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VORLESUNGEN

ÜBER

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Dr. EUGEN NETTO,

O0. Ö. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT ZU GIESSEN.

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ERSTER BAND.

MIT EINGEDRUCKTEN HOLZSCHNITTEN.

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DRUCK UND VERLAG VON B.G. TEUBNER.

1896.

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ALLE RECHTE,

EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS‚ VORBEHALTEN.

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Die „Vorlesungen über Algebra“, deren erster Band hier vorliegt,

sollen eine auf algebraische Methoden gegründete Einführung in die

Untersuchungsgebiete liefern, welche den Hauptbereich der höheren

Algebra bilden.

Sie sollen mit den elementarsten Theilen dieser

mathematischen Disciplin beginnen und bis zu den neueren, tiefer

gehenden Fragen und Forschungen hinführen, indem sie die allgemeine

Theorie der einzelnen algebraischen Gleichung sowie diejenige mehrerer

algebraischer Gleichungen und so insbesondere auch die Elimination

behandeln.

Von dem umfangreichen, bisher angesammelten Stoffe

hoffe ich nichts Wesentliches bei Seite gelassen und das Gebotene

durchsichtig und übersichtlich angeordnet zu haben; dass mancherlei

eigene Arbeiten in den Vorlesungen Platz gefunden haben, mag, wenn

nicht anerkannt, dann doch entschuldigt werden.

Unter die algebraischen Hülfsmittel der Untersuchung rechne ich

die Theorie der Determinanten in weitestem Umfange und setze eine

vollkommene Beherrschung ihrer Methoden für die Benutzung dieser

Vorlesungen voraus.

KEs wäre ja leicht gewesen, einer scheinbaren

theoretischen Vollständigkeit zu Liebe auf wenige Seiten die Principien

dieser Lehre zusammenzudrängen; ın der Sache würde aber meiner

Meinung nach doch nichts geändert worden sein, und deshalb ver-

zichtete ich lieber darauf. Das Gleiche gilt von dem Wenigen, was

aus den KElementen der Zahlentheorie benutzt wird; auch das habe ich

einfach als bekannt vorausgesetzt.

Bei dem gegenwärtigen Stande der Wissenschaft war es noch

nicht möglich, die Darstellung lediglich auf ariıthmetische Grundlagen

zu stützen, wie das wohl erstrebenswerth sein möchte.

Deshalb habe

ich davon abgesehen, die nach dieser Seite hin gerichteten Unter-

suchungen systematisch vorzutragen und bin nur gelegentlich, wo es

ohne Mühe geschehen konnte, darauf eingegangen.

KEine Behandlung der algebraischen Formen und der Theorie der

Invarianten war nicht beabsichtigt; sie lag um so weniger in dem

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Vorwort,

Plane des Buches, als für dieses Gebiet bereits ausgezeichnete Dar-

stellungen vorhanden sind, denen kaum etwas hinzuzufügen wäre.

Dass aber dort und hier kleinere Gebiete gemeinsam durchforscht

werden mussten, ist natürlich. Auch das Heranziehen der Gruppen-

und der Substitutionen-Theorie habe ich vermieden; einmal um die

algebraischen Methoden in möglichster Reinheit und möglichstem Um-

fange zu verwenden, und dann, um gerade für diese Forschungen den

Boden erst zuzubereiten.

Das folgende ausführliche Inhaltsvefzeichniss wird hinlängliche

Auskunft über die Auswahl und die Gliederung des Stoffes geben, so

dass ich hier nicht darauf einzugehen brauche. Ich will nur erwähnen,

dass der zweite Band der Vorlesungen in erster Linie auf die al-

gebraische Lösbarkeit der Gleichungen und auf die Theorie der Elli-

mination eingehen wird.

Die Literaturangaben habe ich so vollständig, als es mir möglich

war, dem Texte beigefügt.

Giessen.

Eugen Netto.

Inhaltsverzeichniss.

K E

Einleitung.

Das Operationsgebiet (Vorlesung 1).

Erste Vorlesung.

Die complexen Grössen.

S. 1—15.

Gesetze der Addition.

S

$ 2. Gesetze der Multiplication.

$ 3. Subtraction

und Division.

$ 4. Zwei Einheiten.

$ 5. Bestimmung sämmtlicher Systeme.

$ 6. Beschränkung auf zwei Einheiten.

$ 7. Geometrische Darstellung complexer

Grössen. Modul; Amplitude. 8& 8. Addition.

$ 9. Multiplication.

$ 10. Elemen-

tare Eigenschaften.

NS

KErster Abschnitt.

Ganze Functionen und algebraische Gleichungen (Vorlesung 2—16).

Zweite Vorlesung.

Ganze Functionen und algebraische

S. 15—25.

Gleichungen.

$ 12. Ganze Function.

Algebraische Gleichung.

Grad. $ 18. Abbildung.

$ 14. Wurzeln, einfache und mehrfache.

Fundamentalfrage.

$ 16. Stetigkeits-

sätze.

$ 17. Grenze für die Wurzeln.

$ 19. Ableitung.

$ 20. Aenderung der

Function mit dem Argumente.

Dritte Vorlesung, Existenz von Wurzeln algebraischer

Gleichungen.

S. 25—38.

$ 23. Gleichungen ungeraden Grades.

$ 24. Cauchy’scher Existenzbeweis.

$ 26. Geometrische Darstellung.

8 27. Gauss’scher Beweis.

$ 29. Zweiter

Cauchy’scher Beweis.

$ 30. Punkte mehrfacher Wurzeln.

$ 32. Cauchy’scher

Umkreisungssatz.

$ 35. Umschlingung.

Vierte Vorlesung.

Zerlegung; Interpolation.

S. 38—50.

$ 36. Zerlegung in Linearfactoren.

$ 37. Lagrange’s Interpolationsformel.

$ 38. Euler’sche Formeln.

$ 39. Zerlegung in Partialbrüche.

$ 40. Directer

Nachweis

der Euler’schen Formeln.

$ 41. Cauchy’s Interpolationsformel.

$ 44. Versagen derselben.

$ 45. Analoga zu den Euler’schen Formeln.

$ 46.

Newton’sche Interpolationsformel.

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Inhaltsverzeichniss.

Fünfte Vorlesung.

Reductibilität und Irreductibilität.

S. 51—64.

$ 47. Rationalitätsbereiche. Zerlegung.

$ 48. Zerlegung im Bereiche der ra-

tionalen Zahlen.

$ 50. Aufsuchung irreductibler Factoren,

Kronecker’sche

Methode.

$ 51. Vereinfachung.

$ 52.

Eisenstein’scher Satz.

8 53. Erwei-

terungen.

$ 58. Königsberger’sche Sätze.

Sechste Vorlesung,

Grösster gemeinsamer Theiler zweier Functionen.

Vielfache Wurzeln algebraischer Gleichungen.

S. 64—75.

$ 61. Kuklid’scher Algorithmus.

$ 62. Darstellung der Zwischenfunctionen.

$ 64. Gradbestimmung. $ 67. Beispiel. $ 68. Fundamentalsätze über den grössten

gemeinsamen Theiler. $ 69. Kindeutigkeit der Zerlegung. $ 70. Vielfache Wurzeln.

$ 71. Zerlegung in Partialbrüche.

Siebente Vorlesung,

Reihenentwickelung einer rationalen Function.

S. 75—86.

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720

Problem über Zwischenfunctionen des Euklid’schen Algorithmus.

$ 73. Lösung.

$ 74. Determination.

$ 75. Unbestimmtheit.

$ 76. Darstellung.

$ 77. Recursionsformeln. $ 78. Darstellung durch die Coefficienten der Functionen.

Achte Vorlesung.,

Recurrirende Reihen.

S. 86—95.

$ 80. Ordnung recurrirender Reihen. $81. Entwickelung rationaler Functionen

nach fallenden Potenzen. $ 82. Verschiedene Recursionsformeln. $ 83. Recursions-

formel bestimmend für den gemeinsamen Theiler von Zähler und Nenner.

8 84.

Charakteristische Bedingungen für einen Theiler „t°® Grades, $ 85; Geometrische

Reihe.

$ 86. Vereinigung recurrirender Reihen.

$ 87. Independente Darstellung

der Coeffcienten,

$ 89. Entwickelung nach steigenden Potenzen.

Neunte Vorlesung.

Die symmetrischen Functionen.

S. 96—113.

$ 90. Elementare symmetrische Funetionen. $ 91. Potenzsummen. Newton’-

sche Gleichungen.

$ 92. Independente Darstellung; Waring’sche Formel. $ 94.

Umkehrung.

$ 96. Darstellung jeder symmetrischen durch die elementaren

Functionen.

$ 97. Gauss’ Beweis.

$ 99. Ausscheidung von Gliedern. Gewicht;

isobarische Function.

$ 108. Ein-

$ 100. Beispiel.

$ 101. Cauchy’s Beweis.

deutigkeit der Darstellung.

$ 104. Gebrochene symmetrische Functionen.

8 105.

$ 106. Cauchy’s

Symmetrische Functionen gegebener rationaler Functionen.

Darstellung.

Zehnte Vorlesung.

Transformation von Gleichungen vermittels der

symmetrischen Functionen.

S. 113—183.

$ 107. Problem und Lösung.

8& 108. Gebrochene Function der Gleichungs-

wurzeln als ganze Function dargestellt. $ 109. Die Wurzeln werden um eine

Constante vermehrt. $ 110. Die Wurzeln werden mit einer Constanten multipli-

cirt.

8 112. Reciproke Werthe der

$ 111. Die Wurzeln werden potenzirt.

Wurzeln.

8 113. Reciproke Gleichungen.

8& 114. Tschirnhausen’sche Trans-

formation.,

8 115. Ihre Benutzung zur Wegschaffung von Gliedern, Gleichung

dritten und vierten Grades.

$ 116. Gleichung fünften Grades.

$ 118. Function

mehrerer Wurzeln.

$ 119. Summe je zweier Wurzeln.

$ 120. Wurzeldifferenz-

quadrate.

8 121. Product aller Wurzeldifferenzen,

S 122. Producte Jje einer

Wurzel zweier gegebenen Gleichungen.

Inhaltsverzeichniss.

VIL

Elfte Vorlesung. Partielle Differentialgleichungen für die

S. 133—149.

symmetrischen Functionen:

8 123. Methoden zur Aufstellung partieller Differentialgleichungen. $ 124.

$ 127. Ihre all-

Ableitung der Gleichungen.

$ 125. Sind sie charakteristisch?

gemeine Integration. $ 128. Umwandlung der verschiedenen Formen in einander.

8 133. Benutzung bei der Berechnung symmetrischer Functionen, $ 134. Sıie

reichen dazu aus.

S 185. Andere Methode der Berechnung.

Zwölfte Vorlesung.,

Die Resultanten und ihre Darstellung.

S. 149—161.

$ 136. Resultanten als Functionen der Wurzeln.

$ 137. Elementare HKigen-

schaften. $ 139. Darstellung als Determinanten (m + n)' Grades. $ 140. Kuler’-

sche Methode. $ 141. Bedingungen für die Existenz eines gemeinsamen Theilers.

8& 142. B6zout’sche reducirte Form. Cayley’sche Form. $ 144. Reduction der

Formen auf einander.

$ 145. Zweiter Nachweis dafür.

Dreizehnte Vorlesung.

Eigenschaften der Resultanten. —

Wurzelexistenzbeweis.

S. 162—177.

$ 146. Elementare Eigenschaften.

$ 147. Lineare, gebrochene Substitution.

$ 148. Partielle Differentialgleichungen.

$ 149. Darstellung der gemeinsamen

Wurzeln durch Resultanten.

$ 150. Die Eigenschaften werden unabhängig von

der Wurzelexistenz bewiesen.

$ 158. Irreductibilität.

$ 154. Resultante von

f(@z+u) und g(z+u). $ 156. Gordan’s Beweis der Wurzelexistenz,

Vierzehnte Vorlesung.

Die Discriminanten.

S. 177—182.

$& 158, Definition, als Specialfall der Resultanten. 8& 159. Ausdruck als De-

terminante (2% — 1)t°® Grades. $ 160. Ausdruck als Determinante (n — 1)t® Grades.

Srg

Darstellung durch die

Wurzelpotenzsummen.

S 165

Differential-

gleichungen.

$ 163. Darstellung der vielfachen Wurzeln durch die Diserimi-

nanten.

$ 164. Discriminante eines Products.

Fünfzehnte Vorlesung.

Die quadratischen Formen.

S

182—200.

$ 165. Quadratische Formen.

Adjungirte, reciproke Form.

Determinante.

$ 166. Transformation.

Subdeterminanten. Rang.

$ 167. Reduction der Formen

geringeren Ranges.

$ 168. Elementare Transformation.

$ 169. Reciproke Form

und Analogon zu ihr.

$ 170. Adjunete als Quadrat.

$ 171. Gleichzeitige Trans-

formation der Form und der Reciproken.

$ 172. Aggregat von Quadraten.

$ 173. Vieldeutigkeit der Darstellung.

$ 174. Sylvester’sches Trägheitsgesetz.

Arithmetischer Beweis.

$ 175. Jacobı's.Beweis.

$ 176. Species; Signatur; de-

finite und indefinite Form. $ 177. Orthogonale Substitutionen.

$ 178. Gleichung

mit reellen Wurzeln.

VIII

Inhaltsverzeichniss.

Zweiter Abschnitt.

Numerische Auflösung der Gleichungen (Vorlesung 16—25).

I. Trennung der Wurzeln (Vorlesung 16—21).

Sechzehnte Vorlesung.

Grenzen für die Wurzeln.

Das Rolle’sche

Wheorenm S2066

$ 180. Grenzen für den absoluten Betrag der Wurzeln.

SSn

Grenzen für

dio positiven Wurzeln.

$ 183. Cauchy’sche Regel.

SH85:

Newton’sche

tegel.

Laguerre’s Abänderung.

$ 186. Beispiel.

8 187. Rolle’scher Satz.

$ 188. Herstellung von Gleichungen mit vorgeschriebenen Realitätsverhältnissen

der Wurzeln.

$ 189. Legendre’sche Polynome.

$ 190. Weitere Anwendungen.

$ 193. Der Mittelwerthsatz.

Siebzehnte Vorlesung.

Das Budan-Fourier’sche Theorem.

S. 216—225.

$ 195. Zeichenfolgen und Zeichenwechsel.

$ 196. Das Budan-Fourier’-

sche Theorem. 8 197. Descartes’scher Satz.

$ 198. Einfluss fehlender Glieder

des Polynoms.

$ 199. Directer Beweis des Descartes’schen Satzes.

8 200.

Vermehrung der Wechsel bei Multiplication mit (z — €).

$ 201. Anwendungen.

Achtzehnte Vorlesung. Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche

Sätze.

S. 225—287.

$ 202. Hülfsreihe.

$ 208. Folgen-Folge u. s. w. Beweis des Satzes.

$ 204.

arenzfälle.

Ver-

$ 205. Prüfung der Bedingungen.

$ 207. Newton’scher Satz.

vollständigter Satz.

$& 208. Aeusserste Grenzen.

$ 209. Biehler’s Herstellung

von Gleichungen mit reellen Wurzeln.

Neunzehnte Vorlesung.

Das Sturm’sche Theorem.

S. 238—261.

'8 210. Verallgemeinerte Sturm’sche Reihe. &$ 211. Beispiel. $ 212. Sturm’-

sche Reihe.

$ 213. Vielfache Wurzeln.

Prüfung der Bedingungen.

$ 214. Nu-

merisches Beispiel.

$ 215. Gleichung zweiten Grades.

$ 216. Gleichung dritten

Grades.

$ 217. Gleichung vierten Grades,

$ 218. Darstellung der Funetionen

der Sturm’schen Reihe.

$ 219. Vereinfachung der Ausdrücke.

$ 220. Regulärer

Fall. 8& 221. Darstellung durch die Potenzsummen und durch die Coefficienten.

8 222, Sylvester’sches Theorem.

$ 223. Exeess.

$ 224. Ausdruck desselben.

8& 225. Sturm’scher Satz als Specialfall des Cauchy’schen Umkreisungssatzes.

$ 226. Analytische Darstellung. $ 227. Darboux’ Theorem.

Zwanzigste Vorlesung,

Das Hermite’sche Theorem. 5$. 261—270.

$ 228. Einführung quadratischer Formen, $ 229. Signatur zur Bestimmung

Besondere Fälle.

8 2383. Geometrische

der

Anzahl reeller Wurzeln.

S 250

Deutung.

$ 234. Hermite’s Satz.

$ 235. B6zoutiante.

8 236. Jacobi’s

Bemerkung.

Inhaltsverzeichniss.

IX

Einundzwanzigste Vorlesung.

Trennung der Wurzeln. — Rationale

Wurzeln.

S. 271—281.

8& 237. Trennung der reellen Wurzeln.

$ 238. Kleinste Differenz, zweier

reellen Wurzeln.

$ 239. Kronecker’sche

Waring’s und Cauchy’s Methode.

Untersuchungen.

8 240. Newton’s Methode zur Aufsuchung rationaler Wurzeln.

$ 241. Algorithmus.

Zahlenbeispiel.

8 242. Theorem über Gleichungen mit

rationalen Wurzeln.

II. Näherungsweise Berechnung der Wurzeln

(Vorlesung 22—25).

Zweiundzwanzigste Vorlesung. Die Newton’sche und die Bernoulli’sche

Näherungsmethode.

S. 281—300.

$ 243. Jede Trennungsmethode giebt Näherung.

$ 244. Newton’sche

Methode.

$ 246. Beschränkung der Voraussetzungen.

$ 247. Newton’sche

Formeln.

$ 248. Schema zur numerischen Berechnung. 58 249. Beispiel.

8 250.

Grösse des Fehlers.

$ 251. Bernoulli’sche Methode;

zwei Arten,

8 252.

f/g„ reelle ungleiche Wurzeln. $ 253. Reelle gleiche Wurzeln. $ 254. Complexe

Wurzeln. $ 255. 8, 1: S„,; reelle Wurzeln; complexe Wurzeln. Berechnung der

Amplitude.

$ 256. Gleichung für die » Wurzeln höchsten Moduls.

8& 257. Be-

rechnung der s,; Willkür in den Anfangswerthen,

Dreiundzwanzigste Vorlesung.

Algorithmen zur Berechnung der

Wurzeln.

S. 300—314.

$ 258. Herstellung von Algorithmen.

$ 259. Bedingungen der Convergenz.

$ 261. Inverse Algorithmen ergänzen sich. $ 262. Grenzpunkte der Convergenz,

$ 264. Algorithmen, die zu allen Wurzeln führen.

8 265. Newton’sche Näherung.

$ 266. Mehrfache Wurzeln.

$ 267. Algorithmus für quadratische Gleichungen.

$ 268. Algorithmen für allgemeine Gleichungen.

$ 269. Complexe Wurzeln.

Vierundzwanzigste Vorlesung,

Iteration.

S. 314—323.

$ 270. Begriff der Iteration.

$ 271. KEigenschaften iterirter Functionen.

$ 272. Iterirung gebrochener linearer Functionen.

$ 273. Iterirung gebrochener

rationaler Funetionen,

Fünfundzwanzigste V01'1(eéung. Die Untersuchungen von Lagrange.

S. 323—333.

$ 274. Gleichung der Wurzeldifferenzquadrate.

$ 275. Satz von Waring.

$ 276. Berechnung complexer Wurzeln,

$ 277. Polynom der Wurzeldifferenz-

quadrate als Resultante.

$ 278. Lösung der Gleichungen durch Kettenbrüche,

$ 279. Numerisches Beispiel.

$ 280.

Zeichenwechsel in der

transformirten

Gleichung. $ 281. Berechnung des Theilnenners.

X

Inhaltsverzeichniss.

Dritter Abschnitt.

Algebraische Lösung der Gleichungen (Vorlesung 26—29).

Sechsundzwanzigste Vorlesung.

Die Gleichungen zweiten, dritten und

vierten Grades.

S. 334—345.

$ 292. Gleichungen zweiten Grades.

$ 2883. Gleichungen dritten Grades.

Tschirnhausen’sche Methode.

$ 284. Euler’sche Methode.

$ 285. Discussion

$ 287. Der irreducible Fall.

der Lösung.

Goniometrische Lösung.

8& 288,

Lagrange’sche Methode.

Innerste Wurzel.

$ 289. Gleichungen vierten Grades.

Euler’sche Methode.

$ 290. Descartes’sche Methode.

$ 291. Lagrange’sche

Methode.,

$ 292. Discussion der Lösung.

Siebenundzwanzigste Vorlesung.

Einheitswurzeln.. S. 345—358.

$ 294. Einheitswurzeln.

$ 295. Eigenschaften.

Primitive und nichtprimitive

Wurzeln.

$ 296. Primitive Wurzeln bei Primzahlen und Primzahlpotenzen.

$ 297. Allgemeiner Fall. Bestimmung von @& (m).

$ 298. Wurzeln zu gegebenen

Exponenten gehörig. $ 299. Kennzeichen durch die Exponenten.

$ 300. Gonio-

metrische Lösung.

$ 301. 2” +1=0. $ 302. Gleichung der primitiven Wurzeln.

$ 303. Specialfall m = %-9g.

$ 304. Eigenthümlichkeiten der Kreistheilungs-

gleichung.

$ 306. Reductionsformeln.

S O

8 305. 4 (-51) und F (—1):

Kronecker’scher Satz.

Achtundzwanzigste Vorlesung.,

Kreistheilungsgleichung. Methode

von Gauss.

S. 359—378.

$ 308. Verschiedene Formen der Gleichung. Kreistheilungsgleichung,

$ 309.

Eisenstein’s Irreductibilitätsbeweis.

8 3811.

$ 3810. Kronecker’s Beweis.

Arndt’s Beweis.

$312. Kronecker’s allgemeinerer Irreductibilitätssatz. $ 313.

Reduction durch reciproke Gleichungen. 8& 314. Perioden und ihre KEigenschaften.

$ 315. Elemente der Lösung.

$ 816. Zerfällung von (p—1) in drei Factoren.

8 817. Gauss’sche Lösung.

$ 318. Beispiel p= 17.

$ 319. Bemerkungen.

Neunundzwanzigste Vorlesung,

Kreistheilungsgleichung.

Methode von

S. 378—385.

Lagrange und Jacobi.

$ 320. Lagrange’sche Resolvente. $ 321. Eigenschaften. $ 322. Lagrange’-

sche Lösung.

$ 323. Elemente der Lösung.

8 824. Directe Lösung.

S

51

325.

$ 326. Kreistheilungspolynom als Aggregat zweier

Gleichung für zwei Perioden.

Quadrate.,

S. 386—388.

Namen- und Sachregister.

SA

Erste Vorlesung.

Die complexen Grössen.

°

$ l.i Wir betrachten zunächst nur das Gebiet der reellen Zahlen.

Dieses reproducirt sich durch die elementaren Rechnungsoperationen

der Addition, Subtraetion, Multiplication und Division, so dass, wenn

a, b, c,

beliebige Grössen des reellen ’Zahlenbereiches sind, die

Resultate

a

a —+ ,

a — b,

a-b,

b

ebenfalls dem Gebiete angehören. Nur ist hierbei festzuhalten, Vdass

in dem Quotienten g der Nenner den Werth 0 nicht annehmen darf,

da _ sonst % keinen Sinn hat.

Für die Addition bestehen zwei Gesetze, aus denen geschlossen

werden kann, dass bei der Bildung einer Summe aus einer beliebigen

endlichen Anzahl von Summanden die Reihenfolge der Operationen

ohne Einfluss auf den Werth der Summe ist.

Das erste, das com-

mutative Gesetz, wird durch die Gleichung

©

a+b=b-+a,

das zweite, das associative, durch die Gleichung

2)

(a +d)+c= (a +0 +

ausgedrückt.

S

Drei Grössen a, b, c lassen sich auf die folgenden zwölf verschie-

denen Arten zu einer Summe vereinigen:

(4-E0) 6 (aD (b-La)- Ho (b-E6) Lar (e-ha) E, (o-FD)Ea,

a-+(b-+c), a-+(c-+b), b+(a-+c), d+(c-Ha), c+(a-Fb), c+(b-a),

so dass die Möglichkeit besteht, je nach der Ausführung der Summation

auch zwölf verschiedene Werthe zu erhalten.

Nun gehen aber die

6 Resultate der unteren Zeile aus denen der oberen durch die An-

wendung von (1) auf die beiden vorhandenen Summanden hervor;

wegen (2) stimmen ferner die beiden ersten Summen der oberen Zeile,

Netto;, Algebra. I.

1

D

Z

Erste Vorlesung $ 1—4.

ebenso diıe beiden miét]eren und auch die beiden letzten unter einander

überein. Da endlich, wiederum wegen (1), auch noch

(a+D+c=0+a) +c,

(a+c0) +b=(c+a)+

ist, so folgt bei drei Summanden die Unabhängigkeit des Summen-

werthes von der Art der Ausführung der Summation.

Man iıst daher

berechtigt, die Summe kurz und unzweideutig

a+b—+ c

zu schreiben.

Bei » Summanden giebt es

206100 d 6

Möglichkeiten, die Summe zu bilden®).

Auch hier gilt derselbe Satz

über die Unabhängigkeit des Resultates von der Operationenfolge.

Wir nehmen an, er wäre wie für 3 so auch für 4, 5,--.- (n — 1) Sum-

manden hbereits bewiesen, so dass in diesen Fällen die Summe

A - O A a

OE

einen bestimmten von der Ausführung der Operation unabhängigen

Sinn hat.

Dann stellt sich jede Summe aus » Summanden vor der

Ausführung der letzten Operation als Resultat einer Addition zweier

Grössen dar, etwa 4, + 4,, wobei jeder Summand A,, 4, eine Summe

von weniger als » Summanden ist.

Nach (1) können wir diejenige

der beiden Grössen, etwa 4,, welche a„ enthält, an die zweite Stelle

gesetzt denken; dann innerhalb A, und A, die etwa vorhandenen

Klammern weglassen und in 4, das Element a„ als letztes nehmen,

so dass A, = 4, + a entsteht; endlich können wir auf Grund der

Voraussetzung über (n — 1) Summanden

Ar + 4, =(4, + 4;') + &n = (& A 0 F + F An—1) F An

= Q +& + 4 An

schreiben.

Hif3rn]iﬁ ist die behauptete Unabhängigkeit dargethan.

*) Dies erkennt man leicht: Zunächst können die m! Permutationen der

n Summanden aufgeschrieben werden; jede derselben giebt eine der Folgen der

hinzuschreibenden Summanden an, und es kommt nur noch auf die Vertheilung

der Klammern in dieser Folge an; in jeder Klammer dürfen dabei immer nur

zwei Summanden, d. h. einzelne Grössen oder andere Klammern stehen. Durch

strenge Induction findet man die Anzahl der Vertheilungsmöglichkeiten mittels

der Borchardt’schen erzeugenden Funetion gleich dem Coefficienten von E

in der Entwickelung von

ıl

aa

V

Dadurch ergiebt sich dann das oben an-

nach steigenden Potenzen von &.

geführte Resultat.

Die complexen Grössen

3

$ ?®

Die beiden für die Multiplication entsprechend gebildeten

und benannten Gesetze werden durch die Gleichungen

A0 = (DG)

(3)

©

(@b)c = (ac) o

gegeben, und aus ihnen folgt wieder nach der eben auseinandergesetzten

Schlussweise die Einwerthigkeit des Productes mehrerer Factoren bei

beliebiger Anordnung der Operationen

Nimmt man zu (3) und (4)

noch das neu auftretende distributive Gesetz

(5)

(a + d)c= ac + be

hinzu, welches die Multiplication mit der Addition verbindet, so sind

durch diese

Gesetze die Eigenschaften der Summen- und der Produet

bildung festgeleot

$ 3. Für die Subtraction und die Division gelten die Definitions-

gleichungen

a

(6)

(a —b) Eb=a

Ö

b

== a

Bei der Division ist die bereits oben erwähnte Einschränkung

festzuhalten, dass der Divisor b von Null verschieden sein muss

Da übrigens in unserem Gebiete die negativen und die gebrochenen

Zahlen, nämlich (—d) sowie „ vorkommen, so können wir von der

Betrachtung der Subtraction und der Division ganz absehen, indem durch

a

== (1

a—b=a+ (—b),

b

beide Operationen vermieden werden können

$ 4.

Beschränkt man sich auf das Gebiet der reellen Zahlen,

dann erleidet eine grosse Anzahl von fundamentalen algebmmchen

Sätzen Ausnahmen, so z. B. der Satz, dass zu jeder Grösse a eine

andere gehört, deren Quadrat jenes a ist; dieser Satz gilt in dem bisher

besprochenen Bereiche nur, wenn a positiv oder Null ist. Diese Sätze

bekommen dagegen durchgängig Geltung, sobald man das Gebiet der

Grössen in passender Art erweitert. Das soll jetzt durchgeführt werden.

Die bisher betrachteten Zahlen können durch die Anwendung

einer endlichen oder einer unendlichen Anzahl der fundamentalen

Öperationen aus der 1 abgeleitet werden

Wir führen neben dieser

eine neue Kinheit j ein und betrachten das Gebiet aller Zahlen

AA +“z.77

in denen &,, « beliebige reelle Grössen bedeuten.

Eine derartige Kr-

weiterung ist nur dann von Werth, wenn das neue Gebiet wirklich

umfassender wird, als das frühere d h. wenn j nicht schon unter den

HE

A

Erste Vorlesung $ 4—5.

reellen Zahlen enthalten ist; wenn ferner auch dieses Gebiet sich durch

die elementaren Rechnungsoperationen reproducirt; und wenn endlich

auch in dem neuen, erweiterten Bereiche die besprochenen Gesetze der

elementaren Operationen gelten.

KEs ıst also zunächst nothwendig, dass mit

Ü %,

b=ß1+ß2]

auch die Summe beider Grössen in dem neuen Gebiete vorkommt.

Wir definiren nun die Summe von @ und b durch die Gleichung

Ü Z a e 2

und erkennen aus dieser naturgemässen Erweiterung der Addition, dass

nicht nur unsere eben ausgesprochene Forderung befriedigt ist, sondern

dass auch die Gesetze der Addition

a+bd=b+a,

a+D4c=(@+) +

bestehen bleiben, weil sie für die reellen Bestandtheile x, ß, -:-

Geltung haben.

Bei der Multiplication erhalten wir unter der Voraussetzung, dass

die formalen Gesetze der reellen Zahlen auch hier gelten,

ab = &, ßı + (“1 Ba il “2ß1)f 5 2 B2i

soll die Summe auf der rechten Seite wieder dem -Gebiete angehören,

so muss nothwendiger Weise’

©

JI y Ca

gesetzt werden, wobei w,, w reelle Zahlen bedeuten.

Je nach der

Wahl von «,, u können also verschiedene Productbildungen

ab.= (“1 Bı + &aßı) F (& Ba 4 @ßı H “2ßz“2)j

auftreten.

Nun ändert sich aber unser erweitertes Zahlengebiet in seiner

Gesammtheit und seinem Umfange nicht, wenn man statt der Einheit j

die neue‘ Einheit

il

.]1=.7_2u2

einführt, da ja

0 A Ba — (“1 a 9 °‘2“2) F Jı

und

——

r

( ar CD

(&

5 "‘2"—2) 5 &S

ist lDiese Abänderung hat den Vortheil im Gefolge, dass die Mul-

tiplicationsregel im neuen Gebiete

—

He

i '“22 a

Lﬂ=ﬁ—w%%bü

I

-

Die complexen Grössen.

einfacher wird, als die, für j aufgestellte. Sie zeigt, dass das

Wäre diese Zahl positiv

Quadrat von j, eine reelle Zahl ist.

oder Null, so gehörte auch j, und folglich j dem reellen Zahlengebiete

an, und es träte sonach keine Erweiterung desselben ein. Soll dies

vermieden werden, so haben wir

2

j1j1 = —k

zu setzen, indem wir dabei unter & eine reelle Zahl verstéhen. Jetzt

ändern wir die Einheit j, wiederum ab, indem wir ohne KEingriff in

den Gebietsumfang

Sr

v

T

benutzen; der aus 1 und % gebildete Bereich ist wieder identisch mit

Dies ist des-

dem aus 1 und j, oder dem aus 1 und j gebildeten.

wegen geschehen, weil die Multiplicationsregel hier besonders einfach

lautet, nämlich

f

uÜ= —1

£

o

-

(8)

Da jede Gleichung (7) auf (8) führt, so ist dies ein Zeichen dafür,

dass es verschiedene Gebiete dieser Art nicht giebt.

Das aus 1 und % gebildete Gebiet nennen wir das gewöhnliche

complexe, oder kurz das complexe Gebiet.

In ıhlm ıst

ab = (& ßı

&> ßa) A (“1ß2 + &x B1)%,

(ab) C (“1 B.Zı

&,Ba

&B, Y

“2ß27’1)

E (“1 Bıt2 F &1 Bayı F &2ßı Yı

&, ßa ?’z) %,

und darans erkennt man die Gültigkeit der Regeln (3) und (4).

Es handelt. sıich noch um die Ausführung der Division.

Die

Gleichung

ıl

O z

.

&, — &l

ö

&r +°‘ﬂ E (°‘1 + %Ü (& — °‘2®5 E Ö

zeigt, dass auch die Division stets innerhalb des Gebietes vollzogen

werden kann, sobald «,* + @«,* von Null verschieden ist.

Da nun

&,, « reelle Grössen sind, so ist auch hier, wie im Gebiete der reellen

Grössen, nur die Division durch die Null unausführbar; denn aus

a + @x == 0 folgt auch &, = 0, &, =0; a=«, + 4i = 0.

$ 5. Es könnte den Anschein haben, als ob unsere Untersuchung

nicht allgemein durchgeführt wäre, da wir von vorn herein die 1 als

zu unserem Gebiete gehörig benutzt haben.

Man könnte also ver-

suchen, zwei Einheiten e,, e einzuführen, von denen keine reell ist,

und zwischen denen keine lineare Gleichung

(9)

C E D0

6

Erste Vorlesung 8 5.

mıt von Null verschiedenen reellen Coefficienten rı besteht. In diesem

Falle handelt es sich um den Bereich der Zahlen

%6, + %65

in ihm sollen die oben aufgestellten Gesetze Gültigkeit behalten. An

erster Stelle ist eine Festsetzung hinsichtlich der Multiplication in

der Form

61“ = Q,6, + 036,,

(10O)

66 — b_e, + b26,,

&6 = 016 4 0,

E = 6, 4 6

erforderlich, damit alle Producte unseres Gebietes

(& 6, 4 &%6) (Bıe + Bae)

wieder die gewünschte Form annehmen.

Weiter müssen wir, um dem

aus (3) folgenden besonderen Falle e,e, = &e, Rechnung zu tragen,

b = ,, b = , setzen; dadurch ist dann (3) auch gleich allgemein

befriedigt, da jetzt

e ar @ (a - ) B C E

— B ß e T er

gesetzt werden kann.

Die Bedingung (4) fordert, wie man auf die-

selbe Art sieht, auch nur die Erfüllung der einen Gleichung

6, (6,6) = (&,6,) &,

welche in die beiden Forderungen zwischen den reellen Coefficienten

A, = b1b;,

ayb; + A0 = Ayb, + b

zerfällt und allgemein durch die Annahme

a, = Av + wo,

S,

Cl z X

A = Au,

b = Avw,

C = %U — VO

befriedigt wird. Somit erhält man an Stelle von (10) als Multipli-

cationsfestsetzungen, die unseren Bedingungen genügen,

6” = (AV + wo)e, + 4K,

(10°)

S

xwe, + A7%,

2

E

C

xve, + (xw — vo)C.

Hieraus kann man jedoch folgern

w

O A

Z

e — Av

(11)

v

e — xW

6 — (xwW — v0)?

d. h. die Existenz einer linearen Beziehung, welche zwischen e, und e,

Diesem Dilemma

entgegen der in (9) gemachten Annahme besteht.

können wir nur durch die Annahme u = 0, oder v = 0, oder durch

7

Die complexen Grössen,

o = 0 ausweichen.

Aus einer der beiden ersten Annahmen z. B. aus

0 0 y

(& — Av)e = 0

folgen, d. h. e, bezw. e, müsste eıne reelle Zahl seim, sobald es, wie

wir annehmen, aus dem Verschwinden eines Produets folgt, dass einer

der Factoren verschwindet.

Der Annahme nach sollten aber e,, &

nicht reell sein.

Man hat deshalb o== 0 zu setzen und findet

e = 1ve, + 1U2,

(10”)

6162 = XWE, + AV6,,

* = xve, + xue,.

Hieraus ergiebt sich weıter

OR = @

hätten nun x und 2 das gleiche Vorzeichen, so könnte wieder eine

Gleichung von der Form (9) mit reellen Coefficienten gefolgert werden;

wir müssen deshalb als Zusatzbedingung dıe Ungleichung

(10°)

o Z

aufstellen. (10”) und (10°) liefern dann alle gewünschten Systeme.

Wir können Jjetzt leicht erkennen, dass wir nichts Neues erlangt haben.

(10”) liefert

CD — 0)a F

Aue, = 0, bezw. (xu — &)e, +

V Z

xue, + (Av — e,)% = 0,

%ve, + (xu—e,)6 = O;

hieraus folgt

bezw.

(& — Av)* = xAW,

(& — #u)! — u42

0 = Av + uVxA,

O i”l/ﬁ;

SO dass e, wie %@ zu unseren gewöhnlichen complexen Zahlen

gehören. Die Grösse 1, welche in unserem Gebiete durch &6, +&

dargestellt und durch die, für beliebige «,, x, geltende Gleichung

(04, 6, + 026) (8,61 { 826) = &101 F %26

definirt sei, lässt sich leicht berechnen.

Man braucht nur zur Be-

stimmung von &,, & die besonderen Gleichungen

E, (8161 + &6) = &1,

&, (8,6, + &)=G

zu verwenden und erhält für die Coefficienten £ die Werthe

v

E1

’

2

d

D

1.1/2-—%(‚L2’

so dass man

ET

1

W

erhält, wobei wegen (10°) der Nenner nicht verschwinden kann

.

8

Erste‘ Vorlesung 8 6;

$ 6. Die Frage nach den Eigenschaften und der Darstellung der

aus drei unabhängigen Einheiten gebildeten Systeme

®

%6, T %6 4 Xg C

ist schwieriger zu beantworten. Die Herren Weierstrass und Dede-

kind haben dies\Problem in den Gött. Nachr. von 1884, 1885, 1887

behandelt. Wir wollen hier nur eine Eigenthümlichkeit dieser Systeme

herleiten, auf Grund deren wir dann von der Einführung solcher all-

gemeinen Zahlen absehen können.

wieder

Die Nothwendigkeit, den Producten e,6,, 66

’ G

die Form

%6, F %a& F %36g

zu geben, damit die Multiplication innerhalb unseres neuen Grössen- -

gebietes ausführbar sei, fordert die Existenz von sechs Gleichungen

der Form

“ = G16, F 0962 F As6s,

66 = bı6; + 46 + d36s = &1,

A + C621 C363 = 66r,

&* = dre, + e F d6es,

66 = fi& F F& + f3 — GC)

E = f16, F Ia F Is6s;

bei deren Aufstellung wir sogleich dem commutativen Gesetze der

Multiplication Rechnung getragen haben.

Aus ihnen folgt

(r E al

0263 -

A 6

0,

Da a (a — OC

D = 0

G

66 + (3 — e)e6 =0,

und es muss also die Determinante dieses Gleichungssystems

0, — €

A,

E}

O,

b —e

b;

— A G C

C

C

C

e

+(a'1bz(’3—‘“lb3cz+"')

den Werth Null haben. .Äus der elementaren Algebra ist bekannt,

dass das Polynom

C e OE “1b302‘+ 3

mit reellen Coeffieienten identisch ın die Form

@e

gebracht werden kann, in welcher %,, %,, %; drei reelle oder auch

eine reelle und zwei gewöhnliche complexe Grössen bedeuten.

Daher

kann man die Determinanten-Gleichung

Die complexen Grössen.

©

@ =0) @@ — @) (& — e6)=0

schreiben und ebenso findet man

©C —C0 — @) (Us — &) =0,

CN e &6)=0;

die %, y, z sind reelle oder gewöhnliche complexe Grössen. Lässt man

nun auch in diesem Gebiete den Satz gelten, dass ein Product nur

dann verschwinden kann, wenn einer seiner Factoren ver-

schwindet, so folgt aus den letzten drei Gleichungen, dass e,, &, €

gewöhnliche complexe Grössen bedeuten, und dass sonach das Gebiet

%6, - %262 A %3C

mit dem durch die Einheiten 1 und % constituirten identisch ist. Will

man umgekehrt neue Einheiten einführen, so muss jener Satz vom

Verschwinden des Produects fallen. Als Beispiel hierfür mag Folgendes

dienen.

Wir setzen als Multiplicationsgleichungen fest:

G = ©

G B

&° =6 4,

663 — 6,

s —@ p

E36, — 6C35

dann gelten alle aufgestellten Multiplicationsregeln.

Man findet in

diesem Gebiete die Gültigkeit der Gleichungen

(6, + @— 6)6 = 0,

6, —6 + 6)e =0,---,

Setzt man

trotzdem keiner der auftretenden Factoren gleich Null ist.

Z

N 8 Z& I,

N = 6 T & O37

so erhält man für die Einheiten n die noch übersichtlicheren Mul-

tiplicationsgleichungen

N = 2(“' Y ar Ua Ar 773): Yl Ua O;

N” = 2(711 Oa °73);

nn = 0,

7132 =2 ("71 Sa — °73);

NN = 0.

Dieselben Betrachtungen hätten wir auch schon im vorigen Para-

graphen bei der Behandlung von e, und e anstellen können. Es wäre

dann aus u = 0 oder v = 0 in (10°), d. h. aus

e,[e, — 1v]= 0 Ooder

& [& — xu]= 0

nicht nothwendig gefolgt, dass jede der Grössen e,, e, reell ist, und

wir hätten den Uebergang von (10*) zu (10”) nicht zu machen brauchen.

Wir wollen aber für unser Gebiet den Satz, dass ein Product

nur verschwindet, wenn ein Factor verschwindet, durchaus

allgemein gelten lassen und sind dann darauf angewiesen, im Gebiete

der aus 1 und 7 gebildeten, gewöhnlichen complexen Zahlen zu bleiben.

1K

Erste Vorlesung $ 7—8.

$ 7. Es ist nunmehr angezeigt, auf die Theorie der gewöhnlichen

complexen Zahlen genauer einzugehen, und zwar wollen wir zunächst

die geometrische Darstellung derselben besprechen.

Wenn man in einer Ebene ein rechtwinkliges Coordinatensystem

einführt, die Abscissen mit x und die Ordinaten mit y bezeichnet, so

kann man jeden Punkt dieser Ebene durch ein reelles Werthepaar

(x, y) und umgekehrt durch jeden Punkt ein reelles Werthepaar dar-

stellen. Die Strecke, welche den Nullpunkt mit dem Punkte @ )

verbindet, wollen wir als geometrische Repräsentantin der Grösse

2= %+ iy

ansehen. Die Darstellung reeller Grössen als Strecken 'einer geraden

Linie mit demselben Anfangspunkte ist unter unserer Festsetzung als

besonderer Fall enthalten.

Die absolute Länge der von 0 nach

(x, y) gehenden Strecke wollen wir den Modul von z oder

den absoluten Betrag von z nennen und durch |2| bezeichnen.

Man hat daher

Z

|2|= Vx2+?:

wobei der absolute Werth der Quadratwurzel zu nehmen ist.

Für

eelle Averthe z ıst | w elerch

Z=(2Y)

dem absoluten Werthe von z.

Hieraus

ergiebt

sich

sofort

durch Einführung von Polar-

coordinaten

eine

neue

Aus-

drucksweise für 2.

Wir be-

9)

AA

zeichnen mit ” die Länge des

von 0 nach (x, y) gehenden

Radius-Veetors und mit @ den

Winkel, welchen dieser mit der

positiven Richtung der A bscissen-

axe bildet; dann ist

(12)‘ %=7C03@, Y=r8in@; 8 = + iy= 7(c0s @ + i in g@).

Um die Schreibweise abzukürzen möge durchgehends, wenn kein Miss-

verständniss zu befürchten ist,

C

&

cos & + isn d = [

9

geschrieben und also

(13)

e=r[i9]

A

gesetzt werden.

Hier ist ” dem Modul

&G

gleich und daher stets

eine absolute Grösse. o wollen wir die Aniplitude der complexen

s

Die complexen Grössen.

I

A

Grösse

K

nennen und mit ampl. z bezeichnen.

(13) möge die

Normalform von x + iy heissen.

(12) zeigt, dass durch r und @ die Werthe von x und y, und

damit auch der Werth von z eindeutig bestimmt sind. KEbenso wird

durch x und y

r=VAr

eindeutig gegeben, während die beiden Gleichungen

X

cCOS @ =

OE S Z

P

y

Va y?

Ya y

den Winkel @ nur bis auf additive Vielfache von -} 2 festlegen.

Die Darstellung

D = arc tang

SS

liefert die Amplitude sogar nur bis auf Vielfache von + m, also nicht

ın ausreichender Art.

$ 8. Die geometrische Darstellung einer Summe stützt sich auf

die Formel

Z2=Z+zl=(x‘l“iy)+(x1+i71)=(x+xl)+i(y+yl)

und zeigt, dass die Abscisse (Ordinate) einer Summe gleich der Summe

der Abscissen (Ordinaten)

A(A EY)

Wır

ih.rer Summanden ist. Setzen

Arl

0 Z

A=(0,4)

dann folgt, dass 0AA4, ;

ein Parallelogramm ist, bei

dem die von 0 ausgehenden

Seiten die Summanden, die

von O ausgehende Diagonale die Summe darstellen. Die Krweiterung

der Construction auf mehr Summanden ist einfach. Ebenso einfach

ergiebt sich die Construction der Differenz 0A,= % — Z aus Dl

üund 0A:

Aus elementaren geometrischen Dreieckssätzen wird es augen-

scheinlich, dass der Modul einer Summe von zwei Summanden

kleiner oder höchstens gleich der Summe, und grösser oder

mindestens gleich der Differenz der Summanden ist.

Der

erste Grenzfall tritt nur dann ein, wenn z und z, gleiche Amplituden

besitzen; der zweite nur dann, wenn die Differenz der Amplituden von

Z und z, gleich + mz ist.

Analytisch lässt sich dies so begründen.

Es ıst

12

Erste Vorlesung 8& 8 —10.

(& + y°) @* + Yı a yyı)“ = (zyı — O Z

(2 - Y 2V.Z'”—}— Y Vx12‘i;ylé+(xl2+ Y @ 2xxx+xl2) A 2UY1 A Yı)

Z2(@+y) — 2VZAA Va H+ + ,

Vr Va Z Vrn VELR— Va

’

wenn alle Wurzeln positiv genommen werden.

Die letzte Formel

liefert den ausgesprochenen Satz, nämlich

A 5+311?‚„5’—121„;

und seine Grenzfälle werden aus xyı — %, y= 0 abgeleitet.

Allgemein gilt die Formel

n

RS

AsE

K

$ 9. Die geometrische Behandlung der Multiplication knüpft am

einfachsten an die Darstellung der complexen Grössen in ihrer Normal-

form an.

Man hat wegen * = — 1 das Resultat

% [; ‘P1] 73 [S ‘P2J

(14)

=/ ,, {(cosg, cosgp,— sin , sing,) +i(cosgp, sin „ + sin, cosmp,) }

R Lı78 [; (n ‘P2)])

d. h. es ist der Modul eines Products von zwei (und dann auch

von mehr) Factoren gleich dem Producte der Moduln der

Factoren, seine Amplitude gleich

A

der Summe der Amplituden der

; L///

Factoren.

Geometrisch gestaltet sich die

©

Darstellung der Multiplication : fol-

gendermassen.

Ist

‚{

04=z+iy=2, 0 A =2% + i9ı= %,

OAy= 22 =% + 1= %,

dann folgt gemäss (14) 7, =r.r/

_ oder FA

Dreiecke

Zieht man also AX so,'dass OE= 1 ist, dann siınd die beiden

OB A und O AA

einander ähnlich. Denn es ist ausser der Proportionalität der von O

ausgehenden Seiten noch wegen (14)

4, 0 4, = ampl. z, — ampl. &, = ampl. z = A0OE.

Die complexen Grössen.

1u

Man hat daher, um 0 4, zu construiren, nur über OA, ein, dem Dreieck

OEA ähnliches und ähnlich gelegenes Dreieck 0A4,4, zu zeichnen;

OA, ist dann das gewünschte Product.

Für mehrere Factoren erhält man die Formel

m

m

(14°)

RA

i

A=

Z

und ins Besondere

(14*)

(la = [ m]

'

Die Division erledigt sıch leicht durch die Bemerkung, dass

il

cos @ + isin @

= C0S — ISINO,

d

C

1 =—>

[Z S w)]

]

ist

Danach wird

nl

.

(15)

R 7;; [2 C — 9”2)J7

7‘„[

ä

d 3 der Modui eines Quotienten ist gleich dem Quotienten

aus dem Modul des Zählers und dem des Nenners; seine

Amplitude

gleich der

Differenz

aus

der

Amplitude

des

Zählers und der des Nenners.

Zwei complexe Grössen

8=X%-+ iY,

2 = %— Üy

A=-6x,4y)

oder

l

M

nennen wir conjugirte Grössen. Es ist

Z Z

“A=-(X-Y)

also

das

Product der

conjugirten

Grössen dem Quadrate ihres Moduls

gleich.

Jede Grösse ist gleich der conjugirten ihrer conjugirten.

Die conjugirte Grösse einer reellen ist ihr selbst gleich, und um-

gekehrt: sind zwei conjugirte Grössen einander gleich, so sind sie reell.

$ 10. Wir wollen jetzt auf die Elementareigenschaften der ge-

wöhnlichen complexen Grössen eingehen,

(I) Aus ” = —1 folgen für die höheren Potenzen von i die

Gleichungen

14

Erste Vorlesung $ 10—-11. Zweite Vorlesung g_ 12.

E

?

LU

da

2

i4n Z 1)

üntı — G,

jan+2 i Z i

bei jedem positiven oder negativen ganzzahligen m.

(IT) Gilt bei reellen x,, yı; %, y, die Gleichung

r 0n y A y

dann ist 7, =% und yı = %. Denn aus der Voraussetzung folgt

ı =—= %)” = (Y2 — y = — M — U

und es müsste eine reelle positive gleich einer rellen negativen Grösse

oder gleich Null sein, wenn die Behauptung nicht richtig wüäre.

(III) Ist bei reellen a,, a,,

@„ eine ganze Funetion

f(g;—f—iy)=ao+al(x+iy)+a2(x—l—iy)z—{—.-.—{—a„(x—{—iy)"

gegeben, so kann man diese Darstellung durch Entwickelung der

Klammern mit Hülfe von (I) auf die Form

f(@ + iy) = u + iv

bringen.

Macht man dieselben Operationen mit der conjugirten

Function

@ — iy)= 4 + a (@ — iy) + a @— ig A + an @ — iy),

so wird der Unterschied durchgehends nur darin beruhen, dass alle

Potenzen von % durch diejenigen von — % zu ersetzen sind. Hierbei

ändern sich die Potenzen mit geraden Exponenten, d. h. die reellen

Summanden nicht, während diejenigen mit ungeraden Exponenten nur

das Zeichen wechseln.

Man erhält also

f(@ — iy) = u — iv.

KEs sind daher f(@x + iy) und f(x — iy) einander conjugirte Grössen,

wenn die a reell sind.

(IV) Daraus folgt, dass, wenn f(x + iy)= 0 ist, auch f(x — iy)

= 0 sein muss; natürlich ist dabei festzuhalten, dass die Coefficienten

A9, 9ı,

reell sind.

(V) Ist f(@x + iy)=f(x — iy), so ist der Ausdruck von f(x + iy)

von % frei, denn man hat gemäss (IIT) v = 0.

S Ml

Zum Schlusse wollen wir für künftige Zwecke noch die

Normalform des complexen Ausdrucks

A

betrachten, in welchem o beliebig klein sein soll, während über die

Man findet sofort aus $ 7

Grösse von & nichts vorausgesetzt ist.

o sin &

t= V1 +20cos@ + @2[f_arc tan

(

7

51 + 0cos #

Ganze Functionen und algebraische Gleichungen

5

Demnach ist

1—0<|z|<1+o,

Q

kann durch hinreichende Verkleimnerung von o der KEinheit

beliebig nahe gebracht werden

Ferner ist

1 + 0ocos

a

cos ampl. ı =

V

und somit kann ampl. 7 beliebig klein gemacht werden, wenn man den

Werth des Moduls o hinlänglich verringert

Hieraus folgt

dass, wenn man eine beliebige complexe

Grösse x + iy mit 1—|—9[ J multiplicirt, bei hinreichend

kleinem o das

Zeichen des reellen Teiles von

@ + iy)(1 + o[%9)

mit dem von %, das des imaginären Theiles mit dem von y

übereinstimmt, wenigstens sobald x bezw. y von Null ver-

schieden ist

Zweite Vorlesung

Ganze Functionen und algebraische Gleichungen

$ 12. Verstehen wir unter @,, a,,

A, complexe Grössen von

der Form

(2

O

O O [ 06;1

%),

deren erste von Null verschieden ist

und unter z eine complexe

Variable

—x+zy=r[ co],

SO sagen Wır, es seı

(1)

() = A + a 7 L an + An 12 + An

eine ganze Funetion n“ Grades von z2, und die Gleichung

@)

\

@)=0

eine algebraische Gleichung n“ Grades in z.

Wir nenmnen f(z)

das Polynom der Gleichung (2) und setzen es, wenn nichts anderes

bemerkt ist, als nach fallenden Potenzen der Var1ablen geordnet voraus.

Beaewhnen wir ferner

@ =w= u E i

16

Zweite Vorlesung $ 12—14.

so ist durch (1) jedem Werthe von z ein Werth von w zugeordnet.

Man hat dabei die rationale Darstellung von w und w in der Form

u = 097 cos (n + &x) + 0,7" 7! cos ((n — 1)w + aÜ) +---,

(3)

v = 0,r sin (n + «o) + 0,7" ! sin ((n — 1) w + a) + +

Durch (3) sind w, v vermittels der Polarcoordinaten von z ausgedrückt;

da aber, wie die Formel (14”) aus der ersten Vorlesung‘lehrt,

nn

Y

%V

T”C0OSN O ==" ”

@

1)xn——?.y2 + ‚(

n—1)(n—2)(n—3)

xn—»i‘‚l/

A

?

1-2.3-4

(4)

n(n——1)(n—_2)

A

mM sinno = “ anl —

1-2.3

xn—3y8 + I

ist, so kann man auch w, v rational durch %, y ausdrücken. /

$ 13. Die Werthe von z haben wir durch Punkte einer Ebene,

der (x, y)-Ebene repräsentirt; ebenso wollen wir die Werte von w

durch die Punkte einer zweiten Ebene, der (w, v)-Ebene darstellen.

Dann sagen wir, diese w-Ebene liefere ein durch die Gleichung

(5)

w = f(2)

vermitteltes Bild der z-Ebene, oder die z2-Eibene sei«durc_h (5) auf

die w-Ebene abgebildet.

An diese Auffassung knüpft sich sofort eine Reihe von wichtigen

Fragen, z. B.: Gehören zu verschiedenen Punkten der z-Ebene auch

yerschiedene Bildpunkte der w-Ebene? Ist jeder Punkt der w-HEbene

das Bild eines Punktes der z-Ebene?

Wie bildet sich eine gegebene

Curve der z-Ebene auf die w-Ebene ab? u.s. f.

KEin einfaches Beispiel möge diese Verhältnisse erläutern. Es sei

WE=jC) =7=00 [S"“J’

also

y C0S NO = U,

Sn NO = V,

Dann sieht man, dass sich die Punkte 2 = 0 und w = 0 entsprechen,

so dass w= 0 das Bild des Einen Punktes z = 0 ist.

Ferner bildet

sich der Kreis |#2|= r in den Kreis |w|= ”” ab, und der Radius-

Vector / = tang @ in den Radius-Vector

= tang nw.

Lassen wir

nun den Punkt z den Kreis |z#|==r derart durchlaufen, dass die

Amplitude von z stetig wachsend von 0 bis 2x geht, so wird w den

Kreis |w |= 7 derart durchlaufen, dass ampl. w gleichfalls stetig

wachsend von 0 bis 2n geht, d. h. w wird diesen Kreis »mal durch-

laufen. Jedem Radius g = tang T entsprechen dabei die %» Radien

T

't-—+;q[21t)

» tang -

E

A

Z = tang '1tz’ tang

Ganze Functionen und algebraische Gleichungen.

U

Dieser Satz ist ein Specialfall des aus (4) folgenden allgemeineren

’

dass jeder geraden Linie «w + ßv==1 der (uw, v)-Ebene eine Curve

n Ordnung in der (x, y)-Ebene entspricht.

$ 14. Eine Fundamentalfrage ist die, ob jedem reellen Werthe-

paar ı, v, ein reelles Werthepaar @, y entspricht, dessen Bild w,, v

ıst

Bezeichnen wir w + %, = W, So kommt dies auf die Entschei-

dung darüber hinaus, ob es einen Werth z giebt‚ﬂder

W —W =0

macht. Da ferner w — w, wieder von der Form (1) ist, so ist also

die Fundamentalfrage darauf reducirt, ob man dem Argumente z

in der Funetion f(z) einen solchen Werth beilegen kann, dass

(2) erfüllt ist. Kinen derartigen Wert %, = xz) + iyo nennen wir eine

Wurzel der algebraischen Gleichung (2); in Anknüpfung an

unsere geometrische Darstellung wollen wir ein solches z, auch Wurzel-

punkt oder Nullstelle der Function f(z) nennen.

Aus der Definition der Wurzel ergiebt sich

(6)

F(@) =F() — (00) >a& —25) Hay ( — an +a ( —

SE

e=—

(@ — [ H+ aft am N]

d. h. wenn z eine Wurzel von (2) ist, dann ist nach (6) die ganze

Function f(z) durch z — z theilbar, derart, dass der Quotient eine

ganze Funetion des Grades (n — 1) mit demselben Anfangscoeffieienten

A, ist. Besteht umgekehrt eine derartige Theilbarkeit für den linearen

Ausdruck 2 — %, dann zeigt die Substitution z = 2,, dass f ey=0

also z eine Wurzel von (2) wird.

(6) schreiben wir kürzer in

der Form

f@) = (& — a)A)-

Hat nun auch f,(z) = 0 eine Wurzel 2,, dann folgt ebenso weiter

( (@) = (# — @— 2,) f (@),

und wenn 2, von z verschieden ist, was wir durch z, + Z ausdrücken,

dann besitzt f(z)=0 die beiden Wurzeln %p Ac IS6 @lber Z = AAy

so wollen wir die Uebereinkunft treffen, Z als Doppelwurzel zu

bezeichnen und bei der Abzählung der Wurzeln zweifach zu rechnen.

Besitzt f(2) = 0 wiederum eine Wurzel %, dann ergiebt sich

F = @— 2)e—a)C — a)@),

und f(2z)=0 hat, je nachdem alle Werthe Zo> %1, % unter einander

verschieden, oder zwei und nur zwei von ihnen einander gleich, oder

alle drei einander gleich sind, drei Wurzeln, oder eine einfache und

eine Doppelwurzel, oder endlich eine dreifache Wurzel. In dieser

Weise kann man weitergehen, allenfalls bis zu einem Polynome f„(2).

Netto, Algebra. I,

2

18

Zweite Vorlesung $ 14—17.

Das muss dann wegen der Verringerung der Gradzahlen eine Constante

sein und daher mit «& zusammenfallen. Besitzt also jede algebraische

Gleichung auch nur eine Wurzel, so folgt die Formel

(7)

@ A Sa

5„-1),

und daraus würde sich dann zeigen, dass eine jede ganze Function

„ten

Grades in n lineare Factoren von der Form 2 — % zer-

legbar ist. Heisst allgemein z, eine m.-fache Wurzel von (2),

wenn ( — 2,)”"« die höchste in f(£) aufgehende Potenz von (z — z.)

ist, und rechnet man bei der Abzählung der Wurzeln eine solche als

äquivalent mit » Wurzeln, so kann man aus (7) schliessen, dass

dann eine jede Gleichung n'” Grades » Wurzeln besitzt,

welche gleich oder verschieden sein können.

KEs fragt sich, ob f(z) noch andere Wurzeln oder eine derselben

in einer höheren Multiplicität als der aus (7) sich ergebenden haben

kann. Ist ay=+0, so kann dies nicht eintreten, da sonst f(z) durch

noch weitere lineare Factoren z — z2’ theilbar wäre und demnach einen

höheren

als

den °“ Grad erreichen würde.

Besitzt also f(z) = 0

mehr als » Wurzeln, dann ist ay= 0, und damit wird f(z) identisch

Null, d. h. a,= 0, a,=0, -..a,==0; dann wird die Gleichung natür-

lich durch jeden Werth von z befriedigt.

Der Fundamentalsatz der Algebra beruht nach dem Besprochenen

auf dem Nachweise der Existenz einer Wurzel für jede algebraische

Gleichung (2).

Dieser Nachweis soll in der nächsten Vorlesung auf

verschiedene Arten geführt werden. Hier müssen wir noch einige Vor-

bereitungen zu diesem Beweise treffen und wollen zunächst einen

Schluss aus unseren letzten Ueberlegungen ziehen.

$ 15.

Ist

gl@x, y) = po(a)y* + y @y F + Dn—ıl@)y + pul@)

eine ganze Funetion der reellen Variablen x und y, so dass alle

Por Pı,

‚ @„ ganze Funetionen von x sind, dann können die Punkte

X:, Yı mit reellen Coordinaten, welche die

@

Gleichung

Ül

(8)

g@, y)=0

L!

befriedigen, in der (x, y)-Ebene kein noch so

vu

kleines Flächenstück stetig anfüllen, sondern

nur eine Curve bilden; ausgenommen ist der

Fall, dass g(x, y) identisch gleich Null ist.

Gäbe es nämlich ein derartiges Flächen-

stück (//), so würden unendlich viele Werthe von x vorhanden sein,

wie x’, für welche (8) unendlich viele Wurzeln y’ besitzt. Es müsste

Ganze Funectionen und algebraische Gleichungen

©

sonach infolge der Sätze des vorigen Paragraphen für alle diese

Werthe z

p@x’)= 0

o (@x’)= 0

p (x’)= 0

sein, und daraus folgt dann aus gleichen Gründen, dass alle @; (z)

identisch verschwinden müssen

dass also g(x, y) selbst identisch

gleich Null wird

$ 16

Ist eine ganze Funection (1) gegeben, dann kann man

wenn |Z

die Grenze y nicht überschreitet, eine Grenze R angeben,

welche w | nicht überschreitet

Mit anderen Worten: Jedes end-

liche Flächenstück der (x, y)-Ebene hat als Bild ein ganz im

Kndlichen gelegenes Flächenstück der (u, v)-Ebene

Man hat nämlich nach 8 8

[w|< 42 | + [ar + {aar

Zla Ea mEa (

Ist o der grösste unter den Moduln 0, ©,,

0n der complexen

Zahlent aa a

A, SO folgt daraus

|w|<or En m]

Wenmnn r >1 ist, dann ist der Werth der Klammer < nr" + 1; wenn

r = 1, damn ist er =n-+-1, und wem r < 1 ist, dann ist er <n -H1

also in allen Fällen

@ Z0W TG

Man braucht deshalb nur

R=00+H@ +1)

zu nehmen, um die Forderung erfüllt zu sehen

$ 17

Man kann eine Grenze rg so bestimmen, dass für

alle

An

(9)

f(e) = (1 +o) mit

O[<

wird

wo Ö eine positive, beliebig kleine

gegebene Grösse

bedeutet, die wir von vorn herein kleiner als 1 annehmen

Dividirt man (1) durch a,2", dann entsteht

f@)

U

IYZ

so dass man für die in (9) eingeführte Grösse 6 die Beziehung findet

!

z*w+

1

V

+

Z

2 %

Da

Va

AT

Um dem aufgestellten Satze zu genügen, soll dieser Ausdruck < d&

*

Oo*

20

Zweite Vorlesung 8 17—19.

also jedenfalls gleich einem echten Bruche gemacht werden; dabei ist

(

nach der Definition von o im vorigen Paragraphen mindestens

gieich 1. _ Der Sicherheit halber sei 7, > 1, und es wird dann

iö|<är;‘l(l+'rlo—{—;_l(„_’—f—-. in inﬁn.)

il

Z

‚__<ö

O0 O 1

zu setzen seim.

Sobald man daher

’

(9°)

T0>1+ ;0 (13

annimmt, bekommt man die durch (9) geforderte Bestimmung von 74.

Die erhaltene Grenze für 74 giebt zugleich eine obere Grenze für

den absoluten Betrag der etwa vorhandenen Wurzeln von (2), wie nahe

man auch 0 der Kinheit kommen lässt. Denn ist |z|>7,, so gilt (9),

und f(z) kann nicht verschwinden, da ayz” von Null verschieden ist

2

und 1 + 6 einen positiven reellen Theil besitzt.

Es ist demnach,

SEn man ın ( O — mm,

(9”)

n

eine obere Grenze für den absoluten Betrag der Wurzeln von (2).

Sind ins Besondere alle ay, @,, - -a reelle Grössen, und lässt man

auch für 2 nur reelle Werthe x zu, so folgt, dass

E E

für alle z >1 + ; % dasselbe Vorzeichen besitzt wie a,x”. KEs be-

deutet dabei @ den absolut grössten Werth, der unter den Moduln der

Coefficienten auftritt.

$ 18.

Ist in dem Polynome

(

F@= 4E F aı ag e + Annı8 F An

a von Null verschieden, dann kann man für |z2| eine obere

Grenze ı derart bestimmen, dass für alle z, deren Modul

kleiner als vı bleibt,

(10)

e =au 0 2)

wird, wobei | o | kleiner ist als eine gegebene kleine Grösse &

die wir < 1 voraussetzen wollen.

In der That ist gemäss (10)

an

a7l

Ka

12 | —+

|

n l

|

a;2

EL

On

*

[„;+„;z+...+;„n_]‚

Ganze Functionen und ‚algebraische Gleichungen,

21

und wenn wir von vorn herein |2|<1 setzen, so ergiebt sich

3O N

O]<

. 1— 121

Um die rechte Seite kleiner als & zu machen, reicht es daher aus, für

|Z| als obere Grenze anzunehmen

T =

0 E

ooo

Aus dem letzten Paragraphen der vorigen Vorlesung schliesst man

dann wegen (10), dass für f(2) = w + iv, an = 0n [Z oc„]

(11)

SeN. U — SYN. COS K,

@ 0 = @, Sln 0

wird, und weiter, dass die Amplitude von f(z) derjenigen von a„ be-

liebig nahe gebracht werden kann.

Für reelle, von 0 verschiedene %

bedeutet ın der Formel (11) sgn. & den Werth k:|k|, also E1.

$ 19. Es ist

f(Z+]L) I (aozn P alzn—l AF “257Z'_2 + + a„)

+ hnq -l +(n—1) a ? ... + aı)

+ £ (n(n—1)ay &2 +(n—1) (n——2)a„z"*‘=*'+---+2-%a„_2)

+

Bezeichnen wir num in dieser Entwickelung die einzelnen Klammern

in besonderer Art, nämlich

Wa n A D = C

VV

und nennen f'(z) die erste oder kurz die Ableitung von f(z) nach

Z, ferner f”(2) die zweite Ableitung von f(z) nach z, f”(z) die

dritte Ableitung von f(z) nach z u. s. w., so folgt

(12)

fe+RH=F@+F@T+IEOR A AO@E.

Man erkennt, dass die zweite Ableitung von f(z) gleich der

ersten von f'(z)u.s. f., die (& + 7)® Ableitung die %® der [“

ist. Hierzu genügt folgende Ueberlegung. Offenbar ist die Ableitung

‚uter

Ordnung einer Summe gleich der Summe der v'® Ableitungen

aller Summanden. Man braucht den aufgestellten Satz also nur für

ein Glied az” zu beweisen. Für ein solches ist die %' Ableitung

m(m—1) .. (m—k+1)azr—*

und hiervon die /° Ableitung

m(m—1) ... (m—k—1+1)azn—k-ı

dies stimmt lwirklich mit der (%-+/)®® Ableitung von az” überein.

22

Zweite Vorlesung 8 19—21

Die Ableitung des Productes f(z) = w(z)w(e) ist gleich

(13)

(2) = @ (2) Y(z) + @ (2) ' (z)

Dies folgt sofort aus

CO CO

[p(2) o ' (2) + ] [W(2) + (2)+-]

= (£) (2) + { (e) H(2) + p(e) ' ()

Setzt man in (12) %A für z ein und (z—h) für h, so entsteht

die Formel

(12) f(@)=f@)

H

(h) (

— h),

welche die Entwickelung von f(z) nach Potenzen von (‚z — h) Lefert

$ 20

Ist z ein fester Werth von

i

A

und f@(z,) die erste nicht

verschwindende der Ableitungen

(2), f (&);

O

fF9(@),

so nimmt (12) die Gestalt

(Zo

(14)

('°0 + Ök f(20)— f| (f(l)( ()) +

A HE

)]+>

an

Dass stets eine der Ableitungen von Null verschieden ist

zeıgt

sich sofort, weil ja sonst aus (12)

f(Zo+h)_f(yo)_o

für jedes hı sich ergeben würde, und die nicht identische Gleichung

n°n Grades ın / unendlich viele Wurzeln besitzen müsste

Auf (14) verwenden wir das Resultat von $ 18; das giebt für

hinlänglich kleine |%|

ON Z

f +*) — f(@)= 2l H@0 0

d.'h. die Aenderung, die f(z) bei einer Vermehrung des Ar-

gumentes um %A erfährt, wird mit k gleichzeitig unendlich

klein, oder: benachbarte Punkte z% und (z, +h) der (x, y)-Ebene

haben benachbarte Punkte f(%), f(&-+h) zu Bildern

Diese

Eigenschaft drückt man dadurch aus,

dass man sagt:

Jede ganze

Function f(z) ist stetig. Diese Stet1g;e1t überträgt sich auch auf

u und v, denn ]/u + w kann nur dann < werden, wenn u und

v emzeln 0 sIndı

Verfolgt man also den Lauf einer Curve ın

der z-Ebene

und ist für einen Punkt z, derselben etwa ı, posıtıv

für einen andern 2, dagegen u negativ, dann giebt es auf der z-Curve

zwischen %, und z, mindestens einen Punkt

für welchen das zu-

gehörige u den Werth 0 hat

Für die v gilt der entsprechende Satz

8 21

Wir nehmen in diesem Paragraphen an, f’(z%) sei von

Null verschieden

Ganze Functionen und algebraische Gleichungen.

23

Sind zuerst die &, A,

A, Sowie z sämmtlich reell, und ertheilt

man auch dem 4 nur reelle Werthe, dann folgt wegen

f (@)

(15)

f (& +h) —f (@) = hf' (%) [ an

@ 2

+ ]

aus $ 18, dass bei hinlänglich kleinem /

sgn. (f(% + h) — f(z0)) = sgn. (hf' (%))

wird. Das heisst: Bei positivem f (z) wächst die Function mit

Vermehrung des Arguments % und nimmt mit Verminderung

desselben ab; bei negativem f (z%) findet das Entgegen-

gesetzte statt. Vermehrung wie Verminderung müssen dabei

hinlänglich gering genommen werden.

Es seien ferner die ap, 4,

a„ Sowie z wieder complex. Dann

folgt aus (15) nach $ 18 und dem $ 11 der vorigen Vorlesung, dass

das Vorzeichen des reellen Theiles von f(z +h) — f(z%) gleich

demjenigen des reellen Theiles von hf (%) ist; das Gleiche

findet mit den Coefficienten von

ı in beiden Funetionen

Statt:

Auch hier ist |/ | hinlänglich klein anzunehmen.

Zunächst hat man

FA =1n4 271 +(n—1) a ..

(16)

= ng [ m— Do+a) + m— Da — 2o-+a)]+

und andererseits

u = 097" cos (n® + &) + ,7 1 cos ((n— 1) 0 +«a,) F,

v = 097” sn (no + «oy) + 0,7”7' sin ((n — 1) o + a) + .

Bezeichnet man die Ableitungen von u, v nach r mit w’, v', so ist

(l @ E D [Z (nco—l-a„)} +(n—1)9,7"7? [;((n — 1)m+oq)i] +

und daher, wie die Vergleichung von (16) und (17) lehrt,

f'(2) = (u’ + iv’) [Z (— oo)]

Zu 2 = % Möge u = W, U = 4, 0 = wy gehören; dann können wir

f (2%o) = (U9 + i0) [; ( “’o)]

schreiben, und unser letzter Satz geht in den folgenden über: Bei

hinlänglich kleinem %4 sind die Zeichen des reellen und des

mit } multiplicirten Theiles von f(% + h) — f(%) gleich den

Zeichen des entsprechenden Theiles von

(18)

C [; (= ‘°o)i| °

24

Zweite Vorlesung 8& 22

Dritte Vorlesung $ 23

4

$ 2

Von diesem allgemeinen Satze brauchen wir den beson-

deren Fall, dass die Veränderung von

w

A

ohne Aenderung des Moduls

vor sich geht, dass also z und z + h auf einem um den Nullpunkt

geschlagenen Kre1se liegen.

Dazu muss, wenn

AD

gesetzt wird, z + 4 denselben Modul 7, haben, d. h

C

.<O+h——ro[ (coo+»ö*)1—ro[ coo][

S

9],

und also

/L—70[ ro0] (cos & — 1 + i sin@)

Z

280 Sn

2

[ ca„]( sm—+zcos >

——

Cn +

276 sn 5 [c 0] [

S

2

]

seın

Die Bedingung, dass |Z | beliebig klein werden soll, wird durch

hinlänglich kleine Werthe von 4& befriedigt

Unser Ausdruck (18) geht daher in dem jetzt betrachteten Falle

ın die Form

(d9) 278n - (u + w ) [c ﬂf+ ß]

=278in z [ (u0 sin > +v„ cos )+ z(u„ CO Sn 2)J

über

Setzen wir nun

@& + h) — f(@) = du + 4,

so folgt aus dem allgemeinen Satze des vorigen Paragraphen, dass

4u, und —27 sin (uo sin 5 —+ v cos 2>

Av

und

270 sin 5 (uo cos >

v sin —>

gleiche

Vorzeichen haben

Dabei kann man zuerst den positiven

Factor 7, weglassen

Wenn ferner u,, vy von Null verschieden bleiben

dann kann man %/ und damit & so klein annehmen, dass das Glied mit

CO

über das Vorzeichen der Klammer entscheidet, so dass

2

4uw und — % sind, 4v% und + w 8in#

gleiche Vorzeichen haben

Das heisst: Bei hinlänglich kleinen

Aenderungen der Variablen 2 von % aus auf dem Kreise mit

dem Mittelpunkte 0 und dem Radius %/

ehmen bei nega-

tivem Werthe w ampl. z und w gleichzeitig ab und gleich-

Existenz von Wurzeln algebraischer Gleichungen

25

zeltig zu

bei posiıtivem v findet das Umgekehrte statt

<

A

Ferner nehmen ampl

und v bei positiıyem Werthe &4

gleichzeitig ab und gleichzeitig zu, während bei negativem

das Umgekehrte stattfindet

Dritte Vorlesung

Existenz von Wurzeln algebraischer Gleichungen

23

Wir kommen nun zum Beweise des Fundamentalsatzes

der

X

Igebra, dass jede algebraische Gleichung

(I)

O Z U L a 0

eine und daher ($ 14) genau soviele Wurzeln besitzt als ihre

Gradzahl angiebt.

In dem Specialfalle, dass die Coefficienten der Gleichung

reell

sind, und ihr Grad ungerade ist, lässt sich die Existenz einer (aber

daraus keiner weiteren!) Wurzel leicht erschliessen

Nach : $ 17 kann

man dem z so hohe reelle absolute Werthe geben, dass das Vorzeichen

von f(z) mit dem von ap2” übereinstimmt, dass also für ein hin-

reichend grosses reelles positives

A

Z

= %, und andererseits für ein hin-

reichend grosses negatives z=x, die ganze Funetion f(z) verschiedene

Vorzeichen erhält

Nach $ 20 giebt es dann auf der reellen Axe der

% zwischen x, und %, mindestens einen Punkt x’,

wn den Y O

wird. Dieses w’ ist eine reelle Wurzel von 12

$ 24.

Im allgemeinen Falle gehen wir so vor: %, sei irgend ein

constanter Werth. Wäre f(z,)= 0, so hätten wir in z bereits eine

Wurzel der

Gleichung.

Xir nehmen also an, es wäre f(%)=0.

Ferner möge /“(z) die erste nicht verschwindende der Ableitungen

K

f (@), -

IL)((

seın

Dass diese ganze Reihe nicht aus lauter verschwindenden Ele-

menten besteht, haben wir in 8 20 gezeigt.

Dann ist (vgl. $ 20)

F& +l

—

+

(Zo)

AD

f (%)

l'f(z)

_l_.

(l P (%)

+

|

f (& +)|

C

d

ED SE

+>(Z)

MC

_|1+;7

Al f(@%)

@ + 1)! f (@)

und wenn wir nun die Normalformen

e

5

h= 0 ia],

Z

*! f(Z„)

Z [c D

i

)

26

Dritte Vorlesung $ 24—26,

einführen, dann ergiebt sich

f (& + %)|

s R el

>

<

39

f (%)

K E e

Zunächst geben wir dem Z eine durch

== —

D

Ä.'CT)'+i;‚=7t‚

bestimmte Amplitude, während der Modul o durch | 720* | < 1 bestimmt

wird; dadurch entsteht für die so beschränkten Werthe

1E

E

<1 —40 +h+10* 7 Lr E

f (%)

O

A

g].—f;_gl <1

Z

Z

7

Jetzt verfügen wir noch weiter über den Modul o nach & 18 derart,

dass wir ihn < o, machen, wodurch für alle Werthe 0 0, der

Werth der letzten Klammer positiv und also die rechte Seite kleiner

als 1 werden soll.

Positiv ist die linke Seite stets.

Man hat also

F (@+R)

<

l

@

—,

(l

2

] 0<o)-

If(% +%)| <! F(@) 1,

Dieses Resultat zeigt, dass für jeden Punkt %, für den

If(Zo)‚+0 ist, eine Richtung bestimmt werden kann, auf

welcher |f(z +)| für hinreichend kleine %4 kleiner ist als

j f('z()) i

8 25.

Um diesen Satz zum Nachweise der Wurzelexistenz zu

verwenden, bestimmen wir für |z| eine untere Grenze R

07

oberhalb

deren ol S 17 fün alle 2

|7(e) | > Ü& (1 6)

o<

ist.

Es seien | 2

und |2,|> |2, | zwei dieser Bedingung genügende

Werthe; dann hat man

| £(@)

Z

n

[A@)

|

Da

‚;z

n]+g

3

1

1 + o6;,

Z

und erkennt daraus, dass bei hinlänglich grossem Werthe des Quo-

tienten |2, |:|2z, | der kleinste der Werthe von f(z,) bei constantem

|% | grösser bleiben wird, als der grösste der Werthe von f(gz,) bei

constantem | 2 |.

Innerhalb des um 0 geschlagenen Kreises mit

dem Radius | z | muss also |f(2)| irgendwo seinen kleinsten Werth

aufweisen.

Tritt dies für z = % ein, so muss |f(2%)|= 0 sein, weiıl

sonst zufolge des im vorangehenden Paragraphen Bewiesenen doch noch

eine weitere Verminderung von |f(z%)| in einer ganz bestimmten

Existenz von Wurzeln algebraischer Gleichungen.

27

Richtung möglich wäre. Damit ist also die Existenz einer Wurzel z

klar / gelezc; demn aus |/(&%) | = 0 tolet /(0) = 05)

Wir wollen hierbei noch bemerken, dass wenn man in (2) die

Amplitude

—

(

gleich —

A

setzt, eine Richtung aufgefunden wird, längs

deren eine Vermehrung von |f(z)| in unmittelbarer Nähe von %,

stattfindet. Hin ım Endlichen liegendes Maximum für |f(z)|

kommt aber nicht vor, da hier der Fall, dass |f(z%)|==0 wird,

nicht als Ausnahme auftreten kann.

Im Allgemeinen wird in (2) f’(%) +0, und der Werth %4 gleich 1

sein; dann liegt um den Punkt z ein Bereich, in welchem |f(z,)|

wächst und ein anderer, in welchem |f(z)| abnimmt. Ist 2>1,

dann wechseln mehrere solcher Gebiete um z mit einander Sectoren-

artig ab, da für

e

Ar

—tÄ.

2n —,

SE

E ME

@

Z

’

2

Z

X

’

ein Wachsthum, für die dazwischen liegenden Amplituden

OS Z

— 0y

3n —,

S

A

?

A

?

2

?

ein Abnehmen von |f(z) | eintritt.

$ 26. Alle diese Verhältnisse kann man sich geometrisch leicht

veranschaulichen, indem man über der, die Variable z darstellenden

Horizontalebene eine Fläche errichtet, deren Verticalcoordinate durch

|w| gegeben wird. Unter die (x, y)-Ebene kann diese Fläche nicht

herabsinken, da | w

nıemals negativ wird.

Die Minima \ Zz0

liegen, wie aus dem $ 24 hervorgeht, an den Punkten, in denen die

Fläche auf der Coordinatenebene der %, y aufliegt, und $ 25 zeigt, dass

solche Punkte vorhanden sind.

Bei dem einfachen Beispiele

f(z)=z"—l=r"ﬁnm}—l

wird

OM Z D n I

m- 1<]f@ l< 41,

und bei constantem r tritt das Minimum des Moduls | 2# — 1 |, nämlich

der Werth |7” — 1[, für die n Amplituden

2

4n

o=0,

n ?

N

(2n—2)x

A

und das Maximum ” + 1 für

AB TL

*) Cauchy, Analyse algebrique; 1821, Cap. X, p. 329f.

28

Dritte Vorlesung $ 26—28,

N

3

Ü S

5

. (2n—1)x

n?

n ?

n

ein. / Nur für ” = 1 kannn |w|=0 werden, weil in jedem anderen

Falle das Minimum |w|=|m —1 | von Null verschieden ist. Für

Jedes ” —1 ist - der Werth der Maxima auf eimem. Kreise ın den

Nullpunkt immer um 2 grösser als derjenige der Minima; für 7< 1

dagegen ist diese Differenz = (1 + r)—(1— W) = 2y Nur. für

den Nullpunkt ist |f’(z)| gleich Null. Es ist leicht, von dem Ver-

laufe dieser Fläche eine Anschauung zu gewinnen.

8/27.

Ein anderer, von Gauss stammender Beweis des Funda-

mentalsatzes knüpft an das Verhalten von w und w auf der Peripherie

eines hinlänglich grossen Kreises um den Nullpunkt an. Man hat in

unserer durchgehends benutzten Bezeichnung

(3)

—0 OS N o e - aa ) E

CO a E

und die nach 7 genommenen Ableitungen hiervon werden

(4) W =n0," 7 cos(nd-+«))+(n—1)o,r"? cos((n—1)0-Ä)-E..,

V = nggr sin (n + w) +(n— 1)o,r"-? sin ((n-— 1)o-Fa)+ .

Wir untersuchen die Veränderungen, welche diese Funetionen

(3) und (4) auf der Peripherie des Kreises mit dem Radius r erleiden,

über dessen Grösse bald eine nähere Bestimmung getroffen werden

soll. Wir theilen den Kreis in 4% gleiche Theile, indem wir 4n Radien

unter den Amplituden

O =>

SEr O

z A

E

3T — 4&

UE

DE z

4n

4n

4n

4n

ziehen; die zwischen diesen Radien enthaltenen Stücke der Peripherie

wollen wir der Reihe nach mit GE GEDE QINY (IV), - - (4n%) bezeichnen.

Dann geht in diesen Stücken der Winkel (nw® +- «o) bezw. von

3

T

—?7;' bis —{—£‚ von —I—-Z bis *

5

P

Y

4

C yOM ä47—t bis

4

; ‘ von 5475 bis

4

und dann wiederholen sich dieselben Werthe bis auf Vielfache von

2x in derselben Reihenfolge.

Somit durchläuft der cos (nwo + «)

bezw. die Werthefolgen

mA

(V)

von + V% über + 1 bis + V%,

E A

L

und der sin (n0o + &xo) bezw. die Werthefolgen

e

Existenz von Wurzeln algebraischer Gleichungen

29

in (IJ),

(VD),

von —I—V über + 1 bis +V2‚

in (IV), (VIII

SE

5

S

Setzen wir also zur Abkürzung

H@ = @ V — 0, 71 — 0,rt7®

5)

G(0) = O 1V——(n—l)g R ONO —

wobei

(5)

G(7)=%{nf(r)—}—g yrı + 202 +

}

wird, dann erkennt man, durch Vergleichung mit .(3) und (4), dass in

(D),

(V),

0 O

ÜE G

(ID),

(VD),

AA

UG

(D0D)- (NARD)

u<—F(r),

w <—G(r),

(IV), (VIID),

v <—F(r),

v <—G(r)

wird. Jetzt wählen wir eine positive Grösse 7, als untere Grenze für 7

so dass F(r) für grössere Werthe positiv bleibt. Das ist nach $ 17 mög-

lich. Für dasselbe Werthegebiet ” > 7, wird in Folge der Beziehung (5)

auch die Funetion G(r) beständig positiv bleiben

Man sieht daraus

dass bei wachsender Amplitude in den Sectorbereichen für r > Y

(D),

(V),

w>0,u >0 und also v beständig zunimmt

(ID),

(VD),

00 DE

”

”

u

”

abnımmt

(6)

MZ0 Z

v

abnımmt

(L ID

2

”

”

(IV), (VIIM),

Ozo

DZO

20

2

u“

”

zunımmt

wie aus dem in $ 22 bewiesenen Satze folot

Demnach wird in

(D),

Q

v einmal vom Negativen durch Null zum Positiven

(ID),

Positiven

Null

(7)

OI

”

”

”

”

Negativen

’

( (VII)‚

v

2

”

Positiven

”

Null ‚„ Negativen

(IV) &VD

”

”

Negativen

”

Null

2

Positiven

gehen, und dieses Passiren der Null findet in jedem der Gebiete auch

nur einmal statt.

$ 28. / Wir ' haben' in .8 15 gesehen, dass der Ort derjenigen

Punkte der z-Ebene, für die u = 0 ist, nur aus Curyen besteht, und

dass Flächenstücke durch solche Punkte nıcht stetig erfüllt Werden

können.

Dagegen bilden die Punkte, in denen u > 0, und diejenigen,

in denen u< 0O ist, Flächen, und d1ese werden wegen der Stetigkeits-

9

)

0

Dritte Vorlesung $ 28—29,

eigenschaften der Function w durch die Curven u — 0 von einander

getrennt. Das Umgekehrte braucht natürlich nicht richtig zu sein;

aber der Fall, dass zu.beiden. Seiten einer Curve u — 0 die Funetion u

dasselbe Vorzeichen hat, kommt für unsere F ragen gar nicht in Betracht.

Jedenfalls kann eine Curve u — 0, welche ein Gebiet mit positivem u

von einem solchen mit negativem u trennt, nicht plötzlich abbrechen,

da ja sonst ein Umkreisen des Endpunktes aus dem Gebiete u > 0 in

das Gebiet u < 0 ohne Ueberschreiten der Curve u = 0 führen würde.

Betrachten wir nun für ein beliebiges > >r7, die Curven u — 00

zeigt (6), (7), dass in allen Sectoren mit geradem Index (D (D ) s s

je ein einziger Curvenzweig u — 0 aus dem Unendlichen herkommend,

ohne sich selbst zu schneiden, einfach bis zum Kreise mit dem Radius

rg hingeht. Diese Zweige wollen wir in solcher Richtung durch-

laufen denken, dass der Bereich kleinerer Amplituden links, der grösserer

Amplituden zur Rechten liegt. Bei Kinhaltung der gewählten Rich-

ng haben wır Kra 270 Aut den Curyen v 0 nl den A ussen

sectoren von

(ID),

(VD),

zur Linken u > 0,

zur Rechten u <0,

(D} OI0 S66

”

”

UZ

”

”

W:

Wriet man Yetzt au u = O etwa ın (Ml) ıns Innere des Kueises nnl

dem Radius 77, so kann, wie wir sahen, der Weg nie abbrechen und

die Curye x = 0 muss wıeder den‘Kreis verlassen.

Sollte er sich

irgendwie im Innern verzweigen, so wählen wir stets den am meisten

nach rechts gelegenen Weg und

sind dabei sicher, dass stets zur

U

V<o

Rechten der Curve das Gebiet

u< bleibt.

Ebenso muss es

WLA

U<

daher auch beim Austritte aus

U=0

dem Kreise bleiben; hier aber

VX\o

wird die Richtung der oben fest-

Z /1r/(///

WE

LU SO

gestellten entgegengesetzt sein,

(D

u70

(D

woraus folgt, dass man nur

U+0

ın

einem der Gebiete (IV),

USO

oder (VIII) oder (XIT), --- den

Kreis verlassen kann.

Nun war

Z

nach (6) in (II) der Werth von

O poSIty MN ND,

Daher muss die betrachtete Curve u= 0 im Innern des

negativ.

Kreises mindestens einmal die Curve v = 0 geschnitten haben, d. h.

es

besteht eın Werth von 2,

ü welchehn u 0 u =0

Existenz von Wurzeln algebraischer Gleichungen.

ö1l

und also C —0L

Damit ist die Existenz einer Wurzel

geze1gt”):

$ 29. Ein dritter Beweis beruht gleichfalls auf der soeben be-

nutzten Vertheilung der Werthe von w und w auf der Peripherie eines

hinlänglich grossen Kreises.

Kr liefert aber noch weitere wichtige

KEinsichten und mag deshalb hier gleichfalls noch besprochen werden.

Wir betrachten f(z) in der Nähe eines m-fachen Wurzelpunktes z,,

also eines Werthes, für den [vgl. (12®*) aus 8 19]

f(e) = (# — 2)" (dm + mı12 E 4 + aug m)

= (2 — 29)" (Am + Am+1 (& — %) + %] F: A An @ == &%) - Al

= (2 — Z m- bnı (2—%0) + ba (2—2) + + + + bn (2— 20y —)

gesetzt werden kann. Da %, eine m-fache Wurzel ist, so muss b von

Null verschieden sein.

Nun setzen wir

N

CZ E

und bekommen bei diesen etwas geänderten Bezeichnungen

Ü =0. 0W (my+ Bın) + m- 17 cos ((m + 1)@ + Ba-t1) A,

(8) U = Om7"sin (M® + ßa) - Om--17" * sin ((m + 1)0 + Bat-ı) -

W=Mön1" \ cos (MO+B) H(M+1) m- 7 CO ((M-1) 0 + Br-ı) -

V=M0n1" — sin(mo-+By)-+(MA1) onı 7" in ((M-1) O Ba) e

Die Funetionen (8) untersuchen wir auf der Peripherie eines Kreises

um Z mit dem Radius ”, über den bald eine Bestimmung getroffen

werden soll. Wir theilen den Kreis in 4m gleiche Theile, indem wir

4m Radien unter den Amplituden

TE

a

2

+7t_4ßln

3 — 4ß

M

E P

4m

4m

’

4m

’

4m

ziehen; die zwischen diesen Radien enthaltenen Stücke der Peripherie

wollen wir der Reihe nach mit (I), (IT), (IIT), (IV), --- (4n) bezeichnen.

Dann geht in diesen Stücken der Winkel (m® + ßu) bezw. von

—; bis +'Z) yon +—Z bis »3;‚ von 19’—E bisä’—‘‚ voni—" bis 7Tn,

und dann wiederholen sich dieselben Werthe bis auf Vielfache von

Z

E

AAA

*) Gauss; Werke Band II, S. 1: Demonstratio nova etc.; S. 71: Beiträge

zur Theorie der algebraischen Gleichungen. — In der ersten Abhandlung findet

sich eine Kritik der vor Gauss gegebenen Beweise, Die zweite Abhandlung giebt

durch eine andere Wendung der Betrachtungen unseres letzten Paragraphen sofort

die Existenz aller » Wurzeln der Gleichung nten Grades.

32

Dritte Vorlesung 8 29—30.

2x in derselben Reihenfolge. Somit durchläuft der cos (mo + ß

m)

bezw. die Werthefolgen

a

A

(V),

von +V; über + 1 bis + V

52

1

n (DE, ID

von —]/% über — 1 bis — V

97

und der sin (mo + ßın) bezw. die Werthefolgen

2

ün AI

von + V%

über + 1 bis +]/»ä‚

O D A

Setzen wir also zur Abkürzung

SN 6m+2 E +2 —

’

1(v (7"> D Ö,„ y Vc)‘ 6m—|—1 Tm+ d

GW) = MOn ]/% — (m F 1) mı7 — (M F 2)0nu a

7

wobei

(9)

F(r)= äi[„G(‚.) F Onpı H E Qom pra E ..

wird, dann erkennt man durch Vergleichung von F und G mit den

Functionen (8), dass in

(D),

(V)

VE

S

G0),

(ID),

(VD),

A E,

WE

G (7) 7

(„1); (VH)7 FE

u< — F(r),

u <—G(r),

V OLD

0L Z O HCO

wird. Jetzt wählen wir für ” eine obere Grenze 7o, unterhalb deren

G(r) bis beliebig nahe an r=0 stets positiv bleibt. Das ist nach

S 18 möglich, wie sich sofort zeigt, wenn man G(r):r"—1 betrachtet.

Zugleich ergiebt sich hierbei die nothwendige Kinschränkung auf

wesentlich positive

Werthe

AAOING

Für

dasselbe

Werthegebiet

9 >7>0 wird in Kolge der Beziehung (9) auch die Funetion /(r)

beständig positiv bleiben.

Man sieht daraus, dass in den Gebieten

D,

(V),

uw>0, uw'>0 und also v beständig zunimmt,

(D

(VI); GE

O0

VZ0

”

u“

”

abnimmt,

&0 (

Ü:

u <0O0

02

”

”

abnımmt,

u

(D VD

Z

Z

22

A

D

zunimmt,

wie aus dem in $ 22 bewiesenen Satze folgt. Demnach wird in

33

Existenz von Wurzeln algebraischer Gleiéhungen.

(D),

(V),

v einmal vom Negativen durch Null zum Positiven,

(ID),

(D}

u

”

”

Posıtiven

”

Null

”

Negativen,

Positiven

Null

”

”

”

”

Negativen,

0 Qa

u

”

„ Negativen

”

Null

”

Positiven

gehen; dieses Passiren der Null findet in jedem der Gebiete auch nur

einmal statt.

Die Werthvertheilung, welche durch die Figur zum

vorigen Paragraphen veranschaulicht ist, gilt auch hier unverändert.

$ 30. Aber hier können wir zu noch tieferer Einsicht gelangen.

Wir haben dargelegt, dass in (II) die Funetion w genau einmal ver-

schwindet, während sie in (I) positiv, in (III) dagegen negativ ist.

Wir wollen zeigen, dass der im Sector (II) in den Kreis tretende

Zweig der Curvye u=0 sich immer mehr der Halbirungslinie

dieses Sectors nähert, wenn der Radius des Kreises bestän-

dig abnımmt.

Es sei 0 ein beliebig kleiner Werth und

sind = .

Dann ziehen wir zwei, die Halbirungslinie des Sectors (II) beliebig

eng einschliessende Radıen von z aus unter den Richtungen

2n

4ß

M

40

A ELE

Z T 43.

(11)

4m

un

4m

7

für dieselben wird (mo + ß„) bezw. gleich

—;—‘—ö und g+ö‚

und es kann der Werth von cos (mo® + ß..) zwischen den Winkeln

ß77l

2 — 4ß

(1°

O =

4 m

und. w = —

4m

D

nicht unter + & fallen, und zwischen den Winkeln

2 — 4ß } 20

VEr

3n — 4ß

mM

(II®)

En

4m

un

O =

4m

nicht über — & steigen.

Daraus folgt wie soeben, dass, wenn man

r kleiner als die kleinste positive Wurzel 7, der zweiten, und damit

auch der ersten der beiden Gleichungen

On s — Öm+1""m+l OM 0‘‚„+2Tm+2 N Ba O}

MOmy" *e — (M + 1) m17 — (M E 2) m+ 0

wählt, w für alle y zwischen 0 und 7’ in (IP*) positiv, in (II”) ne-

gativ ist und also nur in dem beliebig engen Winkelraume (11)

durch Null gehen kann, Folglich schmiegt sich die Curve u = 0 in (II)

mehr und mehr der Halbirungslinie an, welche unter der Amplitude

A 2ßm

2m

Netto, Algebra. I.

34

Dritte Vorlesung $ 30—32,

verläuft. Es ist ersichtlich, dass das Ents

prechende für alle Zweige

der Curven u =0 sowie v=0 gilt;

d k: Ber eimmer m -fachen

Wurzel %, schneiden sich m Zweige der Curve u=0 in

Z

Z

unter gleichen Winkeln; ebenso m Zweige der Curve v=

0,

und zwar halbiren diese die Winkel der ersteren Curve

n-

zweige. Bei einer einfachen Wurzel stehen die Zweige u=0

und v=0 auf einander senkrecht.

$ 31. Verfolgt man den Verlauf der Werthe des Quotienten

auf unserem Kreise bei wachsendem Winkel ©, SO zeigt sich, dass auf

der gesammten Peripherie der Werth von

— genau 2m-mal

vom Positiven durch Null zum Negativen geht.

Denn w geht

m-mal vom Positiven durch Null zum Negativen,

nämlich je einmal

in 0, (Yd),

:, und m-mal vom Negativen durch Null zum Posi-

tiven, je einmal in (IV), (YIID) :

Da im ersten Falle v > 0 a

zweiten v< ist, so folgt hieraus das Behauptete. Diese Eigenschaft

bleibt bestehen, wenn man den Kreis durch eine einfache geschlossene

Ourve ersetzt, die ganz innerhalb des Gebietes Y <7 verläuft. und

von jedem von 2 ausgehenden Radius einmal und nur einmal ge-

schnitten wird. Beispielsweise kann man für die Curve ein Rechteck

setzen, dessen Seiten den Coordinatenaxen parallel laufen.

Wir wollen das Analogon dieses Satzes für einen Punkt suchen,

der kein' Wurzelpunkt yon /(&) = 0 ıst. Geht durch den Punkt Z

keine Curve u = 0, so kann man um z, einen kleinen Kreis schlagen,

auf dessen Umfang w nicht verschwindet, und für den also “ nie durch

Null geht, da v stets endlich bleibt. Hier gilt also der obige Satz

ohne jede Aenderung.

Weiter mögen mehrere Zweige der Curve u=0 durch einen

Punkt 1, gehen, aber kein Zweie der Curve v -— 0 Her kann man

um %, einen Kreis schlagen, auf dessen Umfang v stets von Null ver-

schieden ist und also gleiches Zeichen behält. Dann verschwindet —Z

überall da, wo w= 0 ist, und bleibt auf der gesammten Peripherie

endlich. Folglich kann

nicht zweimal hinter einander vom Positiven

durch Null zum Negativen, oder zweimal hintereinander vom Negativen

durch Null zum Positiven gehen; und da jener Quotient nach voll-

ständiger Umkreisung das anfängliche Vorzeichen wieder annımmt,

so müssen beide Fälle gleich oft eintreten.

Bezeichnet man diese beiden Anzahlen beim Umkreisen in posi-

tiver d. h. in derartiger Richtung, dass das Innere des Kreises be-

nnna

Existenz von Wurzeln algebraischer Gleichungen.

35

ständig zur Linken der Fortschrittsrichtung liegt, mit & und mit %,

so wird % — k’= 0 werden.

Das im vorigen Paragraphen für einen m-fachen Wurzelpunkt

gefundene Resultat lässt sich, da dort &* == 2m, k = 0 ist, auch durch

die Gleichung % — k’ = 2m ausdrücken.

Demnach gilt für jeden Punkt der Ebene, wenn wir wieder den

Kreis in der oben besprochenen Art durch eine andere, passend ge-

gewählte Curve von der oben genau dargelegten Art ersetzen,das

Theorem:

Umschliesst man einen beliebigen Punkt z der

KEbene durch eine Curye von hinreichend kleinen Dimensionen,

welche von jedem Radiusvector aus 2 nur einmal geschnitten

wird; durchläuft man diese Curve in der Richtung, dass das

Innere zur Linken bleibt; bezeichnet man miıt %, wie oft

hierbei der Quotient 1; vom Positiyen durch Null zum Nega-

tiven, und mit %, wie oft er vom Negativen durch Null zum

Positiven geht, dann giebt die Differenz (& — k’) die doppelte

Zahl der Multiplicität an, mit welcher z’ als Wurzel von

W + 0i =f(?) = 0 auftritt.

Bemerkenswerth ist hierbei einmal, dass &> k’, und ferner, dass

(k — k’) stets eine gerade Zahl sein wird.

Der

bewijesene Satz

8 82

bezieht sich auf Curven von hin-

reichend kleinen Dimensionen; aber von hier aus können wir leicht zu

dem folgenden allgemeinen Satz kommen: Durchläuft z eine einfache

geschlossene Curve. U, auf welcher kein Wurzelpunkt von

f(@)=0 liegt, derart dass das Innere stets zur Linken bleibt,

und geht dabei der Quotient % bei einem vollständigen Um-

laufe %&-mal vom Positiven durch Null zum Negativen und

k’-mal vom Negativen durch Null zum Positiven, dann giebt

Al = 0

die doppelte Anzahl der innerhalb der Curve liegenden

Wurzeln von f(2e)=0 an, jede in

ihrer richtigen Multiplicität ge-

zählt.

Wir zeigen zuerst: Ist der Satz für

zwei Contouren ACB und ABD richtig,

welche ein gemeinsames Linienstück AB

besitzen, dann ist er auch für das von

ACBDA, nach Ausschaltung von AB

umschlossene Stück richtig. Die den Zahlen % und %’ entsprechenden

mögen für die drei Linienzüge ACB BA BDA Bezw k

3

hy5

36

Dritte Vorlesung $ 32—35,

k3, ks; ko, ke‘ sein; 4, möge sich auf die vollständige Umgrenzung

ACBA / und' Z auf ABDA Bezichen. Dannast ersichtlich, dass das

Stück AB in der Richtung von A nach B durchlaufen die Zahlen

k,', kz an Stelle von kz, k‘ geben wird, so dass

A + h) - + k), 4= Car W A

4, + 4, =(k, + k) — (k/ + k

ıst

Diese Summe 4, + A, stimmt also mit dem auf die.Gesammt-

curve ACHDA bezogenen A überein, wie behauptet worden war;

allein auf.

denn auf der angegebenen Curve treten die Zahlen E SR

Nun können wir ferner das von der vorgelegten Curve C um-

schlossene Gebiet in beliebig kleine Theile derart theilen, dass in jedem

von ihnen höchstens ein einfacher oder mehrfacher Wurzelpunkt liegt.

Nach dem vorigen Paragraphen gilt unser Satz für jeden dieser Theile

einzeln; nach dem soeben Bewiesenen auch für die Vereinigung von

je zwei aneinanderstossenden; und demnach gilt er ganz allgemein.

$ 33

Nehmen wir zu diesen Ueberlegungen nun noch die

Gauss’schen Betrachtungen über die Verteilung der Werthe von w, v

auf der Peripherie eines hinlänglich grossen Kreises hinzu, wie wir sie

im $ 27 dargelegt haben, und beachten, dass aus den Formeln (6) ©&

jenes Paragraphen &= 2%, k’=0, 4= 2n folgt, so ist unmittelbar

ein dritter Beweis für die Existenz der Wurzeln geliefert,

und zwar treten hier alle » Wurzeln gleichzeitig in Evidenz.

$ 34. Genau so, wie wir in $ 31 beim Verfolgen des Quotienten —

auf unserem Kreise mit wachsendem Winkel w

im Falle

einer

m-fachen Wurzel 2m Punkte antrafen, in welchen — vom Positiven

durch Null zum Negativen geht, genau so erkennen wir die Existenz

von 2m Punkten, in denen — vom Negativen durch Unendlich zum

Positiven übertritt.

Daraus können wir nach der benutzten Schluss-

weise auch folgern:

Durchläuft z eine einfache geschlossene

Curve C, auf welcher kein Wurzelpunkt von f(g)=0 liegt,

derart dass das Innere stets zur Linken bleibt, und geht

dabei der Quotient % bei einem vollständigen Umlaufe /-mal

vom Negatiyen durch Unendlich zum Positiven, und /’-mal

vom Positiven durch Unendlich zum Negativen, dann giebt

die Differen_z

B=1—V

die doppelte Anzahl der innerhalb der Curve liegenden

Existenz von Wurzeln algebraischer Gleichungen.

37

Wurzeln von /(e)= ©0 an, jede in ıhrer richtigen Multipli-

cıtät gezählt.

Natürlich können wir von diesem Satze und dem in $ 32 auf-

gestellten ohne Weiteres auf das Verhalten des Quotienten — bei

einem vollständigen Umlaufe übergehen. So tritt dieser Quotient beim

Umlaufe /-mal aus dem Negativen durch Null ins Positive, und (’-mal

aus dem Positiven durch Null ins Negative über.

$ 35. Der in den Paragraphen 29 bis 33 gegebene Beweis stammt

von Cauchy (J. de ’Ee. Pol. 1837 p. 176). Sein Kern liegt in dem

Satze von $ 32. Von diesem lässt sich eine einfache und schöne geo-

metrische Anschauung geben, sobald man, wie dies ım Anfange der

zweiten Vorlesung dargelegt ist, die Funetionalwerthe von f(2) = w

= u + v auf einer der z-Kbene entsprechenden (u, v)-Ebene repräsen-

tirt und das Bild I” der von

Z

A

Z

durchlaufenen Curve U untersucht. Für

den zum Punkte (uw, v) gehörigen, vom Nullpunkte (u = 0, v = 0) aus-

gehenden Radiusyector hat man die Amplitude & durch die Gleichungen

cCosS d == -

sin 4 =

v

V

a

VW

zu bestimmen.

KEin solcher Radiusvector fällt also für v= 0 in die

Richtung der positiyen oder der negativen uw-Axe; wenn — aus dem

Negativen durch Null ins Positive geht, dann geht der, den Punkt w

repräsentirende Radiusvector im Sinne wachsender Amplituden, also in

positiver Drehung durch die (positive oder negative) u-Halbaxe. Wenn

sich daher w_von einem beliebigen Ausgangspunkte an so bewegt, dass

%— hinter einander 2-mal vom Negativen durch Null zum Positiven geht,

dann hat & eine Drehung in wachsendem Sinne zurückgelegt, die mehr

als x und weniger als (2 + 1)x beträgt. Ebenso, wenn % hinter ein-

ander }'-mal vom Positiven durch Null zum Negativen geht, dann hat

d eine Drehung in abnehmendem Sinne zurückgelegt, die, absolut ge-

nommen, mehr als A'’z und weniger als (2’+ 1)x ausmacht. Wenn

also bei dem Gesammtumlauf von z der Quotient ä— genau /- und /’-mal

in der einen und der andern Richtung die Null passirt, dann hat der

Radiusveetor von O nach w dabei eine Gesammtdrehung von (l — [’)x

= mx vollbracht. Bei einem Gesammtumlauf von z giebt der

Quotient aus dem Zuwachse der Amplitude & durch 2x die

Anzahl der in der Curve U eingeschlossenen Wurzeln von

w=0. OÖder anders ausgesprochen: Umschliesst die Curve C0 der

38

Dritte Vorlesung 8& 35, Vierte Vorlesung 8& 36—37,

2-Ebene v Wurzeln, dann umschlingt die Curve I der w-Ebene

den Nullpunkt in v-facher Schleife, und umgekehrt.

In dieser

verständlich.

letzten Gestalt erscheint das Cauchy’sche Theorem als nahezu selbst-

ED

Vierte Vorlesung.

Zerlegung; Interpolationsformeln.

$ 36. Die Betrachtungen des vorigen Kapitels haben uns gezeigt,

dass jede ganze Funetion

(1)

OD D Ar

n gleiche oder von einander verschiedene Wurzelpunkte besitzt. Nach

$ 14 kann man daher stets

(2) F(2e)= AyO — ) (a — 2,) *, M, + Ma + + m. =n)

setzen, WO 2, %,

2, die von einander verschiedenen Wurzeln von

A) = 0 8ind, und M M,

m, ihre Multiplieitäten angeben. Aus

$ 19 folgt

f(e + = al + —a @+ —a @+ — 2)

—{ —2,)" (&

z2)m2 &S (Z WE 5k)mk

+ h[m,(2 — 2,) —1 (g —2 +

]

A

OO

ıl

@+

und deshalb ergiebt sich

(3) HO %Zk‘mz (8— 21)* + (8 — "71)"‘Ä*1 DE

ä

On ‚6'k) mk,

SS

M,

m 7

(4)

HCM

f (@) _M

+

+ +

f(@) 8R

2 — Z

2— 8}

Falls nur einfache Wurzeln vorhanden sind, entsteht hieraus

n

@ OLE

Ai=1

Ön

),

OE

1

Z

1

SE

(4*)

f(@) _'g_zl

_+;

Ln

BB

Wenn wir annehmen, dass die Coefficienten @,, a,,

A, sSämmt-

lich reell sind, dann folgt [$ 10, (IV)] aus

Zerlegung; Interpolationsformeln

39

@y O

gleichzeitig f(x—yi)= 0

d. h. hat eine Gleichung mit reellen Coefficeienten eine com-

plexe Wurzel A

so hat sıe auch dıie conjugırte

Grösse x —y%i zur Wurzel

Dieses Theorem gestattet folgenden

Zusatz: gleichzeıtig ıst die Multiplicität beider Wurzeln die-

selbe

Denn setzt man

—e

@A=(e—2) 4y}

f

und hat fi(z)= 0 nochmals x’+ y zur Wurzel, so hat diese Glei-

chung auch x — y’%% zur Wurzel, da

/@)

f&

— w + y

ebenfalls lauter reelle Coefﬁc1enten besitzt

u.s. w.. Man kann daher

auch sagen

Jede ganze Function mit reellen Coefficienten

lässt sıch ın reelle Factoren ersten oder zweiten Grades zer-

legen

Wenn man im Falle einfacher oder vielfacher complexer Wurzeln

die conjugirten Glieder ın (4*) oder (4) zusammenfasst, dann entsteht

Z

1

al

2m „ ( — @.)

W Z

Mg (z

—& +iy

>_

C

$ 37

Aus (3) ersieht man, dass vielfache Wurzeln von f= 0

auch Wurzeln von f’= 0 sind. Durch einfache Operationen kann man

O von seinen vielfachen Wurzeln befreien. Um diese Verhältnisse

genauer Zzu studnen

müssen wır etwas weiıter ausholen.

Zunächst 1e1ten wir die von Lagrange stammende sogenannte

Lagrange’sche Interpolat1onsfmmel ab. KEs ist ersichtlich, dass

zwei ganze Funetionen, welche beide höchstens vom n Grade sind

identisch gleich sein müssen, falls sie für (n + 1) Werthe der Variabeln

übereinstimmen

Denn ihre Differenz

die ja auch höchstens bis zum

n Grade aufsteigt, verschwindet für jene (n + 1) Werthe und ist

folglich identisch Null

Setzt man also fest, dass eine Funetion f(g),

welche höchstens vom n Grade ist, den Argumentwerthen

© — 89r 9ır %y

An

die Funectionalwerthe

W — Wo, W, Wo,

Wn

zuordnet, so ist dadurch f(z) völlig bestimmt

Hierbei müssen natür-

lech - die20.. Z

2„ sämmtlich unter einander verschieden sein. Der

besondere Fall, dass ” der Werthe w., z. B. die n letzten, gleich Null

sind, lässt sich sofort behandeln, da die gesuchte Funetion f)(2) dann

durch die zugehörigen Factoren z — 2 theilbar sein muss und sich

40

Vierte Vorlesung $ 37—839,

vom Producte derselben also nur durch einen constanten Factor unter-

scheidet.

So findet man den Ausdruck

(z_zx)(z_zz)(z D

5

fo(2)

O

Z f‚;1')"(z'(; S © —

a

diesen können wir nach Formel (3*) bequemer schreiben.

Wir setzen

OE a OS

&.);

(z

hiervon ist die erste Ableitung für das Argument 2,

P (%) = C el) Cr z (Z9 — 2.),

und wir erhalten

fl = w

EB

()

18 — 2)P'@)'

Aus diesem Partialresultate folgt das allgemeine, da, wie man sofort

sieht, bei ähnlicher Definition von f,,

fn

@ = RC +A@ + + fl),

und also

(5)

SEA AD

2)

@ = ND,

A4=0

<

S

Z2,)@ („;\

wird.

Es braucht wohl kaum erwähnt zu werden, dass f(z) nicht gerade

bis zum n Grade aufzusteigen braucht. Genügen die w bereits einer

Funetion niederen Grades, so wird eben diese durch die Formel (5)

dargestellt werden.

$ 38. Bestimmen wir nun durch (5) eine gegebene Function

f = AaA H H ü

indem wir

n—2

w, = f(8,) =# + al + A, 8

2

+ a

setzen, so folgt

n

f(&))

R

EB AA =ä

’ (Z‚z)

wobei der Einfachheit halber

Zn + bgl)äw‚——l + K + ble)

statt

© N C e

gesetzt ist.

Da die beiden Ausdrücke links und rechts in der letzten

Gleichung einander identisch gleich sind, so kann man die Coefficienten

der höchsten Potenzen einander gleich setzen, und dadurch entsteht

1=

” ’fäi!falz;_l+"'+a"

P ‚(z;_)

?

A0

41

Zerlegung; Interpolationsformeln

worin die % Constanten a,,

a„, ganz beliebige Grössen sind

machen wir uns diesen Umstand zu nutze, so erhalten wir die Formeln

OL

®

Z

(x

—

0)p

p (2,)

(6)

N

Z

A=0

@ (27)

welche als die Euler’schen Formeln bekannt sind

Hier erscheinen die Euler’schen Formeln als Folgerung aus der

Lagrange’schen Formel

Man kann dies Verhältniss aber auch um-

kehren

Die ersten n Formeln (6) fassen wir mit Hülfe von % will-

kürlichen Constanten c in die eine

N

T O

—>

E

0

Ä=0

Z

P (Z))

zusammen, und wenn Wn

OO Z O + C

setzen,

so folgt daraus, sobald man nur den ersten Summanden links

stehen lässt,

N

9.@%)

g

&)

O' (Z)

Z DC))

(Z S ‘1) (Zo

N))

G

Z (8

}) CZa @z

Cr

—1)

(

C

@— 2)

Z

= +29(%)

A

zl)...(zl_

’;

C =

25

G

Sobald man nun statt des willkürlichen Werthes z

die Varlable z

einsetzt

wird dieses Resultat identisch mit der Lagrange’schen

Formel für eine Funetion (n — 1)%" Grades

$ 39

Wir wollen hier noch eine besondere Form der Euler-

schen Formeln hervorheben

Bedeutet wie in $ 37 und $ 38

p(e) = (# — 20) ( — Zı

(

Z

und %(2) eine beliebige Funetion (n — 1)* Grades, dann zeigt (6)

w(«,)

IC

Y (Z)

w()

(

+

(&

)+

D' ()

+ + SE

?

(Zo)

w (21)

w (@)

W

__.zl

(Zo WE Z„)

Cr A

(Z —r„‚

(2'2—‚a1)

(

A

=0

Wenn wir nun in (7) & für z) eintragen und die Bezeichnung

42

Vierte Vorlesung 8& 39—41.

f(z)=(z—zJ(z—;y)(.z—z„)

benutzen, dann entsteht aus (7) die neue Form

E _

_(@)

W (Z,)

a (z„)

(8)

OEG

C DG

O

Diese Formel vermittelt die

Zerlegung der gebrochenen ratio-

nalen Funetion %:f in P

liebige Funetion '°n

artialbrüche. Dabei ist f(&) eine be-

Grades ohne mehrfache Nullstellen, %(£) eine

beliebige Function, die höchstens bis zum Grade — 10) au

$ 40. Wegen der gegenseitigen Zurückführung von

(5) und (6)

auf einander ist ein directer N

achweis der Euler’schen Formeln von

Interesse. Wir betrachten zu diesem Zwecke die Summe

(9)

2 qu7,(£1) 'Pl(z—.') E q)l(en);

welche auf alle (n + 1) Glieder erstreckt werden soll, die aus dem

hingeschriebenen durch ecyklische Verschiebung der Indices entstehen.

Da sowohl @’(z;) als @’ (z,) durch (% — 2,) theilbar ist, so werden in

(9) alle Summanden mit Ausnahme der beiden folgenden:

20 (2,) @' (%) - ' (2)

und

219 (2o) @' (@&) + @'(2u)

durch (2% — 2,)” theilbar. Die Summe dieser beiden Glieder ist nun

aber'

= ' (%) : D' (2) (%— 2) { 212 —

9

2

) e (80—n) — 2'3(2’1—2._‚) (31—":4/1) }n

und, weil die letzte Klammer für z =2, verschwindet und deshalb

den Factor (% — 2,) enthält, so ist auch diese Summe durch (

a}

theilbar. Dasselbe gilt somit auch für (9); und da Z0o, 2 zwei will-

kürliche Elemente aus %,

El)

&@

2

„ Sind, so ist (9) durch das Product

(10) f [ —z

B7

(/1<y;Ä.=O‚1‚---n—l;y=l‚2‚ n)

nn +yl)y

2

al

p (2) O (8) : @ (en)

theilbar. Die Dimension dieses in den 2 homogenen. Ausdruckes ist

nn +D =n+ w

und die von (9)

@ + n}

Sobald die letzte Zahl kleiner als die voraufgehende ist, d. h. für

a=0,1,--. (n — 1), wird der Quotient von (9) durch (10) gleich

Null; damit ist der erste Theil der Formeln (6) bewiesen. So-

bald « = m%” ist, wird der Quotient von (9) durch (10) eine Constante,

also

Zerlegung; Interpolationsformeln.

43

238®'(51) D@) D.) = COn

Vergleicht man die höchsten Potenzen von %, auf beiden Seiten, so

n (n+1)

findet man const. = (— 1) ?

, und daher folgt der zweıte Theil

der Formeln (6)

Nn

CZ

Z

(zz)

8 41.

An das soeben behandelte Problem schliesst sich eine

weitere, von Üauchy aufgeworfene und beantwortete und dann später

von Jacobi eingehend studirte Frage*) nach der Herstellung einer

gebrochenen rationalen Function

(?)

w(@)?

deren Zähler vom Grade m, deren Nenner vom Grade n ist, und die

für die (m + ” + 1) Werthe des Argumentes

d WEn

ZO; Yır %)

Zm+n

Wo) W, Wa,

Wm -n

annimmt. Zunächst ist es klar, dass es wesentlich verschiedene Fune-

tionen

(2)

A

ı (2)

(11)

w (2)?

%, ©@)

nicht geben kann, welche die Aufgabe lösen. Denn die Funetion

2Q

( .05 52

ı (Z

) = l d(e) — w(2) mlr

steigt höchstens bis zum Grade (m + n) auf; sie verschwindet ferner

für die (m +n + 1) Werthe 2,, 2,,

Zm+n und ist daher identisch

gleich Null, d. h. es wird

P(2) Y (2) = Vle) pl).

Setzen wir nun voraus, dass beide Brüche (11) schon nach Möglichkeit

gehoben sind, so kann @(z) mit w%(z) keinen Linearfactor gemeinsam

haben und ist also ganz in w@,(g) enthalten; aus ähnlichen Gründen

ist aber auch @,(z) ein Theiler von q(?); folglich unterscheiden sich

beide Funetionen höchstens durch einen constanten Factor von ein-

ander, und das Gleiche muss bei %, (z) und %(z) stattfinden. Dabei

sind _ diese Factoren ersichtlich dieselben, und man hat somit

p = cp,(0), Vle) = o (2).

*) A.L. Cauchy, Analyse algebrique. 1821, Note V p. 527. Jacobıi, Werke.

Bd. II S, 479 ff.: Ueber die Darstellung einer Reihe gegebener Werthe ete.

44

Vierte Vorlesung 8 42,

S 42. Die gestellte Aufgabe fordert, dass die (m +n + 1)

Gleichungen

(z,)

AA

W

2

oder

(2

ZZ

w (Z,) ,

p(&) = W, (2,)

O,l

m + n)

stattfinden.

Setzt man

m

p@)= Q + aÜ8+ F C

R

@)= b Fbh2+- a

dann bestehen zwischen den Unbekannten a und d die (m + n + 2)

linearen, homogenen Gleichungen

m

”0Ü+ a12’l‚l!+(12221[)+ "'+am

2 U—b@ —ba —— b.8" d =0,

@9 F &4% {A a

— b — b 200 — —b =0,

n .+.(11‘.51 +0251 ++“w571„ *b°wl—blzlu’1—"'Hb1%57llwl=0)

aus denen wir die (m + n + 2) Grössen a, b eliminiren können. Eis

genügt dazu, die Gleichungsdeterminante zu bilden.

Diese entwickeln

wir nun nach dem Laplace’schen Satze, indem wir Partialdeter-

minanten aus den ersten (m + 1) und aus den letzten (n + 1) Spalten

zu Grunde legen. Jedes der dabei entstehenden Producte hat entweder

in der ersten Zeile des ersten Factors w, oder in der ersten Zeile des

zweiten Factors 9. Hiernach scheiden wir die Summanden, welche der

Laplace’sche Satz liefert, in zwei Sorten und schreiben demgemäss

[

B

Z

N

ı4

n

Zr

NÄI

mM

00

2

Wr

W3

NÄ2

Zr

1)(1 &)

n+1

{ (

® }

M

[ il

Zi

m

zl

m |

"Ln+l

l‘n+l

(

M

1 kr

Skı

n

M

a

X

2

Wi

R

Rk

Wi,

n

S

(4) [

M

i7la

Zi

n

1Zk

Rk

m—+1

m+1

Hierbei ist ix <da-+1) kr < ka+1 Vorausgesetzt; die erste Summe be-

zieht sich auf alle Combinationen %,, --- m, die aus den Zahlen 0, 1,

‚- (m + »”) gebildet werden können, und die %,,

%r L erganzen

die Werthe der 7 zu der vollständigen Reihe 0, 1, ---. (m + n); das

Vorzeichen (— 1)“” ist gleich + 1 oder — 1, je nachdem die Zahl

%. ı eine ge-

der Inversıonen ın der Folge %,, %,

2‘““ ’ Z':1 ) k2 ’

rade oder eine ungerade ist. Die zweite Summe ist ın ähnlicher Weise

gebildet; die Potenz des Vorzeichens (— 1)"*?“+*" £ritt dadurch

Zerlegung; Interpolationsformeln.

45

ein, dass man die auf die b bezüglichen Spalten an die ersten Stellen

gebracht hat.

Nun ist

| %

Zm

m (m;— iD)

2

9

2

(Z Mn zil) S («'Z 7 'äim) A ('z"m ÖN Zim> ?

mM

}

C0

m

Aı

und setzen wir dies Product kürzer, vgl. (10),

m (m—1)

Z (— 1) D 41(27 Ziy

im) ’

so können wir unter Kinführung von A schreiben

0=U ;) OS Wk„+1 A(Z7 Z Zi,„) A(Zku Zk„+1) (—1)([Yk)

+o@ (;) WD AA ED

Dividirt man diese Gleichung durch den, wie leicht zu sehen, von der

Z

Anordnung der

«

unabhängigen Ausdruck

(— 1)(i‘A‘)A('Z{']; Ya 993 Dg Da Zf—‘„+1)7

so geht sie über in

a

E

Z

Z

)

0= zp2w;„

Da

(

T

2

A

(Z’m zkn+l))

+w2@t:.

W;

(zr_ gll> O06 <z S z1‘„) ( 1)(’”+D(”+D

(&)

VE CTT

29

Wenn wir alle Klammern im Nenner der ersten Summe mit (— 1)

multipliciren, dann fügen wir derselben den Factor (— 1)7@+D an.

Der fällt dann gegen die gleiche Potenz von (—1) im Zähler der

Summanden des zweiten Theils weg:

to)5)

und es bleibt dort nur (—1)'+!

zurück.

Multiplieiren wir ferner alle Klammern im Zähler dieser

Summe mit (—1), so bleibt nur noch ein Minus-Zeichen zurück,

welches wir vor @ setzen wollen. Nun führen wir die Bezeichnungen

n(2)= @— 2) : (@— z‚-„()‚

C

ein, und dann folgt die von Cauchy gegebene Schlussformel

; (@)

p(2)

z

z

wk„+1]‚£ (zk.> %; (

D

3

(12)

w ()

q; (@)

Z

In d; (zkx)

d ( l‘m+1

46

Vierte Vorlesung $ 42—44

Hierbei

1E A ıe Summe ım Zahler ( bezicht

sich auf alle wohlgeordneten Combinationen O

0

I

erz ’

die aus

3

: (m + n) gebildet werden können; die %

12 7”2)

7v„+1 er-

gänzen dabei die Werthe der 4, %,

UE

A zu der vollständigen Reihe

. (m + n).

In ähnlicher Weise ist der Nenner gebildet.

Iu dem Spemalfalle m=n=1 lautet die ausgeschriebene Formel

W.

'°—ZI

Ü

( —%)(ö—z )

+ w

2“0

21) (

+ Wo Wr

(12 )@(‘*

0—Z

—Z

(z

a

21 —8 )

Wg

+ 2c„

Z

i’

Z

(zo

Z) Zo_z)

(„_.

2 — 89)(2, —

1

$ 43

Die Ableitung der Formel (12) in der angegebenen Art

hat Jacobi (l. c. S. 501) durchgeführt.

Ebendaselbst hat er noch

eine ganze Reihe anderer Darstellungsformen abgeleitet, durch welche

der Cauchy’schen Aufgabe genügt werden kann.

Cauchy selbst. hat nur die Formel (12) aufgestellt und eine

Verification für sie gegeben.

Diese ist leicht zu finden:

Es ist zu

EW

beweisen, dass die rechte Seite von (12) für

NS

den Werth w

annımmt.

Damit ist wegen der symmetrischen Bildung des Bruches

auch der Beweis dafür geliefert, dass z = 24 den Werth w hervorruft.

Tragen wir rechts in (12) z = % ein, dann fallen im Zähler alle

Summanden fort, bei denen z unter den 2;, 2,

&i

vorkommt

Ks bleiben nur diejenigen Summanden zurück, bei denen z zu den

Zr

gehört.

Aky> Zkar

Nn

X

Alle diese haben den Factor w.,

und ın

jedem von ihnen hebt sich der Zähler p;(z,) gegen einen Factor des

Nenners weg.

Es bleibt also im Zähler zu1uck

,

wh

(l

]

)

Aa

wobei jetzt der Complex Ö

27

%m alle möglichen Combinationen

von m Gliedern aus 1,

7

(m + %) zu durchlaufen hat, und %,,

K,

: kn die übrigen d1eser Grossen Sn C Z S L„+1)

Der Nenner geht für die gleiche Subst1tutmn 2=2% in

2q‚ Z‘ q,( m) ZPA (z 11'„171;‚E ön)

über

Nun kann man ebenso nach den Combinationen der % wie nach

denen der %@ summiren.

Vertauschen wir die Buchstaben %, 4, so ent-

steht für den Nenner die Form

Wr

Wr

(14)

Z

(@)

(%.)

Pi(*)

(18) und (14) zeigen, dass der Quotient den Werth w hat

Zerlegung; Interpolationsformeln.

47

$ 44. Die vorstehende Lösung scheint zugleich ın bejahendem

Sinne die Frage zu beantworten, ob die aufgestellten Bedingungen

mit einander verträglich seien.

Aber hier kann ein bemerkens-

werther Umstand eintreten. Setzen wir z. B. in (12) w = W, = Z

so erkennt man sofort, dass Zähler und Nenner rechts identisch ver-

schwinden, und dass also eine eigentliche Lösung nicht vorliegt. Bei

den Schlüssen des vorigen Paragraphen stellen sich die Verhältnisse

so: Setzt man 2 = ,, so entsteht als Zähler von (12) der Ausdruck (13).

Verschwindet dieser, und mit ihm der Nenner, dann tritt w, in der

Form wy

auf. Hebt man den gemeinsamen Faetor C© — 2 der m

Zähler wie im Nenner vorhanden ist, da beide für z — 2 verschwinden,

nicht heraus, so behält man die unbestimmte Form. Lässt man ıhn

aber weg, dann braucht die Forderung, dass der Bruch für z — 29 den

Werth w = w annimmt, nicht mehr erfüllt zu sein.

Die charakteristische, d. h. nothwendige und hinreichende Be-

dingung für das Eintreten dieses Falles ist also durch das Verschwinden

von (14) gegeben.

Tritt dies ein, und hebt man (2z — %) dann in

(12) weg, und kommt ferner für z = Z

- + kein weiteres iden-

tisches Null-Werden von Zähler und Nemner vor,

dann genügt der

reducirte Bruch, dessen Zähler vom Grade

(m — 1) und dessen Nenner

vom Grade (n — 1) ist, den (m +- n) Bedingungen

)

Yn %]

q)n—l(za)

= Wrx

(«=1, 2,...m +n).

Da aber ein Bruch mit den angegebenen Gradzahlen des Zählers und

Nenners bereits durch (m + n” — 1) Bedingungen bestimmt IS

So

erkennt man, dass zwischen den Systemen 2,,

w eine Relation besteht.

Diese ist in der That durch das Verschwi

nden von (14) gegeben.

Ist sie erfüllt, dann kann man eine Function

(16)

?m—1 (z)

OO

den Bedingungen (15) gemäss berechnen und dann,

um die vor-

geschriebenen Gradzahlen zu erhalten,

OO OLG

OR OO

setzen.

Sollte zufällig auch O d

SC U en dann

’

liefert schon (16) eine Lösung der Cauchy

schen Aufgabe; und im

Falle, dass die Grade m, n für Zähler und Nen

ner vorgeschrieben sind,

Pm—1(?) %1 (€)

O (2) % (5—)_,

wobei %,(2) eine beliebige lineare Funetion yon z bedeutet,

48

Vierte Vorlesung $ 44—45

*

Genau in derselben Art können wir, indem auf (16) die gleichen

UVeberlegungen angewendet werden, das folgende allgemeine Resultat

ableiten

Genügen (m + n + 1 — «) Werthepaare unter Z

Zm+n) Wm+n, etwa die letzten unter ihnen, einer Gleichung

m——a< )

W —

Yn @))

bei der die Indices die Gradzahlen der rechts stehenden

Functionen bedeuten, dann kann die Cauchy’sche Aufgabe nur

in der uneigentlichen Form

(

Ca

o)

(

— a———1> @,„_„( 2)

(17)

@

(„ en "o)

';

u—-l> wzz—a )

befriedigt werden, ausgenommen wenn etwa auch noch

q7nz-—r1( a—1)

D (z(j)

B

Ü

(ß<« — 1)

Ya

wn—a ('“a——l)

1S%

in diesem Falle kann, wenn %«—-g(g) eine willkürliche

anze Funetion (« — ß)‘°“ Grades bedeutet, allgemeiner

@ (2)

(*° _zo

C _1) %o —B @)Pm— 0 ©)

HO

@ — %)

Cl

1) Za—o ('“) n—:z(z)

gesetzt werden”)

S 45

Die Cauchy’sche Interpolationsformel (12) kann in ähn-

licher Weise wie die Lagrange’sche zur Aufstellung merkwürdiger

Identitäten benutzt werden

Um dies zu zeigen

wollen wır unter

0 (2),

Z) zweı ganze Functionen der Grade (m — 1) und (n — 1) mit

völlig willkürlichen Coefficienten verstehen und setzen dann fest, dass

0 (2,)

W}

(27)

0=20, 19

m + n — 1),

also

t(2)p(2) — ole)v(e) = 0

für 2 = or %197

Em-+n—1

sein soll

Da die linke Seite der letzten Gleichung bis zum Grade

(m +n — 1) aufsteigt, so kann sie (m + n) Wurzeln nur dann be-

sitzen, wenn ihr Polynom identisch Null ist, d. h. wenn man hat

Nun muss als letzte Bedingung

9( m+n

W (Zm-+n)

w (er:—|—n) = Wn +n 1l’ (%n+n)

a

x

HN

'z(ä

#) Auf die in diesem Paragraphen besprochene Möglichkeit hat Kronecker

Berl. Ber. Juni 1881, $ II hingewiesen

Zerlegung. Interpolationsformeln.

49

sein; nehmen wir aber W„+„ SO an, dass es von 0 (Zm+n): T(Zm4n)

verschieden ist, dann tritt hierbei ein Widerspruch heraus, der sich nur

durch %(Zm+n) = 0 beseitigen lässt; d. h. %(z) ist durch (2—2m+n)

theilbar. Freilich gilt dies bisher nur, wenn w„4„ nicht gerade jenen

Werth 0(2m+n) : 7(Zm-+n) besitzt; aber dass die nachgewiesene Kigen-

schaft unabhängig davon ist, können wir sofort erkennen. ı(z) ist in

Wm+n linear, wie (12) zeigt; und setzt man dann in

W() = %1 (€) F Wm+n %o (2)

für Wm-4n mehrere gestattete Werthe ein, dann folgt, dass y, und in

und also auch % allgemein durch (%z — Z4») theilbar werden. Hier-

nach sind wir somit auch berechtigt, den bisherigen Ausnahmewerth

Wm+n — Q (zm+7z) :+T (Zm+n>

einzusetzen, und auch dabei findet Theilbarkeit von W(z) durch (2—B2m+n)

statt. Zugleich sind aber jetzt g(z), (£) symmetrisch in 20, 21) - Zmtn

geworden, so dass also auch Theilbarkeit durch jedes (z — zı) für

A=0, 1, ---(m + n) statthat.

Das geht wegen der Gradzahlen

nur, wenn @(g), &(z) unter den gemachten Annahmen identisch ver-

schwinden.

Demnach hat man den Satz:

Bezeichnen wir

pile)= (# —2

(& — Bip) , Dl@) (&

Aa

(7'a < 7z.nz+l)

verstehen wir ferner unter o(2), z(?) zwei ganze Functionen

der Grade (m — 1) und (n — 1), dann ist

STSTA

0 (%,)

C (an fl_ 1)

2

0

Z

O 8 (Zkl)

e C

(18)

e

Ca

E

q;(%)

SEA

Z

T(Zil)

0,

(

% (Zi'n) 9i (fz‚k?) S E (ka —-i—rl)r

wenn die Summen sich auf alle wohlgeordneten Combinationen

der o unter O n) beziehen, und die % sich mit

dien u dervee 0 ‚ (m + n) ergänzen.

Aus diesem umfassenden Satze lässt sich eine grosse Reihe merk-

würdiger Formeln ableiten, auf die wir hier aber nicht eingehen wollen,

weil sie zum Theil die erst später zu behandelnde Theorie der sym-

metrischen Functionen zu ihrer Darstellung gebrauchen.

Wir wollen

nur erwähnen, dass für o0= T7 = 1 Formeln entstehen, die wir, wenn

jede Bildung von der Form

.'3‚‘1 + Zf-g + DE + Zim? Z"1'Z'.2 + Zl.xäi3 + P + Bi &

m—1

im?

’

DA

allgemein durch S (7) bezeichnet werden,

Netto, Algebra. T,

50

Vierte Vorlesung $ 45—46. TFünfte Vorlesung 8 47.

(18°)

S

—— —0

Z

(z

(i)

1.-.) DE pi(zk„+l

schreiben können.

$ 46. Newton hat (Principia; Buch IIT, Lemma 5) die Inter-

polationsaufgabe für ganze Funetionen in der Weise gelöst, dass er

das gesuchte Polynom in der Gestalt

© ale—2) + G —2)(@—4) F + (& —Z)(@—81)- (2—BZn—1)

darstellte. Diese Form ist bei manchen Anwendungen nützlich, und

deshalb wollen wir ihre Ableitung gleichfalls geben.

Man sieht sofort, dass c‚ den Werth w haben muss, und man

berechnet ohne Weiteres die folgenden Constanten:

G

Wo

AAn

E a Br

W,

Z(J c

Z — %)?

W,

2

Wr

B

Wz

@aa aa

aaa}

Das hieraus ersichtliche Bildungsgesetz für die Coefficienten gilt all-

gemein.

Dem Beweise legen wir die einfache Formel

DE

Z

a

A

+

C N

BUE

(Z E '?o) (‚z——gl)(z _22)

+

0

Cn 22) (% — 81) (& — 2a)(%9 — 8g)

( — 2,)(@ — %) - (# — 2,)

( — 8) @— 2

(Zrof— 75'715>'H'T(2"0 a Z„) ( — A)(% — 2) : &— Z

zu Grunde, die sich durch die Vereinigung der beiden ersten Glieder,

durch das Hinzunehmen des dritten Gliedes u. s. f. als richtig erweist.

Wenden wir sie auf den ersten Summanden der Lagrange’schen Inter-

polationsformel an, dann auf den Factor

CS

(2, — %) (&

23)

(21 vm Z„)

des zweiten Summanden derselben Formel u. s. f., so entsteht die

Newton’sche Formel

f(8) = 6 + 61 (2— 20) + 6 (2—20) (8 — 2) + *+ On(8—2)+(2— Zn—1),

(19)

2

Wg

Wr

2

R aaa

( o) n

Natürlich lässt sich, der Cauchy’schen Formel entsprechend,

auch eine gebrochene Function bilden, deren Zähler und Nenner in

ähnlicher Gestalt auftreten, wie die eben behandelte ist.

Hierauf

wollen wir aber nicht eingehen, und ebenso wenig auf die aus (19)

entspringenden besonderen Formeln.

N

AB

Reductibilität und Irreductibilität.

5l

Fünfte Vorlesung.

Reductibilität und Irreductibilität.

$ 47. Wir wollen uns jetzt einer weiteren wichtigen Frage zu-

wenden. In den Elementen der Zahlentheorie treten die Begriffe der

Primzahlen und der zusammengesetzten Zahlen auf. Ebenso können

wir diesen entsprechend bei den ganzen Functionen unter gewissen

Voraussetzungen irreductible und reductible Funectionen unter-

scheiden, von denen die erste Sorte das Analogon der Primzahlen, die

zweite Sorte das der zusammengesetzten Zahlen ist. Dies scheint im

Widerspruch zu der Thatsache zu stehen, dass jede ganze Function

ın lineare Factoren zerlegt werden kann, wie der Fundamentalsatz

der Algebra gezeigt hat. Bedenken wir aber, dass, wenn z. B. auch

die Zahl 5 in der gewöhnlichen Anschauung eine Primzahl ist, doch

5=(2+)@ —0

@G=V=9)

gesetzt, und 5 also zerlegt werden kann, dann werden wir auf den

Punkt geführt, der zu präcisen Begriffsfeststellungen ausreicht.

Wir müssen bei jeder Zerlegung festsetzen, welche Grössen in

die Rechnung eingehen dürfen oder in ihr als rationale

Grössen

angesehen werden sollen.

Im reellen Zahlengebiete

ist 5 eine Primzahl, im Gebiete mit den beiden Einheiten 1, £ dagegen

nicht.

So ist auch

AI =(x+)x—0)

unzerlegbar, wenn man in die Faetoren nur reelle Zahlen als Coeffi-

cienten eingehen lässt; dagegen zerlegbar, wenn complexe Grössen

benutzt werden dürfen.

Ebenso ist die Funetion

# —3 (# +V2)l@ — V3)

ım Gebiete der rationalen Zahlen unzerlegbar, im allgemeineren Gebiete

der reellen Zahlen dagegen zerlegbar. Demmnach ist auch der Funda-

mentalsatz der Algebra so zu fassen: Im Gebiete der reellen

Zahlen ist jede ganze Function mit reellen Coefficienten in

Factoren ersten oder zweiten Grades zerlegbar. Im Gebiete

der complexen Zahlen dagegen ist jede ganze Function mit

Yeellen oder complexen Cocttelenten ıu Lneare Factoren

zerlegbar.

Ks kommt daher bei allen Untersuchungen dieser Art zuerst

darauf an, den „Rationalitätsbereich“ anzugeben, d. h. das Gebiet

der Grössen zu bezeichnen, welche als rational bekannt benutzt werden

4*

52

Fünfte Vorlesung $ 47—50

dürfen.

Diese Be@1üfsbestnumuncren treten schon bei Abel aufs ın

voller Schärfe hat sie Kronecker betont.

Wird im Folgenden nichts Besonderes angegeben, so soll für uns

der Rat10nahtatsberewh aus der Gesammtheit der rationalen

Zahlen bestehen

Wir werden eine ganze Funct10n demnach A

ductibel oder reductibel

nenneNn,

je nachdem sie andere ganze

Funetionen mit rationalen Coefﬁ01enten zu Factoren hat oder nicht.

Dabei muss der Grad eines solchen Factors natürlich kleiner als der

Grad der untersuchten ganzen Function, er soll aber zugleich grösser

als Null sein.

Die Möglichkeit der The11ba1kent durch Constante iıst

somit kein Zeichen für Reductibilität der Funetion

Wir wollen zeigen

$ 48

dass es bei

der Zerlegung

ganzer

ganzzahliger Functionen gleichgültig ist, ob man den Rationalitätsbereich

aus dem Inbegriffe aller rationalen

oder nur dem der ganzen ratio-

nalen Zahlen bestehen lässt

mıt anderen Worten: wir werden zeigen

dass

wenn sich eine ganze

ganzzahlige Function

10 OM KACS

Factoren mit rationalen gebrochenen Coefficienten zerlegen

lässt

daraus auch eine Zerlegunge

in Factoren

mıt ratıo-

nalen ganzen Coefficienten folgt*)

Zu diesem Zwecke beweisen wir zuerst

Wenn in den beiden

Funectionen

2

G+ ex+ x?+

an

i ©

g(@)

m

’

Hw) =

Nn

die Constanten c,, d;, m, n ganze Zahlen sind, wenn ferner die c,

keinen gemeinsamen Theiler ausser der

1 haben

und wenn von den

d, dasselbe gilt, dann hat das Produet g(z) - h(x) zum kleinsten Nenner

das Product m

7

Denn es sei y“ die höchste in m, und %* die

höchste in ” als Factor vorkommende Potenz der. beliebigen Prim-

zahl y; ferner seien 6, C,,

Cal und d0; d„

de—1 durch p theil-

bar, dagegen weder c noch dg, dann wird der Coefficient von x“+®

in g(z)-h(z), nämlich

[C„ (Zß + (Ca+1dﬁ.._1 + Ca-+2 (]ß„.2 + ) + (Cg,_1(ip+1 + Ca_9dg_|_‘) + >_] MN

im Zähler keine Potenz von p enthalten, da der erste Summand der-

selben nicht durch p theilbar ist, während die beiden anderen es sind

Folglich tritt p“+* in den Nenner von g.:h

Das Gleiche gılt von

jeder in mm oder in % vorkommenden Primzahl, und somit ist dieser

erste Satz bewiesen.

$

*) Gauss: Disquisitiones ariıthmeticae

$ 42. Werke I; S. 34

Reductibilität und Irreductibilität.

53

8 49.

Setzen wir ferner

G(d)= a Oar C

’

H(z)=lz)‚qg'Dlz+])ga%_;..„

>}

m

N

und ist hier der grösste gemeinsame Theiler %& der Coeffieienten *, zu

m vrelativ prim, und der grösste gemeinsame Theiler / der Coeffieienten

D, zu n relatiy prim, dann nehmen wir

G(e)=k-gle)

und

@ =olG@)o

g(z) und h(z) sind jetzt solche Funetionen, wie sie in $ 48 betrachtet

wurden.

Wenn nun das Produet

G(8): H(e) = kl-g(@)h(2)

ganzzahlig wird, so folgt nach dem soeben bewiesenen Satze, dass k.1

durch m-n theilbar sein muss, und da % zu m und I zu % relativ prim

war, so wird

000

b Z @

sein, wobei 0, 6 ganze Zahlen bedeuten.

Sonach kann man setzen

GC) = S

m

y(@), H(e)= 7 n@),

und die Funetionen y(z), n(z) haben jetzt ganzzahlige Coefficienten.

Ist also die ganze ganzzahlige Funetion f(z) auf rationale Art in

zwei Factoren zerlegbar,

f(@) = 6@:HC),

so ist auch

f(?) = 06 y(2) : n(%),

d. h. f(z) ist auch im ganzzahlige Factoren zerlegbar.

$ 50. Nach diesem Resultate können wir uns bei der Untersuchung,

ob eine Funetion f(z) im Gebiete der rationalen Zahlen zerlegbar sei,

auf die Aufsuchung etwa vorhandener ganzzahliger Factoren beschränken.

KEs sei f(z) eine vorgelegte, auf ihre Reductibilität zu prüfende,

ganze, ganzzahlige Function vom Grade 2% oder (2% + 1). Hat sie

überhaupt einen Factor in unserem Gebiete, so hat sie sicherlich auch

einen, der höchstens bis zum Grade »n aufsteigt; denn, wenn : = f

ist, können nicht @ und ı gleichzeitig von höherem als dem n'® Grade

sein.

Wir wollen solchen Factor als vorhanden voraussetzen und mit

q (z) bezeichnen.

Dann ist für jeden ganzzahligen Werth z;.von Z

der Werth von f(z;) ein ganzes Vielfaches des Werthes von @(2;).

Wenn wir jetzt alle positiven oder negativen ganzzahligen Theiler

des Zahlenwerthes von A& durch d d bezeichnen, und für Z

in f(z) der Reihe nach (n + 1) ganzzahlige Argumentwerthe 2,, 2,,

‘:-Zn4+1 eintragen,

nämlıch

so erhalten wir (n + 1) Reihen von Theilern,

54

Fünfte Vorlesung 8& 50—51.

für Z

7

d

die Theiler d,,

152

WE

(1)

”

3

”

”

d

([2/r’

d2„‚’

”

k7n+l

”

”

d,;+1 ’

d7;:+1; dnı

und @(z) muss

(2)

für An

29

B

Sn+1

eine Werthecombination

(2°)

d(“)

w

(&)

?

d;ß )

dg)’)’

"n+1

aufweisen. Legt man alle möglichen Combinationen der Bestimmung

von g(z) nach der Lagrange’schen Interpolationsformel zu Grunde, so

erhält man in der entstehenden endlichen Anzahl von F

unctionen. alle,

die überhaupt bei der F

actorenzerlegung von f(z) als Theiler in Frage

kommen. Mit jeder von ihnen kann dann die Division wirklich ver-

sucht werden; geht sie nicht auf, so ist die Funetion zu verwerfen;

geht sie auf, so ist ein Divisor gefunden. KEine endliche Anzahl von

ausführbaren Versuchen giebt demnach die Entscheidung über die

Irreductibilität von f(z)

WK Z

f(e) = 32 + 22 — 77 + 1

@= 2

A

= 1

nämlıich

so haben die drei Funetionalwerthe für 20

2

M

e DEn

die Theiler

SA

JE

64

A

Da mit (2) zugleich — @(z) ein ganzzahliger Theiler von f(z) ist,

so kann man @(0) = + 1 setzen; dann bleiben noch 8 Combinations-

möglichkeiten, je nach den Werthen von O E E

oder = + 13.

Die Lagrange’sche Formel liefert

z2

Z

0 D L

9

r

( +z0+e-D) 10 Lp—1) 4 00)

{

A(—1+z00+z0D) +2(G00—z0-D)+1.

Wählt man für g(— 1) einen der Werthe + 13, so wird der Coeffi-

r

cient von %? dem absoluten Werthe nach >83, also grösser als der

Coeffieient von

D

D4

ın f(2).

Das entstehende @(z) kann demnach kein

ganzzahliger Theiler von f(2) sein.“ Somit bleiben nur die vier Mög-

lichkeiten

Reductibilität und Irreductibilität.

55

(1)

Z

— 0

das giebt @(z)= 1,

(1)

=+1,

O A

”

”

oa =—-Z+2+1,

(1)

= —1,

o 0)= + I

2

”

p()= —- — 2+ 1,

(P(— 1)=_ 1)

-D= —1,

”

”

p(e)= —22 +1.

Die erste Function liefert den hbanalen Theiler v = 1; bei den

drei übrigen zeigt die Division, dass keine als Factor von f(z) auftritt.

Folglich ist f(z) irreductibel.

8 51.

Die im vorigen Paragraphen dargelegte Methode stammt

von Kronecker*). Sie hat den theoretisch wichtigen Vortheil, dass

die Frage nach der Zerlegung ohne Voraussetzung der Wurzelexistenz

behandelt werden kann. Es wird aber beı ıhr die Anzahl der Werth-

systeme, die discutirt werden müssen, eine so bedeutende, dass eine

Vereinfachung der Methode erwünscht scheint, wenn sie für praktische

Zwecke verwendbar

sein soll.

Herr Runge hat sich mit diesem

Problem beschäftigt**), Aus seinen Resultaten wollen wir Folgendes

herausheben.

Wir gehen von (1), (2) und (2?) aus.

Ist @(z) ein ganzzahliger

Theiler von f(z), so ist auch M n ganzzahlige Funcetion,

An

al

mithin v(z) — p(z,) durch z

2‚ theilbar.

Es kann daher ein d®

nur mit einem solchen d© combinirt einem zulässigen Theiler @(z)

angehören, für welches die Differenz der Functionalwerthe

d®) — d® durch 2 — Z

theilbar ist. Ebenso kann eine Combination d©, d® nur dann mit

einem d& combinirt einem zulässigen Theiler angehören, wenn

d — d& durch z — 2

ıl

und d® — d® durch z — %

theilbar s u ST

Hierdurch werden dann die zu behandelnden

Werthsysteme häufig stark eingeschränkt, sobald die Wahl der

Zu 22;

passend erfolgt.

Für unser obiges Beispiel würden wir

keinen Vortheil dadurch erlangen.

In noch anderer Art behandelt Herr Mandl***) das gleiche

Problem.

NS

LA PEF

*) Kronecker: Grunﬂzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen

Grössen. SAr Jı für Matkh SN

**) Runge: Ueber die Zerlegung ganzer ganzzahliger Functionen. J. für

Math. 99. S. 89.

***) Mandl (unter gleichem Titel): J. für Math. 113. S. 252.

56

Fünfte Vorlesung 8& 52—54,

$ 52. Eisenstein*) war der Erste, welcher einen Satz auf-

stellte, durch den aus der formalen Beschaffenheit der Coefficienten

der vorgelegten Function ein Schluss auf ihre Reductibilität oder Irre-

ductibilität gezogen wird. Es ist der folgende:

Sind alle Coefficienten c,, On

C des Polynoms

D

P

0

(3)

f

n + Clzn—l+ 022/,7L—2 + r + CR + Cn

durch eine Primzahl p theilbar, und zwar c, durch keine

höhere als die erste Potenz von P, dann ist f(g) irreductibel.

Wäre nämlich

(4)

fF(£)=(ag2“ +a an 8 Au)(bo2' + 2 . 6124 b,)

OC a E An E

so könnten wir zuerst ı =bh= 1 setzen, und es müsste ferner wegen

aub, = c eine der Zahlen a,, b,, etwa die erste, durch p theilbar sein,

während die zweite b, relativ prim zu D wäre.

Weiter

müsste

Q O Au a C r durch %, und da ab, 7 es ist, auch au 1b,

durch y theilbar sein. Nun war b, relativ prim zu p; also müsste

Auı ein Vielfaches von Y werden.

Ginge man dann zu A0n

O Z N an yurde der Rele nachı

HOS K Oa

durch p theilbar sind.

Die gleiche

Schlussweise zeigt aber beim Auftreten des Coefficienten ag‚ dass auch

für diesen dasselbe gilt, während er doch gleich 1 ist. Das ist ein

Widerspruch; und daraus erkennen wir, dass die Voraussetzung der

Zerlegbarkeit von f(£) nicht aufrecht erhalten werden kann. Es ist

also f(z) irreductibel.

$ 53. Dieses Kisenstein’sche Theorem, von welchem wir später

eine wichtige Anwendung machen werden, lässt sich zum Ausgangs-

punkte weiterer Untersuchungen nach verschiedenen Seiten hin nehmen.

Die eine Richtung führt unter Benutzung‘ der gleichen Methode zu

den Sätzen dieses und der folgenden Paragraphen bis &S 56.

Ein Polynom ' Grades (n > 2x) von der Gestalt

©) a e E E

besitzt keinen Theiler von geringerem als dem (x + 1)'» Grade.

Der obere Index 0 an einer Constante soll hier und in den folgenden

Paragraphen andeuten, dass diese Constante zu y relativ prim ist.

A

Gilt die Zerlegung (4) von (5), dann folgt aus aubı=c6=p

Yn)

dass entweder einer der Coefficienten a., b, durch p?, oder dass jeder

*) Eisenstein: Ueber die Irreductibilität u. s. w. der Lemniscatengleichung.

J. für Math. 59, S. 160.

Reductibilität und Irreductibilität.

50

derselben durch p theilbar ist. Im ersten Falle setzen wir au = «ip°,

b,= ß} und finden dann auf genau dem Wege, der in $ 52 ein-

- bis inclusive ay durch

geschlagen ist, dass alle Coefficienten au_ı,

p theilbar sind. Da das nicht möglich ist, so muss diese Eventualität

verworfen, und

(6)

Ün == D

b,= Bip

gesetzt werden.

Wir wollen nun annehmen, es wäre schon bewiesen,

was ja wegen (6) für 4 = 0 feststeht,

Au —1 E %u— 1,

Au —ı —Z %u— 1D ,

©

bv——1 — ßv——lp;

bv—l a ßv——lp;

und wollen daraus herleiten, dass auch die beiden folgenden Coeffi-

cienten, Au ı— 1 und b,_2_ ı, durch p theilbar sein müssen, wenn 1

eine gewisse Grenze nicht überschreitet. Dazu betrachten wir C_ =0

und c„_21—2=0 und zwar die erste Congruenz (mod. p?), die zweite

nur (mod. p); das ergiebt

Auby_ —1 + : + Auı 1b,= 0 (mod. p?),

a‚u———l———lbi'—-l—-l + B

= ( (mod. p).

Wir haben in diese Congruenzen die Werthe aus (6) und (7)

einzusetzen.

Dann werden in der ersten alle nicht hingeschriebenen

Glieder durch y”, in der zweiten alle nicht hingeschriebenen durch p

theilbar, und es entsteht, nachdem die erste durch p dividirt, die zweite

mit «

L

0 0

V

multiplieirt ist,

@i an 0

(apby—2—1) (Br Au 2—1)

0 (mod. p),

woraus denn sofort das Verlangte, nämlich

(8)

Au Z 1 — “‚14—Ä—1P;

Da zD

folgt. Da in (5) bei uns y„—p* der höchste durch py? theilbare

Coefficient ist, so können wir bis 1= x gehen, falls » > 2x ist. Die

letzte Kinschränkung ist klar; sie folgt aus C_21_2= 0 (mod. p):

Man hat dann also

Z

A — aßp‚

a‚u —1

“‚u—1P ’

Au —x

&—

Xu—ux P,

(9)

bv—1

—

&z

b, = ß3p,

ßv—lP;

NO

B f

Dies zeigt, dass ay, by nicht in die Reihe der hingeschriebenen

Coefficienten gehören, dass also kein Factor von geringerem als dem

(x + 1)%" Grade vorkommen kann.

$ 54. Ist n = 2% + 1, dann folgt aus dem Umstande, dass kein

Factor vom x'°" oder einem niederen Grade besteht, die Irreductibilität

58

Fünfte Vorlesung 8& 54—56.

yon! ı(5). ı Istin —2 2 dann! können zwei Bactoren des Grades

(x +1) vorhanden sein,

bei denen alle Coefficienten ay, a

27

7}

ODa

nach (9) durch p theilbar sein müssen. Man hat demnach:

Das Polynom

e L Yan+ 1D

ist irreductibel.

Das Polynom

BD E p L e Van4 2°

kann nur in der Art zerlegbar sein, dass es in zwei Factoren

gleichen Grades

AT HNN G E E B

zerfällt. Diese beiden Factoren sind nach dem Eisenstein’-

schen Satze unzerlegbar.

$ 55. Wir knüpfen wieder an das Theorem von S 53 anı Hım

Polynom von der Gestalt

f(Z) B + ylpzn—l + E + y„__g„_2p22z+2

A Dn ED

—3

W DL ED E

kann nur so in zwei Factoren zerfallen, dass der Grad des

einen nicht geringer als (x +1), der des andern nicht ge-

ringer als (2x + 2) ist.

Die eine Möglichkeit, E O

k==

z

0 (mod. p?) zu befriedigen,

nämlich indem man au = «ip®, b,= ß setzt, führt auf dem schon

mehrfach betretenen Wege ($ 52) zu einem Widerspruche. Es bleibt

also nur die Annahme zu behandeln übrig

(10)

U 05‚3P2‚

0i =

Aus 6_ı = Au dy_1 4 Au—1b, = 0 (mod. p°) ergiebt sich sofort

Auı = 0 (mod. p), so dass die Gleichung

(11)

Un i —E 05‚:2—1P

angesetzt werden kann. Wir setzen voraus, es wäre schon bewiesen,

was ja für 4 = 1 soeben erfolgt ist, dass man

Anı

== a[2 p2’

in En CD

(12)

CF “‚[z——ÄP ’

Au —2211 — 06/1—21+117‚

Ö,

O ß$p,

O D

hätte. Dann wollen wir, falls 4 nicht gewisse Grenzen übersteigt,

die Fortsetzbarkeit von (12) durch den Beweis der vier Gleichungen

O —1F ‘x‚u-—-lp2;

Ü E 06,1—21P‚

E SS

(18)

bv——Ä S ßr——lP

Reductibilität und Irreductibilität.

59

darlegen.

Dazu brauchen wir die vier Congruenzen

n— 2

=0 (mod. p°),

Cn —21 = 0 (mod. p?),

(14)

C221 = 0 (mod. p°),

C321 = 0 (mod. p).

Setzen wir die Werthe (12) in diese Congruenzen ein, dann liefert

Cn—22, nach Division durch , und C„_32ı, nach Multiplication miıt

Bi : @u —, die Resultate

(B au 22) A (ou —20y 2) = 0

(B au 22) (du—2by—1) = 0

(mod. p),

und deshalb ergiebt sich, wie unmittelbar ersichtlich ist,

(18:)

Ü BFE a}1—2ÄP;

(15)

&u —20y —2 = 0 (mod. p).

(13*) liefert einen Theil der Behauptung.

Die erste Congruenz aus

(14) heben wir nach Eintragen von (12) durch p? und erhalten

X%u—2ß) + aybı_ ı = 0 (mod. p).

Das zeigt, mıt (15) combinirt, dass «_ und b,_2 durch p, dass also

b1f—l - ßv—l JO

(13?)

Un =2 05‚;1—‚1P 7 “p——).192

ıst

Der noch fehlende Theil der nachzuweisenden Gleichungen (13)

folgt ohne Weiteres aus der dritten Congruenz (14).

Vergleichen wir (14) mit der Form der untersuchten Gleichung,

dann folgt, dass für sie

U — “2 P2,

Au— x — An —x_p2;

(16)

UZ “;;—x—lp;

Ü Xu—2x—1 D,

b,= ß3p‚

br—x S ßv——zP

gesetzt werden kann. KEs darf daher unter diesen Coefficienten weder

ay noch b, vorkommen, falls » > 3x ist, d. h. es muss in diesem Falle

u >2x%+2,vzZx«-+1 sein, wie behauptet wurde.

$ 56. Es war n > 3% zu nehmen.

Ist nn =3% + 1 oder

n=3%-+2, so wird u + v>3x-+3>n; in diesen Fällen ist also

eine Zerlegung nicht möglich. Ist dagegen n = 3%x + 3, dann kann

u=2% + 2 und v=x% + 1 werden, und dann ist ein Zerfallen von

f(£) nicht ausgeschlossen; in beiden Factoren müssen die Coefficienten

den Gleichungen (16) gemäss gebildet sein. So ist

(2 + a ne + «° p?) (£ + B'p)

> A ( p ( ar Ba aD

ein Beispiel für die Möglichkeit der Zerlegung.

60

Fünfte Vorlesung 8 56—58

Das Polynom

RDE

E

(n=3%*+1, 3x + 2)

+ Yn + A Ynı D 2 E y

n

(0)

R

ist irreductibel; das Polynom

23443 en }/1P53”+2 ALn E 71+1P222+2

R E

+ Yax+3 08 - e A Yaxııp E F VSursp)

kann, wenn es überhaupt zerlegbar ist, nur in zwei Factoren

Z , DE ı F Or DE HL A ppp + F an

z B RR AT BDA DA

zerfallen, deren zweiter irreductibel ist, und deren erster

auch nur eine Zerfällung in zwei irreductible Factoren des

Grades (x + 1) zulassen kann ($ 52, 8 53).

8’57

Der Eisenstein’sche Satz kann auch noch als das An-

fangsglied einer Reihe anderer 'Theoreme angesehen werden, deren

nächstes das folgende ist:

Wenn ımm @©) alle Coefficienten c,

durch ü theilbar sınd, c_,.aber durch keine höhere als die

erste Potenz von m, so ist f(z) entweder irreductibel, oder es

zerfällt in der Weise, dass es einen Factor des Grades 1 und

einen anderen irreductiblen Factor des Grades (n — 1) besitzt.

Es sei, den Voraussetzungen entsprechend,

Cn = VnP“,

Oa

CZ

wenn dann au = «ip“ gesetzt wird, dann stossen wir in der schon

mehrfach dagewesenen Art auf den Widerspruch, dass ay= 1 durch p

theilbar sein müsste.

KEs ist also allein möglich,

Ö

C E

2

b = Bl

@— 07021

zu setzen.

Aus der Gleichung

Ga—ı= Yın = Q

/

0

OE E CZ

folgt dann, dass nicht beide Exponenten (z — o) und o grösser als 1

sind. Also muss t —0 = 1 oder o= 1, d. h. etwa

0 mnt—1

(18)

Au

= AL

0 D

dass für

werden;

und dann zeigt die vorhergehende Gleichung,

— 2 acht . ı Und ün 7 2 nicht oleichzeie a und 0

durch y theilbar sein kann.

Weiter ergiebt sich aus

Cn O a 0 an U mod: w),

dass eine der beiden Grössen au_ı, b,—1 durch p theilbar ist. Den so

Reductibilität und Irreductibilität

61

gefundenen Forderungen wird

abgesehen von einer Aenderung der

Bezeichnung, nur durch

Ol — au——-1;

bı = Bıriß

(19

Geht man mit (18), (19) in die Congruenzen

Genüge geleistet.

(20) Cn—3"aub —)p‚tw_l+auflb —2+a‚u—‘)ß —l_p+au——3ß p O(m0d p),

dann folgt der Reihe nach

genau wie fruh81 (% 52),

(21)

b E ra ß»—2ß,

0g ß Z5%

und so gelangt man im Allgemeinen zu dem Widerspruche

dass

Ö

1 durch p theilbar sein müsste

Der Widerspruch in (21) wird

nur dann vermieden, wenn die letzte Congruenz aus (20), welche ö

einführt, durch die Gleichung

CO OCI„ÄLZ) DE 1

ersetzt wırd, wenn also n = v 4 1 d h. u = 1 und

OC DA D D D

ıst

Damit ıst der Satz bewiesen

Auf die weiteren Theoreme der hier angedeuteten Serie wollen

wir nicht eingehen

ıhre Richtung ıist durch das Gegebene hinlänglich

charakterisirt

$ 58. Eine andere Methode zur Erlangung solcher Irreductibili-

tätssätze hat Herr Königsberger*) gegeben

Wir wollen sie soweıt

auseinandersetzen, als es an dieser Stelle bereits möglich ist, ohne zu

sehr auf spätere Untersuchungen Bezug nehmen zu müssen

Die qg Wurzeln der Gleichung

(22)

Z 20

die sogenannten q'® Einheitswurzeln, wollen wir durch 1, w,, @,,

g bezeichnen

Ist bei rationalen Coeffieienten

@

I

O (2) = a + a! + ... + An

eine beliebige Funetion *” Grades, und bildet man das Produet

(2) @ (20,) d (2w;)

(p(2‘00)— ®(”)7

dann sind auch die Coefficienten von ® (z) rational, und es enthält

® (z) nur Potenzen von z mit den Exponenten q, 2q,

©q) Wn

können also in ®(z) für 29 setzen &, und erhalten

(24)

(a

*) Königsberger

VUeber den Eisenstein’schen Satz von der Irreducti-

bılität algebraischer GHleichungen

J. für Math

115 S

53

62

Fünfte Vorlesung 8 58—60.

Es wird sich, wie nebenbei erwähnt sei, später zeigen, dass (24),

gleich Null gesetzt, » Wurzeln liefert, welche die q Potenzen der

Wurzeln der Gleichung sind, die man durch Nullsetzung von (23)

erhält. Ist nun @(z) als ein Produet darstellbar, O (2) = Y (2) 4 (2),

dann wird

@C)= DC)XC),

&5 (z) =Üw(zm;.)‚ X(z) =Üxcwo CT

pO(E) = vO(H 4II

Wenn demnach @ (z) reduetibel ist, so wird es jedenfalls auch p“@(£);

man kann daher aus der Irreductibilität von qm“@(E) auf die

von @(z) schliessen.

$ 59. Um die Wirksamkeit dieser Methode zu zeigen, wollen

wir zu

P Z A A a a La a

die Funetionen g°®, v®, m® bilden.

Es wird

pIE) = 4E° + (2ay0, — ay’)E* + (2a90, — 2a,0; + a,”)E

P ( A @ aanı E (FAa

Mit mO(E) ist gleichzeitig ;5 pÖ(nE) irreductibel oder reductibel.

Setzt man in der zweiten dieser Functionen

aQ= 1, q = @,D, Q = @ P*, A = 0& p*, A, = “4233‚ A, = &;°p°*,

so erhält man ein irreductibles Eisenstein’sches Polynom ($ 52).

Folglich bleibt das ursprüngliche @ (z) unzerlegbar, d. h.: Es ist

8) + , na* + a nt8* + o pie* A 0, p*a A 059 p®

irreductibel.

Dieses Resultat ist mit dem in $ 56 erhaltenen Schluss-

theoreme ıdentisch.

Weiter wird für g =3

pOHE) = y E + (3ay’As —3A9 A, Ag + a?)E*

+ (3apas* —3 AyA, Ag — 3 AyAz A, + 3A,” A, — 3A, A, A, + A,*) 6

+(—30A,A5-+3 A, A, —3 a, Ag As 43a az—3 A, As A, Az?)E*

+ (3 a2a5;” — 3A;A,Ay + Ay?) EF as*.

Verfährt man hier genau wie vorher, so erkennt man: Das Polynom

@° 4 &, De* + « DE A a WE AD D

ist irreductibel.

Für q = 4 findet man

pO(E) = a E + (4a90, — 4a70 A, — 2007a + 40,0," 0 — @Sr

+(—4a,a;° + 4a,a,0;* 2a7a —40a7 as + ay*)E— ag

Reductibilität und Irreductibilität

6

I

1

Hier benutzen wir

1 PPO(n?E) und gelangen zu dem Resultate: Das

Polynom

2° -{ &, 08“ A 0, 078° A s 072° A 0, D*8 A s D

ist ırreductibel

Dieses Krgebniss hätte sich einfacher ableiten

lassen, wenn im Eisenstein’schen Polynome z =

gesetzt und dann

mit y° multiplicirt worden wäre

$ 60

Im allgemeinen Falle f@(£) ist das absolute Glied

Ar=+4

Wir nehmen nun qg als relatıx prım zu n ‚ und

kleiner als n an, bestimmen, was stets möglich ist

Zwel ganze

Zahlen ” und s, für die

(25)

q—ns= +1

e< E)

wird, und untersuchen —— f@(pE)

Zunächst ist der letzte Coefficient

dieser Funetion

a?

NS

NS

D a = a yl ales

> Al l

Um zu einem HEisenstein’schen Polynom zu gelangen

ist es also

nur nöthig, die sämmtlichen, vorhergehenden Coefficienten

A

n— I

A

n—2

E

A,

(26)

l)x

(n—2)s

23

D

durch y theilbar zu machen

Die Grösse 4„,_, ist, wie man sofort

sıeht, eine Summe von solchen Gliedern

%. M

(27)

a„A,

?

in denen „das Gewicht“ des Complexes nämlich

kx + 11 + mu +

= (n — 0)9g

ıst

Setzt man nun, wie Herr Königsberger angiebt

En

T

i A A (

n

)+1

A, — &P

__)+1

(

L

ıD

((n—l)r)_‚_l

?

wobei e(h) die grösste ganze 7ahl bedeutet,

die in der positiven

Grösse 4 enthalten ist, dann tritt in (27) die Pr1mzahl » mindestens in

der Potenz mit dem Exponenten

L F[ 1 m[ +1]+

auf, und dieser Exponent ist grösser als die Summe

+

+

an

= (n—0) —q

64

Fünfte Vorlesung $ 60

Sechste Vorlesung &$ 61—62

In den Nenner von 4

geht p in der Potenz (n—0)s ein

Weıil

nun wegen (25)

SE

so ergiebt sich, dass in der That alle

Glieder in (26) durch y theilbar werdern

fF@(p°E) ist daher ein

Kisenstein’sches Polynom, und f(z) ist irreductibel

Durch das

Auftreten einer Potenz von a„, in (27) wird an den Schlüssen nichts

geändert

So sind wir zu dem Königsberger’schen Satze gelanot

Setzt man

n—1

)+1

r)—l—l

e R

’

Ag ==> KD (2f)+

2

Ün = an—lp (

An = &,D

wobei r eine zu n relative Primzahl bedeutet, dann ist

a E + A,

ein ırreductıbles Polynom

Sechste Vorlesung

Grösster gemeinsamer Theiler zweier Funectionen

Vielfache Wurzeln algebraischer Gleichungen

8 61

Es mögen f(z) und fi(2) zwei ganze, ganzzahlige Funec-

tıonen von

m

seın

“

ihre Grade bezeichnen wir mit %” und (n — n}),

wobei 1, als Null oder als positiyv vorauszusetzen ist

Wir bilden

nach dem Schema, welches Euklid zur Aufsuchung des grössten ge-

meinsamen Theüens zweier ganzen Zahlen benutzt durch fortgesetzte

Divisionen die Gleichungen

/ (2)

AA

9ı ()

f2(‘)7

ﬂ (Z)

—f”)

9 (Z)

—ﬁ3(2)7

(1)

r—z(ß)— —1(z) gr—1(z)—fr(2)‚

fr—ıl?)= f.(£)

9-(2),

derart, dass wir jedes f; durch das folwende fı+1 dividiren, bis ein

Rest von niedrigerem Grade bleibt, der dann = — f,42 gesetzt wird

Die Gründe für diese Festsetzung des Restvorzeichens werden sich

später ergeben. Da die Grade von f; fi, /_2,

immer mehr abnehmen,

ohne negatiy werden zu können, so muss (1) einmal abbrechen, wie

dies in der Tabelle selbst ja auch angedeutet worden ist

Grösster gemeinsamer Theiler

Vielfache Wurzeln

65

Wie schon früher, so lassen wir auch im Folwenden, wenn Miss-

verständnisse ausgeschlossen sind, häufig das Argument der Function

fort, und schreiben also etwa statt der Gleichungen (1) kürzer

(2)

f}

a OEn Z

oder fırz= farıdarı —f

Aus (2) ist ersichtlich, dass jeder Factor

den die beiden Fune-

tionen fz und fz+.ı

emeinsam besitzen, auch /;42 theilt

Daraus folgt

dass f durch den grössten gemeinsamen Theiler von f und f, theilbar

1st

Andererseits folgt auch umgekehrt aus (2), dass der grösste ge-

meinsame Theiler von /;42 und fz+1 auch in fz aufgeht

Daraus er-

giebt sich dann, dass sowohl f als / durch f theilbar sind

Folg-

lich ist f,. selbst der grösste gemeinsame Theiler von f und f

Man kann also durch fortgesetzte Divisionen den grössten

gemeinsamen Theiler zweier Funct10nen / (@) wne f (@) be-

stimmen.

S 62

Jedes der ımm (d) auftretenden Polynome

12y f3

fr—1; /r

lässt sich als lineare, homogene Kunctlon yon / und A dar-

stellen.

Wenn man namhch in der zweiten Gleichung von (2) den

ersetzt, dann er-

Index 2 der Reihe nach durch (1 — 2), (1 — 3),

hält man mittels Combination der so entstehenden Gleichungen

fı= frı Nı — o

Z ( 0) — Ya

(3) */7—3(„/7—19}—‘)_9/— —‘91_1—‘9/—5)_](;1—4(9‚1- 1g/1_)——1)

Z /1 z *‘“f Q

wo dann also die Funetionen ı_1, @_1 durch Fortsetzung der an-

geführten Rechnungsoperationen gefunden werden können. Auf diesem

Wege gelangt man auch zu Reduetionsformeln für die @ und &- Die

Formel (2) liefert

(2°)

fa+2

frı Drı

fb

und setzt man hierin die durch (3) definirten Funetionen @ und ı ein

Maa = f

_f Pı,

fı

dann entsteht

—fl "Pl—1_f ‘Pl—l,

s

eı A

und demzufolge ergiebt sich

(4)

n = a Z

QiETO

ORa OE

Netto, Algebra, I

66

Sechste Vorlesung $ 62—65.

Um diese Recursionsformeln zur Berechnung benutzen zu können,

müssen wir noch die Anfangswerthe @,, %; @,, W, bestimmen. Diese

ergeben sich aus

fl=f1'w()*_‘f"po’__f1‘l "'f07

f2:fi'zpl_f.'q)1=f;'gl—/"l

ıls

(5)

"1’0':1,

‘p0=0;

O

. = 1.

Aus diesen folgt dann gemäss (4) weiter

i — T,

PE

V3 =r(/19.29.? a e '% '=.y2gg lı

Die Formeln (2*) und (4) lehren, dass die Bildung von %41 aus

%, und %_ ebenso vor sfeh geht, wie die von @2141 aus @ı und @;_ı

und die yYon y aUs a und

Den besonders wichtigen Fall von (3), in welchem 1= r ist,

wollen wır noch besonders hervorheben:

©)

V A

S 63. Aus den Recursionsformeln (4) ergiebt sich durch Eli-

mination von gz+1ı

E

An

O z D

OE a O

und somit durch weitere Anwendung derselben Relation, und da nach (5)

Qı o L

ist, die Formel

(6)

Prı — Pıdırı = L

Hätten wir in (1) die Reste ohne Vorzeichenänderung eingeführt, so

würde (6) complicirter; aber diese Aeusserlichkeit war nicht die Ver-

anlassung zu jener Festsetzung.

Dividirt man (6) durch %z,w%;41, dann entsteht

d

E

O

zn A

%“’z-£f

und durch weitere Anwendung derselben Relation, wenn man berück-

sichtigt, dass nach (5)

Pı

Vr

9ı

o Vr

ist, die Gleichung

— ==

Q

S_

al

BA

(7)

U7

o

+

b

©

+

Wr Y

Ün

Vielfache Wurzeln.

67

Grösster gemeinsamer Theiler.

durch welche eine Zerlegung der gebrochenen Function @;,:w%;, in eine

Summe von Primbrüchen geliefert wird.

Ferner ergiebt (3)

fı —f = fa+ı,

und deshalb wird zunächst

O

fı

N f —z

—_

SE —

Iarı

(8)

7

7

f

E

und durch Verwendung von (7) ergiebt sich hieraus die Darstellung

(8°)

f

1

A

al

—— ,

Ha+ı

f . '%U’1

7

ar

+...+fL‚+

Da nn

f

Insbesondere wird für ı =r, wegen f,4+1= 0, der Quotient fi:f

wıederum eine Summe von Primbrüchen

(8”)

fı

E

al

o Vı

Yı

-

D

$ 64. Es ist von Wichtigkeit, die auftretenden Funetionen ihren

Gradzahlen nach zu bestimmen. Den Grad einer Funetion A(z) wollen

wir durch [h] bezeichnen, und nun möge

©)

U]="7 [f;]=’)’l;—?l„ 5 [ﬁ] E A [fr]'=""‘”r

©< < L < Z)

gesetzt werden; dann liefert die Vergleichung mit (1) für die Bestim-

mungen der Gradzahlen

(93) [’]1| — [f/2] / "[9).] S [gf] A Ny— 1

Sobald nun [z%,+1] > [%] ist, muss nach (4) [%ı+2] > [ı+1] und

= [%ı+1] + [92+2] sein; unter der entsprechenden Voraussetzung ist

[9ı+2] = [Pı+1] + [92+2].

Aus den obigen Werthen von [@;], [w.;]

für 2 = 0 und 2 = 1 folgt daher

] =n,, %] = WT = Wr

(9°)

Hl=% bl= Na — Mı, e ı] = 0 — n,

Hieraus erkennt man z. B., dass in (3®) die Funetion w,._, den Grad

Yn ı, Und . @, den Grad Nr —i — %, besitzt.

Nun ist nach (9)

Y , Zn aln <n—1 und ebenso n,-_ , —SW —H — 1.

Der Grad von %_1 ist gleich (n—rv), der von @- gleich

(n — n, — 7), wo T+ mindestens gleich 1 wird.

8 65.

Ist eine rationale gebrochene Funetion @

gegeben,

q (2)

ordnet man Zähler und Nenner nach steigenden Potenzen von z und

führt die wirkliche Division derart aus, dass das Glied niedrigster

Ordnung in p durch das Glied niedrigster Ordnung in g dividirt

5*

68

Sechste Vorlesung $ 65-— 67

C)

N

wird u. s. w

so entsteht die Entwickelung von

q ()

mach steirs

genden Potenzen von z

Ordnet man umgekehrt p und q nach

fallenden Potenzen von

O

”

und führt dementsprechend die Division so

aus, dass das Glied höchster Ordnung in p durch das Glied höchster

so entsteht die Entwickelung

Ordnung in g dividirt wird u. s. w

von

n (2)

nach fallenden Potenzen von z

Die Entwickelung der

(2)

ersten Art kann nur dann abbrechen, wenn der Nenner .gq(z) ein

Factor des Zählers wird, die der zweiten Art nur dann

wenn der

Nenner bis auf Potenzen von z, die er als Theiler enthält, ein Factor

des Zählers wird

Wir werden später auf solche Darstellungen ge-

nauer einzugehen haben

Hier wollen wir nur ein auf die Entwickelung von

.ı

Z

Ü

(8)

E

DA

L7

bezügliches Resultat hervorheben

Nach (8) und (9*) wird

Üan

|

f

} = — (m + -+ı)

In der Chat ast

OE

’

n n7

nn

f Ü’l &R

+

.+.

v}

und daher beginnt die Entwickelung von (8) nach fallenden Potenzen

”A—”Ä+l

d. h.: Entwickelt man die beiden Brüche

ON Z Mit.

/ı

und

* nach fallenden Potenzen von z, so stimmen beide

4

Entwickelungen

In

allen

Gliedern

on

<

z

an

bıs

Zu

(m-+r2+1) T1 äberein

8 66. Aus den beiden Gleichungen (vgl. (2) und (4))

Yı—z

fx+1 S fzya

f1——12

(

10ı

folgt

f297

A

V

OE

D

=1

Yı 19ı

T

A—1

Z

/;'4’1

f1+1

W

fn

T

a

Z

n

zn

)

Da num fz41 von geringerem Grade Sal a un on GE

ringerem als W SO beginnt die Entwickelung der rechten Seite

nach fallenden Potenzen von z

z mit der Constanten 1, und deshalb sind

h<mhsten Potenzen

von

die Grade und auch die Coefficienten der

Vielfache Wurzeln.

69

Grösster gemeinsamer Theiler.

fa_ıvz_1 und von fıwz einander gleich. Die erste Eigenschaft folgt

schon direct aus der Betrachtung der Grade:

[fAeı]= [h] + ı] = (n —m) + m =N.

Dasselbe gilt dann natürlich von den beiden Produecten fı_2w%21_2 und

ala 0 S e n A = f y A e Anı aaa

man zu den Sätzen:

Alle Glieder der Functionenreihe

(10)

flwl) f2w2?

3 ﬁ.‚1,)_

sind vom Grade n und haben denselben Anfangscoefficienten

wie /(z); alle Glieder der Functionenreihe

(10°)

fa.@ı>, f2@2,

N fr‘Pr

sind vom Grade (n — n,) und haben denselben Anfangscoeffi-

cienten wie f;(2).

S 67. Von besonderer Wichtigkeit ist der Fall, dass die beiden

Funetionen f und f keinen grösseren gemeinsamen Theiler als eine

Constante besitzen, so dass also f. vom Grade Null wird. Hierbei

tritt es deutlich hervor, dass die constanten Grössen bei den

jetzigen Betrachtungen die Rolle von KEinheiten

spielen.

Genau wie bei der Zerlegung von Zahlen im reellen Zahlengebiete die

Hinzufügung des Faetors + 1 oder — 1 den Charakter der Zahlen

nicht beeinflusst; genau wie im complexen Zahlengebiete die Zerlegung

durch Hinzufügung eines Einheitsfactors + 1, —1, +-%, —@% nicht

wesentlich geändert wird, genau so ist es beim Schema (1) unwesentlich,

wenn f und f, mit willkürlichen constanten Factoren multiplicirt werden.

Die Schlüsse bleiben dieselben, und die Resultate ändern sich höchstens

insofern, als auch dabei constante Grössen multiplicativ hinzutreten.

Man kann von diesen Ueberlegungen insofern praktischen Ge-

brauch machen, als man bei der Durchführung der einzelnen Divisionen

in (1) die Dividenden mit geeigneten Zahlenfactoren multiplieirt, durch

welche das Auftreten von Brüchen in den Quotienten und den Resten

vermieden wird; und dass man ebenso aus den Resten alle, den Coeffi-

cienten etwa gemeinsamen Zahlenfactoren herauszieht und sie, um zu

kleineren Zahlenwerthen zu gelangen, bei den weiteren Divisionen

unterdrückt.

K Z

2 F3 E3 EN,

CN N

so würde die erste Zeile von (1) eigentlich lauten

Kl 329_2 = % (— 202 — 322 — 212 — 11);

70

Sechste Vorlesung 8& 67—69,

statt des hieraus sich ergebenden f nimmt man aber

fı = — (20@° 4 324? + 212 4- 11).

An die Stelle der zweiten Zeile von (1) tritt dann

243

l

Z

— 302 + 13

100

B AD a

aber hier nimmt man wieder

/

3

7 a

S (222+;+ i

Endlich folgt

B A OO - 0

so dass also f; oder — fz der grösste gemeinsame Theiler-von f und

f Wa

In der That zeigt sich

K @RA A A

Die Gleichungen des Euklid’schen Schemas werden somit

T

(3Z C 2) _f—2)

OE 302 13 2

fa l

002 I

Dass der Factor 9, der ın der ersten Zeile eingeführt ist, bei 243 - f

sich wieder aus dem Schema heraushebt, ist kein Zufall, wie ich an

anderer Stelle bewiesen habe.

S 68. Es hatte sich .— Formel (3*) und $ 64 am Schlusse —

ergeben: Wenn die ganze Function f(g) vom Grade ” und die

ganze Function fi(?) vom Grade (n — nı) relativ prim sind,

d. h. keinen gemeinsamen Theiler f.(2z) haben, dessen Grad

grösser als 0 ist, so giebt es zwei Functionen /'(z) und F, (2),

deren Grade höchstens (n — 1) und (n — n, — 1) sind, und für

welche die Gleichung

(11)

W HONO

gilt.

Mit Hülfe dieses Satzes lassen sich die Analoga derjenigen

Theoreme der Zahlentheorie, welche sich auf die Zerlegung und die

Zusammensetzung von Zahlen aus Primzahlen beziehen, für die Algebra

leicht entwickeln.

Eine irreductible Funection war als eine solche definirt, welche

keinen Theiler besitzt, dessen Grad geringer als der ihrige, aber höher

als Null ist.

Daraus folgt, dass wenn irgend eine Function mit

einer irreductiblen Funcetion

einen gemeinsamen Theiler

besitzt, sie durch diese irreductible Function selbst theilbar

se1in muss.

Ferner: Wenn f eine irreductible Function ist, und wenn

fı Umnd y Anachtdurch 7 Oherlbar sındı dann ıst auch A0%

„

(

i

Grösster gemeinsamer Theiler. Vielfache Wurzeln,

nicht durch f theilbar, d. h. mit f) und fz ist auch f,-fz relativ

prim zu f Dies beweisen wir so: Nach (11) kann man, da f und f

relativ prim sind, , und F derart bestimmen, dass

V

und also

*

GE A ala E

wird; folglich theilt der grösste gemeinsame Theiler von f und ff

auch die Funetion f>.

Ausser einer Constanten giebt es aber keine

Funetion, die f und f theılt.

Somit/ ıst / ‚relatıy prım zu ff

fı

Dieser Satz lässt sich verallgemeinern: Sind fi, fa, fı

nicht durch ‚die irreductible Function f theilbar, dann ist

Denn nach dem eben

a a /

7 nicht dunch 7 Oherlbarı

gelieferten Beweise ist zunächst f,-f>, ferner (fif):/3 u. sS. W. nicht

durch f theilbar.

eb Qn Rioduoe 07a

.. fy durch die irreductible Func-

f1on f theılbar, sSo Ist mındestens eıner (der Kactoren %,

f2)

5 durch / Che bar

Denn fände das Gegentheil statt, so

widerspräche dies dem vorigen Satze.

Auf Grund der Gleichung (11) können mit denselben Mitteln auch

die folgenden Sätze bewiesen werden:

Sind fi, f, fa ‘‘ Functionen, von denen keine mit einer

der Kunctionen @,, ©,,

einen Theiler gemeinsam hat,

dann hat auch das Produüct Ar /:a - Feimnen Mheiler mit

Pı Pa D3

gemeinsam.

Ist das Product /: durch eine Function f theilbar,.die

mit /, keinen Theiler gemeinsam hat, dann ist / durch. f

theılbar.

Ist f ein Vielfaches der beiden Functionen f; und f, die

keinen gemeinsamen Theiler besitzen, dann ist f auch ein

Nicltaches des Productes Au .

$ 69. Jede Funection f lässt sich auf wesentlich nur eine

einzige Art in ein Product von irreductiblen Factoren zerlegen.

In der vorigen Vorlesung ist auseinandergesetzt worden, auf welche

Art bei einer vorgelegten Function f entschieden werden kann, ob sie

irreductibel ist, und wie man einen ihrer Factoren finden kann, falls

sie reductibel ist. Im letzteren Falle erhält man also eine Zerlegung

von f in Faetoren.

Jeden derselben kann man in gleicher Weise

wieder untersuchen und daher ebenso in Factoren zerlegen, falls er

reductibel. sein sollte.

Diese Operation muss nach einer endlichen

Zahl von Untersuchungen ein Ende nehmen, da bei jeder Zerlegung

72

Sechste Vorlesung $ 69—71.

die Gradzahlen der Factoren kleiner werden als die des Products,

ohne doch gleich Null werden zu können.

So kommt man also zu

einer Zerlegung in irreduetible Faetoren

f=f1f2fs‚ fu

Gesetzt, man hätte auf irgend eine Art auch die Zerlegung

%

f= @1 O P D

in irreductible Factoren erhalten, so würde der irreductible Factor &,

das Product f ff und daher nach dem vorigen Paragraphen auch

einen der Factoren fi, f,

- fu theilen. Wir nehmen an, es sei dies f,.

Dann ist die irreductible Funetion f} durch die irreductible Function

, theilbar, und also muss fi= @, :C, Sein, wo c, eine Constante be-

deutet.

Somit erhält man

CMa l Z Q

und kann nun dieselben Schlüsse auf’s Neue durchführen.

Es zeigt

sich ebenso, dass %, bis auf einen constanten Factor etwa gleich f,

ist, und daraus folgt dann

GG fa fu= Pa Or,

u. S, W.

Sind auf einer Seite alle Funetionen in Wegfall gekommen,

so können auch auf der anderen keine mehr vorhanden sein, und

daraus folgt dann der ausgesprochene Satz; denn das Hinzutreten von

constanten Factoren C,, C,

zu den Dır Po,

macht keine wesent-

liche Aenderung in der Zerlegung aus.

$ 70. Jetzt sind wir im Stande, die Untersuchungen über viel-

fache Wurzeln der Gleichung f(z) = 0 mit einfachen Mitteln durch-

zuführen.

Wir suchen den grössten gemeinsamen Theiler der beiden

Nach

Funetionen f(2) und f’(z) auf. Derselbe möge fi(z) heissen.

$ 36 Formel (2) und (3) enthält die Gleichung fi(2) = 0 jede m-fache

Wurzel von f(gz)=0 in der Multiplicität (m — 1), die einfachen

Wurzeln also gar nicht mehr; und ausserdem kann fi(z)= 0 auch

keine weiteren Wurzeln enthalten, da ja eine jede auch zu f(z) = 0

und f'(z)= 0 als gemeinsame Wurzel gehören würde. Fasst man

daher sämmtliche Wurzelfactoren (z — 2x), die im f(z) mit der Multi-

plieität m auftreten, in ein Product Z zusammen, dann wird

f(2)= Z

(12)

und

m— 1

(183)

O

m

Mit fi(e) verfährt man nun genau so, wie mit f(g); der grösste ge-

meinsame Theiler von f; und f sei fz(#). Dann wird

Grösster gemeinsamer Theiler.

Vielfache Wurzeln

—

©

(1

MO Za

u..s. £. Hs Hiefert daher, wıe (12) und (13) zeıgen,

KCEE

f (@)

AL

alle Wurzeln von f(2)= 0, und zwar eine jede nur als einfache

Wurzel; ferner, wie die Hinzunahme von (14) lehrt,

OC

f @

alle und nur die Wurzeln von f(g)= 0, welche einfach auftreten;

ebenso

A0 _

Z Z

f @'

alle und nur die Wurzeln von f(z2) = 0, welche zweifach auftreten u. s. f.

Die Auflösung einer Gleichung mit vielfachen Wurzeln

kann also durch einfache Divisionen auf die Auflösung einer

oder mehrerer Gleichungen

reducırt werden,

welche nur

einfache Wurzeln besıtzen und Theiler

der vorgelegten

Gleichung sind.

$ 71. Zum Schlusse dieser Vorlesung wollen wir noch eine An-

wendung der in den ersten Paragraphen besprochenen Aufsuchung des

grössten gemeinsamen Theilers auf die Zerlegung einer rationalen ge-

brochenen Funetion in Partialbrüche machen.

Es sei

h (z)

k (z)

ein Bruch, dessen Nenner das Producet von zwei zu einander theiler-

fremden Funetionen

k(e)=f(@) A@),

[f] O,

LAl = 2

ist; der Zähler hA(z) möge von niederem Grade sein, als der Nenner.

Dann kann man nach der besprochenen Methode zwei Functionen ı

und @ bestimmen, für welche

W(2) A@) +n @ = 1,

wI<n, [p] <n

ist, und folglich wird

( ACNAE) + @@ LE)C) = R

UVeberschreitet der Grad von &%-h den Grad von f, so können wir

#@) -AC) @- aC) E 7@, <n

r(@) A (?) + @@ + a@ACFE) = h(£)

setzen, und weil ja

Al n

] <n + nı

74

Sechste Vorlesung $ 71. Siebente Vorlesung 8& 72.

ist, so muss hierbei auch

r,(8) = p(e)h(e) + q(2)F.(e)

von geringerem als dem 1,*" Grade sein; und also ist

h(z)

E

r,(2),

(15)

OO

F< DA

al

f (2)?

Man hat sonach A(z):k(2) in ein Aggregaﬂ zweier Brüche zer-

legt, deren Nenner die zu einander theilerfremden Factoren f (z) und

f(@?) von k(z), und deren Zähler von geringeren Graden als die

Nenner sind.

Es ist leicht einzusehen, dass eine solche Zerlegung eindeutig

bestimmt ist.

Ferner sei bemerkt, dass über die Realität der Coefficienten von

/ und f} nichts vorausgesetzt ist; unsere Methode ermöglicht daher

die Zerlegung des Bruches h:% in Partialbrüche

h (z)

_

—_-

t,(2)

(16)

k (z

%,

2

3 ZÄ)'‚7‚’‚_>

wenn, in ihre Linearfactoren aufgelöst, die Funetion

k(2) = II(g — 21yr

ıst

Wenn ir ‚hierbei,nach S 19, (12°)

(%)

@&

b(8) = ba (&) -

17

(2 — ı) +

2

(@ — 2)' +

setzen, dann ergiebt sich die Formel

162)

h(?)

t‚_(z‚_)

t;(z‚_)

+

DE

/b(

z

f

SE

1!(z—zl)mi»_l

9! (S A „2)7711——2

)

Jeder vorkommende

Partialbruch hat als

Zähler eine Constante.

Die Formel (16®) ist, wie man sieht, eine Verallgemeinerung der in

$ 39, (8) gegebenen Partialbruchzerlegung, bei welcher die Voraus-

setzung gemacht worden war, dass jedes m, den Werth 1 besitze.

Wir wollen zeigen, dass die damalige Bestimmung der Coeffi-

cienten aus der jetzt gegebenen sich ergiebt. Der Voraussetzung nach

ist hier /%(z) durch (z — 2,)”2 aber durch keine höhere Potenz dieses

Wurzelfactors theilbar.

Deshalb gilt die Entwickelung ($ 19)

A (2)

(’"Ä+ } (Zl)

k(2) = A (2 — 21) + O rm ( A

wobei der erste Coefficient nicht verschwindet, und es wird

ı (4

m!lh (z‚__)

k(z)

( On /5)_)'"Ä i. En

k(m„ (ZÄ) S

Reihenentwickelung einer rationalen Function.

75

Aus (16°) folgt daher, wenn man mit (2 — 2,)”2 multiphieirt und

2 = %, setzt, zufolge des eben erhaltenen Resultates:

m‚! h(zQ

2 (Z‚1) —

KD (3

Für m; = 1 kommt man demnach zu den früher gegebenen Werthen

des $ 39 zurück.

Siebente Vorlesung.

Reihenentwickelung einer rationalen Funcetion.

8 7,

Bei der Aufsuchung des grössten gemeinsamen Theilers

zweier Funetionen f und f} haben wir in der Gleichung (3) von $ 62,

nämlich in

a y

(1)

M=2, l= » - m; ı]= m, [mı]= —n

die Lösung der Aufgabe gefunden, zwei ganze Functionen F und ®

so zu bestimmen, dass, wenn

(2)

AB fO=F

gesetzt wird, die Summe der Gradzahlen

(3)

O Z

wird.

Dieser Bedingunä wird zunächst in der That durch die

Funetionen %;, , genügt, da wegen n,41 > N« die Summe

ı A M = N SE <n

ist. Es folgt aber auch weiter, dass nur diese Funetionen &,, %, a

den Forderungen genügen, sobald man von vorhandenen gemeinsamen

Factoren der drei Ausdrücke F, &, W absieht.

Denn wenn etwa

WT Z

wird, dann ergiebt sich aus (3) zunächst

F]<r-n —1,

und folglich bleibt in der Gleichung

( — LB

der Grad der rechten Seite kleiner als n, während doch derjenige der

linken Seite mindestens auf » steigt, falls die Klammer von Null

verschieden

ıst

Demgemäss

müssen beide

Seiten

verschwinden,

16

Siebente Vorlesung &$ 72—75

d. h. es wird

B

(4)

(.D—(p/z ©]

0© JE aı

Die hierbei auftretenden Verhältnisse wollen wir genauer untersuchen

808

Es

sel unter der unwesentlichen Beschränkung

dass

NSı ÖO d8%

O

(5)

fi@) = ba 6a n

Nun entwickeln wir den Quotienten f,:f nach fallenden Potenzen der

Variablen z in eine Reihe

( (z)

(6)

f()

O aıa O a A A

hierbei wird C„_12 " das- erste‘ nicht . verschwindende Glied sein

Wir setzen die Entwickelung

nach fallenden Potenzen übrigens nur

so weit fort, als sie jeweils gebraucht wird, und fügen dann das Rest-

glied hinzu

Dadurch gehen wir der Frage nach Convergenz oder

Divergenz, die bei einer unendlichen Reihe auftreten würde

aus dem

Wege

Um die Aufgabe des vorigen Paragraphen zu lösen, nehmen wir

V (2) = 098 + &,

1 + &12 + 0&

(v <m),

setzen dann fest, dass D(z) die in (P(2)f,(2)):f(2) enthaltene ganze

Funetion seim soll

und suchen weiter die x so zu bestimmen, dass

die Function

21-J f1

— F

bei der Entwickelung nach fallenden Potenzen von z erst mit 2-0+J

oder einer noch späteren Potenz beginnt

Denn dann ist wegen

AL TE N

DA

die Forderung (3) erfüllt

In

(a + a 1ı + r) (a + G,

ET

‘)

stımmen die Glieder mit negativen Exponenten von 2 mit denjenigen

der Entwickelung von /: f überein

Folglich sind die Gleichungen

(

O T T 6&

=0,

(7)

c1 &,

+CZC(‚__1+ +C„+1C(O———O

Ü1—1“)+01051——] + +C21—l0(0'—0

zu erfüllen

Zur Abkürzung setzen wir hier und im Folgenden

(8)

Co41 S | 40

(p,q=0,1,2

)

77

Reihenentwicklung einer rationalen Function.

und machen zunächst die Voraussetzung, dass 0, +0 sei. Dann wird

bis auf einen constanten Facetor, der bei allen « gemeinsam auftritt,

%

Cr

(9)

und die gesuchte Funetion wird gleichfalls bis auf diesen Factor

©& C

EL

Il

R

Cy

Z

(9°)

D — D =

C ©

Cy C„+1 9

SC O

$ 74. Durch (9®) wird dann sofort auch ©® und / bestimmt

Aber schon hier kann

sein, wie in $ 78 noch gezeigt werden soll.

man beweisen, dass diese zusammengehörigen Functionen ,

®, F keinen gemeinsamen Theiler, dessen Grad ın z höher

Wäre nämlich

als Null ist, besitzen.

Y — 'lp(°) .u}

GD OO0

IM 0O

so würden ohne Aenderung der Grade der Functionen, der Gleichung (2)

auch die Functionen

On

BO.w E

@

genügen, sobald nur [u]= [v] ist.

Dann wären also die x), &,,

nicht ihren Verhältnissen nach eindeutig bestimmt; und dies könnte

nur eintreten, wenn in (7) sämmtliche aus den c zu bildenden Deter-

minanten der '° Ordnung verschwinden.

Das widerspricht der ge-

machten Voraussetzung U, + 0, und daher kann w nur eine Constante

sein, wenn Y®, d®, FO relativ prım sind. Daraus folgt weiter:

Hs können endeutige Lösungen (0) aur ün 2

M,

‚- bestehen, wenn dies die Ordnungszahlen derjenigen

Determinanten der Reihe

Cl7

O,

Cr

sind, welche von Null verschiedene Werthe haben.

Bis auf

constante Factoren stimmen daher

D,

4

B,

nı?

U

N3ı)?

mit den in der yorigen Vorlesung durch Division gefundenen

Functionen

ı>

,

5

überein.

$ 75. Liegt der Grad v einer zu bestimmenden Funetion V,

also zwischen zwei %,, so ist die Lösung der Aufgabe aus $& 72 nur

in der Form

D 0, 0 9.0, Hfn O

möglich, wobei für die Gradzahlen die Gleichung

78

Siebente Vorlesung $ 75—77.

[F] = [0] + [%:] = [0] + m =w

gelten wird. Dabei muss gleichzeitig

[F] 5 [®] + [ﬁ+l] Ha [®] + WE U

werden, und aus der Bedingung (3) folgt dann

P O A Z

2[@] < (%1+1 Gr 121) — 1.

Dies zeigt, dass

2 2 Er [F]=wv< ZH‘_123

ıst

Ks giebt also nicht für jeden vorgeschriebenen Grad v eine

Lösung der Aufgabe des $ 72, sondern nur für diejenigen Werthe von

v, die entweder mit einem der n; zusammenfallen, oder die von dem

nächstkleineren »; um weniger als die halbe Differenz

; ()Z‚1+1 — 722)

entfernt sind. Die allgemeinste an Stelle von Yder Glezchunegi@)

genügende Function v Grades ist hiernach eine beliebige

D7

durch ® theilbare ganze Function, für welche der Grad des

Quotienten kleiner als jeder der beiden Abstände der Zahl v

von den beiden Grenzen (n; — 1) und nz41 ist, zwischen denen

gie ıer

Bei den Veränderungen, welche die Funetionen F erfahren, während

die Zahl v nach einander die Werthe 1, 2, 3, ... durchläuft, markiren

die Zahlen %, die Anfangspunkte der wesentlich verschiedenen Inter-

valle. Für das ganze Intervall von v =n;, bis ’= nı+ı — 1 ist %,

der grösste gemeinsame Theiler aller zugehörigen Funetionen; der

andere Factor ist eine beliebige Funetion eines bestimmten Grades,

der für v= n gleich Null ist, mit wachsendem v bis zur Mitte des

Intervalls gleichmässig steigt, alsdann aber gleichmässig abnimmt und

also am Ende des Intervalls bei v =Nı+1 —1 den Werth Null

wiedererlangt*).

$ 76. Wir wollen jetzt v =n”; annehmen und die @x aus (&)

bestimmt denken.

Die Gleichungen (7) können wir als Recursions-

formeln für die c auffassen.

Ist ı41 >nı + 1, dann reicht die Gül-

tigkeit derselben noch weiter.

Nur

um den Beweis einfacher zu

schreiben, wollen wir das an einem Beispiele zeigen, durch welches

aber der allgemeine Satz augenscheinlich wird. Es sei

©

*) Kronecker: Elimination ei-ner Variablen aus zwei algebraischen

Gleichungen,

Berl, Ber. 1881. Juni.

Reihenentwickelung einer rationalen Function.

©

C902 A 610y - Ca &o

0

7

C& C

2

’

(& + ©)6

0y Ar C0 A &c - 0r

06

wir setzen

0209 F 030y A Ca%g —. Y4)

C302 { C1%, F 6500 = V67

Ist auch © — 00 Koler

©& C

C

| C Cı C

(64

0056

——

CCC

©

2

—_

0,

0

Ca C3 Cy

00777

é"‘=’}"4

|

so dass y = 0 wird.

Ist weiter auch C, = 0, danmn folgt ebenso

|

| 6 G G

C

|

äc„ CCC

SC 265

Cy

C Ca C3 Cr

[24

N

7)2 CZ

0,

LO CO

000

1C3 C4 05 C6 |

OO?J?()

i\

so/ dass 7 = 0 wand:

Ist dagegen jetzt C +0, so erkennt man

ebenso, dass v; von Null verschieden sein muss.

So haben wir den

Satz

bewiesen:

IS u

SO gieht es

genau (nz+1 — 1)

Gleichungen

(7*) Yo+rr=C 0 v F C410 —1 F Co+r00=0 (0=0, 1, - (Mm41—2)),

bei denen die w die Coefficienten yon

W(e) = P()= 4 Ea ı. Fa,

(&g + 0)

Sınmd. Wermittels dıeser Kecursıonstormeln (*) Können 0,

Cnz 419

Cnı na 32 BUS Co, Cr

4C 27 berechnet werden: on

einer gewissen unteren Grenze an, die durch das höchste n,

bestimmt wird, gilt die Recursionsreihe beliebig weit.

Die oben angewendete Determinantenumformung zeigt zugleich

2

da ja Cn =+0, Cn N +0 ist, während die zwischenliegenden , ver-

schwinden, dass

M ( —1)

(10)

U

©

C pl — G

Y

VE

s

wird. Durch (9) ergiebt sich hieraus

D

‚EBn E

0 0O

U

%A

7L)+

B

n;_+l+n;_—l

(u= nı+1 — N)-

8 77

Die Resultate aus $ 75 sind nicht direct aus dem vor-

gelegten Gleichungssysteme (7) abgeleitet.

Nach den Betrachtungen

über die Gültigkeit der Recursionsformeln ist es aber leicht, diese

Lücke auszufüllen.

Wir wollen dies an dem folgenden Beispiele

80

Siebente Vorlesung 8 77.

blicken zu lassen.

zeigen, welches allgemein genug ist, um den allgemeinen Fall über-

Es sei

C +0,

C

O

CG=O;

A

OD

Dann kann man nach dem vorigen Paragraphen die Gleichungen

U OO U= 0

A OO OD = 0,

Q OD a O,

Q Sr 0S E,

(w 4 0)

E r O0 SE E= 0

C GU HUU =Z0

befriedigen, und dabei wird unter Beibehaltung der Bezeichnung 7, 7,

D O A OD Z E

KEs sei v = 5 vorgelegt; dann wäre (vgl. (7)) das Gleichungssystem

zu lösen

Q n A G a A O,

G 05 7 6a04 P{ C305 - Cı% F 0 + G = 0,

Ca fn C504 A C403 A 0502 { 060 F 0, = 0,

Cg 5 A C404 A 650g - C6& + Cr F CX = 0,

C{ 05 { C504 A 060e I O70n A 650 F 00 = 0!

Multiplicirt man jede der drei letzten Gleichungen mit w und

addırt jedesmal die vorhergehende mit v und die zweitvorhergehende

mit w multiplieirte dazu, so wird die umgewandelte dritte der Gleich-

ungen identisch erfüllt; die vierte geht in v;«,= 0, und die letzte

in 75& + 79% = 0 über. Aus diesen Resultaten folgt xn = 0, «x, =0,

und so erkennen wir, dass eine Function fünften Grades, die der Auf-

gabe genügt, nicht besteht; es tritt für sie, wie dies in $ 75 gezeigt

wurde, eine Funetion dritten Grades ein, für welche die Forderungen

Cods Ar C1%4 T Ca&g F @; = 0,

C, &5 F C204 + 030g F C4&a = 0

zu erfüllen sind. Es folgt aus den Gleichungen, durch welche w, v

?

u

definirt werden, für ganz willkürliche p, q

( + 60 + @wW)g + (6,u + @v + w)p= 0,

(c,uU + 60 + 06W)qg + (@uU + @V + 4w)p=0,

Ö0 a

co(ug) + c (vg + up) + @ (wg A vp) + 6 (wp) = 0,

c(u9) + 609 + up) + 6 (wg + vp) + a (wp) = 0,

und also wird ganz allgemein, da die nothwendige Zahl der willkürlichen

Constanten vorhanden ist,

O

& = WG + vp,

&, = 0g + up,

d =UG;

D — wpe? + (wg + vp)& + (vg + up)z + ug

= (p2 + g) (w#* + v2 + u).

Reihenentwickelung einer rationalen Function.

81

Dies stimmt mit den Sätzen des $ 75 überein, da ja der Factor

zweiten Grades das zu v =2 gehörige F ist. Man sieht, dass unsere

Ueberlegungen im allgemeinen Falle gar keine Aenderungen fordern,

und so haben wir auch auf direetem Wege die früheren Resultate

wieder hergeleitet.

$ 78.

Für Y hatten wir die Lösung

/

OO 2

(9*)

P=aU +a 7i F &y

=—

OO

gefunden. Es könnte rechts noch ein beliebiger constanter Factor an-

gefügt werden.

Das zugehörige ©& wird von hier aus durch die Be-

merkung bestimmt, dass

I

(

—DA a ( e

f

&

n

enthalten darf. Somit ist

nur negative Potenzen von

B = A e + n) ( F a) F F pı Co,

und man bekommt D aus , wenn man in der Gleichung (9°) 7,

Z

“

a

v«l)

Z, 1 durch die hier auftretenden Factoren von &,, &,,

Xy:—1, &, entsprechend ersetzt.

KEs ıst demnach

(12a) D= ] Cay Ca-+17

Z TE

@012270

Man erkennt ohne Weiteres die folgenden Umformungen von (9*) und

(12*), die auf den einfachsten Determinantensätzen beruhen,

©)

UD

—

| 26p-+9 — Gp+a+ 1

(p7 dı—= O; 17 An (” 7Er 1));

C

Cy= i

D

]

©

BCy Cr

CC

12°

Cl D

OcE y

Aus diesen Gleichungen erhalten wir wegen Vf, — Of — F die

Darstellung

fı

(

Cy—1

|

_F= cof

2697 Cr

OE C

\

(1

)

cv—1f Blg Z ZCh

GCay—2 — Cay—ı

Für F werden wir noch einen anderen Ausdruck herleiten, um

bequem das höchste Glied dieser Funetion bestimmen zu können.

Dabei wollen wir die Bezeichnung aus (7%), nämlich

y9+1’ Er CQ“V + Cg—l—l“r—1_ + RA + Cg+vao

Netto, Algebra. I.

82

Siebente Vorlesung &8 78,

benutzen und stellen, wieder durch die Vergleichung mit (9*), die

Determinantenform der / fest:

D

Cy—1

C

f

C C

C,

Coabi

(

VE

| Cy Cy+1

Cay—ı Cy+v \

Vom Ausdrucke (11) wissen wir, dass er lediglich Glieder mit

negativen Kxponenten von z enthält. Diese liefern zusammengefasst

00 1,

25—9_1(“v00 - @— 16041 47 A A900+4+9) =22_9—19’@+1'

@=0y1...

>

——

<

a—0o0—1

Z

Yo+v

OC

),

(

weil ja nach $ 76 die Gleichungen

er 07 M i O;

7‚/+„;_+1—2 =0

(v=n)

gelten. Wenn wir der bequemeren Schreibart wegen

—

—

Nı = V,

Nı+1

1}/

setzen, dann wird sonach der Complex negativer Potenzen in (11) gleich

Z

V

S

7=0,1,---

Nı s CD ij‘— — ®), und, also, falls man

(5)

/'= d0;’3" + alzn—l + a22n—2 _+_

4 d

schreibt,

J= f n

7=0,1,--

— Yrk wla

+ ( Zn—r’——l +

A d

(18°)

T o

(a02"_' —1 + @ Zn—r'—2 +

+ afn—v’—l)

+ Maa (aozn———r'—-2+ ap„:n—i"—3 +

.

n

+

yl

7'—2(.“02.""‘al)T + ?’l.t+1'-—l.' a0

Die einzelnen Klammern brauchten hier nicht weiter fortgesetzt zu

werden, da Ja doch / keine negatıyen Potenzen von z enthält.

Die

Function X# steigt bıs zum Grade (n — nı+ı) auf, und ihr

höchster Coefficient ıst

]

|

C

CnÄ—l

CRa

(14)

]

|

I

a()?’n;_-{—«nx_,_l——l Z&

Cnz

C2n;_—1 C"Ä+"Ä+l_l ‘

Reihenentwickelung einer rationalen Funetion.

83

Die Function / selbst hat die Form

(1

C

CO f((l)

DE

S

(8) =

© —Y

cnz cn;_—‘‚—l

Canz—1 Z©z,ﬁ—e—l F©

wobei die @© durch die Gleichungen

CZ UE An—0

definirt werden.

Dies Letzte ergiebt sich sofort, wenn man die

Determinanten (7”) in die Form (13*) von / einträgt.

Die drei Funetionen F, D, F unterscheiden sich von

U, Or, f1+ 1

nur durch constante Factoren, so dass man

w,C,

== G),1W,

(D CV7L)_

=CÜ)„®;

f}.+lcvnl

= @,F,

=m;.+xF,

1P2+107z;_+1= ml+l.llj‘/; @1+10n;_+1 —— ml+l®’‚ fÄ+2O

A

setzen kann, wobei , ... die entsprechend für v = ı.11 gebildeten

Functionen sind. Man hat demnach

Har Oaı O

©

nı 1

= @©7 601+1F7:p,.

Nach $ 66 ist der höchste Coefficient von fz4ıw241 gleich demjenigen

von /, also gleich a,, und danach erhält man aus der letzten Gleichung

durch Gleichsetzung der höchsten Coefficienten rechts und links unter

Berücksichtigung von (14) und (9)

(ln

Ca

Ul

AAn O m?.+l”o?nz+n;_+l—l ı1

und

A

A O HE =

Ynz inı nı

|

O“ U=0, 11

(15)

C h_

|

O ||

’Ä=O‚ 1‚-'-’}’l‚1—1‚71;_+1-—-1

(

k=0,1,-.. m;

>.

Nimmt man hierzu den aus %, C,, = w‚ zu erschliessenden Werth

von w,, dann lassen sich durch (15) die @ der Reihe nach bestimmen.

Aus w,C., = w, F geht zunächst hervor, dass @, gleich dem höchsten

Coefficienten von &, d. h. nach $ 62, (5) gleich dem von 9ı und

also bei

(5)

f] (Z) P b02"_"1 + b12"—"1_1 + A + b„_„l

gleich (ay:&9) ist. Damit haben wir die geforderte Bestimmung durch

OS

Ö

Vollendet.

6*

84

Siebente Vorlesung $ 79.

$ 79. Nach den abgeleiteten Resultaten erscheint ‚es wünschens-

werth, zunächst die expliciten Ausdrücke der c, durch die @, und dıe D,

und' dann die expliciten Ausdrücke der %, ®, F gleichfalls durch die

a, und die b, herzustellen. Wir setzen zu dem Zwecke vorübergehend

(Co0m {Ar A G na ()

B Ba

so dass zwischen den ß und den Coefficienten b _von f, die Beziehungen

bestehen, dass

Ö

ß’h)

bn——7zl E ß11——1

wird, während man gleichzeitig

0 ß1=0‚ 3 0

hat

Vermöge der Definition der ß folgt

(16)

UE R OD

(az=0 für 1>n; b.=0 für u <0 und u > n — nj).

Die leicht zu berechnenden Anfangswerthe für die ß, geben

!

( Al la

| &o Cr

!

AAy = ßo,

Ag C

?

96 =|0 An 4 |;

4 BB

fßo Bı Ba

man erkennt durch strenge Induction, wenn man die Determinante nach

den Elementen der letzten Spalte entwickelt,

Ay dr

Av

|

0 Q Auı

(17)

ar =

H

B Bı

ß

|

und daraus, indem man von den ß zu den Ö zuriiékgeht‚

Ay Ar

Ay-+1—n,

0Q

Qnr

(17°)

0 O

O7 —"1+2c S l

A,

00

bv—l—l--—nj

Hiermit wäre der ersten Forderung genügt. — Um die Determinanten

für %, &, F umzuwandeln, verfahren wir folgendermassen: Aus (9*)

erhält man unter Berücksichtigung von (16)

Reihenentwickelung einer rationalen Function.

85

1/(v-hl)

G

a =

Cy Cr+ %

(

a21/

(

Z 1

G C

—

0

AAy A, A

A2v—1 Oi

|

l1

o

ı

A

0

© @ O,

2 0

.0 Ö Ol 1

0

A9

@OO

Cy—1

Cy

Cay—1

Z‘

00

o

D

Av— 1

00 C

CZ

Cavy—2

000

©&

Cy—1

@ A, A

Azv— 1 O

Z

a2r—nl

O

A2v—2 0

LO G

a21'——1„—1 O

|

000

AAy

©

n

AAy

360

Da

5050

b2v—n‚

—1

/0 ßo ßl

ß2v——2 Zv_1

O

b11—m—1

;

000

ßl‘—l

Il

100

Dn

und gelangt daher zu

v(v—+1)

OC

(L(2’1'—n.1+1 z

Q

A27 S

0 &%

)1—111——10

(v-+1-—n, Zeilen)

47

}

/

b21 —O

Z

O0

b2v—nz

1G

pvy— 1

4

|

(v + 1 Zeilen);

Oynı

'

ebenso ergiebt sich

v(v—1)

9 ( D “ ‘a%"_"l+l(l):_—_ C

A2 Y—nı

Z

V—n,

DV

Nı

1

0

a21——n1

S

(v + 1—'n1 Zeilen)

0

AAy

z

b21—11l

ä0

b21—n,—10

| (v-+1 Zeilen).

|

010

v—n,

86

Siebente Vorlesung 8& 79.

Achte Vorlesung $ 80—81.

Durch Combination von (18) und (19) erhalten wir nach (2)

r(v-+1)

2

(20)

C0

aM Fa a

A3vy—n

Vr f

DV

2ı

0 %

021—nl

zr O

l

(v+1—n, Zeilen)

Ar

O

,

b21’-——)11

Z‘I

.

06

O

M

]

. .

} l(1/ +1 Zeilen),

10.0

D

D

und aus (18), da der Coefficient von z” in %F wegen (9) gleich C, ist,

v(v—1)

(21)

(—1)

2

a ua = aa

a2r—n‚—l ]

0

a21'—;„——2 1

|

‚ (v—n, Zeilen)

Q

il

‘

b21'—m—1 ‘

i

,

b2i‘—ni—z |

l (v Zeilen).

00

ll}r— Nı

In den Formeln der beiden letzten Seiten ist jedes @, dessen Index

grösser wird als » und jedes b, dessen Index grösser wird als (n—n),

durch Null zu ersetzen.

Achte Vorlesung.

Recurrirende Reihen.

$ 80. Für die in der vorigen Vorlesung behandelte Reihe

(1)

er aar + Qr teı +Fagt7ıhzıt...

haben wir in $ 76, (7°) abbrechende Recursionsformeln zwischen den

Coefficienten und in $ 79, (16) eine bis ins Unendliche hin gültige

Recursionsformel

@2)

AyCa 4in x Anı E a = 0

(”=O; ]72; )

kennen gelernt. Besteht für eine Reihe von der Form (1) eine solche

Formel (2), so wird diese unendliche Reihe als eine recurrirende

Reihe bezeichnet.

Wir wollen diese Art von unendlichen Reihen

jetzt betrachten und zunächst voraussetzen,

dass wir

nur solche

Werthe für die Variable z annehmen, für welche die Reihen convergiren;

Recurrirende Reihen

87

über den Bereich der Convergenz werden wır bald ıns Klare kommen

Wir hätten, wie bisher, so auch hier nur endliche Reihen nebst ıhrem

Restgliede zu untersuchen brauchen, allein die Bequemlichkeit der Dar

stellung ist für die unendlich ausgedehnten Reihen grösser

Es sei also die unendliche Reihe, welche nach absteigenden Po-

tenzen von Z fortschreitet,

(3) @(@)=

dAk‚ä'1 + @e L+1Zk

d da dr

AF d © A

so beschaffen, dass für jedes «, welches grösser als die feste Zahl m

ist, die lineare homogene Gleichung

(4)

daQ A da 19ı F da —292 A A da=ndn 0

C

In +0)

zwischen den (n + 1) auf einander folgenden Coefficienten dy, de—ı,

dx—n gilt, ıin welcher die q constante Werthe besıtzen

Für x= m

soll die Gleichung noch nicht gelten

Unter diesen Voraussetzungen

heisst die Reihe (3) eine recurrırende Reihe n Ordnung

Wenn wir nun @(z) mit der ganzen Function n'°" Grades

(5)

h(2) = y A H E In 18 + GQn

multipliciren, so ergiebt sich das Product

@(e) h(e) =

(daQ + da—19ı F

+ dcr—n9n)

a=-—k, —k+1

worin alle d, deren Index negativ und kleiner als (—k%) ist, gleich

Null gesetzt werden müssen

Infolge unserer Voraussetzung über die

Gültigkeit von (4) wird diese Summe mit dem Gliede z”-" abbrechen

wır können setzen

m

(6) w(e).h(e)=& * L L e

—

LA m

(€ m+ + e zm+k——l + +€m+x) Z

(?)

und erhalten also

7l 771

(2)

d

g.(2)

(7)

D(Ö)=

h (z)

Z

z "h( )

d. h. jede recurrirende Reihe n Ordnung stimmt mit der

Entwickelung eines rationalen Bruches nach fallenden Po-

tenzen der Variablen überein. Dabei ist der Nenner (bis auf

eine bei n <m auftretende Potenz 2"— ”) eine ganze Function

n Grades, die für z= 0 nicht verschwindet.

$ 81

Wird umgekehrt eine ganz allgemeine, rationale Func-

tıon von Z

91 (2)

0 007 0)

” - B()

88

Achte Vorlesung 8 81—83,

nach fallenden Potenzen der Variablen in eine Reihe entwickelt

Z ON E EL S zln O

und nehmen wir an, h(g2) besitze die Form (5) und g,(z) sei vom

Grade , so muss das Product

(ä—l.—;’k A Z ön + Ö‘1 278 + )ZI ((I()zn+91z7l—l + + ÜLE an

eine ganze Function vom Grade £ werden, und also erstens 4 +r +n=t

und zweitens

Ö\cr']() + öu—l._([1 + öa—292 + Bn + öa——nqn =0

für alle Werthe

a«=n+r+M1,

n+r+2,

n+r+3,

sein. Entwickelt man also eine gebrochene rationale Func-

tion, deren Nenner bis auf eine Potenz z gleich einer für

2=0 nicht verschwindenden Funetion n“ Grades s nach

abnehmenden Potenzen der Variablen, so entsteht eine re-

currirende Reihe n Ordnung.

$ 82. Die Existenz einer Recursionsformel (4) schliesst die von

anderen Recursionsformeln für dieselbe Reihe (3) nicht aus. In der

That, da ja mit

g.(@)

g(2) 0 @)

@ (g) =

auch _ o()=

AA

h (2)

u(?) O(z)

ist, wobei wir unter @(z) eine beliebige ganze Funetion irgend welchen

Grades

@(5) = z U’()Zr + Pn + P")

(p + 0)

verstehen, so gelten neben (4) auch Recursionsformeln (v + n)* Ord-

nung von der Gestalt

d“° (2%’]0) + d“—‘1 (I)OQ1 + 2)1 QO) + D + da—u——r+l (Pr—lQn. +PML;—1)

+ drx——n——v 4 (P1/Q7L) 0

Ist (4) die Recursionsformel niedrigster Ordnung für (3),

so kann der Bruch, dessen Entwickelung (3) liefert,

@)

(7)

O(£) —

Z}

abgesehen von Potenzen

D

Dr

der Variablen, nicht gehoben

werden. Denn nach den eben auseinandergesetzten Eigenschaften re-

currirender Reihen würde dem gekürzten Bruche eine Recursionsformel

von noch niederer Ordnung zukommen.

&.88

Damit die erste der Formeln (4), nämlich. die für

« = (m + 1), also

dm+lQo + qul + + d7n+1——ern= 0

auch die Anfangsglieder der Reihe (3) also jedenfalls d_, umfasse,

Recurrirende Reihen

89

muss (m +1—n)< — k, (m + k) < (n — 1), und also, wie man

abgesehen

aus (6) ersieht, der Zähler des zu entwickelnden Bruches

von einer Potenz 7/”, von geringerem Grade als der Nenner sein

und das reicht auch dafür aus

Bei der Entwickelung eines Bruches,

beı dem der Grad des Nenners um eins grösser ist, als der des Zählers

C(}

+e?77‚—2+ +„ 1

(8)

V

1 d 27 + dee7s +

gilt demnach die Reihe der Gleichungen

dn-|—190 + d dı

+ darı9 F + dm= 0

dn-2390 F An-aQı F dnQ

+

dgn =0

beliebig weit, und folglich werden aus der Determinantenreihe

d d d

d

1d2

(9)

|dy ]

de d dil

LOa

ü d d

alle auf

dr

(10)

1dd

\ da dnı

d2n——- il

folgenden verschwinden

Denn es sind ja alle

| de do+1

da-|-n—l [

(a Fa h1; hz;

0

mit beliebigen %,, ı,,

gleich Null, und daraus folgt die Richtigkeit

der Behauptung

Dieser Satz bleibt auch dann bestehen, wenn einige

der ersten e etwa &, €,,

c, verschwinden

Wenn umgekehrt bei der Entwickelung

CO e

von den Determinanten der Reihe (9) alle auf

RE 1 dh dh+l

dh+m——l ]

e 12

m)

folgenden glemh Null werden, während D, selbst noch nicht gleich

Null ist, dann ist die Reihe recurrirend von der m*en Ordnung und

gleich einer gebrochenen Funetion, deren Nenner vom Grade m ist, und

die sich nicht weiter heben lässt.

Denn in der That folgt aus

dm

\ d,

‚d

dm+l

—

Wa

©

0,

I

d2 m—1

‘ dm+l

d2m+l

dass das Gleichungssystem

dlzxm + dh 1%m —1 + + dh+mx() =0

z

m - 1

90

Achte Vorlesung 8 83—85,

von gemeinsamen Factoren aller x abgesehen ein einziges Lösungs-

system

m } m— 1

W m. Qm— 1

%

(qo + O)

besitzt, so dass also

D

d27rz+lQo + d2mgl + W + .dm+1 m :.O

wird. Aus dem Verschwinden der nächsten Determinante in (9) folgt

dann, wenn man

(.]2 "7'.+ 2.QO + .d2 lli+ 1.(l1 + .' S ; + dm_+ 2.9m .: .Ö\2 1'n +i2

setzt, genau wie im $ 76, dass

/

d

dm +2

dr

d7ll

78

dm—f— 1 drn+ 2

==

[

2m+2 Dm

dm +2

vA d‘2m+3 |

d7ll

d2 m— 1 d?m‚

do m +A1

0

0

0

ö2 m+

. ‘

O

0

öl m+2 62 m+3

Die Recursionsformel

und also auch 02„+2 verschwindet, u. s. w

gilt demnach ganz allgemein, und folglich nach $ 80 die Darstellung

von @(z) als gebrochene Funetion.

Wir können somit den Satz aus-

sprechen: Wenn in der Entwickelung von (8) für die Coeffi-

cienten von w(z) alle auf

dIIL

*

5

PF DI/L

(m <n)

1

!

3 (%m

d2m—l

folgenden Determinanten der Reihe(9) verschwinden, während

Da von Null verschieden ist, dann haben Zähler und Nenner

von (8) einen Factor vom Grade (n — m) gemeinsam, aber keinen

von höherem Grade.

$ 84. Dies Resultat können wir auf unsere in $ 74 aufgestellte

Kehe O CC

b iln

|

|

©

@C6

[&

Q O

’

C6

C C

Ca C3 Cr

anwenden.

Da hier

/ @)

O

O

an OC

G

wobei der Nenner vom Grade » und der Zähler vom Grade n — 1nı <n

ist, so muss in der Reihe der Determinanten jedenfalls

Recurrirende Reihen.

Ol

(

C„+1=O‚ Cn-|—2=O;

Z

sein, wie aus $ 81 folgt.

Die charakteristischen Bedingungen

dafür, dass f(z) und fi(z) als grössten gemeinsamen Theiler

eine Function v“ Grades besitzen, sind

(/171+1——1/ Z O; Cn+2—-—v Sn 0)

y=

$ 85.

Die einfachste recurrirende Reihe entsteht bei der Ent-

wickelung von

Diese heisst die geometrische Reibe;

a 1+T„

sie hat die Form

1

A,

1

3

a + ar

CZ

A

a

Cn

a

e

und convergirt für alle Werthe von z, für welche man hat

Q

12|>

al

C

d. h. für alle Werthe von z, deren absoluter Betrag grösser ist als

derjenige der Wurzel von

Wn ra —

Hieraus folgt, wenn man unseren Bruch in die m*® Potenz erhebt

und dann mit einer ganzen Function multiplieirt, dass auch die Ent-

wickelungen der Brüche

1

P (z)

(ap 8 - ay)” }

(a Z + au)”

nach abnehmenden Potenzen von Z für denselben Werthbereich con-

vergiren, wenn m eine beliebige ganze, positive Zahl bedeutet. Setzen

wir nun allgemein

MOS ET O

h(£) = (@ — a“ (& — Ba

} (5 '_Z")m";

(Xm — »)

und nach $ 71, (16)

g (@)

O, (2)

h(@)

Z

r Za)m“

U 27

dann können wir aus den eben erhaltenen Resultaten schliessen,

dass die Entwickelung nach abnehmenden Potenzen von

C

D

für alle Werthe z convergirt, deren absoluter Betrag die

absoluten Beträge

aller

Wurzeln

von

@ = 0

über-

en

92

Achte Vorlesung $& 86—87

S 86

Ist, nach fallenden Potenzen von z

D

entwickelt

g (2)

h (z)

D d

A E dg e

y (2)

S

n(

2)

E NN

?

g (2) n(%) + y (?) 7 (z)

a

h(2) n(£)

D D ED

wobei g und A, y und n keinen gemeinsamen Theiler haben sollen,

dann bilden die Coeffieienten

d

eine recurrirende Reihe [A]t°

Ordnung

Öa

”

”

”

L„,7 [t81

2

DE Z

”

”

7

[2] + [nl

22

Addirt man die entsprechenden Glieder d, und Öx (oder auch

allgemeiner d und 0„,+x% bei festem Index %) zweier recur-

rirender Reihen, so bilden die entstehenden Summen eine

neue recurrırende Reihe, deren Ordnung im Allgemeinen gleich

der Summe der Ordnungen der beiden ersten ist

Wenn umgekehrt eine recurrirende Reihe

B E DD ED

u<

SC

+

der Entwickelung einer Funetion entstammt

deren Nenner das Pro-

duct zweier rationalen Funetionen A(z) und n(z) ist, die zu einander

theilerfremd ist, dann kann die recurrirende Reihe als Summe zweier

anderen. aufgefasst werden, deren Recursionsgesetze von hı(z) bez. von

(z) abhängen

&$ 87

Wir wollen jetzt, im Anschlusse an die Formel (4), nach

der Darstellung der d„ durch d,,

A fragen

Der bequemeren

Bezeichnung halber schreiben wir aber in dieser Recursionsformel

Q = — 1 und nehmen also

(4 ) da = O + da—z_(l) + + da—«nQ:z

C Z n

)

Hieraus erhält man der Reihe nach die Ausdrücke

d

— An— 1Qı Fı dn— 292 F Hd 04n >

(12)d + = dn (Q1 H d2) + dn 2(!ll o Q) 4

SA ( Oa) A l

d„+z—d„_1(ql +2qlqz+qg)+d —2(91 qz+qlq3+qg +q‚)+

und kann allgemem bezewhnen

(13)

(7;—d

Q(n——-l) + d

QeD A + d @O

Die zu lösende Aufgabe besteht in der Berechnung der Grössen Q

®

o

Recurrirende Reihen

©

I

Setzt man in der ersten Gleichung von (12) d, = 1 und’alle anderen

e

dn—1 gleich. 0, so erhalt E d E Oa =

Q@;

dann folgt

bei

dmselben Annahme über die Anfangsglieder aus der zweiten

Gleichung von (12) OE E Q

(A)

17

aus der dritten

dp+2= Q

(2)

(

sınd

also auch

n + 27

u. s. w. Die Grössen Q

der Formelreihe (4*) unterworfen

Soeben sahen wir dabei, dass zuerst

für die Anfangsglieder die Gleichungsreihe

Q (A

Cr Qn—h ’

Q(h

* QI Q(h + Qn+1—h,

(%)

d

Q(/»)

__91Q

n+1

A O E d a

(/1

Q

n+h

Ar 91 7‚+h_1 + Q2 Q

n+h—2

(4)

+ + In Q A Gn

und von nun ab die Formel (4°) in der Gestalt

(15)

Q

n+k

()

—91Q

n+k—1

h)

L E

(k>h)

gilt, wobei jetzt alle q„, deren Index 2 grösser als x ist, gleich Null

gesetzt werden müssen

Um die Q zu bestimmen, setzen wir die Borchardt’sche er-

zeugende Idunct10n an

/ (w)

@40

(X)

n+1

u + QW_ . u? +

dann folgt unter Benutzung der eben aufgestellten Recursionsformeln

(14) und (15

(A)

(wW) (L — qı — qyU? —

— AIn un) L Q(h) + (Q

n+1

— q Q0)u

+ Q — UQ — A QOWA

(A)

h)

©

n-+h

_91Q

n-+h—1

— G Q(h)) ul

e E S Ol

und also die Darstellung

W + qn+l—h“ + qn—l—2—h“ +

+ q W

©

l —00 = B

...._qn

Hieraus erkennt man ähnlich wie oben; vel. auch S 89, dass die

bisherige formale Ableitung auch für einen gewissen Werthebereich

des w wirklich convergirt.

Es kommt noch darauf an, die jetzt gefundene Form für f (w) in

eine nach wachsenden Potenzen von w fortschreitende Reihe zu ent-

wickeln.

Der Coefficient von u“ in dieser Reihe liefert dann die

Grösse QW

Da aber nach dem polynomischen Lehrsatze

94

Achte Vorlesung $ 87—89

As

8

— z U —

_q„u‚

2+ +P)'

_1+2(1)1+.p

2

q qB2 + qn Pı Y VE

ist, wobei die Summe über Null und alle

p051t1ve11 Werthe von ,,

V

erstreckt werden muss, für welche p, + p + - O S0 ,

so gewinnt man das Resultat

6 ©

(4)

n-+k

Iı D + mpıa D —DA +n —

Dabei bedeutet E © Z und E (k) wird für jedes positive

ganze X durch

p1 +m_+ +p X

M O

Yı Dalse

P

q]’1 qP

ö gen, (Dı 20 + nDn=k)

definirt

Die Formel (16) g

gestaltet sich im Falle }A = 0 besonders

einfach, nämlich

(18)

Q

n+k

=> In D' ().

aus

$ 88. Geht man bei der Iterirung von d, = dr_19, +

so erhält man

(19)

de+1

Q

(n —

D drl—1 + Q

n—")d

Z

K

S

wählt man dagegen d,+1 = d, Qı * da 1Q +

zum Ausgangspunkte

so findet man

a OD O

i + QO-d

(20)

on Q(n_l)(% "—1+Q2 dn—2+ + Gn 0)+ Q a 1+ + Q<O) d,

s (Q(n——l) 91

Q(n—")) dn—1 + (Q(n—l

@0 Ya a

und die Vergleichung der beiden Ausdrücke (19) und (20) Lefert

uns dann

(n—1) —

k

1

Q(n 1) gı + Q("_°)‚

Q(ﬂ—2) — Q(n—l) d + Q(ﬂ—3)

(21)

Q(U)

A Q(n—l) Q

Das letzte Resultat giebt durch Zusammenstellung mit (18)

(22)

DE,

und daher ist, wenn man in (16) für % den Werth (% — 1) setzt

(23)2(1» +1D)= %ZU») + 92Z(7° E E g„2(l„ AB

Aus (21) entnehmen wir ferner der Reihe nach die Werthe für die Q

mit abnehmenden oberen Indices, indem wir dabei (22) als Ausgangs-

formel benutzen

Recurrirende Reihen.

- C

&E

Q

(

9 QP= YO+Y-aX@+2) Z q > +_1>.‚

Die letztéan .Fo.rm.eln. li.efe.rn‘fü;‘ äie .Be;rec;hn.ung d.er‘Qg".'> mit hohem

oberen Index bequemere Methoden als die Formeln (16).

Aus (23) kann man noch den Determinantensatz

—1

2(k — n)

! .

@

=—

==

0

(k> 2n)

S0

ablesen. (23) zeigt offenbar, dass auch die durch (17) definirten

E (k) einer recurrirenden Reihe angehören.

Die hier soeben behandelte Aufgabe ist uns in anderer Form

schon früher begegnet. Aus dem Umstande, dass x, eine Wurzel der

Gleichung

a — Oa a n E =0

ist, folgt nach einander

m

AT O

W = @- T O a Ca

}

Ü ( Q a — (

O0 O E

?

und die Coefficienten der Potenzen @"—1, am—?,

auf der rechten

Seite folgen einem ähnlichen Bildungsgesetze wie die Coefficienten

im (13). Die Aenderung, der wir die aus den qg gebildeten Coeffi-

cienten unterwerfen müssen, um auf die aus den c gebildeten zu

kommen, beruht nur darin, dass alle Glieder, deren Factorenzahl gerade

ist, das entgegengesetzte Vorzeichen von denjenigen erhalten, deren

Factorenanzahl ungerade ist. (VellL S 10L)

$ 89. Setzen wir in den Betrachtungen der Paragraphen S0—86

E& für z en so Jassenm sıch alle unsere Resultate sofornt auf Reihen

ausdehnen, die statt nach fallenden nach steigenden Potenzen von €&

fortschreiten. Die Werthe, für welche hier Convergenz eintritt, sind

die, deren absoluter Betrag kleiner ist, als die absoluten Beträge

sämmtlicher Wurzelpunkte des Nenners;

kommen negative Potenzen

von 5& in endlicher Anzahl vor,

SO muss man natürlich von dem

Werthe £= 0 Abstand nehmen.

Die Betrachtungen des Paragraphen 87 haben übrigens bereits

auf derartige Reihen geführt, als es sich um die Aufstellung der

erzeugenden Function f(w) handelte. Vgl. auch die Anmerkung auf S. 2.

3A

96

Neunte Vorlesung $ 90—91.

Neunte Vorlesung.

Die symmetrischen Functionen.

Bedeuten z

8 90.

17 %97

Zn Willkürliche Grössen, und setzen wir

@ (Z—Zl)(z_z-z)'

(Z _2„) RN OEn CIZ7L—I _+_ CgZ7Z_2

OE

dann charakterisiren sich die 2; als Wurzeln und die c als Coeffi-

cienten der Gleichung

(2)

f@= Zn E C L =0.

D

D

Durch die Gleichsetzung der Potenzen von

mit gleichen Exponenten

links und rechts in der Gleichung (1) ergiebt sich

z

+

+"'+ZVL—I+Z/L

cl7

E An

C

(3)

R1 898g

+ Y + Bn—2 En —1 Zn

Ca

—

Ba Bn

Cn ’

und dadurch wird der Zusammenhang zwischen den Coefficienten und

den Wurzeln jeder algebraischen Gleichung (2) vermittelt, bei der die

höchste Potenz des Gleichungspolynoms 1 als Coefficienten hat. Wüäre

das nicht der Fall, und hiesse das erste Glied c,z", so müssten die

rechten Seiten in (3) noch sämmtlich durch c, dividirt werden.

Kine wichtige Kigenschaft der Functionen auf den linken Seiten

in (3) beruht darin, dass sie sich nicht ändern, wenn man die z2,,

n

beliebig iıhre Plätze tauschen lässt, oder mit anderen Worten, wenn

man an Stelle der Indices 1, 2, ...n eine beliebige Permutation der-

selben

hinschreibt.

Nennen wir den Uebergang von einer solchen

Anordnung der 2,, %,

E&

2

„ Zzu irgend einer anderen eine Substitu-

tion, / und eine Kunectronk der 2n 1,

2„, welche bei jeder

Substitution ihrer Form nach ungeändert bleibt, eine sym-

metrische Function, so haben wir in den linken Seiten von (8)

symmetrische Funetionen.

Ihrer besonderen KEinfachheit halber sollen

sie als elementare symmetrische Functionen bezeichnet werden.

Aus dem Begriffe der symmetrischen Funetionen folgt, dass, wenn

der Complex

R SR

eines ihrer Glieder bildet, auch jeder andere Complex zu ihren Gliedern

gehört, welcher aus dem aufgeschriebenen durch Substitutionen der

unteren Indices unter

einander entsteht.

Diese Gesammtheit wollen

wir durch

Die symmetrischen Functionen,

OM

(4)

aS(@28 20

bezeichnen. Man sieht, dass jede ganze, symmetrische Funetion in eine

Anzahl derartiger eintypiger S zerfällt; durch jeden Ausdruck (4) ist

ein besonderer Typus von symmetrischen Functionen charakterisirt.

Die linken Seiten von (3) werden nach dieser Bezeichnung

S (‘?1) ?

S(Z, %),

S(2, % %),

1 S(2 2 2);

natürlıch können sıe aber auch

SC SC

S(Z„Zf;ß„)‚

geschrieben werden.

<

n

$ 91.

Die Summen gleich hoher Potenzen der

geben gleich-

falls besonders einfache symmetrische Funetionen.

Wir wollen sie

Potenzsummen nennen und bezeichnen

S(Zi) =%

C=)

Es ist jedes s als ganze, ganzzahlige Function der c,,

Cn

darstellbar.

Zum Beweise betrachten wir zuerst den Ausdruck

BT ET O

CZr

Wir wollen für den Augenblick die ganze Funetion

(2°)

1' (@)

‚C7'—Z„

= gl c(1x) Zn—2 + c(2x) zn—3 N OE i C£[z)_l

setzen. Dann ist, wie man sofort erkennt,

C

B + @9

]

C

D c(7) + c(/))

(

Z)

Cg

2. c F6

und daher

r @O2 +a

BG O E E

—

—((x

)

2c

und summirt man über x = 1,

M

n, so entsteht die Formel

®

S SE A d = ijc%>

4#=1

Aus (2*) ersehen wir, dass die c®, c®),

die elementaren,

symmetrischen Funetionen von 2,,

On —19 u17

222 sind. Daher

kommt jedes Glied auf der rechten Seite der letzten Gleichung auch

als Glied von c vor, und umgekehrt jedes Glied von cx in (n — «)

der Grössen c@; also ist die Summe rechts —

(n — «) Ca und wir

haben die Recursionsformel

J

<

(

)

Sa — Cı Sa—ı + G i Ca =.0

@ <Z2).

Netto, Algebra. I.

i

98

Neunte Vorlesung 8 91—92

Ferner folgt aus (1) durch Multiplication mit 2“—" für jedes z,

Z«_Clza—-l +622'a_‘)— +C„.Za—n—0

(& > n)

und durch Summation nach % die weitere Recursionsformel

(6)

SO SE SE

+ Cn Sa—n = O

@ Zu).

Die Formeln (5) und (6) beweisen den obigen Satz, da sie der

Reihe nachısı. S

aus 59 = n berechnen lehren. Sie wurden zuerst

von Newton aufgestellt und heissen nach ihm*).

Wir wollen sie auf eine andere Art nochmals ableiten.

Früher

$ 36, (4*) hatten wir

©

f

Z

Ba

Ca

+

f(@)

O,

und folgern daraus die Entwickelung nach fallenden Potenzen von 2

<

&.

——

C

Ara

[

)+(1+

+

)+

]

—.

Z

£

[

SA A R

rn

f

wobei das Restelied

Zı

M

Z9

M

} M

AAA

M

+

m—l(„

G zl)

Z

(Z en Za)

wird. Weiter ersehen wir hierdurch

Ng — x

CS D

— (g C 2n—1 + C Zn—2

N

multipliceirt man rechts aus und vergleicht die Coefficienten ent-

sprechender Potenzen von z, wobei zu beachten ist, dass links keine

dann erhält man wieder die

negatıyen Kxponenten vorkommen

beiden Reihen Newton’scher Formeln

S 92

Formeln von der Art (5) oder (6), mittels deren ein jedes

Sa durch frühere Sx_ ,

berechnet wird, geben recurrirende Dar-

stellungen. Ihnen gegenüber steht die independente Darstellung der

S« direct durch die c

KEine solche wollen wir jetzt ableiten

In (1) setzen wir

an die Stelle von z und multipliciren beide

Seiten mit z"; so entsteht

1—6828+62 —68 +

+a = (1 — 2,2)(1—228)

(1 — 248);

wir nehmen hiervon die Ableitung und dividiren sie durch die Funetion

* Newton: Arithmetica universalis p. 192, ed. Lugd

Die symmetrischen Funetionen

©0)

selbst, dann ergiebt sich nach Aenderung der Vorzeichen

—262 + .3cgz2

-|-ncz

E RE

Zı

Z _clz+cgz —

—|—cz

1— 2,2

r

1—2,2

Jetzt wollen wir beide Seiten nach steigenden Potenzen von z

entwickeln, bis zu einem Gliede mit beliebig hohem Exponenten gehen

und das Restglied hinzufügen, um aller Convergenzbetrachtungen über-

hoben zu sein

Die rechte Seite liefert dabei

S + 882 + 8538° + + 54271 +

die linke mit Hülfe des polynomischen Lehrsatzes

( —262 +3632 — —{—nc„z“—l)(l—{— 2[clz—cgz + 62

!

(—1) z+1

]C'C1 ICÄ

l'l'

Za

G 204 )(1+

A

5 - >

(=) a Caa '011102

C

”

=(0 —2624 )Z

A

A

A aa

wobei die letzte Summe auf alle Zahlencombinationen von 4,, 4, ...2

n

der. Keihe 0 1

zu erstrecken ıst

Nehmen wir aus diesem

Producete nun alle Glieder heraus

die z“—1 als zugehörige Potenz

von z haben, so ist der Coefficient von 2“—! gleich sı

Diese Glieder

setzen sich aus den folgenden zusammen

Aa E At16 Än

cn

En

’

a

Z( 1) Aa-t2

AD

l l

+n12, y‚—l)

1)12+1+24+ (Ä +l + )'C' ll C 12+1

7l

2Z<

An

l !

?

(4,+212,+

+"Ä'n—y' 2)

x) An-FHAa-t- (1 _+_1+ )'CÄIL zcl+l

52(

AA

l !

; Ar 244

: +ANA —„ 3)

Buhrt man in der ersten Sorte von Ghedern A, + 1 statt A, als Summa-

tionsbuchstaben ein, in der zweiten 1, +-1 statt 4,, in der dr1tten S

statt A, u. s. w., dann erhält man für d1eselben Glieder die neuen Formen

ET

A

,

Z

Z Da

l l

2

e n

—

AaAa y Ar _1)

C

(g

S

n

zZ SE

BAn

O

l l

+NAn=W)

N

(1r (A E

n

MG

(4 +24 + -+n4,=4)

7'-:

100

Neunte Vorlesung $ 92—94

und daher wird ihre Gesammtsumme

(=1) AAa (l D +Ä‚ —1)'C Zr (,Ä"

n

DA S

A

!

C

S e

5 2( 1)%2-+2

A

2

Unser Schlussresultat giebt somit die Waring’sche Formel *)

1)12+}»4+ (Ä + _|_}_

—1)!

(7) Sa !‘2

l'l'

l !

6,

un (Ay 22 +NAn=w)

Beispielsweise sei n = 3, u = 4

Dann hat man die vier Möglich-

keiten für die Wahl der 2

A, =4

A

o}

Q B

Aa

As

2

A

so dass

]

A 4(

4!

A a )

= 0* — 46° 4 466 + 26

$ 93

Uebrigens kann man die S,, S,

Su,

auch leicht

vermittels der Newton’schen Gleichungen durch die c,,

C3,

CM

Form einer Determinante ausdrücken

Denn aus den Gleichungen

SE OS n Sa

E en

(—1)* H a6,

s

Sa—ı f CiSa—2

JS 1)“+16a—281 - (__ D 1) E

(_ 1)a+1

= g— 1)"‘+1 1 @

folgt sofort

& (@« — 1)

2

AA

CZ z

Cl

} XCa

(05_1)Co:—1 Cy—2 ca-——3

1

(8)

16

i

Diese Formel gilt nicht nur für « <n

sondern auch,. falls nur

Cn-4+x = 0 gesefzt wird, für alle x —N

S 94. Auf demselben Wege kann man umgekehrt c, durch die

s ausdrücken

Das ergiebt die nicht mehr ganzzahlige Darstellung

VON Ca

Z

*) Wa.11ng Med1tat10nes algebraicae; ed1t 3; Cambr. 1770; p I

Die symmetrischen Functionen

COM

(@«—1)

al c =(—1)

2

Sa

Sa il

Sa

S

Sa—1ı Sa—2

S

(«—1)

da Say= B

(a«—2) 0

(9)

S>

Sı

0

0

51

il

0

0

Dies gilt für jedes x, wenn c,1„,= 0 gesetzt wird

Zu einer, der Waring’schen entsprechenden Darstellung von c

durch Adie Sn

kann man unter Benutzung der KExponential-

funetion auf folgendem Wege gelangen.

Wir hatten gefunden

1—68 + 627 —68 F: +a =(1 — 248)(1 — 22)--

(1 e ZWZ) 9

die rechte Seite wandelt sich um ın

Zlog(l—

e

_Z(zaz—l— E

== C

(@

1, 2,

n)

822

HA A

832°

— 07N%0

20

D

=0

ya G Z CO Z< D

— 1)71+ %on +/z

S,

S

"‘1'"2

„ !

n

1

M

2

ö

T

> DA

wobei die Summe über eine beliebige Anzahl 7 der x und über alle

Werthe jedes x„ von 0 bis co zu erstrecken ist

Vergleicht man

die Coeffieienten gleich hoher Potenzen von z, so folgt

(_ 1)”1+’2+ +"1

RE E

Ka

S3

(10)

D —2

!xl

%s

il

5

2

i

]“

(

( +2x% +3x3+ r =W).

Wird w grösser als n gewählt, so ist der Werth der rechten Seite — 0

Wir wollen hier noch die Werthe der s„ durch die C und die

Werthe der c% durch die s„ ausgedrückt für die niedrigsten Werthe

von &« notiren

sie sind _ den abgeleiteten allgemeinen Formeln ent-

nom men

Es ist

Sı

57

So

= 0 —26,

S3 = 0 — 366 + 36;,

Sı = 6 — 4676 406 + 267 46r

55 S 6° — 566 + 56706 + 56 6? — 5610 — 5646 + 565,

10

Y

Z

Neunte Vorlesung 8& 94—96.

und umgekehrt

W=

2 0= 8 —,

S10 = 51 — 358 26

S E SE 3 65

D a OE OE G 308 Sı — 208 55 + 24s5.

$ 95. Wir wollen weiter noch erwähnen, dass eine grosse

Formelfülle für die Beziehungen der c und der s untereinander ab-

geleitet werden kann. Wenn man beispielsweise in (6) die Gleichung

für (@« 4 n) mit 1, die für (x + » — 1) mit c,, die für (@« + n — 2)

Mit-C,;

:, die für « mit c„, multiplieirt und alle Produete addirt,

dann

erhält man eine Reihe von Beziehungen

@D Sa+n F Sa+n—3 (20, — 012) T Saın (2C4 —266 F 6°) F

=0,

so dass Recursionsformeln entstehen, durch die Sa+n Von den vorher-

gehenden Sx CEZE aa

abhängig erscheint. .

Wie aus (6) die Formel

| Sa

Sa—1

Sa—n

(62)

] Sa+1 Sa

Sa——n+'1 —0

(« Z n),

| San Sa+Hn—1 S

so folgt aus (11) die ähnlich gebildete

Sa

Sa--2

W S

(11°)

jstf+l‘ Sa—1ı

Sa——‘2n+1 =0

(@ Z 20

’ Sa+n San —3

Sa—n

Die Existenz dieser Formel ergiebt sich übrigens leicht aus der Be-

merkung, dass S, S, Sg ‘: die Summen der ersten, zweiten, dritten,

Potenzen der Wurzeln der Gleichung

C

sind. Daraus erkennt man dann auch die Bedeutung der Coefficienten

ım (L

Setzen wir

In ähnlicher Weise kann man weitergehen.

CC - 2 O

(

= @ — 0Og# 4 0O6@-—

.. + 089 =0,

E

so werden die Potenzsummen dieser Gleichung durch s;,

Se> Sgy

entsprechend der Formel (6) gegeben, und man erhält

S OS OO Z E 0

(@« > 3n)

nicht nur für alle durch 3 theilbaren, sondern für alle ganzen «, wie

Die symmetrischen Funcetionen,

108

man erkennt, wenn man in (1*) für 5 einsetzt 23?

dann mıt 1 oder

21 oder 2} multiplicirt und endlich über alle 2 ==1, 2, -” summirt.

Es gilt demnach auch

-

Sa

Sa—3

H706 8a—37[

I

|

5a—|—1 Sa—2

Sa—3n-1

=0

( D

San sa+n——3

23 Sa —2

{

Diese Formelreihe lässt sich natürlich fortsetzen, doch wollen wir

hier auf weitere Einzelheiten nıcht eingehen.

$ 96. In 8 91 hatten wir die Aufgabe gelöst, die Potenzsummen

sı durch die elementaren, symmetrischen Functionen darzustellen.

Ge-

länge es nun jetzt, jede ganze, symmetrische Function der 2,, %,

An

als ganze, ganzzahlige Funetion der s;, S,

auszudrücken, dann hätten

wir damit gezeigt:

Jede ganze,

ganzzahlige,

symmetrische

Function von %» Elementen %,, %,

7 % ist eine ganze, ganz-

zahlige Function der elementaren, symmetrischen Functionen

C„ dieser n Grössen 2.

G1 C27

Wir brauchen nach $ 90, (4) den Beweis nur für Functionen von

der Form

S(2rab . ga

+1)

zu führen, und können, da er für S(2%), d. h. für die s£ bereits er-

ledigt ist, sogar voraussetzen, er sei schon für alle

S(@1 2

#)

Durch

bei & Elementen mit beliebigen Exponenten bereits geliefert.

den Schluss von % auf (& + 1) gewinnt man dann den Beweis für das

allgemeine Theorem.

Wir betrachten das Ergebniss der Multiplication

S(gr2ß .

#) - 8@)-

Jedes Glied dieses Products wird, je nachdem der Factor, welcher dem

zweiten S entnommen ist, ein z enthält, welches in dem Factor vor-

kommt oder nicht vorkommt, der dem ersten S entstammt, zu einem

A

S (g 8 .

Zk) 9 S(Z{f) Z€+l; A

Zk)’ S

oder zu S(#7eß ... 22

k

4

gehören.

Dabei kann jedes Glied eines der ersten S nur einmal auf-

treten, gleichgültig, wie die Exponenten «, ß, ... 2 beschaffen sind;

dagegen tritt ein jedes der Glieder des zweiten S genau qmal auf,

wenn q der Exponenten «, ß,

3 N oleich‘ 2 sınd. Also ıst

S(8%2h .2a

20

> _;— (S(27 28 ... 2*) S(2t) — S(ge+22ß... g) — S(er2ßni... gr) —..

104

Neunte Vorlesung 8& 96

8

und damit ist der allgemeine Satz bis auf den einen Punkt bewiesen,

dass die Darstellung auch ganzzahlig sei.

In der That findet man z. B

AS( Zf°))

== S„„Sp>

Sa-+ß5

MD

520‘)7

S(g%gß )= s„ 525

— (Sa+8Sy + Sp-+y8« + Sy+aSp) + ZSe+8+y5

CL HAR) =

2 (S“Sß

2508 +8 — S2aSg { 2520+6);

1Q( 2“ „of) A

r (sa

38a32a + 23:]a),

(« + ß =+7)

Hier ist nun ersichtlich, dass bei der Darstellung der ganzen,

ganzzahligen, symmetrischen Funct10nen durch die Potenzsummen der

Klemente oebrochene Coefficienten auftreten; und es ist nicht ohne

Weiteres klar, dass beim Uebergange zu den elementaren symmetrischen

Funetionen dwse Brüche wegfallen.

Wir wollen deswegen die eben

besprochene Methode nur als eine bequeme, für die Darstellung der

symmetrischen Funetionen geeignete betrachten und den Bewem des

ausgesprochenen Satzes zunächst so vortragen, wie ihn Gauss (Werke

III, S. 36—38) gegeben hat.

8 97

Zunächst werden wir von zwei Aggregaten der Form

Mı gMa

Zm

und

z gua

Z

n

dem ersten oder dem zweiten eine höhere Ordnung beilegen je nach-

dem unter den Differenzen

mM U, m2

U,

My

N

Un

die erste nicht verschwindende einen positiven oder einen negativen

Werth besitzt

Weiter bemerken wir

dass es unter den Agoregaten, die von

Zn

sıind, nur

gleicher Dimension m, + m, +

+ Mn mit g7 27

eine begrenzte

Anzahl von

niederer Ordnung giebt

als das

hin-

geschriebene; denn es giebt ja überhaupt nur eine endliche Anzahl

solcher Aggregate bei vorgeschriebener Dimension

Tiegt ferner eine

symmetrische

ganze

homogene

Funcetion

@0

Z.) vor, dann kann eines ihrer Glieder

z Ma .

Zn

n

nur dann die höchste Ordnung unter allen Gliedern von / besitzen, wenn

W Z M Z Z Z M

ist; denn wäre etwa m, > m,, so käme bei der Symmetrie der Funetion

auch « - 27 g .

mM'n

VvOor

und diesem Gliede würde eine höhere

Ordnung gebühren

Die symmetrischen Functionen.

105

Da _ endlich in einem Producte von Functionen der %,, %,

An

dasjenige Glied die höchste Ordnung hat, welches durch Multiplication

der Glieder höchster Ordnung der einzelnen Factoren gebildet ist, und

da in den elementaren, symmetrischen Functionen der z, nämlich in

Ci) Car C3)

- die Glieder 2 , 212712008

die höchsten Ordnungen aufweisen, so ist ın

CC

@n das Cileo! aaara RCa E en

Z%n

dasjenige höchster Ordnung, und umgekehrt ist es

ZT' Z72712

A Z;;lﬂ in (;7i'1—'m2 Cn222——m‚ A

Cn

%

O Z Z Z

Z

$ 98. Nun sei eine ganze, ganzzahlige, homogene, symmetrische

Funetion / (2,,

Zn) vorgelegt.

Kommen in iıhr mehrere Glieder

gleich hoher Ordnung vor, so haben diese dieselben Exponenten und

können daher von vorn herein in ein einziges Glied zusammengezogen

werden.

Es sei @270 7

z"n dies Glied höchster Ordnung ın F.

Dann setzen wir

F1(‘217

Z") S F(Zl;

Ai) — TE E

W, ist wieder ganz, ganzzahlig, homogen und symmetrisch und be-

sitzt als höchstes Glied ein der Ordnung nach niedrigeres, als 8 es

hatte. Dies höchste Glied in F} sei ßahızk ... 2%n. Dann setzen wir

F (&

8n) = F, (51;

zn) —_- ß ciix Ea 2 c€z ON cﬁ„‚ E

Für F, gilt dasselbe; und so können wir mit steter Verminderung der

Ordnung des höchsten Gliedes fortfahren. Dies muss einmal aufhören:

7)

d. h..es muss einmal

0= Ft_ 90911—(/zc‘]22_93

. c%„

werden. Dann folgt durch Addition aller dieser Gleichungen

F = am

ö + ßcl{x —R2

o + + 90%1“"‘]2

’

’

damit ist der Satz bewiesen, und zugleich eine .zweite Methode der

Ueberführung angegeben.

Als Beispiel behandeln wir bei %” Variablen z die Funetion

F= S(51252253)7

bei der dann zuerst

F =

al

B

wird. Nun sieht man sofort, dass bei der Multiplication von c und c

Glieder von drei Arten vorkommen: Ra O BBa n

zwar kommt jedes der ersten Art einmal, jedes der zweiten Art drei-

mal und jedes der dritten Art zehnmal vor.

Deshalb ist, da die

Glieder erster Art das gesammte F bilden,

Fı = —3S (2 0ee) — 105 ( %223 2485)-

106

Neunte Vorlesung &$ 98—100.

Weil jetzt 2,?2,2,2, das Glied höchster Ordnung in F, ist, so wird

n

Hier erkennt man wieder, dass die Multiplication

061 — S (2, %2 24) + 5S(2, 28 2485)

ergiebt, so dass die neue Funetion

F, = SS ( %8848) = G,

und endlich, da wir hiermit zum Abschluss gelangt sind, dass

S (2," 29 83) = CaCg — 3601 + 565

wird. Nach der Methode von $ 96 fände man zuerst

SC = ;- (82?S, — 25283 — S45ı + Qs5)

und müsste dann den Uebergang zu den cı machen.

$ 99. Man kann von vorn herein eine Anzahl von Gliedern

CC

Cl angeben, welche bei der Darstellung der eintypigen,

symmetrischen Funetion S (gz% z7

: z"n) nicht vorkommen können.

Die m in S sollen ihrer absteigenden Grösse nach geordnet sein.

Bei der Darstellung von S müssen alle Gliedercomplexe der cı von

Dies erkennt man

gleicher Dimension in den z sein, wie S selbst.

sofort, wenn man alle

D

2

einander gleichsetzt.

Es muss: also. beı

jedem Gliede erstens

(12)

Qı 2 n 3 I MM A Mrn

werden.

Ferner

liefert

cH.C%

Can als Glied höchster Ordnung

sz+92+"'+ﬂ‚; z%z+ n

’

und verschiedene Glieder in c‚ liefern verschie-

dene Ordnungen ($ 97).

Es muss also zweitens

(18)

Yı 4 92 4 ‘ F On < Mr

sein; dabei müssen wirklich Complexe der c auftreten, bei denen das

Gleichheitszeichen gilt.

Auch unter ihnen lassen sich noch Glieder

aussondern, wie das Gauss’sche Verfahren ($ 98) zeigt. Man sieht

nämlich, dass von

Cln

und

C C%

CDCn

%n falls Zq; =2m ist,

das erste oder das zweite Aggregat das Glied höchster Ordnung in

den z liefert, je nachdem von den Differenzen

Q a U F ) T T

die erste nicht verschwindende negativ oder positiv ist (vgl. $ 97).

Nach dem Gauss’schen Algorithmus kommt als höchstes Glied das

Aggregat mit den Exponenten

(15)

O f a 8 G O _m:3;_

qn=m”

Die symmetrischen Functionen.

107

vor, und alle anderen auftretenden Agoregate, bei denen die Summe

der Exponenten x auch gleich m, ist, dürfen nach unseren jetzigen

Betrachtungen nur solche sein, für welche die erste nicht verschwin-

dende Differenz der Reihe

( — Ma) , M, z M) z @ 1 ), — Mı) — (1 A %2 4 Xg)

negativ ist.

Das ist eine dritte Bedingung.

So wäre für die beiden Funetionen S(#,"2,?2) und S(2,?22324)

zu setzen (q, { 2g + -:-)=5, und es dürfen höchstens zwei Fac-

toren c in jedem Gliede vorkommen; also geben (12) und (13)

S(21" 2 8g)= «Cg 4 BC1C4 F VCs) S01 2203 04)= &, 665 + BrCLC4 F V16s-

Hier zeigt nun (14), (15), dass w«, sofort = 0 zu setzen ist.

An die Formel (12) haben wir noch folgende Bemerkung zu

knüpfen.

Die Summe der Producte aus den Exponenten in die Indices

eines Ausdrucks CC

Cln

Z

nämlich hier

(Q1 + 24 + : F "—Q„)‚

nennt man das Gewicht dieses Ausdruckes, und nach Cayley heisst

eine Funetion, deren Glieder sämmtlich dasselbe Gewicht besitzen, eine

isobarische Function. Wir sehen also: Die Function, durch

welche eine eintypige, symmetrische Funection S(g" z7 524

mittels der c,, &, -:-. C dargestellt wird, ist in den u

Cn

isobarisch und von dem Gewichte (m, + m +-.. + My).

$ 100. Ist so der litterale Theil von S(z" - /n) festgelegt

oder wenigstens so eng als möglich umgrenzt, dann kann man den

numerischen Theil leicht durch Zahlenbeispiele berechnen. In unseren

beiden, eben aufgestellten Beispielen würde man folgendermassen ver-

fahren, um die «, ß, y zu finden.

Für die Specialwerthe

51=z2=;_;;3=1; _g4=25=...=0 ist 01=3, 02=3‚ 03=]_, C4=O‚

SAl

/

=z4=]_; z

Sa

=(

0, =4, =6,

03=4.}

C4=1‚ c5=0’

n

Ka

=25=1; i=4= 0

01=57 (32=10’ %=]_O) 64=5; 05=],

und für diese drei Werthsysteme erhalten die symmetrischen Functionen

S(2,"22"83) = WC2603 + ßCLC1 + Vc; die Werthe 3 12 O

S(2,"292324) = O G:

2

}

0 420

Folglich bestehen die Gleichungssysteme für die Coefficienten

3=

S 0 Da O

E a O

4= 4'ß1+0'71;

30 10002

20 =25.ß +1-7,

und hieraus ergeben sich als fertige Resultate

S(81" %” 2) = 00g — 36404 + ÖCg

S81 2 8ı) —

6C — D6g.

108

Neunte Vorlesung $ 101—102

$ 101. Wir wollen für den besprochenen Satz aus $ 96 noch-

einen anderen Beweis herleiten, der von Cauchy stammt, und den

Kronecker zu weiteren Schlüssen benutzt hat.

Da

f@)=" — a —.

W z

zu Null wird, so erhält man der Reihe nach die Resultate

81

]

OE

Il

R

e

SI

Il

Ca D OC

.

und man kann, vgl. $ 88, jede höhere als die (n — 1)® Potenz von 2,

als ganze, ganzzahlige Funetion der c und als lineare Function von

Da ferner

A f S darstellen.

f

S

B Or

?"_1

— @ SA ET —

—-

für

%, zu Null wird, so folgt ebenso

2

27 ( RE @ Ca B

A

und man kann also jede höhere als die (n—2)* Potenz von z als

ganze, ganzzahlige Funetion von den c, von z, und als lineare Funetion

2

OE

’

£f_£ X

darstellen.

In gleicher Art folgt aus

fF@)

(Z DE £1) (z _52)

OM

— Oala Haaan

dass

Z C 52) Ü

2

A —a G E

A

Z"_3

wird, u. s. f.. Die Gleichung

a=4 BF 4 ı)

endlich, welche zeigt, dass jede Potenz von %, als ganze, ganzzahlige

Function von den c und von 2,, °

Zn—1 dargestellt werden kann,

bildet den Abschluss dieser Serie.

$ 102.

Ist nun irgend eine ganze, ganzzahlige Function

Fi(81, %,

Zn)

gegeben, so können wir mit Hülfe der eben abgeleiteten Gleichungen

zunächst jede vorkommende Potenz von %,, dann alle Potenzen 2_ı,

*-

Die symmetrischen Functionen

109

2

Sn—1)

5 %n—2)

An—2)9

Z

g

Zn—l

’

Z

22

LG

zn+l

entfernen

und damit / in die Form mit ganzzahligen Coefficienten

(16)

11

A lı gla

Än—1

=002

N — 4)

(

überführen

Die Anzahl der hierbei möglichen Summanden beträgt

L

@D =

ihre Gesammtheit bildet insofern ein Fun-

damentalsystem für alle ganzen

ganzzahligen Funetionen

von

Yı

Zn, als sich alle diese homogen, linear und mit ganzzahligen

Coeffieienten durch sie darstellen lassen

Nehmen wir nun an, /’ wäre eine symmetrische Funetion der

Elemente z

Z, dann können wir (16) in zwei Theile zerlegen

M+N An —1-)

indem wir ın M alle diejenigen Glieder zusammenfassen, welche frei

von Z —ı Sınd, ın N - %_1 dagegen alle mıt 7, _ ı multiplieirten; N ist

gleichfalls von 21 frei, weil ja z„_1 mnur in der ersten Potenz in (16)

erscheint

Da / symmetrisch ist, ändert sich seine Form nicht, wenn

man 2,_ ı, und 2„, unter einander vertauscht; es muss also, ohne Aen-

derung von M und N, welche Ja weder Z,_1 noch z2„ enthalten

ME Na i = ME N

sein; da aber 2,_1 und 2, völlig willkürliche Grössen sind, so ist diese

Gleichung nur für N= 0. möglich, ‘d.’h. %@ enthält. 2. 7, überhaupt

nıcht.

Weiter ordnen wir F’= M nach Zn—2 an, welches in (16) nur

bis zur zweiten Potenz eingeht,

Jal Jal + JZ„__2 + KZ„_27

und dies muss nach unseren eben gemachten Schlüssen auch mit

H+ Janı A& Knı

und mit

H + J2

+ K

übereinstimmen, da / ’sich als symmetrische Funetion nicht ändert,

wenn man Z,_2 mit Z,_, oder mit 2 vertauscht, und da H, J, K

von diesen drei Grössen unabhängig sind. Die Gle1chung un 6

F(z„

A S

müsste also drei Wurzeln 5 = Zn_2) z„_1‚ Z besü;zen‚ und dies ist

nur möglich für die Annahme

Ya K=0 ,

A)=

d. h. wenn F von Zn—2) n—1, %n unabhängi

D

ıe

ist. Auf diese Art kann

man fortfahren. und erkennt die Richtigkeit unseres Satzes.

Zugleich

giebt dieser eine neue Methode für die Umwandlung von F.

“

110

Neunte Vorles1ing $ 103—104.

$ 103. Gauss hat seinem Beweise für das Theorem, dass jede

ganze, symmetrische Function S(z,,

Z VOnE Z , 0ır

Zn als ganze

Kunetion / von 6, 6,

C darstellbar sei, noch die wichtige Be-

merkung hinzugefügt, dass diese Darstellung nur auf eine einzige Art

möglich ist.

Wäre nämlich S auf wesentlich verschiedene Weisen

darstellbar

S(21,

Z") Z (;1(01;

) = G, (G

C")7

dann müsste die nicht identisch verschwindende Funetion

Ca(@s

0) CCn

Ö

identisch verschwinden, sobald man für die c, &,

C ihre” Aus:

Wir können nun

drücke in den Z,; %,

Z einträgt.

G —G, =Z]P[c‘fc@c’;

setzen, wobei sich die Summe auf eine Anzahl solcher Glieder mit ver-

schiedenen Exponentensystemen bezieht.

Tragen wir die

A

Z

ein, so

folgt als Complex der Glieder höchster Ordnung aller Summanden

EMz‘f+ß+7’+'“z/g+7+'“zg'f""---.

Dabei werden von den einzelnen Summanden nicht zwei derselben

Ordnung angehören, wie oben $ 97 gezeigt wurde; folglich wird das

Glied der absolut höchsten Ordnung nicht verschwinden.

Eine

symmetrische, ganze Function lässt sich nur auf eine einzige

Art als ganze Function der elementaren, symmetrischen

Funetionen der Elemente darstellen; gleichzeitig erhalten wir

das Resultat: Bedeuten 2,, %,

, von einander algebraisch

unabhängige, d. h. nicht durch eine algebraische Gleichung

ll(zly Z27

2)= O

mit einander verbundene Grössen, so sind auch ihre elemen-

taren, symmetrischen Funcetionen von einander algebraisch

unabhängig. Denn existirte eine algebraische Gleichung zwischen

(la O O

Cn

K@ ©5

e)=%

so wäre z. B. die Function S(z,) nicht nur =c, sondern auch =<c, + K,

was dem Gauss’schen Theoreme widerspräche.

$ 104.

Ist eine gebrochene, rationale Funetion von % Wwillkür-

lichen Grössen 2

M (&

N (& ,

s

vorgelegt, die sich nicht durch Wegheben gemeinsamer Factoren ver-

einfachen lässt, und ist sie symmgtrisch‚ d. h. ändert sie ihren Werth

Die symmetrischen Functionen.

e

für keine Umstellung der z untereinander, dann sind M und N für

sich symmetrische Functionen.

Ordnen wir in der Weise von 8 102

M

P+Q'Zn_1

NO AAn

wober LO L Oan

Zn—2 enthalten, dann ist auch

M

P+Q-%

NRO

und deswegen hat die lineare Gleichung in &

(7@-—0)e+(7A—)=0

die beiden Wurzeln &= %_1, £= .. Daraus folgt das Verschwinden

beider Coefficienten, d. h. es wird

M

Q

3R

N=q:PIV’

wobei nicht gleichzeitig Pı = 0, Q, = 0 sein kann, da ja offenbar N

als nicht identisch verschwindend vorausgesetzt wird. P oder () unter-

scheidet sich also von M= P + Qz,_ ı höchstens durch einen in An

heben lässt.

linearen Faetor, der sich dann gegen den gleichen des Nenners weg-

Das war aber in der Voraussetzung ausgeschlossen;

folglich muss

E 2 M B

sein, d. h. der Bruch ist in der Darstellung des Zählers und Nenmners

nach dem $ 102 von _1, % unabhängig.

Wir ordnen nun weiter Zähler und Nenner nach Bn

2

M

RS L 2

2

’

N SR EL

n—2

erkennen auf demselben Wege, dass auch

M

18

=

Z

As

E

-

N

Kr

S,

T1

sein muss, und da R,, S,, 7, nicht gleichzeitig Null sind, dass sich M

von einer der Funetionen R, S, T höchstens durch einen in Z

quadratischen Faetor unterscheidet, der sich dann gegen den gleichen

im Nenner wegheben lässt.

Da _ dies durch die Voraussetzung aus-

geschlossen ist, so muss

M=R, N=R,

sein, d. h. der Bruch ist in der Darstellung nach $ 102 von 24_2,

%—1) %n unabhängig. Auf diesem Wege erkennen wir die Richtigkeit

des Satzeg.

112

Neunte Vorlesung $ 105—106.

Zehnte Vorlesung 8& 107.

$ 105.

Es sei eine rationale Funetion der n

unbestimmten

n

Grössen

F

2

gegeben, @ (2,, %, : Z). Dann giebt es möglicher Weise

Umstellungen der 2,, %,

%, welche die Form von @ nicht ändern.

Alle diese Umstellungen wollen wir in einen Complex U, vereinigen.

VFerner giebt es möglicher Weise andere Umstellungen der z, welche

eine neue Korm (

.Z,-„) SA (217 %9

Zn) hervorrufen

Alle Umstellungen, die den gleichen Effeet haben d. h. dasselbe &;

liefern, vereinigen wir in einen Complex U;, u. s. f.

So gehören z. B. für

D e BA

zu U, die vier Umstellungen, welche durch

‘P(Z„ Za @8y Z4)7 ‘P(£1; Z9, 47 zb‘)l q>(%‚ 1 93, 54); ‘P(@; Z 747 33)

charakterisirt sind und nur sie; ferner wenn

D3 — 8384 — B1 8g

gesetzt wird, zu U, die Umstellungen, die durch

9"(53‚ 24 %17 52)7 ‘P(£’/'4, R8 817 ‚2‘2)‚ (P(53‚ z4} %, Z1)7 ‘P(Z47 Z]37 %9 21)

gegeben werden, u. s. f.

Es ist die auf alle vorhandenen @ erstreckte Summe

2@’-(£17 Zn) =_‘P(2'1; 8 Z7l) + (Pi(5„ N Z") ar q)k(zl; N Z") SS

eine SymmetrISsche Kunction der 2 2r

Sn

In der That,

wenn wir irgend eine Umstellung auf ein Glied @ der Summe an-

wenden, dann geht es in ein anderes Glied derselben Summe über

’

und verschiedene Glieder verwandeln sich in verschiedene.

Folglich

bleibt &5 ungeändert.

Derselbe Beweis genügt für den allgemeinen Satz: Alle sym-

metrischen Functionen der Elemente

q)(217 "Z">’ (Pi(51; "Zn)7 q7k(‘äli "'Zn)7

sind auch symmefische Functionen der Elemente 2,, %,

An

$ 106. Zum Schlusse wollen wir noch ein Cauchy’sches Theorem

beweisen: Ist @(z) eine ganze Function der einen Variablen z,

dann wird

S (g (Z;))

gleich dem Coefficienten von 27* in der nach absteigenden

Potenzen von z geordneten Entwickelung von

p@F'@)

f(@)

Setzen wir

QJ(/Q') z aoßm + alz"‘_1 + E + Im)

Transformation

der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen,

115

so wiırd

H@ @

f(@)

(aozm__l_alzm——l+..._i_am) (l°+iz+gä ...)

—

Ds + z_l(aosm + OSn + + amso) + 09

und damit ist der Satz bewiesen.

Zehnte Vorlesung.

Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen

Funcetionen.

S 107%. Wir wollen in dieser Vorlesung folgendes Problem be-

handeln: Die Grössen 2,, %,

Z Sseijen wıllkürlich; aus ihnen

ist die rationale Function @ (z,,

%)

Zn) gebildet. Vertauscht

man die z auf alle möglichen Arten untereinander, so mögen

o verschiedene Werthe entstehen

ID)

i (2, %)

Z") z (zil7 Z‚'„

Z'‚'„)

Ü= 02 0

Es sollen die Coefficienten der Gleichung, der die Grössen

(1) als Wurzeln angehören,

(2)

ROR CR Z

durch die Coefficienten der Gleichung mit den Wurzeln z,,

%9

Zn, nämlıich

(3)

NO ROR

bestimmt werden.

Wir sahen im $ 105, dass jede symmetrische Function der

Grössen (1) eine symmetrische Funetion der B

Zn Sel.

Diese

kann gemäss unseren Untersuchungen in den vorigen Vorlesungen

mittels der c ausgedrückt werden.

Wir können also

S('Pl)

— Cl;

S(‘Pl ‘P2) - C%;

‘P1‘Pz"'@e=.aq

berechnen, und dann wird

(2)

<15\—01d59—1+ OB — %© =0

die Gleichung sein, deren Wurzeln die o Werthe von @

P (ZU Z27 3 .)7 %Q (Zi17 Zfz7 n ')7 ® (zkl’ 5k„

)

sind,

Netto, Algebra. I,

114

Zehnte Vorlesung $ 107—110

Bezeichnet man nun w@(z,,

&) als 0 werthige Function

der %,

Z, wenn sie bei allen möglichen Umstellungen der z

untereinander genau o von einander verschiedene Werthe annımmt,

so können wir das eben erlangte Resultat in die Form fassen: E1ne

o-werthige, rationale Function von Z,,

Za ıst als Wurzel

einer Gle10hund o Grades darstellbar, deren Coefficienten

einwerthige d. h. symmetrische Funetionen von z

Sn Sımd

Die äübrigen

Wurzeln dieser Gleichung

sınd ‚die

übrigen

(g —1) Werthe der Function

Diese o Werthe w @,

q)u

heissen einander conjugirte Werthe

$ 108

Wir können die allgemeine Aufgabe.des vorigen Para

graphen auf eine einfachere reduciren. Es sei die vorgelegte Funetion

g (&

”n)

‘P(217

a)=

h (Z11

7L)

Dann kann man die symmetrische, ganze Function der

D

Z

K(&,,

"/”) h (le ’

Zin) : (n

Z];)

durch die 6,

C» ausdrücken

etwa als . Nennt man ferner das

Produet der auf den ersten Factor folgenden %A im letzten Produete

Va

), dann wird der Quotient

al

H (3

„/„),

und

h(”11

Z

(21)

Zn) S DO g (21;

2.) H (&

n)

Daraus ergiebt sich: Jede rationale, gebrochene Function

g(2,,

2)

@ (&

2) =

k @ 5

&)

der Wurzeln von (@) ıst eleich . einer ganzen, ratıonalen

Function derselben Wurzeln mit Coefficienten, die ın den

Cl! Cz;

Cn gebrochen sind

$ 109. Wir behandeln nun eine Reihe von Beispielen

KEs sei zunächst die ganze Function

DD

Bn)= &, + h;

wobei 4A eine Constante bedeutet

Hier ist o= 1, und die Grössen

2 +h, &+

2 + )h

sind die %» Werthe von @, so dass also die Wurzeln der gesuchten

Gleichung sämmtlich um die gleiche Grösse h die Wurzeln von

f(Z) = —6 Z"—1+ C n—2

+Cn—"0

übertreffen

Für die elementaren

symmetrischen Funetionen der

= 2 +h

= , + h findet man ohne Weiteres

Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen.

415

=(4 + 4 +%) +2h= c +nh,

Z

Sagı San (T + (

=4+(7')ah r ()M

2‚pl%%=(zlz2zg_i_. .)+(nl 2) C ;;+(n;l) (3 RA (’;)m

Nn—2

=C3+(

1

B

und es wiırd demnach

E

die gesuchte Gleichung. Man kommt einfacher zu demselben Resul-

tate, wenn man direct

2=0—h

in die Gleichung (2) für z „einträgt, und dann @ durch ® ersetzt.

Nehmen wir insbesondere die Constante

== —— —

C

N

Z

so verschwindet der Coefficient von ®"—1 in der Gleichung für .

Dies kann man zur Zurückführung der beliebigen quadratischen

Gleichung

Z — 48 +0=0

auf eine reine quadratische Gleichung, d. h. auf eine solche von der

Form

— 4=0

benutzen, indem man

<

m

=o + % C einträgt.

$ 110. Weiter sei die Funetion

0D(@n Z

B) = b

wobei % eine Constante bedeutet, und o wieder gleich » wird. Hier ist

und

C =k6, C = P, C =Ko,

’

D Z KD OD N e =0

Setzt man / = — 1, so erhält man die Gleichung, deren Wurzeln die

negatiyen Werthe der Wurzeln von

— GE L T — a =0

sind. Diese Gleichung ist also

Z

E E

84=

116

Zehnte Vorlesung $ 111—113.

$ 111.

Jetzt nehmen wir

1P(Z„ Z27

.Z„) S 51i7

wobei % eine ganze, positive Zahl bedeuten soll.

Statt sofort die

Coefficienten C,, C,,

C„ der gesuchten Gleichung zu berechnen,

können wir auch zuerst ihre Wurzelsummen S;, S,,

S, ableiten

und von diesen dann zu den elementaren, symmetrischen Funetionen (

%e

Y

übergehen.

So findet man ohne Weiteres

Sı = $ Sı = Sa4)

A Sn = Sn

und hat daraus ($ 94)

D 01@n‚—-1 + ... — M _— S1(I)n——l+ % (8'12__ S2) D

C

0

zu bestimmen. Für die praktische Berechnung ist der folgende Weg

vorzuzjehen.

Da

D

die Wurzeln *

17

A

27

2 besitzt, so ist das Polynom dieser Gleichung

=(0—#)(® — 2) - (@— ;

setzen wir jetzt ® = z# und bezeichnen die &4 Wurzeln von

gk=]—)

die sogenannten k/*°" Hinheitswurzeln, mit ,, ,,

©x, dann geht

das

Polynom über in

C

n

=(—1)+9 [ [ @0, — 87) (#0, — 2) + (001 — 21)

Ü

CZ D"Ü(*"”ﬂ C C

u=1

und gemäss der Bezeichnung der Funetion f(z) in $ 107

Z 1)('°+1)"#]=k71f(?“’“')'

Wenn man also den umgekehrten Weg einschlägt und von der Bildung

des letzten Products ausgeht, so erkennt man sofort durch die vorher-

gehenden Ausdrücke, dass in ihm nur die Potenzen von %* vorkommen;

Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen.

J

setzt man dann

@

‚k

D, so erhält man die gewünschte Gleichung

Wir haben von dieser Bildung schon früher, $ 58, Gebrauch ge-

macht.

$ 112.

Wir wollen nun auch

‘P(Zl7

a)=>

setzen, also die Constante & des vorigen Paragraphen negativ = — 1

nehmen.

Hierbei ıst

E

Ba Bn A 183 E

nl

le2...zn

al

3l

1 3 f3 Zn + BBa ’Z'n + + Z zﬂ_2

n—2

C

Z

CZ

n—1% n

+.

Za Bn

und daraus folgt, nachdem man die Gleichung (2) mit c„ multipli-

cırt hat,

(4)

Cn D — Cnı P + z P —... PF 1=0.

Dasselbe Resultat hätten wir auch sofort durch die Substitution

B = —

®

in f(z) = 0 erhalten können.

Mit Hülfe der abgeleiteten Gleichung kann man nun auch

S

für negative Werthe berechnen; denn das s_„ ist gleich der Summe

der h'°%» Potenzen der Wurzeln von (4), und so ergiebt sich durch

unsere früheren Formeln

C

c2

S_ı =

n—1

S— 2

n—1

2c

n—2% n

N

’

c2

für die Wurzeln von (3).

Zu beachten ist, dass jetzt bei Einführung der s_„ die Formel (6)

aus S 91

e 7 ÖS O82n 00 E A = 0,

welche dort nur für « > n aufgestellt wurde, für jedes « gültig erscheiﬁt.

Der Beweis ist genau derselbe wie der frühere aus S

$ 113. Weiter nehmen wir an

a

‘P=Zl+z;

dabei können wir jetzt setzen, wenn S, wieder Eq;’° bedeutet,

118

Zehnte Vorlesung 8 113—114

S,

(z‚—}— >-sl+s {

&—22G%%)«—%+2+&4—@y+L@+%

= C G S

SEA

AL

U

.S_2> + 6

Sr (SL+3—-k)+( )(Sk——2+s—k—{——2)+( )(Sk——4+s—lc+4) 5P 99

‘

Hieraus lassen sich dann d81 Reihe nach mit Hülfe der Formeln der

neunten Vorlesung die Werthe von 0ı; &, O,

berechnen

Ist die Gleichung (3) so beschaffen, dass die Reihe der Wurzeln

»01, 999

Z„ abgesehen von ihrer Anordnung mit der Reihe der reeci-

1

proken Werthe

x

?

2

?

übereinstimmt, dann wird. s_; = $

werden, und damit tritt eine Vere1nfachunv der abgeleiteten Formeln

ein

M"m erkennt aber auch aus dem vorigen Paragraphen, dass hierbei

C

n—1

2

E

C

n

C

c

n

— C ,

C

n

= G

cn—l;

und

also

wenn cx und folglich auch c,_„ von Null verschieden

ist, dass

(B z

A

C

n

C Cn——u,

== 11

werden muss

Walls c = — 1 ist! ward 61 c= — Cx, Jund

@@a @0

somit hat f= 0 die Wurzel 2 = 1, und man kann (z — 1) aus dem

Polynome f(z) herausziehen

Da dies ohne Schwierigkeit geschieht

?

und da der Complex der zurückbleibenden Wurzeln immer noch mit

dem ihrer reciproken Werthe übereinstimmt

so können wir

ohne

etwas Wesentliches zu ändern, c, = — 1, allenfalls durch Herausziehen

einer höheren Potenz von (z — 1) stets beseitigen

Wenn aber

@ = + 1 ist, dann wird 6_ = C0, und das Polynom f nimmt die

Form an

A CO

IL—Ä+Z}__

Bei ungeradem % kann man (z + 1) herausziehen, da 2 = — 1 eine

Wurzel von / = 0 wird

Auch diesen Fall kann man also beseitigt

denken und sofort voraussetzen, %” sei gerade =2m und das Gleichungs-

polynom von der zuletzt hingeschriebenen Form. Durch Division mit

2”" geht die Gleichung in

Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen,

9

il

1

E

Z"L

—1

Z7’ll.

2

0

(5) (Z“‘ + f> Cr Ü1 (Z)n——l +

> +F& <an—2 SIn

)_

über.

Hierin können wir nun unsere Transformation

2+2=w

in einfachster Art durchführen. Durch Potenziren folgt der Reihe nach

%+}=W_%

(6)

ﬁ+%=@—3%

und das Gesetz für die Bildung der rechten Seiten wird ersichtlich,

sobald man

Zk—-1 +

T

Zk—1

= Gr_1 (‘P>;

D

= Gr (q))r

k

gı L ;k71_1 z Cı (@)

setzt.

Denn es wird hierfür

1

k+1

k—1 +

g Oalo) = ( +

L

Zk_1

)=G„mw+aßx@‚

d. h. es gılt die Recursionsformel

Arı (@) = O: Grlg) — Gr 1 (@).

Durch die Substitutionen (6) geht (5) in eine Gleichung des Grades m

über.

Die Auflösung der Gleichung (3), welche in unserem Falle eine

recıiproke Gleichung genannt wird, lässt sich somit derart bewerk-

stelligen, dass man die Wurzeln @,, ©,,

- @m von (5) bestimmt, und

jeder derselben „ vermittels der Lösung von

2 — DaZ + 1=0

die beiden Werthe von

<

2

zuordnet, welche zu dem gefundenen Werthe

„ gehören. Die so gewonnenen 2 Werthe z sind die gesuchten

Wurzeln.

$ 114. Jetzt möge allgemeiner, unter Verwendung von n will-

kürlichen Constanten u4,

(7)

P= 0 F 42 + 02 A A Unı 1

sein. Erheben wir diese Gleichung zur zweiten, dritten,

n Potenz,

so entsteht eine Reihe von Ausdrücken, welche sämmtlich mit Hülfe

von (3) auf den (n — 1)“" Grad in z reducirt werden können (vgl.

$ 88). Die erhaltenen Resultate deuten wir durch

120

114,

Zehnte Vorlesung $

u(1) + u(2)z _L. u(2 Z + + u(2) zn—1

C

u® + u®z + u@z? + + u®_

n—1

— u<"> + u<">‚z + u("’z + + u(") n

für jede der erhaltenen » Gleichungen (7) und (7°) bilden wir die

aul

=

—_

Sı wird, und

erhalten

Z„ bezogene Summe, wobei E‘rp

Sı = 08 + W8, F S F .

9 Üg n

(8)

Sa = 1((2)30 + u s + uQ@s, + + u s„_1‚

S = u(")so + M s + u(")s + + u< D

Hieraus lassen sich nach den früher (Vorlesurw 9) gegebenen Formeln

die Werthe der Coefficienten CO

- Cn berechnen, und so kommt

man zu

(9)

O D

C =0

Aus der Herstellum‘ dieser Gle10hung ist ersichtlich, dass C eine

homogene Funetion «*® Grades in u

0> U,

U w1rd deren Coeffi-

cienten ganze Functionen der c,,

C» sind

Ist (9) aufgelöst, kennt man also &,, ®oy

- @1, dann kommt es

darauf an, von diesen Werthen zu 2,, %,

Z zurückzugelangen,

ähnlich wie dies am Schlusse des vorigen Paragraphen geschah. Durch

2

mnm —1

Auflösung der in den (n — 1) Grössen

<

Y,

D

linearen

Gle10hunden

u82

+ 8

+ l g

Uo,

ug

+ u&

D

u(n—l Z + ’lt("_1).’ä2 + + ‚„(n-—l)zn——l e= q)n—-1__ u(n—l)

kann man umgekehrt z durch @ ausdrücken, sobald die Determinante

der linken Seite

F

n—1;2=1,2

(x—1 Z

n—1)

von Null verschieden ist

Dabei erhält man also den

rationalen

Ausdruck

A E aa 0 E E O

und durch Substitution von %,, %,,

On die.n Werthe 2,, 2,,

An

Verschwindet jedoch die Determinante

dann bestehen (n — 1)

Grossemh A

An—1ı, die nicht sämmtlich gleich Null sind, und

für welche

Al (q)n—l __u(n—l) +A (q77z——-»2

Wr A Z

Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen.

121

wird. Dies muss für jedes @ und insbesondere für die » Werthe von

@ geschehen, welche den Werthen z = 2|, %,

Z entsprechen.

Unsere letzte Gleichung müsste also die » Wurzeln @,, %,,

..q)„

besitzen; allein da sie vom (n — 1)*" Grade und nicht identisch erfüllt

ist, so geht das nur an, wenn mehrere der @,, %,,

- @n einander

gleich werden. Dabei ist die Lösung des Systems nicht möglich.

Deshalb verfahren wir allgemein so, um 2 mit Hülfe der @ darzu-

stellen: Zuerst wird (9) nach der früher besprochenen Methode von

etwaigen vielfachen Wurzeln befreit. Hat man dann durch Auflösung

alle von einander verschiedene Wurzeln von (9), etwa

Pır P2,

-o$„

(w<m)

gefunden, so weiss man, dass die Gleichung für die Unbekannte z

Un —18 71 + Un 2 + ... FU —+ ( — Pe)=0

(“=1?2:' 7’)

mit _ der vorgelegten Gleichung

H—a y .ı=0

mindestens eine Wurzel z gemeinsam hat. Durch Division findet man

den grössten, gemeinsamen Theiler 7(z, o) beider Ausdrücke und er-

hält dadurch, im Falle nur eine gemeinsame Wurzel besteht, diese auf

rationalem Wege. Haben dagegen die beiden Gleichungen w Wurzeln

gemeinsam, so steigt der Theiler 7(z,) zu demselben Grade w an

’

und aus ihm müssen dann durch weitere Lösung der Gleichung

T(z, g) =0 die Wurzeln z bestimmt werden.

Wir wollen als Beispiel die Gleichung

— —42 +4=0

betrachten.

Hier setzen wir die besondere Form

P= W F 48 + 42° = W + u (4 + 2?)

an und erhalten damit

9° —> ( — 124?) + Qg + 40,?) ( + 2?),

’ = ( — 36UU? — 96u?) + (3u *244 + 24u,u,? + 52u?) (2 + 27).

Man erhält

@O 100 aa 20 u94 + 28u,?) D

— (* + 1047 + 289042 4 24u,?) =0.

Diese Gleichung hat vielfache Wurzeln; diejenige Gleichung, welche

alle ihre verschiedenen Wurzeln in einfacher Multiplieität liefert, ist

B° — 249 + 8u,) ® + (w? + &uu + 12u,?) =0,

und daraus erhält. man

Pı = U + 24,,

Pı — U A 6t4.

122

Zehnte Vorlesung 8 114—115.

Nun muss zuerst der gemeinsame Theiler der beiden Gleichungen

Ü O n 42 + 0 = W + 2u,

bestimmt werden.

Dieser ist

Pa Y

Und darans (ereicht sich 4 = 1 —2 _ Mbenso! suchen, wır den

gemeinsamen Theiler von

—— 47 +4=0 und 8 + u42 + M = U + 6u,;

der ıst

Ar A=z=U

und aus ihm folgt die dritte Wurzel z = +

a

9

unserer Gleichung.

Natürlich muss der Fall, dass mehrere der Werthe von @_ einander

gleich werden, gleichgültig wie die w gewählt sind, stets dann vor-

liegen, wenn /(2) == 0 einander gleiche Wurzeln besitzt. Durch unsere

früher besprochenen Methoden können wir aber das Eintreten dieses

Falles durch voraufgehende Behandlung der zu Grunde gelegten

Gleichung f

——

O stets beseitigen.

Ferner können auch trotz un-

gleicher 5 %;

gleiche Werthe @ für besondere Specialwerthe der

w vorkommen, wie sich dies in unserem Beispiele gezeigt hat, bei

welchem ja z2' und z? in dem Ausdrucke @ den gleichen Coefficienten

besassen. Daraus aber folgt, wenn etwa @, = @g ist, dass

U f UBa F U98E F 4 + Un —12271 + 8g FU F + Un 1267 *

wird, dass also zwischen den Wurzeln der Gleichung gewisse Be-

ziehungen bestehen.

Bei sogenannten allgemeinen Gleichungen,

d. h. bei solchen, zwischen deren Wurzeln keine algebraischen Rela-

tionen vorkommen, werden @,, @, ::: @„ Stets von einander verschieden

ausfallen.

$ 115.

Man kann die in (7) auftretenden, bisher unbestimmt

Un— ı dazu benutzen, um eine Anzahl

gelassenen Grössen 4, U,

der Coefficienten U, O, Cs,

zum Verschwinden zu bringen. Sollen

Z B die Grössen C4 C

Cxz zu Null werden, so reicht es nach

S 94-aus, dass Sı So,

S verschwinden.

Das giebt ein System

von homogenen Gleichungen, die, wie im vorigen Paragraphen gezeigt

wurde, der Reihe nach vom Grade 1, 2, 3, --- « werden. Dieses System

ist aufzulösen, wenn die Forderung befriedigt werden soll.

Wollen wir demnach etwa C = 0 haben, so brauchen wir nach

(8) nur

— 989 = U 8 F MS A 4 d UmSn

zu erfüllen, d. h. es wird zu setzen sein

DU (z E s,) + u (z2 m s2) + A Uı (z"“‘ n s„_1).

Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen.

123

Soll gleichzeitig 0, = 0 werden, dann muss auch S, zum Verschwinden

gebracht werden.

Dies erfordert schon die Auflösung einer quadrati-

schen Gleichung zwischen den (n — 1) Coefficienten u,, U,

Un—1-

Auf diesem Wege kann man die Gleichungen dritten und vierten

Grades lösen, indem man sie auf reine Gleichungen oder auf Gleichungen

nıederen Grades reducirt.

Ist zunächst die Gleichung dritten Grades

P —OE F 8=0=0

gegeben, dann kann man ug so bestimmen, dass 0, = 0 wird. Dies

geschieht, wie eben gezeigt wurde, durch die Annahme

al

q‚=u‚l(z—gsl)—{—uz<zz—

3

a

Bildet man dann S, und setzt dies gleich Null, so entsteht

U,“ (382 — 81") F Q, (385 — 5,52) 4 7 (3s4 — 5°)=0.

Hieraus folgt durch Auflösung

C —8 = [(5132 — 889) F V1 3Z] Ug9,

wobei zur Abkürzung

So Sı 59

Sı 53

S3

1 S9 Sg Sa

gesetzt ist.

Demnach wird die Substitution

g = [(% — 35) +V— 324182 —s) + Oa 52) Br —a

die vorgelegte Gleichung dritten Grades in die binomische Form

D 0

transformiren und dadurch auf eine reine Gleichung reduciren. —

Ist zweitens

Z GFa u=0

gegeben, dann wählt man ähnlich wie soeben, um © = S, zum Ver-

schwinden zu bringen, die Funetion

D l (Z 55 i 31) an (52_ Z 32) + Ug \23

4 %)

und sucht nun w so zu bestimmen, dass C, verschwindet, und also

S” — 38,8, + 28S; =0 oder hier einfacher S

wird. Das erfordert die Lösung einer Gleichung dritten Grades für ı;

vierten Grades in die Form

die hierdurch entstehende Substitution führt die vorgelegte Gleichung

(D4+C2(D2+0420

124

Zehnte Vorlesung $ 115—116.

und diese vermittels &£=: ®? in eine quadratische Gleichung über,

von deren Wurzeln aus man dann leicht rückwärts zu Z Za

3y Bq

gelangen kann.

$ 116. Wir wollen dieselbe Transformation (7) für die Gleichung

fünften Grades

E

1

-

—GFE — aa

5

0

verwerthen.

Hier nehmen wir zunächst wieder

tp=zq(z'— sl>—{—uz(z?—gs?)+u3(z3—333>—{—1(4(24 «34>-

Bildet man damit S,, so entsteht eine homogene Function zweiten

Grades. In %,, Ua, Us, U, eine sogenannte quadratische Form der vier

Grössen u. Um die Untersuchung hier nicht zu unterbrechen, nehmen

wir ein in $ 172 abzuleitendes Resultat als bereits bekannt an, dass

eine solche quadratische Form von vier Variablen in die Gestalt einer

Summe von der Form

Z

z

&U7 = ‚.26i (a $ Bıg + yıls + 01u4)?

gebracht werden kann, wobei die Anzahl der summirten Quadrate

unter Voraussetzung der linearen Unabhängigkeit der Grössen

&; U, F Bilg F Vlg F ilr

nicht grösser als vier sein kann, und wobei die Coefficienten &; von

den Variablen u unabhängig bleiben. Die Gleichung S, = 0 oder die

hiernach umgewandelte Gleichung

(10)

a Ha a LUr =Z0

kann man dann in die beiden linearen Gleichungen

Vg1 0 =V-&0,, V‘;?‚U3="V'“S4U4

zerfällen. Aus ihnen gehen immer nur lineare Beziehungen homogener

Natur zwischen u,, U, Ug, U, hervor, durch die man, wie bei der

Gleichung dritten Grades im vorigen Paragraphen, die Forderung

S, =0 befriedigen kann.

Trägt man die so erhaltenen Werthe in

S; =0 ein, dann erhält man eine homogene Gleichung dritten Grades

zwischen zwei oder mehr Variablen w; wenn man hier eine derselben

als Unbekannte betrachtet und sie aus dieser Gleichung bestimmt,

dann hat man Ci, C,, Cz zum Verschwinden gebracht, und die Gleichung

für @o geht in die Form

(11)

®5+C4@‘—'05=0

über.

Wählt man statt der Gleichung C = 0 die Gleichung

AD EL 0,

Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen.

125

welche in Folge der schon erhaltenen Beziehungen S, = © Sy=0

sich in

SG

verwandelt, so hat man nur eine Gleichung vierten Grades aufzulösen,

um die Gleichung für @ in die Form

(12)

DL CDC DG

zu bringen.

Wir haben bei diesen Umformungen keinerlei Gebrauch davon

gemacht, dass die Gleichung in z gerade vom fünften Grade war.

Alle unsere Schlussfolgerungen beruhten einzig auf der Form der

Substitution

D =U, (z——gsl) + (22—%82)—|—u3 (z3— gs3) +u4(z‘*—

5

s,)-

Der Umstand, dass bei Gleichungen höherer Grade die Anzahl der u7

und der U, eine höhere wird als 4, macht offenbar gar nichts aus,

und deshalb gilt das erhaltene Resultat allgemein. Man kann durch

Auflösung einer Gleichung vom dritten oder einer solchen

vom vierten Grade die Gleichung (2) für @ auf die Form

Dr + C4(D:L—4__ CÖan—5 + A i_ C„ =0

bezw. auf

D OD OD O —

reduciren.

Wenn man in die Gleichungen, welche beim fünften Grade er-

halten werden, statt ® den reciproken Werth é als Variable einführt,

erhält man die ergänzenden Darstellungen

DD ,

(13)

NL Z

Auf jede der Formen (11), (12), (18) lässt sich demnach die allgemeine

Gleichung fünften Grades stets reduciren.

Die hier besprochene all-

gemeine Transformation stammt von Tschirnhaus und führt seinen

Namen; die speciellen durch (11), (12), (13) gegebenen Resultate hat

Jerrard, ein englischer Mathematiker, abgeleitet.

Setzen wir in ( (12), (13)

für ® ein bezw. ®.V0,, <P-f/ä„

®'12/-1:2> GDE

I” , dann kommt man auf eine der, nur einen Parameter

enthaltenden Formen

BED D DL

D D 0,

Adi<-e für tabellarische Lösu

ng der Gleichungen fünften Grades verwendet

werden können.

126

Zehnte Vorlesung 8 117—118.

$ 117. Wenn wir aus der Theorie der quadratischen Formen

noch einen weiteren Satz benutzen ($ 174), dann können wir auch

über die besprochene Art der Transformation für die Gleichungen

fünften Grades noch andere Aufschlüsse erhalten.

Das Theorem, welches wir gebrauchen wollen, ist das folgende:

Wird eine quadratische Form von % Variablen auf verschiedene Art

in eine Summe von Quadraten umgewandelt

281 (D 2m V

bei der erstens die U, (und die V;) von einander linear unabhängig

sind, und zweitens alle eingehenden Constanten reelle Werthe haben

D

so ist die Anzahl der positiven sowie der negativen & (und n) von der

Art der Bildung der Summe unabhängig.

Lassen wir nun für die Gleichung fünften Grades in

£

ö

nur reelle

Coefficienten zu und setzen

P= 0 F 42 + 02 + u 2 + u e*,

so wird

S,

Sag f Sı U1 A Sag A S3Ug A SaUa,

2

s}(‚'(s°"° E U

ea “;‚ S12 S Ü"(“n

U4),

wobei % eine quadratische Form von 4,

u‚ bedeutet.

Da gemäss der Definition

S D A OE s“

ist, und da einer reellen Wurzel z, auch ein reelles %„ entspricht,

während

eın

conjugirt

complexes

Wurzelpaar

%ı = m + in,

u = m — in die Werthe

Yı = 0 + 0o6,

P i6;

Dır f Oa —200 20

liefert, so geht S, in eine der Formen mit reellen Constanten

S = @ 4 %F D F D *,

S a R e 20

S y O2 2 2

über, je nachdem die Gleichung fünften Grades in den z nur reelle

Wurzeln oder ein, oder zwei complexe Wurzelpaare besitzt.

Nach

dem herangezogenen Hilfssatze wird also die Umwandlung von % in

eine Summe von Quadraten entsprechend stets zu den Formen führen

N

Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen,

120

Sı

= 64 OR4 U U D,

3l

S‘)

2

BL

F5

‘5'12+ U12+ Uz2+ U32"" Uf7

Sg///

A

Disponirt man jetzt, wie dies oben geschah, so über die Constante Wo)

dass S, verschwindet, dann erhält man entsprechend den angegebenen

Realitätsverhältnissen der Wurzeln

Sa

=U + 0 + 04 02,

Sı

U12 + U22 + Ü'32 C U427

Sé”

E—

W — — Ü

Die Methode der Gleichungsauflösung von S, = O, wie sie in (10)

angedeutet ist, führt also lediglich‘ im letzten Falle, d. h. wenn die

Gleichung fünften Grades nur eine einzige reelle Wurzel besitzt,

dadurch, dass man

oder

U= U 0O= 0

U1=U4; U2=U3

setzt, auf Gleichungen zwischen den ı, welche reelle Coefficienten

haben; in den beiden ersten Fällen werden die Transformations-

constanten complex ausfallen*).

$ 118. In allen bisher durchgesprochenen Beispielen haben wir

@ lediglich als Function einer einzigen Wurzel z angenommen. Wir

wollen jetzt zu dem allgemeinen Falle übergehen, in welchem @ eine

Function mehrerer Gleichungswurzeln ist. Zuerst sei für die Gleichung

vierten Grades

# —48 FQ —0860 =0

die Funetion vorgelegt

® 8 f Aa

Man findet dann o = 3, und als die drei Werthe von (

D Aa a

Dı — 8183 A 2a84,

P3 — 184 T R8 -

Hieraus entstehen die elementaren symmetrischen Funetionen der drei @

Oı E S(2%) = G,

P, O2 4 Pı + OO = S(2125223) e —A

E

Pı P2P3

——

S(2, 27 23?) + 108324 S (2,)

E

*64 — 469604 + G,

und also wird die gesuchte Gleichung

R

D —— DG - e) DE e

-C4 + @)= 0

%) Sylr\;ester: On the so-called Tschirnhausen Transformation. J. für M.

Bd. 100, S, 465 ff,

128

Zehnte Vorlesung 8 118—121.

In gleicher Weise sei für die Gleichung vierten Grades die Funetion

A Z

vorgelegt. Hier findet man o = 6 und die sechs Werthe von w

Yr

s D

W SR ar s Aa

V

s —B —B Ray Vs= —01 Ba Ba Ba, Ve= — 81i 2 83 — -

Man erkennt sofort aus den Identitäten

1/’1+1/’4=0; 2,b2+1‚115———0‚ 1!13+1116=0,

dass die Gleichung sechsten Grades, deren Wurzeln %,, %. Sınd,

von der Form

LO CO

sein wird; das Gleichungspolynom kann hierbei in der Gestalt

@ y Ca VL 3?)

geschrieben werden, und daraus ergiebt sich

G =3(82)i — 88 (0.4)= 361 86

C = 36“ — 16676 4 166? + 160,06 — 6464,

G = 00 %) = ( — ACr6 a SC)i

P 86 — 86) P - (Bo* — 16670 AA60 - 1607r 640 E

2

2

— ( — 4616 + 86,)* = 0.

$ 119. Wir suchen ferner für die allgemeine Gleichung u*" Grades

die zu der Funetion

(p=zl+z2

n(n — 1)

gehörige Gleichung zu bestimmen.

Fün- e ıs o =

Z

»

2

und

weiter folgt für die S

o = m— Ys,,

2‘1’12 = 0 > DA 225152;

Z‘PÄ3 = @— 19 3221222;

Z

Hieraus s1:nd. démn C'„.C’2;

nach unseren früheren Formeln

zu berechnen.

$ 120. Jetzt sei

O = (& — %)';

nn

n

)

werden.

dann: wird .0 =

Wir wollen auch hier zuerst S,,

S, : So bilden; von da aus kann man dann mittels früherer Formeln

129

Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen.

zu , den CO

- © übergehen. Dabei verfahren wir nach dem Vor-

Wir setzen

gange von Lagrange folgendermassen:

hn(2) = ( — aır + (2 — yı A ( — an

Wenn man für z der Reihe nach %,, %,

- Zn einträgt und die er-

haltenen Gleichungen addirt, zeigt sich, da

S =2 @— aı

ıst

7

a

Andererseits ist, nach Potenzen von z geordnet,

A = 0R Ys D

21)L\2")‚——-1)8

12

2Z2m—2 COI RE + 7132‚„,

und deshalb geht der letzte Ausdruck über in

2m(2m — 1)

2Sm = NSam — 2MSSam _ı +

al

2

SE S

2m(2m — 1)

E

S = D

ZM S Sam —1 A

2

3252m—2 (n

2m(2m — 1)---(m + 11)

S]H, SIIL 2

E

DN|=

1-2...m

Von hier aus muss dann der Uebergang zu den U gemacht werden.

Für die Gleichung dritten Grades

—a F 02—0=0

findet man auf diesem Wege zunächst als Werthe der S

Sı = 388 — S = 207 —66,

S —351 — A 320 e 1862

Sı = 356 — 6855 + 15528ı — 10s;?

—260 1050 — eba - DlePe - be.o, —600 = Dlr

und daraus weiter als Werthe der C

Ö = S =260"—66,

C

=—

- (Ä_SLT‚ *$Z Z

2

014 “ 601202 Z 90227

==

CO

C

3

A OO B e — de) e

Hierdurch ist die Bildung der Gleichung für ® vollendet.

$ 121. Ferner betrachten wir das Product aller Wurzeldifferenzen

q)=

(ZÄ Gx Z.“) ’

An

ÜE

Für diese Function ist o= 2 und Cr =0.

Denn macht man irgend

Netto, Algebra. I.

9

130

Zehnte Vorlesung $ 121.

eine Umsetzung der z untereinander, so reproduciren sich alle Factoren

bis auf ihr Vorzeichen; es können also höchstens zwei Werthe @, und

P, = O, auftreten. Dies geschieht aber auch wirklich. Denn wenn

man iın dem ausgeschriebenen Produecte

@, = ( — %) (1 — %) @ A @ — Z)

( — 83) ( — Bı) : ( — Z)

&— :z4) E (Z3 =

.(z„_1— Zn)

die beiden Elemente z, und z, mit einander vertauscht, dann wechselt

der Factor (z, — %) sein Vorzeichen; die übrigen Factoren der ersten

Zeile gehen lediglich in die der zweiten über und umgekehrt; und die

Factoren der folgenden Zeilen bleiben überhaupt ganz unberührt. Es

ist also in der That &, = — @,, und daher 0 =2, C,=0. Für G,

welches wegen U, = 0 mit

3 S, übereinstimmt, entsteht

H ( d

C L u23 D:

A

Es ist dies dasselbe Product, welches im vorigen Paragraphen als

letzter Coefficient der dort behandelten Gleichung auftrat, und für das

Man kann leicht den

also bereits eine Herstellungsmethode vorliegt.

Ausdruck für dieses Product in Gestalt einer Determinante angeben,

deren Glieder aus den S, Sı, S)

gebildet sind. Denn bekanntlich

ist nach elementaren Determinantensätzen

1E

21n A

K E

n(n—1)

1252°

Ba

O

i Beng

Z n—1 r

und daher finden wir

L&

2'1"_1 |

Z

%

Zn

Z

ZZ7'_1

q)—_....—

Zln-—-l 2 n—1

z"_1l

ME

Z„n-— 1

S9

SS

Sp—1

Sı

Sa Sg

Sn

Sp—1 Sn Sna+1

San—2

Diese Determinante kann man nach der in $ 79 bereits benutzten

Methode umwandeln. Wir wollen es an einem Beispiele zeigen. Hs ist

Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen.

131

0

0

ISO Sı Sa

A

Sı Sa S58

Z

C

Sa S3 Sa

|

S59

Sı

S>

o

z C +C2

‘ ä

ä

Q

S9

Sı

Sa

S3

_cl

\SO

i

Sı

Sa

S3

Sa

0© ©

0

1

Führt man die Multiplication aus und wendet die Formeln ($ 91) an

Sı G59= — 26,,

S Sı T S0 ,

O3 T

dann entsteht das Resultat

_cl

G

Cg

0!

e

C

Z}

0!

C

C

C

0

O

@

O

C

C

—6

T

S

C

G

C

Cz

Z

C

00

3

261 Gl

3 OLG

© 0

!‘

—Z

2

03

R

0

03 280

0

‘ 0

0

—26

C

0

I8 206

0Q

|

00 &. Z0 @

Dieselbe Methode lässt sich allgemein durchführen und liefert die ge-

wünschte Umwandlung in der Form einer Determinante aus den c,;,

von der Ordnung (2% — 1):

L

C

0

0

O

0

C

0

00

Il

0

0

(n—1 Zeilen)

n_(f—l)

100

0

Cn—1

Cn

qu E (_ 1)_ 3

n (n—1U)ce, (n—2)6

On

(n—1)e

@©

Nn

0

0

(n Zeilen).

0

\l

OE Z

Wir wollen endlich noch die Berechnung von @* mit Hülfe der

oben (& 102) besprochenen Cauchy’schen Methode für die Darstellung

symmetrischer Funetionen herleiten.

Aus der Gleichung

MO Z —°— ic„=0

stellen wir die Gleichung (n — 1)*" Grades her (vgl. 8 A0

f (@)

Z — Z

Z C n - O

welchen 2

Zn als Wurzeln hat.

Wir nehmen an, dass für

diese Gleichung bereits das Product der Quadrate der Wurzeldifferenzen

9*

132

Zehnte Vorlesung 8& 121—122.

Elfte Vorlesung 8 123.

(Z2 S Zö)2 (Z2 GE 2'4)2 E6 (Zn——]_ Kn Zn)2 AD Vn—1

bestimmt sei, d. h. dass V„_, als Function der Coeffieienten der letzten

Gleichung ausgedrückt vorliege; diese Darstellung möge angedeutet

werden durch

V (CI)

OE

Dann ist das gesuchte Product @* für die Gleichung n“ Grades

C A

z D C ) COA

T (f,(‘71))2 D (C„ C 51)

e e Da en 2)ar LG N

Der so erhaltene Ausdruck wird nach geschehener Multiplication eine

ganze Funetion von 2, mit Coefficienten werden, welche aus c,,

Cay

.. C„

rational und ganz zusammengesetzt sind. Wenn man ihn nach 8 101

durch Verwendung von f(2,) = 0 auf den Grad (n — 1) in z, reducirt,

so geht er als symmetrische Function ($ 105) in eine von z, unabhängige

Funetion der c2 über; und diese giebt dann das gesuchte Resultat. Wir

können die angegebene Reduction dadurch ausführen, dass der letzte

Ausdruck für V, durch Division mit f(z,) in die Form

Yı =Q-f(@) + R(e,) = R(2,)

gebracht wird. Dann wird in dem Reste K(g,), der ja bei einer be-

liebigen Funetion V, bis zur (n — 1)* Potenz von z, aufsteigen könnte,

2, gänzlich verschwunden sein.

So ıstı beı x — 2 der Wertk Z — U und

C O R

Z ÖO

Für n ==3 ergiebt dieselbe Methode

Vı=Be 20 4 ) er A Alı— Ga anl

— (92,*— aa de? - 66)2 — A062 + (3 F 262 464 — 40)

_

IDA

—272° + 5402° — (276,? + 546) 2,* + (726,6 — 40,7)2,*

ABa A e A e a

(g — e + O8 — 6) (—272+4+ 27687 — 276,8, — 464 186,6— 276;)

— 4690 4 626 4 18662603 — 46° — 2763

so dass also das bereits oben gefundene Resultat

Yı = — 46368 + 6 + 186066 — 463 — 276;?

hier wieder heraustritt.

ä 122

Zum Schlusse behandeln wir die Aufgabe, diejenige

Gleichung herzustellen, deren Wurzeln alle m-n Producte je einer

Wurzel z2 der Gleichung m* Grades

9

Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Functionen.

13

}

B a

und je einer Wurzel y, der Gleichung n'® Grades

Y —O E 0

sind. Bezeichnen wir die Wurzelsummen der x, und der yı bezw.

So =äx;' und

6 -Du

u=1

dann werden die Ausdrücke

% =%7«’”ﬁ?/i z

6m'n

die Wurzelsummen der gesuchten Gleichung, und aus 6,, &,,

lassen sich die Coefficienten Cc,,

C

Cmn derselben herstellen.

Ein-

Wir bilden

facher ist folgende Methode.

N

l l ( — Quyaat E ya 2 a„y7) = 0,

A=1

Der unter dem Product stehende Ausdruck hat die Wurzelpunkte

X1Y2, XaYı, : AmYı, und also besitzt die Gleichung als Wurzeln wirklich

alle mn Producte x,yı. Dasselbe ergiebt sich natürlich auch in der Form

„»[ (y" — brg ! + beazyr72 —.. b.ar)=0.

Z=i

Führt man dann die Multiplication in einem der beiden Ausdrücke

durch, z. B. in dem ersten, so werden die Coefficienten symmetrische,

ganze Funetionen der yı und also durch die b; darstellbar.

Die in

S 111 befolgte Methode kann als Anwendung des hier Behandelten

aufgefasst werden.

Elfte Vorlesung.

Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Funetionen.

$ 123. Die umständlichen Rechnungen, durch welche eine Sym-

metrische Function vermittels der elementaren, symmetrischen Funetionen

ausgedrückt wird, lassen in manchen Fällen eine nicht unwesentliche

Abkürzung durch die Benutzung von Differentialeigenschaften zu, auf

deren Besprechung wir jetzt eingehen wollen *).

*) Vgl. hierzu „Theorie d, binären Formen“ von FaA di Bruno.

Deutsch

v. Walter. Leipz., Teubner.. 1881. Erster Abschn. S

134

Elfte Vorlesung $ 123—124

Wir legen dabei wieder die Gleichung n Grades

(D)

e O

+a4=0

mit den Wurzeln

(2)

%1 %, %89

Zn

zu Grunde und bezeichnen wie 'oben die Potenzsummen der Wurzeln mit

02 S17

27

Sry

?

wobei

___Zr+zr_'_ +Z7

(r=0,1,2

)

wird

Gelegentlich kann, früheren Betrachtungen entsprechend, ” auch

negatıve, ganzzahlige Werthe annehmen

Jetzt ersetzen wir in (2) alle Wurzeln z durch die Grössen

(3)

RC

D %s

A S @

28 + ZT;

hier soll %@ eine positive, ganze Zahl, und £ eine Variable bedeuten

Dann erhält man an Stelle von S, Sa, Ss,

die neuen Grössen

2(23 +ZU'=5 +s

(4)

2(@ O

FG + 2S,+1t —l— Sai

O + 331+9t + 39‘21+1t + 53;t3

2(»% + 21}

Weiter haben wiır noch zu berechnen

wie die Coeffieienten c der

Gleichung durch diese Annahme deandert werden

An die Stelle von

Ci) Car Cs)

treten der Reihe nach die Ausdrücke

e+aß, Deatataetrat, X@+A0a@+0@-+20),

d. h. aufgelöst

Yz1 +Zz; ; Zz Z +Z 2 8 +Zz' Z

Zzl 288 +Z Z Qgl +Zz‘ 2nl +Zzl D

Nun kommt es uns in diesen Ausdrücken, wie sich gleich zeigen

wird, nur auf die Coefficienten von 4 an

es reicht sonach für unsere

2, durch die c darzustellen

Man hat

Zwecke aus Zz A0g

SiCy— 1

Z; 288

Z +Zzl+lzgzg

zv—l;

O Z

=

“

Z1——2)

—Zz'+12223

z„„—Zz“T“’

+ Si+

2Cy—3

s +2 RD

— +2zl+%„

ZI—3;

'+' 8L+1—-261 — +Z”1+'_22

+2;z‘+'_1

+Sz+1—l S +2‘ZI+V_I

135

Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Functionen

und daher durch Addition aller dieser Gleichungen

(5)

Ez' D SO OE PE E

Folglich treten an Stelle der cx die Grössen

(6)

Oar ( i SEA En —

+ Sz+a——l) b +

$ 124. Betrachtet man jetzt eine symmetrische Function R der

Grössen z, die wir durch die 2,,

Zn ‚ durch‘ die 6,

Cn dürch

die SS

Sr

ausgedrückt folgendermassen bezeichnen wollen

= Rı(&,

%) = Ro(C,

Cﬂ) WE R (31; S9)

Sr,

)

und setzen in dieselbe für die z die Grössen (3), für die s die Grössen (4)

und für die c die Grössen (6) ein, dann stimmen in den entstehenden

Ausdrücken für Rı, R,, R3 die Coefficienten der einzelnen Potenzen

von t überein

Insbesondere wollen wir die Coefficienten von t be-

trachten

Man erhält hierfür

ÖR

z

31?1 Z E

Özl

n

Ol

0

Üc

+

D <s‚„ s„„) E

(Sl C

SL+101+31+2) +

—_ 1+2

1+1+3 „

Sz+2+

so dass also die D1ﬂ‘erent1al°‘lemhung entsteht

n

R

O Na

Qa

Z

AZN

Ä=1

2(801 ÜE )*** 2“18i+1—1g

A=I

S

In dem besondern Falle i = 0 geht (7), wie man leicht sieht, über in

@)

2(n—i— al —Ä)cl_l

_ZÄS)'_I Ös

Aus der beheb1g grossen Anzahl dieser Gleichungen kann man nur u

wesentlich verschiedene herausheben

Setzt man nämlich z=0, 1

2)

n — 1, dann folgt wegen der Recursionsformeln

Z

2

— 627

E

alr CS

= Gl

AA C2Zn 1+ C3Z"_2

+ C7Lz}.,

wie schon früher gezeigt worden ist

Sn

G OS S

E O9

Sp+1 = CGSn

T C + CgSp—2 —

SE

136

Elfte Vorlesung $ 124—127

und daraus ersieht man, dass die Gleichungen (7) auch für i=n

gelten, wenn sie für i =0,1,2

n+1

(n — 1) bewiesen sind

In gleicher Weise kann man auch rückwärts gehen und für i= —1

—2

Formeln aufstellen

Für i= — 1 ergiebt sich, wenn c = 1

eingeführt wird

RO

ÖR

ÖR

z

2, 02

läc

(S_16,

So Co) 3

- C Co)

+

S

lös

ZÄ 1 „—

Nun ıst nach S 112

C

n—1

c2

n—1

2c

3C

S_ı = 7,

C

SE

2

n

und aus (5) folgt für i = 0, was schon bei (7°) benutzt wurde

SoCy—1

S1Cy— 2 f S2Cy—3 —

+ 31—100

(%—-—'U+1)C„ il

Dadurch erhält man dann für @i = — 1 das Resultat

d aa

D OR

Za 08

n—1

C

<Öc Ka e > 2("+2 Ä)cl“23

i=2

cn—1 ÖR

ÖR

—.

D

ÖS;

-|-ZÄ A

i=2

ÖS

$ 125. Wir haben bei der Ableitung der Formeln (7) nur die

Beziehungen der z

der c und der s untereinander

aber keinerlei

Voraussetzung über die Natur der Function R benutzt

Folglich

gelten die Formeln (7) auch nicht allein für symmetrische

Functionen R, sondern für jede beliebige Function der Wur-

AD S

Z., die sich ja, wie die Wurzeln selbst, nach Auf-

lösung der Gleichung f(z)== 0 durch die c und also auch durch die s

ausdrücken lässt

Nehmen wın z. Bn =2, R= 7, S0 wird

(Cl F Vc1 —4"2) n ”(31 S V292—31)

ÖR

C

D

ıl

K

ÖC

Ve?—4c,

O

FE

ÖR

E

ÖR

1

l

SS —

—Z

ÖS;

V2sz u S‚

0S

V2s — Vsl’ }

——

Va —46 =

V2s —S = 2 — %-

Dadurch geht (7) über in die Gleichung

Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Funcetionen.

137

Cr

—1

z;'=s„-%(l+

) A e 8)

AT

Z

äl

=Ö'i5

(

ı SO

Z %

) + Si+1

A

und man überzeugt sich sofort von der Richtigkeit dieser Gleichungen.

$ 126. Wir wollen nun untersuchen, welche Beziehungen durch

(7) zwischen den z und den s fixirt werden, d. h. wir wollen das

System der partiellen Differentialgleichungen (7) integriren.

Setzen

wir s für R ein, so entsteht

Nn

010

(8)

(

V=

2 3 ä = ksk+i—l

h== 112 B 00

}

und zu diesen Gleichungen wollen wir noch die für 4& = 0 hinzu-

nehmen, indem wir s = n einführen. Die allgemeine Lösung von (8)

soll durch die Funetion s = @ geliefert werden, so dass

Zi_k

Z

A 02

F kak+i—1,

und im Besonderen für i = 1 auch

Pz

Zn

W

ıst

Gehen wir von diesen Gleichungen in bekannter Weise zu dem

simultanen Systeme von Differentialgleichungen

dz

d2,

d

—

Z

N

d

z

Z

An kopz,

über, so erhalten wir als erstes Resultat, dass das allgemeine %z

eine homogene Function der 2,, %,

2„, von der Dimension

[ wa

8 127.

Aus %, lassen sich durch

(9)

D

Ö,

PrıT=

A 02,

alle übrigen @; berechnen. Liegen zwei Lösungssysteme für (8) vor,

dann giebt die Summe entsprechender Funectionen ein neues Lösungs-

system., Hs reicht daher aus, einen einzigen Summanden

wl == g‘;’: z‘;z

Bn

(“1+“2+"'+“n=1)

von @, daraufhin zu prüfen, welchen Bedingungen er unterworfen

werden muss, um (8) zu erfüllen. Dann hat man die nothwendigen

Bedingungen für die Bildung von , und kann daraus jedes ; zu-

sammensetzen.

Aus (9) folgt, wenn wir die besondere Form von %, zu Grunde

legen,

138

Elfte Vorlesung 8 127—128.

n

Yıri—mı= r E C

v=11

und aus (8) dann

n

5k—1

E = 1P12n: BT 12n;06

MM

L 1)w12a„z;'‚+k—2‚

AÄ=1

u=1

y=1

so dass den beiden Resultaten gemäss für alle Werthe von i und k

und alle beliebigen 2,, %,

Z die Gleichung

R

„i—1

WE

Z

Z

u=1

u

A

Za gitk—2

VE

befriedigt sein muss.

Daraus ergiebt sich sofort das Bestehen der

Bedingungen

2

G Z

Q Z

(u + v),

und diese Gleichungen sind nur durch die Annahme zu erfüllen, dass

eins der «x gleich 1 wird, während die anderen gleich Null sind.

Aus dieser Speciallösung gehen nun, wie schon erwähnt wurde,

durch lineare Combination die allgemeinen Lösungen von (8) in

der Form

Pr Za ,

O

ok

(Za=1)

hervor. Die in Klammern hinzugefügte Bedingung folgt aus , = n

Wir wollen diese Ausdrücke in Rücksicht auf ihre Herleitung durch

S, bezeichnen und deshalb

(10)

Sı = q er + er + . + a

(Sw—)

setzen.

Die Sz sind also die allgemeinen Lösungen des ge-

sammten Systems (8).

Construirt man zu diesen S, nun Functionen C4, welche von

ihnen so abhängen, wie die c, von den s;, dann liefert dieses System

die allgemeinen Lösungen von (7).

Denn erstens ist es klar, dass es

Lösungen liefert.

Zweitens erkennt man, dass man von den all-

gemeinsten Lösungen der aus (7) stammenden Gleichungen

n

Ö6

Z

zl

D

ä

A

Z 0 OE

T

&,

An

O5

(

Z ist symmetrisch in den

)

«)

(«)

umgekehrt zu den Lösungen von (8) kommen könnte. Folglich liefern

die construirten C die allgemeinsten Lösungen. Man hat also den Satz:

Durch die Funetionen

(10)

Sp = a,8° + a8f + : + angt

A

und die aus ihnen abgeleiteten

139

Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Functionen

CZ

A D

(10*

MO Z Na

41 0, =S* — 68}8 + 888 + 3585

68%,

werden die allgemeinen Lösungen des Systems (7) geliefert

$ 128, Die Darstellung der durch (10*) bestimmten C vermittels

der z kann man einfach durch die symbolische Gleichung

(11)

A1 0, = (a %, + %2 F + @n8n)®

darstellen wobei die symbolische Potenz z@ durch die wirkliche Potenz

47

und der symbolische Ausdruck

a&

durcht a

1) (@u

)

(au—Ä'+1)

zu ersetzen ıst

m @

zu beweisen

ehen wir auf $ 94 zurück. Setzt man

dort in die Formel (10) statt jedes

Su

unser

a + e + + a z

und geht dann den daselbst eingeschlagenen Weg rückwärts, so kommt

man zu der Gleichung

1—02+60,#

C +

2 ag log (1 —zg2)

(11°)

=(1—2,2)“(1—22)%

(1 — 2.2)% ,

durch welche auch schon der Zusammenhang der € mit den 2,, %,

einfach festgestellt wırd. Durch Ausführung der Potenzirung und der

Multiplication auf der rechten Seite erhält man, wie behauptet wurde

AUG

An

Z

©

\

al

)

m

(%, + %2 + 7 %n = 4)

Er x !

a (a —1) :

; (@

—4 +1)

(%)

7

A

%

atı) z%ı

akn) P

da %r

(x)

73 (a121 + A98 + + a’nzn)(l)

Fordert

man von den allgemeinen Lösungen von (7) weiter noch

dassı nur Or ©,,

C von Null verschieden seien, während C„.1,

gleich Null werden, dann zeigt (11%), dass sämmtliche a,, q,,

ganze

Zahlen sein müssen; und da ihre Summe O‘le1ch n ist,

so liefern

dann die Potenzsummen

s5s= a + k +

E

140

Elfte Vorlesung 8 128 —130.

die allgemeinen Lösungen, sobald man auch die Gleichheit

mehrener der 2 Z

Z untereinander gestattet.

$ 129. Nachdem durch die Betrachtungen des vorigen Para-

graphen erwiesen ist, dass die Gleichungen (7) charakteristisch

für die Beziehungen der 2;, c2, S sind, so ist es klar, dass wesentlich

neue Differentialgleichungen überhaupt nicht neben (7) treten können.

Trotzdem wollen wir hier noch einige ableiten, deren Formen hin-

reichend interessant sind.

Statt der Wurzeln 2,, ,

Z führen wir jetzt in (1) die Grössen

(12)

A N f2) %

ein und untersuchen, wie sich erstens die Potenzsummen und zweitens

die Coefficienten der Gleichung dadurch ändern. An die Stelle von

Sx tritt die Summe

le—|—'i—l

f (@)

+

)

Die Euler’schen Formeln ($ 38) zeigen dann, dass für (x + i — 1)

<(n—1) der Coefficient von £ gleich Null und für (x + 4 — 1)

= (n — 1) gleich Eins wird.

Weiter folgt, unter Berücksichtigung

von (1) und mit Benutzung einer Bezeichnung, welche der in $ 87

eingeführten analog ist, die Richtigkeit der Gleichungen

4

Z

_C!(ln—l) 2‚;1—1 a 07(Ln—2)2‚711——2 Sa

f (%)

Z

f (&,)

“ 06-9,

%

——

V

OCr

”

1

2)z;t——2+...

—

2

— (0m—1)

n+1 ?

f (&)

z

(n—1)

l

n—2

z;z+a——l

©)

n:y-i:ya— 1%1

AD NL GLE

E 'C(n—2).

‚"f‚+a_ ıl

Zl

Z

z

HE aD

B

a—17

'f'(f‚)f

/"T(a>

und es ist also an die Stelle von s,, S,

-. der Reihe nach zu setzen

unter Fortlassung höherer Potenzen von £&

OO

Si) Sa ° Sn—i—1, Sn (” Z)

n—1

b Sn—i+ı FNn—i+ 1)C£"“”t‚

(13)

S @

C(n—— 1)

o

i+a—

wobei CD = 1 genommen werden muss.

Jetzt kommen wir zur Berechnung der Grössen, welche die c

ersetzen.

Es geht

Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Functionen

141

CC +Zf(z)

1(22+Z‚+ TE

O ID G, —i—2

@

a DA

Zl+cl)t

f'(&)

Y (2233 a

Z (21

C In 6 +

)t=53+2

ED A

Z

121+02) $

f (&

(C

1

W über

so lange der höchste Exponent im Zähler des Bruches

unter dem Summenzeichen <(n — 1) _ ist

verschwindet nach dem

Euler’schen Satze die Summe

Für c„—; erhält man dagegen

n—i— l_c n—1—2+ +cn—z——1)

OE 1)"—1_12 e

f (&)

= C„_s + (ü 1)n—1——1t

und weiter für C i Ca Hp

+

Zı

%i

b

Cn—i+1 E 2 E f

Gr

(

—l

n E

= CLE 2

f (@)

Ü= cn—z+l;

n +1

Cnp—i+2 + Z Zl

mLEL

Ü

f (&)

1—1

7l—1+2 3l

b

E

f (&)

Cn—i+2)

u.s.f. Es tritt demnach an die Stelle von c,

Ca,

(14)

wenn &« +n —i

Oaa Ar ( 1G WEn &’ = —0

ıst,

Nimmt man nun wieder eine symmetrische Funetion der Z

drückt diese auch als. Funetion der cı und als Funetion der Sı aus,

führt dann die Grössen (12), (13), (14) ein und vergleicht die boefﬁ-

cienten von € in den drei erhaltenen Darstellungen, so ergiebt sich

Z

En

OI

ÖR

ÖR

(15)

f (&,) 02 S

(

1)7L—1—1

_2k

Cm—y)

k+i—1 ä

TE

k=n—i

C=0 0

)

$ 130. Es lässt sich auch direct zeıgen, was oben durch all-

gemeine Schlüsse erkannt wurde, dass (15) gegen (7) nichts wesent-

lich Neues liefert.

Man kann namhch den Quotienten 2%: f’(z,) wie

eine jede gebrochene Funetion der Wurzel , in die Form einer ganzen

Function

142

Elfte Vorlesung 8 130—182

E

bringen ($ 108); dadurch geht die linke Seite von (15) ın die Gestalt

2(“0+ Oal Ar Ca A “n—-15n—l) 32

über, und dieser Ausdruck lässt sich aus den linken Seiten von (7) für

VED

zusammensetzen

Bildet man für die mittleren Aus-

drücke von (7) dasselbe Aggregat

so _ muss der mittlere Ausdruck

von (15) entstehen, denn sonst hätte man eine für alle Functionen R

ıdentisch erfüllte Gleichung

ÖR

=0

pläc +1Äßc+ +Pngc

die ja offenbar nicht bestehen kann, wenn nicht alle p= 0 sind

Für die Ausdrücke rechts gilt das Gleiche

So erhält man z. B. für n — 2 aus (7)

ÖR

ÖR

ÖR

r

löc}

02ı

Ö&

ÖR

ÖR

ÖR

ÖR

G S

200

%1 07 R 02

Andererseits ist für die Gleichung zweiten Grades

al

ül

P

SO

Z

mı — 26

j (z1) 22 FA

— 4C,

@ ce,}1—4c,

Multiplieirt man daher die Gleichungen des voraufgehenden Systems

in geeigneter Weise, so entstehen die zu (15) gehörigen Gleichungen

ıl

ÖR

+

1

ÖR

ÖR

f (&) 3z1

f (@)

) 0%

ÖC

1 -

Z

ÖR

ÖR

e ozi

+r

(Z) ÖIZ‚

35 D

$ 131

Die verschiedenen Gleichungen (15) wollen wir unter-

einander combiniıren.

Es besteht (vgl. $ 87) für die C die leicht ab-

zuleitende Beziehungsreihe

e —e OD LO

00—9,

CD _ 00-DE @ 00 = +

k—2

C(n —4)

e La CO

S cg C("—1)

Combinirt man demgemäss die Formeln (15), dann erhält man

Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Functionen

143

ÖR

CL

e

ÖC

\

ÖR

n—2)

EL

(n — 1) 2

_Z‘(„ +4KC

k=1

+*—läs+k’

ELr

ÖR

C

ÖR

ÖR

C

ÖC

G

ÖC

e

(16)

ÖR

ÖR

2) 08

O=2

+2(„+‚„)0„

k=1

R

ÖR

ÖR

1)71—4

ÖC

—6 DE

.

ÖR

_4)

ÖR

—(”_3)3

n—z3

k=1

Z(„ +*%) 0®

+k—1 33 +Ä

Hier kann man die rechten Seiten vereinfachen

Da - die 0 c

© durch SS

Sn darstellbar sind, so kann man jedes SA

qn—|—2;

Sn ratiıonal ausdrücken und braucht also in

duxch s S

den Ausdruck von R; keine anderen als die ersten n Werthe der 52

aufzunehmen

Thut man dies, dann fallen auf den rechten Seiten von

(16) alle Summen fort, und man erhält die einfachere Gestalt

(16°)

=0

Diese Formeln gelten aber, wıe ausdrücklich hervorzuheben ist, nur

- dargestellt wird.

in dem Falle, dass R frei von Sn-H1> Sa+2)

Unserer Herle1tung entnimmt Man 0'1810h281t1°‘ das Resultat, dass

die Ausdrücke in (16) bezw. gleich den Summen

Y OR

B —44 +F OR

Z AA

© 010

e (°1) äz1

Z

f (&)

OB

Z

ALa

f (z)

Ö0

werden

Daraufhin lässt sich dann auch ein directer Beweis nach der

mehrfach benutzten Methode geben

Setzt man in (16®) für R ein c;, so folgt

Ö

— —>

0S

——

%

( k9

dabei ist c& = 1, und c mit negativem Index 2 Null

$ 132

An die Ableitung von (7) in 8 124 sind noch zwei Be-

merkungen anzuknüpfen. Für i = 0 hatte man jede Wurzel z durch

8a + € zu ersetzen. Wenn nun die Funetion R nicht nur eine sym-

metrische Funetion, sondern zugleich auch eine Function der Wurzel-

144

Elfte Vorlesung $ 132—1838

differenzen (2, — 2g) ist, so ändert sich diese durch die neue Einführung

YON. %x -} * für. Z nicht, und es ist.für solche R

R(z +t,% +

%2 +0)=R @o 2

Zn)

Der Coefficient von £ in der Entwickelung nach steigenden Potenzen

von % ıst sonach gleich Null zu setzen, und man hat für symme-

trische Functionen, die gleichzeitig Funetionen der Wurzel-

differenzen sind,

(1

(

)

=0

„} Z(n HE l)c;_l _sz‚_l

In dem [‘alle dass R lediglich durch s,, S,

Sn ausgedrückt emche1nt,

ist die Summe rechts nur von 1 =1 bis 1= 12 zu erstrecken. —

Für i= 1 hat man jede Wurzel 24 in z (1 + ) umzuwandeln

Wenn nun R nicht nur eine symmetrische Funetion, sondern zugleich

eine eintypige Funetion

S (2< 28

)

Ca Br D

ist

so tritt zu jedem Summanden von S nach der Substitution der

Factor (1 + %)? hinzu, und also ist

R(“1 a

&n + Znt) = R +o9R-t+

Es ist somit der Coefficient von $ in der Entwickelung nach steigenden

Potenzen gleich p- R zu setzen, und man hat für symmetrische

eintypige Functionen von der Dimension p

(18)

22132

D

2/15; D pR.

ÖC, I

In dem Falle

dass /& lediglich Aurch S,, S,

S, ausgedrückt er-

scheint, ist die letzte Summe von 2

1 bis 1 = %” zu erstrecken

$ 133. Wir wollen jetzt von den abgeleiteten Differentialformeln

für die numerische Berechnung von symmetrischen Funetionen Nutzen

zu ziehen versuchen

Nach den Darlegungen von

96 ıst es stets

leicht, vorgelegte eintypige, symmetrische Funetionen $ der Wurzeln

als Funetionen der Wurzelpotenzen S,, S,

Sn

darzustellen; und

nach $ 99 macht auch die Herstellung des litteralen Theiles der Dar-

stellung von S durch c,, 6,

Cn keinerleı Mühe.

Setzt man diese

beiden vorläufigen Resultate in (16%*) ein und führt die angegebenen

Differentiationen aus

dann

entsteht

eine

Reihe

von

linearen

Gleichungen dadurch, dass man die Coefficienten gleicher Aggregate

der. c%cß

c9 einander gleichsetzt

Mit ihrer Hülfe lassen sich die

noch unbekannten Coefficienten des Ausdrucks der

Funetion durch

die c bestimmen. KEinige Beispiele mögen diese Vorschriften erläutern

145

Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Functionen,

KEs soll

5 = WC6* + 6763 + 19663 A U30* + U4C4

berechnet werden; die w sind unbekannte, numerische Grössen.

Aus

(16*) entsteht

@S

OS

—4

——4'=’L(4‚ +3

Z0 Z 00 MC

ÖS,

ÖS

2

FL

OS

0A6a

0 = (44.6,* + 2Ug0) 4 U201” + U4CG,

ÖS;

5 ba

0S,;

0 => (44696,” + 24 0,6 + U03) + (U60,” + 2u302) 6,

T U TU

Ks ist infolge dessen das System der sieben linearen Gleichungen für

die fünf Grössen u

“4='_4;

Ua 0 = 0,

U, A u = 0,

2Us + U = 0,

4w 4 u =0,

2u, + 2us + w = 0,

U U = 0

zu befriedigen.

Man erhält hierfür widerspruchsfrei die Werthe

W =1,

U

.__4’

1,(2=4:‚

U =25

U

und somit wird

sı =6* — 4676 + 466 + 260 — 464.

Wir nehmen ferner als zweites Beispiel

KG L Z

— U9C" C4 + Ur 0g 020g + U, 05 F M6° + U4020, + Ug + UG

und erhalten hier zunächst die Differentialquotienten

ÖR

ÖR

ÖR

Sı

D

0S

Ci)

0

= — = 20 6,

ÖR

ÖS

SpS2

253 = —

@E A0 — O,

ÖR

——

ö8

S153 — S4 = 076

— G63 — 269 + 46,.

Daraus folgt dann weiter durch Anwendung von (16°)

__62=f)/6,

w = — 12;

ö0 = 0G e O = 18

—426 — 6,”) = 46 + U96") F U20,” F 05 W= —3, U = 4;

3(— G° 4660 — 66) = (U41616 4 2U503) + (U46, C6 + W9C,})

e s

VE Z E ZUe

2(602 — 46 —26 F 40)= ( 6, C3 F 3UgC,? + u4C4)

T 6 66 + 2u563) + 509

w =0,

Netto, Algebra. I,

10

146

Elfte Vorlesung $ 133 —135.

und demnach schliesslich das Resultat

B SA 2 e - TEa Aee, — S0 FEA

Als drittes Beispiel wählen wir, um an ihm noch besondere Ver-

einfachungen der Rechnung zu zeigen,

R S(8, 29 8g 84) = Ugl F U40466 A U90405 E Ug62 E ULCE

Denkt man sich S durch die Potenzsummen s ausgedrückt, so treten

nur s; mit geradem Index 2 auf.

Denn aus der Bildungsweise von

S

S

96 geht ohne weiteres hervor, dass bei S(2912% ... 2%) nur Grössen

Sar Sar

S31

Sa1 ara

Sal+a2+aa 2

vorkommen können, in

unserem Beispiele also nur s;z mit geradem Index i. Es ist daher

ÖR

an

ÖR

n

ÖS;

?

=0, und dies giebt unter Verwendung von (16°)

C F 46 = 0, UsC + ZU3C461 F UgC3Co { Ur CoCz { U9CLC4 F U4Cs = ©

W= —4 = * %6 = —20 = —W4

Hierdurch sind die Verhältnisse der u unter einander bestimmt.

Um

nun eines derselben wirklich zu finden, machen wir die besondere

Annahme, dass die Gleichung in 2 vom vierten Grade sei,

Z# —RF — 68+6=0.

Hieraus folgt sofort R = c,, also hier und allgemein u = 1

Dem-

nach ist jetzt jeder der Coefficienten bestimmt, und es wird

R= —2664 + 2646 — 2666 + 6 +263.

$ 134. An den beiden ersten Beispielen des vorigen Paragraphen

hat sich gezeigt, dass die Differentialgleichungen (16*) zur Bestimmung

der numerischen Coefficienten ausreichen können.

Dass sie aber auch

wirklich stets zu diesem Zwecke ausreichen, wollen wir jetzt beweisen.

Aus der Herleitung selbst ergiebt sich, dass das System linearer

Gleichungen stets ein widerspruchfreies sein wird. ‚Bilden wir nun

zunächst für k/= n

ÖR

ÖR

C

A AES

ÖC

”

so treten auf die rechte Seite alle und nur diejenigen Coefficienten ,

d

welche in Aggregaten uwc%cß cX...C

vorkommen, bei denen Cc„ einen

von Null verschiedenen Exponenten 0 besitzt. Gleichzeitig sıeht man,

dass alle diese u nach der Differentiation wie vorher mit verschiedenen

Aggregaten dc“cfcX ... c9—1 multiplieirt sind. Ein Vergleich mit der

linken Seite giebt demnach die eindeutige Bestimmung aller dieser

Coefficienten.

Ist das erledigt, dann gehen wir zu

ÖR

ÖR

CO

A

ÖC

n

Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Functionen

147

über

Als unbekannte w können nur solche auftreten

die der erste

Summand rechts neu einführt, und das sind eben nur solche, welche in

Agoregaten uc“ ß c!

c9 vorkommen, bei denen c,_, einen von Null

verschiedenen Exponenten besitzt

Jeder derselben

gehört einem

anderen Aggregate von Potenzen der c an

Ein Vergleich mit den

entsprechenden Aggregaten auf der linken Seite der Gleichung liefert

demgemäss die eindeutige Bestimmung aller dieser Coefficienten

In

derselben Weise geht man weiter; und dadurch zeigt es sich, dass wirk-

lich alle w# eindeutig durch die aus (16*) fliessenden Gleichungen be-

stimmt sind

$ 135. Auch die folgende Methode liefert häufig bequeme Be-

rechnungsweisen für symmetrische Funetionen

Die zu bestimmende

Bünchon L z

„) denken wir uns durch die c ausgedrückt

und ın die Form

(19)

R = 0, + 0071 + 0,007? + - A 0916 F 00

gebracht

Worimm dıe 04 40,)

© noch unbekannte Funectionen von

C177 C)

Cp—1 allein bedeuten, und 0, den Werth von R (

gn—l 7 Cn)

angiebt, der zu den Wurzeln der Gleichung

MCn CL

OO

gehört. Wir nehmen an, dass dieses 0, gefunden ist. Weiter setzen wir

voraus, dass R als Function von s,, S,

S n der or A (S1 Sr

n)

dargestellt sei

Dann folgt aus (7°) für die Annahme (19)

M

Z(az +F+1—12)6-ı

“

E

_{_Ö91 C(7]l—l+ 1

R

3

DE

4=1

und wenn wir die als bekannt angenommene rechte Seite in die Form

= A F 6071 L 0077 E 0A6 0n

der Reihe nach aus den

bringen, dann ergeben sich O 0 0,

Gleichungen, welche durch Gleichsetzung der Coeffieienten von e

n

(

entstehen,

WE1

cn—1@q—l %,

Ä=1

(n—-* Ä+ 1)C;_13

n—1

(20)

DA OL S‘(n AA EDa 9q_1

2._1

n —1

9q—2

3Cn-—1@1——3 F ON

(% —2 + 1)C}‚_1

ÖC

Az=1

O

148

Elfte Vorlesung $ 135. Zwölfte Vorlesung 8 186.

Besonders einfach gestaltet sich die Berechnungsart, wenn R eine

Funetion der Wurzeldifferenzen von (1) ist; denn nach (17) werden

dabei sämmtliche o gleich Null zu setzen sein.

Wir werden auch hierzu zwei Beispiele behandeln, um das‘ Ver-

fahren zu erläutern, und zwar wollen wir gleich die zuletzt erwähnte

erleichternde Voraussetzung machen, dass R eine Funetion der Wurzel-

differenzen von (1) ist.

Wir legen die Gleichung dritten Grades

— H + QE—60=0

vor und suchen für sie

R = (& — %)* (1 — %)" (% — ) = 096 + 016 + 03-

Hier ist o, durch die Gleichung

—z F Q2z=0;

deren Wurzeln wir mit &, &, 0 bezeichnen, als

CZ ( — 46) @ = 0

bestimmt, und nun hat man nach (20)

O0ı z BCeN 2 2 1806 C6l

01 = — 46° E 1866

2699 = — 3(— 126° + 186) — 26,(186,) = — 546,,

W Z

folglich wird

R = — 2768 — 466 + 186,66083 + 626,? — 4643.

Das zweite Beispiel mag sich direct anschliessen, indem wir die

in gleicher Weise gebildete Funetion

R = (& — %)* (& — e

für die Gleichung vierten Grades

Z —+ — Ge+aA=0

berechnen.

Wir setzen hier

(21)

R 094 f 0 404 H03

03 wird aus der Gleichung

—+ a — 8=0,

deren Wurzeln wir mit &,, &, &, 0 bezeichnen, als

(C1 + €2)2 (;1 A C3)2 (C2 E €3)2 €ng22ca2

= — 276* —4663 + 186469633 4 076267 — 4626037 = 0

bestimmt.

Die Gleichungen (20) liefern dann

Die Resultanten und ihre Darstellung

149

C302

— 4[— 126,°63?+ 18626334 26,C6,?6;?]

— r5cl[ 8610 2660 126

6°)

— 2C,

= 1086 — 1266° + 5461067 4 260262760 — 86,%63];

o

Z

— 66,”03* + 1446263 — 8066703 + 186626 — 4676° + 166

Daraus erhält man weiter auf demselben Wege

260 = 4 —126163 — 8066 - 54666

8610 ))

— 36 (1446;? — 16066263 + 186,°c3 — 126

r O40

— 26a( — 126,°6g 4 28826 — 8066 + 180,%6,);

IS

— 19266 — 1286,* + 1446,°c, — 27c,

Endlich ergiebt sich

36300

—4(—192c, + 2880,6 — 1086,°) — 3e,(—256C, + 1440,°)

— 20 (= 126

= 756

Damit ist dann die Bestimmung von R vollendet, indem die gefundenen

Werthe für die o nur noch in (21) einzutragen sind

Zwölfte Vorlesung

Die Resultanten und ihre Darstellung

$ 136. Es sind zwei ganze Funetionen der Variablen z vorgelegt

MO AA

©

(m > n);

C)=0 L L E E,

es

sollen die

charakteristischen Bedingungen dafür ab-

geleitet werden, dass beide Funcetionen einen gemeinsamen

Theiler besitzen

oder

was dasselbe besagt

dass

die beiden

Gleichungen

(2)

@) = 0

© —0

mindestens eine gemeinsame Wurzel haben

Wir bezeichnen die Wurzeln von

@=0 On Ga 0

Xrn

?

g(2) =

”

ß17 ß2)

Ba;

dann können wir die cresuchte Bedingung einfach dahin formuliren,

dass ein «, mit einem ß, übereinstimmen muss, und dass also das

Product

150

Zwölfte Vorlesung $ 136—189

(3)

Byg= © ÖC B ßz)

a Bz)

(& —

ß ) (“2 5 ß2)

(“2

)

(n B m BD

(am

ßı)

verschwindet.

Hier ist die geforderte charakteristische Bedingung

durch das Nullwerden einer Funetion der Wurzeln allein ausgedrückt,

sobald man den Factor a*d" weglässt.

Fasst man aber umgekehrt

das zurückbleibende Product in Partialproducte seinen m Zeilen oder

seinen %” Spalten nach zusammen und bedenkt, dass

9(8) = b (£ — ßi) (# — ß)

(2

Bı),

(?) = A 8) (: — 2)

(em — (1

ist, dann geht (3) in die Gestalt

(4). Bırg = ao!](°‘1)9(“2)

9 (0m) = (— 1)"" BT f(ß1) F(Bo)

f(B.)

ül DeT;

hier sieht man, dass der Factor a*b“

0A0

nothwendig war, um R>;,

zu einer ganzen l‘unct10n der Coefficienten a„, b; zu machen.

D1ese1

Ausdruck R.,, welcher eine ganze Function der a,, d; ist,

giebt

durch sein Verschwinden

die

charakteristische Be—

dingung

dafür

dass f und g einen gemeinsamen Theiler

besitzen

Er heisst die Resultante von f und g

$ 137. Der erste Ausdruck von R-, in (4) zeigt, dass die

Resultante homogen in den b, vom m“ Grade ist; ebenso

zeigt der zweite, dass sie homogen in den a, vom n“ Grade ist

Ferner ist leicht zu erkennen, dass R in der Gesammtheit der

Coefficienten a,, b, eine isobarische Function vom Gewichte

mn wird (vgl. $ 99)

KErsetzt man nämlich die Functionen f und g

durch

/

aoß/n i_a 9„171—1

a

A0° +

-{ Am 07

und

bo2 +b192m_1+b92"_2+ +b97

so gehen die Wurzeln «x,, ß, in a«,o, ßı9, und der Ausdruck (3)

geht ın

ar bmgmnn(a/ N ß).) DE 9man,

über.

Es muss demnach R , so beschaffen sein, dass, wenn man jedes

a„, und b, durch a„o* und b,o* ersetzt, siıch die Funection einfach mit

0”” multiplieirt; wegen der Willkürlichkeit der a, b muss dies bei

jedem einzelnen Gliede der Fall sein, welches in Ry,, auftritt, d. h

wenn

cst. aarı

am h% baı

ban

Die Resultanten und ihre Darstellung.

151

ein solches Glied ist, dann muss, wie behauptet wurde

WE 2 a

S A O

+ Nan = Mn

werden

Aehnlich wie bei den symmetrischen Funetionen ist es durch die

soeben bewiesenen Sätze auch hıier möglich, den litteralen Theil der

Resultante zweier Functionen sofort aufzustellen. Ist z. B.m =n= 2

)

also mn

4, so folgt, dass nur Glieder der Form

W (ap?b? + a’ bo?) + 14 (Ayayb;ı ba + A, Agbybı) + Ug (AyAbob,)

+ U3 (ayazb,? + a boba) + U,a b}

auftreten können

Dass Glieder wie a@y“b,” und a,“b,” oder wie aya, b

UD A, 00

leiche Coefficienten haben, folgt aus der Symmetrie der

Bildung hinsichtlich der Funetionen 7, g von gleichem Grade

$ 138. KErsetzt man die Funetion g durch das Product g,(2)g,(z)

zweier Funetionen der Ordnungen %, und %,, dann zeigt die Formel (4)

die Beziehung

Rfa NN

anı Ta (g, (0,) 92 (04))

(91(@m)I2(@m))

= aMg (&) +

91 (oc,„) an 9 (“1)

Jr (Cm

Oln @S S0

(5)

R;

{ SI S

Pf Iı Rf; 92°

Aus derselben Formel (4) folgt, wenn q eine Constante bedeutet

Rpg+af = M [g(&,) A Qf(“1)]

Lg (&m) + q f (e@m)],

@C . es yıdı wl C0

ist, die Gleichung gelten

(6)

Rf‚y+qf A Rf g

Nimmt man in (4) ferner g(2) == z", dann werden sämmtliche ß

0‘1e10h Null und es 91g1ebt sich die Spec1alformel

(7)

B z

S

SE N 1)mn [f(0)] S (_ 1)mn a*.

mM

$ 139. Die Be1echnun@ yvon R- , durch (4) muss sich auf die Aus-

werthung der verschiedenen in (4) eingehenden-symmetrischen Functionen

stützen. Das ist sehr unbequem. KEinfacher lässt sich die Berechnung

auf die Darstellung von R , durch eine Determinante gründen

Wir

betrachten zu diesem Zwecke.das System von (m + mn) Gleichungen

—_

0

ÜE /(Z)) + Am — 1& + + 7 E

?

(n —1E a

_>

2

(am

AA am 0

bn

= 0

o On

D

+ —I—bz„—l—bz"+1

=0

Z

Zm—1 + + b Zm+n——-l SA 0

152

Zwölfte Vorlesung 8 139—140.

und fassen sie als homogene, lineare Beziehungen für die (m + n)

Grössen al .. CS

zm+n—1 auf. Die n ersten sind wegen (1) iden-

tisch befriedigt, die m letzten gelten nur für z — B B Man

erhält also nach anderer Anordnung von Spalten und Zeilen die für

u= f(ß,), F(B2),. - f(B) geltende Gleichung nr Grades in u

Ag Ar Ao

Im

—u 0

0

N N U

Am —1

020

Am —U

(n Zeilen)

C

A,

Am

4

0=

;))

,

bn— x sz

0

;

KL SE

bnT2 .bn.—l bn

‘ (m Zeilen).

000

8 A DE

L HS

b

Diese Determinante ist demnach eine Function n° Grades in u, deren

Nullwerthe die Grössen f(ß,), f(ß), -:- f(ß.) bestimmen. Dividirt

man diese Function durch den in ihr auftretenden Coefficienten von w”,

dann wird das von w freie Glied = (— 1)"-f(ß,)-f(ß.)--f(Bß.)- Der

Coefficient von (— u)* ist hier (—1)""b”, und somit kommt man zu

der Gleichung

AAy Ar

A

0

(n Zeilen)

|

e

alll‚'— ıM ; am.

(8)

0

0

Ryg== Ag(@,) + g(Am)

CZ

CZ

Am | =— (_1)mnbzzf(ßl) E f(ß„3‚

bn—l

b

0

(m Zeilen)

L

© ©

On

welche die Resultante in der Form einer Determinante vom Grade

(m + n) darstellt.

$ 140. Wir dringen auf dem folgenden, von Euler*) angegebenen

Wege der Betrachtung noch tiefer in die Natur der Frage ein.

Haben f=0, g= 0 eine Wurzel @ gemeinsam, dann besitzen die

Polynome der Gleichungen die Formen

e O U OC

wobei fi, 9ı ganze Functionen der Grade (m — 1), (n — 1) sind.

Hieraus folgt dann durch Combination die Gleichung

( A

(9)

%*) Euler: Mem.\de Berlin 1764; p.96.

Die Resultanten und ihre Darstellung.

153

Umgekehrt ist durch die Existenz einer solchen Gleichung, in welcher

fı> 9ı micht identisch verschwindende, ganze Funectionen der Grade

(m—1), (n — 1) bedeuten, auch der Beweis für die Existenz einer

gemeinsamen Wurzel von f=0 und g= 0 zu führen; denn g,;(2)

kann nicht alle linearen Factoren (z2 — ß,) von g(z) enthalten, und

daher giebt es mindestens einen Linearfactor von g(z), der auch in

f (@) auftritt.

Schreiben wir jetzt

fi= ya S E a E WD

(10)

O FT AA OE A A O

tragen dies in (9) ein und setzen in dem nach Potenzen von Z geord-

neten Ausdrucke alle einzelnen Coefficienten = 0, so entsteht das

Gleichungssystem

==

A9do

—b%

0,

&199 { AoQı

==

0

’

(11)

'“. br 2'9n 67 b(')191 f

.

aln9n—2 + C;'m—l QIL—-1

p bnpm—2 ZE3% bn——‘lpn‘z—l S 0 ’

a77L

Q7L—l

—.

D 0}

Die Kxistenz einer gemeinsamen Wurzel @ fordert somit, dass diese

in den p und qg homogenen Relationen durch ein System von Werthen

P, q, die nicht sämmtlich verschwinden, erfüllt werden könne.

Die

Determinante muss also gleich Null sein.

Sie ist nach Umstellung

von Zeilen und Colonnen gleich der in (8). aufgeschriebenen und

wieder gleich der Resultante R ,.

Diese Methode trägt noch weiter. Kann man zwei nicht identisch

verschwindende, ganze Funetionen f9, q0 der Grade (m — 2), (n — 2)

bestimmen, für die identisch

©°

f.g® — g.f@=0

wird, so besitzen f, g einen gemeinsamen Factor zweiten Grades und

umgekehrt, so dass in (9*) die charakteristischen Bedingungen für das

Bestehen zweier gemeinsamer Wurzeln vereinigt sind. Der Beweis

für diese neue Behauptung ist dem bei (9) gegebenen durchaus

analog. Wir brauchen hier in fj, g, aus (10) nur. p,, q gleich Null

zu setzen und das Gleiche in dem Gleichungssysteme (11) zu thun,

um den jetzt zu untersuchenden Fall vor uns zu haben.

Das System

der homogenen Gleichungen besteht dann aus (m + n — 1) Rela-

tionen zwischen (m +n — 2) Unbekannten, und die hinreichenden

Bedingungen für unseren Fall liegen in dem Verschwinden aller De-

terminanten (m + ” — 2)'° Grades, die aus der Matrix

154

Zwölfte Vorlesung $ 140—141

Ay Ar

Ar

0

07

Am —1 Am

(n — 1 Zeilen)

|

E

Dn

(m + n — 1 Spalten)

b

b„_1 Ö

‘

}(m — 1 Zeilen)

entspringen

Bekanntlich sind dies nur zwei Bedingungen.

In derselben Weise kann man fortfahren.

Für %* = n =2 z. B. erhält man als charakteristische Bedingung

für die Existenz einer gemeinsamen Wurzel vermittels des Systems

A9ßo

e

=0

A, ßo + Aoßı

Dn

O z

D

0a F ß

Da

D O

?

A ßı

Z

die eine Gleichung

| @& G,

RO

o &ı

(12) 0=

ib D

A bo)

(agb, — a bo) (a,

0

b

.“(“o

10 2

br

und für die Existenz zweier gemeinsamen Wurzeln bei m=n=2

aus dem Systeme

ABı

b& —0

a ßı

O z 0

a ßı

D ZO

zwei von den drei Gleichungen des Systems

/

E Oa

0=

HAL

)

} A a1‘ wao

b

7E

d

h

da

A = 000

Man erkennt leicht, dass es auch ausreicht, zu der Bedingung (12) noch

Ay Ar

0

0500

hinzuzunehmen

$ 141. An diese Kuler’sche Methode lässt sich am einfachsten

die Ableitung der charakteristischen Bedingungen der Kxistenz eines

grössten gemeinsamen Theilers von bestimmtem Grade für die Funetionen

f und g knüpfen

Die Resultanten und ihre .Darstellung.

155

Aus dem Systeme (11) erkennen wir, dass das Verschwinden von (8)

die nothwendige Bedingung für die Existenz eines Theilers vom ersten

Grade liefert. Wir nehmen an, (8) wäre erfüllt. Dann setzen wir

f(l)

p(;zm—2+pl’zm—.‘} + . +PÄ;—2;

(10°)

Z 00 A A n

mit unbestimmten Coefficienten p’, qg’, tragen dies in die Funetion

@*

f f N A

ein und bilden das System der Coefficienten

A090

a 50106

=cé}

==

e

S

.

C$„;(l,;_5 + a.m—l C_];; —2

A bn‚p‘r;L—;‘} a bn——-lpr;z—2 W C;n+n—3 ’

Am

Qn—2

G br1‚pr;z —2 — Cr;z+n—2 .

Sehen wir von der letzten dieser Gleichungen ab, so haben wir

(m + n — 2) Iineare, nicht homogene Relationen zwischen ebensovielen

Grössen p’, q’. Wir können also, wenn die zugehörige Determinante

(m + n — 2)t Grades

A Ar

A

0

!

Am —1 Am

30 A

(8°)

RO

; J(n — 1 Zeilen)

%,

b

0

O OO

](m — 1 Zeilen)

von Null verschieden ist,

die Coeffieienten p’, q’ so bestimmen, dass

06=0‚ ci=())

cr;z—|—n—4 S O; c;n+n——3 O -R(1)7

und also nach (9%*) auch

fg f ROrg nn

wird. Diese Gleichung zeigt, dass f und g nur einen Theiler ersten

Grades besitzen; denn hätten sie einen solchen höheren Grades, dann

müsste auch die rechte Seite durch ihn theilbar werden.

Es liefern

u = 0, MO

die charakteristischen Bedingungen _dafür‚ dass fund g einen

Theiler vom ersten und von keinem höheren Grade gemein-

sam haben.

IS6 dagegen RC 0 dann kannn manı durch ein nicht ver-

schwindendes System von p’, q’ die Gleichungen

156

Zwölfte -Vorlesung $ 141—142.

Cé=o) C£=O7

dn+n—4 SAr O; C7‚n—l-n——3 =0

befriedigen. Dadurch wird wieder gemäss (9*)

f.'(}:l) l /£1) — C7;a+n—2 .

Hier muss die rechte Seite zu Null werden; denn f und g haben

einen Factor gemeinsam, und es giebt demnach einen Werth von Z,

der die linke Seite zum Verschwinden bringt. Aus

Z

folgt nun genau wie oben bei (9), dass f und g einen Factor min-

destens vom zweiten Grade gemein haben.

I6 Rr, = 0 und RO = 0, dann setzen wır

f}2) An P(’)’Zm—3 _+_ pi/zm—4 + B + p;;;—-3;

(10”)

/r

S c

n—3

mit unbestimmten Coefficienten p”, q”, tragen dies in die Function

(9”)

K E L,

ein und bilden wieder die Reihe der (m + ” — 2) Coefficienten

A o

—b

= %,

(117)

H D

Sehen wir von den beiden letzten Gleichungen dieses Systems ab

2

dann haben wir (m + n — 4) lineare, nicht homogene Relationen

zwischen ebenso vielen Grössen n”, q”'.

Wir können also, wenn die

zugehörige Determinante (m + n — 4)*" Grades

0

An O

Am

0 &%

Am —1 Am

? } (n—2 Zeilen)

(8”)

RO —

b

0

©

bn—l

BA

] (m—2 Zeilen)

I

von Null verschieden ist, die Coefficienten p’, q so bestimmen, dass

CZ

Cm-+n—5 = K,

und also nach (9°) auch

I OO

wird. Diese Gleichung zeigt, dass f und g nur einen Theiler zweiten

Grades besitzen; denn hätten sie einen solchen höheren Grades, dann

müsste auch die rechte Seite durch ihn theilbar werden. Es liefern

Rfy!] 3 07

A 0,

RO &0

Die Resultanten und ihre Darstellung.

W5

die charakteristischen Bedingungen dafür, dass f und g einen

Theiler vom zweiten und von keinem höheren Grade gemein-

sam haben.

In gleicher Weise können wir fortgehen.

Definiren wır daher

n E 1 Z

aVIL

0

/

&o Or

|

An —1 Am

.

O

RO

} (n—v Zeilen)

(8°)

bn

0

21

bn——l

On

$ 3

Z ](m—v Zeilen),

Es liefern

So können wir sagen:

Rız=0, RO=0

.. Re—9 = 0, RO &0

die charakteristischen Bedingungen dafür, dass f und g einen

Theiler vom o und von keinem höheren Grade gemeinsam

haben*®).

$ 142

BEzout hat eine, dann weiter von Jacobi durchforschte

Methode angegeben, welche die Resultante in der Gestalt einer Deter-

minante vom m“ Grade (m > n) liefert**).

Ist g von geringerem Grade als f, so bilden wir nach (5) und (7)

91(Z) An 9(Z> S Zm—n)

—b

(_ l)m (m—n)

Rf‚9

M —N

E

mM

Dass hierbei a„, als von Null verschieden angesehen werden muss, ist

keine wesentliche Beschränkung.

Die letzte Formel zeigt, dass wir

/ und g als von gleichem Grade voraussetzen dürfen.

Wir führen nun die folgenden abkürzenden Bezeichnungen ein

('1; 5"') 5 alb‚u

Au bz 5

d =0 SE CD

Für die d besteht auch die Gleichung

d= 0, i+k-D+0O,itk-2 + +—1,9;

und weil die beiden rechten Seiten sich nur durch verschwindende

Glieder (2, u) + (w, 4) oder (v, v) unterscheiden, so ist

dei=

üike.

*) Diese Herleitung ist von W. Scheibner gegeben: „Mathematische Be-

merkungen.‘““ Leipz. Ber. 40. S. 1—13. Vgl. auch M. Noether: „Ueber den ge-

meinsamen Factor zweier binären Formen“. Erl. Ber. 1895; 12. Nov.

**) B6zout: Mem. de Paris 1764; p. 317: — Jacobi: De eliminatione va-

riabilis e duabus aequationibus algebraicis. Werke II; 295.

158

Zwölfte Vorlesung $ 142— 144

Hierfür erhält man

AI —f

f AT + dım

(g + a)g —02 +b)F

Z c Z

(13) (ay2’ +a 2 +a,)g

by8 4 b 24 b)f=der AAy AL da

f—a

(

Z

">( Ö (9 Z m>f

e (ZIIL 1 Zm d + d an_2+ + d77£ m

Für jede gemeinsame Wurzel

<

2

= @ verschwinden die linken

Seiten von (13), also ist dann

(14)

S——\(l‚]„|————0

(l ]v——]. Q

m)

Dieser Determinante hat Herr Sylvester (On a theory of the SYZYy

getic relatıons ete

Phil. Transaet. of the R. Acad. of London. V. 143

1853) den Namen BeEzoutiante geveben

Unserer Ableitung

nach

ist ihr Verschwinden eine nothwendige Bedingung für die Existenz

einer gemeinsamen Wurzel von f= 0, g=0. Dass dies umgekehrt

auch hinreichend ist, lässt sich in directer Anknüpfung an die Form

von S zeigen ($ 145). Wir wollen dasselbe ferner in 8& 144 durch

Vergleichung von S mit R , nachweisen

Cayley hat den Funetionen (13) eine andere Erzeugungsweise

gegeben*). Bildet man

OO OO

f(£)

98

S

@

SE

5

=g(g) [a (E"—* + C'”““’+ EG

gm——ö _+_ )]

—*f(2‘)[b (€m—l_+_ ;;„-2+ )+b (;m—’

gm—3 _+_ )]

[(/(Z)ao—f(“)boj OTE E ONO ON

so treten sie als Coefficienten der Potenzen &“—1

Cllt —2

auf.

Uebrigens hat Jacobi (Werke II

99) bereits die Form

O

zur Berechnung der Functionen (13) benutzt

Ueber weitere Darstellungen vergleiche man Baltzer’s Theorie

und Anwendung der Determinanten ($ 11)

$ 143. Wir können hier auch noch an frühere Untersuchungen

anknüpfen

Wenn wir in den Gleichungen (13) aus den beiden

erSsteh. Dn

dann aus den drei ersten z”"—?

u. s. w. durch lineare

Combinationen eliminiren,

so gelangen wir zu dem Gleichungs-

systeme

J. für’M. 53

) Cayley: Note sur la me6thode d’6limination de BEzout

S. 366

Die Resultanten und ihre Darstellung.

159

I — f da d

<

m —2

+ digzm—-3 +

(13°)

VIg— ıl =

dé2zm*‘_? + dé327n_3 +

.9 —f =

dé3 gm—3 +

ın welchem

d,, dıa

dra |

dl‚a a dloc; d:;a r

du dla

da =

CZg @&

dl Aa

d2l d22

?

dz, d3,

d3tx |

S

Bezeichnet man eine beliebige der Gleichungen

(13®) kurz durch

Bg = O f

E=—

Z

dann folgt sofort wegen [wx]

[9a] = «

LO E

es muss also nach den $ 72 gegebenen Auseinandersetzungen die

Reihe der Funetionen rechts in (13*) mit den Restfunctionen identisch

sein, die bei der Aufsuchung des grössten gemeinsamen Theilers von

f und g vorkommen, oder von diesen nur durch gewisse Factoren unter-

schieden seim. In dem sogenannten regulären Falle, in dem jeder der

Quotienten der Divisionen vom ersten Grade ist, erhält man die Rest-

funetionen selbst oder mit Constanten multiplieirt, und die obigen Aus-

drücke für die d’ geben eine neue Darstellung ihrer Coeffieienten.

$ 144. Wir kommen jetzt zu der Vergleichung der beiden De-

terminanten S und‘R/-,. Für die Umformung der einen in die andere

findet sich bei Baltzer (Determ. $ 11) ein Beweis, dem Herr

Gordan“) eine concisere Fassung gegeben hat.. Wir wollen hier einen

anderen vortragen, der den Vorzug besitzt, unverändert auf die Sub-

determinanten R®, R®,

ın (8°) anwendbar zu sein.

Wir - setzen

auch hier wieder m = n voraus.

Aus R stellen wir zunächst ein RO = + R® dadurch her, dass

wir die Gesammtzeilen der @ für sich in umgekehrter Reihenfolge

schreiben und ebenso die der %, also die (m — v — «)® Zeile als

(« + 1)® und die (2m — 2v — a)® als (m—v+a-+1)%. Aus

R® leiten wir ein RO = + R® dadurch ab, dass wir die

Spalte

(m — v + a«)®

in umgekehrter Elementen-Folge zur « Zeile machen

(“==1‚ 2)'

m — v) und die x Spalte auch von unten nach oben

geschrieben zur (m — v + 0S Z

KEndlich formen wir ein R®

aus R6), indem wir die letzten (m — v) Zeilen und Spalten je mit

(—1) multiplieiren.

Bildet man nun

E

RO RO — + RO RW,

*) Vorlesungen über Iuvariantentheorie; herausgeg. v. Kerschensteiner.

BALIS S

160

Zwölfte Vorlesung 8 144—145,

indem man wie gewöhnlich die Zeilen des ersten Factors mit den

Spalten des zweiten combinirt, so erhält man eine Determinante, die

sich sofort als das Quadrat von

(15)

SO — | diz |

@ k=1,2,-.. m —v)

ausweist. Es unterscheiden sıch demnach R© und S“ höchstens durch

ıhr Vorzeichen.

Bevor wir dieses bestimmen, wollen wir an einem

Beispiele den Gang der Rechnung erläutern.

EsS sa m z 4 1:

dann wird

© ©

Ön s

_a2

_a1

AAy

A,

A

,

0y A

_a3

._a2

O

CZ

A,

As

|

Az

A,

b;

0 y

AaQ Ar

__b0

A

0

0

00

3

b

d

_bl

Ar

Ag

0

006

b3

%

_._b2

_bo

A9

A,

Ay

b d

020

G (O;1) (022)

(0,3)

0 @l

(4,2)

0

0

(0,2) (0,8) +(1,2) (0,4) + (1,8) (1,4)

,3) (0,4) +(1,3) (1,4) + (2,8) (2,4)

0

0

X

0

0

0

(0,1) (0,2)

(0,8)

!

|

0

0

0

(0,2) (0,3) + (L,2) (0,4)+(1,3)

0

0

0

(0,3) (0,4) +(L8) (L4) + (2,8)

dıs

2

2

d,

day da

d23

J S

d3 2

d;3 \

Um das noch fehlende Vorzeichen zu bestimmen, beachten wir, dass

in R® die Hauptdiagonale das Glied

Gra letent

In S@ ent-

halten von allen d;%x nur

—

dl, n—V

Z

(0, m— wv) + :

d2 n—v—1 — (O m'_7/)+

7

= Qa +

Wn aobm—v + Ia

da Ched a 0n Kolchch 0ia hier in der Nebendiagonale

auf und hat also das Zeichen (— 1)_;"(

m— v) (m— v — 1).

Es ist sonach durch

E (m—7) (m—V—

(16)

R® =(—1)?

” q6)

die Determinante des Grades 2(m—v) in eine solche des

Grades (m — v) umgewandelt.

Die Resultanten und ihre Darstellung.

161

Daraus folgt, dass die charakteristischen Bedingungen

für das Bestehen eines gemeinsamen Theilers genau vom

Grade o für die beiden Functionen m' Grades f und g durch

S=0, SN

SO0 SO

gegeben werden.

$ 145. Aus (13) bilden wir, nachdem die erste Zeile mit der

Constanten «,, die zweite mit «x u.s. f., die x° mit @„ multiplicirt

ist, durch Addition

I [A90 , + (A92-+ a,) @ + H ay2* 1 A...) a 1 —- [O &, 0 24 b ) @+ ]

(17)

=[dyy &, F dop &o +F dyıa, ]n 1+[d12“x+d22“2+ A d 200 ]27

+ + [d1m“1 + d2m“2 A 999 A Oa Ce]

Ist demnach die Determinante der ersten x Klammern rechts, nämlich

SC y)—ld1‚kl

CGAÄ=02

)

gleich Null, dann kann man ein System «,, &,,

Ay

bestimmen,

dessen Elemente nicht sämmtlich verschwinden, und für welches die

linke Seite von (17) sich auf eine Funetion des Grades (m — x — K

reducıirt.

Nehmen wir nun zunächst x — m, und setzen wir S= 0 Vvoraus,

dann folgt wegen (17)

OR

f:gı= 0

Wl al —

und daraus, dass f und g einen gemeinsamen Theiler ersten Grades

haben

Ist auch S® = 0, dann folgt, dass weiter auch für x —m —1

Z

O = ,

([l = [gl = m—2)

wird; da aber f und g einen Theiler gemeinsam hatten, so muss die

Constante rechts gleich Null sein; und dann zeigt die G1e1chun@ weiter,

dass der Theiler zum zweiten Grade aufsteigt.

Ist dagegen S® z 0

dann liefert die letzte Gleichung den Beweis dafür, dass der gemein-

same Factor von f und g nur vom ersten und n10ht von höherem

Grade sein kann.

Auf diese Weise erkennt man auch direct nach der Methode des

$ 141 die Richtigkeit des Theorems, welches am Schlusse des vorigen

Paragraphen durch Determinanten- Umwandlungen abgeleitet worden war.

Netto, Algebra. I

ll

162

Dreizehnte Vorlesung $ 146—148.

Dreizehnte Vorlesung.

Eigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis.

$ 146. Wir wollen jetzt eine Reihe von Eigenschaften der Re-

sultanten ableiten.

In der vorigen Vorlesung haben wir bereits Fol-

gendes nachgewiesen:

(D e komoeen on Grade yın denm @ und vom

Grade m in den b; R,, ist isobarisch vom Gewichte m-n in

der Gesammtheit der a und der .

(IJ) Es ist

Rf)91'.‘71 R 'Rf191 8 Rf;92

und insbesondere

Rpg u = (— 1) a Rrg

(IIl) Es ist R/ıg+2r= Rfo, wenn g eine Constante bedeutet

D R D

Dies folgt nämlich unmittelbar

aus der Formel (3), $ 136.

Die Sätze (III) und (IV) lassen sich, wenn p, q, p’, q Constanten

sind, in der Form

_“

(Da DÜ Rg

©

Rpf+q.%p'f+q’sl

erweitern, falls man f und g als von demselben Grade m voraussetzt.

Es tritt dann nämlich in der B6zout’schen Determinante an die Stelle

von (a;bı — axb;) der Ausdruck

(pa; + qbi) (p’ax + q'br) — (p’ai + q’bi) (par + qbı)

= (pg' — p'’q) (dibr — axbı),

und verwendet man also zur Resultantenbildüng die abgekürzte Form,

so sieht man sofort, dass die neue Determinante sich nur durch den

Faetor (pq’— p’q)“ von der früheren unterscheidet.

$ 147. Wir setzen in f(£) und in g(z) jetzt den gebrochenen

linearen Ausdruck

2

NC

O

ein und schreiben

1

DE

E

1

NCl

)

A

S

(

SR

e

7

SB

)

—

(

nE+q'

)'w©;

A

p& q’

DE q

D

dann sind @(E) und (£) ganze Funetionen von E, und zwar ist

Kigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis

163

p(E)=@ U (pE+q — «(p'E+q))

Ca —

DE

7

}

=%Ü(P—WP')IÄ_[(

S

_alp

wa=&[]wa+«—m@z+q»

Bg

q

DD

j

— boli](p—ß_„p')ﬂ (C —

Will man also die Resultante der Funetionen @, W bilden, so wird

diese nach der Formel (3), $ 136 gleich

U

DA

z

%‘Ü(19 — @D H @—

I1

ZUM

DD

f

)

= 0

M

0

(PQ’*P@Z)"”H(“Ä 0

d. h. man erhält die folgende Gleichun

o&

S

welche sich .auf

lineare, gebrochene Transformationen der Variablen bezieht,

Ryw= (p9’ —D'g Rrg

$ 148. Ersetzt man in f und g alle Wurzeln &0 durch

&z A &, ßu + %, So gehen die a,, b (vgl. $ 123) bis auf höhere Po-

tenzen von $ m aı + (m —2 + 1) a 1, due + (n—u+ M uber

während R-, dabei ungeändert bleibt.

Daraus folgt, wenn man die

neue Resultante

Bla C ED 0 E 1) au — ıl)

nach Potenzen von € entwickelt und kurz R Aır IR

,g Schreibt, die

partielle Differentialgleichung

Ö

ÖR

MA, g£ + (m—1)a,

0a

Datech

(3)

I;+"‘+am—laöTi +nbogä+(n_l)

0b

+m+määä=o

Diese F

ormel kann man dazu benutzen, um nach Herstellung des

zu berechnen.

litteralen Theils von R die Zahlencoefficienten der einzelnen Glieder

KEine andere Differentialgleichun

g für R gewinnt man aus (8),

$ 139. Diese Determinante zeigt, d

ass

R(a9, + Am; bo,

b„)=R(%, "am_."+qbo; CAm —n +1 4 Qb,, 3 bo, : bp)

Ist

Entwickelt man die rechte Seite wied

er nach Potenzen von g, so

folgt als Coefficient der ersten Potenz

al

164

Dreizehnte Vorlesung 8 148—149

(4)

Ö

ÖR

=0

00

S r LA

+blöa

TL

; +b„3a

2}

und fürm= n erhalten wir somit d1e beiden besonderen Formeln

+b13

n

©

(m

n)

aogb+1äb+ +a'"öb

(D

Z

Man kann ferner, wenn m>n ist, die aus früheren Formeln oder

auch direct aus der Determinantendarstellung ersichtliche Thatsache

benutzen, dass

Rf+9 VATR

von der Constanten qg unabhängig ist, um durch Entwickelung nach

Potenzen von q zur Herleitung der Formel

ÖR

(6)

b

%0

!

nn O7

0

m

zu kommen

Endlich erinnern wır an die aus der Kigenschaft der

Homogenität folgenden Glemhun°‘en

ÖR

% 7a

+

BA @

7lt3a

—nR

?

0700 +blob a

+ b„ An mR

$& 149

Wenn man in (vgl. $ 139)

AAy Ar

Am

© @

Am —1 Am

}(n Zeilen)

(8)

Rr

O O

Om

0

3

0

bm——l b

} (m Zeilen)

3

zur letzten Spalte die mit z multiplicirte vorletzte, die mit z” mul-

tiplicirte drittletzte u. s. f. addirt, und wenn man darauf nach den

Elementen der letzten Spalte entwickelt, dann folgt, weil jedes der

n ersten Elemente den Factor f; und jedes der m letzten den Factor g

besitzt, die fundamentale Gleichung

(9)

Bg EL@© HO IO H,

e

—1

Differentiirt man diese nach a; und bedenkt, dass g von a frei, und

dass

„a

l

Öa

— #"7* ist, dann ergiebt sich

O

(10)

Rf

29

. 91+'f ögl

Z Öa‚

Eigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis

165

KErsetzt man die bisher willkürlichen a, b durch die Coeffieienten

zweier Funetionen, die einen gemeinsamen Nullwerth & haben, so dass

f(E&)=0, g(&) =0 und R-, = 0 wird, dann liefert (10) für die Sub-

StILuLLON Z —C

0

@

da

= m—*. g,(8),

('Rf: W 0)7

also folgt hieraus, wenn man i = m, m — 1,

einträgt,

Ö

(12)

1:5:6

Rr

I° Da

V

öa

Rf

und ebenso ergiebt s1ch

— Beg!

— Bgl

3b

Aus (11) erkennt man, dass wenn die Ableitun

Rf) => 0 7y

dann g,(6)=0 wird, und folglich jede andere Ableitung von

R/,9 nach irgend einem a verschwinden muss

In diesem Falle

versagt die erste Reihe rechts in (12), und die zweite muss an ihrer

Stelle benutzt werden

Ist aber auch f,(& = 0, dann versagt auch

diese,

und die Formel (12) wird illusorisch. Hierbei werden also

(@) und g.(?) durch (z—6) theilbar, und dadurch geht, nach Weg-

heben des Factors (z—€), weil ja für unser Coefﬁc1entensystem die

Resultante verschwindet, (9) in die Form

0© O O06

[f] < m—

[91]<n_2

über; aus ihr geht hervor, dass die beiden Gleichungen f=0, g=0

m1ndestens zwei gemeinsame Wurzeln besitzen.

Kxistiren zwei gemeinsame Wurzeln & und &, dann führt uns

eine zwe1mahge Differentiation von (10) zu der Gleichung

(d3) öa

Rf

>9

02g

A,

Cal

NN

0a0a

Öa„0a,

)

aus welcher sıch für &, und & und bei i —x

(14)

3a2

Rf

9

2g„‚ % äg1 (C1

Cm——-y agl (g2)

herausstellt, so dass also die Proport10n

(15)

SR

. Cm—x

a91 (&) . 09: (£1

3a

Öa

gilt. Durch Combination dreier Gleichungen (13) erhält man zunächst

166

Dreizehnte Vorlesung 8& 149-—151

0

2

2

Bg E

Öa 0a,

E + Rf‚

Ö*g,

l)1

Ögı Z

2

‚i—/ _+_ ä

AA

—90g- [ö f1 Z2()——r)

_f{

Ä

0a 0a,

3“1

ı

und daraus dann für jede etwa V01h3ndene gemeinsame Wurzel von €&

von / =0,7=0

LE

ö2

öal

V

Rf9 CÄ—/+ Daz Rf‚

(16)

'62

r\9

0a2

SI

;..

2

ßa öa

;+ öa Rf‚

Das zeigt, dass bei drei gemeinsamen VVurzeln die Gleichungen (16)

1Husonsch werden,

S 150

Die allgemeine Theorie derjenigen, aus den Coefficienten

zweier Gleichungen gebildeten Funetionen, durch deren Verschwinden

die charakteristischen Bedingungen für die Existenz gemeinsamer

Factoren geliefert werden, kann und muss von der Voraussetzung des

Bestehens von Wurzeln algebraischer Gleichungen frei gemacht werden

die bisher bei unseren Betrachtungen fast durchgehends verwendet

wurde

Wir kommen dabei naturgemäss auf frühere in der siebenten

Vorlesung angestellte Untersuchungen zurück und erkennen, dass wir

schon dort bei der Entwickelung des Quotienten g:f in eine Reihe

Die früher zu Grunde

die hier soeben gestellte Aufgabe gelöst haben

gelegte Annahme, dass g von geringerem Grade sei als f, lässt sich

leicht verwirklichen; man hat nämlich, wenn m= n ist

RJ!9 IN h

o

l

und die neue Function g — _‚0 f ist dann höchstens vom Grade (m — 1).

Wir haben in der achten Vorlesung $ 84 die charakteristischen

Bedingungen dafür g

gegeben, dass f(z) und g(z) eine Funetion v Grades

als grössten, gemeinsamen Theiler besitzen

Schreiben wir wie dort

die Entwickelung des Quotienten nach fallenden Potenzen

g(2)

O7

g 7 Qe73+

und setzen wir wieder

©

C

Cg.__1

(

|

?

CoZACO

C2g—2 |

so bestehen diese Bedingungen darin, dass

m— V + 0 (/m enl Ar 0

Cm+2——! =0

O0

wird. Wir haben dort auch den gemeinsamen Theiler selbst in der

167

Eigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis.

Form einer Determinante gegeben. — Insbesondere ist U, = 0 charak-

teristisch dafür, dass f und g überhaupt einen Theiler gemeinsam

haben.

Nach (21) aus $ 79 haben wir auch bereits die Determi-

nanten mit den Elementen c‚ in solche mit den a;, 0, umgewandelt.

Es war, wenn man das dortige m, hier durch (m —n) ersetzt,

m(m—1)

(17)

(=1) 2 O l a

Am-+n —1 i

|

.

|

00

a777‚

}(n Zeilen)

...

Ö

0

'b

1

bm+n—l {

(m Zeilen)

!

0

bn

(a, = 0, wenn x > m ist; bı = 0, wenn Äl

n ist),

und also hat man durch Vergleichung mit der Determinantenform der

Resultante

FE

m (m— »

2

(18)

Rf‚g F (“ 1)

a()m+ n Cm

und kommt so auf die Determinantendarstellung (8), $ 149 zurück.

Umgekehrt zeigt die Vergleichung mit der Formel (6) aus $ 73, dass

R/sy m eime Determinante m* Grades umgewandelt werden kann,

welche die Eigenschaft hat, recurrirend zu sein, da sıe sich in

der Form

schreiben lässt.

| 6 |

C b=0 1

m — 1)

In gleicher Weise haben wir auch die charakteristischen Be-

dingungen für die Existenz von gemeinsamen Theilern höherer Ord-

nung früher bereits durch die a; und die 0, gegeben. Die Resultate

aus $ 141 und $ 144 sind somit von der Voraussetzung der

Wurzelexistenz algebraischer Gleichungen frei gemacht.

$ 151. Gleichfalls ohne die Voraussetzung der Wurzelexistenz,

lediglich gestützt auf die Darstellung (17) und (18), wollen wir auch

die wichtigsten Eigenschaften der Resultante ableiten.

Aus der Determinantenform geht unmittelbar hervor, dass Ry,

ın den @ homogen vom Grade ” und in den b homogen vom

Grade m 186 —

Multiplicirt man ferner die erste Spalte der Determinante mit 2°,

die zweite mit 4},

die letzte mit 4”+r2—1 und dividirt dann die

erste Zeile durch 4°, die zweite durch 42*, ... die nt® durch A"—!, ferner

die @ } 1)® durcht 29 die @ 4 2)8 durch 12

die (m —+ n)®

durch 2”—*, wodurch ım Ganzen eine Multiplication mit

%+n—l)(m+n) e (Ln:—_1)m @— Dn

A

2

2

2

u Ämn

168

Dreizehnte Vorlesung $ 151—158

stattgefunden hat, dann zeigt sich die Beziehung

| &o Ar A

O On Wa

Oa

An

AaA

Ämn

AD

;

;

£1

D

Ö

und daraus folgt, dass jedes Glied der Resultante den Factor 2"" an-

nimmt, wenn man alle @o und b; durch AaA und b„A’ ersetzt. Hs

ist also R/7, eine isobarische Function der a und der b vom

Gewichte m.n. —

Vertauscht man die ersten %” und die letzten m Zeilen der De-

terminante mit einander, dann erhält man die Gleichung

E (— 1)m" Rfa

Wenn man in der Determinante (17) die letzte Zeile mit der Con-

stanten x —, die vorletzte mit Cm—n-+1, U S, W. bis zu &, multiplicirt

und alle Producte zur letzten Zeile der @ in (17) addirt; wenn man

dann dieselbe Operation der Multiplication mit «_ bei der vorletzten

Zeile beginnt und alle Producte ebenso zur vorletzten Zeile der a

addırt, u S W

bis alle % Zeilen der @ umgewandelt sind, so treten

an @re Stelle den aı a 0,

, welche die Coefficienten von f(z)

waren, die Grössen

o 06005 U LO I 000 a + ( B A

d. h. wir haben die Coefficienten von f durch die von f+g-@ er-

setzt, wobei @ die Funetion

@(:'-"/') S 0(02«'m—"+ , zm—n—1 + + Crn

bedeutet

Es ist also damit die Gleichung bewiesen

(20)

Bf‚y ar Rf+t7 (

yl <m —n

$& 152

Um den früher abgeleiteten Satz (& 138)

(21)

Rfl OE

an9 sz‚g

miıt unseren eingeschränkteren Beweismitteln darzuthun, gehen wir

Es seli

folgendermassen vor

f

A

+ a”"1 ’

f ———aozm’+ a12"72—1 +

a A

g9=h7 + bı —1

+

+ 5n,

f=fch=t agnı +

+ a777‚7

(m = m, + m)

Dann stellen wir Ry,, und Ry,, in den Formen daır

KEigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis.

169

an.’l e

Ag

A,

00

0

(n Zeilen),

A9

Amı

b;

br

(m, Zeilen),

bn

i

0

bjn

. '.;

i

i

0

0

000

D

}(m2 Zeilen),

wobei die Determinante der ersten (m, +n) Zeilen und Spalten die

gewöhnliche Determinantenform der Resultanten R ,, ist, und an diese

sich dann weiter nur nach rechts unten ein Diagonalsystem zur Rän-

derung anschliesst:

”

a; ml.Rf2‚ WE

(Z70)

d Ö

O OO OR A

Ag

/r

21

/r

0

. '

}(m1 Zeilen),

Oa O O

A9

ü ©

A9

Aı

Q

w ](n Zeilen),

b0

00

M

l

|

(m, Zeilen),

0

b;

aM

wobei die Determinante der letzten (m, + n) Zeilen und Spalten die

gewöhnliche Determinantenform der Resultante R,, , ist, und an diese

sich dann weiter nur nach links und oben das rändernde System an-

schliesst. Die Productbildung für diese beiden Darstellungsarten liefert

eine Determinante (m + n)“" Grades, deren erste n Zeilen bereits

völlig mit denen von R-, übereinstimmen, und deren letzte durch

Zeilencombination unter Heraussetzung von a . b sofort in die

letzten von R/, umgewandelt werden können.

Damit ist dann der

Beweis von (21) geliefert.

$ 153. Wir wollen auf Grund des Satzes (21) und unabhängig

von der Bedeutung von R-, die Irreductibilität der Resultante

von f und g bei allgemeinen, unbestimmten Coefficienten a

und d nachweisen. R, ist in den @ homogen vom %* und in den

b homogen vom m' Grade; zerfällt die Funetion, so muss auch jeder

ihrer Faetoren wieder in den @ und in den d homogen sein, wie man

unmittelbar sieht. Wir nehmen an, es wäre bei gegebenem Grade m

der Funetion f die Resultante K zwar noch für das allgemeine g

vom Grade n, aber für kein allgemeines g, von geringerem Grade

mehr zerfällbar.

Nun setzen wir

O

Dreizehnte Vorlesung $ 153—154.

Rıg = R (x, A) R (w, Q

%, @ sollen dabei die Dimensionen der beiden Factoren nach den a

und 4, v diejenigen nach den b _bedeuten. Es muss also (# Fu)=n

und (2 + v) = m sein.

Nunmehr schreiben wir statt g das Product der beiden Functionen

HC SB ROR

(0 + 6 =n);

dadurch gehen die b in homogene Funetionen zweiten Grades der

Grössen ß über, und wenn man die Dimensionen der auftretenden

Funetionen nach den ß rechnet, dann liefert die obige Zerlegungs-

formel die für unsere besondere Annahme gültige Gleichung

A+v= m

Rf‚9'-g“= R1("; 22) Rz(#; 27/)

(

%+F U=N

X

Andererseits haben wir nach dem eben bewiesenen Satze @1)

Rﬂ9’-9” e Rf‚9' } Rf‚9”

oder ausführlicher

Ya Rf‚y'(9; m’) E Rf‚9" (6: m)7

wobei die eingeklammerten Zahlen wieder die Dimensionen nach den a

und nach den ß angeben. Ist nun % ausser in die Summanden x und w

noch auf eine andere wesentlich verschiedene Art in zwei Summanden

zerlegbar

A0 HS

und wählt man hier diese zweite Zerfällungsmöglichkeit, dann können

Ry.g' und R;g" nicht mit R, und R, zusammenfallen; mindestens eine

der beiden Resultanten muss sich also aus Factoren von R, und von

K, zusammensetzen und ist folglich, weil o, 60 <n sind, gegen die An-

nahme zerlegbar.

Diesem Widerspruche können wir nur danmn ent-

gehen, wenn %, falls es >1 ist, nur auf Eine Art in Summanden

Findet dem-

zerlegt werden kann, wemn also n = 3 oder n =2 ist.

nach für ein bestimmtes m eine Zerlegung der Resultante statt, dann

trıtt eine solche auch bei diesem m für %» = 1, 2 oder 3 auf.

Genau die gleichen Schlüsse gelten für m; wir können demgemäss

jetzt auch m auf 3, auf 2 oder auf 1 reduciren und ersehen also,

dass, wenn. überhaupt für ein Werthepaar m, n Zerlegung der Resul-

tante allgemeiner, ganzer Functionen m* und n' Grades stattfindet,

dann auch für m, n = 1, 2, 3 das Gleiche eintreten muss.

Wir untersuchen nun zunächst n==1, 2 oder 3 und m=33.

Ist dabei eine Zerlegung möglich, so wird zu setzen sein

Eigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis.

67L

Rf:!/ = R (“; Ä) R (M; ”)

C L u=0= 1, 2 er dl = U =3)

Führen wir nach dem eben verwendeten Principe g,(£):g,(z) statt

g(z) ein, indem wir

g,(2) = Bo@ + Bi, g(2) = B + + Brı

nehmen, dann entstehen, genau wie oben, die beiden Gleichungen

Regun = Rılx, 2Ä) Ro(w, 2w),

Bgn Bg (l, 3) Wa — 11 8)p

in denen die ersten Grössen der Klammern die Dimensionen nach

Da

den @, und die zweiten die Dimensionen nach den ß bezeichnen.

diese letzten in R, und in R, gerade, in den Resultanten dagegen

ungerade sind, so folgt wie oben eine weitere Zerlegung für mindestens

eine der Resultanten R,-, oder Re,,,

Also auch der Fall, dass f oder g vom dritten Grade ist, führt

zu weıteren Reductionen, und wir erkennen, dass aus der Zerfällbarkeit

für allgemeine Functionen m' und n Grades auch diejenige für

m, n = 1,2 folgen müsste.

Aber weder

(n — Wa — (@bı — abo) aAb — A,b,)

w= 0 =2)

noch

aob;“ — a,bob, + a,bo*

w= 2

Z

1)

noch

ayb;ı — abo

w=0=1)

In

ist zerlegbar, also findet auch allgemein keine Zerlegung statt.

den beiden letzten Fällen ist die Irreductibilität klar.

Im ersten Falle

erkennt man leicht die Richtigkeit der Behauptung, wenn man be-

denkt, dass eine isobarische Funetion nur in isobarische Factoren zer-

fallen kann, und wenn man demgemäss die einzige Zerlegungsmöglich-

keit für die Resultante

(uayb; + u a,b, + U,a b5) (vapba + v,A,b, + v,A,00)

betrachtet, aus der aber das Glied a,”b,b, nicht hervorgehen kann.

$ 154.

Wir wollen nun die Resultante von f(g+w) und

g(8 + u) untersuchen, wobei w eine Constante bedeuten soll.

Setzt

man die Existenz von Wurzeln voraus, so folgt ohne Weiteres aus

dem Begriffe der Resultante

(22)

Rıg = Rfle-tu), g@e-Ew)-

Derselbe Satz lässt sich aber auch ohne .diese Annahme leicht ab-

leiten. Wir setzen, wenn wie gewöhnlich [f] — m, ol s

172

Dreizehnte Vorlesung 8& 154—156,

a

n— 1

n—1

H

)u (

S

)w (

) w

n—2

n—2

(m Zeilen)

)u (

) 2

A-'=

m—1

m—1

ı(

)u (

(n Zeilen)

(ml2u

m+n-—1

m+n—1

m+n—1

A

J

) w

+ um+-n—1

) =—

m+n—2

m-+n—2

a

)u

) u

+ ‚„m+n—2

0

dann ergiebt sich, wie ohne Schwierigkeit zu sehen ist, durch Mul-

tiplication der Determinanten zunächst die Gleichung

ARyz+w, 96+w B = Re.g,

und da 4A =1, B=1 ist, daraus das zu beweisende Theorem.

$

>

155. Hieraus können wir einen weiteren Satz folgern, von

dem wir bald Anwendung machen werden. Wir entwickeln die Funetion

f(@z + uw) nach steigenden Potenzen von w und setzen

(28) f(e + w) =f(e) + uf'(e) + £f"(e) + = f(@) +uPle, u).

Für die beiden ganzen Funetionen der Variablen z

AC) undı Z )

bilden wir die Resultante R-p und können für sie nach dem in den

$$ 152 und 154 Bewiesenen folgern

(24)

Rı — Rka 2 Bre-ku) Bla — Rlo, 2 — mw-

Trägt man hingegen in die Definitionsgleichung (23) für P zuerst

(—w) statt u ein

f(# — u) = f(2) — uP(g, — u),

und dann wieder in (23) die Differenz (z — u) statt z, während man

w ungeändert lässt,

f(z>=f(z'_u)+up(z_'u;u)7

so zeigt die Addition dieser beiden Gleichungen

P(2 — u, u) = P(e, — u);

und somit wird aus (24) unter Benutzung dieses Resultates

Eigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis.

178

(25)

B, Pl2,u) = B, Ple,—u)>

d. h. in die Resultante R-,p treten nur die geraden Potenzen

0

?

WE WE

von w ein.

Die Entwickelung von P nach Potenzen von z lautet

Pl@u) = () wr + [C) au + (*7*)a]

zn—2

n

+1(

3

) a + (3 *) au H(T am

Um die höchste Potenz in u von R;p zu bilden, braucht man demnach

für P nur die Coefficienten

n

Nn

Nn

(

il

)“0? (2) O <

3

> Au

)a„u" OTE

(

il

beizubehalten und erkennt aus der Determinantenform, dass R7 p nach

Potenzen von w geordnet mit dem Gliede

ar]n+n‚„n(n—l)

beginnt. Setzt man v für u” ein, so zeigt es sich, dass Rr p eine ganze

Funetion von v ist, die bis zum Grade

n(nT 1)

DE

aufsteigt, und deren

erster Coefficient a%+" wird.

$ 156. Auf diese Entwickelungen lässt sich ein einfacher Beweis

für die Wurzelexistenz algebraischer Gleichungen gründen *).

Wir wollen annehmen, es wäre bereits gezeigt, dass jede Gleichung

eines Grades

C

für welche entweder

Bı< oder

kı=k und v,<vwv

ist, eine reelle oder complexe Wurzel besitzt. Es soll dann ohne Be-

nutzung von Stetigkeitsbetrachtungen rein arithmetisch bewiesen werden,

dass das Gleiche auch für jede Gleichung des Grades

= %(2y + 1)

stattfindet. Dadurch wird der Kernpunkt der Frage auf Gleichungen

von ungeradem Grade geschoben. An dieser Stelle angelangt, können

wir freilich den letzten Schritt nur durch Stetigkeitsbetrachtungen

thun, wie dies im $ 23 geschehen ist.

EKs wird auf diesem Wege

AlNles arithmetisch geleistet, was überhaupt arithmetisch erreich-

bar ist.

mA

RE

*) P. Gordan, Ueber den Fundamentalsatz der Algebra. Math. Ann. X;

572—575. Die Grundidee des Beweises ist auf Gauss (Werke I S: 3356)

zurückzuführen, Herr (ordan hat ihn wesentlich verändert und sehr vereinfacht.

174

Dreizehnte Vorlesung $ 156—157.

Es sei jetzt

(26)

f@=Z +a + a =0

die vorgelegte Gleichung u'°" Grades; ” sei eine gerade Zahl.

Wir bilden wie oben die Resultante

-R/‚P(z‚u) = ura—z.» + blun("_l)—2 +

z

aD

= Y

2

+ b‚v

2

+

und erkennen, dass R als Funetion von v aufgefasst den Grad

% nn — 1) = 202% + 1)

hat, bei welchem % = (k—1) ist.

Folglich besitzt nach unserer An-

nahme R(v)= 0 eine Wurzel v, und daher ist für diese

Rr pl Vo) = 0.

Da dann also, wie oben ohne Voraussetzung der Wurzelexistenz

gezeigt wurde, für

Ae) and D o

ein gemeinsamer Factor existirt, so ist f(g) sicher auf mindestens

eine Art in zwei reelle oder complexe Factoren zerlegbar.

S I6

Wir unterscheiden bei dieser Art der Zerlegung

F(e)= (e): v (e)

dreı Fälle.

Die Grade der beiden

Zuerst seiı g(z) und damit %(z) reell.

Functionen bezeichnen wir bezw. durch

nı = 22y + 1) und %, = 227 + 1);

dabei müssen die Gleichungen

M ,

2(2u + 1) — 220 4 1) + 202 1

gelten.

Wenn nun k, <K% ist, dann hat der Voraussetzung gemäss

y (2) = 0 eine Wurzel, und damit auch f(z) =0. Ist k, = k, so muss

V, <v sein, und es gilt derselbe Schluss.

Ist endlich *, > k, so kann

k, nur == * sein; dann wird &% an die Stelle von @ treten, und der

Erfolg ist der gleiche.

Zweitens möge g(z) complexe Coefficienten und einen

Ora ; n besitzen. Ohne Beschränkung können wir %, <

2

N

annehmen, da ja bei , > ; n nur & mit g vertauscht zu werden braucht.

Wir schreiben dann

p(e) = 6(e) 4 irle).

Haben 6 und T einen gemeinsamen, reellen Theiler, so haben auch @

und f denselben, und wir sind auf den ersten Fall zurückgeführt.

KEigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis

175

Haben aber 6 und T7 keinen gemeinsamen, reellen Theiler, dann kann

man nach $ 68 zwei reelle Funetionen A(z), B(z) so bestimmen, dass

o(2) 4(2) + t(2) B(z) = 1

A BL

SEENN

A+Bi

= 1

(27)

(6-+-i7)

@O

wird. f(gz) ist durch 6 + it theilbar, also hat man

—(6

it): (®, + 1w),

und daraus folgt durch Verwandlung von i in ( auch

i = @0 —00) @ @)

Multiplieirt man die rechte Seite von (27) mit f, das erste Glied der

linken mit (6 — ir) (@, — (6,) und das zweite Glied der linken Seite

mit (6 + ir) (w, 4+- (6,), dann entsteht

f=(6* + 7?) (4w,

Bo,;)

Der Grad des ersten Factors ist 2n, <n, also haben wir die Existenz

des reellen Theilers (6” + 7?) und damit die einer Wurzel nachgewiesen

Drittens möge (z) complexe Coefficienten und einen

Grad m,

= besitzen

Wir können gleichzeitig annehmen, dass keine andere Zerlegung

von f(z) besteht

Denn entweder führte diese direct auf einen der

beiden ersten Fälle; oder, wenn eine zweite von der ersten verschiedene

Zerlegung in complexe Factoren des Grades — bestände, könnte durch

die Vergleichung beider ein Factor niederen Grades erlangt werden

Setzen wir, da wir ja den ersten Coefficienten von @ gleich 1

annehmen können

(2)

Z2

+ 022

+

Sn 6(Z) + “7(Z);

so dürfen 6 und t keinen gemeinsamen Factor haben, weil sonst auch

g diesen besitzen würde, und dann eine weitere Zerfällung möglich

wäre, was oben ausgeschlossen wurde.

Wie ım zweiten Falle, oder durch unmittelbare Betrachtung können

wir zeigen, dass auch # = 6 — irt ein Theiler von f; und dass, von

einem constanten Factor abgesehen,

(28)

f(@) = @(e) : H (e) = 0 (e) + * (2)

ıst

Hier versagt aber der Schluss

der beim zweiten Falle die Ent-

scheidung lieferte, und deshalb müssen wir jetzt anders vorgehen

Für den Werth w besitzen die beiden Funetionen

f(@) und P(e V”o)

176

Dreizehnte Vorlesung $ 157, Vierzehnte Vorlesung $ 158,

einen gemeinsamen Factor; dieser kann unserer Annahme nach nur

entweder gleich @(z2) oder gleich w%(gz) sein, immer von einem un-

Wir nehmen

wesentlichen, constanten Zahlencoefficienten abgesehen.

an, er sei @(2). Dann hat, vgl. (23), wegen

f(@e + Vw) =f(@ + VosP (& Vo)

auch f(z + Vwo) diesen Factor. Andererseits kann nach der aus (28)

folgenden Gleichung

f(@e +Vo)= @ +Vo) v @ +Vw)

und den Voraussetzungen über die eindeutige Zerlegbarkeit von f die

Funetion f(z + Vo) keine anderen Factoren als C E ) und

v ( +Vo%) haben. Folglich muss bis auf einen constanten Zahlen-

coefficienten @ (z) mit einem dieser Werthe übereinstimmen.

Wır

haben jedoch die Entwickelungen

R a

D

%

}

n

—1

@ (2)

.+.

C Z>é"

+

Demnach wäre eine solche Uebereinstimmung beider Funetionen nur

für v = 0 möglich. Dabei würden aber f(z) und P(gz,0) selbst reell

und hätten somit gegen die Annahme einen reellen Factor gemein;

also muss dies verworfen werden.

Man hat deshalb

g (e) = 6(e) + ir(@)= ( +Vo)=6 ( +Vo) — ir 6 +Voo).

Da in @(2) und in %(g + Vvo) die höchsten Coefficienten =1 sind,

so wurde der Zahlenfactor auch gleich der Kinheit.

Nun

se1l

Voo = « + iß, dann liefert die vorige Gleichung

(29)

6(2) + it(2) = (g + « + iß) — it(g + « + iß).

Hierin ersetzen wır einmal % durch (—%) und einmal Z durch

(z — « — ßüi); das giebt

6(e) — ir(e) = 6(g + « — iß) + io(e + a — iß),

6(2) — it(2?) = 6(z — « — iß) + io(z — « — iß),

dn

RC E e

und daher

(& 4 «) = p(e — &),

}

N®

LO

2

Sn l

AL

* (0 +

2

V

*27"+(01'_

2

)

'

4

d. h. man erhält. &. = 0, und Somit %, = 0ß.

Für die Substitution 2 — % g statt z liefert dann (29)

Die Discriminanten.

1

m

7

ß

6(z—iä«) +n(z—-z

2

>=6(z+z'ä)—z'r(z—i—z'ä;)‚

ß

S

d. h. die Funetion g(z —i

2

) ändert sich nicht, wenn in ıhr überall

i durch (—@) ersetzt wird; sie hat also ($ 10, V) reelle Coefficienten;

2—i-)=0 ‚eine Wurzel.

Das

und da ihr Grad % ist, so besitzt q>(

2

Gleiche gilt dann auch für @(2)= 0 und folglich auch für f(z)=0.

Damit ist der Fundamentalsatz der Algebra ın allen seinen Theilen

bewiesen.

Vierzehnte Vorlesung.

Die Diseriminanten.

$ 158. Wenn man in $ 136 der zwölften Vorlesung

f = n E 7 A A d

0 g(2)=f (@)=n4 71 +(n— 1a - E(n—2)a e apıı

setzt, dann erkennt man aus der Determinantenform der Resultante

Wir bezeichnen

$ 139, dass R ; den Coefficienten a als Factor hat.

die in &, 4,, - homogene Funetion des Grades (2% — 2)

;1; B = De,

welche natürlich gleichfalls isobarisch vom Gewichte n (n — 1) ist,

als Discriminante von f. Nach (4) aus 8 136 wird

(2)

DE O

wenn 2

Z die Wurzeln von f= 0 bezeichnen, und dieses

Product giebt gemäss $ 36

@T

DEN

)

DA e

Ay M

Z

n—1;(“"=}'+1;l+2;"'")

Wie wir wissen, liefert das Verschwinden von D-; _ die charakte-

ristische Bedingung dafür, dass f und f’ einen gemeinsamen Theiler

haben, und dass f= 0 also eine mehrfache Wurzel besitzt.

Ist keine Verwechselung zu befürchten, dann schreiben wir statt

Dr; kürzer D.

$ 159. Der Ausdruck von D; in der Form einer Determinante

des Grades (2% — 1) ist nach $ 139

Netto, Algebra. I.

12

178

Vierzehnte Vorlesung $ 159—161

CM

A,

A

An—ı

An

0

an

a1

An—2

UAn—ı An

(n — 1 Zeilen),

A}

)

(3)

ID

a

©

0

o

NAy (n— 1) A, (n—

As *

%

02

(n—l\al

9(ln 2A0

]

(n Zeilen

l

|

So erhält man z. B. als Disceriminante von f = ay8° + a,2 + A

Q,

A>

W

Ay Ar

4 0n05 — &,

I

ä

Ag Ar

und das stimmt, wie (2*) fordert, überein mit

D= — ag —y = A ( )]= [an (

))

= 40403 — A*

Man kann die Discriminante auch nach der B&zout’schen Me-

thode als Determinante „ Ordnung darstellen, genau wie dies in

$ 142 angegeben worden ist

Dabei ergiebt sich ($ 146, II)

n(n—l)

G

Sn

(—1

A DEn

E

B f'3

A O ’ dzk ‘

(i

=]

2

)

&9

wenn man

= 0 + — Uı F C +A+ k — 3)A A +k—2

(5)

+ 0 + %— 5)0& +r E E (0—k— 1)A 10

setzt, wobei natürlich alle @,, bei denen 24 >»% ist

oleich Null an-

zunehmen sind

Für die Funetion zweiten Grades f = ay2” + a,2 + a entsteht

hiernach

D=

—1 ' AyA, 2090

C | 20A904g AA

= 4a

Aı

und für die Funetion dritten Grades f = ayg* + a g + a,2 + as in

gleicher Weise

QQ

2090

3Q

VE

—d

200 A

184,A, A, Az

(

2090

3AyAz A A, A,

2A03

+4a0a23+ 4a1 A

AyAz

20,0g

AzAs |

kann die Diseriminante auch in der Gestalt einer

$ 160. Man

Determinante von der (n

ea Ordnung darstellen

Zu diesem

Zwecke multiplicirt man in (3) die Elemente jeder der ersten (n — 1)

Die Discriminanten.

0©

Zeilen auf der rechten Seite mit %” und erhält dadurch für w"—-1! D

eine Determinante, welche nun dadurch umgewandelt wird, dass man

von jedem Elemente der a'° Zeile (@«=1, 2, -

n — 1) das ent-

sprechende Element der (n — 1 + a)* Zeile abzıieht.

Das ergiebt

nach Unterdrückung der ersten Spalte

AI EW

oder

Il

(6)

D

B

71_27_ fla f

L

n—2 f')f17

wenn wir die neue Funetion

(7)

fi(g) = a 71 + 20,2"7? + 3a73 + ... + NAp

einführen. Wendet man nun auf (6) die B&zout’sche Methode an,

dann erhält man D als symmetrische Determinante der Ordnung (n—1).

Das gleiche Resultat kann man auch mit Hülfe von $ 151, (20)

aus der Beziehung

ON CO

folgern.

Für eine Function dritten Grades ergiebt sich auf diesem Wege

die Form

D= —

A 6aa Ya

90yAz — A, A,

3

IAgAz — A, Ag ,

6a‚a — 20°

$ 161.

Aehnlich wie in $ 150 der vorigen Vorlesung betrachten

wir jetzt die entsprechende Entwickelung des Quotienten

f (?)

=6277 1 + 627 E 62873 4:

f(@)

und können hier, früheren Untersuchungen gemäss (S$ 91),

@

al

1

al

OE

—

A +

Rrl

n

=8271 + 527 4}5273 +

setzen.

Bezeichnen wir demnach

S

51

SQ_1

S

53

©&

S

89_1 Sq

329—2

so stellt sich für die Disceriminante als neue Form heraus

n(n—1)

(8)

DL p CD F aG.

Demnach giebt auch das Verschwinden von C, die charakte-

ristische Bedingung dafür, dass f= 0 eine mehrfache Wurzel besitzt.

12

180

Vierzehnte Vorlesung $ 161—163.

Dies können wir auch leicht direct einsehen.

Es ıst nämlich, wie

bekannt,

A

Z

Zr;——l I12

-

2

C/L

e=

;1 Z

29

2

éflä=1 1®f“%02(Ä=L2f"n—l;u=l+L"%)

hy

1

&n

A

2

yn—1 |

N

|

$ 162

Ersetzt man in f jede Wurzel z durch (zı +€), so

gehen die a;, wie man nach der Methode von $ 123 erkennt, bis auf

höhere Potenzen von £ in die Werthe aı + (n+1 — 2)az_ıt über.

Dabei kann sich D selbst nicht ändern, denn die Wurzeldifferenzen

bleiben ja unberührt. Hieraus folgt, dass, wenn man die Diseriminante

D(az + (n — 24 1)az_ı)

nach Potenzen von % entwickelt, der Coefficient von ı! gleich Null

wird; folglich befriedigt die Discriminante die partielle Differential-

gleichung

OD

(9) n%ä'£ + (n — 1)a, g‚]2+ an 2a„_2‚0\%%1_{_ a

n— 157 O

0

n

KEine andere Differentialgleichung liefert die Thatsache, dass D

eine homogene, und eine dritte diejenige, dass D eine isobarische

Funetion ist. Die der homogenen Function der Ordnung (2n—2)

entsprechende Kuler’sche Gleichung lautet

ÖD

(10)

% Da

+alg£+---+a„%)=2(n 0 DE

Setzt man ferner a;(1 + #)* statt az für i = O

n, dann

wird die isobarische Funetion D dadurch mit (1 +- O l

cirt werden; es gilt also die Gleichung

D(

’ al<1 n t)l7 u)= (1 m t>n(n—l)D("'; A,

)

und die Vergleichung der Coefficienten von £ ergiebt

ÖD

ÖD

(

n(n—1)D

=alägl+

2a2?)713—}—--'+na„

Da

Die beiden Gleichungen (10) und (11) lassen sich zu der neuen

Gleichung

ÖD

ÖD

(12) ’Il(7’lv— ].)D = N4 % + („

aD ää;+

99 ı an F

C

combiniren.

Mit Hülfe von (9) können wir nach vorläufiger Feststellung des

litteralen Theils

der Diseriminante

die Berechnung ihrer Zahlen-

coefficienten durchführen.

Wenn wir z. B. für die Gleichung dritten

Grades zunächst

Die Disecriminanten.

181

D = U, 0;” + U,AyA, AA F U3AgA® A U, A, Ag + Ua A,}

setzen, dann fordert (9) das Bestehen der Gleichungen

3l + 2Uu, =0, Iu, F 2u=0, 4u, Eu, =0, 6u5+6u‚3-{-u2.=0‚

und daher müssen die Verhältnisse der Coefficienten durch

u =27k, U

— 18%, u = 4k , y = 4hk, u = — 1%

gegeben sein.

Aus der ersten Determinantenform erkennt man ferner unmittelbar,

dass Deinm Ched en S Z enathalt

(

In unserem

hier betrachteten Specialfalle ist also &= 1 zu setzen, und dadurch

wird die Bestimmung von D vollendet.

Ob diese Methode der Coefficientenbestimmung in allen Fällen zu

eindeutigen Resultaten führt, müssen wir hier freilich dahingestellt

sein lassen (vgl. $ 134).

$ 163. Genau wie wir bei der Theorie der Resultante ($ 149)

die Gleichung (9) abgeleitet haben, so können wir hier zu der

Gleichung

(18)

D Z 0

gelangen, in welcher g, eine Funetion höchstens vom Grade (n -— 2)

bedeutet, und g eine solche höchstens vom Grade (n — 1). Besitzt

f=0 eine Wurzel 2, in v-facher Multiplicität, und also f = 0 die-

selbe in (v — 1)-facher Multiplicität, so verschwindet D, wenn v > 1

ist, und, wie man sieht, muss g dann den Factor (z — 2,) ım der

ersten Potenz besitzen.

Nehmen wir nun zunächst die Coefficienten von f als willkürlich

an, bilden (13) und differenziren diese Gleichung nach a;, so entsteht

OD

0g

+ (n — 2)—A—L.g.

OE

e

00

Führen wir dann die &, &,

G, in solche Werthe über, dass

f=0 eine Wurzel 2 genau von der Multiplicität 2 erhält, so geht

nach der eben gemachten Bemerkung die letzte Gleichung in

ÖD

(14)

0a,

7 z"1—191 (zl)

über. Man erhält demnach die Proportionen

ÖD

(15)

DE

E

.8D

=1:2::..1#

a

Q T

aus welchen die Doppelwurzel der Gleichung f= 0 berechnet werden

kann.

Hier schliessen sich im Falle mehrerer vielfachen Wurzeln

von f= 0 Betrachtungen an, die unseren früheren ($ 149) ent-

sprechen.

182

Vierzehnte Vorlesung 8& 164.

Fünfzehnte Vorlesung $ 165—166.

$ 164. In die Formel (2*) wollen wir für f ein Produet A

eintragen.

Wir setzen

f1=0((;2‘"1+061(‚5"‘_1+"'‚ f2=06(;/5""—{—0(1„2"2__1+—-.‚

f —> (asag)am n - (aga + afag)zhmn 0

daber Sollen dıe Wirzeln yon / = 0 mıt a 2

2

und die von

f=0 mit zl, %,

-- bezeichnet werden.

Dann ergeben die Formeln

(2*) und 8& 136, (3)

2

_1 (n, + n,) (nı +no —

Dfl DAn (f 1‚)

1) (a(;ot(;’)2("l"'”2*l) Ö H(ä__%)2

A A

(n, +r,) (n +n —1)

—1

(a0’ a6’)2 (n +n —1)

2

nı (n, —1)

A CS—)

2

(_

D

2

D;- ; (f771)’“

A

I

al

(“[’))2n1_2

(&T)Z M — 3

0

/In, 72nı

(16) Dfx‘fz S (— 1l J 1)f1 7 ‘sz Z ]‘E}“’„ Sa°

Diese Formel hätten wir auch durch Determinantenbetrachtungen

ableiten können, die freilich etwas umständlich geworden wären.

Fünfzehnte Vorlesung.

Die quadratischen Formen.

$ 165. Unter einer quadratischen Form von n Variablen

verstehen wir einen Ausdruck

@)

W=

C u 2 Xu

(Ä7 M=1‚ 27"'");

Ay W

in welchem die %,, %,

Z Variable, und die c,„ reelle Con;

stanten sind, für die wır die Bedingung c = Cu2 aufstellen.

Wir

werden mitunter, der Kürze halber, die Bezeichnung der Variablen ın

Wir nennen

f durch f(x) andeuten.

(Ä'7”=1; 27 ")

(2)

CO=|C6u|

die Determinante*) der quadratischen Form (1); sie ist symmetrisch.

SE SEA

*) Gauss bezeichnet (— €) als Determinante, Disd. arıth. $ 154. Herr

Sylvester nennt C die Invariante der Form.

183

Die quadratischen Formen

Den Coefficienten von c,„ in U schreiben wir Yıu

dann wird auch

Yın = Vuz, und es gelten die Gleichungen

(3)

Zc„y„‚ = @ (wenn / =W)

C022

)

%

=0 (wenn i + u)

Die quadratische Form mit den Coefficienten 7,

(4)

F

Ya XÄ Xu

(Ä7!"—“’1 2

)

Z

nennen wir die adjungirte Form von f und, im Falle dass € von

Null verschieden ist, den Quotienten von F durch U

z=

Ö5)

R =

2

(2, w

2

Nn)

Z

die reciproke Form von f

Aus (1) folgt durch Differentiation nach x;

u > 3 f (@) > n

Ca1%, f Ca2% f

+ Cın Xn

= 0 A 0218 F

+ Cn2Xn ,

und also ist d1e quadrainsche Form

(6) f— 5 3x Xı = ij (@2) ==me

(2

1, 2,

n)

2

Ferner erkennt man, dass

wenn 2 eine Constante, und Yı, Ya,

Yn

eine Reihe anderer Varıablen bedeutet

f&

Ayı) = D au (Lr + Ayı) (Xu + Aya)

'_'ZC”M y Du A A Z®y YıYu A 2120/# X Yu

(7)

y M

= @ O Ä2f (Du) Yı

=f(x) + #fy) + ÄZf (

wird, wo w die Zahlenreihe 1

;-';

n durchläuft

$ 166. Wir führen nun in f statt der x neue Variable y durch

die Substitutionsgleichungen

(8)

——Zm O

CZ

)

ein, machen aber dabei die Voraussetzung, dass die Determinante

| @2u |

O1 Q

x)

184

Fünfzehnte Vorlesung & 166—167

von Null verschieden ist, damit man die Substitution umkehren, und,

wenn @„ den Coefﬁaenten von a,. in 4 bedeutet,

Zn

(8*)

Y

‚A

X27

(

)

2

setzen könne

Durch diese Umänderung (8) erhalten wir die trans-

formirte, quadratische Form

g(y) —2“% YaYı

Q = @

N),

AAyı

(9)

d —Z£b„ Av Cuv

CO

n),

M y V

wobei dann auch wieder d,; = dı, sein wird

Man erkennt sofort die Richtigkeit der Gleichung

Arı

Anı

Cin

‘ AAyı

Aın

C

\ C11

“ d11

|

| A1n

Ann |

‘ Cn1

Cnn |

l Anı

ann

| dn1

dpn

oder kürzer

A O = D

aus der hervorgeht, dass 0 und D gleichzeitig Null oder gleich-

zeitig von Null verschieden sind

Diese Betrachtung lässt sich

folgendermassen erweitern

Wir berechnen das Product der drei fol-

genden Determinanten (n -{ r) Grades, deren Bildung ja leicht zu

übersehen ist, und in denen die w„,2, vı Willkürliche Grössen bedeuten

Aı

a„100

cll

Cin u11

Uır

Aı

a„„00

|

A

1A1n

Qn 0 0

‘ ICnl

Cnpn Unı

Unr

27

Un 0O

0

IO

| Yır

Vın

O

0

Q

10

0 ON

I

Urı Urn O

!

|

dr

dln

Zn

Ar 1Uzr |

dn1

d7l n

ja;„ U1 2a; n Uır

f

Z“u”11 Z%bﬂhl

;

0

0

7B Z£U„W

ELE LA

Der erste und der dritte Factor links besitzt den Werth A. Wenn

man nun auf beiden Seiten die Coefficienten von u17 U2uls,

Vi0V20V3r

bestimmt, so wird dies links das Product aus A? in eine Subdeter-

Die quadratischen Formen

185

minante (x%

r)‘" Ordnung von C, rechts dagegen eine lineare, homogene

Funetion aus Subdeterminanten (n — r)'”" Ordnung von D; es sind

also alle Subdeterminanten einer beliebigen Ordnung von €

lineare Functionen der Subdeterminanten gleicher Ordnung

von D; und dasselbe gilt umgekehrt, wie man erkennt, wenn

man ın der obigen Gleichung die @ durch die x und die c durch die

d ersetzt

Ist irgend eine Matrix vorgelegt, so sagen wir, dieselbe besitze

den Rang r, wenn alle in ihr enthaltenen Determinanten der Ord-

nung (r + 1) verschwinden, dagegen nicht alle der Ordnung v.

Das

giebt dann für unseren Fall mit Hinblick auf das soeben Bewiesene

Die Determinanten C und D der ursprünglichen und der

transformirten quadratischen Form haben denselben Rang.

Hat die Determinante einer quadratischen Form den

Rang r, so sagen wir, die Form selbst sei vom Range v

Gesetzt man könnte die Coefficienten @ so wählen, dass in g nur

r der Varlablen y auftreten, etwa yı, Y,

Yr, die übrigen Variablen

aber fehlen, dann verschwinden alle d;,, in denen ein Index grösser

als v ist, und die Determinante D hat höchstens den Rang 0; das-

selbe gilt dann auch für C.

$ 167

Ist 0 =|Cczu | gleich Null, dann sind die Funetionen

al (©) = O1% F 022% + + + Can®n

(3'_1> }

#)

durch eine homogene, lineare Gleichung

f& (%a) Ya A + f (@n)yn = 0

mit einander verbunden

in welcher die y Constanten sind, welche

nicht alle verschwinden

Setzt man diese Werthe y statt der x in

die Formeln (6) ein, dann folgt f(y)

O, und (7) liefert daher

f(@ + 29) = f@) + 4 DF aug

——f(56)‚

so dass also f(x + 2y) von 4 und den y unabhängig ist. Wenn jetzt

Ya eine der nicht verschwindenden Constanten ı y bedeutet, dann giebt

die eben erhaltene Gleichung für 1 = — %4: Y wegen

f@ =f(@ — %y)

X

X

Yı

Laı

Ya—ı), 07

_f(x1 e

a&

den Beweis für den Satz

Jede quadratische Form, deren Rane

5

186

Fünfzehnte Vorlesung &$ 167—169.

geringer als » “st,lässtı sıch. als quadratische Form von

weniger als n Variablen darstellen, welche lineare Aggregate

der ursprünglichen Variablen sind.

Die Umkehrung dieses Satzes ist leicht zu beweisen:

Wenn in

der quadratischen Form (9) etwa y„ nicht auftritt, und also alle dın

verschwinden, dann ist D= 0, und da A4=+0 sein muss, so liefert

DE A

das Resultat (=0. Ist eine quadratische Form von n Variablen

als quadratische Form einer geringeren Zahl von Variablen

darstellbar, welche lineare Aggregate der ursprünglichen

sind, dann ist ihr Rang geringer als n.

Aus der ersten Ueberlegung folgt durch einfache Fortsetzung:

Ist der Rang n} von f geringer als die Anzahl ” der Variablen,

dann lässt sich die Form durch n, neue Variable darstellen,

derart, dass jetzt die Determinante der umgewandelten Form

von Null verschieden ist.

Eine weitere Verminderung der

Zahl der Variablen ist nicht möglich.

$ 168.

Setzt man %; == X;,, indem man unter 4,

%,

»« 5 eine

Permutation von 1, 2

DA

n versteht, dann liefert diese elementare

Transformation dieselben Coefficienten nur in anderer Folge. Dabei

ist Jedes Diagonalglied d,, gleich einem Diagonalgliede c,„.; und sämmt-

liche Hauptsubdeterminanten, d. h. solche, deren Hauptdiagonale der

Hauptdiagonale von 0 entnommen ist, gehen wieder in Hauptsubdeter-

minanten von D über.

Es ıst auch. d,ı = dı,.

$ 169. Wir betrachten, zunächst unter der Voraussetzung 0=+=0,

noch eine bemerkenswerthe Substitution.

Wir schreiben (1) in der

Form

S==

—-

Bı Ur A alg A : A ZnUm ,

(10) y

——

V

m),

G1 %ı f C222 A + F Cin%n = ä f (x.) W

und wollen jetzt die w2 als neue Variable in f einführen.

Es treten

dann an die Stelle von (8) die Gleichungen

(11)

7).‚u

Z

@ O = 1 2;"'");

Zu =ä"

(&

und die transformirte Form hat die Coefficienten

dı = ä‚g%j?„ Vrı Cn éa$?x„2?lﬁ„

=é7’%“

Die quadratischen Formen.

187

d. h. wie die Vergleichung mit (5) zeigt, die transformirte, quadratische

Form ist identisch mit der reciproken Form

%2

(12)

y=

O

U4U2

(”>’1=1‚ 2)"'")

HR

Wenn C= 0 ist, kann man folgendermassen vorgehen, um zu

ähnlichen Resultaten zu gelangen.

Der Rang der Determinante U sei

gleich ”, und durch eine elementare Transformation ($ 168) seien die

Variablen, wenn es nöthig ist, so umgeordnet, dass

CZ

(}‘;P'=17 Z

von Null verschieden ist.

Dann entnehmen wir aus den Gleichungen

UL — Grır — Z nln = DF F ir %r,

Ur — Crr E1 1 —

— Crn %n — Cr 1 Xi + V + Cyr Xr

durch Umkehrung die Werthe von %,, %,

--% in der Gestalt

(r)

(13) U(")xl Z yfä $ („1 E cl‚7‘+lxr+l E ) _+‚ + V

rz

'(ur_— Cr‚r+lxr+l_ )

(4=1, 2 444 r)

}

hier bedeutet y£i die Adjunete von c,, n C

(r)

.

Wegen der Voraussetzung über den Rang müssen (n — r) lineare

Beziehungen

(14)

w = karı F + A KarUr

(A=r7+1,r7+2,-.-m)

bestehen; setzt man in diesen %, = 1, (x=1, --.r) und alle übrigen

% gleich Null, so wird w2 zu cz„, und also erhält man aus dem letzten

Gleichungssysteme (14)

Cr =zkl‚uc‚uz @ = W p 1 05 a 1 Z

aus diesen Beziehungen ergiebt sich dann weiter durch Auflösung der

Gleichungen mit demselben 2 für die Unbekannten k;ı; 990 An

V

(r)

(!"7'”=1;'

Y A=r+1,--..n)

5 O =z y

Nach diesen Vorbereitungen tragen wir

U, Uo,

° Ur), Xr 1,

Kn

als neue Variable im f ein; dazu wählen wir die Form (10), benutzen

(13) und (14) und erhalten

188

Fünfzehnte Vorlesung 8& 169—171

Cm9=ä (712 — Or pa® pa ) r r — p — +)}

r)2—/l/[u (]‘/u 1U1 + k[„ 2U2 + + k]„ ‚—’I‚t‚)

u=r+1

__2y„u„zq +2 Zx„u„ unl —20„;@.„)

s

A=r+17=1

_Zj/y‚{ U„U2

CZ

)

Denn wegen (15) verschwindet der Coefficient von n wl a ım!

der symmetrischen Determinante C® sowohl Qn ="641 al y<’> Z ©

1st,

vu

Wir haben somit, genau dem Resultate (12) entsprechend

(12*)

g ——2 CZ) UU

CZ U

r)

Hierdurch ist die am Schlusse von

167 bewiesene Reductionsmög-

lichkeit verwirklicht worden

$ 170

Für den Fall, dass C = 0 ist, ohne dass alle ersten Sub

determinanten von € verschwinden

möge y;z von Null verschieden

seın

Man hat dabei mit Hülfe bekannter Determinantensätze

YiiYik — YakYız = 0

C

n),

E s

}’fk7/;i AAA 7/L7Ü.1)

Yıx: 72k

Va z VV3

Yni;

—-2%1 NO =

Yıik

Zy‚;„X ngÄ; Z C (Zy„‘(;)

CZ

)

d. h. hat die Determinante einer quadratischen Form von

% Varablen den Rang (n — 1), so ıst ihre Adjunete eın

Quadrat

Die

Umkehrung

dieses

Satzes

SW

gleichfalls

TACHUS

In der T'hat, wenn die Adjunete der vorgelegten Form f

__Z Mn r(2p‚z X1)

(Ä7M_1 2

)

A, M

ist, dann wird der Coefficient von X, Xı

— 7ı Pu>,

und demnach kann man aus den beiden Gleichungen

Die quadratischen Formen.

189

(du= 1 ),

© =)Z anr

Vl -;Pn‘„

(w =+ v)

0 =Z VıvCı u =

T 'ZPNÄ„

den Schluss ziehen, dass € gleich Null sein muss. Denn wenn die Summe

E ıC verschwindet, muss auch U verschwinden; wäre hingegen diese

Summe von Null verschieden, dann würde p,=0, und auch hier

müsste wegen

© =Z an = rp„szc/zv

wiederum 0U = 0 werden.

$ 17/1. Wir behandeln jetzt die gleichzeitigen Transformationen

der Form f und ihrer reciproken Form R

f=A Czu X Xur

Ayk

R =ä Z

durch die beiden Substitutionen

M

O =; &3562 bezw. X

B

Z

[

Dadurch geht f in die Gestalt über

gI =2 %x%&2 CuvduxAyz

Z

O

=; E E2de2,

und die reciproke Form R in

3'‚u11°‘‚ux“vl

HIC

F=;7 C L

=ä’5„5„7)„.

KEs lässt sich jetzt leicht nachweisen, dass I° die reciproke Form zu g

ıst

Es wird nämlich

ya1°‘zrz°‘»t‚u

ET s

O

2; OEa =2 29 Cy o0y%Ao7 —

2 c„9y„2a„u„‚

V

%

und da die letzte Summe für v + 6 verschwindet, dagegen für v=©6

den Werth A hat, so ergiebt sich zuerst

;dlex‚u Alogaggoc‚„„zc„gyw_

Hier verschwindet wieder die letzte Summe für @ +rv, während sie

für 0:= v gleich € wird; also ist weiter

190

Fünfzehnte Vorlesung 8 171—172.

2%1D„

A 2 Ao2Uou>

Q

und daraus ergiebt sich, dass für 4=w der Werth

d„;‚ D„]„ Zzu

Null, für 21 = u zu Eins wird. Das enthält den Beweis der aus-

gesprochenen Behauptung.

8& 172.

Zum Zwecke unserer weiteren Ableitungen erinnern wir

an die folgenden Determinantensätze (vgl. J. für M. Bd. 114; S. 345).

Wir bezeichnen zur Abkürzung unter der Annahme beliebiger Grössen

C,2 die Determinanten

C11

Cim Ciß ‘

|

Cm1

Dm+1 (“; ß);

(Caß 7 D1 (0(‚ ß))

Cmm Cm ß |

|

Ca1

Cam Cap" |

|

und weiter

Dm+l(m + 1; mM + 1) r Dm+].

(011 5 D1):

dann gelten die Gleichungen

(16)

| D"l(m7 m) D‚„(m‚ ß) ; A

Dm—l Dm+l(“; ß);

ı Dn(«, m) D, ß)

|

|

Da(m,m+1)

Da (m, ß)

|

„

i Da (m, m)

(

(

)

Da(m+1,m) Dm(m+1,m +1) Da(m+1,8) = Dı Dm+2(@,ß)

|

Dra(&,m)

Dal(«, m +1)

D‚„ (06‚ ß)

(

Wir gehen jetzt von der quadratischen Form (1) mit dem Range

n, aus, wobei 1 <n, <mn sein soll, und wollen sie in ein Aggregat

von Quadraten umwandeln. Wir nehmen zunächst an, dass nicht alle

C.„ verschwinden; im Laufe der Untersuchung wird sich zeigen, wie

man den jetzt ausgeschlossenen Fall zu behandeln hätte.

Durch eine

elementare Transformation kann man, wenn es nöthig semm sollte, die

Indices so verändern, dass c,, + wird. Dies wollen wir geschehen

denken. Da c = c und DA (x, 2) = Dm(4, x) ist, so folgt wegen (16)

cl»'yß G

E

A

—]

—1;l ($Dl (1, Ä) .m)2 + D1T$(DIDI (%;Ä> en D1(1;Ä)D1(%;1>) X4 X27

1

= —

1

( Z D.(1,A)%ı) + z Z Do( 2) 242

Die quadratischen Formen.

ON

Ist %, = 1, dann verschwinden die sämmtlichen D,(x, 4), und f wird

gleich einem Quadrate. Ist n, > 1, und sind nicht sämmtliche D,(x,x)

gleich Null, dann kann man durch eine, auf die letzte Summe aus-

geübte elementare Transformation die Indices von %,, %3,

Ln

Sso

verändern, dass D,(2,2)= D, von Null verschieden bleibt.

Dann

liefert dieselbe Methode

F 31; (i‘a(1‚ A)m}2 A 17‘„; (ä’1)2(2‚ WA)2

En Di2;'1)3(„‚ DE

Ist n, = 2, dann verschwinden die sämmtlichen D,(x, 1), und f wird

gleich der Summe zweier Quadrate.

Ist . 2 dann kann man ın

derselben Weise fortfahren, falls nicht alle D,(x, x) gleich Null sind.

Wir wollen annehmen, dass wir so etwa bis zu

f= j% (Zln7D1(l; Ä)xl)2+ 71’)11’]_3; (2;]D2(2; Ä)xz)2 +

(18)

E FE OE

ı

ı

m—2

D AM

ul

<$D„._l(m——l‚}„)xl)g—{—

‘Dm-— i

m— 1

$ D‚„ (x‚ Ä) W4 X27

gekommen wären, dass %, > m sei, und also nicht alle Dy(x, 2) ver-

schwinden, dass aber jedes D, (x, x) gleich Null wird. In diesem

Falle kann man durch eine auf die letzte Summe ausgeübte elementare

Transformation die Indices von A e

%, SO umändern, dass

Dn (m, m +1) +0 wird; dann kann man schreiben

$ Dr(#,A)2.%2 = ﬁm*(';‚;?;n’_*'_’l) [D‚„ (m, m + 1)%m +_53Dm @- I Ä)—”’J

m+2

(19)

. [ Dr (M,M + 1) @m41 +jß„. (M, 4)2u|

m+2

+$(Dm(Ä>“) F

Dr m+ 1,4) D, (M, #) + D, (m,2) .Dy, m- 1,w)

W K E

)x; ur

m+2

D (m, m+1)

Die letzte Klammer formen wir mit Hülfe von (17) unter Beachtung

von D„(m,m) = 0, Da(m+1,m+1) = 0 in

Ea Jal D n Mr

D72n—1‘Dm—f—2<}”y')

Di(mm-+ı)

um. Aus (16) ergiebt sich ferner

Da mAL Da Da

192

Fünfzehnte Vorlesung 8& 172—173.

und daraus zuerst D„41=0; und dann folgt weiter für den vorigen

Bruch der schliessliche Ausdruck

Dm—l $ Dm+2(liwy’)r }

D

m+1

Auf das erste Glied rechts in (19) wenden wir noch die Substitution

Da(m, m- 1) Zm —{—2 Da(m 1, 1)2: = Prn F Qm)

m+2

Dm (”Z; M 'iL 1) xm+l +jD‚„ (77Z, Ä‚){L'1

—Pm

Qm

m+2

an, wodurch dasselbe in die Gestalt

2

Dm(m‚ m+ 1) (P'L;‘ n Q3‘)

übergeht. Für (18) haben wir also die neue Darstellung

ME

(18*)

i ’1’)'„;;2]D;f1 2 D"‘—l(m_1'l)“)z+ D

DG S°

z

a

TD

m

1 gDm+2(l‚ W) %2%u> (Dm+1 F 0)-

m+2

Fährt man auf diese Art fort, so erkennt man, dass jede quadra-

tısche Form vom Range n, (<n) sich in ein Aggregat von

n, Quadraten umwandeln lässt. Zwischen diesen Aggregaten

besteht keine lineare, homogene Gleichung mit constanten

Coefficienten, d. h. sie sind linear von einander unabhängig.

Diese letzte Behauptung muss noch bewiesen werden.

Hätte man bei

constanten Coefficienten 0 die identische Gleichung

Ö, Zj7 D (1,12) z + 62;"7 DA

Ä)SU]_+ E + öm—l ij_l("l—].,l)x}„

m—1

+öum+ö\m+lQm+ E =07

was die x auch immer für Werthe annehmen, dann zeigt zuerst das

Werthsystem %, = %3 = - =0, dass ö,. verschwinden muss; danach

Z Z dass auch d} yerschwindet u s x b Zzu 020

Setzt man dann

+äm+1

öm—Pm + öm+1an E

2

(Prn + Qm) +

öm n a

2

(Pm E Qm);

193

Die quadratischen Formen

so ist ersichtlich, dass (d„-+ 0m+4+1) und (&

E Null werden

Also kann die homogene

und demnach auch d„ und 01 selber

lineare Gleichung überhaupt nicht bestehen

S

Derartige Umwandlungen in Aggregate von Quadraten

können auf unendlich viele Arten gemacht werden

Greift man z. B

auch nur zwei Quadrate heraus

a,X,* + a X,?

und benutzt die Substitution mit nicht verschwindender Determinante

XM E DU U,

dann entsteht auch W1ede1 eine Summe von Quadraten

a‚ X +a X

= (a,m* + a,w?) Yı? +

A (n A aa E

sobald die vier „ubst1tut10nscoefﬁc1enten die einzige Bedingung

amn ; auv= 0

erfüllen; und das kann ja auf unendlich viele Arten herbeigeführt werden

Wir wollen nun annehmen, es sei auf irgend einem Wege

2

f 2£l(£ll% A &22% F

+ &n@x) ——28; X;

@ < %)

gefunden worden, wobei die Coefficienten & und e reelle Grössen be-

deuten, und zwischen den & linearen, homogenen Funetionen X,, X,,

X: keine lineare Abhängigkeit besteht. Der Rang von f ist dann ı

Wir wollen den Rang des Systems

C111

612

Cin

Car

Cag

C2n

Er1

Cr2

Crn

o nennen (0 <r) und etwa

€x}„‘+0(% Ä«———]. 4,

o) voraussetzen,

während alle Determinanten der Ordnung (o+1) verschwinden. Dann ist

\ Ey1 Cx2

O Z =0

@=12

© E 1y

und zwar ist diese Gleichung nicht identisch erfüllt, da der Coefficient

von Xo+1 nicht Null ist.

Damit diese Gleichung der Voraussetzung

über d1e lineare Unabhängigkeit der X nicht w1derspreche mUüss 0 = 7

sein, und wir können © 50 @i = 12

--r) annehmen. Danach

kann man aus dem Systeme

€11 x1 + +elrxr_X rl r+1Xr+l_

Aa 7LX7L;

erlx1 + + Crr Xr = X B: er‚r+1Xr+l ar

Cr

,

Xn;

Wr 1 =

r-+1) xr+2 s Xr+ ’

.Z'„=X„

Netto, Algebra. I

13

194

Fünfzehnte Vorlesung $ 173—174

die Werthe der Variablen x eindeutig durch die X und umgekehrt

ausdrücken, wobei alle eingehenden Constanten reell sind.

Jede Darstellung einer quadratischen Form fals Aggregat

von Quadraten, in welcher nur reelle Constanten vorkommen,

kann durch e1ne reelle Transformation erlan@’ß werden.

$ 17/4. An die Formeln von 8 173 haben wir noch eine Be-

merkung zu knüpfen

Es giebt nämlich auch Beziehungen zwischen

den Vorzeichenanzahlen der Quadrate bei verschiedenen Arten der

Umwandlung.

Im Falle eines Aggregats von zwei Quadraten findet

%“ B die GIemhun@ statt

(a,m® + ayw?) (a,n? 4 a,v?) = (a mn + A, uV)” + a,a (nu — mv)?

= A,& (nw — mv)

Die letzte Klammer darf der Annahme nach nicht VerschW1nden und

es folgt daher die Zeichenrelation

sgn (a,m? + a,w?) (a,n? + a,v°) = sgn (a,a,)

Hieraus sehen wir, dass wenn a, und a, verschiedene Vorzeichen haben

dies auch bei den neuen, transformirten Coefficienten a,m* + au

Ferner erkennt man unmittelbar, dass die

und a,n” + a,v? statthat

letzten beiden Coefficienten beide positiv oder beide negativ bleiben

Folglich liefert die neue

je nachdem dies bei den ersten eintrifft

Darstellung von f ebensoviele Glieder mit positiven und mit negativen

Zeichen

wie die erste

Dieser Satz lässt sich auf die Darstellung

eines beliebigen f als Summe von Quadraten verallgemeinern; Sylvester

hat ilm unter dem Namen Trägheitsgesetz der quadratischen

Formen im Phil. Mag. 1852, 1853 veröffentlicht; Jacobi kannte ihn

bereits 1847 (Werke, III, 501), jedoch wurden die betreffenden Unter-

suchungen erst nach seinem Tode veröffentlicht

Wir können voraussetzen, .dass die Zahl der Variablen von f gleich

dem Range » genommen wird ($ 167). Wir können ferner die Coeffi-

indem wir diıe

cienten der einzelnen Quadrate gleich + 1 setzen

Quadratwurzeln aus den absoluten

zunächst vorhandenen Werthen

zu den Aggregaten ziehen

Somit dürfen wir also unsere reelle Dar-

stellung der quadratischen Form

(20) f= K +K?+...+ K}

KL

s}

(S-+4=n)

schreiben. Die X sind linear unabhängig, und die x lassen sich durch

sie ausdrücken ($ 178)

Man kann demnach jede Substitution durch

die X linear ausdrücken

Ist in anderer Weise f durch die Quadrate

der ” Ausdrücke Q,, Q,

Q darstellbar, dann gıilt von den Q das

Die quadratischen Formen.

195

Gleiche, und somit können wir auch die X durch die Q ausdrücken.

Es möge das in der Form

Kı = u Q I2 Q F + Tin Qn

(Ä=1;27 --S)‚

Ku — hpl Q1 + h‚u2Qg + SA + h‚un Qn

(P"=1;2;“'t)

geschehen.

Setzt man dies in (20) ein, so entsteht

f=Z(gil+—--+g;—hia—

h) Q

(20°)

+2(91191;1 + + Is29su — hllhl,u A E htlh'tp) QÄ Q;4-

Z

Weil dies nun gleichfalls ein Aggregat von Quadraten wird, müssen

die Coefficienten von sämmtlichen Produceten Q,@Q. verschwinden, und

das Trägheitsgesetz fordert, dass s von den Klammern der

ersten Summe positiv, und die anderen $ negativ werden.

In rein arithmetischer Form ausgesprochen lautet das behauptete

Theorem so: Wenn bei beliebigen reellen gı„, hıu und den Be-

zeichnungen

Jı291u + + Ua Oanı F 6}.‚u , hth1‚u + '+' htl ht‚u, S

67.‚u n SO

(A,u=1,...n; s+t=n)

alle 02.(1=+w) verschwinden, dann sind s der Grössen 01

positiv, während die anderen $ negativ werden.

Wir wollen zunächst einen rein arithmetischen Beweis dieses

Satzes geben (vgl. J. für M. 110; S. 184). Man hat für « >s

U„‚+g;„}=äöx„l=0

C O2

denn die Determinante der 6 entsteht aus der Composition der beiden

Matrizen des defectiven Systems

931

A

B

91.s‘ 923

Iss

gsl 932

A st .93a—

91a 92a

Isa

Wegen 02,= 0 (1 =+u) vereinfacht sich die Determinante zu

Tır 77 O11 7ı

T1a

Tar

T2u

D

Taı

Ta2

Taa« + Oa«

und entwickelt giebt das die Gleichung

13

196

Fünfzehnte Vorlesung $& 174—176

1‘£;; ’L';a‘

— |9ur [ 000=01102 @„{r„+2

QÄÄ \ Tax2ı Taa|

U A

ıl

Tu2 Tuu Tua

_|_

|

2

.

972 8 uı u

| Ta Tau

Taa

|

(Ä> U,

—02

)

Der erste Coefficient rechts in der Klammer,

nämlich

ta _'hltz+ +ha

ist direct die Summe von Quadraten; die Determinante des zweiten ist

aus den beiden Matrizen des excessiven Systems der Elemente A

h1 Z h<) Z

htÄ

h]_; h1 &

hla h2a

e

h;) ]L;a

zusammengesetzt, so dass die Determinante

Taı Taa

B —2 (hp/h":a hvlhya)

auch wieder die Summe von Quadraten wird, u. s. w. Folglich zeigt

die obere Gleichung durch eine Identität, dass, wenn 0,,,

Oss

positiv sind, alle 0xx (@« > s) negativ seim müssen, dass es also in (20)

nicht mehr als s positive Glieder geben kann

Dasselbe gilt ebenso

für t, und damit ist der Satz bewiesen: Wandelt man durch irgend

eine reelle Substitution die Form f in ein Aggregat von

%” Quadraten um, so ist dıie Anzahl der posıtiyen Glieder

desselben invariant für f.

$ 175

Wir wollen noch den Jacobi’schen Beweis des Träg-

heitsgesetzes, der auf besonders einfachen Ueberlegungen beruht, hier

mittheilen

Dazu bemerken wir

dass

wenn e A

Ko+t

(s + t=n) von einander unabhängige, homogene, lineare Funetionen

der x sind, ihre Gesammtheit nur verschwinden kann, wenn sämmtliche

Variable gleich Null gesetzt werden

Sind aber weniger als % lineare

homogene Funetionen gegeben, so kann man diese sämmtlich zu Null

machen, ohne dass dies bei den Variablen eintritt

Wenn nun

+ K}

/

Kı} +

Ka

ia I(+g

s+ti=n

—Q1 7R +Q11_'Qp+l—

77R Q71+7

(

D+tr=SN

)

und p S aAbı n Z d S N ware

dann könnten wir den

Variablen ein von Null verschiedenes Werthsystem geben, durch welches

Kı = 0

Kı=0, +ı = 0

Qp+7 =0

Die quadratischen Formen.

197

wird, ohne dass gleichzeitig

K KL K O

K =0

ıst

Dadurch ginge die obige Gleichung ın die Korm

d S2+1 E

— Ka= @+

über, welche, da ihre linke Seite wesentlich negativ ist, einen Wider-

spruch in sich birgt.

Ebenso folgt, dass nıcht s > p sein kann; des-

halb muss, wie behauptet wurde, s = p und t= r seim.

$ 176. Das Bestehen des Trägheitsgesetzes zerlegt die quadrati-

schen Formen, je nach der Anzahl der positiven und negativen Glieder

bei der Darstellung als Aggregat von Quadraten, ın verschiedene

Species, die durch ihre Signatur von einander verschieden sind.

Unter Signatur soll (vgl. Frobenius: Ueber das Trägheitsgesetz

der quadratischen Formen; Berl. Ber. 1884; 241) die Differenz der

Anzahl positiver und negativer Coefficienten bei der Darstellung der

Form als Aggregat von Quadraten verstanden werden.

Diese Signatur

kann bei Formen vom Range ” eine der Zahlen

n, n—2

2

A

9 A —ED

sein.

Gauss hatte die beiden Extreme, in denen nur Glieder eines

Zeichens vorkommen, als definite Formen bezeichnet, da bei ihnen

der Zahlenwerth stets dasselbe Vorzeichen besitzt, im Gegensatze zu

den übrigen, den indefiniten Formen, die sowohl positive wie

negatıyve Werthe annehmen können.

Wenn ın der Darstellung (18*), $ 172 alle Determinanten

D, Di, Ds,

'D'ﬂ

von Null verschieden sind, kann man die quadratische Form

al

f=‚1)

‘1_ U,?

n

1U12+j)'1_1172U22+"'+’

T

JD)

schreiben und erhält als Formel für die Signatur

(21)

S =9=ä sn (D D @Z

Wir haben ferner gesehen, dass wenn alle D„.(x,x) Null sind,

die Variablen so angeordnet werden können, dass ein Da C 2) von

Null verschieden ist (S. 192, Z. 1), und dass man dabei die Darstellung

1

1

U72n— al

f W + E

m—2

D

m z

1

+V12——V22+b

m+le+2

O

erhält.

Hier ist dann also

198

Fünfzehnte Vorlesung 8 176— 178

m— 1

s = Ysign (Do-1Dr) +Z mOD L1

e=1

Q9=m-+2

Mk

sıgn (D D f en D) - sn (D D4ı

0=1

(Dm = 0),

+2 sign (Do-1D),

=m+2

und man kommt auch in diesem Falle wieder auf die Formel @i

& 177

Bilden wir das Determinantenproduct

Aı

Aın

|

OR

Ci2

CG18

Cin

|

O11

Anı

/

|

|

C

Ca9

C983

Can

An ı

Hna

Aın

Ann

e Cor

Cal

C353

C

I

Cn1

C

Cn

— Can

und berucks1cht1gen (9), so ergiebt sich als Resultat

t2a„a„ ——d11, t2a„a„—— dıa ,

t2a„a„;— Q

ä

Za„za„ d,„‚ t2a„;tm

n2;

tZa„za„;

Da 4= au | von Null verschieden ist, so folgt, dass die Gleichung

(22)

tZa„;a„— ur =0

(Ä7 M') Ü 17 o

)

dieselben Wurzeln t besitzt, wie die Gleichung

(28)

| C&um

Ciy / —0

(";”_1 2

n)

Gn 1 yeann E E

&uv= 0, wenn u == v ist)

KEin Transformationssystem au heisst ein orthogonales, wenn

)

(24)

2%1%1—— Euv

2

(Ä;M;7"_1 2

Aus (9) folgt als charakteristische Eigenschaft dieser Systeme, dass sie

die Summe von Quadraten

%* wieder in eine Summe von Quadraten

E y* transformiren. Für solche orthogonalen Systeme vereinfacht

sich (22), indem bei ihnen € nur in den Gliedern der Hauptdiagonale

und dort mit dem Factor 1 versehen auftritt

Es lässt sich zeigen, dass es stets eine orthogonale Sub-

St1bUuG1ON. e bb

welche die quadratische Form (1) in ein

Aggregat von Quadraten umwandelt

Wir wollen, ohne auf den

Die quadratischen Formen

199

Beweis näher einzugehen, nur darauf hinweisen, dass eine ausreichende

Zahl von Constanten dafür zur Verfügung steht

Das System (24)

und das Ver-

enthält nämlich 5 %(n + 1) Bedingungsgleichungen

schwinden der Producte yıyu bei (24=+w) in der transformirten Form

fordert die Erfüllung von = n (n — 1) Gleichungen zwischen den Sub-

stitutionscoeffecienten

Weil nun einerseits ”“ solche vorhanden sind

und weıl andererseits die Zahl der Bedingungsgleichungen auch ins-

gesammt

nn+F1) + nn—1)=

ist, so ıst wenigstens die Möglichkeit der Erfüllung unserer Forderungen

dargethan

Damit wollen wir uns hier begnügen

Setzen wir in (22) voraus, dass die a‚ derjenigen orthogonalen

Substitution angehören, welche (1) in ein A

regat von Quadraten

umwandelt, dann wird diese Determinante (22) zu

| C8&u» —

}L'Vj—'0

(!"’;”—1 R

)

bei duy= 0 (W=Ev), oder einfacher, da nur Diagonalglieder existiren, zu

(22°

(w=1,2,

')

[ 1Ce-dn)=0

Unter den du„ kommen so viele positive und so viele negative Glieder

vor, als das Aggregat von Quadraten positiye bezw. negative Glieder

enthält

Es ist demgemäss die Signatur von (1) gleich der Differenz

der Anzahlen der positiven und der negativen Wurzeln von (22%),

und da ja diese Wurzeln mit denen von (23) übereinstimmen

Sso

folgt der Satz: Die Gleichung

(28)

en

ml =0

( v =1,2

n),

in welcher c„,= &„ ıst, besitzt stets n reelle Wurzeln

Die

Differenz aus den Anzahlen ihrer positiven und ihrer nega-

tiven Wurzeln ist gleich der Signatur der quadratischen Form

(1)

——ch LO

Au

Den hierbei zufällig erhaltenen Satz, dass die Gleichung (23) keine

complexen Wurzeln besitzt, können wir auch auf directem Wege ab-

leiten, ohne das Theorem aus der Theorie der orthogonalen Substitu-

tionen zu verwenden. Der folgende Bewas ist von Sylvester angegeben.

$ 178. Wir bezeichnen

I() = | C&u» F Car |

a= 19

N} Ouy = CGyu)

Dann ist

9(—t) = | — döuy + G7 |

200

Fünfzehnte Vorlesung $& 178

Sechzehnte Vorlesung 8 179—180

und

es wird

()g(—®)

&m S} 2@„G„

z=1

Sl S

l ;CÄ>«C„/

HE

A i42 > 2m„‚c„„

4=1

Hierbei durchlaufen im ersten Summanden 2 und u die Reihe Z

7

im zweiten 4, und w, die Werthe 1, 2,

i—1,i+1

%, W0b81

OO b1s %” geht; ım dritten 2 und w die Werthe 12

i—1

i+1, -

1L+1

n, wobei k& >7 ist und beide alle möglichen

Comb1natmnen aus 1 2

n annehmen, u. s. w. Nach den Sätzen

über die Composition von Systemen die wır schon ım &8 174 ver-

wendet haben, folgt, dass jede der rechts auftretenden Determinanten

ein Quadrat oder eine Summe von Quadraten ist

Wenn wir also

MOAE Z C O

setzen

dann sind alle Coefficienten C positiv

und g(Ü)g(i—%0)=0

besitzt als Gleichung für * keine negative Wurzel £*

— 7, weil hierfür

das Polynom positiv werden würde

Demnach kann g(t)= 0 keine

rein imaginäre Wurzel besitzen.

0 auch

Aus . diesem ersten Resultate folgt leicht, dass g(t)=

keine complexe Wurzel £= &+ ni hat.

Denn wäre dies der Fall

und ersetzte man ın der Determinante für g(£) die C,,,

Caa, Ca37

durch 0

&, Coa

E08

5,

so erhielte man eine Determinante

von ganz gleicher Bildungsform y(%), die aber gleichwohl zu der

Gleichung y(*)= 0 mit der rein imaginären Wurzel %i führen würde

Da dies nach dem zuerst bewiesenen Satze nicht angeht

so ıst die

Annahme einer complexen Wurzel t= E +- n nicht haltbar, und damit

zeigt es sich, dass g(£) == 0 nur reelle Wurzeln haben kann

Es möge noch bemerkt werden, dass hiermit zugleich der Beweis

für die Realıtät aller Wurzeln von Gleichungen der Form

‘ Ür

C

C

C

b

Cag

C

C

=0

(sgn C

SO

Z

2

ÖC

Z

geliefert ıst

Denn durch Multiplication der A* Spalte mit w und

Division der

An Zeile ‚ durch u tür. A4= 12

n kann man eine

Das Rolle’sche Theorem.

201

Grenzen für die Wurzeln.

Form. erlangen, die bei geeigneter Wahl der u in (28) übergeführt

werden kann. — Das Gleiche gilt natürlich von

Il

1

1

1 Gt—6

Il

C0 C

il

al

=

(sgn cı = 8916 = )

|

1

1

\

Gt—63 1

|

E

Sechzehnte Vorlesung.

Grenzen für die Wurzeln.

Das Rolle’sche Theorem

$ 179

Wir wenden uns jetzt zur numerischen Auflösung

von Gleichungen, d. h. zum Studium von Methoden, durch welche

wir Grössen finden können, deren Substitution in das Polynom f(z)

der Gleichung

(D)

CO = U Z

den absoluten Betrag von f(z) entweder gleich Null oder doch kleiner

macht, als eine gegebene, beliebig kleine, positive Grösse.

Zunächst handelt es sich darum, Grenzen anzugeben, ausserhalb

deren keine reelle Wurzel der Gleichung (1) sich befindet, und an

zweiter Stelle darum, Intervalle zu bestimmen, deren jedes nicht mehr

als eine von den reellen Wurzeln der Gleichung in sich enthält.

$ 180. Es mögen die Coefficienten @ als complex angesehen

werden, und « sei der absolute Betrag von a,; auch für z denken

wir uns complexe Werthe eingesetzt, und bezeichnen |z| durch o.

Dann wird

|f(@) | ] Aa | — | a 71 - a 2773 4 - + an |

Za — (“19"—1+ O “n)'

Ist nun @x der grösste unter den Werthen «,, &,

&, dann folgt

weıter

Q

|f(2) | Z «0r — alg ora EL = 0 —&

a

©

Z ke=—

e e

—1

Nimmt man daher für o die Ungleichung

(2)

P

so bleibt der absolute Betrag von f(e) stets positiv, und 0

202

Sechzehnte Vorlesung 8 180—183.

ist eine obere Grenze für die absoluten Beträge der Wurzéln.

Diesen Satz hatten wir in 8& 17 bereits abgeleitet.

In besonderen Fällen lässt sich durch Berücksichtigung der Natur

der Coefficienten die soeben erhaltene Grenze häufig noch herab-

drücken.

S 181. Nehmen wir yon jetzt ab bis auf Weiteres die Coeffi-

cienten als.reell an und etwa U G

A,—ı als positiv, a„ als nega-

tiv, so ist für positive Werthe von 2

f(;_‚-;) > aoz" + a12"—1 + + az_lzn——z+ll

aa 2l

und wenn A den grössten der Werthe | a |, [alr n 999 ] @] bedeutet‚

on

w—i—1_1

|£@)| Z&

R

A Z

z—1

IV

EG E

A= 1l

Da nun, wie wir ohne erite\res erkennen,

a (@* — #71)> a (8 — 1)*

(2>1)

’

ist, so braucht man mur für die positive Variable z die Ungleichung

(3)

z>1—f—f/é0

anzusetzen, um |f(z)| wesentlich positiv zu machen. Es wird

(3°)

Il

SI

/a

C

eine obere Grenze für die positiven Wurzeln der Gleichung.

Offenbar gelten dieselben Schlüsse, wenn man unter A, enger als bisher,

nur den grössten absoluten Werth aller vorkommenden negatıyen

Coefficienten versteht.

Wenden wir dieselbe Regel auf die durch 2 = — € transformirte

Gleichung an, so erlangen wir eine untere Grenze für die negativen

N

Wurzeln. Ebenso kann man durch die Substitutionen z =

i =

e

5

eine untere Grenze für die positiven und eine obere Grenze für die

negatiyen Wurzeln erhalten.

$ 182.

Ist das Polynom der Gleichung so beschaffen, dass auf

ein oder auf mehrere Glieder mit positiven Coefficienten nur solche

mit negativen Coefficienten folgen, dann besitzt die Gleichung eine

und nur eine positive Wurzel.

In der That, aus der Annahme

Das Rolle’sche Theorem.

203

Grenzen für die Wurzeln,

f(2)= (a +a H F Anı — (a y BT @n)

folgt die Gleichung

RA

f(£)

CT (aéß“l e A A T

Zu—z+l

Lässt man num hier z von 0 bis + co wachsen, so wird die érste

Klammer von a,_ı ab bis ins Unendliche beständig zunehmen, während

die zweite vom Unendlichen bis nach Null beständig abnımmt. Dabei

werden. folglich ein und nur ein Mal beide Klammern denselben posi-

tiven Werth annehmen, d. h. die Gleichung besitzt eine und nur eine

positive Wurzel.

Ist das Polynom der Gleichung nicht der obigen Beschränkung

unterworfen, dann kann man es wenigstens in einzelne Summanden

(4)

NC Oa A G

derart zerlegen, dass in einem jeden die Exponenten der folgenden

Glieder geringer sind, als die der vorhergehenden, und dass zugleich

auf anfängliche Glieder mit positiven Coefficienten nur solche mit

negativen Coefficienten folgen.

Jede der Gleichungen

besitzt dann nach dem soeben Besprochenen eine einzige positive

Wurzel, und ihr Polynom wird für höhere Werthe von z positiv; die

höchste der für die v Gleichungen gefundenen positiven Wurzeln ist

daher zugleich eine obere Grenze für die positiyven Wurzeln von

OO

Durch passende Vertheilung der einzelnen Glieder des

Bolyaoms An

: f kann man häufig die Grenze herabdrücken.

$ 183.

Cauchy giebt die nachstehende Regel.

Sind in der

Function

O A E

(ay= 1)

die Coefficienten ay, A,

U AB

sämmtlich positiv, und ist die

Anzahl der mit negativem Zeichen versehenen Coefficienten ax, Aß, *'

gleich x, dann liefert die grösste der Zahlen

1

1

(x a(;)?) (“ a,})F‚

eine obere Grenze der positiven Wurzeln.

In der That wenn

zunächst für ein & die Ungleichungen , gelten

ıl

Z a&);,

CS (xa,';);f‚ S

dann folgt aus ihnen zunächst durch Potenzirung und Multiplication

204

Sechzehnte Vorlesung & 183—185.

AD

&> ua

Z

C=0)

WE LE

Cn > xa(’g;n——(i’)

Z

und dann weiter durch Addition dieser letzten x Ungleichungen und

Division durch die ganze Zahl x die Beziehung

PE L a

Es wird also in f(£) schon das Glied &* grösser werden, als die positiv

genommene Summe aller vorkommenden negativen Glieder, so dass

damit die Cauchy’sche Regel bewiesen ist.

$ 184. KEine andere, bequem zu verwendende Regel leitet man

folgendermassen ab. Wir setzen

/(Z) P „05n + _+_ aa_1z7z—a+l O a(;zn—a A a(;+lzn—a—l Z

+ ö

+ Aß—ı Aa a{;7/5‘"—ß —([/;+1 e + —+ D —AL

D

so dass auch hier, wie im vorigen Paragraphen, die positiven Coeffi-

cienten ohne Accente, die negativen mit Accenten versehen auftreten.

Nun schreiben wir für jedes positive Glied bei beliebigem o

Anı = a„_,(z A 0)(21—1 + 21—29 + + 91—1) + a„_,g’‚

während die Glieder a„_,2° ungeändert bleiben, Tragen wir dies in

f(?) ein, dann entsteht die Form des Polynoms

f(e) = ay(e — 0# + I(e — 00 + alr +

(5)

+ [ — 000° + 0r E: auı) — ailer e

OO TT O

Setzt man also für irgend ein positives o fest, dass

/

a

&

z>@+;

err—l +“19a__2+"'+a0‚_17

(6)

O

PE

} aol+1

A 0*+a,0

Z

W

820

sein soll, dann werden alle Glieder in der obigen Form (5) von f(z)

positiv sein, und also liefert der höchste Werth unter den

Ausdrücken (6) eine obere Grenze für die positiven Wurzeln

von f(2e)=0. Ist das absolute Glied in f(g) negativ, so kann in

(6) bei der zu a, gehörigen Ungleichung das erste o rechts unter-

drückt werden.

Die Unbestimmtheit von o kann zur Herabdrückung

der Grenze ausgenützt werden.

Wir können diese Grenze

Grenzen für die Wurzeln.

Das Rolle’sche Theorem.

205

=0 +

KT X%

(@°)

a‚

%— A—1

Z

A

schreiben, wobei a, den passend gewählten unter den negatiyen Coeffi-

cienten bedeutet, und die Summe auf alle ihm vorangehenden positiven

Coeffiecienten erstreckt wird*).

$ 185. Newton hat eine Regel gegeben, die von der Entwickelung

O

O @+H@E- OT OT

n!

f (a)(2—a)"

ausgeht. Wird für irgend einen reellen Werth a@ jeder der Coefficienten

(0)

@), 0 0, fﬂ(“)7 %9 G)

positiv, dann ist für alle %> «@ der Werth der Function f(z) auch

positiv, und das kleinste @, welches alle Glieder der Reihe (7)

positiv macht, ist eine obere Grenze der Wurzeln von f(z)=0.

Dabei ist zuerst zu berücksichtigen, dass f“ (a) = n!ay nach der

Voraussetzung ($ 181) positiv ist.

Man sucht also die Wurzel der

Gleichung ersten Grades f“—1(2) = 0, etwa z,. Die kleinste Grösse

2 Z 8,, welche f“—%(2) positiv macht, ist dann nach unserem Satze

eime obere Grenze der Wurzeln von f“—V(z) = 0 und f“—3(2) = 0.

Die kleinste Grösse %, > 2, welche /“—3(g) positiv macht, ist deshalb

nach demselben Satze eine obere Grenze der Wurzeln für

_die drei

Gleichungen

f“ =0, f“3@=0, f“ =0,

u s.f. Auf diesem Wege gelangt man zu der gesuchten Grenze a.

Die hierbei nöthigen Rechnungen sind einigermassen umständlich,

besonders deswegen, weil die Berechnung des Werthes der Funetion

fW(a) durch die vorhergegangenen Rechnungen für f“+M(a), f#+3(a)

in keiner Weise erleichtert wird.

Man kann diesem Uebelstande, freilich nur unter Verzichtleistung

auf möglichst genaue Annäherung, in folgender Art abhelfen #*).

Wir benutzen die Funetionen

Fı

E U da

(8)

-f2

AB A

D

a o Sn A,

fn

— &9

ET

5 Vél. über diese und ähnliche Regeln: Burnside and Panton, Theory

of equations. London 1881. S. 157. — Longchamps: Th6oröme d’algebre.

Nour. Ann. (2)

’

OS W

Ann. (2), 19. S. 49,

**) Laguerre: Sur la determination d’une limite superieure etc. Nour.

206

Sechzehnte Vorlesung 8& 185—187

und erkennen dann die Gültigkeit der Formeln

bn f(n

fa

»

AL

(„ S

n

.2

’

©)

—2

L_2)'f(n 2)_fn-—2+( 1

DE 2+(

]

12;

f(a) fa+( )f«+l Z+( 7 )fa+2 B + +(

>f'„ zn—a

In der That,

wenn wir die Coefficienten von aı2"-?—«

auf beiden

Seiten der 1etzten Gleichung mit einander vergleichen, so ergiebt sich

ihre Richtigkeit aus dem Bestehen der Beziehung

—2

CN

Nn — A—

1)}

deren Wahrheit durch allmäliches Aufrechnen der Summanden auf

der rechten Seite leicht erkannt wird

Die Formeln (8%) zeigen nun, dass, wenn ein positives @ die

Funetionen f} fi, fa,

MOS cht au

posıtıv

sind

so dass wir also auf den Newton’schen Satz zurückgeführt

werden

Zugleich lehrt aber (8°), dass im Allgemeinen die so erlangte

Grenze @ die durch das Newton’sche Verfahren gelieferte übertrifft

Der Vorzug der Laguerre’schen Methode liegt in einer, durch die

Gleichung

fı(@) = fa+1(2) 2 + An —z

begründeten bequemeren Berechnung von f;(a) aus fıyı(a)

$ 186

Wir wollen jetzt die verschiedenen bisher besprochenen

Es sei die Gleichung

Methoden auf ein Beispiel anwenden

O

zg# — 32 + —82—10=0

zur Untersuchung vorgelegt

Aus $ 180 ergiebt sich für die obere Grenze der absoluten Be-

träge der Wurzeln der Werth o= 1 + 10=11

Aus $ 181 folgt als obere Grenze für die posıtiven Wurzeln

LE

als untere Grenze für die positiven Wurzeln

(1 +V10)_07

als obere Grenze für die negatıven Wurzeln

Grenzen für die Wurzeln.

Das Rolle’sche Theorem.

207

A

und als untere Grenze für die negativen Wurzeln

DE D

Um die Regel von $ 182 anzuwenden, setzen wir

f(?) = (# — 32 — 82—10) + g

und erhalten 2,5 als obere Grenze der Wurzeln.

Die Cauchy’sche Methode liefert den grössten Werth unter den

drei Ausdrücken

1

B

(3:3), (3:8)

9 (3 4 10)’_:,)

also die Grenze 3.

Bei der Vorschrift von $ 184 haben wir die Werthe der Aus-

drücke

8

10‘

9+%79+3

D

o*F 0

zu untersuchen. Für o= 1 erhält man die Werte 4, 5, 5; für

o=V3 die Werthe

8

2V3, V3+

10

e an

so dass 2V/3 =2,7 ... als obere Grenze gewählt werden kann.

Die Newton’sche Methode betrachtet die Funetionenreihe

52;

102 — 3;

102 Og ALa

52° — 92 + 22 — 8;

2° — 32° +# — 82 — 10,

bei welcher die erste Funetion für jeden positiyen Werth z selbst

positiv wird. Damit auch die zweite positiv werde, ist 2>V0,3 zu

nehmen. Der Werth V/0,3 lässt aber die dritte Funetion noch negatıv.

Wir wählen z = 1 und erhalten dafür positive Werthe der drei ersten

und für z =2 wpositive Werthe der vier ersten Funetionen.

Aber

@ =2 macht f(?) selbst noch negativ; will man bei ganzzahligen

Grenzen bleiben, so reicht z =3 aus, um f(2) und seine Ableitungen

grösser als Null zu machen.

Die Laguerre’sche Methode liefert dasselbe Resultat.

N

$ 187. Nachdem wir gesehen haben, auf welche Art Grenzen

für die Wurzeln gefunden werden können, wollen wir die Frage zu

beantworten suchen, wie die reellen Wurzeln getrennt, d. h. wie Inter-

208

Sechzehnte Vorlesung 8 187—188

valle angegeben werden können

in denen nur eine (einfache oder

mehrfache) reelle Wurzel liegt

Wir beginnen mit der Ableitung des

Zwischen

zwelı

aufeinanderfolgenden

Rolle’schen Satzes*)

reellen Wurzeln von f(z) = 0 liegt eine ungerade Anzahl von

Wurzeln der Gleichung f'(£) = 0, also stets mindestens eine

Wir haben früher ($ 36) gesehen, dass bei reellen Coefficienten

OE

PE

%;

%,

n

RR

22 (Z_gl

(9)

HOL

B

+

Z—Z

+

+

(Z

a E

ist, wenn f in das Product seiner Wurzelfactoren zerlegt die Form

@O Z Da

G— O (Z—%l+“r}1l);

die com-

giebt, wobei 2,, %,

2 die reellen und E A N0 E

Nı

plexen Wurzeln bedeuten, und die Exponenten ihre Multiplicität an-

geben

Setzt man jetzt einmal 2 = %, — 0 und dann Z = %, + 0 bei

hinreichend kleinem ö, so wird der Bruch —— einen beliebig grossen

ıM

negatiyen und einen beliebig grossen positiven Werth erhalten, während

alle anderen Brüche endliche Grenzen nicht überschreiten

Folglich

wird, da Gleiches für %, — 0 und %, + 0 stattfindet,

CNa 0)

2

* Ca E

mS

sg

101

ÜE

= sgn

O

.___'_1,

* fa ®

16 —5

= — {

Sind nun z, und %, zwei.aufeinander folgende reelle Wurzeln, so hat

der Nenner f(2, + 0)-f(% — 0) das positive, und der Zähler folglich

das negatıye Vorzeichen, d. h. f’(z) wechselt zwischen (z, + 0) und

und

(z — 0) eine ungerade Anzahl von Malen sein Vorzeichen

f (g) =0 hat zwischen diesen Grenzen eine ungerade Anzahl von

Wurzeln

Als Specialfall dieses Rolle’schen Theorems kann man nun auch

den schon früher ($ 36) bewiesenen Satz betrachten

dass eine

v-fache Wurzel z von f(g) = 0 eine (v — 1)-fache Wurzel von

f (@)= 0 ist

Aus dem Theoreme folgt die Reihe der Sätze

I) Zwischen zwei Wurzeln von f’(2) =0 kann höchstens

eine Wurzel von f(g) = 0 liegen

I Ha — 0 zerade ”

reelle Wurzeln

so hat /(e) = 0 entmweder (

Da odern um

100 Sal @e Wurzeln von

eine gerade Anzahl weniger

f(#)=0 reell, so sind auch alle Wurzeln von f'(2)= 0 reell

und diese trennen jene von einander

IV). Sind 2 2 Zzwel

.

ARDUT

E

*) Traite de Vl’algebre

Paris, 1690

Grenzen für die Wurzeln.

Das Rolle’sche Theorem.

209

aufeinander folgende, reelle Wurzeln von f(z)= 0, so ist

sgn f'(a8)f (@)=—1.

Aus (9) geht ferner hervor, dass, wenn z wachsend eine Wurzel

von f passirt, dabeı sgn f-f’ stets vom Negativen zum Positiven

übergeht.

$ 188. Im Allgemeinen dient der Rolle’sche Satz weniger dazu

Z

vorgelegte Gleichungen auf die Realität ihrer Wurzeln hin zw unter-

suchen, als dazu, Gleichungen herzustellen, deren Wurzeln hinsichtlich

ihrer Realıtät gegebene Bedingungen erfüllen:

Wir wollen dies an

einer Reihe von Beispielen darlegen.

Besitzt die Gleichung

(1)

MO D

x% reelle Wurzeln, so besitzt

CLOZ"+w + alzn—|—w—l + a22"+w_2 + + 0 — O]

wobei @ eine ganze, positive Zahl bedeutet, (x + c«) reelle Wurzeln

und nach dem Rolle’schen Satze

(n + w)ajg T L (n + o— a + 0a3 =0

mindestens (x + @ — 1), also, wenn wir den Factor z°—-! unterdrücken,

(10)

(n + 0)a” + (n + o — Va-! A,

Dr z

mindestens x reelle Wurzeln, d. h. mindestens so viele als (1). 1

Wenn ins Besondere (1) nur reelle Wurzeln besitzt, so gilt das

Gleiche von (10). —

Besitzt (1) x reelle Wurzeln, so hat für jedes reelle @

f(2): (@ + @) = 4TE (a - @e - (a + 4,a 1 O0

(x + 1) und die durch Ableitung des Polynoms entstehende Gleichung

(11)

(n E 1)%2 + n(a, + 4a (n — 1)(@ + aa

+ (a„ + a„_{cö) =—%

mindestens x reelle Wurzeln. —

Besitzt (1) x reelle Wurzeln, dann gilt dasselbe von

( ZS) = e IA al + 10 L alg + 1 0

Multiplicirt man diese Gleichung mit z und nimmt die Ableitung

5

SO

erkennt man, dass auch

@- 1) (& 0, + - + a)E + nna Fn— 1a + An

- Ca a a

mindestens x reelle Wurzeln besitzt. —

Netto, Algebra. I

14

210

Sechzehnte Vorlesung $ 189—191.

$ 189. Da die Gleichung des Grades (m + mn)

@ 2 R=0,

in welcher » und »” ganze, positive Zahlen bedeuten, nur reelle Wurzeln

besitzt, so ist dies auch mit jeder, durch Nullsetzen einer Ableitung

erhaltenen Gleichung ebenso; bilden wir also für R (<Zm, %) die

p Ableitung und dividiren das Resultat durch E 12 dann

besitzt der Quotient gleich Null gesetzt auch nur reelle Wurzeln.

Das ergiebt

m

(

y

(

)

JDr ( e D (Dr

N

+(

D

)z"=0.

Zugleich lehrt das Rolle’sche Theorem, wie man leicht erkennt, dass

alle diese Wurzeln zwischen 2=0 und z2=1 liegen, und dass sie

sämtlich nur einfache Wurzeln sind.

Durch die Substitution u =—

ergiebt sich aus (13), dass die

Gleichungen von der Form

/

(14)

mM

M

m

(

)M+(

D

— 1/

. (Yurz

(

D=2

))uerm + + (*)=0

lauter reelle, negative, von einander getrennte Wurzeln haben.

Der Fall m = ” = »n beansprucht seiner Wichtigkeit wegen ein

besonderes Interesse.

Die linke Seite von (13) wird dabei

0 D D

Z

Ü 1fd"

n! d“

(g(2—1))*.

Setzt man 22 = x + 1, dann entsteht

zr (g Rn 1)n A 22i„ (.Z'2 c 1)„)

K

RLn

n! dz”

((e—1))"

DE

LA

(

1)n

n

Es hat also die Gleichung

(15)

X =0

nur reelle, getrennte, zwischen — 1 und +-1 liegende Wurzeln.

Die Funetionen X„, heissen Legendre’sche Polynome.

Ausser

der

angeführten Entstehungsart erwähnen wir noch, dass die Entwickelung

1

=14+ X a+ X @ + 0 + X: *

.

Vi—30x+a?

gilt, und dass zwischen drei X, miıt aufeinander folgenden Indices

Grenzen für die Wurzeln.

Das Rolle’sche Theorem.

211

Xnı Xn, Xn+4+1 die Recursionsformel

(15°)

(n + 1) X.4+1 — Qn + 1)xzX, +n X_ı =0

besteht.

(15*) unterscheidet sich .von den in der achten Vorlesung

behandelten Recursionsformeln dadurch, dass seine Coefficienten von

den Indiees der X abhängig sind.

Die Ausdzucke ür X sınd für

n=1,2, 3, 4, --. die. folgenden

X1=x;

X2 a % (3x2-— 1);

Xy= } (5%° — 8#), X,= 5 (85@“ — 30x* + 8),

$ 190. Zu ähnlichen Formeln gelangt man, wenn man von

an(52 E 1)n Z 0

ausgeht; auch hier sind alle Wurzeln reell und liegen zwischen — 1

und - 1, die Grenzen eingeschlossen.

Differentirt man bei m = 0

z. B. pmal und dividirt dann durch

pU(@ — 1)—,

so erhält man, wenn 22 = w und (z° — 1) =v gesetzt wird,

n

D

(

D

)“p+ (pj1) (P l l> U (pj2) (

%

) up—4,u2

(16)

N

C

—383

)(p3 )74P—61;3—|—---=0.

Diese Gleichung hat nur reelle, getrennte Wurzeln, die alle

zwischen 2 = —1 und 2= + 1 liegen.

Setzt man w = — , dann

ergiebt sıch die Gleichung

N

N

N

(17)

(

Q

)+ 0,

—1

VT

—2

N

deren Wurzeln sämmtlich reell und von einander getrennt sind.

$ 191.

Als weitere Anwendungen des Rolle’schen Theorems

beweisen wir die Sätze:

Die Gleichung

OO0

hat mindestens so viele reelle Wurzeln, wie f(@) = 0, wenn

h eine beliebige reelle Constante bedeutet*).

In der That, wenn 2,, z auf einander folgende reelle Wurzeln

von f= 0 sind, dann ist nach $ 187, IV

sgn (f(&) + hf (@))(A(e) +hf (@))= sgn f (@)f' @)= —1,

so dass g(7)= 0 eine reelle Wurzel zwischen z, und 2, besitzt. F olg-

ELE SE S

5 Poularn: lNouv. Ann. (2). 16,

14*

212

Sechzehnte Vorlesung 8& 191—192

lich hat g =

O höchstens eine reelle Wurzel weniger als f=0. Da

aber die Differenz der Anzahlen reeller Wurzeln zweier Gleichungen

desselben Grades eine gerade Zahl sein muss, so hat g == 0 mindestens

so viele reelle Wurzeln wie f= 0. —

Bedeutet f(e) unser Polynom (1), und

(18)

WE AA AA

eıne

Gleichung mit nur reellen Wurzeln

dann hat die

Gleichung

g@R) =f@) + Af ( ) + Af' @ FE AfO@)=0

mindestens so viele reelle Wurzeln wie f(z) = 0.*)

Für x= 1 ist der Satz soeben bewiesen worden

Wir nehmen

an, er sei für (x — 1) richti

und brauchen dann nur zu zeigen, dass

er für x gültig ist, um den vollständigen Beweis durch strenge In-

duection zu liefern

Es sei 6= —

Ü

eine der reellen Wurzeln von (18) und

1+ 42 + + 4, Z =(1+22)(1+B2+B,2 + + Brr#

Setzen wir jetzt, unserem Satze für (x — 1) entsprechend

GQ OTE OE

N TE)

dann wird

CO OB EB EL OG)

G(g) + G' () h= f(e) + (Bı +WF @+ (Bı +hBIf' (@) +

CT A A

=g(e)

Nun hat der Annahme nach G(z)= 0 mindestens so viele reelle

Wurzeln, wie f(z) = 0, und dem vorigen Satze gemäss hat

g(@)

G-(2) +.hG'(2)=0

mindestens so viele wie G(g) == 0, so dass also das Theorem dadurch

bewiesen ıst. —

Ohne näher auf den einfachen Beweis einzugehen, führen wir

noch den Satz an

Die Gleichung

in der %/ eine reelle COon;

stante bedeutet

2 =f"C)

W ( = 0

hat mindestens 2x reelle Wurzeln, wenn f(2)= 0 deren x hat

(Man substituirt 2 = — 00, Z1, %,

CM + OO)

Dieses Theorem lässt sich leicht verallgemeinern. —

* Poulain: Nouv. Ann. (2). 16. Vgl. auch: Fouret: C. R. 106. S. 1135—1139

1220—1222

Grenzen für die Wurzeln, Das Rolle’sche Theorem.

213

$ 192. Die Gleichung

@1E AA H Ä=0

besitzt für ein gerades n keine, für eın ungerades n nur eine

einzige reelle Wurzel *®).

Da

f@=F @+ A

ist, so würden aus der Existenz zweier auf einander folgender, reeller

Wurzeln z,, z der vorgelegten Gleichung die beiden Beziehungen

Z

0=f'(2) +

n!?

0=f"(@%) +;;%

sich ergeben. Es ist aber klar, dass f(g) = 0, wenn überhaupt, dann

nur negative, reelle Wurzeln besitzen kann; es haben demnach 2” und 27

und also auch f (z,) und f'(z,) je das gleiche Vorzeichen. Das würde

dem Satze $ 187, IV. widersprechen. —

Hat die Gleichung f(?) = 0 vom Grade ” höchstens eine

reelle Wurzel, dann ist dasselbe mit

CO O e

der Fall, wo h eine willkürliche, reelle Constante bedeutet**).

Wir haben hier, da {@+1(2) gleich Null wird,

HOO OFT O OO

gl@) = f(@) + hg'(@).

Nun sei zuerst ” = 2v, so dass also f(g) = 0 überhaupt keine

reelle Wurzel besitzt. Wenn g==0 eine solche besässe, so müsste

noch eine andere reelle Wurzel vorhanden sein, da die Anzahl der

complexen Wurzeln einer Gleichung mit reellen Coeffieienten stets

gerade ist. Es mögen also 2,, %, zwei auf einander folgende Wurzeln

von g = 0 bedeuten.

Dann wären die beiden Beziehungen erfüllt

0 = f(&) + 2g'(&),

0 = f(%) + hg'(&),

und da sgn g’(2,)g' (%) = — 1 ist, so müsste auch sgn f(2,)f(2) = — 1

sein, d. h. f(z) = 0 hätte, gegen die Voraussetzung, eine reelle Wurzel

zwischen %, und %.

Wenn ferner %” = (2vy +1) ist, dann hat f=0 eine und nur

eine reelle Wurzel.

Hätte g= 0 deren mehrere, so müssten es

%) Sylvester: Nouv. Ann. (2) 5. 1866. S. 520 ff.

*+*) Hermi0e|: ıbıdem.

214

Sechzehnte Vorlesung 8 192194

mindestens drei seın.

Wir bezeichnen mit %, 2,, % drei unmittelbar

auf einander folgende; dann wäre

sgn g’'(% + 0) = — sgn g'(2, —

0); sgn g (& + d) = — sgn g'(2, — 0),

und aus den Gleichungen

I&

Ö)———f(.%+6)—{—hg CR

e — 0)

e e

folgte wegen der kleinen Werthe von g(2% + 0), g(2, — Ö),

dass

sgn f (% + 0) = — sgn f(% +0); sgnf(% +0)= — sgnf(4 — 0)

ist, d. h. dass f zwischen z, und z, und ebenso zwischen Z undt z

verschwmdet was wieder der Voraussetzung entgegen ist.

S 198." Wir wollen endlich mit Hülfe des Rolle’schen Theorems

noch einen Satz beweisen, den wir später gebrauchen, und der ge-

wöhnlich durch Methoden der D1ﬂ'erent1alrechnuno be@rundet wird.

Hier sollen Stetwkmtsbet1achtunoen nur in so weit benutzt werden

als sie zum Nachweise der Wurzelexistenz und des Rolle’schen Satzes

nothwendig sind. Den Satz, um den es sich handelt, nennen wir den

Mittelwerthsatz. (Vgl. übrigens Pasch: Differentialrechnung S 83.)

Zuerst leiten wir folgendes Lemma ab. Die Gleichung

nayg— l + (n — 1)a, —2 + + 20222 + Anı

= A0 1+acon——‘>+

+ An —20 + An—1),

in welcher ® eine reelle Constante bedeutet, hat eine zwischen

2 0 und

= @ liegende Wurzel

Dies folgt nach dem Rolle’schen Satze daraus, dass die Gleichung

E OC + &_ 22(2 — w)=0

die beiden reellen Wurzeln 2 = 0 und 2 =

@_ besitzt.

Nebenbei möge bemerkt werden, dass aus der Betrachtung von

HOO —OO

auf dieselbe Art die Existenz einer zwischen 0 und @ liegenden reellen

Wurzel der Gleichung

n z ©

gefolgert werden kann. —

Wenn nun eine ganze Funection nt°® Grades

(8) H cn n + O18 + Cn

gegeben ist, dann hat man

Grenzen für die Wurzeln

Das Rolle’sche Theorem

215

f(h+m)——f(h)

(h) M

f ® (h)

._l_

M@

’

@F OF

i (h)

A

M@„H

Setzt man jetzt in dem eben bewiesenen Lemma

— 7

O

f (h)

(EATEr

%'

’

Tnı

e r

@— 1)!?

dann zeigt sich: Die Gleichung (n — 1)'” Grades in z

ME w)—f(h

Cn

hat eine zwischen ©0 und o liegende Wurzel

Diese können

wir @o@ schreiben, wobei @ einen positiven, echten Bruch

bedeutet

Es ist also die Existenz eines solchen @ bewiesen

für welches die Gleichung gılt

(19)

f(h + @) = f + w f'(h + w0)

001

$ 194

In genau derselben Weise leiten wir das Lemma ab

dass die Gleichung, in welcher w eıine reelle, beliebige Con-

stante bedeutet

(a + (

aıg + - (3) aa# + (5) an

= q 0-7? L& a 0r73 + + 0, _360 + An—2,

eine zwischen z2=0 und z= w gelegene reelle Wurzel be-

sıtzt

Da nämlich

MC

ar ?) + q 2(g73 — ar73) + + An—32"(2 — 0)=0

die Doppelwurzel z =0 und die einfache Wurzel

= @ hat, so wird

die erste Ableitung des Polynoms einen Nullwerth 2 = 0 und einen

zweiten 2 = ®’ haben, wobei @‘ zwischen 0 und w liegt

Die zweıte

Ableitung des Polynoms hat deswegen, wie behauptet worden war

einen gleichfalls zwischen 0 und @ gelegenen Nullwerth

Bilden wir

/(h+w)—f(h)—wf (h)

f ®

]‚„ (h)

Fn

n—2

2!

+

@+ 4

n!

DE

S e

h—{—z)

f (h)

1.2

—

l

OLn

a H

(me

und setzen in das Lemma dieses Paradraphen

f

r(n— 1) (h)

I

h)

0

n!

}

B

Cn

Ün Z —

ein, dann zeigt sich: Man kann

2

4

16

Sechzehnte Vorlesung $ 194. Siebzehnte Vorlesung $ 195—196.

(19°)

fh+ w) =f(8) + wf'(k) + 7 f (h+00)

setzen, wobei © einen echten, positiven Bruch bedeutet.

Es ist ersichtlich, dass man die Reihe der Mittelwerthsätze in

derselben Art vermehren kann.

RA HOR

Siebzehnte Vorlesung.

Das Budan-Fourier’sche Theorem.

$ 195. Wir leiten jetzt einen Satz ab, der für die praktischen

Zwecke der Wurzeltrennung geeigneter ist, als

das bisher besprochene

Rolle’sche Theorem.

Zu diesem Zwecke untersuchen wir die Aenderungen in der Reihe

der Vorzeichen, welche sich ergeben, wenn man in

(D

LL e)

einmal £—= 2 und einmal 2 — 2 einträgt (z, > z,), also die Unter-

schiede in den beiden Reihen

(2)

sgn f('el); Sgn /[‘,"\'51); |

sgn f“ (2,),

(3)

sgn f'(%), sgn f'(%), -

San 7©(2).

Wenn in einer solchen Reihe

(4)

sgn f(£), sgn f”(£),

sgn f@)(£)

zwei aufeinander folgende Signa denselben Werth haben, dann werden

wir dies eine Zeichenfolge, oder kürzer eine Folge nennen und

durch ein /” bezeichnen; wenn zwei aufeinander folgende Signa ver-

schieden sind, sprechen wir von einem Zeichenwechsel oder kürzer

von einem Wechsel und bezeichnen einen solchen durch ein W. Die

Zeichenwechsel wird durch

Anzahl der in einer Reihe, wie (4), vorkommenden Zeichenfolgen oder

ZF(;) bezw. 2 W(8

angegeben. KEs ist klar, dass bei unserer (n -|- 1)-gliedrigen Reihe

(5)

NrO+YWo@=n

sein wird, falls keins der Glieder von (4) verschwindet. Sind in (4)

Glieder gleich Null, dann zählen wir die F und die W einfach so, als

ob die verschwindenden Glieder überhaupt nicht vorhanden wären.

Das Budan-Fourier’sche Theorem.

Z

$ 196. Der zu beweisende Budan-Fourier’sche Satz lautet:

Die Anzahl der reellen, zwischen z, und %, (>Z,) liegenden

Wurzeln von f=0 ist gleich der Anzahl der beim Ueber-

gange von (2) zu (3) verlorenen Zeichenwechsel oder um

Wenn man also diese Wurzel-

eine gerade Anzahl geringer.

anzahl mit Z(z,, %) bezeichnet, dann ist

(6)

Z(&, %) = W(a) — W(@) —Q,

wobei h eine positive, ganze Zahl bedeutet.

Geht die Variable & von 2, stetig wachsend bis %, dann kann

eine Aenderung in den Zeichen (4) nur dadurch eintreten, dass eine

oder mehrere der Functionen (1) durch Null gehen. Wir nehmen zu-

nächst an, dass f(£)=++CO ist, während eine oder mehrere der mittleren

Functionen in (1) für 2 = €& verschwinden.

Da f@(2) = n!ay eine

Constante ist, so kann die letzte Funetion nicht zu den verschwindenden

gehören, und auf die verschwindenden folgt demnach jedenfalls eine

für z = E von Null verschiedene Funetion.

Es ist, wie sich zeigen

wird, indifferent, welches Signum sie für

D

D

= 6 hat; wir nehmen, um

die Begriffe zu fixiren, an, dass es das Pluszeichen sei.

KEs mögen

demnach etwa

(7)

O O FE G

(x>0)

gleich Null sein, während sgn MC Z C c Dann kannn man

zwei Intervalle J, = (6—0, ... £) und J = (& « E+ Ö) zu beiden

Seiten von & bei so geringer Ausdehnung abgrenzen, dass f“+% in

beiden beständig positiv bleibt. Kolglich muss f in / und s

wachsen, und da f“+2-0(£) =0 ist, so ist diese Funetion in J;

negativ und in J, positiv. Für f“+2—2 und J gılt dasselbe, u. s. f.,

derart, dass alle Funetionen (7) in J, positiv sind. Da ferner f#+1—1)

in J, negativ ist, so muss f@«-+4—2) abnehmen, und weil {&+**-2(8)=0

ist, in J, positiv sein.

In gleicher Weise setzen sich die Schlüsse

fort, und man erkennt die Richtigkeit der Tabelle

sgn:

f(l— 1 f'(l)

FD

F@#--2—8)

f# +2—2)

f

f'(%+l)

©

al

(Ji)

( CD

.+.

G

+

5

E

0

©

0

_+_

(Jo)

©

+

+

—+

[

+

+

+

Hierin bedeutet & = + 1 das Signum von f“—1(g). Ist 2 eine gerade

Zahl, dann sieht man, dass beim Passiren von E eine gerade Anzahl

von W, nämlich 2 verloren gehen.

Ist 2 ungerade und &= + 1,

dann gehen (2 + 1) verloren; ist 2 ungerade und &= — 1, damn

218

Siebzehnte Vorlesung 8& 196—197

gehen (1 — 1) verloren; in jedem Falle also eine gerade Anzahl.

(Vgl

$ 203.) Ganz so wird es bei sgn f+2 O== 1

Jetzt gehen wir auf den bisher ausgeschlossenen Fall ein, dass

7(E) — 0 ist. Gleichzeitig mit f mögen f f -

ED verschvvmden

während f@(£) positiv bleibt.

Wir können d16 hierbei eintretenden

Verhältnisse sofort erkennen, wenn wir in der obigen Tabelle die zu

f“—1 gehörige Spalte unterdrucken und in den folgenden für x die

Null einsetzen.

Dann folgt, dass hier beim Uebewange von (£ — d)

zu (6+0) g

genau 2 Zemhenwechse] verloren gehen, d. h. so viele, als

die Mult1phc1tat der Wurzel £ von f= 0 angiebt.

Soweit der Verlust an W vom Passiren einer oder mehrerer

Wurzeln abhängt, soweit stimmt die Anzahl der verlorenen W mit der

Anzahl der passirten Wurzeln überein

soweit er aber vom Ver-

schwinden mittlerer Funetionen abhängt, soweit beträgt er eine verade

Zahl 22

Damit ist also der Budan-Fourier’sche Satz bewiesen

KEine stillschweigend gemachte Voraussetzung muss noch geprüft

werden

Wir haben nämlich bei der bisherigen Abzählung angenommen

ass für z, und für %, sämmtliche Glieder der Reihe (1) von Null

verschieden seien

Verschwinden aber für z mehrere der mittleren

Glieder, ohne dass f(z,) = 0 ist, dann kann man die untere Grenze

durch ein hinreichend nahe gelegenes (z, + d) ersetzen

ohne die

Zahl Z(&,, %) zu verändern

Die obige Tabelle lehrt dabei

dass

E W(2,) mit E W(z, + 0) übereinstimmt, so dass auch in diesem

Falle der Satz bestehen bleibt

Verschwinden ferner für z, mehrere

der mittleren Glieder, ohne dass CN Z 01 dann kannn manı die

obere Grenze durch ein hinreichend nahe gelegenes (z, — 0) ersetzen

und es gilt

Z 0 Z Z) —2 W (2,) ——2W’(‚z'2 —0) —22

Hier wären auf Grund der obigen Tabelle W(z,) und W(z% — 0)

mit einander zu vergleichen, und dieser Vergleich zeigt sofort

W& —0)= W (&) — 2h,

so dass also auch in diesem Falle der Satz richtig ist

Man braucht

demnach keine Aenderungen anzubringen, auch wenn an den

Grenzen mittlere Functionen der Reihe (1) verschwinden

Ist dagegen f(2,) = 0 oder f(%)= 0, dann wird der Ausdruck

des Satzes ınfolge der Worte

zwischen z, und z, liegende Wurzeln

unbestimmt

Der Budan-Fourier’sche Satz liefert eine obere Grenze für die

Wir können leicht

Anzahl der Wurzeln innerhalb eines Intervalles

Das Budan-Fourier’sche Theorem.

219

ersehen, wann die richtige Anzahl geliefert wird. Beim Verschwinden von

2 aufeinanderfolgenden mittleren Funetionen von (1) gehen bei geradem

2 auch 2 der W verloren; bei ungeradem 2 und posiıtivem & hingegen

(1+1), und bei ungeradem 2 und negativem & endlich (2—1).

Damit diese Zahl gleich Null werde, muss also 1= 1 und 8= —1

sein, d. h. es dürfen nicht mehrere aufeinanderfolgende, mittlere Fune-

tionen von (1) gleichzeitig verschwinden, und beim Verschwinden

einer einzigen müssen die benachbarten Functionen rechts und links

verschiedene Signa besıtzen.

$ 197.

Wir wollen bei der Function f und ihren Ableitungen

fF2) =4 Fa +a ? ı F Anı F An,

(a > 0)

f'(2) = n Ln —U)a-? Eı F A,

(8)

B

O

die Zeichenreihen (2) und (3) für zı = 0 und für einen so grossen

positiven Werth z, bestimmen, dass dieser eine obere Grenze der

positiyen Wurzeln von f= 0 bildet.

Dazu reicht es aus ($ 185), dass

22 alle Functionen (8) positiv macht.

Wir bekommen somit

Sn (0)= 89n 0 en / (0) — an Ln

sgn f“(0) = sgn a

sgn f(4)= + 1,

sgn f'()= +1,

sgn f@(2)= + 1,

und erhalten als Specialfall des Budan-Fourier’schen Theorems den

Descartes’schen Satz: Die Anzahl der positiven Wurzeln von

f(@e)=0 ist gleich der Anzahl der Zeichenwechsel in der

Kerke der Ooetficrenten a aı

An oder um eine gerade

Anzahl geringer. Dieser Satz behält nach dem vorigen Paragraphen

auch dann seine Gültigkeit, wenn die Coefficienten nicht sämmtlich

von Null verschieden sind.

Substituirt man in f(z) statt z den Werth —z2, so folgt: Die

Anzahl der negativen Wurzeln von f(2z)=0 ist gleich der

Anzahl der Zeichenwechsel in der Reihe

(— 1, (— 1Ea ( 1

— An—1) An

oder um eine gerade Anzahl geringer.

Aus diesen Betrachtungen erkennt man unmittelbar die Richtigkeit

der Sätze: Hat eine Gleichung f(z)= 0 nur reelle, positive

Wurzeln, dann ist sie vollständig, d. h. keiner ihrer Coeffi-

cienten verschwindet, und sie besitzt nur Zeichenwechsel in

der Reihe der Coefficienten. — Hat eine Gleichung C O

220

Siebzehnte Vorlesung $ 197—198

nur reelle, negative Wurzeln, dann ist sie vollständig und

besitzt nur Zeichenfolgen in der Reihe der Coeff1@1enten

8& 198.

Wir untersuchen jetzt eingehender die Verhältnisse,

welche mit dem ‚Nullwerden von Coefficienten azı unserer Gle1chuncr

—

( (@)

0 zusammenhängen.

Unter den Differenzen der Grade der

kommen.

wirklich auftretenden Glieder können zuerst ungerade Zahlen vor-

Diese Differenzen bezeichnen wir durch

An

SO

Es können ferner unter den Graddifferenzen gerade Zahlen vorkommen,

welche zu Gliedern mit entgegengesetzten Vorzeichen gehören.

D18se

Differenzen bezeichnen wir mit

2 D

2

Endlich können noch geradzahlige Differenzen auftreten welche Gliedern

mit gleichen Vorzeichen in f(z2) entstammen

Diese mögen

291 29,

29u

seın

Dann kommen in dem Polynome (x + 2 +uw +1) Glieder

wirklich vor

a (x + 2 + w) Graddifferenzen vorhanden sind. Es

fehlen ferner

wie siıch aus der Betrachtung der Grösse der einzelnen

Gradintervalle ergiebt

RO DE

=2( Ya+ ı+ Ng) + @— w)

Glieder

Die Summe aus der Zahl der vorhandenen und der fehlenden

muss (n + 1) sein

Das &1ebt somit

E 9(2k+21+2«;) N

(9)

y 2(2k +2'1 +Zg) MO

Weiter bezeichnen wir

wıe bıisher

die Anzahl der in f(g) vor-

kommenden Folgen und Wechsel mit EF und > W, und ferner die

zu /(—2) gehörigen entsprechenden Anzahlen mit EF und E W

In f(z) Liefert jede Differenz der zweiten Sorte einen Wechsel und

ebenso in f(—2). Die Differenzen dritter Sorte liefern sowohl in f(z)

wie in f(—%2) nur Folgen

Jede Differenz der ersten Sorte liefert

entweder nur in f(g) oder nur in f(— 2) einen Wechsel. :Man hat also

UE 92 _2W+ZVI

und dadurch geht die Gleichung (9) in

Das Budan-Fourier’sche Theorem.

221

(10)

n =Z W+2 W/+2 (Zk +Z’z +.29)

über.

Bezeichnen wir ferner die Anzahl der positiven Wurzeln von

f(?z) = 0 mit P, die der negativen mit N und die der complexen mit

2J, dann ist natürlich

d DD

und die Subtraction dieser Gleichung von der vorhergehenden liefert

( 2 (ZW-3)+(SW + (ZH4 SS

Hieraus können wir eine Reihe von Schlüssen ziehen.

Nach dem

Descartes’schen Satze ist jede der beiden ersten Klammern rechts

positiv oder Null, und die letzte Klammer enthält nach der Definition

der Zahlen %, /, g auch nur positive oder verschwindende Elemente.

Falls also f'(z) = 0 lediglich reelle Wurzeln enthält, und daher J= 0

ist, muss auch einzeln

2W=P‚2W’=N; Zk=0, 21=0‚ Z’;;=0

se1n.

Es können demnach keine Differenzen der dritten Art VOr-

kommen, und bei jeder Differenz der beiden ersten Arten kann mur

der extreme Fall auftreten, dass alle & und / Null werden.

So sehen

wir: Wenn eine Gleichung nur reelle Wurzeln hat, dann ist

die Anzahl ihrer positiven Wurzeln gleich der Zahl der in

den Coefficienten von f(g) vorkommenden Zeichenwechsel,

und die Anzahl ihrer negativen Wurzeln gleich der Zahl der

bei f(—2) vorkommenden Zeichenwechsel. Es können in f (z)

höchstens einzelne Glieder fehlen und die Coeffieienten der,

den fehlenden rechts und links benachbarten müssen ent-

gegengesetzte Vorzeichen haben. —

In einer Gleichung /(e)= 0 folgt aus der Hxistenz einer

Lücke von der Graddifferenz (2%-+ 1) das Vorhandensein von

2k complexen Wurzeln, aus der Existenz einer Lücke von

der Graddifferenz 2A% das Vorhandensein von 2A4 oder (2h — 2)

complexen Wurzeln, je nachdem die einschliessenden Glieder

Coefficienten mit denselben oder mit entgegengesetzten Vor-

zeichen besitzen.

In dem ersten betrachteten Falle, dass die Gleichung f(z)= 0

in der Gestalt

nur reelle Wurzeln hat, und also E W= P wird, können nur Lücken

a A E a

eintreten; schiebt man hier ein Glied E

—* mit beliebig ge-

V

299

Siebzehnte Vorlesung $ 198—200.

wähltem Vorzeichen ein, dann wird E W nicht geändert. Man hat

demnach auch in der so vervollständigten Gleichung ZW= F Da

aber jetzt E W+ E‘F= n ist, wie (5) es angiebt, so wird in ihr

2]*‘ = N werden.

Von dieser letzten Bemerkung wollen wir sofort eine Anwendung

auf die im $ 178 behandelte Sorte von Gleichungen machen. Es ist

dort gezeigt worden, dass die Gleichung für £

(12)

Wa

Cuvr : =0

(M‚ D 1) 27 &

n)

(Gur= C4} &uv=0, wenn u=AEv ist; &uy=1, wenn w= v ist)

nur reelle Wurzeln besitzt, und nehmen wir dazu die Betrachtungen

aus $& 177, so können wir sagen: Vervollständigt man die ent-

Wickelte linke Seite von (12) nöthigenfalls durch Glieder

A 0:7, so dass sıe alle (% } 1) Terme ,

&@

an —

?

Z e

hält, dann ist die Differenz E}’V—— EF‚ bezogen auf die

Coefficienten, gleich der Signatur der quadratischen Form

(H') V 1; 2; K C‘L„=C„‚>.

2q„ E

$ 199.

Wir haben im $ 197 aus dem Budan-Fourier’schen

Theoreme das Descartes’sche als Specialfall hergeleitet. Wir können

es aber auch in einfacher Art direct beweisen*), und wir wollen dies

thun, um von dem Beweisgange nach anderer Seite hin noch Vortheil

zu zıehen.

Zuerst zeigen wir: Das Polynom f(g)-(z—c), in welchem c

eine positive Zahl bedeutet, hat eine ungerade Anzahl von

Wechseln mehr unter den Coefficienten als f(2).

Es sei

f(z) — (anz" + l + b()z”1+1) Z (alz"1 + CL .+. I'}1‚Z"L'l+l) + 004

_+_ (_ 1)‘v (a„z"v + E + b7 5(’)_

Dabei sollen alle Coefficienten a@ positiv, die b positiv oder 0 sein, so

dass also die aufeinanderfolgenden Glieder desselben Zeichens ın je

eine Klammer vereinigt sind. Dann wird

F(e) ( —c) = («

o(/

n+1

+ ...)——(aig"1+l+ .)+.+(-. 1)"(a;z”n+’—+ >}

a = A, + cbp, a= 0, + Cb,,

&2

und daraus folgt, dass aı, Q,

a; gleichfalls positive Werthe haben.

Trotzdem daher über die anderen Coefficienten” nichts bekannt ist,

können wir doch schliessen, dass von aye"t! bis zu — a# ** min-

destens ein Zeichenwechsel,

bis + azz4t1

mindestens

zwei,

bıs

C

%) daués, Werke Bd. 38; S. 67.

Das Budan-Fourier’sche Theorem

223

(—1) ajz"”+* mindestens v eingetreten sind, und dass die wirkliche

Zahl diese Minimalzahl um ein Vielfaches von 2 übertrifft

Lautete

nun in f(z) das letzte Glied (—1)”b,gz®

so lautet das letzte

ın

und

es

findet

sonach von

f(@) - (@#—c) natürlich (—1)+!b,c2

(—1) a# bis (—1)*16,c2 noch eine ungerade Anzahl von

Wechseln statt

Damit ist der ausgesprochene Hülfsatz bewiesen. —

Um hieraus den Descartes’schen Satz abzuleiten, sondern wir

in dem Polynome f(z) alle linearen Factoren ab, die gleich Null ge-

setzt negative oder imaginäre Wurzeln ergeben

Das Produet dieser

Factoren heisse Z; die positiven Wurzeln von f=0O seien 2,, 2

27

Zn

Dann haben nach dem Hülfssatze die Polynome

Z.(2

2,), Z.(2—2,)(@

%),

Z (Z_21) (Z_Zz)

(2 — 2%)

mindestens einen

ZWEe1

x Zeichenwechsel mehr

als Z. Dieses

Polynom Z hat für den ersten und den letzten Coefficienten gleiche

Vorzeichen, da ja im entgegengesetzten Falle Z=0 eine positive

Wurzel besitzen würde

Folglich hat das vorgelegte

(?) = Z (@—21) (@ — %)

(2 — 2,)

(x + 2w) Zeichenwechsel, d. h. um eine gerade Anzahl mehr, als die

Gleichung f= 0 positive Wurzeln hat, w. z. b. w

$ 200. Wir haben im $ 198 die Differenzen der einzelnen auf-

einanderfolgenden Exponenten von f(z) betrachtet und sie daraufhin

unterschieden, ob diese Differenz eine gerade oder eine ungerade Zahl

War

Jetzt wollen wir die Wechsel und die Folgen in gleicher Art

vertheilen, indem wir

Z2WZ0

setzen, derart, dass zu W,, F, alle die Wechsel bezw. Folgen ge-

rechnet Werden bei denen die Differenzen der zugehörigen Exponenten

von z untfe1ade dagegen zu W,, F, alle die, bei denen sie gerade

sind. Es liefern folglich z. B.

20

B

Zl7

Z"

F

‚11

‚11 + le

10+56

Einheiten die bezw. zu

W.,

W;,

J

K,

gehören.

Man erkennt sofort, dass in f(—z) den W, und den T

Zeichenfolgen, den W, und den F, Zeichenwechsel entsprechen müssen;

und es. giebt folglich der Descartes’sche Satz für die Anzahlen P

und N der positiven und negativen Wurzeln von f= 0

P<ZW NSI +DF

c

994

Ya

Siebzehnte Vorlesung $ 200—201.

Achtzehnte Vorlesung $ 202,

Ferner ist ersichtlich, dass ein W, oder ein F, nur auftreten kann,

wenn mindestens ein Glied im Polynome f fehlt.

Bezeichnet man also

die Anzahl aller fehlenden Glieder mit 7, dann ist

TEW +F,

Nun bilden wir f (z) (z — c) = f©(z), wobei c wie im Hülfssatze

des vorigen Paragraphen eine positive Grösse sein soll, und die An-

zahl der Wechsel von f©(z) nach demselben Satze um eine ungerade

Zahl (2%&-+-1) grösser werden wird, als die der Wechsel von f{(£).

Wir bezeichnen alle auf £© bezogenen Grössen durch angefügten, oberen

Index 0 und haben dann

> wo =Z’ @ n

PO= P+1, NO=N, 2JO = J.

Den Grad von f können wir einmal als Summe aus Wechseln, Folgen

und fehlenden Gliedern und andererseits als Summe der Anzahlen von

So _ ent-

positiven, negativen und complexen Wurzeln aufschreiben.

steht die Gleichung

O + N® + 2J© =2F“” +2 WO + T,

und wenn wir hierin die einzelnen bisher gefundenen Grössen eintragen,

(Zw+)+ZW0 S

> S0 (Zwpaka + (Zn0 S

oder vereinfacht

2722 YFO + 2b.

Diese von Sturm aufgestellte Formel giebt eine untere Grenze für dıe

Anzahl der complexen Wurzeln einer Gleichung: Wenn bei beliebiger

Wahl der positiven Constanten c die Coefficienten des Pro-

ducts f(2)(z—c) an Wechseln (2k&-+1) mehr enthalten, als

die von f(e), dann besitzt f(2z) = 0 mindestens 24& complexe

W urzeln.

$ 201.

Die im letzten Paragraphen abgeleiteten Sätze lassen

mancherlei Anwendungen zu.

Bilden wir f(z)- (# — c), dann können wir durch passende Wahl

von c zwei aufeinanderfolgende Glieder

RO

K OOn

des Producets zum Verschwinden bringen, sobald a„,_ı:A,=0„,! Ay-+ı

ist, da ja dann die reelle Grösse

Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze,

N

Z

(1

—

=—

z

D

—l

a

%

genommen werden kann. Es hat s.omit (S ]:99}) die Gleichung f(2) - (z — c)

= 0 complexe Wurzeln, und da c reell ist, so ergiebt sich: Bilden

drei aufeinanderfolgende Coefficienten einer Gleichung eine

geometrische Progression, dann besitzt die Gleichung com-

plexe Wurzeln.

Von Herm Hermite*) stammt der Satz: Bilden vier auf-

einanderfolgende Coefficienten einer Gleichung eine arith-

metische Progression

erster Ordnung,

dannt "besitzt' dıe

Gleichung complexe Wurzeln.

Wenn nämlich

f(2) =U F a 8 AaA p TI HAL

gesetzt wird, dann erhält man in f(z)(z — 1)? die Glieder

(d. —1 — 20, F A ) E ( —20 n E a :

und stehen nun A,_ı, A„“, Ay+ı, A--+2 in arithmetischer Progression

erster Ordnung, dann verschwinden beide Coefficienten, und es hat

f(2e) (2z—1)=0, und also auch f(2) = 0 complexe Wurzeln nach

$ 199 ##).

Krweiterungen dieses "'heorems sind naheliegend.

Achtzehnte Vorlesung.

Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze.

$ 202. Wir kommen jetzt zu einem von Sylvester gegebenen

Theoreme, dessen Wirkung nach derselben Seite hin geht, wie die des

Budan-Fourier’schen Theorems, und dabei im Allgemeinen bessere

Grenzen für Z(gz,, %) Liefert.

Die in der letzten Vorlesung untersuchte Funetionenreihe en

/

» : formen wir durch Multiplication mit positiven, vorläufig noch

unbestimmten, positiven Constanten ,, h,, - h„, etwas um, indem wir

h

D

(I)

Z

Ev

h A

v =0,1,...mn)

setzen. Dieser Functionenreihe stellen wir eine zweite zur Seite, die

; Noutr. Ann, (1); 1. S, 385

**) Vgl. Faure ibid, (2); 4. S, 79 und Catalan ibid, , 375 136

Netto, Algebra. I,

15

226

Achtzehnte Vorlesung $ 202—203.

mit Hülfe anderer, auch noch unbestimmter, positiver Constanten K

7”‘-.';

- k, gebildet ist

(2)

Iı = ıff — fuafen; go= f In = kaff.

Aus diesen Festsetzungen folgt

(3)

fı=Inf HI = efygs;

g; _ 2kuﬁfall O f;—lfv+l e fv-——lﬁ+l

— 2kv£rfva+l E 5v—lfvﬁf—f—l 5 5v+1fv—lﬂx—l—2ä

(4) g£ﬂ I® (27»‘„£„ 3 5v—1) f3fv+1 T £v+1fv—1 (kv+lfv2+l z 9v+1)

_ fv+l [(2kv5v SE £1'—1) f12 A 5v—{—1k1'+1f;/—1f1'+1]

+ Ev+1fv—lf]v+l-

Setzt man daher fest, dass die & und die % den Gleichungen

(5)

8„+1k;]\5y+1 S 2€;rkp + E&y—ı= ©

genügen sollen, dann geht (4) in

g;fv > 5v—|—1]'31'+19va—}—1 + £1/—}—1fv—1_91'—}—1

über, und daraus folet: (I) Ist g,= 0, dann wırd

SOn S

Es möge ferner (z—a) ein x-facher Wurzelfactor von f,_1, und

fı(e) = (@ —a pE),

(p(d) =f= 0,

sein; das ergiebt

1

f(e) =

fı—ıle) =

(# — a) * p(8) + (@ — a)“4(€),

&,

SA

e

fı = O a l) + @— a 100e),

wo %(z2) und %(z) wie @(z) ganze Funectionen von 2 sind. Setzt man

diese Ausdrücke für /y—1; /», /,+1 In (2) ein, so_ entsteht

(6) gu z e (# — 16ı (e —a p + e —a 0,

Die Constanten & und %

wo ®(z) auch eine ganze Function bedeutet.

unterwerfen wir nun für alle in Betracht kommenden v und x der

zweiten Bedingung

(7)

xh,e, — (x—1) &— > 0.

BDannn rolet aus (6): () B O = 0 Hann wud ün bın

länglich kleine Werthe von (z—a) die Function g,(2) positiv.

Für z = a kann sie verschwinden.

Aus $ 70 ist bekannt, dass wenn a eine x-fache Wurzel von

f(2) = 0 ist, derselbe Werth eine (x — 1)-fache Wurzel von f,(£)= 0,

also nach (3) auch yon fy+1(@e) = 0 wird,

Infolge dessen zeigt die

Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze.

227

Formel (2) auch noch: (III) Ist f_ı(@) —0, dagegen f,(a)= 0,

dann hat für hinlänglich kleine Werthe von (z— a) die Fune-

tion g,(z) das entgegengesetzte Vorzeichen des Products

fr—ı(2) : fa (@)-

$ 203. Wir betrachten jetzt die gleichzeitigen Aenderungen der

Vorzeichen in den beiden Reihen

(8)

or

fl)

f2;

fn

Io>

Iı

Ia

In

beim Uebergange des Argumentes z von einem niederen Werthe Z

zu einem höheren %.

Die Bezeichnungen / und W als Folge und

Wechsel von Zeichen bei zwei aufeinanderfolgenden Functionen haben

dabei die frühere Bedeutung für jede der beiden Reihen. Jetzt aber

ziehen wir auch das gleichzeitige Auftreten von / oder W bei ent-

sprechenden Functionen beider Reihen in Betracht und bezeichnen

es mıt

FT, wenn in beiden Reihen entsprechende F

WW,

”

”

”

”

”

W

FW, wenn in der oberen Reihe ein F, in der unteren ein W

WF,

”

2

?

”

”

”

W,

Z

”

”

J&

”

bei aufeinanderfolgenden Gliedern erscheinen.

Diese vier Möglich-

keiten mögen Folge-Folge, Wechsel-Wechsel, Folge-Wechsel

und Wechsel-Folge heissen.

Wir untersuchen, was eintritt, wenn z durch einen Werth E& ocht;

für den mehrere der mittleren f, verschwinden, z. B. f,,

fz+17

fr+2—1, Ohne dass f C0 ıd Da die fx sich von den f mur

durch positive Factoren unterscheiden, so können wir für die f direct

die Tabelle aus S& 196 benutzen.

Hürfdie g tolst aus (@), dass g. _

in dem hinreichend eng gewählten Intervalle (5— 0 -.. E +4- 0) positiv

ist; aus $ 202, (III), dass g, das entgegengesetzte Zeichen von &f,+ı

hat; und aus $ 202 ( da

** Ix+2% posıtiv sind. Folg-

lich entsteht die Tabelle, in welcher £ dieselbe Bedeutung wie in

$ 196 hat:

sgen

©)

_ÜZ—1

Ir

Iu+1

_(/x—|—2—3

Q

Ix+2i—1

9x+l

—0

+ —CDA

.+.

+

+

+

5

+

0

0

0

0

0

+

540

+

O

+

+

+

+

+

Die Vergleichung beider Tabellen zeigt: e

s giebt unter den auf-

geschriebenen Functionen für

15*

Ll

998

Achtzehnte Vorlesung $& 203. -

A gerade

A gerade

A ungerade

A ungerade

s&=+1

8= —1

e=+1

s8= —1

E— 0

MT

O

O

RE

5

L EEN

OE

MLE

0OFF

Saı

G al

VLE

aa

1FF

und hieraus erkennt man, dass beim Uebergange von (£—0d0) zu

(E-4+ö) stets eine gerade Anzahl von FF gewonnen wird.

Wir wollen auch die drei entsprechenden Tabellen für die An-

nahme sgn f,42= —1 aufstellen.

san:

fz———1

fr

fz+l

fz+2——3

fz+l—2

fx—|—l—l

fx+).

E

E— ö

(_ 1)7._1 Z

E

€

0

0

E

AL

PEr

5+0

E

sean

{}

Ir— v

Ix

O41

x 2—3

Ön

RZE

Q

E—0

+ s(—1)*—1

+

_|..

+

+

+

0

0

0

0

0

5

+

+

E

+

+&

+

+

+

+

+

A gerade

2 gerade

A ungerade

A ungerade

s&=+1

s&= —1

s=+1

&= —1

E— ö

Z

JS

HE

0FF

5

O2

WE IEN

0FF

RE

S+0

AFF

(1&

AT

En

aus denen sich auch für diesen Fall der gleiche Satz ergiebt.

Wir nehmen weiter an, dass für & eine oder mehrere der mitt-

Jeren, Functionen, z. B. . gı, . Oxni,

44 Y 2n ‚ glerch‘ Null; werden:

Wenn dabei gleichzeitig entsprechende Functionen f verschwinden,

stehen wir auf dem Boden des eben besprochenen Falles. Wir können

also alle entsprechenden Functionen f als von Null verschieden voraus-

setzen. KFerner sei, um die Begriffe zu fixiren, ‚sgn e

San ,-+21 = + 1 gesetzt.

Aus (2) folgt, dass wenn g„ verschwindet, /2_1 und fx41ı gleiche

Vorzeichen haben. Danach sind die beiden Möglichkeiten zu beachten,

dass im Intervalle (£— 0, ... E+0)

sgn:

fx—l

fz

fz+1

E S

fz+l

+

+

+

A)

+

+

+

>

+

s

B)

GG

+

+

Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze.

229

wird.

Für A) ergiebt sıch aus

S 202,

0 dass San N

SN L A 1 und sonach da 7,r 6 0 I,

dass sgn g,+2—-1(6—0)= — 1, und sgn g, 421 (8+0)= + 1 wird

Auf dieselbe Art geht man bei A) und auch bei B) weiter und er-

hält für A) die Tabelle:

sgn

!//—1

Ix

Gxı

ba

Qnı =2

OB

I2

—

E— 00

GDE

+

+

0

01)Ä-—1

0

0

+

S+0

+

+

+

+

+

und für B) die Tabelle:

sean

!//—1

Ir

Ix+1

O23

Qn 422

OE Z

T7

E—00

_{_

+

+

0

0

0

+

60

E

C DA

i

Vergleichen wir nun wieder beide Tabellen A) für die f und die y

und ebenso beide Tabellen B), so ergiebt sich an vorkommenden FL

ım ersten Falle:

sen

A gerade

A gerade

&= —1

A ungerade

A ungerade

8&=+1

s=+1

&8= —1

E— 0

ET

OLE

0OFF

WE

5

LE

0OFF

UE

0OFF

Sar ®

(

ZLTEVTEN

( 1E

AF

und daher eine gerade Anzahl gewonnener FF beim Ueber-

gange von (£—d) zu (£-4-0). Den Fall B) brauchen wir gar nicht

zu untersuchen, da in der Tabelle für die f nur W vorkommen.

Für sgn f,42(8) = —1 tritt bei den g und im Schlussresultat

keinerlei Aenderung ein. —

Wenn ‚ endlch C0 C =

MC =0, HO =E

ist, dann . wird

sgn

5

/

.ı

f3

KA

2

zn

fı

620 (——1)*5° En

S

S

5

0

0

0

-{68

E

SO

E

E

€

230

Achtzehnte Vorlesung &$ 203—205,

Hierbei folgt aus (2), dass g„, und aus $ 202 (IT), dass g,(£ + 0),

9:(5 + 0) positiv werden, und daraus, dass beim Ueberschreiten einer

A-fachen Wurzel & zugleich 4 FF gewonnen werden. Damit ist be-

wiesen: Die Anzahl Z(z,,z,) der zwischen z, und dem grösseren

%, liegenden Wurzeln von f(z)=0 ist gleich der Anzahl der

in (8) bei Substitution von z gegenüber z, gewonnenen Folge-

Folgen oder um eine gerade Anzahl geringer*).

Der Beweis hätte sich, genau wie der beim Budan-Fourier’”-

schen Theoreme gegebene sehr durch die Annahme vereinfachen lassen,

dass nicht zwei aufeinanderfolgende Glieder der f- oder der g-Reihe

gleichzeitig verschwinden.

Das würde auch stets dann ausreichen,

wenn f(z)= 0 keine mehrfachen Wurzeln besitzt.

Denn es lässt sich

ohne Schwierigkeit nachweisen, dass durch beliebig kleine Aenderungen

der Coefficienten von f(z) = 0 ein solches gleichzeitiges Verschwinden

beseitigt werden kann, ohne dass dadurch die Natur der Wurzeln

(hinsichtlich ihrer Realität) verändert würde; ausgenommen ist aber

dabei der Fall mehrfacher Wurzeln, weil hier der Uebergang von

reellen zu complexen Wurzeln offen steht.

$ 204.

Wenn etwa an den Grenzen z

Al

oder %, Functionen aus

den Reihen (8) verschwinden, dann treten dieselben Schwierigkeiten

auf, wie beim Budan’schen Criterium. Falls aber nicht f(2,), f(z)

selbst Null werden, lassen sie sich auch jetzt beseitigen.

Man be-

trachtet zuerst das Intervall (z, + 0---z — 0) - und geht von hier aus

zu d =0. Die aufgestellten Tabellen, die gerade deshalb auch die

sgn fx(£) enthalten, zeigen dann die Richtigkeit der folgenden Regel:

enn bei San 7 4C = u alle Lücken der / miıt dem Zerichen

(—n) gefüllt werden und alle Lücken der g mit dem Zeichen

SE 1 danm wınd beim Uebersanse von (6 - . 0) zu C dıe Anzahl

Man kann daher

der JF nur um eıne gerade Zahl zeändert.

diese Krgänzung der verschwindenden Glieder in der f- und der g-Reihe

machen und dann die Sylvester’sche Regel auch bei den Grenzen

anwenden.

Es ist zu vermuthen, dass der abgeleitete Sylvester’sche Satz

mindestens so genaue Grenzen geben wird, wie der Budan’sche.

Denn bei diesem wird nur der Gewinn an Folgen in der Reihe der f

gezählt, bei jenem aber der an Folge-Folgen in der Reihe der f und

der g; dieser wırd im Allgemeinen nicht ohne einen vorhergegangenen

oder gleichzeitigen Gewinn einer Folge der /-Reihe eintreten.

*) The Oxford, Cambridge and Dublin Messenger of Mathem. IIL. 1866;

129—141.

231

Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze.

$ 205. Wir gehen jetzt auf die Bedingungen

(5)

£V+1k„]y'„+1 z 28„7»"„ + E& —1 = O‚

(7)

%Ek, — (x — 1) &— > 0,

denen die & und die &% unterworfen werden müssen, näher ein.

(7) braucht nur für x = 1,2, ... (n—v-+-1) erfüllt zu sem,

da x nicht grösser werden kann als der Grad von fy_ı.

Gilt nun (7)

für den höchsten Werth x =n" — v + 1, so folgt aus

(n — v + 1) &k — (n — V) &—

%

) £v—1} > O‚

OE

n—v+1

dass dann auch alle anderen Bedingungen (7) erfüllt sind. Man darf

demnach (7) durch

(7%)

(n —v +1)&ök, — (n—7)&ö— >0

ersetzen.

Gesetzt ferner, (7*) gelte für einen gewissen Werth von v,

dann können wir mit Hülfe von (5) folgern

&k (2n—2v—n +v+1) — (n—V)&Ü-1>0,

(10)

(2e,k, — &_1) (n—v) — (n—v—1)e,k, > 0,

(n — v) &+1kı4ı — (n—Vv—1)&>0;

also gilt (7®) dann auch für ein um eine Einheit höheres v.

Folglich brauchen die & und die % nur den Bedingungen

Ö5)

E‚r+1k«„k„+1 5 2Eyk„ + Ey—1ı = O‚

©

ns k — n—1)8 >0

zu genügen.

Man kann also beispielsweise die positiyven Constanten &

ganz beliebig annehmen, ferner %, gemäss (7”) wählen, und (5) liefert

dann die Reihe der übrigen /, die freilich sämmtlich positiv sein müssen.

Die % lassen sich bei willkürlichem A, vermittels der Formel

k

(

&9 ‘°1‘ 752

7—1

aus den & bestimmen, wie (1) zeigt.

Wir wollen einige Systeme für die e, die & und die %A angeben:

Da=saä= Sl eh= u = 1i h=h=...=1.

ED7E

ID 6 =a, E =0 1,

_.a+2, RS kl=k2=...

=

il

(« > 0)

ıl

e

D

0 a(«+1) (@x+2)?

i

D Z

T

Ä=äé" S

E=—

L @— @+

_ (m—2) (n+3)

kı=1, %

n(n+1)

’

3 @

))

h=1, A =n, h=nnF1), h=nn+1)n+2), -

232

Achtzehnte Vorlesung &$ 205—207.

Falls wir alle % gleich 1 setzen, geht (5) in die Functionalgleichung

y 2E‚; + Ey—1 = 0

über, deren allgemeine Lösung sich aus den Anfangswerthen

ın der Form

&=4\,

S

IV)

&, = 4 4 Bvy

ergiebt.

Nimmt

man ferner 4 und B positiv, dann ist auch (7*) be-

friedigt.

= ] _ entsteht

Für Z

ü

P

— A(A+B)(4+2B8)-- (47@ - 9B)

$ 206. Die Bedingungen (7) waren nöthig, damit bei f,_,(a)=0

für hinreichend kleine Werthe von (z — a) die Funetion g,(z) positiv

werde ($ 202, II).

Wenn wir jetzt

(

(n — v + 1)&k, — (n — v7)&— 1 = 0

setzen) dann ast (C) zwar für % = 1, 2

(n — v) erfüllt (ygl. (9)),

aber nicht mehr für den höchsten möglichen Werth x =n — v + 1.

Wir wollen untersuchen, was dabei geschieht. Nach $ 202 wird dieser

Umstand überhaupt nur dann auftreten, wenn ein (z — a) als

@ Z U)-Kacher Wurzeltäctor in . eingeht. Nun ıst aber fı

vom Grade (n — v + 1); also muss dabei

fırıle) > a (g—a)ı H

werden, wobei x einen constanten Factor bedeutet.

Daraus folgt

f_._";

-y+1

lx(.6’ H a)n—l‘ fl—}-l P (n—./u‚—i_„l„)_

S

—1

E

—1

%ﬂ„

V

(2«’—(1)"'_"_1,

Iv

n—»v»v+1

m— v + 1)ek, — (n —v)e, ]« (e — a)ıı —2 = 0,

ji- le f

d. h. es wird nach (7°)-die Funetion g, identisch Null.

Findet weıter

die entsprechende Gleichung auch für (v + 1) statt, nämlich

(n — V)& +rı —0 —v —1U1)Ü=0,

dann verschwindet auch g,41 1dentisch, u. s. f.

Unsere Schlüsse gelten in diesem Falle also nicht unmittelbar.

Es genügt aber, wie die Construction unserer Tabellen deutlich zeigt,

an Stelle der etwa bei g„,+1,

auftretenden Nullen das Pluszeichen

in die Reihen einzuführen; dann entstehen genau die obigen Schemata,

und unter dieser Vorsichtsmassregel können wir demnach auch den

besprochenen Grenzfall mit in die Sylvester’sche Regel einschliessen.

Der bei (10) gemachte Schluss gilt auch hier, so dass aus

n& k —(n—1)8=0

das gesammte Gleichungssystem (7°) folgt.

Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze.

233

Der besprochene Grenzfall trıtt z. B. ein, wenn wir

n—1

S===

n—2

——

E

V)

80:17

E,

n

’

2

N

2

Y

k =kh=-..

il

setzen; dabei ergiebt sich

2

Nn

Nn

n?

Sl 1,

’l1’

h;

700 GD

8 207.

Genau wıe wır aus dem Budan-Fourier’schen Theo-

reme durch Specialisirung der Grenzen auf die Werthe — c0o, 0, + «

das Descartes’sche Theorem abgeleitet haben, genau so können wir

hier aus dem Sylvester’schen ein von Newton ausgesprochenes

Theorem entnehmen.

Newton hat es ohne Beweis gegeben*); seine

Begründung ist lange Zeit hindurch von den Mathematikern vergeblich

versucht worden, bis eben Sylvester es durch Erweiterung zu seinem

Satze umformte und so bewies.

Wir wollen, um den Satz abzuleiten, 2

z

On

, %, = 0 setzen

und haben also

(11)

Z(— , 0) = Y FFO) — FF ) — 2,

worin die linke Seite die Anzahl der negatıyen Wurzeln von f= 0

bezeichnet, und die Ausdrücke rechts analog den früher erklärten

($ 195) zu verstehen sind.

Für unsere Funetion f(2) findet man

lim

f @)

1

f (@)

liım

1° ©

z2=—0 8

=a0’

2=—

N

1

=1N04,

s

2

= nn — 1)4,,

»)

die rechten Seiten dieser Gleichungen haben sämmtlich das Zeichen

von ay; die Potenzen von z in den Nennern sind abwechselnd positiv

und negativ. Demnach wird die Reihe fi, fi, f2, : für grosse nega-

tive Werthe lediglich Wechsel darbieten, d. h. es ist in (11)

DYFF—)=0

zu setzen. Ferner erhält man durch Differentiation und Anwendung

von (1)

Z

e

/ C (0)

R O EL

—-

CO

I, (0)

hik,v!v! |ia?‚.„, —

V 7z?‚ K,

'an—v—lan——v—}—l

|

und hier kann

man den positiven Factor vor der Klammer unter-

drücken.

Bezeichnen wir der Kürze halber

(12)

Un— w

n (1/+ 1)hv——lhl'+l S (1}+ 1)8„_1 E 1

x

A

vh2k,

'V'E‚„

k

4l

?

BT OT

*) Arithmetica universalis II. Cap. II: „De forma aequationis“‘“,

234

Achtzehnte Vorlesung &$ 207—208.

so ıst also

FF(0) gleich der Zahl der Folge-Folgen in den beiden

Reihen

Z

A,

A5,

D

arl‚—l;

An

’

(18)

G

11A006 0 e

A5,

9 ar2z—l s Zn—lan—2an; a'121

Wir wollen diese Zahl mit @ bezeichnen.

Dann ist

(14)

Z(— co, 0) = w — 214.

Um auch für Z(0, 0o) einen ähnlichen Satz zu erhalten, transformiren

wir die Gleichung f= 0, indem wir — z an Stelle von z eintragen.

Dabei geht nur in der ersten Zeile von (13) eine Veränderung vor,

indem alle @ mit ungeradem Index das negative Zeichen erhalten, und

hierbei wird jede frühere Folge in dieser Zeile durch einen Wechsel

ersetzt und umgekehrt.

Man erhält also jetzt soviele Folge-Folgen,

als vorher Wechsel-Folgen vorhanden waren.

Bezeichnet man diese

Zahl mit w, so ist

(14°)

Z(0, + c0o) = w — 214,.

Die beiden in (14) und (14°

gegebenen Criterien bezeichnet Syl-

vester als vervollständigte Newton’sche Regel.

Aus ihr geht

die Newton’sche Regel in ihrer gewöhnlichen Form durch Addition

hervor.

Da nämlich jede Folge in der zweiten Zeile von (13) ent-

weder zu @ oder zu @ eine Einheit liefert, so ist ( + w) gleich der

Zahl der einfachen / in der Reihe

(3) 9 d la A aa

55} a3-—-1 DeEM l)z—1 an——2”n‚ ar2»;

und wir sehen: Die Anzahl der reellen Wurzeln von f(g)= 0

ist gleich der Anzahl der Folgen in (15) oder um eine gerade

Ist also ins Besondere auch nur eins der

Anzahl geringer.

Glıeder ın (15) negatıy, dannm ‚besıtzt 7(0) = 0 cComplexe

Wurzeln.

Hat /(e)= 0 nur reelle Wurzeln, dann sind alle

Glieder der Reihe (15) positiv.

Ueber die Bildung der / ist bereits alles Nöthige gesagt.

Aus

den oben besprochenen Beispielen ergeben sich folgende Systeme:

N

n-—1

3

2

D

l

Ka

—— ln—l__'T;

E

n—17?

E

n(«+n—2)

3(«+1)

_ @— (e-+Fn—3)

ln——2 n

MG

M A,

n—1)(@0+Fn—1)? 27 (n—2)(«+n—2)?

2«

ln—1

SE

==

e

3n

l

A

n-3

ln——1

m+ 1)

E

JIl) %,

2(n—1)? ?

7 8(n—2)?

Z„_2=(

N

1: 27

n.1

Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze

235

n(A +(n—2) B)

(n—1)(4+m—3)B)

PE SN LE

M) L=a

n—1)(4+m—1)B)?

b=

(n—2; (4 +(n—2) B)?

A B)

2A

ll——2

2052

lz—l

A

2n

n.2

V) I =

_ @—

aa =

Ca

O2 Q

O2

GE

(n—1)1

Das letzte System stimmt mit dem von Newton angegebenen überein

so dass die Reihe (15) hierbei in die von ıhm aufgestellte

3(n — 1)

4(n —2)

(1b6) @ 06 —

l(n

Z O

A9, A,

20

2)

A, A3, Ag

8a(n—

5) 204)

übergeht

Aus II) erhält man für « =— 1 _den Werth 1 für-alle /

und somiıt die besonders einfache Reihe

(15”)

A9 , Ar

AA

A, 0A5 @5

A>04,

Dieselbe Reihe ergiebt sich aus V) für den Fall, dass mit Heraus-

treten von Binomialcoefficienten das Gleichungspolynom

f (8) = 8 + ( ) Q A ( )”zZn_z a ( )a3zn e

geschrieben wird

$ 208. Aus (15”) ist ersichtlich, dass, wenn q = 1 und

(16)

— an <

ist, die Gleichung f= 0 complexe Wurzeln besitzt

Wır nehmen an

der gleiche Satz gälte für irgend einen festen Werth von g; bilden

wir dann bei beliebigem reellen o das Produet

(2)(2 — 0) = Üa

(a — ay0)2" + (d2 — a,0)

7

so muss (z — o)f=0 und also auch f = 0 complexe Wurzeln haben

falls

A0 —0

(a,—4,0) — qa (a — a,0)=(a0—

S

(12

AL A

4

%® az)

q

negativ wird. Dies kann man aber durch 9———(2——(_])

stets

erreichen, sobald bei q < 4 die letzte Klammer negatıy, d, h.

(17)

1

2

A0 Z0

4

ist. Gilt demnach (16) für ein qg <4, so gilt auch (17) als Criterium

für das Vorkommen von complexen Wurzeln

4

6

Nun hatten wir g = 1

8

und finden daraus der Reihe nach q =

2u— 2

’

; man

SA S5?

w

kann also q dem Grenzwerthe 2 beliebig nahe bringen und erkennt: Ist

236

Achtzehnte Vorlesung $ 208—209

(18)

— Yn <O

dann besitzt f(2z) = 0 complexe Wurzeln*)

Es ist naheliegend

zu fragen, ob der Werth I, — 2 das über-

und welches die Maxima der

haupt erreichbare Maximum darstellt

übrigen /, sind

Man hat

W

n-—v—1

L, =

WE

3

7

('U + 1)E„_„7v„_‚ Z VEn—v— 1y

V IL—V

und wir haben gesehen, wie vermöge des Bildungsgesetzes (5) alle

Bedingungen der letzten Art unter einander übereinstimmen

Üan 4

SO gTOSS als möglich zu machen,

muss der Nenner so klein als möglich

An

s

+1

E&n—,—1 Werden, und so ergiebt sich

2

n

3nNn—1

i =

, =

t—1/—|—11/—{—1_

1n%—1?

l

2n —2

WD

V

ZIL—I ?

Ist irgend eine der Grössen

Ü

2

m— +D@O+1)

(n—7v7) v

v—1@y-+1,

(v

1, 2,

n — 1)

negativ, dann besitzt die Gleichung f=

0 complexe Wurzeln.

A \V011911 noch erwähnen, dass für f(z)= (z — 0)” alle diese Diffe-

renzen den Werth Null annehmen

und die Vermuthung aussprechen

dass dieser Umstand Newton zur Aufstellung seines Satzes veran-

lasste

der wie ja die meisten in der

Arithmetica universalıs

ohne

Beweis vorgetragen ıst

$ 209

Wir wollen am Schlusse dieser Vorlesung ein von Herrn

Biehler gegebenes '’heorem beweisen**). Setzt man

(x — ay — bÜü(x

)

(% — 0n — ba) = Un +F UVz,

(sgn b, = sgn b

SS __50'nb„)‚

dann sind alle Wurzeln der Gleichung U, =0 reell, ungleich

und durch die Wurzeln der Gleichung V, = 0 getrennt, welche

ebenfalls reell und ungleich sind

Wir nehmen an, der Satz sei für U, und V, bewiesen, und zeigen

Der Einfachheit halber

daraus seine Richtigkeit für U„+1 und V„+1

nehmen wir an, es seien alle b _positiv

Man hat

(19)

UIL+I SE (x 7 an+l) ( + bn+l e n =F

(20) V„+1 = (.%—a„+1) V —b„+1 U

Z

—!

—b + + + ba+rı) e

Der Voraussetzung nach sind die Wurzeln &,, &,

0 ON U = O

E E DA B

* O. Bonnet: Nouv. Ann. (1); 4; S. 236. — Vgl. auch Colombier (ibid.)

(2); 7; S. 501

*P) S Lr M 8876 5330

Sur une classe d’Equations alg&briques etc

Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze.

Z

reell und unter einander verschieden; wir wollen annehmen, dass sie

nach steigender Grösse geordnet sind.

Da die (n — 1) Wurzeln von

Y = 0 zwischen den Wurzeln von U, = 0 liegen, so 1st

sgn V.(«,) = — sgn Yn(«,) = + sgn V.(a)= - =(—1)" * sgn V (a.),

san 17„(a[) = @ V„(— oc‚) Z (_. 1)n——1 an (‚„_ 1)n}

3

sn Vla) = ( D,

sn Yala) — D

Xn

und also folgt aus der Gleichung (19) für %= &,, &,

e ) A0

sgn Un +ı(0) = ( —1,

HC

sgn Uapı(@) = (— 1)'.

Hieraus ersieht man, dass U,4+1= 0 zwischen «, und «,, zwischen «,

zwischen «,_1 und «„ je eine ungerade Anzahl von

Ud s

Wurzeln besitzt.

Da weiter nach (19)

sgn Unpı(— 0) = (— 1)*H,

sgn Un+1(+ )=+1

wird, so liegt auch mindestens je eine Wurzel jenseits «, und &„.

Also hat U,+1= 0 nur reelle und von einander verschiedene Wurzeln,

die durch diejenigen von U, = 0 getrennt werden.

Die Formeln (19), (20) zeigen, dass

(21)

Un+l Ifu OE Un Vn+1 a (Un2 + V712)bn—l—l

ist. Bezeichnen wir mit ß,, 6,

5 B die Wurzeln! von Ua 0

zwischen denen dem eben Bewiesenen nach die &,, &,

&„ liegen,

dann liefert die Einsetzung der ß in (21) den Beweis, dass

sgn U„(ß,) Yn-+1(ß,) = sgn Un(ßo) Vn+1(ß) = -

und also wegen

*

sgn Un(ß,) = — sgn Un(ß) = :,

dass auch

sgn V, +1(ß.) = — sgn Vapı(ß)= -

wird, d. h. dass die % Wurzeln von V„.1ı1== © reell, von einander

verschieden und in den Intervallen (ß,,

n ß;'); (ßz;

n ß3);

SO

legen sind.

Da die Sätze für

U = @ — ( Ar 0.)@ Ar (@.0 —00

Va z — G, } b2) % +4- (a 05 + a0,)

richtig sind, so ist der Beweis allgemein geliefert.

Benutzt man die Gleichung (20) genau so, wie soeben (19), dann

kann man zeigen, dass die Wurzeln von V„,+1=0 durch diejenigen

yon V, = 0 getrennt werden.

238

Neunzehnte Vorlesung $ 210—211.

Neunzehnte Vorlesung.

Das Sturm’sche Theorem.

$ 210. Die bisher abgeleiteten, für die praktische Verwendung

brauchbaren und wichtigen Sätze über die Trennung der reellen Wurzeln

einer Gleichung leiden an dem theoretisch entscheidenden Mangel,

dass sie nicht die Anzahl der reellen oder der positiven oder der ne-

gativen Wurzeln selbst, sondern nur obere Grenzen für die gesuchten

Zahlen angeben. Von diesem Mangel ist der von J. K. F. SiuLmm 6

gefundene Satz frei, der direct die Zahl Z (2,, %) ableiten lehrt und

dadurch die aufgestellte Frage theoretisch endgültig erledigt.

Wir wollen den Weg zu diesem Theoreme so wählen, dass wir

es aus einem allgemeineren Satze herleiten.

Ist f(z)= 0 die betrachtete Gleichung, so heisst die Reihe der

Funectionen

(1)

f Fr fr ar

fr

eine verallgemeinerte, zu f gehörige Sturm’sche Reihe, wenn

sie den folgenden drei Bedingungen genügt:

I5 Da Ietzue Ched / 196 GunG Constante, oder f ändert

doch wenigstens im betrachteten Intervalle (&

2%) sein

Zeichen nicht.

IL _Für ein und dasselbe Argument z= E verschwinden

nicht zwei aufeinanderfolgende Glieder der Reihe.

I, Verschwindet für ein bestimmtes Argument ein Glied

f der Reihe, dann haben die beiden rechts und links be-

nachbarten Glieder fz_, und fz+1 für dieses Argument ent-

gegengesetzte Vorzeichen.

Wir untersuchen die Zeichenänderungen, die in (1) vor sich gehen,

wenn

D

D

von %, zu einem grösseren Argumente z, übergeführt wird.

Da f sein Zeichen nicht wechselt, so kann in der Zahl der W und

der / nur dadurch eine Aenderung eintreten, dass ein mittleres, oder

dass das erste f durch Null geht. — Weil für f2(£) = 0 sowohl fı_ı

als fı+ı von Null verschieden sind, so kann man einen Bereich

(£—0 ... E-+0) abgrenzen, der so klein ist, dass in ihm fi_ı und

fz-+1 von Null verschieden bleiben.

In diesem haben nach III. beide

Functionen verschiedene Vorzeichen; wie das Vorzeichen von fz also

Re4

auch sein möge, es werden die drei Functionen f2_ı, fı, f2+1 Sowohl

*) F6russac, Bulletin des sciences mathematiques; 1829. XI, p. 419. —

Memoires sur la rE&solution des Equations nume&riques, Comptes rendus VI, 1835,

Das Sturm’sche Theorem

239

für (£—d) wie für (£+ö) einen Wechsel und eine Folge aufweisen,

und eine Aenderung in der Anzahl tritt daher nicht ein. — Wenn

ferner f(£) = 0 verschwindet und durch Null geht, dann fragt es sich,

ob dabei

)

vom Negatiyen ins Positive übertritt, oder umgekehrt.

Im ersten Falle wird ein W verloren, im zweiten Falle en W ge-

WONNnEN.

Besitzt ((z)=0 zwischen z, und z, als Grenzen k, Wurzeln,

bei deren Passıren 7(2):/i(e) vom Negatıven ins Positive

@&

und %, Wurzeln, bei deren Passıren f(2):/fi(g) vom Positiven

Ins / Negatıye übertritt, mennn Z von 2 bıs 2(S 2) wachst,

dann ıst

@2)

k k = W@) W

und die rechte Seite von (2) giebt durch ihren absoluten

Werth eine untere Grenze

OL

die Anzahl der Wurzeln

zwischen z, und %.

$ 211. Wir wollen ein dieses Resultat benutzendes Beispiel be-

sprechen*). — Wenn wir zum Zwecke der Theilung eines gegebenen

Winkels

tang « = a,

tang — = %2

setzen, dann besteht die Beziehung zwischen @ und z

E

A (1 AB iz)m d iz)m

i i —i

WE E

Die linke Seite der letzten Gleichung enthält den Factor %i

Wir be-

zeichnen, indem wir ihn heraussetzen,

U = (1 + i2)“ (1 — ia) — (1 — ig)“ (1 + ia),

dann ergiebt sich ohne Schwierigkeit

(3)

Ü E OL

Wir betrachten die Gleichung U„=0. Die Reihe der U

Um; Uu—l; a;;—2; n U27 U1} U0

ist eine verallgemeinerte Sturm’sche Reihe für U,

m*

Denn zu-

erst ist Uı = — 2a und folglich constant. Ferner kann wegen (3)

nıcht zugleich ( O O i verschwinden, weil sonst U._2=0, ...

U,= 0 sein müsste. Endlich haben für U,_1=0, wie wieder (3)

zeigt, U, und U,_2 entgegengesetzte Signa, und somit gilt (2).

Für z=0 wird ein jedes Un = — 2a.

JE E

*) Biehler: Sur une application de la methode de Sturm. Nouv. Ann.

(2) Ba 19 S} 76

240

Neunzehnte Vorlesung 8 211—213,

Für sehr grosse positive oder negative Werthe von z erhält man

sgn i U„ = sgn z“ (‚'‚u K E n (__ i)‚u + a (_ 2-)‘u+1)‚

sodass für

——

&0 (mol. D,

San NOn

=—= —

sgn 2a2“,

DG A

SOH 0L

= -+- sgn 22“,

U = 2 (mod. 4),

sgn Un = + sgn 2a2“,

u = 3 (mod. 4),

sgn Un = — sgn 22“

wird. Man

findet also für @ > 0 die Zeichentabelle:

sgn

U

b

U

U,

U;

9

—

E

0O

+

+

—

0

E

_

—_-

X& &X

—

Kz

E

LEn

+ co

A

R

+ 1 +/S

und erkennt aus ıhr

W Z

m = 2n E1

W — O A

W(—)— W00) =n,

W©)

2 W0©) 2

’

W(0)

— W(®) = —- (n +1).

Für a <0 ergiebt sich ebenso:

on

U,

U,

U,

U,

5

U:

A

= — 0O

+

S>

+

+

| ++JS

DE

ä

:+oo

$

Z

+

M Z2R

m=2n+1

W(—0) — W(O) = /

W(—) — W(0) =2+1,

W (0)

— W(6)= —n,

W (0)

— W(®)= —n.

Un =0 besitzt nur zecle Wurzeln:

Ist. m =2n, o zıcht &s

ebenso viele positive wie negative Wurzeln. Ist m=(2n+1)

und a positiv, so giebt es n negative und (n+1) positive

Wurzeln; ist m =(2%2 +1) und a negativ, so giebt es (n +1)

negatıve und ” positive Wurzeln.

$ 212. Die Bedingungen, durch welche (1) zu einer verallgemei-

nerten Sturm’schen Reihe wurde, wollen wir jetzt durch eine neue,

vierte Bedingung vermehren.

IV. Geht 2 wachsend durch

einen Wurzelwerth von

71© 0 Jannn - oche das Product /() A(C) Stets, oder we-

nigstens in.dem Intervalle (z,---%) stets vom Negativen ins

Positive oder stets vom Positiven ins Negative.

Das Sturm’sche Theorem.

241

Die Reihe (1) heisst unter den Bedingungen I) bis IV) eine

Sturm’sche Reihe.

Wegen IV) geht (2) entweder in

(2°)

k = N W(e) —S W@)

oder ın

über, wenn f 'f1 beständig vom Negativen durch Null ins Positive,

(2”)

k = Y F(e) — NF @),

wenn f f, beständig vom Positiven durch Null ins Negative übertritt.

Wir wollen auch hierfür ein Beispiel behandeln, und zwar knüpfen

wir an die Gleichung (14)' der sechzehnten Vorlesung für m=n=p

an; wir betrachten also die Gleichung

Gr OFE

Es lässt sich nachweisen, dass für die Funetion U, die Funetionen

(19)

Un; Uz—ly Un—2;

Ué; ZII7 U0

eine Sturm’sche Reihe bilden. Die KEigenschaft I) folgt aus UDE

Die Eigenschaften II) und III) werden durch

n U, — (Qn—1)(2+ 1) Oı + (n —1) (2— 1U 2= 0

bewiesen; diese Beziehung selbst ist leicht zu verificiren.

Die Eigen-

schaft IV) endlich folgt aus der sofort als richtig zu erkennenden

Gleichung

UU @Da

Denn U,= 0 hat offenbar keine positiven Wurzeln; für jede Wurzel £

wird daher sgn U„._,= sgn U;. Ist nn U positiv, so wächst U,

und geht demnach vom Negativen durch Null zum Positiven; ist aber

U„ negativ, so geht U, vom Positiven durch Null zum Negativen; in

beiden Fällen also ocht 0 0n vom Negativen zum Positiven.

Deshalb ist (1®*) eine Sturm’sche Reihe für U, und es zilt \ die

Formel (2*). In dieser setzen wir z = — 0, und dann liefert die

Sturm’sche Reihe nur Zeichenwechsel. Ferner setzen wir Z2=-+0,

und danmn ergiebt sie nur Zeichenfolgen. - Es sind also ” Wechsel ver-

Wurzeln.

Joren gegangen, und deshalb besitzt U, =0 lauter reelle, negative

$ 213. Was wir schon früher (& 187, Schlussbemerkung) hervor-

gehoben haben, hat sich auch im Beispiele des letzten Paragraphen

bewährt, dass nämlich fji= f der Anforderung IV) entspricht und

zwar derart, dass f.f”’ stets vom Negativen zum Positiven übertritt.

Wir zeigen nun: Hat f= 0 keine vielfachen Wurzeln, dann

Netto Algebra, I,

16

{

242

Neunzehnte Vorlesung $ 213—214.

bilden die bei der Aufsuchung des grössten gemeinsamen

Theilers von f und f‘ erhaltenen Functionen des Schemas

f

=f,.(/1

f2)

(4)

i

eine Sturm’sche Reihe, derart dass der Verlust an Zeichen-

wechseln beim Uebergange von

r

f(zl)7 f’(2'1>, f2(21); SR f,(ß’l)

ZuU

f(2.2)‚ f’(.2'2)‚ f3('%); LE fl('z2)

©

2

die genaue Anzahl der zwischen

„ und % (>2,) enthaltenen

Wurzeln yon / 0 Liefert.

Denn erstens ist f eine Constante,

weil f und f” keinen gemeinsamen Theiler haben, wenn f= 0

keine vielfachen Wurzeln besitzt.

Ferner können fz>z und fz+1 nicht

gleichzeitig verschwinden, weil sonst infolge des Schemas auch

f2+2)

. fr Null wären.

Drittens liefert f7(&) = 0 die Beziehung

fı—ıl®= — fa+1(E), so dass die benachbarten Glieder links und

rechts entgegengesetzte Vorzeichen haben.

Viertens geht f.f”’ stets

vom Negativen durch Null zum Positiven, wenn das Argument eine

Wurzel von. / == 0 passırt.

Zu diesem T’heoreme sind noch mehrere Bemerkungen zu machen.

I) Jede der Funetionen /„ kann mit einem constanten, positiven

Factor multipliceirt oder durch einen solchen dividirt werden; denn die

Wirkung des Theorems hängt einzig von den Vorzeichen der Func-

tionen ab. Man kann die hierdurch erlangte Freiheit dazu benutzen,

die vorkommenden Dividenden mit passenden Constanten zu multipli-

ciren, um in den Quotienten und in den Resten Brüche zu vermeliden.

Ebenso kann man constante, positive Factoren sämmtlicher Coeffi-

cienten. eines /„ einfach unterdrücken.

II) Der Beweis macht keinen Gebrauch davon, dass f eine Con-

stante ist; es reicht aus, wenn f zwischen den Grenzen 2, und 2, das

Vorzeichen nicht ändert.

Bietet daher im Intervalle (z,,

%) schon

ein früheres f} keinen Zeichenwechsel, so darf man mit ıhm die

Sturm’sche Reihe abbrechen.

III) Es kann vorkommen, dass für einen der Grenzwerthe 2,, %,

eine oder mehrere der Functionen zu Null werden.

Sind dies mittlere

Glieder, dann nimmt man zunächst 2, + 0 statt z, und z -} 0 statt z,,

wobei

O hinreichend klein zu wählen

ıst

Wir sahen, dass für

fa(z‚)=0

sowohl f/&—ıl(2, — 0),

fa (£1 Sa} ö))

fa+l ('€1 T ö) wie

Das Sturm’sche Theorem.

243

fa—ıle, + 0), fa(zı + 0), fa+ı(2&, + 0) einen Wechsel bieten, da die

äusseren Glieder ihn bereits liefern.

Dasselbe findeß bei /x_ı(2,),

fa-+ı(2,) statt; man braucht sonach auf das Verschwinden von fx(z,)

gar keine Rücksicht beim Zählen der W zu nehmen.

Gleiches gilt

von der: oberen Grenze %.

Ist das verschwindende Glied das erste, f(z) selbst, dann bieten

f(@&, — 0), F' (e, — 0) sowie f (& — 0), f (% — d) einen Wechsel,

f (& +0), F'(@ +0)

”

f(% +0), f (& + 0) eine Folge,

wie wir bewiesen haben. Es kommt also darauf an, ob wır die Grenz-

werthe z,, z als Wurzeln des Intervalls mitrechnen wollen oder nicht;

im ersten Falle ist bei z, das verschwindende sgn f(z,) durch

— sgn f'(z,), und bei z, das verschwindende sgn f(z,) durch sgn f (z,)

zu ersetzen; im zweiten Falle muss + sgnf’(z,) statt sgn f(z,) = 0

genommen werden, und — sgn f’(z,) statt sgn f (2) = 0.

IV) Man kann das Sturm’sche Theorem in gewisser Weise auch

auf Gleichungen mıt mehrfachen Wurzeln ausdehnen. Der Verlust an

Wechseln giebt auch dabei die Anzahl der zwischen den Grenzen

vorhandenen Wurzeln; nur wird jede vielfache Wurzel als einfache

gerechnet werden. Bei dem Schema (4) wird nämlich f,. der grösste

gemeinsame Theiler von f und f und damit auch von f;, fa

fa

Bezeichnen wr e DE = D ( — D SO hat

p =0 dieselben Wurzeln wie f= 0, nur jede in der Multiplici-

tät 1, und

—

al

P, Pı> Pa, Pz,

(P‚

geben eine zu @ gehörige Sturm’sche Reihe, wie sofort zu sehen ist.

Die Zeichenabzählung giebt also hier das genaue Resultat. Die W

und die ’ ändern sich aber ihrer Zahl nach nicht, wenn jede Function

der Reihe mit demselben Factor f. multiplieirt ist. Damit ist die

eben ausgesprochene Bemerkung bewiesen.

$ 214. Wir wollen den Sturm’schen Satz auf einige Beispiele

anwenden.

EKs sei

f=# + —32 —— 4,

dann wird die Reihe der Funetionen (4) durch

16f — 42 EDE 3:

fF=42 +32 — 62—1;

81f' = (862 + 19) f — 160f;

h=92 +22+21;

C E

I3 = 82 3

U

gegeben, und man erhält die Tabelle

16*

244

Neunzehnte Vorlesung $

214—216

sgn

1 l

f3

1'

2

HE, ©)

O8

E

+

2W

m:

+

+

Z’ W

8 = + co

+

+

+

D

aus der zu ersehen ist, dass f== 0 eine positive, eine negative und

zwei imaginäre Wurzeln besitzt

Setzt man der Reihe nach 2 —

3,

SE}

—1, 0, +1, +2, so folgt die Tabelle

on

7

f

1

I5

/

B=3

+

An

2W—3

Z

E

AA

2W= 2

8= —1

2Wu2

D

+

2W 2

D —

A

0

+ + + + +

+

ZW—2

2=+2

+

+

+

_.|..

ZW_1

welche uns zeigt

dass die negative Wurzel

zwischen —3 und —2

die positive zwischen +1 und +2 liegt

Da

188

h=(80+3) +

©)

ist, so hätte man bei , die Rechnung abbrechen können ($ 213, II)

Aus der Descartes’schen Regel würde folgen, dass eine positive und

höchstens drei negative Wurzeln vorhanden sind. Die Newton’sche

Regel viebt die Existenz von höchstens zwei reellen Wurzeln an

$ 215

Wir wollen nun mit Hülfe des Sturm’schen Satzes all-

vemein die Realitätsfragen der Wurzeln bei den Gleichungen zweıten

dritten und vierten Grades behandeln

Für

f'_‘Z +9a.4+1)

erhält man die Funetionen und die Zeichentabelle

‚f__

+ @,

== @

sgn

f

f

12

2 = — 0O

_|_.

5

sgn(a ——b)+ a

sgn (d—b) | X W=1+)

B =

0

sgn b

sgn @ sgn (a* — b)

sgn (a* — b) — 1

— - 00

+

+

sgn (a*—b) 2]V -

2

Das Sturm’sche Theorem.

245

Die Anzahl der reellen Wurzeln ist mithin

( CN

+€gn(cﬁ—b)—l

2

= 1 + sgn (a* — b)

d. h. gleich zwei, wenn (a* — b)>0, und gleich Null, wenn (a? — bd)<0

ıst

Man erkennt ferner, dass im ersten Falle bei

Z

Ö >0 zwei negatiye Wurzeln

@Z

b>0 zwei positive Wurzeln

Z

Ö

0

DE

Ö

©

}eine positive und eine negative Wurzel

auftreten.

S 216.

Weiter sei

f=# + 3a4# + 302 + az.

Dann ist die Funetionenreihe (4)

’;15‚f/='22+2a15+(‘27

HE ED

A3);,

s = — 4a @; - 3aa - 6a.0,a, — 4a — ;132 = /

2

und man erhält die Tabelle

San

f

f/

f3

f3

—

Z

S

+

— en(@ — a) SEn D

——

SEN As

San A,

ä

SEn (d, 0, — As)

sgn D

+ ©

+

+

Sgn (a,” — d)

sgn D

Dies giebt für

a12—a2>03 DE

A, —0, >0 D<0

Z 2W=3

A

3R

S

a12—’a2<05 DE

0, 4, 0 DZO

A

2 u

R e

3R - Er

Für ‚D < 0 erhält, man sonach stets. nur eine reelle Wﬁrzel. Für

D>0 und a,” — a, >0 sind drei reelle Wurzeln vorhanden.

Nach

unserer T’heorie ist das Eintreten des Falles (a,? — ) zZ0 DD

unmöglich, da ja sonst beim Uebergange vom kleineren Werthe

246

Neunzehnte Vorlesung 8 216—217.

2 = — 00 zum grösseren Werthe z

+ co ein W gewonnen werden

würde. Das kann man auch leicht auf directem Wege einsehen. Es

ist nämlich

(5)

W — B — a — @Qa —d A

und daraus folgt, dass für (a,” — a,) < 0 der Werth von D nicht po-

sitiv sein kann.

Auch über die Vorzeichen der Wurzeln geben uns

Sgn Az, SEN A,, Sgn (“1 Q, — Q3)

vermöge der obigen Tabellen Auskunft.

Ist zuerst D< O, dann zeigt

die erste Spalte der ersten Tabelle, dass die eine vorhandene Wurzel

positiv, Null oder negatiy wird, jenachdem sgn a; negativ, Null oder

positiv ist.

Für positive D, also bei drei reellen Wurzeln sind die

aus dem Descartes’schen Satze abgeleiteten Criterien ($ 197) ein-

facher als die hier auftretenden; dort zeigt sich, dass f(z) = 0 so viele

positiyen Wurzeln hat, als

1

f

SEn A;, SEN A, SEN Az

@— )

Wechsel aufweist; hier tritt an die Stelle dieser Reihe

1, 82n (@,0 — 05), SEN @,, SEH a

D>0)

Für sgn a

S

— 1 ist die Uebereinstimmung klar, weil dabei die drei

ersten Elemente stets ein W und ein F liefern; für sgn q& = + 1

ergiebt sie sich aus der Annahme

(6) D=- - 40, (a — a,) — (a,0, az) F 4a (0,0, — az)(e, — a)>0;

denn die beiden ersten Glieder rechts sind negativ, und das dritte

Glied hat (vgl. (5)) das Vorzeichen von a,(a,a,

@;); somit folgt

bei D>0, dass sgn a, = sgn (a,a, — as) wird. —

Gleiche Wurzeln kann f= 0 nur besitzen, wenn f und f’ einen

Dann fällt._in

gemeinsamen Theiler haben und also D verschwindet.

den obigen Tabellen die letzte Spalte fort, und aus (5) erkennt man,

dass (a,” — a,) nicht negatıy sein kann.

Ist (a,” — &) = 0, dann

folgt aus (5), dass a,”= ag wird, und dann haben wir drei gleiche

Wurzeln.

C A O icht e eme Nemfache undı (eine

Doppelwurzel.

In diesem Falle ist wegen (6) wieder sgn (a,a, — a;)

= sgn a, und die Reihe”

SN Az, SEN A, SEN A,

giebt über die Vertheilung der Wurzeln Aufschluss,

Endlich behandeln wir auch noch die Gleichung vierten

&$ 217.

Grades in der durch Fortschaffung des Gliedes mıt z° vereinfachten

Form

f= + 6a2 + 4a4;2 + 304.

Das Sturm’sche Theorem,

247

Es wird hierbei

A

a S m y — —

—_

f

— (3a — Ay0, + As?) 2 — (a,”Az + Aza,),

z

AL

1'

9a,*0, — 20°a — 6a°a + 60,0;" 0, — Az* + Av?

Z C E,

wobei in der letzten Gleichung zur Abkürzung

3

UZ 0y A JE Da -

Die Tabelle nimmt die Form an

gesetzt ist.

sgn

)

K

>

f3

I

CO

.+.

— sgn @ + sgn (3a,* — a,A, + as?) sgn (I* — J?)

+ o

+ +

—n —CO a U

Man erkennt sofort, dass, wenn /° — J”“ negativ ist, zwei reelle und

zwei complexe Wurzeln vorkommen, wie auch immer die übrigen

Zeichen vertheilt sind. Nur ıst hier zu beachten, dass der Fall

(

a 0, Da O RT O

nicht eintreien kann, da er eine Zunahme der W bei steigendem

Argumente bedingen würde.

Das lässt sich leicht, auch unabhängig

von der behandelten "Theorıe einsehen.

Denn zunächst folgt sofort

aus den ersten beiden Ungleichungen in (7), dass a, >0 ist, und

daraus, wegen

fı = A, (3a — ay)* + 16a7a + 5a;* + 6az?(a,a, — 3a — as;?),

dass bei f; <O die Klammer des letzten Gliedes negativ sein muss.

Das widerspricht aber den Festsetzungen in (7).

Ist (7°— J*) positiv, dann giebt es nur in dem Falle

(8)

sgn a = — 1, sgn (3 — aa + as’)= — 1

vier reelle, sonst aber vier complexe Wurzeln. Schon bei den Gleichungen

dritten Grades machten wir darauf aufmerksam, dass die Sturm’sche

Methode zwar stets die charakteristischen Bedingungen giebt, diese

aber durchaus nicht immer in der einfachsten Form. liefert.

So _ ist

es auch hier: man kann die obigen Bedingungen durch die einfacheren

(8°)

sgn a = — 1, sgn (3a — a.)= + 1

R — J> 0)

ersetzen. Dass (8*) aus (8) folgt, ist gemäss

3,° — 204 + Az? <O- d. h.

A (30,” — Ay) <— a

ohne Weiteres einzusehen.

Dass aber auch umgekehrt (8) aus (8%)

geschlossen werden kann, lässt sich folgendermassen zeigen.

248

Neunzehnte Vorlesung 8 217—218

Wir setzen der Abkürzung halber die Bezeichnung

v = A(A — 30,?) — A

in den Ausdruck für f, ein; dabei entsteht

aA’ı >0° + 3(0* + ap?) 0? + Ba (as? + 4, G a

und wir haben nachzuweisen, dass bei negativem 4, negatıver linken

Seite und positivem (3a,? ——al) der Werth von v positiv sein muss.

Die Sturm’sche Zeichenreihe der Gleichung dritten Grades

Z

G 4 2a ) O ala - Aa °): z0

ergilebt, für unsere Zwecke in Tabellenform geschrieben

San

Pı

P

P

8R @

+

+

— sgn (a;? + 4a,°)

©

+

sgn (a;° + 4a,°)

sgn (a;* + 4a,°)

A

sgn (as” + 4a,?)

+ co

+

+

+

— sgn (a;* + 4a,?)

Aus ihr geht hervor

dass bei beliebigem positiven

oder

negatıvyen

Werthe von sgn (a;” + 4a,?) die Gleichung g = 0 stets eine und nur

eine negatıve Wurzel hat

Diese ist kleiner

als

s

denn für

D = — Q

erhält man schon

wie auch für v= 0

etwas Positives

nämlich

P (03°) = — A* A* + 160a

(a <0)

Es kamnn also für negative v die Funetion g = a,°f, zwar auch negativ

werden, aber dabei ist

ÖE

—0, (3a

Ü Z

A (3a — a) >0

SC

Z

und diese letzte Ungleichung widerspricht der zweiten Voraussetzung

n 8

Soll dies vermieden werden, dann muss man bei negativem &@

v = A (04 — 30°) — a? >0

30

— @904 F Ag <O0

wählen, was mit (7) übereinstimmt

$ 218. Von diesen Beispielen gehen wir wieder zu allgemeinen

Betrachtungen über

In der sechsten Vorlesung hatten wir bei der Theorie des grössten

gemeinsamen Theilers das Schema aufgestellt

f"'fl./1—f;

z

[f’] RI

(4)

S f292

fa

[9ı]= %,

[92] = 22 — —1,

CN H )

fr—z—fr—lgr—l

fı

frı flr

Das Sturm’sche Theorem

249

Daraus fanden wir ($ 62, $ 64)

(9)

fl . f11/J/1_1 a f<m_x,

[2]= , [pı]= n

Yı

(10)

Yrı z V

Oa AA ( i

Hier, bei der Aufstellung der Sturm’schen Reihen, können wir f von

vielfachen Factoren befreit und ohne gemeinsamen Theiler mit f'= f

denken

Dann wird %- = ” und f eine Constante

Durch %;,_ , ist @_1, und fı auf rationalem Wege eindeutig be-

stimmt; denn @21 1st der Quotient und f der Rest bei der Division

yon fi%,-1 durch f. Nach $ 74 haben fz und %;_ , keinen gemein-

samen Theiler; folglich haben auch f und %2_1 keinen solchen

Wenn nun, in seine % linearen Factoren aufgelöst

(11)

f ()

A

(z — a) (z — b)

@DE

ist, und man setzt in den aus (9) folgenden Bruch

l‘‚()

‘P)_1(

(12)

‚o

f1('°)

/©;

für

R

A

ämmtliche »” Werthe a

Ö

2

q, t ein, die der Annahme nach

von einander und von den Wurzeln der Gleichung %2 _ı = 0 ver-

schieden sind, dann entsteht die Gleichungsreihe

f;( )

_ f,©®)

f1

(18)

f

(a @ )! D

(IJ —fl(b)7

Bestimmen wir daher durch die Cauchy’sche Inte1polatwnsformel

($ 42) einen Bruch

z @)

2

(2)°

Yı_ı]= m_4 H1 = n —1,

der den % Bedingungen

z (a@)

t)

LEA

1 (@)

_f1( );

w

f;(b)) E

C

_f1(t)

genügt, so erkennen wir aus (13)‚ dass es einen solchen Bruch wirk-

lich giebt, und da der Nenner durch die Cauchy’sche Formel ein-

deutig

bestimmt _ ist

und %_1 mit fz keinen gemeinsamen Theiler

besitzt, dass sich der Grad des Zählers y(z) auf

s

@— 1 m_ ı) — (n — m— ı) — 1)

d. h. um (n — n2—1) — 1 EBinheiten der Forderung Uegenub(&r reducirt.

Wir wenden nun die Formel wirklich an.

Es stehe in der Reihe

G

(14)

© 0n 00

kl

P, d,

die Wurzel %A an der (n , + 1)%en Stelle; dann wird, von einem con-

250

Neunzehnte Vorlesung 8 218—220,

stanten Factor abgesehen, „(z)= fı(2) gleich der symmetrischen

Funetion

W 2 C065

7)

(a

Öl I —d @— 9}

und in gleicher Weise ist, von demselben constanten Factor abgesehen,

%— 1 gleich der Function

(a — z) 6 — 2%) : (g — z)

CZ O O = I

$ 219. Macht man, wie es oben geschehen ist, die Voraus-

wesentlich. Man hat nämlich

setzung f, = f”, dann vereinfachen sich die Ausdrücke (15), (15®) noch

/"(a)=[&a—b)---(a—h)]-[(a——i)-‘-(a—t)],

0a A

MO G —'?7) éh.— %)]‚.

und daher folgt, was in (15) und (15°®) einzutragen ist,

OO CO OD

‚a —D (a —O1 —D —01

OO O ON OT:

‚[(a—%) (a —D] g—) - (g —D,

T ==

1

2

OS O = ; nı M_ı — 1).

Berücksichtigt man das Vorzeichen des Zählers in (15*®), dann ent-

stehen, wenn man den noch unbekannten constanten Factor mit —

bezeichnet, die vereinfachten Darstellungen

2

MOa OLG ,

(16)

ıl >3 Sla —D ( —e —d ( —.

Es wurde schon vorher erwähnt, dass fz sich auf den Grad (n — n)

reducirt, so dass auf der rechten Seite der ersten Gleichung in (16)

die ersten (nz — nı-1) — 1 Coefficienten bei der Entwickelung nach

fallenden Potenzen von z verschwinden.

Zu der Berechnung von w‚ benutzen wir den Satz aus $ 66,

demzufolge der höchste Coefficient in allen f;- w gleich 1 zu setzen

ıst

Wenn in der Reihe (14) die Wurzel / an der n;*" Stelle steht,

dann ist der Coefficient von 2#"—-" für

Das Sturm’sche Theorem.

Zl

- - 0

gleich

(a—d) .. (g— W S’(@- j k -1) : (— 1a

D

wobei S’ sich auf alle Permutationen der Wurzeln %, j,

g,

bezieht; und daher ist in f} der höchste Coefficient, nämlich auch

der Coefficient von 2"—-"2 gleich

z U

C

.. k, U sind (n; — m_1 — 1) Wurzeln).

Bezeichnen wir also

(17) Dı-ı= S[(a — b)? ... (e — g)*]; (a, - g sind 221 Wurzeln),

ül Ua — 0© —W CD

(a, : h sind (nz_1 + 1) Wurzeln; a, --- 7 sind nz Wurzeln),

dann werden die Entwickelungen von fz, %,_1 und , beginnen:

fil@) = S maM + 3

Yırı = $; w m71;1 (

und der höchste Coefficient von fı(z)w,(z) ergiebt nach S& 66 die

Gleichungen

V

1

7

On @pa —NC

O

Der Ausdruck (16) liefert für fi(2) =f'(e) den Werth w, = 1. _ Dem-

nach wird schliesslich die Reihe der Factoren ,

(

d

BA (Dı 9ı) (D3Q3)

1, ®, C

R =

Dı}

4

(D ds)

?

(18)

5

(Dr Q2) (P4dı)

6

__ (Pı9ı) (Dsgs3) (DsAs)

?

7 Na

(D Qs) (D4da)

Man erkennt leicht, dass , =n, q, =n, und also

O =—= N

2

2

wird.

$ 220. In dem sogenannten regulären Falle, in welchem jede

Differenz

U

Factoren

d. h. jedes gı vom ersten Grade wird, verschwinden in (17) bei q die

(_ 1)nl—n;__l—l

und (%.j...k-1)

und man érhält Pı=Qı. Dadurch ergeben sich die Formeln

252

Neunzehnte Vorlesung 8 220 —222,

K OR HC

f =S(@—b) @ — c) - (2—0D),

(19)

h= z Sa-Y@-— 0 —0,

13

> z S(a—b) (a— 0 6—0 (z—d)

A

fn

F £„ @0 @= 0 (a — t)* (b—e)?... @in

Dr

VQ

(20)

0, =Yı', 0 = (

] mk

n

K

Z

(

Da Pa

}

D

VOWZ

(21)

ı =N, % = S(a — )? V S(a——b)%a-— C)Ü(Ö—C)2, 43

sie stammen von Sylvester, der sie im Jahre 1839 im „Philosophical

Magazine“ veröffentlichte; Sturm gab den ersten Beweis im Jahre 1842

im 7 Bande des „Journal de Math&matiques pures et appliquees“ *).

$ 221. Die Funetionen p sind symmetrische, ganze Funetionen

der Wurzeln von f(z)= 0 und folglich durch die Coefficienten von

/ als rationale, ganze Functionen darstellbar. Wir wollen die Ausdrücke

der p durch die Potenzsummen s =n, S, = S(2), & = S,

ableiten.

Zunächst geht nach bekannten Formeln sofort

O ON

in die Funetion der Wurzeln

]l

i

ıl

Ö

h

Dı=S

b2

f

(die Zahl der Wurzeln a, d, - h ist 1)

G

SE

über. Derselbe Ausdruck entsteht bei der Composition der Determi-

nanten des defectiven Systems

L

1

D

2—1

il

1

S

()

(27

Ö

A

F

S&

\

m

(7

2

b'2

?Z—1

t2

»

’

Q}.—1

(;/l —--1 ljl»—.1

QÄ—.-1 .tl——1

ı

*+ D

SS

2

t1—1

und somit ist pı in der Form einer Determinante

* Vgl. auch: Sylvester, On a theory of the syzygetic relations etc.

Philosophical Transactions of the Royal Society of London. (1853), V, S. 143.

Das Sturm’sche Theorem

253

59

Sı

MEn

(22)

B

Sı

Sa

S52

SSS

S2i—2

darstellbar

Es bleibt noch übrig, diese Determinanten (22) mit den

Elementen s in solche mit den Elementen c, welche die Coeffieienten

der Gleichung

A

+ =0

bilden

umzuwandeln

Die Methode

hierzu haben

WIr

bereits

In

$ 121 so ausführlich dargele

dass

es genügt, das Resultat anzu-

geben

141

Es entsteht dabei (vgl

und 8& 161)

@i

ı = (—1)

2

2

C

C

/

C

(2—1 Zeilen)

ä

0

(22°)

(n— 1)cl (n— 2)cg

Nn

@— U)e,

(A Zeilen)

SS S

N

2

MI

S

Sind _ die Coefﬁmenten der Glemhunt>‘ 7 = 0 reell, dann

werden die p rationale Grössen, und gemäss (20) die @ stets positiv

Bei der Anwendung des Sturm schen Satzes auf die Reihe (19) kann

man daher alle Coefficienten o unterdrücken

Handelt es sich um die Frage, wieviel reelle Wurzeln eine Gleichung

besitzt, dann sind die Grenzen z, und z,

leich —co und +co zu

nehmen, so dass für die Feststellung der Vorzeichen nur die höchsten

Coefficienten der Funetionen f in Frage kommen

Diese bilden, wie

aus (19) nach Unterdrückung der @ sich ergiebt, die Reihe

1 JOrn Mn Ma

Pn,

und somit hängt die Entscheidung von den Vorzeichen der Reihen

D

("“ 1>”; D ('“ 1)n—l; p2(_ 1)"_27 p3(— 1)"—3

Pn

1

(ID)

?

V

V

Ps3,

Dn

ab. Jedem Wechsel in (II) entspricht eine Folge in (I)‚ jeder Folge

in (II) ein Wechsel in (I)

Bezeichnen wir mit

> W und

JE

die Anzahlen der Wechsel und der Folgen in (IT), so dass

2F —|—Z M=

ıst

dann giebt

F die Anzahl der Wechsel in (I) an, und

Z W

254

Neunzehnte Vorlesung $ 222—294,

den Verlust der Wechsel beim Uebergange von 72 = — 0 zu 2= + SS

d. h. die Gesammtzahl der reellen Wurzeln.

Durch Subtraection der

letzten von der vorletzten Gleichung ergiebt sich

22 W=n—0

als Anzahl der compleken Wurzeln, d. h.: Die Anzahl der Paare

conjugirt complexer Wurzeln von f(z)=0 ist im regulären

Falle gleich der Anzahl der Zeichenwechsel in

M D

29

° Dn

wobei

Dı = S[(zl > Z._,)2 (Z;__1 F Z/1)2] — Su-+r

(!'“;”=O‚ 17"'Ä_1)

bedeutet *).

f(z)=0 hat dann und nur dann lauter reelle

Wurzeln, wenn die Reihe der p lediglich positive Glieder

besitzt.

Mehr als

2

n Zeichenwechsel können in der Reihe

der

Y

Mıch auftrelen.

Die Kormel 2 2rebt dıe Dar-

stellung der pz als explicite Functionen der Coefficienten

der Gl un C = 0

8 223.

Wir wollen den Sturm’schen Satz noch durch andere

Betrachtungen herleiten, welche geeignet sind, über seine Natur tiefer-

gehende Aufklärungen zu geben*#*).

Wenn der Bruch f,(2):f(z) bei stetig wachsendem z mit Zeichen-

änderung durch © geht, so kann dieser Wechsel vom Negativen zum

Positiven oder im umgekehrten Sinne stattfinden.

Wir geben durch

die ganze, positive Zahl / an, wie oft das HErste auf der Strecke

(&

Z) stattfindet, und durch die ganze, positive Zahl 7, wie oft

auf der gleichen Strecke das Zweite eintritt; die Differenz

BE=l—- V

nennen wır den zu f,:f gehörigen Kxcess für (%,,

%) — Der

Kinfachheit halber wollen wir dabei voraussetzen, dass f und f, nicht

an denselben Punkten des Intervalls. verschwinden.

Es ist klar, dass der Kxcess von cfi(z): f(z) sich von dem Excesse

des Bruches fi(£):/(z) nur durch den Factor sgn c unterscheidet, so

dass insbesondere der Excess von (—f,(z)) :f(z) gleich dem negatıyen

Werthe desjenigen von fi(g): f(z) wird.

*) Vgl. Sylvester, l. c.; Borchardt, Werke S. 17—30; Cayley, J. d. M.

- e a 1846 Bı AL S IN

**) Moigno, Note sur la determination ete.

JOrn d M p a 5 S OL,

Das Sturm’sche Theorem

255

Wir wollen die Beziehungen zwischen den Excessen

E von

F (@)

und X” von

/(2)

LA

(1

)

F@)?

FA

untersuchen

Wechselt f, : f innerhalb (z,

Z2) sein Zeichen, so ver-

schwindet dabei entweder f, oder f, d. h. entweder X oder ’ markirt

eine positive oder negative KEinheit

E+ HE giebt daher an, wie-

viel Male häufiger fi:f auf der Strecke (2;

2,) bei einer Zeichen-

änderung vom Negativen ins Positive, als vom Positiven ins Negative

übertritt

Haben die beiden Grenzwerthe des betrachteten Bruches, nämlich

fı (%)

/l gzl)

dasselbe Zeichen, so ist dieser eben erwähnte Ueberschuss

HE 7

gleich Null‚ ist der erste der Brüche negativ und der zweite positiv,

so wird der Ueberschuss = + 1

ist dagegen der erste positiv und

der zweite negativ, so wird der Ueberschuss = — 1

Man hat daher

die Formel

(23)

E+HEHE= s

SN Z

f (@) 7‘] (&)

= 1

d}

(s = 0, wenn

f(@)

f'(%)

fı (1)

fı (Z2)

&= -4- 1, wenn sgr

= sgn %

zn

f(z)

f Z

f1 ('°2)

&= — 1, wenn sgn

f (@)

Z

sgn —

HON

!)

$ 224. Nun nehmen wir an, dass f} von geringerem Grade sei,

als f und bilden wie gewöhnlich, nach dem Algorithmus des grössten

gemeinsamen Theilers,

(24)

f=fi9ı

f27 f1 —'fag‘)

f:

fr 1_f9r,

ferner bezeichnen wir die Excesse der einzelnen Brüche

(,(@)

1 (2)

f3(@)

f (2)

K

(für (2,

%))

r 1(Z)

der Reihe nach mit

JG E1} E2?

ET——])

die zur Reihe der reciproken Brüche gehörigen Excesse mit

SA

E;—l;

und die gemäss (23) definirten, zu dem Zähler und Nenner der Brüche

gehörigen & mit

S Ei,

&3,

pl

Aus der Gleichune

Z

> J4+1 —

2+2

Üa

A

256

Neunzehnte Vorlesung 8 224—225.

ersieht man, dass E;, d. h. der Excess von

!2+

, gleich dem nega-

tiven EXC€SS@ Yon

+2

A

also = — E SE

Daraus ergiebt sich dann

I9 =_Ei.’+ £;.=£1+E1+1‚

und wenn man diese Gleichungen für 2=0,1,-..r— summirt,

BE=e +F& +& 47 E &_ ELr

Weiter f'olgt aus L Z da Z A irsich auf dre ganze

e

Bunehon

— bezieht und deshalb den Werth 0 hatı dass Zrı = 6,ı

f

7

wird; und soerlangt man die Formel

]9‘=5+'51+%+"'+£;--2+&«—1-

Wenn nun bei den beiden Ausdrücken

und

sgn fz—1(2,), Sgn f2(@,)

sgn f2_1(%), sgn fı(2)

gleichzeitig eine Folge oder gleichzeitig ein Wechsel eintritt, so ist

nach der Formel (283) &)_1 ==0; wird in der zweiten Zeile gegen. die

erste ein Wechsel gewonnen oder verloren, so ist &_1

——

.

— 1 _ oder

Z

Daher ist X gleich dem Ueberschusse der Zeichen-

wechsel in der Reihe

SEA

sgn f„(&,)

egen die ın der Reihe

sgn f(22)> sgn f1 (22)7 x

sgn f7(%),

@O s istder Kxecess

E — X W(e) — D W@).

Benutzt man jetzt den früher bewiesenen Satz, dass f’:f beim

Passiren einer Wurzel der Gleichung f = 0 von beliebiger Multiphicität

stets vom Negativen ins Positive übertritt und setzt man voraus, dass

f und f keinen gemeinsamen Theiler haben, so fällt bei der An-

nahme fi = f die Zahl.l‘ in. &. = ( — 0/) ganz fort, und / wird die

Anzahl der zwischen z, und %, liegenden Wurzeln von f=0, d. h.

wir gelangen wieder zu der, den Sturm’schen Satz darstellenden

Formel

(26°)

Z(8, %) < Me) D We):

Das Sturm’sche Theovem.

257

D,

x

&$ 22

Der hier benutzte Begriff des Excesses wurde bereits

im $ 31 eingeführt und verwerthet. Wir fanden ($ 32) den Cauchy’-

schen. Satz: Durchläuft z eine einfache geschlossene Curve C,

auf welcher kein Wurzelpunkt von f(%2)= ulx, y) + iv(x, y)

liegt, derart, dass das Innere stets zur Linken bleibt, und

geht dabei der Quotient % bei einem vollständigen Umlaufe

m' mal vom Positiven durch © zum Negativen und m mal

vom Negativen durch co zum Positiven über, dann giebt die

Differenz (m — m) die doppelte Anzahl der innerhalb C ge-

legenen Wurzeln, jede in ihrer gehörigen Multiplicıtät ge-

zählt. (Die Richtigkeit der leichten Umformung dieses Satzes gegen

den in $ 32 ausgesprochenen ist sofort einzusehen.)

Man wird nun infolge der übereinstimmenden Benutzung des

Kxeesses in beiden Fällen zu der Vermuthung getrieben, der Sturm’-

sche Satz lasse sich durch Vermittelung von (26%) als Corollar des

Cauchy’schen Theorems auffassen. Dies ist, wie wir jetzt zeigen wollen

Z

auch wirklich der Fall.

Die Gleichung f(z)= 0 soll hierbei keine

vielfachen Wurzeln besitzen.

g

ME

S

(w,0)

(-\'‚;_5)

AA

27

Il

E

(x,,&)

L

(& Ö)

21

Wir wählen die Curve C als Rechteck mit den Ecken (x,, — 0),

(@,

0), (%, + 0), (%,, + 0), wobei @ positiv und beliebig klein,

jedenfalls so klein angenommen wird, dass innerhalb des Rechtecks

nur reelle Wurzeln von f= 0 liegen. Ferner soll weder 2 nOCh z

ein Wurzelpunkt von f=0 sein.

Wollen wir auf dieses € den

Cauchy’schen Satz anwenden, so ist

@ +i)=u + (L @+ -l @A

zu setzen.

Tragen wir hier y= 0 ein und ziehen nur Werthe von

d in Betracht, die hinlänglich klein sind, dann kann man bei der

Peststellung der Differenz (m’ — m) statt des Bruches

(27)

CO

DV

den Bruch

Öf' (@)

u(x, 0)

f (@)

einsetzen. Denn zuerst stimmen überall da, wo weder f noch f ver-

schwindet, die Zeichen beider Brüche überein.

Verschwindet ferner

f'(@) in %e, dann können wir eine hinlänglich kleine Strecke

(Xa - Xg - %y) festlegen, innerhalb deren f(x) nicht Null wird, und

Netto, Algebra. I.

17

258

Neunzehnte Vorlesung 8 225—226.

in deren Endpunkten beide Brüche (27) jedesmal in den Zeichen

übereinstimmen.

Ein Beitrag zu (m'—m) wird weder vom einen

noch vom andern Bruche geliefert, und deshalb ist eine solche Strecke

einflusslos. Wenn endlich f(z) in Xg verschwindet, dann können wir

eine hinlänglich kleine Strecke (xz - XB : Xy) festlegen, innerhalb

deren f’(x) nicht Null wird, und in deren KEndpunkten beide Brüche

(27) jedesmal in den Zeichen übereinstimmen.

Der zweite Bruch

ändert dabei, den Werth co passirend, sein Vorzeichen einmal und

liefert deshalb eine positive oder eine negative Einheit als Beitrag zu

dem Werthe (m’— m).

Der erste Bruch könnte auf der gleichen

Strecke, den Werth co passirend, zwar mehrfach sein Vorzeichen

ändern und somit mehrere Einheiten als Beitrag zu (m’' — m) liefern

2

da aber die Zeichen der Brüche (27) an den Intervyallgrenzen jedesmal

übereinstimmen, so stimmt die Summe dieser Einheiten mit der vom

zweiten der Brüche gelieferten überein, und beide geben deshalb auch

hier denselben Beitrag zu dem Gesammtwerthe von (m’ — m).

Nach dem Cauchy’schen Theoreme sind jetzt also die Werthe

von

öf' (@)

f (@)

auf den vier geradlinigen Strecken

[(.’»C„ n ö) RS (.CU.„ c ö)])

[(%‘2‚ S ö) S (.’122, +’ö)l;

[(x2; + ö) (:C„ an ö)];

C O

zu verfolgen.

Für beide rechts stehenden Strecken erhalten wir bei

constantem x und veränderlichem ö den Beitrag Null zu (m’— m), da

f(x) im einer beliebig kleinen aber endlichen Umgebung von (x,, 0)

und (x,, 0) nicht verschwindet. Wir wollen nun einen Punkt x be-

trachtén‚ für den f(x;)= 0 wird, etwa derart, dass f(x) bei wach-

senden x vom Negativen zum Positiven übergeht.

Dann wird, da ö

positiv ist,

A

bei wachsendem &x

f (@)

vom Positiven durch ©& zum Negativen

+öf @)

BA

‚f (@)

bei abnehmendem &x

gehen.

Folglich liefern bei der vorgeschriebenen Umlaufsrichtung um

C die Punkte E&g und E; (vgl. die Figur) denselben Beitrag zum Werthe

von (m’ — m). Also jedesmal, wenn bei wachsendem x zwischen w;,

baa un

Positiven

f (@)

Negativen

m' —m

positive

f@)

* Positiven “ Negativen

geht, bekommt

Kn 72„‚

negative

Das Sturm’sche Theorem

259

Einheit als Zuwachs

Deshalb iıst

(m' — m) gleich dem HEx-

Cesse von

F

f (%)

für die Strecke (zx,

X), und es wird

W (&,) — W (%)

5 (m' — mMm) =

Dies giebt den Sturm’schen Satz als Corollar des Cauchy’schen

$ 226. Wir wollen andererseits den Begriff des Excesses dazu

benutzen, den Ausspruch des Cauchy’schen Satzes umzuformen

Gesetzt, es sei möglich u(x,y) und v(x,y) als rationale

ge

brochene Funetionen einer einzigen neuen Veränderlichen 4 etwa ın

der Form

p

Yı (t)

u(X, y) =

(t) $

v(X, y) =

x @)

darzustellen, derart, dass bei einem vollen Umlaufe von z um C von

irgend eimnem bestimmten Ausgangspunkte ab die Variable £ von €

IS © Jause

Dann wird jedesmal

wenn v:uw vom Positiven (Nega-

tiven) durch Unendlich zum Negativen (Positiven) übertritt, für @,

dasselbe geschehen

Demnach ist (m — m) gleich dem nega-

tıyen,Kxcesse von @, (*): p(t) auf der Strecke (f

4)

Das

Entsprechende gilt

wemnn € in eine endliche Anzahl von Theilen so

zerlegt werden kann, dass für einen jeden die gemachten Voraus-

etzungen über die Darstellung von w und w gelten

©

Ist nun in dem Bruche

@

der Grad von @, nicht grösser als

der yon @, dann können wir, wie oben gezeigt wurde, die Reihe des

Kuklid’schen Schemas

P (t)7

Yı (t);

P2 (Ü>

s (),

zur Herstellung des Excesses direct benutzen.

Ist dagegen [g,] > [g@], dann wenden wir die Formel (93) an,

dividiren , durch @ u. s. w. und haben wegen

E

Z

— E+e

zum positiven Kxcesse von —. noch den Werth von & zu addiren

1

Wir wollen diese Regel auf zwei Beispiele anwenden.

Ist € ein Kreis vom Radius R mit dem Centrum (@5, %), dann

können wir

1—#

x()+Rl‚_l_t.n y—‘/°_f—Rl+t-

setzen und, um die ganze Peripherie in positivem Sinne zu durch-

laufen, £ von — « bis + co gehen lassen. —

I

260

Neunzehnte Vorlesung $ 226 —227.

Zwanzigste Vorlesung 8 228.

Ist C ein Rechteck mit den Ecken

4= (x1? y1)7 5B= (x27 yl))

D

Al

CÜ= (x2; ?/2); D= (x1; ?/2>;

dann kann man für die Seite

AB setzen x

Z

SC1) t;

Z

Yı5

BC

”

.’‚ö'2,

y:

Ua E

CD

22

SS

D A @u l

y...:

Ya 5

}

DA

2

x=xl?

YY A ı — Ya)l

und jedesmal £ von 0 bis 1 gehen lassen. —

< 307

Zum Schlusse wollen wir noch das folgende Darboux’-

sche Theorem*) beweisen, welches bei den Realitätsuntersuchungen der

Wurzeln nach dem Sturm’schen Satze mitunter KErleichterungen

gewährt.

Wenn eine der Funectionen

D

; fr fr

f

f

der Sturm’schen Reihe von f, etwa fz, eine Gleichung

f (@)= 0

mit » complexen Wurzeln liefert, dann hat f(g)=0 min-

destens p complexe Wurzeln.

Wir wollen die zu (1) gehörige Differenz der Zeichenwechsel

2Z(— ) ——2Z(—{— SE

setzen; A ist dann die Anzahl der reellen Wurzeln von f(g) = 0.

Die Reihe

(1

fm fx—17

fr

ist eine verallgemeinerte Sturm’sche Reihe, da sie den Bedingungen

D ID I au S 210 sehuSt

Setzt man daher für sıe

D Z(— 0) — NZ+0)= A,

dann ist A’ höchstens gleich der Anzahl w der reellen Wurzeln von

O0

Offenbar ist, weil in den ersten (x + 1) Funetionen

niıcht mehr als x Wechsel verloren gehen können,

4<AM“ + x,

und also erhält man

vA

*) Nouy Annn (@) Ba _7 Sı

Das Hermite’sche Theorem

261

A

Al Z O

n—4zZzn-—k— W

Nun ist (n — 4) gleich der Anzahl 2J der complexen Wurzeln von

f(z) = 0; andererseits ist (n — x) höchstens gleich dem Grade von f,,

und also (n — x) — w _ höchstens gleich der Anzahl n der complexen

Wurzeln von f,(g) == 0; somit folgt die behauptete Beziehung durch

die Ungleichung

I ZID

Zwanzigste Vorlesung

Das

Hermite’sche Theorem

28. Von Herrn Ch. Hermite stammt eine andere Behand-

S

lung derselben Frage, welche siıch auf die Eigenschaften der quadra-

tischen Formen gründet*)

Wir nehmen als Unbestimmte einer

quadratischen Form die

% Grössen Un, U,

Un —1 an und setzen

C a ““ZX(ZÄ; ) [ wl

1(ZÄ)"1 an an co„..1(Zz)u„__1]

Ist es nicht nöthig, die w hervorzuheben, so schreiben wir @ (£) statt

g (u,6). Hier soll @ eine mit reellen Coefficienten versehene ganze

Funetion

Wa(2) = 0a0 F Ca1@2 F 0a22 + + + Can 1271

bedeutent und 6r @ı

—1 Sollen von einander linear unabhängie

sein, so dass also |c,„ | von Null verschieden ist; y soll eine mit

reellen Coefficienten versehene rationale Funection von z und £ sein;

6 bedeutet einen willkürlichen Parameter; 2,, 2

27

An

sınd die

n Wurzeln der Gleichung

(2)

CO —O

die wir von einander verschieden voraussetzen

Wr schreiben (l)

auch in der Form, bei der die Bedeutuno der Z; klar ist,

Drl

(3)

—Z%(zl, Z —2„„uß2x(zl‚ {) Da (2) D (22)..

=N

RE

&r

—

C R! 1858 14 Hebr

Bd, 36

S, 294

262

Zwanzigste Vorlesung 8& 228—229,

Um den Rang dieser quadratischen Form festzustellen (S

166)

untersuchen wir die Reihe der Determinanten

dı = Dl $ wu(e) wp(e)

(&, ß

O

Ar

|

für £= , n— 1

?

, um zu erfahren, welches die erste nicht ver-

schwindende Determinante dieser Reihe sein wird, da ja dies für den

Rang entscheidend ist. Aus der Composition der Systeme

Do), @— 1(2)

%'('21-’ t).'550.(21.), C .% ('?”; t) ‚a70 (Z")

l

|

( (Zz)

%(1 0 @r 1(21), + XCn t') ä.k—1(2;z)

%, (%); n

%'

D (%n), .

On 1 (Zn)

folgt nach bekannten, schon früher von uns benutzten Sätzen

4.(0) = S X.(51'; U) Fä7do'(zll); %(5k‚ t.) Üo(zk) : „l Fäo(£l);. ®x—1(2,)

)

W e

SC CD f "‘5'o(2.'1);. "ﬁ7_/c—.1(5.1) f;

!

A

On — 1(2x) ‘

wobei das Zeichen S wie gewöhnlich so zu deuten ist, dass diejenige

symmetrische Funetion gebildet werden soll, von welcher ein Summand

durch die auf S folgende Funetion gegeben ist. Hier zeigt also S

eine Summe an, erstreckt über alle Combinationen von % Wurzeln,

die aUS 010 Za

Z gebildet werden können, während die Indices

der ® fest bleiben. Für % = w ist (vgl. Baltzer, Determ. S& 1KOS @ DD

eine Umformung von (4) möglich:

2

40 = (z@, D: 200n 0) [ [ (& — 20 | 02n

Z A

CZ

(

A O

)

Der zweite Factor auf der rechten Seite ist bis auf sein Vorzeichen

gleich der Discriminante von (2). Da wir die Wurzeln C

An

als von einander verschieden angenommen haben; da %(z,{) nicht

identisch verschwindet, und da auch |c;z„| von Null verschieden .ist,

so verschwindet A,(£) nicht identisch. Es ist demnach (1) vom

Range n, und @ kann deshalb nicht als Summe von weniger als

o

Das Hermite’sche Theorem

26

I

n Quadraten dargestellt werden

Die in 8 172 abgeleiteten Resultate

ergeben für den sogenannten regulären Fall die Formel

X2—[—

Xg

—_X"

Ö6)

n-—1

$ 229. An zweiter Stelle untersuchen wir die Signatur von @

Jeder der Summanden in (1), der zu einer reellen Wurzel 22 von (2)

Wenn da-

gehört, ist selbst reell, und sein Zeichen ist sgn %(Z«,%)

gegen etwa z, complex, und 2 die conjugirt complexe Wurzel ist

dann können wır

Z RO

('Zl7t) —A+ B7“;

%(Z2‚t) = 4 Bi,

Z B

setzen, und dadurch geht das Aggregat der beiden ersten Quadrate

(41‚t)Z2—{— %0, 0) Z° m die Form

(4 + B) (P+ Q + (4 — Bo) (P — @i}

—2A8

Q°) — 4BPQ

über

Ist 4 = 0, dann wird dies zu

— 3B(P— @ BA O

ist A4=+0, dann erhalten wir

24(p—20)

24Q@ (1+ A2)

also erscheint in jedem Falle ein Aggregat von zwei Quadraten mit

entgegengesetzten Vorzeichen. Die durchgeführte Aenderung entspringt

einer reellen Transformation der Varıablen; denn wenn man

ON UF

Da(%) = Aa — Ik

setzt, erhält man für die statt z, und z eintretenden Varıablen P und Q

P+iQ Zh U + 22k U

—Q Zh„u„„ — z2k„u„,

P Z‘h„«„‚ Q 2k U

Da die Signatur einer quadratischen Form gegenüber allen reellen

Transformationen invariant ıst, und da, wie wir eben sahen, Paare

complexer Wurzeln nichts zur Signatur, die wir mit S(7) bezeichnen

wollen

beitragen, so folgt: Die Signatur S(£) von (1) ist gleich

Dsgn 4, 1);

o

wobei die Summe nur über alle reellen Wurzeln von (2) zu

erstrecken ist

Ks folgt sofort weiter

Verwandelt man (1)

durch irgend welche reelle Transformation in ein Aggregat

264

Zwanzigste Vorlesung 8 229—232,

von Quadraten, so ist die Anzahl der vorkommenden posi-

tiyen Gliederioleich der (Summerraus der Anzahl der Paare

complexer Wurzeln und der Anzahl

derjenigen reellen Wur-

zeln von (2), für welche

sgn %(Za, t) Z

ist. Diese Zahl wollen wir durch P(t) bezeichnen. Setzt

man nun für € zwei Werthe f# und ( 4) ea

; SO Zicbt dıe

Differenz

P(t1) S P(t2)

den Ueberschuss der Anzahl der Wurzeln, für die sgn Wa )= 1

ist, über die Anzahl derjenigen, für die n C a = N e

In dem regulären Falle ist die Anzahl der positiven Glieder

gleich derjenigen von

A1(t);

dx (t) Äz(t)7 u

AAA

d. h. gleich der Anzahl der Zeichenfolgen von

(6)

1, 4,(8),

A (0),

4, (0);

An(B).

Bezeichnen wir die zu dieser Reihe gehörigen Anzahlen an Folgen

und Wechseln wie früher mit

dann wird

2F(t) und 2VV(#),

( Pe) — PG) O SG SW Nra

Für die folgenden Untersuchungen wollen wir, um den Ausdruck

der Sätze zu vereinfachen, die eben bereits gebrauchten Bezeichnungen

durchgehends beibehalten.

Ist w(*) in ein Aggregat von Quaciraten verwandelt, so bezeichnet

also P(£) die Anzahl der darin vorkommenden positiven, und N(t)

die Anzahl der darin vorkommenden negativen Glieder, S(£) die Sig-

natur der Form; es wird daher

SO ONO

n = P(0) + N(I).

Wir wollen ferner die Bezeichnungen P(#), N (£), S(t) auch auf Reihen

von positiven und negativen Gliedern anwenden, welche von % ab-

hängig sind.

$ 230. In der Gestalt (1) ist die Hermite’sche quadratische

Form durch die Wurzeln von (2) bestimmt.

Bei der Anwendung

handelt es sich somit zunächst darum, sie durch die Coefficienten aus-

zudrücken.

Dazu kann uns der Cauchy’sche Satz dienen, welchen

wir am Schlusse der neunten Vorlesung, $ 106, abgeleitet haben. Nach

Das Hermite’sche Theorem.

265

ihm ist @({) gleich dem Coeffieienten von &7! in der Entwickelung

des- Bruches

Z HED [äam (B u ]

nach fallenden Potenzen von &.

Zur Herstellung der nöthigen Form

reicht eine einzige Division aus; hat man die Form erlangt, dann ist

noch ihre Verwandlung in ein Aggregat von Quadraten vorzunehmen.

S 830

Unter besonderen Annahmen über die Funetionen

—

O

kann die Bestimmung der Grössen A, noch weiter gefördert werden.

Benutzt man für die @ die specielle Form

Wa(2) = C040 F 0a18 + * + Cya—ı2“ 71 + 2e,

dann wırd die Determinante |cı.| ( w=0, 1, .0 — 1) gleich 1

und es geht (vgl. Baltzer 1. c.) die Formel (4) in

B 1

® A=S ala D + zl 0) [ [ &— 2)*] (

)

@

über.

Dass hier die oben geforderte lineare Unabhängigkeit der

Funetionen @ gewahrt ist, leuchtet von selbst ein. —

Nimmt man ferner

Dı(e) = W'C),

wo @(£) eine ganze Funetion (n — 1)'" Grades ist, dann geht 44 in

(9)

MO =S| aa 0 zl D[ [@(e) — 5(

&, B=1,2,...k

(

S D

)

über. Damit auch hier der Rang von @ gleich % sei, muss man

voraussetzen, dass alle Werthe

IC

Ü(Z2>7 >

untereinander verschieden bleiben. —

Unter den beiden betrachteten Specialfällen steht die Annahme

®2 (Z> = ,

Hier erhält man für A, wieder den Werth (8).

S 932

Wir wollen nun auch für %(z, t) besondere Annahmen

machen. Zuerst sei y von $ unabhängig — x(@). Dann ist, wenn man

in den Bezeichnungen aus S& 229 das jetzt unnöthige Argument €

weglässt,

B

gleich der Anzahl der complexen W urzelpaare von f(z) = 0 vermehrt

266

Zwanzigste Vorlesung 8 232—233.

um die Anzahl derjenigen reellen Wurzeln der Gleichung, welche %

positiy machen; andrerseits wird

N=;Q;——S)

gleich der Anzahl der complexen Wurzelpaare von f(z)= 0 vermehrt

um die Anzahl derjenigen reellen Wurzeln der Gleichung, welche y

negatıy machen.

Ist %= 1, so kommt keine Wurzel der letzten Art vor,

und N giebt in diesem Falle die Anzahl der complexen

Wurzelpaare, P dieselbe Anzahl vermehrt um die Anzahl

der reellen Wurzeln und also Sı—= L N die Anzahl der

reellen Wurzeln. Wir wollen hiervon eine Anwendung auf die Form

(10)

Pı

Xr S (g + 221 A Z A E

Al

OC

z Sa +BUa Hß

(“7ß=1727"'”’)

&, ß

machen.

Dabei erhält man das einfache Resultat

4, = |Su+v |

W n= 0

und somit geht die Reihe (6) in dieselbe über, die wir in der vorigen

Vorlesung $ 222 gefunden haben.

Hier stellt sich aber sogleich noch

eine Erweiterung ein, sobald wir, wie bei (9), für ® die Potenz ®*(z)

einsetzen und ferner entsprechend der Bezeichnung s;

Sa

setzen.

Denn dann können wir in die Reihe (6) eintragen

A — ] Sara

(.“7”=071>"'Ä—“1)' .

Ist y= , dann ıst Z olecich der Anzahl der :complexen

Wurzelpaare vermehrt um die Anzahl der positiven Wurzeln,

N gleich der Anzahl der complexen Wurzelpaare vermehrt

um die Anzahl der negatıven Wurzeln, und also S gleich

der Differenz aus der Anzahl der reellen positiven und der

reellen negativen Wurzeln der Gleichung f(z) =0. Das hierzu

gehörige

N

O0

D

; Q E A Ar ra R A

Zn

z aE(‚» Sa+ßB+1UoUß (@x, B =1,2, - n)

liefert für die Reihe (6) die Werthe

4A1 | Sa |

( . — 12

Das Hermite’sche Theorem.

267

Setzt man allgemein für y eine Potenz 2“, so erkennt man leicht als

KErweiterung der beiden vorhergehenden Theoreme das nachstehende:

Die Signatur S der Reihe

1,

A17 A27

A

wobei

Ar = | S4

|

]

(u, v = a @«+1,-... « AA —1)

ist, giebt die Summe oder die Differenz aus der Anzahl der

reellen positiven und der reellen negativen Wurzeln von

f(@)=0 an, je nachdem « eine gerade oder eine ungerade

positive Zahl bedeutet.

$ 233.

Wir bleiben noch bei der Voraussetzung, dass % von f&

unabhängig sei und setzen jetzt

y(e) = f (@) - f(@);

dann liefern alle diejenigen reellen Wurzeln 2 einen positiven Beitrag

zur Signatur, für welche f’(z.)fi(za) positiv ist, und alle diejenigen

einen negatıyen Beitrag zu S, für welche dasselbe Product negativ ist.

Im ersten Falle wächst, wenn jener Wurzelwerth bei zunehmendem z

passirt wird, die Funetion f(z) aus dem Negativen ins Positive, falls

fı (zx) positiv ist, und also geht f (z) f(#) dabei auch vom Negativen ins

Positive; und dasselbe findet offenbar statt, wenn f,(2„) negativ ist.

Im zweiten Falle geht f,(z)f(2) aus dem Positiven ins Negative bei zu-

nehmenden 2 über. Die Signatur der Form zeigt daher jetzt an, wie

viel häufiger bei wachsendem z das Product f,(2) f(g) aus dem Negativen

ins Positive übergeht, als umgekehrt aus dem Positiven ins Negative.

Diesem Resultate können wir eine hübsche geometrische Deutung

geben. Wir betrachten eine Bildebene mit den rechtwinkligen Coordi-

naten x und y und zeichnen auf ihr die beiden parabolischen Curven

?/_f(z)=0;

Y f@) =0.

Jede Senkrechte x = x auf der x-Axe schneidet jede der Curven ein-

mal und nur einmal, und das Zeichen

sgn (y — f(xo)) bezw.

sgn (y — fi(@%))

wird oberhalb des Schnittpunktes positiv, unterhalb desselben negatıv.

Daher wird für alle endlichen x bei hinreichend grossen | y |

(12)

sgn (y — f(@)) (v — f.(@))

positiv, indem beide Factoren positiv oder beide negatıy werden;

und dasselbe Symbol (12) wird nur für diejenigen Punkte einer Senk-

rechten auf der x-Axe negativ werden, welche zwischen den beiden

Curven liegen. Dies findet also für alle Punkte derjenigen endlichen

Ebenentheile statt, die gänzlich von den beiden Curven eingeschlossen

sind, und also „innere Theile“ bilden; und wir können zu dem

268

Zwanzigste Vorlesung $ 233—2385,

Inneren auch etwaige sich ins Unendliche erstreckende Ebenentheile

rechnen, für welche (12) negativ ist.

Die übrigen Punkte der Ebene

rechnen wir zum Aeusseren. Für y=0 erhalten wir aus (12) die

Kinsicht, dass diejenigen Punkte der x-Axe im Inneren liegen, für

welche sgn f(%) - f,(x) negativ ist, und diejenigen im Aeusseren, für

welche das Zeichen positiv ist.

Hiernach können wir auf der x-Axe

Austrittspunkte aus dem Gebiete und Eintrittspunkte in dasselbe

definiren.

Der im Anfange des Paragraphen abgeleitete Satz heisst

dann folgendermassen:

Die Signatur der Form

Ä

R =gf’(zl)/i(£l) o ®o(&) 4 F n @n @I

A=1

ist gleich dem Ueberschuss der Austrittspunkte der z-Axe

über die Eintrittspunkte derselben hinsichtlich des von den

Curven

y—f(x)=0,

?/—f1(x)=o

umschlossenen Gebietes.

Nehmen wir insbesondere f (£g) = f’(z), so giebt es überhaupt nur

Austrittspunkte ($ 187), und die Signatur der Form giebt wieder die

Anzahl der reellen Wurzeln von f(g) = 0*).

$ 234. Wir wollen ferner %(z, €) = t — %(z) setzen. Dann giebt

P(f) die Summe aus der Anzahl der complexen Wurzelpaare und der-

jenigen reellen Wurzeln %,, für welche y(22) < ist; und S(t) den

Ueberschuss der Anzahl reeller Wurzeln, für die %(22) < ist, über

diejenige der reellen Wurzeln, für die y(%x) > * 'ist.

Nimmt man insbesondere %(z, t) = *— g£, so liefert, wenn &, und

6 (>7) zwei feste Werthe von % sind,

N(t1) Z N(t2)

die Anzahl der reellen Wurzeln von f(2) = 0, welche zwischen

RIO

%4 und %_ liegen.

Führt man also ® (z)

—_

&

ein, dann wird

E

A0 =8[0—2): — &) [ [ &— %Y

(

Z

}

und wenn man nun bedenkt, dass jedem negativen Zeichen des Aggregats

der Quadrate, in welches g umgewandelt werden kann, ein Zeichen-

wechsel der Reihe

(6)

1, 4,(0, 4,(0),

4.(8)

Z

*) Vgl. Kronecker: Ueber die verschiedenen Sturm’schen Reihen und

ihre gegenseitigen Beziehungen. Berl. Ber. Febr. 1873. $1. S. 117.

Das Hermite’sche Theorem

269

so folgt

dass die Differenz der Zeichenwechsel ın

entspricht

(6) für %4 und 4, also

S

die Anzahl der reellen, zwischen t, und 4 liegenden Wurzeln

von A2) = 0 angiebt

Dieser Satz, oder vielmehr der für y = —— sich ergebende, wird

gewöhnlich als der Hermite’sche Satz bezeichnet

Das zu unserer Annahme gehörige @ wird, wenn man (10) und

(11) berücksichtigt, durch die Summen der Wurzelpotenzen dargestellt

qa(t) “Z(tsa+ß T Sa+ß+1)u„u/g

@B 2

)

und die A nehmen die Gestalt

A} a tÖu+v

Su-+v-E1 |

(!"'7'””‘0 17

4)

an

Man sieht sofort, dass dieses A, in die Form

4,

So

Sy

Y

1

|

51

S

Sı

b

52

SN

t)‚

SA

umgewandelt werden kann

$ 235. Wir wollen noch eine quadratische Form betrachten, die

in gleicher Weise zur Bestimmung der reellen Wurzeln dienen kann

wie die bisher besprochenen Hermite’schen

Wir bilden nach der in Vorlesung 12, $ 142 angegebenen von

Bezout stammenden Methode aus f(z) und f’(g) den dortigen Formeln

(13) entsprechend die %” Polynome

d da A E N da

(13)

21‘

1 + dr&

+ d232n———.: + + d2„‚

15n l+d 22"

2+d 32"—3 L

+ dnn;

deren Determinante als B&zoutiante bezeichnet wurde

und die sich

von der Diseriminante von f(z) nur durch einen constanten Factor

unterscheiden kann; und dann weiter den dortigen Formeln (13*) ent-

sprechend die linearen Combinationen der Ausdrücke (13)

du @71 + digem7? + digt73 + ... 4 din,

(13°)

da 7? + da 73 + F den,

dzs#" 73 A ... + dön,

so sind, wie wir dort gesehen haben, die Functionen (13®) identisch

mit den Resten der fortgesetzten Division von f durch f’ u.s. w

270 Zwanzigste Vorlesung $& 235—236. Einundzwanzigste Vorlesung $ 237—238.

Es liefern also die Funetionen (13*) eine Sturm’sche Reihe für f

Setzt man 2, = — ©®, ZA= + 0, will man also die Anzahl der

überhaupt vorhandenen reellen Wurzeln von f=0 bestimmen, so

geht diese Sturm’sche Reihe (vgl. 8& 143) in

d d dı

dyy dg

Lli1 =— (1711,

da =

ld21 d29 ß

di3 =

d21 d22 d23 ?

d31 d32 d33

über, d. h. in die Reihe der Hauptsubdeterminanten der B&-

zoutiante | dzu |

Verbindet man damit das Resultat aus $ 177, so

folgt: Die Anzahl der reellen Wurzeln von f(z) = 0 ist gleich

der Signatur der quadratischen Form

(Ä‚(L= I 27"'")3

;Jd;_ u U2Uu

dieselbe Anzahl ist gleich der Differenz aus der Anzahl der

positiven und der negativen Wurzeln der Gleichung

| tEÄ}/ s dl„u

= 0

(Ä; u =11,2,

n)

(&2u. = 0, wenn 1 =+ w ist; &u = 1, wenn 4 = w ist).

$ 236. Wir haben uns im Verlaufe dieser Untersuchungen mit-

unter auf den Fall beschränkt, die Zahl sämmtlicher reellen Wurzeln

festzustellen, statt allgemeiner die Zahl derjenigen aufzusuchen, welche

zwischen gegebenen Grenzen liegen.

In Wirklichkeit ist dies aber

keine Beschränkung, wie zuerst Jacobi (Observatiunculae ete. Werke

Bd. IL S. 279) gezeigt hat.

Handelt es sich nämlich darum, die Anzahl der reellen Wurzeln

von f(z) = 0 zu bestimmen, die zwischen den Grenzen 2, und z, liegen,

so führen wir, wenn % > 2‚ ist, eine neue Variable y durch

Z

14

also 2 —

On

e

y=

Z — 8?

WE

ein, dann entspricht der Strecke (z, --- z) für z die Strecke (0 ... + 0o)

für y, und die ganze Funetion

% * %Y

D

SE

) Z Y R I

liefert gleich Null gesetzt eine Gleichung mit eben so vielen positiven

Wurzeln, als f(g)= 0 reelle Wurzeln zwischen %, und z besitzt.

Es hat daher die Gleichung vom Grade 2%

g(&)= 0

eben so viele Paare reeller Wurzeln &= --a, d. h. doppelt so viele

reelle Wurzeln, als f(g) = 0 zwischen z, und %, besitzt.

M

Trennung der Wurzeln.

Rationale Wurzeln.,

ZUE

Kinundzwanzigste Vorlesung.

Trennung der Wurzeln,

Rationale Wurzeln.

$ 237. Das Sturm’sche sowohl wie das Hermite’sche Theorem

liefern Mittel, um eine Trennung der reellen Gleichungswurzeln von

einander zu bewirken, d. h. um Interyalle anzugeben, innerhalb deren

nur je eine reelle Wurzel der vorgelegten Gleichung f(z)= 0 sich

befindet, die wir von vorn .herein als von gleichen Wurzeln befreit

ansehen dürfen.

Wir wollen dabei

(1)

f(5) = W 01'2""__1 - 025"_2 + Cr + Cn

voraussetzen und die c als ganze Zahlen annehmen. Wären die Coeffi-

cienten rational aber gebrochen, so könnte die gemachte Annahme

durch .die Substitution z = z bei geeigneter Wahl der Constanten a

verwirklicht werden.

Vom Auftreten irrationaler Coeffieienten sehen

wır hier ab.

Zu unserem Zwecke reicht es aus, zunächst eine obere Grenze O

für den absoluten Betrag der reellen Gleichungswurzeln zu bestimmen;

jeder der beiden erwähnten Sätze giebt an, wie viele Wurzeln inner-

halb des Intervalles (—o, --- +o) liegen.

Dann untersucht man

ebenso die beiden Intervalle (—o, -.- 0) und (0, --- + 0), weiter die

vier Intervalle

(

Q

Q

—

2

}

__2_‚

0), (0

+

D

2

), (

7

o)

und so fort, immer darauf hin, wie viele reelle Wurzeln sie enthalten.

Hat sich einmal für ein Intervall herausgestellt, dass keine Wurzel

oder nur eine einzige darin vorkommt, so ist natürlich jede weitere

Theilung desselben überflüssig. Auf diese Weise kommt man sicher

zur Lösung des gestellten Problems, da man ja dann zum Ziele ge-

langt sein muss, sobald die Grösse der Intervalle kleiner geworden

ist, als die kleinste Differenz zweier reeller Gleichungswurzeln, und da

diese nach unserer Voraussetzung von Null verschieden ist.

DA

-

38.

S

Cauchy hat gezeigt, wie man auf einfache Art eine

untere Grenze für diese Differenz bestimmen kann.

Am nächsten liegt die Idee, die Gleichung aufzustellen, deren

Wurzeln die Quadrate der Differenzen der Wurzeln von /(2) 0 Sind;

und eine untere Grenze 2 für die positiven Wurzeln jener Gleichung

zu bestimmen, indem dann V2 eine brauchbare Bestimmung für die

Z

G

72

Einundzwanzigste Vorlesung $ 238—239.

Grösse des Intervalles liefert ($ 120). Diese Methode hat Warıno

angegeben, und Lagrange hat sie übernommen*). Man erkennt aber

ohne Weiteres, dass ihre Ausführung mit ausserordentlichen Müh-

seligkeiten verbunden sein würde,. da die Gleichung der Quadrate der

Wurzeldifferenzen bis zum Grade 7@—1) aufsteigt. Diesen Uebelstand

hat Cauchy zu vermeiden gelehrt.

Wir wollen hier zunächst seine

Methode auseinandersetzen.

Das letzte Glied der Gleichung für die Quadrate der Wurzel-

differenzen ist

FD Z K @yı

%e

Bedeutet nun o eine obere Grenze für die Moduln aller Gleichungs-

wurzeln. £,, %)

Z., und sind 2,, % zwei reelle Wurzeln, dann wird

die Differenz je zweier Wurzeln nicht grösser als 20, und deshalb ist,

wenn wir unter *) den absoluten Werth des Productes der Quadrate

der Wurzeldifferenzen der Gleichung (1) verstehen,

C

1

D?

LA

(2)

i21*“22l>—

CN

2

1

(20)

So hat man also in dem Werthe der rechten Seite eine Grenze 2 für

die Grösse der Intervalle, in denen höchstens eine Wurzel von f(z)=0

vorkommt.

Die Rechnung benutzt ausser o nur noch D, d. h. den

Werth der Diseriminante, und auch dieser kann noch, freilich unter

weiterer Verminderung des Werthes von 2, beseitigt

werden.

D ist

D

D

eine

nämlich als symmetrische, ganze Function der

ganze Funetion

der Coeffieienten von

(D)

LO EFLE LSCMTEL L

und daher eine ganze Zahl; ferner ist er, da die Wurzeln %, von

einander verschieden sind, von Null verschieden und also mindestens

der Einheit gleich.

Nimmt man daher in (2) für D den kleinstmöglichen Werth 1,

so ist sicher der absolute Betrag der Differenz je zweier reellen

Wurzeln

d

(2°)

lZl'“2'2‘>

a(n—1)

2

$

(2e)

*) Vgl. Lagrange Werke, Bd. 8, R&Esolution des Equations, Note 4; S. 146,

wo die umständlichen Versuche auseinandergesetzt werden, die der Verf. unter-

nommen hat, um die Rechnung durchführbar zu machen,

278

_Trennung der Wurzeln. Rationale Wurzeln.

$ 239. In einer bei weitem fundamentaleren Art und vor Allem

ohne

Voraussetzung

der

Wurzelexistenz

und

ohne

Stetigkeits-

betrachtungen hat Kronecker*) die Frage nach der Trennung der

Wurzeln behandelt.

Natürlich muss, weil ja von dem Begriffe der

Wurzeln kein Gebraych gemacht wird, das Problem überhaupt ganz

anders formulirt werden.

Wir wollen die Kronecker’schen Unter-

suchungen ın etwas veränderter Form folgen lassen.

Die Voraussetzung, dass f(z) nur rationale Coefficienten besitze,

kann fallen.

Reell sollen die Coefficienten auch weiterhin sein.

Die

Grösse o sel eine nach $ 17 bestimmte positive Zahl derart, dass

für alle reellen x > o die Funetion f(x) ihr Zeichen nicht ändert und

dafür ebenfalls von Null verschieden bleibt; und dass ferner für alle

reellen x < — o das Gleiche stattfindet.

S

Im Folgenden nehmen wir

stets die Varlable x als reell und zwischen den beiden Grenzen — 0

und + gelegen an.

Nun bilden wir, wenn unter 6 ein positiver, echter Bruch ver-

standen wird,

f@ + o) —@ =+ [ar + [ Ü( 7aa

N

und ersetzen ın der geschweiften Klammer rechts alle c durch ihre

absoluten Werthe, 6 durch 1 und x durch o; dann wird der Werth

der

Klammer

vermehrt.

Die positive, ganze Zahl, die bei diesen

Operationen aus der Klammer hervorgeht, heisse H. Daraus folgt somit

(3)

@E 0)=f@) <

Hat f(z7) ein bestimmtes Vorzeichen, d. h. ist f(x,) von Null

verschieden, und wählen wir o‚ </|f(z,)|, also 0 <|f(x)|: E

dann wird

if(%j;%)-f(%)\<|f(%)}

und f(% A 6) hat dasselbe Vorzeichen wie f(x7). Weil das gleiche

Resultat für jedes 0< 0, folgt, so hat man den Satz: I) Um jeden

Punkt xz,, in welchem f(z) nicht verschwindet, kann man

eine Strecke (;c —if(f;°)’‚ .xo—[—fi%")fl> festlegen, inner-

halb deren die Funetion f(xz) ihr Vorzeichen nicht ändert.

Ferner ist, wenn f(xz,) und f(x, + o,) verschiedene Vor-

zeichen besitzen, nach (3)

(4)

{f(xl) | < 61H)

He a

*) J. für. M BdLOLE S 347353

Netto, Algebra, I,

18

274

Einundzwanzigste Vorlesung $ 289.

Ist z’ ein beliebiger im Intervalle (z,, --- X, + 6,) angenommener Werth,

für den f(x’) von Null verschieden ist, so hat f(x") entweder gegen

f(x,) oder gegen f(&, + 6,) verschiedenes Vorzeichen. Da ferner jede

der beiden Theilstrecken x‘ — x, und z, + 67 — z’ Kleiner als o aSt,

so gilt auch hier, was eben für (4) bewiesen wurde,

(4*)

|£@’)

< H,

d 3 A0 ennn Y und @. 6) verschiedene Vorzeichen

besitzen, so gilt für jeden Werth z’ zwischen xz, und (x, + 6,)

die Beziekung, (4°).

In dem ; Falle . /(xz) = 0, der. soeben aus-

genommen war, findet ja selbstverständlich der gleiche Umstand statt.

Wenn also in einem Intervalle von beliebiger Grösse £ am An-

fangs- und am Endpunkte die Vorzeichen der Function verschiedene

sind, und man theilt das Intervall in y gleiche Theile, so wird es unter

diesen mindestens einen geben, in dem gleichfalls die Vorzeichen an

den Endpunkten verschiedene sind.

(Da höchstens » Werthe bestehen,

für die f(x) = 0 wird, so lässt sich durch Aenderung von v stets der

Fall vermeiden, dass an einem Trennungspunkte zweier Intervalle

fF(@x) = 0 wird.) Nimmt man bei (4*) x’ in diesem Intervalle an, und

setzt also 6, =%, dann folgt: III) In jedem Intervalle von der

Grösse t, an dessen Endpunkten f(z) verschiedene Vorzeichen

annimmt, giebt,es mindestens ein Intervall von der Grösse —

2

innerhalb dessen für jeden Werth von x, die Grenzen ein-

geschlossen,

(r >%)

HO

wird, wıe gross dıe ganze Zahl r,auch gewählt sei, d..h. es

giebt ein Intervall von endlicher Grösse, innerhalb dessen

|£(x) | beliebig klein bleibt.

Weiter haben wir

H@ e @

B N

n—1

6

@+{a [

2

)c]ilx7l_3+ }

Machen wir in der geschweiften Klammer dieselben Operationen wie

oben an der entsprechenden Stelle, dann finden wir einen oberen

Werth X für ihren absoluten Betrag und können demnach

(5)

E

1 << I)

schreiben.

Dieselbe Gleichung bleibt bestehen, wenn wir -K ver-

grössern; wir dürfen es daher als mindestens gleich 1 voraussetzen,

Trennung der Wurzeln

Rationale Wurzeln

275

Hierdurch ist eine obere Grenze für den Unterschied der beiden

Funetionen

f (@ + 0)

£@) und @)

festgestellt

Wir nehmen jetzt an, dass f(x) und f’(x) keinen gemeinsamen

Theiler besıtzen

Dann kann man zwei ganzzahlige Funetionen von &%

etwa w(x) und (x) finden, für die

F(@) p(z) + f @)4@x) =| D

d. h. eine positive Zahl wird (vgl. $ 68). Das ergiebt hier mit Hülfe

yon (5) die Gleichungen

f

)

AL (f(x+ 6)

oeK)w=|D

(6)

1 n e Z D

IFl 1a + E

In |g@ | und in | w

setzen wir nun wieder statt der Coefficienten ıhre

absoluten Beträge und statt x die Grenze o ein

Dann erhalten wir

Zahlen &L und M, die von den absoluten Werthen von @ bezw. w nıe

übertroffen werden können

Jetzt wählen wir eine Grösse s so, dass

@ED S ca

wird und also dann auch, weil ja X mindestens gleich 1 ist

C 2 a

Führen wir (s—1) |D| statt |gp|, v |, X|| in (6) ein, dann entsteht

1

la e

Z

s

Ö,

und für jedes 6, welches < angenommen wird, ergiebt sich

L:

(6*)

Z

@—

1f(x)'+}f(x+a) ©

SC

1)’

Mit Hülfe der bisher in diesem Paragraphen abgeleiteten Re-

sultate können wir nachweisen, dass in jedem. Intervalle von der

Grösse

, welches ganz dem Bereiche (— o,

+ 0o) angehört

höchstens ein Zeichenwechsel bei f(x) stattfinden kann

Gesetzt, wir haben ein Intervall (x,

Z b Dn Z z und

(&

X xo) <__

für welches

sgn f(x) f(@,) =+1

ist, und es gebe einen Zwischenwerth x,, für den @ ) 0, und

sgn f (%)f(x) = sgn f (@) f (@4)

1

(%o < %a < -Xy)

wird, so wollen wir aus der Annahme eines solchen %, einen Wıder-

1

276

Einundzwanzigste Vorlesung $& 239—240,

spruch herleiten. Wir können gemäss I) um %, eine Strecke von

der Grösse 2 1/ @) abgrenzen

©

(x1 a

@;;U

A

xä=x2+lfg‘;2)l[)’

also auch

so dass f(x,) und f(x;) das Vorzeichen von f(x) besitzen, und

Sgn f(xo)f(x1) a CN

wird.

Da dieselben Zeichencombinationen für jedes x’ innerhalb

(x, - %g) gelten, und da f(x;) und f (x,) das entgegengesetzte Zeichen

von f(@x,) besitzen, so folgt von selbst, dass (%,,---%) ganz inner-

halb (x),::-x,) liegt, oder dass

Wy < Lı < Dg < W3 <Dr

wird. ‚Jetzt setzen wir der Kürze wegen

&ı T B

K e

und können dann nach IM) in (x --- x,) noch ein Intervall von der

Grösse

1

2

und In (

- %,) ein solches von der Grösse

b-

grenzen, so dass für jedes &, innerhalb des ersten und jedes &, inner-

halb des zweiten

GEl

(8)

|F(&) 1<

Z

D

bei jedem noch so grossen ” wird. Setzen wir diese Werthe &, und E&

für x und (x + o) in (6°) ein, so giebt dies zunächst, der Formel

(6*) entsprechend,

>

d

‘ f(%1) ‘ + ' f(gg3 i ;](ä)

|

S(S

D

el Ol ( — S Z ( D w @- )< 3 ist, so folgt daraus

weiter unter Berücksichtigung von (7) und (8)

1

El

al

@

(

En

r

+

b

DE

7

)

A

CZ}

En

AD

MO

)

Bei constanter rechter Seite kann man 7 beliebig gross werden lassen;

das führt auf einen Widerspruch, der dann also zeigt, dass inner-

halb einer Strecke, deren Ausdehnung <

ist, und für die

f(x) am Anfang und am Ende dasselbe Zeichen bewahrt, eine

Zeichenänderung überhaupt nicht vorkommen kann.

Falls

f(x) am Anfang und am Ende einer Strecke (z,,

X3), deren Aus-

Trennung der Wurzeln,

Rationale Wurzeln,

277

dehnung < ; ist, verschiedene Vorzeichen besitzt, dann giebt es keine

Zwischenwerthe x, > x%, und %, > X,, SO dass

sgn f (x%) = — sgn f (x,) = + sgn f (x%) = — sgn f (x;)

wäre; denn wegen sgn f(x,) = sgn f (x2) würde die Existenz eines %,

nach dem eben angeführten Satze unmöglich sein. Damit ist gezeigt,

dass innerhalb einer Strecke, deren Ausdehnung S% ist,

höchstens eine Zeichenänderung von f(z) stattfinden kann

Hiernach braucht man, wenn wir nach diesen principiellen KEr-

örterungen wieder von Wurzeln reden, das Intervall (— ,

aaı O)

nur in Intervyalle von der Grösse — zu zerlegen, um durch die

Betrachtung der Vorzeichen von f(x) in den Endpunkten die Ent-

scheidung über die Anzahl der reellen Wurzeln von f(x)= 0 und

über iıhre Lage herbeizuführen.

Ja, der Satz III) zeigt ferner,

dass man um jede Wurzel herum ein Intervall abgrenzen kann, in dem

nur ein Vorzeichenwechsel stattfindet, und in dem der absolute Werth

von f(x) beständig unter einer beliebıig klein gewählten Grenze bleibt.

$ 240. Es kann vorkommen, dass bei den besprochenen Opera-

Dies

tionen eine Wurzel in den Grenzpunkt zweier Intervalle fällt.

tritt aber, wenn für die obere Grenze der Wurzeln, wie dies ja

übrigens gar nicht anders möglich ist, eine rationale Grösse genommen

und das dadurch erlangte Gebiet in gleiche Theile zerlegt wird, nur

dann ein, wenn die Gleichung mit ganzzahligen Coefficienten

(9)

NO ET A e =0

rationale Wurzeln besitzt. Es ist deshalb von Interesse, diese, wenn

es durch eine expedite Methode thunlich ist, von vorn herein auszu-

sondern; auch schon deshalb, weil dadurch der Grad der Gleichung

erniedrigt wird, ohne dass die Coefficienten complicirtere Gestalt an-

nehmen. Theoretisch haben wir diese Aufgabe früher dadurch gelöst,

dass wir f(z) in seine irreductiblen Factoren zerlegten. Denn stets

dann und nur dann, wenn ein irreductibler Factor vom ersten Grade

auftritt, kommt eine rationale Wurzel vor. Im vorliegenden einfacheren

Falle kann man jedoch eine Reihe von Vereinfachungen der Rechnung

anbringen, die wir besprechen wollen.

Vor Allem lässt es sich so

einrichten, dass man bei der Zerlegung sein Augenmerk überhaupt

nur auf die Herstellung etwa vorhandener linearer Factoren richtet.

Newton zeigt in der „Arithmetica universalis“, wie dies am ein-

fachsten geschehen kann.

Im $ 50 verfuhren wir zum Zwecke der

Zerlegung in irreductible Factoren so, dass wir eine Reihe ganzzahliger

278

Kinundzwanzigste Vorlesung 8& 240—241.

Arsumente: , 2 2

in f(z) eintrugen, jedes f(z;) in alle seine

positiy und negatiy genommenen Factoren zerlegten d;, d;, di,

und aus diesen d eine Tabelle bildeten.

Hier nehmen wir für die

Argumente

n

S

eine arithmetische Reihe erster Ordnung, am einfachsten

die Folge der ganzen Zahlen,

2;*1) 07+1;+2;"

Hat f(z)

einen Factor ay? + a, mit ganzzahligen Coefficienten, so liefert dieser

für die gewählte Argumentreihe eine Werthfolge, welche als arith-

metische Reihe erster Ordnung auftritt.

Wir combiniren daher alle

d(©, d und sehen zu, ob Werthe d%, d@, ... bestehen, die mit den

beiden erstgewählten eine arithmetische Reihe erster Ordnung bilden.

Ist dies der Fall, dann nehmen wir für a, das zum Argumente 0

gehörige d und für ay eine beliebige der Differenzen (

—

m

X

Die so hervortretenden ayz -{- a, sind die einzigen, welche überhaupt

als lineare Divisoren von f(z) in Frage kommen können.

Man sieht leicht, dass die gegebene Methode sich auf die Theiler

höherer Grade ausdehnen lässt; das findet sich auch bereits bei

Newton durchgeführt.

$ 241.

Gesetzt (9) hätte die Wurzel z, = , wobei y und qg

ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler sind, dann muss

a D

werden, und da alle Glieder mit Ausnahme des ersten den Factor q

enthalten, » aber zu q relativ prim ist, so muss c durch g theilbar

sein.

Ebenso zeigt sich, dass. c„ ein. Vielfaches von p ist. . Durch

Zerlegung von c und c„, in ihre sämmtlichen Faetoren, wobei auch die

Vorzeichen + zu berücksichtigen sind, erhält man dann alle über-

haupt in Frage kommenden rationalen Werthe, mit denen somit die

Probe zu machen wäre.

Aus dem Abgeleiteten folgt sofort, dass eine Gleichung mit ganz-

zahligen Coefficienten, unter denen © = 1 ist, ausser ganzzahligen,

keine: rationalen Wurzeln haben kann.

Auf diesen besonderen Fall

© =1 kann man den allgemeinen Fall (9) leicht zuriickführen‚ indem

Man £ =

0

setzt und darauf mit c*—! multiplicirt.

Wär wollen also

yon vom herein c = 1 voraussetzen. Dann kommen nur ganzzahlige

Wurzeln in Frage.

Um 2=% zu prüfen, müsste marn in (1) diese

Substitution machen. Bei einigermassen grossem % ist diese Rechnung

recht unbequem.,

Newton hat gezeigt, wie man sie durch eine be-

quemere ersetzen kann, die zugleich den Vortheil in siıch trägt, falls

Z = p wirklich eine Wurzel-ist, sofort den Quotienten f(£): (£ — p)

zu liefern.

Trennung . der Wurzeln

Rationale Wurzeln

279

Ist f(z) durch (z -— p) theilbar, und setzt man

a

= (g — p) (g d y F dası),

so liefert die Vergleichung der Coefficienten

OE

D

O =

d,p,

68_d ""d2p‚

1=d

H dn——2p;

Cp FA dn—lp

und also

C

dn—l SG

n

n—1

n—1

Z

dn—3 Ü7

n

a

n—2

(10)

’ dn—2 A

dr Oa

dı =

7

= d —D

v

Die in den ersten (n —-1) Gleichungen vorkommenden Divisionen

müssen also ganzzahlige Quotienten ergeben

Erfüllt dann _ der Werth

von d, die letzte Gleichung, so ıst y eine Wurzel, und die d sind

die Coefficienten von f(z):(z — go). Die Prüfungsmethode ist hiernach

einfach zu übersehen

Von der im Allgemeinen ziemlich grossen Zahl von Divisoren

der Coefficienten c„, lassen sich manche ohne besonders umständliche

Prüfung beseitigen

Ist nämlich f(z)_durch (z — p), so ist f(-+ 1)

durch (p + 1) theilbar; und da f(+1) durch einfache Addition der

so hat

positiv oder negativ genommenen Coefficienten erhalten wird

man nur eine bequeme Rechnung auszuführen

Unter .den. Theilern

von f(0) können hiernach sofort diejenigen. getilgt werden, welche um 1

vermehrt oder vermindert nicht Theiler von

(—1) oder f(+ 1) sind

Eine weitere Vereinfachung ergiebt sich dadurch, dass man alle

Werthe beseitigt, welche die nach Vorlesung 16 gefundenen Grenzen

für die reellen VVurzeln überschreıten.

Wir wollen das von Serret gewählte Bmsp1el

f= 2# — 342 + 292

+ 2122 — 800 =0

behandeln

Schreibt man das Polynom in der Form

f(e) = # (# — 34) + 292 + (2122 — 300),

so erkennt, man, dass keine positive Wurzel gleich 6 oder grösser

als 6 sein kann und schreibt man

f(—2)= — #(# — 342 — 29)

(2122 + 300),

so erkennt man, dass keine negative Wurzel gleich —7 oder kleiner

als — 7 sein kann. Von den Theilern von 300 bleiben also nur zurück

EB E E S

4, —5, —6

Da f(+1)= —Q, f(—1) = 450 ist, so sind +1 keine Wurzeln

280 Einundzwanzigste Vorlesung & 241—242,

Zweiundzwanzigste Vorlesung 8 243.

Da f (+-1) darch (4 z 1) (—Bie- 1), ( 1 (1 (61)

und f(—1) durch (3 + 1) nicht theilbar ist; so fallen auch 4, 3, —2,

—4, —5, —6, weg und es bleiben nur

6E

zur Prüfung übrig. Die erste Zahl liefert nach (10) behandelt

—300

d

AB ET

60

ds =

60212 \

5

‚}

d; ist keine ganze Zahl, und daher kann 5 keine Wurzel der Gleichung

sein.

Die Zahl 2 liefert

da

W

— 300

= 150

150 — 212

Al —2

2

y dı = —

= 281 d

—0

7

d|

H 8084

2

2

’

a=0=2—2,

folglich ist (# — 2) ein Faetor von f(z) und der Quotient lautet

fi(e) = # + 22° — 302? — 312 + 150.

Hier kann f} = 0 auch nur wieder an rationalen Wurzeln 2 oder —3

y

besitzen.

Die Annahme 2 liefert

150

—

—_-

dı = —

BD

>

, ds

o a7{=—222+30=4

’

U=2 4,

folglich ist (z — 2) ein Doppelfactor von f(z), und der Quotient lautet

O = AD L

Aus dem letzten Coefficienten sieht man, dass höchstens noch —3

eine Wurzel sein kann.

Die Prüfung ergiebt

—75

di=—

= — 25; di

-

n

—25+22 _

—

Z

3

—38

also ist schliesslich

f(@)=(@— 2 @ +3)(@#+z—2),

und der letzte Factor hat dann offenbar keine rationale Wurzel mehr.

$ 242. Wir wollen noch folgenden, hierher gehörigen Satz ab-

leiten: Wenn c,, c und eine der beiden Grössen OE D

bei einer Gleichung von der allgemeinen Form (9) ungerade

sind, dann hat f(2z)= 0 keine rationalen Wurzeln.

Wenn nämlich (z— z ) eın Hactor von /(2) ıst, dann wırd

q'f(z) : (q2# — p) eine ganzzahlige Funetion; wir setzen

d®

RT

=_q(‚%‘)‚

Die Newton’sche und die Bernoulli’sche Näherungsmethode.,

281

und dann wird jeder Quotient

d'f(0)

E

für jedes ganzzahlige « eine ganze Zahl werden.

Ist nun irgend eine

Primzahl gegeben, die q theilt, so kann sie nicht (q« — p) theilen;

folglich haben q und (qx — p) keinen gemeinsamen Theiler, und daher

muss f(«) bereits durch (q« — ) theilbar sein.

Setzen wir Jetzt

&«=0, 1, —1 so zeigt es sich, dass die drei gebrochenen Formen

C

n

f ()

RN

HG

D ’

d —D°

@D

ganze Zahlen liefern. Wendet man dieselben Schlüsse auf die Funetion

C) C E LT A

an, die den Theiler (pz — g) hat, und für die f(1) = @(1), F(— 1)

= + gy(—1) ist, so zeigt es sich, dass auch

%

HO

E

L

g ’

Q

q+2

ganz sind. Der Voraussetzung nach sind cy und c„, ungerade; also

sind n und q ungerade, während (p + gq) und (n — q) gerade sind.

Wenn folglich eine der Grössen f(1), f(—1) ungerade ist, tritt ein

Widerspruch zu Tage.

Aehnliche Schlüsse kann man in Menge machen.

SInd z Ba 0,

nicht durch 3 theilbar, dann haben p und q die Formen

p=3m+1,

0 = 3E 1

und eine der beiden Grössen (p+4q) oder (p—q) wird durch 3

theilbar.

Ist folglich keiner der Werthe f(1), f(—1) durch 3 theil-

bar, so hat f(z) = 0 keine rationale Wurzel*).

Zweiundzwanzigste Vorlesung.

Die Newton’sche und die Bernoulli’sche Näherungsmethode,

$ 243. Durch jede Methode, durch welche die reellen Wurzeln

einer algebraischen Gleichung getrennt werden, ist zugleich die Mög-

lichkeit der Berechnung einer isolirten reellen Wurzel mit beliebiger

Genauigkeit gegeben.

Denn wenn zwischen den Grenzen %, und

f{_(?j;l)jmr eine einzige Wurzel & liegt, und man theilt (x,,:.. Xj)

*) Vgl. E. Mathieu: Th6oreömes sur les racines commensurables; Nourv.

Ann. XVI; 1857.

282

Zweiundzwanzigste Vorlesung 8& 243—245,

auf willkürliche Weise in Theile ein, so kann man durch die Berechnung

des‘ Vorzerchens /der Kuneton Gn den emzelnen Theilpunkten ein

kleineres Theilintervall (x,,-.. X,) bestimmen, in welchem & gelegen

übergehen und die Werthe

ist. Von diesem aus kann man in gleicher Weise zu einem (a

W X3)

K A A Z D

dabei beliebig verkleinern.

Nimmt man dann statt & der Reihe nach

’

11+;(X1_‘141>=“;“(3“1+X1)7 %(xz+Xz); ’;‘(x3+Xs); D

so beträgt der Fehler jedesmal sicher nicht mehr als die Hälfte der

Ausdehnung des Intervalles, welches zu Grunde gelegt wird. Man

könnte ja von vorn herein die Grösse der Intervalle so klein machen,

dass man direct die geforderte Genauigkeit erhielte, dies würde aber

viele unnütze Zeichenberechnungen fordern, so dass eine fortgesetzte

Theilung, z. B. eine beständige Halbirung vorzuziehen ist.

Trotzdem bleibt diese einfache Methode’recht umständlich, da

eine Fülle überflüssiger Rechnungen nicht zu umgehen ist, und es ge-

staltet sich daher bequemer, zu anderen Näherungsmethoden zu greifen.

Unter diesen steht die sogenannte Newton’sche*) an erster Stelle.

Sie ist in ihrer ursprünglichen Form trotz aller später angebrachten

F einheiten die förderndste. Wir wollen sie auseinandersetzen.

$ 244,

Nachdem für die reelle, einfache Wurzel & eine obere

Grenze X; und eine untere x, gefunden ist (x, <&< X,), derart dass

& die einzige Wurzel von f(z) = 0 zwischen x, und X, ist, setzen wir

B R

(Sgn %ı z A 15 sn H— U,

wo dann A, und H, die bei- den Annahmen %, und X, für die Wurzel

begangenen Fehler bedeuten.

Dann liefert $ 193

PE =0= f& + A)= f @) + A (& + For)

©O< 1)

f(g)=O=f(XI+III>=f(Xl)+'Hlf,(Xl+@ﬂl)

(0<0<1),

und demnach wird

(1)

A

== — —

e

f (z,)

1

e

f(X)

@

))

A O

Versteht man nun unter M, den grössten Werth, welchen |f‘(z)| in

(x, - X,) annehmen kann, so ist M, von Null verschieden; denn

sonst wäre ım ganzen Intervalle beständig f‘(x)= 0, und also f(x)

eine Constante.

Nun setzen wir

R RLA SA O

*) Brief an Oldenburg v. 13. Juni 1676; ferner dargelegt in der Analysis

und ijm Methodus fluxionum,

per

aequationes numero terminorum infinitas

Uebrigens hatte schon Vi-eﬁta eine ganz ähnliche Methode angegeben.

Die Newton’sche' und die Bernoulli’sche Näherungsmethode.

283

f

K S

EL AL

Aı —

M,

@1 E

M,

Ql}

dann ist A{ positiv, und |h;.|<| , |; und ebenso ist H, negativ, und

| Hy |<MH,. Folglich werden ; und H; Näherungswerthe für h,

und H,, und es gilt für sıe

x1<xl+hll<g<Xl+Hl/<xly

d. h. wir haben ein engeres Intervall (x, + hi, - X, + Hi) erhalten,

Wenden wir die-

in welchem wiederum & als einzige Wurzel liegt.

selbe Methode auf dieses neue Intervall an, u.s. f., dann wird die

Wurzel & in immer engere Grenzen eingeschlossen.

So sollen die

Reihen entstehen

%>

= 7 A E

LF (x,)

X

= X + Hi; Hi= —

1AX)|

M,

Z

M,

7

L

)

W = + >l

X3

=X2+Hé5 Hı = —

M

2

D

(3)

| (&

)|

'f @®) ‘

anı = p E

M

X XE E HE

M

’

%

X‚—xl>X2—x2>Xä—x_r‚>X'/—x/>X/+1—T;'+1>

Es erscheint von vorn herein nicht ausgeschlossen, dass die Grenze

der Werthe %,, %,

Xuy Yy+A1)

nıcht miıt der Wurzel & zusammen-

Dann

fällt, sondern dass sie ein vor & gelegener Werth &, wird.

hätte man

| F(@,)|

lım UBn dni EO,

lim 4, = lim

=0

2= %0

K

%= @

Da aber M, nicht über die endliche Grösse M, hinaus wachsen kann,

so müsste hierbei lim | f(x,) | = 0 werden, und deshalb würde” &,

gegen die Annahme eiıne Wurzel sein.

Gleiches gilt für die Reihe

X17 X27

S Xx; Xz+l;

:5 damit ıst bewiesen, dass unser Intervall

(

E-... X,) bei wachsendem x beliebig klein wird.

$ 245.

Nehmen wir an, dass gleich das erste Intervall so eng

sei, dass f (x) in ihm an keiner Stelle verschwindet, dann können wir

auch über die Werthefolge {(x,), f(x); -

eine Anschauung gewinnen.

Im allgemeinen Falle .ist es möglich, dass x, genauer als x, aber

|f(x) |> | F(@,).| wird; hier dagegen nicht.

Denn es wird

Z TE

sgn f

(4) f@) > f(@, +h)=f@) [ +

M,

1

©& f ( + 9'Mi)},

und wenn also im allgemeinen Falle

(4*)

sgn [A@ı) r @, + O'h)]= + 1

284

Zweiundzwanzigste Vorlesung 8& 245—246.

wäre, erhielte man |f(z;) | > | F(@,) |.

Das ist jetzt ausgeschlossen,

weil bei positivem f(x,) auf der ganzen S

trecke (x, --. E) die Function

abnehmen, also f’(x) negativ werden muss

erfüllt sein kann;

, und deshalb (4°) nicht

bei negativem f(x) wird dagegen auf der ganzen

Strecke die Funetion wachsen, f”(x) positiv werden, und infolge dessen

kann auch in diesem Falle (4*) nicht gelten.

Die Klammer rechts in (4) ist jetzt ein echter Bruch, für den wir

eine obere Grenze angeben können.

Es sei m, das Minimum von

|f'(x) | innerhalb des Intervalles; dies ist nach der Annahme von

Null verschieden; m, hbleibt, sobald f(g) von höherem als dem ersten

Grade ist, kleiner als M,. Dann giebt die Gleichung (4), wenn wir

etwa f(x,) als positiv voraussetzen,

und ebenso weiter

O

Es ist aber m, > m,, M, < M,, so dass wir um so mehr setzen können

IM

n

m,

FD

M,

M

Y

.

Ca /;(x;) (

5

mM,

)z

Ebenso hat man, da f(X,) negativ sein muss, weiıl f(x,) positiv war,

Z-

M,

f(Karı) Z X (1 — z

?

E N

NIl

)z

Da mit wachsendem x die Potenz sich unbegrenzt der Null nähert, so

liefern die letzten Ungleichungen wieder den Beweis der Convergenz

der Näherungsreihen an &, und sie geben zugleich eine Bestimmung

a priori für die Genauigkeit der Näherung.

Fassen wir die Resultate dieses und des vorhergehenden Para-

graphen

zusammen,

Sso

können

wir

sagen:

Die

Reihen. der

Näherungswerthe

Xı) Xa

x37

y

Yu+1)

(xa +1 Z xa)'

Xl7 X27 X37

A XO

(Xa+l < Xa)

Die Differenzen

convergiren zur Wurzel &.

(5)

XR X

Xa i Ärz_"Tm XX+1—‘25‘”+17

f

deren Grösse ein Mass für die Genauigkeit der Näherungs-

werthe giebt, convergiren zur Null.

Die Werthe

B

Ka F Zı

Lär‚l

’

Äe,ä;“e

7

D

Y

2

D

Die Newton’sche und die Bernoulli’sche Näherungsmethode.

285

sind von & um weniger als die Hälfte der entsprechenden

Grösse aus (5) entfernt.

Verschwindet f (x) nıcht im Inter-

valle (x, - X,), dann ist, wenn wır 'f(x,) als positiy und f(X,)

als negativ voraussetzen,

A

M,

] CN

UE

C H

M,

)z

Wir müssen jetzt noch eın Mittel zur bequemen Bestimmung einer

oberen Grenze für jedes M in (3) angeben.

Wir wollen zunächst

annehmen, x, und X, seien beide positiv.

Dann fassen wir in dem

Ausdrucke von f”(x) alle Glieder mit positiven Coefficienten zu einem

Polynome g(x), alle mit negatiyen Coefficienten zu einem Polynome

h(x) zusammen, so dass

f'(@) = g (@€) — h(&x)

wird; g und % haben positive Coeffieienten.

Dann giebt

G) — 0(@)

einen oberen Werth für M, und so können wir statt (3) schreiben

!

y SC

n

g(X,) — R (@)

Xo=

1

g (X1) A h—(?1)’

(7)

%3 = %> I

ZEESEA/AE

A EMETNNOENT

L7(X) |

;Ü(X2) a (xz)

g(X,

. . .

.

n

2 h.('”2?,

Weil die Nenner der zweiten Zeile nicht grösser sind, als die der

ersten u. s. w., so gelten unsere früheren Schlüsse über die Convergenz

ungeändert auch hier.

Die Aenderungen, welche vorgenommen werden müssen, wenn

beide Werthe x, und X, oder nur der erste negatıy werden, sind

jetzt leicht ersichtlich.

$ 246. Wir haben im $ 245 die Voraussetzung gemacht, dass

innerhalb (x,, ... X,) die Funetion f (x) nicht verschwinde. Durch

eine weitere Voraussetzung können wir die Formeln (7) noch mehr

vereinfachen. Haben f(x) und f”(x) einen gemeinsamen Theiler, so

kann dieser auf dem gewöhnlichen Wege entfernt werden. Dann darf

f (&) nicht verschwinden, und wir wollen die Annäherung schon so

weit getrieben denken, dass zwischen x, und X, keine Wurzel von

f”(@x) = 0 liegt, dass also f (z) innerhalb (z,,

- X,) sein Zeichen

nicht ändert. Infolge dessen wird f'(%) in dem gleichen Intervalle

entweder stets wachsen oder stets abnehmen, und das Maximum seines

absoluten Betrages wird daher mit einem der Werthe | F' (@x,) | oder

f (X)| und zwar mit dem grösseren von beiden zusammenfallen.

Die Wahl dieses Werthes hatıvor der am Schlusse des vorigen

G

»

86

Zweiundzwanzigste Vorlesung &$ 246 —248

Paragraphen angegebenen einer oberen Grenze natürlich den Vorzug.

Tritt das Maximum etwa an der unteren Grenze %, auf, so können

wir setzen

f(x,)

/ (X,)

X — L,

f (@x,)

X

f (x1)’

(8)

X3

X3 —

(‚’L”2)

\X3

X__

F (X,)

f(x)

|

f (@)?

Denn da f’(x) bei unverändertem Zeichen ununterbrochen wächst oder

abnimmt, so ist auch |f’(x;)| das Maximum für (x

XG)5 wnl

da bei positivem (negativem) f(xz,) die Ableitung f (x) beständig

negativ (positiv) ist, und f(X,) negativ (positiv) wird, so sind auch

die Zeichen auf den rechten Seiten von (8) richtig bestimmt, indem

1'(@z)

26

negatıy sein wird

G

5 positiv und —

f (x7)

8 247

Wie man sieht, stellt sich in (8) die Reihe der Correc-

turen für die wachsende Reihe der Näherungen %,, %, %3,

„ nämlich

EB A

(z1)

(z)

(x3)

f (&,

f (x2)? f (@3)?

besonders einfach dar

Wir machen darauf aufmerksam, dass dies

immer nur an demjenigen Endpunkte der Strecke (x,

X,) eintritt

für welchen

sgn (f(@) f (z)) =+1

In der. T’hat, ‚da ‚/

sein Zeichen ım Intervalle nicht ändert

so

gilt

wird f

entweder stets zunehmen oder stets abnehmen

dabei aber

nicht durch Null gehen

denn das würde der Voraussetzung aus

$ 245 widersprechen

f” ist also in x, absolut am grössten

wenn

entweder f”(x,)>0, f(x) >0 ist, weil dabei f” negativ bleibt und

zunimmt, oder wenn f”(x,)<0, f(x,) <O ist, weil dabei f’ positiv

bleibt und abnimmt

Die beiden anderen Fälle liefern das Maximum

n

OD

Gleichzeitig erkennt man durch diese Ueberlegun

dass die aufgestellte Zeichengleichung auch nur an einem der beiden

Endpunkte x, oder X, erfüllt seim kann

In der Form (8) hat Newton die nach ihm benannte

Näherungsmethode aufgestellt

$ 248. Häufig kann man sich auf die linke Spalte von (8) bei

der Ausführung der Rechnung beschränken, wobei man aber freilich

den. Vortheil aufgiebt

durch die Grösse der Intervalle (X,

x1):

den Grad der Genauigkeit der erhaltenen Näherungs-

(X A $2)‚

werthe zu taxiren

Wir wollen zeigen, wie die hierbei nöthigen

Die Newton’sche und die Bernoulli'sche Näherungsmethode.

287

Rechnungen am praktischsten durchgeführt, und Wiederholungen be-

reits gemachter Operationen vermieden werden.

Es reicht aus, dass wir das Vorgehen an einer Gleichung‘ vierten

Grades erklären.

In der Entwickelung von f(x + %l) nach Potenzen

von h

s f @)

( @)

f@ +%) =f(@) +hf @ +L +n

1.2.3

1.2.3.4

setzen wir der Abkürzung wegen

5

f (@) = f @),

2!

@Au @ Za

zı ( (@) = f(@)

und nehmen an, dass f(x) mit dem Gliede 1.x* beginnt.

Dann ıst

f(@ + R) = f(@) + hfı(@) + Wf(@) + W, (@) + WFı

(fı(@z) = 1).

Differentiirt man einmal, so entsteht

fı@ + %) = f(@) 4 20f(@) + 3R f(@x) A 4Wf@);

differentiirt man wiederum und dividirt durch 2, dann folgt

f E h) = f(x) + 3hf3(X) A 6h2f4@)5

differentiirt man nochmals und dividirt durch 3, so erhält man

f3(@ + A) = f3(@) + 4hf1(@).

Diesen Formeln gemäss bildet man aus den bereits bekannten ala

f(@%), fil@%), f(%x) der Reihe nach /,(@x + h), falx + h), fıl@ + h),

fF(@ +h) auf folgende Art: In eine erste Spalte schreibt man I

darunter h% und addiırt; darunter zum zweiten Male % und addirt zur

eben erhaltenen Summe; darunter zum dritten Male % und addirt, und

ebenso zum vierten Male.

Die Schluss-Summe ist f(x + h).

Eine zweite Spalte beginnt mit dem Werthe von fx. Darunter

schreibt man das Product aus % und dem ersten Zwischenresultate

(fs + *) der ersten Spalte und addirt; die Summe ist fa d s A :

Darunter schreibt man das Product aus A und dem zweiten Zwischen-

resultate (f; + 2%) der ersten Spalte und addirt; die Summe ist

e e

Darunter schreibt man das Product aus A und dem

dritten Zwischenresultate (£; + 3h) der ersten Spalte und addırt; die

Summe ist f> + 3A26 + 60 = fı(x + D).

Kine dritte Spalte beginnt mit dem Werthe von fi: Darunter

schreibt man das Product aus % und dem ersten Zwischenresultate

f2 + hfzs + )” der zweiten Spalte und addirt; die Summe ist f} +Ahf,

+ f + IB

Darunter- u. s. w., u. s. W.

288

Zweiundzwanzigste Vorlesung $ 248—250.

KEs entsteht also folgende Tabelle:

_/

I

73

|

n

|

f

+E* [FA [E

FA E ERAER)

Ye a

an a

AF RR

An ar A O

+ h

+ h(fs + 2%)

+L 2hf +30)

=f@+1)

fı + 2h{f + 2hfs + 3BW +2hf + 3Wf, + 4R — f (@ +R)

+ h

+ h(fs + 3R)

f + 34{6 +8hf, + 6R = f@+1)

+h

E

die erste

Die Schlussresultate der einzelnen Spalten geben uns

Zeile für eine neue Tabelle,

durch

welche

nach der

Division

fF(@ + h) : f_(@x + h4) und dadurch erlangtem neuen Werthe

der Cor

rectur eine zweite Verbesserung angebracht wird.

$ 249,

Wir wollen auch an dem Zahlenbeispiele

f(@x)= a + — 3y — 4=0

Es ıst

die Durchführung der Rechnung zeigen.

fi(x) = 4x* + 3x* — 6x — 1,

O6

O CD

Da f(1)= —6, f(2)= +6 ist, so liegt eine Wurzel zwischen 1

unde 27

Weder f'(zx)= 0, noch f”(x)= 0 haben zwischen diesen

beiden Grenzen eine Wurzel.

Wir wählen zum Ausgangspunkte der

Methode x, =2, weil f(2)-f”(2) positiv ist.

Dann wird

@ — CO A @

6

h=

202

.

=2=-02=18

._31‚—_.-

27

öl

6

Z 02

A

8,8

25,24

25,952| + 0,8096

202

Z A

8,6

23,52

21,248

0,8096

Z 04

2092

2468

— 31,248

21,84

UG

8,4

202

8,2

Die Newton’sche und die Bernoulli’sche Näherungsmethode

289

8,2

21,84

21,248

0,8096

— 0,04 | — 0,3264

0,860544| — 0,81549824

8,16

21,5136 | 20,387456| — 0,00589824

— 0,04 | — 0,3248 | — 0,847552

8,12

21,1888 | 19,539904

0,00589824:

N

— 0,04 | — 0,3232

19,539904'

— 0,000802

8,08

20,8656

%, = 1,76 + 0,000302 = 1,760302.

— O04

8,04 |

$ 250. Die Benutzung einer unteren und einer oberen Grenze x,

und X, für die Wurzel & bietet ausser dem Vortheile, eine Orientirung

über das Mass der Annäherung zu geben, noch den, übermässig weit

getriebene Berechnungen von x, und X, zu vermeiden, da man nur

je eine Decimalstelle über die übereinstimmenden Stellen hinaus zu

gehen braucht.

Arbeitet man hingegen, wie dies in den letzten Para-

graphen geschah, nur mit einer Serie von Näherungswerthen, %,, x;,

W,

, dann bleibt man im Zweifel, wie weit die Berechnungen der

Üorrecturen A fortgesetzt werden sollen, um weder erreichbare Ge-

zuführen.

nauigkeit bei Seite zu lassen, noch überflüssige Rechnungen durch-

Es ist also womöglich hierüber ein Kennzeichen abzuleiten.

Man kann nach $ 194

(9)

OO

schreiben Der Werth von A, ist durch die Newton’sche Gleichung

(9*)

f (&,) + Mf ' (x,) =0

bestimmt. Wir wollen annehmen, es sei der wirkliche Fehler

N

n (

10

)a+ L n

(1 <% <10),

d. h. die Darstellung von A, in einem Decimalbruche beginne mit

0,00 ..., wo auf das Komma noch @« Nullen folgen.

Aus (9) und (9?) ergie}at sich

(& 4 9l) S

LO

(9”)

SA

2f' (@,)

’

das ist die Grösse des Fehlers, den wir begehen, wenn wir statt der

wirklichen Correctur %, den durch (9*) bestimmten Näherungswerth

nehmen. Wäre der Werth des Bruches auf der rechten Seite von (©2)

gleich 1, dann würde dieser Fehler = h,” sein, und seine Darstellung

als Decimalbruch würde erst in der 2w' Stelle nach dem Komma

Netto, Algebra, I,

19

290

Zweiundzwanzigste Vorlesung $ 250—252,

eine von Null verschiedene Ziffer aufweisen.

Es wäre also nicht

praktisch, bei der Berechnung von h; über diese 2a Stelle hinaus-

zugehen.

tritt

nun freilich

rechts

16 - (©2)

noch

als

Faector

f (@, + O2,): 2f(@w,) hinzu: für den wır ın genügender Annäherung

f (@x.) : 2f'(x,) setzen können. Dieser verschiebt die Verhältnisse nicht

wesentlich. Ist sein Werth 10%.x%, wo x zwischen 1 und 10 liegt,

so macht sich der Fehler in der (2x — ß} Stelle geltend, und bei

ihr kann die Division, welche auf ; führt, füglich abgebrochen werden.

Ist ß positiv, so muss man früher aufhören, ist ß negatıv, dann kann

man über die (2@)'® Stelle hinausgehen.

Bei unseren Darlegungen ist

h, als bekannt benutzt; um diese Annahme auszuschalten, reicht es

aus, h, selbst an die Stelle von h, zu setzen. Daraus entnimmt man

dann die Regel: Beginnt die Division f(x,): f (x,) mit « Nullen,

so setzt man die Rechnung bis zur 2a% Decimalstelle fort,

um h; den vortheilhaftesten Werth zu ertheilen.

$ 251.

Wir beschäftigen uns weiter mit einer in ihren Grund-

zügen von Daniel Bernoulli angegebenen, von Lagrange und

Kuler weiter ausgebildeten, und besonders von Fourier erweiterten

Methode*). Diese beruht darauf, dass die Potenzen grösserer Zahlen

die gleichhohen Potenzen niederer Zahlen um so mehr übertreffen, je

höher die Ordnung der Potenz ist.

Wenn nun wie gewöhnlich f(z)

als von vielfachen Wurzeln befreit vorausgesetzt wird, dann ordnen

wir die Wurzeln nach der absteigenden Grösse ihrer absoluten Be-

träge, %1, %, %,

%, ‚und es sei zumächst |2, | > |% |; Jetzt ıst

sicher 2, eine reelle Wurzel, da conjugirt complexe Werthe gleiche

absolute Beträge besitzen.

In der Gleichung

(10)

A a

haben alle auf die 1 in der Klammer folgenden Summanden absolute

Beträge, die kleiner als 1 sind und sich mit wachsendem % der Null

beliebig nähern.

KEs ist folglich auch der Quotient s; : z* eine Grösse,

die sich mıt wachsendem %/ der Einheit beliebig nähert.

Hieraus kann man auf verschiedene Arten eine Näherungsmethode

gründen, welche zu derjenigen Wurzel von f(z)= 0 führt, die den

höchsten absoluten Betrag unter den 2 aufweist.

Am nächsten liegt

A

An

NRS

*) D. Bernoulli, Comment. Petrop. III.

Lagrange, Kuvres t, 8. S. 168

Euler, Introduct. in anal. inf. I, Cap. 17 und Anleitung z. Algebra. T. II 8 231

Petersburg 1771.

Fourier, Analyse des Equations determinges.

S 688 Vl

Fr. Cohn, Ueber die in recurrirender Weise gebildeten Grössen u.s. w. Math

Ann, ‚44. S. 473.

y

Die Newton’sche und die Bernoulli’'sche Näherungsmethode

4

D

Onl

die Reihe der Vs; bei wachsendem %/ als Reihe der Näherungs-

werthe zu nehmen

Ebenso können wir aber auch die Reihe

der

Quotienten S/4 1: $x benutzen

Beide Methoden sollen in den folgenden

Paragraphen durchgeführt werden

Zunächst jedoch wollen wir einige

Ueberlegungen hinsichtlich der Art der Annäherung anstellen

Wegen der Anordnung der %,, %, %,

hat man

D

(0 Z Z 7’;_>?’1+1)‚

+ aA+

+ (1r [ A0 ]

+ r'°[ kco„])

Als symmetrische Funetion der Wurzeln ist s/ reell

und da Z es

auch ist, so folgt

(11)

s = %(1 + wn — 1)r

(—1<'Fk<l)

Ist £& schon einigermassen gross, dann können wir setzen

(11*)

Vsı= 2 (1—|— Ö%;

)

und

SS

L+1

0

—A0 + 0n —1)r)

G o

Man erkennt daraus dass wirklich in beiden Fällen die linken Seiten

zur Annäherung an z, benutzt werden können, und dass die Genauigkeit

eıne um so grössere ist, Je kleiner 7, = |% |:|z, | wird

$ 252

Wir gehen jetzt auf (11®) näher ein und wollen zu-

nächst dabei den einfachsten Fall behandeln, nämlich den, dass

‘51{>152'>‘231> S %|

ist; dabei sind dann die Wurzeln der vorgelegten Gleichung

(12)

()= L

—673 La =0

reell. Sind wir im Besitze der Werthe von s,,

Say

Sk—1) Sk SO hat

es natürlich keinen Zweck,

ausser s auch die s mit niedrigerem

Index zur Berechnung von z, zu verwenden; man wird also sogleich

]/s; nehmen,

Es kommt folglich darauf an, möglichst schnell zu

einem s; mit hinlänglich hohen Index zu gelangen.

Dazu benutzen

wir am besten die in $ 111 abgeleitete Methode, welche uns gestattet,

aus (12) eine Gleichung mit den Wurzeln Z

Z herzustellen

Wir bilden nämlich das Produet f(z) - f(— 2); d1es enthält nur gerade

Potenzen von Z; wir führen in diesen Ausdruck statt z? eine neue

Unbestimmte ein, welche wir wieder mit 2 bezeichnen, und erhalten

so das Polynom der gewünschten Gleichung mit den VVuueln Z

Sn

Wir schreiben diese Gleichung

19%

292

Zweiundzwanzigste Vorlesung $ 252- 254.

— c(12)zn—-—l AL cg2)zn—2__c%2)zn—s + ... _|__ Cg2) Z

Hieraus bilden wir auf dem gleichen Wege die Gleichung

F A c(14)2n—1 + c(24)zn——2 __cgi)zn—3 _|_ AD i c£l4) —0

mit den Wurzeln 24, z

27

z* und allgemein

(18)

V cga)zn—l + cga)zn—2_ Cga)z7z—3 + Z i c£:z) —0

mit den Wurzeln £%,

C

2“, wobei wir unter « eine Potenz von 2

zu verstehen haben.

In (13) bedeutet

C

a a

.-—Sa‚

e

= (2,%)* + (@,4)* + ,

O aa

so dass man Sg auf verhältnissmässig bequeme Weise bekommt. Das

abgeleitete System liefert aber noch mehr.

Bei hinlänglich grossem «

wird jedesmal das erste Glied auf jeder der rechten Seiten den un-

gefähren Werth der Gesammtsumme angeben, genau wie dies für Sx

schon in $ 251 bewiesen ist. Man hat deshalb auf Grund der gleichen

Ueberlegungen für wachsende «

lim C® =

&

u

mn A(Aı

lim C® = (2,2,23)“,

oder eigentlich nur

z |=1imV®, |2,% | = lim Vc®,

| %1223 | = lim it/c(;;);

und folglich

/ @

(14) | z, | = lim Ve® )22=11m1a/%‚ \Al l}

Z

so dass also durch die Reihe der Coefficienten von (13) so-

fort Näherungswerthe für sämmtliche Wurzeln von f(z)= 0

geliefert werden.

Wir wollen die Rechnung an einem Beispiele durchführen.

—42 —2+3=0

hat \dıe Wiurzeln Bı 2 Z

g —182 4252 — 9=0

”

”

”

K

g —27142 + 3012 —81 = 0

”

”

&2

Y

g} — 744742 + 462132 — 6561=0 ‚,,

”

20

Z

Nun iıst

VAAATE 2 A062239

46213

— 0,942095 -.-,

V

74474

*/ 6561

V

46213

AT

Die Newton’sche und die Bernoulli’sche Näherungsmethode,

293

Die wahren Werthe der Wurzeln sind ihrer absoluten Grösse nach

geordnet

Z — 40644364 .. ; 7, = — 089196520 .. ; 2 — 082752156 ...

Der erste der drei Näherungswerthe ıst also schon hinreichend genau.

Die beiden anderen sind deswegen minder: gut, weil die absoluten

Werthe der Wurzeln sich nur wenig von einander unterscheiden.

$ 253. Falls alle Wurzeln der vorgelegten Gleichung reell sind,

bleibt, wie man leicht sieht, die angegebene Methode auch dann noch

wirksam, wenn mehrere der Wurzeln einander gleich, oder wenn sie

nur durch iıhr Vorzeichen von einander verschieden sind.

Ist z B

al= 42)=4|=4|>|4|> ,

dann wird für hinlänglich hohe x == 2“ mit beliebiger Annäherung

C(1°‘) =.4lzl :a

C(2a) = V\ C '2a‚

C —4] 2 E,

cga) Z I Z I4o:}

0O z la ©

2

C — | A 2R |“,

gesetzt werden können, und also bleiben die Formeln (14) bestehen.

Welches Vorzeichen dann schliesslich jedem einzelnen 2 der Z,, %,

zu geben ist, das kann durch Substitution von z in f(gz) ermittelt

werden; häufig, wıe z. B. beim vorigen Beispiele, reicht bereits die

Betrachtung von cı = %4 4 2 + + Z aus.

$ 254. Anders stellt es sich, wenn f(z)= 0 auch complexe

Wurzeln besitzt.

Wir wollen uns der Uebersichtlichkeit halber auf

den einfachsten Fall beschränken, dass nur zwei complexe Wurzeln

von gleichem, höchsten absoluten Werthe existiren

21=9[i29')}7 Z2=@[Z_q)]7

und dass

23 |<o wird. Man hat hierbei

.

(15)

C = 20“ c0os ag + 24 + z +

’

Ba

und es wird also zwar die Betrachtung von c@© keine Näherungswerthe

liefern, wohl aber kann man die Reihe der 2(11/c(2°‘) bei wachsenden «

als Näherungswerthe für den Modul o wählen.

Als Beispiel möge dienen

—32 + 52—2=0

Z9y

Z37

mit S1en Wurzeln 2,,

Ba 32

”

”

219

2 83

@+ 252? + 1772 — 16 = 0

”

”

215

83 8y 5

2 — 2712° + 321292 — 256 = 0

”

”

Z 5

3, %3 3

2 — 918382 + 103213388972 — 65536 —0 ,

”

”

51 16) ‚2’216

„ 16

294

Zweiundzwanzigste Vorlesung $& 254-—255

Die letzte Gleichung giebt als Näherungswerth für 0

110321838889 = 1,912845

}

der wahre Werth ist o = 1,91318893 .

Hat man so einen Werth für o gefunden dann giebt die erste

Gleichung von (15), auf das Anfangsglied rechts beschränkt, den

ungefähren Werth von @ durch

(@)

e

@)

CoS d =

l

[64

20

2Vc(a)

freilich nur bis auf Vielfache von

So findet man beim obigen

Beispiele

16g = 81°48’ + Qum,

während ın W1rkhchke1t

d — 5007/12”

Wnl 160 = 8155 1Q d

ıst

Hinsichtlich der Bestimmung des noch unbekannten ganzzahligen

Factors x sowie der weiteren bei dieser Methode auftretenden Ver-

hältnisse verweisen wir auf die ausführliche Enke’sche Abhandlung

„Allgemeine Auflösung der numerischen Gleichungen“*). Hier wollen

wir noch erwähnen, dass wie die Wurzel von grösstem so auch die

vom kleinsten absoluten Betrage berechnet werden kann

Um dies

durchzuführen, ist es nur nöthig, aus der vorgelegten Gleichung durch

die Substitution

D

2

——

E

eine andere herzuleiten, deren Wurzeln die

reciproken Wurzeln der gegebenen Gleichung sind. Nach 8 112 erhält

man bei dieser Methode

Gn

n Cn—lgn_‚l +

—0

DEn — c@)

‚+

_O,

=0

En — c&

e

so dass in dem Falle

in. welchem nur eine Wurzel z, =

kleinsten

5

Moduls besteht.

(“)

Jz„|—hm]/

DD

(@)

gesetzt werden kann

Im Beispiele dieses Paragraphen ergiebt sıch daher

*) J. für M. Ba. 22, S, 193

295

Die Newton’sche und die Bernoulli'sche Näherungsmethode

65536

DE

%

1032133889

— 0,546602 - .

und der wahre Werth ist 0,54660235 ...

8 255.

Wir gehen jetzt zur Behandlung der Formel

k+1

(11”)

.k‚

A0 0

E1 Z I

über.

Die Berechnung der S, S,

Sp—1 muss nach den Formeln

aus $ 91 oder 93 geschehen; die weiteren s findet man am ein-

fachsten durch die Recursionsformel

F G G + CS $ CnSa—n

So ergiebt sich beı dem Beispiele aus $ 252

—42 —2 +}+3=0

der Reihe nach

Y E s H= d E SE O,

&— OO

8 — 10828

8 — A

S3

e&

Z

— 4.,0645.

KExistiren hingegen mehrere reelle Wurzeln von gleichem höchsten

Modul, etwa x positive und 2 negative,

ÜE E Z DD

Zı | S | egn

dann erkennt man sofort, dass

Sar = (& + 2) | &ı [ A

@AA

%— 2

(16) lim

Sakf2 __ H2

%— 4!

C

|

2

1

A

A

Sag

2%

%+

lim

Ba

241

D

A

...=z;+l

2k

il

(x + 4)

werden wird. Es besteht also zwar kein lim (Se+1 : S%), aber die ab-

geleiteten Formeln geben dennoch die Möglichkeit, die Werthe von |2

2

x und A zu berechnen. Auch bei x = 12 bleibt lim CO E

bestehen, dagegen fällt die Grenze für (Sax+1:Sa%_1) Weg.

Wir nehmen jetzt als Wurzeln höchsten Moduls ein einziges Paar

conjugirt complexer Werthe an

a=0[ie)

Z2=9[

SEL

}

setzen für die übrigen Z

—_

le

COra ‘_S w_„‚],

Z

w.)

CZ

296

Zweiundzwanzigste Vorlesung 8 255—256.

und erhalten für die Potenzsummen

(17)

s = 20* coskgp + (Zﬁ—l—-z*‚+ s 51;)

= 20* coskgp + D (n — 2)rk

( Z< Z

Hieraus erkennt man, dass sz+1: Sı keinen festen Grenzwerth haben

kann, weil dies bei cos (& + 1) p : cos kg nicht eintritt; trotzdem ist

man aber im Stande, aus den Werthen der sx sowohl © als @ z

berechnen.

Sind nämlich die Glieder der Zeichenreihe

(18)

Sgn Ccos @,

sgn cos 2w,

sgn cos 3,

sgn cos ko,

bekannt, dann kann man daraus mit beliebiger Genauigkeit den Werth

des Winkels g ableiten. Wir haben @ zwischen 0 und 2x. Es mögen

in (18) Serien von aufeinander folgenden positiven und negativen

Gliedern vorkommen und zwar der Reihe nach

v, Glieder > 0,

v, Glieder < 0,

vs Glieder > 0,

’

wobei v, auch gleich Null werden kann, während alle anderen v po-

sitive ganze Zahlen sind. Da für jedes % die Gleichung cos k (2x — @)

= coskg gilt, so bestimmt die Zeichenangabe für (18) den Winkel ®

innerhalb des einfachen Kreises nicht unzweideutig, und wir können ®

zwischen 0 und x gelegen denken. Nun ist

P< < +1)o9,

<m<

E

2v

2(» +1

} D

3n

(”1+”2)9’<%<("’1 Pa 1)‘P‚

2(v

a

<<

27 +%)?

<

(F7 4 7:)p< ä; <(v, 220g 1).‘P; ; 3(

28

und man erhält

(2% — 1) x

Z

XM

(19)

® — lim

1=

AT 9

— ]im

D

1rr

Dem letzten Resultate können wir einen noch einfacheren Ausdruck

geben, wenn wir bedenken, dass x die Anzahl der Zeichenwechsel an-

zeigt, die in den ersten (v, + » + ::: + v„) Gliedern von (18) vor-

kommen, und ferner, dass sich die Grenze nicht ändert, wenn wir den

Nenner rechts durch irgend einen Werth ersetzen, der zwischen

Ca n Cr Qa D ea

Falls wir

daher durch w die Anzahl der Zeichenwechsel angeben, welche in

den ersten m” Gliedern von (18) vorkommen, so können wir

W

m

(19°)

@ oder (2x — g) = lım

m

M= ®

schreiben.

297

Die Newton’sche und die Bernoulli’sche Näherungsmethode.

Wenn deshalb in (17) die Zeichen der s; stets mit den Zeichen

der entsprechenden. Glieder von (19) übereinstimmen würden, könnte

man (19%®) zur Bestimmung des Winkels @ direct auf die Reihe

@

SSS

SeN S,

San Sz,

SeN S

verwenden.

Ist aber %. :0 = 24 2 nicht ‚besondexs klein/ 4 dann

lässt sich über die Anfangsglieder von (18*) gar nichts aussagen.

Trotzdem können wir nachweisen, dass (19%) in Gültigkeit bleibt..

Um = und um —21 grenzen wir zwei Winkelräume ab (

CN

2

g + a‘)) und (; —# ä; —A 13) von solcher Kleinheit, dass nicht

zwei aufeinander folgende Vielfache «g und («x-+1)@ in einen und

denselben dieser Räume fallen können.

Ferner wählen wir / so

gross, dass

z @m—2) (: 0)*<|sind|

wird, dann kann das Ergänzungsglied in (17) das Zeichen von sz nur

dann gegen das Zeichen von 2 0o*coskq verändern, wenn (k&— 1) p und

(k+1) @ ausserhalb und kg innerhalb eines der abgegrenzten Winkel-

räume liegen.

Dabei haben jedoch sz_1 und S41 verschiedene Vor-

zeichen, und also kann der Zeichenwechsel in (18*) gegen den in (18)

höchstens um eine Stelle verschoben sein. Dies ist aber bei der Ver-

wendung von (19*) ebenso gleichgültig, wie der Umstand, dass in den

Anfangsgliedern der Reihen (18) und (18*) eine endliche Zahl von

Unterschieden vorkommen.

Man kann daher aus (19°) mit Hülfe

von (18*) den Winkel @ bestimmen, wenn w„ die Anzahl der

Zeichenwechsel in S, &,

s bedeutet.

KExistiren mehrere Paare von complexen Wurzeln höchsten Moduls,

oder auch nur ein Paar nebst anderen reellen Wurzeln gleichen Moduls,

so gestalten sich die Verhältnisse zu complicirt, als dass wir hier

darauf eingehen könnten.

Schon in dem Falle

Ür a 23=9[3‘p]; 54=9[Z_q)il; |25|<o,

wobei die Potenzsumme

Sı = 20° (1 4} coskop) (&

wird, ist eine Einsicht in die Art der Näherung schwer zu erlangen.

Zwar werden wir dabei im Allgemeinen sgn sı = + 1 erhalten; aber

Skn

k

- kann zwischen 0 und © schwanken.

$ 256. Bei derartigen verwickelten Verhältnissen ist es häufig

vortheilhaft, eine Hülfsgleichung aufzustellen, deren Wurzeln angenähert

die v Wurzeln der höchsten Moduln für die Gleichung A =0 yn

298

Zweiundzwanzigste Vorlesung $& 256—257.

n‘° Grade sind. Jacobi hat, einer Andeutung Fourier’s folgend,

in den „ÖObservatiunculae ad theoriam aequationum pertinentes“, Werke

J1T, 280, die Bildung dieser Gleichung

en

(20)

R S

E

angegeben. Wenn die Bedingung

Z S

?%Ä>;%+1lä_[ßü+2l;>g--

erfüllt ist, dann hat man, abgesehen von Factoren, die man der Einheit

beliebig nahe bringen kann, die Reihe der Gleichungen

Sk

an

+ +2,

S

und daraus ergiebt sich mit gleicher Annäherung

Sk-+ v

S aMr —

ij/‚„5']; ==O‚

(21) 8'k+f+1. —7'18k.+v '+.72's;.-45„_.1 —

i.7vt9k-l-'l E (‚)’

Sp+2y —17 YıSk-F2v—2 - YaSk+Fan —3 —

i M = O:

Eliminirt man aus (20) und (21) die noch unbekannten Coefficienten Yı

Ya) *‘‘ Yı, SO entsteht

V

z‘|—1

il

Sk v

Sk-+yv—1

Sk

(22)

/

Sp+ v

Sk+r.+1.

.

5k—4.—1

|

Se-Eav—1 SkE2y—2

Sk+v—1

als eine Art von Näherungsgleichung für die v höchsten Wurzeln von

/'@)

SE

So ist für v= 2 die Gleichung (20) zu setzen:

(&3+1 G 3k8k+2) — (3k+15k+2 Z Sk3k+3) 24 (&%+2 FE 8k+‚18k+3) =0.

$ 257. Es bleibt jetzt noch übrig, die Methode zur Berechnung

der s» zu besprechen.

Wir haben bereits am Anfange von $ 255 er-

Sp—1 nach den Formeln des

wähnt, dass es vortheilhaft sei, s

17 52

$ 91 oder $ 93 und die weiteren s dann nach der Recursionsformel

b C Sn+X—1 + aala i CnSk — 0

zu bestimmen.

Hierzu hat Euler eine Bemerkung gemacht, die

theoretisch wie praktisch von gleicher Wichtigkeit iıst.

Der Einfachheit halber dürfen wir annehmen, dass f(z) ohne viel-

fache Factoren sel.

Dann wollen wir den Bruch, dessen Zähler eine

willkürliche Function (n — 1)%" Grades sein mag,

299

Die Newton’sche und die Bernoulli'sche Näherungsmethode

(?)

+a z"—2+aq 7L——3+ + an_1

F(@)

C

356

+C„"' 2

n

——

(2,

Z—%,

)f' (@&)

(S 39)

=il)

p (2;)

p (22)2,

r

g (2,)27

S +

%

1=

IT—(ZÄ) +

Z2

E}

f (@,)

A

( (2,)

und dessen Entwickelung wir kürzer

—

2

%

Z2

C

+

Zß

C

setzen, miıt f(z) multiplieiren und erhalten dadurch mittels Vergleichung

der Coeffiecienten gleichhoher Potenzen von z auf beiden Seiten die

Reihe recurrirender Gleichungen

o

On — A

C009 — A4r)

Ö

6601 + 09 = 0,

(28)

On O CO

+ Cn0% =— O

=0,1

)

Hieraus erkennt man zuerst, dass zu jeder beliebigen Wahl von reellen

\Weindaein 10r O0 Oıp

Gn—1 eine Funetion @ (z) gefunden werden

kann, welche die Anfangsgheden der Entvv1ckelung

1

Ka E

6n—1

$

290

l

liefert, und weiter dass die 0„4„% derselben Recursionsformel unter-

liegen, nach welcher die Bildung der 5„4£ vor sich geht.

Weil ferner

P (Zl

g (2„)

k

0% =

f (@)

Ar Z H

e)

ist, so kann man an die 6 dieselben Ueberlegungen knüpfen und aus

diesen gleiche Resultate ziehen, denen wir bereits bei den s begegnet

sind. Nothwendig ist es dazu nur

dass der Coefficient von *

d

dass @ (z,) nicht verschwindet

Das könnte aber nur dann eintreten,

wenn f(z) reduetibel, und &@ (z) zu ihm nicht relativ prim wäre

INs

Auge fassen, auch hier der Gleichung (

(11”) entsprechend

= ]im

Ok+1.

k

Dabei sind %, 6,

6„—1 Völlig willkürlich, und die übrigen o werden

nach der Recursionsformel (23) gebildet

Hierbei tritt sogar noch

gegen die frühere Methode ein Vortheil zu Tage, wenn man einen, ja

leicht zu findenden Näherungswerth q für die höchste Wurzel kennt

und dann für die Anfangswerthe die Reihe

300 Zweiundzwanzigste Vorlesung 8& 257

Dreiundzwanzigste Vorlesung 8& 258

Q Z

6 —0

Ön—2 —> 1

67l—1 - q

nımmt, indem dabei die Näherung schneller vor sich geht, als wenn

DE S

Sn—1 benutzt; denn man beginnt dann sofort mit einem

genäherten Resultate, Welches auf dem zweiten W ege erst nach einer

Anzahl von Schutten erreicht werden würde.

Wir wollen dies endlich auf das Beispiel des $ 252

BL Z

anwenden, indem wir

O =— 0

6, =11,

2=4

setzen und dann mittels

6a+3 Sn 46a+2 + o4a:-{—1 J1 36a

die weiteren 6 berechnen

Dabei finden wir

6 = 17

0, = 69

6; = 281

6 =1142, 0, — 4642

da — 18887

— 406442

und dies stimmt mit der höchsten Wurzel der Gleichung in den vier

ersten Decimalstellen überein

E BED

Dreiundzwanzigste Vorlesune

Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln

$ 258. Die Newton’sche Näherungsmethode besteht im Wesent-

lichen darin, dass man von dem, einer reellen Wurzel & von f(z)=0

hinreichend angenäherten Werthe z, aus mittels der Formel

W

CZ

f(@)

8ı+1

f (&)

der Reihe nach 2,, %,

berechnet

Den Coeffieienten der höchsten

Potenz von Z in f(g) setzen wir durchgehends als positiv voraus

Dann lässt sich beweisen, dass &= limz„ wird. Wir wollen allgemein

n= %

die Frage behandeln, ob es noch andere, durch eine rationale Gleichung

(2)

SE F(?;)

bestimmte Algorithmen giebt, für die bei Wiederholung der Operation

Mk R ME

von bestimmten W erthen 2, aus ebenfalls £= lim %, wird*). Gesetzt,

n=%

*) Vgl. hierzu: L. Sancery: De la methode des substitutions successives

pour le calcul des racines des 6quations. Nouv. Ann. (2) I. S. 305. — E. Schröder

Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln.

301

dies wäre der Fall, dann müsste, weil ja lim 2 = lim 241 ist, aus (2)

sich ergeben

(3)

;=F(C);

und folglich hätten die beiden Gleichungen

f(@e)=0 und F(2)—2=0

eine Wurzel, nämlich & gemeinsam.

Wenn nun, wie wir wieder

yoraussetzen wollen, f(z) eine irreductible, ganze Funection ist, dann

wird die zweite Gleichung alle Wurzeln der ersten besitzen, und daher

muss das Polynom

©

F(e) — 2=f(@):9C@)

werden, wobei g(z) eine beliebige rationale, ganze oder gebrochene

Funetion seim kann.

Derartige Ausdrücke lassen sich leicht und ın

beliebiger Menge bilden.

So ergeben sich z. B. bei der Gleichung

f=Y—2—-a=0

unter anderen die folgenden Ausdrücke für /'(z)

Z

Va +a;

O

("‘+1)Zf’i‘a_

>

Z — ( +1)?

Z+x*

7

(a +1)

+a

C

>

zl

22

z — a

a+1?

Vrr

Es sind dabeıi in die zweite Spalte auch irrationale Funetionen auf-

genommen.

Im Allgemeinen ist die nachfolgende Theorie auch auf

sıe anwendbar.

Hier treten diese irrationalen Ausdrücke in besonders

Wichtiger Weise als die inversen Funetionen der in gleicher Zeile

links stehenden heraus, d. h. wenn man u = /F(gz) aus der linken

Spalte entnimmt, giebt die Umkehrung dieser Gleichung, nämlich

2 = P(u), die rechts stehende Funetion.

Ein einfaches Mittel, solche

Funetionen F zu erhalten, besteht darin, dass man in f, oder all-

gemeiner in einem Produete f-g an beliebig vielen Stellen z durch u

ersetzt; entsteht daraus f(z, u), dann berechnet man aus f(z, u)= 0

einmal z als Funetion von w und einmal w als Funection von 2, und

»

es Wäl‘d V(äa‚? System

B

E

Ueber unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen,

Math.

Ann. II. S. 317. — C. Isenkrahe: Ueber die Anwendung iterirter Functionen

zur Darstellung der Wurzeln algebraischer und transcendenter Gleichungen,

Math. Ann. XXXI. S, 309,

®

302

Dreiundzwanzigste Vorlesung $ 258—259.

(5)

u= F(g),

2 = ®6(u)

ein Funetionenpaar geben, für welches die Gleichungen

(5*)

5 = F(®7

S= ®C

gelten.

Es fragt sich nun, ob umgekehrt auch jede Wurzel von W(@) =

&ä

auch eine Wurzel von f(z)=0 ist. Aus (4) folgt, dass dies nicht

nothwendig ist; und ebenso wenig ist jeder durch (2) asymptotisch

gegebene Werth eine Wurzel von f = 0; es kann nach unserer Her-

stellungsmethode auch eine Wurzel von g = 0 sein. Wenmnn wir z. B.

die Gleichung

f= 12 —2=@-1)(@+2)=0

betrachten und den Algorithmus der Näherung

9

a

e

7En

2 —

2

setzen, dann wird zwar die Gleichung

SE

_é'3

&— 1

durch die beiden Wurzeln £= TU E 22 on f=0 befriedigt,

aber der Anfangswerth z, = — 1,99 z. B. führt auf einen fremden

Werth als Grenze:

%=-—1,78..., 4 =-—1,68..., 2

4

— 1,55

Z

5

Z _1

gö=_1)24...‚ ;g7=41‚12...,

A}

A 05

lim 2

———"“1

n=

was sich dadurch erklärt, dass

2 — z}

ar

Tn CO

272 —1

O

ist. Die Wurzel 5= —2 ist hier überhaupt nicht einer asymptoti-

schen Annäherung fähig, und das Gleiche gilt für &= 1.

$ 259. Die bisher aufgestellte Bedingung für F(z) ist für die

Sicherheit einer Annäherung noch nicht ausreichend, wie sich soeben

gezeigt hat.

Bedeutet & eine reelle Wurzel, z, einen hinreichend

genäherten Werth, und setzen wir

E= 2 + 0, = % 4 0,

so ist z nur dann genauer als z,, wenn |d,|<|0,| wird. Nun hat

[

man nach dem Mittelwerthsatze

(6)

—d =F(6-0ö)=FO —d F'(6— 00),

@<< i}

52 G Ö\1FI(; R @81)

Ist | F'(E) >1, so kann man um 6& einen endlichen, reellen Be-

reich (£ — vr,

‚. E -+4-v7) abgrenzen, innerhalb dessen der Modul von

Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln.

303

F'(z) grösser als 1 ist.

Nimmt man den Näherungswerth z, inner-

halb dieses Bereiches beliebig nahe an & an, so zeigt (6), dass die

Hehlento A0

2

statt kleiner zu werden, sich vergrössern.

Eine

asymptotische Annäherung ist in diesem Falle also unmöglich, ein

sprungweises Erreichen aber natürlich nicht ausgeschlossen.

Ist zweitens | F’(E)|<1, dann kann man wiederum einen end-

lichen Bereich (£ — 7, --- &+ v) festlegen, innerhalb dessen der Modul

von F’(z) überall kleiner als 1 bleibt.

Wählt man 2z, in diesem Be-

reiche, so ist %, ein genauerer Näherungswerth, weil | 0, | < | 0, | ist,

Z, noch genauer als z,, u. s. w. KEs findet hierbei auch wirklich eine

Convergenz nach 6& statt.

Denn der Bereich braucht dazu nur so ge-

wählt zu werden, dass das Maximum des Moduls von F'”(2) in ihm

<M ist, wo M einen positiven, der Einheit beliebig nahe liegenden,

aber doch von 1 verschiedenen, echten Bruch bezeichnet; dann folgt

aus (6) der Reihe nach

10,|<]8, |M,

|Ö„<IÖ“M<IÖ}{M%n-

|9u+ı| < 0, | E,

wnl wl In A = ( 90 SO folgt hieraus die Convergenz der Z d

M= 0

nach 5& hin. Man kann natürlich in den festgesetzten Bereich (£—r,

: E-4+7) auch von ausserhalb belegenen Punkten sprungweise ge-

langen und ist dann der Annäherung sicher, wie wir eben zeigten.

Ist bei | ”(5) | < 1 das Vorzeichen von F’ positiv, dann haben

Ö, und 0, gleiche Vorzeichen, so dass die Annäherung von einer Seite

her geschieht, und alle ,, 2,, 2,

gleichzeitig grösser oder gleich-

zeitig kleiner sind als & Ist dagegen sgn F'(£)= — 1 ‚ dann haben

0, und 0, verschiedene Vorzeichen und die Werthe 2,, z,, An

sind

abwechselnd kleiner und grösser als £€.

Aus (6) kann man entnehmen, dass die Convergenz um so

schneller vor sich geht, je kleiner der absolute Betrag von F'(E) ist.

Am günstigsten stellt sich der Fall F’(£) =0. Sollte gleichzeitig

auch von höheren Ableitungen

FI(£) w O; FI,(C) Z O7

F @ =0, FO@+0

sein, dann wird der Fehler

(7)

d

==

Dn

& FÜ — 0,

CO

so dass also bei kleinem 0, die Annäherung etwa der 4‘ Potenz des

Fehlers proportional erfolgt.

304

Dreiundzwanzigste Vorlesung $ 260—262,

S 260 Ms bleibt noch den Hall ( ZC)| — 1 z vetrachten

übrig. Hierfür setzen wir, ähnlich wie bei (6),

—6, F LO F OF FE L08) 0<0<21)

und erhalten demnach

(8)

Ö l OE G 00

Ist nun zuerst /’(£) = + 1, und also

(8*)

d = 0 —z FE 0d)=0(1— LF (E— 00,)),

So kann man, wenn F (£) positiv ist, von & aus einen Bereich abgrenzen,

in welchem bei hinreichend kleinem positiven 0, die Klammergrösse

ME ME 00

positiy und kleiner als 1 bleibt.

Für jedes z,, welches diesem Be-

reiche angehört, convergirt der Algorithmus.

Bei negativem 0, findet

das nicht statt. Aehnlich convergirt er bei negaätivem J”(£) und

negativem 0,. Man kann sich also bei F’($) = 1 und F”(8)+0

nur von einer Seite her der Wurzel €& nähern.

Ist dagegen F’(£) = — 1, und also

(8')

d d PE 08)),

dann versagen die eben benutzten Schlüsse, weil zwar | 0, | < | 0,

wird, aber dann weiter | 0, | > | 0, | werden kann:

Um auch für

diesen Fall eine Uebersicht der Verhältnisse zu erlangen, gehen wir ın

der Entwickelung einen Schritt weiter und setzen

d =+4FO — z EF +L —,

B EG — OR HOE NO -

woraus bei F”(£) = — 1 durch Elimination von 0, die Gleichung

(9)

Ö z BED OT

folgt.

Man erkennt also, dass bei hinlänglich kleinem |,|,

Falls CS L

ıst, Convergenz stattfinden wiırd, oder

einen

nicht, je nachdem dıe Klammer 22 ( 320

positiven oder einen negativen Werth besitzt.

$ 261.

Wir wollen nun auf die Ableitung der Funetionen F

und ® in $ 258 zurückgehen und können zeigen, dass wenn / und ®

zwei inverse Funetionen sind, für welche die beiden Gleichungen

(5*)

6 = G,

6 — DG

Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln.

305

gelten, dann der auf @ gegründete Algorithmus an allen den Stellen

nach E& convergirt, an denen der auf / gegründete seinen Dienst

versagt.

Aus den Elementen der Differentialrechnung ist zu entnehmen,

dass für die beiden ersten Ableitungen von / und ® die Beziehung

F© XO=-1

gilt.

Daraus folgt, dass beıi | /’(E) | >1 sich | P’(E) | < 1 heraus-

stellt, so dass stets einer und nur einer der beiden Algorithmen

zum Ziele führt, sobald der Modul der Ableitung F'(E) von 1

verschieden ist.

Ferner hat man für die zweiten Ableitungen von ” und von ®

MO K =—2' ©

Ist also }# (&) =-+-1, so folgt, dass F”(E) und ” (6E) verschiedene

Vorzeichen besitzen, und aus (3*) ergiebt sich: Auf der einen Seite

dien \urzel e conwerant beır Z U der Alsonichmus

von F, auf der anderen derjenige von ®.

Endlich ist noch

SC OLG

@/„(g) LA

KIG®)®

5

für F'(£) = — 1 erhält man deshalb

D G

®” ® = — F' —3F

20 C HC© T DONT

Ist daher die im (9) auftretende auf den Algorithmus / bezügliche

Klammer negativ, so ist die entsprechende, zu ® gehörige Klammer

positiv, so dass dann die Convergenz nach & von beiden Seiten her

bei Anwendung von ® Eeintritt.

Beir C — l er einer

der beiden Algorithmen Näherung von beiden Seiten her;

der andere giebt von keiner Seite her eine Näherung.

Auf die weiteren Fälle, die bei F”(8)=0 u. s. w. vorkommen

können, lohnt es sich nicht, hier näher einzugehen.

S 262. Wir nehmen jetzt an, dass | F'(£) | <1 sei, so dass von

beiden Seiten her mittels / eine asymptotische Annäherung an &E er-

zielt werden kann.

Um €& herum bestimmen wir

ein Intervall

(&, - E') auf folgende Weise: Geht man von irgend einem Punkte

der Strecke (& ... E/) mit Ausnahme der Grenzpunkte als erstem

Näherungswerthe aus, so bleibt man im Innern der Strecke und nähert

sich dem Wurzelpunkte &. Für die Grenzpunkte &, und &; soll dies

nicht mehr der Fall sein. Damit ist natürlich nicht gesagt, dass man

nicht auch von einem ausserhalb (E, : E') gelegenen Punkte

ch

Netto, Algebra. I,

20

Z durl

5

306

Dreiundzwanzigste Vorlesung $ 262—263.

Iteration. sprungweise in diese Strecke hineingelangen könnte; jeden-

falls aber gilt diese letzte Kigenschaft nicht für alle Punkte zwischen

%4 and 6

E

Ks handelt sich nun um die Feststellung der Grenzpunkte

>1

un

Da man bei den Punkten (& +e) und (& — 6), wemn

E, <E<E;‚ ist, bei beliebig kleinem, positiven £ und einmaliger Itera-

tion innerhalb der Strecke bleibt, und da die Resultate dieser Iteration

sich von denen für &, und &; wegen der Stetigkeit nur beliebig wenig

unterscheiden, so können &, und &; auch nur wieder die Grenzpunkte

geben, d. h. man hat

E, = E, oder &E

un oder 5

Wir betrachten zuerst den Fall & = &.

Dann wird natürlich

jede weitere Iteration E& = E& =-.-..= E, ergeben.

Demnach ist &,

eine Wurzel von F'(2) — 2 = f(2)g(2g) =0.

Liegt folglich keine

Wurzel von g= 0 zwischen & und der nächst kleineren reellen

Worzel 8 on / —O, SO E, Sclbst ‘ leich &.

Dies wird also

—— —Z

1 eintreten.

beispielsweise bei g(z)

Ist F(z) eine ganze oder eine

unecht gebrochene Funetion, dann ist die Möglichkeit vorhanden, dass

&, den Werth — co (und ebenso E den Werth + 0o) annimmt. Denn

——

dabei wird dem &, = — co auch ein &

Z

— c©o (und ähnlich bei

Doch kann dies offenbar nur bei

S ©9 Dn S = ©9) G aECN;

der kleinsten (resp. der grössten) reellen Wurzel vorkommen.

Wir betrachten zweitens den Fall

g‘2=äll7

g2=gl

also

g3 — Eu

&,

5

Dann folgt (von & = — © bezw. 5& = -|- ©o abgesehen), dass, &;

und &, Wurzeln von

(12)

U

sind, und zwar solche, die nicht schon die Gleichung

@ z2=0

befriedigen.

Nimmt man eine derartige Wurzel &, zum Ausgangs-

punkte der Iteration, dann wechseln beständig die beiden Werthe &,

und &' mit einander ab, und eine Convergenz findet dabei also

nicht statt.

Nebenbei bemerken wir, dass ebenso jede Wurzel w, der Gleichung

(18)

F{FF@N — 2=0,

die nicht schon die Gleichung (12) befriedigt, zu einem Tripel von

Werthen 4, W, ug gehört, die bei der Iteration unaufhörlich cyklisch

auseinander hervorgehen; und in derselben Weise kann man jede

W‘eitere, mehrfache Iteration benutzen.

307

Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln

Wir wollen ein numerisches Beispiel für solche, ja hinlänglich

interessanten Fälle angeben

Es seı die Gleichung vorgelegt

LA LB Z

bilden wir daraus den Algorithmus

13

Z

al

»

8ı +1 =

4

4 727

dann ergiebt sıch beim Anfangswerthe z

NO

0 Folgendes

13

A =0

0

Raı

A

0,61

5 = 3llO

Z

=0,75

% = 3,11

6

= 0,84

3,074

23 = 0888

%. = 305

= 0,920

<

lim 2 = 1

e a = @

m=

M=Z R

Nun ist in der That, wie die Iteration zeigt

ÖR

302

2

64

(# — 262 — 39) + 642 = [# + 42 — 13](# — 1) (# — 9),

so dass diese Resultate mit der dargelegten Theorie völlig überein-

stiımmen

Endlich gehen wir zu dem Falle

«E—E‚„

5

E

über

Hier ist 5 entweder - co oder eine Wurzel von F(2) — 2=0,

Tritt das Erste ein,

die nicht zugleich Wurzel von f(z)= 0 ist.

dann muss g(2) eine gebrochene Funection, und £, eine Wurzel der

Gleichung werden, welche entsteht, wenn man ihren Nenner gleich Null

setzt

Ist daoegen 5, eine Wurzel von F(g) — 2 =0, dann findet

man &, als eine von E; verschiedene Wurzel der Gleichung

5 — C

$ 263. Bei dem eben besprochenen Falle ELE = E& kann

es geschehen, dass die beiden ersten Fehler entgegengesetzte, die fol-

genden da<fecmn sämmtlich dieselben Vorzeichen haben.

Dabei sind

diese Fehler von endlicher Grösse.

Es kann geschehen, dass auch bei

beliebig kleinem 0, die Beziehung sgn 0, 0, = — SO N

SSOH0. 04 —

=+J1,;-

- eintritt. Dazu ist es nur nöthig, dass | 8 CQ= O

ist, W(thend JE (C— Ö) und F'(@-l— ö) versch1edene Vorzeichen haben;

und weil im Allgemeinen / (£) von Null verschieden ist, _ so re10ht

die erste Bedingung | F’(£) | = 0 hierbei auch im Allgeme1nen aus.

Dieselben Ve1haltmsse treten gleichfalls ein, wenn man

H' (3) =

G

F —0, FG O

hat, da dann

20°

308

Dreiundzwanzigste Vorlesung &$ 263—265

Ö

aı FD —00

1

(272)!

werden wiırd

$ 264

Wir hatten durch (4) gesehen, dass allgemein bei einem

anwendbaren Algorithmus /

F(g)=2 + f(g) - g(£)

seın muss

Will man | F'(2) | <1 für jede Wurzel & von f(z)= 0

als zweite Bedingung dazu fügen, so wäre g der Bedingung

07 @©> —2

(wenn f(2)= 0 ist)

gemäss zu wählen

Jeder so erhaltene Algorithmus liefert Annäherung

an jede reelle Wurzel

Sehr einfach wird diese Bedingung durch

al

I(@) =

*f (?)

erfüllt beı positiven Werthen von x, die grösser als

sind

Nach $ 259 stellt sich die Näherung besonders günstig, wenn die

erste Ableitung von /(z)

O OO OL

für alle Wurzeln von f= 0 verschwindet

Das geschieht, wenn wir

g(2) =

F FF

setzen, wobei g,(z) eine vv111ku1hche Funetion ist.

Dann erhält man

(18)

FC)

Ta

E

ELE E

+ 91(Z)f

f()

Noch vortheilhafter gestaltet sich nach $ 259 die Convergenz, wenn

ausserdem auch noch die zweite Ableitung

P

E

F'@=(E+2nf) +

A

/‘ z

für alle Wurzeln von f= 0 verschwindet

Dies geschieht offenbar ın

der allgemeinsten Art für die Annahme

Iı

2f5+9"f7

also für die folgende Gestalt von £(z)

(L

f@)

(Z)f()

2(2)f°(),

1' (@)

T

wobei wieder unter g (z) eine willkürliche Funetion zu verstehen ist

In derselben Art kann man fortfahren und es so erreichen, dass

NO

FÜ =0

für alle Wurzeln & von f(2)= 0 wird

In diesem Falle können wir

sagen, dass die Convergenz von der A*° Ordnung (mindestens) ist. Hierbei

wird jeder folgende Fehler der 2'°” Potenz des voraufgehenden proportional

Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln.

309

$ 265. Nunmehr gehen wir zu der Betrachtung einıiger besonders

wichtigen Algorithmen über.

Setzen wır in (13) ein g, =0, so ent-

steht der Newton’sche in der vorigen Vorlesung ausführlich be-

handelte Algorithmus

A# (8)

BUE HL

(2)

f @)

Es ıist näm-

Dieser liefert für alle Wurzeln quadratische Convergenz.

lich für ihn bei jeder Wurzel £

. ©)

C ONO

76©

Dass f= 0 keine Doppel- oder mehrfachen Wurzeln besitzt, ist voraus-

gesetzt worden, ja sogar, dass f(z) unzerlegbar sei; daher verschwindet

F (£) nicht, und / liefert in der That eine quadratische Convergenz

und keine von höherer Ordnung.

Weiter lehrt der Vergleich mit

$ 263, dass der Algorithmus an jede Wurzel nur von der

einen Seite her asymptotisch heranführt, derart dass bei

hinlänglich kleinen Werthen von 0,, die auf der anderen

Seite lıegen, sen 0, : d, = — 1 wird.

Aus

H/(@)=

F(@)f (@)

AT X AA

f (@)®

folgt, dass auf derjenigen Seite von &, für welche zunächst f(z) und

f (@) gleiche Vorzeichen besitzen, sgn 0, = sgn 0, sein wird.

Von

ihr aus geht also die asymptotische Näherung in demselben Sinne vor

sich, während die andere Seite gleich bei der ersten Iteration ver-

lassen wird, sobald nur 0, hinlänglich klein ist.

Im Falle dass f(z)= 0 nur reelle Wurzeln besitzt, oder all-

gemeiner, im Falle dass die reellen Wurzeln von f’(z) = 0 sämmtlich

durch die reellen Wurzeln von f(2) = 0 getrennt werden, und die von

f (@?) = 0 durch diejenigen von f’(2z) = 0, kann man den Bereich der

Convergenz, welcher zu der grössten und zu der kleinsten reellen Wurzel

gehört, leicht bestimmen. Wir betrachten die Gleichung (8'259; 7)

al

Ö

AL

0, F (6—00,)

R

——

_

DG ©0)

20 C200

und entnehmen aus

nlaı?

dass für grosse positive oder negatıive

, —5 — 0,, also für grosse negative oder positive 0,, das Vorzeichen

von 0, immer nur von dem des Bruches f”: f” abhängen wird. Nun

kann man für grosse Werthe von z setzen NC) ua un

.

f“ (e) = nn— 1g

’

für solche Werthe wird somit sgn G

= 8gn %, Für grosse positive 0, d. h. für grosse negative 2,, wird also

310

Dreiundzwanzigste Vorlesung 8& 265—267.

0, positiv; für grosse negative 0, d. h. für grosse positive z, wird

Ö, negativ.

Die Iteration führt daher zunächst nicht auf die andere

Seite der grössten resp. kleinsten Wurzel hinüber; diese Verhältnisse

bleiben, da weder f

/

'=0 noch f’= 0 nach unserer Specialannahme

jenseits der äussersten Wurzeln von f= 0 verschwinden können, bis

in beliebige Nähe an diese Wurzeln heran unverändert, so dass also

die äussersten Grenzen beider Convergenzintervalle das eine Mal + 00

und das andere Mal — co sind.

Auch die inneren Grenzen sind bei

der höchsten und der niedrigsten Wurzel leicht zu erkennen. Hat

man die äussersten Wurzeln eben überschritten, so ändert sich der

Sinn Ader Näherunes ' d./h. es ward send, d —— L

Dies bleibt

unseren Voraussetzungen gemäss so lange, bis f’(z)= 0 wird; dann

führt die entsprechende Iteration sofort ins Unendliche.

Wir haben

also den Satz: Besitzt f(z) = 0 nur reelle Wurzeln, und sind u,

und u, die äussersten reellen Wurzeln von f’(z)=0, wobei

u <uW, ist, so führt jeder Anfangswerth des Newton’schen

Algorithmus zwischen — co und w, auf die kleinste, und jeder

zwischen ı, und +oco auf die grösste Wurzel von f = 0.*)

$ 266. Lassen wir für den Augenblick auch mehrfache Wurzeln

bei f=0 zu, so folgt, dass die Newton’sche Methode bei diesen nur

eine lineare Annäherung giebt.

In der That, wenn wir

D

f (@)

(Z2— zQ“ (Z2 —

‚’.'g

)

haben, dann wird, falls wir nur die niedrigsten Potenzen von (2 — 2,)

beibehalten, da zuletzt z == z, gesetzt wird,

f EB z

2

f'(@) = a(« — 1) (# — 2)“ — (@— 2)

+

2

_ fF@f'@) _ «(«—1) (# —2) *7 —a +

F' (?)

e

Z

f'(@)

OEG G

««—1

SR

E

Yn

so dass also bei « > 1 der Werth von X” endlich und positiv bleibt.

Hier findet von beiden Seiten her lediglich eine lineare Näherung an

die «-fache Wurzel z, statt.

Es lässt sich aber ohne Schwierigkeit ein anderer Algorithmus

bestimmen, für den selbst bei vielfachen Wurzeln überall quadratische

Convergenz bestehen bleibt.

Dazu reicht es aus

*) Vgl. A, Tauber: Ueber die Newton’sche Näherungsmethode. Monatshefte

£. Math: u Phye. Waen 1885 VL; 2910

311

Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln.

F(Z)=4

f(@) F' (@)

F @— OF @

zu setzen.

Denn es wird für diesen Algoriıthmus

OC —OO © ONO

FII (Z) M

CO OO

?

wobei für die Annahme

OC AA

scheinbar zwar sowohl Zähler als Nenner als niedrigste Potenzen von

(z— 2,) die (4@« — 4)* enthalten, in Wirklichkeit aber der Coefficient

dieser Potenz im Zähler den Werth

2a0(a0 — 1)? — ab(« — 1) — «*(« — 1) (x«—2)= 0

annimmt, so dass der Zähler den Factor (%— 2,)*“—* enthält, und

daher, wie behauptet wurde, F”(2,)= 0 ist.

Dadurch ist dann auch

hier die quadratische Convergenz festgelegt.

&$ 267.

Wir stellen zweitens für die quadratische Gleichung

z + cz2—b=0

( 0)

den Algorithmus

@A an Ö

(c=ß — a)

a

auf

Es sind die beiden Wurzeln & und &’ der Gleichung durch

il

WE —

2

(a + B +VD)-

D=(ß — a)* + 4«b

e& HB5 (a B — VD)

bestimmt. Dabei wollen wir sgn VD = +1 für positive D nehmen

und uns auf diesen Fall D >0 beschränken, um die sonst auftretenden

complexen Wurzeln oder gleichen Wurzeln auszuschliessen.

Es wird

D

aß — ba

F' (z

(us EB}

_

aß— ba

=/1

FOFC= r

ED L

Ist |@«E&-+ß| von |«E'+ ß | verschieden, dann wird der eine der

beiden Werthe | F”(£)|, | F'(&’) | grösser, der andere dagegen kleiner

als 1, und es wird sonach nur an den letzteren eine Näherung

stattfinden können.

Ist (@a + 8)>0, dann hat

|«E+B|

einen

grösseren Werth als | «5’-+ ß ; folglich ist O Z WDC) ; wn

also findet an die algebraisch grössere Wurzel die Annäherung statt.

Bei (@ + ß) < erfolgt sie an die algebraisch kleinere Wurzel. Bei

(a +B)=0 ist | «& +ß |= | «E’+ ß|, und daher wird

312

Dreiundzwanzigste Vorlesung 8& 267—269

__ (a + bo) 2 + b(a-+ß) __ (a? + bo)e

FL @]

ala+ß)z + @o+ß) — ba FBr

die Relation

LE OO

LL —

3

ba« + ß?

E

liefern, so dass dabei gar keine Näherung vorkommen kann.

Wir untersuchen weiter, innerhalb welchen Intervalles überhaupt

Convergenz möglich ist. Wie wir bei den allgemeinen Betrachtungen

sahen, können Grenzpunkte nur solche sein, die entweder

F(2) —2=0

oder

H(E@) —2 z0

machen,

Da wir aber für die beiden linken Seiten

ug* + cz— b

F(2) — 8= —

&+ ß

_ (@+Be#? +oz—d)

F(F(2)) —2 =

&« (a + B)2 + ba + ß)

finden, so folgt, dass bei (@ + ß)=0 überhaupt keine Grenzpunkte

vorhanden sein können, und dass also jeder beliebige Anfangswerth 2,

auf die erreichbare Wurzel asymptotisch führt, natürlich abgesehen

von dem etwa zum Ausgange genommenen zweiten Wurzelpunkte.

Die zu dem aufgestellten F' gehörige inverse Function liefert

Z

Ba +b.

zx+l‘__ SEn

0(Z„

Z

durch diesen Algorithmus wird dann die zweite, auf dem ersten Wege

nicht erreichbare Wurzel erhalten werden.

In dem bisher ausgeschlossenen Grenzfalle D= 0 giebt es zwei

einander gleiche Wurzeln.

Es wird hier

ab+B=at +ß=3(a+Bß),

4(aß — bx) = (a + ß)',

Ö

ö„+1=

aE+ b

al6—0) +

%

TE N GE EEN

ıl

en

apß *

und dieses letzte Resultat zeigt, dass, je nachdem sgn « (ß + a)=+1

ist, die Annäherung nur von der Seite der negativen oder nur von

der Seite der positiven d her erfolgen kann, weil nur in dem hervor-

gehobenen Falle | 0, | kleiner als | &0, | wird.

$ 268.

Wir wollen noch mit einigen Worten auf ein Paar

naheliegende Algorithmen für die allgemeine Gleichung n Grades

fF@=2 + 47L a @ =0

eingehen.

Zuerst seı /’(2) durch die Gleichung

Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln,

313

°

AA E HT HGT U

bestimmt.

Hier ist

MC AT

also kannn / nur zur Annäherung an solche Wurzeln & dienen, für die

0 C© Z—2

ıst

Bedeuten &,, &, &,

-- die reellen, nach absteigender Grösse ge-

ordneten Wurzeln von f(2)= 0, dann sind f'(&), f (&), ::- posıtiv,

und es kommen bei der Näherung also überhaupt nur die Wurzeln

C27 C4;

als möglich in Betracht. —

Endlich setzen wir zur Bestimmung eines neuen Algorithmus

F(2)= 7i/;1’(;); OC E E

und haben also

E 71L/<P (2,).

Hier ist die Ableitung

(&)

HCO

HO =

——

% gnj

„é.n—17

so dass also die Bedingung

0<

®

—Z

(15)

gn—1

erfüllt sein muss, damit an die Wurzel & Annäherung stattfinden kann.

Bei der höchsten reellen Wurzel &, wird f (E,) positiv werden, da f für

sie bei wachsendem Argumente ım Wachsen begriffen ist, ferner

f (&) negativ, da zwischen &, und & eine ungerade Anzahl von

Wurzeln der Gleichung f’(2) = 0 liegt, u. s. £, so_dass

Sgn f (5) — — mGG - n L

Für ungerade % ist ım (15) &“—! stets positiv; folglich kann eine

Annäherung überhaupt nur an E, &, &

stattfinden.

Für gerade n

stellt es sich so: Haben etwa &,, &, - E&2x reelle, positive Werthe, dagegen

Saa+1, Saa+2, : reelle, negative, dann folgt, dass bei der Annäherung als

mögliche, Grenzwerthe überhaupt nur &, 6, : Canı Caot2ı Caa r4,

in Frage kommen; sınd | dagegen &, &,

eı posttıy_ und

C2a+l;

negativ, dann kann eine Annäherung höchstens an &,, &,

stattfinden.

C2ac—-l; C2«; €2a+2;

Es mag bemerkt werden, dass bei

geradem n positive & nur durch F(z2)= —+ | 7i/q>(z) | und negative

ALn

nur durch F'(z)

—-

S n]/$(—z) | erreicht werden können.

$ 269.

Wir haben uns bisher allein mit reellen Wurzeln be-

schäftigt, weil wir den principiell benutzten Mittelwerthsatz nur für

314 Dreiundzwanzigste Vorlesung 8& 269. Vierundzwanzigste Vorlesung & 270.

C

reelle Grössen abgeleitet haben. Will man von dieser strengen Beweis-

führung absehen, dann ist es leicht, auch die complexen Wurzeln in

den Bereich der Betrachtung zu zıehen.

Wir denken uns in der Entwickelung von F nach Potenzen von Z

ONO O O

die Grösse h als von so kleinem Modul, dass mit hinreichender Ge-

nauigkeit bereits

JE I5 0) = ©) — IG)

gesetzt werden kann, wenn F'(z) nicht verschwindet, und, wenn es

verschwindet,

F(# + ) = F(e) + 3 F' (@).

Dann können wir die in den Anfangsparagraphen dieser Vorlesung

gemachten Schlüsse auf complexe Wurzeln erweitern. Aus

(6°)

0G

folgt, dass wenn | F’(£) |<1 ist, um die Wurzel £& in der Ebene,

welche die complexen z = x + iy darstellt, ein Flächenbereich derart

abgegrenzt werden kann, dass jeder Punkt des Bereiches als Anfangs-

werth einer Reihe von Näherungswerthen genommen werden darf, die

auf /” gegründet asymptotisch zu € führen.

Die Näherung geht um

so schneller vor sich, je kleiner der absolute Werth von F(£) ist.

Für F’(£) = 0 erhalten wir quadratische Convergenz.

Aus $ 265 folgt, dass die Newton’sche Methode auch für

complexe und demnach für sämmtliche Wurzeln Gültigkeit

besitzt.

Vierundzwanzigste Vorlesung.

Iteration.

& 270.

Im Vorhergehenden haben wir auf einen Anfangswerth 2,

eine Operatiıon (z) angewendet; auf das erhaltene Resultat g(2,) die-

selbe Operation, so dass @ [@(2,)] entstand, u. s. f. _ Wir nennen dieses

Wiederholen derselben Operation iteriren, und werden das Resultat

und die Operation selbst als Iteration bezeichnen. Diese Operations-

art wollen wir etwas. eingehender studiren.

Zur Abkürzung führen wir folgende Bezeichnungen ein

(@)

O [p(2)] = d (8),

® [‘Pz(z)] = y [p(e)] = ‘P3(Z); Bn

Iteration

315

und erkennen ohne Weiteres, dass hierfür die Regel

(2)

+ 1(2) = D [yı(2)] = ılg (2)]

gilt

Wir setzen w (2) = z

Wir wollen zunächst beweisen, dass, wenn @ eine rationale, ganze

Funetion ist, auch der Quotient

D (@)

H(@)

©

eine ganze, rationale Funetion wird, falls m eine beliebige posıtıve

ganze Zahl bedeutet

Man hat

um dies einzusehen, nur ın den

Quotienten

P, (z)

O, y)

Ma

2

der natürlich eine ganze Funetion der beiden Variablen x und y ıst

Z Y D enzusetzen

S

Dann entstehen die ganzen

Funetionen von

@

‘P(‚+ß„( )ı=

OR

P „(2)

O

S QW(Z);

<P(, 1)1/<

‘P(,+1_)„(‘) 70075 (Z) n

lp}+l)v(‘z)

q)}‚v

OD (Z)—— q7u( )

7 Z @) =

‘P(/—1)v

Qv Q21

Qur)

(p(/+1)1

1+1)v(5) ©

(3)

‘P(Z)'“f«

S

i=0

„ (2) —2

=1+, + Q, Q + : + (Q,Q2»

Qur)

Hieraus ergiebt sich nun für v = 1 und (x + 1) = m das Behauptete

als Specialfall in der Form

O (@) —

(3°)

P(e) —2

S p Qa A

a

Im allgemeinen Falle

d. h. für eime allgemeine ganze Function

q(%), ist die linke Seite von (3%*) nicht weiter durch (@(z) — z2) theil-

bar

Denn träte dies allgemein ein, dann müsste es auch für die

besondere Annahme

p(2) = a

g (p(2)) = 2“

90m (Z) ADr Z'“

eintreten, d. h. es müsste auch der Quotient

2

z

L

E

(& — 2)*

eine ganze Funection von

n

R

sein; das ist aber offenbar nicht so, weil

ja der Nenner den Factor 2°%, der Zähler aber nur 2! enthält

316

Vierundzwanzigste Vorlesung 8 271.

$ 271. Wir verstehen jetzt unter z’ irgend einen festen Werth.

Dann gilt die Reihe der folgenden Sätze.

(I.) Grebtes in der Reike der iterirten Kunctronen

©

,

(2'),

P (Z/)7

P (@),

irgend ein Glied, welches gleich z wird, so giebt es ein

pa (2°) der Art, dass alle Glieder, deren Werth z ist, der Reihe

(5)

B

?

Pa (’Z,))

(P2a(ß'l)‚

Psa(2'), <

angehören, und nur sie.

In der That, wenn @„(2’) das erste Glied in der Reihe (4) ist,

welches =z2' wird, und @(2’) irgend ein anderes späteres von gleicher

Kigenschaft, und wenn endlich ß U zesetzt ward ( A,

so folgt @p(2) = O, [(mua(2')] = @,(z') =2', und das ist mit den

Annahmen nur verträglich, falls y = 0 wird.

(II.) Die Glieder der Reihe

(6)

Z , (p(?/), lp2(z')‚-' (;Da._1(5‚)

sind dann sämmtlich von einander verschieden; bei der

Fortsetzung der Iteration wiederholen sich diese Werthe in

der gleichen Reihenfolge.

In der That, wenn in (6) gleiche Werthe vorkämen, wenn also etwa

„ (e’)= gı (5)

CZ Do)

wäre, dann müsste ja auch

Poa— ı+ (Z/) — Pa—ı [@%(ZI>] = Oaı [D (Z/)] 5: q>„(_z') =4

sein, was der Voraussetzung widerspricht. Der zweite Theil des Satzes

ist klar.

(II.) Bedeutet z eine Wurzel von w@„.(?) — z =

’

SOl 1T

jedes @, (e') bei willkürlichem Index 2 auch eine Wurzel der-

selben Gleichung.

Denn es ist

O, [pı(2')] = Oı [p.(2)] = ıl2’).

Daraus folgt, dass alle Glieder der Reihe

ß

?

@ (2),

P(2'), 4 Pn 1(@')

Wurzeln von @,(z) — 2 = 0 sind.

Ist in dieser Reihe @; (2’) das

erste Glied, dessen Werth wieder gleich ’ wird, dann sind nach (I.)

und (II.)

23

p(2), Yl@), : Pa—ı(@e')

von einander verschiedene Wurzeln von @„(c) — 2 =0, und 1, wird

dabei ein Theiler von x.

So erkennt man:

(IV.) Die Wurzeln von @,(?) — 2=0 ordnen sich in Zeilen

Iteration.

IL

9 ,

‘P(z/)7

q72(2’>: 7a q711——1(2’)7

(‘PÄ(ZI A Z‚)’

e

Z

Ü

und

A

sıind Theiler

VOonm X

Jede

Wurzel von

@(e) — 2= 0 und nur diese werden dabei eingliedrige Zeilen

biılden.

Die Wurzeln von

„ (z)

2)

@) —

P()

—2

ordnen sich deshalb in ein ähnliches Schema ein, in welchem

keine eingliedrigen Zeilen vorkommen.

Ist q eine Primzahl

Z

dann ordnen sıch dıe Wurzeln von Z (0)= U ıin ein Schema

/

Z

(2’),

‘P2(Z‚)7 YYr ‘Pq—1('z/)7

/

Z

, qf(2f’)‚. (;f=.»(f")i

n

ein, dessen Zeilen sämmtlich je qg Glieder enthalten.

Hierbei ist @(z) als allgemeine Funetion gedacht (S. 315, unten).

Wenn man die Coefficienten von @ nunmehr so ändert, dass, wenn

dies möglich ıst, die beiden Gleichungen

T(@)=0 und o(l@) —- Z=0

eine Wurzel 2 gemeinsam haben, dann werden alle Glieder der ersten

Zeile im letzten Schema einander gleich werden, und so folgt das Theorem:

(V.) Wenn für eine specielle Function @(z2) die beiden

Gleichungen

e =0 ul OO

eine Wurzel ?’ gemeinsam haben, so ist dieses 2’ eine g-fache

Wurzel der ersten von beiden Gleichungen, sobald g eine

Pramzahl e

Aus diesem Satze folgt eine merkwürdige a1gebra.ische Formel.

Ks sei eine ganze Funetion vorgelegt

p(e) = a + d + c + ..:;

dann beginnt @, mit a%z, und wir können setzen

pı(2) = atz + b# + 2° + :,

P, () —2

MNMC@)=

S AAy AA

ple) —E

Wählen wir « als

Hier ist z=0 eine Wurzel von w@(g)= 0.

Wurzel von

a! —1

C

E

—A A A ea G 0

a— 1

318

Vierundzwanzigste Vorlesung $ 271—272,

also als primitive Einheitswurzel, dann hat auch T,= 0 die Wurzel

2 =0; folglich ist sie nach (V.) eine g-fache Wurzel dieser Gleichung,

d. h. es fallen dann die Glieder mit 2', ®

CR

2171 im Ausdrucke von

T, fort, oder alle die Gleichungen für a

DE

Yı=0

D

haben mit (7) eine Wurzel gemeinsam

(7) ist aber

wie wir bald

beweisen

werden

irreductibel

Deshalb müssen

die

Ausdrücke

Ba Y

Ö, durch (a?* — 1):(@— 1) theilbar sein

(YL) Setzt man

g (2)

aZ

+ b + c# +

’

pıle)= 8 + bz@ + E A + d Z

HNO =-

Ü T

2

A

dann werden die Coefficienten Ba

Ö, von

e

n Z 0 C

Ala OM

Q

3

22 in @.(©) durch

aı + a + +a+1

theilbar

Die letzte Kigenschaft folgt daraus, dass

ı(e) — 2 =

@© Z

in unserem Falle die Wurzel 2=0 in (q + 1)-facher Multiplicität

besitzt

<

2

die Glieder mit z,

2

u

so dass im Polynome %7 —

R

simmtlich für das oben gewählte a verschwinden müssen

(VII.) Die gemeinsamen Wurzeln der beiden Gleichungen

.(2) = £

yı (2)

sind auch Wurzeln der Gleichung

(;J„(Z) Hr

wenn w den grössten gemeinsamen Theiler von x und 42 be-

zeichnet

Den Uemachten Voraussetzungen nach giebt es in (4) die beiden

2

Glieder @,(2'), pı(z

2'), welche =

\

werden, wenn 2 eine der gemein-

samen Wurzeln ist

Also sind x und 2 Vielfache desjenigen ersten

Z

Index, für den die Iteration

&@

als Resultat liefert

Das zeigt, dass

w ein Vielfaches dieses ersten Index wird

(VIM). Ist 2 eine Wurzel von w,(2) — z= 0, so ist es auch

eine Wurzel von w„,(2) — 2= 0, wenn m die Reihe der posi-

tiven ganzen Zahlen durchläuft

Denn es iıst

Pa (2) = p (p-(2'))

x (£

="Z

ß

3, (2') = p(pax(2'))

(

)

Iteration

319

(IX.) Hat das Gleichungssystem für zwei Unbekannte z und y

P (X) = Y,

pıly)= %

die Lösungen

W Z

VEn S Wurzeln der

Gleichung

OO O

und wenn umgekehrt z eine Lösung

der letzten Gleichung

ıst

dann bılden

@ mm Y = O@)

ein Wurzelpaar des ersten Gleichungssystems

8 272

Das einfachste Beispiel solcher Iterirung liefert, abgesehen

yon dem wenig interessanten y = «2 + ß, die gebrochene Funetion

°‘1'z+ß1

3

(8)

pl)=

VZ+ÖL,

wWorm &,, ß,, 7ı, 0, reelle Grössen sind, für die x,0, — ß,yı + 0 sein

soll, weil sonst w(z) = ß, : 0, = &,: y, und also eine Constante werden

würde

Wir setzen

’

3 (2)

&2 + B3

D (2 ) > },_Zi

O«'a

Ya + 03°

M + ß7n

Pm(?) =

D

und schliessen aus der Gleichung

m—1(“12 + ß1) + ßvlz—l(ylz+61)

Pm(?) = P(m—1(2)) =

V E +ö A @ A

durch Vergleichung der Coefficienten der beiden letzten Ausdrücke

dm = &y Um— 1 F Yıßm—1,

Bın Z Bıcm —ı f Orßmı,

Ym

E i

Ma ß1')’m—l + ö öm——1

Hieraus ergiebt sich

( öIIL

ß mM y„: Sn (“1

BıYı) (&m—10m

Sl ßm—1?m—l)

(“1

ß1 71) (am—2ö\m—l

ßm——2?m—-—2)

(°‘1

— B

Denkt man s1ch von vorn hereim jeden Coefficienten von @ durch

VI °‘1

ß1 ?’1

dividirt, so entsteht die einfachere Formel

XmOm — ßm7m

A

Wir untersuchen nun, unter welchen Bedingungen die Gleichung

Pn (2) = 2

für jedes 2, also identisch erfüllt werden wird

3

20

Vierundzwanzigste Vorlesung $ 272—273

Diejenigen Werthe z,

welche bei unserer einmal angewendeten

Operation g ungeändert bleﬂoen genügen der Gleichung

Z

&, 2 + ßı

Ya O

oder

7’15'+(6 UZ Z0

Wir bezeichnen sie mit

und

und haben wegen der Voraussetzung

(“1 ß17’1) Z a

z

Za

A

VF

+

LA

&,

WE

Yı

—&

Z

e

%'+ö) +—1] __

Wir nehmen nun zuerst an

N sei von 1 verschieden: hierbei sind

g und

von einander verschieden

Es wird in diesem

Falle

da ja

p(2') =

C

ıst

’

P(2) —Z

—

t>:Z—!--ßl

&« Z+ß1

&, Z Bı

&, 2

A

OO

©

Yı ® A0r

Ya Oı

):(

ı83

Yı“

D

0

yı2‘ +ö

N

Aa

71

Z

VE

NOa

A Y A

—

2 8—2

D

. Nm

9 (2) —2

ba

D

B

Die charakteristische

Bedingung dafür

dass @m(£)

b

ıst

lautet

also einfach

N:

= 1

und wir untersuchen zunächst, was dies für reelle, und dann, was es

für complexe Werthe von N bedeutet.

Im ersten Halle kann nur N= * 1 sein, ünd da N =

+ 1 aus-

geschlossen war, so bleibt allein N= — 1

m = 2x% möglich. Weıil

nun schon N®

+1 wird, so haben wir

2 = @2(8)

(f 1° + Bıyı)2 + (& + 0Bı

(°‘1A+ö F OHFE

(a E OE E e A OB

Ca S

CO U

weil diese Gleichungen für alle z gelten sollen, so ist, da der banale

Fall 0, = 0, Bı = 0, 7ı = 0 ausgeschlossen werden kann, zu setzen

«& + 0, =0

Ist N complex, dann muss der Radicand in N negativ seım, folg-

lich gelten in den obigen Gleichungen die oberen Vorzeichen, und

man hat

0 B

Iteration

321

SOW1e

&, FÖ

Zal

Man kann deshalb

RL 0 @, V1

+1>

= SIN @,

N = cos.2@ — sn 2o,

1 = N” = cos2mo — isin2mo

setzen

Daher ist 2mo = 2xx, wobei x irgend eine ganze Zahl be-

deuten muss, und somit ergiebt sıch

, + 0, = 2 cos

Die oben für N= —1 abgeleitete Bedingung ist unter der hier &e-

fundenen enthalten

Es’ wird danm und nur dann! @.(0)= 2

werden

wenn

äal

oleich dem Cosinus des m* Theils eines

vanzen Vielfachen von x ıst

Bisher hatten wir N=+1 angenommen

Wir betrachten jetzt

N= 1

Da dann

ıst, So muss

VEı

seın

also eilt das obere Vorzeichen, und es wird

Bıyı= 1

OÖ =+2

Das ergiebt. für die Iterationen der Reihe nach

(20,

1)z-E2f

@ (£) =

292 + (20, F 1)?

(3o, +2)2 +3ß,

3(e) =

wz+wa+w’

[moz1 a (m — 1)] + mß

Om(?) =

myız + [md, F (m — 1)]

Soll demnach für jedes z die Gleichung @„ (z)= z gelten, so ist

Bı=0, nı=0

C Z

ple)= 2

zu setzen. — Lässt man m wachsen, so nähert sich „ dem Werthe

(°‘1 024 ß1

Po (”) D

'Y1Z+(ö +1)

$ 273. Dass bei der Iteration einer ganzen Funetion (z) nie-

mals identisch „(2)= 2 werden kann, ist selbstverständlich. Wir

wollen hier noch beweisen, dass das Wiederauftreten des Anfanos-

werthes auch beiı keiner gebrochenen, rationalen Funetion von höherem

als dem ersten Grade eintreten kann

Netto, Algebra. I

21

322 Vierundzwanzigste Vorlesung $ 273 Fünfundzwanzigste Vorlesung 8 274

Zu diesem Zwecke betrachten wir eine beliebige gebrochene Funetion,

zerlegen Zähler und Nenner in ihre linearen Factoren und schreiben dl€S

MO

A a

O

0£„(Z Z &) (‘“‘ &)

wobei wir natürlich voraussetzen dürfen, dass kein a,, @

eınem

Uın s

gleich ist

Für z setzen wir in diesen Quotienten die g&e-

brochene Funetion

(

Z(2)

N()

ein und nehmen an, dass auch Z und N zwei ganze Funetionen ohne

gemeinsamen '""heiler seien

Die Eintragung dieses Werthes ergiebt

g(P(2))

—

LA n

(/— azN)

Nu

h(9(@%)

— °‘1N)

—1X_,.N)

wobei die positive oder negative ganze Zahl w die Differenz der Grade

von h und g bezeichnet

In dem Bruche rechts kann sich kein Factor in z, der im Zähler

auftrıitt

gegen einen gleichen im Nenner wegheben

Denn

hätten

zwei Klammern

etwa

Z(2) — aıN(g)

und Z(z) — auN(z)

einen gemeinsamen '"Theiler, dann hätte ihn auch ihre Differenz

(

—&%.) N(e) und also auch

Z(),

Ol In

gegen die Annahme wären Z und N nicht relativ prim zu

einander

Wäre nun @„ (2) = z, so setzen wir für die voraufgehende Iteration

gI(@

Pn —1 (2) a

n (£)?

dann folgt aus dem bewiesenen Hülfssatze, dass „ (g) durch Fort-

heben nicht vereinfacht werden, und dass sonach @„ (z) nur dann = 2

sein kann, wenn schon g:) und @ selbst linear sind; damit ist die

Richtigkeit der Behauptung dargelegt

So einfach der gegebene Beweis des Hülfssatzes ist

so hat er

doch nach der Seite hin einen Mangel, dass bei unserem rein arith-

metischen Satze die Existenz von Wurzeln einer Gleichung, also ein

algebraisches T*heorem vorausgesetzt wurde

Dem können wir folgender-

massen abhelfen

Es seien g(2), h(z) zwei ganze Funetionen, unter denen g(z) dem

Ferner sollen

Grade nach höher oder mindestens gleich h(z)

beide Funetionen ohne einen gemeinsamen Theiler angenommen werden

Setzt man nun in g und in % für die Variable z den Bruch

Z(&)

N()

Die Untersuchungen von Lagrange

328

ein und entfernt die Nenner durch Multiplication mit der niedrigsten

dazu nöthigen Potenz von N; dann behaupten wir

dass die neuen

Functionen, die mit g(Z, N), h(Z, N) bezeichnet werden mögen, auch

keinen gemeinsamen Theiler besıtzen.

Zum Beweise wenden wir auf g und %h die Kuklid’sche Methode

des grössten gemeinsamen Theilers an

Dabei möge

(2) = qı(@) 7(£) 4 h,(£)

die erste Zeile des Schemas sein; q, ist ganz wie gewöhnlich der

Quotient und 4, der Rest der Division

Setzt man jetzt wieder @(2)

statt z ein und bezeichnet ähnlich wie soeben, dann entsteht hieraus

ME ZHCNCNYENAHCN)

Dabei ist u, die Differenz der Grade von g und A

Hätten nun

g(Z, N) und h(Z, N) einen gemeinsamen Theiler, so hätte denselben

auch, da er offenbar kein Theiler von N“1 sein kann, die Function

h,(Z, N). Die zweite Zeile des Euklid’schen Schemas sei

h(?) = q (8) h,(£) + Im(2);

ihr entsprechend bilden wir wiederum

h(Z, N) = (Z, N)h(Z, N) + N'h,(Z, N)

und schliessen, dass auch 4,(Z, N) denselben Theiler besitzt

So geht

es weıter

und da wir schliesslich bei fortgesetzter Division auf eine

Constante h, kommen

so folgt die behauptete Unmöglichkeit der

Kxistenz eines Theilers von g(Z, N) und hA(Z, N)

ET

Fünfundzwanzigste Vorlesung

Die Untersuchungen von Lagrange

$ 274. Lagrange knüpft einen Theil seiner Untersuchungen

über die al%b1msehen Gleichungen an eine wichtige Transformation

an ($ 120).

Bezeichnen wir die Wurzeln von

(D

f(e)=# — a 1Ln

+ @=0

G Z

Z„ und setzen die Quadrate der Wurzeldifferenzen

C©) e

@ N

CZ ZU D

22

°%),

dann kann wenn 2 und w alle gestatteten Werthe durchlaufen, @, im

Ganzen — n (n — 1) Werthe annehmen. Diese Anzahl werde wie früher

21

3}

v}

24

Fünfundzwanzigste Vorlesung $ 274—276.

mit o bezeichnet. Alle die o Werthe von @ sind die Wurzeln einer

Gleichung o*°" Grades

(3)

JC E COaa Cpe 73 — 0 =0

deren Coefficienten ganze, rationale Funetionen von c,, &,

C„ werden.

Die bequemste Herstellung von (3) durch Berechnung der Coefficienten U

haben wir früher ($ 120) besprochen; wir wollen (3) als Gleichung

der Wurzeldifferenz-Quadrate bezeichnen.

Wir haben sie bereits

bei der Trennung der Wurzeln ($ 238) benutzt.

Welches sind die charakteristischen Bedingungen dafür, .dass (3)

eine positive Wurzel habe?

Offenbar muss (2; — zu) reell sein =4q,

und also, wenn wir 2 = &@ + bi setzen, zı = (g + a) + bi, d. h. (1)

muss Wurzeln besitzen, die in ihren imaginären Theilen überein-

stimmen. Dies findet beispielsweise stets dann statt, wenn (1) mehrere

reelle Wurzeln besitzt; aber aus dem Vorkommen von positiven

Wurzeln @„ kann noch nicht umgekehrt auf reelle Wurzeln 22 ge-

schlossen werden.

So hat man z. B. für

f(g) = 2# —22 + 3g —22+2=0

die Wurzeln 1 +Z%, 1

%, %, —0 und daher für @ die Werthe

A O (D 2 n

unter denen zwei positive vorkommen, trotzdem f= 0 keine reellen

Wurzeln besitzt.

Welches sind ferner die charakteristischen Bedingungen dafür,

dass (3) eine negative Wurzel habe?

Offenbar muss (%2 — 2u) rein

sein

wenn

imaginär

EW Qi;

und also,

Wir, 3, = @ + 00 setzen,

2 =a-+ b+q)i, d. h. (1) muss Wurzeln besitzen, die in ihren

reellen T'heilen übereinstimmen.

Dies kann nur stattfinden, wenn (1)

überhaupt imaginäre Wurzeln besitzt, und findet dann auch sicher

statt, da ja mit einem 2 = (a + b£) zugleich die conjugirt complexe

Grösse zı = (a — bi) als Wurzel auftritt; denn zwei gleiche reelle

Wurzeln geben ein. x = 0.

Das Vorkommen vyon complexen

Wurzeln bei (1) ist charakteristisch für das Vorkommen von

negatıyen Wurzeln beı (3).

Complexe Wurzeln können für (3) nur erscheinen, wenn (1) gleich-

falls complexe Wurzeln besitzt.

Infolge unseres letzten Resultates

können wir also sagen: Die Gleichung (3) hat keine complexen

Wurzeln, wenn sie keine imaginären Wurzeln besitzt.

8& 24%5.

Aus dieser Eigenthümlichkeit hat schon Waring in

seinem Werke: Miscellanea analytica, 1762, einen wichtigen Schluss

gezogen, auf den dann später auch Lagrange ((Kuvres, Bd. 8 S. 1438)

Die Untersuchungen von Lagrange.

225

näher eingegangen ist, nicht ohne in einigen Worten Waring’s Ver-

dienste zu erwähnen.

Gesetzt, (1) besitzt nur reelle, von einander verschiedene Wurzeln.

Dann besitzt (3) lediglich reelle, positive Wurzeln, und also ist nach

8 197 die linke Seite von (3) vollständig und besitzt in der Coefficienten-

reihe nur Zeichenwechsel; mit anderen Worten, alle C,, C,

%

sind von Null verschieden und positiv. Wenn umgekehrt (3) die eben

ausgesprochene Higenschaft besitzt, dann folgt, dass diese Gleichung

keine reelle, negative Wurzel „ haben kann, weil für eine solche

alle Vorzeichen der Glieder auf der linken Seite einander gleich

würden, und die Summe deswegen nicht verschwinden kann.

Nach

den letzten Resultaten des vorigen Paragraphen hat also (1) dann

auch keine complexen Wurzeln.

Es ist charakteristisch für die

Realität sämmtlicher Gleichungswurzeln von (1), dass (8)

eine vollständige Gleichung mit lauter Zeichenwechseln ist,

dass also die 0,, &, -.. C wesentlich posıtıve Grössen sind.

So erkennt man aus dem Beispiele von $ 120 für die Gleichung

(

—a FEa —C=0

unter Berücksichtigung des Umstandes, dass 0, = (c,* — 36,)* ist, als

charakteristische Bedingungen für die Realität der Wurzeln

der Gleichung (1®) des dritten Grades (vgl. $ 216)

C

— 46363 + 0,?6,? + 186,6,603 — 469° — 2763° > 0.

Bei diesen Betrachtungen ist aber festzuhalten, dass die o Be-

dingungen

(4)

@>0 >0

%O

nicht unabhängig von einander zu sein brauchen; ja wir wissen sogar

aus den Ueberlegungen beim Sturm’schen Satze ($ 224), dass schon

(n — 1) Bedingungen ausreichen, um die Realität aller Wurzeln zu

verbürgen; die grosse Zahl von o = %n(n — 1) Bedingungen (4) muss

sich daher stets auf (n — 1) reduciren lassen.

S 276.

Die Untersuchungen über das Vorkommen negativer

Wurzeln bei (3) haben uns gezeigt, dass die beiden conjugirt complexen

Wurzeln 27 = (a+bi) und Z = (a — bi) von (1) eine negative

Wenn daher

Wurzel (— 4db°) in (3) hervorrufen.

R 9,7

z 9N7

AB Q///‚

sämmtliche negatıve Wurzeln von (3) sind, so befinden sich

die Coefficıenten von %i aller complexen Wurzeln von (1)

unter den Grössen

3

26

Fünfundzwanzigste Vorlesung $ 276—277.

ıl

il

(5)

2

V9 ,; ; V?;

2

A

Dass nicht nothwendig jede dieser Grössen gleich einem solchen

Coefficienten oder, geometrisch gesprochen, gleich einer imaginären

Wurzelcoordinate ist, zeigt die Annahme z = (@ 4 d0), u = (@-b0),

welche zu! einem %, = — (b — b,)” führt. Es ist, also‘ noch nöthis

2

aus (5) die Auswahl zu treffen und zur gefundenen imaginären die

reelle Coordinate zu bestimmen. Das macht Lagrange folgendermassen.

In (1) trägt er 2z=x-+y%i ein. Dadurch entsteht, wenn

a L ,

(6)

f'(@) — BF @) +L f7G@) ı = Ma‚

gesetzt wird, die Gleichung zwischen den reellen Grössen x und y

(69)

g(x, y”) + iy : h(x, y') = 0,

und wenn num zı = %; + yıi eine Wurzel von (1) ist, dann müssen

die beiden Gleichungen

(6”)

_(j<„T‚ 3/;2) 5 O7 _?//L(.Z‘‚ y12) =0

eine reelle Wurzel x = x; gemeinsam haben. Da es sich bei dieser

Untersuchung um complexe Wurzeln z; handelt, so ist y, von Null

verschieden, und dieser Factor kann demnach ohne Schaden bei der

zweiten Gleichung weggelassen werden.

Ist dies geschehen, dann

muss %— x ein Nullwerth des gemeinsamen Theilers 7(x, y?) der

beiden Funetionen g(x, y}) und h(x, y?) werden; und jede reelle

Wurzel von

T(.%‚ y,12) =0

giebt eine zu y,i gehörige reelle Coordinate einer Wurzel z von (1).

Es sind also die Grössen (5) in g und h einzutragen, und es ist zu

untersuchen, ob ein gemeinsamer Theiler mit reeller Wurzel besteht.

Wir wollen diese Regel an einem früher behandelten Beispiele

($ 254) durchführen, nämlich an der Gleichung dritten Grades

z — 3g + 52—2=0.

Nach $ 120 wird die Gleichung der Wurzeldifferenzquadrate

* + 12° + 66 + 59= 0,

deren Form sofort zeigt, dass eine negative Wurzel @, vorhanden ist.

Wendet man auf die Gleichung in @ das Criterium $ 206 an, so zeigt

sich, dass , die einzige negative Wurzel der Gleichung in @ ist; und

daher wird % V— g die imaginäre Coordinate y, zweier Wurzeln 2,, z.

Man findet für sie

27

Die Untersuchungen von Lagrange.

D — OIGT0B,

4 = Vgı 1467711

Die Gleichungen (6°) lauten hier abgesehen vom Factor y, der zweiten

— GD, O —

das wird bei unserem Werthe von y,” bis auf die sechste Decimale

x — 3a — 1,462531% + 4,462531 = 0,

%* — Q% + 0,948608 = 0,

und der grösste gemeinsame Theiler beider Polynome ist vom ersten

Grade und hat die Form

% — 1,226698;

man erhält daraus die complexen Wurzeln unserer Gleichung

21 — 1,226698 + 1,4677110,

Z — 1,226698 — 1,467711:.

$ 277. Zu dieser von Lagrange gegebenen Methode haben wir

Wir hatten durch die

noch eine interessante Bemerkung zu machen.

Substitution z = x + yi aus dem Polynome f(z) erhalten

(6°)

g(x, y?) + 0y h(z,y°)= 0.

Die beiden Gleichungen der beiden Unbekannten x und y

(6°)

g(@,y)=0 und yh(z,y‘) = 0

haben ihrer Herleitung zufolge genau u reelle Wurzelpaare (x, y)

= (%,, Yı); (Xo, Yo); * (Xn, Yn) gemeinsam. KEs liefert dabei der erste

Factor der zweiten Gleichung von (6°) alle und nur die reellen Wurzeln

von f(z)= 0, wie dies ja auch von vorn herein klar ist, da g(z, 0)

= f(x) wird. Der zweite Factor h(x, y?) liefert durch Vereinigung

mit g(x,y?) alle und nur die complexen Wurzeln.

Ordnet man nun

g und h nach Potenzen von x und fasst die Funetionen als ganze

Funcetionen von x auf, dann wird sicher die Resultante nach x durch

Nullsetzen eine Gleichung

©

Rın = P(y2) =0

ergeben, die unter ihren reellen Wurzeln y alle imaginären Wurzel-

coordinaten der Wurzeln von f(z) = 0 besitzt.

Has also 7 = 0 wyırk.

lich eine complexe Wurzel 2, = x, + yıi, dann folgt aus (3) und (7)

F('_ 4-.7/12> G O; P(?/12) =0

und also haben die beiden Gleichungen

He N Z

eine Wurzel gemeinsam. Nun ist der Definition nach

Fg)= [ [ @ — @— 2))

(A=12 .. l @=2 1 %),

328

Fünfundzwanzigste Vorlesung &$ 277—278,

und daraus kann man, wie wir später zeigen werden, den Schluss

ziehen, dass F(g) eine irreductible Funetion sein wird, so lange f(z)

allgemein ist, d. h. so lange zwischen den Wurzeln von f=0 keine

algebraischen Beziehungen bestehen. Verbindet man dieses Resultat

mit dem vorigen, dann zeigt sich, dass im allgemeinen Falle P(y”)

durch / (— 4y°) theilbar sein muss, Weiter erkennen wir aus (6), dass

die Coefficienten von x” in g und h nach y nur bis zur Potenz e

aufsteigen, wenn v gerade, und nur bis zur Potenz Y m wenn D un

gerade ist. Da ferner nach $ 137 die Resultante P(y”) isobarisch

ist von einem Grade, der gleich dem Producte der Gradzahlen von g

und von %A in x wird, so ist ersichtlich, dass P(y°) höchstens bis zu

Yr D zufsteret,

F(—4y°) thut dies wirklich, und so können beide

Functionen sich höchstens durch einen constanten Faetor unterscheiden.

Endlich zeigt die Eintragung von y=0 in (6), dass das absolute

Glied von P (y”) gleich R und daher nach 8 158 gleich D-, d. h. bis

auf das Vorzeichen gleich dem absoluten Gliede von F (— 4y?) wird.

Wir sehen also: Setzt man

f (e) = f(@ 4 y0) = g.(«, y?) + iy - h(x, y°),

so wird die Resultante der beiden Functionen @ 1 OD

Rıp= P (y°)

gleich F(—4y’), wobei F(g) die Gleichung der Wurzel-

differenz-Quadrate von f(z)=0 bedeutet.

Dies giebt eine

bequeme Methode, um die Gleichung der Wurzeldifferenz-

Quadrate in geschlossener Form, als Determinante n Ord-

nung aufzuschreiben und zu berechnen.

Zugleich erkennt

man hieraus, dass sämmtliche Wurzeln von P(y’) = 0 durch

die Formel

z=i—ä

i [(x "‘ ) A 000 —

gegeben werden.

S 278. Die oben besprochene Lagrange’sche Methode liefert

die complexen Wurzeln von f(z) = 0 durch Aufsuchung der reellen,

positiven Wurzeln gewisser anderen Gleichungen. Lagrange hat nun

weiter auch eine Vorschrift zur näherungsweisen Berechnung der po-

sitiven Wurzeln algebraischer Gleichungen angegeben, die wir jetzt zu

besprechen haben. Sie beruht auf der Benutzung der Kettenbrüche.

Wir nehmen an, dass eine reelle, positive Wurzel von f=0

zwischen den ganzen Zahlen @ und (a + 1) gelegen sei. Setzt man dann

a FE C0

C

il

Z

Die Untersuchungen von Lagrange.

329

in (1) ein und multiplieirt mit 2””, so erhält man eine neue Gleichung

(8)

f1(5,) DE c(;z'n E C;z'n—l A C;Z’n—2__ Z + O = 0,

welche eine Wurzel ’ = ‚iä besitzt, d. h. also eine positiye Wurzel

Für diese sucht man nun durch Probiren

2', welche grösser ist als 1.

das nächst niedrige Ganze a, und setzt wieder

ül

4 = 0

7r

in die letzte Gleichung em.

Dadurch kommt man nach Multiplication

mit 2”* zu der Gleichung

WD

(9)

f2(zl/) A CJZ”" O C;»zu"_l + c

ZZ AF

2_...ic;l'-._—.0‚

welche eine Wurzel z” = — besitzt, d. h. also eine positive Wurzel

Für diese sucht man ebenfalls das

2”, welche grösser ist als 1

nächst niedere Ganze a„ und setzt

al

2 = +

O

u s. £. So erhält man für z bei weiterer Fortsetzung einen Kettenbruch

Dr

(10)

E

C A

A +

der in bekannter Weise aufgerechnet werden muss. —

Es ist ersichtlich, dass wenn zwischen @ und (@ + 1) mehrere

Wurzeln von (1) liegen, z ebenso viele verschiedenen Werthe annehmen

kann, so dass also (8) mehrere positiven Wurzeln >1 besitzt, und

umgekehrt.

Wählt man a, als den Näherungswerth für eine dieser

Wurzeln, dann kann auch (9) noch mehrere positive, die Kinheit

übertreffenden Wurzeln

R

D

” haben, falls (1) noch mehrere Wurzeln

zwischen den Grenzen

„ Ka

a—f—(i— und a -+

a

wachsenden

also in dem von <a — %) aus auf eine Länge von

Q, ('111+f1)

Intervalle hat.

Ebenso kann die Gleichung für 2”” noch mehrere die

Einheit übertreffenden Wurzeln besitzen, falls (1) noch mehrere Wurzeln

zwischen

a +

und @+

: RE

Ü

A,

AD

a + 1

Zl

also in dem betreffenden Intervalle von der Grösse

(@, Ag A 1) (A, A AA _|:f)

besitzt, u. s. f.. Man erkennt aber zugleich, dass von einer bestimmten

9

}

30

Fünfundzwanzigste Vorlesung $ 278—280

Grenze an sämmtliche transformirten Gleichungen nur eine einzige

positive, die Einheit übertreffende Wurzel liefern werden, und dass,

sobald die erste solche transformirte Gleichung erreicht ist, alle fol@enden

dieselbe Kigenschaft haben werden.

Man überzeugt sich leicht davon, dass die Transformationen durch

die Formeln

Al = fr + @r f n

h(e) =f(a) + i HCDETE 31 f @ E

WE E A

geliefert werden

$ 279

Als Beispiel wählen wir unsere frühere Gleichung

— 32° + 52—2=0

Hierfür wird a = 0, also z= ,, und dann entstehen der Reihe nach

durch die angegebenen Transformationen die Gleichungen

2

z3

—5

+3z2 —1

S L —— 2=0

— 4# —42 —1=0

A

172 — 122 — 82 — 1=0

F7E E

HT

42° — 192° — 392 — 17= 0

Öar

65

532 —4=0

_9+ NR

1

2022 Z 2602 E U=0

AL

2

— 672 — 4672 — 202 = 0

NL O TEE, T +

4672° — 206

— 7402 — 269 = 0

Z

Aus den Werthen der a ergeben sich die Näherungswerthe

ıl

5

6

41

88

E

129

217

346

563

7

9 2 76 ‚61 42864 8972768381 1080

— 0,546601

Die Untersuchungen von Lagrange.

331

und aus der Grösse des Nenners ersieht man, dass der letzte Werth

in allen sechs Decimalstellen richtig ist.

8 280. Aus dem Schema des vorigen Paragraphen tritt heraus,

dass die transformirten Gleichungen von fz(2z)= 0 an auf den posi-

tiven Anfangscoefficienten lauter negative Coefficienten folgen lassen.

Lagrange hat dies bemerkt, aber seine auf diese Eigenthümlichkeit

gerichteten Untersuchungen*) bedurften noch eines Abschlusses, der

erst von Vincent**) gegeben ist.

Wir wollen uns mit dieser Frage

beschäftigen.

In (1) tragen wir als Substitution

Pzg+Pz—l

D D

@=1,2,

eın

?

wobei über die P und die Q vorausgesetzt werden soll, dass

sämmtliche Grössen positiv sind, und dass dıe Differenzen

I)

%— 1

Q

%

Q

mit wachsendem x beliebig klein werden

Durch die Umkehrung der

Substitution erhält man den Ausdruck

(

—17

S

Qz——l

P

C=(lr

Q

Z

(

O,

C

X

Q,

}

und daraus geht hervor, dass einer reellen Wurzel z, von (1) wieder

eine reelle Wurzel

°

(

%— 1

Cr

S

——

Ü =

O

e

der transformirten Gleichung in

5

entspricht.

Ist z, nicht die Grenze

dann werden von eiınem

der #sıch ıe Brüche oa 07

nähern,

bestimmten x ab die Vorzeichen im Zähler

und Nenner von &, ver-

schieden sein, und &, wird sich der Grenze (— g,) beliebig nähern,

da 6, beliebig wenig von o6„,_1 verschieden wird. Das Gleiche wird

bei allen . reellen Wurzeln %, &,

der transformirten Gleichung

stattfinden, bei denen die entsprechenden 2,, 2;,

nıcht gleich lim 6,

werden.

Das ihrer Gesammtheit entsprechende Polynom der trans-

formirten Gleichung nähert sich also mit allen seinen Coefficienten

mehr und mehr denen einer Potenz von (& + g,).

Ist dagegen eine Wurzel von (1) z. B. %, der Grenzwerth von OB

derart, dass z stets zwischen zwei aufeinanderfolgenden 6 liegt, dann

*) Euvres, Bd. VIII, Note XII, S. 286.

**) J. de M. I, 341; Note sur la r6&solution des Equations num&riques.

332

Fünfundzwanzigste Vorlesung $ 280—281,

wird &, einen positiven Werth, etwa + „ erhalten und zum Wurzel-

factor (£ — p,) gehören. Ueber den Werth von D lässt sich nichts

aussagen.

Ferner entspricht der complexen Gleichungswurzel (x, +- Öl}

von (1) die Wurzel & der transformirten Gleichung:

Sa A

677.-7—11 —&r _ly1

_-

%

(6z—1—‘7;1)(x1_6z)_?/12

AT

Zı (G‚f”‚— 1

LU

__Gyj

Vx1 “F“Z E o

K

Man erkennt sofort, dass bei hinreichend hohem x die imaginäre

Coordinate n sich der Null, und die reelle dem Werthe (—9gx) nähert;

genau wie dies bei den reellen Wurzeln erster Sorte stattfand, wird

also auch hier bei hinreichend hohem x der Wurzelfactor [E —(&, + in,)]

sich beliebig wenig von (&-+-gq,) unterscheiden.

Besitzt (1) keine Wurzel %, welche zwischen je zwei auf-

einanderfolgenden Werthen der convergirenden Brüche

P1 PZ

1)

—1

B

%

(11)

Q

8

Q

T

O

liegt, dann nähert sich die transformirte Gleichung asympto-

tisch der Form

Zl

+a = 8 ( er e bn (a

C

)

Ist dagegen eine derartige Wurzel z vorhanden, dann er-

hält man für die Gleichung®in & die Form

Ea + (a e

n—1

n—1

(

+[(

2

K

ıl

)p„] quE" ®

n—1

n—1

+[(

3

Y

2

>19„] E

Falls auf der rechten Seite einer der Coefficienten negativ wird, muss,

wie man leicht sieht, der folgende und also auch jeder folgende negativ

sein.

Der letzte Coefficient ist negativ, da , positiv wird.

Ist eine Wurzel % vorhanden, welche zwischen je zwei

aufeinander folgenden Werthen der Brüche (11) liegt, dann

besitzt die Gleichung in & stets einen und nur einen Zeichen-

wechsel

nn OS

Reihe

der Coefficienten bei

hinreichend

hohem x.

Bei der Lagrange’schen Transformationsmethode treten die hier

besprochenen Verhältnisse ein, da man (11) mit der Reihe der durch

den Kettenbruch (10) gelieferten Näherungswerthe zusammenfallen

Die Untersuchungen von Lagrange.

333

lassen kann.

Dass der Zeichenwechsel nicht nothwendig beim zweiten

Ghiede einzutreten braucht, wie dies beim Beispiele des vorigen Para-

graphen eintrat, zeigt die Behandlung der Funetion

——

f (&)

==

@-2-DC+1D

wenn man die Wurzel A

9

( V5) zu berechnen sucht.

$ 281. Die auseinandergesetzte Methode steht, trotzdem Lagrange

sie über die Newton’sche setzen möchte, in ihrer praktischen An-

wendbarkeit der einfachen Newton’schen nach. Die auszuführenden

Sie zerfallen ın

Rechnungen sind von ermüdender Weitschweifigkeit.

zwei verschiedene Theile.

Einmal ist nach Auffindung jedes 'Theıl-

nenners eine Transformation der Gleichung vorzunehmen, und dann

muss für diese transformirte Gleichung wieder eine positive, die Kın-

heit übertreffende Wurzel gesucht werden, welche als neuer Theil-

nenner zu benutzen seinm wird.

Lagrange hat gezeigt, dass nach

einigen Anfangswerthen für die Theilnenner alle folgenden ohne müh-

sames Probiren direct bestimmt werden können.

Die Ableitung dieser

Vorschrift bei Lagrange ist etwas umständlich. Aus der Gleichung

(12) können wir sein Schlussresultat direct entnehmen.

Hat_ man

nämlıch

f/(;) B c((]x);n Ga C(;:)Cn—l + C(;)Cn——2 B i CELx) —(

als transformirte Gleichung, aus welcher der Werth des neuen Theil-

nenners a, zu bestimmen ıst, so folgt aus den Ueberlegungen des

vorigen Paragraphen erstens, dass a, gleich der grössten ganzen Zahl

sein muss, welche in „ enthalten ist, und zweitens, dass angenähert

n—1

c(f)

(18)

%

(

al

n

@

n—1

Qx—l

(x)

AAy

“

Cn

(18%)

(

il

)

Q

(z)

sein wird; ja man kann aus (13) an Stelle der ganzen Zahl @, den

Werth y, als angenäherten vollständigen Theilnenner entnehmen und

so beim Abschlusse der Rechnung die Genauigkeit des Resultates

noch vermehren.

Weitere algebraische Untersuchungen von Lagrange gehören

anderen Gebieten an; wir werden auf sie an gehöriger Stelle noch

einzugehen haben.

€

€

3

€

€

34

Sechsundzwanzigste Vorlesung $ 282 —284.

Sechsundzwanzigste Vorlesung.

Die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades.

S 282. Wir sind bisher nur beiläufig, besonders bei der Be-

handlung der Tschirnhausen-Transformation auf die Lösung der

algebraischen Gleichungen der niedersten Grade eingegangen. Hier

kehren wir zu dieser Frage zurück, um sie systematisch zu erledigen.

Hat man zunächst die Gleichung zweiten Grades

(D

2 — 2a,2 + a =0,

so folgt durch die Substitution

2= U + 4,

u = 2 — Q,

die umgewandelte, vereinfachte Gleichung

a

Eine Gleichung von der Form #” — c=(0) heisst eine reine, oder

eine binomische Gleichuneg:

o

eine solche haben wir hier also durch

unsere "T’ransformation erlangt und können daraus das Resultat

u 4 Va w

ß

( Z VZZ? 73 a2—

ziehen.

Bezeichnen wir die beiden Wurzeln von (1) durch z, und z

27

so haben wir je nach dem gewählten Vorzeichen der Quadratwurzel

PEF

(2)

A z + Vd12f'; 02‚

P

Va,

A>

(3)

Aı Za a

2 Va1

A

A

Z9y

__zl

©

—

?11‚'£3‘”‘‚ Z j: z

2

?

(A

21

Welcher Werth dabei der Quadratwurzel gegeben werden soll, ist

ganz ın unser Belieben gestellt.

$ 283.

Auch die Gleichung dritten Grades

(5)

— 3a2 4302 —a =0

kann man durch eine UT’schirnhausen’sche "T'ransformation, wie in

$ 115 angegeben ist, in eine reine Gleichung umwandeln. Wir wollen

Zunächst setzen wir

dies schrittweise bewerkstelligen.

2=uU + G,

u = 2 — d

und erhalten durch Umwandlung eine Gleichung ohne das Glied mit

2

u

nämlich

u — 3(a — a) u — (2a,? — 3a0 + a)= 0.

330

Die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades

Der weiteren Behandlung können wir sonach von vorn herein die ein-

fachere Form

(6)

D +uc2

=0

zu Grunde legen

JEentr wa da e =8,= 0 8 © X

e

SN

1

il

3C

59 A z 4 = — 108 (6* + 6*),

232 = 183 VE

Die Formeln aus $ 115 zeigen dann, dass man aus (6) vermittels der

Substitution

(7)

u= 26 +(%+V% +C25) + @&

eine reine Gleichung erhalten muss

KErhebt man (7) in die zweite

und in die dritte Potenz, so folgt nach gehöriger Reduetion durch (6)

(7°) W=2V63" + 6,° 126 (C3+VC3 +cz3)_‘c2 Ä+(03+1/632+025)2 j

Z

2Va? +a FVa +o ] {90 2+(

C

V

(8) w =8 VFa e Va F

Die letzte dieser Gleichungen giebt direct das Resultat der Einführung

von w in (6). Man hat also durch Ausziehen der dritten Wurzel

(9)

“=21/('3 | © VC„+VQ; ©

Aus den beiden Gleichungen (7) und (7%) folgt durch Elimination

VOn

2V‘33 + 678 -

O0

2 1/cf+c2 [ca al 1/632+023]

462 (6 -{ 0 °)

C

w

2

und daraus als Lösung der Gleichung (6) vom dritten Grade das

Schlussresultat in der Form

JDan

VVCa E a

KD E TE

C

(10)

1/Vca + c 5'2 + C

E EET T G

S

V03 'f' C2 a V('3 VÜ

3

+C2

$ 284. Zu dem gleichen Ergebnisse kann man auch mit geringerem

Aufwande von Rechnung gelangen, indem man nach Euler

(11)

2=6+rT

2 = (o®

) H3076 7) 6 K 7) -K B3or2

setzt und dann (6) und die aus (11) folgende Gleichung

30

3)__0

£

2

€

}

I

6

Sechsundzwanzigste Vorlesung $ 284—286.

miıt einander identificirt.

Hiernach wird wegen der nothwendigen

Uebereinstimmung der Coefficienten in beiden Formen:

O 2

69 v}

E=

E

A

O Va a =6 Va *,

wobei gleichzeitig die beiden oberen oder die beiden unteren Zeichen

genommen werden müssen, damit die vorhergehende Gleichung be-

friedigt werde.

Daraus ergiebt sich dann wiederum, wie oben

(10°)

0Va Va Vo — Vra

&$ 285.

Bedenkt man, dass die Quadratwurzel zwei verschiedene

Werthe repräsentirt, so scheint es, als ob zu der ersten Formel von

(10) noch die zweite Formel mit verändertem Vorzeichen der Quadrat-

wurzel, nämlich

(11)

8 S

V T

C

Ji/C.; _V a

treten müsse; aus der Identität

——

E:3

or Va Vr a Va Va Fa

—C‘_)‚

folgt aber, dass dieses Resultat nur eine andere Form des in (10) er-

haltenen. darstellt, indem die Summanden sich vertauscht haben.

Bezeichnet man weiter die drei Wurzeln von 2° — 1==0, also

die drei dritten Einheitswurzeln mit 1, @, w”, wobei demnach

z

—1 +V=3

D

2

EL A

BETENSOE E

== Q

z

2

Vf3; 1

[O)

ist, dann folgt für die drei Wurzeln von (1), wenn man dem Symbol

V

einen beliebigen, aber bestimmten von seinen drei möglichen

Werthen giebt,

Al

C

CZ

Voy + Va

:VC:; n VCS

n

C9 @

(12)

29

0 Vos + Vo? + @*

=0

C

Vc}

E

A

C @W

Ö3

w i/;5—+ V('327+7? C

:i/cs V

+&

Bei der Anwendung der zweiten Formel von (10) ist zu bedenken,

dass die Cubikwurzel im zweiten Summanden von w* aus (9), und die

im ersten dem w entspricht, dass also hier zu setzen ist

337

Die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades

CZ

1/03+V03 + 6 H+ Vcä—1/c3 + 6,

——

(13)

(} 1/03—l—1/c3 +c3—|—co21/c —Vc3 +02‚

—

3

21/03+1/c3 +02 AL 1/03—Vc3 —{—02

Die Werthe der beiden in (13) vorkommenden dritten Wurzeln sind

nicht von einander unabhän

oa

ig

sondern sie müssen durch die auch

aus 60tT = — @_ hervorgehende Beziehung mit einander verbunden sein

Diese Beschränkung, welche hinzugefügt werden muss, zeigt, dass die

Formeln (12) den Formeln (13) vorzuziehen sınd

$ 286. Aus den Untersuchungen des $ 216 können wir sofort

entnehmen, dass für C © 0 nur eine reelle ür on O

drei reelle und von einander verschiedene Wurzeln vorkommen, während

bei ”2 + c = 0 drei reelle Wurzeln vorhanden sind, unter denen

mindestens zwei einander gleiche Werthe haben. Das können wir hier

auf unsere Lösungen gestützt, auch direct herleiten

Ist 6? + c > 0, so werden die Radicanden der Cubikwurzeln in

(13) reell

und daher dürfen für die dritten Wurzeln selbst reelle

Werthe genommen werden, die wir miıt 4 und B bezeichnen wollen

Dann findet sich bei der Einführung der Werthe für o und ®

A

A+B

4A4 — B

2

+

2

V-—3

(4+B)

4— B

<3)

A+B

V

")))

2

2

d. h. es kommen bei * + *>0 zwei complexe Wurzeln z vor

Ist ” + 6° = 0, so wird wegen 1 + w + w*= 0

- 21/03>

2

A Dn 1/cß;

d..h. bei 6” Fa = 0 sz1ebt.es zweiı reelle, sleiche Wurzeln

Ist endlich , 6 . 0

so werden die Radiceanden der Cubik-

wurzeln in (13) complex und einander conjugirt; dasselbe findet dann

auch mit den dritten Wurzeln selbst statt, und setzt man daher dem-

entsprechend bei reellen « und ß

V63—l—1/03 I @ = @ O 1/63—VC3 @

=' @ — ßi

so folgt für die Ausdrücke der Wurzeln

Z

2a

’

1/—3

(« +

A

D

=—a+ßV3

= (« + ß —

V

B (@—

1+1/—5

a—ßV

Netto, Algebra. I

22

338

Sechsundzwanzigste Vorlesung $ 286—288

Diese Wurzeln

sınd reell

sie sind auch von einander verschieden

Denn wäre zuerst

20= —a +ß8V3

so hätte man

V3

B Z E, a Bi= —2 (

9

)

&Va Z B Dn

und das wäre gegen die Voraussetzung reell

Es kann aber auch nicht

—a+ßV8= -a — ßVß

sein, denn sonst wäre ß=0 und 6 + Vc;? +c,? eine reelle Grösse

BEr c 2A0 Sind alle dreı Wurzeln reellund on ein?

ander verschieden.

8 287.

Dieser letzte, der sogenannte irreduecible Fall, macht

bei der numerischen Rechnurwr wegen des scheinbar unnoth1gen Durch-

ganges durch das Complexe Umständlichkeiten.

Es

ist für solche

Zwecke besser

die Lösung durch goniometrische Funetionen zu be-

bewerkstelligen, um ganz im Gebiete des Reellen zu bleiben

Es sei, um dies durchzuführen

— Q cos g,

G5 a ©

Q Sll]"q)‚

( < 0)

dann wird

FE

C

0=V— 6, cosgp=

( <0)

und also

cä7

1

8

s=Vo (co] +[—o])

Weil nun aber nach einem bekannten Satze

[(6p]' —[ etten

@=0, 1

)

ist, so folgen die drei Gleichungswurzeln in reeller Form

=2V0cos ,

2 = 20 cos

A O

P { 4x

2 =210 cos

Der hier behandelte Fall legt die Frage nahe, ob es nicht möglich

sein sollte

bei anderer Anordnung der Rechnung den Durchgane

durch das Complexe auch in der algebraischen Auflösungsformel zu

vermeiden

Wir werden später erkennen, dass dies durch die Natur

der Sache ausgeschlossen ist

° Die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades.

339

$ 988,

Neben die behandelten Auflösungsmethoden für die

Gleichung dritten Grades könnten wir auf Grund der ersten Formel

in (12) noch diejenige stellen, welche sich durch dıe Substitution einer

Variablen qg vermöge

C

z=q—-—

q

ergeben würde.

Die nöthigen Rechnungen sind dabei äusserst einfach,

die Substitution selbst erscheint dagegen weniger naheliegend. —

Kine rechnerisch complicirtere, theoretisch dagegen eben so ein-

fache wie wichtige Methode stammt von Lagrange; sie beruht auf

der Benutzung der symmetrischen Funetionen der Wurzeln.

Ein lineares Aggregat der drei Wurzeln 2z,, %, und 2

(14)

0 =24 + 424 + Bez

besitzt beı allen Vertauschungen der z untereinander sechs Werthe

b

%. 442 4 Des, b =% 1 4% 4 Ba b =% 4 d 4 B,

(15)

5

U, = 2 1 4% 4 B&,

o

AB K A B,

und genügt deshalb der Gleichung

G - —HC —CDC

Gelingt es, 4 und B so zu bestimmen, dass diese Gleichung die ein-

fache Gestalt

N

annimmt, dann lassen sich die Werthe von % durch Lösung dieser

in %® dquadratischen Gleichung angeben.

Für das Zustandekommen

dieser Gestalt ist es nöthig und hinreichend, dass mit %, zugleich c

t1)

@4, und mit %, zugleich @4, und w*4 zu den Wurzeln (15) gehören.

Wir setzen daher

‚0 = 0,

a = @9

b

(

5 = @U

und erhalten aus den Gleichungen

% 4 A2, + Bep = w (& + 4% + Ba),

% 7 Ag + Be, = w"(2, + 4% 4 Bz)

und den entsprechenden übereinstimmend die Resultate

4= ,

X = @

Ür DA a

i Aa @ y A D

— MB +N= ( —4C — =,

° + 47 = 28(2,°) — 38(e?2) + 12222 = 546;,

(t4)* = (S(Zx)2 — 38(&,%))°

z

—

2065

AD

4 =27 (03 e chz 3 c;ä) ’ t43 =27 (53 AF V£32 n C2—3);

4 — 3Va Va Ha

W 3i/03 An VC?‚T"I“—»Ü23

DD

340

Sechsundzwanzigste Vorlesung $ 288—289

Weil nun gemäss (15) und wegen (6)

{

>

%, 1 @2 + @*%,

ÜE

(1 + w + w?=0)

O = 2

% +

23

ist, so folgt durch lineare Combination dieser drei Gleichungen

o

e

+

z

l/cg—{—l/c3 +cﬁ+ 1/c3

V03 F Cz }

NTA

E

(18)

(“’ 4, + @b)

— ® l/c3+1/03 —l—cf—f—co 1/03—er5

+027

SEA

3

ö

( He e Va a aVa _ Varte

Die zu Grunde gelegte specielle Form der Gleichung dritten Grades

(6)

2# + 362— 26 =0

ruft hierbei nur geringe Vereinfachungen gegenüber der allgemeinen

Form hervor

2

}

Setzt man unter Beibehaltung des Coefficienten von z

(6*)

—08 +g —r=0

dann wird die Gleichung sechsten Grades

— @0 — Yner- OD

und die weıteren Aenderungen sind leicht zu übersehen

Man hat

Ü A 2

(16)

U1 = 8, 7 ®“ 8 - @B,

HE VB

VE

P=4 +

Sa

C

und also findet man

<i

b T

4),

AF

=(p + w*t, + wt‚),

8

3(p+ mt—|—cot‚;)

Bemerkenswerth ist, dass sowohl %, und %,, d. h. die beiden Cubik-

wurzeln, welche in die Lösung eingehen, rationale ganze Funectionen

von Z,, %, % sSind (mit complexen Coefficienten), als auch VQ, d. h

die auftretende Quadratwurzel

Das Erste ist aus (16) zu ersehen

das Letzte folgt aus

2VQ = 0

= (2, + 0’2 { 08)° — (& 4 0% + 0*2)

800 — 1) 02 E e l RN — A0 ]

@ za

C 31/—‘ 3 (8, — %) (&

o

Die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades.

I

41

Abgesehen von einem constanten Factor ist also die innerste Wurzel,

die bei der Lösung auftritt, die Quadratwurzel aus der Discriminante

der Gleichung. Bei den quadratischen Gleichungen bemerken wir dasselbe.

$ 289. Bei den Gleichungen vierten Grades führt die T'schirn-

hausen’sche Methode bereits zu recht complicirten Formeln; deshalb

lassen wir diese auf Transformation gegründete Lösung bei Seite.

Wir wollen die zu Grunde gelegte Gleichung vierten Grades

(

& —448 + 64 — 4435 + au = 0

zuerst durch die Substitution

E U - 0&

u — 5 — a

vereinfachen. Dabei ergiebt sich als reducirte Gleichung

(18)

u* + 6(a — ay?) u — 4(a — 30,0, — 2a,°) u

A ( — Aa A Oaa — Sal) —0

und die weitere Behandlung können wir demnach an die Form

(18°)

* — 46,2 — 862 — 4c, = 0

knüpfen.

Wir setzen, ähnlich wie bei den Gleichungen dritten Grades

nach einem von Euler angegebenen Verfahren *),

2=0-+06+-r,

g — (0* + 6 + r?) = 2(06 + 6r + 70o),

— HAAA ( Al0024+ + 04 Boore

und identificiren diese letzte Gleichung mit (18%).

Das ergiebt die

drei Forderungen

O al 62+772=2027

00 + A A,

QOO0T — G,

so dass o”, o* und 7* die drei Wurzeln der Gleichung

(19)

ELE a

sind. Bezeichnet man diese Wurzeln mit &,, &, &, so folgt

O Vg17

OE

V j: V53‚

und zwar können zweı der Vorzeichen -+— willkürlich angenommen

werden, während das dritte so zu wählen ist, dass die Gleichung

O° On =0

befriedigt wird. Sind demgemäss bei der Darstellung einer Wurzel

(20)

a=Vi+V&+V6

die Vorzeichen richtig gewählt, dann liefern die drei weiteren Zeichen-

combinationen, welche die Forderung 067r = c erfüllen,

*) Comment. Petrop. 1738.

342

Sechsundzwanzigste Vorlesung $& 289—291.

e

Z

VE VE E

(20°)

A

2 Va VE

die übrigen drei Wurzeln von (18°%).

$ 290. HEine andere, bereits von Descartes benutzte Methode

beruht darauf, dass man eine Zerlegung des Gleichungspolynoms durch-

führt, indem man das Polynom von (18°)

4 — 408 — 862 — 464 = (# + 2ug + v) (& — 2ug + w)

setzt und die noch unbekannten Coefficienten ı, v, w bestimmt. Sind

sie gefunden, dann ist die Auflösung von (18%) auf die Lösung

zweier quadratischen Gleichungen reducirt.

Multiplicirt man rechts

durch und vergleicht die Coefficienten gleich hoher Potenzen von

K

S

so folgt

v + w = 4u* — 46,,

UZE

8

?

vw= — 4c,,

und also daraus weiter

2C;

v= 2W — 26 + 2f;

Z

w = 2wW' — 26 —

u ?

2u —26

= z

2Cz

— 4C, = (2u2 —26 + ");i> ( 2 —2

}

(21)

ÜZED

KEin Blick auf (19) zeigt, dass &= w* ist. Die algebraische Bedeutung

von w ist a priori klar: die verschiedenen Werthe von 2w und (—2u)

sind _ die verschiedenen Summen von je zwei der Wurzeln 2,, Z

53) 547

was ja a posteriori auch aus (20) und (20*®) durch die Formen

(22)

ata=2Vi, a+4=2V6, atTa=2V6

hervorgeht. Die sechs Wurzeln w sind somit direct durch —+ 1/.gf -

+VE, -EVE& gegeben.

Die Gleichungswurzeln von (18%) treten hier in einer von (20),

(20*) ganz verschiedenen Form als Summen von nur zwei Quadrat-

wurzeln auf; die Schlussformeln 'gehen nämlich aus

-a (Qa — 20 A,

2 — 26

2Cz

52——2uz—{—( S

hervor und lauten in abkürzender Bezeichnung

RA

Aa a V'“ M E A0 ®

?

(23)

EFE

k SA

A

SN

2C;

23,4 = —UF V— Vu2 +2702r

Die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades

343

Dies würde also, wenn man etwa V&, statt w einträgt, zu den Re-

sultaten

O

Z12—-+VÄ+V B ar 20

(28*)

VE

2C;

Z34——**V%1+V—51+202

VE

führen

Vergleicht man dies mıt (20)‚ so zeigt sich, dass

E,

2c3

Va

=Vt, + V& +V&,

VE

oder nach Weglassung von V&

und Quadrirung

263

. E‚2 A %5 + 2VE2 Vgs

—B r Z -

V,

werden muss, was, wie die Gleichung (19) beweist, auch wirklich der

Hall ist, da 8 E, FE Z 26 und 8558 = 6 wırd. Die Umwand-

lung der Formeln (23) in (20) oder umgekehrt ist daher leicht zu

bewerkstelligen

Dieser

eigenthümliche

Zusammenhang unter

den

Wurzeln, dass nämlich

2C3

VE

— Vg2 + V%3

VE

ist, erklärt es dann auch, dass die Gesammtheit der vier Wurzelwerthe

in (23) stets dieselbe bleibt, welche Wurzel von (21) auch in (23)

für w eingesetzt werden möge

$& 291

Der Lagrange’sche, bei den Gleichungen dritten Grades

dargelegte Gedankengang führt hier auf die Einführung einer sechs-

werthigen Funetion £ der vier Wurzeln z, welcher man am einfachsten

die Gestalt giebt $ = 2 + Z — %3 — %ı

Daraus folgen dann

t—_zl+z2

Z

b —"‘Z1_22+43+54—*t1;

(24)

L =2,

m‚+ß‘;;

47

B = Aa

Z3+Z4

2?

U = 1 — %

Sal 2

z Aa

—-—t

als die einzigen verschiedenen Werthe, welche %, bei den 24 möglichen

Vertauschungen der z untereinander annehmen kann. Die Coefficienten

der Gleichung

GEl

— i)= PE 6E =0

sind somit rationale ganze Funetionen der Coefficienten von (18). Man

erhält durch Ausrechnung ihrer Werthe

M

4“ 26

62 + 2 e = ( C

AA

460,2,

344 Sechsundzwanzigste Vorlesung $291—293, Siebenundzwanzigste Vorlesung 8 294,

und daraus folgt

(25)

— A A e — Ar 0

so dass sich also £= 4u herausstellt.

Sind die Werthe von t be-

stimmt, so liefern die Gleichungen (24) m Vereine mıß 2,2 E

+ %2 =0 die mit (20) und (20®) übereinstimmenden Resultate

l =%(£1 7a

% =%(t'l e

ä

== —

A i G

4

(‘ Zl1 5 t2 + t3)'

$ 292. Die Gleichung (19) giebt in Verbindung mit den Formeln

(20) und (20°) Aufschluss über die Natur der Wurzeln. Da (19) vom

dritten Grade ist, so besitzt diese Gleichung eine oder drei reelle

Wurzeln.

Ist nur eine Wurzel & reell, so mögen etwa &, und &; con-

Jugirt complex sein. Dann können wir, da auch VE und E cn

Jugirt sind,

e

V& =2+ig, V&=po—- ig

setzen und erkennen, dass z, und z reell, dagegen A und

Z

conjugirt complex sind.

Sind die Wurzeln & von (19) reell, und ist c, +0, dann existirt

unter den & wegen des positiven absoluten Gliedes mindestens bine

positive Wurzel. Wir wollen die drei Fälle betrachten, dass alle drei,

oder zwei, oder nur eins der & positiv ist.

Dabei ergeben sich die

Sätze: Sind alle drei Wurzeln & positiv, dann sind alle vier

Wurzeln z reell und von einander verschieden. — Sind zwei

der Wurzeln & positiv, während die dritte negativ ist, dann

sind alle vier Wurzeln

Z

“

complex. — Ist eine Wurzel etwa

E, positiv, während &, & negatiy und von einander ver-

P

schieden sind, dann sind alle vier Wurzeln

«

complex. —

Sind zwei Wurzeln E& negatiy und einander gleich, dann

werden zwei Wurzeln z complex, die andern beiden reell

und einander gleich.,

Der Grenzfall c = 0 hat zur Folge das Verschwinden eines der &

und daher das a priori ersichtliche Resultat, dass zwei Paare ent-

R

D

vorhanden sind.

gegengesetzt gleicher Wurzeln

$ 298. Die innerste in den explieiten Ausdrücken für die 2 vor-

kommende Wurzel ist die Quadratwurzel, welche der Lösung von (19)

ihren Ursprung verdankt.

Nach dem Schlussresultate von $ 288 hat

diese Wurzel demnach, von einem constanten Factor abgesehen, den

Werth

Einheitswurzeln.

45

(%1 R gz) (5;2 an gs) (g3 RA gl)

=VE-VE)VE+VEIVE-VE)VEVE)-

und also nach (22), wieder mit Unterdrückung einer multiplicativen

Constante, den Ausdruck in den Wurzeln 2,, %, %3, %ı

ea eala Cal @ @ N

= (& — %) (0 — 2) : (0 — 24) (ı — %) (& — A) (& — %)-

Das ist somit, genau wie bei den Gleichungen zweiten und dritten

Grades, die Quadratwurzel aus der Discriminante der vorgelegten

Gleichung vierten Grades (18*). Aber dasselbe gilt auch von der all-

gemeinen Gleichung (17); denn da die Wurzeln beider durch die Be-

ziehungen

;=Z+a1;

€z"‘é/4 O

mit einander verbunden sind, so folgt ohne Weiteres, dass auch hier

die Diseriminante der €& als Radicand unter die innerste Wurzel tritt.

Aus der Gleichung (19) können wir die Beantwortung der Frage

erhalten, wann eine Gleichung vierten Grades (18*) ohne Anwendung

von Cubikwurzeln lösbar ist; es ist dazu nur nöthig, dass (19) eine

rationale Wurzel besitzt, so dass die andern beiden durch Quadrat-

wurzeln darstellbar sind.

Siebenundzwanzigste Vorlesung.

Einheitswurzeln.

$ 294. Wir haben uns beiläufig bereits mehrfach mit Grössen

beschäftigen müssen, bei denen eine Potenz gleich der Einheit wird.

Es ist Zeit, dass wır auf ihre Natur und ihre Eigenschaften syste-

matisch eingehen.

Die Wurzeln der Gleichung

(1)

A U

heissen die m” Einheitswurzeln.

Wir bezeichnen sie im All-

gemeinen durch die Buchstaben

@2)

O9 0,, 0,

Om —1

und verstehen dabei unter @„ die stets als Hinheitswurzel beliebiger

Ordnung mitauftretende Zahl 1. Die Werthe (2) sind alle von einander

verschieden, weil (1) keine vielfachen Wurzeln besitzt. Dies ist daraus

ersichtlich, dass 2” — 1 mit der Ableitung m#"—! keinen gemein-

samen Theiler haben kann.

346

Siebenundzwanzigste Vorlesung 8& 294—296.

Ist eine Grösse @ zugleich eine m* und eine n® Einheits-

wurzel, so ist sie auch eine %" Einheitswurzel, falls & den

grössten gemeinsamen Theiler von m und n bedeutet. Es gsei

n>m und ”

==

_>

qm + m, (m, <m), dann folgt aus den Gleichungen

Co7)l

—7

AL

i

Q

o — IM +M — (03m)9007"1 = 0 — 1)

dass @ auch

eine m* HEinheitswurzel ist.

Wenn dann weiter nach

dem KEuklid’schen

Schema

m = qı M, + m

angenommen

wird

(m, < m,), dann folgt ebenso, dass @ eine m,' Einheitswurzel sein

Muss, uU. S. W.

Man kann den Beweis auch direct durch. den elemen-

taren zahlentheoretischen Satz führen, dass es zwei ganze Zahlen u, v

giebt, für welche die Gleichung

mu +nv=khk

gilt; denn hieraus folgt unmittelbar

o — amu+t+ny — (CO"‘)“ (C0")" =2 1

Die Potenzsummen der m® Einheitswurzeln genügen den

Gleichungen

%9

d @

T @

.+.

+ On — O;

"i'; a77?;——'1 . 0;

.

m—1

m7[;1.—1 + w7ln—l + ü)g;_l'+.' S -

+ @

m—

m771

0

M

= N

D

+ 0

+

+

—

und es wird allgemein bei ganzzahligem k&

&

Z

M

o + + 4 w

m— 1

(wenn &— 0 (mod. m) 180),

—>5

S

0

(wenn k& nicht =0 (mod. m) ist).

Dies folgt unmittelbar daraus, dass für die elementaren symmetrischen

Funetionen aus der Form der Gleichung (1) die Bestimmung

S(w()> =0

?

S(“’o“’1) =0,

G o O 0

O90‚ @3 mı = 1

hervorgeht (vgl. $ 94)

$ 295.

Ist @ eine m® Einheitswurzel, dann ist auch jede

positive ganzzahlige Potenz w‘ eine solche.

Denn es ist ja

(mt)m n (mm>t Z

Derselbe Satz gilt auch für negative ganzzahlige Potenzen, wobei

WE

oder auch‘ 0‘ = w*m—t

(O)

zu definıren ist. —

In der Reihe, die wir uns beliebig weit erstreckt denken wollen,

(3)

16 00600

©

Einheitswurzeln.

347

sind demnach alle Glieder m' Einheitswurzeln; da es deren aber nur

m verschiedene giebt, so müssen zwischen den Gliedern von (8)

Gleichungen 0® = w“ (ß > «) vorhanden sein. Daraus folgt w 7“ = 1,

d. h. es giebt auch Glieder der Reihe, die gleich 1 werden. KEs sei

w* das erste derartige Glied, dann sind alle ihm in (3) vorhergehenden

Potenzen

11 @p *,

0.)7'_1

(4)

von einander verschieden, weil aus @* = w“ (x > ß > «) wieder

w& = 1 (ß8— 0 <x) folgen würde, was der gemachten Annahme

widerspräche, dass erst o“ = 1 wird. Dieselben Werthe (4) in der-

selben Aufeinanderfolge wiederholen sich dann in (3) unaufhörlich,

derart dass für jedes «

0 = arte — arr —

ist, und dass dies auch die einzigen Glieder von (3) sind, welche den

Werth @“ annehmen; insbesondere sind die Potenzen

Ö5)

WE

die einzigen, welche den Werth 1 besitzen. Von diesem für w charak-

teristischen Exponenten x sagt man: Die m® KEinheitswurzel w

gehört zu x, oder w gehört zum Exponenten x, sobald @* die

niedrigste Potenz in (3) vom Werthe 1 ist.

Da nun w”= 1 ist, so muss @” in der Reihe (5) vorkommen,

d. h. jeder Exponent x, zu dem eine m® KEinheitswurzel ge-

hört, muss ein Theiler von m sein.

Es ist eine sehr wichtige

Frage, ob umgekehrt zu jedem Theiler von m als Exponenten ge-

nommen auch eine m° Einheitswurzel gehört.

Diejenıigen etwa vor-

handenen m* Kinheitswurzeln, welche zu m selbst gehören, heissen

primitive m® KEinheitswurzeln, diejenigen hingegen, bei denen

dies nicht der Fall ist, heissen nicht-primitive m® KEinheits-

wurzeln. Die Entscheidung der Frage, ob es primitive m* KEinheits-

wurzeln giebt, wird auch die Lösung der allgemeineren Frage herbei-

führen, ob zu jedem Theiler d von m Wurzeln gehören.

$ 296. Wenn m eine Primzahl = p ist, dann folgt die Antwort

sofort aus dem Umstande, dass jeder Exponent, zu dem eine Wurzel

gehören kann, ein Theiler von m =% ist, also hier nur gleich 1

oder gleich p sein darf. Im ersten Falle wäre schon w!= 1, d. h. nur

die Kinheit befriedigt diese Forderung. Folglich sind alle von 1

verschiedenen p*” Einheitswurzeln primitiv, und ihre Zahl

ist (n — 1).

Die Anzahl der für ein beliebiges m” vorhandenen primitiven

348

Siebenundzwanzigste Vorlesung $ 296—297

Einheitswurzeln wird durch die zahlentheoretische Fun

ction @ (m)

bezeichnet

Es ist daher als erstes Resultat zu verzeichnen

il

(6)

w(p)=p(

)

D

Auch für eine Primzahlpotenz m = p“ lässt sich die Frage ohne

irgend welche Schwierigkeit entscheiden.

Jede nicht-primitive Wurzel

o gehört zu einem Theiler von m = %“ und also zu einer Potenz

p“ (« <w); folglich ist die p“ —1 Potenz jeder nicht-primitiven Wurzel w

sicher bereits. = %o

d. h. jede nicht-primitive Wurzel, und nur die

nıcht-primitiven m“" Wurzeln sind schon Wurzeln von

Zpu——l B 1

Es giebt daher genau p“—! nicht-primitive p«t Kinheitswurzeln, und

die übrigen vorhandenen (p“ — y“—1) Wurzeln sind deshalb primitive;

es ist somit als zweites Resultat zu verzeichnen

(6°)

q)<p/z) _pl(‚ (

JA

}

D

Wir können noch tiefer in die Natur dieser p“ Einheitswurzeln

eindringen.

Es sei w, eine beliebige unter den p Wurzeln der Gleichung

P

il

’

@, eine beliebige unter den p Wurzeln der Gleichung

P — @,

u. s. w. und endlich w eine beliebige unter den p Wurzeln der Gleichung

ZP — Q Z15

dann ist das Product der so erhaltenen w,, @,, --- @u, nämlich

(7)

O = 0, 0,0;

mu—l‘”u;

eine p“ HEinheitswurzel

Denn

wır erhalten der Reihe nach die

Gleichungen

w?

P a?

ao?

= 1 . 0,

@5

Ou—2

C —i

u—1

©ö”

”a

o?

u—2

ao?

u

= 1.0,

@;

Ou—2)

D

206

w2“

1

Ferner sind alle diese p“ Wurzeln, die bei verschiedener Wahl von

0;,

©2,,

@. gebildet werden können

von einander verschieden

Demn es folgt aus der Annahme der Gleichheit @& = @, d. h

@O, 0>

Ou—10u = 0102

Ou—10u),

durch Potenzirung

Einheitswurzeln.

349

—

u—1

/n

F

u—1

ON

Z O = i

wn

ı—2

D

= 0,0, = 010:,

.

.

und daraus ergiebt sich der Reihe nach w,= wij, , = ®;,

Man erhält somit auf diesem Wege durch die Formel (7) alle y“t°»

Einheitswurzeln und zwar jede ein einziges Mal.

Endlich fragen wir nach den nicht-primitiven Wurzeln unter (7).

—.

Für sie, und nur für sie, wird bereits die p“—** Potenz

1, also

nach dem oben bei der Potenzirung gefundenen Resultate w, = 1;

d. h. @ ıst eime nicht-primitıye oder eine prımıtıve Wurzel,

je nachdem in (7) w, = 1 oder von 1 yerschieden angenommen

wird. Die Herstellung einer primitiven Wurzel hängt daher ab von

der Auffindung je einer Wurzel w,, ,,

@. der Gleichungen

A

2 = 1

’

Ö

@y

ZBRIEZ @,,

P — CO„_1‚

wobei die Wurzel @, der ersten Gleichung von 1 verschieden sein muss.

Als Beispiel wählen wir p=2, u=3.

Dann ist w,

._.1‚

O —0 und @, als Würzel \ yon 2 —0 u wahlen:

Setzen wir, um

diese Wurzel zu berechnen, w; = p + qi, so wird

; = p + 2pqi — q° = ,

p2 A q2 Z

Z

oa —

Es reicht also aus, d = q =

zu setzen, und man kann

V‘“

G

8 V“2

wählen, um daraus dann nach der obigen Vorschrift

D = 0,0,0; = — 1-.0-

L+}= 1—7%

Vvz

V

als primitive achte Einheitswurzel bestimmen.

$ 297.

Den

Wir gehen jetzt zu dem allgemeinen Falle über.

beliebigen KExponenten m, der weder eine Primzahl noch eine Primzahl-

potenz sein soll, zerlegen wir willkürlich in zwei zu einander theiler-

fremde Factoren m =r.s und verstehen dann unter « jede y'® und

unter ß jede s° Einheitswurzel.

Es wird jetzt das Product @ = &ß

eine m‘° Kinheitswurzel, denn es folgt durch Potenziren die Gleichung

n (a")°‘ (ß.r)r z“

—_

(

Ferner sind alle m =7.s so gebildeten

yon einander verschieden ;

denn aus der Annahme ®© = ®’ oder

(Xß=0(’ß’

würde die Gleichung

350

Siebenundzwanzigste Vorlesung 8 297 —300

w7‘ —

___aß _‚___ßr_arßr

B7

folgen.

Da nun ” und s relative Primzahlen sind, und es also zwei

Zahlen 0, o giebt, für welche ro + so=1 W1rd‚ so ergäbe sich

weiter aus ß” = ß” durch Potenzirung mit dem Kxponenten 0

(‘1 OE ßl—so FE ß DE ß’io

ß’l—sa M ß’

ola

ß"“ß7

und auf entsprechendem Wege würde sich zeigen

U =—= ©®

Man erhält somit durch die Producte @ß alle m =v.s Wurzeln

Nun fragen wir nach den primitiven m*" Wurzeln unter ihnen.

Es möge « zum Exponenten o und ß zum Exponenten 6 gehören;

dann ist

Dr (B = 1

Soll also @ primitiv sein, dann darf 06 kein Theiler von m, sondern

muss gleich m, d. h. es muss 9=7 und 0==s werden; soll @ dagegen

nicht-primitiv sein, dann muss 06 ein Theiler von m, d. h. es darf

nicht gleichzeitig o= r und 6 =5$ werden

Folglich sind die primi-

60 = $ gekennzeichnet

tiven Wurzeln durch o9= 7

d 0 dadureh

dass « eine primitive 7®° und ß eine primitive s° Wurzel ist

Sobald

nicht beides gleichzeitig eintritt, wird

eine nicht-primitive m* HEin-

heitswurzel

Man hat daher für die Anzahl @ der primitiven

(rs)% Wurzeln die Gleichung die Bestimmung

(8)

(r s)= p(r) w(s),

wenn ” und s theilerfremd zu einander sind

Zerlegt man nun, was nur auf eine einzige Weise möglich ist

m in seine Primzahlpotenzfactoren

U

Y

mM = _p#1p„“z

und wendet (8) und (6®) an, so entsteht das Theorem: KEs giebt

al

©)

Y(m) = (1 — —) (

EL

V

;

(

s

R

)

primitive m® Einheitswurzeln

WE Dı D

die verschie-

denen Primfactoren von m bedeuten

$ 298,. Der gegebene Ausdruck (6”) für @(m) ist stets posıitiv

und abgesehen von dem Specialfalle m = 2 stets gerade

sobald m

Für

l wollen wär

eine- posıtive Zahl >1 ist

(m)= 1

setzen. Durch (6”) ist also die Existenz primitiver Wurzeln in jedem

Falle bewiesen, und durch die voraufgegangene Untersuchung sind dıe

Mittel zu ihrer Berechnung gegeben

Einheitswurzeln,

351

Ist nun d ein Theiler von m, und fragt man nach den zum Kx-

ponenten d gehörigen m' HEinheitswurzeln, so ist es klar, dass diese

und nur sie durch sämmtliche primitiven Wurzeln der Gleichung

zd.=

geliefert werden; denn jede dieser Wurzeln giebt, ın die d* und erst

in diese Potenz erhoben den Werth 1.

Es gehören demnach zu

jedem Exponenten d, welcher ein Theiler von m ist,

q (d)

Einheitswurzeln.

Da jede m* Wurzel entweder zum Exponenten m oder zu einem

Theiler d von m als Exponenten gehört, und da genau m Ssolcher

men Einheitswurzeln vorhanden sind, so folgt der zahlentheoretische

Satz

(9)

2(p @d)= @

(d)

wobei die Summe über alle Theiler d von m inclusive der beiden

Grenzwerthe d= 1 und d= m selbst zu erstrecken ist.

$ 299. Verstehen wir unter @_ eine primitive m' Einheitswurzel,

dann liefert der Definition gemäss ($ 295) die Reihe

1) CO, m2)

mnz—2} ﬁom——l

sämmtliche

m* KYınheitswurzeln.

Wir fragen, ob die unter ihnen

vorkommenden, zum Exponenten d gehörigen KEinheitswurzeln etwa

schon an ihren Potenzexponenten kenntlich sind. Es möge w“ zum

KExponenten d gehören; dann ist w“ die niedrigste Potenz von w,

welche gleich 1 wird, d. h. xd ist das niedrigste Vielfache von «,

welches zugleich ein Vielfaches von m wird. Sonach muss « mit m

m

als grössten gemeinsamen Factor

d

- haben dı h.: Damıt o° Zum

Exponenten d gehöre, muss &« =% %y Seln, wo %x relatıy prim

Zu @ SE

Insbesondere wird w“ dann und nur dann eine

primitive m' KEinheitswurzel, wenn « eine zu m theiler-

fremde Zahl bedeutet. Aus der Thatsache, dass es ® (m) primitive

m‘ KEinheitswurzeln giebt, folgt dann die gewöhnliche zahlentheore-

tische Definition des Symbols @(m) als Anzahl der zu m

theilerfremden Zahlen, die kleiner als m sind.

$ 300. Wir wollen hier auch der goniometrischen Auflösungs-

methode gedenken, von der wir im Vorhergehenden schon bisweilen

Gebrauch gemacht haben. Setzen wir, wie in der ersten Vorlesung

(10)

=0[io|

352

Siebenundzwanzigste Vorlesung 8& 300—302.

so wird

Zm — Q"l [z 1nq)} —— 1}

o” cosmo = 1,

Q nm = 0,

also o= 1 und m”g ein Vielfaches von 2x.

Demnach erhalten wir als

Werthe unserer m* KEinheitswurzeln sämmtliche Grössen

© _27m

D

S —’In d

]

(k=0> i17 i27 )

Bedenkt man jedoch, dass weder der Cosinus noch der Sinus bei Ver-

mehrung des Arguments um -+ 2 sich ändern, :so folgt für die

m vorhandenen m* HEinheitswurzeln die Formel

—

AD

(11)

OR

[

S m

j

020 0

MI

Hierbei ist @, eine primitive Wurzel, wenn % eine relative Primzahl

zu m ist; und allgemein gehört @, zum Exponenten d, wenn (m:d) der

grösste gemeinsame 'Theiler von £& und m ist.

Natürlich darf man k&

in (11) irgend welche m aufeinander folgenden Zahlen durchlaufen lassen.

$ 301.

Wir können hier auch gleich die Gleichung

(12)

AA Z

behandeln.

Alle ihre Wurzeln sind, wie die Zerlegung

&

D

2m —_ 1 =— (Z"' + 1) (Zm

D

zeigt, (2m)*® Einheitswurzeln, und zwar diejenigen, welche nicht schon

zum Exponenten m oder zu '""heilern von m als Kxponenten gehören,

weil für diese ja schon z”= 1 werden würde.

Man erkennt, dass

wenn 2“ die höchste in m aufgehende Potenz von 2 ist, diejenigen

(2m)*” Einheitswurzeln auch Wurzeln von (12) werden, welche zu

Exponenten gehören, die durch 2“+* theilbar sind.

Setzt man wieder (10) an, so folgt jetzt

@m cCosS MO = — 1) Qm Sill"'“P =— O’

folglich wird o= 1, m@” em ungerades Vielfaches von x, und

@ f‚2

(k=07 i1; i27 )a

Bl

S

l%ﬂﬂ

nach gleichen Schlüssen wie vorher erhalten wır die definitive Formel

c (2%& +

(18)

Z

S

mM

9q

(k=07 Z

m).

m

Ebensogut: hatten wır Yauch O 0, ebl eb L; 2: an

‚2_

bei geradem m» nehmen können, u. s. W.

$ 302. Aus den angestellten Betrachtungen konnten wir ersehen,

dass die primitiven Wurzeln für ” = n durch die Gleichung

Einheitswurzeln.

3558

Zp':‚l'_ß'p_l+zp_2+"'+52+Z+1=0

(14°)

al

geliefert werden, und für m == p“ durch die Gleichung

,

D

W

1

(14*)

5‘;

—1

E l OD AT E LE AL E

Im allgemeinen Falle m = pp

p 1S%

} (z” — 1) H(Z

P

1\n7]2 M 1) AA

()

En (Z> ON

m

D

mM

=0

„;7| Da D3

!T

(

z — 1

JE

Z

ı)

die. Gleichung,

welche alle und nur die primitiven m*

Einheitswurzeln, jede in der ersten Potenz liefert; die Produet-

zeichen beziehen sich auf alle Permutationen der ,, p,

SO

dass z. B. der zweite Factor des Zählers die z *(x — 1) Faetoren

„”" e

mM

m

m

(

ZF17% u91

}

(

;;5273_1

JAl

Z D

)

enthält.

Durch Induetion kommt man leicht zu der angegebenen

Form; den Beweis führen wir folgendermassen.

Es seı @ eine m®

KEinheitswurzel, die zum Exponenten

m

n

—>

m

(d < x)

]I‘f' 5 pf;1)

gehört, dann wird nicht nur 0“ = 1 sondern auch jede Potenz von @,

deren Kxponent eim Vielfaches von w ist und nur solche; insbesondere

gilt das für dıe Exponenten

M

m

m

m

m

m

m

Pı

7)

?

Ds) I’—113;’ ‘29()_1P3; 2TP21£3’

bei denen in die Nenner alle und nur die ersten Potenzen der Prim-

factoren. p,,

%s gesetzt sind.

Es tritt daher der Wurzelfactor

(2 — w@) bei (14) nur in jedem der Polynome

m

m

m

m

l eal

zIÜ—.1; ZI7_117;_1‚ .

OE K

auf und ($ 294) jedesmal nur einfach; folglich enthält (14) diesen

Factor, wenn man sein gesammtes Eingehen in den Zähler und in

den Nenner beachtet und die zugehörige Multiplicität im ersten Falle

positiv, im zweiten dagegen negativ in Anrechnung bringt,

Ö

GE

Vla

2

bal i r

mal; (z — @) tritt daher gar nicht auf, sondern hebt sich in (14) ein-

fach weg. Nur wenn u = m, d. h. @ eine primitive Wurzel ist, dann

wird dieser Schluss ungültig, und ® gewissermassen — O; dann er-

Netto, Algebra, I.

23

354

Siebenundzwanzigste Vorlesung $ 302—304

scheint der Factor (z — w@) einmal im ersten Faector des Zählers.

Somit ist F„(e) eine ganze Function,

und die Gleichung

F (?) = 0 liefert nur die primitiven W urzeln und zwar jede

ein einziges Mal.

Gleichzeitig erkennt man,

was übrigens auch

unmittelbar aus (6”) hervorgeht, dass

1st,

p(m)= m ——2 En +2p1 A 2pl p2p,

F„.(?) =0 ist reciprok, da mit @ zugleich auch 0! — ar 1

eine primitive Wurzel ist, und also neben (2 — @) auch

@3

als Factor in E(2) auftr1tt

Setzt man in (14°) x für ® ein, wo x die Anzahl der Primfactoren

Pı> D2)

von m angiebt, dann ist die Summe der positiven Glieder

gleich der Anzahl der Factoren des Zählers, die der negatıven gleich

der Anzahl der Factoren des Nenners, und aus (14°) folgt also, dass

Zähler und Nenner von (14) gleich v1ele Factoren besitzen.

$ 303

0

Setzen wir insbesondere m =»-g, wobei p und q zwei

von einander verschiedene Primzahlen sind, dann wird unsere Funetion

1:y(2) __z —1 z——1

„PA1 Q

1

(15)

— (1 e d E zf1—1)1') (1 —+ —y HA

)

= 2‚g«1'+/iq _Egap+pq+l

(0<a<q—1; 0<ß)

Lässt sich also die ganze positive Zahl % auf x, Arten in der Form

(«p + ßg) und auf x Arten in der Form («p + ßg + 1) darstellen

dann 60 n Z

R

(2z) das Glied (x, — x,)z* auf. Wir fragen jetzt, ob

x, oder x, grösser als 1, mit anderen Worten, ob bei verschiedenen

« und ß

Oa

BD E C

© L OR

(a—0,)P = (ß, — ß) q

sein kann

Da | x — «, | <(g —1) ist, und da p und g relativ prim

sind, so muss x = «,, ß = ß, sein, d. h. x, sowie x, ist gleich 0 oder 1

dass die Glieder

Daraus ergiebt sich

welche un Z C yr

kommen,

nur die positıve oder die negative Einheit als

oeff1c1enten haben können,

sobald » und qg von einander

verschiedene Primzahlen s1nd

Die obere Grenze für die Summation näch x in (15) lässt sich

noch einschränken.

Sind nämlich 6 und t die kleinsten positiven

Zahlen, welche die unbestimmte Gleichung

ß — tqgı= 1

Einheitswurzeln.

359

erfüllen, dann erkennt man, dass die Forderung

oder

GD A Dl = CD p (

C C

durch passende «,, ß, ß, stets erfüllt werden kann, sobald « > o ist;

dann wird für 2“?+ßB9 stets x, =x, werden, und das zugehörige Glied

muss verschwinden.

Man braucht demnach in (15) den Werth von «

nur die Zahlenreihe von 0 bis (0 — 1) durchlaufen zu lassen. —

Der beachtenswerthe Umstand, dass F„ für m==p-q nur die

Werthe 0, +1, —1 als Coefficienten der Potenzen von z besitzt,

kommt bei m= %-q-r m Wegfall.

Hier treten z. B., wie man aus

den Reuschle’schen "Tafeln complexer Primzahlen entnehmen kann,

in Fıos(g) die Glieder — 22* und —227 auf.

$ 304. Es sollen in den folgenden Paragraphen noch einige

Kigenschaften der Gleichung F„(2)== 0, welche die primitiven m'

Einheitswurzeln zu Wurzeln hat, abgeleitet werden. Wir setzen m ın

seine Primfaetoren aufgelöst

Ü=E p“p‘;z .. p‘y_lz

OD+D +

und können, wie gezeigt worden ist ($ 279), jede primitive m* Ein-

heitswurzel @ ın die Gestalt eines Productes

© — 00,;

bringen, wobei @ die Reihe aller (y“)" und w die Reihe aller

. pe y primitiven Einheitswurzeln durchläuft.

Die Gleichung

mit den Wurzeln @ können wir demnach gemäss $ 122 aus den beiden

Gleichungen ableiten, durch welche @ und w, geliefert werden; und

zwar wird sie nach jenem Paragraphen wegen (14”) die Form

IJ[ZIMU_I(Z)_Ü + CO£"“_121"“—1(1'_2) + + m5;4———1(1}_1)] A0}

annehmen.

Dies zeigt sofort, dass das Gleichungspolynom nur solche

Potenzen von

F

2

enthält, deren Exponent durch y“—! theilbar ist.

Was von dem Primfactor p galt, das gilt von jedem anderen auch;

also folgt: Die Gleichung, welche die primitiven (Dirpia . gkm yton

Kinheitswurzeln liefert, enthält in ihrem Polynome nur

solche Potenzen der Unbekannten, deren Exponent‘ durch

WE DE D U therlbar 1st ıyl M}

Daraus lässt sich ein weiterer Schluss ziehen. Es folgt aus dem

Bewiesenen unmittelbar, dass von den elementaren, symmetrischen

Funetionen der m' primitiven Einheitswurzeln

S (@1),

'S (Ül F052>;

S(515253); S

nur diejenigen nicht verschwinden, bei denen die Anzahl der ein-

A

tretenden Factoren

(

ein Vielfaches von (p“—1pfe—? ... p«x—1) wird,

23

356

Siebenundzwanzigste Vorlesung 8& 304—307.

Diese Zahl wollen wir für den Augenblick mit q bezeichnen.

Dann

erkennt man durch die Recurs1onsformeln SI

Sa Cı Sa—ı — CSa 2 + *4 + &Ca

(x < p(m)),

Sa €1Sa—l Bn nga—2 + + Cusa——u

(« Z U q7(m>):

dass auch alle Potenzsummen der primitiven Wurzeln verschwinden,

deren Index nicht durch g theilbar ist, weil nach den auf@eschr1ebenen

Formeln zunächst s,, &,

S verschvv1nden und von den weiteren s;

nur diejenigen von Null verschieden sein können,

bei denen ein

früheres nicht verschwindendes s mit einem der nicht verschwindenden

Coefficienten multiplieirt vorkommt.

Dadurch erkennen wir:

Jede

Potenzsumme der primitiven Wurzeln verschwindet,

bei

welcher der Index nicht durch ( E

38727 the11bwr ist

$ 305. Wir wollen die numerischen Werthe von F, (1) und von

F.(-— 1) berechnen.

Ist m gleich einer Primzahl p oder einer Primzahlpotenz p“,

dann zeigen (14*) und (14”) ohne Weiteres

(lh)

H

Fe(1)=p.

Enthält dagegen m” mehrere verschiedene Primfactoren, so folgt zunächst

aus (14) die Formel

(17)

J

DD

(2) = DD

(ZI’LUI 1] —l

)

S

und deshalb ergiebt sich für

D

1 zuerst

E’1 UD

ul

}h Da

(1)

Ebenso zeigt (14) noch

I72 Zs

€

(178

F

Pı D2D3

O=

p2 D3

o

und deshalb wird

FP1 DaD3

(

Man hat also, wenn » verschiedene Primfactoren besitzt. stets

(62)

D

Um F„(—1) zu bestimmen, betrachten wir die drei Fälle, dass

entweder m ungerade ist, oder zweitens dass es den Factor 2 nur in

der ersten Potenz, oder dass es endlich diesen Factor in einer höheren

als der ersten Potenz enthält

Im ersten Falle erkennt man aus (14°), (14”), (17), (17%), dass

(18)

DA

(m ungerade)

wird

Im zweiten Falle benutzen wir die aus (14) folgende Gleichung

(17')

F2‚„(Z

1"‚„ @)

K (@)

(m ungerade)

Einheitswurzeln,

357

und ersehen daraus, dass infolge der früheren Resultate

(m — ppl

)

(18) Fık(—1)= 2 und Fon(-1)= 1

wird. Im dritten Falle folgt wegen Fu(z)= z“ 7"-+ 1, dass

Fu(—1)=2

(w > 1)

wird; und da bei Fo«.„(#) offenbar nur gerade Potenzen von 2 vor-

kommen, so ergiebt sich endlich, dass das Resultat hier das gleiche

ist, ob man + 1 oder — 1 einträgt, so dass man schliesslich

(18”)

Fotm (_ 1) = 1

(w> 1, m ungerade)

erhält.

$ 306. Wir haben hier noch zwei an die Gleichungen (17) und

(17®) sich anschliessende andere Formeln abzuleiten.

Ist g eine nicht

in m enthaltene Primzahl, dann kann man bei der Berechnung von

Frem (2g) nach (14) zuerst alle Factoren zusammenfassen, bei welchen

in den Exponenten q“ als Factor eingeht, und dann die übrigen, ın

deren Exponenten nur q“ —! vorkommt.

Man erkennt hierbei sofort

die Richtigkeit der Gleichung

(

M

.

(18)

Ef’ m (2) O

L

Mit Hilfe von (18) leitet man dann leicht, wenn m = p“p2 ... ist

Z

m

3

)

(19)

M (@)=

mM

ET

m

j nr E

mM

z}71 I"1

2Rı DD

)

F

(

27ı

Da

A

Jaa

DıD2 D3

her

Ist diese Formel nämlich für eine gewisse Anzahl von Prim-

factoren richtig, dann zeigt (18) unter Berücksichtigung von (17),

dass sie auch noch gilt, wenn m einen Primfactor mehr annimmt;

und für m = y“ı erkennt man wieder aus (17) die Richtigkeit.

So

ergiebt sich also (19) durch strenge Induction.

$ 307. Wir wollen am Schlusse noch folgendes von Kronecker

aufgestellte Theorem *) beweisen: Wenn eine algebraische Glei-

chung mit ganzzahligen Coefficienten, deren erster gleich 1

ist, nur Wurzeln vom Modul %1 besitzt, dann sınd. es. Kın

heitswurzeln.

Die Gleichung möge f;(z)= 0 mit den %” Wurzeln 2,, ,

An

sein.

Dann bilden wir nach der früher besprochenen Methode die

Gleichungen

Z E

*) J. für M, 53; S. 173: Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen

Coefficienten.

®

358 Siebenundzwanzigste Vorlesung 8 307 Achtundzwanzigste Vorlesung $ 308

fi(?) =0 mit den Wurzeln 2,, z

Zn;

file)=0

”

”

”

15 %

;

Zny

f(f)=0

Z

3

2

”

öA

» 99

&n

In allen diesen Gle10hunman sind die Coeffieienten ebenfalls ganzzahlig,

der erste derselben ist in allen gleich 1,

und alle Wurzeln haben

gleichfalls den Modul 1

Daraus folgt dass die Coeffieienten sämmt-

lich endliche obere Grenzen besitzen; denn es ist

S MT,

Z

@&

Z

n(n—1)

12

1

6

1

5

+ 2

;

A

I=

M

“

Z

nn — 1

JM

V SR

REr B

2

f

-

2-3

Es giebt aber nur eine endliche Anzahl von Systemen ganzer Zahlen

(/)

/)

welche diesen Bedingungen genügen; diese allein können

( ocfhucntcmysteme werden

somıt müssen in der beliebig weit fort-

setzbaren Reihe, die wir gebildet haben

(1(€)

fa(2)

//( )7

beliebig viele Funetionen ‚mit einander übereinstimmen

so dass etwa

fa(e) = fa(@) = fy(e) =

welche zu

wird. Es müssen demnach die Complexe der Wurzeln

fı

On

gehören,

B

&X

8

zß

ZY

,

22

’

r 9 97

7

&2

Z7

’

n&

ıdentisch

seım

Dabei

braucht freilich zunächst nicht

&

En

n

65

260, ‘‘ zu werden; weıl aber unendlich viele Complexe vorliegen

so muss auch einmal eine Uebereinstimmung in der Wurzelzuordnung

vorhanden sein, und es muss

W

D

d

s

D

n

D

Zö_.ä'e

—

mö

2

Z

S

werden

Hieraus folgt dann sofort

2:—09

Il

262—0 AnnP 17

—d 1

dadurch ist also bewiesen, dass sämmtliche z; Einheitswurzeln des

Grades ( — 0) sind, wie behauptet worden war

S

Kreistheilungsgleichung

Methode von Gauss

DD

Achtundzwanzigste Vorlesung

Methode von Gauss

Kreistheilungsgleichung

Die algebraische Behandlung des Problems, einen ge-

&$ 308.

gebenen Winkel « in eine vorgeschriebene Anzahl %» von gleichen

Theilen zu theilen, hängt von der Lösung einer Gleichung n'°” Grades

ab, die in mannigfachen Formen aufgeschrieben werden kann, So ist,

wenn man cos — = € setzt, für ein ungerades n

7z—1

nm — 1°) m* —37 ,

Gn

COoSU — NC

n(n ——1 ?) @

+

5!

und für ein gerades n

Il

L

Nn (n‘ E

RE

—200

(—1) cosoc—l—

@+

6!

+

wenn

man ferner

bei bekanntem « und unbeka.nntem C zu lösen

sin — =6 setzt, für ein ungerades n

N

BED E

nn

E 12)

n(n? — 1?) (n

32)

>

Sın &X

e

3!

+

5!

und für ein gerades n%

n(n® —2)

n(w 2 C

sina= V1 —8 (1‚s

+

5!

zz;

endlich, wenn man tang

— f bezeichnet, dann ist die Gleichung

n

HN

5

e

tang «

1“(2)“"'(4>t4 ( )t6+

für € aufzulösen

Am bequemsten aber gestaltet sich die Gleichun

von welcher die Theilung abhängt

wenn man als Unbekannte die

Grösse

C &

SN

einsetzt

denn diese wird dann durch die einfache reine Gleichung

bestimmt

C

(1)

A

S

«

Handelt es sich insbesondere um die Theilung der ganzen Peri-

pherie, d. h. um die Kreistheilung, so wird « = 2 und daher

cosd= 1, sn « —0, tang'a — 0 [C ]—1

360

Achtundzwanzigste Vorlesung $ 8308—310.

zu setzen sein; die Gleichung (1) geht dabei in die Form

@)

— 1=0

über, d. h. in diejenige Gleichung, deren Wurzeln wir in der vorigen

Vorlesung bereits genauer untersucht haben. Wir haben dort gesehen,

dass die Kenntniss einer einzigen primitiven Wurzel @ von

(2) ge-

nügt, um alle Wurzeln von

Hülfe nur die Reihe

(2) zu bestimmen, da man ja mit ihrer

OO

con—l) 6”

zu bilden braucht. Wir sahen ferner, dass alle primitiven Wurzeln

von (2) die Wurzeln einer gewissen Gleichung /,.(2) = 0 vom Grade

(n) sind, welche auf rationalem Wege aus (1) abgeleitet werden

kann. Von dieser Gleichung hängt also im Wesentlichen das Problem

der Kreistheilung ab; deshalb nennen wir FA 0 die Keens®

theilungsgleichung.

$ 309. Wir gehen zum Nachweise der Irreduetibilität der Kreis-

theilungsgleichung über. Für den Fall, dass %” eine Primzahl oder

eine Primzahlpotenz ist, kann man, wie Eisenstein*) es gethan hat,

die Irreductibilität von F,(z) aus der blossen Form des Polynoms

leicht nachweisen.

Wir haben in $ 52 gezeigt, dass ein Polynom unzerlegbar ist,

wenn der Coefficient der höchsten Potenz der Variablen gleich 1, jeder

der folgenden Coefficienten durch p theilbar, und der letzte zugleich

durch keine höhere Potenz von m als die erste theilbar ist. Nun

haben wir die folgende Function bei % = n als Kreistheilungspolynom

Z

—1

F (2) =

Z

und daraus geht durch die Substitution z = x + 1 die Gestalt

_ (@x+1” — 1

F (% +1)

——

NM

ms

(

8 aa

hervor. Somit ist nach dem angeführten Hülfssatze F,(x + 1) und

deswegen auch F„(z2) unzerlegbar.

Ferner ist für n= v

—1

(3) Frr(e) =

‚ A

1? X

v»—1

Z ODDE GL N

z?

D

auch hier setzen wir 2 =x-+ 1 und erhalten durch fortgesetzte

Potenzirungen der Reihe nach die Gleichungen

*) Ueber die Irreductibilität u, s. w. der Lemniscatengleichung. J. für M, 59.

S60

Kreistheilungsgleichung.

Methode von Gauss.

361

H — xp+ 1 + pXI(x)7

ean + 14 pn

ON

Wobel A

ganze, ganzzahlige Funetionen bezeichnen. Trägt

man diese Werthe in (3) ein, dann zeigt die rechte Seite, dass eine

ganze Funetion von x herauskommt, und der mittlere Ausdruck

An

z""1’—17

v—1

—

r

P E pal) _

E D

z?

___]_7

H +nw(z)

dass alle Coefficienten mit Ausnahme des ersten durch y theilbar sind.

Die rechte Seite von (3) endlich liefert für das von x freie Glied

Fy(1)= %. Folglich ist auch hier der Hülfssatz anwendbar; damit

ist die Irreductibilität von Fır(@x + 1) und also auch diejenige von

I’„”(z) bewiesen.

$ 310. Gauss fand den ersten Beweis für die Unzerlegbarkeit

von F„(z); er gründete ıhm auf KEigenschaften der Kinheitswurzeln*).

Sehr einfache Beweise für den Fall » = p" stammen von Kronecker**).

Wir wollen den einen hier vortragen.

Ist /’„” in zwei ganze, ganzzahlige Factoren zerlegbar (vgl. $ 48)

Fr (8) = x (2) ();

dann ergiebt sich für z= 1 aus (3) die Relation

u01 vA)= ,

und deshalb‘ı können wir einen der Factoren %(1) oder %(1) gleich

+ 1, den anderen gleich + , also etwa

X(1) Z i 17

(D = F

setzen. Da sich nun die Wurzeln von (3) auf die beiden Gleichungen

—

x(2) = 0, v(£) = 0 vertheilen, so sei

(&n

eine derjenigen, welche die

erste dieser beiden Gleichungen befriedigen,

Welche primitive (v’)®

Kinheitswurzel wir dann auch unter @ verstehen, die Reihe der

Potenzen

K

(4)

(6)

, @*, mp’, 00

in welcher 1, @, ß, --. y sämmtliche zu y theilerfremde Zahlen der

Reihe 1, 2, 3, ... p” bezeichnen sollen, enthält unter ihren Gliedern

immer @, da ja (4) alle primitiven Einheitswurzeln von Fy(z)= 0

giebt.

Folglich ist jedenfalls

©

A@) @ y@) . Z

welche Wurzel von (3) auch unter @ verstanden wird. Da diese

Wurzeln alle untereinander verschieden sind, so ist der Ausdruck

*) Werke Bd. I, S. 417.

**) J. für M. 29; S. 280 und J. de M. (2); ı

362

Achtundzwanzigste Vorlesung $ 310-—311.

(6)

z (2) x(2*) x(2°) - x(27)

für jede Wurzel der Gleichung Fıx(z) = 0 gleich Null; (6) ist dem-

nach durch /£(z) theilbar, d. h. es gilt die Gleichung

z(8) x (@*) x(@P) —- z(27) = 0(e) : Fm(g),

in der o(z) eine ganze, ganzzahlige Funetion bedeutet. Setzen wir in

dieser letzten Gleichung z = 1 und bedenken, dass die Anzahl der

primitiven Wurzeln (4) gleich p”-'(p — 1) ist, so folgt daraus

x(1)”"“1“/“” =0o(1)-m;

das birgt aber einen Widerspruch in sich, weil die linke Seite der

Gleichung den Werth + 1 hat.

Demnach ist F,r unzerlegbar.

$ 311. Der Beweis der Irreductibilität für den allgemeinen Fall

wird am besten durch strenge Induction gegeben.

So ist er ın (eın-

facher Weise z. B. von Arndt*) und im Anschlusse an dessen Beweis

von Lebesgue **) geliefert worden. Wir folgen dem Beweise Arndt’s.

Um eine Unterbrechung des Gedankenganges zu vermeiden,

schicken wir einen Hülfssatz voraus. Ist eine ganze, ganzzahlige

Funetion

Ma G E E a 18 E a

vorgelegt, und bedeutet p eine Primzahl, dann gilt die

Congruenz

f (2)” = f (e”) (mod. p).

In der That erhält man durch Potenziren zuerst

W Z Z n Ie),

wobei g(z) eine ganze, ganzzahlige Function bedeutet.

Weiter ıst

nach dem bekannten Fermat’schen Satze der Zahlentheorie

— e A

a = &, + A,

a1‚; F “n + pA7L;

en UNtEr 6

- 4An passende ganze Zahlen verstanden werden;

trägt man dies in die vorhergehende Gleichung ein, dann erhält man

das oben ausgesprochene Resultat. — Natürlich folgt daraus auch

durch Wiederholung desselben Satzes die Congruenz

f(e)P* = f(er°)

(mod. p). —

Nun sei für jede Zahl m, welche nicht mehr als & verschiedene

Primfactoren enthält, die Irreductibilität von / (z) bereits festgestellt;

sie soll ijetzt für F„(2) = Frem(g) bewiesen werden, wo die Primzahl p

*) J. für M. Bd, 56; S. 178: Einfacher Beweis für die Irreductibilität einer

Gleichung in der Kreistheilung.

**) J. de M. (2) Bd, 4: D6monstration de lirreductibilite de l’6&quation aux

racines primitives de Vunite.

Kreistheilungsgleichung. Methode von Gauss

363

zu m theilerfremd ist, und m also (& + 1) von einander verschiedene

Primfaectoren enthält.

Gesetzt es wäre F, zerlegbar, so dass wir etwa setzen können

@

dann bilden wir diejenigen beiden Gleichungen

X(£) f O;

QF('Z) m O7

deren Wurzeln die p“te» Potenzen der Wurzeln von

Z(Z) =0, 1P(Z) =0

sind. Da jede primitive %® Einheitswurzel @ als Product aus je einer

p“«ten primitiven Einheitswurzel wo, und einer m* primitiven Kinheits-

wurzel 0, darstellbar ist, so besitzen X==0 und F = 0 nur Wurzeln

yon des Korm @.0 O

Z

.

und das sind sämmtlich, weil p“ zu m

theilerfremd ist, primitive m* KEinheitswurzeln.

Die Gleichungen

X=0, F = 0 haben daher mit der irreductiblen Gleichung F' = 0

Deshalb

mindestens eine und sonach alle Wurzeln , gemeinsam.

gelten für jedes @„ die beiden Gleichungen

X(°’2) > 07

Ma)y=0

Wendet man nun den Hülfssatz, den wir am Anfange dieses Para-

graphen aufstellten, auf y und &% an, so ergiebt sich, dass

u(0,) = XA0,) =0, 0(0,) = P(o;) = 0 (mod. p)

ist; d. h. es werden y(w,) und %(w,) durch y theilbar, und daher

(7)

F (02) = %(02) (0,) = p’f (@),

wobei f(w,) eine passend gewählte ganze, ganzzahlige Funetion von

6, Ssein wird.

Nach der Formel (19), $ 306, ist ferner F, ein Theiler von

n

ZP

A

>‚ d. h. man kann

z

z77‚2f7__ 1

Z TE E E A +1= F„(Z) F(z)

setzen, wobei wieder unter /'(z) eine passende ganze, ganzzahlige

Funetion zu verstehen ist.

Trägt man hier irgend eine primitive

m* Einheitswurzel 2# = w, ein, so ergiebt sich daraus

F (@,) F(w,) = D,

und wenn man dies miıt (7) combinirt, dann folgt die Gleichung

1 = F (®,) f(‘°z)-

Aus dem entwickelten Producte F(w,)f(0,) kann man vermöge

Fn(6,) = 0 alle Potenzen von w, entfernen, welche den Grad von F,

364

Achtundzwanzigste Vorlesung 8 311—313.

übersteigen; es bleibt eine ganzzahlige Function von @, zurück, welche

zu einer Gleichung von niederem Grade als (

1 = (& + a,0, + 0, + - )

führt. Dies gilt für jedes @, und muss wegen der Irreductibilität von

J. identisch erfüllt, d. h. es muss 1= pa, sein, was unmöglich ist.

Damit ist die Irreductibilität von F„(z) bewiesen.

$ 312.

Die bei dem letzten Beweise verwendeten Mittel reichen

zur Begründung eines allgemeineren von Kronecker *) gegebenen

Irreductibilitätssatzes aus: F,.(z) ist auch in demjenigen Ratio-

nalitätsbereiche irreductibel, welcher aus der Einheit und

einer primitiven %' Einheitswurzel « gebildet ist, so lange

k relatıy prim zu n bleibt.

Wäre nämlich

F"(Z) r %(Z: 06)1‚b(2’‚ “)7

und dabei der Factor %(z, «) in dem angegebenen Rationalitätsbereiche

irreductibel, dann müsste die Gleichung

%(Z; “) =0

durch eine primitive n° Einheitswurzel w befriedigt werden. Es sei

nun x eine primitive (km)'° Einheitswurzel, dann können wir nach

& 297

u = n

O = n“,

setzen. Trägt man das in die letzte Gleichung ein, so erkennt man,

n

dass die beiden Gleichungen in

8

e y =0 u C =0

eine Wurzel 2 = z gemeinsam haben, und also, da F%„, nach dem

vorigen Paragraphen im Gebiete der rationalen Zahlen irreductibel ist,

dass die erste der Gleichungen durch alle Wurzeln x” der zweiten

befriedigt wird, d. h. dass für jedes T identisch

%(7L‘“1 n1'1) —0

ıst

Bedeutet nun m eine willkürliche zu n theilerfremde Primzahl,

dann kann man, wie aus den Elementen der Zahlentheorie bekannt

ist, 7 so bestimmen, dass die beiden Congruenzen

x = 1 (mod: %);

t= m (mod. n)

gelten.

Demgemäss haben wir für jedes solche m die Gleichung

x(„«‚ut n«‘l”t) B x(mt, a‘t) E x(mm’ 0£) Z (

Da aber @” alle Wurzeln von F„.(2)= 0 giebt, so ist y(z, «) = 0 für

alle primitiven %” HEinheitswurzeln erfüllt, und %(z, «) durch F(g2)

e

*) J. de M. Bd. 19.

365

Kfeistheilungsgleichung. Methode von Gauss.

theilbar.

Der Annahme nach ist % irreductibel in dem gewählten

Rationalitätsbereich; folglich fällt x bis auf einen constanten Factor

mit F, zusammen, d. h. F, ist selbst irreductibel.

$ 313. Nachdem so die Irreductibilität festgestellt ist, gehen

wir zur Auflösung der Kreistheilungsgleichung über, beschränken

uns dabei aber stets auf den Fall » = p und behandeln also nur die

Kreistheilungsgleichung

(8)

pı + p 7a L mB . 2 1=0

mit den Wurzeln

3

(9)

@ 010

2

m))—17

wobei @ die Bedeutung besıtzt

C200n

f

S

|

@ 2):

V

Nun könnte man glauben, dass die algebraische Lösung von (8) voll-

ständig durch die Angabe

—

2

S=—

V1 geliefert sei, und dass dadurch die

Frage definıtiy erledigt worden wäre.

Aber dem ist nicht so; es

handelt sich ja gerade darum, die primitiven Werthe des Ausdrucks

V1 von den übrigen Werthen des Symbols zu sondern, und ihre Be-

rechnung auf die möglichst einfachen Elemente zurückzuführen.

So

giebt z. B. die /1 unter anderen alle Wurzeln von

CC

PE SARET NT

Z — 2+1,

@ ZD@—1)

allein es liefert der Ausdruck

e Ll52113

die primitiven sechsten Einheitswurzeln allein und in einfachster Be-

rechnungsart; deshalb ist die zweite Darstellung. der ersteren vorzu-

ziehen. KEbenso ist für die primitiven achten Einheitswurzeln der Werth

1T 7n wählen und nicht Va

V?

Am nächstliegenden scheint es, die Untersuchungen von $ 113 zu

benutzen und z + % = w in die recıproke Gleichung (8) einzuführen.

Dadurch wird nämlich, wenn wir (p — 1) =2uw setzen, die Gleichung

des Grades 2u auf eine solche des Grades w zurückgeführt. Um die

Form derselben zu erkennen, schreiben wir

K

(g# + ;‚‘> + <z‘u—l +

Zp——l

y

und erhalten als Recursionsformel (vgl. $ 113) für die @

Purı — WD — Pp—1)

(@= 1, 9ı = u + 1:

366

Achtundzwanzigste Vorlesung &$ 313—314

Setzen wir daher weiter als erzeugende Funetion für die (

= @ F P KD +D

so ergiebt sich daraus die Bestimmung

Tra

_le

BA

1—ut+%

( 50 E(ut

n=0

A

n=0 x=0

oder, wenn man als Summationsbuchstaben u — (n + x) einführt

>(1+ t)2ﬁ“2(

(

jırn

u=0

z=U

(# —1)

_Znu 2( DA „u——f+2(—1)(

)„u—l—)/

x=0

z=0

H1er%us erhält man die explieite Form der umgewandelten Gleichung in

u vom Grade u = =-(o—1) nämlich

z (u—l)

gu (u) = S (F7

) u32 2(— Dz (

) uu—1—2/__ O

x=0

X=0

Mit dieser Reduction sind nun aber auch die Vortheile

welche die

Anwendung der Methode der reciproken Gleichungen liefert, erschöpft

Natürlich gilt die gleiche Umwandlung für ein jedes F„(z) = 0 mit

ungeradem m

$ 314. Auf diesem Punkte hblieb die Erkenntniss in die Natur

der Kreistheilung lange Zeit hindurch stehen, bis es Gauss gelang*),

durch eine eben so geniale wie einfache und glückliche Idee das

Wesen unserer Gleichung (8) völlig darzulegen

Wir wollen den von

Gauss gegebenen Entwickelungen folgen

Aus der Zahlentheorie ist es bekannt, dass es für jede Primzahl p

zugehörige ganze Zahlen g der Art giebt

dass die Reste bei den

Divisionen der Glieder von

(10)

UTE

OE

durch den Modul , von ihrer Reihenfolge abgesehen, mit den Zahlen

12

(p—1) übereinstimmen, so dass also die Reihe (10) die-

selben Elemente hat, wie

RS

v

Jn

B

*) Werke I, Disquisitiones arithmeticae. Sectio VIL

Kreistheilungsgleichung. Methode von Gauss

367

%p +1

%D A 2

XD + 3

—la —

bei passender Wahl der ganzen Zahlen x

Da es bei Potenzen von ®

keime Werthänderung hervorruft, wenn man in den Exponenten Viel-

fache von n hinzufügt oder unterdrückt, so folgt, dass die Reihe der

Wurzeln (9) auch dann entsteht, wenn man dem @ die Werthe (10)

zu Exponenten giebt

Um die Schreibweise zu erleichtern, bezeichnen

wir, wie Gauss es thut

@“ == [@))

wo diese Klammer nicht mit der früher $ 64 in anderer Bedeutung

eingeführten zu verwechseln ist

Danach können wir die Wurzeln

von (8) auch in der, viele Vorzüge bietenden Anordnung

(11)

Lal L c7

G

schreiben

Wir zerlegen jetzt (p— 1) = e-f, nehmen für Z eine beliebige

ganze Zahl und wollen die Summe der Glieder der Reihe

(12)

[2], LAg‘], L4 g?1,

K ]

als eine f-gliedrige Periode bezeichnen. Diese Summe der f Wurzeln

schreiben wir

(18)

O

Ist 4 = 0 oder ein Vielfaches von , dann wird (f, 0) =

— Z und

wir wollen diese Periode als die uneigentliche Periode von f Gliedern

auffassen, ım Gegensatze zu den übrigen, welche schlechthin Perioden

genannt werden sollen

Von solchen Perioden giebt es e, nämlich

(gl —A Lg# 92 A E [g DE,

(14)

[9] + [9L+2] + [9“+ ] + + [g““”“]

E

L9] + [9“] + [9“]

4

+Lgf]

Wollte man dieses Schema fortsetzen, so würde die nächste Zeile mit

der ersten übereinstimmen, u. s. f.

Perioden.

Wir beschäftigen uns mit den wichtigsten Kigenschaften der

I) Keine der Perioden (14) hat mit einer anderen ein

KElement [1] gemeinsam.

IM) Für die Summe der Perioden @NL Z

g°

gilt die Gleichung

(15)

AF F EG = —- 1

II) Ersetzt man in dem Ausdrucke von (f;2) die Wurzel

@ =[1] durch [g%], dann geht die Periode in sich selbst über

368

Achtundzwanzigste Vorlesung $ 314.

Denn dadurch verwandelt sich jedes Glied [«] in [ag‘], und deshalb

werden die Glieder von [f, 4] nur eyklisch um ein Element. weiter

nach rechts geschoben, wenn man auf das letzte wieder das erste

folgen lässt.

IV) Ersetzt man in den Perioden (14) die Wurzel o=1[1]

durch [g], dann werden diese Perioden cyklisch um eine

Zeile nach unten geschoben.

V) Alle Perioden haben verschiedene Zahlenwerthe. Denn

wäre etwa (f, g“) =(f, g*), dann könnte man zunächst alle Glieder

dadurch reduciren, dass man allen einzelnen Exponenten durch Sub-

traction von Vielfachen von p die kleinsten positiven Werthe giebt; 0 als

Kxponent kommt dabei nicht vor, wenn x und ß von 0 verschieden

sind. Dann könnte man die Gleichung durch © dividiren und erhielte

dadurch eine Gleichung für @, die höchstens bis zum Grade (p—2)

aufsteigt. HEine solche giebt es aber wegen der Irreductibilität von (8)

nicht. — Wäre ß = 0, dann ergiebt sich direct das Gleiche, falls «

von € verschieden ist, weil ja dann in (f, g“) nicht w”?—1 vorkommt;

aber auch (f; g‘) = f ist unmöglich, wie man erkennt, wenn man diese

Gleichung von w?-1 + w?-? +... + o +1=0 subtrahirt und auf

die Differenz die frühere Ueberlegung anwendet.

VI) Jede ganze, ganzzahlige Funetion h(®) von w, welche

sich nicht ändert, wenn man in ihr @ = [1] durch [g] ersetzt,

hat einen ganzzahligen Werth. Denn zunächst ist

h(@) = z {A + Agl) + + + Mlg D}

da alle Glieder der geschweiften Klammer der Voraussetzung nach

einander gleich sind; und demnach ist h(c0) eine symmetrische Function

der Wurzeln von (8), und wir können setzen

(16)

h(®) =%‚

wobei % eine ganze Zahl bedeutet. h(w®) ist also sicher eine rationale

Zahl.

Die linke Seite hat die Form

ug P 71 + a 0?7? L a 073 + ... E &ı

bei ganzzahligen Coefficienten x. Subtrahirt man daher von (16) die

Tdentität

CO R E

so müssen links alle Potenzen von @ verschwinden, und es wird er-

sichtlich, dass — eine ganze Zahl ist, wie behauptet wurde.

VII) Jede ganze, ganzzahlige symmetrische Function der

Perioden (14) ist. eine ganze Zahl.

Denn nach IV) gehen die

Kreistheilungsgleichung. Methode von Gauss

369

Perioden durch die Substitution [g] statt [1] nur Vertauschungen

untereinander eın

Dadurch ändert sich eine symmetrische Function

derselben nıcht

Somit zeigt VI) die Richtigkeit des Satzes

VIIL) Jede ganze

anzzahlige Funetion h(@) von 6, welche

sich nicht ändert, wenn man in ihr o =[1] durch [g‘] ersetzt

ist eine lıneare

ganzzahlige Function der Perioden (14)

Wir schreiben

h(0) =

£ {MIDD) + AID + BLg + + + ATg

wie dies der Voraussetzung nach möglich ist

Wenn nun

h(0) = y 0? 1 - « 0?-7? + + &ı

vesetzt wird, dann hat man nach KEintragung dieser Form in die

rechte Seite der vorhergehenden Gleichung

h(o)

(

D a

R G

oder, wenn man die einander gleichen Perioden zusammenfasst

h(w)

( A ß1(ﬁ 9)+ß°(ﬁ O) A G

Jeder Coefficient der linken Seite ist eine ganze Zahl; rechts treten

da keine Periode mit einer anderen eine Potenz von @ gemeinsam hat

nur die Coefficienten ß,:f auf; folglich sind auch diese sämmtlich

anze Zahlen

Damit ist der aufgestellte Satz vollständig bewiesen

IX) Das Produect zweier Perioden (14) ist eine ganzzahlige

lineare, homogene Function sämmtlicher eigentlichen oder

uneigentlichen Perioden

Wir wollen die beiden Perioden

(f1) = [ + Ag1 + Ug?] + + + [29%-99

W l el eg ia ag

mit einander multiplieiren

Dies möge derart geschehen, dass zuerst

je zwei untereinander stehende Glieder miteinander multiplicirt werden

4 + ] + [ + wg + [ + wg +

und dass dann in jedem Producte w der Reihe nach in ug‘, ug?°,

verwandelt wird. So entstehen die weiteren Zeilen

A + wg] + IC + wg)91 + [ + wg g +

[2 + #g?*] + [(A + ug?9g1 + [ + ug?) g +

Jede der erhaltenen Zeilen ist die Summe der Glieder einer Periode

wir erhalten demnach die Gleichung

(f‚l)(ﬁu)——(ﬁl+u)+(f‚Ä+u9)+(/‚l+ug“)+

Netto, Algobra, I,

370

Achtundzwanzigste Vorlesung $ 314.

Ersetzt man hierin alle ganzen Zahlen 2 + U, 2 + wg‘, --- durch ihre

kleinsten positiven Reste modulo p und yereinigt dann die auftretenden

gleichen Perioden, dann entsteht das behauptete Resultat

(17) ı (F A)(f 1 —> O l g) E fg E (Fg

Hierin bedeuten die @ ganze, positive Zahlen oder Null.

X) Jede ganze, ganzzahlige Funetion der Perioden (14)

ist eine ganzzahlige, lineare Funection sämmtlicher Perioden.

Dies ergiebt sich durch fortgesetzte Anwendung des Satzes IX).

XI) Die e Perioden (14) von je f Gliedern sind die Wur-

zeln einer Gleichung e& Grades, deren erster Coefficient

l ist, und deren folgende Coefficienten ganze Zahlen sind.

Diese Gleichung lautet

(18)

CDC L

da die Coefficienten symmetrische, ganzzahlige Funetionen der Perioden

(14) sind, so folgt aus VIT), dass sie ganzzahlige Werthe: haben.

XII) Die Gleichung (18) ist irreductibel. Denn wäre die

linke Seite zerlegbar, dann betrachten wir denjenigen ihrer irreductiblen

Factoren, welcher (z — (f, g)) enthält, und setzen ihn gleich Null.

Nun hätte die entstehende Gleichung

(19)

H(e) =0 die Wurzel 2 = [g] + [g°+*1] + ---.,

und folglich hätte die Gleichung

(19%)

JGa O e Wln C6

Da aber o eine Wurzel der irreductiblen Gleichung (8) ist, so be-

sässe (19%) - dıe Wurzeln 6 [0l, 10

ol und also (9) . die

Wurzeln &=(%9), 69

“ (g d b alle Wurzeln von (18);

daher müsste (18) irreductibel sein, wie (19) es ist.

XII) Bedeuten (f;1) und (f;u) zwei von den Perioden

(14), so kann

(20)

(D X r C ON Cal Ara G

gesetzt werden,

wehn die x passend

gewählte

ratıonale

Zahlen sind, d. h. jede eigentliche Periode ist eine ganze

Funcetion jeder anderen eigentlichen Periode.

Denn zuerst ist

wegen der Gleichung (15)

—AA FG EG

dann ist weiter ıdentisch

(f2) = A0 F A,ı (f; 9) F &na (f,9°) A + Ane(f; 9°),

wenn rechts alle @ gleich Null gesetzt werden, mit Ausnahme des

Aı = 1, welches als Coefficient von (f,1)==(f,g”) auftritt. Hieraus

Kreistheilungsgleichung

Methode von (Gjauss

30l

folgt durch Potenzirung, wenn man jedesmal rechts die Formel (17)

anwendet

C

O

+ a3,ı (f, g)

F 22 (g

A +a2e(f‚g),

(ﬁ Ä)

= %0

+a31(f‚g)

+a32(f; 2)

+ +a3e(f;g>r

(ﬁ Ä)P—1

e 1o+a„_u(f‚g)+a„ 12(f‚ 2)+ +ae 1e(f;9)

Die so erhaltenen e Gleichungen sind linear von einander unabhängig

Denn wäre das nicht der Fall

so würden ganze Zahlen qo, qı,

Qn —1 existiren, die nicht alle verschwinden, und für welche die Gleichung

l ( OTAr CD 7 r 999 5 dla=a ( A) A an 0

erfüllt wäre

Die Existenz einer solchen Gleichung widerspräche aber

der Thatsache

dass (f;2) nach XII) die Wurzel einer irreduetiblen

Gleichung et°n Grades ist

Aus der Unabhängigkeit der e linearen Gleichungen fol

dass

jedes der e Cleder C

( 9°), in der Horm (20) durch

Auflösung des Gleichungssystems dargestellt werden kann, ohne dass

die Gleichung (20) illusorisch wird. Damit ist der aufgestellte Satz

bewiesen

XIV) Die Gleichung

(21)

O BDA BD E G

durch welche (f,g”) als ganze Funetion von (f;g) ausgedrückt

wird, bleibt richtig, wenn man die Perioden

(f, 9), (F 9°), (f,9°),

(

cyklisch in ihr weiterschiebt, so dass also auch für u=2,3

OE O ) a e e B

gilt

Denn setzt man in (21) statt @ ein z, so hat die entstehende

Gleichung für z die Wurzel @ und daher (vgl. XIT) auch @!

Man kann deshalb in (21) @ durch w%, 7

ersetzen und kommt

o aul (Z6)

XV) Die f Glieder einer jeden der e Perioden (14) sind

die Wurzeln einer Gleichung

deren Coefficienten lineare

5?

ganzzahlige Functionen der. Perioden (14) sind

Diese Glei-

chungen lauten

CC

C

(22)

(2

Lg*)) (&

Kl

( — [gU-9#2) =0

’

die Coefficienten einer jeden sind symmetrische Functionen der Glieder

der betreffenden Periode und ändern sich deshalb nicht, wenn man in

24:%

372

Achtundzwanzigste Vorlesung 8& 314—316.

ihnen [1] durch [g‘] ersetzt. Nach VIIT) sind somit sämmtliche

Coefficienten in jeder der Gleichungen (22) von der Form

Oa A 9)+%>(f; g) F + C ID

in welcher die €

07 cl7

C ganze Zahlen bedeuten.

Dieser Satz giebt ein treffendes Beispiel für die in $ 47 ange-

stellten Betrachtungen über Reductibilität und Irreduetibilität. Die

Gleichung (8) ist im Rationalitätsbereiche, welcher aus den rationalen

Zahlen besteht, unzerlegbar. Nimmt man dagegen die e Perioden (14)

oder gemäss XIII) auch nur eine derselben zum Rationalitätsbereiche

hinzu, so wird (8) zerlegbar, derart, dass die Iinken Seiten der

Gleichungen (22) die einzelnen Factoren werden, in welche das Polynom

von (8) zerfällt.

XYD) - In dem aus den ratıonalen ‘ Zahlen und einer der

Perioden (14) gebildeten Rationalitätsbereiche ist jede der

Gleichungen (22) irreduetibel.

Wäre H(z) nämlich ein irreduc-

tibler Theiler der ersten Gleichung (22) und zwar derjenige, welcher

den Factor (z — [g]) enthält, so könnten wir, mit Andeutung des

Rationalitätsbereiches der Coefficienten,

H([Ü_l‚ (f: 9)7 (f7 92)7 Y (f7 .ge>)=0

schreiben.

Setzt man hierin sowohl bei [g] als bei den Perioden 2

für @ ein, so entsteht eine Gleichung in

F

2

mit rationalen Coefficienten,

welche die Wurzel z = w besitzt und deswegen auch die Wurzeln

Z i.(}yl> I‚!/2(']; ÖE

Daher ist gleichfalls

El G O OGN

— E G D U =

d. h. H(z) =0 hat auch die Wurzel [g‘+!] und ebenso [g?+11, ...

Der irreductible Factor H (z) fällt sonach mit dem Gleichungspolynom

selbst zusammen. Folglich ist die erste, und ebenso jede folgende der

Gleichungen (22) irreduectibel.

$& 815

Die abgeleiteten Resultate zeigen: Die Lösung der

Gleichung (8) kann folgendermassen bewerkstelligt werden.

Man bestimmt eine Wurzel der Gleichung (18) vom Grade e.

Dann sind wegen (20) alle ihre Wurzeln rational aus dieser

Einen ableitbar, und (8) zerfällt in die Gleichungen (22).

Bestimmt man eine Wurzel irgend einer von diesen Glei-

chungen f Grades, dann ist dies eine primitive Wurzel

von (8), und ihre Potenzen ergeben die übrigen Wurzeln

von (8). Hiermit ist der erste Schritt zur Zerlegung der Auflösung

von (8) in ihre einfachsten Elemente geliefert,

Kreistheilungsgleichung

Methode von Gauss

373

S 316. Gesetzt, man könnte f weiter ın zwei Factoren zerlegen

f= e'f', dann bilden wir e + e’ Perioden von je f” Summanden, nämlich

Lgl

SR

+

+ [90 D#

N (f7g))

[92]

+ [9” +2]

+

K

—

E

/

’ .92)7

(

)

U*Ü+W””Ü+

+m—ww%w—Ug%m

[J”] + [92”]

+

+ [9"“]

= (f 9“)

Natürlich gelten von ihnen alle früher abgeleiteten, auf die Perioden

(14) bezüglichen Sätze

Die neu aufzustellenden Theoreme beziehen

sich nur auf den Zusammenhang der Perioden (23) und (14) unter-

einander. Die Gesammtheit der Elemente von (f”, g°), (f', g°**),

(f', ge—Ve+re«) giebt sämmtliche Elemente von (f, g“)

Die Gleichungen

C E - E -

(e — (f', g°-9t)) =0

@= 1, 2

)

haben Coefficienten, welche linear und ganzzahlig durch die

Perioden (14) ausdrückbar sind. Denn diese Coefficienten werden

symmetrische

ganzzahlige Functionen der Perioden (f”,

.

und da sich diese Perioden durch Einführung von

(f

g(e—1)e+ )

[g°] an Stelle von [1] nur cyklisch vertauschen, so bleiben die Coeffi-

cienten selbst für diese Substitution ungeändert

Also folgt nach

$ 314, VIIL) die ausgesprochene HKigenschaft

Die Gleichung (24) ist in dem 'aus den rationalen Zahlen

und den Perioden (14) gebildeten Rationalitätsbereiche irre-

ductibel

Wäre nämlich H(z) der irreductible Factor der linken

Seite, welcher (z — (f’, g*)) enthält, dann hätte die Gleichung

HL ( Da 0 d =0

die Wurzel 2 = (f’, g*). Setzt man nun überall in die Identität

G F D

)

=0

für @ ein 2, so entsteht eine Gleichung, welche mit (8) eine und daher

alle Wurzeln gemeinsam hat

Folglich wäre auch

H((f; ge+) (f) 9)) (f) 2)7 )—_O

da die f-gliedrigen Perioden sich nicht ändern, wenn man [g‘] für [1]

einsetzt. Demgemäss hätte H(z)= 0 auch die Wurzeln z=(f”, g+*)

(f g2e+a)

das widerspricht aber der Annahme der Reductibilität

von (24)

374

Achtundzwanzigste Vorlesung 8 317—318.

$ 317. Die abgeleiteten Resultate setzen uns in die Lage, jetzt

den zweiten Theil der Lösungsvorschrift aus 8& 315, welcher die Auf-

lösung einer Gleichung f° Grades forderte, weiter zu vereinfachen.

Ist die Gleichung (18) vom Grade e aufgelöst, und sınd da-

durch die Perioden (14) bekannt geworden, dann kann man

diese in den Rationalitätsbereich aufnehmen.

Die e Glei-

chungen (24) des Grades e’ haben Coefficienten, welche diesem

erweiterten Rationalitätsbereiche angehören. Hat man eine

der Gleichungen (24) aufgelöst, dann lassen sich alle e.e’ Pe-

rioden (23) von je f’ Gliedern rational darstellen XM und

die Lösung einer Gleichung f’*» Grades vollendet die Lösung

von (8). Es sind demnach die Wurzeln einer Cleichung d®

einer solchen e’* und einer solchen f“ Grades zu bestimmen.

Hierdurch sind wir zu der nachstehenden, von Gauss abgeleiteten

Auflösungsregel gelangt.

Es sei, in seine Primfactoren zerlegt,

(d—1)=«-ß-y-.. E, und es möge

DE

D

4:

(04

1=ß.y...é=a,

G '€'“_'b7

ß

gesetzt werden. Dann vertheilen wir zunächst die (p— 1) _ Wurzeln

von (8) in &« Perioden von je @ Gliedern, diese einzeln wieder in

ß Perioden von je b Gliedern u. s. f. Die Auflösung einer Gleichung

vom «!° Grade giebt uns die Werthe der « Perioden; ja man braucht

sogar nur eine beliebige der Wurzeln dieser Gleichung zu besitzen

2

um alle rational darstellen zu können. Wir dürfen diese Wurzel gleich

(a, 1) = [1] + [91+ : [9“—9]

setzen.

Denn um diese Festsetzung zu rechtfertigen, brauchen wir

nur unter @ eine vyon denjenigen Wurzeln von (8) zu verstehen, welche

unter den @ Gliedern der rechten Seite auftreten, während vor dieser

Annahme die Wahl von @ unter den primitiven p Wurzeln der

Kinheit noch eine völlig willkürliche war.

Ist nun (a, 1) bekannt,

dann liefert eine rationale Rechnung nach $ 314, XIII) die Werthe

aller übrigen Perioden als ganze, ganzzahlige Funetionen von (a, 1).

Hierdurch sind die Coefficienten aller xb Gleichungen ß*°" Grades be-

stimmt, von denen die ß*" Perioden von je b Gliedern abhängen. Von

einer derselben suchen wir eine beliebige Wurzel, z. B. von derjenigen,

welche (b, 1) enthalten muss, und setzen

6, D =[1] + [ + + Lg 940

dieser Wurzel gleich. Das ist erlaubt, wenn wir nur unter @ eine

von denjenigen Wurzeln von (8) verstehen, welche unter den b Gliedern

der rechten Seite der letzten Gleichung auftreten. Dadurch ist also die

Kreistheilungsgleichung.

Methode von Gauss.

375

Willkür in der Wahl von @ noch weiter beschränkt.

Ist (6, 1) be-

kannt, dann liefert $ 314, XIIT) alle übrigen b-gliedrigen Perioden.

In derselben Weise geht man fort, bis die Auflösung einer Gleichung

gten Girades zu der Feststellung von © = [1] und damit zum Ab-

schlusse der Lösung von (8) führt.

$ 318. Das Beispiel p = 17 möge diese Vorschriften erläutern.

Dabei benutzen wir g=3. HEs wird nicht nöthig sein, neben die

fertigen Resultate noch besondere Krklärungen zu setzen.

2A12 3 2560832 00 12 BLG

Ö= Q o O A Z Z Z ON

CD Z E R

COA U a

CC

@D G2) = 4160760 = —A

Die Gleichung, welche (8,1) und (8,3) zu Wurzeln hat, lautet

2 + 2—4=0,

und wir setzen, indem wir die numerischen Werthe bis auf sieben

Dezimalen angeben,

1

(8;1) 7

(— 1 + V17) = 1,5615528.

2

Ferner ıst

CO

C@3) = Bl + D

@9) = 914 L1 61 RI;

(610) — [D - [ I [

(4)1) R (479> ar (8;1);

@D - CO CT EH==

Die Gleichung, welche (4,1) und (4,9) zu Wurzeln hat, lautet

und wir setzen

*— (8,1)z — 1=0,

(4,1) = 5 [(81) + VCD” + 4] = 2,0494812.

Aus den Gleichungen

—1 —(41) = (433) + (4,9) + (4,10),

C A Y 0,

GD —C =CH 3C - 3SC10

folgt

(43)

-

3

. UD AD

OR

Z=

(4,9)

(471)3 + (4)1)2 , 6<4571) Z 1;

—

(4,10)

— z 419 — 41 + 241) +3-

376

Achtundzwanzigste Vorlesung 8 318—319

Ferner wird

e C

[14],

@B - [4];

(25)u=

[12],

(20) — [9] 48

@10)=

[7],

(2,15) = [15] + [2];

@iuy=

£i

%]i_‘+j_'

[6].

(21) + (2,18) = (4,1),

(2,1)

(2,18) = (4,3)

Die Gleichung mit den Wurzeln (2,1) und (2,13) wird also

und wir können

2° — (4,1)7 + (4,3) = 0

a

C_

s

&

DA

{(4,1) + V(4,1) — 4-(4,3)}

= > (41)+V2@17 +

CS e

== 1 8649445

setzen

Aus

den Gleichungen

CD

=(@,13)-+(2,9)-+(2,15) +(2,8) +(2,5) +(2,10)-(2,11),

2,1):—2

-+(@2,15),

(2,1)®

3(2,1)

+(2,8),

(2,1)*

(2,13)

+4(2,15),

(2,1)

10(2,1)

-+5(2,83) +(@5),

(2,.1)8 20

6(2,13)

PE

-+15(2,15)

@

(2:035(2.10)

-+21(2,8)+7(2,5)-H(2,10)

folgt

(2,15)

C

(2,13) = (2,1)! — 4(2,1)? + 2

(2,11) = (2,1)‘ — 6(2,1)*! + 9(2,1)' — 2

(2,3) =(21)— 3(2,1), (2,5)

(2,1)°

5(2,1)* + 5(2,1),

C0 — @— 7@LP @0 @n

E

——

(2,9)

— (2,1)' — (2,1)° + 6(2,1)°— 10(2,1)® — 6(2,1)? + 4(2,1) + 1

Endlich haben wir

BL 06 = @

[1]

6 —l

die Gleichung mit den Wurzeln [1] und [16] wird

e

und wir setzen

M] => {@1) + VCD?— a}

= 0,9324722 + i-0,3612417

Hieraus folgen die weiteren Wurzeln der Kreistheilungsgleichung durch

Potenzirung

D

Kreistheilungsgleichung. Methode von Gauss.

$ 319. Wir wollen noch zwei Bemerkungen an dieses Beispiel

knüpfen.

Da (p—1) stets eine gerade Zahl ist, so wird einer ihrer Fac-

toren «, ß, y, : E gleich 2. Setzen wir einen solchen bei unserer Auf-

lösungsmethode an die letzte Stelle, dann ist jede der voraufgehenden

@W

Perioden aus einer Anzahl von Perioden (2, 1)= 1[[41] +[

Äg2

|

z (2—1)

zusammengesetzt. Nun lässt g“

durch p dividirt den Rest (— 1),

(vgl. $ 325), also_ist

e

c 21

C

Gn Z

21x

2in

E

[

SR

1+[

S

D

]

= 08 =—

eine reelle Grösse, und das Gleiche gilt deswegen von der Summe

solcher Grössen, d. h. von allen voraufgehenden Perioden.

Die ge-

troffene Anordnung gewährt demnach den Vortheil, dass alle Berech-

nungen bis zur letzten exclus. im Gebiete der reellen Grössen durch-

führbar sind, dass die complexen Grössen erst bei der Ausführung der

letzten Operation auftreten, und bei der Beschränkung auf die Berech-

nung der Winkelfunetionen überhaupt vermieden werden können. —

Die zweite Bemerkung bezieht sich auf den Fall, dass (p — 1)

eine Potenz von.2 ist. Tritt dies ein, dann erfordert die Lösung jeder

Gleichung nur die Ausziehung einer Quadratwurzel, und es ist daher

möglich, durch geometrische Constructionen mit Hülfe von Zirkel und

Lineal die Bestimmung der Wurzeln durchzuführen. Hierbei wird man

auch nur bis zu der Periode (2,1) = 2cos n gehen und erlangt da-

durch die Theilung der gesammten Kreisperipherie in p gleiche Theile.

Die niedrigsten derartigen Zahlen p sind 3, 5, 17, 257, 65587, ...

Für den Fall p = 17 z. B. würde cos — nach S 318 den Werth

38 116 %. 116 V 116 A 17)%

+ E N 4 OE Vﬁﬁﬁ

1?

erhalten; die Construction selbst schliesst sich aber geschickter an die

Auflösung der einzelnen quadratischen Gleichungen an *).

Damit 2” + 1 eine Primzahl werde, muss, wie sich leicht beweisen

lässt, m eine Potenz von 2 sein.

Denn hätte m einen ungeraden

* }I;]i_Ba,chma‚nn: Die Lehre von der Kreistheilung und ihre Beziehungen

zur Zahlentheorie. Leipzig, Te_ubner. S

378 Achtundzwanzigste Vorlesung 8 319. Neunundzwanzigste Vorlesung 8 320 —321.

von 1 verschiedenen Factor uw, dann wäre bei m — WD

die Summe

2" + 1 durch 2“ 4{1 theilbar und also gegen die Annahme keine

Primzahl. Es kommen sonach für die geometrische Construction der

Kreistheilung nur Zahlen p = 2?” + 1 in Betracht.

Die oben ange-

führten Zahlen entsprechen den Werthen x 0, 0 23 A aber

bei x=5 ist 2” / 1 keine Primzahl mehr, wie Euler gezeigt hat.

Neunundzwanzigste Vorlesung.

Kreistheilungsgleichung. Methode von Lagrange und Jacobi.

$ 320. Es war dem Scharfsinne von Gauss nicht entgangen,

dass die Gleichungen, durch welche Perioden geringerer Gliederanzahl

aus solchen höherer Gliederanzahl berechnet werden, sich auf reine

Gleichungen reduciren lassen (Disq. arith. $ 359). Diese Kigenschaft

sowie weitere Krkenntniss der Natur jener Gleichungen zeigt sich am

einfachsten bei der Verwendung einer von Lagrange angegebenen

Lösungsmethode, die dann später von Jacobi in wesentlichen Stücken

ergänzt worden ist*). Lagrange benutzt eine gewisse lineare Funec-

tion der Einheitswurzeln, ähnlich wie er es bei den Gleichungen

dritten und vierten Grades mit Erfolg gethan hatte. Diese Function

führt hier wie im allgemeinen Falle den Namen der Lagrange’schen

Resolvente.

8 321.

Wir haben in $ 313 die f-gliedrigen Perioden durch

(D

( 0 1 SE e « TE E e a Aa

definirt.

Jetzt verstehen wir unter « irgend eine f* Einheitswurzel

und setzen als Lagrange’sche Resolvente an:

@) (f4; 0 => [4] + [Ag]a + [g 1a + + + Ag Da

es ist also insbesondere (f,; 4; 1) =(f,1). Wir leiten zunächst eine

fundamentale Eigenschaft von (2) ab. Aus der Gleichung

(3)

(Age) Z MO O

= a U(f,.4; «)

folgt durch Potenzirung

(4)

W Ag Z ,

d 3ı der Ausdruck 04 0 andernt sıch nıcht wenn man ın

E UTE ET

*) Lagrange: Kuvres Bd. 8; notes XII, XIV. Jacobi: Werke Bd. 6. S. 254.

Kreistheilungsgleichung.

Methode von Lagrange und Jacobi.

B

ım { dunch en eLze

Er s alsopnach S 14 NYI eine

lineare, ganzzahlige Function der e Perioden

(5)

(f; .9)7 (f; 92)7 (f7 ge)

und daher, wenn diese Perioden bekannt sind, selbst rational

darstellbar.

Wir wollen den Ausdruck (4) durch 7 bezeichnen.

Tist von Null verschieden.

Denn wemn (f, 2; «) = 0 wäre, dann

von @ durch

könnte man in (2) zunächst alle Exponenten 2, 2g°,

ihre kleinsten positiven Reste mod. n ersetzen und die so umgeformte

Funetion durch @_ dividiren; dadurch würde ein Ausdruck entstehen,

der eine ganze Function von @ höchstens vom Grade (p — 2) wäre,

dessen Coefficienten rationale Functionen von « würden, und der den

Werth 0 besässe.

Das ist jedoch nach $ 312 nıcht möglich, da f#

gegen p= e:f-+ 1 relativ prim ist, und also die Kreistheilungs-

gleichung auch in dem erweiterten, aus 1 und « gebildeten Ratio-

nalitätsbereiche irreductibel bleibt.

Erhebt man jetzt einmal (3) in die Potenz mit den Exponenten

(—x) und ersetzt andererseits in (3) die Wurzel x durch «*, so folgen

die beiden Gleichungen

(f‚Ag°; «) * = w*(f, 43 a)7*,

( Ag e

— «7#(f, 4; @”),

und durch Multiplication beider Gleichungen entsteht

(6)

A A0 )= A A,

woraus ersichtlich ist, dass die rechte Seite sich bei der Einführung

von [g°] an die Stelle von [1] nicht ändert.

Nach S 314, VIMI) ist

(

(fä; @) (f,A; >T

rational durch die Perioden (5) darstellbar.

Man hat also gemäss (4) und (7), wenn « jetzt eine primitive

f Einheitswurzel bedeutet,

[2]+[2g‘]

AA

+

+ [4gV—94

z (f; Ä);

[2]+[49g] «

+ [Ag* ]«

+

N

+

He e

R

[2]-[Ag] / 4 [2gtarU—0) 4 ..

N ].’f—l;

und dieses System linearer Gleichungen lässt sich sofort auflösen.

Man findet aus ihm

380

Neunundzwanzigste Vorlesung 8& 321—323

f [4]

—(f; Ä') 'f‘

VM

TV

n

(8) f [2Ag‘]

OR VE TE

%i [lg”]—(f‚l)+a*‘%ßl’+ a I 1/T2—{— +„—2f+2Tf 1]/Tf z

und erkennt daraus, dass wenn die e Perioden von je f Gliedern

bekannt sind, die einzelnen p“ Einheitswurzeln nach Aus-

ziehung der f““ Wurzel aus einer bekannten Grösse T unter

Benutzung einer primitiven /*2 Einheitswurzel « gebildet

werden können.

S 322,

Ist nun wieder, wie in 8 316, die Zahl f= e’ f und

yerstehen wir unter ß eine e’° Wurzel der E1nh91t dann können wir

diese in (2) statt x eintragen.

Dabei wird

( A; B) = [A] + Ag]B + [2Ag* 18° +

__l_ [Äg e—l)e] ße—1

+ Uﬂ”] + [19”+]ß + [19”+“] ß” + + [19(“ 1”] ße_1

(9)

—(f Ä)+(f Äy ß+ +(f Äf(_l”)ße*‘

An die Stelle von (3) und (4) treten die Gleichungen

(10)

f;ÄJ7 > —ß 1(f;Ä' ß)7

(11)

(f, Ag°; B)* =(f4; B)“,

von denen die zweite zeigt, dass (f; 1; 8)“ = T eine lineare, ganz-

zahlige Function der Perioden (5) und daher mit diesen

selbst bekannt ıst

Tist aus den oben dargelegten Gründen

von Null verschieden

An die Stelle von (6) trıtt

( A D

(f;}‘.(]7ß)—'(f;l ß)— (f;Ä ß);

und deshalb ist

(12)

(F 4; B°) (F 4; B)-

Auf Grund von

rational durch die Perioden (5) darstellbar

(11) und (12) stellen wir jetzt wieder, wenn nun ß eine primitive e’te

Einheitswurzel bezeichnet, das System von Gleichungen

W W da

+

+ (f Äg(°_l)e)

(%4),

@ D AB

+

+(f Ägc—l)e)ße—-l F: ]/T

(f',%) + (f”, Ag‘) B

+

+ (f Äg(e—1)„)ß2(e—1) _ g 1/T

(n A) f AB

4 (f, A0 B VDE

auf, dessen Lösungen

Kreistheilungsgleichung. Methode von Lagrange und Jacobi.

381

A

Z GDE TE

DLYT + +

Te'—- 1 ä/Te’— 1 5

(13): er (FAg A BDA U A HBL,

FG T OE E E

uns zeigen, dass wenn die e Perioden von je f Gliedern be-

kannt sind, die ee’ Perioden von je f’ Gliedern nach Aus-

ziehung der e’ Wurzel aus einer bekannten Grösse T unter

Benutzung einer primitiven e’ EYinheitswurzel ß gebildet

werden können.

Nimmt man ın (13) e= 1 und also f= o — 1, so erkennt man,

wie direct, ohne Vermittelung zwischenliegender Perioden, der Ueber-

gang von der Kreistheilungsgleichung zu irgend welchen Perioden ge-

macht werden kann.

S 323.

T wird im Allgemeinen einen complexen Werth haben,

und deshalb kann

(14)

ON

gesetzt werden, wobei R und @ als bekannt anzusehen sind. Das ergiebt

( —VT VR[S ka

KErsetzt man in (14) 2 durch —2 und ß durch ß—*, dann entsteht der

conjugirt complexe Werth zu (f,4; ß), und daher wird

f‚ —2 8 =R[ * —ol,

{(f2; B)(f, —4 87)) = R

l\‚\[

oder weil g

Z A

—1

—A

(15)

EGg

2 .87} = R}

Nuu erkennen wir aus (10), dass

( A0 D)= B G As D

D—1

AL

DE

( B SN

05

wird. Bilden wir das Product beider Gleichungen, so wird es klar,

dass die Klammergrösse auf der linken Seite von (15) bei der Sub-

stitution von [g’] statt [1] sich nicht ändert.

Sie ist demnach als

ganze, lineare, ganzzahlige Funetion der Perioden (5) darstellbar.

Bezeichnen wir sie mit U, so folgt aus (15)

382

Neunundzwanzigste Vorlesung $ 323—325

__R2

VE=VO;

(F, 4; ß)

+ 2hkz

VUL°

]

OLG Gleichung e’ten Grades,

welche von den e Perioden

zu je f Gliedern zu den ee’ Per1oden von je f Gliedern führt,

kann dadurch aufgelöst werden,

dass man eine pr1m1t1ve

Wurzel der reinen Gleichung Z = 1 bestimmt, einen Winkel,

der dann construirt werden kann, in e’ gle1che Theile theﬂt

und aus einer bekannten Grösse d19 Quadratwurzel zieht.

$ 324. Von besonderem Interesse ist der Fall, in welchem man

mit Hülfe der soeben dargelegten Methode d1rect von der Kreis-

theilungsgleichung zu den Wurzeln [1j, Lgl,

übergeht, der Fall

also, in Welchem e=1, f=gy—1; e’ =

D OE

wird.

Setzen wir dabei der Bequemlichkeit halb<91 A=1, so wäre,

wenn die auftretende (p — 1)° Einheitswurzel wieder mit. @ bezeich-

net wird,

U E Z Z

)

A

Z

W Sr al 7 a n 0 E NN

{L— 11# gla [g e + [g Narn

zu berechnen.

In dem Producte fassen wir alle Glieder zusammen,

welche die gleiche Potenz von « enthalten, und bekommen dabei

U=

L+1+1++++1)

4« {L9 —11 +[9(9 — 1)1 + [g*(g - U1 + - + [g (g — 1)]

+a2{Ly'—l]+[y(y ——DI+[9(9 —1]+ +[9” 2(9

J

R {[9’H - 1] - L9(9” D 1)] Ar

}

Keine der Grössen (g—1), (gl — 1

(g? * — 1) ist congruent 0

modulo , und daher umfasst jede der zugehörigen geschweiften

Klammern alle primitiven p° HEinheitswurzeln; deshalb hat eine jede

den Werth (—1), und so ergiebt sich

(D-D+@+@ + (1

AD E D =

Die Kreistheilungsgleichung kann also dadurch aufgelöst

werden, dass man eine primitive Wurzel der reinen Gleichung

Pl = 1 bestimmt, einen Winkel, der dann construirt werden

kann, in (p — 1) gleiche Theile theilt und aus der Grösse p

die Quadratwurzel zieht

383

Kreistheilungsgleichung. Methode von Lagrange und Jacobi.

$ 325. Während wir in dem letzten Paragraphen von der Kreis-

theilungsgleichung direct zu den Wurzeln herabstiegen, wollen wir

jetzt versuchen, den kleinsten Schritt zu thun, der in dieser Richtung

—1

möglich ist, nämlich, zu den beiden Perioden von

Gliedern überzu-

gehen.

Wir bezeichnen sie durch

@ = ] 4 L1 L - ET

(16)

S

und erhalten sofort für ihre Summe

(17)

% + Yı =—1.

Das Product der beiden Perioden tritt zunächst in der Form

Po Pı

B

l

Z

(

2

A

2 ?

SA A + e ]

auf, und die Summanden der rechten Seite sind dabei von dreierlei

Art

Kntweder ıst ein Summand eine uneigentliche Periode und hat

dann den Werth Ii—2— , oder er ist gleich %,, oder gleich @,. Man

erhält, wenn diese Fälle bezw. m,, m,, m, mal eintreten

Dl

(18)

PoPı — M

2

r %5 I -

Aus unserer allgemeinen Theorie erhellt aber, dass die rechte Seite

eine ganze Zahl wird, und da man mit Hülfe von (

SO mop;—1 3 O

D—

—. E

2

Ma + (m, — mMo) o

schreiben kann, so muss %,, welches einer irreductiblen Gleichung zweiten

Grades genügt, hierbei verschwinden, d. h. es muss m,

m, werden.

Ferner muss in (18) die Summe der drei m gleich —* sein, und

deshalb geht (18) in

Da

Z

D—

al

(19)

C —

2

A

2

a

) ( + @i)

D

M

= M

O

L

V

4

über. Zur vollständigen Bestimmung des gesuchten Products brauchen

wir also nur noch , ausfindig zu machen, d. h. festzustellen, wie viele

der Perioden (——— Q 1> den Werth

—1

annehmen können.

2

Dies geschieht stets dann und nur dann, wenn g?“+1 + 1 durch p

theilbar wird. Nun folgt aus der Definition von g

384

Neunundzwanzigste Vorlesung $ 325-—326.

—1

A

Va

%

gP—1—l=(

O S

I

.‚_f+ }

) = 0 (nl D,

und da keine frühere Potenz von g als die (p — 1)* durch p getheilt

den Rest 0 lässt, so ist

1)—1

.

g ?

2

arl 0 (anodl /D

da ferner alle Potenzen von g mit den Exponenten 0, 1, ... (»—2)

unter einander incongruent sind, so ist auch « =

SE

2

der einzige Kx-

ponent, für den g“ - 1=:0 wird. Daraus ist ersichtlich, dass mnur,

wenn die Gleichung 2%x + 1=" stattfinden kann, der Fall

p— 1

(

2

] 1) = P 7orkommt. Das geschieht also für ein

D en eEnzıses Mal d° k dakır ıst w = 0 und füx eın

n=4u 4{1 gar nicht, d. h. dann wird m = 0.

Also liefert (19)

für diese beiden Fälle die Werthe

/

BAn

OT

4

(wenn d = 4u + 1 ist),

0L p—i——1 (wenn p = 44u + 3 ist);

diese beiden Resultate können wir in die eine Gleichung

—1

(20)

1—(-1D)? p

)

A ’i’ (

zusammenfassen.

Die beiden Gleichungen (17) und (20) zeigen also, dass p und ;

die Wurzeln der quadratischen Gleichung

1

(21)

2 2+ i (1 — (— 1)pj’

D

An

sind, und dass sie daher die Werthe

3(—1+V(——177p)

Unr ı

2

2

besitzen.

Die Frage aber, welcher der beiden Ausdrücke den Werth

Wir müssen darauf

von @, liefert, ist nicht leicht zu entscheiden.

verzichten, die hierauf bezüglichen Untersuchungen vorzutragen.

$ 326. Aus diesen Ergebnissen können wir einen höchst merk-

würdigen arithmetischen Satz ableiten.

Setzen wir

na = @DD C -

O U

so zeigt uns $ 314, XV) dass die Coefficienten jedes der beiden Aus-

drücke von der Form

Kreistheilungsgleichung

Methode von Lagrange und Jacobi

385

Q A A0 Aı

sind; wir können somit die Polynome selbst in ähnliche Form bringen

und also für den ersten Ausdruck etwa

M (e) = Rl) + SC % + TC) yı

schreiben, wobei R, S, T ganze, ganzzahlige Funetionen von z bedeuten

Ersetzt man nun hierin die Wurzel [1] durch [g]

so gehen Ay(2),

Folglich wird

, und , bezw. in h;(2),

nd @, über

h,(g) = R(?) + S(e)g, + T@)%

Nun liefert /,(2) h,(z) offenbar das Polynom der Kreistheilungsgleichung

F„(z); das Product der rechten Seiten unserer beiden letzten Gleichungen

wird gleich

D

((2R SE E T)V(_1

2

»)

A M

Dl

Z

@R-S- 7r CO ıen

und wenn wir also zur Abkürzung

2R—S—T=X

S—T=YY

setzen, so erhalten wir die Darstellung für das Vierfache des

Kr e15theﬂungspolynoms

Z

(22)

4F„(e) =

Caa 1) CO

Für 9

17 wird die Gle1chung‚ welche die Wurzeln der Periode

© V Lietert

—e AF 2a — (4o,-+ 3026305a

—(4900+3%)5“)'+(4+930+241)1)5 —%2+1=

und daraus folet

BA G

S=—2/+L2

42 + 3e* —

4Z3—|—„/. A

T= 22 — 32 + 57 — 32 + 22

Dies führt dann endlich zu den Schlussresultaten

X(2)= 22 + 2452° 47# +42 472 +52 4242

Yiz)=7 + + +22 +# + +2;

z7—1

4

8&

— Xgr 177(0).

Netto, Algebra. I

25

Namen- und Sachregister.

(Die Zahlen beziehen sich auf die Seiten.)

Abbildung 16.

Conjugirt complexe Grössen 13

Ableitung 21.

Conjugirte Funetionen 14.

— eines Products 22.

Convergenz von Näherungsalgorithmen

— einer Summe 21.

302, 304.

Absoluter Betrag 10.

Addition 1.

Cubische Gleichung 834ff.

— KEuler’sche Lösung 335

— complexer Grössen 4, 11.

— irreducibler Fall 338.

Adjungirte quadratische Form 183.

— goniometrische Lösung 338.

Algorithmus d. gemeins, Theilers 64ff,

— Lagrange’sche Lösung 3389.

— zur Wurzelberechnung 300.

— — für alle Wurzeln 308.

— Teschirnhausen’sche Lösung 334.

— Wurzeldiscussion 245, 337.

Algorithmen, die sich ergänzen 305,

Amplitude complexer Grössen 10.

Darboux 260.

Anzahl reeller

Dedekind 8.

230ff. 288 £f.

Wurzeln_ OS U:

Arndt 362.

Definite quadratische Form 197.

Descartes 233. 342,

Associatives Gesetz 1.

— Regel 219. 222,

Austrittspunkte 268.

Determinante quadrat. Form 182,

Differentialgl. für Discriminanten 180.

Bachmann 377.

— für Resultanten 163.

Baltzer 158.

— für symmetr. Funect. 1383£ff,

Bernoulli, D. 290 ff.

Discriminanten 177 ff,

Bezout 178,

— Differentialgl. für sie 180.

Bezoutiante 158. 269.

Distributives Gesetz 3,

BeEzout’sche Resultante 157.

Division 3.

Biehler 225. 236. 2839.

Divisor von Null verschieden 3.

Biquadratische Gleichung 341 ff.

Doppelwurzel 17. 181,

— — HEuler’sche Lösung 341.

— — Descartes’sche Lösung 342

Einheiten 3,

— — Lagrange’sche Lösung 343

Einheitswurzeln 345.

—— Wurzeldiscussion 246, 344

— Darstellung, goniometrische 352.

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Bonnet 236.

— nicht-primitive 347,

Borchardt 2. 93. 254

— Pprimitive 347,

Burnside 205.

— — ihre Anzahl 350.

— — ihre Gleichung 353.

Catalan 225,

— Zugehörigkeit z. Exponenten 347.351

Cauchy 37. 249. 272.

Eintrittspunkte 268,

— HExistenzbeweis 26. 31.

Eintypige symmetr. Funct. 97.

— Interpolation 43.

Eisenstein’s Irreductibilit.-Theorem 56

— Umkreisungssatz 35. 257.

360.

— Wurzelgrenze 203.

Elementare symmetr. Funct. 96.

Encke 294,

Cayley’sche Resultante 158.

Cohn 290.

Euklid’scher Algor. d. Theiler 64ff,

Colombier 236.

Euler 180. 290. 298. 341. 378.

Commutatives Gesetz 1.

— Identitäten 41.

Complexe Grössen 1ff, 3.

— Resultantendarstellung 152.

Excess 254,

— geometrische Darstellung 10.

Namen- und Sachregister.

387

Faä di Bruno 133.

Jacobi 43. 46. 157. 194. 196. 270. 378,

Faure 225.

Jerrard 125.

Folge (Zeichen-) 216.

Folgen-Folge 227,

Kerschensteiner 159,

Kettenbrüche 329.

Folgen-Wechsel 227.

Königsberger’s Theorem über irreduc-

Fouret 212.

tible Functionen 61.

Hourijer. 216. 233. 290

Frobenius 197.

Kreispolygone, reguläre 377.

Function, ganze 15.

Kreistheilungsgleichung 359 ff.

— rationale, d. Wurzeln 113£ff.

— Auflösung nach Gauss 365 ff.

— Auflösung nach Lagrange 376ff,

— o-werthige 114.

— Irreductibilitätsbeweise 360,

— symmetrische 96ff. 113£f.

— Zerlegung 39.

— Zerfällung in Factoren 372.

Fundamentalsystem 109.

Kronecker 48 55 8 268 209 357

361. 364.

Ganze Function 15.

Cauey 28 5011020 106 178

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361. 366. 378.

Lagrange 54. 272. 290. 323ff. 331, 339.

343. 378£f.

Gauss’sche Darstellung symmetr. Funct.

— Interpolationsformel 39.

104, 110.

— Lösung der Kreistheilungsgleichung

— Kreistheilung 359£f.

378

Gauss’scher Wurzelexistenzbeweis 28.

— Lösung numerischer Gleichungen 328,

Gauss’sche Zerlegung ganzer Funct. 52.

Lagrange’sche Resolvente 378.

Gemeinsamer Theiler 65f£f.

Laguerre 205.

Geometrische Reihe 91.

Laplace 44.

Gewicht eines Gliedes 107.

Lebesgue 362.

Gleichung, algebraische 15,

Legendre’s Polynom 210.

Z

— dritten Grades (siehe: cubische Gl.).

Lineare gebrochene Function 319.

E

fünften Grades; Reduction 124ff.

Longchamps 205.

Kreistheilungs- 359ff,

E

reciproke 119.

Mandl 55.

BA

vierten Grades (s.: biquadrat. Gl1.).

Mathieu 281.

Mittelwerthsätze 214ff,

— d. Wurzeldifferenzquadrate 128. 324,

328,

Modul complexer Grössen 10.

— zweiten Grades (s.: quadratische G1.).

Moigno 254.

Gleichungspolynom 15.

Multiplicität von Wurzeln 18. 38. 72.

Goniometrische Lösung cubischer Glei-

chungen 388.

Newton 277. 278.

Gordan 159.

Newton’s Formeln d. Potenzsummen 98.

— Wurzelexistenzbeweis 173.

— Interpolationsformel 50.

Grad einer Gleichung 15.

— Näherungsmethode 282 ff, 309ff. 314.

Grenzen f, d. Wurzeln 20. 201 ff,

— Regel 2383,

Grenzpunkte bei Näherungsalgorithmen

305.

— Regel, vervollständigte 234.

Nicht-primitive Einheitswurzeln 347.

Hermite 213. 225. 261.

Noether 157.

Nullstellen 17.

— Theorem 269.

Ordnung einer Recursionsformel 88.

Indefinite quadratische Formen 197.

Orthogonale Substitution 198.

Interpolationsformel, Cauchy 43.

— Lagrange 39.

Panton 205.

— Newton 50.

Partialbrüche 42, 73.

Partielle

Invariante e. quadrat. Form 182.

Differentialgleichungen

für

Irreductibilität 51 ff.

Discriminanten 180.

— der Kreistheilungsgleichung 360.

— — für Resultanten 163.

— der Resultante 169.

— — für symmetr. Functionen 133 ff.

]lsenkrahe 301.

Isobarische Function 107.

Perioden für primitive Einheitswurzeln

637.

Iterirung 314 ff.

Polygone, reguläre 377.

— allgemeine Eigenschaften 316.

Polynom einer Gleichung 15.

— gebrochener linearer Funet. 319.

Potenzsummen ; independente Darstel-

— gebrochener rationaler Funct. 321.

lung 98.

255

388

Namen- und Sachregister

Potenzsummen; Newton’sche Formeln 98

Signatur quadratischer Formen 197

— Waring’sche Formeln 100

Signum 21

— für primitive Einheitswurzeln 356

Poulam 211212

Species quadratischer Formen 197

Sturm 238. 252. 253

Primitive Einheitswurzeln 347

Sturm’scher Satz 240.

— — Anzahl 350

An

—

aus

— — Gleichung 353

dem Cauchy’schen Um-

kreisungssatze 257.

Product der Wurzeldifferenzquadrate

Substitution 96.

129

Subtraction 3

Sylvester 127. 158. 182: 199- 213, 225

Quadratische Formen 182 ff.

230. 233. 252. 254.

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-

adjungirte 183

Sylvester’s Trägheitsgesetz 194.

definite 197

Symmetrische Functionen 96 ff,

Determinante 182

— — eintypige 97.

indefinite 197

— — elementare 96

Invariante 182

— — rationale Funectionen 112

Rang 185

reciproke 183

Tauber 310.

Signatur 197

Species 197

Theiler,

grösster gemeinsamer 64 ff.

Tra@he1tsgesetz quad1ahscher Formen

Trägheitsgesetz 195

194.

Transformation 183.

Transformation der Gleichungen 1138ff.

Verwandlung in Quadrate 190.

Qua.drat1sche Gleichungen, Lösung 334

— der quadratischen Formen 183,

— — Wurzeldiscussion 244.

Trennung der Wurzeln 271 ff,

Tschirnhausen-Transformation 119. 125

334, 341

Rang quadratischer Formen 185

Rationalitätsbereich 51. 52. 372

Umschlingung des Nullpunktes 38

Reciproke Gleichungen 119. 365

Recursionsformeln f. Potenzsummen 97

Vielfache Wurzeln 18. 38

98

72 181

— f. Reihen 76. 88ff.

Vincent 3831

Recurrirende Reihen 86ff.

Reductibilität 51

Waring 100. 272. 324

Resolvente 378

Waring’s Formel f. Potenzsummen 100

Resultante 149ff, 162 ff

Wechsel der Zeichen 216

— Darstellung 150 ff.

Wechsel-Folge 227

— — nach BeEzout 157

Wechsel-Wechsel 227

— — nach Cayley 158

Weierstrass 8

— — nach Euler 158,

Wurzel 17.

— — durch

Gleichungswurzeln 150,

— Anzahl (reeller) 208. 217. 230. 238,

— KEigenschaften 162ﬁ'

Wurzelexistenzbeweis 26 ff,

— Partielle Differentialgleichung 163.

Wurzelpunkt 17.

Reuschle 355.

Rolle’s Satz 201. 208

Zeichenfoige 216

Zeichenwechsel 216

— — Anwendungen 209 ff.

Runge 55

Zerlegung ganzer Functionen in lineare

Factoren 18

Sancery 300

— — — inirreductible Factoren 51. 71

Scheibner 157

— rationaler

Funectionen

in Partial-

Schröder 300

brüche 42. 73

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