflösbaren Gleichung f(z) ==0 zurück, deren Gruppe &G sein mag. Die Compo- sitionsreihe dieser Gruppe werde durch die aufeinanderfolgenden Gruppen (9) A, G, @, Gv——1; G'v = 1 gegeben, derart dass der Rationalitätsbereich (X) der Reihe nach durch die Adjungirung der zu G, G, ::- gehörigen Funetionen (9°) 7}1') Uv—1; U2) Ur vergrössert wird. KEs gehört also v„ zu der Gruppe G,+1-—« für jeden Index «. Gehen wir nun von (z — z,) durch Normbildung der Reihe nach wie im 8 603 zu fu(Z; Va, Va+ı) “ ), fol2; Vo, Vo+1) : ), ’ so kommen wir zu einem f}(2; vx, Vx+1, : ), welches bei nochmaliger Normbildung alle Dkr) Uk-EiL, v, yerschwinden lässt, so dass fi(2)== ITfx(2; U, ) zu f(z) selbst wird. Bei dieser Normbildung zeigt sich die Bedeutung des Umstandes, dass mehr als ein v gleichzeitig verschwinden kann. In G,= 1 ist der Factor (z — z,) rational bekannt. Das ist er aber in G,_1 nicht mehr; hier wird erst die Function (9”) fa(85 Day Vatı,z ‘ ) S (8—2) (@—) + + (@ — Zgı) rational darstellbar werden, d. h. die Substitutionen von G,_1 ändern zwar %,, aber nicht (9”). Hier wird z, mit %, --- Zp, in transitive Verbindung gesetzt. Weil nun aber auch %, %, vı ınm Wegfall gekommen sind, so werden auch die Substitutionen von G,_2, &- v—3) Gy_a-4+ı DUr die Z,, Z,-- - Z transitiv unter einander vertauschen, denn f ist, wie wir gesehen haben, in dem Bereiche (v,, vx+1,::: v,; R) irreductibel. Wenn man dann weiter zu G,_„ übergeht, dann treten ent- sprechende Verhältnisse auf. Da erst f; in dem neuen Bereiche rational bekannt und zugleich irreductibel ist, so wird in @©) fo(2; %, %41, ) = (@—2) @— 2) + (8 — Dpıpp) die Reihe 2,, %, Zp.p, transitiv mit einander verbunden werden. Jede der Gruppen G, _« , G D=@=—=)l G,_>+1 verbindet diese transitiv unter einander. Man erkennt aber den Unterschied der Bereiche; ' die durch G, _«, Gy—a+1, : bestimmt sind, darin, dass f = 0 andere und andere Affecte aufweist. 4 4 Zweiundsechzigste Vorlesung $ 607—608. Gehen wir nun den umgekehrten Weg, dann zeigt sich Folgendes: Zunächst ist £f=fi=0 gegeben. und die zugehörige Gruppe ist G. Durch o Ur+1 hindurch führt die Adjunction, ohne dass f=0 reductibel würde. Die Gruppen G, G,—x bleiben in sämmt- lichen Wurzeln 2,, ,: %„ transitiv. Bei der Adjunetion von v findet eine Zerfällun_g von f= 0 statt; demnach verbindet G,_„41 nur einen Theil der Wurzeln, nämlich ?— transiıtıy mit einander. Alle diese so k verbundenen Wurzeln z werden dann auch weiter in den Gruppen G, ; transıtıy mit einander verbunden bleiben. Ebenso- Gv—k+l; wenig findet eine weitere Zerfällung von f; statt. Dagegen wird bei GAy—i-+1 eine neue Zerlegung in engere Systeme der Intransivität ein- treten, u. s. f. bis zum letzten Male beim Uebergange von G@,_1 zu G, = 1 eine Zerfällung und zwar iın lineare Factoren eintritt. S 608. In der Folge (9”) haben wir von jedem Gliede den Uebergang zum folgenden so gemacht, dass wir die Norm hinsichtlich des ersten eintretenden v mit kleinstem Index vornahmen. Wir wollen jetzt nach der Norm eines Gliedes in dem durch die ursprüngliche Gruppe &@ bestimmten Gebiete fragen. KEs möge fa(@) = ( — 2,)(@ — %) : (@ — 2) (d=1 Da De) vorliegen. Derjenige höchste Theiler von &, welcher nur 2,, %, Zö transitiv unter einander verbindet, sei D mit der Ordnung &. Da nun die Ordnung von G r= %P, Ist, So hat für die Substitutionen von G die Funetion fz genau r:& Werthe fé(ß‘)‚ f,l(l)(z)> f„;2)(5)7 Sn die einander im Gebiete @ conjug sınd. Jede der conjugen Funetionen besitzt @0 Factoren (z—2,); In der Norm treten also insgesammt % solche auf. Ferner ist die Norm eine vollständige Potenz, und da G transitiv In Z,, %, Z ist, so kommt jede der Wurzeldifferenzen (2 — 22) gleich oft lvor. Also ist für das Gebiet &G rd Nfale) = F@. Ist in der Reihe der Gruppen (9) G,+1—_a die letzte, %elche 78 ungeändért Jässt, dann ist D ein Vielfaches von G,4+1ı_a, und ihre Ordnung wird 3=Q‘(P1P2"'Pdﬁl); Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen. 425 wobei q eine ganze positive Zahl bedeutet. Ferner hat man —nl Dx) Ö = Dıa j %n = Pıa BBa Dk, und folglich wird der Exponent der Norm D, Nn rö SA SO G AD Von besonderem Interesse ist der Fall, dass dieser Exponent den Werth 1 annimmt. Dazu ist es nöthig, dass D ein autojuger Theiler von G& wird. Nehmen wir zunächst an, D sei eine solche Gruppe, und fz gehe unter dem Einflusse einer Substitution 6 von G in fa @ (z Z über; dann gehört diese Funetion zu 67!D6= D, und wenn also ein 2 gleich z, sein sollte, dann fallen alle 2 mit den 2,, %, 25 zusammen; das widerspräche dem Umstande, dass f;;” conjug: zu fz Ist. Folglich enthält fd(1) nur andere Wurzeln. So erkennt man, dass Nfz gleich f(z) selbst ist. Zugleich erkennt man, dass G eine imprimitive Gruppe ist, und dass die in einem f, vereinigten z je ein Imprimitivitäts- system bilden. Wenn umgekehrt in der Norm der Factor (z 2,) nur ein ein- ziges Mal vorkommt, dann ist D autojug in G, und G ist imprimitiv. Die letzte EHigenschaft zeigt sich sofort, falls man bedenkt, dass jede Substitution 6, welche auf z, eine Wurzel 2,, %, -:- %9 folgen lässt, nur diese unter einander vertauscht; und dass jedes 0, welches auf z, ein „CA) zD (1 d17 B ..ZJ ) folgen lässt, alle Wurzeln Z 29 ınm diese neuen überführt. Da nun D von 1 verschieden sein soll, so. folgt daraus auch, dass G zusammengesetzt und D in G autojug ist nach S 575. Tritt der besprochene Fall ein, dann gelten also die über imprimi- tive Gleichungen früher abgeleiteten Theoreme; HOR sind die Wurzeln einer Gleichung Nn Nn 90 —08 @0, deren Coefficienten rational bekannt sind, und 2,, %, 25 sind die Wurzeln von fl@ =(@—2) @— a)=0. 426 Zweiundsechzigste Vorlesung &$ 608—609. Wir wollen nun zeigen, dass dies stets dann eintritt, wenn die Gradzahl %” der zu Grunde gelegten auflösbaren Gleichung f(z)= 0 durch mehrere von einander verschiedene Primzahlen theilbar ist, wenn also die Compositionsfaetoren nicht sämmtlich gleich sind. Wir verfolgen die Compositionsreihe von & (97) G, G, G1f—k——l; Gv—k; bis zum ersten Gliede G,_„, welchem ein Factor von geringerem als dem n Grade fe(85 O, Oara ) S (@—A) : @ &) (x*=, Da Di) entspricht, bei dem also zum ersten Male eine Zerfällung von f(z) eintritt; es entstehen bei dieser y, Factoren, da ja n = %: p ist. so Betrachten wir die Compositionsfaetoren ,, —1, Pr—2, 2 ist yx der erste dieser Reihe, der in % = DıPaRı - auftritt. Nach der Annahme kommt unter ı, Pu, Po, : Pi Noch ein von p, verschiedener Compositionsfactor vor. Nach 8 556 lässt sich demnach die Composi- tionsreihe in den auf G,_, folgenden Gliedern so einrichten, dass eine Gruppe G, in ihr auftritt, welche der Hauptreihe angehört, d. h. welche autojug in G selbst wird. Ferner ist G, eine Subgruppe von G,_„x; und da G,_„ nur Z,, Z,‘ ‘ %, mit einander transitiv verbindet, aber keine weiteren %, da also G,_ intransitiv ist, so gilt dasselbe von G;. G, ist mithin ein intransitiver autojuger Theiler von &, und daher wird G- eine imprimitive Gruppe ($ 575). Wir sind daher zu dem folgenden wichtigen, zuerst von Abel*) ohne Beweis ausgesprochenen Satze gelangt: Ist der Grad % einer auflösbaren Gleichung f(g)=0 durch zwei von einander verschiedene Primzahlen theilbar, dann ist die Gleichung imprimitiv, d. h. ihre Lösung kann durch diejenige einer auflösbaren Gleichung N ’Lb% __@1.„?“1_+_...:}__@117=0 d mit rationalen Coefficienten, und die einer anderen auflös- baren Gleichung Ale e 20 D a mit in u rationalen Coefficienten bewirkt werden. zr A *) Edit. Sylow et Lie 2, p. 262. Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen. 427 Durch dieses Theorem ist die Frage nach den allgemeinen auflös- baren Gleichungen auf diejenige nach solchen auflösbaren Gleichungen reducirt, deren Grad die Potenz einer Primzahl ist. Denn wäre einer / der Exponenten d oder Ö gleichfalls noch durch zwei von einander verschiedene Primzahlen theilbar, dann braucht man den Abel’schen Satz nur nochmals anzuwenden u. s. W. Unsere ferneren Untersuchungen können sich also auf die auflös- baren Gleichungen mit Primzahlpotenzgrad beschränken. $ 609. Im $ 605 machten wir darauf aufmerksam, dass Glei- chungen mit einstufig isomorphen Gruppen hinsichtlich ihrer Auflös- barkeit gleichen Charakter haben. Dies wollen wir an dem Verhalten der Gleichung verfolgen, welcher die Galois’sche Resolvente genügt. Wir setzen, wie in $ 560, mit unbestimmten Parametern w O = U - 0 A 9 F Wn wenden hierauf alle Substitutionen s; der Elemente z an, erlangen dadurch © = U18i, + UoBi, + 54450 + U„Z,'„ und bilden die Funetion /@) = @— ®,)(@—w) - (@—0)- Im Rationalitätsbereiche von f(z)= 0 sei a®@) = @— 6) . 6—e) ein irreductibler Factor von y(®@). Dann ist g@)=0 die zu f(z) =0 gehörige Galois’sche Resolventengleichung, deren Gruppe nach $ 577 gefunden werden kann. Wir bilden dem s; entsprechend al w 8& &i S a ( A &2 ) für alle 7 Substitutionen der zu f(z) ==0 gehörigen Gruppe &. Die 6,, 0, : 6, bilden dann eine zu &7 einstufig isomorphe, der Gleichung 9(@) = 0 zugehörige Gruppe I” Die Compositionsfactoren für G und für I” sind die gleichen; der Reihe und der Hauptreihe der Compo- sition von & entsprechen die Reihe und die Hauptreihe der Compo- sıtion von I” Hat G nur Primzahlen als Compositionsfactoren, d. h. ist f(z)= 0 auflösbar, dann gilt dasselbe von g(@)=0. Der Grad von g(®) ist VED D der Grad von f(z) ist Nn = DıPaDb : Dr 428 Zweiundsechzigste Vorlesung $ 609—610. Dreiundsechzigste Vorlesung $ 611. Macht man den Uebergang von G zu (7,, dann möge sich I” auf T, reduciren. I, aber ist in ®,, O, Iintransitiy, auch wenn f(z) bei G, noch irreductibel bleibt. Denn I” entsteht, wenn man die Substitutionen von &, auf ®,, %, O, anwendet und deren da- durch bewirkte Umstellungen unter einander als Substitutionen 6 deutet. Hierbei wird aber ®, durch G, nur in — Werthe von ®, übergeführt werden können. Also muss I} die Elemente in nı Systeme von — Wurzeln der Imprimitivität zerlegen. 1 So erkennt man allgemein, dass der Uebergang von I” zu IY, Iz, Iz,::- jedesmal mit einer neuen engeren Zerfällung von g(®) ver- knüpft ist, bis beim letzten Schritte die einzelnen Factoren @ — @, selbst als rational heraustreten. O © $ 610. Wir wollen zum Schlusse dieser Vorlesung die Voraus- setzung fallen lassen, dass f(z)= 0 auflösbar sei, und wollen die Methode, die bisher auseinandergesetzt wurde, dazu verwenden, um die Lösung von f(z)= 0 auf ihre einfachsten Elemente zurückzuführen. Die Gruppe von f(z)= 0 sei &4/; ferner sei G, eim autojuger Maximaltheiler von &. Unter @(z,, Zn) = @, verstehen wir eine zu G, gehörige rationale Funetion von Z,, %, Z.; wendet man auf , die Substitutionen von G an, so entstehe (10) Pı> P, Pz, Pr5; es setzt dies voraus, dass die Ordnung der Gruppe &G k-mal so gross ist, als die von G,. Da G, autojug in G& ist, so gehören %,, @,: O sämmtlich zu G, und jede dieser Functionen ist rational durch jede andere darstellbar. Wir betrachten die Gleichung (1D) D(u) = (u—o) U—w) s — 0u)= 0, welche die Werthe (10) zu Wurzeln hat. Die Gruppe I” von ®(u) wird nach 8& 577 erhalten, wenn man auf (10) die Substitutionen von G anwendet und die Umstellungen als Substitutionen unter den @ deutet, Q Z Pr H —— x ( A Pir. ) : Diese Gruppe I' ist transitiv, und folglich ist (11) irreductibel. Weil ferner G, autojug in G ist, so wird nach $ 559 die Gruppe I” Faetor- gruppe von G und G;,, d. h. T Endlich ist (11) eine einfache Gleichung, weil nach 8 559 I nicht Die Auflösbarkeit algebr. Gleichungen. Auflösb. Gleichungen v. Primzahlgrad. 429 mehr zusammengesetzt sein kann, da G, Maximalsubgruppe von G war, und nach $ 575 muss (11) dann auch eine primitive Gleichung sein. Durch die Auflösung von (11) und die Adjungirung aller oder auch nur einer ihrer Wurzeln wird somit f(z) ==0 auf eine Gleichung mit der Gruppe G, reducirt. Ist auch &, noch zusammengesetzt, dann können wir in gleicher Weise vorgehen und so die Auflösung auf die- jenige einer Reihe von primitiven Gleichungen reduciren, deren Wurzeln in dem jedesmaligen Rationalitätsbereiche Galois’sche Resolventen sind. Die Grade der einzelnen Gleichungen sind als Compositionsfactoren in- variant, d. h. dieselben, auf welchem Wege man auch die Auflösung liefern mag. Dreiundsechzigste Vorlesung. Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad. $ 611. Ist eine Gleichung f(z)==0 des Primzahlgrades n auf- lösbar, so sind ihre Wurzeln in der Form —1 B M A O + m2vf + + Gn 1 —1 Z M eln 0,0, + m0 i + + M 0 f]; (D) + p"1m—p.+l 2 =M + 0 mp_1"—{—‘ m;@j.m]j l—|— .mp_1'u darstellbar, wobei „ eine primitive p Einheitswurzel bedeutet, und i a—ı Fa—1 (2R) 2 ,Upa_2 DE _Iﬂ a—2 @— (vaﬁ1; %)’ @) v P2 2 =;F2(.”3; 'U.a—lä N), v Q 1 = F (%,- /Uu—1; gi) zu setzen iıst. Gleich bei der ersten Normbildung, die an (2 — 2,) anknüpft, (3) f(@)=] [ @— z) C ’ D) fallen sämmtliche Kettenglieder v,, v, U,ı weg. Jede Aenderung der Bedeutung der v, die mit den Definitionsgleichungen (2) verträg- lich ist, wandelt daher v, in ein m_v70f” um [8598, (13) und 8 600, (25)], und damit das System (1) in sich selbst. Jede mit der Constitution W 430 Dreiundsechzigste Vorlesung $ 611—612. der Gleichung verträgliche Umstellung der Wurzeln unter einander d. h. jede durch Substitutionen ihrer Gruppe hervorgerufene wird durch eine Aenderung in der Bedeutung der v bedingt. Daher werden die Substitutionen der zur Gleichung gehörigen Gruppe unter denen zu finden sein, die auf diesem Wege hergeleitet werden können. Man erkennt dies auch auf folgende Weise. Es sei g in der Gleichung 9& %, B)= k (4) jede zur Gruppe G der Gleichung gehörige und daher rational bekannte Funetion = b. Dann gehört jede Aenderung unter den z,, welche diese Gleichheit (4) nicht stört, zu den Substitutionen der Gruppe G. Nun kann man (4) in die Form bringen () M Ar Al @, p MOr A A ]le_1 l al und erkennt daraus, dass v, auch in v,@“ umgewandelt werden darf, dass also (4) die Substitution zulässt, die “durch diese Aenderung her- vorgerufen werden kann ($ 603). Dieser Schluss gründet sich auf (A); zugleich wird dabei gezeigt, Diese Glei- dass 1, I, M_ = 0 snd, und M = k wird. chungen M, == const. nehmen eine ähnliche Form wie (5) an, nur dass v an die Stelle von w, tritt; und mithin folgt in gleicher Weise, dass auch die Bedeutung von v, beliebig geändert werden kann, so weit das mit (2) verträglich ist. So geht es weiter und daraus ist der aus- gesprochene Satz ersichtlich. $ 612. Wählen wir (4) wie oben so, dass g zur Gruppe gehört, nicht aber unter ihr steht, dann haben wir durch die letzte Beweis- führung schon Substitutionen erlangt, die zu G- gehören. Denn die Umwandlung von v, in v führt z, in %,, dieses gemäss (1) weiter u Zrg und endlich z, wieder in z, über. Es ist also S = (ı 2p) (6) eine cyklische, zur Gruppe G von f= 0 gehörige Substitu- tion. Mit ihr gehören natürlich auch alle Potenzen 5, S, 83 O SP=]_ zur Gruppe G. Hieraus ist schon ersichtlich, dass G- transitiv ist, wıe dies ja wegen der Irreductibilität von f sein musste. Um weitere Substitutionen von G zu erhalten, betrachten wir die Umwandlung von v, ın ein mviw$“ genauer. Gesetzt, es könnten bei irgend einer solchen Umwandlung zwei der Wurzeln, etwa 2 und 2 ungeändert bleiben, so müsste 2 In der Darstellung (1) das Glied Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad. 431 (& 1l) (mvi6$*) 05 = minr enthalten, d. h. es wäre nothwendiger Weise o9zFa—1 z(« —1) (7) p or = (t—1)(@«—1) (mod. p). Ebenso würde sich wegen der Unveränderlichkeit von %2 ergeben, dass man zu gleicher Zeit auch hätte or =(@z — 1)(8—1) mod. p); und da « von ß verschieden ist, so würde aus den beiden letzten Gleichungen 7=1, o0=0 folgen, d. h. zwei Wurzeln 22 und 2g können nur dann ungeändert bleiben, wenn v, in sich selbst über- geführt wird. Dann bleiben aber alle Wurzeln g£, an ihrer Stelle. G hat ausser der identischen Substitution 1 keine andere, die zwei der Wurzeln ungeändert lässt. (Vgl. 8 572.) Wenn nun eine Substitution von G nur eine Wurzel 2 unge- ändert lässt, z,41 dagegen In 2Zu+p umwandelt, dann gilt der ersten Annahme halber (7); und ferner muss wegen der zweiten Annahme T (m.v10$") 05 = MV0i6 K 07 =t(a«+ß—1) —« (mod. p) und folglich nach (7) (z—1)(«—1)=r7(@«+ß—1) —« (mod.g) ( ß (mod. y) o =— (@—1)(8—1) (mod. p) D sein. Es geht aber bei dieser Umänderung ein jedes %, in dasjenige <& über, welches ın der Darstellung (1) den Summanden (m.viw$") wr * besitzt, der aus v10% al hervorgegangen ist. Setzt man den erhaltenen Werth von o ein, so wird 071el — el —IN E e— 1 @= a folglich besitzt dasjenige z, in welches z, übergeht,-den Summanden z x —1+B(y—a)lz MzV1 On 2 d. h. es ist Zx(@—B)+ßy- Diejenige Substitution, welche z nicht ändert und 2441 in Za+8 umwandelt, hat die Form == (8) D = |2, Za(L—B)+BY | (B z= D Wenn endlich eine Substitution keins der z ungeändert lässt, dann darf bei festem o und t- in m,vi® © » kein « bestehen, welches (7) 432 Dreiundsechzigste Vorlesung $ 612. befriedigt; denn sonst bliebe ja eben z, unberührt. Dazu ist erforder- lich und hinreichend, dass 7 = 1 (mod. p) und o nicht durch y theil- bar ist. o+1 Hierdurch geht dann v, in V,05, also v,60, In vı Op Z M9e, OLa Zr M Zgn MOMMEP Z M Z 0L& R Es gıiebt demnach nur die Substitutionen (6) S$= ( Z 2p—1 8p) = | Ze Zy+1 ' nebst deren Potenzen, welche sämmtliche Sa umstellen; (vgl. $ 572). Ausser der KEinheit kann also G nur Substitutionen der Form (6) und (8) umfassen. G ist demnach mit der linearen Gruppe ($ 533) identisch, oder eine Subgruppe derselben. In unserem Falle von p Ele- menten haben wir es mit dem besonderen Falle der: metacyklischen Gruppe zu thun ($ 534). Es ıst nämlich Die Form (8) lässt sich noch vereinfachen. t03“(/3_1) — ‘ 8y Sß y J; und umgekehrt lässt sich durch diese Substitution in Verbindung mit (6) wieder (8) herstellen. Wir können deswegen statt (8) nehmen (8°) d== [, Sß \ Bedeutet nun e eine primitive Congruenzwurzel für den Modul p, so können wir ß = c setzen und statt (8*) unter Weglassung des z (8”) schreiben. Gesetzt es wäre in allen vorkommenden Substitutionen von der Form (8*) die hingeschriebene diejenige, bei welcher der Exponent a von e den geringsten Werth annimmt, dann kommen unter den Sub- stitutionen (8”) nur solche Ü=|) &y | vor, bei denen der Exponent ein Vielfaches von @ wird. Denn käme ein (ca<b<(6+1)a) u @n vor, so folgte gegen die Annahme ’Ut_U=IQJ eb—(xa V J‘ (0<b—0a4<0). Es sind somit alle Substitutionen von der Form (8°) Potenzen einer unter ihnen. Diese Substitutionen sind die einzigen der Gruppe, welche z ungeändert lassen. Wir wollen das @ in (8”) als den kleinst- möglichen Exponenten auffassen. Somit erkennen wir: Die Gruppe &G einer auflösbaren Gleichung f(z)= 0 des Primzahlgrades p kann aus den beiden Subs?it11tionen unter den 2 Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad. 433 (9) s=|u u+1| (mod. p) Ü= 0 &q | ] gebildet werden. Dabei bedeutet e eine primitive Congruenz- wurzel für p. Ist % die niedrigste Zahl, für welche ak durch (p—1) theilbar wird, so ist die Ordnung der Gruppe G& gleich p-k, also stets ein Theiler von p(p—1). Für k=p—1 geht die Gruppe in die metacyklische über. Ist z ein Theiler von (p—1), so liefern die Substitutionen (10) S= u EL (mod. p) Ü=|u &q | einen autojugen Theiler von (9). Der letzte Satz folgt daraus, dass t’ durch s und £ transformirt bis auf Potenzen von s in sich übergeht. Man hat nämlich s s =|uF 1 u|- |u &u u ul = u 1 &u 1| = &1 —e E G t= |e&u u|-|u e&u|.|u &u|=|e u ertey|= |u e&ru]. Wir können auch umgekehrt sagen, dass jede durch (9) ge- bildete Gruppe G die Gruppe einer auflösbaren Gleichung des Primzahlgrades p ist. Den Beweis stützen wir darauf, dass alle Compositionsfactoren für G Primzahlen werden. Ist nämlich % in seine Primfactoren zerlegt = q,q,G3:::, und betrachten wir zuerst die Gruppe G, (10%) s= |u A Ü = |u &ng | ? so ist diese autojug in G mit:dem Compositionsfactor Qı Ferner betrachten wir die Gruppe G, s=|uw u+1|, (10°) e° UWY | D = |u | von welcher Aehnliches hinsichtlich G, gilt, u. s. f. So kommt man zu der Compositionsreihe G, G,, G, G, :, welche mit der aus den s“ gebildeten Gruppe X schliesst. Hierdurch ist die Behauptung erwiesen, da auch diese Gruppe X in der vorhergehenden autojJug wegen (st= ]& u ul u u+L|.|u ecu|= | en e&«(w+ 1)| = U uU+ e“ | — sra wird, und da alle Compositionsfactoren Primzahlen sind. Netto, Algebra. II, 28 434 Dreiundsechzigste Vorlesung 8& 613—614. $ 6183. Wir bilden eine zur arithmetischen Gruppe K==[$°,s,82,...] gehörige, d. h. ‘bei der Substitution |w w-+-1| unveränderliche Funetion P (Z1, %, ); sie ist für die natürliche Folge der Indices cyklisch. Die Anzahl der Werthe, welche o unter dem Einflusse von G annimmt ? ist gleich &. Die durch G& unter diesen Werthen hervorgerufenen Um- stellungen bilden nach $ 577 eine zu G isomorphe Gruppe I; und zwar ist I” die Gruppe derjenigen Gleichung, von welcher die % Werthe @,, a‚ x als Wurzeln abhängen. Wir wollen nun nachweisen, dass I’ eine cyklische Gruppe wird, so dass also die %,, %, @x Sselbst Wurzeln einer cyklischen Gleichung sind. Zu diesem Zwecke ordnen wir die Substitutionen von G in das Schema sa 2 gO— SPG 0 al S t2 s Sa SO ein; zu den einzelnen Zeilen gehören die Functionalwerthe Pı> q)2 na (pt7 q73 F q7t2 2 U —— Ylp=it o Es fragt sich, was (11) Psayß > Prsayß , Pascyß > Pık —1 30 4ß werden wird. Nun ist, wenn wir y = a«c“P* setzen, s& =|u uf+al: |u 8u|=|u &u + e | = @s und demnach S = T, Ps« f — tß+‘u’3)’) Folglich ist (11) identisch mit P, Pa+1, Pp+2, Pp—15 und damit ist gezeigt, dass I” eine cyklische Gruppe ist. Löst man zuerst diese auf, dann reducirt sich G auf K. Daraus erkennt man: Die Auflösung jeder auflösbaren Gleichung von Primzahlgrad p wird durch die successive Lösung zweier cyklischen Gleichungen bewirkt, von denen die eine als Grad einen Theiler von (p—1) oder (p—1) selbst und die andere als Grad die Primzahl p hat. Wir werden uns bald mit solchen Funetionen @ (2,, %, Zp) genauer beschäftigen. Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad. 435 $ 614. Adjungiren wir einer auflösbaren irreductiblen Gleichung f(z)= 0 des Primzahlgrades p zwei beliebige ihrer Wurzeln, etwa Z und zg, dann wird durch diese Adjunetion die Gruppe der Gleichung auf den Complex derjenigen unter ihren Substitutionen reducirt, welche Zx und 2g nicht ändern, d. R auf dn Demnach ist nach dieser Adjunction jede beliebige Funetion rational bekannt; insbesondere gehört jedes z, dem Bereiche (Y; 2u, 2g) an, d. h.: Man kann jede Wurzel z, als ganze rationale Func- tion von z und zg darstellen, mit Coefficienten, die dem gegebenen Rationalitätsbereiche (X) angehören (12) 8 — Ir (2u, 2ß) @n Wir wollen als Umkehrung zeigen: Wenn für alle Wurzeln z,, C - Z einer irreductiblen Gleichung von Primzahlgrad die Beziehungen (12) für beliebige «x, ß herrschen, dann iıst sie auflösbar. Gehen wir von der Voraussetzung dieses Satzes zu den für die Gruppe G der Gleichung daraus folgenden Eigenschaften über, so sehen wir erstens, dass G transitiv ist ($ 567); und zweitens, dass G ausser der Einheit keine Substitution besitzt, die z„, und 2g nicht umstellt; dabei sind @x, ß beliebige Elemente. Es besitzt also G ausser der Einheit keine Substitution, welche zwei Elemente nicht umstellt. Nach $ 572 giebt es also nur (p — 1) Substitutionen in &, die alle Elemente umsetzen, und diese Substitutionen werden cyklisch sein, da sonst passend gewählte Potenzen einige Elemente nicht ändern würden. Die Substitutionen, welche alle Elemente vertauschen, sind demnach Potenzen einer einzigen S= @ % —ı p)= |U u+1[. Ausser diesen Potenzen giebt es nur noch Substitutionen von (p—1) Elementen. Es sei £ eine solche, welche z, nicht umsetzt. Dann muss t7'st== s“ werden, also muss $ die Umstellung &, 2& Zg Z ‘22a S hervorrufen; d. h. man hat d = (21 2a Bar ) —I &u | Daraus folgt, dass die Gruppe der Gleichung die metacyklische ist oder unter der metacyklischen steht. Folglich ist die behauptete Umkehrung bewiesen: Wenn alle Wurzeln einer irreductiblen Gleichung von Primzahlgrad n sich durch zwei beliebige Zu, 28 ratıonal darstellen lassen, ist sie auflösbar. 28* 436 Dreiundsechzigste Vorlesung $ 614—615. Aus dem zu Beginn des Paragraphen aufgestellten Satze folgt noch eine weitere Eigenschaft auflösbarer Gleichungen eines Primzahl- grades *). Enthält nämlich der Rationalitätsbereich (X) nur reelle Grössen, und sind zwei der Wurzeln von f(z)= 0, etwa z und 23 reell, dann zeigt (12), dass alle Wurzeln reell sind. Eine auflös- bare irreductible Gleichung des Primzahlgrades p hat ent- weder eine oder p reelle Wurzeln, wenn der Rationalitäts- bereich nur reelle Grössen umfasst. Wir finden dies bei den Gleichungen dritten Grades bestätigt. Von den Gleichungen fünften Grades können also solche irreductiblen, welche nur zwei complexe Wurzeln haben, nicht auflösbar sein. $ 615. Wir gehen nun auf die Form (17) 8 598 der Wurzeln einer auflösbaren Gleichung f(z)= 0 eines Primzahlgrades y zurück al al } zo=mo+Rf +Rf_’ + + RE 2 3l al 1 (13) 2= M + Rfco — Rfco*‘«’ —+ A B,f„2a‚ef’—2 9 ıl 1 1 281J_" 2 Z = M + R3m2 — R?co“ + .4 —+ Rf_2co ) ? wobei 1 (14) R?= 1y R%= me(Ro) %, Rf= m„(R„) Z gesetzt war. Aus (13) folgt al Rp_%[% P .07 - 07 F E 1 (15) Rf= D + 407° + 207 + 41, 1 —— R} =— %[zo A 4077 - 07 d Wenden wir auf Ro, Rı, . die cyklische Substitution |w u+-1| an, so bleiben diese Grössen ungeändert. Sie sind somit cyklisch für die Folge Z), 21 %, Zp—1 f *) L. Kronecker, Berl. Ber. 1856, 14. April, p. 204. Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad. 437 Wenden wir dagegen auf die Grössen (15) die Substitution (16) | w e714 | —— 1 an, so geht dabei jedes Rz ın %[20 + Ze__lco—e“ + Z2e_lco—2e“ + n ] Z %[zo+;Zke__lco—keail über. In der Summe können wir % durch he ersetzen, weil % und he g13ichzeitig alle Reste mod. » durchlaufen; dann zeigt es sich, dass 1 Rf in umgewandelt wird. Es ruft also (16) eine cyklische Ver- schiebung von 1 al al R RP_, in der angegebenen Reihenfolge hetrvor. Wir betrachten nun, indem wir einfach m statt m, setzen, die Beziehung L e R?= m(Ro): R o und bemerken dabei, dass %, gemäss $ 595 von Null verschieden ist. Die Substitution (16) liefert daraus Br m(Rı)- R 2 E (17) R} M(Ro): R ? R = M(Ro_s) Re_e; und aus ihrer Combination entsteht, wie leicht zu sehen ist, die Gleichung i—=eO— R D (17) ( = m* ÄR)- mP R« M (Bp—3)- Wir wählen jetzt eine solche primitive Congruenzwurzel e, dass (eP=* — 1), welches stets durch y theilbar ist, keine höhere Potenz von p als Factor enthält. Das ist stets möglich; denn wenn jene 438 Dreiundsechzigste Vorlesung $ 615 Differenz durch p? getheilt werden kann, wird (n + e)?-* — 1 sicher nicht p“ enthalten, weiıl ja ep—l WE =p(Dp—1) - e—? (mod. p?) wird. Wir setzen dann indem wir den Factor y heraustreten lassen ep—i — / und wählen € so, dass EL Z0 (mod. p) Danach wird wird. Das ist erlaubt, weil qg theilerfremd zu p ist 1—e” X EL =— V b- D D Il D und setzen wir der Abkürzung halber (18) et= 4, Ci= 9 P = tp 2> so entsteht aus (17°) durch Ausziehung der p“ Wurzel, falls @‘ eine te Einheitswurzel ist * a IJ'_) S& t (17) PI'——a)I' “ (R) ” (Rı) m” (Rp—2) Wir wollen zunächst nachweisen, dass die Grössen (19) m‘ (Ro), (Rı), n (RP E <>) alle unter einander verschieden sind. Gesetzt, es wäre m'(Ra) — m‘(Rı), so zeigt (16), dass auch m‘(Ra+1) = mt(R„+l) S, UL S n Man schliesst nach bekannter Weise, dass es einen kleinsten Index & giebt, für welchen m‘(Ro)= m’(R„) wird, dass ferner « ein Theiler von (p—1) ist, und dass endlich | m (Ro) = M (Rı) mt(Rza) n‘(R) = m (Ra+1) = % (Rc‚a+1) wird, wobei die Werthe in den verschiedenen Zeilen unter einander velschleden smd Benutzt man dies für (17°), so' tritt auf der rechten Seite zu nﬂ(R„ 2) der Exponent =— — e ıl [t + ta + t2ac J__[1_j[__ec:_'_82cz_l‚_ ] e —1 AL ebenso Zzu. mP(RP_3) der Exponent DE A = [tl + ba+4+1 + kaı t .. ]=e1 +& &* + ]=e Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad. 439 U S NO Dabei sind 75, Tı, %, ganze Zahlen (Gauss, Disquisit. ariıthm. $ 79). Folglich entsteht an Stelle von (17”) die Relation al R® — w R mM (Ry_ı) MU(Ra_e) MR Ebenso erschliessen wir durch Anwendung von (16) S 1 Röp = 03'er' mt‘j (Pfo) S mf' (Ra—1) .' ® mia_l(R1\)> Nach (13) und (14) wären also alle Wurzeln z schon im Bereiche CS 7) @) rational darstellbar, was nach unseren Voraussetzungen über die Reductionen der Kette unmöglich ist ($ 594). Damit ist be- wiesen, dass die Grössen (19) unter einander verschieden sind. — Wir setzen nun (19) m (Ro)= &, mM (Rı) = &4, m‘( Ro_s) = @p dann sind dies Wurzeln einer cyklischen Gleichung des Grades (n — 1). Demmn o Mı R.—2 sind es, weil ihre cyklischen Funetionen für die aus \% %- | an 1 %] entstehende Gruppe von f(z) = O unverändert bleiben und also be- Mit Hülfe des Theorems aus $ 528 geht man kannt sind ($ 527). dann zu (19%*) über. Da die Grössen (19%*) von einander verschieden sind, so kann man auch Ro rational durch @n, ebenso Rı rational durch a,, u. S. W. ın der Gestalt R = <D(%) ö R1] = %® (al) 2 ausdrücken, wıe das aus R Rı (u—— a)(uU—a) : [ U — + 0 +]=»$(u) ın vielfach benutzter Schlussweise folgt. Zu dem ® wollen wir den Factor w’ aus (17”) ziehen. Man hat somit 1 CO eP—3 z Rop = O(q) - ( ün P— 7 An—2 % ) al (20) eP—2 eP ( d CZ Ca z A } R1;=" ®(‘f*1) 7 440 Dreiundsechzigste Vorlesung $ 615. Vierundsechzigste Vorlesung 8 616. wobei &, 4, 0, Ap-z2 die Wurzeln einer cyklischen Glei- chung des Grades (p—1) bedeuten. Dieser Uebergang von den R zu den a ist deswegen von Wichtig- keit, weiıl zwischen jenen gewisse Relationen (17) bestanden, während die @ willkürlich sind. Denn wir werden nachweisen: Bedeuten um- gekehrt die @, 4,, - die Wurzeln einer beliebigen cyklischen Gleichung (p—1)'" Grades, wobei die Ordnung &, &,, miıt derjenigen der charakteristischen Substitution (aydA,- - Ap—2) der Gruppe der Gleichung übereinstimmt, und bildet man (20) und (13), so sind diese letzten Ausdrücke die Wurzeln einer auflösbaren Gleichung p Grades miıt rationalen Coefficienten. Aus (20) ergiebt sich nämlich sofort die Richtigkeit der Relationen e ® (a) L 2 ( C ) (0 D (a) Ea ( > ® (a,)* ß A, ? 1 woraus folgt, dass wenn Rg verföge anderer Deutung der y“ W11rzeln in der ersten Formellaus (20) den Facetor @* annımmt, dann R? den Factor w** erhält, R? den Factor @“* u. s. w., So dass nur eine cyk- lische Vertauschung der Werthe (13) vor sich geht. Ferner sind die einzigen unter den a; erlaubten Substitutionen die cyklische s = (aydA, : Ap—z) und deren Potenzen. Wendet man 1 al ıl D (Ao A, CAp—2) an, dann verschieben sich auch R5 ’ R1;7 8 R1?—2 cyklisch, und dabei geht jedes z, in 2 ,_1 über, d. h. man hat zwischen den z die Substitution e71u ]: (16) Demnac?h giebt es für die Grössen (13) nur die aus und | z eu | |u u+1| bestehende Gruppe. Damit ist der Satz bewiesen. Die in (20) abgeleitete Form gab für die Gleichungen fünften Grades ohne Beweis Abel; die allgemeine Form hat, gleichfalls ohne Auflösbare primitive Gleichungen von Primzahlpotenzgrad. 441 Der erste vollständige Beweis stammt Beweis, Kronecker gegeben. von H. Weber*). Diesem sind wır gefolgt. S Vierundsechzigste Vorlesung. Auflösbare primitive Gleichungen von Primzahlpotenzgrad. $ 616. Wir haben in $ 608 gezeigt, dass es ausreicht statt all- gemeiner auflösbarer Gleichungen solche zu behandeln, deren Grad eine Primzahlpotenz y“ ist; aus denselben Ueberlegungen folgt, dass die Gleichung als primitiy vorausgesetzt werden kann, da anderenfalls eine weitere, früher gleichfalls behandelte Reduction des Problems vor- genommen werden kann. Wir nehmen also an, f(z)= 0 wäre eine irreductible, primitive, auflösbare Gleichung des Grades p“, wo p eine Primzahl bedeutet. Die Gruppe von f(z)= 0 sei G; G ist primitiv; und wir bezeichnen mit D G; H; J7' K die Hauptcompositionsreihe von G, so dass jede der Gruppen der höchste Theiler der vorhergehenden wird, der zugleich autojuger Theiler von G& ist. Keine der Gruppen von (1) ist intransitiv; denn nach $ 575 ist eine zusammengesetzte Gruppe mit autojugem intransitiven Theiler selbst imprimitiv. Die Zerfällung von f(z) in Factoren wird daher erst auf dem Uebergange von K zur Einheitsgruppe vor sich gehen. Zwischen KX und 1 können sich Glieder der Compositionsreihe von G- einschieben (1°) K KL K RO 7} alle diese gehören zu gleichen Compositionsfactoren, welche, da f'(z)=0 auflösbar ist, gleich der Primzahl p werden. Nach $ 556 bildet die Gesammtheit der Substitutionen von X einen vertauschbaren Complex; d.h.: X ist eine Abel’sche Gruppe, Qéren * Substitutionen durch @) sS=0 .6 2 (“;ß;?;"'5#1;27"'P) dargestellt werden könnren. *) Abel, Brief an Crelle; Werke, 6d. Sylow et Lie 2, p. 266. Kronecker, Berl. Ber, 1853, 10. Junı. Weber, Marburger Ber. 1892, p. 3; Algebra I, p. 6838. 442 Vierundsechzigste Vorlesung 8 616—618. Wir bezeichnen nun eine der Wurzeln z mit Z0,0,.:.0, Wobei Z In- dices auftreten sollen, und diejenige Wurzel, in welche zo,o...0 durch (2) übergeführt wird, mit 2gß...: Gehört ferner Sı = 610 Pı 2 6 o Z} E1 umwandeln und zu K, so wird diese Substitution 290...0 IN Zeyp,..:s 1 (ss,) ruft Sara BB er hervor. Daraus erkennt man, dass wir in analytischer Darstellung (3) S=ZZ| UL UG (Z2 2 W - &, U A B, "“;_+£% (mod. p) setzen können. Zugleich folgt, dass die Anzahl der Wurzeln Za{g.„‚s (“;ß;"'8=1‚2;"'29) gleich p“ wird, d. h. dass p* der Grad der vorgelegten Gleichung, und also 1 = x sein muss. Ferner erkennt man, dass bei dem Uebergange in (1*) von jeder der Gruppen K zur folgenden eine Zerfällung von f(z) eintritt. Aus (3) ersieht man, dass X gleich der arıthmetischen Gruppe oder gleich einem ihrer Theiler ist. Bei einem Theiler aber würde einer der Indices nicht geändert werden, da ein Theiler nur dadurch entstehen kann, dass einer oder mehrere der Exponenten in (2) nicht von Null verschieden werden. Es fällt also X mit der arıth- metischen Gruppe der Ordnung y“ zusammen. $617. Nun wissen wir aus $ 553, dass die linearen Substitutionen die einzigen sind, welche die arithmetische Gruppe iın sich selbst trans- formiren. Solche Substitutionen sind demnach gleichzeitig die einzigen, welche in G vorkommen können, da G-!KG = K sein muss. Das zeigt uns: Jede auflösbare primitive Gleichung des Grades p“ hat eine Gruppe, welche in der linearen Gruppe ( | o Agılı + Ao2Ua A * F AoxUx A do (9=172;"']”') des Grades p“ enthalten ıst. Will man nun alle zu auflösbaren, primitiven, irreductiblen Glei- chungen des Grades p“ gehörigen Gruppen construiren, so kann der weitere Gang der Untersuchung der folgende sein. Bestimmt man die Grössen d0,, d,,-:- 0, durch die Congruenzen (mod. p) ©) a@181+ a926\2 + NL + agxäz == dy (@=172>"'%)7 so kann man (4) als Product (9=1)2>""‘> (6) | o Agı F *+ + gu | | %o o + 00 | Auflösbare primitive Gleichungen von Primzahlpotenzgrad, 44 3 x darstellen; und diese Bestimmung ist stets möglich, weil für eine wirk- liche Substitution (4) die Determinante der linken Seiten von (5) nicht durch p theilbar ist. Aus ‚(6) ersieht man dann, dass man die KEr- weiterung der arithmetischen Gruppe nur durch homogene lineare Sub- stitutionen zu bewirken braucht. Es muss also zunächst zu X eine homogene lineare Substitution hinzugenommen werden, von der eine Primzahlpotenz =1 wird. Da- durch entsteht in der Compositionsreihe, die wir von rechts her zu Damit muss wiederum eine construiren haben, die vorletzte Gruppe. Substitution verbunden werden, von der eine Primzahlpotenz in der eben erhaltenen vorletzten Gruppe vorkommt, u. s. w. so lange diese Operation fortgesetzt werden kann. Das so fixirte Problem lässt sich aber sofort dadurch verein- fachen, dass wir die Betrachtungen auf die homogene lineare Gruppe beschränken. Die Gruppe K der Substitutionen (3) ıst nämlich autojug in G; wir können daher eine Factorgruppe G/K nach den Vorschriften des $ 559 construiren. Wenn wir daselbst in der Formel (13) für die dortigen Substitutionen 1, S, S3, unsere (3) nehmen, dann folgt, dass die dortigen s,, S, durch die hier auftretenden homogenen Sub- stitutionen von G& ersetzt werden können, und dass die Composition der Elemente von G(/'/K direct durch die Multiplication dieser homo- genen Substitutionen ersetzt werden darf. G/K kann demnach direct als Gruppe der in G enthaltenen homogenen Substitutionen aufgefasst werden. Somit hat diese Gruppe auch nur Primzahlen als Compositionsfactoren und ist also auflösbar. Statt also &@ zu construiren, construiren wir die allgemeinste primitive, auflösbare, homogene Gruppe G/K und verbinden sie mit den Substitutionen (3) von K. Wir wollen die dabei einzuhaltende Methode an dem Beispiele %* = 2 darlegen, oder mit anderen Worten, wir wollen die allgemeinen Typen aller primitiven, auflösbaren Gleichungen der Ordnung p? fest- stellen, wo p eine Primzahl bedeutet*). $ 618. Wir betrachten in der auflösbaren allgemeinen Gruppe G: der [ I6 al + bık, ayh + bak | (mod. ») die letzte Gruppe N der Hauptcompositionsreihe, welche nur unter einander vertauschbare Substitutionen enthält. KEine solche ist sicher vorhanden und von der Einheit verschieden ($ 556, Schluss). Sie ent- *) C. Jordan, Journ. de math. (2) 13 (1868), p. 111. 444 Vierundsechzigste Vorlesung 8& 618. hält, falls G allgemein, d. h. in keiner anderen von gleicher Kigen- schaft enthalten ist, alle Substitutionen © S= d ah, ak | (Q=—O‚ 17 "']9*—'1). Denn gehörte ein s, nicht zu G, so könnte man, da die s, mit jeder Substitution vertauschbar sind, eine solche Potenz s% von s% bestimmen, dass eine Primzahlpotenz derselben zu G gehörte. Dann wäre auch [G, s,] auflösbar und allgemeiner als G, was den Annahmen widerspricht. In N kommen demnach alle Substitutionen (7) vor. Wir be- trachten zunächst den Fall, dass N ausser den s, noch weitere Substitutionen enthält. Es seı * eine weitere zu N gehörige Substitution. Wir können sie ohne Bedenken in der Normalform ($ 537) zu Grunde legen; denn durch die Transformation, welche eine beliebige Substitution in ihre Normalform überführt, werden die s, immer nur wieder in sich selbst transformirt werden. Je nach der Normalform haben wir verschiedene Fälle zu betrachten. 1 s SOl ü= , 6 ah, bh+ ak ; wo b=+0 sein soll. Ist nun eine willkürliche Substitution von N o= ( % uh + vk, uh + vık| und also v”h—yvyk — h+ eb W , WD, — ,7 E so wird bulh + [alur—u0) + burlk| D NN W ’ W — Dies muss aber, weil £ mit T7 vertauschbar ist, wie dies aus der Annahme über N folgt, wieder == * werden. Vergleicht man beide Formen, so ergiebt sich v = 0, und alle Substitutionen von N haben die Form d= ,D uh, u,h + uh| Es sei ferner 6=|h, k mh + nk, m,h + nık | irgend eine Substitution der auflösbaren Gruppe &; dann muss 67!t6 von der Form T7 werden, da G-1NG =N ist. Vergleicht man in ähnlicher Weise wie soeben die beiden Formen, dann entsteht » = 0, und alle Substitutionen von G haben die Form 6=|%h, k mh,m{ih + mb |. Diese Gruppe, mit den Substitutionen |Z,% h+a«,k+Bß| @ Auflösbare primitive Gleichungen vön Primzahlpotenzgrad.. 445 verbunden, giebt aber keine primitive Gruppe. Denn vereinigt man alle Wurzeln z,,» in ein System, welche das gleiche Aı haben, so erkennt man sofort, dass jede Substitution alle z mit gleichem A in andere z mit gleichem A umwandelt. Daher führt die Annahme eines solchen £ auf keine brauchbaren Gruppen. MIN) Es sei t=|h,k ah, bk|, wobei @ und b reelle Zahlen sind; a = . Ist nun eine willkürliche Substitution von N t=|2,% uh + vk, uh + w.k|, so wird t—'tr=%. Vergleicht man beide Seiten, so ergiebt sic.h v=0, u =0; jede Substitution von N wird o= | , 6 uh, v.k |; und da % und % reelle Indices sind, so werden auch w und v, reelle Zahlen. Es sei ferner 6ö=|h,k mh+nk, m h + nık| irgend eine Substitution der allgemeinen Gruppe G, dann muss 61{6 von der Form z werden, da G-1!NG = N ist. Daraus entnimmt man ebenso, dass entweder n=0, m =0 oder m=0 ? n =0, d. h. dass bei reellen Coefficienten M,, M} Nı, N unser o entweder (8) oder |Z, % mh, nık | |Z, % nk, muh | ist. Hier können m, %; %, m, alle Zahlen 1,2,-.. —1 durchlaufen. Infolge dessen kann man die zweite Substitution durch (9) I, k nk, m h||h, k ersetzen. h, k =|h,k k,h| Dies giebt auch wirklich eine auflösbare Gruppe. Denn die |h, k mh,n.k| sind unter einander vertauschbar; und |h,% k,h| ist mit der durch jene gebildeten Gruppe vertauschbar: %, k,h|- ! |h,k mh, nık| |h,k k,h|=[h,k Yh, mk | Wir haben also einen ersten, aus |Z,k D4 «,k+Bl, |k, k mh, nm bk|, |h, k k,h| bestehenden Typus für G erlan gt; «, ß sind =0,1,...p—1, und m, n =1,2, D—1; die Ordnung von G& beträgt somit 2(% —1)’2?. (Die Combinationen, bei denen m oder n Null werden, mussten bei Seite bleiben, da ja die Determinante der Substitution nıcht verschwinden durfte.) 446 Vierundsechzigste Vorlesung $ 618—619. II Es sei endlich t=|h,% ah,bk|, wobei @ und b con- jugirt complexe Zahlen CL=T"+Sj‚ b=r—S5j; und C h=h +hk,j, k= ı — kı) bedeuten, und wobei N ein quadfatischer Nichtrest für p ist (8 537). Ks gelten alle unter II) durchgeführten Schlüsse, denen gemäss die Gruppe G/XK aus allen | %, % ah, ak L I h) k (T + 3.j)ll7 (7ß_3j}k l7 9 9 b besteht. Bringen wir diese Substitutionen auf die reelle Form, so ergiebt sıch o L ONO |, k 7l SNk,, Sh A rk, 5 [Bı Kı I, —4, wobei 7, s beliebig gewählt werden können, falls nur die Determinante (10) r* — $?N=E0 (mod. p) ıst In dieser Form ist die erste Substitution gleichfalls enthalten, da s= 0 gewählt werden kann; und (10) gestattet im Ganzen (p* — 1) Lösungen. Wir haben also einen zweiten, aus den Substitutionen [ Ar RT | %, % rh+5sNk, sh+rk|, |Z, % h, —k | bestehenden Typus für G erlangt; «, ß sind =0,1,...p—J1, und r,s=0,1,...p—1, falls nur die Combination r7= 0; s=0 ausgeschlossen wird. Dabei bedeutet N einen Nicht- rest für den Modul p. Die Ordnung von G beträgt daher 2(p?—1)p®. Hiermit ıst der Fall erledigt, dass die höchste, aus unter einander vertauschbaren Substitutionen bestehende Gruppe der Hauptreihe von G- eine höhere Ordnung besitzt als (d—1)%°*. $619. Wir betrachten jetzt den Fall, dass die Gruppe N ausser den S = [, ah, ak | keine weiteren Substitutionen enthält. Der Gruppe N möge in der Compositionsreihe als Gruppe höherer Ordnung die Gruppe M vorhergehen. Es sei £ eine zu M gehörige Substitution. Wir können sie ohne Weiteres ın der Normalform zu Grunde legen und unterscheiden nur je nach der Gestalt derselben wieder mehrere Füälle. Auflösbare primitive Gleichungen von Primzahlpotenzgrad. 447 I) Es sei t=|2,k% ah, bh-+ak|, wo b+0 sein soll.. Die Alle Gruppe M entsteht aus der Verbindung von £* mit den s,. Substitutionen von M haben die Form , wenn man b=0 zulässt. Bedeutet also G= 0, 4 mh+nk, m h +n k | irgend eine Substitution der gesuchten allgemeinen Gruppe G, dann muss, weil o7'to entweder zu M selbst, oder doch zu einer dem M ähnlichen, in der vorhergehenden Gruppe der Hauptreihe enthaltenen M, gehört, diese Transformirte 6—!t60 von derselben Form wie t sein. Daraus folgt, wie in $ 618 unter I), dass %n = 0 und 6= %, 0 mh, m h + nık| wird. Dieselben Schlüsse wie dort zeigen uns dann, dass G imprimitiv ist Diese erste Annahme ist also zu verwerfen. II) Es sei t= |24,k ah,bk|, wo entweder a und b reelle Zahlen sind, a==b; oder wo @ und b zwei conjugirt complexe Zahlen a=r+ sj, b=r7—S85j bezeichnen. Die Substitution £ kann nicht für jede Substitution 6ö= |h, k mh+nk, m h+n1k| aus &G der Gleichung 6-7!t6 = * genügen; denn sonst würde £ noch zu N gehören. Es giebt also ein von den * verschiedenes h= 67 t6= |h, k uh+wvk, uh + v k |, welches mit den s vereinigt die Gruppe M, bilden möge, wobei M . M ist, und M und M, der in der Hauptreihe von G nächsthöheren Gruppe L angehören. Aus diesem letzten Umstande folgt, dass £ und £ bis auf eine Substitution s, von N vertauschbar mit einander sind; d. h. man hat { = t,ts;, oder ausführlicher geschrieben |%,% aluh-+vk), b(uh + v,k) | = |h,k% aufh+ bvfk, au‚ fh+bv.fh| Demgemäss müssen die vier Gleichungen erfüllt sein au — a’.“f; av = byf; bu, = auıf, bv, = byf. Ist nicht gleichzeitig u = 0, v,= 0, dann folgt hieraus f= 1, w=0,v=0; d.h. t=|h,k uh, vh|; i = Mt. Das kann aber nicht für alle aus € transformirten Substitutionen möglich sein, weil sonst die den M, M,, vorhergehende Gruppe L der Haupt- reihe aus lauter vertauschbaren Substitutionen bestehen würde und dem- nach mit N zusammenfiele. 448 Vierundsechzigste Yorlesung $ 619. Es ist also gleichzeitig u = 0, v,= 0, und also uv=+0. Dies ergiebt a = bf, b=af; Zn Da ferner, wie soeben gezeigt worden ist, nicht beständig £= 1 sein kann, so wird f=-—1; Ü= —B Es muss folglich sein Ö= | ah, — ak 5 Ü= , vk, u.h |. Führt man hierin statt des Index % den durch Nr mit vr A= = M (mod. p) bestimmten Index n ein, so nehmen für vr= 0 die beiden Sub- stitutionen einfachere Formen an. Wir können danach setzen (11) ö= , ah, — ak L, Ü= l ok, oh|. Hieraus erhellt, dass t? wie t? zu N gehören. Folglich ist der Compositionsfactor beim Uebergange von M zu N gleich Zwei; 6 =5 A 2 Ü=5.. Die Substitutionen (11), mit den s von N vereinigt, er- geben die Gruppe L der Hauptreihe, welche unmittelbar vor N steht. Denn jede Substitution von L muss € in ein fs% und , in ein 4, Sg transformiren. Stellt man die Bedingungen hierfür dar, dann zeigt sich, dass jede mögliche Substitution von L durch Multiplication einer Substitution (11) mit einem s aus N entsteht. Demnach muss jede Substitution der allgemeinen Gruppe G die Substitutionen f€, 4, wieder in Substitutionen von L transformiren. Das giebt zunächst folgende neun Möglichkeiten. KEine beliebige Substitu- tion v von &, die nicht zu L gehört, wandelt um 1 2 3 4 5 6 7 8 © Ü Sa | t1 Sa t1 Sa t18„‚ . [ ÜSa ba || Sa tt18« l ttlsa ! ! b ] l tsp’ bbr Sß A Sß t8ß tt18ß } t18ß | ÜSp> Ü1 ng t18ß. Von diesen Möglichkeiten fällt die dritte fort; denn bei ihr zeigt die wiederholt angewendete Methode der Formvergleichung, dass die transformirende Substitution zu L gehört. Ferner fallen die 1%, 5%, 9% Möglichkeit fort, denn bei diesen würde £-% ein s als Transformirte ergeben, während doch ein Sw nur in ein S, transformirt werden kann. 449 Auflösbare primitive Gleichungen von Primzahlpotenzgrad. Ruft ferner die Transformation mit einem v, aus G die Um- formung 4 hervor, so wird v? die Umformung 8 bewirken; und wenn ein vp umgekehrt 8 hervorbringt, so liefert v% wieder 4. Man kann sich also auf v, beschränken, und vp kann bei Seite gelassen werden. Ruft endlich die Transformation mit einem v, aus &G die Um- formung 7 hervor, so wird v,% und v?v, bezw. 6 und 2 bewirken. Wir brauchen also nur v, und v, gemäss den Bestimmungen v 10 = Sa , v 0, = 0863 (12) vl = S, , 0a76 0 = ÜSg in allgemeinster Weise zu bestimmen, um G zu erhalten. Setzt man =|h, k mh + nk, mh-+n,k|, dann folgen aus (12) für die m, %; m,, , die acht Bedingungen MMNe== (13) ON n = OM 7) M, = @«0N, , Nı = — &OM , oM, = aßm ‚» 0M — — Aßn; oM= aßm, , on = — aßn, Zunächst zeigen diese Gleichungen, dass m, %; M, N, sämmtlich von Null verschieden sind. Die erste Zeile von (13) zeigt weiter, dass, wenn j= —1 (mod.) gesetzt wird, wobei wir nunmehr p= 1 (mod. 4) annehmen, um ein reelles j zu erhalten, W _-_+:]’Wb‚ nı = — JM sein muss. Aus der zweiten Zeile entnimmt man Mı z I , D = A Durch Combination mit s„ kann man daher v, auf eine Form bringen, in welcher m durch 1 ersetzt wird; und ferner darf man wegen der Doppeldeutigkeit von j setzen n = —j und also v=|h,k h—)jk, +(h+jk)|. Weiter liefert (13) die Beziehungen CO = —5 9=j__aß7 und da man statt o in (11) setzen kann —- «o und statt @ ebenda + a«ß, so folgt an Stelle von (11), wenn man noch «= —1, ß = 1 setzt, (11°) t=/|h,k jh,—jk L W > k h jk, h-+jk|. Netto, Algebra. II. 29 450 Vierundsechzigste Vorlesung $ 619. Dabei ist ®% HS \ h7 k (1 —.7) (h+k)7 (1 +.7) (h_l”) 1) = . 2(1 "j)ha 2(1 —.7>k ‘7 so dass v} zu N gehört. Verfährt man genau so miıt den Bedingungen der zweiten Zeile von (12), so ﬁn-det man (14) = | , % h+k,h—k|, so dass v3 zu N gehört. G setzt sich also, wenn p==1 (mod. 4) ist, aus den Sub- stitutionen | Z k h-+-a, k+ß|, (“;ß=0;17"'2) D); | Z ]I/ al ak ; (a=1,2,...p—1); h k jh; _Jl” ‘n 2 ZZAL d E |% k 7l]“; Jh l ? |% h—jk, h-+jk|, |Z, % h-+k,h—k| zusammen und besitzt daher die Ordnung 24 (p—1) p“ Dies ist der dritte Typus. Dass diese Gruppe wirklich den Bedingungen der Auflösbarkeit entspricht, ist leicht zu sehen. Im Falle p = 3 (mod. 4) müssen wir, um eine reelle Form zu erhalten, anders verfahren. In diesem Falle ist —1 ein Nichtrest mod. p, und aus $ 537, S. 292, Z. 10 folgt leicht, dass man O [ ch— ßhk, Bh + ak | als Normalform nehmen kann. Ferner ser t= |h,k uh-+wvk, uh-+v,.k| und wir suchen, unter welchen Bedingungen, wie oben, $ = 44s; Wird. Man findet au — ßu, = a«uf + Brf , uv — Bo,= ayf — Buf, &W, I ß!" Za f AD CR — Burf- Bildet man die Determinante dieser vier in w,v; &,, v, linearen Glei- chungen, so folgt aus deren Verschwinden bei reellen Grössen f=1, oder f=—1, «==0. Das Erste kann ebenso wenig stets vorkommen wie oben. Es muss also einmal der zweite Fall eintreten. Hier kann dann weiter durch Combination mit einem Sg D= [ 6 —k, h| 451 Auflösbare primitive Gleichungen von Primzahlpotenzgrad. angenommen werden; und daraus ergiebt sich als nothwendige Form = , uh+wvk, vh—uhk . also muss das Nun ist *=|2,% —h, —k| zu N gehörig Gleiche mit %? stattfinden; dies ıst auch ın der That der Fall. Die weiteren Entwickelungen verlaufen den oben gegebenen ganz analog; es reicht für die Construction von G& aus, zwei Substitutionen v, und v zu finden, welche den Bedingungen v 60 = bıbSa , v 60 = 183 bezw. 010 = 8y , 00 = S genügen. Setzt man, um zunächst die zweite dieser Substitutionen zu bestimmen, %”= h,hk mh+nk, m h+nk , so zeigt sich, dass die vier nöthigen Relationen, welche der ersten Forderung entsprechen, — M = (mu+nv)«, — nı = (Mv—nvV)«; m = (mw +n v)«, n = (M v —N U) « nur zu befriedigen sind, wenn m = 0 (w®? + n} E —1 (mod.p) wird. Das lässt sich für p = 3 (mod. 4) stets erfüllen. Sind uo, 70 Lösungen von w + =—1 (mod.%), so kann man direct u= W, Vv= %, « = 1 setzen. So kommt man auf das Resultat A= l uoh + %k, voh— u , %=|h,k uoh + ( +1) , %— 1) — uok| Auf ähnliche Weise gelangt man zu =|h,k —(1 + wo) + ( —7i)k, Chr e (!‘0"’0"‘!‘0+”0)75 | Es setzt sich also, wenn p= —1 (mod.4) ist, G aus den Substitutionen |h, k hi e k-Bl, (“7ß=07 1‚"'}?—1); o I ah, ak ‘ (a=1‚2‚„.p—1); |4, k —k7 h!7 |Z, % uoh + vok, v — u |, (ub + =-—1 mod.p); ih) k E (1+!"'07’0)7L A ( =— vi)k, ( (*"(2))7‘ SE (!‘o”o_!'“o+ vo)k l; |Z, % w + ( 1)R, (0—1)%— wg | zusammen und besitzt daher die Ordnung 24(p—„41)1ﬁ. 29 452 Vierundsechzigste Vorlesung 8 619—620. Fünfundsechzigste Vorlesung $ 621. Es bliebe noch übrig, nachzuweisen, dass die abgeleiteten Typen nur primitive Gruppen ergeben, und Untersuchungen über ihre All- gemeinheit und. Unabhängigkeit von einander anzustellen. Das wollen wir aber übergehen und verweisen nur auf die l. c. von C. Jordan in diesen Beziehungen aufgestellten Forschungen. Erwähnt sei nur, dass für p==3 der letzte Typus der einzige allgemeine ist. $ 620. Zum Schlusse dieser Vorlesung wollen wir noch kurz auf die transitiven Gruppen von der Ordnung g*, wobei p eine Primzahl bedeutet, eingehen. G sei eine solche Gruppe. — Wir können den Begriff conjuger Substitutionen einer will- kürlichen Gruppe M dem bisherigen Gebrauche dieses Ausdruckes ent- sprechend einführen. Ist o, eine Substitution von M, so transformiren wir 6, durch alle Substitutionen von M und nennen die dabei als verschieden auftretenden 6,, 6, O 2 zZuU O8 ür d Gruppe Z conjug“. Eine Substitution ist „autojug“ wenn bei diesen Trans- formationen stets das gleiche Resultat herauskommt, also v =1 wird. Die Einheit %o= 1 ist in jeder Gruppe eine autojuge Substitution. Alle autojugen Substitutionen in M bilden einen Theiler von M. Die Anzahl v aller zu 6, conjugen Substitutionen ist ein Theiler der Ordnung von M. Denn die w Substitutionen von G, welche 6, in sich selbst transformiren, bilden einen Theiler H von M. Wenn dann 4;-!6,% = 6, für die Substitution 4 von M ergiebt, dann ist auch (H6,) *6, (H6) 695 7} die Substitutionen von Ht, sind die einzigen dieser Eigenschaft, und sie sind unter einander verschieden; ihre Anzahl beträgt also auch w. So geht man weiter und erkennt, dass uv gleich der Ordnung von M wird. Folglich ist v ein Theiler der Ordnung von M. — Wir wollen nun diese Begriffe für die Untersuchung unserer Gruppe G der Ordnung %* verwenden. Wir fassen alle Substitutionen in Klassen zusammen, deren jede alle und nur die zu einer unter ihnen conjugen enthält. Die Anzahl der in jede Klasse eingehenden Sub- stitutionen ist ein Theiler von y“ und also eine Potenz von p. Die Klassen seien durch s = 1, S, &, charakterisirt, und die Zahlen be- der entsprechenden conjugen Substitutionen durch y“%, p“, n“, Fasst man nun zeichnet. Da s,= 1 autojug ist, so wird p“ = 1. alle Substitutionen zusammen, dann entsteht DE RDE LE Daraus ersehen wir, dass mindestens noch (p—1) autojuge Substitutionen Der Casus irreducibilis. — Lösbarkeit im reellen Rationalitätsbereiche. 453 in G vorhanden sind. Alle diese bilden einen Theiler von &; folglich ist ihre Anzahl eine Potenz von p, etwa 'ı (h, > 0). Wir bezeichnen mit H, die Gruppe dieser y'ı autojugen Substitu- tionen von &; H ist selbst autojug ın G. Die Factorgruppe F1=G/}I1 hat die Ordnung y*—4, Für I7 gelten die eben angegebenen Schlüsse; T, hat einen autojugen Theiler H, der Ordnung y’2, in dem nur und alle autojugen Substitutionen von I, vorkommen. Dieser Gruppe H; ist ın G _ eine Gruppe H, der Ordnung g'ıt/ isomorph, deren Sub- stitutionen, der Eigenschaft von H, entsprechend, unter einander bis auf Substitutionen von H, vertauschbar sind. Die Factorgruppe T, =G/H, hat dann die Ordnung p“—4— ; und alle früheren Schlüsse lassen sich auf sie wieder in Anwendung bringen. So steigt man durch die Reihe von lauter zu G autojugen Gruppen H17 H27 H;‘37 bis & selbst auf. Jede von ihnen enthält nur Substitutionen, die mit einander bis auf diejenigen der vorhergehenden Gruppe vertauschbar sind. Daraus folgt, dass jede Gruppe einer Ordnung * eine auflösbare Gruppe ist; denn nach $ 556, S. 337 kann man eine Compositionsreihe finden, die den Bedingungen aus 8& 605 entspricht. Es möge noch angemerkt werden, dass der Grad einer irreductiblen Gleichung mit derartigen Gruppe gleichfalls eine Potenz von p ist. Ist p=2, dann liefern die betrachteten Gruppen alle diejenigen irreductiblen Gleichungen und nur diejenigen, deren Wurzeln geo- metrisch mit Hülfe von Zirkel und Lineal construirt werden können. GE SN a Fünfundsechzigste Vorlesung. Der Casus irreducibilis. — Lösbarkeit im reellen Rationalitätsbereiche. $ 621. Wir haben bei der Auflösung der cubischen Gleichungen darauf hingewiesen ($ 287; Bd. I), dass wenn bei der Gleichung dritten Grades mit reellen Coeffieienten (1) A 302—20=0 454 Fünfundsechzigste Vorlesung 8 621—623. die Diseriminante D = — 108 (@& + c@) positiv ist, und also in dem Ausdrucke [) 20 C a =wVarVatd- 3 BED SC (“=07 1; 2> lC 8 + V3 © die innere Quadratwurzel imaginär wird, dass dann die drei Wurzeln Z9> %, % gleichwohl reell werden; man hat also zur Erlangung dieser reellen Grössen scheinbar einen unnöthigen Weg durch das Complexe zu nehmen. Dieser Fall der Gleichungen dritten Grades heisst der „Casus irreducibilis“. Noch nicht entschieden ist aber bisher, ob dieser Weg nicht durch einen anderen, rein algebraischen ersetzt werden kann, der ganz im Gebiete reeller Rationalitätsbereiche verläuft und also die Verwendung jeder complexen Grösse vermeidet. Unter Benutzung gonio- metrischer Funetionen gelingt dies ja. Herr 0. Hölder*) war einer der Ersten, die diese Frage erledigt und den Beweis dafür gegeben haben, dass ein solcher Weg nicht vor- handen ıst. Wir wollen zunächst seinen Beweis reproduciren. In 8 587 ist Folgendes bewiesen worden: Es seien z, und y, die Wurzeln von zwei algebraischen Gleichungen f(@z)=0 bezw. g(y)=0, (2) deren Grade % und m sind; es werde ferner nach Adjunetion von 2, zu g=0 die Grösse yı zur Wurzel einer irreductiblen Gleichung des Grades y”, und nach Adjunetion von y, zu f= 0 die Grösse z zur Wurzel einer irreductiblen Gleichung des Grades s. Dann gilt die Proportion (3 nımMm==S!Y @<ZW3 8<D): Hölder setzt nun weiter voraus, dass die Wurzeln der Gleichung f= 0 sämmtlich durch eine unter ihnen, etwa 2,, rational ausdrückbar seien; dann haben wir mit z, zugleich sämmtliche anderen Wurzeln Zo, %3, @ von f= 0 der Gleichung .g = 0 adjungirt. Es gilt dem- nach der Satz aus $ 579, dass g(y) nach dieser Adjungirung in irre- ductible Faetoren gleichen Grades zerfällt wird. Folglich ist jetzt 7 ein Theiler von m. Setzen wir ferner voraus, dass » eine Primzahl iıst, so muss r= 1 werden; alle Factoren sind linear; jede der Wurzeln y, von g(y)=0 ist rational im Bereiche (X, z,), wenn X den ursprünglichen Ratıo- nalıtätsbereich bedeutet. Sind demnach alle Elemente, die in X ein- gehen, reell, und ist z, selbst reell, dann sind auch alle Wurzeln *) Math. Ann. 38 (1891), p. 307. Der Casus irreducibilis. — Lösbarkeit im reellen Rationalitätsbereiche. 455 von g(y)=0 reell. Aus (3) folgt weiter auch, dass % ein Vielfaches von m ist. $ 622. Nach diesen Vorbereitungen gehen wir von der cubischen Gleichung (1) f(@)= 2 + 3602—26=0 aus und nehmen an, der vorgegebene Rationalitätsbereich N sei reell. Es sei ferner D = — 108 (@ + c@) positiv, so dass die drei Wurzeln Aı 99r 93 von f=0 reell werden. Adjungiren wir nun VD, so wird /D A E ME RI VD Z %9 — 83 = (1 — %) (& — %) 223 + 267 %a = —p und es lassen sich deshalb alle Wurzeln z durch z, ausdrücken. Wir adjungiren nun, falls dies nöthig sein sollte, weiıtere Radicalgrössen, bis Alles zur Zerfällung von f vorbereitet ist; diese Radicalgrössen setzen wir gleichfalls als rveell voraus. Die Zerfällung selbst möge endlich durch Adjungtion einer reellen Wurzel der reinen Gleichung g(y) ym — 0 = O vor sich gehen, wobei m eine Primzahl ist, und @ dem reellen Ratio- nalitätsbereiche angehört. g(y) ist irreducetibel ($ 594); folglich stehen wir jetzt unter dem oben abgeleiteten allgemeinen Satze, und alle Wurzeln unseres g=0 sind reell. Das geht nur, wenn m =2 ist. Da aber gleichzeitig % ein Vielfaches von 2 sein müsste, während es hier gleich 3 war, so folgt die Unmöglichkeit der Auflösung des Casus irreducıbilis ım reellen Rationalıtätsbereiche. s 623. Hölder verwendet die allgemeinen Resultate aus $ 621 auch zur Ableitung weitergehender Sätze. Wir nehmen an, es soll f(2)=0 eine irreductible Gleichung mit reellen Coefficienten sein, deren Wurzeln 2,, Z , sämmtlich als reell angenommen werden. Die Wurzel z, sei durch reelle Radicale darstellbar. Um auch hier eine Gleichung zu gewinnen, deren Wurzeln sämmt- lich durch eine unter ihnen ausdrückbar sind, gehen wir von f(z) zur Galois’schen Resolventengleichung F(£)= 0 über, wobei & = u12 ist — 989 Ar Auch F=0 ist irreductibel, hat reelle Coeffi- cienten und Wurzeln, und alle Wurzeln von F= 0 sind durch eine beliebige unter ihnen rational ausdrückbar. ‚Wenn nun durch Adjunetion einer reellen Wurzel y, einer Gleichung g (y) = ym d=—=0 456 Fünfundsechzigste Vorlesung $ 623—625. des Primzahlgrades m” zum ersten Male f(z) in Factoren zerspalten wird, dann zerfällt dadurch auch F(E) == 0 in Factoren. Auf F(&) ==0 und g(y)= 0 lässt sich dann der Satz von $ 621 anwenden, und man er- S kennt, dass m = 2 sein muss; ausserdem wird 7= 1, und s = 2 Die Galois’sche Gruppe von f reducirt sich also auf eine andere halb so hoher Ordnung, und zwar auf einen ihrer autojugen Theiler, da beide Wurzeln +Va von g(y) = 0 gleichzeitig adjungirt worden sind. In dem neuen Bereiche (X, V’a) gelten nochmals dieselben Voraus- setzungen, und wir können dieselben Schlüsse zıehen. Dies kann so fortgesetzt werden, bis wir zu z, selbst gelangt sind. Diese Wurzel ist auf reellem Wege also nur zu erreichen, wenn sie durch eine Kette von Radicalgliedern des Grades 2 dargestellt werden kann. Nach $ 620 ist also f(z) selbst von einem Grade 2*. Nur dann kann eine Wurzel einer Gleichung f(g)=0 im Gebiete der reellen Grössen durch Radicale dargestellt werden, wenn die Glei- chung als Grad eine Potenz von 2 hat und durch Quadrat- wurzeln lösbar ıst. $ 624. Auch der Kneser’sche Beweis*) geht von dem Satze (3) in 8 621 aus. Dann aber benutzt er den Umstand, dass bei %” = 3 jede Zerfällung jedenfalls einen linearen Factor (z — 2,) und daher s = 1, m=3Br liefert. Ist nun m, wie angenommen wird, eine Primzahl > 1, so folgt m=3,r=1,d.h. y, ist in (R, 2,) rational. Wir nehmen nun an, (1) sei im Gebiete der reellen Grössen durch Adjunetionen bis auf (’) so weit vorbereitet, dass die weitere Ad- junetion einer reellen Wurzel von u = AD f(z) zum Zerfallen bringt. Dann gelten die eben hergeleiteten Sä£ze‚ und es wird m = 3 und yı= @ (@,; M, wo &@ eine rationale Funetion in (%”) bedeutet. Aus dieser Gleichung folgt durch Substitution in die vorhergehende Gleichung p(2,; R'‘)= A. Da aber z, die Wurzel der irreductiblen Gleichung fF(z) = 0 ist, so müssen auch die beiden Relationen a )= A, Pa A bestehen Die drei Grössen g (2,; R), p(z; R'), p(2; R') sind von ‘5’)VM;LM;L. Ann. 41 (1898), p. 344. Der Casus irreducibilis. — Lösbarkeit im reellen Rationalitätsbereiche. 457 einander verschieden. Nach 8 581 sind diese drei Werthe nämlich sämmtlich einander gleich oder sämmtlich von einander verschieden, und im ersten Falle wäre schon y= 2 R)= Z lola; R') + o(a; M) + o(e; '] ohne Adjunetion von ,, als symmetrische Funetion der Wurzeln von f= 0, rational bekannt. Die Gleichung (1) möge jetzt drei reelle Wurzeln besitzen. Ferner seı NM reell. Dann sind auch (4) e N), Dla; R), @; N) reell. Es hätte also die Gleichung uw?= A die drei reellen Grössen (4) zu Wurzeln. Da dies nicht möglich ist, so war die Annahme, (1) könne im reellen Gebiete bis zur Zerfällung geführt werden, nicht statthaft. Damit ist wieder der behauptete Satz bewiesen. $ 625. KEine andere Beweisführung stützt sich auf die Form der Wurzeln. Hier ıst zunächst der Beweis von V. Mollame anzuführen, der erste, der von dem behandelten Theoreme gegeben worden ist *). Er zeigt, dass die Cardanı’sche Wurzelform nicht zu vermeiden ıst; und aus dieser Form folgt ja, wie wir früher gesehen haben ($ 285, Bd. I) die Richtigkeit des Satzes. KEinfacher baut sich auf denselben Principien ein Beweis von L. Gegenbauer auf**), Dieser geht davon aus, dass die Darstellung der Wurzeln einer auflösbaren Gleichung durch Radicale so beschaffen ist, dass der Exponent jedes Endradicals als Theiler des Grades der Gleichung auftreten muss. Demnach hat die Wurzel z, jeder cubischen Gleichung die Form 81 = M + M0 A m0*, wobei v die Wurzel einer im Rationalitätsbereiche (%X”’) irreductiblen reinen Gleichung ist, und m,, m, nicht gleichzeitig verschwinden können. Wie früher ($ 611) findet man für die anderen Wurzeln z Z = M + m00 + m, w*w?, 23 = M + mM, 00 + m3 00 Aus diesen drei Gleichungen folgt durch Combination E *) Rend. d. R. Acc. d. Napoli (1890), 7. giugno. Daselbst finden sich auch einige historische Bemerkungen. **) Monatshefte f. Math. 4 (1893), p. 155. 458 Fünfundsechzigste Vorlesung 8 625—626. 3M = A# % F y AL 3M1U 8ı { @* % - 0% — (& — %) 4 w(&s Z2)7 3mav* = , + 02 + w?2,= ( %) + w(% —%)- Wenn nun , M,, M, v und die drei Wurzeln z dem reellen Gebiete angehörten, dann müsste in den beiden letzten Gleichungen der Coefficient von @ gleich Null sein, d. h. %= . Das wider- spräche aber der Voraussetzung der Irreductibilität unserer cubischen Gleichung. Mit noch geringeren Voraussetzungen kommt Gegenbauer bei dem zweiten an gleicher Stelle gegebenen Beweise aus, den wir hier noch vereinfacht reproduciren. Ist » ein bei der Darstellung einer Wurzel der irreductiblen Gleichung f(z)=0 auftretender Exponent eines Endradicals, und zwar, wie gewöhnlich, eine Primzahl, so werden n Wurzeln deı Gleichung durch Ausdrücke von der Form Ba — Wlg Ar 0 0O A NO A E A (7"1—0; 1‚’ 2; ) gegeben, wobei m,, M,, M3, nıcht gleichzeitig verschwinden können. Falls die Auflösung für z, im Gebiete der reellen Grössen vor sich geht, sind mo, M, Ma, und w reelle Grössen. Wenn weiter f(z)=0 nur reelle Wurzeln hat, dann wird auch jede der Differenzen 2k-41 — An kEı = 2i[ml sin 2—}” : v + m, sin n +- ;l Das reell sein, und falls # von 2 verschieden ist, 2%+1 = Zn_x+1- widerspricht der Irreductibilitätsvoraussetzung. Ist in einem reellen Rationalitätsbereiche eine irreductible Gleichung f(z)= 0 mit lauter reellen Wurzeln durch reelle Radicale lösbar, so sind alle in dem Ausdrucke einer Wurzel auftretenden Wurzelexponenten der Endradicale gleich 2. Eine derartige Gleichung ungeraden Grades existirt also nicht. $ 626. In einer späteren Notiz leitet L. Gegenbauer*) all- gemeinere Sätze mit Hülfe desjenigen einfachen Princips ab, welches beim Kneser’schen Beweise die entscheidende Rolle spielt ($ 624). Es sei f(z)=0 eine Gleichung in dem reellen Rationalıtäts- bereiche (X); f(z)= 0 soll keine in (X) rationale Wurzel besitzen. Weiter sei g(y)= 0 eine andere, irreductible Gleichung desselben Bereiches von einem Primzahlgrade mit den Wurzeln y,, Yo, * Ym- VE N *) Monatshefte f. Math. 6 (1895), p. 12. Der Casus irreducibilis. —. Lösbarkeit im reellen Rationalitätsbereiche. 459 Endlich soll es möglich sein, eine Wurzel z, rational in (%) durch eine Wurzel y, darzustellen in der Form z = @ (yı; NM). Dann folgt, wie immer, dass jeder Functionswerth von @ 2 = @(yı; R) Ü= 1 20 0) eine Wurzel von f(z)= 0 ist. Gesetzt, es wären zwei dieser Func- tionen &@ einander gleich, etwa q (ye; R) = p (yp; R), dann ergiebt sich nach vielfach angewendeter Schlussweise, dass alle Werthe w (yı; X) einander gleich werden, weil m” eine Primzahl be- deutet. Dadurch wird aber A= 900 W = Z o R) + ln; M + + gm; R] als symmetrische Funetion der y,, Yo,::: Ym Schon ohne Adjungirung = von y, rational in (X), und daher müsste gegen die Annahme f(z) eine rationale Wurzel haben. Sonach sind alle n Werthe w@(y,; R) von einander verschieden und liefern deshalb auch m verschiedene Wurzeln von f(2z) =0. — Bis ‚hierher haben wir die Schlüsse schon im Kneser’schen Be- weise verfolgt. Gegenbauer schliesst nun weiter: Hat g(y)= 0 also x reelle Wurzeln, so sind alle entsprechenden x Werthe @(y; ) auch reelle Wurzeln von f=0; d. h. die Gleichung f(z) = 0 besitzt mindestens so viele reelle Wurzeln wie g(y)=0; oder mit anderen W orten: In einem reellen Rationalitätsbereiche ist die rationale Darstellung einer an sich nicht rationalen Wurzel z, durch eine Wurzel y, nur dann möglich, wenn f(z) =0 mindestens so viele reelle Wurzeln besitzt, wie die irreductible Gleichung g(y)=0 des Primzahlgrades m. KEin ähnlicher Satz gilt von den complexen Wurzeln. Ist nämlich Y complex und y, die zu y, conjugirte Wurzel, so kann nicht u = @(ya«; N) reell werden. Denn sonst wäre P (Ya; N) = p(ya; R), und so kämen wir wieder auf den oben als unstatthaft erkannten Fall. Es entsprechen demnach allen complexen Wurzeln von g(y)= 0 auch complexe, von einander verschiedene Wurzeln von /@)=% dın die Gleichung f(2z)=0 besitzt mindestens so viele complexe Wurzeln wie g(y) =0. Verbindet man diesen Satz mit dem ersten, soeben abgeleiteten, dann ergiebt sich das folgende Theorem: Ist f(z)=0 460 Fünfundsechzigste Vorlesung 8 626. Sechsundsechzigste Vorlesung $ 627. eine Gleichung im reellen Gebiete (X), von der eine Wurzel z, rational darstellbar ist durch die Wurzel y, der in demselben Gebiete irreductiblen Gleichung g(y)=0 eines Primzahl- grades, dann ist weder die Anzahl der reellen Wurzeln von g y)=0 noch diejenige der complexen Wurzeln grösser als die entsprechende Anzahl für f(z)= 0. Nehmen wir nun f{(z) =—= O als irreductibel an, dann ergiebt sich weiter, weil ja f(z) durch die in (X) rationale Funetion C U(s—qa(m; %)) theilbar und also ihr gleich ist, dass erstens n = m sein wird, zweitens dass jede Wurzel z, von f(2) =0 durch eine Wurzel yı von g(y)=0 rational darstellbar ist, und drittens dass 2, und y‚ gleich- zeitig reell und auch gleichzeitig complex sind. Wenn also ins- besondere m ungerade, und g(y) Za y7„ SA A_ ist, dann muss f(2) = 0 vom Grade m sein und darf nur eine einzige reelle Wurzel besitzen. Es ist nur dann möglich, eine reelle Wurzel z, einer irreducetiblen Gleichung eines ungeraden Primzahlgrades im reellen Gebiete zu bestimmen, wenn diese Wurzel die einzige reelle der Gleichung ist. Sechsundsechzigste Vorlesung. Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung. Tripelgleichungen. $ 627%. Auf interessante auflösbare Gleichungen führt die Frage nach den Wendepunkten der Curven dritter Ordnung in der Ehene. Wir wollen hier alle nothwendigen Ableitungen zusammenstellen, auch die auf geometrische Verhältnisse sich beziehenden. Dabei legen wir Dreieckscoordinaten , y, 2 zu Grunde. Bezeichnen wir zwei Punkte P, und P, durch ihre Coordinaten (%,, yı, %) und (%, Ya, %), SO Wwird die Gerade L,.„, welche diese beiden verbindet, durch den Inbegriff aller Punkte 1D (A%, + 4%, Ayı F Ya , A% + U%) gegeben, wenn das Verhältnis 2: w alle Werthe von — ©0 bis + « 461 Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung Tripelgleichungen Jeder Werth von A:w bestimmt eiınen stetig und reell durchläuft. Punkt auf L,2; insbesondere werden die Schnittpunkte von L, mit einer Curve, die der Gleichung /(.%'‚J„Z')——O @2) genügt, durch die Wurzeln von (22 %, Ayı + U, AZ, + u8)= 0 oder entwickelt nach Potenzen von 2 und w, wenn % die Dimension der homogenen Funetion f bedeutet, 0=Wf (& Yı, ) A* [“ (’W> na al £ ) Ä‚'L—9 2 2 äl O° 79 0°f (3) R2 B 2 ‘7 (6 ) AF 2x9./2( 0xX0y D 0& ) _+_ bestimmt In diesem letzten Ausdrucke verstehen wir die Symbole öf 0°f 0° ( 0 ) ( 0X a 0x0y ) so, dass nach der Ausführung der angegebenen Differentiationen die Variablen x, y, 2 durch %,, Yı, 2 zu ersetzen sind U w Wir bezeichnen den in (3) eingehenden Coefficienten von —— ! mit (&a fa (& =0, 1 Z ? 2 ? n) Dann ist die charakteristische Bedingung dafür dass P, auf der Curve f=0 liegt durch 4© (%; fi) = f (%1, Yır %4ı) = 0 gegeben ferner die Bedingung dafür dass L, die Curve f= 0 in zwei zu- ammenfallenden Punkten schneidet, durch . x fA)= 0 (x27 f1) =0 Hier tritt nun ein Unterschied ein zwischen den beiden Fällen dass entweder die drei Grössen öf öf öf ( Ö c Öy A 02 ı sämmtlich verschwinden oder nicht. Im zweiten Falle liefert A (x,; f;) =00 als lineare, nicht identisch erfüllte Gleichung für %,, ,, % auf gefasst, die Tangente an P,; dagegen ist im ersten Falle AW(x,; f)=0 für jedes (X%,, Y2, %) befriedigt, d. h. jede L.„, die durch (x%,, %,, 2,) geht, schneidet £f=0 in P, zweifach. Es ist daher P, ein Doppel- punkt für f= 0 462 Sechsundsechzigste Vorlesung $ 627—628. Die charakteristische Bedingung dafür, dass L,„ in P, die Curve f=0 dreifach schneidet, wird dadurch gegeben, dass (3) den Werth u =0 als dreifache Wurzel hat, d. h. durch die Erfüllung von A0 &; f) = 0, Z (x2; f1) S 07 A0 x& ; f)=0. Ist nun P, ein Doppelpunkt von f, so sind die beiden ersten Bedingungen bereits für jedes %,, %,, % erfüllt, und die Bedingung für das dreifache Schneiden reducirt sich darauf, dass %,, U, % die Funetion 4° (x,; fi) zu Null macht. Ist P, kein Doppelpunkt, dann müssen die durch 4W (z%,; fi)= 0 bestimmten Punkte der Tangente L, sämmtlich A® (z,; fi) = 0 be- friedigen. Nach $ 346, IX ist dies nur möglich, wenn 4W ein Theiler von 4% wird. Wir wollen diese Verhältnisse eingehender untersuchen. $ 628. Wir setzen dazu der Abkürzung halber öf f Ö — ? ( Ö% D ( Öy ) 1 ( 02 - C Ö Öf ( Öx? )= @, ( Öy? )=%, ( Ü - Ö OB Öf ( 0y02 D ÖZ20% D 0x0y — dann liefert uns der Euler’sche Satz über homogene Functionen die Beziehungen Y A SYı A 18 — M, %, { I9ı F e2,= (n — U)r, @ 9.% + byı + da — (n—1)s, ex, + dyı + c2, = (n—1)t. Setzen wir weiter die sogenannte Hesse’sche Determinante an, @ G 0} Ö O° O2 (4°) — @ 0° dl Z 0 N DE s N Öy 1< (l(ﬁ% sechs so folgt durch Zeilen- und Spaltencombination eine Reihe von Gleichungen g V JEr Ö S ] n — 1)? S f1n£1 6) 7 e H. Yı8 Fr ‘ S a (n — 1) N ff Y BLa ü Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung Tripelgleichungen 463 Hieraus entnimmt man, dass, wenn, wie bei Doppelpunkten, r = 0 s=0, t=0; fi=0 ist, dann nach $ 341 der Ausdruck 4® — ax? + 2g9xy + 2ex2 + by* + 2dy2 + c2 in zwei lineare Funetionen zerfällt Sind aber nicht alle Coefficienten oleich Null so g1ebt es diesen linearen Funetionen entsprechend deren jede in P, die Curve f= 0 zwei durch P, gehende. Gerade dreifach schneidet. Es sind dies die Tangenten der beiden im Doppel- punkte sich schneidenden Curvenzweige. Wir wollen weiter den Fall betrachten, dass fl— 0, H= 0 sind, dass aber nicht alle drei Grössen 7, 5s, * zugleich venschw1nden Dann folgt aus (5) zunächst as— II br—gs ab — g = ( T L s } bt— ds cs — dt (6) be d — ( S J b } ( et 2 Z at— er O0 —E < b ) =—= X Y ): dr* — ers— grt + ast= 0 (7) es? — gst — dsr + brt= 0 — dir — ets + crs= 0 Wir erhalten, falls @a +0 und ab—9g?=+0 angenommen wird für A0 (x; fi) = 4®% die Darstellung as — q (ad — ge)r? ;<ax+w+ez) z 7 N (as — S >2 s - [7x+SJ+ÜZJ [ U& + - Y as — Ües — 2ger + adı l‚ As — g ab In O zerfällt, und 4 =7% + sy + tz ist ein Factor von A Ist a +0 und ab — g = 0, so folgt zunächst aus der Identität aH = (ac— e)*(ab — g?) — (ad — ge)?, dass auch ad — ge= 0 ist, und ferner ersieht man aus r*(ab—g”) = — (as—gr)* g dass s = - wird. Macht man von beiden Resultaten Gebrauch findet man hier als Darstellung von 4© die Form ab — er 40 — [an + gy + 02 + Max+yj+e | ——[W+sy+tZ] [cox+Jj+ — at } woraus wiederum folgt, dass A ein Fact01 von 4° ist 464 Sechsundsechzigste Vorlesung $ 628—629. Gleiches ergiebt sich, wenn b oder c von Null verschieden sind. — Wären endlich a, b, c== 0, so dürften nicht zugleich d, e, g= 0 sein, weil sonst 4© identisch verschwindet; dann zeigt (7) zunächst r(dr—es—gt)=0, s(dr — es—gt)=0, t(dr —— es—gt) = 0: Wären nun zwei der Grössen v, s, t gleich Null, etwa die beiden ersten die dritte aber nicht, so würde daraus g == 0 folgen, und AD — t2) A4% = 22(ex + dy) würde wiederum auf das obige Resultat führen. Wäre dagegen nur eine der Grössen v, s, * gleich Null, etwa v, so folgte e= 0, g= 0, und das Resultat 4a9 =sy-+ , A Z 20 Y schiene in diesem Falle ein anderes zu sein. Hierbei würde sich aber aus (4) ergeben müssen: Syı + 12 = O; d: 2 =(n—1)s, d:yı= (n—1)t; (n—1) [syı +2, ] = 2d - y12; es wäre also y, oder z, gleich Null und daher s oder % gleichfalls, was ausgeschlossen war. Dieser Fall kann demnach nicht eintreten. Somit erkennen wir: Aus fi=0, H=0 folgt, dass entweder r=0, s=0, t=0 ist, oder dass 4W ein Factor von 4® wird. Tritt das Letzte ein, dann ist (%,, Yı, %,) ein Wendepunkt, und Ör O öf H 02 n A0 (&o5 fi) = % (S;’„”—)]+ y ( Öy die Wendetangente. Denn wenn man %, Yo, % auf 40 —0 wählt, dann wird auch 4© zu Null gemacht werden; man hat demgemäss den Schnitt von L, mit f= 0 dreifach zu zählen. Die Dimension von H in %, ı, %, beträgt 3(n—2), so dass die Anzahl der Wurzeln von fF(zx, y, 2) =0, H(%, y, Z)=O 3an(n—2) wird. Dies ist also auch die Anzahl der Wende- punkte, falls die Curve keine Doppelpunkte besitzt. — Eine Curve dritter Ordnung ohne Doppelpunkte besitzt neun Wendepunkte. Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung. Tripelgleichungen 465 $ 629 Wir wollen die Schnittpunkte von f= 0, H=0 noch genauer untersuchen Aus (4) folgt, wenn wir die Subdeterminante von H nach der «® Zeile und der ß Spalte mit Hag bezeichnen so dass Hog = Hga ist, für jeden Punkt (x, y, z) der Curve f oH=(n—1) (Bır + SA + Hp), yH= (n—1) (r Hoy + $Hop + 0Ho3), 2H = (n —1) (r Hr + 8-Hoz + 4Hos) Durch Differentiation der ersten dieser Relationen nach Y und nach z findet man 0H„ ÖHız AL + Öy ) + @— OE E + dHy); 7) hier verschwindet die letzte Klammer wegen (4) Also erhält man 11+ 0H„ Ö-Has _m_n( C ) (8) x0 _U@“_l)( 23H1_1+ 0H„+taH„) und ebenso aus den weiteren Gleichungen ÖE ÖE H28 Üa OX n — D(n +2H 2)_+_t ) 8H 22 Y = (n —1) ( 6H„ +t 7), (8°) OB 3H_„‚ Z = (n—1) ( 3H„ +t )‚ Z 0y O („ 1)( 8H31 3%H4 Für die folgende Differentiation benutzen wir die aus 0=9g7H, + 6H, + dHyz; H=aH, + 9H, + cH,z fliessenden Beziehungen 09g LF 0b H + Öd 3H„ 0y Öy Öy Hz Umq% 8H„) 2 da 11+ 09H ( 13 ÖH,, am 0y Öy 30 — Oy Y + ÖH„> +öy Differentiiren wir nunmehr die erste der Gleichungen (8) nach x so. entsteht Netto, Algebra. II 30 466 Sechsundsechzigste Vorlesung 8 629—630 2?H 0° Hır = (# 1)( 3x3y + öy 3 ßy + ßacö A äx3) GE H+ AB + Z y As]) und also 0 A 3x3y_—(% 1) %;;+ ran ;ma) (9) — (n—1) .%+faw 13) + (n—2)H. Ebenso erhalten wir Ö°H @® IA2 0° Hıs 0y02 A 07 Öy? s +t A (9*) H12+ CC %) und die entsprechenden weiteren Glemhungen Jetzt setzen wir ” = 0, s= 0, t==0 voraus und betrachten den Doppelpunkt (x,, yı, 2z,). Für diesen ergiebt sich dann aus (8) und (8°), 0H OÖH 0H d Null sind; folglich ist (x,, yı, %) auch ein Doppel- Öx? 0y? 0g punkt für H=0. Ferner ergiebt sich aus (4) X y1 21_H0:1 th‘) Ha3 @128 und deswegen, mit Berücksichtigung der Gleichheit von H.5 und Hox, JEl N - ? B = A 3 H, = N . Z 7) (10) Ho = N - ı4, 1131 S N lel‚ Ho = N - &ı Geht man mit diesen Resultaten in die Gleichung (9), dann ergiebt sich O2 al 0x0y/)ı } — @DF aa + C (3),4) 0g Ö, ).act ( (63)4) Cn xl<( O — (n—1)n— N z ÖxX0y ) (n—1)(n—2)N - xg und so entsteht endlich 02 H Ö ( n — (n—1) m— 2)N - ( xOY, )—_(n—1)(„—2)1\7 g ÖX0Y, Man erhält auf demselben Wege in gleicher Weise auch die ent sprechenden Gleichungen und aus ihnen 0° H An 0Ö°H A O Öx? 0802 ( Ö J Öx0y X 008 ) aD A M 0x0y, J4 ) Nun sind die Glieder der rechten Seite die Coefficienten in A° (x,; Ea und © bedeutet, wie wir sahen, das Produet der linearen Functionen, Tripelgleichungen 467 Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung Es die gleich Null gesetzt die Tangenten im Doppelpunkte liefern zeigt daher (11), dass jeder Doppelpunkt von f= 0 zugleich ein Doppelpunkt von H=0 ist und dass in iıhlm die Tan genten von f= 0 mit denen von H=0 zusammenfallen Legt man den Doppelpunkt in den Nullpunkt x =0, y= 0 wird mithin = ( + bay + @Y ET? A(Aa + )Z" 3 + — (a + hay + y es + (A,a + )Z‘571—9 + eliminirt man nun etwa y aus den beiden Gleichungen f=0 und H—ef= 0 so erkennt man ($ 403), dass jeder Doppelpunkt als sechs- facher Punkt unter den Schnittpunkten von f=0 und H=0 zu zählen ist”®) Eine Curve dritter Ordnung hat somit entweder eınen oder sie hat neun Doppelpunkt und drei Wendepunkte Wendepunkte $ 630. Wir gehen jetzt genauer auf diejenigen Curven dritter Ordnung ein, welche keinen Doppelpunkt und also neun Wendepunkte besitzen Legen wir das Coordinatendreieck so, dass der Punkt xz=0, y=0 einer der Wendepunkte und y== 0 seine Wendetangente ist, so muss f=0 für y==0 die dreifache Wurzel x = 0 liefern Folglich nimmt die Gleichung f== 0 die Gestalt an (12) f= «x + y(3ßx* + 3yxy + 60a2 + ey? +3Ey2+3ne?)= 0 Legt man nun das bisher noch nicht weiter bestimmte Coordinaten dreieck so dass der Eckpunkt %x = 0, z= 0 gleichfalls ein Wende- punkt und z = 0 seine Wendetangente wird, dann muss z= 0 aus der Gleichung f= 0 wieder die dreifache Wu1zel % = 0 heraustreten lassen. Demnach besitzt f die Form (13) f= an + 3y2(20x + Ey + n2) Aus dieser entnehmen wir sofort, dass auf xz= 0 noch ein dritter Wendepunkt liegt, in welchem die Wendetangente durch Ey+nz=0 geliefert wird Wir wollen dieses Resultat durch unsere Betrachtungen über die KT DE S ) Hesse vgl. Jacobi’s Werke 3, p. 545 ff. 30 468 Sechsundsechzigste Vorlesung 8& 630. Schnitte von f=0 und H=0 bestätigen. Dabei ' gehen wir von (12) aus. Wenn dann f(07 Y, z)=0‚ H(O> Y, Z)=O ausser y= 0 noch eine zweite Wurzel y = y, haben, dann müssen Nun ist sie noch eine dritte Wurzel y = % besitzen. ßy 7y + 02 Öy gla—H(0‚ I — OR Sa Ey 4 n2 15 | . öy U NY eine einfache Rechnung liefert 5 H+ (ß1— 0 = (4ßen + 6708 —38 — 460? — 3ny)y; ist. also H(O7 Yı 51) r O7 f(0> Yır Zl) =0 y , dann muss die rechte Seite der vorhergehenden Gleichung identisch yerschwinden, und daher stimmen dann, wie behauptet war, H(0, y, 2) und f(0, y, z) bis auf einen constanten Factor mit einander überein, Hierdurch ist ein rein algebraischer Beweis des Satzes geliefert, dass die neun Wendepunkte der Curven dritter Ordnung zu je drei auf je einer Geraden liegen, derart, dass viıer solcher Geraden durch jeden der neun Wendepunkte gehen. Wir wollen uns nun mit den Realitätsverhältnissen dieser neun Wendepunkte für reelle Curven beschäftigen. Ist (x, y, 2) = (&, + &, m + L, S 4 &0) eine Wurzel des Systems f = 0, H=0 mit reellen Coefficienten, dann ist (x,y,2)= (& —E, M —Nl, E —& 0) eine Wurzel desselben Systems; die complexen Wurzeln vertheilen sich demnach ın Paare conjugırter Wurzeln. Unter den neun Wendepunkten giebt es deshalb mindestens einen reellen. Es sei dies der Punkt x =0,y= 0 und y=0 sei in ihm Wendetangente. Dann nimmt die Gleichung f= 0 Hierbei ist die Richtung der die durch (12) gegebene Gestalt an. Axe x = 0 noch willkürlich. Wir legen sie so, dass sie durch einen zweiten und also auch durch einen dritten reellen oder imaginären Wendepunkt geht. Ist dabei für diesen die Wendetangente durch (14) Ax + By+Cz2=0 mit reellen oder complexen Coefficienten gegeben, dann muss die Ein- tragung von (14) in (12) die dreifache Wurzel x = 0 liefern. Folglich ist die Klammergrösse rechts in (12) durch das Polynom von (14) theilbar. Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung. Tripelgleichungen 469 Somit erkennt man, dass, wenn auf %x =0 drei Wendepunkte mit den Wendetangenten y=0 Ax + By+ Oz= 0 Ax+By+Cz2=0 liegen, dann f die Gestalt annımmt (15) f= ag 4 y(42+By + 0e) (4,2 +Bıy + O.2) Nun wollen wir annehmen, dass der zweite und der dritte dieser Wendepunkte imaginär sind. Dann zeigt die letzte Gleichung, dass die beiden letzten Faetoren conjugirt complex werden, also etwa, nach Division durch 4 und A,, x + (m +ni)y + (D + 902 @ + (m—ni)y + (p—dq02 ihr Produet ergiebt dann (& + my +n2)* + (ny + a8)* und wenn man statt my +- pz eine neue Z-Coordinate einführt ]( = aa + y{(ny +gq2)? + (@x + q,2)°]. Dies ist das Polynom der Curvengleichun falls auf x =0 neben einem reellen zwei imaginäre Wendepunkte liegen Hat f= 0 mehr als einen reellen Wendepunkt, so giebt es deren mindestens drei Dass dies eintritt ist auf rein algebraischem Wege ohne Verwendung der Invariantentheorie nur durch umständliche Rech- nungen Zzu zeıgen Wir übergehen diese und weisen hier auf die geometrischen Ueber- legungen hin, wie sie sich z. B. in den Vorlesungen über Geometrie von Clebsch (herausgegeben von Lindemann) I, p. 499 befinden. Hiernach haben die reellen Curven dritter Ordnung ohne Doppel— punkt mindestens drei reelle Wendepunkte. Legen wir diese drei nun auf die %z ==0 Axe, so können wir die zu Grunde legen, oder indem wir neue, den alten Gestalt (13) für f proportionale Comd1mten einführen f a yal@-—y + 2) Hierfür wird H =(2—12ax)y* + (& + (1 — 12«)x2 — 120x2) y — (3ax? + 12ax?z + 12a«x2?), SI (240x — 22) : f + zH = 8ax(3ax? — 2u 32°) Der letzte Ausdruck zeigt, dass die Eliminante von f und H nur die Factoren rechts enthalten kann von denen der zweite irreductibel ist Da der erste bereits als dreifache Wurzel bekannt ist, so folgt Ry a = W(3ax — u — 3an — 329 470 Sechsundsechzigste Vorlesung &8 630—631 Der zweite Factor verschwindet für eine und nur eine reelle Wurzel %x = x,, da ja die Gleichung dritten Grades B — B VE vorliegt, für welche die Diseriminante (1+27a)?26 D = 36 negativ ist ($ 216, Bd. I) Aber für diese reelle Wurzel x, liefert f (@,, Yı 8)= *2 + (& + 2)y2 + aa} — 0 nur ‚complexe Wurzeln y Denn ihre Discriminante können wir — 4a% + (a + (zx* + 832 %, + 32%) + (a + e Z— '*(x1 482 setzen; sıe ıst also negatıv Daraus entnehmen wir auf algebraischem Wege, dass von den neun Wendepunkten einer Curve dritter Ordnung stets drei und nur drei reell sind Jede Gerade, auf welcher drei der neun Wendepunkte liegen, heisst eine Wendepunktsgerade Auf jeder reellen Wendepunktsgeraden liegen ein oder drei reelle Wendepunkte. Die beiden conjugirt complexen Wendepunkte = Q, £) (%, y, £) (m+ni, p+qi, 2); @ D = W —D liegen auf der reellen Wendepunktsgeraden q% — nyYy + (np—qm)2z= 0 diese ‚geht also durch einen der drei reellen Wendepunkte hindurch Für jeden reellen Wendepunkt werden demnach von den vier in ihm sich schneidenden Wendepunktsgeraden mindestens zwei reell sein Zu Wir wollen nachweisen dass die beiden übrigen imaginär sind dem Zwecke legen wir das Coordinatendreieck so, wie es durch (13) f = an + 3y28(20%x - Ey + ng) festgesetzt war Ist nun noch eine zweite durch x = 0, y==0 gehende Gerade x — 0y = 0 eine Wendepunktsgerade, so muss auch — md = a (x — 09) + g.(%, y, £) go(&%, Y, 8) I3 (%, Y, 8) sein W0b81 die gx= 0 lineare homogene Gleichungen sind, welche die Wendepunktstangenten liefern. D163en1g6 welche zu z= 0, y=0 gehört, wird aber zu y = O; also können wir schreiben f*;a1(%—w)?’+J 9 (%, y, 2) 9 @, Y, 2i Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung. Tripelgleichungen. 471 es folgt dies üb‘rigens auch rein algebraisch aus der Vergleichung der Coeffieienten in den beiden letzten Formen für f. Auf demselben Wege erkennt man, dass &, == « ist. Es wird folglich x — 0y =0 eine Wendepunktsgerade, wenn [ax3 e a(x___py)3 + 3yz(3öx+€y+ﬂz)] SC in zwei lineare Faetoren g und g; zerlegbar ist. Nach $ 341 ist die Bedingung dafür 2«0 — 3a0* 20 — wo? 2«0 =0 20 36 2n oder nach Unterdrückung des Factors 2x0, der nur x = 0 giebt, (16) «nNo? + 40?0? + 6059 + 3E =0. Die Discriminante dieser Gleichung lautet 803E &S 2- A 3a2‚n2 U I 7 es giebt also nur eine reelle Wurzel für (16), d. h. ausser %x =0 nur noch eine reelle Wendepunktsgerade durch (0, 0, 2). Durch jeden reellen Wendepunkt gehen also zweı reelle Auf der 'einen und zwei imaginäre Wendepunktsgerade. reellen liegen die drei reellen Wendepunkte; auf der anderen liegt ein Paar conjugirt-complexer Wendepunkte. Es giebt also vier reelle Wendepunktsgerade; eine, welche die drei reellen Wendepunkte enthält; und drei, von denen jede zwei conjugirt-complexe und einen der reellen Wende- punkte verbindet. Ausser diesen giebt es keine reellen Wendepunktsgeraden. Denn gäbe es noch eine reelle, so müsste diese in ihrem Schnitte mit f= 0 einen reellen Wendepunkt liefern, was nach dem eben Dargelegten nicht möglich ist. Die drei Wendepunktsgeraden, welche je zwei conjugirt- complexe Wendepunkte verbinden, bılden ein reelles Drei- eck, auf dessen Seiten sämmtliche neun Wendepunkte liegen. $ 631. Wir wollen nun die Wendepunkte mit 1, 2,3,..-.8,9 bezeichnen und die durch sie gebildete Configuration untersuchen. Auf der Geraden L, liegt noch ein Wendepunkt, den wir mit 3 bezeichnen wollen; dann sagen wir, dass die Punkte 1, 2, 3 ein Tripel (1, 2, 3) bilden. Auf L, liegt ein weiterer Punkt; er heisse 5; so Auf L, kann nun weder 1 noch 3 entsteht das Tripel (1, 4, 5). noch 5 liegen; wir nennen den auf Z„, befindlichen Punkt 6 und 472 Sechsundsechzigste Vorlesung $ 631—632. haben somit das Tripel (2, 4, 6). Ebenso kann wegen der drei schon vorhandenen Tripel die Gerade L,; keinen der Punkte 2, 3, 4, 5 ent- halten; den auf ihr liegenden neuen nennen wir - ( und haben das Tripel (1,6,7). Daraus folgt sofort das Tripel (1, 8, 9). Aus der Existenz von (1, 2, 3), (1, 4, 5), (1, 6, 7), (17 8) 9)7 , 4, 6) ergiebt sich, dass L, nur einen der Punkte 7, 8, 9 enthalten kann; käme aber 7 darauf vor, so würde zu dem Tripel (2,5, 7) noch (2, 8, 9) treten. Dann lägen aber wegen (1, 8, 9) auf L, die beiden Punkte 1 und 2, was unmöglich ist. Somit liegt auf L, entweder 8 oder 9. Da man aber in den vorhandenen Tripeln 8 mit 9 ver- tauschen kann, so ist es keine Einschränkung, (2, 5, 8) anzunehmen, woraus dann (2, 7, 9) folgt. Für L, ergiebt sich dann eine der beiden Möglichkeiten für die Tripelbildung: (4, 7, 3) und (4, 7, 8). Da _ die erste derselben (4, 8, 9) im Gefolge haben würde, weil für 4 nur noch die beiden freien Punkte 8 und 9 übrig blieben, und weil dieses Tripel gegen (1, 8, 9) verstiesse, so bleibt (4, 7, 8), dem sich dann als Ergänzungen (3, 4, 9) und (3, 5, 7) anschliessen. Dadurch ergeben sich sofort und unzweideutig die übrigen Tripel. Man erhält also die bis auf ihre Bezeichnung eindeutige Vertheilung (1; 2, 3); (47 W 8); (5; © 9)3 <1) 47 5)7 (2} 7) 9)7 (3? 6) 8)3 S Die Anordnung in je drei Tripel ist hier so getroffen, dass jedes- Da. nun ein jedes Tripel mal alle neun Wendepunkte vorkommen. (a, b, c) einer Wendepunktsgeraden L, entspricht, so sehen wir, dass vier Wendepunktsdreiecke bestehen, die von (L123 » Lar8) L569) ; (L145 » Dor9> L368) 5 (Dr6r> Doss, Daqg); (L1897 L2467 L357> gebildet werden. Die Darstellung (17) ist nicht übersichtlich. Man erhält eine klarere Vertheilung, wenn man jeden der Punkte durch zwei Indices bezeichnet, etwa — 322. A = O; 5 = @: 6 = @i 7__—7—— 12 8 =—20; Q= 10 dann entstehen die Tripel (00, 1, 22), (01, 12, 20), (02, 10, 21); (00, 01, 02), (10, 11, 12), (20, 21, 22); (17*) (00. 12200 (02, 11, 20), (01, 10, 22); (00, 10, 20), (1 n 2 (02, 12, 22). Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung. Tripelgleichungen. 473 Diese sind dadurch gekennzeichnet, dass (a,b,, 4, b3, A b;) dann und nur dann ein Tripel ist, falls (18) &, - 6 + a = 0, Ö 0 160 (mod. 3) wird. Jedem Paare a,b,, a„b, entspricht dabei durch die Bedingung (18) ein von jenen beiden verschiedenes System a;b,, falls nur die beiden ersten unter sıch verschieden sind. $ 632. Sind die beiden in $ 627 betrachteten Punkte P, und P, Wendepunkte der Curve f(x, y, z) = 0 von dritter Ordnung, so findet man den dritten auf Z,„ liegenden Wendepunkt durch die Bestimmung des Quotienten 2:w aus der Gleichung (3), welche im vorliegenden Falle, in dem P, und P, auf f= 0 liegen, die besonders einfache Gestalt annimmt A A0 (x; fi) F u40& ; f)=0 Es wird daher 0 X - f IS A al 1 f (19) w SE Z ( F m( O ; E NS ) ‚( ä ) s S of E Öf A j Ei X ) ; +%( OO 5 Lal 02 ) Führen wir demnach in die beiden Gleichungen f(x; Y, Z) DE 07 H(.CC‚ Y, Z)=O durch die lineare Substitution 0, C u= 0,% + 02Y; y=“ 2 an Stelle von y die Grösse w ein und eliminiren aus den Resultaten U— 0,% u 0,% F, _ 2 0 H (@ ’ ‚z)=() von die Unbekannte x, so wird die Eliminante, abgesehen von einer Potenz 2 0 als Wurzelstellen die neun Werthe von u haben, welche diese Grösse für die neun Wendepunkte von f= 0 annimmt. Diese Wurzeln bezeichnen wir gemäss unseren Festsetzungen mit 49, U1 > %25 Uo9, Uo,, Ug. Durch (17°) wird die Zugehörigkeit von je dreien zu je einer Wendepunktsgeraden festgelegt, und aus (19) entnehmen wir, dass jedes 4» eines Tripels durch die Ua o, und u45 des gleichen Tripels rational darstellbar ist. Die Form von (19) zeigt zugleich, dass durch dieselbe rationale Funetion R (20) ua:s d R (u“1 b17 ua.; bz) r 'R (uaz ba7 ua1 Öl) jedes w jedes einzelnen Tripels durch die beiden anderen u desselben Tripels dargestellt werden kann. 474 Sechsundsechzigste Vorlesung $& 633—634. $ 633. Wir sind durch diese Betrachtungen auf algebraische Gleichungen besonderen Charakters gelangt*): Wir nennen eine Gleichung ohne gleiche Wurzeln eine Tripelgleichung, wenn ihre Wurzeln in Tripel zu je drei derart eingetheilt werden können, dass zwei Wurzeln u und ug jeden Tripels be- liebig wählbar sind, und die dritte u aus diesen beiden durch eine rationale Function (20) uas ÖE R (ua1 b1) u"2 l’2) W R (ua2 D7 ua1 b1) eindeutig bestimmt wird. In (20) sind dabei also die Wurzeln eines Tripels beliebig mit einander NE©1895 tauschbar. Tripelgleichungen giebt es nur von einem Grade n=6m+1 oder n= 6m +3. Denn mit %” Wurzeln kann man überhaupt n(n—1) 2 Combinationen von je zwei Wurzeln bilden. Zu jeder dieser Combinationen gehört eine dritte, welche das Tripel ver- vollständigt. Je drei der so erhaltenen Tripel enthalten dabei dieselben Elemente; folglich kommen n (a'oÖ— I) verschiedene Tripel vor; und daraus folgt, dass »n = 6m +1 oder 6m + 3 sein muss. Denn die Möglich- keit u = 6m ist auszuschliessen, da % ungerade sein muss, wie man erkennt, wenn man ein Element mit allen übrigen verbindet. Die Aufgabe der Bildung von Tripelsystemen stammt von T. P. Kirk- mann *#*) und von J. Steiner**#). Den Nachweis dafür, dass es für jedes %» =6m +1 und % = 6m + 3 Tripelsysteme gäbe, sowie eine Construetion, welche für alle Fälle ausreicht, lieferte M. Reiss +). Abgesehen von n = 3 liefert %= 7 das einfachste Tripelsystem. Es ıist dies (1’ 27 3)? (1, 4, 5), (17 6) 7)7 (27 47 6)7 (27 57 7)7 (21) (3; &. 7); (37 5; 6)3 und dies ist, wie man bei der Construction leicht erkennt, abgesehen von der Bezeichnung auch das einzig mögliche. Für n»=13 giebt es zwei tt) und auch nur zwei Tripelsysteme mP welche wesentlich von einander verschieden sind. ir ® * O. Hesse, Journ. f. Math. 34 (1847), p. 193. ** Cambr. and Dublin math. Journ. 7 (1852), p. 527 und 8 (1853), p. 38. *##) Journ. f. Math. 45 (1853), p. 181 = Werke 2, p. 435. +) Journ. f. Math. 56 (1859), p. 326. +4) K. Zulauf, „Ueber Tripelsysteme von 13 Elementen‘‘, Dissert. Giessen 1897. ++1) V. de Pasquale, Rendic. R. Istit. Lombardo 1899. Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung. Tripelgleichungen. 475 $ 634. Wir wollen uns zunächst mit der Gruppe der Tripel- gleichungen siebenten Grades beschäftigen. Eine Substitution zwischen den sieben Wurzeln der Gleichung, welche wir kurz durch die Zahlen 1, 2, - 6, 7 bezeichnen wollen, kann nur dann zur Gruppe gehören, wenn sie die Tripel (21) lediglich unter einander umstellt; denn die rationale Beziehung (20) darf durch Substitutionen der Galois’schen Gruppe nicht gestört werden. Lässt eine Substitution der Gruppe demnach zwei Klemente un- geändert, so lässt sie auch das dritte, jene zwei zu einem Tripel ergänzende ungeändert. Lässt sie ausser den drei eines Tripels noch eine weitere Wurzel an ihrer Stelle, so ändert sie überhaupt keine Wurzel; das erkennt man sofort aus der Configuration von (21). Folglich giebt es nur Substitutionen, die kein Element ungeändert lassen; solche, die eın Element nicht umstellen; solche, die drei Ele- mente ungeändert lassen und endlich noch die HEinheit. 2 I 32 Wir suchen zunächst diejenigen Substitutionen, welche 1 oa niıcht umstellen. Diese können nur (1, 4, 5) und OE (27 4) 6) vma (2, 5 0® (3, 4, 7) und (3, 5, 6) in einander umwandeln. Alle hierbei überhaupt vorhandenen Möglich- keiten genügen den Anforderungen: s — (45) (67), 5 =(46)(57), 5 = (47) (56). Derartige drei Substitutionen entsprechen jedem Tripel aus (21). Neun unter diesen 21 enthalten das Element 1 nicht. Wir suchen ferner alle Substitutionen, die 1 nicht bewegen, dagegen alle anderen Wurzeln unter einander vertauschen. Diese können nur (22) (1) 27 8)? (1) 47 5)? (1, 6, 7) unter sich, und ebenso (28) (2, 4, 6), (2) 57 7)7 (3} 4:} 7)7 (3, 5, 6) unter sich umstellen. Alle hierbei überhaupt vorhandenen Möglich- keiten genügen den Anforderungen. Zuerst ergeben sich diejenigen, welche eins der Tripel (22) in sich verwandeln: , — (23) (4657), 4 = (45) (2736), %. = (67) (2435); ® — (23) (4756), t}_ 2 (45) (2637), 8 — (67) (2534); dann diejenigen, welche die Tripel (22) cyklisch unter einander vertauschen: u — (246)(857), 14 = (247)(356), u = (256)(347), u‚ — (257)(346); — (264)(375), u = (274)(365), u= (265)(374), ı® =(275)(364). 476 Sechsundsechzigste Vorlesung S& 634—635. Die Anzahl der Substitutionen, welche alle Elemente umstellen, können wir mit Hülfe der in 8& 572 aufgestellten Formel n—1 n(zn—21+3n—31+ - + *0 ) berechnen. Hier ist [n—3], wie eben gezeigt wurde, gleich 9; [0] ist gleich 1; die übrigen eckigen Klammern sind sämmtlich gleich Null. Danach erhalten wir 7(% 9+„3.Q==48 Substitutionen, welche kein Element an seiner Stelle lassen. Jede dieser Substitutionen muss cyklisch sein, weil sonst eine geeignete Potenz entweder nur fünf oder drei oder zwei Elemente umsetzen würde. Aus der Combination der s und der t oder der w findet man leicht solche Substitutionen. Wir wählen v = (1243675), % = (1245736). Transformirt man v, durch v,,w3,::-vS, so erhält man noch sechs andere cyklische Substitutionen von sieben Elementen v3, V, Vg, und die 6.8 verschiedenen Potenzen der w,, vg liefern die noth- wendigen noch fehlenden Substitutionen der Gruppe. Die Ordnung der Gruppe beträgt nach $ 572 7{[6] + [5] + + +1[0]) =7-(14+9+1) =168. Diese Gruppe hat Kronecker angegeben. Sie ist zweiıfach transitiv. Die Galois’sche Gruppe jeder Tripelgleichung siebenten Grades ist mit der gefundenen Gruppe identisch oder ein Theiler derselben. $ 635. Nach diesem Excurs kehren wır zu den Tripelgleichungen neunten Grades zurück und suchen ihre Galois’sche Gruppe zu be- stimmen. Für die Bezeichnung der Wurzeln legen wir, genau wie in (17%), zwei Indices zu Grunde. Eine Substitution kann nur dann zur Galois’schen Gruppe der Gleichung gehören, wenn sie die Tripel (17°) nur unter einander vertauscht. Wir betrachten nun alle Substitutionen von der Form (24) s=|h, k ah + bk + «, ayhı + bık + « |. Wendet man sie auf das Tripel C (Bı A Ag - = k + %A k =0) an, so wird erstens ash +bEk+3a« = a Zh + b,Zk + 3o0,= 0 (mod. 3) sein; d. h. jedes s führt die Tripel in einander über. Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung. Tripelgleichungen. 477 Umgekehrt muss jede Substitution, welche die Tripel in einander überführt, die Form (24) besitzen, wie wir jetzt zeigen wollen. Zunächst entnehmen wir aus (17), dass, wenn die Elemente 1, 2, 4 fest bleiben, der Reihe nach wegen (1,2,3) auch 3; wegen (1,4,5) auch 5; wegen (2, 4,6) auch 6,..- u. s. f. ungeändert bleiben. Eine Substitution also, die 1, 2, 4 nicht ändert, ist die identische Substitution; übertragen wir dies auf (17*), so folgt, dass wenn eine Substitution der Galois’schen Gruppe die Elemente 00, 11, 01 nicht ändert, sie gleich der Einheit wird. Nun sei £ eine beliebige Substitution der Galois’schen Gruppe. Sie lasse auf 00 1 O folgen ng‚ Pıdı> Da Wir bilden das zur Gruppe gehörige S=|h,k (d—)h + (D —D)k + D, — u)h + — g)k + gl; dann wird - S% die drei Elemente 00, 11, 01 nicht ändern und folglich gleich der Einheit sein, d. h. es ist das beliebige %£ gleich einem S, von der Form (24). Damit ist gezeigt, dass alle Substitutionen, welche die Tripel (17°) in einander umwandeln und nur sie durch die linearen Substitutionen (24) gegeben sind. In (24) können die a, b, a,, b, auf (3? —1) (3? — 3) ==48 ver- schiedene Arten so gewählt werden, dass (24) eine von 0 verschiedene Determinante hat ($ 531); « und «, können gleich 0, 1, 2 ange- nommen werden. Folglich hat die Gruppe die Ordnung 9.468. KEine Gleichung mit dieser Gruppe ist algebraisch auflösbar. Man könnte dies durch unsere früheren Resultate über auflösbare Gilei- chungen der Grade p? hier ableiten, doch wir ziehen einen direkten Nachweis vor, weil bei diesem die Bedeutung der einzelnen Schritte, welche zur Lösung führen, deutlicher heraustritt. Es handelt sich natürlich um die Frage nach der Composition der durch die Substitutionen (24) bestimmten Gruppe, die wir G nennen wollen. Zunächst bemerken wir, dass die Substitutionen LA é—l—oc,k—{—oq| lediglich jede der Wendepunktsgeraden (17*) in eine solche des Dreiecks I=[(00, 11, 22); (01, 12, 20); (02, 10, 21)], II = [(00, 01, 02); (10, 11, 12); (20, 21, 22)], I = [(00, 12; 21);' (02, 11, 20); (01, 10, 22)], IV = [(00, 10, 20); (01, 11, 21); (02, 12, 22)] 478 Sechsundsechzigste Vorlesung $ 635—8636. umwandelt, dem sie selbst angehört. Zu jeder Substitution von G& ordnen sich also je nach den Werthen von « und «, noch acht andere zu, denen dieselbe Umstellung der Dreiecke I, II, III, IV entspricht. Es reicht daher aus, nur die Substitutionen mit « = &4, =0 zu be- trachten; diese bilden eine Gruppe G, zu welcher G- neunstufig iso- morph ist. G, hat die Ordnung 48. Jede Substitution aus G, kann man als Umsetzung der Dreiecke I, II, IIT, IV deuten. Es ist also @7, der dadurch hervorgerufenen Gruppe I” unter den Elementen I, IL, III, IV isomorph. Man über- zeugt sich leicht, dass S 2h, 2k| (mod. 3) nebst. der Einheit die einzigen Substitutionen von G, werden, welche alle Dreiecke ungeändert lassen. Denn jede Substitution von G, lässt 00 ungeändert; soll sie nun I und II nicht ändern, so muss sie 11 ıin sich oder in 22, und 01 ın sich oder in 02 umwandeln. Durch (25) kommt man dann auf das angegebene Resultat, da von den vıer mög- lichen Combinationen nur jene befriedigt. Somit ist G, zu I” zweistufig isomorph; I” hat die Ordnung 24 und ist deshalb die symmetrische Gruppe der vier Elemente I, IL, ME 6 In I* ist die alternirende Gruppe A ein autojuger Maximaltheiler mit dem Compositionsfactor 2. Der Gruppe A entspricht ın G, die Gruppe 4 von 24 Substitutionen, welche sämmtlich die Dreiecke so unter einander vertauschen, dass gerade Permutationen entstehen, d. h. solche, die durch eine gerade Anzahl von Transpositionen bewirkt werden können. In A bildet die Gruppe I 1’D V, L1 L, (I IV) AL-IID), einen autojugen Maximaltheiler K. Ihr entspricht in 4 eine Gruppe K der Ordnung 8, da der Compositionsfactor gleich 3 wird. Ihre Sub- stitutionen sınd 1 ’ s k, 2h b | , % 2h, 2hk|, |h, % 2%, k |; |h, £ h+2k, 2h+2k|, |h,k h+k,h+2k|, |Z, % 2h+k, h+hk|, |Z,% 2h+2k, 2h+k| Von ihr aus geht man mit dem Compositionsfactor 2 zu dem aus den vier ersten Substitutionen gebildeten autojugen Theiler über und von da zu 1 ? I, % 20 2i d. h. zu den einzigen Substitutionen aus G, welche alle Dreiecke I, 479 Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung. "Tripelgleichungen. II, III, IV nicht ändern. In G haben diese Eigenschaft die 18 Sub- stitutionen |%, % h+a,k+& |, \ I 2h+«, 2k + « |. Durch Vermittelung von Compositionsfactoren 2,3,2, 2,2 gelangt man also von G zu der arithmetischen Gruppe A,& h+a, k ol. Folglich ist die Tripelgleichung, wie behauptet worden war, algebraisch auflösbar. $ 636. Wir haben bereits erwähnt, dass im Falle von 13 KElle- menten zwei wesentlich verschiedene Arten von Tripelsystemen existiren. Das erste wurde von Reiss (l. c.) aufgestellt; bezeichnen wir die Ele- mente mit 0, 1,-...9,a, b, c, so kann es durch (07 1} a)} (0, 2, 4), (07 37 9) 2 (0, 5, 6), (O7 67 c)7 (O7 77 8)7 (17 47 5), (1, 6, 8), (1, 7, 0), (17 97 b) ? , 5, 6), (17 27 3)? (2, 7, 9), (27 87 a)7 (27 b7 C) 2 (3, 4, a), (37 5) 7> 2 (37 6} b)? (37 87 C)? (4, 6, 7)) (4) 87 b)? (4, 9, 0), (57 8’ 9) ’ (5, @, 0), (67 97 b)} (7, @, b) Seine Gruppe, d. h. die Gesammtheit der Sub- dargestellt werden stitutionen, welche diese Tripel nur unter einander umwandeln, wird 1, (0,1,2)(3, 4, a)(5, 8, 9)(6, 7, b), (0, 2, 1)(8, @, 4)©, 9, 8)(6, b, 7); ‚ (0,7)(1, 6) (2, 5) (4, a) 6, 9), (07 6) (17 b> (2? 7) (3) a) (57 8)} (0, 6) (1, 7) @, 6) (3, 4) (8, 9); hier bilden die ersten drei einen autojugen Theiler; folglich ist die Gruppe auflösbar. — Das zweite Tripelsystem von 13 Elementen habe ich in den Math. Ann. 42 (1892), p. 143 sowie in meiner Substitutionentheorie (1882) $ 220 behandelt. KEs wırd durch die Tripel '(O} 17 a)) (O? 27 7) Z (07 37 4) ’ (0, 5, 0), (O) 67 8)7 (0, 9, 0), (17 27 b)} (17 3) 8)’ (1, 4, 5), (1) 67 c)7 (1, 7, 9), (2, 3, c), (2} 5) 6)7 , 8, a), (37 57 a) ’ (3, 6, 7), (37 97 b)7 (27 4; 9>; (4, 6, b), (4:7 77 8)7 (47 a7 C) ? S, 7, 0), (57 87 9>’ (67 97 a>7 (7) a’>b)7 (8? b’ C) und seine Gruppe G durch die 3 .13 Combinationen der beiden Sub- stitutionen 480 Sechsundsechzigste Vorlesung $ 636. Siebenundsechzigste Vorlesung $ 637. S02 O i = (17 37 9) (2> 67 5) (47 C, a) (77 8; b) gebildet. Die Potenzen von s sind autojug in G; G ist also auflösbar. So zeigt es sich: Die Tripelgleichungen 13*" Grades sind auflösbar. Siebenundsechzigste Vorlesung. Die auflösbaren Gleichungen fünften Grades. 8& 637. Wir haben gesehen, dass es für eine auflösbare irreduc- tible Gleichung fünften Grades charakteristisch ist, eine und damit alle metacyklischen Funetionen im Rationalitätsbereiche zu besitzen. Eine solche metacyklische Function hängt nun, da bei p= 5 die Gruppe von der Ordnung 20 ist, von einer Gleichung des Grades 5! 2077 6 ab; es ist also charakteristisch, dass diese Gleichung eine rationale Wurzel besitzt, und dass die Gleichung fünften Grades irre- ductibel sel. Welche metacyklische Function dabei zu Grunde gelegt wird, ist theoretisch ganz gleichgültig; praktisch dagegen kann durch geschickte Wahl die Rechnung, welche auf die Gleichung der gewählten metacyklischen Funcetion führt, erheblich abgekürzt werden *). Es seien .Zo, Z,, %, %, %,, oder kurz 0, 1,2, 3, 4 die fünf Wurzeln einer Gleichung fünften Grades. Wir betrachten die Function der Wurzeln (D) Z ED A LAG, Um die zugehörige Gruppe G zu finden, suchen wir zunächst alle Substitutionen, die 0 in @ umwandeln, wobei @ =1, 2, 3, 4 sein kann. Es folgt ' zunächst, dass 1 in @a—1 oder in @+ 1 übergeht. Im zweiten Falle hat man sofort die Substitution s = (0, a, 24, 3a, 4a) (mod. 5), d. h. alle Potenzen von S — (0; 17 2; 3; 4)' Im zweiten Falle ergiebt sich die Substitution 0 { 1 7 2 °) 3 ’ 4 (Z2 ) (mod. 5), ( %} a—1,a—2,a+2, a+1 bei welcher für jedes @ ein Element ungeändert bleibt, nämlich das durch 3a charakterisirte. * Vgl. hierzu C. Runge, Acta math. 7 ( 1885), p. 173 und D. Séli#zanoff_‚ Bull. soc. math. 21 (1893), p. 97. Die auflösbaren Gleichungen fünften Grades. 481 Hieraus folgt schon, da allein die Potenzen von s, sämmtliche Elemente umsetzen, dass G nur noch Substitutionen enthält, welche ein Element oder alle Elemente in Ruhe lassen ($ 572). Diejenigen, welche 0 nicht umsetzen, sind, wie (1) zeigt, S= 1 und i — (14)(@). G hat also die Ordnung 10; es ist die halbmetacyklische Gruppe $ 536; sie ist ein Theiler der alternirenden Gruppe. Die Funetion y, hat zwölf Werthe, die wir folgendermassen schreiben wollen ı =0 1DB, Y =0Q-E AAA AL BLG y=0.22.444-:3+3-14+1-0, Y —= O1 EL LB AL o — OLQ AL Y —0BL Y = OLA d AL Y = ODDB E = O1 ALLDILDO, Y =0Q-E Y ALLBALBALALG: Yı = ODBB AL Yo= Ola LLL DD Die zugehörigen Gruppen für diese einzelnen Funetionen wollen wir mit G1= G; G27 G63 G, G8) G1 bezeichnen; sie werden gefunden, wenn man G = G, durch passende Substitutionen 6, = 1, &4, 6;, 20 D 07 657 , 206 transtormurt. Dabei sei Ül 7) 0 (17 27 4)7 OS (17 2) (37 4>? O (27 47 3)3 0 = (2, 3, 4); % = (1, 2, 3) 7 t=|h4h 2h|=(1, 2, 4, 3); es gehören also 6,, 6,,--- 6; der alternirenden Gruppe an, während die Substitution 7 keine gerade Substitution ist.. Hierbei zeigt sich ferner G= 171 G.1= G, G=1716.1= G, Aa =17"6,7= G6; es gehören also alle G und G, +6 zur gleichen Gruppe. Da z° = 4 ist, so wandelt jede Substitution, die ein y„ in Üa überführt, auch umgekehrt Yırc IN Yı um. Demgemäss hat Yı — Yıa gleichfalls zwölf Werthe Yı — ı, Yı — Ys, Ye —— Yız, Ua Ya Ys — Ya, Yız Y > die wir mit %,, @,: %; an : — ®g bezeichnen. Das Quadrat von yı — y; hat sechs Werthe, nämlich Yı = (Yı— yı)?, D = (Yo — Ys)*, D = — Yız)“ Die zu @, gehörige Gruppe wird durch die Substitutionen S © und ihre Combinationen gebildet; ihre Ordnung ist 20; es ist die meta- cyklische Gruppe und g, ist eine metacyklische Function. Netto, Algebra. II 31 482 Sıebenundsechzigste Vorlesung $ 637—639 Es handelt sich nun um die Berechnung der Gleichung 2) „(<P gı) — ° + ag + *+ + O+u=0 A welche @,, @; als Wurzeln hat Hierin sind @,, 4, Cz, AG Alle Substitutionen der symmetrische Funetionen von %,, %, Pe alternirenden Gruppe vertauschen diese Werthe nur unter sich; folglich SINd A alternirend _ oder symmetrisch. Ferner gehen die homo- genen Funetionen ungeraden Grades a,, Az, @ J in den @ bei einer Sub stitution, die nicht zur alternirenden Gruppe gehört A, U3 , — @; über während die homogenen Funetionen geraden Grades a,, A,, Ag dabei ungeändert bleiben Also sind @,, Az, @ 9 alternırend A, A,, A; Symmetrisch Demnach haben a,, 3, a, die Form m, VA4, m;V4, m;V4, wobei A die Diseriminante der Gleichung fünften Grades, und m,, m3, m ) symmetrische ganze Functionen bedeuten 1 Z Aıg day Ba5 Z dnd es müssen somit A1, Az, As, VA von den Dimensionen 2, 6, 10, 10 7 — m; = 0 sein, und m, wird eine Constante, die wir mit m_ be- zeichnen (2) geht daher ın (3) S + a gp* + a,@“ F &s mVAg=0 über $ 638. Die Berechnung der noch unbekannten Grössen gestaltet sich besonders einfach, falls man der Gleichung fünften Grades die Form f( <& ä ) Hug +v=0 (4) ertheilt. In dieser sind w.und v homogene Funetionen der z4 von den Dimensionen 4 und 5, und da ,, @,, @; die Dimensionen 4, 8, 12 besitzen, So muss d = D' A = MeUW 0 = MU, sein, wo m,, M, m; ganze Zahlen bedeuten. Diese, sowie m” kann man durch ein numerisches Beispiel finden. Runge; von dem diese Betrachtungen stammen, wählt als solches N O und kndet A 7 9 ZI‚Z;„‚23‚Z4—O 7‘ Z:l; —_ %, —U, —Q —2A0 I O ı, Pa Pa Par Pa P6 d —mM O* + m* —m +16imgp= (g+20)*(g° — 8ig — 20) — g° + 20g* +240g* —320 +512ig; (g° — mp“ + m,g — me)? + 16m?g? = (@* + 4)* (p* + 24° 4 400) Die auflösbaren Gleichungen fünften Grades. 483 Mithin wird die Gleichung für @, nachdem man durch Quadrirung die Wurzel VA fortgeschafft hat, (5) (g — 20 ug* + 240u?gp? + 320u*)” = 45A1 @°, Z 7 4*4u> + 55w* oder (6) (g? — 4u)‘ (p* — 24ug? + 400u0?) = 4 5° vtgp?. Setzen wir @?= 4w, so ist auch &% eine metacyklische Funcetion. Sie genügt der Gleichung (5°) ( — 5ug? + 150 + 5W = Aw, der man auch die Form geben kann (6°) (& — u)* (4? — 6uy + 25u°) = 55wta. $& 639. Nur wenn (5°) bezw. (6*) eine rationale Wurzel besitzt, ist (4) f(@)=#+uz2+v=0 auflösbar, und stets dann. Denn wenn f reductibel ist, versteht sich dies von selbst; und wenn f irreductibel ist, dann ist ihre Gruppe metacyklisch oder steht unter der metacyklischen Gruppe, so dass also jedenfalls eine metacyklische Funetion der Wurzeln dem Rationalitäts- bereiche angehört. Dividirt man beide Seiten von (6°) durch w® und setzt v#=u-v, v = uV', so ergiebt sich ab (’ — 1)*4(w'? — 60 +25) = 57 Z oder u 550 tap! (7) ( — 1)* @* — 607 +25) Sind nun %; w, v rationale Grössen, die (6®) befriedigen, so sind w%'; u, v’ rationale Grössen, die (7) befriedigen und umgekehrt; wählt man daher w', %’ beliebig und w gemäss (7), dann liefern w, w eine auflösbare Gleichung (4); und umgekehrt, wenn (4) auflösbar ist, dann gehört zu rationalen Werthen von %; v’ das durch (7) bestimmte u. Der Ausdruck (7) vereinfacht sich noch etwas, wenn man eine Substitution Ä = %— 3 =— 50° 2 —1) oder auch — 3u 50 Ä‚= 4uw I 3( —u) yvornimmt. Dadurch Wi1_‘d =— __ 5p(42+3) __ 4y°(@2+1)(441+3) __ 5p*(41+8)° (8) 1 ’ 1 2 Aa BL 484 Siebenundsechzigste Vorlesung $ 639—641 Wir haben also bewiesen: Giebt man A und w irgend zwei Werthe irgend eines Rat10nahtatsberewhes so ıst die Form 5pt41+3), 4u°@1+1) (41-+8) (9) _l[_ He + 21 =0 charakteristisch für auflösbare Gleichungen der Form Z + uz+v=0 Von Glashan und P. Young*) stammt eine andere Form, nämlich 541 (3 — 42,) 4p? (11 A) (10) SA + 0 aa A und von Bougaieff und Lacht1ue**) die folgende (11) 1) ( ..+. @3 (4, — 11) — ‘3+.“' (A — D +4) 20 ED Es gehen, wie bemerkt werden mag, (10) und (11) aus (9) hervor durch die Annahmen 4—31 A, = U, W; ANEB? bezw I@—=9) 2 nn U = — 2 $ 640. An die Form (6°) (& — u)*(4? — 6u w + 25u?) — 5vt4d = 0 der Resolvente knüpft Selivanoff folgende Bemerkun (1 c.) Ist u= + 1 so entsteht (12) (@ FÜ (@ F 3)* + 16) — 5° —0 woraus man ersieht, dass eine etwa vorhandene rationale Wurzel & posi- tıy seın muss Ist ferner v eine ganze Zahl, so kann nach $ 241 ein solches rationales & auch nur ganz sein; da endlich in (6*) das absolute Glied für u= -+1 gleich 25 wird, so kann ein rationales % nur ein In keinem dieser Theiler von 25, d. h gleich 1, 5 oder 25 werden drei Fälle tritt aber für v* eine vollständige vierte Potenz heraus Sonach giebt es keine rationale Lösung für (6*) bei w=-—+1; d.h die auflösbaren Gleichungen 2 +0=0 in denen v eine ganze Zahl bedeutet sind reductibel VE E - *) Amer. Journ. of math. 7 (1885), p.178, p. 170 *#) Moskau. Math. Samml. 15 (1890), p. 83 Die auflösbaren Gleichungen fünften Grades, 485 Diese Selivanoff’sche Methode lässt sich leicht verallgemeinern. Zuerst sehen wir aus (6*) direct, dass &@ auch im allgemeinen Falle eine positive, ganze Zahl sein muss, wenn w, v'ganz sind, und dass ı ein Theiler von 25u°® wird. Weiter folgt aus derselben Gleichung, dass wv? — 6 + u? e 5% = Q eine vollstähdige vierte Potenz ist. Ist w nicht durch 5 theilbar, so wird % als Theiler von 25w® gleich 5“r (@x=0,1,2), wobei 7 nicht mehr durch 5 theilbar ist; in z (3 Z 5“ — 6utT + 5° 7 *q (r7 nicht = 0 mod. 5) 5 muss die 5 des Nenners sich wegheben, wenn @ eine vierte Potenz sein soll; und dies ist nur für « = 0 oder «x =2 möglich. Man hat dafür in diesen beiden Fällen - t (r — u) — 5ut + 25u? Z Z 257? — 5uUt + u(uU—7). (09] T a d ( 5 Es ist also in beiden Fällen 7 ein Theiler von uw®, der mod. 5 zu u congruent ist. Ist nun w eine von 5 verschiedene Primzahl, so hat w° als Theiler 1, w, 0 W Man erkennt sofort, dass nur für ein u= -+1 (mod. 5) ein solcher Theiler u“ congruent w werden kann, ausser wenn t= w ist. In diesem Falle wird v = 25u und @ = 4u; das ist aber bei unserer Annahme keine vierte Potenz. Also folgt, dass (6%*) keine rationale Wurzel liefert, wenn u = + 2 (mod. 5) ist. Ist ferner u==5, so kann nur % = 5“ mit «=0,1,2,...8 sein. Dafür wird aber ,-20e+5 S C ga+1 dies liefert, wenn der Bruch auf seine kleinste Benennung gebracht ist, für keins der « einen Nenner, welcher eine vierte Potenz wäre, folglich ist auch hier eine rationale Lösung von (6%*) unmöglich. So haben wir gezeigt: Alle auflösbaren Gleichungen der Form L uz2+v=0, in denen w eine Primzahl und v eine ganze Zahl bedeutet, sind reductibel, falls u nicht =-+1 (mod.5) ist. 8 641. Me. Clintock*) behandelt eine andere metacyklische Resolvente und berechnet ihre Gleichung. Er setzt die halbmetacyk- lischen Funetionen an: E *) Amer, Joumn, of math. 8 (1886), p. 45; ib. 20 (1898), p. 157. 486 Siebenundsechzigste Vorlesung 8& 641. Achtundsechzigste Vorlesung 8 642. YI=O-1.2+1-2 3+2-3-4%3-4-0+4—0—1‚ g:'o.'2.44_5.4.'1%„4'.i.'3%1'.„%‚.<5+'3'.5.2‚ Von diesen Yı, X;, Yız gilt Aehnliches, wie von den yı, %, Yız Weiter sei D, Yı Y7, , Y Y d Y Yo; dann ıst &— Y, — Y, (13) U — Ua seine metacyklische Resolvente. Für diese findet er unter der Voraussetzung der Gleichung fünften Grades (14) f(2) = # + 106# + 1062° + 5642 + 6 = 0 die Resolventengleichung sechsten Grades (15) FO : Bt+EL) —2 +a En n)= 0, wobei die Constanten folgende Bedeutung haben An Yo —6 7 G — G, Yl — 663 4 G5 — CCa — © 72 O GT C 47 — » C 73 Ya — CO 37 h= 1500 7 1066 — 2066 + 1400 — 2264060, + 0G + 963 —2666 +6&, d 9056 — 20636364 F OO SC — 1200 — Üa + 686 + A — ÄC auflösbar. Hat (15) eine rationale Wurzel, dann ist (14) Me. Clintock giebt nun in der citirten Arbeit mit Hülfe von drei Parametern und von € die Ausdrücke für C,Cz, C,, Cs, für welche eine irreduetible Gleichung (14) lösbar wird. LEA E Z Auflösbare Gleichungen fünften Grades. Allgemeine Gleichungen fünften Grades. 487 Achtundsechzigste Vorlesung. Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades. $ 642. Bei Gelegenheit der Transformation von Gleichungen haben wir die allgemeinen Gleichungen fünften Grades auf eine beliebige der vier Bring-Jerrard’schen Formen ($ 116; Bd. I) reducirt *) (1) ® + 6 —D=0, ® — @— D=—0, D 4 0 D=0, ®5 - P* — D=0. Wir betrachten jetzt noch einmal eingehender die Transformations- theorie für die Gleichung (2) f(x) = # + Axt + Ba + Cx? + Da + E=0, indem wir zunächst den Untersuchungen von L. Kiepert**) folgen. Setzen wir die Tschirnhausen-Transformation an, in welcher w und v noch unbestimmte Grössen bedeuten, (3) y= x — ux+v, so können wir in der Gleichung für y durch passende Wahl von w und v die Glieder mit y* und y® zum Verschwinden bringen. Dazu ist es nöthig, die beiden Gleichungen zweiten und ersten Grades (4) CL 5B)U E AA BUE + (24*—84’B +104C+3B*—10D)=0, Ö5) 5v0v= — Au — A4’ + 2B zu befriedigen. Bezeichnet man dann 5l= —C ( + A* + Bu + C0) + D(4u +3A4u-+2B) — E(5u +24) — 10w8, (6) 5 = — D(wW-A4u+Bu?+C0Cu-+D) + E(5u+44u?-43Bu +2C0) + 50* +1000, n=—E(u"’—}—Az#+Bu*“—{—0ü—}—l)u—{—E)—05——5l02—{—5m1), so ergiebt sich die transformirte Gleichung in y (7) y° + 51y° — 5my +n =0. EB E M“ *) E. S. Bring hat diese Form zuerst aufgestellt; vgl. Harley, Quart. Journ. of math. 6 (1864) ; weiter Arch. f. Maﬁh. 41 (1864), p. 105; Klein, Ikosaeder, p. 143. *) L. Kiepert, Auflösung der Gleichungen fünften Grades. Joum. f. Math. 87 (1879), p. 114. 488 Achtundsechzigste Vorlesung 8& 642. Hierbei ist aber zu bemerken, dass y keine Resolvente in dem bisher von uns gebrauchten Sinne ist. Denn als Resolvente bezeichneten wir eine rationale Function der Wurzeln der vorgelegten Gleichung mit Coefficienten, die dem ursprünglichen oder einem erweiterten Hier aber sind w und v nur dann Rationalitätsgebiete angehören. rational, wenn die Diseriminante der dquadratischen Gleichung (4), nämlich der Ausdruck 5(84°C —3 4?B* + 164?D—384BC+12B—40BD + 45 O’) ein Yvollständiges Quadrat wird. Dies findet also bei allgemeinen Gleichungen (2) nicht statt. Zur weiteren Umformung von (7) setzt Kiepert « + ßz (8) VE 3 + 2? und sucht « und ß so zu bestimmen, dass die Gleichung für z die Form (9) 2 + 1023 + 452 —g= 0 annımmt und also nur einen einzigen Parameter g enthält. Bildet man die Eliminante von (9) und von (8) y& + Ba Byta)= 0 nach z in der Gestalt einer Determinante siebenter Ordnung, so erhält man als Gleichung für y ohne grosse Mühe (1728 — g”)y” 4 5 (8« — 72uß° F g(«*ß — B°)) y” © — 5(a + 180?ß? — 27ß + gaß)y + («5 + 10«?ß* + 45@xß* + gß°) =0; diese wird mit (7) identisch, wenn man die drei Grössen «, ß, g den drei Gleichungen entsprechend wählt: 803 — T2wß? +g (0B — B° — (1798 0, (10) a«* + 18@x?ß° — 27ß* + g («ß°) = (1728 +g”)m, ® + 100 ß° + 45«ß* +g (ß) = 1728 +gn . Aus diesen erhält man sofort durch lineare Combinationen die beiden einfachen Relationen (11) Iß° = ma —n; (12) («? + 367)% = (1728 + g”) (n« — mß*). Eliminirt man jetzt aus den beiden, in g quadratischen ersten Gleichungen von (10) diese Grösse g und führt durch (11) noch für Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades. 489 ß die Unbekannte « ein, so entsteht eine Eliminante zehnten Grades, welche sich folgendermassen in Factoren zerlegen lässt: R= (ma« — n) (1a + 3ma— 3n)? - [(* — Imn + m®) «* + (118m +n — 2mn) « + (— 27n + 641° m* + mn*)]. Der erste Factor liefert zunächst die Resultate Nn m? B=0 und dann durch Einsetzung in die beiden ersten Gleichungen von (10) weiter 8m ı — Un; folglich ist dieser Fall bei der Behandlung allgemeiner Gleichungen (7) auszuschliessen und ebenso wegen der Relationen (6) bei all- gemeinen Gleichungen (2). Der zweite Factor der Eliminante liefert zunächst die Resultate I« + 3m«c« —3n=0, F= MC —N v [ x l 3 Hierdurch gehen die drei Gleichungen (10) über in 803 - Z galß= L(1728+g%)L , 8a* + Zgoß = — 1728 +g )m, 8 + Zghß= 31728 +g°)n Da aber aus diesen eine Relation zwischen 7, m, ”, nämlich 31n = 4m? folgt, so kann auch dies im allgemeinen Falle nicht eintreten. Es bleibt also nur übrig*), zu setzen ( — Imn + m®) «* + (11m +1In? — 2mn) « (18) + (— 27°n + 641°m* + mn?) = 0. Durch (11) und (12) gelangt man dann zu den Werthen für ß und g. Die Formel (13) ergiebt 2 (° — Imn + m) a = — (118m +1In? — 2mn) +1VA’, wobei *) 4'’= 1085° — 1351° m? 908° mn? + 3201m®n — 256 m* + n* Z *) In der Kiepert’schen Formel findet sich ein Druckfehler. 490 Achtundsechzigste Vorlesung $ 642—643. die Diseriminante der Gleichung (7) ist. Demnach ist (8) in unserem Sinne eine eigentliche Resolvente von (7), indem die Coefficienten von (8) rational bekannt sind. Dass nämlich auch durch ß keine neue Irrationalität eingeführt wird, zeigt Kiepert folgendermassen: Er er- weitert (8) durch z* + 10z? + 45 und erhält dann für den Zähler wegen (9) den Ausdruck « (2* 4 102° + 45) + ß (2°+ 102° + 452) = a(z#* +102? 4 45) + ßg; aus (10) und (11) folgt dann, dass ßg eine rationale Funetion von « ist. $ 643. Auf eine andere, höchst elegante Art liefert P. Gordan*) die Transformation von (2) f(@)= # + A* + Ba + Cx? + Dx+ E auf die Form mit einem Parameter (9) A O Gordan sucht zunächst eine Function der Wurzeln %,, %, von (2), nämlich (14) q)(x)=x‚2+ A% — M, welche den Bedingungen (14*) 30 20 unterworfen sein soll. Bezeichnen wir wie gewöhnlich die Summen der Wurzelpotenzen mit S;, S, 2 so werden diese beiden Bedingungen zu S, + 45 — 54,= 0, Sı + 2283 + (2° - 21,)82 + 224,8, 4 9241 —O; aus diesen beiden numerischen Gleichungen lassen sich 24 und 4, bestimmen. Weiter werden zwei Funectionen O(%) = &* + uUX F W, H(@) = 4# —. 0 bestimmt, welche die Forderungen No@)=0, Z 0la)a@)=0, 2 Sha)=0, YHa)opa@)= 0, oder auch, durch die s ausgedrückt, S3 + Sı + 90 = 0, Ss 4 ASı 74- ('h+ ()ISs I (Ä!"+.“1)52 + (1 + 244)Sı + 54 = O; *) Math. Ann. 28 (1887), p. 152. Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades 491 Sı + vS, + 5 = 0 Sg + 485 + 284 + vS3 + (Av + 91)8 4 (A,9 + Am,)8, + 547 = 0 befriedigen Aus diesen vier linearen Gleichungen bestimmen sich die vier Grössen u, u,; V, v, eindeutig Endlich setzen wir eine Funection linear aus H und @ zusammen W(X) = H(z) + 00@), wobei o durch die Bedingung bestimmt werden soll, dass D ia) = 0 D wa) +20 D olaa) H(xa) + D H (xa) = 0 @= 1 5) sel Die Funetion % hat alsdann die Form (15) (@) = * —0X + 01% I 0, und sie erfüllt die drei Bedingungen 60 Z 0 D S50 @= 1,2 5) Zwischen den beiden Funetionen @ und w& besteht eine für jedes X gültige quadratische Relation Denn die neun Ausdrücke P(Zu), Y(Xa), P (de) Pa Y (Wa), W (Wa), f(Wa), Waf (Wa), af(da), Kl (Xe) steigen ın xx höchstens bis zum achten Grade Eliminirt man die acht Grössen %4, %G, %a aus den neun in ihnen linearen Gleichungen %a F A%g 4 41 — P(xa)= 0 L Ax% —. so wird die Resultante, welche man sofort in Determinantenform erhält C111 P*(Xa) A 2629 (Xa) V (Xau) + CaV (W) A C O (Xx) (17) 7 @W(Xa) — @=0 die quadratische Relation liefern Summirt man nach « =1,2 ’ 5, so erkennt man wegen (16), dass ©& = 0 ist Setzen wir nun an h E= G1@ + (C12 S C11022)‘P; (18) h, 641 P 4 (C12 1E G1 C22>#’7 d = GGE cll a P Ag 0 = KGa — C11 C VC12 C11C22 G, VC] 2 C11Ca2 dann geht (17) in die kurze Form 492 Achtundsechzigste Vorlesung $ 643 2hh, = hd, — dh; über, und wir können eine Grösse y vermöge d dr (19) h Z SN h1 als neue Variable einführen, für welche dann h il (20) Z A A — d Y d UF 1 wird. Die transformirte Gleichung für y möge (21) Y G sein; es müssen zwischen ihren Coefficienten nothwendig Relationen stattfinden. Aus (18), (14*) und (16) ergiebt sich Zh(x„) = 0, Zlﬁ(x„‚) = 0, 2]Ll CZ Zhi(x„) =0 (“=1)27"'5); und daher wegen (19) ıl 1 ıl Z Ya —1 S AQ( Yı — Z y__———a+1= 9 1 2 Ya >2= Daraus folgt weiter, dass in den Gleichungen Fy+1)=0 und F(y—1)= 0 die Coefficienten des vorletzten und des drittletzten Gliedes verschwinden müssen. Das liefert mit Hülfe von (21) die Relationen 10 + 60, + 30 + &s = 0, 5 + 4«, + 30 + 203 + «4 = 0, —10 + 604 + 309 + &s —. ’ 5 — 404 + 30 —20 + «a =0, welche sich leicht zu 1080 = 0, Oa @ —0, 3480 r a =0, 4a«, + 20 = 0 vereinfachen lassen und die Resultate 10 &, = « =0, Wa 5 ? Wa F 2 5 (22) FO=S — Hön w=0 ergeben. Setzt man endlich B y= ä ’ V Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades. 493 so entsteht als definıtive Form (9*) 25 102 + 452 — g=0. Diese ist von (9) nur unwesentlich verschieden, da z =EV—1 die eine der beiden Formen in die andere überführt. (9) oder (9*) heisst nach Brioschi*) die Brioschi’sche Resolvente. Ist die Gleichung (22) aufgelöst, dann kann man aus ihren Wurzeln y„ diejenigen von (2) auf folgendem Wege herleiten. Die Gleichungen (18) und (20) ergeben E C: ?2 011“'22 77 (23) Q — l S Z ) jl (VC?2 C141 C2 7 012> LL_ © 2011V0‘?2’ = 011;22_(ya 1) 2614 Vé1_22 — Gn (ya Zn 1) (a=1727"'5)7 wobei „ den Werth von @(x) bedeuten soll, den diese Funetion an- nimmt, wenn man y = y, setzt. Nun ist nach (14) a in + 4, —@=0; setzt man E—% für x und führt die Werthe E, &, E, entsprechend den Werthen y,, %, - y; ein, dann folgt ää=q7o:+}jrz_'_ll. Dieselbe Substitution wandelt (2) um in 0=B+E(— 34+A)+ä$(%1%-21A+B) +E(- 1 3+312A—%‚1B+0) © Z YAD +&( 16 %13A+%1213—/10+1)) E (—%P+%MA—%P‘B+%/PO— ;—ÄD+E) E AAA TE A Ersetzt man die geraden Potenzen &* & der letzten Zeile durch ihre —_ — 2 Ausdrücke in den O, So entsteht, wenn man von &, auf %, = E 2 zurückgeht, (24) %a = — ı Alg a P A) E Alr z ]4 A 2 ( D AA ( A) A Vermöge dieser Gleichung ergiebt sich zu jeder Wurzel von (22 oder von (9*) eindeutig eine Wurzel der Gleichung (2) f(x) =0. *) Math. Ann. 13, p. 109—160. 494 Achtundsechzigste Vorlesung $ 644—645. $ 644. Wenn man, um eine neue Resolvente zu erlangen, in (9*) 1 V — „ —3 setzt und aus der hiermit identischen Gleichung %* — L;H = 0 und (9%) die Grösse z eliminirt, dann ergiebt sich durch einfache Determi- nantenausrechnung ohne Schwierigkeit (25) (g? — 12%) v* + 40w* 50 1 =0, also eine Gleichung fünften Grades ohne vierte und ohne driıtte Potenz der Unbekannten. F. Klein bezeichnet solche Gleichungen, bei denen die Summe der Wurzeln sowie die Summe der Wurzelquadrate Null ist, als Hauptgleichungen. Eine andere derartige Hauptgleichung erhalten wir, wenn wir in (9*) W u g — w) substituiren und also aus (9*) und aus u‘3—|—äu—3=0 die Unbekannte w eliminiren. Man erhält dabei / z (26) ( gr — 1728) w — 5gi% r 1359éw Z äZ Die bisher betrachteten Gleichungen (D) @ o— D=0 (Bring-Jerrard), (9°) z — 102 + 452 — g=0); (Brioschi), (Klein-Gordan), (25) (g — 12%) 0° + 400° — 50 + 1=0; 1 1 D 0 (26) (g — 12°) w° —5W —135 50 —— ” ” haben die wichtige Eigenthümlichkeit, je von nur einem einzigen Para- meter abhängig zu sein. Wir haben bereits darauf aufmerksam gemacht, dass die Grössen @, 2, v nicht in unserem eigentlichen Sinne als Re- solventen bezeichnet werden dürfen, da sie keine rationalen Functionen der Wurzeln von der vorgelegten Gleichung 2) a + Ax* + Ba + Ox? + Dx + BE=0 sind. Die Grössen z und v fordern die Einführung einer Quadrat- wurzel, die Grösse g überdies diejenige einer dritten Wurzel aus Klein bezeichnet diese Irrationalitäten als acces- Functionen von &. sorische. Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades., 495 Unsere früheren Untersuchungen haben uns gezeigt, dass eine Auflösung von (2) durch Radicalzahlen unmöglich sei. Es fragt sich nun, in welcher Weise der Kreis der gestatteten Hülfsmittel erweitert werden muss, um von einer Lösung der Gleichungen fünften Grades reden zu dürfen. Ch. Hermite spricht sich hierüber (Paris, C. R. 46 (1858)) folgendermassen aus: „Diese Unmöglichkeit der Auflösung von Gleichungen fünften Grades weist auf die Nothwendigkeit hin, ein neues analytisches Element einzuführen“ (also z. B. die Wurzeln von (1) als bekannt anzunehmen). „Dabei muss man aber zusehen, ob die Kinfachheit in der Form irgend welche Schlüsse über die Natur der Wurzeln zulässt. Für Z —32 +2a4=0 genügt es z. B. a ==sin« zu setzen, um als die drei Wurzeln [s4 2n X —_ 2 sin — 2 sın Z 2 sin m 32 3 a—};47r zu finden.“ Der Hermite’schen Forderung wird, wie sich dann zeigt, durch Benutzung der elliptischen Funetionen genüge geleistet. - Wir wollen die nothwendigsten Formeln hierfür kurz zusammenstellen. $ 645. Jacobi zeigt in dem Werke: „fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum“, dass man den Differentialausdruck da (27) Va xa w in welchem x der Modul heisst, durch passend gewählte Substitutionen (28) U@) Yy= V@) mit ganzen Funetionen U, V in einen Ausdruck ähnlicher Form i dy (27°) M Vazya— 9 in dem M constant ist und Multiplicator genannt wird, trans- formiren kann. Die Transformation heisst von n“ Ordnung, wenn U(x) und V(x) in (28) bis zum n Grade in x aufsteigen. Für jedes ” giebt es Transformationsformeln; wir beschränken uns auf ungerade Prim- zahlen ». A heisst der transformirte Modul. Zwischen u="Vx% und v=VA besteht eine Gleichung vom Grade (n+1) in w und v. Das ist die 496 Achtundsechzigste Vorlesung $ 645. Diese lautet z. B. für n= 3 sogenannte Modulargleichung. u* — v* + 2uv (1—uwWo?)= 0 und für n= 5 (29) u — v° + 5u?w? (u? v?) + 4uv (1 — u*v*) = 0. Setzt man, wie gewöhnlich, il * dx A —— Er SETW @+x?=1), S % r"2x'.i) ? 0 NC (30) G EL K — @inzw Ü=0 dann wird u. A. 1€ 2{l2 m* + m —S S wW= — + 00), (31) u=g(0o)=Vx=V2a Za al und man erhält alle Werthe von v, wenn man in (31) statt q® der Reihe nach n B al al al 2in 9 d 8n ? P, an—lq?n ( =0 ) (32) einträgt; oder auch, wenn man statt © substituirt, wie man hieraus sofort unter Berücksichtigung von (30) erkennt, NO (O] o +16 OE OE (32°) Z N ? N Diese Werthe von w bezeichnen wir, den gemachten Substitutionen entsprechend, der Reihe nach durch Vo, V, Vi, Ura (38) Benutzen wir also die in (31) eingeführte Funetionalbezeichnung @, so folgt, dass für Vx= p(w) die (n +1) Werthe von v durch n —1 ( — aß —— Z o +16 = (1 5 . plno), = ( n/? ) ( N ]} a)__—{— 160 — N ) a ge S eben sind. V(— 1)n—;ln E. Galois hat die Gruppe der Modulargleichungen, denen adjungirt worden ist, bestimmt (Oeuvres, 6d. Picard 1897, p. 27). Jedes , wird durch sie in ein v übergeführt, wobei _ l h 1° ch+d (ad—be= 1 (mod. p)) ist, und a, b, c, d alle möglichen mit der in der Klammer angegebenen Beschränkung verträglichen Werthe annehmen können. Nach früheren Festsetzungen lassen sich diese Substitutionen in der Form Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades. 49 ah-+b (34) (ad — dbe= 1 (mod. x)) s=‘h ch+d schreiben. Die Ordnung der Gruppe &@ der Modulargleichungen ist r=—ä—n(aß—l). Galois bemerkte, dass für n”=5B5; 7; 11 die Gruppe &@ einen Theiler G, der Ordnung 7, = %(n2 —1) hat, so dass man also hierfür Resolventen mıt %” Werthen construiren kann. Betti*) war der Erste, der einen Beweis dieser Galois’schen Sätze veröffentlichte. Hermite**) vervollständigte die Theorie durch die Angabe, wie jene n%-werthige Resolvente gebildet werden könnte. Der Theiler G, der Gruppe hat für % ==5 die Ordnung y= @ —1)=12; er entsteht durch die Combination der drei Substitutionen h—2 S= ]l 4h |, 82= h Ü} S = ! h h+2 ‘ : S, , Sa liefern eine Gruppe der Ordnung 4; s; ist von der Ordnung 3 und da S3 *8153 = S3 S 8 = SR wird, so geben S,, S, S3 die Gruppe G, der Ordnung 12. Aus ihr entsteht G durch Hinzunahme der cyklischen Substitution S= h+11]. Jede zu G, gehörige Function der v hängt von einer Gleichung fünften Grades ab. Hermite benutzt die Resolvente @ + 48 (35) z =[960) + (5) ]C —([ —l 5 ) — M6) @ —@ — 0) @ —, wobei übereinstimmend mit den obigen Einführungen @(56) = —w gesetzt ist. Man sieht sofort, dass (35) durch s,, S, S3 nicht geändert wird. Durch s,, s D erhält man der Reihe nach z ® ETSEEN (O) a [p60 ( E n 5 C ÖG4 )] @C —e = @; [O) A O a)—-[;16 9 Znr M 5 ) = ( —0m) 0 — @— %), E B *) Annali di scienze matematiche (Tortolini), 4 (1853). Netto, Algebra. II. **) Paris, C. R. 46 (1858), p. 508; vgl. auch ibid. p. 512 Anmerkg. 32 498 Achtundsechzigste Vorlesung $ 645—646 Hermite zeigt weiter, dass die fünf Grössen %, %,, %, Wa Dn einer Gleichung fünften Grades mit E x, = 0, 2x =@ E u=0 genugen (86) x — 2*.5% ( 'M8)2 26 V5u3 (1 d d =0 Diese’ besitzt demnach die fünf Wurzeln ® (®), ® (0 + 16), D (o+432), D (w - 48), D ( + 64) $ 646. An die Theorie der Transformation des Ausdruckes (27) in (27%*), nämlich da dy Va — w MYaA—y)a—2y5 ° knüpfen sich noch andere Gleichungen an Man kann den Multiplicator M ratiıonal durch x und 2 vermittels der Formel M’= n %— u dh 23 d ausdrücken. Eliminirt man hieraus und aus der Modulargleichung zwischen x und 2 diese letzte Grosse so erhält man zwischen M und x eine in beiden Grössen bıs zum G1&de (n +1) aufsteigende alge- braische Gleichung. HEs ist dies eine Multiplicatorgleichung. Für die Beziehung zwischen x und AM; XM; u. s. w. gilt Aehnliches; auch die hierbei entstehenden Gleichungen heissen Multiplicatorgleichungen Den verschiedenen Werthen v„, V, %, der Modulargleichung entsprechen die Wurzeln M, M., M,, der Multiplicatorgleichung Jacobi*) hat hinsichtlich des Zusammenhanges dieser M unter ein- ander ein Theorem entdeckt, welches er mit Recht als un des plus importants dans la th6orie algebrique de la transformation et de la division des fonetions elliptiques“ erklärt. Er findet nämlich, dass man + miıt Hülfe von Grössen A, A4,, 4,, „—1 die M folgender- 2 massen. darstellen kann: U 2%A VM, V(_ 1) n—1 ) 0 (37) VM = A+ « A, + 48 4, + +a( \An—l‚ 2 @=0, 1 Z"—1); 2i wobei x«=€" zu setzen ıst Daraus ergiebt sich sofort, dass man die Hälfte der Werthe von VM durch die andere Hälfte linear dar- stellen kann * Werke I, p. 261 Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades. 499 Allgemein heissen Gleichungen (n + 1)*" Grades mit y=VM,, V, ’ für welche Beziehungen (37) bestehen, für die also die Galois’schen Gruppen übereinstimmen, Jacobi’sche Gleichungen. Berechnet man die Gleichung mit den Wurzeln y=VM,, VM,,::- für n=5, so ergiebt sich (38) (y—a)® — 4a(y—a)* +106(y—a)?—4c(y—a) +56°—4a4c=0; — / AA 0= 8 AA — AA ZE AL OE — A(A 20r c = 80 4° 4? 42 — 40.A4* 43 43 + 5.4? 41A4 — 4(32.4* — 204° 4, 4, + 5.4? 4?) (43 + A8) a Für y= M erhält man die zugehörige Multiplicatorgleichung durch a= 1, d=0, c = — 64x* (1 — x?) ın der Form (39) (y—1)—4(y—1) + 256x(1—x*) (y—1) + 256 (1—x?) =0 oder, falls y = 1 +2 gesetzt wird, (39*) 2° — 425 + 256x? (1 — x?)2 + 256# (1—x?) =0. Substituirt man hier an Stelle von z eine Grösse v vermittels DA N Z 5L dann findet man die Gleichung sechsten Grades v + 1043 + (16d — dYo + 5d*=0, wobei d — 256x?x* zu setzen ist. Trägt man jetzt noch — 2 @ v= d w Z W CS 4 6 ein, so ergiebt sich die Form einer Hauptgleichung fünften Grades 16 — (40) w + 10w® + dw—{—5=0; (d = 256 x?x?). * d3 n+1 Es wurde oben bereits erwähnt, dass im allgemeinen Falle 2 lineare Relationen unter den Wurzeln bestehen. Diese sind bei n =5 für (38) VE"I' V]T[1+ Vj[_2+ V -M; —+ VM;=VÖM„„ 2i (41) VM + VM + VM « VM + VM = 0, u«=e ® VM + VM +a VM,+«VM, + VM =0. 82* 500 Achtundsechzigste Vorlesung $ 646—647 Brioschi hat nun für n=5 eine Erniedrigung der Jacobi’schen Gleichungen um eine Einheit durchgeführt *), genau wie Hermite für die Modulargleichungen Er berechnet aus den sechs Gleichungen (37°) —V54, VM =4A+ @A, + aM A, die Grössen al m [Mx — — M)(M; M,) CM MJI} S a (42) U = n (M — M )(M, — M)(M, — M,)1* und findet für Z AAA 0 = 2A41 A3, _> C — (4.2? A A2)7 O_ @A A3) die Relationen m@=0, 1, 4) , = 00y + O A O, + a Cr; DIeIAn t, sind daher die Wurzeln einer Gleichung fünften Grades, deren Coefficienten rationale Funetionen der Coefficienten der J acob1 schen Gleichung und der vierten Wurzel aus ihrer Diseri- minante sind: (48) ß L 1058 + 5(96? — 4ac)t — 8V—-h=0 h — 276 — @ — 25a80* + 40a*b?c + 20a0° be 45 ab? 16ae? Unter der Voraussetzung der durch die elliptischen Functionen gelieferten Gleichungen (39*) und (40) entstehen hieraus die beson- deren Formen (43°) f - 1280x? (1 — x?) £ + 2048 (1 x 1—2x)=0 und für den zweiten Fall al (48”) f + 108 + 456 — 8[°° 2 Jetzt gehen wir zu der Hermite ’schen Auflösung der & 647 Gleichungen fünften Grades über. Hermite vergleicht seine Resol- ventenform ($ 645) 9453 . u (1— ua — 2 Vl —A =0 (36) x° (u = @(w)) *) Math. Ann. 13 (1878), p 139 ff Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades. 501 mit der Bring-Jerrard’schen Form einer allgemeinen Gleichung fünften Grades B° — ® — D=0. (1°) Um zu dieser von der allgemeinen Gleichung aus zu gelangen, ist die Auflösung einer Gleichung dritten und einer solchen vierten Grades nothwendig (vgl. $ 116, Bd. I). Setzt man nun (ZO o=2.V5.uV1 1 + w® z 56 u? V — so stimmt (36) mit (1°) überein. Aus der letzten Gleichung für D folgt die Bestimmung von w* = x durch eine Gleichung vierten Grades. Zur Vereinfachung bezeichnen wir V55D? 4 — Ar dann wird jene Gleichung vierten Grades x* + Ax? + 2x%? — A +1=0. Diese Gleichung lässt eine analytische Lösung in dem oben $ 644 an- geführten Hermite’schen Sinne zu. Für = SIN& 4A4 erhält man nämlich die Werthe f &+ tang 2 tang 3n — & % = tang%‚ tang 4 4 Wählen wir einen dieser vier Werthe und benutzen denselben zur Bestimmung von @, dann ergeben sich als Wurzeln von (1®) unter Benutzung der Bezeichnung (35) 1 D (w) il B (o + 16) 1 B( + 32) 2V5° y@)V1— 9° @) 2V5 w@)V1— g @) 25 ( VI— wO)' 1 ® (n + 48) 1 ® (® + 64) 2V/5° g(w)V1—9%@) 2V5° @V1 — g°@) Es ist leicht zu sehen, dass an die Resolvente (43*) der Multiplicatorgleichung dieselben Betrachtungen angeknüpft werden können. 502 Achtundsechzigste Vorlesung 8 648. $ 648, Während so Hermite seine Auflösung der Gleichung fünften Grades dadurch bewirkt, dass er die Modulargleichung reducirt, knüpft Kronecker und nach ihm noch allgemeiner Brioschi die Lösung direct an die Jacobi’sche Multiplicatorgleichung, indem er eine Resolyente sechsten Grades der vorgelegten Gleichung fünften Grades mit jener identificirt. Statt der symmetrischen Gruppe der fünf Wurzeln %, %,, %, X3 Xr der Gleichungen fünftes Grades können wir die alternirende Gruppe zu Grunde legen, da die Adjungirung der Quadratwurzel aus der Diseri- minante ausreicht, um vom ersten auf den zweiten Fall zu kommen. Die Substitutionen der alternirenden Gruppe der fünf x lassen sich durch folgende drei Substitutionen erzeugen (44) | Z h—+1|; | Z 4h 5 |% Dl | (mod. 5) %=01,2,34). Die beiden ersten geben eine Gruppe von der Ordnung 10. Stellt man alle 60 Substitutionen der alternirenden Gruppe in bekannter Weise in einer Tabelle derart zusammen, dass die erste Zeile aus jenen zehn Substitutionen besteht, dann können die anderen fünf Zeilen durch Hinzunahme je einer der fünf Substitutionen (W, X3) (X2X4) ; (Wo %y X4 X53 Xo) ; ( X X1) 5 (X9X3X4) ; (X9 L4 Xı %aRz) hergeleitet werden. Diese sind nun identisch miıt | Z S | Z 3A 411: | Z 33 + 21; |% 3 +31; (45) i | Z 3h° + 41, d. h. es sind Combinationen des ersten und des dritten Typus in (44). Wir bilden jetzt eine allgemeine cyklische Funetion der x„, welche durch = @1234 bezeichnet werden mag; diese bleibt für |Z Z/-+1| und die Potenzen dieser Substitution und auch nur dafür ungeändert. Es sei weiter v'=(043821) das Resultat der Anwendung von |4A 4 | auf v, und wir bezeichnen U =0 — W Dann hat u22 sechs Werthe. Die einzelnen Substitutionen (45) mögen aus u Werthe hervorrufen, die wir der Reihe nach bezeichnen Ug > U ) U9 , U3 , Ur Die Gleichung, deren Wurzeln u2, w?, ... wi, u% sind, hat dem- nach Coefficienten, die rational aus den Coefficienten von (2) und aus der Quadratwurzel der Discriminante zusammengesetzt sınd. Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades. 503 Es lassen sich noch andere Gleichungen von interessanteren Eigenschaften construiren, wenn man die w passend mit einander verbindet. Es gehen nämlich durch die Werthe en Ug , Ur U9 , U3 , U, |Z h+1| Uw, “17 Uo , U3 , Ur , Ug , ın | Z 4N | = 9 —9 Ur 35 —U, — U, |Z 303 | % Ug > Ug y A Ug , %29 — über. Versteht man unter %* eine willkürliche Constante, so überzeugt man sich sofort davon, dass die sechs Resolventen z der x o = WF W A 4 F U + Ug F U4, Hnn Z Cln F Un — Ur F Us f U Ur, 21 = W, + Un — U F U4 F U3 — U, (46) 8 = Ülg - Un — Ug + U F Ua — U, ß = Wg + Un — U1 + U + W — U, 81 = Ülr 4 Uo — U9 — U FU — Ug unter dem Einflusse von (44) dieselben Substitutionen der Indices er- leiden, wie diejenigen der w in der vorigen Tabelle sind. Die alternirende Gruppe der x führt daher die Resolventen ZEO7 Zä7 Z%’ Zä7 Z 37 Z lediglich in einander über; sie sind demnach Wurzeln einer Gleichung sechsten Grades, deren Voefficienten rational aus denen der x-Gleichung und aus der Quadratwurzel aus deren Diseriminante gebildet sind. 27i Aus (46) folgt, wenn « = e ® bedeutet, % + 4 + % + % + 44 = Sg + 0 F 4r + Ug + Ug 4 u), 89 { @21 + a*2, + @s + 038 = (Mo + a7u, 4 aug + am + au) (E+0—0? —0° +09, 89 i @8 A @8 -{ «2g + 024 = (W -{ wl F au + Aug + au,) ( + 0—0? —0 0°)- Da nun aus der Annahme B OO durch Quadriren folgt ** =5, so zeigt sich, dass bei t=V5 504 Achtundsechzigste Vorlesung $ 648—649. Za Za Z al 2 + Z4=1/52w7 —> (47) B f 0’21 + a*2, A 0 83 A 0R 07 89 + aa + « 2 + *2 + w’2,=0 wird. Die Gleichung in z (48) @- e ist also eine Jacobi’sche Gleichung (vgl. Formel (41)); sie hat dem- nach die Gestalt (38). Bisher war die Wahl der cyklischen Function v, aus welcher u gebildet wurde, noch keiner Beschränkung unterworfen. Wir wollen die hierin liegende Freiheit zur Vereinfachung der Gleichung (38) benutzen. Ist neben v auch noch w eine cyklische Function der Grössen Z, die nur von v verschieden sein soll, so werden auch für sie &,, %, den Z , %, entsprechend gebildet werden können, und bei will- kürlichem n wird Zı = 2 + DE OE (49) als lineare Funetion der 22 und der &, den Gleichungen genügen, die (47) entsprechen. Es wird demgemäss (49°) BELNATANGZANKOL A gleichfalls eine Jacobi’sche Gleichung sein. In ihr können wir die dem @ in (38) entsprechende Grösse zu Null machen, wenn wir p durch die numerische quadratische Gleichung (50) = D 2n eb ED bestimmen. Dadurch geht (49%) gemäss (38) in OLWB Z A0 Z =0 über und für Z = B% U in C 8 AL OS — A 5 Üa =0. Brg Vergleicht man diese Form mit der aus der Multiplicatorgleichung 2 aus entspringenden Gleichung (40), so folgt, dass, wenn man % @— A © d =— 256 x x* C 64 B5 berechnet, indem man zuerst d von der Lösung einer Gleichung dritten Grades abhängig macht, durch Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades 50 ] EL (]\[ — 1) (M— 5) (lbmc) die Gleichung sechsten Grades in Z mit Hülfe von elliptischen Fune- tionen aufgelöst wırd Kennt man die sechs Werthe (49), so werden die Wurzeln x der vorgelegten Gleichung fünften Grades rational darstellbar da ja die einzelnen Gruppen der Functionen (49) keine Substitutionen gemeinsam haben ($ 543 und $ 579) $& 649 Kronecker machte wie schon oben erwähnt wurde, zuerst darauf aufmerksam, dass bei Gleichungen fünften Grades Resol- venten miıt Einem Parameter nicht bestehen. Den ersten Beweis dieses Satzes gab F. Klein auf Grund seiner Untersuchungen über das Iko- saeder *); einen einfacheren und directen lieferte später P. Gordan**) Der nun folgende Beweis schliesst sich dem Gordan’schen Gedanken- gange 6Ng an Wir beginnen mit einem von J. Lüroth stammenden Satze ###) Es sei die Funetion (S1) G(2, 8') = g(e) gı (e) — 91(2) 9C@) gegeben; g(w) und g,(w) seien hierin ganze Functionen ohne gemein- samen Theiler G(z,2') sei in z vom Grade n Die Gleichung (52) CO in 2 hat keine vielfachen Wurzeln z == E; denn sonst hatten die beiden Funectionen (2) gı (@) — gu (@)g(@) = y(2 d)‚ g° (2) gı (@&') — g1(2) g(@) = y1(2,2') einen gemeinsamen Theiler; den gleichen hätte dann ebenfalls gil2) y (@ ) — gul@) : y71(8, 2) = gu(@”) - [9(2) g1(£) — g (2) g1(2)] und also auch g(2) g1(8) — g (2) 91 (2); d. h. G(z, z’) wäre durch eine Funetion von z allein theilbar, und g(£) hätte gegen die Annahme mit g g,.(z) einen Factor gemein. Es ist ferner (53) G(2', 2) = — G(e, 2 ) E IA und deshalb ist %z == 2’ eine Wurzel von (52). <) Vorlesungen üb. d, Ikosaeder (1884), p. 258. **) Math. Ann. 29 (1887), p. 318. **) Math. Ann. 9 (1876), p. 168 506 Achtundsechzigste Vorlesung $ 649—650. Sind nun 2 = %, %1, %, * Zn—1 Sämmtliche Wurzeln von (52), dann sind dieselben Grössen auch sämmtliche Wurzeln von (52°) G @= 0, 1200 =1), wie sich aus (51) ergiebt. Die gleichen Wurzeln hat jede Gleichung (52”) Gla 8)= 0 Nun möge eine ganze Funection T’(&, 2') vom n“ Grade in z gegeben sein, deren Nullwerthe 2 = 2, 21, - Zn—1 sind, und die so beschaffen ist, dass alle Gleichungen in z IN(@ A)= 0 (x=0,1,...n—1) Wir wollen die Natur dieser Funetion I” dieselben Wurzeln aufweisen. untersuchen. Es sei TeR) Za HCT C dann folgt aus den Annahmen für jeden Index x= 1,2,...m% O, (%a) __ P (2ß) (“7 ß=07 1,*"7'2—1>, Po(%) — Po(%) so dass jede der Gleichungen (x=1‚é‚--—n) (54) o (£) P, (2°) — pu(@) pol&)= 0 Dabei können nicht alle dieselben Würzeln hat wie I'(z, 2') =0. Gleichungen (54) identisch erfüllt sein; die hingeschriebene möge zu den nicht identisch erfüllten gehören. Gilt weiter T’(2, 2') = const. I’(2', 2), woraus durch Iteration der Vertauschung sofort const. = + 1 folgt, dann muss einer der Ausdrücke (54) zum n Grade aufsteigen. Sind 2 _1 unter einander verschieden, dann stimmt ferner die 2', 21, T’(z, z') bis auf eine unwesentliche Constante mit (54) überein. Die für I’(z, 2') aufgestellten - Bedingungen führen also darauf, dass diese Funetion die Gestalt von G(z, z) in (51) besitzt. 8 650. Nun betrachten wir den grössten gemeinsamen Theiler K(z, 2') der beiden ähnlich geformten Ausdrücke G(8, g') = gl@) gı @) — n I@'), (51°) H(2, 2') =h(2)h(2) — A (2)B(@). Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades 507 Es folgt sofort aus dieser Gestalt, dass K(2, 2') = const. K (2’, 2) seın muss Da ferner C@ 2)=0 @ 0)=0 nur verschiedene Wurzeln haben, so hat auch K@a)=0 nur unter einander verschiedene Wurzeln £=2, 21, By— 1 Da endlich K(@, 2) der grösste gemeinsame Theiler von G (2, %), Jal(@ C) ist, so folgt, dass die Wurzeln von K(@ a)=0 sowohl zu denen von G(2, zu) =0 als auch von B Bu)= 0 gehören, d. h. dass es wieder 2, 2;, Zy —1 sind. Es sind also sämmt- liche im vorigen Paragraphen für I’(z, z’) aufgestellten Bedingungen erfüllt, so dass gesetzt werden kann (55) K(g, g') = k(2) k‚ (2') — k (2)k(2') Da 2 &19 Z,— 1 zu den Wurzeln jeder der Gleichungen (51* gehören, so ist g@) i V lg(z‚a) und h(z) (Za) gı (@') Iı a> (24 Z d. h. beide Brüche auf den linken Seiten der Gleichungen sind rational durch die Coefficienten von (55), d. h. durch k(2’): k,(2’) darstellbar Es wird demnach, wenn das willkürliche 2’ durch z ersetzt wird g.@) k@) h(2) k(z) (56) 91 @) ( k @ } h, (?) ( k (2) ) Umgekehrt lässt sich auch k@) rational durch @ und h(?) @ gı @) h, (?) darstellen Denn setzt man g(@') h(?') — (57) 91 (@’) ’ h ( Z D ) 2 schreibt die beiden Funetionen aus (51°) in der Form (51°) I(2) — gu(@) 2 h(2) — h,(2) - 508 Achtundsechzigste Vorlesung 8 650—651. und sucht dann zu diesen Funetionen den grössten gemeinsamen Theiler, indem man Z und w als willkürliche Parameter betrachtet, so wird der KEuklid’sche Algorithmus auf (51”) eine Reihe von Functionen folgen lassen, die ım Allgemeinen mit einer von z unabhängigen Function abschliessen werden. Setzt man ın ihnen, von der letzten anfangend und rückwärts gehend, für 2 und w die Werthe (57) ein, so wird die erste dabei nicht verschwindende Funetion den grössten gemeinsamen Theiler, also (55) geben. Und hierbei erscheint dieser, abgesehen von einem von z unabhängigen Factor, als Funetion von 4 und u. Damit ist also bewiesen, dass man setzen kann k(2) Rar g(8) h(2) O ( g,(?)? h,(2) ) ; So sind wir auf den Lüroth’schen Satz gekommen: Ist —— C h(z) gı (@)? 7 dann giebt es eine rationale Function V=R(Ä'7 (“") derart, dass man umgekehrt auch A = Rı (v), u = R(v) bei rationalen R, und R, setzen kann. $ 651. Es seien nun weiter ) G=_gi(zl7z2ﬂzß’ ) JEr 77’(21a ng1 Zg @yı 559 NC ) zwei rationale gebrochene Functionen mehrerer Variablen 2,, 2, von der Eigenschaft, dass bei der Elimination von 2‚ aus Ig—Iu G=0 und Z H— alle z aus g, gı, , h, verschwinden, so dass die Kıliminante D(G, H) 0 von den z frei wird, oder auch, dass zwischen G und H eine von den AA “ unabhängige Gleichung besteht. Unter a, b, - verstehen wir jetzt willkürliche Constante, unter 5 eine Unbekannte, setzen gE, , b, : ) ( (85 &.0 7 ) g=g;(ﬁ‚a‚b‚"'j’ D= hl(£v A, b3 z ) und fragen nach den Werthepaaren von g und h, für welche die Gleichungen .Ü(£7 A, b)"')" 9'91(£; &, b;"')=07 h(ä;“; b7"')”_[)'hl(g7“7bf"')=o Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades. 509 eine gemeinsame Wurzel &$ haben. Dafür ist es charakteristisch, dass die Resultante der beiden Gleichungen verschwinde. Dies ist nun die oben aufgestellte Function ®(g, h), und diese wird für Q=G‚ Ü=H wirklich Null. Man kann also einen Werth & finden, für den K ) =g(äv a7"') h(z1)_zz 1_) Ar h(E, @, 9 In (1 > %er ) G ) 77/;(Zl © Z27 ) AA ] wird. Wendet man nun den Lüroth’schen Satz auf die beiden Fune- tionen von 5& an, dann folgt: Wenn die Functionen _ B5 290) NM (&1 %, AL ) 9ı (Z1 5 Za ..)7 Ö @15 856 ) einer vOoN 1, %, unabhängigen Gleichung D(i, u)= 0 genügen, dann kann man eine rationale Function finden v= R(2, w), durch welche sich rational ergiebt 4 = R1(”)7 u = Ro(V). Nun seien drei rationale Funetionen G, H, K von 2,, 3y 2'3‚ gegeben, zwischen. denen zwei von den z unabhängige Relationen W (6, H, K) —0, W (G, H, K)=0 bestehen. Eliminirt man G, so gilt der vorige Satz für H' und K, d. h. man kann setzen v=R(H, K); H= Rı(v), K= Rı(»y) und demnach auch (@« = 1, 2) Da (G; R‘2(”)7 R3(’")) =0. Deshalb folgt ebenso 75:S(G7 7/)=T(G7 H; K)? V To(“)7 G = T1(”); HRa K T: Auf diesem Wege kommt man zu dem Gordan’schen Satze *): Be- stehen zwischen m rationalen Functionen von n Variablen (m — 1) von diesen Variablen unabhängige Relationen, so lässt sich eine rationale Function jener m Functionen her- stellen, durch die sich umgekehrt eine jede der gegebenen m Functionen rational darstellen lässt. D *) Math. Ann. 29 (1887), p. 318. 510 Achtundsechzigste Vorlesung $ 652—653. & 652. Wir gehen nun unserem eigentlichen Ziele entgegen, indem wir die Resolventengleichung für alle conjugen Werthe der Funcetion &, F(go)=0 mit den Wurzeln %,, @,, :-- @o untersuchen, deren Coefficienten nur von einem einzigen Parameter @ abhängen. Dabei bedeuten also ı, Pa, - Po die sämmtlichen conjugen Werthe von &, im Bereiche der symmetrischen Gruppe; sie selbst sowie @ sind rationale Func- tionen von % Wwillkürlichen Grössen 2,, %, ZIZ Ausführlicher können wir also F(Q’; @)=O schreiben, wo dann in / ausser g und @ nur noch Constante vor- kommen. Es ist F(go„‚ @)=07 F(97/3’7 @)=O für alle x, 8=1,2,--.-.0o. Eliminirt man aus beiden Gleichungen ©, so folgt eine Gleichung mit constanten Coefficienten Fılg, pe)= 0, und nun führt uns der obige Gordan’sche Satz sofort zu der Ein- sicht, dass jedes der qg sich rational durch eine Grösse w ausdrücken Jässt, welche umgekehrt aus ihnen rational gebildet werden kann. Wir schreiben dies d = W @1 y° D) , = T(v), ‘P2=Tz('al’); e ‘PQ=TQ(Ü>° Ist ”>4, dann muss &% zur Gruppe 1 gehören, da sonst gegen 8& 543 die Gruppen der Funetionen @,, %, ::: @o sämmtlich eine Substitution gemeinsam hätten, die von der Einheit verschieden ist. w& wird also eine Galois’sche Funetion von %! Werthen, und alle 1pl a T(qjil7 (p".27 U qh@)) welche durch Einwirkung irgend einer Substitution s; der z aus w& hervorgehen, sind unter einander verschieden. Nun stimmt die Reihe der Argumente %; , %, i mit der Reihe %,, ,: o bis auf die, Folge überein, und die %,, %, sind Funetionen von &. Folglich muss sein ; = QV). Da auch die umgekehrten Schlüsse gelten, wie die Betrachtung von D = Tı(ı), Dn = o (%), OE To(.) Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades. 511 zeigt, so ergiebt sich: Jeder der conjugen Werthe w,, %, 1/’n' ist eine ratıonale Function jedes anderen. Daraus folgt, dass ein jeder eine lineare gebrochene Function jedes anderen ist. Denn setzen wir Va _ M@) —_ Va(e) 0 N(%)? A so folgt bei Substitution des zweiten Werthes von w ; in die erste Gleichung, weil dadurch eine Identität entstehen müsste, und also rechts gekürzt werden könnte, der ausgesprochene Satz nach S 273, Bd. I. Folglich ist, immer mit constanten Coefficienten, Va Z d — 0 D V + d? ß —, Fa $ 653. Wir wählen nun einen beliebigen Werth % aus und setzen 2) _h(z„z„ k(2172”21 8° wobei % und % ganze Funetionen der Argumente z ohne gemeinsamen Theiler sein sollen. Ebenso schreiben wir ) n (z‚l7l‚ Ba S ) A S k (: Ba )_ki(‚z„z2‚_ ) Es ist nun nach der letzten Gleichung des vorigen Paragraphen == a;h + b;k C;,h + d,k? und da % mit % keinen gemeinsamen Theiler hat, so hat einen solchen auch %; nicht mit %; und ebenso wenig (a;h + b;k) mit (c;h + d;k). Folglich sind bis auf constante Factoren die beiden Zähler der letzten Gleichung einander gleich und auch die beiden Nenner. Diese con- stanten Factoren können wir mit A;, b; bezw. C, d; vereint denken und dürfen h=ah +bisk, k=ch + d;k schreiben. Dies gilt für beliebige Indices %, so dass wir h; = alh + b;k, h; = ajh + b;k setzen können. Ist a;b; — a;b; von Null verséhieden, so liefert die Elimination von % eine lineare Beziehung zwischen A, h; und A;. Ist dagegen a;b; = b;a;, so gilt schon eine lineare Beziehung zwischen 512 Achtundsechzigste Vorlesung $ 653—655. h; und h;. In beiden Fällen also giebt es zwischen drei willkürlichen conjugen Functionen h, h;, h; eine Relation a:-h+ ß M + h;=0, in welcher mindestens zwei der Coefficienten von 0 verschieden sind. Man kann daher jede der conjugen Functionen h,, , h3, durch zwei willkürlich gewählte %, in der Form (64) ha = Aclız + Oal (@=1,2,3,:--) darstellen. $ 654. Um hieraus weitere Schlüsse ziehen zu können, wollen wir ein allgemeines Theorem über die conjugen Gruppen ($ 541) einer Gruppe G+ G, A, Gs) G ableiten. Der Satz gehört zu dem in $ 543 behandelten und lautet: Jede Gruppe G, von Substitutionen aus %” Elementen hat mit einer ihrer conjugen Gruppen noch von der Einheit verschiedene Substitutionen gemeinsam, wenn n >4 ist. Gesetzt G, besässe mit jeder der Gruppen G, G, : G der n Elemente 2Z,, %, .. Z immer nur die Einheitssubstitution gemein- sam, dann sei s eine Substitution aus G,, welche möglichst wenige, nämlich nur (n — v) Elemente umsetzt, wobei v <n sel. Wir betrachten zuerst den Fall v >2. Dann giebt es eine Transposition £= (242g) aus zwei in s nicht vorkommenden Elementen. Nun wird wegen der Form von s die Transformirte ( 150 = (a8p) *S (2u0p) = 5i und wenn f nicht zu G, gehörte, dann hätte G, mit G1 =07'G,t die Substitution s gegen die Voraussetzung gemeinsam. Folglich muss — (222g) In G, vorkommen. Ist jetzt n > 4, nimmt man für die eben betrachtete Substitution s das , dessen Vorkommen in G, soeben nachgewiesen worden ist, dann zeigen dieselben Schlüsse, dass G, alle Transpositionen und also die symmetrische Gruppe umfasst. Hierfür wird das Theorem gegenstandslos. Ist dagegen ”< 4, dann zeigt sich leicht, - dass der Satz nicht mehr gültig bleibt. Wir betrachten nun den Fall v <1. Die Gruppe G, enthält dabei nur reguläre Substitutionen, d. h. solche, die aus Cyklen von derselben Ordnung bestehen. Ist zuerst v = 1, dann ist entweder % oder x — 1 keine Primzahl; daher giebt es eine reguläre Substitution Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades 513 und sie oder eine ihrer in G, die nicht von Primzahlordnung ist Potenzen enthält mehrere Cyklen, z. B (2, %9 @3) (Z4@586) Transformirt man nun ın diesem Falle durch einen der Cyklen z. B hier durch (z,%23), SO reproducirt sich die Substitution Also müsste nach den obigen Schlüssen gegen die Voraussetzung der Cyklus selbst als Substitution zur Gruppe G, gehören Es kann demnach nicht v = 1 sein Ist endlich v= 0 so besteht G, aus Substitutionen die alle oder kein Element umstellen; hier reichen dieselben Ueberlegungen aus ’ auch wenn die Substitutionen nur aus einem Cyklus bestehen indem man z. B., wenn % eine Primzahl ıst $ = ( Zn) durch (21) (222n) (232un—1) transformirt Unser Satz ıst also in allen Fällen bewiesen $ 655 Wählen wir nun in den Betrachtungen des 8& 653 über die Resolventen mit einem Parameter für die Formel (64) Z; und h; so, dass ihre Gruppen ausser der Einheit noch andere Substitutionen gemeinsam haben, dann würden gemäss dieser Formel alle Gruppen der n 7 Wn dieselben Substitutionen gemein haben Das wider- spricht dem Satze $ 543 Folglich giebt es wenn n >4 iıst keine Gleichungen für Resolventen, die nur von einem ein- zigen Parameter abhängen Bei n= 4 treten Funetionen auf, deren Gleichung nur einen Parameter aufweist Nehmen wir die Funetionen (2, 8g) (&a — 2a4) ı (2;2 p Z3) (zl %) so werden ihre conjugen Werthe die folgenden (3 — Zg) (51 '°4> 1 Dı — (Z1 — g) (&a — z4) Pı Pı (23 — (1 — %) (Z3 — 4) TE %) (& — Z4) ı; @s %) (& — %ı) al Pı (& z2) (Zß D Z4) — (21 — 8 ) (&4 — %) Pı (Zu 3) &1 — %) 1—o@, ( 3) (& — %) — 1—o,; Pe (21 8g) (%4 — 2) Pı Netto, Algebra. IT 33 Sln 514 Achtundsechzigste Vorlesung $655. Die allgem. Gleichgn. fünften Grades. Diese sechs sind. die Wurzeln der Grössen %,, %, P6 Gleichung D —y A — GA—5) n An —d I =0; in welcher 4 eine symmetrische Grösse in %,, %, %, %4 bedeutet, die durch 24 (Yo - Xi — _Zq‚g berechnet werden kann. Die obige Gleichung zeigt auch, dass A =z= — o — 80 4 — S @= 1 6) — 290 + eine symmetrische Function der „ oder auch der 24 ist. Namen- und Sachregister (Die lateinischen Zahlen beziehen sich auf den Band, die deutschen auf die Seite.) Abattı IL, 316 Bezoutiante II, 158. 269 Abbildung I, 16 BeEzout’sche Resultante I, 157 Abel ITI, 203 ff. 375. 399. 416. 426. 440 Biehler I, 225. 236. 239 Biermann II, 174 Abel’sche Gleichungen IT, 230 ff. Abel’sche Gruppen IL, 235 ff. 289. Binäre Substitutionen II, 288. Abhängigkeit von Funetionen 100 SS B1qua‚dratmche Gleu‚hung 1D SAl n Ab1@1tu1w IR Zl C Desartes’sche Losuncr IL 922 — eines P10ductes 162 Z Euler’sche Lösung I 341 — einer Summe I, 21 Z ün z Z mit gegebener Gruppe 10R S50 in Absoluter Betrag I, 10 Lagrange’sche Lösung I, 343. Addition I, 1 Z Wurzeld130usswnl 246 344. — complexer Grössen I, 4. 11 Bonnet T, 236. Adjungirun Adjunetion II, 349 Bomhardtl 2 99 2y Adjungirte quadratische Form I, 183 Bougaieff II, 484 Affect IT, 353 Brill I, 14 Aehnliche Substit. u. Gruppen II, 307 Bring II, 487 Algebraische Zahlen IL, 375. Brioschi IT, 14. 493. 500. 502 Algorithmus d. gemeins. Theilers I, 64 ff. Burkhardt IL, 416 — zur Wurzelberechnung I, 300. Burnside I, 205; IL, 337 — — für alle Wurzeln I 308 Algorithmen, die sich ergänzen I, 305 Capelli II, 391. 398 Alternirende Functionen IL, 258 Casus irreducibilis II, 493 ff. — Gattung I, 261 Catalan I, 225 Cauchy I, 37. 249. 272; II, 266. 316 Anfangsradical IL, 399 Amplitude complexer Grössen I, 10 — Existenzbeweis I, 26. 31 Anzahl reeller Wurzeln I, 208 ff, 217 ff. — Interpolation I, 43 230.#. 238 #.; I, 185 — Umkreisungssatz I, 35. 257 Arithmetische Substitutionen II, 274 — Wurzelgrenze I, 203 Arndt I, 362 Cayley II, 70. 146 ff. Aronhold II, 14 Cayley’sche Resultante I, 158 Associatives Gesetz I, 1 Charakteristiken II, 173 ff. Auflösbare Gleichungen fünften Grades Clintock, Me. ITI, 485, 486 IT, 480 ff Cohn T, 290 Auflösbarkeit II, 415 ff Colombier I, 236 Commutatives Gesetz I, 1 Austrittspunkte I, 268; II, 175 Autojuger Theiler II, 328 Complexe, conjuge IL, 306 — Maximaltheiler II, 331 Complexe Grössen I, 1 ff. 3 — geometrische Darstellung I, 10 Bachmann I, 377 Compositionsfactoren II, 332 Baltzer I, 158 Bernoulli, D. I, 290 ff Compositionsreihe II, 332 Conjuge Gattungen IT, 306 Bertini I, 124 Conjuge Gruppen I, 306 Bertrand ITI, 316 Conjuge Werthe II, 302. 306 Betti II, 497 Conjugirt complexe Grössen I, 13 Bezout I, 178; II, 87. 100. 107 Conjugirte Funetionen I, 14 33 516 Namen- und Sachregister. Convergenz von Näherungsalgorithmen Euler’sche Resultantendarstellung I, 152 I, 302. 304. Excess I, 254. Cramer II, 86. Cubische Gleichungen I, 334 ff. — — KEuler’sche Lösung I, 335. Faä di Bruno I, 133. 2 E Factorgruppe II, 343. E —A irreductibler Fall I, 338; IT, 493 ff. Faure I, 225. C goniometrische Lösung I, 338. Folge (Zeichen-) I, 216. — Lagrange’sche Lösung I, 339. Folgenfolge I, 227. _ _ Tschirnhausen’sche Lösung I, 334 Folgenwechsel I, 227. — — Wurzeldiscussion I, 245. 337. Fortschrittsrichtung II, 174. Cyklen von Substitutionen II, 262 ff. Fouret I, 112; II, 120. Cyklische Functionen II, 264 ff. Fourier I, 216. 283. 290. — Gleichungen IT, 208 ff. Frobenius I, 197; II, 239. 277. — Substitutionen II, 262. Function, ganze I, 15. — — mehrerer Var. I, 1 £. Darboux I, 260. — rationale, d. Wurz. I, 113 ff. Dedekind I, 8; II, 375. — o-Werthige I, 114. Definite quadratische Formen I, 197. — symmetrische I, 96 £. 113 ff. Descartes I, 233. 342. — Zerlegung I, 89; II, 15 ff. — Regel I, 219. 222. Functionaldeterminante IT, 90. 138 ff. 165 Determinante quadratischer Form I, 182 Fundamentalsystem I, 109. Diagonalsubstitutionen II, 282. Differentialgl. für Discriminanten I, 180 Galois II, 291. 347. 496. — für Eliminanten II, 116. Galois’sche Funct.-Gattungen IT, 298. — für Resultanten I, 163. — Gleichungen II, 298. — für symmetr. Funct. I, 133 ff.; II, 75 — Gruppe einer Gleichung II, 345 ff Dimension von Funet. II, 2. Ganze Functionen I, 15; II, 1 £f. Discriminanten I, 177 ff.; II. 154 ff. Gattungsbereich II, 376. — Differentialgl. für sie I, 180. Gattungsdiscriminante II, 324. — eines Systems v. Gl. II, 158. Gattung v. Functionen II, 294 ff. Distributives Gesetz I, 3. Gauss I 28° 52. 104 106, 173. 222. 359 Division L, 3. 361. 366. 378; IT, 183. 416. Divisor von Null verschieden I, 3. Gauss’sche Darstellung symmetr. Funct Divisor einer Gruppe II, 236. T, 104. 110. Doppelwurzel I, 17. 181. — Kreistheilung I, 359 ff. Dziobek I, 321. — Wurzelexistenzbeweise I, 28; II, 183 — Zerlegung ganz. Funct. I, 52 Einfache Gruppen II, 328. Gegenbauer II, 457 ff Einheiten I, 3, Geometrische Gruppe II, 277 ff. Einheitselement II, 237. — Reihe I, 91. Einheitswurzeln I, 345. — Substitut. IL 274 ff. Gerade Substitut. II, 260. — Darstellung, geometrische I, 352. — nicht-primitive I, .347. Gesammteliminante II, 131. — primitive I, 347. Gewicht eines Gliedes I, 107. — — ihre Anzahl I, 350. — der Discriminante IL, 162. — — ihre Gleichung I, 353. Glashan II, 484. — — Zugehörigkeit z. Expon. I, 347. 351 Gleichung, algebraische I, 15. Eintrittspunkte I, 268; M, 175. binomische II, 393. 399. dritten Grades (siehe cubische Gl.). Eintypige symm. Funet. I, 97; II, 63. Eisenstein’s Irreduct.-Theorem I, 56. 360 fünften Grades I, 124 ff.; IL, 487 ff. Elementare symm. Funet. I, 96; IT, 64. — — Reduction I, 124 £. Elementare Transformation II, 281. — — auflösbare II, 480 £. Eliminante II, 34. 84. — — Unauflösbarkeit II, 423. Elimination II, 33. Galois’sche II, 298. Kreistheilungs- I, 359 £f.; II, 397. Encke I, 294. End II, 173. reciproke I, 119. Endradical IT, 399. vierten Grades (siehe biquadrat. G1.). Erweiterte cykl. Gleich. II, 267. der Wurzeldifferenzquadrate I, 128 Euklid’scher Algorithm. I, 64 ff. 324. 328. Euler I, 180. 290. 298. 341. 378; II, 88 — zweiten Grades (siehe quadrat. Gl.). — Identitäten I, 41, Gleichungspolynom I, 15. Namen- und Sachregister. I 17 Goniometrische Lösung cubischer Gl. Kiepert II, 487 ff. I ) Kirkmann L, 374. Go T °dä118 T, 159; IL, 490 £f. 505. 509 Klein, F. II, 328. 487. 494. 505. — Wurzelexistenzbeweis AL Kneser IT, 384. 389. 390. 399. 456. Königsberger’s Theorem über irreduct. Grad einer Function I, 15. — — — mehrerer Variablen I, 2. Functionen T, 61. Grenzen für die Wurzeln I, 20. 201 ff. Kreispolygone, reguläre I, 377; II, 453. Grenzgewicht IL, 90. Kreistheilungsgleichung I, 359 ff. — Auflösung nach Gauss I, 365 ff. Grenzpunkte bei Näherungsalgorithmen E S azrange 0376 IT, 305. — Irreductibilität I, 360; I, 397. Gruppen IL, 235. 35 — Äbel’sche II, 235 ff. Kronecker I, 48. 55. 78. 268. 273 168 — geometrische II, 277. 8 B6Ze JI0 ıln 87 06 120 — vertauschbare IT, 327. 175 ff. 203. 207. 239. 266. 271 281 316. 324. 357. 375. 390. 397. 416 436. 441. 502. 505. Hack II, 352. Halbmetacyklische Funet, IL, 283. Harley IL, 487. Labatie IL, 60. Haupt(compositions)reihe IT, 336. Lagrange I, 54. 272. 290. 323 . 331 389. 343. 378 ff.; II, 304. Hermite I, 213. 285. 261; II, 495. z — Theorem I, 269; II, 184 ff. 497 ff, Interpolationsformel I, 39. Hesse II, 467. 474. Lösung d. Kreistheilungsgl. T, 378 ff Hilbert 1I, 126. 193 ff. 354. — numerischer Gleich. I, 328. Hölder II, 321. 343. 454 ff. An Resolvente I, 378. Laguerre I, 205. Homogene Functionen II, 2. Homogeneität d. Eliminante IL, 115. Laplace I, 44. Humbert II, 120. Laurent IT, 156. Lebesgue I, 362. Legendre’s Polynom I, 210. Imaginäre Congruenzwurzeln IL, 291. Lineare gebrochene Function I, 319. Imprimitive Gleichungen II, 208. Imprimitive Gruppen II, 364, — (homogene) Gruppe IL, 283. Indefinite quadrat. Formen I, 197. Liouville II, 38. 76. 107. 118. 172. Interpolationsformel, Cauchy I, 43. Longchamps I, 205. — Lagrange I, 39; IL, 170. Lüroth II, 505. 508. . — Newton IL, 50. Intransitive Gruppen I, 357. Mac Mahon IL, 70. Invarianten Abel’scher Gleich. II, 240. Magnus II, 59. — quadratischer Formen I, 182. Maillet IT, 348. Trreductibilität I, 51 ff.; II, 14. 193 ff Mandl I, 35. — eines Gleichungssystems II, 132. Mathieu I, 281. — der Kreistheilungsgl. I, 360; IL, 397 Metacyklische Functionen I, 285 ; IT, 481 ff. — der Resultante I, 169; IL, 79. — Gleichungen IT, 286. Isenkrahe I, 301. — Gruppen II, 284. Isobarische Function I, 107. Me. Clintock II, 485. 486. Isomorphismus, einstufig II, 339. Meyer, Fr. IL, 45. — mehrstufig II, 341. Minding II, 50 ££. Iterirung I, 314 £f. Mittelradical IL, 399, — allgemeine Eigenschaften I, 316. Mittelwerthsätze I, 214 ff. — gebrochener linearer Funet. I, 319. Modulargleichungen IL, 496. — — rationaler Funet. I, 321. Modul complexer Grössen 0 IT, 495. — elliptischer Functionen Jacobi I, 43. 46. 157. 194. 196. 270. Moigno I, 254. 378; IL, 90. 138. 139. 142. 165. 420. Molk II, 96. 129. 132. 375 390 495. 498 ff. Mollame IL, 467. Jerrard I, 125; II, 487. Multiplicator IT, 495. Jordan II, 51. 316. 363. 443. Multiplicatorgleichung IT, 498 ff. Junker II, 73. 74. Multiplicität v. Wurzeln I, 18. 38. 72 IT, 29. 89 ff Kerschensteiner I, 159 Kettenbrüche I, 329. Nebengruppe II, 306. Newton I, 277. 278; II, 51. Kette von Radicalgrössen II, 398. 518 Namen- und Sachregister. Newton’sche Formeln d. Potenzsummen Quadratische Gleichungen, Wurzeldiscus- I, 98. sion I, 244; IT, 419. — Interpolationsformeln I, 50. — Näherungsmethode I, 282 ff. 309 ff. Radicalzahlen II, 397 ££. 314. Rang Abel’scher Gleichungen I, 278. — Dobeon 1 52 — einer Determinante II, 188. — Regel I, 233, — eines Gleichungssystems IL, 96. 188. — — vervollständigte I, 234. — einer quadrat. Form I, 185; II, 185. Rationalitätsbereich I, 51. 52. 372; Nichtprimitive Einheitswurzeln I, 347. Noether I, 157; II, 124 inl S Norm IL, 381. Recıproke Gleichungen I, 119. 365. Nullstellen I, 17. Recursionsformeln f. Potenzsummen I, 97. 98; II, 65. — © 18elaen IL 06 SOn Ordnung eines Elementes II, 238. — einer Gruppe IL, 238. Recurrirende Reihen I, 86 ff. — der geometrischen Gruppe II, 279. Reductibilität I, 51; IL, 198 ff. — — Recursionsformel I, 88. — eines Gleichungssystems 1, 132, Orthogonale Substitution I, 198. Reductible Functionen II, 14. Reiss IL, 474. Panton I, 205. Resolvente I, 378; IL, 368 ff. Partialbrüche I, 42. 73. Resolventengleichung IL, 369. 372. Partielle Differentialgl. f. Discriminanten — ihre Gruppe II, 369. Resultante I, 149 ff. 162 ££.; IL, 77. I 80 Darstellung I, 150 ff. N Resultanten 6S A n E nach Bezout I, 157; I, 97 ff. — — f, symmetr. Functionen I, 133 £f.; OS I 75. nach Cayley I, 158; II, 146 ff. Pasch I, 214. B nach Euler I, 158. Perioden f. primitive Einheitswurzeln K durch Gleichungswurzeln I, 150. e nach Poisson II, 76 ff. I, 367. Pfaffian II, 191. nach Sylvester IT, 152 ff. Poisson II, 67. 86. 208. Ei genschaften I, 162 ff.; IL, 115 66 Polygone, reguläre I, 377; IL, 453. Irreducetibilität I, 169; IL, 79. Partielle Differentialgl. I, 1638. Polynom einer Gleichung T, 15. Reuschle I, 355. Potenzsummen; independente Darstel- Rolle’s Satz I, 201. 208. lung I, 98; II, 64 ff — Newton’sche Formeln I, 98. — — Anwendungen T, 209 £f. — Waring’sche Formeln I, 100. Ruffini II, 316. 416. — f, Wurzeln d. Einheit I, 356. Runge T, 55; II, 480. Poulam L 20 202 Primitive Einheitswurzeln I, 347. Salmon II, 152. 5 Anzahle 350 Sancery I, 300. 2 Gleichung 1 358; Scheibner I, 175. — Gleichungen II, 208. Schering, E. IL, 289. Schläfli II, 70. 83. — Gruppen IT, 365. Produect d. Wurzeldifferenzquadrate 1,129. Schmidt, C. IT, 108. 107. Schönemann IT, 397. Schröder I, 300. Quadratische Formen I, 182 ff Selivanoff IL, 480. 484. O Aunr SS Serret II, 107. 316. definite I, 197. Determinante I, 182. Signatur quadratischer Formen %. OS Hermite’sche I, 261 ff.; II, 184 ff. IL, 185. indefinite I, 197. Signum L, 21. Invariante I, 182. Singuläre Punkte IT, 160. 163. Species quadratischer Formen IL OC Rang I, 185; II, 188 ff. Steiner IL, 474. reciproke I, 183. Signatur I, 197; II, 185. Stickelberger IL, 289. Species I, 197. Stufe eines Gleichungssystems II, 96. 131. Trägheitsgesetz I, 195. Sturm I, 238. 252. 253. Transformation I, 183. Sturm’scher Satz I, 240. —_- — — aus dem Cauchy’schen Umkreisungs- Verwandlung in Quadrate T, 190. 5uadr atische Gleichungen, Lösung I, 334. satze I, 257. 519 Namen- und Sachregister. Vertauschbare Gruppen II, 326 ff. Subgruppe II, 236. Substitutionen I, 96; IL, 256. — Substitutionen II, 326 ff. — -Gruppe II, 258. Vielfaches einer Gruppe II, 236. — vertauschbare IL, 324. Vielfache Wurzeln I, 18. 38. 72. 181; Sylvester I, 127. 158. 182. 199. 213. 225. II, 29. 89 ff. 280. 288 252 e IUL DE Vincent I, 381. — Trägheitsgesetz I, 194. Symmetrische Functionen I, 96 ff. ; 1I, 63 ff. Waring I, 100. 272. 324. — — Dioonulalel, 1L 188 R2 IL 5 — Formel f. Potenzsummen T, 100. Sn — eintypige I, 97; II, 63. Weber, H. II, 215. 306. 328. 352. 441. — — elementare I, 96; IT, 64. Wechsel der Zeichen I, 216. Zn — Relationen unter ihnen II, 71. Wechselfolge I, 227. E FA Gattung II, 256. Wechselwechsel I, 227. rationale Functionen I, 112. Weierstrass T, 8. Wendepunkte II, 460 ff. Tauber I, 310. — -Dreieck II, 472. — -Gerade II, 471. Thaer II, 14. Theileliminante II, 131. Wurzel I, 17; II, 25. 26. Theiler, grösster gemeinsamer I, 64 ff. — Anzahl I, 26; II, 38. 45. 49 ff. 85 ff, Il, 21 ff — — (Geeller) 1, 205 21% 280, 288 — einer Gruppe IL, 236. IM 168 -— — — autojuger- IT, 328. Wurzelexistenzbeweis I, 26 ff. Transformation der Gleichungen I, 1138 ff. Wurzelpunkt I, 17; II, 26. — der Gruppen II, 307. — dquadratischer Formen I, 183. Young IT, 484. Transformirte einer Gruppe od. Funetion IT, 308. Zeichenfolge I, 216. Transitive Gruppen II, 357 ff Zeichenwechsel I, 216. Transposition 1, 258. Zerfällung einer Gleichung II, 373. Trennung der Wurzeln I, 279 ff. Zerlegbare Functionen II, 14. Tripelgleichungen II, 474 ff. Zerlegung Abel’scher Gruppen II, 251. Tschirnhausen - Transformation I, 119. — ganzer Functionen in lineare Factoren 125. 334. 341. 1, 6, — — — In irreductible Factoren I, 51. 71. Umschlingung des Nullpunktes I, 38. — rationaler Functionen in Partialbrüche Unabhängigkeit eines Functionensystems E 49 B, IL 185 Zsigmondy II, 289. Ungerade Substitutionen II, 260. Zulauf II, 474. Untergruppe II, 236. Zusammengesetzte Gruppen II, 328. Unzerlegbare Functionen II, 14. Zweifache Transitivität II, 361. E N .6 A r E ı DD K x x P Ya RS Rr NNl A A ® X D N S © X S AN u... 7 d D X W PE e — F AN \ ..Mr.. ® “ D B A © {n U f i M Ök R % S M n G A g n D A &\ 7 © x S Or A O A 7 A © M SE S „..‚.„.< f d S %. &. x ‚... u B + S H 3 „ K RN A r &: C R Ö ® » S OEn JM.‚ A $ v fr A A x E 6} S e L& E S Kn E En f > &e RE .\M: r D SX K $ HE 88 36 . SEn %i K 5 ® R a A WM; «r Y $ Z n HM„„W) E w 5 A C Kn C ® l 7 I A r A S R F ® S 42 5 ” A 24 H € 5 n S j D S e a w IS n &. D p‚ Z e E \ E O IA 3B G N &: S ö E E B AAn S ® 6E C s S 3E s X Z A A $ S i 5 { f ® Ka N er k H$ y b M A X N b 3 SS A ea R r E d W i 7 x D 58 8 $ K N OR E M S € Kr M en d E R ® S CS F S a M‚ D m s SA X f D M —.\.W E ® 4M i w BT A0 A %. 7 r S Ö Z SK &5 W z} D { E SE R OEn &* \.MW‚ e 3 C r B » 4, D @ i Aw } n 8z z f K + E vr S p S e % D n \ 3 7 R Ö A Z + e E 7 Ö A SE e N A &r 7 5 P A © E S R X E O A SN Sl W g u ‚„. w 7 .>..ﬁ i X M W.vf‚ An ..„ u &x E O n “ ‚„ A E H 3 e KD S X © E O 4 A RLn a 0 O Z E SE a ‚5 R SM w„.. Kr O Sarı W r n E IC N $ W S ‚„“ Q, % AA S % {& : S R &5 4 e Z e n A x X % E < &. s S4 GE K 3 0ya ES S S AA $ X %, E cr 5 R S, ‚S 3 K A 5 HE .@! ® n n.V ' WE F a 4 A br An e v © COA A F S 65 > B S DE .. S Ml L a S f s e . “ SR F E e %A Yi $ An Sa Z X nn K A RLT , {& %A en x d .d Z } % 1 x 53 R 73 O A Ar i . OS AAn ‚w. KT x S X &s S& e n $ S &2 B M X72} * Y A < E n © B X $ X Cn % VäR X &X b} n P DE ® OE AA s 1»{ kN X ° A e s O i S N v f % E e "“. n A &. © r C G IM 1 z n } s D K © $ ® Dr e "_n?f) N $ 2 AI S A e { % z X B c &$ B M SE 7 8 Ö S D A r A 3 {A E b Sn R S w M x Za v A 5 Z Ka : x A x ﬁﬂ‘ßä‘ 8 ® ® v : E D A A SE 1 it; C H SS P Aa n A ST * B bn f X n A C Z £ CS {ä;;£‘ A X © %x E O F & f f;n_.lL S S e ; 5 % M A )!; N X N A J3 Ö - * E 5 SE X A % G 8 N ä $ Z S j& ® BA E N B M Y x R Y % A i .;; M } & ® N e e ® ;;; A M %. A ‚;"‘ , % B E ON z g { z NS S “ D $ \ S SE 2 % - O Ü f} ‘:‚ä S n n N % a F D DArn x Y A f a S C a E n 36 d + I D F öa A e 3 Sn X E w E A E C - 5 Ka RS »& e P A V D c a ® 60 {r fr bn z S Hn D Z &i O ALn - 5 53 K 3 S E DU E A r &s % R SR ?_; Z © S A ii I ® “ S b N A n f OR A S K Sı A KL $s S Z x 2 A s ü O M .» vn ® 7 9% <Arn N E z A Z S S Z 8 Aı n Y A er AD a o S f 5ä:i 3O Sr n „ ; S 8 5 A s S08 3 3n W v \ ö S S S C HEn x >® xn 4] AB % } N € a S ; A F / TE e A - { E Z A S F F5 M X Au x b €} E P Y 8 s A KD a DE A A . el A Sa D E f A n © K j % 2 S n KB C \: S e N S n G O 7 © . CS ca S &. e e w Arı x S %’ r © © E RE R E Za F ; * g P r V N ::‚ F Z * O S A u DE A SA E 23 Z — % Z S A e R A wwr 4> RA E g e C A 0# ‘n Yn P P x E C © S;. 5 % E K &. E < 4} C < A © ra f'l , E ü S 4 x * * n ca D Ar E w Ar% A 4 * s © S Z $ E ä S a S ; 4W äg E Zn . S S A * $ 35 ( r . 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Denn setzen wir U > l x M(#) (Vo = ß T > N ()’ Ah(C) Euroskala Offset | jon des zweıten Werthes von %g in die erste S = ch eine Identität entstehen müsste, und also l könnte, der ausgesprochene Satz nach $ 273, R ımer mit constanten Coefficienten, l du, — 0 Cla Q 7 “»”p’+ d? ß —C00 +a VierFarbSelector Standard* 115 an nun einen beliebigen Werth & aus und setzen Balance h(z„z„ %n) | (9) ä k(21,22‚ .Z„)’ ] Focus 15 Funetionen der Argumente z ohne gemeinsamen benso schreiben wir | N 14 E h (‚z‚.l‚ D ) h„'(zlv z21 ) ) M 13 _k(z{‚z„-.) @ 9 ;tzten Gleichung des vorigen Paragraphen L 12 h 7 ayh + b;k ]l/ c,h + d,k? K 11 gemeinsamen Theiler hat, so hat einen solchen J 10 und ebenso wenig (a/h + b;k) mit (cih + d;k). ‚onstante Factoren die beiden Zähler der letzten I s»ch und auch die beiden Nenner. Diese con- ıen wir mit a;, b; bezw. c;, d; vereint denken H d Il ach + b;k, 71‚ =— C;]L + d,']»' G ir beliebige Indices %, SO dass wır F h; == a;h + b,jl[‚ h; ED Gjh + bj7v' E b; — ajb; von Null versﬁhieden‚ so liefert die D 3 lineare Beziehung zwischen %, %; und h;. Ist %__ H8 30 gilt schon eine lineare Beziehung zwischen C 1 ü Copyright 4/1999 YxyMaster GmbH www.yxymaster.com