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VORLESUNGEN

ÜBER

LORBEBR

VoN

Drs. EUGEN NETTO,

O. Ö. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT ZU GIESSEN.

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IN ZWEI BÄNDEN.

FEEDE SO

ZWEITER BAND.

MIT EINGEDRUCKTEN_HOLZSCHNITTEN.

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DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.

19_00.

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ALLE RECHTE,

EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.

Vorwort.

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Der vorliegende zweite und letzte Band meiner „Vorlesungen über

Algebra“ umfasst zwei getrennte,, von einander weit verschiedene Stoffe,

die Theorie der Elimination und diejenige der höheren Gleichungen einer

Unbekannten. Ein Abschluss konnte, wie dies ja für ein wissenschaftliches

Werk naturgemäss ist, in keinem der beiden Abschnitte erreicht werden;

aber bei der Behandlung der Elimination liess sich nach der Richtung

eine gewisse Vollständigkeit erreichen, als die hauptsächlichsten Resultate

der bisherigen auf diesem Gebiete angestellten Untersuchungen besprochen

und verwerthet wurden; es sind wohl kaum wichtigere Forschungen

über die Elimination unerwähnt geblieben.

Eine kurze Theorie der

ganzen Funetionen mehrerer Veränderlichen musste vorausgehen, in

welcher die Grundeigenschaften, die Irreductibilitätsfragen, die Wurzeln

ganzer Funetionen besprochen wurden.

Hierher hätte wohl auch eine

eingehende Darstellung der Modulsysteme gehört; doch glaubte ich

von dieser absehen zu müssen, da die schwierigen Fragen, welche dabei

auftauchen, noch nicht hinlänglich ihre Beantwortung gefunden haben.

Bei der Theorie der Elimination wurden die Hauptmethoden behandelt.

In der Bezeichnung folgte ich den englischen Forschern, indem ich

zwischen „Resultante“ und „Eliminante“ sorgfältig unterschied.

Lässt es sich auch nicht durchaus rechtfertigen, diesen Abschnitt

an die Stelle gesetzt zu haben, an welcher er steht, so blieb doch

kaum eine Wahl, da seine Resultate sich auf das Vorhergehende stützen

und beim Nachfolgenden benutzt werden.

Bei der Besprechung der höheren Gleichungen einer Unbekannten

musste, aus Gründen des Raumes, sowohl auf eine Berücksichtigung

aller werthvollen Forschungen in den behandelten Gebieten, als auch

auf eine Darlegung aller ihrem Wesen nach hergehöriger Gebiete ver-

zichtet werden. Es war dies dem Verfasser um so weniger angenehm,

als dadurch die Behandlung von Fragen bei Seite geschoben werden

musste, die in neuester Zeit wesentlich gefördert wurde und eine ab-

geschlossene Darstellung erlaubt hätte. Vielleicht wird es 1th möglich

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1V:

Vorwort.

Dass bei

sein, in anderer Weise die gebliebenen Lücken auszufüllen.

dieser Lage der Abschluss des ganzen Werkes etwas Willkürliches auf-

weist, ist nur zu erklärlich; aber ein genaues Eingehen zeigt, dass

dieser Mangel auch beim Weiterschreiten sich nicht hätte beseitigen

lassen, da aller Orten am Ausbau der Theorien gearbeitet wird.

Das Heranziehen der Gruppen- und der Substitutionentheorie,

welches im ersten Bande und auch im ersten Abschnitte des zweiten

Bandes vermieden werden konnte, war hier eine Nothwendigkeit.

Ich

habe versucht, Alles was von dieser Theorie gebracht werden musste,

in unmittelbare Beziehung zu den algebraischen Gleichungen zu setzen,

selbst wenn dabei manches interessante und für andere Zweige der

Wissenschaft durchaus wichtige Theorem unberücksichtigt bleiben musste.

Mit einigem Widerstreben habe ich in diesem Abschnitte eine viel-

fach neue Nomenclatur benutzt; es galt den Versuch, etwas schwer-

fällige Bezeichnungen durch bequemere zu ersetzen; und leider ist die

Mannigfaltigkeit in den Benennungen zur Zeit noch eine so grosse, es

haben sich einheitliche Bräuche so wenig ausgebildet, dass der Versuch

wenigstens nicht als etwas ganz Besonderes bezeichnet werden kann.

Auch in diesem Bande habe ich die Literaturangaben möglichst

vollständig zu liefern gesucht.

Giessen.

Eugen Netto.

Inhaltsverzeichniss.

Vierter Abschnitt. :

Gleichungen mit mehreren Unbekannten (Vorlesung 30—48).

I. Funetionen mehrerer Variablen (Vorlesung 30—32).

Ganze Functionen mehrerer Variablen.

Dreissigste Vorlesung.

S. 1—10.

$ 327. Ganze Functionen mehrerer Variablen. Definitionen. $ 32é. Zahl der

Glieder vollständiger Functionen. $ 330. Gliederzahl unter gewissen Bedingungen.

$ 331. Reductionsformeln.

Einunddreissigste Vorlesung. Fundamentaleigenschaften ganzer Func-

tionen von mehreren unabhängigen Variablen. Reductibilität. Zer-

legung.

S.10—25.

$ 337. Identisches Verschwinden.

$ 339. Identisches Verschwinden eines

Products.

$ 340. Substitution, welche den Grad gleich der Dimension macht.

$ 341. Zerlegbare und unzerlegbare Functionen.

$ 342. Zerlegung in irreductible

Factoren.

$ 343. Theilbarkeitssätze.

$ 345. Grösster gemeinsamer Theiler.

Zweiunddreissigste Vorlesung. Wurzeln einer Gleichung und eines

Gleichungssystems mehrerer Variablen.

S. 25—33.

$ 347. Wurzeln einer Gleichung. $ 348. Wurzeln eines Gleichungssystems.

$ 349. Unendlich grosse Wurzeln.

$ 350. Versuch einer Zerlegung nach linearen

Factoren.

$ 351. Vielfache Wurzeln.

$ 352. Relationen zwischen den Wurzeln

eines Gleichungssystems.

$ 353. Stetigkeit der Wurzeln.

$ 354. Fragestellungen.

II. Elimination (Vorlesung 33—47).

Dreiunddreissigste Vorlesung.

Elimination bei zwei Gleichungen mit

zwei Unbekannten.

S. 33—42.

$ 355. Bildung der Eliminante.

Ihr Grad. $ 357. Berechnung der Wurzeln

mit Hülfe der Eliminante.

$ 358. Anzahl der Wurzeln.

$ 359. Liouville’sche

Substitution.

$ 360. Structur der Eliminante.

VI

Inhaltsverzeichniss.

Vierunddreissigste Vorlesung. Uebergang vom allgemeinen zu beson-

deren Fällen.

S. 42 —49.

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$ 362. Gradreduction der Eliminante.

$ 363. Die Complexe der Glieder

höchster Dimension beider Gleichungen haben Factoren gemein. $ 365. Unend-

lich grosse Wurzeln.

$ 366.

Hülfssatz über

die Structur der Resultanten.

$ 368. Unendlich viele Wurzeln.

Fünfunddreissigste Vorlesung. Die Minding’sche Re gel.

Das Labatie’sche Theorem. S. 49—62.

$ 369. Entwickelung einer Wurzel in eine unendliche Reihe. 8 370. Newton-

sches Polygon. $ 374. Erste Minding’sche Regel. $ 375. Zweite Minding’sche

Regel.

$ 376. Labatie’sches Theorem.

Sechsunddreissigste Vorlesung. Symmetrische Functionen mehrerer

Grössenreihen.

S. 683 — 76.

$ 377. Definitionen. $ 378. Reductionsformeln. $ 379. Darstellung durch die

Potenzsummen, 8 380. Zweite Methode dieser Darstellung. 8& 382. Dritte Methode.

$ 383. Relationen zwischen den elementaren Funetionen.

Unabhängige Systeme.

$ 386. Partielle

$ 385. Abhängigkeit der Relationen von der Zahl der Grössen.

Differentialgleichungen.

Siebenunddreissigste Vorlesung.

Resultante und Eliminante.

Poisson’sche Methode.

S. 76 —87.

$ 387. Einführung der Liouville’schen Hülfsgrösse. $ 388. Resultanten

von m Gleichungen.

8 389. Grundeigenschaften der Resultanten.

$ 390. Ihre

Irreductibilität.

$ 391. Verschiedene mögliche Bildungen.

$ 392. Poisson’sche

Darstellung.

& 393.

Eliminante.

Grad derselben.

$ 396.

Eigenschaften der

Eliminante.

Achtunddreissigste Vorlesung. Unendlich grosse Wurzeln.

Vielfache

Wurzeln.

Unendlich viele Wurzeln.

S. 88—97.

$ 398. Unendlich grosse Wurzeln.

8 399. Mehrfache Wurzeln.

Functional-

determinante. $ 408. Abhängigkeit der Multiplicität der Wurzel eines Gleichungs-

systems von ihrer Multiplicität als Wurzel einer der Gleichungen.

$ 404. Un-

endlich viele Wurzeln.

$ 405. Stufe oder Rang eines Systems.

Neununddreissigste Vorlesung.

Elimination.

BeEzout’sche Methode.

S. 97—115.

& 406. Nothwendigkeit gleichzeitiger Elimination. $ 407. Behandlung des

Problems durch die Liouville’sche Substitution.

$ 408. BEzout’sche Methode.

8& 412. Darstellung der Eliminante als lineares, homogenes

8 410. Ergänzungen.

Aggregat der Gleichungspolynome, $ 414. Die Wurzeln des Systems werden aus

denen der Eliminante hergeleitet.

8& 417. Graderniedrigung der Eliminanten.

8& 419. B6zout’s Resultate für besondere Fälle.

8 420. Reduction einer belie-

bigen Funetion auf eine Normalform.

VIT

Inhaltsverzeichniss.

Vierzigste Vorlesung. Eigenschaften der Eliminanten und der

Resultanten.

S. 115 —127.

8& 421. Homogeneität; Gewicht.

8& 422. Differentialgleichungen. $ 423. Be-

rechnung der Wurzeln aus der Resultante. $ 424. Einführung neuer Variablen

in die Gleichungen. $ 425. Liouville’scher Satz. $426. Schwerpunkt der Be-

$ 427. Darstellung einer Function, die

rührungspunkte paralleler Tangenten.

für alle Wurzeln eines Systems verschwindet,

8 428.

Noether’scher . Satz.

$ 480. Hilbert’scher Satz.

Einundvierzigste Vorlesung.

Kronecker’s Eliminationsmethode.

S. 127 —135.

Reductibilität und Irreductibilität.

$ 432. Fragestellung.

$ 433. Das „Gemeinsame‘“ der Gleichungen eines

Systems. $ 434. Gesammteliminante und Theileliminante. $ 435. Reductibilität

$ 487. Dar-

und Irreductibilität eines Systems.

$ 436. Theiler eines Systems.

stellung jedes Gleichungssystems von m Variablen durch (m + 1) Gleichungen.

Zweiundvierzigste Vorlesung. Abhängigkeit und Unabhängigkeit von

Functionen und von Gleichungen.

Die Functionaldeterminante.

S. 135 —145.

$ 438. Unabhängigkeit von Functionen.

8& 439. (m -+ 1) Functionen von

m Variablen sind nie unabhängig von einander.

$ 440. Bildung der Abhängig-

Functionaldeterminante

keitsrelation.

8 441.

Funetionaldeterminanten.

$ 442,.

homogener Gleichungen.

$ 443. Die homogenen Gleichungen mit einer von Null

verschiedenen Wurzel.

$ 444, Jacobi’s Betrachtungen.

$ 445. Homogene Re-

lationen zwischen unabhängigen Functionen.

Dreiundvierzigste Vorlesung.

Die Cayley’sche und die Sylvester’sche

Eliminationsmethode.

S. 145 — 154.

$ 447. Die Methode Cayley’s.

$ 448. Herstellung eines Multiplums. der

Resultante.

$ 449. Die Resultante als Quotient.

$ 450. Bedenken gegen die

Methode.

$ 451. Die Methode Sylvester’s bei homogenen Gleichungen der-

selben Dimension.

Vierundvierzigste Vorlesung. Discriminanten.

S. 154 —165.

$ 452. Definition.

$ 453. Discriminante als das Quadrat einer Determinante.

$ 454. Erweiterung des Discriminantenbegriffes.

$ 455. Discriminante einer ho-

mogenen Function.

$ 456. Gewicht.

$ 457. Lineare Substitutionen.

$ 458.

Discriminante der Function einer

Function.

$ 459.

Bestimmung der singu-

lären Punkte durch

die Discriminante.

8 460. Discriminante der Functional-

determinante.

Fünfundvierzigste V01'lésuug. Jacobi’s Erweiterung eines Euler’schen

Satzes.

S. 165—173.

$ 461. Beweis des Satzes.

$ 462. Einschränkung.

$ 463. Kronecker’s

Beweis.

$ 465. Liouville’s Beweis.

$ 466. End’s Untersuchungen.

VIN

Inha.ltsverzeichnigs.

Sechsundvierzigste Vorlesung. Die Kronecker’sche Charakteristiken-

theorie.

Die quadratischen Formen Hermite’s.

S. 173 — 188.

8& 467.

Theilung des Raumes durch Vorzeichen von Functionen.

Fort-

schrittsrichtung.

$ 468. HEintritts- und Austrittspunkte.

$ 469. Charakteristik.

$ 470. Darstellung der Charakteristik durch die Zahl der Wurzeln in einem

Gebiete, $ 471. Constanz der Charakteristik. $ 472. Anwendungen. 8 4738. Varia-

tion.. $ 474. Beweis der Wurzelexistenz. $ 475. Hermite’s quadratische Formen.

$ 476. Besondere Fälle.

$ 477. Beziehung der Charakteristik zu den Hermite-

schen Formen.

Siebenundvierzigste Vorlesung.

Die Auflösung linearer Gleichungen.

S. 188—192.

$ 478, Rang eines Systems nach Frobenius.

$ 479. Allgemeine Lösung.

$ 480. Eigenschaft eines Pfaffian.

$ 481. Unabhängige Lösungen.

III. Der Hilbert’sche Irreductibilitätssatz (Vorlesung 48).

Der Hilbert’sche Irreductibilitätssatz.

Achtundvierzigste Vorlesung.

S. 193 — 203.

$ 482. Problemstellung, Hülfssatz.

$ 485. Erste Erweiterung.

$ 486. Defini-

tive Fassung.

Fünfter Abschnitt.

Allgemeine Theorie der algebraischen Gleichung unter Verwendung

der Substitutionengruppen (Vorlesung 49—68).

I. Cyklische und Abel’sche Gleichungen (Vorlesung 49—50).

Neunundvierzigste Vorlesung.

Die cyklischen Gleichungen.

S. 203 — 229.

8& 488. Definition. $ 489. Irreductible Gleichungen, bei denen eine Wurzel

rationale Function einer anderen 1st.

$ 490. Reduetion der Lösung auf die

zweier Gleichungen.

$ 491. Primitive und imprimitive Gleichungen.

$ 492. Cyk-

8 493.

Gauss’sche Methode;

Reduction auf die ein-

lische Gleichungen.

fachsten Elemente.

$ 494. Lagrange’sche Methode.

$ 495. Präcisirung dieser

Methode. $ 496. Darstellung der Wurzeln, durch nicht verschwindende Grössen.

$ 497. Reelle_Rationalitätsbereiche.

$ 498. Beispiele.

$.499. Herstellung cyk-

lischer Gleichungen.

8 500. Beispiele.

$ 502. Kriterium darüber,

ob eine

Gleichung cyklisch ist.

Fünfzigste Vorlesung. Abel’sche Gléichungen.

S. 230—235.

$ 5038. Definition.

8 504. Reduection der Lösung.

8 505. Reduetion auf

cyklische Gleichungen. $ 506. Kreistheilungsgleichung als Beispiel.

IX

Inhaltsverzeichniss.

II. Gruppen und Funetionengattungen (Vorlesung 51—59).

Einundfünfzigste Vorlesung. Abel’sche Gruppen. S. 235—2256.

&$ 507.

Definition der Gruppe.

8 508. Elementareigenschaften endlicher

8& 509. Abel’sche Gruppen. Invarianten.

$ 510. Elemente mit vor-

Gruppen.

geschriebenen Exponenten.

&$ 513. Unabhängigkeit der Invarianten von der

Basis.

8& 514. Zerlegung Abel’scher Gruppen.

$ 515. Eindeutigkeit der Zer-

$ 517. Zerlegung der

legung.

& 516. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen.

Lösung in ihre invarianten Elemente,

Zweiundfünfzigste Vorlesung.

Alternirende und cyklische Functionen.

Anwendung auf Abel’sche Gleichungen.

S. 256 — 274.

8 520. Gerade und ungerade

$ 518. Substitution.

$ 519. Transposition.

Substitutionen.

Alternirende Gattung.

$ 521. Zweiwerthige Funetionen.

8 522.

Zerlegung der Substitutionen in Cykel. 8 523. Cyklische Funetionen und Gruppen.

$ 524. Erweiterte cyklische Funetionen und Gruppen.

$ 526. Darstellung ratio-

naler Funetionen mit Hülfe cyklischer Funetionen. $ 527. Anwendung auf Abel-

sche Gleichungen.

Ihr Rang.

$ 528. Reduction des Ranges.

Dreiundfünfzigste Vorlesung.

Die lineare Gruppe.

S. 274—294,

8& 529. Arithmetische und geometrische Substitutionen. $& 530. Geometrische

$ 581. Ordnung der geometrischen Gruppe.

$ 532. Elementare Trans-

Gruppe.

formationen.

Diagonalsubstitutionen.

8 5383. Lineare, homogene und nicht ho-

mogene Gruppe.

$ 534. Metacyklische Gruppen und Functionen.

8& 536. Halb-

Binäre Substitutionen für

Primzahlmoduln.,

metacyklische Gruppen.

S 587

$ 5838. Homogene lineare Substitutionen, von denen eine Potenz zu 1 wird.

Vierundfünfzigste Vorlesung,

Functionengattungen.

S. 294—- 309.

$ 539. Functionen, die zu einer Gruppe gehören.

Functionen von !

Werthen.

Galois’sche Gruppe und Gattung.

8 540.

Anzahl der Werthe

einer Funetion.

Conjuge Werthe.

Functionen derselben Gattung. Lagrange-

scher Satz.

$ 541.

Conjuge Gattungen und Gruppen.

Conjuge Complexe.

$ 542. Transformationen.

Fünfundfünfzigste Vorlesung. Gattungseigenschaften.

S. 309 — 324.

8 543,

Substitutionen ,

die allen conjugen Gruppen angehören.

$ 544.,

Mehrwerthige Funetionen mit Potenzen von weniger Werthen.

&8 546. Gat-

tungen von möglichst wenigen Werthen.

$ 547. Gattungen von ” Variablen

mit %” Werthen.

$ 548. Gemeinsamer Theiler der Discriminanten aller Func-

tionen einer Gattung.

Inhaltsverzeichniss.

Sechsundfünfzigste Vorlesung.

Composition und Isomorphismus.

S. 324 — 344.

8 549. Vertauschbarkeit von Substitutionen.

$ 550. Vertauschbarkeit von

Gruppen mit Substitutionen.

$ 551. Vertauschbare Gruppen.

$ 552. Theiler

und Vielfache von Gruppen.

Autojuge Theiler.

$ 553. Anwendung.

8 554.

Hauptsätze über autojuge Theiler.

$ 555. Maximaltheiler.

Compositions - Reihen

und -Factoren.

Ihre Constanz.

$ 556. Hauptcompositionsreihe.

Vertauschung

von Substitutionen einer Gruppe der Hauptreihe.

$ 557. Isomorphismus.

$ 558.

Mehrstufiger Isomorphismus.

$ 559. Factorgruppe.

Siebenundfünfzigste Vorlesung.

Die Galois’sche Gruppe einer

Gleichung. 5S. 344—356.

$ 560. Definition.

$ 561. Herstellung der Galois’schen Resolvente.

8 562.

Glei-

Adjunetion von Functionen.

$ 563. Beispiele.

S 564. Affect.

$ 565.

chungen ohne Affect.

Achtundfünfzigste Vorlesung.

Transitivität und Primitivität.

S. 356 — 368.

8& 567. Transitive und intransitive Gruppen.

&$ 568. Gleichungen, deren

Wurzeln rationale Functionen einer unter ihnen sind.

8 569. Abel’sche Glei-

Zweifach transitive

chungen.

8 570. Ordnung transitiver Gruppen.

S SL,

Gruppen.

$ 572. Hülfssatz.

8 573. Gleichung

deren Wurzeln die conjugen

Werthe

einer

Function

sind.

$ 574. Primitive und imprimitive Gruppen.

8 575. Zusammenhang zwischen zusammengesetzten und imprimitiven Gruppen.

Neunundfünfzigste Vorlesung.

Resolventen.

S. 368 — 374.

8 577. Resolventengleichung.

Ihre Gruppe.

$ 576. Resolventengattung.

& 579. Alle Wurzeln einer Resolventengleichung werden adjungirt. Zerfällung

der Gleichungen in Factoren.

HN Algebraisclie Zahlen; Radicalzahlen

(Vorlesung 60 — 65).

Sechzigste Vorlesung.

Algebraische Zahlen.

S. 374—397.

8 580. Rationalitätsbereiche.

8& 581. Algebraische Zahlen.

Gleichung, der

alle conjugen Zahlen genügen.

8& 582. Zahlen verschiedener Ordnungen.

8 583.

Imprimitive Gleichungen.

& 584. Norm. Die Norm einer irreductiblen Func-

tion .ist eine Potenz.

& 585. Adjungirung verschiedener algebraischer Grössen.

& 586. Ersatz derselben durch eine einzige Adjungirung.

S 587.

Grad der

$ 588. Zerlegung von

Gleichung, welcher eine algebraische Grösse genügt.

Grössen innerhalb eines Gattungsbereiches.

$ 589. Untersuchung eines beson-

deren Falles.

8 590. Irreductibilität der binomischen Gleichung in einem be-

liebigen Rationalitätsbereiche.

& 591. Wann zerfällt eine Gleichung bei Ad-

jungirung der Wurzel einer anderen? $ 592. Irreductibilität der Kreistheilungs-

gleichungen.

Inhaltsverzeichniss.

XI

Einundsechzigste Vorlesung.

Radicalzahlen.

S. 397—415.

8& 594. Abel’scher Hülfssatz.

S 595. Vereinfachung

8& 593. Definition.

der Darstellung einer Radicalzahl.

8 596. Normbildung.

8& 597. Gleichzeitiges

Verschwinden zweier Endradicale.

& 598. Verschwinden zweier auf einander

folgender Radicale. $ 600. Verschwinden dreier auf einander folgender Radicale.

8 601. Beispiele.

Zweiundsechzigste Vorlesung. Die Auflösbarkeit algebraischer

S. 415 — 429.

Gleichungen,

8& 602. Historisches. $ 603. Herleitung mehrerer Wurzeln aus einer einzigen.

8 604. Jede Radicalgrösse ist eine ganze Function der Gleichungswurzeln.

& 605. Gruppe auflösbarer Gleichungen.

8 606. Allgemeine Gleichungen vom

fünften Grade sind unauflösbar. 8& 607. Zerfällung auflösbarer Gleichungen in

Factoren.

& 608. Der Grad der Gleichung ist eine zusammengesetzte Zahl.

8& 609. Galois’sche Resolventengleichung.

8& 610. Elemente der Lösung einer

Gleichung.

Dreiundsechzigste Vorlesung. Auflösbare Gleichungen von Primgahl-

grad.

S. 429 — 441.

8 611. Willkürliche Deutung der Radicale.

8& 612. Gruppe der Gleichung.

8 613.

Reduction der

Auflösung

auf die

zweier cyklischen .Gleichungen.

8& 614. Darstellung jeder Wurzel durch zwei beliebige.

8 615. Kronecker’s

Wurzelform.

Vierundsechzigste Vorlesung.

Auflösbare primitive Gleichungen von

Primzahlpotenzgrad.

S. 441 — 453.

8& 617. Gruppen der Gleichungen.

8& 618.

8 616. Hauptcompositionsreihe.

Auflösbare Gleichungen

des

Grades m?.

8 619.

Drei

verschiedene Typen.

8 620. Ordnung p“ der Gruppe einer auflösbaren Gleichung.

Fünfundsechzigste Vorlesung.

Der Casus irreducibilis.

Lösbarkeit

im reellen Rationalitätsbereiche.

S. 453 — 460.

8 624. Kneser-

$ 621. Hölder’scher Beweis.

$ 623. Allgemeinere Sätze.

scher Beweis.

$ 625. Gegenbauer’sche Beweise.

$ 626. Allgemeinere Sätze.

IV. Anwendungen der Theorie (Vorlesung 66 — 68).

Sechsundsechzigste Vorlesung. Die Wendepunkte der Curven dritter

Ordnung. Tripelgleichungen.

S. 460 — 480.

$ 627. Coordinaten. Singuläre Punkte. $ 628. Wendepunkte.

8& 629. Schnitt-

punkte

der Curve mit

ihrer

Hesse’schen.

8 630. Die neun. Wendepunkte.

$ 631. Ihre Configuration.

$ 632. Rationale Beziehung der Schnittpunkte einer

Wendepunktsgeraden, $& 633. Tripelgleichungen. $ 634. Tripelgleichungen sieben-

ten Grades.

$ 635. Gruppe derer des neunten Grades.

8 636. Tripelgleichungen

dreizehnten Grades.

XII

Inhä‚ltsverzei chniss.

Siebenundsechzigste Vorlesung.

Die auflösbaren Gleichungen fünften

Grades.

S. 480 — 486.

$ 637. Metacyklische Function.

$ 638. Berechnung in einem Specialfalle.

8 639. Allgemeine Darstellung in diesem Falle.

$ 640. Reductibilität auflös-

$ 641. Resolvente von Mec. Clintock.

barer Gleichungen.

Achtundsechzigste Vorlesung.

Die allgemeinen Gleichungen fünften

Grades.

S. 487—514.

$ 642. Kiepert’sche Transformation.

$ 643. Gordan’sche Transformation.

$ 644. Resolventen mit einem Parameter. $ 645. Formeln zur Transformation der

elliptischen Functionen.

8& 646. Multiplicatorgleichungen.

$ 647. Hermite’sche

Auflösung der Gleichungen fünften Grades. 8 648. Die Kronecker-Brioschi’sche

Lösung. $ 649. Lüroth’scher Hülfssatz. $ 651. Gordan’sche Verallgemeinerung.

$ 652. Resolventen mit Einem Parameter.

8 654. Hülfssatz aus der Gruppen-

theorie.

$ 655. Resolventen bei biquadratischen Gleichungen.

Namen- und Sachregister S. 515—519.

Dreissigste Vorlesung.

Ganze Functionen mehrerer Variablen.

$ 327. Die Behandlung von Gleichungen höherer Grade hat uns

von selbst auf Funetionen mehrerer Variablen, nämlich auf solche der

verschiedenen Wurzeln dieser Gleichungen geführt. Wir kommen jetzt

zunächst zu einer systematischen Untersuchung der Eigenschaften von

ganzen Funetionen beliebig vieler Veränderlichen und dann zur Be-

handlung von Gleichungssystemen beliebig vieler Unbekannten.

Ein Ausdruck von der Form

@9 %9 %p )= 20a‚r5’„7‚- A

(D

&,, Yı

V3 5

..>}

(a=021:"'/"13 ß=0;17 A 7=0717 X

in welchem die 7,,72,73,

ganze positive Zahlen, und die Ca ß yı

Grössen eines gegebenen Rationalitätsbereiches bezeichnen, soll eine

ganze

rationale

Function der Veränderlichen 2,, %, %,

innerhalb des festgesetzten Rationalitätsbereiches heissen. Die

einzelnen Terme 2% 2ß 27

nennen Wi1“ Potenzproducte der Va-

riablen.

Je nach der Anzahl der Veränderlichen unterscheiden wir ganze

Funetionen von einer, zwei, drei, - - + Variabeln.

Eine ganze Function

von m Variablen kann in die Form einer ganzen Funetion einer ein-

zigen dieser Variablen gebracht werden, deren Coefficienten ganze Func-

tionen der (m — 1) anderen Variablen sind,

—

a

0, 1

?

2 5

(1a> f(217 A9y Y3y i ) =;(Pa ('327 Aay i ) er7 (“

ebenso in die Form einer ganzen Function von zwei dieser Variablen,

deren Coefficienten ganze Functionen der übrigen. sind,

(1”)

f(2’„ ar Bay c > a ä#’“‚ß'(%; Cr ) Z?Z(j

und in gleicher Weise weiter.

Netto, Algebra. II.

D

Dreissigste Vorlesung $ 328—330.

$ 328. Die höchste Potenz, zu welcher eine Variable in f auf-

steigt, giebt den Grad der Funetion nach dieser Variablen an. So ist

in (1) der Grad von f nach z, gleich r7,, nach z gleich 7, u. s. f.

Unter der Dimension der ganzen Funetion f verstehen wir den

höchsten Werth, welchen die Summe (« EB + + --.) der Grade in

den einzelnen_ Potenzproducten annimmt.

Die Dimension kann die

Summe der Grade nicht übertreffen.

Haben die Summen («x + ß +7/7++---) in allen einzelnen Potenz-

producten denselben Wert %, so heisst die Funetion homogen von

der Dimension %. Für eine homogene Funetion (1) der Dimension n

gilt bekanntlich der Kuler’sche Satz

Z

f

öf

Gl

&y

DE

_l_

59 8?2

302

Z

$ 329. Kommen alle überhaupt bei einer ganzen Funetion %* Di-

mension von ım Variablen möglichen Glieder in f vor, so nennen wir f

eine vollständige ganze Function.

KEine solche Function hat für

m=1 gerade (n + 1) Glieder.

Bei

zwei Variablen

&1 %

kommen

als mit %— multiplicirt (@x + 1) Glieder vor; da nun « von 0 bis %

(n—i—2).

gehen kann, so beträgt die gesamte Anzahl der Glieder © +i).

2

In derselben Art kann man schrittweise fortgehen und findet durch

Inducetion, wenn N (n,m) die Anzahl der möglichen Potenzproducte

n Diımension von m Variablen bedeutet, die Formel

.

n + m

IN ( w) = @70 (7ll _l; Z

M

(n + m) b (

m

)

(2)

Ka (m+1) (m A2) - (m+mn) A

1.2...n

(m ;L}— n) k

Es ist N(n, 0) = N(0, m) =1. Für negative Werte eines oder beider

Argumente wollen wir die Verabredung treffen, dem N den Wert 0

beizulegen, weıl dadurch die Formeln sich einfacher gestalten.

$ 330. Jetzt untersuchen wir, wieviele der Potenzproducte einer

vollständigen Funetion %*“ Dimension der m Variablen ,, %,

Zm

durch 2% teilbar sind (a, <m). Man erkennt sofort, dass, wenn man

aus allen diesen Gliedern z“ herauszieht, die zurückbleibenden Potenz-

producte alle Glieder einer vollständigen ganzen Funetion derselben

Variablen von der Dimension (% — a,) bılden müssen. Die Anzahl der

gesuchten Glieder beträgt demnach N (n — a,, m).

Ebenso findet man für die Anzahl der Potenzproducte, welche als

Factor 2

al

z% enthalten (a, + a <mn), den Wert N(n — a — ay,m), u.s.£.

Die Bedingungen &4, <n, a + @ <MNı,: : können gemäss der letzten

Festsetzung des vorigen Paragraphen unterdrückt werden.

Ganze Funetionen mehrerer Variablen.

5

Aus diesen Resultaten kann man ohne Schwierigkeit entnehmen,

wieviel Glieder von f(Z,%,: : %m) der n Dimension durch

keins der Monome

a

2

B

2

Zm

(a Z 1)

theilbar sind, oder, wieviele Glieder in z, höchstens bis zum

auf-

Grade (a —1), in % höchstens bis zum Grade (a —1), -

steigen. Ist ein @ gleich 1, dann darf also die entsprechende Va-

riable überhaupt nicht vorkommen. — Subtrahirt man von der Anzahl

N(n,m) aller in f auftretenden Potenzproducte die Summe aus der

Anzahl derer, die z% enthalten, derer die z% enthalten, u. s. w. und be-

zeichnet man diese Summe

(3) N(n— ay, m) + N(n — ay,m) + + N(n — Am, m) = S,,

so bleibt in der Zahl

(4)

N (n, m) — S,

der restirenden Glieder keins der auszuschliessenden zurück. Jedoch sind

dabei die durch z% z& theilbaren Potenzproducte zweimal fortgenommen

worden, einmal unter den durch z% theilbaren und einmal unter den

durch z% theilbaren. Alle diese Glieder, deren Zahl N (% — da,— 0,mM)

beträgt, sind daher einmal zu addiren. Das Gleiche gilt von den Com-

binationen 2% 2%,

Z“m —1 z.“)n

m—1

m

Die obige Differenz ist also um

©6)

äN(n——a„‚—a„„m)=%

zu erhöhen, wobei die Summe sich auf alle Combinationen &, ß ohne

Wiederholung der Zahlen 1,2,-..m bezieht.

Jetzt sind alle, nur

zwei Variable enthaltenden Potenzproducte richtig gestellt.

Hingegen

sind z. B. die durch 2% z% z% theilbaren in N(n%,m) einmal enthalten

gewesen, durch S, dreimal in Fortfall gekommen, durch S, dann

wieder dreimal zugefügt, so dass sie also schliesslich noch einmal weg-

genommen werden müssen.

Das sind also N(n — ar — dg — AAy , M)

Glieder.

So sind im Ganzen noch

(6)

2N(n—a„—cq;——a„m)=»%

&, Y

Glieder zu subtrahiren, u. s. W.

Man erkennt, dass die benutzten Schlüsse genau dieselben sind,

wie die, welche wir $ 302, Bd. I verwendet haben, um die Form der

Kreistheilungsgleichung zu bestimmen.

Die hier gesuchte Anzahl er-

ergiebt sich auf gleichem Wege als

(7)

N(n,m) —S +S& —S + +(— i>mSm

1*

4

Dreissigste Vorlesung S& 330—332

Nimmt man sämmtliche @ gleich 1, so entsteht hieraus

N(n,m) —1=mN(n—1,m) <m)N(n—2 m)+(m)N(n—3 M) —

$ 331. Wir bezeichnen, wie dies in der Differenzenrechnung ge-

bräuchlich ist, für ein posat1ves oder verschwindendes «

(8)

N(n, m)

N (n — &, m)

4,N(n, m)

Dann ist

N (n, m) — [N(n — «, m) + N'(n — ß,m)] + N(n — « — B, m)

= 4N (n, m)

A, N (n — ß, m)

«6 N (n, m)

= 46 N(n, m) — 48N (n — «, m)

A6.2N(n, m)

Statt Ag oder Ag„ werden wir auch 4S

)

,

g oder Ä/ja schreiben, um

anzudeuten, falls dies nöthig ist, dass zwei untere Indiees vorkommen

’

und das soll in gleicher Weise allgemein gemacht werden

Diese Einführungen ermöglichen es, den Ausdruck (7) kurz

C

A(m)

A

an N (n, m)

zu schreiben

Die unteren Indices @ können dabei willkürlich permu-

tirt werden

$ 332. Für die eingeführten Symbole besteht eine bemerkens-

Die Addition der

werthe Beziehung, die jetzt abgeleitet werden soll

bekannten Formeln

N (n, m)

— N(n — 1, m) =N(n, m — 1),

N(in—1 m)

——N(n—2 m) —N(n—1

n—1)7

N (n — a + 1,m) —

N(n——a„m)_—].\f(n—al—}-l m — 1)

liefert die Summe

Q —1

4n N(n, m) = E N(n—n, m — 1)

%

Hierbei braucht a@, nicht der Beschränkung a, <m unterworfen zu

werden

Durch die Anwendung der Operation A, entsteht hieraus für be-

liebige A, A,

409 N(n, m) = E An Nr — n, m— 1)

i

n=0,1

a —1

——2N(n—n——u m— 2) (

%=0,1

—1

)

,

Ganze Functionen mehrerer Variablen.

5

Ebenso erhält man aus dieser Formel durch die Anwendung der Ope-

ration A„, weiter

Aa N(n, m) = E Nn—n —x —2, m— 38)

@= 0, 1 o a 16 Z=0 100 —I6 A0 10

D),

und in derselben Weise kann man fortfahren, so dass allgemein entsteht

(9)

2

(9) A

Ay, Aa *

. N(n, m) =2 Nn— n —n

—mO

@00 a U D

In diese Formel traglen wir jetzt o= m ein, wodurch das zweite

Argument von N zu Null gemacht wird.

So oft dann das erste Ar-

gument nicht negativ ist, so oft wird der entsprechende Summand den

Wert 1 annehmen, während er sonst gleich Null wird. Ist also

(

l =2a;— M,

so ist jeder Summand gleich 1, und da A, - ---A„ Summanden be-

stehen,

(9°*)

4

Ahndty 600l

(m)

„ N(n, m) = Ar 0 Am

(Z'a; —m< n) }

Ist E a —m=14"-+1, dann liefert der eine auf

Y A 1

No2 — 0 1,

"’]m=am—l

bezügliche Summand den Wert 0, die anderen stets den Wert 1 und

daher ıst

(m)

(9b) A

O, Aay **

‚an N(n,mM) = AA 0m —1 (2a‚1 —m=n+ 1),

Bei E a —m=n"-+2 lefern die (m + 1) Summanden

7]1=”1"_17

;)7IIL = Am 1l

m T 17

’

171—:a1_1‚ 7/]2_1=a1_1_17 7];_=@;_——2} 771+1=a)_+1—1;

(Ä=17 2; s

m)

den Wert Null, so dass entsteht

© Aa 2 (m +1) (Za;_— m=n+ 2) :

Ebenso erhält man

(m)

(9d) A

A, da,

e N )=0 “ Am — (m? + 1) (2a;_—%z=;z-{—3)

und in ähnlicher Weise weiter. Zu beachten ist aber bei diesen Rech-

nungen, dass in (9°) z. B. keins der @ kleiner als 2, in (9%) keins

kleiner als

]

5

yorausgesetzt ist.

Dreissigste Vorlesung $ 333—334,

$ 333. HEs seien wie oben

<

dı

Z

27

Z“m

m

gegebene Monome, und &, bezeichne die Anzahl der Potenzproduecte

aus f, welche durch v und auch nur durch v dieser Monome teilbar sind.

Nun umfasst S, die Zahl aller Potenzproducte, die durch eins der

Monome teilbar sind, und ausserdem alle, die durch zwei unter ihnen

theilbar sind, doppelt; alle, die durch drei unter ihnen theilbar sind,

dreifach u. s. w. HEs ist daher

Sı = E& + 26 436 7 46 5: E MEn

und ebenso folgt

S =&+38 +68 + +(3) &,

Sı =

(10)

;3.+ 4€.4+.—-+(’;‘);„„

Sm i

O

Hieraus ergiebt sich

8

=;1+;2+ C3+ C4++gm,

S — Sn S

8& 7726 4351 4

a <m—;— 1> En

SA

(10°)

S3_SI+Sö—

&s + 351 +

X + (m2— 1) €m‚

Saı —B

Saa

so dass also sämmtliche links stehende Differenzen positive Werthe

haben.

Weiter liefert das erste System auch umgekehrt

C1 An Sl F 2S2 + 383 . 4S.1 RE + (_ 1)’”_1m8,„‚

(} ©& —

S —38 + 68 — +(— 17 (7) S,

S

—

S —28 + 599 + F_ ]_).m—1 (7;2) Sa

Die Formeln (7) und (7.a) zeigten, dass

N(n, m) — Z

TD

N(n, m) = 8i —& +& — 0 ( D San

ıst.

Aus (10°) folgt, dass (S7 — Sz +--:) positiv seim muss; dem-

nach wird

Ganze Funetionen mehrerer Variablen.

(11)

Sı > N(n, m) — A AT D

Als besonderer Fall ergiebt sich hieraus vermittels (9*)

(11°) ä N(n — az, m) > N (n, m) —0, 0 + Am <Za < n 4- m) :

Diese letzte Bedingung ist für n = &, - A Am erfüllt, sobald die «

wenigstens zum Theil grösser als 1 sind.

$ 334. Wir betrachten jetzt wieder eine vollständige Function

der m Variablen 2,, Z2,

Z von der Dimension %; sie hat N (n,m) Terme.

Aus ihnen wollen wir alle diejenigen hinwegstreichen, die durch eins

der Monome

Z“m

80‚ 95 83

m

theilbar sind, und aus den zurückbleibenden noch alle diejenigen, welche

von der (n — Am+1)“ oder von einer geringeren Dimension sind. Die

Bestimmung der Anzahl der restirenden Potenzproducte geschieht ge-

nau nach der Methode des 8& 330. Zunächst nämlich erkennt man,

dass in f gerade N (n — dn+1, M) Glieder von geringerer als der

(n — Am41 + 1)® Dimension sind. Ferner ist die Anzahl der Glieder

von geringerer als der (n — Am+1 F 1)%" Dimension, welche durch z%

theilbar sind, gleich N(% — d — Am-4+1,M), u.s.f. Es sind also die

Voraussetzungen, auf welche die Schlüsse von $ 330 beruhten, hier

gewahrt.

Bezeichnen wir daher

m+1

Z =, N (n — a;,, m),

4=1

m+1

Z = } Nn — 0, —0, m),

OE

so folgt für die gesuchte Anzahl der Wert

(12)

N(n, m) — Z + Z—-Z A FD Za

Die Verschiedenheit zwischen (7) und (12) liegt zu Tage.

Gesetzt es wäre

(“1"1)+(“2_1)+"‘+(%„—1)g%-—am-}-1,

dann bleiben in f(z,,

) überhaupt keine Terme zurück. Denn das

Glied höchster Dimension, welches durch keins der festgelegten Monome

1

theilbar ist, lautet z1—1z%—1

Z;Z" e

und fällt also bereits unter

diejenigen, welche ihrer Dimensionszahl wegen zu streichen sind.

Dreissigste Vorlesung $ 334—336.

Das zeigt: Der Werth von (12) ist gleich Null, wenn

a + 0 + + Ompı <n m.

Falls dagegen

A, F &@ : + m+ı=2+m+1

ist, beträgt der Werth von (12) Eins, da dann offenbar 241 22— ...

m * won der Dimension % + 1 — @41 das einzige zurückbleibende

Glied ist.

Ist weiter

A A &a A A Am+1ı = % + m +2,

dann ist der Werth von (12) gleich (m + 1), denn jetzt bleiben

al

ausser zu—1 ‚gzz—1 Ar Zazn—‘

noch die Glieder zurück, die aus ihm durch

Natürlich ist hierbei

Division mit z,, oder %,

oder Z entstehen.

die Voraussetzung zu machen, dass jedes der @ mindestens gleich 1 ist.

Die weiteren hierher gehörenden Schlüsse übergehen wir.

$ 335. Wir bezeichnen nun mit &, die Anzahl derjenigen Glie-

der unseres Polynoms f, welche genau v und nur v .der im vorigen

Paragraphen aufgestellten (m + 1) Bedingungen erfüllen.

So ist z. B.

E, die Anzahl der Potenzproducte, welche nur durch eins der Monome

theilbar und zugleich von höherer als der (% — Am-+ı) Dimension

sind, vermehrt um die Anzahl derjenigen, die von niederer als der

(n — Am-+1)" Dimension, aber durch keins der Monome theilbar sind.

Entsprechend den Formeln (10) aus $ 333 gilt hier

21=81+2‘%2+383+484+

MDB,

Z=

5& + 35; 4 65, +

+ <7??: 72‘_ 1) äm+l ’

Z

=—

&, 4 4E, 7

(13) _

+ (7n ä_ 1) %nz+1 ’

.

.

)n—.}-1

Em+1 u

(

m—+1

) g;„+1 S

Daraus folgt dann weiter

21‘22+25*424+"'=‘%1+%2+ €3—l—

+ Ä„—|—1 ’

2ya

‘g'2—}—2?‚‘3—]——.

+ M 8m+ 1,

(13*)

mM

DE

& +

u

2

) g„:+1;

m—+1

Da nun nach dem vorigen Paragraphen (12) für

aı <n + m den

{

9

Ganze Functionen mehrerer Variablen

Werth 0 hat, so folgt, weil die Ausdrücke (13*) nicht negativ sind, wie

aus den rechten Seiten ersichtlich ist, in diesem Falle

A N @ ) = 2 — Z

||V

(14)

(Zı — N(n, m) — Z = —Z 4 Z —

Z<O

(Zı — Nn,m) —- Z +Z=2

Z +

z

Das untere Zeichen kann dabei nur auftreten, wenn beim Abschlusse

verschwinden

auf der linken Seite mit + Xx alle &41, Sa+2,

Aus der Bedeutung der & folgt dann, dass jeder der Ausdrücke in (14)

mit Ausnahme des letzten unter ihnen das obere Vorzeichen erhalten

muss; der letzte dagegen das untere

$ 336. Aus (13) folgt, ähnlich wie früher

S N E DE

Wir wollen den Werth von &, unter der Voraussetzung bestimmen, dass

A, - 0& —A + Am F Am4+1 < + m

Sel

Dazu bringen wir alle Glieder von f, so weit dies nöthig ist

unter Einführung einer neuen Variablen w

durch Multiplication mit

einer passenden Potenz von w auf die Dimension %

Dann wird jedes

Glied, welches vorher von der (n — Am+1) oder von einer niedrigeren

Dimension war, jetzt durch w”-+!' theilbar geworden sein

Folglich

umfasst in der umgeänderten Function die Zahl &, alle diejenigen Glie-

der, welche durch eins und auch nur durch eins der Monome

Zd

z

20

Z“m

umL

theilbar sind. Um zunächst zu finden, wieviele durch 2% allein theil-

bar sind

aber durch keins der anderen Monome, bilden wir die

Producte aus je einer Potenz von %, VON Zs,

und von w aus

den Reihen

1

2 —1

,

1, %,

O

u

m1}

Jedes so erhaltene Product hat eine Dimension kleiner oder gleich

Q + 0 + + Am-+-ı —M <N

multiplicirt man es also mit einer Potenz von 2,, die es auf die %“ Di-

mension bringt, so hat diese einen Exponenten > a,, d. h. wir haben

eins der gewünschten Glieder erhalten

Es giebt also @

Az

Am+1

solche, den verschiedenen Combinationen entsprechend. KEbenso finden

wir für alle durch %“

und durch keins der anderen Monome theilbaren

Potenzproducte die Zahl a, . d

Am--1, . 8. W. Das ergiebt also

10

Dreissigste Vorlesung $ 336. Einunddreissigste Vorlesung $ 3837—8338.

m+1

CZ

(5) Z E

Aa A 1

A=i

&n

m+1

(

1

<n + m> .

Auf weitere Formeln wollen wir nicht eingehen; (15) ist lediglich

zu späterem Gebrauche abgeleitet worden. Es mag nur noch erwähnt

werden, dass sich die an (7) und (12) anknüpfenden Untersuchungen

verallgemeinern lassen und so zu interessanten Ergebnissen führen.

Einunddreissigste Vorlesung.

Fundamentaleigenschaften ganzer Functionen 9011 mehreren unab-

Reductibilität.

hängigen Variablen.

Zerlegung,

&$ 3837.

Die bisherigen Untersuchungen bezogen sich auf den

formalen Aufbau der ganzen Funetionen mehrerer Veränderlichen; jetzt

kommen wir zu ihren Fundamentaleigenschaften.

Verschwindet die ganze Function

(I)

f (& > %,

Z0) =Z' O DE

&, B, Yı

(@=0, 1,

’

ß=0) 1}.../r2

’

D

2)

)

Hüxz yedes belıebise Werthsysten ( . 2 CLE

dann sind alle Coefficienten c gleich Null, und umgekehrt.

Der zweite Teil des Satzes ıst selbstverständlich.

Den ersten be-

weisen wir zunächst durch strenge Induction.

Wir setzen

1 (@ı9 &a

Z

&m) =Z„; C

und nehmen an, der zu beweisende Satz gelte für Funetionen von (m — 1)

Variablen %, ,

ZI/I

Legen wir nun den %,

Zm ein ganz be-

liebiges Werthsystem &,--- En bei und dem z, dann mehr als v”, Werthe

B S

’

so müssen alle Coefficienten , (&, E, Em) verschwinden,

da f(@,; &,

- En) = 0 mehr als r, Wurzeln &, &, --: besıtzt.

Das

Gleiche gilt für alle Werthsysteme &, &,: Em; d. h. die Da(2, 23, * Zm)

verschwinden für jedes willkürliche System der %, 2s,

Z

Z

Gemäss

der angenommenen Gültigkeit des Satzes sınd dann alle Coefficienten

11

Fundamentaleigenschaften ganzer Functionen. Reductibilität. Zerlegung

der @, d. h. auch die von f gleich Null

Für m=1 ist der Satz

richtig; demnach gilt er allgemein

Aus dem Gange des Beweises folgt die Erweiterung: Ist (1) für

jede der (r, + 1) (r

1)

(Im + 1) Combinationen von

&1 ——;1‚ (

C aD

/<>—;‚ C9

n

Ka Cm; ;7’I;;

O

M

gleich Null, so verschwinden in f alle Coefficienten Cx,g,y,

$ 338. Wir wollen für den ersten dieser Sätze einen weiteren

Beweis geben, der sich auf eine Bemerkung von L. Kronecker*)

stützt. Wır setzen, indem wir unter qg eine noch zu bestimmende ganze

positive Zahl verstehen

x

(2)

=

=U

A = 4

2

dadurch geht das Potenzproduct

2“ gß zY

ın

{e+ßBatya

über

Es handelt sich jetzt zunächst darum, Fürsorge dafür zu treffen

dass zu verschiedenen Systemen «,ß,v/,

auch verschiedene Zahlen-

werthe des Exponenten von , nämlich « + ßg +g +

gehören

Ist ” die grösste der Zahlen v,,

Y3,

Ym, welche die Grade von f

INn Zi, %,

Zm angeben, dann wählen wir q >r7+1

Daraus folgt

der Reihe nach

qg >gr+q>qr+7=r(@g+1),

a +q >q1+qr+ﬂ—r(q‘+q+l)‚

qm > qm——l„. + qm——l> 7-(q777‚-——1 + qm—2 + + d + 1)

Gesetzt nun, man hätte die Gleichheit zweier Ausdrücke

« + Ba yd + + eq

—

=—>

&, + Bı9 + 719° + SR

und es wäre etwa &> &,, dann ergäbe sich daraus

6 — a)= (a — @) (Bı — B)a + ”ı —C +

Nun sind («,

«), (Bı

ß),

nıcht grösser als 7

und folghch

( — 8)g" <r1+g+@ + +gr <

*) Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen 8& 4.

J. f. M, 92 (1882). p. 1.

12

Einunddreissigste Vorlesung $ 338—341.

d. h. &£= &. Aehnlich folgert man dann weiter und erkennt, dass aus

der angenommenen Gleichheit der beiden Ausdrücke in q die Gleich-

heit aller Exponenten folgt.

Nach diesen Vorbereitungen gehen wir auf den zu beweisenden

Satz zurück, Die Substitution (2) verwandelt (1) in eine ganze Func-

tion g@(f) von , welche nicht identisch verschwindet, wenn dies nicht

bei (1) der Fall ist. Denn nach unseren Vorbereitungen können nicht

mehrere Glieder von (1) denselben Exponenten in % erlangen. Die

umgewandelte Funetion kann nur für eine endliche Anzahl von Werthen

verschwinden, wenn sie nicht identisch Null ist.

Nach der Voraus-

setzung des Satzes ist aber (1) gleich Null für Ya = 0 WO @ 0e-

liebig genommen werden kann; also ist die Gleichung @ (£)=0 in €

für jedes £= vr erfüllt, d. h. sämmtliche Coefficienten von @(f) und

also auch von f(£) sind gleich Null.

Der hier benutzte Uebergang von Functionen mit mehreren zu

solchen mit einer Variablen wird sıch uns auch noch in der Folge als

nützlich erweisen.

$ 339. Wenn ein Product aus ganzen, rationalen Func-

tionen mehrerer Veränderlichen für jedes beliebige System

Zl;'/':2;

Zn der m Variablen verschwindet, dann verschwindet

einer seiner Factoren identisch.

Wir führen die Kronecker’sche Substitution (2) durch, sorgen

bei ihr aber auch dafür, dass. in dem Producte selbst keine gleichen

KExponenten von € auftreten, was ja für hinlänglich grosse q leicht zu

erreichen ist. Verschwindet nun das ursprüngliche Product für jede

Wahl der Variablen, dann verschwindet auch das umgewandelte, ın dem

nur eine Veränderliche % auftritt, für jeden Wert dieses {.

Das ist

allein dann möglich, wenn einer der Factoren in % ıdentisch ver-

schwindet, da andernfalls jeder derselben nur für eine endliche Anzahl

von Werthen * zu Null würde. Ist aber ein Factor ın £ identisch Null,

dann ist es auch die Funetion, aus welcher er hervorgegangen war.

$ 340. Wir müssen noch eine Substitution besprechen, durch

welche (1) in eine neue Form übergeht, in der sie nun von gewissen

Zufälligkeiten frei wird, die aus den Werthen der Constanten entspringen

können.

Wir setzen die linearen Gleichungen an

2 = U Yı F Ua Ya A . A UamYm,

(3)

Zol= .’M21.y1 + U/22' 7‚2'+.' D + Ua m El/1nf

m = Um1Yı + .U‚„2 Ya + B7 .' + u’.'”my’“7

Fundamentaleigenschaften ganzer Functionen. Reductibilität. Zerlegung

13

wobei vorläufig über die Wahl der Coefficienten u nur die Bestimmung

getroffen werden soll, dass die Determinante 4 = [ uu | von Null ver-

schieden sei, damit auch umgekehrt

ı = O1 % F Va % T

+ V1 Zm ’

Ya = O12 %ı F Yaa% D + Um2 m >

(4)

y:„ aa 7/1m'2(1 + 7}‘7m22 +

+ Vmm&m

gesetzt werden kann

Durch diese Substitution möge

(21, %>

Z7n) n (Jl> ./27

Yım)

werden, d. h. es ist zu setzen

O _ZCD‘ CHEA

+ Uım ‚7/m) (U/21_/1 + + u2m‚/m)ß

den höchsten

Nam-

Hier bilden die Glieder, welche ın Yı,, %,

lich den n“ Grad besitzen, die Summen

u

2

u SE

?

Yı 2®x ß;

bez, w Zc„„ ß

u

für

wobei die Summation über alle Glieder erstreckt werden muss

welche die Summe der Exponenten «, ß,

den Werth % besitzt

Diese c können nicht sämmtlich verschwinden, denn sonst wäre f nicht

von der %“* Dimension

Man kann daher ($ 337) beliebig viele Werth-

systeme U1o, U2a,

Un bestimmen, für welche das Product

| au an‚/>„

uß

21

D

u

nıcht verschwindet

Dadurch haben wir eine umkehrbare lineare Sub-

stitution (2) erhalten, durch deren Vermittelung aus f eine Funetion

P (Yı, Ya,

Ym) hervorgeht, welche sicher alle Glieder *, y%,

Ynr

Der

mit nicht verschwindenden Coefficienten multiplicirt enthält

Grad in jeder der Variablen ist gleich der Dimension der

Function geworden

Liegen mehrere Funetionen f(2,,

&m)> 9(&,)

Z nz) ’

vor, und

unsere Transformation an, so ent-

wendet man auf ihr Product f.g

steht ein Produet @ (%;,

Ym) ' O (Yı,

Yın)

2

in welchem jedes Ya

die Dimension des Productes hat

Dies ist natürlich nur dann mög-

lich, wenn die gleiche Eigenschaft schon bei jeder einzelnen der Func-

tionen vorhanden ist

Man kann also eine umkehrbare Substitution

finden, durch welche beliebig viele Functionen gleichzeitig in der an-

gegebenen Weise zubereitet werden

341

Ist die Funetion (1) in der Form eines Productes

f=gI(@,, %,

) : A(@,, %,

)

14

Einunddreissigste Vorlesung $ 341—342.

°

darstellbar, wobei g, / gleichfalls ganze Funetionen aber vbn geringeren

Dimensionen bedeuten, deren Coefficienten genau wie die von f einem

vorgegebenen Rationalıtätsbereiche angehören, dann heisst (1) reduc-

tibel oder zerlegbar in die Factoren g und h. Ist eine Function f

nicht reductibel, dann heisst sie irreductibel oder unzerlegbar.

Es ist hier darauf aufmerksam zu machen, dass im Gegensatze zu

Funetionen mit einer Veränderlichen jetzt auch bei beliebiger Erwei-

terung des Rationalitätsbereiches eine Zerfällung in lineare Factoren

nıcht nothwendig eintreten muss, sondern dass eine solche nur nach

Erfüllung von gewissen Bedingungen zwischen den Coefficienten ein-

treten kann.

So ist z. B.

C118ı F 206.98,% - Oo2%2” + 20,32, { 20032 A Ass

nur dann in lineare Factoren zerfällbar, wenn

O11 O9 043

=0

Ay9 A93 U93

Ar3 93 33

ıst

Auf diese Frage wollen wir aber hier nicht eingehen*).

Wir geben zunächst eine Methode an, wie eine Funetion f darauf

hin geprüft werden kann, ob sie reductibel oder irreductibel ist, und

wie man im ersten Falle ihre Factoren finden kann.

Führen wir die Kronecker’sche Substitution (2) in f durch, dann

erhalten wir dadurch eine Function F(£) einer Variablen *, welche sicher

reductibel wird, falls f es ist, während das Umgekehrte nicht richtig

zu sein braucht. /'(t) kanm nun nach früher angegebenen Methoden

auf alle Arten in zwei Factoren zerlegt werden. Ist f reductibel, dann

muss einer Zerlegung von f eine solche von / derart entsprechen,

dass die Factoren von f durch (2) in die von F übergeführt werden.

Bei Irreductibilität von / steht also die Irreductibilität von f gleich-

falls fest.

Hat dagegen F({) den Theiler

0 =Noit”,

dann fragt es sich, ob dieses x (£) durch (2) überhaupt aus einer ganzen

Funetion g(2,, %,: %m) hervorgehen kann.

Dazu müsste es möglich

sein, jeden Exponenten 6, in die Form

O — 0 75 al A T

(al g Yı),

ß2 gr27

)

zu setzen. Wir wissen (& 338), dass dies höchstens auf eine Weise

ä

*) Ueber die Zerfällung von Ternärformen vgl. Aronhold: J.f. M. 55 (1858),

1905

Brioschi: Ann. d. M. (2) 7 (1875—76), p. 189.

Thaer: Math. Ann. 14

(1879), p. 545.

Brill: Math. Ann. 50 (1898), p. 157.

Fundamentaleigenschaften ganzer Functionen. Reductibilität. Zerlegung.

15

möglich ist, so dass %(%) höchstens aus einer einzigen Funetion g

entstanden sein kann.

Diese Funetion wird dann

g Zeft f

sein.

Man hat demnach nur noch die einzelnen so erhaltenen Func-

tionen g darauf hin zu prüfen, ob sie Theiler von f sind; denn ausser

ihnen kann es keine Theiler von f geben.

Dadurch wird die Ent-

scheidung über die Irreductibilität geliefert, und zugleich wird eine Zer-

Die Prü-

legung bestimmt, falls eine solche überhaupt vorhanden ist.

fung geht theoretisch am einfachsten derart vor sich, dass man zuerst

alle g bestimmt und dann je zwei, die passende Dimensionen besitzen,

zur Probe mit einander multiplicirt.

Die Prüfung durch directe Divi-

sion ıst an dieser Stelle aus theoretischen Gründen noch nicht angängig.

$ 342.

Dass die Zerlegung einer Funetion f in irreductible Fac-

toren wesentlich nur auf eine einzige Art möglich ist, können wir auf

dem betretenen Wege nıcht beweisen.

Zu

diesem Fundamentalsatze

gelangen wir durch eingehendere Betrachtungen.

Wir werden ihn als

Corollar aus dem folgenden Theoreme ableiten: Ist das Product

fi(Zı, %y )falZ,, %, ) durch eine irreductible Funetion g(2,,2,:)

theilbar, dann ist einer der Factoren f, oder fi durch g theilbar.

Für m= 1 steht die Richtigkeit dieses Satzes fest ($ 68, Bd. I);

seine allgemeine Gültigkeit kann also durch Induction bewiesen werden.

Wir wollen deshalb annehmen, er sei schon für (m — 1) Veränderliche

als richtig erkannt.

Daraus wollen wir einige Folgerungen ziehen,

die uns dann zum Beweise desselben Satzes für m Veränderliche führen

werden.

Zunächst ziehen wir aus der Annahme den Schluss, dass Func-

tionen von (m — 1) Veränderlichen nur auf wesentlich eine

Art in irreductible Factoren zerlegt werden können.

Denn wäre

(((&

A = O O am

wobei die g und die %ı ganze irreductible Funetionen von 2,, Z , -“ Zm—1

bedeuten, so ist A, -(h,---h„) durch g, theilbar, und also der Annahme

nach auch entweder A, oder (A---h,). Sollte es (A---h,) sein, so

wiederholen wir den gleichen Schluss bei A, -(Az---Iy) u.s.f. Es ist

also ein %A durch g, theilbar, und da dies % selbst irreductibel ist, so

muss es mit g, bis auf einen constanten Factor übereinstimmen.

Es

wird demnach. etwa h, =C, : gı, und durch Division erhält man

I2° 93° Iu= C s

h,

16

FEinunddreissigste Vorlesung $ 342—344.

Fährt man in derselben Weise forf‚ dann überzeugt man sich von der

Richtigkeit des Satzes.

$ 343. Jetzt beweisen wir die folgenden Sätze:

( 50 @p 29 052 Zr)ı duneh ol 2y 70 82) 0aOilbar, SO

ist jeder Coefficient der nach Potenzen von z, geordneten

Function f

f= W0(%, , Am) F ı( 23 Am) * 2 F WalR, E, Em) A Frr

durch @(%,:-- %m) theilbar.

Denn der Voraussetzung gemäss be-

steht eine ganze Funetion g(2,,::-Zm), für welche die Gleichung

f= q3(2‘;_„ y Zm) z 9(‘517 Z Zm)

gilt. Entwickelt man g nach Potenzen von z, und führt die Multipli-

cation durch, so erkennt man die Richtigkeit des Satzes, da eine

Funection f von z, nur auf eine Art nach Potenzen von z, entwickelt

werden kann.

(II) Ist das Product fi(%,

&m) * 2&

Zm) durch die

irreductible Function w(z,

Zm) theilbar, dann sind minde-

stens bei einem der Factoren f, oder fx alle Coefficienten der

nach z, geordneten Function durch @ theilbar.

Denn setzen wir

fı =0%,

Zm) A ı(a + Am) - 2 A ala 4 Em) A A

f2 O (227

A @99 R En) AIa @9 7 8o) Z

so wollen wir annehmen, dass %0, %,,

9 i und KXo> Kır

5 %/>’—1

durch @ theilbar seien, dagegen &„ und %g nicht. Nun müsste mit

e Sauch!

( —y 200 Va ATa 7C/>"—15{5_1)

Z j AA A egn A M Ba ) E

durch @ theilbar sein, und somit nach (I) auch &, - %g. Nach dem für

(m — 1) Variable als richtig vorausgesetzten Theorem geht das nicht,

wenn &, und %g durch @ nicht theilbar sind. Die Existenz eines

durch @ nicht theilbaren Coefficientenproducts ı, - xg ist also nicht

möglich, d. h. alle Coefficienten einer der Funetionen f,, f> sind durch

@ theilbar.

(III) _ Ist fı (&

&m) * I2 (&

Zm) durch die Function

D (%,

Zm) theilbar, so ist jeder irreductible Factor von @

entweder ein Theiler aller Coefficienten von f oder von f.

Das bleibt richtig, auch wenn ein solcher irreductibler Fac-

S

tor in höherer Multiplicität bei @ auftritt, derart, dass er

in derselben Multiplieität in den beiden Coefficientensyste-

men zusammen vorhanden ist.

Fundamentaleigenschaften ganzer Functionen. Redklctibilität.. Zerlegung. 17

Ist z. B. wo(z,---Zm) ein irreductibler Factor von @, so gilt von

ıhm der Satz (II); hebt man ihn dann aus @ und der passend ge-

wählten der beiden Funetionen f weg, so kann man mit den zurück-

bleibenden Factoren von @ ebenso verfahren.

(IV) Ist

einm Product fil(z,

Zm) “ P (

Zm)

durch

Jal@n

Zm) «theilbar, wo die nach z, geordnete Function f

keinen gemeinsamen Theiler in ihren Coefficienten enthält,

dann ist fi durch f theilbar.

Denn aus

fl(zl'7 Z2;

Z,„) X qa(z'2l‚

Z‚„) a f2 (Zl7

Zm) - 921

Zm)

folgt, dass f>-g durch @ theilbar ist.

Nach (IIl) kann man nun

jeden irreductiblen Factor von &, so oft er vorkommt, aus fz-g, also

nach unserer Voraussetzung aus g wegheben. Ist so @ vollständig

herausgehoben, dann zeigt die zurückbleibende Gleichung, dass f, durch

f3 theilbar ist.

( IS6 @» 2

Zu) in zwei Factoren zerlegbar, die in

2, ganz und ın %,

Zm ratiıonal aber gebrochen sind, dann

giebt es auch eine Zerlegung von f, in welcher beide Factoren

ganze Funectionen von Z,, %,-::Zm sSind. (Vgl. 8& 48, Bd. I.) Wir

bringen in der vorliegenden Zerlegung die beiden gebrochenen Factoren

auf die Form

f1f(?1_7 AAy Z'nD

Za E

d

(2(517Z27

‘ Z)

V‘P1 Z ,

2

P ( ,

&) °

in welcher die f und die @ ganze Functionen der angegebenen Argu-

mente bedeuten, derart, dass f durch keinen Factor von @,, und f,

durch keinen Factor von @, theilbar ist. Nach (II) muss dann, weil

ff durch @, - getheilt werden kann, f, die gesammte Function ®a

und f ebenso die gesammte Function @, als Factor enthalten. Nach

(I) kann man also aus den Coefficienten von f, und von fa herausheben

3 und bez. o@,.

Dadurch gelangt man zu einer Zerlegung von f,

Zm aufweist.

welche lediglich ganze Factoren in 2,, %,

$ 344. Nach diesem letzten Resultate (V) brauchen wir bei der

Zerlegung von f nur darauf zu achten, dass die Factoren ganze Fune-

tionen einer der Variablen, z. B. von z, sind. Ist der Rationalitäts-

bereich der natürliche, d. h. umfasst er allein die rationalen ganzen

Zahlen, so reicht es aus, alle ganzen ganzzahligen Factoren der ge-

gebenen ganzen ganzzahligen Funetion zu suchen.

Daraufhin lässt sich eine zweite Methode zur Aufsuchung der

irreductiblen Factoren einer ganzen ganzzahligen Funetion (1) gründen,

welche eine Erweiterung der Kronecker’schen Methode für %— 1

darstellt (vgl. $ 50, Bd. I).

Netto, Algebra. IT.

Dn

18

Einunddreissigste Vorlesung $ 344—345.

Es möge f bis zur Dimension %=2wv oder n=(2vy+1) aufsteigen.

Nach 8 340 denken wir uns die Funetion gleich so zubereitet, dass x mit

dem Grade der Funetion in %, übereinstimmt, dass also der Coefficıent

von z in f eine Constante +0 wird. Dadurch beseitigen wir die

Möglichkeit, dass f“ einen von z, unabhängigen Factor enthält.

s

überhaupt zerlegbar, dann hat es einen Factor, dessen Grad im z,

grösser als Null, aber nicht grösser als v ist. Wir wollen einen solchen

Factor als vorhanden annehmen und ihn mit g(Z,,::-Zm) bezeichnen.

Dann ist für jeden ganzzahligen Werth zı der Werth f(2i, %,

ein Multiplum von g(Zı, %,

Zu)- Liegt also bereits eine Methode

vor, Funetionen von (m — 1) Variablen %,

Zn in irreduetible Fae-

toren zu zerlegen, dann können wir alle Theiler von f(2ı, %,

Zm)

Zm) unter ihnen befinden

aufstellen und wissen, dass sich g(2i, %,

MuUSsS.

Nun möge für

2i die Funetion f(21, 2 , - --) die Theiler di(21, %,: "), dı (21, %, )y i

„

1

” ” f(51„; ‘22;" ) ” ” dz,(zll’; Qay i )> d2„ Zl„;52.; A )7 A

g(;‘*£* 1l)

”

f(z(lv+.l)7zg ; > ” X dy'+l(z(lv+l);zg n .); d„!+. (Z(lv+l), A0n ) SA

eıne

besitzen. Die Funetion g(£,, %,: -:) muss dann für 2 = Zı1, 1,

Werthcombination

dga)('äll7 Za ');

d{_)ß)(gi’} Z ')7 <

aufweisen.

Legt man alle Combinationen «, ß,

2)

die überhaupt

möglich sind, zu Grunde, dann kann man bei jeder die Lagrange’sche

Interpolationsformel $ 37, Bd. I zur Bestimmung von g verwenden und

erhält unter der entstehenden endlichen Anzahl von Functionen alle,

welche bei einer Factorenzerlegung von f“ überhaupt in Frage kommen

können. Mit jeder von ihnen muss dann die Division in f wirklich

versucht werden; geht sie nicht auf, dann ist das g zu verwerfen;

geht sie auf, dann hat man einen Divisor gefunden. KEine endliche

Anzahl von ausführbaren Versuchen giebt demnach die Eintscheidung

über die Irreductibilität. Freilich steht es auch hier noch nicht fest, ob

die Zerlegung in irreductible Theiler nur auf eine einzige Art möglıch ist.

Als Beispiel behandeln wir die Funetion

(n=4).

Pa A %) + 2 (& + 22 E1) + @* + 22)5

Hier ist freilich die geforderte Zubereitung der Function nicht aus-

geführt. Diese verfolgte aber nur den Zweck, festzulegen, dass f keinen

von 2 unabhängigen Theiler besitze. Das ist hier von selbst klar,

und deswegen kann jene Zubereitung bei Seite gelassen, und v= 1

Nun sei ı = 0, Ü=11.

Man hat dann

gesetzt werden.

19

Fundamentaleigenschaften ganzer Functionen. Reductibilität. Zerlegung

fF(0, %) = %4 (% + 1);

O2 =C 2 2 F D,

und es ergeben sich hieraus als mögliche Werthe für

g0,%) 1,

dE %9

@ + U

@& a 2

9(1;32) z 18

@+ 1,

Bei den Combinationen dieser beiden Werthesysteme giebt es 6.6 Mög-

lichkeiten; es reicht aber offenbar aus, bei g(0, z,) die positiven Werthe

allein zu betrachten, und dadurch reducirt sich die Anzahl auf 3.6 für

g(0,2) 4 + g(1, 4) a = 2[90, %) — IL, @l + I, A)-

Von diesen 18 Möglichkeiten können diejenigen sofort beseitigt werden,

bei denen g(0, %) — g(1,%) kein Theiler von %, und diejenigen, bei

denen g(1,%) kein Theiler von %* +z, ist. Daher fällt + (%*-+-2-+2)

ganz heraus; von den übrigen 3 .4 kommen noch die beiden g(0,2,)

=%4+1 und g(1, %) = + (% +1) in Wegfall, weil aus ihnen g als

Multiplum von (% +1) hervorgehen würde, während doch f keinen

von 2

freien Theiler

besitzt.

Aus gleichem Grunde kann man

g(0, )=1, g(1, 2) =1 unterdrücken. Es bleiben demgemäss schliess-

lich nur noch 9 Combinationen zurück; diese ergeben

AF @A aa s aaa @ Da

21 %;

@2a

Z,% +1;

R2

Za

und nun überzeugt man sich leicht, dass z, % + 1 die einzige Function

ersten Grades von 2, ist, welche in f aufgeht.

Es wird

j Ca DEa Fa @):

Unsere erste Methode wäre so vorgegangen.

Dn z= U E

hätten wir

P L Y L LL

diese Funetion kann auf folgende Art in Factoren zerlegt werden

f=tB+D@+2t+1).

Wir hätten nun die einzelnen Factoren, sowie die Producte aus je zwei

unter ihnen in Funetionen von 2,, %, zurück zu übersetzen.

Dies ist

freilich hier nicht auf eine einzige Art möglich, allein man überzeugt

sich trotzdem leicht, dass

P+A1=22+1

ein Factor ist. Die letzte auftauchende Schwierigkeit rührt offenbar

daher, dass 9 zu klein genommen worden ist.

$ 345. Wir kommen nun zur Aufsuchung des grössten gemein-

samen Theilers zweier Funetionen f(2,, %,: --Zm) und fi(2,, %,

Zm)

*

Z

9

0

Einunddreissigste Vorlesung $ 345.

von den Dimensionen % und (% — n%,). Beide sollen bereits so zu-

bereitet sein, dass ihre Dimensionen mit ihren Graden nach z, überein-

stimmen.

Wir ordnen beide Funetionen nach abnehmenden Potenzen

von 2,, dividiren f durch f,, indem wir beide als Functionen von 2,

behandeln, und erhalten f= f qı —f

Dabei ist qg, eine ganze

Funetion von Z,, %,: Zm;3 eS ist f, möglicherweise durch eine von Z;,

unabhängige Funetion @,(%,-:: Zm) theilbar. Wir setzen, um diese

zum Augenschein zu bringen, wenn sie vorhanden ist,

f=fi dı —f %,

wobei jetzt f keinen gemeinsamen Theiler aller seiner Coefficienten in

29

Zu mehr besitzen soll.

Der Grad von f; nach z, ist geringer

als der von f,, d. h. als (% — n,). Dividiren

wir weiter f} durch f,,

beide Funetionen als solche von z, betrachtet

und nach fallenden Po-

tenzen dieser Variablen entwickelt, so können

in dem Quotienten und

im Reste gebrochene Ausdrücke ın %,

m

erscheinen, und ausser-

dem kann möglicherweise aus den Coefficienten des Restes eine ganze

Function in %,

&:

2

„ herausgezogen werden.

Man kann demnach

schreiben

%f Sh ' k —s P

wobei f1) f27 f3; 02 San in Zı Bay 5 Omy und U, O3 Zanz in Zay i

&m

sind.

%, und @3 können ohne gemeinsamen Theiler vorausgesetzt

werden, weil ein gemeinsamer Theiler auch den Coefficienten von q

angehören würde und fortgehoben werden könnte. fz ist in z von

geringerem Grade als f>. So geht man weiter und erhält das Euklid-

sche Schema in der Gestalt

Kl

Q R O

Ü1‘f.1=f2

92 — f3 O3

(5)

>0 —n @

o f2=f3

Dr

wr—2" fl——2 =.fr—.l '.Qr— il __];;

wr——1'fr—l =ﬁ *Ar )

wobei wir allenfalls ein verschwindendes f.41 noch hinzugefügt denken

können. Haben wir die Division nämlich hinreichend weit fortgesetzt,

so wird der Grad von z,, der immer kleiner wird, ohne negativ werden

zu können, einmal gleich Null werden, und die nächste Division nach

2, wird aufgehen, wenn dies nicht schon früher eintritt.

Besitzen nun f und f, einen gemeinsamen Theiler, der hach unseren

Vorbereitungen nicht von 2, unabhängig sein kann, so hat ihn auch

fa und also nach $ 342, (IV) auch f>. Ebenso schliesst man, dass

21

Fundamentaleigenschaften ganzer Functionen. Reductibilität. Zerlegung.

ihn die Funetionen fz, f : f besitzen. Umgekehrt ist f ein Theiler

von fr_ı:W-—1, und da fx keinen Theiler in %,

Zm besitzt, SO

theilt f£. wiederum (nach $& 342, IV) auch f_1, U. S. W. Auf diesem

Wege erkennt man, dass f auch f und f theilt. Hierdurch ist der

Begriff des grössten gemeinsamen Theilers unserer beiden zube-

reiteten Funetionen f und f festgelegt, und eine Methode zu seiner

Aufsuchung gegeben. Es existirt, abgesehen von indifferenten Zahlen-

factoren, nur eine unseren Forderungen genügende Funcetion von 2,, ** Zm-

Wir definiren: Eine ganze Function T(Z%,,

Zm) heisst dann

grösster gemeinsamer Theiler zweier zubereiteter Functionen

f und f;, wenn T beide Funetionen theilt, aber nicht Divısor

einer anderen Funection derselben Eigenschaft ist. Unser Vor-

gehen zeigt dann: T'(z,,-:- Zm) ist bis auf indifferente Zahlen-

factoren eindeutig bestimmt.

Diese Definition ist ebenso wie die Methode der Darstellung unseren

zubereiteten Funetionen angepasst. Beides kann aber leicht verallge-

meinert werden.

Sind nämlich g und g, willkürliche Funetionen, so

führt man sie durch eine lineare umkehrbare Substitution in die zu-

bereiteten Formen f und f, über, sucht für diese den grössten gemein-

samen Theiler T' und transformirt diesen durch die inverse Substitu-

tion in ein U, welches dann für g und g, die gleiche Eigenschaft hat

?

wie T für f und f,; denn auch U kann nicht in einer Funetion höherer

Dimension aber gleicher Theilereigenschaft enthalten sein, weil dies

sonst den gleichen Rückschluss auf 7' zuliesse.

Ist der grösste gemeinsame Theiler 7' von f und f, eine Constante,

so heissen f und f,; theilerfremd zu einander. Ist f} eine irre-

ductible Function, so theilt sie entweder f oder sie ist zu f

theilerfremd. Denn der grösste gemeinsame Theiler 7' muss als

Theiler einer irreductiblen Funetion entweder gleich f, oder gleich einer

Constanten sein.

Jede der in dem Schema (5) auftretenden Functionen

f2, f3

fr—ı, f- lässt sich als lineare homogene Function von

f und fi darstellen.

Es wird nämlich der Reihe nach aus (5) abgeleitet für ein be-

liebiges A

OE — Oa aa

O C — (?z—1lßz_z) —f3 Qı 1ıs,

Dı 2—3Q2—1)

(gı 1ı 2) fı = fa—3 : (Qa— 1 Q2—292—3 — Oaı V2—2Qı—3

——fa——4'(q/z—1?a—züifz—% - 4;01.—1.1l11_27111_4) ;

22

Einunddreissigste Vorlesung $ 345—346.

so dass wir ansetzen können

(6)

(gı fı = Pırifı — Qı-ıfj;

dabei sind die P und Q ganze Funectionen der 2,,

Zm, für welche

die Formeln gelten

al = O I aaa ß

(P0=1)

P, =4,)),

(7)

Q+1 = Qı+1 Qı — Prı %ı Qa—ı;

(QI=17

Q =6)-

Hieraus folgt dann

P = dı — ıı}

Pı = 93 — VQı — PaVıd:;

(

Q = 93 — O35

Qı = U2939ı — PaV3do — P3V2ds;

In dem Specialfalle 4 == r liefert (6) die Beziehung

(8)

(3 : Pr) fr =

D

Durch Combination der beiden Gleichungen (7) und durch wiederholte

Anwendung der so gewonnenen Formel auf sich selbst erlangt man mit

Hülfe von (7°) das Resultat

(9)

PıQi41 — Prı Q = (1 4 O2) : (3

° O2+1),

aus dem ersichtlich wird, dass die linke Seite von z, unabhängig bleibt.

Combinirt man ferner (6) mit der durch Erhöhung von 4 um 1 daraus

entstehenden Gleichung und verwendet (9), so zeigt sich

(10)

(D

5 e D An aa

(1/«'1 V

06 Oanı)lı= Oa — aan Qa Marn

Die Gradbestimmung der hier auftretenden Funetionen nach 2;,

entspricht durchaus derjenigen, welche $ 64, Bd.I vorgetragen wurde,

und die dortigen Resultate gelten auch hier.

[f.l S

Mal a

. [hl=% —M,

900 [ =2=— 09

©< Z Z Z ZU)

(gl = , [a]=% —M, nl= —M, Gl S ——

[P]=%, [Pı]= %,

[LPı] = %,

[LP.] = %;

08 [ = 0 = D

LQ1] =O;

[Q2]=% — %, ı] — —,

In (8) ist demnach der Grad von P,„_1 nach 2 gleich %_1,

d.h. <n.<mn, also höchstens gleich (n — 1); und der Grad von

O e y a< (w — nı) — 1. Das zeigt: Bei der Dar-

stellung des grössten gemeinsamen Theilers von f mO ff

durch (8) genügt für P,_1, eine Function, deren Grad in 2

kleiner als der von f ist, und für Q,_ı eine solche, deren

Grad.in 2, kleiner als der von f, ist.

Z

2

3

1<‘undamentzy1eigenschaften ganzer Functionen. Reductibilität. Zerlegung.

$ 346. (VI) Sind fi(2, %,: 2m) und g(2,, %,: Zm) theiler-

fremd zu einander, und ist das Produect fi(&,::: Zm):fa(21): : Zm)

durch g theilbar, dann ist f> durch g theilbar.

Wir nehmen, was den Charakter der Theilbarkeit ja nıcht beein-

flusst, f\, > und g so vorbereitet an, dass ihre Grade in 2, mit ihren

Dimensionen übereinstimmen.

Da f und g theilerfremd sind, so kann

man nach (8)

A P+g:Q= ®(&,

Z)

setzen, woraus dann durch Multiplication mit f

(Af)P+IRQ=0 f

folgt; nach der Voraussetzung ist f;f> und also die linke Seite durch g

theilbar; also auch ®.f, und nach & 343, (IV) auch f.

Hierdurch haben wir

den Satz für m Veränderliche bewiesen

2

welcher in $ 342 für (m — 1) Veränderliche als richtig angenommen

wurde; und damit ist die Beweisführung geschlossen.

(VII) Ist das Product f;-f2 durch eine irreductible Func-

tion g theilbar, so ist mindestens einer der Factoren fi oder

f> durch g theilbar.

Denn da g irreduetibel ist, so muss es ent-

weder f} theilen, oder zu f; theilerfremd sein. Der zweite Fall erledigt

sich dann sofort durch Satz (VI).

(VIII) Eine Funetion f(2,, %,

Zm) von m Variablen ist

Der

nur auf Eine Art in irreductible Factoren zerlegbar.

Beweis ist dem für (m — 1) Variable gegebenen durchaus entsprechend,

so dass er hier nicht behandelt zu werden braucht.

(IX) Wenn f(z,,

Zm) für alle Werthsysteme verschwin-

det, welche eine irreductible Function g(z,,

Zm) zu Null

machen, dann ist f durch g theilbar.

Wäre das nicht der Fall, so würden f und g theilerfremd sein, und

man könnte die Gleichung

P.f+Q-g= D(@ - 8n)

aufstellen, in welcher ® nicht identisch Null ist.

Wir können daher

2 =%,

Zm — En Setzen, wo die & so gewählt sind, dass sie ®

nicht gleich Null machen.

Zu diesem Systeme bestimmen wir ein

2, =, durch die Forderung g(2,, &,

- Em) = 0. Dies ist natürlich

nur möglich, wenn 2 aus g(2,, &,

- Emn) nicht herausfällt.

Wir

ordnen daher g nach Potenzen von z,

9I= R AT RT A,

wobei die & nur die nicht identisch verschwindenden Coefficienten be-

zeichnen sollen, und beschränken die Wahl der &, --. &„ durch die

24 HKEinunddreissigste Vorlesung $ 346.

Zweiunddreissigste Vorlesung $ 347.

Forderung, dass %n ®=+0 sei.

Dann kann man auch ein passendes

21 = &, fnden.

Für dieses System der &£ müsste der Voraussetzung

gemäss auch f verschwinden; das kann aber nicht sein, weil ® =+£O ist.

Es muss deshalb g ein Theiler von f sei.

(X) Wenn f(@,,

Zm) für alle Werthsysteme verschwin-

det, welche eine Function g(z,,

Zm) zu Null machen, dann

ist f durch jeden der verschiedenen irreductiblen Factoren

von g theilbar, und eine passende Potenz von f durch g selbst.

Das folgt sofort aus dem vorigen Satze.

(XI) Besteht kein Werthsystem 6, %,

; Em, welches die

beiden Gleichungen

(1D)

@9 Zn

Zm) Tr O;

fa(2ı, %,

A)=0

gleichzeitig befriedigt, dann giebt es zwei ganze Functionen

P ('Z1) 227

An) me ( A

Zm), für welche die Relation

(12)

AB Q=u

besteht. Umgekehrt: gilt (12), dann giebt es kein Werthsystem

C1‚ g27

- En, welches (11) befriedigt.

Zunächst ist es klar, dass im ersten Falle f} und f theilerfremd

sein müssen, sodass man also zwei Funetionen P und Q so bestimmen

kann, dass

A Pa Q=Dlen,

Zm)

wird. Kann man nun &,

En gemäss der Bedingung P(&,-.:En)=0

wählen, so entsteht

f1(21; C27 S C‚„)P(‚Z„ g‘l;

s E e 336

Nach 8 345 ist [P]<[R£] bezogen auf z,. Folglich hat fi(2,,6,,

)

mit f(%,, &, -:-) einen Factor gemein; aus ıhm kann man Z =5, SO

bestimmen, dass (11) befriedigt wird. Das widerspricht aber der Voraus-

setzung.

Also ist ©D eine Constante.

Dividirt man ‚durch sıe, so

kommt man auf (12). — Die Umkehrung bedarf keines Beweises.

CI EL

Zm) der grösste gemeinsame Theiıler,

der nach 8 340 vorbereiteten Functionen fi(21,“ Zm), fa(21, “ Om),

f3 (&

Zn),:: :, dann giebt es ganze Functionen Pı(2,, : Zm),

P, (&

£‘,„)‚ P3 (£1; B Z„„)‚

; D(2, : Zm), Wwelche die Gleichung

(13)

f1P1+ﬁng+féP3+"'=T'(p

befriedigen. — Die Definition des grössten gemeinsamen Theilers

beliebig vieler Funetionen ıst klar.

Nun giebt es nach (8) für den

grössten gemeinsamen Theiler 7,2 von f‚ und f eine Gleichung von

der Form

Wurzeln einer Gleichung und eines Gleichungssystems mehrerer Variablen. 25

fiPız + faQ1,2= Tız : Pi2;

ebenso für den grössten gemeinsamen Theiler 7i23 von Ti2 und f

eine Gleichung von der Form

Tu2 4 P1‚2‚3 / Qı23 = Ti25: Di23-

Daraus ergiebt sich

Ha (P1‚2 P1‚2‚?.) /: (Q1‚2 P1‚2‚3) /° (®1‚2 Q1‚2,:;) = 1237 (®1,2 ®1‚2,3) .

Dies entspricht der Behauptung im Falle dreier Funetionen. — In

gleicher Art führt man den Beweis für mehr Funetionen.

(XIII) Wenn es für jedes System &, &, --- En einen Werth

E& giebt, derart, dass 7, =C ,, 4=&) ‘ Zm= En die Gleichungen

(11)

f(&,, %,

An) = 0,

fa(2ı) %,

A = 0

befriedigt, dann haben fi und f> einen gemeinsamen Theiler.

— Denn gesetzt, das wäre nicht der Fall, dann könnte man ansetzen

f1'P1+f2'1)2=@(52; 5m)

Wählen wir nun &,

; En sO, dass D(&,

- Em) + 0, und dann €,

der Voraussetzung gemäss, so dass (11) durch &,

En befriedigt

wird, dann stossen wir auf einen Widerspruch. Es muss also ® für

jedes System &,--.- E, verschwinden, d. h. nach dem ersten Paragraphen

dieser Vorlesung identisch gleich Null sein. Dann folgt, wie in (XT),

dass f} und f, einen gemeinsamen Teiler besitzen.

Zweiunddreissigste Vorlesung.

Wurzeln einer Gleichung und eines Gleichungssystems

mehrerer Variablen.

$ 347. Wir haben im Laufe der beiden letzten Vorlesungen mit-

unter den Satz benutzt, dass es Werthsysteme giebt, welche eine ganze

Funetion von m Veränderlichen GE

Zm) zu Null macht.

Das

bedurfte auch keines besonderen Beweises; denn es ist klar, dass man

Z9, As,

Zm beliebig gleich den Constanten &, &, : Em annehmen

und dann die Gleichung f(2,, &, - En)=0 nach zı lösen kann.

Hierbei könnte freilich Folgendes eintreten: es könnten in

(1) f(2'„ Z'.3‚ 577’)=‘-p0(2-2; 2‚'[„)53'1 +9)1 (Z2‚ 5m> 571‘1—“1_{_... +q)).l (22‚ “ Zm

alle Coefficienten @ für (

Da ) Z (Capoes Em) verschwinden. Dann

genügt eben jedes Werthsystem ( &y 5 Em) der Forderung. Es

26

Zweiunddreissigste Vorlesung $ 347—350.

könnte aber auch %,, %,,

“* @r,—1 verschwinden, während @,, von

Null verschieden bleibt.

Um das zu vermeiden, reicht es aus,

Pr (Za, - Zm) = 0 zu machen, und das reducirt unsere Forderung von

m Variablen auf (m — 1). Da sie für m== 1 erfüllbar ist, so gilt

also der Satz allgemein, dass man ein System finden kann, für welches f

verschwindet.

Die aufgeworfene Schwierigkeit lässt sich aber auch

noch ın anderer Weise überwinden, wie wir im $ 349 zeigen werden.

$ 348. Ein System von Werten z = , %4 =b&,)

am — Cm;

welches die Gleichung

2)

f (1 %)

An)= 0

befriedigt, soll eine Wurzel der Gleichung (2) heissen; ebenso ein

System, welches die Gleichungen

(8)

fa(£f'„ %>

än = 0

(«

—

2

q)

befriedigt, eine Wurzel des Gleichungssystems (3). Wir werden

uns auch die Bezeichnung „Wurzel der Function f“ oder „Wurzel

des Funetionensystems fx“ erlauben, da durch diese, freilich etwas

Jlässige Benennung doch keinerlei Irrthümer entstehen können.

Es kann auf den ersten Blick befremdlich erscheinen, ein solches

System &,, &,

;: En von Werten als „eine Wurzel“ zu bezeichnen.

Man möchte geneigt sein, bei zwei Gleichungen etwa von ‚Wurzel-

Das

Paaren“, bei dreien von „Wurzel-Tripeln“ u. s. f. zu sprechen.

wäre aber durchaus unangebracht. Denn &,, & ist nicht ein Paar von

Wurzeln einer Gleichung f(2,, %)= 0, weil & und & für sich keine

Wurzeln sind; sie stellen erst in ihrer Verbindung ein Werthsystem

dar, welches die vorgelegte Gleichung befriedigt. Es ist deshalb noth-

wendig, bei der Wahl eines Namens darauf zu achten, dass das System

der €& als Ganzes in die Bezeichnung eintritt. Passend würde auch die

geometrische Bezeichnung „Wurzelpunkt“ sein, wobei dann ,, &,:En

als seine Coordinaten aufgefasst werden könnten; es soll das auch

mitunter geschehen,

Die einfache Uebertragung der Nomenclatur

„Wurzel“ von f(z)= 0 auf (2), (3) hat um so weniger Bedenken, als

ja auch schon bei f(z) =0 der Name nur uneigentlich aufgefasst werden

darf, sobald es sich wenigstens um andere als um binomische Glei-

chungen f(z) = 0 handelt.

$ 349. Wir haben schon bemerkt, dass bei einer Function (1)

von m > 1 Variablen ein Fall eintreten kann, der bei Einer Variablen

nicht möglich war; es kann der Coefficient 9y der höchsten Potenz Z

einer der Variablen z, bei gewissen Werten %, = &,

Äm — gm WG

schwinden.

Wurzeln einer Gleichung und eines Gleichungssystems mehrerer Variablen

27

Wenn wir nun statt z, eine neue Variable y, ==- einführen, dann

geht (1) in

Pr 22 Am) RA Ora ( 2m) Y ı( Zm) Yı + Do(22

Äm) OFE

über, und man sieht, dass diese Gleichung in y, für 4=G,

E éI?L

die Wurzel yı = 0 besitzt

Wir dürfen dies so aussprechen, dass wir

sagen: (1) besitzt für &,

En eine unendlich grosse Wurzel

für z,, also , = 0©

Wendet man aber auf (1) die vorbereitende Substitution des 8 340

an, so erscheint (1) in einer Form, in welcher die Coefficienten von

Yı Yı

sämmtlich Constanten + werden

Dadurch ist die eben

besprochene Kventualität ausgeschaltet.

was hier

Es fragt sich aber,

aus der unendlich grossen Wurzel geworden ist. Die Betrachtung der

Formel (4), $ 340 zeigt, dass eine Wurzel yı — ©0, Ya = ©, - Ym = 0©

vorhanden sein muss.

Wir denken uns dies folgendermassen: Wir ordnen die transfor-

mirte Funetion in %,, %,

Ym nach den Dimensionen ihrer Glieder

Un (Yı,

Ym) + Um— 1 (r}

Yın) + + 9 (Yı,

Ym) = 0

wobei ug alle Glieder der «x Dimension enthalten soll, und setzen nun

Yı = &l

’

Yı = %l

Ym — xmt

unter der Annahme %, = 1. Dann erhalten wir

”ﬂ(”1; x,„_1‚1) Ü +””—1(x1; %'m—1‚1) tn_1+ +“0(x1) Kın — 1;1) O

und nach dem soeben Besprochenen wird für jedes System x, = &,,

° m —ı = %m—1 ’ Wel(:hes 7,L„(E‚„

: En—1) 1) = 0 macht, £=— c eine

szel der Gleichung in % sein.

W ir können also

Z

=&

Ü i — gm 1t

Ym = ©

(lim t = ®)

als Wurzel der Gleichung in y,,

Ym ansehen

Bei Gleichungen mit mehreren Variablen ist zwischen endlichen

und unendlichen Lösungen scharf zu unterscheiden.

Aehnliches findet

bei Glemhun%systemen statt; wir werden auf Theoreme stossen, die

nur dann gültig sind, wenn das Gleichungssystem, auf welches sie sich

beziehen,

nur endhche Wurzeln hat.

In welchem Sinne bei einem

Systeme (3) von unendlich grossen Wurzeln gesprochen werden kann,

ist nach dem soeben für :eine Gleichung Dargelegten von selbst klar

$ 350. Bei einer Gleichung mit einer Variablen f(2) = 0 folgte

aus der Existenz einer Wurzel €& die Beziehung

(z)—(z———;)g(z é);

28

Z€veiun«ldreissigste Vorlesung $ 350—3852.

wobei g(z,5) eine ganze Funetion von z und & war, deren Grad in z

um 1 geringer wurde, als der Grad von f(g).

ISt (€17 C‘.H

- Em) eine Wurzel von (2), so folgt

(4) f& m) = (& — E) 9ı y(Z2

g2) I2 + B + (z7n RET Cm) °Im ,

Ya Cm

wobei die g,, 9,

; Im Euncthonen der 2 %,

my S17 S27

sind. Das ist leicht einzusehen; denn man hat ja

f (&

&m) = [f(&, %,

Zm) — f (81> %>

2n)]

+ L/ (&,

+

R

‚Z‚„) _.f(é1; g27.

+

[f(€1; AD €m——-1‚ 5m) —f(C1; C71L—1, Cm)]

+ f(&,

VM Cm——1; €7n)c

Hier ist jede der eckigen Klammern durch eine der Differenzen (24 — &x)

theilbar, und der letzte Summand verschwindet. Damit ist die Gültig-

keit von (4) dargethan.

Zugleich sieht man, dass die Darstellung (4)

auf unendliche viele Arten vor sich gehen kann. (Vgl. 8& 463 ff.)

Die Bedeutung von (4) liegt aber in anderer Richtung, als bei

der entsprechenden Formel für eine Varlable.

Wenn in diesem Falle

&’ eine zweite Wurzel von f(z)==0 bedeutete, dann folgte weiter

f@)= @— (@—5) h(e, 6, 5)

u. s. £., so dass eine Zerfällung von f in lineare Factoren möglich wurde.

Bei unserer jetzigen Formel versagen die entsprechenden Schlüsse.

Ist (E', &, - Em) eine zweite Wurzel von (2), so ist zwar

CS e C

wobei die g Funetionen aller Coordinaten &,, & sind, aber eine ähn-

liche Reduction wie oben tritt nicht ein.

Man könnte versuchen, auf folgende Weise vorzugehen. Wir setzen

Sm — Cm =— UrUn ,

Aı A

Z

& = U1U,

23 — S — UU ,

Dann kann %, aus

und führen die neuen Unbekannten in (4) ein.

allen Summanden herausgesetzt werden, derart, dass sich jetzt die Form

Um), und wenn (6', &, - Cm) eine

ergiebt f= u 9(U, U,

neue Wurzel von (2) bedeutet, bei der etwa 6, =+76, sein soll, so

muss für

u = &/ —57

uu = 5& — &,

uu = 6& — &,

die Funetion g verschwinden, so dass in ähnlicher Weise aus ihr ein

Factor abgesondert werden könnte.

Allein man überzeugt sich leicht,

dass damit kein Fortschritt verbunden ist, weıl man aus dem Bereiche

ganzer Funectionen in denjenigen gebrochener Funetionen gelangt.

Wurzeln einer Gleichung und eines Gleichungssystems mehrerer Variabeln. 29

Wir wollen dies an dem einfachen Beispiel der Funetion f==2," —*

durchführen.

Für 41 —0= U, %— A0= UU erhält man

f= u (1 — U) ( F UUg F 20);

benutzt man nun die Wurzel (z,, %) =(b, —b), so werden als Wurzel-

Ca

Es ist also

werthe der w folgen (u,,4)= <b Zg

?a—b

)

a+b

v = U + (a — ),

V = 6 —

a— b

einzuführen.

Dadurch entsteht

f= W (1 — ) v (a2_ab 7 © — @) ”1'”2)

Nun ergiebt sich sofort, dass für jede Wurzel (z,, %)= (c, c)

der zweite Factor verschwindet, und für (z,, %)=(c, —c) der letzte

Factor, aber eine Einsicht in das Wesen der Function wird dadurch

nicht gewonnen.

$ 351.

Aus (4) können wir aber eine ungezwungene Definition

für vielfache Wurzeln einer Gleichung (2) ziehen.

Sind auch g,= 0,

g=0,- - 0m= 0 in (4) durch E, &,: - Em befriedigt, d. h. ist auch

(5)

f (&

Z‚„) Ta H('Za e g“) (Z/>’ H ;/9)ga‚ß7

wobei «, ß alle gleichen wiıe ungleichen Combinationen zweier Zahlen

1>2;'

m sein sollen, dann nennen wir (&,, &, --- Em) eine Doppel-

wurzel von (2). Ebenso mag allgemein (&,, &, --- En) eine o-fache

Wurzel oder eine Wurzel von der Multiplicität o genannt werden,

wenn f als homogene Funetion o** Ordnung der m Grössen (z, — 6&,),

+ (Zm — Em) mit Coefficienten darstellbar ist, welche ganze Funetionen

de Z

Zm) Sır ©

- Em . sind.

Wir können das Gleiche auch so aussprechen, dass für eine

Doppelwurzel nicht nur die Function f, sondern auch ihre sämmtlichen

ersten Ableitungen, nämlich

LAn

5

öÖf

Z

öf

f

verschwinden; für eine

al

DE

Ö

m

dreifache Wurzel ausserdem noch

OÖ

Ö

Ö

Dek? 0406

OE

u. 8S. W., SO

dass eine o-fache Wurzel dadurch charakterisirt ist, dass für sie die

Function selber und alle ihre Ableitungen bis zu denen der (o — 1)**

Ordnung inclusive verschwinden.

Was unter mehrfachen Wurzeln eines Gleichungssystems zu ver-

stehen ist, und wie solche mehrfachen Wurzeln ihrer Multiphicität

nach zu bestimmen sind, lässt sich an dieser Stelle noch nicht aus-

einandersetzen.

$ 352. KEntsprechend der in 8 37 Bd. I behandelten Frage gehen

wir jetzt dazu über, die Bestimmung einer Funetion f(2,,

Zm) der

I

9

0

Zweiunddreissigste Vorlesung $ 352—353.

' Dimension dadurch zu liefern, dass für eine ausreichende Zahl .0

von Werthsystemen für (z,,

Zm), nämlich für

(Er0, - Emo),- die Werte f(&0, - Emo)= (©%

vorgeschrieben werden.

Aus 8 329 folgt für die Anzahl der Coeffi-

cienten, welche in f eingehen, der Wert N(n,m); sSo gross muss @

angenommen werden.

Wir erhalten dann ebenso viele lineare Glei-

chungen von der Form

U

DAn

&« B3a

OO

(“=17 27 N 9)

für die o Unbekannten C,2.,...; verbinden wir mit diesen noch die

Gleichung

2 C ED

—f=07

so können wir aus unserem Systeme sofort sämmtliche c eliminiren

und erhalten als Resultat den gesuchten Ausdruck der Funetion f(2, ,: Zm)-

Dabei ergiebt sich eine Determinante der Ordnung (0 + 1)

F

l

’

zl)

299

A

2

%

Z

U

1

17 gll) C217

DD D3A

2

=0

(6)

>

2

%

Za

f(

12922

&,

’

)7 1 ? ; gl2.7 é22 7

Diese Form liefert f stets in einer ganz bestimmten Art, sobaldt die

Subdeterminante

1

2

g11 ?

&1

L

alık

2

21

C31

2

SAn

%

Z

4,

—

1

12

22

? C12 ’ ; ;2.27

C„ 7 _—.i‚:()

ist

Es möge (6), nach den Elementen der ersten Spalte entwickelt,

FA — fl Ol — OL 0

geben, dann ist das Analogon zur Lagrange’schen Interpolationsformel

in der Formel

(7) F(&,

a)=fO ROR + FOR (0= Nln m)

enthalten. Dabei ist 4, von den Varlablen 2;,

Zn inen

Die Ana-

logie zeigt sich auch darin, dass 4, für alle Systeme &, : En mit

Ausnahme von Eia, + me verschwindet und-für dieses System E1x, ** me

gleich , wird; also verhält sich die Bildung hier ganz ähnlich wie

die früher für eine einzige Variable gegebene.

Hier ist noch der

Nachweis dafür erforderlich, dass 4, nicht identisch, d. h. für jede Wahl

des & verschwindet. Um diesen zu liefern, wenden wir zunächst die

Kronecker’sche Transformation

Wurzeln einer Gleichung und eines Gleichungssystems mehrerer Variablen. 31

Clrz—ta; Ä2a——to€, CJ(X_'tZC'L)

an, und hätten zu zeigen, dass die Determinante

{

a

tzlq°-+m+r‚

|

(«=1, 2, - 9)

nicht verschwindet, falls 9 so hoch gewählt ist, dass alle Potenzpro-

Die letzte

ducte in A, verschiedene Kxponenten von * bekommen.

Determinante ist eine Funetion von 4, mit endlicher Gradzahl; sie kann

nicht identisch Null sein, wenn nicht auch ihr absolutes Glied identisch

verschwindet. Bei dieser aber bleibt, falls %-& --.% herausgesetzt wird,

eine Determinante ähnlicher Bildung von geringerer Ordnung zurück.

Da nun der Satz für zweı Variable klar ist, so ist er allgemein richtig.

Setzt man nun in (6) oder in (7) alle fF% =0, so folgt, dass,

wenn nicht besondere Beziehungen zwischen den (Eix, S,

C szx)

bestehen, die Funetion f(2,,

Zm) verschwindet; d. h. zwischen

o= N(n, m) Wurzeln der Gleichung f=0 findet die Relation

An = 0 Sanr

Stimmen zwei Funectionen w“ Dimension von

m Variablen für o= N(n, m) Werthsysteme überein, zwischen

denen die Relation 4,==0 nicht stattfindet, dann sind sie

identisch.

Setzt man in (6) alle @© mit Ausnahme des letzten = 0, und

dieses = (— 1)—1.c

Z

so entsteht

al

2

21

%9

(8)

f (&

d

ü

2

CI‚Q—1; €2,Q—1

somit ist hierdurch f bis auf einen constanten Factor durch

(9 — 1) seiner Wurzeln bestimmt und damit die in $ 350 gesuchte

Analogie zu den Funetionen einer Veränderlichen gefunden, soweit eine

solche vorhanden war.

$ 353. Wir wollen annehmen, was im Wesen der folgenden Be-

trachtung nichts ändert, dass die Function f so vorbereitet sei, dass

ihr Grad in z, gleich ihrer Dimension % geworden ist; dabei wird der

Coefficient von ” eine Constante, die gleich 1 gesetzt werden mag.

Es soll dann die Gleichung

E

S Dl A Pa (Aap * in& H P ( 2n =0

als Gleichung für 2, aufgefasst zu dem Werthsystem z = &,: 2n = En

die x-fache Wurzel z, = 0 besitzen.

Hierfür ist charakteristisch das

Bestehen der Gleichungen

Pnl Em) — 0, Onl Em) = 0, -

Pr—a+1 (Cg; A8 Cm) =0

32 Zweiunddreissigste Vorlesung $ 353—354. Dreiunddreissigste Vorlesung 8 355.

und der Ungleichung

Pn—a (C„

G €m)ä=0

Wir wollen nun den %, %,

Zm Incremente 0, 0,,

Ö, erteilen,

welche so klein angenommen werden können, dass alle

Pn—k (;2 + Ö\27

e Cm + Öm)

(x=0, 1, -

&« — 1)

ihrem absoluten Werthe nach unter einer beliebig kleinen Grenze blei-

ben, während die Funetion

Pn—a @2 + &,

um eine angebbare endliche Grösse von der Null entfernt bleibt. Das

Produet sämmtlicher Wurzeln &,, E, Eım der Gleichung in 2,

f(&, 5& 4 0,

S C„—{—Ö„)=O‚

ist dann + „,(& + 0, ) und daher beliebig klein. Deswegen muss

mindestens eins der |E, | selbst hinreichend klein werden, etwa | &.

Ferner ist die Summe der Producte von je (n — 1) der Wurzeln &,

gleich + —1 (& + 0, - :) und somit auch beliebig klein. Nur einer

der Summanden, nämlich 6, E3 : Sın, enthält E, nicht; . deswegen

ist auch noch ein zweites |&, |, etwa | E, |, hinreichend klein. In dieser

Weise kann man fortgehen und kommt zu der Einsicht, dass genau «

der. absoluten Werthe der Wurzeln &, hinreichend klein werden, d. h.

dass die Wurzeln den früheren Werten 0 hinreichend benachbart sind.

Diese ändern sich also zugleich mit %,

Zm in stetiger Weise. Die

Beschränkung auf z, = 0 kann durch Einführung von (z, — a) statt z,

aufgehoben werden; und was für die « Wurzeln z = 0 galt, gilt dem-

gemäss allgemein: Die Wurzeln z, = Sy, S,

von f= 0 ändern

sich stetig zugleich mit Z%, %,

Z?I7. S

Aus diesen Betrachtungen geht hervor, dass die Wurzeln (2, , 2 ,: Zm)

einer Gleichung f(2,, %,: 2m)= 0 aus der m-fachen, durch die Ver-

änderlichen 2,, %,

Zm gegebenen stetigen Mannigfaltigkeit eine

(m — 1)-fach stetige Mannigfaltigkeit herausheben,

$ 354. Aehnliche Ueberlegungen, wie die bisher in dieser Vor-

lesung durchgeführten, kann man an ein System von Gleichungen mit

Zm zu knüpfen suchen.

Hierbei stösst man

m Unbekannten 2,, %,

aber sofort auf eine Reihe von fundamentalen Fragen, deren KErledigung

zunächst zu erstreben ist. Während bei einer Gleichung f(2,, %, : Zm)=0

durch Fixirung der Werte von 2,::: 2n die Frage auf eine Gleichung

mit einer einzigen Unbekannten gewendet wurde, ist hier über die

Existenz von Wurzeln eines Systems von m Gleichungen mit ebenso

vielen Unbekannten noch gar nichts bekannt.

Es muss also zunächst

die Entscheidung über folgende Fragen herbeigeführt werden:

Elimination bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

33

Giebt es Werthsysteme (Z,, %,

Zm) der m Variıablen z2,

durch welche m Gleichungen derselben Variablen gleich-

zeitig erfüllt werden?

Wieviele derartige Wurzeln des Systems giebt es?

Auf welchem Wege können diese Wurzeln gefunden wer-

den, oder wie lässt sich das Problem auf die Lösung einer

Gleichung mit einer Unbekannten zurückführen?

Den Weg zur Lösung dieser Probleme liefert die Theorie der

Elimination. Durch passende Verbindungen der Gleichungspolynome

werden neue Gleichungen hergeleitet, welche weniger als ın Unbekannte

enthalten.

Von den übrigen sagt man, sie seien eliminirt worden.

Diese neuen Gleichungen sind Folgen der ursprünglichen; sie werden

mit ihnen gleichzeitig befriedigt. Dadurch wird das Problem reducirt,

indem man jetzt die neuen Gleichungen an der Stelle der gegebenen

behandelt.

Es wird angethan sein, das Problem der Elimination zunächst an

zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten durchzunehmen.

Dreiunddreissigste Vorlesung.

Elimination bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

$ 355.

Es seien zwei Functionen fi(2,, %) und fı(z,,%) der

Dimensionen %” und % vorgelegt. Diese wollen wir uns nach 8& 340

bereits so zubereitet denken, dass sie die Glieder c,2,", c,2," und d,2,,

d,2” enthalten.

Wir wollen derartig zubereitete Funetionen kurz:

präparirte nennen. KEin allgemeines, Gleichungssystem ist an sich

schon präparirt. Ueber den Einfluss der vorgenommenen Transformation

auf das Bestehen von Wurzeln können wir leicht in’s Klare kommen

2

wie im $ 356 gezeigt werden wird.

In $ 136, Bd. I haben wir die charakteristischen Bedingungen dafür

abgeleitet, dass zwei ganze Funetionen einer Variablen z

f() = w an eı H G,

(I)

gl8) =b2" + b# + ÜEa 9 OR

einen gemeinsamen Theiler besitzen. Als Resultat stellte sich heraus,

dass eine gewisse ganze Function der Coefficienten @ und 0, nämlich

die Resultante R,, verschwinden muss. Diese Resultante zeigte sich

in den b homogen vom m' in den @ homogen vom n“" Grade und

Netto, Algebra. II,

3

34

Dreiunddreissigste Vorlesung $ 355—356.

in beiden Coeffieientenreihen isobarisch vom Gewichte m-n, wenn jeder

Coeffieient als Gewicht den Werth seines Index erhielt.

Nehmen wir nun in (1) statt z die Variable z, und setzen für die

Coefficienten @ und b Funetionen einer zweiten Varlablen %,

An —ı = 070 + CI/;_12'2+ G222'22+ s + Ar m— 2 Z72L_l (Ä = O‚ 1, er 777/),

(

(Ä=O‚ 17"'”')7

baı =br0 + da1% + baa F F ban 2257 *

dann können wir die Funetionen (1) durch richtige Wahl der az„u, b2u

mit den vorgelegten Funetionen der beiden Gleichungen

(3)

f1(217 22) 7 O;

falzı, %)= 0

identificiren; denn die Substitution von (2) in (1) liefert ja die all-

gemeinste Form für zwei Funetionen m” und n“ Dimension. Tragen

wir (2) auch in die Resultante K, ein, so entsteht eine Funetion von

29r

welche wir die Eliminante von fi und f> in 2 nennen wollen.

Da es sich hier vorläufig nur um zwei Gleichungen (3) handelt,

so können wir kürzer

(4)

Raynl@)= R (%)

schreiben. Die Bezeichnung „Resultante“ wollen wir für einen beson-

deren Fall aufsparen, welcher die bisherige Benennung in sich fasst.

Es bleibt R(z) natürlich auch in den a homogen vom

Grade » und in den dzu, homogen vom Grade m. Hinsichtlich

der Gewichte wollen wir folgende Festsetzungen machen: es möge

jedem a das Gewicht (m——2A-—u), jedem bıu das Gewicht (n—1—w)

beigelegt werden. Dadurch ist erreicht, dass, wenn wir %, und z je

mit dem Gewichte (1) versehen, jedes Glied in

M

n

(5)

f(&1, %) =2a;_„z%.zé_‚‘‚ fa(&ı, %) =2

21+u=0

A+u=

äht B

bezw. das Gewicht m und x besitzt, so dass f, isobar mit dem Ge-

wichte m, und f, isobar mit dem Gewichte % wird. Man kann dieselbe

Bestimmung auch dadurch erreichen, dass man fi und fy durch Ein-

führung einer neuen Variablen # homogen vom Grade m, bezw. %” macht

und jedem Coefficienten als Gewicht den Exponenten von % giebt, der

seinem Potenzproducte angehört. Dann ist es ersichtlich: R(z) ist

in den Azu, bzus % isobarisch vom Gewichte mn; R(z,) steigt

also in %, höchstens bis zu dem Grade mn auf.

Wenn & eine Wurzel der Eliminantengleichung R(%)= 0 ist,

dann haben, wegen der Eigenschaft der Resultanten,

(6)

(n &), fl &)

Elimination bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten

35

einen gemeinsamen Factor, und also die Gleichungen in 2,

(6°)

f& &)

0, fal&, &)

gemeinsame Wurzeln

Und umgekehrt, wenn (&,, &) eine Wurzel von

(3) ist, dann _ haben (6?)

emeinsame Wurzeln, folglich (6) gemeinsame

Factoren, und demnach ist R(&)==0. Das zeigt: Um für (3) alle

Wurzeln zu finden, bestimmt man (4), sucht alle Wurzeln &,

der Eliminantengleichung in %A und bestimmt zu jedem &,

den grössten gemeinsamen Theiler d,(Z,, E&x) von fi(Z,, Cae)

Wn /ın De)

Die Wurzeln von dz =0 mögen Six, Sia,

SS

Dann haben wir in

(ß)

=6

1& >

— Ce

sämmtliche Wurzeln von (3)

$ 356. Wir können jetzt an einem einfachen Beispiele die Wir-

kung der vorläufigen Transformati®ön von $& 340 zeigen

Es sei das

nıcht präparirte System

h=U% A=0

fa —

Z E ZD2Z0

egeben

Für dieses wird die Eliminantengleichung in %,

R(2) = %— 4 =0

und man erhält die Wurzeln & =+1

—1; 0. Für sie gehen die

Gleichungen und die Wurzeln über in

—1=0

l=0

’

(Eu> S21) = (1, 1);

—4 -—1=0

>4 -1=0

(512; ?;22) a (— 1

)

02 —1=0

02 —2=0

(E13, S3) = (00, 0)

In diesem letzten Falle besteht also kein gemeinsamer Theiler zwischen

f (2,, 0), fı(z,,0) im eigentlichen Sinne, und das erklärt sich durch

das Auftreten einer Wurzel z, =

c<o für einen endlichen Werth z = 0.

In geometrischer Darstellung würde es heissen: die Curven fi=0,

f =0 haben einen unendlich fernen Punkt in der Richtung einer der

Coordinatenaxen gemeinsam. Bei diesen Verhältnissen kann es also

geschehen, dass die Eliminanten R(z,) und R(z,) in ihren Graden

nıcht ubere1nst1mmen auch wenn zu jedem &, nur ein & gehört, wel-

ches mit ihm zusammen eine Wurzel bildet.

So ist in unserem obigen

Beispiele die Eliminante in z, nur vom zweiten Grade

KO) z

Um diese Ungleichmässigkeiten zu entfernen, legen wir unseren

Betrachtungen präparirte Systeme zu Grunde.

B81 diesen ist es näm-

lich durch das Vorkommen von c,2,", 62,"; djeß , d,2,” ausgeschlossen,

dass nur eine Coordinate einer Wurzel (£,, &) des Systems unendhch

3

36

Dreiunddreissigste Vorlesung $ 356—358

gross wird. Ob freilich die beiden Eliminanten von demselben Grade

werden, steht auch jetzt noch nicht fest, da möglicherweise zu einem

E, mehrere &

ehören können, oder umgekehrt

357

Die Berechnung der zu einem &g

ehörigen Werthe 6&

wurde in $ 355 von der Auflösung der Gleichung dy(2,,C2«)= 0 ab-

hängig gemacht

Im Allgemeinen wird diese vom ersten Grade sein

doch kann siıe auch zu höheren Graden aufsteigen

Durch die im

149, Bd. I abgeleiteten Resultate werden wir aber der Mühe über-

Dies

hoben, den Teiler dg aufzusuchen und die Gleichung aufzulösen

wollen wir besprechen, uns dabei aber freilich hieı

wiıe auch dort

auf den Fall beschränken, dass d„ von keinem höheren als dem zweiten

Grade ist

Wir können dann aus der dortigen Formel (12) im Falle

dass d vom ersten Grade wird, das Resultat ablesen

1 Cloc Cloc

R (&2«)

Pn

ML

R (&20a)

N

R (&.)

(

)

2 P(C"o)

R (&20)

R (C2 a)

Ist der Theiler d von höherem Grade

so sınd natürlıch auch höhere

Gleichungen aufzulösen.

Die dortige Formel (16) giebt für den Fall

eines quadraüschen d die beiden Wurzeln @„„‚ @

als Wurzeln von

_4

OTE

(8)

3“L+1

R (;" «) ‘1

(2022

R (E20) 2 +

R(;„\ 20

$ 358. Die Frage, auf welche Weise die etwa vorhandenen Wur-

zeln zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten zu bestimmen seien, ist

durch die bisherigen Untersuchungen zwar erledigt, aber ohne dass

dabei Resultate über die Anzahl der Wurzeln zu Tzwe getreten wären.

Damit wollen wir uns jetzt beschäftigen

Es kann vorkommen ($ 348, XI), dass überhaupt keine Wurzeln

für die beiden Gleichungen (3) bestehen, wie dies ja auch schon das

einfache Beispiel

z

A —+ 1=0

zeı1gt

Es kann ferner vorkommen, dass die beiden Gleichungen un-

endlich viele Wurzeln besitzen, wie dies in dem Falle eintritt, dass f,

und f einen gemeinsamen Theiler aufweisen. Welches ist der, sozusagen

allvemeine Fall, und wie gehen aus ihm die möglichen Besonderheiten

hervor?

Bei der Bildung der Eliminante R(z,) wollen wir ın allen einzelnen

Elementen der Determinante (m + »„)'" Ordnung stets nur das Glied

Dadurch ent-

beibehalten, welches die höchste Potenz in 2, enthält

steht unter Benutzung der Bezeichnungen (2) und (5)

Elimination bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

37

Aım 0 ’

a/m‚—l,l A 22 ’

am—2‚2 ß 222 ’

Ao,m

ö

577

0

]

0

’

U, 0 >

am—l‚1 - 22 ’

a1,m—1 . Zzz—1; Aom 57;L ’

bn0;

Da p

brz—2‚2 S 522 ’

Z)()7„ © Z'Z,

0

?

n

0,

bn();

bn—1‚1 Z ı

22

-

Ön DE . b0.„„ Z

Multiplicirt man nun die zweite, dritte, - - - n° Zeile mit , 2*, - 2%71,

dann die (n +2)°, (n +3)°, ... (n+m)® Zeile mit %, %7,

zl;ä —1

so kann man aus jeder /“ Spalte 2%—1 herausziehen.

Dadurch er-

hält man für die Determinante den Werth

0

0

a'm0;

Am—1,1 >

UAm —2,2 »

Aom ’

?

?

amO;

477 -

0

2

A1,m—1)> | Of)m‚'

(9)

0

0

C Zg"”

bn0 2

bn—1‚l ’

bn—2‚2 ’

b0‚n ?

?

5

bn0 ’

bn——1,1;

b1‚n—l ’

b0n »

0

2

Hier ist der

Factor von 2%" gleich der Resultante zweier Functionen

x1(t) — A0 + am—l‚lt + Um —2,2 Ü + E + a0mtm;

(10)

XQ@) S 7On() + bn——l,lt + bn—2‚2t2 + VASEM + b0n R

Die Bedeutung dieses Resultates ergiebt sich, wenn man die Funetionen

fi und f nach den fallenden Dimensionen ihrer Glieder ordnet,

fı = Um(81, %) F Um—ı (21, %) 4 F U, %) 4 ,

(11)

fa Un (1 %) F Oarı C A) d s F @ 2) %;

A

UZı , 2a) = 202

al

+ 1A71 + + wnA,

(12)

Dr (81, %) = bzo A

An zn AT r E a

wobei also z. B. u alle Glieder 1'“ Dimension in z, und %, umschliesst,

welche f, enthält.

Hieraus entnehmen wir

x @©) = um(1, £),

%2(Ü n (17 t);

so dass, wenn x,(£) und %, (£) keinen gemeinsamen Theiler haben, dies

auch bei um(1,%), v„(1,%) und also auch bei u(2,,%) und v„(Z,, 2)

niıcht vorkommt, und umgekehrt.

In diesem und nur in diesem Falle,

dass kein solcher Theiler besteht, ist (9) von 0 verschieden, und R(z,)

erhebt sich bis zum Grade m-n.

Die beiden Funetionen u (2,,2,) und v„(2,, %) sind homogen, so

dass un = 0, v„= 0 die banale Wurzel (0,0) besitzen. Ausser ihr

kommt nur dann eine Wurzel vor, wenn Rı ,, =0 ist. Diese Resul-

38

Dreiunddreissigste Vorlesung $ 358—360.

tante wollen wir auch mit Ry,w

bezeichnen und die Resultante

der beiden homogenen Functionen u„ und v„, nennen.

Wir haben dann das Resultat: Wenn die Resultante R„„„„„+ 0

ist, d. h. wenn kein (z,, %) ausser (0, 0) besteht, welches die

Glieder höchster Dimension in f; und in f> zum Verschwinden

bringt, dann und nur dann steigt die Eliminante R(z) zum

Grade m-n auf.

Dieser Fall kann als der allgemeine bezeichnet werden, da die

beiden ganzen Funetionen (10) im Allgemeinen keine gemeinsame

Wurzel besitzen. Man kann ja, selbst bei festem %, (%), das %, (£) immer

noch auf unendlich viele Arten so bestimmen, dass Rı =++0 wird.

$ 359. Unsere Betrachtungen zeigen ebenso, dass R(z,) im Al-

gemeinen bis zum Grade m.n aufsteigt. Aber gleichwohl ist daraus

direet noch kein Schluss auf die Anzahl der Wurzeln möglich. Denn

es ist ja bei den präparirten Gleichungen freilich ausgeschlossen, dass

zu einem % =& ein unendliches, und also nicht aus R(z,)= 0 zu

entnehmendes z, eingeht; aber es wäre möglich, dass zu einem &/

mON B e

undtzu &k ( olerchtalls CO

gehörten.

Dabei wäre die Anzahl der Wurzeln nicht zu überblicken.

Dass aber die wirkliche Anzahl der endlichen Wurzeln bei präpa-

rirten Gleichungen mit der Gradzahl der Eliminante R(2,) überein-

stimmt, und zwar auch dann, wenn durch irgend welche Besonderheiten

der Funetionen fi und fx dieser Grad geringer als m.n sein sollte,

das lässt sich auf dem folgenden, von Liouville*) hierzu benutztem

Wege nachweisen.

Wir führen in f und in fz statt z eine neue Variable x durch

die Substitutionen

% = K, - A% ,

Z

C

E T

(18)

A

ein, wobei x, 4 unbestimmte gewichtlose Parameter bedeuten, so dass

also die neue Variable x auch vom Gewichte 1 wird, wie 2, und %.

Da x, 4 unbestimmt sind, so entspricht jeder Wurzel (6E,, &) auch ein

x — E& und umgekehrt jedem x = E& ein (6,, 6&). Zwei Wurzelpunkten

( e7) wa 66 ), die mear un beiden Coordinatenpaaren überein-

stimmen, entsprechen verschiedene 5’, 5”. Wir tragen nun (13) in (3)

ein; dann erhält /, als höchsten Nenner 2”, und f als höchsten Nenner

Ä/L

Setzen wir demnach

%Z

—42

Änﬁ2 (2'„ S A

)=92(517 %),

A e

A

)= 91(Z1;x)7

dann sind g, und g ganze Funetionen in 2,, %, %, A

* J. d. Math. p. e. a. (1); 12 (1847), p. 68—72.

Elimination bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

39

Nun bilden wir die Eliminantengleichung

(15)

R91)92 (.7;') n O

und betrachten eine ihrer Wurzeln &. Die beiden Funetionen g,(z,, &)

und g (z,, E) besitzen dann einen gemeinsamen Factor, und daher

K EW

42

E %er

fl

? f2 (Zl7

A

)=0

eine gemeinsame Wurzel z, =C .

Folglich haben fil(%,, %)= 0,

fz(&,, %) = 0 die Wurzel

2 = 5

Z

=5_%.

Diese Wurzel ist natürlich von x, 24 unabhängig, weil f und fz es sind.

Daher muss &, von x und 2 unabhängig sein.

Ferner muss (& — 6,x)

setzen

wir

also

von %x unabhängig und durch %Z theilbar sein;

(E—E,x)= &1, so folgt, dass auch & von x und 2 unabhängig ist.

Wir haben also , =& und &=xE, +126&. Alle Wurzeln von (15)

haben die Form

x=grx=%élo;+}féa;

wobei Eıx, &a VOoN %* und 2 unabhängig bleiben.

Hat man

sämmtliche Wurzeln von (15) in der Gestalt

ga(”; Ä) Za %€1a + Ä€2a

(06=1‚2‚---)

bestimmt, so erhält man sämmtliche Wurzeln von

(3)

fl %)=0,

f2(51; Zz) =0

in der Gestalt

(5,(1, 0), 5,(0, 1)),

(%(1,0)‚ %2(07 1))7 24

Besitzt (15) den Factor (x — E) genau in der q“ Potenz,

dann wollen wir das entsprechende (&,,6&) eine g-fache Wur-

zel des Systems (3) nennen. Bei dieser Festsetzung giebt der

Grad von Rı „(%) die Anzahl der endlichen Wurzeln des Sy-

stems (3) an.

$ 360. Wir setzen die Eliminante

(16) P,g (@) = 09(%, 2) - &* — Q, (x,2): * 71L 0,(x, 2) : 72 —

Im allgemeinen Falle ist /# = m-n. Die Wurzeln von R(x)= 0 sind

von der Form x& +26&, wo E& und & endliche Grössen bedeuten.

Es kann also für kein endliches Werthepaar x, 4 eine Wurzel x un-

endlich gross werden. Dies müsste nun aber geschehen, wenn irgend

eine Wurzel (x7, 2o) von 0,(x,2)=0 nicht zugleich Wurzel aller

91(”7 l) w O) 92(“7 Ä') SR O7 ;

wäre.

Die Coefficienten 0,, 0,

verschwinden sonach für alle Werthsysteme, welche o,= 0 machen.

40

Dreiunddreissigste Vorlesung $ 360—361.

Nach 8 348, (X) kann man daher alle irreductiblen Factoren von 0,

aus 0,,02,::: herausheben. Ist dies geschehen, und bleiben dann noch

weitere Factoren von 0, zurück, dann gelten dieselben Schlüsse. Wir

können deshalb alle Theiler von 0,, welche überhaupt von %, 2 ab-

hängen, aus allen o herausheben.

Setzen wir daher R(x)= 0, so

dürfen wir von vornherein die höchste Potenz von % mit einem von

x und 2 freien Coefficienten versehen.

Diesen können wir jetzt ım

Falle unbestimmter Coefficienten az., bı leicht berechnen. Setzen wir

%x —0, 1=1, dann geht x in %, und Rı „(x%) m Re,%(@) Üüber.

U 9n

Nach 8 358 ist in der letzten Function der höchste Coefficient £

und deswegen haben wir auch hier

(17)

00 (%, 2) — Ba 94

Da die Wurzeln von (15) die Form (x&, + 2&) haben, und da

ferner

01 (4, ) __

—

E S(”Cloc F ÄZ2a);

00 *, 2)

02 (x, 2) O

——

00 (x, 2)

AF S(*@1a 3F Äg2a) (”Ä1p* A ÄÄ2ß)‚

ist, so folgt, dass 9, homogen und linear in x, A ist, 0, homogen und

quadratisch in x, A, u. s. W., unter der Voraussetzung, dass 0, bereits

von x und 2 frei gemacht worden ist.

Der erste Coefficient 09 hat in den az„., bıu das Gewicht 0, d61'111

nach $ 358 gehen in iılm nur Amo, Cm—1,17 °

9 bn0; bn—l‚1;

eIn,

und alle diese Coeffieienten haben gemäss $ 355 das Gewicht 0.

Weiter folgt dann aus den letzten Formeln, da Eg und Ex das

Gewicht 1 besitzen, dass 0, isobarisch vom Gewichte 1, 0, vom Ge-

wichte 2 ist u. s. f.; alles bezüglich der Coeffieientenreihen az„ und bzu.

Die Substitution (13) wandelt f,, f in homogene lineare Fune-

tionen der au bez. der bzu um. Leitet man nun (16) mit Hülfe der

Determinantenform her ($ 151, Bd. I), dann folgt, dass (16) und also

auch jedes einzelne o9, in den @u homogen vom Grade %” und in den

bzu vom Grade m ıst.

Wir sammeln die erhaltenen Resultate in folgenden Sätzen: Führt

man bei allgemeinen Funcetionen fi, f die Substitution <13)

durch und erhält dabei g,, %, SO 1st

(16> Rﬂx‚ga(x) A 90(”7 ’1> ÜE 91(“7 Ä) Z + 92(“7 Ä> W

vom Grade k=m-n. Sämmtliche o sind homogen in den A,

vom Grade ” und in den bıu vom Grade m; ferner hat 0« in

den beiden Coeffieientenreihen das Gewicht «. Es ist 0y von

x und 2 unabhängig und

Elimination bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

41

R

(17)

99

U n 5

nach 8 153, Bd. I ist dies eine irreductible Function. 0 1st ın

den x, 4 homogen vom Grade «.

Wenn für besondere Werte der a;„., bın die Grössen 05,

O4>

- 0u—1 identisch d. h. für alle Werte von x und 2 ver-

schwinden, dann ist der von x und 2 unabhängige Theiler

von 0, in allen folgenden 0.+1, Qu+2,

enthalten und kann

aus der Eliminantengleichung herausgehoben werden.

Aus (16) folgt, wenn man

0e(%, 2) = 04“ + OXHEA F OTA

setzt, eine Reihe von Formeln der Gestalt

008 (Eıx) = 04(1,0),

09 S (52x) = 01(0, 1);

A

$ 361. Wir können jetzt leicht die Frage entscheiden, in welcher

Beziehung die Grade von Ry,,% (Z), RA (27,) und Roy,,g (x) zueimander

stehen.

Es ıst bereits erwähnt worden, dass durch die Annahme

x=0,2=1 das R(%) in R(z%) übergeht, ohne dass der erste Coeffi-

cient verschwinde.

Beide Eliminanten stimmen demnach ım Grade

überein, und das Gleiche gilt offenbar von R(z,), wie die Annahme

x=1, 1= 0 zeigt.

Denn setzen wir

% — A

x’”fl<

%— A

Bn

’ 52) 9 (

MO

)

als neue Funetionen an und suchen von ihnen die Eliminante in z

2

so wird sie iıhrer Bedeutung nach mit (16) bis auf einen constanten

Factor übereinstimmen, da beide &,, &,

zu Wurzeln haben.

Es muss aber auch hier hervorgehoben werden, dass diese Resul-

tate nur für präparırte Gleichungssysteme richtig sind. Anderenfalls

können R(2,), R(z) einzeln oder beide von höherem Grade werden als

R(x). So hat man z. B. für

fil&,, %)= 42 —1,

fl %)= 244 +24 —2

die drei Eliminanten

Rfufz (21) D 2'?”1 (2'1 Gr 1)?

B, fı (2o) = — 22 ( — o

Ra g (&) = 44 ( — x —.

Aus der letzten Form ergiebt sich die einzige endliche Wurzel von

f =0, gı= 0, nämlich &, =&= 1. Die Substitution von z,=0

und von 2 =0 in f und in f ruft

42 Dreiunddreissigste Vorlesung 8& 361. Vierunddreissigste Vorlesung S 362—363.

f1(07 %2)= —1,

f2(07 Z2) RZEr 23

f1(2/'1, O) FAnr 17

fl&,,0)=24 —2

hervor.

Präparirt man dagegen zuerst f,, f durch die Substitution

21 = U, P U,

— ı a

so erhält man

Pı (r , Uo)=Ur? — Up? —1, D(W , Uo) = U, * F U1 Ug —U Ug —U UU —2

und die Eliminanten

Bnı 92 (u,) = — 8 ( — 1),

B Pa (U) = — 84

geben jetzt die richtige Gradzahl 1 an.

Vierunddreissigste Vorlesung.

VUebergang vom allgemeinen zu besonderen Fällen.

& 362.

Wir haben gesehen, dass die Anzahl der Wurzeln des

Systems

g z

(1D)

fı (@1, %) =Zm7 Azu

T

fa (21, %) =j bzu 285

2+u=0

A+u=0

im Allgemeinen m -n beträgt, nämlich dann, wenn die @ru, b2u unbe-

stimmte Grössen bedeuten, und wir haben auch erkannt, dass bei spe-

ciellen Werthen von @u, bıu diese Zahl erhalten bleibt, so lange die

Glieder höchster Dimensionen in den Funcetionen, also die der m“ in

fi und die der n in fx, keinen gemeinsamen Wurzelpunkt besitzen.

Wir bezeichnen wie früher die Polynome nach den Dimensionen geordnet

(2)

f (21, %) =j Un (21, 2%), fa (& %) =j U (21, %)

x=0

x=0

Dann kann also eine Gradreduction nur dadurch entstehen, dass die

= 0 wird.

Resultante Ryy,o

N

Wählen wir ein solches Funetionenpaar f,, f zum Ausgangspunkte,

bei welchem diese Resultante von Null verschieden, bei dem somit die

Anzahl der Wurzeln m-n ist, und wandeln wir die Coefficienten von

da aus in stetiger Aenderung sSo um, dass sie zu denen eines anderen

Paares werden, dessen Eliminante nach % nicht bis zum Grade m:n

in die Höhe geht, so ist nach $ 351 die Gradreduction durch das Un-

endlichwerden von entsprechend vielen Wurzelcoordinaten z, und bei

präparirten Gleichungen von entsprechend vielen Wurzeln (2,, %) zu

erklären.

Uebergang vom allgemeinen zu besonderen Fällen.

43

Bei geometrischer Repräsentation der Gleichungen durch Curven

stellen sich die Verhältnisse recht übersichtlich dar.

Haben 44 (Z,,22)

und v„(2,,%) einen gemeinsamen Factor (z, — &«z), und setzt man

ZI=QCOS(})‚

%2 = 08in @,

dann werden durch Einführung dieser Polarcoordinat_en o und @

Fı (ı %) =0" [u.(cos , sin g) + un (c0s g, sin g) —+ ]

fa(ı, %) = 0” [ w (cos @, sin ) + v.—1(cos @, sin w)% +-.J;

für sehr grosse o kann man sich auf die Betrachtung der Glieder

höchster Dimension, d. h. auf

f1(@ı1, %) = 0" - um(cos , sin @),

fa(Zı, %)=0" v (cos , sin @)

beschränken. KEs liefert daher die Bestimmung cotg p = 2 : = «

eine Richtung @, für welche die Curven fi= 0 und fı =0 einen

und denselben unendlich fernen Punkt besitzen.

Die Existenz eines

solchen ist charakteristisch für die Reduction des Grades von Ra aı

$ 363. Wir wollen jetzt untersuchen, welche Gradreduetion ein-

tritt, wenn Un = 0 0, = 0 eine gemeinsame x-fache Wurzel besitzen,

also u und v einen Faetor (2, — «%2)*. Wir können dabei x —0

setzen, weil dies ja nur auf eine lineare Transformation hinausläuft.

Dann wird etwa

Um(21 , 2a)ı= Am0 9R —E O A A 99 A Oa FE

On (217 Z2) A bft‚0 1 an b"—1‚1 Z71L_1 Z AAA 5E b;7„_;„ ZÄ1 Z?2L_Ä;

wobei i >x anzusetzen ist.

E

Unter dieser Annahme bilden wir die

Eliminante R(z,) und behalten genau wie in $ 358 von jedem ihrer,

als ganze Funetionen von z, auftretenden Elementen die Glieder höchster

Dimension zurück. Dann ist die Determinante von der Form:

a/m‚0; allt—l‚l'z2; an az‚m—x'zzz-x ax—l‚m—zz?zn—z; 5 a0‚m—15731_1; O

bn‚0; bn—l,l'£2;"' b}_‚„_}_-ß'g_l‚ bl-—1‚n—-). Z‚{_€—Ä; PE b0‚n—122—1; 0

|

|

Wir gestalten sie so um, dass die zweite und die (n + 2)®

Zeile mit

2,, ferner die dritte und die (% —- 3)° mit 22

u. s. w. multiplieirt wird;

aus der zweiten Spalte ziehen wir dann Ba

aus der dritten 2?,

heraus.

So entsteht

Am,0 > Am—1,1

az,m—x, az—1,m—z Z_ 1;

2

a0‚m—122 1; O

z‘)7l n

bn‚ 0, bn—l,l ?

SO

b0‚n—lz—.>—1 ’ 0

.

ELB,

44

Vierunddreissigste Vorlesung $ 363—366.

KEs h%mdelt sich nun darum, die niedrigste Potenz von z zu be-

stimmen, die bei der Entwickelung der Determinante auftritt. Offenbar

sind die Elemente der x letzten Spalten durch z7* theilbar.

Es tritt

also jedenfalls z“ heraus, und man erkennt ohne Schwierigkeit, dass

eines der dazu gehörigen Glieder, welches bei unbestimmten 07., bzu

durch kein anderes zerstört werden kann, gleich

MR L

6b3‚'m —% bä‚ N

On,0 22

ist

Folglich erscheint in R(z) die Potenz 27"—* als die höchste,

d.h. haben um(2,,%) und v.(2,,%) einen Factor (g, — 0«4)* ge-

meinsam, dann steigt R(z,) nur bis zum Grade (m -n — x%) auf.

Wir können dies geometrisch wieder so ausdrücken, dass wir sagen:

die Curven fi=0, fi=0 haben in der Richtung cotg dg — « unend-

lich ferne x Punkte gemeinsam.

S& 364. Wir gehen zu dem besonderen Falle x = 1, 1 — 1 über.

Zieht man dabei aus der obigen Determinante den Factor z2—* der

letzten Spalte heraus, dann findet man den zugehörigen Coefficienten,

wenn man in der zurückbleibenden Determinante alle Glieder mit 271

unterdrückt. Hierdurch zerfällt sie aber "sofort in ein Produect einer

Determinante zweiten und einer solchen (m + n — 2)“ Grades, deren

Form als Coefficienten den Werth

(8)

R‘l’n Oa} R'/’n'‚”2

ergiebt, wenn man setzt

1 = Am0 + Am— 116 F : T Aa,m —ı frl — um(1,0),

Oa — bn‚0 + bn——1‚1 b + VE + bl‚n—l frl= Un (1‚ t);

U, = A1,m—ı - Aom— %,

Ü2 a b1,n—1 + b0‚n—1t'

Auch hier wird im Allgemeinen (3) nicht verschwinden, und auch

numerische Bestimmungen lassen sich in beliebiger Menge angeben,

Eine weitere Reduetion des Grades der

bei denen dies nicht eintritt.

Eliminante R(z) kann gemäss (3) auf zwei Arten zu Stande kommen.

Die erste Möglichkeit wird durch Ra — O gegeben; das bedeutet,

es haben 4 (2,, %) und v (2,,2) ausser dem einen gemeinsamen Thei-

ler z, noch e

inen anderen Theiler (z, — ß%) gemeinsam. Die zweite

Möglichkeit wird durch Rıy, ı,

—0 geliefert, d. h. durch das Bestehen

: Do,n—1 Oder, was dasselbe aus-

der Proportion A1m—ı : bi,n— 1ı Ao,m—ı

sagt, durch das Bestehen der Gleichung

Urrg (z1 , Zz)'

U —1 @17 Z)

!

D (&r %)

1

z=0

OLEn %)

2=0 S

Nun verschwinden für z,= 0 Zähler und Nenner der linken Seite;

deswegen können wir die Relation auch in der Form

Uebergang vom allgemeinen zu besonderen Füällen.

45

ÖU (ı , %)

Ön Cır %)

02

A

02

LA

U (1 , %)

z=0

Vn _1& > %) z=0

schreiben. Dies drückt, geometrisch gesprochen, ur aus, dass die zu

dem gemeinsamen unendlich fern gelegenen Punkte geh örigen Asymptoten

beider Curven zusammenfallen.

$ 365.

Das Schlussresultat von $ 363 lässt sich auch so aus-

drücken, dass wir sagen: Haben u„(z,, z) und Vn(Z,, %) einen Fac-

or (Z, — «2%)* gemeinsam, dann besitzen f; = 0 und o = 0 in

der Richtung cotg g =« im Unendlichen x gemeinsame Punkte.

Gesetzt nun, u (2,, 2) und v„(z,, %) hätten noch einen anderen Factor

(Z, — ß2%)* gemeinsam, dann haben fi= 0, f;=0 auch in der Rich-

tung cotg g = ß unendlich fern 4 gemeinsame Punkte. Wir machen

nun von der Thatsache Gebrauch, dass der Grad der Eliminante um

ebensoviele Einheiten vermindert wird, als es unendlich ferne Wurzeln

giebt; dies ist dadurch sicher gestellt, dass man von dem allgemeinen

Falle den Uebergang zu dem besonderen Systeme vornimmt, oder auch

dadurch, dass man 2,= 0C0S®, %= o sin g einführt und die Werthe

von — betrachtet. Durch diese Thatsache gelangen wir dann zu dem

KErgebnisse: Haben u„(2,,z%) und V„(2,, %) einen Factor der Di-

mension w gemeinsam, dann steigt die Eliminante R(z) von

Ai= 0 und £=0 in 4 höchstens bis zum Grade (mn — u) auf.

Wir haben diesen Satz nicht auf rein arithmetischem Wege her-

geleitet. Ein Beweis desselben, der sich ausschliesslich auf determi-

nanten-theoretische Betrachtungen stützt, wäre sehr erwünscht; er scheint

aber nicht gerade einfach zu sein.

$ 366. Wir wenden uns nun zu dem Falle, dass fi = 0 eine

Wurzel (&,&) in der %-fachen, und fo= 0 dieselbe Wurzel in der

/-fachen Multiplicität besitzt, und fragen, in welcher Multi

plieität (&,, _C2)

als Wurzel des Systems f;i=0, f2= 0 aufzufassen ist.

Bevor wir dieser Frage näher treten, wollen wir, um eine spätere

Unterbrechung zu vermeiden, einen für uns nothwendigen Satz aus der

Theorie der Resultanten herleiten *).

Wir setzen, indem wir unter @ einen willkürlichen Parameter ver-

stehen,

A(@) 0a 02 H H G m,

(4)

9ı @007e 0 b e baa

*) Fr. Meyer, Ueber die Structur der Discriminanten und Resultanten bi-

närer Formen. Gött. N. 1895 Heft 1; vgl. auch ibid. Heft 2.

46

Vierunddreissigste Vorlesung $ 366

wobei % und 7 zwei posıitive

ganze Zahlen sind, von denen / nicht

kleiner als / sein soll. Wir schreiben die Resultante & von f und g,

nach z in der gewöhnlichen Form als Determinante (m + n)“" Ord

Nung

indem wir unter die ersten / Zeilen mıt den Coefficienten « die

S

ersten & Zeilen mit den Coefficienten b _hinschreiben, nämlich

490

A0

k— 1

CO

k

A9O

a QL—1

{ Zeilen

00

b Qlk1

b 9Z—2

b,0

b‚0

k Zeilen

darunter stellen wir zunächst die übrigen (n — 0) Zeilen miıt den «

und zum Schlusse die übrigen (m — k) Zeilen mit den b. Nun theilen

wir die Determinante in vier Theile nach dem Schema

|

S,

S

(k + 7 Zeilen)

+ =

|

|

S}

S,

(m + n — k — 1 Zeilen)

(k + 7 Spalten)

(m +n — k — 1 Spalten)

In den ersten / Spalten von S, stehen überhaupt nur Nullen; in jeder

(1 + w«)'" Spalte von S, ist die niedrigste, in den einzelnen Elementen

vorkommende Potenz von o die (k — « + 1)®; ihre Glieder enthalten

gegen die entsprechenden Elemente einer beliebigen Spalte von S

mindestens den Factor o*—-“+*1 mehr

Die Elemente jeder (l + «)

Die Glieder von

Spalte von S, enthalten höchstens den Factor 0*—7“

S, enthalten o überhaupt nicht

Wir berechnen nun R nach dem Laplace’schen Determinanten-

zerlegungssatze

Z OE

aus S, S, dadurch abgeleitet werden

dass

WObEL SS SS

man eine oder mehrere Spalten aus S, durch solche aus S, und gleich-

zeitig die unter den letzteren stehenden von S, durch die unter den

ersteren stehenden von S, ersetzt. Wählt man aus S, z. B. die (1 + «)®

Spalte und ersetzt sie durch eine solche aus S,, so wird jedes Glied

von S, hinsichtlich der vorkommenden Potenz von 9 höchstens um

den Faetor 0*—“ erniedrigt; jedes Glied in Sı dagegen mindestens um

den Factor o*—“+1 erhöht. Es folgt, dass die Glieder in R mit der

niedrigsten Potenz von o sämmtlich in S, S, vorkommen.

Als Glieder mit niedrigster Potenz von o enthält S, solche mit ©&

Diese erhält man sämmtlich, wenn man in S, einfach o= 0 Ssetzt,

Dadurch geht S, in die Determinante aus

Uebergang vom ällgemeinen zu besonderen Fällen

47

070

Ar Aı

Ar +2

0

Ur

Ux+ 1

(n —1 Zeilen)

b

ı+ ı

e

0

b

Dn

:( (m—k Zeilen)

über, d. h. wenn wir

(r‚) ak+a;„-+1?f+'-'+a‚„tm“k=zl;l(t), bz+bz+1t+"°+b„t”*l=il’2(t)

setzen, in dıe Resultante

R% 5Wa

Bei S, ist gleichfalls das Resultat leicht zu erkennen.

Denken wir

uns für Ar+ 1, Ar+2,

} bl+1; bl+2; wr

in S, eingesetzt ax+1071,

dUa-+207?, -

’ b1+19_ 9 bl-l-29— 9

:, so entsteht eine isobarische

Function des Gewichtes 4&/. Diejenigen ihrer Glieder, welche ein axıı,

Ar+2>

‘5 bi4+1, 0i4+2, - besitzen, haben dabei Factoren mit negativen

Exponenten von o; es haben daher die in diese Glieder eintretenden

Factoren, die von az+1, 3 bı41, - frei sind, für sich genommen höhere

Potenzen von g als die (% - [)°. In S, haben deswegen diejenigen Glieder

das Minimalgewicht % -7, welche ax+1, 0x+2,

5 041 D,

gar

nicht enthalten.

Diese bilden demnach, wenn

(6) %T ab+ : + UF = D, y A OE 9°2(Ü

gesetzt wird, die Resultante

Pır P2

Die Resultante der beiden Gleichungen (4) enthält nur

Glieder, die mit gk*!, o4/+1,

multiplicirt sind. Die mit o*

multiplicirten haben als Gesammtcoefficienten das Product

der beiden Resultanten

(7)

'R(Pn Oa} RW17".”27

wobei die Functionen @ und % durch (6) und (5) definirt sind.

Oder auch: Entwickelt man die Resultante

k

A9Q

Ar— 10 0r

Ak+1

A

0

a1 f)/c—1

(8)

b0@l b19l—1 ö —- b;°_1f) .b[ bl+1 b„ (0)

nach steigenden Potenzen von 0, so ist das Anfanésglied

R‘/’n ( 'R‘.Ün W QLZ

Hieraus findet man sofort, indem man statt o einsetzt o71: Ent-

wickelt man die Resultante

48 Vierunddreissigste Vorlesung $ 366—368. Fünfunddreissigste Vorlesung $ 369

1

40

ak—l@k_

al

Ur Qk

Ap-4 10 +

am9k O S UEa

(9) b0 b19 bl 19l—1 . b;@l b'l+1@l 'bn€.)l O

nach fallenden Potenzen von 0, dann ist das Anfangsglied

RK/’H Pa °} Rl/"n‘/"z 0

mn— (m—k)(n—0),

Ordnet man (8) derart, dass die von o freien Glieder vorn stehen und

dann die Elemente nach steigenden Potenzen von o geordnet folgen,

so sieht man: Die Entwickelung der Resultante

!a

0

CZ

Um—k

Am—k+1 Ql $

00 Ö

L

(10)

b0

br

b„_z

bn—l-|-1@1 - bn0

0

1

2

nach steigenden Potenzen von o beginnt mit

'R5110'9. Z Rin'tz 8 le7

wobei zu setzen ist

6, Ü = 4a n O R Öa

Tı (t> == Am-—k + Um—k-+1 ( + SA + Am tk; T (t) D bn—l + bn—l+lt + S + bzz—l D

$ 367. Wir gehen jetzt zu den beiden Funetionen (1) zurück

und nehmen an, dass fi= 0 die x-fache Wurzel (&, &) besitze, und

dass (E, &) zugleich A-fache Wurzel von' f> =— O sei. Ohne Beschrän-

kung können wir annehmen, (&,, &) seiı = (0, 0). Dann verschwinden

in f alle Coefficienten au,„, in denen u - v< %, und in f alle Coeffi-

cienten b„.,,, ın denen w y< ist. Bilden wir unter diesen Fest-

setzungen R(z), so entsteht eine Determinante, bei deren HElementen

wir nur die niedrigsten Potenzen von Z aufschreiben, die übrigen

Theile dieser Elemente aber unterdrücken wollen. Man erhält dann

UAm, 0>

m —1,0>

ax‚0;

Ay—1,1%9)

ax—2‚ 2 2"227

(Io)„5f_;, 0

bn107

bn—1‚0;

Ab9 b2‚0;

b3—1‚1 %> bz—2,2 5227

K b0‚15)%7 0

Auf diese Determinante können wir direct den letzten Satz des vorigen

Paragraphen anwenden und erken

nen daraus, dass in R(z,) die niedrigste

Ein Hinweis auf die Liouville’sche

Potenz von z die (x-1)® ist.

Transformation genügt, um zu zeigen, dass (0,0) eine (x -

2)-fache

Wurzel des Systems (1) werden wird.

Die beiden Möglichkeiten, unter denen

die Potenz von % eine

Das Labatie’sche Theorem.

Die Minding’sche Regel.

49

höhere werden kann, sind ihrer Bedeutung nach leicht zu unterscheiden.

Die erste Möglichkeit tritt ein, wenn

Am0 21 * + Am—-1,0277 *71 A a = 0,

br 27 A barı 7l ... + b 0=0

eine Wurzel gemeinsam haben; die zweite, wenn dies bei

002 F Ay_ı112% 71 + - + d =0,

eintritt.

bo Z + bı 71 + + br =0

$ 368. Nach den bisherigen Darlegungen macht es keinen wesent-

lichen Unterschied, ob fji=0, f>= 0 genau m-n oder weniger Wur-

zeln besitzen, sobald man nur den Begriff von unendlich grossen Wur-

zeln zulässt.

Anders ist es jedoch, wenn fi=0, f;=0 mehr als m-n Wurzeln

haben.

Dann muss natürlich R(g,) identisch verschwinden.

Ks fragt

sich, was dies bedeutet. Die beiden Functionen f und f> mögen durch

eine geeignete Transformation präparirt sein; wir suchen ihren gemein-

samen Theiler. Gesetzt, ein solcher existirte nicht, dann könnte man

f(&ı, %) P(@1, %) — aln &a) Oa @)= D (Z)

bestimmen, wobei P von geringerem Grade in 2, ist als Y und O

von geringerem als fi.

Wählt man nun ein %, =CG&, für welches

p (&)+0 ist, so können wir, weil wegen R(2,)=0 zu jedem z ein 2,

besteht, welches mit jenem zusammen eine Wurzel von Z

ausmacht, durch passendes (E,,&) die linke Seite zum Verschwinden

bringen, während die rechte von Null verschieden bleibt. Dieser Wider-

spruch fällt nur dann fort, wenn @ identisch Null ist. Dann hat

aber, wegen der Grade von P und Q, die Funetion f mit g einen

Factor gemeinsam vgl. 8344. Die Umkehrung des Satzes ist klar. Wir

sehen: Die Existenz eines gemeinsamen Theilers von f (&1) 2)

——

und f(2,,%) ist charakteristisch dafür, dass fi= 0 und f

mehr als m-n und zwar unendlich viele W urzeln haben.

FE SÜN EENOEONN

Fünfunddreissigste Vorlesung.

Die Minding’sche Regel.

Das Labatie’sche Theorem.

$ 369. Wie wir gesehen haben, führt die Aufstellung der Elimi-

hante zur richtigen Anzahl der Wurzeln zweier Gleichungen mit zwei

Unbekannten, oder genauer: zur Anzahl der endlichen Wurzeln. Allein

die Durchführung der dazu nothwendigen Rechnungen wird selbst bei

Netto, Algebra. II.

4

:’)O>

Fünfunddreissigste Vorlesung $ 369—370.

niederen Graden der beiden Gleichungen von so ausserordentlicher Um-

ständlichkeit, dass die Anwendung dieser theoretisch vollkommenen

Methode bei einem praktisch vorliegenden KEinzelfalle kaum ın Erwä-

gung zu ziehen ist.

Man müsste sich deshalb, wenn weitere Hülfs-

mittel nicht zu erlangen sind, im Allgemeinen darauf beschränken, das

Maximum der Anzahl von Wurzeln anzugeben, trotzdem diese Anzahl

bei weitem zu hoch sein kann.

Diesen Uebelständen wird durch eine von Minding*) gegebene

Regel abgeholfen, zu deren Ableitung wir jetzt übergehen wollen. Die-

selbe fordert aber einige tiefergehende Vorbereitungen, die sich auf

Reihenentwickelung von Wurzeln algebraischer Gleichungen beziehen.

Es sei eine ganz beliebige algebraische Gleichung zwischen den

beiden Variablen x und y gegeben

(D

f(x; ?/) — 07

in welcher x bis zum Grade a aufsteigen möge.

Zu jedem Werthe

von y gehören @ Wurzeln x von (1); diese sind nach $ 355 stetige

Funetionen von y. Wir wollen annehmen, dass y über alle Grenzen

hinaus wachse, und wollen das Verhalten der @ zugehörigen Wurzeln &%

untersuchen.

Kommen in (1) Glieder mit gleichen Potenzen von %

aber ungleichen Potenzen von y vor, dann braucht man für den ersten.

Schritt unserer Untersuchung nur dasjenige von diesen Gliedern bei-

Unterdrückt

zubehalten, welches die höchste Potenz von y besitzt.

man die übrigen, so.reducirt sich (1) auf eine Function von höchstens

(a + 1) Gliedern. Wir schreiben das so reducirte Polynom in der Form

(2)

o(x, y) = Aytar + Byba? + Oyya® + + Lytw',

@>b>0> 00}

Die Darstellung von x als Funetion von y soll nun durch eine nach

absteigenden Potenzen von y geordnete Reihe geliefert werden. In ihr

sei uy® das Glied höchster Potenz in y. Wir nennen es das Leitglied

der Entwickelung, und o möge die Ordnung des zugehörigen X

heissen. Setzen wir dies in (2) ein, so werden sich die Glieder höch-

ster Potenzen von. y zerstören müssen. Ks müssen deshalb mindestens

zwei Glieder höchster Ordnung gleichzeitig auftreten, wenn uy® wirk-

lich das Leitglied einer Entwickelung abgiebt. Die Werthe von ©

können demnach nur solche sein, bei denen unter den G1'össen.

*) Bestimmung des Grades einer durch Elimination hervorgehenden Glei-

chung.

J. f. M. Bd. 22 (1841), p. 178. — Entwickelung eines symmetrischen Aus-

.

Arucks für den Grad einer durch Elimi

nation hervorgehenden Gleichung. J. f. M.

Bd. 31 (1846), . 1.

Die Minding’sche Regel

Das Labatie’sche Theorem

51

(3)

& + 4Q,

ß +bo,

Y +Co,

A +l

mindestens zwei vorhanden sind, deren Werthe übereinstimmen, und

deren Werth zugleich von keinem anderen der Reihe (3) übertroffen

wird. Setzt man zwei dieser Grössen einander gleich, z. B. (w + mo)

und (v + n9), so folgt

An

—

(4)

m —n)?

und es wird der gemeinsame Werth jener beiden Grössen

M — NW

©)

u +mo=v+n0=

M

Gefordert ist dann, dass dieser von keinem andern aus (3)

x(m

n) + k — w)

(6)

%x + ko

ra

übertroffen werde

Ist dies der Fall

dann giebt (4) eine passende

Ordnung für die Entwickelung von &x

$ 370. Am einfachsten lassen sich diese Verhältnisse übersehen

wenn wir von einer geometrischen Darstellung Gebrauch machen, welche

Newton angegeben hat, und die den Namen des Newton’schen Po-

lygons führt*)

In einer Hülfsebene ziehen wir zwei senkrecht auf einander stehende

Axen, deren eine, etwa die horizontale, zur Darstellung der Exponenten

von %, und deren andere, die verticale, zur Darstellung der Exponenten

von y dienen soll

Jedes der Werthepaare (a, «), (b, ß), (c, /),

(2, 2)

wird dann durch einen Punkt der Ebene repräsentirt

Die Gerade

welche die Punkte (m, u) und (n, v) mit einander verbindet, hat, wenn

& und ” ihre laufenden Coordinaten bedeuten, die Gleichung

(7)

E —w g—mv—%p7

M

Ur

sie schneidet aus der durch (%, x) gehenden Senkrechten zur x-Axe

das Stück

WE

0

_ O A

UL

heraus, und die Erhebung des Schmttpunkl:es (k, n) über (k,x) be-

trägt, m1t dem richtigen Vorzeichen genommen,

Mv — NW

U A

R C y.)

M —N

—w

Die Vergleichung dieses Werthes mit (5) und (6) zeigt, dass

m

N

ED Pn ME J

*) Newton, Opuscula; ed. Castillon, p. 12 u. 39. — Vgl. hierüber, sowie

über die Entw1ckelunrr des x nach fa11enden Potenzen auch C. Jordan Cours

d’analyse I, p. 89 ff.

4A#

52

Fünfunddreissigste Vorlesung $ 370—3871.

nur dann ein als Exponenten des Leitgliedes brauchbares o liefern

kann, wenn die gerade Linie, welche die Punkte (m,w) und (n, v) mit

einander verbindet, keinen der übrigen Punkte (a,«), (b,ß),::: vom

Nullpunkte trennt.

Hiernach liefert eine einfache Zeichnung sofort alle überhaupt

für o möglichen Werthe.

Jedenfalls geht durch den äussersten nach

rechts gelegenen Punkt (a,«) eine der Geraden des Newton’schen

Polygons. Der äusserste auf ıhr nach

Y

links hin gelegene zu (2) gehörige

Punkt sei etwa (d, 0).

Dann kann,

(a

wie geometrisch klar ıst, keine weitere

@3

Polygonseite durch einen der zwischen

(a,«) und (d,&) liegenden System-

Ö),

punkt von (2) laufen. Dagegen muss

(21)

durch (d,0) eine zweite Gerade der

angegebenen Art

gezogen werden

können; diese wırd eine geringere

Steigung besitzen, als die erste, so

dass das zu ihr gehörige o geringer

ist, als das zur ersten Seite gehörige. In ähnlicher Weise kann man

fortgehen, bis man zum linken Endpunkt des Polygons kommt, wel-

cher auf der Verticalaxe liegt.

Die letzte Seite liefert das kleinste o.

Die Entfernung der Fusspunkte von (m,w) und (n,v) wollen wir

die Horizontalcomponente der zugehörigen Seite nennen.

Die Summe

aller Horizontalceomponenten ist gleich dem Grade in %.

Nach dem Dargelegten erklärt sich die Figur, welche zu

O = (0= 0a a @0 — Aa A AD

O(x,y) = ya) + y'a) A 2y %x + y

gehört, von selbst.

Sie liefert

1+30 =3+220;

0=2

=E=

3 +20'=4+0o';

R

und

D = U

d = u'y24‚

$ 371. Wir wollen nun annehmen, es würden durch %=uy® die

beiden unmittelbar aufeinander folgenden Glieder aus (3)

(8)

w + mo

und v +

(m= n + 1)

einander gleich und grösser als die übrigen derselben Reihe. Das er-

gäbe also o=(v—u4), und es sind sämmtliche anderen Exponenten

(9) « + alv—p),

ß'+' b('“'“”');

kleiner als w-+m(v—w).

Die Minding’sche Regel.

Das Labatie’sche Theorem.

53

Wir tragen nun in (1) ein

(10)

X =UYO + &,

(0=v—u).

Um das Resultat bequem übersehen zu können, machen wir die Sub-

stitution in den beiden durch (8) angedeuteten Gliedern

M(uy® + x )y“, Nuy® + &, )y”

(M, N+0)

und einem die simmtlichen übrigen Glieder repräsentirenden Term

D(uy® + x )'y).

Wir. erhalten diesen dreien entsprechend als transformirte Glieder ohne x,

Mwr y„11 +mo ß

Nw y v+no f

(11)

_D„dy(f+zl(),

(m=n+1; o=v—U).

Wegen (8), (9) haben die beiden ersten einen höheren Grad in y als

alle anderen, welche um mindestens eine Einheit zurückstehen. Setzt man

W F

N

(12)

Mu + N= 0,

E

dann zerstören sich jene beiden und ein Glied der dritten Art bleibt

als höchstes zurück.

w soll diesen Werth (12) annehmen.

Als Glieder, die x,* enthalten, finden wir in den Gliedern (11)

MO D

N U

D

(m=n+1; 0o=v—u).

Die beiden ersten liefern gleiche, und zwar die höchsten Potenzen in y.

Ihr Aggregat kann nicht verschwinden, da sonst wegen (12) auch M

und N gleich 0 wären.

Als Glieder mit x,” werden ebenso gefunden,

M (m) wr —?_y‚u+(m—2)g .i(712, N (%) '“„__2 y„+(n_2)@ x12,

d

(m=n+1; o9o=v—u).

©

2

) u da Hog

Auch hier erkennt man sofort, dass die beiden ersten Glieder unter

allen denen mit x,* die höchsten Grade in y liefern.

Beim Newton’schen Polygon der Gleichung in xz, und y kommen

also für den Abschluss links drei Systempunkte in Frage

03) © 0 4 do)s

1, w + (m — 1)o);

@2, w + (m — 2)o).

Bestimmt man demgemäss x, = u,y%, so kommen als kleinste Werthe

von 0, in Betracht die, für welche

Q ar A @— o =0 0 Ln

und an zweiter Stelle die, für welche

0, =(d0+do) —‚(" +mo)+o0

201 4 4 F (m — 2)0 = u + (m — 1)o

d. h.

N Q

ıst

Daraus folgt: Die letzte Polygonseite verbindet die beiden ersten

54

Fünfunddreissigste Vorlesung 8& 371—378.

Systempunkte (13); sie liefert wegen (9) ein 0, <o. Die vorhergehende

Seite liefert ein 0,, welches mindestens = 0 ist. Da nun eine Weiter-

entwickelung %= uy® + u„y® + %, nur dann einen Sinn hat, wenn

0,< hat, so erkennt man, dass diese Entwickelung nur auf eine

einzige Art mit einem ganzzahligen 0, < o fortgeführt werden kann.

Macht man die Substitution %x = uy® + u,y® + x in (1), dann

wiederholen sich alle besprochenen Schlüsse.

Ferner ist aber ersicht-

lich, dass durch unsere neue Transformation gegen (10) keine höheren

Grade in y eingeführt werden; man braucht nur %, = u,Y% + x in die

transformirte Gleichung zu setzen, um das einzusehen.

Bei passender,

der Annahme (12) entsprechender Wahl kann man das nunmehr höchste

Glied in y tilgen, u.s. f._So folgt: Durch eine Substitution

(14)

Z= uy + uy“ + y + + Wle

ist es möglich, die Gleichung f(z,y)= 0 bis auf Glieder zu

befriedigen, die in y von niederer als der r“ Potenz sind,

wobei ” eine beliebıg hohe negative Zahl bedeutet; oder auch:

durch die Substitution

(15)

D = UyO + U,Y% + 9y# F E 02 A Xarı

geht f(x,y) in ein fzrıl@z+1,y) über, welches nur Potenzen

y—r——l’ y—7‘—2‚

in endlicher Anzahl besitzt.

$ 372. Wir gehen nun zu dem allgemeinsten Falle über.

Eine

Seite des Newton’schen Polygons möge sich vom Punkte (m, w) bis

zum Punkte (%,v) von rechts nach links erstrecken, und zwar möge

m = (n + 6) seim.

Wenn ferner %x == uy?® eingesetzt wird, sollen die

auf dieser Seite liegenden Eckpunkte die höchsten Potenzen von y

aufweisen.

Es muss also

v

w

==

z

2

(8°) mo+uw=n0-+v,

TE

l

(v—u=T, 0=9g7)

sein, wobei X die kleinste Benennung des Bruches o angiebt. Kommt

zwischen den beiden Grenzpunkten der Seite noch ein anderer System-

punkt (m’, w’) auf ihr vor, so ist

mo + uw= m9 +w';

(m — m’)p = (W — W)9,

und da y und g theilerfremd sind, so muss es eine ganze Zahl % geben,

für welche

m =m—hg,

uw= u + hp

wird. Die höchsten Potenzen von y werden also durch Glieder

(16) M«/nny}t + M/ xm—q?/‚u+p + M//%.m——2 Q .’E‘“+2 D + An + Nxzm— a ty‚u+pt

geliefert. Die übrigen Systempunkte mögen generell durch

Datyd

Die Minding’sche Regel.

Das Labatie’sche Theorem.

55

bezeichnet werden.

Jetzt machen wır die Substitution

Q

(10°)

X = U + z,

(0—

)

q

und erhalten als transformirte Glieder ohne &,

Mw" y‚u +om A

_Z][’„m—q y‚l( +Fom 2

?

Nu”—a7? y# + m}

(11%)

Dutyd+04,

als solche mit x,*

muwr—1 y,u+q (m—1) , a

M/(m Ba q)um—q—l ?/‘“+Q (m—1) , d

(11)

u. s. w. Dabei ist

WDa Ag

(17) @+ om>d+ od,

@ o 1) >0 DW 1),

Das Aggregat der ersten Glieder in (11®*) wird verschwinden, wenn

w eine Wurzel der Gleichung

(12%)

Mwt + M'ur—de + M'uc—da L ... + N=0

ist

Man überzeugt sich sofort davon, dass für eine k-fache Wurzel

von (12°) auch die zu (16) gehörigen Glieder mit %,, x,*,

Da

verschwinden, während die mit x* von Null verschieden bleiben. Giebt

man dem w in (10*) alle Wurzelwerthe von (12*) und rechnet jeden

in der Multiplicität, mıt welcher er als Wurzel auftritt, dann giebt es

tq= 6 Entwickelungsmöglichkeiten (10*) von x, bei denen die Seite von

(m, w). bis (n,v) das leitende Glied liefert. Führt man dies Verfahren

bei allen übrigen Polygonseiten durch, so kommt man zu genau so vielen

KEntwickelungsanfängen, als der Grad von (1) in x angiebt.

$ 373. Wir legen jetzt eine /%-fache Wurzel von (12*) den wei-

teren Betrachtungen zu Grunde.

Es werden dann, wenn wir (1) durch (10®) transformiren, in dem

neuen Polynome fi(x,,y) aus dem Aggregate der zu (m,w)-:-(n,v)

gehörigen Glieder diejenigen verschwinden, welche mit x,°, x - + + *—

multiplicirt vorkommen würden; dagegen ist der Coefficient des mit

x* multiplieirten Gliedes von Null verschieden.

Es sind die Coeffi-

cienten, wenn man die höchsten Glieder in y heraushebt, von

D

gleich Du®% . y)ıFoS:

xl„—1

gleich D <k‘_l 1) Urn d H@ n

k

gleich (M("f) wr L ’ (";g) w ) „ yuto m—

mM

AD

gleich (M (

ALa

> um—k—1 + M (]„ﬁ 1) uyn'—k—l + N ) E y‚u+Q (m—k—1)y

oder, wenn dieses Glied verschwindet,

d

gmhlm

k+1

) ud— AL . yd+o(d—k—n)

56

Fünfunddreissigste Vorlesung $ 373—374.

Würde eine Seite des Newton’schen Polygons nach ihrer Hori-

zontalcomponente von (& + 1) bis (%) gehen, dann müsste in %, = u yı

Q 1D pr @— 0 baa A a =0

oder bei Eintreten der zweiten eben erwähnten Eventualität

o (h& — 1) 3FT od—k—1U) =erk + olm —k) dh. 0,>0

gesetzt werden, wie aus (17) folgt, da ja hier

9,= 0 + [(w + om) — (0 + 0d)]

sein würde. Machen wir die gleiche Substitution, um die Steigung der

Polygonseite zu erhalten, deren Horizontalcomponente von (£) bis (k — «)

geht, (x= 1,2,-..k), so ist zu setzen

ok + u + olm—%)= 09,.(k—a) + 3 + o(m—k+«) d.h. 0,<o,

da ja hier

(18)

@1=9—%[(u+@7%)—(5+@d)]

sein wiırd. Dies zeigt, dass eine Seite des Polygons ihren linken End

punkt in (k, w + o(m — k)) hat, und dass die links davon liegenden

Seiten, deren Horizontaleomponenten zusammen /% betragen, sämmtlich

durch Substitutionen %, =u, y befriedigt werden, bei denen 0, < © ist.

Den Schlusssätzen des vorigen Paragraphen gemäss giebt es also

k und auch nur % Entwickelungen % = uy® + u„y*, bei denen 0,<

wird. Das ist so zu denken, dass für die Horizontalcomponente von (&%)

bis (0) entweder % Seiten bestehen von der Länge 1 der Horizontalcom-

ponente, oder auch weniger Seiten mıt grösserer Horizontalausdehnung.

Wir wollen allgemein annehmen, dass eine der Seiten betrachtet werde,

welche von (m,) bis (m, — 6,) sich erstreckt.

Dabei ist natürlich

6, <khk<t; demn (12°) kann Wurzeln höchstens ın der z-fachen Multi-

plicität besitzen.

Das zugehörige 0, wird nach (18) den Nenner o,

haben; wir setzen es, auf seine kleinste Benennung gebracht,

(19)

Q,

B

’

6, — Yı71)

alko aua <0e= 0<

4:

Von hier ab wiederholen sich die früheren Schlüsse.

Der Werth von

u‚ wird durch eine Gleichung bestimmt werden, welche der Gleichung

(12*) entspricht,

(12”)

M1%'5191 + M{u(fx*“b?1 + GE + N1 — O‚

bei der die Multiplicität einer Wurzel die Ordnung r, nicht übertreffen

kann, u. s. W.

Transformirt man dann fi(x,,y) durch

%ı = UL Y A %,

so kommt man zu fz(%,y) u.s.f. Die neue Substitution %, = U,Y»

Das Labatie’sche T'heorem.

57

Die Minding’sche Regel.

führt auf 0,< 0,; bringt man 0, auf die kleinste Benennung %: q

und setzt q-dq,- an, So wird dies wieder <a, u.s.f. So folgt, dass

die Nenner qg, qı, Q,

nicht alle grösser als 1 sein können.

Von

Führt man

einer gewissen Stelle ab werden alle q gleich 1 sein.

fL/ — :)791'99."'97«

in (1) ein, wobei q„ der letzte Nenner ist, der die Einheit übertrifft,

so wiırd

f(@x, y) = @(z, n)

werden, derart, dass die Eintwickelung der entsprechenden Wurzel von

o = 0 nur ganze Potenzen von n enthält.

Ja, wenn man alle @ Ent-

wickelungen ın Betracht zieht, kann man

z

so bestimmen, dass sämmtliche @ Entwickelungen der Wur-

zeln x von f(x,n°%)= 0 nur nach ganzen, abnehmenden Po-

tenzen von n fortschreiten.

Bevor wir diese letzte Kigenschaft bewiesen hatten, war es noch

nicht möglich, zu erkennen, dass durch eine Substitution (14) Glieder

in y getilgt werden konnten, derart, dass nur niedere Potenzen als

y vorkommen; denn bei jedem Fortschritte der Substitution hätten

durch neue Nenner des o neue Glieder eingeführt werden können,

deren Exponenten zwar abnehmen müssen, aber sich doch einer festen

Grenze hätten nähern können.

Das ist jetzt ausgeschlossen, da kein

KExponent einen Nenner > Q haben kann.

Der Schlusssatz aus

$ 371 gilt in jedem Falle.

Nun denken wir uns (1) nach x aufgelöst; die @ Wurzeln werden

Funetionen von y sein; man nennt sie algebraische Funetionen. Be-

zeichnen wir sie mit w,(y), w,(y),

w.(y), SO ist

(20) f(@,9) = C) : @ — 0, (9)) @ — w,(9)) - @ — w(9)),

wenn C,(y) den Coefficienten von x“ in f(x,y) bedeutet. Entwickelt

man ferner alle o nach fallenden Potenzen von y in Potenzreihen und

setzt dies, sowie einen der Werthe (14) in (20) ein, so muss in dem

Producte rechts jede Potenz von y, die höher als y—” ist, verschwinden.

Also stimmt (14) mit den Entwickelungen eines @ in den ersten Glie-

dern überein, und diese Uebereinstimmung kann durch Vergrösserung

von r beliebig weit getrieben werden. So erkennt man: Die Reihen

(14) liefern die Anfangsglieder der Reihenentwickelungen

dr z on

$ 374. Durch diese Resultate haben wir die Mittel in Händen,

die zu Anfang dieser Vorlesung aufgeworfene Frage zu erledigen.

58

Fünfunddreissigste Vorlesung $ 374—8375.

Wir sahen ($ 136, Bd. I), dass die Resultante von

f(x> Da aozm _l__ alzm—l + CL2Zm_2 + d + O

g(e)= b# + bzgt-t + bgr + + Da

durch die Formel bestimmt ist _

Ryy = ygl@,) gl@) : - g(0m) = (— 1DEF (B F (Ba) : F (Ba),

in welcher die x die Wurzeln von f=0, die ß die Wurzeln von g= 0

bezeichnen.

Wenden wir dies auf die beiden Gleichungen

f(x7 y) Ga 07

9(x;.7/)=0

an, und nennen %,, %,, : %m die Wurzeln x von f @, y)= © er mn

bestimmten y, und E, &, --- &, diejenigen von g(x, y)= 0; ferner

ay(y) und b,(y) die höchsten Coefficienten von f und von g, so folgt

Rıg (y) = wr(y) - g(@,, y) I& Y) + I(Xm; Y)

(21)

— (— 1yn omy) FE FE 9) s FEn Y)

als Eliminante. Hat man die Anfangsglieder der Reihenentwickelungen

der x; und der E& nach fallenden Potenzen von y, so giebt jeder der

beiden Ausdrücke in (21) ein bequemes Mittel, den Grad von R zu

bestimmen, da ja die Gradbestimmung jedes einzelnen Factors ohne

Mühe geliefert werden kann.

Jeder dieser Grade ist eine ganze oder

gebrochene positive Zahl, weil die az in y mindestens den Grad Null

haben. Ihre Summe ist eine positive Zahl, welche wegen der Bedeu-

tung von R auch ganz sein muss. Führt man hinlänglich viele Glie-

der der Entwickelungen ein, so kann man auf diesem Wege sogar

die gesammte Eliminante herstellen.

Nehmen wir, um das Verfahren an einem Beispiele zu erläutern,

etwa wie ın $ 370

o = 0 —e - @— 208 O

so haben wir dafür

1

V

B

Hierzu nehmen wir als zweite Funetion

g(x, y) = 9 + 1a + * — 2y + 3)x + Qy* + y — 2),

und dann ergiebt sich für die Gradbestimmung von Rr 9(y)

[a (y)]1= 1;

[9(x17 y)] TEn 6;

[9('”27 ?/>] n [9(x3: y)] W 4;

[BrsY)l=2+6+4+4=—16;

also tritt gegen das Product der Dimensionen eine Verminderung der

Wurzelanzahl um 4 ein.

Die Minding’sche Regel.

Das Labatie’sche Theorem.

5

Wenn wir dasselbe Verfahren auf R/,(x) anwenden, ergiebt sich

Va R

:]]1—-—____x2_.‚._...‚ y2=l/_]_.a;'_?'__.l_...‚ yä_—__‘l/__—_lx?+) y4=1_l_

[a (2)]=0, [g@, yı)=8, [, y)]=[Il &, n)]=3, [I@&, y=2.

O20 Z

Im Allgemeinen genügt es, die Werthe der leitenden Exponenten

zu kennen, um die Gradzahlen zu bestimmen; doch kann es vorkommen,

dass man mehrere Glieder der Entwickelung braucht.

Dies tritt ein,

wenn in g(x%,,y) durch Einsetzen von %, = uy® die höchsten vorkom-

menden Glieder in y vermöge des besonderen Werthes

zerstören *).

Vvon w sich

$ 375. Obwohl das angegebene Verfahren hinsichtlich der Leich-

tigkeit der Rechnung nichts zu wünschen übrig lässt, so führt es doch

nicht auf einen Ausdruck, welcher aus den durch beide Gleichungen

gelieferten Elementen symmetrisch zusammengesetzt wäre. Ein solcher

soll jetzt abgeleitet werden.

Wir gehen dazu auf die Resultantenform (3) aus $ 136, Bd. I

zurück, setzen statt der « die x2, d. h. die Wurzeln von f(x,y)= 0

bei unbestimmten y und statt der ß, die E, d. h. die Wurzeln von

g(@, y)= 0 ein.

So kommt

Bı gY) — a5(9) 00 (9) (& — E1) (& — E&) + (& — En)

° .

(xm F 81) '(xm —‘ %2) An (xm._‘. gn)‘

heraus, und für die x72, E, tragen wir die Entwickelungen nach fallen-

den Potenzen in y ein.

Dann ist der Grad einer jeden Differenz

(%2 — Eu) durch den Grad desjenigen der Elemente bestimmt, welches

*) Magnus hat J. f.M. Bd. 26, p. 365 die Methode als incorrect angegriffen.

Sobald man auf die letzte oben gemachten Bemerkungen achtet, ist sie vollkommen

correct. Das von Magnus gegebene Beispiel, bei welchem die Ordnungen un-

richtig werden sollen, ist

f(@,y) = *— (Ty — 7)@* + (14y* — 30y 4 7)% — 8y® + 20y* + 183y — 15 —0,

I(@, Y) = %— (6Y — 4)x+8y*— 12y +5=0.

Falls man als Wurzeln der ersten Gleichung annimmt

S Y F %,

't'2=2y—6—{—502'‚

w8=4y_2+xs’a

ergiebt sich richtig

[B , W = 3,

Vgl. J. f. M. 27 (1844), p. 379.

60

Fünfunddreissigste Vorlesung $ 375—876.

den höheren Grad in y besitzt.

Sind x, und &, von gleichem Grade,

dann müssen die Entwickelungen so weit getrieben werden, dass

(x2 — Eu) in seinem nicht verschwindenden leitenden Gliede bekannt

ıst

Es sei

[l = Y

[Em] Q

Dieve

’

sowie die 0;, 02,

mögen in eine einzige Reihe von

nicht abnehmenden Gliedern eingeordnet sein. Dann sind so viele von

MOS

den Differenzen (x; — E&u) vom Grade r7„, als Grössen 0,, 0,

handen sind, die kleinere Werthe als 7, haben.

Setzen wir also fest,

dass %, bedeuten soll, wie viele unter den Grössen 0,, 02,::: kleiner

sind als 72; und xg, wie viele unter den Grössen r,,7z,

. kleiner sınd

als 0x, (wobei man i. A. für gleiche Grade nach Belieben die 7„ den

0« vor- oder nachsetzen kann), dann wird die Gradbestimmung der

Eliminante durch die symmetrisch gebaute Formel geliefert

[B 4] = nla + mb +D kara +D a00-

In dem von uns oben behandelten Beispiele ıst

al

1

91

17 92_17

2 =

O

UE

25

[a ] = 15

7‘1

C

k = 0,

b = 03

ar —

N == 2°

[bo] =23£

[FLE A 2

& 376.

Eine Methode der Eliminantenberechnung ist, wie ange-

deutet wurde, in dem Besprochenen enthalten. Wir wollen hier noch

eine andere kurz herleiten, welche von Labatie*) angegeben worden

ıst

Sie geht von dem Algorithmus der Bestimmung des grössten ge-

meinsamen Theilers aus.

Sind die beiden vorgelegten Gleichungen

f(517 Z2) A O:

f’1(51; 2'2) a O7

(22)

dann kann man auf rationalem Wege den grössten gemeinsamen Theiler

f(2,, z) der beiden Polynome f und fr bestimmen und

f(2,, %) = (& %) fr& Z)5

f& %) = O1 (&, 2a) fr (21, %)

ansetzen. Jede Wurzel von f.= 0O ist auch eine Wurzel von (22);

neben diese treten die Wurzeln von

‘P=O‚ f7:O

und D O; f7= 07

welche zwar unter jenen schon vorkommen, die aber doch die Multi-

plicität der betreffenden Wurzeln von f£;= 0 beeinflussen; und ferner

noch die V_Vurzeln der beiden Gleichungen

*) Labatie, Methode d’6limination par le plus grand commun diviseur en-

Paris 1885. Bachelier.

tierement rectifige et appliquee ete.

Das Labatie’sche Theorem

61

Die Minding’sche Regel

Ol A)=0

O (2,%)=0

deren Polynome zu einander theilerfremd sind. Diese bilden natürlich

den Haupttheil der Untersuchung, und ihnen wollen wir uns zuwenden

indem wir voraussetzen, dass (22) schon von gemeinsamen Factoren

der Polynome befreit wäre

Wir verwenden die Resultate von $ 345. Die dortige Formel

(5) giebt

f = f

fa® ,

f = ıl

fs®3 ,

%ı =

f93

f4‘P—u

f_91/}‚ 9—f/ 19/—1

' ?

wobei f;= 1 gesetzt ist

Die %, ©3,

Pr} ı, U,

Y sınd

ganze Funectionen von % allein

meinsamen Theiler

Wir können %, und Da-t+-2 Ohne ge-

annehmen

Denn haben beide Funetionen einen

solchen, so hat ihn auch ean Oln

Nun sind aber ($ 345) die fz als

derartige Funetionen vorausgesetzt, dass sie keinen von z, freien Fac-

tor besitzen; demnach haben ıx » Pa-+2, Ja-+1 einen gemeinsamen Theiler,

und mit d1esem kann dann die ganze Gleichung durchdividirt werden.

Wir bezeichnen nun den grössten gemeinsamen Theiler von

U, 93 mit dpz;

W,

A

und

Ps

sind ganz und theilerfremd

A

d,

Yı U

?

”

d,

ı V

”

Pa

”

2

2

”

dl

d, d,

d,

K

'l/’1 % Vs

Ps

n

’

»

”

d37

na

”

Z

”

”

”

”

d;

wobei zu bemerken ist, dass wir d, — 1 hätten setzen können

Wir entnehmen ferner aus 8 345 (9), (10)

(23)

(11}1 1p2

ıf = Sapı c fa — Oarı Sı farı,

(24)

(ı

a Man f

Oı+ı Za fatrı,

(25)

In

fi8ı = — (D

q91)fh

(26)

N

fı = — P2P3

7

Wir beweisen nun die fol

genden Sätze: Die Funetion Sı+1 ist

durch das Produect d,.d, +

dı 1 theilbar.

Wir nehmen an,

der

Satz wäre für Sı und d‚ d, -

d1_2 schon bewiesen. Dann folgt aus (23)

Yı o

E

a

—

A e Erg

Sarı

pa

Sa

(27)

d, d

A—1

d,d,

d,

fz+1‚

On ran

hier ist nach der Definition der d; die linke Seite oanz

ebenso nach

62 Fünfunddreissigste Vorlesung $ 376.

Sechsunddreissigste Vorlesung 8 377.

Definition und nach der letzten Voraussetzung der zweite Summand

Da aber fz7 keinen von z, un-

der rechten Seite; also auch der erste.

abhängigen Theiler besitzt, so ist Sı,+1 durch d,d,-:-dz_1 theilbar.

Der Satz gilt daher allgemein, wenn er für 1==2 richtig ist, wenn also

S, durch d, = 1 sich theilen lässt.

Das ist aber selbstverständlich.

Ebenso ist die Funetion Zz+1 durch das Produet d,d, - - dz_

theilbar.

Das folgt ebenso aus

a

Trı

f}

Q

2

(28)

d da + da

1fl=d %l

d

1

T O

d f1+1 d

Wir können demnach aus (25) und (26) die Gleichungen folgern

D

2

S,

BA

Pa Pz

(29)

fdld2_fd‚__;_fldldg...d‚_ k

-

a

d;

A

S

r

7

Pı Ps

Pr

(30)

fdld2n»d 2*—fläl_d'2„.d

1 @

d

r—2

Aus den vier letzten Gleichungen lassen sich die Labatie’schen

Resultate ablesen. (30) zeigt, dass jede Wurzel (6&,,&) von (22) min-

destens einen der Quotienten

Pz

z

Pa

P,

(31)

H

d_17

a

W

welche sämmtlich ganze Funetionen von z allein sind, zum Verschwinden

DAn

die erste der Functionen (31), die für %A=&%

bringt. KEs sei

dr_

zeigt (29), dass fz(E&,&)=0 ist. Demnach wird

gleich 0 wird. Dann

L

für (&,&) sein müssen f7=0

2 n

DAn

Wenn umgekehrt (6,, &) gleichzeitig die Funetionen fz und

d,

l

zu Null macht, dann zeigen (27) und (28), dass für (£,, &) auch

Yıa Ya

d

W, V

* 1pl—l

'f1

d dn E

d1d2"'d;

verschwinden. Der erste Factor jedes dieser Producte ist relativ prim

AAn

Z

und daher nicht gleich 0 für % = %.

Deswegen wird

Z

%.

fF(E&, &)=0 und fi(E&,&)=0. Somit gilt der Satz: Jede Wurzel

von (22) befriedigt mindestens eins der Gleichungssysteme

(32)

fıl2,,%)= 0,

D (Z)

=0

(Ä=172;'

r—U;

d _1 (%)

und umgekehrt liefern die Wurzeln von (32) sämmtliche

Wurzeln von (22).

D}

Symmetrische Functionen mehrerer Grössenreihen.

I

Sechsunddreissigste Vorlesung.

Symmetrische Functionen mehrerer Grössenreihen.

$& 377.

Wie bei zwei Gleichungen mit einer Unbekannten, so

kann man auch bei drei Gleichungen mit zwei Unbekannten nach den

charakteristischen Bedingungen für das Bestehen gemeinsamer Wurzeln

fragen.

Wenn

f(217 Z2) O 07

.9(21) Z2) Ar O7

h(21,%)= 0

die drei Gleichungen sind, und f= 0, g=0 eine endliche Anzahl

von Wurzeln 6115 Ej2, Sa2;

- Eır Cox haben, dann besteht die ge-

suchte Bedingung offenbar darin, dass die „Resultante“

M(Er1) Sar) A(Esa, Ep2) + A(Eın, Eax)= 0

Sse1l

Diese Funetion links hat die HEigenthümlichkeit, dass sie sich

nicht ändert, wenn man die zweiten Indices der &,, & beliebig unter

einander vertauscht. Hierdurch kommt man zu dem Begriffe der sym-

metrischen Functionen von zwei Grössenreihen; und schon durch die

soeben gegebenen Andeutungen wird ihre Bedeutung für die Theorie von

Gleichungssystemen ersichtlich. Allgemein könnte man symmetrische

Funetionen von beliebig vielen Grössenreihen definiren und studiren;

wir ziehen es aber vor, die Theorie für drei Reihen von je k& Grössen

(I)

CZ

(%'2‚ y2; Z2);

e (xk7 Yı Z’»)

durchzuführen, da es hierbei schon völlig klar wird, wie die Resultate

auf mehr Reihen zu übertragen sind, und da andererseits die Darstellung

durch diese Beschränkung an Einfachheit gewinnt.

Wir nennen eine Funetion der unbestimmten Grössen (1) dann

eine symmetrische Function dieser drei Reihen, wenn sie ihre

Form bei jeder Vertauschung der unteren Indices 1 ‚2,---k beibehält,

oder, was das Gleiche aussagt, bei jeder Vertauschung der Tripel (1).

Jede ganze Funetion dieser Eigenschaft heisst eine ganze symme-

trische Funetion; jede ganze symmetrische Funetion, deren Glieder

sämmtlich durch Vertauschung der Indices aus einem ihrer Glieder

hergeleitet werden können, heisst eine ein typige symmetrische

Function. Daraus folgt, dass jede ganze symmetrische Funetion als

Summe von eintypigen symmetrischen Functionen dargestellt werden

kann, so dass es ausreicht, statt allgemein ganze symmetrische Fune-

tionen zu betrachten, allein eintypige zu untersuchen.

So lange nur ein System von Grössen gegeben war, 2,,

%97

** Zks

hatten wir als elementare symmetrische Funetionen diejenigen. hervor-

gehoben, welche von einer der Formen

64

Sechsunddreissigste Vorlesung 8 377—379.

S(&.) = 6,

S(2,%) = G,

S S(5152 Z]„)=Cl„

waren, also diejenigen eintypigen, bei denen in jedem Summanden nur

verschiedene untere Indices vorkommen.

In ähnlicher Weise wollen

wir hier elementare symmetrische Functionen der drei Reihen

Xay Yay Zu diejenıigen eintypigen nennen, in denen kein Summand den

gleichen unteren Index mehrere Male besitzt.

Die Bezeichnung ge-

schieht am einfachsten mıt Hülfe dieser Indices

S(&,) = 6400

S(yı) = 0>

S(21) = %>

S(X, %) = C997

S(yıYo) = C207

S(2,%) = %02

(2)

S(%,Yo) = G40)

S(%,%) = G017

S(y1%) = C157

S(%, 4 Ba Ya-tpı 7 Ya Batrß+L 7 Bafpty) = Caßy-

Dass unsere Definitionen für eine und für mehrere Reihen wirk-

lich analoge Bildungen aufweisen, zeigt auch die folgende Betrachtung.

Wir verstehen unter x, A, w willkürliche Parameter und bezeichnen

(3)

ta — XXa + Äya + UZa

(“=1727"'7‘“'>3

die symmetrischen Funetionen der (3) nennen wir

(4)

S(tl) A

S(th) = Ya

S(t1 732t3) 9

und finden dann für sıe

Vı = %C00 4 ACo10 F U Coo1>

6)

Va ’f202.00 + “.'101.10 + °f(*c.101 + ./120.02„ + fll’“.0011.+.l*2.0002.;

yw=2x9}„"yﬁce„‚

(9+6+77=m);

so dass also die symmetrischen elementaren Funetionen der Grössen (3)

linear durch die der Reihen (1) dargestellt werden können.

Wir wollen weiter auch Functionen einführen, welche den Potenz-

Diese Sg

summen einer Reihe von Grössen sx = S(z%) entsprechen.

sind solche eintypige Funetionen, bei denen nur ein einziger unterer

Dieselbe Definition behalten wir

Index in jedem Summanden auftritt.

hier bei und setzen in entsprechender Weise

(6)

S(a4y5 8) = Saı

SOI

Bezeichnen wir die Potenzsummen der %„ mit 6,, 0, 03,

’

kennen wir leicht, dass die 0 sämmtlich linear aus den S%g, zusammen-

gesetzt sind. KEs wird nämlich

01 — S1090 + AS910 7 W Soo1>

(7) f72 r ’f25200 '+“ .2"'.1311'0 + 2."(“‘.3101. + Ä2.302(.)'“T'“- 2%!’«?()11.+'!"2.3002.7

AA

@!

S

el

x& AI [«L1 S

@ H9 7=0)

Symmetrische Functionen mehrerer Grössenreihen.

65

$ 378. Die in $ 93, Bd. I aufgestellte Formel (7) liefert die

Darstellungen der 6„ durch die v.

Trägt man in diese Formeln die

Werthe (7) und (5) ein und setzt die Coefficienten gleicher Potenz-

producte von x, A, w rechts und links einander gleich, so erhält man

die S2gy sämmtlich durch die Czßy ayusgedrückt. So erhält man hei-

spielsweise die Resultate

S100 — CGi00»

Sa00 = Cioo — 20200,

S110 — C00 %10 — C110 >

(8)

S8300 = Cibo — 3C200C100 4 3C800 > Sa10= CivoCo10 C300 C010 — C110 6100 F C107

28111 = 2600C010%o1 — C00C11 C910 C101 Co01 C110 F C115

Die letzte Formel zeigt, dass die s hierbei nicht nothwendig ganzzahlige

ganze Funetionen der c zu werden brauchen.

(Vgl.‘ 8 385.)

Umgekehrt giebt die Formel (10) aus 8 94 Bd.I die Darstellung

der x durch die 6„ und damit diejenige der Cxßy durch die Sxp,. So

erhält man z. B.

C100 — S1007

C910 . So10 >

2 C900 = S10 — S200 ;

C110 — Si008010 — S1107

(9) 66300 = Stbo — 381008200 + 28309

26210 = St008010 — 281008110 — Sox0S200 F 25910

Can — S100 Sor0Soo1 — St100$101 — Soo1 S101 — Soox S10 F 28111 ,

KEs ist nicht schwierig, mit Hülfe von (7), 8 92 Bd.I und (10),

$ 94 Bd.TI die zu (8) und (9) gehörigen allgemeinen Ausdrücke ex-

plieit darzustellen; doch hat das für uns keinen Zweck.

KEbenso können aus allen, früher für eine Variablenreihe auf-

gestellten Formeln durch Eintragung der y und der 6 neue hierher

gehörige Beziehungen hergeleitet werden. So ergiebt z. B. die Formel

Oa+k — Yıla+—1 7 Yada+t+k—-2 — * - 402 = 0

unter anderen die Recursionsformel

(“ 3F 3)3a+2‚1‚0= (06 + 2>01003a+1‚1‚0+00103a+2,0‚0"_020030:‚1‚0_01105a+1‚0‚0 .

$ 379. Den Betrachtungen in $ 96, Bd. I entsprechen jetzt ähn-

liche, mit deren Hülfe es gelingt, alle eintypigen Funetionen durch die

Potenzsummen 52g und folglich nach dem vorigen Paragraphen auch

durch die Caßy darzustellen.

Man hat zunächst, wenn (& — 0) (ß, — Bß) 7ı —N)+0 ist

Z

die Formel

Sla yben) Slapylıap) = Sla aybchhamn) + S (geylen aag

und also daraus

Netto, Algebra, IT

66

Sechsunddreissigste Vorlesung $ 379—380.

S(atıybı zl deybaz) = S(atyhah) Siapypar) — S (gn ayl T2 E 7)

(10)

A sa1ß1'}’1 S“aßz)’z C s“1+“2‚ ﬁ1+ßn Yıt Ya

Wenn alle Differenzen &, — &, ßı —B Yı — Va Null werden, dann

und nur dann tritt in der vorletzten Formel eine Aenderung ein, indem

der letzte Summand der rechten Seite in 2S(xt yıg xaylızh) üÜber-

geht.

Man hat deshalb als Ergänzungsformel

Bz7) —

(10°)

S(atyk 2y

S

;7 [Säßy AI 820‘12P)12}'] S

Mit Hülfe von (10) und (10°) kann man sonach sämmtliche eintypigen

ganzen symmetrischen Funetionen darstellen, in deren einzelne Glieder

nicht mehr als zwei untere Indices eingehen.

Die Methode für den

weiteren Fortschritt ist jetzt ersichtlich.

Sind die drei Tripel &,, ß,,Y7ı; &X> Bay Vaj Us) P, V3 MOM einander

verschieden, d. h. so beschaffen, dass nicht gleichzeitig die drei Ele-

mente des einen gleich den drei entsprechenden eines anderen sind,

dann ergiebt sich

S(x‘1‘1 y{2’1 z};1 x‘äz y[jz g}22> S(x‘;'a y(f: z};::> =— S(x‘;x &s y/51 +ß3 5{1+ Y3 xé‘n ?/€227;2>

+ S(x‘;ü y{fx ;‚ﬁix x‘;z+ &3 y(jz+ ßa z}? al ')’3) + S(_;(;‘fl y(51 g};1 ;(;‘äz y{_jagäz a;£;: y(ia z}fa )

und also daraus mit Hülfe von (10)

(

1

S(x(;l y/51 Z);l x‘äz y(jz Z?_;’l xff° y{?: 2753) On S“1 Bı Yı SÜ‘2 ßa y2 s“s ßs A RE 80’1 ﬁ1 Yı Sa‚_+a;„ ß2+ßza Yat-Y3

Z 80‘2 BaYya Sa1+“;n ß1+/”s; Va 80‘3 B3 Ya 391+“2» ß1+ß2» Yıty2 + 2 Sal+o:2—}—a„ ß1+ß2+ß:ﬂ’1+)":‘l'}’z r

Auch hierzu gehören ergänzende Formeln. Ist etwa &, = &, Bı= B,

Va

aber @, ßa,Vs VOn &,, ßı, yı verschieden, so wird jedes Glied

von S(x yBı ygl oeylal) links in (11) zweimal auftreten. Dem-

nach entsteht

S(xeyß zl neyb ar aeıylıalı) = z SapySay pı yı 7 SaßySatar BBr Y

(11°)

1

+ S2u+&, 2ß+ßı> DA

_‚‘—_Z—salßl)/1 82a‚ 2ß8,2y

Wenn endlich auch noch &, = &, = &, ßi = B= Bıy Yı==%

wird, wiederholt sich links in (11) jedes Glied sechsmal. Deshalb

muss gesetzt werden

(11”) S(xeyß z asyl 2 asylar)=

%Säßy IR '%Saßysza‚2ß‚2y P % S3a,38,37 °

Da man genau in derselben Weise die Berechnung symmetrischer

eintypiger Functionen mit (v-+1) unteren Indices auf solche mit

v Indices zurückführen kann,

so folgt der bereits angekündigte Satz:

Jede symmetrische ganze Funetion ist als ganze Funetion der

8c(ﬁy

und folglich auch der 0ß darstellbar*).

* Poisson, Journ. d. l’Kcole Polyt. XI cah. p. 199 (An X)

Symmetrische Functionen mehrerer Grössenreihen.

67

$ 380.

Die im vorigen Paragraphen gewonnene Methode der

Darstellung symmetrischer Funetionen durch die elementaren ist in-

direct und zudem bei der Ausführung recht mühsam. Man könnte

versuchen, eine der früher bei einer Elementenreihe besprochenen ($ 97

und $ 102, Bd. I) auf mehrere Variablenreihen auszudehnen. Abher beide,

die Gauss’sche sowohl wie die Cauchy’sche versagen, wie man leicht

erkennt.

Zur wirklichen, praktischen Benutzung empfiehlt sich die Anwen-

dung unbestimmter Coefficienten. Sie ist, nachdem man den litteralen

Theil der Aufgabe gelöst hat, verhältnissmässig bequem durchzuführen.

Für die Herstellung des litteralen Theils gelten folgende Regeln.

Ist etwa

(12)

IC

;(;i‘zy{iazä:a) A Zkalblcnazbzcn"‘ calblclca2()202 '

zu behandeln, wobei die c die elementaren symmetrischen Funetionen

und die & unbekannte Zahlencoefficienten bedeuten, dann braucht man

nur solche aus den c gebildeten Producte zu betrachten, für welche

ü A O A Ar A

(18)

b1+b2+"'=ßl+ßz+ß?n

GF Bı A %

wird.

Denn setzt man statt der %,, %,,

Xx etwa Xıb, Xl

?

.9.’f]„-lf‚

dann tritt in (12) aus der linken Seite /ıt“+ heraus; rechts geht

jedes Caz,c, In ein (“Caz c Über, so dass also a + ag + - = 0, +& +&

sein muss, wie die erste der drei Gleichungen (13) behauptet. Aehn-

lich erkennt man die Richtigkeit der beiden folgenden Gleichungen (13).

Durch diese Regel wird die Anzahl der überhaupt möglichen Glieder

der rechten Seite in (12) stark beschränkt.

Die Summe sämmtlicher Exponenten.

2«+2ß +Zy

nennen wir das Gesammtgewicht der symmetrischen Funetionen S

(vgl. $ 99 Bd. I). Eoc heisst das Partialgewicht von S nach

den %, u. s. w. Eine eintypige Funetion ist isobarisch im Gesammt-

gewichte und in den Partialgewichten. (13) zeigt, dass jeder Summand

rechts in (12) ım Gewichte mit dem eintypigen S der linken Seite

übereinstimmt.

Die Gesammtzahl der Factoren c rechts in (12) kann die Höhe

des Gesammtgewichtes nicht überschreiten, da jedes c mindestens eine

KEinheit zum Gesammtgewichte beisteuert. Dieses Maximum der Fae-

torenanzahl wird bei gewissen Funetionen, z. B. bei den Saßy auch

5€<

68

Sechsunddreissigste Vorlesung $ 380—382.

wirklich erreicht, wie (8) zeigt, und wie sich allgemein gleichfalls

leicht nachweisen lässt, sobald man auf die Darstellung der 6 durch

die y zurückgeht.

Wir wollen das Besprochene an einem Beispiele darlegen.

Ist

a’1+a‘z+' '—27

b1+b2+"'=27

A A = 0,

so wird in den c„gy der dritte Index stets Null sein, und es können

nicht mehr als vier Factoren in jedem Summanden vorkommen.

Es

sind _ deswegen nur folgende neun Glieder mögliıch:

Kı Ci06010 ;

K3 C100C020 ,

K C00 C010 C110 >

7t‘4 Co10C200 ,

K Gr090C120

K Co10C210 >

KazCi0,

kz 6906020 >

Ka Cag

Dies findet statt, wie auch immer die Zahlen 2 in Summen &, +& +

oder b, + b + -

zerlegt werden mögen.

$ 381. Zu der Bestimmung der Coefficienten % kann man auf

zweierlei Art gelangen.

Zunächst so, dass man eine Reihe von spe-

ciellen Zahlenwerthen für die x,y,z nimmt, daraus den Werth der

symmetrischen, darzustellenden Function, sowie die c berechnet, Alles

dies in (12) einträgt und dadurch zu einer linearen Gleichung für die

Hat man hinreichend viele solcher

unbekannten Grössen k& gelangt.

linearen Gleichungen aufgestellt, so folgen aus ihrer Auflösung die

Werthe der k&.

Wir wollen diese Vorschriften bei der Berechnung der Funetion

S(x,"YaYs) durchführen, wobei also wegen A, +{ A, = 2, b +4=2,

+ =0 die oben aufgestellten Summanden die einzig möglichen

sind. Wir müssen deswegen neun besondere Annahmen machen. Die

Z können wir stets bei Seite lassen.

IL x1=17 91=15 %'2=0, 92=O3 x3=0793=0;"'3 S=07

Gn = 1, w =1; Oa = 045

Resultat:

LE

I Z = 0, H= 0, —0

0

Go0=2, 0 1, Ho 1, C%20=

2

’

2% + kı + kr =0.

M = d a= 0yl 00 S0

C100

= 1, @=2, C = 0 Ca 12 z

Z D

k + 2k + k =0.

=0

7

Y = 1, H =1; m=2,n=0; G=0, = 0 8

Go0=3, w@=1, C00 — 2, Gno— 2 C 5

3% + kı + 26y =0.

Symmetrische Functionen mehrerer Grössenreihen.

69

Die drei letzten Gleichungen liefern die Beziehungen

k= —k )

kı =k,

kı= k.

V =1,4=1; @=1, “=1; Z =0, %u = 0, ; S—0;

Go=2, w=2, Co= 1, G0=2, 0= 1, m 008

r — Al

VI

x1=1;y1=1; 5U2=1‚_1/2=0; x3=17y3=0;" ; S=O;

Go0=8, @Q=1, 0=3, G10=2, ©0=0, u0= 1, G =0,-::;

o = o

VII

a =1;y=1; ©=0, %“ =1; 4=0, %#=1,..; S=1;

C100

=l1, @u=3, 00=0, 40=2, 00=3, 0=0, Gn=1,::

ll

= 1

VL

CZ

9 y1—17 %9=1‚ Y

7=1

%=1, %=1,

7) S 37

C00

Qu0=3

C090 —9

C0=0) C0 3, C0

C120

=

kg

—_ Ol

Die bisherigen Resultate liefern nunmehr insgesammt

il

al

2

al

al

4

(

=— ‚3_)

I

_3„

/U4=—ä—,

k

5 37

o =

__3_,

I

=‚3_}

AL

©&

IX %'1=%'2=.%3=.164‘=1; %=?/2=?/3=J4=1; x5=15=...=0; S12

.

7

G0=4, Qu0=4, 00=6, Gu0= 12, %200=6, 0=12, 0=6; 02u=6;

Z=

—z — —_

2

k

3

Damit haben wir also erlangt, wenn wir die dritten Indices unterdrücken,

S(x%,"Yay3) = % {0i10002 — 6061611 7 61020 F 2610612 — Co1C1

(

+ 1 — 46020002 — 2022}'

$ 382

Die Berechnung der % kann ferner auch derart stattfinden,

dass man jedes Product der c auf der rechten Seite von (12) durch

die x, y, z ausdrückt, dann die gleichen symmetrischen Functionen

der Elemente, welche rechts in den einzelnen Summanden auftreten,

sammelt und durch passende Wahl der % alle diejenigen zum Ver-

schwinden bringt, welche links nicht vorkommen.

Im Falle

ür 0 = 2

Ör ar = Q

a

Es ist

würde sich die Rechnung folgendermassen gestalten.

70

Sechsunddreissigste Vorlesung & 382—383.

C{o0Co10 = Sa yı + 2S$12.@/1y2 + 2S%"Yays 4 Sa ya + 2 S aı

+ 4S%, %YıY2 F 4S2X,%YıY3 E 2 S, XY3” + 4 SX X Y3Yı,

C{o0Co20 = SX“ Yıya + Sa Yoy3-+ 2 S XYıY2 - 2 S%,X Yız + 2 SX,XoY3Ys,

C400 C010C110 = S” Yı Ya + Sa y + 2 SX Yayz + SE Yı + 2 S %, XYı Ya

+ 3S%, YYa { 2 SX XY3” + 4 S%, X YsYı >

C610C200 = SX XoYı 42 S, %YY 28 XX Y3 F Sn Xays* + 28 X XY3Y4 ,

C1006C120 = SX1 ” YaYz A SX YıYs + 2 SX X Y3Yı)

Co100210 = S, %YıY3 F 28%,XY3Yı F SX XYs”,

o = Say’yo“ + 28x y +2 SX X Yıa - 2 SX,X, Yıyz + 2 Sx xys”

+ 4S% %, Y3Yı,

Ca00C20 = SX XaYı Ya F SI XaYıYs F Sa X YsY4,

Co20 = ST XaYsYs -

Es ıst daher jede ganze symmetrische eintypige Function

(15)

S(aay wg

(“1+“2=A31+ß2=2)

ın der folgenden Form darstellbar

k Sa yı“ 4 (2l6, A Ka 4 Ks) S(8 Yı Ya) + ( A ( 4 ) Sa

+ (2%, + Ra 4 2Rg A A A 2k7) SC& * YoYs) + (2%, A K3 A k4) S(2, %2 y4?)

+ (4%, + 2%, + 2%g 4 2%4 + 2%7 + kg) S(2, %o YıYo)

(16)

+ (4%, + 2%, 4 3Rg + 2R + 5 + K 42 %7 4 kg) S(X, %Y Ys)

+ (2%, + 2%g + k4 + k6 4 2k7) S(%, %ys?)

+ (4%, + 2 %9 + 43 + 274 + 2Rg + 2g + 4k7 A kg + k9) S(2, XoYsYı)

Setzt man nun z. B. den Coefficienten von Sx,?y,yz gleich 1 und alle

übrigen Coefficienten in (16) gleich Null, dann erhält man wieder das

Resultat (14).

Man erkennt, dass, wenn einmal die Formel (16) ab-

geleitet ist, die unter (15) fallenden Funetionen sämmtlich ohne be-

sondere Mühe hergestellt werden können.

Der in $ 379 gelieferte Beweis für die KExistenz einer ‚solchen

Darstellung jedes S durch die c bietet die Gewähr dafür, dass beide

Methoden der Bestimmung der % wirklich zum Ziele führen, dass also

die erlangten linearen Gleichungen keine Widersprüche bergen*). Da-

* Ueber den behandelten Gegenstand vgl. Schläfli, „Ueber die Resultante

eines Systems mehrerer algebraischen Gleichungen‘“, Wiener Denkschriften IV

(1852). — Cayley, „On the symmetric functions of the roots of certaim systems

of two equations‘‘.

Phil. Trans. Vol. 147 (1887). — Mac-Mahon, „Memoir on

symmetric functions of the roots of gystems of equations‘“. Phil. Trans. Vol. 181

(1890).

Symmetrische Funetionen mehrerer Grössenreihen

71

gegen wissen wir nicht, ob auf diesem Wege eine eindeutige Be-

stimmung der % moghch ist.

Mit dieser Frage kommen wir zur Dar-

legung eines wesentlichen Unterschiedes, der zwischen den elementaren

symmetrischen Funetionen einer und denjenigen mehrerer Reihen von

Variablen besteht

@&

$ 383. Es giebt, wie man leicht erkennt, bei 7 Reihen %,, Y«,

@w=1,2

k) von je k Grössen ” elementare symmetrische Fune-

tionen der Dimension 1, nämlich Zx„ S E Ü

2u„, ; ferner

(r + 1r

SA

2

solche von der Dimension 2, nämlich Ea:„, Ex„ 9 Yn

s. f

bis zu solchen von der Dimension %

zusammen. also

7

0

(1>+(1+1>+(7—}—“)+ +(1—{—k—-1) [(7—{—1) <

).

M

Zwischen diesen elementaren symmetrischen Functionen besteht eine

grosse Anzahl rationaler Gleichungen

Die Bildung eines Systems

welches nur unabhängige Funetionen enthält durch deren Hülfe alle

anderen Funetionen sich rational darstellen lassen, geschieht wohl am

einfachsten auf dem folgenden Wege

Wir beschränken uns dabei

wieder auf den Fall 7 =3

Man hat das System der % linearen Gleichungen für die %x

CZ

+ %g

+

0100 ’

%, (Coo1

8)

A Xo(Coox

2)

+

C017

(

DGn — y AA (Gym — Qyyı 8a A @

’

dessen Auflösung, wie man mit Hülfe von %88 Bd. I erkennt

k —

C00 %a

0101 @

+ c1o°z

(18)

Wa

=3

(«

=1,2

}

’

k

Ka

—@ _1)0001 fz_9 Ü 2) cn(w Z

ergiebt

Ebenso erhält man für die y

COIO &

— on

+ C912 Ck_ü GEn

(19)

Ya

k—1

W3

@=1,2

k)

kg

—(k—

1

C901 %a

Dn

Die Bedeutung der im Nenner auftretenden Function ist klar

Man

hat für ein unbestimmtes & die Gleichung

p(5)=(E—2) (&

)

( — %)

E& — 0015

A Coo2 ©

so dass

]

O

en EDa

@ (%)

72

Sechsunddreissigste Vorlesung 8 383—384.

ist. Daraus ersieht man, dass zu jedem S&stem C

Co02 »

Co0,k&—1

die % Grössen Z,, %,: % gefunden werden können, ja sogar, da Coox

nicht zu diesen c gehört, auf unendlich viele Arten; und dass dann,

sobald diese %„ von einander verschieden, die Nenner ın (18) und (19)

also nicht Null sind, für jedes System C,oo, CGio1) “ ** Ci0@,

2)

Co107 Co11 7

5 5 Co1ap

eindeutig ein System X,, Ya sSich den %„ zuordnet. Es sind

demnach die Grössen

CO O O 01‚0‚k—1.3 Cg107 Co117 * * * Co‚1,&—1

von einander unabhängige elementare symmetrische Functionen.

In (18) und (19) sind nur diese (3%4—1) Grössen (20) benutzt.

Von den übrigen Grössen c enthält nur coox keim x und kein y. Die

übrigen noch vorhandenen, deren Zahl

+%

—1—3%

<a

k

Drückt man ein

beträgt, wollen wir generell mit c7 bezeichnen.

solches coo- durch die Elemente x,y,z aus und ersetzt die ın jeden

Summanden eingehenden x%,, Yx durch ihre Werthe (18) und (19), so

erhält man eine symmetrische gebrochene Funection der z„. Diese ist

durch die 6

Coox Tational ausdrückbar, und so haben wir jedes

der Cooz durch die 3% Grössen

(20°)

Cgo1> Coo27

** C00% 5

C007 C017

CO

Co10> Co11>

I C

dargestellt. In den Nenner tritt dabei, weil z. B. (%, - X%oYo+1

Yo+o Zo+o+1

9 Zg+ 0'+1) dlll‘ch

’ (2) : P (0o)P (0o+1) + P (Zo+o)

zu dividiren ist, einfach @’(2,)-:- @’ (zx), d.'h. die Diseriminante D,

von @(z) oder ein Theiler von ıhr.

Sonach ergiebt sich

(21)

-D(p $ Cgaz T -Fgat(co()a; 010/3; 0017) .

Giebt man jedem der c ein Gewicht, welches gleich der Summe seiner

Indices ist, oder, was damit übereinstimmt, giebt man jedem %, y, 2

das Gewicht 1, dann wird (21) eine isobarische Beziehung vom Ge-

wichte k(& — 1) +o+6-+r.

Ist z. B. 4 = 2, so gehen (18) und (19) in

Wı F

C00 %1 — Ci01

9

Yıa

C910%1 — Co11

2 21 — Coo1

221 — Co1

C910 % — Co11

Ü =—

C00 % — Ci01

Yla

222 — Coo1

223 — Cyo1

5

über; die (

2

> —1 —6 =3 Relationen heissen dann

Symmetrische Functionen mehrerer Grössenreihen.

C00 (4 C902 — Coo1) = Cio0Coo2 — C1006101.C001 4 Cio1 3

C202 — Coo1) — 2C00.Co10C002 Cor010CooL C100Co11 %01 7 2601 C113

Co20(4 C002 — Coo1) = C610 C002 — Co10Co11Coo1 4 Coh1 -

So erkennt man: Im allgemeinen Falle bilden die Func-

t1ONEN Caa ... 0, für welche

&, = ..=a]‚_1=0; (x‚.=1‚2‚'-°k

nebst denjenigen, für welche

S SS p = n = y =0; G=1;=0,1,.k—1;i=1,2,...y—1

ist, ein unabhängiges System.

Durch die Darstellung der

a&

entstehen

übrigen c vermittels der angegebenen Ca,...

N

rationale Relationen unter den elementaren symmetrischen

Funetionen. Diese sind von einander unabhängig, und alle

überhaupt vorhandenen Relationen sind durch sie rational

darstellbar.

Der Inhalt des letzten Satzes ist noch zu begründen. Die Unab-

hängigkeit der Relationen folgt einfach daraus, dass in jeder eins der

neuen C linear auftritt und nur in dieser einen Relation vorkommt.

Wäre ferner irgend eine Relation zwischen den Cxßy gegeben —

wir kehren zum Falle 7 = 3 zurück —, So könnten durch (21) alle

darin auftretenden Cooz eliminirt werden; dadurch erhielten wir eine

Relation zwischen den Grössen (20*), welche doch von einander unab-

hängig sind. Folglich muss die Elimination auf eine identisch erfüllte

Gleichung führen *).

$ 384. Das im vorigen Paragraphen hergeleitete System von

Relationen zwischen den c zeichnet sich durch seine Uebersichtlichkeit

2

sowie dadurch aus, dass die Unabhängigkeit der einzelnen aufgestellter

2

Gleichungen unter einander selbstverständlich ist. Dagegen sind die

Relationen, nach der Höhe ihrer Gewichte betrachtet, nicht die ein-

fachsten, welche es giebt, und es lassen sich noch andere Bildungs-

methoden für Relationen angeben, bei denen niedrigere Gewichte er-

langt werden.

So erhält man aus (18) und (19)

k—2

xa((:01027;— — Gı Zn Z (C1oozlt;—

— CGi01 Za

+

)

*) Eingehende Untersuchungen über diese Relationen,

ihre Herstellung und

ihre Minimalgewichte hat Herr Fr. Junker angestellt, Math

. Ann, 38 (1891), p. 92

und ibid, 48 (1898), p. 225.

74

Sechsunddreissigste Vorlesung $ 384—386.

Erhebt man diese Gleichung in die A Potenz und summirt nach «,

dann entsteht

Da O A0 Co11S2,0,(k—1)2—1 T = Gc S(L

’

für 1= 2 wird das Gewicht dieser Relation (2% + 2). Ebenso könnte

1_0 z—k+1

man die vorletzte Gleichung mit x&

YaZ

multipliciren und nach

&% summiren, dann entstände

Cg10S$0, 0, 7

Üa ma AD 9 Z aa — Aıa

vom Gewichte o +60-+r7+1; u.s.f. Aber hierbei ist es fraglich,

ob nicht, nachdem die s durch die c ersetzt sind (nach (8)), alle Glie-

Es wäre also vor allem zu unter-

der links und rechts sich zerstören.

suchen, welches das Minimalgewicht einer nicht verschwindenden Re-

lation ıst.

Herr Junker hat l. c. für die untere Grenze den Werth

(k + 2) gefunden.

Wir wollen auf diese Untersuchungen hier aber

nicht eingehen.

$ 385. Die Herleitung unserer Relationen knüpft die Gültigkeit

an das zu Grunde gelegte &.

So ist z. B. (vgl. S. 73 Z. 1)

Cro0Co0o2 — C00C101Co1 T Cio1 -} C200 (06201 7a 4Coo2)

ü 2 oleich Nulk

Für &= 3 hat dieser Ausdruck dagegen

den Wert

Sa 883 + SW X83 — ST XaRBz -

Es fragt sich aber noch, ob es nicht auch Relationen giebt, welche

für unbestimmte %, d. h. für jeden Werth von % gültig sind. Wir

werden zeigen, dass dies nicht der Fall ist.

Gesetzt, wir fügen zu unseren &% Tripeln (1). noch ein Tripel (&, , 5)

hinzu und bezeichnen die neuen elementaren symmetrischen Functionen

mit yıu,, dann folgt sofort

Yaıuv — Czuv + gcl—l„u‚v + NC u—1,v + C@.„u,v—1;

und diese Relation bleibt auch für einen Index 1 oder 0 richtig, falls

C00

— 1 und ein € mit negativem Index gleich Null gesetzt wird.

Wir nehmen nun an, es sei bereits in einfachster Form

H(Cl u „) =0

eine Relation, welche für jedes & gültig bleibt, und welche zugleich

Dann

unter allen etwa existirenden das Minimalgewicht besitzt.

müsste auch

H(7Luv) = H(cl,uv + gC;__1,#„, + SO .) — O

sein, und da &, m,& beliebige Grössen sind, müssten die Coéfﬁcienten

aller Potenzproducte von &, %, & verschwinden. Wir betrachten den

Symmetrische Functionen mehrerer Grössenreihen.

75

Coefficienten der höchsten vorkommenden‘ Potenz von &. Dieser ent-

steht aus denjenigen Gliedern von H, welche möglichst viele c„,

(mit 2 >0) als Factoren besitzt, und er kann nicht für willkürliche c

verschwinden, weil das Gleiche sonst auch bei jenen Gliedern von H

stattfinden würde, die man hätte tilgen können. Dieser Coefficient hat

ein geringeres Gesammtgewicht als H; das verstösst gegen die über H'

gemachte Voraussetzung hinsichtlich des Minimalgewichtes. Folglich

besteht eine solche Relation nicht.

Bei unbestimmten % giebt es keine Relationen zwischen

den C.,, und jede symmetrische ganze Function lässt sich

in diesem Falle daher nur auf Eine Art durch die elemen-

taren symmetrischen Functionen darstellen.

Unsere früheren

Formeln, z. B. (14), zeigen somit, dass diese Darstellung nicht noth-

wendig eine ganzzahlige wird. Bisher wäre die Möglichkeit noch denk-

bar gewesen, dass mit Hülfe bestehender Relationen auch ganzzahlige

Ausdrücke zu erreichen gewesen wären.,

$ 386. Genau in derselben Art wie in S 123ff. Bd. I partielle

Differentialgleichungen für die symmetrischen Funetionen einer Grössen-

reihe aufgestellt worden sind, so kann dies hier bei denen von mehreren,

z. B. drei Grössenreihen geschehen. Wir wollen wenigstens den ein-

fachsten Fall hier besprechen. Statt Xar Ya Za Setzen Wir Xx + E, Ya A Ö

x 6 bei w = 1,2,...% ein. Dadurch gehen, wie man leicht erkennt,

Caß}’ in Cü‘ßy+(k+ 1—“_ß—y) [Ca»—1‚ß‚y+0a,(?—l,y+ Ca)ßa}’_1].t+ %C

Saßy M Sapy t [%Sa—1,8,y F BSaß— 1y A Sag yl E,

und, wenn »R eine beliebige symmetrische Funetion der X,Y, 2 bedeutet,

R in R+;[%+'ß%+f“zzﬁ}t+"'

über. Hierbei haben wir nur die Glieder ohne $ und die mit &* hin-

geschrieben. Denkt man sich nun R gleichzeitig durch die x, y, 2, ferner

durch die cxgy und endlich durch die Sapy ausgedrückt und entwickelt

dann nach der Substitution nach Potenzen von 6, dann folgt in allen

drei Ausdrücken die Gleichheit der entsprechenden Coefficienten der

Potenzen von £, und so hat man für £! die Gleichungen

R ÖR

2

+äz

&«

+

Ya

)

G@+1—a—ß—y)

ß

ÖC

S Oj;y $ [Ca_1‚ B,Y + Ca‚ß_l‚}’ + cüf, ß‚ Y—1]

R

—

A LE

[&Sa —18y A BSaß—1,y A VSa,ßy—ıl]-

&Y O84

76 Sechsunddreissigste Vorlesung $ 3éö. Siebenunddreissigsté Vorlesung $ 387.

Hierzu ist zu bemerken, dass %o = 1, swo= k, und dass Grössen c

oder s mit negativen Indices gleich Null zu setzen sind. Prüft man

diese Formel z. B. an

2 %ı Ya83 = Cy11 Si00S0108001 — S100$011 — Sox0$101 — SoorS110 F 281117

so folgt

(k — 2)[Sx,Y2 + Sy,% + Sa %] = (k— 26a A ol

Z y — G { 9 — SCa A Sa — 25A6 Ir San T Sa0)

= (& — 2)($100810 4 SoroSoo. F 1008001 — S110 Sıor — Sa

was mit unseren früheren Resultaten übereinstimmt.

Siebenunddreissigste Vorlesung.

Resultante und Eliminante.

Poisson’sche Methode.

$& 387. Wir wollen zunächst die Resultate der dreiunddreissigsten

Vorlesung in etwas geänderter Bezeichnung derart reproduciren, dass

wir statt zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten m Gleichungen

mit m Unbekannten betrachten.

Für m= 2 kommen wir dann auf

die bereits bewiesenen Sätze.

Es seien m allgemeine Gleichungen mit unbestimmten Coefficienten

(1)

@n A an

CZ

der m Unbekannten 2,, %, : Zm gegeben.

Die Dimension von fx sei

gleich %4.

Das Product sämmtlicher Dimensionen setzen wir

@2)

N No

Nn = kö

Die Coefficienten von f mögen mit A%, A«,

und generell mit a

bezeichnet werden. Jedem der a„ legen wir ein solches Gewicht hbei,

dass, wenn 2,, %, - 2m die Gewichte 1 bekommen, f isobariısch vom

Gewichte %„ wird.

Das Gleichungssystem (1) besitzt & Wurzeln

05 Cn Z

Zm1) ?

(Z12> %27

Zm2)‚ (Zxk, Äakı)

Zm k) .

Alle diese kann man durch die Lösung einer einzigen Gleichung er-

langen, indem man die Liouville’sche Methode anwendet. Setzt man

nämlich die Substitution an:

X = A, 8 + K9 R9 + Pg + XmEm >

wobei die x unbestimmte gewichtlose Parameter bedeuten, und bezeichnet

Resultante und Eliminante.

Poisson’sche Methode.

T7

(3)

Xı — KLB12 + Xa Ra2 + M + Xm m2 >

(’1=1‚2;"'k)

?

dann besteht für x eine Gleichung k*" Grades

(4) 90xk'—91(“1> W E Ha

mit den Wurzeln (3). Hierin sind die Coefficienten 0o,0,,::-0x ganze

Funcetionen sämmtlicher Reihen a,, &,

am ’

und zwar sind sie

homogen in den @„ vom Grade /: n„; es ist ferner 0, von den Para-

mELErn Xı %o

frei, während 0, eine homogene ganze Funetion

'° Grades der x ist.

Das Polynom in (4) ist isobarisch vom Ge-

wichte % und also 0, isobarisch vom Gewichte 0, und 0, vom Gewichte u.

Für allgemeine Funetionen (1) ist 0, irreductibel (vgl. $ 153, Bd. 1).

o ist die Resultante der m Gleichungen

53

Z

mM

Ö5)

Br

Z

M

(“=1;27"'m)2

Pa (1‚

Br

Z

1

wenn , den Complex der Glieder n„**, d. h. höchster Dimension in

fx bedeutet.

Diese Resultante wollen wir auch als die Resultante

der m homogenen Gleichungen

(5°)

Da(&,, Z

An = 0

bezeichnen. Ihr Verschwinden ist charakteristisch dafür, dass das Sy-

stem (5*) Wurzeln hat, deren Coordinaten nicht sämmtlich verschwinden.

Aus (4) ergeben sich die elementaren symmetrischen Funetionen

der Wurzeln (2,1, %,,

m 1) GÜ

als gebrochene Funetionen der a

in der Gestalt

/

Q

=—

==

91

__&

CG100---

o

?

010

%

?

©& 00-.-

—90’

?

wobei die 0, 0,”,-:- 0,

eine sofort erkennbare Bedeutung haben.

Jede ganze symmetrische isobarische Funetion der (n Za Bn aa

kann als gebrochene isobarische Function gleichen Gewichtes in den «

dargestellt werden, entweder durch Vermittelung der c„g,... oder direct

mit Hülfe unbestimmter Coefficienten. Denken wir uns, die Darstel-

lung sei mit Hülfe der c geschehen, und es kämen in einem Gliede

w Factoren c vor; dann wäre der Nenner 09“. Diese w Factoren liefern

bei der Darstellung der Funetion durch die @ mindestens u Factoren

in diesen Coefficienten, und zwar tritt dieser Minimalfall nur ein, wenn

alle c von der Form C09..., Co10--.> Coos-.. Sind. Hat umgekehrt die

Darstellung einer ganzen symmetrischen Funetion der Wurzeln durch

die @ nicht mehr als v Factoren @ in jedem Gliede, dann ist der

Nenner höchstens 07”.

Dieser hat, wie 0, selbst, das Gewicht O; folg-

Funetion.

lich ist der Zähler von demselben Gewichte,

wie die dargestellte

78

Siebenunddreissigste Vorlesung $ 388—390.

$ 388. Für m=2 sind diese Sätze bewiesen. Wir nehmen

an, sie gelten für ein beliebiges m und wollen sie für (m + 1) nach-

weisen.

Dadurch ist dann ihre allgemeine Gültigkeit dargethan.

Zu diesem Zwecke nehmen wir noch eine neue Gleichung

9{2 %, Zm) = 0 mit den Coefficienten b _an. Die Dimension von g

sei q, und den b mögen solche Gewichte beigelegt werden, dass jedes

einzelne Glied von g das Gewicht q besitzt.

Nun bilden wir

das

Produet

(Ä=1)2}...];;)}

(6)

] [ 92 22

Zml)

erstreckt über alle Wurzeln (2) von (1).

Dieses Product nennen wir,

ähnlich wie früher bei zwei Gleichungen mit einer Unbekannten, aber

versehen mit einem Factor, der sogleich angegeben werden soll, die

Resultante der Gleichungen f = 0, g== 0, und wir bezeichnen

es mit R. Das Verschwinden von (6) ist charakteristisch dafür, dass

(1) und g=0 gemeinsame Wurzeln besitzen. Die Bildung von (6)

zeigt, dass das Product in den Coefficienten b _homogen vom Grade /&

ıst

Es ist ferner in den b, Z12, %2,

Z (Ä=1‚2,„—k) isoba-

risch vom Gewichte &q, da jeder Factor isobarisch vom Gewichte q ist.

Es ist endlich in den Wurzeln (2) symmetrisch. Wir drücken sämmt-

liche auftretenden symmetrischen Funetionen durch die @ als gebro-

chene Funetionen aus; dabei kann nur eine Potenz von 0, in den

Nenner treten; die höchste vorkommende Potenz sei 0,“. Da bei all-

gemeinen Funetionen 0, nicht verschwindet (vgl. (5) und (5°) wegen

der Bedeutung von 0,), so nehmen wir 0,“ als den eben erwähnten

Faetor und setzen

(7)

R= R(f, + fni g) > 00 ] [9(e2, 202 8mi),

wobei die fi,

fm; g nach Art der Argumente hinter R gesetzt wer-

den sollen, um complicirte Schreibweise zu vermeiden. Die Funetion g

hat dabei eine Ausnahmestellung erhalten, da ja in der That aus der

Definition die Vertauschbarkeit mit den f2 noch nicht hervorgeht, wäh-

rend die f beliebig unter einander versetzt werden dürfen. (7) ıst Jetzt

ganz in den a; das Gewicht hat sich, da 0, vom Gewichte 0 ist, durch

die Multiplication mit 0,“ nicht geändert, und beträgt also auf die a, b

statt auf die b; 2,, %, - %m bezogen auch kg.

$ 389. Ersetzen wir eins der f, z. B. fi, durch das Produet f fi”

zweier allgemeiner Funetionen, so gilt die Formel

fn 9)-

(8)

RAr fa S Bl Sa 9) B

Die Wurzeln des umgestalteten Systems (1) theilen sich nämlich ın

Resultante und Eliminante

Poisson’sche Methode

79

zwei Sorten, in diejenigen &12, &2,

Em2, welche f = 0, f

fn= 0 befriedigen, und in diejenıgen E, &22,

Enı welche 7 —0

2 —0

fın= 0 befriedigen

Demnach ıst

m})

HJ(Z’„‚ Z

/‚„7) —HJ (Ä1 2> ($) 2>

&n1) [ [9Eı2, 7,

Die Coefficienten von f und von f,” seien generell durch a,” bezw. a,

bezeichnet

Drückt man dann die beiden Producte auf der rechten

Seite als gebrochene Funetionen der a,, 4,

bezw. der a,”, Q,

aus, dann möge im ersten Producte etwa eın 90° und im zweiten etwa

ein 007 als Hauptnenner auftreten

Macht man links die gleiche Ope-

ration und ergiebt sich dabei 0,“, so muss dies ein Theiler von 00°00”

sein, da ja links der Hauptnenner nicht weiter gehoben werden kann

während dies rechts denkbar wäre

Aber auch das geht nicht an

denn 0,, 09 als Resultanten von Gleichungen mit (m — 1) Unbekannten

sind der Annahme nach irreducetibel; o‚ kann sich aber, da im zweiten

Producte keine @” vorkommen, nicht gegen Factoren dieses zweiten

Produects heben lassen

Gleiches gilt für 0,

Demnach muss sogar

der Hauptnenner rechts gleich dem auf der linken Seite sein, und

multiplicirs man beide fort, so gelangt man zu (8). —

KErsetzen wir ferner g durch das Product g’.g” zweier allgemeiner

Functionen, bei denen die Summe der Dimensionen gleich q ist, so

gilt die Formel

(9)

P(f])f‘>)

fm, I ./„) D R(fuf‘?;

Z

R(fr ,

’

)

Zuerst ist nämlich identisch

H./ (21> %, Am) ' 9 (1 %0, * Em) ÜJ (21, 2a ** Zm) H9 (21) 2a Om

Jedes der Producte wird durch Multiplication mit einer Potenz von 0,

zu einer ganzen Funetion der @ wemacht

Ist rechts 0,” der für das

erste Product und 0,* der für das zweite nötige, so kann sich offen-

bar auch links für o%+? nichts fortheben

Durch Multiplication mit

0%+* folgt also (9)

$ 390. Mit Hülfe der Formeln (8) und (9) können wir die Irre-

ductibilität von R bei allgemeinen Coefficienten @ und b nachweisen

Gesetzt, für ein System allgemeiner f, der Dimensionen %, gäbe

es ein allgemeines g der Dimension q, für welches R sich in Faetoren

zerlegen liesse,

dann können wir q so klein als möglich gewählt

denken d. h. so, dass bei Festhaltung der f kein allgemeines g von

111ede1e1 als der c_f°“ Dimension noch ein reductibles R besitzt. Es sei

(10)

EL

wobei Rı und R

anze Funetionen der @ und der b bedeuten

Statt

80

Siebenunddreissigste Vorlesung $ 390—392.

der allgemeinen Funetion g setzen wir nun das Product zweier allge-

meinen Funetionen g’.g” ein, deren Dimensionszahlen die Summe q

haben, und deren Coefficienten mit b’ bezw. 6” bezeichnet werden.

Dann werden die b in g durch bilineare Formen

(11)

D n Oa a n fa e

ersetzt werden.

Trägt man alles dies in (9) ein, so entsteht

(10*)

R= Rı R =R(f1; O

f

Der Annahme nach sind die beiden Factoren rechts irreductibel, da

ihre Dimensionen kleiner als q sind. Es müssen also auch die beiden

Factoren Rı und R, irreductibel sein, und weiter etwa

B(f1>'

fmj 9')= B-

R(f1; + fm5 g‘)= Rı,

Nun war in (10) R, wie R, Funetion der Coefficienten b; in (10*) ist

dafür eine Function der Grössen (11) eingetreten, so dass also in Rı

wie in R, die Grössen b£, b vorkommen; links dagegen treten in den

beiden letzten Gleichungen nur entweder die b’ oder die b” auf. Das

ist ein Widerspruch, der nur dadurch gehoben werden kann, dass q

nicht mehr in niedere Summanden zerlegt werden kann, d. h. dass

ü == ]

Genau entsprechend folgt unter Verwendung von (8), wenn wir

jetzt die Dimensionen %,, M,

-< Nm, 9= 1 festhalten und %, unter

Wahrung der Zerlegungsmöglichkeit so klein als es angeht wählen,

dass der Minimalwerth von %, gleich 1 wird. Das Gleiche gilt für

alle %, und wenn also überhaupt die Funetion R für irgend ein System

allgemeiner Functionen der Dimensionen %,, %,, - Nm, G zerlegbar ist,

dann gilt dasselbe auch für die Resultante eines Systems allgemeiner

linearer Funetionen.

Berechnet man nun aus den ersten m linearen Gleichungen die

m Unbekannten 2,, - Zm und setzt die erhaltenen Werthe in die

(m + 1)® Gleichung g= 0 ein, so erhält man die allgemeine Deter-

minante von (m + 1) Reihen von Coefficienten. Diese ist aber irre-

ductibel, wie sich durch Induction leicht ergiebt. Für zwei Elementen-

reihen ist es klar.

Hat man es für v Elementenreihen bewiesen, so

ergiebt es sich auf nachstehende Art für (v + 1) Reihen. Wir ent-

wickeln die Determinante nach den Elementen einer Spalte. Da die

Elemente derselben von einander unabhängig sind, so kann eine Zer-

fällung der Determinante nur dadurch eimtreten, dass alle zu den

Spaltenelementen gehörigen Adjuneten einen gemeinsamen Theiler be-

sitzen. Der Voraussetzung nach sind sie irreductibel; sie müssten also

übereinstimmen. Das ist unmöglich, weil je zwei immer eine besondere

Elementenzeile haben.

Resultante und Eliminante.

Poisson’sche Methode.

81

Somit folgt schliesslich: Die durch (7) definirte Function R

ist bei unbestimmten Coefficienten der Funcetionen f und g

irreductibel.

Der hier eingehaltene Gedankengang ist. etwas bequemer als der ın

$ 153 Bd. I bei m = 1 benutzte.

$ 391.

In _ der Definitionsgleichung (7) ist der Funetion g eine

Ausnahmestellung den Functionen f„ gegenüber gewahrt. In der That

ist es nicht ohne Weiteres klar, dass man ein /„ mit g vertauschen

kann.

Bei einer Variablen folgte das sehr leicht auf Grund der dort

möglichen Factorenzerlegung.

Wir wollen nun mit Hülfe des Irreductibilitätssatzes die Gleich-

berechtigung auch hier beweisen. Das Verschwinden von (7) giebt die

charakteristische Bedingung dafür, dass die (m + 1) Gleichungen fx=0,

g =0 mindestens eine gemeinsame Wurzel besitzen.

Vertauscht man

ein f mit g, so entsteht eine Resultante R’ von gleicher Eigenschaft.

Verschwindet sonach die eine für irgend ein Werthsystem der Coeffi-

cienten, so verschwindet die andere für dasselbe.

Nach 8 346, (IX)

stimmen also R und R’ im ihren irreductiblen Theilern überein, und

nach den Ergebnissen des vorigen Paragraphen sind sie demnach bis

auf einen Zahlenfactor identisch.

Aus der Bedeutung von R folgt ferner, dass diese Function nicht

identisch verschwindet, wenn die Coefficienten der Functionen allge-

meine Grössen sind. Ja es reicht bereits aus, dass bei willkürlich ge-

gebenen Coefficienten der f„ die Coefficienten von g unbestimmt bleiben,

um das identische Verschwinden von R auszuschalten.

Selbst wenn

wir nur das absolute Glied in g variabel halten, genügt dies schon.

$ 392. Wir können jetzt die Bezeichnungen derart ändern, dass

wir statt g schreiben f+1, den Grad q durch N +1 ersetzen und die

f nun gleichmässig in die Resultantegbezeichnung eingehen lassen.

Dann ist bewiesen:

Die Funection

1,2,

k)

(7a) R=R(fl;f2; "°f;'l+1)=9,) 1a1 f;„+1(2'1„;‚22a‚"'27„,1) (“

ist die Resultante des Gleichungssystems

(12) f1(21‚22, --.2‚„)=0‚ f2(‘2117227 "Zm)=();"'ﬁn+l(zl;z27 Z’">=O

Die Z1a, Za, * me Sind die Wurzeln des Gleichungssystems (1).

Das Verschwinden von R ist charakteristisch für die Exi-

stenz einer gemeinsamen Wurzel von (12). R ist bei allge-

meinen Functionen (12) irreductibel und nicht identisch Null;

es ist homogen in den Coefficienten jeder Function aus (12)

Netto, Algebra. II

6

82

Siebenunddreissigste Vorlesung $ 392—393.

von einem Homogeneitätsgrade gleich dem Producte der Di-

Die f können be-

mensionen aller übrigen m Gleichungen.

liebig angeordnet werden.

R ist isobariısch vom Gewichte

ÜE l

Nm A1>

welches also dem Producte sämmtlicher Dimensionen gleich

ist. Die behauptete Gradzahl der Homogeneität hinsichtlich der Coeffi-

cienten der ersten Funetionen folgt daraus, dass alle f„ gleichberech-

tigt sınd.

Zu

Wir wollen nun auch noch den Exponenten w bestimmen.

diesem Zwecke müssen wir etwas weiter ausholen.

Wir betrachten die symmetrische Funcetion

Bay

"Z“Zh

NSI

12722

(@+B+- >a +D 0

und stellen sie durch die Coefficienten von (4) dar

2

(12)

— Zl

?

Q

wobei die 0,”, 01,

« 02,::- die Coefficienten von %,, %,,

X1 ,

in 0, ©,

sind, und 0,“ den Hauptnenner der Darstellung bedeutet.

Statt n an

setzen wır 21 %, 210,

’

während die übrigen

ungeändert bleiben.

Dadurch erhält (4) eine

Z19) 7927

5 Zı3) 7a8

Wurzel, die mit £ zugleich ins Unendliche wächst. Berechnet man

Z

für (4) die elementaren symmetrischen Functionen der %,, %,

so folgt

Sı an S Zn Ar E @o FAa o) 0001

Ü

)

Z;\ — tnlxlf(zl.151.z + + ) - %1 %a (211 %2 7 ) + a

d. h. alle diese Grössen werden linear in &. Für grosse & wird also (4)

annähernd in

T

MC H

übergehen. Für unendlich grosse & wird die erste Darstellung der

symmetrischen Funetion S als höchste Potenz von € liefern

t“+ß+;

die zweite dagegen &. Folglich ist u= « +ß +7 E ooo dl In @lech

der Maximalsumme der Exponenten, die zu gleichem oberen Index

einer Wurzelcoordinatenreihe gehören.

Damit ist aber natürlich nicht gesagt, dass bei der gegebenen

Darstellung (12*) von (12) die Zahl der in einzelne Glieder eingehenden

Factoren u = « + ß + -:- nicht übertreffen dürfe; denn dieser Werth

von w ist nur aus dem Hauptnenner hergeleitet, und dieser kann ge-

ringer sein als einzeln vorkommende Nenner.

Resultante und Eliminante.

Poisson’sche Methode.,

83

Um diese letzte Bemerkung durch ein Beispiel zu erläutern,

nehmen wir

A115 Za15 7127 Za9 5 Yı3) Y93

und S(Z11"Z2%5)

Nach $ 381, (14) ist die symmetrische Function S gleich

3 { C{oCo2

GyoCa1 Cır Ar Cöd020 f QAenCa

und es scheint hiernach, als ob bei den Substitutionen

”

Q

91

95

05

©

C0

99

Ca —

90

Cn —

9

Cy1

9

%2 —

9

der Hauptnenner 0,? auftreten müsste.

Nach unserem Satze ist dies

nicht der Fall; und in der That hebt sich aus dem Aggregate der

ersten drei Klammerglieder 0, weg, und es bleibt nur 0,” als Haupt-

nenner zurück, wie eine etwas umständliche Rechnung zeigt.

Den gewonnenen Satz, den Schläfli (Wiener Denkschr. 4 (1852)

S. 7) aufstellt und auf andere Art beweist, können wır folgendermassen

aussprechen: Wenn man

(12) S(Zf1 Zg1 Z Zi2 2'32

Aigesc) (@ E BL 000 @Da @A 400)

durch die o ausdrückt,

dann tritt als Hauptnenner

auf

S

Vergleichen wir (12) mit der symmetrischen Funetion (7%), in

welcher jedes Glied höchstens zur Dimension %41 in den Z1e, Z20,

aufsteigt, und in welcher diese Dimension auch wirklich von einigen

Gliedern erreicht wird, dann folgt:

In (7°) ist der Exponent u = %41 Zu setzen.

$ 393. Die Coefficientenreihen a,, 4,

Am-+-1 der Funetionen

/i7f27

fm-+ Waren bisher als unbestimmte Grössen angenommen,

denen. solche Gewichte beigelegt wurden, dass jeder Summand in f das

Gewicht %„ hatte. In allen Funetionen f ersetzen wir jetzt jeden Coeffi-

cienten @ durch eine ganze Function einer neuen Variablen £ mit all-

gemeinen unbestimmten Coefficienten a’, derart, dass £ bis zu einem

Grade aufsteigt, welcher dem Gewichte des zu ersetzenden Coefficienten

gleichkommt. Die Gewichte der a’ werden wieder so bestimmt, dass

auch die umgewandelte Function in Hinsicht auf die a’, die 2,, %,

und auf % isobarisch wird und das Gewicht n besitzt.

Die neuen

Funetionen bezeichnen wir mit

(18)

fa (ı Za

ZI?L; t)

(“=1727" ;m+1);

und wenn wir f„ nach den fallenden Dimensionen seiner Glieder in

den

<

D

und % ordnen, dann sei

(14) fa(£'„ 2 t) Z “E;la)(zly C t) + „(ana—l)(zl‚ Yay i t) + G

84

Siebenunddreissigste Vorlesung $ 393—395.

so dass jeder in u““ eingehende Coefficient @” das Gewicht 0, jeder

n U eingehende das Gewicht 1 besitzt, u. s. w.. Hierbei entsteht

u("o;)

z

%g

M

(15)

&%

(

b

‚2}

aus dem früheren fx(2,,2,::-£m), wenn man die Variablen 2,, ,°

z

Z

durch

T

€ ?

ersetzt und die Coefficienten @ ın die neuen a’

überführt.

(15) ist demnach auch eine allgemeine Funetion der Di-

mension %, miıt unbestimmten Coeffieienten.

$ 394. Wir führen jetzt dieselben Umänderungen, welche von (1)

auf (13) leiteten, auch in R= R(f,,

fm-+1) durch. Dabei entsteht

eine ganze Funetion von € und den a’, die wir mit R(%) bezeichnen

wollen. R(t) möge die Eliminante der (m+1) Gleichungen (138)

heissen, genommen ın Beziehung auf die Unbekannten %,,

29 ,

Z]7L 2

Jedes Glied in dem früheren R war ein Potenzproduct der Coeffi-

cienten @ und hatte in ihnen das Gewicht (== , - M * Nm-AL-

Daraus

folgt, dass in R(£) jedes Glied von R eine Funetion von € mit Coeffi-

cienten a hervorruft, welche bis zum Grade 7 aufsteigt.

Es ist dem-

gemäss %' die höchste Potenz von %, die in R(%) auftreten kann. Wir

wollen den Complex dieser Glieder mit %’ berechnen.

Wir kommen

zu ihnen, wenn wir in jedem f„ jedes ax (mit dem Gewichte w) durch

agt“ ersetzen, wobei a” das Gewicht Null hat; denn dabei beschränken

Dadurch bekommen wir aber offen-

wir uns auf die höchsten Glieder.

bar nichts anderes statt f als dieselbe, durch Einführung des % in

Z1) %> *‘‘ %m, E homogen gemachte Funetion mit den Coefficienten a«,

al WG B 0O

Folglich bildet in R(t) der Complex der

Coeffieienten von &* die Resultante von

zI]L

xa

Z

Gl

1)=0,

au) (

C 2

4

)=O‚

(16) u@) (

O

‚{ ö

Diese Resultante ist bei allgemeinen Coefficienten a’ nicht identisch

Null. Somit steigt R(f) wirklich bis zum Grade 7 auf.

Die Resultante von (16) wollen wir auch als Resultante der homo-

genen Functionen

(

un (2,,

Bn 0 = 0,

UG @,

zm; t)=07"'

bezeichnen. Ihr Verschwinden giebt an, dass das System (17) ausser

der banalen Lösung z =0, .. m =0, t=0 noch andere Lösungen

besitzt.

Wir schreiben diese Resultante auch

(18)

uln2)

Z

uCm +D

m-+1

).

R (u@),

Resultante und Eliminante.

Poisson’sche Methode.

85

Dann ist das leitende Glied von R (%)

u +J1)

R (u<;h>‚ uln) ,

m—+1

)_tl.

Der Grad der Eliminante in € ist im Allgemeinen gleich dem

Er

wırd nur

Producte der Dimensionen der Gleichungen.

dann geringer, wenn die Aggregate (17) der Glieder höchster

Dimension gleich Null gesetzt ein Gleichungssystem ergeben,

welches ausser (0, 0, --- 0) noch andere Wurzeln besitzt. Zu

jeder Wurzel &, von R(t)=0 giebt es Werthe 2ız, Z22, - Zma,

für welche alle „ =0 befriedigt werden. KEin allgemeines System

hat also mindestens / Wurzeln.

Bei der Bestimmung der zu einem %’ gehörigen z’ stösst man auf

dieselben Schwierigkeiten, die schon bei zwei Gleichungen mit zwei

Unbekannten auftraten.

Auch hier lassen diese siıch

am einfachsten

durch die Liouville’sche Substitution überwinden.

$ 395.

Wir setzen, ähnlich wie früher,

D = 419 + %8 + 4 - m@m + Ab

und tragen in die Funetionen f„ für € ein

%

Z

f

x——%lzl—1f?fg—-"

—

mm,

2

’

die Resultate multipliciren wir, um ganze Funetionen zu gewinnen,

mit passenden Potenzen von 2 und schreiben sie dann

(19)

gc‘ (Zl7 Zf37

Aa @)= 0

CZ

Die Dimensionen von f und gx sind die gleichen.

Aus (19) eliminiren wir die z und bılden die Eliminante

gm+1> =0.

(20)

R(x) Z R(917 Ia

Nun sei xz, eine Wurzel von R(x) = 0. Dann haben die

Ja (21, %,

Zım) x1) =0

(x=1,2,...m +1)

eine gemeinsame Wurzel 2,1, %1,

Zm1, und also besitzen wegen

der Herkunft der g auch die

(18)

f“ (Zl7 527

B 0)= 0

eine gemeinsame Wurzel, nämlich

Z

CR a a RA

U S

Z

Z — i

CO

Z

217

x

E F Zml,

Ü=

A

Da diese Werthe ihrer Bedeutung nach von den Parametern x,,--: %m, A

unabhängig sind, so folgt wie ın $ 358, dass jede Wurzel von (20)

die Form %, = %214 + %%1 F: + 126 besitzt, wobei 21, Z)

Z

die Coordinaten einer Wurzel von (13) sind. Hat man sämmt-

liche Wurzeln %,, %,

von (19), so geben diese nach dem

86

Siebenunddreissigste Vorlesung $& 395—397.

Es

angegebenen Verfahren sämmtliche Wurzeln von (138).

giebt also im allgemeinen Falle so viele Wurzeln, als das

Product der Dimensionen der Gleichungen beträgt.

Die Gleichung (20) dient ferner dazu, die elementaren symmetri-

schen Functionen der %,, %,

2

und daraus nach $ 377 die symmetri-

schen Funetionen der Wurzeln von (13) zu berechnen.

$ 396. Wir setzen die Eliminante (20) in die Form

(21) R(x)= Oa D — O A) Da Ü

Die Wurzeln von (21) sind von der Form %21 + *+ + %m@m1 + Ab,,

WO 211 Za17

t, endliche Grössen sind. Es kann also für kein end-

liches Werthesystem x,, %,,

Xm, A ein %, unendlich gross werden.

Dies müsste aber geschehen, wenn irgend eine Wurzel (x,', %, ** %m, X')

wäre.

von 09=0 nicht zugleich Wurzel aller o,= 0, O = 0,

Man kann also wie in 8& 360 schliessen, dass 09 von x,,:::A4 unab-

Xm — O;

hängig gemacht werden kann, und dann duwren 2 = 0, -

t=1, dass 0, den Werth (18) hat.

Da die Wurzeln von (21) die Form x; 211 + %21 4 ** A m@ma + Abı

haben, und da

01 (1

0941 ,

3 = SAn A an A Adı),

so folgt, dass 0x eine homogene Function «“ Grades in den %,: %m, A

ist

Man sieht, dass alle bei m =1 gemachten Schlüsse sich hier

wiederholen. Die Sätze aus 8 360 können direct übernommen werden.

So können wir sagen: In (21) ist ox homogen in den Parametern

vom Grade «.

Verschwinden für besondere Werthe der Co-

effieienten @ die Grössen 09 Q, - 0, ıdentssch d h sür

alle Werthe der Parameter, dann ist jeder von den Para-

metern abhängige Factor von 0ı in jedem folgenden 0u+1,

Ou-+2)7

als Theiler enthalten, so dass in der Eliminanten-

gleichung jeder solche Theiler fortgehoben werden kann.

Das Gewicht von o@x in den Coefficienten @ beträgt «. Auch

dies folgt sofort aus der Form und dem Gewichte der Wurzeln.

Mit diesen Sätzen ist Alles für (m + 1) bewiesen, was zu Beginn

der Vorlesung für m angenommen und früher für m=2 als richtig

erkannt worden ist. Das Hauptproblem der Elimination ist damit er-

Jedigt. Die dazu benutzte Methode stamm$ von Poisson, Memoire

sur l’6limination dans les 6quations alg&briques; Journ. de l’Ecole poly-

technique; IV; cahier 11, p. 199, der sie selbst als eine Krweiterung

der von G. Cramer für zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ge-

Resultante und Eliminante.

Poisson’sche Methode.

87

gebenen in der Einleitung seiner Abhandlung erklärt. Das Theorem über

die Zahl der Wurzeln war früher von Be&Ezout aufgestellt und führt

seinen Namen.

Wir kommen auf diese Untersuchungen noch zurück.

$ 397.

Von einer Wurzel x, der Gleichung (20) können wir

durch die Annahme x = 1, %” =0,. 1=0zu %,, durch x = 0,

al a=0, i =0 Z ıy W &W eanoen.

Der Uebergang

kann auch auf folgende analytische Art geschehen.

Wir bilden ein

System von l Gleichungen, die in den Z11, Zi2) Zı3)

Zır linear sınd

Zy11

+ 219

+ = S,

Z1%ı A Saa Ar = S,

Bnl E Aa e =

Die rechten Seiten sind als symmetrische Funetionen der Wurzeln be-

kannt.

Die Determinante der linken Seite ist von Null verschieden,

e d® d Oan

yon einander verschieden sind. Das ist leicht einzu-

sehen.

Wäre nämlich im allgemeinen Falle bei unbestimmten Coeffi-

cienten stets Wurzelgleichheit vorhanden, dann müsste dies auch in

jedem besonderen Falle eintreten, während doch z. B.

am

r

fı

=

g’111_1=0; fé*;:g’{_fa_1__—_())...f;n+lf_:t"m—f—l_l=o

keine gleichen Wurzeln x liefern werden.

Das System der linearen

Gleichungen kann daher aufgelöst werden, und so entsteht

11 = T(:I„)

(Ä=172)3;"'l)

Das Gleiche lässt sich auch in folgender Art bewerkstelligen *).

Der Ausdruck

R(%J)Z — = H@

ist eine ganze Funetion von y, deren Coefficienten symmetrische Fune-

tionen und somit bekannt sind. Setzt man y= ,, so entsteht, weil

links nur ein Glied zurückbleibt,

H(x;,)

(22)

212

R’ (x;) c

Auf dieselbe Art findet man die %. Man kann also den Uebergang von

den x zu den Z auf rein analytischem Wege durchführen.

n

ELE

*) Diese einfache Methode stammt wohl von Kronecker (J. f. M. 91, p. 307).

88

Achtunddreissigste Vorlesung $ 398—3899.

Achtunddreissigste Vorlesung.

Unendlich grosse Wurzeln.

Vielfache Wurzeln.

Unendlich

.

viele Wurzeln.

$ 398. Wenn ein allgemeines System von m Gleichungen mit

m Unbekannten gegeben ist, so kann man den unbestimmten Coeffi-

cienten, wie wir gesehen haben, stets solche besonderen Werthe er-

theilen, dass auch das neue besondere System k= N: - N Lö-

sungen besitzt. Liegt nun ferner irgend eın System von m Gleichungen

mit %, (<k) Lösungen vor, so kann der Uebergang von der ersten

Eliminante zur zweiten nur dadurch geschehen, dass 09, 0,)* ** Ok—k—

gleich Null werden; es giebt dann also (£% — *,) Wurzeln x, die ins

Unendliche gewachsen sind, und also auch, falls die Gleichungen prä-

parirt waren, ebensoviele Wurzeln (2,, %,

Zm), deren Coordinaten

sämmtlich c©o geworden sind.

In dem einfachsten Falle %, = (& — 1)

wl mu y = 0 oder

Zr

n{

D

m

;lg

mM

?“Li‚l’ 1) LEn O‚

Z

M

d. h. die homogenen Gleichungen, welche entstehen, wenn man in allen

f die Glieder höchster, %,' Dimension gleich Null setzt, haben eine

gemeinsame Lösung.

Die Verhältnisse sind hier also genau denen

analog

©

welche wir bei zwei Gleichungen miıt zwei Unbekannten be-

sprochen haben. Schon Kuler*) nimmt bei der Zählung der Wurzeln

Rücksicht auf solche unendlichen Wurzeln.

Es ist vielleicht nicht unangebracht, folgende, freilich naheliegende

Bemerkung zu machen.

Es mögen qw,p beliebige ganze Funetionen

der Z,,:::Zm bedeuten; dann sind die beiden Systeme

(1)

fi=0, f=0, : fa=0

und

fl=0‚

F an f O

f P Oa ffa E O f = On 000

ﬂ„ + 917n‚m—1ﬁu—1 + CTE + Qm‚2f'2 + Qm,l f1 y O

insofern einander äquivalent, als jede endliche Lösung des einen der

beiden Systeme auch das andere befriedigt, wie leicht zu sehen ist.

Gleichwohl können die Gradzahlen der Gleichungen des zweiten Sy-

stems beliebig erhöht auftreten.

Dies erklärt sich dadurch, dass das

zweite System eine Reihe unendlich grosser Wurzeln hat, die dem

ersten fehlen.

L

* Me6m. de l’Acad. de Berlin (1748), p. 234.

Unendlich grosse Wurzeln. Vielfache Wurzeln. Unendlich viele Wurzeln. 89

$ 399. Wir gehen jetzt zur Betrachtung mehrfacher Wur-

zeln über. Bei allgemeinen Gleichungen können solche nicht auf-

treten, denn das Gleiche müsste sonst auch in jedem besonderen Falle

gewahrt bleiben, während sich ja leicht Beispiele aufstellen lassen, ın

denen keine mehrfachen Wurzeln vorhanden sind, vgl. S. 87.

Besitzt die Eliminante R(x)= 0 den Wert x =xz, als «-fache

Wurzel, dann wollen wir das zugehörige (2,1, %,,

Zn1) gleichfalls

als «-fache Wurzel auffassen. Durch Berücksichtigung der unendlichen

und der vielfachen Wurzeln erst wird der BEzout’sche Satz von der

Anzahl der Wurzeln jedes Systems von Gleichungen richtig, falls nicht

der später zu besprechende Fall unendlich vieler Wurzeln eintritt.

Wir wollen noch von einer anderen Seite her die mehrfachen

Wurzeln zu behandeln suchen.

Wir setzen, indem wir unter &,: Sm

beliebige aber. feste Werte verstehen,

(2)

2 = 5& + 044,

A €2 + 0U ,

Sm — €m + 0Un )}

(u* E u A A m = 1).

Dann gehört zu jedem Werthsysteme 4, 4, - Um; @ ein einziges Sy-

stem Z,, %,' Zm; umgekehrt gehören zu jedem Werthsystem 2,,22, °° Zm

die beiden Werthsysteme

C iV(21_ E A F Ca C

0 =

z

Sı

U

2

==—

2 —&

2

©

©

m = Em, welchem o0==0; (4,,Uo,

ausgenommen Zzu , = 6, %= %,'

beliebig) entspricht.

Trägt man (2) in (1) ein, so erhält man, wenn

(E, - Em) keine Wurzel von (1) bedeutet, ein Gleichungssystem von

(m + 1) Gleichungen mit (m + 1) Unbekannten und nach dem eben

Dargelegten mit doppelter Zahl der endlichen Wurzeln gegenüber (1).

Beschränkt man aber die Systeme auf positive o, so entspricht jeder

Wurzel von (1) eine solche von (2) und umgekehrt.

Wir wollen jetzt (&,,&,--:Emn) gleich einer Wurzel von (1) setzen.

Dann ıst

Öl

SE N

E

AI

@) fı =0[47E+ + m

8 M

]+9”G„=0 («

2

wenn unter

L

Ö6

das Resultat der Substitution von (&, &, --- Em) in

E

verstanden wird, und &„ eine nach Potenzen von o aufsteigende

0

Funetion bedeutet. Unterdrücken wir in (3) den Factor 0, so müssen

(

]

Qa

) [“1%%+"’+%„3—ﬁ31+9'6%„=0 @ = 12 00 @)

M,

90

Achtunddreissigste Vorlesung 8 399—401.

von allen übrigen Wurzelsystemen w,o, die aus den übrigen Wurzel-

systemen (212, %2,

Zmu2) entspringen, befriedigt werden; und um-

gekehrt folgt aus jedem Wurzelsystem u, o ein solches (212, 222, : Zm2)-

Wir' wollen unter' Wahrung (der‘ Wurzel (e1 ,, )=6, 6, ) die

Coefficienten von (1) so abändern, dass eine zweite Wurzel (2,2, %,: Zm2)

der ersten sich unendlich nähert. Dann wird das zugehörige o gleich 0

werden; und sonach muss es Werthe u geben, die das lineare System

der m homogenen Gleichungen

f

a=0

@= 172

U %% + u ;% + + u,„ä

Em

’

A0 7;z)

befriedigen.

Es wird demgemäss die Determinante

J =

Öfz

Ö6,

H

(Ä')Au'=1727"'m)

gleich Null sein.

J ist die von Jacobi eingeführte Functional-

determinante, auf deren Bedeutung für die Elimination wir später

noch genauer eingehen werden. Ist umgekehrt J= 0, und bezeichnet

U, Up',

um eine Lösung von (4), für welche Eujf = ]L 186 Camm

folgt aus ihr und o= 0 eine Lösung von (3*); d. h. (3) besitzt noch

Daher ist J=0 charakteristisch

eine zweite Wurzel o= 0.

dafür, dass die Wurzel (&,--:En) des Systems (1) mindestens

von der Multiplicıität 2 ıst.

Die Behandlung vielfacher VVurzeln höherer Multiplicität nach der-

selben Methode ist schwierig, da zu einem 0==0 verschiedene Sy-

steme w gehören können, durch welche mehrere der in (3) rechts

stehenden Anfangsglieder verschwinden.

$ 400. Ein anderer wichtiger Satz über mehrfache Wurzeln be-

darf zu seiner Ableitung einiger Vorbereitungen.

Wir wollen annehmen, jedem Summanden einer Summe seil ein

beliebiges Gewicht beigelegt worden.

Unter dem unteren Grenz-

gewichte oder kürzer dem Grenzgewichte der Summe, (da wir

mit anderen in der Folge nicht zu thun haben), wollen wir ein Ge-

wicht verstehen, unter welches kein Gewicht eines der' Summanden

sinken kann, welches aber auch wirklich das niedrigste vorkommende

ist

Der

Einfachheit

Gewicht eines der vorhandenen

Summanden

halber beschränken wir uns von vornherein auf nicht negative Ge-

wichte und Grenzgewichte. Bezeichnen wir nun mit g,, 92 : In die

Grenzgewichte einer Reihe w4, W, - U von einander unabhängiger

Grössen, wobei die w so angeordnet sind, dass gı <9a < SIn

Unendlich grosse Wurzeln

Vielfache Wurzeln

Unendlich viele Wurzeln

D

ist, dann hat S(u,) als Grenzgewicht offenbar g,; ebenso S(u,w) als

G1enzc7ew1cht gı ga, u s. w. Daraus folgt, dass die Coeffieienten von

(

— u)= 0

W — W au

= (u — U)(u — W6) +

I> 7’2"91+./27

der Reihe nach die Grenzgewichte v,= 0, 7=

haben.

Dieser Satz lässt sich auch umkeh1@n

Hat a

das Grenz-

gewicht y,, so muss dieses, da d, = S(u,) ist, Grenzgewicht eines der

w sein, und zwar das kleinste vorkommende.

Da ferner a = S(u,u)

ist, so wird das nächst grössere Grenzgewicht eines u gleich (7%2 — %1)

sein, u. s. f. bis zu Yı— Yn

Wird somit eine symmetrische Funetion

Z

z

- Dn im Anschlusse an die letzte

S ( un

U

Gleichung gebildet, so ist deren G1enz%wwht durch die Grenzgewichte

der Coeffieienten ausgedrückt,

09ı F Dla F + Dadn = D171 F o 2 + Da(Yn

Yn—)

$ 401

Von diesen allgemeinen Sätzen wollen wir wichtige An-

wendungen machen

Es seien die beiden Gleichungen gegeben

(6) Ala)= a FA e A T

(7) Al@)=bet mf F Ba + Bezst rı E b=0

Hier ertheilen wir den &,, Ay_ı,

do 3 b Z)„‚1‚

b; die Grenz-

gewichte Null, den folgenden a,, b, die Grenzgewichte o — x, 0 — x

so dass insbesondere , das Grenzgewicht o, und b, das Grenzgewicht 6

hat

Dann haben o der Wurzeln 2,1, %3,

Zıo0 von (6) das Grenz-

und die übrigen (r— o) das Grenzgewicht 0, wie aus

gewicht 1

$ 400 folgt

Es hat ferner die symmetrische Funetion

S(Zn Z12

zlr)

(Dı Z D

Z Dr)

das Grenzgewicht p-_o+1 + r—o+2 F + D,

Wir bilden nun die Resultante von (6) und (7)

(8) : fa(@ıı) fa (@a)

f a D

Die einzelnen

und suchen für sie das Grenzgewicht zu bestimmen

Summanden des ausgeführten Products haben die Form

(9)

babseb,

S

2“ ß 27

31 a E

)

Die Summanden der einzelnen Factoren rechts in (8) zerlegen wir ın

zwei Theile;

die ersten erstrecken sich vom Anfangsgliede bis b„,2°

D

die zweiten vom folgenden Gliede bis zu Ende

Tritt in einen Sum-

manden der Form (9) ein Glied der ersten Art ein (etwa « > 0),

wird das Grenzgewicht sicher nicht vermehrt, wenn man dieses Glied

durch das entsprechende b,z

ersetzt; denn das alte wiıe das neue b

haben das Grenzgewicht 0, und der Exponent von 2,,, der möglicher-

92

Achtunddreissigste Vorlesung $ 401—402.

weise beim Grenzgewichte mitbestimmend auftritt, vermindert sich.

’

Kommt ferner ein Glied der zweiten Art in (9) vor (etwa ß <o), so

wird das Grenzgewicht des Summanden sicher nicht vermehrt, wenn

auch dieses Glied durch das entsprechende b 29 ersetzt wird. Denn

der Exponent von 2,„, der möglicherweise mitbestimmend wirkt, wird

nur um so viele Eimheiten erhöht, als das Grenzgewicht des b, welches

sicher Einfluss besitzt, sich vermindert.

Daraus folgt, dass

(9*)

6 S(211%2 ' ı Aır)7

das niedrigste Grenzgewicht hat; d. h. o%’ ist das Grenzgewicht der

Resultante.

Dieses Resultat hätte sich kürzer aus $ 360 herleiten

lassen; die weiteren nothwendigen Folgerungen wären aber auf dem

dort eingeschlagenen Wege nicht zu erhalten gewesen.

Unsere allgemeinen Annahmen über die Grenzgewichte werden

durch die folgenden Festsetzungen nicht gestört.

Wir nehmen

04 — O40 + Agı @& '+‘ + az‚r-—zß'€_”‚ 0, = sz + Z)„12'2 + + b„‚8_„‚2"?'_‚—/,

schreiben statt f und f, jetzt

f& %) =2“xl A =0

(”+Ä=O;1;"'T)>

(10)

fa (& %) =szlzyi Z =0

Z

und geben den a,, (x + 21 > o) und den b,, (x + 1 > 06) die Grenz-

gewichte 0, jedem A,ı (x +21<0) das Grenzgewicht (0o— x — 1), und

jedem b„ı (x + 2 <o) das Grenzgewicht (60 — x — A); 2 Soll das Ge-

wicht 1 haben.

Dann besitzt die Eliminante R(z), sowie ihr absolutes Glied ın

den Coefficienten und in %, das Grenzgewicht 00.

Dasselbe

bleibt

gültig, wenn wir vermittels der Liouville’schen Substitution, unter

U, U Parameter verstehend, %= u 2, + W% in (10) einführen und

die Eliminante R(x) berechnen.

Setzen wir sie gleich Null,

x7'8+Alxrs—l__}_A2xrs—2_f___‚+Agaxglf+...+Ars=o’

so folgt, dass 06 der Wurzeln x das Grenzgewicht 1 und die anderen

das Grenzgewicht 0 haben. Gehen wir zu den z zurück, so finden wir,

dass beide Coordinaten für 06 der Wurzeln (Z1, 221),

das Grenz-

gewicht 1 haben, und dass bei den anderen die Grenzgewichte O auf-

treten.

Folglich hat

(11)

S(efi 2812

12 222

Da 92

)

(P1+%21’2+922"')

das Grenzgewicht

( (Prs—@ü4-l al Qrs—(’6+1> a (Prs—ea+2 Al q7‘s—96+2) an (Drs - Grs)-

Unendlich grosse Wurzeln. Vielfache Wurzeln. Unendlich viele Wurzeln. 93

Wir wollen hier gleich bemerken, dass wir für den Fall zweier

Variablen das zu beweisende Theorem hierdurch schon als richtig erkannt

haben, nämlich: Ertheilt man in (10) den Coefficienten solche

Grenzgewichte, dass bei den Gewichten 1 für z, und z das

Grenzgewicht von f; gleich o und das von f gleich o wird,

dann haben die Coordinaten von 96 der Wurzeln des Systems

fi=0, A=0 die Grenzgewichte 1.

$ 402. Wir nehmen jetzt noch eine dritte Gleichung zu (10) hinzu:

(12)

fla 2)= er

(x+’1=0;17"'t)

und geben den 6,; (x + 2>r7) die Grenzgewichte 0, den 67 (x + 2 <r)

die Grenzgewichte (v — x — A). Dann bilden wir wieder die Resultante

(13)

@9 Zu) Ma@ap Za) 99 fa(Zı,rs) Za,rs),

wobei die (217, zaı) die Wurzeln von (10) sind. Wir verfahren, um

das Grenzgewicht von (13) zu berechnen, genau wie ım vorigen Para-

graphen, indem wir die Glieder von (12) in zwei Theile theilen, deren

erster alle die enthält, bei denen x + 2>t ist. Tritt in einem Sum-

manden des entwickelten Ausdrucks (13)

CaßCyo : S(Aiı 20 Zla 2

)

ein Summand des ersten Theiles auf, so kann man iıhn ohne Erhöhung

des Grenzgewichtes durch einen solchen ersetzen, bei dem x + 1 = T

ıst

Das Gleiche tritt im zweiten Falle auf, aus denselben Gründen

wie oben, und so folgt, dass

OCnl 9° Aa Caln 29 an

(x + 1 =r)

das Grenzgewicht liefert.

Nach (11°) ist dies 06(x + 2) = 007.

Unsere allgemeinen Annahmen über die Grenzgewichte werden

Wir nehmen

durch die folgenden Festsetzungen nicht gestört.

0A42 — 0420 + A 21 &3 + S + U ar—4— L Z7:;_z—)'‚

bx). F bxl() + bx?„1 23 + E + bx,l‚s—z—?. ng_x_z‚

OR = O0 a BAn E Caa

schreiben statt fi, f‚ f3 jetzt

fı (&1> %, 23) =2“':4Mc Zn =0

(x + 2+u=0,1,...7),

(14) fa(%, %, %) :2bzl.u n =0

(“+Ä+“=071;"'8))

fa (8ı) 82y 2) = D urn ga =0

(x#+2+u=0,1,...%),

und geben den @,ı das Grenzgewicht o — (x + + w), falls diese

Differenz positiv ist, sonst das Grenzgewicht 0; ähnlich verfahren wir

94

Achtunddreissigste Vorlesung $ 402—404.

mit den b,zu, C,zu und den 6 — (x +1A + w®), z —(x + 2-+w); 2

soll das Grenzgewicht 1 haben. Dann hat nach dem obigen Resultate

die KEliminante R (z;) das Grenzgewicht oort. Dasselbe bleibt bestehen,

wenn wir vermittels der Liouville’schen Substitution %=u,2, + 42

+ u32 einführen, für R(x) und auch für ihr absolutes Glied. Daraus

folgt dann, dass octT der Wurzeln von (14) in allen ihren Coordinaten

Z,, %, @ die Grenzgewichte 1 besitzen. Folglich gelten, entsprechend

modificirt, die obigen Sätze über symmetrische Funectionen u. s. w.

In gleicher Weise können wir zu mehr Variablen aufsteigen.

Unsere Methode zeigt uns also die Gültigkeit des allgemeinen Satzes:

Geben wir den Coefficienten von

(15)

fl('äl7 29

Zm) = 0

Ü= 120° %)

solche Grenzgewichte, dass jedes f das Grenzgewicht o‚ er-

hält, falls man allen z das Gewicht 1 beilegt, dann haben

0102° 0Om der Wurzeln von (15) in allen ihren m Coordi-

naten das Grenzgewicht 1.

$ 403.

Von diesem allgemeinen Satze machen wir eine Anwen-

dung, indem wir alle diejenigen Coefficienten in jedem fz gleich Null

setzen, deren zugehörige Potenzproducte geringere Dimension haben als

02 beträgt.

Diese Coefficienten werden also bei der Berechnung der

Gewichte ausgeschaltet. Die übrigen Coefficienten setzen wır constant.

Tragen wir

(16)

% = %18 F Xoßa F 4 F KmEm

ein, und berechnen die Eliminante R(x), so ist deren Grenzgewicht

auch 0,0

° Om;);

da aber ’alle vorkommenden

Coefficienten

ganze

Funetionen unserer Constanten sind, so ist dies nur mögliıch, wenn

Glieder x*, bei denen 2 < 002 - - Om 1st, überhaupt nıcht vorkommen.

Das zeigt: Ist (0,0,-...0) eine o,-fache Wurzel von f7ı= 0

(Ä':1;27'

m), dann ist (0,0,-.-0) eine (0,02::-0Om)-fache

Wurzel des Systems (15).

Durch diesen Satz haben wir nur eine untere Grenze für die

Multipliceität angegeben.

Es lassen sich aber sofort Fälle construiren,

für welche diese Grenze nicht überschritten wird; z. B. für

(

292

Q 2

b

Z N

ı

sobald die c Constanten sind, deren letzte von Null verschieden seim

muss. Daraus schliessen wir: Das obige Theorem giebt die wahre

Multiplicität im allgemeinen Falle.

Was von dem Specialpunkte (0, 0, --- 0) bewiesen wurde, gilt,

wie man durch Coordinatenverschiebung erkennt, für jeden beliebigen

Unendlich grosse Wurzeln. Vielfache Wurzeln. Unendlich viele Wurzeln. 95

Punkt (g,, , ‘ Im), SO dass wir sagen können: Ist (g,, %, ‘‘ dIm)

m),

eine o,-fache Wurzel der Gleichung f; 0 0 Z

damm s e

Im) im allgemeinen Falle genau eine

(91 02

-- Om)-fache Wurzel des Systems (15).

$ 404. Endlich wollen wir den Fall besprechen, dass unser System

(1) f1(2'1,ß'2, "‘Z7“)=O; ﬁ3(21‚52,-"2’7„)=0,"-]('7„(21‚52‚ "Zm)=O

Die einzelnen Fune-

unendlich viele Wurzeln (2,, %,

Zm) zulässt.

tionen von (1) mögen durch vorläufige Transformation bereits präpa-

rirt sein ($ 340, 8 353, $ 355), so dass etwaige Zufälligkeiten, die

durch specielle Formen der f hervorgerufen werden, ausgeschlossen

sind. Wir führen etwa an Stelle von z mittels der Liouyille’schen

Substitution die Grösse

(16)

X — Kr + K9 %9 + An + Xn Em

ein und bilden die Eliminante R(x). Charakteristisch für das Vor-

handensein unendlich vieler Wurzeln ist es, dass R(x) identisch ver-

schwindet; d. h. alle in R ‚auftretenden Coefficienten müssen unabhängig

von den Werthen der x für sich gleich Null sein. Dasselbe gilt dann

auch z. B. von R(z„); also kann man dem z jeden beliebigen Werth

Zm geben, und zu ı1hm Systeme (Z,1, Z1, : Zmı) bestimmen, welche (1)

befriedigen.

Wir können dies auch so auffassen, dass wir in (1) die

Grösse z als Parameter denken und dann die Resultante R (z„) bilden.

Diese ist der Annahme nach gleich 0; sonach besitzen die Gleichungen (1)

für jeden Werth des Parameters z gemeinsame Wurzeln.

Es möge daher jetzt z unbestimmt. bleiben.

Wir setzen nun

(16°)

Xı — 8 + X99g + N + Xm—1@&m —1

und führen dies statt z im (1) ein.

Aus je (m — 1) der Glei-

chungen (1) bilden wir die Eliminante nach x,. Dann können zwei

Fälle eintreten: entweder nicht alle diese Eliminanten verschwinden

identisch; oder alle diese Eliminanten verschwinden identisch. Hier-

durch wird, je nachdem dieser oder jener Fall eintritt, das System (1)

yerschieden geartet sein.

Es sei zunächst ein R(x,) nicht identisch = 0, etwa das aus

fi=0, R =0, ... fa =0 gewonnene. Dann wird durch die Auf-

lösung von R(x,) = 0 jede Wurzel von (1) erhalten werden können.

Die Coordinaten (21,

917

Zin—1,1) treten dabei i. A. als Funetionen

des Parameters 2„ auf; es kann aber auch vorkommen, dass R (x;,)

Faetoren enthält, deren Coefficienten von dem Parameter 2,, unabhängig

sind, und dann treten neben die Lösungen erster Art

96 Achtunddreissigste Vorlesung $ 404—405. Neununddreissigste Vorlesung $ 406.

211 = O1 (@m),

%ar = Oa (&m),

m —1,1 — Pm — (Zm) 5 &m

Lösungen zweiter Art, in denem alle Coordinaten feste Werthe haben.

$ 405. Ist zweitens jede der ım möglichen Eliminanten R (&x,)

identisch Null, so ist dies auch z. B. mit jeder Eliminante J (@)

der Fall; also kann man dem 2„_, jeden beliebigen Werth ertheilen

me2‚ 1) be-

und zu den willkürlichen Zm_—1, m Systeme (Z,1, Zoı),

stimmen, welche (1) befriedigen.

Wir betrachten jetzt Zm—1 Und Zm

als Parameter und setzen

(16”)

%o — H14 + X99 + SB + Xm —2 2m —2 5

dieses %, führen wir an Stelle von Zm—2 iM O en A 2)

der Gleichungen (1) bilden wir die Eliminante nach %. Dann können

zwei. Fälle eintreten: entweder verschwinden nicht alle diese 5- m (m — 1)

Eliminanten identisch; oder sie verschwinden sämmtlich identisch.

Es sei zunächst ein R(x,) nicht identisch = 0; dann wird durch

die Auflösung von R(x,)= 0 jede Wurzel von (1) erhalten werden

können.

Die Coordinaten (Z11, %1)

Zm—,1) treten dabei 1. A. _ als

Funetionen beider Parameter auf; dann werden 2,,

Zm—2,1 Fune-

Es kann aber auch vorkommen, dass R (z)

\MOMEM. OM Z O Z

Factoren enthält, deren Coefficienten nur von einem der beiden Para-

meter, etwa von Z abhängen; dabei werden durch Vermittelung von

%, zuerst Z11, Zaı,

** Zm —2

ı Funetionen von 2„; und weiter liefert eine

beliebige der Gleichungen (1) auch 2m—1,1 als Funetion von Z„. KEnd-

lich ist es auch möglich, dass R(x,) Factoren besitzt, die von beiden

Zm1 Constanten.

Parametern frei sind; dabei werden 2,1, %,

Die Charaktere dieser Lösungen sind also:

I) BId F Ü1 (f%n—l‚ Zm),

5m—2‚1 GE 1P71L—2 (5m—17 Zm); Zm-—1; m beheblg

I) 24 = %ı (Zm),

Anl (z'm 5 Zm beheblg

IIT) 211 %1,

Zm1 fest. —

In. solcher Weise kann man fortfahren.

Kronecker hat diese Unterscheidungen zuerst scharf durchge-

führt*). Die hier benutzte Methode leitet uns sofort zu den Resultaten

des allgemeinen Falles.

Wir nennen mit Kronecker das System (1)

ein System m*“ Stufe (oder m' Ranges), wenn R (zx) nicht identisch

verschwindet, wenn also sämmtliche Wurzeln feste Coordinaten haben,

oder, was das Gleiche besagt, wenn sie eine Mannigfaltigkeit 0‘° Di-

mension bilden. — Das System (1) heisst ein System (m— 1) - Sbuke

*) Grundzüge einer arıthm. Theorie u.s. w. J.f M. 91 (1881) p. 1, S21 VL

Vgl. auch Molk, Acta math. 6 (1884) p. 1, Cap. IIL

Elimination. Be&zout’sche Me-tho de.

O

(oder (m— 1) Ranges), wenn R(x)= 0, aber ein R (x,) nicht iden-

tisch. Null ist.

Dann bilden die Wurzeln eine Mannigfaltigkeit erster

Dimension; kommen ausser diesen keine anderen vor, so ist das System

ein reines System (m—1)“" Stufe; kommen noch andere mit festen

Coordinaten vor, dann ist das System ein solches (m—1)'” Stufe

gemischt mit einem System m” Stufe. — Das System (1) heisst

ein System (m—2)'" Stufe (oder (m — 2)”" Ranges), wenn R(x)=0,

alle R(x,)= 0, aber ein R(x,) nicht =0 ist. Dann bılden die Wur-

zeln eine Mannigfaltigkeit 2° Dimension; kommen ausser diesen noch

andere vor, die eine Mannigfaltigkeit erster Dimension oder solche, die

eine Mannigfaltigkeit nullter Dimension bilden, dann heisst das System

ein gemischtes (m — 2)“" Stufe. — Ebenso bezeichnen wir (1) als Sy-

stem A*r Stufe, wenn die Wurzeln eine Mannigfaltigkeit (m — k)*"

Dimension biılden.

Ist keine weitere Wurzel vorhanden, so heisst das

System ein reines; treten Wurzeln auf, welche zu Mannigfaltigkeiten

niederer Dimension zusammentreten, dann ist das System ein ge-

mischtes.

Es ist nicht immer möglich, Mannigfaltigkeiten (m — k)'“" Dimen-

sion von m Variablen durch % Gleichungen dieser Variablen rein dar-

zustellen; also es ist etwa für m=3, k=2, um geometrisch zu

sprechen, nicht möglich, durch zwei Gleichungen zwischen 2,, %, %z

jede Curve dritter Ordnung rein, d. h. ohne fremde Punkte als Schnitt

zweıier Flächen zu bestimmen.

K M HNR

Neununddreissigste Vorlesung.

Elimination.

BeEzout’sche Methode.

$ 406.

Die Darlegungen der siebenunddreissigsten Vorlesung

haben uns gezeigt, dass das Problem der Elimination mancherlei

VUeberlegungen und Vorbereitungen zu seinerBewältigung bedurfte;

da liegt die Frage nahe, ob nicht die stufenweise Entfernung von

m Variablen 2,, %,

Zm &us den (m —+ 1) Gleichungen

(1)

fl %,

Z zm+1) =@

(Ä=17 2; }

m + 1)

rascher zum Ziele geführt hätte. Wenden wir die Methode der Elimi-

nation einer Variablen, z. B. z, auf die m Gleichungspaare

f1=07 f2=05

f1=07 f:%=05

; A=0, a = 0

an, dann erhalten wir m Gleichungen mit den m” Unbekannten DE

7307

Zm-41+. Diese Gleichungen‚ welche wir mit

Netto, Algebra. II.

7

98

Neununcidreissigste Vorlesung $ 406—407.

9172 (227

Zm—]»1) =0 ’

I1,m-+1 ('‚5'2;

An +1) —0

bezeichnen, sind von den Dimensionen %,%,, ; N3, : Nı Nm-+1, falls die

Dimensionen der f wie gewöhnlich mit %,, %,

Nn +1

bezeichnet

werden. Eliminiren wir hierauf ebenso z aus den (m — 1) Gleichungs-

paaren

I1 = 0, 913 = O;

9ı,2= 0, ı4 = ©°

912 = 0, Ium-+ı = 0,

Zm41 von den

dann ergeben sich (m —1) Gleichungen in , Z,,

Dimensionen %” n,N3, N4 N,N4,

N NaNm-+13 und fahren wir so fort,

dann erlangen wir zwar eine Schluss-Eliminante, die nur Z 41 ent-

hält; aber ihre Dimension

am —1

aM—2

1

N

.Nz

Yn

7Z?‚? ° Nm-Aı

ist, wie wir bereits wissen, viel zu hoch. Wir haben nämlich bei

dieser successiven Elimination zu beachten, dass die Regel über die

Gradbestimmung der Eliminante sich nur auf allgemeine Gleichungen

bezieht; Functionen wie gı,2, 91,3,

sind aber offenbar nicht allge-

mein und auch nicht unabhängig von einander. Es kann und wird

demnach schon hier eine Verminderung der Dimensionszahlen ein-

treten. Andererseits ist es aber auch ersichtlich, dass wirklich fremde

Wurzeln in die Schlussgleichung eingehen werden. Denn wenn Z. B

das System vorliegt

fl %> %) = 0 a@5 Z a)y= 0, @> Z 2)=0,

R f = I0s(%, 2)=0, Bafı > 9o(2, 2) = ©

R931 92 (Z3) _ 0 2

dann wird zwar für jede Wurzel & von Ro,p(%)= 0 ein Werth

Z = G& bestehen, so dass die beiden Gleichungen

93(&, &)= 0, 9a (&2, &)=0

befriedigt sind, und ferner deswegen zwei Werte &,, &,, so dass auch

f1(g1‚; €2; ;3)=0; f2(€19 C2) g3)=O 111']d fl(;1//7 €2) g3)=0} f3(C1„) g27 C3)=O

wird; aber C6 &) 6 möglicherweise keine Wurzel von f>= 0,

und (&

©2 6;) kamo yon n= Auch durch die Combination von

lässt sich dieser Uebelstand nicht beseitigen; denn

un z

es ist möglich, dass ein (&

&, &) die Gleichungen f — O; / - 0

befriedigt, die Gleichung fi= 0 dagegen nicht.

Wir wollen dies an einem Beispiele durchführen. KEis seien die

drei Gleichungen vorgelegt

fı

512*321+52+53+2=07

f3

512+5123+/72_1=0>

EL

E

f3

—

A —2=0;

Elimination.

BeEzout’sche Methode.

99

dann ergiebt sich bei der Resultantenbildung

Rafı = Iı2(%, %) = (& + %) (@% + 3)°,

Ra = 9a3l%, %) = (% — % — 1) %(& + 1),

Rpyp = Iı,3(%, %) = 4(% + 22 + 2°);

R(g1,8, 9e,5) = Mo(%z) — ost. 2 (4 +1) 22 +1),

R(g1,2, Iı,3) = hl1 (2) = est. _Z'3 (@% = 1 @” + 3?3 — I

R(g1,2, 92,3) — I9 (%) Z (& +1).

Es kommen also nur die beiden Werthe z =0 und @2= —1 in

Frage, da’diese allein alle drei Gleichungen h, =0, h2= 0, h=0

befriedigen.

Der erste Werth giebt aus den g als gemeinsame Wur-

zel von

0 = 0,

0=0, 44 =0

das Resultat z , =0. Aber für 2 = 0, z = 0 gehen die f über ın

A

f=4 —3, +2=0

h=24?—1=0

f3

A —— 2=0

E

RE

=

= (# — 1)(#4,—2)

C —0a1

@ =2) @ -41)

so dass der oben als möglich hingestellte Fall hier wirklich auftritt.

Dagegen liefert z = —1 zuerst %, = 1 und dann z,= 1, und die

einzige Wurzel des gegebenen Systems wird (1, 1, —1).

$ 407. . Unter solchen Umständen hat die Vermuthung Manches

für sich, dass dieser letzte Uebelstand durch die schon früher als vor-

theilhaft erkannte Liouville’sche Einführung von

X = 48 + %% F : + m- Em- ‘

an Stelle von Z„+1 sSich heben lasse.

In der That folgt aus dieser

"Transformation, wenn wir die umgewandelten Gleichungen bei x = 2 mit

981 %, %)=0; Iı (&,, %, x%)=0,

93(217 Za x) =0

bezeichnen,

Bayg (X,%) =h =0,

Royg (X, %)= 42 =0;

Rın m (@) = k (@) = 03

es wird also jede Wurzel von %= 0 direct eine gemeinsame Wurzel

liefern, wenn sie gleich x 2, + %22 - %;2, gesetzt werden kann. Aber

hier tritt der Umstand ein, dass dies nicht bei jeder Wurzel x von

k=0 der Fall ist; und dadurch unterscheiden sich gerade die Wur-

zeln des Systems fi=0, fi=0, f;=0 von den fremden Wurzeln,

dass für jene die Liouville’sche Form vorhanden ist, für diese da-

gegen nicht. Scheiden wir alle diejenigen Factoren von k(x)=0

aus, deren Wurzeln nicht in der Liouville’schen Form darstell-

bar sind, dann bleibt die reine Eliminantengleichung zurück.

m

(

100

Neununddreissigste Vorlesung $ 407—409.

Ein Beispiel möge auch diese Verhältnisse erläutern. Wir nehmen

&r

33=O7

2 —42=0,

2 —1=0

und erhalten durch 2 = %,%, + %% -+ @ die Gleichungen

2

1Z0

(# — 1)2, + %% 4 %— 0, %B A ( — 1 - —0, Z

Durch Elimination von z, ergiebt sich

(%982 + @)* — (1 — 1)* = #p"22” A 242 - Z FÜa =0,

(((

1)2 + — 1} > ( — 12 ( — 1)n : 2 — =0;

und weiter durch Elimination von z als vorläufiges Eliminationsresultat

* — [(x1 %g — %1 — %9 1 A , I — Ma

+ [(2x1%2 — %1 — % + 1)(4, + %a — D =0:

Diese Gleichung zerfällt ın

* — ( + %@ — 1 = 0

und

C AT % + 1) —0,

deren erste die Lösungen

.’D/=%1—}—x2—1‚

W —1

und also

(8”, 4, A )=(0,1, D

(51,; 52,; Z3/) A (_ 1, "—17 N 1);

liefert, während die zweite die Wurzeln

a = — Q, % F %r

—}—x2——i

%' — Quı% — — %+ 1,

ergiebt, von denen aus ein Uebergang zu den 2,, %, %3 nicht möglich ist.

$ 408. Solche Ueberlegungen veranlassten B6&zout zu dem Aus-

spruche, „dass man die schliessliche Eliminante wahrscheinlich nur

dann frei von

fremden Wurzeln erhalten würde, wenn es gelinge, alle

Unbekannten mit Ausnahme einer einzigen gleichzeitig aus den Vvor-

gelegten Gleichungen ZU

ı eliminiren

«“#), Er war dann auch der Erste,

hode veröffentlichte**) und das nach ihm be-

welcher eine solche Met

nannte Theorem aufstellte und bewies. Seine Methode trägt über die

sogenannten allgemein

en Gleichungen hinaus. Wir wollen ihre Grund-

Einige Vorbereitungen haben wir bereits in der

züge jetzt darlegen.

dreissigsten Vorlesung gegeben, und ein

e weitere soll jetzt hergeleitet

werden.

en von m Va-

$ 409. Es seien ” allgemeine vollständige Funetion:

riablen 2,, %,

Zm gegeben

(Dimension von fy sei Na; &« — 1 Q 0 MS

(1) f“('zl7 y Z„»,)

ä l’usage des Gardes du Pavillon et de la Ma-

*) Cours de MatheEmatiques

rine p. 209, 210.

Paris 1779.

#%) Th6orie gEnerale des 6quations algebriques.

Elimination.

BeEzout’sche Methode.

101

Eine weitere noch unbestimmte, allgemeine, vollständige Funetion der-

selben Variablen , habe die vorläufig noch nicht näher bestimmte

Dimension %.

Wir suchen Factoren %,, %,

- @m auf, die gleich-

falls Funetionen von 2,, %,

Zn und zwar so gewählt sein sollen,

dass das Aggregat

(2)

f0 + q)lfl + “P2f2 + E + (me;„

Zm—ı1 freiı wird und nur

von den ersten (m — 1) Variablen Z,, %,

noch die letzte z enthält. Die Dimensionen von %,, %,: : - m nehmen

wir dabei gleich % — %1, %— %,

No — Nın, SO dass alle Sum-

manden in (2) dieselbe Dimension %, haben. Wir behandeln das Pro-

blem so, dass wir (2) nach seinen verschiedenen Potenzproducten von

A, %)

Zm—1) %m entwickeln und alle die Coefficienten gleich Null

Um

setzen, die zu positiven Potenzen von Z,, %,

Zm— gehören.

dabei zu verhüten, dass (2) identisch verschwindet, schreiben wir dem

Coefficienten einer der Potenzen von z noch einen Werth c=+0 vor.

Nun hat nach $ 329, (2) unser Aggregat

m +1) - (m + m) A

No F m

N ( m)=

1.2...m

(

m

)

Terme; von ihnen müssen alle, ausser denjenigen mit 1, %, Zu, *' —-.z,'ff‚

getilgt werden; dies giebt

N (m, M) — (n + 1)

Forderungen. Endlich ist noch einem der Coefficienten, etwa dem von

Es sind deshalb

Zu, der Wert c vorgeschrieben.

(3)

w + mM

N(n,, m) — w = (

m

)—no

Bedingungen zu erfüllen.

Die Form dieser Bedingungen ist leicht zu erkennen.

Wenn wir

die Coefficienten der f„ mit ax2, die des fy mit c, und die unbekannten

Coefficienten der g mit uz bezeichnen, dann sind es lineare Gleichungen

von der Form

Anı Ur A Aa A G = 0

oder kürzer

Ül+01=0‚

2

V

Ü:2—}T02=0‚

Wir müssen nun auch die An-

deren Anzahl durch (3) bestimmt ist.

zahl der verfügbaren Unbekannten w aufsuchen.

Da „ die Dimension % — N besitzt, so ist die gesuchte Zahl

(3°)

(@= 120 )-

; N (ny — Na, M)

KEs handelt sich nun zunächst darum, %, so anzunehmen, dass der

102

Neununddreissigste Vorlesung $ 409—411.

Werth von (3*) demjenigen von (3) mindestens gleichkommt.

Diese

Aufgabe ist durch die Formel (11*), $ 333 bereits gelöst; sie lautet

SE

i=1

Setzt man also % = , M - Nm, dann ist

(5) Ea N(n, N: Nm — Na, M) > NN No *+ Nom, M) —N N Nan

Es reicht daher aus, wenn als Dimension von f das Product

aller Dimensionen der fi, fo,

: fm genommen wird.

$ 410. Dadurch, dass in (4) die Anzahl der Unbekannten w die-

jenige der Gleichungen übertrifft, ist aber die Lösbarkeit der Aufgabe

noch nicht verbürgt.

Denn es wäre möglich, dass die linken Seiten

der Gleichungen (4) nicht von einander unabhängig sind, und es wäre

weiter möglich, dass die von einander unabhängigen Gleichungen (4) sich

widersprechen.

Sobald aber für eine besondere Annahme der Fune-

tionen fi,f, : fm bei unbestimmten c, eine Lösung nachgewiesen

ist, können wir den Schluss ziehen, dass auch im allgemeinen Falle eine

Lösung besteht.

Im allgemeinen Falle ist nämlich die Lösung dann und nur dann

unmöglich, wenn bei unbestimmten c, eine Gleichung

(6)

”151+“252+"'+”9Ü9:O

besteht, in der die x von den Variablen frei sind. Die x sind auf

mancherlei Art als Subdeterminanten des zu @,, @,,

gehörigen

Coefficientensystems frei von den C darstellbar. Diese können bei be-

sonderen Werthen der aı sämmtlich verschwinden; das ist dann ein

Zeichen dafür, dass schon zwischen einer geringeren Anzahl von @

Relationen bestehen.

Bleiben die c unbestimmt, so ist dieser beson-

dere, wie jener allgemeinere Fall von Relationen ausgeschlossen, sobald

die Gleichungen für specielle Annahme der f lösbar sind. Sind da-

gegen die c gegeben, so könnte wohl die allgemeinere Relation (6)

den gegebenen Werthen der c widersprechen, während die besonderen

neuen Relationen keinen Widerspruch finden würden. Darin liegt der

Grund, bei den beweisenden Beispielen die c unbestimmt zu lassen.

Wir wollen das Besprochene an einem Beispiele erläutern. Es sei

das System gegeben

2

, = (1 + «)2 + (l + 30)% 4 (1 — &) 2

A

®:

2

(1 —02 + (1 +202+(1—40)4=2,

®

Il

Za

A= 1

.

7

3

Elimination

BeEzout’sche Methode

108

-

hier besteht zwischen den drei

(

die Relation

(7)

(1 — «)x, — (1 + «)w + (« + 50) z = 0

da aber im Allgemeinen, d. h. für unbestimmte «

a 2L

«):2+(« + 5&0«) - 1+0

wird, so ist im Allgemeinen das System der obigen drei Gleichungen

nicht lösbar

Benutzen wir aber gerade die Beziehung

Z

—(1+«x): 2+(«+50w) : 1=0

zur Bestimmung von «, so folgt, dass für @ — O' und für %— — dıe

Relation (7) identisch befriedigt ist; allein an ihre Stelle tritt für

U = —

die Relation

0, — 4 + 300;= 0

/

und also. ist das besondere System auch jetzt nicht lösbar; und für

x=0 die Relation

, — @ =0

so dass dieses besondere System eine Lösung hat, obwohl das allge-

meine nicht lösbar ist. Auf diese Verhältnisse hat Herr C. Schmidt

Zur

"Theorie deır

Elimimation

Schlöm. Zeitschr. 31 (1886), p. 214

zuerst aufmerksam gemacht

Um die allgemeine Lösbarkeit des Systems (4) nachzuweisen, reicht

es somit aus, sie für irgend eine besondere Wahl der f bei unbestimmt

gelassenen c‚ darzulegen

$ 411

Um ein solches Beispiel zu liefern, setzen wir*)

fi= u —0

@

Z — %y

m—

=%

7ln

f7u—1 KW ?

M— 1

—OR

f

M

Zm—1

Diese Funetionen verwenden wir zur Reduction einer allgemeinen Func-

tion f von der Dimension (n

Nm) mit unbestimmten Coeffi-

cienten

Zunächst dividiren wir f durch f, bis ein Rest f

bleibt

der in Z nicht bis zum Grade %„ aufsteigt

Der Quotient steigt bis

zur Dimension (%, - 1

%0

72lll

auf: wir

nennen ıhn

m und

haben

fo + 1/anfm —f

Die Dimension von f ist nicht grösser als (n

Noyı)

Wir diyıidiren

f durch fr—1, bis ein Rest @ bleibt, der in 2 nicht bis zum

Voy—

Grade %„ _ aufsteigt. Den Quotienten, dessen Dimension (N1-Nop)

nicht übertrifft, nennen wir

Un und haben

2)

%

AL LD

fo + wm—1fm öl + Ümfm S

“ © Schumaiet, IL e

, p-. 218 macht die Ueberlegungen in der ﬁ.ngefuhlben

Weise am oben benuimten Belsplele

104

Neununddreissigste Vorlesung $ 411—413.

Da die letzte Division einzeln in allen nach %, geordneten Gliedern

ausgeführt werden kann, so ıst in dem Grade nach %„ keine Aenderung

eingetreten, und f@ steigt in Z und z höchstens bis zu den Gra-

den %n — bezZwW. Nın.

Fährt man weiter so fort, dann gelangt man zu

dem ersten Resultate:

<8) fo 9r Oaa f Oala Ar 099 AF 1mem=2dh' 5';12].? . Z‚f;;” (h„< 7@„).

Nach diesen vorbereitenden Vereinfachungen reicht es also aus,

h

das allgemeine Glied z 7...

Z

z behandeln, in welchem jedes hy < Nx

zu nehmen ist, sonst aber einen beliebigen posıtiven Werth haben kann.

Aus der Form von fz folgt

f2 S [ZZQ(/„——1) AL Z;Lﬂ(h1_ ‘.>)Z1 + ... + z 21;1«2 + Zlil—1] J ZZzl„ F .Z’;l,

so dass wir in dem zu reducirenden Gliede

Z’;‘ =— Z’_31"2 — f2 s [zäz("l‘“ ._l_ 5 + 37;1—1]

setzen können.

Dies geht dadurch in die Form

(9)

Z’.;* Na hz Z’ia

X th

m

+ T

über, wobei 7, als Dimension besitzt

n (h, — 1) F F 4An < — N F MNag + Nm F AoNgN

** Y +

< —M + (n —1)%N Nnı (No—1)% Nı NF

Zn Nm)

N,

Tragen wir also die Reduction (9) in (8) ein, dann können wir links

(%

T,) statt &, schreiben, ohne die Dimensionsvorschriften zu ver-

letzen.

Jetzt setzen wir ähnlich auf Grund der Form von f;

g'_;x"2+’ä — g’?"z":+”z"z R f3 S [g%z("1'”a+’h““ + EB + z%1"2+712_1],

tragen dies in (9) ein und erhalten statt 212 ‚z 'm die Form

i

(10)

g’_31 Na R3 F o R3 F3 , g7iq

Z,h‚l”+ a I A e

Dabei besitzt 7, als Dimension

N (Aınz F A — 1) + A + + A A

<—Nz + Ar NaNgz : Nın — aMa s Nn + AzN, + Nım F

< MNg + (M—1)NN3 - Mom-A (1 — 1) N4 m A (3 — 1) 24 mF

<n Na - + : Nm)

V3

Also auch jetzt können wir, da die Dimension gewahrt bleibt, bei der

Eintragung in (8) das 7, zu dem %; ziehen. So gelangt man schliess-

lich zu der geforderten Reduction und Elimination

Zf/‘;;"z"z'"7Lm+71271:'“"m+"'+hm + f2 ‚T2 + f3 T3 + O + fme.

]

Der Exponent von Z erreicht höchstens den Werth (%,N - Nm)

so dass also wirklich die Reduction abgeschlossen ist.

Elimination. Bezout’sche Methodc.

105

$& 412.

Wir können nunmehr den Satz aussprechen: Sınd

(D

C

(Dimension von fz ist n„; «=1,2,...m)

allgemeine Functionen der m Veränderlichen z, dann lassen

sich eben so viele Factoren

Da (21, %, * Zm) der Dimension (1 - Nm)

Na

derart herstellen, dass wenn f eine allgemeine Funection der z

von der Dimension (n,n, - N) bezeichnet, das Aggregat

(2)

eine Function von 2 allein wird. Setzt man jetzt, was ja erlaubt

ist, alle Coefficienten von f gleich Null, während die fi,-::fin allge-

meine Funetionen bleiben, dann folgt: Bedeuten die f in (1) all-

gemeine Functionen, dann kann man die @, so bestimmen, dass

(11)

Yıfı F Pafz F : A mfn = G(Zm)

d. h. eine Funetion von z allein wird, deren Dimension das

Product der Dimensionen der fi, ßh,

fı nicht übersteigt.

Geht man endlich von (11) zu speciellen Functionen f und bedenkt,

dass dafür gesorgt ist, dass G nicht identisch verschwinde, dann folgt:

Auch für beliebig vorgelegte besondere Functionen fz gilt

der letzte Satz.

$ 413. Wir wollen nun annehmen, es wäre möglich, auf zwei

verschiedene Arten solche Eliminanten

(11)

O D

(12)

w1fl + 1P2f2 + V + wmfm SA H(Zm>

herzustellen, wobei aber über die Dimensionen der @,, : m5 ı,' Um;

G, H nichts vorausgesetzt werden soll.

Angenommen, der Grad von

G ist nicht kleiner als der von H, dann kann man durch Division

G('ij F H(Zm) 9 Q(Z'm) + K(Zm)

-

erlangen und ‚demgemäss aus (11) und (12)

Q ; w;„) fm x K(Z‚„)

herleiten.

Gesetzt nun, H sei die niedrigste nicht verschwindende

Funetion, welche einer solchen Gleichung wie (11) genügt, dann zeigt

(13), dass X identisch verschwinden muss, d. h.: Alle Funcetionen

G(Zm), die sich in der Form (11) aus fiz y herleiten lassen,

sind Multipla einer gewissen Funetion niedrigsten Grades H.

Ist nun etwa G=H-@Q, so tritt an die Stelle von (13)

(18°)

(1 — Q‘l’1)f1 + (g

Q$2)f2 + Jal + ((pm H Qd’m) fm (

106

Neununddreissigste Vorlesung $ 413—415.

Diese Gleichung kann nun entweder so erfüllt sein, dass jede der

Klammern gleich Null ist, x = Qw%. für jedes «, oder dass eine Be-

ziehung

d

(14)

%1f1‘1'%2f2‘f‘“}‘%;; f

1

7L=O

mit nicht verschwindenden Coefficienten y besteht. Nur wenn eine

Relation (14) besteht, ist es möglich, eine Function G(z„) auf mehr-

fache Weise in der Form (11) darzustellen. Von der Existenz solcher

Relationen überzeugt man sich leicht; es reicht z. B. U Y = 9a

% =—fi und alle anderen %= 0 zu wählen.

Auf die allgemeine

Herleitung derselben gehen wir später ein.

Wir können jetzt beweisen: Bei allgemeinen Functionen

fal&,, - &m) giebt es kein G-(Z.) von geringerem als dem

(N, - M -Nm)” Grade, so dass bis auf einen constanten Fac:

tor G(Zm) eindeutig bestimmt ist

G (Zm) ist irreductibel.

Gäbe es nämlich ein H(z„) von geringerem, so sei es zugleich von

möglichst niedrigem Grade; dann wäre G ein Vielfaches von H. Es

reicht also aus, an einem Beispiele nachzuweisen, dass G für einen

besonderen Fall nicht zerlegbar ist und den angegebenen Grad hat,

dann ergeben sich die obigen Sätze daraus ohne Weiteres.

Unser

voriges Beispiel ist auch für diesen Zweck ausreichend. Wir setzen

a

I 17

f2=zl‚fg‘ 15

(p2 — z7212('”1_1) —|—. g7lli(" _2)51 _I_ ON etS _I_ z71h_1 ;

f3 — z’fz — A D =52:("2"1_1) + 5?3(712."1—.'2)2i'2 + Ö + z’_ji2”1._l.‚

—

fı

f/7111 C

fid —_ W, fa —a Dn

gıfı + Dafe F + + Omfın = Z m — @.

Dieser Ausdruck hat den vorgeschriebenen Grad und ıst für ein all-

gemeines @ irreductibel, weil er in a linear ist.

Es möge hier nochmals hervorgehoben werden, dass zwar G(2,)

bestimmt ist, dass aber die @ verschiedentlich gewählt werden können.

$ 414. Die in $ 412, (11) gefundene Funetion lässt sich noch

von anderen Gesichtspunkten aus betrachten.

Sind die Gleichungen (1)

vorgelegt, und bedeuten

(‚2‘11 ? Z21 ’

Zm1) ’

(Z12 > %27

m 2) ’

An (2'17„«‚ Zakı

Z k).

ihre gemeinsamen Wurzelsysteme, dann wird gemäss (11) die Funetion

G-(Zm) für jeden der Werthe 2„1, Zm,2,

Zmx den Werth Null annehmen.

G verschwindet also zugleich mit allen fx, und es kann G= 0 des-

Jedenfalls

halb als eine Folge der Gleichungen (1) angesehen werden.

kommt daher das Product

Elimination.

Bezout’sche Methode.

107

(Zm v Zm1) (Zm a Z7n2) O (Zm K ka)

als Factor von G(z„.) vor.

Nach der Theorie der symmetrischen

Functionen mehrerer Variablenreihen ist dieses Product durch die Coef-

ficienten der f„ rational darstellbar. Es müsste also &, wenn es nicht

jenem Producte bis auf einen von z unabhängigen Factor gleich ist,

zerfallen. Das ist nach den Ergebnissen des vorigen Paragraphen nicht

möglich. Folglich ist

G(Zm) = est. (%n T7 O 1) (Zm RSN Zm2) S (Zm 5 ka);

b a

Vrn

Damit ist die Uebereinstimmung von G(z„) mit der Eliminante

R(zZm) nachgewiesen.

Es ist aber wohl zu beachten, dass wir bei

der Benutzung des Satzes aus der Theorie der symmetrischen Fune-

tionen schon die Kenntniss eines grossen Theils der früher abgeleiteten

Resultanteneigenschaften vorausgesetzt haben. Es ist deshalb sehr wün-

schenswerth, die B6&zout’sche Theorie durch den Nachweis des letzten

Satzes unabhängig von Früherem vollständig zu machen, indem wir zeigen,

dass zu jeder Wurzel 24 von G(z„) = 0 Coordinaten Zie, 0,

Zm—1,@ gefunden werden können, so dass (Zıu, 22a Ema) eine

Wurzel von (1) ist.

.

B6zout hat die Nothwendigkeit dieses Nachweises nicht bemerkt

’

auch Liouryille hat sie übersehen; Serret*) giebt einen Beweis, der

freilich den Satz versteckter Weise schon als richtig voraussetzt. Herr

C. Schmidt hat (l. c.) einen Beweis geliefert, den wir mit einigen

nothwendig erscheinenden Änderungen folgen lassen wollen.

Wir setzen als Liouville’sche Substitution an

$ 415.

(15)

&% — KL& + X92 + DA + Xm—1@%m —1 + Am >

in welcher wir der Einfachheit halber den Coefficienten von 2 gleich 1

nehmen; in alle fx tragen WIr 2 = % — X1Z

ein und erhalten

dadurch die Umwandlung

f€!(zl7 227

% 2//L) 5 !/a(31‚ o Zm—l; x)

(@= 1 Q 00 0)-

Das B&zout’sche Verfahren

lieferbt dann bei

der Elimination von

A\) 227

Zu—1 eine Gleichung von der Form

; Va(@, m— 1 OIa& m; 0) = Hlx) (@«=1,2,...m).

Trägt man hier umgekehrt (15) ein, so gehen die g„ wieder in die f,

über, die von %,, %, - - %m— frei sind,

(16> ;7%0: (51;' ‘Em) x„)fa (21 ‚"'Z‚„>=H(%lß'l+ "'+”m—l val+ Zm)} %1;"'>'

xr

N

*V) Corur_s d’algebre superieure; 3. Aufl. Paris 1866. Bd. 1, p. 162.

108

Neununddreissigste Vorlesung $ 415—416

Nun entwickeln wir nach den x zuerst

Pa + (‘Pa1 X + + Pam—1 %m‚——l) +

(@= 12

m)

(” X>

=

O(x) + [H (.’ÄC) X + + En—1(x) Xm 1J +

und dann weiter

Ha(@)

H (-—*m) + Ha(zm) [Ä1 %1 + + Zm —1 * %m 1J +

Tragen wir dies Alles in (16) ein und vergleichen die Coefficienten

MOM

%m— ı und die von den x unabhängigen Glieder, bedenken

dabei aber zugleich, dass für %, = %,

= Xn —1 = 0 das % zU Z

und also Ho(x) zu G(z„) wird, so entsteht

q)1fl + (p‘)ﬁ’ + + ‘mem - G(Z‚„)‚

Yufı F Pıafz + A Oal = AA (@) F LEn (@x)>

(1

q721f1 + %2f + + ‘P9mfm

2 G (;',„) + H, (z‚„)‚

‘pm—l 1f1 + + (pm—l mfm = Z G(Zm) + -H;u 1(-%n)

Bezeichnen wir die Determinante der @ auf der linken Seite von (17)

mit A, so folgt, dass die m Producte

Z

Zr

f mM

lineare ganze Funetionen der m Ausdrücke

G(@),

2 G' (Zm) + H, (2m) ,

Zm— 1 G (Zm) + IIm—— 1 (Z7„)

sind

Wenn also z„1 als Wurzel von G(z„) = 0 genommen und

Jal @

Jäl

Zu1

m1>

Äm —1, 1

1 (Zm 1)

G (Zm 1>

GL

gesetzt wird, so ist das System (1) befriedigt, falls durch diese Sub

stitutionen A einen von Null verschiedenen Werth annımmt

Zu be-

achten ist, dass G-(z„) irreductibel ist ($ 413), also G'(zm1) =+= 0 wird

Wir haben demnach zu beweisen, dass A durch die Substitutionen

Jal

H, (2,)

N

7

N 1( m>

(18)

Zr

CC

Zm—1

G @

7)7‚>

einen Werth annimmt, der durch G(z„) nicht theilbar ist

Sollte eine solche Theilbarkeit bei allgemeinen Funetionen vorhan-

den sein, so müsste sie auch bei jedem besonderen Systeme erhalten

bleiben

Besteht sie also in einem speciellen Falle nicht, dann sind

wir sicher

ass sie auch bei allgemeinen Funcetionen nicht vorhanden

ist. Wir werden nun ein Beispiel liefern, bei welchem die Theilbarkeit

nicht vorhanden ıst

$ 416. Es sei

N3

— Zm—1-

/1=51 u

hh=%

A

SE

2R — 29

WT m

Elimination.

BeEzout’sche Methode.

109

Wir untersuchen zunächst, welche Form eine identische Gleichung

Afı + Afz + + Anfn = 0

haben muss, in welcher die 4 ganze Functionen von Z,, %,

Zm be-

deuten. Setzen wir z. B. fi=0, i=0; f\=0, fs=0,.: fm=0, so

muss, weil dabei z ganz beliebig gewählt werden kann, A; identisch

Null werden.

In A; substituiren wir der Reihe nach

Ö = z{.f"

fn

2=Z —;

D

f6; I9 z:Lan

dann entsteht

Aln == J3 ı9 An) AF 029 fa Ar 05° f Ar @s e AF A O

ferner dividiren wir B, durch zı —1=fi + -fz und den Rest

sowie die Coefficienten des Quotienten durch

Sm

al

Y° m — 83 = fa F C6 f5 A Cefe A A mfn -

Hier sind die d und die c Funetionen der '2.

So entsteht

A; = Dy(%; %, %m) + dr fı H da fa + Aa fa H A am f3

D; steigt in %A nur bis zur (n,n, — 1) Potenz und in z nur bis zur

(N,Ng : Nm — 1) Potenz.

Wir untersuchen jetzt

D z Oa An a

wobei die e nur noch z und z enthalten.

Nehmen wir für z eine

Wurzel der Gleichung

(19)

Zm

Nı Na Nı

23 =07

so können wir einerseits 2,, 2,::-Zm—1 SO bestimmen, dass fi=0,...

fn =0 wird; und wenn dann andrerseits für %, alle Wurzeln von

Z"1“2 — 1 =— 0

gewählt werden, so kann man zu jeder ein %, so bestimmen, dass

fi=0, fı=0 wird. Folglich muss für jeden dieser n,n, Werthe

von %, auch D, =0 sein, Das geht nur so, dass jedes &, e ,::- Null

ist

Da aber die e nur bis zum Grade (%, - Nm—1) aufsteigen,

während 2 gemäss (19) 14 : --Nm verschiedene Werthe annehmen

kann, so sind alle e identisch Null, und es wird

(20)

A3 . d31f1 + d32f2 + d34f4 + S + d3mfm-

Die entsprechenden Resultate gelten für alle A,, 4,,

Am: —

Wir bilden jetzt mit den Funetionen f das H(x). Diese Function

steigt bis zum Grade % = %4N - - Nm; Wir kennen die & Wurzeln von

H(x) = 0, nämlich, wenn @ eine primitive /° Einheitswurzel bedeutet,

%ı = 002 + %„,__1COZ Zı + %,„__2C02 Nın —1 Zın _I_

d=1,2 0

also ist

110

Neununddreissigste Vorlesung $ 416—417.

H(%') u II(x — x;_) => H[(Z'‚„ == ﬁ)l> ——|— “"lfl(zm—1 D coi»„m;z) + Z ]

Z

[

2n

mM

B L

n

A

S (Z]727‚_ 1) + %m—l[kzm—l E Z;L;L—l aa 7€Z;nnm—l]

e B A

Die Richtigkeit der durchgeführten Summationen ist durch Zerlegung

ın Partialbrüche leicht zu erkennen.

Man hat also

Ge)= DE 1°

C

Ym —L

2, G'(en) + Hı(em) = h(2, r —

Zm

),

Nz

m

mM

),

A

N

m

1

Em—1 G,(Zm) '+' H;71—1 (zm) =% <Zm— E Z';n—l AAA

M

)

Damit ist der erste Theil der Aufgabe gelöst, indem die rechten

Seiten der Gleichungen (17) gefunden sind. Wir müssen jetzt zweiıtens

die gefundenen Funetionen in die Form der linken Seiten von (17)

Dazu setzen wir

bringen.

(21)

D

f Eı El F F bmfan

ferner ergiebt sich leicht für passende * und ı

NoaNz :

@

C

Z

Nz Nır

@Bn

SA

(21°)

O

S

1

ÜT

1

k <zm—1 S z£z—

— Bm

)=

e T:

Formen wir in diesen letzten (m—1) Gleichungen je das letzte

Glied der rechten Seite mit Hülfe der Darstellung (21) von (z — 1)

um, dann sind die Ausdrücke sämmtlich in die vorgeschriebene Form

gebracht. Bei der Bildung der Determinante A spielt diese Umformung

aber keine Rolle, denn wir können ja, ohne A zu ändern, von den

letzten (m—1) Zeilen die Elemente der Zeile (21), mit 7,, 72

Tm—1

multiplieirt abziehen. So erhält man als Resultat (kz! *— Das ist

aber möglicherweise noch nicht der geforderte Ausdruck, denn die

Nach dem ersten Resultate

Darstellung (21) ist nicht eindeutig.

dieses Paragraphen könnte noch zu jeder Zeile rechts ein Ausdruck

Ala Aıa i An —O

Elimination.

BeEzout’sche Methode.

111

hinzükommen. Die Aenderung der Elemente der Determinante würde

also nur darin bestehen, dass Ausdrücke der Form (20) hinzutreten

Folglich ist

Z (]„fﬂ—1)m—1 Ar Yafa A Oala Ar + Imfın -

Jetzt können wir entscheiden, ob A unter den Annahmen (18) durch

G(zm) theilbar wird, oder, was dasselbe sagt, ob A für

An = @,

Bı —i — Ü)nm ’

B a m—1 UZ

gleich Null ist.

Durch diese Werthe erhält man fi = 0, f©=0,--

I —0 und ‚Sonmit

A — m— —m1L

Es ist demnach A von Null verschieden. Damit ist der Beweis er-

bracht.

Die B6&zout’sche Methode liefert

(11°)

(plf1 + q32f2 + RE + ‘mem D R(Zm);

wobei R(zn) die Eliminante der Functionen fx bedeutet.

&$ 417.

Die Funetionen f sind bisher als allgemeine, vollstän-

dige Funetionen vorausgesetzt worden. Ist unter dieser Annahme (11*)

gebildet, so reicht es bei besonderen, gegebenen f aus, die allgemeinen

Coefficienten durch die besonderen zu ersetzen, um auch in diesem

Natürlich kann

Falle die Eliminante in der Form (11®) darzustellen.

es dabei vorkommen, dass der Grad von R(z) sich vermindert, oder

auch dass R direct identisch gleich Null wird. —

Sind die f allgemeine Funetionen, so wollen wir sie sowie die

« nach absteigenden Dimensionen der Potenzproducte ordnen,

e S O A e H Ga H

?

Da S Ya F Va z Ya +

?

wobei also g alle Glieder enthält, die von der Dimension %„ sind,

und %, alle von der Dimension (£& — n4).

Trägt man dies in (11°)

ein, dann folgt, dass ZEgxw die Glieder der höchsten vorkommenden

Dimension k& umfasst.

Folglich ist diese Summe gleich dem Gliede

höchsten Grades in

-

G(Zm F R(Zm) S Qozfn + 9125»;2—-1 +

?

d. h. man hat die Gleichung

Iı + 1/’292 + San + Umndm = Qozaljz,

worin 0, frei von den Varilablen ist.

Dies zeigt uns: Sind in (11°)

die Funcetionen f„ homogen von den Dimensionen %4, dann

wird die rechte Seite = 0,%, wobei Q eine Function der

Constanten allein ist. —

Von diesem Satze aus können wir nun auch zur Darstellung der

Resultanten für (m-+1) Gleichungen f, =0 («=1,2,...m+1) mit

den m Unbekannten 2,, %,: Zm gelangen.

112

Neununddreissigste Vorlesung $ 417—419.

Zu diesem Zwecke reicht es aus, in die fx eine neue Variable £

einzuführen, durch welche unter Wahrung der Dimensionen %„ jede

der Funetionen homogen wird. Für das neue System von (m+-1)

Gleichungen mit ebenso vielen Unbekannten bilden wir nach der

B6zout’schen Methode die Eliminante für %.

So entsteht in Gemäss-

heit unseres letzten Resultates

(11)

Oala r Oa R F Om+1fm+ı = 000',

wobei 0, von den Unbekannten frei ist.

Denken wir nun € wieder

durch 1 ersetzt, dann zeigt sich, dass die f = 0 nur dann eine ge-

meinsame Wurzel haben, wenn 0, = 0 ist.

Wenn umgekehrt 99 = 0

ist, so wird die Eliminante durch den Werth t=1 befriedigt. Ks

giebt nach den Resultaten des vorigen Paragraphen also ein (Z,

917

-< mı, 1), welches alle fx

—

—

© medaos 0L n 0O a = 0 m

Z1, %,' %m haben eine gemeinsame Wurzel.

09 — Ost chazakı

teristisch für die Existenz gemeinsamer Wurzeln der (m-+1)

Gleichungen f} =0,-

Im+1ı =0. Da dasselbe für die irreductible

Funetion stattfindet, welche wir als Resultante definirt haben, so kann

0, nur eine Potenz der Resultanten sein. Ist dies aber im allgemeinen

Falle eine höhere als die erste Potenz, so muss es auch in jedem be-

sonderen Falle so sein.

Es zeigt aber das Beispiel

Nr

mM

Z

1

=

Ylra

Z L O

m m— 1 (

D

Z;n+l e t"m+l HG

2

dass 0, ın

00 ( E

keine höhere Potenz ist.

Damit ist gezeigt: Die Resultante des

Systems

fü(zl; Bay -Z‚„) =0

C=ZU 2 L

ist in der Form darstellbar

f n Oala A + Om-+1fm+ ı = 00

$ 418. Wenn zwischen Functionen fi, f,:::fm eine Beziehung

—

w1f1+'abzfz+""'l"wmfm

—

H (£Ön>

besteht, bei der H irreductibel ist, so wird die durch (11°) definirte

Eliminante R ein Vielfaches von H. Nun verschwindet aber R nur für

alle die Z„x, welche aus den Coordinaten der Wurzeln von (1) entnom-

men werden; für alle diese verschwindet auch H. Folglich muss

R(zm) eine Potenz von Hi(gm) seın.

Dies wenden wir auf die @,, ®2,::: @m in (11*) selbst an, wobei

unter den f allgemeine Funetionen verstanden werden sollen, R also

irreduetibel ist. Es folgt, dass die Eliminante von @,, %, ‘: m eine

Elimination.

BeEzout’sche Methode.

113

Potenz von R(zw„) wird. Aus den Gradzahlen findet man auch sofort

den Exponenten: Die Eliminante von %,, %,

© Dach! z

ist gleich

R(Zm)!

;g = (NNz : Nm — 1) MNg m — 1) :( Na Naı — 1).

Allgemein zeigt sich, dass für ein System

m

a fa n FE

m ?

in dem jedes ö und & einen der Werte 0 und 1 haben darf, doch so,

dass nicht Ö, und &7 gleichzeitig Null werden, die Eliminante eine

Potenz von R(zm) ist.

$ 419. B6özout hat seine Methode eingehend durchgearbeitet,

ohne jedoch über die durch Constantenabzählung erlangten Möglich-

keitsbeweise hinauszugehen.

Insbesondere ist er auch auf unvollstän-

dige Gleichungen eingegangen, d. h. auf solche, bei denen einzelne

Terme fehlen, und hat für sie obere Grenzen der Wurzelzahl gegeben.

Ohne darauf näher einzugehen, wollen wir zur Charakterisirung seiner

Sätze noch das folgende Theorem anführen*): Sind die Gleichungen

(1) so beschaffen, dass in jedem f7z die Variablen

21 Z

‚- bis zu den Graden v‚©

2

V («)

2

(x«=1,2,...m)

aufsteigen, wobei die Summe je zweier dieser Gradzahlen

grösser als m ist, dann kann man Factoren @„ so bestimmen,

dass (11) besteht, und der Grad von G in z den Werth

Nı N

Nın — ( — V1 )(n

) 4 (n — v

— (ı —@ —

: (Nm — v@)

— ( =— ”3,') (".2 U (.”m. D)

nicht übertrifft.

$ 420. Zum Schlusse dieser Vorlesung wollen wir noch eine Er-

weiterung des Satzes aus $ 88, Bd. I geben. Dort gelang es uns, jede

Potenz z“ als lineare Funetion von 1, z, z%,... —1 auszudrücken,

wenn z einer Gleichung n*" Grades genügte, oder mit anderen W orten,

wir konnten eine Congruenz

#= A + 42 +4,2 ... + Ar_ ıgr 1

(mod, f(g))

ansetzen, in welcher die A Constanten bedeuten, und f(z) eine Func-

tion n Grades repräsentirt.

Sind jetzt unsere ” Gleichungen (1) gegeben, so wollen wir sie

so geordnet denken, dass Nı <a < : <Nm ist. Man kann dann

jeden Ausdruck 27 $

<

Z

m. als Agoregat ähnlicher Glieder ausdrücken,

.*) Equations alg6briques; $ 62; p. 45.

Netto, Algebra. II

114

Neununddreissigste Vorlesung $ 420. Vierzigste Vorlesung $ 421.

bei denen jedes %, <n — 1 ist, oder mit andern Worten, wenn wir

wieder die Congruenzbezeichnung benutzen, wir können jede Funetion

1 Z

h;ı

In

Zm

(m0dd' f] ;f27 "'f7n)

C '??ZA;L

(ha < Na — 1; @«=1,2,-.-m)

darstellen.

Der Versuch, die Herleitung dieses Resultates auf dem

für eine Variable benutzten elementaren Wege zu liefern, stösst schon im

einfachsten Falle von zwei Variablen auf merkliche Schwierigkeiten,

wie das auch Serret, von welchem diese Ueberlegungen stammen ©

bemerkt hat.

Auch neuerliche Versuche nach dieser Richtung sind

missglückt ##).

Wir wollen Facetoren &,, ®2 ,: m SO zu bestimmen suchen, dass in

(22)

F+q71f1+q)2/[-.3+"'+(})„„f‚„

Nı

1

oder 25° ,

oder 2," theilbar

alle Glieder wegfallen, welche durch z

sind. Die Dimension von ] nennen wir %; / sei eine vollständige

Funetion mit unbestimmten Coefficienten. Für die &,, %3, : -- @m wählen

wir Funetionen der Dimensionen % — 1, —M,

No —-

Dann

haben wir in ihnen zur Verfügung

(@«= 1,2,...m)

a2 N(n% — Na, M)

Constanten. Die Zahl .der Potenzproducete in (22) beträgt N(m,, m);

von diesen sollen getilgt werden (vgl. $ 331; (7%)

MT ( — Z An 70

und so viele Bedingungsgleichungen sind also zu erfüllen. Um das

identische Verschwinden des zurückbleibenden Ausdrucks brauchen wir

hier natürlich nicht besorgt zu sein.

Nach 8 333, (11) wird

aE Na Z N N A Nn m) (@«=1,2,.--m),

d. h. die Anzahl der zu erfüllenden Gleichungen ist kleiner als die der

vorhandenen verfügbaren Constanten. Die Lösungsmöglichkeit ist also

im allgemeinen Falle dargethan, wenn sie an einem besonderen Systeme

der fx bei allgemeinen Constanten der Funetion F gezeigt werden kann.

Genau eine solche Reduction haben wir nun bereits in $ 411 durch-

Nm) durch

geführt. Es braucht nur die dortige Dimension (n, - >

n, ersetzt zu werden; dann können wir durchaus so verfahren, wie

ME

Y 6 ea

In seinem Traite

*H‘)

Laurent: Trait& d’analyse I. Paris (1885), p. 307.

..

d’Algöbre. Comple&ment IV; Paris (1894) übergeht Laurent diese Frage.

115

Eigenschaften der Eliminanten und der Resultanten.

dort geschehen ist. Damit ist bewiesen: Bedeutet / eine Funetion

n Dimension von Z,, %,: %m, dann kann man Functionen

@« der Dimension (m — %) so bestimmen, dass das Aggregat

(20)

JS (P1f'1+9)2f2+"'+‘})mfm=(p

durch keins der Monome

&m

Yın

, @

theilbar

ist.

Solche Functionen ® nennen wir: nach dem

Modulsysteme f& reducirte Functionen.

Vierzigste Vorlesung.

Eigenschaften der Eliminanten und der Resultanten.

$ 421.

Wir nehmen wieder (m + 1) allgemeine Gleichungen

f =0 mit m Variablen und den unbestimmten Coefficienten ax an;

die Dimension von fyx sei %; das Product %, N - - Nm4+1 bezeichnen

wir mit 7.

Wir bilden die Resultante

(D)

R=R(f1; f2;

fm+1)-

Einige der Eigenschaften von R haben wir bereits kennen gelernt. Die

wichtigsten derselben sınd :

I. R ist in den a“ homogen vom Grade ;f— für x= 1,2,---m+1.

IIl. R ist in allen Coefficienten isobarısch vom Gewichte /.

IIl Es ıst

(2) R(f1.,'f1”; f27

ﬁ71+1> x 'R(fl,7 f2; 3 fm+1> } R(f1„7 f2)

fm-E1)-

Wir wollen zunächst einige Differentialgleichungen ableiten, denen

R genügt.

Der Einfachheit halber nehmen wir vier Gleichungen mit

drei Unbekannten und setzen die Glieder derselben in fi, f,

bez

am E

an

Tragen wir nun in die f für 2,, %, % bez. 2 }, % + %, z + ein,

so wird die Eigenschaft des Systems f, = 0, gemeinsame Wurzeln zu

besitzen oder nicht zu besitzen, dadurch nicht geändert.

Für jedes

Coefficientensystem, durch welches das ursprüngliche R Null wird,

verschwindet also auch das neue; und da jenes R irreduetibel, und

dieses von gleicher Dimension mit jenem ist, so haben beide Systeme

falg,, : )=0 und fal& +, . )=0

das gleiche R als Resultante.

8

116

Vierzigste Vorlesung $ 421—424.

Durch die angegebene Substitution geht a,;ı. Z in

AAyın (& + E)* (& A C) (3 + 0)“

= Au 2 + C }„z'{zä_l‚z“g. A 9e) 000

über, und daraus folgt, dass @„ı ım neuen Systeme durch

Oan S @ Ar e en a @A a a A ( A E ] A

zu ersetzen ıst.

Vergleicht man nun im alten und im neuen R die

Coefficienten der ersten Potenzen von *, dann folgt für R die Diffe-

rentialgleichung

(3) 2 gii„[(x—l—l)a„+i‚ 240 F(2F1) A, 241 u A ( 1) A, 2,u+a]= 0,

wobei die Summe auf alle Elemente a aller vier Gleichungen

zu erstrecken ist.

$ 422. Es möge ferner n, > n, sein. KErsetzen wir dann f (2,,2,23)

durch fi(%,, %, %) + Cfa(Z,, %, @), SO bleibt die Resultante des neuen

Systems der des alten gleich; der Coefficient aı von * 2% 24 wird

dabei, falls (x + 2 + w) > %3 ist, ungeändert bleiben, dagegen, falls

(x H+2+uw) <n ist, durch a,;. + Cazıu ersetzt werden. Daraus folgt

durch Entwickelung der Resultante nach Potenzen von £: Für R be-

steht die Differentialgleichung

(4)

(# —AF W<%).

Z 87?% an = 0

Die hier benutzte Methode kann leicht verallgemeinert werden,

indem man nämlich, ohne R zu ändern, fi durch fi + f2 - @(2,, %, %3)

ersetzt, wobei g eine ganze Funetion ist, die bis zur Dimension (n, — %;)

aufsteigt (vgl. $ 398). Aus jeder derartigen Annahme kann man eine

Differentialgleichung herleiten, welche von der Natur der Gleichung

(4) ist.

$ 423. In fi mögen die beiden Glieder

af„,gyz‘{‘zg z und a:;£;zlzézg

vorkommen.

Die Resultante R von fi=0,.:-f= 0 sei gleich Null.

Wir ändern acgy und ad;: derart ab, dass die Bedingung R=0 ge-

wahrt bleibt, während die beiden betrachteten Coefficienten in

Aeßy + 6 und Adet + T

übergehen. Wegen R = 0 muss also sein

ÖR

ÖR

VE E

7

t=0.

(5)

0«

aßy

3a,äe;'

Andrerseits ist durch fx=0,-:-fi=0 die gemeinsame Wurzel

Z112

Q91 7

Za

bestimmt ,

oder

vielmehr

sie

SO DUN

unter

einer

Eigensé:haften der Eliminanten und der Resultanten

117

endlichen Zahl von Werthsystemen auszuwählen.

Daher

wird nicht

allein

ME Za T a;„/972?12'g12%'1 an a2?655115;15g1 S

=0

sondern auch

290 < (%ßy 3 Ö)Zi“1ﬁglzäl > (atlfsé' =F 77)2'312;12'g1 a

—0

und daraus ergiebt sich durch Subtraction

(6)

u12 0 — Z‘1;1Z;12:%1 E

Aus (5) und (6) schliessen wir

ÖR

5

ÖR

(7)

S (ZÄ“1 Z€1 Zä'1> : (Zf1251 2’:€1) 5

äa’ßy ?a;„;

und derartige Gleichungen gelten für alle Coefficienten a.

Aus ihnen

folgt, wenn z. B. 0= a — 1; s:==ß; £=) genommen wird, der Werth

der Coordinate 2,4, u. S. W.

Mit Hülfe von (7) lassen sich also die

Coordinaten der gemeinsamen Wurzel berechnen. Dabei ist natürlich zu be-

achten, dass diese Methode beim Vorhandensein mehrerer Wurzeln für

fi=0,- - fm+1= 0 versagt; denn da R eine rationale Function der

a ist, kann die linke Seite von (7) nicht mehrdeutig werden.

Man

darf hieraus also den Schluss ziehen, dass bei mehreren Wurzeln

neben R = 0 für jeden Coefficienten @ auch

ÖR

=0

0a

ıst

$ 424. Für die folgenden Paragraphen wollen wir der Einfach-

heit halber die (m-+1) Gleichungen fi =0,-.. fa+1= 0 unter Wah-

rung der Dimensionen durch Einführung einer neuen Variabeln Za

homogen machen.

In den f führen wir jetzt die lineare umkehrbare

Substitution mit constanten Coefficienten

Za

= 040 T 62 % A Gi30s F

(8)

e=

29

C21”1. + C‘_>'2 0 + C930 A

durch, bei welcher dann die Determinante D= [|c,,| von Null ver-

schieden ist. Hierdurch verwandele sich f in g«(v,, v ,: :); die Coef-

ficienten der g sind ganze Funetionen der c,, und der a,.

Da _ die

J =0 nur dann gemeinsame Wurzeln besitzen, wenn die fxz= 0

solche haben und umgekehrt, und da R(fi, f::-) irreductibel ist, so

folgt, dass die Resultante von gı = 0,--: m+1=0, die wir mit

R(I1, I; ) bezeichnen, abgesehen von einem allein von den c ab-

hängigen Factor, eine Potenz von R(f,, fz,-:.) ist. Aus dem Umstande,

dass die Coefficienten der q„ linear in den ag sind, folgt zunächst,

118

Vierzigste Vorlesung 8 424—425.

dass die Dimensionen beider Resultanten in den @ übereinstimmen, so

dass der Exponent jener Potenz nur 1 sein kann.

Um den allein von

den c abhängigen Factor zu bestimmen, nehmen wir für die f„ besondere

Functionen an; wir ersetzen jedes f„ durch ein Product aus %„ allge-

meinen homogenen linearen Factoren von Z,, %,: Zm+1. Die Resul-

tante R(f,,::) wandelt sich in das Product aus den 1 = %, -Ma- * Nytı

Determinanten um, die bei Zusammenfassung je eines Factors von fi,

ol /r

yon fm4+1 entstehen; das folgt aus der Bedeutung von R.

Durch (8) reproducirt sich jede dieser Determinanten multiplicirt mit D.

Demnach haben wir: Durch die Substitution (8) erhalten wir

(9)

R(91; Iar i 'gm+1) = D'. R(f1; f27 Z fm+1)'

Dieser Satz entspricht dem iın $ 147, Bd. I abgeleiteten.

Auch für das am Schlusse von $ 146, Bd. I gegebene Theorem

können wir ein Analogon ausfindig machen. Wir setzen fi, f2,: ‘ fm+1

als von gleicher Dimension % voraus und nehmen

Üar Qa1f1 + 9a2f2 + A + Qa,m—}—lfm—l—l

(a=1,2,...m +1)

mit constanten q, die eine umkehrbare Substitution bılden. Dann erkennen

wir genau wie soeben, dass die beiden Resultanten R(fi, fo, *‘ fim--1)

und R(f/l} !/2 Z

- + IJm+1) Sich nur durch einen von den Coefficienten

Genau wie beim

der f unabhängigen Factor unterscheiden können.

vorigen Satze bestimmen wir diesen Factor hier durch ein besonderes

System der f. Wir nehmen zu diesem Zwecke

fı = Au F daß + + A Oemı8mAı

(@= 12 m E:

Dann ersieht man, dass die Determinante der @ der einzige Factor

von R(f,,:::) sein kann, und die Kenntniss der Dimension zeigt uns

R(f1; f27 } 'fm+1) D .!aZÄ l„"£_

Eine einfache Vergleichung mit den Resultaten der Substitution der g

liefert, falls |q,ı|= 4 gesetzt wird,

(9°)

R(917 9a5} '9m+1) e Anv]er(f.1; f27'

fm-1)-

$ 425. Aus der Structur der Eliminante kann ein geometrisch

besonders wichtiger Satz ohne Schwierigkeit abgelesen werden, den

Liouville zuerst aufgefunden und bewiesen hat *).

Wir waren auf folgendem Wege zur KEliminante R(Zm+1) von

(m+1) Gleichungen mit ebensovielen Unbekannten 2,, Z, ° Zm+1

gelangt. Zunächst hatten wır (m + 1) Gleichungen mit % Unbekannten

A ar°

Zm angenommen und hatten ihre Resultante R(fi,-

ﬁ]L + 1)

gebildet.

Diese war eine isobarische Funection der Coefficienten aller

* J. d. Math. p. e. a. (1) 6 (1841), p. 359.

®

I

Eigenschaften der Eliminanten und der Resultanten.

fır fm+1 vom Gewichte I = %, - Na Nm-1, falls den ax sSolche

Gewichte gegeben werden, dass bei der Annahme der Gewichte 1 für

die Unbekannten jedes f„ isobarisch vom Gewichte „ wird. KEins der

Glieder von R(fi, fa,:::) möge durch

(10)

g(“) hOkC ...

(a+b-+e++=D

angedeutet werden.

Dabei sollen die g, h, k,

Coeffieienten sein,

die irgend welchen Funetionen f„ angehören, und a, b, c,-

sollen die

entsprechenden Gewichte andeuten, so dass die Summe a + -c+...

gleich / sein muss.

War so R(fi,::fin+1) gebildet, dann hatten wir in die fy noch

eine neue Unbekannte Z„-1 dadurch eingeführt, dass wir alle bis-

herigen Coefficienten ay durch ganze Funetionen von 241 ersetzten,

deren Grad in dieser neuen Unbekannten gleich der Dimension der

ersetzten Coefficienten war; also tritt z. B. statt

g° ein ga 4 Jaı 8m+1 4 Ia—28m+ı F F Yolmrı,

(1D)

h% ” ]L/‚ + ]lf[‚_1 Zm-+1 + hb—2 Ziz—l—l + E + h0'g1bn+l;

R

wo die unteren Indices der Coefficienten g, h, k

?

wieder die Ge-

wichte angeben.

Hierdurch werden die oben angegebenen Resultate über das Ge-

wicht von R(fi,:::) auch für das umgewandelte C ür

die Eliminante der

=—>

fa(&ı, 2a

2m+ı) = 0

(&

1‚2‚'*'77’L—|—1) &

gewahrt bleiben.

Man hat also

(12)

R(Zm+l) % 57ln+1 — Q Zi7;i}—11 +

(= M M Mmı),

wobei 0, vom Gewichte « in den Coefficienten isobarisch wird.

Wir wollen, nachdem die Einführung von 241 vorgenommen ist,

die Funetionen nach fallenden Dimensionen der Potenzproducte der

Unbekannten ordnen:

(«)

falı , Emtı) = U + U

”C(

ROn + 'Lßgfz_g + DA + „E)a)

wobei u alle Glieder von fx enthält, die in 2, Z° Zm4+1 Von der

Dimension x sind. Die Coeffieienten in u“ müssen daher sämmtlich

vom Gewichte (1.,—x) sein. Es gehören sonach beispielsweise On ng

k

0

ın (11) zu den Coefficienten von Gliedern der Art u€f2‚ ebenso

Ir ı, K,

zu den Coefficienten von Gliedern der Art uff;)_1‚ u.sS. W.

und allgemein go, Ao, ko,

zu den Coefficienten von Gliedern der

Art u

Rq—Q *

120

Vierzigste Vorlesung $ 425—427

Trägt man nun (11) in (10) ein, so giebt der Complex aller Aus-

drücke (10) die Eliminante (12).

09 hat das Gewicht O; folglich

können die in 09 eingehenden Coefﬁmenten b z an 0n ho

©

S

hören, d. h. sie entstammen den Un

Ebenso hat o, das Gewicht 1

fo]ghch können die Glieder in 0, nur von der Form g;hok;

5 «90h ]L0

’

Johok

Z

S E SC

deren Factoren aus den w

und den w

(ß

no—1

entstammen, u. s. w. Das ist der Liouville’sche Satz

dem wir fol-

genden Ausdruck geben: Der Coefficient O; VON Zn+ hängt nur

von solchen Coefficienten der f, ab (@x«=1,2

m-+1), die in

Gliedern der Dimensionen %4, (ne

D,

(n —%i) der Potenz-

producte vorkommen

Für 0, war dies schon bekannt, vgl. 8 394

$ 426. Wie wir früher gezeigt haben, hängen die symmetrischen

Funcetionen der 2,, %,

Zm-+1 von den Coefficienten der Eliminanten-

gleichung

(13) R@)= 0

HC

Xm + 1) &

1+92(“1;

Xm + 1) x

—0

( = %2 + %8 +

+ %m+1 2m—{—1)

ab. Von den Coefficıenten der Gleichung (13) gilt dasselbe, was so-

eben für die von (12) bewiesen wurde

Nun ergibt sich aus $ 379

dass jedes

Pa

S(511 Za1 °

+ Z12 222

)

(Ze } z8 4

)

auS-

durch ein Aggregat von Produceten der Potenzsummen Sooz

gedrückt werden kann, bei denen o +06-+rt—+

<“ ist; und aus

8 377, (7) folgt, dass diese s aus den zu (13) gehörigen Potenzsummen

Se+a+'t+

der

Xı %a

abgeleitet werden können

bei denen

Die S können aus den Coef-

+ 0 + +

=0+6+7<@ ist

ficienten von (13) dargestellt werden und so erkennen wir

Die sym-

metrischen Functionen i“ Dimension der Wurzeln von

0

= u„) + u(a)

+

+ u(a)

(“_“172;

m + 1)

(@)

hangen nur von den Coefficienten der Aggregate

Unnn

(a)

ab

Un —i

Der Liouville’sche Satz ist für die analytische Geometrie von

so weıt

grossem Interesse

Man findet die Anwendungen desselben

sie von Liouville stammen

am angeführten Orte

Weitere

eınN-

gehende Studien rühren von Humbert*) und von G. Fouret**) her

Wir wollen wenigstens ein hierher gehöriges Theorem herleiten

indem wir dabei den Betrachtungen Fouret’s folgen

ELa

L

* J.d.M. p. e. a. (4) 3 (1887), p. 361 und Nouv. Ann, (3) 6 (1887) p. 533

**) Nouv. Ann. (8) 9 (1890), p. 258

Eigenschaften der Eliminanten und der Resultanten

121

Der Schwerpunkt der Berührungspunkte aller Tangenten

welche einer gegebenen Richtung parallel an eine algebrai-

sche Curve gezogen werden können

ist ein fester, von der

Richtung unabhängiger Punkt

Es sei f(x, y)= 0 die Gleichung der Curve, bezogen auf recht-

winklige Coordinaten x und y; sie steige bıs zur %” Dimension auf.

Die Berührungspunkte aller Tangenten, welche der Richtung parallel

laufen

die mit der positiven Halbaxe der x den Winkel « bildet

befriedigen gleichzeitig die Gleichungen f= 0 und

(14)

—|— öf tang « = 0.

Nun sei die Eliminante dieser belden Gleichungen

Q aM m—1) __ ( a m—1)—1 +

0

5

dann ıst die Absecisse des gesuchten Schwerpunktes

1

5

©1

m(m — 1) 0

Nach dem Liouville’schen Satze hängen 0, und 0, nur von den

Gliedern m* und (m — 1)*" Dimension in f ab, weil diese ja die Glieder

(m —1)” und (m

)'°r Dimension in (14) bestimmen

E& ändert

sich daher nicht, wenn man f durch ein f} ersetzt, welches in den

Gliedern der beiden höchsten Dimensionen mit f übereinstimmt, sonst

aber beliebig gebildet ist; es ist also nur nöthig,

A /Ü un A =0

die gleichen Asymptoten haben

Man kann daher insbesondere auch die

vorgelegte Curye durch den Complex ihrer Asymptoten selbst ersetzen

Hierbei fallen nun die Berührungspunkte mit den Schnittpunkten der

einzelnen Asymptoten untereinander zusammen, und also haben diese

sicher das gleiche &.

Ferner aber sind die Schnittpunkte von « unab

hängig;

©nö)

daher & ebenfalls, und so ist das aufgestellte Theorem bewiesen

Es ist für die Gültigkeit des Satzes wesentlich, dass die Curve keine

parabolischen Zweige hat, da sonst Asymptoten ins Unendliche fallen

würden

$ 427

Zu einer anderen wichtigen Einsicht führen uns unsere

Betrachtungen über die Resultante und Eliminante auf folgendem Wege

Wir gehen von den m Gleichungen mit m” Unbekannten

Jl &p

Zn)= 0

@= 12

m)

aus und führen nach Liouville die Substitution

= C — (%12'1 + K9 R9 + + Xm —1 Zm——1>

durch. Dadurch möge entstehen

(15)

fa(il‚ Z

'“m) mL (Zl ?

m— 1 7 x)

(«

— 1,2

mM)

122

Vierzigste Vorlesung $ 427—428,

Aus den g bestimmen wir gemäss dem B€6Ezout’schen Verfahren die

Eliminante

(16)

R(x)=.glpl +92P2 + SEL +9um'

Nach Kronecker schreiben wir diese Gleichung bequem als Congruenz

(17)

W@) 0 mo dı O59 Ya)ı

und von dieser können wir wegen (15) zurückgehen auf

(17°)

Nun zerlegen wir R(x) in seine linearen Factoren und bedenken dabei,

dass jede Wurzel der Gleichung R = 0 von der Form

%1;1 + %2C2 + C + xm—1€m—l + Cm

ist

Es seı R ın seine verschiedenen Wurzelfactoren zerlegt

R = [x,(2 — Eı1) A %(

BFF

aalg E=

@ = En) 7 @

S Ar

Denkt man sich diesen Ausdruck nach Potenzproducten der x geordnet,

so muss jeder einzelne Coefficient congruent 0 sein, da ja die Glieder f,

des Modulsystems von den x unabhängig sind.

Der Coefficient von %4 T4 F

liefert dabeı

(18%) (2

Ea e A

U = 0 (modil, ;

und derjenige von x“ «“ —1. %, liefert

E

2

2 — Car

@ — €11)‘ul[

aug

1

E

;

1 —é‘12

+

e

Multiplicirt man diese Congruenz mit (2, — E2) (1 — E3) , SO entsteht,

da wegen (18°) alle Glieder, die auf das erste folgen, ==0 werden,

(18”)

(1 — Eu)4 71 — &u)- U =0 modd. fi,...),

wobei U, = ( — E12)“ T 1(2, — Bg

ist; es reicht also auch

schon aus, für U, eine hinlänglich hohe Potenz von (z, — 52)(4, — E13)-

sich zu denken. —

Nun gehen wir zu den Gliedern %4« + —? %,7 in der Entwicke-

lung von R über.

Dabei erhalten wir zwei Arten von Gliedern, von

deren jeder ein charakteristisches Glied angegeben werden soll:

(%)(ä — 611) 47 — &9 O

Ur

E

D

(

1

NO N

aaa C21>‘(51 Z @ &a) : Vo,

woben % ür @ e

geschriebeﬁ ist. Multiplicirt

man alle diese Glieder mit (2, — E2)"(2, — Ey3)? , So werden wegen

(18°) und (18”) alle einzelnen Producte bis auf das hingeschriebene

Erste = 0; dieses Erste giebt dann Veranlassung zu der Congruenz

Eigenschaften der Eliminanten und der Resultanten.

123

(18°)

@— B7 a —a U, =0 (modd. f - .),

wobei U, wieder eine passende Potenz von (2, — &)(Z

Ea) 4

bedeutet. —

In den Coefficienten von x“ +—2. %. xg treten Glieder von

zweierlei Form auf, nämlich erstens

( 1 ) (!;2) (ı — E) 71 ( — Eay) : (& — E12)“2 71 (3 — Ega) : (21 — S] ,

und zweıtens

B

En(@ — Gu) (21 — E2)“ 21 — Eis)

Multiplicirt man hier mit einer hinlänglich hohen Potenz von

@— Ga)(@ — Bn),

‚, so folgt wieder

(18°)

(Z1 = €11)‘U1“2(22 @— a =0 (modd. f, ,

)

So kann man fortfahren und sieht: Ist U eine hinlänglich hohe

Potenz von (z, — E„)(2, — E) - -, dann wird

(18) (& — B @ — E1)° (23 — A OZ0 (modd. f,, a9 ° fla

wenn (@« +ß+7+:-)>u, ist; oder auch: man kann setzen

(18*) ( — En)* (& — fa U= Qıfı F Qofa + + F Qln

$ 428. Nach Herleitung dieses, als Hülfsatz dienenden Theorems

betrachten wir eine Funetion 6, welche für alle Wurzeln (Grio Ca 729)

’

(Er2> So2, - -), - des Systems f =0 gleich Null wird. Aus $ 350, (4)

wissen wir, dass dann mit passenden Coeffieienten (

D' = ( — E1) O11 + (Z

E21) 912 F (23 — E1) 13 +

_ .(5’1._'. Ü12? 9°2.1 + (22 — ?22).9322. ar (Zs — €32) ?23 +

geschrieben werden kann.

Ist nun w der grösste der Exponenten

U, U,

, und bildet man D“. [, wobei U” eine hinlänglich hohe

19900 On ( — E1a)(2&1 — Es) - -

ist, so enthält jedes der Glieder

des entwickelten Ausdrucks

C — E1) Oı + ( — Sa1) O12 4 C E1) O13 +

U

_1+c

Factoren von der Form (18), und daher ist

(19)

©ZU Ga

ebenso folgt, wenn man €

S

a b9) C21 ’

M S S

(19%

vertauscht,

D“. U =0 (modd. ffa fn),

wobei U” eine Potenz von @ = E@ — Ep)

- bedeutet; ferner

(19*)

Z

wobei U”” eine Potenz von ( —n — Ea)(2 —

S4): sein wird; u.s.f,

124

Vierzigste Vorlesung $ 428—430.

Die mc ROR O

bezeichneten Funetionen der

915 %y}

haben in ıhrer Gesammtheit keinen gemeinsamen Factor.

Folglich

kann man Functionen ı, v”, v”

?

VON Z,, % ,: derart bestimmen, dass

Ü’U’+?)”U”+U”’U”’+"'Z]_

wird ($ 346; XID.

Z

Z

Multiplicirt man (19), (19%), (19”),--- der Reihe

nach mit v', v

A ’U”

und addırt die Producte, so entsteht

D“ —0

(20)

(modd. ff fin)

oder ausführlich geschrieben

(20°)

(D#=f1Q1 +sz2 P 999 P VQ

Die U, v“

2

werden noch CC

enthalten, und dasselbe

gilt auch von den Factoren Q,, Q,

Nun kann man aber in (20*)

d ME

beliebig untereinander vertauschen.

Thut man dies,

addırt sämmtliche hierdurch entstehenden Gleichungen und bedenkt,

dass dann die Factoren der f„ in den Wurzeln symmetrisch werden

2

so folgt, dass man sie rational in den Coefficienten der f„ darstellen

kann.

Demnach können wir den Satz aussprechen:

Wenn eine

Funcetion ® für alle, in endlicher. Anzahl vorhandenen Wur-

zeln des Systems

fal8ı, %: Em)= 0

(«=1,2,...m)

verschwindet, dann kann die Gleichung

\

(20°)

BD Z O f2Q2 + F f Qm

aufgestellt werden, in welcher die Q ganze Functionen der z mit

rationalen Coefficeienten bedeuten und w die höchste vorkom-

mende Multiplicität einer Wurzel ist*). Es ist ersichtlich, dass

dieser Satz von hoher Bedeutung für die Geometrie der Curven und

Flächen ist; ®=0 stellt dabei eine Curve oder eine Fläche dar,

welche durch alle Durchschnittspunkte der Curven oder Flächen f=0

hindurchgeht.

$ 429. Bei den Untersuchungen der letzten beiden Paragraphen

stimmte die Zahl der Gleichungen fx= © mit derjenigen der Unbe-

kannten z überein.

Wir können uns von dieser Voraussetzung frei

machen.

In der That, wenn die Anzahl m’ der Variabeln geringer ist

als die Anzahl m der Gleichungen, während doch noch eine endliche

z

A

’) Herr Noether hat dieses Theorem in dem Aufsatze: „Ueber einen Satz

aus der Theorie der algebraischen Functionen‘“ für m= 2 in etwas anderer, für

unsere Zwecke weniger geeigneten Form abgeleitet. (Math. Ann. 6 (1852) p. 351.)

Vgl. auch E. Bertini: Math. Ann., 34 (1889), p. 447; und 35 (1889), p. 456; ferner

Noether: Math. Ann, 34 (1889), p. 450 und E. Netto: Actamath. 7 (1885), p. 101.

125

Eigenschaften der Eliminanten und der Resultanten,

Anzahl von Wurzeln besteht, dann können wir mit willkürlichen Para-

metern u„, neue Funetionen

e = ma fa - eala A Wa m fm

(@—1,2,...m))

ableiten, welche wegen der Unbestimmtheit der u„, nur für die Wurzeln

der fx = 0 verschwinden und für alle diese Wurzeln. Daraus folgt

D z U A Q A F I Q

Die Q sind hier rational in den Coeffieienten der f und in den wu„.

Für unbestimmte w verschwinden die etwa auftretenden Nenner nicht

identisch, und folglich giebt es besondere Zahlenwerthe, für welche

dies auch nicht der Fall ist ($ 337).

Trägt man diese ein und geht

auf die f zurück, dann ist der Satz des vorıgen Paragraphen von der

Voraussetzung befreit, dass die Zahl der Variablen mit derjenigen der

Gleichungen übereinstimmen müsse.

$ 430. Wir können jetzt auch die Voraussetzung fallen lassen,

dass die Gleichungen fx = 0 nur eine endliche Anzahl von Wurzeln

besitzen. HEs seien m Functionen f7 mit (p + 1) Variablen gegeben.

Das Theorem über die Darstellbarkeit seı bereits für m Functionen

und n Variable bewiesen; wir wollen daraus herleiten, dass es auch

für m Funetionen mit (p + 1) Variablen gilt.

Da wir bei der Be-

schränkung auf hinreichend wenige Variable zu einer endlichen Anzahl von

Wurzeln kommen, weil sonst das System fx=0 identisch erfüllt wäre,

so ist damit der allgemeine Satz bewiesen.

Die Variablen seien

31 Z

** Bpy @p+1-

Wir betrachten z,+1 als Parameter, dem wir

Dann ist der

einen beliebigen endlichen Werth zuertheilt denken.

Voraussetzung nach für die p Variablen 2,,

Zp

®”=P1f1+1)2f2+"‘+me111'&3

die P sind dabei rational in den Coefficienten der f und in Z+1.

Der Hauptnenner der P sei o(2,+1); dann können wir schreiben

(21)

O(2p+ı) P“ = Qı + Qla F A Qmfn-

Genau in der gleichen Art können wir herleiten

=—

Ea

6(2,) : Dr

lel + R2f2 + +-Rmfm,

(21%)

z=—

Ha

.

A e

. .

wobei offenbar das w in allen Gleichungen als dasselbe angenommen

werden kann, da es ja in jeder solchen Gleichung beliebig vergrössert

werden darf.

Das System

f1=0;"'ﬁn=o5 6(51)=07 r('z2) =O;"'@(Zp+l)=0

126 Vierzigste Vorlesung $ 430—431.

Einundvierzigste Vorlesung $ 482.

hat wegen seiner letzten (p+1) Gleichungen offenbar eine endliche

Anzahl von Wurzeln, die wegen der ersten m Gleichungen sämmtlich

D zum Verschwinden bringen.

Folglich ist

D' — M f + M + Manfn-N; 6(@,) E Nor(@) 4 — Np+ı 0 (p4)

und also, wenn man mit ®“ multiplieirt und die Gleichungen (21)

und (21*) verwendet,

E

D'

Fr}

© (odol fn a -

Damit ist der allgemeine Satz bewiesen ®).

$ 431.

Es mögen jetzt m vollständige allgemeine Funetionen

Fr 125

fın von den (m + p) Variabeln 2,, 22, : Zmj U1 V, Up Se-

geben sein.

Ferner sei ® eine Funetion derselben Variabeln, und &@

eine Funetion allein von %,, %,

9

Wir nehmen an, dass das

Product D(2,--: m; Vıy‘:-Vp): P, %) für alle Wurzeln von

Z n Z yerschwude

Eine solche Wurzel sei (21,

anl; Dı ’

. ./U]7

1ı). Dann können

wir ($ 350)

(22)

D= 0 L — A F

+ (Zm

Zm1) m F @ — Oal 999 P @ — Up1)Xo

setzen, wobei 0 von Null verschieden ist, wenn ® nicht selbst schon

für diese Wurzel (2,,:--vp1) verschwindet. Jetzt wählen wir %,, p

2

2

den Werthen %,

U1 beliebig benachbart und auch v,„ dem v

beliebig nahe, aber so, dass nicht @(0,2, V, Up2) = 0 ist. Dies geht

bei passender Anordnung der w stets, wenn @ nicht identisch ver-

schwindet.

Wir können bei dieser Wahl direct festsetzen, dass

| %12 Oala 10a — '”21!7"'l'”1>2 — Oı [< i

sein soll, wo 0, beliebig klein sein mag.

Jetzt bestimmen wir weiter 2,2,:-: %m2 SO, dass für diese Werthe

fa(zl7 * Zm) V12> Do27 "7}132)=0 ; (“=‚1;27"'m)

wird, was angeht, da die Anzahl der Gleichungen derjenigen der Un-

bekannten gleich kommt, und da trotz der Einführung von %,, Vpo

&9

D

die x als Funetionen der

aufgefasst, nach wie vor allgemein und

Zm1 l

vollständig sind. Nach $ 353 werden auch | 2,2 — Z

bei hinreichend kleinem 0, beliebig klein.

Wir können alle absoluten

Beträge der Differenzen zweier Coordinaten < 0, machen, wo 0, mit 0,

gleichzeitig unendlich klein wird. Für den Bereich der durch

MDE LTE

*) Diese und noch weitergehende Verallgemeinerungen des Problems der Dar-

stellung stammen von Hermn Hilbert: „Ueber die vollen Invariantensysteme‘“.

Math. Ann. 42 (1892), p. 320. Der hier gegebene Beweis ist dieser Arbeit ent-

nommen,

Kronecker’s Eliminationsmethode. — Reductibilität und Irreductibilität.

127

-

2ı — Au

— A

m zm1l; "l”p Üpll<ö()

bestimmten Z,,

Zm) Yı

OD die

Maxima der absoluten Beträge von %,: --WUmy X> Xp aus (22) und

Q sel der grösste aller dieser Beträge.

Da Z Zma, Dia‘ ‘ Upa eine Wurzel des Systems fxz= 0 ist,

so wird für sie ®.o = 0, und weil y =+0 ist, so wird ®= 0, d. h.

nach (22)

Ö @p Auı @m mımO —u I p ı = 0

Der absolute Betrag der linken Seite ist grösser als

10 |— Z]| (Zus — Ba1) Va | — Z |(0p2 — Vp1)xp | Z | C |— (m +p)%E.

Durch Verringerung von 0, kann man dies wesentlich positiv machen,

falls [C| nicht verschwindet.

Dann wäre aber ® =+0, und folglich

ist 0=0. Das heisst: Verschwindet das Produect

®(‘217 ° &m, 1, "%’)'9”(”h" 7JP)

für alle Wurzeln des Systems

fa(£l; "Zm; 1]1’ ..1}p>=0

@= 1, 2,°°)

von m Gleichungen mit (m+p) Unbekannten, dann ver-

schwindet auch schon ® allein für alle diese W urzeln; des-

halb ist auch hier

(—D=f1@1 +f2Q2++ﬁ“Q”L

Kinundvierzigste Vorlesung.

Kronecker’s Eliminationsmethode. — Reductibilität und

Irreductibilität.

é 432. Sind 2,11, %2, : Zın irgend welche Grössen, deren sym-

metrische Funetionen dem Rationalitätsbereiche angehören, so ist es

Jeicht, alle Gleichungen aufzustellen, deren Coefficienten gleichfalls dem

Rationalitätsbereiche zugehören, und unter deren Wurzeln 2,1, 2921n

sich befinden. Die einfachste dieser Gleichungen ist diejenige, welche

auch keine weiteren Wurzeln besitzt, nämlich

f(@) = (& — (& — A Cı — An)=0,

und die übrigen werden durch f(z,). @(z,) = 0 geliefert, wobei @(z,)

eine beliebige ganze Funetion des Rationalitätsbereiches bedeutet.

Die nächstliegende, dieser Aufgabe entsprechende, auf ein System

von Gleichungen bezügliche Frage würde die folgende sein. Es sind

”

128

Einundvierzigste Vorlesung $ 431—432.

k Werthsysteme (214, 220x, ° Zme) für «= 1,2,-.-.k der m Varilablen

Z15 %37

Zm gegeben.

Es sollen alle Gleichungssysteme mit rational

bekannten Coefficienten gefunden werden, welche jene Werthsysteme

und keine andern zu Wurzeln haben.

Diese Aufgabe lässt unendlich

viele Lösungen zu. Man könnte sie z. B. so behandeln, dass zuerst eın

-

(D

f(&)

—

@ — Al@ — Ap) . ( — 212) = 0

bestimmt wird; dann könnte man mit Hülfe der Lagrange’schen Inter-

polationsformel jedem 21 = Zıg €IN Za = Zaa vermittels

2)

f (@)

0

fa(dı, %) = %o "‘a252a @&

SO

zuordnen; ähnlich jedem 21„ ein 23,, u s. f. In dieser Art lassen sich

also m Gleichungen herstellen, die das Problem lösen.

Jede lineare

Man

Combination derselben wird im Allgemeinen das Gleiche thun.

darf dabei aber nicht vergessen, dass das aufgestellte System noch

Sind z. B. vor-

fremde, im Unendlichen gelegene Wurzeln besitzt.

geschrieben

(217 22) S (—17 O)7 (O> 1)7 (l; O)>

dann findet man nach der angegebenen Vorschrift

fı

E

HEa Fa l=0,

so dass ausser jenen drei endlichen Wurzeln noch drei unendlich grosse

bestehen.

Dieser Uebelstand wird sich im Allgemeinen überhaupt

nicht heben lassen; das erkennt man schon aus unserem Beispiele. Der

Be6zout’sche Satz zeigt, dass die drei Wurzeln nur dann das volle

Wurzelsystem zweier Gleichungen ausmachen können, wenn N, — 3,

n — 1 ist; jene drei; Wurzeln können aber nicht einer linearen Glei-

chung Genüge leisten.

Hat man auf verschiedene Arten die Darstellung einer Reihe von

Werthsystemen als Wurzeln geleistet,z. B. durch

f1=07 f2=07

un dureh . * = 0, @= 0,

dann wird jedes f für alle Wurzeln des zweiten Systems gleich Null

werden und umgekehrt.

Nach dem Schlussparagraphen der letzten

Vorlesung giebt es also Darstellungen

fZ“=P491+P02/92+"

(@«=1,2,--);

g = Quefi H Qafz F i

(“=172;"')'

$ 433. Im Falle, dass mehrere Gleichungen mit mehreren Un-

bekannten vorliegen, braucht sich aber „das Gemeinsame“ des Systems

nicht auf einzelne Werthsysteme in endlicher Anzahl zu beschränken

Es können z. B. bei drei Variablen — geometrisch

(vgl. $ 404).

Kro'necker‘s Eliminationsmethode. — Reductibilität und Irreductibilität. 129

gesprochen — nicht nur gemeinsame Punkte der Gebilde vorhanden

sein, sondern auch gemeinsame Curven, ja sogar gemeinsame Flächen-

stücke. Man erkennt, dass in jedem der letztern Fälle die Darstellung

(1), (2) versagen würde, da ja (1) für umendlich viele Wurzean erfüllt

wäre, also f(z,) identisch verschwinden müsste.

Züugleich ist es klar, dass das ganze Problem hier anders gefasst

werden muss.. Die allgemeine Fragestellung ist die: Es sind beliebig

viele Gleichungen

(3> f1('21; '°Z‚„)=O, f2(517 -"Z„‚)=O,-*-]?(Zl7 —.‚gm)=0

Welche Einschrän-

zwischen m Variablen ,: - %m gegeben.

kungen werden durch die Gleichungen (3) auf die m-fache

Mannigfaltigkeit der z ausgeübt? Insbesondere: Wieviele Glei-

chungen sind höchstens nothwendig, um die durch (3) defi-

nirten Gebilde rein darzustellen?

In dieser

umfassenden und weitblicekenden Form hat L. Kro-

necker *) das Eliminationsproblem behandelt. Wir geben im, Folgenden

die Hauptgesichtspunkte wieder. Gleich hier seı von vornherein darauf

aufmerksam gemacht, dass die Frage nach der Multiplicität von Lö-

sungen ganz zurücktritt.

$ 434. Zunächst führen wır wieder nach Liourville

(4) 2m= %— ( 24 + Um—18m—1);

I=U 8 + i - UmEm

(Um = 1)

in (3) ein und erhalten dadurch statt fi, f,

(5)

@ Bg en = 0, H@ A a = 0 e

Die f nehmen wir als präparirt an, um Besonderheiten auszu-

schalten ($355). Es wird dadurch z. B. vermieden, dass nur einzelne Coor-

dinaten einer Wurzel unendlich gross werden.

Ebenso können nicht

zu einem System 2,, %,: £m—1 unendlich viele Werthe z gehören.

Den grössten gemeinsamen Theiler von g,,gz,::- befreien wir von

etwa vorhandenen mehrfachen Factoren, benennen die zurückbleibende

Funetion Rı(x; ,, Zm—1) und bezeichnen mit G, die in Rı nicht

enthaltenen Factoren von gg.

Dann entsprechen, abgesehen von der

Multiplieität der Wurzeln, allen Lösungen von (5) alle von

(6)

R1(x; AAy Bg Z‚„__1> T0 09

(6%)

G, %; 4,° @m-1) = 0,

Ga(X; 1, Em-ı1) = 0, :3

und umgekehrt entspricht jeder Lösung von (6) oder von (6%*) eine

solche von_(5). Es kann also aus jeder Lösung von (3) eine solche

*) Grundzüge einer arithm. Theorie u. s.w. J. f. M. 92 (1882), p. 1, $ 10. Vgl.

auch die ausführlichen Erläuterungen von J. Molk: Acta math. 6 (1885), p. 1.

Netto, Algebra. II.

9

130

Einundvierzigste Vorlesung 8 434.

von (6) oder (6%) hergeleitet werden; und umgekehrt lässt sich zu jeder

von (6) oder von (6%*) ein z sSo bestimmen, dass man eine Lösung

yon (3) erhält. Daraus folgt, dass bei der Zerlegung von R, in lineare

Factoren nach x

R

M

jedes &, &’,... linear und homogen in 4, ,---Um ist. Denn zu x =E;

21 ,° m— giebt es ein Zn = E— (u2 + + Um—1%m—1), welches

mit 21 ,° Zm—1 zusammen eine Wurzel von (5) giebt. Diese Wurzeln

sind von &4, Um—1 unabhä

ngig; demnach ıst

o e)))

— U,& + JEn + Um—1%&m—1 + €m-

Man hat deswegen

Rl= (x_'u] 21‘_'"—unz——-lzm—l'— ;m) (%'—’Lbl 2'1_ K ‘_”///—1—2m——1_ C;/1)

?

n (zm ITE C7'n) (Zm R €’I’IL>

undi diee C

sind Wurzeln einer Gleichung, deren Coefficienten

rational von Z,, %,

Zm—1 abhängen.

Die durch (6) erlangten

Wurzeln von (3) bilden also eine Mannigfaltigkeit (m — 1)'”

Dimension. In ihnen lassen sich 2, , %,: Zm—1 beliebig wählen,

Zn ist dadurch bestimmt.

Alle nicht hierdurch gelieferten Wurzeln von (3) befriedigen

(6®). Wir bilden mit unbestimmten Parametern v und w zwei Fune-

tionen

6”)

G C 4E 0G

w G + WG + s + WG-

Wenn ein System (&,, &,: Em—1) beide für jede Wahl der v, w zu

Null macht, dann ist (6®) befriedigt, und umgekehrt macht jede Wurzel

von (6°) die beiden Functionen (6”) zu Null. Wir eliminiren aus beiden

die Grösse 2„_1 und ordnen die Eliminante nach Potenzproducten der

Üa

Die Coefficienten mögen

C)

h1(x; Z Zm__2) Z 07

h2(x; A Zm—2) — O) Ca

Jede Lösung von

sein, auf deren Anzahl es nicht weiter ankommt.

(6°) liefert hiernach eine solche von (7); umgekehrt kann, zu jeder

Wurzel (E, E, - Em—2) von (7) ein —1 So gefunden werden, dass

(E, Er, : Em—1) jene beiden linearen Gleichungen (@°) ın @, 0 wn

Dieses En 1 scheint, da es von (6”) ab-

also auch (6%) befriedigt.

hängt, eine Funetion der v, w zu sein; deshalb wollen wir &m— 1(v, w)

schreiben.

Dann wären

g; C17 W ;m——2, Cm—1(% w)

die Coordinaten einer Wurzel von (6%®). Von diesen Wurzeln kennen

wir bereits die Form; sie haben die Coordinaten

%=MIÄI+“'+%mC„„ é1; C2;"'ém——2; Cm—1*

Kronecker’s Eliminationsmethode. — Reductibilität und Irreductibilität

NS

Daraus folgt, dass &_2 von v, w unabhängig ist, da es ja schon in 5&

als Coefficient von un 1 auftrıitt

Die durch (6) nicht gegebenen

Wurzeln von (3) werden demnach von (7) geliefert

befreien wir

Den grössten gemeinsamen Theiler von h,, ,

von etwa vorhandenen mehrfachen Factoren, benennen die zurück-

Zm—2) und führen ähnlich wie oben die

bleibende Funetion Rı (X; 2,,

H, ein. Dann entsprechen, abgesehen von der Multiplicität der Wurzeln

allen Lösungen von (7) alle von

(8)

‘R (x Zl7 Z27

äm— 2) —

(8°)

JEl @s An

Bn—_a)=2 0, JEh(@ A,

Ap_)= ©0

7

und umgekehrt entspricht jeder Lösung von (8) oder von (8*) eine

solche von (7). Daraus folgt, dass alle Wurzeln von (8) oder von (8*)

Coordinaten von der Form

5—ulgl—|—u2é'z—[— +“m€m; C1) C2)

Cm 2

haben

Nun schliesst man wıe oben, dass

Em)] [“rn 1 (zrn— al

Cm —l > + (Z'‚„

n [u7n —l (zm al

Cm — 1) + (zm

Cm)]

sein wird. Die durch (8) erlangten Wurzeln von (9) bilden

In ihnen

also eine Mannigfaltigkeit (m — 2)*" Dimension

SMI Z Za

Z M

beliebig; Z„—1 und z„ werden als Wurzeln

von R =0 durch sie bestimmt

Alle nicht durch (6) und (8) gegebenen Wurzeln von (3) werden

durch (8*) geliefert

An dieses System knüpfen wir dieselben Be-

trachtungen wie oben an (6*). Man kann demgemäss durch Fort-

setzung des Verfahrens folgenden Satz beweisen: Sämmtliche ver-

schiedenen Wurzeln von

(3)

@

&m) = 0, fal&ı,

Br)= ©

2&

Zn)= 0

werden durch eine der Gleichungen

Ra (%5; 21, ,

Zm o:) =

(«=1,2,--

)

geliefert

Hierbei bedeutet x den Ausdruck 4,2, + 62 +

+ Um —1 m— 1 + Zm

Die durch Rı = 0 gegebenen Wurzeln

bilden eine Mannigfaltigkeit (m — «)*" Dimension; es bleiben

1 %)

2n bebebre

m werden durch sie alge-

braisch bestimmt. Die einzelnen R, heissen Theileliminanten

das Product

Rı R

R

heisst die Gesammteliminante von (8)

Wie man erkennt,

sind _ wir auch hier wieder auf völlig natur-

gemässem Wege zur Emtheüuno d91 Gebilde ihrer Stufenzahl nach

gekommen ($ 405).

g*

132

Kinundvierzigste Vorlesung $ 435—437.

$ 435. Nach diesen Ergebnissen sind wir im Stande zu erklären,

was man unter der Reductibilität und der Irreductibilität eines

Funcetionen- oder eines Gleichungssystems zu verstehen hat. Ein System

von Functionen oder Gleichungen (3) nennen wir irreductibel

oder reductibel, je nachdem seine Gesammteliminante es ist.

Daraus folgt sofort: Ist ein Gleichungssystem so beschaffen,

dass jede Function, die einen Wurzelpunkt mit ihr gemein-

sam hat, für alle seine Wurzeln verschwindet, dann ist das

System irreductibel.

Denn wäre es reductibel, dann könnte man

seine Gesammteliminante zerlegen, R==S-.T, und die Gleichung S=0

gäbe gegen die Voraussetzung nur einen Theil der Wurzeln.

Dagegen gilt der Satz nicht, dass wenn eine Wurzel eines irre-

ductiblen Systems (3) eine Funetion ®(z,,

Zm) zum Verschwinden

bringt, dann ® für jede Wurzel von (3) verschwindet, wie man wohl

zuerst geneigt wäre, der Analogie gemäss zu schliessen *). Hin ein-

faches Beispiel zeigt dies; das Gebilde „die Kugel“

Ar A =0

ist sicher als irreductibles System aufzufassen; dies hat gleichwohl mit

Ara ra l=0

Wurzeln gemeinsam, aber nicht sämmtliche. Das wirkliche, den Sätzen

mit einer Variablen analoge Theorem würde sich etwas complicirter

gestalten, ındem eine gemeinsame Wurzel von 5 =—0 und von (3)

nur bei zwei Theileliminanten von gleicher Dimension der Mannigfal-

tigkeit oder von gleicher Stufenzahl entscheidend wird.

$ 436. Die Aufgabe, ein gegebenes System (3) in seine irreduc-

tiblen Factoren zu zerlegen, ist hiernach einfach zu lösen. Wir bilden

die Gesammteliminante, oder auch das System der Theileliminanten

und zerlegen dieses oder jene in alle ihre irreductiblen Factoren

S(wWi21 4 Ua%2 + * * + UmBm, 22 88) n Zm)-

Entwickeln wir jetzt nach Potenzpröducten der Unbestimmten u, dann

liefert das gleich Null gesetzte System der einzelnen Coefficienten

ein Gleichungssystem, dessen Inhalt mit dem von S = 0 vollkommen

übereinstimmt. Diese Darstellung gilt übrigens auch von reductiblen

Theilern der Gesammteliminante, ja auch von ihr selbst.

Die Anzahl der durch diese Entwickelung sich ergebenden Coeffi-

cienten kann natürlich sehr bedeutend sein.

Es lässt sich aber nach-

weisen, dass (m+1) Funetionen stets ausreichen, um eine vollständige

&X

*) Herr Molk (l. c.) führt dieses Theorem an (V, S 3) und versucht auch

einen Beweis desselben herzuleiten.

Kronecker’s Eliminationsmethode. — Reductibilität und Irreductibilität.

133

Darstellung eines jeden S zu liefern. Das soll im nächsten Paragraphen

geschehen.

Aus dem Dargelegten ist ersichtlich, dass die Zerlegung: eines

Systems in irreductible Systeme nur auf eine Art vor sich gehen kann,

wobei freilich nur die dargestellten Mannigfaltigkeiten eindeutig fest-

gelegt werden, nicht aber die darstellenden Funetionen der Systeme,

weder ihrer Form noch ihrer Anzahl nach.

KEin System ist ein Theiler eines anderen Systems, wenn die

Gesammteliminante des ersten ein Theiler derjenigen des zweiten wird.

Ferner wird es klar, was unter theilerfremden Systemen zu

verstehen sei, nämlich Gleichungssysteme, deren Gesammteliminanten

keinen gemeinsamen Faetor haben.

Als grössten gemeinsamen Theiler zweier Systeme haben

wir dasjenige System zu definiren, welches durch den gemeinsamen

Factor ihrer Gesammteliminanten bestimmt wird.

Aus dieser Definition ergiebt sich sofort weiter, d

ass zu den beıiden

Systemen

f 1a

fa

und @,, ®:

Dr

das System, welches aus allen (g + x) Elementen f und @ besteht,

der grösste gemeinsame Theiler ist.

$ 437. Wir wollen jetzt den angekündigten Satz beweisen, dass

wenn irgend ein System (3) vorgelegt ist, sein Gesammtinhalt durch

höchstens (m + 1) Gleichungen vollständig ausgedrückt werden kann.

Wir betrachten irgend einen Theiler der Gesammteliminante von

(3), der nicht nothwendig irreductibel zu sein braucht.

Durch sein

Verschwinden werde eine (m — «)-fache Mannigfaltigkeit definirt, die

aber auch mit Mannigfaltigkeiten niederer Dimensionen gemischt auf-

treten kann. Wir bezeichnen diesen Theiler der Gesammteliminante mit

(9)

S,1(Ml 1 + E + umzm; Zl; RN Zm—a) a O

Setzen wir hierin der Reihe nach alle w mit Ausnahme zuerst von

Um—a-+1, „dann von m— o-+2,:. endlich von u gleich Null, und diese

Um—a+1, Um gleich 1, so entsteht eine Reihe von Gleichungen

(10) 6m—oc+l (Zm—a—l—l S 27n—a) S O, A

C Z

KEs ist klar, dass (9) ein Theiler von (10) ist. Die Gesammteliminante

von (10) sei T'(x; 2,,---2m); dann wird Su(z; 21,- : Zm_a) ein Factor

on

@ A E SA y Ba UG z

Zm)

Da, wie gewöhnlich, mehrfache Wurzeln ausgeschaltet sind, so haben

Sy und U keinen Theiler bei allgemeinen U, U, Um gemeinsam.

Wir schreiben jetzt

134 HEinundvierzigste Vorlesung $ 487. ngiundvierzigste Vorlesung $ 438.

S‚;„(.’I); Z1) "Zm—a>__—sa’(zlyz2) ** m5 M1;“2-"'“m)°

Durch jeden gleich Null gesetzten Factor von U wird eine Mannigfal-

tigkeit definirt, welche z. B.

Z/?+1'_'“%1(21;"'»3(3’)‚ Zß+2=12(2’1,'“2‚3),'“

bestimmt. Es sind die % mehrwerthige algebraische Functionen, d. h.

Wurzeln algebraischer Gleichungen.

Tragen wir alle diese Werthe ıin

S ein und multiplieiren wir die Resultate, dann haben wir eine

Function, die In 28+1) 28+?)

symmetrisch, also durch 2,,::: 2g und

die Coefficienten jener Gleichungen darstellbar ist. In diesem Producte

kommen somit nur die Varlablen 2,,

9° 85 Carn

U vor; und bei

unbestimmten w ist das Product von Null verschieden, weil Sı=0 mit

Da das Produet bei unbe-

U=0 keinen gemeinsamen Theiler hat.

stimmten w ,: U nicht verschwindet, so kann man auch besondere

Werthe ausfindig machen, für welche dies nicht geschieht. Ordnet man

nämlich nach Potenzproducten der 2; ,

2g, SO brauchen die w nur so

gewählt zu werden, dass nicht alle Coefficienten dieser Potenzproducte

verschwinden.

Führt man diese Operationen bei allen Factoren von U durch,

dann gelangt man zu besonderen Constanten 4, = ı, Um = Dm, für

welche keins der Producte der S;, also auch kein S, selbst infolge

von U = 0 verschwindet.

Daher wird auch für diese Constanten die Gleichung

Sa(plzl '+" Pa + S +_pm»%n3 Z A Zm——a) —.

(1

mit U = 0 keine Wurzel mehr gemeinsam haben, und (10) und (11)

Liefern zusammen (@« + 1) Gleichungen, welche den Inhalt von (9) rein

und vollständig wiedergeben.

»

durrch welche

Eine reine oder gemischte Theileliminante,

keine höheren als (m — «)-fache Mannigfaltigkeiten definirt

werden, kann vollständig und rein durch (@«x+1) Gleichungen

dargestellt werden. Insbesondere: Jedes beliebige Gleichungs-

system (3) zwischen m Variablen kann vollständig und rein

durch höchstens (m + 1) Gleichungen dargestellt werden.

Die Bedeutung dieses Satzes für die analytische Geometrie liegt

auf der Hand. Er zeigt z. B., dass Raumcurven rein erst durch vier

Gleichungen zwischen den drei Coordinaten dargestellt werden können,

ode

r dass eine beliebige Anzahl von Punkten in der Ebene erst als

Durchschnittssystem dreier Curven rein geliefert werden wird.

Es ist klar, dass (@« + 1) Gleichungen bei der Darstellung zwar

stets ausreichen, aber nicht immer nothwendig sind, um eine Mannig-

Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Funetionen und von Gleichungen

135

faltigkeit (m

a)" Ordnung rein anzugeben

Man kann ja eine solche

direct durch « Gleichungen zwischen den m Variablen z definiren

Zweiundvierzigste Vorlesung

Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Funetionen und von

Gleichungen, — Die Funetionaldeterminante

$ 438. Sind zwei Funetionen einer Variablen z gegeben

ag + agl . - Am,

a a

und bezeichnet man ihre Werthe für ein willkürliches z miıt @ und %,

so sind die Gleichungen

Z

z + a mel +

__(p___()

b + ba H+

0

glemhze1tw für jenes z erfüllt, und infolge dessen ist

anL ED Am— 1

UAm— 2

O Aın — (P Am —1 1

Ö„—1/} bn al

On—2

C w G

b —'1/J bn—1

i

d. h. es besteht eine Gleichung zwischen @ und ı, deren Coefficienten

Constanten sind, und die nicht für alle beliebigen Werthe von @, w

erfüllt sein kann

Diese Thatsache

dass die Werte der beiden Func-

tionen nicht unabhängig von einander gewählt werden können, sprechen

wır SO aus

dass wir sagen

die Funetionen seien nicht von einander

unabhängig

Sind q Funetionen von m Variablen

D

f1("”1;

Z

f"(zl7

Zm)>

,1(Zl,

© m)

gegeben, dann heissen sie unabhängig von einander

wenn keine

Gleichung

(2)

F(fl7 f2?

j —

besteht, deren Coefficienten von den Variablen unabhängig sind

und

die nicht ıdentisch erfüllt ist, d. h. nicht, wenn man fi, f,

fz als be-

liebige varlable Grössen ansieht

Es sind also Gleichungen, wie etwa

f1 +(f2—_fl)(f‘7+fl)_f2_o

nıcht geeignet, eine Abhängigkeit zu begründen

136

Zweiundvierzigst_e Vorlesung $ 438—440.

Besteht zwischen den f,,

fa eine solche Gleichung (2), dann

können nicht alle Werthe für f,,

fz beliebig gewählt werden, da

sie ja eben (2) befriedigen müssen

Kann man umgekehrt das System

D 295 SO wahlen? dass

fa Jedes willkürlich vorgeschrie-

bene Werthsystem annehmen kann, dann besteht natürlich keine Glei-

chung (2) zwischen den Functionalwerthen, und die Funetionen sind

yon einander unabhängig. Von diesem an sich klaren Satze haben

wir schon früher Gebrauch gemacht.

$ 439. Es möge” zunächst die Anzahl der Gleichungen diejenige

der Variablen um 1 übertreffen, also 9g = m +1 sein. Giebt man den

Variablen ein beliebiges Werthsystem, dann mögen die Werthe der

Es

Funcetionen durch die Symbole %,, %, -

%, bezeichnet werden.

sind folglich die Gleichungen

@3)

f“('317 CD Z‚„)

0 =0 @= 1, 2000 %A Il)

mit einander verträglich, und ihre Resultante R ist daher =0. Diese

ist eine ganze Funetion der Coefficienten aller f und zugleich der Werthe

Pır P2>

Dq

Wir beweisen, dass R nicht identisch verschwinden

kann, d. h. nicht dann, wenn man @,: %, alg unabhängige Variable

auffasst.

Nach der Poisson’schen Bildungsweise für Resultanten ist

R] ]Chapaleuez + 8nc) — Pnl

wobei die (Zıx,- * Zmo) alle endlichen ‘ Wurzeln der Gleichungen

f{?(zla; .-Zma)——(p@=0 (9=1;2;"'m)

zu durchlaufen haben.

Aus

dieser Poisson’schen Productform iıst

ersichtlich, dass in R die Grösse @.41 nicht verschwinden kann. Das

Gleiche gilt für alle übrigen ®%o.

Unter Andeutung dieser Grössen

schreiben wir für die Resultantengleichung

R(‘P1; Da ‘Pm+1) =0,

oder, da die @ ja nur eingeführt waren, um ohne Irrthümer und Zwei-

deutigkeiten die fi,-::fm-+1 darzustellen, so erhält man jetzt eine Glei-

chung von der Gestalt der Relation (2), nämlich

(4)

R(fir fr Im+ı) = 0.

Ist die Anzahl der Functionen um eins grösser als die An-

zahl der Variablen, dann besteht zwischen ihnen eine Glei-

chung (2), welche aus der Resultante des Gleichungssystems

(3) hergeleitet werden kann. Daraus folgt: Uebertrifft die An-

zahl der Functionen diejenige der Variablen, dann bestehen

mindestens so viele Relationen (2), als die Differenz der beiden

%\bhängigkeit und Unabhängigkeit von Funetionen und von Gleichungen. 137

Anzahlen beträgt.

Wir werden in der nächsten Vorlesung mit der

Aufstellung derartiger Relationen zu thun haben und uns mit dem

Problem beschäftigen, ein System unabhängiger Relationen aufzustellen.

Die Funetion auf der linken Seite von (4) hat nur dann ein von

den Yn

fm+1 freies Glied, wenn das System

8

eine Wurzel besitzt ; bei allgemeinen Funetionen findet das also nicht statt.

$ 440.

Ist g >m, dann giebt es stets Relationen (2); es ist

aber nicht ausgeschlossen, dass derartige Gleichungen auch für q <m

auftreten, dass es also auch dann eine Gleichung F(fi,:-fy)==0 giebt.

Wir wollen annehmen, dieser Umstand trete ein; dabei können

wir voraussetzen, dass wir nur diejenigen Funetionen „ ım Betracht

ziehen, welche wirklich in / eingehen, indem wir die übrigen einfach

von unserer Betrachtung ausschliessen.

Wir können ferner die Vor-

aussetzung machen, dass nicht schon unter weniger als qg Funetionen

fırfay fy eine Beziehung dieser Art stattfindet, da wir sonst unsere

Dann kann

Schlüsse sofort an diese geringere Zahl knüpfen könnten.

man das System mit willkürlichen @,, %,: @®gı

(S)

fa(%; 2a9° -Z‚„)

';Da=0 (“=1;27"‘q—1)

befriedigen.

Denn wenn man anderenfalls 9g —2 Variable eliminirt,

so fallen in der Eliminante alle Variablen fort, weil sie für keine Wahl

derselben verschwinden dürfte, und sie selbst liefert gleich Null ge-

setzt eine Relation zwischen den fz.

Bei (5) ist es möglich, dass (g — 1) der m Variablen z bestimmt

oder auch durch die übrigen ausgedrückt werden; m —g+-1 bleiben

unbestimmt. Jene (g — 1) eliminiren wir aus (5) und

(5°)

fq(zl; z2,-«-z„„)—qaq———0,

wobei @, einen Werth bezeichnet, der mit der Einschränkung der z

durch (5) verträglich ist.

Nun sind die Gleichungen (5) und (5?)

gleichzeitig erfüllbar; ihre Resultante nach (g — 1) Variablen 2 9-+2, + Zm

ist also Null.

So erhalten wir R= 0, wobei in R ausser den Coeffi-

cienten der f„ noch die Werte %„ und die unbestimmt gebliebenen

Wir entwickeln R nach

Variablen 2,,:--Zm—g+1 eingehen können.

Potenzproducten der @,,---@7; dabei entstehe

(6)

S (rf)E Ag . D =0.

Jetzt sollte der Voraussetzung nach eine von den Variablen freie

Gleichung

(6°)

il fa a= O

138

Zweiundvierzigste Vorlesung $ 440—441.

bestehen.

Setzen wir in ihr fi= @, fa—-ı= 41, SO bestimmt

sich daraus f, als Wurzel einer algebraischen Gleichung; d. h. zu jedem

System @,, %— giebt es nur eine endliche Anzahl von Werthen

%,, und diese sind frei von Z,, : Zm—g41 bestimmt, was aus (5*) noch

nicht hervorging. Dies wirft ein neues Licht auf (6). Kommt in den

Ag in (6) eine der Varlablen Z,,:-- Zm—g+1 wirklich vor, dann kann

man nach der bei (5) gemachten Bemerkung für unendlich viele Werthe

%41 erhalten und dann

derselben festgegebene Werthe von @,,

durch (6°) die möglichen Werthe von &, bestimmen. Für die festen

Pı

—ı und für ein unter einer endlichen Anzahl von Werthen

vorkommendes , müsste (6) bei unendlich vielen Werthen der

wirklich in den 4g vorkommenden Variablen befriedigt werden. KEs

giebt daher auch unendlich viele Werthe dieser Variablen, für die

Oaı und festem @, gilt.

Folglich müss-

(6) bei festem @,, %,

ten alle Coeffieienten 4g identisch verschwinden, und da dies aus-

9 Z meb n O

geschlossen ist, so kann keine der Variablen 2,,

Coefficienten Ag eingehen. Die übrigen Variablen aber waren elimi-

nirt; folglich ist R in seinen Coefficienten ganz von den Variablen frei,

So haben wir ein

und R=0 eine Relation wie sie gesucht wurde.

Mittel erlangt, ein Funetionensystem darauf hin zu prüfen, ob eine

Abhängigkeit zwischen seinen Elementen besteht, und wenn dies der

Fall ist, solche Relationen (2) auch wirklich aufzustellen, Um zu

untersuchen, ob die qg Funetionen fi,:::fz VON m S 0) an

ablen

21 Zay

.Zm ein unabhängiges oder ein abhängiges

System bilden, bestimme man auf alle Arten die Eliminante

in Beziehung auf die Elimination von (g — 1) Variablen

zwischen den Gleichungen

fa (& Em)

d = 0

(‘x=l72;"'9)7

wobei die @ lediglich Bezeichnungen für die fa sind. Ist eine

dieser Eliminanten auch von den übrigen Variablen unab-

hängig, dann und nur dann bilden die f ein abhängiges Sy-

stem, und diese Eliminante liefert direct die zwischen den

f bestehende Relation.

$ 441. Jacobi hat im seiner Abhandlung „de determinantibus

funetionalibus“ (Werke III, p. 393) die Frage nach der Abhängigkeit

von Funetionen oder von Gleichungen untereinander von anderen Ge-

sichtspunkten her behandelt. Er setzt dabei nicht voraus, dass es sich

gerade um ganze Funetionen oder um algebraische Gleichungen han-

delt; als Haupttheorem stellt er das folgende auf, durch welches die

Abhängigkeit oder Unabhängigkeit von m Funetionen ebensovieler

Variablen erkannt wird.

139

Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Functionen und von Gleichungen,

Sind m Functionen fx(Z,, %,: Zm) für « =1,2,-...m vorgelegt,

so heisst die Determinante

—

Öf,

Ölfıs fas

U

3Z211 Z27

Z )

M

CN Z02 . )

02,

die Functionaldeterminante des Systems. Englische Mathematiker

bezeichnen sie als „Jacobian“. Wir sind dieser Determinante schon ım

$ 399 begegnet.

Ihr Verschwinden für eine Wurzel (2,,

An 1) del'

fı =0 war charakteristisch dafür, dass die Wurzel eine mehrfache

Wurzel des Systems ist.

Jacobi beweist von ıhr:

Das identische

Verschwinden der Functionaldeterminante

ist charakteris-

tisch für den Umstand, dass die Functionen nıcht von ein-

ander unabhängig sind. Den analytisch gehaltenen Beweis Jacobi’s

wollen wir hier nicht angeben; es sei auf die Originalabhandlung oder

auf eine der Darstellungen in Lehrbüchern der Determinantentheorie

oder der Analysis verwiesen.

Verbinden wir das Jacobi’sche Resultat mit dem von uns im

vorigen Paragraphen hergeleiteten, so folgt eine merkwürdige Beziehung

zwischen dem Aufbau der Eliminante und dem der Functionaldeterminante.

Lassen wir zunächst in den Funetionen f„ die Coefficienten unbe-

stimmt, eliminiren Z,, 23 ,: - Zm aus den Gleichungen

fa(& , 2

"%n)'“‘pa=o

(“=1;2;"'m)7

behalten z, zurück, ordnen die Eliminante nach z, und setzen

R(2; @1, --qvm)=2x;fz(wl‚ O A

schreiben wir dann andrerseits die Funetionaldeterminante

J=Z'@aß„- A

außv"‘

durch welche

so wird für jede Wahl der Coefficienten in f,, f

é}

2

alle 0,8... zu Null werden, / identisch verschwinden; folglich bilden

die fx ein abhängiges System, und nach & 440 wird eine der Elimi-

nanten, etwa die obige von 2, frei; d. h. die r, (x* > 1) verschwinden.

Dass wir hier gerade das obige R nehmen, ist natürlich bei der

Allgemeinheit der Coefficienten keine Beschränkung. — Das Um-

gekehrte findet ebenso statt; denn verschwinden alle diese Coefficienten

in R, dann sind die Funetionen nicht unabhängig von einander, und in-

folge dessen sind alle 045...=0. Wir haben also den Satz: Ordnet man

R(2,5 Pı> ' Pm) =Z Tyaw PL,

Z

D

a7ﬁ7“'

140

Zweiundvierzigste Vorlesung $ 441—443.

dann sind Potenzen der 0„5... homogen und linear durch die

Tzzu... (x>0) darstellbar und umgekehrt Potenzen der 7,3...

durch die o

Wir wollen zwei einfache Beispiele hierzu geben.

Es sei zuerst

fı — 9ı = 9° 4 200,% + b ” + 2602 + 2d% — @,,

fa — Oa = &1 — 0y — %,

dann wird

R = (a*-+ 200 b) 2° 2((a--a) pA ca 4 d) 24 (D —2c0,—00,),

—;J=(cc—f—a)zl—}—(aoc—{—b)zg+(occ—}—d).

Hier ist die Richtigkeit des Theorems sofort ersichtlich, da man hat

« + 200 + b= ala + «) + (a« + b)

und

a« + b= (« + 20a+ b)— a(a + «).

Als zweites Beispiel wählen wir

fı — Oı = 4 — 208,% F ba“ — O,

fa — Oı = ° — 2u0,% F B“ — Oa;

das giebt für R den Ausdruck

[(ß — b) + (« — a)(«b — ßa) 22“

* Zl —0 — 0@) F O — BA e — a°)] %* + (g — %)

und für %J den Ausdruck

(« — a)a? + b — Bß)212 + (aß — ba)2,

Auch hier erkennt man sofort die Gültigkeit des Satzes.

& 442,

Wir wollen jetzt noch einige, die Functionaldeterminan-

ten betreffende Sätze ableiten.

Sind (m + 1) Gleichungen fx= 0 in

m Unbekannten 2,, : &m gegeben, so können wir sie durch die Kin-

führung einer neuen Variablen 2„41 unter Beibehaltung der Dimen-

sionen %„ homogen machen.

So entsteht das System

(7)

9a(21; Za, ** Am) 5nz+1) =

(@«=1,2,...m + 1).

Da nun nach dem Euler’schen Satze über homogene Functionen

Oa

Ia

(8)

+ +Zm—|—1

e

513_Zf+52

02

ÜZ‚„+1

@= 12 m ;

so wird jedes System &,, &,: Em+1, welches alle gu zu Null macht,

die in 1, %> Zm+1 linearen Gleichungen (8) befriedigen, wenn die

Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Functionen und von Gleichungen. 141

rechten Seiten =0 gesetzt werden. Ist nun (& ,& ,: Em+1) +(0,0,::0),

dann muss durch die & die Determinante der linken Seiten

J

a(gl 9L gm+1>

0

7 OG

SA

werden, d. h. die Functionaldeterminante homogener Glei-

chungen mit ebensovielen Unbekannten verschwindet für jede

von (0,0,...0) verschiedene Wurzel des Gleichungssystems.

$ 443.

Die Form von J lehrt noch eine weitere Kigenschaft

der Funetionaldeterminante.

Wir addiren zu der mit z multipli-

cirten ersten Spalte von J die zweite mit z, multiplieirte u. s. w. bis

zu der (m+1)*" mit 241 multiplieirten und wenden den Kuler’schen

Satz über homogene Functionen an.

Dabei zeigt es sich: Das Pro-

duct aus der Functionaldeterminante in eine beliebige der

Variablen ist bei homogenen Functionen congruent Null nach

dem aus den Functionen gebildeten Modulsysteme.

Die Darstellung der Functionaldeterminante homogener Functionen

kann noch von einer anderen Seite her in Angriff genommen werden.

Ist das System (7) vorgelegt, und sind n,, M,

wıie gewöhnlich die

Dimensionen der Gleichungen, dann ist J von der Dimension (n, + 1,

+ + mı — M — 1).

Nach $ 420 können wir nun Funetionen

1)17 P Z

DPyn-+1 SO bestimmen, dass

(9)

DD

m+1Im+1

in z, höchstens bis zur Dimension (%, —1), in % höchstens bis zur

Dimension (n —1),--

aufsteigt.

Dabei sind freilich die Funetionen

P nicht sofort als homogen durch den angeführten Satz zu erkennen.

Behält man jedoch aus etwaigen allgemeineren P je nur die Glieder

höchster Dimension bei, so wird der Ausdruck (9) eine homogene

Funetion der gleichen Eigenschaft. Es giebt aber nur das eine Potenz-

mn—1

Z

Yın

36

product z

al

'32—‘ .

99° Cmaki

, welches den Gradbedingungen genügt.

Folglich ist (9) gleich diesem Potenzproducte, multiplicirt mit einer

Constanten.

Gesetzt, die Gleichungen (7) hätten eine von (0,0,...0) ver-

schiedene Wurzel (&,, &,-::-), dann wird für sie J==0 und g, =0,

9 = 0, : Im+1 = 0, also auch jene Constante =0. KHEine solche

Wurzel besteht nur, wenn die Resultante der Gleichungen ver-

schwindet.

Demnach ist die Constante durch die Resultante R der

Gleichungen theilbar, und es wird

n—1

A 11

(10)

J= P1.(/1 + + Pm+l,9m+l + 01R‘(Z

1

Zm+l

)

142

Zweiundvierzigste Vorlesung $ 443—445.

Die letzten Schlüsse werden hinfällig, wenn eine der Coordinaten £

gleich Null ist; aber gerade dann ist die letzte Gleichung selbstver-

ständlich. So sind wir zu dem Satze gelangt: Stets dann und nur

dann, wenn R=0 ist, kann

(11)

J R e n + Pon-t19Im-41

gesetzt werden.

Es ist also die Darstellungsmöglichkeit (11)

charakteristisch dafür, dass die homogenen Gleichungen (7)

eine von (0, 0,...0) verschiedene Wurzel besitzen.

Wir wollen diesen Satz durch zwei Beispiele erläutern.

Ist

Iı = A8” A 2002 f C%*, Iı = B, A Bea,

so wird

%J= (aß — ba)z, + (bß — c«) 2

1

EL

[(aß — ba)gı — (aß? — 2baß + ca«*)2],

[04

und hier ist der Coeffieient von %, gleich der Resultante der Fune-

tionen

ı = 06 206 460 fa — WD

Ist zweitens

Jı = a8,? + 2be,% + 02*, Iı = &* + 2ß8,% + V,

so wiırd

I = Haß — do)a? + 20y — 00)2,4 +20y— 08 %*

Setzt man dies = pgı + qgı, wobei p und q.Constanten bedeuten,

dann wird durch Auflösung der Bedingungsgleichungen

AAy — C

n=20— @

ay — ca

q= — 2b+a

aß — ba?

aß — ba?

aber auch

by

cß

ya — ß

p=2ß —4«

W —O

Z

g= — 2b— 44a

ay — Ca

Diese beiden Werthepaare stimmen hierbei nur dann überein, wenn

(ay — 00} — 4(aß — bo)(by — oß)=0

ist, wie dies nach dem ausgesprochenen Satze sein muss, da der Aus-

druck auf der linken Seite der Gleichung die Resultante aus

a + 2ßt+y7y=0

ab E 206 -E6=0

ıst

$ 444. Jacobi hat (l. c. $ 3) ein System von q Gleichungen mit

m Variablen als ein solches von untereinander unabhängigen

Gleichungen definirt, wenn keine derselben identisch erfüllt ist oder

mit Hülfe der übrigen zu einer identisch erfüllten gemacht werden

kann. Um ein System auf seine Unabhängigkeit hin zu prüfen, wird

9

Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Functionen und von Gleichungen.

14

]

aus einer ersten Gleichung fi = 0 eine Unbekannte z, bestimmt;

der erhaltene Werth in die anderen eingetragen und nachgesehen, ob

dabei eine identisch erfüllte Gleichung entsteht.

Ist

dies nıcht

der

Fall, so wird aus einer der neuen Gleichungen z bestimmt; der erhal-

tene Werth wird in die anderen eingetragen u. s. f. Kommt man bei

der Fortsetzung dieses Verfahrens auf keine identisch erfüllte Glei-

chung, dann heisst das System unabhängig. Hierbei sieht man zugleich,

dass in diesem Falle ‚ebensoviele Unbekannte bestimmt werden können,

als Gleichungen vorhanden sind, während im Falle der Abhängigkeit

das nicht eintritt. Deshalb gestaltet Jacobi seine Definition auch noch

folgendermassen um:

Dr Glerchunsen Y Z Z Z

heissen unabhängig oder abhängig von einander, jenachdem

es möglich oder unmöglich ist, aus ihnen qg Unbekannte zu

bestimmen.

Da es nun nicht angeht, mehr als 9 Unbekannte aus

den q Gleichungen zu bestimmen, so folgt, dass die Anzahl unab-

hängiger Gleichungen nicht grösser sein kann als die Anzahl der ein-

gehenden Unbekannten. —

Man sieht leicht ein, dass diese Jacobi’schen Definitionen strenger

gefasst werden müssen. Will man sie z. B. auf die beiden Geichungen

.21 F 2

3)=0, 444 —%—1)=0

anwenden, dann giebt der aus der ersten entnommene Werth z, =0 für

die zweite Gleichung eine identisch erfüllte; dagegen z, =3—z2, nicht.

Nach der ersten Definition könnten die Gleichungen wohl abhängig

genannt werden, nach der zweiten wohl nicht.

Es scheint naturgemässer, zu definiren: f = 0 ist von fi =0,..-

fa—ı= 0 dann und nur dann

abhängie

ö75

wenn jede Wurzel des

Systems fı =0,...f_1=0 auch die Gleichung f,=0 (abge-

sehen von der Multiplicität) befriedigt. Oder auch: f; = 0 ist

On A = 0y 0 abhängig, wenn die Gesammtelimi-

nante der letzten (g — 1) Gleichungen mit der aller g Glei-

chungen identisch ist.

$ 445. Zum Schlusse dieser Vorlesung wollen wir noch ein mit

den soeben behandelten Fragen verwandtes Problem untersuchen:

Welche Gleichungen von der Form

(12) ı falQ s mLa e @ Z

können zwischen allgemeinen Funetionen VE

fa be-

stehen?

Vgl. 8 413 u. 8 416.

a

2

Zunächst sei q =

Dann folgt aus

A, +f2P2=O>

144

Zweiundvierzigste Vorlesung $ 445—446.

dass die allgemeine Funetion f} das Product f,P, und daher auch P,

theilen muss. Setzt man nun P,= — f Q, dann folgt P,=f- Q, so

dass nur identische Gleichungen von der Form

HOT H—

möglich sind.

Das Gleiche gilt auch bei besonderen Functionen f;

und fx, sobald nur beide keinen Factor gemeinsam besitzen.

Es seı ferner qg = 3, so dass

f1P1 +f2P2+f31)3=0

zu erfüllen ist. Aus den drei f eliminiren wir 2,, % und erhalten als

Eliminante R(2;, 21,

- Zm). Aus der Annahme, dass die f allgemeine

Funectionen sind, folgt, dass £% nicht ıdentisch verschwindet.

Unsere

folgenden Schlüsse gelten auch für jeden besonderen Fall, in welchem

R nicht identisch Null ist, also für willkürliche Wahl von 23,2,,-:-Zm

nicht unendlich viele Wurzeln für f} =0, f£==0, fs==0 vorhanden sind.

Für jedes System ,, %,

2

welches die beiden Gleichungen

fi=0, f=0 erfüllt, dagegen f; +0 macht, muss P, = 0 werden;

für jedes System 2,, %,

?

welches die drei Gleichungen fi= 0,

n=0, A =0 el mu S = 0 werden,

Folglich verschwindet

P, . R für alle Systeme %, %,

?

welehe OO machen

Man hat also nach

gleichgültig, wie sich f ıhnen gegenüber verhält.

8& 428, da bei allgemeinen Gleichungen nur einfache Wurzeln vor-

kommen,

@2 d @y ) AD r Da

und deswegen nach $ 431 auch schon

P& Z %, )= Q s A

Daraus folgt dann

f1(P1 + sz3) +f2(Pg RE Q1fs)=o7

und also nach dem Resultate für g= 2

P1 e Q3f2 DE Q2f3;

P2 Z Q1f3_ Q.sf1

Die geforderte Relation nimmt somit die Gestalt an

f1(sz3 ”f3@2) Sla f2(f3Q1 “”le3) +f3(f1@2 —f2Q1) 7 0;

d. h. es ist eine identisch verschwindende Gleichung.

Setzt man diese Betrachtungen fort, so gelangt man zu dem all-

gemeinen Resultate: Die Gleichung (12) kann nur für Funetionen

Poc z Qalfl + Qa2f2 + BENE + Qaqfq

stattfinden, wobei die Q die Bedingungen

Qa{f + Qßa - 07

Qaa=0

zu erfüllen haben, sonst aber beliebig gewählt werden dürfen.

145

Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Funetionen und von Gleichungen,

$ 446. In ähnlicher Art behandeln wir die Frage: Welche Glei-

chungen von der Form

(13)

f1f2-P1‚2+f1f?‚'1)1‚3+"'+fg—-1fq'Pq—l‚q:0

können zwischen allgemeinen Funectionen fi, %,

fı be-

stehen? Zunächst sei 9 ==3; dann folgt aus

fi(f2Pı,2 + f3 Pı,3) +F (fPos) = 0

nach dem vorigen Paragraphen, dass P, 3 durch f, theilbar ist und

ebenso weiter, so dass wir setzen können

P1‚2 P Q/f3‚

P1,3 =0'%,

Pas=@Q'fı,

sobald die f allgemeine Funetionen sind, ja auch schon, wenn siıe keinen

Factor gemeinsam haben.

Setzt man diese Resultate ein, so folgt als

Bedingungsgleichung

Q+@&+Q"=0,

Bei g = 4 ordnen wir die Gleichung folgendermassen :

(18°) A[fıPı,2 f Pı,s-t faPıa] + ff Pa 3 + fa-Paa] + fefaPoa= 0.

Genau derselbe Schluss wie im vorigen Paragraphen zeigt uns, dass

bei der Klimination von z, und z, zwischen fi, f> und fzf, das Product

Ps4 R(fi,fa,fzfa) und dann auch Ps4 durch fi und f> homogen und

linear darstellbar ist; das Eintsprechende gilt von allen Pr p- Daher ist

P1‚4 S Q1‚4‚2f2 + Q1,4‚3f3$

P2‚4 Z Q2‚4‚1f1 + Q2‚4‚3 fä;

P3‚4 > Q3‚4‚1f1 . Q3‚4‚2f2-

Tragen wir dies in die Gleichung (13°) ein, dann ist die Frage auf

E

q

3 reducirt, und wir erkennen, dass

Potﬁ s Qa(?yfy + Qaßöf83

Qa(>’7 A Q(fya a Qywß =0;

Qußy — Qpay

zu setzen ıst, wobei ausser den angegebenen beiden Beschränkungen

für die Q keine anderen bestehen.

Dieselbe Methode führt auf das allgemeine Resultat: Sind Ya

f2>

/a allgemeine Functionen, dann kann (18) nur statt,

finden, wenn jedes

Pa/&’ a Qaßyfy + Qaß()‘f()‘ + A + Q“P'Qﬁ]

ist, wobei die Q bis auf die Beschränkungen

Qaß)’ Sa QP’W al Qy«ß =0;

Qaßv O Qßü7

ganz willkürlich gewählt werden können.

Man erkennt leicht, dass den Problemen dieses und des vorigen

Paragraphen ähnliche in derselben Richtung zur Seite stehen, und man

sieht auch, wie die Lösung sich gestalten wird.

KFE

Netto, Algebra. II

10

146

Dreiundvierzigste Vorlesung $ 447—448,

Dreiundvierzigste Vorlesung.

Die Cayley’sche und die Sylvester’sche Eliminationsmethode.

8& 447.

In $ 139 (Bd. I) haben wir die Resultante zweier Glei-

chungen f(z)= 0 vom m* und g(z) = 0 vom u“" Grade in der Form

einer Determinante dargestellt, indem wir die (m + ” — 1) _ Potenzen

Z, , gnl aus den (m + n) Gleichungen

=0, Z = 00 g=0, 2y= 0, PAy=0

eliminirten.

Sind mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten gegeben,

dann liegen die Verhältnisse insofern complicirter, als bei ähnlichem

Vorgehen die Anzahl der zu eliminirenden Potenzproducte nicht mit

Bei hinreichend hoher

der Anzahl der Gleichungen übereinstimmt.

Dimension der Potenzproducete wird die Anzahl der Gleichungen die

Wir

grössere.

Cayley hat diese Verhältnisse genauer studirt *).

müssen uns damit begnügen, seine Untersuchungen kurz zu erwähnen,

da seine Schlüsse nicht immer bindend und seine Hülfssätze zum Theil

unrichtig sind. Ob seine Resultate dadurch beeinflusst werden, mag

dahingestellt bleiben.

Wir gehen von (m + 1) Gleichungen mit m Unbekannten aus

(1)

fal&) %y Am) — 0

(«=1,2,---m +1);

dabei habe /# die Dimension %q.

Die Coefficienten der Funetion fa

sollen generell mit cx und diejenigen eines unterschiedlos gewählten f

mit c bezeichnet werden.

Die f sollen allgemeine vollständige Fune-

tionen sein.

Nun multiplieiren wir jedes f„ mit jedem Gliede

e n A A

so weit, bis die Multiplication von f mit den Potenzproducten zu

allen Ausdrücken der Dimension % geführt hat, wobei ” eine noch zu

bestimmende Zahl bedeutet.

Wir bekommen dadurch nach $ 334

m+1

N(n — na, Mm) = Z

a=1

Gleichungen, die wir durch u = 0, w =0, w =0,--

bezeichnen

wollen. Die Funetionen w steigen nur bis zur Dimension % hinauf;

es kommen demnach nur N(n, m)= N verschiedene Potenzproducte

der m Unbekannten vor.

—

9

* On the theory of involution in Geometry.

Cambr. a. Dubl. math. J.

a

(1847), p. 52; On the theory of Elimination; ibid. 3 (1848), p. 116,

147

Die Cayley’sche und die Sylvester’sche Eliminationsmethode.

Es handelt sich nun zunächst um die Beantwortung der Frage

ob man % so gross wählen kann, dass die Anzahl der Gleichungen

gleich oder grösser wird als die Anzahl der Potenzproducte der Un-

bekannten.

Abgesehen von dem, beiden Zahlen gemeinsamen Nenner

m! liefert die Entwickelung unserer Ausdrücke nach fallenden Potenzen

yon % die Anfangsglieder

(m + 1) n —

und

V _+_

Daraus folgt sofort die Möglichkeit der Bestimmung. Für die genauere

Feststellung des % haben wir bereits in $ 335 die nothwendigen Vor-

untersuchungen gemacht.

Setzen wir

@)

Z e D

dann ist die Voraussetzung der dort gegebenen Formel (14) erfüllt,

und wir haben

N

Es reicht also aus, ” gemäss (2) zu wählen, um ein System

von Gleichungen zu erhalten, deren Anzahl diejenige der in

ihnen auftretenden verschiedenen Potenzproducte der m Un-

bekannten %, %,: %m übertrifft.

$ 448. Nehmen wir jetzt aus den X, so erhaltenen Gleichungen

irgend welche N Gleichungen heraus und bilden die Determinante A

der Coefficienten aller Potenzproduete inclusive z,°z,°...2%, dann muss

A verschwinden, sobald (Z,, Z3,:::Zm) SO gewählt werden kann, dass

die (m +1) Gleichungen (1) und mit ihnen die X Gleichungen u, = 0,

u =0,--- befriedigt sınd.

Verfährt man miıt A genau so, wie es in $ 149, Bd. I mit;der für

zweiı Gleichungen einer Unbekannten ähnlich gebildeten Determinante

geschehen ist, indem wir jede Spalte mit demjenigen Potenzproduete der

Unbekannten multiplieiren, zu dessen Coefficienten gerade die Elemente

dieser Spalte gehörten, und diese Produete dann sämmtlich zu den Ele-

menten derjenigen Spalte addiren, die dem Potenzproducte 2,° 2,°... 2 =1

zuzuordnen ist, dann entsteht, genau wie dort,

(3)

4 =f1M1 + f2M2 Aa +ﬂn+1 Mn+1;

wobei M, höchstens bis zur Dimension (n — n) aufsteigen kann.

Wir müssen nun die beiden Möglichkeiten in Betracht ziehen,

dass entweder A =— 0 ist, oder dass A nicht identisch verschwindet.

Im zweiten Falle erkennen wir aus dem Umstande, dass A für

jedes Coefficientensystem der c verschwindet, welches die Resultante R

von (1) befriedigt, nach $ 346, IX und 8 390 die Richtigkeit des

Satzes: Die Determinante A ist, falls sie nicht identisch ver-

schwindet, ein Multiplum der Resultante R der Gleichungen (1).

10%

148

Dreiundyvierzigste Vorlesung 8 448—449.

Es handelt sich nun um die Frage, wann A in (3) identisch ver-

schwinden kann. Nach den Erörterungen am Schlusse der letzten Vor-

lesung ist dies nur dann möglich, wenn jedes M, linear und homogen

m ffa auır fatrı, * fm-+1 gewählt wird. Man erhält demgemäss

sämmtliche Gleichungen

(4)

0 EflMl + f2M2 + W + fm+1an‚+1,

wenn wir alle möglichen

Ö5)

falQußf8) — f (Qapfa)= 0

(“’ ß=172;°"7/n+1; 06+ß)

bilden, worin Q,g nur bis zur Dimension (% — Ng — Ng) aufsteigen

darf, weil M, die Dimension (n — %„) nicht überschreitet, und wenn

wir dann alle (5) linear combiniren.

Man erhält daher so viele Rela-

tionen (5), als in allen Q,g Potenzproducte vorkommen; d. h. es giebt

2N(n — M — Ng M)= Z

&, 5

Relationen (5), aus denen sich alle Gleichungen (4) linear zusammen-

setzen. lassen.

$ 449. Im Falle mm

—2

K

d. h. bei drei Gleichungen zwischen 2,

und z folgt auch leicht weiter, dass die Relationen (5) sämmtlich

untereinander unabhängig sind. Denn nach $ 446 können Relationen

zwischen den Qap:fafg, Quyfalyı Qöy fpfy nur auftreten, wenn

jedes Q durch das noch fehlende f theilbar ist. Dann würden aber die

Glieder dieser Relationen bis zu Dimensionen (%, + %, +n3) aufsteigen,

was nach (2) ausgeschlossen ist. Da also unter den 2 Gleichungen

u =0, w =0,--. hier %, und nur so viele unabhängige Relationen

bestehen, muss X, — X,= N sein, wie dies auch $ 335 zeigt, und wie

es sich auch leicht durch direete Rechnung gemäss der Gleichung

(n + Ng +n3) , + %+ %3 — 1) + M (n —1) + %( —1) + %( — 1)

— ( + No) ( + %— 1)-E ( + s) ( + — 1)+ ( - o) 0 + —1)

ergiebt.

Die X Relationen (5) denken wir uns so geschrieben, dass

Kı

2

Un

° * Zm

geordnet

alle (Qupfg), (Qapfe) nach Potenzproducten Z

werden; multipliceirt man dann mit diesen Potenzproducten in die fx bezw.

fe, dann bekommt man alle Relationen v, =0, u=0,---., welche

zwischen den z 24... f bestehen, d. h. zwischen den u, =0, d =0

Im Falle m =3, also bei vier Gleichungen zwischen Z,, %, %

nicht alle von einander

sind die eben gebildeten v, =0, v =0,-

unabhängig; es ist nach $ 335, (14) nämlich Zı — Z < N. In der

That können hier auch zwischen den Qupfafßg in Formel (5) nach den

Darlegungen von $ 446 Relationen von der Form

(Qap’;f/%/) ö fa/;3’ u (Q“P’)’f;") If“f7 a (Qa{i’yfa} } f/'ff7

Die Cayley’sche und die Sylvester’sche Eliminationsmethode.

149

auftreten, wobei (Q„5, bis zur Dimension (n —7, —N5 —Ny) aufsteigen

Diese Relationen wollen wir durch

darf und sonst ganz beliebig ist.

w =0, w,=0,.-- bezeichnen.

Ihre Anzahl beträgt

&, ß,Y

ZN(7@—-%„—%,g—%„‚ 3)= Z

und da nach $ 335, (14) bei m==3

N= 2 — Z Z

ist, so lässt sich vermuthen, dass die w voneinander unabhängig

sınd.

Dies folgt auch wirklich aus den Resultaten von 8& 446. —

In gleicher Weise können wir für m ==4 vorgehen; doch reicht

es aus, wenn wir hier stehen bleiben.

Cayley giebt nun ohne Beweis folgendes Resultat an: Die Coeffi-

cienten der w werden iın einem Rechtecke Q, von N Spalten und X,

Zeilen angeordnet, so dass die Coefficienten eines jeden w je eine Zeile

füllen. — Dahinter werden die Coeffieienten der v in einem Rechtecke

Q von E, Zeilen und &, Spalten angeordnet, so dass die Coefficienten

eines jeden v je eine Spalte füllen, und die Elemente jeder Zeile dem-

selben w entsprechen, dem diese Zeile in @Q, angehört. — Unter Q,

werden die Coefficienten der w in einem Rechtecke Q, von X Spalten

und , Zeilen angeordnet, so dass die Coefficienten eines jeden w je

eine Zeile füllen, und die Elemente jeder Spalte dem v entsprechen,

dem diese Spalte in ( angehört.

Qr

Q

Coeffie. der u

Coeffic. der v

X Zeilen

Z Zeilen

N Spalten

Z Spalten

ME Z Z

Qs

Coeffie. der w

X Spalten

X Zeilen

Aus Q, wählt man eine nicht identisch verschwindende Determinante

A, der Ordnung X; aus den, den nicht benutzten entsprechenden

Spalten von Q, eine nicht identisch verschwindende Determinante 4,

der Ordnung (ZX, — X); und aus den, den nicht benutzten entsprechen-

Dann ist

den Zeilen von @Q, eine Determinante A, der Ordnung Z -(Z-Z)]=N.

4, 4,

z

Z

150

Dreiundvierzigste Vorlesung $ 449—450,

die charakteristische Bedingung dafür, dass die w eine gemeinsame

Wurzel haben.

Der Quotient (A,4;): 4, hat als Dimension in den

Coefficienten

[El 7E (22 Al

3)]_[_20"“23]+23=21_22:"2+323>

also nach $ 336, (15)

= M% + N,Nz + H3n ,

so dass er mit der Resultante von (1) übereinstimmt. —

Für m > 3 tritt hınter Q,

57

noch ein @,, unter (), noch ein @; u. s. f.

Die Möglichkeit der Determinantenbildung wird dadurch gewährleistet,

dass nach $ 335, (14)

NS

wird; so kann man Determinanten der Ordnungen

Z Z Zn — Za ß Z —

bilden.

Nach Cayley soll der Quotient

Z AA

(6)

ZEZWZIAG.

durch sein Verschwinden die charakteristische Bedingung für die Er-

füllbarkeit der u = 0, d. h. der f = 0 liefern; und da die Dimension

des Ausdrucks (6) gleich derjenigen der Resultante

[E1—22+23*j—[22—20+J+Lzä—]"“

=21—222+32-3———'-'=121')2‚2723„«(%—{——%+%+ --)

ist, so würde (6) mit der Resultante R übereinstimmen.

Wir wollen hier das von Cayley (On the theory of elimination)

€

S

ebene einfache Beispiel für m = 25 %ı = %o = , = 2 und also

i

= 4 nachfolgen lassen:

f I b f a& Aa d a% Agı —O,

ET

f

2

==s

0 + 21 + 02 + 8 + @8% N4 =0,

fı = 0 + 638 4 6% + 8 I 60% + Iı =0.

2

Die f sind der Reihe nach mit 1; 2,, %; 2

A

Zo, %" zu multipliciren.

So entstehen 18 Ausdrücke w

/'1—%1, }

Afı=U0 , fı = U ;

Bl = Ua , kal = W5 , B f = W 5

f = W 3

51f2 Or “2„7 Z2f2 a “3N )

fı = Ua , Al = U6 , Bla = UG ;

7

/

Z

.

Z

f = U

7)

Bıfs = U, Bafz =Us'

’

au

» ABafs = U

, fı U

Zwischen

den w bestehen wegen

fafg — fpf« = 0 folgende drei Rela-

tionen:

5

Die Cayley’sche und die Sylvester’sche Eliminationsmethode,

A + ba + Ug + da + &U .92ü6,

— aı — bl — U — d — U —I = 0,

— 0U — b3Ug — CzUg — y — C3Ug — IUg

+ au ” + br A ug A d E e s gı = 0,

Au + bzg + 633 + deu” + 3U6 + I3 ”

— O” — byUg”

Ug — da — &U5 ” — Jag 0

Aus diesen

Gleichungen setzen sich Q, und @Q, zusammen :

A

77 0

A, b G,

d, e Iı

A

b G

d, e Iı

b;

"_bs

CZ

b1

G

d, E,

Ir

C

—7

CZ

b, C

d E Iı

dp

CZ

Z

G

d, € 9ı

©&

an

CZ

b

G

d &, 9ı

Iı

%e

A ba C

da €

92

a

Az

b;

05

b, C

ü @

2

I2

_b1

7

6,

C

d

%

I

_Cl

C

A

b G

da €& 92

__dl

s

&

CZ

b

C

da €& Iı

&\

A

b

C

d €& 9

A

93

Az O5 C

dl @

93

CZ

A

br

E

Az

b; C

da @

93

z

b;

Cg

d;

C

I3

G

Aı

CZ

Ü ©

dz € 93

d,

b;

Cz

d; € 93

&,

R

Az

CZ

Ö3 C

d; 6 93

Iı

.

Die Resultante % wird gefunden, indem man aus den letzten drei

Spalten eine der nicht identisch verschwindenden Determinanten A,

bildet; das ist auf mancherlei Arten möglich. Aus den hierbei nicht

benutzten Zeilen der ersten 15 Spalten wird die zweite Determinante

A, gebildet; diese ist durch jene theilbar, und der Quotient 4, : 4,

giebt bis auf einen constanten Factor die Resultante der drei Glei-

chungen f = 0, —0, —0

$ 450. Zum Zwecke des Beweises fasst Cayley das Problem all-

gemeiner.

„Zwischen ” Grössen %,, %,:

sind p (>n) homogene

lineare Gleichungen gegeben, u, = 0, u =0,---; zwischen diesen be-

stehen 9g = o — n lineare homogene Relationen. Die charakteristischen

152

Dreiundvierzigste Vorlesung $ 450—451.

Bedingungen dafür zu suchen, dass die u = 0 eine von (0, 0,..:) ver-

schiedene Wurzel haben“; dies ist die für m = 2 präcisirte Aufgabe.

Wir wollen %n =2; d = 4, q= 2 nehmen, also etwa

U, = A4%, I A2% =0,--

Ur = 04 %, F A43% = O;

Q Zl p 0

% = bl F + bar =0.

Dann lässt

dass

sich leicht zeigen,

Arı

A12

M1ı

A19

U3ı

A

o

oı

0A99

U3ı

A3o

—

Ayı

45

l

J

=—

b13

by4

Z)12

b14

Z)11

b12

A

| b23

bSL

22

Oaa

|

|

\

b21

b22

\

ist

Nun behauptet Cayley

und ebenso Salmon*), dass das Ver-

schwinden dieses Quotienten die gesuchte Bedingung liefert.

Das ist

aber, wie aus einem Beispiel ersichtlich wird, unrichtig. Wir nehmen

u = b — 2)x, + 1,

U

= H36 — 1)x, + 14,,

U = ((— 46 + 3)z, — %, u = + 5tk, + %,

wobei € einen beliebigen Parameter bedeutet.

Dann gelten die Rela-

tionen zwischen den w

”= u +(1+ 0 + (1 + 20 u + (— + P)u, =0,

%”» =(1+04 + (1—0% + 1 + 20 u + (— + 20 u =0,

und es wird der entscheidende Quotient

4,

=—1.

A9

2

Es dürfte also das System un = 0 nie befriedigt werden. Für t= 0

aber reicht %, = 0 bei beliebigem x, zur Befriedigung aus. Also schon

in diesem einfachsten Falle versagt die Beweismethode.

Es ist klar, wie das allgemeine Problem lautet.

$ 451.

J. J. Sylvester hat im Cambr. and Dubl. Math. J. 7

(1852), p. 68 „On the prineiples of the calculus of forms“ eine andere

Methode angegeben, mit deren Hülfe es gelingt, die Resultante von

drei Gleichungen derselben Dimension in zwei Unbekannten als eine

Determinante darzustellen.

Wir führen sie der Vollständigkeit halber hier an, trotzdem auch

sie an Strenge der Beweisführung zu wünschen lässt.

Der Bequemlichkeit halber schreiben wir die drei Gleichungen als

homogene Gleichungen dreier Unbekannten von n“" Dimension

n

(7) ; 7f1(217 , %) =0, f2(51> Ay 9)= 0, faldı, %r %) =0.

. I

*) Lessons introduct. to the Modern Higher Algebra (4.) (1885), p. 88—89.

153

Die Cayley’sche und die Sylvester’sche Eliminationsmethode.

Es sei auf .alle mögliche Weise die noch unbekannte positive Zahl %

in drei ganze positive Summanden zerlegt

Ö

Wenn dann jeder von diesen <n ist, dann kann man sicher

f1=szo; +Z{?(L)ﬁ/ +'33/“R);;

h= 4 Pi + %Q + AR/,

Z OR

ansetzen, wobei die P, Q, R ganze Funetionen der Varlablen bedeu-

ten.

Die Zerlegung von k kann au

p @— — 2

1-.2

verschiedene Arten

vor 'sich gehen; für jede wählen wir eine solche Darstellung der f.

Giebt es nun eine von (0, 0, 0) verschiedene Wurzel (&,, &, &) der

drei Gleichungen (7), dann ist für diese die Determinante

P, Q

R

_Da‚ß‚y z=

PyQ8

R =0

P OE

Man eal al ieruneh © — D

verschiedene Funetionen

il

7

(8)

Daßy(@,, %) %),

welche homogen in den 2,, %, %z Vvon der Dimension (3% — k) sind

und für (&, &, &) verschwinden.

Multiplieiren wir ferner die drei f(z,,%,23) der Reihe nach mit allen

Potenzproducten z

Z

al

12

6l‚

37

in denen x + 4 + u = 2n — k ist, dann er-

halten wir zu (8) noch weitere

3N(2n— h, 2)=>Cn—-k+2Cn-k+1)

homogene Gleichungen derselben Dimension (3% — k).

Wir haben

damit also im Ganzen

—— C 44202 -B40

Gleichungen zwischen

N®n —k, 2)= 5 (8n—k+2)(8n—k+1)

Potenzproducten; diese Gleichungen werden für jede eigentliche Wurzel

Setzt man nun die beiden letzten Anzahlen ein-

von (7) befriedigt.

ander gleich, so entsteht zur Bestimmung von % die Gleichung

k* — 2n + 3)k + m* + 3n + 2)=0,

welche £= n -+1: oder £/=n"+2 giebt. Damit ist auch die Bedingung

befriedigt, dass keiner der Summanden «, ß, y grösser als n genommen

154 Dreiundvierzigste Vorlesung $ 451.

Vierundvierzigste Vorlesung 8 452.

werden darf. Wir haben also die Möglichkeit, aus den vorhandenen

Gleichungen sämmtliche Potenzproducte zu eliminiren.

Dabei entsteht,

weil jedes der D„gy in den Coefficienten der f von der Dimension 3

ist, eine Determinante von der Ordnung

3: S (k — 1)( %— 2) E On k +QCa-4ED)

= 3[ — 2n + 3)k + m* + 3n + 2)] + 3n = 3n”,

so dass die Determinante des Gleichungssystems nicht nur die Resul-

tante enthält, sondern bis auf einen constanten Factor mit der Resul-

tanten identisch ıst.

Diese Sylvester’sche Methode versagt schon bei vier homogenen

Gleichungen unbestimmter Dimension

f1(217 Z 93y 24) w O7 B f4(517 Za O87 24) =0.

Verfährt man hier ähnlich wie oben, indem man

fı= @ P Qf}° SS zäR$° + SQ

(« +B+7+0=H%)

setzt, und versucht man die Anzahl der Gleichungen derjenigen der

Potenzproducte gleich zu machen, dann kommt man zur Bestimmung

von % auf die Gleichung

N(4n — k, 3) = 4N(8n — k, 3) + (k — 1)(k — 2)(& — 3);

diese liefert aber für unbestimmte % keine ganzzahligen posıtiyen k als

Wurzeln.

Nur für n — 2 erhält man &/ = 5; dies heisst also, dass ım

Falle von vier quadratischen homogenen Formen, wie Sylvester auch

angiebt, die Methode verwendbar. bleibt.

Vierundvierzigste Vorlesung.

Diseriminanten.

$ 452. Wir haben in $ 158, Bd. I, die Bedingung dafür be-

sprochen, dass eine Gleichung f(2)= 0 mehrfache Wurzeln besıitzt;

sie bestand darin, dass ein gewisser aus den Coefficienten der Gleichung

rational gebildeter Ausdruck, die Discrim inante *), verschwindet.

Die hierauf führenden Betrachtungen können nach zweierlei Rich-

*) Es sei nachträglich bemerkt, dass diese Bezeichnung von Sylvester

herrührt.

Cambr. a. Dubl. M, J. 6 (1852), p. 52.

Discriminanten.

155

tungen auf das Gebiet mehrerer Variabeln ausgedehnt werden.

Zu-

nächst bietet sich die folgende Verallgemeinerung dar.

Ist ein System von m Gleichungen mit m” Variablen

(1D)

fa<zl; Bay i 27") =0

(05=1‚2‚--”)%)

gegeben, welches nur eine endliche Anzahl von Wurzeln besitzt, so

kann man dieselbe Frage aufwerfen: „welches ist die charakteristische

Bedingung dafür, dass (1) mehrfache Wurzeln besitzt?“ Führen wir

wie früher nach Liouville statt z in (1) ein %= %42 + + %m1 m—

+ und bilden dann die Eliminantengleichung R(x)= 0, so wird

(1) dann und nur dann mehrfache Wurzeln haben, wenn Roy=0

solche besitzt.

Die charakteristische Bedingung ist die, dass

die Discriminante von R(x) verschwindet. Dieser Ausdruck ent-

hält die Parameter x,, %,,

; es müssen also die einzelnen Coeffi-

cienten der Potenzproducte dieser Parameter, so weit sie in der Diseri-

minante vorkommen, verschwinden.

Ist z. B. bei unbestimmten Coefficienten

fı = 02 + 2b2,% + c + 2dz, + 2e2 + g=0,

ﬁ3?“21'+ ß'32+7207

und führen wir für z ein %& — x2,, so ergiebt sich für die Eliminante

J(@) = ( —2b0ß + ca’)x?

+ 2[(aßy — bay—daß + ca”) —x(bßy — cay — dß? + eoxß)]x

+ Lay” — 2day + ga?) — 2x(by” —.dßy — e«y + gaß)

+ x*(cy? — 2eßy + gß?)].

Die Diseriminante von R lässt sich auf die Form bringen

(0% + ß)* - [a cg — e?) + 2«ß(de — bg) + 2«y(de — cd)

2)

+ B’(ag — d’) + 2ß7(bd — ae) + y’(ac — 0?)],

und da der erste Factor nicht verschwinden kann, ohne die Existenz

des Systems zu zerstören, so liefert das Verschwinden der eckigen

Klammer in (2) die charakteristische Bedingung dafür, dass das be-

trachtete System eine Doppelwurzel besitzt.

Wir können aber weiter, gestützt auf die in 8& 399 abgeleiteten

Resultate, die Frage noch von einer anderen Seite her betrachten. Wir

haben dort gesehen, dass das Verschwinden der Funetionaldeterminante

(3)

VE

OÖf,

CR

m)

e _3(’317 Z2‚

2;17'L)

02

für eine Wurzel (&, &,

; En) des Systems (1) charakteristisch dafür

ist, dass diese Wurzel eine Multiplicität >1 besitzt.

Sind

also

(Ste> Erar ‘ Ema) für w = 1, 2,-..% sämmtliche Wurzeln von (1), deren

156

Vierundvierzigste Vorlesung 8& 452—4583.

Anzahl als endlich vorausgesetzt war, so folgt: Das Verschwinden

der Funetion

(4)

(“=172;

k)

];[J(@„„ E

ist charakteristisch dafür, dass das System (1) mehrfache

Wurzeln besitzt.

Der Ausdruck (4) ist in den Wurzeln von

(1) symmetrisch und also rational durch die Coefficienten

von (1) darstellbar. Hieraus erkennen wir, dass eine einzige Rela-

tion _ die Frage entscheidet; folglich muss aus der Discriminante der

Eliminationsgleichung R(x)= 0 der Ausdruck (4) so als Factor her-

austreten, dass der zurückbleibende, von den x abhängige Factor nicht

gleich Null gesetzt werden kann, so lange das Gleichungssystem (1)

bestehen bleibt.

Bei der Berechnung von (4) ist zur Umsetzung der Function in

einen Ausdruck, welcher nur die Coefficienten der f„ enthält, wieder

die Kenntniss der Coefficienten von R(x) nothwendig.

Im behandelten Beispiele wird

(aß* — 2b« ß + ca?)(E14 F Ew)'

=200ßy — cay — dß* + eaß),

(aß? — 2b0ß + 00 )(Gxı A G)

— 2(— aßy + bay+ daß — e0?),

(aß? — 200«ß + C0)) - Cya S19

= 0 — Y0ßy

(aß?* — 2baß + ca?) - Eo1Eo2

= ay* — 2day + g0*,

(aß? — 2ba0ß + 0a”)(E11 522 + E62) = 2 —0y + dBy + eaxY — gaß).

Ferner ıst

%J(z„ A) Z (aß — be)zr - OB - oe) 2 E (dB — 00),

und

E

Z @0ß — 00 nn H (B — bw)(0B — 00)(E141 52 + Eoy C12)

+ (bß — 060)* 691 &2 + (Aß — ba)(dß — e0)(En A Sı2)

+ ß — ca)(dß — 0a)(&ı + &2) + (Aß — ea

Trägt man die Werthe für die symmetrischen Funetionen ein, dann

entsteht wieder die eckige Klammer in (2).

Wir wollen nachweisen, dass der Ausdruck (4) von mehrfachen

Factoren frei ist, so lange die Funetionen (1) allgemein bleiben. Dazu

reicht es aus, diese Eigenschaft an einem passend gewählten Beispiele

zu zeigen, bei welchem natürlich keine Reductionen der Dimension

eintreten dürfen. Ein solches Beispiel erhält man, sobald jedes f in

na lineare Factoren zerlegbar angenommen wird. Wir setzen m==2,

weil schon hierbei die Schlussfolgerungen deutlich heraustreten,

Diseriminanten.

157

f =H(CL‚„% + Aa 222 + Aqo) =H““

(@= 1200

(@«=1,2,---%)-

fa =H(%1% + baz2 + bao) =H““

Wir bezeichnen die Wurzel von u„= 0,

UB 0 mit (;?’ß; €02(’ß);

dann ıst

a,1

Cty 2

Cl/yo

Ua 1

Ua 2

Uy (C";»ß} €2‘7ß) =

«1

Aa

(270

3

b

be1

O2

(5)

Ö

yı

DE

byo

Oa 1

Aa2

0y (86P, 650) —

07

Üa 2

Ax0

.

bp' 1

be2

b{31

B

bgo

Der Ausdruck (4) geht, wie man leicht sieht, in

Ap1

(

Ua (EP2, ED2) vp(EP2, E7)

(6)

I1

Öaı

ba

(p=1,2, ; g=1,2,-- %5

05=1;2;"'P—1; P+17"'„1; ß:1;2;q_17 Q+1;"'n2)

über, und aus (5) ist ersichtlich, dass keinerlei vielfache Factoren in

(6) auftreten, wenn die @, b als unbestimmte Grössen genommen

werden.

$ 453. In dem Falle, dass & = %, - M, Nm ist, wenn also (1)

keine unendlichen Wurzeln hat, lässt (4) noch eine weitere merkwür-

dige Umformung zu, welche einen Ausdruck liefert ähnlich dem, der

die Diseriminante als Quadrat einer Determinante darstellt *).

Wir untersuchen die bereits in $ 352 betrachtete Determinante

m— 1

Nal

A()= | 1‚ Cla; C2a;' S äa; C]a;2a;

1&

?

2

A N

: ‘

?

ın welcher die einzelnen Zeilen durch die Coordinaten der verschiedenen

Wurzeln von (1), also durch den Index w sich unterscheiden, und in

deren Elementen. alle Potenzproducte auftreten, welche in E, nicht die

n,“, in & nicht die %„ ,... Potenz erreichen.

Die Determinante ist

also vom Grade (n, :, Nm). Wir wollen ihre Dimension in den 6&

aufsuchen.

Wir nehmen an, es sei schon für (m — 1) Grössen &

bewiesen, dass die Dimension der Determinante A, dabei

% (n, N

(«=1,2,...m)

Nın 1) D] ( — 1)

Se1l

Tritt dann &„ dazu, dann kommt für die Subdeterminanten aus

den mit ;SL1) C$n2;'

multiplicirten Gliedern als Dimension

*) Laurent: Traite d’Analyse.

Paris (1885), I. p. 305—306.

158

Vierundvierzigste Vorlesung $& 453—455

m—1

5 (n n

nn_ı) S! e — 14 0M

Wr — )

heraus

Man findet als Dimensionszahl

indem man alle diese für

O=0, 1

”/HL

1 gebildeten Ausdrücke summirt

-

5 (n

O n‚„2 ( — 10 A „z(nw —» An

Nın — 1)

()

( 7, n‚„)2 (n — 1);

es triıtt also wieder

die oben angenommene Form heraus

die für

m =1 offenbar richtig ist

Folglich gilt sie allgemein

Nun verschwindet ,, sobald (1) eine mehrfache Wurzel hat, und

ferner ist 4,° symmetrisch in den Wurzeln

as Verschwinden des

Ausdrucks (4) war aber charakteristisch dafür, dass mehrfache Wurzeln

vorkommen; daher ist 4,? durch alle irreductiblen Faetoren von (4)

und also, da (4) keine mehrfachen Factoren besitzt, durch (4) selbst

theilbar, und der Quotient ist wieder eine symmetrische Funetion der €

Die Dimension von (4) beträgt %. E(n«

1), also genau so viel wie

diejenige von 4.*

Folglich stimmen (4) und ,? bis auf einen von

&E unabhängigen Factor überein, und man hat

(8)

éma) = 040

(&

=1,%

2

N No

Y)

[ 170

Nach den bisherigen Betrachtungen dürfen wir diesen Ausdruck

als die Diseriminante des Gleichungssystems (1) bezeichnen

$ 454. Neben diese Verallgemeinerung des Discriminantenbegriffes

durch den Uebergang von einer Gleichung mit einer Unbekannten zu

einem Systeme von m Gleichungen mit ” Unbekannten tritt noch eine

andere

welche wır jetzt zu besprechen haben

Wir hatten der Discriminante von

f(@) = U + HA A ü

die Form gegeben

Aq

CZ

A

(n — 1) Zeilen

CZ

CZ

1

D

A

nay (n—1)ay (n —2)0

0

n“ Zeilen

NAg

(n — 1)ay

diesen Ausdruck gestalten wir folgendermassen um ($ 160, Bd. I)

Discriminanten.

159

N

Na

NA,

Na

NO

TE

nay (n— 1)ay (n— 2)0

0

NA (n—l)a&1

CZ

20

25

20

CZ

1)7L——1

n

N

NAy

(n — 1)ay (n — 2)0

N

(n — 1)a,

KEs wird daher, wenn wir

fı

—

—_-

na + (n — 1a + (n—2)a z + + 2022 + An 1,

==—>

Z

I2

aa + 2a2 7? L 3ag A ... + (n — 1)An_ 12 + Nar

setzen,

(_ 1>71—1 nW—?2D= R„ß

werden. Diese Umgestaltung lässt eine symmetrische Behandlung zu,

wenn wir f durch Einführung einer neuen Variablen zu einer homo-

genen Form machen.

Dabei folgt dann, wenn wir im Sehlussresulﬁate

y= 1 setzen,

f(@, y) = AD AT E A O

öf

Iı

—

ÖX

na } &(n — 1a 2y + ;

f

A, ar L Za 2y Eı

Öy

qln_2D F Rf2?fl

Da in den folgenden Paragraphen dieser Vorlesung hauptsächlich

von einer einzigen Funetion @(2,, %,:::) die Rede sein wird, so

wollen wir der bequemeren Schreibweise halber

Ög

0

02a

Öa

Da 7 Yn OE T Z

7

DA

M OE Pız>

bezeichnen. Ferner wollen wir annehmen, @ sei homogen gemacht,

aber in allen Resultaten werde die homogen machende Variable 2

gleich 1 gesetzt.

$ 455. Unsere Verallgemeinerung soll nun folgende sein: Ist

eine homogene Funection @(Z,, Z ,: - Zm) gegeben, so soll die

als Discrimi-

Resultante R der m Ableitungen @,, ®%o,

Pın

nante D bezeichnet werden. Hieraus folgt, dass wenn die Diserimi-

nante D von @ verschwindet, es von (0,0,..- 0) verschiedene Werth-

160

Vierundvierzigste Vorlesung $ 455—456.

systeme (&E,, 5&,::-Em) giebt, für welche %, =0, %, = O‚l .. und

also auch

y= A, e al e e K en& E

gleich Null wird.

Die geometrische Bedeutung dieser Diseriminante D erkennt man

durch die folgende Betrachtung. Wir nennen jedes System (6&,, &,: Em),

welches @ (Z,, %,: Zm) = 0 macht, einen Punkt des Gebildes » =0.

Von einem solchen. Punkte des Gebildes g==0 lassen wir eine Gerade

(8)

x1 K é1 + @y17 x2 Ra €2 + Qf%‚ © ll C7n + Q?/1n

ausgehen, welche den Punkt (65,,5,::En) mıt dem Punkte (%,,Yo,Ym)

verbindet.

In (8) laufe o durch alle reellen Werthe von —o bis

+co, und der Inbegriff der so erhaltenen (X%,, %,: Xm) Stellt eben

die Gerade dar. Wir fragen nach den Schnittpunkten unserer Geraden

mit @. Diese werden durch die Wurzeln o von @(X,, X , Xm)= 0

geliefert, und da (&,, &,:::Em) dem Gebilde angehört, so ist

P(X,, K, * Um) = E E N

un ä9217_?/129011(51; C I

gleich Null zu setzen.

Die Anzahl der Wurzeln o ist also gleich der

Dimension von @. KEine der Wurzeln ist o==0. Wählt man nun

Yı, Ya,‘ “ Ym auf dem Gebilde

©) AlGn NC E Ym m (Ei, -

é7n.) =0 ’

so werden zwei der Wurzeln o gleich 0 werden.

Bezeichnen wir das

Gebilde (9) als Tangentialebene von @(2,,:-:Zm)= 0 im Punkte

(Er, + Em), SO ist es klar, dass jede Gerade (8), welche (&,,:-:En) und

einen Punkt der Tangentialebene verbindet, mit g=0 in (&,- En)= ©0

eine Doppelwurzel o0=0 besitzt und umgekehrt. Es iıst ferner klar,

dass jede solche Gerade ganz der 'Tangentialebene angehört.

Die

Gleichung (9) bestimmt im Allgemeinen die Tangentialebene eindeutig.

Nur dann wird diese Bestimmung hinfällig

wenn alle Coefficienten

Pı> Pa

in (9) einzeln verschwinden. In diesem Falle existirt keine

durch (& ,: E&m) gehende Tangentialebene, sondern jede durch diesen Punkt

des Gebildes gehende Gerade hat eine Doppelwurzel o= 0 mit dem-

selben. ‚Diese Punkte sollen singuläre Punkte von @(&,,: Zm) = 0

heissen.

Solche singulären Punkte bestehen stets dann und

nur dann, wenn die Diseriminante D von @ verschwindet; sıe

werden durch die gemeinsamen Wurzeln von

q71(21; "an)=0; 932(51‚ "Z„,):O‚"' (;0m(51‚ "Zm()=0

geliefert.

Discriminanten.

161

Ist (& ,: En) ein singulärer Punkt, und wählt man (Y1,Yo, : Ym)

auf dem Gebilde

(10)

9124P11(51 D E ém) + 2?/1y2q712(g1; C ;m) + öus=0

so erkennt man zuerst leicht aus den Sätzen über homogene Fune-

tionen, dass die gesammte Gerade (8) dem Gebilde (10) angehört, und

ferner, dass jede von (&,,:-:CEmn) ausgehende, auf (10) liegende Gerade

mit f=0 in (&,---En) eine dreifache Wurzel o= 0 hat.

Das Ge-

bilde (10) heisst der Tangentialkegel von f= 0 für den singulären

Punkt (&,-:-En). Natürlich kann (10) auch in zwei getrennte oder

zusammenfallende lineare Ausdrücke zerfallen.

Wir können dieselben Betrachtungen auch gänzlich analytisch

wenden.

Es sei (& ,---Em) ein Punkt des Gebildes y =0. Es soll

versucht werden, ein lineares Gebilde mit festen Coefficienten n

(11)

( — 6)@1 + (

;2)p2 + NSI + (_”»/m Ra Cm) WD F 0

derart zu bestimmen, dass (y,,:- - Ym)= 0 mit (11) und den (m—2)

folgenden linearen Gleichungen

(12)

(f£/l T7 @1)Q«1 + (y2 Kn C2)Qa2 + RA + (!/m AA Cm){[am —0

(«=1,2,...m —2)

bei willkürlichen g stets in (yı, %,: Ym) = (E, &,: Em) eine mehr-

fache Wurzel besitze.

Nach

dem Satze

über

die Functionaldeter-

minante aus $ 399 folgt, dass

| 901(C1; Z gm)7 '*P2(£1)

Em)> * PEr

{‘7/L) |

v

V

Pı

I1

Yı2

91m

Qm—— 2,1

?

Im— 2,2

}

m— 2,m

|

für jede Wahl der q gleich Null sein muss. Wählt man Ohap Ok

Jaı ea 57

gleich Null, die übrigen q beliebig, so folgt p,: d = Dr D

u.s.f. Man erhält also für (11) wieder die Form (9). Man erkennt

übrigens sofort, dass wir die linearen Gleichungen (12) durch völlig

willkürliche höhere Gleichungen hätten ersetzen können.

Auch hier zeigt es sich, dass p,, %,: - Dm ganz beliebig ange-

nommen werden können, sobald g,(E&,::.)=0,--- @mE, )= 0 ist.

$ 456. Da D die Resultante von @,, @,: m ist, so wird sie

im den Coefficienten von @, homogen von einer Dimension, welche

gleich dem Producte der Dimensionen der übrigen Funetionen @ ist,

d. h. gleich (n — 1,

Das Gleiche gilt für die Coefficienten von

Pa, P3,

, und da diese simmtlich zu den Coeffieienten von @ gehören,

Netto, Algebra. IT,

ilaß

162

Vierundvierzigste Vorlesung $ 456—459.

so sieht man: Die Disecriminante D von @ ist in den Coefficien-

ten von g homogen von der Dimension m(n -— 1)*—1.

Es ist ferner D in den Coefficienten aller @,, @,: „ isobarisch,

falls die Gewichte der Coefficienten der einzelnen Funetionen in der

früheren Weise festgesetzt werden, wobei nur daran zu erinnern ist,

dass durch die Annahme der Homogeneität die gegebene Vorschrift

formal modificirt werden muss. Ist nämlich für eine allgemeine Func-

tion von Z,, Z , Zm—1 das Gewicht der einzelnen Coefficienten fest-

gesetzt, und macht man dann die Function durch die Einführung einer

neuen Variablen z homogen, dann erkennt man, dass jeder Coefficient

ein Gewicht besitzt, welches dem im zugehörigen Potenzproducte auf-

tretenden Exponenten von z gleich ist. Es haben also z. B. die Glie-

der, die Z nicht enthalten, Coefficienten des Gewichtes 0; die Glieder,

welche mit z multiplicirt sind, Coefficienten des Gewichtes 1, u. s. f.

Ist auf diese Art das Gewicht der Coefficienten von @ festgelegt

?

dann erkennt man, dass durch dieselbe Regel auch die Gewichte der

Coefficienten von @,, %,: @m— 1 bestimmt werden.

Bei „ dagegen

wird jeder Coefficient ein um 1 erhöhtes Gewicht gegenüber dem der

angegebenen Regel gemäss abgeleiteten haben; denn in den ersten Fällen

bleiben ja beim Uebergange von @ auf die Ableitung die Potenzen von

Z ungeändert, ım letzten Falle werden sie um eine Kinheit vermindert.

Wären alle Gewichte der Coefficienten nach der angegebenen Regel

bestimmt, so wäre D isobarisch vom Gewichte (n — 1)*.

Hier tritt

für m bei jedem Coefficienten eine Erhöhung um 1 ein, und da

die Coefficienten homogen von der Dimension (% — 1)”—*' in die

Discriminante D eintreten, so ist das Gewicht

von D gleich

(n — 1 + (n — 1r = nn — 1)r—.

$ 45%. Wir wollen jetzt o durch eine homogene lineare Sub-

stitution

2y — Qu1Yı + Qx2Y2 + E + QxmYm

@= 1 Z 00 0)

transformiren, deren Determinante A =— |qa ßI von Null verschieden ıst.

Man hat dann, wenn

O(2,, %, Em) = YYı Ya Ym)

gesetzt wird,

Yır = Qı1x2 Pı + Q2rP2 + E + Üm k Pı -

Demnach ist nach dem zweiten Satze aus $ 424 die Resultante der

ı, V, m nach Yı, Ya, - Ym gleich der Resultante von %,, ®2,* * Om

nach denselben Variablen multiplieirt mit der (n — 1)”—*-ten Potenz

von 4.

Ferner ist nach dem ersten Satze von $ 424 die Resultante

der @, nach den y gleich der Resultante der @ nach den z multiplicirt

Discriminanten

163

mit (n — 1)”-ten Potenz von A. Folglich ist die Discriminante

der Function

<P(Qn„/1 - + JımYm, Q21Yı F - QamYm ,,

)

gleich der Discriminante von @(2,, %,

) multiplicirt mit

A(„_1)//:—1 IO @= l M

Ar n—1)M —1

$ 458. Ist @ eine homogene, nicht lineare Form gewisser

anderer Functionen gı,, %,

die so beschaffen sind, dass

das System

=0, n=0

unendlich viele Wurzeln besitzt, was also z. B

stets dann

eintritt, sobald die Anzahl der Variablen von @ grösser ıst

als die Anzahl der g, dann verschwindet die Discriminante

von @ ıdentisch

>1 dann

Hat man nämlich &» = Zq-g“gh

bei x 21 +

können %,, %,

m auf dieselbe Form gebracht werden

so dass

sobald

die Gleichungen %, = 0, %a = 0

m = 0 erfüllt sind

Z0Z

wird. Folglich hat das System %, =0

(pm E O

unendlich viele Wurzeln, und daher ist seine Resultante, d. h. die Diseri

minante von @ identisch 0

Im Falle m = 2 sind die Voraussetzungen erfüllt, sobald o einen

mehrfachen Factor besitzt

$ 459. Falls die Function @ einen nur einfachen singu-

Tanem uunl (Gip &p

Em) hat, kann derselbe durch Differen-

tiatıon von D gefunden werden

Der Voraussetzung nach ist D von @ gleich Null; wir wollen die

Coefficienten. ay, A, ,

von @ in &o + 0&, A, + day,

derart um-

wandeln, dass D = 0 bleibt

Dann gilt also die Gleichung

ÖD

ÖD

(18)

O

ö‘o+g

Öa +

=0

C

Durch die gemachte Umwandlung möge der singuläre Punkt (&,,

Emi)

in (& + 0,

Cm + öCm> Ubel 0‘ehen

Dann ist auch für diesen die

umgewandelte Funetion sowie jede ihrer Ableitungen gleich Null; also

3tp‚

Ö,

Ö@,

ö“0+ Da Öa A +33,‘ äg1+3g Ö A

0 =0

C= 12

m)

Wir multipliciren mit & und addiren die Producte

Weil

ö2

Ö,

Ö

Ö

0a,

060a

ÖE

(

0a

)

ist, so wird der Coefficient von daz gleich

11

164 Vierundvierzigste Vorlesung

459—460

Fünfundvierzigste Vorlesung 8 461

= (n — 1)

93;( >+ß2 Qa>+

nach dem Euler’schen Satze; und der Coefficient von 05 wird gleich

0,

Ö@,

Clog +C.z öé' +

—Elf\é— +C2 gg +

. = (n —1) € =0

Man erhält also als Summe

(14)

0’G9

3(pö

‘|'3qj ÖE

= 0

Durch die Bedingung (13) ist von den Inerementen day, 0a,,

NUur

eins durch die anderen bestimmt, etwa Öay durch 0a,, d0A,,

2

elche

willkürlich bleiben; eliminirt man nun day aus (14) und (18), so kann

die resultirende Gleichung nur dann erfüllt sein, wenn die Coefficienten

von 0d,, 0,

einzeln verschwinden, d. h

es folet

0ID @ID ID

0S

0

0

O

(15)

Ol

Öa

005

00

Öa,

005

Bedenkt man endlich, dass @ linear und homogen in den &v, A,

ist, so folgt, dass jedes Glied der rechten Seite in (15) ein Potenz-

product der &,, &,

En wird. Passende Wahl der Exponenten führt

also durch (15) zur Bestimmung von &, :&

Em selbst. (Vgl. $ 163

Bd. I.) — Bei mehrfachen Wurzeln versagt dieser Schluss

$ 460. Wir haben im 8 442 gefunden, dass wenn f=0, g=0

h=0

eine Reihe von m homogenen Gleichungen der m” Unbekann-

ten Zı 2

Zm darstellt, dann die Funetionaldeterminante. J dieser

Gleichungen für jede Wurzel (&,, &,

En) von f=0, g=0,

verschwindet

Wir wollen jetzt alle diese Gleichungen von derselben

Dimension % annehmen

Dann folgt aus

2ıfı + 2afe + 8fs + + + Emfm = Nf,

191 + %292 + 2393 47

+ ZmIm = NI ,

durch Auflösung nach den z die Relation

f1) f27

f fa

1

N

Iı I2

I, 925

wobei der Coefficient von 2 gleich J ist

Differentiirt man nach %,

so folgt

nif: F +g G +h: Ho +

]= 4 %;

denn die Differentiation nach den Elementen der ersten Spalte der Deter-

minante rechts ergiebt eine verschwindende Determinante

Ebenso ist

nif: Fı +g Az : Hr +

1= 4,

USN

Jacobi’s Erweiterung eines Euler’schen Satzes,.

165

Für (&, &,: Em) verschwindet also ausser J auch noch J., J; ,:

J und

also auch J,, d. h. jede der ersten Ableitungen. Also ist die Diseri-

minante der Functionaldeterminante J(z,,

‚:) Null, wenn

das System Y 0 y= 0

der m homogenen Gleichungen

eine Wurzel besitzt.

Im Falle m=2 hat deshalb J jeden

gemeinsamen Factor (x92, +4,%) von f und g als Doppelfaetor.

GE ET E

Fünfundvierzigste Vorlesung.

Jacobi’s Erweiterung eines Euler’schen Satzes.

$ 461. Im $ 38, Bd. I haben wir merkwürdige, von Euler stam-

mende Formeln abgeleitet. Jacobi hat ein Analogon zu denselben für

Sein Beweis kann

zwei Funetionen mit zwei Variablen gefunden *).

ohne Schwierigkeit auf ” Funetionen f„ von m Variablen 2,, %,

Zm

übertragen werden.

Wir benutzen die B6zout’schen Eliminationsformeln ($ 412) und

setzen, nachdem die f vorläufig präparirt sind,

gufı + Pufz + : + Oımfm = A(2,),

—

—-

D

U

R

L7 ] =k ,

q)nzlfl + q7m‚2f2 + OE + 9Dmmfm Fr Gm(£m) .

Die Wurzeln von G,(zx) = 0 seien Ex1, Saa Saßı‘ , und zwar mögen

(Erx, Eax, * Emx) die Wurzeln der fx = 0 werden.

Die Determinante

der , bezeichnen wir mit ®. Geben wir nun den Z,, Z2): - * Zm

irgend welche Werthe Eıx, & ß Emo, welche die G, = 0 machen,

aber nicht das System der fi, fa,:::fin, dann folgt aus (1), dass ®

verschwinden muss.

Es gilt also der Satzı Die Determinante

(2)

®(21) Qa Zm) Z 1‘Px).[

(x%, 4=1,2,...m)

verschwindet für jedes System Cıa; &g,:

Emo, welches die

Gal(22)= 0 befriedigt, aber nicht die fa(2,--:2m)= 0.

Zu einem zweiten Theoreme kommen wir auf folgende Art: Diffe-

rentlirt man eine der Gleichungen (1) nach einer der Variablen 28

so entsteht, wenn &„g nach Kronecker 1 oder Null bedeutet, jenach-

dem wir x = ß oder « =+ß haben,

*) J. f. Math. 14 (1885), p. 281. — Werke III, p. 285.

166

Fünfundvierzigste Vorlesung $ 461—462

mM

m

Öl

Pax

öaö’

S

02

O

02

Gg (2p) = dup * Ap(@p)

x=1

u=

Trägt man ın diese Gleichung ırgend

ein Wurzelsystem (&,,

m y)

so erhält man

ein, für welches alle f, verschwinden,

= Öaß Gg (E87) -

z%=1

Z‘PW(£W;

i=

—

Wegen des Multiplicationssatzes für Det91mmanten folgt daraus

(3)

®(gl)';

Em Y) J(@1 Y2

y = ] [ 66

z=1

Wir

wollen

annehmen

dass d A = 0 CZ

m) keine

mehrfachen Wurzeln besitzen

Durch unsere Vorbereitung der Funetio-

nen können wir es dann bewirken, dass auch keine der Gleichungen

Gg (2)

==

0 mehrfache Wurzeln hat; also bleiben die beiden Seiten von

Insbesondere ist

(3) für jedes y von Null ve1%ch1@den

®(Cl}’7

Emy) 0

$ 462. Wir haben nun das in $ 106, Bd. I bewiesene Cauchy’-

sche Theorem anzuwenden

Da es aber in etwas abweichender Form

so mag hier noch ein directer Nachweis für diese

gebraucht wird

Platz finden

Es sei eine Gleichung f(z) =0 mit den untereinander

verschiedenen Wurzeln 2,, %,

Z„ gegeben

M(z) sei irgend eine

ganze Function von Z

Dann lässt sich, wenn E die grösste ganze

Function bedeutet, die in M :f enthalten ıst

MC)

m (z)

f@O

= B) F A

m(z,)

il

— E(e) +Z

@) 28

mM(2, )

B

=E@)+N;

F

B(e) f@) + m@

G7 A0

—2

— E(e) + NX — —

f'(@,)

Wa d a

Z

(2,)

schreiben

Es ist also die symmetrische Funetion

M(2,)

f'(&,)

gleich dem Coefficienten von

&

Ar

—1 in der nach fallenden Potenzen von

2 geordneten Entwickelung von M(2) : f(2).

Jacobi’s Erweiterung eines Euler’schen Satzes.

167

Hiernach ist also die auf alle &x (x=1,2,-..k) bezogene sym-

metrische Funetion

:Zl[(gl a«? z2 ’ zm)

(4)

(a) G1’ (é‘1 a) G2’ (Z2) ABOn G7’IL (\Z„])

gleich dem Coefficienten von z ! in der Entwickelung nach z, von

M (@49 Ba

‘ Z)

Ö5)

C 1 (Zfl) G2 @& Gm (Zyp) ;

wenden wir denselben Satz auf (4) an, so folgt, dass die auf alle &x

und auf alle &5 bezogene symmetrische Function

M(é]_„a g2(‚‘7 331

Z)

EB ACıo) AEg) F3 (@3) Frn

gleich dem Coefficienten von (z,%) 71 in der Entwickelung von (5)

nach z, und % ist, u. s. f. und schliesslich zeigt sich, dass

‘Z‘I(glon C2ß7

énz 0)

(& 0) Gll (él a) Gé (£2(1’) Sl _Gi7;t (gmö)

gleich dem Coefficienten von (2,2 - 2m) ! in (5) wird.

Für M werde nun M-. @ gesetzt; dann ergiebt sich unter Berück-

sichtigung der ersten Theoreme aus dem vorigen Paragraphen, dass

S1a>

gm 0:) ® (C1 &«>

2 M(

Sma)

)

&

G{(é'1 A G7;L (gma)

oder wegen (3), dass

M(£lo: ’

Sma)

(6)

Z

&«

J(£la ’

£7IL &, )

gleich dem Coefficienten von (z,2

* Zm) ! in dem nach fallenden

Potenzen der z geordneten Ausdrucke

3[(31 2 S DG

Zy)

(7)

G, (81) A (@9) * G (Am)

wird.

Nun steigen die G,, G,--- bis zu dem Grade % auf, welcher

dem Grade der Eliminante R(x) gleichkommt. Der Nenner in (7)

hat also die Dimension /m. Ferner steigen die ,, ım Allgemeinen

bis zur Dimension (£ — n„), und also steigt ® im Allgemeinen bis zu

der Dimension (mk — Zn,)

.

Endlich bezeichnen wir mit w die Dimension von M. Dann hat

der Ausdruck (7) die Dimension (w— Xn,). Ist nun

oder

U — ZN, < —m

u< Zn— m

’

168

Fünfundvierzigste Vorlesung $ 462—463.

dann kommt in der Entwickelung von (7) gar kein Glied mit (2, - 2m)7*

vor; folglich wird (6) gleich Null.

Unsere früheren Untersuchungen

über die BEzout’sche Kliminationsmethode zeigen, dass im allgemeinen

Falle die angegebenen Dimensionen der @„ „ auftreten; diejenige von ®

könnte (mk-— Zn, — o) sein, wobei o eine positive Zahl bedeutet;

dadurch aber würde die rechte Seite der letzten Ungleichung nur noch

vergrössert werden.

Wir haben daher den Jacobi’schen Satz: Be-

deuten die fx allgemeine Funectionen der Dimensionen %,, und

ist M eine Function der Dimension u, wobei u< Zn, —m ist,

dann wird

(8)

%(£1 a& ?

EFE M

£m l‘l)

0

Z

&“

J(£1a ’

Ä7IL l1)

Man sieht aber leicht, dass in besonderen Fällen die Bestimmung

Nehmen wir

der Dimensionen für die „g und für @ hinfällig wird.

etwa

z==

f =a A —I=0,

40a22 —®

mit den beiden Wurzeln

9

12

(C11> é21> va (— © 0)7

(Ä„, C22) 5 (

R

]

’

5

}

dann werden die Gleichungen (1) zu

C222r GT A —0)— @a ©) @72 - —0y — 3)

= — 5247 — 242 — 27,

(22, + 2 —2): (512+322—’9)—(251+52'_6) $ (212+522+251_52—'3)

Z

D(8,, %) = 102, + 524 18;

J(8,, %) = — 28 — 42

Hier übertrifft die Dimension der @,, die Differenz (& — n„), und

andererseits ist die Dimension von ® geringer als die durch Grad-

abzählung erlangte.

In Specialfällen verliert also der Jacobi’sche

Satz seine Giltigkeit. In dem angeführten Beispiele hat (7) die Dimen-

sion (w— 3); nur für u = 0 ist (8) erfüllt.

Kronecker hat zuerst auf diesen Umstand aufmerksam

$ 463.

gemacht*), doch habe ich in den hinterlassenen Papieren Jacobi’s

eine Bemerkung gefunden, aus welcher hervorgeht, dass er selbst schon

für die Gültigkeit des Satzes die Bedingung als nothwendig erkannt

hatte, & müsse = N, + Na - Nm Sein *.

*) Berl. Ber. (1863), 21. Dec.

50) ll WeHK© II 15 GLOs

Jacobi’s Erweiterung eines Euler’schen Satzes.

169

Kronecker schlägt bei seiner Herleitung von (8) einen von

dem obigen ganz verschiedenen Weg ein. Er geht von der in $ 350

gegebenen Darstellung aus

(9)

/(r (Zl; 8 Zm) Z (Z1 K C1 «/)‚Ü<(xyl) + E + (r%n A Emy).99?n

(@«=1,2,:. m; y=1,2,.:-.%);

hierin sind die g ganze Funetionen von 2,, 2 Zm und von Eiy, 52y

gm Y*

Eine solche Darstellung ist auf unendlich viele Arten möglich;

gesetzt wir hätten neben (9) auch noch

(9°)

fa(zl‚ n Zm) F (Zl A g1y>hgcyl) + A + (Zm Zn Cmy>hgxy1)n

(06=1‚2,-n77&; 7=172;"'7')7

dann folgt, dass die Differenz der beiden rechten Seiten von (9%) und

(9) identisch, d. h. für jede Wahl der 2,, %,: %m verschwinden muss.

Es ist demnach

Y

__(/al

(y)

] + n + (Z;n An €my) [h

©2

a7n_'"g

am —

=0.

(51 —G y) [hiﬂ

Setzen wir hierin bei unbestimmtem z, für 2,:-- Zm ein Eay, * Smy,

7

©

so folgt, dass (h

@ arı

) für jedes z also identisch verschwinden

wird.

Es ist demnach

kl — g =

(m0dd' (z‘3 A Ä2 Y); (Z5 A €37)7"' (Z‚„ ‚NO gm)')) 9

und in Folge dessen für x=1,2,...m

(10)

—g

Un

(

O (modd (Z]_ €1 y), SN (Zm (n ;my))—

Es ist deswegen nach dem gleichen Modulsystem auch die Determi-

nante D, aus den An derjenigen aus den (](,’‚1) congruent.

Eine solche Darstellung (9%) können wir leicht auf folgende Weise

erlangen.

Es sei u„ der Complex der Glieder von der Dimension %4

aus fx; dann wird

EZ£

al

04

Wa

N

(

Z S + 580 + B

B

gee):

fa=i(li(zlégw)äjjra++(zm _gmy)gizßi}+qa(zn"'zm3 y );

wobei qx in den z höchstens von der Dimension (%@% —1) ist und für

verschwindet.

CO Ä„,

Wendet man das gleiche Verfahren auf

qu an und geht so fort, dann erkennt man, dass gesetzt werden kann

0

(11)

A Kn

u%

özf + (Glieder niederer Dimension).

Hieraus ergiebt sich

1L

Fünfundvierzigste Vorlesung $ 463—464.

(12)

Dy S lh9}{ z N Nz ;

* Nn

Tu(21> * * Am)

+ (Glieder niederer Dimensionen),

wobei J„ die Functionaldeterminante der w,, U, - - - Um bedeutet.

Kine andere Form für die A können wir gewinnen, wenn wir die

f“ nach Potenzen von (2, — E17), : (Zm — Emy) entwickeln; dann folgt,

wenn wir die neuen, den g,2 entsprechenden Coeffieienten mit %,7 be-

zeichnen,

k

%A —

OE | Öfe

ÖE

} (Iﬂ0dd (Zl F ;1 y), n (Z7n e émy)) .

Hier wiırd also die Determinanﬁe der %;

Z

nach dem angegebenen Modul-

systeme congruent J(E,,:--Emy), wobei J wie gewöhnlich die Fune-

tionaldeterminante der f bezeichnet.

Bedenken wir weiter, dass gemäss (10) ein jedes System 4 (modd.

( —Eıy) - ) durch die g ersetzt werden kann, so folgt, dass die

Determinante D, für jedes System U congruent J(&iy,::) ist.

Für andere Wurzeln (&9,:-: Eno) dagegen wird D, gleich Null;

denn diese Substitution macht in (9) die linken Seiten zu Null, wäh-

rend nicht alle (z,

E,o) verschwinden, wenn das System fx= 0 keine

mehrfachen Wurzeln hat.

Das wollen wir von jetzt ab voraussetzen.

Hiernach haben für alle Wurzeln (E&@x,-::Enoa) (@«=1,2,:- ‚k) des

Systems alle D, dieselben Werthe, wie auch die g,„ gewählt sind; näm-

lich für « =+y den Werth 0 und für « = / den Werth J(&ı17,

)

Folglich sind alle D, einander (modd. f\,fa,: < fn) nach den Sätzen

aus 8 428 congruent.

Denn die Differenz zweier D, verschwindet für

alle Wurzeln des Systems, und diese haben nur die Multiphcität 1.

$ 464. In dem Quotienten

D

C

Z %9

z’l'll)

DG

é4m y) d

den wir kürzer mit D,: 4, bezeichnen wollen, haben wir einen Aus-

druck, der sich zur Erweiterung der Lagrange’schen Interpolations-

formel eignet, da das Aggregat, in dem g,, g»,::: qr Constanten

bedeuten,

(13)

Q =ZQY

O

Y

A;’

für jede Wurzel (&ıy, Eey,: : Emy) des Systems fx= 0 den Werth

Der Unterschied zwischen dieser Formel und der ın

qQy annımmt.

S 352 gegebenen ist augenfällig; hier sind die 5 als Wurzeln eines Glei-

chungssystems definirt; dort waren es gegebene, bekannte Werthsysteme.

Jacobi’s Erweiterung eines Kuler’schen Satzes.

171

Gesetzt es gäbe eine andere Funetion der %7, welche gleichfalls

für alle (&,,---) die Werthe q, annimmt, dann verschwindet die Dif-

ferenz dieser Funetion und der Funetion (13) für alle Wurzeln des

Gleichungssystems.

Da nun die Voraussetzung gemacht worden ist,

dass diese sämmtlich nur einfache Wurzeln sind, so ist schon die Diffe-

renz und nicht erst die Differenz einer höheren Potenz beider Funetionen

congruent 0 (modd. fi,-::). Jede Function, die für (£,,,

Clll y)

gleich qg, wird (y=1,2,-.-.k), ist congruent (13) nach dem

Modulsysteme fi, fayfm-

Wir nehmen nun eine Funetion Q(2,, %, £m), deren Dimension

geringer sein soll als die von J(z,,-::2m) oder, was ja das Gleiche

ist, als die von J„(2,,

Zu)- Dann wählen wir für die g diejenigen

Funetionen, welche auf (12) führen, und haben, wenn man Q(&1,,:)= 4y

setzt, nach (12) und (13) für Q die Darstellung

u

Q Z

7'L1 ©

‚n„€th <517 C Zm)

E. Z + (Glieder niederer Dimensionen)

Y

7

(modd. f}, fa fm)-

Da nun Q von geringerer Dimension ist, als J„, so lässt sich

1y

Jzo (21; O Z,„)

Y

X

durch Hinzufügung eines linearen homogenen Ausdrucks von f,,

fm

auf niedrigere Dimension reduciıren, so dass also etwa ın

Ju(£]_; E Zm)

g)/-—(P1f1 ++ me?»)

©

L

die Glieder höchster Dimension von J, verschwinden.

Nun ist n

homogen; behält man ın den P und den f nur die Glieder höchster

Dimension bei, die wir mit Ua Ug bezeichneten, so folgt die Gleichung

Ju(21) * m)

Yı DUr A A Dn Um

©

Y

Wäre die Summe von Null verschieden, so müssten nach 8& 443

u = 0, 6 = 0, 4 = 0 gemeinsame Wurzeln haben; also wären

Wurzeln von f =0,... unendlich, und %< (n -n

Um). Setzen wir

deshalb voraus, dass % = nn

%m ist, dann muss die Summe ver-

schwinden. Ist die Anzahl der Wurzeln von z Z

gleich %.n - Nm, und ist die Dimension von Q(Z,, %,: 2m)

geringer als (/7%2 — m), dann gilt

172 Fünfundyvierzigste Vorlesung $ 464—466. Sechsundvierzigste Vorlesung $ 467

(14

MC

lll }'>

G

=0

7<g1/’

Sm y)

E

TG

m y>

7)

und dies ist der Jacobi’sche Satz

Es ist jetzt noch nachzuweisen, dass wenn % < (n 1n,

Nm) wird

Dazu verfahren wir

die Formel (14) nicht mehr allgemein gültig ist

folgendermassen. Da wir die Glieder höchster Dimension aus fx mit o

und die Funetionaldeterminante der w in (12) mit J, bezeichnet haben,

so folgt jetzt die Gleichung

J(2,,

&m) = Ju(&)

Zm) A Z (&

Z‚„) ?

in der L, von niederer Dimension ist als J„, also höchstens von der

Dimension (Z%x — m — 1). Das erkennt man sofort, wenn man die

einzelnen Elemente der Determinante J nach ihren Dimensionen an-

ordnet

Für unseren Fall %< IIn ist ferner J, linear und homogen

in den ug nach 8 443; also etwa

Iy = JıU F Qa F + Gım Ur

Za

=q4fı T+ F + Qmfın + Lo(&,,

wobei Z, von niederer Dimension ist als (Zn4 — m), da ja jedes fa

mit ug in den Gliedern höchster Dimension übereinstimmt

Setzt

an L = L, + ,, So ist

J(“1 Z

4.)„L(Zl‚

Zm) (modd. f}, /

fm),

und also wird für jede Wurzel (&1x,

gm a)

J(€„„

gma) T L(Cla;

Cm o:)

Es giebt demnach eine Function £ von geringerer als der (Zny — m)*

Dimension, die für alle Wurzeln der „ = 0 mit der Funetionaldeter-

minante ubemmstunmt

Nehmen wir diese für Q in (14) an und be-

j——J(€1a;

) ist ($ 463), so folgt für

denken, dass auch Da(Eie,

diese Funct10n dass jeder der Summanden in (14) den Werth 1 hat,

also ist dafür entcrecren dem Jacobi’schen Satze

Il(£1y7

m y)

k

D (g1y7

m y)

$ 465

In noch anderer Weise zeigt Liouville*) die Richtigkeit

des Satzes.

Er stellt die Eliminante R(g,) von fi= 0

a =0 au

. En von je (m—1)

verschiedene Arten her, indem er die W urzeln &, &,:

dieser Gleichungen immer in die übrigbleibende einsetzt und nach

der Poisson’schen Methode das Produet der Substitutionsresultate

nimmt. So erhält er verschiedene Formen derselben Funetion R, deren

SN E

) J. d.’M. p.e. a. 6 (1841), p. 345

Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s. 173

Vergleichung ihm dann den Jacobi’schen Satz liefert.

Derselbe tritt

bei ıhm in einer scheinbar grösseren Allgemeinheit auf; seine Formel

lässt sich aber aus der Jacobi’schen leicht ableiten °

Setzt man

nämlich statt f, das Product zweier Funetionen f%-/i ein, bezeich-

net mit

5& die Wurzeln, mit J7 die Functionaldet. von fo, f, f,

fn

7]7)

”

?

”

Jı

”

2

fr kr f3

frn

und bedenkt, dass das frühere J durch fidJ, + fiJo ersetzt werden

muss, so entsteht aus (14)

x

Q&

)

Nı ,

)

Z

£11 'r')Jo (5

n

Z

")‘[1(773 )

©

Hier ersetzt man dann @Q noch durch QJ)y und kommt zu der Liou-

yille’schen Formel

Q,

)

jS?(771 DE ) Joﬂ; ,

f S,

—

+

2 LO

Z

ﬂ;("71 RO )J1 (Ü1 5

)

welche sich sonach als einfache Folgerung aus der Jacobi’schen

ausweist.

$466. Eine sachliche Erweiterung giebt Herr W. End: „Algebraische

Untersuchungen über Flächen mit gemeinschaftlicher Curve“, Math.

Ann. 35 (1890), p. 82. Er weist nach (für m — 3), dass der Jacobi’-

sche Satz unter gewissen Bedingungen auch dann gilt, wenn das System

der Gleichungen von höherer Stufe ist, falls nur die Summation auf

diejenigen Wurzeln allein ausgedehnt wird, welche als getrennte Wurzel-

punkte des Gebildes auftreten.

Sechsundvierzigste Vorlesung.

Die Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie.

Die quadratischen Formen Hermite’s.

$ 467. Der Cauchy’sche Satz ($ 34, Bd. I) über die Anzahl der

innerhalb einer geschlossenen einfachen Curve (—0 liegenden Wurzel-

punkte einer Gleichung f(z) = 0 lässt eine bedeutende KErweiterung

zu, wenn man ihn nach Einführung von 2= %+ iy und f(2) =u(x,y)

+ io(x,y) = 0 so auffasst, dass man das ge

genseitige Durchdringen

?er drei Curven C=0, u=0, v=0 studirt. Diese Betrachtungen

*) Kronecker, 1. c. p. 690,

174

Sechsundvierzigste Vorlesung g 467—468.

sind von Kronecker angestellt worden *).

Wir wollen sie jetzt ın

etwas veränderter Form hier wiedergeben.

Es seien fo,fi,: : fm gegebene (m +1) ganze Funetionen der

Variablen 2,, %,

Zm mit reellen Coefficeienten; die Ableitung von f,

nach zg bezeichnen wir mit fap- Jede der Funetionen f„ möge nur für

endliche Werthe der Varıablen verschwinden; dabei wollen wir jedem

f“ ein solches Vorzeichen geben, dass für unendlich orosse z jedes f,

positiv wird.

Diejenigen Stellen, in denen sgn f = — 1 ist, nennen

wır das Innere des Gebildes f„ ==0. MEs besteht aus einer oder aus

mehreren geschlossenen Mannigfaltigkeiten m” Dimension.

——

D

Betrachten wir zwei solche Gebilde fz

O und /£ = 0, dann

sollen diejenigen Stellen, in denen sgn (fx : fs) = — 1 ist, als Binnen-

raum für (fx, fp) aufgefasst werden.

Der Bequemlichkeit der Formeln wegen führen wir noch unbe-

stimmte Elemente foo, fıo,

fo eim und benutzen die Determinante

V

4=[|f,2|

(@Z= 0, 10000 ÜE L

Die Ableitung

= , ist der Funetionaldeterminante J,von fi,--fyı,

öf,

f+1) fın bis auf das Vorzeichen gleich; wir wollen das von J,

direct gleich dem von , nehmen, also die Functionaldeterminante

mit , einfach identificiren.

Setzen wir alle f = 0, ausgenommen f und f;, so wird dadurch

zwischen 2,, %,

Zm eine einfache Mannigfaltigkeit bestimmt, die wir

als die Linie [h/%] oder [%h] je nach der Richtung, in der sie durch-

laufen wird, bezeichnen wollen.

Die Richtung stellen wir folgender-

massen fest: Ist (2,, %,: : Zm) ein Punkt der Linie, dann werden die

benachbarten Punkte auf ihr durch Incremente (dz,, dz2, : dzm) be-

stimmt, für die das Gleichungssystem

Ö

la

ÖR

da+ä%o%+—--+

Öß

Z“„dz„= 0

(«=0,1,-..-m ausser % und £)

Aus diesem Systeme linearer Gleichungen folgt

gelten muss.

A

04

@° Al

E O

so dass gesetzt werden kann, wenn & reell und unendlich klein ge-

nommen Wird,

@7 2l

024

SE

n

da = - &5

frodfna

Öfno OTra

E

E

*) Berl. Ber. 1869 März und August; 1878 Februar.

Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s, 175

Hiernach giebt es zwei verschiedene Fortschrittsrichtungen; wir wollen

die Curve bezeichnen mit

074

[4Z4] bei der Fortschrittsrichtung dzu = &*

3fl\()afha 7

0?4

[%h]

”

”

”

da = &

3/}‚oäf; .

$ 468. Wir untersuchen nun die Schnittpunkte von [hk] mit

fn=0. Ist (E,---Em) ein Schnittpunkt, so wird f„(E,::- Em)=0, und

in dem benachbarten Punkte längs der Fortschrittsrichtung [hA/] hat

f/1

den Werth

02

0°4

fn

Öfn

ln

+

n

ä;; le + i + (}“Z;; (ZZ‚„ S

i

02 OÖfro On

Ö Ofr0 ım

|

== E

204

— 2AL

Öfxo

Daraus ersieht man: [h/] tritt bei (E,---Em) in das Innere von f;,

wenn A, negativ ist, und ın das Aeussere, wenn 4, posıtiv ist.

Wir nennen einen Punkt, in welchem [4A/“] beim Passiren von

fi=0 in den Binnenraum von (fx,fx) eintritt, einen Eintrittspunkt;

einen Punkt, in welchem [h4] beim Passiren von fx= 0 aus dem

Binnenraume von (f,, /x) heraustritt, einen Austrittspunkt von [A4k].

Es lässt sich leicht feststellen, wann (E,, &,: CEm) das Eine oder

das Andere ist.

Tritt [hk] ms Innere von fx==0, und ist dabei

san fr(& ,: Em)= + 1, so haben wir einen Eintrittspunkt; ebenso

wenn [hk] aus f7=0 heraustritt, und wenn dabei sgn fx(E& ,: En)=—1

ıst

In beiden Fällen wird sgn 4x f = — 1.

Umgekehrt folgt für einen Austrittspunkt sgn A,fx = + 1.

Wir setzen der Deutlichkeit halber noch die folgende Uebersicht her:

Eintrittspunkte.

]l

san f

+1, 0,

’

sn f = —1, 0, +1

san f}

—

Er

—

—1

’

sgn f%

sgn A,

—1

7

san A

—

z

Ba

sgn 4,f%x= — 1.

Austrittspuhkte.

san f}

+1, ©,

al

)

Sg[lf;, =_17 O; +1

I

Ar

sgn f*x

—.1

Y

san fx

A

I

—1

sgn 4,

2}

Sgn 4x =

+ 1

son An = Al

176

Sechsundvierzigste Vorlesung $ 468—470.

Hieraus kann man eine Reihe wichtiger Schlüsse ziehen.

Auf einen Punkt (& ,---Em), in welchem [}Zk] ins Innere von

fn = 0 tritt, folgt ein Schnittpunkt (&,

. &) von [hk£] mit fi= 0,

in welchem [hA4] aus dem Inneren heraustritt, und umgekehrt.

Im

ersten ist , negativ, im zweiten positiv; da die Curve |hk] geschlossen

ist, weil alle / = 0 ganz im Endlichen liegen, so wird

(1)

ngnd;„=0

(erstreckt auf alle Schnitte von [hk%] mit f = 0).

Bezeichnen wir die Anzahl der Male, in denen Eintrittspunkte bei

son 4+ = — 1 auftreten, mit &,, und bei sgn 4,= 1 mit &; ferner

die Anzahl der Austrittspunkte bei sgn 4, = —1 mit «,, und bei

sn 42 = +1 mit @, dann ist nach (1) und der obigen Tabelle

(2)

E& f &y = 8& 1 %-

$ 469. Verfolgen wir den Lauf von [hA%] und zählen die Kin-

trittspunkte und die Austrittspunkte in den Binnenraum von (fz, fx),

die beim Schnitte mit f = 0 statthaben, dann ist die Gesammtzahl

bei einem vollständigen Umlaufe eine gerade Zahl, &, +& + &, +«x=0

(mod. 2), und also ist auch

(3)

(£1 A 52) Sn (“1 Sn “2) =24

eine gerade Zahl.

Die Hälfte derselben, also y, nennen wir die Cha-

rakteristik des Systems der Funetionen f%, fi,:::fnz dazu sind

wir berechtigt, weil, wie sich gleich zeigen wird, % bei jeder Wahl

von h und k denselben Werth besitzt.

Aus (3) in Verbindung mit (2) folgt sofort

(4)

MC ZE ZA

Infolge unserer Tabelle sehen wir, dass dies so ausgesprochen werden

kann: Es ist

©6)

ÜE& =ngnzl;„

wenn die Summe auf alle Punkte (&,-:-n) erstreckt wird,

in denen

(5°)

f On Z N

ist; oder auch

(6)

N= 6 =ngn Aln

wenn die Summe auf alle Punkte (&, .. Em) erstreckt wird,

in denen man hat:

(6%)

n A0 fo= 0,

E

Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s. 177

Dafür können wir auch sagen: Die Charakteristik von f%,

fı

fn ist gleich dem Ueberschuss der innerhalb fi=0 lie-

genden Wurzeln von fi=0,:..fn= 0 mit sgn 4,= + 1 über

diejenigen mit sgn 4, = — 1; oder gleich dem Ueberschuss

der ausserhalb gelegenen mit sgn 4, = — 1 über diejenigen

mit sgn 4, = + 1.

Bei dieser Darstellung von y nimmt der Index % keine Ausnahme-

stellung mehr ein; man kann ihn daher mit jedem anderen vertauschen,

Lässt sich also noch nachweisen, dass auch A und % untereinander ver-

tauscht werden dürfen, dann ist die Constanz der Charakteristik nach-

gewiesen, denn man kann dann von [hk] zu [h’k], zu [kh'], zu [k’W]

und endlich zu [h’k’] übergehen, wobei h’, k zwei willkürliche In-

dices sind.

Dieser Theil des Beweises ist aber sehr einfach zu führen.

Be-

zeichnen wir alle Eintritte der [hk] in den Binnenraum von (g f

sowohl beim Schnitte mit f = 0 als auch bei dem mit fx = 0 der

Reihe nach mit %, , ”,-

und ebenso die Austritte mit 4', 4”,

A///

%

so ist, da auf jedes } ein A folgen muss und umgekehrt, die

Summe der Anzahlen hier und da einander gleich. Die &W, E”,-

und die 4', A7,-

sind nun zunächst solche, bei denen f, geschnit-

ten wird; diese Anzahlen sind (&, +,) und (&x, + cw); und weiter solche,

bei denen f; geschnitten wird; diese Anzahlen seien e und a. Danach ist

(’+(51+82)=a+(0‘1+“2);

(7)

24 = (& + &) — (& + %)= a — e.

Rechnet man, wie es die Regel vorschreibt, auf [%A4] die Eintritts- und

die Austrittspunkte bei den Schnitten mit /;= 0, so ist, da nun die

umgekehrte Richtung gilt, jeder Punkt, der unter @ vorkam ‚ ein Ein-

trittspunkt und jeder, der unter e vorkam, ein Austrittspunkt; also

zeigt (7) in Verbindung mit (3) die Richtigkeit des Theorems.

$ 470. Infolge der Tabelle können wir dié Charakteristik noch

anders deuten. Auf [A0] ist fi=0,..fi_1=0, fı+ı= 0, fa = O;

folglich wird in den Schnittpunkten von [A0] mit f==0 jedes f gleich

Null ausser . Jeder Schnittpunkt (&, &,--- En) ist also ein Wurzel-

.

punkt für das System fx

0 (@«=1,2,...m).

Eintrittspunkte sind

diejenigen unter ihnen, für welche sgn 4of9= — 1 _ ist, Austritts-

punkte die, für welche son A4yfy = + 1 ist.

Die Charakteristik

ist gleich dem doppelten Ueberschuss der Anzahl der Wurzel-

punkte (6,:::En), für welche sgn 4,f)= —1 über die, für welche

sam 4 = +1 wird.

Netto, Algebra, II,

12

Il

(

8

Sechsundvierzigste Vorlesung $ 470—472.

Wenn man ferner statt der Funetion f) das Product fo4, nimmt,

dann ist die Charakteristik der Funectionen

(Äofo; f1: f97 "ﬁ?l)

gleich dem doppelten Ueberschuss der im Innern von n= 0

gelegenen Punkte (& ,---En) über die im Aeusseren gelegenen

Punkte.

Wenn weiter der Bereich f einen anderen Bereich g) vollständig

einschliesst, so wird die Anzahl der zwischen beiden Umgrenzungen f;

und g gelegenen Punkte (&,---En) durch die Differenz der beiden

Charakteristiken von

(A0f()) f1’ ﬁ.>; "ﬁ”) und von (AO.[/O) f17 f2: "ﬁu)

gegeben.

Endlich können wir auch noch an die Stelle von sgn 4, fx setzen

fo

fo1

S /’0'u1‚

1

san

f ./i1. "./'1‚'„

son D

[

! fm fm. ıl

fm m

da ja in jedem Schnittpunkte von [hk] mit fxi= 0 alle f mit Ausnahme

von fx gleich Null werden.

Tst al ün C 9 da en

— 1, so ist der Punkt ein KEintrittspunkt; ıst sgn D gleich +1, so ist

er ein Austrittspunkt.

Folglich ist auch

(8)

2% A —Z sgn D

(erstreckt auf alle Punkte, in denen die f= 0 werden, ausser f;).

Aus der Constanz der Charakteristik folgt, dass (8) denselben Werth

besitzt, was auch immer für ein Index % genommen wird.

Die gleich im ersten Paragraphen dieser Vorlesung gemachte An-

nahme, dass alle f= 0 ganz im Endlichen verlaufen, ıst für die ge-

machten Schlussfolgerungen eine wesentliche Voraussetzung, da ja alle

Sobald man aber die

Curven [hk] geschlossene Curven sein müssen.

Formel (5) anwendet, welche nur die Punkte im Innern von fx= 0

benutzt, kann man die geschlossenen Theile der Curven [hk], welche

in fx >©0 verlaufen, auch durch ungeschlossene Theile in f7 >0 er-

setzen; denn diese üben ja bei dieser Formel keinen Kinfluss aus.

$ 471. Der Satz über die Constanz der als Charakteristik erklärten

Zahl gehört in die Reihe der Theoreme der Lagen-Geometrie und muss

Dies ist auch wirklich

als solcher rein anschauliche Beweise zulassen.

der Fall, wie wir jetzt zeıgen wollen.

Dabei benutzen wir den In-

ductionsschluss.

Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Heärmii:6’s. 179

Es seı zunächst m=2, und f‚ fı, / seien die gegebenen Func-

tionen. Wir betrachten einen Binnenraum B von (f,, f), der zwischen

zweı aufeinanderfolgenden Schnittpunkten S, und S, von fi=0, L=0

gelegen ıst.

Dabei mögen den f} =0, f© = 0 beliebige Fortschritts-

richtungen zuertheilt sein. Dann hat S, als auf fi = 0 gelegen, einen

bestimmten Charakter xz, = - 1 _ hinsichtlich des Ein- oder Austrittes

in (f, f2); ebenso S,, als auf f© = 0 gelegen, einen solchen z =-+1

hinsichtlich (f, fi)/ Nun wird fy= 0 die Begrenzung des Raumes B

eine gerade Anzahl von Malen treffen; also ist die Zahl der Schnitte

mit f =0 congruent der mit f =0 (mod. 2).

Jeder zwischen S/;

und S, belegene Schnittpunkt auf f ändert aber x,; ähnliche Aende-

rung ruft jeder Schnittpunkt auf f für x hervor.

Da beidemale die

Zahl der Schnitte congruent (mod. 2) ist, so werden beide Charaktere

gleichzeitig geändert, oder sie bleiben gleichzeitig ungeändert.

Zählt

man also die x in dieser Weise auf den ganzen Curven fi =0 und auf

f = 0, so findet man gleiche absolute Werthe für y, gleichgültig ob

man auf f =0 oder auf f =0 die Zählung vornimmt.

Giebt man

also an einem beliebigen Schnittpunkte etwa S, den Curven fi= 0,

f = 0 solche Richtungen, dass x, = x wird, dann sind die % auf

beiden Curyen gerechnet auch unter Berücksichtigung des Vorzeichens

ıdentisch.

Nimmt man endlich f@=0 mit fi=0 zusammen, so folgt

Gleiches; und daraus schliesst man dann, dass die Richtung, die dem

/ ertheilt werden muss, unabhängig davon ist, ob man f} =0 bei der

Bestimmung derselben zu Hülfe nimmt, oder fx = 0. —

Für (m + 1) Funetionen f, A, fm-4+1 kann man jetzt die Frage

unmittelbar auf die für m Funectionen zurückführen.

Studirt man die

Schnitte von [hk] mit fi=0, fx= 0, so reicht es aus aus, von der

gesammten. Figuration nur „die Schnitte“ z. B. mit f = 0 zu betrach-

ten.

Diese bilden genau die zu m Funetionen gehörige Figur, nur

in _ der Mannigfaltigkeit f =0 aufgefasst.

Da sieht man dann sofort

die Gültigkeit des allgemeinen Satzes ein.

$ 472. Wir wollen nun eine Anwendung der bisherigen allge-

meinen Theorien geben.

Es sei m = 2n. Wir verstehen unter den F nganze reelle Fune-

tionen und setzen

Fa(zl + izn—l—1; 5° 8 + 71.Z2n) Er fce(zl OS Z2n)+ fa—}—n(zj ON Z2n)

(a=1‚2‚--—%)‚

so'dass die fi, f,

7:

9

2

9

„ reelle Funetionen von 2n reellen Variablen

sınd.

Nun ist

12

180

Sechsundvierzigste Vorlesung $ 472.

Dn

ÖF

ÖF,

= —14

E

Öf.

öfa+n

02

0%

Z +

Ö(zß + Ü 6)

0z„+ß

0 Z

Öfz

äfo;—{-n

ÖR + ß

02

und die Functionaldeterminante 4, nimmt die Gestalt an

|

U1ı

U3

13

O14

l

— 29

AAyı

Ara

A13

U3ı

A39

A33

U3

U3

(

— U34

A33

Zur ersten Spalte addiren wir die zweite mit %@ multiplicirte; ebenso

zur dritten die mit % multiplieirte vierte, u. s. w.; subtrahiren dann

von der zweiten Zeile die mit %@ multiplicirte erste, von der vierten die

mit %@ multiplicirte dritte, u. s. w. Hierdurch entsteht

A, F C492

Üa

M1ı

1019

31 F{ 1 Ag9

(39

U31

— Ülr

addiren wir dann zur ersten Zeile die mit ziz multiplicirte zweite, u. s. f.

und subtrahiren von der zweiten Spalte die mıt 2i multiplicirte erste,

u. s. f£., dann bekommen wir

| d11 F Üd2

Aı

— 0049

Aı F CCg

U3ı

U039

A F 0045,

C

—

A F

4039 ,

U3ı

4039 ,

1

Es ist also 4, in diesem Falle die Summe zweier Quadrate und daher

niemals negativ.

Schon daraus ist ersichtlich, dass die Funetionen f

unseren Bedingungen nicht entsprechen.

Denn es wird &, = &, =0,

Wir

können uns aber auch

und also nach (2) auch &, =& =0.

direct davon überzeugen, dass jedes f= 0 sich ins Unendliche erstreckt.

Geben wir den 22 + C2n+2 ,

- Zn + 2n beliebige endliche feste

n

Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s. 181

Werthe, und lassen den absoluten Betrag von (zı + %2„41) ins Unend-

liche wachsen, dann geht jedes . in ein (4 + Bi)(zı + 02n4-1)* über,

Es ist

wenn x den höchsten vorkommenden Exponenten bedeutet.

ABa E

Z ( A — B E A

Die Gleichungen U(t, 1) = 0, V(t, 1) = 0 sind aber direct unter dem

Biehler’schen Satze ($ 209, Bd. I) enthalten, und daraus folgt, dass

sowohl sie selbst als auch, weil die Wurzeln von U= 0 und V/=0

sich gegenseitig trennen,

AU-ZBYE0, BULAYEO

reelle Wurzeln £ haben; d. h. fy= 0 und fx+.n = 0 erstrecken sich

ins Unendliche.

Wir wollen weiter annehmen, dass die Glieder höchster Dimension

in den /x, gleich Null gesetzt, kein Gleichungssystem mit gemeinsamen

Wurzeln ergeben*

Dann kann man für die absoluten Beträge der

Zi, ‘ %an eine Grenze 0n angeben, oberhalb deren das System fı=0

keine Wurzel mehr besitzt.

Um dies zu zeigen, setzen wir

21 — O0U1, 22 =— 0U2, *

Zan — OU2n

2 = 1)

und nach Dimensipnen geordnet

fal2ı, : 2an)= 0“ al ,: Uan) E 0 bal

Üa e 90n

Dann haben die x = 0 kein gemeinsames Wurzelsystem u, und also

sinkt Eq>„‘* nicht unter einen endlichen positiven Werth. Bilden

wır also

e

R Z2n)

al

2 2%2+%‘F1+@i271f2+“'‚

]

o°a

so kann das erste Glied rechts nicht unter einen endlichen positiven

Werth abnehmen.

Für D E

kann man leicht obere Grenzen

angeben, indem man alle w = 1 setzt und alle Coefficienten durch die

grössten absoluten Werthe ersetzt, die sie erreichen dürfen.

Danach

lässt sich dann 0, so bestimmen, dass für o 0, die rechte Seite von

Null verschieden hbleibt, und 0, ist somit die gewünschte Grenze.

Nehmen wir also ein fi(2,, - 22n) =0, welches ganz im Aeusseren

der Fläche X2;* — 09 = 0 verläuft, so können wir, ohne die Wurzel-

anzahl von fi =0,: - fa = 0 innerhalb © =0 zu beeinflussen, alle

F

ausserhalb / =0 durch geschlossene Stücke ersetzt denken.

Dann erst gelten die Formeln (5), (5°) für &=0, da sie sich

nur auf Configurationen innerhalb des Gebietes fji = 0 beziehen. Das

182

Sechsundvierzigste Vorlesung $ 472—474

KErgebniss, dass 4,>0 ist, gilt also auch nur für sie

In fy<0O giebt

es daher nur Kintrittspunkte, d. h. die Charakteristik y=&

to]

siebt

direct die Anzahl der Schnittpunkte von fi = 0

a = 0

Wir wollen jetzt die Beschaffenheit der durch

{ —O

f/z——1“’0 f/1+1—()

A0

auf / herausgeschnittenen Punkte untersuchen

Geht man auf [40]

vom Aeusseren f >0 kommend beim Punkte P in das Gebiet fi <0

hinein, und trifft man auf [Z0] bei Q den ersten Schnittpunkt von [/Z0]

mit ; = 0, so muss, da Q ein Eintrittspunkt ist, nach der Tabelle f,

vom Negativen ins Positive gehen; folglich liegt P im Bereiche f,<0

und da [0%] die entgegengesetzte Richtung hat, so tritt [0%] bei P

aus %@ 0in A > 0, d.h. P ist auf [0%] eın Eintrittspunkt

Geht man ferner auf [/0] vom Inneren fi<0 kommend beim Punkte

S aus dem Gebiete f< O heraus, und ist R der letzte vorhergehende

da R eın

Schnittpunkt von |4/0] mit f7== 0, so ist auch hier wieder

Fintrittspunkt ist, [L0] aus f <0 mm fı >0 getreten

und S liegt

deshalb in f)x>0. Deshalb tritt [0%] bei S in der Richtung RS

betrachtet innerhalb f, >0 aus f >0 in f)i<O; S ist also nach der

Tabelle ein Eintrittspunkt. Folglich giebt es auf / =0 an Schnitten

mit einem beliebigen Systeme von (2% — 1) der f= 0 nur Eintritts-

Also folgt: Inner-

punkte

Nun ist die Anzahl derselben gleich 2y

halb @ =0 und ebenso auf fy=0 giebt es nur Kintritts-

punkte, und zwar liegen auf f = ©0 doppelt so viel Schnitt-

punkte mit jeder durch Ausschluss einer der übrigen Fune-

tionen fı gebildeten Linien, als im Inneren Schnittpunkte der

f17f27

vorhanden sind

$& 473. Wir kehren zu dem allgemeinen Falle willkürlicher fi,

f

fn zurück, die nur den oben aufgestellten Bedingungen zu ge-

nügen haben

Gehen wir durch Variation der Constanten von jenem

ersten Systeme zu einem zweiten über, so kann die Variation stets so

vorgenommen werden, dass man zunächst eine der Funectionen ın die

neue Form überführt, während die übrigen ungeändert bleiben;

dann

mit einer zweıten ebenso verfährt, u. s. £. Auf diese Weise kann man

am Einfachsten übersehen, wie die Charakteristik des Systems sich

ändert. Nach Formel (5) ist % = Eson ,:, ausgedehnt über die

Stellen, an denen alle „ =0 sind, ausgenommen f%, welches negativ ist.

Bei festen , und varlirtem %x kann in jenem Ausdrucke, in welchem

ja dann auch A, für jedes System (&,, :

Ä'm) constant ist, x sich nur

d%nn ändern, wenn einer der Punkte (6,,

- En) bei der Variation von

fx aus dem Gebwte f< 0 im das Gebiet ﬁ >0 tritt, oder umgekehrt.

Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s. 183

Dabei muss das Gebilde fx= 0 den Punkt (&,-:-CEn) überschritten

haben, d. h. es müssen gleichzeitig alle (m + 1) Funetionen f, gleich

Null geworden sein.

Da Gleiches für alle anderen Funetionen gilt, so

haben wir den Satz: Die Charakteristik kann bei Variıatıon der

Functionen f nur dann eine Aenderung erfahren, wenn ein

System von Functionen passırt wird, welche sämmtlich für

Je-

ein und dasselbe Werthsystem (E&,:::Cn) verschwinden.

nachdem dabeı

| fa |

(%7 Ä=O;17 999 U f/0=f/)

aus dem Positiyen ıns Negative übergeht oder umgekehrt,

nimmt die Charakteristik um eine Einheit zu oder ab, wenn

nicht etwa die passırte Stelle singulär ist.

$ 474. Nach diesen Resultaten ändert sich in unserem Beispiele

von $ 472 die Charakteristik nicht, wenn wir bei hinreichend hoch

gewähltem 0, die Coefficienten der f um endliche Grössen variiren, die

einen gegebenen Betrag nicht überschreiten.

Da in diesem Falle die

Charakteristik zugleich die Anzahl der Wurzeln der Gleichungen

Fol(2, + Cen+1) * Zn A Ren)= 0

(@«=1,2,..:%)

ergiebt, so bleibt auch sie ungeändert, wenn man die Funetionen für

@ =1,2,-.. (n— 1) auf ihre Glieder höchster Dimensionen beschränkt.

Liefern dann diese homogenen Gleichungen q Werthsysteme für die

Verhältnisse der (2% + 02a +n) untereinander, und trägt man diese in

die letzte Gleichung ein, deren Dimension £ sein mag, so folgt sofort,

dass das System der F.=0 genau qt Wurzeln besitzt.

Ist der

BEzout’sche Satz also für (n — 1) Gleichungen schon bewiesen, so

gilt er hiernach auch für %” Gleichungen.

Im Falle » = 1 genügt es, die Funetion F, in (z, +i2)+a=0

zu verwandeln, um direct zu dem Fundamentaltheorem der Theorie der

algebraischen Gleichungen zu gelangen.

Hierdurch wird das eigent-

liche Wesen des vierten Gauss’schen Beweises dargelegt, indem gezeigt

wird, dass für die zwei durch irgend eine algebraische Gleichung

F (2, + i%)=0 dargestellten Curvensysteme f=0 die Configuration in

Bezug auf deren Schnittpunkte innerhalb eines hinreichend gross ge-

wählten Kreises nicht anders ist, wie für diejenigen Curvensysteme,

welche aus einer binomischen Gleichung desselben Grades hervorgehen.

Man kann es übrigens an Gauss’ Deductionen selbst erkennen, dass

dabei eigentlich nur die höchste Potenz von (z, +- iz,) und von den

Coefficienten der übrigen Glieder der Gleichung nur die Kigenschaft

in Betracht gezogen wird, dass ihre absoluten Werthe unter einer

184

Sechsundvierzigste Vorlesung $ 474—476

gewissen Grenze liegen

so dass eine dabei zulässıge Veränderung der

Coefficienten die Deduction nicht berührt *)

$ 475

In engem Zusammenhange mit dieser Theorie steht eine

Erweiterung der früher behandelten (Vorles. 20; $ 228 ff., Bd. I) Theo-

Die

reme von Hermite

welche dieser selbst angedeutet hat**)

hierzu nöthigen Erwägungen sind nicht sehr von jenen früheren ver-

schieden, so dass wir kürzer sein und gleich, von allgemeinen Formeln

absehend, die interessantesten und wichtigsten Specialfälle behandeln

können

Die m Gleichungen

(9)

f0!(21; ;27

än) = 0

@=1,2

m)

zwischen den m Unbekannten 2;,

Zm mögen k endliche Wurzeln

(Ä„‚ C2@7

Cm@) haben Ö:—. O2

A

deren Anzahl nicht nothwen-

ist. Bei diesen

dig gleich dem Producte der Dimensionen von f}, fz,

Wurzeln können einige Coordinaten reell

andere complex sein

unter

die nur reelle Coordi-

einer reellen Wurzel verstehen wir eine solche

naten hat; conjugirt complexe Wurzeln sind solche von einander ver-

schiedene Wurzeln, von denen jede in die andere übergeht, wenn man

in allen Coordinaten + durch — 4 ersetzt. Bei Gleichungen mit reellen

Coordinaten kommen conjugirt complexe Wurzeln gleichzeitig vor

Wir nehmen als Unbestimmte einer quadratischen Form u9,U, -

ULEl

; und des %,

an, bezeichnen mit %(2, ,:

- Zm; £) eine ganze Function der 2

welche bei unbestimmtem % für keine VVu1 zel (

: Emo) verschwindet

und mit w(2,,

Zm) eine ganze Function der z, welche für alle % Wur-

zeln voneinander verschiedene Werte annimmt; dann setzen wır

( t)=älß(@„‚ en o a a A * (EL 0 )n]®

(10)

k—1

t) ® +ß(äl@;

)

—Zw Mß2w(él 0

a,p=0

Zur Bestimmung des Ranges dieser quadratischen Form ($ 166, Bd. I)

und zuglewh um sie in eın Agg16gah von Quadraten zu Velwandeln

bıldent ar fünl

.1 die symmetrische Summe

[a ‘°(g11>"')""°9 1(£11: )

(D A = S&n

;

W(EL0

;0)

|

7

G

ı

(Ä1q:"')"'COQ 1@197 )1

* Kronecker, L. c., 1878 Febr., p. 151

*#) C, R. 36 (1859), p. 294

Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s. 185

insbesondere wird

05 Z =Üw(c„„ 390[ [D& ) — S(p, P

(;:0

(l) ﬁ

dies ist nach unseren Voraussetzungen von Null verschieden; also ist

g vom Range %, d. h. in eine Summe von nicht weniger als % Quadra-

ten transformiırbar. KEine solche Darstellung wird im regulären Falle

(12)

q)=211_7512+2'114727522+"'+2‚£2'„%2

Kommt es darauf an ‚ die A als von € abhängig zu kennzeichnen, dann

schreiben wir A,(0), 4,(t),...

Die Signatur von @ wird dabei durch die Differenz der Anzahl

der positiven und der negativen Coeffieienten, P(t) und N(©), in (12)

bestimmt; bezeichnen wir sie mit S(f), so ist

O —NO 20 LO

Es bleibt S(£) von der Art der Darstellung der Form @ als Aggregat

von Quadraten unabhängig

Genau wie in $ 229, Bd.I folgt daher:

Die Signatur von @(u,f) ist

(18)

S(t) =(2 sgn ı (& 0> Emo5 )

(erstreckt über alie reellen Wurzeln der f = 0).

P(t) ist die Summe aus der Anzahl der Paare complexer Wur-

zeln und der Anzahl der reellen, für die son v = + 1 ist; S(£)

die Summe aus der Anzahl der Paare complexer Wurzeln und

der Anzahl der reellen, für die sgn d = — 1 ist.

Ist &. > %, dann giebt

N

P(6) — P(%)

den Ueberschuss

der

Anzahl

reeller

für

die

Wurzeln,

Sgn Ü(é19‚

‘ Eno; 4)= 1 ist, über die Anzahl derjenigen, für

die sgn u (&,0,

€IM{)E fg) d 1 Wi].'d.

$ 476. Wir tragen zunächst v = 1 in (10) ein. Dadurch wird

$ epSapgy Aı =|Sapı]|

(M';”=O;1a""l—l>;

falls wir unter S, die Summe der xn Potenzen aller Werthe von

0(E&,0,:::) verstehen. Hier ist stets sgn w = - 1; folglich wird nach

(18) S gleich der Anzahl aller reellen Wurzeln, d. h.: Die Anzahl

der reellen Wurzeln ist Z— N. wobei P die Anzahl der Zei-

?

chenfolgen, N diejenige der Zeichenwechsel in

1) Ä1? ÄZ’

Ar

186

Sechsundvierzigste Vorlesung $ 476.

bedeutet.

Es ist dies genau derselbe Satz, der für eine Variable

abgeleitet wurde. —

An zweiter Stelle setzen wir

Ü(%‚ d

Am; b) = (1

a1) (52 A a2) 300 (Z‚„ — a„‚)‚

(t2> t1) D

Ü(ä,

Sm; b) = (Zı — bı)(Z1ı — ba) : - (Zm

bm> ’

wobei jedes az kleiner als das entsprechende 6, sein soll. Dann giebt

P(t.)) — P(&) den Ueberschuss der Anzahl der Wurzeln, für

welche

G —C0 — 0) ° Cao= M) >0

ist, über die Anzahl derer, für welche

(€1 (a b1) (€1 @

b2) A (Cm@ a bnz) >0

wırd.

Um dieses Resultat weiter ausnützen zu können, müssen

wir folgende Betrachtungen anstellen, die ihrer Natur nach ın die

Geometrie der Lage gehören.

Es seien in einem m-fach ausgedehnten Raume 2,, 2,, : Zm die

m Coordinaten eines Punktes; ferner seien a, und b, (>a,) zwei Spe-

cialwerthe von z,, ebenso a und b, (>a,) zwei solche von z u.s. f.

Es soll ferner y, einen der beiden Werthe a,, b, bezeichnen, y einen

der beiden Werthe a,, b, u.s. f. Dann gilt es 2" Ausdrücke

w A (Zl Z yl) (Z2 y2) STA (Z‚„ L 7m‚);

je nach der Wahl der einzelnen .

eine willkürliche

Memenr Sal (Gay mp Gno) ür O= 1 20

Zahl von willkürlich im Raume vertheilten Punkten, wobei nur kein &o

Wir bilden alle

mit ax und b„ zusammenfallen soll.

sgn1[;(é„„ C0 nn Va a Ym),

behalten nur die positiven bei und multiplicıren ein jedes dieser sgn

mit +1 oder —1, jenachdem unter den %,, 7, V7m eine gerade

oder eine ungerade Anzahl von Werthen b vorkommt.

Die Summe

(14)

2ml——1 2j: sgn1/"(gl@’ E ;m‚g); VE %„.)

Y

erstreckt über alle 2” Combinationen der y ist gleich der

Anzahl derjenigen Punkte (&,o,

- - Emo), für welche

(15)

d <bo0<biy 0< &o< Oa

Üm < €mg < bm)

wird. Um diesen Satz zu beweisen, nehmen wir irgend ein %, dessen

sgn = + 1 ist. In ihm möge etwa Bın < @, oder audh Gın > 0, in

Dann ändert sich das sgn nicht, wenn man den vorkommenden Werth

a, oder b, von y, durch den anderen b, oder a, ersetzt, wohl aber ändert

sich das Vorzeichen vor dem sgn; beide Glieder der Summe zerstören

Kronecker’sche Charakteristiken-Theorie. Die quadratischen Formen Hermite’s. 187

sich also.

Ebenso ordnen sich alle anderen, bei denen mindestens ein

E, <a, oder >b, ist, zu je zweien einander zu, die sich zerstören.

Es bleiben also nur die Punkte zurück, deren Coordinaten sämmtlich

den Bedingungen (15) genügen. Hier ist (z, — &4) *+ (Zm — Am) poSi-

tiy, und ebenso jedes Product, bei dem eine gerade Anzahl der @ durch

die entsprechenden O ersetzt ist. Alle erhalten ein + Zeichen vor das

sgn

Es sind also die einzigen, die in (14) zählen; solcher giebt es

m

m

und damıt ıst der Satz

be-

2m—1, nämlich 1+(

2

)+(

4

J

’)

wiesen.

Setzen wir nun direct unser jetziges & in die obigen Formeln ein,

so erhalten wir den Satz:ı Die Anzahl aller Wurzeln von (9),

welche die Bedingungen (15) befriedigen, wird durch die An-

zahl (14) geliefert.

Für mm=2 und m==3 stellt sich dies folgendermassen: Ver-

wandelt man

£ ==2 (&e—7) Ge—7) o @ (Ge B + +D H6o En

in eine Summe von Quadraten und bezeichnet mit P(yı, Va)

die Anzahl der positiven Summanden, dann giebt

% [P(a,, &) — P(a,, b) — P(6,, @) + P, b)]

die Anzahl derjenigen reellen Wurzeln von n =0, n = 0,

welche in dem Rechtecke mit den Ecken (a,, @); (a,, b,);

(b1, A); (b,, b) Megem —

Verwandelt man

P =ä(£l 0 Ya)&o — Y2) (& 0 M) [ E 00 A MG 09 S07 o

ın eine Summe von Quadraten und bezeichnet mit OD 9 7%)

die Anzahl der positiven Glieder unter ihnen, dann giebt

i [P(a,,d,, 0A3) — P(a,, A, b;) — P(dy,b2, As) — P(b,,d,, A3) + P(a,,b,,b;)

A O9 dop b3) + CO As) — P(6,, %, b3)]

die Anzahl derjenigen

/‘Z/rbzrl’a/

reellen Wurzeln von

B

f1=07

(a„ilg })J;

fb„il‚ b

f3

—0,

0

?

ra„@ a,)

(b„£)„q„

welche in dem Paralle-

(Ao , An

1

2

A,)

lepipedon mit den Ecken

/lt„a_?‚a.;;

188 Sechsundvierzigste Vorlesung 8 476 —477. Siebenundvierzigste Vorlesung 8 478.

(& , G, As), (Ay, O, O3)p (dp s @), , d3),

b 0, 0 o C 0)) C ; A3), (b,, 0, 0;)

liegen.

$ 477. Wir können auch die allgemeine Form (10) direct zu den

Untersuchungen über die Charakteristik von Funetionensystemen in

Beziehung setzen.

Trägt man nämlich statt %(2,,---Zm;j) in (10)

und in (183) ein fi4o, wo A, die gleiche Bedeutung hat, wie in den

ersten Paragraphen dieser Vorlesung, dann zeigt (13), dass die Signatur

S den Ueberschuss derjenigen Wurzeln von fx= 0, für welche

Sgn fodo=

1 ist, über diejenigen angiebt, für welche sgn fi 4 =-+1

ist.

Nach $ 470 hat dies den Werth der halben Charakteristik des

Funetionensystems f%, fır

fm

Es gilt demnach die Gleichung

2y= P—N,

durch welche die Bestimmung der Charakteristik eines Func-

tionensystems auf die Untersuchung einer quadratischen

Form reducirt wird.

Hierdurch wird also eine wesentliche Lücke,

die bei unserer Darstellung der Kronecker’schen Theorie offen blieb,

in einfacher Weise durch die Hermite’schen Betrachtungen ausgefüllt.

Siebeaundvierzigste Vorlesung.

Die Auflösung linearer Gleichungen,

$ 478. Wir wollen als Anhang zu der Theorie mehrerer Glei-

chungen mit mehreren Unbekannten den einfachen Fall linearer Glei-

chungen behandeln.

Das erscheint deshalb nicht unangebracht, weil

noch vielfach in Lehrbüchern dieser Gegenstand nicht ın der möglichen

Kürze dargestellt wird, deren er fähig ist, und ferner, weil die mit-

unter gewählte Reduction der Frage auf homogene Gleichungen den

Kernpunkt der Sache insofern verschiebt, als die Erkenntniss der Be-

dingungen für die Existenz endlicher Lösungen verhüllt und verhin-

dert wird.

. Es sei ein System constanter Grössen a;, gegeben (i=1,2,.:-p;

k=1,2,-.-.q), welche in p Zeilen und q Spalten angeordnet sind;

y sei die grösste Zahl, für welche nicht alle Determinanten verschwin-

den, deren Elemente durch die Schnitte von r Zeilen und 7 Spalten

qes $ystemg geliefert werden. Dann heisst 7 der Rang des 5y stems*).

L

*)V Kronecker, Berl. Ber. 1884 Dec., $ 5.

Die Auflösung linearer Gleichungen.

189

Wir können durch Vertauschung von Spalten untereinander und von

Zeilen untereinander die Elemente so angeordnet denken, dass die

Determinante

(1)

D=l6&‚:;;]

C022 )

eine der von Null verschiedenen Determinanten ' Ordnung des

Systems wird.

Nun mögen p lineare Funetionen gegeben sein

2)

fa = Aa1% A Aa282 F: + Aug

(a=1,2‚...p)‚

über deren Anzahl n hinsichtlich der Beziehung zur Anzahl q der

P

2

keinerlei Voraussetzungen gemacht werden.

Es ist jede Determinante

(3)

\ On O

A, |= 0

(u==«, 1,2,...r).

Denn trägt man (2) ein, so wird jedes z mit einer Determinante

(r-+1)'" Ordnung der c@;; multiplicirt auftreten; diese verschwindet, da

das System a;„ den Rang v hat. Ferner ist in (3) der Coefficient von

f gleich D und also von Null verschieden.

Man erhält durch Ent-

wickelung die für jedes System z,,-::-2, geltenden Gleichungen

(3

(‘X=l7 27"'P);

vermittels deren man im Stande ist, jede der Funetionen f,, ,

.

durch die 7 ersten unter ihnen linear und homogen auszudrücken.

$ 479. Sind demnach die p Gleichungen vorgelegt

(4)

fı 40 = 0, ﬁ3+£‘20=0;"'ﬁ3+“p0=0;

so sind diese wegen (3) nur dann lösbar, wenn alle

i Uzo AAyı Aa * Ogr l =

(x=a7172;"'7')

sind, d. h. nur dann, wenn das System

(5)

| &9n |

(g=1,2,--2; h=0,1,2,

q)

von dem gleichen Range ist wie

(5*)

ja

@=1,2,...p; k=1,2;...g).

Wir wollen annehmen, es wäre (5) vom Range ”. Dann bilden

wir die Gleichung, deren Richtigkeit für unbestimmte z nun feststeht,

(83°) D(fa + Aa0) F Dau(fa A A0) F + + Der (fr + ar) = 0

und entnehmen aus ihr, dass wenn die 7 ersten GIeichunéen

(4°)

fr d = 0 a =O

erfüllt sind, alle übrigen von selbst befriedigt werden. Wir können

also das System (4) jetzt durch (4°) ersetzen.

Werden die Gleichungen (4*) durch gewisse Werthe der z be-

friedigt, dann wird für diese Werthe z

190

Siebenundvierzigste Vorlesung $ 479—480

| f/ + Uz0> A

ü |= 0

CG=1,2

)

Subtrahirt man hier die zweite mit z multiplicirte Spalte von der

ersten, die dritte mit z, multiplicirte ebenfalls, u. s. w

dann entsteht

Ay121 F Onr 8r +ı d F A g8 F Azo, Azo

Ar = 0

C =1,2

)

oder entwickelt

D 21+Am+dl r+14+1+41 T+2Z'+"+ r Zı f1“q_0

und auf ähnliche Weise erhält man

(6)

Za+da()+da r+1&r+1 +Äa r+227'+2+ +Aa q°q —®

@= 1

r)

Diese Gleichungen bestimmen Z,, %,

durch die wiıllkür-

lich gebliebenen Grössen Z +1, Z+2

&q

Endlich ist auch noch die Umkehrung zu beweisen

dass durch

alle Werthsysteme z, welche den Gleichungen (6) genügen

auch alle

Gleichungen (4*) befriedigt werden

Dazu schreiben wir (6) etwas aus-

führlicher in der Form

(

ÖD

3a

D£e +2'0'+{))<a1 n 3a An O

)

+(“100a + +a10 88[)) O

Wir multiplieiren diese Gleichung mit Ayx, wobei Q eine der Zahlen

Z

r sein soll

und summiren über x«= 1,2

7

Dabei wird

der Coeffieient von %+

ÖD

Ar 7+ﬁ[

a910a 3 920a a

A

(;D

+

+“27+P[a91(}61 an Q°’

J&

Offenbar verschwinden alle eckigen Klammem mit Ausnahme der einen

welche Ao,-+p zum Factor hat, und diese nimmt den Werth D an

Hierdurch geht die angegebene Summe ın

D-(A9121 - 9222 - 4 A09% + A0)= 0

über, und also, weil D =+0 ist, in fy=0. Es sind demnach alle Glei-

churmen (4*) W11k110h befuechgt und die Formeln (6) geben die

allgemeine Lösung von (4).

$ 480.

Im Falle homogener Gleichungen gilt 4,o= 0; die

Bedingung, dass (5) von gleichem Range mit (5°) sein soll, 1st des-

wegen stets von selbst erfüllt

Ferner wird in (6) 420=0 zu setzen sein

"Die Auflösung linearer Gleichungen.

191

Ist dann 9 =r, d. h. die Anzahl der Unbekannten gleich dem Range

des Coefficientensystems, dann giebt es nur die Lösung 2,=0,:.2,=0.

Im Falle g=r7+M1 ist, kann die Lösung (6) homogener Glei-

chungen auf bequemere Form gebracht werden. Nehmen wir zu dem

Coefficientensysteme noch als erste Zeile hinzu @o1, Ao2, *

UA99q

und

bezeichnen wir

|a‚;‚|=6

(x

=0,1

1,2

q),

dann wird

00

09

00

(6°)

Z

Z

H Ön ; Ö0

2

Den Fall g=r7-+2 kann man auf

den vorigen zurückführen,

indem man zu den gegebenen homogenen r Gleichungen noch eine mit

willkürlichen Coeffieienten

b& + ba% + + b = 0

hinzufügt.

Dass jede Lösung des erweiterten Systems das gegebene

engere auch befriedigt, ist klar.

Umgekehrt kann zu jeder Lösung

des engeren Systems auf unendlich viele Arten ein passendes System

der b _bestimmt werden.

Dieser letzte Umstand giebt Veranlassung zu einer interessanten

Bemerkung. Wir stellen die linearen, nicht homogenen Gleichungen

00

00

00

ON O

€ Ö,

unseres erweiterten Systems auf und betrachten in ihnen die b als

Unbekannte. Da dieses System unendlich viele Lösungen besitzt, so

muss seine Determinante verschwinden.

Dabei erscheint die Determi-

nante als halbsymmetrische. Fügen wir dem Systeme der a;; noch

zwei ganz beliebige Zeilen oben an

b]) b2?

br

und

Ci> C

Cq

und nennen die Determinante der b, c, @, welche von der Ordnung

r-+2 ist, 7, so wird jene halbsymmetrische Determinante

ÖT

OI

Ö

Öb, OC

OE

b10302

Qa

Öb, 0C,

Öb, 0C,

\=0

@I

b

G

Öb; 0C,

Bekanntlich ist diese Determinante für gerade ” ein Quadrat, dessen

zweite Wurzel als Pfaffian bezeichnet wird. Ein Pfaffian (r + 2)ter,

gerader, Ordnung |d,,| verschwindet, wenn seine Elemente

192 Siebenundvierzigste Vorlesung $ 480—481. Auflösung linearer Gleichungen.

ORl

d„1 —>

Öb„ 0C,

gesetzt werden.

$ 481. Aus (6) geht hervor, dass die Gesammtheit der Lösungen

von (4°) (g — r) willkürliche Parameter einschliesst.

Die Lösung (6)

ist, wie wir gezeigt haben, die allgemeine Lösung. Diese hat aber

insofern etwas Unbefriedigendes, als die einzelnen Unbekannten nicht

gleichmässig behandelt werden; 2,.+1,'

27 können ganz willkürlich

gewählt werden, während z,,---2, dadurch bestimmt sind.

Wir wollen versuchen, diesem Uebelstande dadurch abzuhelfen, dass

wir sämmtliche z als lineare homogene Funetionen von (g — r) Unbe-

stimmten darstellen, denen jede Werthcombination beigelegt werden darf.

Wählt man (g — r) Systeme

r

(@—7)

@—)

(T) 2t1) Zr

29y Ar , Srfa)

q 5

‘5 Ar

7

2

D

2

Ag

A0—=0)

2

so wollen wır diese von einander unabhängig nennen, wenn die Deter-

minante

(«)

BA

Z

=—

| 2

{

(«

’

‚d ß

r+1,r+2,-:g)

von Null verschieden ist.

Aus solchen (q — r) . unabhängigen Syste-

men kann durch homogene lineare Combination jedes andere System

Z

(

x

2

(0)

U‘)+*1; }

Q

dargestellt werden:

@=)

(0

(8) 71240 F Taßrta 4 F Tarr8

na F

+

) [24

(@=1,2,...09 —).

Wir wählen nun (g —7r) unabhängige Systeme (7) und bestimmen

zu jedem «” («=1,2,-..q—r) durch (6) die Grössen

, («)

bb

z2(‘1) ;

4 Z]„(“) Ü

Dann liefern die qg Werthe von z,,

Z

(«)

(«)

.

Z

(«)

(@)

(@«)

Z1 , % ‚,

’

]‘+17"'5(]

(oc=1‚ 27

80 20

Lösungen von (4*); und wenn nun

(0)

(0)

2

B

(0)

?

O

Z 20

(0)

die aus (6) entspringende, zu den willkürlichen A

%9

gehörige

Lösung von (4*) darstellt, so folgt wegen (8), dass

’Z€'(O) — 1159’_.l_ 12ng” + S + 1;q_7‘3(1(41_7')

(9=.172;"'9)

ıst

?

dass man also alle Coordinaten ze(°) der allgemeinen Lösung in

der nämlichen Weise als lineare homogene Funetionen von (g —r) Pa-

rametern T darstellen kann.

Achtundvierzigste Vorlesung. Der Hilbert’sche Irreduetibilitäts-Satz. $ 482.

198

Achtundvierzigste Vorlesung.

Der Hilbert’sche Irreductibilitäts-Satz.

$ 482. Ist eine ganze, ganzzahlige, irreductible Funetion der Ver-

änderlichen %, y,---w; q,r7,-::t vorgelegt, und behalten wir in dieser

Funetion einige der Veränderlichen, etwa x,y,::-:w als Unbestimmte

bei, während wir für die übrigen g,r,--:tirgend welche ganzen Zahlen

einsetzen, so entsteht ein System von unbegrenzt vielen ganzen, ganz-

zahligen Funetionen von %, y, - --w; es fragt sich, ob in diesem Systeme

nothwendig irreductible Funetionen der Veränderlichen %, y,---wW VOr-

handen sein müssen.

Diese Frage ist für die gesammte Algebra von

der grössten Wichtigkeit.

Ihre Erledigung hat sie durch eine Arbeit

von D. Hilbert, J. f. M. 110 (1892) p. 104 gefunden, in welcher die

aufgeworfene Frage bejaht wird.

Die Behandlung derselben musste

yon unseren Untersuchungen über Reductibilität und Irreductibilität

(Vorlesung 31) getrennt werden, weil Reihenentwickelungen zu dem

Beweise nothwendig sind, die erst an späterer Stelle (Vorlesung 35,

$ 371) hergeleitet wurden. Wir wollen hier den Hilbert’schen Beweis

mit einigen kleinen Aenderungen wiedergeben.

Die Darlegungen beruhen auf dem folgenden Hülfssatze:

Es sei eine unendliche Zahlenreihe a,, &, 0, - Ms,

VOLs

gelegt, in welcher allgemein a, eine der @ ganzen positiven

Zahlen 1,2,3,--..«@ bedeutet.

Es seı überdies m irgend eine

ganze positive Zahl.

Dann lassen sich stets (m — 1) ganze

positive Zahlen 0,,0,,

Ön—1 bestimmen (d, < d <-..<0m-ı),

so dass unendlich viele Indices w bestehen, für welche alle

die Zahlen

D

Au Au-+d, > Au+td, y

Au-+d

m—1

einen gleichen, von jenen Werthen w unabhängigen Werth

annehmen.

Wir beachten zunächst, dass unter je (@ +1) Elementen der vor-

gelegten Zahlenreihe, die wir als aufeinanderfolgend annehmen und

als ein „Intervall“ bezeichnen wollen, mindestens einer der Werthe

f

2

25

@ wenigstens zweimal auftritt.

Ebenso kommt

in einem

Intervall von der Ausdehnung (m — 1)@ + 1 eins der Elemente min-

destens m-mal vor.

Es mag dies bei einem bestimmten Intervalle das

Element a’ sein. Die Indices derjenigen m ersten Elemente des Inter-

valles, welche diesen Werth a’ haben, mögen in ansteigender Grösse

geordnet die folgenden werden:

(1°)

W, w 0i, w + 0,

Z 'y“/+ är;c—-—l'

Netto, Algebra, II,

13

194

Achtundvierzigste Vorlesung $ 482—483

Sso

Schiebt man ein Intervall von gleicher Ausdehnung an das erste

oiebt es ın diesem neuen gleichfalls ein m-mal vorkommendes Element

etwa a”, welches zu den Indices

(1”)

W @ @O

Ü u +ö7;1,——1

gehören mag; u. s. f.

Die m Stellen, welche a’ in seinem Intervall, @” in dem seinigen u. s. f

annehmen kann, sind der Zahl nach beschränkt; damit ist es die Wahl

der 0,

Bei der Ausdehnung (m — 1)a + 1 des Intervalles wird

b

(m — 1)a + 1

(

M

)

eine obere Grenze für diese Möglichkeiten

Ebenso

ist der Werth

jedes a

(22

’

auf eine der @ Möglichkeiten 1, 2

@ beschränkt

Also giebt es für die verschiedenen @ und 0 höchstens a - b Combi-

natıonen

Wählt man also ein Intervall von der Ausdehnung

(ab + 1) ({m — 11a4 + 1),

so giebt es in diesem gewiss zwei Indicesreihen (1“ ), die in den @0 und

Ebenso kommen ın einem

in dem zugehörigen @ übereinstimmen.

Intervall von der Ausdehnun

(xab + 1) ([m — 1]a + 1) mindestens

+ 1) solche Indicesreihen vor, die in den Werthen der 0 und ın

der Grösse des zugehörigen @ übereinstimmen

Damit ist der Hülfssatz bewıesen

483

Wir kehren jetzt zu unserem Problem zurück und be-

trachten eine ganze, ganzzahlige Function von % Wa0l 6

(2)

F, — Ta Ba D,

ganzzahlige Funetionen von % bedeuten.

in welcher 7, 7,

T, ganze, g

Wir nehmen an, d‘mss für- jeden oan1„zahhgen Werth von € die Funetion

f (x,t) in zwei ganze, ganzzahlige Funetionen von % zerfällt, und wollen

beweisen, dass dann ‘LuCh bei unbestimmten € die Funetion f (z, £) nıcht

irreduetibel seim kann.

Für die Substitution X =

—_ erhalten wir zunächst die Umformung

11

(9a) (/(Z f) =—= _']'n—1f(1 G —le__i_ S „—:7L—1_+_ S n— + + S

Dabei setzen wir fest, dass |$| grösser als der Betrag O, jeder Wurzel

von 7 = 0 angenommen werden soll.

Mit f wird auch g für jedes ganzzahlige % reductibel.

Wir entwickeln nun die %» Wurzeln 2,, %,

Z von gie@ 0 —0

Gemäss

373 können wir t == ı” setzen

nach fallenden Potenzen von *

Der Hilbert’sche Irreductibilitäts-Satz

195

wo r so gewählt ist, dass die Entwickelungen aller Wurzeln z; nach

fallenden ganzen Potenzen von Tı vor sich gehen

ßar

ß)2

ß)3

(3) 2= a 01 + aın

A A

+

+

—19

)

Hierbei sind die Coefficienten « und ß sämmtlich vollständig be-

stimmte

rationale oder irrationale, reelle oder imaginäre Zahlen

Die

Potenzeihen conyergiren stets, wenn |£| eine gewisse positive Grösse

C_ überschreitet

Wir setzen fest, dass |t| oberhalb einer Grenze C

welche grösser als C und C, sein soll, angenommen werde

Nun bilden wir sämmtliche ganzen Funetionen von z

(4)

m =1,2

n—11),

Y

H(F — %)

wobei 4, %,

in alle möglichen Combinationen der Zahlen 1, 2

2

durchlaufen. Die Anzahl der so erhaltenen ganzen Funetionen von

be-

trägt (2%

2); wir wollen 2 — 2 = a setzen und die Functionen (4)

in beliebiger Reihenfolge mit

(4°)

, (2), 9 (8),

a (£)

(@

2%*.— 2)

bezeichnen

Tragen wir die Entwickelungen (3) in alle Funetionen (4*) ein

so erhalten wir für eine jede einen Ausdruck, der in z ganz ist; bei

dem der Coefficient der höchsten Potenz gleich 1 wird: und bei dem

die Coefficienten der folgenden .Potenzen von

D

«

Potenzreihen sind, die

nach ganzen

fallenden Potenzen von T fortschreiten

Wir wollen die

bei den %, auftretenden Potenzreihen mit

W n), B m,

und allgemein mit %, (z)

bezeichnen.

Der höchste in irgend einem % vorkommende Exponent

von t sei (m — 1).

Nun sei %_ irgend ein für * erlaubter Werth, und 7 = €

Für ı

setzen wir jetzt ein ,, 27,, 37%,

d. h. für t die Werthe

Q

ÖTo,

3r7

6) 1)

Dadurch gehen die %, (7) in Potenzreihen

über, die nach ganzen fallenden Potenzen von 6 fortschreiten

Wir setzen

B (070) = %, (o)

und schreiben die Entwickelung

®)

G=1,92

)

B@O=Na, am—@+2

e=1

Lassen wir num 6_die 7ahlemexhe 1 Z

- durchlaufen, so muss

für jeden dieser Werthe ein Index x bestehen fur den @, eine ganze,

IS

196

Achtundvierzigste Vorlesung $ 483—484

D

ganzzahlige Funetion von

O

wird; denn die Functionen (4*) Liefern. alle

ubenhaupt möglichen Factoren von g(z,t). Für diesen Index x müssen

also alle zugehörigen Reihen (5) ganzzahlige Werthe haben

Wir

setzen fest, dass x = a„ dieser zu 6 gehörige Index sei, der dann einen

der Werthe 1, 2

@ hat

484

Wir stehen jetzt auf dem Boden des Hülfssatzes &$ 482

und können daher (m — 1) feste Indices &

i ö2)

0n —1 SO bestimmen

dass es unendlich viele Zahlen w giebt, für welche alle

Apız Au+dyy Au+t+ 0,

Au —+ dın

al

den gleichen Werth haben

Setzen wir diesen gleich «, so werden für

die unendlich vielen u sämmtliche Potenzreihen

Ba (u), Ba ( + 01), Ba + 0,),

Pa ( + Im—1)

ganze Zahlen liefern

Zur Abkürzung setzen wir jetzt den Complex der Glieder aus

Pa(w), die keine negativen Potenzen von w enthalten

leich x (w)

und seine Ableitungen nach y‚ gleich p; (y), De (w),

Dann wird

n—1

Ba + 0) = De(w) + Di(w) S

+Pa (5'“) Tl 2+ +])m_l>(u> (m 1)'

(6)

Q)

n+/

+z( „&

5)

hierin bedeuten die cQ; die bei der Entwickelung von

@+

(98+ (T 18r — ( 770

auftretenden Coefficienten

Um —1 Sanz-

Wir suchen nun die »” Unbekannten uo, U, Uo,

zahlig so zu bestimmen, dass in dem Aggregate

0 Z T L

keine ganzen positiven Potenzen von w vorkommen

Dazu reicht es

aus, die w so zu wählen, dass das System linearer Gleichungen

, A

U

+

U i F “0‚

Ö, -{

Oala S

+ Ö\m—lum—l — 0

024 +

024 +

+ öm—l“m—l e O

öm—1‚„ _l_ö‘m—l„ +

+ 0iı = 0

ganzzahlig erfüllt werde, was stets möglich ist, sobald man w als ganzes

V191faches der nicht verschwmdenden Determinante

R {

(«

M)

Der Hilbert’sche Irreductibilitäts-Satz

197

annımmt.

Aus der Struetur der inneren Summe auf der rechten Seite

von (6) erkennt man, dass bei jedem B.o die ersten m Glieder, d. h. die-

Das nächste Glied da-

jenigen mit 4 =0,1,

.. (m — 1) Wegfallen

gegen, dasjenige mit 4 = m, kann nicht verschwinden, weil die Gleichung

ÖMg + ö"“%:; + + öm—-l”m—l =0

in Verbindung mit dem obigen linearen Systeme fordern würde

dass

[ |=0

(

m)

erfüllt wäre, was ja nicht der Fall ist

Ist deshalb in (6)

der erste nicht verschwindende Coefficient

eines Gliedes mit negatiyvem Exponenten von w, so beginnt die Knt

wickelung von (ö) nach fallenden Potenzen von w mit

F„„—B

s

[ö%u4, + 7U + + _ ıUm— ı] 0

CO v+m

d. h. der Ausdruck, in den (7) übergeht

„—v m—1 +

(0')

P(w) —

D r In

(Tav + 0)

wird für unendlich viele Werthe von w rational und ganz

Lässt man

aber w hinlänglich gross werden, so wird der Werth von (7%) kleiner

als 1 und folglich gleich 0; d. h. (7%) verschwindet für unendlich viele w

Andererseits erkennt man aus der Form

P (@) = 77 [Tav + I'a +

]»

dass dies nicht möglich ist, da für hinlänglich grosse w der Werth

von P(w) beliebig nahe an Iov

—v—m gebracht werden kann

Aus diesem Widerspruche schliessen wir

dass in (6) überhaupt

kein von Null verschiedenes B existirt. Wir haben daher: Die Function

(5°)

\'b(l(6) _2A m—

besitzt für unendlich viele ganzzahlige Werthe 6 selbst ganzzahlige

Werthe

Daraus schliessen wir, dass die A sämmtlich rationale Grössen

sind. Denn schreibt man die Gleichung (5%*) für m solche Werthe

Ö = U1 U,

Um an und berechnet daraus bei festem « die A, dann

erhält man rationale Lösungen der linearen Gleichungen

Geht man von (5%*) auf die %B (rT) zurück, so folgt

T

(8)

S

Ba(t) = Auı

>m«l+Aa2( )m + + Aum‚

wobei die A rationale Grössen sind.

Durch (8) hat sich dem 7, ein Index « zugeordnet, der & mcht

überschreitet. Wählen wir jetzt 7,, 7, 7

- Ta innerhalb des erlaubten

Gebietes für t, nehmen wir die T femer von einander verschieden und

198

Achtundvierzigste Vorlesung $ 484—486.

als Primzahlen an, dann müssen mindestens zwei 7 vorhanden sein, die

dasselbe « haben.

Es seien dies etwa 77 und rt,; dann hat man

Ba = L[ F Wer(E) H A am

worin auch die X rationale Grössen sind.

Vergleicht man die beiden letzten Ausdrücke und geht von 7,, 7,

auf %, %, zurück, so folgt

M —2

m—2?2

m— 1

m—1

YHoılo = Agıdı O = Aaalı

?

’

und da die %, 4, von einander verschiedene Primzahlen und die %, A

rationale Zahlen sind, so ist dies nur möglich, wenn die Coefficienten

in allen den Relationen Null werden, bei denen der Exponent der $ keine

ganze Zahl ist. Folglich kommen in P.(r) nur ganze Potenzen von v”,

d. h. von € vor.

Man hat daher unter den Funetionen (4*) für ein gewisses «

‘PH(Z) Z 2F(Z; t);

wo 3 eine ganze Funetion von z und von € mit rationalen Zahlen-

coefficienten bedeutet; (2°) wird g(z,t) = W(2,t) : Pı(2,t), und

I,: B,

f('”; t)=

Tn—l

oder, wenn man von den rationalen zu ganzzahligen Coefficienten

übergeht,

E ${T7 t) A ®1 (CC‚ t) X

DA an—1

Hierin sind f, ®, O, ganze, ganzzahlige Functionen von x und %, ferner

ist T eine ganze, ganzzahlige Funetion von £ und A eine ganze Zahl.

Nach 8 343 muss dann auch eine Zerlegung

f(x; t) Z q>(w‚ t) S q)1(513‚ t)

bestehen, wenn wir jetzt unter 9 und &, ganze, ganzzahlige Functionen

verstehen.

Damit ist der behauptete Satz bewiesen. Wir können ihn so aus-

sprechen, dass wir sagen: Wenn f(z, t) für alle ganzzahligen

Werthe von t, die oberhalb einer gewissen Grenze U liegen,

in Factoren zerfällt, dann ist es reductibel. Folglich giebt es

oberhalb einer Grenze C einen Werth von %, für den eine irreductible

Funetion f(x,t) von x und von % irreduetibel bleibt. Ist %' dieser

Werth, nimmt man eine weitere Grenze U > % an, So folgt die Existenz

eines zweiten Werthes &, für den f“ irreductibel bleibt u.s.f. Es

giebt unendlich viele Constanten (@, für welche f(x,W) irre-

ductibel bleibt, falls f(x,t) in x und € irreductibel ıst.

Der Hilbert’sche Irreductibilitäts-Satz

K99

$ 485.

Wenn f@, 0), @, D),

k(x,t) sämmtlich ganze

irreductible Funecetionen der beiden Veränder-

ganzzahlige

lichen x und £sind, so ist es stets auf unendlich viele Weisen

möglich, für € eine ganze rationale Zahl einzusetzen, so dass

dadurch jede dieser Functionen f(x,t), g(x,%),

k(x,t) in eine

irreductible Funetion der einen Veränderlichen x übergeht

Um dies zu beweisen, stellen wir die Wurzeln aller der Gleichungen

f(@,t)=0,

@ ü = 0,

k(x,t)= 0

dar, wie dies in (3) bei einer Gleichung geschehen ist, bilden dann die

B11nct10nen welche denen in (4*) entsprechen

Pa K‘°) ,

Ya (z) ’

%. (8),

betrachten weiter die Systeme aller hierzu gehörigen Coefficienten-Potenz-

reihen, und verfahren genau so, wıe dies oben geschehen ist

Dann

zeigt es sich: wenn für jeden Werth des %* mindestens‘ eine der

Funectionen zerfällt, muss mindestens eine unter ihnen reductibel sein

Sprechen wir den Satz für das Product /F(x,t) der sämmtlichen

vorgelegten Functionen f(x,), g(x, %),

k(x,€) aus, so ergiebt sich

folgendes Theorem

Ineiner beliebig gegebenen ganzen

anzzahligen Function

F(x,t) der beiden Veränderlichen x und t lässt sich stets für €

auf unendlich viele Weisen eine ganze Zahl derart einsetzen

dass in Bezug auf die Veränderliche x die entstehende Funetion

geNnNau ın ebensoviele ganze

ganzzahlıge, irreductible

Functionen zerfällt, wie die ursprüngliche Function F(x,t

bei unbestimmtem Parameter &*

(Hilbert, 1. c. S. 117.)

S 486

Zum Zwecke der weiteren Ausdehnung des Theorems

aus $ 484 brauchen wir zunächst aus der Theorie der Funetionen

folgenden Satz

Es sei die Gleichung

(z;t,7,- - q) = 0 mit der Un-

bekannten z und den Parametern U

:-q vorgelegt; es mögen 4, 7o,

d

Werthe des Parameters sein, für d18 @3 Vn l

’ 07

%) = 0 lauter ver-

schiedene Wurzeln besitzt.

Dann lassen sich alle Wurzeln 2,, ,

Zn;

welche w(2; %, r,

q) =0 hat, in der Form von Potenzreihen

(9)

—2® An

O

:(g — %)

(«=1,2

)

darstellen, welche nach positiven, steigenden Potenzen von

0, — %),

( — 96)

fortschreiten und für hinlänglich kleine absolute Beträge dieser Diffe-

E

renzen COnvergıren

Wir wollen nun beweisen, dass wenn JAl 0

) eine irre-

ductible ganze, ganzzahlige Funetion der Veränderlichen x und der

200

Achtundvierzigsté Vorlesung $ 486.

Parameter %, 7,-:.dq/ bezeichnet, stets für t,r,-:-dq lineare, ganze, ganz-

zahlige Functionen eines Parameters w eingesetzt werden können, so

dass dadurch die Funection iın eine irreductible Funetion der beiden

Veränderlichen x und w übergeht.

Es sei

W NT

wo f,fi,: fn ganze ganzzahlige Funetionen von &, 7,--:- q sind. Setzen

wır hıerın % =

f

ein und multiplieiren dann mit /”—!, so ergiebt sıch

eine gleichfalls irreduetible Funetion

GE Z

WO 4, 9ey ‘ In Wiederum ganze Functionen von , V, -g Sind. Wir

bilden die Diseriminante D(t,r7,---q) von G; diese ist nicht identisch

Null, weil sonst &@ einen quadratischen Factor besässe.

Es möge

Co> Yo>

--qo ein System ganzer Zahlen bedeuten, für welches D nicht

D

Z

verschwindet.

Dann gelten für alle Wurzeln 2,, 2 -

„ von G= 0

Entwickelungen von der Form (9). Eine Beschränkung der Bestimmung

von &,Fo, : qo wird noch eintreten (S. 202, Z. 10); diese ändert aber

an unseren Ueberlegungen nichts.

Jetzt bilden wir genau wie im früheren Falle alle Funetionen

(4)

q=i,

Ü(£«*z«ß @ —130 0

und setzen in diese ganzen Funetionen von z dıe Entwickelungen der

Dann kann

in keiner

der

SI

Wurzeln z von der Form (9) ein.

haltenen Funetionen die Gesammtheit der als Coeffieienten auftretenden

Potenzreihen im Endlichen abbrechen; denn sonst hätte G (z; 4, 7, - q)

gerade diese Funetion als ganzen Theiler in z mit rationalen Coefficienten

in den Parametern.

Das würde aber die Voraussetzung der Irreducti-

bilität verletzen.

Nun setzen wir in diese so entwickelten Funetionen (4) ein

(10)

0 = 0 5

r= mU{n

° 90l —O A yg

wobei &,, 7, q, noch unbestimmte ganze Zahlen und w eine Variable

sein sollen; es ist dann unsere Aufgabe zu zeigen, dass man stets für

f F1 qı ganze rationale Zahlen derart wählen kann, dass auch nach

dieser Substitution nicht alle Potenzreihen irgend einer Function (4)

im Endlichen abbrechen. Das allgemeine Glied der entwickelten Func-

tion (4) enthält Coefficienten der Potenzen von z von der Form

017/2‚"‘1'Ft TE t0)z ()' S 7'0)Ä' S (q B q())1/‚7

Der Hilbert’sche Irreductibilitäts-Satz.

201

diese gehen jetzt ın

q w A

Cn ‚Üf7ä

über.

Ordnen wir nach Potenzen von w, so entsteht die Reihe

m=0

vauf"‘26',; br (FA U = M).

Falls eine der ursprünglichen Reihen in (£— 6), (r—7%), * (d—%)

im Endlichen nicht abbricht, liefert die transformirte Reihe beliebig

hohe Potenzen w“ von w, deren Coefficienten nicht identisch ver-

schwindende ganze Funetionen von %,,r,,:-:dq, Sind. Daher zeigen die

in 8337 angestellten Schlüsse, dass f,,7,,:::dq, ganzzahlig so gewählt

werden können, dass der Coefficient von w” nicht verschwindet.

Demnach brechen nicht sämmtliche zu einer Function (4) gehörigen

Reihen nach Substitution (10) im Endlichen ab.. Denn sonst würde (10)

aus G-(z;t,r,---q) eine zerfallende Funetion von z und w herleiten;

wäre nun in ihr d die Summe der höchsten vorkommenden Exponenten

bei 4, r,--- q, So könnte in den Reihen (11) kein w” mit m > d vor-

kommen, dessen Coeffieient von Null verschieden ist. Wir haben aber

bei beliebig hoch angenommener Zahl m gleichwohl den Coefficienten

von w* von Null verschieden machen können. Also kann man in (10)

die Werthe £,,7,,:-: 0, ganzzahlig derart wählen, dass G (2; t,r,---q)

irreductibel bleibt.

Wenn wir also in der ursprünglich vorgelegten Function F'(x;t,r7,

q)

die Substitution (10) ausführen, so folgt, dass die entstehende Funetion

der beiden Veränderlichen x, w keinesfalls in mehrere von x abhängige

Factoren zerfällt.

KEs bliebe mithin für eine Zerfällung nur die Mög-

lichkeit, dass die aus /(x; %, r,---q) vermöge (10) entstehende Funetion

einen Factor besitzt, der allein die Veränderliche w enthält. Nun war

Iﬂ(x5 t77'7"'9)=/'(t>7";"'Q)'xn+fl(t;r7”'Q)'x"—.l+"';

wobei die Coefficienten f; fi,-:: keinen gemeinsamen Factor in &,r,

q

besitzen.

Wir tragen (t= 0, Y7=1+n,

g= d + 4 0in

und erhalten

C L NC

wobei auch %, ,, -:- keinen gemeinsamen Faetor in , r',-.-q’ haben.

Man kann deshalb nach $ 346, XII ganze, ganzzahlige Functionen

P, Pır

von t,r',-.-q’ bestimmen, so dass

h(t,; ",;' K '(1/) Ü (p(t’‚?‘l‚° "Q,) +]l’l(t’;'rl7"')'q71(t' 7"/)"')+"'= @(V'‚-°-q')

von * frei wird. Macht man nun f = tu, r'= TU 44 g’:_g„b‚

dann erhält man die Substitution (10), und es folgt, dass, wenn

T ( 106 < q W)

A, (b,, F1l e QLU) ,

202 Achtundvierzigste Vorlesung 8 486 —487. Neunundvierzigste Vorlesung 8488 —489.

als gemeinsamen Theiler eine Funetion von w hätten, diese von %, un-

abhängig sein müsste. Aus dem gleichen Grunde könnte dieser Theiler

auch nicht von 7,,::-, abhängen; also müsste er eine Funetion von w

allein sein.

Ordnet man jedoch die Ax(tu,r,u,---q,W) nach Potenz-

produeten der 4, 7,

-- ı, So sieht man, dass jener Theiler in w

alle Coefficienten der Potenzproducte theilen müsste. Diese Coefficienten

sind von constanten Factoren abgesehen lediglich Potenzen von w;

folglich kann der Factor der h„ oder der fx in F nur von der Form w

sein.

Dass dies in der That möglich ist, sieht man sofort ein.

Man

kann dieser Möglichkeit aber ausweichen, wenn man %9,79,: o SO

bestimmt, dass mindestens eine der Functionen h, h,;,

ein von

F

r

E

” unabhängiges nicht verschwindendes Glied besitzt, weil dann

der Facetor w* in w° übergehen muss.

Ist eine solche Bestimmung ge-

troffen, dann kann man %,7,,: -gı den obigen Vorschriften gemäss

wählen, ohne dass / zerfällt.

Hiermit ist der Hülfssatz vollständig

bewiesen.

& 487.

Wir kommen nunmehr zu dem Beweise des Haupt-

satzes: Wenn F(x, y,

w; t,r,---qg) eine irreductible, ganze,

ganzzahlige Function der Veränderlichen z,y,-:. w und der

Parameter 4,r,.-.gq bezeichnet, so ist es stets auf unendlich

viele Weisen möglich, für die Parameter %,r7,---gq ganze

rationale Zahlen einzusetzen, so dass dadurch die Function

F(x,y,::-w; t,r,---q) in eine irreductible Function der Ver-

änderlichen z,y,---w übergeht.

(Hilbert 1. c. p. 121.)

Wenn wir in der vorgelegten Function F(x,y,::-w; t,r,::d)

zuerst die Substitution

Y—NZ,

5 10776 o

W — 0X

vornehmen und dann die etwa als gemeinsamer Factor auftretende

Potenz von z& fortlassen, so entsteht eine Funetion G e ® 6 Y Q)

der Veränderlichen x und der Parameter %,-::@;,r,:::dq, welche

ebenfalls irreductibel ist. Wir setzen, was nach dem eben bewiesenen

Satze möglich ist, für diese Parameter lineare ganzzahlige Funetionen

eines einzigen Parameters w ein, nämlich

N= N + ,

O = 0W A 0,

= 1U 6,

q =U4U + %>

so dass jene Funetion in eine irreductible Function g(x,u) der beiden

Veränderlichen x und u übergeht.

Es lässt sich dann nach dem

Theoreme aus 8& 484 für w eine ganze rationale Zahl w einsetzen, so

dass die Funetion g(zx, w) eine irreductible Funetion der einen Ver-

änderlichen x wird. Nunmehr erkennen wir, dass die ursprünglich

Die cyklischen Gleichungen.

203

vorgelegte Funcetion F(zx, y, -

w; t,r,-::dq) nothwendig in eine irre-

ductible Funetion der Veränderlichen x,y,:::w übergeht, wenn wir

für die Parameter die ganzen Zahlen

b F > *= U F,

‘ d= 0 %

einsetzen; denn die so entstehende Function würde in eine irreductible

Funetion der einen Veränderlichen x übergehen, wenn wir überdies

noch setzten

Y = (M U 4 M)X,

‘: W= ( + 0o)X

und von einer etwa als Factor auftretenden Potenz der Veränderlichen x

absehen. Damit ist der verlangte Nachweis geführt.

Neunundvierzigste Vorlesung.

Die cyklischen Gleichungen.

$ 488,

Die algebraische Auflösbarkeit der Kreistheilungsglei-

chungen beruht auf folgendem Umstande: man kann die Gleichungs-

wurzeln in eine solche geschlossene, cyklische Folge bringen, dass eine

jede Wurzel dieselbe Funetion der vorhergehenden wird, wie die zweite

von der ersten.

Dass bei den Kreistheilungsgleichungen diese Funetion gerade in

der einfachen Gestalt einer Potenz mit ganzzahligem Exponenten auftrat

, — 0{,

O; = @

g

D

Op— 1ı — mlgl—2; D — ﬁ)ä’,_„

vgl. $ 314, (11) Bd. I, ist völlig indifferent, und daher kommt es, dass

die bei jenen Gleichungen benutzte Methode sich bei allen cyklischen

Gleichungen verwenden lässt, d.h. bei allen solchen, bei denen

die Wurzeln in der oben bezeichneten Weise angeordnet

werden können*). Bevor wir aber auf diese Art von Gleichungen

näher eingehen, wollen wir eine allgemeinere Art von algebraischen

Gleichungen besprechen, durch die wir dann naturgemäss auf den be-

sonderen Fall cyklischer Gleichungen geleitet werden.

Wir folgen

dabei dem Gange von Abel**), von dem diese Untersuchungen stammen.

$ 489. Es sei

OR

A

e © 2n) = 0

*) Kronecker hat diese Gleichungen in seinem Aufsatze: Berl. Ber. 1853,

10. Juni als „Abel’sche Gleichungen‘“ und später ibid. 1878, 16. April als

„ein-

fache Abel’sche Gleichungen‘“ bezeichnet.

**) Oeuvres, 6d. Sylow et Lie, 1. p 479.

204

Neunundvierzigste Vorlesung $ 489—490.

eine vorgelegte irreductible Gleichung, bei welcher zwei Wurzeln durch

eine beliebige rationale Beziehung gemäss der Gleichung

(2)

2 = @ (&,)

miteinander verbunden sind; die rationale Funetion @ können wir ohne

Beschränkung als eine ganze Funection voraussetzen ($ 108, Bd. I); ihre

Coeffieienten gehören einem bestimmten Rationalitätsbereiche an, der

natürlich auch die Coefficienten von (1) enthält.

Nun hat die Gleichung f(g (z)) = 0 mit der irreduetiblen Glei-

chung (1) eine und daher alle Wurzeln gemeinsam; insbesondere ist

somit f(g(z))= 0, d.h. auch die Grösse w (2,) = @ (g (2)) = v (£,)

In derselben Weise

(vgl. $ 270, Bd. I) ist eine Wurzel von f(z2) = 0.

zeigt man, dass alle Glieder der beliebig weit fortgesetzten Reihe von

Iterationen

1, P(21)> o (21),

Z (21)7

Oal

Wurzeln von (1) Liefern.

Da die Anzahl dieser Glieder aber beliebig gross gemacht werden

kann, so muss es Indices x, 2 geben, für welche

O42 (2,) = gı (@1)

d.h. [ı (2)] — 1y (2)]= 0

ist

Es haben demnach die beiden Gleichungen

(PZ(2)—Z=O) f(5)=0

die Wurzel @; (z,) gemeinsam, und wegen der Irreductibilität von f(z)

ist daher auch z, eine Wurzel der ersten Gleichung; d.h. es giebt

einen Index x, für den @, (z,) = %, wird. Giebt es mehrere solche x

von gleicher Eigenschaft, so sei % der kleinste Werth unter ihnen.

Dann sind die Glieder der Reihe

(3)

21 P(81), P (@) . Onı (21);

(D (51) = %)

sämmtlich von einander verschieden, weil im entgegengesetzten Falle

der oben durchgeführte Schluss auf einen noch kleineren Index als »

von derselben Eigenschaft leiten würde.

Man erkennt ferner, dass

Pntka(21) = Pa (4i)

für jedes x werden wird, und dass q„(2,), @2»(&), O3n (21), die

einzigen Iterationen von @ (z,) mit dem Werthe z, sind.

Ist die Reihe der Wurzeln von (1) durch die Grössen (3) noch

nicht erschöpft, so giebt es eine weitere, nicht in (3) enthaltene Wurzel,

die wir z#/ nennen wollen. Da f (g (z)) = 0 alle Wurzeln von f(2z)=0

enthält, so ist auch f(g (z1)) = 0, und es ist g (zı) eine Wurzel von.(1).

Wir wollen sie mit z2 bezeichnen und setzen also

(2°)

Hieran knüpfen sich wieder unsere obigen Betrachtungen, und wir ge-

Die cyklischen Gleichungen

205

langen auf dem beschrittenen Wege zu einer Reihe von Wurzeln, die

sich durch Iteration ergeben,

Z1, @ (Zl} » P2 (“1>;

Pr— 1 (Z1) ;

( (21) = %),

wobei v die kleinste posıtıve, ganze Zahl von der Eigenschaft ist, dass

O, (Z1) = 4 wird. Weil @„ (z) — 2=0 und w,(2) — z= 0 mit der

irreductiblen Gleichung (1) je eine Wurzel gemeinsam haben, nämlich

z und bezw. z1, so besitzt jede der beiden Gleichungen alle Wurzeln

von (1), und insbesondere wird. @„ (21) = zı und @, (2,) = Z

Daraus

folgt aber erstens, dass ” ein Vielfaches von v, und zweitens, dass v

ein Vielfaches von % ist, d. h. es wird n = v, und wir haben deshalb

die auf zı aufgebaute Wurzelreihe

(3°)

21 O (21), O2 (2i),

Pn— 1 (“l) ’

(‘pn ("1) Z 71)

Dabei hat die Wurzelreihe (3*) mit der Reihe (3) kein Glied gemeinsam

Aus der Gleichheit

D (&1) = po(2)

würde nämlich folgen, wenn man auf beiden Seiten mit On —0 Iterirt

1 — On—0 (‘Pe (21)) = Pnto—o (21),

so dass gegen die Annahme z; in (3) vorkäme

Ist die Reihe der Wurzeln von (1) durch die beiden Serien (3)

und (3*) noch nicht erschöpft, so gehen wir nach demselben Schema

weiter und erkennen damit, dass sich alle Wurzeln 2,,%,

Zm ın

eine Tabelle

Zl?

@,

Po (;'1);

nl ('51);

Z

’

Q>(/l)‚

P ("“1);

(4)

Pn— 1 (F1);

(n-v= m)

g(' 1

(d—9), ,

Cn

einordnen lassen, und dass % ein Theiler von m wird.

Ist

O1

so erhält man (1) als cyklische Gleichung.

Wir

werden zunachst v >1 annehmen.

$ 490. Wir wollen unter S(t,, 6, - t) eine beliebige Sym-

metrische

anze Funetion der Argumente &,6.-

t„ verstehen; dann

betrachten wir die » Werthe

_‘“S("12 ‘P(41); P (21)!

On 1 (8)) = JC&

= Fg ('°1))

F S('“I; P ("1)7 992(/«1)‚

“ Pnı (21)) = F(&i)

= Wo(z))

I

Y = ST , ”)‚

‚(F Pl

Wir können es durch passende Wahl von S stets so einrichten,

und zwar auf beheb1@ viele Arten, dass alle diese Werthe Yır Ya, '

Yı

206

Neunundvierzigste Vorlesung $ 490—491.

von einander verschieden sind.

Dazu reicht es z. B. schon aus, bei

unbestimmtem w die Funetion in der Form

Ya+ı = (U — 29) (u — pE) + (W — On 1 (@9))

anzusetzen, weil nur dann ein Werth y„4+1 einem anderen yg+1 gleich

werden kann, wenn sämmtliche Wurzeln z©,

miıt den Wurzeln

6,

abgesehen von der Reihenfolge übereinstimmen; dies trifft

aber nur für @ = ß zu.

Nun wird die Summe der x Potenzen unserer v Grössen y

A

Üa a

S (F*(@) + F*(@@)) + +Fgnı @))

+ A F*@) + F*(p@)) + - + F"(@u_1@)

.

+

==

— —

Z

N

eine symmetrische Funetion der Wurzeln von (1) und daher rational

in unserem Rationalitätsbereiche darstellbar. Setzen wir x==1,2,...v

und berechnen daraus nach $ 94, Bd.I die elementaren symmetrischen

Functionen der Yı, %,

- Yı, SO erkennen wir, dass die Grössen

yl) yZ)

y, die Wurzeln einer Gleichung v“ Grades

Ö)

M Z A E

sind, deren Coefficienten unserem Rationalitätsbereiche an-

gehören.

Die Gleichung (5) ist iırreductibel.

Der letzte Satz muss noch bewiesen werden.

Wir betrachten zu

dem Zwecke denjenigen irreductiblen Factor g,(y) von g(y), welcher

den Nullwerth yı = F(z,) besitzt, und zeigen, dass er mit g(y) selbst

zusammenfallen muss, woraus dann natürlich die Irreductibilität von

(5) folgt. Da g.(F(2)) = 0 ist, so haben die beiden Gleichungen

qFO)= 0

und f(z)= 0

eine Wurzel z, gemeinsam.

Die zweite Gleichung ist der Voraus-

setzung nach irreductibel; also hat g,(F@)==0 alle Wurzeln von

f=0, und g,(y)=0 besitzt sicher die v Wurzeln y,, %, Yı

Diese sind unter einander verschieden, und daher steigt g,(y) zum

Grade v auf, d. h. es fällt mit g(y) zusammen.

Jede symmetrische Function S, (z,, @,: D @))= Z@)

kann rational durch y,= S(g,, p@), : n 1(@)) dargestellt

werden.

Denn verstehen wir unter w eine unbestimmte Grösse und

bilden nun die Summe

C

il

C

F (&)

+

F @ı)_

B

DE M ED

u — F(z,)

ME

E

U = F(zä"—l)) n

u—F(

)}

Die cyklischen Gleichungen.

207

so zeigt die rechte Seite, dass dies eine symmetrische, gebrochene

?

rationale Funetion der Wurzeln von (1) ist.

Es wird daher, nach

Multiplication mit dem Polynome g(w) von (5)

1

(y—1)

Fı @

F

+ +

M

T(z

al

)

g(w) [;‚

__]W(5

3

u— F(

z

u“

F ( (v——l))

]:G@

eine ganze Funetion von w mit rational bekannten Coefficienten.

Trägt man hierin u = y,= F(z,) ein, so erhält man als Resultat

G (yı)

(6)

Fı(2,) =

g yı)?

wobei g’ die Ableitung von g bedeutet*). Damit ist der ausgesprochene

G (yı)

Z

S in

Satz bewiesen. — Ebenso ist F (z1) =

g' (ys)?

$ 491. Nimmt man nun für Sı = F, der Reihe nach die elemen-

taren symmetrischen Funetionen von 2,, @(2,), - - @— 1(2,), so erhält

man dadurch die Coefficienten derjenigen Gleichung, deren Wurzeln

eben jene Grössen z,, @(2), -

sind, und da nach (6) die vorzu-

nehmenden Rechnungen bei jedem der (y —1) oberen Index von 2, die-

selben sind, so haben wir bewiesen: Die »” Grössen z«—09, E ),

q7"—1(2(1a_1)) (für d = 1; 27 x

v) sind die Wurzeln einer

Gleichung

.‚ mn— 1

D

(7) h(@; ya) = Z — Yılye)

JE Yalda) 27 0 A = 0,

in welcher . die 7, %,

- bestimmte rationale Functionen des

Argumentes mit rational bekannten Coefficienten bedeuten.

Ks ist deshalb das Gleichungspolynom von (1) als Produet

darstellbar

(8)

f(@) = h(@;yı) h(@;yo) + h(e; yı),

d. h. wenn man nach Auflösung der Gleichung v“ Grades

©)

I) =Y —4y + day-7? —.. d =0

sämmtliche Wurzeln Oa 0

: % dem Rationalitätsbereiche

hinzufügt, dann wird die vorher irreductible Funetion f(z)

reductibel und zerfällt nach (8) in v Factoren desselben

m

Grades n =

Das erhaltene Resultat können wir auch so deuten, dass wir die

irreductible Gleichung

D

f

D

2

)

—

0

EBEANL M

*) Diese Art der Herleitung stammt wohl von L. Kronecker (J. für Math,

Bd. 91 (1881) S. 307).

208

Neunundvierzigste Vorlesnng $ 491—492.

als das Eliminationsresultat der Grösse y aus den beiden Gleichungen

und

(1*)

CZ

gy)=0

auffassen.

In der That stimmt ja (8) mit der in $ 136, (4) Bd. I

gegebenen Poisson’schen Darstellung der Resultanten vollkommen

überein. Eine so darstellbare Gleichung (1) wollen wir eine ımprimi-

tive Gleichung nennen.

Gleichungen (1), welche nicht die KEıgen-

schaft haben, als Eliminationsresultat einer Grösse y aus zwei anderen

Gleichungen (1*) darstellbar zu sein, heissen primitiye Gleichungen.

Die Gleichung (5) des abgeleiteten Theorems kann von ganz be-

liebigem Grade sein, so dass sie im Allgemeinen nur auflösbar werden

wird, wenn die Zahl v den Werth 4 nicht überschreitet, wie wir später

zeigen werden.

& 492.

Wir gehen jetzt zu der Behandlung der besonderen,

sogenannten cyklischen Gleichungen h(z; y.) = 0 über, für die also

v=1 ist.

Eine cyklische Gleichung des Grades u ist eine

Z iın die eine Reihe

solche, deren Wurzeln 2,, %,

(9)

A

2 = @(&),

% = Q (%),

DF m„——1(51>

eingeordnet werden können, wobei g eine rationale Function

mit Coefficienten ist, die dem Rationalitätsbereiche ange-

hören, und für welche @„(z,) die erste iterirte Function ist,

die gleich z, wird.

Wir setzen fest, dass , = 2 Seın soll, wenn h= k (mod. n) ist,

so dass wir also auch höhere positive Indices als (n — 1) und auch

n

negative bei

D

zulassen können. Ferner erinnern wir uns daran, dass es

keine Beschränkung involvirt, @ als ganze Function vorauszusetzen.

Zu erwähnen ist weiter, dass die Wurzeln z,,

Z auch in die Tabelle

(9a) Malg , AAn — ‘P(Za)7 Sa 3 — P2 (ZO!);

Ba—ı — Pn—1 (Z„)

gebracht werden können, wobei « ein beliebiger Index ist.

Endlich zeigt die Anordnung (9), dass jede der Wurzeln der

Gleichung eine rationale Function jeder anderen ist. Denn um

Zu durch zg darzustellen, reicht es aus, wenn ßB+y= « (mod. n) iıst,

die Gleichung

y (es) = y (pp—1(@)) = Paıl8) = Za

anzusetzen.

Diese beweist sofort die aufgestellte Behauptung.

Zunächst wollen wir, da Irreductibilität von f(z) = h(z, y«a) nicht

in der Definition vorausgesetzt war, untersuchen, in welcher Weise

unsere ecyklische Gleichung f(?) = h(z; ya) = 0 reductibel sein kann.

Es sei / (2) derjenige irreductible Factor von f (z), welcher den Wurzel-

factor (z — 2,) enthält. Ferner sei Za+1 = a(z,) die erste unter den

209

Die cykiischen Gleichunge1;.

Wurzeln in der Reihenfolge (9), die auch zu den Wurzeln der irreduc-

tiblen Gleichung fi(z) == 0 gehört.

Dann hat man durchaus die Ver-

hältnisse, die wir in $ 489 studirt haben; um dies einzusehen, braucht

man nur das dortige @ hier durch @„ zu ersetzen. Daher ordnen sich

die Wurzeln von f,=0 in eine Tabelle ein, die der Tabelle (4) ent-

spricht.

Die erste Zeile derselben wird

Z1)

Pa (Zl)7

932a(21) ’

Dzal2ı);

(@za+a(»®'l) — zl) .

Giebt es für fi(z)= 0 noch andere Wurzeln, so kann eine zweite

Zeile construirt werden; diese nimmt, weil alle Wurzeln in (9) ent-

.

halten sind, die Gestalt an

@p(2ı), Da+p(21),

Pra +8(21);

(‘Pza+a+/?(£l) x (Pß<zl>)

In dieser Art kann man fortfahren.

Nun sollte g„(zı) die erste unter den Wurzeln (9) sein, die zu

den Wurzeln von f,(2z) = 0 gehört. Folglich darf ß nicht kleiner als «

sein; läge aber ß z. B. zwischen « und 2&, so läge xw + ß zwischen

(x +1)« und (x + 2)«; also könnte

xa +ß=(x + 1a7

” <@),

Pratp(Zı) = Py [ Pr 1al(2ı)] = P, (Z1)

gesetzt werden, und man dürfte die zweite Zeile der Tabelle durch

®

die ihr äquivalente

y (Zl) ’

‘Pa+)'(zl);

Pau+y(21),

(y < «)

ersetzen. Das widerspricht der Annahme über «. Folglich erschöpft

die erste Zeile der Tabelle bereits alle Wurzeln von fi= 0, und wir

können schreiben

(10) f(e) — ( — 2) @ — pal@)) (@ — Prale)) - (g — P(u—1)« (@1)),

(un= %; Pualdı) = 2).

Ist dann f2(z) ein zweiter irreductibler Theiler von f, etwa der-

jenige, welcher den Factor (z — @(2,)) enthält, falls « >1 ist, so

folgt, dass

fil@=0 und fı(@,@)=0

eine Wurzel gemeinsam haben; dass also flg @)= 0 alle Wurzeln

von fi=0 besitzt, und daher f> = 0 die Wurzeln D(&1); Da

Demnach ist f} von nicht geringerem Grade als fi. Da auch das Um-

gekehrte gilt, wenn man

fa(@)=0 und f1(@n—1(@) =0

betrachtet, so ergiebt sich, dass fi und f, von gleichem Grade sind.

Es nimmt somit der zweite Factor die Form an

(10&) f2(2»') S (Z 8 ‘P(%)) (?/ PE @a+l(zl>) K (Z FE (p(‚u—l)a+l(ß'l)).

Netto, Algebra. II.

14

210

Neunundvierzigste Vorlesung $ 492—493

Auf diese Weise sehen wır

dass eine etwa mögliche Zerfällung von

f(z) nur

(11)

f(e) = f@))

fo(@)

0‘—1(2)7

(12) fo+ıle) = (@ — pol&ı)) (£ — Pa-Ho(@&))

(Z — @ c—1)o:+g@1>)

©=1,2

« — 1; Do@) = 2i)

werden kann

Jeder irreductible Factor gleich Null gesetzt liefert also

ohne Be-

wieder eine cyklische Gleichung

Wir

können demnach

schränkung von vornherein voraussetzen, dass die vorgelegte cyklische

Gleichung irreduetibel sei

$ 493. Die bei der Kreistheilungsgleichung besprochene Gauss’sche

Methode führt uns auch hier'zu den Elementen der algebraischen Lösung

Es sei der Grad der cyklischen, irreductiblen Gleichung

(18)

f(g)_‚_zn_c An 1+CZ" 2

SE

eine zusammengesetzte Zahl » =%-/. Die Wurzeln z2,, p(21),

Pn 1(21)

ordnen wir in folgende Tabelle ein, indem wir @(2,) = %, D (21) = %,

(p]„—‚1(21) == Z% setzen

Z1)

Pr (‘Zl} ’

Pax(Zı),

1—1)% (21)

2

(p;„(2'>) ’

Pır (Z'9) ,

— 1< (&)

(a = g(@1))

(14)

Z

‘PÄ(7K>7

@“(ZL} 9

Yıı—ı L(h)

(r = Or—1(@1))

Wir wählen wieder eine allgemeine, symmetrische Function

(15) S(Zau, Pr (Ca),

Yu—yr@) = F(8) = F(gpr@))= * = Ya

@= 12

(6)o

Dann

für welche Yı, Y2

Yz von einander verschieden ausfallen

ergiebt sich genau wie ın $ 490ff

dass die y einer irreductiblen

Gleichung &* Grades

(8°)

gy) = Y — diY

1_+_d yk—2

=0W0—-0) O — Yo)

y—yı)=0

genügen, deren Coefficienten dem Rationalitätsbereiche angehören, und

dass die Elemente der a Zeile von (14) Wurzeln einer cyklischen

deren Coefficienten rational von Ya

Gleichung ({° Grades werden

abhängen

«

(7*)

h(2; Ya) = (2 — Zu) (2 — Oa@a))

(Z — Pı—ı (zoz))

k)

(x«=1,2

Um alle 27 zu finden, reicht es aber aus, eine einzige der Gleichungen (8)

zu lösen, ja sogar auch nur eine Wurzel einer derselben zu bestimmen

Die cyklischen Gleichungen

Z

denn mit irgend einem 2 sind die übrigen Wurzeln g(Z2), (2u),

On—1(Z.) von (13) als rationale Funetionen von %, auch gegeben

Diese Resultate stimmen miıt den früheren überein; als neuer Um-

stand kommt aber noch dazu, dass die Gleichung (5*) ebenfalls

eine cyklische Gleichung ist, während im früheren allgemeinen

Falle die Gleichung (5) dieser Einschränkung nicht unterworfen war

Um die ausgesprochene neue Kigenschaft herzuleiten, bringen wir

auf die Formen

die Funetionen %, Ys,

= F(a) = F(o@),

; = F() = F(g@)),

$ F(q3 Z„)),

dann, wird, wenn w eine Unbestimmte bedeutet

Ya

F'(g(2,))

F (q;k+ A (zQ)

F (Dar41@1)

U — Yı

u—F(@)

u — I‘(qaÄ (71))

2L—T(q>9‚_(‚al))

und also ergiebt sich die Summe

Yı

u —Y

+

u—y

A A

u—_;

F(g(2,)

F' (g (2,)

F' (o„(&))

ZL

Z

+

u — F'(g, (2,))

+ +

I

u—T(qa„ @ ))

als gebrochene, symmetrische Function sämmtlicher Wurzeln z,, @(2,),

n—1(Zı); denn die rechte Seite ändert sich nicht, wenn man statt

Z, irgend eine andere Wurzel einträgt

Multiplieiren wir jetzt diesen letzten Ausdruck mit dem in den

21 ‘P(Z1);

gleichfalls symmetrischen Polygone g(w) aus (5*), dann

wird das Produect

a

u—y

- +„_y] G(w)

eine ganze Funetion von w und eine ganze, symmetrische Funetion der

Wurzeln von (13)

Also ist G(u) rational ‚darstellbar

Trägt man

hier a an

Yı ein, so verschwinden jedesmal alle Glieder der

linken Seite bis auf eins, und es folgt die Werthbestimmung für die

Ya>, Y3,

G(./1)

G (ys)

(16)

y2=

8

G (Yr)

T @°

(J2j }

I' (Yr)

Diese Relationen zwischen den Wurzeln von (5°) sind charakteristisch

dafür, dass (5*) ‚eine cyklische Gleichung ist

Hiermit haben wir die folgenden Resultate bewiesen: Die voll-

ständige Lösung einer cyklischen Gleichung (13) des Grades

n=kl kann dadurch bewerkstelligt werden, dass man eine

Wurzel einer ecyklischen Gleichung (5°) des Grades k er-

mittelt

mit ihrer Hülfe die’ Coefficienten einer anderen

14*

212

Neunundvierzigste Vorlesung &$ 493—495,

cyklischen Gleichung (7%) des Grades / auf rationalem Wege

bestimmt, und endlich auch noch eine Wurzel dieser letzten

Gleichung des Grades 7 aufsucht.

Sind % und 7 Primzahlen, dann hat unsere Reduction ihr Ende

erreicht; ist aber auch nur einer der Factoren eine zusammengesetzte

Zahl, so können wir auf die entsprechende Gleichung dieselbe Re-

duction anwenden.

So sehen wir: Ist %” in seine gleichen oder

verschiedenen Primfactoren zerlegt = p,- - P,, dann hängt

die vollständige Auflösung der cyklischen Gleichung des

Grades (13) von der aufeinander folgenden Bestimmung je

einer Wurzel je einer cyklischen Gleichung des Primzahl-

GWAdOS MDı9 MDg

‘D ab. Durch die Bestimmung der Wurzel

einer

dieser

Gleichungen werden die

Coefficienten der

Die An-

nächstfolgenden cyklischen Gleichung festgelegt.

ordnung der ü kann

dabei

völlig willkürlich getroffen

werden.

Nach der in $ 491 eingeführten Terminologie können wir sagen:

Jede cyklische Gleichung, deren Grad keine Primzahl ist,

gehört zu den imprimitiven Gleichungen.

$ 494. Nach unseren bisherigen Schlüssen wären wir berechtigt

die Gradzahl einer vorgelegten cyklischen Gleichung als Primzahl an-

zunehmen und uns auf die Auflösung solcher Primzahlgleichungen zu

beschränken.

Wir brauchen diese Voraussetzung aber bei der nun zu

besprechenden Lagrange’schen Methode nicht zu machen, ebenso

wenig wie dies an der gleichen Stelle bei der Behandlung der Kreis-

theilungsgleichungen nöthig war; und wir werden daher über die

Gradzahl % keine beschränkenden Voraussetzungen zu Grunde legen.

Wir verstehen unter « irgend eine n'® Einheitswurzel, bilden mit

ihrer Hülfe die Lagrange’schen Resolventen für die ” Wurzeln z,,

Zn

Z„ von (13)

(3e) a e aa AA T A

(17)

AD )

= 21{ «g (82) + *p (22) + + @” On 1(22)

und finden für sie die fundamentale Beziehung ($ 321, Bd. I)

(18) (21+1; 06) = Z+1 + @2242 + 06222—|—3 + + 712 = “M1('27»3 a)

Aus dieser geht sofort hervor, da &” = 1 ist,

(2a413 @' > (& 0)*,

und demnach gilt für diese Potenz der Resolvente die Gleichungsreihe

(19)

( a) = (&a = + = (& 0)*.

>

Die cyklischen Gleichungen.

213

Wir sind daher im Stande, (z,; «)” als symmetrische Funetion sämmt-

licher Wurzeln z darzustellen; es giebt eine rationale Funetion 7(«)

von @« mit Coefficienten, die dem Rationalitätsbereiche angehören, so dass

( 0 = z [3 0 + (23 a + + + (3 0)*] = D(0).

Durch Ausziehung der n“ Wurzel erhalten wir aus dieser und aus

*

©

[22

3

den entsprechenden Gleichungen für

2

2

«"—* das folgende

System linearer Gleichungen mit den Unbekannten 2,, %,

Sn

81 i &%

0

A m VT

%i _+_ an—152 + a2n—2zg + IC + a("_;'1)22„ == '1‘L/T(OC"_]') .

Wir nehmen jetzt « als primitive “ Einheitswurzel an, damit alle

diese Ausdrücke formal von einander verschieden seien. Fügen wir zu

jenen, Gleichüngen die aus (13) folgende %' lineare Gleichung

51+52+23+"'+Zn=(zäl)=cu

so ergiebt sich durch geeignete Combination als Lösung der cyklischen

Gleichung

n—1

4 = + SV

z=1

7 +ä@n «”),

n—1

n—1

(20)

a +ä““”VT—C“T') G +ä„;—2(‚g„ 07)o

n—1

n=— 1

ÜE +ä„—2zi‘/f(?) l +ä“_2x(513 «”),

S 49.5. Diese Formeln (20) bergen einen Missstand, der darin

beruht, dass jede der in die rechten Seiten eingehenden n Wurzeln

n Werthe hat, ohne dass über die Combination dieser Werthe etwas

ausgesagt ist, so dass also die erste Formel in (20) nicht, wie es sein

müsste, gerade die gesuchten » Werthe, sondern im Ganzen n"—1 Werthe

besitzt. Ausser den Wurzeln von (13) werden also noch C

—N)

fremde Werthe durch (20) dargestellt.

Diesem Mangel lässt sich auf folgende Art abhelfen. Aus (18)

ersieht man wegen

(22-413 @ (82413 @)7* = [@7* . (22; w)] [@—1 - (22; a)] *

— (Z; «@) (&2; «) 7,

214

Neunundvierzigste Vorlesung 8 495—496.

dass auch der Ausdruck auf der linken Seite symmetrisch in den z

ist, wie dies oben bei (z,; x)“ der Fall war.

Man kann ihn daher als

rationale Function von « mit rationalen Coefficienten ausdrücken. Wir

wollen diese Darstellung mit 7, bezeichnen, und setzen somit

—

—

(21)

@13 05) (Ca3.@) *

z5

@z @)= U @

Demgemäss wird, wenn wir statt 7'(«) kürzer T schreiben,

(21°)

(ZÄ; 062) S0a T2 ?/T2; (Zi; “3) n T3 it/ﬂ‚

und aus (20) folgt, wenn man diese Werthe einträgt,

na =6+

Va

T VT +

T VD +

e = @y a R E —I Y

(20°)

NN

Alle T sind rationale Funetionen; jede der Formen ist eindeutig be-

stimmt, sobald der Werth für ?/ T festgelegt ist; ändert man ihn, was

nur so möglich ist, dass ein Factor «* dazutritt, dann gehen die Zeilen

in (20°) nur in einander über; die erste Zeile kann als %-deutiger

Ausdruck aufgefasst werden, welcher sämmtliche %” Wurzeln lhiefert.

Damit ist die ausgesprochene Schwierigkeit überwunden.

$ 496. Es kann aber bei der Benutzung von (21), (21°) eine

andere Schwierigkeit entstehen.

@% bedeutet irgend eine primiıtive n“

Einheitswurzel; es könnte für jeden der o(n) Werthe « die Resolvente

(zı; «) zu Null werden, so dass in (21) der Werth von 7, im un-

bestimmter Form aufträte. Ja es reicht, um diesen Fall herbeizuführen,

schon aus, dass für ein primitives @x die Resolvente verschwindet.

Denn hat die Gleichung

Ga A al AT —O

eine primitive n“ Einheitswurzel £= « zur Wurzel, dann besitzt

sie alle.

Bei ” — y“ kann diese Schwierigkeit nicht eintreten. Denn setzen

wir n= ng also q= p“ und ferner

N(2+1 — %ı) = @72 — 1) (&,; @) 4 (@7?2 — 1) (& &*)

Frn (@720 — 1) (a 091 + er2eet — 1) (0; ar

44 (u7e0 — 1) (3a 4

so kann, falls die Gleichung in z irreductibel ist, die linke Seite nicht

—0 sein. Rechts verschwindet das Schlussglied jeder eckigen Klammer,

Die cyklischen Gleichungen.

215

weil xpq ein Vielfaches von % ist. Es können also nicht alle übrigen

Resolventen (z,; «?) Null sein; die zugehörigen «* gehören aber

zu den primitiven Wurzeln.

Wir entgehen also dieser Möglichkeit,

wenn wir, was nach 8 493 erlaubt ist, % als Primzahlpotenz an-

nehmen.

Aber auch im allgemeinen Falle kann man jenem Uebelstande

abhelfen, indem man, wie H. Weber es thut*), alle 22 durch eine und

dieselbe nicht verschwindende ”-deutige Function ausdrückt.

Es sei %” durch die. Primzahl % theilbar, und zwar %= üA.

Dann können wir auch bei diesem allgemeineren q aus der letzten

Gleichung in der angegebenen Weise schliessen, dass ein nicht ver-

schwindendes (z,; «“) mit einem zu p theilerfremden Kxponenten x

vorhanden ist.

Nun sei, in seine verschiedenen Primzahlpotenzen zerlegt,

.

n =2)'f})5})%' O ='_pä‘ql =1')592 _—_2);ä'qs = ...

7)

dann bestimmen wir nicht verschwindende Resolventen

S (ZÄ3 “‘“1>7 (ZÄS “'“2)7 (ZÄ3 «*),

ıst

Hieraus

für welche w, theilerfremd zu %,, ebenso u zuU %,,

bilden wir mit willkürlichem x und noch unbestimmtem xg das Product

@2)

<‚/5';_; (x”) [(g[‚; a.“1)91 (g]„ 00“2)Q2 (ZÄ; (0“a)73 ]_Zo_

Ersetzen wir hierin 2 durch (2 +1), so bleibt nach (18) der Werth

des Ausdruckes (22) unverändert, falls

(22°)

% = %o dı A d A s A : ) (mod. n)

wird. Nun ist die Klammer theilerfremd zu %, wie man leicht sieht.

Demnach kann man zu jedem x ein xg gemäss (22%) bestimmen.

Für

dieses x ist, (22) symmetrisch in den z und mit Hülfe von « rational

darstellbar. Wir bezeichnen (22) mit U,(w«) oder kürzer mit U,. Ferner

ist die %‘® Potenz der eckigen Klammer in (22) nach (19) symmetrisch

in den z; wir bezeichnen sıe mit V(«) oder kürzer mit V. Diese

Funcetion. verschwindet nicht.

Dann gilt für jeden Exponenten x die Gleichung

2

]

)

e un

und durch Substitution dieser Werthe in (20) ergiebt sich die Form

e

*) Algebra I; zweite Aufl. $ 172.

216

Neunundvierzigste Vorlesung 8 496—498

Wl

W +/;; UzW;

(20”)

RE Z +;__2;“_2” UxW,

durch welche die angegebene Schwierigkeit überwunden ist.

$ 497. Wir machten soeben darauf aufmerksam, dass V(w«) eine

rational darstellbare Grösse sei; setzen wir sie in die Normalform

complexer Ausdrücke gemäss der Bezeichnung aus $ 7, Bd. I

7@) —2 . [7o],

so wiırd

(24)

Vr R [ 70],

wobei R und @ rational bekannt sind.

Abel*) hat gezeigt, dass bei vorgelegtem reellen Rationalitäts-

bereiche die Ausziehung der n Wurzel sich durch einfachere Opera-

tionen ersetzen lässt.

Schreiben wir

2

für die benutzte primitive Einheitswurzel, dann entsteht, da dies das

einzige in V als complex eingehende Element ist,

V(“)=Üo+g1'[j‘]3]+.%'[ 2‘P]+

bei reellen Coefficienten g. Daraus ergiebt sich

c___

V(“_l) — % A da [

S

N

| 7(«) |=| V(@«7?) |= [ +gı 089 )

®

+ (g.sin g +g sin2go + .)2]%,

d. h. | V(«)|= |V(@«-!)| und = R. Hieraus folgt sofort

V(„—1)=R.[g_.

b

%

C

—

@}‚

LA

(24°)

V(a71)" = R”

[

S

N

]

*) Oeuvres, Ed. Sylow et Lie, 1; p. 493,

Die cyklischen Gleichungen.

217

Ferner ist nach (18)

[(ZÄ+1; w“1)91 . ] [(z).+l; a_/11)91 ]

— [05_:“1 Q (ZÄ; a}‘1)91

] [a‚“1 9ı (gl 9 05—‚“1)91

]

— [(;_};;_; 05/‘1)91 - .] [(ZÄ; a_;“1)91 ö .])

so dass dieser Ausdruck in den 2 symmetrisch wird, und wir

—z

V{(e)* D(a-1)-

setzen können, wobei Q eine rational bekannte Grösse bedeutet.

Verbindet man hiermit das aus (24) und (24*) folgende Resultat

al

2

ODEG

ADn

so ergiebt sich

Rr VQ,

und also

7(@)” =VO[ Lo],

d. h.: Ist der Rationalitätsbereich der cyklischen Gleichung

reell, dann kann ihre Auflösung so durchgeführt werden,

dass man aus einer, nach Adjunction einer primitiven n

Einheitswurzel bekannten,

reellen

Grösse

Q die

zweite

Wurzel auszieht und einen bekannten Winkel in % gleiche

Theile theilt.

Abel macht ferner darauf aufmerksam, dass in einem reellen

Bereiche die Realitätsverhältnisse der Wurzeln leicht zu überblicken

seien.

Ist nämlich 2, eine reelle Wurzel, so sind @(2,), @ (2,), -

d. h. auch alle anderen Wurzeln reell.

Demnach besitzt hier jede

cyklische Gleichung entweder nur reelle oder nur complexe Wurzeln.

Natürlich gehören die Gleichungen ungeraden Grades zu der ersten Art.

$ 498. Jede Gleichung zweiten Grades

—48 +a=0

ist cyklisch; denn man hat ja, wenn 2z,, z ihre Wurzeln bedeuten,

% = O(@)= 4 —A,

2 = @(%)= C — %

Die allgemeinen Gleichungen dritten Grades sind nicht cyklisch,

wenn man zum Rationalitätsbereiche nur ihre Coefficienten nimmt.

Erweitert man ihn jedoch durch Hinzunahme der Quadratwurzel aus

der Diseriminante VD, so wird die Gleichung dritten Grades

2 — 48° + 62— 6 =f(e)=0

218

Neunundvierzigste Vorlesung 8& 498—499

mit den Wurzeln 2,, %, % cyklisch. Denn es ist in diesem Falle

( — %) (& — %) (z2—z3)—]/D

Z

23

f (@)?

% i %8 = G — %5

Z al

VD

A

f'(2)

}

oder, wenn man in bekannter Weise umwandelt,

UTE

609)2'1 —> (201 e 70109 + 905 + 1/D)2'1

]/D

{(201

+ ((3109 + 36103 —4Cg + Cl-l/>)}

Dass die Kreistheilungsgleichungen cyklisch seien, haben wir schon

hervorgehoben. —

Zu anderen cyklischen Gleichungen können wir durch den Satz

gelangen

dass jede rationale Function der Wurzeln einer

irreductiblen cyklischen Gleichung selbst die Wurzel einer

cyklischen Gleichung

ist

Wir

deuten den

einfachen Beweis

kurz an

Zuerst reicht es aus

eine einzige Wurzel zu Grunde zu legen

da jede andere durch die eine gewählte z, rational darstellbar ist

Es sei (/(z,) eine ganze rationale Function von %,, und es seien

G(2,

G (9” ("‘1)) ’

G (q>7 (‘31)) 2

G (Pn—1(2))

ihre Werthe für die Wurzeln der cyklischen Gleichung. Durch unsere

früher verwendeten Schlüsse erkennt man

dass, wenn diese »” Werthe

nicht sämmtlich von einander verschieden sind

sondern etwa G(2,)

= G(g,.(2,)) ist, eine Anordnung

G-(2),

G (g(2,)),

G (‘P’» 1 (Zl>) ’

G-(gx (Zl)) ’

G (gr+1(2,)),

G-(gox—1(2,)),

getroffen werden kann, bei welcher die Elemente jeder Spalte unter-

einander gleich, dagegen die einer Zeile sämmtlich von einander ver-

schieden sind

Zugleich werden dabei die Elemente einer Zeile zu

Wurzeln einer irreductiblen Gleichung

k(w) = (u — O(a)) @— Gp@) -

. (u — Ggr @))= 0

deren Coefficienten dem Rationalitätsbereiche angehören; und die Be-

trachtung von

( (&r

G (o(@))

G (m(2))

=)

% (w) [

C

)+

u — G (

E

G(z'‚L

1

|

219

Die cyklischen Gleichungen.

zeigt wie oben, dass

G(g(2,)) = %(A(@,)),

G' (g (2,)) = 2(A(gp@)),

wird, wobei y eine rationale Funetion bezeichnet. Damit ist aber der

ausgesprochene Satz bewiesen. —

Hiernach ist jede rationale Funetion einer Einheitswurzel wiederum

die Wurzel einer cyklischen Gleichung.

Bedeutet z. B. @ _ eine primi-

tive fünfte KEinheitswurzel, und setzen wir

“=1+0 +w?,

?/2=1+032+034;

Ya D ,

?/4=1+m3+‘”;

dann müssen nach unseren Ueberlegungen rationale Grössen a, b, c, d, €

existieren, für welche man hat

.

1 + w* — w* = a(1+ w + 0w*)* +(1+ o + 0® + c(1+ o + w?)?

4 d @e

die Methode der unbestimmten Coefficienten liefert in der That die

Werthe

Ü=0),

D

C= —3

Z

d

—z

6

Z

e€= —2

Ferner wird die Gleichung (y—yı) : (Yy—yı) = 0 gefunden mit

Hülfe von

Z Z T

ın der Form

—20 An —8y 1=0;

und hier ist also gemäss der Bestimmung der a,b,-.-.e

%ı = O(yı) = 20 =— 3yi + 6y —2.

Es ergiebt sich daraus durch Potenziren und Vereinfachen

yı= 20 — 40 n =—= S

%= —3 + 3 — 8y,

==

HO

%

—80 { 19301 — ögn - 18

trägt man diese Werthe für y,, yi, --: y4 in die Gleichung für y ein,

so wird in der That y — 243 + 44 —3% +1=0, wie die KEıgen-

schaft der cyklischen Gleichungen es forderte.

$ 499,

Kine andere Methode für die Herstellung cyklischer

Gleichungen ist die folgende. Die Wurzeln der irreductiblen cyklischen

Gleichung f(2) =0 seien

S15

(,D(21) ’

D (21),

Pn—1(2,),

und q„(z,) sei die erste iterirte Funection, welche den Anfangswerth 2,

wieder annimmt. Dann hat g.(?) — 2=0 mit f(z) =0 eine Wurzel 2,

220

Neunundvierzigste Vorlesung $ 499.

gemeinsam, und wegen der vorausgesetzten Irreductibilität von f= 0

ist also f(z) ein Theiler von @„(z2) — %.

Das lässt sich noch präci-

siren. Wenn 5 eine Wurzel von @(?) —2 =0 ist, dann hat man

auch @, (E)= p()=6,

n(E)= E, und also ist E& zwar eine

Wurzel von g„,(2) — z = 0, aber wegen der über ” gemachten Voraus-

setzung nicht von f(z)=0. Wir erkennen daher (vgl. $& 270, Bd. JI),

dass

ONO

(25)

OO

eine ganze Function von z, und dass f(z) ein Theiler derselben wird.

Falls % eine Primzahl ist, können wir nicht über (25) hinausgehen;

bedeutet % eine zusammengesetzte Zahl, so können wir ähnliche Schlüsse

anwenden, wie bei der Herstellung der Gleichung, welche die primi-

tiyen ”'° Einheitswurzeln liefert.

Hierbei wird es nothwendig, vorauszusetzen, dass die Coefficienten

der Funetion g(z) unbestimmte Grössen seien, um behaupten zu können,

dass w„(2) — 2= 0 keine mehrfachen Wurzeln enthält; (der ähnliche

Umstand wurde ja auch bei der Kreistheilungsgleichung benutzt). Gäbe

es nun auch ım allgemeinen Falle mehrfache Wurzeln, so müsste dies

ebenso bei der besonderen Wahl der Function &@

P (Z) z

Po (Z) za 5'u27

Pn(8) = 2

On(2) — Z = (g —1 — 1)

eintreten; da kommen aber gleiche Wurzeln nicht vor ($ 294, Bd. I).

In besonderen Fällen kommen wirklich mehrfache Wurzeln vor.

Setzt man z. B.

3

q)(ﬁ)=ß‘2—f‚

932(2) = —

Sa

167

dann wird

—— =

9}

O —

16

( +

W

Wenn nun z, eine Wurzel von @„(2) — z2==0 ist, so wird ein

Glied der Reihe, die wir beliebig weiıt fortgesetzt denken,

Ag )

@ (2),

@ (&.),

wieder gleich 2,.

Ist alz,) das erste dieser KHigenschaft, so wollen

wir sagen, z, gehört zum Exponenten d. Nach bekannter Schluss-

weise leitet man ab: Jeder Exponent, zu dem eine Wurzel ge-

hört, ist ein Theiler von %.

Ferner nennen wir eine Wurzel

Ist also % eine

primitiv, wenn sie zum Exponenten % gehört.

Primzahl, so giebt es nur Wurzeln, die zu 1 oder die zu % gehören,

Die cyklischen Gleichungen.

221

und weil keine vielfachen Wurzeln vorhanden sind, so hat (25) nur

noch primitive Wurzeln.

Um den allgemeinen Fall bequem schreiben zu können, setzen wir

Yue(e) —2 [p: dl

Ist nun die Gradzahl in ihre Primzahlpotenzen zerlegt

%

n= DD D

29

dann wird die Gleichung

(26)

D„(2) =

m:1] m: P, D] m: P D] IM : DBl __ 9

m:, ]: ][n: D] [N: D, D]

alle und nur die primitiven Wurzeln von @„(2) — z == 0, jede in der

Multiplicıtät 1 ergeben.

Durch Induetion kommt man leicht zu deı

Form (26).

Der Beweis ist dem in $ 302, Bd. I gegebenen durchaus

analog. Es sei & eine Wurzel von w„(2) — 2 = 0, die zum Exponenten

N

V

(d<u; 4 <w)

z DEDS* : DG

gehört; dann wird nicht nur @„(&)= E, sondern jedes Dor(E)= 6

befriedigt, wenn o eine ganze Zahl bedeutet.

Insbesondere gilt

das für

N

N

N

N

N

N

0V=MN;

1

?

Dı

1;;7 V

_5 D

Es tritt deshalb

der Wurzelfactor (z — E) in (26) mit der Multiph-

cität 1 in den folgenden Factoren des Zählers oder des Nenners

z I]

[ : 1,

[% : Do];

[n : D, D,

[% : Do—1Do];

auf. Sonach ist das gesammte Eingehen des Factors (z — €) in (26)

von der Multiplicität

Ö

Ö

D

1

b

2

)- O

d. h. der Factor hebt sich überhaupt heraus.

Nur wenn v= %, und

also &5 eine primitive Wurzel ist, dann wird dieser Schluss ungültig,

Ö gewissermassen Null, und man erhält (z — €) einmal im Zähler.

Damit ist gezeigt worden, dass ®, eine ganze Function ist,

und dass ®„(z)= 0 alle und nur die primitiyen Wurzeln von

Pn(2) —2=0, jede ein einziges Mal liefert. Hierdurch sind wir

zu Gleichungen gelangt, wie wir sie in $ 489 behandelt haben.

Ihre

Wurzeln können in das Schema (4) eingeordnet werden. So erhalten

wir die Möglichkeit, alle Gleichungs-Polygone herzustellen, für

welche @ und % gegeben ist; sie müssen sämmtlich Theiler von

(26) sein.

222

Neunundvierzigste Vorlesung $ 499—500.

Nach Auflösung einer gewissen Gleichung (5) kann man die

Gleichungen %' Grades herstellen (7), von denen die Elemente je

einer Zeile in (4) als Wurzeln abhängen.

Hat insbesondere (5) eine

rationale Wurzel, so befinden sich die Coefficienten der entsprechenden

Gleichung (7) gleichfalls im natürlichen Rationalitätsbereiche, d. h. dem-

jenigen, welcher aus allen rationalen Zahlen besteht.

Damit haben

wir also eine cyklische Gleichung erlangt und zugleich die

charakteristische

Bedingung

dafür

abgeleitet,

dass

eine

solche für eine gewisse gegebene Function @(z) überhaupt

besteht.

Denn umgekehrt muss (5) eine rationale Wurzel haben,

sobald eine solche cyklische Gleichung vorhanden ist.

$ 500. Wir wollen die gegebenen allgemeinen Vorschriften durch

zwei Beispiele illustriren.

Zunächst sollen alle cyklischen Gleichungen

dritten Grades bestimmt werden.

Dabei dürfen wir

O(2,) = mÜ + n +D

setzen; da aber nach dem Satze aus $ 498 auch «2, + ß die Wurzel

einer cyklischen Gleichung ist, so können wir « und ß so bestimmen,

da-ss von vornherein das Glied mit z verschwindet, und dass sonach

ola)= 2 + a

Hierfür wird

angenommen werden kann.

@7 BOZT _ + + Ba+1)A + @a+D#+ Ba 3a12

+ (a@ + 2a4 +1)2 + (& + 20° + a+1)=0

die Gleichung, deren Zerlegung in zwei cubische Gleichungen erstrebt

werden muss. Wir verstehen unter 2’ eine Wurzel von (27) und setzen

2' + @(2') + 9 (e’)= 4, (2’),

a’ p(e') + p(e’) p (e’) + Pal&') 2 = D (@),

a’ p(@') p (e') = B3(8').

Als Werthe dieser Funetionen ergeben sich aus der Definition von @(z)

und mit Hülfe von (27)

, (2') = 2* + (2a +1) 2 4 2' + (a? + 20a),

d (e)= 2° + 25 4 3a2%* + (2a + 1) 2° + (Ba® 4 a)z®

+ (a?* + 2a)2' + (a* + &@”)

__ @s @) —7

D

p@) —

S ’31(z,) F (“ n 1)7

Die cyklischen Gleichungen.

223

d;(2') =2" + 3a2° + (3a + a)2? + (a + a?) ’

P @) —Z

== (‚g'

D

d @FG

HON

A a'31(5/) +(a + 1);

so dass die Gleichung

(28) # — 0,(e') -# — (d(e') — (a —1)2 — (0d,(#) +a+1)=0

die Wurzeln z’, @(2'), , (2') besitzt.

Bezeichnet man die übrigen

drei Wurzeln von (27) mit z”, @(z2”), g (z”), so erhält man

6

1‘)1('Z/)_I—’31(5”) =ZZÄ = —1,

1

6

8(0) e D

B

=4-+Z2,

und sonach wird

(29)

w +u+(a+2)=0

die Gleichung, deren Wurzeln &,(2’) und $,(z”) sind.

Nach dem

Schlusse des vorigen Paragraphen müssen wir dieser Gleichung (29)

eine rationale Wurzel zu verschaffen suchen.

Es iıst

AD Z

demnach entstehen für die allgemeinste Annahme

—(da+7)=@2+1), a= — (P+2+2)

die rationalen Wurzeln

WE LT A SN

und wir können setzen

le)=2, He)= —AD

Dadurch entstehen aus (28) die beiden eyklischen Gleichungen

(

)

z"’—lzg——(‚lz+2l+3)z—}—(Ä3+2/12—[—3/1+1)=0‚

z'3—{—(‚1+1)22—(‚12+2)5——(‚13+‚12—]—2/1—}—1).=0.

Das Produet der linken Seiten ergiebt (27), wenn 2? +2+2= —a

gesetzt wird. Uebrigens sind die beiden Gleichungen (30) nicht wesent-

lich von einander verschieden; denn durch } = — (2, + 1) geht die

Form (2* - 2+2) in (4? + 2,+2), uud die erste der Gleichungen (30)

224

Neunundvierzigste Vorlesung $ 500—501.

ın die zweite über.

Wir können uns daher auf die erste der beiden

beschränken. Nehmen wir noch, um die zweite Potenz der Unbekannten

w

w

zu beseitigen, 4 =

2

aE+

D

so entsteht

(31)

S—öH e DEFC@FEF OC Y=—0

mit den Wurzelrelationen

€2=(P(C1) =ä+(*é1—2(!"2+!"+1>;

C3:%(C1>=—Cä”“(!‘+1)£1+2(!*2+&‘+1)'

Auf die Form (31) kann also jede cyklische Gleichung dritten Grades

reducirt werden.

Ist eine solche Gleichung (31) vorgelegt, so fordert die nach

unserer Methode durchzuführende Auflösung vor Allem die Bildung

der Lagrange’schen Resolvente (& + &w + &w*). Zur Be1:echnung

dienen die Formeln

€1+52+53=

0

’

ü+rEr8=>

6(W+wu+1),

E, 5 7 525 + &65

= — 3(# + w + 1),

Qr EFE

I

— 3@u —D @ e D,

=—

G5 + &56 4 55

3(@ + 2) @ + @+ 0,

866555

E=

3( — 10 @w m D,

B TF

welche sich leicht durch die Relationen

8 = — (u+D8 — (W@+u +D& +200+2) @W + +1),

S

u& + (W+An+DE&E—20@—1) @W +“ +1)

bilden lassen.

Mit ihrer Hülfe erhält man

(& + &0 +& @”)® = 27(0 — w) ( + +1),

und also

€1+ €2+ C3=O;

&+ 06 +0'6=3V0 —u VW FTE+A1,

ED OO

Daher wird die Lösung der Gleichung (31) durch die Formeln geliefert

‚ &=Vo p VW FL Vore Va pa H1

+n H1

= V(0—#) @— u)

F

(@ — w)*(@* — w)

Die cyklischen Gleichungen.

225

—

A

W

5

2

CC

3

n

o V@— @—

B

3

o V(o @+

3

oV@— @— 0)

Nach den Bemerkungen zu Anfang des $ 498 wissen wir jetzt, dass

die Diserimimnante von (31) im natürlichen Rationalitätsbereiche . ein

vollständiges Quadrat sein muss; in der That wird auch (vgl. $ 283,

Bd. I) dieser Ausdruck gleich

108 (w* + w +1)® — 27 (w* + w + 1)? 24 + 1)? = 9° (u? + u A+1)?.

Bemerkenswerth ist, was aus den beiden Gleichungen (30)

hervorgeht: dass jeder cyklischen Gleichung dritten Grades eine

andere zugeordnet ist, welche dieselben Wurzelrelationen aufweist,

wie jene.

Grades von der Form

Aus (31) kann man die allgemeinste cyklische Gleichung dritten

— BAn RO

herleiten, wenn man auf (31) die allgemeinste Tschirnhausen-

Transformation anwendet,

für welche

das Glied mit der

zweiten

Potenz der Unbekannten verschwindet.

Diese ist, wie eine leichte

Rechnung ergiebt, bei w” + w+-1=da, von der Form

(32)

E= au + ßBu—20«,

und man erhält nach Unterdrückung des Factors (3a«?ß — ba — (3

/

(33)

6 — 3(a°a? + aß? — baß)E

+ 2050 — 6a?auß? + 3aba?ß 4 DB} — T =0

a=w +u+1, d=(W + w+ 1) @u + 1)).

Die erhaltenen Coefficienten geben die allgemeinste Lösung der Auf-

gabe, 4 und B so zu bestimmen, dass (4 A° — B?) das Dreifache

eines vollständigen Quadrates wird.

$ 501. Wir fragen weiter nach denjenigen Gleichungen vierten

Grades, deren Wurzeln durch

2 @ D (2”), I%(Z,)

dargestellt werden können, wobei aber, um die Rechhung nıcht zu

complicirt werden zu lassen, einfach

pe)= Z +a

angenommen werden soll. Hierfür findet man

Netto, Algebra. II

15

226

Neunundvierzigste Vorlesung $ 501—502.

P4(@) —2

=2 L 6a2° + 24 (150?-+3a)e+4 4a27 + (20a +12a?-1) 28

a(2) —2

+ (6a? + 2a)2? + (15a* + 18a0° + 3a? 4 4a) z

+ (4a + 40 + 1) 2 + (605 + 12a* + 6a + 5a* A a)z*

+ (a* +2a + a? +20)2

+ (a + 3a° + 3a*+3a° +2a? - 1)=0,

so dass diese Gleichung die zwölf Wurzeln

Z(')

2

(@&0),

@ (20),

D3 (20)

(i=172; 3)

besitzt. Die elementaren symmetrischen Funetionen der vier zu gleichem %

gehörigen Wurzeln setzen wir

d4(40), 0,(20), 94(20), 84l

und wissen dann, dass die drei Grössen

HCC C

einer Gleichung dritten Grades mit rationalen Coefficienten genügen.

Man findet für sie auf dem im vorigen Paragraphen eingeschlagenen

Wege

(34)

u + (4a4+3)u +4=0.

Mit Hülfe von (34) kann man die dritte und alle höheren Potenzen

von $,(z) durch niedere ausdrücken; so erhält man

d()=

Z [9,(2')* — 9ı (e’) + 4a],

&, (2') =

3 [,(6) — (2a—1)8(@) + 21,

C

L [a8,(e')? + a8,(e') + 20° + 2a +21.

Demnach genügen die Grössen 2’, p(2'), p (2'), ps(e) der Gleichung

u — O1 (e°) - u —+ % [, (2)? — &, (2') + 4a]u

(35)

+ 3 [9,(#')* — Qa—1)8,(e) + 210

+ 4 [ad,(e)? + a8d,(e’) + 20° + 2a +2]=0.

Hat (34) eine rationale Wurzel &,(z’), dann ist (35) eine cyklische

Gleichung. Wir setzen demnach das Polynom von (34)

u3+(4a—|—3)u+4=(u—x)(M—l—xu—f—l)

und erhalten für diese Zerlegungsmöglichkeit

Die cyklischen Gleichungen.

N

—

xA= —4,

—w =44+3;

(27

ONn S

4%

7)

U= O0)= .

Folglich ist die gesuchte allgemeinste cyklische Gleichung

U: — uu —

u2+3u+4/&2

2%

—L r.i+ﬁijﬂﬁ R

(35°)

+

x — 2ut + 44 — Qu? + 11u+4=

16%

0

mit der Wurzelrelation

n3+3n+4.

U = P(4) = U —

4

$ 502. Häufig erscheint eine Gleichung, von welcher eine Reihe

unbekannter Grössen 2,, Z,

Z„ als Wurzeln abhängt, als analy-

tischer Ausdruck eines Problems, aus dem sich der Natur der Frage-

stellung gemäss von vornherein erkennen.lässt, dass für 2,, %,

Sn

die charakteristischen Beziehungen für cyklische Gleichungen %, = @(2,),

2 = @(%), - herrschen; und häufig wird gleichzeitig die Funetion &@

selbst dabei gegeben sein. Hier macht es dann keine Mühe, die aus-

einandergesetzten Methoden der Lösung ın Anwendung zu bringen.

Anders ist es dagegen, wenn eine fertige Gleichung vorgelegt und

gefragt wird, ob sıe zu den cyklischen Gleichungen gehört, und wie

die Funetion @ bestimmt werden kann, falls eine solche besteht. Wir

wollen die aufgeworfene Frage, soweit es hier möglich ist

Z

kurz

behandeln.

Auf die zu prüfende Gleichung f(z) =0 wenden wir eine Tschirn-

hausen’sche Transformation mit noch unbestimmten Coefficienten an

6S TT AT o E Oß

aus ihr folge, nach den nöthigen Reductionen durch f= 0,

E = + B 0n E Ö,

a

Durch Elimination von #"—1,

Z entstehe F'(&) ==0, welches wie f

vom Grade % wird. Ist nun f(?) = 0 eyklisch, so müssen «,, ß,,

Ö,

sich so wählen lassen, dass /(£) bis auf einen constanten Factor mit

f(2) übereinstimmt.

Setzt man die hierzu nöthigen Gleichungen an,

dann

ist das

Bestehen eines

im Rationalitätsbereiche enthaltenen

Lösungssystems charakteristisch dafür, dass f cyklisch sei.

Die ge-

fundene Tschirnhausen’sche Transformationsformel liefert gleichzeitig

die Form der Function @(2).

15

228

Neunundyvierzigste Vorlesung $ 502.

Wir wollen diese, in der Theorie sehr einfache, in der Ausführung

recht umständliche Methode auf ein übersichtliches Beispiel anwenden.

Wir nehmen als zu prüfende Gleichung

f(@) = 2# —3a2 +b=0

und fragen also, wann diese cyklisch werden wird.

Dafür erhält man mit Hülfe der Substitution (32), welche offenbar

nothwendig ist, und durch welche die Rechnung abgekürzt wird,

E = «2 +ßz—2a«,

&— (ß? — au?) 2 + (2a0«ß — «?b)z + (4a* « —2ba«ß),

86 — (3a?0 + 3a«ß? — 3ba«?ß)2? + (3a?a?ß + 3aß — 3bauß*) z

+ (— 8003 + 3aboa?ß — bß* + Wo?).

Aus der transformirten Function lässt sich (3acw«”ß — «*b — ß°) als

gemeinsamer Factor aller Coefficienten heraussetzen.

Die zurück-

bleibende Funetion lautet

F =8 — 3(a*ax? + aß? — baß)E

2

2

+ (2a% « — 6a?xß? + 3aba*ß + bß* — b

a°)-

Hier sind nun « und ß so zu bestimmen, dass F(2) mit f(g)

identisch wird; d. h. damit f(z)== 0 cyklisch sei, muss das System

der beiden Gleichungen

aß? — baß + (a?«? — a)= 0,

B3 — 6a?aß? + Baba?ß + (2a?a0* — b’a? — b)= 0

eine rationale Wurzel («, ß) besitzen. Die Eliminante der Gleichungen

wird

(36) a(4a® — D°) [(4a® — B° «? — 30°] [(4a® — 07 * — 30x — D].

Das zu @« gehörige ß entnimmt man dann der Gleichung

B[b.(4 a — b°) «® — a?b] = 2a (4a® — b°) «® + a(6* — Ga’)« — a’b.

Hier führt der erste Factor von (36) auf ß=1 und somit zu

dem banalen Resultate &=z; das ergiebt keine cyklische Gleichung.

” Der zweite Factor ist die Diseriminante der vorgelegten Gleichung;

er verschwindet für a = g*, b=2g?, und das giebt

f(g) =# — 3ggg +2gq°= (# + 2g) (@ — g)',

F =—3(g°« — qß)'E— 2(d°« — aqß)'.

Damit F(z)= f(g) werde, reicht es aus, bei beliebigem q

B=0 1

zu setzen.

Man hat also für jedes

E=— a + (qu +1)2 — 2g°a = a (# — g) (& + 29) +#

Die cyklischen Gleichungen

229

die gewünschte Identität. Dass unendlich viele Lösungen auftreten, ist

durch das identische Verschwinden der Eliminante bedingt

Zur Behandlung des Factors [(44° — 0”) «

3a°] führen wir

40 —W = 3

eın

dadurch wird

b—4

C —

A

24

und es handelt sich also nur noch darum, @ und O so zu bestimmen

dass die Grösse A _ dem Rationalıtätsbereiche angehört

Dies wird ım

natürlichen Rationalitätsbereiche, wie wir in $ 500 am Schlusse gesehen

haben, durch die Annahme

üW -

b = (wW + w“ +1) 2w + 1)

geleistet

Hierbei wird A = a, und

E= ole) =

2 + uz

—2(“ +(*‘+1)7

(8)

d (2) =

@ + 08 2@ @D

es entsteht demnach“‘ %, (z) aus @(z), wenn man A durch — 4

ersetzt. —

Es wäre endlich noch der Factor

(4a — 0°) « — 3a’x — 0

zu untersuchen

weıl dies

Darauf wollen wir nicht direcet eingehen

zu complicirten Rechnungen führt, sondern die Frage durch die Be-

merkung entscheiden, dass für jedes hierher gehörige

6 u B — 20

(&

In diesem Falle ist nämlich

a’°x—b=0,

(4 a3

0) ®

a (a + O«)

ß— (4a3

b a? — a??

p (E) = (0ß* — a0? + aß) ” + (2a0?ß

ba + 7E

+ (40°0® — 240 — 20°4ß — 2a«ß).

Mit Hulfe der beiden ersten dieser Gleichungen verwandelt sich der

letzte Ausdruck nun in @(5) =2. Da aber die drei Wurzeln von f=0

durch 2, (2), 9 (2) dargestellt werden, so kann nicht @, (z) = z sein,

ohne dass sämmtliche Wurzeln einander gleich werden. —

einfachsten durch die zu

Wir bemerken. noch, dass der Uebergang von f(2) zu F(€) am

f@=0 und a 1L Bn L + 0Ö —)=0

gehörige Eliminationsdeterminante vemacht wird

230

Fünfzigste Vorlesung $ 503—504.

Fünfzigste Vorlesung.

Die Abel’schen Gleichungen.

$ 503. Nach den Darlegungen der letzten Vorlesung wird man

zu der allgemeineren Frage nach denjenigen Gleichungen geführt, bei

welchen alle Wurzeln durch eine unter ihnen rational darstellbar sind.

Solchen Gleichungen werden wir später unsere Aufmerksamkeit zu-

zuwenden haben; hier erwähnen wir nur, dass diese Gleichungen im

Allgemeinen nicht algebraisch auflösbar sind. Dagegen hat Abel in

seiner schon erwähnten Abhandlung eine Classe von Gleichungen

speciellerer Art angegeben, bei denen durch Hinzufügung einer neuen

Bedingung zur rationalen Darstellbarkeit aller Wurzeln durch eine

unter ihnen die algebraische Auflösbarkeit herbeigeführt wird. Abel

stellt folgenden Lehrsatz auf*): Es sei f(g)=0 eine algebraische

Gleichung m' Grades, deren Wurzeln sämmtlich durch eine

unter ihnen, z’, rational ausdrückbar sind.

Sind in dieser

Darstellung @(z'), %(2') zwei willkürliche Wurzeln, und ist

für sie @(x(2)) = x(g(2')), so ist die Gleichung algebraisch

auflösbar.

Solche Gleichungen wollen wir Abel’sche Gleichungen nennen.

Es ist ersichtlich, dass die cyklischen Gleichungen als Abel’sche

Gleichungen einfachster Art aufgefasst werden können; „vergleiche

dazu im Folgenden die Darlegungen aus $ 517, in denen eine

Classification der

eingehendere

Abel’schen Gleichungen gegeben

werden soll.

$ 504. Unsere Gleichungen stehen unter den in $ 489 behan-

delten, sobald wir auch hier die Irreductibilität voraussetzen. Das

aber können' wir unbedenklich thun, da ja, wenn fi(@) ein irre-

ductibler Factor von f(g) ist

für die Wurzeln von fi= 0 die

obigen Voraussetzungen gleichfalls gelten, und da andererseits mit

der Kenntniss von z2’ alle anderen Wurzeln bekannt werden.

Man

kann sich somit auf einen und zwar auf denjenigen irreductiblen

Factor von f beschränken,

bei dem (Z — Z2’)

als

Wurzelfactor

;

vorkommt.

Demnach können wir unsere früheren Resultate verwerthen und

die m Wurzeln von f= 0in das Schema

NFT

* Oeuvres, €d. Sylow et Lie; 1, p. 479.

Die Abel’schen Gleichungen

231

D@) ,

2 (2') ,

(,D„_1(Z ) ’

( (2') =2')

Z

(

Z

(2”) ,

@ (2”) ,

Pn 1(Z )}

( (2”)

(1)

z(’)

p (20),

o (20),

Pn—1(2

(pn(207)) = 2")

(n : v = m)

einordnen

Ist v= 1

dann befinden wir uns

in dem Falle von

cyklischen Gleichungen

Wir setzen daher jetzt v >1 voraus und

bilden die Werthe einer allgemeinen noch unbestimmten symmetrischen

Function S

?/I —S(? ’ ‘P(Z) 9 q>2(z)‚

Puı(8') = F(@’) ,

—S(F ’ (P(Ä)‚ q)‘7(P);

<ßn—1(z )) - T(Z”) ,

(2)

yd=S (Z”‚ q>(Z( ); %(5<”))‚

Pn 1(Z(”))) UE ”)

wobei wir

wie dies auch früher geschehen ist, Sorge dafür tragen

wollen

dass alle

diese v Werthe

des S verschieden von einander

ausfallen

Nun wissen wir ($ 491), dass die Gleichung

(3)

ha(8) = (8 — #9) (# — p(@))

@— OO

0

@=1,2

)

welche z

p (20)

als Wurzeln liefert, eine cyklische Gleichung

und deshalb durch Verwendung von Wurzelausziehungen auflösbar ist

Wir wissen ferner, dass ihre Coefficienten als symmetrische Funetionen

von @,

&0, -

rational durch jede andere symmetrische Function

derselben Grössen ausdrückbar sind

sobald diese für x«= 1, 2

verschiedene Werthe annimmt ($ 490); dass wir also gemäss unserer

Vorbereitungen die Coefficienten von A„(z) rational durch y“ aus-

drücken und somit statt h„(z) schreiben-dürfen

(‘:L) 7b(.a 1 a)) =

OO P O

. F yayO)=0

Die Auflösung der Abel’schen Gleichung mit den Wurzeln (1) ist

demnach abhängig von derjenigen einer Gleichung mit den Wurzeln

(2), wobei die symmetrische Funetion S, abgesehen von der oben er-

wähnten Einschränkung, beliebig angenommen werden kann

Wir setzen nun die irreduetible Gleichung an

©

q =U —Y) —y

Ua

und erkennen, dass die Coefficienten von g rational durch die Coeffi-

cienten. der v01gelegten Abel’schen Gleichung darstellbar sind ($ 490).

Schreiben wir also

232

Fünfzigste Vorlesung $ 504—506.

(6)

gy0) = Y — dy7! + dy-?— ... +d,=0,

so sind die d rational bekannt.

Es hängt also Alles von der Natur

der Gleichung (6) ab. Wir werden zeigen, dass sie wiederum

eine Abel’sche Gleichung ist.

$ 505. Es ist den Voraussetzungen gemäss auch z” eine Funetion

von 2’, also etwa 2”== %(g’); ebenso sind die beiden Funectionalzeichen

@ und %, auf 2 angewendet, mit einander vertauschbar, d. h. x%(@(z'))

= y(y(#)); somit wird %(g (2')) = p (4(?)), :, und daher

y“= F(e”)= Sly(e), py@)), P@)), : )

= S(y(@), x(pE@)), xlp@)), : )

T 1(ZI, ‘P(Z,); 932(Z/)7 );

wo S, auch eine symmetrische Funetion ist.

Demnach wird, falls 2

eine passend gewählte rationale Funetion bedeutet,

(7)

y = F(g@) = 40’)-

Ebenso folgt, wenn wir etwa 2””== @(gz’) annehmen, für eine passend

gewählte Funetion w

©

y“= F@(@)) = #y’)-

D

A

setzt

Nun ergiebt sich aus (2), dass, wenn man an die Stelle von

”

A

der 2””, dann y' in y bezw. in y übergeht.

Daher zeigen (7)

und (7%) die Richtigkeit der Gleichungen

MUy”) = F @")) d b 2W0') = Fz@@)I;

w”)= F@@”) d BA = FLRGE@)N-

Der Annahme nach ist y@(g’) = @4(g’); demnach hat man endlich

(8)

A(uy)) = uAYy’))-

Die Gleichungen (7) und (7°) liefern den Nachweis dafür, dass jede

Wurzel von (6) eine rationale Function von y’ ist, und (8) zeigt, dass

die hierbei auftretenden Funetionaloperationen auf y’ angewendet mit

einander vertauschbar seien. Folglich sind alle Voraussetzungen dafür

erfüllt, dass auch (6) eine Abel’sche Gleichung ist.

Auf sie kann

wieder dieselbe Schlussweise angewendet werden.

Hiermit ist dann zugleich die Auflösbarkeit der Abel’schen Glei-

chung f(z) = 0 dargethan. Denn g(y)= 0 ist entweder cyklisch, und

dann ist die Frage bereits erledigt; oder wenn dies nicht so ist, dann

können wir auf g = 0 dieselben Schlüsse anwenden, wie soeben, und

führen ihre Lösung dadurch auf die einer Abel’schen Gleichung eines

Grades zurück, der ein echter Theiler von % ist. Die Methode führt

daher stets auf eine Reihe cyklischer Gleichungen. Nach unseren Ab-

Die Abel’schen Gleichungen.

233

leitungen ist es ersichtlich, dass das Product der Gradzahlen dieser

Gleichungen m sein wird. Nehmen wir hierzu noch die Resultate aus

$ 491, so erkennen wir:

Die Auflösung einer irreductiblen

Abel’schen Gleichung m“ Grades kann durch diejenige einer

Reihe cyklischer Gleichungen von Primzahlgraden geliefert

werden, bei denen das Product der Grade gleich m ist.

$ 506. Als Beispiel für Abel’sche Gleichungen behandeln wir

diejenigen, von denen die Theilung des Kreises in % gleiche Theile

abhängt, indem wir dabei cos %;—t als Unbekannte ansehen. Die Wurzeln

der Gleichung sind cos %—7E für 2=1,2,...n%; die Form der Glei-

chung können wir aus $ 308, Bd. I entnehmen.

Wenn wir daselbst

für c eintragen

FA

2

w und nach Potenzen von w ordnen, so ergiebt sich,

gleichgültig ob % gerade oder ungerade ist, die Gestalt

w n—2

Nn

U

n—4

n (n — 4) (n — 5)

n—6

1

_F

2

31

(9)

_F

vn(n—5) (n — 6) (n — 7)

un——8

... = 2C08n6.

4!

Hier ist nun %« = 2 zu setzen, also 2 cos n« = 2, dann erhält

man die Gleichung

Nn — 3)

oder

(0). — Zyp= A Z

2

„7L—4_...=-‚_2

D (0) = 0,

wobei die linke Seite der ersten Form für ungerade %— 2m + 1

mit dem Gliede (— 1)" (2m +1)u, dagegen für gerade n — 2m mit

(—1)”.2 schliesst.

SEn

Wir wollen jetzt 2 <30s—„£

u setzen, so dass (10) als Wurzeln

die Grössen U, U,

U besitzt.

Aus den Lehren der Goniometrie

etwa

ist bekannt, dass w eine ganze, ganzzahlige Funetion von u ist, also

21x

0n = 2 C0S —— = O, (u,) = ,

<2 cos 7—f;) S

2

Uı = 2008

N

= Oulu) = 0. (2 cos 2—E) .

Hieraus ergeben sich die beiden Beziehungen

O; (0.(u)) = O; (u)= 2 cos

22u

n)

N

22um

O.(0;(u,)) = Ou(uz) = 2 cos

N

OE

und daraus

O.(0; (u)) = 6, (©.(u,)),

234

Einundfünfzigste Vorlesung $ 507.

Fünfzigste Vorlesung $ 506.

so dass wir es also wirklich mit einer Abel’schen Gleichung zu thun

haben.

Diese Gleichung ®„(uw)= 0 ist nicht irreductibel; sie hat ja

stets u= 2 zur Wurzel, und wenn % gerade ist, auch w= —2.

Ferner erkennt man, dass höchstens diejenigen Wurzeln 2 cos — einer

irreductiblen Gleichung angehören und nicht schon durch ein %°„= 0

mit niedrigerem Index m geliefert werden können, bei denen 4 relativ

prim zu % und kleiner als % ist.

Man überzeugt sich weiter leicht,

dass das Polynom ®„(w) abgesehen von dem Factor (u — 2) bei un-

geradem, und (u® — 4) bei geradem % ein Quadrat wird; ebenso, wegen

(9), dass die Zerlegung

®2m(“) sa (-Dm (“) [®m(“) + 4]

gilt.

Nehmen wir z. B. %n =48, so folgt hiernach

D,s(u)

= O, (u) [P.(u) + 41,

D, (u) + 4 = [PBs(u) + 4] ( — 8u° + 20 u* — 16 + 1)*,

und die Wurzelwerthe der letzten Klammer sind

Uı — 2 cos

—z

48

für A 5 A 3 a 9230

Hier gelten die goniometrischen Beziehungen

u44 = W — 1149 + 4401 — 770 + 55405 — 1u4,

=—=>

n

_u?+47

u

9

= W — 50 + 54,

wobei die Reduction des Werthes von u vermittels der Gleichung

u — 8u + 20u* — 16wW + 1=0

vor sich gegangen ist. Setzt man w”==v; 4

C =w,, so entsteht hieraus

2

für die neue Unbekannte v eine Gleichung

— 803 + 200 — 160 +1=0

(1D)

mit den Wurzeln

45 Z

(12)

%=— U + 60 — 80 +2; u=0 — 60H + 8 +2.

Dies sind die entscheidenden VVurzelbéziehungen für die Abel’sche

Gleichung (11). Setzt man S(t, *’) =& + 0 SO vmrl

S (v1, vi) 47 S (02, 0) = 3,

S (v1, vı) - S(v2, vo) = 16;

S? —88 + 16=0,

S=4.

Die Abel’schen Gleichungen

Abel’sche Gruppen

235

Hier tritt daher der früher vorgesehene und stets ausgeschlossene Fall

eın

dass S nur einen Werth besitzt

Wir können somit aus dem ge-

wählten S(v,,v;) den Werth von w -w;i nicht bestimmen und setzen

um ihn zu erlangen, Sı(t,4’)=t.t

Dann finden wir für diese sym-

metrische Function

Sı (v1, vı) = — vl + 4,

Sı (02, 03) =

2° — — 60 + 80) = 0 — 40 + 4;

Sı (v1, v1) + Sı (ve, va) = 4

S (7)1‚ 1)1) S (7)_‚ _‘) => 1

SEA G

8 =24

Daraus sehen wir, dass die Wurzeln von (11) durch die Gleichungen

v—40+2+V3=0

gegeben werden

d. h. dass

— 80 + 20v0? — 16v + 1

(

40 +2-+V3)(

4m —. 2—V3)

wird. Der grösste Wurzelwerth wird durch die Combination der posi-

tiven Vorzeichen der Quadratwurzeln bestimmt

294172733

aus diesem ergiebt sich dann für das entsprechende w

4

2

== COS

= 0,9914449 .

und damit die verlangte Theﬂung des Kreises in 48 gleiche Theile

FEA SA PE

Einundfünfzigste Vorlesung

Abel’sche Gruppen

$ 507

Durch die allgemeineren Betrachtungen, zu denen wir

jetzt übergehen wollen

gewinnen wir

eınenN

tieferen KEinblick

ın

as Wesen der Abel’schen Gleichungen und in die Methode ihrer

Behandlung.

Eine R91he von unter einander verschiedenen Elementen O, %,

®J7

bildet dann eine Gruppe, wenn sie den folgenden Bed1n

gungen genügt:

236

Einundfünfzigste Vorlesung $ 507—508.

$

I) Je zwei Elemente @, und @, bestimmen in der angegebönen

Reihenfolge eindeutig ein drittes Element der Reihe, welches

mit @, @, bezeichnet und durch

@3 T @1 @2

angedeutet werden möge.

Wir sagen ©, sei aus ©, und ®,

componirt. Im Allgemeinen ıist @, ©, von ©@, 0, verschieden.

Wir sagen ferner, O, seı durch linksseitige Composition

von @, an @, entstanden und durch rechtsseitige Com-

position von @, an &..

II

Für die Operation, durch welche @, @, aus ®, und 6, ent-

springt, gilt das associatiye Gesetz ($ 1, Bd. I), d. h.

es ıist

(®1 ®2) @4 a @1(@2 @4„)°

Aus jeder der beiden Gleichungen

II

oder

0,0, = ©, @4

0,0,= 0,0,

folgt O, = .

Es giebt Gruppen aus unendlich vielen Elementen und solche aus

einer endlichen Anzahl. Die ersteren nennen wir unendliche Gruppen;

die letzteren nennen wir endliche Gruppen.

Da wir uns im Fol-

genden ausschliesslich mit den letzten beschäftigen, so lassen wir der

Einfachheit halber das für uns unnöthige unterscheidende Beiwort weg.

Die Anzahl der Elemente einer Gruppe, d. h. also einer endlichen

Gruppe, wollen wir als ihre Ordnung bezeichnen.

Kommen alle Elemente einer Gruppe ©, unter den Klementen

einer anderen Gruppe ®, vor, so heisst ©‚ ein Vielfaches von ®,,

und ®, ein Theiler oder Divisor oder eine Untergruppe von S,.

Der Fall G, = ®, ist in unsere Definition einbegriffen; dabei ist ©,

ein uneigentlicher Theiler von ®,.

$ 508.

Wir wollen einige elementare HEigenschaften solcher

Gruppen herleiten.

A) Lässt man in dem Ausdrucke @,0, oder @„,@,, in welchem

@, ein festes Element von © bedeutet, @, alle Elemente der Gruppe

durchlaufen, so kommen nach III) wiederum alle Elemente heraus.

Folglich giebt es bei jeder Wahl von @,, @, ein und nur ein Gruppen-

element @, und nur ein @,, welche die Gleichungen

oder

0,0,;= ©

0,09, = ©:

befriedigen.

Abel’sche Gruppen.

237

B) Bilden wir, von einem beliebigen Elemente @ der Gruppe ®©

ausgehend, die Reihe

@

O, @, 6, @, ... @,

2

?

wobei in Folge von II) die einzelnen Potenzen ganz bestimmte Be-

deutung haben, so gehören sie wegen I) sämmtlich zu ®. Dann er-

giebt sich aus dem Umstande, dass © nur eine endliche Anzahl von

Klementen besitzt, die Folge, dass Gleichungen von der Form @* = @

bestehen müssen. Ist nun 21 = x + w, dann schliessen wir hieraus

@O — 6*. O

und @* = @«

*,

Bestimmen wir jetzt @, und @, so, dass für ein beliebiges ©, der

Gruppe

0,.0*= @,

und *0, = %,

wird, dann folgen ans den beiden vorhergehenden Gleichungen, indem

man ‚ die erste derselben links mit @, und die zweite rechts mit O,

componirt, die Relationen

O, 0"=— 0, und 0“0,= %;

d. h. das Element @“ ändert weder durch rechtsseitige noch durch

linksseitige Composition ein Element der Gruppe.

Wir wollen @«

das Einheitselement nennen und mit X bezeichnen.

Es giebt nur

ein einziges derartiges in einer Gruppe ®©; denn wäre H ein anderes

von gleicher Eigenschaft, so folgte aus

0,E= 0,= 6,H

wegen IIL) die Identität von X und H.

C) Aus @“ = E erkennen wir, dass eine gewisse Potenz- jedes

KElementes gleich dem Einheitselemente wird. Der niedrigste Exponent,

für welchen dies bei © eintritt, sei x. Dann zeigt eine schon häufig

benutzte Schlussweise, dass alle und nur diejenigen Potenzen von @

gleich £ werden, als deren Exponenten Vielfache von x auftreten, und

dass alle Glieder der Reihe

@} @27 S

O 0°=E

von einander verschieden sind. Wir sagen (vgl. 8 295, Bd. I) @© ge-

hört zum Exponenten x und x giebt die Ordnung von @ an.

Infolge der Gleichung @* = ] kann man Potenzen mit nega-

tıven Exponenten durch die Definitionsgleichungen

O71 = 071.E= @,

D @z—2}

einführen. Mit @ gehört auch @-—!1 einer Gruppe an, da es gleich

einer Potenz von @ ist.

238

Einundfünfzigste Vorlesung 8

508—509.

D) Giebt es in @6 ein Element @, welches zu einem bestimmten

KExponenten x gehört, dann giebt es in © auch Elemente, die zu einem

gegebenen Theiler v =x:uw von x gehören.

Denn @“ liefert in die

v Potenz erhoben ; und wenn andrerseits (0“)' =

E ist, dann muss

ur ein Vielfaches von x, und also 7 ein Vielfaches von v oder gleich v

seın

Im Allgemeinen ist, wie man an Beispielen sieht, @“ nicht das

einzige Element mit dieser Kigenschaft

E) Es sei ®©, mit den Elementen @,, ©,,

O ein eigentlicher

Theiler einer Gruppe © mit den Elementen ©,, %,,

O, (n m),

dann lässt sich beweisen, dass m” ein Theiler von %” ıst

Ist @’ eins der zu ® aber nicht zu ©

ehörigen Elemente

So

bilden wir die Elemente

0.,0', 0,09

’ ®m ©

Diese kommen sämmtlich wegen I) in © vor; sie sind ferner von ein-

ander verschieden, da aus @, 0’= 6;0' nach III) folgen würde 0, = 0s;

sie sind auch von den Elementen der Gruppe ©, verschieden, da aus

0,0'= ©g nach C) und IIMN) 0’= O7 Og folgen würde, so dass @’

selbst schon gegen die Annahme der Gruppe ®©, angehörte

® umfasst also mindestens 2m Elemente

Besitzt ®© ausser diesen

dann bilden

Elementen @, und @,' noch ein weiteres Element ®

wir mit seiner Hülfe ebenso

@.0 0,.0%

O„0”

und führen dieselben Schlüsse durch wie oben, aus denen sich ergiebt

dass ® auch alle diese neuen m Elemente enthält; dass diese unter-

einander und dass sie von den früheren 2m Elementen verschieden

sind. © umfasst also mindestens 3 Elemente. — So fahren wır fort

und erkennen: Die Ordnung des Theilers einer Gruppe ist eın

Theiler der Ordnung der Gruppe

Die von einander verschiedenen Potenzen eines beliebigen KEle-

mentes @ von ® bilden für sich einen eigentlichen Theiler von ©

Die Ordnung dieses Theilers ıst

wenn sie nicht © selbst erschöpfen

mit der Ordnung des Elementes identisch (vgl. C)

Daher ist die

ein Theiler

der

Ordnung der

Ordnung

jedes Elementes

(D —

Es liegt nicht in dem Plane dieser Vorlesungen, die Theorie der

oben definirten, allgemeinen (endlichen) Gruppen eingehend zu behandeln.

Nachdem wir in diesem Paragraphen die elementarsten Gruppeneigen-

schaften hergeleitet haben, wenden wir uns zu einer ganz besonders

einfachen Art von Gruppen

Abel’sche Gruppen.

239

$ 509.

In II) haben wir erwähnt, dass ©,@©, im Allgemeinen

Wir wollen nun die Vertauschbarkeit der

von &, @, verschieden. sel.

KElemente in einer Composition zu den Voraussetzungen hinzunehmen.

IV) Eine Gruppe heisst eine Abel’sche Gruppe, wenn für alle

ihre Operationen das commutative Gesetz ($ 1, Bd. I) gilt

2

d. h. wenn ,, = 6,0, ist. Aus diesem Grunde heisst eine

Abel’sche Gruppe auch eine Gruppe vertauschbarer Ele-

mente. — Die Regeln der Composition entsprechen in diesem

Falle denen der gewöhnlichen Multiplication; wir werden des-

halb auch hier von Produet und von Potenz sprechen dürfen.

Die besonderen Gesetze, denen die Abel’schen Gruppen unter-

worfen sind, wurden von E. Schering*), von L. Kronecker**) und

besonders eingehend von G. Frobenius und L. Stickelberger #*#*)

untersucht.

Wir leiten die für unsere Zwecke wichtigsten Resultate

hier ab und schliessen uns dabei im Allgemeinen an die letztgenannten

Untersuchungen an 7).

F) Da für zwei beliebige Elemente der Abel’schen Gruppe X das

commutative Gesetz gilt, so gilt es auch ($ 1, Bd. I) für das Resultat

der Composition beliebig vieler Elemente.

Für die Potenzerhebung

eines Productes hat man also im Besonderen

(®1®2®3"')“ o @ä‘ @% @;'Äf }

G) Wenn die beiden Exponenten o und 6, zu denen bez. die

KElemente @, und ©, gehören sollen, theilerfremde Zahlen sind, dann

gehört das Product @,©, zu dem HExponenten 06. Denn bezeichnen

wir mit 7 den Exponenten, zu welchem ©,0, gehört, so ist (0,0,)'= E,

und also um so mehr auch

=Z

——

(@,0,)0* = O97 O27

O9=E

da

0e=E

ıst

da

ıst

(0,0,) — 077007 — @— E

2

O =E

7}

demnach ist or ein Vielfaches von 6, und also, weil o und 6 theiler-

fremd sind, 7 selbst ein Vielfaches von o. Aus der zweiten Gleichungs-

reihe folgt ebenso, dass 7 ein Vielfaches von o sei. Folglich ist 7 ein

Vielfaches von 06. Da weiter aber (©,0,)%° = E ist, so gehört @, 6,

schon zum Exponenten 06 selbst.

H) Ist m, die kleinste Zahl, welche die sämmtlichen zu den Ele-

menten von % gehörigen Exponenten zu Theilern hat, dann giebt es

BA

*) Götting. Abhandl. 14 (1869). Math. Cl. p. 3.

**) Berl. Ber. (1870), 1. Dec., p. 881.

*##) J. f.M. 86 (1879), p. 217.

+) Es sei auch auf die inhaltreiche Abhandlung von K. Zsigmondy,

Monatshefte f. Math, 7 (1896), p. 185, hingewiesen.

240

Einundfünfzigéte Vorlesung $ 509.

in X auch Elemente, welche zu %, selbst gehören.

Denn wenn %, ın

seine Primfactoren aufgelöst = y“q®... ist, so giebt es nach der An-

nahme über u, sicher ein @, welches zu einem durch y“ theilbaren

Exponenten gehört, also nach D) auch ein Element @,, welches zu p“

selbst gehört; ebenso findet man ein zu q° gehöriges ©,, u. s. f. Also

gehört nach G) das Element @,@,-.- zu n, selbst. Die Zahl %, nennen

wir die erste Invariante der Abel’schen Gruppe %.

Da m, ein ganzes Vielfaches jedes in % vorkommenden Kıx-

ponenten ist, so wird für jedes Element @ von % die Gleichung

@— E gelten.

J) Ist @, eins der zu n, gehörigen Elemente von %, und er-

schöpfen die untereinander verschiedenen Potenzen von ®, nämlich

(1)

®17 @]27 @3

@p = E

noch nicht alle %” Elemente der Gruppe %, dann sei @, eins der

übrigen Elemente; wir bilden die Reihe der Produete

@a; @0:@1; @a@?;

0.027*

@)

und benutzen die in E) abgeleiteten Resultate; ebenso gehen wir,

wenn es nöthig ist, weiter zu

(3)

Os, O60,, ©9:0i,

@ß @7121'“1

SSa

Jede der Zeilen (1), (2), (3), - - fassen wir nun als ein Element

auf; wir setzen (1) gleich H, (2) gleich H,, (3) gleich Hp, u s. £

und definiren die Composition der H derart, dass wir setzen

H.H;= H,, wenn (0,0i)(0;0i) = 0.0; : 0i = 0,0i

ıst

Dies ist eine erlaubte Definition, da ja in der letzten Gleichung

der Index y von « und ß allein, aber nicht von x und 2 abhängig ist.

Es wird also, H, eindeutig durch H, und Hp bestimmt ($ 507, I). —

Aus (0,0g;) @s = 0.(0; @5) folgt ferner (He H(g) an = (a &. h.

es gilt das commutative Gesetz (II, $ 507). — Ist weiter

H. Hs =H.Hy, S0 ist (@„@f)(%@i)=(@„@Q‘)(@‚@}’);

weil sich nun aus der letzten Gleichung @; = ©;©7 ergiebt, so ist

H: — Hy, me 1IIl, S 507 es fordert. — Endlich besteht wegen der

Vertauschbarkeit der @ auch diejenige der H, d. h. die H bilden

eine Abel’sche Gruppe (IV, $ 506). Wir wollen sie , nennen.

In %, repräsentirt H, das Einheitselement, welches wir mit £,

bezeichnen; denn aus

@aE Z @a f01gt Ha-El - E1HDC a Ha S

Abel’sche Gruppen.

241

Es gelten in der Gruppe %, der H alle in H) abgeleiteten Eigen-

schaften, und demnach existirt eine kleinste Zahl %,, für welche jedes

Element H von %, die Gleichung H: == E, befriedigt.

Geht man zu

den @ zurück, so kommt man auf das Bestehen der Gleichungen

(0,00*= @

oder

O —

für jedes @, von % und passendes w; d. h. jedes Element @, von %l

giebt in die %' Potenz erhoben eine Potenz von ®,.

Da %, die erste Invariante von %, ist, so giebt es ein zu %, ge-

höriges Element. H’; und wenn daher @’ zu der Reihe gehört, welche

von H” repräsentirt wird, so ist @’ auch die niedrigste Potenz von

@O’, welche zu einer Potenz von @, wird. Dann folgt nach bekannten

Schlüssen, dass

O

@2n

@3n

’

seine einzigen Potenzen dieser Eigenschaft sind; und weil @” = E ist,

so muss %, ein Theiler von %, sein, der freilich auch m, selbst

werden kann.

Krheben wir

An — @äl

in die (n‚ : %„) Potenz, so folgt

MN

@’"1 = K — @1_7‘_2—,

aus dieser Relation geht hervor, dass (w:%,) eine ganze Zahl ist,

W = , M.

Dann ergiebt sich für das Element

© — O,

welches natürlich auch zu H’ gehört, dass erst seine %„ Potenz eine

Potenz von @, wird; es gilt daher die Gleichung

@;„ S @’n‚_ @,1£1„2_„27„ SE @’n2 @;ll')'l2—‚lt A @111an — K.

KEs giebt also ein kleinstes %, so, dass n ein eigentlicher

oder uneigentlicher Theiler von %, ist; dass jedes @ in die

n“ Potenz erhoben eine Potenz von ©, wird; und dass ein

O; zu %, gehört, für welches die %' Potenz direct gleich E

ist. Alle %,% Potenzproducte, welche mit Hülfe von @, und

©, gebildet werden können, nämlich

(4)

0«ß

@= 12 D B= 1 2 ° 2)

sind von einander verschieden.

Denn aus der Annahme

O6 — 010

(“;7’£”15 ß‚8__£7’@; ß_>:ö)

folgt ja sofort

@(ä_(j* n @ä_a7

und also, da (ß — d) nicht grösser als (n,—1) sein kann, ß= 0, y=«

Netto, Algebra. II.

16

24

7

2

KEinundfünfzigste Vorlesung $ 509—510.

Erschöpfen die nın Elemente (4) noch nicht alle Elemente von

3, dann können wir eine neue Abel’sche Gruppe %, herstellen, deren

KEinheitselement der Inbegriff der Elemente (4) ist, und deren andere

KElemente je durch den Inbegriff von %, - %, Elementen, die mit Hülfe

eines neuen @, von %X gebildet sind

©

0,0%

(“=1)27

V3 ß Ka 17 2; 722>;

dargestellt werden.

Die Composition für %, wird dabei wie oben

bei %, definirt.

Für % giebt es eine Zahl %; derart, dass jedes

Element in die %, Potenz erhoben das Einheitselement von %, giebt;

n ist ein Theiler von %; es giebt in %, ein zu %, gehöriges Klement.

Folglich giebt es in %, ein @”, dessen n Potenz zu (4) gehört

.

Z

daraus lässt sich ein @, in % herleiten, dessen n° Potenz = H ist.

Alle %, n,nz Elemente

(6)

6 68 0%

il

%

3

(@ = 103 B1 005 Y= 19 M)

sind von einander verschieden.

Durch Fortsetzung dieses Verfahrens kommt man zu dem Haupt-

resultate: In jeder Abel’schen Gruppe X von % Elementen

kann man ein System von r Elementen

(6*)

O, O,

®/‘—1 ’ @7

mit den zugehörigen Exponenten

(6”)

Nı, N

2

Z

Nan N

(no-+1 theilt na; %. > 1)

mit folgenden Eigenschaften bestimmen: Jede der Potenzen

@« wird dem KEinheitselemente gleich, aber keine niedere

Potenz von 0,; gleichzeitig ist @,“ die niedrigste Potenz,

welche als Potenzproduct der vorhergehenden Elemente

(7)

005

@“a——1

&

1

darstellbar ist; jedes Element @ der Abel’schen Gruppe ist

eindeutig in der Form

(8)

0=0 0

O

A < D)

ausdrückbar; eine Gleichung von der Form

Un

.. Or

(9)

@i O

2

... @r — 0107

kann nur dann bestehen, wenn jedes (UWx — vo) ein Vielfaches

von ng ist.

Man hat

N — Nı Nz3

N,

(10)

Abel’sche, Gruppen.

243

.. @, eine Basıs

Wir nennen ein jedes solche System ,, %,,

der Abel’schen Gruppe.

@1, O,

- @, bilden eine Basis, wenn

sie folgende Eigenschaften haben:

1) Jedes Element von % kann auf die Form O20 Or ge-

_ bracht werden.

Gleichung

@äll @él2

@” = E fordert,

dass

jedes

2) Die

@* — H ist.

3) Gehört @, zum Exponenten %A, SO ist %x durch %+ 1 theilbar

’

und

9 m-

Die Zahlen %1, ,

%„ heissen die erste, zweite,

variante von %. Diese Bezeichnung wird noch gerechtfertigt werden

müssen. ($ 513).

$ 510. Zunächst benutzen wir den abgeleiteten Hauptsatz zur

Berechnung der Anzahl derjenigen Elemente von %, welche zu einem

Wir be-

vorgegebenen Theiler ” von % als Exponenten gehören.

zeichnen diese Zahl durch %(m).

Bedeuten @ und d theilerfremde Zahlen, so ist

w (ab) = v(a)).

Dies beweisen wir folgendermassen: Damit das Element

(11)

O1 05

O

zum Exponenten @ gehöre, muss zunächst

( @‘i1 @%1

O%)

V3

sein, d. h. wir können setzen

(12)

A0 — Nı &, ,

A0 = NoC,

Z

A0 = N-0r,

wobei &1, &3,

&, ganze, positive Zahlen bedeuten.

Damit ferner

keine niedere Potenz als die a dem Einheitselemente gleich wird,

&- zu @ theiler-

muss der grösste gemeinsame Theiler von «,, &,

fremd sein; denn wäre das nicht der Fall, sondern wäre dieser ge-

meinsame Theiler 0 von a1, &,

&, @ grösser als 1, dann wären

schon die Producte

==%

A

d 5

2972

Ur z S

ganze Vielfache von %1, %,

N%-, und es würde demnach bereits die

A&

(

Ö

>e Potenz von (11) gleich X werden.

Ebenso können wir, wenn das Potenzproduct

(11°)

0r @

16*

244

Kinundfünfzigste Vorlesung $ 510.

zum Exponenten b gehört, die Gleichungen

(12°*)

bb = m ß,,

bb, = %ß

27

00 = WB

ansetzen, wobei ß,, ß,

- ßr 0 den gemeinsamen Theiler 1 haben.

Nun betrachten wir das aus (11) und (11°) componirte Element

(18) @1‘1+51 @Z'z'f‘%

Z

0%) ( 0 ... 0')

und erkennen aus der zweiten Form, dass die (ab)® Potenz von (13)

gleich X wird.

Heisst jetzt x der Exponent, zu dem (13) gehört

?

so wiırd

(a, + b6,)% durch %; (a + b6,)% durch %;

5 (r + br) x durch Nr

also

aß, (a - b,)x durch ßn = Ob;; Aaßı(a, + b,)x durch ßn = bb,;

theilbar; und da aa,= N,0,,

ist, so müsste.

aß b,% durch 06,;

aß,b,x durch 46,;

’

d. h

b

Ö

aßıx

”

7}

A ßo%

”

7

’

und weil @ zu O theilerfremd ist, endlich auch jede der Grössen

BA N durcht

theilbar sein. Der grösste gemeinsame Theiler von ß,, ß,::: ß. war zu

O theilerfremd; daher ist x durch 6 theilbar.

Ebenso folgt, dass x

durch « theilbar ist; der Voraussetzung nach sind @ und 6 theiler-

fremd; demnach ist x durch ab theilbar, und das componirte Element

(13) gehört zu ab. Hiermit ist als erstes Zwischenresultat bewiesen,

dass das Product zweier zu @ bez. zu b _gehöriger Elemente @ selbst

zu dem Exponenten ab gehört, wenn @ und b theilerfremd sind.

Umgekehrt wollen wir nachweisen: Wenn ein Element

(13°)

or0: .. 6

zu ab gehört, wobei @ und b theilerfremd zu einander sein sollen,

dann kann man die positiven Zahlen a,, @,

@, Wn Dıy 0a

D

so bestimmen, dass

d = Or F Or

(14)

. = 4 + 6153

o = 4 + %;

wird, und dass die dadurch festgelegten Ausdrücke (11) und (11°) zu

a und bezw. zu b gehören.

t1‚ t2‚

.. € müssen, wie ın der Voraus-

setzung eingeschlossen liegt, so beschaffen sein, dass

OO = W

400 = M4T4;

O = Ma

z.; ab theilerfremd sind.

wird, und dass die r + 1 Zahlen T, %,

20

Abel’sche Gruppen.

245

Wir können stets nach einer elementaren Methode der Zahlen-

theorie dıe Zerfällungen der T+ in die Formen

(15)

T, = &40 + ßıa;

D = %0 F B@;

Tr = &, + ßa

durchführen.

Ks ist ersichtlich, dass weder ß,, ß,,

0 noch

&y

X9 ,

&,, @ einen gemeinsamen Theiler haben; denn die r,,

79

„ würden denselben besitzen. Nun ist für jedes 1=1,2,

V

die Gleichung befriedigt

ını = 0a0 = &, bnz + Bıanz,

und da 4ab und «,bn;, durch b theilbar sind, so muss auch ß;an;

durch 6 theilbar sein; deshalb ist auch ßınz durch b theilbar, weil «

und O theilerfremd sind. Wir können demnach setzen

Bın = b0,,

Ba =bl,

BAl = 00-o

Aus ähnlichen Gründen ergiebt sich das entsprechende Resultat

&1 Nı = 00,,

W = W

0 = 00

mit ganzzahligen a1, A,

Ar 01, 02,

Ö,

Für die so gefundenen

Zahlen az und b; ist wegen (12) und (12*)

CLZ)(CI3 + b/> a n;_(a;l) + ß}_d) == MTı = al)t;_.

Daher ist die Forderungsreihe (14) befriedigt. Hiermit ist als zweites

Zwischenresultat bewiesen, dass jedes zu ab gehörige Element @’ aus

zwei anderen componirt werden kann, die zu @ und bez. zu b gehören.

Es fragt sich nun endlich, auf wie viele verschiedene Arten eine

solche Zerlegung (14) bei (13%) möglich sei. Befriedigen auch «;, ßj

(1=1,2,...r7) die Forderungen (15), so wird, wie aus den Elementen

der Zahlentheorie bekannt ist, bei beliebigen ganzzahligen m;

271

O

Z

T

A M}

)

ß

=

— D S

CZÄ N}

Z

&Na { AN/ M7

M

Bın = Bın — bn, Mı

A C

A0 + anım,,

bb =bb — bnzmz;

a

= ı

+ nım;

2

b;

a LO

Hiernach kann

man auf eine und

nur auf eine Art a so bestimmen,

dass @;ı kleiner

als n wird; dadurch ergiebt sich dann sofort wegen

der Gleichungen, die dem Systeme (14) entsprechen, dass

b 2

entweder

— (lf}_ 5 CLÄ)

oder

= ı — (& — 4)

auch eindeutig bestimmt, kleiner als %2 und positiv wird. Die durch-

geführte Zerlegung ist also nur auf eine Art möglich.

Damit ist das zu Beginn des Par

agraphen ausgesprochene Theorem

bewiesen.

246

Einundfünfzigste Vorlesung $ 511—512.

$ 511.

Die Untersuchung von &%(m) ist jetzt also auf diejenige

einfachere von %(y“) zurückgeführt, wobei p“ eine in n, vorkommende

Primzahlpotenz bedeutet.

Um. diese Frage zu erledigen, setzen wir

die y Inyvarianten %1, N%2, - n der Gruppe M in die Form

(16)

Uı ID

Na — V, P

N. = v,Y“r,

so dass die v7 zu p theilerfremd geworden sind. KEs sei dabei das

&- bestimmt

Grössenverhältniss von « zu den Eixponenten &,, &,,

durch

(16°)

Z Z Z ZU Z Ugnr Z Cg Z 00 Z Cn

Diese Folge ist aus dem Grunde möglich, weil %o durch %o+1 theil-

bar, und also jedes folgende « höchstens so gross ist, wie das vorher-

gehende.

Soll nun ein @/ %*

- @” so beschaffen sein, dass die Potenz

( 0

@H‚«) DE @;lulla @äe?“ en @if„7a AT

wird, dann müssen u,p“, w p“,

.. bezw. durch v, p“ı, v p°,

und

also U, U,

. bezw. durch v,, %,

- + theilbar seim. Setzen wir des-

halb zu Abkürzung

@* —r

O = T

6

n

2

27

O7 =w

("'z gehört zu p"‘l)‚

dann muss jedes zu y“ gehörige Element in die Form gebracht

werden können

(}

il

O _0

2

2

T Z

Z

und wir brauchen nur zu fragen, welchen Bedingungen die 01, 02,::: 6,

zu unterwerfen sind, damıt die Potenz

r)'].

0,n“ 0, D“ Ü

T(Irpa= .E .

(rfl r;*

r

)=

L

2

ist

wird. Da 7,+1 zu p*#+1 gehört, und da « > &, +1 Z Uy+2 Z

2

so kann man 6„,+1 gleich einer beliebigen unter den Zahlen 0, 1,-.-

D HLT

wählen und ähnlich 6„+2,

Die Anzahl der Möglich-

keiten für 0,41,

- 6, beträgt also insgesammt

“x+1+“x+2+"'+“1:

Für 0, muss ein Vielfaches von y““ eintreten, d. h. man darf für

6 nur ein yu—7«, 2pu &, ... p“. n“ als Werth annehmen, und

Aehnliches gilt für 02,

O,

Die Anzahl der Möglichkeiten hierfür

Bei dieser letzten Sorte ist aber zu bedenken, dass

beträgt also p“*.

auch erst die p“ Potenz gleich Z werden darf; es ist also auszu-

6, gleichzeitig durch

schliessen, dass alle x Werthe von 01, 6,,

Abel’sche Gruppen.

247

2)alfa+}; Pa‚„,—a+l)

- theilbar sind; denn in diesem Falle wäre schon

die p“—!* Potenz gleich . KEs bleiben also für 01, 0, --: 6, nur

pC(Z ___P(a—l)z

Werthsysteme zurück. Es sind demnach im Ganzen

(17)

D

Z

4

D

n

>p“z—{—l+”z—{—‘„)+"-+c(,.

Elemente in % vorhanden, die zum Exponenten p“ gehören.

Die Anzahl aller Elemente, welche zu ” gehören, beträgt

daher insbesondere

R

r

DE <

D

> .

$ 512. Im Anschlusse an dieses Resultat suchen wir die Anzahl

der Elemente von %, die zu einer der Zahlen p“, p“—1, ... p% ph 1

als Exponenten gehören. Diese Anzahl wollen wir mit %(v“) bezeichnen.

Hierbei bleibt die obige Bestimmung von 6,41, 0,+2,

ungeändert,

während bei der Bestimmung von 64, 03,

6, zu beachten ist, dass

jetzt keine Exponentensysteme ausgeschlossen zu werden brauchen.

In (17) ist also einfach das negative Glied der Klammergrösse zu

unterdrücken.

Es ist

(17°)

u(p°) =p

rzz+c(x+1—{—w-+a‚.’

d. h. dies ist die Anzahl der Elemente in , welche zu einer

der Potenzen 1, %,

Es iıst

n“ als Exponenten gehören.

also insbesondere

&X

/

(17”)

u(p°)= 1

)((l+czz—f—--.—|—a‚.;

uln7)= g

Wir brauchen noch eine Umformung unserer Resultate und führen

dazu gewisse Grössen qo, 41, do,

ein. Es sei qgo die Anzahl derjenigen

Glieder der Reihe

Nı, M, N3,

e

welche durch y gar nicht, q„ die Anzahl derjenigen Glieder @=11,2 ,;-°)‚

welche durch p“, aber nicht durch eine höhere Potenz von n theil-

bar sind.

Dann giebt x in (16®) an, wie viele der «,, COn

grösser oder

gleich « sind, d. h. es ist

Z el A Gln Ar A M

Setzen wir ferner

x (Prz——l) M 1)(a—1)/1+(11_1[_1_‘_..._}_a‚_’

so ist ebenso

A — e A e E Oa

248

Einundfünfzigste Vorlesung $ 512—514.

Nun ist aber nur dann A > %, wenn

a—1=05;4+1=05z+2=

= 0440

S

ist, und zwar wird dabeı

Ä‘”'%=Qa—«l":@'

Dies ergiebt dann

NS

x (p°)

ax—(cc—1)i.—l—a„+l—i---r—}—a;_ KL

a %— («—1)(x#-+0)+(@—1)0 S

%

)

D

JD

x

a1>

=1)

Q T la-+1 T T,

Wir bemerken ferner noch, dass

%+a Hdm=7

ist, wie man aus dem Umstande erkennt, dass beide Seiten die An-

zahl sämmtlicher %„ geben; und weiter, wenn man die einander gleichen

&, zusammenfasst, dass

Zahlen in der Reihe «1, &,

dı + 202 + 303 4: F &a Gay = &ı A 0 A Ar Or

wird.

Diese letztere Anzahl bezeichnen wir mit Q.

Dann folgt aus (17”) und aus unserer Formel für %(p“) : x (p“—")

p“)

=1)}

&, —1

I

‘

D

JO

£

(97)) —p in i

’

Q

Ün Z E

un =

$ 513. Mit Hülfe der bisher gefundenen Resultate können wir

jetzt den schon oben ($ 509, Schluss) angedeuteten Satz beweisen,

dass die Anzahl sowie der Werth der einzelnen Invarianten

Nı, Na,

n. einer Abel’schen Gruppe X von der Wahl der

Basis dieser Gruppe unabhängig sind.

Von der ersten Invariante %, ist dies ja ihrer Bedeutung nach

von selbst klar, da nach H) $ 509 n, die kleinste Zahl ist, welche die

sämmtlichen Exponenten, zu denen die Elemente von %{ gehören, zu

Theilern hat. Dagegen ist das Element , nicht eindeutig bestimmbar,

und von der Wahl dieses @, könnte möglicherweise %, abhängen, u. s. f.

Den Beweis des aufgestellten Theorems führen wir folgendermassen.

Aus der Bedeutung von (17) und (17°) als Anzahl von Elementen

der Gruppe A, welche eine ganz bestimmt definirte Kigenschaft haben,

folgt, dass der Werth (17) von der Wahl der Basis unabhängig ist.

Schreibt man nun (17) in der Gestalt

(a—1)z+a„_‚_l+u-+ar (p/__ 1))

Abel’sche Gruppen.

249

so erkennt man, dass (y”—1) eindeutig durch den Werth von (17)

gegeben ıst, nämlich als der durch y nicht theilbare Factor dieser

Zahl, und daraus, dass auch x unabhängig von der Basis bestimmt ist.

Die Zahl der durch ein p“ theilbaren Glieder der zu den

Elementen irgend einer Basis gehörigen Exponenten

(18)

ıy Ma M

3

O

N,

ist von der Wahl der Basis unabhängig. Sind nun mindestens

die ersten o Glieder von (18®) durch p“ theilbar, dagegen weniger als

o der ersten Glieder durch y“+!, dann ist n genau durch p“ theilbar.

Die höchste Potenz von p, welche ein seiner Stellung nach

gegebenes Glied aus (18*) theilt, ist von der Wahl der Basis

unabhängig.

Führt man die Bestimmung dieser höchsten Primzahl-

potenz in m%, für alle Primfactoren von %, oder, was dasselbe besagt,

von %, durch, dann folgt, dass der Werth von n Selbst von der

Wahl der Basis unabhängig sei; und damit ist der aufgestellte Satz

bewiesen.

Insbesondere ist auch die Zahl y nur von der Gruppe, nicht von

ihrer Basis abhängig. Wir wollen diese Zahl 7 als den Rang der

Abel’schen Gruppe bezeichnen.

Auch der Rang der Gruppe

ist invariant. KEine Abel’sche Gruppe vom Range 1 heisst eine

cyklische Gruppe.

Alle ihre Elemente können als Potenzen ein

und desselben Elementes dargestellt werden.

$ 514. Es möge eine Abel’sche Gruppe X die Elemente 0,,

©B

22

O, umfassen; dies wollen wir durch

X =[0,, @, - 0,]

kurz ausdrücken, wobei also die eckige Klammer sämmtliche Elemente

von % einschliessen soll. Ferner sei n — h-.k, und es soll möglich

sein, aus der Gruppe X zwei Theiler 3, und %, herauszuheben

%[1= [äl; '32, A '9/1];

%[2 . [717 72,

’Z';„]

von der Art, dass jedes @ als Product Da Tg (a=1,2,..-h; Bß=1,2,... k)

dargestellt werden kann. Dann sagen wir, X sei aus X und %,

componirt, oder XN= X- N sei das Product von I umnd Yı —

9 heisst in diesem Falle zerlegbar. Hierbei muss bemerkt werden,

dass die Existenz eines Theilers W, von M durchaus nicht die Zer-

legbarkeit der Gruppe X nach sich zu ziehen braucht.

Da 3, und %, Gruppen sind, so hat jede das Einheitselement X

von % unter ihren Elementen.

Den gemachten Annahmen gemäss ist

dies das einzige gemeinsame Element beider Gruppen.

müssen bei den Z

Denn alle &4 Z

; k _ verschiedenen Indexsystemen %, ß verschieden

250

Einundfünfzigste Vorlesung $ 514—515.

ausfallen. Wäre aber ein von E verschiedenes &J gleich einem 7,, SO

würde das formal von &,Tg verschiedene Product

( 90) (to 78) = Da

gegen die Voraussetzung werden, und es wären also nicht alle

h:ık= 1n Producte unter einander verschieden.

Es ist klar, dass durch die Formel (8), $ 509 die Zerlegung einer

Abel’schen Gruppe vom Range 7 in y Factoren vom Range 1, d. h.

in ” cyklische Gruppen geliefert wird. Sobald also ”> 1 ist, ist eine

Zerlegung der Gruppe X möglich.

Hiermit ist jedoch die Frage nach der Zerlegbarkeit einer Abel-

schen Gruppe noch nicht zu Ende geführt; es ist zur Ergänzung die

Entscheidung darüber herbeizuführen, wann und wie auch eine cyklische

Gruppe

U = [®; @27 @3; W @"]

(@7L N E)

zerlegt werden kann. Gesetzt es gäbe zwei solche Factoren %, und %,

von den Ordnungen %A und k, wie sie oben angedeutet sind, dann

müsste es in W, ein Element & und in % ein T derart geben, dass

t= 0 wird.

Da nun die Elemente & und r vertauschbar sind,

so folgt

—

E

u = © U =

33 'L'3 A, @3}

Q — @n

und hierdurch werden alle Elemente der Gruppe %X festgelegt.

Von

diesen betrachten wir

E — I

OEgn

„3‚2k ’E2k) ‚3.3k 'U3k7

Da z zu einer Gruppe von der Ordnung %& gehört, so ist gemäss

8& 508, E) zu setzen ı* = ], und also gehören

‚31„} 3.21„

SW

zu &-

Sie sind ferner von einander verschieden, weil sie bezw.

ıhre

Gesammtheit

die

gleich @*, @**,

sind;

folglich bildet

Abel’sche Gruppe %,, d. h. es ist

6 ,3JLÄ‘]_

2I1 En ['3k7 97%

Ferner ist jede Substitution von %, so beschaffen, dass ihre ® Potenz

gleich Z wird, da die Ordnung von 4, gleich Z ist; $ 508, E). Des-

halb kann aus der Reihe %, 2%, - - hık der eben benutzten Exponenten

nur der letzte durch % theilbar werden, d. h. % und % sind theiler-

fremd zu einander.

Abel’sche Gruppen.

251

Ebenso erkennt man, dass

Sl[g B [’U"‚ 12/1

'Ekh]

ist; ferner kann man beide Gruppen in die Formen bringen

%[L= [@k7 ®2k; I @hk];

%[2 DE l;@h} @2]L‚ Kr @kh].

Umgekehrt ist klar, dass, wenn durch %=%-h die Zahl n% in

zwei theilerfremde Factoren A und % zerlegt worden ist, die Zerlegung

N= U, - gilt, weil man ganzzahlig x und y so bestimmen kann, dass

@kr+/:y — 6

wird,

So zeigt es sich: Eine cyklische Gruppe X kann dann

und nur dann zerlegt werden, wenn ihre Ordnung % in zweı

theilerfremde Factoren h, k zerfällt werden kann. — Nur

cyklische Gruppen, deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist,

sınd unzerlegbar.

$ 515. Es fragt sich nun, ob diese Zerlegung einer Gruppe in

unzerlegbare Factoren auf mehrfache oder nur eine einzige Art vor

sich gehen kann; und falls die erste Möglichkeit eintreten sollte, ob es

gewisse, für alle vorhandenen Zerlegungen invariante Beziehungen giebt.

Das soll jetzt untersucht werden.

Wir gehen auf die erste der Formeln (17”) zurück und beachten,

dass der Exponent von y in

(17*)

x (p“)

V

Jal+aﬂ-l—»u—}—r(‚.

die höchste Potenz der Primzahl y ist, welche %;- m2

-%-, d. h. die

Ordnung % von %X theilt.

(17”) giebt die Anzahl aller Elemente @

yvon %, welche der Gleichung

O = E

genügen.

Da &, <o, + &@ + ---, so folgt: Ist n“ die höchste

Potenz von p, welche die Ordnung % von MXM theilt, dann

giebt es genau p“ Elemente in X, deren Ordnung eine Potenz

von w ist.

Weiter erkennt man sofort, wenn man ebenso eine zweite, dritte, -- -

Primzahlpotenz betrachtet: Ist »=g-h, wo g und h theilerfremd

sind, dann giebt es in X genau y Elemente, welche der

Gleichung genügen

OL = J

Hat man also X in zwei Factoren X

ar

M

, zerlegt, so dass g die

Ordnung von %, und % diejenige von W, ist, dann kann bei theiler-

fremden g, A diese Zerlegung nur auf eine Art vor sich gehen, da

252

Einundfünfzigste Vorlesung $ 515—516.

eben , nur die eindeutig bestimmten qg Elemente enthalten kann,

welche durch die letzte Gleichung bestimmt sind, und da für %, und

h Aehnliches gilt.

Dies zeigt uns: Die Zerlegung einer Abel’schen Gruppe in

Theiler, deren Ordnungen Primzahlpotenzen sind, ist nur

auf eine einzige Art möglich. Unsere Frage ist also auf die-

jenige nach der Zerfällung solcher Gruppen reducirt.

Wir betrachten demnach jetzt eine Abel’sche Gruppe %X der Ord-

nung p“.

Es seien ,, %,,

.. die Elemente einer Basis der Gruppe

und

e

2)a1,

Z

(& +& + = @; U Z Z)

die zugehörigen Invarianten, die ja gleichfalls Potenzen von p sein

müssen.

Ferner sei

NN

M

H0>

so dass ,, W, - W unzerlegbare Gruppen sind, also solche vom

Range 1 und von einer Primzahlpotenz-Ordnung q,, bezw. 4, * doj

dabei möge qı >4 Z Z qo Sem.

R

Dannsnd OC A durcht

die Potenzen gewisser Elemente &1, 072,

&, gebildet, und X besteht

aus allen

(19)

(}Lﬂ=0‚l,---(‚]ü—l).

Die qu sind sämmtlich Potenzen von p, und gq, wird die höchste vor-

kommende Ordnung eines Elementes von X und also deswegen gleich

der ersten Invariante q, = p“.

Ferner zeigt die Form (19) der Elemente von %, dass jedes Ele-

ment in die q° Potenz erhoben gleich einer Potenz von &, wird, und

dass q die niedrigste derartige Zahl wird. Folglich ist q„ die zweite

Invariante und also gleich p“.

In dieser Art' kann man fortfahren und erkennt, dass %,, %,,

A

durch &, %,

&o eine Basis von X liefern, und dass

ir B° ,

z 1)a27

ü D

wird. Ist die Zerlegung einer Abel’schen Gruppe von Prim-

zahlpotenz-Ordnung auf mehrere Arten durchführbar, so ist

die Anzahl der irreductiblen Factoren stets dieselbe, und eine

solche Zuordnung der einen und der anderen Factoren zu

einander möglich, dass entsprechende Factoren gleiche Ord-

nungen haben.

Dass wirklich verschiedene Zerfällungen eintreten

können, erkennt man leicht. Es sei 7 = 1, j =1 und

U = []4J7 Ti) D, Tl'ﬁl];

Abel’sche Gruppen.

253

dann kann man für H,: % = X

%, = [F, 1,

N =[L, %ıl,

aber ebensogut auch

9I1 I [E7 'U1/31] 9

%[2 F [E; 771]

oder

U, = [L, 1, 91],

Q[2 5 [E; 4f}1]

setzen.

Es ist also bewiesen: Wie auch eine Abel’sche Gruppe in

irreductible Factoren zerlegt wird, die Ordnungen dieser

Factoren und ihre Anzahlen haben stets dieselben Werthe.

$ 516. Es möge nun

, =[0,0”,-: : 0M

ein beliebiger Theiler der Ordnung %/ von X mit der Ordnung n=h-k

sein.

Dabei wollen wir nochmals bemerken, dass dann % nicht noth-

wendiger Weise in Factoren sich zerfällen lässt, deren einer gleich X-

ıst

Wir bilden eine symmetrische Funetion der Elemente von I

welche wir bezeichnen wollen

S(@’} @”} @(h)) = @.

Ist @, ein Element von %, welches nicht in %, vorkommt, so sind

auch die Producte

0,

0.0', 0.0', -

sämmtlich in X enthalten und sie sind unter sich und von den Kle-

menten von %, verschieden (8 509, J); wir bilden mit diesen neuen

Elementen als Argumenten die entsprechende Function

S(0,.0', 0.0”,::: 0,00) = gu

und fahren so fort, wenn ®g ein neues Element bezeichnet,

n

So entstehen & Werthe @, w«, Pp,

?

die wir als Elemente einer

neuen Art auffassen, und zwischen denen wir folgendes Compositions-

gesetz feststellen wollen.

Es sei @, durch die Composition von @„ und q entstanden, d. h.

Pr = Py, wenn [0, @] . [0;0W]= 6, @u

ist; das y ist dabei von der Wahl v

on x und Z unabhängig

OrS”

oder

vielmehr: die ganze Zeile, welche @, enthält, mit der von ®g com-

ponirt, giebt eine bestimmte dritte Zeile. HEs ist also die Composition

254

Einundfünfzigste Vorlesung $ 516—517.

eine eindeutig durch die Factoren bestimmte ($ 507, I). Ferner gilt

das associatıye Gesetz ($ 507, II), d. h. es ist

L Pp] y = Da [PpPyl,

weiıl

(10.0%1[0,0%]) - [0,00] — [0,00] - ([0,0%][0,000))

ıst

Ebenso zeigt man, dass wie $ 507, III) es fordert, aus

Pa Pp — Pa Py

folgt

e A

und dass endlich entsprechend $ 509, IV) auch

PuPp — Pp Pa

wird.

biılden

Die symmetrischen Functionen %, %«, ®%8,

demnach die Elemente einer Abel’schen Gruppe.

$ 517.

Wir wollen von den in dieser Vorlesung bisher abge-

leiteten Resultaten nun die Anwendung auf Abel’sche Gleichungen

machen und zu diesem Zwecke zunächst nachweisen, dass die Wurzeln

einer jeden Abel’schen Gleichung als die Elemente einer Abel’schen

Gruppe aufgefasst werden können.

Nach der Definition aus $ 503 ist es möglich, alle Wurzeln einer

Abel’schen Gleichung f(g) = 0 rational durch eine von ihnen auszu-

drücken.

Wir wollen diese

&O

m

nennen und setzen aus Gründen, die

wir sofort erkennen werden,

A=VCH

das Symbol Z betrachten wir dabei als Einheitssymbol oder Ein-

heitselement.

Die weiteren Wurzeln der Gleichung mögen, als

Functionen von 2’ dargestellt,

@'(g'), 07(@), 07 @,

sein. Bei ihnen wie bei £(z2’) unterdrücken wir das Arguﬁent und

schreiben

_E‚ @/’ @„7 @I//; OE

Diese Symbole fassen wir als Elemente auf und definiren ihre Compo-

sition durch die Gleichung

@/@//= @/ [@//(5/)] = @’”(Z’) B @///.

Aus der Definition der Abel’schen Gleichungen folgt dann die Kin-

deutigkeit der Composition, sowie auch die Gültigkeit des assoclativen

und des commutativen Gesetzes. Ist ferner @’—1(2’) diejenige Wurzel,

die mit @’(z’) componirt E(2’) == 2 ergiebt, und deren Existenz aus

der Reihe

@/} @/(@/)} @/[@/(@/)]’

Abel’sche Gruppen.

255

zu entnehmen ist, so folgt aus der Richtigkeit einerﬂ Gleichung von

der Form

@/ [@”(Z’)] A @/[@/// (3/)]

Z

wird. Damiıt

durch linksseitige Composition mit @’7!, dass O” = 0

sind alle Bedingungen als erfüllt nachgewiesen, welche sich auf

Abel’sche Gruppen beziehen, und es folgt, dass die Wurzeln jeder

Abel’schen Gleichung als Elemente einer Abel’schen Gruppe

angesehen werden können.

Nun sind wir auch im Stande, unsere Methode und unsere Resul-

tate aus $ 504 zu erweitern. Bilden

(20)

Dn Da D

8]L

einen Theil der Wurzeln der vorgelegten Abel’schen Gleichung:

welchem auch die Gruppeneigenschaft zukommt, dann ıst erstens

(21)

(z

@— C —O

eine Abel’sche Gleichung h'°" Grades, und die &/ Werthe jeder sym-

metrischen Function, welche innerhalb der vorgelegten Abel’schen

Gleichung auftreten,

N N S('317 Üy 9 'äh)

W =)

sind nach dem vorigen Paragraphen gleichfalls als Wurzeln einer

Abel’schen Gleichung 4” Grades anzusehen, sobald feststeht, dass sie

sämmtlich rationale Funetionen von @ sind. Das wird aber genau so

bewiesen, wie der entsprechende Satz aus $ 505. Ist demnach (20)

ein Theiler W” Ordnung der zu f(z)= 0 gehörigen Abel’schen

Gruppe, dann kann die Lösung der Gleichung f(g)=0 auf

diejenige einer Abel’schen Gleichung 4W“ und einer solchen

k° Grades zurückgeführt werden, deren erstere die Glei-

chung (21) ist. Ihre Coefficienten werden durch die Lösung

der zweiten Gleichung vom %/ Grade rational bekannt.

Aus den Untersuchungen über die Abel’schen Gruppen sind wir

ferner in die Lage gesetzt, die Lösung von f(2) == 0 in ıhre einfachsten

Bestandtheile zu zerspalten und diese als invariant nachzuweisen.

Zu diesem Behufe zerlegen wir den Grad % der Gleichung, welche

zugleich die Ordnung der zugehörigen Abel’schen Gruppe angiebt, in

seine Basıs-Invarianten

(10)

N = Nı No

- Nr3

die zu den einzelnen Invarianten gehörigen Elemente mögen

@17 ®2‚

@,

256 HEinundfünfzigste Vorlesung $ 517.

Zweiundfünfzigste Vorlesung $ 518.

heissen; dann ist die Gruppe in die cyklischen Gruppen

O

(x#=1,2,-.. 75 0 =1,2,...%,)

Ist ein %„ eine aus verschiedenen Primzahlen zusammen-

zerlegbar.

gesetzte Zahl, so kann die Zerlegung der Gruppen in unzerlegbare

Factoren noch fortgesetzt werden.

So entsteht eine Reihe einfachster

Gruppen, deren Ordnungen Primzahlpotenzen sind,

D M

7)

(n = pn - DE

);

es können unter den Primzahlen %,, D,

auch gleiche vorkommen.

Nimmt man dann als Hülfsgleichungen der Reihe nach eine solche des

dann ist durch deren Lösung die

Grades 7

g

jl

des Grades p$*,

’

Die Anordnung dieser Hülfs-

Lösung von f(z)= 0 vollbracht.

gleichungen ist dabei ganz beliebig. Die Invarianz ihrer Grade folgt

aus 8 515. Hiermit ist eine wichtige Ergänzung zu unseren früheren

Untersuchungen geliefert, bei denen noch nicht bewiesen war, dass

nicht durch Aenderung der Operationenfolge auch die Grade *der auf-

lösenden Hülfsgleichungen einer Aenderung unterworfen werden könnten.

Br RE

Zweiundfünfzigste Vorlesung.

Alternirende und cyklische Functionen.

Anwendung auf

Abel’sche Gleichungen.

$ 518. Um die Abel’schen Gleichungen noch von einer anderen

Seite her zu betrachten, haben wir jetzt eine gewisse Art von Funetionen

von n Veränderlichen zu untersuchen, die eine ähnlich wichtige Rolle

spielen, wie die symmetrischen Functionen. Es wird aber gut sein,

hier gleich weiter auszuholen, um diesen Functionen ihre richtige Stelle

anzuweisen und um den Boden für künftige Untersuchungen vorzu-

bereiten. Wir wollen dazu direct an die symmetrischen Funetionen

anknüpfen.

In der neunten Vorlesung (Bd.I) haben wir eingehend die Haupt-

eigenschaften der symmetrischen Functionen von % Grössen 2,,

9 ,

Z„ behandelt, welche als unbestimmte Grössen angenommen

wurden; es sind dies diejenigen Funetionen, welch

e ihre Form bei

jeder möglichen Umstellung der z untereinander beibehalten. Wir

können sie dieser HEigenschaft halber auch als einwerthige Func-

tionen bezeichnen.

Alle rationalen ganzen, symmetrischen Functionen

der zx wollen wir in eine Gattung vereinigt denken.

°

Alternirende u. cyklische Funetionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen.

257

Fassen wir die einzelnen Vertauschungen der z untereinander als

Elemente im Sinne der vorigen Vorlesung auf, dann zeigt‘ es sich, dass

ihre Gesammtheit eine Gruppe bildet.

Wir bezeichnen die Vertauschung oder die Substitution,

welche die Elemente 2;, %,

Z in eine andere Anordnung Z; , %,,

Z;„ überführt, wobei 4, %, --- . also irgend eine der ”! Permuta-

tionen der Zahlen 1, 2,-

% bedeutet, durch das Symbol

(1)

Z

Z1 %

Z

n

(

Y

Q

}

oder auch wohl kürzer, falls keine Zweideutigkeit entsteht, durch

(1*)

(

m

Als Einheitselement nehmen wir die durch 4, = 1, 4 =2

’

Ön= 0

bestimmte identische Substitution

[04

—

-

&,

)

deren Existenz ja klar ist.

Ferner definiren wir als Composionsresultat oder als „Product“

von S;, S diejenige Umstellung, welche entsteht, wenn man auf die

durch s; hervorgerufene Umstellung s, anwendet; so entsteht das ein-

deutig bestimmte durch „Multiplication“ gebildete Product

Z

&X

&“

a

/

Z

&X

X

E

C®

A

=

S

Z

&C

&

Zr

z

@&

%n

%

°

L

7„}a

@ &a=(

ı

/

(

)

(

&X

)

(

/

(

>.

Aus (2) folgt das associative Gesetz für irgend welche drei Sub-

stitutionen S;, Sx, Sız denn man hat

ST

I

)

[04

@Z

%

%

k

&@®=(

(

V

}

Ist weiter S;5; ==S;S,, SO ergiebt sich sofort aus (2)

L' l

OL In

ko = %ß

(ß=172;"'“’)

und daher sı ==$,. — Und ebenso liefert die Annahme s$,S;= 5$„,S;

wegen (2)

ikoz i” &

d. h.

7va = Xg

(“=1‚ 2;

n)

und deshalb s = 5$,.

Netto, Algebra. II,

17

258

Zweiundfünfzigste Vorlesung $ 518—519.

Greift man daher aus der Gesammtheit der %! Substitutionen

einen Complex von der KEigenschaft heraus, dass das Product zweier

KElemente desselben wiederum zu dem Complexe gehört, dann gelten

die Bedingungen I, IL, III des $ 507, und dadurch ist der Complex

als Gruppe erkannt; wir nennen sie Substitutionengruppe.

Die Rolle der Einheit X übernimmt hier die identische Substitution

E=—

[24

Genau wie in $ 508, B weist man auch hier nach, dass für jedes ın

der Gruppe enthaltene s; ein Element besteht, miıt dem s; componirt

die Einheit ergiebt.

Wir bezeichnen es mit s;—* und haben

SS

S

Es ist (s,s) 7 != s 7!s—-*, wie man erkennt, wenn man beide

Seiten rechts oder links mit s;s; multiplicirt.

Die Bildung von Potenzen einer Substitution, die Ordnung

einer solchen, der Begriff des Divisors oder Theilers einer Gruppe

sind direct aus $ 508 zu entnehmen.

Die Gesammtheit aller Substitutionen als Gruppe betrachtet

nennen wir die symmetrische Substitutionengruppe.

$ 519.

Im 8 121 der zehnten Vorlesung (Bd. I) lernten wir

eine Funetion

—

—

B

1,2,...n — 1; u=4+1,-::%)

AyM

kennen, welche bei allen Substitutionen der symmetrischen Gruppe

zwei und nur zwei Werthe, %, und %, = — @, annimmt. Wir wollen

jede rationale Funetion der z, welche unter der Einwirkung der %!

verschiedenen Substitutionen zwei, nur durch ihr Vorzeichen verschie-

dene Werthe annimmt, eine alternirende Function nennen und

zunächst sämmtliche ganzen, alternirenden Funetionen aufsuchen.

Bei (3). haben wir gesehen, dass durch die Vertauschung zweier

Elemente z untereinander eine Werthänderung von &, herbeigeführt

wird. HEine solche Vertauschung, etwa von %, und 2g, schreiben wir

(2.2g) oder (gg2«) und nennen diese specielle Substitution eine Trans-

position.

Jede Substitution der % Klemente %,,

Z kann durch

ein Product von höchstens (n — 1) Transpositionen ersetzt

werden. Denn es ist, wenn s; die geforderte Substitution bedeutet,

Zl

B Ba 8

G1

n

%“

n

8

7

O

n

(

U1

Ol

N

}

Ql

)

Alternirende u, cyklische Funetionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen.

259

so dass nach Ausführung der Transposition (2,2;) nur noch die Sub-

stitution, beı welcher das z;, der oberen Zeile ungeändert bleibt,

Z

Z

i

2

Z

N

2

Z

N

Z

Gl

Z

(

Z

7,

7

(

%

n

(

%L

zu bewerkstelligen ist.

Ihre letzte Form zeigt, dass wir dabei von %;

absehen können und es dann lediglich mit einer Substitution von

(n — 1) Elementen z zu thun haben.

Gehen wir in derselben Art

von ihr aus weiter, so gelangen wir nach (n — 2) Schritten zu einer

Substitution von zwei Variablen, für welche der Satz dann selbst-

verständlich ist.

Daraus folgt: Eine Function, welche bei allen Trans-

positionen ungeändert bleibt, ist eine symmetrische Func-

tion.

Denn sie bleibt gemäss der Voraussetzung und nach dem

vorigen Satze für jede Substitution ungeändert.

Die Zerfällung einer Substitution in Transpositionen kann auf

mannigfache Arten vor sich gehen.

So lässt sich z. B. die identische

Substitution durch jede der Folgen von Transpositionen

(2,%) (2,23) (%23) (2,23), (2,%) (23 24) (2224) (2,23) (212u) (%223) , ;

(81%) (2324) (2125) (2224) (1 23) ( 23) (2225) CD

darstellen.

Die gesuchten ganzen, alternirenden Funbtionen %” müssen min-

destens für eine Transposition, etwa für (z,2g), ihr Vorzeichen ändern.

Dies können wir durch die Gleichung

Ü(Zl‚" 72127"'7Z(5’7

'727t)=—w('2'1;' 2 Eß) , Ra

» %n)

darstellen. Hieraus ergiebt sich, dass jedem Potenzproduete

(

al

Z

&“

2

B

@

2

n

77'L‚„{

ß

des Polynoms ı& ein in w& gleichfalls vorhandenes Potenzproduet

mOO

M

Q

Z

M

al

&

B

n

entspricht; und aus der Vereinigung je zweier so gestalteter erkennt

man, dass ı durch (z, — Zg) theilbar ist. Die Function w? ist offenbar

symmetrisch, und da sie den Factor (z2 — 2g)? enthält, so ist sie durch

die Discriminante theilbar. Diese wollen wir, von dem in $ 158, Bd. I

festgesetzten Vorzeichen absehend,

D=g(zi.—z/l>2 (Ä‚=1,2‚.-—77/—1; !‚l,=,l+l)qz)

schreiben. UD selbst ist einwerthig, VD ist alternirend. Bedeutet

17*

260

Zweiundfünfzigste Vorlesung $ 519—521.

jetzt (VD)“ die höchste Potenz von VD, welche in w& als Factor

enthalten ıst,

Y=U- (VD)Ä7

so würde bei geradem %/ der Factor %' noch alternirend sein und

müsste deshalb wieder VD als Factor haben. Dies ist ausgeschlossen,

und folglich muss & ungerade = 2% + 1, und

Y

1‚Ü’='(

i/3j 2%+1

sein.

Die rechte Seite wird hier nicht alternirend; denn sonst wäre

ja @’ noch durch VD theilbar; sie ist also einwerthig. Wenn dem-

nach S, eine beliebige ganze, symmetrische Function von Zı, %,

Zn

bezeichnet, dann können wir allgemein

(4)

Wla 2)= 5 VD

setzen, da (/D)* ja selbst symmetrisch ist. Der Ausdruck (4)

giebt jede ganze, alternirende Function der Elemente z;,

C

Zn

$ 520. Aus $ 121, Bd. I kann man entnehmen, dass VD und

damit jede alternirende Funetion unter dem HEinflusse jeder Trans-

position ihr Zeichen ändert; denn was dort von z, und 2 gesagt Wwar,

Dieser Umstand zeigt uns, dass die

gilt für jedes za und jedes 2%.

Anwendung einer geraden Anzahl von Transpositionen nach

einander den Werth von % nicht ändert, während bei der

Anwendung einer ungeraden Anzahl das Vorzeichen von %

Hieraus kann man weiter

in das entgegengesetzte übergeht.

entnehmen ,

dass,

wenn eine Substitution

auf verschiedene

Arten in Transpositionsfolgen zerlegt wird, die Anzahl der

Transpositionen stets eine gerade oder stets eine ungerade

ist, je nachdem nämlich die Substitution das Zeichen von VD unge-

ändert lässt oder nicht.

Demnach kann man widerspruchsfrei gerade

oder ungerade Substitutionen als solche definiren, welche in eine

gerade oder in eine ungerade Anzahl von Transpositionen zerlegbar

sind. Die Einheitssubstitution gehört zu den geraden Sub-

stitutionen; denn sie lässt & ungeändert. Dasselbe erkennt man aus

dem Beispiele des vorigen Paragraphen.

Sind unter den %! überhaupt vorhandenen Substitutionen der %

Elemente x

die geraden Substitutionen

In

Iar

Iu

(u+v7=n')

%in a

U

”

ungeraden

”

261

Alternirende u, cyklische Functionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen.

und bedeutet £ eine beliebige Transposition, so sind alle g„t von ein-

ander verschiedene ungerade Substitutionen, und daher ist v>uw.

Ebenso sind alle u„t von einander verschiedene gerade Substitutionen,

und daher ist u >v. Folglich ist u=v=:=>n!. Es giebt ebenso

viele gerade wie ungerade Substitutionen, nämlich von

jeder Art ä—n!. Da gu und gg die Funetion nicht ändern, so thut

es auch gx -g Nicht, d. h. dieses Product gehört wieder unter die g.

Nach $ 518, Schluss besteht daher die Gruppeneigenschaft auch für

die g; demnach können wir sagen: Alle geraden Substitutionen

bilden eine Gruppe der Ordnung 5n!; wir werden sie als

alternirende Gruppe bezeichnen.

$ 521. Es sei nun y irgend eine ganze, zweiwerthige Function

der Variablen z, d. h. eine solche, die unter dem Einflusse aller !

Substitutionen ihrer Elemente z zwei und nur zwei ihrer Form nach

verschiedene Werthe annimmt; %, und %, seien diese beiden Werthe.

Aendert eine Substitution s den Werth %, nicht, dann kann sie

auch %, nicht in %, umändern, weil sonst s—1 gleichzeitig %, änderte

und doch nicht änderte. Ebenso wird eine Substitution, welche Ya

X% umwandelt, umgekehrt %, in %, überführen. Deshalb ist (X%1 — Xa)

gleichfalls eine zweiwerthige Funetion und zwar eine alternirende, da

ihr zweiter Werth (%, — %,) wird. Ferner ist (Xı + Xa) eine symme-

trische Funetion.

Wir können demnach

ÖS)

Jk AI =2S0

’

a ra 2S11/55

u= S + S1VÜ:

Xa ım So C S1VÜ

von der Form

setzen und erkennen: Jede zweiwerthige, ganze Function ist

x=Soi;31]/ﬁ‚

in welcher S, S, beliebige ganze, symmetrische Functionen

bedeuten. Also ist y Wurzel der quadratischen Gleichung

W UZ Z

% bleibt bei

allen

geraden

Substitutionen

und nur

bei

diesen ungeändert.

Jede zweiwerthige Funetion ist durch

jede andere als ganze, lineare Funection darstellbar, deren

Coefficienten gebrochene, symmetrische Functionen sind.

Wir rechnen alle zweiwerthigen Functionen zu einer Gat-

tung, der „alternirenden Gattung“.

262

Zweiundfünfzigste Vorlesung $ 522.

$ 522. Bevor wir zur Behandlung anderer Functionengattungen

übergehen, wird es gut sein, statt der schwerfälligen Schreibweise für

Substitutionen, die wir durch (1) in $ 518 eingeführt haben, eine ex-

peditere zu erläutern und zu benutzen.

Wenn durch (1) das Element

2 ıM , dıeses ım z., dıeses ın Zg

übergeführt wird, so muss

man einmal auf ein Element z, stossen, welches wieder in 22 üÜüber-

geht.

Denjenigen Theil der Substitution, welcher die angegebenen

Umwandlungen umfasst, schreiben wir (2x2,2c::: 2g) und nennen dies

einen Cyklus; denkt man sich die Elemente desselben in gleichen

Abständen auf einem Kreise angeordnet, so kann man die Wirkung

eines Cyklus als Drehung des Kreises um sein Centrum auffassen.

Hat der Cyklus m Elemente, so ist die Grösse der Drehung —

Wir nennen diese Anzahl m die Ordnung des Cyklus.

Offenbar ist

Aula 59 0n) = (r 9 Aya) = @& Alal)=

Die Transpositionen sind Cyklen zweiter Ordnung.

Giebt es in der Substitution noch andere Elemente ausser den in

dem hergestellten Cyklus vorkommenden, so geben diese Veranlassung

zu einem weiteren Cyklus u.s. f., und so lässt sich (1) in eine Anzahl

von Cyklen zerlegen, von denen keiner mit einem anderen ein Klement

=—=

=—>

gemeinsam hat.

Wenn in (1) ein 4

@ ist, so erscheint ın der

cyklischen Darstellung ein Cyklus der Ordnung 1; falls anderweitig

feststeht, welche Elemente der Substitution unterworfen sind, kann

man alle solche Cyklen von der Ordnung 1 unterdrücken.

Jede Sub-

stitution, die abgesehen von Cyklen der Ordnung 1 nur aus einem

einzigen Cyklus besteht, heisst eine cyklische Substitution.

Wir wollen diese neue Schreibweise beim Beweise einiger Kigen-

schaften der alternirenden Gruppe verwenden ($ 519). Einen Cyklus

k° Ordnung kann man in (& — 1) Transpositionen zerlegen

(51 G3

2) = (& %) (& 8) 7 (1 %)5

daher gehört eine, aus einem einzigen Cykel bestehende Substitution

der alternirenden Gruppe an oder nicht, je nachdem die Ordnung des

Cykels ungerade oder gerade ist. Dies ergiebt: Mine Substitution

gehört der alternirenden Gruppe an oder nicht, je nachdem

sie eine gerade oder eine ungerade Anzahl von Cyklen

gerader Ordnung enthält.

Der oben (& 519) abgeleitete Satz, dass jede Funetion, die bei

allen Transpositionen ungeändert bleibt, eine symmetrische Function

sei, kann auch so ausgesprochen werden: Jede Gruppe, welche

alle Transpositionen enthält, ist die symmetrische Gruppe.

Alternirende u. cyklische Funetionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen. 263

Ja

?

es reicht dafür schon aus, dass die Gruppe die (n — 1) Trans-

positionen

(2,%), (&1%), (91%u),

° (&19n)

enthält, da jedes

(Zh Z/) _ (Z1 2'h) (51 Zk) (51 Zn)

ist

Als Analogon hierzu stellen wir das Theorem auf: Jede Gruppe,

welche alle cyklischen Substitutionen dritter Ordnung ent-

hält, ist entweder alternirend oder symmetrisch. Denn jede

Substitution der alternirenden Gruppe kann in eine gerade Anzahl von

Transpositionen zerlegt werden; fasst man die beiden ersten dieser

Transpositionen zusammen, dann die beiden folgenden u.s. f., so erhält

man Paare von einer der drei Bildungsgestalten

®

(a %) (Zu 2) ,

(a %) (2a 8) ,

(Zu %) (2020a)-

Die erste Form ist der Einheit äquivalent und kann daher unterdrückt

werden; die zweite ist einem Cykel dritter Ordnung (z.22.) äquivalent;

die dritte ist gleich (2u2)(Za%) * (Z0 Za) (Z. 2za) und also zwei Cyklen

dritter Ordnung äquivalent.

Demnach

ist die Substitution durch

Damit ıist der Beweis des auf-

Cyklen dritter Ordnung darstellbar.

gestellten Satzes geliefert.

Ebenso kann man zeigen: Jede Gruppe, welche alle cyk-

lischen Substitutionen fünfter Ordnung enthält, ist alter-

nirend oder symmetrisch. Es folgt dies einfach aus der Darstellung

(& % 83) = (1 2403 O6 Q9) (ı 3 D4 %o 8)-

Offenbar kann man in der Reihe dieser Sätze weiter gehen. —

Ferner zeigt sich: Jede Gruppe, welche alle cyklischen

Substitutionen vierter Ordnung oder alle diejenigen sechs-

ter Ordnung u. s. w. enthält, ist symmetrisch. Denn man hat

der Reihe nach

(212) = (& % %s 24) (2ı 23 2 24) (21 2 24 %)

75 (‘”1 3i2 9g A4 05 86) (& Z.3 %5 %4% 26) (& 55 @3 86 84 %)

und daher enthält diese Gruppe auch sämmtliche Transpositionen

iM SICh, —

Endlich erwähnen wir noch, dass die Potenzbildung sich bei

Öyklen rechnerisch ausserordentlich einfach vollzieht.

So

ist für

$ = (2,% 23 2,2 %) Sofort zu sehen, dass man hat

$ = (Z, 23 %) ( 248), 8 = (& 24) (2 25) (2 2) ,

Ö]

$* = (& 25 23) (2 2 84), $ = (1 06& 848 %),

264

Zweiundfünfzigste Vorlesung 8& 523.

$ 523.

Wir gehen jetzt zu einer anderen für uns wichtigen

Art von Funectionen über, zu den cyklischen.

Wir denken uns die

Variablen‘ in eine beliebige aber feste Reihenfolge gebracht, etwa in

die natürliche 21, Z2,

Zn—1, %n, und fragen nach den ganzen Func-

tionen der 2„, welche ungeändert bleiben, wenn man auf sie die

cyklische Substitution

(6)

$ = (ZI'ZQ Z Zn)

anwendet. Natürlich bleibt eine solche Funetion auch für die Potenzen

von s, nämlich für sämmtliche

(6*)

s — (/51»Zk+1'

BaBatrk

)

= 1, 200 %)

ungeändert, die nicht alle cyklisch zu sein brauchen.

Bei der getroffenen Anordnung der z lässt sich eine noch ‚ein-

fachere Bezeichnung von s an die Stelle von (6) und (6°) setzen,

indem man

(6”)

3=\za

Saı [2

S = [

Za+R|

@=1

n)

schreibt.

Hierbei müssen alle Indices, welche grösser als % sind,

durch ihre kleinsten, positiven Keste modulo % ersetzt werden. —

Die Potenz s* ist dann und nur dann gleichfalls cyklisch, wenn

die Reihe

© y Z

.. (n — 1)%

(mod. %)

alle Indices 1, 2, ... (n — 1), %” umfasst, d. h. wenn £% zu % theiler-

fremd ist. — Den Indices 1, 2,

n der Varıablen z kann man %!

verschiedene Anordnungen ertheilen.

ISt 7/'1‚ (

27

%n eine derselben,

so liefert (Zi, 2ig “ * Rın) — [z,;a Arra \ eine cyklische Substitution; es

giebt also für % Elemente n%! cyklische Substitutionen. Da aber bei

einer jeden das Anfangsglied beliebig unter iıhren Elementen gewählt

werden kann, so haben je % denselben Effect, und es giebt nur (n—1)!

von einander verschiedene.

Für 4 Elemente also bestehen z. B. die

folgenden 6 cyklischen Substitutionen:

(2, % %3 %4) ,

(21 % 24 %),

(&1 %3 2 24),

(& 2 24 %),

(21 24 % %),

(2, 24 %3 %)-

Die % Potenzen s* (6®*) bilden eine Gruppe der Ordnung %; sie

heisst die cyklische Gruppe oder genauer: die zu der getroffenen

Elementenanordnung gehörige cyklische Gruppe. Eine ganze Function,

welche ihre Form unter dem Einflusse der Substitutionen der cyklischen

Gruppe nicht ändert, heisst eine für diese Elementenanordnung cyk-

lische Funcetion.

Es ist leicht, derartige Functionen zu bilden.

Alternirende u. cyklische Functionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen.

265

Bedeuten « und ß von einander verschiedene positive Zahlen, so wird

eine solche z. B.

(7)

p= Ü+ HA

Dass (7) durch s und seine Potenzen nicht geändert wird,

ist augenscheinlich. Umgekehrt ist jede Substitution 0, welche die

Form von (7) nicht ändert, eine Potenz von s.

Denn führt sie 2, in

a& ß

An

und %, in 2z, über, so wird 72 in z

k-41 7

umgewandelt.

Da

hierbei die Form von @ gewahrt bleiben soll, so muss dieses umge-

wandelte Glied mit z

K

übereinstimmen, d. h. %, geht durch o

A

in %+2 über; daraus folgt ebenso, dass %, in 243 verwandelt wird,

u. s. f.; die Substitution 6 ist demnach mit s* = |Zax Zr x | identisch. —

Eine andere Art von Functionen, welche gleichfalls unseren For-

derungen entspricht, wird für jede von + 1 verschiedene Constante c

die Funetion werden

(8)

Y = (& + 0%) (& + 0%) + (&n + 68) (&n + 02).

Auch diese bleibt für s und seine Potenzen ungeändert. Bleibt umge-

kehrt ı& für eine Substitution 6 ungeändert, so braucht zwar nicht

jeder Factor der ursprünglichen Form wieder in einen solchen um-

gewandelt zu werden, aber dies muss wenigstens bis auf einen con-

stanten Factor geschehen, und das Product aller constanten Factoren

bei sämmtlichen Klammern muss gleich 1 werden. Verwandelt nun 6

das Element z, in 2441 und 22 in z, so geht (z, + c2) in (21+1-+4- C2ı)

über. Dies wird also entweder gleich (2x%41 + c%x42) oder gleich

(2x-41 + C2), abgesehen von constanten Factoren, sein müssen. Der

erste Fall führt, gerade wie oben bei (7), sofort darauf, dass 6 eine

Potenz von s ist. Der zweite fordert, dass 22 in 2x übergeht, und dass

C (zk—f— S zk+1) bis auf den Factor c mit ( + czx41) identisch wird.

Hierzu müsste c = + 1 sein, was oben ausgeschlossen wurde. Folg-

lich kann die zweite Annahme sich nicht verwirklichen. —

Eine dritte Art hierher gehöriger Funetionen wird durch die

Lagrange’sche Resolvente geliefert. In der That bleibt der Ausdruck

(9)

O” = (Z1+ O22 + w*23 + + CO"_IZ„)"‚

in dem @ eine primitive %® Einheitswurzel bedeutet, für s und seine

Potenzen ungeändert; und wenn umgekehrt 6 eine Substitution be-

z

zeichnet, welche =” nicht ändert, so kann sie die Klammergrösse

(

selbst höchstens mit einer n HEinheitswurzel w* multiplieiren, wenn

sie überhaupt eine Aenderung hervorruft. Setzen wir also, um diese

Möglichkeit zu untersuchen,

266

Zweiundfünfzigste Vorlesung $ 523—524.

1 %9

@

O =

B, Z

CZ

L

so müsste die Gleichung

A A @i f @R E @,

—Z la E i E A E E w z

gelten.

Da alle Potenzen von @ links wie rechts jedesmal unterein-

ander verschieden sind, so folgt hieraus 2;; = Za+1—21) %, = An+2—1)

’

und es ist o0= —1,

$ 524. Wir können den Begriff der cyklischen Substitutionen

und der eyklischen Gruppen auf folgende Art erweitern*). Es mögen

N=1 m-

n„, Grössen

o = 1289003 O=S 1 2004 0)

(10)

Sl Ra D

gegeben sein.

Dann heisst eine . Substitution s in weiterem Sinne

cyklisch, wenn sie hinsichtlich jedes der v Indices „ cyklisch

im oben festgesetzten Sinne ist.

Der Bezeichnung (6”) entsprechend

können wir hier eine Erweiterung einführen, indem wir unter

Xn

(11)

[ Zl'nhzy‘ hy Zl'1+“1w”2+”2;"' hy &y | n Sf‘1a“27‘

X

diejenige Substitution verstehen, welche den ersten Index jedes z um

<

2

W 09 UL S W VEr

die Grösse «,, den zweiten Index eines jeden

mehrt; dabei ist jedesmal, wenn der erste Index %, übertreffen würde,

sein kleinster positiver Rest mod. %, zu setzen, und ähnlich bei den

weiteren Indices**),

Man erkennt sofort, dass Say,a,,:

sich aus den

y Substitutionen, bei denen nur ein Index um 1 vermehrt wird,

(12)

s‚u vr .Z/11‚"'—h

(T

h.

V

zlL„---/z„—f—l,---h„

((“L=1727"'7/)

zusammensetzen. lässt. Denn es wird ja, indem man die Potenzen und

Potenzproducte bildet

Z 3;2 AF lzh1,h‘zy"'hg/ Zhlyh2+a2)"'h'u };

1 = |Zh„hz‚-nh„ Öfy + &y Ra s y

0

i‘1ng e IZ}‘1‚]'277‘37' hy z/zl+al‚7:2+0Q,l:3‚«4-/:1,I7 u.s. f.

Man bemerkt ferner leicht, dass es eine und auch nur eine unter

den Substitutionen (11) giebt, welche ein beliebiges 2% ,%,- in ein

M, kl

S

D

Insbesondere

beliebiges Z

l

umwandelt, nämlich sl11

2

giebt es also nur eine Substitution, nämlich die Einheit, W610h9 ein

* Vgl. Kronecker, Berl. Ber. 1877; Nachﬁrag zum Decemberheft, S. 846 ff.

* Oauchy nennt (Exercices III, p. 232) die Substitution (11) eine „arith-

metische‘‘ Substitution.

Alternirende u. cyklische Funetionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen. 267

beliebiges Element nicht ändert; d. h. ausser der KEinheit lsetzt jede

Substitution (11) alle Elemente z um.

Lässt man negative Indices zu, so folgt die Relation

= ]

Sa„ C S——a„—a.„-

Wir können daher den zweiten Factor mit s;

_ bezeichnen.

Das Product zweier Substitutionen (11) besitzt wieder die

Form (11); es gilt das commutative und das associative Gesetz.

Alle Substitutionen (11) bilden eine Abel’sche Gruppe von

der Ordnung N= 11 %

Ny

Dies ist die erweiterte cyk-

lische Gruppe.

Eine rationale Function der N Grössen z soll eine cyklische

Function in weiterem Sinne heissen, wenn sie unter der Kin-

wirkung aller Substitutionen (11) ungeändert bleibt, sich dagegen bei

Erfüllt eine rationale Funetion die

jeder anderen Substitution ändert.

erste Bedingung, bleibt sie aber noch bei anderen Substitutionen ausser

(11) ungeändert, dann sagen wir, sie steht unter den cyklischen

Funcetionen.

Theoretisch am einfachsten stellen wir cyklische Funetionen ın

weiterem Sinne auf folgende Art her.

Wir bilden ein Glied

R

V

Zı =H£Zf ©

1"

( = 1, 060 M 1, Q.00 0,

(%)

in welchem die « beliebige ganze, positive, von einander verschiedene

Zahlen bedeuten, wenden auf Z, alle Substitutionen (11) an derart,

dass bei festen Exponenten die unteren Indices vertauscht werden,

und erhalten dadurch die Glieder Z,, Z, Z,

Zw

Dann liefert

die Summe

d=Z+Z+ C + Z + Zy

eine Function von den verlangten HEigenschaften.

Dass @ für alle Substitutionen (11) ihre Form beibehält, folgt

aus ihrer Herstellungsweise.

Nun möge umgekehrt eine Substitution 6 von noch unbekannter

Gestalt die Form von @ nicht ändern; durch sie möge 211... IN 24 +1,k-+1,---

Al 000

in Z

übergehen, und also

Z1..-

LL

Unter den Z kommt nur

ein einziges Glied vor, welches z

rlil 606

Dann

k -+1,k-F1,

enthält, etwa Z,.

ist es nothwendig, dass 6 das Glied Z, in Z verwandelt.

Durch

diesen Uebergang ist aber jedes z in ein bestimmtes z übergeführt,

d. h. 6 setzt alle z in dieselben zg um, wie jene Substitution (11)

die Z in Z transformirte; d. h. @ ist mit dieser Substitution aus

(11) identisch.

268

Zweiundfünfzigste Vorlesung $ 524—525.

KEinfachere Funetionen als jenes 9 kann man auf mancherlei Weise

erhalten, z. B. wenn man das eben benutzte Z, durch

&y

An

2

&3

Z = 0

-“n

Z

Dilil 99

Z

(_)1„.2112.„

ersetzt; doch gestaltet sich der Beweis hier etwas umständlicher, so

dass wir auf diese Dinge nicht eingehen wollen.

Nur die hierher gehörige Verallgemeinerung der Lagrange’schen

Resolvente wollen wir noch besprechen (vgl. $ 321, Bd. I).

- . Einheits-

Wir verstehen unter ,, ,,

9 JO Y

wurzeln und bilden mit diesen die Function

h —1

h,—1 A

Z

aß

9

e = 1, 20° Ma)3

(14) Z E [

(2)

dann folgt zunächst, dass (14) für jedes s aus (11) ungeändert bleibt.

Denn wenn man ein s„, aus (12) anwendet, dann kann man die Schlüsse

des vorigen Paragraphen wiederholen. Die Verwendung von s, liefert z. B.

h,—1 A

—1

o

Z

al

BT col—12co;'2—lv . '260]111—12111‚/‚2,-

LL

hr

Aa Aay

hr

E

E—

O,

so dass (14) wegen der Bedeutung von @, ungeändert bleibt.

Wenn umgekehrt eine Substitution @ von noch unbekannter

—z

Gestalt (14) nicht ändert, dann kann sie

(

selbst nur mit einer

(n Na, : )" Einheitswurzel multipliciren, etwa mit w;/ “ 0,

7

in diesem Falle muss die Klammergrösse aus (14) in die Summe

h, —1

l

ha — @& —1 A

2

©

Aa 1

2

Z

1

2

; VLE

al

; Zl'1+“u Aa Aay inı

(%)

(%)

übergehen, d. h. es ist, wie behauptet wurde, die vermittelnde Sub-

stitution nämlich

— ‘\zhlyh2"

Z"1+“1‚ a @o y 44ı '

eine der verallgemeinerten cyklischen Substitutionen (11). —

Einleuchtend ist es auch, wovon wir bald Gebrauch machen

werden, dass die Funetion

2

(14a) Ük„k„---=zmllcl(hl—l)win(ha_l) SE

O = 1

Z

Ne)

@

unter dem Einflusse jedes (11) nur eine Einheitswurzel als Faector

bedeuten

erhält,

Was

K, Kos

auch immer für ganze Zahlen

mögen.

Dieser Factor ist bei der Verwendung von S{ S5>

gleich

M} — Cl co2— Xg

und also von k,, k,,

unabhängig.

Alternirende u. cyklische Functionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen.

269

Wir haben gesehen, dass die Anzahl der Substitutionen (11)

gleich N= 1, - N, ist, also gleich der Anzahl der Elemente z

selbst.

Nach 8 508, E) schliesst man daraus, worauf wir in der

nächsten Vorlesung noch ausführlich eingehen werden, dass jede

Function @, welche cyklisch in weiterem Sinne ist, aber nicht unter

den cyklischen Funetionen steht, welche also für alle (11) und nur für

diese Substitutionen ungeändert bleibt, unter dem Einflusse sämmt-

licher N! Substitutionen der N Elemente genau M=(N—1)! Werthe

Pır Pa

- + besitzt.

Diese sind Wurzeln einer Gleichung

@ =0" — Aa A — 000 5E Aa

(15)

= (g — ) — ): : =0,

deren Coefficienten symmetrische Funetionen der sämmtlichen AEle-

mente z werden.

Jede Funetion % der N Grössen z, welche in der gegebenen An-

ordnung erweitert-cyklisch ist, oder auch unter den cyklischen Fune-

tionen der Form (11) steht, ist nun rational durch @, d. h. durch jede

beliebige zu (11) gehörige cyklische Funetion darstellbar, sobald man

die symmetrischen Funectionen der sämmtlichen Elemente z dem Ratio-

nalıtätsbereiche zugeordnet denkt.

Dies folgt genau durch dieselben

Schlüsse, wie sie z. B. in $ 490 verwendet sind, nämlich durch die

Betrachtung des Produectes

1

X

+

G(@)|

P z P

P s

+ ]= H),

Da wir auch diesen Satz all-

ın welchem @ eine Variable bedeutet.

gemein in einer der nächsten Vorlesungen besprechen, so reicht es für

Die Klammer auf der

jetzt aus, die folgenden Punkte hervorzuheben.

linken Seite ist, ebenso wie der Factor G-(g), eine symmetrische Funetion

sämmtlicher z; die gesammte linke Seite wird eine ganze Funetion,

wenn % eine solche ist; die Werthe @,, @,,

sind alle untereinander

verschieden, während die % zum Theil einander gleich werden können.

Setzt man also 9 = @,, so erhält man aus der letzten Gleichung

H(‘P1)

—.

%1 G (@)

eine Reihe von

$ 525. Versteht man unter f}, f\',

3 .1(a);

N=n, - N rationalen Funetionen der N Variablen 2, ordnet sie

in einer Zeile an und wendet nun auf diese Functionenreihe alle N

Substitutionen s von (11) an, so entstehen N Zeilen

f1” f]”7

f1(a)

(16)

f2';f2’; ".f2(ix)> 2

270

Zweiundfünfzigste Vorlesung & 525—527,

und das so erhaltene Schema hat die Eigenthümlichkeit, dass bei der

Verwendung jedes unserer s aus (11) nur die Zeilen von (16) in ein-

ander übergehen. Die Art dieses Ueberganges hängt dabei lediglich

von den s, nicht aber von den Functionen f ab. Macht man nun aus

der Matrix (16) unter Beibehaltung der Anordnung der Elemente

eine Determinante

A —

/

(x),}‚=1)2)1\7)

D

so wird diese unter dem KEinflusse unserer erweiterten cyklischen

Substitutionen Sxp... von (11) entweder ungeändert bleiben oder ledig-

lich ihr Vorzeichen ändern.

Ist also , eine aus einem anderen

Funetionensysteme ähnlich gebildete Determinante, dann bleibt sowohl

4-.A, wie A4:A, für die erweiterte cyklische Gruppe ungeändert,

da ja wegen der Anordnung der Zeilen beide Determinanten entweder

gleichzeitig sich ändern oder gleichzeitig unverändert bleiben. Infolge

des allgemeinen Theorems aus dem vorigen Paragraphen werden daher

A-4, und A : 4, rational durch . irgend welche cyklische Funetion

darstellbar sein.

$ 526. Nun möge f; eine beliebige rationale Funetion der N

ö

Grössen

D

bedeuten.

Wir wollen versuchen, sie andererseits auch als

eine lineare Funetion der 2,,7x,... darzustellen, deren Coefficienten dann

natürlich nicht constant sein können, die wir aber, wenn das möglich

ist, so bestimmen wollen, dass sie cyklisch sind oder unter den cyk-

lischen Funetionen stehen.

Wir fordern also Coefficienten 4, durch

welche‘ die Gleichung befriedigt wird:

(17)

ÜE

( == 1 2000 )8

derart dass sich hierbei die 4,

1 s

nicht für die cyklischen Substitu-

tionen (11) ändern.

Wendet man die (11) nun sämmtlich auf (17)

an

?

so entstehen daraus N in ebenso vielen 4 lineare Gleichungen,

durch deren Auflösung die Bestimmung dieser unbekannten Coeffi-

cienten geliefert wird.

Ein jeder wird dabei die Form eines Quo-

tienten A: A, annehmen, wie wir ihn im vorigen Paragraphen be-

handelt. haben und also thatsächlich cyklisch werden oder unter den

cyklischen Funetionen stehen.

Es handelt sich nur noch darum fest-

zustellen, dass die Determinante, welche in den Nenner tritt, nämlich

Al S lzhx+klyl‘z+]‘m"' l

bei allgemeinen z von Null verschieden ist.

Dies beweisen wir so:

Wir betrachten die vier Schnittelemente der ersten und der «® Spalte

mit der ersten und der ß“ Zeile, nämlich

Alternirende u. cyklische Functionen. Anwendung auf Abel’sche Gleichungen.

271

A

Zl'1:"z:”a‚‘ 2

Zk1)k2»kz7'

Z

An i e

Jede der Zeilen von A, multiplieiren wir mit dem folgenden Faector

n

?

in welchem Tt,, %, T3,::: feste Zahlen sein sollen,

(69)

7, (k, —1)

(69)

Z (k — 1)

73 (ks — 1)

al

2

3

?

dessen k,, ko,

dem Anfangsgliede der Zeile entsprechen; ebenso

multipliciren wir jede der Spalten von A, mit einem Faetor

T, ( —1) 0012 (Z2—1) 0313 —U

d

2

8

’

dessen h,, h,,::- dem Anfangsgliede der Spalte entsprechen. Dadurch

wird das Schnittglied der Spalte und der Zeile mit dem Faector

CO;1 (%, H7 —2) CO;2 (%2 + Aa — 2) Ö

multiplicirt; das entspricht aber genau dem Gliede selbst. Es ist somit

:.QJÄI Lar CO;1 ( + —1) w;z(hz+kz—l) A

- Ar F, Aa F kay e |?

wobei Q eine N‘ KEinheitswurzel bedeutet, und jedes z„= 1,2,-..N«

genommen werden kann. Addirt man hier die Elemente der zweiten,

dritten, - - - Spalte zu den entsprechenden der ersten, so enthält diese

Es tritt also

nur gleiche KElemente, nämlich ® ,„.,... (vgl. 14%).

Fä11 %o

als Factor von A, heraus; ferner erhält man, da t,,

T9,

z

an Werthecombinationen N, aufweisen, und da jedes solche

(

heraus-

gezogen werden kann,

4, = const.

Oa

(Ta

D

2

(z)

Dass die Constante nicht verschwindet, folgt, sobald man eins der z

gleich 1 und die übrigen gleich 0 setzt. Die @ sind lineare Fune-

tionen, welche bei allgemeinen. z nicht verschwinden. Der auftretende

Nenner ist demnach von Null verschieden, und wir können sagen *):

Jede rationale Function der Grössen 2ı ... , lässt sich als

lineare homogene Function derselben Grössen so darstellen,

dass ihre Coefficienten ungeändert bleiben für die cyk-

lischen Substitutionen

(11)

i

th+“1‚ ha - A, e 4ı hy k &y

Sn 8“„%;“‘“

V

$ 527. Die erlangten Resultate können wir jetzt dazu verwenden,

B ST SE

um die Abel’schen Gleichungen von einer neuen Seite her zu beleuchten.

Z

*) Kronecker, Berl. Ber. 1877; Nachtr. z. Decemberheft, p. 847.

272

Zweiundfünfzigste Vorlesung $ 527—528,

Nıy

feste

Ks sei z eine Variable; ferner seien N= n %,

Grössen Za ,n ..n gegeben; jedes h, ist mod. %„ auf seinen kleinsten,

positiven Rest zu reduciren.

Wir setzen das Product an

D (@) =H[Z‘ O

da = 12 000 a)-

(%)

Die Coefficienten dieser Gleichung sollen dem Rationalitätsbereiche

angehören; eine genauere Bestimmung für sie wird bald erfolgen.

Ferner nehmen wir ein

ı

O.(2) =

SC)

lel‚4--ha+l‚r

W A z"17"2‚""'y %,('z/l1‚ Aa M )

(%)

derart dass die Summation über alle N Combinationen der Werthe

der h sıch erstreckt.

Dadurch wird ©„.(z) zu einer ganzen Funetion

von z, welche entweder direct cyklisch ist, oder doch unter den cyk-

lischen Funetionen steht. Denn vermehrt man in dem hingeschriebenen

Term irgend einen der Indices A%i um eine beliebige ganze Zahl, so

kommt wieder ein Glied der hingeschriebenen Summe heraus.

Die Bedeutung der ©,„(z) für die Beziehung der Wurzeln von

Y = 0 untereinander zeigt sich leicht.

Vergleicht man die obige

Darstellung mit der Lagrange’schen Interpolationsformel, so folgt,

was auch die unmiıttelbare Anschauung zeigt, sofort

@a(2/„‚/‚.„4—./„‚) N „ba+'1‚» h

Ferner erhält man hieraus, wenn die A-mal iterirte Funection @

mit @W bezeichnet wird, die Relationen

@Ü—) @(“)

&X

5

( LO h‚)

/1„w-/l„—}—}.‚—--h|„;+y‚- Ay?

O

@(!‘ )

ß

( hr,Ao, --h„) Sn @/()I’U)@(of) (Z/11,}4‚_„- .]11‚) g

Die @ sind nach ihrer ersten oben abgeleiteten HEigenschaft durch

eine beliebige cyklische Function rational darstellbar. Betrachtet man

also die cyklischen Funectionen der Wurzeln von J(z) ==0 als bekannt,

d. h. setzt man fest, dass sie im Rationalitätsbereiche vorkommen sollen,

so fällt $ =0 unter die in $ 503 definirten Gleichungen, d. h. J(z)=0

ist eine Abel’sche Gleichung.

Demgemäss kann man die Abel-

schen Gleichungen auch folgendermassen definiren: $(z) =0 ist eine

Abel’sche Gleichung, wenn ihre Wurzeln nach v Dimen-

sionen so angeordnet werden können, dass die hiernach als

cyklisch zu charakterisirenden Funcetionen derselben im fest-

gesetzten Rationalitätsbereiche enthalten sind*).

) Vg£ hier und für das Folgende: Kronecker 1. c.

Alternirende u. cyklische Funetionen. Anwendung auf A’bel’sche Gleichungen. 273

Von der früheren Definition können wir umgekehrt zur jetzigen

kommen.

Bildet man nämlich nach $ 509 zu den Elementen ®(6)

eine Basis @,, @, :-- O, und setzt für die Exponenten ,, A, - I,

welche das Element @ charakterisiren, die Bezeichnung an

?

0=00)...07(6)=

A, Aayı A

r

so ist eine erweiterte cyklische Anordnung der Wurzeln erreicht. Hier-

bei gelangt man auch zu der kleinsten Anzahl ” der einzuführenden

Indices; y heisse der Rang der Abel’schen Gleichung (vgl. $ 509

und $ 513). Cyklische Gleichungen im engeren Sinne haben den Rang 1.

$ 528.

Jede rationale Funetion von Wurzeln beliebig vieler

Abel’scher Gleichungen des Rationalitätsbereiches ist Wurzel einer

Abel’schen Gleichung (vgl. $ 498).

Dies folgt unmittelbar aus der

obigen Definition, wenn man die festgelegte rationale Funetion der

Wurzeln Abel’scher Gleichungen durch die Gesammtheit der verschie-

denen Indices charakterisirt, welche die einzelnen Wurzeln der Glei-

chungen kennzeichnen, d. h. wenn man etwa

f(g7'n]‘ny x nk1‚]\ ÖM él„l„ 97 ) 9"11"2y' 5 Aı kayıı s ları

setzt, wobei die & die Wurzeln der einen Abel’schen Gleichung sind,

die %” die Wurzeln einer anderen u. s. f., und wobei f die gegebene

rationale Funetion der Argumente ist.

Umgekehrt kann jede Wurzel einer Abel’schen Gleichung

höheren Ranges als rationale Function von Wurzeln cyk-

lischer Gleichungen dargestellt werden.

Dies wollen wir derart beweisen, dass wir zuerst

Zh1:]12)' A

V

(Ra=1,2,-.-Na)

als rationale Function der Summen

(18) Z%„A-„k„ ; Z#x«„x-„k‚„ ,

(ko= 1,2, :< %)

Kay kayt

Aı karı

darstellen, deren Coefficienten cyklische Funectionen der N Grössen 2

sein sollen. Wir bezeichnen jene Summe mit

(2)

A

5

L

?

und betrachten die Produecte

QQ“Ü=%MW

Wendet man hierauf die Substitution

(12)

S‚u_"zll„-——h!l‚u—h„ 27'17""1„+1‚‘ lı i

an, dann ändert sich dabei von den & nur dasjenige, dessen Index Kı

Netto, Algebra. II.

18

274 Zweiundfünfzigste Vörlesung $ 528. Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 529.

ist, da die übrigen Summen sich nur cyklisch in sich verschieben;

dagegen gehtb 6 In 6 +ı über, und also entspricht der Substitution

(12) zwischen den z die folgende zwischen den &

On l%h„-—-/‚„‚——.h„ E Ma e

Wir können daher die an (17) geknüpften Schlüsse hier bei der

Gleichung

(19) Zl'n"m' ]'1/=2 BÄ'.\JM‘“gl'1+7“177'2+k2‚‘

(a = 11 2 000 D)

Kı kay ıı

wiederholen und erkennen, dass die B cyklische Functionen der Z

werden oder unter den cyklischen Funetionen stehen; sie gehören zu

den bekannten Grössen.

Auch hinsichtlich der Determinante

A= lghl+kul’2+kz;

l

gelten die früheren Schlüsse, indem man durch passende Combination

solcher Zeilen, in denen z. B. %, allein geändert wird, eine Zerlegung

von A in lineare Factoren

n

a

Al = const.l?„](2(üif €S.x)>N: © (

2

a___1)

erreichen kann; die Constante verschwindet dabei nicht. Es ist also

für unbestimmte z die Determinante von Null verschieden.

Mit der Darstellung (19) von Z,,m,-:4, durch die Grössen (18) ist

(«)

aber die Behauptung erwiesen. Denn es sind alle Grössen Ci“)‚ 6

a

6

Wurzeln einer cyklischen Gleichung, und die Coefficienten dieser Glei-

chung sind in allen Indices symmetrische Funetionen der %, %,...k, und

gehören also zu den rational bekannten Grössen.

Damit ist gezeigt, dass es ausreicht, statt der Wurzeln allgemeiner

Abel’scher Gleichungen solche: der einfacheren cyklischen Gleichungen

zu unt91°suche11.

Dreiundfünfzigste Vorlesung.

Die lineare Gruppe.

$ 529. Wir haben erwähnt, dass Cauchy die allgemeinen. cyk-

lischen Substitutionen mit dem Namen der arithmetischen belegt

hat (8$ 524). Ihnen stellt er dann die geometrischen Substitutionen

Mit diesen wollen wir uns jetzt beschäftigen.

gegenüber:

Altern. u. cykl. Funct. Anwendg. auf Abel’sche Gleichgn. Die lineare Gruppe. 275

Zwischen den N= 21 - %-n Grössen

Zl'1;"27'

y

Co= 02 n)

seı eine Substitution durch das Symbol

(D)

t=

Z"n T, y Z“1711+b17‘2+"‘+017‘1„ A, bala F F Cal | ?

oder kürzer bei blosser Angabe der Indicesumwandlung durch

(1°)

i= |

A,ı + O4la A + + Calr |

(x=1‚2‚--41)

definirt, bei welcher jeder Index %, durch seinen kleinsten positiven

Rest mod. %„ zu ersetzen ist.

Diese heisst eine geometrische Sub-

stitution. Der Einfachheit halber wollen‘ wir alle %,, %,: - %, ein-

ander gleich und gleich % nehmen.

Nicht für jede Wahl der a, b,--.-. c stellt dann (1) eine Substitu-

tion _ dar.

So führt das Symbol

t= |I, a 2l + I, k A 20 |

(n=3)

die neun Grössen, welche durch 2,2 für h,, h,= 1, 2, 3 definirt werden,

Z1197

%127

213 ?

917

927

2937

2a19

239 ,

Z

iın die Grössen

%8383

Z12)

Za1 7

2917

233 ,

Z12)

212 )

91 >

CZ

über; & ist also keine Substitution der neun Grössen, da es dieselben

nicht permutirt, sondern zu je dreien immer in einen Werth umwandelt.

Es muss, um eine Substitution zu charakterisiren, im allgemeinen

Falle dafür gesorgt werden, dass alle die %” verschiedenen Systeme hı,

ha, - h, durch € wieder in lauter verschiedene, d. h. wieder in alle

n” verschiedenen Systeme übergeführt werden. Es dürfen demgemäss

Iı ha, + I, und hi, hz, - hy nur dann die gleiche Umwandlung er-

leiden, wenn ı = hı, h= 1,

ıst

Setzt man Aı —Y =hı,

h — =hk,

:, dann muss somit aus den linearen Congruenzen

a kı + b k + + ak,=0,

(2)

(.12k1.+ b2?c2 + °.—i—.02?c„—__— @,

(mod. %n)

A, kı +.b„kg + E a =0

mit Nothwendigkeit folgen %, =0, k =0, - ...

Bezeichnet man mit A die Determinante der @, b,---Cc, so wird

4k =0,

4k =0,

4k =0 (mod. n).

Unsere Forderung wird deshalb stets dann und nur dann befriedigt

sein, wenn A nicht =0 (mod. n) ist. Dafür, dass (1) eine geo-

18*

276

Dreiundfünfzigste Vorlesung 8 529—531.

metrische Substitution darstellt, ist es charakteristisch,

dass die Determinante A der Coefficienten mit dem Modul %

keinen Theiler gemeinsam hat.

$ 530. Wendet man nach Benutzung von (1) auf das Resultat

eine andere geometrische Substitution

Ö |

aylı E ba + + Ghry|

CZ

v)

an, so entsteht

UW=|h, (a,a - bzaa + + 6, A,)l +(a,bı + 602 + + b |.

Das Resultat hat also die Form einer geometrischen Substitution; und

da seine Determinante gleich dem Producte der Determinante von %

und der von %’ ist, so wird auch das Product %% wirklich wieder eine

geometrische Substitution und zwar eine eindeutig bestimmte.

Man überzeugt sich leicht davon, dass ({t)t”== (t't”) ist.

Setzt man *’ ==, so erhält man %’; durch weitere „Multiplication“

C

mit * entsteht %%, u.s. w. Wenden wir auf die Reihe t, %, t*%, ...

die bekannten Schlussfolgerungen an, so zeigt sich, dass eine erste

Potenz 4” besteht, welche jeden Index % in sich selbst umwandelt, so

dass also £#” die Determinante besitzt

LO

@ 1 O

(mod. %).

0.01

Mit ihrer Hülfe können dann die negatıven Potenzen

t—1 Kn tm—1}

t—2 EL tm—2}

definirt werden.

Uebrigens lässt sich #—! auch als diejenige Sub-

stitution, welche die Wirkung von % wieder aufhebt, direct bestimmen,

falls man

il = |h, 0, + ß„hg—|— . + Yıla|

ansetzt und die Coefficienten «, ß,:::- y aus den v* Congruenzen be-

rechnet, die durch

&BL A

a b

Z

(3)

&o ßa Va

Aa Ög : C

==

o

(1)

(mod. %)

geliefert werden.

Die «, ß,--- bilden das zu den a, 0, -

reciproke

System.

Hat man tt’==tt"” oder *’t=t"t, dann liefert die linksseitige

oder die rechtsseitige Multiplication mit &—! das Resultat &’ = #".

Die lineare Gruppe.

277

Es sind also alle Bedingungen für eine Gruppe durch die £ erfüllt.

Wir wollen die Gruppe der & die geometrische Gruppe nennen.

$ 531. Um die Ordnung der geometrischen Gruppe festzustellen,

brauchen wir ein Hülfstheorem.

Jedes System von v Coefficienten a,, b,,--- c,, welches einer geo-

metrischen Substitution angehört, ist so beschaffen, dass der grösste

gemeinsame Theiler g seiner Elemente theilerfremd zu ” ist. Umgekehrt

können zu jedem System a,, b

17

C,, dessen grösster gemeinsamer

Theiler zu % theilerfremd ist,

andere (v — 1) Zeilen bestimmt werden

A

br

G

Ur

Ug

Uy

(4)

Vr

%o

0y

W,

Wa

Wy,

so dass das Schema als System der Coefficienten einer geometrischen

Substitution genommen werden kann, indem die Determinante von (4)

—= q (mod. n) gemacht wird. Am einfachsten lässt sich dieser Satz

folgendermassen ableiten*). Wir zerlegen % in seine Primzahlpotenzen

2)‘]‘1 ]}äa

; dann ist sicher eine der Zahlen a,, d,,

C zu p, theiler-

fremd z. B. a,. Bei der Entwickelung der Determinante von (4) möge

nun ein Glied a u Vg Wy auftreten; dann setzen wir

ÜÜ == Q}

%=Us

wy= 1 (mod. pA),

und nach demselben Modul alle übrigen Elemente U, D

2

W CON-

So erhalten

gruent 0. In gleicher Weise verfahren wir mit DE

wir eine Reihe von Congruenzsystemen. Diese sind lösbar, da jedes

einzelne System jedes u, v,---. w nur einmal enthält, und da die ver-

schiedenen Systeme zu theilerfremden Moduln gehören. Die Lösung

und: also auf

führt auf 4 = q (mod. pA), (mod. pz), -

4=4q (mod. n).

Damit ist die Möglichkeit erwiesen. —

Unter dem Symbole [n, ”] wollen wir nun die Anzahl der Mög-

lichkeiten verstehen, v ganze Zahlen a, ‚ b,,*‘ C, So zu wählen, dass ihr

grösster gemeinsamer Theiler zu % theilerfremd ist. Um diese Anzahl

zu berechnen, nehmen wir zunächst alle überhaupt möglichen Systeme

von v Zahlen (mod. %), also n”, wobei wieder %n — V

sein soll.

Von diesen Systemen sind alle diejenigen auszuschliessen, deren Ele-

mente sämmtlich durch p, theilbar werden, das heisst (£) ; ebenso

%) Frobe}nius, Journ, f. Math. 88 (1880), p. 97.

278

Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 581.

sind _ diejenigen auszuschliessen, deren Elemente sämmtlich durch m,

A

N

theilbar sind, d. h. (

V

) ; u.s. w. Nun folgen die bekannten Schlüsse,

aus denen sich ergiebt, dass die Anzahl der gesuchten Systeme

N

N

Nn

%, ] =W — (1—)1>1— <

D

)"_

D

V

}

—

VW

I

(5)

L

2

E „v<

i

ME

D

)

beträgt.

Im Falle, dass % eine Primzahl wird, ergiebt sich das Resultat

(5°)

[, 7]= y —1.

Nach diesen Vorbereitungen ist es leicht, die Ordnung der geo-

metrischen Gruppe zu bestimmen.

Wir setzen diese gesuchte Zahl,

welche die Ordnung angiebt, gleich ® (n, v).

Es seien zunächst alle diejenigen geometrischen Substitutionen

Tı

?

Z

T3

?

%9

herausgehoben, die den ersten Index %, in (1) ungeändert lassen.

Ist dann %, eine Substitution (1), welche %, in aylıy + al F +

+ cıh, umwandelt, dann thun dies auch alle Substitutionen

T1 UT, %s

4 To

und nur sie (vgl. die Schlüsse aus $ 508, E). Jede geometrische Sub-

stitution wird also erhalten, wenn man alle Umwandlungsmöglichkeiten

von h, aufzählt und eine jede mit der Gruppe aller 7 verbindet.

Zur Art des &, gehört jede, bei der a,, 0,,

c, mit % keinen

gemeinsamen Theiler besitzt.

Folglich giebt es von der ersten Art

nach dem oben Besprochenen im Ganzen [n,v].

Ferner hat jedes 7 die Form

‘h1; ll2; &,

hr

I, , A , + balg + + A Cely, - Aylı + byliz E hw|;

man sieht, dass zu ihr die Determinante

100

S

C

O>

(6)

3

Ca O

Ö

Hieraus ersieht man, dass &,, Gs,

- A, ganz beliebig gewählt

gehört.

werden können, während die Determinante

C

b

(7)

4, =

b;

Cg

O ea

Die lineare Gruppe.

2

79

zu n theilerfremd sein muss.

Es hat daher die Substitution

Ü | n Ü e l

baıa + + + CGhy, bla + + A CGhy,

I

für (v — 1) Indices dieselbe Bedeutung, wie £ für v Indices. Folglich

ist die Anzahl der &’ oder der Determinanten (7) gleich ®(n, v — 1).

Somit wird die Ordnung der geometrischen Gruppe bei

v Indiees und dem Modul %

D(n, v) = [n, v)w 71 B(n, v—1)

(8)

= [n, v)w - In, v —110 ? ... [n, 2]%* In 1].

Für eine Primzahl » = p wird dies einfach

(8°)

ü 2)= W —OT DO D NT E

Die hierbei benutzte Methode der Berechnung beruht darauf,

dass jedes %, welches h, durch ayh, + bıa + - - + Cıl ersetzt, durch

das Product eines festen £ gleicher Eigenschaft und eines T dargestellt

werden kann, wobei T7 das h, nicht umstellt,

Für das T gilt dieselbe

Reduction in Beziehung auf 4, u. s. f.

Leicht können wir auch die Anzahl derjenigen geometrischen Sub-

stitutionen berechnen, deren Determinante modulo % congruent zu einer

beliebigen Zahl q ist; qp ist natürlich theilerfremd zu % anzunehmen.

Wir gehen wie oben zur Bildung der gesuchten Substitutionen vor.

Wir wählen auf [n,v] Arten a,, b,,--- C,; ihr grösster gemeinsamer

Theiler sei qg,. Ferner wählen wir auf [n, v —1] Arten %,,

G3 ihr

grösster gemeinsamer Theiler sei qg; u. s. f. bis zu q„_1.

Dann kann

man stets ein letztes Element c, gemäss der Congruenz

Qı Iv— 1G = I

(mod. %)

bestimmen, und erhält also, wie auch q,, %,

“ Jv—1 angenommen

waren, durch diese Wahl des c, eine passende Substitution. Bei diesem

Vorgehen wird an der Bestimmung (8) nichts weiter geändert, als dass

der letzte Factor [n,1] = @ (n) fortzulassen ist, d. h.: Der g(n)®

Theil aller geometrischen Substitutionen hat eine Determi-

nante =1 (mod. %), und ebensoviele geometrische Substitu-

tionen haben als Werth der Determinante eine willkürliche

zu % t$heilerfremde Zahl (mod. n%). Das gleiche Resultat hätte leicht

auch so hergeleitet werden können, dass wir die Gleichheit der An-

zahlen für alle diese einzelnen Classen nachgewiesen hätten.

Die geometrischen Substitutionen, deren Determinante =1 (mod. n)

ist, bilden eine Untergruppe der geometrischen Gruppe, die in jeder

aus geometrischen Substitutionen bestehenden Gruppe vorkommt.

280

Dreiundfünfzigste Vorlesung 8 531—582.

Bilden w zu % theilerfremde Zahlen g,, %,

- Qqu insofern eine

Gruppe, als das Product zweier unter ihnen qx-qg wieder zum Systeme

der q gehört, dann bilden auch alle

zu den einzelnen Determinanten-

werthen

Z

EQ27

=%

(mod. %)

gehörigen geometrischen Substitutionen eine Gruppe.

Dies findet ins-

besondere statt, wenn g,, ,: qu alle quadratischen Reste (mod. x)

darstellen.

D

S AT

1

Für %n= D wird u =

2

, und die so gebildete Gruppe

enthält halb so viele Substitutionen als die gesammte geometrische

Gruppe.

$ 532. Wir haben bereits bemerkt, dass die Determinante, welche

aus den Coefficienten von (1*) gebildet wird, sich als wichtig für die

Substitutionen ausweist.

Wir wollen jetzt

(1”)

t= |h, AAyı + Al + + A Ayylhy|

(%

= 12

v)

auch in der determinantenähnlichen Form

Ca Ci@

Ar 1‚\

C

W5

A

2V

(

—

= (d;%)

@ h= 119 000)

a

U, 1 (Z205)

V

schreiben und die elementaren Sätze über Determinanten mıt Theoremen

über unsere Substitutionen $ ın Verbindung bringen.

Zunächst überzeugt man sich durch wirkliche Ausrechnung sofort

davon, dass wenn $ = (a;), u= (b;z) ist, dann wie bei Determinanten-

multiplication

t:u= (d;r) : (bix) = <

Z£m O2r

)

(2)

wird.

/

Wir wollen ferner eine Anzahl besonders einfacher Determinanten

oder Substitutionen in ihrer Wirkung auf % betrachten.

Hier unter-

suchen wir zunächst

(9)

Va F (£hr )

(a =1; A pg=1; alle anderen «,, gleich 0).

Es ist, wie eine leichte Rechnung zeigt,

A 1

6012

--. (die ßte Zeile um die Elemente

der xt°n vermehrt),

vap’t V Wq 1. + ap’1 a/c'r 2 + a%’2

(

&,, al

A„3

ü11

R

- .. (die x«t® Spalte um die Elemente

t”ap’ =—=

(22

y1

)

der ßlen vermehrt).

yg + avß

281

Die lineare Gruppe.

Weiter betrachten wir die Determinante oder Substitution von

der Gestalt

(10)

Waß — (%'k)

(a„ = 1 für alle x ausser &, ß; U3 ar 1; alle anderen a,, gleich 0).

Für sıe erhält man

ZU„ß Ü = (aﬁ)

(diz = Ajp, VUSSEr W = Car Und Ao,= A;)s,

(

D

bWaß = (dir)

(a2.‚g=a„g‚ ausser a;m=akp, und a‚’„„{‚=a„).

Die Determinante oder Substitution

(11)

Na = (d;x)

(a„= 1, ausser a,„=—1; alle anderen a,, gleich O)

endlich ruft die Aenderungen hervor

Nab = (Aix)

(“;:;; =0,4, duUsser W, = — awk) Ö

(11°)

—

Nx = (dix)

(cß;k = (A;,4 , auUsser A,

—aia).

Durch passende rechts- oder linksseitige Multiplication mit einer

der Substitutionen

7)a/>’,

No

’6l}a{g,

sind wir also im Stande, jedes £ in ein anderes umzuwandeln, bei

welchem gegen das erste entweder zu einer Zeile (Spalte) die ent-

sprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) addirt werden;

oder bei welcher zwei Zeilen (Spalten) miteinander vertauscht werden;

oder endlich, bei welchem alle Elemente einer Zeile (Spalte) mit dem

Factor — 1 multiplicirt werden.

Diese Umänderungen wollen wir als elementare Transforma-

tionen der Substitution € auffassen.

Wir können uns offenbar dabei

auf die Benutzung der (v + 1) Substitutionen

(12)

Wıa) Wiz,

Wıv5}

V425

Z

beschränken, da die anderen elementaren Transformationen leicht aus

diesen abgeleitet werden können.

Diese elementaren Transformationen wollen wir nun dazu . ver-

wenden, um % aus besonders einfachen Formen zusammenzusetzen 5

Irgend ein gegebenes £ kann nämlich zuerst durch Vertauschung

von Reihen oder Multiplication aller Elemente einer Reihe mit — 1

so eingerichtet werden, dass sein erstes Element @,, positiv und nicht

grösser als der absolute Werth irgend eines der von Null verschie-

denen Elemente der Determinante ist.

Kommt dann in der ersten

L

Zeile oder Spalte ein Element vor, welches nicht ein ganzes Viel-

M

*) Kronecker, Journ. f. Math. 107 (1891), p. 185.

282

Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 532—533.

faches von a,, ist, dann kann man dies durch passende Verbindung

mit der ersten Zeile oder Spalte bei Verwendung der Umwandlung

durch v„g in ein anderes positives von geringerem absoluten Betrag

als a,, umwandeln. Dieses Element lässt sich‘ dann an die erste Stelle

bringen.

Da jede solche Transformation den absoluten Betrag des

ersten Klementes verringert, dieser aber nicht Null werden kann, so

führt unser Verfahren zu einem %, in dem 4, positiv, < |a;*| und ein

Theiler aller übrigen Elemente a,; und a;1 wird.

Dieses System kann man nun weiter durch elementare Trans-

formationen der Form v„g so umwandeln, dass mit Ausnahme von a

Kommt ferner in einer

alle @;1 und alle @,7 gleich Null werden.

Reihe dieses reducirten. Systems ein Element a vor, das kein Viel-

faches von a,, ist, so addırt man die betreffende Zeile zur ersten und

erhält ein t, ın dem a,, nicht Theiler aller a1» ist; das so erhaltene %

kann dann noch weiter nach demselben Schema reducirt werden.

Man

kommt so, da das neue a,, noch kleiner geworden ist, schliesslich zu

einem %, in dem das erste Element positiv und Divisor aller übrigen

ist, und zugleich alle Elemente der ersten Zeile und Spalte mit Aus-

nahme des ersten Elementes gleich Null sind.

Wenn man dann die gleichen Reductionen auf das System der

zweiten,

y Spalten und Zeilen anwendet und so fort geht, dann

erlangt man ein £, in welchem jedes Element ausserhalb der Diagonale

gleich Null wird, jedes von Null verschiedene Diagonalglied Divisor

des folgenden ist, und alle diese bis auf das letzte positiy sind. Ist, wie

bei uns, die Determinante der Substitution von Null verschieden, dann

sind auch die Diagonalglieder sämmtlich von Null verschieden. Ferner

bleiben alle diese Ableitungen gültig, wenn man das System der

Coeffieienten nach dem Modul % betrachtet.

So _ folgt:

Jede

Substitution € lässt

sich

aus

einer Diagonal-

substitution der angegebenen Beschaffenheit

0

0

Arı

d=

0

53

0

0

0

= %,

Bra 2l

(mod. %)

A33

in Verbindung mit den Substitutionen (12) darstellen.

Es ist klar, dass jede Substitution % das Index-System y =n,

, =n oder, was das Gleiche sagt, h,= 0, l = 0,

h=R,

h,= 0 und also Z%o... ungeändert lässt.

Bei einzelnen Substitu-

tionen £ können aber auch noch andere Elemente ungeändert bleiben.

Dafür, dass (1°) dies thue, ist nämlich nur nothwendig, dass die

Congruenz

Die lineare Gruppe.

28

Ay —1 Ag

Z

=

CZ

A — 1

O0 (mod.%)

/

erfüllt sel.

Die Bestimmung der Elemente selbst hängt dann von

der Auflösung eines Systems von linearen Congruenzen modulo % ab.

Für v= 1 ist |4 4 |= %_ die einzige Substitution, welche mehr Ele-

mente als das Eine zo,o,... ungeändert lässt, nämlich sämmtliche; 4 ist

die identische Substitution oder die Einheitssubstitution.

$ 533,

Wir verbinden nun die arithmetischen Substitutionen

(13)

3 = | e

Ma A da |

(«=1,2,..:v; ka wird mod. % reducirt)

mit den oben aufgestellten geometrischen (1) und bezeichnen die aus

allen s und € bestehende Gruppe als die zu % gehörige lineare

Gruppe. Entsprechend dieser Bezeichnung könnten wir die Gruppe

der % auch wohl als die zu % gehörige lineare homogene Gruppe

bezeichnen.

Durch die s und £ wird jeder Index %„ in einen solchen

von der Gestalt

Cßa1h1 + a„hg + s —l— (h„,hv + d„

(“=172;"'”)

umgeändert, gleichgültig ob wir die Folge s-.t oder £-s betrachten.

Wir schreiben deshalb die linearen 811bstitutionen ın der Form

(14) &@ = ] Oal - da E 000 AL l + da|

(@=1,2,-+.9)

Untersucht man wieder, wann das Symbol (14) eine Substitution dar-

stellen kann, so kommt man hinsichtlich der Ag auf (2) und die daran

geknüpften Folgerungen zurück. Für die Wahl der d“ bestehen keine

KEinschränkungen. So ergiebt sich als Ordnung der linearen Gruppe

der Werth w D(n, v).

Bemerkenswerth ist das Verhalten der w gegenüber den s. HEs

gilt nämlich zunächst die Gleichung

(15)

bS, =Sıt Ooder

Ü C = p

wo bei gegebenem * entweder sı aus gegebenem s, oder umgekehrt

S, aus gegebenem s; bestimmt werden kann.

Um dies zu beweisen,

setzen wir

S = [

ha + dea|,

Sı =— [72„

Aa + gu |,

Ü= |%x Agı F Ayalz L, A e

uvnd daraus ergeben sich die beiden Gleichungen

Z5$/ :a ;hcc aalhl+ S + a/ce1'hv + (aa1dl+ Ka a + aayd„‚>:7

Sıl = [h„ aa1h1—|—«'»—{— Ag v hy + qa};

284

Dreiundfünfzigste Vorlesung 8 533—534

es sind also je nach den Voraussetzungen die d durch die qg oder um-

gekehrt die q durch die d vermittels des Gleichungssystems

arxldl+acz2d2+ +aocvda/—(_’a

@=1,2

)

zu bestimmen

Die Bestimmung der qg ist selbstverständlich; und da

die Determinante der @ von Null verschieden ist, (mod. %) betrachtet

so ist auch umgekehrt die Bestimmung der d durch die g stets

möglich

Hiermit haben wir zugleich gezeigt, dass jedes w ersetzt werden

kann durch ein Product

%“ = tsQ =

ıin welchem das € in den Coefficienten a„,2 mıt u übereinstimmt, während

die Substitutionen 57 bezw. S, derart gewählt sind, wie die obigen

Gleichungen es vorschreiben

Daraus folgt dann weiter

dass man auch

uWS, = SıU

oder

u-1su=S,

(16)

hat, wo bei gegebenem w entweder s;ı aus gegebenem s, oder umge-

kehrt s, aus gegebenem sS; bestimmt werden kann

Die Form u—-!s,u

wird sich als besonders wichtig ausweisen ($ 541; 542)

$ 534. Wir wenden uns jetzt zu dem hbesonderen Falle, dass

v=1 und n= p d. h. eine Primzahl ist

Dabei haben wir also die

drei Formen zu beachten

S$ =— IZ]‚

©- d l

i—IZ]„

Zahl

b=1,2,

D)

U=/%

zah+d‘

Alle s sind Potenzen der Substitution so = |Z Z.-+1|, und alle $ ebenso

Potenzen der Substitution 4 = |Z Zyn|, wenn g eine pnm1t1ve Wurzel

mod. p bedeutet. Jedes w lässt sich in die Form sı &% ‘{ oder fys bringen,

D18 lineare

so dass die Gruppe bereits durch s, und % best1mmt ist.

Gruppe bezeichnen wir in diesem Falle nach Kronecker als meta-

Ihre Ordnung ist gleich p(p — 1)

cyklische Gruppe

Lässt ein w zwei Elemente z ungeändert etwa z, und 2„, SO ist

ah+d=h

ak +d=hk

(mod. p

alh—k)=h—k

und also, da (h — k) nicht durch p theilbar ist, @ = 1; daraus folgt

dann d==0. Dieses u

welches zwei Elemente nicht ändert, reducirt

sich somit auf die Einheitssubstitution, d. h. es ändert überhaupt kein

Element

Die lineare Gruppe.

285

Lässt ein w hingegen kein Element 2 ungeändert, dann muss die

Erfüllung der Congruenz

h(a—1) +d=0 (mod. p)

für A& unmöglich sein; @ ist =1 (mod. p) und d==0, d. h. w gehört

zu den arıthmetischen Substitutionen.

In der metacyklischen Gruppe giebt es nur (p—1) Sub-

stitutionen nämlich die arıthmetischen s, welche alle Kle-

mente umsetzen,

und ur

eine Substitution nämlich die

als

ein

Element und

Einheitssubstitution,

welche

mehr

zwar alle ungeändert lässt.

Die geometrischen Substitu-

tionen t= |h g“h| sind die einzigen, welche das Element %

nicht umstellen.

Weitere Untersuchungen über die metacyklische Gruppe werden

wir später in der Vorlesung über auflösbare Gleichungen eines Prim-

zahlgrades anstellen.

Eine metacyklische Function heisst jede solche, welche bei

den Substitutionen der metacyklischen Gruppe und nur bei ihnen un-

geändert bleibt.

Eine solche ist z. B., wenn g wieder eine primitive

Congruenzwurzel mod. p bedeutet,

q) =(j;_(jzz (Zjo+dzyl+d + z;‘+d'zg*+d + RC + ij—2+dzg"—{—d).

Denn erstens verschiebt sy= |

h+1| nur die einzelnen Glieder der

Summe X cyklisch. Zweitens wandelt 4& = |A gh| den hingeschrie-

benen Summanden aus ©& in

3

Z

dg

(Z;j‘+dngß+da al Ar zä°+da'gg‘+dy)

um; und da mit d zugleich dg alle Zahlen 0, 1,--. (p—1) durch-

läuft, so bleibt @ auch für %_ ungeändert.

Nun kann jedes w;, wie

oben gezeigt wurde, aus sy und % in der Form u= s*t®? gebildet

werden; folglich bleibt @ unter dem Kinflusse der metacyklischen

Gruppe ungeändert.

Wenn umgekehrt eine Substitution 6 die Function @ nicht ändert,

und wenn durch 6 das Element z in 2a umgewandelt wird, dann muss,

wie die Bildung von @ zeigt, der gesammte Summand

Zä (ﬁä°'zgl+ Zjlzg“ a ) in zä(z;°+dzgl+d Ar Zä‘+dzy°+d An )

übergeführt werden. Geht dabei 2 in Za über, dann zeigt die

Form des Summanden, dass zugleich 2n IM Zatfıpg, ferner 2 in

286

Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 534—B536.

Zua+21 g U S. f umgewandelt werden muss.

Demgemäss haben wir

jene Substitution

6=.2£ zg

Ü‘/L—i—d]

als Substitution der metacyklischen Gruppe erkannt.

Es ist klar, dass wir in @ die Exponenten 3, 2, 1 durch irgend

welche von einander verschiedene ganze Zahlen ersetzen können.

$ 535. Wir betrachten nun eine cyklische zu s = |Z Z—+1|

gehörige Funcetion, d. h. eine solche, die 'sich nicht ändert, wenn z,,

Z1)

Zp—1 Cyklisch verschoben werden; wir bezeichnen sie

CZ %—) =G-

Dabei setzen wir fest, dass C nicht unter den cyklischen Fune-

tionen steht, also nicht für weitere Substitutionen ungeändert bleiben

soll. Das U mag durch Verwendung der geometrischen Substitutionen

O= 0 g

6 =—=|% gh|, .

E

0

= |h g” *n |

der Reihe nach in die Formen

C (& 29 %9y )= U,

0(207 Zg Zg

)—027

C(Zo> Sap—2) ©° ) Ta CI'*‘3

übergehen. Dann wird 0, für s=|h h-+g|= $} ungeändert bleiben

und also auch für s?9

992

56°

In dieser Reihe befindet sich aber s,

selbst, da ja die Gesammtheit der Exponenten g, 2g, 3g,--- für den

Modul p mit 1, 2, 3, -

übereinstimmt. Mithin bleibt C, für dieselben

Substitutionen ungeändert wie U,. Das Gleiche gilt für die übrigen C-,.

Alle Werthe &, C,,

Cp—2 - bleiben für die Potenzen von S&

und nur für diese ungeändert.

Wir bilden nun eine cyklische Funetion der © , CL,

(

der hingeschriebenen Anordnung genommen, also etwa, wenn @ eine

primitive (p—1)® HEinheitswurzel bedeutet, die Lagrange’sche Re-

solvente

© 4 @C 4 @' A @ C_

dann ist dies eine metacyklische Funetion der %, %,,

Zo—1, weıl

ja % die einzelnen C cyklisch verschiebt, und sy sie ungeändert lässt. —

Jetzt möge eine Gleichung y“" Grades

(15)

NO=C C —A ) (Z—'52) @— A=)=0

von der Art vorgelegt sein, dass man den Wurzeln 22 eine Anordnung

geben kann, in welcher ihre metacyklischen Funetionen dem KRatio-

nalitätsbereiche angehören.

Eine solche Gleichung soll eine meta-

‘ Die lineare Gruppe.

287

cyklische Gleichung heissen.

Dann sind für diese Gleichung

die cyklischen Functionen &, C,,

Cp—2 die Wurzeln einer

Abel’schen Gleichung.

Denn setzt man die Gleichung an, von welcher C,, C,,

On

als Wurzeln abhängen,

(16)

CO Z e O

so sind die Coeffieienten von G als symmetrische Funetionen der C

unter den cyklischen enthalten und somit durch die metacyklischen

Funetionen der z ausdrückbar, d. h. rational bekannt.

Ferner wird

aus der Relation

Ca

Ca+1

Ca+2

G6)|;

+

Za

v—C

v—C

+ ]=H6)

wie gewöhnlich erschlossen, dass die rationalen Beziehungen

Ua = Va (CO} ’

Cla+1 T wa(Cl) ’

Cara = Va(Co), +

bestehen; für «==1 folgt, dass alle ©2 in © rational sind; endlich

ergiebt sich, wenn man in C = %, (Co) das C durch 05 = %g(C)

und also C, durch C„+ ersetzt,

Ca+ß = Va[Wg(Co)] = Wa [w«(C)]-

Damit ist gezeigt, dass G-(v) = 0 eine Abel’sche Gleichung ist.

Ist diese Abel’sche Gleichung aufgelöst, oder auch nur eine ihrer

Wurzeln bestimmt, dann sind alle C bekannt; (15) ist dadurch also

auf eine Abel’sche Gleichung reducirt und sonach (vgl. 8& 503) auf-

lösbar.

Die Auflösung der metacyklischen Gleichung (15)

des Primzahlgrades y lässt sich durch die Auflösung zweier

Abel’scher Gleichungen vollziehen, deren eine vom Grade D

und deren andere vom Grade (p—1) ist. Es werden in den

nächsten Vorlesungen noch wichtige Bemerkungen zu diesem Satze

herzuleiten sein, durch den wir hinsichtlich der Auflösbarkeit der

Gleichungen über die Abel’schen oder allgemeinen eyklischen Glei-

chungen hinausgelangt sind.

$ 536. Eine Untergruppe der metacyklischen Gruppe wird durch

die Substitutionen

v=|h g”h+d|

(A d 212 „=1‚2‚...%(1‚_1)>

gebildet. Aus unseren früheren Betrachtungen erkennt man sofort,

dass die Ordnung der Gruppe % n(D—1) wird; sie heisst nach

Kronecker die halbmetacyklische Gruppe. Der Coefficient g?”

288

Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 536—537

von “ durchläuft die Reihe der quadratischen Reste mod. p

Eine zu

der Gruppe gehorwe Function ist z. B

U 29

Dra pa pa T Bpa® pa gra D}

B

Für p=5 ist in der Schreibweise von $ 522 die metacyklische

Gruppe, falls nur die Indices in die Cyklen gesetzt werden

l

(14) (23)

(1243)

(1342)

(01234)

(04) (13)

(0132)

(0824)

(02413) (08) (12)

(0423)

(0143)

(03142)

(02) (34)

(0132)

(0412)

(04321) (01) (24)

(0341)

(0231),

und die ersten beiden Spalten geben ihre halbmetacyklische Unter-

gruppe

Nach der Untersuchung der Substitutionen von der Form

$ 537

Zan| Wollen wir zu denjenigen der homogenen, linearen Substitu-

tionen miıt zweı Indices

l?h

ah--bk, a h-+&'k l

(h,k=1,2

)

oder kürzer

(17)

[,L

ah + bk, a’h + 6k |

W b=1,9

)

übergehen, in denen alle Indices nach dem Modul p auf ihre kleinsten

positiven Reste zu reduciren sind. Unsere Untersuchung soll sich auf

die Frage nach der Ordnung solcher Substitutionen erstrecken, die wir

als binäre Substitutionen für den Modul o bezeichnen

Wir suchen zunächst zu entscheiden, ob es eine lineare Funetion

(mh+1nk) giebt, welche durch (17) in eins ihrer Vielfachen o(mh-+1k)

übergeführt wird. Durch (17) geht der Ausdruck

mh + nk

ın

(am + a’n)h + (bm +b'n)k

über; dies wird gleich o(mh+-nk), falls das System der Congruenzen

(18)

m(a—0) + na =0

(mod. p)

mb + n(b’

erfüllt ıst

Weil sich hieraus die quadratische Congruenz für o

(19)

0 LE z

=0 (mod.p)

ergiebt, so folgt, dass reelle unserer Forderung entsprechende o nur

dann existiren, wenn die Diseriminante von (19)

= (a - 6)? — 4(ab'— a’b) = (a — b')* + 4a

Die lineare Gruppe.

289

quadratischer Rest von p ist. Zu bemerken bleibt noch, dass (ab’— a’b)

nicht congruent 0 (mod. p) werden kann, weil sonst (17) keine Sub-

stitution wäre ($ 529).

Wir haben also die drei Fälle zu unterscheiden: I) dass D ein

quadratischer Rest für y ist; II) dass D durch ü theilbar wird und

IIT) dass D quadratischer Nichtrest für n ist. Diesen drei Fällen ent-

sprechend sind entweder zwei reelle von einander verschiedene, oder

es 'ist ein reeller, oder endlich kein reeller Werth für o vorhanden.

Wir behandeln an erster

Stelle das Problem unter der An-

nahme I), dass o, und 0, zwei reelle, von einander verschiedene Werthe

sind, die (19) befriedigen.

Dann giebt es auch zwei reelle Systeme

M, , und m,, n,, welche Wurzeln von (18) für o0= 0, und 0= @

sind; und setzen wir, um abzukürzen,

h,= m h + nık,

k =m)h + nk,

dann gehen durch (17) %, und %, in h,o, und k,o, über. Da man ferner

als Auflösung der Congruenzen (18)

M, =060'; nı = 6(0,—a)

(mit beliebigen ganzzahligen 6, v)

o =3 G

’

N = T (02—€)

oder auch

m, = 6,(0,—U');

ı = GD

m, = , (02—0));

D = Al

(mit beliebigen ganzzahligen 6,, 7,)

setzen kann, so folgt, da a’b=E O ist, dass die Determinante

MyNy — Ma N = 670 (03 — 91) = 470 (02 — Q1)

von Null verschieden ist, und deshalb, dass % und % linear durch h,

und %, ausgedrückt werden können; d. h. also, man kann an Stelle

von h und % auch A, und k, als neue Indices der z annehmen.

Wenn wir nun der bequemeren Bezeichnung wegen. statt h,, *;

wieder h, % eintragen, so erhalten wir eine für diesen ersten Fall

gültige Normalform

(17°)

u=|h,k

o1h, 0,k|

(mod. p).

Es ist hierbei

wW=/|h,k

oih, o3k|

(mod. p).

Weil jede reelle Zahl o in die (p — 1)® Potenz erhoben = 1

(mod. p) wird, so ist sicher u?-!= 1 (mod. p). Daraus schliessen

wir in bekannter Weise, dass die Ordnung jedes w ein Theiler

von (p—1) sein muss.

Netto, Algebra. II.

19

290

Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 537.

Auf die Ableitung der Anzahl derjenigen binären Substitutionen,

die zu einem bestimmten Exponenten gehören, wollen wir nicht ein-

gehen; es mag genügen, das ohne Schwierigkeit herzuleitende Resultat

anzugeben. Ist q qRq%

ein in seine Primfacetor-Potenzen zerlegter

Theiler von (p—1), so gehören zu ihm

(dr— @— D@ —D

binäre Substitutionen (17%).

Die Summe aller so gebildeten An-

zahlen hat demnach den Werth (p—1)?, was ja auch leicht zu

verificıren ist. —

An zweiter Stelle betrachten wir den Fall II), dass D=0

und also

_ a+VU

01

die einzige, aber doppelt zu rechnende Congruenzwurzel von (19) ist.

Es giebt dann eine Function

h=mh +n k= ah + (0,—a)k=ah + b‚„+ak,

.

welche durch (17) in eins ihrer Vielfachen, o,h, umgewandelt wird

7

ausser den Vielfachen von A, giebt es keine solche Funetion.

Wir suchen ferner, eine zweite Funetion

kı =Moh +n k

zu bestimmen, die durch (17) in h, + o,*, übergeführt wird.

Dazu

muss das System der linearen Congruenzen

Ma (A — 0,) + 20

(18°)

(mod. p)

mb + n (b’— 0,)

Il

d

Denn

nach m,, %, lösbar sein.

Das ist nun in der That der Fall.

es ist zwar die Determinante der Coefficienten von m,, %, gleich

Null, allein die beiden Systeme, welche sich aus den Constanten

bilden_ lassen,

a

O9

A

C C

2

M,

und

Ö

)

0 —©

O

’

Ö

01

N,

sind, wie die Bestimmung von m,, m%, ergiebt, von gleichem Range

($ 479), ‚und daher kann man geeignete ı, und %„ angeben, welche

Da ferner

die obigen Congruenzen lösen.

m:n = d :(0,—0)= (0,—0):b

und also

d — 01.= E,

— &m,

— ÖM ,

b = 4n

Ö —@

Die lineare Gruppe.

291

ist, so wird unter Berücksichtigung von (18°)

Ma (@ — 0,) + %A = & (MNı —M )= m,

Mb + m (b'— 0,) = *# (M Nn —M )= m.

Folglich ist (m,%, — M,n,) nicht congruent 0 mod. p, da m, und m,

A

nicht gleichzeitig

——

O sind, und %, % können durch A, k, dar-

gestellt werden.

In diesem Falle sind wir zu einer Normalform von der Gestalt

(17”)

u=|h, k

o,h, h + 0,k|

(mod. y)

gelangt.

Hier ist. die /° Potenz dieser Substitution

wW=|h,k o*h, 20*-1h + 0?k| (mod. p);

daraus erkennt man, für welche Werthe von 2 die Potenz w%= w

werden wird: Es müssen gleichzeitig die Congruenzen

21—1 —

C =

40

al

1 (mod.p)

und folglich auch

©

A—1 —

ıl

Z

2

A=1 (mod.p)

erfüllt sein. Die erste zeigt, dass 1— 1 ein Vielfaches des Kxpo-

nenten g ist, zu dem 0, gehört; die zweite, dass 2 die Form xp + 1

hat. Demgemäss muss 41 —1 d.h. xp nun auch ein Vielfaches von q

sein, damit o* = 0, werde; folglich muss x selbst ein Vielfaches von q

sein; man hat daher 4 = w(p—1)p+1 bei jedem ganzzahligen uw.

ls wird demnach u?—Dr+1=— 4 für jedes mögliche w von der Form

(17”), weil g ein Theiler von p—1 ist d. h. die Ordnung jeder

Substitution zweiter Art ist ein Theiler von (p—1)p. —

Endlich an dritter Stelle nehmen wir an IIT), dass D ein

quadratischer Nichtrest für p sei. Am einfachsten können wir diesen

Fall durch die Einführung von imaginären Congruenzwurzeln erledigen,

wie das zuerst‘ Galois *) gethan hat.

Es sei N irgend einer der

V

5

Nichtreste von :n unter den

Zahlen 1, 2,...—1. Wir definiren j als Wurzel der Congruenz

(20)

j°= N (mod. p)

und wollen mit j rechnen, wie mit einer reellen Zahl; dabei kann

überall statt j? eingesetzt werden N. Dann lassen sich die W urzeln von

(19)

0° — o(a+0') + (ab’— a’b)=0 (mod. p),

wenn D ein Nichtrest ist, in die Form

a

DE E

0, =mM-—+nj,

©2 = M — Nj

*) Sur la th6orie des nombres. Bullet. des Scienc. math. de Ferussac 13

(1830), p. 428; Oeuvres publices par E, Picard (1897), p. 15.

19

292

Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 537—538,

bringen; denn es ist D: N ein Rest, den man gleich n*? setzen kann;

also dürfen wır D= *N annehmen.

Wir können dann weiter wie im ersten Falle. verfahren und als

Normalform

(17°)

u=[|h,k (m+nj)h, (m — nj)k|

aufstellen. Zu beachten ist dabei, dass die Indices h,% hier nicht reell

sind, sondern in Beziehung auf j als „conjugirt complex“ auftreten,

d. h. dass sie die Form (s + €j). und (s — tj) haben.

Hierbei ist u

mit der reellen Substitution

h—;—k}

h—k o,h+ o,k glh——_g2k

2

?

29

27

identisch, deren Form aber weniger bequem ist.

Es handelt sich nun noch um die Bestimmung der Ordnung von

(

Erheben wir m” + ”j in die Potenz mit dem KExponenten p

2

so wird (mod. p)

Z

I

2

(m + nj)? = m? + n?j? = m + nj?-1.j= m+ Np

2

daraus folgt ebenso weiter

D@O—)

2

‘)

—1

(m + nj)??

=m? + N

NN ® 5

P

=m-+nN.? .j (mod.p),

n}

und

da

ein ganzes Vielfaches von (p — I) 8

=m-+nj,

so dass also jede unserer neuen complexen Zahlen in die Potenz

(p” — 1) erhoben gleich der Einheit wird.

Es kann deshalb die

von

nur

eın

Theiler

dieses

Ordnung

(17°)

Exponenten

(p* — 1) sein.

In der Congruenz

(m+nj)?? = (m-+nj) (mod.p)

ist der Fermat’sche Satz für unser Zahlengebiet enthalten.

Verstehen wir unter @(w) die zahlentheoretische Funection, welche

angiebt, wie viele ganze, positive Zahlen kleiner als w und theilerfremd

zu w sind, so folgt genau‘ durch die in der Zahlentheorie üblichen

Schlüsse, dass, wenn man unter f einen Theiler von (p* — 1) versteht,

zu dem Exponenten f gerade q (f) Zahlen (m +-1nj) gehören, d. h.

dass @(f£) Zahlen vorhanden sind, deren f'° Potenz der KEinheit con-

gruent wird, während niedere Potenzen dieser Zahlen nicht = 1

werden.

Die lineare Gruppe

2983

Erweitert man auf unser Gebiet den Begriff der primitiven Wurzeln,

so ergiebt sich wieder

ass gerade o(p? — 1) Zahlen (m, +19j) primi-

einer Potenz ırgend

tive Wurzeln sind, und dass jede Zahl (m + 2)

einer solchen primitiven Wurzel (m, + %9j) congruent wird

$ 535

Mit den Untersuchungen des vorigen Paragraphen hängt

Betrachtet

eine andere Frage zusammen, die,wir hier erledigen wollen

man in der homogenen linearen Substitution mit reellen Coefficienten

U—l/l k

ah + bk, a'’h + b'k|

die wirklichen Werthe der Indices, statt wie bisher ihre Reste modulo p,

so kann man auch hier fragen, unter welchen Bedingungen eine Potenz

von v gleich der Einheit wird; im Allgemeinen nämlich werden sämmt-

liche Potenzen der Substitution v von einander verschieden 'sein

Damit v überhaupt eine Substitution, darstelle, muss (ab’— a’b)

+ 0 sein

Wir können nun genau wie im vorigen Paragraphen den Versuch

machen, eine Funetion (mh + 1n”hk) zu bestimmen

welche durch v ın

ein Vielfaches o(mh

nk) verwandelt wird. Damit dies möglich sei

müssen m, %, o den Gleichungen

(18*)

m(a—0) + na = 0

mb+n(6b—0)= 0

Genüge leisten

Also muss o eine Wurzel der Gleichung

(19*)

0° — o(a +b') + (ab’—a’b) = 0

Sseın

Hierbei unterscheiden wir wie oben drei Fälle, je nachdem näm-

lich in dem Ausdrucke für die Wurzeln

a—|—b

VE +

+ (a’b

ab')

der Radicand positiv, Null, oder negativ ist

Im ersten Falle seien 0,, o die beiden Wurzeln von (19*) und

wW=|h,k

onh, 9216 |

die Normalform. Damit jetzt w*= 1 werde

muss 067 = 1, 0=1

werden; es müssen also o, und 0, zwei reelle 2° Einheitswurzeln sein

d. h. sie müssen die Werthe + 1, — 1 annehmen

Das ist nur mög-

lich bei

a+0=0

ab—ab= +1

und 2 nimmt

den Werth 2 an

In der That findet man für jede

solche Form

294 Dreiundfünfzigste Vorlesung $ 538. Vierundfünfzigste Vorlesung 8& 539.

w=|h,k ah-+bk, Lbi h — ak

die zweite Potenz gleich der Einheit. —

Im zweiten Falle kommen wir wie oben zu einer Normalform

W | o

ouh, h + o,k|,

für welche

W

oih, 201 * h + o{k|

wird.

Damit

W

A

= w _ Wwird, muss 0, eine (1 — 1)® Einheitswurzel

und / = 1 sein.

Also kann für 21 >1 nie w = w werden. —

Im dritten Falle wird die Normalform äusserlich gleich der ım

ersten Falle

(ra l h; k 91h; Q2k 13

aber hier haben o, und 0, die conjugirt complexen Werthe

a + O

a + b'

9

+%

V

2

)2—I— (ab’— a’b),

a+ b

a + b’

DA

«

Vl

2

) + @b’ — @D).

Damit w* = 1 wird, müssen beide Werthe conjugirt complexe A° Eıin-

heitswurzeln sein,

a+ O

(22

2bl

2n

A

2

2

)2—{- (ab'’— a’b) = cos%‘—7K + € sir S

d. h. also

I

@O — OO = IL

(21)

CL+Z)'=2COS2

Z

’

In der That findet man auch, wenn die Bedingungen (21) erfüllt sind,

2um

2%

und cos —” —ö

I

für 0,, 0, die Werthe cos 23;—75+7‚'sin

2

2

A

2

und also w =1.

Man erkennt sofort den inneren Zusammenhang zwis_chen dieser

Untersuchung und der gelegentlich der Frage nach den Iterationen

einer gebrochenen linearen Funetion angestellten (Vorles. 24; Bd. I).

Vierundfünfzigste Vorlesung.

Functionengattungen.

$ 539. Durch die Untersuchungen der letzten Vorlesungen sind

wir zu der Bildung eines wichtigen Begriffes, dem der Gattungen

von Funetionen geführt worden, auf welchen wir nunmehr genauer

eingehen müssen,

"Die lineare Gruppe. Functionengattungen.

295

Es seien %” von einander unabhängige, unbestimmte Grössen 2,,

ZZ7

Z gegeben.

Wir haben symmetrische Functionen dieser

Grössen gebildet und gesehen, dass diese für alle %! Substitutionen

der z ungeändert bleiben; diese ”! Substitutionen bilden die sym-

metrische Gruppe; jede Function, die für alle diese Substitutionen

ihre Form nicht ändert, ist eine symmetrische Funetion.

Sämmtliche

symmetrische Funetionen wollen wir zu einer Gattung rechnen, der

symmetrischen Gattung.

Wir haben dann WeiterA ($ 519) eine alternirende Function

(1=1,2,---n—1; u=2+1,-.-m)

VD =H(£’; — &%.)

A,

gebildet und gesehen, dass diese für alle geraden Substitutionen ihre

diese Substitutionen

bildeten

die

alternirende

Form beibehielt;

Gruppe; . der Inbegriff aller alternirenden und allgemeiner aller zwei-

werthigen Funetionen bildet die alternirende Gattung.

In ähnlicher Weise haben wir cyklische Functionen und cyk-

lische Gruppen u. s. f. zusammengestellt; wir fassen die Funetionen

jedesmal zu einer Gattung zusammen.

Wir wollen nun allgemeiner eine beliebige, ganze, rationale Funection

von % unabhängigen Elementen Z,, Z ,: Zn

(1)

‘p(zl; y Zn) a Va

bilden und alle die Substitutionen ins Auge fassen, deren Anwendung

auf @ die Form und damit den Werth dieser Function nicht ändert.

Sind sz und s zwei solche Substitutionen, so wird, wenn wir das

Resultat ihrer Anwendung anf , mit @,, und s bezeichnen,

((p.s"„)s;_ L (‘ps;_)s„ —_ ‘Ps„

Pı>,

d. h. die Folgen s.sSı und sıs. gehören auch zu den Substitutionen,

die (1) nicht ändern; ihre Gesammtheit bildet eine Gruppe &. Diese

Gruppe ordnen wir der Funetion @ zu; wir sagen: die Function &@

gehört zu der Gruppe G und umgekehrt, die Gruppe G gehört

zu der Function @. Besteht G aus den r Substitutionen, unter

denen natürlich die Einheitssubstitution vorkommt,

@2)

S 1; Sa S3

Sy ,

so bilden die y Substitutionen, bei denen s ein beliebiges Element

aus (2) selbst bezeichnen soll,

(3)

Sy Sa

315„‚ S2Sa; 833a7

(a=1}2}...y)

gleichfalls die Gruppe G; denn diese Producte kommen sämmtlich

Ea

296

Vierundfünfzigste Vorlesung 8 539.

ın G vor und sind alle unter einander verschieden.

Das Gleiche gilt

von der Reihe

)

(4)

5a81;

5a32,

5a53;

SS

(“=1727"'7”)

Insbesondere erkennt man, da 1 auch in (3) und in (4) vorkommen

muss, dass mit jedem S, auch s;—' in (2) auftritt.

Aus dem Vorhergehenden ist es klar, dass zu jeder Funetion eine

Substitutionengruppe gehört.

Es fragt sich, ob umgekehrt zu jeder

irgendwie definirten Gruppe eine Function gefunden werden kann.

Durch die Behandlung dieses allgemeinen Problems erledigen wir eine

Reihe von‘ Fragen, die. früher jedesmal in Specialfällen behandelt

werden mussten. Es wird sich zeigen, dass zu jeder Gruppe unendlich

viele, miteinander durch wichtige gemeinsame Eigenschaften verknüpfte

Funetionen existiren; diese schliessen wir dann in eine Functionen-

gattung zusammen, welche durch die Gruppe als ihre Invariante ein-

deutig bestimmt ist.

Solche Gattungen (symmetrische, alternirende,

cyklische u. s. f.) haben wir schon mehrfach benutzt.

Wir wollen zunächst die einfachste Gruppe unseren Betrachtungen

zu Grunde legen, nämlich die aus der identischen Substitution 1 allein

bestehende Gruppe der Ordnung 1. KEine zugehörige Function v = ;

muss daher bei jeder der %! vorhandenen Substitutionen einen anderen

Werth annehmen. Daraus folgt, dass @ unter dem Einflusse verschie-

dener Substitutionen auch stets verschiedene Werthe erhält.

Denn aus

der Gleichung

Pı >

Psa

Psg würde folgen q)5a3{9—1 — q)Sßsp>_l

d.h. @ bliebe für s,s;1 ungeändert, und es müsste infolge unserer

Voraussetzung s,S7!1= 1, d.h. s, =5$, sein. Es hat demnach @, so

viele Werthe als es Substitutionen giebt nämlich %!; @ ist eine

n!-werthige Funetion; die Funetionen dieser Gattung nehmen da-

her soviele Werthe an, als überhaupt möglich sind.

Derartige Funetionen lassen sich in mannigfacher Art herstellen.

Bedeuten wo, U,

u unbestimmte Parameter, so genügt z. B. jedes

lineare Aggregat

dı = U F U1 81 F Uaß A T Unnn

(5)

der Forderung; denn wenn ;s, die Umänderung der Funetion , in

Pı, = W F Uı Beay A Ua Ba Ar A UmBe

hervorruft, wobei die Zq,,

Zu. nur eine Umstellung der 2,,

2/’„

bedeuten, dann kann wegen der Unbestimmtheit der w nur dann

Yı

s Sein, wenn jedes Za, = %x wäre, d. h. wemnn Sx alle Ele-

mente z ungeändert liesse.

Functionengattungen

297

In ähnlicher Weise folgt, dass auch der Ausdruck

Z U

z7L

(5)

zur Gruppe 1 gehört, wenn die w wieder unbestimmte Grössen be-

deuten, die sogar posıtıy und ganzzahlig sein dürfen

Dn

Wir haben hbisher vorausgesetzt, dass die Grössen 2,, %,

unbestimmte Grössen seien

Wir wollen jetzt annehmen, die z seien

fest gegebene Grössen, zwischen denen beliebige numerische Beziehungen

statthaben können

Es ist nun möglich, in diesem Falle eine n!-werthige

dass auch bei der Substitution dieser fest

Funetion @, so zu bilden

gegebenen Grössen &, &,

NS Za

Zn

die %!-Werthe

@ unter einander numerisch verschieden bleiben

so lange nicht zwei

oder mehrere Werthe &,, &,

E, einander gleich werden

In diesem

letzten Falle ist eine solche Funetion @ (Z,, %,

- Z.) natürlich nicht

vorhanden; denn wäre z. B. &, = &, dann würde q(&, &,€

537

En)

T (P(Cg, €17 ga;

- E&) werden, wie @ auch gewählt wird. Wir schliessen

daher den Fall aus, dass numerische Relationen &, — Eg unter den 6&

vorkommen

Wenn nun alle & unter einander verschieden sind

dann sei M

as Maximum und m das Minimum der absoluten Beträge der Diffe-

renzen zweier 6,

‘

2

15

2

2

I

_C3l;

Ig9—gßl;

l@n—l

C7l'7

wir wählen jetzt eine Constante u, beliebig und die weiteren Con-

stanten W, Us,

nur den Bedingungen

0> ] 0, | > M

[%, |;

| 443 | > M (|

m ff fa

unterworfen

Aus einer Gleichung zwischen

den

beiden

linearen

Agogregaten

UWo + UE F UE A + u„E;

U + U1r F UEr A + A UnEr

würde dann folgen, wenn &, von &, verschieden wäre

Un (&

Stn) Z Un —1 (n

a

+ U (;„

él]_)

[n | - | S

S 1< M - (|a6, | + 16 | A A ] n ]}

Nach unseren Festsetzungen ist aber bei verschiedenen &s

G, m

Widerspruch zu dieser Ungleichung stets

}n | - | 6, — &6, | >M ( | + 106 ] 4 - 4 [nl

Demgemäss muss C = &. on

Aus der resultirenden Gleichung

W + U A E m16

= 09 + 152 + A G

2

298

Vierundfünfzigste Vorlesung $ 539.

würde dann ebenso En

A en u s has auf G =

d. h. die beiden einander numerisch gleichen Ausdrücke würden identisch,

==——

un s

Sße

Zu diesem Satze können wir noch hinzufügen, dass w auf un-

endlich viele Arten so gewählt werden kann, dass auch die absoluten

Merthe e OC LO DG 2060

sämmtlich unter einander

verschieden ausfallen. In der That, setzt man etwa bei allgemeinen

complexen Werthen der w und der &

= 64 + 72 0,

Ur é0(1 + T + Un €a„[

Uln

=2)+Q'7/.;

dann kommt es nur darauf an, die beiden Constanten Y und q so zu

wählen, dass alle Ausdrücke

(p—%602—%(Qä—rﬁz==p24—qz%—2md?%—2raqä—öä+—ﬁ

(“=1; 27'

n!)

yvon einander verschieden ausfallen.

Das ist, wenn man z. B. p= q

und g hinreichend gross annimmt, auf reellem Gebiete stets zu er-

reichen, wie man leicht sieht.

Da wir dieselben Schlüsse auch auf log &, log &, --- log &, an-

wenden können, so folgt, dass sich auch in (5®) die Constanten w so

wählen lassen, dass ı, (E,,--- E) nach wie vor %! von einander ver-

schiedene Werthe annimmt, falls eben nur die &, &,

- Em von ein-

ander verschiedene Werthe besitzen.

Die hier zu Grunde gelegte Gruppe mit der einzigen Substitu-

tion 1 ist gewissermassen der andere Pol zur symmetrischen, welche

alle Substitutionen umfasst.

Wir wollen sie die Galois’sche Gruppe

und die zu ihr gehörigen Funcetionen, deren Existenz wir eben her-

geleitet. haben, Galois’sche Functionen nennen.

Diese wollen wir zu

der Galois’schen Gattung vereinigen.

Mit Hülfe solcher %!-werthigen Galois’schen Functionen kann

man leicht zu jeder anderen Gruppe G zugehörige Funetionen con-

struiren.

Besteht &G aus den Substitutionen (2), so bilden wir aus

einer %!-werthigen Funetion %y = @, die y Werthe, welche durch jene

Substitutionen S,, S, -

S, .aus @ hervorgehen

*

(6)

Yı — @,

Psa >

$—"a 2

Ps,. >

und aus ihnen . setzen wir eine symmetrische Funetion, etwa die

Potenzsumme zusammen

O0 RO

—

a

Functionengattungen

299

in welcher x noch unbestimmt bleiben soll

P bleibt für jedes sa von

G ungeändert

da ja wegen der bei (3) gemachten Bemerkung der

Werth

—

S

@ 0

S25

D A

(«

r)

wird

Es ıst

aber

damit ® zu &G gehöre, umgekehrt auch noth-

wendig

dass D, nur für Substitutionen 6 der vorgelegten Gruppe G&

oleich ® werde

Um dies zu erreichen

treffen wir die folgenden

Vorkehrungen

Es seien die @,, , 3,

nach absteigenden Werthen

ihrer absoluten Beträge geordnet, durch %,, X> Xs,

dargestellt. Dann

lässt sich der Exponent x so wählen, dass die Ungleichungen

D Aa

I+\%1I+

gelten

Ist dies geschehen

dann kann eine Gleichung mit willkür-

lichen Indices «, ß,

; 6, 65

ME

K e e

nur dann stattfinden

wenn alle Glieder der einen Seite auch auf der

anderen Seite vorkommen

Wenden wir dies auf D, = ®,| an, dann

folgt bei dieser. Wahl des Exponenten, dass 6 die Werthe @,, CO

s unter einander umwandelt und also zu G gehört; denn @ ist

ja so eingerichtet

dass es n! Werthe hat

und dass jedem Werthe

eine Substitution entspricht

deren Anwendung auf @ gerade diesen

Werth hervorruft. —

Für die Rechnung stellt es sich bequemer, eine Function

21f__1[’1+’4’5 +d%+

_l_ "/"s

mit Hülfe von (5%*) zu bilden

Auch hier kann man auf unendlich

viele Arten so vorgehen, dass W für alle und nur für die Substitu-

tionen der Gruppe G ungeändert bleibt.

KEine andere Methode, Funetionen zu construiren, die zu G gehören,

ist die folgende.

Nachdem wir eine n“!- werthige lineare Funetion

(5)

= 0 - W + F Un Zn

hergestellt haben

bilden wir mit einer Unbestimmten w das Produet

IK

90s;)

ÜL

)

S, von G& ungeändert.

Dies bleibt für alle Substitutionen s,, $,,

Wenn um%kelnb für irgend eine Substitution 6

n

WA;(T

H(u — (p„

300

Vierundfünfzigste Vorlesung $ 539—540.

ist, dann folgt wegen der Unbestimmtheit des u, dass die linearen

Factoren beider Seiten mit einander übereinstimmen müssen.

Um dies

einzusehen reicht es aus, w gleich einem Ps,o Zzu setzen. Insbesondere

muss daher

wird (w— dgs) unter den (uw— g;,) vorkommen.

Do

gleich einem @; sein.

Weil nun @ als %!-werthige Function ange-

nommen wurde, so ist dies nur möglich, wenn 6 =5; ist, d. h. wenn

6 selbst der Gruppe &@ angehört.

Von dieser Construction werden wir in der siebenundfünfzigsten

Vorlesung wichtige Vortheile ziehen können.

Endlich ist noch zu erwähnen, dass die gemeinsamen Substitu-

Denn sind

tionen zweier Gruppen. selbst wieder eine Gruppe bilden.

z. B. die beiden Gruppen @ und &, gegeben, und gehört zur ersten

(z,, : ) und zur zweiten &%(z,,:--), dann wird die Function

(;D(Z„ E ) + u1p(z„

)s

in der u eine Unbestimmte bedeutet, nur für eine Substitution unge-

ändert bleiben, welche sowohl @ als & ungeändert lässt, also zu G&

und zu G, gehört.

Umgekehrt lässt jede zu G und zu G,‚ gehörige

Substitution © + ww ungeändert.

Alle gemeinsamen Substitutionen

bilden folglich die zu @ + uww% gehörige Gruppe.

Für die folgenden Betrachtungen wollen wir nun wieder die z als

unbestimmte Grössen voraussetzen, so lange das Gegentheil nicht aus-

drücklich bemerkt wird.

$ 540. Durch die eben besprochene Methode, Funetionen her-

zustellen, die einer gewissen Gruppe G von Substitutionen angehören,

haben wir die Existenz der zugehörigen Functionengattung nach-

gewiesen.

Ist also eine Gruppe G gegeben, so kann man beliebig

viele Funetionen construiren, die für die Substitutionen von &G und

nur für diese ungeändert bleiben (auch wenn für die z feste, von ein-

ander verschiedene, sonst aber ganz willkürliche Werthe gegeben sind).

Und wenn umgekehrt eine Funetion der % Grössen z gegeben ist, dann

kann man durch Untersuchung ‚des Einflusses, welchen jede der n!

Substitutionen auf die Funetion ausübt, die Gruppe bestimmen, die zu

dieser Funetion gehört.

Es ist leicht einzusehen, dass es nur eine endliche Anzahl von

Gattungen giebt. Dazu reicht es aus, zu bedenken, dass die %! Sub-

stitutionen nur eine endliche Anzahl von Gruppen zulassen.

Die Zugehörigkeit zu derselben Gruppe von Substitutionen ent-

scheidet darüber, ob Funetionen derselben Gattung angehören. Ks

giebt aber weiter noch andere Eigenthümlichkeiten algebraischer Natur,

301

Functionengattungen.

durch welche Funetionen derselben Gattung mit einander verknüpft

sind. Zu diesen wenden wir uns jetzt.

I) Ist G mit den Substitutionen (2) die vorgelegte Gruppe,

!

und bezeichnen wir —=0, S0 ist jede zu @4 gehörige Funec-

tion %, die Wurzel einer Gleichung o“ Grades, deren Coeffi-

cienten in den z symmetrisch sind.

Bei symmetrischen Funetionen ist. 7 =n”! und 0=1, so dass

hier der Satz selbstverständlich wird.

Ist , nicht symmetrisch, so giebt es ausser den zu G gehörigen

Substitutionen

(2)

s = 1

Sa,

S3

Sr

noch eine neue 6,, welche @, in einen anderen Werth @,, = @, um-

wandelt.

Die Substitutionen, welche aus rechtsseitiger Multiplication

von (2) mit 6, entstehen ‘ nämlich

(2°)

Ö3, Sa02, S302,

S 02,

sind ($ 508, E) sämmtlich unter einander und von (2) verschieden; sie

rufen sämmtlich den gleichen Werth &, hervor, da ja

Psp0o (‘P.»‘„)(fg — (‘Pi)o‘2 RE 2

ist

Denn aus

Und sie sind auch die einzigen dieser Eigenschaft.

Pı = o folgt Oroz!= @; also gehört to;* zu (2), d. h. es

wird sein

O

T =— 5,0.

= %,

Giebt es ausser (2) und (2*) andere Substitutionen der n Ele-

mente 2, ist also %!> 2r7, so sei 6, eine solche Substitution; sie ruft

einen von %, und &, verschiedenen Werth @,, = @, hervor. Wir be-

trachten nun die Substitutionen, die ähnlich wie (2°) gebildet sind,

(2”)

O3, S03 S303,

Sr 03

und können von ihnen die entsprechenden Eigenschaften wie von @)

nachweisen: sie sind unter sich und von (2) und (2*) verschieden; sie

wandeln sämmtlich % in @, um; und nur sie haben diese Wirkung.

In dieser Art können wir fortgehen bis zu einem Funetionen-

werthe %, und einer Substitutionenreihe, mit welcher das Schema (2),

(2:).) S (2b) x

abschliesst,

(2°)

Go, Sa00o, S300,

Sr(7<‚.

Die Reihen (2), (2*), (2”), - .. (2°) enthalten jetzt sämmtliche %! Sub-

stitutionen, sodass also r.o0=n! ist. , ist eine o-werthige Function;

die Anzahl der Werthe einer Funetion %, ist ein Theiler von n!.

302

Vierundfünfzigste Vorlesung $ 540.

Die Anordnung der %! Substitutionen in die Reihen (2), (2°), .. -

ist von der Wahl der 6, 6;,

6, unabhängig.

Denn nimmt man

z. B. statt o„ ein s,6x, Welches der gleichen Zeile wie o„ angehört

7

dann wird der Complex

(SZ 66‘) » S3 (Sx 601) , S3 (8x 6a) DU

bis auf die Reihenfolge mit dem durch o„ hervorgerufenen

6€(7 S;1601; 83606;

übereinstimmen, da der Complex

SA

828„,

8382;

SS

?

übereinstimmt (vgl. Formel (3) $ 539).

Ferner ist diese Anordnung von der Wahl der zur gegebenen

Gruppe

gehörigen

Funection @ unabhängig.

Denn gehört

auch

X (21, < En) = %1 zu (2), dann wird 6, die Function % in ein %

überführen, wobei % = %, ist.

Alle (2*) thun dasselbe, und auch nur

sie; u.s. f. Hieraus folgt, dass die Werthe @, und y,, ebenso @, und

Xa

sich einander derart zuordnen, dass jede Substitution der sym-

metrischen Gi'upp@ gleichzeitig @, in g und %, In %g umändert.

Nach $ 105, Bd. I ist jede symmetrische Funetion

S(@u y ‘PQ)

aller Werthe von @ eine symmetrische Funetion der Z,, %,

An

und wenn daher & eine unbestimmte Grösse bedeutet, dann wird der

Ausdruck

(7) (t_‘l’1>(t—%) (L‘—*%‚) Z — Ci07t A OT Z 000 Al Oe

eine ganze Funetion von %, deren Coeffieienten symmetrische Fune-

tionen der z sind. Die Gleichung

(°

e — O te-1 + CO te—? —... + C =D0)=0

hat daher die o Werthe @,, @,::: @o zu Wurzeln. Dies ist die

Gleichung o*°" Grades, von welcher in dem Theorem zu Anfang dieses

Paragraphen die Rede war. In 8& 573 werden wir beweisen, dass (@)

im Rationalitätsbereiche der symmetrischen Functionen irreductibel ist.

Die verschiedenen Werthe der o-werthigen Funetion @ nennen

wir einander conjuge Werthe. —

II) Gehören @ und % derselben Gattung an, dann ist jede

dieser Funetionen rational durch

die andere ausdrückbar

mit Coeffieienten, die in den z symmetrisch sind, und um-

gekehrt. In der That gehört die rationale gebrochene Funetion

/1(511

n

Zl

6 — Qr

L_q’1( 17

%n)

Functionengattungen

303

gleichfalls zu der Gattung von @, und %,, und sie nımmt für o,= 1

?

O, O3,

6 die Werthe

Xı

X2

%o

— Q

— @

t—q)e

an

Daher wird die rationale ganze Funcetion .yon €

welche unter

Benutzung von (7*) gebildet wird,

Xı

+

(

—@

t—w

)a><t> = V

zugleich eine ganze symmetrische Funetion der 2,, %,

Zn

Aus

dieser Gleichung folgt dann für &= @,, wie schon häufig früher

vezeigt wurde

P (D(&

x))

(8)

K (21) 22

77L) e

B (‘P1 1>

A

(9)

D' (g(@,,

21)) = (‘P1

) (

(P5)

(

‘Py)

Man kann die Form (8) so umgestalten, dass der Nenner frei von @,

und in den z symmetrisch wird; dafür tritt dann eine Beziehung

(8°)

Xı (&

%)=

DICHEE

))

4

D

?

(9°

4 = ] [@—9.

C

9_17 l“"—“'1+1

)

auf, d. h. es erscheint die Diseriminante von (7) als Nenner des Aus-

drucks (8°). Da %,, %,

o von einander verschieden sind, so kann

(8) oder (8%) nicht illusorisch werden

Hierdurch ist der erste Theil des Satzes bewiesen

Besteht ferner

ausser (8) noch‘ umgekehrt eine Gleichun

der gemäss @, durch %,

ausgedrückt wird

(8*)

931(/1;

77l

\A(%1(”17

OS U

?))

M' Ar @5

‚)7

so folgt aus (8), dass %, für alle Substitutionen ungeändert bleibt,

Welche %, nicht ändern, und aus (8*), dass @, für alle Sub&t1tut1onen

ungeändert bleibt, die %, nicht ändern

Folglich gehören @, und %,

zur selben Gattun<r

Der obige Lehrsatz giebt also auch eine rein arithmetische Defini-

tion der I‘unct10ne1wattun%n Alle Funetionen, die sich gegen-

seitig rational durch einander ausdrücken lassen miıt Coeff1—

c1enten

welche in den z symmetrisch sind, bilden eine

Gattunc

Aus (8°) und (7) geht hervor, dass d1e%e Darstellung in

der F01m einer ganzen Funetion gegeben Werden kann, deren Coeffi-

cienten gebrochene symmetrische Funetionen mit dem N8111181 4, sind;

304

Vierundfünfzigste Vorlesung $ 540.

die ganze Funetion braucht dabei nur bis zum Grade @ _ 1) auf-

zusteigen, da höhere Potenzen von @ sich mit Hülfe von (7) ent-

fernen lassen.

Der abgeleitete wichtige, durch (8) oder (8°) ausgedrückte Satz

stammt von Lagrange*). Er ist unter Wahrung des obigen Beweis-

ganges einer weiteren Ausdehnung fähig, zu der wir zunächst übergehen.

III) Wenn %(2,, : Z») eine Funetion bedeutet, die bei der An-

wendung von &@ ungeändert bleibt, dann braucht sie nicht nothwendig

zu der durch G& charakterisirten Gattung zu gehören; denn es ist mög-

In

lich, dass sıe noch für andere Substitutionen ungeändert bleibt.

diesem Falle sagen wir, % gehöre einer Gattung an, die unter der

Gattung G& steht, oder kürzer: y selbst steht unter der Gattung G&

(vgl. $ 521).

Es sei dies die durch G, charakterisirte Gattung, deren

Ordnung

wir durch 7, bezeichnen wollen.

Dann gehört jede Sub-

stitution

on CZ GG s erne Suberuppe odez en

Theiler

von G, und G ist in G, enthalten, wenn die Gat-

tung G,

unter der Gattung G& steht.

So steht jede Gattung unter

der Galois’schen ($ 539); und umgekehrt steht die symmetrische

Gattung unter jeder anderen.

Ist nun 6, eine der zur G, gehörigen Substitutionen, die nicht

in G vorkommen, dann: wird 6, die Funetion %, ungeändert lassen,

dagegen &, in ein %, umwandeln.

Man erkennt nun genau wie bei

den obigen Schlüssen, dass alle Substitutionen (2*) gleichfalls , in @,

umwandeln, und dass dies die einzigen dieser Eigenschaft sind. Weiter

kann man, wenn 7, >2r ist, ebenso zu (2”) übergehen u.s. f. KEs

wiederholen sich unsere früheren Schlüsse, und wir kommen zu

folgenden Resultaten: Ist die Gruppe G von der Ordnung r ein

Theiler der Gruppe G, von der Ordnung 7, und v,=r7g, dann

hat jede zu G gehörige Function @ für die Substitutionen

von G, genau qg Werthe, %,, %,

Pa

Die r, Substitutionen

von G, vertheilen sich in g Zeilen von je 7 Substitutionen

Sy

s=1,

S3

?

53

2

S10

?

S2023

S3 09 ,

S, 02

(10)

S1 03

Z

3263;

S3 03 ,

S, 03

S1009

’

S209,

835q‚

S69

derart, dass die Elemente einer jeden Zeile , in denselben

Werth umwandeln, und dass insbesondere die erste Zeile

k

BA

G

* M6m. de Berl. 1771 = Oeuvres I, p. 359 und p. 374 ff

305

Funetionengattungen.

alle die Substitutionen enthält, welche @, nicht ändern.

Das Schema (10) ist ein Theil des Schemas (2).

Auch hier ist %, rational durch @, darstellbar.

Das er-

giebt sich genau wie oben der entsprechende Satz; denn in dem Be-

weise bleibt Alles wie früher, da nur die für den Satz unwesentliche

E

Y= Z und

Aenderung der Voraussetzungen eintritt, dass ,

ebenso %a+1= * = Y2q U.8. W. wird.

Unsere Ueberlegungen zeigen auch:

Ist eine Funetion

X1

rational durch eine andere @, darstellbar, dann ist der Grad

der irreductiblen Gleichung, welcher %, genügt, ein Theiler

des Grades derjenigen irreductiblen Gleichung, welcher g@,

n!

—

©

genügt. Denn die Anzahl der Werthe von %, ist %=

T

q

q

Handelt es sich hingegen umgekehrt darum, eine Function @ der

enthaltenden Gattung G durch eine Function % der enthal-

tenen Gattung G, auszudrücken, so kommen wir auf das durch

(7) gelöste Problem zurück. Wir setzen wieder die Ordnung von &

gleich 7, die von G, gleich 7, und nehmen 7, = 7g an.

Dann rufen

die Substitutionen von G, aus @= @, die q Werthe w@,, %,

A @o

hervor; ihre symmetrischen Funectionen bleiben für G, ungeändert und

Jedenfalls

gehören deshalb zur Gattung G, oder stehen unter ihr.

lassen sie sich also rational durch %, mit Coefficienten ausdrücken,

welche in den z symmetrisch sind. Setzen wır demgemäss

Pı

+ ®

A ° 99 A O

= A, (761) ’

y O

dann wird, wenn wir € als Unbekannte einführen,

(0) 0 — Ala A Aa — o E Al z) = Bl = 0

die gesuchte Gleichung werden, deren Wurzeln %,, %,

- @®2 Sind.

Die Irreductibilität dieser Gleichung wird in $ 573 bewiesen werden.

Bei den Ueberlegungen, die wir in diesem Paragraphen angestellt

haben, tritt also die Gattung G, an der Stelle der ım vorigen Para-

graphen behandelten Gattung der symmetrischen Funetionen auf, und

Das

insofern ist (7”) als Verallgemeinerung von (7) zu betrachten.

Schema (10) ist ein Theil des durch (2), (2*), --- (2°) gegebenen‘;

umgekehrt ist das Polynom von (7%)

(g—gı) — w) : (D — Pa)

ein Theiler des zu (7) gehörigen Polynoms, d. h. ®,(t; y,) ist' ein Divisor

von S(*). Es ist r.o=7,:0,, und da r, ein Multiplum von v ist, so

wird o das gleiche Multiplum von 0,.

Netto, Algebra. II,

20

306

Vierundfünfzigste Vorlesung $ 541.

8& 541.

Die o Wurzeln von (7*) sind die verschiedenen Werthe

ı,

Pa ,

Po

( 7=)),

welche 9 = @, unter dem Einflusse sämmtlicher Substitutionen zwischen

den 2,,

Z. annehmen kann.

Wir haben sie bereits oben als ein-

ander conjuge Werthe bezeichnet.

Jedem der conjugen Werthe

Pı, Pay “ o entspricht eine Zeile von Substitutionen des Schemas

(2), (2%),

Diese bilden aber mit Ausnahme derjenigen der ersten

Zeile G keine Gruppen, wie ja schon daraus hervorgeht, dass keins

der übrigen Systeme die Kinheit enthält.

Wir werden deshalb bei

ihrer Bezeichnung auf die Benutzung des Wortes „Gruppe“ verzichten

müssen und wollen sie als die der Gruppe G conjugen Complexe

oder kurz als conjuge Complexe bezeichnen, und schreiben in ver-

ständlicher Abkürzung

(11)

G; G6; 76;;

G 6o.

Wir können diesen Begriff nach der Richtung hin erweitern,

dass wir auch die Systeme

(12)

G; 6G; 63G;

G,

welche aus einer Anordnung (4) entspringen, als conjuge Complexe

bezeichnen, trotzdem sie mit der Ueberführung einer Funetion in ihre

conjugen Werthe im Allgemeinen nichts zu thun haben *).

Durch die conjugen Werthe %,, %,

- @ Wwerden conjuge

Gattungen charakterisirt.

Da %, durch Verwendung von 6, auf &;

entsteht, so entsteht die zu %, gehörige conjuge Gruppe &, dadurch

aus G = G, dass man auch auf alle Elemente der als Cyklen ge-

schriebenen Substitutionen von G, die gleiche Substitution 6, in An-

wendung bringt.

Ist also etwa

_

eine Substitution von G und die transformirende Substitution

O

6)=

2

&«

(

Zka

)

dann geht daraus für G, die Substitution hervor

%

[

O

D

(

Üg

)

Das gleiche Resultat ergiebt sich nun aber für die Composition

E SN OO

E

* Herr H. Weber gebraucht die Bezeichnung „Nebengruppen“.

307

Functionengattungen.

Zr

&X

Z

&«

&“

Zr

a&

Z

%o

=—>

—>

Z

Z

Z

in (

Z

&«

ı

Z

z

&«

ı

Zr

u

)

(

&«

ı

O

ı

A

L

}

wodurch W‘ir demnach erkennen, dass G, aus

(13)

66 = 1,

6571 5,0,,

6,718,6,,

63150

Zu

besteht und kurz durch G, = 6571 G-6, bezeichnet werden kann.

Pı>

Pa P,

Po

gehören demgemäss bezw. die einander conjugen Gruppen

G C 0a

0‘Q_1G69

Die Operation, welche von s, zu 67!s,6 oder von einer Gruppe G

zu 607!1G-6 führt, wollen wir eine Transformatiorm durch 6 nennen.

Transformirte Substitutionen und transformirte Gruppen sind einander

ähnlich, d.h. sie unterscheiden sich von einander lediglich durch die

Bezeichnung der eingehenden Elemente z2.

Ebenso sind die einander

conjugen Funetionen einander ähnlich.

Wir wollen diese Begriffe auf unsere einfachsten Gattungen an-

wenden. Für die symmetrische Gattung ist > =n!, o= 1; hier giebt

es keine conjugen Gattungen.

Ist ferner @ eine zweiwerthige oder alternirende Funetion, so

wird ($ 521)

Pil — So+ SIVD7

Or So_ 81V5;

wobei D die Diseriminante der Grössen %,, %,

Z„ sein soll, und

So, S, symmetrische Funectionen bedeuten.

Ein Blick auf die Form

von %, und von @, zeigt, dass @, und %, zu derselben Gruppe, der

alternirenden, gehören. Das Gleiche ergiebt sich durch die obigen KEr-

wägungen.

Denn wenn G& die Gruppe aller geraden Substitutionen

($ 520) und 6 eine Transposition bedeutet, dann stellt auch 67!G 6

nur gerade Substitutionen dar.

Die beiden conjugen Gattungen von

@, und von , gehören also derselben Gruppe an, d. h. sie fallen

ZzZUusammen.

Am anderen Ende der Reihe der Substitutionengruppen treten

gleiche Verhältnisse ein. Ist @, eine Galois’sche Function, so ist die

zugehörige Gruppe gleich 1; jede hieraus transformirte Gruppe ist

daher auch gleich 1, und so gehören alle conjugen Werthe derselben

Gruppe an. Folglich ist von den conjugen Werthen einer Galois’schen

Funetion jeder als rationale, ganze Funetion jeder anderen darstellbar,

wobei die Coefficienten symmetrische Funetionen der Elemente z werden.

20°

308 Vierundfünfzigste Voflesung $ 541—542. Fünfundfünfzigste Vorlesung $ 543.

Ja, weil jede Gattung unter der Galois’schen Gattung steht, so kann

überhaupt eine jede ganze Function der z auf diese Weise ausgedrückt

werden.

Wir wollen hiervon sofort einige Anwendungen machen. Ist &@

eine Funetion, die zur erweiterten cyklischen Gruppe ($ 524) gehört,

und ist Za ,m,...a, €n beliebiges ihrer Elemente, so wird

X = Sayyd , ay T WO(21,1,...)

)

zur Galoıs’schen Gattung gehören; denn y bleibt bei unbestimmtem

w nur ungeändert, wenn Zg,,...«, UNnd @ ungeändert bleibt; es giebt

aber nur die eine Substitution 1, welche zur cyklischen Gruppe ge-

hört und ein Element nicht umstellt. Folglich gehört % zur Gruppe 1.

Demgemäss kann jedes %, ,,,...o, rational durch , d. h. durch 20 ,@,...a,

dargestellt werden, derart dass die Coefficienten cyklische Functionen

der Elemente sind. —

Bedeutet ferner @ eine Funection, die zur metacyklischen Gruppe

gehört ($ 534), und sind z,, % zwei beliebige ihrer Elemente, so wird

% = Uıa F U % + WO(2,,

2p)

zur Galois’schen Gattung gehören, da nach $ 534 nur die Einheits-

substitution der metacyklischen Gruppe mehr als ein Element unge-

ändert lässt.

Demgemäss kann jedes z, rational durch y, d. h. durch

24 und z, dargestellt werden, derart dass die Coefficienten metacyklische

Funectionen werden, oder: Jede, Wurzel einer metacyklischen

Gleichung kann als rationale ganze Function zweier belie-

bigen anderen Wurzeln dargestellt werden, so dass diese

Function Coefficienten besitzt, welche zur metacyklischen

Gruppe gehören, und also rational bekannt sind.

$ 542. Im vorigen Paragraphen haben wir den Begriff der Trans-

formation einer Substitution oder einer Gruppe durch eine Substitution 6

eingeführt.

671s6 heisst die Transformirte oder die Conjuge

von S dunch(o:

Dann ist s die Transformirte von 67!s6 durch 671

Transformirte oder conjuge Substitutionen sind einander ähnlich.

Transformiren wir alle Substitutionen s, einer Gruppe durch dieselbe

Substitution 6, so bilden die Transformirten wieder eine Gruppe, da

man hat:

(@-78.0) 607 0)=07"@)6

Ebenso leicht beweist man, dass alle überhaupt vorhandenen oder

auch alle ’einer Gruppe angehörigen Substitutionen 6’, 6”, -

?

welche

eine gegebene Substitution s in sich selbst transformiren, für sich eine

Gruppe biılden. —

Functionengattungen. Gattungseigenschaften.

309

Es sei nun G& eine beliebige Gruppe, s, eins ihrer Elemente und

G' derjenige Theiler von &G, welcher s, in sich selbst transformirt.

Wenn wir (8 514) G/==[1, , $3, - Sm] Setzen, so wird s-1s s == ,

sein.

Ist hingegen &4 eine nıcht in G vorkommende Substitution

von G, so wird 67!s, 4 =+ , sein; wir setzen diese Transformirte

gleich s,; dann werden alle s„% dieselbe Conjuge s, von s, hervor-

rufen und nur sie.

Denn es ist Ja

(Sat) * 8ı (Sabı) = W HS 615) %. = B7 Sh = 85

und hätte man umgekehrt für irgend eine Substitution o von G die

Relation 07!S,0 = S, , dann wäre

4S =H0O O = @ Cr

d. h. es gehörte wt;-* zu G, und man hätte

O ı = %,

O =— S;xig.

Hat &G mehr Substitutionen als die 2m durch sı und sib re-

präsentirten, so führen dieselben Schlüsse weiter auf eine neue Conjuge

S; von S, und auf neue m Substitutionen s,t3, u. s. f. Daraus ergiebt

sich: Die Anzahl w der zu s, conjugen Substitutionen aus G,

die durch Transformation mit allen Substitutionen von G&

entstehen, beträgt einen Theiler der Ordnung der Gruppe G;

und die Anzahl m der Sustitutionen, die s, in sich selbst

transformiren, den conjugen Theiler der Ordnung von G,

so dass mw= r ist.

Fünfundfünfzigste Vorlesung.

Gattungseigenschaften.

$ 543. Im vorletzten Paragfaphen der vorigen Vorlesung haben wir

bei der symmetrischen, bei der alternirenden und bei der Galois’schen

Gattung bemerkt, dass jedesmal die conjugen Gattungen zusammen-

fielen oder genauer ausgedrückt, dass es in diesen Fällen gar keine

conjugen Gattungen giebt.

Wir wollen das hieraus sich ergebende

Problem allgemein behandeln.

Gehört 9 = @, zur Gruppe G, so gehören die conjugen Werthe

von, @, nämlich

D

Pır P,

D3 ,

Po

310

Fünfundfünfzigste Vorlesung $ 543.

zu den Gruppen, die &@ ähnlich sind und durch Transformation aus G

&

entstehen,

(2)

G , 0Ga

6(71G6@

Giebt es nun ausser der in allen Gruppen (2) v'01'kommenden

Substitution 1 noch andere Substitutionen, die gleichfalls

zu allen 67'Go, gehören?

Die Gesammtheit aller vorhandenen bildet jedenfalls wieder eine

Gruppe H, da mit s’ und s” auch s’s” allen Gruppen angehört.

H besitzt die charakteristische Eigenschaft, dass es durch jede Sub-

stitution der Elemente z in sich selbst transformirt wird. Denn die

Gesammtheit der Gruppen (2) stellt alle Transformirten von G dar

und bleibt daher ungeändert, wenn sie durch irgend ein s transformirt

wird; und dies muss mit der Gruppe HM, die in allen Gruppen (2)

enthalten ist, natürlich auch stattfinden.

Die eben aufgestellte, scheinbar allgemeinere Frage ist jetzt also

in die umgewandelt, ob es eine Gruppe giebt, die gleich allen ihren

conjugen Gruppen ist, d. h. genau in die Frage, welche unseren Aus-

gangspunkt bildete.

Enthält H irgend eine Substitution, so enthält es auch alle, welche

dieser Substitution ähnlich sind; denn diese lassen sich ja aus jener

durch eine Transformation herleiten.

Wir betrachten zuvörderst diejenigen Substitutionen von H, die

nächst der Einheit möglichst wenige Elemente umsetzen. Da H jeder

Transposition gegenüber iınvarilant bleibt, so gilt dasselbe auch dem

Complexe Hy dieser Substitutionen von möglichst wenigen Elementen

gegenüber, d. h. H, enthält alle einander ähnlichen.

Keine derselben

kann nun einen Cyklus von mehr als drei Elementen umfassen.

Denn

wäre etwa eine Substitution mit mehr als drei Elementen eines Cyklus

51

= ( 8324

in H, enthalten, so käme auch für 6 = (2,%%3) die Transformirte vor

(‚‘_1315 — (32233154 4 ) 00 = S

so dass die Aenderung zwischen s, und s, lediglich in der Umstellung

von Z,, % und z besteht; dann käme aber in H auch das Product

der beiden Substitutionen s, und s;-!

5155 * = (%) (&

vor

}

und dies hätte, ohne =1 zu werden, sicher weniger KElemente

als s,, was der Annahme widerspricht, dass s, möglichst wenige Ele-

mente ın sich fassen soll,

Gattungseigenschaften.

311

Ebensowenig kann eine Substitution von mehr als drei Elementen

auftreten, in welcher ein Cyklus dritter Ordnung vorkommt. Denn aus

5 = @, %8s) (B )

und 015160 = (: ) Z

für 6 = (Z,%2,) folgt durch Multiplication, ähnlich wie soeben, dass

ın H auch das Produect

S15 = (@s) (a )

enthalten ist, also eine Substitution, welche gegen die Annahme weniger

Elemente hat als s,.

Kommt daher überhaupt ein Cykel dritter Ordnung in einer der

von uns betrachteten Substitutionen vor, so bildet er für sich selbst

schon die Substitution; H enthält dann alle Transformirte dieses einen

und deswegen ($ 519) die alternirende Gruppe.

Es ist noch der Fall zu betrachten, dass jede Substitution von H,

lediglich aus Cyklen zweiter Ordnung besteht.

Ist die Zahl ” der z,

grösser als 4, so folgt aus dem Auftreten der beiden Substitutionen

5 = (2%) (02) 4,

957180 = (2,%)(24%) : = 5

für 0 = (2,%,2;) die Existenz von s,-s, in H, und dies hätte, ohne

= 1 zu sein, weniger als „ Elemente als s,, da ja in

51 52 = (@,) (%) (3 2

F

O OD

höchstens (n — 1) Elemente vorhanden sind. Es ist also nur möglich,

dass die gesuchten Substitutionen sich als Transpositionen ausweisen

’

und dann ist H nach $ 522 die symmetrische Gruppe.

Ist dagegen n= 4, so 'giebt es für diesen Fall wirklich eine

solche Gruppe, nämlich die aus den vier Substitutionen

(3)

1, (& %)(2324), (2123) (% 24), (8,24) (22@3)

bestehende, welche sich bei jeder Transposition reproducirt. Diese ist

daher als eine Ausnahmegruppe zu bezeichnen.

Als eine zu ihr ge-

hörige Function führen wir die sechswerthige Funetion

U = (8,% F %84) (212 + 224)

an. Wir haben als erstes Resultat das folgende erlangt: Ausser der

symmetrischen und der alternirenden Gruppe von beliebig

vielen Elementen giebt es allein die Gruppe (3) von vier

Elementen, welche durch Transformation mit jeder belie-

bigen Substitution ihrer Elemente ungeändert bleibt. Nur

in diesen Fällen gehören alle conjugen Gattungen derselben

312

Fünfundfünfzigste Vorlesung $ 543—544,

Gruppe an, falls die Gruppe nicht allein aus der identischen

Substitution 1 besteht.

Von hier aus ist es leicht, zur allgemeinen Frage wieder zurück-

zukehren.

Da H in G enthalten ist, so kann G& auch nur alternirend

oder symmetrisch sein, abgesehen von der besonders zu behandelnden

Gruppe (3). Für diese kommt aber ausser der alternirenden oder der

symmetrischen nur noch eine Gruppe der Ordnung 8 in Frage. Eine

solche wird in der That durch das folgende G gegeben, dessen Trans-

formirte ebenfalls angeführt werden sollen:

(4)

1, (2,%)(@&2ı), (2123) (2224), (2,24) (2223) ,

(Z,%838u), (Z183), (21%483%), (2224)-

(G)

ET ,

D @ale2), Ca)cez)ı @ 21) (2%23),

(657' G 6)

(2, %0 8483), (818ı), (%83), 2183 248)-

0 = (2324)

C E L 0

@ C)

(21 23 %8a), (8,%4%83), (Z1%a), (232u)-

Ö3

==

(2223)

Als einfachste zugehörige Funetionen führen wir die folgenden

conjugen an, deren Wichtigkeit schon bei der Lösung der @Glei-

chungen vierten Grades heraustrat:

Ö5)

Oı = 4183 F %4,

D — 8184 F %,

O3 = Z1% F W84-

Ausser den symmetrischen, den alternirenden und den

Functionen der Gattungen (3) und (4) giebt es keine anderen,

deren conjuge Werthe sämmtlich für eine und dieselbe Sub-

stitution ungeändert bleiben. Dieser Satz bleibt auch dann richtig,

wenn man nicht sämmtliche conjugen Werthe der Function betrachtet,

sondern nur die durch Transformationen mit geraden Substitutionen

hervorgerufenen. Der Beweis ıst bereits dadurch geführt, dass die oben

benutzten transformirenden Substitutionen 6 sämmtlich die Form (2„282,)

haben und also der alternirenden Gruppe angehören.

$ 544. Hieraus lässt sich ein weiterer interessanter Satz ableiten.

Alternirende Funetionen, welche von der Form sind

q7=S'VZ;

haben die Eigenschaft, selbst zweiwerthig zu sein, während eine Potenz

von ihnen, die zweite nämlich, unter der Gattung steht und ein-

werthig wird.

Wir wollen die Frage erörtern:

Welche mehr-

dass

eine

werthigen Functionen haben die KEigenschaft,

ihrer Potenzen einwerthig wird?

Gattungseigenschaften.

313

dann unterscheiden sich die conjugen

Ist @* = S einwerthig

Werthe von @ nur durch x Einheitswurzeln w, w°*,

als Factoren

2

al

da g = S* wird. Diese conjugen Werthe @, w“g, w?g,--- gehören

deshalb sämmtlich zu derselben Gruppe; denn die constanten Factoren

sind dabei einflusslos, weil bei einer Substitution gleich-

@“*, P

?

zeitig o und w“g ungeändert bleiben. Damit sind wir auf die Unter-

suchungen des vorigen Paragraphen zurückgeführt worden.

Ausser den ein- und den zweiwerthigen Funetionen können daheı

höchstens noch solche Functionen von vier Variablen in Frage kommen

’

die zur Gruppe (3) gehören. Da (3) von der Ordnung 4 ist, so müsste

es eine sechswerthige Function geben, deren sechste Potenz, und also

müsste es, wenn man ihr Quadrat betrachtet, eine dreiwerthige Func-

tion geben, deren dritte Potenz symmetrisch wird.

Das könnte nur

stattfinden, wenn eine Gruppe von vier Elementen von der Ordnung 8

vorhanden wäre, welche mit ihren conjugen Gruppen übereinstimmt;

und da dies nach dem vorigen Paragraphen nicht der Fall ist, so

giebt es keine derartige Funetion.

Damit ist bewiesen: Es giebt

ausser den alternirenden Functionen S.VA keine anderen

mehrwerthigen Functionen,

von denen

eine Potenz

ein-

werthig wird.

Giebt es nun vielleicht Functionen, welche mehr als zweiwel‘£hig

sind und von denen eine Potenz zweiwerthig ist? Wir machen die-

selben Schlüsse.

Ist * zweiwerthig, so bleibt es für alle Substitu-

tionen der alternirenden Gruppe ungeändert ($ 521). Unter dem Ein-

flusse der geraden Substitutionen kann also g nur Werthe w“g, wg

annehmen, bei denen @ eine x° Einheitswurzel bedeutet.

Alle diese

Werthe gehören nun zu derselben Gruppe; d. h. die Gruppe von @

ändert sich unter dem KEinflusse der Transformation durch irgend

welche gerade Substitution nicht.

Nach der Schlussbemerkung des

vorigen Paragraphen kann also @, da es weder symmetrisch noch

alternirend ist, nur zur Ausnahmegruppe (3) gehören, falls es über-

haupt existirt; und nur eine zu (3) gehörige sechswerthige Function

kann eine zweiwerthige dritte Potenz haben.

In der That giebt es

auch solche. Bedeutet w eine primitive dritte Einheitswurzel, so bilden

wir aus den Functionen (5) die Summe

——

Yr

(2,% 4 2321) + @® (2183 { 2224) 4 @* (212 + 2283) 5

wenden wir auf sie die 6 .4 Substitutionen zwischen 2,, 2, 23 Zu an,

dann entstehen die fünf zu ı, conjugen Functionen

314

Fünfundfünfzigste Vorlesung $ 544—545.

W, = (2,8 + 284) + 0(2,24 F 2%) + * (2,2 + 2324) ,

U = (8, %41 + %83) F @(91% F 2384) + 0*(2,23 + 2%4),

ı, = (81% 4 2324) + 0 (8, %4 F %88) + 0? (2, 23 + %24),

s = (8,24 - %83) 4 @ (08 F 2984) + 0° (2,% 4 2324) ,

e = (0,8 4 %8ı) H 6 (2,% + 2324) A @* (2,21 F %8s)-

Hier ist nun

0ı = Ol ‘l721‚1133

1/J4 S CO'(/}5 _ w21/}67

so dass wir für die dritten Potenzen der sechs ı, wie behauptet wurde,

nur zwei verschiedene Werthe erhalten

Y= 0 = %;

Wa

$ 545.

Wir werden durch diese Untersuchungen zu einer allge-

meineren Frage geführt: Wann wird die p®” Potenz einer p-o-

werthigen Function @, die zur Gattung H gehört, eine

o-werthige Funetion, die zur Gattung G gehört?

Jede Substitution, welche @ nicht ändert, d. h. zur Gruppe H

gehört, lässt auch g? ungeändert und gehört daher auch zur Gruppe &.

Es steht daher g? unter der Gattung von @, und G& ist ein Viel-

faches von H. Unsere Frage ist demnach aus folgendem Grunde

wichtig.

Nach 8 540 kann man allgemein den Uebergang von

irgend einer Funetion % der Gattung G zu irgend einer Funetion %

der Gattung H durch die Auflösung einer Gleichung p Grades be-

wirken, deren Coefficienten in % rational sind. Wenn man nun ın

unserem Falle zunächst von % zu ” geht, was auf rationalem Wege

geschehen kann, und ebenso von % zu @, dann erkennt man, dass die

Gleichung p“ Grades (7”) $ 540 zwischen x und & durch eine bino-

mische Gleichung p“ Grades ersetzt werden kann. Dadurch ist dem-

nach das Problem ausserordentlich vereinfacht.

Wir wollen voraussetzen, dass p eine Primzahl bedeute. Das ist

keine Einschränkung; denn wenn die (ng)® Potenz einer (pq)-o-

werthigen Funetion o-werthig wird, so gilt von ihrer q“" Potenz die

eben vorausgesetzte Eigenschaft, dass eine Primzahlpotenz von ıhr

weniger Werthe besitzt als sie selbst.

Es sei also die zur Gruppe H' gehörige Funetion @ eine p -

werthige Funetion, während ” nur 0 Werthe besitzt, so dass die zu

@” gehörige Gruppe @ eine p mal höhere Ordnung hat als die zu ©

gehörige Gruppe H. Nun sei 6 irgend eine Substitution von &, die ım

H nicht vorkommt. Bilden wir H-o6, d. h. den Complex aller rechts-

seitig mit o multipheirten Substitutionen von' H, so kommen alle diese

in G vor

und sind unter sich und von den Substitutionen von H

Gattun gseigenschaffen.

315

verschieden. Unter ihnen findet sich 6* nicht, da aus 6” = 546 folgen

würde 6 = $84.

Wir bilden hiermit weiter H- c6? und dann ebenso

bis zu H- 071

H- 6,

falls 6” nämlich die erste in H vor-

kommende Potenz von ©6 ist.

Da 6 nicht zu H gehört, so wird es %, in einen Werth %, trans-

formiren, der von @, verschieden ist; da aber @i = @i, so folgt

Somit trans-

%ı = 0o@,, Wobei @ primitive p° Einheitswurzel ist.

formirt o” weiter @, in @; = w’g, u.s. f. und 6” transformirt es in

q,07”. Dies muss wieder mit , zusammenfallen, weil o* zu H gehört;

demnach ist x ein Vielfaches von m.

Andererseits ist wlg = @,,

d. h. o? gehört bereits zu H. Das lässt erkennen, dass n ein Viel-

faches von z, und da y eine Primzahl ist, dass p= w wird; d. h.: Ist

o irgend welche Substitution von G, die nicht selbst zu H

gehört, dann gehört o” zu H. — Die Gruppe G entsteht,

wenn man mit den Substitutionen von H noch 6 combinirt.

Ferner haben %,, @,6, ,0°, - dieselbe Gruppe, d. h. die trans-

formirte Gruppe o67!Ho stimmt für jede Substitution 6 aus

G mit der ursprünglichen Gruppe H überein.

Wenn umgekehrt jede p° Potenz 6” einer beliebigen Substitu-

tion 6 aus G zum Theiler H gehört, und wenn

(6)

61Ho= H

ist, dann kann man eine zu H' gehörige Funetion construiren, deren

p Potenz zu G& gehört. Es sei nämlich ı irgend eine zur Gattung H

gehörige Funetion, und die Transformation mit 1, 6, o%,... c6P—1 möge

aus ihr die Werthe %,, %, W3,

- %, hervorrufen, die dann wegen

(6) zu derselben Gruppe H gehören. Wir bilden hierauf mit Hülfe

einer primitiven p“ Einheitswurzel o die Resolvente

(7)

%=%+ww»„>+w‘“’%+“'+w"“lwp‚

dann wird, da die Wirkung von o6? auf %, gleich der von 6 auf J

ist u. s. f., die Verwendung von 6, 6®, ... daraus

(p2=1‚02——]—a)1/}3—{—a)2'(/)4—{—--:—|—cofj_lwl=co_ltp“

(8)

m

hervorrufen, woraus nun wirklich

(9)

NS SY= u = D

folgt.

Die oben festgestellte Beziehung der Gruppen H und G zu ein-

ander reicht also vollkommen aus. Wir müssen uns aber hüten, dieses

316

Fünfundfünfzigste Vorlesung 8& 545—547

Resultat als eine definitive Lösung des gestellten Problems anzusehen

es ist lediglich eine Umformung desselben aus dem Gebiete der ratio-

nalen Funetionen in dasjenige der Substitutionentheorie, in welchem

freilich die Beantwortung der Frage häufig bequemer sich gestaltet

Die Structur von (7) zeigt, dass die Gleichun

deren Wurzeln

Pı> P,

@„ Sind, eine cyklische Gleichung wird; zugleich giebt sie

an, auf welche Weise man mit Hülfe einer Substitution 6 die cyk-

hsche Anordnung der Werthe @ finden kann.

$ 546. Unter den Gruppen, die wir bisher studiert haben, nehmen

die der einwerthigen und die der zweiwerthigen Functionen bedeutsame

Stellen ein; sie liefern diejenigen Gattungen, bei denen die Anzahl der

conjugen Gattungen so klein als möglich wird. Für jede Anzahl %

der Variablen z bestehen solche Gattungen

miıt den Werthezahlen

o=1 und o0o=2. Wir wollen untersuchen, welches wohl die nächsten

sich daran anschliessenden Gattungen mit möglichst geringem o sind

Es wird sich bei dieser Untersuchung herausstellen, dass, wenn n > 4

ist, keine Gattung mit mehr als zwei

und weniger

als ”

conjugen Werthen besteht*)

Hat nämlich eine Funetion @ die o conjugen Werthe

(10)

Dı >

Da ,

3,

Po,

und wendet man auf diese Reihe alle %! Substitutionen s; der sym-

metrischen Gruppe der

<

2

an

so erhält man %! Anordnungen der

Reihe der Funetionen

(1D)

‘Pq ?

(p’27

q)’: ’

Pg

welche man als ebensoviele Permutationen der Anordnung (10) auf-

fassen kann

Wir wollen also diese Umwandlungen in der Aufein-

anderfolge

Pır Pa>r

P

(12)

Oa Pi,

P

(

als Substitutionen v; der o Elemente @ ansehen

Nun giebt es an

verschiedenen Substitutionen v; bei o HKElementen grade o!; ist also

*) Ruffini (Teorica di Equaz. Bologna 1799) beweist, dass für n=5, o0<5

nur 0=2 sein kann; Abatti (Mem. della Soc. Ital. 10), dass für n, o S < 5 nur,

o=2 sein könne

C‘U.lchy (J. d. ’Ec. polyt. cah. 10, p. 17) erweitert diese Sätze

dahin, dass für o>2 auch 9>% sein müsse, wo p die grösste Primzahl <mn

bedeutet

Der obige allgemeine Satz wurde zuerst von Bertrand bewiesen

(J. d. ’Ee. polyt. (1845) p. 131); die Ausnahme für » = 4 wurde von Serret fest-

gestellt (J. d. M. 15 (1850) p. 45)

Der im Texte gegebene Beweis stammt von

Kronecker

— Weitere Beweise sowie tiefere Untersuchungen finden sich in

meiner Substitutionentheorie, sowie in C. Jordan’s „Traite des substitutions‘“

Gattungseigenschaften.

317

0<n, so wird die Anzahl der v; kleiner als die Anzahl der Sub-

stitutionen S;.

Daher giebt es mindestens zwei Substitutionen der Z,

etwa s; und s,, welche von einander verschieden sind, trotzdem aber

dieselben Umstellungen der g unter einander hervorrufen, indem für sie

v;= vr wird. In diesem Falle muss s;s; * die Reihe g,, @, - o ZU-

erst in @;,, O, : O; und diese dann rückwärts In %,, %,

D @Q um-

wandeln.

Es bleibt demnach unter dem Einflusse des von der KEinheit

verschiedenen s,s;—* jedes Glied der Reihe (11) an seiner Stelle, d. h.

$,S; * gehört jeder der Gruppen der conjugen Functionen &,, @,, ::: @o

an

Nach 8 543 ist dies jedoch nur dann möglich, wenn n = 4 ist;

d. h. für %>4 ist o9>n.

Für %” = 4 dagegen haben wir wirklich

eine Gattung kennen gelernt, für welche o==3 ist; zu ihr gehören

die conjugen Funetionen

Dı = 419 T 2384,

o = 48 F 4y

D3 = B184 T Z83.

$ 547. Die nächste in Betracht kommende Frage ist somit die

Frage nach den n%-werthigen Functionen von % Elementen,

0=Nn; r = (n—1)!.

Es giebt solche für jedes %; denn 2‚ ist ja

selbst Repräsentant einer Gattung, deren % conjuge Werthe durch

217 Za)

Z„ gegeben, sind. Wir wollen zeigen, dass für %” =+6 da-

durch die einzige vorhandene Gattung geliefert wird, während für

n= 6 ausserdem noch als eine Ausnahmegattung eine Funetion von

sechs Werthen besteht.

Ist o9=1%, so giebt es %! Substitutionen (12), und. diese müssen

nach dem vorigen Paragraphen sämmtlich von einander verschieden

sein. Es müssen also zwei beliebigen verschiedenen s;, sı auch zwei

Die v; werden

verschiedene v;, v, zugeordnet sein und umgekehrt.

dabei dann die Gesammtheit aller 0! = 2! Substitutionen zwischen den

g darstellen, wie die s; diejenige aller Substitutionen zwischen den s.

Entspricht einem s, ein v,, so entspricht dem 5? das v?; ist also

S, eine Transposition, so wird wv? der Einheit entsprechen, d. h. 1 sein.

Folglich kann einer Transposition s; nur eine Substitution v; von der

zweiten Ordnung entsprechen. Demgemäss unterscheiden wir zwei Fälle:

=

I) Einem $;= (2x2g) entspricht ein wv;

C

1II) Keinem s; = (%,2g) entspricht ein v;= (g,@s).

Wir betrachten zunächst den ersten Fall, d. h. den, in welchem

die Transposition zweier Elemente 2,, Zg in (10) auch nur eine Trans-

position zweier Elemente ,, @9 hervorbringt. Dann entspricht, was

auch s bedeuten möge, dem

97"8,9, 0S 07200

318

Fünfundfünfzigste Vorlesung $& 547.

und umgekehrt Das erstere liefert nun alle Transpositionen der z,

wenn s„ geeignete Elemente durchläuft, und das zweite daher alle

Transpositionen der wv.

Diese entsprechen sich sonach gegenseitig ein-

deutig.

Ebenso folgt, wenn den Transpositionen

S= @0, S @B))

entsprechen

U <q)7 ‘PJ) ’

v = (g.@e),

dass dem Cyklus dritter Ordnung

entspricht v;v,.

SiSk. = (Za2ß.2y)

Da aber (s;5;)?= 1 ist, so muss gleichfalls (v;vx)*= 1 eintreten. Nun

hat vv höchstens vier Elemente @; und daraus ıst ersichtlich, dass

v;vx eine cyklische Substitution dritter Ordnung wird.

Das ist nur

möglich, wenn in v; und v, ein gemeinsames Element vorkommt, wenn

also, da es auf die Indicesbezeichnung nicht ankommt,

V (9°7 ‘;DÖ)>

Üı (‘py w;)

ist. Betrachtet man weiter s„ = (252,), dann folgt ebenso v„= (gsg.)

u.s. f._ Man kann also, wenn man die Indicesbezeichnung der @ passend

abändert, allgemein folgende Zuordnung treffen: Jedem

Sı = (a 2ß)

entspricht v;= (g @6)-

Dann wird aus jeder Substitution der z die entsprechend zugeordnete

der @ gefunden, indem man einfach in jener statt jedes Zeichens z

das Zeichen @ setzt, ohne Indices oder Cyklen zu ändern.

Hieraus ist ersichtlich, dass diejenigen Substitutionen der @ das

Element , nicht ändern, welche die symmetrische Gruppe der @,,

3, Po bilden, d. h. , bleibt bei denjenigen S, ungeändert, welche

die symmetrische Gruppe der %,, 2;,::: % ausmachen und also z, nicht

umschliessen. Folglich gehört z, zu derselben Gattung wie w,.

Dies ist der erste, allgemeine Fall für o= %. Kr entspringt aus

der Annahme I[.

Gehen wir nunmehr zu dem Falle II über, so können wir als

einander entsprechend annehmen die beiden Substitutionen

i = ( 2ß) und u;= (gao) (PePa) .

Hieraus folgern wir, genau wie im vorigen Falle, dass allen Trans-

positionen der z alle diejenigen . Substitutionen der @ entsprechen,

welche mit wu; von gleichem Typus sind, d. h. welche w; ähnlich sind.

Damit also eine solche Zuordnung möglich sei, muss es von beiden

Sorten von Substitutionen in der symmetrischen Gruppe von % = 0

Elementen gleich viele geben. Nun existirt in ihr an Substitutionen

yom Typus

319

Gattungseigenschaften

die Anzahl

(A)

(Zu2ß)

n (n —

1,

”

”

(B)

(2u28)(2,20)

;

Zn(n—1) (n—2) (n—3),

(C)

(Zu86) (2y20) (2n29)

”

”

i n(n—1)--

: (n—4)(n—5),

(D)

(2u8p) (2,20) (2n29) (212x) »

”

j

2i

n(n—1)--

: (n—6)(n—7),

wıe

man leicht erkennt

Es könnte deshalb w; nur dann vom Typus

(B) sein, wenn für ein ganzes, positives %

n(n—1)—;

%(n——l)(n—2)(n—3)‚ d.h. (n—2)(n—38) =4

Ferner könnte w; nur dann vom Typus

wäre, was nicht möglich ist

(C) sein, wenn für ein <fanz9‚s‚ positives n

-n(n—

Ü=

zn

(n —1)

(n — 4) (n — 5),

3'22

(n — 2) (n — 3) (n — 4) (n — 5) = 24

ware

Diese Gleichung hat nur die eine brauchbare Wurzel % = 6

Damit sind alle Möglichkeiten erschöpft; denn damit (D) oder

eine der weiteren Möglichkeiten erfüllt wäre, müsste eine Zahl 4! 2

oder 5! 2*

oder 6! 2°

als Product von sechs

oder acht

oder

zehn

Das

aufeinander folgenden ganzen Zahlen darstellbar sein

ist nicht möglich. Dividirt man nämlich durch 6! oder 8! oder 10!

so erscheinen einerseits yvanze Zahlen und andrerseits die

U..S. W.)

echten Brüche

22

93

24

2

6?

2

S

2

7-.8.9.107?

Es fragt sich deshalb nur noch

ob für o0= ” = 6 wirklich eine

Ausnahmegattung vorhanden ist

Kommt eine solche vor

so ist dies

allein bei einer Funetion g möglich, bei welcher sich Substitutionen

der z und der @ von folgenden Typen

(13)

Y= (A%) un 0 =

( Po) (P3P4) (PzDs)

entsprechen

Wir fragen jetzt, was für ein u einem S, = (2,2) entsprechen

kann, welches mit s, kein z gemeinsam hat. Da s,s; = (2,%) (22) ist

?

und da diesem Typus gemäss unserer schematischen Uebersicht aus

Gründen der Gleichheit der Anzahlen nur

wieder eine Substitution

yon gleichem Typus entsprechen kann

so ist uu auch von der

Form (gxOs) (D po)

Wir müssen also untersuchen, wann aus u - W

zwei Elemente @ herausfallen, die in « und in w einzeln vorkommen

320

Fünfundfünfzigste Vorlesu‘ng $ 547.

Soll etwa @; herausfallen, so zeigt die Productbildung, dass u den

Cyklus (g;g;) hat, und da man die Elemente g noch beliebig benennen

kann, so dürfen wir als einander entsprechend setzen

3 = (@2ı) un

u = (DaPo) (PcPa) (P5Po)-

Wegen der Möglichkeit, die Zahlen a, b,c, d auf 1, 2, 3, 4 beliebig

zu vertheilen, mit der Kinschränkung, dass a, b nicht gleichzeitig 1, 2

oder 3, 4 sein dürfen, kann man ohne Beschränkung setzen

(14)

59

(z32,) und u = (g,@s) (D Pı) (P;@)-

Dieselben Schlüsse gelten für das u3, welches der Substitution

53 = (2%,%) zugeordnet ist, d.h. uz hat mit u, und mit u je einen Cyklus

zweier Elemente gemeinsam. Das kann nur (g;,g;) sein; also wird

(15)

S3 = ( %)

und 4 = (g,O4) (g 3) ( e)-

Die Construction des zu s,=(2,%) gehörigen u, gründen wir

darauf, dass die Producte S,s, = (2,%%) und 8281 = (2,%2,) von dritter

Ordnung sind, und dass demgemäss das Gleiche auch bei u,u, und uu,

eintreten muss. Es könnte nun eins dieser Producte ein Cyklus dritter

Ordnung werden, falls bei der Multiplication drei Elemente verschwinden

würden. Wir sahen aber, dass bei der Form von 4, w,-:: Elemente

nur verschwinden, wenn Cykel gemeinsam sind; sollen drei Elemente

verschwinden, so kämen zwei gleiche Cyklen vor, und die w wären

identisch.

Es muss also ww und u„w, aus je zwei Cyklen dritter

Ordnung bestehen. Hat nun u, mit w, und u keinen Cyklus gemein-

sam, dann bleiben für u, die vier Möglichkeiten

u = (9 D4) ( 5) (D ®%),

u = (g Os) (D P3) (P.P6),

ur = (g ı) (D Pe) ( ws),

u = (D De) (PP3) (Y.Ps)-

Nun ändert sich in (13), (14), (15) nichts, wenn man %, mit &;

vertauscht. Dadurch.geht w in u und w im u über; man kann sich

also auf die Möglichkeiten w und u41 beschränken.

Transformiren wir ferner (13), (14), (15), sı und u4 durch sa und

bezw. w2, dann ändern sich nur sı und w und diese geben

(2,21) und (1 Pı) ( @;) ( %) = U4-

Bezeichnet man dann also schliesslich die z so, dass man %, und Z

vertauscht, so kommt man auch von dem Falle u4 durch die eben be-

trachteten Umwandlungen auf

(16)

Sı = (e,%). und Uı — (1 Pı) (P2Ps) CD

Durch Transformation von (16) mit s, und bezw. u, findet man weiter

(17)

s =(2,2) und u = (g,@s) (: Ps) (P4.P6)-

Gattungseigenschaften.

321

Um das ug zu finden, welches dem s;, = (2,%;) entspricht, bedenken

wir, dass S,Sg, S3S6, SaSc) SzSg und deshalb auch u,Ug, UgUg, UUg UsUG

dritter Ordnung sind. Nach den eben angestellten Ueberlegungen kann

ug mit U, U, U,, U, keinen Cyklus gemeinsam haben; es bleiben dem-

nach für w nur die beiden Möglichkeiten

u = (D Os) (D Ps) (P4Ps)

oder u = (g,@%) (D Pı) (D3Ps)-

Transformirt man dies durch die Substitutionen (15), so findet man

als dem s; = (z,%) entsprechend

U7 = ( Ps) (PaPı) (3 Ps) = U Oder ur = (g D3) (D Pe) (P1Ps) = -

Es ist also gleichgültig, welche der beiden Möglichkeiten man

für w wählt, da Vertauschung von z und %; untereinander eine jede

auf die andere transformiren wird. Wir setzen somit

(18)

S = (&,%) und w = (g 3) ( P6) (94.s),

(19)

S = (2,%) und ur = (g e) (g ı) (3 5)-

Durch die Formeln (13) bis (19) ist die Gruppe bestimmt, falls

sie widerspruchsfrei existirt.

Diejenigen Substitutionen s, deren zu-

gehörige u das Element @, nicht umsetzen, bilden die zu @; gehörige

Gruppe G;. Diese muss die Ordnung ” = 120 haben.

Nun ist

ea

Ur UUg UUr

( 5) (D P4O3);

S1 54555657 — (51225324352'6) = p

Ur UUg U

IR (‘P1 P2 P3 Pa %)

2}

S41 S45755

= (1 %83 2624)

=t„

U Ug Ur

= (D O5 Pı)

7

Sg S65ı

= (212425%)

s

Man erkennt leicht, dass 4, von allen Potenzen von &,, und dass f3 von

allen Producten tf t; verschieden ist. Alle 6.5.4=120 Substitutionen

@

(“=1727"'6; ß=172;"'53 7=1;2;"'4>

sind von einander verschieden; G4; hat also mindestens die Ordnung 120.

Andrerseits bleibt z. B. *) die Funetion

D = (01% + + 2586) (81% F 8 + 2486) (2, 24 + 286 T 9385)

(21 85 + Z 84 + 2386) (2,26 + Z &3 F 24%)

für 4, %, % und also für die 120 Substitutionen &*# 7 ungeändert; aber

auch nur für diese, da @,, wie man leicht sieht, sechs Werthe hat,

und 6-120= 6! ist. Folglich geben die Substitutionen (20)

eine Gruppe G; mit n=6, o0=6 als Ausnahmegruppe.

*) Vgl. hierzu: Dziobek, Arch. f. Math. 68, p. 226 u. 280; Hölder, Math,

Ann. 46, p. 333 ff.

Netto, Algebra. II

21

322

Fünfundfünfzigste Vorlesung $ 548.

&$ 548.

Wir sahen oben $ 540, (8*), dass bei der Darstellung

einer Funetion durch eine andere @ derselben Gattung die Diserimi-

nante 4y = IT(9« — pp)* als Nenner des darstellenden Ausdruckes

eine Rolle spielt.

Wir wollen eine weitere Eigenschaft der Diserimi-

nante herleiten.

Die Substitutionen der %» Elemente z ordnen wir wie früher in

eine Tabelle derart ein, dass die erste Zeile die Gruppe &G der Func-

tion @ und jede der folgenden Zeilen je einen der Gruppe G conjugen

Complex ($ 541) enthält:

S

Sg

Z

Sg

%

S,

G

02

’

S5202 ,

S5309 ,

Sr% 5

G

27

(ro=n!)

00

Z

G 60

S00

S3 00

.0

Kommt eine Transposition etwa (2425) in einem der conjugen Complexe

vor, z. B. in der zweiten Zeile, so zeigt dies an, dass @, durch (%x2g)

in @, übergeführt wird. KEs ist deswegen, wenn die Relation 2 = 2g

herrscht, auch @, = @; denn bei der Gleichheit dieser Elemente wird

ihre Umstellung ja keine Werthänderung in @ hervorrufen; und dem-

gemäss ist ihre Differenz (g; — @,) durch (Zx — 2g) theibar.

Giebt es daher in der ersten Zeile, d. h. in der Gruppe G der

Funetion @ selbst q Transpositionen der z, so kommen, weil das

Schema alle Substitutionen und jede nur einmal enthält, die übrigen

—;f n(n—1) —q

Transpositionen der 2,, 22, - Z im den weiteren conjugen Complexen

VOor

2}

und demnach werden auch % n(n—1) —g Differenzen (2x — 2g)

bestehen, welche das Product

(21)

(g — %) (Dı — Ds) + (ı

%e)

theilen. Diese Differenzen der Form (2u — 2g) sind alle unter einander

verschieden, und somit ist (21) durch ihr Product theilbar.

Da die Gruppe 6;1G-0,, welche zu @, gehört, dieselbe Constitution

wie G besitzt, so ist auch das entsprechende Product

(21°)

(D2 — 1) (D — @s) ; ( — ‘Pe)

nn—1)

durch

2

— g _Transpositionen theilbar und die Discriminante

SS

o(e—1)

2

2

Z (_ 1)

[ 10:—9)

(2<w; 4, u=1,2,-:-0)

durch das Product von © [n(—%j—l—) — q1 Differenzen von der Form ( — 2g).

Gattungseigenschaften.

328

y ist symmetrisch in den z; das Vorkommen eines (2, — 25) beweist

daher die Theilbarkeit durch die Disceriminante der z, die wir mit 4

bezeichnen wollen; und da diese von der Dimension % (n—1) ist, so

erkennt man, dass die Discriminante jeder Function @ der

Gattung G mindestens durch die Potenz

&

A"[2

T720=)

]

(22)

theilbar ist. Diese Potenz ist der grösste gemeinsame Theiler

der Discriminanten der Functionen der Gattung. Die Richtig-

keit dieser letzten Behauptung muss noch nachgewiesen werden.

Wir haben ($ 539) gezeigt, dass, falls nur 2,, %,: Zn VON ein-

ander verschieden sind, bei sonst willkürlichen aber durch algebraische

Gleichungen ausgedrückten Beziehungen der z unter einander stets

zu G gehörige Funetionen gefunden werden können, deren conjuge

Werthe von einander verschieden sind, deren Discriminante also nicht

gleich Null ist.

Hätten nun die Discriminanten aller Functionen der

Gattung G einen gemeinsamen Theiler w(2,, %,: Zn), SO würde es

ausreichen, die z der Gleichung w(2,,-:-Z)= 0 entsprechend zu

wählen, um eine Gattung von lauter Funetionen mit verschwindenden

Diseriminanten zu haben.

Das ist aber, wie oben gezeigt wurde, nur

bei Gleichheiten z„, = zg möglich. Gemeinsame Theiler aller Diserimi-

nanten können demnach nur Potenzen der Theiler von A sein.

Es ist daher nur noch zu zeigen, dass die durch (22) bestimmte

Potenz die höchste ist, welche als Theiler aller Discriminanten der

Funetionen einer Gattung heraustritt.

Wir bilden zu diesem Zwecke eine zu G& gehörige Funetion ($539; 5*)

kı

Ka

kz

ı _22'

22

Z)l

N

(&)

und ihre Conjuge

A

In

I3

BTB B

2IZ

n ?

o _2

()

wobei die % gemäss $ 539 so angenommen sind, dass alle möglichen

n ! Produete zi‘ ... zi" unter einander verschieden werden, und wobei

die / eine Permutation der % darstellen.

Gesetzt nun (@, — @,) hätte

den Factor (%, — %), dann müssten bei der hinlänglich grossen Willkür

in der Wahl der % die Functionen @, und @, aus Aggregaten von je

zwei Gliedern sich zusammensetzen

kı

k

K3

k

k

Z

Z

Z

zIL

kı

B

k

Z7L

al

2

3

und z’;* Z

3

Z

die sich einander zuordnen und deren Differenz durch (z, — %) und

zwar nur durch diese erste Potenz theilbar ist. Bei solcheli Zuordnung

20

394 Fünfundfünfzigste Vorlesung $ 548

Sechsundfünfzigste Vorlesung &$ 549

ist es aber klar, dass @, aus @, durch die Transposition 6 = (2,%)

entsteht; d. h. bei diesen Funetionen kommt nur ünter den am Anfange

des Paragraphen vorausgesetzten Verhältnissen der Factor (z, — z) und

auch in keiner höheren als ın der ersten Potenz vor

Damit ist die Berechtigung erwiesen, (22) als Gattungsdiscri-

mınante zu bezeichnen

@L Ia

als gemeinsamen Theiler der Diseri-

minanten aller zur Gattung gehörigen Funetionen. —

Ist G eine unter G enthaltene Gattung, y’ die Ordnung von G&

o =n!

ferner q’ die Zahl der Transpositionen in G und 7’=7%

d

Q

a

al

dann wird der Exponent 0 [

n(n—1)

]..

%

[

2

nn —

1)

] offenbar

<,

Q

und q >g ist

kleiner als @[

1>] da x mindestens =

IS6 G

unter

de1

dann - therlt Kdıe

Gattung G enthalten

Gattungsdiscriminante von &/

diejenige von G*)

Die oben definirte Zahl 9 wird nur dann zu Null, wenn G keine

Transpositionen besitzt; also stets dann, wenn die alternirende Gattung

unter

G

enthalten ist

Natürlich ist dies aber nur eine hinreichende

und keine nothwendige Bedingung

Der Exponent in (22) verschwindet nur dann, wenn qg= -n (n—1)

ist, d. h. wenn G die symmetrische Gattung repräsentirt und also con-

juge Gattungen nicht vorhanden sind

Aus (22) ist endlich ersichtlich, dass man die Gattungsdiscriminante

jeder Gattun

ausgenommen die symmetrische, in eine solche Potenz

erheben kann, dass die Gattungsdiscriminante einer beliebigen anderen

Gattung sie theilt

oder mit anderen Worten

dass die irreductiblen

Theiler aller Gattungsdisceriminanten, von der symmetrischen abgesehen

mit einander übereinstimmen

Sechsundfünfzigste Vorlesung

Composition und Isomorphismus

$ 549. Wir haben bei der Behandlung von Abel’schen Gruppen

($ 509) den Begriff der vertauschbaren Elemente eingeführt, für welche

also @0, = 0,0, wird.

Diesem ordnet sich der Begriff der ver-

tauschbaren Substitutionen unter;

s und £ heissen vertauschbar

) Kronecker, Grundzüge u.s. w. $ 9. — Vgl auch meinen Aufsatz: Journ

Math. 90, p. 164

Gattungseigenschaften.

Composition und Isomorphismus.

325

wenn das Resultat ihrer Composition von ihrer Stellung unabhängig

ist, d. h. s und % sind vertauschbar, wenn

(I)

St=s,

also

SS ==% un

Ö A S

wird. KEine Substitution ändert sich nicht, wenn man sie durch eine

miıt ihr vertauschbare Substitution transformirt.

Potenzen einer und derselben Substitution sind miteinander ver-

tauschbar.

Sind s und %4 miteinander vertauschbar, dann sind auch alle Po-

tenzen s* von s mit allen &“ von € vertauschbar.

Es ist deshalb auch

4—* mit s vertauschbar, wenn £ es ist, und es wird tst-1=s.

Substitutionen, die kein Element mit einander gemeinsam haben,

sind miteinander vertauschbar.

Alle Substitutionen, die mit einer gegebenen Substitution ver-

tauschbar sind, bilden eine Gruppe. Denn aus den beiden Gleichungen

s 1uUs= u

und

t7lubt= u

folgt die den Satz beweisende dritte Gleichung (vgl. S. 258, Z. 12)

(st) 1u(st) = t-![s-1lus]t = t-lut=1u.

Alle Substitutionen einer Gruppe, die mit den Substitutionen einer

anderen Gruppe vertauschbar sind, bilden aus gleichen Gründen auch

eine Gruppe.

Sind die Substitutionen s und £ miteinander vertauschbar, hat s

die Ordnung %, und ist 4” die niedrigste Potenz von £, welche zugleich

eine Potenz von s ist, so' wird m entweder gleich der Ordnung von £

oder gleich einem Theiler dieser Ordnung, wie leicht zu sehen ist. Dann

lassen sich die sämmtlichen ‘ Substitutionen der Gruppe G geringsten

Umfanges, welche s und € umfasst, eindeutig in der Form

(2)

SC

(x«=0,1,...n—1; ß=0,1,-..m—1)

darstellen. Die Gruppe G hat also die Ordnung m - n.

Zunächst ist es klar, dass jede Substitution von G als Combina-

tion _ von Potenzen des s und des £ die Gestalt eines Potenzproductes

mit beliebiger Factorenzahl

S.“1 t"1 ö„“*: t"2 8“'a t"a

A SÄUZ tr'z

auftritt, wo die w„ die Ordnung von s, und die v die Ordnung von £

nicht überschreiten können. Da nunm s und £ miteinander vertauschhbar

sind, kann man jedes solche Produet

sla e . c a __

77 f/

326

Sechsundfünfzigste Vorlesung $ 549—551.

setzen, wo auch w und v die Ordnungen der Substitutionen s und €

nicht übertreffen.

Da endlich #” eine Potenz von s wird, so kann

man die durch (2) gegebene Form dafür einsetzen.

Jede Substitution von & hat also die Form (2). Ferner sind alle

(2) von einander verschieden.

Denn wenn 6>ß und b, ß <m sind,

dann folgt aus

O = L

sofort

sa — tb——ß S

’

das aber führt zu dem Widerspruche mit der Voraussetzung, weıl nun

eine niedrigere Potenz von %* als die m* unter den Potenzen von s

auftritt.

Als Corollar können wir aus diesem Satze entnehmen: Hat £ die

Ordnung %,, und ist s” die niedrigste Potenz von s, welche zugleich

eine Potenz von € ist, so folgt für die Ordnung von &G ebenso m, :n;.

Folglich ist

m: M = .

$ 550. Eine Gruppe

G = [, S 899

20'8]

heisst mit einer Substitution £ vertauschbar, wenn für jedes «

eine Gleichung

(3)

Sal = 88

oder

671546 = 88

besteht, d. h. wenn man zu jedem « ein ß finden kann, so dass (3)

befriedigt wird.

Jede Substitution s von G wird hierbei durch & in eine nicht

nothwendig wieder mit 5x zusammenfallende Substitution von G trans-

formirt.

Wir schreiben dies symbolisch

(3°)

t-1Gt4=G,

wobei also links und rechts G nur als Inbegriff aller Substitutionen

S NO

Alle Substitutionen, die mit einer gegebenen Gruppe vertauschbar

sind, bilden selbst eine Gruppe.

Ist G mit € vertauschbar, bedeudet ” die Ordnung von G, ist

ferner 4” die niedrigste Potenz von t, welche in G vorkommt, dann

ist m gleich der Ordnung von & oder gleich einem Theiler dieser Ord-

Es lassen sich nun sämmtliche Substitutionen der Gruppe H,

nung.

die zugleich £ und alle Substitutionen von &@ umfasst, in der Form

GB

(B=Z0 1 m —

darstellen, so dass diese Gruppe HM also die Ordnung mr besitzt. Der

Beweis dieses Satzes entspricht durchaus dem im vorigen Paragraphen

bei dem specielleren Satze gegebenen.

Composition und Isomorphismus.

327

$ 551. Zwei Gruppen

G = [1‚ SS 8‚«] und H= [1‚ tg‚ t3‚

4]

seien. gegeben.

Die angewendete Bezeichnung bedeutet, dass G von

der Ordnung 7 ist und aus den Substitutionen 1, S,

S, besteht;

und Aehnliches gilt für H' (vgl. $ 514).

Wir nennen G und H mit einander vertauschbar, wenn zu

allen Indicespaaren «, ß passende Indicespaare y, 0 gefunden werden

können, welche die Gleichung

(4)

Salz = 1450

befriedigen. Wir drücken dies symbolisch durch die Formel aus

(4*)

GEl = Jal

Eine Gruppe ist mit jedem ihrer Theiler vertauschbar.

Nun möge K die Gruppe aller Substitutionen sein, welche G

und H gemein haben; dass diese Gesammtheit wirklich eine Gruppe

bildet, erkennt man sofort.

Es möge ferner G aus den conjugen

Complexen ($ 538)

JS KGa CO

K6,„ 9}

und H aus den conjugen Complexen

J9 19 Ka

Kr,

bestehen. Ist die Ordnung von K gleich 7, so ist diejenige von G

gleich m, und diejenige von H gleich r%. Kein 67 kann einem Tß

gleich werden.

Wir suchen diejenige Gruppe J geringsten Umfanges auf, welche

alle Substitutionen von G und von H in sich fasst.

Diese kann das

kleinste gemeinsame Vielfache von G und H genannt werden

’

ebenso wie K als der grösste gemeinsame Theiler von @ und

H bezeichnet werden darf.

Jede Substitution der Gruppe J hat die Form eines Potenzproductes

OC

d

S

ß8;, ?fa

VAOTO / O9

dies kann wegen (4) auf die einfachere Form s,%, gebracht werden.

Nun gehört aber jedes %, zu einem Complexe Kt.„, So dass man

Suby = G(Ktn) = (GK)to= Grn = Koptn

setzen kann, weil ja GK nichts anderes ist, als G selbst. Hieraus ist

ersichtlich, dass die Ordnung von J nicht grösser als rmn sein kann.

Sie ist aber wirklich so gross. Denn wenn man v=1 Z

?

@ = 12

E

n setzt, erhält man lguter verschiedene Substitutionen.

328

Sechsundfünfzigste Vorlesung & 551—553.

Wäre nämlich

Kobton — on

(v,w>mr; 0,g <n),

so würde

GT

w q

=6'K 0

folgen, d. h. eine Substitution von H gehörte der Gruppe G an; das

ist aber nur möglich, wenn q = @ und w = w ist.

Ist K der grösste gemeinsame Theiler, J das kleinste

gemeinsame Vielfache der beiden vertauschbaren Gruppen

G und H, und sind v, ym, r% die Ordnungen von K, G

und H, so ist rmn die Ordnung von\J

$ 552. Ist eine Gruppe

G = [1> S3, S3

’

.

Sal

gegeben, und ist H ein Theiler von &, derart dass H' mit allen Sub-

stitutionen von & vertauschbar ist,

s;1Hsa = /l

<“:1;27"'7”)7

so müssen die conjugen Gruppen von H, welche Theiler von G& sind,

gleich H selbst werden.

Für dieses Verhältnis von H zu G sind

mancherlei Bezeichnungen eingeführt.

H heisst nach F. Klein ein

„ausgezeichneter“ Theiler von G; nach G. Frobenius ein „mono-

typischer“; nach H. Weber ein „Normal“-Theiler; englische Autoren

bezeichnen ein solches H als „selbst-conjugirt“. Diese letzte Benennung

ist wohl die treffendste; die Mängel, die man in ihr finden könnte,

beruhen darin, dass sie nicht kurz genug ist; Bildungen wie „selbst-

conjugirte Maximaluntergruppe“ wirken schleppend. Ich möchte des-

halb im Anschluss an die bereıts von mir benutzte Abkürzung „conjug“

eine solche Gruppe einen autojugen Theiler von G& nennen.

Hat eine Gruppe &@ einen von der Einheit verschiedenen auto-

jugen Theiler niederer Ordnung, so heisst G& zusammengesetzt; ım

entgegengesetzten Falle heisst es einfach.

Aus den Untersuchungen der vorigen Vorlesung können wir ent-

nehmen, dass die symmetrische Gruppe zusammengesetzt und die

alternirende 4 ein autojuger Theiler ist, da für jede Substitution s

die Gleichung s7!4s= 4 gilt.

Ferner ist die alternirende Gruppe, falls die Anzahl der Elemente

>4 wird, einfach. Denn dies ist genau der in $ 543 behandelte Fall,

da die dort benutzten 6 sämmtlich zu 4 gehörten.

329

Composition und Isomorphısmus.

$ 553. Aus $ 533, (16) entnehmen wir ferner, dass die lineare

Gruppe U der

u = | e

@yı ı + Aul + + + Aeylıy + da |

(@=1 20008 n = 0, 1 D

zusammengesetzt, und dass die cyklische Gruppe S der Substitutionen

S= |

ha A da |

@— 1, 900003 Ü =0) 1, @1

ein autojuger Theiler von U ist.

Wir sind jetzt im Stande, die neu gewonnenen Begriffe dazu zu

verwenden, um alle Substitutionen 7 aufzufinden, welche der Gleichung

z-1St= 8

(5)

genügen, also umgekehrt die grösste Gruppe zu bestimmen, für welche

die eyklische Gruppe S ein autojuger Theiler ıst.

Für die Behandlung dieses Problems brauchen wir den Hülfs-

satz: Jede beliebige Umwandlung der Indices h,, h,,--- h, lässt sich

bei passender Wahl der ganzen Functionen %,, @, ::- @, durch eine

Substitution

(6)

| Z

Pa (h17 h2) 4 h1'> '

ausdrücken. Um dies zu zeigen, lassen wir alle einzelnen h;,, h,,

R

die Werthreihe 0, 1,--. (n —1) unabhängig von einander durchlaufen;

dann entspricht jedem Werthsysteme der ‘ı ein einziger Werth der

Grösse

(7)

t=h + 1h + W E - A W,

und diese Werthe von € durchlaufen die ganze Zahlenreihe von 0 bis

(n” — 1). Umgekehrt entspricht jedem dieser Werthe von £ nur ein

und stets ein System der A. Die Umformung eines Systems hı,, h,, - h,

durch eine Substitution in das System ı, h2,--- h, kann also auch

so aufgefasst werden, dass dem Zahlenwerthe (7) v Functionen w,(%),

W, (C), - W,(*) zugeordnet werden, deren Werthe durch A1, %, - Iı

bestimmt sind. Die %,, %,

sind dabei durch die Lagrange’sche

Interpolationsformel bestimmbar, und gemäss (7) kann endlich %. (f)

= Oa (Iı, ho, - hy) gesetzt werden. —

Nachdem dieser Hülfssatz bewiesen ist, nehmen wir eine noch un-

bestimmte Substitution, in der die @„ auch die Indices % liefern,

(;)„(/L„ ]L„

d=

2

(@=1, 2 %; %z =0,1,...n — 1)

und fragen, wie die Funetionen @„ beschaffen sein müssen, damit alle

Ausdrücke

o

330

Sechsundfünfzigste Vorlesung $ 5

53

—555

Z [h„ 2

h,

A

h|-w

9 ] Aıp p

Z

h„ h2 + 1

.r

lr‚

(8)

‚ h1) h27

h‚

h1 5 7u, S

/a„+l|

zu arıthmetischen Substitutionen werden

Durch diese Forderung ist

nämlich nach $ 524, (12) auch die anfängliche allgemeinere erfüllt

Durch 7—* geht jedes , (h,

k ) ın / über; durch | A, %,

AA

| geht dann A, in h, +1 über, während die folgenden %ı

ungeändert bleiben; durch T endlich geht ( +1) in ( 41, 0,

)

über, u.s.f. Die erste Zeile von (8) ruft also folgende Aenderungen

hervor

Jedes &. (Aı, A,

h,) geht in %(1 +1, %,

h,) über

Ebenso ruft die zweite Zeile von (8) die Umwandelung jedes

Pa ı, M,

h,) in @« I, h +1

h,) hervor u. s. w

Sollen die so bestimmten Substitutionen sämmtlich arithmetische

Substitutionen bedeuten

dann wird jeder durch ein %, (h,,

) dar-

gestellte Index um eine Constante wachsen

und es muss also, wenn

Constanten bedeuten

® On Aa

Da A A 1, 7‘27

h,) = « (hr, 6,

7@‚) + UZ

Da (h1; 7‘2 + 15

Iı ) D (h1) hz;

h1’) + Ua2 ,

Pa (hl; h‘H

Y

h‚) + e

seın

Setzt man endlich %, (0, 0

0)= da, SO folgt, wenn man

/)

die eben erhaltenen Gleichungen dazu verwendet, um in @, (N,, ,,

die Argumente der Reihe nach bis auf 0 zu verringern

Da A, ,

hy) = Oaı ı - Cag F + Arl + d

Damit ist bewiesen: Die Substitutionen der linearen Gruppe U

sind die einzigen, welche die cyklische Gruppe S in sich

selbst transformiren

Jede Gruppe, für welche die cyklische

Gruppe S ein autojuger Theiler wird

ist ın der

linearen

Gruppe U enthalten

$ 554. Wir leiten nun einige Hauptsätze über autojuge Theiler ab

I) Ist H ein autojuger Theiler von G, und ist K ein be-

liebiger Theiler von G, dann sind H und X vertauschbar

Denn bezeichnen wir die Substitutionen von K mit 4, W, U,

’

so wird für jedes «

Ü = M

IM) Sind H und H autojuge Theiler von G =[1,5,5;,

IR

dann ist die Gruppe geringsten Umfanges, welche H und H

Composition und Isomorphismus.

331

enthält, auch ein autojuger Theiler von &; dieser kann freilich

auch mit &@ zusammenfallen.

Denn man hat

S71 HHs, = (s7'Hs,) (s7*Hs.) = HH,

und daraus folgt der Satz sofort.

IM) Sind H und H autojuge Theiler von G=[1,5 ,5 , J,

dann ist der grösste gemeinsame Theiler 9 von H und H

auch ein autojuger Theiler von &. Denn man hat die Reihe

der Gleichungen

s7155,= H, weil $ zu H gehört; und

—

T

——

DAn

H,

Z

D »

H

”

%

folglich ıst

571 H5,= O, weil es zu H und zu H gehört.

ZWwei

D) Sind e

|

me n = [, an a

]

autojuge Theiler von G; ist ferner der grösste gemein-

same Theiler 9 von H und H gleich [1, t,t,---], und ist

K=[1, w, w,---] irgend eine ın H enthaltene und H ent-

haltende Gruppe, dann ist K mit allen Substitutionen von

H vertauschbar.

Denn es ist

—1

Ta

ß

T, Up = (r

z

p

- %) Ü tyup‚ = %,

weil u—' zu H gehört und H mit H vertauschbar ist; ferner ist aber

zugleich auch

r;1u{;1raup‚ = g (uß_1rauß) =1u 0 =T

Z

weil H autojug in G ist.

Deshalb wird die linke Seite der beiden

letzten Gleichungen zu © gehören müssen, da sie gleichzeitig ein f

und ein T wird; d. h. man hat

TUr U = 14,

ß

urı =

ra

’

S

da nun u;1 und ‚t, der Gruppe K angehören, so ist endlich auch

U O A

’

i Krı, =K.

Hierdurch ist der Beweis geliefert.

$ 555. Ist H ein autojuger Theiler von G, der so beschaffen

sein soll, dass es keinen anderen autojugen Theiler von G giebt,

welcher H in sich einschliesst, so nennen wir H einen autojugen

Maximaltheiler von G.

Nun sei @ irgend eine zusammengesetzte Gruppe, und die Reihe

(9)

G

Z Gl7 G

27

el

332

Sechsundfünfzigste Vorlesung $ 55

möge so gewählt sein, dass jedes ihrer Glieder G, (« > 1) autojuger

Maximaltheiler des vorhergehenden wird. Dann nennen wir (5) eine

zu G gehörige Compositionsreihe.

Die Ordnungen der einzelnen

Gruppen in (5) bezeichnen wir entsprechend

1

Y5 y

Tx,

Jl

2

jede dieser Zahlen ist ein Theiler der Vorhergehenden. Wir setzen ferner

7

4

C

@

"V—l

= ,,

7

V

1 =—= 6‚y‚+1;

dann nennen wir die Quotienten €, %,

die zur

Com-

Cy, Cy+1

positionsreihe (5) gehörigen Factoren oder die Compositions-

factoren.

Es kann vorkommen, dass eine Gruppe verschiedene autojuge

Maximaltheiler besitzt.

Infolge dessen kann es auch eintreten, dass

zu einer Gruppe &@ verschiedene Compositionsreihen gehören.

Wir

werden nun beweisen, dass, wie auch die . Reihen gewählt werden

mögen, die einzelnen. Compositionsfactoren, abgesehen von ihrer Auf-

einanderfolge, für alle Reihen dieselben, und ihrer Gesammtheit nach

daher invariant sind.

Es bılde neben (9) auch noch die Reihe von Gruppen

(

G) F1) F27

T> 1

eine zu &7 gehörige Compositionsreihe mitden Ordnungen

al

T, Q9ı, Q2)

Ou >

und den Compositionsfactoren

9‚u——1

QlL

Pr 9

©

©

1="72)

— 9

na

Qu

Wir können von vornherein annehmen, dass I7 , von G, verschieden

sei, da ja im entgegengesetzten Falle die Anfangsglieder, welche dem

zu beweisenden Satze schon entsprechen würden, einfach weggelassen

werden könnten.

Die Gruppe geringsten Umfanges, welche

T, und G, enthält, seı H;

al

der grösste gemeinsame Theiler von

T, und G, sei K, und % die Ord-

3l

nung von K. Nach II) des vorigen Paragraphen ist / ein autojuger

Theiler von G; da er aber die beiden Maximaltheiler G, und I” um-

fasst und eine höhere Ordnung besitzt als jeder derselben, so fällt H

mit G zusammen, d. h. man hat H=G. Die Ordnung von H ist

nach $ 551 gleich 1‘1—%; folglich hat man die Gleichungen

Composition und Isomorphismus.

333

T, @:

25

©

“=7 0 = A

und deswegen

(10)

91=k 15

Y = MN

Nach III) des vorigen Paragraphen ist X ein autojuger Theiler

von &4 und also auch autojug in G, und in TI}.

Endlich ıst X auch ein autojuger Maximaltheiler von G, und von

I7. Denn gäbe es zwischen G, und K noch einen in G, enthaltenen

und X umschliessenden autojugen Theiler L, so wäre nach $ 554, IV)

L mit allen Substitutionen von I7 vertauschbar.

Da ferner

L mit

allen Substitutionen von G, vertauschbar ist, so findet dasselbe auch

für die Substitutionen von H= G statt, d. h. Z ist sogar autojuger

Theiler von @. Dann würde die Gruppe geringsten Umfanges, welche

I und I, enthält, ein autojuger Theiler von G werden, ohne mit

G zusammenzufallen; denn nach dem Lehrsatze aus $ 551 wäre ihre

Ordnung geringer als v7,-

Q,

d.'h. geringer als v.

Andrerseits würde

D

sie die Gruppe I7 enthalten; also könnte I} kein autojuger Maximal-

theiler sein. Es darf sonach keine solche Gruppe L geben; d. h. K

ist autojuger Maximaltheiler von G, und von I/.

Man könnte demnach neben (5) und (5*) noch zwei Compositions-

reihen für &/ construiren, deren drei Anfangsglieder bezw.

(9”)

C Cay 50

und G

und deren Anfangsfactoren gemäss (10)

&> M>

Wn ıp Qı

sind. Da X in beiden Reihen auftritt, kann man in beiden die auf

die Gruppe K folgenden Glieder identisch machen.

Der ausgesprochene Satz wird daher bewiesen sein, wenn er für

(9) und die erste Reihe aus (9”) und ebenso für (9%) und die zweite

Reihe von (9”) gilt.

Dadurch wird der Beweis aber auf Reihen re-

ducirt, die schon in den Anfangsfactoren übereinstimmen.

Wendet man dieselben Schlüsse auf sie an, so erkennt man die

Wahrheit des Satzes: Die Compositionsfactoren sind, abgesehen

von ihrer Aufeinanderfolge, für alle zu G _ gehörigen Com-

positionsreihen dieselben.

Daher ist auch die Anzahl der

Gruppen dieser Reihen constant.

Die allmähliche Umwandlung der Gruppenreihe (9) in (9*) führt

im allgemeinen Falle bei v Zwischengliedern zwischen G und 1 auf

2” Reihen. Im Falle v =4 z. B, hat man Folgendes. Die Umwand-

lung erfolgt durch

334

Sechsundfünfzigste Vorlesung $ 555—556.

1)

-

®

.

N

G27 G3: G47

9)

-

-

U

Z

9

G

)

w

(

.

27 G“3

’

4>

10)

.

-

N,

3)

w

DE

=

o

2

11)

-

-

Nı

4)

w

s

N

c

12)

-

-

P4

Q Q

5)

>

‚..

S

13)

-

v

P,

6)

-

Q

-

-

14)

.

.

Qu)

%)

-

S

-

w

ää‚

%

JII%

15)

%

e e

-

S HN

>

1fäjä

Q

NN N K Q RQQ

G

8)

-

66

J27 J;37 (]'47

%

16)

F1?

T

27

I

37

F47

]%

Hierbei sind die Reihen 1) und 16) die Ausgangspunkte. Zwischen

sie schieben sich zunächst 8) und 9) ein, so dass man hat

D, 95 9), 16);

dann zwischen 1) und 8) als neue Glieder 4) und 5); und zugleich

zwischen 9) und 16) als neue 12) und 16), so dass entsteht

1), 45); 5), 8); 9), 12); 18), 16)

u.s.f. Bei dieser Tabelle findet also von jeder Nummer zur folgenden

nur je eine Abänderung statt.

Nach der Einführung des Begriffes der Composition können wir

den Satz aus $ 545 unserer Theorie anfügen.

Er heisst in der anzu-

wendenden Nomenclatur: Ist der zum Uebergange von G zu H

gehörige Compositionsfactor gleich einer Primzahl p, dann

gehört die p“ Potenz jeder zu G gehörigen, nicht in H vor-

kommenden Potenz zu dieser Gruppe H. Der Beweis hierfür

ist in $ 545 gegeben; er folgt daraus, dass wenn man eine Substitu-

tion o aus G, die nicht zu H gehört, mit H verbindet, hieraus G ent-

stehen muss, sowie daraus, dass 0cH = HO0 ıst.

Wir können hier noch hinzufügen, was dann als wesentliche

Eigenschaft der Compositionsreihe auftritt, dass zweiı Substitu-

tionen s und sg von G bis auf eine Substitution von H

mit einander

vertauschbar

sınd, falls

der Compositions-

factor eine Primzahl ist.

In der That können wir dann

Sa = 0409,

S tß61

setzen, wenn %„ und %g zu H gehören.

Daraus folgt

=—

D

—>

Sasp’ — ta049 ° tß61

ba (086g078) 0748 — bb 78

bn 07 0,

HI = bg 67 - ba 68 = t/j‚ (51ta6—1) + — ;‚‘P‚tsaf+@ = OO

Sa Sß = SpSa

Ö

(

und in der letzten Gleichung liegt der Beweis für die Behauptung

Composition und Isomorphismus.

335

Den letzten Lehrsatz können wir umkehren:

Sind die Sub-

stitutionen Sy, Sp,

von G bis auf Substitutionen £ von H

mit einander vertauschbar, dann ist der zugehörige Com-

positionsfactor eine Primzahl.

Wählen wir ein 6 aus (/, welches nicht zu H gehört, und dessen

x'° Potenz (x >1) die erste in H vorkommende ist, so wird die Ge-

sammtheit der Substitutionen von

H Ho Ho?,

H67t—1

eine Gruppe bilden; denn es ist

JEl = @ Jaln

da wir ja H als autojugen Theiler von G angenommen haben. Diese

Gruppe ist in G enthalten. Sie ist ferner autojug zu @. Denn man hat

s;1Ho‘ßsa =— s;1Hsa . sa—16!°’sa — H- sa—16f5’sa

Z

und weil die Substitutionen von &@ miıt einander bis auf solche von

H permutabel sind, so wird

s;1H6ﬁsa = H- ty6f*s;lsa — Hoß.

Demnach muss die aus allen Substitutionen von

H6ﬂ— :

Jäl ı Jal@, Ja

bestehende Gruppe mit G zusammenfallen, weil G in der Compositions-

reihe unmittelbar vor H steht.

Wäre nun z keine Primzahl, und q ein Theiler von x, dann wäre

Jal JEl Jal

aus gleichen Gründen eine Gruppe, die in & enthalten ist, H enthält

und autojug von G ist.

Diese Gruppe würde also in die Reihe der

Composition zwischen @& und H eingeschoben werden müssen, was

unseren Voraussetzungen widerspricht.

Folglich ist z eine Primzahl.

Von dieser ergiebt sich sofort, dass sie der Compositionsfactor wird,

der beim Uebergange von G zu H auftritt.

Die Gleichung SaSg = SpSa * tu Ist also charakteristisch dafür, dass

der Compositionsfactor eine Primzahl ist.

$ 556. Im Allgemeinen wird ein jedes beliebige Glied der Com-

positionsreihe

(9)

G, G, &,

G

nur vom vorhergehenden Gliede autojuger Theiler sein; es können aber

auch Glieder auftreten, dıe autojug in weiter zurückliegenden Gruppen

vorkommen. Insbesondere können gewisse Glieder G4, G,

auto-

juge Theiler von G& selbst sein.

336

Sechsundfünfzigste Vorlesung & 556.

Wählen wir aus der Reihe (9) nur diejenigen aus

(11)

G TT

welche autojuge Theiler von G sind, so heisst die Reihe (11)_ die

Hauptcompositionsreihe oder kürzer die Hauptreihe von G.

Gesetzt, die Hauptreihe stimmt nicht mit der Reihe der Zusammen-

setzung überein, dann mögen sich z. B. zwischen H’ und J noch andere

Gruppen von (9) einschieben. Die erste auf H' in (9) folgende sei Hi;

dann ist H; autojug in H, aber nicht in G. Transformiren wir nun

H; durch alle Substitutionen von G', so mögen dabei g conjuge Gruppen

entstehen, und zwar sei wenn &, b,

- Substitutionen von G& sind,

(12)

6 Hı = H,

i l =

E

o

(1 H6 — HO,

Da

L A =0 "H6=-..= Üal = Wäl;

J6 = 0 1J6 = o=d d T,

so ist jedes H@ Theiler von H und Multiplum von J.

Ferner ist jedes H(© autojug in H. Denn weil H' autojug in G&

ist, so kann man für jedes u;, in H ein u in H so bestimmen, dass

bala = Un

Uulba = baUz

H,

wird; dann folgt aus w Hw

al

—l

Ifl(a) Br

WE

&«

l

@=gwfm%a

(Z2

2

E SR

und diese Gleichung beweist die Behauptung.

Endlich ist Hf‘” ein autojuger Maximaltheiler von H. Denn schöbe

sich zwischen H und H© noch ein I”“ ein, welches autojug in H

wäre, so würde durch Transformation mit %; * daraus ein I” entstehen,

welches umfassender wäre als H, und autojug in H.

Man kann also jetzt nach dem vorigen Paragraphen eine Com-

positionsreihe für &/ construiren, die vom Beginn bis zu H mit (9)

übereinstimmt, dann Hl(“) folgen lässt und, da dies J enthält, über JS

fortgeht, wie leicht zu sehen ist; diese kann man, wie gezeigt wurde,

so einrichten, dass auf H© der grösste gemeinsame Theiler von H”

und H1(ß ) folgt; und zwar gilt dies für jedes Paar «, ß. Diesen grössten

gemeinsamen Theiler bezeichnen wir mit flg(a“g).

Dann können wir von H/“”, H«” ebenso zu ihrem grössten ge-

meinsamen Theiler H/“*” übergehen, u.s. f. Dieses H/“”” jst damn

gleichzeitig der grösste gemeinsame 'Theiler von JE H® und JE

Composition und Isomorphismus.

33

-

(

Da beim Fortschreiten jede der neuen Gruppen das J enthält, so kommt

man nach g Schritten zu / als zum grössten gemeinsamen Theiler von

JEl JR 6 60 TE

Nun möge zum Uebergange von H zu H; der Compositions-

factor € gehören.

Derselbe gehört dann zum Uebergange von H zu

jedem Hl(“) in (12), da alle diese Gruppen einander ähnlich sind.

Folglich gehört nach dem vorigen Paragraphen zum Uebergange jedes

H© zu jedem H, wiederum der Factor e u.s.f. Es tritt also bei

jeder Reihe

H7 IJ1; H’)

HT

überall, d. h. g-mal der Factor e auf. Wenn man von G aus in

dem Falle, dass Reihe und Hauptreihe nicht übereinstimmen,

die eben getroffene Anordnung macht, indem man zwischen

je zwei Gruppen der Hauptreihe H, J alle Gruppen der Reihe

einschaltet, dann tritt der gleiche Compositionsfactor e für

alle Zwischenglieder auf.

Der zur Hauptreihe gehörige

Compositionsfactor ist also eine Potenz von e.

Ist G keine einfache Gruppe, und besteht also (9) aus mehr als

den beiden Gliedern G und 1, so hat G auch eine Hauptcompositions-

reihe, da ja natürlich das erste auf G- folgende Glied der Compositions-

veihe in @7 selbst autojug ist.

Wenn in der Compositionsreihe

(9)

G) (}17 G27

G

1

G„ GZ+1 ’

B

mit den Compositionsfactoren

Cl 2 02 ’

C4 Üx+].;

Cy, Cy+1

das Glied &, der Hauptreihe angehört, und wenn unter

()z+l‚

Cy, Cy+1 Verschiedene Zahlen vorkommen,

dann liegt

zwischen G, und 1 in (9) noch eine mit G autojuge Gruppe,

d. h. noch ein Glied der Hauptreihe.

Denn wäre keine der

Gruppen G, 41, - G, zur Hauptreihe gehörig, dann wäre

ex+1=(jz_l_2=...—cp=ev+l. Da

Man sieht ferner leicht, dass wenn H ein autojJuger Theiler von

G& ist, eine Compositionsreihe construirt werden kann

, welche H als

Glied enthält. —

Wir bemerken, dass auch hier verschiedene Hauptreihen möglich,

aber die Producte der Factoren, welche dem Uebergange von jedem

Gliede der Hauptreihe zum folgenden angehören, nicht invariant sind }

*) W. Burnside, Theory of groups, Cambr. 1897, $ 92 behauptet die Invarianz.

Netto, Algebra. II,

22

36

8

Sechsundfünfzigste Vorlesung $ 556—557

Dies zeigt das Beispiel:

9

2

2

24)> (8124) (Z023),

GQ =[1, (2,%), (@324), (2122)(2324), (2123)(2

(2. %320 84), (Z1%4%83)1;

G

——

5

1, (8,89)(232u), (Zy2)(2024), (2,24)(2

2

G =[1, (2,%)(@24)]-

%

Hier fällt die Hauptreihe mit der Reihe G, G, 0, G, = 1 zusammen.

Gleichzeitig ist aber für

7Dn

Y!'

Gı = [1, (2,%), @9u), (01%) (f7551„7

l1 ) ('2’1 22) l

auch G, G, G2, G3 = 1 eine Compositionsreihe, aus welcher 7, G, 1

als Hauptreihe heraustritt. Im ersten Falle besitzt demnach die Haupt-

reihe vier Glieder, hier dagegen nur drei. —

Wir wollen die am Schluss von $ 555 aufgéstellten Theoreme

über den Fall, dass ein Compositionsfactor eine Primzahl wird, hier

verwenden.

Wenn in der Compositionsreihe von @& die Glieder

1{7 'l—[17 11_>)

l_[f1—«‘} J7

vorkommen, und H, J aufeinander folgende Glieder der Hauptreihe

sind, wenn ferner zum Uebergange von H zu H, der Compositions-

factor p gehört, der eine Primzahl sein soll, so erinnern wir uns, dass

auf H in der Compositionsreihe auch ausser Hı = H; noch Gruppen

H1„‚ H1m‚

50 E

folgen können, und dass J der grösste gemeinsame "Theiler dieser

Gruppen ıst.

Nun waren die Substitutionen von H mit einander bis auf solche

von Hy vertauschbar; das Gleiche gilt für Hı, Hi”,

?

Qa

die

Substitutionen von H sind mit einander bis auf Substitu-

tionen von J vertauschbar.

Umgekehrt, wenn dies stattfindet, so sind auch die Substitutionen

von H,_, unter einander bis auf die von J vertauschbar. Folglich

gehört dazu als Compositionsfactor eine Primzahl p, und deshalb zum

Uebergange von H zu J die Potenz #%. Die Vertauschbarkeit der

Substitutionen von H bis auf solche von J ist also charak-

teristisch dafür, dass als Factor der Compositionsreihe da-

bei

eine Primzahl auftritt.

Da auf die vorletzte Gruppe der

Hauptreihe die Einheitsgruppe folgt, so muss diese Gruppe unter ein-

Die vorletzte Gruppe

ander vertauschbare Substitutionen haben.

der Hauptreihe ist eine Ahbel’sche Gruppe,

«

Composition und Isomorphismus.

339

$ 55%. Wir gehen auf eine andere wichtige Erscheinung eın, auf

den Isomorphismus.

Es kommt vor, dass die Substitutionen zweier Substitutionen-

gruppen G und I” einander so zugeordnet werden können, dass auch

dem Produete zweier willkürlichen Substitutionen von &( das Produet

der zugeordneten Substitutionen von I' zugeordnet ist. In diesem Falle

heissen @ und I” isomorph.

Am einfachsten gestalten sich die Verhältnisse, wenn jeder Sub-

stitution _ der einen Gruppe nur eine der. anderen zugeordnet ist.

In

diesem Falle sprechen wir von einstufigem Isomorphismus

Jedem 'Theiler H von @& entsprechen die Substitutionen eines

Theilers H von I” Ist H autojug in (7, dann ist H autojug

na JDE

denn aus

GG = Jal wla A Ml

Ist H einm autojuger Maximaltheiler in @, dann gilt das Ent-

sprechende für H in I” Denn aus der Existenz einer zwischen I”

und H tretenden autojugen Gruppe 4 würde die einer entsprechenden

L in G folgen.

Der Compositionsreihe (und auch der Hauptcompositionsreihe)

von ( entspricht die aus der isomorphen Gruppe I” abgeleitete ent-

sprechende Folge von Gruppen als Reihe (bezw. als Hauptreihe).

Kinstufig-isomorphe Gruppen besitzen gleiche Ordnungen, während

ihre Grade. verschieden sein können.

Sie haben ferner gleiche Com-

positionsfactoren; sie sind gleichzeitig einfach oder zusammengesetzt.

So bleibt eine Reihe wichtiger Eigenschaften, die mit der Mul-

tiplication der Elemente zusammenhängen, bei isomorphen Gruppen

invarlant.

KEs ergiebt sich hieraus, dass diejenigen Gruppeneigenschaften;

welche allen isomorphen Gruppen gemeinsam sind, als in der Natur

der Gruppe tiefer begründet angesehen werden können. So haben wir

die Ordnung als‘Invariante einstufig-isomorpher Gruppen, den Grad

hingegen nicht. Wie wir ferner soeben sahen, bleibt für isomorphe

Gruppen

die Eigenschaft, einfach oder zusammengesetzt zu sein,

bestehen

Wir wollen eine Methode angeben, zu einer vorgelegten Gruppe G

der Ordnung 7 eine einstufig-isomorphe von besonders interessanten

Kigenthümlichkeiten zu bilden. Es sei, wie in $ 539, O(@y 0 a)=

eine Galois’sche Funetion, d. h. eine solche, die %! Werthe besitzt.

Wir wenden auf @, die Substitutionen der Gruppe

G = [1; Say Say C S‚]

22“

40

Sechsundfünfzigste Vorlesung $

d

558

an und erhalten daraus die Reihe der ” verschiedenen Werthe

(12)

Pır Pa, P3,

(P/

Wird nun auf diese Reihe ein s, angewendet, dann geht die Ge-

sammtheit ihrer Elemente in sich selber über.

Wn

bezeichnen die

Umwandlung von @, durch s; mit Pe,; dann ruft also s aus der

Anordnung (12) hervor

Pa > (Pa2‚ @“.17

Pa

Wir setzen jetzt als Zeichen für diesen. Uebergang

2

-

Pa

/> (”=1;2; 7);

dann wird die Wirkung von sx auf die Elemente (12) als Funetionen

der z aufgefasst dieselbe sein

wie die von 6” auf dieselben als be-

liebige Elemente aufgefassten Glieder

folglich wird, wenn sich auch

Sg und 6g entsprechen, die Wirkung von S%

3 dieselbe sein, wie die

von 6x-65, d.h. auch s„Sg und 66g entsprechen einander; wir haben

demnach Isomorphismus zwischen den s und den 6

Es können bei dieser Zuordnung nicht zwei verschiedene s, und

Sı das <ﬂemhe 6, = 6, _ hervorrufen.

Denn sonst würden sich 887°

und 667

= 1 entsprechen, d. h. die von 1 verschiedene Subst1tut10n

SS 1lefe keine Umänderung bei (12) hervor,

während doch sogar

]edes Klement von (12) sich durch jede Subst1tut10n ändert.

Um-

gekehrt entspricht jedem s, ein 0,

Folglich findet einstufiger

Isomorphismus zwischen den s und den 6 statt, wobei die 6 eine

Gruppe I” von der Ordnung 7 bilden

I’ ist auch vom Grade r, da seine Elemente %,, %,

@, sind

I’ ist so beschaffen,

dass jede seiner Substitutionen 6 (ab-

gesehen von 6, =

1) alle Elemente umsetzt; denn jedes @ ist

eine ”!-werthige Funetion

Jedes 6 ist regulär

d h. es enthält nur

Cyklen von gleich vielen Elementen

denn wäre dies nicht der Fall

dann würde eine passende Potenz, ohne = 1 zu sein, einige Elemente

niıcht umstellen

S

Wir können die angegebene Methode dadurch abändern, dass wir

für @ eine beliebige q-werthige Funetion (q > 2) mit den Werthen

(12*)

Pı> P,

D3 ,

Po

nehmen und auf diese Reihe die Substitutionen s„ der Gruppe & an-

wenden

um dadurch jedem Sx einm 6

zuordnen zu können

Ebenso

wie oben folgt dann, dass dem Producte s7Sg das Product 0, 6y ent-

spricht

und aus $ 543 entnehmen wir

dass jedem s nur Ein 0%

Composition und' Isomorphismus.

341

entspricht, weil sonst ein s bestehen müsste, welches von der Einheit

verschieden ist und doch alle Elemente aus (12*) ungeändert lässt.

Die neue Gruppe I” ist sonach einstufig-isomorph zu &; aber freilich

fehlen ihr die weiteren Eigenschaften der oben abgeleiteten Gruppe,

die der Benutzung einer Galois’schen Funetion entstammte.

$ 558. Wir hatten zu Beginn des vorigen Paragraphen den Be-

griff des Isomorphismus weiter gefasst, indem wir nur forderten, dass

eine Zuordnung der Substitutionen von &@ und I” möglich sein solle,

bei welcher aus dem Entsprechen von s und 6, und demjenigen von Sg

und 6, auch das von S«Sg und 646g für alle «, ß folgt. Hierbei können

einem s mehrere 6 und zugleich einem 6 mehrere s entsprechen. Auf

diesen allgemeinsten Fall wollen wir jedoch nicht eingehen, sondern

uns allein mit demjenigen beschäftigen, in welchem der einen Sub-

stitntion 1 von I” in G eine Reihe von m Substitutionen Sı, S,

$ 5;u

entspricht, und umgekehrt jeder von diesen m Substitutionen s’ allein

1 aus I; Dann sagen wir, G stehe zu I” in m-ein-stufigem Iso-

morphismus oder kürzer, G sei zu I” m-stufig isomorph.

Zuerst ist es klar, dass die s’ einen Theiler G' von G& bilden, da

jedem Producte s,:sS; das Product 1.1==1 entspricht. — Ferner sieht

man, dass jedem 6, aus I” gleichfalls »” Substitutionen aus G und nur

so viele entsprechen. Wenn wir nämlich mit s,.eine dem 6, entsprechende

bezeichnen, dann sind alle dem 6, entsprechenden durch die Producte

SS

S s

gegeben. Dies folgt aus 6,-1==6, und andrerseits aus 6,-6, =1. -

Ebenso erkennt man, dass einem Theiler von I” der Ordnung g ein

Theiler von @ der Ordnung m-g entspricht, und dabei einem auto-

jugen Theiler von I” ein autojuger Theiler von G. — Aus dieser

letzten Eigenschaft ergiebt sich, dass G ein autojuger Theiler von G&

ist, weil ja 1 in I” einen autojugen Theiler bildet. — G kann nur

dann in m-stufigem Isomorphismus zu I” stehen, wenn es

einen autojugen Theiler G' der Ordnung m besitzt.

Ist diese Bedingung erfüllt, dann kann eine Gruppe I” zu welcher

G in m-stufigem Isomorphismus steht, leicht construirt werden.

Es

sei G mit den Substitutionen 1, 5S;, 52, --- S dieser autojuge Theiler

von &, und @(z,,

Zm) = @, eine zu G gehörige Funetion.

Es

seıen ferner

(12”)

Pı> Pa, Ps3,

Pr

(m.t=r)

die £ Werthe, welche w unter dem Einflusse der Substitutionen von G

annımmt. Da @, für s CC ungeändert bleibt, so wird die

342

Sechsundfünfzigste Vorlesung $ 558—559.

N

Reihe (12”) völlig unberührt bleiben, wenn man ein s’ auf sıe anwendet.

Die Umwandlung von (12”) durch ein s, wird die gleiche sein, wie

durch s,-S

Diese Umsetzung der %,, %,

. Jässt sich wieder als

eine Substitution 6, unter den Elementen @ auffassen, und so gelangt

man zu der isomorphen Gruppe I” unter den @,, :-- @, bei welcher

die Einheit jeder Substitution der Gruppe G zugeordnet ist.

Hat man eine andere Gruppe ©, zu der G m-stufig isomorph ist,

so werden natürlich © und I” einstufig-isomorph sein, falls G' in

beiden Fällen der vermittelnde autojuge Theiler ist

Ist umgekehrt I”

zu @ einstufig-isomorph, und G zu I” m-stufig, dann wird G zu ®©

gleichfalls m-stufig isomorph werden.

$ 559. Im $ 540 haben W.il' gesehen, dass wenn

G' = [1, 9 93y

Sın

ein Theiler der Gruppe &G der Ordnung 7

mb ist, dann € Sub-

StnbubL OE SS

- S“ bestehen, derart dass alle Substitutionen

von G in die Tabelle

Z

S52

S3

S

S92

S

S2582 ,

3

2

SS

G' s

(13)

S

S2853

k

5353

Sr’u S53

G/'S3

517

St ,

52 54

3';’3 St y

5/’n St \

54

eingeordnet werden können, deren einzelne Zeilen

die einzelnen con-

jugen Complexe G/’s„ enthalten.

Aus den Betrachtungen. des vorigen Paragraphen ergiebt sich ein

bedeutender Unterschied zwischen dem Falle, in welchem G autojug

in G ist, und dem, in welchem dies nicht stattfindet.

Ist G autojug in G, dann liefert das Product einer beliebigen

Substitution der x'°" mit einer beliebigen der A“ Zeile von (13) eine

Substitution einer durch x und 21 vermöge S,S; == SwSw eindeutig be-

stimmten u'” Zeile.

Es wird nämlich bei beliebigen @« und ß

—z

SS

(S4S7) - (8382) = Sa (8,8p) 82 = Sa (SySu) Sz — 39 * SwSu

Und wenn umgekehrt in (13) das Product zweier beliebiger Sub-

stitutionen der x° und der 2 Zeile stets eine Substitution einer

bestimmten u“ Zeile wırd, dann folgt, falls man s,52 = SySu Setzt, aus

SaSn 5951 = S85

dass weiter auch

Composition und Isomorphismus,

343

/

l

sLl b/

SpS2

w

4 S;„.%'„ F Sf9' *5452 ,

S L( S '5‚la‘

— 5'_.‚5z,

/

S99

= $

wird.

Lässt man nun ß

alle Werthe 1, 2,-.-

%

durchlaufen, dann

folgt, dass jedes ’s, und also auch jede Substitution von &G mit G

vertauschbar und deswegen &’ in G& autojug ist.

Die Eigenschaft, dass dıe Zeılen von (13) als Elemente aufgefasst

und als solche durch Vermittelung der s eindeutig componirt werden

können, ıst demnach charakteristisch dafür, dass G' in G autojug ist.

Wenden wir

Nun möge dies für @& und G wirklich stattfinden.

dann auf die Reihe der Complexe

L

C

N

G’S[

Z

G'& G'

eine Substitution S, an, dann geht sie in

GIÖ.M; G/Ö'2SL'() G‚535(‚{;

G S48a

über; man erhält also eine Llem Sz entsprechende Substitution

/

G5

D

(x

>

dl

DA

)

w=(

G

)

Bedeutet andrerseits vg = @, eine zu G gehörige Funetion, und ist

P

q7—>'2 _ $’)

P 83

P3 ,

q)-5‘[ S q‘75 2

dann wandelt s„ diese Fo]ge ın

q)\3'(; ’ q)—3'-:'\'(-( ? q)'3':s Sa 2

Psysx

um; man hat also bis auf die Bezeichnung der Elemente die Sub-

stitution 6, erhalten.

Somit erzeugt man durch die Verwendung aller s die im vorigen

Paragraphen besprochene Gruppe I” der 6, zu welcher G in m-stufigem

Isomorphismus steht.

Hölder hat für diese Gruppe den Namen Factorgruppe und

die Bezeichnung

(14)

T C

eingeführt *). Natürlich ist dabei I” weder in der Bezeichnung noch

in der Anzahl der Elemente eindeutig bestimmt; es kann, wenn ein I”

gefunden ist, jede andere dazu einstufig isomorphe Gruppe für G/G-

genommen werden.

A

3

X

*) Math. Ann.

4 (1889), p. 26.

344 Sechsundfünfzigste Vorlesung 8 559. Siebenundfünfzigste Vorlesung 8 560.

Jedem Theiler H von I’= G/G” entspricht ein Theiler H' von G,

dessen Ordnung m-mal so gross ist, als die von H. Aber es entspricht

nıcht umgekehrt jedem Theiler von G ein solcher von

I, sondern nur

?

denjenigen, welche G& selbst enthalten.

Wenn hierbei H autojug in I” ıst, dann wird aus

DA = R Olgen

GAHG=H,

und da M zugleich ein Multiplum von G ist, so zeigt es sich, dass

dann G kein autojuger Maximaltheiler von &} seim kann.

Umgekehrt folgt aus dem Bestehen der zweiten Gleichung die

erste und damit, dass I” nicht einfach ist.

Folglich "erkennt man:

Die Factorgruppe I’= G/G’ ist dann und nur dann einfach,

wenn-G’ ein autojuger Maximaltheiler von G ist.

AA

Siebenundfünfzigste Vorlesung.

Die Galois’sche Gruppe einer Gleichung.

& 560. Die Kreistheilungsgleichungen und noch mehr die Abel-

schen Gleichungen haben uns zu der HErkenntnis geführt, dass die

Aenderungen, welche gewisse Vertauschungen der Gleichungswurzeln

unter einander bewirken, von Wichtigkeit für die Natur der Glei-

chungen selbst seien.

Diese Ueberlegungen leiteten uns zunächst zur

Betrachtung der cyklischen und der metacyklischen Gruppe und dann

zu allgemeineren Untersuchungen über die Substitutionen selber. Wir

wollen jetzt dazu übergehen, die Resultate dieser Forschungen für die

Theorie beliebiger Gleichungen in voller Allgemeinheit zu verwerthen

und haben dabei die aus dem Bisherigen zu schöpfenden Andeutungen

zu beachten, nämlich dass die behandelten speciellen Gleichungen stets

durch eine gewisse Gattung von Funetionen der Wurzeln charakterisirt

werden. Beispielsweise war eine cyklische Gleichung eine solche, bei

welcher eine cyklische Funktion der Wurzeln zum Rationalitätsbereiche

gehörte. —

Wir haben gezeigt, dass wenn %,, %,

2 unbestimmte Grössen

sind, und wenn @ (Z,, %,: %) eine rationale Function derselben be-

deutet, dann alle Substitutionen unter den z, welche q nicht ändern,

eine Gruppe bilden ($ 539).

Dieser Satz lässt sich nicht auf den

Z aufhören, unbestimmte Grössen

Fall ausdehnen, dass die ,, %,

zu sein, sondern er kann versagen, sobald zwischen ihnen rationale

Composition und Isomorphismus. Die Galois’sche Gruppe einer Gleichung. 345

Beziehungen stattfinden.

Hat man z. B. zwischen den drei Grössen

Z1) %, % die Relation z, = %, dann wird die Funetion

O= 4 7 %,

welche bei unbestimmten Grössen z zu der Gruppe [1, (z,%)] gehört,

für die folgenden vier Substitutionen von 2,, %, %3:

1 (0,%), @2), @2%)

und nur für sie ihren Werth nicht ändern, ohne dass jedoch diese

vier Substitutionen eine Gruppe bildeten.

Das erklärt sich

so, dass z. B. (z,%) zwar nicht den Werth, wohl aber die Form von

@ ändert, so dass die darauf folgende Anwendung von (z,2) sich gar

nicht mehr auf die vorgelegte Funetion @ beziehen würde.

Z

In dem Falle also, dass die

D

als Wurzeln irgend einer besonderen

Gleichung definirt sind

(D)

f (?)

= (2—2)(42—%) : (2—%)=0,

deren Coefficienten nicht mehr unabhängige Grössen sind, muss die

frühere Theorie durch eine andere, allgemeinere ersetzt werden.

Wir

können, um dies durchzuführen, zunächst die Voraussetzung aufnehmen,

Denn sollte diese An-

dass f= 0 keine gleichen Wurzeln enthält.

nahme nicht erfüllt sein, dann haben wir ja Mittel an der Hand, um

aus (1) eine Gleichung herzuleiten, welche jede der verschiedenen

Wurzeln von (1) nur in der Multipliceität 1 enthält ($ 70; Bd. I).

Nun haben wir früher gesehen ($ 539), dass, falls nur ,, %,

“n

Z

unter einander verschieden sind, auch für beliebige andere Relationen

zwischen ihnen bei unbestimmten 4, %, --- W, die lineare Funetion

(2)

O, — U I 8 A A Unnn

%! von einander verschiedene Werthe besitzt.

Diese bezeichnen wir

in willkürlicher Ordnung mit

äjn!

@2

@,, @,, W,

. Wir bilden nun, unter @ eine Unbestimmte verstehend, das Product

(3)

CC 2 ©

vom Grade %! in ®.

Da y(®@) in den z, symmetrisch ist, so gehören

seine Coefficienten dem Rationalitätsbereiche an, und y(®) ist rational

darstellbar.

Hierbei ist es möglich, dass auch schon ein Factor von y(®) ratio-

nale Coefficienten besitzt, mit anderen Worten, dass (3) reductibel ist.

Dies kann infolge der besonderen Werthe der z; geschehen.

Wir

nehmen an, es sei

346

Siebenundfünfzigste Vorlesung $ 560

(4)

(®) = (@ — 0|) @ —0w,)

(® — @)

ein solcher irreduetibler Faetor von (3), und zwar derjenige fest be-

stimmte, der den linearen Theiler (@© — ®,) enthält

Al

Substitutionen der z,, welche den Werth von (4)

nıicht ändern

bilden eine Substitutionengruppe &. Das muss

nach unseren obigen Bemerkungen über Funetionen bestimmter

fester

Grössen zı ausdrücklich bewiesen werden

Wir wollen mit g„ das Re-

sultat der Anwendung einer Substitution 6 der z auf (4) bezeichnen

Nun sei s eine Substitution

die g nicht ändert, also gs = g

Weil @

unbestimmt ist, müssen g, und g ın allen Coeffieienten und daher ım

allen Linearfactoren übereinstimmen

. 3ı S yertauscht. nur

die

O4 )

Q

@, unter einander

denn die Werthe (2*) sind ja sämmtlich

unter einander verschieden

Ist £ eine andere Substitution, welche den Werth von (4) nicht

ändert, so vertauscht auch $ nur @,, @,,

@, unter einander

Daraus

folet

dass dann auch das Product st das Gleiche thut

OL In

dass

Also gehört auch st zu den Substitutionen,

welche

U ZU Sn

g nicht ändern; ihre Gesammtheit hat folglich, wiıe behauptet war, die

Gruppeneig enschwft

Daraus ergiebt sich weiter

dass die Werthe aller zu g conjugen

Denn hat man für

Funetionen numerisch unter sich verschieden sind

rgend eine Substitution 6 die numerische Beziehung g;=g, SO blieben

alle gemachten Schlüsse bestehen

und 6 &ehörte zu (. Wäre ferner

Ix=g9o, SO hätte man g,,_1=g; also gehörte vo—' zu &, d.h. 6

und 7 wären Substitutionen eines zu G conjugen Complexes ($ 541)

Es ist demnach die Diseriminante

(« + ß)

H(!h 9

von Null verschieden, und somit kann man nach $ 540, (8*) jede zur

Gattung G gehörige Funetion rational durch g ausdrücken d. h. eine

jede solche ist gleichfalls rational bekannt

die Substitutionen der zu (4) gehörigen

Sal mum Sı == 11 8

Substitutionengruppe G, dann gehört auch

(®@ — @,) (@ — @s o

(# —®

©

zur Gattung G, weil der Complex

S1S« , SaSa ,

SySa

mit

51, S2),

él

übereinstiummt

Folglich ist (5) rational bekannt und also ein ratıo-

naler Theiler von y(u)

Gleichzeitig hat (5) mit dem irreductiblen

gemeinsam; q(@) ist daher als

Factor g(@) einen Factor (@ — @,)

Die Galois’sche Gruppe einer Gleichung

347

Factor in (5) enthalten

Andrerseits kommt jeder Factor von (5) in

(4) vor, wie man sieht, wenn man auf qg(@) alle s,, %,

S, anwendet

und

insbesondere dabeı

die Umwandhmc

von (® — ®,) beachtet

—

Folglich ist (5) mit (4) 1denf31sch und q

Ist die Funetion

(4£°)

I(®) = (® — @,) (@ — 0,)

(()—r0 )

Manl

irreductibler Factor

dann

bilden

die

Sub-

von (83),

stitutionen

S4

al

’

597

S,

eine Gruppe &, zu welcher g(®@) gehört

Jede zur Gattung &

gehörige oder unter ihr stehende Function ist rational durch

g(@) darstellbar. —

Den letzten Satz können wir auch umkehren: Es sei p(2,, ,

Zn)

eıne

atıonal bekannte Funetion

Da ®, zur Galois’schen Gattung

gehört und deswegen auch eine von Null verschiedene Diseriminante

besitzt

so kann jede Funetion der z durch @, rational ausgedrückt

werden

Insbesondere gelte für unsere Funetion

(P(41; %9

.4„\ — l) (COI>

Dann hat die Gleichung in @

, deren Coefficienten rational bekannt sind,

P (®)

D =0 mit

((.}) => O

die Wurzel

gemeinsam und

alle Wurzeln

O;

da g irreduetibel ist

gilt auch

Demgemäss

0= V@)= *

)

e e

5

Os

)»

oder mit anderen Worten: @ (z,,

Zn) bleibt für alle Substitutionen

von

G

ungeändert

@l In

Jede rational bekannte Function

q>('“1; 7)

Zn)

ehört zur Gruppe G oder steht unter ihr

Dieses letzte Theorem lässt auch noch eine andere, häufig nütz-

liche Fassung zu

Jede rationale Relation

die zwischen

den

Wurzeln

2

SI 'ä‘)7

Z besteht, bleibt richtig, wenn in ihr auf

die

<

2

die Substitutionen von G angvewendet werden

Denn

eine jede solche Relation lässt sich in die Form g = 0 bringen

So zeigt sich die grosse Bedeutung dieser Gruppe G oder ihrer

Gattung für (1). Wir nennen &@ die Galois’sche Gruppe*) oder

kürzer die Gruppe der Gleichung (1)

ELE E E B d

) Oeuvres d’Evariste Galois, Cdit. p. Picard

p- 33

Die Abhandlung

stammt aus dem Jahre 1831

348

Fiehenundfünfzigstc Vorlesung $ 560—562.

Da g(@) nur für G ungeändert bleibt, so ist es charakteristisch

für jede Substitution der Gruppe, dass ihre Anwendung jede Funetion

numerisch ungeändert lässt, welche sich ratıonal darstellen lässt.

Hat also die irreductible Gleichung f(z)= 0 reelle Coefficienten,

und besteht auch der Rationalitätsbereich aus reellen Grössen, sind

HOMIER Zn 68 Za9 A

7

Zax— 1, %x die %x Paare conjugirt complexer

Wurzeln, welche f(z) == 0 besitzt; und bedeutet endlich @ (2,, 2, -

2

eine jede rational bekannte Function, so wird @ seinen Werth nicht

ändern, wenn das in 2,, %,

Zax auftretende Symbol V—1 in

——]/;i i verwandelt, d. h. wenn jede der complexen Wurzeln durch

ihre conjugirt complexe ersetzt wird.

Diese Umänderung ıst einer

Substitution

$ = (2,%) (2324) - (2ax—1%)

äquivalent; folglich gehört diese zur Gruppe der Gleichung*). Wenn

also insbesondere f(z) = 0 nur die beiden complexen Wurzeln z, und

z, enthält, dann gehört s == (z,%) zu der Gruppe. Daraus kann man

(8 519 und 8 567) schliessen, dass die Gruppe einer irreductiblen

numerischen Gleichung, welche nur zwei complexe Wurzeln besitzt,

mit der symmetrischen Gruppe der Wurzeln zusammenfällt; d. h. die

Gleichung ist so beschaffen, dass nur die symmetrischen Funetionen

ihrer Wurzeln rational bekannt sind.

Könnte man also zeigen, dass

es in einem gegebenen reellen Rationalitätsbereiche irreductible Glei-

chungen „ Grades mit nur zwei complexen Wurzeln giebt, so wäre

bewiesen, dass diese als Gruppe die symmetrische Gruppe besitzen.

(Vgl. hierüber weiter $ 566.)

8& 561. Es sei nun 6 eine Substitution der z, welche nicht in &

enthalten ist; sie möge @, In @s umwandeln. Wir bilden

(6)

(® — ®o) (@ — Oos) : @ — Dos/)-

Dieses Product gehört zur Gattung &@ und ist also rational darstellbar.

Ferner hat es mit (5) keinen linearen Factor gemeinsam, weil _ alle

68. von den s verschieden sind. Endlich kommt jeder seiner Factoren

in (3) vor. Folglich ist (6), genau wie g(@), 6in rationaler Theiler

von y(®). (6) ist auch irreductibel. Denn könnte man es in rationale

Factoren niederen Grades zerspalten, so wäre es möglich, einen der-

selben zum Ausgangspunkte der, Untersuchung des vorigen Paragraphen

zu wählen, und man käme statt auf die Gattung G& auf eine andere

* E. Maillet, M6m. de l’Assoc. franc. pour l’Avancem. des Sciences (1897). —

C. R. 127 (1898), p. 1004.

Die Galois’sche Gruppe einer Gleichung.

349

mit geringerer Gruppe, was nicht möglich ist, weil sonst qg(w) zer-

legbar würde,

Die Bildung von (6) zeigt, dass die Gattung, zu der man von

dieser Funetion aus gelangt, die gleiche ist, wie diejenige, welche (4)

liefert.

KEs ist demnach gleichgültig, von welchem der irreduetiblen

Factoren von y(@) man ausgeht.

Ist n!>2r, dann kann man in derselben Weise das Verfahren

fortsetzen.

Zerfällt (3), dann sind alle seine Factoren von

demselben Grade v, und sie gehören sämmtlich derselben

Gruppe & an.

Es mag noch darauf aufmerksam gemacht werden, dass (6) nicht

etwa ein zu (4) conjuger Werth ist

KEin solcher würde, wenn er

(0 — 0,) enthalten sollte, gleich

Z

——

(

@e

(

wS„O'

)

sein, und die zugehörige Gruppe wäre i. A. von G verschieden.

$ 562. Wenn durch (1) die Gleichung

(1)

f(e)= —+La —. + @=0

gegeben ist, dann wird natürlich dadurch zugleich G bestimmt, ebenso

wie der Complex der Wurzeln 2,,

Sn

Aber man kann die Natur

der Gleichung (1°) immer noch dadurch ändern, dass man gewisse Be-

ziehungen zwischen den Wurzeln festsetzt.

Dies ist natürlich nur so

möglich, dass diese Beziehungen in Uebereinstimmung mit den Wurzel-

werthen stehen, und daher können sich solche Beziehungen auch nur

auf den Rationalitätsbereich beziehen.

Ihr Wesen kann somit nur

darin bestehen, dass der Rationalitätsbereich durch sie über die

symmetrischen Functionen hinaus erweitert wird. Jede Funetion

der Wurzeln ist ja numerisch bestimmt, sobald (1*) gegeben ist. Aber

man kann sie zum Rationalitätsgebiete hinzunehmen, sie diesem, wie

man sagt, adjungiren und dadurch die Natur der Gleichung ändern.

Das wird folglich dadurch und nur dadurch geschehen können, dass

eine vorher nicht rational bekannte Function Z (Z,, * %n) als rational

angesehen und dem bisherigen Rationalitätsbereiche (X', K, --) hinzu-

gefügt, ınm adjungirt wird.

Schon an den Gleichungen zweiten Grades lässt sich dies

exemplificiren.

Es sei die irreductible Gleichung zweiten Grades

Z —2a42 +b=0

gegeben; wir setzen

D3

3;'>(’1

Siebenundfünfzigste Vorlesung $ 562—56

.

D 51 -{ U9% ,

02 — U % A U,

V(@) = @* — 2a(u +u) @ + ( — u0)*b + 40 uu = 0,

Im Allgemeinen ist y(®@) unzerlegbar.

Wir haben nun als rational

bekannt die symmetrische Funetion

(Z, — %)* = 4(a° —0);

setzen wir a° — b= @ und nehmen &@ in den Rationalitätsbereich

auf, dann entsteht

A = Dn

2

und jetzt zerfällt, wie man leicht sieht, y(@) in zwei lineare Factoren.

Hier wäre es noch möglich gewesen, die Bestimmung a° —b = 64 in

die quadratische Gleichung selbst aufzunehmen, indem man sie unter

Einführung von c& an Stelle von b

2

Z

2a2 + b

I

— 2a42 + * —6

0

2=0

schreibt. Aber es ist nıcht unwahrscheinlich, dass unter etwas compli-

ecirteren Annahmen eine solche Uebertragung der "Thatsache, dass eine

Function * (2,,

2„) als bekannt angesehen werden soll, ın dıie

Gleichung selbst auf rationalem Wege nicht mehr durchführbar ıst.

In besonders einfachen Fällen kann man durch Vermitte-

&$ 563.

Jung der Wurzeln selbst die Gleichungsform, welche zu einer gegebenen

Gruppe gehört, berechnen. Wir wollen dies an den Gleichungen vierten

Grades für einige Gruppen zeigen.

Zunächst sei die cyklische Gruppe

n

2

G =[1, (&,%

<3

81), (& 23) ( 24), (1 2483 89)]

die Gruppe einer Gleichung f(z) == 0 des vierten Grades. Dann wissen

wir aus früheren Untersuchungen, dass diese Gleichung cyklisch und

dass die Funectionen

@ 0 - a

@- - 0 —0a

als Lagrange’sche Resolventen rational bekannt sind. Zugleich er-

kennt man, dass jede dieser Functionen zu G gehört und nicht zu-

gleich unter G steht.

Ferner sieht man, dass auch

(8, — 18 — @ + 084) (81 + 02 — % — 08)

Man kann also mit rationalem b und s

zu G& gehört.

— — i = A0 Ala A — 45 V0®

setzen; nur darf b keine vierte Potenz im Rationalitätsbereiche sein.

Die Galois’sche Gruppe einer Gleichung.

351

Ferner gehört (2, — % + % — 2)* zu G und ist also im Rationalitäts-

bereiche enthalten.

Ebenso ist aber auch

@— B F a ) @ — B 0a

zu (} gehörig; deshalb können wir mit ratıonalem /

A b A @y i= 4r VO*

setzen. Wenn wir dann endlich die symmetrische Function

8 A F A a = A0

zu Hülfe nehmen, dann ergiebt sich durch Combination der vier in

den z linearen Gleichungen als Resultat

Q

@ VDE S,

Z

=E=—

(((

-

)

@I0 = RE — IV

&

= a — 1'/Ö +r i/bé — s1‘/b‘‚

B

Z

@— 000 = WF A V

und daraus findet man für y,= %, —@ die Gleichung mit den

Wurzeln yı, Yo, Ya, Yı

y“ — 20(2s + r") y — 4br (1 4 bs”) y 4-.6*(r* — 2s)* — b(1-46s’)”=0

als allgemeine cyklische Gleichung vierten Grades mit verschwindendem

zweiten Gliede,

Abel hat in einem Briefe an Crelle vom 14. März 1826

a A WLA A VA ( T —{—(“)

als Wurzelform angegeben. Wir gelangen von (7) zu ihr, wenn wir

F

4 0s?

_ 40s?

<}

( 82_\)i“'

EB RN

’

A [

25

(

da 6

]

( ZED

).

— er

1 — Ds*

25

Z

B

setzen. —

Wir stellen uns zweitens das Problem, die Gleichungen vierten

Grades mit der Gruppe

H=[1, (& %)(@024), (& 83)(2224), (2,21) (223)]

zu finden.

Hier ist das Produet

Cara

21) (81 — %a — % + 51) .

und ebenso das Quadrat jedes einzelnen Factors in diesem Produet

zu H gehörig. Wir können deshalb die Werthe der Factoren gleich

352

Siebenundfünfzigste Vorlesung $ 563—564

Vo, Ve, dVbe setzen, wobei b, c keine Quadrate im Rationalitäts-

bereiche sein dürfen und b, c, d rational sind. Wir finden wie oben

falls 2 + % + %3 + 2,= 4a gesetzt wird

—(L

]/b

Ve+dVobe

_a+1/b—1f—d1/bc,

(8)

Z O FE V

—a —Vb—Ve+dVbe

Setzt man auch hier wieder y, = 2, — a, so entsteht

y* — 2(b+c+bed?) y* — 8bedy + b —c

bed?)? — 4bAd? = 0

Diese Gleichung löst die gestellte Aufgabe. —

Wir untersuchen endlich drittens die Gleichungen vierten Grades

mit der Gruppe

K = (1 (@

24), (2,23) (2924), (2124%3%),

(2,2), (1 %) (& 2u), (2324), (Z,24)(%2s)]

Hier ist (z,

)? + (z — 2,)? rational bekannt; wir setzen es = 8

ebenso ıst

@—a @— al

für die Gruppe X unveränderlich und kann daher = 4°b, d. h

@— Bı — (& — @ı) =8V0

venommen werden; b darf kein Quadrat sein

Es folgt

(21, — %) _‘4(C+Vb)

(22 — %) '_4(0"_Vb)

Weiter

zu K

gehörig

und

ebenso

ıst es

S

— % F%

ı)

— 2,)!1(2, — % + % — 2ı); demnach wird

Z —+ — A=4dVb

und setzen wir endlich

Aa a A,

so folgt, wenn man wieder Y, = 2, — @ schreibt

LLL

B S

2L IV —V VO

(9)

LOn

DE

Z ——a—d1/b——Vc—Vö

y* — 2(bd? +c)y* — 4bdy + (bd*

— b=0

Hierbei müssen a, b, c, d rational sein, und b darf kein Quadrat werden.

Ueber die Auf'dabf3n dieses Paragraphen vgl. H. Weber, Marburg.

Ber. 1892 und Fr. Hack, Dissertation, Tübingen 1895,

353

Die Galois’sche Grupp'e einer Gleichung.

Wir kehren nunmehr zu allgemeineren Betrachtungen zurück.

&$ 564. Unsere Ueberlegungen haben uns gezeigt, dass der Glei-

chung (1) durch Hinzufügung, Adjuncetion, einer als rational anzu-

sehenden Funection

(10)

h (Zl7 Z Z'n)

eine neue besondere Eigenschaft verliehen werden kann, dass sie da-

durch nach der Kronecker’schen Ausdrucksweise einen Affect erhält.

Eine solche Hinzufügung hat natürlich nur dann einen Nutzen, wenn

die Gattung von % nicht schon mit der Gattung G& zusammenfällt

oder unter iıhr steht.

Denn in diesem Falle würde ja (10) bereits

Ist aber eine solche Funetion (10)

vor der Adjunetion bekannt sein.

dem Rationalitätsbereiche adjungirt worden, dass dieser dadurch eine

Erweiterung erfahren hat, dann geht die Zerfällung von y(@) noch

über g(@) hinaus vor sich. Es wird qg(@) nämlich durch die Ad-

junetion von (10) reductibel.

Um dies zu zeigen, wollen wir unter q(Z,, %,: %) eine zu G

gehörige Funetion und ferner unter H die zu h(2,, , %n) gehörige

Gruppe verstehen.

Dann ist die Funetion

7‘;‘(517 A Z„) 7 Q(Zl7 29

“&) 0 B(& %,

Z)

bei unbestimmten v rational bekannt.

Diese Funetion gehört zu der

aus den gemeinsamen Substitutionen von G und H bestehenden

Gruppe K. Man sieht sofort, dass diese Substitutionen eine Gruppe

bilden ($ 539, Schluss); und ferner ist es klar, dass % nur dann un-

geändert bleibt, wenn g und % es bleiben. Es ist sonach jede zu K

gehörige Funetion rational darstellbar.

Wenn man nun auf den Factor (@ — @/,) alle Substitutionen von

K anwendet und das Product der entstehenden Factoren bildet, so

erhält man folglich einen rational bekannten Factor von g(@). Dabei

zerfällt g(@) wieder in Factoren gleicher Grade, von denen jeder ein-

zelne zu der Gruppe K gehört.

Hierdurch ist zugleich gezeigt worden, dass es bei jeder Adjunetion

ausreicht, für h eine Funetion zu wählen, deren Gruppe H ein Theiler

von G wird, so dass g(@) unter h(2,, %,: : 2Z) steht.

Weiter ist es ersichtlich, dass nur dann eine Adjunetion den Affect

der Gleichung ändert, wenn durch sie g(@) reductibel wird.

Endlich erkennt man, dass der scheinbar allgemeinere Fall der Ad-

junetion zweier oder mehrerer Funetionen A(2,,::- 2n), N(2,,

d Z")7

mit dem eben besprochenen identisch wird, sobald man’die eine Funetion

(11)

N (21, Zay * Bn) 4 O N(@1) %,

Zu)

adjungirt.

Netto, Algebra. II,

23

354

Siebenundfünfzigste Vorlesung 8& 564—566.

In (10) und in (11) haben wir der HEinfachheit des Beweises

halber eine Unbestimmte v eingeführt.

Man kann diese aber auch

durch eine passend gewählte Constante ersetzen.

Es kommt nämlich

bei dem Beweise nur darauf an, wenn A, hg und nNe, Ng conjuge Fune-

tionen sind, die Wahl so zu treffen, dass aus dem Bestehen der Gleichung

ha (81) ** * Zn) 4 ONa (& 2n) = hg @p ) < UNB (& 2n)

der Schluss « = ß gezogen werden darf. Ist nun M das Maximum,

welches der absolute Betrag |Ax — hg |, und m das Minimum, welches

|7]„—17„v| für alle möglichen « und ß annehmen kann, und wählt

man die Constante

E

m*

dann ıst offenbar die gestellte Bedingung erfüllt.

$ 565. Wir wollen jetzt den Hilbert’schen Irreductibilitätssatz

benutzen, um ein wichtiges Theorem über die Galois’sche Gruppe

einer Gleichung herzuleiten (vgl. Hilbert, Journ. f. Math. 110 [1892]

p- 123).

Es sei eine Gleichung %“ Grades in z vorgelegt von der Gestalt

F + FAr .. + F =0,

deren Coefficienten F, Fı,::- F, ganze rationale Functionen der Para-

meter %, r,--- q mit ganzen rationalen Zahlencoefficienten sind. Um

die Gruppe &@ der Gleichung in dem durch die rationalen Zahlen und

die Parameter %, 7,

- q bestimmten Rationalitätsbereiche zu finden,

bilden wir, wenn, 2,, %,

- Z die Wurzeln der vorgelegten Gleichung

sind, y(@). Dieser Ausdruck wird nach der Multiplication mit der

(n!)'» Potenz von / eine ganze, ganzzahlige Function der Unbe-

s

stimmten

O, U, Ua,

9 Ug Up W SE

Ist nun g(@) ein ganzer, ganz-

zahliger, im Bereiche der rationalen Zahlen irreductibler Factor von

y(@), so wird die gesuchte Gruppe G durch diejenigen Substitutionen

gebildet, welche g(@) ungeändert lassen.

Wir wollen jetzt zeigen:

Man kann in die vorgelegte Gleichung auf unendlich viele

Arten für die Parameter %, r7,-.-. q ganze rationale Zahlen

derart einsetzen, dass die so entstehende ganzzahlige Glei-

chung

im Bereiche der rationalen Zahlen die

nämliche

Gruppe G besitzt wie bei unbestimmten Parametern.

Nach dem Hilbert’schen Theorem ($ 487) können wir zunächst

für £ unbegrenzt viele ganze rationale Zahlen bestimmen, nach deren

Einsetzung g(®@) eine im Bereiche der rationalen Zahlen irreductible

Funetion der Veränderlichen @, &,:-: U, 7,:::q Wird. Dies allein

Die Galois’sche Gruppe einer Gleichung.

355

reicht aber für unsere Zwecke noch nicht aus, denn es könnte dabei die

vorgelegte Gleichung gleiche Wurzeln erhalten. Um dies zu vermeiden,

berechnen. wir die Diseriminante D der vorgelegten Gleichung; die-

selbe wird nach Multiplication mit einer Potenz von /} eine ganze,

ganzzahlige, nicht identisch verschwindende Funetion der Parameter

Ü, ,

q

Es giebt bei unbestimmten 7,:-- q nur eine endliche

Werthezahl von %, für welche die Discriminante verschwindet; diese

erhält man, wenn man die Discriminante nach Potenzproducten der

r,--- q entwickelt und die einzelnen Coefficienten, welche Functionen

von £ werden, gleich Null setzt.

Wir verfügen nun über unbegrenzt

viele Zahlen %, welche g(@) irreducetibel lassen; folglich existiren auch

unbegrenzt viele, die zugleich D=+0 lassen.

Kine von diesen %

wählen wir aus.

Hierauf bestimmen wir eine ganze rationale Zahl 7,, bei deren Ein-

setzung für ” die Function g(@) eine im Bereiche der rationalen Zahlen

irreductible Function der übrig bleibenden Veränderlichen wird, und

für welche überdies die Diseriminante D von Null verschieden bleibt.

So fortfahrend erhalten wir für %, 7,--- q ganze rationale Zahlen

to> Yo> ‘ qo, nach deren HEinsetzung eine ganzzahlige irreductible

Z

Funection g(@) der Unbestimmten

W, U, U,

Un herauskommt,

und für welche die Diseriminante D der Gleichung eine von Null

verschiedene rationale Zahl wird.

Es ist nun einerseits offenbar, dass alle Substitutionen, welche

g(®) ungeändert lassen, auch g,(@) nicht ändern werden; andrerseits

kann qgp(@) bei keinen anderen Substitutionen ungeändert bleiben, da

Z

(&

überein-

die Ordnung der Gruppe mit dem Grade von g oder g% in

stimmt. G ist mithin zugleich die Gruppe der durch Einsetzung jener

ganzen Zahlen entstehenden ganzzahligen Gleichung.

$ 566. Von dem angmeinen Satze des vorigen Paragraphen

wollen wir eine Anwendung machen, indem wir für %, F,,

v

selbst die Parameter %, 7,

--q, d. h. also unbestimmte Grössen ein-

tragen. In diesem Falle ist y(@) irreductibel, und G wird zur sym-

metrischen Gruppe. Denn gesetzt, y(@) zerfiele, so wäre, wie in dieser

Vorlesung gezeigt wurde, eine rationale, nicht symmetrische Funetion

der Wurzeln bekannt.

Dies können wir durch,

h(zl7 ag 9° Z"> =0

ausdrücken. Daraus würde folgen, dass das auf alle conjugen Werthe

erstreckte symmetrische Product

Z

F Hh Can

)=H(Fo; F1;"'Fn)=0

235

356 Siebenun£1fünfzigsteVorlesung 8 566. Achtundfünfzigste Vorlesung $:567—568.

wäre. Da H= 0 für unbestimmte Parameter gilt, so muss H identisch

gleich Null sein; also auch /Ih; folglich auch einer der Factoren, für

den wir, da es sich nur um Aenderung der Bezeichnung handelt,

h(Z,, %,: Zn) nehmen können.

Gegen die Annahme wäre also h

identisch Null und stellte also keine Funection dar, die zu einer unter

der symmetrischen enthaltenen Gattung gehörte,

Daraus folgt, dass es unbegrenzt viele Gleichungen n“

Grades mit ganzzahligen Coefficienten giebt, deren Gruppe

im Bereiche der rationalen Zahlen die symmetrische Gruppe

ist; diese haben demnach keinen Äffeoct.

LÜ SERER KT

Achtundfünfzigste Vorlesung.

Transitivität und Primitivität.

$ 567. Um die Wichtigkeit der Gruppe einer Gleichung für die

Erkenntniss der Natur dieser Gleichung noch von einer anderen Seite

her ersichtlich zu machen, wollen wir den Einfluss von Reductibilität

und Irreductibilität auf die Constitution der Gruppe betrachten.

Es sei f(z) = 0 gegeben, und der Rationalitätsbereich möge durch

(1D)

A (A(@,, - 2n), ı, No,

)

bestimmt sein. In ihm möge f(z) reductibel werden, und zwar sei

f(e) =n(e) : 4(2);

(2)

O =C—) C - HH

n

(4 D ‚Z'„).

Ferner bezeichnen wir die Gruppe von f in (1) mit G.

Da p(z) rational bekannt ist, so bleibt es unter der Einwirkung

von G ungeändert, d. h. keine der Substitutionen von G ist im Stande,

Z umzuwandeln.

Die Sub-

en %1, %,

58 Z n C Z a

stitutionen. von G sind also so beschaffen, dass sie nur %,, %,

Sa

.. Z, unter sich yvertauschen.

unter sich und ebenso nur Z4+4+1) Za+2,

Umgekehrt möge G die Higenschaft haben, dass seine Substitu-

tionen sı = 1, 5%,::-S- auf z, mnur einen, der Werthe 2,, %, ** %a

folgen lassen; dann vertauschen sie die 2,, %,: Za überhaupt nur

unter sich. Wendet man alle auf das Produect

(z

a

an, dann bleibt dies hierfür ungeändert und ist folglich rational dar-

stellbar. Es ist demnach p(z) rational bekannt, und f(£) reductibel.

Die Galois’sche Gruppe einer Gleichung. Transitivität und Primitivität. 357

Kennt man mithin die Galois’sche Gruppe einer Gleichung, so

weiss man sofort, ob die Gleichung reductibel oder irreductibel ist.

Die Gruppe einer Zahlengleichung ist im Gebiete sämmtlicher com-

plexer Zahlen gleich 1.

Wir nennen eine Gruppe transitiv, wenn es durch ıhre Sub-

stitutionen möglich ist, auf z, jedes andere Element %,, 2 ,° Zn folgen

zu lassen, und intransitiv, wenn die Gruppe diese Kigenschaft nicht

besitzt *). Mit Hülfe dieser Kimführung können wir sagen: Für die

Irreductibilität einer

Gleichung in

irgend einem Ratio-

nalitätsbereiche ıst die Transiıtıvyität ıhrer für diesen Be-

reich bestehenden Gruppe charakteristisch.

In 8 68, Bd. I_ sahen wir, dass wenn eine Funetion g(z) für die

Wurzel z, einer irreductiblen Gleichung f(2) =0 verschwindet, Gleiches

für alle Wurzeln von f=0 eintritt.

Dieser Satz zeigt sich jetzt als

besonderer Fall des Theorems von 8& 560, S. 347; denn ist g(z,) =0,

so erlauben es die Substitutionen der Gruppe G von f, die Wurzel z,

der Reihe nach durch alle anderen Wurzeln zu ersetzen.

$ 568. Als Beispiele für die Bildung der Gruppe einer Gleichung

und ihren Charakter für die Transitivität oder Intransitivität wollen

wir zwei besonders wichtige Fälle besprechen.

Wir suchen zunächst

die Gruppe einer Gleichung auf, welche irreductibel und so beschaffen

ist, dass alle ihre Wurzeln ratiıonal durch eine unter ihnen darstellbar

sind; wir können hier also setzen

(3)

19

2 = @(2),

% = @s(@),

An F q)n(zl).

Da die Werthe der einzelnen Differenzen

2 — a(@),

2 — @3 (@),

gleich Null und mithin bekannt sind, so müssen sie ungeändert bleiben,

falls man eine Substitution s der Gleichungsgruppe auf sie anwendet.

Führt diese Substitution s; die Wurzel z, in 2; über, so sind dem-

nach auch

(4)

‘Siy ‘p2(2'7); 903(Z'7)?

Pn (2i)

Wurzeln von. f(2)= 0.

Diese Grössen sind nun sämmtlich unter

einander verschieden; denn aus einer Relation

Pe(Zi) = pp(z;) würde folgen g.(zı) = p(Z1),

falls man die inverse Substitution verwendet oder falls man die

Irreductibilität von f berücksichtigt; qw„(2,) = @p(z) ist aber wegen

E

*) Kronecker (Grundzüge 8& 12) nennt Gattungen mit transitiver Gruppe

„eigentliche‘‘, diejenigen mit intransitiver Gruppe „uneigentliche Gattungen“‘.

358

Achtundfünfzigste Vorlesung $ 568—569.

(3) und der Irreducetibilität von f ausgeschlossen.

Folglich sind die

obigen Grössen alle von einander verschieden; d. h. die Reihe (4)

liefert alle Wurzeln, genau wie (3). Daraus folgt mithin, dass alle

Wurzeln durch eine

jede beliebige

rational ausgedrückt werden

können.

Keine Substitution, welche z, etwa ın 2; umwandelt, lässt ein

2,= @.(zı) ungeändert, denn sonst wäre auch

Pu(8ı) = Pu(&)-

Infolge dessen würden die Schlüsse von $ 489 zeigen, dass die

niedrigste Iteration der Reihe

u (21) = p(Zi),

[ p (21)] = p [ (&i)], 4,

welche den Werth z, hervorruft, auch z; wieder liefert und umgekehrt,

so dass Z1 = %; wird.

Daraus ergiebt sich, dass jede Substitution s aus G, welche Z,

umsetzt, alle Elemente Z,, 2,,::: Z an neue Stellen setzt.

Wäre nun t= (za)(z2 - )-:- eine Substitution von G, die ein

beliebiges Element z nicht umsetzt, ohne dass doch %= 1 wäre, so

nehmen wir eine Substitution s aus &, die auf z% folgen lässt z,.

Eine solche ist wegen der Transitivität von G sicher vorhanden. Wir

bilden s-1ts und beachten, dass diese Transformirte nun z2, nicht

ändert.

Da dies Resultat unseren letzten Ergebnissen entgegen ist, so

Ikann kein solches £ bestehen. Folglich setzt jede Substitution

von G ausser der Einheit alle Wurzeln um.

Wenn umgekehrt für eine transitive Gleichungsgruppe G& diese

Eigenschaft gilt, dann kann man jede ihrer Wurzeln durch jede andere

2 rational darstellen. Adjungiren wir nämlich z, dem Rationalitäts-

gebiete, dann geht die Gleichungsgruppe ın denjenigen ihrer Theiler

über, welcher 2, ungeändert lässt (S$ 564). Dieser Theiler wird nach

den jetzigen Darlegungen nur aus der identischen Substitution 1 be-

stehen.

Folglich ist im neuen Rationalitätsbereiche jede rationale

Funetion der Wurzeln enthalten, und im Besonderen sind 2,, %,

Zn

rationale Funcetionen von Zg.

Weiter erkennt man, dass G nur % Substitutionen hat, je

eine nämlich, die z, in 2,, %,: : Z überführt. Denn hefern s und s’

dieselbe Umsetzung von 2,, dann lässt s *s’ das z, ungeändert.

Endlich ist es klar, dass jede Substitution von G regel-

mässig sein wird, d. h. dass jeder ihrer Cyklen von gleicher Ord-

nung ist. Denn im entgegengesetzten Falle würden geeignete Potenzen,

ohne = 1 zu werden, gewisse Wurzeln nicht umstellen,

Transitivität und Primitivität.

359

So sehen wir: Für eine irreductible Gleichung %“" Grades,

deren Wurzeln

sämmtlich rational durch eine bestimmte

unter ihnen darstellbar sind, ist es charakteristisch, dass

ihre Galois’sche Gruppe G transitiv, von der Ordnung %

und so beschaffen ist, dass jede Substitution mit Ausnahme

der identischen alle Wurzeln umstellt; es sind alle Sub-

stitutionen der Gruppe G regulär.

Daraus folgt insbesondere noch, dass wenn % eine Primzahl p

wird, dann die Gruppe aus den Potenzen einer cyklischen Substitution

besteht. —

Für n=4 giebt es zwei Typen derartiger Gruppen.

Es sind

dies die in $ 563 behandelten

G =[1, (& %2324), (21%) (222u), (2,24%3%)];

H=[1, (2,2)(221), (2123) (222u), (21 24)(2223)]-

Ebenso hat man für %n = 6 zwei Typen, von denen der eine die

Potenzen einer cyklischen Substitution umfasst, während der zweite

aus den sechs Substitutionen besteht

1, (2,%@3) (24%526) , (Z183%) (242625) ,

(2,24) (2226) (2325) , (2,25) (224) (3 26), (21%6) (2225) (2324)-

Zu den behandelten Gleichungen gehören die in $ 560 besprochenen

7(@)= 0 mit den Wurzeln

; = ULB, + U3 Bi, + 0199 + ’M„Z,'„ ,7

falls sie irreductibel sind; sonst ihre irreductiblen Theiler g(@) == 0,

die uns gerade auf die Gruppe G der Gleichung geführt haben. Wir

können also jeder Gleichung f(z)== 0 eine solche Galois’sche Glei-

chung g(®@)= 0 zuordnen, derart dass der Grad von g(@) mit der

Ordnung der Gruppe G von f(z)= 0 übereinstimmt.

Sind durch

gewisse Adjunectionen alle Wurzeln von f==0 bekannt, so zerfällt

g(®) in lineare, rational bekannte Factoren.

$ 569. Von den im vorigen Paragraphen hbesprochenen Glei-

chungen gelangen wir zu den Abel’schen Gleichungen, wenn wir

zu den bisher zu Grunde gelegten Relationen unter den Wurzeln

Z %= leı), % = @s (Z1)V; * %n = @n2ı)

noch die Bedingungen der Vertauschbarkeit

gı (gr (21)) = Dx (Pi(21))

für alle Combinationen %, £& hinzunehmen. Es fragt sich, welchen Einfluss

diese neuen Bedingungen auf die Gruppe der Gleichung ausüben werden,

360

Achtundfünfzigste Vorlesung 8 569—571.

Ist s, diejenige Substitution von G, welche z, In Za = @a(21) um-

wandelt, so führt sie jedes z, = wı(Zı) in o(Zu) = o(ga(Z1)) über.

Ist s diejenige Substitution von G, welche z, in z umwandelt,

so führt sie 24 = @alZı) M Yal%) = Palpı(Z1)) über.

Es führt also s,s, die Wurzel

Z

in a (go(21)),

und s,s; die Wurzel

ö

Zil

m @ (gpalZı)) = pu (po(21))

über.

Da Gleiches von allen Wurzeln und allen Subhstitutionen gilt,

so ist die Gruppe einer Abel’schen Gleichung G eine transı-

tive, reguläre Gruppe vertauschbarer Substitutionen.

Betrachten wir nun umgekehrt eine Gruppe der eben bezeichneten

Art, deren Substitutionen also unter einander vertauschbar sein sollen,

dann kann man die Schlüsse einfach umkehren.

Es führt die An-

wendung von S,S2 das Element z, ın q (g(z1)) über, und s,s, führt

dasselbe Element z, nach @ (gul(2ı))-

Da nun 8,52 = SSı seim soll,

so muss sich ergeben, was auch @ und b sein mögen,

(5)

Da (Dr (21)) = Dı (Pal(Zı)) ;

folglich haben wir es wieder mit einer irreductiblen Abel’schen Glei-

chung zu thun.

Nun hatten wir in 8 503 die Voraussetzung der Irreductibilität

bei Seite gelassen.

Genau das Gleiche können wir hier thun.

Ist _ die

Gruppe einer Gleichung nämlich intransitiv, und sind ihre Substitu-

tionen regulär und vertauschbar unter einander, dann werden nach

Adjunetion einer Wurzel sämmtliche Wurzeln bekannt sein, und ebenso

folgt wie bisher (5). Es kommt nur die Irreductibilität von 7(@) mn

Wegfall. Die Ordnung der Gruppe wird kleiner als der Grad von f.

Wir können eine weitere Specialisirung dadurch eintreten lassen,

dass wir statt der allgemeinen irreductiblen Abel’schen Gleichung

eine cyklische Gleichung betrachten, d. h. eine irreductible Abel’sche,

deren Wurzeln in einen einzigen Cyklus iterirter Funetionen einge-

ordnet werden können.

Deuten wir die Ordnung der Iterirung durch

obere Indices an, so wird die Reihe der Wurzeln durch

An Ol@), O9@), @n—V(2)

gegeben. Bezeichnen wir nun diejenige Substitution der Gruppe, welche

z, in O(z,) überführt, mit s, so sieht man sofort, dass diejenige, welche

Z in @(z,) umwandelt, gleich s? sein muss, u. s. f. Daraus folgt:

Die Gruppe einer cyklischen Gleichung ist cyklisch, und

umgekehrt.

Transitivität und Primitivität.

361

$ 570.

Wir wollen uns mit einer gruppentheoretischen

Eigenschaft der transıtiven Gruppen etwas eingehender beschäftigen.

Wir haben eine transitive Gruppe als solche definirt, die auf 2,

jedes andere Element 2,, %,:-- Z folgen lässt.

Daraus ergiebt sich

’

dass sie Substitutionen besitzt, die jedes beliebige z„ in jedes beliebige

Zg überführen. Denn wenn s, auf z, folgen lässt z4, und wenn Sg auf 2,

folgen lässt z3, dann bewirkt die Substitution s; 'sg, welche ja eben-

falls in der Gruppe vorkommt, dass 23 auf 24 folgt. Demnach können

wir die Definition auch so fassen, dass man durch geeignete Sub-

stitutionen einer transitiven Gruppe auf ein beliebiges Element 27 alle

anderen Elemente folgen lassen kann.

Aus der transitiven Gruppe G greifen wir zunächst diejenigen

Substitutionen

(6)

i = 1; %, b

2

Z

heraus, welche z, nicht umsetzen. Diese bilden einen Theiler T von G

Ferner sei s, eine der Substitutionen, welche %, auf 2, folgen lassen.

Dann werden

(7)

S, b52), ba

t9 Sa

sämmtlich das Gleiche thun, wie sofort zu sehen ist, und nur sie.

Denn zuerst führt %, das Element z, in sich selbst, und s, führt es

in z über. — Wenn andrerseits die Substitution z gleichfalls die

Folge 2,2 enthielte, dann würde Ts;-! zu (6) gehören, und aus der

dies ausdrückenden Gleichung

SN

—

(04

folgt

T = ta82.

Ist die Gruppe G durch (6) und (7) noch nicht erschöpft, d. h. ist

n > 2, dann gehen wir in der gleichen Weise weiter, indem wir irgend

ein s; zu Grunde legen, welches 2; auf %, folgen lässt und mit ihm

entsprechend (7) die Reihe

(8)

83; t233) t3337

bS3

bilden. So geht man bis zu einem S, Welches die Folge 212 ent-

hält. Hieraus ist ersichtlich: Die Ordnung 7 einer transitiven

Gruppe G von % Elementen ist durch n theilbar, so dass

r=%un”-q gesetzt werden kann.

Dabei bedeutet q die Ord-

nung desjenigen Theilers von G, dessen Substitutionen eins

der Elemente ungeändert lassen.

$ 571. Wir nennen eine Gruppe zweifach transıtiv, wenn wir

mit Hülfe ihrer Substitutionen zwei Elemente Z und ,

an zwei will-

Daraus

kürlich vorgeschriebene Plätze z42 und 28

bringen können.

362

Achtundfünfzigste Vorlesung 8& 571—572.

folgt zunächst, dass man überhaupt zwei willkürliche Elemente 2;, 2,

durch zwei willkürliche %,, %g ersetzen kann.

Denn, wenn s, auf

Z % folgen lässt 2,, zu, und wenn s, auf 2,, % folgen lässt 2a, %,

so wird s;!s, das Gewünschte leisten.

Wir können nun ähnliche Schlussfolgerungen machen wie die im

vorigen Paragraphen durchgeführten, indem wir die Gesammtheit der

Substitution der Reihe (6) als denjenigen Theiler auffassen, dessen Sub-

stitutionen weder z, noch z umstellen; dann wird (7) der Complex

der Substitutionen, welche eine und «dieselbe Aenderung mit z, und z

vornehmen, u. s. f. Daraus folgt: Die Ordnung r einer zweifach

transitiven Gruppe G von % Elementen ist durch ( ) theil-

bar, so dass r = <3)q gesetzt werden kann. Dabei bedeutet

qg die Ordnung desjenigen Theilers von &, dessen Substitu-

Die Minimal-

tionen zwei der Elemente ungeändert lassen.

ordnung einer solchen Gruppe ist also é n(n—1).

Für n =5 hat mäan beispielsweise die Gruppe

Il

, (Z983858u), (8a@s) (@584) , (2o24%5 2),

(21 %03848 s) , (81% Z48s), (21%) (2325) , (21%2524),

(21 %38582 8u), (A,@s%8s), (2123) (24%5) , (81%324%),

(Z 8402 8503), (Z1%485%), (2,2u) (2223), (21248385) ,

(Z, 058483 80) , (Z1% 83 24), (2,25) (2224) , (Z1%52% 23)-

Besitzt eine Gleichung f(z) =0 eine zweifach transitive Gruppe &,

dann ist.dies charakteristisch dafür, dass man in jeder rationalen Relation

.9(21; Aay Bayt C Zﬂ) =0

zwei beliebige der Wurzeln, z. B. z,, %, durch zwei beliebige andere

ersetzen: kann, während dabei die übrigen Wurzeln 2;,-:- 2 in gewisse

neue übergehen; man hat also auch

g(z„‚ &8 Bizy 5 Zi„) am O;

wobei «, ß beliebig gewählt werden konnten. —

Ist z. B. die Gleichung f(z) = 0 mit zweifach transitiver Gruppe

so beschaffen, dass alle ihre Wurzeln durch zwei unter ihnen, z, und Z,

rational darstellbar sind, etwa in der Form

(6)

D = Ol = D4 (2,, %),

n — Pn (51; 52);

dann hat man auch für beliebige «, ß

(7)

Zi, = Pslda, 98) y i — Dlg Ba)9 90 i — Qn (Za, 28)

Transitivität und Primitivität.

363

Die 2i , Ziy,

z; sind hier von einander verschieden, weil aus

u (da, 2p) = Prlta, 2) folgt Pr(Zı, %) = Pı(Zı, %);

ebenso sind sie von Z„ oder Zg selbst aus demselben Grunde verschieden.

Folglich giebt (7) alle Wurzeln mit Ausnahme von Zx, 23 d. h. alle

Wurzeln sind rational durch zwei beliebige unter ihnen darstellbar.

Findet nun eine solche Darstellung statt, dann ist nach Adjunction

zweier beliebiger Wurzeln z, und zg die Gleichung aufgelöst; die Gruppe

reducirt sich dabei auf 1.

Folglich enthielt sie vorher nur solche

Substitutionen, welche alle »” Elemente, oder nur (x — 1) oder gar

kein Element umsetzen. Die Umkehrung dieses Satzes ist, wie man

leicht sieht, gleichfalls richtig.

$ 572. Um die Natur derartiger Gruppen, welche nur %, ” — 1

oder 0 Elemente umsetzen, genauer zu erforschen, wollen wir folgenden

Satz herleiten *): In jeder transitiven Gruppe G des Grades n

giebt es

mindestens

(n — 1) Substitutionen,

welche alle

n Elemente umsetzen.

Giebt es mehr als (n —1) derartige

Substitutionen in G, so besitzt die Gruppe auch solche

Substitutionen, welche weniger als (n—1) Elemente um-

setzen.

Wir bezeichnen denjenigen Theiler von G, welcher das Element %4

nicht ändert, mit G, und eine derjenigen Substitutionen, welche z, in

Zx überführen, mit 6,.

Dann ist

G = O0 = CO = = 6„G

n N

O

d. h. alle diese Gruppen G sind einander ähnlich. Nun möge m ihre

gemeinsame Ordnung sein, und [q] die Zahl derjenigen Substitutionen

von @/, und also auch von G&,,

G„, welche genau q und nur

q. Elemente umstellen.

Diesen Definitionen gemäss haben wir

m=[n—1]+n—2) + + + 01

Natürlich hat [0] den Werth 1, da es sich allein auf die identische

Substitution bezieht.

In allen G2, (x=1,2,-..:mn) zusammen kommen % - [n —1] Sub-

stitutionen vor, welche (n — 1) Elemente umsetzen, und diese sind

unter einander verschieden, da keine Substitution aus G4x, die nur Zg

nicht umsetzt, auch in (g enthalten ist.

In allen @2 zusammen kommen %-[n — 2] Substitutionen vor,

welche genau (n — 2) Elemente umsetzen; aber diese sind zu je zwei

E l

* C. Jordan, Journ, de Math. (2), 17, p. 351.

WE

364

Achtundfünfzigste Vorlesung & 572—574.

und zwei identisch, da diejenigen Substitutionen, welche in Gx das

Element 25 nicht umsetzen, dieselben sind wie diejenigen, welche in

Gg das Element z7 nicht umsetzen.

Es giebt also von diesen Sub-

stitutionen -n . [n — 2]-

Ebenso kommen in allen G, zusammen 3 %: [n—3] von einander

verschiedene Substitutionen vor, welche genau (n — 3) Elemente um-

stellen, u. s. w.

Somit ist die Anzahl aller Substitutionen in G, welche weniger

als ” Elemente umstellen, gleich

V

T+ +

a

Lal A e > A OT:

Diese Zahl wollen wir von derjenigen aller Substitutionen in G&

d. h. nach $ 570, Schluss, von mn abziehen. Benutzen wir den obigen

Werth für m, so findet sich für jene Differenz

n—1

n —+ A H

N

[0]);

dies ist somit die Anzahl aller derjenigen Substitutionen aus G, welche

sämmtliche Elemente umstellen.

Jeder der einzelnen Summanden in der

Klammer ist positiv oder Null.

Der letzte ist sicher positiv, nämlich

ozf1

VE

=—

Folglich hat jene Differenz einen positiven Werth, der nicht

unter (n—1) sinken kann. Ist der Werth grösser als (n—1), so ist

mindestens eines der Symbole [q] von Null verschieden, wobei g nicht

grösser als (n — 2) werden kann.

Damit ist der ausgesprochene Satz in allen Theilen bewiesen.

Wenden wir ihn auf die im vorigen Paragraphen besprochenen

Verhältnisse an, so sehen wir, dass eine transitive Gruppe G, welche

nur Substitutionen von % und von (n—1) Elementen neben der Ein-

heit besitzt, genau (n — 1) Substitutionen haben wird, welche alle

Elemente umsetzen.

Auch über die Anzahl derjenigen Substitutionen von G, welche

genau (n — 1) Elemente umsetzen, können wir Aufklärung erhalten,

wenn wir bedenken, dass in G, nıcht zwei Substitutionen S, Sy VOr-

kommen dürfen, die eine gleiche Elementenfolge darbieten, weil sonst

SuSy

weniger Elemente umsetzen würde, ohne = 1 zu sein.

Nun

giebt es zwıschen %, %3,

2„ nur (n — 1) (n — 2) Folgen %, %,

und jede Substitution aus G, enthält deren (n — 1); folglich kann

G, höchstens (n — 2) solcher Substitutionen besitzen, und ın G&

kommen höchstens n” (n — 2) vor, welche genau ein Element nicht

ändern.

Transitivität ynd Primitivität.

365

Demnach kann die Ordnung der Gruppe die Zahl

(n—1) + n(n—2) + 1 = n(n—1)

nicht übertreffen. —

Auf dem in den letzten Paragraphen beschrittenen Wege kann

man zum Begriffe drei- und mehrfacher Transıtivität gelangen.

$ 573. Wir wollen noch eine Anwendung der eingeführten Be-

griffe geben.

Ist f(z) =0 eine irreductible Gleichung %” Grades mit

der Galois’schen Gruppe &, so sei H ein Theiler von &@/. Dabei

mögen H und G die Ordnungen 7, und ” ==r7,g besitzen.

Eine zu

H gehörige Funetion .(Z,, %,: %n)= @, möge durch die Sub-

stitutionen von G die Werthe

Pı> P, P3,

Pa

annehmen, und 6, = 1, %, 63,

6, seien Substitutionen aus G, welche

@, in diese verschiedenen conjugen Werthe umwandelt.

Wir haben im $ 540 gezeigt, dass &,, %,

%, Wurzeln einer

Gleichung sind, deren Coefficienten zu dem Rationalitätsbereiche von

f(z) gehören. Hier soll nun die Irreductibilität dieser Gleichung nach-

gewiesen werden; und damit ist natürlich auch die Irreductibilität der

in $ 540; I abgeleiteten Gleichung o“ Grades gezeigt.

Gesetzt, die Gleichung q'°" Grades zerfalle, und %,, @,: p (D<q)

seien die Wurzeln einer der irreductiblen Factorengleichungen.

Dann

sind _ die symmetrischen Functionen von %,, @,: @„ bekannt, und so

bleibt Z B:

(8)

OE

für alle Substitutionen der Gruppe G ungeändert, wie auch w ganz-

zahlig gewählt werden mag. Wir wählen es so, dass aus einer Relation

Y

die Gleichheit der einzelnen Summanden links und rechts folgt ($ 539).

Nun wenden wir auf (8) die Substitution 641 aus G an. Diese führt

, In p41 Über.

Folglich kann (8) für die Gruppe der Gleichung

nicht ungeändert bleiben.

Das ist ein Widerspruch, der nur durch

P=g gehoben wird, d. h.: Die Gleichung, von welcher @ ab-

hängt, ist irreductibel.

$ 574. Die bisher in dieser Vorlesung durchgeführten Unter-

suchungen hatten in dem Begriffe der Reductibilität oder der Irre-

ductibilität einer Gleichung ihren Ausgangspunkt. Wir wollen jetzt

in ähnlicher Art die Primitivität oder die Imprimitivität von

Gleichungen untersuchen.

366

Achtundfünfzigste Vpr1esung $ 574—575.

Im $ 491 kamen wir auf irreductible Gleichungen f(z)=0, deren

Polynom f(z) in folgender Weise ausgedrückt werden konnte:

(9)

f(@) =h(e;yı) h(e;y) : h(z; yu);

(n=u-m),

(10) A(2; Ya) = 2” — yı (ya) I + yo(ya) 2 — .. + ym(Ya),

wobei die y rationale ganze Funetionen des Argumentes y„ waren, und

die y Wurzeln einer Gleichung u“ Grades bedeuteten,

(11)

MKO) Z — T T — an O,

Es wird dabei also f(z) = 0 die Eliminante von h(z; y) = 0 und

g(y)=0. Nach der Auflösung von (11) und Adjungirung aller ihrer

Wurzeln zerfällt f(z) in w Factoren des Grades m.

Wir werfen die Frage auf, wie diese Eigenschaft von f(z)= 0

sich bei der Galois’schen Gruppe der Gleichung kenntlich macht.

Wir wollen die Wurzeln von

h (Z; :l/a) =0 mG Za1) Za2,

zam

(“=1;2)"'!")

bezeichnen. Nun sind durch die Adjunetion von Yz die symmetrischen

Functionen der 2x1, Ze2, ** Zam bekannt.

Es sei S(2x1, ** Zam) eine

solche; dann'‘ sind die Werthe, die $ annehmen kann, Wurzeln einer

irreductiblen Gleichung ($ 578).

Drückt man S(Z1,

Z ) als

Funetion von yx aus, dann zeigt (11), dass der Grad dieser Gleichung

nicht höher werden kann als w. Andrerseits giebt es wirklich u Werthe

(12)

S(Zn‚ A ß’1m)‚ S(£'21, &5 Z2m);

+ S(Zu1) ** Sum);

dies sind mithin die einzigen, welche S für die Substitutionen der

Gruppe G von f(z) = 0 annehmen kann.

Wenden wir somit eine Substitution s von G auf die Reihe (12)

an

?

so kann sie nur in sich selbst übergehen abgesehen von der

Aufeinanderfolge der Funetionen. Führt also ein s, eins der Elemente

VON. Zg1, * ** Zam in eins derjenigen von 2gı, -

Zgm Üüber, dann muss

der ganze Complex jener Elemente in denjenigen dieser Klemente um-

gewandelt werden.

Lässt insbesondere s, ein zg ungeändert, dann

gehen die übrigen 2g1,::- Z%gem nur unter einander Vertauschungen ein.

G versetzt also nur die Serien der in (12) angeordneten

Elemente unter sich und weiter auch in jeder einzelnen

Serie die zugehörigen Elemente unter einander.

Eine derartige Gruppe heisst eine imprimitive; ebenso heisst

die zugehörige Gattung imprimitiv, und ebenso die Gleichung, deren

Galois’sche Gattung imprimitiv ıst.

Hat eine Gruppe diese HKigen-

schaft nicht, so heisst sie primitiv; das Gleiche gilt von der Gattung

und von der Gleichung.

Transitivität upd Primitivität.

367

Es ist z. B. die Gruppe, welche aus den Potenzen der Substitution

$ = (1 %23240 )

besteht, imprimitiv.

Die Eintheilung der Elemente kann in die Serien

Zı Q, Z

und

Za 3479A6

geschehen, aber ebenso gut auch in die Serien

Z5

Z

%3

o

)

O a

Wenn umgekehrt die Gruppe G einer Gleichung f(z)= 0 im-

primitiv ist, und wenn

Za1;

Z(I2;

Z(X m

(“ =172;

w)

die Eintheilung der Wurzeln in die Systeme der Imprimitivität anglebt,

dann sei S(Zx1, : Zam) irgend eine symmetrische Funetion.

Durch

(12) werden dann wegen der Imprimitivität alle Werthe gegeben, die

S(Zı1, ' Zım) im Rationalitätsbereiche annehmen kann; die symmetrischen

Functionen der Grössen (12) sind also rational bekannt, und sie selbst

genügen einer Gleichung

(18)

S LD L D D

mit rational bekannten Coefficienten D. Weiter lässt sich jede andere

symmetrische Funetion von 241,--- 2am durch SCn * Zam) im Ratio-

nalitätsbereiche darstellen; folglich kann man setzen

F(@)= h(e; S\) h(e; S) - h(e; S\),

wo die $ die Wurzeln der Gleichung (13) und die

sınd.

h(2; Sa) = (2 — 2a1) : (£ — Zam)

Demnach ist f(z) =0 das Eliminationsresultat von S aus (13)

und aus h(2; S)=0, und wir können sagen: Dafür dass eine

Gleichung f(z)=0 das Eliminationsresultat von h(z;y)= 0

und g(y)=0 wird, ist es charakteristisch, dass die Galois-

sche Gruppe von f=0 imprimitiv sei.

$ 575. Wir betrachten denjenigen Theiler H' der imprimitiven

Gruppe G des vorigen Paragraphen, dessen Substitutionen nur die

Elemente jedes einzelnen Imprimitivitätssystems unter sich vertauschen.

Diese Gruppe ist ein autojuger Theiler in G. Denn wenn 6 auf H

zur Transformirung verwendet wird, so gehen dadurch z. B. die Ele-

mente 2,1, -

Zum IM 221, ° Zım Über; und wenn H die Systeme nicht

vertauschte, so kann auch 6, *Ho, es nicht thun.

Ist also H von der Einheit verschieden, dann ist G&

zusammengesetzt.

368 Achtundfünfzigste Vorlesung $ 575. Neunundfünfzigste Vorlesung $ 576—577.

Beim Beispiele des vorigen Paragraphen giebt es Substitutionen,

welche die Systeme nicht ändern; deswegen ist auch jene Gruppe zu-

sammengesetzt; ım Falle der ersten Systemeintheilung sind s? und s*

diese Substitutionen; im Falle der zweiten ist es s®.

Umgekehrt erkennt man leicht: Hat eine zusammengesetzte

Gruppe &@ einen intransitiven,

autojugen Thei?er‚ dann ist

G imprimitiv.

Neunundfünfzigste Vorlesung.

Resolventen.

$ 576. Wir hatten einer Gleichung f(z) = 0 mit der Gruppe G

eine rationale ganze Function der % Wurzeln h(2,, %,

Z.) adjungirt,

d. h. &/ im Bereiche G.als bekannt angesehen.

Eine solche adjungirte

Function wird häufig als Resolvente bezeichnet, und wir haben diese

Bezeichnung schon gelegentlich bei der Einführung der Lagrange’schen

Resolvente (Bd. I, $ 320) benutzt.

Hiernach ist jede beliebige ganze Function der Wurzeln geeignet

als Resolvente zu fungiren. Von Vortheil können aber nur diejenigen

Funetionen für die Lösung der Gleichung werden, welche nicht schon

dem Rationalitätsbereiche angehören; so ist es z. B. zwecklos, einer

allgemeinen Gleichung eine symmetrische Function zu adjungiren.

Die Wirkung einer Adjunetion von h(z,,-:- 2Z) beruht nämlich

darauf, die Gruppe G auf die desjenigen iıhrer Theiler zu reduciren,

welcher h(2,,:-- 2.) ungeändert lässt. HEs reicht daher stets aus, / so>

zu wählen, dass die zugehörige Gruppe H ein Theiler von G ist.

Bedeutet G die symmetrische Gruppe, so können wir einige für

jedes %” vorhandene Resolventen, oder besser Resolventengattungen

anführen; denn nach dem Dargelegten kommt es nicht auf das In-

Zu diesen Resol-

dividaum %, sondern nur auf die Gruppe H an.

venten gehören die zweiwerthigen, insbesondere die alternirenden

Funetionen, welche durch die Quadratwurzel aus der Discriminante

charakterisirt sind. Ist ” > 4, dann giebt es keine Resolventen, deren

Werthezahl o<mn ist. Für 90= n haben wir die durch h==2, charak-

terisirte Gattung; ihre Gruppe H besteht aus allen Substitutionen,

durch welche eins der Elemente nicht umgesetzt wird. Für n= 6

giebt es daneben gemäss $ 547 noch eine durch

@yı Ze) — C Z586) (%1 2 4 2285 I B486) (21 24 1 2a86 F %25)

(2, 25 { 2a81 4 2 26) (& %6 7 2a8 A 242%5)

Transitivität und Primitivität.

Resolventen.

369

charakterisirte Gattung. Von der grössten Wichtigkeit ist die Galois-

sche Gattung, zu der Resolventen mit o= ”! Werthen gehören,

O = 42 + U F: A Unßn-

$577. Wir wissen bereits, dass eine solche Resolvente h(2,,::- 2

mit o Werthen die Wurzel einer Gleichung o*" Grades ist, deren

Coefficienten dem Rationalıtätsbereiche angehören.

Die Gleichung ist

irreductibel ($ 573).

Die Adjungirung von %Z ist also identisch mit der Annahme, dass

eine Wurzel dieser Resolventengleichung bekannt sei, oder dass

man eine solche bestimmen könne, falls gewisse Hülfsmittel zugelassen

werden.

Man könnte also z. B. die Ausziehung einer Wurzel aus einer

bekannten Grösse als erlaubte Operation ansehen; wenn jetzt eine

Resolventengleichung binomisch wird, dann müsste die zugehörige

Funetion: h (2, ,

Zn) als bekannt gelten.

Die Thatsache allein, dass die Resolventengleichung den Grad o

besitzt und irreductibel ist, reicht für die Einsicht in ihre Natur noch

nicht hin.

Wir wollen, um diese genauer zu erkennen, die Gruppe

der Resolventengleichung aufsuchen.

Es sei der Gleichung f(2) = 0 mit den Wurzeln 2,, %, ::- Z und

der Gruppe &4 die Resolvente h(2,, %,: 2.) = h, adjungirt, welche

zur Gruppe H gehören möge; die übrigen Werthe in dem durch G&

bestimmten Rationalitätsbereiche seien A,, 3, --- ho, und

D @— G — ) ° (@ —hq) = 0 — AT A AT Ö

sei die Resolyentengleichung.

Ihre Gruppe H hat die KEigenschaft,

dass alle und nur diejenigen Funetionen von A, A, ho, welche

unter dem KEinflusse der Substitutionen von H, ungeändert bleiben,

rational durch die 4, d. h. also auch durch die Coefficienten von f(z)

darstellbar sind.

Zu dem Zwecke der Feststellung dieser Gruppe wenden wir auf

die Reihe der in @ conjugen Werthe von %, nämlich

@)

h,, I,

ho

die sämmtlichen Substitutionen s von G an; durch eine solche s; geht

(2) bis auf die Reihenfolge in sich selbst über; denn (2) umfasst eben

alle Werthe, die %, überhaupt unter dem Einflusse der Substitutionen

von G annehmen kann. Die neue Reihe der Werthe 4A4 wollen wir mit

(3)

]L,'l , h

Ü7

h;

©

bezeichnen; dann lässt sich der Uebergang von (2) auf (3) als eine

Netto, Algebra. II.

24

370

Neunundfünfzigste Vorlesung $ 577—578.

Substitution ($ 518) auffassen, die wir entsprechend früheren Fest-

setzungen bezeichnen

h

%

(

> (”=1;2; 9)

Ist s; eine zweite Substitution. aus G, und bedeutet in gleicher Weise

h,

—(

7sz

> (x:172) 9)

die entsprechende Substitution unter den A, dann erkennt man, dass

dem Produete s;s; entsprechen wird

h,

hfx

h,

A

%

}

hji„

ı

hj[‘

%

> (%=1‚2‚ 9>7

und daraus schliesst man, dass die %,, %

27

sämmtlich eine Gruppe

bilden; diese wollen wir mit H, bezeichnen.

Ferner sieht man, dass wenn G die symmetrische Gruppe der

n” Elemente z, ist, dann G und Hy im Allgemeinen einstufig 1somorph

zu einander sind. Denn jedem s„ entspricht ein &; wenn ferner aber

ent-

einem 4 sowohl s„ als s4 entspräche, dann würde dem SaS«

sprechen fa Ü 1, d. h. die Substitution s„S, würde in (2) keine

Aenderung der Folge hervorrufen, was nach $ 543 nur bei o= 1,

bei o0=2 und bei gewissen Gruppen von vier Elementen vorkommen

kann. Es ist deswegen Hy im allgemeinen Falle von derselben Ord-

nung wie G, bei allgemeinen Gleichungen also von der Ordnung %!.

Der Compositionsreihe von G- entspricht diejenige von H, und

die Compositionsfacetoren sind für beide Gruppen dieselben.

Wir fragen nun, wann eine Funetion der hy;,

h

Q

B(ı Map s hq) = 4 (1) %,

Zn)

rational bekannt ıst?

Da &% als Funetion der 2,, %,

- dargestellt

werden kann = %, so ist es charakteristisch dafür, dass % für G&

ungeändert bleibt. Den Substitutionen von G entsprechen die von H;

demnach muss & zu H, gehören.

Wenn umgekehrt & zu H, gehört,

so wird y zu G gehören, und somit ist # = % rational bekannt.

Folglich ist H, die zur Resolventengleichung (1) ge-

hörige Gruppe.

Der Definition nach giebt es Substitutionen von &, welche jedes

Element in (2) auf A, folgen lassen; es kommen daher in H, alle

Folgen %>; Ayhs; - hıhp vor; d. h. die Gruppe H ist, wie früher

schon auf andere Art bewiesen wurde ($ 573), transıtiv.

Resolventen.

DUal

Aus dem abgeleiteten Theoreme kann man noch einen für die

Theorie der Abel’schen Gleichungen wichtigen Satz ablesen.

Sind

Zı %, ‘‘‘ %n die n Wurzeln einer Abel’schen Gleichung f(z) = 0, so

betrachten wir eine Resolvente h(2,,--- Z„), die wegen der charak-

teristischen Eigenschaft der Abel’schen Gleichungen auch

h ( 2y En) S M (@&,, Pa(tı), : Pnlzı)) = k(@2)

geschrieben werden kann.

Hieraus ergiebt sich die Gruppe der zu

h(Z,, : 2n) gehörigen Resolventengleichung. Es hat nämlich % nur

o Werthe

h(@), B@), 5 D (z<‚)

Wendet man die Gruppe der Abel’schen Gleichung auf diese Reihe

än, die man auch

k(2,), k (2)), : k (‘Pe (z1))

setzen kann, so erkennt man aus den Betrachtungen des vorigen Para-

graphen über &, und %, dass mit den Substitutionen der s von G&

zugleich die unter den %/ hervorgerufenen Substitutionen vertauschbar

sind. Jede rationale Function der Wurzeln einer Abel’schen

Gleichung ist wiederum Wurzel einer Abel’schen Gleichung.

Ebenso ergiebt sich, dass jede rationale Function der

Wurzeln einer cyklischen Gleichung wiederum Wurzel einer

cyklischen Gleichung wird.

$ 578. Es sei @ eine beliebige Gruppe, und die adjungirte

Funetion h(2,, - Zn)= , gehöre zu einem autojugen Theiler H

von G. Wendet man nun auf die Reihe (2) eine Substitution 6 aus

H an, so wird sich %, dabei nicht ändern. Gleichzeitig werden mit h},

alle %; ungeändert bleiben. Denn setzt s; das Element %; an die Stelle

von h,, so gehört zu h; dieselbe Gruppe

sS&1Hs,= H

?

weil H autojug in G ist.

Also bleibt (2) für alle Substitutionen 6

aus H auch der Reihenfolge nach ungeändert.

Allgemeiner kann man sagen, dass zwei Substitutionen s und S

dieselbe Umstellung von (2) und also eine gleiche Substitution der hx

bewirken, wenn s, = 6s ist, wobei 6 der Gruppe H angehört.

Besitzt H' die Ordnung qg, G die Ordnung r, und ist r = Q m,

dann gehören je q Substitutionen von G zu einer Substitution von n

Diese Gruppe H, der Resolventengleichung besitzt die Ordnung m, und

G ist zu ihr q-stüufig isomorph.

24}

37

2

Neunundfünfzigste Vorlesung 8 578—579.

Wählen wir z. B. für @/ die symmetrische Gruppe der vier Ele-

mente Z,, %, %3, %, und für H die autojuge Gruppe

H=[1, (2,%)(@%21), (9,%)(22.), (Z124) (223)],

setzen wır ferner

A

Z

(2, — %) ( — 24), hs=

C 2 ,

(2,—2,)(%2 — %3);

h,

—

@— 2)C-2) b Ca -8), h=- @ -2) @ —,

dann erhalten wir als Gruppe Hy eine Gruppe der Ordnung 6, zu

welcher G- vierstufig isomorph wird. Es ist dies die Gruppe, welche aus

1, (Derlp) Dozhes) (Malg) , M laz) (Dla (Aeses) , y lesles) (a lız s

/.)

Ol NOl (

6/

CN

besteht. Jeder ihrer Substitutionen entsprechen vier Substitutionen der

symmetrischen Gruppe; insbesondere ihrer Einheit die der Gruppe H. —

Wir wollen allgemeiner annehmen, dass die zu h gehörige Gruppe H

nicht selbst autojug in G sei, aber eine Gruppe K als höchsten zu G

Bezeichnen wir mit r die Substitutionen

autojugen Theiler enthalte.

von K, so wird, weil s-1Ks= K ist, vı jeder Gruppe der zu (2) ge-

hörigen Elemente angehören und also die Reihe (2) auch in ihrer

Folge nicht ändern.

Ist qg, die Ordnung von K, so wird G zu Hr

in gqg,-stufigem Isomorphismus stehen.

$ 579. Es ist naheliegend, nicht nur eine sondern alle Wurzeln

I, ho, : ho einer Resolventengleichung als bekannt anzusehen

und sie sämmtlich zu adjungiren.

Das bedeutet also, dass man .die

Resolventengleichung als vollständig aufgelöst annımmt.

Eine solche Adjunetion ist nach unseren Ueberlegungen identisch

mit derjenigen einer einzigen Function

( D(@y 29 8.)= Alh(@9 0 2u) - Ola(@p9 Au) AF e R

in welcher v,, v%,: - v Unbestimmte bedeuten.

Dadurch geht dann

die Galois’sche Gruppe G in denjenigen Theiler X über, welcher alle

gemeinsamen Substitutionen von

H, 65 Ho,, 6, Hogz,

6()_ 'H| 6@

enthält. Hieraus ersieht man, dass X sich unter dem Einflusse der

Transformationen durch G nicht ändert; es wird, wenn s generell die

Substitutionen von G bedeutet, daher

SA = ,

d.h. K ist der grösste autojuge Theiler von G, welcher in H ent-

halten ıst.

Adjungirt man der Gleichung f(z)=0 von der

Gattung G sämmtliche Wurzeln einer Resolventengleichung

Resolventen,

373

(1), so reducirt sich dadurch die Gruppe G& auf den höchsten

autojugen Theiler X von &, welcher in der Gruppe H der

Resolvente enthalten ist.

Ist daher die Gruppe einer Gleichung einfach ($ 552), so reducirt

sie die Adjunetion aller Wurzeln irgend einer Resolventengleichung (1)

auf die Einheit; denn dies ist der einzige autojuge Theiler einer ein-

fachen Gruppe. Nach $ 552 findet dies bei jeder allgemeinen Gleichung

statt, und auch wenn man solcher eine alternirende Funetion adjungirt.

Gehört dann aber k(2,,::: 2) zur Gruppe 1, also zur Galois’schen

Gattung

\2) 0

so ist jede rationale Funetion der Wurzeln und insbesondere

die Galois’sche Resolvente @, durch % ratıonal darstellbar.

Sucht man durch derartige Adjunetionen der sämmtlichen Wurzeln

von Resolventengleichungen die vorgelegte Gleichung f(z)==0 zu lösen,

dann braucht zwar nicht bei jeder Adjunetion f(z) selbst zu zerfallen;

hingegen wird y(0o) mehr und mehr zerlegt, weil ja der Grad jedes ıhrer

irreductiblen Factoren mit der Ordnung der Gruppe , übereinstimmt, welche

jedesmal die bekannte, adjungirte Gattung charakterisirt.

Aber damit

man zur definitiven Lösung von f=0, d. h. zu seiner Zerfällung in

lineare Factoren kommt, muss mindestens einmal bei solcher Adjunetion

auch f in rationale Factoren sich spalten.

Es fragt sich, auf welche

Weise dies geschehen kann.

Wir wollen annehmen, f(z)= 0 mit der Gruppe G& sei noch

irreductibel; durch die Adjunetion aller Wurzeln %„ von (1) werde es

reductibel, und &G werde zugleich auf K reducirt.

Dabei möge

Ö5)

(2

8) (@ — %) : (8 — %)

ein irreductibler, rationaler Factor von f(z) werden.

Die autojuge

Gruppe X von G darf ihn nicht ändern; X kann also nur die HEle-

MG Zn Aa

Z, unter einander transitiv verbinden.

Nun ist aber

G n

Z, transitiy und besitzt daher auch eine Substitution 6,,

welche die Folge z,2,4+1 enthält.

Transformirt man K durch &,, so

gehen 2,, %,

- &, in neue KElemente Z 41,

über, die sämmtlich

von den ersten verschieden sind, weil sonst X = 0,1Ko, die früheren

auch mit 2,41 in Verbindung setzen würde. Es giebt also eine. zweite

Serie Z,+1, : Zax, die, wie leicht zu sehen ist, unter einander durch

K transitiv verbunden sind, weil 2,,--- 2, transitiv verbunden waren.

Jede Substitution von G, welche auf ein Element der ersten Serie

ein anderes derselben Serie folgen lässt, vertauscht nur diese Z,,-:: Z

unter einander; denn hätte man z. B. ein

A

28

9

Zn

}

374

Neunundfünfzigste Vorlesung $ 579.

Sechzigste Vorlesung &8 580.

so würde aus 67!Ko= K folgen, dass K auch %, mit 2441 verbindet.

Ebenso erkennt man, dass wenn eine Substitution von G auf ein Ele-

ment der ersten Serie ein solches der zweiten folgen lässt, das Gleiche

mit allen Elementen der ersten Serie stattfindet.

Giebt es noch andere Elemente ausser Z Z

: Zax) SO

wiederholen sich die eben durchgeführten Schlüsse.

Man erkennt auf

diesem Wege: Die Elemente z,, %,--- %, von G theilen sich in

Systeme der Imprimitivität von je x Wurzeln.

G ist eine

imprimitive Gruppe.

Falls umgekehrt & eine imprimitive Gruppe ist, und

Z11 >

** Zim;5

S91 ,

°° Zam)5

Z‚u 1)>

E me

(um=n)

ihre in Systeme der Imprimitivität eingetheilten Wurzeln sind; falls

ferner H derjenige (von der Einheit verschiedene) Theiler von G ist,

welcher die Wurzeln jedes einzelnen Systems unter sich, nicht aber

die Systeme unter einander vertauscht, dann erkennt man sofort, dass

der Uebergang von G zu H ein Zerfallen von f(z) in einzelne Factoren

gleichen Grades m im Gefolge haben wird, so dass je die Wurzeln

eines Systems diejenigen je eines rational darstellbaren Factors aus-

machen.

Dass H autojug in G& ist, haben wir im $ 575 gezeigt.

Ist G& imprimitiv, dann findet durch den Uebergang zu

H eine Zerfällung von f(z) in nichtlineare Factoren statt.

Ist G _ primitiv, dann ist nur durch den Uebergang zu dem

Theiler 1 eine Zerfällung möglich; die einzelnen Factoren

werden dabei linear.

Wir bemerken noch, dass auch bei Adjungirung einer einzigen

Wurzel einer Resolventengleichung f(z) zerfallen kann, dass dann aber

die Factoren nicht nothwendiger Weise von d&mselben Grade sind. Man

sieht dies an dem banalen Beispiele, in welchem man der Gleichung

f=0 die Resolvente z, selbst adjungirt; dann zerfällt nämlich f(z)

in einen Factor ersten und einen solchen (n — 1)*” Grades.

Sechzigste Vorlesung.

Algebraische Zahlen.

$ 580. VVir haben uns früher bereits mit dem Begriffe des

Rationalitätsbereiches vertraut gemacht ($ 47, Bd. I;. $ 314, Bd. I

u. s. w.). Es ist der Bereich aller derjenigen rationalen Funetionen und

Resolventen.

Algebraische Zahlen.

375

Grössen, welche als rational bekannt anzusehen sind*). Bei der Fixirung

eines solchen Bereiches genügt es, diejenigen Grössen anzugeben, aus

denen sich alle seine als rational geltenden Grössen in Form rationaler

Funetionen mit ganzzahligen Coefficienten ableiten lassen. Sind solche

darstellenden Grössen oder Elemente %’, N”,

auf irgend eine Weise

gewählt, dann mag die Klammer (X’, K, -:-.) den Rationalıtätsbereich

andeuten. „Die Wahl der Grössen X’, N”, R',---, d. h. also der Ele-

mente eines Rationalitätsbereiches unterliegt an sich keinerlei Be-

schränkung, doch ist es für die Behandlung der algebraischen Fragen

vollkommen bedeutungslos, transcendente Zahlengrössen oder transcen-

dente Funectionen von Variablen unter die Elemente mit aufzunehmen;

denn die Resultate bleiben ungeändert, wenn an Stelle solcher trans-

cendenten neue unabhängige Veränderliche gesetzt werden. Sind nämlich

mr

die Resultate der Theorie algebraischer Funetionen von NR’, N”, R

2

erst für diesen Fall, wo die transcendenten % durch unabhängige

Variable ersetzt sind, entwickelt, so können dieselben, ihrer Natur und

Herleitung nach, nur durch solche Specialisirung von Grössen X alterirt

oder modificirt werden, bei welcher algebraische Beziehungen zwischen

denselben eintreten.

Es kann daher unbeschadet der Allgemeinheit

angenommen werden, dass die Elemente eines Rationalitäts-

bereiches aus einer Anzahl veränderlicher oder unbestimmter

Grössen und algebraischer Functionen derselben bestehen,”

wobei unter einer algebraischen Funetion jede Wurzel einer Gleichung

zu verstehen ist, deren Coefficienten rational bekannt sind.

In dieser

Vorlesung wollen wir uns der Betrachtung solcher Grössen zuwenden.

Die Wahl der X ist, wie eben erwähnt wurde, keiner Beschränkung

unterworfen.

Bei gewissen Rationalitätsbereichen sind nun aber die

constituirenden Elemente % derartige, dass man den Bereich als einen

natürlich abgegrenzten Bereich bezeichnen kann.

Das findet zu-

nächst statt für (%)=(1), d. h. für den Bereich der gewöhnlichen

rationalen Zahlen, welcher als der absolute, einfachste, in allen Ratio-

nalitätsbereichen enthalten ist, da ein jeder die Grösse R’: ’ ein-

S

—

SE E

*) Abel hat zuerst die Nothwendigkeit der Einführung‚cIr dieses Begriffes

erkannt: „Sur la r6solution algebrique des Equations“, Oeuvres, publ. p. Lie

et Sylow 2, p. 217; er glaubte aber den Fall transcendenter Grössen noch berück-

sichtigen zu müssen. Kronecker hat diese Begriffe weiter ausgestaltet (Berl.

Ber., Juni 1853; Februar 1873; März 1879; Journ. f. Math. 92 S21 8

p. 7ff.). Vgl. auch Molk, Acta math. 6. — Dedekind gebraucht statt ‚,Ratio-

nalitätsbereich‘‘ den Ausdruck „Körper“, als „Vereinigung von zusammen- ‘

gehörigen Dingen, denen eine gewisse Vollständigkeit zukommt“ (Weber, Algebra

(2. Aufl.), I, 8& 146).

376

Sechzigste Vorlesung $ 580—581

schliesst; dieser Bereich repräsentirt gewissermassen die absolute Ein-

heit des Rationalitätsbegriffes

Ebenso sprechen wir auch in dem Falle

von einem natürlichen Rationalitätsbereiche, wenn die %’, R”, R”

sämmtlich unabhängige Variable bedeuten, und also (%’, R”

) alle

ationalen Functionen derselben repräsentirt

In allen anderen Fällen

haben wir es mit algebraisch abgegrenzten Bereichen zu thun

für sie hat Kronecker den Namen Gattungsbereich eingeführt

8& 581

Ist f(z)

O eine irreduetible Gleichung n“ Grades, deren

Coefficienten einem gewissen Rationalitätsbereiche (X) angehören, und

bezeichnen wir mit Z,, %,

Z die Wurzeln von f= 0, dann heisst

jede derselben (vgl. den vorigen Paragraphen) eine algebraische

Zahl oder Grösse n“" Ordnung dieses Rationalitätsbereiches (%);

die (einzelnen‘ Z 2

heissen zu einander conjuge Grössen in

Hinsicht auf die Gleichung f(z)= 0

Wir wollen eine solche algebraische Zahl z,, welche Wurzel der

dem Rationalıtätsbereiche

irreductiblen Gleichung f(z) == 0 sein soll

(RN) adjungiren und ihn also zu (XR, z,) erweitern; dann besteht dieser

neue jetzt aus allen ganzen und gebrochenen rationalen Funetionen

P (Zl)

w (2)?

bei denen %(z,)=+0 ist, und in denen sämmtliche Coefficienten

von Zähler wie von Nenner dem Bereiche (%) angehören

Diese allgemeine Form lässt sich vereinfachen

Da %(z,) + 0 ist

so sind %(z) und f(z) theilerfremd, und es giebt ganze Funetionen

x(z), o(z), für welche die Gleichung stattfindet

z (@)F(e) + o(e)(2)= 1

Daraus folgt o(z,)= 1:%(z), d. h

P (&,)

_f—

% (2,)

p (2,) 0(2)-

Man kann sich daher zunächst auf alle ganzen Functionen von 2, be-

schränken, deren Coefficienten zu (%) gehören

Setzt man weiter, indem die Division durch f(z) ausgeführt wird

so lange es angeht

[R]<m,

p(2) o(e) = Y(e)F(@) + Rle)

dann ıst für

D

n

2

2,, weil f(z,) verschwindet

P (@)

am R(ZJ‚

w (@)

d. h. jede Grösse des Bereiches (%, z,) ist in der Form einer ganzen

Funetion höchstens vom Grade (n — 1) darstellbar

Algebraische Zahlen.

T7

R(2) = &% F 48 F AA A An %

deren Coefficienten dem Bereiche (X) angehören

Die Grössen, welche aus R(z,) durch HEintragung der anderen

Wurzeln entstehen

al

R (2u) = 00 + A1%« F Aa% F + An 18a

(«

n),

heissen zu einander conjug. ‘ HEbenso heissen die Bereiche (X, 2,),

(N, %),

zu einander conjuge Bereiche

Jede Grösse des Bereiches (%, z,) ist eine der oben gegebenen

Denn nehmen wir : eine

Definition entsprechende algebraische Zahl

solche Grösse in der Form an

3l

CD

Yı = 0 + A1ßa A 0a8 F - O

@= 12

)

so wird das Product der % conjugen Werthe (y — yı), nämlich

(2) g@)

@ —@ — %)

OI T a

eine symmetrische Funetion der 2,, %,

Zn, und die 0 werden dem-

nach dem Rationalitätsbereiche (%) angehören

Jedes y„ ist somit

Wurzel der Gleichung

(3)

gy)=0

und also eine algebraische Zahl; denn sollte g(y) reductibel sein, so

kann man ja denjenigen passenden irreductiblen Factor g,(y) heraus-

nehmen, dem y„ als Wurzelpunkt angehört

Es ist von Interesse, zu wissen, ob und wann (3) zerfallen kann.

g,(y) sei der irreductible Theﬂer von g(y), welcher den Factor (y J—yl)

enthält.

Die beiden Gleichungen in z

F(@)=0 und gı(& + 42 + @2 .. + amı 71 =0

haben die Wurzel z == z, gemeinsam und daher wegen der Irreductibili-

tät der Funetion f alle Wurzeln von f. Folglich verschwindet g,(y) für

alle conjugen Grössen (1)

Sind alle conjugen Werthe (1) unter

einander verschieden, dann ist (3) unzerlegbar, und y, eine

algebraische Zahl u d. h. derselben Ordnung wie z, selbst

Sind hingegen die Werthe (1) nicht alle unter einander verschieden

dann wird g,(y) von geringerem Grade sein als g(y). Ist hierbei g (y)

eın weiterer irreductibler Factor von g(2), so wird ebenso geschlossen

dass die Gleichung in z

Ia (A9 + 0412 + 2 E + An 12 —

mit f=0 eine und daher alle Wurzeln dieser Gleichung gemein hat. Des-

halb muss dieses g,(a,--a,2-----) mit jenem g, (ay--ayz-+ ), d.h. g(y)

378

Sechzigste Vorlesung 8& 581—583.

mit g,(y) zusammenfallen. Da Gleiches von allen einzelnen irreductiblen

Factoren der Function g(y) gilt, so folgt: Ist die Function (?2) zer-

legbar, so ist sie eine Potenz einer unzerlegbaren Function

©

I(9) = qı Y)-

In diesem Falle wird jedes y„ eine algebraische Zahl der

Ordnung —=9g

$& 582.

Es lassen sich ın (N, z,) stets Zahlen y, bestimmen,

welche von der %” Ordnung sind. Denn dazu ist es nach den bis-

herigen Resultaten ausreichend, die Coefficienten @ so zu wählen, dass

—l

l l (a1(za—‚z/‚) C 4f‚) SC

ß

)

(

@ B= 1, 20000

(

«> ß

)

von Null verschieden bleibt; nach $ 539 ist dies möglich. VUebrigens

ist ja z, selbst von der n Ordnung.

Ist y, eine derartige Zahl %“* Ordnung, dann können wir umge-

kehrt auch z, durch y, und allgemein jedes 2„ durch das entsprechende

Y« darstellen.

Denn der Ausdruck

Z

Z

Z7L

9@[

Ya Yıa )5

+

?____f_..._‚_.

Yla

1=G@

ist eine ganze symrhetrische Funection der z7, und also sind die ein-

zelnen Glieder von G durch y und die Coefficienten von f(z) darstell-

bar, d. h. sie gehören dem Bereiche (%, y) an.

Aus dieser Gleichung

f01gt für Y — Yı, Ya,

wie gewöhnlich

— G

G (y2)

G (y,)

Ö5)

1

K

2

C

B

TO)

Demnach kann man die beiden Bereiche einander gleich setzen:

(6)

(2R; Za) E (2R, f'/£‘);

so bestimmten Rationalitätsbereiches

ol a

alle

Grössen des einen

kommen gleichfalls in dem anderen Bereiche vor.

$ 583. Es fragt sich nun weiter, wann der eben behandelte Fall

eintreten kann, dass nämlich g(y) reductibel und also gleich einer

Potenz, d. h. dass

(4)

g(y) = qı YY

(n=wv-9g)

wird.

Algebraische Zahlen.

379

Es werde die irreductible Function g, ım Linearfactoren zerlegt,

(7)

gu y) = U—) Y—Y+1) Y—Ya-yr+)-

Wir wollen ferner annehmen, dass die v Wurzeln von g= 0, welche

gleich y, sind, durch

(8)

a V

gegeben werden, so dass demgemäss

(9)

R(2)= R(4)= R(8)= . = R(e,)

ist, dass aber kein anderes y„ dem betrachteten Werthe y, gleich

werde.

Wendet man nun auf die Relationen (9) die Substitutionen

der Gruppe @ von f(z)=0 an, so entstehen daraus gleichfalls gültige

Wenn daher eine Substitution

Relationen ($ 560; Schlusstheorem).

von &@ den Werth y, in ya (« <vwv) dadurch umwandelt, dass sie die

Folge 212 besitzt, so werden durch sie die Werthe y,, Ya,:-- Yı ledig-

lich unter einander vertauscht, und deshalb ebenso die Werthe 2,,

%9

Ay)

2

weil sonst noch andere Werthe in die Reihe (8) eintreten.

Da f(z) irreductibel ist, so wird es weiter auch Substitutionen

in der transitiven Gruppe &G geben, welche z, in 2,+1 und also y, in

Yı-+1 umwandeln.

Dadurch müssen dann alle Werthe (8) oder (9) in

neue übergehen; und wir finden so die weiıteren Relationen unter den

y, welche aus (8), (9) stammen,

(8°)

Yı+ı = Yı+t2 =Yı+H3= i = 43

(9*)

R (2y41) = R(@&,+2) = R(&,+4+3) = * = R(%»).

Die Substitutionen von &, welche auf eins der Glieder (8*) ein

anderes folgen lassen, vertauschen diese Glieder sämmtlich nur unter

sich. Geht man so fort, dann zeigt es sich, dass die Gruppe G von

f(z) = 0 imprimitiv, und dass f(z) = 0 also selbst eine imprimitive

Gleichung ist ($ 578).

Dasselbe Resultat kann man auch auf rein algebraischem Wege

herleiten. Gelten die Formeln (4), (7), (8), (9), dann wird für jedes

x der Ausdruck

Z+

A

Zgn 36 A

m@i7

ÜT Ya

=m@<

Yn

+

)

a=1

Y Ya

eine ganze symmetrische Function der Wurzeln z, und kann daher

gleich G, (y) gesetzt werden, wobei die Coefficienten von G, dem

Bereiche (X) angehören.

Nimmt man dann hierin an

Y — Yı,

Y=— Yu+1),

, So entstehen die Gleichungen

380

Sechzigste Vorlesung 8 583—584.

Z1

+Z

+

—_-

G (yı)

Z

7 C

(10)

G Yy+ı)

@=1,2

v)

Z4+1 F Zu42 + .. + Z,

I, )

Es kann demnach, wenn man die Newton’schen Formeln über den

Zusammenhang der Wurzelpotenzen und der elementaren symmetrischen

Funetionen anwendet, hierdurch eine Gleichung

h(6 y)=7 — AI =0

von der Beschaffenheit gefunden werden, dass h(z; y,) =0 die Wurzeln

Ag y 9 Au aaı @ Oharı) = 0 die \Wurzeha . Zaun,

Z SN

Eliminirt man mithin aus den beiden Gleichungen

(11)

91(3’) =0

und h(e;y)= 0

die Unbekannte y nach der Poisson’schen Methode, so findet sich

(12)

F(@) = h(2; yı) : h(@; Yoı) * h(25 Yo_nr41)-

Folglich ist nach $ 573 die Gleichung f(z)=0 eine imprimitive

Gleichung.

Wenn umgekehrt f(z) eine Funetion von der Form (12), und

also f(z) = 0 eine imprimitive Gleichung ist, dann giebt es Funetionen

R(@) = 0n —E an A aa E 000 I O

welche mehr als einen, aber weniger als %» von einander verschiedene

Werthe

besitzen.

Zunächst ist ersichtlich, dass die symmetrischen

Funetionen von 2Z,, %,: 2, nur n:v==q Werthe haben, und dass

eine jede solche Function rational in y, ist = @(y,), wie (10) zeigt.

Denn aus

Weiter lässt sich nun y, durch z, allein ratiıonal darstellen.

(12) ist ersichtlich, dass h(2,; yı) = 0 ist, während h(z,; y) + wird

für Yy-+1) Yar+ı,

Folglich haben die beiden Gleichungen in y

und

(1

Iı (y) =0

h(2,; y)= 0

nur die eine Wurzel y = y, gemeinsam, und der grösste gemeinsame

Theiler beider Polynome in (11®) wird (y — yı)-

Dieser lässt sich

daher nach dem HEuklid’schen Schema rational im Bereiche (X, z,)

ausfindig machen, d. h. y, ist durch z, allein darstellbar

n—1

Yı = 0 F 8 F AA T An 18

Setzt man dies in @(y,) ein, dann ist eine Funetion von z, mit mehr

als einem und weniger als ” Werthen gefunden.

381

Algebraische Zahlen.

Eine Grösse, welche von höherer Ordnung als der ersten, aber

von geringerer als der %“* ist, nennen wir eine imprimitive Grösse,

solche Grössen dagegen, die von der n“ Ordnung sind, primitive

Grössen.

Durch eine primitive Grösse lässt sich jede andere (primitive

oder imprimitive) des Rationalitätsbereiches (X, z,) rational darstellen.

Die Darstellung einer primitiven Grösse durch eine imprimitive ist

nicht möglich, wie schon die Verschiedenheit der Anzahlen ihrer

Werthe zeigt.

Die bisherigen Resultate können wır folgendermassen zusammen-

fassen:

Nur wenn f(z)=0 eine imprimitive Gleichung, also die

Gruppe G von f(g)=0 eine imprimitive Gruppe ist, giebt

es im Rationalitätsbereiche (X, z,) imprimitive Zahlen Yx. —

Ist in (, zu) jede Grösse mit Ausnahme der zu (X) selbst

gehörigen, welche ja von der Ordnung 1 sind, eine primi-

tive, dann ist f= 0 eine primitive Gleichung. Jede irreduc-

tible Gleichung eines Primzahlgrades ist primitir.

Einen Rationalitätsbereich (X, z,), welcher ausser den

Grössen in (X) keine anderen imprimitiven enthält, nennen

wir einen primitiven, jeden anderen einen

imprimitiven

Rationalitätsbereich.

$ 584. Für die weiteren Entwickelungen müssen wir die folgende

Zwischenbetrachtung anstellen.

Es sei g(*)=0 mit den Wurzeln ,, &,

„ eine beliebige

irreductible Gleichung %' Grades, deren Coefficienten dem Ratio-

nalıtätsbereiche (X) angehören.

Ferner sei h(u, t,) eine in (X, 4,)

rationale Funetion von w und 4, mit Coefficienten, die zu (%X) gehören.

Wir nennen das Produet

(13)

N(h(u, t,)) = h(u, t,) - h(u, 6) - h(u, t,)

die Norm von h(u, t,) im Bereiche (%).

Die Norm eines Productes ist gleich dem Producte der Normen

seiner Factoren, d. h.

N(h-k) = N(Ah) - N(£).

Wir wollen nun beweisen: Die Norm einer irreduetiblen

Function h(w, t,) ist entweder selbst irreductibel, oder sie

ist eine Potenz einer in (%) irreductiblen Funection. Dieser

Satz umfasst den in $ 581 bewiesenen als besondeyen Fall in sich.

382

Sechzigste Vorlesung 8 584

Wir denken uns die Norm (13) innerhalb (%) in irreductible

Factoren zerlegt

N (h(u, t,)) = kı (w) - k (w)

dann hat innerhalb (X%, %) der Factor %,(w) mit einem der Factoren

aus (13), etwa mit Ah(w, t,), eine Nullstelle u —= @ gemeinsam. Man

kann also setzen

k (®) =

?

h(®, t,)=0

In (X, 4) ist A(u, 4,) irreductibel

deshalb ist k,(w) durch h(uw, t,)

theilbar, und wir können mithin %,(w) in die Form

(14)

kı(u) = h(u, 4) - Q(u, 4)

bringen, d. h. es haben die Gleichungen mit der Unbekannten %

k (w)

h(@u, %- Q(u,)= 0 und g(0)= 0

die Wurzel t= 4

so hat die

gemeinsam. Da g(%) irreductibel ist,

erste dieser beiden Glemhungen mit der zweiten alle Wu1zeln gemein-

sam, d. h. es gilt für jedes %, die Gleichung

(14*)

B = 0, ) 0, &)

@=1,2

)

Statt dieses algebraischen Schlusses hätte man auch den Satz über

die Galois’sche Gruppe benutzen können, um (14*) aus (14) abzu-

leiten; denn da g(£) irreductibel ist

so muss die zu g = 0 gehörige

Gruppe transıtiy seın

und die Verwendung einer passenden Substitu-

tion würde den Uebergang liefern

Das Gleiche ergiebt sich für %,(w); folglich haben %,(w) = 0 und

k (u) = 0 eine Wurzel o und daher einen ın (M) rationalen Faector

gemeınsam

Weil beide irreductibel sind

so stimmen sie deshalb

überein

und man hat also, wie behauptet wurde

(15)

N (h(u, t,)) = g [k(w)]”,

wobei g eine dem Bereiche (%) angehörige Grösse bedeutet

Ist v = 1, dann sind alle Wurzeln der Gleichungen

h(u,

)y= 2

( a)= 0

@, )= 0

von einander verschieden, weil &% =0 als irreductible Gleichung keine

mehrfachen Wurzeln besitzt

Bezeichnet also w irgend eine Wurzel

von h(w,

)= 0, so wird

h(u,,

)y= 0

h(4,, 6) E 0

h(d, bn) + 0

und es haben sonach die beiden Gleichungen

h(m, O=0, gl =0

Algebraische Zahlen.

383

nur die eine Wurzel £= €, gemeinsam. Folglich lässt sich der gemein-

same Theiler beider Gleichungspolynome (£ — t,) rational durch u, mit

Coefficienten‘ in (%) darstellen, d. h. es wird bei v = 1 für eine jede

Wurzel u, von h(uw, t,)= 0 eine Beziehung bestehen

4, = @ (u);

(16)

hierin bedeutet c eine rationale Funetion des Bereiches (%).

Umgekehrt wollen wir annehmen, ohne über v eine Voraussetzung

zu machen, es sei möglich, 4, durch eine Wurzel u, von h{(u, t)= 0

in der Form (16) rational auszudrücken. Dann hat, wenn u,, U, Um

die Wurzeln von k&(w)= 0 sind, die Gleichung

@— yu)) E — p)) : € — p (Um)) = 0

mit g() = O eine und also sämmtliche Wurzeln von g=0 gemeinsam,

d. h. es ist etwa

41 (p(u1)>

b = @(“2) 9

tn A €0(“n) ’

und da 4, %,

.. € von einander verschieden sind, so ıst m>mn.

Ferner hat die Gleichung

6 — vu 6& — yl ı— au =0

mit %(u)= 0 eine und also sämmtliche Wurzeln gemeinsam, d. h. es

ist umgekehrt für « ==1,2,-

m jedes @ (ux) gleich einem 4;.

Sobald nun m> ist, müssen mehrere @ (u„) einander gleich

werden.

Es seien alle Werthe der Reihe

p (u4) = p(u) = p(m)= - = p(ug)

und nur sıe einander ‚gleich. Wendet man auf diese Relationen die

Substitutionen der transitiven Gruppe G von k(uw)= 0 an, so folgt,

dass jede Substitution, die eins der U1, Ua, W,

Ug auf ein anderes

derselben Reihe folgen lässt, nur sie unter einander vertauscht; und

dass jede Substitution, die auf eins derselben ein neues folgen lässt,

lauter neue Elemente w hervorruft.

So erkennen wir, dass &G im-

primitiv ist ($ 574), und wir können die g@(u”) in Reihen von gleich

vielen Elementen anordnen, bei denen wir die oben benutzten Indices

@, b,--- d durch bequemere ersetzen:

g (4,) = P (Um+1) = P (Uan+1) = * = D (U@_yaı)

P (®f2) I ‘P (W+z)=tp (Mzn+2) = ... =-q) (.u(k.—l).n—f—.2)

(kn =m).

Y

—

E

200 = (@0)

Hier bilden die Argumente jeder Reihe ein System der Imprimitivität.

7

384

Sechzigste Vorlesung $ 584—585.

Hieraus folgt, dass wegen h(u,, @ (u)) = 0 und

h(u, 6,) = h(u, p (u)) = H (w, p (Un+1)) = * = A (U, D(W 1n++1))

die Gleichung

(17)

( u = 0

die Grössen U, Un+1) Uan+1) ** Wx—1)n+1 Zu Wurzeln hat.

Das sind

aber auch die einzigen Wurzeln von (17). Denn das Produet, welches

jedenfalls als Factor in h(w,t,) vorkommt,

U E a

bleibt für die Gruppe von (17) ungeändert. Diese besteht nämlich aus

denjenigen Substitutionen von G, welche die 41, Un+1,

nur unter

sich vertauschen und also %, nicht ändern.

Das angegebene Product

ist folglich rational bekannt. Da aber Z%(w,%,) irreductibel ist, so fällt

es mit diesem Producte zusammen.

Demnach ist (17) vom Grade % in w, und die linke Seite von (15)

wird vom Grade %.4 = m; die rechte dagegen ist vom Grade m - v.

Folglich wird v= 1, d. h. N(h(u, t,)) ist irreductibel.

Es ist charakteristisch für die Irreduetibilität der Norm

von h(u,t,), dass t, durch eine Wurzel der Gleichung h(u,4)=0

rational darstellbar ist*).

$ 585

Wir wollen nun untersuchen, was eintritt, wenn wir eine

Reihe von Adjunetionen nach einander machen, von denen jede folgende

in dem Bereiche stattfindet, der durch die früheren festgelegt ist.

Es sei (%) ein natürlicher Rationalitätsbereich, und in ihm

@ =W C - =0

eine irreductible Gleichung. Wir adjungiren zunächst z, und gelangen

zu dem neuen Bereiche (%, z,). In diesem bilden wir wiederum eine

irreductible Gleichung

hY=0U—ı) U—%):

'°(y%y‚vl)=0‚

deren Coefficienten aber nicht nothwendig z, enthalten. Wir adjungiren

yı und gelangen zu dem Bereiche (%, %,, yı). Auch in diesem bilden

wir eine irreductible Gleichung

fıl@) = (@ — a) @— @) : @— @,

deren Coefficienten also y, und z, enthalten können aber nicht zu

enthalten brauchen.

E

*)VA.V 77Kneser‚ Math. Ann. 30 (1887), p. 179 ff.

385

Algebraische Zahlen.

Ebenso erweitern wir den erhaltenen Rationalıtätsbereich durch

Adjunetion von x, und bilden eine neue in (X, %,, Yı, %) irreductible

Gleichung

fı(u) = (u — uy) (u— U) + (U— 0)=0,

in deren Coefficienten möglicherweise %,, Yı, 2# eingehen.

So kann man fortschreiten; wir bleiben aber, da dies für die Er-

kenntniss der Verhältnisse völlig ausreicht, hier stehen und betrachten

den Bereich

(18)

(R, U1 Xı Yır %)-

Es ist nicht ausgeschlossen, dass z. B. f”x mit f, identisch ist, so

dass z, und y, conjuge Grössen bedeuten, da sie Wurzeln einer und

derselben irreductiblen Gleichung sind.

Den durch (18) definirten Bereich können wir dadurch verein-

fachend umgestalten, dass wir zeigen: yı, %, und u sind Wurzeln

je einer schon in (X) irreductiblen Gleichungen.:

Um anzudeuten, dass die Coefficienten von f,(w) Funetionen von

%, sind, schreiben wir f,(uw; x,) und bilden nach $ 584 die Norm von

f im Bereiche (%)

N (fı(w; 2,)) = fılw; z,) fa (; &) 3 Fl %i)

= [g (u)}.

Dann ist u, eine Wurzel der irreductiblen Gleichung g;(w) = 0, deren

Coefficienten dem Bereiche (%, y,, z,) angehören.

Kam x, in den

Coefficienten von f, nicht vor, dann wird f, =gz. Schreiben wir aus-

führlicher g;(w; y,), dann wird die Norm dieses Ausdrucks

N (gs (w; yı)) = gs(w; yı) - 93 (W; Yo) + + I3 (W; Ym)

= [g (u)]“

die Potenz einer in (, z,) irreductiblen Funetion, und u‚ eine Wurzel

der in demselben Bereiche irreductiblen Gleichung g„(u) =g,(u; 2,)=0.

Endlich ergiebt die weitere Normbildung

N (g (u; 2,)) = g (w; 21) * Ia (W5; Z%) + Io (w; 2n)

= [g,(u)]*

das Resultat, dass u, Wurzel einer in (%) irreductiblen

Gleichung

gı (u)=0

wird, deren Coefficienten rationale Grössen in () sind. Die

entsprechenden Resultate gelten für x, und für y

Netto, Algebra. II.

25

386

Sechzigste Vorlesung $ 586—587.

$ 586. HEine weitere Vereinfachung von (18) erlangen wir durch

den Satz, dass die Adjunction mehrerer algebraischer Grössen

durch diejenige einer einzigen ersetzt werden kann.

Wir

wollen dies für den vorliegenden Fall zeigen, in welchem 2,, Yı, %,, 4

Wurzeln irreductibler Gleichungen in (X) von den Graden %, m, l und X

sein sollen.

Wir benennen die &/ -1-m -n Grössen

Dıa F DaYp F D3%y F DaUo

(“=172;"'"3 B== 1l 20° Mg 00o)

Dabei sollen

in beliebiger Ordnung genommen @1, @2, : Okımn-

Pı Da, P, Dı Constanten sein, die wir so wählen können und wollen,

dass keine zwei der @„ einander gleich werden. Hierzu reicht es aus

0

den ü solche Werthe zu geben, welche keiner der nur in endlicher

Anzahl vorhandenen Gleichungen

Dı (2a — Ba) A Ba (Yp — Yo) F{ D3 (Xy — Xe) 4 Da (Us — Ua) = 0

@ Ü=all 2 00003 B O==1, 200° 083 22°)

genügen.

Dann gehören die Coefficienten der Gleichung

(19)

P (o) = (@0—8,) (0—®)-- + (0—Ann) =0

als symmetrische Funetionen der Wurzeln des Gleichungssystems fi=0

2

=0, A = 0, 1 =0 dem Conor (X) an

P(0o)= 0 hat keine

gleichen Wurzeln; es ist also P’(@,) von Null verschieden.

Bildet man nun etwa bei Bevorzugung von Z vor y, % und q

den Ausdruck

X

Z

a&

P(m)207—17130;_172

a)/3777(j

Ya — Ba%y — Pa

“ä= Q(m)7

dann ist Q(w.) eine ganze Funetion in @ und den Wurzeln der vier

Gleichungen f= 0; zugleich ist Q symmetrisch in den Wurzeln der-

selben, so dass die Coefficienten von Q(®) zu (NX) gehören. So folgt

hieraus die Darstellung

Q(-pl'za+p2yp'+ * a Q(wg)

a = P’(Plza+172yp’+“ )_ P’(('Ö@),

d. h. zx ist eine rationale Funetion von @, ın welcher der Nenner

nicht verschwinden kann.

Setzt man , 2, + D Yı 7 D3X, A Da — @,

so folgt die Darstellung von %, durch @,. Kbenso ergeben sich aber

auch Yı, %,, -

Man kann deswegen setzen

T @,)

CZ

nn

Q @,)

_ RG@,)

1

e

Ur

C

VD

P'’@\)?

— P@)?

Algebräische Zahlen.

387

und es reicht also aus, statt gleichzeitig %,, Yı, %,, W, allein die eine

Wurzel @, von P(w)= 0 zu adjungiren, d. h. es ist

(20)

(8l1\7 Zı Yır Zi) 7"’1) a (2R7 651)'

Die in 8585 gemachte mehrfache Adjunetion führt demnach auch

nur auf algebraische Zahlen, wie sie ın $ 581 definirt worden sind,

und hiernach könnte es scheinen, als ob die Betrachtung dieser allein

ausreichte und unsere neue Kinführung gänzlich überflüssig wäre.

Dies ist jedoch nicht der Fall.

Denn wenn z. B. eine Wurzel von

(19) dem Bereiche (%) adjungirt ist, dann kann die Umwandlung,

wie sie durch (20) gegeben wird, dadurch wichtig und wesentlich

werden, dass die Gleichungen fi=0,-.-. fi= 0 von besonders hervor-

ragenden, einfachen KEigenschaften sind, so dass hierdurch die Erkennt-

niss der Constitution von (X, @,) gefördert wird.

In der nächsten

Vorlesung haben wir den hauptsächlichsten derartigen Fall eingehend

zu besprechen.

$ 58%. Die Einführung von ®, an Stelle von Z Ya Za U Jässt

die Frage entstehen, von welchem Grade

derjenige in (%)

irreductible Theiler von (19) sein wird, dem ®, als Wurzel

genügt.

Wir betrachten zunächst nur fi(z)= 0 vom n Grade mit der

Wurzel z, und fı(y)= 0 vom m* Grade mit der Wurzel y,; beide

Gleichungen seien in dem Bereiche (%), dem ihre Coefficienten an-

gehören, irreductibel.

KEs möge nach Adjunetion von 2,, also in (%, z,) die Funcfion

f2(y) in irreduetible Factoren A,, ko,

zerfallen; wir schreiben

@21)

f y)= k (y; 2) : k (y; ALACHHA

und %, sei derjenige dieser Factoren, dem y, als Wurzelpunkt ange-

hört.

Wir setzen

k yı a)= — yı)Y—%): : Y — Yı)-

Dann gilt für die Grösse o = y + pz,, bei welcher p einen Parameter

bedeutet, wie die Substitution zeigt, die Gleichung

k (0 — D2,; 2,) = K (w; 4)= (co—[p‚e'l—}—yl]) R (°"“[2”1+.%])

Weil ferner nach (21)

f(Y) — kı (y;2) ka(y;2) + ks(y;2)::=0

mit der irreductiblen Gleichung f,(2) = 0 eine Wurzel 2, gemeinsam

hat, so gilt auch die Reihe der Gleichungen

(21°) falW) = kı (Y; Zu) k (U3 2u) K3 (Y3 Zu) + +

@=i1

n),

25*

388

Sechzigste Vorlesung $ 587—588.

und daraus ergiebt sich, dass jede der Gleichungen

kı (0 —D8ax; Za) = &(3 Zu)= 0

(“=1;27"'")

als Wurzeln o gewisse Grössen (pz„ 4 yYs) hat, in denen die Yg zu

den Wurzeln von f,(y)=0 gehören. Die r zu einer solchen Gleichung

gehörigen Wurzeln sind unter einander verschieden, da ja A, (y; 2u)

genau wie /,(y; z,) irreductibel ist; und die zu den verschiedenen

Gleichungen

K(‘”; Zl) =O)

K(m5 Z2) R O7

K(@ a)= 0

gehörigen Wurzeln sind gleichfalls' von einander verschieden, falls p

so bestimmt ist, wie dies zu Beginn von $ 586 geschah; denn die

Coefficienten von p sind ja von einander verschieden.

Bildet man also die Norm von k,(@® — pZ,; %,), nämlich

N (k, ( — ya,; 2,) = K(w; 2;) : K(w; %) : K(0; 2),

dann ist. dies eine in (%) rationale Function, welche als Potenz einer

Nach dem soeben Bewiesenen

irreductiblen Funetion auftritt ($ 584).

hat aber diese Norm keine mehrfachen Wurzelwerthe; folglich ist sie

selbst schon irreductibel.

Weil k,(y; zu) den Grad 7 besitzt, so steigt die Norm in @ bis

zum Grade %-r auf; d. h.: Wenn nach Adjunction von z, die

Gleichung m“ Grades f(y)== 0 zerfällt, und der Factor

kı (y; 2,), welcher gleich Null gesetzt y‚ zur Wurzel hat,

vom Grade v ist, dann hängt ®,= UZ + yı von einer irre-

ductiblen Gleichung des Grades nr ab, deren Coefficienten

rational in (X) sind; dabei bedeutet n eine unbestimmte

Grösse.

Vertauscht man in der Beweisführung f und fx, adjungirt man

also zunächst y, und betrachtet die dann etwa erfolgende Zerfällung

von fi in irreductible Factoren, wobei s der ‘Grad des Factors sein

mag, der gleich Null gesetzt z, als Wurzel giebt, dann zeigt sich

ebenso, dass o die Wurzel einer Gleichung des Grades ms ist. Hieraus

ziehen wir den Schluss: Sind z und y, Wurzeln bezw. von

fi@)=0 und fi(y)= 0,

zweier in (R) irreductiblen Gleichungen der Grade n bezw. m;

ist ferner vr der Grad derjenigen nach Adjunction von Z;

irreductiblen Gleichung, welcher y, genügt, und s der Grad

derjenigen nach Adjunction von y, irreductiblen Gleichung

welcher z, genügt, so gilt dıe Proportion n:m=S:r.

Algebraische Zahlen.

389

Von dem ersten der beiden Resultate kann man nun zu dem

Falle dreier Gleichungen f,(2) = 0, f£(y) =0, fz(x) = 0 fortschreiten,

indem man die Adjunction von %, und y, zunächst durch diejenige

einer Wurzel @, von N(K,(w; z,)) = 0 ersetzt und darauf von ®,

zu (%, + 9,@,) Üübergeht.

Man gelangt dadurch zu dem Resultate:

Genügt zı im Bereiche (X) einer irreductiblen Gleichung

vom Grade v,; ferner y, im Bereiche (%, z,) einer irreduc-

tiblen Gleichung des Grades 7,; und endlich x, im Bereiche

(N, yı, zı) einer irreductiblen Gleichung des Grades 7,, so

hängt die Grösse @, = %, + Yı + D, durch welche X,, yı, Z

rational darstellbar sind, als Wurzel von einer irreductiblen

Gleichung des Grades r,-r72-r7, ab. Der allgemeine Satz ist hier-

nach. klar.

(Vgl. A. Kneser 1. c.)

$ 588. Wir haben in den vorhergehenden Paragraphen dieser

Vorlesung die Aufgabe als gelöst angesehen, eine Funetion innerhalb

eines Gattungsbereiches in ihre irreductiblen Factoren zu zerlegen.

Es ist jedoch zu bemerken, dass das Problem der Zerlegung bisher

nur für natürliche Rationalitätsbereiche behandelt und erledigt worden

ist ($ 50, Bd.I und 8 341); an erster Stelle für den natürlichen Ratio-

nalitätsbereich (X)= 1, an letzterer für (X, , ---) =(1, %, , "),

indem wir f(z,) mit Coefficienten dieses Bereiches versehen dachten,

der aus lauter Unbestimmten %, Z3,

zusammengesetzt war.

Die allgemeinste Zerlegungsaufgabe würde sıch auf eine Funetion

J(Z,, Zay ‘ Zn) beziehen, deren Coefficienten ın einem Gattungsbereiche

(X, M', R”, ---) enthalten sind; wie kann man g innerhalb dieses

Rationalitätsbereiches in irreductible Factoren zerlegen?

Zunächst kann man die Frage so umgestalten, dass man eine

Variable z allein als Argument von g ansıeht und die übrigen ın den

Rationalitätsbereich verweist ($ 343, V); weiter kann man den Ratio-

nalitätsbereich so zubereiten, dass er ausser unbestimmten Grössen nur

eine einzige algebraische Zahl enthält [$ 586; (20)].

Hiernach reicht es aus, die Zerlegung

(22)

f(@; @,) = gı(2; @,) : g (2; @) g (2; @]

der Funetion f in irreductible Factoren g„ des Gebietes (@,, N', R”, - --)

zu fordern, wobei die X’, X”,-.. Unbestimmte bedeuten, und @, die

Wurzel einer irreduetiblen Gleichung

P(®) = (0—0,) (0—®) : (0—Wm)=0

ist, deren Coefficienten dem Bereiche (%’, R”, - - -) angehören. Endlich

kann man ohne Beschränkung annehmen, dass f(z; @,) von mehrfachen

390

Sechzigste Vorlesung $ 588—589

Theilern frei sei, und dass auch kein gemeinsamer Factor aller Coeffi-

cıenten von

(z; @,) besteht

Wir wollen in (22) statt z eintragen 2 = d + @,, wobei t ein

unbestimmter Parameter sein soll

Das hat zwei Vorzüge ım Gefolge

Zuerst tritt in den Coefficienten der Potenzen von x ın f jetzt wirk-

während das

lich die Grösse w, auf, was für uns von Gewicht iıst

bisher nicht nöthig war; zweitens wird dabei die Norm von f(x +7o,)

keine Potenzen als Factoren enthalten

Gesetzt nämlich man hätte

V(f(x + %0,;

2 (@) - Q5' (@)

als Zerlegung der Norm im Gebiete (X’, X”

), dann würde, wenn

auch nur einer der Exponenten x grösser wäre als 1, N(f) mit seiner

Ableitung einen gemeinsamen Theiler haben, also

f (& + 6@,; @ı) f (@ + 00@3;

2)

f(&% + @m5 Om)

mıt

f(x+tﬁi S

f(x F @

ı)

fle 4 1n a)

f (@ +t@

Z

;

Kommt derselbe nun etwa in f(x —+ *@,;

a) von

so müsste

weil

f(@% + 6@,; @.

©,) von mehrfachen Factoren frei ist und also mit

f (a + 4@,; @,) keinen gemeinsamen Theiler hat, ein solcher etwa

für die beiden Funetionen

(28)

( A 0 @;)

und f(x + *%,;

2)

bestehen. Auf die Irreductibilität von f(@x + 6@;;

‚) können wir uns

um diese Eventualität abzuweisen, hier nicht berufen, weil Irredueti-

bilität im Bereiche (@,, @,, N’, R”

) nicht zu gelten braucht. Aber

auf anderem Wege lässt sich leicht die Unmöglichkeit der Existenz

eines gemeinsamen Factors für (23) zeigen. Wir setzen % + @, = Y,

dann giebt die erste jener Functionen f(y; @

®,) und die zweite

F + 4(@: — @,); ®)

= /: ®) +t(w2_031) f 0 @) E +tq(c‘72”_ml)q

Wegen der Unbestimmtheit von % müssten fF(y; @

®,) und (9, — ®}

einen gemeinsamen Theiler besitzen, d. h. (®, — @,) müsste Factor

aller Coefficienten von f werden. D16 Existenz eines solchen war aber

ausgeschlossen. KEs sind demnach alle x gleich 1 zu setzen, und man hat °")

(24)

N (f(@ +6@,; @ @,)) = Q&) Q (@) - Q, (@)-

( OE

) Molk, Acta math. 6, p 41 ff. — Kronecker, Journ. f. Math. 91 (1882),

p. 12. — Kneser 1, c., p. 187

Algebraische Zahlen.

391

wobei die Q von einander verschiedene rationale irreductible Func-

tionen in (’, X”, - - -) bedeuten.

Wir suchen nun nach dem Euklid’schen Algorithmus den grössten

gemeinsamen Theiler von Q,(x) und f(x + #@,; @1), indem wir beide

Funetionen von x in bekannter Weise behandeln und P (®@,) = 0 zur

Reduetion der Coefficienten benutzen.

Dieser Theiler sei @ (x; @,),

und es werde gesetzt

p (x; @,) : p (@; ®,) = Q.@),

p (x; W,) - P @; ®,) = f (%# + @; @)-

Das ergiebt dann, wenn man die Normen nimmt,

N (g(x; @)) - N (g (@; @,)) = Q @),

N (m(z; @,)) : N (g (z; @,)) = Q.@) - Q, (@x) - Q (z) .

Aus der ersten dieser Gleichungen schliesst man, dass N (g) eine Potenz

von @Q, wird und aus der zweiten, dass der Exponent dieser Potenz 1

ist; folglich wird zu setzen sein

N (g (x; @,)) = @-

Daraus folgt weiter, dass q(x; @®,) irreductibel wird, denn nach

8 560 würde sonst folgen, dass @Q, auch zerlegbar wäre.

Es ist dem-

nach der grösste gemeinsame Theiler von f(x +%®@,; @,) und Q, einer

der irreductiblen Factoren von f(x + t@,; ®@,). Durch die grössten

gemeinsamen Theiler von

f(@% + 4*@,; @,) mit

Q1; Q2; Q37

werden sämmtliche irreductiblen Factoren von f geliefert.

Setzt man in ihnen dann %=2-—(#®,, So erhält man die

Zerlegung von f(z; @,) in seine irreductiblen Theiler inner-

halb des Bereiches (®,, R, N,---)

Damit ist die gestellte Auf-

gabe gelöst, und die Irreductibilitätsuntersuchungen sind auch für

Gattungsbereiche erledigt.

$ 589. Wir wollen eine praktische Anwendung für die Methode

zeigen, eine Funetion ınnerhalb eines gegebenen Gattungsbereiches zu

zerlegen, indem wir die Reductibilıtät oder Irreductibilität der Function

(25)

f(?) = O, (©,(g))

untersuchen, in welcher @, und @, ganze Functionen sein sollen, deren

Coefficienten dem Rationalitätsbereiche (X) angehören.

Diese Unter-

suchungen stammen von A. Capelli*).

E —

;°) Rend. d. R. Acc. d. Napoli. (1897) Dicembre; (1898) Febbraio; Maggio.

392

Sechzigste Vorlesung $ 589—590.

Als erste Bedingung für die Irreductibilität von f innerhalb (%)

erkennt man die Irreductibilität von ©,(y) innerhalb des gleichen Be-

reiches. Diese Bedingung sei erfüllt; dann sind die Wurzeln von

O y)=U0-—yı) Y—%): : (Y—yYm)=0

von einander verschieden.

Aus dieser Gleichung folgt

f(2) = 0, (0,(@)) = (©2(£) — ?/1) (©,(2) — Y) - (©O,(?) — Ym)-

Gesetzt der Factor @,(z) — y, wäre im Gebiete (X; y,) reductibel,

was wir nach dem vorigen Paragraphen prüfen können, und es wäre

O; (2) — yı = $,(2; yı) - &o(2; Yı),

wobei &,, &o rationale ganze Functionen von z und Yır mit Coeffi-

cienten aus (X) sind, dann gilt

O, (2) — Yu = P1(@; Yu) * Öo(2; Y,)

(“=1;27"'m);

weil die vorhergehende Gleichung mit der irreductiblen Gleichung

O,(y) = 0 eine Wurzel gemeinsam hat. Deswegen wird

@= 1, 2 °°<)

F@= [ [ 90 y ] [ 8 u

= Y() : Z@).

Die T sind hier ganze Funetionen in (X), und f(z) ist daher reduectibel.

Wir zeigen weiter, dass 7, in (%) irreductibel ist, falls © (2; yı)

es in (X; yı) Ist.

Hätte 7,(z) den Faetor T7(z), so müsste dieser mit

einer der Funetionen &,(z; y,) einen Theiler gemeinsam haben, z. B.

mit d;(2; yı)-

Da &, (2; yı) als irreduetibel in (; y,) vorausgesetzt

wird, so muss demnach &;,(z; yı) die Funetion t(z) theilen:

v (2) = d1(2; yı) - Dol&; Yı)-

Ersetzt man hierin y, durch %2,“--Ym, SO sind auch die neu ent-

stehenden Gleichungen richtig, weil @, (y) = 0 irreductibel ist. Folg-

lich sind alle m Funetionen

(26)

31('Z; 3/1)7

Ö, (2; Ya),

O1 (2; Ym)

Theiler von t(z). Keins der &, liefert, gleich Null gesetzt, mehrfache

Wurzeln.

Ferner haben aber auch nicht zwei Gleichungen

O, (8; yı)= 0

”31(55 ?/f') = 0,

gemeinsame Wurzeln.

Denn wäre & eine solche, so hätte man

©(6) — yı= d (6E; yı) , (E; yı)= 0,

O, (8) — yı= D(6; y0) : D (5; ı) = 0,

Algebraische Zahlen.

393

d. h. es wäre gegen die Annahme der Irreductibilität von ©,(y) gleich-

wohl yı = yı.

Es enthält daher T(z) das Product der Funetionen (26), d. h. 7(z)

fällt mit 7,(z) zusammen.

Zerlegt man also im Rationalitätsbereiche (X; y,) die

Differenz (0,(z) — yı) in ihre irreductiblen Factoren

O; (z) — yı = Du(e; yı) ' d (£; Yı) - Ow(@; Yı),

dann sind

@= 1

2

2,

m)

LﬁMw%[ßWw%--[ﬁ#w)

die in (X) irreductiblen Factoren von

(25)

O, (©,(2)).

Die Ordnung jedes dieser irreductiblen Factoren ist ein Viel-

faches von m, d. h. vom Grade der Function O, (y).

Für die Irreductibilität von (25) ist es charakteristisch,

dass O,(z) in (X) und ®@,(2) — yı in (X; %) irreductibel sind.

Hieran schliesst sich folgendes Theorem. HEs sei

(25°)

f(?) = 0,(0,(2)) = %1 (x(2)),

wobei O,(2) sowie %(z) vom Grade m, und ©,(z) sowie y (2)

vom Grade % sind. Die Zahlen m und % seien theilerfremd.

Dann ist es für die Irreductibilität von (25*) im Bereiche (%)

charakteristisch, dass O‚(z) und %,(z) in demselben Bereiche

irreductibel seien.

Dass diese Bedingungen nothwendig sind, ist klar. Sie sind aber

auch hinreichend.

Denn ist t(z) ein irreductibler Theiler von f(g),

dann muss sein Grad nach dem vorigen Satze ein Vielfaches von m

wie von % und also von mm sein; d. h. der Theiler fällt mit f(z)

ZUusammen.

$ 590. Diese beiden Theoreme benutzt Capelli, um die Irredueti-

bilıtätsfragen für die binomische Gleichung

Z — A=0

(27)

in einem beliebigen Rationalitätsbereich (%), dem A angehört, zu

entscheiden.

Es sei in seine verschiedenen Primzahlpotenzen zerlegt

q7‚=p“qﬁr}’...=pa.»u.

Wir setzen

O, ()=2" _ A, 0,(0)=z;

Xl(£”) 7 ar A;

Xa (Z) S Zpa;

394

Sechzigste Vorlesung 8 590—591.

dann folgt, dass (27) dann und nur dann irreductibel ist, wenn es die

beiden Gleichungen

zr —_ A=0,

A

sind. Wendet man auf die zweite dieselben Schlüsse an und geht so

fort, danın kommt man zu dem Satze: Für die Irreductibilität von

(27)

n A 0} n =2)“QP’W’. C

ist es charakteristisch, dass

” A =0, U Z0 N A=Z0,

innerhalb (%) irreductibel sind.

Hierdurch ist die Frage also auf binomische Gleichungen vom

Primzahlpotenzgrade reducirt.

Wir betrachten deswegen jetzt nur

(28)

gr° — A4=0

und setzen

O.(e)=2" — A, O,(e)= ar“

O, (z) = 2? — A ist innerhalb (X) irreductibel, sobald in dem gleichen

Bereiche 4 nicht eine vollständige p® Potenz ist. Diesen Satz wollen

wir als richtig voraussetzen; er wird in der folgenden Vorlesung, un-

abhängig von unseren jetzigen Betrachtungen, ım $ 594 bewiesen

werden.

Wäre 4 keine solche vollständige w Potenz, dann könnte trotz-

dem (28) noch reductibel sein, wenn nämlich gemäss dem ersten Lehr-

satze des vorigen Paragraphen

(29)

O, (2) —yı= 2 —y

es in (R; y,) ist.

Dabei bedeutet y, eine Wurzel von

O —A Z0—WCO—) HO —O

Es fragt sich also, ob (29) in (M; y,) reductibel oder irreductibel

ıst

Diese Gleichung ist der Gleichung (28) völlig ähnlich, da ja, wie

wir nachweisen wollen, y, im Gebiete (%; y,) auch keine vollständige

y° Potenz ist.

Wäre nämlich

yı = [h(y4)]?,

so würde die Gleichung, welche durch Eintragung von y; statt y, ent-

steht, auch richtig sein, da y” — A = 0 irreductibel ist. Folglich wäre

Yıa Yn = [h(yı) h%) h(yp)1P-

Ist nun y eine ungerade Primzahl, dann wird die linke Seite gleich 4,

während die eckige Klammer auf der rechtep Seite dem Bereiche (X)

Algebraische Zahlen.

395

angehört.

Folglich wäre A gegen die Annahme eine vollständige p“

Potenz.

Für p==2 gilt dieser Schluss nicht, da für p= 2 die linke

Seite zu (— 4) würde.

Wir setzen jetzt p >2 voraus und haben dann in (29) das voll-

Die-

kommene Analogon von (28), sobald wir (%; yı) = (X’) setzen.

selben Schlüsse gelten weiter, d. h. (29) ist nur dann reductibel, wenn

die binomische Gleichung (y“—?)' Grades es ist, welche daraus her-

geleitet werden kann, nämlich

ZP

&— 2

—y{=07

u.s.f. So kommt man endlich auf eine Gleichung des Grades p

ZP — yi“_2) =— O)

wormm y“—2 keine vollständige p° Potenz im entsprechenden Ratio-

nalitätsbereiche wird. Folglich ist diese Gleichung irreductibel, und

damit zugleich auch (28). Dafür dass

(28)

2° _ 4A=0

(n—>2)

irreductibel in (X) sei, ist es charakteristisch, dass 4 in

dem gleichen Rationalitätsbereiche keine vollkommene p“

Potenz wird.

Wie schon bemerkt wurde, gilt der Beweis nicht für den Fall

P=2. Aber auch der Satz selbst muss hierbei modificirt werden,

wie das Beispiel

En Al

=

2 + 40 — (# — 2b2 + 20°)(2? + 202 +20°)

zeigt, in welchem Zerlegung stattfindet, trotzdem A kein Quadrat ist.

KEs ist also für Potenzen von 2 ein Ergänzungssatz nöthig. Capelli

leitet diesen in der zweiten der angeführten Noten ab. Wir begnügen

uns, ohne den dort gegebenen Beweis zu reproduciren, mit der An-

gabe des Theorems: Dafür dass

E

in einem gegebenen Rationalitätsbereiche reductibel sel,

ist es charakteristisch, dass entweder 4 in diesem Bereiche

ein Quadrat, oder dass — 4 in ihm das Vierfache einer

vierten Potenz bildet.

$ 591. Wir haben in unseren Untersuchungen die Möglichkeit an-

genommen, dass durch Adjunetion einer Wurzel y, von f(y)= 0 des

Grades m_ die Gleichung f,(z) = 0 des Grades % in Faetoren zerfällt.

Dass derartige Verhältnisse eintreten können, ist ersichtlich, wenn man

f3 = f Setzt. Wir fragen nach den allgemeinen Bedingungen, unter

denen ein solcher Fall von Zerlegung vorkommt.

396 Sechzigste Vorlesung $ 591—592.

Einundsechzigste Vorlesung 8 593.

Ist nach Adjunetion von y, zu fi(z) == 0 die Function

h.(@) = (@—2)(@—2) - (@—%)

(v<mn)

ein irreductibler Factor von f,(z), dann heisst dies, dass die sym-

metrischen Funetionen von Z,, %,

Z, rational durch y, darstell-

bar sind.

Gesetzt p(2,, - 2.) und w(2,,:-: Zn) wären beide durch y, dar-

stellbar, dann ist es auch

P (Zı> 4 8n) H U (21, 7 An)

Daraus folgt, dass es eine kleinste Gruppe K, giebt, derart, dass

alle zu ihrer Gattung und unter ihr stehenden Funetionen, aber keine

andere rational durch y, ausdrückbar ist. Bezeichnen wir mit %, (21, *- Zn)

jede zu K, gehörige Funetion, dann ist also

I, (81, %ar En) = R(y,)-

Andrerseits ist durch R(y,) eine Gattung der y bestimmt, zu der

entweder y, gehört, oder über der y, steht. Ihre Gruppe mag K, sein;

o (Yı>* - Ym) bedeute jede zu K, gehörige Funetion. Dann ist durch

k, jede zu K, gehörige und durch %, jede zu K, gehörige

Funetion rational darstellbar.

Dies bedeutet: Die Gattung K,

der Z,, %,: % stimmt mit der Gattung K, der Yı, Ya, ‘:“ Ym

überein.

Wenn umgekehrt für fi und fz zwei solche übereinstimmende

Gattungen bestehen, dann braucht bei Adjunetion von Yı noch nicht

(1 zu zerfallen.

Hierzu ist zweierlei nothwendig.

Zunächst muss K,

intransitiv sein; denn es müssen schon die symmetrischen Funetionen

von weniger als ” der z rational darstellbar werden; und dann muss

k, unter der Gattung stehen, welche durch die eine Wurzel y, bestimmt

ist; denn jene Funetion von %,, welche die symmetrischen Functionen

von 21,: : Z darstellt, muss durch y, dargestellt werden können.

$ 592. Wir wollen durch Verbindung des eben abgeleiteten Satzes

mit einem früher $ 548 über Gattungsdiseriminanten bewiesenen ein

Irreduetibilitätstheorem aufstellen.

Bedeutet G, die Gruppe von fi(#)= 0 und G, die Gruppe von

f2(y) = 0, dann können wir die Resultate aus $ 548 verwerthen, denen

zufolge die irreductiblen Theiler der Gattungsdiseriminanten von G, und

K, und ebenso von G, und K, übereinstimmen. Da nun die beiden

Gattungen X, und K, identisch sind, so stimmen G, und &7, in _ den

irreductiblen Factoren ihrer Gattungsdiseriminanten überein. Dies ist

also eine nothwendige Bedingung dafür, dass fi — O durch Adjunetion

einer Wurzel von f;= 0 reducirt werde.

Algebraische Zahlen. Radicalzahlen.

397

Wir wollen diese Ueberlegungen auf die zu einer Primzahl w

gehörige Kreistheilungsgleichung

N

z—1

= gl } —2 L... + 2+}1=0

anwenden.

Jede Function irgend einer Gattung der Wurzeln ist in

der Form

a bo+cw?+-... + dar—!

ausdrü%:kbar‚ wobei @ eine primitive p“ Einheitswurzel bedeutet. Jeder

Factor der Discriminante hat die Form

b (0* — wP) + 6(0?* — 0B) A + d_(a‚<p—1)a — we—P);

folglich ist die Diseriminante durch

11& —«

d. h. auch durch % theilbar.

Die Primzahl y ist also jedenfalls ein

irreductibler Factor aller Gattungsdisceriminanten für die Kreistheilungs-

gleichung. Die Kreistheilungsgleichung kann nur dann durch

Adjunetion einer Wurzel y, der Gleichung f(y)=0 reductibel

werden, wenn die Discriminante von f>(y) durch m@ theil-

bar ist®).

KEinundsechzigste Vorlesung.

Radicalzahlen.

$ 5938. Aus der Gesammtheit der algebraischen Zahlen heben

wir eine besondere Art heraus, die wir Radicalzahlen im Ratio-

nalitätsbereiche 1 oder kürzer

Radicalzahlen

nennen. wollen.

Wir definiren sie auf folgende Art.

Wir gehen von dem aus der Einheit gebildeten natürlichen Ratio-

nalıtätsbereiche (X) = (1) aus und erweitern ihn durch die Adjunetion

einer Wurzel v, einer reinen Gleichung oder binomischen Glei-

chung, deren Grad eine Primzahl p, ist, so dass also

y =F(R)

wird. Aus dem so festgelegten Rationalitätsbereiche (v,; R) treten

wir durch fernere Adjunetion einer Wurzel v,_, wieder einer reinen

ALn

* Kronecker, Journ. de math. 19 (1854), p. 177. — Schönemann, Journ.

f. Math. 32 (1846), p: 100. — Kronecker, Journ, f. Math. 100 (1887), p. 79.

398

Einundsechzigste Vorlesung $ 593—594.

Gleichung von Primzahlgrad, die auch mit der ersten zusammenfallen

kann,

e CN

in ein erweitertes Gebiet; n„_1 bedeutet wieder eine Primzahl, und

F,_, eine ganze rationale Function der Argumente; dass die Benutzung

gebrochener Funetionen keine Verallgemeinerung bietet, haben wir

$ 581 gezeigt.

In der angegebenen Weise kann man fortschreiten, bis man nach

einer

endlichen Anzahl von Schritten zu dem für unsere Zwecke

nöthigen, völligen Schema einer Kette reiner Gleichungen von

Primzahlgrad gelangt, welche die Form hat

7,

V

V

,

7)7’1/—1 DE

y—1

F, 0, ,

va

Z

(1

v—2

VQ $)‚

D

a 1P2 (US; On 9° D ER);

ı8

Zı

=F1(”27 Us, °° Dr) 2R)

Hierbei ist es nicht nöthig, dass in die Definitionsgleichung eines

vx jede vorhergehende Grösse vx+1, Va-2,

eingeht; sie können sogar

sämmtlich fehlen.

Wir nennen jede Grösse von der Form

ı—l

(2)

%= M + M0 I M0 E + B 0

1

2

in welcher sämmtliche m7 dem Bereiche (v,, v3,

v,, R) angehören,

i = I (@9 O5

%, 8?.)‚

eine zur Kette (1) gehörige Radicalgrösse, weil sie durch Ad-

junetionen allein von Wurzelgrössen erlangt wird. Ob nicht etwa

jede algebraische Grösse zugleich eine Radicalgrösse ist, d. h. ob sich

nicht etwa jede algebraische Grösse in der Form (2) darstellen lässt,

gehört zu den wichtigsten und interessantesten Fragen der Algebra.

Ihre Beantwortung liefert die Entscheidung über die sogenannte Auf-

Jösbarkeit der algebraischen Gleichungen, d. h. eben über die Frage,

ob die Wurzeln jeder algebraischen Gleichung in der Form

(2) darstellbar sind. Wir kommen hierauf bald zurück.

Die Anordnung der v in die Tabelle (1) ist nicht in allen Fällen

fest bestimmt. Ist z. B. Fı bei u <w eine Function im natürlichen

Radicalzahlen.

399

Bereiche (X), dann kann die Gleichung für v ebensogut an die erste

Stelle statt der für v, gesetzt werden. Solche Radicale mögen Anfangs-

radicale heissen.

Es. kann ferner vorkommen, dass ein Radical v. in keiner der

folgenden Definitionsgleichungen mehr auftritt, so dass wir schreiben

könnten

a —

(l

14'ju—1(?)‚u—}—17

0, I,

yPeZ2 — ]

v’

,

u—2

f

4—2( —12 v[u+17

dann lässt sich dieses vu an jede tiefere Stelle bringen, speciell auch

an die letzte statt v,. KEin solches Radical wollen wir ein Endradical

nennen; es wird bei der Darstellung (2) nur in den Coefficienten m>;

auftreten, welche ganze Functionen dieses äusseren Radicals werden.

Es ist x eine ganze Funetion jedes derartigen Endradicals v

%= M + MD + M% +

’

D U og

Du—1) VutF1) *5 Or, €R)

Zwischen die Anfangs- und die Endradicale ordnen sich die Mittel-

radicale ein, deren Stellung von den übrigen Gliedern abhängiger ist.

$ 594. Für unsere weiteren Entwickelungen brauchen wir einen,

zuerst von Abel ausgesprochenen Hülfssatz*): Bedeutet mn eine

Primzahl, und fi, fr fa—ız F eine Reihe von Grössen, die

einem gegebenen Rationalitätsbereiche angehören, so folgt

aus dem gleichzeitigen Bestehen der beiden Gleichungen

fo + fiw + faw® + + fornw? 1 =0,

(A)

w? —f=0,

dass entweder f%, i fa—ı einzeln verschwinden, oder dass

eine der Wurzeln w der zweiten Gleichung dem Rationalitäts-

bereiche angehört.

Sind nämlich nicht alle Coefficienten f7, fiy::- fn—1 gleich Null,

dann haben die Polynome in (A) einen gemeinsamen Theiler, der als

Divisor des zweiten Ausdruckes die Form

V

besitzt, und in dem alle g ganze Grössen des Rationalitätsbereiches

sind. Die Wurzelpunkte dieses Ausdruckes sind unter den Wurzeln

*) Oeuvres, Edit. Sylow et Lie, I, p. 228. — A. Kneser, Journ. f. Math.

106 (1890), p. 46 hat einen rein arithmetischen Beweis für diesen Satz gegeben.

400

Einundsechzigste Vorlesung $ 594—595.

von w? = f enthalten.

Ist nun w, eine derselben, und bedeutet w

eine primitive m' Kinheitswurzel, dann sind alle Wurzelpunkte jenes

Ausdruckes von der Form w,w“

’

w B, ..

2

und deshalb wird . ihr

Produect

9o = WT @.

Nun können wir zwei ganze Zahlen bestimmen, welche der Gleichung

mr= 1 — ps genügen.

KErhebt man die Gleichung für gn in die

y Potenz, dann folgt

— ww

W W, — 95f3;

d. h. die Wurzel we”w, von w? zZf gehört dem Rationalitätsbereiche an.

Wir wollen uns auf diesen Hülfssatz durch dem Hinweis „nach (A)“

berufen.

Dieser Hülfssatz ist nur dann von Nutzen, wenn f von 1 ver-

Denn für w? = 1 verwirk-

schieden, also w keine KEinheitswurzel ist.

licht sich ja stets die Eventualität, dass eine der Wurzeln rational seı.

Es ist deshalb von Wichtigkeit, eine genaue Unterscheidung zwischen

den in (1) eingeführten Einheitswurzeln und den übrigen Radicalen

zu treffen.

Wir setzen daher fest: Ist in dem Schema (1) irgend eine

y

und durch

der eingeführten Grössen vn durch %x+1,

irgend welche primitiven Einheitswurzeln von Primzahlgrad

rational darstellbar, dann ersetzen wir die Eınführung von

v durch diejenige jener Einheitswurzeln und gestalten da-

durch unser Schema um.

So wird z. B. die Kinführung einer

durch w*?= 2 definirten Radicalgrösse w durch diejenige einer primi-

tiven achten Einheitswurzel, also durch die Einführung der Ketten-

glieder

Ol

D

3

l

zu ersetzen sein, da, wenn c jene primitive 8° KEinheitswurzel ist, die

Irrationalität w d. h. hier

V2=0-+ w

wird.

Diese Umformung einer vorgelegten Kette (1) wird bei v, ihren

Anfang zu nehmen haben, und wenn sie bis zu Ende durchgeführt

ist, wird keine Beziehung zwischen den v und Einheitswurzeln

Va = T(Üa+1; SE ’Üy, ﬁ)„ 09”, O

‚ %)

mehr bestehen dürfen.

‘dass die in (1)

Daraus können wir sofort den Schluss ziehen,

Radicalzahlen,

401

zurückbleibenden Gleichungen, welche keine Einheitswurzeln definiren,

irreducetibel im jedesmal angegebenen Rationalitätsgebiete sind. Denn

wäre eine Gleichung von der Form v%= F nicht irreductibel, dann

gäbe es eine Gleichung

fo+ fır + fa + =0,

h= T('Z)„+„ © O9 %)

von niederem als dem p“”" Grade mit nicht verschwindenden Coeffi-

cienten, welche mit der ersteren eine Wurzel gemeinsam hat.

Nach

(A) hätte v% = / eine rationale Wurzel; und also sind alle Wurzeln

rational, wenn man eine primitive p Wurzel der 1, etwa w„, zum

zationalitätsgebiete rechnet; denn aus einer Wurzel von v = F

ent-

stehen alle übrigen durch Multiplication mıt p“ Einheitswurzeln.

Das

adjungirte vu wäre mithin auch schon in (®p, Va+1, ** V, N)

ent-

halten, und danach könnte die Kette der Gleichungen (1) noch

MEIS

einfacht werden.

$ 595.

Ist v, keine Einheitswurzel, dann können wir über (2)

eine Voraussetzung machen, oder dieselbe eventuell durch eine Um-

formung verwirklichen, welche oft von Vortheil ist.

Es sei m, einer

der von 0 verschiedenen Coefficienten von (2), nur nicht m%.

Wir

setzen dann die Gleichungen an

(3)

Wı= MAVi;

Ülla2 — (7}27 U3

)

Es wird

deren zweite den Rationalitätsbereich angiebt.

(3*)

“’fl‘—“ 7”£l $ Fa(”2; D, ) = D (%, V, ;

ferner bestimmen wir ” und s ganzzahlig gemäss der Gleichung

«r = 1 — p,S; dann ist, wenn man (3) in die y° Potenz erhebt,

_pw $

(4)

wı = (F ;

0 = Wı = N-Wi,

mM

wobei %, = (%,

v,, R) ist. (4) giebt die Umkehrung von (3).

Trägt man (4) in (2) ein und berücksichtigt dabei das Glied m„ vf

gemäss (3), dann entsteht

Zı

(2%) % = m + Wı + mw + ...

+ mﬁx

ON

))

mf’1 n (”27 Ua ');

also eine Darstellung, die genau den Charakter von (2) und dabei die

Kigenthümlichkeit hat, dass der Coefficient von w} gleich 1 ist. An

die Stelle von

”fl=F1

trıtt dabei

wi”1

al

&..

Ist dagegen v, eine Einheitswurzel, dann kann man die besprochene

Umänderung nicht ausführen, da dies gegen die Reductionsvorschriften

des vorigen Paragraphen verstossen würde.

Netto, Algebra. II.

26

402

KEinundsechzigste Vorlesung $ 595—596

Jede der Gleichungen (1) lässt sich, wenn vg dasjenige letzte vor

Vx—1 Stehende Kettenglied bedeutet, welches in F._ , wirklich vorkommt

me

p——l

’

a—1

a—i—avﬁ—i—avﬁ+ °

Aßb ß

02 = (0g-+1, O8+2>

)

schreiben. Dieser Ausdruck kann nach der eben besprochenen Methode

umgestaltet werden, wenn vg keine Einheitswurzel ist. Dabei bemerken

Pa_=)

, dass wenn z. B. vr

gleichfalls Vn

iın derselben Weise enthält

2

1

?

OT b2vß + + bpﬂ_„;

ß

mit Hervorhebung des Rationalıtätsbereiches

)o

(0p-+1, VB+2,

nicht in beiden Ausdrücken gleichzeitig diese Reduction gemacht

werden kann

$ 596. Wir führen für diese Vorlesung als bleibende Bezeichnung

ein, dass w„ eine primitive y° Kinheitswurzel sein soll

Wenn v, keine Einheitswurzel ist, dann bilden wır das Product

Dı

(5)

P(z)

)]

&« =0

H[ab — (m + m 0,0% + m, 0i0i* +

Mal (”2 ?

)

Da dies in 0, vV,0,, V,@{i,

symmetrisch ist, so enthält es v, über-

haupt nicht mehr,

und alle die Coefficienten der Potenzen von %P

AL

gehoren Z

)

Es ist leicht zu zeigen, dass P(x) im Gebiete (’U2, Oag

) irre-

duetibel ist. Denn P ist die Norm einer linearen und also irreductiblen

Funetion und daher nach $ 584 die Potenz einer irreductiblen Function

Der zugehörige Exponent kann nur dann grösser als 1 werden, wenn

für verschiedene x und ß

M + mı 0,0% + mi® +ı = M F mlvlco + m010 + -

und sonach

M, Or (‘°1

wf) + m,v2(02e — w2B) +

würde.

Berücksichtigt man aber vj” =

=— F,, so würde daraus nach (A)

2

c,) wird, was durch unsere

folgen, dass entweder v,= (0,, %,

Reducetionsvorschriften ausgeschlossen ist, oder dass alle Coefficienten

der letzten Gleichung verschwinden.

Da nun die M, Ma,

nicht

sämmtlich Null sind, so müsste «.= ß sein

Das widerspräche der

Annahme «=+ß. Folglich ist P(x) im Bereiche (v,, %,

) RS

Radicalzahlen

403

ductibel

und P(x)= 0 ist diejenige irreductible Gleichung dieses

Bereiches (v,, V,

), welche

—1

2)

% = M + M, + m0i A + m

—1 1

Q

als Wurzel hat

Ist dagegen in (2) wv, gleich einer Kinheitswurzel w,‚,

dann

braucht das Product statt , nur (p, — 1) Faetoren zu umfassen

nämlich für x«= 1,2

—1

)]

0 (n O

),

H[x — (m + m, o% + m, w< +

um von , frei zu werden, wie man daraus erkennt, dass @,, w%,

die Wurzeln der irreductiblen Gleichung sind

—1_{_00291—9+ + +1—0

Dabei ist zugleich in diesem Falle das entstandene Product nicht

nothwendig in (v,,

) irreductibel, sondern es kann eine Potenz werden

Denn betrachten wir den Exponenten « und einen anderen beliebigen ß,

den wir = —- schreiben können, da ßx =

: @« (mod. p,) stets lösbar ist

Z

so wird die Gleichung

(0)

M 0* + M 02“ +

= M

+ il ©

+

oder

=0

(M1 — My) @1 + (Mo — May) 0i“ +

stets dann befriedigt sein, wenn die Gleichungen gelten

M1 = M,

Ma — Ma„,

M3 — M3y%,

Das kann nun, falls x keine primitive Congruenzwurzel für p, ist

sehr wohl möglich sein,

ohne dass alle m” einander gleich werden

Dieser letzte Fall ist mtu1hch auszunehmen,

da sonst schon der in

(6) eingehende Faetor

% — (m + m0, + m02 +

)= z — (m — mı)

von @, frei sein würde

Man erkennt leicht, dass bei einem solchen

Falle der Reductibilität in dem Ausdrucke (6) die HEinheitswurzeln

CO(X w.4

A

zu Kreistheilungsperioden angeordnet auftreten, dass also

die Form entsteht (vgl. I, 8 314)

H @ — [my + m’ (v, g) + m” (v, g +

)

Als Beispiel mag für p, = 5 die Funetion

H(x — [Mo + M, 0 + m, w“ A m„ 03“ + m, w4@])

= @ — m)* + (m, + m) (& — m) — (m? + m? — 3 m, m,)]

gelten, bei der in der That die Norm nicht irreduetibel ist

26

404

Einundsechzigste Vorlesung $ 597.

$ 59%. Wir fragen jetzt, ob bei der Productbildung (5), also

unter der Annahme, dass v, keine Einheitswurzel sei, noch ein anderes,

früheres Kettenglied verschwinden kann, und zwar wollen wir zu-

nächst untersuchen, ob neben dem Endradical v, noch ein anderes

KEndradical wegfallen kann. Nach $ 593 können wir, falls dies bei

einem Endradicale eintritt, dasselbe unmittelbar als v, in die Kette

über v, setzen. Ordnet man x nach dem einen und nach dem anderen

Radicale an, so entsteht die doppelte Form

X = M F M V, + m0i +

’

M (1)2, Oan 9 )7

9 Ar Q Ar A

V (”1; Us,

)

Der Voraussetzung nach wird in dem Producte

(@)= lal (% — [my + m 0,0% + m v02e + ...]);

Mal (02; %,

)

neben v, auch v, verschwinden, so dass die Coefficienten von P(x) zu

(v3, ,, ) gehören. Nun war P im Bereiche (v,,v3,::-) irreductibel;

die Irreductibilität gilt also um so mehr im Bereiche (v;, v,,-

)

Ebenso ist das Produet

Q@= [ ] @ — m + m00 + m8088 + 4]);

ß

U — (1}1; Us,

)

im Bereiche (v,, v3,:::) irreductibel, falls wir v als von einer Einheits-

wurzel verschieden annehmen; und da Q rational in (%, %,,

) ist,

so ist es auch ın diesem Bereiche irreductibel.

Die beiden in (v;, %, -:-) irreductiblen Funetionen P(x) und Q(z)

haben einen und denselben Factor, nämlich den zu « = ß =0 gehörigen

gemeinsam. Folglich sind sie identisch; d. h. alle einzelnen Factoren

des einen Ausdruckes stimmen mit denen des anderen überein, woraus

dann auch p,= % folgt.

Wir schreiben jetzt, um anzudeuten, das die m” ganze Functionen

von v sind, für den ersten Factor von P(x) ausführlicher

% — [mo(v) + mı (%) : 0, + M (@) - - I8

die Factoren von Q werden dann durch die Formel

GE [mo('"2 CO/;) + m, (”2 oo£) : + Mo 0 CO/;) ‚+ ]

gegeben; und da diese Factoren von @Q mit denen von P überein-

stimmen, so muss für ein passend gewähltes o die Differenz zweier

solcher Ausdrücke und deswegen auch

Radicalzahlen

405

%

(8)

2[m (7) ( )

m„ (v,) ”] o

1

%

verschwinden. Verbindet man mit (8) die Definitionsgleichung v/* = F,

so giebt (A) folgende Alternative: Entweder ist v, = (v,, %,

, ©,, @)

oder es ver-

R (7)2; V3‚

?

@,), was ausgeschlossen werden muss

schwinden in (8) alle einzelnen Coefficienten, was also eintritt

Wir setzen nun, um diesen letzten Fall zu untersuchen

m (@) = ß 4 0, A 0

7

I = (03, 4,

))

dann giebt das eben erhaltene Resultat, da 0, — , wegen p;

V

nommen werden kann, für ß=1 und für ein passendes o die Gleichung

=0

q@(1

a07) 4 @ — ) 0 O (w?

oa<”) vA

Wegen v

G (U3;

) und der Unmöglichkeit von v% , = (%,

m1)

liefert (A) das Ergebniss

dass in der letzten Gleichung alle Coeffi-

cıenten verschwinden

Da aber die in dieser Gleichung auftretenden

Klammern ı. A. nicht verschwinden

so folgt, dass nur qg

von Null

verschieden sein kann, wobei wie gewöhnlich der untere Index auf

seinen kleinsten nicht negativen Rest mod. %, zu reduciren wäre

Hiernach erhalten wir den einfachen Ausdruck

0%

M (@) =

q0727

= (03, %4,

);

der jetzt unnöthige obere Index des q ist hier fortgelassen

Daraus

folgt- durch Substitution dieses Werthes in (2)

N

Wenn man deshalb, statt nach einander v, und dann w, einzuführen

die Grösse w = vv durch die Definitionsgleichung

0 (

) TQ(”5;

)

einführt, dann kommt man zu einer vereinfachten Kette von

Radicalgrössen, welche hinsichtlich der Darstellung von x dasselbe

leistet, wie (1). Denkt man sich diese Vereinfachungen von vornherein

durchgeführt, was natürlich erst geschehen kann, wenn %x vorliegt,

dann ist bei der Productbildung (5) das Verschw1nden zweier

Endradicale, unter denen keine Einheitswurzel sich befindet

ausgeschlossen

Wir fügen daher den Bedingungen aus $ 594 über die Reduection

der Kette noch hinzu

dass es nicht möglich sein soll

ohne

Verletzung

der bisherigen Festsetzungen bei der ersten

Productbildung

(5)

und den weiteren Productbildungen

i

406

Einundsechzigste Vorlesung $ 597—598

($ 585) durch andere Wahl der Definitionsgleichungen die

Anzahl der Kettenglieder zu vermindern

Ist hingegen eine der Grössen v, und v,, oder sind sie beide

Einheitswurzeln, dann ist es möglich, dass sie gleichzeitig bei der

Productbildung (5) fortfallen

Man erkennt leicht

dass ım ersten

Falle, wenn v, = 6, ist, (p,

1) ein Vielfaches von %, werden muss

und dass im zweiten Falle v,= w,, v , = , Kreistheilungsperioden

va

D3

on

2

1

Gliedern in Combination auftreten

Die folgen-

den Beispiele geben Belege hierfür

i

@1 ,5

DA=

4

x'_]/qcol

Vqw? — Vqw +Vqo

P(z)

[ T x — Va@r+ ot°) +Val@ir + wi)] = @— 5g)

a=1

so dass bei der Produetbildung v, und v, wegfallen

Aehnlich gestaltet es sich bei

= 5

0 Z Qis

V

0 = @,

z—(w2—f—co“

w4> (031 + Co*) Za (C02 + COG + co2) (co 1)7

P (z) =

H[x— (0,+ 02 + w4)(0*+ wt“) — (03+ 04 02) (0?“+n0?*)]

&=1

(x —J?+9)‚

wo v, und v als Einheitswurzeln angenommen sind

$ 598. Wir gehen jetzt zu der Untersuchung über, ob hei deı

Productbildung (5) mit v, zugleich das unmittelbar vorher-

gehende Anfangs-

oder

Mittelradical %

wegfallen kann

Hierbei kann w, selbstverständlich keine Einheitswurzel sein, denn eine

solche wäre ein Anfangsradical und könnte als solches nicht von v

abhängen

Ebenso soll v, von einer Einheitswurzel verschieden sein

Wir setzen

F %+ a% + @U +

7

Ü (123‚ 4,

)

und gehen nun auf die Norm

Dra

(5)

P(@)=

H z — (m + m005 + m 0108 4 )],

Mı = (%, ::

°

zurück; diese kann nur dadmch von v, frei werden, dass ın dem aus-

aefuh1ten Producte auf der rechten Smte led1gl1ch d18 Potenzen w9,

0

Q

202

eingetragen

2

)

2Q

auftreten, für welche dann ja 1, /%,

2)

Radicalzahlen

407

werden darf. P(x) ändert sich daher nicht, wenn in (m,)-+ M, vA 4+.)

überall v, durch v,@% mit beliebigem Exponenten « ersetzt wird. Wir

wollen die Werthe, welche dadurch an die Stelle von m,, M, M,

9 O

treten, mit

Mo« ,

Mıa Mza,

5)

Die

bezeichnen, so dass man auch statt (5) hat

zı—1

(9)

B(G@)

H

(m + m

1El

,,

+ 7"Za ia M +

)]

Q

Z

M, = (0,05, %,

)

Da vw, keine Einheitswurzel ist, so können wir hier den Coefficienten m,

und also Mıg

leich 1 setzen ($ 595)

Die einzelnen Wurzeln in (5) stimmen mit denen in (9) überein

demnach gilt für passend gewählte o,

?

das System von y, Gleichungen

0& + Ulrc

+ Üla ;a

+

: = M + 008 —{—m„l 29—{—

(10) m

+v 0, + m

2u« 1&

’U

01 +

“= M + 0, ‘°1+m 0GD

der rechten Seiten bıs auf ihre Folge

wobei die Kxponenten 0,

’

den Zahlen 0, 1

‚: (D1—1) gleich sein werden

Aus (10) folgt

durch Combination der Gleichungen der Werth von vıg in der Form

031)

(11) ıe = M0 F 09ı + aV +

’

e = (Oay 0y

Durch Potenzirung möge sich aus (11) ergeben

v — F

1&

C

97

37

)

(Ooc+”la 1+”2a 1+

)

AAan

1al+

IN

20L

__l_

79

N, _(02703;

m1)

Mit dieser Gleichung für v, verbinden wir die Definitionsgleichung

C

F, und schliessen nach (A), dass entweder v,= (v, %,

@,, @2)

ist, oder dass die Nıgy, No«,

sämmtlich verschwinden

Das Erste

ist wegen der Vorschriften über die Reduction von (1) ausgeschlossen

folglich ist jedes Nx = 0 für 1=1,2

, und demnach

N = (”"; Vs;

0;)

von v, unabhängig. Eine Umänderung in (11) von v, in v,w, kann

da hierbei v

ungeändert bleibt, dem vı„, höchstens einen Factor w*

anfügen, d. h. man hat

(12)

Vıa 01 = Ma F NıaV1i01 { NagV1i0L F

408

Einundsechzigste Vorlesung 8 598.

Durch Combination von (11) und (12) ergiebt sich

M, (r — 1) F %,, (0i — 0,) 0, F 1, (0f — wi) V +

—

und daraus in bekannter Weise nach (A), dass alle %,, mit Ausnahme

von %, verschwinden.

Man darf demnach statt (11) die vereinfachte

Form ansetzen

Oa =— ”za”ä'‚

r = (09 09 99° 03 i

Diese tragen wir ın die erste der Gleichungen (10) ein und be-

achten, dass x, 2x%, 34,

nach dem Modul p, mit 1, 2,3,--- bis

auf die Folge übereinstimmen; dann ergiebt wieder der Abel’sche

Hülfssatz (A) das Resultat:

%

(13)

v

1&

=

%

D

al

._CO

0%

12

M, = (%,

V,)

v

Zı

XDı

(14)

ıl

= %'

ıl

?

Gleichzeitig wird ersichtlich, dass, weil jeder der HExponenten

1,2,--- , —1 von v, rechts und links in (10) je einmal auftritt, die

einzelnen Glieder, welche durch Potenzirung der Summanden in (10)

entstehen,

Q

Pı

(15)

12

(m,vi)“*, (m3vi)“,

durch die Einführung von @%v, an Stelle von v, nur in einander

Dabei ist es nicht möglich, dass zwei verschiedene HKx-

übergehen.

ponenten « und ß von w, die gleiche Umstellung der Glieder von

Denn sonst müssten zwei Aus-

(15) unter einander hervorbringen.

drücke aus (15), welche die Form haben

(16) d + div205 + d0305* z 4i

und &o + d 05 + da ,

(@ 4 ß)

können nicht sämmtlich ver-

einander gleich sein.

Die dı, Q,

schwinden, weil sonst v” von v unabhängig wäre; ferner kann nicht

%” = ,

’

,, 0,) sein; folglich zeigt (A), dass « = ß wird, ent-

gegen der Annahme « =+ ß.

Die besprochene Umwandlung in der Folge der Glieder von (15)

können wir folgendermassen bequem darstellen.

Geht durch HEin-

führung von @% der Term v” in (m„vi)“* über, so wird die noch-

malige Einführung von w% das w{/” abgesehen vom zugehörigen m in

v**2 umwandeln; das Gleiche geschieht‘ also bei der sofortigen Eın-

führung von v,w2* statt v,. Da nun p, eine Primzahl ist, so können

wir eine primitive Congruenzwurzel e für p, annehmen, und wollen

für den Augenblick unter [@x] den kleinsten positiven Rest von €“

Wir setzen bei diesen Annahmen

mod. (p, — 1) verstehen.

Radicalzahlen.

409

al

1

v = R”

mU, = Rf_*, m

[2] 1

D

[2]

R

und schreiben mit unserer neuen Bezeichnung statt (2) die Form für

die Grösse x

al

al

il

1

(17)

:c=mb—{—R?‘—{-ﬁiä+ﬁgl+"‘+R;?_g

Führt dann die Eintragung von v,w&% statt v, etwa R ın K, über,

dann wird jedes Ry hierdurch in Ro, umgewandelt. KEbenso liefert

die Eintragung von v,65“ statt v, die Umwandlung von Rg in Rg+ux

für jedes w und jedes ß. Dabei sind die Indices der R natürlich nur

mod. (p, — 1) zu betrachten, so dass

P

bei

«=ß (mod. (p, — 1))

zu setzen ist.

Wir wollen jetzt unter x den kleinsten Index der von Ry aus

erreichbaren R ver-

durch Umwandlung von v In %6,, v,Ww2,

stehen; dann werden von Ro aus überhaupt nur die , von einander

verschiedenen Werthe

(18)

Ro, Ry, Rax,

Blg —1)%

erreichbar sein.

Alle in (18) auftretenden Indices sind verschieden und kleiner als

(Bı — 11

Denn wäre etwa

“”<P1_1<(0‘+1)%7

dann folgte daraus weiter

2 i 0

so dass der Rest von (« +1)x mod.(, —1) auf einen Index führte,

Da ferner

der noch unter x läge; das war aber ausgeschlossen.

R = Ro wird, weil w;”= 1 ist, so ergiebt sich

(19)

D *=% —1,

d. h.: Verschwindet bei der Productbildung (5) das Mittel-

radical v, zugleich mit dem Endradical v,, wobei v, und w%

keine Einheitswurzeln sind, dann ist %, ein Theiler von

(B = 1

Aus (14) kann man einen weiteren Schluss ziehen. Schreibt man

beide Seiten ausführlicher in der Form

09 i 0, 05 + A,0305* + = &y + di% + da Aı

und bedenkt, dass die a,, @,

nicht sämmtlich verschwinden können,

weil v, der Annahme nach in vf auftritt, dann giebt (A) entweder

410

Einundsechzigste Vorlesung $& 598—600.

% = (%,

@,, ©,), Was.auszuschliessen ist, oder, was also wirklich

eintritt,

A, 05 = d ,

005° = 0,

7

a und d,= (v;,

D4

)

Demnach gehört w selbst dem Rationalitätsbereiche (v,, wv,,

Z

) an

Wäre nun *

ﬁ)2=00+€17%‚+6{1)3+-- 5

— (UQ+17 Vo+F2) ° ')7

wobei also vo das niedrigéte‚ wirklich in @, eintretende Radical ist

2

dann liefert (A) wieder,

da 61=0; 32=0‚..

unmöglich ist

?

U (602‚ Vo+1,

)

Das ist gleichfalls nach unseren Reductions-

Mit dieser

vorschriften nicht der Fall, wenn nicht v,= , Wird.

Annahme ist p,=2 stets verträglich, weil dafür bereits w, = — 1

innerhalb (%) == (1) vorhanden ist. —

$ 599.

Wir wollen nunmehr auf die zu Anfang des vorigen

Paragraphen zurückgestellte Voraussetzung %. = @, eingehen.

Dann

bleibt also (5) ungeändert, wenn v, durch v“ ersetzt wird (@«=1,2,

V

Die Aenderung, welche dadurch m7 und w, erfahren,

machen wir wieder durch die Bezeichnung mM37., ıx kenntlich. Die

Schlussfolgerungen, welche an (10), (11), (13) geknüpft sind, bleiben

ungeändert.

Insbesondere gilt auch hier (13) und (14).

Dagegen

Hier haben wir

liefert jetzt (16) ein anderes Resultat.

(20)

do + d o$ + da L ... = dy + dieß + da + -

zu betrachten, und wıe sich schon bei (7) gezeigt hat, ist die Er-

füllung dieser Gleichung wohl möglich, ohne dass alle d,, d,,

ein-

ander gleich werden.

Der Grund dieser Verschiedenheit liegt darin,

dass (A) nicht verwendet werden kann.

Die Form (17) bleibt wieder bestehen; die daran geknüpfte Um-

wandlung von Rı muss aber folgendermassen abgeändert werden.

Es

seı qg eine primitive Congruenzwurzel für %.

Wir ersetzen v = ,

durch @3 und erreichen dadurch die Umwandlung von R etwa in R,;

dieselbe Aenderung zum zweiten Male ausgeführt liefert von R, aus

So

Raoz; das entspricht also der Einführung von w für w, in Ro-

fahren wir fort bis zur (p, — 2)“ Potenz von g. Die (% — 1)®

Potenz liefert wieder w,„, also bleibt R ungeändert. Man erhält dem-

nach an Stelle von (18) die Reihe der von R} aus erreichbaren

Glieder in der Form

(21)

R07 R%; R2#7

Rıpm—2)% +

Auch hier sind alle Indices kleiner als (p, — 1). Folglich tritt an die

Stelle von (19) hier

Radicalzahlen

411

(22)

(

—1)x= —1

d. h. verschwindet mit v, gleichzeitig bei der Productbildung

(5) das Radical v , = 6,, dann ist (%—1) ein Theiler von

(D —ID

Als Beispiel hierzu möge Folgendes dienen

Es seı definirt

n= 1

u=1+%,

also D

Pa m2

und wir nehmen

%= 0

V

u

Dann wird das Produet (5) hier

@ = 04 0)) @

V, 0, { 0070i) (% — 0,61 + 02070,)

= %— 3r —1

so dass also miıt v, gleichzeitig v, verschwunden ist

$ 600. Wir wollen jetzt einen Schritt weiter gehen und an-

nehmen, dass bei der Productbildung (5) mit v, zugleich die

beiden unmittelbar vorhergehenden Mittelradicale v und w

verschwinden

es kann übrigens v

dabei

auch

ein Anfangs-

radical sein

Wir setzen für F, und für F, ausführlicher

1 = 0 + % + 4

+

—_ (®57 O4

),

= %- 0 A 00 -

2

b= (U47 57

)

Verwandelt man v, in v;6%, so soll die linke Seite der letzten Glei-

chung mit w

bezeichnet werden

Ebenso wollen wir

mit A, das

durch die gleiche Substitution aus a entstehende Resultat bezeichnen

so dass wir schreiben

= by + 008 + bla +

Z

= R0

37 v47

),

wenn a — R0 0,

’

)

Trägt man diese Grössen in die Deﬁn1t10nsglewhung für v[* ein und

fügt gleichzeitig dem vo„ noch den Factor cop hinzu, so entstehe die

neue Form

1) (69)

30

1rxo —a0a + D‘>(raj + a2a” L‘021 + dy

3 2

+

Falls nun in dem früher betrachteten Produete

il

(5)

P@)

H[x — (m + m v,09 + mı02028 L

)]

9=0

M ('”2; Us,

)

mit v, zugleich v und v; wegfallen, dann ändert sich P nicht, wenn

412

Einundsechzigste Vorlesung $ 600.

‚&

man auf der rechten Seite v

8

statt v einführt und dann ausserdem

ß

noch O 00

2

umwandelt; « und ß sind dabei ganz beliebig.

Geht hierdurch mz in

%]

(

M

2aß

(”2

CZ

(

O

8

S0 O1

)

über, so können wir auch

—l

2

2

(9) P@)=[[[z

(m0ap‚ FB A

2uß V 1ap @r

9+...)1

0=0

setzen.

Da v, keine Einheitswurzel sein kann, so lässt sich von vorn-

herein die Voraussetzung nı = Mı«g= 1 verwirklichen. Die einzelnen

Wurzeln in (5) stimmen mit denen in (9*) überein, da in (5) die beiden

Grössen v,, v keinen Kinfluss ausüben.

Demnach wird für passend

gewählte 0, 6

’

--- das System von , Gleichungen bestehen

moap'+ DLaß aln Mag Laß + -=m„—|— 1)lco‘l)—i— m27)2m2@_|_ 00

20210

(09)

+

’

(GL0) m0ap‚—f— ’l)mßü)1.—*_?"'fga/gv‘iaﬁmi._*‘-' '='”7’0‘_*_1.)103.;‚_{.—”%2?)

wobei die Exponenten 0, 6,-::-- der rechten Seiten bis auf ihre An-

Aus

ordnung mit den Zahlen 0,1,2,--- (n — 1) übereinstimmen.

(10®) folgt zunächst durch Combination der Gleichungen der Werth

von vg In der Form

u

+ .

’

; 03)

(E) Oa F Aa P pa F

2aß 1

”;„a{'‚*= (”2; 3,

Durch Potenzirung möge sich dann aus (11*) ergeben

v

DE ONn F1

DE

0, V

A

)

1axß

(0,. 0, o

2xß 1

>P1

— (”0aß+ Nıg pY A Wa

.

N

20

v

+ 3

2

N,

2

aß=(v27 Us,

7)

0L’1)

N0ap‘ + N1a ‚1)1 + +L

Wie leicht zu sehen ist, können wir hieraus noch nicht wie an der

entsprechenden Stelle des 8 598 schliessen, dass Nıg =0, Naxp= O, -

Ssel

Hier verfahren wir folgendermassen: Die letzte Gleichung setzt

sich auf Grund der Definitionsgleichung für vi4g in

2

Un AF v2acog + A, .0

2u 2a

w A N0aß X N1ap”1 a N2ap‘”i

um; tragen wir hierin ß= 0, 1,..- ( —1) ein, so erhalten wir eın

System, welches dem Systeme (10°) entsprechend gebaut ist und auch

ähnliche Folgerungen zulässt, die zu dem Ergebnisse

7

Gra = (02,%,

’

01 @3)

(23a) U2a a q0a + qlavl + q2av2 +

Radicalzahlen

413

führen

Erhebt man dies in die %° Potenz, so ergiebt sich

by + 0308 + b 0365“ 4

TE Q0a + Qla©l +

Q _‘(U27 Vs ,

5 @1, C°2)

Jetzt lassen sich die Schlüsse verwenden, welche an (11) des $ 598

geknüpft wurden

Sie zeigen, dass Qıx = 0, Q2u =0

werden, dass

folglich v = Q

von v, unabhängig, und also

DA

(23”)

Aa AF A OBa P Aa ®

ist; und es folgt endlich, wenn man (23*) und (23”) vergleicht, dass auch

—0

( 1) A E

0,) 0, + 9o,(03 — wi) i

wird. Weil nun in (5) v, wegfallen sollte, so ist nach dem Haupt-

ergebniss des vorigen Paragraphen p, ein Theiler von (p,—1); und

daher ist kein w% = w*

ausser wenn x =1=0 wird. Nach (A)

schliesst man mithin x =1= 0; gıa =0, x = 0

?

und weiter

nach den bisher benutzten Prineipien aus (23*) der Reihe nach

v

2

To«

0& + 71av‘) + U

D

'Ü"

+

10 = 0, 4,

; 091;%);

by + 0308 + b,ia3® +

Z Z R

2a

0& + R1a/v

2)

R

(Us , 4,

; °’17°°2)>

R

1

= 0

R

2

—

7

vr —R

2u

0&x?

U, 6 y A DDa A

2« 2

0365

+

7

al

—1> + 11a(co

02) 0 + 7„a(col— w3) %S

=0

v

= /

(23)

2a DE

,

Tragen wir dies in die oben hergeleitete Gleichung

vlc«p’_a0rc+v‘>«co +a?a ;aco? +

S Oaß+ 1ap’vl+i2orp’ 1+

ein, dann können wir jetzt die Schlüsse ziehen, welche vorher bei

(11®) noch nicht möglich waren, weil vo2 kein dem v, vorhergehendes

Mittelradical war

Diese Schwierigkeit ist jetzt fortgefallen, und so

findet man nach (A)

A =0.

20

= N

1aß

0a(9’

und also unter Benutzung der Gleichung (11°)

v

1xß 1

aß A Nı qg01 0, T N

u2 C02

g)

2axß 1

Oaß(

)+ "1aß(‘”

=0

2

0,) %, + 77‚‘‚0‘{)‚(coz — oo2) —A

(24)

D

1&«ß

N

Tß N

414 HEinundsechzigste Vorlesung $ 600—601. Zweiundsechzigste Vorlesung $ 602.

Trägt man die Resultate (23) und (24) in (10®) ein, dann stehen

links ausser den @ auch nur Grössen v,, %, %,

‚ und nach (A)

wird es ersichtlich, dass die einzelnen Glieder links den einzelnen

Insbesondere ist also zu setzen

Gliedern rechts gleich sind.

(25)

Q

1@«ß

—= mM U“

A aa

Wir gehen jetzt auf die Gleichung (23) zurück. Diese zeigt uns,

dass bis auf einen in (v3, %,,

’

@,, 0,) rationalen Factor 7,„ durch

die Substitution von v,6% statt v, die Grösse v, in vi übergeht. Macht

man nun in der Definitionsgleichung von v;a dieselbe Substitution, so

erhält man W2,2x, und dies ist demnach bis auf einen solchen ın

(U3, D4

?

,, ©2, 03) rationalen Facetor gleich v/. KEbenso zeigt sich

allgemein, dass va,,x bis auf einen in (%, %,

?)

@1, @, @3) ratlo-

nalen Factor mit der (2°)*" Potenz von v übereinstimmt.

Nehmen

wır o = %, dann muss /

=1 (mod.%,) sein, weil vo, p,«= Va Wird;

d. Bı der Hxponent 7, st eın Lheiler yon x U

Natürlich ist hierbei zu beachten, dass vp* wirklich eine Funetion

von v sein muss, wie das ja durch die Form der Definitionsgleichung

auch angedeutet wurde; das Gleiche gilt für (238).

Sind v, und w zwei Mittelradicale, von denen jedes einzelne un-

mittelbar in das Kettenschema vor v, gestellt werden kann, dann gelten

von v die im $ 598 für v, gefundenen Resultate.

$ 601. Da jedes Kettenglied, welches in der Reihe der Definitions-

gleichungen als Endradical auftritt, an die letzte Stelle gesetzt werden

kann, so gilt bei einer nach einem solchen Endradical vorgenommenen

Normbildung Alles, was bisher über v, abgeleitet ist. Bei der Her-

stellung von Normen hingegen, welche nicht an Endradicale anknüpfen,

werden die bisherigen Theoreme ungültig.

Wir wollen dies an dem Beispiele der Gleichungen vierten Grades

Dabei benutzen wir die in 8 290, Bd. I gegebene Lösungs-

zeigen.

methode. Wir setzen, indem wir in der allgemeinen Gleichung vierten

Grades das Glied mit z3 getilgt denken, was ja durch einfache lineare

Transformation bewirkt werden kann,

# — 12a2° — 16b2z + 12c = (# +202+19) (%2_ 202 +qu) = 0.

Um diese Zerlegung hervorzubringen, muss

q=2% — f—6a, q=2@ä—}—äf—öct;

(27)

8 — 6av‘£—}— (9a? — 3c) 0 — 40°= 0

sein. Danach ergiebt sich v, durch die Kette

Radicalzahlen. Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen.

415

—3020 CD

B = (— a° +3ac+20?) + w,,

AA

S ÜT

H=2a+ 0

(a* + 0)°

3

Hieraus

erhält man die Wurzeln der biquadratischen Gleichung,

wenn man

vä=6a—{—%—vä

einfachen Form

setzt, ın der

42=%-+4.

Gehen wir von ihr aus und bilden wir zunächst die Norm nach

v,, So folgt

4Z)_

( —0 — 9)(@—% +0,) = 2 — 202 + 20 — 60 —

V

Hier fällt also kein weiteres Radical fort. Bilden wir jedöch weiter

die Norm nach v,

(Z2 —202 + 20 — 6a — ?) (ZZ + 202 + 205 — 6a + i4ul‘)>

= (# + 20 — 6a)? — (2@25 En %?)

160?

=# — 120# — 16b2 + (4v4 — 24a02 + 360 —

2

>

]

so giebt die Benutzung von (27) das Resultat

= # — 12a2° — 16dz + 12c;

hier verschwindet also mit v, zugleich v; und w,, trotzdem =2

=

und j

3, 0ı = 2 war.

Bei einem Endradical wäre eine solche

Tilgung nicht möglich gewesen.

AL

Zweiundsechzigste Vorlesung.

Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen.

$ 602. Eine der interessantesten Fragen der Albgebra ist die,

ob jede Gleichung „auflösbar“ ist. Nachdem es gelungen war, die

Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades aufzulösen, d. h. die

expliciten Ausdrücke für ihre Wurzeln lediglich mit Hülfe von Wurzel-

zeichen darzustellen, richteten sich die Bemühungen der Algebraiker

darauf, das gleiche Problem für den fünften Grad zu erledigen. Alle

416

Zweiundsechzigste Vorlesung $ 602—603.

hierauf verwendeten Anstrengungen waren aber vergebens, und so

wandelte sich das Problem allmählich in das andere um, zu entscheiden,

ob die Gleichungen fünften Grades überhaupt in dieser Form lösbar

seien; oder noch allgemeiner, welche Gleichungen fünften Grades lös-

bar seien.

P. Ruffini war der Erste, welcher die Unmöglichkeit der

Auflösung allgemeiner Gleichungen höherer Grade bestimmt behauptete

und zu beweisen versuchte. Seine Verdienste sind von H. Burkhardt*)

eingehend gewürdigt worden. Gauss scheint einen Beweis für die Un-

auflösbarkeit besessen zu haben**); Abel publicirte 1826 einen solchen

und beschäftigte sich auch weiterhin eingehend mit diesen Fragen, über

die eine von ıhm selbst nicht veröffentlichte Abhandlung vorhanden

ist *#*). An seine Untersuchungen schliesst sich eine vervollständigende

und abkürzende Darstellung L. Kronecker’s an-7), die wir in unserer

Auseinandersetzung theilweise benutzen.

$ 603. Die allgemeine Frage lautet in unserer jetzıgen Sprech-

weise: Kann eine Wurzel z, jeder irreductiblen algebraischen

Gleichung f(z)= 0 als Radicalgrösse dargestellt werden?

Gesetzt es wäre eine solche Darstellung etwa für die Gleichung

f(z) = 0 möglich, dann könnten wir unter Beibehaltung der Bezeich-

nungen unserer vorigen Vorlesung hinsichtlich der Ketten

©

2 = M + %ı + M + M0r A

setzen. Wenn wir von vornherein die Einheitswurzeln, soweit sie noth-

wendig sind, zum Rationalitätsbereiche ziehen, ist es erlaubt ($ 595)

den Coeffiecienten von v! gleich 1 zu setzen, wie dies soeben ge-

schehen ist.

Tragen wir (1) in f(2z)= 0 ein, so entsteht, da alle Potenzen

von , in ähnliche Form gebracht werden können, die Identität

N@)-

M A M0 r M0 A p AL

—11

— E O

Nach dem Abel’schen Hülfssatze (A) in $ 594 folgt daraus, dass

M07 JV[1; ﬂ12) c

einzeln verschwinden; setzt man also

@2)

Byı = M H 0101 F mvr E mviait + s

(Ä=0717"'191'—1)

n

*) Die Anfänge der Gruppentheorie und Paolo Ruffini, Abhandl. z. Ge-

schichte d. Mathematik VI; Supplement zur Zeitschr. f. Math. u. Phys. v. Schlö-

milch (1892).

*#) Demonstr. nova etce. Werke II, p. 17, Nr. 9: „Forsan non ita difficile

foret, impossibilitatem iam pro quinto gradu omni rigore demonstrare, de qua re

alio loco disquisitiones meas fusius proponam.‘

*##) Werke, Edit. Sylow et Lie, IL, p. 217.

+) Berl. Ber. 1879, 3. März, p. 205.

Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen.

417

und bedenkt, dass dann entsprechend

v

A O

f('g;‚_‚_1) - M0 + M17/‘103i + M21)‘1)c022 *... + Mp

—171

1

wird, so ergiebt sich, dass Z, 23,::: Zp, gleichfalls Wurzeln von f(2z)=0

sind. Dass diese sämmtlich von einander und von z, verschieden sind,

zeigt wieder der auf die Differenz von zweien unter ihnen angewendete

Satz (A).

Demnach ıist das Product

(@ — 2) (# — %)

(Z C ZP1)

oder die Norm

ım Gebiete

N(Z A 21)7

0,

: %; R)

genommen, ein Theiler von f(2).

Diese Norm ist sicher von w, frei;

möglicherweise verschwinden in ihr noch die Radicale v,, V, Va—ı,

während v„ wirklich auftritt.

Wir setzen, um das Auftreten des v,

durch die Bezeichnuug kenntlich zu machen,

(3)

N@ — a)= @ — 2): ı @ — oı) = fal@; Var Varız ' )

Im Gebiete (vx, Va-+1, * Uy; %) ist diese Funetion irreductibel.

Als Norm von z—Z2, wird sie die Potenz einer irreductiblen Function

in (U2 ’

° 09 80)3 da eb Z &p

yon einander verschieden sind,

muss es die erste Potenz sein; und die Irreductibilität gilt natürlich

um so mehr für den engeren Rationalitätsbereich (v,

08 I

Wir bilden wieder die Norm von (3), also

Nfa(g)

im Gebiete

(va+17 1 ER)>

nämlich das Product aus „ Factoren

ELE

*

va—|—l’

)

U'=O; 1;27"'(.pa—1))'

1;[ü(a v

Hierin ist sicher v„, verschwunden; möglicher Weise auch vx+1,

Es sei vv das erste darin wirklich vorhandene v; dann setzen wir

}

Z

ähnlich wie oben, die Bezeichnung an

(4)

Nfa(z) = ﬁ(Z; D, Vo+1, °

)

Wir weisen nun zunächst die Irreductibilität von f im Bereiche

(%,---) nach. Ist O (Z; v,-::) bei einer möglichen Zerlegung der-

jenige Factor von f, welcher fx(2; va,::-) enthält, dann kann man

‘P(Z; Qn ) F fa('g; Var Vatı) ** ) Y X(Z5 Vay Va+ı, ** )

Ö5)

oa Q 005

setzen. Wegen (A) muss qg,=0, %. =0,-

sein; also ist auch bei

Aenderung von v die Gleichung gültig

(} 0, ) = U F H00 + qla ...

=fa(z; vacoil7 /Ua+17 z ) . X(z7 ’l)a0‚)aL7 {Ua+1’

)

Netto, Algebra. II,

27

418

Zweiundsechzigste Vorlesung $ 603—604.

Es ist demgemäss @ durch jedes f„(z; v„w5,:-.) bei w=0,1,2,-..-

Da — 1 theilbar. Da alle diese f in (vx, vVa+1,-:-) irreductibel sind,

so könnte nur dann @ nicht durch ihr Gesammtproduct theilbar sein,

wenn zwei derselben einander gleich wären:

fa('75 'Üawä‚ Da+t+ı, }

) — fa(25 Vawa, Vatı,

)= ©0

7

d. h. wenn man

.

fa(f°“'3 Var Va+ı, ) = %n + N0a + %+

7)

1ı (@ Va-+1) Vat2) * )

setzt, dann müsste die Gleichung gelten

2vV

Al — ) n —

a

)+

—.

Aus (A) erkennt man, dass die Coeffieienten aller Potenzen von v ver-

schwinden müssen; weil nun nicht alle y gleich Null sein können, so

O 0 =

Dies zeigt uns, dass der irreductible Factor @ mit f} zusammen-

fällt, dass somit f} selbst irreductibel im Gebiete (v;,

D3 3R) 6

Wir haben ferner gesehen, dass f(z) durch fz theilbar ist; man

kann demnach setzen:

f(z> Z fa(z3 Vay Va+ı) * ) ß 1p(Z‚ Vary Va+t+ı, “

)

=80+810a+8203+"'.

Wendet man hier genau dieselbe Schlussweise an, wie sie bei (5) aus-

einandergesetzt wurde, so folgt, dass f(z) durch alle conjugen Werthe

von f theilbar ist, d. h. dass f(gz) die Function fi(z) als Factor ent-

hält.

Folglich sind auch alle im Gebiete (vs, v+1, : %; R) zu Z

conjugen Werthe Wurzeln von f(z2)= 0.

In derselben Weise kann man von f)(g) durch Normbildung weiter

zu einem fx(2; v.,:::) gehen, u.s. f., bis etwa auf fx(2; vx,:::) ein

fı(g) = f (z) folgt. Dann zeigt es sich, dass der Grad ” von f(?)

gleich dem Producte

1’L=pl.pa.-pb-...pk

(6)

wird, und dass alle zu z, im Bereiche (X) conjuge Werthe

Wurzeln von f(z)=0 sind. Man kann also allen Grössen w,,

Vy_1) ** O, 0, irgend welche mit den Definitionsgleichungen

der v verträgliche Werthe geben, der Ausdruck (1) wird

stets eine Wurzel von f(z)= 0 darstellen, aber nur pı Pa Pr

der erhaltenen Ausdrücke sind unter einander verschieden.

$ 604. Aus den Gleichungen (1) und (2) ergiebt sich durch

Combination

Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen.

419

(7)

0 = 2%[zg + 207 + 207 A + .07 H,

d. h. das letzte eingeführte Radical ıst eine rationale, ganze Funetion

von Wurzeln der Gleichung f(z)= 0 und von w,.

In (7) setzen wir an die Stelle von 2,, %,: %p auf der rechten

Seite beliebige Wurzeln, etwa Z;,, 2u, Zi,

von f(z) =0 und bezeichnen

den so erhaltenen Werth der rechten Seite mit v,,;

Nimmt man dann

das Product

I1 0 —0*) = g

(i)

erstreckt über alle Wurzelpermutationen unter %,, %, -::2, SO ist g(y)

eine symmetrische Function der z und ihre Coefficienten finden sich

also unter (w,; %).

Es sei g,(y) =0 diejenige irreductible Gleichung in (w,; R), bei

der g, ein Theiler von g ist, und welche von dem Ausdrucke

(8)

2

ol

n= T =H FF + C

befriedigt wird, dann gilt von der Wurzel (8) von g,(y)= 0 genau

das Gleiche wie von der Wurzel z, von f(z)= 0, und daraus folgt

’

dass auch v eine rationale, ganze Function der Wurzeln von g,(y)=0

Z

also auch derjenigen von f(z)= 0 und von w, und w, wird.

Gehen wir so fort und beachten, dass wir jedes w in derselben

Weise erlangen können, dann erhalten wir das Resultat: Jede der

Radicalgrössen v,, v,_1,

%, 0, Welche zur Darstellung der

Wurzel einer auflösbaren irreductiblen Gleichung nöthig

sind, ist eine ganze rationale Function von Wurzeln der

Gleichung selbst und von Einheitswurzeln.

Schon in $ 282 (Bd.I) haben wir diese Eigenschaft für die

Gleichungen zweiten Grades

z2—2alg—f— 0 = 0

mit den Wurzeln

2=4 FVa — @

z

a

21 7 E

LEr

und in $ 288 (Bd. I) für die Gleichungen dritten Grades hervorgehoben.

Bei diesen wird, wenn man

—D + g2—r=0

ansetzt, die Lösung gegeben durch

N

-

420

Zweiundsechzigste Vorlesung $ 604—605.

C

5}

D+ W?

E P

(03=1);

W3

)

W=P+V0;

2D

3g

G

- (p + w W

WD

>‚ P=—ä—(2pg—9pq—{—27r)‚

D I0

Z

S

—

al

P? — (n

qg)®

W3

) ;

Wir haben dort gezeigt, dass die beiden Radicale die Form annehmen

VQ e 3Vf3 AA —@ —A,

VW=2 + 032 F 0323 .

Die Lagrange’sche Methode der Lösung der Gleichungen vierten

Grades führt zu den entsprechenden Resultaten ($ 291; Bd. I). Winr

haben für

z — 462° — 868 — 463 = 0

21=71’(t1+t2+t3) NLB

—

6)

2

—

ıl

4

(— t1" t2 + t3);

53=%(_t1+t?+53)7 CZ

wobei 4, —4; %,

%; I, —b die sechs Wurzeln von

—.26 + 4*.(@ + a)t? — 4A =0

sind. Nach dem Ergebnisse über die Gleichungen dritten Grades sınd

alle bei der Darstellung von %, t2, t? auftretenden Radicalgrössen

rational in den sechs Grössen %, und diese selbst, wegen

b = 2 7 % — % — 84y

ı A AT

Ö = A An y — a

B= b = 7411 % — % 4 ı,

b = 21 — %a — 88 A Bay

B= AT

in den Wurzeln z2. Also sind es alle lin die Wurzeldarstellung ein-

tretenden Radicale.

Das zuerst einzuführende Radical besitzt den Werth

3V —B( —# @— 8) @— 6)

= 2°3V— 3 (01 — 2u) (& — 8) : (21 — Z) (& — 9u) : (1 A ( — 24)

und steht also in engster Verbindung mit der Discriminante der Gleichung).

RN SS M

* Jacobi (Werke 3, p. 269) hat diese Darstellupgen für die Gleichungen

aten, 8ten, 4ten Grades ausführlich hergeleitet.

421

Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen

&$ 605

Ist v, in der Kette der Radicale das oberste, d. h. das

zuerst eingeführte Glied, dann kann v, nicht selbst bekannt sein, weıl

es sonst eben keiner neuen Einführung bedurft hätte

nachdem die

Einheitswurzeln dem Rationalitätsbereiche zugeordnet waren; dagegen

ist vr bekannt

Demnach gehört die Grösse

EK (517

An) 1,

)

nicht zur Gruppe G der Gleichung f(z)=0, während f” zu

gehört

Es ist also @, eine Funetion der %, welche p,-mal mehr Werthe be-

Die Frage nach der Existenz solcher Fune-

sitzt, als ihre p° Potenz

tionen haben wir in 8 544 und .8 545 erledigt und haben gefunden

dass ein solches @, nur besteht, wenn G einen autojugen Theiler der

Ordnung — besitzt; v, gehört dann zu ıhm

Ist durch die Einführung von @, die Gruppe &G auf den autojugen

p.‚_1

Theiler G, mit dem Compositionsfactor p, reducirt,

so wird v

aus gleichen Gründen, wie sie soeben für v”” galten, noch zu G1 ge—

hören, dagegen v,_1 nicht mehr

Es muss also, wenn ein v,_1 VOr-

handen ist, einen weiteren autojugen Theiler G, von G, geben, und

zu ihm muss der Compositionsfactor p„_1 gehören.

In derselben Art

oeht es weiter

Umgekehrt haben wir im $ 545 gleichfalls nachgewiesen, dass

die Existenz solcher autojugen Theiler das Mittel zur Constructwn

passender v,, Vy_1, *

in der Form

Pr (Z’1,

ZIL7 C01;

),

Pr—1 (51,

Zn) 0O1,

);

an die Hand giebt

Wir haben demnach das Resultat: Es ist für eine auflösbare

Gleichung charakteristisch, dass die Factoren %,, dı—ı,

ihrer Compositionsreihe

(9)

G, G, &,

v—1)>) G "—1

sämmtlich Primzahlen sınd. Die Ordnung der Gruppe G ist

(DB

p,); die Ordnung von G, ist gleich (D

W)

deren

ausschliesslich

Gruppen,

Compositionsfactoren

Primzahlen sind, he1ssen metacyklische oder auch auflös-

bare Gruppen.

Nach den in $ 555 und $ 556 jedesmal am Schlusse durehgefuh1ten

Untersuchungen können wir die soeben abgeleitete Bedingung auch

in die Form bringen

Es ist für eine auflösbare Gleichung

charakteristisch, dass die Substitutionen jeder Gruppe &

ihrer Compositionsreihe bis auf Substitutionen der folgen-

den Gruppe G4+1 mit einander vertauschbar sind

42

2

Zweiundsechzigste Vorlesung $ 605—607.

Es ist für eine auflösbare Gleichung charakteristisch,

dass die Substitutionen jeder Gruppe ihrer Hauptreihe bis

auf Substitutionen der folgenden Gruppe mit einander ver-

tauschbar sınd.

Natürlich ıst in diesen Sätzen keine Lösung des Problems ent-

halten, sondern nur eine Umgestaltung, eine Uebertragung auf die

Gruppen- oder die Substitutionentheorie.

Gleichwohl aber sind diese

Theoreme von ausserordentlich grosser Bedeutung.

Denn ganz abge-

sehen von dem wichtigen Resultate, welches wir im folgenden Para-

graphen daraus ziehen werden, zeigen sie uns, dass die Gruppe der

Gleichung von höchster Bedeutung für die algebraische Auflösung

einer Gleichung ist, derart dass die Gradzahl dagegen zurücktritt, weiıl

eben die Constitution der Gruppe enger mit der Natur der Gleichung

verknüpft ıst.

Es können zwei Gleichungen verschiedener Grade die-

selbe, oder genauer gesprochen, einstufig isomorphe Gruppen besitzen

— wie wir noch in dieser Vorlesung an einem wichtigen Beispiele

sehen werden —, dann wird ihre Auflösung in beiden Fällen durch

dieselben Hülfsmittel zu erreichen seıin.

$ 606. In dem Falle, dass wir es mit einer allgemeinen Gleichung

f(z)=0, d. h. mit einer solchen zu thun haben, deren Gruppe die

symmetrische ist, ergeben sich auf Grund unserer früheren Resultate

noch weitere Folgerungen aus unseren Lehrsätzen des vorigen Para-

graphen.

Wir wissen ($ 544), dass die alternirende Gruppe der einzige

Theiler

der

symmetrischen

Gruppe

ıst

’

und dass

die

autojuge

Quadratwurzel aus der Diseriminante, abgesehen von symmetrischen

Factoren, die einzige rationale Function der Gleichungswurzeln ist,

von der eine Potenz, nämlich die zweite, symmetrisch wird. HEs ist

folglich p,=2, und, wenn D die Diseriminante bedeutet, am ein-

fachsten und dabei völlig ausreichend

v„=VD

zu setzen.

Es müsste jetzt, um in der Kette weiter gehen zu können, eine

weitere Funetion v,_1 = O, 1(Zı,

Zn) bestimmt werden, die selbst

nicht zweiwerthig ist, von der aber eine Primzahlpotenz es wird.

Nach. 8& 543, 8& 544, 8 546 giebt es, falls » >4 ist, eine solche

Function @,_.1 nicht mehr, weil die alternirende Gruppe A von mehr

als vier Elementen einfach ist.

Da die Ordnung von A ferner eine

zusammengesetzte Zahl, nämlich —ä—n! ist, so entspricht der Uebergang

von 4 zu 1 auch nicht den Forderungen, und deshalb ist die Bedingung

423

Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen.

des vorigen Paragraphen nicht erfüllt; d. h.: Die allgemeinen Glei-

chungen von höherem als dem vierten Grade haben keine

Radicalzahlen als Wurzeln und sind daher nicht algebraisch

auflösbar.

$ 607. Wir kehren zu dem allgemeinen Falle einer auflösbaren

Gleichung f(z) ==0 zurück, deren Gruppe &G sein mag. Die Compo-

sitionsreihe dieser Gruppe werde durch die aufeinanderfolgenden Gruppen

(9)

A, G, @,

Gv——1; G'v = 1

gegeben, derart dass der Rationalitätsbereich (X) der Reihe nach durch

die Adjungirung der zu G, G, ::- gehörigen Funetionen

(9°)

7}1') Uv—1;

U2) Ur

vergrössert wird. KEs gehört also v„ zu der Gruppe G,+1-—« für jeden

Index «.

Gehen wir nun von (z — z,) durch Normbildung der Reihe nach

wie im 8 603 zu fu(Z; Va, Va+ı) “ ), fol2; Vo, Vo+1) : ),

’

so kommen

wir zu einem f}(2; vx, Vx+1, : ), welches bei nochmaliger Normbildung

alle Dkr) Uk-EiL,

v, yerschwinden lässt, so dass fi(2)== ITfx(2; U,

)

zu f(z) selbst wird. Bei dieser Normbildung zeigt sich die Bedeutung

des Umstandes, dass mehr als ein v gleichzeitig verschwinden kann.

In G,= 1 ist der Factor (z — z,) rational bekannt.

Das ist er

aber in G,_1 nicht mehr; hier wird erst die Function

(9”)

fa(85 Day Vatı,z ‘ ) S (8—2) (@—) + + (@ — Zgı)

rational darstellbar werden, d. h. die Substitutionen von G,_1 ändern

zwar %,, aber nicht (9”).

Hier wird z, mit %, --- Zp, in transitive

Verbindung gesetzt.

Weil nun aber auch %, %,

vı ınm Wegfall

gekommen sind, so werden auch die Substitutionen von G,_2, &-

v—3)

Gy_a-4+ı DUr die Z,, Z,-- - Z transitiv unter einander vertauschen,

denn f ist, wie wir gesehen haben, in dem Bereiche (v,, vx+1,::: v,; R)

irreductibel.

Wenn man dann weiter zu G,_„ übergeht, dann treten ent-

sprechende Verhältnisse auf.

Da erst f; in dem neuen Bereiche

rational bekannt und zugleich irreductibel ist, so wird in

@©)

fo(2; %, %41, ) = (@—2) @— 2) + (8 — Dpıpp)

die Reihe 2,, %,

Zp.p, transitiv mit einander verbunden werden.

Jede der Gruppen G, _« , G

D=@=—=)l

G,_>+1 verbindet diese transitiv

unter einander. Man erkennt aber den Unterschied der Bereiche; ' die

durch G, _«, Gy—a+1, : bestimmt sind, darin, dass f = 0 andere

und andere Affecte aufweist.

4

4

Zweiundsechzigste Vorlesung $ 607—608.

Gehen wir nun den umgekehrten Weg, dann zeigt sich Folgendes:

Zunächst ist £f=fi=0 gegeben. und die zugehörige Gruppe ist G.

Durch o

Ur+1 hindurch führt die Adjunction, ohne dass

f=0 reductibel würde. Die Gruppen G,

G,—x bleiben in sämmt-

lichen Wurzeln 2,, ,: %„ transitiv. Bei der Adjunetion von v findet

eine Zerfällun_g von f= 0 statt; demnach verbindet G,_„41 nur einen

Theil der Wurzeln, nämlich ?— transiıtıy mit einander. Alle diese so

k

verbundenen Wurzeln z werden dann auch weiter in den Gruppen

G, ; transıtıy mit einander verbunden bleiben.

Ebenso-

Gv—k+l;

wenig findet eine weitere Zerfällung von f; statt.

Dagegen wird bei

GAy—i-+1 eine neue Zerlegung in engere Systeme der Intransivität ein-

treten, u. s. f. bis zum letzten Male beim Uebergange von G@,_1 zu

G, = 1 eine Zerfällung und zwar iın lineare Factoren eintritt.

S 608.

In der Folge (9”) haben wir von jedem Gliede den

Uebergang zum folgenden so gemacht, dass wir die Norm hinsichtlich

des ersten eintretenden v mit kleinstem Index vornahmen. Wir wollen

jetzt nach der Norm eines Gliedes in dem durch die ursprüngliche

Gruppe &@ bestimmten Gebiete fragen.

KEs möge

fa(@) = ( — 2,)(@ — %) : (@ — 2)

(d=1 Da De)

vorliegen. Derjenige höchste Theiler von &, welcher nur 2,, %,

Zö

transitiv unter einander verbindet, sei D mit der Ordnung &. Da nun

die Ordnung von G r= %P, Ist, So hat für die Substitutionen

von G die Funetion fz genau r:& Werthe

fé(ß‘)‚ f,l(l)(z)> f„;2)(5)7 Sn

die einander im Gebiete @ conjug sınd.

Jede der conjugen Funetionen besitzt @0 Factoren (z—2,); In der

Norm treten also insgesammt % solche auf. Ferner ist die Norm eine

vollständige Potenz, und da G transitiv In Z,, %,

Z ist, so kommt

jede der Wurzeldifferenzen (2 — 22) gleich oft

lvor. Also ist für das

Gebiet &G

rd

Nfale) = F@.

Ist in der Reihe der Gruppen (9) G,+1—_a die letzte, %elche 78

ungeändért Jässt, dann ist D ein Vielfaches von G,4+1ı_a, und ihre

Ordnung wird

3=Q‘(P1P2"'Pdﬁl);

Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen.

425

wobei q eine ganze positive Zahl bedeutet.

Ferner hat man

—nl

Dx)

Ö = Dıa j

%n = Pıa BBa Dk,

und folglich wird der Exponent der Norm

D,

Nn

rö SA SO

G AD

Von besonderem Interesse ist der Fall, dass dieser Exponent den

Werth 1 annimmt. Dazu ist es nöthig, dass D ein autojuger Theiler

von G& wird.

Nehmen wir zunächst an, D sei eine solche Gruppe, und fz gehe

unter dem Einflusse einer Substitution 6 von G in

fa @

(z

Z

über; dann gehört diese Funetion zu 67!D6= D, und wenn also

ein 2 gleich z, sein sollte, dann fallen alle 2 mit den 2,, %,

25

zusammen; das widerspräche dem Umstande, dass f;;” conjug: zu fz Ist.

Folglich enthält fd(1) nur andere Wurzeln. So erkennt man, dass Nfz

gleich f(z) selbst ist. Zugleich erkennt man, dass G eine imprimitive

Gruppe ist, und dass die in einem f, vereinigten z je ein Imprimitivitäts-

system bilden.

Wenn umgekehrt in der Norm der Factor (z

2,) nur ein ein-

ziges Mal vorkommt, dann ist D autojug in G, und G ist imprimitiv.

Die letzte EHigenschaft zeigt sich sofort, falls man bedenkt, dass jede

Substitution 6, welche auf z, eine Wurzel 2,, %, -:- %9 folgen lässt,

nur diese unter einander vertauscht; und dass jedes 0, welches auf z,

ein

„CA)

zD

(1

d17

B

..ZJ

) folgen lässt, alle Wurzeln Z

29 ınm diese

neuen überführt.

Da nun D von 1 verschieden sein soll, so. folgt

daraus auch, dass G zusammengesetzt und D in G autojug ist nach

S 575.

Tritt der besprochene Fall ein, dann gelten also die über imprimi-

tive Gleichungen früher abgeleiteten Theoreme;

HOR

sind die Wurzeln einer Gleichung

Nn

Nn

90 —08 @0,

deren Coefficienten rational bekannt sind, und 2,, %,

25 sind die

Wurzeln von

fl@ =(@—2) @— a)=0.

426

Zweiundsechzigste Vorlesung &$ 608—609.

Wir wollen nun zeigen, dass dies stets dann eintritt, wenn die

Gradzahl %” der zu Grunde gelegten auflösbaren Gleichung f(z)= 0

durch mehrere von einander verschiedene Primzahlen theilbar ist, wenn

also die Compositionsfaetoren nicht sämmtlich gleich sind.

Wir verfolgen die Compositionsreihe von &

(97)

G, G,

G1f—k——l; Gv—k;

bis zum ersten Gliede G,_„, welchem ein Factor von geringerem als

dem n Grade

fe(85 O, Oara ) S (@—A) : @ &)

(x*=, Da Di)

entspricht, bei dem also zum ersten Male eine Zerfällung von f(z)

eintritt; es entstehen bei dieser y, Factoren, da ja n = %: p ist.

so

Betrachten wir die Compositionsfaetoren ,, —1, Pr—2,

2

ist yx der erste dieser Reihe, der in % = DıPaRı -

auftritt.

Nach der

Annahme kommt unter ı, Pu, Po, : Pi Noch ein von p, verschiedener

Compositionsfactor vor.

Nach 8 556 lässt sich demnach die Composi-

tionsreihe in den auf G,_, folgenden Gliedern so einrichten, dass eine

Gruppe G, in ihr auftritt, welche der Hauptreihe angehört, d. h. welche

autojug in G selbst wird.

Ferner ist G, eine Subgruppe von G,_„x; und da G,_„ nur Z,,

Z,‘ ‘ %, mit einander transitiv verbindet, aber keine weiteren %, da

also G,_ intransitiv ist, so gilt dasselbe von G;.

G, ist mithin ein intransitiver autojuger Theiler von &, und

daher wird G- eine imprimitive Gruppe ($ 575).

Wir sind daher zu dem folgenden wichtigen, zuerst von Abel*)

ohne Beweis ausgesprochenen Satze gelangt: Ist der Grad % einer

auflösbaren Gleichung f(g)=0 durch zwei von einander

verschiedene Primzahlen theilbar, dann ist die Gleichung

imprimitiv, d. h. ihre Lösung kann durch diejenige einer

auflösbaren Gleichung

N

’Lb%

__@1.„?“1_+_...:}__@117=0

d

mit rationalen Coefficienten, und die einer anderen auflös-

baren Gleichung

Ale e 20 D a

mit in u rationalen Coefficienten bewirkt werden.

zr

A

*) Edit. Sylow et Lie 2, p. 262.

Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen.

427

Durch dieses Theorem ist die Frage nach den allgemeinen auflös-

baren Gleichungen auf diejenige nach solchen auflösbaren Gleichungen

reducirt, deren Grad die Potenz einer Primzahl ist.

Denn wäre einer

/

der Exponenten d oder

Ö

gleichfalls noch durch zwei von einander

verschiedene Primzahlen theilbar, dann braucht man den Abel’schen

Satz nur nochmals anzuwenden u. s. W.

Unsere ferneren Untersuchungen können sich also auf die auflös-

baren Gleichungen mit Primzahlpotenzgrad beschränken.

$ 609.

Im $ 605 machten wir darauf aufmerksam, dass Glei-

chungen mit einstufig isomorphen Gruppen hinsichtlich ihrer Auflös-

barkeit gleichen Charakter haben.

Dies wollen wir an dem Verhalten

der Gleichung verfolgen, welcher die Galois’sche Resolvente genügt.

Wir setzen, wie in $ 560, mit unbestimmten Parametern w

O = U - 0 A 9 F Wn

wenden hierauf alle Substitutionen s; der Elemente z an, erlangen dadurch

© = U18i, + UoBi, + 54450 + U„Z,'„

und bilden die Funetion

/@) = @— ®,)(@—w) - (@—0)-

Im Rationalitätsbereiche von f(z)= 0 sei

a®@) = @— 6) . 6—e)

ein irreductibler Factor von y(®@). Dann ist

g@)=0

die zu f(z) =0 gehörige Galois’sche Resolventengleichung, deren Gruppe

nach $ 577 gefunden werden kann. Wir bilden dem s; entsprechend

al

w

8& &i

S

a (

A

&2

)

für alle 7 Substitutionen der zu f(z) ==0 gehörigen Gruppe &. Die

6,, 0, : 6, bilden dann eine zu &7 einstufig isomorphe, der Gleichung

9(@) = 0 zugehörige Gruppe I” Die Compositionsfactoren für G und

für I” sind die gleichen; der Reihe und der Hauptreihe der Compo-

sition von & entsprechen die Reihe und die Hauptreihe der Compo-

sıtion von I”

Hat G nur Primzahlen als Compositionsfactoren, d. h. ist f(z)= 0

auflösbar, dann gilt dasselbe von g(@)=0. Der Grad von g(®) ist

VED D

der Grad von f(z) ist

Nn = DıPaDb :

Dr

428 Zweiundsechzigste Vorlesung $ 609—610. Dreiundsechzigste Vorlesung $ 611.

Macht man den Uebergang von G zu (7,, dann möge sich I” auf

T, reduciren.

I, aber ist in ®,,

O, Iintransitiy, auch wenn f(z)

bei G, noch irreductibel bleibt.

Denn I” entsteht, wenn man die

Substitutionen von &, auf ®,, %,

O, anwendet und deren da-

durch bewirkte Umstellungen unter einander als Substitutionen 6

deutet. Hierbei wird aber ®, durch G, nur in — Werthe von ®,

übergeführt werden können. Also muss I} die Elemente in nı Systeme

von — Wurzeln der Imprimitivität zerlegen.

1

So erkennt man allgemein, dass der Uebergang von I” zu IY, Iz,

Iz,::- jedesmal mit einer neuen engeren Zerfällung von g(®) ver-

knüpft ist, bis beim letzten Schritte die einzelnen Factoren @ — @,

selbst als rational heraustreten.

O ©

$ 610. Wir wollen zum Schlusse dieser Vorlesung die Voraus-

setzung fallen lassen, dass f(z)= 0 auflösbar sei, und wollen die

Methode, die bisher auseinandergesetzt wurde, dazu verwenden, um die

Lösung von f(z)= 0 auf ihre einfachsten Elemente zurückzuführen.

Die Gruppe von f(z)= 0 sei &4/; ferner sei G, eim autojuger

Maximaltheiler von &. Unter @(z,,

Zn) = @, verstehen wir eine

zu G, gehörige rationale Funetion von Z,, %,

Z.; wendet man auf

, die Substitutionen von G an, so entstehe

(10)

Pı> P, Pz,

Pr5;

es setzt dies voraus, dass die Ordnung der Gruppe &G k-mal so gross

ist, als die von G,. Da G, autojug in G& ist, so gehören %,, @,: O

sämmtlich zu G, und jede dieser Functionen ist rational durch jede

andere darstellbar.

Wir betrachten die Gleichung

(1D)

D(u) = (u—o) U—w) s — 0u)= 0,

welche die Werthe (10) zu Wurzeln hat.

Die Gruppe I” von ®(u)

wird nach 8& 577 erhalten, wenn man auf (10) die Substitutionen von

G anwendet und die Umstellungen als Substitutionen unter den @ deutet,

Q Z

Pr

H

——

x

(

A

Pir.

) :

Diese Gruppe I' ist transitiv, und folglich ist (11) irreductibel. Weil

ferner G, autojug in G ist, so wird nach $ 559 die Gruppe I” Faetor-

gruppe von G und G;,, d. h.

T

Endlich ist (11) eine einfache Gleichung, weil nach 8 559 I nicht

Die Auflösbarkeit algebr. Gleichungen. Auflösb. Gleichungen v. Primzahlgrad. 429

mehr zusammengesetzt sein kann, da G, Maximalsubgruppe von G war,

und nach $ 575 muss (11) dann auch eine primitive Gleichung sein.

Durch die Auflösung von (11) und die Adjungirung aller oder

auch nur einer ihrer Wurzeln wird somit f(z) ==0 auf eine Gleichung

mit der Gruppe G, reducirt. Ist auch &, noch zusammengesetzt, dann

können wir in gleicher Weise vorgehen und so die Auflösung auf die-

jenige einer Reihe von primitiven Gleichungen reduciren, deren Wurzeln

in dem jedesmaligen Rationalitätsbereiche Galois’sche Resolventen sind.

Die Grade der einzelnen Gleichungen sind als Compositionsfactoren in-

variant, d. h. dieselben, auf welchem Wege man auch die Auflösung

liefern mag.

Dreiundsechzigste Vorlesung.

Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad.

$ 611. Ist eine Gleichung f(z)==0 des Primzahlgrades n auf-

lösbar, so sind ihre Wurzeln in der Form

—1

B

M A O

+ m2vf

+

+ Gn

1 —1

Z

M

eln 0,0, + m0

i

+

+ M 0

f];

(D)

+

p"1m—p.+l

2 =M + 0 mp_1"—{—‘ m;@j.m]j

l—|— .mp_1'u

darstellbar, wobei

„ eine primitive p Einheitswurzel bedeutet, und

i

a—ı

Fa—1 (2R) 2

,Upa_2 DE _Iﬂ

a—2

@—

(vaﬁ1; %)’

@)

v

P2

2

=;F2(.”3; 'U.a—lä N),

v

Q

1

= F (%,-

/Uu—1; gi)

zu setzen iıst.

Gleich

bei der ersten Normbildung, die an (2 — 2,)

anknüpft,

(3)

f(@)=] [ @— z)

C

’

D)

fallen sämmtliche Kettenglieder v,, v,

U,ı weg. Jede Aenderung

der Bedeutung der v, die mit den Definitionsgleichungen (2) verträg-

lich ist, wandelt daher v, in ein m_v70f” um [8598, (13) und 8 600, (25)],

und damit das System (1) in sich selbst. Jede mit der Constitution

W

430

Dreiundsechzigste Vorlesung $ 611—612.

der Gleichung verträgliche Umstellung der Wurzeln unter einander

d. h. jede durch Substitutionen ihrer Gruppe hervorgerufene wird

durch eine Aenderung in der Bedeutung der v bedingt. Daher werden

die Substitutionen der zur Gleichung gehörigen Gruppe unter denen

zu finden sein, die auf diesem Wege hergeleitet werden können.

Man erkennt dies auch auf folgende Weise. Es sei g in der Gleichung

9& %, B)= k

(4)

jede zur Gruppe G der Gleichung gehörige und daher rational bekannte

Funetion = b.

Dann gehört jede Aenderung unter den z,, welche

diese Gleichheit (4) nicht stört, zu den Substitutionen der Gruppe G.

Nun kann man (4) in die Form bringen

()

M Ar Al @, p MOr A A ]le_1

l

al

und erkennt daraus, dass v, auch in v,@“ umgewandelt werden darf,

dass also (4) die Substitution zulässt, die “durch diese Aenderung her-

vorgerufen werden kann ($ 603).

Dieser Schluss gründet sich auf (A); zugleich wird dabei gezeigt,

Diese Glei-

dass 1, I,

M_ = 0 snd, und M = k wird.

chungen M, == const. nehmen eine ähnliche Form wie (5) an, nur dass

v an die Stelle von w, tritt; und mithin folgt in gleicher Weise, dass

auch die Bedeutung von v, beliebig geändert werden kann, so weit

das mit (2) verträglich ist. So geht es weiter und daraus ist der aus-

gesprochene Satz ersichtlich.

$ 612. Wählen wir (4) wie oben so, dass g zur Gruppe gehört,

nicht aber unter ihr steht, dann haben wir durch die letzte Beweis-

führung schon Substitutionen erlangt, die zu G- gehören. Denn die

Umwandlung von v, in v führt z, in %,, dieses gemäss (1) weiter

u Zrg

und endlich z, wieder in z, über.

Es ist also

S = (ı

2p)

(6)

eine cyklische, zur Gruppe G von f= 0 gehörige Substitu-

tion. Mit ihr gehören natürlich auch alle Potenzen

5, S,

83

O

SP=]_

zur Gruppe G. Hieraus ist schon ersichtlich, dass G- transitiv ist, wıe

dies ja wegen der Irreductibilität von f sein musste.

Um weitere Substitutionen von G zu erhalten, betrachten wir die

Umwandlung von v, ın ein mviw$“ genauer. Gesetzt, es könnten bei

irgend einer solchen Umwandlung zwei der Wurzeln, etwa 2 und 2

ungeändert bleiben, so müsste 2 In der Darstellung (1) das Glied

Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad.

431

(&

1l)

(mvi6$*) 05 = minr

enthalten, d. h. es wäre nothwendiger

Weise

o9zFa—1

z(« —1)

(7)

p

or = (t—1)(@«—1) (mod. p).

Ebenso würde sich wegen der Unveränderlichkeit von %2 ergeben,

dass man zu gleicher Zeit auch hätte

or =(@z — 1)(8—1) mod. p);

und da « von ß verschieden ist, so würde aus den beiden letzten

Gleichungen 7=1, o0=0 folgen, d. h. zwei Wurzeln 22 und 2g

können nur dann ungeändert bleiben, wenn v, in sich selbst über-

geführt wird. Dann bleiben aber alle Wurzeln g£, an ihrer Stelle.

G hat ausser der identischen Substitution 1 keine andere,

die zwei der Wurzeln ungeändert lässt.

(Vgl. 8 572.)

Wenn nun eine Substitution von G nur eine Wurzel 2 unge-

ändert lässt, z,41 dagegen In 2Zu+p umwandelt, dann gilt der ersten

Annahme halber (7); und ferner muss wegen der zweiten Annahme

T

(m.v10$") 05

= MV0i6

K

07 =t(a«+ß—1) —« (mod. p)

und folglich nach (7)

(z—1)(«—1)=r7(@«+ß—1) —« (mod.g)

(

ß

(mod. y)

o =— (@—1)(8—1) (mod. p)

D

sein. Es geht aber bei dieser Umänderung ein jedes %, in dasjenige

<&

über, welches ın der Darstellung (1) den Summanden

(m.viw$") wr * besitzt, der aus v10%

al

hervorgegangen ist. Setzt man den erhaltenen Werth von o ein, so wird

071el — el —IN E e— 1 @= a

folglich besitzt dasjenige z, in welches z, übergeht,-den Summanden

z x —1+B(y—a)lz

MzV1 On

2

d. h. es ist Zx(@—B)+ßy- Diejenige Substitution, welche z nicht

ändert und 2441 in Za+8 umwandelt, hat die Form

==

(8)

D = |2, Za(L—B)+BY |

(B

z=

D

Wenn endlich eine Substitution keins der z ungeändert lässt, dann

darf bei festem o und t- in m,vi®

©

» kein « bestehen, welches (7)

432

Dreiundsechzigste Vorlesung $ 612.

befriedigt; denn sonst bliebe ja eben z, unberührt. Dazu ist erforder-

lich und hinreichend, dass 7 = 1 (mod. p) und o nicht durch y theil-

bar ist.

o+1

Hierdurch geht dann v, in V,05, also v,60, In vı

Op

Z

M9e, OLa Zr M Zgn MOMMEP Z M Z 0L& R

Es gıiebt demnach

nur die Substitutionen

(6)

S$= ( Z

2p—1 8p) = | Ze

Zy+1 '

nebst deren Potenzen,

welche

sämmtliche

Sa

umstellen;

(vgl. $ 572).

Ausser der KEinheit kann also G nur Substitutionen der Form (6)

und (8) umfassen. G ist demnach mit der linearen Gruppe ($ 533)

identisch, oder eine Subgruppe derselben. In unserem Falle von p Ele-

menten haben wir es mit dem besonderen Falle der: metacyklischen

Gruppe zu thun ($ 534).

Es ıst nämlich

Die Form (8) lässt sich noch vereinfachen.

t03“(/3_1) — ‘ 8y

Sß y J;

und umgekehrt lässt sich durch diese Substitution in Verbindung mit

(6) wieder (8) herstellen.

Wir können deswegen statt (8) nehmen

(8°)

d== [,

Sß \

Bedeutet nun e eine primitive Congruenzwurzel für den Modul p,

so können wir ß = c setzen und statt (8*) unter Weglassung des z

(8”)

schreiben.

Gesetzt es wäre in allen vorkommenden Substitutionen von

der Form (8*) die hingeschriebene diejenige, bei welcher der Exponent a

von e den geringsten Werth annimmt, dann kommen unter den Sub-

stitutionen (8”) nur solche

Ü=|)

&y |

vor, bei denen der Exponent ein Vielfaches von @ wird. Denn käme ein

(ca<b<(6+1)a)

u @n

vor, so folgte gegen die Annahme

’Ut_U=IQJ

eb—(xa V J‘

(0<b—0a4<0).

Es sind somit alle Substitutionen von der Form (8°) Potenzen

einer unter ihnen. Diese Substitutionen sind die einzigen der Gruppe,

welche z ungeändert lassen. Wir wollen das @ in (8”) als den kleinst-

möglichen Exponenten auffassen. Somit erkennen wir: Die Gruppe &G

einer auflösbaren Gleichung f(z)= 0 des Primzahlgrades p

kann aus den beiden Subs?it11tionen unter den 2

Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad.

433

(9)

s=|u u+1|

(mod. p)

Ü= 0

&q |

]

gebildet werden. Dabei bedeutet e eine primitive Congruenz-

wurzel für p.

Ist % die niedrigste Zahl, für welche ak durch

(p—1) theilbar wird, so ist die Ordnung der Gruppe G&

gleich p-k, also stets ein Theiler von p(p—1). Für k=p—1

geht die Gruppe in die metacyklische über.

Ist z ein Theiler von (p—1), so liefern die Substitutionen

(10)

S= u EL

(mod. p)

Ü=|u

&q |

einen autojugen Theiler von (9).

Der letzte Satz folgt daraus, dass t’ durch s und £ transformirt

bis auf Potenzen von s in sich übergeht. Man hat nämlich

s s =|uF 1 u|- |u &u u ul = u 1 &u 1|

=

&1 —e

E

G t= |e&u u|-|u e&u|.|u &u|=|e u ertey|= |u e&ru].

Wir können auch umgekehrt sagen, dass jede durch (9) ge-

bildete Gruppe G die Gruppe einer auflösbaren Gleichung

des Primzahlgrades p ist.

Den Beweis stützen wir darauf, dass

alle Compositionsfactoren für G Primzahlen werden.

Ist nämlich %

in seine Primfactoren zerlegt = q,q,G3:::, und betrachten wir zuerst

die Gruppe G,

(10%)

s= |u

A

Ü = |u

&ng |

?

so ist diese autojug in G mit:dem Compositionsfactor Qı Ferner

betrachten wir die Gruppe G,

s=|uw u+1|,

(10°)

e° UWY

|

D = |u

|

von welcher Aehnliches hinsichtlich G, gilt, u. s. f. So kommt man zu

der Compositionsreihe G, G,, G, G,

:, welche mit der aus den s“

gebildeten Gruppe X schliesst. Hierdurch ist die Behauptung erwiesen,

da auch diese Gruppe X in der vorhergehenden autojJug wegen

(st= ]& u ul u u+L|.|u ecu|= | en e&«(w+ 1)|

= U uU+ e“ | — sra

wird, und da alle Compositionsfactoren Primzahlen sind.

Netto, Algebra. II,

28

434

Dreiundsechzigste Vorlesung 8& 613—614.

$ 6183. Wir bilden eine zur arithmetischen Gruppe K==[$°,s,82,...]

gehörige, d. h. ‘bei der Substitution |w w-+-1| unveränderliche Funetion

P (Z1, %, ); sie ist für die natürliche Folge der Indices cyklisch.

Die Anzahl der Werthe, welche o unter dem Einflusse von G annimmt

?

ist gleich &. Die durch G& unter diesen Werthen hervorgerufenen Um-

stellungen bilden nach $ 577 eine zu G isomorphe Gruppe I; und zwar

ist I” die Gruppe derjenigen Gleichung, von welcher die % Werthe @,,

a‚ x als Wurzeln abhängen.

Wir wollen nun nachweisen, dass I’ eine cyklische Gruppe wird,

so dass also die %,, %,

@x Sselbst Wurzeln einer cyklischen

Gleichung sind.

Zu diesem Zwecke ordnen wir die Substitutionen von G in das

Schema

sa

2

gO—

SPG

0 al S

t2

s

Sa

SO

ein; zu den einzelnen Zeilen gehören die Functionalwerthe

Pı>

q)2 na (pt7

q73 F q7t2 2

U —— Ylp=it o

Es fragt sich, was

(11)

Psayß > Prsayß , Pascyß >

Pık —1 30 4ß

werden wird. Nun ist, wenn wir y = a«c“P* setzen,

s& =|u uf+al: |u 8u|=|u &u + e | = @s

und demnach

S = T,

Ps« f — tß+‘u’3)’)

Folglich ist (11) identisch mit

P, Pa+1, Pp+2,

Pp—15

und damit ist gezeigt, dass I” eine cyklische Gruppe ist.

Löst man zuerst diese auf, dann reducirt sich G auf K. Daraus

erkennt man: Die Auflösung jeder auflösbaren Gleichung von

Primzahlgrad p wird durch die successive Lösung zweier

cyklischen Gleichungen bewirkt, von denen die eine als

Grad einen Theiler von (p—1) oder (p—1) selbst und die

andere als Grad die Primzahl p hat.

Wir werden uns bald mit solchen Funetionen @ (2,, %,

Zp)

genauer beschäftigen.

Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad.

435

$ 614. Adjungiren wir einer auflösbaren irreductiblen Gleichung

f(z)= 0 des Primzahlgrades p zwei beliebige ihrer Wurzeln, etwa

Z und zg, dann wird durch diese Adjunetion die Gruppe der Gleichung

auf den Complex derjenigen unter ihren Substitutionen reducirt, welche

Zx und 2g nicht ändern, d. R auf dn

Demnach ist nach dieser Adjunction jede beliebige Funetion

rational bekannt; insbesondere gehört jedes z, dem Bereiche (Y; 2u, 2g)

an, d. h.: Man kann jede Wurzel z, als ganze rationale Func-

tion von z und zg darstellen, mit Coefficienten, die dem

gegebenen Rationalitätsbereiche (X) angehören

(12)

8 — Ir (2u, 2ß)

@n

Wir wollen als Umkehrung zeigen: Wenn für alle Wurzeln z,,

C

- Z einer irreductiblen Gleichung von Primzahlgrad die

Beziehungen (12) für beliebige «x, ß herrschen, dann iıst sie

auflösbar.

Gehen wir von der Voraussetzung dieses Satzes zu den

für die Gruppe G der Gleichung daraus folgenden Eigenschaften über,

so sehen wir erstens, dass G transitiv ist ($ 567); und zweitens, dass

G ausser der Einheit keine Substitution besitzt, die z„, und 2g nicht

umstellt; dabei sind @x, ß beliebige Elemente. Es besitzt also G ausser

der Einheit keine Substitution, welche zwei Elemente nicht umstellt.

Nach $ 572 giebt es also nur (p — 1) Substitutionen in &, die alle

Elemente umsetzen, und diese Substitutionen werden cyklisch sein, da

sonst passend gewählte Potenzen einige Elemente nicht ändern würden.

Die Substitutionen, welche alle Elemente vertauschen, sind demnach

Potenzen einer einzigen

S= @ %

—ı p)= |U

u+1[.

Ausser diesen Potenzen giebt es nur noch Substitutionen von

(p—1) Elementen.

Es sei £ eine solche, welche z, nicht umsetzt.

Dann muss t7'st== s“ werden, also muss $ die Umstellung

&, 2&

Zg

Z

‘22a

S

hervorrufen; d. h. man hat

d = (21 2a Bar

)

—I

&u |

Daraus folgt, dass die Gruppe der Gleichung die metacyklische

ist oder unter der metacyklischen steht.

Folglich ist die behauptete

Umkehrung bewiesen: Wenn alle Wurzeln einer irreductiblen

Gleichung von Primzahlgrad n sich durch zwei beliebige

Zu, 28 ratıonal darstellen lassen, ist sie auflösbar.

28*

436

Dreiundsechzigste Vorlesung $ 614—615.

Aus dem zu Beginn des Paragraphen aufgestellten Satze folgt

noch eine weitere Eigenschaft auflösbarer Gleichungen eines Primzahl-

grades *).

Enthält nämlich der Rationalitätsbereich (X) nur reelle

Grössen, und sind zwei der Wurzeln von f(z)= 0, etwa z und 23

reell, dann zeigt (12), dass alle Wurzeln reell sind. Eine auflös-

bare irreductible Gleichung des Primzahlgrades p hat ent-

weder eine oder p reelle Wurzeln, wenn der Rationalitäts-

bereich nur reelle Grössen umfasst.

Wir finden dies bei den

Gleichungen dritten Grades bestätigt.

Von den Gleichungen fünften

Grades können also solche irreductiblen, welche nur zwei complexe

Wurzeln haben, nicht auflösbar sein.

$ 615.

Wir gehen nun auf die Form (17) 8 598 der Wurzeln

einer auflösbaren Gleichung f(z)= 0 eines Primzahlgrades y zurück

al

al

}

zo=mo+Rf +Rf_’

+

+ RE

2

3l

al

1

(13)

2= M + Rfco — Rfco*‘«’ —+

A B,f„2a‚ef’—2 9

ıl

1

1

281J_"

2

Z = M + R3m2 — R?co“ + .4

—+ Rf_2co

)

?

wobei

1

(14)

R?= 1y R%= me(Ro) %,

Rf= m„(R„) Z

gesetzt war.

Aus (13) folgt

al

Rp_%[% P .07 - 07 F E

1

(15)

Rf= D + 407° + 207 + 41,

1

——

R}

=—

%[zo A 4077 - 07 d

Wenden wir auf Ro, Rı,

. die cyklische Substitution |w u+-1|

an, so bleiben diese Grössen ungeändert. Sie sind somit cyklisch für

die Folge Z), 21 %,

Zp—1

f

*) L. Kronecker, Berl. Ber. 1856, 14. April, p. 204.

Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad.

437

Wenden wir dagegen auf die Grössen (15) die Substitution

(16)

| w

e714 |

——

1

an, so geht dabei jedes Rz ın

%[20 + Ze__lco—e“ + Z2e_lco—2e“ + n ] Z %[zo+;Zke__lco—keail

über. In der Summe können wir % durch he ersetzen, weil % und he

g13ichzeitig alle Reste mod. » durchlaufen; dann zeigt es sich, dass

1

Rf in

umgewandelt wird.

Es ruft also (16) eine

cyklische Ver-

schiebung von

1

al

al

R

RP_,

in der angegebenen Reihenfolge hetrvor.

Wir betrachten nun, indem wir einfach m statt m, setzen, die

Beziehung

L

e

R?= m(Ro): R

o

und bemerken dabei, dass %, gemäss $ 595 von Null verschieden ist.

Die Substitution (16) liefert daraus

Br

m(Rı)- R

2

E

(17)

R}

M(Ro): R

?

R = M(Ro_s) Re_e;

und aus ihrer Combination entsteht, wie leicht zu sehen ist, die

Gleichung

i—=eO—

R

D

(17)

(

= m* ÄR)- mP R« M (Bp—3)-

Wir wählen jetzt eine solche primitive Congruenzwurzel e, dass

(eP=* — 1), welches stets durch y theilbar ist, keine höhere Potenz

von p als Factor enthält. Das ist stets möglich; denn wenn jene

438

Dreiundsechzigste Vorlesung $ 615

Differenz durch p? getheilt werden kann, wird (n + e)?-* — 1 sicher

nicht p“ enthalten, weiıl ja

ep—l

WE

=p(Dp—1) - e—?

(mod. p?)

wird. Wir setzen dann

indem wir den Factor y heraustreten lassen

ep—i —

/

und wählen € so, dass

EL Z0

(mod. p)

Danach wird

wird. Das ist erlaubt, weil qg theilerfremd zu p ist

1—e” X

EL

=—

V

b-

D

D

Il

D

und setzen wir der Abkürzung halber

(18)

et= 4,

Ci= 9

P = tp 2>

so entsteht aus (17°) durch Ausziehung der p“ Wurzel, falls @‘ eine

te Einheitswurzel ist

*

a

IJ'_)

S&

t

(17)

PI'——a)I'

“ (R)

” (Rı)

m” (Rp—2)

Wir wollen zunächst nachweisen, dass die Grössen

(19)

m‘ (Ro),

(Rı),

n (RP E <>)

alle unter einander verschieden sind.

Gesetzt, es wäre m'(Ra)

— m‘(Rı), so zeigt (16), dass auch m‘(Ra+1) = mt(R„+l) S, UL S n

Man schliesst nach bekannter Weise,

dass es einen kleinsten Index &

giebt, für welchen m‘(Ro)= m’(R„) wird, dass ferner « ein Theiler

von (p—1) ist, und dass endlich

|

m (Ro) = M (Rı)

mt(Rza)

n‘(R) = m (Ra+1) = % (Rc‚a+1)

wird, wobei die Werthe in den verschiedenen Zeilen unter einander

velschleden smd Benutzt man dies für (17°), so' tritt auf der rechten

Seite zu nﬂ(R„ 2) der Exponent

=—

—

e

ıl

[t + ta + t2ac

J__[1_j[__ec:_'_82cz_l‚_

]

e

—1

AL

ebenso Zzu. mP(RP_3) der Exponent

DE

A

= [tl + ba+4+1 + kaı t

.. ]=e1 +& &* + ]=e

Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad.

439

U S NO

Dabei sind 75, Tı, %,

ganze Zahlen (Gauss, Disquisit.

ariıthm. $ 79).

Folglich entsteht an Stelle von (17”) die Relation

al

R® — w R mM (Ry_ı) MU(Ra_e) MR

Ebenso erschliessen wir durch Anwendung von (16)

S

1

Röp = 03'er' mt‘j (Pfo) S mf' (Ra—1) .' ® mia_l(R1\)>

Nach (13) und (14) wären also alle Wurzeln z schon im Bereiche

CS

7)

@) rational darstellbar, was nach unseren Voraussetzungen

über die Reductionen der Kette unmöglich ist ($ 594). Damit ist be-

wiesen, dass die Grössen (19) unter einander verschieden sind. —

Wir setzen nun

(19)

m (Ro)= &,

mM (Rı) = &4,

m‘( Ro_s) = @p

dann sind dies Wurzeln einer cyklischen Gleichung des

Grades (n — 1).

Demmn o Mı

R.—2 sind es, weil ihre cyklischen Funetionen

für die aus

\% %- | an 1 %]

entstehende Gruppe von f(z)

=

O unverändert bleiben und also be-

Mit Hülfe des Theorems aus $ 528 geht man

kannt sind ($ 527).

dann zu (19%*) über.

Da die Grössen (19%*) von einander verschieden sind, so kann

man auch Ro rational durch @n, ebenso Rı rational durch a,, u. S. W.

ın der Gestalt

R = <D(%) ö

R1] = %® (al) 2

ausdrücken, wıe das aus

R

Rı

(u—— a)(uU—a) : [

U —

+

0

+]=»$(u)

ın vielfach benutzter Schlussweise folgt.

Zu dem ® wollen wir den

Factor w’ aus (17”) ziehen.

Man hat somit

1

CO

eP—3

z

Rop = O(q) -

(

ün

P—

7

An—2

%

)

al

(20)

eP—2

eP

(

d

CZ

Ca

z

A

}

R1;=" ®(‘f*1) 7

440 Dreiundsechzigste Vorlesung $ 615. Vierundsechzigste Vorlesung 8 616.

wobei &, 4, 0, Ap-z2 die Wurzeln einer cyklischen Glei-

chung des Grades (p—1) bedeuten.

Dieser Uebergang von den R zu den a ist deswegen von Wichtig-

keit, weiıl zwischen jenen gewisse Relationen (17) bestanden, während

die @ willkürlich sind. Denn wir werden nachweisen: Bedeuten um-

gekehrt die @, 4,,

- die Wurzeln einer beliebigen cyklischen

Gleichung (p—1)'" Grades, wobei die Ordnung &, &,,

miıt

derjenigen der charakteristischen Substitution (aydA,- - Ap—2)

der Gruppe der Gleichung übereinstimmt, und bildet man

(20) und (13), so sind diese letzten Ausdrücke die Wurzeln

einer

auflösbaren

Gleichung p Grades

miıt

rationalen

Coefficienten.

Aus (20) ergiebt sich nämlich sofort die Richtigkeit der Relationen

e

® (a)

L

2

(

C

)

(0

D (a)

Ea

(

>

® (a,)* ß

A,

?

1

woraus folgt, dass wenn Rg verföge anderer Deutung der y“ W11rzeln

in der ersten Formellaus (20) den Facetor @* annımmt, dann R? den

Factor w** erhält, R? den Factor @“* u. s. w., So dass nur eine cyk-

lische Vertauschung der Werthe (13) vor sich geht.

Ferner sind die einzigen unter den a; erlaubten Substitutionen

die cyklische s = (aydA, : Ap—z) und deren Potenzen.

Wendet man

1

al

ıl

D

(Ao A,

CAp—2) an, dann verschieben sich auch R5

’ R1;7 8 R1?—2

cyklisch, und dabei geht jedes z, in 2 ,_1 über, d. h. man hat zwischen

den z die Substitution

e71u ]:

(16)

Demnac?h giebt es für die Grössen (13) nur die aus

und

| z

eu |

|u u+1|

bestehende Gruppe.

Damit ist der Satz bewiesen.

Die in (20) abgeleitete Form gab für die Gleichungen fünften

Grades ohne Beweis Abel; die allgemeine Form hat, gleichfalls ohne

Auflösbare primitive Gleichungen von Primzahlpotenzgrad.

441

Der erste vollständige Beweis stammt

Beweis, Kronecker gegeben.

von H. Weber*). Diesem sind wır gefolgt.

S

Vierundsechzigste Vorlesung.

Auflösbare primitive Gleichungen von Primzahlpotenzgrad.

$ 616. Wir haben in $ 608 gezeigt, dass es ausreicht statt all-

gemeiner auflösbarer Gleichungen solche zu behandeln, deren Grad

eine Primzahlpotenz y“ ist; aus denselben Ueberlegungen folgt, dass

die Gleichung als primitiy vorausgesetzt werden kann, da anderenfalls

eine weitere, früher gleichfalls behandelte Reduction des Problems vor-

genommen werden kann.

Wir nehmen also an, f(z)= 0 wäre eine irreductible, primitive,

auflösbare Gleichung des Grades p“, wo p eine Primzahl bedeutet. Die

Gruppe von f(z)= 0 sei G; G ist primitiv; und wir bezeichnen mit

D

G; H; J7'

K

die Hauptcompositionsreihe von G, so dass jede der Gruppen der

höchste Theiler der vorhergehenden wird, der zugleich autojuger

Theiler von G& ist.

Keine der Gruppen von (1) ist intransitiv; denn nach $ 575 ist

eine zusammengesetzte Gruppe mit autojugem intransitiven Theiler

selbst imprimitiv.

Die Zerfällung von f(z) in Factoren wird daher

erst auf dem Uebergange von K zur Einheitsgruppe vor sich gehen.

Zwischen KX und 1 können sich Glieder der Compositionsreihe von G-

einschieben

(1°)

K KL K RO

7}

alle diese gehören zu gleichen Compositionsfactoren, welche, da f'(z)=0

auflösbar ist, gleich der Primzahl p werden.

Nach $ 556 bildet die

Gesammtheit der Substitutionen von X einen vertauschbaren Complex;

d.h.: X ist eine Abel’sche Gruppe,

Qéren * Substitutionen

durch

@)

sS=0 .6

2

(“;ß;?;"'5#1;27"'P)

dargestellt werden könnren.

*) Abel, Brief an Crelle; Werke, 6d. Sylow et Lie 2, p. 266. Kronecker,

Berl. Ber, 1853, 10. Junı. Weber, Marburger Ber. 1892, p. 3; Algebra I, p. 6838.

442

Vierundsechzigste Vorlesung 8 616—618.

Wir bezeichnen nun eine der Wurzeln z mit Z0,0,.:.0, Wobei Z In-

dices auftreten sollen, und diejenige Wurzel, in welche zo,o...0 durch

(2) übergeführt wird, mit 2gß...:

Gehört ferner

Sı = 610

Pı

2

6

o

Z}

E1

umwandeln und

zu K, so wird diese Substitution 290...0 IN Zeyp,..:s

1

(ss,) ruft

Sara BB er

hervor. Daraus erkennt man, dass wir in analytischer Darstellung

(3)

S=ZZ| UL UG

(Z2

2

W - &, U A B, "“;_+£%

(mod. p)

setzen können.

Zugleich folgt, dass die Anzahl der Wurzeln

Za{g.„‚s

(“;ß;"'8=1‚2;"'29)

gleich p“ wird, d. h. dass p* der Grad der vorgelegten Gleichung, und

also 1 = x sein muss. Ferner erkennt man, dass bei dem Uebergange

in (1*) von jeder der Gruppen K zur folgenden eine Zerfällung von

f(z) eintritt.

Aus (3) ersieht man, dass X gleich der arıthmetischen Gruppe

oder gleich einem ihrer Theiler ist.

Bei einem Theiler aber würde

einer der Indices nicht geändert werden, da ein Theiler nur dadurch

entstehen kann, dass einer oder mehrere der Exponenten in (2) nicht

von Null verschieden werden.

Es fällt also X mit der arıth-

metischen Gruppe der Ordnung y“ zusammen.

$617. Nun wissen wir aus $ 553, dass die linearen Substitutionen

die einzigen sind, welche die arithmetische Gruppe iın sich selbst trans-

formiren. Solche Substitutionen sind demnach gleichzeitig die einzigen,

welche in G vorkommen können, da G-!KG = K sein muss.

Das

zeigt uns: Jede auflösbare primitive Gleichung des Grades p“

hat eine Gruppe, welche in der linearen Gruppe

(

| o Agılı + Ao2Ua A * F AoxUx A do

(9=172;"']”')

des Grades p“ enthalten ıst.

Will man nun alle zu auflösbaren, primitiven, irreductiblen Glei-

chungen des Grades p“ gehörigen Gruppen construiren, so kann der

weitere Gang der Untersuchung der folgende sein. Bestimmt man die

Grössen d0,, d,,-:- 0, durch die Congruenzen (mod. p)

©)

a@181+ a926\2 + NL + agxäz == dy

(@=172>"'%)7

so kann man (4) als Product

(9=1)2>""‘>

(6) | o Agı F *+ + gu | | %o o + 00 |

Auflösbare primitive Gleichungen von Primzahlpotenzgrad,

44

3

x

darstellen; und diese Bestimmung ist stets möglich, weil für eine wirk-

liche Substitution (4) die Determinante der linken Seiten von (5) nicht

durch p theilbar ist.

Aus ‚(6) ersieht man dann, dass man die KEr-

weiterung der arithmetischen Gruppe nur durch homogene lineare Sub-

stitutionen zu bewirken braucht.

Es muss also zunächst zu X eine homogene lineare Substitution

hinzugenommen werden, von der eine Primzahlpotenz =1 wird. Da-

durch entsteht in der Compositionsreihe, die wir von rechts her zu

Damit muss wiederum eine

construiren haben, die vorletzte Gruppe.

Substitution verbunden werden, von der eine Primzahlpotenz in der

eben erhaltenen vorletzten Gruppe vorkommt, u. s. w. so lange diese

Operation fortgesetzt werden kann.

Das so fixirte Problem lässt sich

aber sofort dadurch verein-

fachen, dass wir die Betrachtungen auf die homogene lineare Gruppe

beschränken.

Die Gruppe K der Substitutionen (3) ıst nämlich autojug in G;

wir können daher eine Factorgruppe G/K nach den Vorschriften des

$ 559 construiren.

Wenn wir daselbst in der Formel (13) für die

dortigen Substitutionen 1, S, S3,

unsere (3) nehmen, dann folgt,

dass die dortigen s,, S, durch die hier auftretenden homogenen Sub-

stitutionen von G& ersetzt werden können, und dass die Composition

der Elemente von G(/'/K direct durch die Multiplication dieser homo-

genen Substitutionen ersetzt werden darf.

G/K kann demnach direct als Gruppe der in G enthaltenen

homogenen Substitutionen aufgefasst werden. Somit hat diese Gruppe

auch nur Primzahlen als Compositionsfactoren und ist also auflösbar.

Statt also &@ zu construiren, construiren wir die allgemeinste

primitive, auflösbare, homogene Gruppe G/K und verbinden sie mit

den Substitutionen (3) von K.

Wir wollen die dabei einzuhaltende Methode an dem Beispiele

%* = 2 darlegen, oder mit anderen Worten, wir wollen die allgemeinen

Typen aller primitiven, auflösbaren Gleichungen der Ordnung p? fest-

stellen, wo p eine Primzahl bedeutet*).

$ 618. Wir betrachten in der auflösbaren allgemeinen Gruppe G: der

[ I6

al + bık, ayh + bak |

(mod. »)

die letzte Gruppe N der Hauptcompositionsreihe, welche nur unter

einander vertauschbare Substitutionen enthält.

KEine solche ist sicher

vorhanden und von der Einheit verschieden ($ 556, Schluss). Sie ent-

*) C. Jordan, Journ. de math. (2) 13 (1868), p. 111.

444

Vierundsechzigste Vorlesung 8& 618.

hält, falls G allgemein, d. h. in keiner anderen von gleicher Kigen-

schaft enthalten ist, alle Substitutionen

©

S= d

ah, ak |

(Q=—O‚ 17 "']9*—'1).

Denn gehörte ein s, nicht zu G, so könnte man, da die s, mit

jeder Substitution vertauschbar sind, eine solche Potenz s% von s%

bestimmen, dass eine Primzahlpotenz derselben zu G gehörte. Dann

wäre auch [G, s,] auflösbar und allgemeiner als G, was den Annahmen

widerspricht.

In N kommen demnach alle Substitutionen (7) vor.

Wir be-

trachten zunächst den Fall, dass N ausser den s, noch

weitere Substitutionen enthält.

Es seı * eine weitere zu N gehörige Substitution.

Wir können

sie ohne Bedenken in der Normalform ($ 537) zu Grunde legen; denn

durch die Transformation, welche eine beliebige Substitution in ihre

Normalform überführt, werden die s, immer nur wieder in sich selbst

transformirt werden.

Je nach der Normalform haben wir verschiedene Fälle zu betrachten.

1 s SOl ü= , 6

ah, bh+ ak

; wo b=+0 sein soll.

Ist nun eine willkürliche Substitution von N

o= ( %

uh + vk, uh + vık|

und also

v”h—yvyk

— h+ eb

W ,

WD, — ,7

E

so wird

bulh + [alur—u0) + burlk|

D NN

W

’

W —

Dies muss aber, weil £ mit T7 vertauschbar ist, wie dies aus der

Annahme über N folgt, wieder == * werden.

Vergleicht man beide

Formen, so ergiebt sich v = 0, und alle Substitutionen von N haben

die Form

d= ,D

uh, u,h + uh|

Es sei ferner

6=|h, k

mh + nk, m,h + nık |

irgend eine Substitution der auflösbaren Gruppe &; dann muss 67!t6

von der Form T7 werden, da G-1NG =N ist.

Vergleicht man in

ähnlicher Weise wie soeben die beiden Formen, dann entsteht » = 0,

und alle Substitutionen von G haben die Form

6=|%h, k mh,m{ih + mb |.

Diese Gruppe, mit den Substitutionen

|Z,% h+a«,k+Bß|

@

Auflösbare primitive Gleichungen vön Primzahlpotenzgrad..

445

verbunden, giebt aber keine primitive Gruppe. Denn vereinigt man alle

Wurzeln z,,» in ein System, welche das gleiche Aı haben, so erkennt

man sofort, dass jede Substitution alle z mit gleichem A in andere z

mit gleichem A umwandelt.

Daher führt die Annahme eines solchen £

auf keine brauchbaren Gruppen.

MIN) Es sei t=|h,k ah, bk|, wobei @ und b reelle Zahlen

sind; a = .

Ist nun eine willkürliche Substitution von N

t=|2,% uh + vk, uh + w.k|,

so wird t—'tr=%. Vergleicht man beide Seiten, so ergiebt sic.h

v=0, u =0; jede Substitution von N wird

o= | , 6

uh, v.k |;

und da % und % reelle Indices sind, so werden auch w und v, reelle

Zahlen.

Es sei ferner

6ö=|h,k mh+nk, m h + nık|

irgend eine Substitution der allgemeinen Gruppe G, dann muss 61{6

von der Form z werden, da G-1!NG = N ist. Daraus entnimmt man

ebenso, dass entweder

n=0, m =0 oder m=0

?

n =0,

d. h. dass bei reellen Coefficienten M,, M} Nı, N unser o entweder

(8)

oder

|Z, %

mh, nık |

|Z, %

nk, muh |

ist. Hier können m, %; %, m, alle Zahlen 1,2,-.. —1 durchlaufen.

Infolge dessen kann man die zweite Substitution durch

(9)

I, k nk, m h||h, k

ersetzen.

h, k =|h,k k,h|

Dies giebt auch wirklich eine auflösbare Gruppe. Denn die

|h, k mh,n.k| sind unter einander vertauschbar; und |h,% k,h|

ist mit der durch jene gebildeten Gruppe vertauschbar:

%, k,h|- ! |h,k mh, nık| |h,k k,h|=[h,k Yh, mk |

Wir haben also einen ersten, aus

|Z,k D4 «,k+Bl, |k, k mh, nm bk|, |h, k k,h|

bestehenden Typus für G erlan

gt; «, ß sind =0,1,...p—1,

und m, n =1,2,

D—1; die Ordnung von G& beträgt somit

2(% —1)’2?. (Die Combinationen, bei denen m oder n Null werden,

mussten bei Seite bleiben, da ja die Determinante der Substitution

nıcht verschwinden durfte.)

446

Vierundsechzigste Vorlesung $ 618—619.

II Es sei endlich t=|h,% ah,bk|, wobei @ und b con-

jugirt complexe Zahlen

CL=T"+Sj‚

b=r—S5j;

und

C

h=h +hk,j,

k= ı — kı)

bedeuten, und wobei N ein quadfatischer Nichtrest für p

ist (8 537).

Ks gelten alle unter II) durchgeführten Schlüsse, denen gemäss

die Gruppe G/XK aus allen

| %, %

ah, ak

L

I h) k (T + 3.j)ll7 (7ß_3j}k l7

9 9 b

besteht.

Bringen wir diese Substitutionen auf die reelle Form, so

ergiebt sıch

o L ONO

|, k 7l SNk,, Sh A rk,

5

[Bı Kı I, —4,

wobei 7, s beliebig gewählt werden können, falls nur die Determinante

(10)

r* — $?N=E0 (mod. p)

ıst

In dieser Form ist die erste Substitution gleichfalls enthalten, da

s= 0 gewählt werden kann; und (10) gestattet im Ganzen (p* — 1)

Lösungen.

Wir haben also einen zweiten, aus den Substitutionen

[

Ar RT

| %, %

rh+5sNk, sh+rk|,

|Z, %

h, —k |

bestehenden Typus für G erlangt; «, ß sind =0,1,...p—J1,

und r,s=0,1,...p—1, falls nur die Combination r7= 0;

s=0 ausgeschlossen wird.

Dabei bedeutet N einen Nicht-

rest für den Modul p.

Die Ordnung von G beträgt daher 2(p?—1)p®.

Hiermit ıst der Fall erledigt, dass die höchste, aus unter einander

vertauschbaren Substitutionen bestehende Gruppe der Hauptreihe von

G- eine höhere Ordnung besitzt als (d—1)%°*.

$619. Wir betrachten jetzt den Fall, dass die Gruppe N

ausser den

S = [,

ah, ak |

keine weiteren Substitutionen enthält.

Der Gruppe N möge in der Compositionsreihe als Gruppe höherer

Ordnung die Gruppe M vorhergehen.

Es sei £ eine zu M gehörige

Substitution.

Wir können sie ohne Weiteres ın der Normalform zu

Grunde legen und unterscheiden nur je nach der Gestalt derselben

wieder mehrere Füälle.

Auflösbare primitive Gleichungen von Primzahlpotenzgrad.

447

I) Es sei t=|2,k% ah, bh-+ak|, wo b+0 sein soll.. Die

Alle

Gruppe M entsteht aus der Verbindung von £* mit den s,.

Substitutionen von M haben die Form , wenn man b=0 zulässt.

Bedeutet also

G= 0, 4

mh+nk, m h +n k |

irgend eine Substitution der gesuchten allgemeinen Gruppe G, dann

muss, weil o7'to entweder zu M selbst, oder doch zu einer dem M

ähnlichen, in der vorhergehenden Gruppe der Hauptreihe enthaltenen

M, gehört, diese Transformirte 6—!t60 von derselben Form wie t sein.

Daraus folgt, wie in $ 618 unter I), dass %n = 0 und

6= %, 0

mh, m h + nık|

wird. Dieselben Schlüsse wie dort zeigen uns dann, dass G imprimitiv

ist

Diese erste Annahme ist also zu verwerfen.

II) Es sei t= |24,k ah,bk|, wo entweder a und b reelle

Zahlen sind, a==b; oder wo @ und b zwei conjugirt complexe

Zahlen a=r+ sj, b=r7—S85j bezeichnen.

Die Substitution £ kann nicht für jede Substitution

6ö= |h, k mh+nk, m h+n1k|

aus &G der Gleichung 6-7!t6 = * genügen; denn sonst würde £ noch

zu N gehören.

Es giebt also ein von den * verschiedenes

h= 67 t6= |h, k uh+wvk, uh + v k |,

welches mit den s vereinigt die Gruppe M, bilden möge, wobei M . M

ist, und M und M, der in der Hauptreihe von G nächsthöheren Gruppe L

angehören. Aus diesem letzten Umstande folgt, dass £ und £ bis auf

eine Substitution s, von N vertauschbar mit einander sind; d. h. man

hat { = t,ts;, oder ausführlicher geschrieben

|%,% aluh-+vk), b(uh + v,k) |

= |h,k% aufh+ bvfk, au‚ fh+bv.fh|

Demgemäss müssen die vier Gleichungen erfüllt sein

au — a’.“f;

av = byf;

bu, = auıf,

bv, = byf.

Ist nicht gleichzeitig u = 0, v,= 0, dann folgt hieraus f= 1,

w=0,v=0; d.h.

t=|h,k uh, vh|; i = Mt.

Das kann aber nicht für alle aus € transformirten Substitutionen möglich

sein, weil sonst die den M, M,,

vorhergehende Gruppe L der Haupt-

reihe aus lauter vertauschbaren Substitutionen bestehen würde und dem-

nach mit N zusammenfiele.

448

Vierundsechzigste Yorlesung $ 619.

Es ist also gleichzeitig u = 0, v,= 0, und also uv=+0. Dies

ergiebt

a = bf,

b=af;

Zn

Da ferner, wie soeben gezeigt worden ist, nicht beständig £= 1 sein

kann, so wird

f=-—1;

Ü= —B

Es muss folglich sein

Ö= |

ah, — ak

5

Ü= ,

vk, u.h |.

Führt man hierin statt des Index % den durch

Nr

mit vr

A=

= M

(mod. p)

bestimmten Index n ein, so nehmen für vr= 0 die beiden Sub-

stitutionen einfachere Formen an.

Wir können danach setzen

(11)

ö= ,

ah, — ak

L,

Ü= l

ok, oh|.

Hieraus erhellt, dass t? wie t? zu N gehören.

Folglich ist der

Compositionsfactor beim Uebergange von M zu N gleich

Zwei; 6 =5

A 2

Ü=5..

Die Substitutionen (11), mit den s von N vereinigt, er-

geben die Gruppe L der Hauptreihe, welche unmittelbar vor

N steht. Denn jede Substitution von L muss € in ein fs% und , in

ein 4, Sg transformiren.

Stellt man die Bedingungen hierfür dar, dann

zeigt sich, dass jede mögliche Substitution von L durch Multiplication

einer Substitution (11) mit einem s aus N entsteht.

Demnach muss jede Substitution der allgemeinen Gruppe G die

Substitutionen f€, 4, wieder in Substitutionen von L transformiren. Das

giebt zunächst folgende neun Möglichkeiten.

KEine beliebige Substitu-

tion v von &, die nicht zu L gehört, wandelt um

1

2

3

4

5

6

7

8

©

Ü

Sa

|

t1 Sa

t1 Sa

t18„‚ .

[ ÜSa

ba || Sa

tt18« l ttlsa !

!

b

]

l tsp’

bbr Sß

A Sß

t8ß

tt18ß } t18ß

|

ÜSp>

Ü1 ng

t18ß.

Von diesen Möglichkeiten fällt die dritte fort; denn bei ihr zeigt

die wiederholt angewendete Methode der Formvergleichung, dass die

transformirende Substitution zu L gehört.

Ferner fallen die 1%, 5%, 9% Möglichkeit fort, denn bei diesen

würde £-% ein s als Transformirte ergeben, während doch ein Sw nur

in ein S, transformirt werden kann.

449

Auflösbare primitive Gleichungen von Primzahlpotenzgrad.

Ruft ferner die Transformation mit einem v, aus G die Um-

formung 4 hervor, so wird v? die Umformung 8 bewirken; und wenn

ein vp umgekehrt 8 hervorbringt, so liefert v% wieder 4. Man kann

sich also auf v, beschränken, und vp kann bei Seite gelassen werden.

Ruft endlich die Transformation mit einem v, aus &G die Um-

formung 7 hervor, so wird v,% und v?v, bezw. 6 und 2 bewirken.

Wir brauchen also nur v, und v, gemäss den Bestimmungen

v 10 = Sa ,

v 0, = 0863

(12)

vl = S, ,

0a76 0 = ÜSg

in allgemeinster Weise zu bestimmen, um G zu erhalten.

Setzt man

=|h, k

mh + nk, mh-+n,k|,

dann folgen aus (12) für die m, %; m,, , die acht Bedingungen

MMNe==

(13)

ON

n = OM

7)

M, = @«0N, ,

Nı = — &OM ,

oM, = aßm

‚» 0M — — Aßn;

oM= aßm, , on = — aßn,

Zunächst zeigen diese Gleichungen, dass m, %; M, N, sämmtlich

von Null verschieden sind.

Die erste Zeile von (13) zeigt weiter,

dass, wenn

j= —1 (mod.)

gesetzt wird, wobei wir nunmehr p= 1 (mod. 4) annehmen, um

ein reelles j zu erhalten,

W _-_+:]’Wb‚

nı = — JM

sein muss.

Aus der zweiten Zeile entnimmt man

Mı z I ,

D = A

Durch Combination mit s„ kann man daher v, auf eine Form bringen,

in welcher m durch 1 ersetzt wird; und ferner darf man wegen der

Doppeldeutigkeit von j setzen n = —j und also

v=|h,k h—)jk, +(h+jk)|.

Weiter liefert (13) die Beziehungen

CO = —5

9=j__aß7

und da man statt o in (11) setzen kann —- «o und statt @ ebenda

+ a«ß, so folgt an Stelle von (11), wenn man noch «= —1,

ß = 1 setzt,

(11°)

t=/|h,k jh,—jk

L

W

> k

h

jk, h-+jk|.

Netto, Algebra. II.

29

450

Vierundsechzigste Vorlesung $ 619.

Dabei ist

®% HS \ h7 k (1 —.7) (h+k)7 (1 +.7) (h_l”) 1)

= .

2(1 "j)ha 2(1 —.7>k ‘7

so dass v} zu N gehört.

Verfährt man genau so miıt den Bedingungen der zweiten Zeile

von (12), so ﬁn-det man

(14)

= | , %

h+k,h—k|,

so dass v3 zu N gehört.

G setzt sich also, wenn p==1 (mod. 4) ist, aus den Sub-

stitutionen

| Z

k

h-+-a, k+ß|,

(“;ß=0;17"'2)

D);

| Z

]I/

al ak ;

(a=1,2,...p—1);

h

k

jh; _Jl” ‘n

2

ZZAL

d E

|%

k

7l]“; Jh l ?

|%

h—jk, h-+jk|,

|Z, %

h-+k,h—k|

zusammen und besitzt daher die Ordnung 24 (p—1) p“

Dies

ist der dritte Typus.

Dass diese Gruppe wirklich den Bedingungen der Auflösbarkeit

entspricht, ist leicht zu sehen.

Im Falle p = 3 (mod. 4) müssen wir, um eine reelle Form zu

erhalten, anders verfahren. In diesem Falle ist —1 ein Nichtrest mod. p,

und aus $ 537, S. 292, Z. 10 folgt leicht, dass man

O [

ch— ßhk, Bh + ak |

als Normalform nehmen kann. Ferner ser

t= |h,k uh-+wvk, uh-+v,.k|

und wir suchen, unter welchen Bedingungen, wie oben, $ = 44s; Wird.

Man findet

au — ßu, = a«uf + Brf ,

uv — Bo,= ayf — Buf,

&W, I ß!" Za f AD CR — Burf-

Bildet man die Determinante dieser vier in w,v; &,, v, linearen Glei-

chungen, so folgt aus deren Verschwinden bei reellen Grössen f=1,

oder f=—1, «==0. Das Erste kann ebenso wenig stets vorkommen

wie oben.

Es muss also einmal der zweite Fall eintreten.

Hier kann

dann weiter durch Combination mit einem Sg

D= [ 6

—k, h|

451

Auflösbare primitive Gleichungen von Primzahlpotenzgrad.

angenommen werden; und daraus ergiebt sich als nothwendige Form

= ,

uh+wvk, vh—uhk .

also muss das

Nun ist *=|2,%

—h, —k| zu N gehörig

Gleiche mit %? stattfinden; dies ıst auch ın der That der Fall.

Die weiteren Entwickelungen verlaufen den oben gegebenen ganz

analog; es reicht für die Construction von G& aus, zwei Substitutionen

v, und v zu finden, welche den Bedingungen

v 60 = bıbSa ,

v 60 = 183

bezw.

010 = 8y ,

00 = S

genügen.

Setzt man, um zunächst die zweite dieser Substitutionen

zu bestimmen,

%”= h,hk

mh+nk, m h+nk ,

so zeigt sich, dass die vier nöthigen Relationen, welche der ersten

Forderung entsprechen,

— M = (mu+nv)«,

— nı = (Mv—nvV)«;

m = (mw +n v)«,

n = (M v —N U) «

nur zu befriedigen sind, wenn

m

=

0 (w®? + n}

E

—1 (mod.p)

wird. Das lässt sich für p = 3 (mod. 4) stets erfüllen.

Sind uo, 70

Lösungen von

w + =—1 (mod.%),

so kann man direct u= W, Vv= %, « = 1 setzen.

So kommt man

auf das Resultat

A= l

uoh + %k, voh— u ,

%=|h,k uoh + ( +1) , %— 1) — uok|

Auf ähnliche Weise gelangt man zu

=|h,k —(1 + wo) + ( —7i)k, Chr e (!‘0"’0"‘!‘0+”0)75 |

Es setzt sich also, wenn p= —1 (mod.4) ist, G aus den

Substitutionen

|h, k

hi e k-Bl,

(“7ß=07 1‚"'}?—1);

o I

ah, ak

‘

(a=1‚2‚„.p—1);

|4, k

—k7 h!7

|Z, %

uoh + vok, v — u |,

(ub + =-—1 mod.p);

ih) k

E (1+!"'07’0)7L A ( =— vi)k, ( (*"(2))7‘ SE (!‘o”o_!'“o+ vo)k l;

|Z, %

w + ( 1)R, (0—1)%— wg |

zusammen und besitzt daher die Ordnung 24(p—„41)1ﬁ.

29

452 Vierundsechzigste Vorlesung 8 619—620. Fünfundsechzigste Vorlesung $ 621.

Es bliebe noch übrig, nachzuweisen, dass die abgeleiteten Typen

nur primitive Gruppen ergeben, und Untersuchungen über ihre All-

gemeinheit und. Unabhängigkeit von einander anzustellen.

Das wollen

wir aber übergehen und verweisen nur auf die l. c. von C. Jordan in

diesen Beziehungen aufgestellten Forschungen.

Erwähnt sei nur, dass für p==3 der letzte Typus der einzige

allgemeine ist.

$ 620. Zum Schlusse dieser Vorlesung wollen wir noch kurz auf

die transitiven Gruppen von der Ordnung g*, wobei p eine

Primzahl bedeutet, eingehen.

G sei eine solche Gruppe. —

Wir können den Begriff conjuger Substitutionen einer will-

kürlichen Gruppe M dem bisherigen Gebrauche dieses Ausdruckes ent-

sprechend einführen. Ist o, eine Substitution von M, so transformiren

wir 6, durch alle Substitutionen von M und nennen die dabei als

verschieden auftretenden 6,, 6,

O 2 zZuU O8 ür d Gruppe Z

conjug“.

Eine Substitution ist „autojug“ wenn bei diesen Trans-

formationen stets das gleiche Resultat herauskommt, also v =1 wird.

Die Einheit %o= 1 ist in jeder Gruppe eine autojuge Substitution.

Alle autojugen Substitutionen in M bilden einen Theiler von M.

Die Anzahl v aller zu 6, conjugen Substitutionen ist ein Theiler

der Ordnung von M. Denn die w Substitutionen von G, welche 6,

in sich selbst transformiren, bilden einen Theiler H von M. Wenn

dann 4;-!6,% = 6, für die Substitution 4 von M ergiebt, dann ist auch

(H6,) *6, (H6)

695

7}

die Substitutionen von Ht, sind die einzigen dieser Eigenschaft, und

sie sind unter einander verschieden; ihre Anzahl beträgt also auch w.

So geht man weiter und erkennt, dass uv gleich der Ordnung von

M wird. Folglich ist v ein Theiler der Ordnung von M. —

Wir wollen nun diese Begriffe für die Untersuchung unserer

Gruppe G der Ordnung %* verwenden. Wir fassen alle Substitutionen

in Klassen zusammen, deren jede alle und nur die zu einer unter ihnen

conjugen enthält.

Die Anzahl der in jede Klasse eingehenden Sub-

stitutionen ist ein Theiler von y“ und also eine Potenz von p.

Die

Klassen seien durch s = 1, S, &,

charakterisirt, und die Zahlen

be-

der entsprechenden conjugen Substitutionen durch y“%, p“, n“,

Fasst man nun

zeichnet. Da s,= 1 autojug ist, so wird p“ = 1.

alle Substitutionen zusammen, dann entsteht

DE RDE LE

Daraus ersehen wir, dass mindestens noch (p—1) autojuge Substitutionen

Der Casus irreducibilis. — Lösbarkeit im reellen Rationalitätsbereiche. 453

in G vorhanden sind. Alle diese bilden einen Theiler von &; folglich

ist ihre Anzahl eine Potenz von p, etwa 'ı (h, > 0).

Wir bezeichnen mit H, die Gruppe dieser y'ı autojugen Substitu-

tionen von &; H ist selbst autojug ın G.

Die Factorgruppe

F1=G/}I1

hat die Ordnung y*—4, Für I7 gelten die eben angegebenen Schlüsse;

T, hat einen autojugen Theiler H, der Ordnung y’2, in dem nur und

alle autojugen Substitutionen von I, vorkommen.

Dieser Gruppe H;

ist ın G _ eine Gruppe H, der Ordnung g'ıt/ isomorph, deren Sub-

stitutionen, der Eigenschaft von H, entsprechend, unter einander bis

auf Substitutionen von H, vertauschbar sind. Die Factorgruppe

T, =G/H,

hat dann die Ordnung p“—4— ; und alle früheren Schlüsse lassen sich

auf sie wieder in Anwendung bringen.

So steigt man durch die Reihe von lauter zu G autojugen Gruppen

H17 H27 H;‘37

bis & selbst auf. Jede von ihnen enthält nur Substitutionen, die mit

einander bis auf diejenigen der vorhergehenden Gruppe vertauschbar

sind.

Daraus folgt, dass jede Gruppe einer Ordnung * eine

auflösbare Gruppe ist; denn nach $ 556, S. 337 kann man eine

Compositionsreihe finden, die den Bedingungen aus 8& 605 entspricht.

Es möge noch angemerkt werden, dass der Grad einer irreductiblen

Gleichung mit derartigen Gruppe gleichfalls eine Potenz von p ist.

Ist p=2, dann liefern die betrachteten Gruppen alle diejenigen

irreductiblen Gleichungen und nur diejenigen, deren Wurzeln geo-

metrisch mit Hülfe von Zirkel und Lineal construirt werden können.

GE SN a

Fünfundsechzigste Vorlesung.

Der Casus irreducibilis. — Lösbarkeit im reellen

Rationalitätsbereiche.

$ 621. Wir haben bei der Auflösung der cubischen Gleichungen

darauf hingewiesen ($ 287; Bd. I), dass wenn bei der Gleichung

dritten Grades mit reellen Coeffieienten

(1)

A 302—20=0

454

Fünfundsechzigste Vorlesung 8 621—623.

die Diseriminante D = — 108 (@& + c@) positiv ist, und also in dem

Ausdrucke

[)

20

C

a =wVarVatd-

3

BED SC

(“=07 1; 2>

lC

8

+

V3

©

die innere Quadratwurzel imaginär wird, dass dann die drei Wurzeln

Z9> %, % gleichwohl reell werden; man hat also zur Erlangung dieser

reellen Grössen scheinbar einen unnöthigen Weg durch das Complexe

zu nehmen.

Dieser Fall der Gleichungen dritten Grades heisst der

„Casus irreducibilis“. Noch nicht entschieden ist aber bisher, ob dieser

Weg nicht durch einen anderen, rein algebraischen ersetzt werden kann,

der ganz im Gebiete reeller Rationalitätsbereiche verläuft und also die

Verwendung jeder complexen Grösse vermeidet. Unter Benutzung gonio-

metrischer Funetionen gelingt dies ja.

Herr 0. Hölder*) war einer der Ersten, die diese Frage erledigt

und den Beweis dafür gegeben haben, dass ein solcher Weg nicht vor-

handen ıst.

Wir wollen zunächst seinen Beweis reproduciren.

In 8 587 ist Folgendes bewiesen worden: Es seien z, und y, die

Wurzeln von zwei algebraischen Gleichungen

f(@z)=0 bezw. g(y)=0,

(2)

deren Grade % und m sind; es werde ferner nach Adjunetion von 2, zu

g=0 die Grösse yı zur Wurzel einer irreductiblen Gleichung des

Grades y”, und nach Adjunetion von y, zu f= 0 die Grösse z zur

Wurzel einer irreductiblen Gleichung des Grades s.

Dann gilt die

Proportion

(3

nımMm==S!Y

@<ZW3 8<D):

Hölder setzt nun weiter voraus, dass die Wurzeln der Gleichung

f= 0 sämmtlich durch eine unter ihnen, etwa 2,, rational ausdrückbar

seien; dann haben wir mit z, zugleich sämmtliche anderen Wurzeln

Zo, %3, @ von f= 0 der Gleichung .g = 0 adjungirt.

Es gilt dem-

nach der Satz aus $ 579, dass g(y) nach dieser Adjungirung in irre-

ductible Faetoren gleichen Grades zerfällt wird. Folglich ist jetzt 7

ein Theiler von m.

Setzen wir ferner voraus, dass » eine Primzahl iıst, so muss r= 1

werden; alle Factoren sind linear; jede der Wurzeln y, von g(y)=0

ist rational im Bereiche (X, z,), wenn X den ursprünglichen Ratıo-

nalıtätsbereich bedeutet.

Sind demnach alle Elemente, die in X ein-

gehen, reell, und ist z, selbst reell, dann sind auch alle Wurzeln

*) Math. Ann. 38 (1891), p. 307.

Der Casus irreducibilis. — Lösbarkeit im reellen Rationalitätsbereiche.

455

von g(y)=0 reell. Aus (3) folgt weiter auch, dass % ein Vielfaches

von m ist.

$ 622. Nach diesen Vorbereitungen gehen wir von der cubischen

Gleichung

(1)

f(@)= 2 + 3602—26=0

aus und nehmen an, der vorgegebene Rationalitätsbereich N sei reell.

Es sei ferner D = — 108 (@ + c@) positiv, so dass die drei Wurzeln

Aı 99r 93

von f=0 reell werden. Adjungiren wir nun VD, so wird

/D

A

E ME RI

VD

Z

%9 — 83 =

(1 — %) (& — %)

223

+ 267

%a = —p

und es lassen sich deshalb alle Wurzeln z durch z, ausdrücken.

Wir

adjungiren nun, falls dies nöthig sein sollte, weiıtere Radicalgrössen,

bis Alles zur Zerfällung von f vorbereitet ist; diese Radicalgrössen

setzen wir gleichfalls als rveell voraus.

Die Zerfällung selbst möge

endlich durch Adjungtion einer reellen Wurzel der reinen Gleichung

g(y)

ym — 0 = O

vor sich gehen, wobei m eine Primzahl ist, und @ dem reellen Ratio-

nalitätsbereiche angehört. g(y) ist irreducetibel ($ 594); folglich stehen

wir jetzt unter dem oben abgeleiteten allgemeinen Satze, und alle

Wurzeln unseres g=0 sind reell.

Das geht nur, wenn m =2 ist.

Da aber gleichzeitig % ein Vielfaches von 2 sein müsste, während es

hier gleich 3 war, so folgt die Unmöglichkeit der Auflösung des Casus

irreducıbilis ım reellen Rationalıtätsbereiche.

s 623.

Hölder verwendet die allgemeinen Resultate aus $ 621

auch zur Ableitung weitergehender Sätze.

Wir nehmen

an,

es soll

f(2)=0 eine irreductible Gleichung mit reellen Coefficienten sein,

deren Wurzeln 2,, Z ,

sämmtlich als reell angenommen werden.

Die Wurzel z, sei durch reelle Radicale darstellbar.

Um auch hier eine Gleichung zu gewinnen, deren Wurzeln sämmt-

lich durch eine unter ihnen ausdrückbar sind, gehen wir von f(z) zur

Galois’schen Resolventengleichung F(£)= 0 über, wobei & = u12

ist

— 989 Ar

Auch F=0 ist irreductibel, hat reelle Coeffi-

cienten und Wurzeln, und alle Wurzeln von F= 0 sind durch eine

beliebige unter ihnen rational ausdrückbar.

‚Wenn nun durch Adjunetion einer reellen Wurzel y, einer Gleichung

g (y) = ym

d=—=0

456

Fünfundsechzigste Vorlesung $ 623—625.

des Primzahlgrades m” zum ersten Male f(z) in Factoren zerspalten wird,

dann zerfällt dadurch auch F(E) == 0 in Factoren. Auf F(&) ==0 und

g(y)= 0 lässt sich dann der Satz von $ 621 anwenden, und man er-

S

kennt, dass m = 2 sein muss; ausserdem wird 7= 1, und s =

2

Die Galois’sche Gruppe von f reducirt sich also auf eine andere halb

so hoher Ordnung, und zwar auf einen ihrer autojugen Theiler, da

beide Wurzeln +Va von g(y) = 0 gleichzeitig adjungirt worden sind.

In dem neuen Bereiche (X, V’a) gelten nochmals dieselben Voraus-

setzungen, und wir können dieselben Schlüsse zıehen. Dies kann so

fortgesetzt werden, bis wir zu z, selbst gelangt sind. Diese Wurzel

ist auf reellem Wege also nur zu erreichen, wenn sie durch eine Kette

von Radicalgliedern des Grades 2 dargestellt werden kann. Nach $ 620

ist also f(z) selbst von einem Grade 2*.

Nur

dann kann eine

Wurzel einer Gleichung f(g)=0 im Gebiete der reellen

Grössen durch Radicale dargestellt werden, wenn die Glei-

chung als Grad eine Potenz von 2 hat und durch Quadrat-

wurzeln lösbar ıst.

$ 624. Auch der Kneser’sche Beweis*) geht von dem Satze (3)

in 8 621 aus. Dann aber benutzt er den Umstand, dass bei %” = 3 jede

Zerfällung jedenfalls einen linearen Factor (z — 2,) und daher s = 1,

m=3Br liefert. Ist nun m, wie angenommen wird, eine Primzahl > 1,

so folgt m=3,r=1,d.h. y, ist in (R, 2,) rational.

Wir nehmen nun an, (1) sei im Gebiete der reellen Grössen durch

Adjunetionen bis auf (’) so weit vorbereitet, dass die weitere Ad-

junetion einer reellen Wurzel von

u = AD

f(z) zum Zerfallen bringt. Dann gelten die eben hergeleiteten Sä£ze‚

und es wird m = 3 und

yı= @ (@,; M,

wo &@ eine rationale Funetion in (%”) bedeutet. Aus dieser Gleichung

folgt durch Substitution in die vorhergehende Gleichung

p(2,; R'‘)= A.

Da aber z, die Wurzel der irreductiblen Gleichung fF(z) = 0 ist, so

müssen auch die beiden Relationen

a )= A, Pa A

bestehen Die drei Grössen g (2,; R), p(z; R'), p(2; R') sind von

‘5’)VM;LM;L. Ann. 41 (1898), p. 344.

Der Casus irreducibilis. — Lösbarkeit im reellen Rationalitätsbereiche.

457

einander verschieden.

Nach 8 581 sind diese drei Werthe nämlich

sämmtlich einander gleich oder sämmtlich von einander verschieden,

und im ersten Falle wäre schon

y= 2 R)= Z lola; R') + o(a; M) + o(e; ']

ohne Adjunetion von ,, als symmetrische Funetion der Wurzeln von

f= 0, rational bekannt.

Die Gleichung (1) möge jetzt drei reelle Wurzeln besitzen. Ferner

seı NM reell.

Dann sind auch

(4)

e N), Dla; R), @; N)

reell. Es hätte also die Gleichung uw?= A die drei reellen Grössen (4)

zu Wurzeln.

Da dies nicht möglich ist, so war die Annahme, (1)

könne im reellen Gebiete bis zur Zerfällung geführt werden, nicht

statthaft.

Damit ist wieder der behauptete Satz bewiesen.

$ 625. KEine andere Beweisführung stützt sich auf die Form der

Wurzeln.

Hier ıst zunächst der Beweis von V. Mollame anzuführen,

der erste, der von dem behandelten Theoreme gegeben worden ist *).

Er zeigt, dass die Cardanı’sche Wurzelform nicht zu vermeiden ıst;

und aus dieser Form folgt ja, wie wir früher gesehen haben ($ 285,

Bd. I) die Richtigkeit des Satzes.

KEinfacher baut sich auf denselben Principien ein Beweis von

L. Gegenbauer auf**), Dieser geht davon aus, dass die Darstellung

der Wurzeln einer auflösbaren Gleichung durch Radicale so beschaffen

ist, dass der Exponent jedes Endradicals als Theiler des Grades der

Gleichung auftreten muss.

Demnach hat die Wurzel z, jeder cubischen Gleichung die Form

81 = M + M0 A m0*,

wobei v die Wurzel einer im Rationalitätsbereiche (%X”’) irreductiblen

reinen Gleichung ist, und m,, m, nicht gleichzeitig verschwinden

können.

Wie früher ($ 611) findet man für die anderen Wurzeln z

Z = M + m00 + m, w*w?,

23 = M + mM, 00 + m3 00

Aus diesen drei Gleichungen folgt durch Combination

E

*) Rend. d. R. Acc. d. Napoli (1890), 7. giugno.

Daselbst finden sich auch

einige historische Bemerkungen.

**) Monatshefte f. Math. 4 (1893), p. 155.

458

Fünfundsechzigste Vorlesung 8 625—626.

3M

= A# % F y

AL

3M1U

8ı { @* % - 0% — (& — %) 4 w(&s

Z2)7

3mav* = , + 02 + w?2,= (

%) + w(% —%)-

Wenn nun , M,, M, v und die drei Wurzeln z dem reellen

Gebiete angehörten, dann müsste in den beiden letzten Gleichungen

der Coefficient von @ gleich Null sein, d. h. %= .

Das wider-

spräche aber der Voraussetzung der Irreductibilität unserer cubischen

Gleichung.

Mit noch geringeren Voraussetzungen kommt Gegenbauer bei

dem zweiten an gleicher Stelle gegebenen Beweise aus, den wir hier

noch vereinfacht reproduciren.

Ist » ein bei der Darstellung einer Wurzel der irreductiblen

Gleichung f(z)=0 auftretender Exponent eines Endradicals, und

zwar, wie gewöhnlich, eine Primzahl, so werden n Wurzeln deı

Gleichung durch Ausdrücke von der Form

Ba — Wlg Ar 0 0O A NO A E A

(7"1—0; 1‚’ 2; )

gegeben, wobei m,, M,, M3,

nıcht gleichzeitig verschwinden können.

Falls die Auflösung für z, im Gebiete der reellen Grössen vor sich

geht, sind mo, M, Ma,

und w reelle Grössen. Wenn weiter f(z)=0

nur reelle Wurzeln hat, dann wird auch jede der Differenzen

2k-41 — An kEı = 2i[ml sin 2—}” : v + m, sin n +- ;l

Das

reell sein, und falls # von 2 verschieden ist, 2%+1 = Zn_x+1-

widerspricht der Irreductibilitätsvoraussetzung. Ist in einem reellen

Rationalitätsbereiche eine irreductible Gleichung f(z)= 0

mit lauter reellen Wurzeln durch reelle Radicale lösbar,

so sind alle in dem Ausdrucke einer Wurzel auftretenden

Wurzelexponenten der Endradicale gleich 2.

Eine derartige

Gleichung ungeraden Grades existirt also nicht.

$ 626.

In einer späteren Notiz leitet L. Gegenbauer*) all-

gemeinere Sätze mit Hülfe desjenigen einfachen Princips ab, welches

beim Kneser’schen Beweise die entscheidende Rolle spielt ($ 624).

Es sei f(z)=0 eine Gleichung in dem reellen Rationalıtäts-

bereiche (X); f(z)= 0 soll keine in (X) rationale Wurzel besitzen.

Weiter sei g(y)= 0 eine andere, irreductible Gleichung desselben

Bereiches von einem Primzahlgrade mit den Wurzeln y,, Yo, * Ym-

VE N

*) Monatshefte f. Math. 6 (1895), p. 12.

Der Casus irreducibilis. —. Lösbarkeit im reellen Rationalitätsbereiche.

459

Endlich soll es möglich sein, eine Wurzel z, rational in (%) durch

eine Wurzel y, darzustellen in der Form

z = @ (yı; NM).

Dann folgt, wie immer, dass jeder Functionswerth von @

2 = @(yı; R)

Ü= 1 20 0)

eine Wurzel von f(z)= 0 ist.

Gesetzt, es wären zwei dieser Func-

tionen &@ einander gleich, etwa

q (ye; R) = p (yp; R),

dann ergiebt sich nach vielfach angewendeter Schlussweise, dass alle

Werthe w (yı; X) einander gleich werden, weil m” eine Primzahl be-

deutet.

Dadurch wird aber

A= 900 W = Z o R) + ln; M + + gm; R]

als symmetrische Funetion der y,, Yo,::: Ym Schon ohne Adjungirung

=

von y, rational in (X), und daher müsste gegen die Annahme f(z)

eine rationale Wurzel haben.

Sonach sind alle n Werthe w@(y,; R)

von einander verschieden und liefern deshalb auch m verschiedene

Wurzeln von f(2z) =0. —

Bis ‚hierher haben wir die Schlüsse schon im Kneser’schen Be-

weise verfolgt. Gegenbauer schliesst nun weiter: Hat g(y)= 0 also

x reelle Wurzeln, so sind alle entsprechenden x Werthe @(y; ) auch

reelle Wurzeln von f=0; d. h. die Gleichung f(z) = 0 besitzt

mindestens so viele reelle Wurzeln wie g(y)=0; oder mit

anderen W orten:

In einem reellen Rationalitätsbereiche ist

die rationale Darstellung einer an sich nicht rationalen

Wurzel z, durch eine Wurzel y, nur dann möglich, wenn

f(z) =0 mindestens so viele reelle Wurzeln besitzt, wie die

irreductible Gleichung g(y)=0 des Primzahlgrades m.

KEin ähnlicher Satz gilt von den complexen Wurzeln. Ist nämlich

Y complex und y, die zu y, conjugirte Wurzel, so kann nicht

u = @(ya«; N) reell werden.

Denn sonst wäre

P (Ya; N) = p(ya; R),

und so kämen wir wieder auf den oben als unstatthaft erkannten Fall.

Es entsprechen demnach allen complexen Wurzeln von g(y)= 0 auch

complexe, von einander verschiedene Wurzeln von /@)=% dın die

Gleichung f(2z)=0 besitzt mindestens so viele complexe

Wurzeln wie g(y) =0. Verbindet man diesen Satz mit dem ersten,

soeben abgeleiteten, dann ergiebt sich das folgende Theorem: Ist f(z)=0

460 Fünfundsechzigste Vorlesung 8 626.

Sechsundsechzigste Vorlesung $ 627.

eine Gleichung im reellen Gebiete (X), von der eine Wurzel z,

rational darstellbar ist durch die Wurzel y, der in demselben

Gebiete irreductiblen Gleichung g(y)=0 eines Primzahl-

grades, dann ist weder die Anzahl der reellen Wurzeln von

g y)=0 noch diejenige der complexen Wurzeln grösser als

die entsprechende Anzahl für f(z)= 0.

Nehmen wir nun f{(z)

=—=

O als irreductibel an, dann ergiebt sich

weiter, weil ja f(z) durch die in (X) rationale Funetion

C

U(s—qa(m; %))

theilbar und also ihr gleich ist, dass erstens n = m sein wird,

zweitens dass jede Wurzel z, von f(2) =0 durch eine Wurzel yı von

g(y)=0 rational darstellbar ist, und drittens dass 2, und y‚ gleich-

zeitig reell und auch gleichzeitig complex sind.

Wenn also ins-

besondere m ungerade, und

g(y) Za y7„ SA A_

ist, dann muss f(2) = 0 vom Grade m sein und darf nur eine einzige

reelle Wurzel besitzen.

Es ist nur dann möglich, eine reelle

Wurzel z, einer irreducetiblen Gleichung eines ungeraden

Primzahlgrades im reellen

Gebiete zu bestimmen,

wenn

diese Wurzel die einzige reelle der Gleichung ist.

Sechsundsechzigste Vorlesung.

Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung.

Tripelgleichungen.

$ 627%. Auf interessante auflösbare Gleichungen führt die Frage

nach den Wendepunkten der Curven dritter Ordnung in der Ehene.

Wir wollen hier alle nothwendigen Ableitungen zusammenstellen, auch

die auf geometrische Verhältnisse sich beziehenden.

Dabei legen wir Dreieckscoordinaten , y, 2 zu Grunde. Bezeichnen

wir zwei Punkte P, und P, durch ihre Coordinaten (%,, yı, %) und

(%, Ya, %), SO Wwird die Gerade L,.„, welche diese beiden verbindet,

durch den Inbegriff aller Punkte

1D

(A%, + 4%, Ayı F Ya , A% + U%)

gegeben, wenn das Verhältnis 2: w alle Werthe von — ©0 bis + «

461

Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung

Tripelgleichungen

Jeder Werth von A:w bestimmt eiınen

stetig und reell durchläuft.

Punkt auf L,2; insbesondere werden die Schnittpunkte von L, mit

einer Curve, die der Gleichung

/(.%'‚J„Z')——O

@2)

genügt, durch die Wurzeln von

(22

%, Ayı + U, AZ, + u8)= 0

oder

entwickelt nach Potenzen von 2 und w, wenn % die Dimension

der homogenen Funetion f bedeutet,

0=Wf (& Yı, ) A* [“ (’W>

na al

£

)

Ä‚'L—9 2

2

äl

O°

79

0°f

(3)

R2

B

2

‘7

(6

) AF 2x9./2(

0xX0y

D

0&

)

_+_

bestimmt

In diesem letzten Ausdrucke verstehen wir die Symbole

öf

0°f

0°

(

0

)

(

0X

a

0x0y

)

so, dass nach der Ausführung der angegebenen Differentiationen die

Variablen x, y, 2 durch %,, Yı, 2 zu ersetzen sind

U

w

Wir bezeichnen den in (3) eingehenden Coefficienten von ——

!

mit

(&a fa

(&

=0, 1

Z

?

2

?

n)

Dann ist die charakteristische Bedingung dafür

dass P, auf der

Curve f=0 liegt

durch 4© (%; fi) = f (%1, Yır %4ı) = 0 gegeben

ferner

die Bedingung dafür

dass L, die Curve f= 0 in zwei zu-

ammenfallenden Punkten schneidet, durch

.

x fA)= 0

(x27 f1) =0

Hier tritt nun ein Unterschied ein zwischen den beiden Fällen

dass

entweder die drei Grössen

öf

öf

öf

(

Ö

c

Öy

A

02

ı

sämmtlich verschwinden oder nicht. Im zweiten Falle liefert A (x,; f;)

=00 als lineare, nicht identisch erfüllte Gleichung für %,, ,, % auf

gefasst, die Tangente an P,; dagegen ist im ersten Falle AW(x,; f)=0

für jedes (X%,, Y2, %) befriedigt, d. h. jede L.„, die durch (x%,, %,, 2,)

geht, schneidet £f=0 in P, zweifach. Es ist daher P, ein Doppel-

punkt für f= 0

462

Sechsundsechzigste Vorlesung $ 627—628.

Die charakteristische Bedingung dafür, dass L,„ in P, die Curve

f=0 dreifach schneidet, wird dadurch gegeben, dass (3) den Werth

u =0 als dreifache Wurzel hat, d. h. durch die Erfüllung von

A0 &; f) = 0,

Z (x2; f1) S 07

A0 x& ; f)=0.

Ist nun P, ein Doppelpunkt von f, so sind die beiden ersten

Bedingungen bereits für jedes %,, %,, % erfüllt, und die Bedingung

für das dreifache Schneiden reducirt sich darauf, dass %,, U, % die

Funetion 4° (x,; fi) zu Null macht.

Ist P, kein Doppelpunkt, dann müssen die durch 4W (z%,; fi)= 0

bestimmten Punkte der Tangente L, sämmtlich A® (z,; fi) = 0 be-

friedigen. Nach $ 346, IX ist dies nur möglich, wenn 4W ein Theiler

von 4% wird.

Wir wollen diese Verhältnisse eingehender untersuchen.

$ 628. Wir setzen dazu der Abkürzung halber

öf

f

Ö

—

?

(

Ö%

D

(

Öy

)

1

(

02

-

C

Ö

Öf

(

Öx?

)= @,

(

Öy?

)=%,

(

Ü

-

Ö

OB

Öf

(

0y02

D

ÖZ20%

D

0x0y

—

dann liefert uns der Euler’sche Satz über homogene Functionen die

Beziehungen

Y A SYı A 18 — M,

%, { I9ı F e2,= (n — U)r,

@

9.% + byı + da — (n—1)s,

ex, + dyı + c2, = (n—1)t.

Setzen wir weiter die sogenannte Hesse’sche Determinante an,

@ G 0}

Ö

O°

O2

(4°)

—

@ 0° dl

Z

0

N

DE

s

N

Öy

1<

(l(ﬁ%

sechs

so folgt durch Zeilen- und Spaltencombination eine Reihe von

Gleichungen

g

V

JEr

Ö

S

]

n — 1)?

S

f1n£1

6)

7

e

H. Yı8

Fr ‘

S

a

(n — 1)

N

ff

Y

BLa

ü

Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung

Tripelgleichungen

463

Hieraus entnimmt man, dass, wenn, wie bei Doppelpunkten, r = 0

s=0, t=0; fi=0 ist, dann nach $ 341 der Ausdruck

4® — ax? + 2g9xy + 2ex2 + by* + 2dy2 + c2

in zwei lineare Funetionen zerfällt

Sind aber nicht alle Coefficienten

oleich Null

so g1ebt es

diesen linearen Funetionen entsprechend

deren jede in P, die Curve f= 0

zwei durch P, gehende. Gerade

dreifach schneidet. Es sind dies die Tangenten der beiden im Doppel-

punkte sich schneidenden Curvenzweige.

Wir wollen weiter den Fall betrachten, dass fl— 0, H= 0 sind,

dass aber nicht alle drei Grössen 7, 5s, * zugleich venschw1nden

Dann

folgt aus (5) zunächst

as— II

br—gs

ab — g =

(

T

L

s

}

bt— ds

cs — dt

(6)

be

d —

(

S

J

b

}

(

et

2

Z

at— er

O0 —E

<

b

)

=—=

X

Y

):

dr* — ers— grt + ast= 0

(7)

es? — gst — dsr + brt= 0

— dir — ets + crs= 0

Wir erhalten, falls @a +0 und ab—9g?=+0 angenommen wird

für A0 (x; fi) = 4®% die Darstellung

as — q

(ad — ge)r?

;<ax+w+ez)

z

7

N

(as —

S

>2

s

- [7x+SJ+ÜZJ [

U& + - Y

as — Ües — 2ger + adı

l‚

As — g

ab In O

zerfällt, und

4

=7% + sy + tz

ist ein Factor von A

Ist a +0 und ab — g = 0, so folgt zunächst aus der Identität

aH = (ac— e)*(ab — g?) — (ad — ge)?,

dass auch ad — ge= 0 ist, und ferner ersieht man aus

r*(ab—g”) = — (as—gr)*

g

dass s =

- wird. Macht man von beiden Resultaten Gebrauch

findet man hier als Darstellung von 4© die Form

ab —

er

40 — [an + gy + 02 +

Max+yj+e

|

——[W+sy+tZ] [cox+Jj+

— at }

woraus wiederum folgt, dass A ein Fact01 von 4° ist

464

Sechsundsechzigste Vorlesung $ 628—629.

Gleiches ergiebt sich, wenn b oder c von Null verschieden sind. —

Wären endlich a, b, c== 0, so dürften nicht zugleich d, e, g= 0

sein, weil sonst 4© identisch verschwindet; dann zeigt (7) zunächst

r(dr—es—gt)=0,

s(dr — es—gt)=0,

t(dr —— es—gt) = 0:

Wären nun zwei der Grössen v, s, t gleich Null, etwa die beiden ersten

die dritte aber nicht, so würde daraus g == 0 folgen, und

AD — t2)

A4% = 22(ex + dy)

würde wiederum auf das obige Resultat führen.

Wäre dagegen nur eine der Grössen v, s, * gleich Null, etwa v,

so folgte e= 0, g= 0, und das Resultat

4a9 =sy-+ ,

A Z 20 Y

schiene in diesem Falle ein anderes zu sein.

Hierbei würde sich aber aus (4) ergeben müssen:

Syı + 12 = O;

d: 2 =(n—1)s,

d:yı= (n—1)t;

(n—1) [syı +2, ] = 2d - y12;

es wäre also y, oder z, gleich Null und daher s oder % gleichfalls,

was ausgeschlossen war.

Dieser Fall kann demnach nicht eintreten.

Somit erkennen wir:

Aus fi=0, H=0 folgt, dass entweder r=0, s=0, t=0

ist, oder dass 4W ein Factor von 4® wird.

Tritt das Letzte ein, dann ist (%,, Yı, %,) ein Wendepunkt,

und

Ör

O

öf

H

02

n

A0 (&o5 fi) = % (S;’„”—)]+ y (

Öy

die Wendetangente. Denn wenn man %, Yo, % auf 40 —0 wählt,

dann wird auch 4© zu Null gemacht werden; man hat demgemäss

den Schnitt von L, mit f= 0 dreifach zu zählen.

Die Dimension von H in %, ı, %, beträgt 3(n—2), so

dass die Anzahl der Wurzeln von

fF(zx, y, 2) =0,

H(%, y, Z)=O

3an(n—2) wird.

Dies ist also auch die Anzahl der Wende-

punkte, falls die Curve keine Doppelpunkte besitzt. —

Eine Curve dritter Ordnung ohne Doppelpunkte besitzt

neun Wendepunkte.

Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung. Tripelgleichungen

465

$ 629

Wir wollen die Schnittpunkte von f= 0, H=0 noch

genauer untersuchen

Aus (4) folgt, wenn wir die Subdeterminante

von H nach der «® Zeile und der ß Spalte mit Hag bezeichnen

so dass Hog = Hga ist, für jeden Punkt (x, y, z) der Curve f

oH=(n—1) (Bır + SA + Hp),

yH= (n—1) (r Hoy + $Hop + 0Ho3),

2H = (n —1) (r Hr + 8-Hoz + 4Hos)

Durch Differentiation der ersten dieser Relationen nach

Y

und

nach z findet man

0H„

ÖHız

AL

+

Öy

)

+ @— OE E + dHy);

7)

hier verschwindet die letzte Klammer wegen (4)

Also erhält man

11+

0H„

Ö-Has

_m_n(

C

)

(8)

x0 _U@“_l)( 23H1_1+ 0H„+taH„)

und ebenso aus den weiteren Gleichungen

ÖE

ÖE

H28

Üa

OX

n — D(n

+2H

2)_+_t

)

8H

22

Y

= (n —1)

( 6H„

+t

7),

(8°)

OB

3H_„‚

Z

= (n—1)

( 3H„

+t

)‚

Z

0y

O („ 1)( 8H31

3%H4

Für die folgende Differentiation benutzen wir die aus

0=9g7H, + 6H, + dHyz; H=aH, + 9H, + cH,z

fliessenden Beziehungen

09g

LF

0b

H +

Öd

3H„

0y

Öy

Öy

Hz

Umq%

8H„)

2

da

11+

09H

(

13

ÖH,,

am

0y

Öy

30

—

Oy

Y

+

ÖH„>

+öy

Differentiiren wir nunmehr die erste der Gleichungen (8) nach x

so. entsteht

Netto, Algebra. II

30

466

Sechsundsechzigste Vorlesung 8 629—630

2?H

0° Hır

= (#

1)(

3x3y + öy

3 ßy

+ ßacö A äx3)

GE

H+ AB + Z

y As])

und also

0

A

3x3y_—(%

1)

%;;+ ran ;ma)

(9)

— (n—1)

.%+faw

13) + (n—2)H.

Ebenso erhalten wir

Ö°H

@® IA2

0° Hıs

0y02

A

07

Öy?

s

+t

A

(9*)

H12+

CC

%)

und die entsprechenden weiteren Glemhungen

Jetzt setzen wir ” = 0, s= 0, t==0 voraus und betrachten den

Doppelpunkt (x,, yı, 2z,). Für diesen ergiebt sich dann aus (8) und (8°),

0H

OÖH 0H

d

Null sind; folglich ist (x,, yı, %) auch ein Doppel-

Öx? 0y? 0g

punkt für H=0. Ferner ergiebt sich aus (4)

X y1 21_H0:1 th‘) Ha3

@128

und deswegen, mit Berücksichtigung der Gleichheit von H.5 und Hox,

JEl

N -

?

B = A

3

H, = N . Z

7)

(10)

Ho = N - ı4,

1131 S N lel‚

Ho = N - &ı

Geht man mit diesen Resultaten in die Gleichung (9), dann ergiebt sich

O2

al

0x0y/)ı

}

— @DF aa + C (3),4)

0g

Ö,

).act ( (63)4)

Cn xl<(

O

— (n—1)n— N z

ÖxX0y

)

(n—1)(n—2)N - xg

und so entsteht endlich

02 H

Ö

(

n

— (n—1) m— 2)N - (

xOY,

)—_(n—1)(„—2)1\7 g

ÖX0Y,

Man erhält auf demselben Wege in gleicher Weise auch die ent

sprechenden Gleichungen und aus ihnen

0° H

An

0Ö°H

A

O

Öx?

0802

(

Ö

J

Öx0y

X

008

)

aD A

M

0x0y,

J4

)

Nun sind die Glieder der rechten Seite die Coefficienten in A° (x,; Ea

und © bedeutet, wie wir sahen, das Produet der linearen Functionen,

Tripelgleichungen

467

Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung

Es

die gleich Null gesetzt die Tangenten im Doppelpunkte liefern

zeigt daher (11), dass jeder Doppelpunkt von f= 0 zugleich

ein Doppelpunkt von H=0 ist

und dass in iıhlm die Tan

genten von f= 0 mit denen von H=0 zusammenfallen

Legt man den Doppelpunkt in den Nullpunkt x =0, y= 0

wird mithin

= ( + bay + @Y ET? A(Aa +

)Z" 3 +

— (a + hay + y es + (A,a +

)Z‘571—9 +

eliminirt man nun etwa y aus den beiden Gleichungen

f=0 und H—ef= 0

so erkennt man ($ 403), dass jeder Doppelpunkt als sechs-

facher Punkt unter den Schnittpunkten von f=0 und H=0

zu zählen ist”®)

Eine Curve dritter Ordnung hat somit entweder

eınen

oder

sie hat neun

Doppelpunkt und drei

Wendepunkte

Wendepunkte

$ 630. Wir gehen jetzt genauer auf diejenigen Curven dritter

Ordnung ein, welche keinen Doppelpunkt und also neun Wendepunkte

besitzen

Legen wir das Coordinatendreieck so, dass der Punkt xz=0, y=0

einer der Wendepunkte und y== 0 seine Wendetangente ist, so muss

f=0 für y==0 die dreifache Wurzel x = 0 liefern

Folglich nimmt

die Gleichung f== 0 die Gestalt an

(12) f= «x + y(3ßx* + 3yxy + 60a2 + ey? +3Ey2+3ne?)= 0

Legt man nun das bisher noch nicht weiter bestimmte Coordinaten

dreieck so

dass der Eckpunkt %x = 0, z= 0 gleichfalls ein Wende-

punkt und z = 0 seine Wendetangente wird, dann muss z= 0 aus

der Gleichung f= 0 wieder die dreifache Wu1zel % = 0 heraustreten

lassen.

Demnach besitzt f die Form

(13)

f= an + 3y2(20x + Ey + n2)

Aus dieser entnehmen wir sofort, dass auf xz= 0 noch ein dritter

Wendepunkt liegt, in welchem die Wendetangente durch

Ey+nz=0

geliefert wird

Wir wollen dieses Resultat durch unsere Betrachtungen über die

KT DE

S

) Hesse

vgl. Jacobi’s Werke 3, p. 545 ff.

30

468

Sechsundsechzigste Vorlesung 8& 630.

Schnitte von f=0 und H=0 bestätigen.

Dabei ' gehen wir von

(12) aus.

Wenn dann

f(07 Y, z)=0‚

H(O> Y, Z)=O

ausser y= 0 noch eine zweite Wurzel y = y, haben, dann müssen

Nun ist

sie noch eine dritte Wurzel y = % besitzen.

ßy

7y + 02

Öy

gla—H(0‚ I — OR Sa

Ey 4 n2 15

|

. öy

U

NY

eine einfache Rechnung liefert

5 H+ (ß1— 0 = (4ßen + 6708 —38 — 460? — 3ny)y;

ist. also

H(O7 Yı 51) r O7 f(0> Yır Zl) =0

y ,

dann muss die rechte Seite der vorhergehenden Gleichung identisch

yerschwinden, und daher stimmen dann, wie behauptet war, H(0, y, 2)

und f(0, y, z) bis auf einen constanten Factor mit einander überein,

Hierdurch ist ein rein algebraischer Beweis des Satzes geliefert, dass

die neun Wendepunkte der Curven dritter Ordnung zu je

drei auf je einer Geraden liegen, derart, dass viıer solcher

Geraden durch jeden der neun Wendepunkte gehen.

Wir wollen uns nun mit den Realitätsverhältnissen dieser neun

Wendepunkte für reelle Curven beschäftigen.

Ist

(x, y, 2) = (&, + &, m + L, S 4 &0)

eine Wurzel des Systems f = 0, H=0 mit reellen Coefficienten, dann

ist (x,y,2)= (& —E, M —Nl, E —& 0) eine Wurzel desselben

Systems; die complexen Wurzeln vertheilen sich demnach ın Paare

conjugırter Wurzeln.

Unter den neun Wendepunkten giebt es deshalb

mindestens einen reellen.

Es sei dies der Punkt x =0,y= 0 und

y=0 sei in ihm Wendetangente.

Dann nimmt die Gleichung f= 0

Hierbei ist die Richtung der

die durch (12) gegebene Gestalt an.

Axe x = 0 noch willkürlich. Wir legen sie so, dass sie durch einen

zweiten und also auch durch einen dritten reellen oder imaginären

Wendepunkt geht.

Ist dabei für diesen die Wendetangente durch

(14)

Ax + By+Cz2=0

mit reellen oder complexen Coefficienten gegeben, dann muss die Ein-

tragung von (14) in (12) die dreifache Wurzel x = 0 liefern. Folglich

ist die Klammergrösse rechts in (12) durch das Polynom von (14)

theilbar.

Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung. Tripelgleichungen

469

Somit erkennt man, dass, wenn auf %x =0 drei Wendepunkte

mit den Wendetangenten

y=0

Ax + By+ Oz= 0

Ax+By+Cz2=0

liegen, dann f die Gestalt annımmt

(15)

f= ag 4 y(42+By + 0e) (4,2 +Bıy + O.2)

Nun wollen wir annehmen, dass der zweite und der dritte dieser

Wendepunkte imaginär sind. Dann zeigt die letzte Gleichung, dass

die beiden letzten Faetoren conjugirt complex werden, also etwa, nach

Division durch 4 und A,,

x + (m +ni)y + (D + 902

@ + (m—ni)y + (p—dq02

ihr Produet ergiebt dann

(& + my +n2)* + (ny + a8)*

und wenn man statt my +- pz eine neue Z-Coordinate einführt

](

= aa + y{(ny +gq2)? + (@x + q,2)°].

Dies ist das Polynom der Curvengleichun

falls auf x =0 neben

einem reellen zwei imaginäre Wendepunkte liegen

Hat f= 0 mehr als einen reellen Wendepunkt, so giebt es deren

mindestens drei

Dass dies eintritt

ist auf rein algebraischem Wege

ohne Verwendung der Invariantentheorie nur durch umständliche Rech-

nungen Zzu zeıgen

Wir übergehen diese und weisen hier auf die geometrischen Ueber-

legungen hin, wie sie sich z. B. in den Vorlesungen über Geometrie

von Clebsch (herausgegeben von Lindemann) I, p. 499 befinden.

Hiernach haben die reellen Curven dritter Ordnung ohne Doppel—

punkt mindestens drei reelle Wendepunkte.

Legen wir diese drei nun auf die %z ==0 Axe, so können wir die

zu Grunde legen, oder indem wir neue,

den alten

Gestalt (13) für f

proportionale Comd1mten einführen

f a

yal@-—y + 2)

Hierfür wird

H =(2—12ax)y* + (& + (1 — 12«)x2 — 120x2) y

— (3ax? + 12ax?z + 12a«x2?),

SI

(240x — 22) : f + zH = 8ax(3ax? — 2u

32°)

Der letzte Ausdruck zeigt, dass die Eliminante von f und H nur die

Factoren rechts enthalten kann

von denen der zweite irreductibel ist

Da der erste bereits als dreifache Wurzel bekannt ist, so folgt

Ry a = W(3ax — u — 3an — 329

470

Sechsundsechzigste Vorlesung &8 630—631

Der

zweite Factor

verschwindet für

eine und nur eine reelle

Wurzel %x = x,, da ja die Gleichung dritten Grades

B — B

VE

vorliegt, für welche die Diseriminante

(1+27a)?26

D =

36

negativ ist ($ 216, Bd. I)

Aber für diese reelle Wurzel x, liefert

f (@,, Yı 8)= *2 + (& + 2)y2 + aa} — 0

nur ‚complexe Wurzeln y

Denn ihre Discriminante können wir

— 4a%

+ (a +

(zx* + 832 %, + 32%) + (a + e

Z—

'*(x1 482

setzen; sıe ıst also negatıv

Daraus entnehmen wir auf algebraischem Wege, dass von den

neun Wendepunkten einer Curve dritter Ordnung stets drei

und nur drei reell sind

Jede Gerade, auf welcher drei der neun Wendepunkte liegen, heisst

eine Wendepunktsgerade

Auf jeder reellen Wendepunktsgeraden

liegen ein oder drei reelle Wendepunkte. Die beiden conjugirt complexen

Wendepunkte

=

Q, £)

(%, y, £)

(m+ni, p+qi, 2);

@ D = W —D

liegen auf der reellen Wendepunktsgeraden

q% — nyYy + (np—qm)2z= 0

diese ‚geht also durch einen der drei reellen Wendepunkte hindurch

Für jeden reellen Wendepunkt werden demnach von den vier in ihm

sich schneidenden Wendepunktsgeraden mindestens zwei reell sein

Zu

Wir wollen nachweisen

dass die beiden übrigen imaginär sind

dem Zwecke legen wir das Coordinatendreieck so, wie es durch

(13)

f = an + 3y28(20%x - Ey + ng)

festgesetzt war

Ist nun noch eine zweite durch x = 0, y==0 gehende

Gerade x — 0y = 0 eine Wendepunktsgerade, so muss auch

—

md

= a (x — 09) + g.(%, y, £) go(&%, Y, 8) I3 (%, Y, 8)

sein W0b81 die gx= 0 lineare homogene Gleichungen sind, welche

die Wendepunktstangenten liefern.

D163en1g6 welche zu z= 0, y=0

gehört, wird aber zu y = O; also können wir schreiben

f*;a1(%—w)?’+J 9 (%, y, 2) 9 @, Y, 2i

Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung. Tripelgleichungen. 471

es folgt dies üb‘rigens auch rein algebraisch aus der Vergleichung der

Coeffieienten in den beiden letzten Formen für f. Auf demselben Wege

erkennt man, dass &, == « ist.

Es wird folglich x — 0y =0 eine Wendepunktsgerade, wenn

[ax3 e a(x___py)3 + 3yz(3öx+€y+ﬂz)] SC

in zwei lineare Faetoren g und g; zerlegbar ist. Nach $ 341 ist die

Bedingung dafür

2«0

— 3a0*

20

— wo?

2«0

=0

20

36

2n

oder nach Unterdrückung des Factors 2x0, der nur x = 0 giebt,

(16)

«nNo? + 40?0? + 6059 + 3E =0.

Die Discriminante dieser Gleichung lautet

803E

&S

2-

A

3a2‚n2

U

I

7

es giebt also nur eine reelle Wurzel für (16), d. h. ausser %x =0 nur

noch eine reelle Wendepunktsgerade durch (0, 0, 2).

Durch jeden reellen Wendepunkt gehen also zweı reelle

Auf der 'einen

und zwei imaginäre Wendepunktsgerade.

reellen

liegen die

drei

reellen Wendepunkte;

auf der

anderen liegt ein Paar conjugirt-complexer Wendepunkte.

Es giebt also vier reelle Wendepunktsgerade; eine, welche

die drei reellen Wendepunkte enthält; und drei, von denen

jede zwei conjugirt-complexe und einen der reellen Wende-

punkte verbindet.

Ausser

diesen giebt es keine reellen

Wendepunktsgeraden. Denn gäbe es noch eine reelle, so müsste

diese in ihrem Schnitte mit f= 0 einen reellen Wendepunkt liefern,

was nach dem eben Dargelegten nicht möglich ist.

Die drei Wendepunktsgeraden, welche je zwei conjugirt-

complexe Wendepunkte verbinden, bılden ein reelles Drei-

eck, auf dessen Seiten sämmtliche neun Wendepunkte liegen.

$ 631.

Wir wollen nun die Wendepunkte mit 1, 2,3,..-.8,9

bezeichnen und die durch sie gebildete Configuration untersuchen.

Auf der Geraden L, liegt noch ein Wendepunkt, den wir mit 3

bezeichnen wollen; dann sagen wir, dass die Punkte 1, 2, 3 ein Tripel

(1, 2, 3) bilden.

Auf L, liegt ein weiterer Punkt; er heisse 5; so

Auf L, kann nun weder 1 noch 3

entsteht das Tripel (1, 4, 5).

noch 5 liegen; wir nennen den auf Z„, befindlichen Punkt 6 und

472

Sechsundsechzigste Vorlesung $ 631—632.

haben somit das Tripel (2, 4, 6). Ebenso kann wegen der drei schon

vorhandenen Tripel die Gerade L,; keinen der Punkte 2, 3, 4, 5 ent-

halten; den auf ihr liegenden neuen nennen wir

-

( und haben das Tripel

(1,6,7). Daraus folgt sofort das Tripel (1, 8, 9). Aus der Existenz von

(1, 2, 3),

(1, 4, 5),

(1, 6, 7),

(17 8) 9)7

, 4, 6)

ergiebt sich, dass L, nur einen der Punkte 7, 8, 9 enthalten kann;

käme aber 7 darauf vor, so würde zu dem Tripel (2,5, 7) noch

(2, 8, 9) treten. Dann lägen aber wegen (1, 8, 9) auf L, die beiden

Punkte 1 und 2, was unmöglich ist.

Somit liegt auf L, entweder

8 oder 9.

Da man aber in den vorhandenen Tripeln 8 mit 9 ver-

tauschen kann, so ist es keine Einschränkung, (2, 5, 8) anzunehmen,

woraus dann (2, 7, 9) folgt.

Für L, ergiebt sich dann eine der

beiden Möglichkeiten für die Tripelbildung: (4, 7, 3) und (4, 7, 8).

Da _ die erste derselben (4, 8, 9) im Gefolge haben würde, weil für 4

nur noch die beiden freien Punkte 8 und 9 übrig blieben, und weil

dieses Tripel gegen (1, 8, 9) verstiesse, so bleibt (4, 7, 8), dem sich

dann als Ergänzungen (3, 4, 9) und (3, 5, 7) anschliessen.

Dadurch

ergeben sich sofort und unzweideutig die übrigen Tripel.

Man erhält also die bis auf ihre Bezeichnung eindeutige Vertheilung

(1; 2, 3); (47 W 8); (5; © 9)3

<1) 47 5)7 (2} 7) 9)7 (3? 6) 8)3

S

Die Anordnung in je drei Tripel ist hier so getroffen, dass jedes-

Da. nun ein jedes Tripel

mal alle neun Wendepunkte vorkommen.

(a, b, c) einer Wendepunktsgeraden L, entspricht, so sehen wir, dass

vier Wendepunktsdreiecke bestehen, die von

(L123 » Lar8) L569) ;

(L145 » Dor9> L368) 5

(Dr6r> Doss, Daqg);

(L1897 L2467 L357>

gebildet werden.

Die Darstellung (17) ist nicht übersichtlich.

Man erhält eine

klarere Vertheilung, wenn man jeden der Punkte durch zwei Indices

bezeichnet, etwa

—

322.

A = O;

5 = @:

6 = @i

7__—7——

12

8 =—20;

Q= 10

dann entstehen die Tripel

(00, 1, 22),

(01, 12, 20),

(02, 10, 21);

(00, 01, 02),

(10, 11, 12),

(20, 21, 22);

(17*)

(00. 12200

(02, 11, 20),

(01, 10, 22);

(00, 10, 20),

(1 n 2

(02, 12, 22).

Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung.

Tripelgleichungen.

473

Diese sind dadurch gekennzeichnet, dass (a,b,, 4, b3, A b;) dann

und nur dann ein Tripel ist, falls

(18)

&, - 6 + a = 0,

Ö 0 160 (mod. 3)

wird. Jedem Paare a,b,, a„b, entspricht dabei durch die Bedingung (18)

ein von jenen beiden verschiedenes System a;b,, falls nur die beiden

ersten unter sıch verschieden sind.

$ 632. Sind die beiden in $ 627 betrachteten Punkte P, und P,

Wendepunkte der Curve f(x, y, z) = 0 von dritter Ordnung, so findet

man den dritten auf Z,„ liegenden Wendepunkt durch die Bestimmung

des Quotienten 2:w aus der Gleichung (3), welche im vorliegenden

Falle, in dem P, und P, auf f= 0 liegen, die besonders einfache

Gestalt annimmt

A A0 (x; fi) F u40& ; f)=0

Es wird daher

0

X

-

f

IS

A

al

1

f

(19)

w

SE

Z

(

F

m(

O

;

E NS

)

‚(

ä

)

s

S

of

E

Öf

A

j

Ei

X

)

;

+%(

OO

5

Lal

02

)

Führen wir demnach in die beiden Gleichungen

f(x; Y, Z) DE 07

H(.CC‚ Y, Z)=O

durch die lineare Substitution

0, C

u= 0,% + 02Y; y=“

2

an Stelle von y die Grösse w ein und eliminiren aus den Resultaten

U— 0,%

u

0,%

F,

_ 2

0 H (@

’

‚z)=()

von

die Unbekannte x, so wird die Eliminante, abgesehen von einer Potenz

2

0

als Wurzelstellen die neun Werthe von u haben, welche diese

Grösse für die neun Wendepunkte von f= 0 annimmt. Diese Wurzeln

bezeichnen wir gemäss unseren Festsetzungen mit 49,

U1 > %25

Uo9, Uo,, Ug. Durch (17°) wird die Zugehörigkeit von je dreien zu

je einer Wendepunktsgeraden festgelegt, und aus (19) entnehmen wir,

dass jedes 4» eines Tripels durch die Ua o, und u45 des gleichen

Tripels rational darstellbar ist. Die Form von (19) zeigt zugleich, dass

durch dieselbe rationale Funetion R

(20)

ua:s d R (u“1 b17 ua.; bz) r 'R (uaz ba7 ua1 Öl)

jedes w jedes einzelnen Tripels durch die beiden anderen u desselben

Tripels dargestellt werden kann.

474

Sechsundsechzigste Vorlesung $& 633—634.

$ 633. Wir sind durch diese Betrachtungen auf algebraische

Gleichungen besonderen Charakters gelangt*): Wir nennen eine

Gleichung ohne gleiche Wurzeln eine Tripelgleichung, wenn

ihre Wurzeln in Tripel zu je drei derart eingetheilt werden

können, dass zwei Wurzeln u und ug jeden Tripels be-

liebig wählbar sind, und die dritte u aus diesen beiden

durch eine rationale Function

(20)

uas ÖE R (ua1 b1) u"2 l’2) W R (ua2 D7 ua1 b1)

eindeutig bestimmt wird.

In (20) sind dabei also die

Wurzeln

eines

Tripels

beliebig mit

einander

NE©1895

tauschbar.

Tripelgleichungen giebt es nur von einem Grade

n=6m+1 oder n= 6m +3.

Denn mit %” Wurzeln kann man

überhaupt

n(n—1)

2

Combinationen von je zwei Wurzeln bilden. Zu

jeder dieser Combinationen gehört eine dritte, welche das Tripel ver-

vollständigt. Je drei der so erhaltenen Tripel enthalten dabei dieselben

Elemente; folglich kommen

n (a'oÖ— I)

verschiedene Tripel vor; und daraus

folgt, dass »n = 6m +1 oder 6m + 3 sein muss.

Denn die Möglich-

keit u = 6m ist auszuschliessen, da % ungerade sein muss, wie man

erkennt, wenn man ein Element mit allen übrigen verbindet.

Die Aufgabe der Bildung von Tripelsystemen stammt von T. P. Kirk-

mann *#*) und von J. Steiner**#).

Den Nachweis dafür, dass es für

jedes %» =6m +1 und % = 6m + 3 Tripelsysteme gäbe, sowie eine

Construetion, welche für alle Fälle ausreicht, lieferte M. Reiss +).

Abgesehen von n = 3 liefert %= 7 das einfachste Tripelsystem.

Es ıist dies

(1’ 27 3)?

(1, 4, 5),

(17 6) 7)7

(27 47 6)7

(27 57 7)7

(21)

(3; &. 7); (37 5; 6)3

und dies ist, wie man bei der Construction leicht erkennt, abgesehen

von der Bezeichnung auch das einzig mögliche.

Für n»=13 giebt es zwei tt) und auch nur zwei Tripelsysteme mP

welche wesentlich von einander verschieden sind.

ir ®

* O. Hesse, Journ. f. Math. 34 (1847), p. 193.

** Cambr. and Dublin math. Journ. 7 (1852), p. 527 und 8 (1853), p. 38.

*##) Journ. f. Math. 45 (1853), p. 181 = Werke 2, p. 435.

+) Journ. f. Math. 56 (1859), p. 326.

+4) K. Zulauf, „Ueber Tripelsysteme von 13 Elementen‘‘, Dissert. Giessen 1897.

++1) V. de Pasquale, Rendic. R. Istit. Lombardo 1899.

Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung.

Tripelgleichungen.

475

$ 634. Wir wollen uns zunächst mit der Gruppe der Tripel-

gleichungen siebenten Grades beschäftigen.

Eine Substitution zwischen den sieben Wurzeln der Gleichung,

welche wir kurz durch die Zahlen 1, 2,

- 6, 7 bezeichnen wollen,

kann nur dann zur Gruppe gehören, wenn sie die Tripel (21) lediglich

unter einander umstellt; denn die rationale Beziehung (20) darf durch

Substitutionen der Galois’schen Gruppe nicht gestört werden.

Lässt eine Substitution der Gruppe demnach zwei Klemente un-

geändert, so lässt sie auch das dritte, jene zwei zu einem Tripel

ergänzende ungeändert.

Lässt sie ausser den drei eines Tripels noch eine weitere Wurzel

an ihrer Stelle, so ändert sie überhaupt keine Wurzel; das erkennt

man sofort aus der Configuration von (21).

Folglich giebt es nur Substitutionen, die kein Element ungeändert

lassen; solche, die eın Element nicht umstellen; solche, die drei Ele-

mente ungeändert lassen und endlich noch die HEinheit.

2

I

32

Wir suchen zunächst diejenigen Substitutionen, welche 1

oa

niıcht umstellen.

Diese können nur

(1, 4, 5)

und OE

(27 4) 6)

vma (2, 5 0®

(3, 4, 7)

und (3, 5, 6)

in einander umwandeln. Alle hierbei überhaupt vorhandenen Möglich-

keiten genügen den Anforderungen:

s — (45) (67), 5 =(46)(57), 5 = (47) (56).

Derartige drei Substitutionen entsprechen jedem Tripel aus (21).

Neun unter diesen 21 enthalten das Element 1 nicht.

Wir suchen ferner alle Substitutionen, die 1 nicht bewegen, dagegen

alle anderen Wurzeln unter einander vertauschen.

Diese können nur

(22)

(1) 27 8)?

(1) 47 5)?

(1, 6, 7)

unter sich, und ebenso

(28)

(2, 4, 6),

(2) 57 7)7

(3} 4:} 7)7

(3, 5, 6)

unter sich umstellen.

Alle hierbei überhaupt vorhandenen Möglich-

keiten genügen den Anforderungen. Zuerst ergeben sich diejenigen,

welche eins der Tripel (22) in sich verwandeln:

, — (23) (4657),

4 = (45) (2736),

%. = (67) (2435);

® — (23) (4756),

t}_

2

(45) (2637),

8 — (67) (2534);

dann diejenigen, welche die Tripel (22) cyklisch unter einander vertauschen:

u — (246)(857), 14 = (247)(356), u = (256)(347), u‚ — (257)(346);

— (264)(375), u = (274)(365), u= (265)(374), ı® =(275)(364).

476

Sechsundsechzigste Vorlesung S& 634—635.

Die Anzahl der Substitutionen, welche alle Elemente umstellen,

können wir mit Hülfe der in 8& 572 aufgestellten Formel

n—1

n(zn—21+3n—31+ -

+ *0

)

berechnen.

Hier ist [n—3], wie eben gezeigt wurde, gleich 9;

[0] ist gleich 1; die übrigen eckigen Klammern sind sämmtlich gleich

Null.

Danach erhalten wir

7(% 9+„3.Q==48

Substitutionen, welche kein Element an seiner Stelle lassen.

Jede

dieser Substitutionen muss cyklisch sein, weil sonst eine geeignete

Potenz entweder nur

fünf oder

drei oder zwei Elemente umsetzen

würde.

Aus der Combination der s und der t oder der w findet man

leicht solche Substitutionen.

Wir wählen

v = (1243675),

% = (1245736).

Transformirt man v, durch v,,w3,::-vS, so erhält man noch sechs

andere cyklische Substitutionen von sieben Elementen v3, V, Vg,

und die 6.8 verschiedenen Potenzen der w,,

vg liefern die noth-

wendigen noch fehlenden Substitutionen der Gruppe.

Die Ordnung der Gruppe beträgt nach $ 572

7{[6] + [5] + + +1[0]) =7-(14+9+1) =168.

Diese Gruppe hat Kronecker angegeben.

Sie ist zweiıfach transitiv.

Die Galois’sche Gruppe jeder Tripelgleichung siebenten

Grades ist mit der gefundenen Gruppe identisch oder ein

Theiler derselben.

$ 635. Nach diesem Excurs kehren wır zu den Tripelgleichungen

neunten Grades zurück und suchen ihre Galois’sche Gruppe zu be-

stimmen. Für die Bezeichnung der Wurzeln legen wir, genau wie in

(17%), zwei Indices zu Grunde.

Eine Substitution kann nur dann zur

Galois’schen Gruppe der Gleichung gehören, wenn sie die Tripel (17°)

nur unter einander vertauscht.

Wir betrachten nun alle Substitutionen von der Form

(24)

s=|h, k ah + bk + «, ayhı + bık + « |.

Wendet man sie auf das Tripel

C

(Bı A Ag - = k + %A k =0)

an, so wird erstens

ash +bEk+3a« = a Zh + b,Zk + 3o0,= 0 (mod. 3)

sein; d. h. jedes s führt die Tripel in einander über.

Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung. Tripelgleichungen.

477

Umgekehrt muss jede Substitution, welche die Tripel in einander

überführt, die Form (24) besitzen, wie wir jetzt zeigen wollen.

Zunächst entnehmen wir aus (17), dass, wenn die Elemente 1, 2, 4

fest bleiben, der Reihe nach wegen

(1,2,3) auch 3; wegen (1,4,5) auch 5; wegen (2, 4,6) auch 6,..-

u. s. f. ungeändert bleiben.

Eine Substitution also, die 1, 2, 4 nicht

ändert, ist die identische Substitution; übertragen wir dies auf (17*),

so folgt, dass wenn eine Substitution der Galois’schen Gruppe die

Elemente 00, 11, 01 nicht ändert, sie gleich der Einheit wird.

Nun sei £ eine beliebige Substitution der Galois’schen Gruppe.

Sie lasse auf

00 1 O

folgen ng‚ Pıdı> Da

Wir bilden das zur Gruppe gehörige

S=|h,k (d—)h + (D —D)k + D, — u)h + — g)k + gl;

dann wird - S%

die drei Elemente 00, 11, 01 nicht ändern und

folglich gleich der Einheit sein, d. h. es ist das beliebige %£ gleich

einem S, von der Form (24).

Damit ist gezeigt, dass alle Substitutionen, welche die

Tripel (17°) in einander umwandeln und nur sie durch die

linearen Substitutionen (24) gegeben sind.

In (24) können die a, b, a,, b, auf (3? —1) (3? — 3) ==48 ver-

schiedene Arten so gewählt werden, dass (24) eine von 0 verschiedene

Determinante hat ($ 531); « und «, können gleich 0, 1, 2 ange-

nommen werden.

Folglich hat die Gruppe die Ordnung 9.468.

KEine Gleichung mit dieser Gruppe ist algebraisch auflösbar. Man

könnte dies durch unsere früheren Resultate über auflösbare Gilei-

chungen der Grade p? hier ableiten, doch wir ziehen einen direkten

Nachweis vor, weil bei diesem die Bedeutung der einzelnen Schritte,

welche zur Lösung führen, deutlicher heraustritt.

Es handelt sich natürlich um die Frage nach der Composition

der durch die Substitutionen (24) bestimmten Gruppe, die wir G

nennen wollen.

Zunächst bemerken wir, dass die Substitutionen

LA é—l—oc,k—{—oq|

lediglich jede der Wendepunktsgeraden (17*) in eine solche des Dreiecks

I=[(00, 11, 22); (01, 12, 20); (02, 10, 21)],

II = [(00, 01, 02); (10, 11, 12); (20, 21, 22)],

I = [(00, 12; 21);' (02, 11, 20); (01, 10, 22)],

IV = [(00, 10, 20); (01, 11, 21); (02, 12, 22)]

478

Sechsundsechzigste Vorlesung $ 635—8636.

umwandelt, dem sie selbst angehört.

Zu jeder Substitution von G&

ordnen sich also je nach den Werthen von « und «, noch acht andere

zu, denen dieselbe Umstellung der Dreiecke I, II, III, IV entspricht.

Es reicht daher aus, nur die Substitutionen mit « = &4, =0 zu be-

trachten; diese bilden eine Gruppe G, zu welcher G- neunstufig iso-

morph ist.

G, hat die Ordnung 48.

Jede Substitution aus G, kann man als Umsetzung der Dreiecke

I, II, IIT, IV deuten.

Es ist also @7, der dadurch hervorgerufenen

Gruppe I” unter den Elementen I, IL, III, IV isomorph. Man über-

zeugt sich leicht, dass

S

2h, 2k|

(mod. 3)

nebst. der Einheit die einzigen Substitutionen von G, werden, welche

alle Dreiecke ungeändert lassen.

Denn jede Substitution von G, lässt

00 ungeändert; soll sie nun I und II nicht ändern, so muss sie 11 ıin

sich oder in 22, und 01 ın sich oder in 02 umwandeln.

Durch (25)

kommt man dann auf das angegebene Resultat, da von den vıer mög-

lichen Combinationen nur jene befriedigt.

Somit ist G, zu I” zweistufig isomorph; I” hat die Ordnung 24

und ist deshalb die symmetrische Gruppe der vier Elemente I, IL,

ME 6

In I* ist die alternirende Gruppe A ein autojuger Maximaltheiler

mit dem Compositionsfactor 2. Der Gruppe A entspricht ın G, die

Gruppe 4 von 24 Substitutionen, welche sämmtlich die Dreiecke so

unter einander vertauschen, dass gerade Permutationen entstehen, d. h.

solche, die durch eine gerade Anzahl von Transpositionen bewirkt

werden können.

In A bildet die Gruppe

I

1’D V,

L1 L,

(I IV) AL-IID),

einen autojugen Maximaltheiler K. Ihr entspricht in 4 eine Gruppe K

der Ordnung 8, da der Compositionsfactor gleich 3 wird. Ihre Sub-

stitutionen sınd

1

’

s

k, 2h

b

| , %

2h, 2hk|,

|h, %

2%, k |;

|h, £

h+2k, 2h+2k|,

|h,k h+k,h+2k|,

|Z, %

2h+k, h+hk|,

|Z,% 2h+2k, 2h+k|

Von ihr aus geht man mit dem Compositionsfactor 2 zu dem aus

den vier ersten Substitutionen gebildeten autojugen Theiler über und

von da zu

1

?

I, %

20 2i

d. h. zu den einzigen Substitutionen aus G, welche alle Dreiecke I,

479

Die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung. "Tripelgleichungen.

II, III, IV nicht ändern.

In G haben diese Eigenschaft die 18 Sub-

stitutionen

|%, %

h+a,k+& |,

\ I

2h+«, 2k + « |.

Durch Vermittelung von Compositionsfactoren 2,3,2, 2,2 gelangt

man also von G zu der arithmetischen Gruppe

A,& h+a, k ol.

Folglich ist die Tripelgleichung, wie behauptet worden war,

algebraisch auflösbar.

$ 636. Wir haben bereits erwähnt, dass im Falle von 13 KElle-

menten zwei wesentlich verschiedene Arten von Tripelsystemen existiren.

Das erste wurde von Reiss (l. c.) aufgestellt; bezeichnen wir die Ele-

mente mit 0, 1,-...9,a, b, c, so kann es durch

(07 1} a)}

(0, 2, 4),

(07 37 9) 2

(0, 5, 6),

(O7 67 c)7

(O7 77 8)7

(17 47

5),

(1, 6, 8),

(1, 7, 0),

(17 97 b) ?

, 5, 6),

(17 27 3)?

(2, 7, 9),

(27 87 a)7

(27 b7 C) 2

(3, 4, a),

(37 5) 7> 2

(37 6} b)?

(37 87 C)?

(4, 6,

7))

(4) 87 b)?

(4, 9, 0),

(57 8’ 9) ’

(5, @, 0),

(67 97 b)}

(7, @,

b)

Seine Gruppe, d. h. die Gesammtheit der Sub-

dargestellt werden

stitutionen, welche diese Tripel nur unter einander umwandeln, wird

1, (0,1,2)(3, 4, a)(5, 8, 9)(6, 7, b), (0, 2, 1)(8, @, 4)©, 9, 8)(6, b, 7);

‚ (0,7)(1, 6) (2, 5) (4, a) 6, 9),

(07 6) (17 b> (2? 7) (3) a) (57 8)}

(0, 6) (1, 7) @, 6) (3, 4) (8, 9);

hier bilden die ersten drei einen autojugen Theiler; folglich ist die

Gruppe auflösbar. —

Das zweite Tripelsystem von 13 Elementen habe ich in den Math.

Ann. 42 (1892), p. 143 sowie in meiner Substitutionentheorie (1882)

$ 220 behandelt.

KEs wırd durch die Tripel

'(O} 17 a))

(O? 27 7) Z

(07 37 4) ’

(0, 5, 0),

(O) 67 8)7

(0, 9, 0),

(17 27 b)}

(17 3) 8)’

(1, 4, 5),

(1) 67 c)7

(1, 7, 9),

(2, 3, c),

(2} 5) 6)7

, 8, a),

(37 57 a) ’

(3, 6, 7),

(37 97 b)7

(27 4; 9>;

(4, 6, b),

(4:7 77 8)7

(47 a7 C) ?

S, 7, 0),

(57 87 9>’

(67 97 a>7

(7) a’>b)7 (8? b’ C)

und seine Gruppe G durch die 3 .13 Combinationen der beiden Sub-

stitutionen

480 Sechsundsechzigste Vorlesung $ 636. Siebenundsechzigste Vorlesung $ 637.

S02 O

i = (17 37 9) (2> 67 5) (47 C, a) (77 8; b)

gebildet. Die Potenzen von s sind autojug in G; G ist also auflösbar.

So zeigt es sich: Die Tripelgleichungen 13*" Grades sind

auflösbar.

Siebenundsechzigste Vorlesung.

Die auflösbaren Gleichungen fünften Grades.

8& 637.

Wir haben gesehen, dass es für eine auflösbare irreduc-

tible Gleichung fünften Grades charakteristisch ist, eine und damit

alle metacyklischen Funetionen im Rationalitätsbereiche zu besitzen.

Eine solche metacyklische Function hängt nun, da bei p= 5 die

Gruppe von der Ordnung 20 ist, von einer Gleichung des Grades

5!

2077

6 ab; es ist also charakteristisch, dass diese Gleichung eine

rationale Wurzel besitzt, und dass die Gleichung fünften Grades irre-

ductibel sel.

Welche metacyklische Function dabei zu Grunde gelegt

wird, ist theoretisch ganz gleichgültig; praktisch dagegen kann durch

geschickte Wahl die Rechnung, welche auf die Gleichung der gewählten

metacyklischen Funcetion führt, erheblich abgekürzt werden *).

Es seien .Zo, Z,, %, %, %,, oder kurz 0, 1,2, 3, 4 die fünf Wurzeln

einer Gleichung fünften Grades. Wir betrachten die Function der Wurzeln

(D)

Z ED A LAG,

Um die zugehörige Gruppe G zu finden, suchen wir zunächst alle

Substitutionen, die 0 in @ umwandeln, wobei @ =1, 2, 3, 4 sein kann.

Es folgt ' zunächst, dass 1 in @a—1 oder in @+ 1 übergeht.

Im

zweiten Falle hat man sofort die Substitution

s = (0, a, 24, 3a, 4a) (mod. 5),

d. h. alle Potenzen von

S — (0; 17 2; 3; 4)'

Im zweiten Falle ergiebt sich die Substitution

0

{

1

7

2

°)

3

’

4

(Z2

) (mod. 5),

(

%}

a—1,a—2,a+2, a+1

bei welcher für jedes @ ein Element ungeändert bleibt, nämlich das

durch 3a charakterisirte.

* Vgl. hierzu C. Runge, Acta math. 7 (

1885), p. 173 und D. Séli#zanoff_‚

Bull. soc. math. 21 (1893), p. 97.

Die auflösbaren Gleichungen fünften Grades.

481

Hieraus folgt schon, da allein die Potenzen von s, sämmtliche

Elemente umsetzen, dass G nur noch Substitutionen enthält, welche

ein Element oder alle Elemente in Ruhe lassen ($ 572).

Diejenigen,

welche 0 nicht umsetzen, sind, wie (1) zeigt,

S= 1

und

i — (14)(@).

G hat also die Ordnung 10; es ist die halbmetacyklische Gruppe

$ 536; sie ist ein Theiler der alternirenden Gruppe.

Die Funetion y,

hat zwölf Werthe, die wir folgendermassen schreiben wollen

ı =0 1DB,

Y =0Q-E AAA AL BLG

y=0.22.444-:3+3-14+1-0,

Y —= O1 EL LB AL

o — OLQ AL

Y —0BL

Y = OLA d AL

Y = ODDB

E = O1 ALLDILDO,

Y =0Q-E Y ALLBALBALALG:

Yı = ODBB AL

Yo= Ola LLL DD

Die zugehörigen Gruppen für diese

einzelnen Funetionen wollen wir mit

G1= G; G27

G63 G, G8)

G1

bezeichnen; sie werden gefunden, wenn man G = G, durch passende

Substitutionen 6, = 1, &4, 6;,

20 D 07 657 , 206 transtormurt.

Dabei sei

Ül

7)

0 (17 27 4)7

OS (17 2) (37 4>?

O (27 47 3)3

0 = (2, 3, 4);

% = (1, 2, 3)

7

t=|h4h 2h|=(1, 2, 4, 3);

es gehören also 6,, 6,,--- 6; der alternirenden Gruppe an, während die

Substitution 7 keine gerade Substitution ist.. Hierbei zeigt sich ferner

G= 171 G.1= G, G=1716.1= G,

Aa =17"6,7= G6;

es gehören also alle G und G, +6 zur gleichen Gruppe.

Da z° = 4 ist, so wandelt jede Substitution, die ein y„ in Üa

überführt, auch umgekehrt Yırc IN Yı um. Demgemäss hat Yı — Yıa

gleichfalls zwölf Werthe

Yı — ı,

Yı — Ys,

Ye —— Yız,

Ua Ya

Ys — Ya,

Yız

Y >

die wir mit %,, @,: %; an

: — ®g bezeichnen.

Das

Quadrat von yı — y; hat sechs Werthe, nämlich

Yı = (Yı— yı)?,

D = (Yo — Ys)*,

D = — Yız)“

Die zu @, gehörige Gruppe wird durch die Substitutionen S © und

ihre Combinationen gebildet; ihre Ordnung ist 20; es ist die meta-

cyklische Gruppe und g, ist eine metacyklische Function.

Netto, Algebra. II

31

482

Sıebenundsechzigste Vorlesung $ 637—639

Es handelt sich nun um die Berechnung der Gleichung

2) „(<P gı) — ° + ag + *+ + O+u=0

A

welche @,,

@; als Wurzeln hat

Hierin sind @,, 4, Cz,

AG

Alle Substitutionen der

symmetrische Funetionen von %,, %,

Pe

alternirenden Gruppe vertauschen diese Werthe nur unter sich; folglich

SINd A

alternirend _ oder symmetrisch. Ferner gehen die homo-

genen Funetionen ungeraden Grades a,, Az, @

J

in den @ bei einer Sub

stitution, die nicht zur alternirenden Gruppe gehört

A,

U3 ,

— @; über

während die homogenen Funetionen geraden Grades a,,

A,, Ag dabei ungeändert bleiben

Also sind @,, Az, @

9

alternırend

A, A,, A; Symmetrisch

Demnach haben a,, 3, a, die Form m, VA4, m;V4, m;V4, wobei

A die Diseriminante der Gleichung fünften Grades, und m,, m3, m

)

symmetrische ganze Functionen bedeuten

1 Z Aıg day Ba5 Z dnd

es müssen somit

A1, Az, As, VA von den Dimensionen 2, 6, 10, 10

7

— m; = 0 sein, und m, wird eine Constante, die wir mit m_ be-

zeichnen

(2) geht daher ın

(3)

S + a gp* + a,@“ F &s

mVAg=0

über

$ 638. Die Berechnung der noch unbekannten Grössen gestaltet

sich besonders einfach, falls man der Gleichung fünften Grades die Form

f(

<&

ä

)

Hug +v=0

(4)

ertheilt. In dieser sind w.und v homogene Funetionen der z4 von den

Dimensionen 4 und 5, und da ,, @,, @; die Dimensionen 4, 8, 12

besitzen, So muss

d = D'

A = MeUW

0 = MU,

sein, wo m,, M, m; ganze Zahlen bedeuten.

Diese, sowie m” kann man durch ein numerisches Beispiel finden.

Runge; von dem diese Betrachtungen stammen, wählt als solches

N O und kndet A

7

9

ZI‚Z;„‚23‚Z4—O 7‘ Z:l;

—_ %, —U, —Q —2A0 I O

ı, Pa Pa Par Pa P6

d —mM O* + m* —m +16imgp= (g+20)*(g° — 8ig — 20)

— g° + 20g* +240g* —320 +512ig;

(g° — mp“ + m,g — me)? + 16m?g? = (@* + 4)* (p* + 24° 4 400)

Die auflösbaren Gleichungen fünften Grades.

483

Mithin wird die Gleichung für @, nachdem man durch Quadrirung

die Wurzel VA fortgeschafft hat,

(5) (g — 20 ug* + 240u?gp? + 320u*)” = 45A1 @°,

Z 7 4*4u> + 55w*

oder

(6)

(g? — 4u)‘ (p* — 24ug? + 400u0?) = 4 5° vtgp?.

Setzen wir @?= 4w, so ist auch &% eine metacyklische Funcetion.

Sie genügt der Gleichung

(5°)

( — 5ug? + 150 + 5W = Aw,

der man auch die Form geben kann

(6°)

(& — u)* (4? — 6uy + 25u°) = 55wta.

$& 639. Nur wenn (5°) bezw. (6*) eine rationale Wurzel

besitzt, ist

(4)

f(@)=#+uz2+v=0

auflösbar, und stets dann.

Denn wenn f reductibel ist, versteht

sich dies von selbst; und wenn f irreductibel ist, dann ist ihre Gruppe

metacyklisch oder steht unter der metacyklischen Gruppe, so dass also

jedenfalls eine metacyklische Funetion der Wurzeln dem Rationalitäts-

bereiche angehört.

Dividirt man beide Seiten von (6°) durch w® und setzt v#=u-v,

v = uV', so ergiebt sich

ab

(’ — 1)*4(w'? — 60 +25) = 57

Z

oder

u

550 tap!

(7)

( — 1)* @* — 607 +25)

Sind nun %; w, v rationale Grössen, die (6®) befriedigen, so sind

w%'; u, v’ rationale Grössen, die (7) befriedigen und umgekehrt; wählt

man daher w', %’ beliebig und w gemäss (7), dann liefern w, w eine

auflösbare Gleichung (4); und umgekehrt, wenn (4) auflösbar ist, dann

gehört zu rationalen Werthen von %; v’ das durch (7) bestimmte u.

Der Ausdruck (7) vereinfacht sich noch etwas, wenn man eine

Substitution

Ä =

%— 3

=—

50°

2 —1)

oder auch

— 3u

50

Ä‚=

4uw

I

3( —u)

yvornimmt. Dadurch Wi1_‘d

=—

__ 5p(42+3)

__ 4y°(@2+1)(441+3)

__ 5p*(41+8)°

(8)

1

’

1

2

Aa

BL

484

Siebenundsechzigste Vorlesung $ 639—641

Wir haben also bewiesen: Giebt man A und w irgend zwei

Werthe irgend eines Rat10nahtatsberewhes

so ıst die Form

5pt41+3),

4u°@1+1) (41-+8)

(9)

_l[_

He

+

21

=0

charakteristisch für auflösbare Gleichungen der Form

Z + uz+v=0

Von Glashan und P. Young*) stammt eine andere Form, nämlich

541 (3 — 42,)

4p? (11

A)

(10)

SA

+

0

aa

A

und von Bougaieff und Lacht1ue**) die folgende

(11)

1) (

..+.

@3 (4, — 11)

—

‘3+.“' (A — D

+4)

20 ED

Es gehen, wie bemerkt werden mag, (10) und (11) aus (9) hervor

durch die Annahmen

4—31

A, =

U,

W;

ANEB?

bezw

I@—=9)

2

nn

U = — 2

$ 640. An die Form

(6°)

(& — u)*(4? — 6u w + 25u?) — 5vt4d = 0

der Resolvente knüpft Selivanoff folgende Bemerkun

(1 c.)

Ist u= + 1

so entsteht

(12)

(@ FÜ (@ F 3)* + 16) — 5° —0

woraus man ersieht, dass eine etwa vorhandene rationale Wurzel & posi-

tıy seın muss

Ist ferner v eine ganze Zahl, so kann nach $ 241 ein

solches rationales & auch nur ganz sein; da endlich in (6*) das absolute

Glied für u= -+1 gleich 25 wird, so kann ein rationales % nur ein

In keinem dieser

Theiler von 25, d. h

gleich 1, 5 oder 25 werden

drei Fälle tritt aber für v* eine vollständige vierte Potenz heraus

Sonach giebt es keine rationale Lösung für (6*) bei w=-—+1; d.h

die auflösbaren Gleichungen

2 +0=0

in denen v eine ganze Zahl bedeutet

sind reductibel

VE E

-

*) Amer. Journ. of math. 7 (1885), p.178, p. 170

*#) Moskau. Math. Samml. 15 (1890), p. 83

Die auflösbaren Gleichungen fünften Grades,

485

Diese Selivanoff’sche Methode lässt sich leicht verallgemeinern.

Zuerst sehen wir aus (6*) direct, dass &@ auch im allgemeinen Falle

eine positive, ganze Zahl sein muss, wenn w, v'ganz sind, und dass ı

ein Theiler von 25u°® wird. Weiter folgt aus derselben Gleichung, dass

wv? — 6 + u?

e

5%

= Q

eine vollstähdige vierte Potenz ist.

Ist w nicht durch 5 theilbar, so wird % als Theiler von 25w®

gleich 5“r (@x=0,1,2), wobei 7 nicht mehr durch 5 theilbar ist; in

z

(3

Z 5“ — 6utT + 5° 7 *q

(r7 nicht = 0 mod. 5)

5

muss die 5 des Nenners sich wegheben, wenn @ eine vierte Potenz

sein soll; und dies ist nur für « = 0 oder «x =2 möglich. Man hat

dafür in diesen beiden Fällen

-

t (r — u) — 5ut + 25u?

Z

Z 257? — 5uUt + u(uU—7).

(09]

T

a

d

(

5

Es ist also in beiden Fällen 7 ein Theiler von uw®, der mod. 5 zu u

congruent ist.

Ist nun w eine von 5 verschiedene Primzahl, so hat

w° als Theiler 1, w,

0 W

Man erkennt sofort, dass nur für ein

u= -+1 (mod. 5) ein solcher Theiler u“ congruent w werden kann,

ausser wenn t= w ist. In diesem Falle wird v = 25u und @ = 4u;

das ist aber bei unserer Annahme keine vierte Potenz. Also folgt, dass

(6%*) keine rationale Wurzel liefert, wenn u = + 2 (mod. 5) ist.

Ist ferner u==5, so kann nur % = 5“ mit «=0,1,2,...8 sein.

Dafür wird aber

,-20e+5

S C

ga+1

dies liefert, wenn der Bruch auf seine kleinste Benennung gebracht

ist, für keins der « einen Nenner, welcher eine vierte Potenz wäre,

folglich ist auch hier eine rationale Lösung von (6%*) unmöglich.

So haben wir gezeigt: Alle auflösbaren Gleichungen der

Form

L uz2+v=0,

in denen w eine Primzahl und v eine ganze Zahl bedeutet,

sind reductibel, falls u nicht =-+1 (mod.5) ist.

8 641.

Me. Clintock*) behandelt eine andere metacyklische

Resolvente und berechnet ihre Gleichung. Er setzt die halbmetacyk-

lischen Funetionen an:

E

*) Amer, Joumn, of math. 8 (1886), p. 45; ib. 20 (1898), p. 157.

486 Siebenundsechzigste Vorlesung 8& 641. Achtundsechzigste Vorlesung 8 642.

YI=O-1.2+1-2 3+2-3-4%3-4-0+4—0—1‚

g:'o.'2.44_5.4.'1%„4'.i.'3%1'.„%‚.<5+'3'.5.2‚

Von diesen Yı, X;,

Yız gilt Aehnliches, wie von den yı, %,

Yız

Weiter sei

D,

Yı

Y7,

,

Y

Y

d Y

Yo;

dann ıst

&—

Y, —

Y,

(13)

U — Ua

seine metacyklische Resolvente.

Für diese findet er unter der Voraussetzung der Gleichung fünften

Grades

(14)

f(2) = # + 106# + 1062° + 5642 + 6 = 0

die Resolventengleichung sechsten Grades

(15)

FO : Bt+EL) —2 +a En n)= 0,

wobei die Constanten folgende Bedeutung haben

An

Yo

—6 7 G — G,

Yl

— 663 4 G5 — CCa

—

©

72

O GT C

47

—

»

C

73

Ya — CO

37

h= 1500 7 1066

— 2066 + 1400 — 2264060, + 0G + 963

—2666 +6&,

d

9056 — 20636364 F OO SC — 1200 — Üa

+ 686 + A — ÄC

auflösbar.

Hat (15)

eine

rationale Wurzel,

dann

ist (14)

Me. Clintock giebt nun in der citirten Arbeit mit Hülfe von drei

Parametern und von € die Ausdrücke für C,Cz, C,, Cs, für welche

eine irreduetible Gleichung (14) lösbar wird.

LEA E Z

Auflösbare Gleichungen fünften Grades. Allgemeine Gleichungen fünften Grades. 487

Achtundsechzigste Vorlesung.

Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades.

$ 642. Bei Gelegenheit der Transformation von Gleichungen haben

wir die allgemeinen Gleichungen fünften Grades auf eine beliebige der

vier Bring-Jerrard’schen Formen ($ 116; Bd. I) reducirt *)

(1)

® + 6 —D=0,

® — @— D=—0,

D 4 0 D=0,

®5

- P* — D=0.

Wir betrachten jetzt noch einmal eingehender die Transformations-

theorie für die Gleichung

(2)

f(x) = # + Axt + Ba + Cx? + Da + E=0,

indem wir zunächst den Untersuchungen von L. Kiepert**) folgen.

Setzen wir die Tschirnhausen-Transformation an, in welcher

w und v noch unbestimmte Grössen bedeuten,

(3)

y= x — ux+v,

so können wir in der Gleichung für y durch passende Wahl von w

und v die Glieder mit y* und y® zum Verschwinden bringen.

Dazu

ist es nöthig, die beiden Gleichungen zweiten und ersten Grades

(4)

CL 5B)U E AA BUE

+ (24*—84’B +104C+3B*—10D)=0,

Ö5)

5v0v= — Au — A4’ + 2B

zu befriedigen.

Bezeichnet man dann

5l= —C ( + A* + Bu + C0) + D(4u +3A4u-+2B)

— E(5u +24) — 10w8,

(6) 5 = — D(wW-A4u+Bu?+C0Cu-+D) + E(5u+44u?-43Bu +2C0)

+ 50* +1000,

n=—E(u"’—}—Az#+Bu*“—{—0ü—}—l)u—{—E)—05——5l02—{—5m1),

so ergiebt sich die transformirte Gleichung in y

(7)

y° + 51y° — 5my +n =0.

EB E M“

*) E. S. Bring hat diese Form zuerst aufgestellt; vgl. Harley, Quart.

Journ. of math. 6 (1864)

; weiter Arch. f. Maﬁh. 41 (1864), p. 105; Klein,

Ikosaeder, p. 143.

*) L. Kiepert, Auflösung der Gleichungen fünften Grades. Joum. f. Math.

87 (1879), p. 114.

488

Achtundsechzigste Vorlesung 8& 642.

Hierbei ist aber zu bemerken, dass y keine Resolvente in dem

bisher von uns gebrauchten Sinne ist. Denn als Resolvente bezeichneten

wir eine rationale Function der Wurzeln der vorgelegten Gleichung

mit Coefficienten, die dem ursprünglichen oder einem erweiterten

Hier aber sind w und v nur dann

Rationalitätsgebiete angehören.

rational, wenn die Diseriminante der dquadratischen Gleichung (4),

nämlich der Ausdruck

5(84°C —3 4?B* + 164?D—384BC+12B—40BD + 45 O’)

ein Yvollständiges Quadrat wird.

Dies findet also bei allgemeinen

Gleichungen (2) nicht statt.

Zur weiteren Umformung von (7) setzt Kiepert

« + ßz

(8)

VE

3 + 2?

und sucht « und ß so zu bestimmen, dass die Gleichung für z die Form

(9)

2 + 1023 + 452 —g= 0

annımmt und also nur einen einzigen Parameter g enthält.

Bildet

man die Eliminante von (9) und von (8)

y& + Ba Byta)= 0

nach z in der Gestalt einer Determinante siebenter Ordnung, so erhält

man als Gleichung für y ohne grosse Mühe

(1728 — g”)y” 4 5 (8« — 72uß° F g(«*ß — B°)) y”

©

— 5(a + 180?ß? — 27ß + gaß)y

+ («5 + 10«?ß* + 45@xß* + gß°) =0;

diese wird mit (7) identisch, wenn man die drei Grössen «, ß, g den

drei Gleichungen entsprechend wählt:

803 — T2wß? +g (0B — B°

— (1798 0,

(10)

a«* + 18@x?ß° — 27ß* + g («ß°) = (1728 +g”)m,

® + 100 ß° + 45«ß* +g (ß) = 1728 +gn .

Aus diesen erhält man sofort durch lineare Combinationen die

beiden einfachen Relationen

(11)

Iß° = ma —n;

(12)

(«? + 367)% = (1728 + g”) (n« — mß*).

Eliminirt man jetzt aus den beiden, in g quadratischen ersten

Gleichungen von (10) diese Grösse g und führt durch (11) noch für

Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades.

489

ß die Unbekannte « ein, so entsteht eine Eliminante zehnten Grades,

welche sich folgendermassen in Factoren zerlegen lässt:

R= (ma« — n) (1a + 3ma— 3n)? - [(* — Imn + m®) «*

+ (118m +n — 2mn) « + (— 27n + 641° m* + mn*)].

Der erste Factor liefert zunächst die Resultate

Nn

m?

B=0

und dann durch Einsetzung in die beiden ersten Gleichungen von (10)

weiter

8m ı — Un;

folglich ist dieser Fall bei der Behandlung allgemeiner Gleichungen

(7) auszuschliessen und ebenso wegen der Relationen (6) bei all-

gemeinen Gleichungen (2).

Der zweite Factor der Eliminante liefert zunächst die Resultate

I« + 3m«c« —3n=0,

F=

MC —N

v

[

x

l

3

Hierdurch gehen die drei Gleichungen (10) über in

803 - Z galß= L(1728+g%)L ,

8a* + Zgoß = — 1728 +g )m,

8 + Zghß= 31728 +g°)n

Da aber aus diesen eine Relation zwischen 7, m, ”, nämlich

31n = 4m?

folgt, so kann auch dies im allgemeinen Falle nicht eintreten.

Es bleibt also nur übrig*), zu setzen

( — Imn + m®) «* + (11m +1In? — 2mn) «

(18)

+ (— 27°n + 641°m* + mn?) = 0.

Durch (11) und (12) gelangt man dann zu den Werthen für ß und g.

Die Formel (13) ergiebt

2 (° — Imn + m) a = — (118m +1In? — 2mn) +1VA’,

wobei *)

4'’= 1085° — 1351° m?

908° mn? + 3201m®n — 256 m* + n*

Z

*) In der Kiepert’schen Formel findet sich ein Druckfehler.

490

Achtundsechzigste Vorlesung $ 642—643.

die Diseriminante der Gleichung (7) ist. Demnach ist (8) in unserem

Sinne eine eigentliche Resolvente von (7), indem die Coefficienten von

(8) rational bekannt sind.

Dass nämlich auch durch ß keine neue

Irrationalität eingeführt wird, zeigt Kiepert folgendermassen: Er er-

weitert (8) durch z* + 10z? + 45 und erhält dann für den Zähler

wegen (9) den Ausdruck

« (2* 4 102° + 45) + ß (2°+ 102° + 452) = a(z#* +102? 4 45) + ßg;

aus (10) und (11) folgt dann, dass ßg eine rationale Funetion von « ist.

$ 643. Auf eine andere, höchst elegante Art liefert P. Gordan*)

die Transformation von

(2)

f(@)= # + A* + Ba + Cx? + Dx+ E

auf die Form mit einem Parameter

(9)

A O

Gordan sucht zunächst eine Function der Wurzeln %,, %,

von (2), nämlich

(14)

q)(x)=x‚2+ A% — M,

welche den Bedingungen

(14*)

30

20

unterworfen sein soll. Bezeichnen wir wie gewöhnlich die Summen der

Wurzelpotenzen mit S;, S,

2

so werden diese beiden Bedingungen zu

S, + 45 — 54,= 0,

Sı + 2283 + (2° - 21,)82 + 224,8, 4 9241 —O;

aus diesen beiden numerischen Gleichungen lassen sich 24 und 4,

bestimmen.

Weiter werden zwei Funectionen

O(%) = &* + uUX F W,

H(@) = 4# —. 0

bestimmt, welche die Forderungen

No@)=0, Z 0la)a@)=0,

2

Sha)=0, YHa)opa@)= 0,

oder auch, durch die s ausgedrückt,

S3 + Sı + 90 = 0,

Ss 4 ASı 74- ('h+ ()ISs I (Ä!"+.“1)52 + (1 + 244)Sı + 54 = O;

*) Math. Ann. 28 (1887), p. 152.

Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades

491

Sı + vS, + 5 = 0

Sg + 485 + 284 + vS3 + (Av + 91)8 4 (A,9 + Am,)8, + 547 = 0

befriedigen

Aus diesen vier linearen Gleichungen bestimmen sich die

vier Grössen u, u,; V, v, eindeutig

Endlich setzen wir eine Funection linear aus H und @ zusammen

W(X) = H(z) + 00@),

wobei o durch die Bedingung bestimmt werden soll, dass

D ia) = 0 D wa) +20 D olaa) H(xa) + D H (xa) = 0

@= 1

5)

sel

Die Funetion % hat alsdann die Form

(15)

(@) = * —0X + 01% I 0,

und sie erfüllt die drei Bedingungen

60 Z 0

D

S50

@= 1,2

5)

Zwischen den beiden Funetionen @ und w& besteht eine für jedes

X gültige quadratische Relation

Denn die neun Ausdrücke

P(Zu), Y(Xa), P (de)

Pa Y (Wa), W (Wa), f(Wa),

Waf (Wa), af(da), Kl (Xe)

steigen ın xx höchstens bis zum achten Grade

Eliminirt man die acht

Grössen %4, %G,

%a aus den neun in ihnen linearen Gleichungen

%a F A%g 4 41 — P(xa)= 0

L Ax%

—.

so wird die Resultante, welche man sofort in Determinantenform erhält

C111 P*(Xa) A 2629 (Xa) V (Xau) + CaV (W) A C O (Xx)

(17)

7 @W(Xa) — @=0

die quadratische Relation liefern

Summirt man nach « =1,2

’

5, so erkennt man wegen (16),

dass ©& = 0 ist

Setzen wir nun an

h

E=

G1@ + (C12 S C11022)‘P;

(18)

h,

641 P 4 (C12 1E G1 C22>#’7

d =

GGE

cll

a P Ag

0 =

KGa —

C11 C

VC12

C11C22

G,

VC] 2

C11Ca2

dann geht (17) in die kurze Form

492

Achtundsechzigste Vorlesung $ 643

2hh, = hd, — dh;

über, und wir können eine Grösse y vermöge

d

dr

(19)

h

Z

SN

h1

als neue Variable einführen, für welche dann

h

il

(20)

Z

A

A

—

d

Y

d UF

1

wird.

Die transformirte Gleichung für y möge

(21)

Y G

sein; es müssen zwischen ihren Coefficienten nothwendig Relationen

stattfinden.

Aus (18), (14*) und (16) ergiebt sich

Zh(x„) = 0, Zlﬁ(x„‚) = 0, 2]Ll CZ Zhi(x„) =0

(“=1)27"'5);

und daher wegen (19)

ıl

1

ıl

Z

Ya —1 S

AQ(

Yı —

Z

y__———a+1= 9

1

2

Ya

>2=

Daraus folgt weiter, dass in den Gleichungen

Fy+1)=0

und F(y—1)= 0

die Coefficienten des vorletzten und des drittletzten Gliedes verschwinden

müssen.

Das liefert mit Hülfe von (21) die Relationen

10 + 60, + 30 + &s

= 0,

5 + 4«, + 30 + 203 + «4 = 0,

—10 + 604 + 309 + &s

—.

’

5 — 404 + 30 —20 + «a =0,

welche sich leicht zu

1080 = 0,

Oa @ —0,

3480 r a =0,

4a«, + 20 = 0

vereinfachen lassen und die Resultate

10

&, = « =0,

Wa

5

?

Wa F

2

5

(22)

FO=S — Hön w=0

ergeben.

Setzt man endlich

B

y=

ä ’

V

Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades.

493

so entsteht als definıtive Form

(9*)

25

102 + 452 — g=0.

Diese ist von (9) nur unwesentlich verschieden, da z =EV—1 die

eine der beiden Formen in die andere überführt.

(9) oder (9*) heisst

nach Brioschi*) die Brioschi’sche Resolvente.

Ist die Gleichung (22) aufgelöst, dann kann man aus ihren

Wurzeln y„ diejenigen von (2) auf folgendem Wege herleiten.

Die Gleichungen (18) und (20) ergeben

E

C:

?2

011“'22 77

(23)

Q

— l

S

Z

)

jl (VC?2 C141 C2 7 012>

LL_

© 2011V0‘?2’

= 011;22_(ya 1) 2614 Vé1_22 — Gn (ya Zn 1)

(a=1727"'5)7

wobei „ den Werth von @(x) bedeuten soll, den diese Funetion an-

nimmt, wenn man y = y, setzt.

Nun ist nach (14)

a in + 4, —@=0;

setzt man E—% für x und führt die Werthe E, &, E, entsprechend

den Werthen y,, %, -

y; ein, dann folgt

ää=q7o:+}jrz_'_ll.

Dieselbe Substitution wandelt (2) um in

0=B+E(— 34+A)+ä$(%1%-21A+B)

+E(- 1 3+312A—%‚1B+0)

©

Z YAD

+&(

16

%13A+%1213—/10+1))

E (—%P+%MA—%P‘B+%/PO— ;—ÄD+E)

E AAA TE A

Ersetzt man die geraden Potenzen &* & der letzten Zeile durch ihre

—_ —

2

Ausdrücke in den O, So entsteht, wenn man von &, auf %, = E

2

zurückgeht,

(24) %a = —

ı Alg a P A) E Alr z ]4 A

2

( D AA ( A) A

Vermöge dieser Gleichung ergiebt sich zu jeder Wurzel von (22

oder von (9*) eindeutig eine Wurzel der Gleichung (2) f(x) =0.

*) Math. Ann. 13, p. 109—160.

494

Achtundsechzigste Vorlesung $ 644—645.

$ 644. Wenn man, um eine neue Resolvente zu erlangen, in (9*)

1

V —

„

—3

setzt und aus der hiermit identischen Gleichung %* — L;H = 0 und

(9%) die Grösse z eliminirt, dann ergiebt sich durch einfache Determi-

nantenausrechnung ohne Schwierigkeit

(25)

(g? — 12%) v* + 40w*

50 1 =0,

also eine Gleichung fünften Grades ohne vierte und ohne driıtte Potenz

der Unbekannten. F. Klein bezeichnet solche Gleichungen, bei denen

die Summe der Wurzeln sowie die Summe der Wurzelquadrate Null

ist, als Hauptgleichungen.

Eine andere derartige Hauptgleichung erhalten wir, wenn wir in (9*)

W

u

g — w)

substituiren und also aus (9*) und aus

u‘3—|—äu—3=0

die Unbekannte w eliminiren.

Man erhält dabei

/

z

(26)

(

gr — 1728) w — 5gi% r 1359éw Z

äZ

Die bisher betrachteten Gleichungen

(D)

@ o— D=0

(Bring-Jerrard),

(9°)

z — 102 + 452 — g=0);

(Brioschi),

(Klein-Gordan),

(25)

(g — 12%) 0° + 400° — 50 + 1=0;

1

1

D

0

(26) (g — 12°) w° —5W —135 50 ——

”

”

haben die wichtige Eigenthümlichkeit, je von nur einem einzigen Para-

meter abhängig zu sein. Wir haben bereits darauf aufmerksam gemacht,

dass die Grössen @, 2, v nicht in unserem eigentlichen Sinne als Re-

solventen bezeichnet werden dürfen, da sie keine rationalen Functionen

der Wurzeln von der vorgelegten Gleichung

2)

a + Ax* + Ba + Ox? + Dx + BE=0

sind.

Die Grössen z und v fordern die Einführung einer Quadrat-

wurzel, die Grösse g überdies diejenige einer dritten Wurzel aus

Klein bezeichnet diese Irrationalitäten als acces-

Functionen von &.

sorische.

Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades.,

495

Unsere früheren Untersuchungen haben uns gezeigt, dass eine

Auflösung von (2) durch Radicalzahlen unmöglich sei. Es fragt sich

nun, in welcher Weise der Kreis der gestatteten Hülfsmittel erweitert

werden muss, um von einer Lösung der Gleichungen fünften Grades

reden zu dürfen.

Ch. Hermite spricht sich hierüber (Paris, C. R.

46 (1858)) folgendermassen aus: „Diese Unmöglichkeit der Auflösung

von Gleichungen fünften Grades weist auf die Nothwendigkeit hin, ein

neues analytisches Element einzuführen“ (also z. B. die Wurzeln von

(1) als bekannt anzunehmen). „Dabei muss man aber zusehen, ob die

Kinfachheit in der Form irgend welche Schlüsse über die Natur der

Wurzeln zulässt.

Für

Z —32 +2a4=0

genügt es z. B. a ==sin« zu setzen, um als die drei Wurzeln

[s4

2n

X

—_

2 sin —

2 sın

Z

2 sin

m

32

3

a—};47r

zu finden.“

Der Hermite’schen Forderung wird, wie sich dann zeigt, durch

Benutzung der elliptischen Funetionen genüge geleistet. - Wir wollen

die nothwendigsten Formeln hierfür kurz zusammenstellen.

$ 645. Jacobi zeigt in dem Werke: „fundamenta nova theoriae

functionum ellipticarum“, dass man den Differentialausdruck

da

(27)

Va xa w

in welchem x der Modul heisst, durch passend gewählte Substitutionen

(28)

U@)

Yy=

V@)

mit ganzen Funetionen U, V in einen Ausdruck ähnlicher Form

i

dy

(27°)

M Vazya— 9

in dem M constant ist und Multiplicator genannt wird, trans-

formiren kann.

Die Transformation heisst von n“ Ordnung, wenn U(x) und

V(x) in (28) bis zum n Grade in x aufsteigen. Für jedes ” giebt

es Transformationsformeln; wir beschränken uns auf ungerade Prim-

zahlen ».

A heisst der transformirte Modul.

Zwischen

u="Vx% und v=VA

besteht eine Gleichung vom Grade (n+1) in w und v. Das ist die

496

Achtundsechzigste Vorlesung $ 645.

Diese lautet z. B. für n= 3

sogenannte Modulargleichung.

u* — v* + 2uv (1—uwWo?)= 0

und für n= 5

(29)

u — v° + 5u?w? (u?

v?) + 4uv (1 — u*v*) = 0.

Setzt man, wie gewöhnlich,

il

*

dx

A

——

Er SETW

@+x?=1),

S

%

r"2x'.i) ?

0

NC

(30)

G EL

K — @inzw

Ü=0

dann wird u. A.

1€ 2{l2 m* + m

—S S

wW= —

+ 00),

(31) u=g(0o)=Vx=V2a

Za

al

und man erhält alle Werthe von v, wenn man in (31) statt q® der

Reihe nach

n

B

al

al

al

2in

9 d

8n

?

P,

an—lq?n

(

=0

)

(32)

einträgt; oder auch, wenn man statt © substituirt, wie man hieraus

sofort unter Berücksichtigung von (30) erkennt,

NO

(O]

o +16

OE OE

(32°)

Z

N

?

N

Diese Werthe von w bezeichnen wir, den gemachten Substitutionen

entsprechend, der Reihe nach durch

Vo,

V,

Vi,

Ura

(38)

Benutzen wir also die in (31) eingeführte Funetionalbezeichnung @,

so folgt, dass für Vx= p(w) die (n +1) Werthe von v durch

n —1

(

—

aß

——

Z

o +16

= (1 5 . plno), = (

n/?

)

(

N

]}

a)__—{— 160 —

N

)

a

ge

S

eben sind.

V(— 1)n—;ln

E. Galois hat die Gruppe der Modulargleichungen, denen

adjungirt worden ist, bestimmt (Oeuvres, 6d. Picard 1897, p. 27). Jedes

, wird durch sie in ein v übergeführt, wobei

_ l

h

1° ch+d

(ad—be= 1 (mod. p))

ist, und a, b, c, d alle möglichen mit der in der Klammer angegebenen

Beschränkung verträglichen Werthe annehmen können. Nach früheren

Festsetzungen lassen sich diese Substitutionen in der Form

Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades.

49

ah-+b

(34)

(ad — dbe= 1 (mod. x))

s=‘h

ch+d

schreiben.

Die Ordnung der Gruppe &@ der Modulargleichungen ist

r=—ä—n(aß—l). Galois bemerkte, dass für n”=5B5; 7; 11 die

Gruppe &@ einen Theiler G, der Ordnung 7, = %(n2 —1) hat, so dass

man also hierfür Resolventen mıt %” Werthen construiren kann.

Betti*) war der Erste, der einen Beweis dieser Galois’schen

Sätze veröffentlichte.

Hermite**) vervollständigte die Theorie durch

die Angabe, wie jene n%-werthige Resolvente gebildet werden könnte.

Der Theiler G, der Gruppe hat für % ==5 die Ordnung

y= @ —1)=12;

er entsteht durch die Combination der drei Substitutionen

h—2

S= ]l

4h |,

82=

h

Ü}

S = ! h

h+2

‘ :

S, , Sa liefern eine Gruppe der Ordnung 4; s; ist von der Ordnung 3

und da

S3 *8153 = S3

S 8 = SR

wird, so geben S,, S, S3 die Gruppe G, der Ordnung 12. Aus ihr

entsteht G durch Hinzunahme der cyklischen Substitution

S=

h+11].

Jede zu G, gehörige Function der v hängt von einer Gleichung

fünften Grades ab. Hermite benutzt die Resolvente

@ + 48

(35) z =[960) + (5) ]C —([ —l

5

)

— M6) @ —@ — 0) @ —,

wobei übereinstimmend mit den obigen Einführungen @(56) = —w

gesetzt ist. Man sieht sofort, dass (35) durch s,, S, S3 nicht geändert

wird. Durch s,, s

D

erhält man der Reihe nach

z

®

ETSEEN

(O)

a [p60 ( E n

5

C

ÖG4

)]

@C —e = @;

[O)

A O

a)—-[;16

9

Znr

M

5

)

= ( —0m) 0 — @— %),

E

B

*) Annali di scienze matematiche (Tortolini), 4 (1853).

Netto, Algebra. II.

**) Paris, C. R. 46 (1858), p. 508; vgl. auch ibid. p. 512 Anmerkg.

32

498

Achtundsechzigste Vorlesung $ 645—646

Hermite zeigt weiter, dass die fünf Grössen %, %,, %, Wa Dn

einer Gleichung fünften Grades mit E x, = 0, 2x =@ E u=0

genugen

(86) x — 2*.5%

(

'M8)2

26 V5u3 (1

d d =0

Diese’ besitzt demnach die fünf Wurzeln

® (®),

® (0 + 16),

D (o+432),

D (w - 48),

D ( + 64)

$ 646. An die Theorie der Transformation des Ausdruckes (27)

in (27%*), nämlich

da

dy

Va — w

MYaA—y)a—2y5 °

knüpfen sich noch andere Gleichungen an

Man kann den Multiplicator M ratiıonal durch x und 2 vermittels

der Formel

M’= n

%— u dh

23 d

ausdrücken.

Eliminirt man hieraus und aus der Modulargleichung

zwischen x und 2 diese letzte Grosse

so erhält man zwischen M und

x eine in beiden Grössen bıs zum G1&de (n +1) aufsteigende alge-

braische Gleichung. HEs ist dies eine Multiplicatorgleichung. Für

die Beziehung zwischen x und AM; XM; u. s. w. gilt Aehnliches; auch

die hierbei entstehenden Gleichungen heissen Multiplicatorgleichungen

Den verschiedenen Werthen v„, V, %,

der Modulargleichung

entsprechen die Wurzeln M, M., M,,

der Multiplicatorgleichung

Jacobi*) hat hinsichtlich des Zusammenhanges dieser M unter ein-

ander ein Theorem entdeckt, welches er mit Recht als

un des plus

importants dans la th6orie algebrique de la transformation et de la

division des fonetions elliptiques“ erklärt. Er findet nämlich, dass man

+

miıt Hülfe von

Grössen A, A4,, 4,,

„—1 die M folgender-

2

massen. darstellen kann:

U

2%A

VM, V(_ 1)

n—1

)

0

(37)

VM = A+ « A, + 48 4, + +a(

\An—l‚

2

@=0, 1

Z"—1);

2i

wobei x«=€"

zu setzen ıst

Daraus ergiebt sich sofort, dass man

die Hälfte der Werthe von VM durch die andere Hälfte linear dar-

stellen kann

* Werke I, p. 261

Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades.

499

Allgemein heissen Gleichungen (n + 1)*" Grades mit y=VM,,

V,

’

für welche Beziehungen (37) bestehen, für die also die

Galois’schen Gruppen übereinstimmen, Jacobi’sche Gleichungen.

Berechnet man die Gleichung mit den Wurzeln y=VM,,

VM,,::- für n=5, so ergiebt sich

(38) (y—a)® — 4a(y—a)* +106(y—a)?—4c(y—a) +56°—4a4c=0;

— / AA 0= 8 AA — AA ZE AL OE — A(A 20r

c = 80 4° 4? 42 — 40.A4* 43 43 + 5.4? 41A4

— 4(32.4* — 204° 4, 4, + 5.4? 4?) (43 + A8)

a

Für y= M erhält man die zugehörige Multiplicatorgleichung durch

a= 1,

d=0,

c = — 64x* (1 — x?)

ın der Form

(39) (y—1)—4(y—1) + 256x(1—x*) (y—1) + 256 (1—x?) =0

oder, falls y = 1 +2 gesetzt wird,

(39*)

2° — 425 + 256x? (1 — x?)2 + 256# (1—x?) =0.

Substituirt man hier an Stelle von z eine Grösse v vermittels

DA N Z 5L

dann findet man die Gleichung sechsten Grades

v + 1043 + (16d — dYo + 5d*=0,

wobei d — 256x?x* zu setzen ist.

Trägt man jetzt noch

—

2

@

v= d w

Z

W

CS

4

6

ein, so ergiebt sich die Form einer Hauptgleichung fünften Grades

16 —

(40)

w + 10w® +

dw—{—5=0;

(d = 256 x?x?).

*

d3

n+1

Es wurde oben bereits erwähnt, dass im allgemeinen Falle

2

lineare Relationen unter den Wurzeln bestehen.

Diese sind bei n =5

für (38)

VE"I' V]T[1+ Vj[_2+ V -M; —+ VM;=VÖM„„

2i

(41) VM + VM + VM « VM + VM = 0,

u«=e ®

VM + VM +a VM,+«VM, + VM =0.

82*

500

Achtundsechzigste Vorlesung $ 646—647

Brioschi hat nun für n=5 eine Erniedrigung der Jacobi’schen

Gleichungen um eine Einheit durchgeführt *), genau wie Hermite für

die Modulargleichungen

Er berechnet aus den sechs Gleichungen

(37°)

—V54, VM =4A+ @A, + aM A,

die Grössen

al

m

[Mx —

— M)(M;

M,) CM

MJI}

S a

(42)

U =

n

(M — M )(M, —

M)(M, — M,)1*

und findet für

Z AAA

0 =

2A41

A3,

_>

C

—

(4.2?

A A2)7

O_ @A

A3)

die Relationen

m@=0, 1,

4)

, = 00y + O A O, + a Cr;

DIeIAn

t, sind daher die Wurzeln einer Gleichung fünften

Grades, deren Coefficienten rationale Funetionen der Coefficienten der

J acob1 schen Gleichung und der vierten Wurzel aus ihrer Diseri-

minante sind:

(48)

ß L 1058 + 5(96? — 4ac)t — 8V—-h=0

h — 276 — @ — 25a80* + 40a*b?c + 20a0° be

45 ab?

16ae?

Unter der Voraussetzung der durch die elliptischen Functionen

gelieferten Gleichungen (39*) und (40) entstehen hieraus die beson-

deren Formen

(43°)

f - 1280x? (1 — x?) £ + 2048 (1

x 1—2x)=0

und für den zweiten Fall

al

(48”)

f + 108 + 456 — 8[°° 2

Jetzt gehen wir zu der Hermite ’schen Auflösung der

& 647

Gleichungen fünften Grades über.

Hermite vergleicht seine Resol-

ventenform ($ 645)

9453 . u (1— ua — 2 Vl —A =0

(36) x°

(u = @(w))

*) Math. Ann. 13 (1878), p 139 ff

Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades.

501

mit der Bring-Jerrard’schen Form einer allgemeinen Gleichung

fünften Grades

B° — ® — D=0.

(1°)

Um zu dieser von der allgemeinen Gleichung aus zu gelangen, ist die

Auflösung einer Gleichung dritten und einer solchen vierten Grades

nothwendig (vgl. $ 116, Bd. I).

Setzt man nun

(ZO

o=2.V5.uV1

1 + w®

z

56

u? V

—

so stimmt (36) mit (1°) überein.

Aus der letzten Gleichung für D

folgt die Bestimmung von w* = x durch eine Gleichung vierten Grades.

Zur Vereinfachung bezeichnen wir

V55D?

4

— Ar

dann wird jene Gleichung vierten Grades

x* + Ax? + 2x%? — A +1=0.

Diese Gleichung lässt eine analytische Lösung in dem oben $ 644 an-

geführten Hermite’schen Sinne zu.

Für

= SIN&

4A4

erhält man nämlich die Werthe

f

&+

tang

2

tang

3n — &

% = tang%‚ tang

4

4

Wählen wir einen dieser vier Werthe und benutzen denselben zur

Bestimmung von @, dann ergeben sich als Wurzeln von (1®) unter

Benutzung der Bezeichnung (35)

1

D (w)

il

B (o + 16)

1

B( + 32)

2V5° y@)V1— 9° @) 2V5 w@)V1— g @) 25 ( VI— wO)'

1

® (n + 48)

1

® (® + 64)

2V/5° g(w)V1—9%@) 2V5° @V1 — g°@)

Es ist leicht zu sehen, dass an die Resolvente (43*) der

Multiplicatorgleichung dieselben Betrachtungen angeknüpft werden

können.

502

Achtundsechzigste Vorlesung 8 648.

$ 648, Während so Hermite seine Auflösung der Gleichung

fünften Grades dadurch bewirkt, dass er die Modulargleichung reducirt,

knüpft Kronecker und nach ihm noch allgemeiner Brioschi die

Lösung direct an die Jacobi’sche Multiplicatorgleichung, indem er

eine Resolyente sechsten Grades der vorgelegten Gleichung fünften

Grades mit jener identificirt.

Statt der symmetrischen Gruppe der fünf Wurzeln %, %,, %, X3 Xr

der Gleichungen fünftes Grades können wir die alternirende Gruppe zu

Grunde legen, da die Adjungirung der Quadratwurzel aus der Diseri-

minante ausreicht, um vom ersten auf den zweiten Fall zu kommen.

Die Substitutionen der alternirenden Gruppe der fünf x lassen

sich durch folgende drei Substitutionen erzeugen

(44)

| Z

h—+1|;

| Z

4h

5

|%

Dl |

(mod. 5)

%=01,2,34).

Die beiden ersten geben eine Gruppe von der Ordnung 10. Stellt

man alle 60 Substitutionen der alternirenden Gruppe in bekannter Weise

in einer Tabelle derart zusammen, dass die erste Zeile aus jenen zehn

Substitutionen besteht, dann können die anderen fünf Zeilen durch

Hinzunahme je einer der fünf Substitutionen

(W, X3) (X2X4) ;

(Wo %y X4 X53 Xo) ;

( X X1) 5

(X9X3X4) ;

(X9 L4 Xı %aRz)

hergeleitet werden.

Diese sind nun identisch miıt

| Z

S

| Z

3A 411:

| Z

33 + 21;

|%

3 +31;

(45)

i

| Z

3h° + 41,

d. h. es sind Combinationen des ersten und des dritten Typus in (44).

Wir bilden jetzt eine allgemeine cyklische Funetion der x„, welche

durch

= @1234

bezeichnet werden mag; diese bleibt für |Z Z/-+1| und die Potenzen

dieser Substitution und auch nur dafür ungeändert.

Es sei weiter

v'=(043821)

das Resultat der Anwendung von |4A 4 | auf v, und wir bezeichnen

U =0 — W

Dann hat u22 sechs Werthe.

Die einzelnen Substitutionen (45)

mögen aus u Werthe hervorrufen, die wir der Reihe nach bezeichnen

Ug >

U )

U9 ,

U3 ,

Ur

Die Gleichung, deren Wurzeln u2, w?, ... wi, u% sind, hat dem-

nach Coefficienten, die rational aus den Coefficienten von (2) und aus

der Quadratwurzel der Discriminante zusammengesetzt sınd.

Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades.

503

Es lassen sich noch andere Gleichungen von interessanteren

Eigenschaften construiren, wenn man die w passend mit einander

verbindet.

Es gehen nämlich

durch

die Werthe

en

Ug ,

Ur

U9 ,

U3 ,

U,

|Z

h+1|

Uw,

“17

Uo ,

U3 ,

Ur ,

Ug ,

ın

| Z

4N |

= 9

—9

Ur

35

—U,

— U,

|Z

303 |

%

Ug >

Ug y

A

Ug ,

%29

—

über.

Versteht man unter %* eine willkürliche Constante, so überzeugt

man sich sofort davon, dass die sechs Resolventen z der x

o = WF W A 4 F U + Ug F U4,

Hnn

Z

Cln F Un — Ur F Us f U

Ur,

21 = W, + Un — U F U4 F U3 — U,

(46)

8 = Ülg - Un — Ug + U F Ua — U,

ß = Wg + Un — U1 + U + W — U,

81 = Ülr 4 Uo — U9 — U FU — Ug

unter dem Einflusse von (44) dieselben Substitutionen der Indices er-

leiden, wie diejenigen der w in der vorigen Tabelle sind.

Die alternirende Gruppe der x führt daher die Resolventen

ZEO7 Zä7 Z%’ Zä7 Z

37

Z

lediglich in einander über; sie sind demnach Wurzeln einer Gleichung

sechsten Grades, deren Voefficienten rational aus denen der x-Gleichung

und aus der Quadratwurzel aus deren Diseriminante gebildet sind.

27i

Aus (46) folgt, wenn « = e ® bedeutet,

% + 4 + % + % + 44 = Sg + 0 F 4r + Ug + Ug 4 u),

89 { @21 + a*2, + @s + 038

= (Mo + a7u, 4 aug + am + au) (E+0—0? —0° +09,

89 i @8 A @8 -{ «2g + 024

= (W -{ wl F au + Aug + au,) ( + 0—0? —0 0°)-

Da nun aus der Annahme

B OO

durch Quadriren folgt ** =5, so zeigt sich, dass bei t=V5

504

Achtundsechzigste Vorlesung $ 648—649.

Za

Za

Z al

2 +

Z4=1/52w7

—>

(47)

B f 0’21 + a*2, A 0 83 A 0R

07

89 + aa + « 2 + *2 + w’2,=0

wird.

Die Gleichung in z

(48)

@- e

ist also eine Jacobi’sche Gleichung (vgl. Formel (41)); sie hat dem-

nach die Gestalt (38).

Bisher war die Wahl der cyklischen Function v, aus welcher u

gebildet wurde, noch keiner Beschränkung unterworfen. Wir wollen

die hierin liegende Freiheit zur Vereinfachung der Gleichung (38)

benutzen.

Ist neben v auch noch w eine cyklische Function der Grössen Z,

die nur von v verschieden sein soll, so werden auch für sie &,, %,

den Z , %,

entsprechend gebildet werden können, und bei will-

kürlichem n wird

Zı = 2 + DE

OE

(49)

als lineare Funetion der 22 und der &, den Gleichungen genügen, die

(47) entsprechen.

Es wird demgemäss

(49°)

BELNATANGZANKOL A

gleichfalls eine Jacobi’sche Gleichung sein.

In ihr können wir die dem @ in (38) entsprechende Grösse zu

Null machen, wenn wir p durch die numerische quadratische Gleichung

(50)

=

D 2n eb ED

bestimmen. Dadurch geht (49%) gemäss (38) in

OLWB Z A0 Z =0

über und für Z = B% U in

C

8 AL OS — A

5

Üa =0.

Brg

Vergleicht man diese Form mit der aus der Multiplicatorgleichung

2

aus

entspringenden Gleichung (40), so folgt, dass, wenn man %

@— A

©

d =— 256 x x*

C

64

B5

berechnet, indem man zuerst d von der Lösung einer Gleichung dritten

Grades abhängig macht, durch

Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades

50

]

EL (]\[

— 1) (M— 5)

(lbmc)

die Gleichung sechsten Grades in Z mit Hülfe von elliptischen Fune-

tionen aufgelöst wırd

Kennt man die sechs Werthe (49), so werden die Wurzeln x der

vorgelegten Gleichung fünften Grades rational darstellbar

da ja die

einzelnen Gruppen der Functionen (49) keine Substitutionen gemeinsam

haben ($ 543 und $ 579)

$& 649

Kronecker machte

wie schon oben erwähnt wurde,

zuerst darauf aufmerksam, dass bei Gleichungen fünften Grades Resol-

venten miıt Einem Parameter nicht bestehen. Den ersten Beweis dieses

Satzes gab F. Klein auf Grund seiner Untersuchungen über das Iko-

saeder *); einen einfacheren und directen lieferte später P. Gordan**)

Der nun folgende Beweis schliesst sich dem Gordan’schen Gedanken-

gange 6Ng an

Wir beginnen mit einem von J. Lüroth stammenden Satze ###)

Es sei die Funetion

(S1)

G(2, 8') = g(e) gı (e) — 91(2) 9C@)

gegeben; g(w) und g,(w) seien hierin ganze Functionen ohne gemein-

samen Theiler

G(z,2') sei in z vom Grade n

Die Gleichung

(52)

CO

in 2 hat keine vielfachen Wurzeln z == E; denn sonst hatten die beiden

Funectionen

(2) gı (@) — gu (@)g(@) = y(2 d)‚

g° (2) gı (@&') — g1(2) g(@) = y1(2,2')

einen gemeinsamen Theiler; den gleichen hätte dann ebenfalls

gil2) y (@

) — gul@) : y71(8, 2) = gu(@”) - [9(2) g1(£) — g (2) g1(2)]

und also auch

g(2) g1(8) — g (2) 91 (2);

d. h. G(z, z’) wäre durch eine Funetion von z allein theilbar,

und

g(£) hätte gegen die Annahme mit g g,.(z) einen Factor gemein.

Es ist ferner

(53)

G(2', 2) = — G(e, 2

)

E IA

und deshalb ist %z == 2’ eine Wurzel von (52).

<) Vorlesungen üb. d, Ikosaeder (1884), p. 258.

**) Math. Ann. 29 (1887), p. 318.

**) Math. Ann. 9 (1876), p. 168

506

Achtundsechzigste Vorlesung $ 649—650.

Sind nun 2 = %, %1, %, * Zn—1 Sämmtliche Wurzeln von (52),

dann sind dieselben Grössen auch sämmtliche Wurzeln von

(52°)

G

@= 0, 1200 =1),

wie sich aus (51) ergiebt. Die gleichen Wurzeln hat jede Gleichung

(52”)

Gla 8)= 0

Nun möge eine ganze Funection

T’(&, 2')

vom n“ Grade in z gegeben sein, deren Nullwerthe 2 = 2, 21, - Zn—1

sind, und die so beschaffen ist, dass alle Gleichungen in z

IN(@ A)= 0

(x=0,1,...n—1)

Wir wollen die Natur dieser Funetion I”

dieselben Wurzeln aufweisen.

untersuchen.

Es sei

TeR) Za HCT C

dann folgt aus den Annahmen für jeden Index x= 1,2,...m%

O, (%a) __ P (2ß)

(“7 ß=07 1,*"7'2—1>,

Po(%) — Po(%)

so dass jede der Gleichungen

(x=1‚é‚--—n)

(54)

o (£) P, (2°) — pu(@) pol&)= 0

Dabei können nicht alle

dieselben Würzeln hat wie I'(z, 2') =0.

Gleichungen (54) identisch erfüllt sein; die hingeschriebene möge zu

den nicht identisch erfüllten gehören.

Gilt weiter

T’(2, 2') = const. I’(2', 2),

woraus durch Iteration der Vertauschung sofort const. = + 1 folgt,

dann muss einer der Ausdrücke (54) zum n Grade aufsteigen. Sind

2 _1 unter einander verschieden, dann stimmt

ferner die 2', 21,

T’(z, z') bis auf eine unwesentliche Constante mit (54) überein.

Die für I’(z, 2') aufgestellten - Bedingungen führen also darauf,

dass diese Funetion die Gestalt von G(z, z) in (51) besitzt.

8 650. Nun betrachten wir den grössten gemeinsamen Theiler

K(z, 2') der beiden ähnlich geformten Ausdrücke

G(8, g') = gl@) gı @) — n I@'),

(51°)

H(2, 2') =h(2)h(2) — A (2)B(@).

Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades

507

Es folgt sofort aus dieser Gestalt, dass

K(2, 2') = const. K (2’, 2)

seın muss

Da ferner

C@ 2)=0

@ 0)=0

nur verschiedene Wurzeln haben, so hat auch

K@a)=0

nur unter einander verschiedene Wurzeln £=2, 21,

By— 1

Da endlich

K(@, 2)

der grösste gemeinsame Theiler von

G (2, %),

Jal(@ C)

ist, so folgt, dass die Wurzeln von

K(@ a)=0

sowohl zu denen von

G(2, zu) =0 als auch von

B Bu)= 0

gehören, d. h. dass es wieder 2, 2;,

Zy —1 sind. Es sind also sämmt-

liche im vorigen Paragraphen für I’(z, z’) aufgestellten Bedingungen

erfüllt, so dass gesetzt werden kann

(55)

K(g, g') = k(2) k‚ (2') — k (2)k(2')

Da 2 &19

Z,— 1 zu den Wurzeln jeder der Gleichungen (51*

gehören, so ist

g@)

i V lg(z‚a)

und

h(z)

(Za)

gı (@')

Iı a>

(24

Z

d. h. beide Brüche auf den linken Seiten der Gleichungen sind rational

durch die Coefficienten von (55), d. h. durch k(2’): k,(2’) darstellbar

Es wird demnach, wenn das willkürliche 2’ durch z ersetzt wird

g.@)

k@)

h(2)

k(z)

(56)

91 @)

(

k @

}

h, (?)

(

k (2)

)

Umgekehrt lässt sich auch

k@)

rational durch @

und

h(?)

@

gı @)

h, (?)

darstellen

Denn setzt man

g(@')

h(?')

—

(57)

91 (@’)

’

h (

Z

D

)

2

schreibt die beiden Funetionen aus (51°) in der Form

(51°)

I(2) — gu(@) 2

h(2) — h,(2) -

508

Achtundsechzigste Vorlesung 8 650—651.

und sucht dann zu diesen Funetionen den grössten gemeinsamen Theiler,

indem man Z und w als willkürliche Parameter betrachtet, so wird der

KEuklid’sche Algorithmus auf (51”) eine Reihe von Functionen folgen

lassen, die ım Allgemeinen mit einer von z unabhängigen Function

abschliessen werden. Setzt man ın ihnen, von der letzten anfangend

und rückwärts gehend, für 2 und w die Werthe (57) ein, so wird die

erste dabei nicht verschwindende Funetion den grössten gemeinsamen

Theiler, also (55) geben. Und hierbei erscheint dieser, abgesehen von

einem von z unabhängigen Factor, als Funetion von 4 und u. Damit

ist also bewiesen, dass man setzen kann

k(2)

Rar

g(8)

h(2)

O

(

g,(?)? h,(2)

) ;

So sind wir auf den Lüroth’schen Satz gekommen: Ist

—— C

h(z)

gı (@)?

7

dann giebt es eine rationale Function

V=R(Ä'7 (“")

derart, dass man umgekehrt auch

A = Rı (v),

u = R(v)

bei rationalen R, und R, setzen kann.

$ 651.

Es seien nun weiter

)

G=_gi(zl7z2ﬂzß’

)

JEr 77’(21a ng1 Zg

@yı 559

NC

)

zwei rationale gebrochene Functionen mehrerer Variablen 2,, 2,

von der Eigenschaft, dass bei der Elimination von 2‚ aus

Ig—Iu G=0

und Z H—

alle z aus g, gı, , h, verschwinden, so dass die Kıliminante

D(G, H) 0

von den z frei wird, oder auch, dass zwischen G und H eine von den

AA

“

unabhängige Gleichung besteht.

Unter a, b, -

verstehen wir jetzt willkürliche Constante, unter 5

eine Unbekannte, setzen

gE, , b, : )

( (85 &.0 7 )

g=g;(ﬁ‚a‚b‚"'j’

D=

hl(£v A, b3 z )

und fragen nach den Werthepaaren von g und h, für welche die Gleichungen

.Ü(£7 A, b)"')" 9'91(£; &, b;"')=07

h(ä;“; b7"')”_[)'hl(g7“7bf"')=o

Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades.

509

eine gemeinsame Wurzel &$ haben.

Dafür ist es charakteristisch, dass

die Resultante der beiden Gleichungen verschwinde.

Dies ist nun die

oben aufgestellte Function ®(g, h), und diese wird für

Q=G‚ Ü=H

wirklich Null.

Man kann also einen Werth & finden, für den

K

) =g(äv a7"')

h(z1)_zz 1_) Ar h(E, @,

9

In (1 > %er

)

G

)

77/;(Zl © Z27

) AA

]

wird. Wendet man nun den Lüroth’schen Satz auf die beiden Fune-

tionen von 5& an, dann folgt: Wenn die Functionen

_ B5 290)

NM (&1 %,

AL

)

9ı (Z1 5 Za

..)7

Ö @15 856

)

einer vOoN 1, %,

unabhängigen Gleichung

D(i, u)= 0

genügen, dann kann man eine rationale Function finden

v= R(2, w),

durch welche sich rational ergiebt

4 = R1(”)7

u = Ro(V).

Nun seien drei rationale Funetionen G, H, K von 2,,

3y 2'3‚

gegeben, zwischen. denen zwei von den z unabhängige Relationen

W (6, H, K) —0,

W (G, H, K)=0

bestehen. Eliminirt man G, so gilt der vorige Satz für H' und K,

d. h. man kann setzen

v=R(H, K); H= Rı(v), K= Rı(»y)

und demnach auch (@« = 1, 2)

Da (G; R‘2(”)7 R3(’")) =0.

Deshalb folgt ebenso

75:S(G7 7/)=T(G7 H; K)?

V To(“)7

G = T1(”);

HRa K T:

Auf diesem Wege kommt man zu dem Gordan’schen Satze *): Be-

stehen zwischen m rationalen Functionen von n Variablen

(m — 1) von diesen Variablen unabhängige Relationen, so

lässt sich eine rationale Function jener m Functionen her-

stellen, durch die sich umgekehrt eine jede der gegebenen

m Functionen rational darstellen lässt.

D

*) Math. Ann. 29 (1887), p. 318.

510

Achtundsechzigste Vorlesung $ 652—653.

& 652.

Wir gehen nun unserem eigentlichen Ziele entgegen,

indem wir die Resolventengleichung für alle conjugen Werthe der

Funcetion &,

F(go)=0

mit den Wurzeln %,, @,, :-- @o untersuchen, deren Coefficienten nur

von einem einzigen Parameter @ abhängen.

Dabei

bedeuten also

ı, Pa, - Po die sämmtlichen conjugen Werthe von &, im Bereiche

der symmetrischen Gruppe; sie selbst sowie @ sind rationale Func-

tionen von % Wwillkürlichen Grössen 2,, %,

ZIZ

Ausführlicher

können wir also

F(Q’; @)=O

schreiben, wo dann in / ausser g und @ nur noch Constante vor-

kommen.

Es ist

F(go„‚ @)=07 F(97/3’7 @)=O

für alle x, 8=1,2,--.-.0o. Eliminirt man aus beiden Gleichungen ©,

so folgt eine Gleichung mit constanten Coefficienten

Fılg, pe)= 0,

und nun führt uns der obige Gordan’sche Satz sofort zu der Ein-

sicht, dass jedes der qg sich rational durch eine Grösse w ausdrücken

Jässt, welche umgekehrt aus ihnen rational gebildet werden kann.

Wir schreiben dies

d = W @1 y° D)

, = T(v), ‘P2=Tz('al’); e ‘PQ=TQ(Ü>°

Ist ”>4, dann muss &% zur Gruppe 1 gehören, da sonst gegen

8& 543 die Gruppen der Funetionen @,, %, ::: @o sämmtlich eine

Substitution gemeinsam hätten, die von der Einheit verschieden ist.

w& wird also eine Galois’sche Funetion von %! Werthen, und alle

1pl a T(qjil7 (p".27 U qh@))

welche durch Einwirkung irgend einer Substitution s; der z aus w&

hervorgehen, sind unter einander verschieden.

Nun stimmt die Reihe der Argumente %; , %,

i

mit der

Reihe %,, ,: o bis auf die, Folge überein, und die %,, %,

sind Funetionen von &. Folglich muss sein

; = QV).

Da auch die umgekehrten Schlüsse gelten, wie die Betrachtung von

D = Tı(ı), Dn = o (%), OE To(.)

Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades.

511

zeigt, so ergiebt sich: Jeder der conjugen Werthe w,, %,

1/’n'

ist eine ratıonale Function jedes anderen.

Daraus folgt, dass ein jeder eine lineare gebrochene

Function jedes anderen ist.

Denn setzen wir

Va

_ M@)

—_ Va(e)

0 N(%)?

A

so folgt bei Substitution des zweiten Werthes von w ; in die erste

Gleichung, weil dadurch eine Identität entstehen müsste, und also

rechts gekürzt werden könnte, der ausgesprochene Satz nach S 273,

Bd. I. Folglich ist, immer mit constanten Coefficienten,

Va

Z

d — 0

D V + d?

ß

—, Fa

$ 653. Wir wählen nun einen beliebigen Werth % aus und setzen

2)

_h(z„z„

k(2172”21

8°

wobei % und % ganze Funetionen der Argumente z ohne gemeinsamen

Theiler sein sollen.

Ebenso schreiben wir

)

n (z‚l7l‚ Ba

S

) A

S k (: Ba

)_ki(‚z„z2‚_ )

Es ist nun nach der letzten Gleichung des vorigen Paragraphen

==

a;h + b;k

C;,h + d,k?

und da % mit % keinen gemeinsamen Theiler hat, so hat einen solchen

auch %; nicht mit %; und ebenso wenig (a;h + b;k) mit (c;h + d;k).

Folglich sind bis auf constante Factoren die beiden Zähler der letzten

Gleichung einander gleich und auch die beiden Nenner. Diese con-

stanten Factoren können wir mit A;, b; bezw. C,

d; vereint denken

und dürfen

h=ah +bisk, k=ch + d;k

schreiben. Dies gilt für beliebige Indices %, so dass wir

h; = alh + b;k,

h; = ajh + b;k

setzen können.

Ist a;b; — a;b; von Null verséhieden, so liefert die

Elimination von % eine lineare Beziehung zwischen A, h;

und A;.

Ist

dagegen a;b; = b;a;,

so gilt schon eine lineare Beziehung zwischen

512

Achtundsechzigste Vorlesung $ 653—655.

h; und h;.

In beiden Fällen also giebt es zwischen drei willkürlichen

conjugen Functionen h, h;, h; eine Relation

a:-h+ ß M + h;=0,

in welcher mindestens zwei der Coefficienten von 0 verschieden sind.

Man kann daher jede der conjugen Functionen h,, , h3,

durch zwei willkürlich gewählte %, in der Form

(64)

ha = Aclız + Oal

(@=1,2,3,:--)

darstellen.

$ 654. Um hieraus weitere Schlüsse ziehen zu können, wollen

wir ein allgemeines Theorem über die conjugen Gruppen ($ 541) einer

Gruppe G+

G, A, Gs)

G

ableiten. Der Satz gehört zu dem in $ 543 behandelten und lautet:

Jede Gruppe G, von Substitutionen aus %” Elementen hat

mit einer ihrer conjugen Gruppen noch von der Einheit

verschiedene Substitutionen gemeinsam, wenn n >4 ist.

Gesetzt G, besässe mit jeder der Gruppen G, G, : G der

n Elemente 2Z,, %,

.. Z immer nur die Einheitssubstitution gemein-

sam, dann sei s eine Substitution aus G,, welche möglichst wenige,

nämlich nur (n — v) Elemente umsetzt, wobei v <n sel.

Wir betrachten zuerst den Fall v >2.

Dann giebt es eine

Transposition £= (242g) aus zwei in s nicht vorkommenden Elementen.

Nun wird wegen der Form von s die Transformirte

( 150 = (a8p) *S (2u0p) = 5i

und wenn f nicht zu G, gehörte, dann hätte G, mit G1 =07'G,t

die Substitution s gegen die Voraussetzung gemeinsam. Folglich muss

— (222g) In G, vorkommen. Ist jetzt n > 4, nimmt man für die

eben betrachtete Substitution s das , dessen Vorkommen in G, soeben

nachgewiesen worden ist, dann zeigen dieselben Schlüsse, dass G, alle

Transpositionen und also die symmetrische Gruppe umfasst. Hierfür

wird das Theorem gegenstandslos.

Ist dagegen ”< 4, dann zeigt sich leicht,

- dass der Satz nicht

mehr gültig bleibt.

Wir betrachten nun den Fall v <1. Die Gruppe G, enthält

dabei nur reguläre Substitutionen, d. h. solche, die aus Cyklen von

derselben Ordnung bestehen. Ist zuerst v = 1, dann ist entweder %

oder x — 1 keine Primzahl; daher giebt es eine reguläre Substitution

Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades

513

und sie oder eine ihrer

in G, die nicht von Primzahlordnung ist

Potenzen enthält mehrere Cyklen, z. B

(2, %9 @3) (Z4@586)

Transformirt man nun ın diesem Falle durch einen der Cyklen

z. B

hier durch (z,%23), SO reproducirt sich die Substitution

Also müsste

nach den obigen Schlüssen gegen die Voraussetzung der Cyklus selbst

als Substitution zur Gruppe G, gehören

Es kann demnach nicht

v = 1 sein

Ist endlich v= 0

so besteht G, aus Substitutionen

die alle

oder kein Element umstellen; hier reichen dieselben Ueberlegungen

aus

’

auch wenn die Substitutionen nur aus einem Cyklus bestehen

indem man z. B., wenn % eine Primzahl ıst

$ = (

Zn)

durch

(21) (222n) (232un—1)

transformirt

Unser Satz ıst also in allen Fällen bewiesen

$ 655

Wählen wir nun in den Betrachtungen des 8& 653 über

die Resolventen mit einem Parameter für die Formel (64) Z; und h;

so, dass ihre Gruppen ausser der Einheit noch andere Substitutionen

gemeinsam haben, dann würden gemäss dieser Formel alle Gruppen

der n 7 Wn

dieselben Substitutionen gemein haben

Das wider-

spricht dem Satze $ 543

Folglich giebt es

wenn n >4 iıst

keine Gleichungen für Resolventen, die nur von einem ein-

zigen Parameter abhängen

Bei n= 4 treten Funetionen auf, deren Gleichung nur einen

Parameter aufweist

Nehmen wir die Funetionen

(2,

8g) (&a — 2a4)

ı

(2;2 p Z3) (zl

%)

so werden ihre conjugen Werthe die folgenden

(3

— Zg) (51

'°4>

1

Dı —

(Z1 — g) (&a — z4)

Pı

Pı

(23 —

(1 — %) (Z3 — 4) TE

%) (& — Z4)

ı;

@s

%) (& — %ı)

al

Pı

(&

z2) (Zß D Z4)

—

(21 — 8 ) (&4 — %)

Pı

(Zu

3) &1 — %)

1—o@,

(

3) (& — %)

—

1—o,;

Pe

(21

8g) (%4 — 2)

Pı

Netto, Algebra. IT

33

Sln

514 Achtundsechzigste Vorlesung $655. Die allgem. Gleichgn. fünften Grades.

Diese

sechs

sind. die Wurzeln der

Grössen %,, %,

P6

Gleichung

D —y A — GA—5) n An —d I =0;

in welcher 4 eine symmetrische Grösse in %,, %, %, %4 bedeutet,

die durch

24 (Yo - Xi

— _Zq‚g

berechnet werden kann.

Die obige Gleichung zeigt auch, dass

A =z= —

o — 80 4 — S

@= 1

6)

— 290 +

eine symmetrische Function der „ oder auch der 24 ist.

Namen- und Sachregister

(Die lateinischen Zahlen beziehen sich auf den Band, die deutschen auf die Seite.)

Abattı IL, 316

Bezoutiante II, 158. 269

Abbildung I, 16

BeEzout’sche Resultante I, 157

Abel ITI, 203 ff. 375. 399. 416. 426. 440

Biehler I, 225. 236. 239

Biermann II, 174

Abel’sche Gleichungen IT, 230 ff.

Abel’sche Gruppen IL, 235 ff. 289.

Binäre Substitutionen II, 288.

Abhängigkeit von Funetionen 100 SS

B1qua‚dratmche Gleu‚hung 1D SAl n

Ab1@1tu1w IR Zl

C

Desartes’sche Losuncr IL 922

— eines P10ductes 162

Z

Euler’sche Lösung I 341

— einer Summe I, 21

Z

ün

z

Z

mit gegebener Gruppe 10R S50 in

Absoluter Betrag I, 10

Lagrange’sche Lösung I, 343.

Addition I, 1

Z

Wurzeld130usswnl 246 344.

— complexer Grössen I, 4. 11

Bonnet T, 236.

Adjungirun

Adjunetion II, 349

Bomhardtl 2 99 2y

Adjungirte quadratische Form I, 183

Bougaieff II, 484

Affect IT, 353

Brill I, 14

Aehnliche Substit. u. Gruppen II, 307

Bring II, 487

Algebraische Zahlen IL, 375.

Brioschi IT, 14. 493. 500. 502

Algorithmus d. gemeins. Theilers I, 64 ff.

Burkhardt IL, 416

— zur Wurzelberechnung I, 300.

Burnside I, 205; IL, 337

— — für alle Wurzeln I 308

Algorithmen, die sich ergänzen I, 305

Capelli II, 391. 398

Alternirende Functionen IL, 258

Casus irreducibilis II, 493 ff.

— Gattung I, 261

Catalan I, 225

Cauchy I, 37. 249. 272; II, 266. 316

Anfangsradical IL, 399

Amplitude complexer Grössen I, 10

— Existenzbeweis I, 26. 31

Anzahl reeller Wurzeln I, 208 ff, 217 ff.

— Interpolation I, 43

230.#. 238 #.; I, 185

— Umkreisungssatz I, 35. 257

Arithmetische Substitutionen II, 274

— Wurzelgrenze I, 203

Arndt I, 362

Cayley II, 70. 146 ff.

Aronhold II, 14

Cayley’sche Resultante I, 158

Associatives Gesetz I, 1

Charakteristiken II, 173 ff.

Auflösbare Gleichungen fünften Grades

Clintock, Me. ITI, 485, 486

IT, 480 ff

Cohn T, 290

Auflösbarkeit II, 415 ff

Colombier I, 236

Commutatives Gesetz I, 1

Austrittspunkte I, 268; II, 175

Autojuger Theiler II, 328

Complexe, conjuge IL, 306

— Maximaltheiler II, 331

Complexe Grössen I, 1 ff. 3

— geometrische Darstellung I, 10

Bachmann I, 377

Compositionsfactoren II, 332

Baltzer I, 158

Bernoulli, D. I, 290 ff

Compositionsreihe II, 332

Conjuge Gattungen IT, 306

Bertini I, 124

Conjuge Gruppen I, 306

Bertrand ITI, 316

Conjuge Werthe II, 302. 306

Betti II, 497

Conjugirt complexe Grössen I, 13

Bezout I, 178; II, 87. 100. 107

Conjugirte Funetionen I, 14

33

516

Namen- und Sachregister.

Convergenz von Näherungsalgorithmen

Euler’sche Resultantendarstellung I, 152

I, 302. 304.

Excess I, 254.

Cramer II, 86.

Cubische Gleichungen I, 334 ff.

— — KEuler’sche Lösung I, 335.

Faä di Bruno I, 133.

2

E

Factorgruppe II, 343.

E

—A

irreductibler Fall I, 338; IT, 493 ff.

Faure I, 225.

C

goniometrische Lösung I, 338.

Folge (Zeichen-) I, 216.

— Lagrange’sche Lösung I, 339.

Folgenfolge I, 227.

_

_

Tschirnhausen’sche Lösung I, 334

Folgenwechsel I, 227.

— — Wurzeldiscussion I, 245. 337.

Fortschrittsrichtung II, 174.

Cyklen von Substitutionen II, 262 ff.

Fouret I, 112; II, 120.

Cyklische Functionen II, 264 ff.

Fourier I, 216. 283. 290.

— Gleichungen IT, 208 ff.

Frobenius I, 197; II, 239. 277.

— Substitutionen II, 262.

Function, ganze I, 15.

— — mehrerer Var. I, 1 £.

Darboux I, 260.

— rationale, d. Wurz. I, 113 ff.

Dedekind I, 8; II, 375.

— o-Werthige I, 114.

Definite quadratische Formen I, 197.

— symmetrische I, 96 £. 113 ff.

Descartes I, 233. 342.

— Zerlegung I, 89; II, 15 ff.

— Regel I, 219. 222.

Functionaldeterminante IT, 90. 138 ff. 165

Determinante quadratischer Form I, 182

Fundamentalsystem I, 109.

Diagonalsubstitutionen II, 282.

Differentialgl. für Discriminanten I, 180

Galois II, 291. 347. 496.

— für Eliminanten II, 116.

Galois’sche Funct.-Gattungen IT, 298.

— für Resultanten I, 163.

— Gleichungen II, 298.

— für symmetr. Funct. I, 133 ff.; II, 75

— Gruppe einer Gleichung II, 345 ff

Dimension von Funet. II, 2.

Ganze Functionen I, 15; II, 1 £f.

Discriminanten I, 177 ff.; II. 154 ff.

Gattungsbereich II, 376.

— Differentialgl. für sie I, 180.

Gattungsdiscriminante II, 324.

— eines Systems v. Gl. II, 158.

Gattung v. Functionen II, 294 ff.

Distributives Gesetz I, 3.

Gauss I 28° 52. 104 106, 173. 222. 359

Division L, 3.

361. 366. 378; IT, 183. 416.

Divisor von Null verschieden I, 3.

Gauss’sche Darstellung symmetr. Funct

Divisor einer Gruppe II, 236.

T, 104. 110.

Doppelwurzel I, 17. 181.

— Kreistheilung I, 359 ff.

Dziobek I, 321.

— Wurzelexistenzbeweise I, 28; II, 183

— Zerlegung ganz. Funct. I, 52

Einfache Gruppen II, 328.

Gegenbauer II, 457 ff

Einheiten I, 3,

Geometrische Gruppe II, 277 ff.

Einheitselement II, 237.

— Reihe I, 91.

Einheitswurzeln I, 345.

— Substitut. IL 274 ff.

Gerade Substitut. II, 260.

— Darstellung, geometrische I, 352.

— nicht-primitive I, .347.

Gesammteliminante II, 131.

— primitive I, 347.

Gewicht eines Gliedes I, 107.

— — ihre Anzahl I, 350.

— der Discriminante IL, 162.

— — ihre Gleichung I, 353.

Glashan II, 484.

— — Zugehörigkeit z. Expon. I, 347. 351

Gleichung, algebraische I, 15.

Eintrittspunkte I, 268; M, 175.

binomische II, 393. 399.

dritten Grades (siehe cubische Gl.).

Eintypige symm. Funet. I, 97; II, 63.

Eisenstein’s Irreduct.-Theorem I, 56. 360

fünften Grades I, 124 ff.; IL, 487 ff.

Elementare symm. Funet. I, 96; IT, 64.

— — Reduction I, 124 £.

Elementare Transformation II, 281.

— — auflösbare II, 480 £.

Eliminante II, 34. 84.

— — Unauflösbarkeit II, 423.

Elimination II, 33.

Galois’sche II, 298.

Kreistheilungs- I, 359 £f.; II, 397.

Encke I, 294.

End II, 173.

reciproke I, 119.

Endradical IT, 399.

vierten Grades (siehe biquadrat. G1.).

Erweiterte cykl. Gleich. II, 267.

der Wurzeldifferenzquadrate I, 128

Euklid’scher Algorithm. I, 64 ff.

324. 328.

Euler I, 180. 290. 298. 341. 378; II, 88

— zweiten Grades (siehe quadrat. Gl.).

— Identitäten I, 41,

Gleichungspolynom I, 15.

Namen- und Sachregister.

I

17

Goniometrische Lösung

cubischer Gl.

Kiepert II, 487 ff.

I

)

Kirkmann L, 374.

Go

T

°dä118 T, 159; IL, 490 £f.

505. 509

Klein, F. II, 328. 487. 494. 505.

— Wurzelexistenzbeweis

AL

Kneser IT, 384. 389. 390. 399. 456.

Königsberger’s Theorem über irreduct.

Grad einer Function I, 15.

— — — mehrerer Variablen I, 2.

Functionen T, 61.

Grenzen für die Wurzeln I, 20. 201 ff.

Kreispolygone, reguläre I, 377; II, 453.

Grenzgewicht IL, 90.

Kreistheilungsgleichung I, 359 ff.

— Auflösung nach Gauss I, 365 ff.

Grenzpunkte bei Näherungsalgorithmen

E S azrange 0376

IT, 305.

— Irreductibilität I, 360; I, 397.

Gruppen IL, 235.

35

— Äbel’sche II, 235 ff.

Kronecker I, 48. 55. 78. 268. 273

168

— geometrische II, 277.

8 B6Ze JI0 ıln 87 06 120

— vertauschbare IT, 327.

175 ff. 203. 207. 239. 266. 271

281

316. 324. 357. 375.

390.

397.

416

436. 441. 502. 505.

Hack II, 352.

Halbmetacyklische Funet, IL, 283.

Harley IL, 487.

Labatie IL, 60.

Haupt(compositions)reihe IT, 336.

Lagrange I, 54. 272. 290. 323 . 331

389. 343. 378 ff.; II, 304.

Hermite I, 213. 285. 261; II, 495.

z

— Theorem I, 269; II, 184 ff. 497 ff,

Interpolationsformel I, 39.

Hesse II, 467. 474.

Lösung d. Kreistheilungsgl. T, 378 ff

Hilbert 1I, 126. 193 ff. 354.

— numerischer Gleich. I, 328.

Hölder II, 321. 343. 454 ff.

An

Resolvente I, 378.

Laguerre I, 205.

Homogene Functionen II, 2.

Homogeneität d. Eliminante IL, 115.

Laplace I, 44.

Humbert II, 120.

Laurent IT, 156.

Lebesgue I, 362.

Legendre’s Polynom I, 210.

Imaginäre Congruenzwurzeln IL, 291.

Lineare gebrochene Function I, 319.

Imprimitive Gleichungen II, 208.

Imprimitive Gruppen II, 364,

— (homogene) Gruppe IL, 283.

Indefinite quadrat. Formen I, 197.

Liouville II, 38. 76. 107. 118. 172.

Interpolationsformel, Cauchy I, 43.

Longchamps I, 205.

— Lagrange I, 39; IL, 170.

Lüroth II, 505. 508.

.

— Newton IL, 50.

Intransitive Gruppen I, 357.

Mac Mahon IL, 70.

Invarianten Abel’scher Gleich. II, 240.

Magnus II, 59.

— quadratischer Formen I, 182.

Maillet IT, 348.

Trreductibilität I, 51 ff.; II, 14. 193 ff

Mandl I, 35.

— eines Gleichungssystems II, 132.

Mathieu I, 281.

— der Kreistheilungsgl. I, 360; IL, 397

Metacyklische Functionen I, 285 ; IT, 481 ff.

— der Resultante I, 169; IL, 79.

— Gleichungen IT, 286.

Isenkrahe I, 301.

— Gruppen II, 284.

Isobarische Function I, 107.

Me. Clintock II, 485. 486.

Isomorphismus, einstufig II, 339.

Meyer, Fr. IL, 45.

— mehrstufig II, 341.

Minding II, 50 ££.

Iterirung I, 314 £f.

Mittelradical IL, 399,

— allgemeine Eigenschaften I, 316.

Mittelwerthsätze I, 214 ff.

— gebrochener linearer Funet. I, 319.

Modulargleichungen IL, 496.

— — rationaler Funet. I, 321.

Modul complexer Grössen

0

IT, 495.

— elliptischer Functionen

Jacobi I, 43. 46. 157. 194. 196. 270.

Moigno I, 254.

378; IL, 90. 138. 139. 142. 165. 420.

Molk II, 96. 129. 132. 375

390

495. 498 ff.

Mollame IL, 467.

Jerrard I, 125; II, 487.

Multiplicator IT, 495.

Jordan II, 51. 316. 363. 443.

Multiplicatorgleichung IT, 498 ff.

Junker II, 73. 74.

Multiplicität v. Wurzeln I, 18. 38. 72

IT, 29. 89 ff

Kerschensteiner I, 159

Kettenbrüche I, 329.

Nebengruppe II, 306.

Newton I, 277. 278; II, 51.

Kette von Radicalgrössen II, 398.

518

Namen- und Sachregister.

Newton’sche Formeln d. Potenzsummen

Quadratische Gleichungen, Wurzeldiscus-

I, 98.

sion I, 244; IT, 419.

— Interpolationsformeln I, 50.

— Näherungsmethode I, 282 ff. 309 ff.

Radicalzahlen II, 397 ££.

314.

Rang Abel’scher Gleichungen I, 278.

— Dobeon 1 52

— einer Determinante II, 188.

— Regel I, 233,

— eines Gleichungssystems IL, 96. 188.

— — vervollständigte I, 234.

— einer quadrat. Form I, 185; II, 185.

Rationalitätsbereich I, 51.

52.

372;

Nichtprimitive Einheitswurzeln I, 347.

Noether I, 157; II, 124

inl S

Norm IL, 381.

Recıproke Gleichungen I, 119. 365.

Nullstellen I, 17.

Recursionsformeln f. Potenzsummen I, 97.

98; II, 65.

— © 18elaen IL 06 SOn

Ordnung eines Elementes II, 238.

— einer Gruppe IL, 238.

Recurrirende Reihen I, 86 ff.

— der geometrischen Gruppe II, 279.

Reductibilität I, 51; IL, 198 ff.

— — Recursionsformel I, 88.

— eines Gleichungssystems 1, 132,

Orthogonale Substitution I, 198.

Reductible Functionen II, 14.

Reiss IL, 474.

Panton I, 205.

Resolvente I, 378; IL, 368 ff.

Partialbrüche I, 42. 73.

Resolventengleichung IL, 369. 372.

Partielle Differentialgl. f. Discriminanten

— ihre Gruppe II, 369.

Resultante I, 149 ff. 162 ££.; IL, 77.

I 80

Darstellung I, 150 ff.

N Resultanten 6S A

n E

nach Bezout I, 157; I, 97 ff.

— — f, symmetr. Functionen I, 133 £f.;

OS

I 75.

nach Cayley I, 158; II, 146 ff.

Pasch I, 214.

B

nach Euler I, 158.

Perioden f. primitive Einheitswurzeln

K

durch Gleichungswurzeln I, 150.

e

nach Poisson II, 76 ff.

I, 367.

Pfaffian II, 191.

nach Sylvester IT, 152 ff.

Poisson II, 67. 86. 208.

Ei

genschaften I, 162 ff.; IL, 115 66

Polygone, reguläre I, 377; IL, 453.

Irreducetibilität I, 169; IL, 79.

Partielle Differentialgl. I, 1638.

Polynom einer Gleichung T, 15.

Reuschle I, 355.

Potenzsummen; independente Darstel-

Rolle’s Satz I, 201. 208.

lung I, 98; II, 64 ff

— Newton’sche Formeln I, 98.

— — Anwendungen T, 209 £f.

— Waring’sche Formeln I, 100.

Ruffini II, 316. 416.

— f, Wurzeln d. Einheit I, 356.

Runge T, 55; II, 480.

Poulam L 20 202

Primitive Einheitswurzeln I, 347.

Salmon II, 152.

5 Anzahle 350

Sancery I, 300.

2 Gleichung 1 358;

Scheibner I, 175.

— Gleichungen II, 208.

Schering, E. IL, 289.

Schläfli II, 70. 83.

— Gruppen IT, 365.

Produect d. Wurzeldifferenzquadrate 1,129.

Schmidt, C. IT, 108. 107.

Schönemann IT, 397.

Schröder I, 300.

Quadratische Formen I, 182 ff

Selivanoff IL, 480. 484.

O Aunr SS

Serret II, 107. 316.

definite I, 197.

Determinante I, 182.

Signatur quadratischer Formen %. OS

Hermite’sche I, 261 ff.; II, 184 ff.

IL, 185.

indefinite I, 197.

Signum L, 21.

Invariante I, 182.

Singuläre Punkte IT, 160. 163.

Species quadratischer Formen IL OC

Rang I, 185; II, 188 ff.

Steiner IL, 474.

reciproke I, 183.

Signatur I, 197; II, 185.

Stickelberger IL, 289.

Species I, 197.

Stufe eines Gleichungssystems II, 96. 131.

Trägheitsgesetz I, 195.

Sturm I, 238. 252. 253.

Transformation I, 183.

Sturm’scher Satz I, 240.

—_-

— — aus dem Cauchy’schen Umkreisungs-

Verwandlung in Quadrate T, 190.

5uadr

atische Gleichungen, Lösung I, 334.

satze I, 257.

519

Namen- und Sachregister.

Vertauschbare Gruppen II, 326 ff.

Subgruppe II, 236.

Substitutionen I, 96; IL, 256.

— Substitutionen II, 326 ff.

— -Gruppe II, 258.

Vielfaches einer Gruppe II, 236.

— vertauschbare IL, 324.

Vielfache Wurzeln I, 18. 38. 72. 181;

Sylvester I, 127. 158. 182. 199. 213. 225.

II, 29. 89 ff.

280. 288 252 e IUL DE

Vincent I, 381.

— Trägheitsgesetz I, 194.

Symmetrische Functionen I, 96 ff. ; 1I, 63 ff.

Waring I, 100. 272. 324.

— — Dioonulalel, 1L 188 R2 IL 5

— Formel f. Potenzsummen T, 100.

Sn

— eintypige I, 97; II, 63.

Weber, H. II, 215. 306. 328. 352. 441.

— — elementare I, 96; IT, 64.

Wechsel der Zeichen I, 216.

Zn

— Relationen unter ihnen II, 71.

Wechselfolge I, 227.

E

FA

Gattung II, 256.

Wechselwechsel I, 227.

rationale Functionen I, 112.

Weierstrass T, 8.

Wendepunkte II, 460 ff.

Tauber I, 310.

— -Dreieck II, 472.

— -Gerade II, 471.

Thaer II, 14.

Theileliminante II, 131.

Wurzel I, 17; II, 25. 26.

Theiler, grösster gemeinsamer I, 64 ff.

— Anzahl I, 26; II, 38. 45. 49 ff. 85 ff,

Il, 21 ff

— — (Geeller) 1, 205 21% 280, 288

— einer Gruppe IL, 236.

IM 168

-— — — autojuger- IT, 328.

Wurzelexistenzbeweis I, 26 ff.

Transformation der Gleichungen I, 1138 ff.

Wurzelpunkt I, 17; II, 26.

— der Gruppen II, 307.

— dquadratischer Formen I, 183.

Young IT, 484.

Transformirte einer Gruppe od. Funetion

IT, 308.

Zeichenfolge I, 216.

Transitive Gruppen II, 357 ff

Zeichenwechsel I, 216.

Transposition 1, 258.

Zerfällung einer Gleichung II, 373.

Trennung der Wurzeln I, 279 ff.

Zerlegbare Functionen II, 14.

Tripelgleichungen II, 474 ff.

Zerlegung Abel’scher Gruppen II, 251.

Tschirnhausen - Transformation I, 119.

— ganzer Functionen in lineare Factoren

125. 334. 341.

1, 6,

— — — In irreductible Factoren I, 51. 71.

Umschlingung des Nullpunktes I, 38.

— rationaler Functionen in Partialbrüche

Unabhängigkeit eines Functionensystems

E 49 B,

IL 185

Zsigmondy II, 289.

Ungerade Substitutionen II, 260.

Zulauf II, 474.

Untergruppe II, 236.

Zusammengesetzte Gruppen II, 328.

Unzerlegbare Functionen II, 14.

Zweifache Transitivität II, 361.

E

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Z

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H

Die allgemeinen Gleichungen fünften Grades.

511

zeigt, so ergiebt sich: Jeder der conjugen Werthe %,, %,

1pn‘

"unetion jedes anderen.

V

N dass ein jeder eine lineare gebrochene

eren ıst.

Denn setzen wir

U

>

l

x

M(#)

(Vo

=

ß

T

>

N ()’

Ah(C)

Euroskala Offset

|

jon des zweıten Werthes von %g in die erste

S

=

ch eine Identität entstehen müsste, und also

l

könnte, der ausgesprochene Satz nach $ 273,

R

ımer mit constanten Coefficienten,

l

du, — 0

Cla

Q

7 “»”p’+ d?

ß

—C00 +a

VierFarbSelector Standard*

115

an nun einen beliebigen Werth & aus und setzen

Balance

h(z„z„

%n)

|

(9)

ä

k(21,22‚ .Z„)’

]

Focus

15

Funetionen der Argumente z ohne gemeinsamen

benso schreiben wir

|

N

14

E h (‚z‚.l‚ D

) h„'(zlv z21

)

)

M

13

_k(z{‚z„-.) @ 9

;tzten Gleichung des vorigen Paragraphen

L

12

h

7

ayh + b;k

]l/

c,h + d,k?

K

11

gemeinsamen Theiler hat, so hat einen solchen

J

10

und ebenso wenig (a/h + b;k) mit (cih + d;k).

‚onstante Factoren die beiden Zähler der letzten

I

s»ch und auch die beiden Nenner.

Diese con-

ıen wir mit a;, b; bezw. c;, d; vereint denken

H

d

Il

ach + b;k,

71‚ =— C;]L + d,']»'

G

ir beliebige Indices %, SO dass wır

F

h;

==

a;h + b,jl[‚

h;

ED

Gjh + bj7v'

E

b; — ajb; von Null versﬁhieden‚ so liefert die

D

3 lineare Beziehung zwischen %, %; und h;. Ist

%__ H8

30 gilt schon eine lineare Beziehung zwischen

C

1

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