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 Vorlesungen über Algebra, 1 SR A “; E M S K > ;.« A K N ‚‘ 'F‘Mc 3Aj{:fi Y Z S A “ Pg A S &. RE Y 4 i *5 A &s K A Wa E F --%‘„ .& C A :"f" M } N).:} w RA Au 4 m«p£ £ X f En E w ‚34 ;{ 7 MO * E *. N> 45° .."Jj_ -\}‚&.. ö FE S v 7 A ‘Ö\“ Ü w "“Afv FA A“ % ( F Z N AA f. P v > . ;.. ( Pr E O M 5 N 5 nm r T a! P E 1&_1—1 i En i d x N CN Ö e f E ® n &8 A J' { H Ar @\ + e A 6 x 7 + ; n P6 ü M Ası N S \ 7 6 <r 'ä%5 3 h'tf e E 6 &4 ıd s Fl} Ka ‘ £ xx SA V Y d &S & X i\;j;z {» < x er } ?° S x d} F i éfl x A Z A Ar er '“ P jn S ME Fa S \ $ W4 a < S e U Al An b 5 xx w O I %y ag w &x ;%;‘ ; x PE vr Br S A A # A b ; en A A S $ %. v .' b Y 7 Y f:r « \ ı@ :;; s ( \p ; v a N v < &X W AA X t'@ ' 5r \3 A A M Yi‘Aä“‚® x Zt X i& . Sa N M i Jl ® & + Ä f da . 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Ö. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT ZU GIESSEN. E z IN ZWEI BÄNDEN. E ERSTER BAND. MIT EINGEDRUCKTEN HOLZSCHNITTEN. /\\ B B ©: \e m— ING F &x B ERZG DRUCK UND VERLAG VON B.G. TEUBNER. 1896. ® ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS‚ VORBEHALTEN. BA - BI3 Y a Dr V > GBı C Bıhin2 4 OR WORL Die „Vorlesungen über Algebra“, deren erster Band hier vorliegt, sollen eine auf algebraische Methoden gegründete Einführung in die Untersuchungsgebiete liefern, welche den Hauptbereich der höheren Algebra bilden. Sie sollen mit den elementarsten Theilen dieser mathematischen Disciplin beginnen und bis zu den neueren, tiefer gehenden Fragen und Forschungen hinführen, indem sie die allgemeine Theorie der einzelnen algebraischen Gleichung sowie diejenige mehrerer algebraischer Gleichungen und so insbesondere auch die Elimination behandeln. Von dem umfangreichen, bisher angesammelten Stoffe hoffe ich nichts Wesentliches bei Seite gelassen und das Gebotene durchsichtig und übersichtlich angeordnet zu haben; dass mancherlei eigene Arbeiten in den Vorlesungen Platz gefunden haben, mag, wenn nicht anerkannt, dann doch entschuldigt werden. Unter die algebraischen Hülfsmittel der Untersuchung rechne ich die Theorie der Determinanten in weitestem Umfange und setze eine vollkommene Beherrschung ihrer Methoden für die Benutzung dieser Vorlesungen voraus. KEs wäre ja leicht gewesen, einer scheinbaren theoretischen Vollständigkeit zu Liebe auf wenige Seiten die Principien dieser Lehre zusammenzudrängen; ın der Sache würde aber meiner Meinung nach doch nichts geändert worden sein, und deshalb ver- zichtete ich lieber darauf. Das Gleiche gilt von dem Wenigen, was aus den KElementen der Zahlentheorie benutzt wird; auch das habe ich einfach als bekannt vorausgesetzt. Bei dem gegenwärtigen Stande der Wissenschaft war es noch nicht möglich, die Darstellung lediglich auf ariıthmetische Grundlagen zu stützen, wie das wohl erstrebenswerth sein möchte. Deshalb habe ich davon abgesehen, die nach dieser Seite hin gerichteten Unter- suchungen systematisch vorzutragen und bin nur gelegentlich, wo es ohne Mühe geschehen konnte, darauf eingegangen. KEine Behandlung der algebraischen Formen und der Theorie der Invarianten war nicht beabsichtigt; sie lag um so weniger in dem a* I Vorwort, Plane des Buches, als für dieses Gebiet bereits ausgezeichnete Dar- stellungen vorhanden sind, denen kaum etwas hinzuzufügen wäre. Dass aber dort und hier kleinere Gebiete gemeinsam durchforscht werden mussten, ist natürlich. Auch das Heranziehen der Gruppen- und der Substitutionen-Theorie habe ich vermieden; einmal um die algebraischen Methoden in möglichster Reinheit und möglichstem Um- fange zu verwenden, und dann, um gerade für diese Forschungen den Boden erst zuzubereiten. Das folgende ausführliche Inhaltsvefzeichniss wird hinlängliche Auskunft über die Auswahl und die Gliederung des Stoffes geben, so dass ich hier nicht darauf einzugehen brauche. Ich will nur erwähnen, dass der zweite Band der Vorlesungen in erster Linie auf die al- gebraische Lösbarkeit der Gleichungen und auf die Theorie der Elli- mination eingehen wird. Die Literaturangaben habe ich so vollständig, als es mir möglich war, dem Texte beigefügt. Giessen. Eugen Netto. Inhaltsverzeichniss. K E Einleitung. Das Operationsgebiet (Vorlesung 1). Erste Vorlesung. Die complexen Grössen. S. 1—15. Gesetze der Addition. S $ 2. Gesetze der Multiplication. $ 3. Subtraction und Division. $ 4. Zwei Einheiten. $ 5. Bestimmung sämmtlicher Systeme. $ 6. Beschränkung auf zwei Einheiten. $ 7. Geometrische Darstellung complexer Grössen. Modul; Amplitude. 8& 8. Addition. $ 9. Multiplication. $ 10. Elemen- tare Eigenschaften. NS KErster Abschnitt. Ganze Functionen und algebraische Gleichungen (Vorlesung 2—16). Zweite Vorlesung. Ganze Functionen und algebraische S. 15—25. Gleichungen. $ 12. Ganze Function. Algebraische Gleichung. Grad. $ 18. Abbildung. $ 14. Wurzeln, einfache und mehrfache. Fundamentalfrage. $ 16. Stetigkeits- sätze. $ 17. Grenze für die Wurzeln. $ 19. Ableitung. $ 20. Aenderung der Function mit dem Argumente. Dritte Vorlesung, Existenz von Wurzeln algebraischer Gleichungen. S. 25—38. $ 23. Gleichungen ungeraden Grades. $ 24. Cauchy’scher Existenzbeweis. $ 26. Geometrische Darstellung. 8 27. Gauss’scher Beweis. $ 29. Zweiter Cauchy’scher Beweis. $ 30. Punkte mehrfacher Wurzeln. $ 32. Cauchy’scher Umkreisungssatz. $ 35. Umschlingung. Vierte Vorlesung. Zerlegung; Interpolation. S. 38—50. $ 36. Zerlegung in Linearfactoren. $ 37. Lagrange’s Interpolationsformel. $ 38. Euler’sche Formeln. $ 39. Zerlegung in Partialbrüche. $ 40. Directer Nachweis der Euler’schen Formeln. $ 41. Cauchy’s Interpolationsformel. $ 44. Versagen derselben. $ 45. Analoga zu den Euler’schen Formeln. $ 46. Newton’sche Interpolationsformel. yYI Inhaltsverzeichniss. Fünfte Vorlesung. Reductibilität und Irreductibilität. S. 51—64. $ 47. Rationalitätsbereiche. Zerlegung. $ 48. Zerlegung im Bereiche der ra- tionalen Zahlen. $ 50. Aufsuchung irreductibler Factoren, Kronecker’sche Methode. $ 51. Vereinfachung. $ 52. Eisenstein’scher Satz. 8 53. Erwei- terungen. $ 58. Königsberger’sche Sätze. Sechste Vorlesung, Grösster gemeinsamer Theiler zweier Functionen. Vielfache Wurzeln algebraischer Gleichungen. S. 64—75. $ 61. Kuklid’scher Algorithmus. $ 62. Darstellung der Zwischenfunctionen. $ 64. Gradbestimmung. $ 67. Beispiel. $ 68. Fundamentalsätze über den grössten gemeinsamen Theiler. $ 69. Kindeutigkeit der Zerlegung. $ 70. Vielfache Wurzeln. $ 71. Zerlegung in Partialbrüche. Siebente Vorlesung, Reihenentwickelung einer rationalen Function. S. 75—86. $ 720 Problem über Zwischenfunctionen des Euklid’schen Algorithmus. $ 73. Lösung. $ 74. Determination. $ 75. Unbestimmtheit. $ 76. Darstellung. $ 77. Recursionsformeln. $ 78. Darstellung durch die Coefficienten der Functionen. Achte Vorlesung., Recurrirende Reihen. S. 86—95. $ 80. Ordnung recurrirender Reihen. $81. Entwickelung rationaler Functionen nach fallenden Potenzen. $ 82. Verschiedene Recursionsformeln. $ 83. Recursions- formel bestimmend für den gemeinsamen Theiler von Zähler und Nenner. 8 84. Charakteristische Bedingungen für einen Theiler „t°® Grades, $ 85; Geometrische Reihe. $ 86. Vereinigung recurrirender Reihen. $ 87. Independente Darstellung der Coeffcienten, $ 89. Entwickelung nach steigenden Potenzen. Neunte Vorlesung. Die symmetrischen Functionen. S. 96—113. $ 90. Elementare symmetrische Funetionen. $ 91. Potenzsummen. Newton’- sche Gleichungen. $ 92. Independente Darstellung; Waring’sche Formel. $ 94. Umkehrung. $ 96. Darstellung jeder symmetrischen durch die elementaren Functionen. $ 97. Gauss’ Beweis. $ 99. Ausscheidung von Gliedern. Gewicht; isobarische Function. $ 108. Ein- $ 100. Beispiel. $ 101. Cauchy’s Beweis. deutigkeit der Darstellung. $ 104. Gebrochene symmetrische Functionen. 8 105. $ 106. Cauchy’s Symmetrische Functionen gegebener rationaler Functionen. Darstellung. Zehnte Vorlesung. Transformation von Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen. S. 113—183. $ 107. Problem und Lösung. 8& 108. Gebrochene Function der Gleichungs- wurzeln als ganze Function dargestellt. $ 109. Die Wurzeln werden um eine Constante vermehrt. $ 110. Die Wurzeln werden mit einer Constanten multipli- cirt. 8 112. Reciproke Werthe der $ 111. Die Wurzeln werden potenzirt. Wurzeln. 8 113. Reciproke Gleichungen. 8& 114. Tschirnhausen’sche Trans- formation., 8 115. Ihre Benutzung zur Wegschaffung von Gliedern, Gleichung dritten und vierten Grades. $ 116. Gleichung fünften Grades. $ 118. Function mehrerer Wurzeln. $ 119. Summe je zweier Wurzeln. $ 120. Wurzeldifferenz- quadrate. 8 121. Product aller Wurzeldifferenzen, S 122. Producte Jje einer Wurzel zweier gegebenen Gleichungen. Inhaltsverzeichniss. VIL Elfte Vorlesung. Partielle Differentialgleichungen für die S. 133—149. symmetrischen Functionen: 8 123. Methoden zur Aufstellung partieller Differentialgleichungen. $ 124. $ 127. Ihre all- Ableitung der Gleichungen. $ 125. Sind sie charakteristisch? gemeine Integration. $ 128. Umwandlung der verschiedenen Formen in einander. 8 133. Benutzung bei der Berechnung symmetrischer Functionen, $ 134. Sıie reichen dazu aus. S 185. Andere Methode der Berechnung. Zwölfte Vorlesung., Die Resultanten und ihre Darstellung. S. 149—161. $ 136. Resultanten als Functionen der Wurzeln. $ 137. Elementare HKigen- schaften. $ 139. Darstellung als Determinanten (m + n)' Grades. $ 140. Kuler’- sche Methode. $ 141. Bedingungen für die Existenz eines gemeinsamen Theilers. 8& 142. B6zout’sche reducirte Form. Cayley’sche Form. $ 144. Reduction der Formen auf einander. $ 145. Zweiter Nachweis dafür. Dreizehnte Vorlesung. Eigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis. S. 162—177. $ 146. Elementare Eigenschaften. $ 147. Lineare, gebrochene Substitution. $ 148. Partielle Differentialgleichungen. $ 149. Darstellung der gemeinsamen Wurzeln durch Resultanten. $ 150. Die Eigenschaften werden unabhängig von der Wurzelexistenz bewiesen. $ 158. Irreductibilität. $ 154. Resultante von f(@z+u) und g(z+u). $ 156. Gordan’s Beweis der Wurzelexistenz, Vierzehnte Vorlesung. Die Discriminanten. S. 177—182. $& 158, Definition, als Specialfall der Resultanten. 8& 159. Ausdruck als De- terminante (2% — 1)t°® Grades. $ 160. Ausdruck als Determinante (n — 1)t® Grades. Srg Darstellung durch die Wurzelpotenzsummen. S 165 Differential- gleichungen. $ 163. Darstellung der vielfachen Wurzeln durch die Diserimi- nanten. $ 164. Discriminante eines Products. Fünfzehnte Vorlesung. Die quadratischen Formen. S 182—200. $ 165. Quadratische Formen. Adjungirte, reciproke Form. Determinante. $ 166. Transformation. Subdeterminanten. Rang. $ 167. Reduction der Formen geringeren Ranges. $ 168. Elementare Transformation. $ 169. Reciproke Form und Analogon zu ihr. $ 170. Adjunete als Quadrat. $ 171. Gleichzeitige Trans- formation der Form und der Reciproken. $ 172. Aggregat von Quadraten. $ 173. Vieldeutigkeit der Darstellung. $ 174. Sylvester’sches Trägheitsgesetz. Arithmetischer Beweis. $ 175. Jacobı's.Beweis. $ 176. Species; Signatur; de- finite und indefinite Form. $ 177. Orthogonale Substitutionen. $ 178. Gleichung mit reellen Wurzeln. VIII Inhaltsverzeichniss. Zweiter Abschnitt. Numerische Auflösung der Gleichungen (Vorlesung 16—25). I. Trennung der Wurzeln (Vorlesung 16—21). Sechzehnte Vorlesung. Grenzen für die Wurzeln. Das Rolle’sche Wheorenm S2066 $ 180. Grenzen für den absoluten Betrag der Wurzeln. SSn Grenzen für dio positiven Wurzeln. $ 183. Cauchy’sche Regel. SH85: Newton’sche tegel. Laguerre’s Abänderung. $ 186. Beispiel. 8 187. Rolle’scher Satz. $ 188. Herstellung von Gleichungen mit vorgeschriebenen Realitätsverhältnissen der Wurzeln. $ 189. Legendre’sche Polynome. $ 190. Weitere Anwendungen. $ 193. Der Mittelwerthsatz. Siebzehnte Vorlesung. Das Budan-Fourier’sche Theorem. S. 216—225. $ 195. Zeichenfolgen und Zeichenwechsel. $ 196. Das Budan-Fourier’- sche Theorem. 8 197. Descartes’scher Satz. $ 198. Einfluss fehlender Glieder des Polynoms. $ 199. Directer Beweis des Descartes’schen Satzes. 8 200. Vermehrung der Wechsel bei Multiplication mit (z — €). $ 201. Anwendungen. Achtzehnte Vorlesung. Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze. S. 225—287. $ 202. Hülfsreihe. $ 208. Folgen-Folge u. s. w. Beweis des Satzes. $ 204. arenzfälle. Ver- $ 205. Prüfung der Bedingungen. $ 207. Newton’scher Satz. vollständigter Satz. $& 208. Aeusserste Grenzen. $ 209. Biehler’s Herstellung von Gleichungen mit reellen Wurzeln. Neunzehnte Vorlesung. Das Sturm’sche Theorem. S. 238—261. '8 210. Verallgemeinerte Sturm’sche Reihe. &$ 211. Beispiel. $ 212. Sturm’- sche Reihe. $ 213. Vielfache Wurzeln. Prüfung der Bedingungen. $ 214. Nu- merisches Beispiel. $ 215. Gleichung zweiten Grades. $ 216. Gleichung dritten Grades. $ 217. Gleichung vierten Grades, $ 218. Darstellung der Funetionen der Sturm’schen Reihe. $ 219. Vereinfachung der Ausdrücke. $ 220. Regulärer Fall. 8& 221. Darstellung durch die Potenzsummen und durch die Coefficienten. 8 222, Sylvester’sches Theorem. $ 223. Exeess. $ 224. Ausdruck desselben. 8& 225. Sturm’scher Satz als Specialfall des Cauchy’schen Umkreisungssatzes. $ 226. Analytische Darstellung. $ 227. Darboux’ Theorem. Zwanzigste Vorlesung, Das Hermite’sche Theorem. 5$. 261—270. $ 228. Einführung quadratischer Formen, $ 229. Signatur zur Bestimmung Besondere Fälle. 8 2383. Geometrische der Anzahl reeller Wurzeln. S 250 Deutung. $ 234. Hermite’s Satz. $ 235. B6zoutiante. 8 236. Jacobi’s Bemerkung. Inhaltsverzeichniss. IX Einundzwanzigste Vorlesung. Trennung der Wurzeln. — Rationale Wurzeln. S. 271—281. 8& 237. Trennung der reellen Wurzeln. $ 238. Kleinste Differenz, zweier reellen Wurzeln. $ 239. Kronecker’sche Waring’s und Cauchy’s Methode. Untersuchungen. 8 240. Newton’s Methode zur Aufsuchung rationaler Wurzeln. $ 241. Algorithmus. Zahlenbeispiel. 8 242. Theorem über Gleichungen mit rationalen Wurzeln. II. Näherungsweise Berechnung der Wurzeln (Vorlesung 22—25). Zweiundzwanzigste Vorlesung. Die Newton’sche und die Bernoulli’sche Näherungsmethode. S. 281—300. $ 243. Jede Trennungsmethode giebt Näherung. $ 244. Newton’sche Methode. $ 246. Beschränkung der Voraussetzungen. $ 247. Newton’sche Formeln. $ 248. Schema zur numerischen Berechnung. 58 249. Beispiel. 8 250. Grösse des Fehlers. $ 251. Bernoulli’sche Methode; zwei Arten, 8 252. f/g„ reelle ungleiche Wurzeln. $ 253. Reelle gleiche Wurzeln. $ 254. Complexe Wurzeln. $ 255. 8, 1: S„,; reelle Wurzeln; complexe Wurzeln. Berechnung der Amplitude. $ 256. Gleichung für die » Wurzeln höchsten Moduls. 8& 257. Be- rechnung der s,; Willkür in den Anfangswerthen, Dreiundzwanzigste Vorlesung. Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln. S. 300—314. $ 258. Herstellung von Algorithmen. $ 259. Bedingungen der Convergenz. $ 261. Inverse Algorithmen ergänzen sich. $ 262. Grenzpunkte der Convergenz, $ 264. Algorithmen, die zu allen Wurzeln führen. 8 265. Newton’sche Näherung. $ 266. Mehrfache Wurzeln. $ 267. Algorithmus für quadratische Gleichungen. $ 268. Algorithmen für allgemeine Gleichungen. $ 269. Complexe Wurzeln. Vierundzwanzigste Vorlesung, Iteration. S. 314—323. $ 270. Begriff der Iteration. $ 271. KEigenschaften iterirter Functionen. $ 272. Iterirung gebrochener linearer Functionen. $ 273. Iterirung gebrochener rationaler Funetionen, Fünfundzwanzigste V01'1(eéung. Die Untersuchungen von Lagrange. S. 323—333. $ 274. Gleichung der Wurzeldifferenzquadrate. $ 275. Satz von Waring. $ 276. Berechnung complexer Wurzeln, $ 277. Polynom der Wurzeldifferenz- quadrate als Resultante. $ 278. Lösung der Gleichungen durch Kettenbrüche, $ 279. Numerisches Beispiel. $ 280. Zeichenwechsel in der transformirten Gleichung. $ 281. Berechnung des Theilnenners. X Inhaltsverzeichniss. Dritter Abschnitt. Algebraische Lösung der Gleichungen (Vorlesung 26—29). Sechsundzwanzigste Vorlesung. Die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades. S. 334—345. $ 292. Gleichungen zweiten Grades. $ 2883. Gleichungen dritten Grades. Tschirnhausen’sche Methode. $ 284. Euler’sche Methode. $ 285. Discussion $ 287. Der irreducible Fall. der Lösung. Goniometrische Lösung. 8& 288, Lagrange’sche Methode. Innerste Wurzel. $ 289. Gleichungen vierten Grades. Euler’sche Methode. $ 290. Descartes’sche Methode. $ 291. Lagrange’sche Methode., $ 292. Discussion der Lösung. Siebenundzwanzigste Vorlesung. Einheitswurzeln.. S. 345—358. $ 294. Einheitswurzeln. $ 295. Eigenschaften. Primitive und nichtprimitive Wurzeln. $ 296. Primitive Wurzeln bei Primzahlen und Primzahlpotenzen. $ 297. Allgemeiner Fall. Bestimmung von @& (m). $ 298. Wurzeln zu gegebenen Exponenten gehörig. $ 299. Kennzeichen durch die Exponenten. $ 300. Gonio- metrische Lösung. $ 301. 2” +1=0. $ 302. Gleichung der primitiven Wurzeln. $ 303. Specialfall m = %-9g. $ 304. Eigenthümlichkeiten der Kreistheilungs- gleichung. $ 306. Reductionsformeln. S O 8 305. 4 (-51) und F (—1): Kronecker’scher Satz. Achtundzwanzigste Vorlesung., Kreistheilungsgleichung. Methode von Gauss. S. 359—378. $ 308. Verschiedene Formen der Gleichung. Kreistheilungsgleichung, $ 309. Eisenstein’s Irreductibilitätsbeweis. 8 3811. $ 3810. Kronecker’s Beweis. Arndt’s Beweis. $312. Kronecker’s allgemeinerer Irreductibilitätssatz. $ 313. Reduction durch reciproke Gleichungen. 8& 314. Perioden und ihre KEigenschaften. $ 315. Elemente der Lösung. $ 816. Zerfällung von (p—1) in drei Factoren. 8 817. Gauss’sche Lösung. $ 318. Beispiel p= 17. $ 319. Bemerkungen. Neunundzwanzigste Vorlesung, Kreistheilungsgleichung. Methode von S. 378—385. Lagrange und Jacobi. $ 320. Lagrange’sche Resolvente. $ 321. Eigenschaften. $ 322. Lagrange’- sche Lösung. $ 323. Elemente der Lösung. 8 824. Directe Lösung. S 51 325. $ 326. Kreistheilungspolynom als Aggregat zweier Gleichung für zwei Perioden. Quadrate., S. 386—388. Namen- und Sachregister. SA Erste Vorlesung. Die complexen Grössen. ° $ l.i Wir betrachten zunächst nur das Gebiet der reellen Zahlen. Dieses reproducirt sich durch die elementaren Rechnungsoperationen der Addition, Subtraetion, Multiplication und Division, so dass, wenn a, b, c, beliebige Grössen des reellen ’Zahlenbereiches sind, die Resultate a a —+ , a — b, a-b, b ebenfalls dem Gebiete angehören. Nur ist hierbei festzuhalten, Vdass in dem Quotienten g der Nenner den Werth 0 nicht annehmen darf, da _ sonst % keinen Sinn hat. Für die Addition bestehen zwei Gesetze, aus denen geschlossen werden kann, dass bei der Bildung einer Summe aus einer beliebigen endlichen Anzahl von Summanden die Reihenfolge der Operationen ohne Einfluss auf den Werth der Summe ist. Das erste, das com- mutative Gesetz, wird durch die Gleichung © a+b=b-+a, das zweite, das associative, durch die Gleichung 2) (a +d)+c= (a +0 + ausgedrückt. S Drei Grössen a, b, c lassen sich auf die folgenden zwölf verschie- denen Arten zu einer Summe vereinigen: (4-E0) 6 (aD (b-La)- Ho (b-E6) Lar (e-ha) E, (o-FD)Ea, a-+(b-+c), a-+(c-+b), b+(a-+c), d+(c-Ha), c+(a-Fb), c+(b-a), so dass die Möglichkeit besteht, je nach der Ausführung der Summation auch zwölf verschiedene Werthe zu erhalten. Nun gehen aber die 6 Resultate der unteren Zeile aus denen der oberen durch die An- wendung von (1) auf die beiden vorhandenen Summanden hervor; wegen (2) stimmen ferner die beiden ersten Summen der oberen Zeile, Netto;, Algebra. I. 1 D Z Erste Vorlesung $ 1—4. ebenso diıe beiden miét]eren und auch die beiden letzten unter einander überein. Da endlich, wiederum wegen (1), auch noch (a+D+c=0+a) +c, (a+c0) +b=(c+a)+ ist, so folgt bei drei Summanden die Unabhängigkeit des Summen- werthes von der Art der Ausführung der Summation. Man iıst daher berechtigt, die Summe kurz und unzweideutig a+b—+ c zu schreiben. Bei » Summanden giebt es 206100 d 6 Möglichkeiten, die Summe zu bilden®). Auch hier gilt derselbe Satz über die Unabhängigkeit des Resultates von der Operationenfolge. Wir nehmen an, er wäre wie für 3 so auch für 4, 5,--.- (n — 1) Sum- manden hbereits bewiesen, so dass in diesen Fällen die Summe A - O A a OE einen bestimmten von der Ausführung der Operation unabhängigen Sinn hat. Dann stellt sich jede Summe aus » Summanden vor der Ausführung der letzten Operation als Resultat einer Addition zweier Grössen dar, etwa 4, + 4,, wobei jeder Summand A,, 4, eine Summe von weniger als » Summanden ist. Nach (1) können wir diejenige der beiden Grössen, etwa 4,, welche a„ enthält, an die zweite Stelle gesetzt denken; dann innerhalb A, und A, die etwa vorhandenen Klammern weglassen und in 4, das Element a„ als letztes nehmen, so dass A, = 4, + a entsteht; endlich können wir auf Grund der Voraussetzung über (n — 1) Summanden Ar + 4, =(4, + 4;') + &n = (& A 0 F + F An—1) F An = Q +& + 4 An schreiben. Hif3rn]ifi ist die behauptete Unabhängigkeit dargethan. *) Dies erkennt man leicht: Zunächst können die m! Permutationen der n Summanden aufgeschrieben werden; jede derselben giebt eine der Folgen der hinzuschreibenden Summanden an, und es kommt nur noch auf die Vertheilung der Klammern in dieser Folge an; in jeder Klammer dürfen dabei immer nur zwei Summanden, d. h. einzelne Grössen oder andere Klammern stehen. Durch strenge Induction findet man die Anzahl der Vertheilungsmöglichkeiten mittels der Borchardt’schen erzeugenden Funetion gleich dem Coefficienten von E in der Entwickelung von ıl aa V Dadurch ergiebt sich dann das oben an- nach steigenden Potenzen von &. geführte Resultat. Die complexen Grössen 3 $ ?® Die beiden für die Multiplication entsprechend gebildeten und benannten Gesetze werden durch die Gleichungen A0 = (DG) (3) © (@b)c = (ac) o gegeben, und aus ihnen folgt wieder nach der eben auseinandergesetzten Schlussweise die Einwerthigkeit des Productes mehrerer Factoren bei beliebiger Anordnung der Operationen Nimmt man zu (3) und (4) noch das neu auftretende distributive Gesetz (5) (a + d)c= ac + be hinzu, welches die Multiplication mit der Addition verbindet, so sind durch diese Gesetze die Eigenschaften der Summen- und der Produet bildung festgeleot $ 3. Für die Subtraction und die Division gelten die Definitions- gleichungen a (6) (a —b) Eb=a Ö b == a Bei der Division ist die bereits oben erwähnte Einschränkung festzuhalten, dass der Divisor b von Null verschieden sein muss Da übrigens in unserem Gebiete die negativen und die gebrochenen Zahlen, nämlich (—d) sowie „ vorkommen, so können wir von der Betrachtung der Subtraction und der Division ganz absehen, indem durch a == (1 a—b=a+ (—b), b beide Operationen vermieden werden können $ 4. Beschränkt man sich auf das Gebiet der reellen Zahlen, dann erleidet eine grosse Anzahl von fundamentalen algebmmchen Sätzen Ausnahmen, so z. B. der Satz, dass zu jeder Grösse a eine andere gehört, deren Quadrat jenes a ist; dieser Satz gilt in dem bisher besprochenen Bereiche nur, wenn a positiv oder Null ist. Diese Sätze bekommen dagegen durchgängig Geltung, sobald man das Gebiet der Grössen in passender Art erweitert. Das soll jetzt durchgeführt werden. Die bisher betrachteten Zahlen können durch die Anwendung einer endlichen oder einer unendlichen Anzahl der fundamentalen Öperationen aus der 1 abgeleitet werden Wir führen neben dieser eine neue Kinheit j ein und betrachten das Gebiet aller Zahlen AA +“z.77 in denen &,, « beliebige reelle Grössen bedeuten. Eine derartige Kr- weiterung ist nur dann von Werth, wenn das neue Gebiet wirklich umfassender wird, als das frühere d h. wenn j nicht schon unter den HE A Erste Vorlesung $ 4—5. reellen Zahlen enthalten ist; wenn ferner auch dieses Gebiet sich durch die elementaren Rechnungsoperationen reproducirt; und wenn endlich auch in dem neuen, erweiterten Bereiche die besprochenen Gesetze der elementaren Operationen gelten. KEs ıst also zunächst nothwendig, dass mit Ü %, b=ß1+ß2] auch die Summe beider Grössen in dem neuen Gebiete vorkommt. Wir definiren nun die Summe von @ und b durch die Gleichung Ü Z a e 2 und erkennen aus dieser naturgemässen Erweiterung der Addition, dass nicht nur unsere eben ausgesprochene Forderung befriedigt ist, sondern dass auch die Gesetze der Addition a+bd=b+a, a+D4c=(@+) + bestehen bleiben, weil sie für die reellen Bestandtheile x, ß, -:- Geltung haben. Bei der Multiplication erhalten wir unter der Voraussetzung, dass die formalen Gesetze der reellen Zahlen auch hier gelten, ab = &, ßı + (“1 Ba il “2ß1)f 5 2 B2i soll die Summe auf der rechten Seite wieder dem -Gebiete angehören, so muss nothwendiger Weise’ © JI y Ca gesetzt werden, wobei w,, w reelle Zahlen bedeuten. Je nach der Wahl von «,, u können also verschiedene Productbildungen ab.= (“1 Bı + &aßı) F (& Ba 4 @ßı H “2ßz“2)j auftreten. Nun ändert sich aber unser erweitertes Zahlengebiet in seiner Gesammtheit und seinem Umfange nicht, wenn man statt der Einheit j die neue‘ Einheit il .]1=.7_2u2 einführt, da ja 0 A Ba — (“1 a 9 °‘2“2) F Jı und —— r ( ar CD (& 5 "‘2"—2) 5 &S ist lDiese Abänderung hat den Vortheil im Gefolge, dass die Mul- tiplicationsregel im neuen Gebiete — He i '“22 a Lfl=fi—w%%bü I - Die complexen Grössen. einfacher wird, als die, für j aufgestellte. Sie zeigt, dass das Wäre diese Zahl positiv Quadrat von j, eine reelle Zahl ist. oder Null, so gehörte auch j, und folglich j dem reellen Zahlengebiete an, und es träte sonach keine Erweiterung desselben ein. Soll dies vermieden werden, so haben wir 2 j1j1 = —k zu setzen, indem wir dabei unter & eine reelle Zahl verstéhen. Jetzt ändern wir die Einheit j, wiederum ab, indem wir ohne KEingriff in den Gebietsumfang Sr v T benutzen; der aus 1 und % gebildete Bereich ist wieder identisch mit Dies ist des- dem aus 1 und j, oder dem aus 1 und j gebildeten. wegen geschehen, weil die Multiplicationsregel hier besonders einfach lautet, nämlich f uÜ= —1 £ o - (8) Da jede Gleichung (7) auf (8) führt, so ist dies ein Zeichen dafür, dass es verschiedene Gebiete dieser Art nicht giebt. Das aus 1 und % gebildete Gebiet nennen wir das gewöhnliche complexe, oder kurz das complexe Gebiet. In ıhlm ıst ab = (& ßı &> ßa) A (“1ß2 + &x B1)%, (ab) C (“1 B.Zı &,Ba &B, Y “2ß27’1) E (“1 Bıt2 F &1 Bayı F &2ßı Yı &, ßa ?’z) %, und darans erkennt man die Gültigkeit der Regeln (3) und (4). Es handelt. sıich noch um die Ausführung der Division. Die Gleichung ıl O z . &, — &l ö &r +°‘fl E (°‘1 + %Ü (& — °‘2®5 E Ö zeigt, dass auch die Division stets innerhalb des Gebietes vollzogen werden kann, sobald «,* + @«,* von Null verschieden ist. Da nun &,, « reelle Grössen sind, so ist auch hier, wie im Gebiete der reellen Grössen, nur die Division durch die Null unausführbar; denn aus a + @x == 0 folgt auch &, = 0, &, =0; a=«, + 4i = 0. $ 5. Es könnte den Anschein haben, als ob unsere Untersuchung nicht allgemein durchgeführt wäre, da wir von vorn herein die 1 als zu unserem Gebiete gehörig benutzt haben. Man könnte also ver- suchen, zwei Einheiten e,, e einzuführen, von denen keine reell ist, und zwischen denen keine lineare Gleichung (9) C E D0 6 Erste Vorlesung 8 5. mıt von Null verschiedenen reellen Coefficienten rı besteht. In diesem Falle handelt es sich um den Bereich der Zahlen %6, + %65 in ihm sollen die oben aufgestellten Gesetze Gültigkeit behalten. An erster Stelle ist eine Festsetzung hinsichtlich der Multiplication in der Form 61“ = Q,6, + 036,, (10O) 66 — b_e, + b26,, &6 = 016 4 0, E = 6, 4 6 erforderlich, damit alle Producte unseres Gebietes (& 6, 4 &%6) (Bıe + Bae) wieder die gewünschte Form annehmen. Weiter müssen wir, um dem aus (3) folgenden besonderen Falle e,e, = &e, Rechnung zu tragen, b = ,, b = , setzen; dadurch ist dann (3) auch gleich allgemein befriedigt, da jetzt e ar @ (a - ) B C E — B ß e T er gesetzt werden kann. Die Bedingung (4) fordert, wie man auf die- selbe Art sieht, auch nur die Erfüllung der einen Gleichung 6, (6,6) = (&,6,) &, welche in die beiden Forderungen zwischen den reellen Coefficienten A, = b1b;, ayb; + A0 = Ayb, + b zerfällt und allgemein durch die Annahme a, = Av + wo, S, Cl z X A = Au, b = Avw, C = %U — VO befriedigt wird. Somit erhält man an Stelle von (10) als Multipli- cationsfestsetzungen, die unseren Bedingungen genügen, 6” = (AV + wo)e, + 4K, (10°) S xwe, + A7%, 2 E C xve, + (xw — vo)C. Hieraus kann man jedoch folgern w O A Z e — Av (11) v e — xW 6 — (xwW — v0)? d. h. die Existenz einer linearen Beziehung, welche zwischen e, und e, Diesem Dilemma entgegen der in (9) gemachten Annahme besteht. können wir nur durch die Annahme u = 0, oder v = 0, oder durch 7 Die complexen Grössen, o = 0 ausweichen. Aus einer der beiden ersten Annahmen z. B. aus 0 0 y (& — Av)e = 0 folgen, d. h. e, bezw. e, müsste eıne reelle Zahl seim, sobald es, wie wir annehmen, aus dem Verschwinden eines Produets folgt, dass einer der Factoren verschwindet. Der Annahme nach sollten aber e,, & nicht reell sein. Man hat deshalb o== 0 zu setzen und findet e = 1ve, + 1U2, (10”) 6162 = XWE, + AV6,, * = xve, + xue,. Hieraus ergiebt sich weıter OR = @ hätten nun x und 2 das gleiche Vorzeichen, so könnte wieder eine Gleichung von der Form (9) mit reellen Coefficienten gefolgert werden; wir müssen deshalb als Zusatzbedingung dıe Ungleichung (10°) o Z aufstellen. (10”) und (10°) liefern dann alle gewünschten Systeme. Wir können Jjetzt leicht erkennen, dass wir nichts Neues erlangt haben. (10”) liefert CD — 0)a F Aue, = 0, bezw. (xu — &)e, + V Z xue, + (Av — e,)% = 0, %ve, + (xu—e,)6 = O; hieraus folgt bezw. (& — Av)* = xAW, (& — #u)! — u42 0 = Av + uVxA, O i”l/fi; SO dass e, wie %@ zu unseren gewöhnlichen complexen Zahlen gehören. Die Grösse 1, welche in unserem Gebiete durch &6, +& dargestellt und durch die, für beliebige «,, x, geltende Gleichung (04, 6, + 026) (8,61 { 826) = &101 F %26 definirt sei, lässt sich leicht berechnen. Man braucht nur zur Be- stimmung von &,, & die besonderen Gleichungen E, (8161 + &6) = &1, &, (8,6, + &)=G zu verwenden und erhält für die Coefficienten £ die Werthe v E1 ’ 2 d D 1.1/2-—%(‚L2’ so dass man ET 1 W erhält, wobei wegen (10°) der Nenner nicht verschwinden kann . 8 Erste‘ Vorlesung 8 6; $ 6. Die Frage nach den Eigenschaften und der Darstellung der aus drei unabhängigen Einheiten gebildeten Systeme ® %6, T %6 4 Xg C ist schwieriger zu beantworten. Die Herren Weierstrass und Dede- kind haben dies\Problem in den Gött. Nachr. von 1884, 1885, 1887 behandelt. Wir wollen hier nur eine Eigenthümlichkeit dieser Systeme herleiten, auf Grund deren wir dann von der Einführung solcher all- gemeinen Zahlen absehen können. wieder Die Nothwendigkeit, den Producten e,6,, 66 ’ G die Form %6, F %a& F %36g zu geben, damit die Multiplication innerhalb unseres neuen Grössen- - gebietes ausführbar sei, fordert die Existenz von sechs Gleichungen der Form “ = G16, F 0962 F As6s, 66 = bı6; + 46 + d36s = &1, A + C621 C363 = 66r, &* = dre, + e F d6es, 66 = fi& F F& + f3 — GC) E = f16, F Ia F Is6s; bei deren Aufstellung wir sogleich dem commutativen Gesetze der Multiplication Rechnung getragen haben. Aus ihnen folgt (r E al 0263 - A 6 0, Da a (a — OC D = 0 G 66 + (3 — e)e6 =0, und es muss also die Determinante dieses Gleichungssystems 0, — € A, E} O, b —e b; — A G C C C C e +(a'1bz(’3—‘“lb3cz+"') den Werth Null haben. .Äus der elementaren Algebra ist bekannt, dass das Polynom C e OE “1b302‘+ 3 mit reellen Coeffieienten identisch ın die Form @e gebracht werden kann, in welcher %,, %,, %; drei reelle oder auch eine reelle und zwei gewöhnliche complexe Grössen bedeuten. Daher kann man die Determinanten-Gleichung Die complexen Grössen. © @ =0) @@ — @) (& — e6)=0 schreiben und ebenso findet man ©C —C0 — @) (Us — &) =0, CN e &6)=0; die %, y, z sind reelle oder gewöhnliche complexe Grössen. Lässt man nun auch in diesem Gebiete den Satz gelten, dass ein Product nur dann verschwinden kann, wenn einer seiner Factoren ver- schwindet, so folgt aus den letzten drei Gleichungen, dass e,, &, € gewöhnliche complexe Grössen bedeuten, und dass sonach das Gebiet %6, - %262 A %3C mit dem durch die Einheiten 1 und % constituirten identisch ist. Will man umgekehrt neue Einheiten einführen, so muss jener Satz vom Verschwinden des Produects fallen. Als Beispiel hierfür mag Folgendes dienen. Wir setzen als Multiplicationsgleichungen fest: G = © G B &° =6 4, 663 — 6, s —@ p E36, — 6C35 dann gelten alle aufgestellten Multiplicationsregeln. Man findet in diesem Gebiete die Gültigkeit der Gleichungen (6, + @— 6)6 = 0, 6, —6 + 6)e =0,---, Setzt man trotzdem keiner der auftretenden Factoren gleich Null ist. Z N 8 Z& I, N = 6 T & O37 so erhält man für die Einheiten n die noch übersichtlicheren Mul- tiplicationsgleichungen N = 2(“' Y ar Ua Ar 773): Yl Ua O; N” = 2(711 Oa °73); nn = 0, 7132 =2 ("71 Sa — °73); NN = 0. Dieselben Betrachtungen hätten wir auch schon im vorigen Para- graphen bei der Behandlung von e, und e anstellen können. Es wäre dann aus u = 0 oder v = 0 in (10°), d. h. aus e,[e, — 1v]= 0 Ooder & [& — xu]= 0 nicht nothwendig gefolgt, dass jede der Grössen e,, e, reell ist, und wir hätten den Uebergang von (10*) zu (10”) nicht zu machen brauchen. Wir wollen aber für unser Gebiet den Satz, dass ein Product nur verschwindet, wenn ein Factor verschwindet, durchaus allgemein gelten lassen und sind dann darauf angewiesen, im Gebiete der aus 1 und 7 gebildeten, gewöhnlichen complexen Zahlen zu bleiben. 1K Erste Vorlesung $ 7—8. $ 7. Es ist nunmehr angezeigt, auf die Theorie der gewöhnlichen complexen Zahlen genauer einzugehen, und zwar wollen wir zunächst die geometrische Darstellung derselben besprechen. Wenn man in einer Ebene ein rechtwinkliges Coordinatensystem einführt, die Abscissen mit x und die Ordinaten mit y bezeichnet, so kann man jeden Punkt dieser Ebene durch ein reelles Werthepaar (x, y) und umgekehrt durch jeden Punkt ein reelles Werthepaar dar- stellen. Die Strecke, welche den Nullpunkt mit dem Punkte @ ) verbindet, wollen wir als geometrische Repräsentantin der Grösse 2= %+ iy ansehen. Die Darstellung reeller Grössen als Strecken 'einer geraden Linie mit demselben Anfangspunkte ist unter unserer Festsetzung als besonderer Fall enthalten. Die absolute Länge der von 0 nach (x, y) gehenden Strecke wollen wir den Modul von z oder den absoluten Betrag von z nennen und durch |2| bezeichnen. Man hat daher Z |2|= Vx2+?: wobei der absolute Werth der Quadratwurzel zu nehmen ist. Für eelle Averthe z ıst | w elerch Z=(2Y) dem absoluten Werthe von z. Hieraus ergiebt sich sofort durch Einführung von Polar- coordinaten eine neue Aus- drucksweise für 2. Wir be- 9) AA zeichnen mit ” die Länge des von 0 nach (x, y) gehenden Radius-Veetors und mit @ den Winkel, welchen dieser mit der positiven Richtung der A bscissen- axe bildet; dann ist (12)‘ %=7C03@, Y=r8in@; 8 = + iy= 7(c0s @ + i in g@). Um die Schreibweise abzukürzen möge durchgehends, wenn kein Miss- verständniss zu befürchten ist, C & cos & + isn d = [ 9 geschrieben und also (13) e=r[i9] A gesetzt werden. Hier ist ” dem Modul &G gleich und daher stets eine absolute Grösse. o wollen wir die Aniplitude der complexen s Die complexen Grössen. I A Grösse K nennen und mit ampl. z bezeichnen. (13) möge die Normalform von x + iy heissen. (12) zeigt, dass durch r und @ die Werthe von x und y, und damit auch der Werth von z eindeutig bestimmt sind. KEbenso wird durch x und y r=VAr eindeutig gegeben, während die beiden Gleichungen X cCOS @ = OE S Z P y Va y? Ya y den Winkel @ nur bis auf additive Vielfache von -} 2 festlegen. Die Darstellung D = arc tang SS liefert die Amplitude sogar nur bis auf Vielfache von + m, also nicht ın ausreichender Art. $ 8. Die geometrische Darstellung einer Summe stützt sich auf die Formel Z2=Z+zl=(x‘l“iy)+(x1+i71)=(x+xl)+i(y+yl) und zeigt, dass die Abscisse (Ordinate) einer Summe gleich der Summe der Abscissen (Ordinaten) A(A EY) Wır ih.rer Summanden ist. Setzen Arl 0 Z A=(0,4) dann folgt, dass 0AA4, ; ein Parallelogramm ist, bei dem die von 0 ausgehenden Seiten die Summanden, die von O ausgehende Diagonale die Summe darstellen. Die Krweiterung der Construction auf mehr Summanden ist einfach. Ebenso einfach ergiebt sich die Construction der Differenz 0A,= % — Z aus Dl üund 0A: Aus elementaren geometrischen Dreieckssätzen wird es augen- scheinlich, dass der Modul einer Summe von zwei Summanden kleiner oder höchstens gleich der Summe, und grösser oder mindestens gleich der Differenz der Summanden ist. Der erste Grenzfall tritt nur dann ein, wenn z und z, gleiche Amplituden besitzen; der zweite nur dann, wenn die Differenz der Amplituden von Z und z, gleich + mz ist. Analytisch lässt sich dies so begründen. Es ıst 12 Erste Vorlesung 8& 8 —10. (& + y°) @* + Yı a yyı)“ = (zyı — O Z (2 - Y 2V.Z'”—}— Y Vx12‘i;ylé+(xl2+ Y @ 2xxx+xl2) A 2UY1 A Yı) Z2(@+y) — 2VZAA Va H+ + , Vr Va Z Vrn VELR— Va ’ wenn alle Wurzeln positiv genommen werden. Die letzte Formel liefert den ausgesprochenen Satz, nämlich A 5+311?‚„5’—121„; und seine Grenzfälle werden aus xyı — %, y= 0 abgeleitet. Allgemein gilt die Formel n RS AsE K $ 9. Die geometrische Behandlung der Multiplication knüpft am einfachsten an die Darstellung der complexen Grössen in ihrer Normal- form an. Man hat wegen * = — 1 das Resultat % [; ‘P1] 73 [S ‘P2J (14) =/ ,, {(cosg, cosgp,— sin , sing,) +i(cosgp, sin „ + sin, cosmp,) } R Lı78 [; (n ‘P2)]) d. h. es ist der Modul eines Products von zwei (und dann auch von mehr) Factoren gleich dem Producte der Moduln der Factoren, seine Amplitude gleich A der Summe der Amplituden der ; L/// Factoren. Geometrisch gestaltet sich die © Darstellung der Multiplication : fol- gendermassen. Ist ‚{ 04=z+iy=2, 0 A =2% + i9ı= %, OAy= 22 =% + 1= %, dann folgt gemäss (14) 7, =r.r/ _ oder FA Dreiecke Zieht man also AX so,'dass OE= 1 ist, dann siınd die beiden OB A und O AA einander ähnlich. Denn es ist ausser der Proportionalität der von O ausgehenden Seiten noch wegen (14) 4, 0 4, = ampl. z, — ampl. &, = ampl. z = A0OE. Die complexen Grössen. 1u Man hat daher, um 0 4, zu construiren, nur über OA, ein, dem Dreieck OEA ähnliches und ähnlich gelegenes Dreieck 0A4,4, zu zeichnen; OA, ist dann das gewünschte Product. Für mehrere Factoren erhält man die Formel m m (14°) RA i A= Z und ins Besondere (14*) (la = [ m] ' Die Division erledigt sıch leicht durch die Bemerkung, dass il cos @ + isin @ = C0S — ISINO, d C 1 =—> [Z S w)] ] ist Danach wird nl . (15) R 7;; [2 C — 9”2)J7 7‘„[ ä d 3 der Modui eines Quotienten ist gleich dem Quotienten aus dem Modul des Zählers und dem des Nenners; seine Amplitude gleich der Differenz aus der Amplitude des Zählers und der des Nenners. Zwei complexe Grössen 8=X%-+ iY, 2 = %— Üy A=-6x,4y) oder l M nennen wir conjugirte Grössen. Es ist Z Z “A=-(X-Y) also das Product der conjugirten Grössen dem Quadrate ihres Moduls gleich. Jede Grösse ist gleich der conjugirten ihrer conjugirten. Die conjugirte Grösse einer reellen ist ihr selbst gleich, und um- gekehrt: sind zwei conjugirte Grössen einander gleich, so sind sie reell. $ 10. Wir wollen jetzt auf die Elementareigenschaften der ge- wöhnlichen complexen Grössen eingehen, (I) Aus ” = —1 folgen für die höheren Potenzen von i die Gleichungen 14 Erste Vorlesung $ 10—-11. Zweite Vorlesung g_ 12. E ? LU da 2 i4n Z 1) üntı — G, jan+2 i Z i bei jedem positiven oder negativen ganzzahligen m. (IT) Gilt bei reellen x,, yı; %, y, die Gleichung r 0n y A y dann ist 7, =% und yı = %. Denn aus der Voraussetzung folgt ı =—= %)” = (Y2 — y = — M — U und es müsste eine reelle positive gleich einer rellen negativen Grösse oder gleich Null sein, wenn die Behauptung nicht richtig wüäre. (III) Ist bei reellen a,, a,, @„ eine ganze Funetion f(g;—f—iy)=ao+al(x+iy)+a2(x—l—iy)z—{—.-.—{—a„(x—{—iy)" gegeben, so kann man diese Darstellung durch Entwickelung der Klammern mit Hülfe von (I) auf die Form f(@ + iy) = u + iv bringen. Macht man dieselben Operationen mit der conjugirten Function @ — iy)= 4 + a (@ — iy) + a @— ig A + an @ — iy), so wird der Unterschied durchgehends nur darin beruhen, dass alle Potenzen von % durch diejenigen von — % zu ersetzen sind. Hierbei ändern sich die Potenzen mit geraden Exponenten, d. h. die reellen Summanden nicht, während diejenigen mit ungeraden Exponenten nur das Zeichen wechseln. Man erhält also f(@ — iy) = u — iv. KEs sind daher f(@x + iy) und f(x — iy) einander conjugirte Grössen, wenn die a reell sind. (IV) Daraus folgt, dass, wenn f(x + iy)= 0 ist, auch f(x — iy) = 0 sein muss; natürlich ist dabei festzuhalten, dass die Coefficienten A9, 9ı, reell sind. (V) Ist f(@x + iy)=f(x — iy), so ist der Ausdruck von f(x + iy) von % frei, denn man hat gemäss (IIT) v = 0. S Ml Zum Schlusse wollen wir für künftige Zwecke noch die Normalform des complexen Ausdrucks A betrachten, in welchem o beliebig klein sein soll, während über die Man findet sofort aus $ 7 Grösse von & nichts vorausgesetzt ist. o sin & t= V1 +20cos@ + @2[f_arc tan ( 7 51 + 0cos # Ganze Functionen und algebraische Gleichungen 5 Demnach ist 1—0<|z|<1+o, Q kann durch hinreichende Verkleimnerung von o der KEinheit beliebig nahe gebracht werden Ferner ist 1 + 0ocos a cos ampl. ı = V und somit kann ampl. 7 beliebig klein gemacht werden, wenn man den Werth des Moduls o hinlänglich verringert Hieraus folgt dass, wenn man eine beliebige complexe Grösse x + iy mit 1—|—9[ J multiplicirt, bei hinreichend kleinem o das Zeichen des reellen Teiles von @ + iy)(1 + o[%9) mit dem von %, das des imaginären Theiles mit dem von y übereinstimmt, wenigstens sobald x bezw. y von Null ver- schieden ist Zweite Vorlesung Ganze Functionen und algebraische Gleichungen $ 12. Verstehen wir unter @,, a,, A, complexe Grössen von der Form (2 O O O [ 06;1 %), deren erste von Null verschieden ist und unter z eine complexe Variable —x+zy=r[ co], SO sagen Wır, es seı (1) () = A + a 7 L an + An 12 + An eine ganze Funetion n“ Grades von z2, und die Gleichung @) \ @)=0 eine algebraische Gleichung n“ Grades in z. Wir nenmnen f(z) das Polynom der Gleichung (2) und setzen es, wenn nichts anderes bemerkt ist, als nach fallenden Potenzen der Var1ablen geordnet voraus. Beaewhnen wir ferner @ =w= u E i 16 Zweite Vorlesung $ 12—14. so ist durch (1) jedem Werthe von z ein Werth von w zugeordnet. Man hat dabei die rationale Darstellung von w und w in der Form u = 097 cos (n + &x) + 0,7" 7! cos ((n — 1)w + aÜ) +---, (3) v = 0,r sin (n + «o) + 0,7" ! sin ((n — 1) w + a) + + Durch (3) sind w, v vermittels der Polarcoordinaten von z ausgedrückt; da aber, wie die Formel (14”) aus der ersten Vorlesung‘lehrt, nn Y %V T”C0OSN O ==" ” @ 1)xn——?.y2 + ‚( n—1)(n—2)(n—3) xn—»i‘‚l/ A ? 1-2.3-4 (4) n(n——1)(n—_2) A mM sinno = “ anl — 1-2.3 xn—3y8 + I ist, so kann man auch w, v rational durch %, y ausdrücken. / $ 13. Die Werthe von z haben wir durch Punkte einer Ebene, der (x, y)-Ebene repräsentirt; ebenso wollen wir die Werte von w durch die Punkte einer zweiten Ebene, der (w, v)-Ebene darstellen. Dann sagen wir, diese w-Ebene liefere ein durch die Gleichung (5) w = f(2) vermitteltes Bild der z-Ebene, oder die z2-Eibene sei«durc_h (5) auf die w-Ebene abgebildet. An diese Auffassung knüpft sich sofort eine Reihe von wichtigen Fragen, z. B.: Gehören zu verschiedenen Punkten der z-Ebene auch yerschiedene Bildpunkte der w-Ebene? Ist jeder Punkt der w-HEbene das Bild eines Punktes der z-Ebene? Wie bildet sich eine gegebene Curve der z-Ebene auf die w-Ebene ab? u.s. f. KEin einfaches Beispiel möge diese Verhältnisse erläutern. Es sei WE=jC) =7=00 [S"“J’ also y C0S NO = U, Sn NO = V, Dann sieht man, dass sich die Punkte 2 = 0 und w = 0 entsprechen, so dass w= 0 das Bild des Einen Punktes z = 0 ist. Ferner bildet sich der Kreis |#2|= r in den Kreis |w|= ”” ab, und der Radius- Vector / = tang @ in den Radius-Vector = tang nw. Lassen wir nun den Punkt z den Kreis |z#|==r derart durchlaufen, dass die Amplitude von z stetig wachsend von 0 bis 2x geht, so wird w den Kreis |w |= 7 derart durchlaufen, dass ampl. w gleichfalls stetig wachsend von 0 bis 2n geht, d. h. w wird diesen Kreis »mal durch- laufen. Jedem Radius g = tang T entsprechen dabei die %» Radien T 't-—+;q[21t) » tang - E A Z = tang '1tz’ tang Ganze Functionen und algebraische Gleichungen. U Dieser Satz ist ein Specialfall des aus (4) folgenden allgemeineren ’ dass jeder geraden Linie «w + ßv==1 der (uw, v)-Ebene eine Curve n Ordnung in der (x, y)-Ebene entspricht. $ 14. Eine Fundamentalfrage ist die, ob jedem reellen Werthe- paar ı, v, ein reelles Werthepaar @, y entspricht, dessen Bild w,, v ıst Bezeichnen wir w + %, = W, So kommt dies auf die Entschei- dung darüber hinaus, ob es einen Werth z giebt‚flder W —W =0 macht. Da ferner w — w, wieder von der Form (1) ist, so ist also die Fundamentalfrage darauf reducirt, ob man dem Argumente z in der Funetion f(z) einen solchen Werth beilegen kann, dass (2) erfüllt ist. Kinen derartigen Wert %, = xz) + iyo nennen wir eine Wurzel der algebraischen Gleichung (2); in Anknüpfung an unsere geometrische Darstellung wollen wir ein solches z, auch Wurzel- punkt oder Nullstelle der Function f(z) nennen. Aus der Definition der Wurzel ergiebt sich (6) F(@) =F() — (00) >a& —25) Hay ( — an +a ( — SE e=— (@ — [ H+ aft am N] d. h. wenn z eine Wurzel von (2) ist, dann ist nach (6) die ganze Function f(z) durch z — z theilbar, derart, dass der Quotient eine ganze Funetion des Grades (n — 1) mit demselben Anfangscoeffieienten A, ist. Besteht umgekehrt eine derartige Theilbarkeit für den linearen Ausdruck 2 — %, dann zeigt die Substitution z = 2,, dass f ey=0 also z eine Wurzel von (2) wird. (6) schreiben wir kürzer in der Form f@) = (& — a)A)- Hat nun auch f,(z) = 0 eine Wurzel 2,, dann folgt ebenso weiter ( (@) = (# — @— 2,) f (@), und wenn 2, von z verschieden ist, was wir durch z, + Z ausdrücken, dann besitzt f(z)=0 die beiden Wurzeln %p Ac IS6 @lber Z = AAy so wollen wir die Uebereinkunft treffen, Z als Doppelwurzel zu bezeichnen und bei der Abzählung der Wurzeln zweifach zu rechnen. Besitzt f(2) = 0 wiederum eine Wurzel %, dann ergiebt sich F = @— 2)e—a)C — a)@), und f(2z)=0 hat, je nachdem alle Werthe Zo> %1, % unter einander verschieden, oder zwei und nur zwei von ihnen einander gleich, oder alle drei einander gleich sind, drei Wurzeln, oder eine einfache und eine Doppelwurzel, oder endlich eine dreifache Wurzel. In dieser Weise kann man weitergehen, allenfalls bis zu einem Polynome f„(2). Netto, Algebra. I, 2 18 Zweite Vorlesung $ 14—17. Das muss dann wegen der Verringerung der Gradzahlen eine Constante sein und daher mit «& zusammenfallen. Besitzt also jede algebraische Gleichung auch nur eine Wurzel, so folgt die Formel (7) @ A Sa 5„-1), und daraus würde sich dann zeigen, dass eine jede ganze Function „ten Grades in n lineare Factoren von der Form 2 — % zer- legbar ist. Heisst allgemein z, eine m.-fache Wurzel von (2), wenn ( — 2,)”"« die höchste in f(£) aufgehende Potenz von (z — z.) ist, und rechnet man bei der Abzählung der Wurzeln eine solche als äquivalent mit » Wurzeln, so kann man aus (7) schliessen, dass dann eine jede Gleichung n'” Grades » Wurzeln besitzt, welche gleich oder verschieden sein können. KEs fragt sich, ob f(z) noch andere Wurzeln oder eine derselben in einer höheren Multiplicität als der aus (7) sich ergebenden haben kann. Ist ay=+0, so kann dies nicht eintreten, da sonst f(z) durch noch weitere lineare Factoren z — z2’ theilbar wäre und demnach einen höheren als den °“ Grad erreichen würde. Besitzt also f(z) = 0 mehr als » Wurzeln, dann ist ay= 0, und damit wird f(z) identisch Null, d. h. a,= 0, a,=0, -..a,==0; dann wird die Gleichung natür- lich durch jeden Werth von z befriedigt. Der Fundamentalsatz der Algebra beruht nach dem Besprochenen auf dem Nachweise der Existenz einer Wurzel für jede algebraische Gleichung (2). Dieser Nachweis soll in der nächsten Vorlesung auf verschiedene Arten geführt werden. Hier müssen wir noch einige Vor- bereitungen zu diesem Beweise treffen und wollen zunächst einen Schluss aus unseren letzten Ueberlegungen ziehen. $ 15. Ist gl@x, y) = po(a)y* + y @y F + Dn—ıl@)y + pul@) eine ganze Funetion der reellen Variablen x und y, so dass alle Por Pı, ‚ @„ ganze Funetionen von x sind, dann können die Punkte X:, Yı mit reellen Coordinaten, welche die @ Gleichung Ül (8) g@, y)=0 L! befriedigen, in der (x, y)-Ebene kein noch so vu kleines Flächenstück stetig anfüllen, sondern nur eine Curve bilden; ausgenommen ist der Fall, dass g(x, y) identisch gleich Null ist. Gäbe es nämlich ein derartiges Flächen- stück (//), so würden unendlich viele Werthe von x vorhanden sein, wie x’, für welche (8) unendlich viele Wurzeln y’ besitzt. Es müsste Ganze Funectionen und algebraische Gleichungen © sonach infolge der Sätze des vorigen Paragraphen für alle diese Werthe z p@x’)= 0 o (@x’)= 0 p (x’)= 0 sein, und daraus folgt dann aus gleichen Gründen, dass alle @; (z) identisch verschwinden müssen dass also g(x, y) selbst identisch gleich Null wird $ 16 Ist eine ganze Funection (1) gegeben, dann kann man wenn |Z die Grenze y nicht überschreitet, eine Grenze R angeben, welche w | nicht überschreitet Mit anderen Worten: Jedes end- liche Flächenstück der (x, y)-Ebene hat als Bild ein ganz im Kndlichen gelegenes Flächenstück der (u, v)-Ebene Man hat nämlich nach 8 8 [w|< 42 | + [ar + {aar Zla Ea mEa ( Ist o der grösste unter den Moduln 0, ©,, 0n der complexen Zahlent aa a A, SO folgt daraus |w|<or En m] Wenmnn r >1 ist, dann ist der Werth der Klammer < nr" + 1; wenn r = 1, damn ist er =n-+-1, und wem r < 1 ist, dann ist er <n -H1 also in allen Fällen @ Z0W TG Man braucht deshalb nur R=00+H@ +1) zu nehmen, um die Forderung erfüllt zu sehen $ 17 Man kann eine Grenze rg so bestimmen, dass für alle An (9) f(e) = (1 +o) mit O[< wird wo Ö eine positive, beliebig kleine gegebene Grösse bedeutet, die wir von vorn herein kleiner als 1 annehmen Dividirt man (1) durch a,2", dann entsteht f@) U IYZ so dass man für die in (9) eingeführte Grösse 6 die Beziehung findet ! z*w+ 1 V + Z 2 % Da Va AT Um dem aufgestellten Satze zu genügen, soll dieser Ausdruck < d& * Oo* 20 Zweite Vorlesung 8 17—19. also jedenfalls gleich einem echten Bruche gemacht werden; dabei ist ( nach der Definition von o im vorigen Paragraphen mindestens gieich 1. _ Der Sicherheit halber sei 7, > 1, und es wird dann iö|<är;‘l(l+'rlo—{—;_l(„_’—f—-. in infin.) il Z ‚__<ö O0 O 1 zu setzen seim. Sobald man daher ’ (9°) T0>1+ ;0 (13 annimmt, bekommt man die durch (9) geforderte Bestimmung von 74. Die erhaltene Grenze für 74 giebt zugleich eine obere Grenze für den absoluten Betrag der etwa vorhandenen Wurzeln von (2), wie nahe man auch 0 der Kinheit kommen lässt. Denn ist |z|>7,, so gilt (9), und f(z) kann nicht verschwinden, da ayz” von Null verschieden ist 2 und 1 + 6 einen positiven reellen Theil besitzt. Es ist demnach, SEn man ın ( O — mm, (9”) n eine obere Grenze für den absoluten Betrag der Wurzeln von (2). Sind ins Besondere alle ay, @,, - -a reelle Grössen, und lässt man auch für 2 nur reelle Werthe x zu, so folgt, dass E E für alle z >1 + ; % dasselbe Vorzeichen besitzt wie a,x”. KEs be- deutet dabei @ den absolut grössten Werth, der unter den Moduln der Coefficienten auftritt. $ 18. Ist in dem Polynome ( F@= 4E F aı ag e + Annı8 F An a von Null verschieden, dann kann man für |z2| eine obere Grenze ı derart bestimmen, dass für alle z, deren Modul kleiner als vı bleibt, (10) e =au 0 2) wird, wobei | o | kleiner ist als eine gegebene kleine Grösse & die wir < 1 voraussetzen wollen. In der That ist gemäss (10) an a7l Ka 12 | —+ | n l | a;2 EL On * [„;+„;z+...+;„n_]‚ Ganze Functionen und ‚algebraische Gleichungen, 21 und wenn wir von vorn herein |2|<1 setzen, so ergiebt sich 3O N O]< . 1— 121 Um die rechte Seite kleiner als & zu machen, reicht es daher aus, für |Z| als obere Grenze anzunehmen T = 0 E ooo Aus dem letzten Paragraphen der vorigen Vorlesung schliesst man dann wegen (10), dass für f(2) = w + iv, an = 0n [Z oc„] (11) SeN. U — SYN. COS K, @ 0 = @, Sln 0 wird, und weiter, dass die Amplitude von f(z) derjenigen von a„ be- liebig nahe gebracht werden kann. Für reelle, von 0 verschiedene % bedeutet ın der Formel (11) sgn. & den Werth k:|k|, also E1. $ 19. Es ist f(Z+]L) I (aozn P alzn—l AF “257Z'_2 + + a„) + hnq -l +(n—1) a ? ... + aı) + £ (n(n—1)ay &2 +(n—1) (n——2)a„z"*‘=*'+---+2-%a„_2) + Bezeichnen wir num in dieser Entwickelung die einzelnen Klammern in besonderer Art, nämlich Wa n A D = C VV und nennen f'(z) die erste oder kurz die Ableitung von f(z) nach Z, ferner f”(2) die zweite Ableitung von f(z) nach z, f”(z) die dritte Ableitung von f(z) nach z u. s. w., so folgt (12) fe+RH=F@+F@T+IEOR A AO@E. Man erkennt, dass die zweite Ableitung von f(z) gleich der ersten von f'(z)u.s. f., die (& + 7)® Ableitung die %® der [“ ist. Hierzu genügt folgende Ueberlegung. Offenbar ist die Ableitung ‚uter Ordnung einer Summe gleich der Summe der v'® Ableitungen aller Summanden. Man braucht den aufgestellten Satz also nur für ein Glied az” zu beweisen. Für ein solches ist die %' Ableitung m(m—1) .. (m—k+1)azr—* und hiervon die /° Ableitung m(m—1) ... (m—k—1+1)azn—k-ı dies stimmt lwirklich mit der (%-+/)®® Ableitung von az” überein. 22 Zweite Vorlesung 8 19—21 Die Ableitung des Productes f(z) = w(z)w(e) ist gleich (13) (2) = @ (2) Y(z) + @ (2) ' (z) Dies folgt sofort aus CO CO [p(2) o ' (2) + ] [W(2) + (2)+-] = (£) (2) + { (e) H(2) + p(e) ' () Setzt man in (12) %A für z ein und (z—h) für h, so entsteht die Formel (12) f(@)=f@) H (h) ( — h), welche die Entwickelung von f(z) nach Potenzen von (‚z — h) Lefert $ 20 Ist z ein fester Werth von i A und f@(z,) die erste nicht verschwindende der Ableitungen (2), f (&); O fF9(@), so nimmt (12) die Gestalt (Zo (14) ('°0 + Ök f(20)— f| (f(l)( ()) + A HE )]+> an Dass stets eine der Ableitungen von Null verschieden ist zeıgt sich sofort, weil ja sonst aus (12) f(Zo+h)_f(yo)_o für jedes hı sich ergeben würde, und die nicht identische Gleichung n°n Grades ın / unendlich viele Wurzeln besitzen müsste Auf (14) verwenden wir das Resultat von $ 18; das giebt für hinlänglich kleine |%| ON Z f +*) — f(@)= 2l H@0 0 d.'h. die Aenderung, die f(z) bei einer Vermehrung des Ar- gumentes um %A erfährt, wird mit k gleichzeitig unendlich klein, oder: benachbarte Punkte z% und (z, +h) der (x, y)-Ebene haben benachbarte Punkte f(%), f(&-+h) zu Bildern Diese Eigenschaft drückt man dadurch aus, dass man sagt: Jede ganze Function f(z) ist stetig. Diese Stet1g;e1t überträgt sich auch auf u und v, denn ]/u + w kann nur dann < werden, wenn u und v emzeln 0 sIndı Verfolgt man also den Lauf einer Curve ın der z-Ebene und ist für einen Punkt z, derselben etwa ı, posıtıv für einen andern 2, dagegen u negativ, dann giebt es auf der z-Curve zwischen %, und z, mindestens einen Punkt für welchen das zu- gehörige u den Werth 0 hat Für die v gilt der entsprechende Satz 8 21 Wir nehmen in diesem Paragraphen an, f’(z%) sei von Null verschieden Ganze Functionen und algebraische Gleichungen. 23 Sind zuerst die &, A, A, Sowie z sämmtlich reell, und ertheilt man auch dem 4 nur reelle Werthe, dann folgt wegen f (@) (15) f (& +h) —f (@) = hf' (%) [ an @ 2 + ] aus $ 18, dass bei hinlänglich kleinem / sgn. (f(% + h) — f(z0)) = sgn. (hf' (%)) wird. Das heisst: Bei positivem f (z) wächst die Function mit Vermehrung des Arguments % und nimmt mit Verminderung desselben ab; bei negativem f (z%) findet das Entgegen- gesetzte statt. Vermehrung wie Verminderung müssen dabei hinlänglich gering genommen werden. Es seien ferner die ap, 4, a„ Sowie z wieder complex. Dann folgt aus (15) nach $ 18 und dem $ 11 der vorigen Vorlesung, dass das Vorzeichen des reellen Theiles von f(z +h) — f(z%) gleich demjenigen des reellen Theiles von hf (%) ist; das Gleiche findet mit den Coefficienten von ı in beiden Funetionen Statt: Auch hier ist |/ | hinlänglich klein anzunehmen. Zunächst hat man FA =1n4 271 +(n—1) a .. (16) = ng [ m— Do+a) + m— Da — 2o-+a)]+ und andererseits u = 097" cos (n® + &) + ,7 1 cos ((n— 1) 0 +«a,) F, v = 097” sn (no + «oy) + 0,7”7' sin ((n — 1) o + a) + . Bezeichnet man die Ableitungen von u, v nach r mit w’, v', so ist (l @ E D [Z (nco—l-a„)} +(n—1)9,7"7? [;((n — 1)m+oq)i] + und daher, wie die Vergleichung von (16) und (17) lehrt, f'(2) = (u’ + iv’) [Z (— oo)] Zu 2 = % Möge u = W, U = 4, 0 = wy gehören; dann können wir f (2%o) = (U9 + i0) [; ( “’o)] schreiben, und unser letzter Satz geht in den folgenden über: Bei hinlänglich kleinem %4 sind die Zeichen des reellen und des mit } multiplicirten Theiles von f(% + h) — f(%) gleich den Zeichen des entsprechenden Theiles von (18) C [; (= ‘°o)i| ° 24 Zweite Vorlesung 8& 22 Dritte Vorlesung $ 23 4 $ 2 Von diesem allgemeinen Satze brauchen wir den beson- deren Fall, dass die Veränderung von w A ohne Aenderung des Moduls vor sich geht, dass also z und z + h auf einem um den Nullpunkt geschlagenen Kre1se liegen. Dazu muss, wenn AD gesetzt wird, z + 4 denselben Modul 7, haben, d. h C .<O+h——ro[ (coo+»ö*)1—ro[ coo][ S 9], und also /L—70[ ro0] (cos & — 1 + i sin@) Z 280 Sn 2 [ ca„]( sm—+zcos > —— Cn + 276 sn 5 [c 0] [ S 2 ] seın Die Bedingung, dass |Z | beliebig klein werden soll, wird durch hinlänglich kleine Werthe von 4& befriedigt Unser Ausdruck (18) geht daher in dem jetzt betrachteten Falle ın die Form (d9) 278n - (u + w ) [c flf+ ß] =278in z [ (u0 sin > +v„ cos )+ z(u„ CO Sn 2)J über Setzen wir nun @& + h) — f(@) = du + 4, so folgt aus dem allgemeinen Satze des vorigen Paragraphen, dass 4u, und —27 sin (uo sin 5 —+ v cos 2> Av und 270 sin 5 (uo cos > v sin —> gleiche Vorzeichen haben Dabei kann man zuerst den positiven Factor 7, weglassen Wenn ferner u,, vy von Null verschieden bleiben dann kann man %/ und damit & so klein annehmen, dass das Glied mit CO über das Vorzeichen der Klammer entscheidet, so dass 2 4uw und — % sind, 4v% und + w 8in# gleiche Vorzeichen haben Das heisst: Bei hinlänglich kleinen Aenderungen der Variablen 2 von % aus auf dem Kreise mit dem Mittelpunkte 0 und dem Radius %/ ehmen bei nega- tivem Werthe w ampl. z und w gleichzeitig ab und gleich- Existenz von Wurzeln algebraischer Gleichungen 25 zeltig zu bei posiıtivem v findet das Umgekehrte statt < A Ferner nehmen ampl und v bei positiıyem Werthe &4 gleichzeitig ab und gleichzeitig zu, während bei negativem das Umgekehrte stattfindet Dritte Vorlesung Existenz von Wurzeln algebraischer Gleichungen 23 Wir kommen nun zum Beweise des Fundamentalsatzes der X Igebra, dass jede algebraische Gleichung (I) O Z U L a 0 eine und daher ($ 14) genau soviele Wurzeln besitzt als ihre Gradzahl angiebt. In dem Specialfalle, dass die Coefficienten der Gleichung reell sind, und ihr Grad ungerade ist, lässt sich die Existenz einer (aber daraus keiner weiteren!) Wurzel leicht erschliessen Nach : $ 17 kann man dem z so hohe reelle absolute Werthe geben, dass das Vorzeichen von f(z) mit dem von ap2” übereinstimmt, dass also für ein hin- reichend grosses reelles positives A Z = %, und andererseits für ein hin- reichend grosses negatives z=x, die ganze Funetion f(z) verschiedene Vorzeichen erhält Nach $ 20 giebt es dann auf der reellen Axe der % zwischen x, und %, mindestens einen Punkt x’, wn den Y O wird. Dieses w’ ist eine reelle Wurzel von 12 $ 24. Im allgemeinen Falle gehen wir so vor: %, sei irgend ein constanter Werth. Wäre f(z,)= 0, so hätten wir in z bereits eine Wurzel der Gleichung. Xir nehmen also an, es wäre f(%)=0. Ferner möge /“(z) die erste nicht verschwindende der Ableitungen K f (@), - IL)(( seın Dass diese ganze Reihe nicht aus lauter verschwindenden Ele- menten besteht, haben wir in 8 20 gezeigt. Dann ist (vgl. $ 20) F& +l — + (Zo) AD f (%) l'f(z) _l_. (l P (%) + | f (& +)| C d ED SE +>(Z) MC _|1+;7 Al f(@%) @ + 1)! f (@) und wenn wir nun die Normalformen e 5 h= 0 ia], Z *! f(Z„) Z [c D i ) 26 Dritte Vorlesung $ 24—26, einführen, dann ergiebt sich f (& + %)| s R el > < 39 f (%) K E e Zunächst geben wir dem Z eine durch == — D Ä.'CT)'+i;‚=7t‚ bestimmte Amplitude, während der Modul o durch | 720* | < 1 bestimmt wird; dadurch entsteht für die so beschränkten Werthe 1E E <1 —40 +h+10* 7 Lr E f (%) O A g].—f;_gl <1 Z Z 7 Jetzt verfügen wir noch weiter über den Modul o nach & 18 derart, dass wir ihn < o, machen, wodurch für alle Werthe 0 0, der Werth der letzten Klammer positiv und also die rechte Seite kleiner als 1 werden soll. Positiv ist die linke Seite stets. Man hat also F (@+R) < l @ —, (l 2 ] 0<o)- If(% +%)| <! F(@) 1, Dieses Resultat zeigt, dass für jeden Punkt %, für den If(Zo)‚+0 ist, eine Richtung bestimmt werden kann, auf welcher |f(z +)| für hinreichend kleine %4 kleiner ist als j f('z()) i 8 25. Um diesen Satz zum Nachweise der Wurzelexistenz zu verwenden, bestimmen wir für |z| eine untere Grenze R 07 oberhalb deren ol S 17 fün alle 2 |7(e) | > Ü& (1 6) o< ist. Es seien | 2 und |2,|> |2, | zwei dieser Bedingung genügende Werthe; dann hat man | £(@) Z n [A@) | Da ‚;z n]+g 3 1 1 + o6;, Z und erkennt daraus, dass bei hinlänglich grossem Werthe des Quo- tienten |2, |:|2z, | der kleinste der Werthe von f(z,) bei constantem |% | grösser bleiben wird, als der grösste der Werthe von f(gz,) bei constantem | 2 |. Innerhalb des um 0 geschlagenen Kreises mit dem Radius | z | muss also |f(2)| irgendwo seinen kleinsten Werth aufweisen. Tritt dies für z = % ein, so muss |f(2%)|= 0 sein, weiıl sonst zufolge des im vorangehenden Paragraphen Bewiesenen doch noch eine weitere Verminderung von |f(z%)| in einer ganz bestimmten Existenz von Wurzeln algebraischer Gleichungen. 27 Richtung möglich wäre. Damit ist also die Existenz einer Wurzel z klar / gelezc; demn aus |/(&%) | = 0 tolet /(0) = 05) Wir wollen hierbei noch bemerken, dass wenn man in (2) die Amplitude — ( gleich — A setzt, eine Richtung aufgefunden wird, längs deren eine Vermehrung von |f(z)| in unmittelbarer Nähe von %, stattfindet. Hin ım Endlichen liegendes Maximum für |f(z)| kommt aber nicht vor, da hier der Fall, dass |f(z%)|==0 wird, nicht als Ausnahme auftreten kann. Im Allgemeinen wird in (2) f’(%) +0, und der Werth %4 gleich 1 sein; dann liegt um den Punkt z ein Bereich, in welchem |f(z,)| wächst und ein anderer, in welchem |f(z)| abnimmt. Ist 2>1, dann wechseln mehrere solcher Gebiete um z mit einander Sectoren- artig ab, da für e Ar —tÄ. 2n —, SE E ME @ Z ’ 2 Z X ’ ein Wachsthum, für die dazwischen liegenden Amplituden OS Z — 0y 3n —, S A ? A ? 2 ? ein Abnehmen von |f(z) | eintritt. $ 26. Alle diese Verhältnisse kann man sich geometrisch leicht veranschaulichen, indem man über der, die Variable z darstellenden Horizontalebene eine Fläche errichtet, deren Verticalcoordinate durch |w| gegeben wird. Unter die (x, y)-Ebene kann diese Fläche nicht herabsinken, da | w nıemals negativ wird. Die Minima \ Zz0 liegen, wie aus dem $ 24 hervorgeht, an den Punkten, in denen die Fläche auf der Coordinatenebene der %, y aufliegt, und $ 25 zeigt, dass solche Punkte vorhanden sind. Bei dem einfachen Beispiele f(z)=z"—l=r"finm}—l wird OM Z D n I m- 1<]f@ l< 41, und bei constantem r tritt das Minimum des Moduls | 2# — 1 |, nämlich der Werth |7” — 1[, für die n Amplituden 2 4n o=0, n ? N (2n—2)x A und das Maximum ” + 1 für AB TL *) Cauchy, Analyse algebrique; 1821, Cap. X, p. 329f. 28 Dritte Vorlesung $ 26—28, N 3 Ü S 5 . (2n—1)x n? n ? n ein. / Nur für ” = 1 kannn |w|=0 werden, weil in jedem anderen Falle das Minimum |w|=|m —1 | von Null verschieden ist. Für Jedes ” —1 ist - der Werth der Maxima auf eimem. Kreise ın den Nullpunkt immer um 2 grösser als derjenige der Minima; für 7< 1 dagegen ist diese Differenz = (1 + r)—(1— W) = 2y Nur. für den Nullpunkt ist |f’(z)| gleich Null. Es ist leicht, von dem Ver- laufe dieser Fläche eine Anschauung zu gewinnen. 8/27. Ein anderer, von Gauss stammender Beweis des Funda- mentalsatzes knüpft an das Verhalten von w und w auf der Peripherie eines hinlänglich grossen Kreises um den Nullpunkt an. Man hat in unserer durchgehends benutzten Bezeichnung (3) —0 OS N o e - aa ) E CO a E und die nach 7 genommenen Ableitungen hiervon werden (4) W =n0," 7 cos(nd-+«))+(n—1)o,r"? cos((n—1)0-Ä)-E.., V = nggr sin (n + w) +(n— 1)o,r"-? sin ((n-— 1)o-Fa)+ . Wir untersuchen die Veränderungen, welche diese Funetionen (3) und (4) auf der Peripherie des Kreises mit dem Radius r erleiden, über dessen Grösse bald eine nähere Bestimmung getroffen werden soll. Wir theilen den Kreis in 4% gleiche Theile, indem wir 4n Radien unter den Amplituden O => SEr O z A E 3T — 4& UE DE z 4n 4n 4n 4n ziehen; die zwischen diesen Radien enthaltenen Stücke der Peripherie wollen wir der Reihe nach mit GE GEDE QINY (IV), - - (4n%) bezeichnen. Dann geht in diesen Stücken der Winkel (nw® +- «o) bezw. von 3 T —?7;' bis —{—£‚ von —I—-Z bis * 5 P Y 4 C yOM ä47—t bis 4 ; ‘ von 5475 bis 4 und dann wiederholen sich dieselben Werthe bis auf Vielfache von 2x in derselben Reihenfolge. Somit durchläuft der cos (nwo + «) bezw. die Werthefolgen mA (V) von + V% über + 1 bis + V%, E A L und der sin (n0o + &xo) bezw. die Werthefolgen e Existenz von Wurzeln algebraischer Gleichungen 29 in (IJ), (VD), von —I—V über + 1 bis +V2‚ in (IV), (VIII SE 5 S Setzen wir also zur Abkürzung H@ = @ V — 0, 71 — 0,rt7® 5) G(0) = O 1V——(n—l)g R ONO — wobei (5) G(7)=%{nf(r)—}—g yrı + 202 + } wird, dann erkennt man, durch Vergleichung mit .(3) und (4), dass in (D), (V), 0 O ÜE G (ID), (VD), AA UG (D0D)- (NARD) u<—F(r), w <—G(r), (IV), (VIID), v <—F(r), v <—G(r) wird. Jetzt wählen wir eine positive Grösse 7, als untere Grenze für 7 so dass F(r) für grössere Werthe positiv bleibt. Das ist nach $ 17 mög- lich. Für dasselbe Werthegebiet ” > 7, wird in Folge der Beziehung (5) auch die Funetion G(r) beständig positiv bleiben Man sieht daraus dass bei wachsender Amplitude in den Sectorbereichen für r > Y (D), (V), w>0,u >0 und also v beständig zunimmt (ID), (VD), 00 DE ” ” u ” abnımmt (6) MZ0 Z v abnımmt (L ID 2 ” ” (IV), (VIIM), Ozo DZO 20 2 u“ ” zunımmt wie aus dem in $ 22 bewiesenen Satze folot Demnach wird in (D), Q v einmal vom Negativen durch Null zum Positiven (ID), Positiven Null (7) OI ” ” ” ” Negativen ’ ( (VII)‚ v 2 ” Positiven ” Null ‚„ Negativen (IV) &VD ” ” Negativen ” Null 2 Positiven gehen, und dieses Passiren der Null findet in jedem der Gebiete auch nur einmal statt. $ 28. / Wir ' haben' in .8 15 gesehen, dass der Ort derjenigen Punkte der z-Ebene, für die u = 0 ist, nur aus Curyen besteht, und dass Flächenstücke durch solche Punkte nıcht stetig erfüllt Werden können. Dagegen bilden die Punkte, in denen u > 0, und diejenigen, in denen u< 0O ist, Flächen, und d1ese werden wegen der Stetigkeits- 9 ) 0 Dritte Vorlesung $ 28—29, eigenschaften der Function w durch die Curven u — 0 von einander getrennt. Das Umgekehrte braucht natürlich nicht richtig zu sein; aber der Fall, dass zu.beiden. Seiten einer Curve u — 0 die Funetion u dasselbe Vorzeichen hat, kommt für unsere F ragen gar nicht in Betracht. Jedenfalls kann eine Curve u — 0, welche ein Gebiet mit positivem u von einem solchen mit negativem u trennt, nicht plötzlich abbrechen, da ja sonst ein Umkreisen des Endpunktes aus dem Gebiete u > 0 in das Gebiet u < 0 ohne Ueberschreiten der Curve u = 0 führen würde. Betrachten wir nun für ein beliebiges > >r7, die Curven u — 00 zeigt (6), (7), dass in allen Sectoren mit geradem Index (D (D ) s s je ein einziger Curvenzweig u — 0 aus dem Unendlichen herkommend, ohne sich selbst zu schneiden, einfach bis zum Kreise mit dem Radius rg hingeht. Diese Zweige wollen wir in solcher Richtung durch- laufen denken, dass der Bereich kleinerer Amplituden links, der grösserer Amplituden zur Rechten liegt. Bei Kinhaltung der gewählten Rich- ng haben wır Kra 270 Aut den Curyen v 0 nl den A ussen sectoren von (ID), (VD), zur Linken u > 0, zur Rechten u <0, (D} OI0 S66 ” ” UZ ” ” W: Wriet man Yetzt au u = O etwa ın (Ml) ıns Innere des Kueises nnl dem Radius 77, so kann, wie wir sahen, der Weg nie abbrechen und die Curye x = 0 muss wıeder den‘Kreis verlassen. Sollte er sich irgendwie im Innern verzweigen, so wählen wir stets den am meisten nach rechts gelegenen Weg und sind dabei sicher, dass stets zur U V<o Rechten der Curve das Gebiet u< bleibt. Ebenso muss es WLA U< daher auch beim Austritte aus U=0 dem Kreise bleiben; hier aber VX\o wird die Richtung der oben fest- Z /1r/(/// WE LU SO gestellten entgegengesetzt sein, (D u70 (D woraus folgt, dass man nur U+0 ın einem der Gebiete (IV), USO oder (VIII) oder (XIT), --- den Kreis verlassen kann. Nun war Z nach (6) in (II) der Werth von O poSIty MN ND, Daher muss die betrachtete Curve u= 0 im Innern des negativ. Kreises mindestens einmal die Curve v = 0 geschnitten haben, d. h. es besteht eın Werth von 2, ü welchehn u 0 u =0 Existenz von Wurzeln algebraischer Gleichungen. ö1l und also C —0L Damit ist die Existenz einer Wurzel geze1gt”): $ 29. Ein dritter Beweis beruht gleichfalls auf der soeben be- nutzten Vertheilung der Werthe von w und w auf der Peripherie eines hinlänglich grossen Kreises. Kr liefert aber noch weitere wichtige KEinsichten und mag deshalb hier gleichfalls noch besprochen werden. Wir betrachten f(z) in der Nähe eines m-fachen Wurzelpunktes z,, also eines Werthes, für den [vgl. (12®*) aus 8 19] f(e) = (# — 2)" (dm + mı12 E 4 + aug m) = (2 — 29)" (Am + Am+1 (& — %) + %] F: A An @ == &%) - Al = (2 — Z m- bnı (2—%0) + ba (2—2) + + + + bn (2— 20y —) gesetzt werden kann. Da %, eine m-fache Wurzel ist, so muss b von Null verschieden sein. Nun setzen wir N CZ E und bekommen bei diesen etwas geänderten Bezeichnungen Ü =0. 0W (my+ Bın) + m- 17 cos ((m + 1)@ + Ba-t1) A, (8) U = Om7"sin (M® + ßa) - Om--17" * sin ((m + 1)0 + Bat-ı) - W=Mön1" \ cos (MO+B) H(M+1) m- 7 CO ((M-1) 0 + Br-ı) - V=M0n1" — sin(mo-+By)-+(MA1) onı 7" in ((M-1) O Ba) e Die Funetionen (8) untersuchen wir auf der Peripherie eines Kreises um Z mit dem Radius ”, über den bald eine Bestimmung getroffen werden soll. Wir theilen den Kreis in 4m gleiche Theile, indem wir 4m Radien unter den Amplituden TE a 2 +7t_4ßln 3 — 4ß M E P 4m 4m ’ 4m ’ 4m ziehen; die zwischen diesen Radien enthaltenen Stücke der Peripherie wollen wir der Reihe nach mit (I), (IT), (IIT), (IV), --- (4n) bezeichnen. Dann geht in diesen Stücken der Winkel (m® + ßu) bezw. von —; bis +'Z) yon +—Z bis »3;‚ von 19’—E bisä’—‘‚ voni—" bis 7Tn, und dann wiederholen sich dieselben Werthe bis auf Vielfache von Z E AAA *) Gauss; Werke Band II, S. 1: Demonstratio nova etc.; S. 71: Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen. — In der ersten Abhandlung findet sich eine Kritik der vor Gauss gegebenen Beweise, Die zweite Abhandlung giebt durch eine andere Wendung der Betrachtungen unseres letzten Paragraphen sofort die Existenz aller » Wurzeln der Gleichung nten Grades. 32 Dritte Vorlesung 8 29—30. 2x in derselben Reihenfolge. Somit durchläuft der cos (mo + ß m) bezw. die Werthefolgen a A (V), von +V; über + 1 bis + V 52 1 n (DE, ID von —]/% über — 1 bis — V 97 und der sin (mo + ßın) bezw. die Werthefolgen 2 ün AI von + V% über + 1 bis +]/»ä‚ O D A Setzen wir also zur Abkürzung SN 6m+2 E +2 — ’ 1(v (7"> D Ö,„ y Vc)‘ 6m—|—1 Tm+ d GW) = MOn ]/% — (m F 1) mı7 — (M F 2)0nu a 7 wobei (9) F(r)= äi[„G(‚.) F Onpı H E Qom pra E .. wird, dann erkennt man durch Vergleichung von F und G mit den Functionen (8), dass in (D), (V) VE S G0), (ID), (VD), A E, WE G (7) 7 („1); (VH)7 FE u< — F(r), u <—G(r), V OLD 0L Z O HCO wird. Jetzt wählen wir für ” eine obere Grenze 7o, unterhalb deren G(r) bis beliebig nahe an r=0 stets positiv bleibt. Das ist nach S 18 möglich, wie sich sofort zeigt, wenn man G(r):r"—1 betrachtet. Zugleich ergiebt sich hierbei die nothwendige Kinschränkung auf wesentlich positive Werthe AAOING Für dasselbe Werthegebiet 9 >7>0 wird in Kolge der Beziehung (9) auch die Funetion /(r) beständig positiv bleiben. Man sieht daraus, dass in den Gebieten D, (V), uw>0, uw'>0 und also v beständig zunimmt, (D (VI); GE O0 VZ0 ” u“ ” abnimmt, &0 ( Ü: u <0O0 02 ” ” abnımmt, u (D VD Z Z 22 A D zunimmt, wie aus dem in $ 22 bewiesenen Satze folgt. Demnach wird in 33 Existenz von Wurzeln algebraischer Gleiéhungen. (D), (V), v einmal vom Negativen durch Null zum Positiven, (ID), (D} u ” ” Posıtiven ” Null ” Negativen, Positiven Null ” ” ” ” Negativen, 0 Qa u ” „ Negativen ” Null ” Positiven gehen; dieses Passiren der Null findet in jedem der Gebiete auch nur einmal statt. Die Werthvertheilung, welche durch die Figur zum vorigen Paragraphen veranschaulicht ist, gilt auch hier unverändert. $ 30. Aber hier können wir zu noch tieferer Einsicht gelangen. Wir haben dargelegt, dass in (II) die Funetion w genau einmal ver- schwindet, während sie in (I) positiv, in (III) dagegen negativ ist. Wir wollen zeigen, dass der im Sector (II) in den Kreis tretende Zweig der Curvye u=0 sich immer mehr der Halbirungslinie dieses Sectors nähert, wenn der Radius des Kreises bestän- dig abnımmt. Es sei 0 ein beliebig kleiner Werth und sind = . Dann ziehen wir zwei, die Halbirungslinie des Sectors (II) beliebig eng einschliessende Radıen von z aus unter den Richtungen 2n 4ß M 40 A ELE Z T 43. (11) 4m un 4m 7 für dieselben wird (mo + ß„) bezw. gleich —;—‘—ö und g+ö‚ und es kann der Werth von cos (mo® + ß..) zwischen den Winkeln ß77l 2 — 4ß (1° O = 4 m und. w = — 4m D nicht unter + & fallen, und zwischen den Winkeln 2 — 4ß } 20 VEr 3n — 4ß mM (II®) En 4m un O = 4m nicht über — & steigen. Daraus folgt wie soeben, dass, wenn man r kleiner als die kleinste positive Wurzel 7, der zweiten, und damit auch der ersten der beiden Gleichungen On s — Öm+1""m+l OM 0‘‚„+2Tm+2 N Ba O} MOmy" *e — (M + 1) m17 — (M E 2) m+ 0 wählt, w für alle y zwischen 0 und 7’ in (IP*) positiv, in (II”) ne- gativ ist und also nur in dem beliebig engen Winkelraume (11) durch Null gehen kann, Folglich schmiegt sich die Curve u = 0 in (II) mehr und mehr der Halbirungslinie an, welche unter der Amplitude A 2ßm 2m Netto, Algebra. I. 34 Dritte Vorlesung $ 30—32, verläuft. Es ist ersichtlich, dass das Ents prechende für alle Zweige der Curven u =0 sowie v=0 gilt; d k: Ber eimmer m -fachen Wurzel %, schneiden sich m Zweige der Curve u=0 in Z Z unter gleichen Winkeln; ebenso m Zweige der Curve v= 0, und zwar halbiren diese die Winkel der ersteren Curve n- zweige. Bei einer einfachen Wurzel stehen die Zweige u=0 und v=0 auf einander senkrecht. $ 31. Verfolgt man den Verlauf der Werthe des Quotienten auf unserem Kreise bei wachsendem Winkel ©, SO zeigt sich, dass auf der gesammten Peripherie der Werth von — genau 2m-mal vom Positiven durch Null zum Negativen geht. Denn w geht m-mal vom Positiven durch Null zum Negativen, nämlich je einmal in 0, (Yd), :, und m-mal vom Negativen durch Null zum Posi- tiven, je einmal in (IV), (YIID) : Da im ersten Falle v > 0 a zweiten v< ist, so folgt hieraus das Behauptete. Diese Eigenschaft bleibt bestehen, wenn man den Kreis durch eine einfache geschlossene Ourve ersetzt, die ganz innerhalb des Gebietes Y <7 verläuft. und von jedem von 2 ausgehenden Radius einmal und nur einmal ge- schnitten wird. Beispielsweise kann man für die Curve ein Rechteck setzen, dessen Seiten den Coordinatenaxen parallel laufen. Wir wollen das Analogon dieses Satzes für einen Punkt suchen, der kein' Wurzelpunkt yon /(&) = 0 ıst. Geht durch den Punkt Z keine Curve u = 0, so kann man um z, einen kleinen Kreis schlagen, auf dessen Umfang w nicht verschwindet, und für den also “ nie durch Null geht, da v stets endlich bleibt. Hier gilt also der obige Satz ohne jede Aenderung. Weiter mögen mehrere Zweige der Curve u=0 durch einen Punkt 1, gehen, aber kein Zweie der Curve v -— 0 Her kann man um %, einen Kreis schlagen, auf dessen Umfang v stets von Null ver- schieden ist und also gleiches Zeichen behält. Dann verschwindet —Z überall da, wo w= 0 ist, und bleibt auf der gesammten Peripherie endlich. Folglich kann nicht zweimal hinter einander vom Positiven durch Null zum Negativen, oder zweimal hintereinander vom Negativen durch Null zum Positiven gehen; und da jener Quotient nach voll- ständiger Umkreisung das anfängliche Vorzeichen wieder annımmt, so müssen beide Fälle gleich oft eintreten. Bezeichnet man diese beiden Anzahlen beim Umkreisen in posi- tiver d. h. in derartiger Richtung, dass das Innere des Kreises be- nnna Existenz von Wurzeln algebraischer Gleichungen. 35 ständig zur Linken der Fortschrittsrichtung liegt, mit & und mit %, so wird % — k’= 0 werden. Das im vorigen Paragraphen für einen m-fachen Wurzelpunkt gefundene Resultat lässt sich, da dort &* == 2m, k = 0 ist, auch durch die Gleichung % — k’ = 2m ausdrücken. Demnach gilt für jeden Punkt der Ebene, wenn wir wieder den Kreis in der oben besprochenen Art durch eine andere, passend ge- gewählte Curve von der oben genau dargelegten Art ersetzen,das Theorem: Umschliesst man einen beliebigen Punkt z der KEbene durch eine Curye von hinreichend kleinen Dimensionen, welche von jedem Radiusvector aus 2 nur einmal geschnitten wird; durchläuft man diese Curve in der Richtung, dass das Innere zur Linken bleibt; bezeichnet man miıt %, wie oft hierbei der Quotient 1; vom Positiyen durch Null zum Nega- tiven, und mit %, wie oft er vom Negativen durch Null zum Positiven geht, dann giebt die Differenz (& — k’) die doppelte Zahl der Multiplicität an, mit welcher z’ als Wurzel von W + 0i =f(?) = 0 auftritt. Bemerkenswerth ist hierbei einmal, dass &> k’, und ferner, dass (k — k’) stets eine gerade Zahl sein wird. Der bewijesene Satz 8 82 bezieht sich auf Curven von hin- reichend kleinen Dimensionen; aber von hier aus können wir leicht zu dem folgenden allgemeinen Satz kommen: Durchläuft z eine einfache geschlossene Curve. U, auf welcher kein Wurzelpunkt von f(@)=0 liegt, derart dass das Innere stets zur Linken bleibt, und geht dabei der Quotient % bei einem vollständigen Um- laufe %&-mal vom Positiven durch Null zum Negativen und k’-mal vom Negativen durch Null zum Positiven, dann giebt Al = 0 die doppelte Anzahl der innerhalb der Curve liegenden Wurzeln von f(2e)=0 an, jede in ihrer richtigen Multiplicität ge- zählt. Wir zeigen zuerst: Ist der Satz für zwei Contouren ACB und ABD richtig, welche ein gemeinsames Linienstück AB besitzen, dann ist er auch für das von ACBDA, nach Ausschaltung von AB umschlossene Stück richtig. Die den Zahlen % und %’ entsprechenden mögen für die drei Linienzüge ACB BA BDA Bezw k 3 hy5 36 Dritte Vorlesung $ 32—35, k3, ks; ko, ke‘ sein; 4, möge sich auf die vollständige Umgrenzung ACBA / und' Z auf ABDA Bezichen. Dannast ersichtlich, dass das Stück AB in der Richtung von A nach B durchlaufen die Zahlen k,', kz an Stelle von kz, k‘ geben wird, so dass A + h) - + k), 4= Car W A 4, + 4, =(k, + k) — (k/ + k ıst Diese Summe 4, + A, stimmt also mit dem auf die.Gesammt- curve ACHDA bezogenen A überein, wie behauptet worden war; allein auf. denn auf der angegebenen Curve treten die Zahlen E SR Nun können wir ferner das von der vorgelegten Curve C um- schlossene Gebiet in beliebig kleine Theile derart theilen, dass in jedem von ihnen höchstens ein einfacher oder mehrfacher Wurzelpunkt liegt. Nach dem vorigen Paragraphen gilt unser Satz für jeden dieser Theile einzeln; nach dem soeben Bewiesenen auch für die Vereinigung von je zwei aneinanderstossenden; und demnach gilt er ganz allgemein. $ 33 Nehmen wir zu diesen Ueberlegungen nun noch die Gauss’schen Betrachtungen über die Verteilung der Werthe von w, v auf der Peripherie eines hinlänglich grossen Kreises hinzu, wie wir sie im $ 27 dargelegt haben, und beachten, dass aus den Formeln (6) ©& jenes Paragraphen &= 2%, k’=0, 4= 2n folgt, so ist unmittelbar ein dritter Beweis für die Existenz der Wurzeln geliefert, und zwar treten hier alle » Wurzeln gleichzeitig in Evidenz. $ 34. Genau so, wie wir in $ 31 beim Verfolgen des Quotienten — auf unserem Kreise mit wachsendem Winkel w im Falle einer m-fachen Wurzel 2m Punkte antrafen, in welchen — vom Positiven durch Null zum Negativen geht, genau so erkennen wir die Existenz von 2m Punkten, in denen — vom Negativen durch Unendlich zum Positiven übertritt. Daraus können wir nach der benutzten Schluss- weise auch folgern: Durchläuft z eine einfache geschlossene Curve C, auf welcher kein Wurzelpunkt von f(g)=0 liegt, derart dass das Innere stets zur Linken bleibt, und geht dabei der Quotient % bei einem vollständigen Umlaufe /-mal vom Negatiyen durch Unendlich zum Positiven, und /’-mal vom Positiven durch Unendlich zum Negativen, dann giebt die Differen_z B=1—V die doppelte Anzahl der innerhalb der Curve liegenden Existenz von Wurzeln algebraischer Gleichungen. 37 Wurzeln von /(e)= ©0 an, jede in ıhrer richtigen Multipli- cıtät gezählt. Natürlich können wir von diesem Satze und dem in $ 32 auf- gestellten ohne Weiteres auf das Verhalten des Quotienten — bei einem vollständigen Umlaufe übergehen. So tritt dieser Quotient beim Umlaufe /-mal aus dem Negativen durch Null ins Positive, und (’-mal aus dem Positiven durch Null ins Negative über. $ 35. Der in den Paragraphen 29 bis 33 gegebene Beweis stammt von Cauchy (J. de ’Ee. Pol. 1837 p. 176). Sein Kern liegt in dem Satze von $ 32. Von diesem lässt sich eine einfache und schöne geo- metrische Anschauung geben, sobald man, wie dies ım Anfange der zweiten Vorlesung dargelegt ist, die Funetionalwerthe von f(2) = w = u + v auf einer der z-Kbene entsprechenden (u, v)-Ebene repräsen- tirt und das Bild I” der von Z A Z durchlaufenen Curve U untersucht. Für den zum Punkte (uw, v) gehörigen, vom Nullpunkte (u = 0, v = 0) aus- gehenden Radiusyector hat man die Amplitude & durch die Gleichungen cCosS d == - sin 4 = v V a VW zu bestimmen. KEin solcher Radiusvector fällt also für v= 0 in die Richtung der positiyen oder der negativen uw-Axe; wenn — aus dem Negativen durch Null ins Positive geht, dann geht der, den Punkt w repräsentirende Radiusvector im Sinne wachsender Amplituden, also in positiver Drehung durch die (positive oder negative) u-Halbaxe. Wenn sich daher w_von einem beliebigen Ausgangspunkte an so bewegt, dass %— hinter einander 2-mal vom Negativen durch Null zum Positiven geht, dann hat & eine Drehung in wachsendem Sinne zurückgelegt, die mehr als x und weniger als (2 + 1)x beträgt. Ebenso, wenn % hinter ein- ander }'-mal vom Positiven durch Null zum Negativen geht, dann hat d eine Drehung in abnehmendem Sinne zurückgelegt, die, absolut ge- nommen, mehr als A'’z und weniger als (2’+ 1)x ausmacht. Wenn also bei dem Gesammtumlauf von z der Quotient ä— genau /- und /’-mal in der einen und der andern Richtung die Null passirt, dann hat der Radiusveetor von O nach w dabei eine Gesammtdrehung von (l — [’)x = mx vollbracht. Bei einem Gesammtumlauf von z giebt der Quotient aus dem Zuwachse der Amplitude & durch 2x die Anzahl der in der Curve U eingeschlossenen Wurzeln von w=0. OÖder anders ausgesprochen: Umschliesst die Curve C0 der 38 Dritte Vorlesung 8& 35, Vierte Vorlesung 8& 36—37, 2-Ebene v Wurzeln, dann umschlingt die Curve I der w-Ebene den Nullpunkt in v-facher Schleife, und umgekehrt. In dieser verständlich. letzten Gestalt erscheint das Cauchy’sche Theorem als nahezu selbst- ED Vierte Vorlesung. Zerlegung; Interpolationsformeln. $ 36. Die Betrachtungen des vorigen Kapitels haben uns gezeigt, dass jede ganze Funetion (1) OD D Ar n gleiche oder von einander verschiedene Wurzelpunkte besitzt. Nach $ 14 kann man daher stets (2) F(2e)= AyO — ) (a — 2,) *, M, + Ma + + m. =n) setzen, WO 2, %, 2, die von einander verschiedenen Wurzeln von A) = 0 8ind, und M M, m, ihre Multiplieitäten angeben. Aus $ 19 folgt f(e + = al + —a @+ —a @+ — 2) —{ —2,)" (& z2)m2 &S (Z WE 5k)mk + h[m,(2 — 2,) —1 (g —2 + ] A OO ıl @+ und deshalb ergiebt sich (3) HO %Zk‘mz (8— 21)* + (8 — "71)"‘Ä*1 DE ä On ‚6'k) mk, SS M, m 7 (4) HCM f (@) _M + + + f(@) 8R 2 — Z 2— 8} Falls nur einfache Wurzeln vorhanden sind, entsteht hieraus n @ OLE Ai=1 Ön ), OE 1 Z 1 SE (4*) f(@) _'g_zl _+; Ln BB Wenn wir annehmen, dass die Coefficienten @,, a,, A, sSämmt- lich reell sind, dann folgt [$ 10, (IV)] aus Zerlegung; Interpolationsformeln 39 @y O gleichzeitig f(x—yi)= 0 d. h. hat eine Gleichung mit reellen Coefficeienten eine com- plexe Wurzel A so hat sıe auch dıie conjugırte Grösse x —y%i zur Wurzel Dieses Theorem gestattet folgenden Zusatz: gleichzeıtig ıst die Multiplicität beider Wurzeln die- selbe Denn setzt man —e @A=(e—2) 4y} f und hat fi(z)= 0 nochmals x’+ y zur Wurzel, so hat diese Glei- chung auch x — y’%% zur Wurzel, da /@) f& — w + y ebenfalls lauter reelle Coeffic1enten besitzt u.s. w.. Man kann daher auch sagen Jede ganze Function mit reellen Coefficienten lässt sıch ın reelle Factoren ersten oder zweiten Grades zer- legen Wenn man im Falle einfacher oder vielfacher complexer Wurzeln die conjugirten Glieder ın (4*) oder (4) zusammenfasst, dann entsteht Z 1 al 2m „ ( — @.) W Z Mg (z —& +iy >_ C $ 37 Aus (3) ersieht man, dass vielfache Wurzeln von f= 0 auch Wurzeln von f’= 0 sind. Durch einfache Operationen kann man O von seinen vielfachen Wurzeln befreien. Um diese Verhältnisse genauer Zzu studnen müssen wır etwas weiıter ausholen. Zunächst 1e1ten wir die von Lagrange stammende sogenannte Lagrange’sche Interpolat1onsfmmel ab. KEs ist ersichtlich, dass zwei ganze Funetionen, welche beide höchstens vom n Grade sind identisch gleich sein müssen, falls sie für (n + 1) Werthe der Variabeln übereinstimmen Denn ihre Differenz die ja auch höchstens bis zum n Grade aufsteigt, verschwindet für jene (n + 1) Werthe und ist folglich identisch Null Setzt man also fest, dass eine Funetion f(g), welche höchstens vom n Grade ist, den Argumentwerthen © — 89r 9ır %y An die Funectionalwerthe W — Wo, W, Wo, Wn zuordnet, so ist dadurch f(z) völlig bestimmt Hierbei müssen natür- lech - die20.. Z 2„ sämmtlich unter einander verschieden sein. Der besondere Fall, dass ” der Werthe w., z. B. die n letzten, gleich Null sind, lässt sich sofort behandeln, da die gesuchte Funetion f)(2) dann durch die zugehörigen Factoren z — 2 theilbar sein muss und sich 40 Vierte Vorlesung $ 37—839, vom Producte derselben also nur durch einen constanten Factor unter- scheidet. So findet man den Ausdruck (z_zx)(z_zz)(z D 5 fo(2) O Z f‚;1')"(z'(; S © — a diesen können wir nach Formel (3*) bequemer schreiben. Wir setzen OE a OS &.); (z hiervon ist die erste Ableitung für das Argument 2, P (%) = C el) Cr z (Z9 — 2.), und wir erhalten fl = w EB () 18 — 2)P'@)' Aus diesem Partialresultate folgt das allgemeine, da, wie man sofort sieht, bei ähnlicher Definition von f,, fn @ = RC +A@ + + fl), und also (5) SEA AD 2) @ = ND, A4=0 < S Z2,)@ („;\ wird. Es braucht wohl kaum erwähnt zu werden, dass f(z) nicht gerade bis zum n Grade aufzusteigen braucht. Genügen die w bereits einer Funetion niederen Grades, so wird eben diese durch die Formel (5) dargestellt werden. $ 38. Bestimmen wir nun durch (5) eine gegebene Function f = AaA H H ü indem wir n—2 w, = f(8,) =# + al + A, 8 2 + a setzen, so folgt n f(&)) R EB AA =ä ’ (Z‚z) wobei der Einfachheit halber Zn + bgl)äw‚——l + K + ble) statt © N C e gesetzt ist. Da die beiden Ausdrücke links und rechts in der letzten Gleichung einander identisch gleich sind, so kann man die Coefficienten der höchsten Potenzen einander gleich setzen, und dadurch entsteht 1= ” ’fäi!falz;_l+"'+a" P ‚(z;_) ? A0 41 Zerlegung; Interpolationsformeln worin die % Constanten a,, a„, ganz beliebige Grössen sind machen wir uns diesen Umstand zu nutze, so erhalten wir die Formeln OL ® Z (x — 0)p p (2,) (6) N Z A=0 @ (27) welche als die Euler’schen Formeln bekannt sind Hier erscheinen die Euler’schen Formeln als Folgerung aus der Lagrange’schen Formel Man kann dies Verhältniss aber auch um- kehren Die ersten n Formeln (6) fassen wir mit Hülfe von % will- kürlichen Constanten c in die eine N T O —> E 0 Ä=0 Z P (Z)) zusammen, und wenn Wn OO Z O + C setzen, so folgt daraus, sobald man nur den ersten Summanden links stehen lässt, N 9.@%) g &) O' (Z) Z DC)) (Z S ‘1) (Zo N)) G Z (8 }) CZa @z Cr —1) ( C @— 2) Z = +29(%) A zl)...(zl_ ’; C = 25 G Sobald man nun statt des willkürlichen Werthes z die Varlable z einsetzt wird dieses Resultat identisch mit der Lagrange’schen Formel für eine Funetion (n — 1)%" Grades $ 39 Wir wollen hier noch eine besondere Form der Euler- schen Formeln hervorheben Bedeutet wie in $ 37 und $ 38 p(e) = (# — 20) ( — Zı ( Z und %(2) eine beliebige Funetion (n — 1)* Grades, dann zeigt (6) w(«,) IC Y (Z) w() ( + (& )+ D' () + + SE ? (Zo) w (21) w (@) W __.zl (Zo WE Z„) Cr A (Z —r„‚ (2'2—‚a1) ( A =0 Wenn wir nun in (7) & für z) eintragen und die Bezeichnung 42 Vierte Vorlesung 8& 39—41. f(z)=(z—zJ(z—;y)(.z—z„) benutzen, dann entsteht aus (7) die neue Form E _ _(@) W (Z,) a (z„) (8) OEG C DG O Diese Formel vermittelt die Zerlegung der gebrochenen ratio- nalen Funetion %:f in P liebige Funetion '°n artialbrüche. Dabei ist f(&) eine be- Grades ohne mehrfache Nullstellen, %(£) eine beliebige Function, die höchstens bis zum Grade — 10) au $ 40. Wegen der gegenseitigen Zurückführung von (5) und (6) auf einander ist ein directer N achweis der Euler’schen Formeln von Interesse. Wir betrachten zu diesem Zwecke die Summe (9) 2 qu7,(£1) 'Pl(z—.') E q)l(en); welche auf alle (n + 1) Glieder erstreckt werden soll, die aus dem hingeschriebenen durch ecyklische Verschiebung der Indices entstehen. Da sowohl @’(z;) als @’ (z,) durch (% — 2,) theilbar ist, so werden in (9) alle Summanden mit Ausnahme der beiden folgenden: 20 (2,) @' (%) - ' (2) und 219 (2o) @' (@&) + @'(2u) durch (2% — 2,)” theilbar. Die Summe dieser beiden Glieder ist nun aber' = ' (%) : D' (2) (%— 2) { 212 — 9 2 ) e (80—n) — 2'3(2’1—2._‚) (31—":4/1) }n und, weil die letzte Klammer für z =2, verschwindet und deshalb den Factor (% — 2,) enthält, so ist auch diese Summe durch ( a} theilbar. Dasselbe gilt somit auch für (9); und da Z0o, 2 zwei will- kürliche Elemente aus %, El) &@ 2 „ Sind, so ist (9) durch das Product (10) f [ —z B7 (/1<y;Ä.=O‚1‚---n—l;y=l‚2‚ n) nn +yl)y 2 al p (2) O (8) : @ (en) theilbar. Die Dimension dieses in den 2 homogenen. Ausdruckes ist nn +D =n+ w und die von (9) @ + n} Sobald die letzte Zahl kleiner als die voraufgehende ist, d. h. für a=0,1,--. (n — 1), wird der Quotient von (9) durch (10) gleich Null; damit ist der erste Theil der Formeln (6) bewiesen. So- bald « = m%” ist, wird der Quotient von (9) durch (10) eine Constante, also Zerlegung; Interpolationsformeln. 43 238®'(51) D@) D.) = COn Vergleicht man die höchsten Potenzen von %, auf beiden Seiten, so n (n+1) findet man const. = (— 1) ? , und daher folgt der zweıte Theil der Formeln (6) Nn CZ Z (zz) 8 41. An das soeben behandelte Problem schliesst sich eine weitere, von Üauchy aufgeworfene und beantwortete und dann später von Jacobi eingehend studirte Frage*) nach der Herstellung einer gebrochenen rationalen Function (?) w(@)? deren Zähler vom Grade m, deren Nenner vom Grade n ist, und die für die (m + ” + 1) Werthe des Argumentes d WEn ZO; Yır %) Zm+n Wo) W, Wa, Wm -n annimmt. Zunächst ist es klar, dass es wesentlich verschiedene Fune- tionen (2) A ı (2) (11) w (2)? %, ©@) nicht geben kann, welche die Aufgabe lösen. Denn die Funetion 2Q ( .05 52 ı (Z ) = l d(e) — w(2) mlr steigt höchstens bis zum Grade (m + n) auf; sie verschwindet ferner für die (m +n + 1) Werthe 2,, 2,, Zm+n und ist daher identisch gleich Null, d. h. es wird P(2) Y (2) = Vle) pl). Setzen wir nun voraus, dass beide Brüche (11) schon nach Möglichkeit gehoben sind, so kann @(z) mit w%(z) keinen Linearfactor gemeinsam haben und ist also ganz in w@,(g) enthalten; aus ähnlichen Gründen ist aber auch @,(z) ein Theiler von q(?); folglich unterscheiden sich beide Funetionen höchstens durch einen constanten Factor von ein- ander, und das Gleiche muss bei %, (z) und %(z) stattfinden. Dabei sind _ diese Factoren ersichtlich dieselben, und man hat somit p = cp,(0), Vle) = o (2). *) A.L. Cauchy, Analyse algebrique. 1821, Note V p. 527. Jacobıi, Werke. Bd. II S, 479 ff.: Ueber die Darstellung einer Reihe gegebener Werthe ete. 44 Vierte Vorlesung 8 42, S 42. Die gestellte Aufgabe fordert, dass die (m +n + 1) Gleichungen (z,) AA W 2 oder (2 ZZ w (Z,) , p(&) = W, (2,) O,l m + n) stattfinden. Setzt man m p@)= Q + aÜ8+ F C R @)= b Fbh2+- a dann bestehen zwischen den Unbekannten a und d die (m + n + 2) linearen, homogenen Gleichungen m ”0Ü+ a12’l‚l!+(12221[)+ "'+am 2 U—b@ —ba —— b.8" d =0, @9 F &4% {A a — b — b 200 — —b =0, n .+.(11‘.51 +0251 ++“w571„ *b°wl—blzlu’1—"'Hb1%57llwl=0) aus denen wir die (m + n + 2) Grössen a, b eliminiren können. Eis genügt dazu, die Gleichungsdeterminante zu bilden. Diese entwickeln wir nun nach dem Laplace’schen Satze, indem wir Partialdeter- minanten aus den ersten (m + 1) und aus den letzten (n + 1) Spalten zu Grunde legen. Jedes der dabei entstehenden Producte hat entweder in der ersten Zeile des ersten Factors w, oder in der ersten Zeile des zweiten Factors 9. Hiernach scheiden wir die Summanden, welche der Laplace’sche Satz liefert, in zwei Sorten und schreiben demgemäss [ B Z N ı4 n Zr NÄI mM 00 2 Wr W3 NÄ2 Zr 1)(1 &) n+1 { ( ® } M [ il Zi m zl m | "Ln+l l‘n+l ( M 1 kr Skı n M a X 2 Wi R Rk Wi, n S (4) [ M i7la Zi n 1Zk Rk m—+1 m+1 Hierbei ist ix <da-+1) kr < ka+1 Vorausgesetzt; die erste Summe be- zieht sich auf alle Combinationen %,, --- m, die aus den Zahlen 0, 1, ‚- (m + »”) gebildet werden können, und die %,, %r L erganzen die Werthe der 7 zu der vollständigen Reihe 0, 1, ---. (m + n); das Vorzeichen (— 1)“” ist gleich + 1 oder — 1, je nachdem die Zahl %. ı eine ge- der Inversıonen ın der Folge %,, %, 2‘““ ’ Z':1 ) k2 ’ rade oder eine ungerade ist. Die zweite Summe ist ın ähnlicher Weise gebildet; die Potenz des Vorzeichens (— 1)"*?“+*" £ritt dadurch Zerlegung; Interpolationsformeln. 45 ein, dass man die auf die b bezüglichen Spalten an die ersten Stellen gebracht hat. Nun ist | % Zm m (m;— iD) 2 9 2 (Z Mn zil) S («'Z 7 'äim) A ('z"m ÖN Zim> ? mM } C0 m Aı und setzen wir dies Product kürzer, vgl. (10), m (m—1) Z (— 1) D 41(27 Ziy im) ’ so können wir unter Kinführung von A schreiben 0=U ;) OS Wk„+1 A(Z7 Z Zi,„) A(Zku Zk„+1) (—1)([Yk) +o@ (;) WD AA ED Dividirt man diese Gleichung durch den, wie leicht zu sehen, von der Z Anordnung der « unabhängigen Ausdruck (— 1)(i‘A‘)A('Z{']; Ya 993 Dg Da Zf—‘„+1)7 so geht sie über in a E Z Z ) 0= zp2w;„ Da ( T 2 A (Z’m zkn+l)) +w2@t:. W; (zr_ gll> O06 <z S z1‘„) ( 1)(’”+D(”+D (&) VE CTT 29 Wenn wir alle Klammern im Nenner der ersten Summe mit (— 1) multipliciren, dann fügen wir derselben den Factor (— 1)7@+D an. Der fällt dann gegen die gleiche Potenz von (—1) im Zähler der Summanden des zweiten Theils weg: to)5) und es bleibt dort nur (—1)'+! zurück. Multiplieiren wir ferner alle Klammern im Zähler dieser Summe mit (—1), so bleibt nur noch ein Minus-Zeichen zurück, welches wir vor @ setzen wollen. Nun führen wir die Bezeichnungen n(2)= @— 2) : (@— z‚-„()‚ C ein, und dann folgt die von Cauchy gegebene Schlussformel ; (@) p(2) z z wk„+1]‚£ (zk.> %; ( D 3 (12) w () q; (@) Z In d; (zkx) d ( l‘m+1 46 Vierte Vorlesung $ 42—44 Hierbei 1E A ıe Summe ım Zahler ( bezicht sich auf alle wohlgeordneten Combinationen O 0 I erz ’ die aus 3 : (m + n) gebildet werden können; die % 12 7”2) 7v„+1 er- gänzen dabei die Werthe der 4, %, UE A zu der vollständigen Reihe . (m + n). In ähnlicher Weise ist der Nenner gebildet. Iu dem Spemalfalle m=n=1 lautet die ausgeschriebene Formel W. '°—ZI Ü ( —%)(ö—z ) + w 2“0 21) ( + Wo Wr (12 )@(‘* 0—Z —Z (z a 21 —8 ) Wg + 2c„ Z i’ Z (zo Z) Zo_z) („_. 2 — 89)(2, — 1 $ 43 Die Ableitung der Formel (12) in der angegebenen Art hat Jacobi (l. c. S. 501) durchgeführt. Ebendaselbst hat er noch eine ganze Reihe anderer Darstellungsformen abgeleitet, durch welche der Cauchy’schen Aufgabe genügt werden kann. Cauchy selbst. hat nur die Formel (12) aufgestellt und eine Verification für sie gegeben. Diese ist leicht zu finden: Es ist zu EW beweisen, dass die rechte Seite von (12) für NS den Werth w annımmt. Damit ist wegen der symmetrischen Bildung des Bruches auch der Beweis dafür geliefert, dass z = 24 den Werth w hervorruft. Tragen wir rechts in (12) z = % ein, dann fallen im Zähler alle Summanden fort, bei denen z unter den 2;, 2, &i vorkommt Ks bleiben nur diejenigen Summanden zurück, bei denen z zu den Zr gehört. Aky> Zkar Nn X Alle diese haben den Factor w., und ın jedem von ihnen hebt sich der Zähler p;(z,) gegen einen Factor des Nenners weg. Es bleibt also im Zähler zu1uck , wh (l ] ) Aa wobei jetzt der Complex Ö 27 %m alle möglichen Combinationen von m Gliedern aus 1, 7 (m + %) zu durchlaufen hat, und %,, K, : kn die übrigen d1eser Grossen Sn C Z S L„+1) Der Nenner geht für die gleiche Subst1tutmn 2=2% in 2q‚ Z‘ q,( m) ZPA (z 11'„171;‚E ön) über Nun kann man ebenso nach den Combinationen der % wie nach denen der %@ summiren. Vertauschen wir die Buchstaben %, 4, so ent- steht für den Nenner die Form Wr Wr (14) Z (@) (%.) Pi(*) (18) und (14) zeigen, dass der Quotient den Werth w hat Zerlegung; Interpolationsformeln. 47 $ 44. Die vorstehende Lösung scheint zugleich ın bejahendem Sinne die Frage zu beantworten, ob die aufgestellten Bedingungen mit einander verträglich seien. Aber hier kann ein bemerkens- werther Umstand eintreten. Setzen wir z. B. in (12) w = W, = Z so erkennt man sofort, dass Zähler und Nenner rechts identisch ver- schwinden, und dass also eine eigentliche Lösung nicht vorliegt. Bei den Schlüssen des vorigen Paragraphen stellen sich die Verhältnisse so: Setzt man 2 = ,, so entsteht als Zähler von (12) der Ausdruck (13). Verschwindet dieser, und mit ihm der Nenner, dann tritt w, in der Form wy auf. Hebt man den gemeinsamen Faetor C© — 2 der m Zähler wie im Nenner vorhanden ist, da beide für z — 2 verschwinden, nicht heraus, so behält man die unbestimmte Form. Lässt man ıhn aber weg, dann braucht die Forderung, dass der Bruch für z — 29 den Werth w = w annimmt, nicht mehr erfüllt zu sein. Die charakteristische, d. h. nothwendige und hinreichende Be- dingung für das Eintreten dieses Falles ist also durch das Verschwinden von (14) gegeben. Tritt dies ein, und hebt man (2z — %) dann in (12) weg, und kommt ferner für z = Z - + kein weiteres iden- tisches Null-Werden von Zähler und Nemner vor, dann genügt der reducirte Bruch, dessen Zähler vom Grade (m — 1) und dessen Nenner vom Grade (n — 1) ist, den (m +- n) Bedingungen ) Yn %] q)n—l(za) = Wrx («=1, 2,...m +n). Da aber ein Bruch mit den angegebenen Gradzahlen des Zählers und Nenners bereits durch (m + n” — 1) Bedingungen bestimmt IS So erkennt man, dass zwischen den Systemen 2,, w eine Relation besteht. Diese ist in der That durch das Verschwi nden von (14) gegeben. Ist sie erfüllt, dann kann man eine Function (16) ?m—1 (z) OO den Bedingungen (15) gemäss berechnen und dann, um die vor- geschriebenen Gradzahlen zu erhalten, OO OLG OR OO setzen. Sollte zufällig auch O d SC U en dann ’ liefert schon (16) eine Lösung der Cauchy schen Aufgabe; und im Falle, dass die Grade m, n für Zähler und Nen ner vorgeschrieben sind, Pm—1(?) %1 (€) O (2) % (5—)_, wobei %,(2) eine beliebige lineare Funetion yon z bedeutet, 48 Vierte Vorlesung $ 44—45 * Genau in derselben Art können wir, indem auf (16) die gleichen UVeberlegungen angewendet werden, das folgende allgemeine Resultat ableiten Genügen (m + n + 1 — «) Werthepaare unter Z Zm+n) Wm+n, etwa die letzten unter ihnen, einer Gleichung m——a< ) W — Yn @)) bei der die Indices die Gradzahlen der rechts stehenden Functionen bedeuten, dann kann die Cauchy’sche Aufgabe nur in der uneigentlichen Form ( Ca o) ( — a———1> @,„_„( 2) (17) @ („ en "o) '; u—-l> wzz—a ) befriedigt werden, ausgenommen wenn etwa auch noch q7nz-—r1( a—1) D (z(j) B Ü (ß<« — 1) Ya wn—a ('“a——l) 1S% in diesem Falle kann, wenn %«—-g(g) eine willkürliche anze Funetion (« — ß)‘°“ Grades bedeutet, allgemeiner @ (2) (*° _zo C _1) %o —B @)Pm— 0 ©) HO @ — %) Cl 1) Za—o ('“) n—:z(z) gesetzt werden”) S 45 Die Cauchy’sche Interpolationsformel (12) kann in ähn- licher Weise wie die Lagrange’sche zur Aufstellung merkwürdiger Identitäten benutzt werden Um dies zu zeigen wollen wır unter 0 (2), Z) zweı ganze Functionen der Grade (m — 1) und (n — 1) mit völlig willkürlichen Coefficienten verstehen und setzen dann fest, dass 0 (2,) W} (27) 0=20, 19 m + n — 1), also t(2)p(2) — ole)v(e) = 0 für 2 = or %197 Em-+n—1 sein soll Da die linke Seite der letzten Gleichung bis zum Grade (m +n — 1) aufsteigt, so kann sie (m + n) Wurzeln nur dann be- sitzen, wenn ihr Polynom identisch Null ist, d. h. wenn man hat Nun muss als letzte Bedingung 9( m+n W (Zm-+n) w (er:—|—n) = Wn +n 1l’ (%n+n) a x HN 'z(ä #) Auf die in diesem Paragraphen besprochene Möglichkeit hat Kronecker Berl. Ber. Juni 1881, $ II hingewiesen Zerlegung. Interpolationsformeln. 49 sein; nehmen wir aber W„+„ SO an, dass es von 0 (Zm+n): T(Zm4n) verschieden ist, dann tritt hierbei ein Widerspruch heraus, der sich nur durch %(Zm+n) = 0 beseitigen lässt; d. h. %(z) ist durch (2—2m+n) theilbar. Freilich gilt dies bisher nur, wenn w„4„ nicht gerade jenen Werth 0(2m+n) : 7(Zm-+n) besitzt; aber dass die nachgewiesene Kigen- schaft unabhängig davon ist, können wir sofort erkennen. ı(z) ist in Wm+n linear, wie (12) zeigt; und setzt man dann in W() = %1 (€) F Wm+n %o (2) für Wm-4n mehrere gestattete Werthe ein, dann folgt, dass y, und in und also auch % allgemein durch (%z — Z4») theilbar werden. Hier- nach sind wir somit auch berechtigt, den bisherigen Ausnahmewerth Wm+n — Q (zm+7z) :+T (Zm+n> einzusetzen, und auch dabei findet Theilbarkeit von W(z) durch (2—B2m+n) statt. Zugleich sind aber jetzt g(z), (£) symmetrisch in 20, 21) - Zmtn geworden, so dass also auch Theilbarkeit durch jedes (z — zı) für A=0, 1, ---(m + n) statthat. Das geht wegen der Gradzahlen nur, wenn @(g), &(z) unter den gemachten Annahmen identisch ver- schwinden. Demnach hat man den Satz: Bezeichnen wir pile)= (# —2 (& — Bip) , Dl@) (& Aa (7'a < 7z.nz+l) verstehen wir ferner unter o(2), z(?) zwei ganze Functionen der Grade (m — 1) und (n — 1), dann ist STSTA 0 (%,) C (an fl_ 1) 2 0 Z O 8 (Zkl) e C (18) e Ca E q;(%) SEA Z T(Zil) 0, ( % (Zi'n) 9i (fz‚k?) S E (ka —-i—rl)r wenn die Summen sich auf alle wohlgeordneten Combinationen der o unter O n) beziehen, und die % sich mit dien u dervee 0 ‚ (m + n) ergänzen. Aus diesem umfassenden Satze lässt sich eine grosse Reihe merk- würdiger Formeln ableiten, auf die wir hier aber nicht eingehen wollen, weil sie zum Theil die erst später zu behandelnde Theorie der sym- metrischen Functionen zu ihrer Darstellung gebrauchen. Wir wollen nur erwähnen, dass für o0= T7 = 1 Formeln entstehen, die wir, wenn jede Bildung von der Form .'3‚‘1 + Zf-g + DE + Zim? Z"1'Z'.2 + Zl.xäi3 + P + Bi & m—1 im? ’ DA allgemein durch S (7) bezeichnet werden, Netto, Algebra. T, 50 Vierte Vorlesung $ 45—46. TFünfte Vorlesung 8 47. (18°) S —— —0 Z (z (i) 1.-.) DE pi(zk„+l schreiben können. $ 46. Newton hat (Principia; Buch IIT, Lemma 5) die Inter- polationsaufgabe für ganze Funetionen in der Weise gelöst, dass er das gesuchte Polynom in der Gestalt © ale—2) + G —2)(@—4) F + (& —Z)(@—81)- (2—BZn—1) darstellte. Diese Form ist bei manchen Anwendungen nützlich, und deshalb wollen wir ihre Ableitung gleichfalls geben. Man sieht sofort, dass c‚ den Werth w haben muss, und man berechnet ohne Weiteres die folgenden Constanten: G Wo AAn E a Br W, Z(J c Z — %)? W, 2 Wr B Wz @aa aa aaa} Das hieraus ersichtliche Bildungsgesetz für die Coefficienten gilt all- gemein. Dem Beweise legen wir die einfache Formel DE Z a A + C N BUE (Z E '?o) (‚z——gl)(z _22) + 0 Cn 22) (% — 81) (& — 2a)(%9 — 8g) ( — 2,)(@ — %) - (# — 2,) ( — 8) @— 2 (Zrof— 75'715>'H'T(2"0 a Z„) ( — A)(% — 2) : &— Z zu Grunde, die sich durch die Vereinigung der beiden ersten Glieder, durch das Hinzunehmen des dritten Gliedes u. s. f. als richtig erweist. Wenden wir sie auf den ersten Summanden der Lagrange’schen Inter- polationsformel an, dann auf den Factor CS (2, — %) (& 23) (21 vm Z„) des zweiten Summanden derselben Formel u. s. f., so entsteht die Newton’sche Formel f(8) = 6 + 61 (2— 20) + 6 (2—20) (8 — 2) + *+ On(8—2)+(2— Zn—1), (19) 2 Wg Wr 2 R aaa ( o) n Natürlich lässt sich, der Cauchy’schen Formel entsprechend, auch eine gebrochene Function bilden, deren Zähler und Nenner in ähnlicher Gestalt auftreten, wie die eben behandelte ist. Hierauf wollen wir aber nicht eingehen, und ebenso wenig auf die aus (19) entspringenden besonderen Formeln. N AB Reductibilität und Irreductibilität. 5l Fünfte Vorlesung. Reductibilität und Irreductibilität. $ 47. Wir wollen uns jetzt einer weiteren wichtigen Frage zu- wenden. In den Elementen der Zahlentheorie treten die Begriffe der Primzahlen und der zusammengesetzten Zahlen auf. Ebenso können wir diesen entsprechend bei den ganzen Functionen unter gewissen Voraussetzungen irreductible und reductible Funectionen unter- scheiden, von denen die erste Sorte das Analogon der Primzahlen, die zweite Sorte das der zusammengesetzten Zahlen ist. Dies scheint im Widerspruch zu der Thatsache zu stehen, dass jede ganze Function ın lineare Factoren zerlegt werden kann, wie der Fundamentalsatz der Algebra gezeigt hat. Bedenken wir aber, dass, wenn z. B. auch die Zahl 5 in der gewöhnlichen Anschauung eine Primzahl ist, doch 5=(2+)@ —0 @G=V=9) gesetzt, und 5 also zerlegt werden kann, dann werden wir auf den Punkt geführt, der zu präcisen Begriffsfeststellungen ausreicht. Wir müssen bei jeder Zerlegung festsetzen, welche Grössen in die Rechnung eingehen dürfen oder in ihr als rationale Grössen angesehen werden sollen. Im reellen Zahlengebiete ist 5 eine Primzahl, im Gebiete mit den beiden Einheiten 1, £ dagegen nicht. So ist auch AI =(x+)x—0) unzerlegbar, wenn man in die Faetoren nur reelle Zahlen als Coeffi- cienten eingehen lässt; dagegen zerlegbar, wenn complexe Grössen benutzt werden dürfen. Ebenso ist die Funetion # —3 (# +V2)l@ — V3) ım Gebiete der rationalen Zahlen unzerlegbar, im allgemeineren Gebiete der reellen Zahlen dagegen zerlegbar. Demmnach ist auch der Funda- mentalsatz der Algebra so zu fassen: Im Gebiete der reellen Zahlen ist jede ganze Function mit reellen Coefficienten in Factoren ersten oder zweiten Grades zerlegbar. Im Gebiete der complexen Zahlen dagegen ist jede ganze Function mit Yeellen oder complexen Cocttelenten ıu Lneare Factoren zerlegbar. Ks kommt daher bei allen Untersuchungen dieser Art zuerst darauf an, den „Rationalitätsbereich“ anzugeben, d. h. das Gebiet der Grössen zu bezeichnen, welche als rational bekannt benutzt werden 4* 52 Fünfte Vorlesung $ 47—50 dürfen. Diese Be@1üfsbestnumuncren treten schon bei Abel aufs ın voller Schärfe hat sie Kronecker betont. Wird im Folgenden nichts Besonderes angegeben, so soll für uns der Rat10nahtatsberewh aus der Gesammtheit der rationalen Zahlen bestehen Wir werden eine ganze Funct10n demnach A ductibel oder reductibel nenneNn, je nachdem sie andere ganze Funetionen mit rationalen Coeffi01enten zu Factoren hat oder nicht. Dabei muss der Grad eines solchen Factors natürlich kleiner als der Grad der untersuchten ganzen Function, er soll aber zugleich grösser als Null sein. Die Möglichkeit der The11ba1kent durch Constante iıst somit kein Zeichen für Reductibilität der Funetion Wir wollen zeigen $ 48 dass es bei der Zerlegung ganzer ganzzahliger Functionen gleichgültig ist, ob man den Rationalitätsbereich aus dem Inbegriffe aller rationalen oder nur dem der ganzen ratio- nalen Zahlen bestehen lässt mıt anderen Worten: wir werden zeigen dass wenn sich eine ganze ganzzahlige Function 10 OM KACS Factoren mit rationalen gebrochenen Coefficienten zerlegen lässt daraus auch eine Zerlegunge in Factoren mıt ratıo- nalen ganzen Coefficienten folgt*) Zu diesem Zwecke beweisen wir zuerst Wenn in den beiden Funectionen 2 G+ ex+ x?+ an i © g(@) m ’ Hw) = Nn die Constanten c,, d;, m, n ganze Zahlen sind, wenn ferner die c, keinen gemeinsamen Theiler ausser der 1 haben und wenn von den d, dasselbe gilt, dann hat das Produet g(z) - h(x) zum kleinsten Nenner das Product m 7 Denn es sei y“ die höchste in m, und %* die höchste in ” als Factor vorkommende Potenz der. beliebigen Prim- zahl y; ferner seien 6, C,, Cal und d0; d„ de—1 durch p theil- bar, dagegen weder c noch dg, dann wird der Coefficient von x“+® in g(z)-h(z), nämlich [C„ (Zß + (Ca+1dfi.._1 + Ca-+2 (]ß„.2 + ) + (Cg,_1(ip+1 + Ca_9dg_|_‘) + >_] MN im Zähler keine Potenz von p enthalten, da der erste Summand der- selben nicht durch p theilbar ist, während die beiden anderen es sind Folglich tritt p“+* in den Nenner von g.:h Das Gleiche gılt von jeder in mm oder in % vorkommenden Primzahl, und somit ist dieser erste Satz bewiesen. $ *) Gauss: Disquisitiones ariıthmeticae $ 42. Werke I; S. 34 Reductibilität und Irreductibilität. 53 8 49. Setzen wir ferner G(d)= a Oar C ’ H(z)=lz)‚qg'Dlz+])ga%_;..„ >} m N und ist hier der grösste gemeinsame Theiler %& der Coeffieienten *, zu m vrelativ prim, und der grösste gemeinsame Theiler / der Coeffieienten D, zu n relatiy prim, dann nehmen wir G(e)=k-gle) und @ =olG@)o g(z) und h(z) sind jetzt solche Funetionen, wie sie in $ 48 betrachtet wurden. Wenn nun das Produet G(8): H(e) = kl-g(@)h(2) ganzzahlig wird, so folgt nach dem soeben bewiesenen Satze, dass k.1 durch m-n theilbar sein muss, und da % zu m und I zu % relativ prim war, so wird 000 b Z @ sein, wobei 0, 6 ganze Zahlen bedeuten. Sonach kann man setzen GC) = S m y(@), H(e)= 7 n@), und die Funetionen y(z), n(z) haben jetzt ganzzahlige Coefficienten. Ist also die ganze ganzzahlige Funetion f(z) auf rationale Art in zwei Factoren zerlegbar, f(@) = 6@:HC), so ist auch f(?) = 06 y(2) : n(%), d. h. f(z) ist auch im ganzzahlige Factoren zerlegbar. $ 50. Nach diesem Resultate können wir uns bei der Untersuchung, ob eine Funetion f(z) im Gebiete der rationalen Zahlen zerlegbar sei, auf die Aufsuchung etwa vorhandener ganzzahliger Factoren beschränken. KEs sei f(z) eine vorgelegte, auf ihre Reductibilität zu prüfende, ganze, ganzzahlige Function vom Grade 2% oder (2% + 1). Hat sie überhaupt einen Factor in unserem Gebiete, so hat sie sicherlich auch einen, der höchstens bis zum Grade »n aufsteigt; denn, wenn : = f ist, können nicht @ und ı gleichzeitig von höherem als dem n'® Grade sein. Wir wollen solchen Factor als vorhanden voraussetzen und mit q (z) bezeichnen. Dann ist für jeden ganzzahligen Werth z;.von Z der Werth von f(z;) ein ganzes Vielfaches des Werthes von @(2;). Wenn wir jetzt alle positiven oder negativen ganzzahligen Theiler des Zahlenwerthes von A& durch d d bezeichnen, und für Z in f(z) der Reihe nach (n + 1) ganzzahlige Argumentwerthe 2,, 2,, ‘:-Zn4+1 eintragen, nämlıch so erhalten wir (n + 1) Reihen von Theilern, 54 Fünfte Vorlesung 8& 50—51. für Z 7 d die Theiler d,, 152 WE (1) ” 3 ” ” d ([2/r’ d2„‚’ ” k7n+l ” ” d,;+1 ’ d7;:+1; dnı und @(z) muss (2) für An 29 B Sn+1 eine Werthecombination (2°) d(“) w (&) ? d;ß ) dg)’)’ "n+1 aufweisen. Legt man alle möglichen Combinationen der Bestimmung von g(z) nach der Lagrange’schen Interpolationsformel zu Grunde, so erhält man in der entstehenden endlichen Anzahl von F unctionen. alle, die überhaupt bei der F actorenzerlegung von f(z) als Theiler in Frage kommen. Mit jeder von ihnen kann dann die Division wirklich ver- sucht werden; geht sie nicht auf, so ist die Funetion zu verwerfen; geht sie auf, so ist ein Divisor gefunden. KEine endliche Anzahl von ausführbaren Versuchen giebt demnach die Entscheidung über die Irreductibilität von f(z) WK Z f(e) = 32 + 22 — 77 + 1 @= 2 A = 1 nämlıich so haben die drei Funetionalwerthe für 20 2 M e DEn die Theiler SA JE 64 A Da mit (2) zugleich — @(z) ein ganzzahliger Theiler von f(z) ist, so kann man @(0) = + 1 setzen; dann bleiben noch 8 Combinations- möglichkeiten, je nach den Werthen von O E E oder = + 13. Die Lagrange’sche Formel liefert z2 Z 0 D L 9 r ( +z0+e-D) 10 Lp—1) 4 00) { A(—1+z00+z0D) +2(G00—z0-D)+1. Wählt man für g(— 1) einen der Werthe + 13, so wird der Coeffi- r cient von %? dem absoluten Werthe nach >83, also grösser als der Coeffieient von D D4 ın f(2). Das entstehende @(z) kann demnach kein ganzzahliger Theiler von f(2) sein.“ Somit bleiben nur die vier Mög- lichkeiten Reductibilität und Irreductibilität. 55 (1) Z — 0 das giebt @(z)= 1, (1) =+1, O A ” ” oa =—-Z+2+1, (1) = —1, o 0)= + I 2 ” p()= —- — 2+ 1, (P(— 1)=_ 1) -D= —1, ” ” p(e)= —22 +1. Die erste Function liefert den hbanalen Theiler v = 1; bei den drei übrigen zeigt die Division, dass keine als Factor von f(z) auftritt. Folglich ist f(z) irreductibel. 8 51. Die im vorigen Paragraphen dargelegte Methode stammt von Kronecker*). Sie hat den theoretisch wichtigen Vortheil, dass die Frage nach der Zerlegung ohne Voraussetzung der Wurzelexistenz behandelt werden kann. Es wird aber beı ıhr die Anzahl der Werth- systeme, die discutirt werden müssen, eine so bedeutende, dass eine Vereinfachung der Methode erwünscht scheint, wenn sie für praktische Zwecke verwendbar sein soll. Herr Runge hat sich mit diesem Problem beschäftigt**), Aus seinen Resultaten wollen wir Folgendes herausheben. Wir gehen von (1), (2) und (2?) aus. Ist @(z) ein ganzzahliger Theiler von f(z), so ist auch M n ganzzahlige Funcetion, An al mithin v(z) — p(z,) durch z 2‚ theilbar. Es kann daher ein d® nur mit einem solchen d© combinirt einem zulässigen Theiler @(z) angehören, für welches die Differenz der Functionalwerthe d®) — d® durch 2 — Z theilbar ist. Ebenso kann eine Combination d©, d® nur dann mit einem d& combinirt einem zulässigen Theiler angehören, wenn d — d& durch z — 2 ıl und d® — d® durch z — % theilbar s u ST Hierdurch werden dann die zu behandelnden Werthsysteme häufig stark eingeschränkt, sobald die Wahl der Zu 22; passend erfolgt. Für unser obiges Beispiel würden wir keinen Vortheil dadurch erlangen. In noch anderer Art behandelt Herr Mandl***) das gleiche Problem. NS LA PEF *) Kronecker: Grunflzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen. SAr Jı für Matkh SN **) Runge: Ueber die Zerlegung ganzer ganzzahliger Functionen. J. für Math. 99. S. 89. ***) Mandl (unter gleichem Titel): J. für Math. 113. S. 252. 56 Fünfte Vorlesung 8& 52—54, $ 52. Eisenstein*) war der Erste, welcher einen Satz auf- stellte, durch den aus der formalen Beschaffenheit der Coefficienten der vorgelegten Function ein Schluss auf ihre Reductibilität oder Irre- ductibilität gezogen wird. Es ist der folgende: Sind alle Coefficienten c,, On C des Polynoms D P 0 (3) f n + Clzn—l+ 022/,7L—2 + r + CR + Cn durch eine Primzahl p theilbar, und zwar c, durch keine höhere als die erste Potenz von P, dann ist f(g) irreductibel. Wäre nämlich (4) fF(£)=(ag2“ +a an 8 Au)(bo2' + 2 . 6124 b,) OC a E An E so könnten wir zuerst ı =bh= 1 setzen, und es müsste ferner wegen aub, = c eine der Zahlen a,, b,, etwa die erste, durch p theilbar sein, während die zweite b, relativ prim zu D wäre. Weiter müsste Q O Au a C r durch %, und da ab, 7 es ist, auch au 1b, durch y theilbar sein. Nun war b, relativ prim zu p; also müsste Auı ein Vielfaches von Y werden. Ginge man dann zu A0n O Z N an yurde der Rele nachı HOS K Oa durch p theilbar sind. Die gleiche Schlussweise zeigt aber beim Auftreten des Coefficienten ag‚ dass auch für diesen dasselbe gilt, während er doch gleich 1 ist. Das ist ein Widerspruch; und daraus erkennen wir, dass die Voraussetzung der Zerlegbarkeit von f(£) nicht aufrecht erhalten werden kann. Es ist also f(z) irreductibel. $ 53. Dieses Kisenstein’sche Theorem, von welchem wir später eine wichtige Anwendung machen werden, lässt sich zum Ausgangs- punkte weiterer Untersuchungen nach verschiedenen Seiten hin nehmen. Die eine Richtung führt unter Benutzung‘ der gleichen Methode zu den Sätzen dieses und der folgenden Paragraphen bis &S 56. Ein Polynom ' Grades (n > 2x) von der Gestalt ©) a e E E besitzt keinen Theiler von geringerem als dem (x + 1)'» Grade. Der obere Index 0 an einer Constante soll hier und in den folgenden Paragraphen andeuten, dass diese Constante zu y relativ prim ist. A Gilt die Zerlegung (4) von (5), dann folgt aus aubı=c6=p Yn) dass entweder einer der Coefficienten a., b, durch p?, oder dass jeder *) Eisenstein: Ueber die Irreductibilität u. s. w. der Lemniscatengleichung. J. für Math. 59, S. 160. Reductibilität und Irreductibilität. 50 derselben durch p theilbar ist. Im ersten Falle setzen wir au = «ip°, b,= ß} und finden dann auf genau dem Wege, der in $ 52 ein- - bis inclusive ay durch geschlagen ist, dass alle Coefficienten au_ı, p theilbar sind. Da das nicht möglich ist, so muss diese Eventualität verworfen, und (6) Ün == D b,= Bip gesetzt werden. Wir wollen nun annehmen, es wäre schon bewiesen, was ja wegen (6) für 4 = 0 feststeht, Au —1 E %u— 1, Au —ı —Z %u— 1D , © bv——1 — ßv——lp; bv—l a ßv——lp; und wollen daraus herleiten, dass auch die beiden folgenden Coeffi- cienten, Au ı— 1 und b,_2_ ı, durch p theilbar sein müssen, wenn 1 eine gewisse Grenze nicht überschreitet. Dazu betrachten wir C_ =0 und c„_21—2=0 und zwar die erste Congruenz (mod. p?), die zweite nur (mod. p); das ergiebt Auby_ —1 + : + Auı 1b,= 0 (mod. p?), a‚u———l———lbi'—-l—-l + B = ( (mod. p). Wir haben in diese Congruenzen die Werthe aus (6) und (7) einzusetzen. Dann werden in der ersten alle nicht hingeschriebenen Glieder durch y”, in der zweiten alle nicht hingeschriebenen durch p theilbar, und es entsteht, nachdem die erste durch p dividirt, die zweite mit « L 0 0 V multiplieirt ist, @i an 0 (apby—2—1) (Br Au 2—1) 0 (mod. p), woraus denn sofort das Verlangte, nämlich (8) Au Z 1 — “‚14—Ä—1P; Da zD folgt. Da in (5) bei uns y„—p* der höchste durch py? theilbare Coefficient ist, so können wir bis 1= x gehen, falls » > 2x ist. Die letzte Kinschränkung ist klar; sie folgt aus C_21_2= 0 (mod. p): Man hat dann also Z A — aßp‚ a‚u —1 “‚u—1P ’ Au —x &— Xu—ux P, (9) bv—1 — &z b, = ß3p, ßv—lP; NO B f Dies zeigt, dass ay, by nicht in die Reihe der hingeschriebenen Coefficienten gehören, dass also kein Factor von geringerem als dem (x + 1)%" Grade vorkommen kann. $ 54. Ist n = 2% + 1, dann folgt aus dem Umstande, dass kein Factor vom x'°" oder einem niederen Grade besteht, die Irreductibilität 58 Fünfte Vorlesung 8& 54—56. yon! ı(5). ı Istin —2 2 dann! können zwei Bactoren des Grades (x +1) vorhanden sein, bei denen alle Coefficienten ay, a 27 7} ODa nach (9) durch p theilbar sein müssen. Man hat demnach: Das Polynom e L Yan+ 1D ist irreductibel. Das Polynom BD E p L e Van4 2° kann nur in der Art zerlegbar sein, dass es in zwei Factoren gleichen Grades AT HNN G E E B zerfällt. Diese beiden Factoren sind nach dem Eisenstein’- schen Satze unzerlegbar. $ 55. Wir knüpfen wieder an das Theorem von S 53 anı Hım Polynom von der Gestalt f(Z) B + ylpzn—l + E + y„__g„_2p22z+2 A Dn ED —3 W DL ED E kann nur so in zwei Factoren zerfallen, dass der Grad des einen nicht geringer als (x +1), der des andern nicht ge- ringer als (2x + 2) ist. Die eine Möglichkeit, E O k== z 0 (mod. p?) zu befriedigen, nämlich indem man au = «ip®, b,= ß setzt, führt auf dem schon mehrfach betretenen Wege ($ 52) zu einem Widerspruche. Es bleibt also nur die Annahme zu behandeln übrig (10) U 05‚3P2‚ 0i = Aus 6_ı = Au dy_1 4 Au—1b, = 0 (mod. p°) ergiebt sich sofort Auı = 0 (mod. p), so dass die Gleichung (11) Un i —E 05‚:2—1P angesetzt werden kann. Wir setzen voraus, es wäre schon bewiesen, was ja für 4 = 1 soeben erfolgt ist, dass man Anı == a[2 p2’ in En CD (12) CF “‚[z——ÄP ’ Au —2211 — 06/1—21+117‚ Ö, O ß$p, O D hätte. Dann wollen wir, falls 4 nicht gewisse Grenzen übersteigt, die Fortsetzbarkeit von (12) durch den Beweis der vier Gleichungen O —1F ‘x‚u-—-lp2; Ü E 06,1—21P‚ E SS (18) bv——Ä S ßr——lP Reductibilität und Irreductibilität. 59 darlegen. Dazu brauchen wir die vier Congruenzen n— 2 =0 (mod. p°), Cn —21 = 0 (mod. p?), (14) C221 = 0 (mod. p°), C321 = 0 (mod. p). Setzen wir die Werthe (12) in diese Congruenzen ein, dann liefert Cn—22, nach Division durch , und C„_32ı, nach Multiplication miıt Bi : @u —, die Resultate (B au 22) A (ou —20y 2) = 0 (B au 22) (du—2by—1) = 0 (mod. p), und deshalb ergiebt sich, wie unmittelbar ersichtlich ist, (18:) Ü BFE a}1—2ÄP; (15) &u —20y —2 = 0 (mod. p). (13*) liefert einen Theil der Behauptung. Die erste Congruenz aus (14) heben wir nach Eintragen von (12) durch p? und erhalten X%u—2ß) + aybı_ ı = 0 (mod. p). Das zeigt, mıt (15) combinirt, dass «_ und b,_2 durch p, dass also b1f—l - ßv—l JO (13?) Un =2 05‚;1—‚1P 7 “p——).192 ıst Der noch fehlende Theil der nachzuweisenden Gleichungen (13) folgt ohne Weiteres aus der dritten Congruenz (14). Vergleichen wir (14) mit der Form der untersuchten Gleichung, dann folgt, dass für sie U — “2 P2, Au— x — An —x_p2; (16) UZ “;;—x—lp; Ü Xu—2x—1 D, b,= ß3p‚ br—x S ßv——zP gesetzt werden kann. KEs darf daher unter diesen Coefficienten weder ay noch b, vorkommen, falls » > 3x ist, d. h. es muss in diesem Falle u >2x%+2,vzZx«-+1 sein, wie behauptet wurde. $ 56. Es war n > 3% zu nehmen. Ist nn =3% + 1 oder n=3%-+2, so wird u + v>3x-+3>n; in diesen Fällen ist also eine Zerlegung nicht möglich. Ist dagegen n = 3%x + 3, dann kann u=2% + 2 und v=x% + 1 werden, und dann ist ein Zerfallen von f(£) nicht ausgeschlossen; in beiden Factoren müssen die Coefficienten den Gleichungen (16) gemäss gebildet sein. So ist (2 + a ne + «° p?) (£ + B'p) > A ( p ( ar Ba aD ein Beispiel für die Möglichkeit der Zerlegung. 60 Fünfte Vorlesung 8 56—58 Das Polynom RDE E (n=3%*+1, 3x + 2) + Yn + A Ynı D 2 E y n (0) R ist irreductibel; das Polynom 23443 en }/1P53”+2 ALn E 71+1P222+2 R E + Yax+3 08 - e A Yaxııp E F VSursp) kann, wenn es überhaupt zerlegbar ist, nur in zwei Factoren Z , DE ı F Or DE HL A ppp + F an z B RR AT BDA DA zerfallen, deren zweiter irreductibel ist, und deren erster auch nur eine Zerfällung in zwei irreductible Factoren des Grades (x + 1) zulassen kann ($ 52, 8 53). 8’57 Der Eisenstein’sche Satz kann auch noch als das An- fangsglied einer Reihe anderer 'Theoreme angesehen werden, deren nächstes das folgende ist: Wenn ımm @©) alle Coefficienten c, durch ü theilbar sınd, c_,.aber durch keine höhere als die erste Potenz von m, so ist f(z) entweder irreductibel, oder es zerfällt in der Weise, dass es einen Factor des Grades 1 und einen anderen irreductiblen Factor des Grades (n — 1) besitzt. Es sei, den Voraussetzungen entsprechend, Cn = VnP“, Oa CZ wenn dann au = «ip“ gesetzt wird, dann stossen wir in der schon mehrfach dagewesenen Art auf den Widerspruch, dass ay= 1 durch p theilbar sein müsste. KEs ist also allein möglich, Ö C E 2 b = Bl @— 07021 zu setzen. Aus der Gleichung Ga—ı= Yın = Q / 0 OE E CZ folgt dann, dass nicht beide Exponenten (z — o) und o grösser als 1 sind. Also muss t —0 = 1 oder o= 1, d. h. etwa 0 mnt—1 (18) Au = AL 0 D dass für werden; und dann zeigt die vorhergehende Gleichung, — 2 acht . ı Und ün 7 2 nicht oleichzeie a und 0 durch y theilbar sein kann. Weiter ergiebt sich aus Cn O a 0 an U mod: w), dass eine der beiden Grössen au_ı, b,—1 durch p theilbar ist. Den so Reductibilität und Irreductibilität 61 gefundenen Forderungen wird abgesehen von einer Aenderung der Bezeichnung, nur durch Ol — au——-1; bı = Bıriß (19 Geht man mit (18), (19) in die Congruenzen Genüge geleistet. (20) Cn—3"aub —)p‚tw_l+auflb —2+a‚u—‘)ß —l_p+au——3ß p O(m0d p), dann folgt der Reihe nach genau wie fruh81 (% 52), (21) b E ra ß»—2ß, 0g ß Z5% und so gelangt man im Allgemeinen zu dem Widerspruche dass Ö 1 durch p theilbar sein müsste Der Widerspruch in (21) wird nur dann vermieden, wenn die letzte Congruenz aus (20), welche ö einführt, durch die Gleichung CO OCI„ÄLZ) DE 1 ersetzt wırd, wenn also n = v 4 1 d h. u = 1 und OC DA D D D ıst Damit ıst der Satz bewiesen Auf die weiteren Theoreme der hier angedeuteten Serie wollen wir nicht eingehen ıhre Richtung ıist durch das Gegebene hinlänglich charakterisirt $ 58. Eine andere Methode zur Erlangung solcher Irreductibili- tätssätze hat Herr Königsberger*) gegeben Wir wollen sie soweıt auseinandersetzen, als es an dieser Stelle bereits möglich ist, ohne zu sehr auf spätere Untersuchungen Bezug nehmen zu müssen Die qg Wurzeln der Gleichung (22) Z 20 die sogenannten q'® Einheitswurzeln, wollen wir durch 1, w,, @,, g bezeichnen Ist bei rationalen Coeffieienten @ I O (2) = a + a! + ... + An eine beliebige Funetion *” Grades, und bildet man das Produet (2) @ (20,) d (2w;) (p(2‘00)— ®(”)7 dann sind auch die Coefficienten von ® (z) rational, und es enthält ® (z) nur Potenzen von z mit den Exponenten q, 2q, ©q) Wn können also in ®(z) für 29 setzen &, und erhalten (24) (a *) Königsberger VUeber den Eisenstein’schen Satz von der Irreducti- bılität algebraischer GHleichungen J. für Math 115 S 53 62 Fünfte Vorlesung 8 58—60. Es wird sich, wie nebenbei erwähnt sei, später zeigen, dass (24), gleich Null gesetzt, » Wurzeln liefert, welche die q Potenzen der Wurzeln der Gleichung sind, die man durch Nullsetzung von (23) erhält. Ist nun @(z) als ein Produet darstellbar, O (2) = Y (2) 4 (2), dann wird @C)= DC)XC), &5 (z) =Üw(zm;.)‚ X(z) =Üxcwo CT pO(E) = vO(H 4II Wenn demnach @ (z) reduetibel ist, so wird es jedenfalls auch p“@(£); man kann daher aus der Irreductibilität von qm“@(E) auf die von @(z) schliessen. $ 59. Um die Wirksamkeit dieser Methode zu zeigen, wollen wir zu P Z A A a a La a die Funetionen g°®, v®, m® bilden. Es wird pIE) = 4E° + (2ay0, — ay’)E* + (2a90, — 2a,0; + a,”)E P ( A @ aanı E (FAa Mit mO(E) ist gleichzeitig ;5 pÖ(nE) irreductibel oder reductibel. Setzt man in der zweiten dieser Functionen aQ= 1, q = @,D, Q = @ P*, A = 0& p*, A, = “4233‚ A, = &;°p°*, so erhält man ein irreductibles Eisenstein’sches Polynom ($ 52). Folglich bleibt das ursprüngliche @ (z) unzerlegbar, d. h.: Es ist 8) + , na* + a nt8* + o pie* A 0, p*a A 059 p® irreductibel. Dieses Resultat ist mit dem in $ 56 erhaltenen Schluss- theoreme ıdentisch. Weiter wird für g =3 pOHE) = y E + (3ay’As —3A9 A, Ag + a?)E* + (3apas* —3 AyA, Ag — 3 AyAz A, + 3A,” A, — 3A, A, A, + A,*) 6 +(—30A,A5-+3 A, A, —3 a, Ag As 43a az—3 A, As A, Az?)E* + (3 a2a5;” — 3A;A,Ay + Ay?) EF as*. Verfährt man hier genau wie vorher, so erkennt man: Das Polynom @° 4 &, De* + « DE A a WE AD D ist irreductibel. Für q = 4 findet man pO(E) = a E + (4a90, — 4a70 A, — 2007a + 40,0," 0 — @Sr +(—4a,a;° + 4a,a,0;* 2a7a —40a7 as + ay*)E— ag Reductibilität und Irreductibilität 6 I 1 Hier benutzen wir 1 PPO(n?E) und gelangen zu dem Resultate: Das Polynom 2° -{ &, 08“ A 0, 078° A s 072° A 0, D*8 A s D ist ırreductibel Dieses Krgebniss hätte sich einfacher ableiten lassen, wenn im Eisenstein’schen Polynome z = gesetzt und dann mit y° multiplicirt worden wäre $ 60 Im allgemeinen Falle f@(£) ist das absolute Glied Ar=+4 Wir nehmen nun qg als relatıx prım zu n ‚ und kleiner als n an, bestimmen, was stets möglich ist Zwel ganze Zahlen ” und s, für die (25) q—ns= +1 e< E) wird, und untersuchen —— f@(pE) Zunächst ist der letzte Coefficient dieser Funetion a? NS NS D a = a yl ales > Al l Um zu einem HEisenstein’schen Polynom zu gelangen ist es also nur nöthig, die sämmtlichen, vorhergehenden Coefficienten A n— I A n—2 E A, (26) l)x (n—2)s 23 D durch y theilbar zu machen Die Grösse 4„,_, ist, wie man sofort sıeht, eine Summe von solchen Gliedern %. M (27) a„A, ? in denen „das Gewicht“ des Complexes nämlich kx + 11 + mu + = (n — 0)9g ıst Setzt man nun, wie Herr Königsberger angiebt En T i A A ( n )+1 A, — &P __)+1 ( L ıD ((n—l)r)_‚_l ? wobei e(h) die grösste ganze 7ahl bedeutet, die in der positiven Grösse 4 enthalten ist, dann tritt in (27) die Pr1mzahl » mindestens in der Potenz mit dem Exponenten L F[ 1 m[ +1]+ auf, und dieser Exponent ist grösser als die Summe + + an = (n—0) —q 64 Fünfte Vorlesung $ 60 Sechste Vorlesung &$ 61—62 In den Nenner von 4 geht p in der Potenz (n—0)s ein Weıil nun wegen (25) SE so ergiebt sich, dass in der That alle Glieder in (26) durch y theilbar werdern fF@(p°E) ist daher ein Kisenstein’sches Polynom, und f(z) ist irreductibel Durch das Auftreten einer Potenz von a„, in (27) wird an den Schlüssen nichts geändert So sind wir zu dem Königsberger’schen Satze gelanot Setzt man n—1 )+1 r)—l—l e R ’ Ag ==> KD (2f)+ 2 Ün = an—lp ( An = &,D wobei r eine zu n relative Primzahl bedeutet, dann ist a E + A, ein ırreductıbles Polynom Sechste Vorlesung Grösster gemeinsamer Theiler zweier Funectionen Vielfache Wurzeln algebraischer Gleichungen 8 61 Es mögen f(z) und fi(2) zwei ganze, ganzzahlige Funec- tıonen von m seın “ ihre Grade bezeichnen wir mit %” und (n — n}), wobei 1, als Null oder als positiyv vorauszusetzen ist Wir bilden nach dem Schema, welches Euklid zur Aufsuchung des grössten ge- meinsamen Theüens zweier ganzen Zahlen benutzt durch fortgesetzte Divisionen die Gleichungen / (2) AA 9ı () f2(‘)7 fl (Z) —f”) 9 (Z) —fi3(2)7 (1) r—z(ß)— —1(z) gr—1(z)—fr(2)‚ fr—ıl?)= f.(£) 9-(2), derart, dass wir jedes f; durch das folwende fı+1 dividiren, bis ein Rest von niedrigerem Grade bleibt, der dann = — f,42 gesetzt wird Die Gründe für diese Festsetzung des Restvorzeichens werden sich später ergeben. Da die Grade von f; fi, /_2, immer mehr abnehmen, ohne negatiy werden zu können, so muss (1) einmal abbrechen, wie dies in der Tabelle selbst ja auch angedeutet worden ist Grösster gemeinsamer Theiler Vielfache Wurzeln 65 Wie schon früher, so lassen wir auch im Folwenden, wenn Miss- verständnisse ausgeschlossen sind, häufig das Argument der Function fort, und schreiben also etwa statt der Gleichungen (1) kürzer (2) f} a OEn Z oder fırz= farıdarı —f Aus (2) ist ersichtlich, dass jeder Factor den die beiden Fune- tionen fz und fz+.ı emeinsam besitzen, auch /;42 theilt Daraus folgt dass f durch den grössten gemeinsamen Theiler von f und f, theilbar 1st Andererseits folgt auch umgekehrt aus (2), dass der grösste ge- meinsame Theiler von /;42 und fz+1 auch in fz aufgeht Daraus er- giebt sich dann, dass sowohl f als / durch f theilbar sind Folg- lich ist f,. selbst der grösste gemeinsame Theiler von f und f Man kann also durch fortgesetzte Divisionen den grössten gemeinsamen Theiler zweier Funct10nen / (@) wne f (@) be- stimmen. S 62 Jedes der ımm (d) auftretenden Polynome 12y f3 fr—1; /r lässt sich als lineare, homogene Kunctlon yon / und A dar- stellen. Wenn man namhch in der zweiten Gleichung von (2) den ersetzt, dann er- Index 2 der Reihe nach durch (1 — 2), (1 — 3), hält man mittels Combination der so entstehenden Gleichungen fı= frı Nı — o Z ( 0) — Ya (3) */7—3(„/7—19}—‘)_9/— —‘91_1—‘9/—5)_](;1—4(9‚1- 1g/1_)——1) Z /1 z *‘“f Q wo dann also die Funetionen ı_1, @_1 durch Fortsetzung der an- geführten Rechnungsoperationen gefunden werden können. Auf diesem Wege gelangt man auch zu Reduetionsformeln für die @ und &- Die Formel (2) liefert (2°) fa+2 frı Drı fb und setzt man hierin die durch (3) definirten Funetionen @ und ı ein Maa = f _f Pı, fı dann entsteht —fl "Pl—1_f ‘Pl—l, s eı A und demzufolge ergiebt sich (4) n = a Z QiETO ORa OE Netto, Algebra, I 66 Sechste Vorlesung $ 62—65. Um diese Recursionsformeln zur Berechnung benutzen zu können, müssen wir noch die Anfangswerthe @,, %; @,, W, bestimmen. Diese ergeben sich aus fl=f1'w()*_‘f"po’__f1‘l "'f07 f2:fi'zpl_f.'q)1=f;'gl—/"l ıls (5) "1’0':1, ‘p0=0; O . = 1. Aus diesen folgt dann gemäss (4) weiter i — T, PE V3 =r(/19.29.? a e '% '=.y2gg lı Die Formeln (2*) und (4) lehren, dass die Bildung von %41 aus %, und %_ ebenso vor sfeh geht, wie die von @2141 aus @ı und @;_ı und die yYon y aUs a und Den besonders wichtigen Fall von (3), in welchem 1= r ist, wollen wır noch besonders hervorheben: ©) V A S 63. Aus den Recursionsformeln (4) ergiebt sich durch Eli- mination von gz+1ı E An O z D OE a O und somit durch weitere Anwendung derselben Relation, und da nach (5) Qı o L ist, die Formel (6) Prı — Pıdırı = L Hätten wir in (1) die Reste ohne Vorzeichenänderung eingeführt, so würde (6) complicirter; aber diese Aeusserlichkeit war nicht die Ver- anlassung zu jener Festsetzung. Dividirt man (6) durch %z,w%;41, dann entsteht d E O zn A %“’z-£f und durch weitere Anwendung derselben Relation, wenn man berück- sichtigt, dass nach (5) Pı Vr 9ı o Vr ist, die Gleichung — == Q S_ al BA (7) U7 o + b © + Wr Y Ün Vielfache Wurzeln. 67 Grösster gemeinsamer Theiler. durch welche eine Zerlegung der gebrochenen Function @;,:w%;, in eine Summe von Primbrüchen geliefert wird. Ferner ergiebt (3) fı —f = fa+ı, und deshalb wird zunächst O fı N f —z —_ SE — Iarı (8) 7 7 f E und durch Verwendung von (7) ergiebt sich hieraus die Darstellung (8°) f 1 A al —— , Ha+ı f . '%U’1 7 ar +...+fL‚+ Da nn f Insbesondere wird für ı =r, wegen f,4+1= 0, der Quotient fi:f wıederum eine Summe von Primbrüchen (8”) fı E al o Vı Yı - D $ 64. Es ist von Wichtigkeit, die auftretenden Funetionen ihren Gradzahlen nach zu bestimmen. Den Grad einer Funetion A(z) wollen wir durch [h] bezeichnen, und nun möge ©) U]="7 [f;]=’)’l;—?l„ 5 [fi] E A [fr]'=""‘”r ©< < L < Z) gesetzt werden; dann liefert die Vergleichung mit (1) für die Bestim- mungen der Gradzahlen (93) [’]1| — [f/2] / "[9).] S [gf] A Ny— 1 Sobald nun [z%,+1] > [%] ist, muss nach (4) [%ı+2] > [ı+1] und = [%ı+1] + [92+2] sein; unter der entsprechenden Voraussetzung ist [9ı+2] = [Pı+1] + [92+2]. Aus den obigen Werthen von [@;], [w.;] für 2 = 0 und 2 = 1 folgt daher ] =n,, %] = WT = Wr (9°) Hl=% bl= Na — Mı, e ı] = 0 — n, Hieraus erkennt man z. B., dass in (3®) die Funetion w,._, den Grad Yn ı, Und . @, den Grad Nr —i — %, besitzt. Nun ist nach (9) Y , Zn aln <n—1 und ebenso n,-_ , —SW —H — 1. Der Grad von %_1 ist gleich (n—rv), der von @- gleich (n — n, — 7), wo T+ mindestens gleich 1 wird. 8 65. Ist eine rationale gebrochene Funetion @ gegeben, q (2) ordnet man Zähler und Nenner nach steigenden Potenzen von z und führt die wirkliche Division derart aus, dass das Glied niedrigster Ordnung in p durch das Glied niedrigster Ordnung in g dividirt 5* 68 Sechste Vorlesung $ 65-— 67 C) N wird u. s. w so entsteht die Entwickelung von q () mach steirs genden Potenzen von z Ordnet man umgekehrt p und q nach fallenden Potenzen von O ” und führt dementsprechend die Division so aus, dass das Glied höchster Ordnung in p durch das Glied höchster so entsteht die Entwickelung Ordnung in g dividirt wird u. s. w von n (2) nach fallenden Potenzen von z Die Entwickelung der (2) ersten Art kann nur dann abbrechen, wenn der Nenner .gq(z) ein Factor des Zählers wird, die der zweiten Art nur dann wenn der Nenner bis auf Potenzen von z, die er als Theiler enthält, ein Factor des Zählers wird Wir werden später auf solche Darstellungen ge- nauer einzugehen haben Hier wollen wir nur ein auf die Entwickelung von .ı Z Ü (8) E DA L7 bezügliches Resultat hervorheben Nach (8) und (9*) wird Üan | f } = — (m + -+ı) In der Chat ast OE ’ n n7 nn f Ü’l &R + .+. v} und daher beginnt die Entwickelung von (8) nach fallenden Potenzen ”A—”Ä+l d. h.: Entwickelt man die beiden Brüche ON Z Mit. /ı und * nach fallenden Potenzen von z, so stimmen beide 4 Entwickelungen In allen Gliedern on < z an bıs Zu (m-+r2+1) T1 äberein 8 66. Aus den beiden Gleichungen (vgl. (2) und (4)) Yı—z fx+1 S fzya f1——12 ( 10ı folgt f297 A V OE D =1 Yı 19ı T A—1 Z /;'4’1 f1+1 W fn T a Z n zn ) Da num fz41 von geringerem Grade Sal a un on GE ringerem als W SO beginnt die Entwickelung der rechten Seite nach fallenden Potenzen von z z mit der Constanten 1, und deshalb sind h<mhsten Potenzen von die Grade und auch die Coefficienten der Vielfache Wurzeln. 69 Grösster gemeinsamer Theiler. fa_ıvz_1 und von fıwz einander gleich. Die erste Eigenschaft folgt schon direct aus der Betrachtung der Grade: [fAeı]= [h] + ı] = (n —m) + m =N. Dasselbe gilt dann natürlich von den beiden Produecten fı_2w%21_2 und ala 0 S e n A = f y A e Anı aaa man zu den Sätzen: Alle Glieder der Functionenreihe (10) flwl) f2w2? 3 fi.‚1,)_ sind vom Grade n und haben denselben Anfangscoefficienten wie /(z); alle Glieder der Functionenreihe (10°) fa.@ı>, f2@2, N fr‘Pr sind vom Grade (n — n,) und haben denselben Anfangscoeffi- cienten wie f;(2). S 67. Von besonderer Wichtigkeit ist der Fall, dass die beiden Funetionen f und f keinen grösseren gemeinsamen Theiler als eine Constante besitzen, so dass also f. vom Grade Null wird. Hierbei tritt es deutlich hervor, dass die constanten Grössen bei den jetzigen Betrachtungen die Rolle von KEinheiten spielen. Genau wie bei der Zerlegung von Zahlen im reellen Zahlengebiete die Hinzufügung des Faetors + 1 oder — 1 den Charakter der Zahlen nicht beeinflusst; genau wie im complexen Zahlengebiete die Zerlegung durch Hinzufügung eines Einheitsfactors + 1, —1, +-%, —@% nicht wesentlich geändert wird, genau so ist es beim Schema (1) unwesentlich, wenn f und f, mit willkürlichen constanten Factoren multiplicirt werden. Die Schlüsse bleiben dieselben, und die Resultate ändern sich höchstens insofern, als auch dabei constante Grössen multiplicativ hinzutreten. Man kann von diesen Ueberlegungen insofern praktischen Ge- brauch machen, als man bei der Durchführung der einzelnen Divisionen in (1) die Dividenden mit geeigneten Zahlenfactoren multiplieirt, durch welche das Auftreten von Brüchen in den Quotienten und den Resten vermieden wird; und dass man ebenso aus den Resten alle, den Coeffi- cienten etwa gemeinsamen Zahlenfactoren herauszieht und sie, um zu kleineren Zahlenwerthen zu gelangen, bei den weiteren Divisionen unterdrückt. K Z 2 F3 E3 EN, CN N so würde die erste Zeile von (1) eigentlich lauten Kl 329_2 = % (— 202 — 322 — 212 — 11); 70 Sechste Vorlesung 8& 67—69, statt des hieraus sich ergebenden f nimmt man aber fı = — (20@° 4 324? + 212 4- 11). An die Stelle der zweiten Zeile von (1) tritt dann 243 l Z — 302 + 13 100 B AD a aber hier nimmt man wieder / 3 7 a S (222+;+ i Endlich folgt B A OO - 0 so dass also f; oder — fz der grösste gemeinsame Theiler-von f und f Wa In der That zeigt sich K @RA A A Die Gleichungen des Euklid’schen Schemas werden somit T (3Z C 2) _f—2) OE 302 13 2 fa l 002 I Dass der Factor 9, der ın der ersten Zeile eingeführt ist, bei 243 - f sich wieder aus dem Schema heraushebt, ist kein Zufall, wie ich an anderer Stelle bewiesen habe. S 68. Es hatte sich .— Formel (3*) und $ 64 am Schlusse — ergeben: Wenn die ganze Function f(g) vom Grade ” und die ganze Function fi(?) vom Grade (n — nı) relativ prim sind, d. h. keinen gemeinsamen Theiler f.(2z) haben, dessen Grad grösser als 0 ist, so giebt es zwei Functionen /'(z) und F, (2), deren Grade höchstens (n — 1) und (n — n, — 1) sind, und für welche die Gleichung (11) W HONO gilt. Mit Hülfe dieses Satzes lassen sich die Analoga derjenigen Theoreme der Zahlentheorie, welche sich auf die Zerlegung und die Zusammensetzung von Zahlen aus Primzahlen beziehen, für die Algebra leicht entwickeln. Eine irreductible Funection war als eine solche definirt, welche keinen Theiler besitzt, dessen Grad geringer als der ihrige, aber höher als Null ist. Daraus folgt, dass wenn irgend eine Function mit einer irreductiblen Funcetion einen gemeinsamen Theiler besitzt, sie durch diese irreductible Function selbst theilbar se1in muss. Ferner: Wenn f eine irreductible Function ist, und wenn fı Umnd y Anachtdurch 7 Oherlbar sındı dann ıst auch A0% „ ( i Grösster gemeinsamer Theiler. Vielfache Wurzeln, nicht durch f theilbar, d. h. mit f) und fz ist auch f,-fz relativ prim zu f Dies beweisen wir so: Nach (11) kann man, da f und f relativ prim sind, , und F derart bestimmen, dass V und also * GE A ala E wird; folglich theilt der grösste gemeinsame Theiler von f und ff auch die Funetion f>. Ausser einer Constanten giebt es aber keine Funetion, die f und f theılt. Somit/ ıst / ‚relatıy prım zu ff fı Dieser Satz lässt sich verallgemeinern: Sind fi, fa, fı nicht durch ‚die irreductible Function f theilbar, dann ist Denn nach dem eben a a / 7 nicht dunch 7 Oherlbarı gelieferten Beweise ist zunächst f,-f>, ferner (fif):/3 u. sS. W. nicht durch f theilbar. eb Qn Rioduoe 07a .. fy durch die irreductible Func- f1on f theılbar, sSo Ist mındestens eıner (der Kactoren %, f2) 5 durch / Che bar Denn fände das Gegentheil statt, so widerspräche dies dem vorigen Satze. Auf Grund der Gleichung (11) können mit denselben Mitteln auch die folgenden Sätze bewiesen werden: Sind fi, f, fa ‘‘ Functionen, von denen keine mit einer der Kunctionen @,, ©,, einen Theiler gemeinsam hat, dann hat auch das Produüct Ar /:a - Feimnen Mheiler mit Pı Pa D3 gemeinsam. Ist das Product /: durch eine Function f theilbar,.die mit /, keinen Theiler gemeinsam hat, dann ist / durch. f theılbar. Ist f ein Vielfaches der beiden Functionen f; und f, die keinen gemeinsamen Theiler besitzen, dann ist f auch ein Nicltaches des Productes Au . $ 69. Jede Funection f lässt sich auf wesentlich nur eine einzige Art in ein Product von irreductiblen Factoren zerlegen. In der vorigen Vorlesung ist auseinandergesetzt worden, auf welche Art bei einer vorgelegten Function f entschieden werden kann, ob sie irreductibel ist, und wie man einen ihrer Factoren finden kann, falls sie reductibel ist. Im letzteren Falle erhält man also eine Zerlegung von f in Faetoren. Jeden derselben kann man in gleicher Weise wieder untersuchen und daher ebenso in Factoren zerlegen, falls er reductibel. sein sollte. Diese Operation muss nach einer endlichen Zahl von Untersuchungen ein Ende nehmen, da bei jeder Zerlegung 72 Sechste Vorlesung $ 69—71. die Gradzahlen der Factoren kleiner werden als die des Products, ohne doch gleich Null werden zu können. So kommt man also zu einer Zerlegung in irreduetible Faetoren f=f1f2fs‚ fu Gesetzt, man hätte auf irgend eine Art auch die Zerlegung % f= @1 O P D in irreductible Factoren erhalten, so würde der irreductible Factor &, das Product f ff und daher nach dem vorigen Paragraphen auch einen der Factoren fi, f, - fu theilen. Wir nehmen an, es sei dies f,. Dann ist die irreductible Funetion f} durch die irreductible Function , theilbar, und also muss fi= @, :C, Sein, wo c, eine Constante be- deutet. Somit erhält man CMa l Z Q und kann nun dieselben Schlüsse auf’s Neue durchführen. Es zeigt sich ebenso, dass %, bis auf einen constanten Factor etwa gleich f, ist, und daraus folgt dann GG fa fu= Pa Or, u. S, W. Sind auf einer Seite alle Funetionen in Wegfall gekommen, so können auch auf der anderen keine mehr vorhanden sein, und daraus folgt dann der ausgesprochene Satz; denn das Hinzutreten von constanten Factoren C,, C, zu den Dır Po, macht keine wesent- liche Aenderung in der Zerlegung aus. $ 70. Jetzt sind wir im Stande, die Untersuchungen über viel- fache Wurzeln der Gleichung f(z) = 0 mit einfachen Mitteln durch- zuführen. Wir suchen den grössten gemeinsamen Theiler der beiden Nach Funetionen f(2) und f’(z) auf. Derselbe möge fi(z) heissen. $ 36 Formel (2) und (3) enthält die Gleichung fi(2) = 0 jede m-fache Wurzel von f(gz)=0 in der Multiplicität (m — 1), die einfachen Wurzeln also gar nicht mehr; und ausserdem kann fi(z)= 0 auch keine weiteren Wurzeln enthalten, da ja eine jede auch zu f(z) = 0 und f'(z)= 0 als gemeinsame Wurzel gehören würde. Fasst man daher sämmtliche Wurzelfactoren (z — 2x), die im f(z) mit der Multi- plieität m auftreten, in ein Product Z zusammen, dann wird f(2)= Z (12) und m— 1 (183) O m Mit fi(e) verfährt man nun genau so, wie mit f(g); der grösste ge- meinsame Theiler von f; und f sei fz(#). Dann wird Grösster gemeinsamer Theiler. Vielfache Wurzeln — © (1 MO Za u..s. £. Hs Hiefert daher, wıe (12) und (13) zeıgen, KCEE f (@) AL alle Wurzeln von f(2)= 0, und zwar eine jede nur als einfache Wurzel; ferner, wie die Hinzunahme von (14) lehrt, OC f @ alle und nur die Wurzeln von f(g)= 0, welche einfach auftreten; ebenso A0 _ Z Z f @' alle und nur die Wurzeln von f(z2) = 0, welche zweifach auftreten u. s. f. Die Auflösung einer Gleichung mit vielfachen Wurzeln kann also durch einfache Divisionen auf die Auflösung einer oder mehrerer Gleichungen reducırt werden, welche nur einfache Wurzeln besıtzen und Theiler der vorgelegten Gleichung sind. $ 71. Zum Schlusse dieser Vorlesung wollen wir noch eine An- wendung der in den ersten Paragraphen besprochenen Aufsuchung des grössten gemeinsamen Theilers auf die Zerlegung einer rationalen ge- brochenen Funetion in Partialbrüche machen. Es sei h (z) k (z) ein Bruch, dessen Nenner das Producet von zwei zu einander theiler- fremden Funetionen k(e)=f(@) A@), [f] O, LAl = 2 ist; der Zähler hA(z) möge von niederem Grade sein, als der Nenner. Dann kann man nach der besprochenen Methode zwei Functionen ı und @ bestimmen, für welche W(2) A@) +n @ = 1, wI<n, [p] <n ist, und folglich wird ( ACNAE) + @@ LE)C) = R UVeberschreitet der Grad von &%-h den Grad von f, so können wir #@) -AC) @- aC) E 7@, <n r(@) A (?) + @@ + a@ACFE) = h(£) setzen, und weil ja Al n ] <n + nı 74 Sechste Vorlesung $ 71. Siebente Vorlesung 8& 72. ist, so muss hierbei auch r,(8) = p(e)h(e) + q(2)F.(e) von geringerem als dem 1,*" Grade sein; und also ist h(z) E r,(2), (15) OO F< DA al f (2)? Man hat sonach A(z):k(2) in ein Aggregafl zweier Brüche zer- legt, deren Nenner die zu einander theilerfremden Factoren f (z) und f(@?) von k(z), und deren Zähler von geringeren Graden als die Nenner sind. Es ist leicht einzusehen, dass eine solche Zerlegung eindeutig bestimmt ist. Ferner sei bemerkt, dass über die Realität der Coefficienten von / und f} nichts vorausgesetzt ist; unsere Methode ermöglicht daher die Zerlegung des Bruches h:% in Partialbrüche h (z) _ —_- t,(2) (16) k (z %, 2 3 ZÄ)'‚7‚’‚_> wenn, in ihre Linearfactoren aufgelöst, die Funetion k(2) = II(g — 21yr ıst Wenn ir ‚hierbei,nach S 19, (12°) (%) @& b(8) = ba (&) - 17 (2 — ı) + 2 (@ — 2)' + setzen, dann ergiebt sich die Formel 162) h(?) t‚_(z‚_) t;(z‚_) + DE /b( z f SE 1!(z—zl)mi»_l 9! (S A „2)7711——2 ) Jeder vorkommende Partialbruch hat als Zähler eine Constante. Die Formel (16®) ist, wie man sieht, eine Verallgemeinerung der in $ 39, (8) gegebenen Partialbruchzerlegung, bei welcher die Voraus- setzung gemacht worden war, dass jedes m, den Werth 1 besitze. Wir wollen zeigen, dass die damalige Bestimmung der Coeffi- cienten aus der jetzt gegebenen sich ergiebt. Der Voraussetzung nach ist hier /%(z) durch (z — 2,)”2 aber durch keine höhere Potenz dieses Wurzelfactors theilbar. Deshalb gilt die Entwickelung ($ 19) A (2) (’"Ä+ } (Zl) k(2) = A (2 — 21) + O rm ( A wobei der erste Coefficient nicht verschwindet, und es wird ı (4 m!lh (z‚__) k(z) ( On /5)_)'"Ä i. En k(m„ (ZÄ) S Reihenentwickelung einer rationalen Function. 75 Aus (16°) folgt daher, wenn man mit (2 — 2,)”2 multiphieirt und 2 = %, setzt, zufolge des eben erhaltenen Resultates: m‚! h(zQ 2 (Z‚1) — KD (3 Für m; = 1 kommt man demnach zu den früher gegebenen Werthen des $ 39 zurück. Siebente Vorlesung. Reihenentwickelung einer rationalen Funcetion. 8 7, Bei der Aufsuchung des grössten gemeinsamen Theilers zweier Funetionen f und f} haben wir in der Gleichung (3) von $ 62, nämlich in a y (1) M=2, l= » - m; ı]= m, [mı]= —n die Lösung der Aufgabe gefunden, zwei ganze Functionen F und ® so zu bestimmen, dass, wenn (2) AB fO=F gesetzt wird, die Summe der Gradzahlen (3) O Z wird. Dieser Bedingunä wird zunächst in der That durch die Funetionen %;, , genügt, da wegen n,41 > N« die Summe ı A M = N SE <n ist. Es folgt aber auch weiter, dass nur diese Funetionen &,, %, a den Forderungen genügen, sobald man von vorhandenen gemeinsamen Factoren der drei Ausdrücke F, &, W absieht. Denn wenn etwa WT Z wird, dann ergiebt sich aus (3) zunächst F]<r-n —1, und folglich bleibt in der Gleichung ( — LB der Grad der rechten Seite kleiner als n, während doch derjenige der linken Seite mindestens auf » steigt, falls die Klammer von Null verschieden ıst Demgemäss müssen beide Seiten verschwinden, 16 Siebente Vorlesung &$ 72—75 d. h. es wird B (4) (.D—(p/z ©] 0© JE aı Die hierbei auftretenden Verhältnisse wollen wir genauer untersuchen 808 Es sel unter der unwesentlichen Beschränkung dass NSı ÖO d8% O (5) fi@) = ba 6a n Nun entwickeln wir den Quotienten f,:f nach fallenden Potenzen der Variablen z in eine Reihe ( (z) (6) f() O aıa O a A A hierbei wird C„_12 " das- erste‘ nicht . verschwindende Glied sein Wir setzen die Entwickelung nach fallenden Potenzen übrigens nur so weit fort, als sie jeweils gebraucht wird, und fügen dann das Rest- glied hinzu Dadurch gehen wir der Frage nach Convergenz oder Divergenz, die bei einer unendlichen Reihe auftreten würde aus dem Wege Um die Aufgabe des vorigen Paragraphen zu lösen, nehmen wir V (2) = 098 + &, 1 + &12 + 0& (v <m), setzen dann fest, dass D(z) die in (P(2)f,(2)):f(2) enthaltene ganze Funetion seim soll und suchen weiter die x so zu bestimmen, dass die Function 21-J f1 — F bei der Entwickelung nach fallenden Potenzen von z erst mit 2-0+J oder einer noch späteren Potenz beginnt Denn dann ist wegen AL TE N DA die Forderung (3) erfüllt In (a + a 1ı + r) (a + G, ET ‘) stımmen die Glieder mit negativen Exponenten von 2 mit denjenigen der Entwickelung von /: f überein Folglich sind die Gleichungen ( O T T 6& =0, (7) c1 &, +CZC(‚__1+ +C„+1C(O———O Ü1—1“)+01051——] + +C21—l0(0'—0 zu erfüllen Zur Abkürzung setzen wir hier und im Folgenden (8) Co41 S | 40 (p,q=0,1,2 ) 77 Reihenentwicklung einer rationalen Function. und machen zunächst die Voraussetzung, dass 0, +0 sei. Dann wird bis auf einen constanten Facetor, der bei allen « gemeinsam auftritt, % Cr (9) und die gesuchte Funetion wird gleichfalls bis auf diesen Factor ©& C EL Il R Cy Z (9°) D — D = C © Cy C„+1 9 SC O $ 74. Durch (9®) wird dann sofort auch ©® und / bestimmt Aber schon hier kann sein, wie in $ 78 noch gezeigt werden soll. man beweisen, dass diese zusammengehörigen Functionen , ®, F keinen gemeinsamen Theiler, dessen Grad ın z höher Wäre nämlich als Null ist, besitzen. Y — 'lp(°) .u} GD OO0 IM 0O so würden ohne Aenderung der Grade der Functionen, der Gleichung (2) auch die Functionen On BO.w E @ genügen, sobald nur [u]= [v] ist. Dann wären also die x), &,, nicht ihren Verhältnissen nach eindeutig bestimmt; und dies könnte nur eintreten, wenn in (7) sämmtliche aus den c zu bildenden Deter- minanten der '° Ordnung verschwinden. Das widerspricht der ge- machten Voraussetzung U, + 0, und daher kann w nur eine Constante sein, wenn Y®, d®, FO relativ prım sind. Daraus folgt weiter: Hs können endeutige Lösungen (0) aur ün 2 M, ‚- bestehen, wenn dies die Ordnungszahlen derjenigen Determinanten der Reihe Cl7 O, Cr sind, welche von Null verschiedene Werthe haben. Bis auf constante Factoren stimmen daher D, 4 B, nı? U N3ı)? mit den in der yorigen Vorlesung durch Division gefundenen Functionen ı> , 5 überein. $ 75. Liegt der Grad v einer zu bestimmenden Funetion V, also zwischen zwei %,, so ist die Lösung der Aufgabe aus $& 72 nur in der Form D 0, 0 9.0, Hfn O möglich, wobei für die Gradzahlen die Gleichung 78 Siebente Vorlesung $ 75—77. [F] = [0] + [%:] = [0] + m =w gelten wird. Dabei muss gleichzeitig [F] 5 [®] + [fi+l] Ha [®] + WE U werden, und aus der Bedingung (3) folgt dann P O A Z 2[@] < (%1+1 Gr 121) — 1. Dies zeigt, dass 2 2 Er [F]=wv< ZH‘_123 ıst Ks giebt also nicht für jeden vorgeschriebenen Grad v eine Lösung der Aufgabe des $ 72, sondern nur für diejenigen Werthe von v, die entweder mit einem der n; zusammenfallen, oder die von dem nächstkleineren »; um weniger als die halbe Differenz ; ()Z‚1+1 — 722) entfernt sind. Die allgemeinste an Stelle von Yder Glezchunegi@) genügende Function v Grades ist hiernach eine beliebige D7 durch ® theilbare ganze Function, für welche der Grad des Quotienten kleiner als jeder der beiden Abstände der Zahl v von den beiden Grenzen (n; — 1) und nz41 ist, zwischen denen gie ıer Bei den Veränderungen, welche die Funetionen F erfahren, während die Zahl v nach einander die Werthe 1, 2, 3, ... durchläuft, markiren die Zahlen %, die Anfangspunkte der wesentlich verschiedenen Inter- valle. Für das ganze Intervall von v =n;, bis ’= nı+ı — 1 ist %, der grösste gemeinsame Theiler aller zugehörigen Funetionen; der andere Factor ist eine beliebige Funetion eines bestimmten Grades, der für v= n gleich Null ist, mit wachsendem v bis zur Mitte des Intervalls gleichmässig steigt, alsdann aber gleichmässig abnimmt und also am Ende des Intervalls bei v =Nı+1 —1 den Werth Null wiedererlangt*). $ 76. Wir wollen jetzt v =n”; annehmen und die @x aus (&) bestimmt denken. Die Gleichungen (7) können wir als Recursions- formeln für die c auffassen. Ist ı41 >nı + 1, dann reicht die Gül- tigkeit derselben noch weiter. Nur um den Beweis einfacher zu schreiben, wollen wir das an einem Beispiele zeigen, durch welches aber der allgemeine Satz augenscheinlich wird. Es sei © *) Kronecker: Elimination ei-ner Variablen aus zwei algebraischen Gleichungen, Berl, Ber. 1881. Juni. Reihenentwickelung einer rationalen Function. © C902 A 610y - Ca &o 0 7 C& C 2 ’ (& + ©)6 0y Ar C0 A &c - 0r 06 wir setzen 0209 F 030y A Ca%g —. Y4) C302 { C1%, F 6500 = V67 Ist auch © — 00 Koler ©& C C | C Cı C (64 0056 —— CCC © 2 —_ 0, 0 Ca C3 Cy 00777 é"‘=’}"4 | so dass y = 0 wird. Ist weiter auch C, = 0, danmn folgt ebenso | | 6 G G C | äc„ CCC SC 265 Cy C Ca C3 Cr [24 N 7)2 CZ 0, LO CO 000 1C3 C4 05 C6 | OO?J?() i\ so/ dass 7 = 0 wand: Ist dagegen jetzt C +0, so erkennt man ebenso, dass v; von Null verschieden sein muss. So haben wir den Satz bewiesen: IS u SO gieht es genau (nz+1 — 1) Gleichungen (7*) Yo+rr=C 0 v F C410 —1 F Co+r00=0 (0=0, 1, - (Mm41—2)), bei denen die w die Coefficienten yon W(e) = P()= 4 Ea ı. Fa, (&g + 0) Sınmd. Wermittels dıeser Kecursıonstormeln (*) Können 0, Cnz 419 Cnı na 32 BUS Co, Cr 4C 27 berechnet werden: on einer gewissen unteren Grenze an, die durch das höchste n, bestimmt wird, gilt die Recursionsreihe beliebig weit. Die oben angewendete Determinantenumformung zeigt zugleich 2 da ja Cn =+0, Cn N +0 ist, während die zwischenliegenden , ver- schwinden, dass M ( —1) (10) U © C pl — G Y VE s wird. Durch (9) ergiebt sich hieraus D ‚EBn E 0 0O U %A 7L)+ B n;_+l+n;_—l (u= nı+1 — N)- 8 77 Die Resultate aus $ 75 sind nicht direct aus dem vor- gelegten Gleichungssysteme (7) abgeleitet. Nach den Betrachtungen über die Gültigkeit der Recursionsformeln ist es aber leicht, diese Lücke auszufüllen. Wir wollen dies an dem folgenden Beispiele 80 Siebente Vorlesung 8 77. blicken zu lassen. zeigen, welches allgemein genug ist, um den allgemeinen Fall über- Es sei C +0, C O CG=O; A OD Dann kann man nach dem vorigen Paragraphen die Gleichungen U OO U= 0 A OO OD = 0, Q OD a O, Q Sr 0S E, (w 4 0) E r O0 SE E= 0 C GU HUU =Z0 befriedigen, und dabei wird unter Beibehaltung der Bezeichnung 7, 7, D O A OD Z E KEs sei v = 5 vorgelegt; dann wäre (vgl. (7)) das Gleichungssystem zu lösen Q n A G a A O, G 05 7 6a04 P{ C305 - Cı% F 0 + G = 0, Ca fn C504 A C403 A 0502 { 060 F 0, = 0, Cg 5 A C404 A 650g - C6& + Cr F CX = 0, C{ 05 { C504 A 060e I O70n A 650 F 00 = 0! Multiplicirt man jede der drei letzten Gleichungen mit w und addırt jedesmal die vorhergehende mit v und die zweitvorhergehende mit w multiplieirte dazu, so wird die umgewandelte dritte der Gleich- ungen identisch erfüllt; die vierte geht in v;«,= 0, und die letzte in 75& + 79% = 0 über. Aus diesen Resultaten folgt xn = 0, «x, =0, und so erkennen wir, dass eine Function fünften Grades, die der Auf- gabe genügt, nicht besteht; es tritt für sie, wie dies in $ 75 gezeigt wurde, eine Funetion dritten Grades ein, für welche die Forderungen Cods Ar C1%4 T Ca&g F @; = 0, C, &5 F C204 + 030g F C4&a = 0 zu erfüllen sind. Es folgt aus den Gleichungen, durch welche w, v ? u definirt werden, für ganz willkürliche p, q ( + 60 + @wW)g + (6,u + @v + w)p= 0, (c,uU + 60 + 06W)qg + (@uU + @V + 4w)p=0, Ö0 a co(ug) + c (vg + up) + @ (wg A vp) + 6 (wp) = 0, c(u9) + 609 + up) + 6 (wg + vp) + a (wp) = 0, und also wird ganz allgemein, da die nothwendige Zahl der willkürlichen Constanten vorhanden ist, O & = WG + vp, &, = 0g + up, d =UG; D — wpe? + (wg + vp)& + (vg + up)z + ug = (p2 + g) (w#* + v2 + u). Reihenentwickelung einer rationalen Function. 81 Dies stimmt mit den Sätzen des $ 75 überein, da ja der Factor zweiten Grades das zu v =2 gehörige F ist. Man sieht, dass unsere Ueberlegungen im allgemeinen Falle gar keine Aenderungen fordern, und so haben wir auch auf direetem Wege die früheren Resultate wieder hergeleitet. $ 78. Für Y hatten wir die Lösung / OO 2 (9*) P=aU +a 7i F &y =— OO gefunden. Es könnte rechts noch ein beliebiger constanter Factor an- gefügt werden. Das zugehörige ©& wird von hier aus durch die Be- merkung bestimmt, dass I ( —DA a ( e f & n enthalten darf. Somit ist nur negative Potenzen von B = A e + n) ( F a) F F pı Co, und man bekommt D aus , wenn man in der Gleichung (9°) 7, Z “ a v«l) Z, 1 durch die hier auftretenden Factoren von &,, &,, Xy:—1, &, entsprechend ersetzt. KEs ıst demnach (12a) D= ] Cay Ca-+17 Z TE @012270 Man erkennt ohne Weiteres die folgenden Umformungen von (9*) und (12*), die auf den einfachsten Determinantensätzen beruhen, ©) UD — | 26p-+9 — Gp+a+ 1 (p7 dı—= O; 17 An (” 7Er 1)); C Cy= i D ] © BCy Cr CC 12° Cl D OcE y Aus diesen Gleichungen erhalten wir wegen Vf, — Of — F die Darstellung fı ( Cy—1 | _F= cof 2697 Cr OE C \ (1 ) cv—1f Blg Z ZCh GCay—2 — Cay—ı Für F werden wir noch einen anderen Ausdruck herleiten, um bequem das höchste Glied dieser Funetion bestimmen zu können. Dabei wollen wir die Bezeichnung aus (7%), nämlich y9+1’ Er CQ“V + Cg—l—l“r—1_ + RA + Cg+vao Netto, Algebra. I. 82 Siebente Vorlesung &8 78, benutzen und stellen, wieder durch die Vergleichung mit (9*), die Determinantenform der / fest: D Cy—1 C f C C C, Coabi ( VE | Cy Cy+1 Cay—ı Cy+v \ Vom Ausdrucke (11) wissen wir, dass er lediglich Glieder mit negativen Kxponenten von z enthält. Diese liefern zusammengefasst 00 1, 25—9_1(“v00 - @— 16041 47 A A900+4+9) =22_9—19’@+1' @=0y1... > —— < a—0o0—1 Z Yo+v OC ), ( weil ja nach $ 76 die Gleichungen er 07 M i O; 7‚/+„;_+1—2 =0 (v=n) gelten. Wenn wir der bequemeren Schreibart wegen — — Nı = V, Nı+1 1}/ setzen, dann wird sonach der Complex negativer Potenzen in (11) gleich Z V S 7=0,1,--- Nı s CD ij‘— — ®), und, also, falls man (5) /'= d0;’3" + alzn—l + a22n—2 _+_ 4 d schreibt, J= f n 7=0,1,-- — Yrk wla + ( Zn—r’——l + A d (18°) T o (a02"_' —1 + @ Zn—r'—2 + + afn—v’—l) + Maa (aozn———r'—-2+ ap„:n—i"—3 + . n + yl 7'—2(.“02.""‘al)T + ?’l.t+1'-—l.' a0 Die einzelnen Klammern brauchten hier nicht weiter fortgesetzt zu werden, da Ja doch / keine negatıyen Potenzen von z enthält. Die Function X# steigt bıs zum Grade (n — nı+ı) auf, und ihr höchster Coefficient ıst ] | C CnÄ—l CRa (14) ] | I a()?’n;_-{—«nx_,_l——l Z& Cnz C2n;_—1 C"Ä+"Ä+l_l ‘ Reihenentwickelung einer rationalen Funetion. 83 Die Function / selbst hat die Form (1 C CO f((l) DE S (8) = © —Y cnz cn;_—‘‚—l Canz—1 Z©z,fi—e—l F© wobei die @© durch die Gleichungen CZ UE An—0 definirt werden. Dies Letzte ergiebt sich sofort, wenn man die Determinanten (7”) in die Form (13*) von / einträgt. Die drei Funetionen F, D, F unterscheiden sich von U, Or, f1+ 1 nur durch constante Factoren, so dass man w,C, == G),1W, (D CV7L)_ =CÜ)„®; f}.+lcvnl = @,F, =m;.+xF, 1P2+107z;_+1= ml+l.llj‘/; @1+10n;_+1 —— ml+l®’‚ fÄ+2O A setzen kann, wobei , ... die entsprechend für v = ı.11 gebildeten Functionen sind. Man hat demnach Har Oaı O © nı 1 = @©7 601+1F7:p,. Nach $ 66 ist der höchste Coefficient von fz4ıw241 gleich demjenigen von /, also gleich a,, und danach erhält man aus der letzten Gleichung durch Gleichsetzung der höchsten Coefficienten rechts und links unter Berücksichtigung von (14) und (9) (ln Ca Ul AAn O m?.+l”o?nz+n;_+l—l ı1 und A A O HE = Ynz inı nı | O“ U=0, 11 (15) C h_ | O || ’Ä=O‚ 1‚-'-’}’l‚1—1‚71;_+1-—-1 ( k=0,1,-.. m; >. Nimmt man hierzu den aus %, C,, = w‚ zu erschliessenden Werth von w,, dann lassen sich durch (15) die @ der Reihe nach bestimmen. Aus w,C., = w, F geht zunächst hervor, dass @, gleich dem höchsten Coefficienten von &, d. h. nach $ 62, (5) gleich dem von 9ı und also bei (5) f] (Z) P b02"_"1 + b12"—"1_1 + A + b„_„l gleich (ay:&9) ist. Damit haben wir die geforderte Bestimmung durch OS Ö Vollendet. 6* 84 Siebente Vorlesung $ 79. $ 79. Nach den abgeleiteten Resultaten erscheint ‚es wünschens- werth, zunächst die expliciten Ausdrücke der c, durch die @, und dıe D, und' dann die expliciten Ausdrücke der %, ®, F gleichfalls durch die a, und die b, herzustellen. Wir setzen zu dem Zwecke vorübergehend (Co0m {Ar A G na () B Ba so dass zwischen den ß und den Coefficienten b _von f, die Beziehungen bestehen, dass Ö ß’h) bn——7zl E ß11——1 wird, während man gleichzeitig 0 ß1=0‚ 3 0 hat Vermöge der Definition der ß folgt (16) UE R OD (az=0 für 1>n; b.=0 für u <0 und u > n — nj). Die leicht zu berechnenden Anfangswerthe für die ß, geben ! ( Al la | &o Cr ! AAy = ßo, Ag C ? 96 =|0 An 4 |; 4 BB fßo Bı Ba man erkennt durch strenge Induction, wenn man die Determinante nach den Elementen der letzten Spalte entwickelt, Ay dr Av | 0 Q Auı (17) ar = H B Bı ß | und daraus, indem man von den ß zu den Ö zuriiékgeht‚ Ay Ar Ay-+1—n, 0Q Qnr (17°) 0 O O7 —"1+2c S l A, 00 bv—l—l--—nj Hiermit wäre der ersten Forderung genügt. — Um die Determinanten für %, &, F umzuwandeln, verfahren wir folgendermassen: Aus (9*) erhält man unter Berücksichtigung von (16) Reihenentwickelung einer rationalen Function. 85 1/(v-hl) G a = Cy Cr+ % ( a21/ ( Z 1 G C — 0 AAy A, A A2v—1 Oi | l1 o ı A 0 © @ O, 2 0 .0 Ö Ol 1 0 A9 @OO Cy—1 Cy Cay—1 Z‘ 00 o D Av— 1 00 C CZ Cavy—2 000 ©& Cy—1 @ A, A Azv— 1 O Z a2r—nl O A2v—2 0 LO G a21'——1„—1 O | 000 AAy © n AAy 360 Da 5050 b2v—n‚ —1 /0 ßo ßl ß2v——2 Zv_1 O b11—m—1 ; 000 ßl‘—l Il 100 Dn und gelangt daher zu v(v—+1) OC (L(2’1'—n.1+1 z Q A27 S 0 &% )1—111——10 (v-+1-—n, Zeilen) 47 } / b21 —O Z O0 b2v—nz 1G pvy— 1 4 | (v + 1 Zeilen); Oynı ' ebenso ergiebt sich v(v—1) 9 ( D “ ‘a%"_"l+l(l):_—_ C A2 Y—nı Z V—n, DV Nı 1 0 a21——n1 S (v + 1—'n1 Zeilen) 0 AAy z b21—11l ä0 b21—n,—10 | (v-+1 Zeilen). | 010 v—n, 86 Siebente Vorlesung 8& 79. Achte Vorlesung $ 80—81. Durch Combination von (18) und (19) erhalten wir nach (2) r(v-+1) 2 (20) C0 aM Fa a A3vy—n Vr f DV 2ı 0 % 021—nl zr O l (v+1—n, Zeilen) Ar O , b21’-——)11 Z‘I . 06 O M ] . . } l(1/ +1 Zeilen), 10.0 D D und aus (18), da der Coefficient von z” in %F wegen (9) gleich C, ist, v(v—1) (21) (—1) 2 a ua = aa a2r—n‚—l ] 0 a21'—;„——2 1 | ‚ (v—n, Zeilen) Q il ‘ b21'—m—1 ‘ i , b2i‘—ni—z | l (v Zeilen). 00 ll}r— Nı In den Formeln der beiden letzten Seiten ist jedes @, dessen Index grösser wird als » und jedes b, dessen Index grösser wird als (n—n), durch Null zu ersetzen. Achte Vorlesung. Recurrirende Reihen. $ 80. Für die in der vorigen Vorlesung behandelte Reihe (1) er aar + Qr teı +Fagt7ıhzıt... haben wir in $ 76, (7°) abbrechende Recursionsformeln zwischen den Coefficienten und in $ 79, (16) eine bis ins Unendliche hin gültige Recursionsformel @2) AyCa 4in x Anı E a = 0 (”=O; ]72; ) kennen gelernt. Besteht für eine Reihe von der Form (1) eine solche Formel (2), so wird diese unendliche Reihe als eine recurrirende Reihe bezeichnet. Wir wollen diese Art von unendlichen Reihen jetzt betrachten und zunächst voraussetzen, dass wir nur solche Werthe für die Variable z annehmen, für welche die Reihen convergiren; Recurrirende Reihen 87 über den Bereich der Convergenz werden wır bald ıns Klare kommen Wir hätten, wie bisher, so auch hier nur endliche Reihen nebst ıhrem Restgliede zu untersuchen brauchen, allein die Bequemlichkeit der Dar stellung ist für die unendlich ausgedehnten Reihen grösser Es sei also die unendliche Reihe, welche nach absteigenden Po- tenzen von Z fortschreitet, (3) @(@)= dAk‚ä'1 + @e L+1Zk d da dr AF d © A so beschaffen, dass für jedes «, welches grösser als die feste Zahl m ist, die lineare homogene Gleichung (4) daQ A da 19ı F da —292 A A da=ndn 0 C In +0) zwischen den (n + 1) auf einander folgenden Coefficienten dy, de—ı, dx—n gilt, ıin welcher die q constante Werthe besıtzen Für x= m soll die Gleichung noch nicht gelten Unter diesen Voraussetzungen heisst die Reihe (3) eine recurrırende Reihe n Ordnung Wenn wir nun @(z) mit der ganzen Function n'°" Grades (5) h(2) = y A H E In 18 + GQn multipliciren, so ergiebt sich das Product @(e) h(e) = (daQ + da—19ı F + dcr—n9n) a=-—k, —k+1 worin alle d, deren Index negativ und kleiner als (—k%) ist, gleich Null gesetzt werden müssen Infolge unserer Voraussetzung über die Gültigkeit von (4) wird diese Summe mit dem Gliede z”-" abbrechen wır können setzen m (6) w(e).h(e)=& * L L e — LA m (€ m+ + e zm+k——l + +€m+x) Z (?) und erhalten also 7l 771 (2) d g.(2) (7) D(Ö)= h (z) Z z "h( ) d. h. jede recurrirende Reihe n Ordnung stimmt mit der Entwickelung eines rationalen Bruches nach fallenden Po- tenzen der Variablen überein. Dabei ist der Nenner (bis auf eine bei n <m auftretende Potenz 2"— ”) eine ganze Function n Grades, die für z= 0 nicht verschwindet. $ 81 Wird umgekehrt eine ganz allgemeine, rationale Func- tıon von Z 91 (2) 0 007 0) ” - B() 88 Achte Vorlesung 8 81—83, nach fallenden Potenzen der Variablen in eine Reihe entwickelt Z ON E EL S zln O und nehmen wir an, h(g2) besitze die Form (5) und g,(z) sei vom Grade , so muss das Product (ä—l.—;’k A Z ön + Ö‘1 278 + )ZI ((I()zn+91z7l—l + + ÜLE an eine ganze Function vom Grade £ werden, und also erstens 4 +r +n=t und zweitens Ö\cr']() + öu—l._([1 + öa—292 + Bn + öa——nqn =0 für alle Werthe a«=n+r+M1, n+r+2, n+r+3, sein. Entwickelt man also eine gebrochene rationale Func- tion, deren Nenner bis auf eine Potenz z gleich einer für 2=0 nicht verschwindenden Funetion n“ Grades s nach abnehmenden Potenzen der Variablen, so entsteht eine re- currirende Reihe n Ordnung. $ 82. Die Existenz einer Recursionsformel (4) schliesst die von anderen Recursionsformeln für dieselbe Reihe (3) nicht aus. In der That, da ja mit g.(@) g(2) 0 @) @ (g) = auch _ o()= AA h (2) u(?) O(z) ist, wobei wir unter @(z) eine beliebige ganze Funetion irgend welchen Grades @(5) = z U’()Zr + Pn + P") (p + 0) verstehen, so gelten neben (4) auch Recursionsformeln (v + n)* Ord- nung von der Gestalt d“° (2%’]0) + d“—‘1 (I)OQ1 + 2)1 QO) + D + da—u——r+l (Pr—lQn. +PML;—1) + drx——n——v 4 (P1/Q7L) 0 Ist (4) die Recursionsformel niedrigster Ordnung für (3), so kann der Bruch, dessen Entwickelung (3) liefert, @) (7) O(£) — Z} abgesehen von Potenzen D Dr der Variablen, nicht gehoben werden. Denn nach den eben auseinandergesetzten Eigenschaften re- currirender Reihen würde dem gekürzten Bruche eine Recursionsformel von noch niederer Ordnung zukommen. &.88 Damit die erste der Formeln (4), nämlich. die für « = (m + 1), also dm+lQo + qul + + d7n+1——ern= 0 auch die Anfangsglieder der Reihe (3) also jedenfalls d_, umfasse, Recurrirende Reihen 89 muss (m +1—n)< — k, (m + k) < (n — 1), und also, wie man abgesehen aus (6) ersieht, der Zähler des zu entwickelnden Bruches von einer Potenz 7/”, von geringerem Grade als der Nenner sein und das reicht auch dafür aus Bei der Entwickelung eines Bruches, beı dem der Grad des Nenners um eins grösser ist, als der des Zählers C(} +e?77‚—2+ +„ 1 (8) V 1 d 27 + dee7s + gilt demnach die Reihe der Gleichungen dn-|—190 + d dı + darı9 F + dm= 0 dn-2390 F An-aQı F dnQ + dgn =0 beliebig weit, und folglich werden aus der Determinantenreihe d d d d 1d2 (9) |dy ] de d dil LOa ü d d alle auf dr (10) 1dd \ da dnı d2n——- il folgenden verschwinden Denn es sind ja alle | de do+1 da-|-n—l [ (a Fa h1; hz; 0 mit beliebigen %,, ı,, gleich Null, und daraus folgt die Richtigkeit der Behauptung Dieser Satz bleibt auch dann bestehen, wenn einige der ersten e etwa &, €,, c, verschwinden Wenn umgekehrt bei der Entwickelung CO e von den Determinanten der Reihe (9) alle auf RE 1 dh dh+l dh+m——l ] e 12 m) folgenden glemh Null werden, während D, selbst noch nicht gleich Null ist, dann ist die Reihe recurrirend von der m*en Ordnung und gleich einer gebrochenen Funetion, deren Nenner vom Grade m ist, und die sich nicht weiter heben lässt. Denn in der That folgt aus dm \ d, ‚d dm+l — Wa © 0, I d2 m—1 ‘ dm+l d2m+l dass das Gleichungssystem dlzxm + dh 1%m —1 + + dh+mx() =0 z m - 1 90 Achte Vorlesung 8 83—85, von gemeinsamen Factoren aller x abgesehen ein einziges Lösungs- system m } m— 1 W m. Qm— 1 % (qo + O) besitzt, so dass also D d27rz+lQo + d2mgl + W + .dm+1 m :.O wird. Aus dem Verschwinden der nächsten Determinante in (9) folgt dann, wenn man (.]2 "7'.+ 2.QO + .d2 lli+ 1.(l1 + .' S ; + dm_+ 2.9m .: .Ö\2 1'n +i2 setzt, genau wie im $ 76, dass / d dm +2 dr d7ll 78 dm—f— 1 drn+ 2 == [ 2m+2 Dm dm +2 vA d‘2m+3 | d7ll d2 m— 1 d?m‚ do m +A1 0 0 0 ö2 m+ . ‘ O 0 öl m+2 62 m+3 Die Recursionsformel und also auch 02„+2 verschwindet, u. s. w gilt demnach ganz allgemein, und folglich nach $ 80 die Darstellung von @(z) als gebrochene Funetion. Wir können somit den Satz aus- sprechen: Wenn in der Entwickelung von (8) für die Coeffi- cienten von w(z) alle auf dIIL * 5 PF DI/L (m <n) 1 ! 3 (%m d2m—l folgenden Determinanten der Reihe(9) verschwinden, während Da von Null verschieden ist, dann haben Zähler und Nenner von (8) einen Factor vom Grade (n — m) gemeinsam, aber keinen von höherem Grade. $ 84. Dies Resultat können wir auf unsere in $ 74 aufgestellte Kehe O CC b iln | | © @C6 [& Q O ’ C6 C C Ca C3 Cr anwenden. Da hier / @) O O an OC G wobei der Nenner vom Grade » und der Zähler vom Grade n — 1nı <n ist, so muss in der Reihe der Determinanten jedenfalls Recurrirende Reihen. Ol ( C„+1=O‚ Cn-|—2=O; Z sein, wie aus $ 81 folgt. Die charakteristischen Bedingungen dafür, dass f(z) und fi(z) als grössten gemeinsamen Theiler eine Function v“ Grades besitzen, sind (/171+1——1/ Z O; Cn+2—-—v Sn 0) y= $ 85. Die einfachste recurrirende Reihe entsteht bei der Ent- wickelung von Diese heisst die geometrische Reibe; a 1+T„ sie hat die Form 1 A, 1 3 a + ar CZ A a Cn a e und convergirt für alle Werthe von z, für welche man hat Q 12|> al C d. h. für alle Werthe von z, deren absoluter Betrag grösser ist als derjenige der Wurzel von Wn ra — Hieraus folgt, wenn man unseren Bruch in die m*® Potenz erhebt und dann mit einer ganzen Function multiplieirt, dass auch die Ent- wickelungen der Brüche 1 P (z) (ap 8 - ay)” } (a Z + au)” nach abnehmenden Potenzen von Z für denselben Werthbereich con- vergiren, wenn m eine beliebige ganze, positive Zahl bedeutet. Setzen wir nun allgemein MOS ET O h(£) = (@ — a“ (& — Ba } (5 '_Z")m"; (Xm — ») und nach $ 71, (16) g (@) O, (2) h(@) Z r Za)m“ U 27 dann können wir aus den eben erhaltenen Resultaten schliessen, dass die Entwickelung nach abnehmenden Potenzen von C D für alle Werthe z convergirt, deren absoluter Betrag die absoluten Beträge aller Wurzeln von @ = 0 über- en 92 Achte Vorlesung $& 86—87 S 86 Ist, nach fallenden Potenzen von z D entwickelt g (2) h (z) D d A E dg e y (2) S n( 2) E NN ? g (2) n(%) + y (?) 7 (z) a h(2) n(£) D D ED wobei g und A, y und n keinen gemeinsamen Theiler haben sollen, dann bilden die Coeffieienten d eine recurrirende Reihe [A]t° Ordnung Öa ” ” ” L„,7 [t81 2 DE Z ” ” 7 [2] + [nl 22 Addirt man die entsprechenden Glieder d, und Öx (oder auch allgemeiner d und 0„,+x% bei festem Index %) zweier recur- rirender Reihen, so bilden die entstehenden Summen eine neue recurrırende Reihe, deren Ordnung im Allgemeinen gleich der Summe der Ordnungen der beiden ersten ist Wenn umgekehrt eine recurrirende Reihe B E DD ED u< SC + der Entwickelung einer Funetion entstammt deren Nenner das Pro- duct zweier rationalen Funetionen A(z) und n(z) ist, die zu einander theilerfremd ist, dann kann die recurrirende Reihe als Summe zweier anderen. aufgefasst werden, deren Recursionsgesetze von hı(z) bez. von (z) abhängen &$ 87 Wir wollen jetzt, im Anschlusse an die Formel (4), nach der Darstellung der d„ durch d,, A fragen Der bequemeren Bezeichnung halber schreiben wir aber in dieser Recursionsformel Q = — 1 und nehmen also (4 ) da = O + da—z_(l) + + da—«nQ:z C Z n ) Hieraus erhält man der Reihe nach die Ausdrücke d — An— 1Qı Fı dn— 292 F Hd 04n > (12)d + = dn (Q1 H d2) + dn 2(!ll o Q) 4 SA ( Oa) A l d„+z—d„_1(ql +2qlqz+qg)+d —2(91 qz+qlq3+qg +q‚)+ und kann allgemem bezewhnen (13) (7;—d Q(n——-l) + d QeD A + d @O Die zu lösende Aufgabe besteht in der Berechnung der Grössen Q ® o Recurrirende Reihen © I Setzt man in der ersten Gleichung von (12) d, = 1 und’alle anderen e dn—1 gleich. 0, so erhalt E d E Oa = Q@; dann folgt bei dmselben Annahme über die Anfangsglieder aus der zweiten Gleichung von (12) OE E Q (A) 17 aus der dritten dp+2= Q (2) ( sınd also auch n + 27 u. s. w. Die Grössen Q der Formelreihe (4*) unterworfen Soeben sahen wir dabei, dass zuerst für die Anfangsglieder die Gleichungsreihe Q (A Cr Qn—h ’ Q(h * QI Q(h + Qn+1—h, (%) d Q(/») __91Q n+1 A O E d a (/1 Q n+h Ar 91 7‚+h_1 + Q2 Q n+h—2 (4) + + In Q A Gn und von nun ab die Formel (4°) in der Gestalt (15) Q n+k () —91Q n+k—1 h) L E (k>h) gilt, wobei jetzt alle q„, deren Index 2 grösser als x ist, gleich Null gesetzt werden müssen Um die Q zu bestimmen, setzen wir die Borchardt’sche er- zeugende Idunct10n an / (w) @40 (X) n+1 u + QW_ . u? + dann folgt unter Benutzung der eben aufgestellten Recursionsformeln (14) und (15 (A) (wW) (L — qı — qyU? — — AIn un) L Q(h) + (Q n+1 — q Q0)u + Q — UQ — A QOWA (A) h) © n-+h _91Q n-+h—1 — G Q(h)) ul e E S Ol und also die Darstellung W + qn+l—h“ + qn—l—2—h“ + + q W © l —00 = B ...._qn Hieraus erkennt man ähnlich wie oben; vel. auch S 89, dass die bisherige formale Ableitung auch für einen gewissen Werthebereich des w wirklich convergirt. Es kommt noch darauf an, die jetzt gefundene Form für f (w) in eine nach wachsenden Potenzen von w fortschreitende Reihe zu ent- wickeln. Der Coefficient von u“ in dieser Reihe liefert dann die Grösse QW Da aber nach dem polynomischen Lehrsatze 94 Achte Vorlesung $ 87—89 As 8 — z U — _q„u‚ 2+ +P)' _1+2(1)1+.p 2 q qB2 + qn Pı Y VE ist, wobei die Summe über Null und alle p051t1ve11 Werthe von ,, V erstreckt werden muss, für welche p, + p + - O S0 , so gewinnt man das Resultat 6 © (4) n-+k Iı D + mpıa D —DA +n — Dabei bedeutet E © Z und E (k) wird für jedes positive ganze X durch p1 +m_+ +p X M O Yı Dalse P q]’1 qP ö gen, (Dı 20 + nDn=k) definirt Die Formel (16) g gestaltet sich im Falle }A = 0 besonders einfach, nämlich (18) Q n+k => In D' (). aus $ 88. Geht man bei der Iterirung von d, = dr_19, + so erhält man (19) de+1 Q (n — D drl—1 + Q n—")d Z K S wählt man dagegen d,+1 = d, Qı * da 1Q + zum Ausgangspunkte so findet man a OD O i + QO-d (20) on Q(n_l)(% "—1+Q2 dn—2+ + Gn 0)+ Q a 1+ + Q<O) d, s (Q(n——l) 91 Q(n—")) dn—1 + (Q(n—l @0 Ya a und die Vergleichung der beiden Ausdrücke (19) und (20) Lefert uns dann (n—1) — k 1 Q(n 1) gı + Q("_°)‚ Q(fl—2) — Q(n—l) d + Q(fl—3) (21) Q(U) A Q(n—l) Q Das letzte Resultat giebt durch Zusammenstellung mit (18) (22) DE, und daher ist, wenn man in (16) für % den Werth (% — 1) setzt (23)2(1» +1D)= %ZU») + 92Z(7° E E g„2(l„ AB Aus (21) entnehmen wir ferner der Reihe nach die Werthe für die Q mit abnehmenden oberen Indices, indem wir dabei (22) als Ausgangs- formel benutzen Recurrirende Reihen. - C &E Q ( 9 QP= YO+Y-aX@+2) Z q > +_1>.‚ Die letztéan .Fo.rm.eln. li.efe.rn‘fü;‘ äie .Be;rec;hn.ung d.er‘Qg".'> mit hohem oberen Index bequemere Methoden als die Formeln (16). Aus (23) kann man noch den Determinantensatz —1 2(k — n) ! . @ =— == 0 (k> 2n) S0 ablesen. (23) zeigt offenbar, dass auch die durch (17) definirten E (k) einer recurrirenden Reihe angehören. Die hier soeben behandelte Aufgabe ist uns in anderer Form schon früher begegnet. Aus dem Umstande, dass x, eine Wurzel der Gleichung a — Oa a n E =0 ist, folgt nach einander m AT O W = @- T O a Ca } Ü ( Q a — ( O0 O E ? und die Coefficienten der Potenzen @"—1, am—?, auf der rechten Seite folgen einem ähnlichen Bildungsgesetze wie die Coefficienten im (13). Die Aenderung, der wir die aus den qg gebildeten Coeffi- cienten unterwerfen müssen, um auf die aus den c gebildeten zu kommen, beruht nur darin, dass alle Glieder, deren Factorenzahl gerade ist, das entgegengesetzte Vorzeichen von denjenigen erhalten, deren Factorenanzahl ungerade ist. (VellL S 10L) $ 89. Setzen wir in den Betrachtungen der Paragraphen S0—86 E& für z en so Jassenm sıch alle unsere Resultate sofornt auf Reihen ausdehnen, die statt nach fallenden nach steigenden Potenzen von €& fortschreiten. Die Werthe, für welche hier Convergenz eintritt, sind die, deren absoluter Betrag kleiner ist, als die absoluten Beträge sämmtlicher Wurzelpunkte des Nenners; kommen negative Potenzen von 5& in endlicher Anzahl vor, SO muss man natürlich von dem Werthe £= 0 Abstand nehmen. Die Betrachtungen des Paragraphen 87 haben übrigens bereits auf derartige Reihen geführt, als es sich um die Aufstellung der erzeugenden Function f(w) handelte. Vgl. auch die Anmerkung auf S. 2. 3A 96 Neunte Vorlesung $ 90—91. Neunte Vorlesung. Die symmetrischen Functionen. Bedeuten z 8 90. 17 %97 Zn Willkürliche Grössen, und setzen wir @ (Z—Zl)(z_z-z)' (Z _2„) RN OEn CIZ7L—I _+_ CgZ7Z_2 OE dann charakterisiren sich die 2; als Wurzeln und die c als Coeffi- cienten der Gleichung (2) f@= Zn E C L =0. D D Durch die Gleichsetzung der Potenzen von mit gleichen Exponenten links und rechts in der Gleichung (1) ergiebt sich z + +"'+ZVL—I+Z/L cl7 E An C (3) R1 898g + Y + Bn—2 En —1 Zn Ca — Ba Bn Cn ’ und dadurch wird der Zusammenhang zwischen den Coefficienten und den Wurzeln jeder algebraischen Gleichung (2) vermittelt, bei der die höchste Potenz des Gleichungspolynoms 1 als Coefficienten hat. Wüäre das nicht der Fall, und hiesse das erste Glied c,z", so müssten die rechten Seiten in (3) noch sämmtlich durch c, dividirt werden. Kine wichtige Kigenschaft der Functionen auf den linken Seiten in (3) beruht darin, dass sie sich nicht ändern, wenn man die z2,, n beliebig iıhre Plätze tauschen lässt, oder mit anderen Worten, wenn man an Stelle der Indices 1, 2, ...n eine beliebige Permutation der- selben hinschreibt. Nennen wir den Uebergang von einer solchen Anordnung der 2,, %, E& 2 „ Zzu irgend einer anderen eine Substitu- tion, / und eine Kunectronk der 2n 1, 2„, welche bei jeder Substitution ihrer Form nach ungeändert bleibt, eine sym- metrische Function, so haben wir in den linken Seiten von (8) symmetrische Funetionen. Ihrer besonderen KEinfachheit halber sollen sie als elementare symmetrische Functionen bezeichnet werden. Aus dem Begriffe der symmetrischen Funetionen folgt, dass, wenn der Complex R SR eines ihrer Glieder bildet, auch jeder andere Complex zu ihren Gliedern gehört, welcher aus dem aufgeschriebenen durch Substitutionen der unteren Indices unter einander entsteht. Diese Gesammtheit wollen wir durch Die symmetrischen Functionen, OM (4) aS(@28 20 bezeichnen. Man sieht, dass jede ganze, symmetrische Funetion in eine Anzahl derartiger eintypiger S zerfällt; durch jeden Ausdruck (4) ist ein besonderer Typus von symmetrischen Functionen charakterisirt. Die linken Seiten von (3) werden nach dieser Bezeichnung S (‘?1) ? S(Z, %), S(2, % %), 1 S(2 2 2); natürlıch können sıe aber auch SC SC S(Z„Zf;ß„)‚ geschrieben werden. < n $ 91. Die Summen gleich hoher Potenzen der geben gleich- falls besonders einfache symmetrische Funetionen. Wir wollen sie Potenzsummen nennen und bezeichnen S(Zi) =% C=) Es ist jedes s als ganze, ganzzahlige Function der c,, Cn darstellbar. Zum Beweise betrachten wir zuerst den Ausdruck BT ET O CZr Wir wollen für den Augenblick die ganze Funetion (2°) 1' (@) ‚C7'—Z„ = gl c(1x) Zn—2 + c(2x) zn—3 N OE i C£[z)_l setzen. Dann ist, wie man sofort erkennt, C B + @9 ] C D c(7) + c(/)) ( Z) Cg 2. c F6 und daher r @O2 +a BG O E E — —((x ) 2c und summirt man über x = 1, M n, so entsteht die Formel ® S SE A d = ijc%> 4#=1 Aus (2*) ersehen wir, dass die c®, c®), die elementaren, symmetrischen Funetionen von 2,, On —19 u17 222 sind. Daher kommt jedes Glied auf der rechten Seite der letzten Gleichung auch als Glied von c vor, und umgekehrt jedes Glied von cx in (n — «) der Grössen c@; also ist die Summe rechts — (n — «) Ca und wir haben die Recursionsformel J < ( ) Sa — Cı Sa—ı + G i Ca =.0 @ <Z2). Netto, Algebra. I. i 98 Neunte Vorlesung 8 91—92 Ferner folgt aus (1) durch Multiplication mit 2“—" für jedes z, Z«_Clza—-l +622'a_‘)— +C„.Za—n—0 (& > n) und durch Summation nach % die weitere Recursionsformel (6) SO SE SE + Cn Sa—n = O @ Zu). Die Formeln (5) und (6) beweisen den obigen Satz, da sie der Reihe nachısı. S aus 59 = n berechnen lehren. Sie wurden zuerst von Newton aufgestellt und heissen nach ihm*). Wir wollen sie auf eine andere Art nochmals ableiten. Früher $ 36, (4*) hatten wir © f Z Ba Ca + f(@) O, und folgern daraus die Entwickelung nach fallenden Potenzen von 2 < &. —— C Ara [ )+(1+ + )+ ] —. Z £ [ SA A R rn f wobei das Restelied Zı M Z9 M } M AAA M + m—l(„ G zl) Z (Z en Za) wird. Weiter ersehen wir hierdurch Ng — x CS D — (g C 2n—1 + C Zn—2 N multipliceirt man rechts aus und vergleicht die Coefficienten ent- sprechender Potenzen von z, wobei zu beachten ist, dass links keine dann erhält man wieder die negatıyen Kxponenten vorkommen beiden Reihen Newton’scher Formeln S 92 Formeln von der Art (5) oder (6), mittels deren ein jedes Sa durch frühere Sx_ , berechnet wird, geben recurrirende Dar- stellungen. Ihnen gegenüber steht die independente Darstellung der S« direct durch die c KEine solche wollen wir jetzt ableiten In (1) setzen wir an die Stelle von z und multipliciren beide Seiten mit z"; so entsteht 1—6828+62 —68 + +a = (1 — 2,2)(1—228) (1 — 248); wir nehmen hiervon die Ableitung und dividiren sie durch die Funetion * Newton: Arithmetica universalis p. 192, ed. Lugd Die symmetrischen Funetionen ©0) selbst, dann ergiebt sich nach Aenderung der Vorzeichen —262 + .3cgz2 -|-ncz E RE Zı Z _clz+cgz — —|—cz 1— 2,2 r 1—2,2 Jetzt wollen wir beide Seiten nach steigenden Potenzen von z entwickeln, bis zu einem Gliede mit beliebig hohem Exponenten gehen und das Restglied hinzufügen, um aller Convergenzbetrachtungen über- hoben zu sein Die rechte Seite liefert dabei S + 882 + 8538° + + 54271 + die linke mit Hülfe des polynomischen Lehrsatzes ( —262 +3632 — —{—nc„z“—l)(l—{— 2[clz—cgz + 62 ! (—1) z+1 ]C'C1 ICÄ l'l' Za G 204 )(1+ A 5 - > (=) a Caa '011102 C ” =(0 —2624 )Z A A A aa wobei die letzte Summe auf alle Zahlencombinationen von 4,, 4, ...2 n der. Keihe 0 1 zu erstrecken ıst Nehmen wir aus diesem Producete nun alle Glieder heraus die z“—1 als zugehörige Potenz von z haben, so ist der Coefficient von 2“—! gleich sı Diese Glieder setzen sich aus den folgenden zusammen Aa E At16 Än cn En ’ a Z( 1) Aa-t2 AD l l +n12, y‚—l) 1)12+1+24+ (Ä +l + )'C' ll C 12+1 7l 2Z< An l ! ? (4,+212,+ +"Ä'n—y' 2) x) An-FHAa-t- (1 _+_1+ )'CÄIL zcl+l 52( AA l ! ; Ar 244 : +ANA —„ 3) Buhrt man in der ersten Sorte von Ghedern A, + 1 statt A, als Summa- tionsbuchstaben ein, in der zweiten 1, +-1 statt 4,, in der dr1tten S statt A, u. s. w., dann erhält man für d1eselben Glieder die neuen Formen ET A , Z Z Da l l 2 e n — AaAa y Ar _1) C (g S n zZ SE BAn O l l +NAn=W) N (1r (A E n MG (4 +24 + -+n4,=4) 7'-: 100 Neunte Vorlesung $ 92—94 und daher wird ihre Gesammtsumme (=1) AAa (l D +Ä‚ —1)'C Zr (,Ä" n DA S A ! C S e 5 2( 1)%2-+2 A 2 Unser Schlussresultat giebt somit die Waring’sche Formel *) 1)12+}»4+ (Ä + _|_}_ —1)! (7) Sa !‘2 l'l' l ! 6, un (Ay 22 +NAn=w) Beispielsweise sei n = 3, u = 4 Dann hat man die vier Möglich- keiten für die Wahl der 2 A, =4 A o} Q B Aa As 2 A so dass ] A 4( 4! A a ) = 0* — 46° 4 466 + 26 $ 93 Uebrigens kann man die S,, S, Su, auch leicht vermittels der Newton’schen Gleichungen durch die c,, C3, CM Form einer Determinante ausdrücken Denn aus den Gleichungen SE OS n Sa E en (—1)* H a6, s Sa—ı f CiSa—2 JS 1)“+16a—281 - (__ D 1) E (_ 1)a+1 = g— 1)"‘+1 1 @ folgt sofort & (@« — 1) 2 AA CZ z Cl } XCa (05_1)Co:—1 Cy—2 ca-——3 1 (8) 16 i Diese Formel gilt nicht nur für « <n sondern auch,. falls nur Cn-4+x = 0 gesefzt wird, für alle x —N S 94. Auf demselben Wege kann man umgekehrt c, durch die s ausdrücken Das ergiebt die nicht mehr ganzzahlige Darstellung VON Ca Z *) Wa.11ng Med1tat10nes algebraicae; ed1t 3; Cambr. 1770; p I Die symmetrischen Functionen COM (@«—1) al c =(—1) 2 Sa Sa il Sa S Sa—1ı Sa—2 S («—1) da Say= B (a«—2) 0 (9) S> Sı 0 0 51 il 0 0 Dies gilt für jedes x, wenn c,1„,= 0 gesetzt wird Zu einer, der Waring’schen entsprechenden Darstellung von c durch Adie Sn kann man unter Benutzung der KExponential- funetion auf folgendem Wege gelangen. Wir hatten gefunden 1—68 + 627 —68 F: +a =(1 — 248)(1 — 22)-- (1 e ZWZ) 9 die rechte Seite wandelt sich um ın Zlog(l— e _Z(zaz—l— E == C (@ 1, 2, n) 822 HA A 832° — 07N%0 20 D =0 ya G Z CO Z< D — 1)71+ %on +/z S, S "‘1'"2 „ ! n 1 M 2 ö T > DA wobei die Summe über eine beliebige Anzahl 7 der x und über alle Werthe jedes x„ von 0 bis co zu erstrecken ist Vergleicht man die Coeffieienten gleich hoher Potenzen von z, so folgt (_ 1)”1+’2+ +"1 RE E Ka S3 (10) D —2 !xl %s il 5 2 i ]“ ( ( +2x% +3x3+ r =W). Wird w grösser als n gewählt, so ist der Werth der rechten Seite — 0 Wir wollen hier noch die Werthe der s„ durch die C und die Werthe der c% durch die s„ ausgedrückt für die niedrigsten Werthe von &« notiren sie sind _ den abgeleiteten allgemeinen Formeln ent- nom men Es ist Sı 57 So = 0 —26, S3 = 0 — 366 + 36;, Sı = 6 — 4676 406 + 267 46r 55 S 6° — 566 + 56706 + 56 6? — 5610 — 5646 + 565, 10 Y Z Neunte Vorlesung 8& 94—96. und umgekehrt W= 2 0= 8 —, S10 = 51 — 358 26 S E SE 3 65 D a OE OE G 308 Sı — 208 55 + 24s5. $ 95. Wir wollen weiter noch erwähnen, dass eine grosse Formelfülle für die Beziehungen der c und der s untereinander ab- geleitet werden kann. Wenn man beispielsweise in (6) die Gleichung für (@« 4 n) mit 1, die für (x + » — 1) mit c,, die für (@« + n — 2) Mit-C,; :, die für « mit c„, multiplieirt und alle Produete addirt, dann erhält man eine Reihe von Beziehungen @D Sa+n F Sa+n—3 (20, — 012) T Saın (2C4 —266 F 6°) F =0, so dass Recursionsformeln entstehen, durch die Sa+n Von den vorher- gehenden Sx CEZE aa abhängig erscheint. . Wie aus (6) die Formel | Sa Sa—1 Sa—n (62) ] Sa+1 Sa Sa——n+'1 —0 (« Z n), | San Sa+Hn—1 S so folgt aus (11) die ähnlich gebildete Sa Sa--2 W S (11°) jstf+l‘ Sa—1ı Sa——‘2n+1 =0 (@ Z 20 ’ Sa+n San —3 Sa—n Die Existenz dieser Formel ergiebt sich übrigens leicht aus der Be- merkung, dass S, S, Sg ‘: die Summen der ersten, zweiten, dritten, Potenzen der Wurzeln der Gleichung C sind. Daraus erkennt man dann auch die Bedeutung der Coefficienten ım (L Setzen wir In ähnlicher Weise kann man weitergehen. CC - 2 O ( = @ — 0Og# 4 0O6@-— .. + 089 =0, E so werden die Potenzsummen dieser Gleichung durch s;, Se> Sgy entsprechend der Formel (6) gegeben, und man erhält S OS OO Z E 0 (@« > 3n) nicht nur für alle durch 3 theilbaren, sondern für alle ganzen «, wie Die symmetrischen Funcetionen, 108 man erkennt, wenn man in (1*) für 5 einsetzt 23? dann mıt 1 oder 21 oder 2} multiplicirt und endlich über alle 2 ==1, 2, -” summirt. Es gilt demnach auch - Sa Sa—3 H706 8a—37[ I | 5a—|—1 Sa—2 Sa—3n-1 =0 ( D San sa+n——3 23 Sa —2 { Diese Formelreihe lässt sich natürlich fortsetzen, doch wollen wir hier auf weitere Einzelheiten nıcht eingehen. $ 96. In 8 91 hatten wir die Aufgabe gelöst, die Potenzsummen sı durch die elementaren, symmetrischen Functionen darzustellen. Ge- länge es nun jetzt, jede ganze, symmetrische Function der 2,, %, An als ganze, ganzzahlige Funetion der s;, S, auszudrücken, dann hätten wir damit gezeigt: Jede ganze, ganzzahlige, symmetrische Function von %» Elementen %,, %, 7 % ist eine ganze, ganz- zahlige Function der elementaren, symmetrischen Functionen C„ dieser n Grössen 2. G1 C27 Wir brauchen nach $ 90, (4) den Beweis nur für Functionen von der Form S(2rab . ga +1) zu führen, und können, da er für S(2%), d. h. für die s£ bereits er- ledigt ist, sogar voraussetzen, er sei schon für alle S(@1 2 #) Durch bei & Elementen mit beliebigen Exponenten bereits geliefert. den Schluss von % auf (& + 1) gewinnt man dann den Beweis für das allgemeine Theorem. Wir betrachten das Ergebniss der Multiplication S(gr2ß . #) - 8@)- Jedes Glied dieses Products wird, je nachdem der Factor, welcher dem zweiten S entnommen ist, ein z enthält, welches in dem Factor vor- kommt oder nicht vorkommt, der dem ersten S entstammt, zu einem A S (g 8 . Zk) 9 S(Z{f) Z€+l; A Zk)’ S oder zu S(#7eß ... 22 k 4 gehören. Dabei kann jedes Glied eines der ersten S nur einmal auf- treten, gleichgültig, wie die Exponenten «, ß, ... 2 beschaffen sind; dagegen tritt ein jedes der Glieder des zweiten S genau qmal auf, wenn q der Exponenten «, ß, 3 N oleich‘ 2 sınd. Also ıst S(8%2h .2a 20 > _;— (S(27 28 ... 2*) S(2t) — S(ge+22ß... g) — S(er2ßni... gr) —.. 104 Neunte Vorlesung 8& 96 8 und damit ist der allgemeine Satz bis auf den einen Punkt bewiesen, dass die Darstellung auch ganzzahlig sei. In der That findet man z. B AS( Zf°)) == S„„Sp> Sa-+ß5 MD 520‘)7 S(g%gß )= s„ 525 — (Sa+8Sy + Sp-+y8« + Sy+aSp) + ZSe+8+y5 CL HAR) = 2 (S“Sß 2508 +8 — S2aSg { 2520+6); 1Q( 2“ „of) A r (sa 38a32a + 23:]a), (« + ß =+7) Hier ist nun ersichtlich, dass bei der Darstellung der ganzen, ganzzahligen, symmetrischen Funct10nen durch die Potenzsummen der Klemente oebrochene Coefficienten auftreten; und es ist nicht ohne Weiteres klar, dass beim Uebergange zu den elementaren symmetrischen Funetionen dwse Brüche wegfallen. Wir wollen deswegen die eben besprochene Methode nur als eine bequeme, für die Darstellung der symmetrischen Funetionen geeignete betrachten und den Bewem des ausgesprochenen Satzes zunächst so vortragen, wie ihn Gauss (Werke III, S. 36—38) gegeben hat. 8 97 Zunächst werden wir von zwei Aggregaten der Form Mı gMa Zm und z gua Z n dem ersten oder dem zweiten eine höhere Ordnung beilegen je nach- dem unter den Differenzen mM U, m2 U, My N Un die erste nicht verschwindende einen positiven oder einen negativen Werth besitzt Weiter bemerken wir dass es unter den Agoregaten, die von Zn sıind, nur gleicher Dimension m, + m, + + Mn mit g7 27 eine begrenzte Anzahl von niederer Ordnung giebt als das hin- geschriebene; denn es giebt ja überhaupt nur eine endliche Anzahl solcher Aggregate bei vorgeschriebener Dimension Tiegt ferner eine symmetrische ganze homogene Funcetion @0 Z.) vor, dann kann eines ihrer Glieder z Ma . Zn n nur dann die höchste Ordnung unter allen Gliedern von / besitzen, wenn W Z M Z Z Z M ist; denn wäre etwa m, > m,, so käme bei der Symmetrie der Funetion auch « - 27 g . mM'n VvOor und diesem Gliede würde eine höhere Ordnung gebühren Die symmetrischen Functionen. 105 Da _ endlich in einem Producte von Functionen der %,, %, An dasjenige Glied die höchste Ordnung hat, welches durch Multiplication der Glieder höchster Ordnung der einzelnen Factoren gebildet ist, und da in den elementaren, symmetrischen Functionen der z, nämlich in Ci) Car C3) - die Glieder 2 , 212712008 die höchsten Ordnungen aufweisen, so ist ın CC @n das Cileo! aaara RCa E en Z%n dasjenige höchster Ordnung, und umgekehrt ist es ZT' Z72712 A Z;;lfl in (;7i'1—'m2 Cn222——m‚ A Cn % O Z Z Z Z $ 98. Nun sei eine ganze, ganzzahlige, homogene, symmetrische Funetion / (2,, Zn) vorgelegt. Kommen in iıhr mehrere Glieder gleich hoher Ordnung vor, so haben diese dieselben Exponenten und können daher von vorn herein in ein einziges Glied zusammengezogen werden. Es sei @270 7 z"n dies Glied höchster Ordnung ın F. Dann setzen wir F1(‘217 Z") S F(Zl; Ai) — TE E W, ist wieder ganz, ganzzahlig, homogen und symmetrisch und be- sitzt als höchstes Glied ein der Ordnung nach niedrigeres, als 8 es hatte. Dies höchste Glied in F} sei ßahızk ... 2%n. Dann setzen wir F (& 8n) = F, (51; zn) —_- ß ciix Ea 2 c€z ON cfi„‚ E Für F, gilt dasselbe; und so können wir mit steter Verminderung der Ordnung des höchsten Gliedes fortfahren. Dies muss einmal aufhören: 7) d. h..es muss einmal 0= Ft_ 90911—(/zc‘]22_93 . c%„ werden. Dann folgt durch Addition aller dieser Gleichungen F = am ö + ßcl{x —R2 o + + 90%1“"‘]2 ’ ’ damit ist der Satz bewiesen, und zugleich eine .zweite Methode der Ueberführung angegeben. Als Beispiel behandeln wir bei %” Variablen z die Funetion F= S(51252253)7 bei der dann zuerst F = al B wird. Nun sieht man sofort, dass bei der Multiplication von c und c Glieder von drei Arten vorkommen: Ra O BBa n zwar kommt jedes der ersten Art einmal, jedes der zweiten Art drei- mal und jedes der dritten Art zehnmal vor. Deshalb ist, da die Glieder erster Art das gesammte F bilden, Fı = —3S (2 0ee) — 105 ( %223 2485)- 106 Neunte Vorlesung &$ 98—100. Weil jetzt 2,?2,2,2, das Glied höchster Ordnung in F, ist, so wird n Hier erkennt man wieder, dass die Multiplication 061 — S (2, %2 24) + 5S(2, 28 2485) ergiebt, so dass die neue Funetion F, = SS ( %8848) = G, und endlich, da wir hiermit zum Abschluss gelangt sind, dass S (2," 29 83) = CaCg — 3601 + 565 wird. Nach der Methode von $ 96 fände man zuerst SC = ;- (82?S, — 25283 — S45ı + Qs5) und müsste dann den Uebergang zu den cı machen. $ 99. Man kann von vorn herein eine Anzahl von Gliedern CC Cl angeben, welche bei der Darstellung der eintypigen, symmetrischen Funetion S (gz% z7 : z"n) nicht vorkommen können. Die m in S sollen ihrer absteigenden Grösse nach geordnet sein. Bei der Darstellung von S müssen alle Gliedercomplexe der cı von Dies erkennt man gleicher Dimension in den z sein, wie S selbst. sofort, wenn man alle D 2 einander gleichsetzt. Es muss: also. beı jedem Gliede erstens (12) Qı 2 n 3 I MM A Mrn werden. Ferner liefert cH.C% Can als Glied höchster Ordnung sz+92+"'+fl‚; z%z+ n ’ und verschiedene Glieder in c‚ liefern verschie- dene Ordnungen ($ 97). Es muss also zweitens (18) Yı 4 92 4 ‘ F On < Mr sein; dabei müssen wirklich Complexe der c auftreten, bei denen das Gleichheitszeichen gilt. Auch unter ihnen lassen sich noch Glieder aussondern, wie das Gauss’sche Verfahren ($ 98) zeigt. Man sieht nämlich, dass von Cln und C C% CDCn %n falls Zq; =2m ist, das erste oder das zweite Aggregat das Glied höchster Ordnung in den z liefert, je nachdem von den Differenzen Q a U F ) T T die erste nicht verschwindende negativ oder positiv ist (vgl. $ 97). Nach dem Gauss’schen Algorithmus kommt als höchstes Glied das Aggregat mit den Exponenten (15) O f a 8 G O _m:3;_ qn=m” Die symmetrischen Functionen. 107 vor, und alle anderen auftretenden Agoregate, bei denen die Summe der Exponenten x auch gleich m, ist, dürfen nach unseren jetzigen Betrachtungen nur solche sein, für welche die erste nicht verschwin- dende Differenz der Reihe ( — Ma) , M, z M) z @ 1 ), — Mı) — (1 A %2 4 Xg) negativ ist. Das ist eine dritte Bedingung. So wäre für die beiden Funetionen S(#,"2,?2) und S(2,?22324) zu setzen (q, { 2g + -:-)=5, und es dürfen höchstens zwei Fac- toren c in jedem Gliede vorkommen; also geben (12) und (13) S(21" 2 8g)= «Cg 4 BC1C4 F VCs) S01 2203 04)= &, 665 + BrCLC4 F V16s- Hier zeigt nun (14), (15), dass w«, sofort = 0 zu setzen ist. An die Formel (12) haben wir noch folgende Bemerkung zu knüpfen. Die Summe der Producte aus den Exponenten in die Indices eines Ausdrucks CC Cln Z nämlich hier (Q1 + 24 + : F "—Q„)‚ nennt man das Gewicht dieses Ausdruckes, und nach Cayley heisst eine Funetion, deren Glieder sämmtlich dasselbe Gewicht besitzen, eine isobarische Function. Wir sehen also: Die Function, durch welche eine eintypige, symmetrische Funection S(g" z7 524 mittels der c,, &, -:-. C dargestellt wird, ist in den u Cn isobarisch und von dem Gewichte (m, + m +-.. + My). $ 100. Ist so der litterale Theil von S(z" - /n) festgelegt oder wenigstens so eng als möglich umgrenzt, dann kann man den numerischen Theil leicht durch Zahlenbeispiele berechnen. In unseren beiden, eben aufgestellten Beispielen würde man folgendermassen ver- fahren, um die «, ß, y zu finden. Für die Specialwerthe 51=z2=;_;;3=1; _g4=25=...=0 ist 01=3, 02=3‚ 03=]_, C4=O‚ SAl / =z4=]_; z Sa =( 0, =4, =6, 03=4.} C4=1‚ c5=0’ n Ka =25=1; i=4= 0 01=57 (32=10’ %=]_O) 64=5; 05=], und für diese drei Werthsysteme erhalten die symmetrischen Functionen S(2,"22"83) = WC2603 + ßCLC1 + Vc; die Werthe 3 12 O S(2,"292324) = O G: 2 } 0 420 Folglich bestehen die Gleichungssysteme für die Coefficienten 3= S 0 Da O E a O 4= 4'ß1+0'71; 30 10002 20 =25.ß +1-7, und hieraus ergeben sich als fertige Resultate S(81" %” 2) = 00g — 36404 + ÖCg S81 2 8ı) — 6C — D6g. 108 Neunte Vorlesung $ 101—102 $ 101. Wir wollen für den besprochenen Satz aus $ 96 noch- einen anderen Beweis herleiten, der von Cauchy stammt, und den Kronecker zu weiteren Schlüssen benutzt hat. Da f@)=" — a —. W z zu Null wird, so erhält man der Reihe nach die Resultate 81 ] OE Il R e SI Il Ca D OC . und man kann, vgl. $ 88, jede höhere als die (n — 1)® Potenz von 2, als ganze, ganzzahlige Funetion der c und als lineare Function von Da ferner A f S darstellen. f S B Or ?"_1 — @ SA ET — —- für %, zu Null wird, so folgt ebenso 2 27 ( RE @ Ca B A und man kann also jede höhere als die (n—2)* Potenz von z als ganze, ganzzahlige Funetion von den c, von z, und als lineare Funetion 2 OE ’ £f_£ X darstellen. In gleicher Art folgt aus fF@) (Z DE £1) (z _52) OM — Oala Haaan dass Z C 52) Ü 2 A —a G E A Z"_3 wird, u. s. f.. Die Gleichung a=4 BF 4 ı) endlich, welche zeigt, dass jede Potenz von %, als ganze, ganzzahlige Function von den c und von 2,, ° Zn—1 dargestellt werden kann, bildet den Abschluss dieser Serie. $ 102. Ist nun irgend eine ganze, ganzzahlige Function Fi(81, %, Zn) gegeben, so können wir mit Hülfe der eben abgeleiteten Gleichungen zunächst jede vorkommende Potenz von %,, dann alle Potenzen 2_ı, *- Die symmetrischen Functionen 109 2 Sn—1) 5 %n—2) An—2)9 Z g Zn—l ’ Z 22 LG zn+l entfernen und damit / in die Form mit ganzzahligen Coefficienten (16) 11 A lı gla Än—1 =002 N — 4) ( überführen Die Anzahl der hierbei möglichen Summanden beträgt L @D = ihre Gesammtheit bildet insofern ein Fun- damentalsystem für alle ganzen ganzzahligen Funetionen von Yı Zn, als sich alle diese homogen, linear und mit ganzzahligen Coeffieienten durch sie darstellen lassen Nehmen wir nun an, /’ wäre eine symmetrische Funetion der Elemente z Z, dann können wir (16) in zwei Theile zerlegen M+N An —1-) indem wir ın M alle diejenigen Glieder zusammenfassen, welche frei von Z —ı Sınd, ın N - %_1 dagegen alle mıt 7, _ ı multiplieirten; N ist gleichfalls von 21 frei, weil ja z„_1 mnur in der ersten Potenz in (16) erscheint Da / symmetrisch ist, ändert sich seine Form nicht, wenn man 2,_ ı, und 2„, unter einander vertauscht; es muss also, ohne Aen- derung von M und N, welche Ja weder Z,_1 noch z2„ enthalten ME Na i = ME N sein; da aber 2,_1 und 2, völlig willkürliche Grössen sind, so ist diese Gleichung nur für N= 0. möglich, ‘d.’h. %@ enthält. 2. 7, überhaupt nıcht. Weiter ordnen wir F’= M nach Zn—2 an, welches in (16) nur bis zur zweiten Potenz eingeht, Jal Jal + JZ„__2 + KZ„_27 und dies muss nach unseren eben gemachten Schlüssen auch mit H+ Janı A& Knı und mit H + J2 + K übereinstimmen, da / ’sich als symmetrische Funetion nicht ändert, wenn man Z,_2 mit Z,_, oder mit 2 vertauscht, und da H, J, K von diesen drei Grössen unabhängig sind. Die Gle1chung un 6 F(z„ A S müsste also drei Wurzeln 5 = Zn_2) z„_1‚ Z besü;zen‚ und dies ist nur möglich für die Annahme Ya K=0 , A)= d. h. wenn F von Zn—2) n—1, %n unabhängi D ıe ist. Auf diese Art kann man fortfahren. und erkennt die Richtigkeit unseres Satzes. Zugleich giebt dieser eine neue Methode für die Umwandlung von F. “ 110 Neunte Vorles1ing $ 103—104. $ 103. Gauss hat seinem Beweise für das Theorem, dass jede ganze, symmetrische Function S(z,, Z VOnE Z , 0ır Zn als ganze Kunetion / von 6, 6, C darstellbar sei, noch die wichtige Be- merkung hinzugefügt, dass diese Darstellung nur auf eine einzige Art möglich ist. Wäre nämlich S auf wesentlich verschiedene Weisen darstellbar S(21, Z") Z (;1(01; ) = G, (G C")7 dann müsste die nicht identisch verschwindende Funetion Ca(@s 0) CCn Ö identisch verschwinden, sobald man für die c, &, C ihre” Aus: Wir können nun drücke in den Z,; %, Z einträgt. G —G, =Z]P[c‘fc@c’; setzen, wobei sich die Summe auf eine Anzahl solcher Glieder mit ver- schiedenen Exponentensystemen bezieht. Tragen wir die A Z ein, so folgt als Complex der Glieder höchster Ordnung aller Summanden EMz‘f+ß+7’+'“z/g+7+'“zg'f""---. Dabei werden von den einzelnen Summanden nicht zwei derselben Ordnung angehören, wie oben $ 97 gezeigt wurde; folglich wird das Glied der absolut höchsten Ordnung nicht verschwinden. Eine symmetrische, ganze Function lässt sich nur auf eine einzige Art als ganze Function der elementaren, symmetrischen Funetionen der Elemente darstellen; gleichzeitig erhalten wir das Resultat: Bedeuten 2,, %, , von einander algebraisch unabhängige, d. h. nicht durch eine algebraische Gleichung ll(zly Z27 2)= O mit einander verbundene Grössen, so sind auch ihre elemen- taren, symmetrischen Funcetionen von einander algebraisch unabhängig. Denn existirte eine algebraische Gleichung zwischen (la O O Cn K@ ©5 e)=% so wäre z. B. die Function S(z,) nicht nur =c, sondern auch =<c, + K, was dem Gauss’schen Theoreme widerspräche. $ 104. Ist eine gebrochene, rationale Funetion von % Wwillkür- lichen Grössen 2 M (& N (& , s vorgelegt, die sich nicht durch Wegheben gemeinsamer Factoren ver- einfachen lässt, und ist sie symmgtrisch‚ d. h. ändert sie ihren Werth Die symmetrischen Functionen. e für keine Umstellung der z untereinander, dann sind M und N für sich symmetrische Functionen. Ordnen wir in der Weise von 8 102 M P+Q'Zn_1 NO AAn wober LO L Oan Zn—2 enthalten, dann ist auch M P+Q-% NRO und deswegen hat die lineare Gleichung in & (7@-—0)e+(7A—)=0 die beiden Wurzeln &= %_1, £= .. Daraus folgt das Verschwinden beider Coefficienten, d. h. es wird M Q 3R N=q:PIV’ wobei nicht gleichzeitig Pı = 0, Q, = 0 sein kann, da ja offenbar N als nicht identisch verschwindend vorausgesetzt wird. P oder () unter- scheidet sich also von M= P + Qz,_ ı höchstens durch einen in An heben lässt. linearen Faetor, der sich dann gegen den gleichen des Nenners weg- Das war aber in der Voraussetzung ausgeschlossen; folglich muss E 2 M B sein, d. h. der Bruch ist in der Darstellung des Zählers und Nenmners nach dem $ 102 von _1, % unabhängig. Wir ordnen nun weiter Zähler und Nenner nach Bn 2 M RS L 2 2 ’ N SR EL n—2 erkennen auf demselben Wege, dass auch M 18 = Z As E - N Kr S, T1 sein muss, und da R,, S,, 7, nicht gleichzeitig Null sind, dass sich M von einer der Funetionen R, S, T höchstens durch einen in Z quadratischen Faetor unterscheidet, der sich dann gegen den gleichen im Nenner wegheben lässt. Da _ dies durch die Voraussetzung aus- geschlossen ist, so muss M=R, N=R, sein, d. h. der Bruch ist in der Darstellung nach $ 102 von 24_2, %—1) %n unabhängig. Auf diesem Wege erkennen wir die Richtigkeit des Satzeg. 112 Neunte Vorlesung $ 105—106. Zehnte Vorlesung 8& 107. $ 105. Es sei eine rationale Funetion der n unbestimmten n Grössen F 2 gegeben, @ (2,, %, : Z). Dann giebt es möglicher Weise Umstellungen der 2,, %, %, welche die Form von @ nicht ändern. Alle diese Umstellungen wollen wir in einen Complex U, vereinigen. VFerner giebt es möglicher Weise andere Umstellungen der z, welche eine neue Korm ( .Z,-„) SA (217 %9 Zn) hervorrufen Alle Umstellungen, die den gleichen Effeet haben d. h. dasselbe &; liefern, vereinigen wir in einen Complex U;, u. s. f. So gehören z. B. für D e BA zu U, die vier Umstellungen, welche durch ‘P(Z„ Za @8y Z4)7 ‘P(£1; Z9, 47 zb‘)l q>(%‚ 1 93, 54); ‘P(@; Z 747 33) charakterisirt sind und nur sie; ferner wenn D3 — 8384 — B1 8g gesetzt wird, zu U, die Umstellungen, die durch 9"(53‚ 24 %17 52)7 ‘P(£’/'4, R8 817 ‚2‘2)‚ (P(53‚ z4} %, Z1)7 ‘P(Z47 Z]37 %9 21) gegeben werden, u. s. f. Es ist die auf alle vorhandenen @ erstreckte Summe 2@’-(£17 Zn) =_‘P(2'1; 8 Z7l) + (Pi(5„ N Z") ar q)k(zl; N Z") SS eine SymmetrISsche Kunction der 2 2r Sn In der That, wenn wir irgend eine Umstellung auf ein Glied @ der Summe an- wenden, dann geht es in ein anderes Glied derselben Summe über ’ und verschiedene Glieder verwandeln sich in verschiedene. Folglich bleibt &5 ungeändert. Derselbe Beweis genügt für den allgemeinen Satz: Alle sym- metrischen Functionen der Elemente q)(217 "Z">’ (Pi(51; "Zn)7 q7k(‘äli "'Zn)7 sind auch symmefische Functionen der Elemente 2,, %, An $ 106. Zum Schlusse wollen wir noch ein Cauchy’sches Theorem beweisen: Ist @(z) eine ganze Function der einen Variablen z, dann wird S (g (Z;)) gleich dem Coefficienten von 27* in der nach absteigenden Potenzen von z geordneten Entwickelung von p@F'@) f(@) Setzen wir QJ(/Q') z aoßm + alz"‘_1 + E + Im) Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen, 115 so wiırd H@ @ f(@) (aozm__l_alzm——l+..._i_am) (l°+iz+gä ...) — Ds + z_l(aosm + OSn + + amso) + 09 und damit ist der Satz bewiesen. Zehnte Vorlesung. Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Funcetionen. S 107%. Wir wollen in dieser Vorlesung folgendes Problem be- handeln: Die Grössen 2,, %, Z Sseijen wıllkürlich; aus ihnen ist die rationale Function @ (z,, %) Zn) gebildet. Vertauscht man die z auf alle möglichen Arten untereinander, so mögen o verschiedene Werthe entstehen ID) i (2, %) Z") z (zil7 Z‚'„ Z'‚'„) Ü= 02 0 Es sollen die Coefficienten der Gleichung, der die Grössen (1) als Wurzeln angehören, (2) ROR CR Z durch die Coefficienten der Gleichung mit den Wurzeln z,, %9 Zn, nämlıich (3) NO ROR bestimmt werden. Wir sahen im $ 105, dass jede symmetrische Function der Grössen (1) eine symmetrische Funetion der B Zn Sel. Diese kann gemäss unseren Untersuchungen in den vorigen Vorlesungen mittels der c ausgedrückt werden. Wir können also S('Pl) — Cl; S(‘Pl ‘P2) - C%; ‘P1‘Pz"'@e=.aq berechnen, und dann wird (2) <15\—01d59—1+ OB — %© =0 die Gleichung sein, deren Wurzeln die o Werthe von @ P (ZU Z27 3 .)7 %Q (Zi17 Zfz7 n ')7 ® (zkl’ 5k„ ) sind, Netto, Algebra. I, 114 Zehnte Vorlesung $ 107—110 Bezeichnet man nun w@(z,, &) als 0 werthige Function der %, Z, wenn sie bei allen möglichen Umstellungen der z untereinander genau o von einander verschiedene Werthe annımmt, so können wir das eben erlangte Resultat in die Form fassen: E1ne o-werthige, rationale Function von Z,, Za ıst als Wurzel einer Gle10hund o Grades darstellbar, deren Coefficienten einwerthige d. h. symmetrische Funetionen von z Sn Sımd Die äübrigen Wurzeln dieser Gleichung sınd ‚die übrigen (g —1) Werthe der Function Diese o Werthe w @, q)u heissen einander conjugirte Werthe $ 108 Wir können die allgemeine Aufgabe.des vorigen Para graphen auf eine einfachere reduciren. Es sei die vorgelegte Funetion g (& ”n) ‘P(217 a)= h (Z11 7L) Dann kann man die symmetrische, ganze Function der D Z K(&,, "/”) h (le ’ Zin) : (n Z];) durch die 6, C» ausdrücken etwa als . Nennt man ferner das Produet der auf den ersten Factor folgenden %A im letzten Produete Va ), dann wird der Quotient al H (3 „/„), und h(”11 Z (21) Zn) S DO g (21; 2.) H (& n) Daraus ergiebt sich: Jede rationale, gebrochene Function g(2,, 2) @ (& 2) = k @ 5 &) der Wurzeln von (@) ıst eleich . einer ganzen, ratıonalen Function derselben Wurzeln mit Coefficienten, die ın den Cl! Cz; Cn gebrochen sind $ 109. Wir behandeln nun eine Reihe von Beispielen KEs sei zunächst die ganze Function DD Bn)= &, + h; wobei 4A eine Constante bedeutet Hier ist o= 1, und die Grössen 2 +h, &+ 2 + )h sind die %» Werthe von @, so dass also die Wurzeln der gesuchten Gleichung sämmtlich um die gleiche Grösse h die Wurzeln von f(Z) = —6 Z"—1+ C n—2 +Cn—"0 übertreffen Für die elementaren symmetrischen Funetionen der = 2 +h = , + h findet man ohne Weiteres Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen. 415 =(4 + 4 +%) +2h= c +nh, Z Sagı San (T + ( =4+(7')ah r ()M 2‚pl%%=(zlz2zg_i_. .)+(nl 2) C ;;+(n;l) (3 RA (’;)m Nn—2 =C3+( 1 B und es wiırd demnach E die gesuchte Gleichung. Man kommt einfacher zu demselben Resul- tate, wenn man direct 2=0—h in die Gleichung (2) für z „einträgt, und dann @ durch ® ersetzt. Nehmen wir insbesondere die Constante == —— — C N Z so verschwindet der Coefficient von ®"—1 in der Gleichung für . Dies kann man zur Zurückführung der beliebigen quadratischen Gleichung Z — 48 +0=0 auf eine reine quadratische Gleichung, d. h. auf eine solche von der Form — 4=0 benutzen, indem man < m =o + % C einträgt. $ 110. Weiter sei die Funetion 0D(@n Z B) = b wobei % eine Constante bedeutet, und o wieder gleich » wird. Hier ist und C =k6, C = P, C =Ko, ’ D Z KD OD N e =0 Setzt man / = — 1, so erhält man die Gleichung, deren Wurzeln die negatiyen Werthe der Wurzeln von — GE L T — a =0 sind. Diese Gleichung ist also Z E E 84= 116 Zehnte Vorlesung $ 111—113. $ 111. Jetzt nehmen wir 1P(Z„ Z27 .Z„) S 51i7 wobei % eine ganze, positive Zahl bedeuten soll. Statt sofort die Coefficienten C,, C,, C„ der gesuchten Gleichung zu berechnen, können wir auch zuerst ihre Wurzelsummen S;, S,, S, ableiten und von diesen dann zu den elementaren, symmetrischen Funetionen ( %e Y übergehen. So findet man ohne Weiteres Sı = $ Sı = Sa4) A Sn = Sn und hat daraus ($ 94) D 01@n‚—-1 + ... — M _— S1(I)n——l+ % (8'12__ S2) D C 0 zu bestimmen. Für die praktische Berechnung ist der folgende Weg vorzuzjehen. Da D die Wurzeln * 17 A 27 2 besitzt, so ist das Polynom dieser Gleichung =(0—#)(® — 2) - (@— ; setzen wir jetzt ® = z# und bezeichnen die &4 Wurzeln von gk=]—) die sogenannten k/*°" Hinheitswurzeln, mit ,, ,, ©x, dann geht das Polynom über in C n =(—1)+9 [ [ @0, — 87) (#0, — 2) + (001 — 21) Ü CZ D"Ü(*"”fl C C u=1 und gemäss der Bezeichnung der Funetion f(z) in $ 107 Z 1)('°+1)"#]=k71f(?“’“')' Wenn man also den umgekehrten Weg einschlägt und von der Bildung des letzten Products ausgeht, so erkennt man sofort durch die vorher- gehenden Ausdrücke, dass in ihm nur die Potenzen von %* vorkommen; Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen. J setzt man dann @ ‚k D, so erhält man die gewünschte Gleichung Wir haben von dieser Bildung schon früher, $ 58, Gebrauch ge- macht. $ 112. Wir wollen nun auch ‘P(Zl7 a)=> setzen, also die Constante & des vorigen Paragraphen negativ = — 1 nehmen. Hierbei ıst E Ba Bn A 183 E nl le2...zn al 3l 1 3 f3 Zn + BBa ’Z'n + + Z zfl_2 n—2 C Z CZ n—1% n +. Za Bn und daraus folgt, nachdem man die Gleichung (2) mit c„ multipli- cırt hat, (4) Cn D — Cnı P + z P —... PF 1=0. Dasselbe Resultat hätten wir auch sofort durch die Substitution B = — ® in f(z) = 0 erhalten können. Mit Hülfe der abgeleiteten Gleichung kann man nun auch S für negative Werthe berechnen; denn das s_„ ist gleich der Summe der h'°%» Potenzen der Wurzeln von (4), und so ergiebt sich durch unsere früheren Formeln C c2 S_ı = n—1 S— 2 n—1 2c n—2% n N ’ c2 für die Wurzeln von (3). Zu beachten ist, dass jetzt bei Einführung der s_„ die Formel (6) aus S 91 e 7 ÖS O82n 00 E A = 0, welche dort nur für « > n aufgestellt wurde, für jedes « gültig erscheifit. Der Beweis ist genau derselbe wie der frühere aus S $ 113. Weiter nehmen wir an a ‘P=Zl+z; dabei können wir jetzt setzen, wenn S, wieder Eq;’° bedeutet, 118 Zehnte Vorlesung 8 113—114 S, (z‚—}— >-sl+s { &—22G%%)«—%+2+&4—@y+L@+% = C G S SEA AL U .S_2> + 6 Sr (SL+3—-k)+( )(Sk——2+s—k—{——2)+( )(Sk——4+s—lc+4) 5P 99 ‘ Hieraus lassen sich dann d81 Reihe nach mit Hülfe der Formeln der neunten Vorlesung die Werthe von 0ı; &, O, berechnen Ist die Gleichung (3) so beschaffen, dass die Reihe der Wurzeln »01, 999 Z„ abgesehen von ihrer Anordnung mit der Reihe der reeci- 1 proken Werthe x ? 2 ? übereinstimmt, dann wird. s_; = $ werden, und damit tritt eine Vere1nfachunv der abgeleiteten Formeln ein M"m erkennt aber auch aus dem vorigen Paragraphen, dass hierbei C n—1 2 E C n C c n — C , C n = G cn—l; und also wenn cx und folglich auch c,_„ von Null verschieden ist, dass (B z A C n C Cn——u, == 11 werden muss Walls c = — 1 ist! ward 61 c= — Cx, Jund @@a @0 somit hat f= 0 die Wurzel 2 = 1, und man kann (z — 1) aus dem Polynome f(z) herausziehen Da dies ohne Schwierigkeit geschieht ? und da der Complex der zurückbleibenden Wurzeln immer noch mit dem ihrer reciproken Werthe übereinstimmt so können wir ohne etwas Wesentliches zu ändern, c, = — 1, allenfalls durch Herausziehen einer höheren Potenz von (z — 1) stets beseitigen Wenn aber @ = + 1 ist, dann wird 6_ = C0, und das Polynom f nimmt die Form an A CO IL—Ä+Z}__ Bei ungeradem % kann man (z + 1) herausziehen, da 2 = — 1 eine Wurzel von / = 0 wird Auch diesen Fall kann man also beseitigt denken und sofort voraussetzen, %” sei gerade =2m und das Gleichungs- polynom von der zuletzt hingeschriebenen Form. Durch Division mit 2”" geht die Gleichung in Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen, 9 il 1 E Z"L —1 Z7’ll. 2 0 (5) (Z“‘ + f> Cr Ü1 (Z)n——l + > +F& <an—2 SIn )_ über. Hierin können wir nun unsere Transformation 2+2=w in einfachster Art durchführen. Durch Potenziren folgt der Reihe nach %+}=W_% (6) fi+%=@—3% und das Gesetz für die Bildung der rechten Seiten wird ersichtlich, sobald man Zk—-1 + T Zk—1 = Gr_1 (‘P>; D = Gr (q))r k gı L ;k71_1 z Cı (@) setzt. Denn es wird hierfür 1 k+1 k—1 + g Oalo) = ( + L Zk_1 )=G„mw+aßx@‚ d. h. es gılt die Recursionsformel Arı (@) = O: Grlg) — Gr 1 (@). Durch die Substitutionen (6) geht (5) in eine Gleichung des Grades m über. Die Auflösung der Gleichung (3), welche in unserem Falle eine recıiproke Gleichung genannt wird, lässt sich somit derart bewerk- stelligen, dass man die Wurzeln @,, ©,, - @m von (5) bestimmt, und jeder derselben „ vermittels der Lösung von 2 — DaZ + 1=0 die beiden Werthe von < 2 zuordnet, welche zu dem gefundenen Werthe „ gehören. Die so gewonnenen 2 Werthe z sind die gesuchten Wurzeln. $ 114. Jetzt möge allgemeiner, unter Verwendung von n will- kürlichen Constanten u4, (7) P= 0 F 42 + 02 A A Unı 1 sein. Erheben wir diese Gleichung zur zweiten, dritten, n Potenz, so entsteht eine Reihe von Ausdrücken, welche sämmtlich mit Hülfe von (3) auf den (n — 1)“" Grad in z reducirt werden können (vgl. $ 88). Die erhaltenen Resultate deuten wir durch 120 114, Zehnte Vorlesung $ u(1) + u(2)z _L. u(2 Z + + u(2) zn—1 C u® + u®z + u@z? + + u®_ n—1 — u<"> + u<">‚z + u("’z + + u(") n für jede der erhaltenen » Gleichungen (7) und (7°) bilden wir die aul = —_ Sı wird, und erhalten Z„ bezogene Summe, wobei E‘rp Sı = 08 + W8, F S F . 9 Üg n (8) Sa = 1((2)30 + u s + uQ@s, + + u s„_1‚ S = u(")so + M s + u(")s + + u< D Hieraus lassen sich nach den früher (Vorlesurw 9) gegebenen Formeln die Werthe der Coefficienten CO - Cn berechnen, und so kommt man zu (9) O D C =0 Aus der Herstellum‘ dieser Gle10hung ist ersichtlich, dass C eine homogene Funetion «*® Grades in u 0> U, U w1rd deren Coeffi- cienten ganze Functionen der c,, C» sind Ist (9) aufgelöst, kennt man also &,, ®oy - @1, dann kommt es darauf an, von diesen Werthen zu 2,, %, Z zurückzugelangen, ähnlich wie dies am Schlusse des vorigen Paragraphen geschah. Durch 2 mnm —1 Auflösung der in den (n — 1) Grössen < Y, D linearen Gle10hunden u82 + 8 + l g Uo, ug + u& D u(n—l Z + ’lt("_1).’ä2 + + ‚„(n-—l)zn——l e= q)n—-1__ u(n—l) kann man umgekehrt z durch @ ausdrücken, sobald die Determinante der linken Seite F n—1;2=1,2 (x—1 Z n—1) von Null verschieden ist Dabei erhält man also den rationalen Ausdruck A E aa 0 E E O und durch Substitution von %,, %,, On die.n Werthe 2,, 2,, An Verschwindet jedoch die Determinante dann bestehen (n — 1) Grossemh A An—1ı, die nicht sämmtlich gleich Null sind, und für welche Al (q)n—l __u(n—l) +A (q77z——-»2 Wr A Z Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen. 121 wird. Dies muss für jedes @ und insbesondere für die » Werthe von @ geschehen, welche den Werthen z = 2|, %, Z entsprechen. Unsere letzte Gleichung müsste also die » Wurzeln @,, %,, ..q)„ besitzen; allein da sie vom (n — 1)*" Grade und nicht identisch erfüllt ist, so geht das nur an, wenn mehrere der @,, %,, - @n einander gleich werden. Dabei ist die Lösung des Systems nicht möglich. Deshalb verfahren wir allgemein so, um 2 mit Hülfe der @ darzu- stellen: Zuerst wird (9) nach der früher besprochenen Methode von etwaigen vielfachen Wurzeln befreit. Hat man dann durch Auflösung alle von einander verschiedene Wurzeln von (9), etwa Pır P2, -o$„ (w<m) gefunden, so weiss man, dass die Gleichung für die Unbekannte z Un —18 71 + Un 2 + ... FU —+ ( — Pe)=0 (“=1?2:' 7’) mit _ der vorgelegten Gleichung H—a y .ı=0 mindestens eine Wurzel z gemeinsam hat. Durch Division findet man den grössten, gemeinsamen Theiler 7(z, o) beider Ausdrücke und er- hält dadurch, im Falle nur eine gemeinsame Wurzel besteht, diese auf rationalem Wege. Haben dagegen die beiden Gleichungen w Wurzeln gemeinsam, so steigt der Theiler 7(z,) zu demselben Grade w an ’ und aus ihm müssen dann durch weitere Lösung der Gleichung T(z, g) =0 die Wurzeln z bestimmt werden. Wir wollen als Beispiel die Gleichung — —42 +4=0 betrachten. Hier setzen wir die besondere Form P= W F 48 + 42° = W + u (4 + 2?) an und erhalten damit 9° —> ( — 124?) + Qg + 40,?) ( + 2?), ’ = ( — 36UU? — 96u?) + (3u *244 + 24u,u,? + 52u?) (2 + 27). Man erhält @O 100 aa 20 u94 + 28u,?) D — (* + 1047 + 289042 4 24u,?) =0. Diese Gleichung hat vielfache Wurzeln; diejenige Gleichung, welche alle ihre verschiedenen Wurzeln in einfacher Multiplieität liefert, ist B° — 249 + 8u,) ® + (w? + &uu + 12u,?) =0, und daraus erhält. man Pı = U + 24,, Pı — U A 6t4. 122 Zehnte Vorlesung 8 114—115. Nun muss zuerst der gemeinsame Theiler der beiden Gleichungen Ü O n 42 + 0 = W + 2u, bestimmt werden. Dieser ist Pa Y Und darans (ereicht sich 4 = 1 —2 _ Mbenso! suchen, wır den gemeinsamen Theiler von —— 47 +4=0 und 8 + u42 + M = U + 6u,; der ıst Ar A=z=U und aus ihm folgt die dritte Wurzel z = + a 9 unserer Gleichung. Natürlich muss der Fall, dass mehrere der Werthe von @_ einander gleich werden, gleichgültig wie die w gewählt sind, stets dann vor- liegen, wenn /(2) == 0 einander gleiche Wurzeln besitzt. Durch unsere früher besprochenen Methoden können wir aber das Eintreten dieses Falles durch voraufgehende Behandlung der zu Grunde gelegten Gleichung f —— O stets beseitigen. Ferner können auch trotz un- gleicher 5 %; gleiche Werthe @ für besondere Specialwerthe der w vorkommen, wie sich dies in unserem Beispiele gezeigt hat, bei welchem ja z2' und z? in dem Ausdrucke @ den gleichen Coefficienten besassen. Daraus aber folgt, wenn etwa @, = @g ist, dass U f UBa F U98E F 4 + Un —12271 + 8g FU F + Un 1267 * wird, dass also zwischen den Wurzeln der Gleichung gewisse Be- ziehungen bestehen. Bei sogenannten allgemeinen Gleichungen, d. h. bei solchen, zwischen deren Wurzeln keine algebraischen Rela- tionen vorkommen, werden @,, @, ::: @„ Stets von einander verschieden ausfallen. $ 115. Man kann die in (7) auftretenden, bisher unbestimmt Un— ı dazu benutzen, um eine Anzahl gelassenen Grössen 4, U, der Coefficienten U, O, Cs, zum Verschwinden zu bringen. Sollen Z B die Grössen C4 C Cxz zu Null werden, so reicht es nach S 94-aus, dass Sı So, S verschwinden. Das giebt ein System von homogenen Gleichungen, die, wie im vorigen Paragraphen gezeigt wurde, der Reihe nach vom Grade 1, 2, 3, --- « werden. Dieses System ist aufzulösen, wenn die Forderung befriedigt werden soll. Wollen wir demnach etwa C = 0 haben, so brauchen wir nach (8) nur — 989 = U 8 F MS A 4 d UmSn zu erfüllen, d. h. es wird zu setzen sein DU (z E s,) + u (z2 m s2) + A Uı (z"“‘ n s„_1). Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen. 123 Soll gleichzeitig 0, = 0 werden, dann muss auch S, zum Verschwinden gebracht werden. Dies erfordert schon die Auflösung einer quadrati- schen Gleichung zwischen den (n — 1) Coefficienten u,, U, Un—1- Auf diesem Wege kann man die Gleichungen dritten und vierten Grades lösen, indem man sie auf reine Gleichungen oder auf Gleichungen nıederen Grades reducirt. Ist zunächst die Gleichung dritten Grades P —OE F 8=0=0 gegeben, dann kann man ug so bestimmen, dass 0, = 0 wird. Dies geschieht, wie eben gezeigt wurde, durch die Annahme al q‚=u‚l(z—gsl)—{—uz<zz— 3 a Bildet man dann S, und setzt dies gleich Null, so entsteht U,“ (382 — 81") F Q, (385 — 5,52) 4 7 (3s4 — 5°)=0. Hieraus folgt durch Auflösung C —8 = [(5132 — 889) F V1 3Z] Ug9, wobei zur Abkürzung So Sı 59 Sı 53 S3 1 S9 Sg Sa gesetzt ist. Demnach wird die Substitution g = [(% — 35) +V— 324182 —s) + Oa 52) Br —a die vorgelegte Gleichung dritten Grades in die binomische Form D 0 transformiren und dadurch auf eine reine Gleichung reduciren. — Ist zweitens Z GFa u=0 gegeben, dann wählt man ähnlich wie soeben, um © = S, zum Ver- schwinden zu bringen, die Funetion D l (Z 55 i 31) an (52_ Z 32) + Ug \23 4 %) und sucht nun w so zu bestimmen, dass C, verschwindet, und also S” — 38,8, + 28S; =0 oder hier einfacher S wird. Das erfordert die Lösung einer Gleichung dritten Grades für ı; vierten Grades in die Form die hierdurch entstehende Substitution führt die vorgelegte Gleichung (D4+C2(D2+0420 124 Zehnte Vorlesung $ 115—116. und diese vermittels &£=: ®? in eine quadratische Gleichung über, von deren Wurzeln aus man dann leicht rückwärts zu Z Za 3y Bq gelangen kann. $ 116. Wir wollen dieselbe Transformation (7) für die Gleichung fünften Grades E 1 - —GFE — aa 5 0 verwerthen. Hier nehmen wir zunächst wieder tp=zq(z'— sl>—{—uz(z?—gs?)+u3(z3—333>—{—1(4(24 «34>- Bildet man damit S,, so entsteht eine homogene Function zweiten Grades. In %,, Ua, Us, U, eine sogenannte quadratische Form der vier Grössen u. Um die Untersuchung hier nicht zu unterbrechen, nehmen wir ein in $ 172 abzuleitendes Resultat als bereits bekannt an, dass eine solche quadratische Form von vier Variablen in die Gestalt einer Summe von der Form Z z &U7 = ‚.26i (a $ Bıg + yıls + 01u4)? gebracht werden kann, wobei die Anzahl der summirten Quadrate unter Voraussetzung der linearen Unabhängigkeit der Grössen &; U, F Bilg F Vlg F ilr nicht grösser als vier sein kann, und wobei die Coefficienten &; von den Variablen u unabhängig bleiben. Die Gleichung S, = 0 oder die hiernach umgewandelte Gleichung (10) a Ha a LUr =Z0 kann man dann in die beiden linearen Gleichungen Vg1 0 =V-&0,, V‘;?‚U3="V'“S4U4 zerfällen. Aus ihnen gehen immer nur lineare Beziehungen homogener Natur zwischen u,, U, Ug, U, hervor, durch die man, wie bei der Gleichung dritten Grades im vorigen Paragraphen, die Forderung S, =0 befriedigen kann. Trägt man die so erhaltenen Werthe in S; =0 ein, dann erhält man eine homogene Gleichung dritten Grades zwischen zwei oder mehr Variablen w; wenn man hier eine derselben als Unbekannte betrachtet und sie aus dieser Gleichung bestimmt, dann hat man Ci, C,, Cz zum Verschwinden gebracht, und die Gleichung für @o geht in die Form (11) ®5+C4@‘—'05=0 über. Wählt man statt der Gleichung C = 0 die Gleichung AD EL 0, Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen. 125 welche in Folge der schon erhaltenen Beziehungen S, = © Sy=0 sich in SG verwandelt, so hat man nur eine Gleichung vierten Grades aufzulösen, um die Gleichung für @ in die Form (12) DL CDC DG zu bringen. Wir haben bei diesen Umformungen keinerlei Gebrauch davon gemacht, dass die Gleichung in z gerade vom fünften Grade war. Alle unsere Schlussfolgerungen beruhten einzig auf der Form der Substitution D =U, (z——gsl) + (22—%82)—|—u3 (z3— gs3) +u4(z‘*— 5 s,)- Der Umstand, dass bei Gleichungen höherer Grade die Anzahl der u7 und der U, eine höhere wird als 4, macht offenbar gar nichts aus, und deshalb gilt das erhaltene Resultat allgemein. Man kann durch Auflösung einer Gleichung vom dritten oder einer solchen vom vierten Grade die Gleichung (2) für @ auf die Form Dr + C4(D:L—4__ CÖan—5 + A i_ C„ =0 bezw. auf D OD OD O — reduciren. Wenn man in die Gleichungen, welche beim fünften Grade er- halten werden, statt ® den reciproken Werth é als Variable einführt, erhält man die ergänzenden Darstellungen DD , (13) NL Z Auf jede der Formen (11), (12), (18) lässt sich demnach die allgemeine Gleichung fünften Grades stets reduciren. Die hier besprochene all- gemeine Transformation stammt von Tschirnhaus und führt seinen Namen; die speciellen durch (11), (12), (13) gegebenen Resultate hat Jerrard, ein englischer Mathematiker, abgeleitet. Setzen wir in ( (12), (13) für ® ein bezw. ®.V0,, <P-f/ä„ ®'12/-1:2> GDE I” , dann kommt man auf eine der, nur einen Parameter enthaltenden Formen BED D DL D D 0, Adi<-e für tabellarische Lösu ng der Gleichungen fünften Grades verwendet werden können. 126 Zehnte Vorlesung 8 117—118. $ 117. Wenn wir aus der Theorie der quadratischen Formen noch einen weiteren Satz benutzen ($ 174), dann können wir auch über die besprochene Art der Transformation für die Gleichungen fünften Grades noch andere Aufschlüsse erhalten. Das Theorem, welches wir gebrauchen wollen, ist das folgende: Wird eine quadratische Form von % Variablen auf verschiedene Art in eine Summe von Quadraten umgewandelt 281 (D 2m V bei der erstens die U, (und die V;) von einander linear unabhängig sind, und zweitens alle eingehenden Constanten reelle Werthe haben D so ist die Anzahl der positiven sowie der negativen & (und n) von der Art der Bildung der Summe unabhängig. Lassen wir nun für die Gleichung fünften Grades in £ ö nur reelle Coefficienten zu und setzen P= 0 F 42 + 02 + u 2 + u e*, so wird S, Sag f Sı U1 A Sag A S3Ug A SaUa, 2 s}(‚'(s°"° E U ea “;‚ S12 S Ü"(“n U4), wobei % eine quadratische Form von 4, u‚ bedeutet. Da gemäss der Definition S D A OE s“ ist, und da einer reellen Wurzel z, auch ein reelles %„ entspricht, während eın conjugirt complexes Wurzelpaar %ı = m + in, u = m — in die Werthe Yı = 0 + 0o6, P i6; Dır f Oa —200 20 liefert, so geht S, in eine der Formen mit reellen Constanten S = @ 4 %F D F D *, S a R e 20 S y O2 2 2 über, je nachdem die Gleichung fünften Grades in den z nur reelle Wurzeln oder ein, oder zwei complexe Wurzelpaare besitzt. Nach dem herangezogenen Hilfssatze wird also die Umwandlung von % in eine Summe von Quadraten entsprechend stets zu den Formen führen N Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen, 120 Sı = 64 OR4 U U D, 3l S‘) 2 BL F5 ‘5'12+ U12+ Uz2+ U32"" Uf7 Sg/// A Disponirt man jetzt, wie dies oben geschah, so über die Constante Wo) dass S, verschwindet, dann erhält man entsprechend den angegebenen Realitätsverhältnissen der Wurzeln Sa =U + 0 + 04 02, Sı U12 + U22 + Ü'32 C U427 Sé” E— W — — Ü Die Methode der Gleichungsauflösung von S, = O, wie sie in (10) angedeutet ist, führt also lediglich‘ im letzten Falle, d. h. wenn die Gleichung fünften Grades nur eine einzige reelle Wurzel besitzt, dadurch, dass man oder U= U 0O= 0 U1=U4; U2=U3 setzt, auf Gleichungen zwischen den ı, welche reelle Coefficienten haben; in den beiden ersten Fällen werden die Transformations- constanten complex ausfallen*). $ 118. In allen bisher durchgesprochenen Beispielen haben wir @ lediglich als Function einer einzigen Wurzel z angenommen. Wir wollen jetzt zu dem allgemeinen Falle übergehen, in welchem @ eine Function mehrerer Gleichungswurzeln ist. Zuerst sei für die Gleichung vierten Grades # —48 FQ —0860 =0 die Funetion vorgelegt ® 8 f Aa Man findet dann o = 3, und als die drei Werthe von ( D Aa a Dı — 8183 A 2a84, P3 — 184 T R8 - Hieraus entstehen die elementaren symmetrischen Funetionen der drei @ Oı E S(2%) = G, P, O2 4 Pı + OO = S(2125223) e —A E Pı P2P3 —— S(2, 27 23?) + 108324 S (2,) E *64 — 469604 + G, und also wird die gesuchte Gleichung R D —— DG - e) DE e -C4 + @)= 0 %) Sylr\;ester: On the so-called Tschirnhausen Transformation. J. für M. Bd. 100, S, 465 ff, 128 Zehnte Vorlesung 8 118—121. In gleicher Weise sei für die Gleichung vierten Grades die Funetion A Z vorgelegt. Hier findet man o = 6 und die sechs Werthe von w Yr s D W SR ar s Aa V s —B —B Ray Vs= —01 Ba Ba Ba, Ve= — 81i 2 83 — - Man erkennt sofort aus den Identitäten 1/’1+1/’4=0; 2,b2+1‚115———0‚ 1!13+1116=0, dass die Gleichung sechsten Grades, deren Wurzeln %,, %. Sınd, von der Form LO CO sein wird; das Gleichungspolynom kann hierbei in der Gestalt @ y Ca VL 3?) geschrieben werden, und daraus ergiebt sich G =3(82)i — 88 (0.4)= 361 86 C = 36“ — 16676 4 166? + 160,06 — 6464, G = 00 %) = ( — ACr6 a SC)i P 86 — 86) P - (Bo* — 16670 AA60 - 1607r 640 E 2 2 — ( — 4616 + 86,)* = 0. $ 119. Wir suchen ferner für die allgemeine Gleichung u*" Grades die zu der Funetion (p=zl+z2 n(n — 1) gehörige Gleichung zu bestimmen. Fün- e ıs o = Z » 2 und weiter folgt für die S o = m— Ys,, 2‘1’12 = 0 > DA 225152; Z‘PÄ3 = @— 19 3221222; Z Hieraus s1:nd. démn C'„.C’2; nach unseren früheren Formeln zu berechnen. $ 120. Jetzt sei O = (& — %)'; nn n ) werden. dann: wird .0 = Wir wollen auch hier zuerst S,, S, : So bilden; von da aus kann man dann mittels früherer Formeln 129 Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen. zu , den CO - © übergehen. Dabei verfahren wir nach dem Vor- Wir setzen gange von Lagrange folgendermassen: hn(2) = ( — aır + (2 — yı A ( — an Wenn man für z der Reihe nach %,, %, - Zn einträgt und die er- haltenen Gleichungen addirt, zeigt sich, da S =2 @— aı ıst 7 a Andererseits ist, nach Potenzen von z geordnet, A = 0R Ys D 21)L\2")‚——-1)8 12 2Z2m—2 COI RE + 7132‚„, und deshalb geht der letzte Ausdruck über in 2m(2m — 1) 2Sm = NSam — 2MSSam _ı + al 2 SE S 2m(2m — 1) E S = D ZM S Sam —1 A 2 3252m—2 (n 2m(2m — 1)---(m + 11) S]H, SIIL 2 E DN|= 1-2...m Von hier aus muss dann der Uebergang zu den U gemacht werden. Für die Gleichung dritten Grades —a F 02—0=0 findet man auf diesem Wege zunächst als Werthe der S Sı = 388 — S = 207 —66, S —351 — A 320 e 1862 Sı = 356 — 6855 + 15528ı — 10s;? —260 1050 — eba - DlePe - be.o, —600 = Dlr und daraus weiter als Werthe der C Ö = S =260"—66, C =— - (Ä_SLT‚ *$Z Z 2 014 “ 601202 Z 90227 == CO C 3 A OO B e — de) e Hierdurch ist die Bildung der Gleichung für ® vollendet. $ 121. Ferner betrachten wir das Product aller Wurzeldifferenzen q)= (ZÄ Gx Z.“) ’ An ÜE Für diese Function ist o= 2 und Cr =0. Denn macht man irgend Netto, Algebra. I. 9 130 Zehnte Vorlesung $ 121. eine Umsetzung der z untereinander, so reproduciren sich alle Factoren bis auf ihr Vorzeichen; es können also höchstens zwei Werthe @, und P, = O, auftreten. Dies geschieht aber auch wirklich. Denn wenn man iın dem ausgeschriebenen Produecte @, = ( — %) (1 — %) @ A @ — Z) ( — 83) ( — Bı) : ( — Z) &— :z4) E (Z3 = .(z„_1— Zn) die beiden Elemente z, und z, mit einander vertauscht, dann wechselt der Factor (z, — %) sein Vorzeichen; die übrigen Factoren der ersten Zeile gehen lediglich in die der zweiten über und umgekehrt; und die Factoren der folgenden Zeilen bleiben überhaupt ganz unberührt. Es ist also in der That &, = — @,, und daher 0 =2, C,=0. Für G, welches wegen U, = 0 mit 3 S, übereinstimmt, entsteht H ( d C L u23 D: A Es ist dies dasselbe Product, welches im vorigen Paragraphen als letzter Coefficient der dort behandelten Gleichung auftrat, und für das Man kann leicht den also bereits eine Herstellungsmethode vorliegt. Ausdruck für dieses Product in Gestalt einer Determinante angeben, deren Glieder aus den S, Sı, S) gebildet sind. Denn bekanntlich ist nach elementaren Determinantensätzen 1E 21n A K E n(n—1) 1252° Ba O i Beng Z n—1 r und daher finden wir L& 2'1"_1 | Z % Zn Z ZZ7'_1 q)—_....— Zln-—-l 2 n—1 z"_1l ME Z„n-— 1 S9 SS Sp—1 Sı Sa Sg Sn Sp—1 Sn Sna+1 San—2 Diese Determinante kann man nach der in $ 79 bereits benutzten Methode umwandeln. Wir wollen es an einem Beispiele zeigen. Hs ist Transformation der Gleichungen vermittels der symmetrischen Functionen. 131 0 0 ISO Sı Sa A Sı Sa S58 Z C Sa S3 Sa | S59 Sı S> o z C +C2 ‘ ä ä Q S9 Sı Sa S3 _cl \SO i Sı Sa S3 Sa 0© © 0 1 Führt man die Multiplication aus und wendet die Formeln ($ 91) an Sı G59= — 26,, S Sı T S0 , O3 T dann entsteht das Resultat _cl G Cg 0! e C Z} 0! C C C 0 O @ O C C —6 T S C G C Cz Z C 00 3 261 Gl 3 OLG © 0 !‘ —Z 2 03 R 0 03 280 0 ‘ 0 0 —26 C 0 I8 206 0Q | 00 &. Z0 @ Dieselbe Methode lässt sich allgemein durchführen und liefert die ge- wünschte Umwandlung in der Form einer Determinante aus den c,;, von der Ordnung (2% — 1): L C 0 0 O 0 C 0 00 Il 0 0 (n—1 Zeilen) n_(f—l) 100 0 Cn—1 Cn qu E (_ 1)_ 3 n (n—1U)ce, (n—2)6 On (n—1)e @© Nn 0 0 (n Zeilen). 0 \l OE Z Wir wollen endlich noch die Berechnung von @* mit Hülfe der oben (& 102) besprochenen Cauchy’schen Methode für die Darstellung symmetrischer Funetionen herleiten. Aus der Gleichung MO Z —°— ic„=0 stellen wir die Gleichung (n — 1)*" Grades her (vgl. 8 A0 f (@) Z — Z Z C n - O welchen 2 Zn als Wurzeln hat. Wir nehmen an, dass für diese Gleichung bereits das Product der Quadrate der Wurzeldifferenzen 9* 132 Zehnte Vorlesung 8& 121—122. Elfte Vorlesung 8 123. (Z2 S Zö)2 (Z2 GE 2'4)2 E6 (Zn——]_ Kn Zn)2 AD Vn—1 bestimmt sei, d. h. dass V„_, als Function der Coeffieienten der letzten Gleichung ausgedrückt vorliege; diese Darstellung möge angedeutet werden durch V (CI) OE Dann ist das gesuchte Product @* für die Gleichung n“ Grades C A z D C ) COA T (f,(‘71))2 D (C„ C 51) e e Da en 2)ar LG N Der so erhaltene Ausdruck wird nach geschehener Multiplication eine ganze Funetion von 2, mit Coefficienten werden, welche aus c,, Cay .. C„ rational und ganz zusammengesetzt sind. Wenn man ihn nach 8 101 durch Verwendung von f(2,) = 0 auf den Grad (n — 1) in z, reducirt, so geht er als symmetrische Function ($ 105) in eine von z, unabhängige Funetion der c2 über; und diese giebt dann das gesuchte Resultat. Wir können die angegebene Reduction dadurch ausführen, dass der letzte Ausdruck für V, durch Division mit f(z,) in die Form Yı =Q-f(@) + R(e,) = R(2,) gebracht wird. Dann wird in dem Reste K(g,), der ja bei einer be- liebigen Funetion V, bis zur (n — 1)* Potenz von z, aufsteigen könnte, 2, gänzlich verschwunden sein. So ıstı beı x — 2 der Wertk Z — U und C O R Z ÖO Für n ==3 ergiebt dieselbe Methode Vı=Be 20 4 ) er A Alı— Ga anl — (92,*— aa de? - 66)2 — A062 + (3 F 262 464 — 40) _ IDA —272° + 5402° — (276,? + 546) 2,* + (726,6 — 40,7)2,* ABa A e A e a (g — e + O8 — 6) (—272+4+ 27687 — 276,8, — 464 186,6— 276;) — 4690 4 626 4 18662603 — 46° — 2763 so dass also das bereits oben gefundene Resultat Yı = — 46368 + 6 + 186066 — 463 — 276;? hier wieder heraustritt. ä 122 Zum Schlusse behandeln wir die Aufgabe, diejenige Gleichung herzustellen, deren Wurzeln alle m-n Producte je einer Wurzel z2 der Gleichung m* Grades 9 Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Functionen. 13 } B a und je einer Wurzel y, der Gleichung n'® Grades Y —O E 0 sind. Bezeichnen wir die Wurzelsummen der x, und der yı bezw. So =äx;' und 6 -Du u=1 dann werden die Ausdrücke % =%7«’”fi?/i z 6m'n die Wurzelsummen der gesuchten Gleichung, und aus 6,, &,, lassen sich die Coefficienten Cc,, C Cmn derselben herstellen. Ein- Wir bilden facher ist folgende Methode. N l l ( — Quyaat E ya 2 a„y7) = 0, A=1 Der unter dem Product stehende Ausdruck hat die Wurzelpunkte X1Y2, XaYı, : AmYı, und also besitzt die Gleichung als Wurzeln wirklich alle mn Producte x,yı. Dasselbe ergiebt sich natürlich auch in der Form „»[ (y" — brg ! + beazyr72 —.. b.ar)=0. Z=i Führt man dann die Multiplication in einem der beiden Ausdrücke durch, z. B. in dem ersten, so werden die Coefficienten symmetrische, ganze Funetionen der yı und also durch die b; darstellbar. Die in S 111 befolgte Methode kann als Anwendung des hier Behandelten aufgefasst werden. Elfte Vorlesung. Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Funetionen. $ 123. Die umständlichen Rechnungen, durch welche eine Sym- metrische Function vermittels der elementaren, symmetrischen Funetionen ausgedrückt wird, lassen in manchen Fällen eine nicht unwesentliche Abkürzung durch die Benutzung von Differentialeigenschaften zu, auf deren Besprechung wir jetzt eingehen wollen *). *) Vgl. hierzu „Theorie d, binären Formen“ von FaA di Bruno. Deutsch v. Walter. Leipz., Teubner.. 1881. Erster Abschn. S 134 Elfte Vorlesung $ 123—124 Wir legen dabei wieder die Gleichung n Grades (D) e O +a4=0 mit den Wurzeln (2) %1 %, %89 Zn zu Grunde und bezeichnen wie 'oben die Potenzsummen der Wurzeln mit 02 S17 27 Sry ? wobei ___Zr+zr_'_ +Z7 (r=0,1,2 ) wird Gelegentlich kann, früheren Betrachtungen entsprechend, ” auch negatıve, ganzzahlige Werthe annehmen Jetzt ersetzen wir in (2) alle Wurzeln z durch die Grössen (3) RC D %s A S @ 28 + ZT; hier soll %@ eine positive, ganze Zahl, und £ eine Variable bedeuten Dann erhält man an Stelle von S, Sa, Ss, die neuen Grössen 2(23 +ZU'=5 +s (4) 2(@ O FG + 2S,+1t —l— Sai O + 331+9t + 39‘21+1t + 53;t3 2(»% + 21} Weiter haben wiır noch zu berechnen wie die Coeffieienten c der Gleichung durch diese Annahme deandert werden An die Stelle von Ci) Car Cs) treten der Reihe nach die Ausdrücke e+aß, Deatataetrat, X@+A0a@+0@-+20), d. h. aufgelöst Yz1 +Zz; ; Zz Z +Z 2 8 +Zz' Z Zzl 288 +Z Z Qgl +Zz‘ 2nl +Zzl D Nun kommt es uns in diesen Ausdrücken, wie sich gleich zeigen wird, nur auf die Coefficienten von 4 an es reicht sonach für unsere 2, durch die c darzustellen Man hat Zwecke aus Zz A0g SiCy— 1 Z; 288 Z +Zzl+lzgzg zv—l; O Z = “ Z1——2) —Zz'+12223 z„„—Zz“T“’ + Si+ 2Cy—3 s +2 RD — +2zl+%„ ZI—3; '+' 8L+1—-261 — +Z”1+'_22 +2;z‘+'_1 +Sz+1—l S +2‘ZI+V_I 135 Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Functionen und daher durch Addition aller dieser Gleichungen (5) Ez' D SO OE PE E Folglich treten an Stelle der cx die Grössen (6) Oar ( i SEA En — + Sz+a——l) b + $ 124. Betrachtet man jetzt eine symmetrische Function R der Grössen z, die wir durch die 2,, Zn ‚ durch‘ die 6, Cn dürch die SS Sr ausgedrückt folgendermassen bezeichnen wollen = Rı(&, %) = Ro(C, Cfl) WE R (31; S9) Sr, ) und setzen in dieselbe für die z die Grössen (3), für die s die Grössen (4) und für die c die Grössen (6) ein, dann stimmen in den entstehenden Ausdrücken für Rı, R,, R3 die Coefficienten der einzelnen Potenzen von t überein Insbesondere wollen wir die Coefficienten von t be- trachten Man erhält hierfür ÖR z 31?1 Z E Özl n Ol 0 Üc + D <s‚„ s„„) E (Sl C SL+101+31+2) + —_ 1+2 1+1+3 „ Sz+2+ so dass also die D1fl‘erent1al°‘lemhung entsteht n R O Na Qa Z AZN Ä=1 2(801 ÜE )*** 2“18i+1—1g A=I S In dem besondern Falle i = 0 geht (7), wie man leicht sieht, über in @) 2(n—i— al —Ä)cl_l _ZÄS)'_I Ös Aus der beheb1g grossen Anzahl dieser Gleichungen kann man nur u wesentlich verschiedene herausheben Setzt man nämlich z=0, 1 2) n — 1, dann folgt wegen der Recursionsformeln Z 2 — 627 E alr CS = Gl AA C2Zn 1+ C3Z"_2 + C7Lz}., wie schon früher gezeigt worden ist Sn G OS S E O9 Sp+1 = CGSn T C + CgSp—2 — SE 136 Elfte Vorlesung $ 124—127 und daraus ersieht man, dass die Gleichungen (7) auch für i=n gelten, wenn sie für i =0,1,2 n+1 (n — 1) bewiesen sind In gleicher Weise kann man auch rückwärts gehen und für i= —1 —2 Formeln aufstellen Für i= — 1 ergiebt sich, wenn c = 1 eingeführt wird RO ÖR ÖR z 2, 02 läc (S_16, So Co) 3 - C Co) + S lös ZÄ 1 „— Nun ıst nach S 112 C n—1 c2 n—1 2c 3C S_ı = 7, C SE 2 n und aus (5) folgt für i = 0, was schon bei (7°) benutzt wurde SoCy—1 S1Cy— 2 f S2Cy—3 — + 31—100 (%—-—'U+1)C„ il Dadurch erhält man dann für @i = — 1 das Resultat d aa D OR Za 08 n—1 C <Öc Ka e > 2("+2 Ä)cl“23 i=2 cn—1 ÖR ÖR —. D ÖS; -|-ZÄ A i=2 ÖS $ 125. Wir haben bei der Ableitung der Formeln (7) nur die Beziehungen der z der c und der s untereinander aber keinerlei Voraussetzung über die Natur der Function R benutzt Folglich gelten die Formeln (7) auch nicht allein für symmetrische Functionen R, sondern für jede beliebige Function der Wur- AD S Z., die sich ja, wie die Wurzeln selbst, nach Auf- lösung der Gleichung f(z)== 0 durch die c und also auch durch die s ausdrücken lässt Nehmen wın z. Bn =2, R= 7, S0 wird (Cl F Vc1 —4"2) n ”(31 S V292—31) ÖR C D ıl K ÖC Ve?—4c, O FE ÖR E ÖR 1 l SS — —Z ÖS; V2sz u S‚ 0S V2s — Vsl’ } —— Va —46 = V2s —S = 2 — %- Dadurch geht (7) über in die Gleichung Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Funcetionen. 137 Cr —1 z;'=s„-%(l+ ) A e 8) AT Z äl =Ö'i5 ( ı SO Z % ) + Si+1 A und man überzeugt sich sofort von der Richtigkeit dieser Gleichungen. $ 126. Wir wollen nun untersuchen, welche Beziehungen durch (7) zwischen den z und den s fixirt werden, d. h. wir wollen das System der partiellen Differentialgleichungen (7) integriren. Setzen wir s für R ein, so entsteht Nn 010 (8) ( V= 2 3 ä = ksk+i—l h== 112 B 00 } und zu diesen Gleichungen wollen wir noch die für 4& = 0 hinzu- nehmen, indem wir s = n einführen. Die allgemeine Lösung von (8) soll durch die Funetion s = @ geliefert werden, so dass Zi_k Z A 02 F kak+i—1, und im Besonderen für i = 1 auch Pz Zn W ıst Gehen wir von diesen Gleichungen in bekannter Weise zu dem simultanen Systeme von Differentialgleichungen dz d2, d — Z N d z Z An kopz, über, so erhalten wir als erstes Resultat, dass das allgemeine %z eine homogene Function der 2,, %, 2„, von der Dimension [ wa 8 127. Aus %, lassen sich durch (9) D Ö, PrıT= A 02, alle übrigen @; berechnen. Liegen zwei Lösungssysteme für (8) vor, dann giebt die Summe entsprechender Funectionen ein neues Lösungs- system., Hs reicht daher aus, einen einzigen Summanden wl == g‘;’: z‘;z Bn (“1+“2+"'+“n=1) von @, daraufhin zu prüfen, welchen Bedingungen er unterworfen werden muss, um (8) zu erfüllen. Dann hat man die nothwendigen Bedingungen für die Bildung von , und kann daraus jedes ; zu- sammensetzen. Aus (9) folgt, wenn wir die besondere Form von %, zu Grunde legen, 138 Elfte Vorlesung 8 127—128. n Yıri—mı= r E C v=11 und aus (8) dann n 5k—1 E = 1P12n: BT 12n;06 MM L 1)w12a„z;'‚+k—2‚ AÄ=1 u=1 y=1 so dass den beiden Resultaten gemäss für alle Werthe von i und k und alle beliebigen 2,, %, Z die Gleichung R „i—1 WE Z Z u=1 u A Za gitk—2 VE befriedigt sein muss. Daraus ergiebt sich sofort das Bestehen der Bedingungen 2 G Z Q Z (u + v), und diese Gleichungen sind nur durch die Annahme zu erfüllen, dass eins der «x gleich 1 wird, während die anderen gleich Null sind. Aus dieser Speciallösung gehen nun, wie schon erwähnt wurde, durch lineare Combination die allgemeinen Lösungen von (8) in der Form Pr Za , O ok (Za=1) hervor. Die in Klammern hinzugefügte Bedingung folgt aus , = n Wir wollen diese Ausdrücke in Rücksicht auf ihre Herleitung durch S, bezeichnen und deshalb (10) Sı = q er + er + . + a (Sw—) setzen. Die Sz sind also die allgemeinen Lösungen des ge- sammten Systems (8). Construirt man zu diesen S, nun Functionen C4, welche von ihnen so abhängen, wie die c, von den s;, dann liefert dieses System die allgemeinen Lösungen von (7). Denn erstens ist es klar, dass es Lösungen liefert. Zweitens erkennt man, dass man von den all- gemeinsten Lösungen der aus (7) stammenden Gleichungen n Ö6 Z zl D ä A Z 0 OE T &, An O5 ( Z ist symmetrisch in den ) «) («) umgekehrt zu den Lösungen von (8) kommen könnte. Folglich liefern die construirten C die allgemeinsten Lösungen. Man hat also den Satz: Durch die Funetionen (10) Sp = a,8° + a8f + : + angt A und die aus ihnen abgeleiteten 139 Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Functionen CZ A D (10* MO Z Na 41 0, =S* — 68}8 + 888 + 3585 68%, werden die allgemeinen Lösungen des Systems (7) geliefert $ 128, Die Darstellung der durch (10*) bestimmten C vermittels der z kann man einfach durch die symbolische Gleichung (11) A1 0, = (a %, + %2 F + @n8n)® darstellen wobei die symbolische Potenz z@ durch die wirkliche Potenz 47 und der symbolische Ausdruck a& durcht a 1) (@u ) (au—Ä'+1) zu ersetzen ıst m @ zu beweisen ehen wir auf $ 94 zurück. Setzt man dort in die Formel (10) statt jedes Su unser a + e + + a z und geht dann den daselbst eingeschlagenen Weg rückwärts, so kommt man zu der Gleichung 1—02+60,# C + 2 ag log (1 —zg2) (11°) =(1—2,2)“(1—22)% (1 — 2.2)% , durch welche auch schon der Zusammenhang der € mit den 2,, %, einfach festgestellt wırd. Durch Ausführung der Potenzirung und der Multiplication auf der rechten Seite erhält man, wie behauptet wurde AUG An Z © \ al ) m (%, + %2 + 7 %n = 4) Er x ! a (a —1) : ; (@ —4 +1) (%) 7 A % atı) z%ı akn) P da %r (x) 73 (a121 + A98 + + a’nzn)(l) Fordert man von den allgemeinen Lösungen von (7) weiter noch dassı nur Or ©,, C von Null verschieden seien, während C„.1, gleich Null werden, dann zeigt (11%), dass sämmtliche a,, q,, ganze Zahlen sein müssen; und da ihre Summe O‘le1ch n ist, so liefern dann die Potenzsummen s5s= a + k + E 140 Elfte Vorlesung 8 128 —130. die allgemeinen Lösungen, sobald man auch die Gleichheit mehrener der 2 Z Z untereinander gestattet. $ 129. Nachdem durch die Betrachtungen des vorigen Para- graphen erwiesen ist, dass die Gleichungen (7) charakteristisch für die Beziehungen der 2;, c2, S sind, so ist es klar, dass wesentlich neue Differentialgleichungen überhaupt nicht neben (7) treten können. Trotzdem wollen wir hier noch einige ableiten, deren Formen hin- reichend interessant sind. Statt der Wurzeln 2,, , Z führen wir jetzt in (1) die Grössen (12) A N f2) % ein und untersuchen, wie sich erstens die Potenzsummen und zweitens die Coefficienten der Gleichung dadurch ändern. An die Stelle von Sx tritt die Summe le—|—'i—l f (@) + ) Die Euler’schen Formeln ($ 38) zeigen dann, dass für (x + i — 1) <(n—1) der Coefficient von £ gleich Null und für (x + 4 — 1) = (n — 1) gleich Eins wird. Weiter folgt, unter Berücksichtigung von (1) und mit Benutzung einer Bezeichnung, welche der in $ 87 eingeführten analog ist, die Richtigkeit der Gleichungen 4 Z _C!(ln—l) 2‚;1—1 a 07(Ln—2)2‚711——2 Sa f (%) Z f (&,) “ 06-9, % —— V OCr ” 1 2)z;t——2+... — 2 — (0m—1) n+1 ? f (&) z (n—1) l n—2 z;z+a——l ©) n:y-i:ya— 1%1 AD NL GLE E 'C(n—2). ‚"f‚+a_ ıl Zl Z z HE aD B a—17 'f'(f‚)f /"T(a> und es ist also an die Stelle von s,, S, -. der Reihe nach zu setzen unter Fortlassung höherer Potenzen von £& OO Si) Sa ° Sn—i—1, Sn (” Z) n—1 b Sn—i+ı FNn—i+ 1)C£"“”t‚ (13) S @ C(n—— 1) o i+a— wobei CD = 1 genommen werden muss. Jetzt kommen wir zur Berechnung der Grössen, welche die c ersetzen. Es geht Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Functionen 141 CC +Zf(z) 1(22+Z‚+ TE O ID G, —i—2 @ a DA Zl+cl)t f'(&) Y (2233 a Z (21 C In 6 + )t=53+2 ED A Z 121+02) $ f (& (C 1 W über so lange der höchste Exponent im Zähler des Bruches unter dem Summenzeichen <(n — 1) _ ist verschwindet nach dem Euler’schen Satze die Summe Für c„—; erhält man dagegen n—i— l_c n—1—2+ +cn—z——1) OE 1)"—1_12 e f (&) = C„_s + (ü 1)n—1——1t und weiter für C i Ca Hp + Zı %i b Cn—i+1 E 2 E f Gr ( —l n E = CLE 2 f (@) Ü= cn—z+l; n +1 Cnp—i+2 + Z Zl mLEL Ü f (&) 1—1 7l—1+2 3l b E f (&) Cn—i+2) u.s.f. Es tritt demnach an die Stelle von c, Ca, (14) wenn &« +n —i Oaa Ar ( 1G WEn &’ = —0 ıst, Nimmt man nun wieder eine symmetrische Funetion der Z drückt diese auch als. Funetion der cı und als Funetion der Sı aus, führt dann die Grössen (12), (13), (14) ein und vergleicht die boeffi- cienten von € in den drei erhaltenen Darstellungen, so ergiebt sich Z En OI ÖR ÖR (15) f (&,) 02 S ( 1)7L—1—1 _2k Cm—y) k+i—1 ä TE k=n—i C=0 0 ) $ 130. Es lässt sich auch direct zeıgen, was oben durch all- gemeine Schlüsse erkannt wurde, dass (15) gegen (7) nichts wesent- lich Neues liefert. Man kann namhch den Quotienten 2%: f’(z,) wie eine jede gebrochene Funetion der Wurzel , in die Form einer ganzen Function 142 Elfte Vorlesung 8 130—182 E bringen ($ 108); dadurch geht die linke Seite von (15) ın die Gestalt 2(“0+ Oal Ar Ca A “n—-15n—l) 32 über, und dieser Ausdruck lässt sich aus den linken Seiten von (7) für VED zusammensetzen Bildet man für die mittleren Aus- drücke von (7) dasselbe Aggregat so _ muss der mittlere Ausdruck von (15) entstehen, denn sonst hätte man eine für alle Functionen R ıdentisch erfüllte Gleichung ÖR =0 pläc +1Äßc+ +Pngc die ja offenbar nicht bestehen kann, wenn nicht alle p= 0 sind Für die Ausdrücke rechts gilt das Gleiche So erhält man z. B. für n — 2 aus (7) ÖR ÖR ÖR r löc} 02ı Ö& ÖR ÖR ÖR ÖR G S 200 %1 07 R 02 Andererseits ist für die Gleichung zweiten Grades al ül P SO Z mı — 26 j (z1) 22 FA — 4C, @ ce,}1—4c, Multiplieirt man daher die Gleichungen des voraufgehenden Systems in geeigneter Weise, so entstehen die zu (15) gehörigen Gleichungen ıl ÖR + 1 ÖR ÖR f (&) 3z1 f (@) ) 0% ÖC 1 - Z ÖR ÖR e ozi +r (Z) ÖIZ‚ 35 D $ 131 Die verschiedenen Gleichungen (15) wollen wir unter- einander combiniıren. Es besteht (vgl. $ 87) für die C die leicht ab- zuleitende Beziehungsreihe e —e OD LO 00—9, CD _ 00-DE @ 00 = + k—2 C(n —4) e La CO S cg C("—1) Combinirt man demgemäss die Formeln (15), dann erhält man Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Functionen 143 ÖR CL e ÖC \ ÖR n—2) EL (n — 1) 2 _Z‘(„ +4KC k=1 +*—läs+k’ ELr ÖR C ÖR ÖR C ÖC G ÖC e (16) ÖR ÖR 2) 08 O=2 +2(„+‚„)0„ k=1 R ÖR ÖR 1)71—4 ÖC —6 DE . ÖR _4) ÖR —(”_3)3 n—z3 k=1 Z(„ +*%) 0® +k—1 33 +Ä Hier kann man die rechten Seiten vereinfachen Da - die 0 c © durch SS Sn darstellbar sind, so kann man jedes SA qn—|—2; Sn ratiıonal ausdrücken und braucht also in duxch s S den Ausdruck von R; keine anderen als die ersten n Werthe der 52 aufzunehmen Thut man dies, dann fallen auf den rechten Seiten von (16) alle Summen fort, und man erhält die einfachere Gestalt (16°) =0 Diese Formeln gelten aber, wıe ausdrücklich hervorzuheben ist, nur - dargestellt wird. in dem Falle, dass R frei von Sn-H1> Sa+2) Unserer Herle1tung entnimmt Man 0'1810h281t1°‘ das Resultat, dass die Ausdrücke in (16) bezw. gleich den Summen Y OR B —44 +F OR Z AA © 010 e (°1) äz1 Z f (&) OB Z ALa f (z) Ö0 werden Daraufhin lässt sich dann auch ein directer Beweis nach der mehrfach benutzten Methode geben Setzt man in (16®) für R ein c;, so folgt Ö — —> 0S —— % ( k9 dabei ist c& = 1, und c mit negativem Index 2 Null $ 132 An die Ableitung von (7) in 8 124 sind noch zwei Be- merkungen anzuknüpfen. Für i = 0 hatte man jede Wurzel z durch 8a + € zu ersetzen. Wenn nun die Funetion R nicht nur eine sym- metrische Funetion, sondern zugleich auch eine Function der Wurzel- 144 Elfte Vorlesung $ 132—1838 differenzen (2, — 2g) ist, so ändert sich diese durch die neue Einführung YON. %x -} * für. Z nicht, und es ist.für solche R R(z +t,% + %2 +0)=R @o 2 Zn) Der Coefficient von £ in der Entwickelung nach steigenden Potenzen von % ıst sonach gleich Null zu setzen, und man hat für symme- trische Functionen, die gleichzeitig Funetionen der Wurzel- differenzen sind, (1 ( ) =0 „} Z(n HE l)c;_l _sz‚_l In dem [‘alle dass R lediglich durch s,, S, Sn ausgedrückt emche1nt, ist die Summe rechts nur von 1 =1 bis 1= 12 zu erstrecken. — Für i= 1 hat man jede Wurzel 24 in z (1 + ) umzuwandeln Wenn nun R nicht nur eine symmetrische Funetion, sondern zugleich eine eintypige Funetion S (2< 28 ) Ca Br D ist so tritt zu jedem Summanden von S nach der Substitution der Factor (1 + %)? hinzu, und also ist R(“1 a &n + Znt) = R +o9R-t+ Es ist somit der Coefficient von $ in der Entwickelung nach steigenden Potenzen gleich p- R zu setzen, und man hat für symmetrische eintypige Functionen von der Dimension p (18) 22132 D 2/15; D pR. ÖC, I In dem Falle dass /& lediglich Aurch S,, S, S, ausgedrückt er- scheint, ist die letzte Summe von 2 1 bis 1 = %” zu erstrecken $ 133. Wir wollen jetzt von den abgeleiteten Differentialformeln für die numerische Berechnung von symmetrischen Funetionen Nutzen zu ziehen versuchen Nach den Darlegungen von 96 ıst es stets leicht, vorgelegte eintypige, symmetrische Funetionen $ der Wurzeln als Funetionen der Wurzelpotenzen S,, S, Sn darzustellen; und nach $ 99 macht auch die Herstellung des litteralen Theiles der Dar- stellung von S durch c,, 6, Cn keinerleı Mühe. Setzt man diese beiden vorläufigen Resultate in (16%*) ein und führt die angegebenen Differentiationen aus dann entsteht eine Reihe von linearen Gleichungen dadurch, dass man die Coefficienten gleicher Aggregate der. c%cß c9 einander gleichsetzt Mit ihrer Hülfe lassen sich die noch unbekannten Coefficienten des Ausdrucks der Funetion durch die c bestimmen. KEinige Beispiele mögen diese Vorschriften erläutern 145 Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Functionen, KEs soll 5 = WC6* + 6763 + 19663 A U30* + U4C4 berechnet werden; die w sind unbekannte, numerische Grössen. Aus (16*) entsteht @S OS —4 ——4'=’L(4‚ +3 Z0 Z 00 MC ÖS, ÖS 2 FL OS 0A6a 0 = (44.6,* + 2Ug0) 4 U201” + U4CG, ÖS; 5 ba 0S,; 0 => (44696,” + 24 0,6 + U03) + (U60,” + 2u302) 6, T U TU Ks ist infolge dessen das System der sieben linearen Gleichungen für die fünf Grössen u “4='_4; Ua 0 = 0, U, A u = 0, 2Us + U = 0, 4w 4 u =0, 2u, + 2us + w = 0, U U = 0 zu befriedigen. Man erhält hierfür widerspruchsfrei die Werthe W =1, U .__4’ 1,(2=4:‚ U =25 U und somit wird sı =6* — 4676 + 466 + 260 — 464. Wir nehmen ferner als zweites Beispiel KG L Z — U9C" C4 + Ur 0g 020g + U, 05 F M6° + U4020, + Ug + UG und erhalten hier zunächst die Differentialquotienten ÖR ÖR ÖR Sı D 0S Ci) 0 = — = 20 6, ÖR ÖS SpS2 253 = — @E A0 — O, ÖR —— ö8 S153 — S4 = 076 — G63 — 269 + 46,. Daraus folgt dann weiter durch Anwendung von (16°) __62=f)/6, w = — 12; ö0 = 0G e O = 18 —426 — 6,”) = 46 + U96") F U20,” F 05 W= —3, U = 4; 3(— G° 4660 — 66) = (U41616 4 2U503) + (U46, C6 + W9C,}) e s VE Z E ZUe 2(602 — 46 —26 F 40)= ( 6, C3 F 3UgC,? + u4C4) T 6 66 + 2u563) + 509 w =0, Netto, Algebra. I, 10 146 Elfte Vorlesung $ 133 —135. und demnach schliesslich das Resultat B SA 2 e - TEa Aee, — S0 FEA Als drittes Beispiel wählen wir, um an ihm noch besondere Ver- einfachungen der Rechnung zu zeigen, R S(8, 29 8g 84) = Ugl F U40466 A U90405 E Ug62 E ULCE Denkt man sich S durch die Potenzsummen s ausgedrückt, so treten nur s; mit geradem Index 2 auf. Denn aus der Bildungsweise von S S 96 geht ohne weiteres hervor, dass bei S(2912% ... 2%) nur Grössen Sar Sar S31 Sa1 ara Sal+a2+aa 2 vorkommen können, in unserem Beispiele also nur s;z mit geradem Index i. Es ist daher ÖR an ÖR n ÖS; ? =0, und dies giebt unter Verwendung von (16°) C F 46 = 0, UsC + ZU3C461 F UgC3Co { Ur CoCz { U9CLC4 F U4Cs = © W= —4 = * %6 = —20 = —W4 Hierdurch sind die Verhältnisse der u unter einander bestimmt. Um nun eines derselben wirklich zu finden, machen wir die besondere Annahme, dass die Gleichung in 2 vom vierten Grade sei, Z# —RF — 68+6=0. Hieraus folgt sofort R = c,, also hier und allgemein u = 1 Dem- nach ist jetzt jeder der Coefficienten bestimmt, und es wird R= —2664 + 2646 — 2666 + 6 +263. $ 134. An den beiden ersten Beispielen des vorigen Paragraphen hat sich gezeigt, dass die Differentialgleichungen (16*) zur Bestimmung der numerischen Coefficienten ausreichen können. Dass sie aber auch wirklich stets zu diesem Zwecke ausreichen, wollen wir jetzt beweisen. Aus der Herleitung selbst ergiebt sich, dass das System linearer Gleichungen stets ein widerspruchfreies sein wird. ‚Bilden wir nun zunächst für k/= n ÖR ÖR C A AES ÖC ” so treten auf die rechte Seite alle und nur diejenigen Coefficienten , d welche in Aggregaten uwc%cß cX...C vorkommen, bei denen Cc„ einen von Null verschiedenen Exponenten 0 besitzt. Gleichzeitig sıeht man, dass alle diese u nach der Differentiation wie vorher mit verschiedenen Aggregaten dc“cfcX ... c9—1 multiplieirt sind. Ein Vergleich mit der linken Seite giebt demnach die eindeutige Bestimmung aller dieser Coefficienten. Ist das erledigt, dann gehen wir zu ÖR ÖR CO A ÖC n Partielle Differentialgleichungen für die symmetrischen Functionen 147 über Als unbekannte w können nur solche auftreten die der erste Summand rechts neu einführt, und das sind eben nur solche, welche in Agoregaten uc“ ß c! c9 vorkommen, bei denen c,_, einen von Null verschiedenen Exponenten besitzt Jeder derselben gehört einem anderen Aggregate von Potenzen der c an Ein Vergleich mit den entsprechenden Aggregaten auf der linken Seite der Gleichung liefert demgemäss die eindeutige Bestimmung aller dieser Coefficienten In derselben Weise geht man weiter; und dadurch zeigt es sich, dass wirk- lich alle w# eindeutig durch die aus (16*) fliessenden Gleichungen be- stimmt sind $ 135. Auch die folgende Methode liefert häufig bequeme Be- rechnungsweisen für symmetrische Funetionen Die zu bestimmende Bünchon L z „) denken wir uns durch die c ausgedrückt und ın die Form (19) R = 0, + 0071 + 0,007? + - A 0916 F 00 gebracht Worimm dıe 04 40,) © noch unbekannte Funectionen von C177 C) Cp—1 allein bedeuten, und 0, den Werth von R ( gn—l 7 Cn) angiebt, der zu den Wurzeln der Gleichung MCn CL OO gehört. Wir nehmen an, dass dieses 0, gefunden ist. Weiter setzen wir voraus, dass R als Function von s,, S, S n der or A (S1 Sr n) dargestellt sei Dann folgt aus (7°) für die Annahme (19) M Z(az +F+1—12)6-ı “ E _{_Ö91 C(7]l—l+ 1 R 3 DE 4=1 und wenn wir die als bekannt angenommene rechte Seite in die Form = A F 6071 L 0077 E 0A6 0n der Reihe nach aus den bringen, dann ergeben sich O 0 0, Gleichungen, welche durch Gleichsetzung der Coeffieienten von e n ( entstehen, WE1 cn—1@q—l %, Ä=1 (n—-* Ä+ 1)C;_13 n—1 (20) DA OL S‘(n AA EDa 9q_1 2._1 n —1 9q—2 3Cn-—1@1——3 F ON (% —2 + 1)C}‚_1 ÖC Az=1 O 148 Elfte Vorlesung $ 135. Zwölfte Vorlesung 8 186. Besonders einfach gestaltet sich die Berechnungsart, wenn R eine Funetion der Wurzeldifferenzen von (1) ist; denn nach (17) werden dabei sämmtliche o gleich Null zu setzen sein. Wir werden auch hierzu zwei Beispiele behandeln, um das‘ Ver- fahren zu erläutern, und zwar wollen wir gleich die zuletzt erwähnte erleichternde Voraussetzung machen, dass R eine Funetion der Wurzel- differenzen von (1) ist. Wir legen die Gleichung dritten Grades — H + QE—60=0 vor und suchen für sie R = (& — %)* (1 — %)" (% — ) = 096 + 016 + 03- Hier ist o, durch die Gleichung —z F Q2z=0; deren Wurzeln wir mit &, &, 0 bezeichnen, als CZ ( — 46) @ = 0 bestimmt, und nun hat man nach (20) O0ı z BCeN 2 2 1806 C6l 01 = — 46° E 1866 2699 = — 3(— 126° + 186) — 26,(186,) = — 546,, W Z folglich wird R = — 2768 — 466 + 186,66083 + 626,? — 4643. Das zweite Beispiel mag sich direct anschliessen, indem wir die in gleicher Weise gebildete Funetion R = (& — %)* (& — e für die Gleichung vierten Grades Z —+ — Ge+aA=0 berechnen. Wir setzen hier (21) R 094 f 0 404 H03 03 wird aus der Gleichung —+ a — 8=0, deren Wurzeln wir mit &,, &, &, 0 bezeichnen, als (C1 + €2)2 (;1 A C3)2 (C2 E €3)2 €ng22ca2 = — 276* —4663 + 186469633 4 076267 — 4626037 = 0 bestimmt. Die Gleichungen (20) liefern dann Die Resultanten und ihre Darstellung 149 C302 — 4[— 126,°63?+ 18626334 26,C6,?6;?] — r5cl[ 8610 2660 126 6°) — 2C, = 1086 — 1266° + 5461067 4 260262760 — 86,%63]; o Z — 66,”03* + 1446263 — 8066703 + 186626 — 4676° + 166 Daraus erhält man weiter auf demselben Wege 260 = 4 —126163 — 8066 - 54666 8610 )) — 36 (1446;? — 16066263 + 186,°c3 — 126 r O40 — 26a( — 126,°6g 4 28826 — 8066 + 180,%6,); IS — 19266 — 1286,* + 1446,°c, — 27c, Endlich ergiebt sich 36300 —4(—192c, + 2880,6 — 1086,°) — 3e,(—256C, + 1440,°) — 20 (= 126 = 756 Damit ist dann die Bestimmung von R vollendet, indem die gefundenen Werthe für die o nur noch in (21) einzutragen sind Zwölfte Vorlesung Die Resultanten und ihre Darstellung $ 136. Es sind zwei ganze Funetionen der Variablen z vorgelegt MO AA © (m > n); C)=0 L L E E, es sollen die charakteristischen Bedingungen dafür ab- geleitet werden, dass beide Funcetionen einen gemeinsamen Theiler besitzen oder was dasselbe besagt dass die beiden Gleichungen (2) @) = 0 © —0 mindestens eine gemeinsame Wurzel haben Wir bezeichnen die Wurzeln von @=0 On Ga 0 Xrn ? g(2) = ” ß17 ß2) Ba; dann können wir die cresuchte Bedingung einfach dahin formuliren, dass ein «, mit einem ß, übereinstimmen muss, und dass also das Product 150 Zwölfte Vorlesung $ 136—189 (3) Byg= © ÖC B ßz) a Bz) (& — ß ) (“2 5 ß2) (“2 ) (n B m BD (am ßı) verschwindet. Hier ist die geforderte charakteristische Bedingung durch das Nullwerden einer Funetion der Wurzeln allein ausgedrückt, sobald man den Factor a*d" weglässt. Fasst man aber umgekehrt das zurückbleibende Product in Partialproducte seinen m Zeilen oder seinen %” Spalten nach zusammen und bedenkt, dass 9(8) = b (£ — ßi) (# — ß) (2 Bı), (?) = A 8) (: — 2) (em — (1 ist, dann geht (3) in die Gestalt (4). Bırg = ao!](°‘1)9(“2) 9 (0m) = (— 1)"" BT f(ß1) F(Bo) f(B.) ül DeT; hier sieht man, dass der Factor a*b“ 0A0 nothwendig war, um R>;, zu einer ganzen l‘unct10n der Coefficienten a„, b; zu machen. D1ese1 Ausdruck R.,, welcher eine ganze Function der a,, d; ist, giebt durch sein Verschwinden die charakteristische Be— dingung dafür dass f und g einen gemeinsamen Theiler besitzen Er heisst die Resultante von f und g $ 137. Der erste Ausdruck von R-, in (4) zeigt, dass die Resultante homogen in den b, vom m“ Grade ist; ebenso zeigt der zweite, dass sie homogen in den a, vom n“ Grade ist Ferner ist leicht zu erkennen, dass R in der Gesammtheit der Coefficienten a,, b, eine isobarische Function vom Gewichte mn wird (vgl. $ 99) KErsetzt man nämlich die Functionen f und g durch / aoß/n i_a 9„171—1 a A0° + -{ Am 07 und bo2 +b192m_1+b92"_2+ +b97 so gehen die Wurzeln «x,, ß, in a«,o, ßı9, und der Ausdruck (3) geht ın ar bmgmnn(a/ N ß).) DE 9man, über. Es muss demnach R , so beschaffen sein, dass, wenn man jedes a„, und b, durch a„o* und b,o* ersetzt, siıch die Funection einfach mit 0”” multiplieirt; wegen der Willkürlichkeit der a, b muss dies bei jedem einzelnen Gliede der Fall sein, welches in Ry,, auftritt, d. h wenn cst. aarı am h% baı ban Die Resultanten und ihre Darstellung. 151 ein solches Glied ist, dann muss, wie behauptet wurde WE 2 a S A O + Nan = Mn werden Aehnlich wie bei den symmetrischen Funetionen ist es durch die soeben bewiesenen Sätze auch hıier möglich, den litteralen Theil der Resultante zweier Functionen sofort aufzustellen. Ist z. B.m =n= 2 ) also mn 4, so folgt, dass nur Glieder der Form W (ap?b? + a’ bo?) + 14 (Ayayb;ı ba + A, Agbybı) + Ug (AyAbob,) + U3 (ayazb,? + a boba) + U,a b} auftreten können Dass Glieder wie a@y“b,” und a,“b,” oder wie aya, b UD A, 00 leiche Coefficienten haben, folgt aus der Symmetrie der Bildung hinsichtlich der Funetionen 7, g von gleichem Grade $ 138. KErsetzt man die Funetion g durch das Product g,(2)g,(z) zweier Funetionen der Ordnungen %, und %,, dann zeigt die Formel (4) die Beziehung Rfa NN anı Ta (g, (0,) 92 (04)) (91(@m)I2(@m)) = aMg (&) + 91 (oc,„) an 9 (“1) Jr (Cm Oln @S S0 (5) R; { SI S Pf Iı Rf; 92° Aus derselben Formel (4) folgt, wenn q eine Constante bedeutet Rpg+af = M [g(&,) A Qf(“1)] Lg (&m) + q f (e@m)], @C . es yıdı wl C0 ist, die Gleichung gelten (6) Rf‚y+qf A Rf g Nimmt man in (4) ferner g(2) == z", dann werden sämmtliche ß 0‘1e10h Null und es 91g1ebt sich die Spec1alformel (7) B z S SE N 1)mn [f(0)] S (_ 1)mn a*. mM $ 139. Die Be1echnun@ yvon R- , durch (4) muss sich auf die Aus- werthung der verschiedenen in (4) eingehenden-symmetrischen Functionen stützen. Das ist sehr unbequem. KEinfacher lässt sich die Berechnung auf die Darstellung von R , durch eine Determinante gründen Wir betrachten zu diesem Zwecke.das System von (m + mn) Gleichungen —_ 0 ÜE /(Z)) + Am — 1& + + 7 E ? (n —1E a _> 2 (am AA am 0 bn = 0 o On D + —I—bz„—l—bz"+1 =0 Z Zm—1 + + b Zm+n——-l SA 0 152 Zwölfte Vorlesung 8 139—140. und fassen sie als homogene, lineare Beziehungen für die (m + n) Grössen al .. CS zm+n—1 auf. Die n ersten sind wegen (1) iden- tisch befriedigt, die m letzten gelten nur für z — B B Man erhält also nach anderer Anordnung von Spalten und Zeilen die für u= f(ß,), F(B2),. - f(B) geltende Gleichung nr Grades in u Ag Ar Ao Im —u 0 0 N N U Am —1 020 Am —U (n Zeilen) C A, Am 4 0= ;)) , bn— x sz 0 ; KL SE bnT2 .bn.—l bn ‘ (m Zeilen). 000 8 A DE L HS b Diese Determinante ist demnach eine Function n° Grades in u, deren Nullwerthe die Grössen f(ß,), f(ß), -:- f(ß.) bestimmen. Dividirt man diese Function durch den in ihr auftretenden Coefficienten von w”, dann wird das von w freie Glied = (— 1)"-f(ß,)-f(ß.)--f(Bß.)- Der Coefficient von (— u)* ist hier (—1)""b”, und somit kommt man zu der Gleichung AAy Ar A 0 (n Zeilen) | e alll‚'— ıM ; am. (8) 0 0 Ryg== Ag(@,) + g(Am) CZ CZ Am | =— (_1)mnbzzf(ßl) E f(ß„3‚ bn—l b 0 (m Zeilen) L © © On welche die Resultante in der Form einer Determinante vom Grade (m + n) darstellt. $ 140. Wir dringen auf dem folgenden, von Euler*) angegebenen Wege der Betrachtung noch tiefer in die Natur der Frage ein. Haben f=0, g= 0 eine Wurzel @ gemeinsam, dann besitzen die Polynome der Gleichungen die Formen e O U OC wobei fi, 9ı ganze Functionen der Grade (m — 1), (n — 1) sind. Hieraus folgt dann durch Combination die Gleichung ( A (9) %*) Euler: Mem.\de Berlin 1764; p.96. Die Resultanten und ihre Darstellung. 153 Umgekehrt ist durch die Existenz einer solchen Gleichung, in welcher fı> 9ı micht identisch verschwindende, ganze Funectionen der Grade (m—1), (n — 1) bedeuten, auch der Beweis für die Existenz einer gemeinsamen Wurzel von f=0 und g= 0 zu führen; denn g,;(2) kann nicht alle linearen Factoren (z2 — ß,) von g(z) enthalten, und daher giebt es mindestens einen Linearfactor von g(z), der auch in f (@) auftritt. Schreiben wir jetzt fi= ya S E a E WD (10) O FT AA OE A A O tragen dies in (9) ein und setzen in dem nach Potenzen von Z geord- neten Ausdrucke alle einzelnen Coefficienten = 0, so entsteht das Gleichungssystem == A9do —b% 0, &199 { AoQı == 0 ’ (11) '“. br 2'9n 67 b(')191 f . aln9n—2 + C;'m—l QIL—-1 p bnpm—2 ZE3% bn——‘lpn‘z—l S 0 ’ a77L Q7L—l —. D 0} Die Kxistenz einer gemeinsamen Wurzel @ fordert somit, dass diese in den p und qg homogenen Relationen durch ein System von Werthen P, q, die nicht sämmtlich verschwinden, erfüllt werden könne. Die Determinante muss also gleich Null sein. Sie ist nach Umstellung von Zeilen und Colonnen gleich der in (8). aufgeschriebenen und wieder gleich der Resultante R ,. Diese Methode trägt noch weiter. Kann man zwei nicht identisch verschwindende, ganze Funetionen f9, q0 der Grade (m — 2), (n — 2) bestimmen, für die identisch ©° f.g® — g.f@=0 wird, so besitzen f, g einen gemeinsamen Factor zweiten Grades und umgekehrt, so dass in (9*) die charakteristischen Bedingungen für das Bestehen zweier gemeinsamer Wurzeln vereinigt sind. Der Beweis für diese neue Behauptung ist dem bei (9) gegebenen durchaus analog. Wir brauchen hier in fj, g, aus (10) nur. p,, q gleich Null zu setzen und das Gleiche in dem Gleichungssysteme (11) zu thun, um den jetzt zu untersuchenden Fall vor uns zu haben. Das System der homogenen Gleichungen besteht dann aus (m + n — 1) Rela- tionen zwischen (m +n — 2) Unbekannten, und die hinreichenden Bedingungen für unseren Fall liegen in dem Verschwinden aller De- terminanten (m + ” — 2)'° Grades, die aus der Matrix 154 Zwölfte Vorlesung $ 140—141 Ay Ar Ar 0 07 Am —1 Am (n — 1 Zeilen) | E Dn (m + n — 1 Spalten) b b„_1 Ö ‘ }(m — 1 Zeilen) entspringen Bekanntlich sind dies nur zwei Bedingungen. In derselben Weise kann man fortfahren. Für %* = n =2 z. B. erhält man als charakteristische Bedingung für die Existenz einer gemeinsamen Wurzel vermittels des Systems A9ßo e =0 A, ßo + Aoßı Dn O z D 0a F ß Da D O ? A ßı Z die eine Gleichung | @& G, RO o &ı (12) 0= ib D A bo) (agb, — a bo) (a, 0 b .“(“o 10 2 br und für die Existenz zweier gemeinsamen Wurzeln bei m=n=2 aus dem Systeme ABı b& —0 a ßı O z 0 a ßı D ZO zwei von den drei Gleichungen des Systems / E Oa 0= HAL ) } A a1‘ wao b 7E d h da A = 000 Man erkennt leicht, dass es auch ausreicht, zu der Bedingung (12) noch Ay Ar 0 0500 hinzuzunehmen $ 141. An diese Kuler’sche Methode lässt sich am einfachsten die Ableitung der charakteristischen Bedingungen der Kxistenz eines grössten gemeinsamen Theilers von bestimmtem Grade für die Funetionen f und g knüpfen Die Resultanten und ihre .Darstellung. 155 Aus dem Systeme (11) erkennen wir, dass das Verschwinden von (8) die nothwendige Bedingung für die Existenz eines Theilers vom ersten Grade liefert. Wir nehmen an, (8) wäre erfüllt. Dann setzen wir f(l) p(;zm—2+pl’zm—.‘} + . +PÄ;—2; (10°) Z 00 A A n mit unbestimmten Coefficienten p’, qg’, tragen dies in die Funetion @* f f N A ein und bilden das System der Coefficienten A090 a 50106 =cé} == e S . C$„;(l,;_5 + a.m—l C_];; —2 A bn‚p‘r;L—;‘} a bn——-lpr;z—2 W C;n+n—3 ’ Am Qn—2 G br1‚pr;z —2 — Cr;z+n—2 . Sehen wir von der letzten dieser Gleichungen ab, so haben wir (m + n — 2) Iineare, nicht homogene Relationen zwischen ebensovielen Grössen p’, q’. Wir können also, wenn die zugehörige Determinante (m + n — 2)t Grades A Ar A 0 ! Am —1 Am 30 A (8°) RO ; J(n — 1 Zeilen) %, b 0 O OO ](m — 1 Zeilen) von Null verschieden ist, die Coeffieienten p’, q’ so bestimmen, dass 06=0‚ ci=()) cr;z—|—n—4 S O; c;n+n——3 O -R(1)7 und also nach (9%*) auch fg f ROrg nn wird. Diese Gleichung zeigt, dass f und g nur einen Theiler ersten Grades besitzen; denn hätten sie einen solchen höheren Grades, dann müsste auch die rechte Seite durch ihn theilbar werden. Es liefern u = 0, MO die charakteristischen Bedingungen _dafür‚ dass fund g einen Theiler vom ersten und von keinem höheren Grade gemein- sam haben. IS6 dagegen RC 0 dann kannn manı durch ein nicht ver- schwindendes System von p’, q’ die Gleichungen 156 Zwölfte -Vorlesung $ 141—142. Cé=o) C£=O7 dn+n—4 SAr O; C7‚n—l-n——3 =0 befriedigen. Dadurch wird wieder gemäss (9*) f.'(}:l) l /£1) — C7;a+n—2 . Hier muss die rechte Seite zu Null werden; denn f und g haben einen Factor gemeinsam, und es giebt demnach einen Werth von Z, der die linke Seite zum Verschwinden bringt. Aus Z folgt nun genau wie oben bei (9), dass f und g einen Factor min- destens vom zweiten Grade gemein haben. I6 Rr, = 0 und RO = 0, dann setzen wır f}2) An P(’)’Zm—3 _+_ pi/zm—4 + B + p;;;—-3; (10”) /r S c n—3 mit unbestimmten Coefficienten p”, q”, tragen dies in die Function (9”) K E L, ein und bilden wieder die Reihe der (m + ” — 2) Coefficienten A o —b = %, (117) H D Sehen wir von den beiden letzten Gleichungen dieses Systems ab 2 dann haben wir (m + n — 4) lineare, nicht homogene Relationen zwischen ebenso vielen Grössen n”, q”'. Wir können also, wenn die zugehörige Determinante (m + n — 4)*" Grades 0 An O Am 0 &% Am —1 Am ? } (n—2 Zeilen) (8”) RO — b 0 © bn—l BA ] (m—2 Zeilen) I von Null verschieden ist, die Coefficienten p’, q so bestimmen, dass CZ Cm-+n—5 = K, und also nach (9°) auch I OO wird. Diese Gleichung zeigt, dass f und g nur einen Theiler zweiten Grades besitzen; denn hätten sie einen solchen höheren Grades, dann müsste auch die rechte Seite durch ihn theilbar werden. Es liefern Rfy!] 3 07 A 0, RO &0 Die Resultanten und ihre Darstellung. W5 die charakteristischen Bedingungen dafür, dass f und g einen Theiler vom zweiten und von keinem höheren Grade gemein- sam haben. In gleicher Weise können wir fortgehen. Definiren wır daher n E 1 Z aVIL 0 / &o Or | An —1 Am . O RO } (n—v Zeilen) (8°) bn 0 21 bn——l On $ 3 Z ](m—v Zeilen), Es liefern So können wir sagen: Rız=0, RO=0 .. Re—9 = 0, RO &0 die charakteristischen Bedingungen dafür, dass f und g einen Theiler vom o und von keinem höheren Grade gemeinsam haben*®). $ 142 BEzout hat eine, dann weiter von Jacobi durchforschte Methode angegeben, welche die Resultante in der Gestalt einer Deter- minante vom m“ Grade (m > n) liefert**). Ist g von geringerem Grade als f, so bilden wir nach (5) und (7) 91(Z) An 9(Z> S Zm—n) —b (_ l)m (m—n) Rf‚9 M —N E mM Dass hierbei a„, als von Null verschieden angesehen werden muss, ist keine wesentliche Beschränkung. Die letzte Formel zeigt, dass wir / und g als von gleichem Grade voraussetzen dürfen. Wir führen nun die folgenden abkürzenden Bezeichnungen ein ('1; 5"') 5 alb‚u Au bz 5 d =0 SE CD Für die d besteht auch die Gleichung d= 0, i+k-D+0O,itk-2 + +—1,9; und weil die beiden rechten Seiten sich nur durch verschwindende Glieder (2, u) + (w, 4) oder (v, v) unterscheiden, so ist dei= üike. *) Diese Herleitung ist von W. Scheibner gegeben: „Mathematische Be- merkungen.‘““ Leipz. Ber. 40. S. 1—13. Vgl. auch M. Noether: „Ueber den ge- meinsamen Factor zweier binären Formen“. Erl. Ber. 1895; 12. Nov. **) B6zout: Mem. de Paris 1764; p. 317: — Jacobi: De eliminatione va- riabilis e duabus aequationibus algebraicis. Werke II; 295. 158 Zwölfte Vorlesung $ 142— 144 Hierfür erhält man AI —f f AT + dım (g + a)g —02 +b)F Z c Z (13) (ay2’ +a 2 +a,)g by8 4 b 24 b)f=der AAy AL da f—a ( Z ">( Ö (9 Z m>f e (ZIIL 1 Zm d + d an_2+ + d77£ m Für jede gemeinsame Wurzel < 2 = @ verschwinden die linken Seiten von (13), also ist dann (14) S——\(l‚]„|————0 (l ]v——]. Q m) Dieser Determinante hat Herr Sylvester (On a theory of the SYZYy getic relatıons ete Phil. Transaet. of the R. Acad. of London. V. 143 1853) den Namen BeEzoutiante geveben Unserer Ableitung nach ist ihr Verschwinden eine nothwendige Bedingung für die Existenz einer gemeinsamen Wurzel von f= 0, g=0. Dass dies umgekehrt auch hinreichend ist, lässt sich in directer Anknüpfung an die Form von S zeigen ($ 145). Wir wollen dasselbe ferner in 8& 144 durch Vergleichung von S mit R , nachweisen Cayley hat den Funetionen (13) eine andere Erzeugungsweise gegeben*). Bildet man OO OO f(£) 98 S @ SE 5 =g(g) [a (E"—* + C'”““’+ EG gm——ö _+_ )] —*f(2‘)[b (€m—l_+_ ;;„-2+ )+b (;m—’ gm—3 _+_ )] [(/(Z)ao—f(“)boj OTE E ONO ON so treten sie als Coefficienten der Potenzen &“—1 Cllt —2 auf. Uebrigens hat Jacobi (Werke II 99) bereits die Form O zur Berechnung der Functionen (13) benutzt Ueber weitere Darstellungen vergleiche man Baltzer’s Theorie und Anwendung der Determinanten ($ 11) $ 143. Wir können hier auch noch an frühere Untersuchungen anknüpfen Wenn wir in den Gleichungen (13) aus den beiden erSsteh. Dn dann aus den drei ersten z”"—? u. s. w. durch lineare Combinationen eliminiren, so gelangen wir zu dem Gleichungs- systeme J. für’M. 53 ) Cayley: Note sur la me6thode d’6limination de BEzout S. 366 Die Resultanten und ihre Darstellung. 159 I — f da d < m —2 + digzm—-3 + (13°) VIg— ıl = dé2zm*‘_? + dé327n_3 + .9 —f = dé3 gm—3 + ın welchem d,, dıa dra | dl‚a a dloc; d:;a r du dla da = CZg @& dl Aa d2l d22 ? dz, d3, d3tx | S Bezeichnet man eine beliebige der Gleichungen (13®) kurz durch Bg = O f E=— Z dann folgt sofort wegen [wx] [9a] = « LO E es muss also nach den $ 72 gegebenen Auseinandersetzungen die Reihe der Funetionen rechts in (13*) mit den Restfunctionen identisch sein, die bei der Aufsuchung des grössten gemeinsamen Theilers von f und g vorkommen, oder von diesen nur durch gewisse Factoren unter- schieden seim. In dem sogenannten regulären Falle, in dem jeder der Quotienten der Divisionen vom ersten Grade ist, erhält man die Rest- funetionen selbst oder mit Constanten multiplieirt, und die obigen Aus- drücke für die d’ geben eine neue Darstellung ihrer Coeffieienten. $ 144. Wir kommen jetzt zu der Vergleichung der beiden De- terminanten S und‘R/-,. Für die Umformung der einen in die andere findet sich bei Baltzer (Determ. $ 11) ein Beweis, dem Herr Gordan“) eine concisere Fassung gegeben hat.. Wir wollen hier einen anderen vortragen, der den Vorzug besitzt, unverändert auf die Sub- determinanten R®, R®, ın (8°) anwendbar zu sein. Wir - setzen auch hier wieder m = n voraus. Aus R stellen wir zunächst ein RO = + R® dadurch her, dass wir die Gesammtzeilen der @ für sich in umgekehrter Reihenfolge schreiben und ebenso die der %, also die (m — v — «)® Zeile als (« + 1)® und die (2m — 2v — a)® als (m—v+a-+1)%. Aus R® leiten wir ein RO = + R® dadurch ab, dass wir die Spalte (m — v + a«)® in umgekehrter Elementen-Folge zur « Zeile machen (“==1‚ 2)' m — v) und die x Spalte auch von unten nach oben geschrieben zur (m — v + 0S Z KEndlich formen wir ein R® aus R6), indem wir die letzten (m — v) Zeilen und Spalten je mit (—1) multiplieiren. Bildet man nun E RO RO — + RO RW, *) Vorlesungen über Iuvariantentheorie; herausgeg. v. Kerschensteiner. BALIS S 160 Zwölfte Vorlesung 8 144—145, indem man wie gewöhnlich die Zeilen des ersten Factors mit den Spalten des zweiten combinirt, so erhält man eine Determinante, die sich sofort als das Quadrat von (15) SO — | diz | @ k=1,2,-.. m —v) ausweist. Es unterscheiden sıch demnach R© und S“ höchstens durch ıhr Vorzeichen. Bevor wir dieses bestimmen, wollen wir an einem Beispiele den Gang der Rechnung erläutern. EsS sa m z 4 1: dann wird © © Ön s _a2 _a1 AAy A, A , 0y A _a3 ._a2 O CZ A, As | Az A, b; 0 y AaQ Ar __b0 A 0 0 00 3 b d _bl Ar Ag 0 006 b3 % _._b2 _bo A9 A, Ay b d 020 G (O;1) (022) (0,3) 0 @l (4,2) 0 0 (0,2) (0,8) +(1,2) (0,4) + (1,8) (1,4) ,3) (0,4) +(1,3) (1,4) + (2,8) (2,4) 0 0 X 0 0 0 (0,1) (0,2) (0,8) ! | 0 0 0 (0,2) (0,3) + (L,2) (0,4)+(1,3) 0 0 0 (0,3) (0,4) +(L8) (L4) + (2,8) dıs 2 2 d, day da d23 J S d3 2 d;3 \ Um das noch fehlende Vorzeichen zu bestimmen, beachten wir, dass in R® die Hauptdiagonale das Glied Gra letent In S@ ent- halten von allen d;%x nur — dl, n—V Z (0, m— wv) + : d2 n—v—1 — (O m'_7/)+ 7 = Qa + Wn aobm—v + Ia da Ched a 0n Kolchch 0ia hier in der Nebendiagonale auf und hat also das Zeichen (— 1)_;"( m— v) (m— v — 1). Es ist sonach durch E (m—7) (m—V— (16) R® =(—1)? ” q6) die Determinante des Grades 2(m—v) in eine solche des Grades (m — v) umgewandelt. Die Resultanten und ihre Darstellung. 161 Daraus folgt, dass die charakteristischen Bedingungen für das Bestehen eines gemeinsamen Theilers genau vom Grade o für die beiden Functionen m' Grades f und g durch S=0, SN SO0 SO gegeben werden. $ 145. Aus (13) bilden wir, nachdem die erste Zeile mit der Constanten «,, die zweite mit «x u.s. f., die x° mit @„ multiplicirt ist, durch Addition I [A90 , + (A92-+ a,) @ + H ay2* 1 A...) a 1 —- [O &, 0 24 b ) @+ ] (17) =[dyy &, F dop &o +F dyıa, ]n 1+[d12“x+d22“2+ A d 200 ]27 + + [d1m“1 + d2m“2 A 999 A Oa Ce] Ist demnach die Determinante der ersten x Klammern rechts, nämlich SC y)—ld1‚kl CGAÄ=02 ) gleich Null, dann kann man ein System «,, &,, Ay bestimmen, dessen Elemente nicht sämmtlich verschwinden, und für welches die linke Seite von (17) sich auf eine Funetion des Grades (m — x — K reducıirt. Nehmen wir nun zunächst x — m, und setzen wir S= 0 Vvoraus, dann folgt wegen (17) OR f:gı= 0 Wl al — und daraus, dass f und g einen gemeinsamen Theiler ersten Grades haben Ist auch S® = 0, dann folgt, dass weiter auch für x —m —1 Z O = , ([l = [gl = m—2) wird; da aber f und g einen Theiler gemeinsam hatten, so muss die Constante rechts gleich Null sein; und dann zeigt die G1e1chun@ weiter, dass der Theiler zum zweiten Grade aufsteigt. Ist dagegen S® z 0 dann liefert die letzte Gleichung den Beweis dafür, dass der gemein- same Factor von f und g nur vom ersten und n10ht von höherem Grade sein kann. Auf diese Weise erkennt man auch direct nach der Methode des $ 141 die Richtigkeit des Theorems, welches am Schlusse des vorigen Paragraphen durch Determinanten- Umwandlungen abgeleitet worden war. Netto, Algebra. I ll 162 Dreizehnte Vorlesung $ 146—148. Dreizehnte Vorlesung. Eigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis. $ 146. Wir wollen jetzt eine Reihe von Eigenschaften der Re- sultanten ableiten. In der vorigen Vorlesung haben wir bereits Fol- gendes nachgewiesen: (D e komoeen on Grade yın denm @ und vom Grade m in den b; R,, ist isobarisch vom Gewichte m-n in der Gesammtheit der a und der . (IJ) Es ist Rf)91'.‘71 R 'Rf191 8 Rf;92 und insbesondere Rpg u = (— 1) a Rrg (IIl) Es ist R/ıg+2r= Rfo, wenn g eine Constante bedeutet D R D Dies folgt nämlich unmittelbar aus der Formel (3), $ 136. Die Sätze (III) und (IV) lassen sich, wenn p, q, p’, q Constanten sind, in der Form _“ (Da DÜ Rg © Rpf+q.%p'f+q’sl erweitern, falls man f und g als von demselben Grade m voraussetzt. Es tritt dann nämlich in der B6zout’schen Determinante an die Stelle von (a;bı — axb;) der Ausdruck (pa; + qbi) (p’ax + q'br) — (p’ai + q’bi) (par + qbı) = (pg' — p'’q) (dibr — axbı), und verwendet man also zur Resultantenbildüng die abgekürzte Form, so sieht man sofort, dass die neue Determinante sich nur durch den Faetor (pq’— p’q)“ von der früheren unterscheidet. $ 147. Wir setzen in f(£) und in g(z) jetzt den gebrochenen linearen Ausdruck 2 NC O ein und schreiben 1 DE E 1 NCl ) A S ( SR e 7 SB ) — ( nE+q' )'w©; A p& q’ DE q D dann sind @(E) und (£) ganze Funetionen von E, und zwar ist Kigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis 163 p(E)=@ U (pE+q — «(p'E+q)) Ca — DE 7 } =%Ü(P—WP')IÄ_[( S _alp wa=&[]wa+«—m@z+q» Bg q DD j — boli](p—ß_„p')fl (C — Will man also die Resultante der Funetionen @, W bilden, so wird diese nach der Formel (3), $ 136 gleich U DA z %‘Ü(19 — @D H @— I1 ZUM DD f ) = 0 M 0 (PQ’*P@Z)"”H(“Ä 0 d. h. man erhält die folgende Gleichun o& S welche sich .auf lineare, gebrochene Transformationen der Variablen bezieht, Ryw= (p9’ —D'g Rrg $ 148. Ersetzt man in f und g alle Wurzeln &0 durch &z A &, ßu + %, So gehen die a,, b (vgl. $ 123) bis auf höhere Po- tenzen von $ m aı + (m —2 + 1) a 1, due + (n—u+ M uber während R-, dabei ungeändert bleibt. Daraus folgt, wenn man die neue Resultante Bla C ED 0 E 1) au — ıl) nach Potenzen von € entwickelt und kurz R Aır IR ,g Schreibt, die partielle Differentialgleichung Ö ÖR MA, g£ + (m—1)a, 0a Datech (3) I;+"‘+am—laöTi +nbogä+(n_l) 0b +m+määä=o Diese F ormel kann man dazu benutzen, um nach Herstellung des zu berechnen. litteralen Theils von R die Zahlencoefficienten der einzelnen Glieder KEine andere Differentialgleichun g für R gewinnt man aus (8), $ 139. Diese Determinante zeigt, d ass R(a9, + Am; bo, b„)=R(%, "am_."+qbo; CAm —n +1 4 Qb,, 3 bo, : bp) Ist Entwickelt man die rechte Seite wied er nach Potenzen von g, so folgt als Coefficient der ersten Potenz al 164 Dreizehnte Vorlesung 8 148—149 (4) Ö ÖR =0 00 S r LA +blöa TL ; +b„3a 2} und fürm= n erhalten wir somit d1e beiden besonderen Formeln +b13 n © (m n) aogb+1äb+ +a'"öb (D Z Man kann ferner, wenn m>n ist, die aus früheren Formeln oder auch direct aus der Determinantendarstellung ersichtliche Thatsache benutzen, dass Rf+9 VATR von der Constanten qg unabhängig ist, um durch Entwickelung nach Potenzen von q zur Herleitung der Formel ÖR (6) b %0 ! nn O7 0 m zu kommen Endlich erinnern wır an die aus der Kigenschaft der Homogenität folgenden Glemhun°‘en ÖR % 7a + BA @ 7lt3a —nR ? 0700 +blob a + b„ An mR $& 149 Wenn man in (vgl. $ 139) AAy Ar Am © @ Am —1 Am }(n Zeilen) (8) Rr O O Om 0 3 0 bm——l b } (m Zeilen) 3 zur letzten Spalte die mit z multiplicirte vorletzte, die mit z” mul- tiplicirte drittletzte u. s. f. addirt, und wenn man darauf nach den Elementen der letzten Spalte entwickelt, dann folgt, weil jedes der n ersten Elemente den Factor f; und jedes der m letzten den Factor g besitzt, die fundamentale Gleichung (9) Bg EL@© HO IO H, e —1 Differentiirt man diese nach a; und bedenkt, dass g von a frei, und dass „a l Öa — #"7* ist, dann ergiebt sich O (10) Rf 29 . 91+'f ögl Z Öa‚ Eigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis 165 KErsetzt man die bisher willkürlichen a, b durch die Coeffieienten zweier Funetionen, die einen gemeinsamen Nullwerth & haben, so dass f(E&)=0, g(&) =0 und R-, = 0 wird, dann liefert (10) für die Sub- StILuLLON Z —C 0 @ da = m—*. g,(8), ('Rf: W 0)7 also folgt hieraus, wenn man i = m, m — 1, einträgt, Ö (12) 1:5:6 Rr I° Da V öa Rf und ebenso ergiebt s1ch — Beg! — Bgl 3b Aus (11) erkennt man, dass wenn die Ableitun Rf) => 0 7y dann g,(6)=0 wird, und folglich jede andere Ableitung von R/,9 nach irgend einem a verschwinden muss In diesem Falle versagt die erste Reihe rechts in (12), und die zweite muss an ihrer Stelle benutzt werden Ist aber auch f,(& = 0, dann versagt auch diese, und die Formel (12) wird illusorisch. Hierbei werden also (@) und g.(?) durch (z—6) theilbar, und dadurch geht, nach Weg- heben des Factors (z—€), weil ja für unser Coeffic1entensystem die Resultante verschwindet, (9) in die Form 0© O O06 [f] < m— [91]<n_2 über; aus ihr geht hervor, dass die beiden Gleichungen f=0, g=0 m1ndestens zwei gemeinsame Wurzeln besitzen. Kxistiren zwei gemeinsame Wurzeln & und &, dann führt uns eine zwe1mahge Differentiation von (10) zu der Gleichung (d3) öa Rf >9 02g A, Cal NN 0a0a Öa„0a, ) aus welcher sıch für &, und & und bei i —x (14) 3a2 Rf 9 2g„‚ % äg1 (C1 Cm——-y agl (g2) herausstellt, so dass also die Proport10n (15) SR . Cm—x a91 (&) . 09: (£1 3a Öa gilt. Durch Combination dreier Gleichungen (13) erhält man zunächst 166 Dreizehnte Vorlesung 8& 149-—151 0 2 2 Bg E Öa 0a, E + Rf‚ Ö*g, l)1 Ögı Z 2 ‚i—/ _+_ ä AA —90g- [ö f1 Z2()——r) _f{ Ä 0a 0a, 3“1 ı und daraus dann für jede etwa V01h3ndene gemeinsame Wurzel von €& von / =0,7=0 LE ö2 öal V Rf9 CÄ—/+ Daz Rf‚ (16) '62 r\9 0a2 SI ;.. 2 ßa öa ;+ öa Rf‚ Das zeigt, dass bei drei gemeinsamen VVurzeln die Gleichungen (16) 1Husonsch werden, S 150 Die allgemeine Theorie derjenigen, aus den Coefficienten zweier Gleichungen gebildeten Funetionen, durch deren Verschwinden die charakteristischen Bedingungen für die Existenz gemeinsamer Factoren geliefert werden, kann und muss von der Voraussetzung des Bestehens von Wurzeln algebraischer Gleichungen frei gemacht werden die bisher bei unseren Betrachtungen fast durchgehends verwendet wurde Wir kommen dabei naturgemäss auf frühere in der siebenten Vorlesung angestellte Untersuchungen zurück und erkennen, dass wir schon dort bei der Entwickelung des Quotienten g:f in eine Reihe Die früher zu Grunde die hier soeben gestellte Aufgabe gelöst haben gelegte Annahme, dass g von geringerem Grade sei als f, lässt sich leicht verwirklichen; man hat nämlich, wenn m= n ist RJ!9 IN h o l und die neue Function g — _‚0 f ist dann höchstens vom Grade (m — 1). Wir haben in der achten Vorlesung $ 84 die charakteristischen Bedingungen dafür g gegeben, dass f(z) und g(z) eine Funetion v Grades als grössten, gemeinsamen Theiler besitzen Schreiben wir wie dort die Entwickelung des Quotienten nach fallenden Potenzen g(2) O7 g 7 Qe73+ und setzen wir wieder © C Cg.__1 ( | ? CoZACO C2g—2 | so bestehen diese Bedingungen darin, dass m— V + 0 (/m enl Ar 0 Cm+2——! =0 O0 wird. Wir haben dort auch den gemeinsamen Theiler selbst in der 167 Eigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis. Form einer Determinante gegeben. — Insbesondere ist U, = 0 charak- teristisch dafür, dass f und g überhaupt einen Theiler gemeinsam haben. Nach (21) aus $ 79 haben wir auch bereits die Determi- nanten mit den Elementen c‚ in solche mit den a;, 0, umgewandelt. Es war, wenn man das dortige m, hier durch (m —n) ersetzt, m(m—1) (17) (=1) 2 O l a Am-+n —1 i | . | 00 a777‚ }(n Zeilen) ... Ö 0 'b 1 bm+n—l { (m Zeilen) ! 0 bn (a, = 0, wenn x > m ist; bı = 0, wenn Äl n ist), und also hat man durch Vergleichung mit der Determinantenform der Resultante FE m (m— » 2 (18) Rf‚g F (“ 1) a()m+ n Cm und kommt so auf die Determinantendarstellung (8), $ 149 zurück. Umgekehrt zeigt die Vergleichung mit der Formel (6) aus $ 73, dass R/sy m eime Determinante m* Grades umgewandelt werden kann, welche die Eigenschaft hat, recurrirend zu sein, da sıe sich in der Form schreiben lässt. | 6 | C b=0 1 m — 1) In gleicher Weise haben wir auch die charakteristischen Be- dingungen für die Existenz von gemeinsamen Theilern höherer Ord- nung früher bereits durch die a; und die 0, gegeben. Die Resultate aus $ 141 und $ 144 sind somit von der Voraussetzung der Wurzelexistenz algebraischer Gleichungen frei gemacht. $ 151. Gleichfalls ohne die Voraussetzung der Wurzelexistenz, lediglich gestützt auf die Darstellung (17) und (18), wollen wir auch die wichtigsten Eigenschaften der Resultante ableiten. Aus der Determinantenform geht unmittelbar hervor, dass Ry, ın den @ homogen vom Grade ” und in den b homogen vom Grade m 186 — Multiplicirt man ferner die erste Spalte der Determinante mit 2°, die zweite mit 4}, die letzte mit 4”+r2—1 und dividirt dann die erste Zeile durch 4°, die zweite durch 42*, ... die nt® durch A"—!, ferner die @ } 1)® durcht 29 die @ 4 2)8 durch 12 die (m —+ n)® durch 2”—*, wodurch ım Ganzen eine Multiplication mit %+n—l)(m+n) e (Ln:—_1)m @— Dn A 2 2 2 u Ämn 168 Dreizehnte Vorlesung $ 151—158 stattgefunden hat, dann zeigt sich die Beziehung | &o Ar A O On Wa Oa An AaA Ämn AD ; ; £1 D Ö und daraus folgt, dass jedes Glied der Resultante den Factor 2"" an- nimmt, wenn man alle @o und b; durch AaA und b„A’ ersetzt. Hs ist also R/7, eine isobarische Function der a und der b vom Gewichte m.n. — Vertauscht man die ersten %” und die letzten m Zeilen der De- terminante mit einander, dann erhält man die Gleichung E (— 1)m" Rfa Wenn man in der Determinante (17) die letzte Zeile mit der Con- stanten x —, die vorletzte mit Cm—n-+1, U S, W. bis zu &, multiplicirt und alle Producte zur letzten Zeile der @ in (17) addirt; wenn man dann dieselbe Operation der Multiplication mit «_ bei der vorletzten Zeile beginnt und alle Producte ebenso zur vorletzten Zeile der a addırt, u S W bis alle % Zeilen der @ umgewandelt sind, so treten an @re Stelle den aı a 0, , welche die Coefficienten von f(z) waren, die Grössen o 06005 U LO I 000 a + ( B A d. h. wir haben die Coefficienten von f durch die von f+g-@ er- setzt, wobei @ die Funetion @(:'-"/') S 0(02«'m—"+ , zm—n—1 + + Crn bedeutet Es ist also damit die Gleichung bewiesen (20) Bf‚y ar Rf+t7 ( yl <m —n $& 152 Um den früher abgeleiteten Satz (& 138) (21) Rfl OE an9 sz‚g miıt unseren eingeschränkteren Beweismitteln darzuthun, gehen wir Es seli folgendermassen vor f A + a”"1 ’ f ———aozm’+ a12"72—1 + a A g9=h7 + bı —1 + + 5n, f=fch=t agnı + + a777‚7 (m = m, + m) Dann stellen wir Ry,, und Ry,, in den Formen daır KEigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis. 169 an.’l e Ag A, 00 0 (n Zeilen), A9 Amı b; br (m, Zeilen), bn i 0 bjn . '.; i i 0 0 000 D }(m2 Zeilen), wobei die Determinante der ersten (m, +n) Zeilen und Spalten die gewöhnliche Determinantenform der Resultanten R ,, ist, und an diese sich dann weiter nur nach rechts unten ein Diagonalsystem zur Rän- derung anschliesst: ” a; ml.Rf2‚ WE (Z70) d Ö O OO OR A Ag /r 21 /r 0 . ' }(m1 Zeilen), Oa O O A9 ü © A9 Aı Q w ](n Zeilen), b0 00 M l | (m, Zeilen), 0 b; aM wobei die Determinante der letzten (m, + n) Zeilen und Spalten die gewöhnliche Determinantenform der Resultante R,, , ist, und an diese sich dann weiter nur nach links und oben das rändernde System an- schliesst. Die Productbildung für diese beiden Darstellungsarten liefert eine Determinante (m + n)“" Grades, deren erste n Zeilen bereits völlig mit denen von R-, übereinstimmen, und deren letzte durch Zeilencombination unter Heraussetzung von a . b sofort in die letzten von R/, umgewandelt werden können. Damit ist dann der Beweis von (21) geliefert. $ 153. Wir wollen auf Grund des Satzes (21) und unabhängig von der Bedeutung von R-, die Irreductibilität der Resultante von f und g bei allgemeinen, unbestimmten Coefficienten a und d nachweisen. R, ist in den @ homogen vom %* und in den b homogen vom m' Grade; zerfällt die Funetion, so muss auch jeder ihrer Faetoren wieder in den @ und in den d homogen sein, wie man unmittelbar sieht. Wir nehmen an, es wäre bei gegebenem Grade m der Funetion f die Resultante K zwar noch für das allgemeine g vom Grade n, aber für kein allgemeines g, von geringerem Grade mehr zerfällbar. Nun setzen wir O Dreizehnte Vorlesung $ 153—154. Rıg = R (x, A) R (w, Q %, @ sollen dabei die Dimensionen der beiden Factoren nach den a und 4, v diejenigen nach den b _bedeuten. Es muss also (# Fu)=n und (2 + v) = m sein. Nunmehr schreiben wir statt g das Product der beiden Functionen HC SB ROR (0 + 6 =n); dadurch gehen die b in homogene Funetionen zweiten Grades der Grössen ß über, und wenn man die Dimensionen der auftretenden Funetionen nach den ß rechnet, dann liefert die obige Zerlegungs- formel die für unsere besondere Annahme gültige Gleichung A+v= m Rf‚9'-g“= R1("; 22) Rz(#; 27/) ( %+F U=N X Andererseits haben wir nach dem eben bewiesenen Satze @1) Rfl9’-9” e Rf‚9' } Rf‚9” oder ausführlicher Ya Rf‚y'(9; m’) E Rf‚9" (6: m)7 wobei die eingeklammerten Zahlen wieder die Dimensionen nach den a und nach den ß angeben. Ist nun % ausser in die Summanden x und w noch auf eine andere wesentlich verschiedene Art in zwei Summanden zerlegbar A0 HS und wählt man hier diese zweite Zerfällungsmöglichkeit, dann können Ry.g' und R;g" nicht mit R, und R, zusammenfallen; mindestens eine der beiden Resultanten muss sich also aus Factoren von R, und von K, zusammensetzen und ist folglich, weil o, 60 <n sind, gegen die An- nahme zerlegbar. Diesem Widerspruche können wir nur danmn ent- gehen, wenn %, falls es >1 ist, nur auf Eine Art in Summanden Findet dem- zerlegt werden kann, wemn also n = 3 oder n =2 ist. nach für ein bestimmtes m eine Zerlegung der Resultante statt, dann trıtt eine solche auch bei diesem m für %» = 1, 2 oder 3 auf. Genau die gleichen Schlüsse gelten für m; wir können demgemäss jetzt auch m auf 3, auf 2 oder auf 1 reduciren und ersehen also, dass, wenn. überhaupt für ein Werthepaar m, n Zerlegung der Resul- tante allgemeiner, ganzer Functionen m* und n' Grades stattfindet, dann auch für m, n = 1, 2, 3 das Gleiche eintreten muss. Wir untersuchen nun zunächst n==1, 2 oder 3 und m=33. Ist dabei eine Zerlegung möglich, so wird zu setzen sein Eigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis. 67L Rf:!/ = R (“; Ä) R (M; ”) C L u=0= 1, 2 er dl = U =3) Führen wir nach dem eben verwendeten Principe g,(£):g,(z) statt g(z) ein, indem wir g,(2) = Bo@ + Bi, g(2) = B + + Brı nehmen, dann entstehen, genau wie oben, die beiden Gleichungen Regun = Rılx, 2Ä) Ro(w, 2w), Bgn Bg (l, 3) Wa — 11 8)p in denen die ersten Grössen der Klammern die Dimensionen nach Da den @, und die zweiten die Dimensionen nach den ß bezeichnen. diese letzten in R, und in R, gerade, in den Resultanten dagegen ungerade sind, so folgt wie oben eine weitere Zerlegung für mindestens eine der Resultanten R,-, oder Re,,, Also auch der Fall, dass f oder g vom dritten Grade ist, führt zu weıteren Reductionen, und wir erkennen, dass aus der Zerfällbarkeit für allgemeine Functionen m' und n Grades auch diejenige für m, n = 1,2 folgen müsste. Aber weder (n — Wa — (@bı — abo) aAb — A,b,) w= 0 =2) noch aob;“ — a,bob, + a,bo* w= 2 Z 1) noch ayb;ı — abo w=0=1) In ist zerlegbar, also findet auch allgemein keine Zerlegung statt. den beiden letzten Fällen ist die Irreductibilität klar. Im ersten Falle erkennt man leicht die Richtigkeit der Behauptung, wenn man be- denkt, dass eine isobarische Funetion nur in isobarische Factoren zer- fallen kann, und wenn man demgemäss die einzige Zerlegungsmöglich- keit für die Resultante (uayb; + u a,b, + U,a b5) (vapba + v,A,b, + v,A,00) betrachtet, aus der aber das Glied a,”b,b, nicht hervorgehen kann. $ 154. Wir wollen nun die Resultante von f(g+w) und g(8 + u) untersuchen, wobei w eine Constante bedeuten soll. Setzt man die Existenz von Wurzeln voraus, so folgt ohne Weiteres aus dem Begriffe der Resultante (22) Rıg = Rfle-tu), g@e-Ew)- Derselbe Satz lässt sich aber auch ohne .diese Annahme leicht ab- leiten. Wir setzen, wenn wie gewöhnlich [f] — m, ol s 172 Dreizehnte Vorlesung 8& 154—156, a n— 1 n—1 H )u ( S )w ( ) w n—2 n—2 (m Zeilen) )u ( ) 2 A-'= m—1 m—1 ı( )u ( (n Zeilen) (ml2u m+n-—1 m+n—1 m+n—1 A J ) w + um+-n—1 ) =— m+n—2 m-+n—2 a )u ) u + ‚„m+n—2 0 dann ergiebt sich, wie ohne Schwierigkeit zu sehen ist, durch Mul- tiplication der Determinanten zunächst die Gleichung ARyz+w, 96+w B = Re.g, und da 4A =1, B=1 ist, daraus das zu beweisende Theorem. $ > 155. Hieraus können wir einen weiteren Satz folgern, von dem wir bald Anwendung machen werden. Wir entwickeln die Funetion f(@z + uw) nach steigenden Potenzen von w und setzen (28) f(e + w) =f(e) + uf'(e) + £f"(e) + = f(@) +uPle, u). Für die beiden ganzen Funetionen der Variablen z AC) undı Z ) bilden wir die Resultante R-p und können für sie nach dem in den $$ 152 und 154 Bewiesenen folgern (24) Rı — Rka 2 Bre-ku) Bla — Rlo, 2 — mw- Trägt man hingegen in die Definitionsgleichung (23) für P zuerst (—w) statt u ein f(# — u) = f(2) — uP(g, — u), und dann wieder in (23) die Differenz (z — u) statt z, während man w ungeändert lässt, f(z>=f(z'_u)+up(z_'u;u)7 so zeigt die Addition dieser beiden Gleichungen P(2 — u, u) = P(e, — u); und somit wird aus (24) unter Benutzung dieses Resultates Eigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis. 178 (25) B, Pl2,u) = B, Ple,—u)> d. h. in die Resultante R-,p treten nur die geraden Potenzen 0 ? WE WE von w ein. Die Entwickelung von P nach Potenzen von z lautet Pl@u) = () wr + [C) au + (*7*)a] zn—2 n +1( 3 ) a + (3 *) au H(T am Um die höchste Potenz in u von R;p zu bilden, braucht man demnach für P nur die Coefficienten n Nn Nn ( il )“0? (2) O < 3 > Au )a„u" OTE ( il beizubehalten und erkennt aus der Determinantenform, dass R7 p nach Potenzen von w geordnet mit dem Gliede ar]n+n‚„n(n—l) beginnt. Setzt man v für u” ein, so zeigt es sich, dass Rr p eine ganze Funetion von v ist, die bis zum Grade n(nT 1) DE aufsteigt, und deren erster Coefficient a%+" wird. $ 156. Auf diese Entwickelungen lässt sich ein einfacher Beweis für die Wurzelexistenz algebraischer Gleichungen gründen *). Wir wollen annehmen, es wäre bereits gezeigt, dass jede Gleichung eines Grades C für welche entweder Bı< oder kı=k und v,<vwv ist, eine reelle oder complexe Wurzel besitzt. Es soll dann ohne Be- nutzung von Stetigkeitsbetrachtungen rein arithmetisch bewiesen werden, dass das Gleiche auch für jede Gleichung des Grades = %(2y + 1) stattfindet. Dadurch wird der Kernpunkt der Frage auf Gleichungen von ungeradem Grade geschoben. An dieser Stelle angelangt, können wir freilich den letzten Schritt nur durch Stetigkeitsbetrachtungen thun, wie dies im $ 23 geschehen ist. EKs wird auf diesem Wege AlNles arithmetisch geleistet, was überhaupt arithmetisch erreich- bar ist. mA RE *) P. Gordan, Ueber den Fundamentalsatz der Algebra. Math. Ann. X; 572—575. Die Grundidee des Beweises ist auf Gauss (Werke I S: 3356) zurückzuführen, Herr (ordan hat ihn wesentlich verändert und sehr vereinfacht. 174 Dreizehnte Vorlesung $ 156—157. Es sei jetzt (26) f@=Z +a + a =0 die vorgelegte Gleichung u'°" Grades; ” sei eine gerade Zahl. Wir bilden wie oben die Resultante -R/‚P(z‚u) = ura—z.» + blun("_l)—2 + z aD = Y 2 + b‚v 2 + und erkennen, dass R als Funetion von v aufgefasst den Grad % nn — 1) = 202% + 1) hat, bei welchem % = (k—1) ist. Folglich besitzt nach unserer An- nahme R(v)= 0 eine Wurzel v, und daher ist für diese Rr pl Vo) = 0. Da dann also, wie oben ohne Voraussetzung der Wurzelexistenz gezeigt wurde, für Ae) and D o ein gemeinsamer Factor existirt, so ist f(g) sicher auf mindestens eine Art in zwei reelle oder complexe Factoren zerlegbar. S I6 Wir unterscheiden bei dieser Art der Zerlegung F(e)= (e): v (e) dreı Fälle. Die Grade der beiden Zuerst seiı g(z) und damit %(z) reell. Functionen bezeichnen wir bezw. durch nı = 22y + 1) und %, = 227 + 1); dabei müssen die Gleichungen M , 2(2u + 1) — 220 4 1) + 202 1 gelten. Wenn nun k, <K% ist, dann hat der Voraussetzung gemäss y (2) = 0 eine Wurzel, und damit auch f(z) =0. Ist k, = k, so muss V, <v sein, und es gilt derselbe Schluss. Ist endlich *, > k, so kann k, nur == * sein; dann wird &% an die Stelle von @ treten, und der Erfolg ist der gleiche. Zweitens möge g(z) complexe Coefficienten und einen Ora ; n besitzen. Ohne Beschränkung können wir %, < 2 N annehmen, da ja bei , > ; n nur & mit g vertauscht zu werden braucht. Wir schreiben dann p(e) = 6(e) 4 irle). Haben 6 und T einen gemeinsamen, reellen Theiler, so haben auch @ und f denselben, und wir sind auf den ersten Fall zurückgeführt. KEigenschaften der Resultanten. — Wurzelexistenzbeweis 175 Haben aber 6 und T7 keinen gemeinsamen, reellen Theiler, dann kann man nach $ 68 zwei reelle Funetionen A(z), B(z) so bestimmen, dass o(2) 4(2) + t(2) B(z) = 1 A BL SEENN A+Bi = 1 (27) (6-+-i7) @O wird. f(gz) ist durch 6 + it theilbar, also hat man —(6 it): (®, + 1w), und daraus folgt durch Verwandlung von i in ( auch i = @0 —00) @ @) Multiplieirt man die rechte Seite von (27) mit f, das erste Glied der linken mit (6 — ir) (@, — (6,) und das zweite Glied der linken Seite mit (6 + ir) (w, 4+- (6,), dann entsteht f=(6* + 7?) (4w, Bo,;) Der Grad des ersten Factors ist 2n, <n, also haben wir die Existenz des reellen Theilers (6” + 7?) und damit die einer Wurzel nachgewiesen Drittens möge (z) complexe Coefficienten und einen Grad m, = besitzen Wir können gleichzeitig annehmen, dass keine andere Zerlegung von f(z) besteht Denn entweder führte diese direct auf einen der beiden ersten Fälle; oder, wenn eine zweite von der ersten verschiedene Zerlegung in complexe Factoren des Grades — bestände, könnte durch die Vergleichung beider ein Factor niederen Grades erlangt werden Setzen wir, da wir ja den ersten Coefficienten von @ gleich 1 annehmen können (2) Z2 + 022 + Sn 6(Z) + “7(Z); so dürfen 6 und t keinen gemeinsamen Factor haben, weil sonst auch g diesen besitzen würde, und dann eine weitere Zerfällung möglich wäre, was oben ausgeschlossen wurde. Wie ım zweiten Falle, oder durch unmittelbare Betrachtung können wir zeigen, dass auch # = 6 — irt ein Theiler von f; und dass, von einem constanten Factor abgesehen, (28) f(@) = @(e) : H (e) = 0 (e) + * (2) ıst Hier versagt aber der Schluss der beim zweiten Falle die Ent- scheidung lieferte, und deshalb müssen wir jetzt anders vorgehen Für den Werth w besitzen die beiden Funetionen f(@) und P(e V”o) 176 Dreizehnte Vorlesung $ 157, Vierzehnte Vorlesung $ 158, einen gemeinsamen Factor; dieser kann unserer Annahme nach nur entweder gleich @(z2) oder gleich w%(gz) sein, immer von einem un- Wir nehmen wesentlichen, constanten Zahlencoefficienten abgesehen. an, er sei @(2). Dann hat, vgl. (23), wegen f(@e + Vw) =f(@ + VosP (& Vo) auch f(z + Vwo) diesen Factor. Andererseits kann nach der aus (28) folgenden Gleichung f(@e +Vo)= @ +Vo) v @ +Vw) und den Voraussetzungen über die eindeutige Zerlegbarkeit von f die Funetion f(z + Vo) keine anderen Factoren als C E ) und v ( +Vo%) haben. Folglich muss bis auf einen constanten Zahlen- coefficienten @ (z) mit einem dieser Werthe übereinstimmen. Wır haben jedoch die Entwickelungen R a D % } n —1 @ (2) .+. C Z>é" + Demnach wäre eine solche Uebereinstimmung beider Funetionen nur für v = 0 möglich. Dabei würden aber f(z) und P(gz,0) selbst reell und hätten somit gegen die Annahme einen reellen Factor gemein; also muss dies verworfen werden. Man hat deshalb g (e) = 6(e) + ir(@)= ( +Vo)=6 ( +Vo) — ir 6 +Voo). Da in @(2) und in %(g + Vvo) die höchsten Coefficienten =1 sind, so wurde der Zahlenfactor auch gleich der Kinheit. Nun se1l Voo = « + iß, dann liefert die vorige Gleichung (29) 6(2) + it(2) = (g + « + iß) — it(g + « + iß). Hierin ersetzen wır einmal % durch (—%) und einmal Z durch (z — « — ßüi); das giebt 6(e) — ir(e) = 6(g + « — iß) + io(e + a — iß), 6(2) — it(2?) = 6(z — « — iß) + io(z — « — iß), dn RC E e und daher (& 4 «) = p(e — &), } N® LO 2 Sn l AL * (0 + 2 V *27"+(01'_ 2 ) ' 4 d. h. man erhält. &. = 0, und Somit %, = 0ß. Für die Substitution 2 — % g statt z liefert dann (29) Die Discriminanten. 1 m 7 ß 6(z—iä«) +n(z—-z 2 >=6(z+z'ä)—z'r(z—i—z'ä;)‚ ß S d. h. die Funetion g(z —i 2 ) ändert sich nicht, wenn in ıhr überall i durch (—@) ersetzt wird; sie hat also ($ 10, V) reelle Coefficienten; 2—i-)=0 ‚eine Wurzel. Das und da ihr Grad % ist, so besitzt q>( 2 Gleiche gilt dann auch für @(2)= 0 und folglich auch für f(z)=0. Damit ist der Fundamentalsatz der Algebra ın allen seinen Theilen bewiesen. Vierzehnte Vorlesung. Die Diseriminanten. $ 158. Wenn man in $ 136 der zwölften Vorlesung f = n E 7 A A d 0 g(2)=f (@)=n4 71 +(n— 1a - E(n—2)a e apıı setzt, dann erkennt man aus der Determinantenform der Resultante Wir bezeichnen $ 139, dass R ; den Coefficienten a als Factor hat. die in &, 4,, - homogene Funetion des Grades (2% — 2) ;1; B = De, welche natürlich gleichfalls isobarisch vom Gewichte n (n — 1) ist, als Discriminante von f. Nach (4) aus 8 136 wird (2) DE O wenn 2 Z die Wurzeln von f= 0 bezeichnen, und dieses Product giebt gemäss $ 36 @T DEN ) DA e Ay M Z n—1;(“"=}'+1;l+2;"'") Wie wir wissen, liefert das Verschwinden von D-; _ die charakte- ristische Bedingung dafür, dass f und f’ einen gemeinsamen Theiler haben, und dass f= 0 also eine mehrfache Wurzel besitzt. Ist keine Verwechselung zu befürchten, dann schreiben wir statt Dr; kürzer D. $ 159. Der Ausdruck von D; in der Form einer Determinante des Grades (2% — 1) ist nach $ 139 Netto, Algebra. I. 12 178 Vierzehnte Vorlesung $ 159—161 CM A, A An—ı An 0 an a1 An—2 UAn—ı An (n — 1 Zeilen), A} ) (3) ID a © 0 o NAy (n— 1) A, (n— As * % 02 (n—l\al 9(ln 2A0 ] (n Zeilen l | So erhält man z. B. als Disceriminante von f = ay8° + a,2 + A Q, A> W Ay Ar 4 0n05 — &, I ä Ag Ar und das stimmt, wie (2*) fordert, überein mit D= — ag —y = A ( )]= [an ( )) = 40403 — A* Man kann die Discriminante auch nach der B&zout’schen Me- thode als Determinante „ Ordnung darstellen, genau wie dies in $ 142 angegeben worden ist Dabei ergiebt sich ($ 146, II) n(n—l) G Sn (—1 A DEn E B f'3 A O ’ dzk ‘ (i =] 2 ) &9 wenn man = 0 + — Uı F C +A+ k — 3)A A +k—2 (5) + 0 + %— 5)0& +r E E (0—k— 1)A 10 setzt, wobei natürlich alle @,, bei denen 24 >»% ist oleich Null an- zunehmen sind Für die Funetion zweiten Grades f = ay2” + a,2 + a entsteht hiernach D= —1 ' AyA, 2090 C | 20A904g AA = 4a Aı und für die Funetion dritten Grades f = ayg* + a g + a,2 + as in gleicher Weise QQ 2090 3Q VE —d 200 A 184,A, A, Az ( 2090 3AyAz A A, A, 2A03 +4a0a23+ 4a1 A AyAz 20,0g AzAs | kann die Diseriminante auch in der Gestalt einer $ 160. Man Determinante von der (n ea Ordnung darstellen Zu diesem Zwecke multiplicirt man in (3) die Elemente jeder der ersten (n — 1) Die Discriminanten. 0© Zeilen auf der rechten Seite mit %” und erhält dadurch für w"—-1! D eine Determinante, welche nun dadurch umgewandelt wird, dass man von jedem Elemente der a'° Zeile (@«=1, 2, - n — 1) das ent- sprechende Element der (n — 1 + a)* Zeile abzıieht. Das ergiebt nach Unterdrückung der ersten Spalte AI EW oder Il (6) D B 71_27_ fla f L n—2 f')f17 wenn wir die neue Funetion (7) fi(g) = a 71 + 20,2"7? + 3a73 + ... + NAp einführen. Wendet man nun auf (6) die B&zout’sche Methode an, dann erhält man D als symmetrische Determinante der Ordnung (n—1). Das gleiche Resultat kann man auch mit Hülfe von $ 151, (20) aus der Beziehung ON CO folgern. Für eine Function dritten Grades ergiebt sich auf diesem Wege die Form D= — A 6aa Ya 90yAz — A, A, 3 IAgAz — A, Ag , 6a‚a — 20° $ 161. Aehnlich wie in $ 150 der vorigen Vorlesung betrachten wir jetzt die entsprechende Entwickelung des Quotienten f (?) =6277 1 + 627 E 62873 4: f(@) und können hier, früheren Untersuchungen gemäss (S$ 91), @ al 1 al OE — A + Rrl n =8271 + 527 4}5273 + setzen. Bezeichnen wir demnach S 51 SQ_1 S 53 ©& S 89_1 Sq 329—2 so stellt sich für die Disceriminante als neue Form heraus n(n—1) (8) DL p CD F aG. Demnach giebt auch das Verschwinden von C, die charakte- ristische Bedingung dafür, dass f= 0 eine mehrfache Wurzel besitzt. 12 180 Vierzehnte Vorlesung $ 161—163. Dies können wir auch leicht direct einsehen. Es ıst nämlich, wie bekannt, A Z Zr;——l I12 - 2 C/L e= ;1 Z 29 2 éflä=1 1®f“%02(Ä=L2f"n—l;u=l+L"%) hy 1 &n A 2 yn—1 | N | $ 162 Ersetzt man in f jede Wurzel z durch (zı +€), so gehen die a;, wie man nach der Methode von $ 123 erkennt, bis auf höhere Potenzen von £ in die Werthe aı + (n+1 — 2)az_ıt über. Dabei kann sich D selbst nicht ändern, denn die Wurzeldifferenzen bleiben ja unberührt. Hieraus folgt, dass, wenn man die Diseriminante D(az + (n — 24 1)az_ı) nach Potenzen von % entwickelt, der Coefficient von ı! gleich Null wird; folglich befriedigt die Discriminante die partielle Differential- gleichung OD (9) n%ä'£ + (n — 1)a, g‚]2+ an 2a„_2‚0\%%1_{_ a n— 157 O 0 n KEine andere Differentialgleichung liefert die Thatsache, dass D eine homogene, und eine dritte diejenige, dass D eine isobarische Funetion ist. Die der homogenen Function der Ordnung (2n—2) entsprechende Kuler’sche Gleichung lautet ÖD (10) % Da +alg£+---+a„%)=2(n 0 DE Setzt man ferner a;(1 + #)* statt az für i = O n, dann wird die isobarische Funetion D dadurch mit (1 +- O l cirt werden; es gilt also die Gleichung D( ’ al<1 n t)l7 u)= (1 m t>n(n—l)D("'; A, ) und die Vergleichung der Coefficienten von £ ergiebt ÖD ÖD ( n(n—1)D =alägl+ 2a2?)713—}—--'+na„ Da Die beiden Gleichungen (10) und (11) lassen sich zu der neuen Gleichung ÖD ÖD (12) ’Il(7’lv— ].)D = N4 % + („ aD ää;+ 99 ı an F C combiniren. Mit Hülfe von (9) können wir nach vorläufiger Feststellung des litteralen Theils der Diseriminante die Berechnung ihrer Zahlen- coefficienten durchführen. Wenn wir z. B. für die Gleichung dritten Grades zunächst Die Disecriminanten. 181 D = U, 0;” + U,AyA, AA F U3AgA® A U, A, Ag + Ua A,} setzen, dann fordert (9) das Bestehen der Gleichungen 3l + 2Uu, =0, Iu, F 2u=0, 4u, Eu, =0, 6u5+6u‚3-{-u2.=0‚ und daher müssen die Verhältnisse der Coefficienten durch u =27k, U — 18%, u = 4k , y = 4hk, u = — 1% gegeben sein. Aus der ersten Determinantenform erkennt man ferner unmittelbar, dass Deinm Ched en S Z enathalt ( In unserem hier betrachteten Specialfalle ist also &= 1 zu setzen, und dadurch wird die Bestimmung von D vollendet. Ob diese Methode der Coefficientenbestimmung in allen Fällen zu eindeutigen Resultaten führt, müssen wir hier freilich dahingestellt sein lassen (vgl. $ 134). $ 163. Genau wie wir bei der Theorie der Resultante ($ 149) die Gleichung (9) abgeleitet haben, so können wir hier zu der Gleichung (18) D Z 0 gelangen, in welcher g, eine Funetion höchstens vom Grade (n -— 2) bedeutet, und g eine solche höchstens vom Grade (n — 1). Besitzt f=0 eine Wurzel 2, in v-facher Multiplicität, und also f = 0 die- selbe in (v — 1)-facher Multiplicität, so verschwindet D, wenn v > 1 ist, und, wie man sieht, muss g dann den Factor (z — 2,) ım der ersten Potenz besitzen. Nehmen wir nun zunächst die Coefficienten von f als willkürlich an, bilden (13) und differenziren diese Gleichung nach a;, so entsteht OD 0g + (n — 2)—A—L.g. OE e 00 Führen wir dann die &, &, G, in solche Werthe über, dass f=0 eine Wurzel 2 genau von der Multiplicität 2 erhält, so geht nach der eben gemachten Bemerkung die letzte Gleichung in ÖD (14) 0a, 7 z"1—191 (zl) über. Man erhält demnach die Proportionen ÖD (15) DE E .8D =1:2::..1# a Q T aus welchen die Doppelwurzel der Gleichung f= 0 berechnet werden kann. Hier schliessen sich im Falle mehrerer vielfachen Wurzeln von f= 0 Betrachtungen an, die unseren früheren ($ 149) ent- sprechen. 182 Vierzehnte Vorlesung 8& 164. Fünfzehnte Vorlesung $ 165—166. $ 164. In die Formel (2*) wollen wir für f ein Produet A eintragen. Wir setzen f1=0((;2‘"1+061(‚5"‘_1+"'‚ f2=06(;/5""—{—0(1„2"2__1+—-.‚ f —> (asag)am n - (aga + afag)zhmn 0 daber Sollen dıe Wirzeln yon / = 0 mıt a 2 2 und die von f=0 mit zl, %, -- bezeichnet werden. Dann ergeben die Formeln (2*) und 8& 136, (3) 2 _1 (n, + n,) (nı +no — Dfl DAn (f 1‚) 1) (a(;ot(;’)2("l"'”2*l) Ö H(ä__%)2 A A (n, +r,) (n +n —1) —1 (a0’ a6’)2 (n +n —1) 2 nı (n, —1) A CS—) 2 (_ D 2 D;- ; (f771)’“ A I al (“[’))2n1_2 (&T)Z M — 3 0 /In, 72nı (16) Dfx‘fz S (— 1l J 1)f1 7 ‘sz Z ]‘E}“’„ Sa° Diese Formel hätten wir auch durch Determinantenbetrachtungen ableiten können, die freilich etwas umständlich geworden wären. Fünfzehnte Vorlesung. Die quadratischen Formen. $ 165. Unter einer quadratischen Form von n Variablen verstehen wir einen Ausdruck @) W= C u 2 Xu (Ä7 M=1‚ 27"'"); Ay W in welchem die %,, %, Z Variable, und die c,„ reelle Con; stanten sind, für die wır die Bedingung c = Cu2 aufstellen. Wir werden mitunter, der Kürze halber, die Bezeichnung der Variablen ın Wir nennen f durch f(x) andeuten. (Ä'7”=1; 27 ") (2) CO=|C6u| die Determinante*) der quadratischen Form (1); sie ist symmetrisch. SE SEA *) Gauss bezeichnet (— €) als Determinante, Disd. arıth. $ 154. Herr Sylvester nennt C die Invariante der Form. 183 Die quadratischen Formen Den Coefficienten von c,„ in U schreiben wir Yıu dann wird auch Yın = Vuz, und es gelten die Gleichungen (3) Zc„y„‚ = @ (wenn / =W) C022 ) % =0 (wenn i + u) Die quadratische Form mit den Coefficienten 7, (4) F Ya XÄ Xu (Ä7!"—“’1 2 ) Z nennen wir die adjungirte Form von f und, im Falle dass € von Null verschieden ist, den Quotienten von F durch U z= Ö5) R = 2 (2, w 2 Nn) Z die reciproke Form von f Aus (1) folgt durch Differentiation nach x; u > 3 f (@) > n Ca1%, f Ca2% f + Cın Xn = 0 A 0218 F + Cn2Xn , und also ist d1e quadrainsche Form (6) f— 5 3x Xı = ij (@2) ==me (2 1, 2, n) 2 Ferner erkennt man, dass wenn 2 eine Constante, und Yı, Ya, Yn eine Reihe anderer Varıablen bedeutet f& Ayı) = D au (Lr + Ayı) (Xu + Aya) '_'ZC”M y Du A A Z®y YıYu A 2120/# X Yu (7) y M = @ O Ä2f (Du) Yı =f(x) + #fy) + ÄZf ( wird, wo w die Zahlenreihe 1 ;-'; n durchläuft $ 166. Wir führen nun in f statt der x neue Variable y durch die Substitutionsgleichungen (8) ——Zm O CZ ) ein, machen aber dabei die Voraussetzung, dass die Determinante | @2u | O1 Q x) 184 Fünfzehnte Vorlesung & 166—167 von Null verschieden ist, damit man die Substitution umkehren, und, wenn @„ den Coeffiaenten von a,. in 4 bedeutet, Zn (8*) Y ‚A X27 ( ) 2 setzen könne Durch diese Umänderung (8) erhalten wir die trans- formirte, quadratische Form g(y) —2“% YaYı Q = @ N), AAyı (9) d —Z£b„ Av Cuv CO n), M y V wobei dann auch wieder d,; = dı, sein wird Man erkennt sofort die Richtigkeit der Gleichung Arı Anı Cin ‘ AAyı Aın C \ C11 “ d11 | | A1n Ann | ‘ Cn1 Cnn | l Anı ann | dn1 dpn oder kürzer A O = D aus der hervorgeht, dass 0 und D gleichzeitig Null oder gleich- zeitig von Null verschieden sind Diese Betrachtung lässt sich folgendermassen erweitern Wir berechnen das Product der drei fol- genden Determinanten (n -{ r) Grades, deren Bildung ja leicht zu übersehen ist, und in denen die w„,2, vı Willkürliche Grössen bedeuten Aı a„100 cll Cin u11 Uır Aı a„„00 | A 1A1n Qn 0 0 ‘ ICnl Cnpn Unı Unr 27 Un 0O 0 IO | Yır Vın O 0 Q 10 0 ON I Urı Urn O ! | dr dln Zn Ar 1Uzr | dn1 d7l n ja;„ U1 2a; n Uır f Z“u”11 Z%bflhl ; 0 0 7B Z£U„W ELE LA Der erste und der dritte Factor links besitzt den Werth A. Wenn man nun auf beiden Seiten die Coefficienten von u17 U2uls, Vi0V20V3r bestimmt, so wird dies links das Product aus A? in eine Subdeter- Die quadratischen Formen 185 minante (x% r)‘" Ordnung von C, rechts dagegen eine lineare, homogene Funetion aus Subdeterminanten (n — r)'”" Ordnung von D; es sind also alle Subdeterminanten einer beliebigen Ordnung von € lineare Functionen der Subdeterminanten gleicher Ordnung von D; und dasselbe gilt umgekehrt, wie man erkennt, wenn man ın der obigen Gleichung die @ durch die x und die c durch die d ersetzt Ist irgend eine Matrix vorgelegt, so sagen wir, dieselbe besitze den Rang r, wenn alle in ihr enthaltenen Determinanten der Ord- nung (r + 1) verschwinden, dagegen nicht alle der Ordnung v. Das giebt dann für unseren Fall mit Hinblick auf das soeben Bewiesene Die Determinanten C und D der ursprünglichen und der transformirten quadratischen Form haben denselben Rang. Hat die Determinante einer quadratischen Form den Rang r, so sagen wir, die Form selbst sei vom Range v Gesetzt man könnte die Coefficienten @ so wählen, dass in g nur r der Varlablen y auftreten, etwa yı, Y, Yr, die übrigen Variablen aber fehlen, dann verschwinden alle d;,, in denen ein Index grösser als v ist, und die Determinante D hat höchstens den Rang 0; das- selbe gilt dann auch für C. $ 167 Ist 0 =|Cczu | gleich Null, dann sind die Funetionen al (©) = O1% F 022% + + + Can®n (3'_1> } #) durch eine homogene, lineare Gleichung f& (%a) Ya A + f (@n)yn = 0 mit einander verbunden in welcher die y Constanten sind, welche nicht alle verschwinden Setzt man diese Werthe y statt der x in die Formeln (6) ein, dann folgt f(y) O, und (7) liefert daher f(@ + 29) = f@) + 4 DF aug ——f(56)‚ so dass also f(x + 2y) von 4 und den y unabhängig ist. Wenn jetzt Ya eine der nicht verschwindenden Constanten ı y bedeutet, dann giebt die eben erhaltene Gleichung für 1 = — %4: Y wegen f@ =f(@ — %y) X X Yı Laı Ya—ı), 07 _f(x1 e a& den Beweis für den Satz Jede quadratische Form, deren Rane 5 186 Fünfzehnte Vorlesung &$ 167—169. geringer als » “st,lässtı sıch. als quadratische Form von weniger als n Variablen darstellen, welche lineare Aggregate der ursprünglichen Variablen sind. Die Umkehrung dieses Satzes ist leicht zu beweisen: Wenn in der quadratischen Form (9) etwa y„ nicht auftritt, und also alle dın verschwinden, dann ist D= 0, und da A4=+0 sein muss, so liefert DE A das Resultat (=0. Ist eine quadratische Form von n Variablen als quadratische Form einer geringeren Zahl von Variablen darstellbar, welche lineare Aggregate der ursprünglichen sind, dann ist ihr Rang geringer als n. Aus der ersten Ueberlegung folgt durch einfache Fortsetzung: Ist der Rang n} von f geringer als die Anzahl ” der Variablen, dann lässt sich die Form durch n, neue Variable darstellen, derart, dass jetzt die Determinante der umgewandelten Form von Null verschieden ist. Eine weitere Verminderung der Zahl der Variablen ist nicht möglich. $ 168. Setzt man %; == X;,, indem man unter 4, %, »« 5 eine Permutation von 1, 2 DA n versteht, dann liefert diese elementare Transformation dieselben Coefficienten nur in anderer Folge. Dabei ist Jedes Diagonalglied d,, gleich einem Diagonalgliede c,„.; und sämmt- liche Hauptsubdeterminanten, d. h. solche, deren Hauptdiagonale der Hauptdiagonale von 0 entnommen ist, gehen wieder in Hauptsubdeter- minanten von D über. Es ıst auch. d,ı = dı,. $ 169. Wir betrachten, zunächst unter der Voraussetzung 0=+=0, noch eine bemerkenswerthe Substitution. Wir schreiben (1) in der Form S== —- Bı Ur A alg A : A ZnUm , (10) y —— V m), G1 %ı f C222 A + F Cin%n = ä f (x.) W und wollen jetzt die w2 als neue Variable in f einführen. Es treten dann an die Stelle von (8) die Gleichungen (11) 7).‚u Z @ O = 1 2;"'"); Zu =ä" (& und die transformirte Form hat die Coefficienten dı = ä‚g%j?„ Vrı Cn éa$?x„2?lfi„ =é7’%“ Die quadratischen Formen. 187 d. h. wie die Vergleichung mit (5) zeigt, die transformirte, quadratische Form ist identisch mit der reciproken Form %2 (12) y= O U4U2 (”>’1=1‚ 2)"'") HR Wenn C= 0 ist, kann man folgendermassen vorgehen, um zu ähnlichen Resultaten zu gelangen. Der Rang der Determinante U sei gleich ”, und durch eine elementare Transformation ($ 168) seien die Variablen, wenn es nöthig ist, so umgeordnet, dass CZ (}‘;P'=17 Z von Null verschieden ist. Dann entnehmen wir aus den Gleichungen UL — Grır — Z nln = DF F ir %r, Ur — Crr E1 1 — — Crn %n — Cr 1 Xi + V + Cyr Xr durch Umkehrung die Werthe von %,, %, --% in der Gestalt (r) (13) U(")xl Z yfä $ („1 E cl‚7‘+lxr+l E ) _+‚ + V rz '(ur_— Cr‚r+lxr+l_ ) (4=1, 2 444 r) } hier bedeutet y£i die Adjunete von c,, n C (r) . Wegen der Voraussetzung über den Rang müssen (n — r) lineare Beziehungen (14) w = karı F + A KarUr (A=r7+1,r7+2,-.-m) bestehen; setzt man in diesen %, = 1, (x=1, --.r) und alle übrigen % gleich Null, so wird w2 zu cz„, und also erhält man aus dem letzten Gleichungssysteme (14) Cr =zkl‚uc‚uz @ = W p 1 05 a 1 Z aus diesen Beziehungen ergiebt sich dann weiter durch Auflösung der Gleichungen mit demselben 2 für die Unbekannten k;ı; 990 An V (r) (!"7'”=1;' Y A=r+1,--..n) 5 O =z y Nach diesen Vorbereitungen tragen wir U, Uo, ° Ur), Xr 1, Kn als neue Variable im f ein; dazu wählen wir die Form (10), benutzen (13) und (14) und erhalten 188 Fünfzehnte Vorlesung 8& 169—171 Cm9=ä (712 — Or pa® pa ) r r — p — +)} r)2—/l/[u (]‘/u 1U1 + k[„ 2U2 + + k]„ ‚—’I‚t‚) u=r+1 __2y„u„zq +2 Zx„u„ unl —20„;@.„) s A=r+17=1 _Zj/y‚{ U„U2 CZ ) Denn wegen (15) verschwindet der Coefficient von n wl a ım! der symmetrischen Determinante C® sowohl Qn ="641 al y<’> Z © 1st, vu Wir haben somit, genau dem Resultate (12) entsprechend (12*) g ——2 CZ) UU CZ U r) Hierdurch ist die am Schlusse von 167 bewiesene Reductionsmög- lichkeit verwirklicht worden $ 170 Für den Fall, dass C = 0 ist, ohne dass alle ersten Sub determinanten von € verschwinden möge y;z von Null verschieden seın Man hat dabei mit Hülfe bekannter Determinantensätze YiiYik — YakYız = 0 C n), E s }’fk7/;i AAA 7/L7Ü.1) Yıx: 72k Va z VV3 Yni; —-2%1 NO = Yıik Zy‚;„X ngÄ; Z C (Zy„‘(;) CZ ) d. h. hat die Determinante einer quadratischen Form von % Varablen den Rang (n — 1), so ıst ihre Adjunete eın Quadrat Die Umkehrung dieses Satzes SW gleichfalls TACHUS In der T'hat, wenn die Adjunete der vorgelegten Form f __Z Mn r(2p‚z X1) (Ä7M_1 2 ) A, M ist, dann wird der Coefficient von X, Xı — 7ı Pu>, und demnach kann man aus den beiden Gleichungen Die quadratischen Formen. 189 (du= 1 ), © =)Z anr Vl -;Pn‘„ (w =+ v) 0 =Z VıvCı u = T 'ZPNÄ„ den Schluss ziehen, dass € gleich Null sein muss. Denn wenn die Summe E ıC verschwindet, muss auch U verschwinden; wäre hingegen diese Summe von Null verschieden, dann würde p,=0, und auch hier müsste wegen © =Z an = rp„szc/zv wiederum 0U = 0 werden. $ 17/1. Wir behandeln jetzt die gleichzeitigen Transformationen der Form f und ihrer reciproken Form R f=A Czu X Xur Ayk R =ä Z durch die beiden Substitutionen M O =; &3562 bezw. X B Z [ Dadurch geht f in die Gestalt über gI =2 %x%&2 CuvduxAyz Z O =; E E2de2, und die reciproke Form R in 3'‚u11°‘‚ux“vl HIC F=;7 C L =ä’5„5„7)„. KEs lässt sich jetzt leicht nachweisen, dass I° die reciproke Form zu g ıst Es wird nämlich ya1°‘zrz°‘»t‚u ET s O 2; OEa =2 29 Cy o0y%Ao7 — 2 c„9y„2a„u„‚ V % und da die letzte Summe für v + 6 verschwindet, dagegen für v=©6 den Werth A hat, so ergiebt sich zuerst ;dlex‚u Alogaggoc‚„„zc„gyw_ Hier verschwindet wieder die letzte Summe für @ +rv, während sie für 0:= v gleich € wird; also ist weiter 190 Fünfzehnte Vorlesung 8 171—172. 2%1D„ A 2 Ao2Uou> Q und daraus ergiebt sich, dass für 4=w der Werth d„;‚ D„]„ Zzu Null, für 21 = u zu Eins wird. Das enthält den Beweis der aus- gesprochenen Behauptung. 8& 172. Zum Zwecke unserer weiteren Ableitungen erinnern wir an die folgenden Determinantensätze (vgl. J. für M. Bd. 114; S. 345). Wir bezeichnen zur Abkürzung unter der Annahme beliebiger Grössen C,2 die Determinanten C11 Cim Ciß ‘ | Cm1 Dm+1 (“; ß); (Caß 7 D1 (0(‚ ß)) Cmm Cm ß | | Ca1 Cam Cap" | | und weiter Dm+l(m + 1; mM + 1) r Dm+]. (011 5 D1): dann gelten die Gleichungen (16) | D"l(m7 m) D‚„(m‚ ß) ; A Dm—l Dm+l(“; ß); ı Dn(«, m) D, ß) | | Da(m,m+1) Da (m, ß) | „ i Da (m, m) ( ( ) Da(m+1,m) Dm(m+1,m +1) Da(m+1,8) = Dı Dm+2(@,ß) | Dra(&,m) Dal(«, m +1) D‚„ (06‚ ß) ( Wir gehen jetzt von der quadratischen Form (1) mit dem Range n, aus, wobei 1 <n, <mn sein soll, und wollen sie in ein Aggregat von Quadraten umwandeln. Wir nehmen zunächst an, dass nicht alle C.„ verschwinden; im Laufe der Untersuchung wird sich zeigen, wie man den jetzt ausgeschlossenen Fall zu behandeln hätte. Durch eine elementare Transformation kann man, wenn es nöthig semm sollte, die Indices so verändern, dass c,, + wird. Dies wollen wir geschehen denken. Da c = c und DA (x, 2) = Dm(4, x) ist, so folgt wegen (16) cl»'yß G E A —] —1;l ($Dl (1, Ä) .m)2 + D1T$(DIDI (%;Ä> en D1(1;Ä)D1(%;1>) X4 X27 1 = — 1 ( Z D.(1,A)%ı) + z Z Do( 2) 242 Die quadratischen Formen. ON Ist %, = 1, dann verschwinden die sämmtlichen D,(x, 4), und f wird gleich einem Quadrate. Ist n, > 1, und sind nicht sämmtliche D,(x,x) gleich Null, dann kann man durch eine, auf die letzte Summe aus- geübte elementare Transformation die Indices von %,, %3, Ln Sso verändern, dass D,(2,2)= D, von Null verschieden bleibt. Dann liefert dieselbe Methode F 31; (i‘a(1‚ A)m}2 A 17‘„; (ä’1)2(2‚ WA)2 En Di2;'1)3(„‚ DE Ist n, = 2, dann verschwinden die sämmtlichen D,(x, 1), und f wird gleich der Summe zweier Quadrate. Ist . 2 dann kann man ın derselben Weise fortfahren, falls nicht alle D,(x, x) gleich Null sind. Wir wollen annehmen, dass wir so etwa bis zu f= j% (Zln7D1(l; Ä)xl)2+ 71’)11’]_3; (2;]D2(2; Ä)xz)2 + (18) E FE OE ı ı m—2 D AM ul <$D„._l(m——l‚}„)xl)g—{— ‘Dm-— i m— 1 $ D‚„ (x‚ Ä) W4 X27 gekommen wären, dass %, > m sei, und also nicht alle Dy(x, 2) ver- schwinden, dass aber jedes D, (x, x) gleich Null wird. In diesem Falle kann man durch eine auf die letzte Summe ausgeübte elementare Transformation die Indices von A e %, SO umändern, dass Dn (m, m +1) +0 wird; dann kann man schreiben $ Dr(#,A)2.%2 = fim*(';‚;?;n’_*'_’l) [D‚„ (m, m + 1)%m +_53Dm @- I Ä)—”’J m+2 (19) . [ Dr (M,M + 1) @m41 +jß„. (M, 4)2u| m+2 +$(Dm(Ä>“) F Dr m+ 1,4) D, (M, #) + D, (m,2) .Dy, m- 1,w) W K E )x; ur m+2 D (m, m+1) Die letzte Klammer formen wir mit Hülfe von (17) unter Beachtung von D„(m,m) = 0, Da(m+1,m+1) = 0 in Ea Jal D n Mr D72n—1‘Dm—f—2<}”y') Di(mm-+ı) um. Aus (16) ergiebt sich ferner Da mAL Da Da 192 Fünfzehnte Vorlesung 8& 172—173. und daraus zuerst D„41=0; und dann folgt weiter für den vorigen Bruch der schliessliche Ausdruck Dm—l $ Dm+2(liwy’)r } D m+1 Auf das erste Glied rechts in (19) wenden wir noch die Substitution Da(m, m- 1) Zm —{—2 Da(m 1, 1)2: = Prn F Qm) m+2 Dm (”Z; M 'iL 1) xm+l +jD‚„ (77Z, Ä‚){L'1 —Pm Qm m+2 an, wodurch dasselbe in die Gestalt 2 Dm(m‚ m+ 1) (P'L;‘ n Q3‘) übergeht. Für (18) haben wir also die neue Darstellung ME (18*) i ’1’)'„;;2]D;f1 2 D"‘—l(m_1'l)“)z+ D DG S° z a TD m 1 gDm+2(l‚ W) %2%u> (Dm+1 F 0)- m+2 Fährt man auf diese Art fort, so erkennt man, dass jede quadra- tısche Form vom Range n, (<n) sich in ein Aggregat von n, Quadraten umwandeln lässt. Zwischen diesen Aggregaten besteht keine lineare, homogene Gleichung mit constanten Coefficienten, d. h. sie sind linear von einander unabhängig. Diese letzte Behauptung muss noch bewiesen werden. Hätte man bei constanten Coefficienten 0 die identische Gleichung Ö, Zj7 D (1,12) z + 62;"7 DA Ä)SU]_+ E + öm—l ij_l("l—].,l)x}„ m—1 +öum+ö\m+lQm+ E =07 was die x auch immer für Werthe annehmen, dann zeigt zuerst das Werthsystem %, = %3 = - =0, dass ö,. verschwinden muss; danach Z Z dass auch d} yerschwindet u s x b Zzu 020 Setzt man dann +äm+1 öm—Pm + öm+1an E 2 (Prn + Qm) + öm n a 2 (Pm E Qm); 193 Die quadratischen Formen so ist ersichtlich, dass (d„-+ 0m+4+1) und (& E Null werden Also kann die homogene und demnach auch d„ und 01 selber lineare Gleichung überhaupt nicht bestehen S Derartige Umwandlungen in Aggregate von Quadraten können auf unendlich viele Arten gemacht werden Greift man z. B auch nur zwei Quadrate heraus a,X,* + a X,? und benutzt die Substitution mit nicht verschwindender Determinante XM E DU U, dann entsteht auch W1ede1 eine Summe von Quadraten a‚ X +a X = (a,m* + a,w?) Yı? + A (n A aa E sobald die vier „ubst1tut10nscoeffic1enten die einzige Bedingung amn ; auv= 0 erfüllen; und das kann ja auf unendlich viele Arten herbeigeführt werden Wir wollen nun annehmen, es sei auf irgend einem Wege 2 f 2£l(£ll% A &22% F + &n@x) ——28; X; @ < %) gefunden worden, wobei die Coefficienten & und e reelle Grössen be- deuten, und zwischen den & linearen, homogenen Funetionen X,, X,, X: keine lineare Abhängigkeit besteht. Der Rang von f ist dann ı Wir wollen den Rang des Systems C111 612 Cin Car Cag C2n Er1 Cr2 Crn o nennen (0 <r) und etwa €x}„‘+0(% Ä«———]. 4, o) voraussetzen, während alle Determinanten der Ordnung (o+1) verschwinden. Dann ist \ Ey1 Cx2 O Z =0 @=12 © E 1y und zwar ist diese Gleichung nicht identisch erfüllt, da der Coefficient von Xo+1 nicht Null ist. Damit diese Gleichung der Voraussetzung über d1e lineare Unabhängigkeit der X nicht w1derspreche mUüss 0 = 7 sein, und wir können © 50 @i = 12 --r) annehmen. Danach kann man aus dem Systeme €11 x1 + +elrxr_X rl r+1Xr+l_ Aa 7LX7L; erlx1 + + Crr Xr = X B: er‚r+1Xr+l ar Cr , Xn; Wr 1 = r-+1) xr+2 s Xr+ ’ .Z'„=X„ Netto, Algebra. I 13 194 Fünfzehnte Vorlesung $ 173—174 die Werthe der Variablen x eindeutig durch die X und umgekehrt ausdrücken, wobei alle eingehenden Constanten reell sind. Jede Darstellung einer quadratischen Form fals Aggregat von Quadraten, in welcher nur reelle Constanten vorkommen, kann durch e1ne reelle Transformation erlan@’ß werden. $ 17/4. An die Formeln von 8 173 haben wir noch eine Be- merkung zu knüpfen Es giebt nämlich auch Beziehungen zwischen den Vorzeichenanzahlen der Quadrate bei verschiedenen Arten der Umwandlung. Im Falle eines Aggregats von zwei Quadraten findet %“ B die GIemhun@ statt (a,m® + ayw?) (a,n? 4 a,v?) = (a mn + A, uV)” + a,a (nu — mv)? = A,& (nw — mv) Die letzte Klammer darf der Annahme nach nicht VerschW1nden und es folgt daher die Zeichenrelation sgn (a,m? + a,w?) (a,n? + a,v°) = sgn (a,a,) Hieraus sehen wir, dass wenn a, und a, verschiedene Vorzeichen haben dies auch bei den neuen, transformirten Coefficienten a,m* + au Ferner erkennt man unmittelbar, dass die und a,n” + a,v? statthat letzten beiden Coefficienten beide positiv oder beide negativ bleiben Folglich liefert die neue je nachdem dies bei den ersten eintrifft Darstellung von f ebensoviele Glieder mit positiven und mit negativen Zeichen wie die erste Dieser Satz lässt sich auf die Darstellung eines beliebigen f als Summe von Quadraten verallgemeinern; Sylvester hat ilm unter dem Namen Trägheitsgesetz der quadratischen Formen im Phil. Mag. 1852, 1853 veröffentlicht; Jacobi kannte ihn bereits 1847 (Werke, III, 501), jedoch wurden die betreffenden Unter- suchungen erst nach seinem Tode veröffentlicht Wir können voraussetzen, .dass die Zahl der Variablen von f gleich dem Range » genommen wird ($ 167). Wir können ferner die Coeffi- indem wir diıe cienten der einzelnen Quadrate gleich + 1 setzen Quadratwurzeln aus den absoluten zunächst vorhandenen Werthen zu den Aggregaten ziehen Somit dürfen wir also unsere reelle Dar- stellung der quadratischen Form (20) f= K +K?+...+ K} KL s} (S-+4=n) schreiben. Die X sind linear unabhängig, und die x lassen sich durch sie ausdrücken ($ 178) Man kann demnach jede Substitution durch die X linear ausdrücken Ist in anderer Weise f durch die Quadrate der ” Ausdrücke Q,, Q, Q darstellbar, dann gıilt von den Q das Die quadratischen Formen. 195 Gleiche, und somit können wir auch die X durch die Q ausdrücken. Es möge das in der Form Kı = u Q I2 Q F + Tin Qn (Ä=1;27 --S)‚ Ku — hpl Q1 + h‚u2Qg + SA + h‚un Qn (P"=1;2;“'t) geschehen. Setzt man dies in (20) ein, so entsteht f=Z(gil+—--+g;—hia— h) Q (20°) +2(91191;1 + + Is29su — hllhl,u A E htlh'tp) QÄ Q;4- Z Weil dies nun gleichfalls ein Aggregat von Quadraten wird, müssen die Coefficienten von sämmtlichen Produceten Q,@Q. verschwinden, und das Trägheitsgesetz fordert, dass s von den Klammern der ersten Summe positiv, und die anderen $ negativ werden. In rein arithmetischer Form ausgesprochen lautet das behauptete Theorem so: Wenn bei beliebigen reellen gı„, hıu und den Be- zeichnungen Jı291u + + Ua Oanı F 6}.‚u , hth1‚u + '+' htl ht‚u, S 67.‚u n SO (A,u=1,...n; s+t=n) alle 02.(1=+w) verschwinden, dann sind s der Grössen 01 positiv, während die anderen $ negativ werden. Wir wollen zunächst einen rein arithmetischen Beweis dieses Satzes geben (vgl. J. für M. 110; S. 184). Man hat für « >s U„‚+g;„}=äöx„l=0 C O2 denn die Determinante der 6 entsteht aus der Composition der beiden Matrizen des defectiven Systems 931 A B 91.s‘ 923 Iss gsl 932 A st .93a— 91a 92a Isa Wegen 02,= 0 (1 =+u) vereinfacht sich die Determinante zu Tır 77 O11 7ı T1a Tar T2u D Taı Ta2 Taa« + Oa« und entwickelt giebt das die Gleichung 13 196 Fünfzehnte Vorlesung $& 174—176 1‘£;; ’L';a‘ — |9ur [ 000=01102 @„{r„+2 QÄÄ \ Tax2ı Taa| U A ıl Tu2 Tuu Tua _|_ | 2 . 972 8 uı u | Ta Tau Taa | (Ä> U, —02 ) Der erste Coefficient rechts in der Klammer, nämlich ta _'hltz+ +ha ist direct die Summe von Quadraten; die Determinante des zweiten ist aus den beiden Matrizen des excessiven Systems der Elemente A h1 Z h<) Z htÄ h]_; h1 & hla h2a e h;) ]L;a zusammengesetzt, so dass die Determinante Taı Taa B —2 (hp/h":a hvlhya) auch wieder die Summe von Quadraten wird, u. s. w. Folglich zeigt die obere Gleichung durch eine Identität, dass, wenn 0,,, Oss positiv sind, alle 0xx (@« > s) negativ seim müssen, dass es also in (20) nicht mehr als s positive Glieder geben kann Dasselbe gilt ebenso für t, und damit ist der Satz bewiesen: Wandelt man durch irgend eine reelle Substitution die Form f in ein Aggregat von %” Quadraten um, so ist dıie Anzahl der posıtiyen Glieder desselben invariant für f. $ 175 Wir wollen noch den Jacobi’schen Beweis des Träg- heitsgesetzes, der auf besonders einfachen Ueberlegungen beruht, hier mittheilen Dazu bemerken wir dass wenn e A Ko+t (s + t=n) von einander unabhängige, homogene, lineare Funetionen der x sind, ihre Gesammtheit nur verschwinden kann, wenn sämmtliche Variable gleich Null gesetzt werden Sind aber weniger als % lineare homogene Funetionen gegeben, so kann man diese sämmtlich zu Null machen, ohne dass dies bei den Variablen eintritt Wenn nun + K} / Kı} + Ka ia I(+g s+ti=n —Q1 7R +Q11_'Qp+l— 77R Q71+7 ( D+tr=SN ) und p S aAbı n Z d S N ware dann könnten wir den Variablen ein von Null verschiedenes Werthsystem geben, durch welches Kı = 0 Kı=0, +ı = 0 Qp+7 =0 Die quadratischen Formen. 197 wird, ohne dass gleichzeitig K KL K O K =0 ıst Dadurch ginge die obige Gleichung ın die Korm d S2+1 E — Ka= @+ über, welche, da ihre linke Seite wesentlich negativ ist, einen Wider- spruch in sich birgt. Ebenso folgt, dass nıcht s > p sein kann; des- halb muss, wie behauptet wurde, s = p und t= r seim. $ 176. Das Bestehen des Trägheitsgesetzes zerlegt die quadrati- schen Formen, je nach der Anzahl der positiven und negativen Glieder bei der Darstellung als Aggregat von Quadraten, ın verschiedene Species, die durch ihre Signatur von einander verschieden sind. Unter Signatur soll (vgl. Frobenius: Ueber das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen; Berl. Ber. 1884; 241) die Differenz der Anzahl positiver und negativer Coefficienten bei der Darstellung der Form als Aggregat von Quadraten verstanden werden. Diese Signatur kann bei Formen vom Range ” eine der Zahlen n, n—2 2 A 9 A —ED sein. Gauss hatte die beiden Extreme, in denen nur Glieder eines Zeichens vorkommen, als definite Formen bezeichnet, da bei ihnen der Zahlenwerth stets dasselbe Vorzeichen besitzt, im Gegensatze zu den übrigen, den indefiniten Formen, die sowohl positive wie negatıyve Werthe annehmen können. Wenn ın der Darstellung (18*), $ 172 alle Determinanten D, Di, Ds, 'D'fl von Null verschieden sind, kann man die quadratische Form al f=‚1) ‘1_ U,? n 1U12+j)'1_1172U22+"'+’ T JD) schreiben und erhält als Formel für die Signatur (21) S =9=ä sn (D D @Z Wir haben ferner gesehen, dass wenn alle D„.(x,x) Null sind, die Variablen so angeordnet werden können, dass ein Da C 2) von Null verschieden ist (S. 192, Z. 1), und dass man dabei die Darstellung 1 1 U72n— al f W + E m—2 D m z 1 +V12——V22+b m+le+2 O erhält. Hier ist dann also 198 Fünfzehnte Vorlesung 8 176— 178 m— 1 s = Ysign (Do-1Dr) +Z mOD L1 e=1 Q9=m-+2 Mk sıgn (D D f en D) - sn (D D4ı 0=1 (Dm = 0), +2 sign (Do-1D), =m+2 und man kommt auch in diesem Falle wieder auf die Formel @i & 177 Bilden wir das Determinantenproduct Aı Aın | OR Ci2 CG18 Cin | O11 Anı / | | C Ca9 C983 Can An ı Hna Aın Ann e Cor Cal C353 C I Cn1 C Cn — Can und berucks1cht1gen (9), so ergiebt sich als Resultat t2a„a„ ——d11, t2a„a„—— dıa , t2a„a„;— Q ä Za„za„ d,„‚ t2a„;tm n2; tZa„za„; Da 4= au | von Null verschieden ist, so folgt, dass die Gleichung (22) tZa„;a„— ur =0 (Ä7 M') Ü 17 o ) dieselben Wurzeln t besitzt, wie die Gleichung (28) | C&um Ciy / —0 (";”_1 2 n) Gn 1 yeann E E &uv= 0, wenn u == v ist) KEin Transformationssystem au heisst ein orthogonales, wenn ) (24) 2%1%1—— Euv 2 (Ä;M;7"_1 2 Aus (9) folgt als charakteristische Eigenschaft dieser Systeme, dass sie die Summe von Quadraten %* wieder in eine Summe von Quadraten E y* transformiren. Für solche orthogonalen Systeme vereinfacht sich (22), indem bei ihnen € nur in den Gliedern der Hauptdiagonale und dort mit dem Factor 1 versehen auftritt Es lässt sich zeigen, dass es stets eine orthogonale Sub- St1bUuG1ON. e bb welche die quadratische Form (1) in ein Aggregat von Quadraten umwandelt Wir wollen, ohne auf den Die quadratischen Formen 199 Beweis näher einzugehen, nur darauf hinweisen, dass eine ausreichende Zahl von Constanten dafür zur Verfügung steht Das System (24) und das Ver- enthält nämlich 5 %(n + 1) Bedingungsgleichungen schwinden der Producte yıyu bei (24=+w) in der transformirten Form fordert die Erfüllung von = n (n — 1) Gleichungen zwischen den Sub- stitutionscoeffecienten Weil nun einerseits ”“ solche vorhanden sind und weıl andererseits die Zahl der Bedingungsgleichungen auch ins- gesammt nn+F1) + nn—1)= ist, so ıst wenigstens die Möglichkeit der Erfüllung unserer Forderungen dargethan Damit wollen wir uns hier begnügen Setzen wir in (22) voraus, dass die a‚ derjenigen orthogonalen Substitution angehören, welche (1) in ein A regat von Quadraten umwandelt, dann wird diese Determinante (22) zu | C8&u» — }L'Vj—'0 (!"’;”—1 R ) bei duy= 0 (W=Ev), oder einfacher, da nur Diagonalglieder existiren, zu (22° (w=1,2, ') [ 1Ce-dn)=0 Unter den du„ kommen so viele positive und so viele negative Glieder vor, als das Aggregat von Quadraten positiye bezw. negative Glieder enthält Es ist demgemäss die Signatur von (1) gleich der Differenz der Anzahlen der positiven und der negativen Wurzeln von (22%), und da ja diese Wurzeln mit denen von (23) übereinstimmen Sso folgt der Satz: Die Gleichung (28) en ml =0 ( v =1,2 n), in welcher c„,= &„ ıst, besitzt stets n reelle Wurzeln Die Differenz aus den Anzahlen ihrer positiven und ihrer nega- tiven Wurzeln ist gleich der Signatur der quadratischen Form (1) ——ch LO Au Den hierbei zufällig erhaltenen Satz, dass die Gleichung (23) keine complexen Wurzeln besitzt, können wir auch auf directem Wege ab- leiten, ohne das Theorem aus der Theorie der orthogonalen Substitu- tionen zu verwenden. Der folgende Bewas ist von Sylvester angegeben. $ 178. Wir bezeichnen I() = | C&u» F Car | a= 19 N} Ouy = CGyu) Dann ist 9(—t) = | — döuy + G7 | 200 Fünfzehnte Vorlesung $& 178 Sechzehnte Vorlesung 8 179—180 und es wird ()g(—®) &m S} 2@„G„ z=1 Sl S l ;CÄ>«C„/ HE A i42 > 2m„‚c„„ 4=1 Hierbei durchlaufen im ersten Summanden 2 und u die Reihe Z 7 im zweiten 4, und w, die Werthe 1, 2, i—1,i+1 %, W0b81 OO b1s %” geht; ım dritten 2 und w die Werthe 12 i—1 i+1, - 1L+1 n, wobei k& >7 ist und beide alle möglichen Comb1natmnen aus 1 2 n annehmen, u. s. w. Nach den Sätzen über die Composition von Systemen die wır schon ım &8 174 ver- wendet haben, folgt, dass jede der rechts auftretenden Determinanten ein Quadrat oder eine Summe von Quadraten ist Wenn wir also MOAE Z C O setzen dann sind alle Coefficienten C positiv und g(Ü)g(i—%0)=0 besitzt als Gleichung für * keine negative Wurzel £* — 7, weil hierfür das Polynom positiv werden würde Demnach kann g(t)= 0 keine rein imaginäre Wurzel besitzen. 0 auch Aus . diesem ersten Resultate folgt leicht, dass g(t)= keine complexe Wurzel £= &+ ni hat. Denn wäre dies der Fall und ersetzte man ın der Determinante für g(£) die C,,, Caa, Ca37 durch 0 &, Coa E08 5, so erhielte man eine Determinante von ganz gleicher Bildungsform y(%), die aber gleichwohl zu der Gleichung y(*)= 0 mit der rein imaginären Wurzel %i führen würde Da dies nach dem zuerst bewiesenen Satze nicht angeht so ıst die Annahme einer complexen Wurzel t= E +- n nicht haltbar, und damit zeigt es sich, dass g(£) == 0 nur reelle Wurzeln haben kann Es möge noch bemerkt werden, dass hiermit zugleich der Beweis für die Realıtät aller Wurzeln von Gleichungen der Form ‘ Ür C C C b Cag C C =0 (sgn C SO Z 2 ÖC Z geliefert ıst Denn durch Multiplication der A* Spalte mit w und Division der An Zeile ‚ durch u tür. A4= 12 n kann man eine Das Rolle’sche Theorem. 201 Grenzen für die Wurzeln. Form. erlangen, die bei geeigneter Wahl der u in (28) übergeführt werden kann. — Das Gleiche gilt natürlich von Il 1 1 1 Gt—6 Il C0 C il al = (sgn cı = 8916 = ) | 1 1 \ Gt—63 1 | E Sechzehnte Vorlesung. Grenzen für die Wurzeln. Das Rolle’sche Theorem $ 179 Wir wenden uns jetzt zur numerischen Auflösung von Gleichungen, d. h. zum Studium von Methoden, durch welche wir Grössen finden können, deren Substitution in das Polynom f(z) der Gleichung (D) CO = U Z den absoluten Betrag von f(z) entweder gleich Null oder doch kleiner macht, als eine gegebene, beliebig kleine, positive Grösse. Zunächst handelt es sich darum, Grenzen anzugeben, ausserhalb deren keine reelle Wurzel der Gleichung (1) sich befindet, und an zweiter Stelle darum, Intervalle zu bestimmen, deren jedes nicht mehr als eine von den reellen Wurzeln der Gleichung in sich enthält. $ 180. Es mögen die Coefficienten @ als complex angesehen werden, und « sei der absolute Betrag von a,; auch für z denken wir uns complexe Werthe eingesetzt, und bezeichnen |z| durch o. Dann wird |f(@) | ] Aa | — | a 71 - a 2773 4 - + an | Za — (“19"—1+ O “n)' Ist nun @x der grösste unter den Werthen «,, &, &, dann folgt weıter Q |f(2) | Z «0r — alg ora EL = 0 —& a © Z ke=— e e —1 Nimmt man daher für o die Ungleichung (2) P so bleibt der absolute Betrag von f(e) stets positiv, und 0 202 Sechzehnte Vorlesung 8 180—183. ist eine obere Grenze für die absoluten Beträge der Wurzéln. Diesen Satz hatten wir in 8& 17 bereits abgeleitet. In besonderen Fällen lässt sich durch Berücksichtigung der Natur der Coefficienten die soeben erhaltene Grenze häufig noch herab- drücken. S 181. Nehmen wir yon jetzt ab bis auf Weiteres die Coeffi- cienten als.reell an und etwa U G A,—ı als positiv, a„ als nega- tiv, so ist für positive Werthe von 2 f(;_‚-;) > aoz" + a12"—1 + + az_lzn——z+ll aa 2l und wenn A den grössten der Werthe | a |, [alr n 999 ] @] bedeutet‚ on w—i—1_1 |£@)| Z& R A Z z—1 IV EG E A= 1l Da nun, wie wir ohne erite\res erkennen, a (@* — #71)> a (8 — 1)* (2>1) ’ ist, so braucht man mur für die positive Variable z die Ungleichung (3) z>1—f—f/é0 anzusetzen, um |f(z)| wesentlich positiv zu machen. Es wird (3°) Il SI /a C eine obere Grenze für die positiven Wurzeln der Gleichung. Offenbar gelten dieselben Schlüsse, wenn man unter A, enger als bisher, nur den grössten absoluten Werth aller vorkommenden negatıyen Coefficienten versteht. Wenden wir dieselbe Regel auf die durch 2 = — € transformirte Gleichung an, so erlangen wir eine untere Grenze für die negativen N Wurzeln. Ebenso kann man durch die Substitutionen z = i = e 5 eine untere Grenze für die positiven und eine obere Grenze für die negatiyen Wurzeln erhalten. $ 182. Ist das Polynom der Gleichung so beschaffen, dass auf ein oder auf mehrere Glieder mit positiven Coefficienten nur solche mit negativen Coefficienten folgen, dann besitzt die Gleichung eine und nur eine positive Wurzel. In der That, aus der Annahme Das Rolle’sche Theorem. 203 Grenzen für die Wurzeln, f(2)= (a +a H F Anı — (a y BT @n) folgt die Gleichung RA f(£) CT (aéß“l e A A T Zu—z+l Lässt man num hier z von 0 bis + co wachsen, so wird die érste Klammer von a,_ı ab bis ins Unendliche beständig zunehmen, während die zweite vom Unendlichen bis nach Null beständig abnımmt. Dabei werden. folglich ein und nur ein Mal beide Klammern denselben posi- tiven Werth annehmen, d. h. die Gleichung besitzt eine und nur eine positive Wurzel. Ist das Polynom der Gleichung nicht der obigen Beschränkung unterworfen, dann kann man es wenigstens in einzelne Summanden (4) NC Oa A G derart zerlegen, dass in einem jeden die Exponenten der folgenden Glieder geringer sind, als die der vorhergehenden, und dass zugleich auf anfängliche Glieder mit positiven Coefficienten nur solche mit negativen Coefficienten folgen. Jede der Gleichungen besitzt dann nach dem soeben Besprochenen eine einzige positive Wurzel, und ihr Polynom wird für höhere Werthe von z positiv; die höchste der für die v Gleichungen gefundenen positiven Wurzeln ist daher zugleich eine obere Grenze für die positiyven Wurzeln von OO Durch passende Vertheilung der einzelnen Glieder des Bolyaoms An : f kann man häufig die Grenze herabdrücken. $ 183. Cauchy giebt die nachstehende Regel. Sind in der Function O A E (ay= 1) die Coefficienten ay, A, U AB sämmtlich positiv, und ist die Anzahl der mit negativem Zeichen versehenen Coefficienten ax, Aß, *' gleich x, dann liefert die grösste der Zahlen 1 1 (x a(;)?) (“ a,})F‚ eine obere Grenze der positiven Wurzeln. In der That wenn zunächst für ein & die Ungleichungen , gelten ıl Z a&);, CS (xa,';);f‚ S dann folgt aus ihnen zunächst durch Potenzirung und Multiplication 204 Sechzehnte Vorlesung & 183—185. AD &> ua Z C=0) WE LE Cn > xa(’g;n——(i’) Z und dann weiter durch Addition dieser letzten x Ungleichungen und Division durch die ganze Zahl x die Beziehung PE L a Es wird also in f(£) schon das Glied &* grösser werden, als die positiv genommene Summe aller vorkommenden negativen Glieder, so dass damit die Cauchy’sche Regel bewiesen ist. $ 184. KEine andere, bequem zu verwendende Regel leitet man folgendermassen ab. Wir setzen /(Z) P „05n + _+_ aa_1z7z—a+l O a(;zn—a A a(;+lzn—a—l Z + ö + Aß—ı Aa a{;7/5‘"—ß —([/;+1 e + —+ D —AL D so dass auch hier, wie im vorigen Paragraphen, die positiven Coeffi- cienten ohne Accente, die negativen mit Accenten versehen auftreten. Nun schreiben wir für jedes positive Glied bei beliebigem o Anı = a„_,(z A 0)(21—1 + 21—29 + + 91—1) + a„_,g’‚ während die Glieder a„_,2° ungeändert bleiben, Tragen wir dies in f(?) ein, dann entsteht die Form des Polynoms f(e) = ay(e — 0# + I(e — 00 + alr + (5) + [ — 000° + 0r E: auı) — ailer e OO TT O Setzt man also für irgend ein positives o fest, dass / a & z>@+; err—l +“19a__2+"'+a0‚_17 (6) O PE } aol+1 A 0*+a,0 Z W 820 sein soll, dann werden alle Glieder in der obigen Form (5) von f(z) positiv sein, und also liefert der höchste Werth unter den Ausdrücken (6) eine obere Grenze für die positiven Wurzeln von f(2e)=0. Ist das absolute Glied in f(g) negativ, so kann in (6) bei der zu a, gehörigen Ungleichung das erste o rechts unter- drückt werden. Die Unbestimmtheit von o kann zur Herabdrückung der Grenze ausgenützt werden. Wir können diese Grenze Grenzen für die Wurzeln. Das Rolle’sche Theorem. 205 =0 + KT X% (@°) a‚ %— A—1 Z A schreiben, wobei a, den passend gewählten unter den negatiyen Coeffi- cienten bedeutet, und die Summe auf alle ihm vorangehenden positiven Coeffiecienten erstreckt wird*). $ 185. Newton hat eine Regel gegeben, die von der Entwickelung O O @+H@E- OT OT n! f (a)(2—a)" ausgeht. Wird für irgend einen reellen Werth a@ jeder der Coefficienten (0) @), 0 0, ffl(“)7 %9 G) positiv, dann ist für alle %> «@ der Werth der Function f(z) auch positiv, und das kleinste @, welches alle Glieder der Reihe (7) positiv macht, ist eine obere Grenze der Wurzeln von f(z)=0. Dabei ist zuerst zu berücksichtigen, dass f“ (a) = n!ay nach der Voraussetzung ($ 181) positiv ist. Man sucht also die Wurzel der Gleichung ersten Grades f“—1(2) = 0, etwa z,. Die kleinste Grösse 2 Z 8,, welche f“—%(2) positiv macht, ist dann nach unserem Satze eime obere Grenze der Wurzeln von f“—V(z) = 0 und f“—3(2) = 0. Die kleinste Grösse %, > 2, welche /“—3(g) positiv macht, ist deshalb nach demselben Satze eine obere Grenze der Wurzeln für _die drei Gleichungen f“ =0, f“3@=0, f“ =0, u s.f. Auf diesem Wege gelangt man zu der gesuchten Grenze a. Die hierbei nöthigen Rechnungen sind einigermassen umständlich, besonders deswegen, weil die Berechnung des Werthes der Funetion fW(a) durch die vorhergegangenen Rechnungen für f“+M(a), f#+3(a) in keiner Weise erleichtert wird. Man kann diesem Uebelstande, freilich nur unter Verzichtleistung auf möglichst genaue Annäherung, in folgender Art abhelfen #*). Wir benutzen die Funetionen Fı E U da (8) -f2 AB A D a o Sn A, fn — &9 ET 5 Vél. über diese und ähnliche Regeln: Burnside and Panton, Theory of equations. London 1881. S. 157. — Longchamps: Th6oröme d’algebre. Nour. Ann. (2) ’ OS W Ann. (2), 19. S. 49, **) Laguerre: Sur la determination d’une limite superieure etc. Nour. 206 Sechzehnte Vorlesung 8& 185—187 und erkennen dann die Gültigkeit der Formeln bn f(n fa » AL („ S n .2 ’ ©) —2 L_2)'f(n 2)_fn-—2+( 1 DE 2+( ] 12; f(a) fa+( )f«+l Z+( 7 )fa+2 B + +( >f'„ zn—a In der That, wenn wir die Coefficienten von aı2"-?—« auf beiden Seiten der 1etzten Gleichung mit einander vergleichen, so ergiebt sich ihre Richtigkeit aus dem Bestehen der Beziehung —2 CN Nn — A— 1)} deren Wahrheit durch allmäliches Aufrechnen der Summanden auf der rechten Seite leicht erkannt wird Die Formeln (8%) zeigen nun, dass, wenn ein positives @ die Funetionen f} fi, fa, MOS cht au posıtıv sind so dass wir also auf den Newton’schen Satz zurückgeführt werden Zugleich lehrt aber (8°), dass im Allgemeinen die so erlangte Grenze @ die durch das Newton’sche Verfahren gelieferte übertrifft Der Vorzug der Laguerre’schen Methode liegt in einer, durch die Gleichung fı(@) = fa+1(2) 2 + An —z begründeten bequemeren Berechnung von f;(a) aus fıyı(a) $ 186 Wir wollen jetzt die verschiedenen bisher besprochenen Es sei die Gleichung Methoden auf ein Beispiel anwenden O zg# — 32 + —82—10=0 zur Untersuchung vorgelegt Aus $ 180 ergiebt sich für die obere Grenze der absoluten Be- träge der Wurzeln der Werth o= 1 + 10=11 Aus $ 181 folgt als obere Grenze für die posıtiven Wurzeln LE als untere Grenze für die positiven Wurzeln (1 +V10)_07 als obere Grenze für die negatıven Wurzeln Grenzen für die Wurzeln. Das Rolle’sche Theorem. 207 A und als untere Grenze für die negativen Wurzeln DE D Um die Regel von $ 182 anzuwenden, setzen wir f(?) = (# — 32 — 82—10) + g und erhalten 2,5 als obere Grenze der Wurzeln. Die Cauchy’sche Methode liefert den grössten Werth unter den drei Ausdrücken 1 B (3:3), (3:8) 9 (3 4 10)’_:,) also die Grenze 3. Bei der Vorschrift von $ 184 haben wir die Werthe der Aus- drücke 8 10‘ 9+%79+3 D o*F 0 zu untersuchen. Für o= 1 erhält man die Werte 4, 5, 5; für o=V3 die Werthe 8 2V3, V3+ 10 e an so dass 2V/3 =2,7 ... als obere Grenze gewählt werden kann. Die Newton’sche Methode betrachtet die Funetionenreihe 52; 102 — 3; 102 Og ALa 52° — 92 + 22 — 8; 2° — 32° +# — 82 — 10, bei welcher die erste Funetion für jeden positiyen Werth z selbst positiv wird. Damit auch die zweite positiv werde, ist 2>V0,3 zu nehmen. Der Werth V/0,3 lässt aber die dritte Funetion noch negatıv. Wir wählen z = 1 und erhalten dafür positive Werthe der drei ersten und für z =2 wpositive Werthe der vier ersten Funetionen. Aber @ =2 macht f(?) selbst noch negativ; will man bei ganzzahligen Grenzen bleiben, so reicht z =3 aus, um f(2) und seine Ableitungen grösser als Null zu machen. Die Laguerre’sche Methode liefert dasselbe Resultat. N $ 187. Nachdem wir gesehen haben, auf welche Art Grenzen für die Wurzeln gefunden werden können, wollen wir die Frage zu beantworten suchen, wie die reellen Wurzeln getrennt, d. h. wie Inter- 208 Sechzehnte Vorlesung 8 187—188 valle angegeben werden können in denen nur eine (einfache oder mehrfache) reelle Wurzel liegt Wir beginnen mit der Ableitung des Zwischen zwelı aufeinanderfolgenden Rolle’schen Satzes*) reellen Wurzeln von f(z) = 0 liegt eine ungerade Anzahl von Wurzeln der Gleichung f'(£) = 0, also stets mindestens eine Wir haben früher ($ 36) gesehen, dass bei reellen Coefficienten OE PE %; %, n RR 22 (Z_gl (9) HOL B + Z—Z + + (Z a E ist, wenn f in das Product seiner Wurzelfactoren zerlegt die Form @O Z Da G— O (Z—%l+“r}1l); die com- giebt, wobei 2,, %, 2 die reellen und E A N0 E Nı plexen Wurzeln bedeuten, und die Exponenten ihre Multiplicität an- geben Setzt man jetzt einmal 2 = %, — 0 und dann Z = %, + 0 bei hinreichend kleinem ö, so wird der Bruch —— einen beliebig grossen ıM negatiyen und einen beliebig grossen positiven Werth erhalten, während alle anderen Brüche endliche Grenzen nicht überschreiten Folglich wird, da Gleiches für %, — 0 und %, + 0 stattfindet, CNa 0) 2 * Ca E mS sg 101 ÜE = sgn O .___'_1, * fa ® 16 —5 = — { Sind nun z, und %, zwei.aufeinander folgende reelle Wurzeln, so hat der Nenner f(2, + 0)-f(% — 0) das positive, und der Zähler folglich das negatıye Vorzeichen, d. h. f’(z) wechselt zwischen (z, + 0) und und (z — 0) eine ungerade Anzahl von Malen sein Vorzeichen f (g) =0 hat zwischen diesen Grenzen eine ungerade Anzahl von Wurzeln Als Specialfall dieses Rolle’schen Theorems kann man nun auch den schon früher ($ 36) bewiesenen Satz betrachten dass eine v-fache Wurzel z von f(g) = 0 eine (v — 1)-fache Wurzel von f (@)= 0 ist Aus dem Theoreme folgt die Reihe der Sätze I) Zwischen zwei Wurzeln von f’(2) =0 kann höchstens eine Wurzel von f(g) = 0 liegen I Ha — 0 zerade ” reelle Wurzeln so hat /(e) = 0 entmweder ( Da odern um 100 Sal @e Wurzeln von eine gerade Anzahl weniger f(#)=0 reell, so sind auch alle Wurzeln von f'(2)= 0 reell und diese trennen jene von einander IV). Sind 2 2 Zzwel . ARDUT E *) Traite de Vl’algebre Paris, 1690 Grenzen für die Wurzeln. Das Rolle’sche Theorem. 209 aufeinander folgende, reelle Wurzeln von f(z)= 0, so ist sgn f'(a8)f (@)=—1. Aus (9) geht ferner hervor, dass, wenn z wachsend eine Wurzel von f passirt, dabeı sgn f-f’ stets vom Negativen zum Positiven übergeht. $ 188. Im Allgemeinen dient der Rolle’sche Satz weniger dazu Z vorgelegte Gleichungen auf die Realität ihrer Wurzeln hin zw unter- suchen, als dazu, Gleichungen herzustellen, deren Wurzeln hinsichtlich ihrer Realıtät gegebene Bedingungen erfüllen: Wir wollen dies an einer Reihe von Beispielen darlegen. Besitzt die Gleichung (1) MO D x% reelle Wurzeln, so besitzt CLOZ"+w + alzn—|—w—l + a22"+w_2 + + 0 — O] wobei @ eine ganze, positive Zahl bedeutet, (x + c«) reelle Wurzeln und nach dem Rolle’schen Satze (n + w)ajg T L (n + o— a + 0a3 =0 mindestens (x + @ — 1), also, wenn wir den Factor z°—-! unterdrücken, (10) (n + 0)a” + (n + o — Va-! A, Dr z mindestens x reelle Wurzeln, d. h. mindestens so viele als (1). 1 Wenn ins Besondere (1) nur reelle Wurzeln besitzt, so gilt das Gleiche von (10). — Besitzt (1) x reelle Wurzeln, so hat für jedes reelle @ f(2): (@ + @) = 4TE (a - @e - (a + 4,a 1 O0 (x + 1) und die durch Ableitung des Polynoms entstehende Gleichung (11) (n E 1)%2 + n(a, + 4a (n — 1)(@ + aa + (a„ + a„_{cö) =—% mindestens x reelle Wurzeln. — Besitzt (1) x reelle Wurzeln, dann gilt dasselbe von ( ZS) = e IA al + 10 L alg + 1 0 Multiplicirt man diese Gleichung mit z und nimmt die Ableitung 5 SO erkennt man, dass auch @- 1) (& 0, + - + a)E + nna Fn— 1a + An - Ca a a mindestens x reelle Wurzeln besitzt. — Netto, Algebra. I 14 210 Sechzehnte Vorlesung $ 189—191. $ 189. Da die Gleichung des Grades (m + mn) @ 2 R=0, in welcher » und »” ganze, positive Zahlen bedeuten, nur reelle Wurzeln besitzt, so ist dies auch mit jeder, durch Nullsetzen einer Ableitung erhaltenen Gleichung ebenso; bilden wir also für R (<Zm, %) die p Ableitung und dividiren das Resultat durch E 12 dann besitzt der Quotient gleich Null gesetzt auch nur reelle Wurzeln. Das ergiebt m ( y ( ) JDr ( e D (Dr N +( D )z"=0. Zugleich lehrt das Rolle’sche Theorem, wie man leicht erkennt, dass alle diese Wurzeln zwischen 2=0 und z2=1 liegen, und dass sie sämtlich nur einfache Wurzeln sind. Durch die Substitution u =— ergiebt sich aus (13), dass die Gleichungen von der Form / (14) mM M m ( )M+( D — 1/ . (Yurz ( D=2 ))uerm + + (*)=0 lauter reelle, negative, von einander getrennte Wurzeln haben. Der Fall m = ” = »n beansprucht seiner Wichtigkeit wegen ein besonderes Interesse. Die linke Seite von (13) wird dabei 0 D D Z Ü 1fd" n! d“ (g(2—1))*. Setzt man 22 = x + 1, dann entsteht zr (g Rn 1)n A 22i„ (.Z'2 c 1)„) K RLn n! dz” ((e—1))" DE LA ( 1)n n Es hat also die Gleichung (15) X =0 nur reelle, getrennte, zwischen — 1 und +-1 liegende Wurzeln. Die Funetionen X„, heissen Legendre’sche Polynome. Ausser der angeführten Entstehungsart erwähnen wir noch, dass die Entwickelung 1 =14+ X a+ X @ + 0 + X: * . Vi—30x+a? gilt, und dass zwischen drei X, miıt aufeinander folgenden Indices Grenzen für die Wurzeln. Das Rolle’sche Theorem. 211 Xnı Xn, Xn+4+1 die Recursionsformel (15°) (n + 1) X.4+1 — Qn + 1)xzX, +n X_ı =0 besteht. (15*) unterscheidet sich .von den in der achten Vorlesung behandelten Recursionsformeln dadurch, dass seine Coefficienten von den Indiees der X abhängig sind. Die Ausdzucke ür X sınd für n=1,2, 3, 4, --. die. folgenden X1=x; X2 a % (3x2-— 1); Xy= } (5%° — 8#), X,= 5 (85@“ — 30x* + 8), $ 190. Zu ähnlichen Formeln gelangt man, wenn man von an(52 E 1)n Z 0 ausgeht; auch hier sind alle Wurzeln reell und liegen zwischen — 1 und - 1, die Grenzen eingeschlossen. Differentirt man bei m = 0 z. B. pmal und dividirt dann durch pU(@ — 1)—, so erhält man, wenn 22 = w und (z° — 1) =v gesetzt wird, n D ( D )“p+ (pj1) (P l l> U (pj2) ( % ) up—4,u2 (16) N C —383 )(p3 )74P—61;3—|—---=0. Diese Gleichung hat nur reelle, getrennte Wurzeln, die alle zwischen 2 = —1 und 2= + 1 liegen. Setzt man w = — , dann ergiebt sıch die Gleichung N N N (17) ( Q )+ 0, —1 VT —2 N deren Wurzeln sämmtlich reell und von einander getrennt sind. $ 191. Als weitere Anwendungen des Rolle’schen Theorems beweisen wir die Sätze: Die Gleichung OO0 hat mindestens so viele reelle Wurzeln, wie f(@) = 0, wenn h eine beliebige reelle Constante bedeutet*). In der That, wenn 2,, z auf einander folgende reelle Wurzeln von f= 0 sind, dann ist nach $ 187, IV sgn (f(&) + hf (@))(A(e) +hf (@))= sgn f (@)f' @)= —1, so dass g(7)= 0 eine reelle Wurzel zwischen z, und 2, besitzt. F olg- ELE SE S 5 Poularn: lNouv. Ann. (2). 16, 14* 212 Sechzehnte Vorlesung 8& 191—192 lich hat g = O höchstens eine reelle Wurzel weniger als f=0. Da aber die Differenz der Anzahlen reeller Wurzeln zweier Gleichungen desselben Grades eine gerade Zahl sein muss, so hat g == 0 mindestens so viele reelle Wurzeln wie f= 0. — Bedeutet f(e) unser Polynom (1), und (18) WE AA AA eıne Gleichung mit nur reellen Wurzeln dann hat die Gleichung g@R) =f@) + Af ( ) + Af' @ FE AfO@)=0 mindestens so viele reelle Wurzeln wie f(z) = 0.*) Für x= 1 ist der Satz soeben bewiesen worden Wir nehmen an, er sei für (x — 1) richti und brauchen dann nur zu zeigen, dass er für x gültig ist, um den vollständigen Beweis durch strenge In- duection zu liefern Es sei 6= — Ü eine der reellen Wurzeln von (18) und 1+ 42 + + 4, Z =(1+22)(1+B2+B,2 + + Brr# Setzen wir jetzt, unserem Satze für (x — 1) entsprechend GQ OTE OE N TE) dann wird CO OB EB EL OG) G(g) + G' () h= f(e) + (Bı +WF @+ (Bı +hBIf' (@) + CT A A =g(e) Nun hat der Annahme nach G(z)= 0 mindestens so viele reelle Wurzeln, wie f(z) = 0, und dem vorigen Satze gemäss hat g(@) G-(2) +.hG'(2)=0 mindestens so viele wie G(g) == 0, so dass also das Theorem dadurch bewiesen ıst. — Ohne näher auf den einfachen Beweis einzugehen, führen wir noch den Satz an Die Gleichung in der %/ eine reelle COon; stante bedeutet 2 =f"C) W ( = 0 hat mindestens 2x reelle Wurzeln, wenn f(2)= 0 deren x hat (Man substituirt 2 = — 00, Z1, %, CM + OO) Dieses Theorem lässt sich leicht verallgemeinern. — * Poulain: Nouv. Ann. (2). 16. Vgl. auch: Fouret: C. R. 106. S. 1135—1139 1220—1222 Grenzen für die Wurzeln, Das Rolle’sche Theorem. 213 $ 192. Die Gleichung @1E AA H Ä=0 besitzt für ein gerades n keine, für eın ungerades n nur eine einzige reelle Wurzel *®). Da f@=F @+ A ist, so würden aus der Existenz zweier auf einander folgender, reeller Wurzeln z,, z der vorgelegten Gleichung die beiden Beziehungen Z 0=f'(2) + n!? 0=f"(@%) +;;% sich ergeben. Es ist aber klar, dass f(g) = 0, wenn überhaupt, dann nur negative, reelle Wurzeln besitzen kann; es haben demnach 2” und 27 und also auch f (z,) und f'(z,) je das gleiche Vorzeichen. Das würde dem Satze $ 187, IV. widersprechen. — Hat die Gleichung f(?) = 0 vom Grade ” höchstens eine reelle Wurzel, dann ist dasselbe mit CO O e der Fall, wo h eine willkürliche, reelle Constante bedeutet**). Wir haben hier, da {@+1(2) gleich Null wird, HOO OFT O OO gl@) = f(@) + hg'(@). Nun sei zuerst ” = 2v, so dass also f(g) = 0 überhaupt keine reelle Wurzel besitzt. Wenn g==0 eine solche besässe, so müsste noch eine andere reelle Wurzel vorhanden sein, da die Anzahl der complexen Wurzeln einer Gleichung mit reellen Coeffieienten stets gerade ist. Es mögen also 2,, %, zwei auf einander folgende Wurzeln von g = 0 bedeuten. Dann wären die beiden Beziehungen erfüllt 0 = f(&) + 2g'(&), 0 = f(%) + hg'(&), und da sgn g’(2,)g' (%) = — 1 ist, so müsste auch sgn f(2,)f(2) = — 1 sein, d. h. f(z) = 0 hätte, gegen die Voraussetzung, eine reelle Wurzel zwischen %, und %. Wenn ferner %” = (2vy +1) ist, dann hat f=0 eine und nur eine reelle Wurzel. Hätte g= 0 deren mehrere, so müssten es %) Sylvester: Nouv. Ann. (2) 5. 1866. S. 520 ff. *+*) Hermi0e|: ıbıdem. 214 Sechzehnte Vorlesung 8 192194 mindestens drei seın. Wir bezeichnen mit %, 2,, % drei unmittelbar auf einander folgende; dann wäre sgn g’'(% + 0) = — sgn g'(2, — 0); sgn g (& + d) = — sgn g'(2, — 0), und aus den Gleichungen I& Ö)———f(.%+6)—{—hg CR e — 0) e e folgte wegen der kleinen Werthe von g(2% + 0), g(2, — Ö), dass sgn f (% + 0) = — sgn f(% +0); sgnf(% +0)= — sgnf(4 — 0) ist, d. h. dass f zwischen z, und z, und ebenso zwischen Z undt z verschwmdet was wieder der Voraussetzung entgegen ist. S 198." Wir wollen endlich mit Hülfe des Rolle’schen Theorems noch einen Satz beweisen, den wir später gebrauchen, und der ge- wöhnlich durch Methoden der D1fl'erent1alrechnuno be@rundet wird. Hier sollen Stetwkmtsbet1achtunoen nur in so weit benutzt werden als sie zum Nachweise der Wurzelexistenz und des Rolle’schen Satzes nothwendig sind. Den Satz, um den es sich handelt, nennen wir den Mittelwerthsatz. (Vgl. übrigens Pasch: Differentialrechnung S 83.) Zuerst leiten wir folgendes Lemma ab. Die Gleichung nayg— l + (n — 1)a, —2 + + 20222 + Anı = A0 1+acon——‘>+ + An —20 + An—1), in welcher ® eine reelle Constante bedeutet, hat eine zwischen 2 0 und = @ liegende Wurzel Dies folgt nach dem Rolle’schen Satze daraus, dass die Gleichung E OC + &_ 22(2 — w)=0 die beiden reellen Wurzeln 2 = 0 und 2 = @_ besitzt. Nebenbei möge bemerkt werden, dass aus der Betrachtung von HOO —OO auf dieselbe Art die Existenz einer zwischen 0 und @ liegenden reellen Wurzel der Gleichung n z © gefolgert werden kann. — Wenn nun eine ganze Funection nt°® Grades (8) H cn n + O18 + Cn gegeben ist, dann hat man Grenzen für die Wurzeln Das Rolle’sche Theorem 215 f(h+m)——f(h) (h) M f ® (h) ._l_ M@ ’ @F OF i (h) A M@„H Setzt man jetzt in dem eben bewiesenen Lemma — 7 O f (h) (EATEr %' ’ Tnı e r @— 1)!? dann zeigt sich: Die Gleichung (n — 1)'” Grades in z ME w)—f(h Cn hat eine zwischen ©0 und o liegende Wurzel Diese können wir @o@ schreiben, wobei @ einen positiven, echten Bruch bedeutet Es ist also die Existenz eines solchen @ bewiesen für welches die Gleichung gılt (19) f(h + @) = f + w f'(h + w0) 001 $ 194 In genau derselben Weise leiten wir das Lemma ab dass die Gleichung, in welcher w eıine reelle, beliebige Con- stante bedeutet (a + ( aıg + - (3) aa# + (5) an = q 0-7? L& a 0r73 + + 0, _360 + An—2, eine zwischen z2=0 und z= w gelegene reelle Wurzel be- sıtzt Da nämlich MC ar ?) + q 2(g73 — ar73) + + An—32"(2 — 0)=0 die Doppelwurzel z =0 und die einfache Wurzel = @ hat, so wird die erste Ableitung des Polynoms einen Nullwerth 2 = 0 und einen zweiten 2 = ®’ haben, wobei @‘ zwischen 0 und w liegt Die zweıte Ableitung des Polynoms hat deswegen, wie behauptet worden war einen gleichfalls zwischen 0 und @ gelegenen Nullwerth Bilden wir /(h+w)—f(h)—wf (h) f ® ]‚„ (h) Fn n—2 2! + @+ 4 n! DE S e h—{—z) f (h) 1.2 — l OLn a H (me und setzen in das Lemma dieses Paradraphen f r(n— 1) (h) I h) 0 n! } B Cn Ün Z — ein, dann zeigt sich: Man kann 2 4 16 Sechzehnte Vorlesung $ 194. Siebzehnte Vorlesung $ 195—196. (19°) fh+ w) =f(8) + wf'(k) + 7 f (h+00) setzen, wobei © einen echten, positiven Bruch bedeutet. Es ist ersichtlich, dass man die Reihe der Mittelwerthsätze in derselben Art vermehren kann. RA HOR Siebzehnte Vorlesung. Das Budan-Fourier’sche Theorem. $ 195. Wir leiten jetzt einen Satz ab, der für die praktischen Zwecke der Wurzeltrennung geeigneter ist, als das bisher besprochene Rolle’sche Theorem. Zu diesem Zwecke untersuchen wir die Aenderungen in der Reihe der Vorzeichen, welche sich ergeben, wenn man in (D LL e) einmal £—= 2 und einmal 2 — 2 einträgt (z, > z,), also die Unter- schiede in den beiden Reihen (2) sgn f('el); Sgn /[‘,"\'51); | sgn f“ (2,), (3) sgn f'(%), sgn f'(%), - San 7©(2). Wenn in einer solchen Reihe (4) sgn f(£), sgn f”(£), sgn f@)(£) zwei aufeinander folgende Signa denselben Werth haben, dann werden wir dies eine Zeichenfolge, oder kürzer eine Folge nennen und durch ein /” bezeichnen; wenn zwei aufeinander folgende Signa ver- schieden sind, sprechen wir von einem Zeichenwechsel oder kürzer von einem Wechsel und bezeichnen einen solchen durch ein W. Die Zeichenwechsel wird durch Anzahl der in einer Reihe, wie (4), vorkommenden Zeichenfolgen oder ZF(;) bezw. 2 W(8 angegeben. KEs ist klar, dass bei unserer (n -|- 1)-gliedrigen Reihe (5) NrO+YWo@=n sein wird, falls keins der Glieder von (4) verschwindet. Sind in (4) Glieder gleich Null, dann zählen wir die F und die W einfach so, als ob die verschwindenden Glieder überhaupt nicht vorhanden wären. Das Budan-Fourier’sche Theorem. Z $ 196. Der zu beweisende Budan-Fourier’sche Satz lautet: Die Anzahl der reellen, zwischen z, und %, (>Z,) liegenden Wurzeln von f=0 ist gleich der Anzahl der beim Ueber- gange von (2) zu (3) verlorenen Zeichenwechsel oder um Wenn man also diese Wurzel- eine gerade Anzahl geringer. anzahl mit Z(z,, %) bezeichnet, dann ist (6) Z(&, %) = W(a) — W(@) —Q, wobei h eine positive, ganze Zahl bedeutet. Geht die Variable & von 2, stetig wachsend bis %, dann kann eine Aenderung in den Zeichen (4) nur dadurch eintreten, dass eine oder mehrere der Functionen (1) durch Null gehen. Wir nehmen zu- nächst an, dass f(£)=++CO ist, während eine oder mehrere der mittleren Functionen in (1) für 2 = €& verschwinden. Da f@(2) = n!ay eine Constante ist, so kann die letzte Funetion nicht zu den verschwindenden gehören, und auf die verschwindenden folgt demnach jedenfalls eine für z = E von Null verschiedene Funetion. Es ist, wie sich zeigen wird, indifferent, welches Signum sie für D D = 6 hat; wir nehmen, um die Begriffe zu fixiren, an, dass es das Pluszeichen sei. KEs mögen demnach etwa (7) O O FE G (x>0) gleich Null sein, während sgn MC Z C c Dann kannn man zwei Intervalle J, = (6—0, ... £) und J = (& « E+ Ö) zu beiden Seiten von & bei so geringer Ausdehnung abgrenzen, dass f“+% in beiden beständig positiv bleibt. Kolglich muss f in / und s wachsen, und da f“+2-0(£) =0 ist, so ist diese Funetion in J; negativ und in J, positiv. Für f“+2—2 und J gılt dasselbe, u. s. f., derart, dass alle Funetionen (7) in J, positiv sind. Da ferner f#+1—1) in J, negativ ist, so muss f@«-+4—2) abnehmen, und weil {&+**-2(8)=0 ist, in J, positiv sein. In gleicher Weise setzen sich die Schlüsse fort, und man erkennt die Richtigkeit der Tabelle sgn: f(l— 1 f'(l) FD F@#--2—8) f# +2—2) f f'(%+l) © al (Ji) ( CD .+. G + 5 E 0 © 0 _+_ (Jo) © + + —+ [ + + + Hierin bedeutet & = + 1 das Signum von f“—1(g). Ist 2 eine gerade Zahl, dann sieht man, dass beim Passiren von E eine gerade Anzahl von W, nämlich 2 verloren gehen. Ist 2 ungerade und &= + 1, dann gehen (2 + 1) verloren; ist 2 ungerade und &= — 1, damn 218 Siebzehnte Vorlesung 8& 196—197 gehen (1 — 1) verloren; in jedem Falle also eine gerade Anzahl. (Vgl $ 203.) Ganz so wird es bei sgn f+2 O== 1 Jetzt gehen wir auf den bisher ausgeschlossenen Fall ein, dass 7(E) — 0 ist. Gleichzeitig mit f mögen f f - ED verschvvmden während f@(£) positiv bleibt. Wir können d16 hierbei eintretenden Verhältnisse sofort erkennen, wenn wir in der obigen Tabelle die zu f“—1 gehörige Spalte unterdrucken und in den folgenden für x die Null einsetzen. Dann folgt, dass hier beim Uebewange von (£ — d) zu (6+0) g genau 2 Zemhenwechse] verloren gehen, d. h. so viele, als die Mult1phc1tat der Wurzel £ von f= 0 angiebt. Soweit der Verlust an W vom Passiren einer oder mehrerer Wurzeln abhängt, soweit stimmt die Anzahl der verlorenen W mit der Anzahl der passirten Wurzeln überein soweit er aber vom Ver- schwinden mittlerer Funetionen abhängt, soweit beträgt er eine verade Zahl 22 Damit ist also der Budan-Fourier’sche Satz bewiesen KEine stillschweigend gemachte Voraussetzung muss noch geprüft werden Wir haben nämlich bei der bisherigen Abzählung angenommen ass für z, und für %, sämmtliche Glieder der Reihe (1) von Null verschieden seien Verschwinden aber für z mehrere der mittleren Glieder, ohne dass f(z,) = 0 ist, dann kann man die untere Grenze durch ein hinreichend nahe gelegenes (z, + d) ersetzen ohne die Zahl Z(&,, %) zu verändern Die obige Tabelle lehrt dabei dass E W(2,) mit E W(z, + 0) übereinstimmt, so dass auch in diesem Falle der Satz bestehen bleibt Verschwinden ferner für z, mehrere der mittleren Glieder, ohne dass CN Z 01 dann kannn manı die obere Grenze durch ein hinreichend nahe gelegenes (z, — 0) ersetzen und es gilt Z 0 Z Z) —2 W (2,) ——2W’(‚z'2 —0) —22 Hier wären auf Grund der obigen Tabelle W(z,) und W(z% — 0) mit einander zu vergleichen, und dieser Vergleich zeigt sofort W& —0)= W (&) — 2h, so dass also auch in diesem Falle der Satz richtig ist Man braucht demnach keine Aenderungen anzubringen, auch wenn an den Grenzen mittlere Functionen der Reihe (1) verschwinden Ist dagegen f(2,) = 0 oder f(%)= 0, dann wird der Ausdruck des Satzes ınfolge der Worte zwischen z, und z, liegende Wurzeln unbestimmt Der Budan-Fourier’sche Satz liefert eine obere Grenze für die Wir können leicht Anzahl der Wurzeln innerhalb eines Intervalles Das Budan-Fourier’sche Theorem. 219 ersehen, wann die richtige Anzahl geliefert wird. Beim Verschwinden von 2 aufeinanderfolgenden mittleren Funetionen von (1) gehen bei geradem 2 auch 2 der W verloren; bei ungeradem 2 und posiıtivem & hingegen (1+1), und bei ungeradem 2 und negativem & endlich (2—1). Damit diese Zahl gleich Null werde, muss also 1= 1 und 8= —1 sein, d. h. es dürfen nicht mehrere aufeinanderfolgende, mittlere Fune- tionen von (1) gleichzeitig verschwinden, und beim Verschwinden einer einzigen müssen die benachbarten Functionen rechts und links verschiedene Signa besıtzen. $ 197. Wir wollen bei der Function f und ihren Ableitungen fF2) =4 Fa +a ? ı F Anı F An, (a > 0) f'(2) = n Ln —U)a-? Eı F A, (8) B O die Zeichenreihen (2) und (3) für zı = 0 und für einen so grossen positiven Werth z, bestimmen, dass dieser eine obere Grenze der positiyen Wurzeln von f= 0 bildet. Dazu reicht es aus ($ 185), dass 22 alle Functionen (8) positiv macht. Wir bekommen somit Sn (0)= 89n 0 en / (0) — an Ln sgn f“(0) = sgn a sgn f(4)= + 1, sgn f'()= +1, sgn f@(2)= + 1, und erhalten als Specialfall des Budan-Fourier’schen Theorems den Descartes’schen Satz: Die Anzahl der positiven Wurzeln von f(@e)=0 ist gleich der Anzahl der Zeichenwechsel in der Kerke der Ooetficrenten a aı An oder um eine gerade Anzahl geringer. Dieser Satz behält nach dem vorigen Paragraphen auch dann seine Gültigkeit, wenn die Coefficienten nicht sämmtlich von Null verschieden sind. Substituirt man in f(z) statt z den Werth —z2, so folgt: Die Anzahl der negativen Wurzeln von f(2z)=0 ist gleich der Anzahl der Zeichenwechsel in der Reihe (— 1, (— 1Ea ( 1 — An—1) An oder um eine gerade Anzahl geringer. Aus diesen Betrachtungen erkennt man unmittelbar die Richtigkeit der Sätze: Hat eine Gleichung f(z)= 0 nur reelle, positive Wurzeln, dann ist sie vollständig, d. h. keiner ihrer Coeffi- cienten verschwindet, und sie besitzt nur Zeichenwechsel in der Reihe der Coefficienten. — Hat eine Gleichung C O 220 Siebzehnte Vorlesung $ 197—198 nur reelle, negative Wurzeln, dann ist sie vollständig und besitzt nur Zeichenfolgen in der Reihe der Coeff1@1enten 8& 198. Wir untersuchen jetzt eingehender die Verhältnisse, welche mit dem ‚Nullwerden von Coefficienten azı unserer Gle1chuncr — ( (@) 0 zusammenhängen. Unter den Differenzen der Grade der kommen. wirklich auftretenden Glieder können zuerst ungerade Zahlen vor- Diese Differenzen bezeichnen wir durch An SO Es können ferner unter den Graddifferenzen gerade Zahlen vorkommen, welche zu Gliedern mit entgegengesetzten Vorzeichen gehören. D18se Differenzen bezeichnen wir mit 2 D 2 Endlich können noch geradzahlige Differenzen auftreten welche Gliedern mit gleichen Vorzeichen in f(z2) entstammen Diese mögen 291 29, 29u seın Dann kommen in dem Polynome (x + 2 +uw +1) Glieder wirklich vor a (x + 2 + w) Graddifferenzen vorhanden sind. Es fehlen ferner wie siıch aus der Betrachtung der Grösse der einzelnen Gradintervalle ergiebt RO DE =2( Ya+ ı+ Ng) + @— w) Glieder Die Summe aus der Zahl der vorhandenen und der fehlenden muss (n + 1) sein Das &1ebt somit E 9(2k+21+2«;) N (9) y 2(2k +2'1 +Zg) MO Weiter bezeichnen wir wıe bıisher die Anzahl der in f(g) vor- kommenden Folgen und Wechsel mit EF und > W, und ferner die zu /(—2) gehörigen entsprechenden Anzahlen mit EF und E W In f(z) Liefert jede Differenz der zweiten Sorte einen Wechsel und ebenso in f(—2). Die Differenzen dritter Sorte liefern sowohl in f(z) wie in f(—%2) nur Folgen Jede Differenz der ersten Sorte liefert entweder nur in f(g) oder nur in f(— 2) einen Wechsel. :Man hat also UE 92 _2W+ZVI und dadurch geht die Gleichung (9) in Das Budan-Fourier’sche Theorem. 221 (10) n =Z W+2 W/+2 (Zk +Z’z +.29) über. Bezeichnen wir ferner die Anzahl der positiven Wurzeln von f(?z) = 0 mit P, die der negativen mit N und die der complexen mit 2J, dann ist natürlich d DD und die Subtraction dieser Gleichung von der vorhergehenden liefert ( 2 (ZW-3)+(SW + (ZH4 SS Hieraus können wir eine Reihe von Schlüssen ziehen. Nach dem Descartes’schen Satze ist jede der beiden ersten Klammern rechts positiv oder Null, und die letzte Klammer enthält nach der Definition der Zahlen %, /, g auch nur positive oder verschwindende Elemente. Falls also f'(z) = 0 lediglich reelle Wurzeln enthält, und daher J= 0 ist, muss auch einzeln 2W=P‚2W’=N; Zk=0, 21=0‚ Z’;;=0 se1n. Es können demnach keine Differenzen der dritten Art VOr- kommen, und bei jeder Differenz der beiden ersten Arten kann mur der extreme Fall auftreten, dass alle & und / Null werden. So sehen wir: Wenn eine Gleichung nur reelle Wurzeln hat, dann ist die Anzahl ihrer positiven Wurzeln gleich der Zahl der in den Coefficienten von f(g) vorkommenden Zeichenwechsel, und die Anzahl ihrer negativen Wurzeln gleich der Zahl der bei f(—2) vorkommenden Zeichenwechsel. Es können in f (z) höchstens einzelne Glieder fehlen und die Coeffieienten der, den fehlenden rechts und links benachbarten müssen ent- gegengesetzte Vorzeichen haben. — In einer Gleichung /(e)= 0 folgt aus der Hxistenz einer Lücke von der Graddifferenz (2%-+ 1) das Vorhandensein von 2k complexen Wurzeln, aus der Existenz einer Lücke von der Graddifferenz 2A% das Vorhandensein von 2A4 oder (2h — 2) complexen Wurzeln, je nachdem die einschliessenden Glieder Coefficienten mit denselben oder mit entgegengesetzten Vor- zeichen besitzen. In dem ersten betrachteten Falle, dass die Gleichung f(z)= 0 in der Gestalt nur reelle Wurzeln hat, und also E W= P wird, können nur Lücken a A E a eintreten; schiebt man hier ein Glied E —* mit beliebig ge- V 299 Siebzehnte Vorlesung $ 198—200. wähltem Vorzeichen ein, dann wird E W nicht geändert. Man hat demnach auch in der so vervollständigten Gleichung ZW= F Da aber jetzt E W+ E‘F= n ist, wie (5) es angiebt, so wird in ihr 2]*‘ = N werden. Von dieser letzten Bemerkung wollen wir sofort eine Anwendung auf die im $ 178 behandelte Sorte von Gleichungen machen. Es ist dort gezeigt worden, dass die Gleichung für £ (12) Wa Cuvr : =0 (M‚ D 1) 27 & n) (Gur= C4} &uv=0, wenn u=AEv ist; &uy=1, wenn w= v ist) nur reelle Wurzeln besitzt, und nehmen wir dazu die Betrachtungen aus $& 177, so können wir sagen: Vervollständigt man die ent- Wickelte linke Seite von (12) nöthigenfalls durch Glieder A 0:7, so dass sıe alle (% } 1) Terme , &@ an — ? Z e hält, dann ist die Differenz E}’V—— EF‚ bezogen auf die Coefficienten, gleich der Signatur der quadratischen Form (H') V 1; 2; K C‘L„=C„‚>. 2q„ E $ 199. Wir haben im $ 197 aus dem Budan-Fourier’schen Theoreme das Descartes’sche als Specialfall hergeleitet. Wir können es aber auch in einfacher Art direct beweisen*), und wir wollen dies thun, um von dem Beweisgange nach anderer Seite hin noch Vortheil zu zıehen. Zuerst zeigen wir: Das Polynom f(g)-(z—c), in welchem c eine positive Zahl bedeutet, hat eine ungerade Anzahl von Wechseln mehr unter den Coefficienten als f(2). Es sei f(z) — (anz" + l + b()z”1+1) Z (alz"1 + CL .+. I'}1‚Z"L'l+l) + 004 _+_ (_ 1)‘v (a„z"v + E + b7 5(’)_ Dabei sollen alle Coefficienten a@ positiv, die b positiv oder 0 sein, so dass also die aufeinanderfolgenden Glieder desselben Zeichens ın je eine Klammer vereinigt sind. Dann wird F(e) ( —c) = (« o(/ n+1 + ...)——(aig"1+l+ .)+.+(-. 1)"(a;z”n+’—+ >} a = A, + cbp, a= 0, + Cb,, &2 und daraus folgt, dass aı, Q, a; gleichfalls positive Werthe haben. Trotzdem daher über die anderen Coefficienten” nichts bekannt ist, können wir doch schliessen, dass von aye"t! bis zu — a# ** min- destens ein Zeichenwechsel, bis + azz4t1 mindestens zwei, bıs C %) daués, Werke Bd. 38; S. 67. Das Budan-Fourier’sche Theorem 223 (—1) ajz"”+* mindestens v eingetreten sind, und dass die wirkliche Zahl diese Minimalzahl um ein Vielfaches von 2 übertrifft Lautete nun in f(z) das letzte Glied (—1)”b,gz® so lautet das letzte ın und es findet sonach von f(@) - (@#—c) natürlich (—1)+!b,c2 (—1) a# bis (—1)*16,c2 noch eine ungerade Anzahl von Wechseln statt Damit ist der ausgesprochene Hülfsatz bewiesen. — Um hieraus den Descartes’schen Satz abzuleiten, sondern wir in dem Polynome f(z) alle linearen Factoren ab, die gleich Null ge- setzt negative oder imaginäre Wurzeln ergeben Das Produet dieser Factoren heisse Z; die positiven Wurzeln von f=0O seien 2,, 2 27 Zn Dann haben nach dem Hülfssatze die Polynome Z.(2 2,), Z.(2—2,)(@ %), Z (Z_21) (Z_Zz) (2 — 2%) mindestens einen ZWEe1 x Zeichenwechsel mehr als Z. Dieses Polynom Z hat für den ersten und den letzten Coefficienten gleiche Vorzeichen, da ja im entgegengesetzten Falle Z=0 eine positive Wurzel besitzen würde Folglich hat das vorgelegte (?) = Z (@—21) (@ — %) (2 — 2,) (x + 2w) Zeichenwechsel, d. h. um eine gerade Anzahl mehr, als die Gleichung f= 0 positive Wurzeln hat, w. z. b. w $ 200. Wir haben im $ 198 die Differenzen der einzelnen auf- einanderfolgenden Exponenten von f(z) betrachtet und sie daraufhin unterschieden, ob diese Differenz eine gerade oder eine ungerade Zahl War Jetzt wollen wir die Wechsel und die Folgen in gleicher Art vertheilen, indem wir Z2WZ0 setzen, derart, dass zu W,, F, alle die Wechsel bezw. Folgen ge- rechnet Werden bei denen die Differenzen der zugehörigen Exponenten von z untfe1ade dagegen zu W,, F, alle die, bei denen sie gerade sind. Es liefern folglich z. B. 20 B Zl7 Z" F ‚11 ‚11 + le 10+56 Einheiten die bezw. zu W., W;, J K, gehören. Man erkennt sofort, dass in f(—z) den W, und den T Zeichenfolgen, den W, und den F, Zeichenwechsel entsprechen müssen; und es. giebt folglich der Descartes’sche Satz für die Anzahlen P und N der positiven und negativen Wurzeln von f= 0 P<ZW NSI +DF c 994 Ya Siebzehnte Vorlesung $ 200—201. Achtzehnte Vorlesung $ 202, Ferner ist ersichtlich, dass ein W, oder ein F, nur auftreten kann, wenn mindestens ein Glied im Polynome f fehlt. Bezeichnet man also die Anzahl aller fehlenden Glieder mit 7, dann ist TEW +F, Nun bilden wir f (z) (z — c) = f©(z), wobei c wie im Hülfssatze des vorigen Paragraphen eine positive Grösse sein soll, und die An- zahl der Wechsel von f©(z) nach demselben Satze um eine ungerade Zahl (2%&-+-1) grösser werden wird, als die der Wechsel von f{(£). Wir bezeichnen alle auf £© bezogenen Grössen durch angefügten, oberen Index 0 und haben dann > wo =Z’ @ n PO= P+1, NO=N, 2JO = J. Den Grad von f können wir einmal als Summe aus Wechseln, Folgen und fehlenden Gliedern und andererseits als Summe der Anzahlen von So _ ent- positiven, negativen und complexen Wurzeln aufschreiben. steht die Gleichung O + N® + 2J© =2F“” +2 WO + T, und wenn wir hierin die einzelnen bisher gefundenen Grössen eintragen, (Zw+)+ZW0 S > S0 (Zwpaka + (Zn0 S oder vereinfacht 2722 YFO + 2b. Diese von Sturm aufgestellte Formel giebt eine untere Grenze für dıe Anzahl der complexen Wurzeln einer Gleichung: Wenn bei beliebiger Wahl der positiven Constanten c die Coefficienten des Pro- ducts f(2)(z—c) an Wechseln (2k&-+1) mehr enthalten, als die von f(e), dann besitzt f(2z) = 0 mindestens 24& complexe W urzeln. $ 201. Die im letzten Paragraphen abgeleiteten Sätze lassen mancherlei Anwendungen zu. Bilden wir f(z)- (# — c), dann können wir durch passende Wahl von c zwei aufeinanderfolgende Glieder RO K OOn des Producets zum Verschwinden bringen, sobald a„,_ı:A,=0„,! Ay-+ı ist, da ja dann die reelle Grösse Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze, N Z (1 — =— z D —l a % genommen werden kann. Es hat s.omit (S ]:99}) die Gleichung f(2) - (z — c) = 0 complexe Wurzeln, und da c reell ist, so ergiebt sich: Bilden drei aufeinanderfolgende Coefficienten einer Gleichung eine geometrische Progression, dann besitzt die Gleichung com- plexe Wurzeln. Von Herm Hermite*) stammt der Satz: Bilden vier auf- einanderfolgende Coefficienten einer Gleichung eine arith- metische Progression erster Ordnung, dannt "besitzt' dıe Gleichung complexe Wurzeln. Wenn nämlich f(2) =U F a 8 AaA p TI HAL gesetzt wird, dann erhält man in f(z)(z — 1)? die Glieder (d. —1 — 20, F A ) E ( —20 n E a : und stehen nun A,_ı, A„“, Ay+ı, A--+2 in arithmetischer Progression erster Ordnung, dann verschwinden beide Coefficienten, und es hat f(2e) (2z—1)=0, und also auch f(2) = 0 complexe Wurzeln nach $ 199 ##). Krweiterungen dieses "'heorems sind naheliegend. Achtzehnte Vorlesung. Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze. $ 202. Wir kommen jetzt zu einem von Sylvester gegebenen Theoreme, dessen Wirkung nach derselben Seite hin geht, wie die des Budan-Fourier’schen Theorems, und dabei im Allgemeinen bessere Grenzen für Z(gz,, %) Liefert. Die in der letzten Vorlesung untersuchte Funetionenreihe en / » : formen wir durch Multiplication mit positiven, vorläufig noch unbestimmten, positiven Constanten ,, h,, - h„, etwas um, indem wir h D (I) Z Ev h A v =0,1,...mn) setzen. Dieser Functionenreihe stellen wir eine zweite zur Seite, die ; Noutr. Ann, (1); 1. S, 385 **) Vgl. Faure ibid, (2); 4. S, 79 und Catalan ibid, , 375 136 Netto, Algebra. I, 15 226 Achtzehnte Vorlesung $ 202—203. mit Hülfe anderer, auch noch unbestimmter, positiver Constanten K 7”‘-.'; - k, gebildet ist (2) Iı = ıff — fuafen; go= f In = kaff. Aus diesen Festsetzungen folgt (3) fı=Inf HI = efygs; g; _ 2kufifall O f;—lfv+l e fv-——lfi+l — 2kv£rfva+l E 5v—lfvfif—f—l 5 5v+1fv—lflx—l—2ä (4) g£fl I® (27»‘„£„ 3 5v—1) f3fv+1 T £v+1fv—1 (kv+lfv2+l z 9v+1) _ fv+l [(2kv5v SE £1'—1) f12 A 5v—{—1k1'+1f;/—1f1'+1] + Ev+1fv—lf]v+l- Setzt man daher fest, dass die & und die % den Gleichungen (5) 8„+1k;]\5y+1 S 2€;rkp + E&y—ı= © genügen sollen, dann geht (4) in g;fv > 5v—|—1]'31'+19va—}—1 + £1/—}—1fv—1_91'—}—1 über, und daraus folet: (I) Ist g,= 0, dann wırd SOn S Es möge ferner (z—a) ein x-facher Wurzelfactor von f,_1, und fı(e) = (@ —a pE), (p(d) =f= 0, sein; das ergiebt 1 f(e) = fı—ıle) = (# — a) * p(8) + (@ — a)“4(€), &, SA e fı = O a l) + @— a 100e), wo %(z2) und %(z) wie @(z) ganze Funectionen von 2 sind. Setzt man diese Ausdrücke für /y—1; /», /,+1 In (2) ein, so_ entsteht (6) gu z e (# — 16ı (e —a p + e —a 0, Die Constanten & und % wo ®(z) auch eine ganze Function bedeutet. unterwerfen wir nun für alle in Betracht kommenden v und x der zweiten Bedingung (7) xh,e, — (x—1) &— > 0. BDannn rolet aus (6): () B O = 0 Hann wud ün bın länglich kleine Werthe von (z—a) die Function g,(2) positiv. Für z = a kann sie verschwinden. Aus $ 70 ist bekannt, dass wenn a eine x-fache Wurzel von f(2) = 0 ist, derselbe Werth eine (x — 1)-fache Wurzel von f,(£)= 0, also nach (3) auch yon fy+1(@e) = 0 wird, Infolge dessen zeigt die Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze. 227 Formel (2) auch noch: (III) Ist f_ı(@) —0, dagegen f,(a)= 0, dann hat für hinlänglich kleine Werthe von (z— a) die Fune- tion g,(z) das entgegengesetzte Vorzeichen des Products fr—ı(2) : fa (@)- $ 203. Wir betrachten jetzt die gleichzeitigen Aenderungen der Vorzeichen in den beiden Reihen (8) or fl) f2; fn Io> Iı Ia In beim Uebergange des Argumentes z von einem niederen Werthe Z zu einem höheren %. Die Bezeichnungen / und W als Folge und Wechsel von Zeichen bei zwei aufeinanderfolgenden Functionen haben dabei die frühere Bedeutung für jede der beiden Reihen. Jetzt aber ziehen wir auch das gleichzeitige Auftreten von / oder W bei ent- sprechenden Functionen beider Reihen in Betracht und bezeichnen es mıt FT, wenn in beiden Reihen entsprechende F WW, ” ” ” ” ” W FW, wenn in der oberen Reihe ein F, in der unteren ein W WF, ” 2 ? ” ” ” W, Z ” ” J& ” bei aufeinanderfolgenden Gliedern erscheinen. Diese vier Möglich- keiten mögen Folge-Folge, Wechsel-Wechsel, Folge-Wechsel und Wechsel-Folge heissen. Wir untersuchen, was eintritt, wenn z durch einen Werth E& ocht; für den mehrere der mittleren f, verschwinden, z. B. f,, fz+17 fr+2—1, Ohne dass f C0 ıd Da die fx sich von den f mur durch positive Factoren unterscheiden, so können wir für die f direct die Tabelle aus S& 196 benutzen. Hürfdie g tolst aus (@), dass g. _ in dem hinreichend eng gewählten Intervalle (5— 0 -.. E +4- 0) positiv ist; aus $ 202, (III), dass g, das entgegengesetzte Zeichen von &f,+ı hat; und aus $ 202 ( da ** Ix+2% posıtiv sind. Folg- lich entsteht die Tabelle, in welcher £ dieselbe Bedeutung wie in $ 196 hat: sgen ©) _ÜZ—1 Ir Iu+1 _(/x—|—2—3 Q Ix+2i—1 9x+l —0 + —CDA .+. + + + 5 + 0 0 0 0 0 + 540 + O + + + + + Die Vergleichung beider Tabellen zeigt: e s giebt unter den auf- geschriebenen Functionen für 15* Ll 998 Achtzehnte Vorlesung $& 203. - A gerade A gerade A ungerade A ungerade s&=+1 8= —1 e=+1 s8= —1 E— 0 MT O O RE 5 L EEN OE MLE 0OFF Saı G al VLE aa 1FF und hieraus erkennt man, dass beim Uebergange von (£—0d0) zu (E-4+ö) stets eine gerade Anzahl von FF gewonnen wird. Wir wollen auch die drei entsprechenden Tabellen für die An- nahme sgn f,42= —1 aufstellen. san: fz———1 fr fz+l fz+2——3 fz+l—2 fx—|—l—l fx+). E E— ö (_ 1)7._1 Z E € 0 0 E AL PEr 5+0 E sean {} Ir— v Ix O41 x 2—3 Ön RZE Q E—0 + s(—1)*—1 + _|.. + + + 0 0 0 0 0 5 + + E + +& + + + + + A gerade 2 gerade A ungerade A ungerade s&=+1 s&= —1 s=+1 &= —1 E— ö Z JS HE 0FF 5 O2 WE IEN 0FF RE S+0 AFF (1& AT En aus denen sich auch für diesen Fall der gleiche Satz ergiebt. Wir nehmen weiter an, dass für & eine oder mehrere der mitt- Jeren, Functionen, z. B. . gı, . Oxni, 44 Y 2n ‚ glerch‘ Null; werden: Wenn dabei gleichzeitig entsprechende Functionen f verschwinden, stehen wir auf dem Boden des eben besprochenen Falles. Wir können also alle entsprechenden Functionen f als von Null verschieden voraus- setzen. KFerner sei, um die Begriffe zu fixiren, ‚sgn e San ,-+21 = + 1 gesetzt. Aus (2) folgt, dass wenn g„ verschwindet, /2_1 und fx41ı gleiche Vorzeichen haben. Danach sind die beiden Möglichkeiten zu beachten, dass im Intervalle (£— 0, ... E+0) sgn: fx—l fz fz+1 E S fz+l + + + A) + + + > + s B) GG + + Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze. 229 wird. Für A) ergiebt sıch aus S 202, 0 dass San N SN L A 1 und sonach da 7,r 6 0 I, dass sgn g,+2—-1(6—0)= — 1, und sgn g, 421 (8+0)= + 1 wird Auf dieselbe Art geht man bei A) und auch bei B) weiter und er- hält für A) die Tabelle: sgn !//—1 Ix Gxı ba Qnı =2 OB I2 — E— 00 GDE + + 0 01)Ä-—1 0 0 + S+0 + + + + + und für B) die Tabelle: sean !//—1 Ir Ix+1 O23 Qn 422 OE Z T7 E—00 _{_ + + 0 0 0 + 60 E C DA i Vergleichen wir nun wieder beide Tabellen A) für die f und die y und ebenso beide Tabellen B), so ergiebt sich an vorkommenden FL ım ersten Falle: sen A gerade A gerade &= —1 A ungerade A ungerade 8&=+1 s=+1 &8= —1 E— 0 ET OLE 0OFF WE 5 LE 0OFF UE 0OFF Sar ® ( ZLTEVTEN ( 1E AF und daher eine gerade Anzahl gewonnener FF beim Ueber- gange von (£—d) zu (£-4-0). Den Fall B) brauchen wir gar nicht zu untersuchen, da in der Tabelle für die f nur W vorkommen. Für sgn f,42(8) = —1 tritt bei den g und im Schlussresultat keinerlei Aenderung ein. — Wenn ‚ endlch C0 C = MC =0, HO =E ist, dann . wird sgn 5 / .ı f3 KA 2 zn fı 620 (——1)*5° En S S 5 0 0 0 -{68 E SO E E € 230 Achtzehnte Vorlesung &$ 203—205, Hierbei folgt aus (2), dass g„, und aus $ 202 (IT), dass g,(£ + 0), 9:(5 + 0) positiv werden, und daraus, dass beim Ueberschreiten einer A-fachen Wurzel & zugleich 4 FF gewonnen werden. Damit ist be- wiesen: Die Anzahl Z(z,,z,) der zwischen z, und dem grösseren %, liegenden Wurzeln von f(z)=0 ist gleich der Anzahl der in (8) bei Substitution von z gegenüber z, gewonnenen Folge- Folgen oder um eine gerade Anzahl geringer*). Der Beweis hätte sich, genau wie der beim Budan-Fourier’”- schen Theoreme gegebene sehr durch die Annahme vereinfachen lassen, dass nicht zwei aufeinanderfolgende Glieder der f- oder der g-Reihe gleichzeitig verschwinden. Das würde auch stets dann ausreichen, wenn f(z)= 0 keine mehrfachen Wurzeln besitzt. Denn es lässt sich ohne Schwierigkeit nachweisen, dass durch beliebig kleine Aenderungen der Coefficienten von f(z) = 0 ein solches gleichzeitiges Verschwinden beseitigt werden kann, ohne dass dadurch die Natur der Wurzeln (hinsichtlich ihrer Realität) verändert würde; ausgenommen ist aber dabei der Fall mehrfacher Wurzeln, weil hier der Uebergang von reellen zu complexen Wurzeln offen steht. $ 204. Wenn etwa an den Grenzen z Al oder %, Functionen aus den Reihen (8) verschwinden, dann treten dieselben Schwierigkeiten auf, wie beim Budan’schen Criterium. Falls aber nicht f(2,), f(z) selbst Null werden, lassen sie sich auch jetzt beseitigen. Man be- trachtet zuerst das Intervall (z, + 0---z — 0) - und geht von hier aus zu d =0. Die aufgestellten Tabellen, die gerade deshalb auch die sgn fx(£) enthalten, zeigen dann die Richtigkeit der folgenden Regel: enn bei San 7 4C = u alle Lücken der / miıt dem Zerichen (—n) gefüllt werden und alle Lücken der g mit dem Zeichen SE 1 danm wınd beim Uebersanse von (6 - . 0) zu C dıe Anzahl Man kann daher der JF nur um eıne gerade Zahl zeändert. diese Krgänzung der verschwindenden Glieder in der f- und der g-Reihe machen und dann die Sylvester’sche Regel auch bei den Grenzen anwenden. Es ist zu vermuthen, dass der abgeleitete Sylvester’sche Satz mindestens so genaue Grenzen geben wird, wie der Budan’sche. Denn bei diesem wird nur der Gewinn an Folgen in der Reihe der f gezählt, bei jenem aber der an Folge-Folgen in der Reihe der f und der g; dieser wırd im Allgemeinen nicht ohne einen vorhergegangenen oder gleichzeitigen Gewinn einer Folge der /-Reihe eintreten. *) The Oxford, Cambridge and Dublin Messenger of Mathem. IIL. 1866; 129—141. 231 Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze. $ 205. Wir gehen jetzt auf die Bedingungen (5) £V+1k„]y'„+1 z 28„7»"„ + E& —1 = O‚ (7) %Ek, — (x — 1) &— > 0, denen die & und die &% unterworfen werden müssen, näher ein. (7) braucht nur für x = 1,2, ... (n—v-+-1) erfüllt zu sem, da x nicht grösser werden kann als der Grad von fy_ı. Gilt nun (7) für den höchsten Werth x =n" — v + 1, so folgt aus (n — v + 1) &k — (n — V) &— % ) £v—1} > O‚ OE n—v+1 dass dann auch alle anderen Bedingungen (7) erfüllt sind. Man darf demnach (7) durch (7%) (n —v +1)&ök, — (n—7)&ö— >0 ersetzen. Gesetzt ferner, (7*) gelte für einen gewissen Werth von v, dann können wir mit Hülfe von (5) folgern &k (2n—2v—n +v+1) — (n—V)&Ü-1>0, (10) (2e,k, — &_1) (n—v) — (n—v—1)e,k, > 0, (n — v) &+1kı4ı — (n—Vv—1)&>0; also gilt (7®) dann auch für ein um eine Einheit höheres v. Folglich brauchen die & und die % nur den Bedingungen Ö5) E‚r+1k«„k„+1 5 2Eyk„ + Ey—1ı = O‚ © ns k — n—1)8 >0 zu genügen. Man kann also beispielsweise die positiyven Constanten & ganz beliebig annehmen, ferner %, gemäss (7”) wählen, und (5) liefert dann die Reihe der übrigen /, die freilich sämmtlich positiv sein müssen. Die % lassen sich bei willkürlichem A, vermittels der Formel k ( &9 ‘°1‘ 752 7—1 aus den & bestimmen, wie (1) zeigt. Wir wollen einige Systeme für die e, die & und die %A angeben: Da=saä= Sl eh= u = 1i h=h=...=1. ED7E ID 6 =a, E =0 1, _.a+2, RS kl=k2=... = il (« > 0) ıl e D 0 a(«+1) (@x+2)? i D Z T Ä=äé" S E=— L @— @+ _ (m—2) (n+3) kı=1, % n(n+1) ’ 3 @ )) h=1, A =n, h=nnF1), h=nn+1)n+2), - 232 Achtzehnte Vorlesung &$ 205—207. Falls wir alle % gleich 1 setzen, geht (5) in die Functionalgleichung y 2E‚; + Ey—1 = 0 über, deren allgemeine Lösung sich aus den Anfangswerthen ın der Form &=4\, S IV) &, = 4 4 Bvy ergiebt. Nimmt man ferner 4 und B positiv, dann ist auch (7*) be- friedigt. = ] _ entsteht Für Z ü P — A(A+B)(4+2B8)-- (47@ - 9B) $ 206. Die Bedingungen (7) waren nöthig, damit bei f,_,(a)=0 für hinreichend kleine Werthe von (z — a) die Funetion g,(z) positiv werde ($ 202, II). Wenn wir jetzt ( (n — v + 1)&k, — (n — v7)&— 1 = 0 setzen) dann ast (C) zwar für % = 1, 2 (n — v) erfüllt (ygl. (9)), aber nicht mehr für den höchsten möglichen Werth x =n — v + 1. Wir wollen untersuchen, was dabei geschieht. Nach $ 202 wird dieser Umstand überhaupt nur dann auftreten, wenn ein (z — a) als @ Z U)-Kacher Wurzeltäctor in . eingeht. Nun ıst aber fı vom Grade (n — v + 1); also muss dabei fırıle) > a (g—a)ı H werden, wobei x einen constanten Factor bedeutet. Daraus folgt f_._"; -y+1 lx(.6’ H a)n—l‘ fl—}-l P (n—./u‚—i_„l„)_ S —1 E —1 %fl„ V (2«’—(1)"'_"_1, Iv n—»v»v+1 m— v + 1)ek, — (n —v)e, ]« (e — a)ıı —2 = 0, ji- le f d. h. es wird nach (7°)-die Funetion g, identisch Null. Findet weıter die entsprechende Gleichung auch für (v + 1) statt, nämlich (n — V)& +rı —0 —v —1U1)Ü=0, dann verschwindet auch g,41 1dentisch, u. s. f. Unsere Schlüsse gelten in diesem Falle also nicht unmittelbar. Es genügt aber, wie die Construction unserer Tabellen deutlich zeigt, an Stelle der etwa bei g„,+1, auftretenden Nullen das Pluszeichen in die Reihen einzuführen; dann entstehen genau die obigen Schemata, und unter dieser Vorsichtsmassregel können wir demnach auch den besprochenen Grenzfall mit in die Sylvester’sche Regel einschliessen. Der bei (10) gemachte Schluss gilt auch hier, so dass aus n& k —(n—1)8=0 das gesammte Gleichungssystem (7°) folgt. Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze. 233 Der besprochene Grenzfall trıtt z. B. ein, wenn wir n—1 S=== n—2 —— E V) 80:17 E, n ’ 2 N 2 Y k =kh=-.. il setzen; dabei ergiebt sich 2 Nn Nn n? Sl 1, ’l1’ h; 700 GD 8 207. Genau wıe wır aus dem Budan-Fourier’schen Theo- reme durch Specialisirung der Grenzen auf die Werthe — c0o, 0, + « das Descartes’sche Theorem abgeleitet haben, genau so können wir hier aus dem Sylvester’schen ein von Newton ausgesprochenes Theorem entnehmen. Newton hat es ohne Beweis gegeben*); seine Begründung ist lange Zeit hindurch von den Mathematikern vergeblich versucht worden, bis eben Sylvester es durch Erweiterung zu seinem Satze umformte und so bewies. Wir wollen, um den Satz abzuleiten, 2 z On , %, = 0 setzen und haben also (11) Z(— , 0) = Y FFO) — FF ) — 2, worin die linke Seite die Anzahl der negatıyen Wurzeln von f= 0 bezeichnet, und die Ausdrücke rechts analog den früher erklärten ($ 195) zu verstehen sind. Für unsere Funetion f(2) findet man lim f @) 1 f (@) liım 1° © z2=—0 8 =a0’ 2=— N 1 =1N04, s 2 = nn — 1)4,, ») die rechten Seiten dieser Gleichungen haben sämmtlich das Zeichen von ay; die Potenzen von z in den Nennern sind abwechselnd positiv und negativ. Demnach wird die Reihe fi, fi, f2, : für grosse nega- tive Werthe lediglich Wechsel darbieten, d. h. es ist in (11) DYFF—)=0 zu setzen. Ferner erhält man durch Differentiation und Anwendung von (1) Z e / C (0) R O EL —- CO I, (0) hik,v!v! |ia?‚.„, — V 7z?‚ K, 'an—v—lan——v—}—l | und hier kann man den positiven Factor vor der Klammer unter- drücken. Bezeichnen wir der Kürze halber (12) Un— w n (1/+ 1)hv——lhl'+l S (1}+ 1)8„_1 E 1 x A vh2k, 'V'E‚„ k 4l ? BT OT *) Arithmetica universalis II. Cap. II: „De forma aequationis“‘“, 234 Achtzehnte Vorlesung &$ 207—208. so ıst also FF(0) gleich der Zahl der Folge-Folgen in den beiden Reihen Z A, A5, D arl‚—l; An ’ (18) G 11A006 0 e A5, 9 ar2z—l s Zn—lan—2an; a'121 Wir wollen diese Zahl mit @ bezeichnen. Dann ist (14) Z(— co, 0) = w — 214. Um auch für Z(0, 0o) einen ähnlichen Satz zu erhalten, transformiren wir die Gleichung f= 0, indem wir — z an Stelle von z eintragen. Dabei geht nur in der ersten Zeile von (13) eine Veränderung vor, indem alle @ mit ungeradem Index das negative Zeichen erhalten, und hierbei wird jede frühere Folge in dieser Zeile durch einen Wechsel ersetzt und umgekehrt. Man erhält also jetzt soviele Folge-Folgen, als vorher Wechsel-Folgen vorhanden waren. Bezeichnet man diese Zahl mit w, so ist (14°) Z(0, + c0o) = w — 214,. Die beiden in (14) und (14° gegebenen Criterien bezeichnet Syl- vester als vervollständigte Newton’sche Regel. Aus ihr geht die Newton’sche Regel in ihrer gewöhnlichen Form durch Addition hervor. Da nämlich jede Folge in der zweiten Zeile von (13) ent- weder zu @ oder zu @ eine Einheit liefert, so ist ( + w) gleich der Zahl der einfachen / in der Reihe (3) 9 d la A aa 55} a3-—-1 DeEM l)z—1 an——2”n‚ ar2»; und wir sehen: Die Anzahl der reellen Wurzeln von f(g)= 0 ist gleich der Anzahl der Folgen in (15) oder um eine gerade Ist also ins Besondere auch nur eins der Anzahl geringer. Glıeder ın (15) negatıy, dannm ‚besıtzt 7(0) = 0 cComplexe Wurzeln. Hat /(e)= 0 nur reelle Wurzeln, dann sind alle Glieder der Reihe (15) positiv. Ueber die Bildung der / ist bereits alles Nöthige gesagt. Aus den oben besprochenen Beispielen ergeben sich folgende Systeme: N n-—1 3 2 D l Ka —— ln—l__'T; E n—17? E n(«+n—2) 3(«+1) _ @— (e-+Fn—3) ln——2 n MG M A, n—1)(@0+Fn—1)? 27 (n—2)(«+n—2)? 2« ln—1 SE == e 3n l A n-3 ln——1 m+ 1) E JIl) %, 2(n—1)? ? 7 8(n—2)? Z„_2=( N 1: 27 n.1 Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze 235 n(A +(n—2) B) (n—1)(4+m—3)B) PE SN LE M) L=a n—1)(4+m—1)B)? b= (n—2; (4 +(n—2) B)? A B) 2A ll——2 2052 lz—l A 2n n.2 V) I = _ @— aa = Ca O2 Q O2 GE (n—1)1 Das letzte System stimmt mit dem von Newton angegebenen überein so dass die Reihe (15) hierbei in die von ıhm aufgestellte 3(n — 1) 4(n —2) (1b6) @ 06 — l(n Z O A9, A, 20 2) A, A3, Ag 8a(n— 5) 204) übergeht Aus II) erhält man für « =— 1 _den Werth 1 für-alle / und somiıt die besonders einfache Reihe (15”) A9 , Ar AA A, 0A5 @5 A>04, Dieselbe Reihe ergiebt sich aus V) für den Fall, dass mit Heraus- treten von Binomialcoefficienten das Gleichungspolynom f (8) = 8 + ( ) Q A ( )”zZn_z a ( )a3zn e geschrieben wird $ 208. Aus (15”) ist ersichtlich, dass, wenn q = 1 und (16) — an < ist, die Gleichung f= 0 complexe Wurzeln besitzt Wır nehmen an der gleiche Satz gälte für irgend einen festen Werth von g; bilden wir dann bei beliebigem reellen o das Produet (2)(2 — 0) = Üa (a — ay0)2" + (d2 — a,0) 7 so muss (z — o)f=0 und also auch f = 0 complexe Wurzeln haben falls A0 —0 (a,—4,0) — qa (a — a,0)=(a0— S (12 AL A 4 %® az) q negativ wird. Dies kann man aber durch 9———(2——(_]) stets erreichen, sobald bei q < 4 die letzte Klammer negatıy, d, h. (17) 1 2 A0 Z0 4 ist. Gilt demnach (16) für ein qg <4, so gilt auch (17) als Criterium für das Vorkommen von complexen Wurzeln 4 6 Nun hatten wir g = 1 8 und finden daraus der Reihe nach q = 2u— 2 ’ ; man SA S5? w kann also q dem Grenzwerthe 2 beliebig nahe bringen und erkennt: Ist 236 Achtzehnte Vorlesung $ 208—209 (18) — Yn <O dann besitzt f(2z) = 0 complexe Wurzeln*) Es ist naheliegend zu fragen, ob der Werth I, — 2 das über- und welches die Maxima der haupt erreichbare Maximum darstellt übrigen /, sind Man hat W n-—v—1 L, = WE 3 7 ('U + 1)E„_„7v„_‚ Z VEn—v— 1y V IL—V und wir haben gesehen, wie vermöge des Bildungsgesetzes (5) alle Bedingungen der letzten Art unter einander übereinstimmen Üan 4 SO gTOSS als möglich zu machen, muss der Nenner so klein als möglich An s +1 E&n—,—1 Werden, und so ergiebt sich 2 n 3nNn—1 i = , = t—1/—|—11/—{—1_ 1n%—1? l 2n —2 WD V ZIL—I ? Ist irgend eine der Grössen Ü 2 m— +D@O+1) (n—7v7) v v—1@y-+1, (v 1, 2, n — 1) negativ, dann besitzt die Gleichung f= 0 complexe Wurzeln. A \V011911 noch erwähnen, dass für f(z)= (z — 0)” alle diese Diffe- renzen den Werth Null annehmen und die Vermuthung aussprechen dass dieser Umstand Newton zur Aufstellung seines Satzes veran- lasste der wie ja die meisten in der Arithmetica universalıs ohne Beweis vorgetragen ıst $ 209 Wir wollen am Schlusse dieser Vorlesung ein von Herrn Biehler gegebenes '’heorem beweisen**). Setzt man (x — ay — bÜü(x ) (% — 0n — ba) = Un +F UVz, (sgn b, = sgn b SS __50'nb„)‚ dann sind alle Wurzeln der Gleichung U, =0 reell, ungleich und durch die Wurzeln der Gleichung V, = 0 getrennt, welche ebenfalls reell und ungleich sind Wir nehmen an, der Satz sei für U, und V, bewiesen, und zeigen Der Einfachheit halber daraus seine Richtigkeit für U„+1 und V„+1 nehmen wir an, es seien alle b _positiv Man hat (19) UIL+I SE (x 7 an+l) ( + bn+l e n =F (20) V„+1 = (.%—a„+1) V —b„+1 U Z —! —b + + + ba+rı) e Der Voraussetzung nach sind die Wurzeln &,, &, 0 ON U = O E E DA B * O. Bonnet: Nouv. Ann. (1); 4; S. 236. — Vgl. auch Colombier (ibid.) (2); 7; S. 501 *P) S Lr M 8876 5330 Sur une classe d’Equations alg&briques etc Das Sylvester’sche Theorem. — Biehler’sche Sätze. Z reell und unter einander verschieden; wir wollen annehmen, dass sie nach steigender Grösse geordnet sind. Da die (n — 1) Wurzeln von Y = 0 zwischen den Wurzeln von U, = 0 liegen, so 1st sgn V.(«,) = — sgn Yn(«,) = + sgn V.(a)= - =(—1)" * sgn V (a.), san 17„(a[) = @ V„(— oc‚) Z (_. 1)n——1 an (‚„_ 1)n} 3 sn Vla) = ( D, sn Yala) — D Xn und also folgt aus der Gleichung (19) für %= &,, &, e ) A0 sgn Un +ı(0) = ( —1, HC sgn Uapı(@) = (— 1)'. Hieraus ersieht man, dass U,4+1= 0 zwischen «, und «,, zwischen «, zwischen «,_1 und «„ je eine ungerade Anzahl von Ud s Wurzeln besitzt. Da weiter nach (19) sgn Unpı(— 0) = (— 1)*H, sgn Un+1(+ )=+1 wird, so liegt auch mindestens je eine Wurzel jenseits «, und &„. Also hat U,+1= 0 nur reelle und von einander verschiedene Wurzeln, die durch diejenigen von U, = 0 getrennt werden. Die Formeln (19), (20) zeigen, dass (21) Un+l Ifu OE Un Vn+1 a (Un2 + V712)bn—l—l ist. Bezeichnen wir mit ß,, 6, 5 B die Wurzeln! von Ua 0 zwischen denen dem eben Bewiesenen nach die &,, &, &„ liegen, dann liefert die Einsetzung der ß in (21) den Beweis, dass sgn U„(ß,) Yn-+1(ß,) = sgn Un(ßo) Vn+1(ß) = - und also wegen * sgn Un(ß,) = — sgn Un(ß) = :, dass auch sgn V, +1(ß.) = — sgn Vapı(ß)= - wird, d. h. dass die % Wurzeln von V„.1ı1== © reell, von einander verschieden und in den Intervallen (ß,, n ß;'); (ßz; n ß3); SO legen sind. Da die Sätze für U = @ — ( Ar 0.)@ Ar (@.0 —00 Va z — G, } b2) % +4- (a 05 + a0,) richtig sind, so ist der Beweis allgemein geliefert. Benutzt man die Gleichung (20) genau so, wie soeben (19), dann kann man zeigen, dass die Wurzeln von V„,+1=0 durch diejenigen yon V, = 0 getrennt werden. 238 Neunzehnte Vorlesung $ 210—211. Neunzehnte Vorlesung. Das Sturm’sche Theorem. $ 210. Die bisher abgeleiteten, für die praktische Verwendung brauchbaren und wichtigen Sätze über die Trennung der reellen Wurzeln einer Gleichung leiden an dem theoretisch entscheidenden Mangel, dass sie nicht die Anzahl der reellen oder der positiven oder der ne- gativen Wurzeln selbst, sondern nur obere Grenzen für die gesuchten Zahlen angeben. Von diesem Mangel ist der von J. K. F. SiuLmm 6 gefundene Satz frei, der direct die Zahl Z (2,, %) ableiten lehrt und dadurch die aufgestellte Frage theoretisch endgültig erledigt. Wir wollen den Weg zu diesem Theoreme so wählen, dass wir es aus einem allgemeineren Satze herleiten. Ist f(z)= 0 die betrachtete Gleichung, so heisst die Reihe der Funectionen (1) f Fr fr ar fr eine verallgemeinerte, zu f gehörige Sturm’sche Reihe, wenn sie den folgenden drei Bedingungen genügt: I5 Da Ietzue Ched / 196 GunG Constante, oder f ändert doch wenigstens im betrachteten Intervalle (& 2%) sein Zeichen nicht. IL _Für ein und dasselbe Argument z= E verschwinden nicht zwei aufeinanderfolgende Glieder der Reihe. I, Verschwindet für ein bestimmtes Argument ein Glied f der Reihe, dann haben die beiden rechts und links be- nachbarten Glieder fz_, und fz+1 für dieses Argument ent- gegengesetzte Vorzeichen. Wir untersuchen die Zeichenänderungen, die in (1) vor sich gehen, wenn D D von %, zu einem grösseren Argumente z, übergeführt wird. Da f sein Zeichen nicht wechselt, so kann in der Zahl der W und der / nur dadurch eine Aenderung eintreten, dass ein mittleres, oder dass das erste f durch Null geht. — Weil für f2(£) = 0 sowohl fı_ı als fı+ı von Null verschieden sind, so kann man einen Bereich (£—0 ... E-+0) abgrenzen, der so klein ist, dass in ihm fi_ı und fz-+1 von Null verschieden bleiben. In diesem haben nach III. beide Functionen verschiedene Vorzeichen; wie das Vorzeichen von fz also Re4 auch sein möge, es werden die drei Functionen f2_ı, fı, f2+1 Sowohl *) F6russac, Bulletin des sciences mathematiques; 1829. XI, p. 419. — Memoires sur la rE&solution des Equations nume&riques, Comptes rendus VI, 1835, Das Sturm’sche Theorem 239 für (£—d) wie für (£+ö) einen Wechsel und eine Folge aufweisen, und eine Aenderung in der Anzahl tritt daher nicht ein. — Wenn ferner f(£) = 0 verschwindet und durch Null geht, dann fragt es sich, ob dabei ) vom Negatiyen ins Positive übertritt, oder umgekehrt. Im ersten Falle wird ein W verloren, im zweiten Falle en W ge- WONNnEN. Besitzt ((z)=0 zwischen z, und z, als Grenzen k, Wurzeln, bei deren Passıren 7(2):/i(e) vom Negatıven ins Positive @& und %, Wurzeln, bei deren Passıren f(2):/fi(g) vom Positiven Ins / Negatıye übertritt, mennn Z von 2 bıs 2(S 2) wachst, dann ıst @2) k k = W@) W und die rechte Seite von (2) giebt durch ihren absoluten Werth eine untere Grenze OL die Anzahl der Wurzeln zwischen z, und %. $ 211. Wir wollen ein dieses Resultat benutzendes Beispiel be- sprechen*). — Wenn wir zum Zwecke der Theilung eines gegebenen Winkels tang « = a, tang — = %2 setzen, dann besteht die Beziehung zwischen @ und z E A (1 AB iz)m d iz)m i i —i WE E Die linke Seite der letzten Gleichung enthält den Factor %i Wir be- zeichnen, indem wir ihn heraussetzen, U = (1 + i2)“ (1 — ia) — (1 — ig)“ (1 + ia), dann ergiebt sich ohne Schwierigkeit (3) Ü E OL Wir betrachten die Gleichung U„=0. Die Reihe der U Um; Uu—l; a;;—2; n U27 U1} U0 ist eine verallgemeinerte Sturm’sche Reihe für U, m* Denn zu- erst ist Uı = — 2a und folglich constant. Ferner kann wegen (3) nıcht zugleich ( O O i verschwinden, weil sonst U._2=0, ... U,= 0 sein müsste. Endlich haben für U,_1=0, wie wieder (3) zeigt, U, und U,_2 entgegengesetzte Signa, und somit gilt (2). Für z=0 wird ein jedes Un = — 2a. JE E *) Biehler: Sur une application de la methode de Sturm. Nouv. Ann. (2) Ba 19 S} 76 240 Neunzehnte Vorlesung 8 211—213, Für sehr grosse positive oder negative Werthe von z erhält man sgn i U„ = sgn z“ (‚'‚u K E n (__ i)‚u + a (_ 2-)‘u+1)‚ sodass für —— &0 (mol. D, San NOn =—= — sgn 2a2“, DG A SOH 0L = -+- sgn 22“, U = 2 (mod. 4), sgn Un = + sgn 2a2“, u = 3 (mod. 4), sgn Un = — sgn 22“ wird. Man findet also für @ > 0 die Zeichentabelle: sgn U b U U, U; 9 — E 0O + + — 0 E _ —_- X& &X — Kz E LEn + co A R + 1 +/S und erkennt aus ıhr W Z m = 2n E1 W — O A W(—)— W00) =n, W©) 2 W0©) 2 ’ W(0) — W(®) = —- (n +1). Für a <0 ergiebt sich ebenso: on U, U, U, U, 5 U: A = — 0O + S> + + | ++JS DE ä :+oo $ Z + M Z2R m=2n+1 W(—0) — W(O) = / W(—) — W(0) =2+1, W (0) — W(6)= —n, W (0) — W(®)= —n. Un =0 besitzt nur zecle Wurzeln: Ist. m =2n, o zıcht &s ebenso viele positive wie negative Wurzeln. Ist m=(2n+1) und a positiv, so giebt es n negative und (n+1) positive Wurzeln; ist m =(2%2 +1) und a negativ, so giebt es (n +1) negatıve und ” positive Wurzeln. $ 212. Die Bedingungen, durch welche (1) zu einer verallgemei- nerten Sturm’schen Reihe wurde, wollen wir jetzt durch eine neue, vierte Bedingung vermehren. IV. Geht 2 wachsend durch einen Wurzelwerth von 71© 0 Jannn - oche das Product /() A(C) Stets, oder we- nigstens in.dem Intervalle (z,---%) stets vom Negativen ins Positive oder stets vom Positiven ins Negative. Das Sturm’sche Theorem. 241 Die Reihe (1) heisst unter den Bedingungen I) bis IV) eine Sturm’sche Reihe. Wegen IV) geht (2) entweder in (2°) k = N W(e) —S W@) oder ın über, wenn f 'f1 beständig vom Negativen durch Null ins Positive, (2”) k = Y F(e) — NF @), wenn f f, beständig vom Positiven durch Null ins Negative übertritt. Wir wollen auch hierfür ein Beispiel behandeln, und zwar knüpfen wir an die Gleichung (14)' der sechzehnten Vorlesung für m=n=p an; wir betrachten also die Gleichung Gr OFE Es lässt sich nachweisen, dass für die Funetion U, die Funetionen (19) Un; Uz—ly Un—2; Ué; ZII7 U0 eine Sturm’sche Reihe bilden. Die KEigenschaft I) folgt aus UDE Die Eigenschaften II) und III) werden durch n U, — (Qn—1)(2+ 1) Oı + (n —1) (2— 1U 2= 0 bewiesen; diese Beziehung selbst ist leicht zu verificiren. Die Eigen- schaft IV) endlich folgt aus der sofort als richtig zu erkennenden Gleichung UU @Da Denn U,= 0 hat offenbar keine positiven Wurzeln; für jede Wurzel £ wird daher sgn U„._,= sgn U;. Ist nn U positiv, so wächst U, und geht demnach vom Negativen durch Null zum Positiven; ist aber U„ negativ, so geht U, vom Positiven durch Null zum Negativen; in beiden Fällen also ocht 0 0n vom Negativen zum Positiven. Deshalb ist (1®*) eine Sturm’sche Reihe für U, und es zilt \ die Formel (2*). In dieser setzen wir z = — 0, und dann liefert die Sturm’sche Reihe nur Zeichenwechsel. Ferner setzen wir Z2=-+0, und danmn ergiebt sie nur Zeichenfolgen. - Es sind also ” Wechsel ver- Wurzeln. Joren gegangen, und deshalb besitzt U, =0 lauter reelle, negative $ 213. Was wir schon früher (& 187, Schlussbemerkung) hervor- gehoben haben, hat sich auch im Beispiele des letzten Paragraphen bewährt, dass nämlich fji= f der Anforderung IV) entspricht und zwar derart, dass f.f”’ stets vom Negativen zum Positiven übertritt. Wir zeigen nun: Hat f= 0 keine vielfachen Wurzeln, dann Netto Algebra, I, 16 { 242 Neunzehnte Vorlesung $ 213—214. bilden die bei der Aufsuchung des grössten gemeinsamen Theilers von f und f‘ erhaltenen Functionen des Schemas f =f,.(/1 f2) (4) i eine Sturm’sche Reihe, derart dass der Verlust an Zeichen- wechseln beim Uebergange von r f(zl)7 f’(2'1>, f2(21); SR f,(ß’l) ZuU f(2.2)‚ f’(.2'2)‚ f3('%); LE fl('z2) © 2 die genaue Anzahl der zwischen „ und % (>2,) enthaltenen Wurzeln yon / 0 Liefert. Denn erstens ist f eine Constante, weil f und f” keinen gemeinsamen Theiler haben, wenn f= 0 keine vielfachen Wurzeln besitzt. Ferner können fz>z und fz+1 nicht gleichzeitig verschwinden, weil sonst infolge des Schemas auch f2+2) . fr Null wären. Drittens liefert f7(&) = 0 die Beziehung fı—ıl®= — fa+1(E), so dass die benachbarten Glieder links und rechts entgegengesetzte Vorzeichen haben. Viertens geht f.f”’ stets vom Negativen durch Null zum Positiven, wenn das Argument eine Wurzel von. / == 0 passırt. Zu diesem T’heoreme sind noch mehrere Bemerkungen zu machen. I) Jede der Funetionen /„ kann mit einem constanten, positiven Factor multipliceirt oder durch einen solchen dividirt werden; denn die Wirkung des Theorems hängt einzig von den Vorzeichen der Func- tionen ab. Man kann die hierdurch erlangte Freiheit dazu benutzen, die vorkommenden Dividenden mit passenden Constanten zu multipli- ciren, um in den Quotienten und in den Resten Brüche zu vermeliden. Ebenso kann man constante, positive Factoren sämmtlicher Coeffi- cienten. eines /„ einfach unterdrücken. II) Der Beweis macht keinen Gebrauch davon, dass f eine Con- stante ist; es reicht aus, wenn f zwischen den Grenzen 2, und 2, das Vorzeichen nicht ändert. Bietet daher im Intervalle (z,, %) schon ein früheres f} keinen Zeichenwechsel, so darf man mit ıhm die Sturm’sche Reihe abbrechen. III) Es kann vorkommen, dass für einen der Grenzwerthe 2,, %, eine oder mehrere der Functionen zu Null werden. Sind dies mittlere Glieder, dann nimmt man zunächst 2, + 0 statt z, und z -} 0 statt z,, wobei O hinreichend klein zu wählen ıst Wir sahen, dass für fa(z‚)=0 sowohl f/&—ıl(2, — 0), fa (£1 Sa} ö)) fa+l ('€1 T ö) wie Das Sturm’sche Theorem. 243 fa—ıle, + 0), fa(zı + 0), fa+ı(2&, + 0) einen Wechsel bieten, da die äusseren Glieder ihn bereits liefern. Dasselbe findeß bei /x_ı(2,), fa-+ı(2,) statt; man braucht sonach auf das Verschwinden von fx(z,) gar keine Rücksicht beim Zählen der W zu nehmen. Gleiches gilt von der: oberen Grenze %. Ist das verschwindende Glied das erste, f(z) selbst, dann bieten f(@&, — 0), F' (e, — 0) sowie f (& — 0), f (% — d) einen Wechsel, f (& +0), F'(@ +0) ” f(% +0), f (& + 0) eine Folge, wie wir bewiesen haben. Es kommt also darauf an, ob wır die Grenz- werthe z,, z als Wurzeln des Intervalls mitrechnen wollen oder nicht; im ersten Falle ist bei z, das verschwindende sgn f(z,) durch — sgn f'(z,), und bei z, das verschwindende sgn f(z,) durch sgn f (z,) zu ersetzen; im zweiten Falle muss + sgnf’(z,) statt sgn f(z,) = 0 genommen werden, und — sgn f’(z,) statt sgn f (2) = 0. IV) Man kann das Sturm’sche Theorem in gewisser Weise auch auf Gleichungen mıt mehrfachen Wurzeln ausdehnen. Der Verlust an Wechseln giebt auch dabei die Anzahl der zwischen den Grenzen vorhandenen Wurzeln; nur wird jede vielfache Wurzel als einfache gerechnet werden. Bei dem Schema (4) wird nämlich f,. der grösste gemeinsame Theiler von f und f und damit auch von f;, fa fa Bezeichnen wr e DE = D ( — D SO hat p =0 dieselben Wurzeln wie f= 0, nur jede in der Multiplici- tät 1, und — al P, Pı> Pa, Pz, (P‚ geben eine zu @ gehörige Sturm’sche Reihe, wie sofort zu sehen ist. Die Zeichenabzählung giebt also hier das genaue Resultat. Die W und die ’ ändern sich aber ihrer Zahl nach nicht, wenn jede Function der Reihe mit demselben Factor f. multiplieirt ist. Damit ist die eben ausgesprochene Bemerkung bewiesen. $ 214. Wir wollen den Sturm’schen Satz auf einige Beispiele anwenden. EKs sei f=# + —32 —— 4, dann wird die Reihe der Funetionen (4) durch 16f — 42 EDE 3: fF=42 +32 — 62—1; 81f' = (862 + 19) f — 160f; h=92 +22+21; C E I3 = 82 3 U gegeben, und man erhält die Tabelle 16* 244 Neunzehnte Vorlesung $ 214—216 sgn 1 l f3 1' 2 HE, ©) O8 E + 2W m: + + Z’ W 8 = + co + + + D aus der zu ersehen ist, dass f== 0 eine positive, eine negative und zwei imaginäre Wurzeln besitzt Setzt man der Reihe nach 2 — 3, SE} —1, 0, +1, +2, so folgt die Tabelle on 7 f 1 I5 / B=3 + An 2W—3 Z E AA 2W= 2 8= —1 2Wu2 D + 2W 2 D — A 0 + + + + + + ZW—2 2=+2 + + + _.|.. ZW_1 welche uns zeigt dass die negative Wurzel zwischen —3 und —2 die positive zwischen +1 und +2 liegt Da 188 h=(80+3) + ©) ist, so hätte man bei , die Rechnung abbrechen können ($ 213, II) Aus der Descartes’schen Regel würde folgen, dass eine positive und höchstens drei negative Wurzeln vorhanden sind. Die Newton’sche Regel viebt die Existenz von höchstens zwei reellen Wurzeln an $ 215 Wir wollen nun mit Hülfe des Sturm’schen Satzes all- vemein die Realitätsfragen der Wurzeln bei den Gleichungen zweıten dritten und vierten Grades behandeln Für f'_‘Z +9a.4+1) erhält man die Funetionen und die Zeichentabelle ‚f__ + @, == @ sgn f f 12 2 = — 0O _|_. 5 sgn(a ——b)+ a sgn (d—b) | X W=1+) B = 0 sgn b sgn @ sgn (a* — b) sgn (a* — b) — 1 — - 00 + + sgn (a*—b) 2]V - 2 Das Sturm’sche Theorem. 245 Die Anzahl der reellen Wurzeln ist mithin ( CN +€gn(cfi—b)—l 2 = 1 + sgn (a* — b) d. h. gleich zwei, wenn (a* — b)>0, und gleich Null, wenn (a? — bd)<0 ıst Man erkennt ferner, dass im ersten Falle bei Z Ö >0 zwei negatiye Wurzeln @Z b>0 zwei positive Wurzeln Z Ö 0 DE Ö © }eine positive und eine negative Wurzel auftreten. S 216. Weiter sei f=# + 3a4# + 302 + az. Dann ist die Funetionenreihe (4) ’;15‚f/='22+2a15+(‘27 HE ED A3);, s = — 4a @; - 3aa - 6a.0,a, — 4a — ;132 = / 2 und man erhält die Tabelle San f f/ f3 f3 — Z S + — en(@ — a) SEn D —— SEN As San A, ä SEn (d, 0, — As) sgn D + © + + Sgn (a,” — d) sgn D Dies giebt für a12—a2>03 DE A, —0, >0 D<0 Z 2W=3 A 3R S a12—’a2<05 DE 0, 4, 0 DZO A 2 u R e 3R - Er Für ‚D < 0 erhält, man sonach stets. nur eine reelle Wfirzel. Für D>0 und a,” — a, >0 sind drei reelle Wurzeln vorhanden. Nach unserer T’heorie ist das Eintreten des Falles (a,? — ) zZ0 DD unmöglich, da ja sonst beim Uebergange vom kleineren Werthe 246 Neunzehnte Vorlesung 8 216—217. 2 = — 00 zum grösseren Werthe z + co ein W gewonnen werden würde. Das kann man auch leicht auf directem Wege einsehen. Es ist nämlich (5) W — B — a — @Qa —d A und daraus folgt, dass für (a,” — a,) < 0 der Werth von D nicht po- sitiv sein kann. Auch über die Vorzeichen der Wurzeln geben uns Sgn Az, SEN A,, Sgn (“1 Q, — Q3) vermöge der obigen Tabellen Auskunft. Ist zuerst D< O, dann zeigt die erste Spalte der ersten Tabelle, dass die eine vorhandene Wurzel positiv, Null oder negatiy wird, jenachdem sgn a; negativ, Null oder positiv ist. Für positive D, also bei drei reellen Wurzeln sind die aus dem Descartes’schen Satze abgeleiteten Criterien ($ 197) ein- facher als die hier auftretenden; dort zeigt sich, dass f(z) = 0 so viele positiyen Wurzeln hat, als 1 f SEn A;, SEN A, SEN Az @— ) Wechsel aufweist; hier tritt an die Stelle dieser Reihe 1, 82n (@,0 — 05), SEN @,, SEH a D>0) Für sgn a S — 1 ist die Uebereinstimmung klar, weil dabei die drei ersten Elemente stets ein W und ein F liefern; für sgn q& = + 1 ergiebt sie sich aus der Annahme (6) D=- - 40, (a — a,) — (a,0, az) F 4a (0,0, — az)(e, — a)>0; denn die beiden ersten Glieder rechts sind negativ, und das dritte Glied hat (vgl. (5)) das Vorzeichen von a,(a,a, @;); somit folgt bei D>0, dass sgn a, = sgn (a,a, — as) wird. — Gleiche Wurzeln kann f= 0 nur besitzen, wenn f und f’ einen Dann fällt._in gemeinsamen Theiler haben und also D verschwindet. den obigen Tabellen die letzte Spalte fort, und aus (5) erkennt man, dass (a,” — a,) nicht negatıy sein kann. Ist (a,” — &) = 0, dann folgt aus (5), dass a,”= ag wird, und dann haben wir drei gleiche Wurzeln. C A O icht e eme Nemfache undı (eine Doppelwurzel. In diesem Falle ist wegen (6) wieder sgn (a,a, — a;) = sgn a, und die Reihe” SN Az, SEN A, SEN A, giebt über die Vertheilung der Wurzeln Aufschluss, Endlich behandeln wir auch noch die Gleichung vierten &$ 217. Grades in der durch Fortschaffung des Gliedes mıt z° vereinfachten Form f= + 6a2 + 4a4;2 + 304. Das Sturm’sche Theorem, 247 Es wird hierbei A a S m y — — —_ f — (3a — Ay0, + As?) 2 — (a,”Az + Aza,), z AL 1' 9a,*0, — 20°a — 6a°a + 60,0;" 0, — Az* + Av? Z C E, wobei in der letzten Gleichung zur Abkürzung 3 UZ 0y A JE Da - Die Tabelle nimmt die Form an gesetzt ist. sgn ) K > f3 I CO .+. — sgn @ + sgn (3a,* — a,A, + as?) sgn (I* — J?) + o + + —n —CO a U Man erkennt sofort, dass, wenn /° — J”“ negativ ist, zwei reelle und zwei complexe Wurzeln vorkommen, wie auch immer die übrigen Zeichen vertheilt sind. Nur ıst hier zu beachten, dass der Fall ( a 0, Da O RT O nicht eintreien kann, da er eine Zunahme der W bei steigendem Argumente bedingen würde. Das lässt sich leicht, auch unabhängig von der behandelten "Theorıe einsehen. Denn zunächst folgt sofort aus den ersten beiden Ungleichungen in (7), dass a, >0 ist, und daraus, wegen fı = A, (3a — ay)* + 16a7a + 5a;* + 6az?(a,a, — 3a — as;?), dass bei f; <O die Klammer des letzten Gliedes negativ sein muss. Das widerspricht aber den Festsetzungen in (7). Ist (7°— J*) positiv, dann giebt es nur in dem Falle (8) sgn a = — 1, sgn (3 — aa + as’)= — 1 vier reelle, sonst aber vier complexe Wurzeln. Schon bei den Gleichungen dritten Grades machten wir darauf aufmerksam, dass die Sturm’sche Methode zwar stets die charakteristischen Bedingungen giebt, diese aber durchaus nicht immer in der einfachsten Form. liefert. So _ ist es auch hier: man kann die obigen Bedingungen durch die einfacheren (8°) sgn a = — 1, sgn (3a — a.)= + 1 R — J> 0) ersetzen. Dass (8*) aus (8) folgt, ist gemäss 3,° — 204 + Az? <O- d. h. A (30,” — Ay) <— a ohne Weiteres einzusehen. Dass aber auch umgekehrt (8) aus (8%) geschlossen werden kann, lässt sich folgendermassen zeigen. 248 Neunzehnte Vorlesung 8 217—218 Wir setzen der Abkürzung halber die Bezeichnung v = A(A — 30,?) — A in den Ausdruck für f, ein; dabei entsteht aA’ı >0° + 3(0* + ap?) 0? + Ba (as? + 4, G a und wir haben nachzuweisen, dass bei negativem 4, negatıver linken Seite und positivem (3a,? ——al) der Werth von v positiv sein muss. Die Sturm’sche Zeichenreihe der Gleichung dritten Grades Z G 4 2a ) O ala - Aa °): z0 ergilebt, für unsere Zwecke in Tabellenform geschrieben San Pı P P 8R @ + + — sgn (a;? + 4a,°) © + sgn (a;° + 4a,°) sgn (a;* + 4a,°) A sgn (as” + 4a,?) + co + + + — sgn (a;* + 4a,?) Aus ihr geht hervor dass bei beliebigem positiven oder negatıvyen Werthe von sgn (a;” + 4a,?) die Gleichung g = 0 stets eine und nur eine negatıve Wurzel hat Diese ist kleiner als s denn für D = — Q erhält man schon wie auch für v= 0 etwas Positives nämlich P (03°) = — A* A* + 160a (a <0) Es kamnn also für negative v die Funetion g = a,°f, zwar auch negativ werden, aber dabei ist ÖE —0, (3a Ü Z A (3a — a) >0 SC Z und diese letzte Ungleichung widerspricht der zweiten Voraussetzung n 8 Soll dies vermieden werden, dann muss man bei negativem &@ v = A (04 — 30°) — a? >0 30 — @904 F Ag <O0 wählen, was mit (7) übereinstimmt $ 218. Von diesen Beispielen gehen wir wieder zu allgemeinen Betrachtungen über In der sechsten Vorlesung hatten wir bei der Theorie des grössten gemeinsamen Theilers das Schema aufgestellt f"'fl./1—f; z [f’] RI (4) S f292 fa [9ı]= %, [92] = 22 — —1, CN H ) fr—z—fr—lgr—l fı frı flr Das Sturm’sche Theorem 249 Daraus fanden wir ($ 62, $ 64) (9) fl . f11/J/1_1 a f<m_x, [2]= , [pı]= n Yı (10) Yrı z V Oa AA ( i Hier, bei der Aufstellung der Sturm’schen Reihen, können wir f von vielfachen Factoren befreit und ohne gemeinsamen Theiler mit f'= f denken Dann wird %- = ” und f eine Constante Durch %;,_ , ist @_1, und fı auf rationalem Wege eindeutig be- stimmt; denn @21 1st der Quotient und f der Rest bei der Division yon fi%,-1 durch f. Nach $ 74 haben fz und %;_ , keinen gemein- samen Theiler; folglich haben auch f und %2_1 keinen solchen Wenn nun, in seine % linearen Factoren aufgelöst (11) f () A (z — a) (z — b) @DE ist, und man setzt in den aus (9) folgenden Bruch l‘‚() ‘P)_1( (12) ‚o f1('°) /©; für R A ämmtliche »” Werthe a Ö 2 q, t ein, die der Annahme nach von einander und von den Wurzeln der Gleichung %2 _ı = 0 ver- schieden sind, dann entsteht die Gleichungsreihe f;( ) _ f,©®) f1 (18) f (a @ )! D (IJ —fl(b)7 Bestimmen wir daher durch die Cauchy’sche Inte1polatwnsformel ($ 42) einen Bruch z @) 2 (2)° Yı_ı]= m_4 H1 = n —1, der den % Bedingungen z (a@) t) LEA 1 (@) _f1( ); w f;(b)) E C _f1(t) genügt, so erkennen wir aus (13)‚ dass es einen solchen Bruch wirk- lich giebt, und da der Nenner durch die Cauchy’sche Formel ein- deutig bestimmt _ ist und %_1 mit fz keinen gemeinsamen Theiler besitzt, dass sich der Grad des Zählers y(z) auf s @— 1 m_ ı) — (n — m— ı) — 1) d. h. um (n — n2—1) — 1 EBinheiten der Forderung Uegenub(&r reducirt. Wir wenden nun die Formel wirklich an. Es stehe in der Reihe G (14) © 0n 00 kl P, d, die Wurzel %A an der (n , + 1)%en Stelle; dann wird, von einem con- 250 Neunzehnte Vorlesung 8 218—220, stanten Factor abgesehen, „(z)= fı(2) gleich der symmetrischen Funetion W 2 C065 7) (a Öl I —d @— 9} und in gleicher Weise ist, von demselben constanten Factor abgesehen, %— 1 gleich der Function (a — z) 6 — 2%) : (g — z) CZ O O = I $ 219. Macht man, wie es oben geschehen ist, die Voraus- wesentlich. Man hat nämlich setzung f, = f”, dann vereinfachen sich die Ausdrücke (15), (15®) noch /"(a)=[&a—b)---(a—h)]-[(a——i)-‘-(a—t)], 0a A MO G —'?7) éh.— %)]‚. und daher folgt, was in (15) und (15°®) einzutragen ist, OO CO OD ‚a —D (a —O1 —D —01 OO O ON OT: ‚[(a—%) (a —D] g—) - (g —D, T == 1 2 OS O = ; nı M_ı — 1). Berücksichtigt man das Vorzeichen des Zählers in (15*®), dann ent- stehen, wenn man den noch unbekannten constanten Factor mit — bezeichnet, die vereinfachten Darstellungen 2 MOa OLG , (16) ıl >3 Sla —D ( —e —d ( —. Es wurde schon vorher erwähnt, dass fz sich auf den Grad (n — n) reducirt, so dass auf der rechten Seite der ersten Gleichung in (16) die ersten (nz — nı-1) — 1 Coefficienten bei der Entwickelung nach fallenden Potenzen von z verschwinden. Zu der Berechnung von w‚ benutzen wir den Satz aus $ 66, demzufolge der höchste Coefficient in allen f;- w gleich 1 zu setzen ıst Wenn in der Reihe (14) die Wurzel / an der n;*" Stelle steht, dann ist der Coefficient von 2#"—-" für Das Sturm’sche Theorem. Zl - - 0 gleich (a—d) .. (g— W S’(@- j k -1) : (— 1a D wobei S’ sich auf alle Permutationen der Wurzeln %, j, g, bezieht; und daher ist in f} der höchste Coefficient, nämlich auch der Coefficient von 2"—-"2 gleich z U C .. k, U sind (n; — m_1 — 1) Wurzeln). Bezeichnen wir also (17) Dı-ı= S[(a — b)? ... (e — g)*]; (a, - g sind 221 Wurzeln), ül Ua — 0© —W CD (a, : h sind (nz_1 + 1) Wurzeln; a, --- 7 sind nz Wurzeln), dann werden die Entwickelungen von fz, %,_1 und , beginnen: fil@) = S maM + 3 Yırı = $; w m71;1 ( und der höchste Coefficient von fı(z)w,(z) ergiebt nach S& 66 die Gleichungen V 1 7 On @pa —NC O Der Ausdruck (16) liefert für fi(2) =f'(e) den Werth w, = 1. _ Dem- nach wird schliesslich die Reihe der Factoren , ( d BA (Dı 9ı) (D3Q3) 1, ®, C R = Dı} 4 (D ds) ? (18) 5 (Dr Q2) (P4dı) 6 __ (Pı9ı) (Dsgs3) (DsAs) ? 7 Na (D Qs) (D4da) Man erkennt leicht, dass , =n, q, =n, und also O =—= N 2 2 wird. $ 220. In dem sogenannten regulären Falle, in welchem jede Differenz U Factoren d. h. jedes gı vom ersten Grade wird, verschwinden in (17) bei q die (_ 1)nl—n;__l—l und (%.j...k-1) und man érhält Pı=Qı. Dadurch ergeben sich die Formeln 252 Neunzehnte Vorlesung 8 220 —222, K OR HC f =S(@—b) @ — c) - (2—0D), (19) h= z Sa-Y@-— 0 —0, 13 > z S(a—b) (a— 0 6—0 (z—d) A fn F £„ @0 @= 0 (a — t)* (b—e)?... @in Dr VQ (20) 0, =Yı', 0 = ( ] mk n K Z ( Da Pa } D VOWZ (21) ı =N, % = S(a — )? V S(a——b)%a-— C)Ü(Ö—C)2, 43 sie stammen von Sylvester, der sie im Jahre 1839 im „Philosophical Magazine“ veröffentlichte; Sturm gab den ersten Beweis im Jahre 1842 im 7 Bande des „Journal de Math&matiques pures et appliquees“ *). $ 221. Die Funetionen p sind symmetrische, ganze Funetionen der Wurzeln von f(z)= 0 und folglich durch die Coefficienten von / als rationale, ganze Functionen darstellbar. Wir wollen die Ausdrücke der p durch die Potenzsummen s =n, S, = S(2), & = S, ableiten. Zunächst geht nach bekannten Formeln sofort O ON in die Funetion der Wurzeln ]l i ıl Ö h Dı=S b2 f (die Zahl der Wurzeln a, d, - h ist 1) G SE über. Derselbe Ausdruck entsteht bei der Composition der Determi- nanten des defectiven Systems L 1 D 2—1 il 1 S () (27 Ö A F S& \ m (7 2 b'2 ?Z—1 t2 » ’ Q}.—1 (;/l —--1 ljl»—.1 QÄ—.-1 .tl——1 ı *+ D SS 2 t1—1 und somit ist pı in der Form einer Determinante * Vgl. auch: Sylvester, On a theory of the syzygetic relations etc. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. (1853), V, S. 143. Das Sturm’sche Theorem 253 59 Sı MEn (22) B Sı Sa S52 SSS S2i—2 darstellbar Es bleibt noch übrig, diese Determinanten (22) mit den Elementen s in solche mit den Elementen c, welche die Coeffieienten der Gleichung A + =0 bilden umzuwandeln Die Methode hierzu haben WIr bereits In $ 121 so ausführlich dargele dass es genügt, das Resultat anzu- geben 141 Es entsteht dabei (vgl und 8& 161) @i ı = (—1) 2 2 C C / C (2—1 Zeilen) ä 0 (22°) (n— 1)cl (n— 2)cg Nn @— U)e, (A Zeilen) SS S N 2 MI S Sind _ die Coeffimenten der Glemhunt>‘ 7 = 0 reell, dann werden die p rationale Grössen, und gemäss (20) die @ stets positiv Bei der Anwendung des Sturm schen Satzes auf die Reihe (19) kann man daher alle Coefficienten o unterdrücken Handelt es sich um die Frage, wieviel reelle Wurzeln eine Gleichung besitzt, dann sind die Grenzen z, und z, leich —co und +co zu nehmen, so dass für die Feststellung der Vorzeichen nur die höchsten Coefficienten der Funetionen f in Frage kommen Diese bilden, wie aus (19) nach Unterdrückung der @ sich ergiebt, die Reihe 1 JOrn Mn Ma Pn, und somit hängt die Entscheidung von den Vorzeichen der Reihen D ("“ 1>”; D ('“ 1)n—l; p2(_ 1)"_27 p3(— 1)"—3 Pn 1 (ID) ? V V Ps3, Dn ab. Jedem Wechsel in (II) entspricht eine Folge in (I)‚ jeder Folge in (II) ein Wechsel in (I) Bezeichnen wir mit > W und JE die Anzahlen der Wechsel und der Folgen in (IT), so dass 2F —|—Z M= ıst dann giebt F die Anzahl der Wechsel in (I) an, und Z W 254 Neunzehnte Vorlesung $ 222—294, den Verlust der Wechsel beim Uebergange von 72 = — 0 zu 2= + SS d. h. die Gesammtzahl der reellen Wurzeln. Durch Subtraection der letzten von der vorletzten Gleichung ergiebt sich 22 W=n—0 als Anzahl der compleken Wurzeln, d. h.: Die Anzahl der Paare conjugirt complexer Wurzeln von f(z)=0 ist im regulären Falle gleich der Anzahl der Zeichenwechsel in M D 29 ° Dn wobei Dı = S[(zl > Z._,)2 (Z;__1 F Z/1)2] — Su-+r (!'“;”=O‚ 17"'Ä_1) bedeutet *). f(z)=0 hat dann und nur dann lauter reelle Wurzeln, wenn die Reihe der p lediglich positive Glieder besitzt. Mehr als 2 n Zeichenwechsel können in der Reihe der Y Mıch auftrelen. Die Kormel 2 2rebt dıe Dar- stellung der pz als explicite Functionen der Coefficienten der Gl un C = 0 8 223. Wir wollen den Sturm’schen Satz noch durch andere Betrachtungen herleiten, welche geeignet sind, über seine Natur tiefer- gehende Aufklärungen zu geben*#*). Wenn der Bruch f,(2):f(z) bei stetig wachsendem z mit Zeichen- änderung durch © geht, so kann dieser Wechsel vom Negativen zum Positiven oder im umgekehrten Sinne stattfinden. Wir geben durch die ganze, positive Zahl / an, wie oft das HErste auf der Strecke (& Z) stattfindet, und durch die ganze, positive Zahl 7, wie oft auf der gleichen Strecke das Zweite eintritt; die Differenz BE=l—- V nennen wır den zu f,:f gehörigen Kxcess für (%,, %) — Der Kinfachheit halber wollen wir dabei voraussetzen, dass f und f, nicht an denselben Punkten des Intervalls. verschwinden. Es ist klar, dass der Kxcess von cfi(z): f(z) sich von dem Excesse des Bruches fi(£):/(z) nur durch den Factor sgn c unterscheidet, so dass insbesondere der Excess von (—f,(z)) :f(z) gleich dem negatıyen Werthe desjenigen von fi(g): f(z) wird. *) Vgl. Sylvester, l. c.; Borchardt, Werke S. 17—30; Cayley, J. d. M. - e a 1846 Bı AL S IN **) Moigno, Note sur la determination ete. JOrn d M p a 5 S OL, Das Sturm’sche Theorem 255 Wir wollen die Beziehungen zwischen den Excessen E von F (@) und X” von /(2) LA (1 ) F@)? FA untersuchen Wechselt f, : f innerhalb (z, Z2) sein Zeichen, so ver- schwindet dabei entweder f, oder f, d. h. entweder X oder ’ markirt eine positive oder negative KEinheit E+ HE giebt daher an, wie- viel Male häufiger fi:f auf der Strecke (2; 2,) bei einer Zeichen- änderung vom Negativen ins Positive, als vom Positiven ins Negative übertritt Haben die beiden Grenzwerthe des betrachteten Bruches, nämlich fı (%) /l gzl) dasselbe Zeichen, so ist dieser eben erwähnte Ueberschuss HE 7 gleich Null‚ ist der erste der Brüche negativ und der zweite positiv, so wird der Ueberschuss = + 1 ist dagegen der erste positiv und der zweite negativ, so wird der Ueberschuss = — 1 Man hat daher die Formel (23) E+HEHE= s SN Z f (@) 7‘] (&) = 1 d} (s = 0, wenn f(@) f'(%) fı (1) fı (Z2) &= -4- 1, wenn sgr = sgn % zn f(z) f Z f1 ('°2) &= — 1, wenn sgn f (@) Z sgn — HON !) $ 224. Nun nehmen wir an, dass f} von geringerem Grade sei, als f und bilden wie gewöhnlich, nach dem Algorithmus des grössten gemeinsamen Theilers, (24) f=fi9ı f27 f1 —'fag‘) f: fr 1_f9r, ferner bezeichnen wir die Excesse der einzelnen Brüche (,(@) 1 (2) f3(@) f (2) K (für (2, %)) r 1(Z) der Reihe nach mit JG E1} E2? ET——]) die zur Reihe der reciproken Brüche gehörigen Excesse mit SA E;—l; und die gemäss (23) definirten, zu dem Zähler und Nenner der Brüche gehörigen & mit S Ei, &3, pl Aus der Gleichune Z > J4+1 — 2+2 Üa A 256 Neunzehnte Vorlesung 8 224—225. ersieht man, dass E;, d. h. der Excess von !2+ , gleich dem nega- tiven EXC€SS@ Yon +2 A also = — E SE Daraus ergiebt sich dann I9 =_Ei.’+ £;.=£1+E1+1‚ und wenn man diese Gleichungen für 2=0,1,-..r— summirt, BE=e +F& +& 47 E &_ ELr Weiter f'olgt aus L Z da Z A irsich auf dre ganze e Bunehon — bezieht und deshalb den Werth 0 hatı dass Zrı = 6,ı f 7 wird; und soerlangt man die Formel ]9‘=5+'51+%+"'+£;--2+&«—1- Wenn nun bei den beiden Ausdrücken und sgn fz—1(2,), Sgn f2(@,) sgn f2_1(%), sgn fı(2) gleichzeitig eine Folge oder gleichzeitig ein Wechsel eintritt, so ist nach der Formel (283) &)_1 ==0; wird in der zweiten Zeile gegen. die erste ein Wechsel gewonnen oder verloren, so ist &_1 —— . — 1 _ oder Z Daher ist X gleich dem Ueberschusse der Zeichen- wechsel in der Reihe SEA sgn f„(&,) egen die ın der Reihe sgn f(22)> sgn f1 (22)7 x sgn f7(%), @O s istder Kxecess E — X W(e) — D W@). Benutzt man jetzt den früher bewiesenen Satz, dass f’:f beim Passiren einer Wurzel der Gleichung f = 0 von beliebiger Multiphicität stets vom Negativen ins Positive übertritt und setzt man voraus, dass f und f keinen gemeinsamen Theiler haben, so fällt bei der An- nahme fi = f die Zahl.l‘ in. &. = ( — 0/) ganz fort, und / wird die Anzahl der zwischen z, und %, liegenden Wurzeln von f=0, d. h. wir gelangen wieder zu der, den Sturm’schen Satz darstellenden Formel (26°) Z(8, %) < Me) D We): Das Sturm’sche Theovem. 257 D, x &$ 22 Der hier benutzte Begriff des Excesses wurde bereits im $ 31 eingeführt und verwerthet. Wir fanden ($ 32) den Cauchy’- schen. Satz: Durchläuft z eine einfache geschlossene Curve C, auf welcher kein Wurzelpunkt von f(%2)= ulx, y) + iv(x, y) liegt, derart, dass das Innere stets zur Linken bleibt, und geht dabei der Quotient % bei einem vollständigen Umlaufe m' mal vom Positiven durch © zum Negativen und m mal vom Negativen durch co zum Positiven über, dann giebt die Differenz (m — m) die doppelte Anzahl der innerhalb C ge- legenen Wurzeln, jede in ihrer gehörigen Multiplicıtät ge- zählt. (Die Richtigkeit der leichten Umformung dieses Satzes gegen den in $ 32 ausgesprochenen ist sofort einzusehen.) Man wird nun infolge der übereinstimmenden Benutzung des Kxeesses in beiden Fällen zu der Vermuthung getrieben, der Sturm’- sche Satz lasse sich durch Vermittelung von (26%) als Corollar des Cauchy’schen Theorems auffassen. Dies ist, wie wir jetzt zeigen wollen Z auch wirklich der Fall. Die Gleichung f(z)= 0 soll hierbei keine vielfachen Wurzeln besitzen. g ME S (w,0) (-\'‚;_5) AA 27 Il E (x,,&) L (& Ö) 21 Wir wählen die Curve C als Rechteck mit den Ecken (x,, — 0), (@, 0), (%, + 0), (%,, + 0), wobei @ positiv und beliebig klein, jedenfalls so klein angenommen wird, dass innerhalb des Rechtecks nur reelle Wurzeln von f= 0 liegen. Ferner soll weder 2 nOCh z ein Wurzelpunkt von f=0 sein. Wollen wir auf dieses € den Cauchy’schen Satz anwenden, so ist @ +i)=u + (L @+ -l @A zu setzen. Tragen wir hier y= 0 ein und ziehen nur Werthe von d in Betracht, die hinlänglich klein sind, dann kann man bei der Peststellung der Differenz (m’ — m) statt des Bruches (27) CO DV den Bruch Öf' (@) u(x, 0) f (@) einsetzen. Denn zuerst stimmen überall da, wo weder f noch f ver- schwindet, die Zeichen beider Brüche überein. Verschwindet ferner f'(@) in %e, dann können wir eine hinlänglich kleine Strecke (Xa - Xg - %y) festlegen, innerhalb deren f(x) nicht Null wird, und Netto, Algebra. I. 17 258 Neunzehnte Vorlesung 8 225—226. in deren Endpunkten beide Brüche (27) jedesmal in den Zeichen übereinstimmen. Ein Beitrag zu (m'—m) wird weder vom einen noch vom andern Bruche geliefert, und deshalb ist eine solche Strecke einflusslos. Wenn endlich f(z) in Xg verschwindet, dann können wir eine hinlänglich kleine Strecke (xz - XB : Xy) festlegen, innerhalb deren f’(x) nicht Null wird, und in deren KEndpunkten beide Brüche (27) jedesmal in den Zeichen übereinstimmen. Der zweite Bruch ändert dabei, den Werth co passirend, sein Vorzeichen einmal und liefert deshalb eine positive oder eine negative Einheit als Beitrag zu dem Werthe (m’— m). Der erste Bruch könnte auf der gleichen Strecke, den Werth co passirend, zwar mehrfach sein Vorzeichen ändern und somit mehrere Einheiten als Beitrag zu (m’' — m) liefern 2 da aber die Zeichen der Brüche (27) an den Intervyallgrenzen jedesmal übereinstimmen, so stimmt die Summe dieser Einheiten mit der vom zweiten der Brüche gelieferten überein, und beide geben deshalb auch hier denselben Beitrag zu dem Gesammtwerthe von (m’ — m). Nach dem Cauchy’schen Theoreme sind jetzt also die Werthe von öf' (@) f (@) auf den vier geradlinigen Strecken [(.’»C„ n ö) RS (.CU.„ c ö)]) [(%‘2‚ S ö) S (.’122, +’ö)l; [(x2; + ö) (:C„ an ö)]; C O zu verfolgen. Für beide rechts stehenden Strecken erhalten wir bei constantem x und veränderlichem ö den Beitrag Null zu (m’— m), da f(x) im einer beliebig kleinen aber endlichen Umgebung von (x,, 0) und (x,, 0) nicht verschwindet. Wir wollen nun einen Punkt x be- trachtén‚ für den f(x;)= 0 wird, etwa derart, dass f(x) bei wach- senden x vom Negativen zum Positiven übergeht. Dann wird, da ö positiv ist, A bei wachsendem &x f (@) vom Positiven durch ©& zum Negativen +öf @) BA ‚f (@) bei abnehmendem &x gehen. Folglich liefern bei der vorgeschriebenen Umlaufsrichtung um C die Punkte E&g und E; (vgl. die Figur) denselben Beitrag zum Werthe von (m’ — m). Also jedesmal, wenn bei wachsendem x zwischen w;, baa un Positiven f (@) Negativen m' —m positive f@) * Positiven “ Negativen geht, bekommt Kn 72„‚ negative Das Sturm’sche Theorem 259 Einheit als Zuwachs Deshalb iıst (m' — m) gleich dem HEx- Cesse von F f (%) für die Strecke (zx, X), und es wird W (&,) — W (%) 5 (m' — mMm) = Dies giebt den Sturm’schen Satz als Corollar des Cauchy’schen $ 226. Wir wollen andererseits den Begriff des Excesses dazu benutzen, den Ausspruch des Cauchy’schen Satzes umzuformen Gesetzt, es sei möglich u(x,y) und v(x,y) als rationale ge brochene Funetionen einer einzigen neuen Veränderlichen 4 etwa ın der Form p Yı (t) u(X, y) = (t) $ v(X, y) = x @) darzustellen, derart, dass bei einem vollen Umlaufe von z um C von irgend eimnem bestimmten Ausgangspunkte ab die Variable £ von € IS © Jause Dann wird jedesmal wenn v:uw vom Positiven (Nega- tiven) durch Unendlich zum Negativen (Positiven) übertritt, für @, dasselbe geschehen Demnach ist (m — m) gleich dem nega- tıyen,Kxcesse von @, (*): p(t) auf der Strecke (f 4) Das Entsprechende gilt wemnn € in eine endliche Anzahl von Theilen so zerlegt werden kann, dass für einen jeden die gemachten Voraus- etzungen über die Darstellung von w und w gelten © Ist nun in dem Bruche @ der Grad von @, nicht grösser als der yon @, dann können wir, wie oben gezeigt wurde, die Reihe des Kuklid’schen Schemas P (t)7 Yı (t); P2 (Ü> s (), zur Herstellung des Excesses direct benutzen. Ist dagegen [g,] > [g@], dann wenden wir die Formel (93) an, dividiren , durch @ u. s. w. und haben wegen E Z — E+e zum positiven Kxcesse von —. noch den Werth von & zu addiren 1 Wir wollen diese Regel auf zwei Beispiele anwenden. Ist € ein Kreis vom Radius R mit dem Centrum (@5, %), dann können wir 1—# x()+Rl‚_l_t.n y—‘/°_f—Rl+t- setzen und, um die ganze Peripherie in positivem Sinne zu durch- laufen, £ von — « bis + co gehen lassen. — I 260 Neunzehnte Vorlesung $ 226 —227. Zwanzigste Vorlesung 8 228. Ist C ein Rechteck mit den Ecken 4= (x1? y1)7 5B= (x27 yl)) D Al CÜ= (x2; ?/2); D= (x1; ?/2>; dann kann man für die Seite AB setzen x Z SC1) t; Z Yı5 BC ” .’‚ö'2, y: Ua E CD 22 SS D A @u l y...: Ya 5 } DA 2 x=xl? YY A ı — Ya)l und jedesmal £ von 0 bis 1 gehen lassen. — < 307 Zum Schlusse wollen wir noch das folgende Darboux’- sche Theorem*) beweisen, welches bei den Realitätsuntersuchungen der Wurzeln nach dem Sturm’schen Satze mitunter KErleichterungen gewährt. Wenn eine der Funectionen D ; fr fr f f der Sturm’schen Reihe von f, etwa fz, eine Gleichung f (@)= 0 mit » complexen Wurzeln liefert, dann hat f(g)=0 min- destens p complexe Wurzeln. Wir wollen die zu (1) gehörige Differenz der Zeichenwechsel 2Z(— ) ——2Z(—{— SE setzen; A ist dann die Anzahl der reellen Wurzeln von f(g) = 0. Die Reihe (1 fm fx—17 fr ist eine verallgemeinerte Sturm’sche Reihe, da sie den Bedingungen D ID I au S 210 sehuSt Setzt man daher für sıe D Z(— 0) — NZ+0)= A, dann ist A’ höchstens gleich der Anzahl w der reellen Wurzeln von O0 Offenbar ist, weil in den ersten (x + 1) Funetionen niıcht mehr als x Wechsel verloren gehen können, 4<AM“ + x, und also erhält man vA *) Nouy Annn (@) Ba _7 Sı Das Hermite’sche Theorem 261 A Al Z O n—4zZzn-—k— W Nun ist (n — 4) gleich der Anzahl 2J der complexen Wurzeln von f(z) = 0; andererseits ist (n — x) höchstens gleich dem Grade von f,, und also (n — x) — w _ höchstens gleich der Anzahl n der complexen Wurzeln von f,(g) == 0; somit folgt die behauptete Beziehung durch die Ungleichung I ZID Zwanzigste Vorlesung Das Hermite’sche Theorem 28. Von Herrn Ch. Hermite stammt eine andere Behand- S lung derselben Frage, welche siıch auf die Eigenschaften der quadra- tischen Formen gründet*) Wir nehmen als Unbestimmte einer quadratischen Form die % Grössen Un, U, Un —1 an und setzen C a ““ZX(ZÄ; ) [ wl 1(ZÄ)"1 an an co„..1(Zz)u„__1] Ist es nicht nöthig, die w hervorzuheben, so schreiben wir @ (£) statt g (u,6). Hier soll @ eine mit reellen Coefficienten versehene ganze Funetion Wa(2) = 0a0 F Ca1@2 F 0a22 + + + Can 1271 bedeutent und 6r @ı —1 Sollen von einander linear unabhängie sein, so dass also |c,„ | von Null verschieden ist; y soll eine mit reellen Coefficienten versehene rationale Funection von z und £ sein; 6 bedeutet einen willkürlichen Parameter; 2,, 2 27 An sınd die n Wurzeln der Gleichung (2) CO —O die wir von einander verschieden voraussetzen Wr schreiben (l) auch in der Form, bei der die Bedeutuno der Z; klar ist, Drl (3) —Z%(zl, Z —2„„uß2x(zl‚ {) Da (2) D (22).. =N RE &r — C R! 1858 14 Hebr Bd, 36 S, 294 262 Zwanzigste Vorlesung 8& 228—229, Um den Rang dieser quadratischen Form festzustellen (S 166) untersuchen wir die Reihe der Determinanten dı = Dl $ wu(e) wp(e) (&, ß O Ar | für £= , n— 1 ? , um zu erfahren, welches die erste nicht ver- schwindende Determinante dieser Reihe sein wird, da ja dies für den Rang entscheidend ist. Aus der Composition der Systeme Do), @— 1(2) %'('21-’ t).'550.(21.), C .% ('?”; t) ‚a70 (Z") l | ( (Zz) %(1 0 @r 1(21), + XCn t') ä.k—1(2;z) %, (%); n %' D (%n), . On 1 (Zn) folgt nach bekannten, schon früher von uns benutzten Sätzen 4.(0) = S X.(51'; U) Fä7do'(zll); %(5k‚ t.) Üo(zk) : „l Fäo(£l);. ®x—1(2,) ) W e SC CD f "‘5'o(2.'1);. "fi7_/c—.1(5.1) f; ! A On — 1(2x) ‘ wobei das Zeichen S wie gewöhnlich so zu deuten ist, dass diejenige symmetrische Funetion gebildet werden soll, von welcher ein Summand durch die auf S folgende Funetion gegeben ist. Hier zeigt also S eine Summe an, erstreckt über alle Combinationen von % Wurzeln, die aUS 010 Za Z gebildet werden können, während die Indices der ® fest bleiben. Für % = w ist (vgl. Baltzer, Determ. S& 1KOS @ DD eine Umformung von (4) möglich: 2 40 = (z@, D: 200n 0) [ [ (& — 20 | 02n Z A CZ ( A O ) Der zweite Factor auf der rechten Seite ist bis auf sein Vorzeichen gleich der Discriminante von (2). Da wir die Wurzeln C An als von einander verschieden angenommen haben; da %(z,{) nicht identisch verschwindet, und da auch |c;z„| von Null verschieden .ist, so verschwindet A,(£) nicht identisch. Es ist demnach (1) vom Range n, und @ kann deshalb nicht als Summe von weniger als o Das Hermite’sche Theorem 26 I n Quadraten dargestellt werden Die in 8 172 abgeleiteten Resultate ergeben für den sogenannten regulären Fall die Formel X2—[— Xg —_X" Ö6) n-—1 $ 229. An zweiter Stelle untersuchen wir die Signatur von @ Jeder der Summanden in (1), der zu einer reellen Wurzel 22 von (2) Wenn da- gehört, ist selbst reell, und sein Zeichen ist sgn %(Z«,%) gegen etwa z, complex, und 2 die conjugirt complexe Wurzel ist dann können wır Z RO ('Zl7t) —A+ B7“; %(Z2‚t) = 4 Bi, Z B setzen, und dadurch geht das Aggregat der beiden ersten Quadrate (41‚t)Z2—{— %0, 0) Z° m die Form (4 + B) (P+ Q + (4 — Bo) (P — @i} —2A8 Q°) — 4BPQ über Ist 4 = 0, dann wird dies zu — 3B(P— @ BA O ist A4=+0, dann erhalten wir 24(p—20) 24Q@ (1+ A2) also erscheint in jedem Falle ein Aggregat von zwei Quadraten mit entgegengesetzten Vorzeichen. Die durchgeführte Aenderung entspringt einer reellen Transformation der Varıablen; denn wenn man ON UF Da(%) = Aa — Ik setzt, erhält man für die statt z, und z eintretenden Varıablen P und Q P+iQ Zh U + 22k U —Q Zh„u„„ — z2k„u„, P Z‘h„«„‚ Q 2k U Da die Signatur einer quadratischen Form gegenüber allen reellen Transformationen invariant ıst, und da, wie wir eben sahen, Paare complexer Wurzeln nichts zur Signatur, die wir mit S(7) bezeichnen wollen beitragen, so folgt: Die Signatur S(£) von (1) ist gleich Dsgn 4, 1); o wobei die Summe nur über alle reellen Wurzeln von (2) zu erstrecken ist Ks folgt sofort weiter Verwandelt man (1) durch irgend welche reelle Transformation in ein Aggregat 264 Zwanzigste Vorlesung 8 229—232, von Quadraten, so ist die Anzahl der vorkommenden posi- tiyen Gliederioleich der (Summerraus der Anzahl der Paare complexer Wurzeln und der Anzahl derjenigen reellen Wur- zeln von (2), für welche sgn %(Za, t) Z ist. Diese Zahl wollen wir durch P(t) bezeichnen. Setzt man nun für € zwei Werthe f# und ( 4) ea ; SO Zicbt dıe Differenz P(t1) S P(t2) den Ueberschuss der Anzahl der Wurzeln, für die sgn Wa )= 1 ist, über die Anzahl derjenigen, für die n C a = N e In dem regulären Falle ist die Anzahl der positiven Glieder gleich derjenigen von A1(t); dx (t) Äz(t)7 u AAA d. h. gleich der Anzahl der Zeichenfolgen von (6) 1, 4,(8), A (0), 4, (0); An(B). Bezeichnen wir die zu dieser Reihe gehörigen Anzahlen an Folgen und Wechseln wie früher mit dann wird 2F(t) und 2VV(#), ( Pe) — PG) O SG SW Nra Für die folgenden Untersuchungen wollen wir, um den Ausdruck der Sätze zu vereinfachen, die eben bereits gebrauchten Bezeichnungen durchgehends beibehalten. Ist w(*) in ein Aggregat von Quaciraten verwandelt, so bezeichnet also P(£) die Anzahl der darin vorkommenden positiven, und N(t) die Anzahl der darin vorkommenden negativen Glieder, S(£) die Sig- natur der Form; es wird daher SO ONO n = P(0) + N(I). Wir wollen ferner die Bezeichnungen P(#), N (£), S(t) auch auf Reihen von positiven und negativen Gliedern anwenden, welche von % ab- hängig sind. $ 230. In der Gestalt (1) ist die Hermite’sche quadratische Form durch die Wurzeln von (2) bestimmt. Bei der Anwendung handelt es sich somit zunächst darum, sie durch die Coefficienten aus- zudrücken. Dazu kann uns der Cauchy’sche Satz dienen, welchen wir am Schlusse der neunten Vorlesung, $ 106, abgeleitet haben. Nach Das Hermite’sche Theorem. 265 ihm ist @({) gleich dem Coeffieienten von &7! in der Entwickelung des- Bruches Z HED [äam (B u ] nach fallenden Potenzen von &. Zur Herstellung der nöthigen Form reicht eine einzige Division aus; hat man die Form erlangt, dann ist noch ihre Verwandlung in ein Aggregat von Quadraten vorzunehmen. S 830 Unter besonderen Annahmen über die Funetionen — O kann die Bestimmung der Grössen A, noch weiter gefördert werden. Benutzt man für die @ die specielle Form Wa(2) = C040 F 0a18 + * + Cya—ı2“ 71 + 2e, dann wırd die Determinante |cı.| ( w=0, 1, .0 — 1) gleich 1 und es geht (vgl. Baltzer 1. c.) die Formel (4) in B 1 ® A=S ala D + zl 0) [ [ &— 2)*] ( ) @ über. Dass hier die oben geforderte lineare Unabhängigkeit der Funetionen @ gewahrt ist, leuchtet von selbst ein. — Nimmt man ferner Dı(e) = W'C), wo @(£) eine ganze Funetion (n — 1)'" Grades ist, dann geht 44 in (9) MO =S| aa 0 zl D[ [@(e) — 5( &, B=1,2,...k ( S D ) über. Damit auch hier der Rang von @ gleich % sei, muss man voraussetzen, dass alle Werthe IC Ü(Z2>7 > untereinander verschieden bleiben. — Unter den beiden betrachteten Specialfällen steht die Annahme ®2 (Z> = , Hier erhält man für A, wieder den Werth (8). S 932 Wir wollen nun auch für %(z, t) besondere Annahmen machen. Zuerst sei y von $ unabhängig — x(@). Dann ist, wenn man in den Bezeichnungen aus S& 229 das jetzt unnöthige Argument € weglässt, B gleich der Anzahl der complexen W urzelpaare von f(z) = 0 vermehrt 266 Zwanzigste Vorlesung 8 232—233. um die Anzahl derjenigen reellen Wurzeln der Gleichung, welche % positiy machen; andrerseits wird N=;Q;——S) gleich der Anzahl der complexen Wurzelpaare von f(z)= 0 vermehrt um die Anzahl derjenigen reellen Wurzeln der Gleichung, welche y negatıy machen. Ist %= 1, so kommt keine Wurzel der letzten Art vor, und N giebt in diesem Falle die Anzahl der complexen Wurzelpaare, P dieselbe Anzahl vermehrt um die Anzahl der reellen Wurzeln und also Sı—= L N die Anzahl der reellen Wurzeln. Wir wollen hiervon eine Anwendung auf die Form (10) Pı Xr S (g + 221 A Z A E Al OC z Sa +BUa Hß (“7ß=1727"'”’) &, ß machen. Dabei erhält man das einfache Resultat 4, = |Su+v | W n= 0 und somit geht die Reihe (6) in dieselbe über, die wir in der vorigen Vorlesung $ 222 gefunden haben. Hier stellt sich aber sogleich noch eine Erweiterung ein, sobald wir, wie bei (9), für ® die Potenz ®*(z) einsetzen und ferner entsprechend der Bezeichnung s; Sa setzen. Denn dann können wir in die Reihe (6) eintragen A — ] Sara (.“7”=071>"'Ä—“1)' . Ist y= , dann ıst Z olecich der Anzahl der :complexen Wurzelpaare vermehrt um die Anzahl der positiven Wurzeln, N gleich der Anzahl der complexen Wurzelpaare vermehrt um die Anzahl der negatıven Wurzeln, und also S gleich der Differenz aus der Anzahl der reellen positiven und der reellen negativen Wurzeln der Gleichung f(z) =0. Das hierzu gehörige N O0 D ; Q E A Ar ra R A Zn z aE(‚» Sa+ßB+1UoUß (@x, B =1,2, - n) liefert für die Reihe (6) die Werthe 4A1 | Sa | ( . — 12 Das Hermite’sche Theorem. 267 Setzt man allgemein für y eine Potenz 2“, so erkennt man leicht als KErweiterung der beiden vorhergehenden Theoreme das nachstehende: Die Signatur S der Reihe 1, A17 A27 A wobei Ar = | S4 | ] (u, v = a @«+1,-... « AA —1) ist, giebt die Summe oder die Differenz aus der Anzahl der reellen positiven und der reellen negativen Wurzeln von f(@)=0 an, je nachdem « eine gerade oder eine ungerade positive Zahl bedeutet. $ 233. Wir bleiben noch bei der Voraussetzung, dass % von f& unabhängig sei und setzen jetzt y(e) = f (@) - f(@); dann liefern alle diejenigen reellen Wurzeln 2 einen positiven Beitrag zur Signatur, für welche f’(z.)fi(za) positiv ist, und alle diejenigen einen negatıyen Beitrag zu S, für welche dasselbe Product negativ ist. Im ersten Falle wächst, wenn jener Wurzelwerth bei zunehmendem z passirt wird, die Funetion f(z) aus dem Negativen ins Positive, falls fı (zx) positiv ist, und also geht f (z) f(#) dabei auch vom Negativen ins Positive; und dasselbe findet offenbar statt, wenn f,(2„) negativ ist. Im zweiten Falle geht f,(z)f(2) aus dem Positiven ins Negative bei zu- nehmenden 2 über. Die Signatur der Form zeigt daher jetzt an, wie viel häufiger bei wachsendem z das Product f,(2) f(g) aus dem Negativen ins Positive übergeht, als umgekehrt aus dem Positiven ins Negative. Diesem Resultate können wir eine hübsche geometrische Deutung geben. Wir betrachten eine Bildebene mit den rechtwinkligen Coordi- naten x und y und zeichnen auf ihr die beiden parabolischen Curven ?/_f(z)=0; Y f@) =0. Jede Senkrechte x = x auf der x-Axe schneidet jede der Curven ein- mal und nur einmal, und das Zeichen sgn (y — f(xo)) bezw. sgn (y — fi(@%)) wird oberhalb des Schnittpunktes positiv, unterhalb desselben negatıv. Daher wird für alle endlichen x bei hinreichend grossen | y | (12) sgn (y — f(@)) (v — f.(@)) positiv, indem beide Factoren positiv oder beide negatıy werden; und dasselbe Symbol (12) wird nur für diejenigen Punkte einer Senk- rechten auf der x-Axe negativ werden, welche zwischen den beiden Curven liegen. Dies findet also für alle Punkte derjenigen endlichen Ebenentheile statt, die gänzlich von den beiden Curven eingeschlossen sind, und also „innere Theile“ bilden; und wir können zu dem 268 Zwanzigste Vorlesung $ 233—2385, Inneren auch etwaige sich ins Unendliche erstreckende Ebenentheile rechnen, für welche (12) negativ ist. Die übrigen Punkte der Ebene rechnen wir zum Aeusseren. Für y=0 erhalten wir aus (12) die Kinsicht, dass diejenigen Punkte der x-Axe im Inneren liegen, für welche sgn f(%) - f,(x) negativ ist, und diejenigen im Aeusseren, für welche das Zeichen positiv ist. Hiernach können wir auf der x-Axe Austrittspunkte aus dem Gebiete und Eintrittspunkte in dasselbe definiren. Der im Anfange des Paragraphen abgeleitete Satz heisst dann folgendermassen: Die Signatur der Form Ä R =gf’(zl)/i(£l) o ®o(&) 4 F n @n @I A=1 ist gleich dem Ueberschuss der Austrittspunkte der z-Axe über die Eintrittspunkte derselben hinsichtlich des von den Curven y—f(x)=0, ?/—f1(x)=o umschlossenen Gebietes. Nehmen wir insbesondere f (£g) = f’(z), so giebt es überhaupt nur Austrittspunkte ($ 187), und die Signatur der Form giebt wieder die Anzahl der reellen Wurzeln von f(g) = 0*). $ 234. Wir wollen ferner %(z, €) = t — %(z) setzen. Dann giebt P(f) die Summe aus der Anzahl der complexen Wurzelpaare und der- jenigen reellen Wurzeln %,, für welche y(22) < ist; und S(t) den Ueberschuss der Anzahl reeller Wurzeln, für die %(22) < ist, über diejenige der reellen Wurzeln, für die y(%x) > * 'ist. Nimmt man insbesondere %(z, t) = *— g£, so liefert, wenn &, und 6 (>7) zwei feste Werthe von % sind, N(t1) Z N(t2) die Anzahl der reellen Wurzeln von f(2) = 0, welche zwischen RIO %4 und %_ liegen. Führt man also ® (z) —_ & ein, dann wird E A0 =8[0—2): — &) [ [ &— %Y ( Z } und wenn man nun bedenkt, dass jedem negativen Zeichen des Aggregats der Quadrate, in welches g umgewandelt werden kann, ein Zeichen- wechsel der Reihe (6) 1, 4,(0, 4,(0), 4.(8) Z *) Vgl. Kronecker: Ueber die verschiedenen Sturm’schen Reihen und ihre gegenseitigen Beziehungen. Berl. Ber. Febr. 1873. $1. S. 117. Das Hermite’sche Theorem 269 so folgt dass die Differenz der Zeichenwechsel ın entspricht (6) für %4 und 4, also S die Anzahl der reellen, zwischen t, und 4 liegenden Wurzeln von A2) = 0 angiebt Dieser Satz, oder vielmehr der für y = —— sich ergebende, wird gewöhnlich als der Hermite’sche Satz bezeichnet Das zu unserer Annahme gehörige @ wird, wenn man (10) und (11) berücksichtigt, durch die Summen der Wurzelpotenzen dargestellt qa(t) “Z(tsa+ß T Sa+ß+1)u„u/g @B 2 ) und die A nehmen die Gestalt A} a tÖu+v Su-+v-E1 | (!"'7'””‘0 17 4) an Man sieht sofort, dass dieses A, in die Form 4, So Sy Y 1 | 51 S Sı b 52 SN t)‚ SA umgewandelt werden kann $ 235. Wir wollen noch eine quadratische Form betrachten, die in gleicher Weise zur Bestimmung der reellen Wurzeln dienen kann wie die bisher besprochenen Hermite’schen Wir bilden nach der in Vorlesung 12, $ 142 angegebenen von Bezout stammenden Methode aus f(z) und f’(g) den dortigen Formeln (13) entsprechend die %” Polynome d da A E N da (13) 21‘ 1 + dr& + d232n———.: + + d2„‚ 15n l+d 22" 2+d 32"—3 L + dnn; deren Determinante als B&zoutiante bezeichnet wurde und die sich von der Diseriminante von f(z) nur durch einen constanten Factor unterscheiden kann; und dann weiter den dortigen Formeln (13*) ent- sprechend die linearen Combinationen der Ausdrücke (13) du @71 + digem7? + digt73 + ... 4 din, (13°) da 7? + da 73 + F den, dzs#" 73 A ... + dön, so sind, wie wir dort gesehen haben, die Functionen (13®) identisch mit den Resten der fortgesetzten Division von f durch f’ u.s. w 270 Zwanzigste Vorlesung $& 235—236. Einundzwanzigste Vorlesung $ 237—238. Es liefern also die Funetionen (13*) eine Sturm’sche Reihe für f Setzt man 2, = — ©®, ZA= + 0, will man also die Anzahl der überhaupt vorhandenen reellen Wurzeln von f=0 bestimmen, so geht diese Sturm’sche Reihe (vgl. 8& 143) in d d dı dyy dg Lli1 =— (1711, da = ld21 d29 ß di3 = d21 d22 d23 ? d31 d32 d33 über, d. h. in die Reihe der Hauptsubdeterminanten der B&- zoutiante | dzu | Verbindet man damit das Resultat aus $ 177, so folgt: Die Anzahl der reellen Wurzeln von f(z) = 0 ist gleich der Signatur der quadratischen Form (Ä‚(L= I 27"'")3 ;Jd;_ u U2Uu dieselbe Anzahl ist gleich der Differenz aus der Anzahl der positiven und der negativen Wurzeln der Gleichung | tEÄ}/ s dl„u = 0 (Ä; u =11,2, n) (&2u. = 0, wenn 1 =+ w ist; &u = 1, wenn 4 = w ist). $ 236. Wir haben uns im Verlaufe dieser Untersuchungen mit- unter auf den Fall beschränkt, die Zahl sämmtlicher reellen Wurzeln festzustellen, statt allgemeiner die Zahl derjenigen aufzusuchen, welche zwischen gegebenen Grenzen liegen. In Wirklichkeit ist dies aber keine Beschränkung, wie zuerst Jacobi (Observatiunculae ete. Werke Bd. IL S. 279) gezeigt hat. Handelt es sich nämlich darum, die Anzahl der reellen Wurzeln von f(z) = 0 zu bestimmen, die zwischen den Grenzen 2, und z, liegen, so führen wir, wenn % > 2‚ ist, eine neue Variable y durch Z 14 also 2 — On e y= Z — 8? WE ein, dann entspricht der Strecke (z, --- z) für z die Strecke (0 ... + 0o) für y, und die ganze Funetion % * %Y D SE ) Z Y R I liefert gleich Null gesetzt eine Gleichung mit eben so vielen positiven Wurzeln, als f(g)= 0 reelle Wurzeln zwischen %, und z besitzt. Es hat daher die Gleichung vom Grade 2% g(&)= 0 eben so viele Paare reeller Wurzeln &= --a, d. h. doppelt so viele reelle Wurzeln, als f(g) = 0 zwischen z, und %, besitzt. M Trennung der Wurzeln. Rationale Wurzeln., ZUE Kinundzwanzigste Vorlesung. Trennung der Wurzeln, Rationale Wurzeln. $ 237. Das Sturm’sche sowohl wie das Hermite’sche Theorem liefern Mittel, um eine Trennung der reellen Gleichungswurzeln von einander zu bewirken, d. h. um Interyalle anzugeben, innerhalb deren nur je eine reelle Wurzel der vorgelegten Gleichung f(z)= 0 sich befindet, die wir von vorn .herein als von gleichen Wurzeln befreit ansehen dürfen. Wir wollen dabei (1) f(5) = W 01'2""__1 - 025"_2 + Cr + Cn voraussetzen und die c als ganze Zahlen annehmen. Wären die Coeffi- cienten rational aber gebrochen, so könnte die gemachte Annahme durch .die Substitution z = z bei geeigneter Wahl der Constanten a verwirklicht werden. Vom Auftreten irrationaler Coeffieienten sehen wır hier ab. Zu unserem Zwecke reicht es aus, zunächst eine obere Grenze O für den absoluten Betrag der reellen Gleichungswurzeln zu bestimmen; jeder der beiden erwähnten Sätze giebt an, wie viele Wurzeln inner- halb des Intervalles (—o, --- +o) liegen. Dann untersucht man ebenso die beiden Intervalle (—o, -.- 0) und (0, --- + 0), weiter die vier Intervalle ( Q Q — 2 } __2_‚ 0), (0 + D 2 ), ( 7 o) und so fort, immer darauf hin, wie viele reelle Wurzeln sie enthalten. Hat sich einmal für ein Intervall herausgestellt, dass keine Wurzel oder nur eine einzige darin vorkommt, so ist natürlich jede weitere Theilung desselben überflüssig. Auf diese Weise kommt man sicher zur Lösung des gestellten Problems, da man ja dann zum Ziele ge- langt sein muss, sobald die Grösse der Intervalle kleiner geworden ist, als die kleinste Differenz zweier reeller Gleichungswurzeln, und da diese nach unserer Voraussetzung von Null verschieden ist. DA - 38. S Cauchy hat gezeigt, wie man auf einfache Art eine untere Grenze für diese Differenz bestimmen kann. Am nächsten liegt die Idee, die Gleichung aufzustellen, deren Wurzeln die Quadrate der Differenzen der Wurzeln von /(2) 0 Sind; und eine untere Grenze 2 für die positiven Wurzeln jener Gleichung zu bestimmen, indem dann V2 eine brauchbare Bestimmung für die Z G 72 Einundzwanzigste Vorlesung $ 238—239. Grösse des Intervalles liefert ($ 120). Diese Methode hat Warıno angegeben, und Lagrange hat sie übernommen*). Man erkennt aber ohne Weiteres, dass ihre Ausführung mit ausserordentlichen Müh- seligkeiten verbunden sein würde,. da die Gleichung der Quadrate der Wurzeldifferenzen bis zum Grade 7@—1) aufsteigt. Diesen Uebelstand hat Cauchy zu vermeiden gelehrt. Wir wollen hier zunächst seine Methode auseinandersetzen. Das letzte Glied der Gleichung für die Quadrate der Wurzel- differenzen ist FD Z K @yı %e Bedeutet nun o eine obere Grenze für die Moduln aller Gleichungs- wurzeln. £,, %) Z., und sind 2,, % zwei reelle Wurzeln, dann wird die Differenz je zweier Wurzeln nicht grösser als 20, und deshalb ist, wenn wir unter *) den absoluten Werth des Productes der Quadrate der Wurzeldifferenzen der Gleichung (1) verstehen, C 1 D? LA (2) i21*“22l>— CN 2 1 (20) So hat man also in dem Werthe der rechten Seite eine Grenze 2 für die Grösse der Intervalle, in denen höchstens eine Wurzel von f(z)=0 vorkommt. Die Rechnung benutzt ausser o nur noch D, d. h. den Werth der Diseriminante, und auch dieser kann noch, freilich unter weiterer Verminderung des Werthes von 2, beseitigt werden. D ist D D eine nämlich als symmetrische, ganze Function der ganze Funetion der Coeffieienten von (D) LO EFLE LSCMTEL L und daher eine ganze Zahl; ferner ist er, da die Wurzeln %, von einander verschieden sind, von Null verschieden und also mindestens der Einheit gleich. Nimmt man daher in (2) für D den kleinstmöglichen Werth 1, so ist sicher der absolute Betrag der Differenz je zweier reellen Wurzeln d (2°) lZl'“2'2‘> a(n—1) 2 $ (2e) *) Vgl. Lagrange Werke, Bd. 8, R&Esolution des Equations, Note 4; S. 146, wo die umständlichen Versuche auseinandergesetzt werden, die der Verf. unter- nommen hat, um die Rechnung durchführbar zu machen, 278 _Trennung der Wurzeln. Rationale Wurzeln. $ 239. In einer bei weitem fundamentaleren Art und vor Allem ohne Voraussetzung der Wurzelexistenz und ohne Stetigkeits- betrachtungen hat Kronecker*) die Frage nach der Trennung der Wurzeln behandelt. Natürlich muss, weil ja von dem Begriffe der Wurzeln kein Gebraych gemacht wird, das Problem überhaupt ganz anders formulirt werden. Wir wollen die Kronecker’schen Unter- suchungen ın etwas veränderter Form folgen lassen. Die Voraussetzung, dass f(z) nur rationale Coefficienten besitze, kann fallen. Reell sollen die Coefficienten auch weiterhin sein. Die Grösse o sel eine nach $ 17 bestimmte positive Zahl derart, dass für alle reellen x > o die Funetion f(x) ihr Zeichen nicht ändert und dafür ebenfalls von Null verschieden bleibt; und dass ferner für alle reellen x < — o das Gleiche stattfindet. S Im Folgenden nehmen wir stets die Varlable x als reell und zwischen den beiden Grenzen — 0 und + gelegen an. Nun bilden wir, wenn unter 6 ein positiver, echter Bruch ver- standen wird, f@ + o) —@ =+ [ar + [ Ü( 7aa N und ersetzen ın der geschweiften Klammer rechts alle c durch ihre absoluten Werthe, 6 durch 1 und x durch o; dann wird der Werth der Klammer vermehrt. Die positive, ganze Zahl, die bei diesen Operationen aus der Klammer hervorgeht, heisse H. Daraus folgt somit (3) @E 0)=f@) < Hat f(z7) ein bestimmtes Vorzeichen, d. h. ist f(x,) von Null verschieden, und wählen wir o‚ </|f(z,)|, also 0 <|f(x)|: E dann wird if(%j;%)-f(%)\<|f(%)} und f(% A 6) hat dasselbe Vorzeichen wie f(x7). Weil das gleiche Resultat für jedes 0< 0, folgt, so hat man den Satz: I) Um jeden Punkt xz,, in welchem f(z) nicht verschwindet, kann man eine Strecke (;c —if(f;°)’‚ .xo—[—fi%")fl> festlegen, inner- halb deren die Funetion f(xz) ihr Vorzeichen nicht ändert. Ferner ist, wenn f(xz,) und f(x, + o,) verschiedene Vor- zeichen besitzen, nach (3) (4) {f(xl) | < 61H) He a *) J. für. M BdLOLE S 347353 Netto, Algebra, I, 18 274 Einundzwanzigste Vorlesung $ 289. Ist z’ ein beliebiger im Intervalle (z,, --- X, + 6,) angenommener Werth, für den f(x’) von Null verschieden ist, so hat f(x") entweder gegen f(x,) oder gegen f(&, + 6,) verschiedenes Vorzeichen. Da ferner jede der beiden Theilstrecken x‘ — x, und z, + 67 — z’ Kleiner als o aSt, so gilt auch hier, was eben für (4) bewiesen wurde, (4*) |£@’) < H, d 3 A0 ennn Y und @. 6) verschiedene Vorzeichen besitzen, so gilt für jeden Werth z’ zwischen xz, und (x, + 6,) die Beziekung, (4°). In dem ; Falle . /(xz) = 0, der. soeben aus- genommen war, findet ja selbstverständlich der gleiche Umstand statt. Wenn also in einem Intervalle von beliebiger Grösse £ am An- fangs- und am Endpunkte die Vorzeichen der Function verschiedene sind, und man theilt das Intervall in y gleiche Theile, so wird es unter diesen mindestens einen geben, in dem gleichfalls die Vorzeichen an den Endpunkten verschiedene sind. (Da höchstens » Werthe bestehen, für die f(x) = 0 wird, so lässt sich durch Aenderung von v stets der Fall vermeiden, dass an einem Trennungspunkte zweier Intervalle fF(@x) = 0 wird.) Nimmt man bei (4*) x’ in diesem Intervalle an, und setzt also 6, =%, dann folgt: III) In jedem Intervalle von der Grösse t, an dessen Endpunkten f(z) verschiedene Vorzeichen annimmt, giebt,es mindestens ein Intervall von der Grösse — 2 innerhalb dessen für jeden Werth von x, die Grenzen ein- geschlossen, (r >%) HO wird, wıe gross dıe ganze Zahl r,auch gewählt sei, d..h. es giebt ein Intervall von endlicher Grösse, innerhalb dessen |£(x) | beliebig klein bleibt. Weiter haben wir H@ e @ B N n—1 6 @+{a [ 2 )c]ilx7l_3+ } Machen wir in der geschweiften Klammer dieselben Operationen wie oben an der entsprechenden Stelle, dann finden wir einen oberen Werth X für ihren absoluten Betrag und können demnach (5) E 1 << I) schreiben. Dieselbe Gleichung bleibt bestehen, wenn wir -K ver- grössern; wir dürfen es daher als mindestens gleich 1 voraussetzen, Trennung der Wurzeln Rationale Wurzeln 275 Hierdurch ist eine obere Grenze für den Unterschied der beiden Funetionen f (@ + 0) £@) und @) festgestellt Wir nehmen jetzt an, dass f(x) und f’(x) keinen gemeinsamen Theiler besıtzen Dann kann man zwei ganzzahlige Funetionen von &% etwa w(x) und (x) finden, für die F(@) p(z) + f @)4@x) =| D d. h. eine positive Zahl wird (vgl. $ 68). Das ergiebt hier mit Hülfe yon (5) die Gleichungen f ) AL (f(x+ 6) oeK)w=|D (6) 1 n e Z D IFl 1a + E In |g@ | und in | w setzen wir nun wieder statt der Coefficienten ıhre absoluten Beträge und statt x die Grenze o ein Dann erhalten wir Zahlen &L und M, die von den absoluten Werthen von @ bezw. w nıe übertroffen werden können Jetzt wählen wir eine Grösse s so, dass @ED S ca wird und also dann auch, weil ja X mindestens gleich 1 ist C 2 a Führen wir (s—1) |D| statt |gp|, v |, X|| in (6) ein, dann entsteht 1 la e Z s Ö, und für jedes 6, welches < angenommen wird, ergiebt sich L: (6*) Z @— 1f(x)'+}f(x+a) © SC 1)’ Mit Hülfe der bisher in diesem Paragraphen abgeleiteten Re- sultate können wir nachweisen, dass in jedem. Intervalle von der Grösse , welches ganz dem Bereiche (— o, + 0o) angehört höchstens ein Zeichenwechsel bei f(x) stattfinden kann Gesetzt, wir haben ein Intervall (x, Z b Dn Z z und (& X xo) <__ für welches sgn f(x) f(@,) =+1 ist, und es gebe einen Zwischenwerth x,, für den @ ) 0, und sgn f (%)f(x) = sgn f (@) f (@4) 1 (%o < %a < -Xy) wird, so wollen wir aus der Annahme eines solchen %, einen Wıder- 1 276 Einundzwanzigste Vorlesung $& 239—240, spruch herleiten. Wir können gemäss I) um %, eine Strecke von der Grösse 2 1/ @) abgrenzen © (x1 a @;;U A xä=x2+lfg‘;2)l[)’ also auch so dass f(x,) und f(x;) das Vorzeichen von f(x) besitzen, und Sgn f(xo)f(x1) a CN wird. Da dieselben Zeichencombinationen für jedes x’ innerhalb (x, - %g) gelten, und da f(x;) und f (x,) das entgegengesetzte Zeichen von f(@x,) besitzen, so folgt von selbst, dass (%,,---%) ganz inner- halb (x),::-x,) liegt, oder dass Wy < Lı < Dg < W3 <Dr wird. ‚Jetzt setzen wir der Kürze wegen &ı T B K e und können dann nach IM) in (x --- x,) noch ein Intervall von der Grösse 1 2 und In ( - %,) ein solches von der Grösse b- grenzen, so dass für jedes &, innerhalb des ersten und jedes &, inner- halb des zweiten GEl (8) |F(&) 1< Z D bei jedem noch so grossen ” wird. Setzen wir diese Werthe &, und E& für x und (x + o) in (6°) ein, so giebt dies zunächst, der Formel (6*) entsprechend, > d ‘ f(%1) ‘ + ' f(gg3 i ;](ä) | S(S D el Ol ( — S Z ( D w @- )< 3 ist, so folgt daraus weiter unter Berücksichtigung von (7) und (8) 1 El al @ ( En r + b DE 7 ) A CZ} En AD MO ) Bei constanter rechter Seite kann man 7 beliebig gross werden lassen; das führt auf einen Widerspruch, der dann also zeigt, dass inner- halb einer Strecke, deren Ausdehnung < ist, und für die f(x) am Anfang und am Ende dasselbe Zeichen bewahrt, eine Zeichenänderung überhaupt nicht vorkommen kann. Falls f(x) am Anfang und am Ende einer Strecke (z,, X3), deren Aus- Trennung der Wurzeln, Rationale Wurzeln, 277 dehnung < ; ist, verschiedene Vorzeichen besitzt, dann giebt es keine Zwischenwerthe x, > x%, und %, > X,, SO dass sgn f (x%) = — sgn f (x,) = + sgn f (x%) = — sgn f (x;) wäre; denn wegen sgn f(x,) = sgn f (x2) würde die Existenz eines %, nach dem eben angeführten Satze unmöglich sein. Damit ist gezeigt, dass innerhalb einer Strecke, deren Ausdehnung S% ist, höchstens eine Zeichenänderung von f(z) stattfinden kann Hiernach braucht man, wenn wir nach diesen principiellen KEr- örterungen wieder von Wurzeln reden, das Intervall (— , aaı O) nur in Intervyalle von der Grösse — zu zerlegen, um durch die Betrachtung der Vorzeichen von f(x) in den Endpunkten die Ent- scheidung über die Anzahl der reellen Wurzeln von f(x)= 0 und über iıhre Lage herbeizuführen. Ja, der Satz III) zeigt ferner, dass man um jede Wurzel herum ein Intervall abgrenzen kann, in dem nur ein Vorzeichenwechsel stattfindet, und in dem der absolute Werth von f(x) beständig unter einer beliebıig klein gewählten Grenze bleibt. $ 240. Es kann vorkommen, dass bei den besprochenen Opera- Dies tionen eine Wurzel in den Grenzpunkt zweier Intervalle fällt. tritt aber, wenn für die obere Grenze der Wurzeln, wie dies ja übrigens gar nicht anders möglich ist, eine rationale Grösse genommen und das dadurch erlangte Gebiet in gleiche Theile zerlegt wird, nur dann ein, wenn die Gleichung mit ganzzahligen Coefficienten (9) NO ET A e =0 rationale Wurzeln besitzt. Es ist deshalb von Interesse, diese, wenn es durch eine expedite Methode thunlich ist, von vorn herein auszu- sondern; auch schon deshalb, weil dadurch der Grad der Gleichung erniedrigt wird, ohne dass die Coefficienten complicirtere Gestalt an- nehmen. Theoretisch haben wir diese Aufgabe früher dadurch gelöst, dass wir f(z) in seine irreductiblen Factoren zerlegten. Denn stets dann und nur dann, wenn ein irreductibler Factor vom ersten Grade auftritt, kommt eine rationale Wurzel vor. Im vorliegenden einfacheren Falle kann man jedoch eine Reihe von Vereinfachungen der Rechnung anbringen, die wir besprechen wollen. Vor Allem lässt es sich so einrichten, dass man bei der Zerlegung sein Augenmerk überhaupt nur auf die Herstellung etwa vorhandener linearer Factoren richtet. Newton zeigt in der „Arithmetica universalis“, wie dies am ein- fachsten geschehen kann. Im $ 50 verfuhren wir zum Zwecke der Zerlegung in irreductible Factoren so, dass wir eine Reihe ganzzahliger 278 Kinundzwanzigste Vorlesung 8& 240—241. Arsumente: , 2 2 in f(z) eintrugen, jedes f(z;) in alle seine positiy und negatiy genommenen Factoren zerlegten d;, d;, di, und aus diesen d eine Tabelle bildeten. Hier nehmen wir für die Argumente n S eine arithmetische Reihe erster Ordnung, am einfachsten die Folge der ganzen Zahlen, 2;*1) 07+1;+2;" Hat f(z) einen Factor ay? + a, mit ganzzahligen Coefficienten, so liefert dieser für die gewählte Argumentreihe eine Werthfolge, welche als arith- metische Reihe erster Ordnung auftritt. Wir combiniren daher alle d(©, d und sehen zu, ob Werthe d%, d@, ... bestehen, die mit den beiden erstgewählten eine arithmetische Reihe erster Ordnung bilden. Ist dies der Fall, dann nehmen wir für a, das zum Argumente 0 gehörige d und für ay eine beliebige der Differenzen ( — m X Die so hervortretenden ayz -{- a, sind die einzigen, welche überhaupt als lineare Divisoren von f(z) in Frage kommen können. Man sieht leicht, dass die gegebene Methode sich auf die Theiler höherer Grade ausdehnen lässt; das findet sich auch bereits bei Newton durchgeführt. $ 241. Gesetzt (9) hätte die Wurzel z, = , wobei y und qg ganze Zahlen ohne gemeinsamen Theiler sind, dann muss a D werden, und da alle Glieder mit Ausnahme des ersten den Factor q enthalten, » aber zu q relativ prim ist, so muss c durch g theilbar sein. Ebenso zeigt sich, dass. c„ ein. Vielfaches von p ist. . Durch Zerlegung von c und c„, in ihre sämmtlichen Faetoren, wobei auch die Vorzeichen + zu berücksichtigen sind, erhält man dann alle über- haupt in Frage kommenden rationalen Werthe, mit denen somit die Probe zu machen wäre. Aus dem Abgeleiteten folgt sofort, dass eine Gleichung mit ganz- zahligen Coefficienten, unter denen © = 1 ist, ausser ganzzahligen, keine: rationalen Wurzeln haben kann. Auf diesen besonderen Fall © =1 kann man den allgemeinen Fall (9) leicht zuriickführen‚ indem Man £ = 0 setzt und darauf mit c*—! multiplicirt. Wär wollen also yon vom herein c = 1 voraussetzen. Dann kommen nur ganzzahlige Wurzeln in Frage. Um 2=% zu prüfen, müsste marn in (1) diese Substitution machen. Bei einigermassen grossem % ist diese Rechnung recht unbequem., Newton hat gezeigt, wie man sie durch eine be- quemere ersetzen kann, die zugleich den Vortheil in siıch trägt, falls Z = p wirklich eine Wurzel-ist, sofort den Quotienten f(£): (£ — p) zu liefern. Trennung . der Wurzeln Rationale Wurzeln 279 Ist f(z) durch (z -— p) theilbar, und setzt man a = (g — p) (g d y F dası), so liefert die Vergleichung der Coefficienten OE D O = d,p, 68_d ""d2p‚ 1=d H dn——2p; Cp FA dn—lp und also C dn—l SG n n—1 n—1 Z dn—3 Ü7 n a n—2 (10) ’ dn—2 A dr Oa dı = 7 = d —D v Die in den ersten (n —-1) Gleichungen vorkommenden Divisionen müssen also ganzzahlige Quotienten ergeben Erfüllt dann _ der Werth von d, die letzte Gleichung, so ıst y eine Wurzel, und die d sind die Coefficienten von f(z):(z — go). Die Prüfungsmethode ist hiernach einfach zu übersehen Von der im Allgemeinen ziemlich grossen Zahl von Divisoren der Coefficienten c„, lassen sich manche ohne besonders umständliche Prüfung beseitigen Ist nämlich f(z)_durch (z — p), so ist f(-+ 1) durch (p + 1) theilbar; und da f(+1) durch einfache Addition der so hat positiv oder negativ genommenen Coefficienten erhalten wird man nur eine bequeme Rechnung auszuführen Unter .den. Theilern von f(0) können hiernach sofort diejenigen. getilgt werden, welche um 1 vermehrt oder vermindert nicht Theiler von (—1) oder f(+ 1) sind Eine weitere Vereinfachung ergiebt sich dadurch, dass man alle Werthe beseitigt, welche die nach Vorlesung 16 gefundenen Grenzen für die reellen VVurzeln überschreıten. Wir wollen das von Serret gewählte Bmsp1el f= 2# — 342 + 292 + 2122 — 800 =0 behandeln Schreibt man das Polynom in der Form f(e) = # (# — 34) + 292 + (2122 — 300), so erkennt, man, dass keine positive Wurzel gleich 6 oder grösser als 6 sein kann und schreibt man f(—2)= — #(# — 342 — 29) (2122 + 300), so erkennt man, dass keine negative Wurzel gleich —7 oder kleiner als — 7 sein kann. Von den Theilern von 300 bleiben also nur zurück EB E E S 4, —5, —6 Da f(+1)= —Q, f(—1) = 450 ist, so sind +1 keine Wurzeln 280 Einundzwanzigste Vorlesung & 241—242, Zweiundzwanzigste Vorlesung 8 243. Da f (+-1) darch (4 z 1) (—Bie- 1), ( 1 (1 (61) und f(—1) durch (3 + 1) nicht theilbar ist; so fallen auch 4, 3, —2, —4, —5, —6, weg und es bleiben nur 6E zur Prüfung übrig. Die erste Zahl liefert nach (10) behandelt —300 d AB ET 60 ds = 60212 \ 5 ‚} d; ist keine ganze Zahl, und daher kann 5 keine Wurzel der Gleichung sein. Die Zahl 2 liefert da W — 300 = 150 150 — 212 Al —2 2 y dı = — = 281 d —0 7 d| H 8084 2 2 ’ a=0=2—2, folglich ist (# — 2) ein Faetor von f(z) und der Quotient lautet fi(e) = # + 22° — 302? — 312 + 150. Hier kann f} = 0 auch nur wieder an rationalen Wurzeln 2 oder —3 y besitzen. Die Annahme 2 liefert 150 — —_- dı = — BD > , ds o a7{=—222+30=4 ’ U=2 4, folglich ist (z — 2) ein Doppelfactor von f(z), und der Quotient lautet O = AD L Aus dem letzten Coefficienten sieht man, dass höchstens noch —3 eine Wurzel sein kann. Die Prüfung ergiebt —75 di=— = — 25; di - n —25+22 _ — Z 3 —38 also ist schliesslich f(@)=(@— 2 @ +3)(@#+z—2), und der letzte Factor hat dann offenbar keine rationale Wurzel mehr. $ 242. Wir wollen noch folgenden, hierher gehörigen Satz ab- leiten: Wenn c,, c und eine der beiden Grössen OE D bei einer Gleichung von der allgemeinen Form (9) ungerade sind, dann hat f(2z)= 0 keine rationalen Wurzeln. Wenn nämlich (z— z ) eın Hactor von /(2) ıst, dann wırd q'f(z) : (q2# — p) eine ganzzahlige Funetion; wir setzen d® RT =_q(‚%‘)‚ Die Newton’sche und die Bernoulli’sche Näherungsmethode., 281 und dann wird jeder Quotient d'f(0) E für jedes ganzzahlige « eine ganze Zahl werden. Ist nun irgend eine Primzahl gegeben, die q theilt, so kann sie nicht (q« — p) theilen; folglich haben q und (qx — p) keinen gemeinsamen Theiler, und daher muss f(«) bereits durch (q« — ) theilbar sein. Setzen wir Jetzt &«=0, 1, —1 so zeigt es sich, dass die drei gebrochenen Formen C n f () RN HG D ’ d —D° @D ganze Zahlen liefern. Wendet man dieselben Schlüsse auf die Funetion C) C E LT A an, die den Theiler (pz — g) hat, und für die f(1) = @(1), F(— 1) = + gy(—1) ist, so zeigt es sich, dass auch % HO E L g ’ Q q+2 ganz sind. Der Voraussetzung nach sind cy und c„, ungerade; also sind n und q ungerade, während (p + gq) und (n — q) gerade sind. Wenn folglich eine der Grössen f(1), f(—1) ungerade ist, tritt ein Widerspruch zu Tage. Aehnliche Schlüsse kann man in Menge machen. SInd z Ba 0, nicht durch 3 theilbar, dann haben p und q die Formen p=3m+1, 0 = 3E 1 und eine der beiden Grössen (p+4q) oder (p—q) wird durch 3 theilbar. Ist folglich keiner der Werthe f(1), f(—1) durch 3 theil- bar, so hat f(z) = 0 keine rationale Wurzel*). Zweiundzwanzigste Vorlesung. Die Newton’sche und die Bernoulli’sche Näherungsmethode, $ 243. Durch jede Methode, durch welche die reellen Wurzeln einer algebraischen Gleichung getrennt werden, ist zugleich die Mög- lichkeit der Berechnung einer isolirten reellen Wurzel mit beliebiger Genauigkeit gegeben. Denn wenn zwischen den Grenzen %, und f{_(?j;l)jmr eine einzige Wurzel & liegt, und man theilt (x,,:.. Xj) *) Vgl. E. Mathieu: Th6oreömes sur les racines commensurables; Nourv. Ann. XVI; 1857. 282 Zweiundzwanzigste Vorlesung 8& 243—245, auf willkürliche Weise in Theile ein, so kann man durch die Berechnung des‘ Vorzerchens /der Kuneton Gn den emzelnen Theilpunkten ein kleineres Theilintervall (x,,-.. X,) bestimmen, in welchem & gelegen übergehen und die Werthe ist. Von diesem aus kann man in gleicher Weise zu einem (a W X3) K A A Z D dabei beliebig verkleinern. Nimmt man dann statt & der Reihe nach ’ 11+;(X1_‘141>=“;“(3“1+X1)7 %(xz+Xz); ’;‘(x3+Xs); D so beträgt der Fehler jedesmal sicher nicht mehr als die Hälfte der Ausdehnung des Intervalles, welches zu Grunde gelegt wird. Man könnte ja von vorn herein die Grösse der Intervalle so klein machen, dass man direct die geforderte Genauigkeit erhielte, dies würde aber viele unnütze Zeichenberechnungen fordern, so dass eine fortgesetzte Theilung, z. B. eine beständige Halbirung vorzuziehen ist. Trotzdem bleibt diese einfache Methode’recht umständlich, da eine Fülle überflüssiger Rechnungen nicht zu umgehen ist, und es ge- staltet sich daher bequemer, zu anderen Näherungsmethoden zu greifen. Unter diesen steht die sogenannte Newton’sche*) an erster Stelle. Sie ist in ihrer ursprünglichen Form trotz aller später angebrachten F einheiten die förderndste. Wir wollen sie auseinandersetzen. $ 244, Nachdem für die reelle, einfache Wurzel & eine obere Grenze X; und eine untere x, gefunden ist (x, <&< X,), derart dass & die einzige Wurzel von f(z) = 0 zwischen x, und X, ist, setzen wir B R (Sgn %ı z A 15 sn H— U, wo dann A, und H, die bei- den Annahmen %, und X, für die Wurzel begangenen Fehler bedeuten. Dann liefert $ 193 PE =0= f& + A)= f @) + A (& + For) ©O< 1) f(g)=O=f(XI+III>=f(Xl)+'Hlf,(Xl+@fll) (0<0<1), und demnach wird (1) A == — — e f (z,) 1 e f(X) @ )) A O Versteht man nun unter M, den grössten Werth, welchen |f‘(z)| in (x, - X,) annehmen kann, so ist M, von Null verschieden; denn sonst wäre ım ganzen Intervalle beständig f‘(x)= 0, und also f(x) eine Constante. Nun setzen wir R RLA SA O *) Brief an Oldenburg v. 13. Juni 1676; ferner dargelegt in der Analysis und ijm Methodus fluxionum, per aequationes numero terminorum infinitas Uebrigens hatte schon Vi-efita eine ganz ähnliche Methode angegeben. Die Newton’sche' und die Bernoulli’sche Näherungsmethode. 283 f K S EL AL Aı — M, @1 E M, Ql} dann ist A{ positiv, und |h;.|<| , |; und ebenso ist H, negativ, und | Hy |<MH,. Folglich werden ; und H; Näherungswerthe für h, und H,, und es gilt für sıe x1<xl+hll<g<Xl+Hl/<xly d. h. wir haben ein engeres Intervall (x, + hi, - X, + Hi) erhalten, Wenden wir die- in welchem wiederum & als einzige Wurzel liegt. selbe Methode auf dieses neue Intervall an, u.s. f., dann wird die Wurzel & in immer engere Grenzen eingeschlossen. So sollen die Reihen entstehen %> = 7 A E LF (x,) X = X + Hi; Hi= — 1AX)| M, Z M, 7 L ) W = + >l X3 =X2+Hé5 Hı = — M 2 D (3) | (& )| 'f @®) ‘ anı = p E M X XE E HE M ’ % X‚—xl>X2—x2>Xä—x_r‚>X'/—x/>X/+1—T;'+1> Es erscheint von vorn herein nicht ausgeschlossen, dass die Grenze der Werthe %,, %, Xuy Yy+A1) nıcht miıt der Wurzel & zusammen- Dann fällt, sondern dass sie ein vor & gelegener Werth &, wird. hätte man | F(@,)| lım UBn dni EO, lim 4, = lim =0 2= %0 K %= @ Da aber M, nicht über die endliche Grösse M, hinaus wachsen kann, so müsste hierbei lim | f(x,) | = 0 werden, und deshalb würde” &, gegen die Annahme eiıne Wurzel sein. Gleiches gilt für die Reihe X17 X27 S Xx; Xz+l; :5 damit ıst bewiesen, dass unser Intervall ( E-... X,) bei wachsendem x beliebig klein wird. $ 245. Nehmen wir an, dass gleich das erste Intervall so eng sei, dass f (x) in ihm an keiner Stelle verschwindet, dann können wir auch über die Werthefolge {(x,), f(x); - eine Anschauung gewinnen. Im allgemeinen Falle .ist es möglich, dass x, genauer als x, aber |f(x) |> | F(@,).| wird; hier dagegen nicht. Denn es wird Z TE sgn f (4) f@) > f(@, +h)=f@) [ + M, 1 ©& f ( + 9'Mi)}, und wenn also im allgemeinen Falle (4*) sgn [A@ı) r @, + O'h)]= + 1 284 Zweiundzwanzigste Vorlesung 8& 245—246. wäre, erhielte man |f(z;) | > | F(@,) |. Das ist jetzt ausgeschlossen, weil bei positivem f(x,) auf der ganzen S trecke (x, --. E) die Function abnehmen, also f’(x) negativ werden muss erfüllt sein kann; , und deshalb (4°) nicht bei negativem f(x) wird dagegen auf der ganzen Strecke die Funetion wachsen, f”(x) positiv werden, und infolge dessen kann auch in diesem Falle (4*) nicht gelten. Die Klammer rechts in (4) ist jetzt ein echter Bruch, für den wir eine obere Grenze angeben können. Es sei m, das Minimum von |f'(x) | innerhalb des Intervalles; dies ist nach der Annahme von Null verschieden; m, hbleibt, sobald f(g) von höherem als dem ersten Grade ist, kleiner als M,. Dann giebt die Gleichung (4), wenn wir etwa f(x,) als positiv voraussetzen, und ebenso weiter O Es ist aber m, > m,, M, < M,, so dass wir um so mehr setzen können IM n m, FD M, M Y . Ca /;(x;) ( 5 mM, )z Ebenso hat man, da f(X,) negativ sein muss, weiıl f(x,) positiv war, Z- M, f(Karı) Z X (1 — z ? E N NIl )z Da mit wachsendem x die Potenz sich unbegrenzt der Null nähert, so liefern die letzten Ungleichungen wieder den Beweis der Convergenz der Näherungsreihen an &, und sie geben zugleich eine Bestimmung a priori für die Genauigkeit der Näherung. Fassen wir die Resultate dieses und des vorhergehenden Para- graphen zusammen, Sso können wir sagen: Die Reihen. der Näherungswerthe Xı) Xa x37 y Yu+1) (xa +1 Z xa)' Xl7 X27 X37 A XO (Xa+l < Xa) Die Differenzen convergiren zur Wurzel &. (5) XR X Xa i Ärz_"Tm XX+1—‘25‘”+17 f deren Grösse ein Mass für die Genauigkeit der Näherungs- werthe giebt, convergiren zur Null. Die Werthe B Ka F Zı Lär‚l ’ Äe,ä;“e 7 D Y 2 D Die Newton’sche und die Bernoulli’sche Näherungsmethode. 285 sind von & um weniger als die Hälfte der entsprechenden Grösse aus (5) entfernt. Verschwindet f (x) nıcht im Inter- valle (x, - X,), dann ist, wenn wır 'f(x,) als positiy und f(X,) als negativ voraussetzen, A M, ] CN UE C H M, )z Wir müssen jetzt noch eın Mittel zur bequemen Bestimmung einer oberen Grenze für jedes M in (3) angeben. Wir wollen zunächst annehmen, x, und X, seien beide positiv. Dann fassen wir in dem Ausdrucke von f”(x) alle Glieder mit positiven Coefficienten zu einem Polynome g(x), alle mit negatiyen Coefficienten zu einem Polynome h(x) zusammen, so dass f'(@) = g (@€) — h(&x) wird; g und % haben positive Coeffieienten. Dann giebt G) — 0(@) einen oberen Werth für M, und so können wir statt (3) schreiben ! y SC n g(X,) — R (@) Xo= 1 g (X1) A h—(?1)’ (7) %3 = %> I ZEESEA/AE A EMETNNOENT L7(X) | ;Ü(X2) a (xz) g(X, . . . . n 2 h.('”2?, Weil die Nenner der zweiten Zeile nicht grösser sind, als die der ersten u. s. w., so gelten unsere früheren Schlüsse über die Convergenz ungeändert auch hier. Die Aenderungen, welche vorgenommen werden müssen, wenn beide Werthe x, und X, oder nur der erste negatıy werden, sind jetzt leicht ersichtlich. $ 246. Wir haben im $ 245 die Voraussetzung gemacht, dass innerhalb (x,, ... X,) die Funetion f (x) nicht verschwinde. Durch eine weitere Voraussetzung können wir die Formeln (7) noch mehr vereinfachen. Haben f(x) und f”(x) einen gemeinsamen Theiler, so kann dieser auf dem gewöhnlichen Wege entfernt werden. Dann darf f (&) nicht verschwinden, und wir wollen die Annäherung schon so weit getrieben denken, dass zwischen x, und X, keine Wurzel von f”(@x) = 0 liegt, dass also f (z) innerhalb (z,, - X,) sein Zeichen nicht ändert. Infolge dessen wird f'(%) in dem gleichen Intervalle entweder stets wachsen oder stets abnehmen, und das Maximum seines absoluten Betrages wird daher mit einem der Werthe | F' (@x,) | oder f (X)| und zwar mit dem grösseren von beiden zusammenfallen. Die Wahl dieses Werthes hatıvor der am Schlusse des vorigen G » 86 Zweiundzwanzigste Vorlesung &$ 246 —248 Paragraphen angegebenen einer oberen Grenze natürlich den Vorzug. Tritt das Maximum etwa an der unteren Grenze %, auf, so können wir setzen f(x,) / (X,) X — L, f (@x,) X f (x1)’ (8) X3 X3 — (‚’L”2) \X3 X__ F (X,) f(x) | f (@)? Denn da f’(x) bei unverändertem Zeichen ununterbrochen wächst oder abnimmt, so ist auch |f’(x;)| das Maximum für (x XG)5 wnl da bei positivem (negativem) f(xz,) die Ableitung f (x) beständig negativ (positiv) ist, und f(X,) negativ (positiv) wird, so sind auch die Zeichen auf den rechten Seiten von (8) richtig bestimmt, indem 1'(@z) 26 negatıy sein wird G 5 positiv und — f (x7) 8 247 Wie man sieht, stellt sich in (8) die Reihe der Correc- turen für die wachsende Reihe der Näherungen %,, %, %3, „ nämlich EB A (z1) (z) (x3) f (&, f (x2)? f (@3)? besonders einfach dar Wir machen darauf aufmerksam, dass dies immer nur an demjenigen Endpunkte der Strecke (x, X,) eintritt für welchen sgn (f(@) f (z)) =+1 In der. T’hat, ‚da ‚/ sein Zeichen ım Intervalle nicht ändert so gilt wird f entweder stets zunehmen oder stets abnehmen dabei aber nicht durch Null gehen denn das würde der Voraussetzung aus $ 245 widersprechen f” ist also in x, absolut am grössten wenn entweder f”(x,)>0, f(x) >0 ist, weil dabei f” negativ bleibt und zunimmt, oder wenn f”(x,)<0, f(x,) <O ist, weil dabei f’ positiv bleibt und abnimmt Die beiden anderen Fälle liefern das Maximum n OD Gleichzeitig erkennt man durch diese Ueberlegun dass die aufgestellte Zeichengleichung auch nur an einem der beiden Endpunkte x, oder X, erfüllt seim kann In der Form (8) hat Newton die nach ihm benannte Näherungsmethode aufgestellt $ 248. Häufig kann man sich auf die linke Spalte von (8) bei der Ausführung der Rechnung beschränken, wobei man aber freilich den. Vortheil aufgiebt durch die Grösse der Intervalle (X, x1): den Grad der Genauigkeit der erhaltenen Näherungs- (X A $2)‚ werthe zu taxiren Wir wollen zeigen, wie die hierbei nöthigen Die Newton’sche und die Bernoulli'sche Näherungsmethode. 287 Rechnungen am praktischsten durchgeführt, und Wiederholungen be- reits gemachter Operationen vermieden werden. Es reicht aus, dass wir das Vorgehen an einer Gleichung‘ vierten Grades erklären. In der Entwickelung von f(x + %l) nach Potenzen von h s f @) ( @) f@ +%) =f(@) +hf @ +L +n 1.2.3 1.2.3.4 setzen wir der Abkürzung wegen 5 f (@) = f @), 2! @Au @ Za zı ( (@) = f(@) und nehmen an, dass f(x) mit dem Gliede 1.x* beginnt. Dann ıst f(@ + R) = f(@) + hfı(@) + Wf(@) + W, (@) + WFı (fı(@z) = 1). Differentiirt man einmal, so entsteht fı@ + %) = f(@) 4 20f(@) + 3R f(@x) A 4Wf@); differentiirt man wiederum und dividirt durch 2, dann folgt f E h) = f(x) + 3hf3(X) A 6h2f4@)5 differentiirt man nochmals und dividirt durch 3, so erhält man f3(@ + A) = f3(@) + 4hf1(@). Diesen Formeln gemäss bildet man aus den bereits bekannten ala f(@%), fil@%), f(%x) der Reihe nach /,(@x + h), falx + h), fıl@ + h), fF(@ +h) auf folgende Art: In eine erste Spalte schreibt man I darunter h% und addiırt; darunter zum zweiten Male % und addirt zur eben erhaltenen Summe; darunter zum dritten Male % und addirt, und ebenso zum vierten Male. Die Schluss-Summe ist f(x + h). Eine zweite Spalte beginnt mit dem Werthe von fx. Darunter schreibt man das Product aus % und dem ersten Zwischenresultate (fs + *) der ersten Spalte und addirt; die Summe ist fa d s A : Darunter schreibt man das Product aus A und dem zweiten Zwischen- resultate (f; + 2%) der ersten Spalte und addirt; die Summe ist e e Darunter schreibt man das Product aus A und dem dritten Zwischenresultate (£; + 3h) der ersten Spalte und addırt; die Summe ist f> + 3A26 + 60 = fı(x + D). Kine dritte Spalte beginnt mit dem Werthe von fi: Darunter schreibt man das Product aus % und dem ersten Zwischenresultate f2 + hfzs + )” der zweiten Spalte und addirt; die Summe ist f} +Ahf, + f + IB Darunter- u. s. w., u. s. W. 288 Zweiundzwanzigste Vorlesung $ 248—250. KEs entsteht also folgende Tabelle: _/ I 73 | n | f +E* [FA [E FA E ERAER) Ye a an a AF RR An ar A O + h + h(fs + 2%) +L 2hf +30) =f@+1) fı + 2h{f + 2hfs + 3BW +2hf + 3Wf, + 4R — f (@ +R) + h + h(fs + 3R) f + 34{6 +8hf, + 6R = f@+1) +h E die erste Die Schlussresultate der einzelnen Spalten geben uns Zeile für eine neue Tabelle, durch welche nach der Division fF(@ + h) : f_(@x + h4) und dadurch erlangtem neuen Werthe der Cor rectur eine zweite Verbesserung angebracht wird. $ 249, Wir wollen auch an dem Zahlenbeispiele f(@x)= a + — 3y — 4=0 Es ıst die Durchführung der Rechnung zeigen. fi(x) = 4x* + 3x* — 6x — 1, O6 O CD Da f(1)= —6, f(2)= +6 ist, so liegt eine Wurzel zwischen 1 unde 27 Weder f'(zx)= 0, noch f”(x)= 0 haben zwischen diesen beiden Grenzen eine Wurzel. Wir wählen zum Ausgangspunkte der Methode x, =2, weil f(2)-f”(2) positiv ist. Dann wird @ — CO A @ 6 h= 202 . =2=-02=18 ._31‚—_.- 27 öl 6 Z 02 A 8,8 25,24 25,952| + 0,8096 202 Z A 8,6 23,52 21,248 0,8096 Z 04 2092 2468 — 31,248 21,84 UG 8,4 202 8,2 Die Newton’sche und die Bernoulli’sche Näherungsmethode 289 8,2 21,84 21,248 0,8096 — 0,04 | — 0,3264 0,860544| — 0,81549824 8,16 21,5136 | 20,387456| — 0,00589824 — 0,04 | — 0,3248 | — 0,847552 8,12 21,1888 | 19,539904 0,00589824: N — 0,04 | — 0,3232 19,539904' — 0,000802 8,08 20,8656 %, = 1,76 + 0,000302 = 1,760302. — O04 8,04 | $ 250. Die Benutzung einer unteren und einer oberen Grenze x, und X, für die Wurzel & bietet ausser dem Vortheile, eine Orientirung über das Mass der Annäherung zu geben, noch den, übermässig weit getriebene Berechnungen von x, und X, zu vermeiden, da man nur je eine Decimalstelle über die übereinstimmenden Stellen hinaus zu gehen braucht. Arbeitet man hingegen, wie dies in den letzten Para- graphen geschah, nur mit einer Serie von Näherungswerthen, %,, x;, W, , dann bleibt man im Zweifel, wie weit die Berechnungen der Üorrecturen A fortgesetzt werden sollen, um weder erreichbare Ge- zuführen. nauigkeit bei Seite zu lassen, noch überflüssige Rechnungen durch- Es ist also womöglich hierüber ein Kennzeichen abzuleiten. Man kann nach $ 194 (9) OO schreiben Der Werth von A, ist durch die Newton’sche Gleichung (9*) f (&,) + Mf ' (x,) =0 bestimmt. Wir wollen annehmen, es sei der wirkliche Fehler N n ( 10 )a+ L n (1 <% <10), d. h. die Darstellung von A, in einem Decimalbruche beginne mit 0,00 ..., wo auf das Komma noch @« Nullen folgen. Aus (9) und (9?) ergie}at sich (& 4 9l) S LO (9”) SA 2f' (@,) ’ das ist die Grösse des Fehlers, den wir begehen, wenn wir statt der wirklichen Correctur %, den durch (9*) bestimmten Näherungswerth nehmen. Wäre der Werth des Bruches auf der rechten Seite von (©2) gleich 1, dann würde dieser Fehler = h,” sein, und seine Darstellung als Decimalbruch würde erst in der 2w' Stelle nach dem Komma Netto, Algebra, I, 19 290 Zweiundzwanzigste Vorlesung $ 250—252, eine von Null verschiedene Ziffer aufweisen. Es wäre also nicht praktisch, bei der Berechnung von h; über diese 2a Stelle hinaus- zugehen. tritt nun freilich rechts 16 - (©2) noch als Faector f (@, + O2,): 2f(@w,) hinzu: für den wır ın genügender Annäherung f (@x.) : 2f'(x,) setzen können. Dieser verschiebt die Verhältnisse nicht wesentlich. Ist sein Werth 10%.x%, wo x zwischen 1 und 10 liegt, so macht sich der Fehler in der (2x — ß} Stelle geltend, und bei ihr kann die Division, welche auf ; führt, füglich abgebrochen werden. Ist ß positiv, so muss man früher aufhören, ist ß negatıv, dann kann man über die (2@)'® Stelle hinausgehen. Bei unseren Darlegungen ist h, als bekannt benutzt; um diese Annahme auszuschalten, reicht es aus, h, selbst an die Stelle von h, zu setzen. Daraus entnimmt man dann die Regel: Beginnt die Division f(x,): f (x,) mit « Nullen, so setzt man die Rechnung bis zur 2a% Decimalstelle fort, um h; den vortheilhaftesten Werth zu ertheilen. $ 251. Wir beschäftigen uns weiter mit einer in ihren Grund- zügen von Daniel Bernoulli angegebenen, von Lagrange und Kuler weiter ausgebildeten, und besonders von Fourier erweiterten Methode*). Diese beruht darauf, dass die Potenzen grösserer Zahlen die gleichhohen Potenzen niederer Zahlen um so mehr übertreffen, je höher die Ordnung der Potenz ist. Wenn nun wie gewöhnlich f(z) als von vielfachen Wurzeln befreit vorausgesetzt wird, dann ordnen wir die Wurzeln nach der absteigenden Grösse ihrer absoluten Be- träge, %1, %, %, %, ‚und es sei zumächst |2, | > |% |; Jetzt ıst sicher 2, eine reelle Wurzel, da conjugirt complexe Werthe gleiche absolute Beträge besitzen. In der Gleichung (10) A a haben alle auf die 1 in der Klammer folgenden Summanden absolute Beträge, die kleiner als 1 sind und sich mit wachsendem % der Null beliebig nähern. KEs ist folglich auch der Quotient s; : z* eine Grösse, die sich mıt wachsendem %/ der Einheit beliebig nähert. Hieraus kann man auf verschiedene Arten eine Näherungsmethode gründen, welche zu derjenigen Wurzel von f(z)= 0 führt, die den höchsten absoluten Betrag unter den 2 aufweist. Am nächsten liegt A An NRS *) D. Bernoulli, Comment. Petrop. III. Lagrange, Kuvres t, 8. S. 168 Euler, Introduct. in anal. inf. I, Cap. 17 und Anleitung z. Algebra. T. II 8 231 Petersburg 1771. Fourier, Analyse des Equations determinges. S 688 Vl Fr. Cohn, Ueber die in recurrirender Weise gebildeten Grössen u.s. w. Math Ann, ‚44. S. 473. y Die Newton’sche und die Bernoulli’'sche Näherungsmethode 4 D Onl die Reihe der Vs; bei wachsendem %/ als Reihe der Näherungs- werthe zu nehmen Ebenso können wir aber auch die Reihe der Quotienten S/4 1: $x benutzen Beide Methoden sollen in den folgenden Paragraphen durchgeführt werden Zunächst jedoch wollen wir einige Ueberlegungen hinsichtlich der Art der Annäherung anstellen Wegen der Anordnung der %,, %, %, hat man D (0 Z Z 7’;_>?’1+1)‚ + aA+ + (1r [ A0 ] + r'°[ kco„]) Als symmetrische Funetion der Wurzeln ist s/ reell und da Z es auch ist, so folgt (11) s = %(1 + wn — 1)r (—1<'Fk<l) Ist £& schon einigermassen gross, dann können wir setzen (11*) Vsı= 2 (1—|— Ö%; ) und SS L+1 0 —A0 + 0n —1)r) G o Man erkennt daraus dass wirklich in beiden Fällen die linken Seiten zur Annäherung an z, benutzt werden können, und dass die Genauigkeit eıne um so grössere ist, Je kleiner 7, = |% |:|z, | wird $ 252 Wir gehen jetzt auf (11®) näher ein und wollen zu- nächst dabei den einfachsten Fall behandeln, nämlich den, dass ‘51{>152'>‘231> S %| ist; dabei sind dann die Wurzeln der vorgelegten Gleichung (12) ()= L —673 La =0 reell. Sind wir im Besitze der Werthe von s,, Say Sk—1) Sk SO hat es natürlich keinen Zweck, ausser s auch die s mit niedrigerem Index zur Berechnung von z, zu verwenden; man wird also sogleich ]/s; nehmen, Es kommt folglich darauf an, möglichst schnell zu einem s; mit hinlänglich hohen Index zu gelangen. Dazu benutzen wir am besten die in $ 111 abgeleitete Methode, welche uns gestattet, aus (12) eine Gleichung mit den Wurzeln Z Z herzustellen Wir bilden nämlich das Produet f(z) - f(— 2); d1es enthält nur gerade Potenzen von Z; wir führen in diesen Ausdruck statt z? eine neue Unbestimmte ein, welche wir wieder mit 2 bezeichnen, und erhalten so das Polynom der gewünschten Gleichung mit den VVuueln Z Sn Wir schreiben diese Gleichung 19% 292 Zweiundzwanzigste Vorlesung $ 252- 254. — c(12)zn—-—l AL cg2)zn—2__c%2)zn—s + ... _|__ Cg2) Z Hieraus bilden wir auf dem gleichen Wege die Gleichung F A c(14)2n—1 + c(24)zn——2 __cgi)zn—3 _|_ AD i c£l4) —0 mit den Wurzeln 24, z 27 z* und allgemein (18) V cga)zn—l + cga)zn—2_ Cga)z7z—3 + Z i c£:z) —0 mit den Wurzeln £%, C 2“, wobei wir unter « eine Potenz von 2 zu verstehen haben. In (13) bedeutet C a a .-—Sa‚ e = (2,%)* + (@,4)* + , O aa so dass man Sg auf verhältnissmässig bequeme Weise bekommt. Das abgeleitete System liefert aber noch mehr. Bei hinlänglich grossem « wird jedesmal das erste Glied auf jeder der rechten Seiten den un- gefähren Werth der Gesammtsumme angeben, genau wie dies für Sx schon in $ 251 bewiesen ist. Man hat deshalb auf Grund der gleichen Ueberlegungen für wachsende « lim C® = & u mn A(Aı lim C® = (2,2,23)“, oder eigentlich nur z |=1imV®, |2,% | = lim Vc®, | %1223 | = lim it/c(;;); und folglich / @ (14) | z, | = lim Ve® )22=11m1a/%‚ \Al l} Z so dass also durch die Reihe der Coefficienten von (13) so- fort Näherungswerthe für sämmtliche Wurzeln von f(z)= 0 geliefert werden. Wir wollen die Rechnung an einem Beispiele durchführen. —42 —2+3=0 hat \dıe Wiurzeln Bı 2 Z g —182 4252 — 9=0 ” ” ” K g —27142 + 3012 —81 = 0 ” ” &2 Y g} — 744742 + 462132 — 6561=0 ‚,, ” 20 Z Nun iıst VAAATE 2 A062239 46213 — 0,942095 -.-, V 74474 */ 6561 V 46213 AT Die Newton’sche und die Bernoulli’sche Näherungsmethode, 293 Die wahren Werthe der Wurzeln sind ihrer absoluten Grösse nach geordnet Z — 40644364 .. ; 7, = — 089196520 .. ; 2 — 082752156 ... Der erste der drei Näherungswerthe ıst also schon hinreichend genau. Die beiden anderen sind deswegen minder: gut, weil die absoluten Werthe der Wurzeln sich nur wenig von einander unterscheiden. $ 253. Falls alle Wurzeln der vorgelegten Gleichung reell sind, bleibt, wie man leicht sieht, die angegebene Methode auch dann noch wirksam, wenn mehrere der Wurzeln einander gleich, oder wenn sie nur durch iıhr Vorzeichen von einander verschieden sind. Ist z B al= 42)=4|=4|>|4|> , dann wird für hinlänglich hohe x == 2“ mit beliebiger Annäherung C(1°‘) =.4lzl :a C(2a) = V\ C '2a‚ C —4] 2 E, cga) Z I Z I4o:} 0O z la © 2 C — | A 2R |“, gesetzt werden können, und also bleiben die Formeln (14) bestehen. Welches Vorzeichen dann schliesslich jedem einzelnen 2 der Z,, %, zu geben ist, das kann durch Substitution von z in f(gz) ermittelt werden; häufig, wıe z. B. beim vorigen Beispiele, reicht bereits die Betrachtung von cı = %4 4 2 + + Z aus. $ 254. Anders stellt es sich, wenn f(z)= 0 auch complexe Wurzeln besitzt. Wir wollen uns der Uebersichtlichkeit halber auf den einfachsten Fall beschränken, dass nur zwei complexe Wurzeln von gleichem, höchsten absoluten Werthe existiren 21=9[i29')}7 Z2=@[Z_q)]7 und dass 23 |<o wird. Man hat hierbei . (15) C = 20“ c0os ag + 24 + z + ’ Ba und es wird also zwar die Betrachtung von c@© keine Näherungswerthe liefern, wohl aber kann man die Reihe der 2(11/c(2°‘) bei wachsenden « als Näherungswerthe für den Modul o wählen. Als Beispiel möge dienen —32 + 52—2=0 Z9y Z37 mit S1en Wurzeln 2,, Ba 32 ” ” 219 2 83 @+ 252? + 1772 — 16 = 0 ” ” 215 83 8y 5 2 — 2712° + 321292 — 256 = 0 ” ” Z 5 3, %3 3 2 — 918382 + 103213388972 — 65536 —0 , ” ” 51 16) ‚2’216 „ 16 294 Zweiundzwanzigste Vorlesung $& 254-—255 Die letzte Gleichung giebt als Näherungswerth für 0 110321838889 = 1,912845 } der wahre Werth ist o = 1,91318893 . Hat man so einen Werth für o gefunden dann giebt die erste Gleichung von (15), auf das Anfangsglied rechts beschränkt, den ungefähren Werth von @ durch (@) e @) CoS d = l [64 20 2Vc(a) freilich nur bis auf Vielfache von So findet man beim obigen Beispiele 16g = 81°48’ + Qum, während ın W1rkhchke1t d — 5007/12” Wnl 160 = 8155 1Q d ıst Hinsichtlich der Bestimmung des noch unbekannten ganzzahligen Factors x sowie der weiteren bei dieser Methode auftretenden Ver- hältnisse verweisen wir auf die ausführliche Enke’sche Abhandlung „Allgemeine Auflösung der numerischen Gleichungen“*). Hier wollen wir noch erwähnen, dass wie die Wurzel von grösstem so auch die vom kleinsten absoluten Betrage berechnet werden kann Um dies durchzuführen, ist es nur nöthig, aus der vorgelegten Gleichung durch die Substitution D 2 —— E eine andere herzuleiten, deren Wurzeln die reciproken Wurzeln der gegebenen Gleichung sind. Nach 8 112 erhält man bei dieser Methode Gn n Cn—lgn_‚l + —0 DEn — c@) ‚+ _O, =0 En — c& e so dass in dem Falle in. welchem nur eine Wurzel z, = kleinsten 5 Moduls besteht. (“) Jz„|—hm]/ DD (@) gesetzt werden kann Im Beispiele dieses Paragraphen ergiebt sıch daher *) J. für M. Ba. 22, S, 193 295 Die Newton’sche und die Bernoulli'sche Näherungsmethode 65536 DE % 1032133889 — 0,546602 - . und der wahre Werth ist 0,54660235 ... 8 255. Wir gehen jetzt zur Behandlung der Formel k+1 (11”) .k‚ A0 0 E1 Z I über. Die Berechnung der S, S, Sp—1 muss nach den Formeln aus $ 91 oder 93 geschehen; die weiteren s findet man am ein- fachsten durch die Recursionsformel F G G + CS $ CnSa—n So ergiebt sich beı dem Beispiele aus $ 252 —42 —2 +}+3=0 der Reihe nach Y E s H= d E SE O, &— OO 8 — 10828 8 — A S3 e& Z — 4.,0645. KExistiren hingegen mehrere reelle Wurzeln von gleichem höchsten Modul, etwa x positive und 2 negative, ÜE E Z DD Zı | S | egn dann erkennt man sofort, dass Sar = (& + 2) | &ı [ A @AA %— 2 (16) lim Sakf2 __ H2 %— 4! C | 2 1 A A Sag 2% %+ lim Ba 241 D A ...=z;+l 2k il (x + 4) werden wird. Es besteht also zwar kein lim (Se+1 : S%), aber die ab- geleiteten Formeln geben dennoch die Möglichkeit, die Werthe von |2 2 x und A zu berechnen. Auch bei x = 12 bleibt lim CO E bestehen, dagegen fällt die Grenze für (Sax+1:Sa%_1) Weg. Wir nehmen jetzt als Wurzeln höchsten Moduls ein einziges Paar conjugirt complexer Werthe an a=0[ie) Z2=9[ SEL } setzen für die übrigen Z —_ le COra ‘_S w_„‚], Z w.) CZ 296 Zweiundzwanzigste Vorlesung 8 255—256. und erhalten für die Potenzsummen (17) s = 20* coskgp + (Zfi—l—-z*‚+ s 51;) = 20* coskgp + D (n — 2)rk ( Z< Z Hieraus erkennt man, dass sz+1: Sı keinen festen Grenzwerth haben kann, weil dies bei cos (& + 1) p : cos kg nicht eintritt; trotzdem ist man aber im Stande, aus den Werthen der sx sowohl © als @ z berechnen. Sind nämlich die Glieder der Zeichenreihe (18) Sgn Ccos @, sgn cos 2w, sgn cos 3, sgn cos ko, bekannt, dann kann man daraus mit beliebiger Genauigkeit den Werth des Winkels g ableiten. Wir haben @ zwischen 0 und 2x. Es mögen in (18) Serien von aufeinander folgenden positiven und negativen Gliedern vorkommen und zwar der Reihe nach v, Glieder > 0, v, Glieder < 0, vs Glieder > 0, ’ wobei v, auch gleich Null werden kann, während alle anderen v po- sitive ganze Zahlen sind. Da für jedes % die Gleichung cos k (2x — @) = coskg gilt, so bestimmt die Zeichenangabe für (18) den Winkel ® innerhalb des einfachen Kreises nicht unzweideutig, und wir können ® zwischen 0 und x gelegen denken. Nun ist P< < +1)o9, <m< E 2v 2(» +1 } D 3n (”1+”2)9’<%<("’1 Pa 1)‘P‚ 2(v a << 27 +%)? < (F7 4 7:)p< ä; <(v, 220g 1).‘P; ; 3( 28 und man erhält (2% — 1) x Z XM (19) ® — lim 1= AT 9 — ]im D 1rr Dem letzten Resultate können wir einen noch einfacheren Ausdruck geben, wenn wir bedenken, dass x die Anzahl der Zeichenwechsel an- zeigt, die in den ersten (v, + » + ::: + v„) Gliedern von (18) vor- kommen, und ferner, dass sich die Grenze nicht ändert, wenn wir den Nenner rechts durch irgend einen Werth ersetzen, der zwischen Ca n Cr Qa D ea Falls wir daher durch w die Anzahl der Zeichenwechsel angeben, welche in den ersten m” Gliedern von (18) vorkommen, so können wir W m (19°) @ oder (2x — g) = lım m M= ® schreiben. 297 Die Newton’sche und die Bernoulli’sche Näherungsmethode. Wenn deshalb in (17) die Zeichen der s; stets mit den Zeichen der entsprechenden. Glieder von (19) übereinstimmen würden, könnte man (19%®) zur Bestimmung des Winkels @ direct auf die Reihe @ SSS SeN S, San Sz, SeN S verwenden. Ist aber %. :0 = 24 2 nicht ‚besondexs klein/ 4 dann lässt sich über die Anfangsglieder von (18*) gar nichts aussagen. Trotzdem können wir nachweisen, dass (19%) in Gültigkeit bleibt.. Um = und um —21 grenzen wir zwei Winkelräume ab ( CN 2 g + a‘)) und (; —# ä; —A 13) von solcher Kleinheit, dass nicht zwei aufeinander folgende Vielfache «g und («x-+1)@ in einen und denselben dieser Räume fallen können. Ferner wählen wir / so gross, dass z @m—2) (: 0)*<|sind| wird, dann kann das Ergänzungsglied in (17) das Zeichen von sz nur dann gegen das Zeichen von 2 0o*coskq verändern, wenn (k&— 1) p und (k+1) @ ausserhalb und kg innerhalb eines der abgegrenzten Winkel- räume liegen. Dabei haben jedoch sz_1 und S41 verschiedene Vor- zeichen, und also kann der Zeichenwechsel in (18*) gegen den in (18) höchstens um eine Stelle verschoben sein. Dies ist aber bei der Ver- wendung von (19*) ebenso gleichgültig, wie der Umstand, dass in den Anfangsgliedern der Reihen (18) und (18*) eine endliche Zahl von Unterschieden vorkommen. Man kann daher aus (19°) mit Hülfe von (18*) den Winkel @ bestimmen, wenn w„ die Anzahl der Zeichenwechsel in S, &, s bedeutet. KExistiren mehrere Paare von complexen Wurzeln höchsten Moduls, oder auch nur ein Paar nebst anderen reellen Wurzeln gleichen Moduls, so gestalten sich die Verhältnisse zu complicirt, als dass wir hier darauf eingehen könnten. Schon in dem Falle Ür a 23=9[3‘p]; 54=9[Z_q)il; |25|<o, wobei die Potenzsumme Sı = 20° (1 4} coskop) (& wird, ist eine Einsicht in die Art der Näherung schwer zu erlangen. Zwar werden wir dabei im Allgemeinen sgn sı = + 1 erhalten; aber Skn k - kann zwischen 0 und © schwanken. $ 256. Bei derartigen verwickelten Verhältnissen ist es häufig vortheilhaft, eine Hülfsgleichung aufzustellen, deren Wurzeln angenähert die v Wurzeln der höchsten Moduln für die Gleichung A =0 yn 298 Zweiundzwanzigste Vorlesung $& 256—257. n‘° Grade sind. Jacobi hat, einer Andeutung Fourier’s folgend, in den „ÖObservatiunculae ad theoriam aequationum pertinentes“, Werke J1T, 280, die Bildung dieser Gleichung en (20) R S E angegeben. Wenn die Bedingung Z S ?%Ä>;%+1lä_[ßü+2l;>g-- erfüllt ist, dann hat man, abgesehen von Factoren, die man der Einheit beliebig nahe bringen kann, die Reihe der Gleichungen Sk an + +2, S und daraus ergiebt sich mit gleicher Annäherung Sk-+ v S aMr — ij/‚„5']; ==O‚ (21) 8'k+f+1. —7'18k.+v '+.72's;.-45„_.1 — i.7vt9k-l-'l E (‚)’ Sp+2y —17 YıSk-F2v—2 - YaSk+Fan —3 — i M = O: Eliminirt man aus (20) und (21) die noch unbekannten Coefficienten Yı Ya) *‘‘ Yı, SO entsteht V z‘|—1 il Sk v Sk-+yv—1 Sk (22) / Sp+ v Sk+r.+1. . 5k—4.—1 | Se-Eav—1 SkE2y—2 Sk+v—1 als eine Art von Näherungsgleichung für die v höchsten Wurzeln von /'@) SE So ist für v= 2 die Gleichung (20) zu setzen: (&3+1 G 3k8k+2) — (3k+15k+2 Z Sk3k+3) 24 (&%+2 FE 8k+‚18k+3) =0. $ 257. Es bleibt jetzt noch übrig, die Methode zur Berechnung der s» zu besprechen. Wir haben bereits am Anfange von $ 255 er- Sp—1 nach den Formeln des wähnt, dass es vortheilhaft sei, s 17 52 $ 91 oder $ 93 und die weiteren s dann nach der Recursionsformel b C Sn+X—1 + aala i CnSk — 0 zu bestimmen. Hierzu hat Euler eine Bemerkung gemacht, die theoretisch wie praktisch von gleicher Wichtigkeit iıst. Der Einfachheit halber dürfen wir annehmen, dass f(z) ohne viel- fache Factoren sel. Dann wollen wir den Bruch, dessen Zähler eine willkürliche Function (n — 1)%" Grades sein mag, 299 Die Newton’sche und die Bernoulli'sche Näherungsmethode (?) +a z"—2+aq 7L——3+ + an_1 F(@) C 356 +C„"' 2 n —— (2, Z—%, )f' (@&) (S 39) =il) p (2;) p (22)2, r g (2,)27 S + % 1= IT—(ZÄ) + Z2 E} f (@,) A ( (2,) und dessen Entwickelung wir kürzer — 2 % Z2 C + Zß C setzen, miıt f(z) multiplieiren und erhalten dadurch mittels Vergleichung der Coeffiecienten gleichhoher Potenzen von z auf beiden Seiten die Reihe recurrirender Gleichungen o On — A C009 — A4r) Ö 6601 + 09 = 0, (28) On O CO + Cn0% =— O =0,1 ) Hieraus erkennt man zuerst, dass zu jeder beliebigen Wahl von reellen \Weindaein 10r O0 Oıp Gn—1 eine Funetion @ (z) gefunden werden kann, welche die Anfangsgheden der Entvv1ckelung 1 Ka E 6n—1 $ 290 l liefert, und weiter dass die 0„4„% derselben Recursionsformel unter- liegen, nach welcher die Bildung der 5„4£ vor sich geht. Weil ferner P (Zl g (2„) k 0% = f (@) Ar Z H e) ist, so kann man an die 6 dieselben Ueberlegungen knüpfen und aus diesen gleiche Resultate ziehen, denen wir bereits bei den s begegnet sind. Nothwendig ist es dazu nur dass der Coefficient von * d dass @ (z,) nicht verschwindet Das könnte aber nur dann eintreten, wenn f(z) reduetibel, und &@ (z) zu ihm nicht relativ prim wäre INs Auge fassen, auch hier der Gleichung ( (11”) entsprechend = ]im Ok+1. k Dabei sind %, 6, 6„—1 Völlig willkürlich, und die übrigen o werden nach der Recursionsformel (23) gebildet Hierbei tritt sogar noch gegen die frühere Methode ein Vortheil zu Tage, wenn man einen, ja leicht zu findenden Näherungswerth q für die höchste Wurzel kennt und dann für die Anfangswerthe die Reihe 300 Zweiundzwanzigste Vorlesung 8& 257 Dreiundzwanzigste Vorlesung 8& 258 Q Z 6 —0 Ön—2 —> 1 67l—1 - q nımmt, indem dabei die Näherung schneller vor sich geht, als wenn DE S Sn—1 benutzt; denn man beginnt dann sofort mit einem genäherten Resultate, Welches auf dem zweiten W ege erst nach einer Anzahl von Schutten erreicht werden würde. Wir wollen dies endlich auf das Beispiel des $ 252 BL Z anwenden, indem wir O =— 0 6, =11, 2=4 setzen und dann mittels 6a+3 Sn 46a+2 + o4a:-{—1 J1 36a die weiteren 6 berechnen Dabei finden wir 6 = 17 0, = 69 6; = 281 6 =1142, 0, — 4642 da — 18887 — 406442 und dies stimmt mit der höchsten Wurzel der Gleichung in den vier ersten Decimalstellen überein E BED Dreiundzwanzigste Vorlesune Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln $ 258. Die Newton’sche Näherungsmethode besteht im Wesent- lichen darin, dass man von dem, einer reellen Wurzel & von f(z)=0 hinreichend angenäherten Werthe z, aus mittels der Formel W CZ f(@) 8ı+1 f (&) der Reihe nach 2,, %, berechnet Den Coeffieienten der höchsten Potenz von Z in f(g) setzen wir durchgehends als positiv voraus Dann lässt sich beweisen, dass &= limz„ wird. Wir wollen allgemein n= % die Frage behandeln, ob es noch andere, durch eine rationale Gleichung (2) SE F(?;) bestimmte Algorithmen giebt, für die bei Wiederholung der Operation Mk R ME von bestimmten W erthen 2, aus ebenfalls £= lim %, wird*). Gesetzt, n=% *) Vgl. hierzu: L. Sancery: De la methode des substitutions successives pour le calcul des racines des 6quations. Nouv. Ann. (2) I. S. 305. — E. Schröder Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln. 301 dies wäre der Fall, dann müsste, weil ja lim 2 = lim 241 ist, aus (2) sich ergeben (3) ;=F(C); und folglich hätten die beiden Gleichungen f(@e)=0 und F(2)—2=0 eine Wurzel, nämlich & gemeinsam. Wenn nun, wie wir wieder yoraussetzen wollen, f(z) eine irreductible, ganze Funection ist, dann wird die zweite Gleichung alle Wurzeln der ersten besitzen, und daher muss das Polynom © F(e) — 2=f(@):9C@) werden, wobei g(z) eine beliebige rationale, ganze oder gebrochene Funetion seim kann. Derartige Ausdrücke lassen sich leicht und ın beliebiger Menge bilden. So ergeben sich z. B. bei der Gleichung f=Y—2—-a=0 unter anderen die folgenden Ausdrücke für /'(z) Z Va +a; O ("‘+1)Zf’i‘a_ > Z — ( +1)? Z+x* 7 (a +1) +a C > zl 22 z — a a+1? Vrr Es sind dabeıi in die zweite Spalte auch irrationale Funetionen auf- genommen. Im Allgemeinen ist die nachfolgende Theorie auch auf sıe anwendbar. Hier treten diese irrationalen Ausdrücke in besonders Wichtiger Weise als die inversen Funetionen der in gleicher Zeile links stehenden heraus, d. h. wenn man u = /F(gz) aus der linken Spalte entnimmt, giebt die Umkehrung dieser Gleichung, nämlich 2 = P(u), die rechts stehende Funetion. Ein einfaches Mittel, solche Funetionen F zu erhalten, besteht darin, dass man in f, oder all- gemeiner in einem Produete f-g an beliebig vielen Stellen z durch u ersetzt; entsteht daraus f(z, u), dann berechnet man aus f(z, u)= 0 einmal z als Funetion von w und einmal w als Funection von 2, und » es Wäl‘d V(äa‚? System B E Ueber unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen, Math. Ann. II. S. 317. — C. Isenkrahe: Ueber die Anwendung iterirter Functionen zur Darstellung der Wurzeln algebraischer und transcendenter Gleichungen, Math. Ann. XXXI. S, 309, ® 302 Dreiundzwanzigste Vorlesung $ 258—259. (5) u= F(g), 2 = ®6(u) ein Funetionenpaar geben, für welches die Gleichungen (5*) 5 = F(®7 S= ®C gelten. Es fragt sich nun, ob umgekehrt auch jede Wurzel von W(@) = &ä auch eine Wurzel von f(z)=0 ist. Aus (4) folgt, dass dies nicht nothwendig ist; und ebenso wenig ist jeder durch (2) asymptotisch gegebene Werth eine Wurzel von f = 0; es kann nach unserer Her- stellungsmethode auch eine Wurzel von g = 0 sein. Wenmnn wir z. B. die Gleichung f= 12 —2=@-1)(@+2)=0 betrachten und den Algorithmus der Näherung 9 a e 7En 2 — 2 setzen, dann wird zwar die Gleichung SE _é'3 &— 1 durch die beiden Wurzeln £= TU E 22 on f=0 befriedigt, aber der Anfangswerth z, = — 1,99 z. B. führt auf einen fremden Werth als Grenze: %=-—1,78..., 4 =-—1,68..., 2 4 — 1,55 Z 5 Z _1 gö=_1)24...‚ ;g7=41‚12..., A} A 05 lim 2 ———"“1 n= was sich dadurch erklärt, dass 2 — z} ar Tn CO 272 —1 O ist. Die Wurzel 5= —2 ist hier überhaupt nicht einer asymptoti- schen Annäherung fähig, und das Gleiche gilt für &= 1. $ 259. Die bisher aufgestellte Bedingung für F(z) ist für die Sicherheit einer Annäherung noch nicht ausreichend, wie sich soeben gezeigt hat. Bedeutet & eine reelle Wurzel, z, einen hinreichend genäherten Werth, und setzen wir E= 2 + 0, = % 4 0, so ist z nur dann genauer als z,, wenn |d,|<|0,| wird. Nun hat [ man nach dem Mittelwerthsatze (6) —d =F(6-0ö)=FO —d F'(6— 00), @<< i} 52 G Ö\1FI(; R @81) Ist | F'(E) >1, so kann man um 6& einen endlichen, reellen Be- reich (£ — vr, ‚. E -+4-v7) abgrenzen, innerhalb dessen der Modul von Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln. 303 F'(z) grösser als 1 ist. Nimmt man den Näherungswerth z, inner- halb dieses Bereiches beliebig nahe an & an, so zeigt (6), dass die Hehlento A0 2 statt kleiner zu werden, sich vergrössern. Eine asymptotische Annäherung ist in diesem Falle also unmöglich, ein sprungweises Erreichen aber natürlich nicht ausgeschlossen. Ist zweitens | F’(E)|<1, dann kann man wiederum einen end- lichen Bereich (£ — 7, --- &+ v) festlegen, innerhalb dessen der Modul von F’(z) überall kleiner als 1 bleibt. Wählt man 2z, in diesem Be- reiche, so ist %, ein genauerer Näherungswerth, weil | 0, | < | 0, | ist, Z, noch genauer als z,, u. s. w. KEs findet hierbei auch wirklich eine Convergenz nach 6& statt. Denn der Bereich braucht dazu nur so ge- wählt zu werden, dass das Maximum des Moduls von F'”(2) in ihm <M ist, wo M einen positiven, der Einheit beliebig nahe liegenden, aber doch von 1 verschiedenen, echten Bruch bezeichnet; dann folgt aus (6) der Reihe nach 10,|<]8, |M, |Ö„<IÖ“M<IÖ}{M%n- |9u+ı| < 0, | E, wnl wl In A = ( 90 SO folgt hieraus die Convergenz der Z d M= 0 nach 5& hin. Man kann natürlich in den festgesetzten Bereich (£—r, : E-4+7) auch von ausserhalb belegenen Punkten sprungweise ge- langen und ist dann der Annäherung sicher, wie wir eben zeigten. Ist bei | ”(5) | < 1 das Vorzeichen von F’ positiv, dann haben Ö, und 0, gleiche Vorzeichen, so dass die Annäherung von einer Seite her geschieht, und alle ,, 2,, 2, gleichzeitig grösser oder gleich- zeitig kleiner sind als & Ist dagegen sgn F'(£)= — 1 ‚ dann haben 0, und 0, verschiedene Vorzeichen und die Werthe 2,, z,, An sind abwechselnd kleiner und grösser als £€. Aus (6) kann man entnehmen, dass die Convergenz um so schneller vor sich geht, je kleiner der absolute Betrag von F'(E) ist. Am günstigsten stellt sich der Fall F’(£) =0. Sollte gleichzeitig auch von höheren Ableitungen FI(£) w O; FI,(C) Z O7 F @ =0, FO@+0 sein, dann wird der Fehler (7) d == Dn & FÜ — 0, CO so dass also bei kleinem 0, die Annäherung etwa der 4‘ Potenz des Fehlers proportional erfolgt. 304 Dreiundzwanzigste Vorlesung $ 260—262, S 260 Ms bleibt noch den Hall ( ZC)| — 1 z vetrachten übrig. Hierfür setzen wir, ähnlich wie bei (6), —6, F LO F OF FE L08) 0<0<21) und erhalten demnach (8) Ö l OE G 00 Ist nun zuerst /’(£) = + 1, und also (8*) d = 0 —z FE 0d)=0(1— LF (E— 00,)), So kann man, wenn F (£) positiv ist, von & aus einen Bereich abgrenzen, in welchem bei hinreichend kleinem positiven 0, die Klammergrösse ME ME 00 positiy und kleiner als 1 bleibt. Für jedes z,, welches diesem Be- reiche angehört, convergirt der Algorithmus. Bei negativem 0, findet das nicht statt. Aehnlich convergirt er bei negaätivem J”(£) und negativem 0,. Man kann sich also bei F’($) = 1 und F”(8)+0 nur von einer Seite her der Wurzel €& nähern. Ist dagegen F’(£) = — 1, und also (8') d d PE 08)), dann versagen die eben benutzten Schlüsse, weil zwar | 0, | < | 0, wird, aber dann weiter | 0, | > | 0, | werden kann: Um auch für diesen Fall eine Uebersicht der Verhältnisse zu erlangen, gehen wir ın der Entwickelung einen Schritt weiter und setzen d =+4FO — z EF +L —, B EG — OR HOE NO - woraus bei F”(£) = — 1 durch Elimination von 0, die Gleichung (9) Ö z BED OT folgt. Man erkennt also, dass bei hinlänglich kleinem |,|, Falls CS L ıst, Convergenz stattfinden wiırd, oder einen nicht, je nachdem dıe Klammer 22 ( 320 positiven oder einen negativen Werth besitzt. $ 261. Wir wollen nun auf die Ableitung der Funetionen F und ® in $ 258 zurückgehen und können zeigen, dass wenn / und ® zwei inverse Funetionen sind, für welche die beiden Gleichungen (5*) 6 = G, 6 — DG Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln. 305 gelten, dann der auf @ gegründete Algorithmus an allen den Stellen nach E& convergirt, an denen der auf / gegründete seinen Dienst versagt. Aus den Elementen der Differentialrechnung ist zu entnehmen, dass für die beiden ersten Ableitungen von / und ® die Beziehung F© XO=-1 gilt. Daraus folgt, dass beıi | /’(E) | >1 sich | P’(E) | < 1 heraus- stellt, so dass stets einer und nur einer der beiden Algorithmen zum Ziele führt, sobald der Modul der Ableitung F'(E) von 1 verschieden ist. Ferner hat man für die zweiten Ableitungen von ” und von ® MO K =—2' © Ist also }# (&) =-+-1, so folgt, dass F”(E) und ” (6E) verschiedene Vorzeichen besitzen, und aus (3*) ergiebt sich: Auf der einen Seite dien \urzel e conwerant beır Z U der Alsonichmus von F, auf der anderen derjenige von ®. Endlich ist noch SC OLG @/„(g) LA KIG®)® 5 für F'(£) = — 1 erhält man deshalb D G ®” ® = — F' —3F 20 C HC© T DONT Ist daher die im (9) auftretende auf den Algorithmus / bezügliche Klammer negativ, so ist die entsprechende, zu ® gehörige Klammer positiv, so dass dann die Convergenz nach & von beiden Seiten her bei Anwendung von ® Eeintritt. Beir C — l er einer der beiden Algorithmen Näherung von beiden Seiten her; der andere giebt von keiner Seite her eine Näherung. Auf die weiteren Fälle, die bei F”(8)=0 u. s. w. vorkommen können, lohnt es sich nicht, hier näher einzugehen. S 262. Wir nehmen jetzt an, dass | F'(£) | <1 sei, so dass von beiden Seiten her mittels / eine asymptotische Annäherung an &E er- zielt werden kann. Um €& herum bestimmen wir ein Intervall (&, - E') auf folgende Weise: Geht man von irgend einem Punkte der Strecke (& ... E/) mit Ausnahme der Grenzpunkte als erstem Näherungswerthe aus, so bleibt man im Innern der Strecke und nähert sich dem Wurzelpunkte &. Für die Grenzpunkte &, und &; soll dies nicht mehr der Fall sein. Damit ist natürlich nicht gesagt, dass man nicht auch von einem ausserhalb (E, : E') gelegenen Punkte ch Netto, Algebra. I, 20 Z durl 5 306 Dreiundzwanzigste Vorlesung $ 262—263. Iteration. sprungweise in diese Strecke hineingelangen könnte; jeden- falls aber gilt diese letzte Kigenschaft nicht für alle Punkte zwischen %4 and 6 E Ks handelt sich nun um die Feststellung der Grenzpunkte >1 un Da man bei den Punkten (& +e) und (& — 6), wemn E, <E<E;‚ ist, bei beliebig kleinem, positiven £ und einmaliger Itera- tion innerhalb der Strecke bleibt, und da die Resultate dieser Iteration sich von denen für &, und &; wegen der Stetigkeit nur beliebig wenig unterscheiden, so können &, und &; auch nur wieder die Grenzpunkte geben, d. h. man hat E, = E, oder &E un oder 5 Wir betrachten zuerst den Fall & = &. Dann wird natürlich jede weitere Iteration E& = E& =-.-..= E, ergeben. Demnach ist &, eine Wurzel von F'(2) — 2 = f(2)g(2g) =0. Liegt folglich keine Wurzel von g= 0 zwischen & und der nächst kleineren reellen Worzel 8 on / —O, SO E, Sclbst ‘ leich &. Dies wird also —— —Z 1 eintreten. beispielsweise bei g(z) Ist F(z) eine ganze oder eine unecht gebrochene Funetion, dann ist die Möglichkeit vorhanden, dass &, den Werth — co (und ebenso E den Werth + 0o) annimmt. Denn —— dabei wird dem &, = — co auch ein & Z — c©o (und ähnlich bei Doch kann dies offenbar nur bei S ©9 Dn S = ©9) G aECN; der kleinsten (resp. der grössten) reellen Wurzel vorkommen. Wir betrachten zweitens den Fall g‘2=äll7 g2=gl also g3 — Eu &, 5 Dann folgt (von & = — © bezw. 5& = -|- ©o abgesehen), dass, &; und &, Wurzeln von (12) U sind, und zwar solche, die nicht schon die Gleichung @ z2=0 befriedigen. Nimmt man eine derartige Wurzel &, zum Ausgangs- punkte der Iteration, dann wechseln beständig die beiden Werthe &, und &' mit einander ab, und eine Convergenz findet dabei also nicht statt. Nebenbei bemerken wir, dass ebenso jede Wurzel w, der Gleichung (18) F{FF@N — 2=0, die nicht schon die Gleichung (12) befriedigt, zu einem Tripel von Werthen 4, W, ug gehört, die bei der Iteration unaufhörlich cyklisch auseinander hervorgehen; und in derselben Weise kann man jede W‘eitere, mehrfache Iteration benutzen. 307 Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln Wir wollen ein numerisches Beispiel für solche, ja hinlänglich interessanten Fälle angeben Es seı die Gleichung vorgelegt LA LB Z bilden wir daraus den Algorithmus 13 Z al » 8ı +1 = 4 4 727 dann ergiebt sıch beim Anfangswerthe z NO 0 Folgendes 13 A =0 0 Raı A 0,61 5 = 3llO Z =0,75 % = 3,11 6 = 0,84 3,074 23 = 0888 %. = 305 = 0,920 < lim 2 = 1 e a = @ m= M=Z R Nun ist in der That, wie die Iteration zeigt ÖR 302 2 64 (# — 262 — 39) + 642 = [# + 42 — 13](# — 1) (# — 9), so dass diese Resultate mit der dargelegten Theorie völlig überein- stiımmen Endlich gehen wir zu dem Falle «E—E‚„ 5 E über Hier ist 5 entweder - co oder eine Wurzel von F(2) — 2=0, Tritt das Erste ein, die nicht zugleich Wurzel von f(z)= 0 ist. dann muss g(2) eine gebrochene Funection, und £, eine Wurzel der Gleichung werden, welche entsteht, wenn man ihren Nenner gleich Null setzt Ist daoegen 5, eine Wurzel von F(g) — 2 =0, dann findet man &, als eine von E; verschiedene Wurzel der Gleichung 5 — C $ 263. Bei dem eben besprochenen Falle ELE = E& kann es geschehen, dass die beiden ersten Fehler entgegengesetzte, die fol- genden da<fecmn sämmtlich dieselben Vorzeichen haben. Dabei sind diese Fehler von endlicher Grösse. Es kann geschehen, dass auch bei beliebig kleinem 0, die Beziehung sgn 0, 0, = — SO N SSOH0. 04 — =+J1,;- - eintritt. Dazu ist es nur nöthig, dass | 8 CQ= O ist, W(thend JE (C— Ö) und F'(@-l— ö) versch1edene Vorzeichen haben; und weil im Allgemeinen / (£) von Null verschieden ist, _ so re10ht die erste Bedingung | F’(£) | = 0 hierbei auch im Allgeme1nen aus. Dieselben Ve1haltmsse treten gleichfalls ein, wenn man H' (3) = G F —0, FG O hat, da dann 20° 308 Dreiundzwanzigste Vorlesung &$ 263—265 Ö aı FD —00 1 (272)! werden wiırd $ 264 Wir hatten durch (4) gesehen, dass allgemein bei einem anwendbaren Algorithmus / F(g)=2 + f(g) - g(£) seın muss Will man | F'(2) | <1 für jede Wurzel & von f(z)= 0 als zweite Bedingung dazu fügen, so wäre g der Bedingung 07 @©> —2 (wenn f(2)= 0 ist) gemäss zu wählen Jeder so erhaltene Algorithmus liefert Annäherung an jede reelle Wurzel Sehr einfach wird diese Bedingung durch al I(@) = *f (?) erfüllt beı positiven Werthen von x, die grösser als sind Nach $ 259 stellt sich die Näherung besonders günstig, wenn die erste Ableitung von /(z) O OO OL für alle Wurzeln von f= 0 verschwindet Das geschieht, wenn wir g(2) = F FF setzen, wobei g,(z) eine vv111ku1hche Funetion ist. Dann erhält man (18) FC) Ta E ELE E + 91(Z)f f() Noch vortheilhafter gestaltet sich nach $ 259 die Convergenz, wenn ausserdem auch noch die zweite Ableitung P E F'@=(E+2nf) + A /‘ z für alle Wurzeln von f= 0 verschwindet Dies geschieht offenbar ın der allgemeinsten Art für die Annahme Iı 2f5+9"f7 also für die folgende Gestalt von £(z) (L f@) (Z)f() 2(2)f°(), 1' (@) T wobei wieder unter g (z) eine willkürliche Funetion zu verstehen ist In derselben Art kann man fortfahren und es so erreichen, dass NO FÜ =0 für alle Wurzeln & von f(2)= 0 wird In diesem Falle können wir sagen, dass die Convergenz von der A*° Ordnung (mindestens) ist. Hierbei wird jeder folgende Fehler der 2'°” Potenz des voraufgehenden proportional Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln. 309 $ 265. Nunmehr gehen wir zu der Betrachtung einıiger besonders wichtigen Algorithmen über. Setzen wır in (13) ein g, =0, so ent- steht der Newton’sche in der vorigen Vorlesung ausführlich be- handelte Algorithmus A# (8) BUE HL (2) f @) Es ıist näm- Dieser liefert für alle Wurzeln quadratische Convergenz. lich für ihn bei jeder Wurzel £ . ©) C ONO 76© Dass f= 0 keine Doppel- oder mehrfachen Wurzeln besitzt, ist voraus- gesetzt worden, ja sogar, dass f(z) unzerlegbar sei; daher verschwindet F (£) nicht, und / liefert in der That eine quadratische Convergenz und keine von höherer Ordnung. Weiter lehrt der Vergleich mit $ 263, dass der Algorithmus an jede Wurzel nur von der einen Seite her asymptotisch heranführt, derart dass bei hinlänglich kleinen Werthen von 0,, die auf der anderen Seite lıegen, sen 0, : d, = — 1 wird. Aus H/(@)= F(@)f (@) AT X AA f (@)® folgt, dass auf derjenigen Seite von &, für welche zunächst f(z) und f (@) gleiche Vorzeichen besitzen, sgn 0, = sgn 0, sein wird. Von ihr aus geht also die asymptotische Näherung in demselben Sinne vor sich, während die andere Seite gleich bei der ersten Iteration ver- lassen wird, sobald nur 0, hinlänglich klein ist. Im Falle dass f(z)= 0 nur reelle Wurzeln besitzt, oder all- gemeiner, im Falle dass die reellen Wurzeln von f’(z) = 0 sämmtlich durch die reellen Wurzeln von f(2) = 0 getrennt werden, und die von f (@?) = 0 durch diejenigen von f’(2z) = 0, kann man den Bereich der Convergenz, welcher zu der grössten und zu der kleinsten reellen Wurzel gehört, leicht bestimmen. Wir betrachten die Gleichung (8'259; 7) al Ö AL 0, F (6—00,) R —— _ DG ©0) 20 C200 und entnehmen aus nlaı? dass für grosse positive oder negatıive , —5 — 0,, also für grosse negative oder positive 0,, das Vorzeichen von 0, immer nur von dem des Bruches f”: f” abhängen wird. Nun kann man für grosse Werthe von z setzen NC) ua un . f“ (e) = nn— 1g ’ für solche Werthe wird somit sgn G = 8gn %, Für grosse positive 0, d. h. für grosse negative 2,, wird also 310 Dreiundzwanzigste Vorlesung 8& 265—267. 0, positiv; für grosse negative 0, d. h. für grosse positive z, wird Ö, negativ. Die Iteration führt daher zunächst nicht auf die andere Seite der grössten resp. kleinsten Wurzel hinüber; diese Verhältnisse bleiben, da weder f / '=0 noch f’= 0 nach unserer Specialannahme jenseits der äussersten Wurzeln von f= 0 verschwinden können, bis in beliebige Nähe an diese Wurzeln heran unverändert, so dass also die äussersten Grenzen beider Convergenzintervalle das eine Mal + 00 und das andere Mal — co sind. Auch die inneren Grenzen sind bei der höchsten und der niedrigsten Wurzel leicht zu erkennen. Hat man die äussersten Wurzeln eben überschritten, so ändert sich der Sinn Ader Näherunes ' d./h. es ward send, d —— L Dies bleibt unseren Voraussetzungen gemäss so lange, bis f’(z)= 0 wird; dann führt die entsprechende Iteration sofort ins Unendliche. Wir haben also den Satz: Besitzt f(z) = 0 nur reelle Wurzeln, und sind u, und u, die äussersten reellen Wurzeln von f’(z)=0, wobei u <uW, ist, so führt jeder Anfangswerth des Newton’schen Algorithmus zwischen — co und w, auf die kleinste, und jeder zwischen ı, und +oco auf die grösste Wurzel von f = 0.*) $ 266. Lassen wir für den Augenblick auch mehrfache Wurzeln bei f=0 zu, so folgt, dass die Newton’sche Methode bei diesen nur eine lineare Annäherung giebt. In der That, wenn wir D f (@) (Z2— zQ“ (Z2 — ‚’.'g ) haben, dann wird, falls wir nur die niedrigsten Potenzen von (2 — 2,) beibehalten, da zuletzt z == z, gesetzt wird, f EB z 2 f'(@) = a(« — 1) (# — 2)“ — (@— 2) + 2 _ fF@f'@) _ «(«—1) (# —2) *7 —a + F' (?) e Z f'(@) OEG G ««—1 SR E Yn so dass also bei « > 1 der Werth von X” endlich und positiv bleibt. Hier findet von beiden Seiten her lediglich eine lineare Näherung an die «-fache Wurzel z, statt. Es lässt sich aber ohne Schwierigkeit ein anderer Algorithmus bestimmen, für den selbst bei vielfachen Wurzeln überall quadratische Convergenz bestehen bleibt. Dazu reicht es aus *) Vgl. A, Tauber: Ueber die Newton’sche Näherungsmethode. Monatshefte £. Math: u Phye. Waen 1885 VL; 2910 311 Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln. F(Z)=4 f(@) F' (@) F @— OF @ zu setzen. Denn es wird für diesen Algoriıthmus OC —OO © ONO FII (Z) M CO OO ? wobei für die Annahme OC AA scheinbar zwar sowohl Zähler als Nenner als niedrigste Potenzen von (z— 2,) die (4@« — 4)* enthalten, in Wirklichkeit aber der Coefficient dieser Potenz im Zähler den Werth 2a0(a0 — 1)? — ab(« — 1) — «*(« — 1) (x«—2)= 0 annimmt, so dass der Zähler den Factor (%— 2,)*“—* enthält, und daher, wie behauptet wurde, F”(2,)= 0 ist. Dadurch ist dann auch hier die quadratische Convergenz festgelegt. &$ 267. Wir stellen zweitens für die quadratische Gleichung z + cz2—b=0 ( 0) den Algorithmus @A an Ö (c=ß — a) a auf Es sind die beiden Wurzeln & und &’ der Gleichung durch il WE — 2 (a + B +VD)- D=(ß — a)* + 4«b e& HB5 (a B — VD) bestimmt. Dabei wollen wir sgn VD = +1 für positive D nehmen und uns auf diesen Fall D >0 beschränken, um die sonst auftretenden complexen Wurzeln oder gleichen Wurzeln auszuschliessen. Es wird D aß — ba F' (z (us EB} _ aß— ba =/1 FOFC= r ED L Ist |@«E&-+ß| von |«E'+ ß | verschieden, dann wird der eine der beiden Werthe | F”(£)|, | F'(&’) | grösser, der andere dagegen kleiner als 1, und es wird sonach nur an den letzteren eine Näherung stattfinden können. Ist (@a + 8)>0, dann hat |«E+B| einen grösseren Werth als | «5’-+ ß ; folglich ist O Z WDC) ; wn also findet an die algebraisch grössere Wurzel die Annäherung statt. Bei (@ + ß) < erfolgt sie an die algebraisch kleinere Wurzel. Bei (a +B)=0 ist | «& +ß |= | «E’+ ß|, und daher wird 312 Dreiundzwanzigste Vorlesung 8& 267—269 __ (a + bo) 2 + b(a-+ß) __ (a? + bo)e FL @] ala+ß)z + @o+ß) — ba FBr die Relation LE OO LL — 3 ba« + ß? E liefern, so dass dabei gar keine Näherung vorkommen kann. Wir untersuchen weiter, innerhalb welchen Intervalles überhaupt Convergenz möglich ist. Wie wir bei den allgemeinen Betrachtungen sahen, können Grenzpunkte nur solche sein, die entweder F(2) —2=0 oder H(E@) —2 z0 machen, Da wir aber für die beiden linken Seiten ug* + cz— b F(2) — 8= — &+ ß _ (@+Be#? +oz—d) F(F(2)) —2 = &« (a + B)2 + ba + ß) finden, so folgt, dass bei (@ + ß)=0 überhaupt keine Grenzpunkte vorhanden sein können, und dass also jeder beliebige Anfangswerth 2, auf die erreichbare Wurzel asymptotisch führt, natürlich abgesehen von dem etwa zum Ausgange genommenen zweiten Wurzelpunkte. Die zu dem aufgestellten F' gehörige inverse Function liefert Z Ba +b. zx+l‘__ SEn 0(Z„ Z durch diesen Algorithmus wird dann die zweite, auf dem ersten Wege nicht erreichbare Wurzel erhalten werden. In dem bisher ausgeschlossenen Grenzfalle D= 0 giebt es zwei einander gleiche Wurzeln. Es wird hier ab+B=at +ß=3(a+Bß), 4(aß — bx) = (a + ß)', Ö ö„+1= aE+ b al6—0) + % TE N GE EEN ıl en apß * und dieses letzte Resultat zeigt, dass, je nachdem sgn « (ß + a)=+1 ist, die Annäherung nur von der Seite der negativen oder nur von der Seite der positiven d her erfolgen kann, weil nur in dem hervor- gehobenen Falle | 0, | kleiner als | &0, | wird. $ 268. Wir wollen noch mit einigen Worten auf ein Paar naheliegende Algorithmen für die allgemeine Gleichung n Grades fF@=2 + 47L a @ =0 eingehen. Zuerst seı /’(2) durch die Gleichung Algorithmen zur Berechnung der Wurzeln, 313 ° AA E HT HGT U bestimmt. Hier ist MC AT also kannn / nur zur Annäherung an solche Wurzeln & dienen, für die 0 C© Z—2 ıst Bedeuten &,, &, &, -- die reellen, nach absteigender Grösse ge- ordneten Wurzeln von f(2)= 0, dann sind f'(&), f (&), ::- posıtiv, und es kommen bei der Näherung also überhaupt nur die Wurzeln C27 C4; als möglich in Betracht. — Endlich setzen wir zur Bestimmung eines neuen Algorithmus F(2)= 7i/;1’(;); OC E E und haben also E 71L/<P (2,). Hier ist die Ableitung (&) HCO HO = —— % gnj „é.n—17 so dass also die Bedingung 0< ® —Z (15) gn—1 erfüllt sein muss, damit an die Wurzel & Annäherung stattfinden kann. Bei der höchsten reellen Wurzel &, wird f (E,) positiv werden, da f für sie bei wachsendem Argumente ım Wachsen begriffen ist, ferner f (&) negativ, da zwischen &, und & eine ungerade Anzahl von Wurzeln der Gleichung f’(2) = 0 liegt, u. s. £, so_dass Sgn f (5) — — mGG - n L Für ungerade % ist ım (15) &“—! stets positiv; folglich kann eine Annäherung überhaupt nur an E, &, & stattfinden. Für gerade n stellt es sich so: Haben etwa &,, &, - E&2x reelle, positive Werthe, dagegen Saa+1, Saa+2, : reelle, negative, dann folgt, dass bei der Annäherung als mögliche, Grenzwerthe überhaupt nur &, 6, : Canı Caot2ı Caa r4, in Frage kommen; sınd | dagegen &, &, eı posttıy_ und C2a+l; negativ, dann kann eine Annäherung höchstens an &,, &, stattfinden. C2ac—-l; C2«; €2a+2; Es mag bemerkt werden, dass bei geradem n positive & nur durch F(z2)= —+ | 7i/q>(z) | und negative ALn nur durch F'(z) —- S n]/$(—z) | erreicht werden können. $ 269. Wir haben uns bisher allein mit reellen Wurzeln be- schäftigt, weil wir den principiell benutzten Mittelwerthsatz nur für 314 Dreiundzwanzigste Vorlesung 8& 269. Vierundzwanzigste Vorlesung & 270. C reelle Grössen abgeleitet haben. Will man von dieser strengen Beweis- führung absehen, dann ist es leicht, auch die complexen Wurzeln in den Bereich der Betrachtung zu zıehen. Wir denken uns in der Entwickelung von F nach Potenzen von Z ONO O O die Grösse h als von so kleinem Modul, dass mit hinreichender Ge- nauigkeit bereits JE I5 0) = ©) — IG) gesetzt werden kann, wenn F'(z) nicht verschwindet, und, wenn es verschwindet, F(# + ) = F(e) + 3 F' (@). Dann können wir die in den Anfangsparagraphen dieser Vorlesung gemachten Schlüsse auf complexe Wurzeln erweitern. Aus (6°) 0G folgt, dass wenn | F’(£) |<1 ist, um die Wurzel £& in der Ebene, welche die complexen z = x + iy darstellt, ein Flächenbereich derart abgegrenzt werden kann, dass jeder Punkt des Bereiches als Anfangs- werth einer Reihe von Näherungswerthen genommen werden darf, die auf /” gegründet asymptotisch zu € führen. Die Näherung geht um so schneller vor sich, je kleiner der absolute Werth von F(£) ist. Für F’(£) = 0 erhalten wir quadratische Convergenz. Aus $ 265 folgt, dass die Newton’sche Methode auch für complexe und demnach für sämmtliche Wurzeln Gültigkeit besitzt. Vierundzwanzigste Vorlesung. Iteration. & 270. Im Vorhergehenden haben wir auf einen Anfangswerth 2, eine Operatiıon (z) angewendet; auf das erhaltene Resultat g(2,) die- selbe Operation, so dass @ [@(2,)] entstand, u. s. f. _ Wir nennen dieses Wiederholen derselben Operation iteriren, und werden das Resultat und die Operation selbst als Iteration bezeichnen. Diese Operations- art wollen wir etwas. eingehender studiren. Zur Abkürzung führen wir folgende Bezeichnungen ein (@) O [p(2)] = d (8), ® [‘Pz(z)] = y [p(e)] = ‘P3(Z); Bn Iteration 315 und erkennen ohne Weiteres, dass hierfür die Regel (2) + 1(2) = D [yı(2)] = ılg (2)] gilt Wir setzen w (2) = z Wir wollen zunächst beweisen, dass, wenn @ eine rationale, ganze Funetion ist, auch der Quotient D (@) H(@) © eine ganze, rationale Funetion wird, falls m eine beliebige posıtıve ganze Zahl bedeutet Man hat um dies einzusehen, nur ın den Quotienten P, (z) O, y) Ma 2 der natürlich eine ganze Funetion der beiden Variablen x und y ıst Z Y D enzusetzen S Dann entstehen die ganzen Funetionen von @ ‘P(‚+ß„( )ı= OR P „(2) O S QW(Z); <P(, 1)1/< ‘P(,+1_)„(‘) 70075 (Z) n lp}+l)v(‘z) q)}‚v OD (Z)—— q7u( ) 7 Z @) = ‘P(/—1)v Qv Q21 Qur) (p(/+1)1 1+1)v(5) © (3) ‘P(Z)'“f« S i=0 „ (2) —2 =1+, + Q, Q + : + (Q,Q2» Qur) Hieraus ergiebt sich nun für v = 1 und (x + 1) = m das Behauptete als Specialfall in der Form O (@) — (3°) P(e) —2 S p Qa A a Im allgemeinen Falle d. h. für eime allgemeine ganze Function q(%), ist die linke Seite von (3%*) nicht weiter durch (@(z) — z2) theil- bar Denn träte dies allgemein ein, dann müsste es auch für die besondere Annahme p(2) = a g (p(2)) = 2“ 90m (Z) ADr Z'“ eintreten, d. h. es müsste auch der Quotient 2 z L E (& — 2)* eine ganze Funection von n R sein; das ist aber offenbar nicht so, weil ja der Nenner den Factor 2°%, der Zähler aber nur 2! enthält 316 Vierundzwanzigste Vorlesung 8 271. $ 271. Wir verstehen jetzt unter z’ irgend einen festen Werth. Dann gilt die Reihe der folgenden Sätze. (I.) Grebtes in der Reike der iterirten Kunctronen © , (2'), P (Z/)7 P (@), irgend ein Glied, welches gleich z wird, so giebt es ein pa (2°) der Art, dass alle Glieder, deren Werth z ist, der Reihe (5) B ? Pa (’Z,)) (P2a(ß'l)‚ Psa(2'), < angehören, und nur sie. In der That, wenn @„(2’) das erste Glied in der Reihe (4) ist, welches =z2' wird, und @(2’) irgend ein anderes späteres von gleicher Kigenschaft, und wenn endlich ß U zesetzt ward ( A, so folgt @p(2) = O, [(mua(2')] = @,(z') =2', und das ist mit den Annahmen nur verträglich, falls y = 0 wird. (II.) Die Glieder der Reihe (6) Z , (p(?/), lp2(z')‚-' (;Da._1(5‚) sind dann sämmtlich von einander verschieden; bei der Fortsetzung der Iteration wiederholen sich diese Werthe in der gleichen Reihenfolge. In der That, wenn in (6) gleiche Werthe vorkämen, wenn also etwa „ (e’)= gı (5) CZ Do) wäre, dann müsste ja auch Poa— ı+ (Z/) — Pa—ı [@%(ZI>] = Oaı [D (Z/)] 5: q>„(_z') =4 sein, was der Voraussetzung widerspricht. Der zweite Theil des Satzes ist klar. (II.) Bedeutet z eine Wurzel von w@„.(?) — z = ’ SOl 1T jedes @, (e') bei willkürlichem Index 2 auch eine Wurzel der- selben Gleichung. Denn es ist O, [pı(2')] = Oı [p.(2)] = ıl2’). Daraus folgt, dass alle Glieder der Reihe ß ? @ (2), P(2'), 4 Pn 1(@') Wurzeln von @,(z) — 2 = 0 sind. Ist in dieser Reihe @; (2’) das erste Glied, dessen Werth wieder gleich ’ wird, dann sind nach (I.) und (II.) 23 p(2), Yl@), : Pa—ı(@e') von einander verschiedene Wurzeln von @„(c) — 2 =0, und 1, wird dabei ein Theiler von x. So erkennt man: (IV.) Die Wurzeln von @,(?) — 2=0 ordnen sich in Zeilen Iteration. IL 9 , ‘P(z/)7 q72(2’>: 7a q711——1(2’)7 (‘PÄ(ZI A Z‚)’ e Z Ü und A sıind Theiler VOonm X Jede Wurzel von @(e) — 2= 0 und nur diese werden dabei eingliedrige Zeilen biılden. Die Wurzeln von „ (z) 2) @) — P() —2 ordnen sich deshalb in ein ähnliches Schema ein, in welchem keine eingliedrigen Zeilen vorkommen. Ist q eine Primzahl Z dann ordnen sıch dıe Wurzeln von Z (0)= U ıin ein Schema / Z (2’), ‘P2(Z‚)7 YYr ‘Pq—1('z/)7 / Z , qf(2f’)‚. (;f=.»(f")i n ein, dessen Zeilen sämmtlich je qg Glieder enthalten. Hierbei ist @(z) als allgemeine Funetion gedacht (S. 315, unten). Wenn man die Coefficienten von @ nunmehr so ändert, dass, wenn dies möglich ıst, die beiden Gleichungen T(@)=0 und o(l@) —- Z=0 eine Wurzel 2 gemeinsam haben, dann werden alle Glieder der ersten Zeile im letzten Schema einander gleich werden, und so folgt das Theorem: (V.) Wenn für eine specielle Function @(z2) die beiden Gleichungen e =0 ul OO eine Wurzel ?’ gemeinsam haben, so ist dieses 2’ eine g-fache Wurzel der ersten von beiden Gleichungen, sobald g eine Pramzahl e Aus diesem Satze folgt eine merkwürdige a1gebra.ische Formel. Ks sei eine ganze Funetion vorgelegt p(e) = a + d + c + ..:; dann beginnt @, mit a%z, und wir können setzen pı(2) = atz + b# + 2° + :, P, () —2 MNMC@)= S AAy AA ple) —E Wählen wir « als Hier ist z=0 eine Wurzel von w@(g)= 0. Wurzel von a! —1 C E —A A A ea G 0 a— 1 318 Vierundzwanzigste Vorlesung $ 271—272, also als primitive Einheitswurzel, dann hat auch T,= 0 die Wurzel 2 =0; folglich ist sie nach (V.) eine g-fache Wurzel dieser Gleichung, d. h. es fallen dann die Glieder mit 2', ® CR 2171 im Ausdrucke von T, fort, oder alle die Gleichungen für a DE Yı=0 D haben mit (7) eine Wurzel gemeinsam (7) ist aber wie wir bald beweisen werden irreductibel Deshalb müssen die Ausdrücke Ba Y Ö, durch (a?* — 1):(@— 1) theilbar sein (YL) Setzt man g (2) aZ + b + c# + ’ pıle)= 8 + bz@ + E A + d Z HNO =- Ü T 2 A dann werden die Coefficienten Ba Ö, von e n Z 0 C Ala OM Q 3 22 in @.(©) durch aı + a + +a+1 theilbar Die letzte Kigenschaft folgt daraus, dass ı(e) — 2 = @© Z in unserem Falle die Wurzel 2=0 in (q + 1)-facher Multiplicität besitzt < 2 die Glieder mit z, 2 u so dass im Polynome %7 — R simmtlich für das oben gewählte a verschwinden müssen (VII.) Die gemeinsamen Wurzeln der beiden Gleichungen .(2) = £ yı (2) sind auch Wurzeln der Gleichung (;J„(Z) Hr wenn w den grössten gemeinsamen Theiler von x und 42 be- zeichnet Den Uemachten Voraussetzungen nach giebt es in (4) die beiden 2 Glieder @,(2'), pı(z 2'), welche = \ werden, wenn 2 eine der gemein- samen Wurzeln ist Also sind x und 2 Vielfache desjenigen ersten Z Index, für den die Iteration &@ als Resultat liefert Das zeigt, dass w ein Vielfaches dieses ersten Index wird (VIM). Ist 2 eine Wurzel von w,(2) — z= 0, so ist es auch eine Wurzel von w„,(2) — 2= 0, wenn m die Reihe der posi- tiven ganzen Zahlen durchläuft Denn es iıst Pa (2) = p (p-(2')) x (£ ="Z ß 3, (2') = p(pax(2')) ( ) Iteration 319 (IX.) Hat das Gleichungssystem für zwei Unbekannte z und y P (X) = Y, pıly)= % die Lösungen W Z VEn S Wurzeln der Gleichung OO O und wenn umgekehrt z eine Lösung der letzten Gleichung ıst dann bılden @ mm Y = O@) ein Wurzelpaar des ersten Gleichungssystems 8 272 Das einfachste Beispiel solcher Iterirung liefert, abgesehen yon dem wenig interessanten y = «2 + ß, die gebrochene Funetion °‘1'z+ß1 3 (8) pl)= VZ+ÖL, wWorm &,, ß,, 7ı, 0, reelle Grössen sind, für die x,0, — ß,yı + 0 sein soll, weil sonst w(z) = ß, : 0, = &,: y, und also eine Constante werden würde Wir setzen ’ 3 (2) &2 + B3 D (2 ) > },_Zi O«'a Ya + 03° M + ß7n Pm(?) = D und schliessen aus der Gleichung m—1(“12 + ß1) + ßvlz—l(ylz+61) Pm(?) = P(m—1(2)) = V E +ö A @ A durch Vergleichung der Coefficienten der beiden letzten Ausdrücke dm = &y Um— 1 F Yıßm—1, Bın Z Bıcm —ı f Orßmı, Ym E i Ma ß1')’m—l + ö öm——1 Hieraus ergiebt sich ( öIIL ß mM y„: Sn (“1 BıYı) (&m—10m Sl ßm—1?m—l) (“1 ß1 71) (am—2ö\m—l ßm——2?m—-—2) (°‘1 — B Denkt man s1ch von vorn hereim jeden Coefficienten von @ durch VI °‘1 ß1 ?’1 dividirt, so entsteht die einfachere Formel XmOm — ßm7m A Wir untersuchen nun, unter welchen Bedingungen die Gleichung Pn (2) = 2 für jedes 2, also identisch erfüllt werden wird 3 20 Vierundzwanzigste Vorlesung $ 272—273 Diejenigen Werthe z, welche bei unserer einmal angewendeten Operation g ungeändert blefloen genügen der Gleichung Z &, 2 + ßı Ya O oder 7’15'+(6 UZ Z0 Wir bezeichnen sie mit und und haben wegen der Voraussetzung (“1 ß17’1) Z a z Za A VF + LA &, WE Yı —& Z e %'+ö) +—1] __ Wir nehmen nun zuerst an N sei von 1 verschieden: hierbei sind g und von einander verschieden Es wird in diesem Falle da ja p(2') = C ıst ’ P(2) —Z — t>:Z—!--ßl &« Z+ß1 &, Z Bı &, 2 A OO © Yı ® A0r Ya Oı ):( ı83 Yı“ D 0 yı2‘ +ö N Aa 71 Z VE NOa A Y A — 2 8—2 D . Nm 9 (2) —2 ba D B Die charakteristische Bedingung dafür dass @m(£) b ıst lautet also einfach N: = 1 und wir untersuchen zunächst, was dies für reelle, und dann, was es für complexe Werthe von N bedeutet. Im ersten Halle kann nur N= * 1 sein, ünd da N = + 1 aus- geschlossen war, so bleibt allein N= — 1 m = 2x% möglich. Weıil nun schon N® +1 wird, so haben wir 2 = @2(8) (f 1° + Bıyı)2 + (& + 0Bı (°‘1A+ö F OHFE (a E OE E e A OB Ca S CO U weil diese Gleichungen für alle z gelten sollen, so ist, da der banale Fall 0, = 0, Bı = 0, 7ı = 0 ausgeschlossen werden kann, zu setzen «& + 0, =0 Ist N complex, dann muss der Radicand in N negativ seım, folg- lich gelten in den obigen Gleichungen die oberen Vorzeichen, und man hat 0 B Iteration 321 SOW1e &, FÖ Zal Man kann deshalb RL 0 @, V1 +1> = SIN @, N = cos.2@ — sn 2o, 1 = N” = cos2mo — isin2mo setzen Daher ist 2mo = 2xx, wobei x irgend eine ganze Zahl be- deuten muss, und somit ergiebt sıch , + 0, = 2 cos Die oben für N= —1 abgeleitete Bedingung ist unter der hier &e- fundenen enthalten Es’ wird danm und nur dann! @.(0)= 2 werden wenn äal oleich dem Cosinus des m* Theils eines vanzen Vielfachen von x ıst Bisher hatten wir N=+1 angenommen Wir betrachten jetzt N= 1 Da dann ıst, So muss VEı seın also eilt das obere Vorzeichen, und es wird Bıyı= 1 OÖ =+2 Das ergiebt. für die Iterationen der Reihe nach (20, 1)z-E2f @ (£) = 292 + (20, F 1)? (3o, +2)2 +3ß, 3(e) = wz+wa+w’ [moz1 a (m — 1)] + mß Om(?) = myız + [md, F (m — 1)] Soll demnach für jedes z die Gleichung @„ (z)= z gelten, so ist Bı=0, nı=0 C Z ple)= 2 zu setzen. — Lässt man m wachsen, so nähert sich „ dem Werthe (°‘1 024 ß1 Po (”) D 'Y1Z+(ö +1) $ 273. Dass bei der Iteration einer ganzen Funetion (z) nie- mals identisch „(2)= 2 werden kann, ist selbstverständlich. Wir wollen hier noch beweisen, dass das Wiederauftreten des Anfanos- werthes auch beiı keiner gebrochenen, rationalen Funetion von höherem als dem ersten Grade eintreten kann Netto, Algebra. I 21 322 Vierundzwanzigste Vorlesung $ 273 Fünfundzwanzigste Vorlesung 8 274 Zu diesem Zwecke betrachten wir eine beliebige gebrochene Funetion, zerlegen Zähler und Nenner in ihre linearen Factoren und schreiben dl€S MO A a O 0£„(Z Z &) (‘“‘ &) wobei wir natürlich voraussetzen dürfen, dass kein a,, @ eınem Uın s gleich ist Für z setzen wir in diesen Quotienten die g&e- brochene Funetion ( Z(2) N() ein und nehmen an, dass auch Z und N zwei ganze Funetionen ohne gemeinsamen '""heiler seien Die Eintragung dieses Werthes ergiebt g(P(2)) — LA n (/— azN) Nu h(9(@%) — °‘1N) —1X_,.N) wobei die positive oder negative ganze Zahl w die Differenz der Grade von h und g bezeichnet In dem Bruche rechts kann sich kein Factor in z, der im Zähler auftrıitt gegen einen gleichen im Nenner wegheben Denn hätten zwei Klammern etwa Z(2) — aıN(g) und Z(z) — auN(z) einen gemeinsamen '"Theiler, dann hätte ihn auch ihre Differenz ( —&%.) N(e) und also auch Z(), Ol In gegen die Annahme wären Z und N nicht relativ prim zu einander Wäre nun @„ (2) = z, so setzen wir für die voraufgehende Iteration gI(@ Pn —1 (2) a n (£)? dann folgt aus dem bewiesenen Hülfssatze, dass „ (g) durch Fort- heben nicht vereinfacht werden, und dass sonach @„ (z) nur dann = 2 sein kann, wenn schon g:) und @ selbst linear sind; damit ist die Richtigkeit der Behauptung dargelegt So einfach der gegebene Beweis des Hülfssatzes ist so hat er doch nach der Seite hin einen Mangel, dass bei unserem rein arith- metischen Satze die Existenz von Wurzeln einer Gleichung, also ein algebraisches T*heorem vorausgesetzt wurde Dem können wir folgender- massen abhelfen Es seien g(2), h(z) zwei ganze Funetionen, unter denen g(z) dem Ferner sollen Grade nach höher oder mindestens gleich h(z) beide Funetionen ohne einen gemeinsamen Theiler angenommen werden Setzt man nun in g und in % für die Variable z den Bruch Z(&) N() Die Untersuchungen von Lagrange 328 ein und entfernt die Nenner durch Multiplication mit der niedrigsten dazu nöthigen Potenz von N; dann behaupten wir dass die neuen Functionen, die mit g(Z, N), h(Z, N) bezeichnet werden mögen, auch keinen gemeinsamen Theiler besıtzen. Zum Beweise wenden wir auf g und %h die Kuklid’sche Methode des grössten gemeinsamen Theilers an Dabei möge (2) = qı(@) 7(£) 4 h,(£) die erste Zeile des Schemas sein; q, ist ganz wie gewöhnlich der Quotient und 4, der Rest der Division Setzt man jetzt wieder @(2) statt z ein und bezeichnet ähnlich wie soeben, dann entsteht hieraus ME ZHCNCNYENAHCN) Dabei ist u, die Differenz der Grade von g und A Hätten nun g(Z, N) und h(Z, N) einen gemeinsamen Theiler, so hätte denselben auch, da er offenbar kein Theiler von N“1 sein kann, die Function h,(Z, N). Die zweite Zeile des Euklid’schen Schemas sei h(?) = q (8) h,(£) + Im(2); ihr entsprechend bilden wir wiederum h(Z, N) = (Z, N)h(Z, N) + N'h,(Z, N) und schliessen, dass auch 4,(Z, N) denselben Theiler besitzt So geht es weıter und da wir schliesslich bei fortgesetzter Division auf eine Constante h, kommen so folgt die behauptete Unmöglichkeit der Kxistenz eines Theilers von g(Z, N) und hA(Z, N) ET Fünfundzwanzigste Vorlesung Die Untersuchungen von Lagrange $ 274. Lagrange knüpft einen Theil seiner Untersuchungen über die al%b1msehen Gleichungen an eine wichtige Transformation an ($ 120). Bezeichnen wir die Wurzeln von (D f(e)=# — a 1Ln + @=0 G Z Z„ und setzen die Quadrate der Wurzeldifferenzen C©) e @ N CZ ZU D 22 °%), dann kann wenn 2 und w alle gestatteten Werthe durchlaufen, @, im Ganzen — n (n — 1) Werthe annehmen. Diese Anzahl werde wie früher 21 3} v} 24 Fünfundzwanzigste Vorlesung $ 274—276. mit o bezeichnet. Alle die o Werthe von @ sind die Wurzeln einer Gleichung o*°" Grades (3) JC E COaa Cpe 73 — 0 =0 deren Coefficienten ganze, rationale Funetionen von c,, &, C„ werden. Die bequemste Herstellung von (3) durch Berechnung der Coefficienten U haben wir früher ($ 120) besprochen; wir wollen (3) als Gleichung der Wurzeldifferenz-Quadrate bezeichnen. Wir haben sie bereits bei der Trennung der Wurzeln ($ 238) benutzt. Welches sind die charakteristischen Bedingungen dafür, .dass (3) eine positive Wurzel habe? Offenbar muss (2; — zu) reell sein =4q, und also, wenn wir 2 = &@ + bi setzen, zı = (g + a) + bi, d. h. (1) muss Wurzeln besitzen, die in ihren imaginären Theilen überein- stimmen. Dies findet beispielsweise stets dann statt, wenn (1) mehrere reelle Wurzeln besitzt; aber aus dem Vorkommen von positiven Wurzeln @„ kann noch nicht umgekehrt auf reelle Wurzeln 22 ge- schlossen werden. So hat man z. B. für f(g) = 2# —22 + 3g —22+2=0 die Wurzeln 1 +Z%, 1 %, %, —0 und daher für @ die Werthe A O (D 2 n unter denen zwei positive vorkommen, trotzdem f= 0 keine reellen Wurzeln besitzt. Welches sind ferner die charakteristischen Bedingungen dafür, dass (3) eine negative Wurzel habe? Offenbar muss (%2 — 2u) rein sein wenn imaginär EW Qi; und also, Wir, 3, = @ + 00 setzen, 2 =a-+ b+q)i, d. h. (1) muss Wurzeln besitzen, die in ihren reellen T'heilen übereinstimmen. Dies kann nur stattfinden, wenn (1) überhaupt imaginäre Wurzeln besitzt, und findet dann auch sicher statt, da ja mit einem 2 = (a + b£) zugleich die conjugirt complexe Grösse zı = (a — bi) als Wurzel auftritt; denn zwei gleiche reelle Wurzeln geben ein. x = 0. Das Vorkommen vyon complexen Wurzeln bei (1) ist charakteristisch für das Vorkommen von negatıyen Wurzeln beı (3). Complexe Wurzeln können für (3) nur erscheinen, wenn (1) gleich- falls complexe Wurzeln besitzt. Infolge unseres letzten Resultates können wir also sagen: Die Gleichung (3) hat keine complexen Wurzeln, wenn sie keine imaginären Wurzeln besitzt. 8& 24%5. Aus dieser Eigenthümlichkeit hat schon Waring in seinem Werke: Miscellanea analytica, 1762, einen wichtigen Schluss gezogen, auf den dann später auch Lagrange ((Kuvres, Bd. 8 S. 1438) Die Untersuchungen von Lagrange. 225 näher eingegangen ist, nicht ohne in einigen Worten Waring’s Ver- dienste zu erwähnen. Gesetzt, (1) besitzt nur reelle, von einander verschiedene Wurzeln. Dann besitzt (3) lediglich reelle, positive Wurzeln, und also ist nach 8 197 die linke Seite von (3) vollständig und besitzt in der Coefficienten- reihe nur Zeichenwechsel; mit anderen Worten, alle C,, C, % sind von Null verschieden und positiv. Wenn umgekehrt (3) die eben ausgesprochene Higenschaft besitzt, dann folgt, dass diese Gleichung keine reelle, negative Wurzel „ haben kann, weil für eine solche alle Vorzeichen der Glieder auf der linken Seite einander gleich würden, und die Summe deswegen nicht verschwinden kann. Nach den letzten Resultaten des vorigen Paragraphen hat also (1) dann auch keine complexen Wurzeln. Es ist charakteristisch für die Realität sämmtlicher Gleichungswurzeln von (1), dass (8) eine vollständige Gleichung mit lauter Zeichenwechseln ist, dass also die 0,, &, -.. C wesentlich posıtıve Grössen sind. So erkennt man aus dem Beispiele von $ 120 für die Gleichung ( —a FEa —C=0 unter Berücksichtigung des Umstandes, dass 0, = (c,* — 36,)* ist, als charakteristische Bedingungen für die Realität der Wurzeln der Gleichung (1®) des dritten Grades (vgl. $ 216) C — 46363 + 0,?6,? + 186,6,603 — 469° — 2763° > 0. Bei diesen Betrachtungen ist aber festzuhalten, dass die o Be- dingungen (4) @>0 >0 %O nicht unabhängig von einander zu sein brauchen; ja wir wissen sogar aus den Ueberlegungen beim Sturm’schen Satze ($ 224), dass schon (n — 1) Bedingungen ausreichen, um die Realität aller Wurzeln zu verbürgen; die grosse Zahl von o = %n(n — 1) Bedingungen (4) muss sich daher stets auf (n — 1) reduciren lassen. S 276. Die Untersuchungen über das Vorkommen negativer Wurzeln bei (3) haben uns gezeigt, dass die beiden conjugirt complexen Wurzeln 27 = (a+bi) und Z = (a — bi) von (1) eine negative Wenn daher Wurzel (— 4db°) in (3) hervorrufen. R 9,7 z 9N7 AB Q///‚ sämmtliche negatıve Wurzeln von (3) sind, so befinden sich die Coefficıenten von %i aller complexen Wurzeln von (1) unter den Grössen 3 26 Fünfundzwanzigste Vorlesung $ 276—277. ıl il (5) 2 V9 ,; ; V?; 2 A Dass nicht nothwendig jede dieser Grössen gleich einem solchen Coefficienten oder, geometrisch gesprochen, gleich einer imaginären Wurzelcoordinate ist, zeigt die Annahme z = (@ 4 d0), u = (@-b0), welche zu! einem %, = — (b — b,)” führt. Es ist, also‘ noch nöthis 2 aus (5) die Auswahl zu treffen und zur gefundenen imaginären die reelle Coordinate zu bestimmen. Das macht Lagrange folgendermassen. In (1) trägt er 2z=x-+y%i ein. Dadurch entsteht, wenn a L , (6) f'(@) — BF @) +L f7G@) ı = Ma‚ gesetzt wird, die Gleichung zwischen den reellen Grössen x und y (69) g(x, y”) + iy : h(x, y') = 0, und wenn num zı = %; + yıi eine Wurzel von (1) ist, dann müssen die beiden Gleichungen (6”) _(j<„T‚ 3/;2) 5 O7 _?//L(.Z‘‚ y12) =0 eine reelle Wurzel x = x; gemeinsam haben. Da es sich bei dieser Untersuchung um complexe Wurzeln z; handelt, so ist y, von Null verschieden, und dieser Factor kann demnach ohne Schaden bei der zweiten Gleichung weggelassen werden. Ist dies geschehen, dann muss %— x ein Nullwerth des gemeinsamen Theilers 7(x, y?) der beiden Funetionen g(x, y}) und h(x, y?) werden; und jede reelle Wurzel von T(.%‚ y,12) =0 giebt eine zu y,i gehörige reelle Coordinate einer Wurzel z von (1). Es sind also die Grössen (5) in g und h einzutragen, und es ist zu untersuchen, ob ein gemeinsamer Theiler mit reeller Wurzel besteht. Wir wollen diese Regel an einem früher behandelten Beispiele ($ 254) durchführen, nämlich an der Gleichung dritten Grades z — 3g + 52—2=0. Nach $ 120 wird die Gleichung der Wurzeldifferenzquadrate * + 12° + 66 + 59= 0, deren Form sofort zeigt, dass eine negative Wurzel @, vorhanden ist. Wendet man auf die Gleichung in @ das Criterium $ 206 an, so zeigt sich, dass , die einzige negative Wurzel der Gleichung in @ ist; und daher wird % V— g die imaginäre Coordinate y, zweier Wurzeln 2,, z. Man findet für sie 27 Die Untersuchungen von Lagrange. D — OIGT0B, 4 = Vgı 1467711 Die Gleichungen (6°) lauten hier abgesehen vom Factor y, der zweiten — GD, O — das wird bei unserem Werthe von y,” bis auf die sechste Decimale x — 3a — 1,462531% + 4,462531 = 0, %* — Q% + 0,948608 = 0, und der grösste gemeinsame Theiler beider Polynome ist vom ersten Grade und hat die Form % — 1,226698; man erhält daraus die complexen Wurzeln unserer Gleichung 21 — 1,226698 + 1,4677110, Z — 1,226698 — 1,467711:. $ 277. Zu dieser von Lagrange gegebenen Methode haben wir Wir hatten durch die noch eine interessante Bemerkung zu machen. Substitution z = x + yi aus dem Polynome f(z) erhalten (6°) g(x, y?) + 0y h(z,y°)= 0. Die beiden Gleichungen der beiden Unbekannten x und y (6°) g(@,y)=0 und yh(z,y‘) = 0 haben ihrer Herleitung zufolge genau u reelle Wurzelpaare (x, y) = (%,, Yı); (Xo, Yo); * (Xn, Yn) gemeinsam. KEs liefert dabei der erste Factor der zweiten Gleichung von (6°) alle und nur die reellen Wurzeln von f(z)= 0, wie dies ja auch von vorn herein klar ist, da g(z, 0) = f(x) wird. Der zweite Factor h(x, y?) liefert durch Vereinigung mit g(x,y?) alle und nur die complexen Wurzeln. Ordnet man nun g und h nach Potenzen von x und fasst die Funetionen als ganze Funcetionen von x auf, dann wird sicher die Resultante nach x durch Nullsetzen eine Gleichung © Rın = P(y2) =0 ergeben, die unter ihren reellen Wurzeln y alle imaginären Wurzel- coordinaten der Wurzeln von f(z) = 0 besitzt. Has also 7 = 0 wyırk. lich eine complexe Wurzel 2, = x, + yıi, dann folgt aus (3) und (7) F('_ 4-.7/12> G O; P(?/12) =0 und also haben die beiden Gleichungen He N Z eine Wurzel gemeinsam. Nun ist der Definition nach Fg)= [ [ @ — @— 2)) (A=12 .. l @=2 1 %), 328 Fünfundzwanzigste Vorlesung &$ 277—278, und daraus kann man, wie wir später zeigen werden, den Schluss ziehen, dass F(g) eine irreductible Funetion sein wird, so lange f(z) allgemein ist, d. h. so lange zwischen den Wurzeln von f=0 keine algebraischen Beziehungen bestehen. Verbindet man dieses Resultat mit dem vorigen, dann zeigt sich, dass im allgemeinen Falle P(y”) durch / (— 4y°) theilbar sein muss, Weiter erkennen wir aus (6), dass die Coefficienten von x” in g und h nach y nur bis zur Potenz e aufsteigen, wenn v gerade, und nur bis zur Potenz Y m wenn D un gerade ist. Da ferner nach $ 137 die Resultante P(y”) isobarisch ist von einem Grade, der gleich dem Producte der Gradzahlen von g und von %A in x wird, so ist ersichtlich, dass P(y°) höchstens bis zu Yr D zufsteret, F(—4y°) thut dies wirklich, und so können beide Functionen sich höchstens durch einen constanten Faetor unterscheiden. Endlich zeigt die Eintragung von y=0 in (6), dass das absolute Glied von P (y”) gleich R und daher nach 8 158 gleich D-, d. h. bis auf das Vorzeichen gleich dem absoluten Gliede von F (— 4y?) wird. Wir sehen also: Setzt man f (e) = f(@ 4 y0) = g.(«, y?) + iy - h(x, y°), so wird die Resultante der beiden Functionen @ 1 OD Rıp= P (y°) gleich F(—4y’), wobei F(g) die Gleichung der Wurzel- differenz-Quadrate von f(z)=0 bedeutet. Dies giebt eine bequeme Methode, um die Gleichung der Wurzeldifferenz- Quadrate in geschlossener Form, als Determinante n Ord- nung aufzuschreiben und zu berechnen. Zugleich erkennt man hieraus, dass sämmtliche Wurzeln von P(y’) = 0 durch die Formel z=i—ä i [(x "‘ ) A 000 — gegeben werden. S 278. Die oben besprochene Lagrange’sche Methode liefert die complexen Wurzeln von f(z) = 0 durch Aufsuchung der reellen, positiven Wurzeln gewisser anderen Gleichungen. Lagrange hat nun weiter auch eine Vorschrift zur näherungsweisen Berechnung der po- sitiven Wurzeln algebraischer Gleichungen angegeben, die wir jetzt zu besprechen haben. Sie beruht auf der Benutzung der Kettenbrüche. Wir nehmen an, dass eine reelle, positive Wurzel von f=0 zwischen den ganzen Zahlen @ und (a + 1) gelegen sei. Setzt man dann a FE C0 C il Z Die Untersuchungen von Lagrange. 329 in (1) ein und multiplieirt mit 2””, so erhält man eine neue Gleichung (8) f1(5,) DE c(;z'n E C;z'n—l A C;Z’n—2__ Z + O = 0, welche eine Wurzel ’ = ‚iä besitzt, d. h. also eine positiye Wurzel Für diese sucht man nun durch Probiren 2', welche grösser ist als 1. das nächst niedrige Ganze a, und setzt wieder ül 4 = 0 7r in die letzte Gleichung em. Dadurch kommt man nach Multiplication mit 2”* zu der Gleichung WD (9) f2(zl/) A CJZ”" O C;»zu"_l + c ZZ AF 2_...ic;l'-._—.0‚ welche eine Wurzel z” = — besitzt, d. h. also eine positive Wurzel Für diese sucht man ebenfalls das 2”, welche grösser ist als 1 nächst niedere Ganze a„ und setzt al 2 = + O u s. £. So erhält man für z bei weiterer Fortsetzung einen Kettenbruch Dr (10) E C A A + der in bekannter Weise aufgerechnet werden muss. — Es ist ersichtlich, dass wenn zwischen @ und (@ + 1) mehrere Wurzeln von (1) liegen, z ebenso viele verschiedenen Werthe annehmen kann, so dass also (8) mehrere positiven Wurzeln >1 besitzt, und umgekehrt. Wählt man a, als den Näherungswerth für eine dieser Wurzeln, dann kann auch (9) noch mehrere positive, die Kinheit übertreffenden Wurzeln R D ” haben, falls (1) noch mehrere Wurzeln zwischen den Grenzen „ Ka a—f—(i— und a -+ a wachsenden also in dem von <a — %) aus auf eine Länge von Q, ('111+f1) Intervalle hat. Ebenso kann die Gleichung für 2”” noch mehrere die Einheit übertreffenden Wurzeln besitzen, falls (1) noch mehrere Wurzeln zwischen a + und @+ : RE Ü A, AD a + 1 Zl also in dem betreffenden Intervalle von der Grösse (@, Ag A 1) (A, A AA _|:f) besitzt, u. s. f.. Man erkennt aber zugleich, dass von einer bestimmten 9 } 30 Fünfundzwanzigste Vorlesung $ 278—280 Grenze an sämmtliche transformirten Gleichungen nur eine einzige positive, die Einheit übertreffende Wurzel liefern werden, und dass, sobald die erste solche transformirte Gleichung erreicht ist, alle fol@enden dieselbe Kigenschaft haben werden. Man überzeugt sich leicht davon, dass die Transformationen durch die Formeln Al = fr + @r f n h(e) =f(a) + i HCDETE 31 f @ E WE E A geliefert werden $ 279 Als Beispiel wählen wir unsere frühere Gleichung — 32° + 52—2=0 Hierfür wird a = 0, also z= ,, und dann entstehen der Reihe nach durch die angegebenen Transformationen die Gleichungen 2 z3 —5 +3z2 —1 S L —— 2=0 — 4# —42 —1=0 A 172 — 122 — 82 — 1=0 F7E E HT 42° — 192° — 392 — 17= 0 Öar 65 532 —4=0 _9+ NR 1 2022 Z 2602 E U=0 AL 2 — 672 — 4672 — 202 = 0 NL O TEE, T + 4672° — 206 — 7402 — 269 = 0 Z Aus den Werthen der a ergeben sich die Näherungswerthe ıl 5 6 41 88 E 129 217 346 563 7 9 2 76 ‚61 42864 8972768381 1080 — 0,546601 Die Untersuchungen von Lagrange. 331 und aus der Grösse des Nenners ersieht man, dass der letzte Werth in allen sechs Decimalstellen richtig ist. 8 280. Aus dem Schema des vorigen Paragraphen tritt heraus, dass die transformirten Gleichungen von fz(2z)= 0 an auf den posi- tiven Anfangscoefficienten lauter negative Coefficienten folgen lassen. Lagrange hat dies bemerkt, aber seine auf diese Eigenthümlichkeit gerichteten Untersuchungen*) bedurften noch eines Abschlusses, der erst von Vincent**) gegeben ist. Wir wollen uns mit dieser Frage beschäftigen. In (1) tragen wir als Substitution Pzg+Pz—l D D @=1,2, eın ? wobei über die P und die Q vorausgesetzt werden soll, dass sämmtliche Grössen positiv sind, und dass dıe Differenzen I) %— 1 Q % Q mit wachsendem x beliebig klein werden Durch die Umkehrung der Substitution erhält man den Ausdruck ( —17 S Qz——l P C=(lr Q Z ( O, C X Q, } und daraus geht hervor, dass einer reellen Wurzel z, von (1) wieder eine reelle Wurzel ° ( %— 1 Cr S —— Ü = O e der transformirten Gleichung in 5 entspricht. Ist z, nicht die Grenze dann werden von eiınem der #sıch ıe Brüche oa 07 nähern, bestimmten x ab die Vorzeichen im Zähler und Nenner von &, ver- schieden sein, und &, wird sich der Grenze (— g,) beliebig nähern, da 6, beliebig wenig von o6„,_1 verschieden wird. Das Gleiche wird bei allen . reellen Wurzeln %, &, der transformirten Gleichung stattfinden, bei denen die entsprechenden 2,, 2;, nıcht gleich lim 6, werden. Das ihrer Gesammtheit entsprechende Polynom der trans- formirten Gleichung nähert sich also mit allen seinen Coefficienten mehr und mehr denen einer Potenz von (& + g,). Ist dagegen eine Wurzel von (1) z. B. %, der Grenzwerth von OB derart, dass z stets zwischen zwei aufeinanderfolgenden 6 liegt, dann *) Euvres, Bd. VIII, Note XII, S. 286. **) J. de M. I, 341; Note sur la r6&solution des Equations num&riques. 332 Fünfundzwanzigste Vorlesung $ 280—281, wird &, einen positiven Werth, etwa + „ erhalten und zum Wurzel- factor (£ — p,) gehören. Ueber den Werth von D lässt sich nichts aussagen. Ferner entspricht der complexen Gleichungswurzel (x, +- Öl} von (1) die Wurzel & der transformirten Gleichung: Sa A 677.-7—11 —&r _ly1 _- % (6z—1—‘7;1)(x1_6z)_?/12 AT Zı (G‚f”‚— 1 LU __Gyj Vx1 “F“Z E o K Man erkennt sofort, dass bei hinreichend hohem x die imaginäre Coordinate n sich der Null, und die reelle dem Werthe (—9gx) nähert; genau wie dies bei den reellen Wurzeln erster Sorte stattfand, wird also auch hier bei hinreichend hohem x der Wurzelfactor [E —(&, + in,)] sich beliebig wenig von (&-+-gq,) unterscheiden. Besitzt (1) keine Wurzel %, welche zwischen je zwei auf- einanderfolgenden Werthen der convergirenden Brüche P1 PZ 1) —1 B % (11) Q 8 Q T O liegt, dann nähert sich die transformirte Gleichung asympto- tisch der Form Zl +a = 8 ( er e bn (a C ) Ist dagegen eine derartige Wurzel z vorhanden, dann er- hält man für die Gleichung®in & die Form Ea + (a e n—1 n—1 ( +[( 2 K ıl )p„] quE" ® n—1 n—1 +[( 3 Y 2 >19„] E Falls auf der rechten Seite einer der Coefficienten negativ wird, muss, wie man leicht sieht, der folgende und also auch jeder folgende negativ sein. Der letzte Coefficient ist negativ, da , positiv wird. Ist eine Wurzel % vorhanden, welche zwischen je zwei aufeinander folgenden Werthen der Brüche (11) liegt, dann besitzt die Gleichung in & stets einen und nur einen Zeichen- wechsel nn OS Reihe der Coefficienten bei hinreichend hohem x. Bei der Lagrange’schen Transformationsmethode treten die hier besprochenen Verhältnisse ein, da man (11) mit der Reihe der durch den Kettenbruch (10) gelieferten Näherungswerthe zusammenfallen Die Untersuchungen von Lagrange. 333 lassen kann. Dass der Zeichenwechsel nicht nothwendig beim zweiten Ghiede einzutreten braucht, wie dies beim Beispiele des vorigen Para- graphen eintrat, zeigt die Behandlung der Funetion —— f (&) == @-2-DC+1D wenn man die Wurzel A 9 ( V5) zu berechnen sucht. $ 281. Die auseinandergesetzte Methode steht, trotzdem Lagrange sie über die Newton’sche setzen möchte, in ihrer praktischen An- wendbarkeit der einfachen Newton’schen nach. Die auszuführenden Sie zerfallen ın Rechnungen sind von ermüdender Weitschweifigkeit. zwei verschiedene Theile. Einmal ist nach Auffindung jedes 'Theıl- nenners eine Transformation der Gleichung vorzunehmen, und dann muss für diese transformirte Gleichung wieder eine positive, die Kın- heit übertreffende Wurzel gesucht werden, welche als neuer Theil- nenner zu benutzen seinm wird. Lagrange hat gezeigt, dass nach einigen Anfangswerthen für die Theilnenner alle folgenden ohne müh- sames Probiren direct bestimmt werden können. Die Ableitung dieser Vorschrift bei Lagrange ist etwas umständlich. Aus der Gleichung (12) können wir sein Schlussresultat direct entnehmen. Hat_ man nämlıch f/(;) B c((]x);n Ga C(;:)Cn—l + C(;)Cn——2 B i CELx) —( als transformirte Gleichung, aus welcher der Werth des neuen Theil- nenners a, zu bestimmen ıst, so folgt aus den Ueberlegungen des vorigen Paragraphen erstens, dass a, gleich der grössten ganzen Zahl sein muss, welche in „ enthalten ist, und zweitens, dass angenähert n—1 c(f) (18) % ( al n @ n—1 Qx—l (x) AAy “ Cn (18%) ( il ) Q (z) sein wird; ja man kann aus (13) an Stelle der ganzen Zahl @, den Werth y, als angenäherten vollständigen Theilnenner entnehmen und so beim Abschlusse der Rechnung die Genauigkeit des Resultates noch vermehren. Weitere algebraische Untersuchungen von Lagrange gehören anderen Gebieten an; wir werden auf sie an gehöriger Stelle noch einzugehen haben. € € 3 € € 34 Sechsundzwanzigste Vorlesung $ 282 —284. Sechsundzwanzigste Vorlesung. Die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades. S 282. Wir sind bisher nur beiläufig, besonders bei der Be- handlung der Tschirnhausen-Transformation auf die Lösung der algebraischen Gleichungen der niedersten Grade eingegangen. Hier kehren wir zu dieser Frage zurück, um sie systematisch zu erledigen. Hat man zunächst die Gleichung zweiten Grades (D 2 — 2a,2 + a =0, so folgt durch die Substitution 2= U + 4, u = 2 — Q, die umgewandelte, vereinfachte Gleichung a Eine Gleichung von der Form #” — c=(0) heisst eine reine, oder eine binomische Gleichuneg: o eine solche haben wir hier also durch unsere "T’ransformation erlangt und können daraus das Resultat u 4 Va w ß ( Z VZZ? 73 a2— ziehen. Bezeichnen wir die beiden Wurzeln von (1) durch z, und z 27 so haben wir je nach dem gewählten Vorzeichen der Quadratwurzel PEF (2) A z + Vd12f'; 02‚ P Va, A> (3) Aı Za a 2 Va1 A A Z9y __zl © — ?11‚'£3‘”‘‚ Z j: z 2 ? (A 21 Welcher Werth dabei der Quadratwurzel gegeben werden soll, ist ganz ın unser Belieben gestellt. $ 283. Auch die Gleichung dritten Grades (5) — 3a2 4302 —a =0 kann man durch eine UT’schirnhausen’sche "T'ransformation, wie in $ 115 angegeben ist, in eine reine Gleichung umwandeln. Wir wollen Zunächst setzen wir dies schrittweise bewerkstelligen. 2=uU + G, u = 2 — d und erhalten durch Umwandlung eine Gleichung ohne das Glied mit 2 u nämlich u — 3(a — a) u — (2a,? — 3a0 + a)= 0. 330 Die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades Der weiteren Behandlung können wir sonach von vorn herein die ein- fachere Form (6) D +uc2 =0 zu Grunde legen JEentr wa da e =8,= 0 8 © X e SN 1 il 3C 59 A z 4 = — 108 (6* + 6*), 232 = 183 VE Die Formeln aus $ 115 zeigen dann, dass man aus (6) vermittels der Substitution (7) u= 26 +(%+V% +C25) + @& eine reine Gleichung erhalten muss KErhebt man (7) in die zweite und in die dritte Potenz, so folgt nach gehöriger Reduetion durch (6) (7°) W=2V63" + 6,° 126 (C3+VC3 +cz3)_‘c2 Ä+(03+1/632+025)2 j Z 2Va? +a FVa +o ] {90 2+( C V (8) w =8 VFa e Va F Die letzte dieser Gleichungen giebt direct das Resultat der Einführung von w in (6). Man hat also durch Ausziehen der dritten Wurzel (9) “=21/('3 | © VC„+VQ; © Aus den beiden Gleichungen (7) und (7%) folgt durch Elimination VOn 2V‘33 + 678 - O0 2 1/cf+c2 [ca al 1/632+023] 462 (6 -{ 0 °) C w 2 und daraus als Lösung der Gleichung (6) vom dritten Grade das Schlussresultat in der Form JDan VVCa E a KD E TE C (10) 1/Vca + c 5'2 + C E EET T G S V03 'f' C2 a V('3 VÜ 3 +C2 $ 284. Zu dem gleichen Ergebnisse kann man auch mit geringerem Aufwande von Rechnung gelangen, indem man nach Euler (11) 2=6+rT 2 = (o® ) H3076 7) 6 K 7) -K B3or2 setzt und dann (6) und die aus (11) folgende Gleichung 30 3)__0 £ 2 € } I 6 Sechsundzwanzigste Vorlesung $ 284—286. miıt einander identificirt. Hiernach wird wegen der nothwendigen Uebereinstimmung der Coefficienten in beiden Formen: O 2 69 v} E= E A O Va a =6 Va *, wobei gleichzeitig die beiden oberen oder die beiden unteren Zeichen genommen werden müssen, damit die vorhergehende Gleichung be- friedigt werde. Daraus ergiebt sich dann wiederum, wie oben (10°) 0Va Va Vo — Vra &$ 285. Bedenkt man, dass die Quadratwurzel zwei verschiedene Werthe repräsentirt, so scheint es, als ob zu der ersten Formel von (10) noch die zweite Formel mit verändertem Vorzeichen der Quadrat- wurzel, nämlich (11) 8 S V T C Ji/C.; _V a treten müsse; aus der Identität —— E:3 or Va Vr a Va Va Fa —C‘_)‚ folgt aber, dass dieses Resultat nur eine andere Form des in (10) er- haltenen. darstellt, indem die Summanden sich vertauscht haben. Bezeichnet man weiter die drei Wurzeln von 2° — 1==0, also die drei dritten Einheitswurzeln mit 1, @, w”, wobei demnach z —1 +V=3 D 2 EL A BETENSOE E == Q z 2 Vf3; 1 [O) ist, dann folgt für die drei Wurzeln von (1), wenn man dem Symbol V einen beliebigen, aber bestimmten von seinen drei möglichen Werthen giebt, Al C CZ Voy + Va :VC:; n VCS n C9 @ (12) 29 0 Vos + Vo? + @* =0 C Vc} E A C @W Ö3 w i/;5—+ V('327+7? C :i/cs V +& Bei der Anwendung der zweiten Formel von (10) ist zu bedenken, dass die Cubikwurzel im zweiten Summanden von w* aus (9), und die im ersten dem w entspricht, dass also hier zu setzen ist 337 Die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades CZ 1/03+V03 + 6 H+ Vcä—1/c3 + 6, —— (13) (} 1/03—l—1/c3 +c3—|—co21/c —Vc3 +02‚ — 3 21/03+1/c3 +02 AL 1/03—Vc3 —{—02 Die Werthe der beiden in (13) vorkommenden dritten Wurzeln sind nicht von einander unabhän oa ig sondern sie müssen durch die auch aus 60tT = — @_ hervorgehende Beziehung mit einander verbunden sein Diese Beschränkung, welche hinzugefügt werden muss, zeigt, dass die Formeln (12) den Formeln (13) vorzuziehen sınd $ 286. Aus den Untersuchungen des $ 216 können wir sofort entnehmen, dass für C © 0 nur eine reelle ür on O drei reelle und von einander verschiedene Wurzeln vorkommen, während bei ”2 + c = 0 drei reelle Wurzeln vorhanden sind, unter denen mindestens zwei einander gleiche Werthe haben. Das können wir hier auf unsere Lösungen gestützt, auch direct herleiten Ist 6? + c > 0, so werden die Radicanden der Cubikwurzeln in (13) reell und daher dürfen für die dritten Wurzeln selbst reelle Werthe genommen werden, die wir miıt 4 und B bezeichnen wollen Dann findet sich bei der Einführung der Werthe für o und ® A A+B 4A4 — B 2 + 2 V-—3 (4+B) 4— B <3) A+B V "))) 2 2 d. h. es kommen bei * + *>0 zwei complexe Wurzeln z vor Ist ” + 6° = 0, so wird wegen 1 + w + w*= 0 - 21/03> 2 A Dn 1/cß; d..h. bei 6” Fa = 0 sz1ebt.es zweiı reelle, sleiche Wurzeln Ist endlich , 6 . 0 so werden die Radiceanden der Cubik- wurzeln in (13) complex und einander conjugirt; dasselbe findet dann auch mit den dritten Wurzeln selbst statt, und setzt man daher dem- entsprechend bei reellen « und ß V63—l—1/03 I @ = @ O 1/63—VC3 @ =' @ — ßi so folgt für die Ausdrücke der Wurzeln Z 2a ’ 1/—3 (« + A D =—a+ßV3 = (« + ß — V B (@— 1+1/—5 a—ßV Netto, Algebra. I 22 338 Sechsundzwanzigste Vorlesung $ 286—288 Diese Wurzeln sınd reell sie sind auch von einander verschieden Denn wäre zuerst 20= —a +ß8V3 so hätte man V3 B Z E, a Bi= —2 ( 9 ) &Va Z B Dn und das wäre gegen die Voraussetzung reell Es kann aber auch nicht —a+ßV8= -a — ßVß sein, denn sonst wäre ß=0 und 6 + Vc;? +c,? eine reelle Grösse BEr c 2A0 Sind alle dreı Wurzeln reellund on ein? ander verschieden. 8 287. Dieser letzte, der sogenannte irreduecible Fall, macht bei der numerischen Rechnurwr wegen des scheinbar unnoth1gen Durch- ganges durch das Complexe Umständlichkeiten. Es ist für solche Zwecke besser die Lösung durch goniometrische Funetionen zu be- bewerkstelligen, um ganz im Gebiete des Reellen zu bleiben Es sei, um dies durchzuführen — Q cos g, G5 a © Q Sll]"q)‚ ( < 0) dann wird FE C 0=V— 6, cosgp= ( <0) und also cä7 1 8 s=Vo (co] +[—o]) Weil nun aber nach einem bekannten Satze [(6p]' —[ etten @=0, 1 ) ist, so folgen die drei Gleichungswurzeln in reeller Form =2V0cos , 2 = 20 cos A O P { 4x 2 =210 cos Der hier behandelte Fall legt die Frage nahe, ob es nicht möglich sein sollte bei anderer Anordnung der Rechnung den Durchgane durch das Complexe auch in der algebraischen Auflösungsformel zu vermeiden Wir werden später erkennen, dass dies durch die Natur der Sache ausgeschlossen ist ° Die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades. 339 $ 988, Neben die behandelten Auflösungsmethoden für die Gleichung dritten Grades könnten wir auf Grund der ersten Formel in (12) noch diejenige stellen, welche sich durch dıe Substitution einer Variablen qg vermöge C z=q—-— q ergeben würde. Die nöthigen Rechnungen sind dabei äusserst einfach, die Substitution selbst erscheint dagegen weniger naheliegend. — Kine rechnerisch complicirtere, theoretisch dagegen eben so ein- fache wie wichtige Methode stammt von Lagrange; sie beruht auf der Benutzung der symmetrischen Funetionen der Wurzeln. Ein lineares Aggregat der drei Wurzeln 2z,, %, und 2 (14) 0 =24 + 424 + Bez besitzt beı allen Vertauschungen der z untereinander sechs Werthe b %. 442 4 Des, b =% 1 4% 4 Ba b =% 4 d 4 B, (15) 5 U, = 2 1 4% 4 B&, o AB K A B, und genügt deshalb der Gleichung G - —HC —CDC Gelingt es, 4 und B so zu bestimmen, dass diese Gleichung die ein- fache Gestalt N annimmt, dann lassen sich die Werthe von % durch Lösung dieser in %® dquadratischen Gleichung angeben. Für das Zustandekommen dieser Gestalt ist es nöthig und hinreichend, dass mit %, zugleich c t1) @4, und mit %, zugleich @4, und w*4 zu den Wurzeln (15) gehören. Wir setzen daher ‚0 = 0, a = @9 b ( 5 = @U und erhalten aus den Gleichungen % 4 A2, + Bep = w (& + 4% + Ba), % 7 Ag + Be, = w"(2, + 4% 4 Bz) und den entsprechenden übereinstimmend die Resultate 4= , X = @ Ür DA a i Aa @ y A D — MB +N= ( —4C — =, ° + 47 = 28(2,°) — 38(e?2) + 12222 = 546;, (t4)* = (S(Zx)2 — 38(&,%))° z — 2065 AD 4 =27 (03 e chz 3 c;ä) ’ t43 =27 (53 AF V£32 n C2—3); 4 — 3Va Va Ha W 3i/03 An VC?‚T"I“—»Ü23 DD 340 Sechsundzwanzigste Vorlesung $ 288—289 Weil nun gemäss (15) und wegen (6) { > %, 1 @2 + @*%, ÜE (1 + w + w?=0) O = 2 % + 23 ist, so folgt durch lineare Combination dieser drei Gleichungen o e + z l/cg—{—l/c3 +cfi+ 1/c3 V03 F Cz } NTA E (18) (“’ 4, + @b) — ® l/c3+1/03 —l—cf—f—co 1/03—er5 +027 SEA 3 ö ( He e Va a aVa _ Varte Die zu Grunde gelegte specielle Form der Gleichung dritten Grades (6) 2# + 362— 26 =0 ruft hierbei nur geringe Vereinfachungen gegenüber der allgemeinen Form hervor 2 } Setzt man unter Beibehaltung des Coefficienten von z (6*) —08 +g —r=0 dann wird die Gleichung sechsten Grades — @0 — Yner- OD und die weıteren Aenderungen sind leicht zu übersehen Man hat Ü A 2 (16) U1 = 8, 7 ®“ 8 - @B, HE VB VE P=4 + Sa C und also findet man <i b T 4), AF =(p + w*t, + wt‚), 8 3(p+ mt—|—cot‚;) Bemerkenswerth ist, dass sowohl %, und %,, d. h. die beiden Cubik- wurzeln, welche in die Lösung eingehen, rationale ganze Funectionen von Z,, %, % sSind (mit complexen Coefficienten), als auch VQ, d. h die auftretende Quadratwurzel Das Erste ist aus (16) zu ersehen das Letzte folgt aus 2VQ = 0 = (2, + 0’2 { 08)° — (& 4 0% + 0*2) 800 — 1) 02 E e l RN — A0 ] @ za C 31/—‘ 3 (8, — %) (& o Die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades. I 41 Abgesehen von einem constanten Factor ist also die innerste Wurzel, die bei der Lösung auftritt, die Quadratwurzel aus der Discriminante der Gleichung. Bei den quadratischen Gleichungen bemerken wir dasselbe. $ 289. Bei den Gleichungen vierten Grades führt die T'schirn- hausen’sche Methode bereits zu recht complicirten Formeln; deshalb lassen wir diese auf Transformation gegründete Lösung bei Seite. Wir wollen die zu Grunde gelegte Gleichung vierten Grades ( & —448 + 64 — 4435 + au = 0 zuerst durch die Substitution E U - 0& u — 5 — a vereinfachen. Dabei ergiebt sich als reducirte Gleichung (18) u* + 6(a — ay?) u — 4(a — 30,0, — 2a,°) u A ( — Aa A Oaa — Sal) —0 und die weitere Behandlung können wir demnach an die Form (18°) * — 46,2 — 862 — 4c, = 0 knüpfen. Wir setzen, ähnlich wie bei den Gleichungen dritten Grades nach einem von Euler angegebenen Verfahren *), 2=0-+06+-r, g — (0* + 6 + r?) = 2(06 + 6r + 70o), — HAAA ( Al0024+ + 04 Boore und identificiren diese letzte Gleichung mit (18%). Das ergiebt die drei Forderungen O al 62+772=2027 00 + A A, QOO0T — G, so dass o”, o* und 7* die drei Wurzeln der Gleichung (19) ELE a sind. Bezeichnet man diese Wurzeln mit &,, &, &, so folgt O Vg17 OE V j: V53‚ und zwar können zweı der Vorzeichen -+— willkürlich angenommen werden, während das dritte so zu wählen ist, dass die Gleichung O° On =0 befriedigt wird. Sind demgemäss bei der Darstellung einer Wurzel (20) a=Vi+V&+V6 die Vorzeichen richtig gewählt, dann liefern die drei weiteren Zeichen- combinationen, welche die Forderung 067r = c erfüllen, *) Comment. Petrop. 1738. 342 Sechsundzwanzigste Vorlesung $& 289—291. e Z VE VE E (20°) A 2 Va VE die übrigen drei Wurzeln von (18°%). $ 290. HEine andere, bereits von Descartes benutzte Methode beruht darauf, dass man eine Zerlegung des Gleichungspolynoms durch- führt, indem man das Polynom von (18°) 4 — 408 — 862 — 464 = (# + 2ug + v) (& — 2ug + w) setzt und die noch unbekannten Coefficienten ı, v, w bestimmt. Sind sie gefunden, dann ist die Auflösung von (18%) auf die Lösung zweier quadratischen Gleichungen reducirt. Multiplicirt man rechts durch und vergleicht die Coefficienten gleich hoher Potenzen von K S so folgt v + w = 4u* — 46,, UZE 8 ? vw= — 4c,, und also daraus weiter 2C; v= 2W — 26 + 2f; Z w = 2wW' — 26 — u ? 2u —26 = z 2Cz — 4C, = (2u2 —26 + ");i> ( 2 —2 } (21) ÜZED KEin Blick auf (19) zeigt, dass &= w* ist. Die algebraische Bedeutung von w ist a priori klar: die verschiedenen Werthe von 2w und (—2u) sind _ die verschiedenen Summen von je zwei der Wurzeln 2,, Z 53) 547 was ja a posteriori auch aus (20) und (20*®) durch die Formen (22) ata=2Vi, a+4=2V6, atTa=2V6 hervorgeht. Die sechs Wurzeln w sind somit direct durch —+ 1/.gf - +VE, -EVE& gegeben. Die Gleichungswurzeln von (18%) treten hier in einer von (20), (20*) ganz verschiedenen Form als Summen von nur zwei Quadrat- wurzeln auf; die Schlussformeln 'gehen nämlich aus -a (Qa — 20 A, 2 — 26 2Cz 52——2uz—{—( S hervor und lauten in abkürzender Bezeichnung RA Aa a V'“ M E A0 ® ? (23) EFE k SA A SN 2C; 23,4 = —UF V— Vu2 +2702r Die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades 343 Dies würde also, wenn man etwa V&, statt w einträgt, zu den Re- sultaten O Z12—-+VÄ+V B ar 20 (28*) VE 2C; Z34——**V%1+V—51+202 VE führen Vergleicht man dies mıt (20)‚ so zeigt sich, dass E, 2c3 Va =Vt, + V& +V&, VE oder nach Weglassung von V& und Quadrirung 263 . E‚2 A %5 + 2VE2 Vgs —B r Z - V, werden muss, was, wie die Gleichung (19) beweist, auch wirklich der Hall ist, da 8 E, FE Z 26 und 8558 = 6 wırd. Die Umwand- lung der Formeln (23) in (20) oder umgekehrt ist daher leicht zu bewerkstelligen Dieser eigenthümliche Zusammenhang unter den Wurzeln, dass nämlich 2C3 VE — Vg2 + V%3 VE ist, erklärt es dann auch, dass die Gesammtheit der vier Wurzelwerthe in (23) stets dieselbe bleibt, welche Wurzel von (21) auch in (23) für w eingesetzt werden möge $& 291 Der Lagrange’sche, bei den Gleichungen dritten Grades dargelegte Gedankengang führt hier auf die Einführung einer sechs- werthigen Funetion £ der vier Wurzeln z, welcher man am einfachsten die Gestalt giebt $ = 2 + Z — %3 — %ı Daraus folgen dann t—_zl+z2 Z b —"‘Z1_22+43+54—*t1; (24) L =2, m‚+ß‘;; 47 B = Aa Z3+Z4 2? U = 1 — % Sal 2 z Aa —-—t als die einzigen verschiedenen Werthe, welche %, bei den 24 möglichen Vertauschungen der z untereinander annehmen kann. Die Coefficienten der Gleichung GEl — i)= PE 6E =0 sind somit rationale ganze Funetionen der Coefficienten von (18). Man erhält durch Ausrechnung ihrer Werthe M 4“ 26 62 + 2 e = ( C AA 460,2, 344 Sechsundzwanzigste Vorlesung $291—293, Siebenundzwanzigste Vorlesung 8 294, und daraus folgt (25) — A A e — Ar 0 so dass sich also £= 4u herausstellt. Sind die Werthe von t be- stimmt, so liefern die Gleichungen (24) m Vereine mıß 2,2 E + %2 =0 die mit (20) und (20®) übereinstimmenden Resultate l =%(£1 7a % =%(t'l e ä == — A i G 4 (‘ Zl1 5 t2 + t3)' $ 292. Die Gleichung (19) giebt in Verbindung mit den Formeln (20) und (20°) Aufschluss über die Natur der Wurzeln. Da (19) vom dritten Grade ist, so besitzt diese Gleichung eine oder drei reelle Wurzeln. Ist nur eine Wurzel & reell, so mögen etwa &, und &; con- Jugirt complex sein. Dann können wir, da auch VE und E cn Jugirt sind, e V& =2+ig, V&=po—- ig setzen und erkennen, dass z, und z reell, dagegen A und Z conjugirt complex sind. Sind die Wurzeln & von (19) reell, und ist c, +0, dann existirt unter den & wegen des positiven absoluten Gliedes mindestens bine positive Wurzel. Wir wollen die drei Fälle betrachten, dass alle drei, oder zwei, oder nur eins der & positiv ist. Dabei ergeben sich die Sätze: Sind alle drei Wurzeln & positiv, dann sind alle vier Wurzeln z reell und von einander verschieden. — Sind zwei der Wurzeln & positiv, während die dritte negativ ist, dann sind alle vier Wurzeln Z “ complex. — Ist eine Wurzel etwa E, positiv, während &, & negatiy und von einander ver- P schieden sind, dann sind alle vier Wurzeln « complex. — Sind zwei Wurzeln E& negatiy und einander gleich, dann werden zwei Wurzeln z complex, die andern beiden reell und einander gleich., Der Grenzfall c = 0 hat zur Folge das Verschwinden eines der & und daher das a priori ersichtliche Resultat, dass zwei Paare ent- R D vorhanden sind. gegengesetzt gleicher Wurzeln $ 298. Die innerste in den explieiten Ausdrücken für die 2 vor- kommende Wurzel ist die Quadratwurzel, welche der Lösung von (19) ihren Ursprung verdankt. Nach dem Schlussresultate von $ 288 hat diese Wurzel demnach, von einem constanten Factor abgesehen, den Werth Einheitswurzeln. 45 (%1 R gz) (5;2 an gs) (g3 RA gl) =VE-VE)VE+VEIVE-VE)VEVE)- und also nach (22), wieder mit Unterdrückung einer multiplicativen Constante, den Ausdruck in den Wurzeln 2,, %, %3, %ı ea eala Cal @ @ N = (& — %) (0 — 2) : (0 — 24) (ı — %) (& — A) (& — %)- Das ist somit, genau wie bei den Gleichungen zweiten und dritten Grades, die Quadratwurzel aus der Discriminante der vorgelegten Gleichung vierten Grades (18*). Aber dasselbe gilt auch von der all- gemeinen Gleichung (17); denn da die Wurzeln beider durch die Be- ziehungen ;=Z+a1; €z"‘é/4 O mit einander verbunden sind, so folgt ohne Weiteres, dass auch hier die Diseriminante der €& als Radicand unter die innerste Wurzel tritt. Aus der Gleichung (19) können wir die Beantwortung der Frage erhalten, wann eine Gleichung vierten Grades (18*) ohne Anwendung von Cubikwurzeln lösbar ist; es ist dazu nur nöthig, dass (19) eine rationale Wurzel besitzt, so dass die andern beiden durch Quadrat- wurzeln darstellbar sind. Siebenundzwanzigste Vorlesung. Einheitswurzeln. $ 294. Wir haben uns beiläufig bereits mehrfach mit Grössen beschäftigen müssen, bei denen eine Potenz gleich der Einheit wird. Es ist Zeit, dass wır auf ihre Natur und ihre Eigenschaften syste- matisch eingehen. Die Wurzeln der Gleichung (1) A U heissen die m” Einheitswurzeln. Wir bezeichnen sie im All- gemeinen durch die Buchstaben @2) O9 0,, 0, Om —1 und verstehen dabei unter @„ die stets als Hinheitswurzel beliebiger Ordnung mitauftretende Zahl 1. Die Werthe (2) sind alle von einander verschieden, weil (1) keine vielfachen Wurzeln besitzt. Dies ist daraus ersichtlich, dass 2” — 1 mit der Ableitung m#"—! keinen gemein- samen Theiler haben kann. 346 Siebenundzwanzigste Vorlesung 8& 294—296. Ist eine Grösse @ zugleich eine m* und eine n® Einheits- wurzel, so ist sie auch eine %" Einheitswurzel, falls & den grössten gemeinsamen Theiler von m und n bedeutet. Es gsei n>m und ” == _> qm + m, (m, <m), dann folgt aus den Gleichungen Co7)l —7 AL i Q o — IM +M — (03m)9007"1 = 0 — 1) dass @ auch eine m* HEinheitswurzel ist. Wenn dann weiter nach dem KEuklid’schen Schema m = qı M, + m angenommen wird (m, < m,), dann folgt ebenso, dass @ eine m,' Einheitswurzel sein Muss, uU. S. W. Man kann den Beweis auch direct durch. den elemen- taren zahlentheoretischen Satz führen, dass es zwei ganze Zahlen u, v giebt, für welche die Gleichung mu +nv=khk gilt; denn hieraus folgt unmittelbar o — amu+t+ny — (CO"‘)“ (C0")" =2 1 Die Potenzsummen der m® Einheitswurzeln genügen den Gleichungen %9 d @ T @ .+. + On — O; "i'; a77?;——'1 . 0; . m—1 m7[;1.—1 + w7ln—l + ü)g;_l'+.' S - + @ m— m771 0 M = N D + 0 + + — und es wird allgemein bei ganzzahligem k& & Z M o + + 4 w m— 1 (wenn &— 0 (mod. m) 180), —>5 S 0 (wenn k& nicht =0 (mod. m) ist). Dies folgt unmittelbar daraus, dass für die elementaren symmetrischen Funetionen aus der Form der Gleichung (1) die Bestimmung S(w()> =0 ? S(“’o“’1) =0, G o O 0 O90‚ @3 mı = 1 hervorgeht (vgl. $ 94) $ 295. Ist @ eine m® Einheitswurzel, dann ist auch jede positive ganzzahlige Potenz w‘ eine solche. Denn es ist ja (mt)m n (mm>t Z Derselbe Satz gilt auch für negative ganzzahlige Potenzen, wobei WE oder auch‘ 0‘ = w*m—t (O) zu definıren ist. — In der Reihe, die wir uns beliebig weit erstreckt denken wollen, (3) 16 00600 © Einheitswurzeln. 347 sind demnach alle Glieder m' Einheitswurzeln; da es deren aber nur m verschiedene giebt, so müssen zwischen den Gliedern von (8) Gleichungen 0® = w“ (ß > «) vorhanden sein. Daraus folgt w 7“ = 1, d. h. es giebt auch Glieder der Reihe, die gleich 1 werden. KEs sei w* das erste derartige Glied, dann sind alle ihm in (3) vorhergehenden Potenzen 11 @p *, 0.)7'_1 (4) von einander verschieden, weil aus @* = w“ (x > ß > «) wieder w& = 1 (ß8— 0 <x) folgen würde, was der gemachten Annahme widerspräche, dass erst o“ = 1 wird. Dieselben Werthe (4) in der- selben Aufeinanderfolge wiederholen sich dann in (3) unaufhörlich, derart dass für jedes « 0 = arte — arr — ist, und dass dies auch die einzigen Glieder von (3) sind, welche den Werth @“ annehmen; insbesondere sind die Potenzen Ö5) WE die einzigen, welche den Werth 1 besitzen. Von diesem für w charak- teristischen Exponenten x sagt man: Die m® KEinheitswurzel w gehört zu x, oder w gehört zum Exponenten x, sobald @* die niedrigste Potenz in (3) vom Werthe 1 ist. Da nun w”= 1 ist, so muss @” in der Reihe (5) vorkommen, d. h. jeder Exponent x, zu dem eine m® KEinheitswurzel ge- hört, muss ein Theiler von m sein. Es ist eine sehr wichtige Frage, ob umgekehrt zu jedem Theiler von m als Exponenten ge- nommen auch eine m° Einheitswurzel gehört. Diejenıigen etwa vor- handenen m* Kinheitswurzeln, welche zu m selbst gehören, heissen primitive m® KEinheitswurzeln, diejenigen hingegen, bei denen dies nicht der Fall ist, heissen nicht-primitive m® KEinheits- wurzeln. Die Entscheidung der Frage, ob es primitive m* KEinheits- wurzeln giebt, wird auch die Lösung der allgemeineren Frage herbei- führen, ob zu jedem Theiler d von m Wurzeln gehören. $ 296. Wenn m eine Primzahl = p ist, dann folgt die Antwort sofort aus dem Umstande, dass jeder Exponent, zu dem eine Wurzel gehören kann, ein Theiler von m =% ist, also hier nur gleich 1 oder gleich p sein darf. Im ersten Falle wäre schon w!= 1, d. h. nur die Kinheit befriedigt diese Forderung. Folglich sind alle von 1 verschiedenen p*” Einheitswurzeln primitiv, und ihre Zahl ist (n — 1). Die Anzahl der für ein beliebiges m” vorhandenen primitiven 348 Siebenundzwanzigste Vorlesung $ 296—297 Einheitswurzeln wird durch die zahlentheoretische Fun ction @ (m) bezeichnet Es ist daher als erstes Resultat zu verzeichnen il (6) w(p)=p( ) D Auch für eine Primzahlpotenz m = p“ lässt sich die Frage ohne irgend welche Schwierigkeit entscheiden. Jede nicht-primitive Wurzel o gehört zu einem Theiler von m = %“ und also zu einer Potenz p“ (« <w); folglich ist die p“ —1 Potenz jeder nicht-primitiven Wurzel w sicher bereits. = %o d. h. jede nicht-primitive Wurzel, und nur die nıcht-primitiven m“" Wurzeln sind schon Wurzeln von Zpu——l B 1 Es giebt daher genau p“—! nicht-primitive p«t Kinheitswurzeln, und die übrigen vorhandenen (p“ — y“—1) Wurzeln sind deshalb primitive; es ist somit als zweites Resultat zu verzeichnen (6°) q)<p/z) _pl(‚ ( JA } D Wir können noch tiefer in die Natur dieser p“ Einheitswurzeln eindringen. Es sei w, eine beliebige unter den p Wurzeln der Gleichung P il ’ @, eine beliebige unter den p Wurzeln der Gleichung P — @, u. s. w. und endlich w eine beliebige unter den p Wurzeln der Gleichung ZP — Q Z15 dann ist das Product der so erhaltenen w,, @,, --- @u, nämlich (7) O = 0, 0,0; mu—l‘”u; eine p“ HEinheitswurzel Denn wır erhalten der Reihe nach die Gleichungen w? P a? ao? = 1 . 0, @5 Ou—2 C —i u—1 ©ö” ”a o? u—2 ao? u = 1.0, @; Ou—2) D 206 w2“ 1 Ferner sind alle diese p“ Wurzeln, die bei verschiedener Wahl von 0;, ©2,, @. gebildet werden können von einander verschieden Demn es folgt aus der Annahme der Gleichheit @& = @, d. h @O, 0> Ou—10u = 0102 Ou—10u), durch Potenzirung Einheitswurzeln. 349 — u—1 /n F u—1 ON Z O = i wn ı—2 D = 0,0, = 010:, . . und daraus ergiebt sich der Reihe nach w,= wij, , = ®;, Man erhält somit auf diesem Wege durch die Formel (7) alle y“t°» Einheitswurzeln und zwar jede ein einziges Mal. Endlich fragen wir nach den nicht-primitiven Wurzeln unter (7). —. Für sie, und nur für sie, wird bereits die p“—** Potenz 1, also nach dem oben bei der Potenzirung gefundenen Resultate w, = 1; d. h. @ ıst eime nicht-primitıye oder eine prımıtıve Wurzel, je nachdem in (7) w, = 1 oder von 1 yerschieden angenommen wird. Die Herstellung einer primitiven Wurzel hängt daher ab von der Auffindung je einer Wurzel w,, ,, @. der Gleichungen A 2 = 1 ’ Ö @y ZBRIEZ @,, P — CO„_1‚ wobei die Wurzel @, der ersten Gleichung von 1 verschieden sein muss. Als Beispiel wählen wir p=2, u=3. Dann ist w, ._.1‚ O —0 und @, als Würzel \ yon 2 —0 u wahlen: Setzen wir, um diese Wurzel zu berechnen, w; = p + qi, so wird ; = p + 2pqi — q° = , p2 A q2 Z Z oa — Es reicht also aus, d = q = zu setzen, und man kann V‘“ G 8 V“2 wählen, um daraus dann nach der obigen Vorschrift D = 0,0,0; = — 1-.0- L+}= 1—7% Vvz V als primitive achte Einheitswurzel bestimmen. $ 297. Den Wir gehen jetzt zu dem allgemeinen Falle über. beliebigen KExponenten m, der weder eine Primzahl noch eine Primzahl- potenz sein soll, zerlegen wir willkürlich in zwei zu einander theiler- fremde Factoren m =r.s und verstehen dann unter « jede y'® und unter ß jede s° Einheitswurzel. Es wird jetzt das Product @ = &ß eine m‘° Kinheitswurzel, denn es folgt durch Potenziren die Gleichung n (a")°‘ (ß.r)r z“ —_ ( Ferner sind alle m =7.s so gebildeten yon einander verschieden ; denn aus der Annahme ®© = ®’ oder (Xß=0(’ß’ würde die Gleichung 350 Siebenundzwanzigste Vorlesung 8 297 —300 w7‘ — ___aß _‚___ßr_arßr B7 folgen. Da nun ” und s relative Primzahlen sind, und es also zwei Zahlen 0, o giebt, für welche ro + so=1 W1rd‚ so ergäbe sich weiter aus ß” = ß” durch Potenzirung mit dem Kxponenten 0 (‘1 OE ßl—so FE ß DE ß’io ß’l—sa M ß’ ola ß"“ß7 und auf entsprechendem Wege würde sich zeigen U =—= ©® Man erhält somit durch die Producte @ß alle m =v.s Wurzeln Nun fragen wir nach den primitiven m*" Wurzeln unter ihnen. Es möge « zum Exponenten o und ß zum Exponenten 6 gehören; dann ist Dr (B = 1 Soll also @ primitiv sein, dann darf 06 kein Theiler von m, sondern muss gleich m, d. h. es muss 9=7 und 0==s werden; soll @ dagegen nicht-primitiv sein, dann muss 06 ein Theiler von m, d. h. es darf nicht gleichzeitig o= r und 6 =5$ werden Folglich sind die primi- 60 = $ gekennzeichnet tiven Wurzeln durch o9= 7 d 0 dadureh dass « eine primitive 7®° und ß eine primitive s° Wurzel ist Sobald nicht beides gleichzeitig eintritt, wird eine nicht-primitive m* HEin- heitswurzel Man hat daher für die Anzahl @ der primitiven (rs)% Wurzeln die Gleichung die Bestimmung (8) (r s)= p(r) w(s), wenn ” und s theilerfremd zu einander sind Zerlegt man nun, was nur auf eine einzige Weise möglich ist m in seine Primzahlpotenzfactoren U Y mM = _p#1p„“z und wendet (8) und (6®) an, so entsteht das Theorem: KEs giebt al ©) Y(m) = (1 — —) ( EL V ; ( s R ) primitive m® Einheitswurzeln WE Dı D die verschie- denen Primfactoren von m bedeuten $ 298,. Der gegebene Ausdruck (6”) für @(m) ist stets posıitiv und abgesehen von dem Specialfalle m = 2 stets gerade sobald m Für l wollen wär eine- posıtive Zahl >1 ist (m)= 1 setzen. Durch (6”) ist also die Existenz primitiver Wurzeln in jedem Falle bewiesen, und durch die voraufgegangene Untersuchung sind dıe Mittel zu ihrer Berechnung gegeben Einheitswurzeln, 351 Ist nun d ein Theiler von m, und fragt man nach den zum Kx- ponenten d gehörigen m' HEinheitswurzeln, so ist es klar, dass diese und nur sie durch sämmtliche primitiven Wurzeln der Gleichung zd.= geliefert werden; denn jede dieser Wurzeln giebt, ın die d* und erst in diese Potenz erhoben den Werth 1. Es gehören demnach zu jedem Exponenten d, welcher ein Theiler von m ist, q (d) Einheitswurzeln. Da jede m* Wurzel entweder zum Exponenten m oder zu einem Theiler d von m als Exponenten gehört, und da genau m Ssolcher men Einheitswurzeln vorhanden sind, so folgt der zahlentheoretische Satz (9) 2(p @d)= @ (d) wobei die Summe über alle Theiler d von m inclusive der beiden Grenzwerthe d= 1 und d= m selbst zu erstrecken ist. $ 299. Verstehen wir unter @_ eine primitive m' Einheitswurzel, dann liefert der Definition gemäss ($ 295) die Reihe 1) CO, m2) mnz—2} fiom——l sämmtliche m* KYınheitswurzeln. Wir fragen, ob die unter ihnen vorkommenden, zum Exponenten d gehörigen KEinheitswurzeln etwa schon an ihren Potenzexponenten kenntlich sind. Es möge w“ zum KExponenten d gehören; dann ist w“ die niedrigste Potenz von w, welche gleich 1 wird, d. h. xd ist das niedrigste Vielfache von «, welches zugleich ein Vielfaches von m wird. Sonach muss « mit m m als grössten gemeinsamen Factor d - haben dı h.: Damıt o° Zum Exponenten d gehöre, muss &« =% %y Seln, wo %x relatıy prim Zu @ SE Insbesondere wird w“ dann und nur dann eine primitive m' KEinheitswurzel, wenn « eine zu m theiler- fremde Zahl bedeutet. Aus der Thatsache, dass es ® (m) primitive m‘ KEinheitswurzeln giebt, folgt dann die gewöhnliche zahlentheore- tische Definition des Symbols @(m) als Anzahl der zu m theilerfremden Zahlen, die kleiner als m sind. $ 300. Wir wollen hier auch der goniometrischen Auflösungs- methode gedenken, von der wir im Vorhergehenden schon bisweilen Gebrauch gemacht haben. Setzen wir, wie in der ersten Vorlesung (10) =0[io| 352 Siebenundzwanzigste Vorlesung 8& 300—302. so wird Zm — Q"l [z 1nq)} —— 1} o” cosmo = 1, Q nm = 0, also o= 1 und m”g ein Vielfaches von 2x. Demnach erhalten wir als Werthe unserer m* KEinheitswurzeln sämmtliche Grössen © _27m D S —’In d ] (k=0> i17 i27 ) Bedenkt man jedoch, dass weder der Cosinus noch der Sinus bei Ver- mehrung des Arguments um -+ 2 sich ändern, :so folgt für die m vorhandenen m* HEinheitswurzeln die Formel — AD (11) OR [ S m j 020 0 MI Hierbei ist @, eine primitive Wurzel, wenn % eine relative Primzahl zu m ist; und allgemein gehört @, zum Exponenten d, wenn (m:d) der grösste gemeinsame 'Theiler von £& und m ist. Natürlich darf man k& in (11) irgend welche m aufeinander folgenden Zahlen durchlaufen lassen. $ 301. Wir können hier auch gleich die Gleichung (12) AA Z behandeln. Alle ihre Wurzeln sind, wie die Zerlegung & D 2m —_ 1 =— (Z"' + 1) (Zm D zeigt, (2m)*® Einheitswurzeln, und zwar diejenigen, welche nicht schon zum Exponenten m oder zu '""heilern von m als Kxponenten gehören, weil für diese ja schon z”= 1 werden würde. Man erkennt, dass wenn 2“ die höchste in m aufgehende Potenz von 2 ist, diejenigen (2m)*” Einheitswurzeln auch Wurzeln von (12) werden, welche zu Exponenten gehören, die durch 2“+* theilbar sind. Setzt man wieder (10) an, so folgt jetzt @m cCosS MO = — 1) Qm Sill"'“P =— O’ folglich wird o= 1, m@” em ungerades Vielfaches von x, und @ f‚2 (k=07 i1; i27 )a Bl S l%flfl nach gleichen Schlüssen wie vorher erhalten wır die definitive Formel c (2%& + (18) Z S mM 9q (k=07 Z m). m Ebensogut: hatten wır Yauch O 0, ebl eb L; 2: an ‚2_ bei geradem m» nehmen können, u. s. W. $ 302. Aus den angestellten Betrachtungen konnten wir ersehen, dass die primitiven Wurzeln für ” = n durch die Gleichung Einheitswurzeln. 3558 Zp':‚l'_ß'p_l+zp_2+"'+52+Z+1=0 (14°) al geliefert werden, und für m == p“ durch die Gleichung , D W 1 (14*) 5‘; —1 E l OD AT E LE AL E Im allgemeinen Falle m = pp p 1S% } (z” — 1) H(Z P 1\n7]2 M 1) AA () En (Z> ON m D mM =0 „;7| Da D3 !T ( z — 1 JE Z ı) die. Gleichung, welche alle und nur die primitiven m* Einheitswurzeln, jede in der ersten Potenz liefert; die Produet- zeichen beziehen sich auf alle Permutationen der ,, p, SO dass z. B. der zweite Factor des Zählers die z *(x — 1) Faetoren „”" e mM m m ( ZF17% u91 } ( ;;5273_1 JAl Z D ) enthält. Durch Induetion kommt man leicht zu der angegebenen Form; den Beweis führen wir folgendermassen. Es seı @ eine m® KEinheitswurzel, die zum Exponenten m n —> m (d < x) ]I‘f' 5 pf;1) gehört, dann wird nicht nur 0“ = 1 sondern auch jede Potenz von @, deren Kxponent eim Vielfaches von w ist und nur solche; insbesondere gilt das für dıe Exponenten M m m m m m m Pı 7) ? Ds) I’—113;’ ‘29()_1P3; 2TP21£3’ bei denen in die Nenner alle und nur die ersten Potenzen der Prim- factoren. p,, %s gesetzt sind. Es tritt daher der Wurzelfactor (2 — w@) bei (14) nur in jedem der Polynome m m m m l eal zIÜ—.1; ZI7_117;_1‚ . OE K auf und ($ 294) jedesmal nur einfach; folglich enthält (14) diesen Factor, wenn man sein gesammtes Eingehen in den Zähler und in den Nenner beachtet und die zugehörige Multiplicität im ersten Falle positiv, im zweiten dagegen negativ in Anrechnung bringt, Ö GE Vla 2 bal i r mal; (z — @) tritt daher gar nicht auf, sondern hebt sich in (14) ein- fach weg. Nur wenn u = m, d. h. @ eine primitive Wurzel ist, dann wird dieser Schluss ungültig, und ® gewissermassen — O; dann er- Netto, Algebra, I. 23 354 Siebenundzwanzigste Vorlesung $ 302—304 scheint der Factor (z — w@) einmal im ersten Faector des Zählers. Somit ist F„(e) eine ganze Function, und die Gleichung F (?) = 0 liefert nur die primitiven W urzeln und zwar jede ein einziges Mal. Gleichzeitig erkennt man, was übrigens auch unmittelbar aus (6”) hervorgeht, dass 1st, p(m)= m ——2 En +2p1 A 2pl p2p, F„.(?) =0 ist reciprok, da mit @ zugleich auch 0! — ar 1 eine primitive Wurzel ist, und also neben (2 — @) auch @3 als Factor in E(2) auftr1tt Setzt man in (14°) x für ® ein, wo x die Anzahl der Primfactoren Pı> D2) von m angiebt, dann ist die Summe der positiven Glieder gleich der Anzahl der Factoren des Zählers, die der negatıven gleich der Anzahl der Factoren des Nenners, und aus (14°) folgt also, dass Zähler und Nenner von (14) gleich v1ele Factoren besitzen. $ 303 0 Setzen wir insbesondere m =»-g, wobei p und q zwei von einander verschiedene Primzahlen sind, dann wird unsere Funetion 1:y(2) __z —1 z——1 „PA1 Q 1 (15) — (1 e d E zf1—1)1') (1 —+ —y HA ) = 2‚g«1'+/iq _Egap+pq+l (0<a<q—1; 0<ß) Lässt sich also die ganze positive Zahl % auf x, Arten in der Form («p + ßg) und auf x Arten in der Form («p + ßg + 1) darstellen dann 60 n Z R (2z) das Glied (x, — x,)z* auf. Wir fragen jetzt, ob x, oder x, grösser als 1, mit anderen Worten, ob bei verschiedenen « und ß Oa BD E C © L OR (a—0,)P = (ß, — ß) q sein kann Da | x — «, | <(g —1) ist, und da p und g relativ prim sind, so muss x = «,, ß = ß, sein, d. h. x, sowie x, ist gleich 0 oder 1 dass die Glieder Daraus ergiebt sich welche un Z C yr kommen, nur die positıve oder die negative Einheit als oeff1c1enten haben können, sobald » und qg von einander verschiedene Primzahlen s1nd Die obere Grenze für die Summation näch x in (15) lässt sich noch einschränken. Sind nämlich 6 und t die kleinsten positiven Zahlen, welche die unbestimmte Gleichung ß — tqgı= 1 Einheitswurzeln. 359 erfüllen, dann erkennt man, dass die Forderung oder GD A Dl = CD p ( C C durch passende «,, ß, ß, stets erfüllt werden kann, sobald « > o ist; dann wird für 2“?+ßB9 stets x, =x, werden, und das zugehörige Glied muss verschwinden. Man braucht demnach in (15) den Werth von « nur die Zahlenreihe von 0 bis (0 — 1) durchlaufen zu lassen. — Der beachtenswerthe Umstand, dass F„ für m==p-q nur die Werthe 0, +1, —1 als Coefficienten der Potenzen von z besitzt, kommt bei m= %-q-r m Wegfall. Hier treten z. B., wie man aus den Reuschle’schen "Tafeln complexer Primzahlen entnehmen kann, in Fıos(g) die Glieder — 22* und —227 auf. $ 304. Es sollen in den folgenden Paragraphen noch einige Kigenschaften der Gleichung F„(2)== 0, welche die primitiven m' Einheitswurzeln zu Wurzeln hat, abgeleitet werden. Wir setzen m ın seine Primfaetoren aufgelöst Ü=E p“p‘;z .. p‘y_lz OD+D + und können, wie gezeigt worden ist ($ 279), jede primitive m* Ein- heitswurzel @ ın die Gestalt eines Productes © — 00,; bringen, wobei @ die Reihe aller (y“)" und w die Reihe aller . pe y primitiven Einheitswurzeln durchläuft. Die Gleichung mit den Wurzeln @ können wir demnach gemäss $ 122 aus den beiden Gleichungen ableiten, durch welche @ und w, geliefert werden; und zwar wird sie nach jenem Paragraphen wegen (14”) die Form IJ[ZIMU_I(Z)_Ü + CO£"“_121"“—1(1'_2) + + m5;4———1(1}_1)] A0} annehmen. Dies zeigt sofort, dass das Gleichungspolynom nur solche Potenzen von F 2 enthält, deren Exponent durch y“—! theilbar ist. Was von dem Primfactor p galt, das gilt von jedem anderen auch; also folgt: Die Gleichung, welche die primitiven (Dirpia . gkm yton Kinheitswurzeln liefert, enthält in ihrem Polynome nur solche Potenzen der Unbekannten, deren Exponent‘ durch WE DE D U therlbar 1st ıyl M} Daraus lässt sich ein weiterer Schluss ziehen. Es folgt aus dem Bewiesenen unmittelbar, dass von den elementaren, symmetrischen Funetionen der m' primitiven Einheitswurzeln S (@1), 'S (Ül F052>; S(515253); S nur diejenigen nicht verschwinden, bei denen die Anzahl der ein- A tretenden Factoren ( ein Vielfaches von (p“—1pfe—? ... p«x—1) wird, 23 356 Siebenundzwanzigste Vorlesung 8& 304—307. Diese Zahl wollen wir für den Augenblick mit q bezeichnen. Dann erkennt man durch die Recurs1onsformeln SI Sa Cı Sa—ı — CSa 2 + *4 + &Ca (x < p(m)), Sa €1Sa—l Bn nga—2 + + Cusa——u (« Z U q7(m>): dass auch alle Potenzsummen der primitiven Wurzeln verschwinden, deren Index nicht durch g theilbar ist, weil nach den auf@eschr1ebenen Formeln zunächst s,, &, S verschvv1nden und von den weiteren s; nur diejenigen von Null verschieden sein können, bei denen ein früheres nicht verschwindendes s mit einem der nicht verschwindenden Coefficienten multiplieirt vorkommt. Dadurch erkennen wir: Jede Potenzsumme der primitiven Wurzeln verschwindet, bei welcher der Index nicht durch ( E 38727 the11bwr ist $ 305. Wir wollen die numerischen Werthe von F, (1) und von F.(-— 1) berechnen. Ist m gleich einer Primzahl p oder einer Primzahlpotenz p“, dann zeigen (14*) und (14”) ohne Weiteres (lh) H Fe(1)=p. Enthält dagegen m” mehrere verschiedene Primfactoren, so folgt zunächst aus (14) die Formel (17) J DD (2) = DD (ZI’LUI 1] —l ) S und deshalb ergiebt sich für D 1 zuerst E’1 UD ul }h Da (1) Ebenso zeigt (14) noch I72 Zs € (178 F Pı D2D3 O= p2 D3 o und deshalb wird FP1 DaD3 ( Man hat also, wenn » verschiedene Primfactoren besitzt. stets (62) D Um F„(—1) zu bestimmen, betrachten wir die drei Fälle, dass entweder m ungerade ist, oder zweitens dass es den Factor 2 nur in der ersten Potenz, oder dass es endlich diesen Factor in einer höheren als der ersten Potenz enthält Im ersten Falle erkennt man aus (14°), (14”), (17), (17%), dass (18) DA (m ungerade) wird Im zweiten Falle benutzen wir die aus (14) folgende Gleichung (17') F2‚„(Z 1"‚„ @) K (@) (m ungerade) Einheitswurzeln, 357 und ersehen daraus, dass infolge der früheren Resultate (m — ppl ) (18) Fık(—1)= 2 und Fon(-1)= 1 wird. Im dritten Falle folgt wegen Fu(z)= z“ 7"-+ 1, dass Fu(—1)=2 (w > 1) wird; und da bei Fo«.„(#) offenbar nur gerade Potenzen von 2 vor- kommen, so ergiebt sich endlich, dass das Resultat hier das gleiche ist, ob man + 1 oder — 1 einträgt, so dass man schliesslich (18”) Fotm (_ 1) = 1 (w> 1, m ungerade) erhält. $ 306. Wir haben hier noch zwei an die Gleichungen (17) und (17®) sich anschliessende andere Formeln abzuleiten. Ist g eine nicht in m enthaltene Primzahl, dann kann man bei der Berechnung von Frem (2g) nach (14) zuerst alle Factoren zusammenfassen, bei welchen in den Exponenten q“ als Factor eingeht, und dann die übrigen, ın deren Exponenten nur q“ —! vorkommt. Man erkennt hierbei sofort die Richtigkeit der Gleichung ( M . (18) Ef’ m (2) O L Mit Hilfe von (18) leitet man dann leicht, wenn m = p“p2 ... ist Z m 3 ) (19) M (@)= mM ET m j nr E mM z}71 I"1 2Rı DD ) F ( 27ı Da A Jaa DıD2 D3 her Ist diese Formel nämlich für eine gewisse Anzahl von Prim- factoren richtig, dann zeigt (18) unter Berücksichtigung von (17), dass sie auch noch gilt, wenn m einen Primfactor mehr annimmt; und für m = y“ı erkennt man wieder aus (17) die Richtigkeit. So ergiebt sich also (19) durch strenge Induction. $ 307. Wir wollen am Schlusse noch folgendes von Kronecker aufgestellte Theorem *) beweisen: Wenn eine algebraische Glei- chung mit ganzzahligen Coefficienten, deren erster gleich 1 ist, nur Wurzeln vom Modul %1 besitzt, dann sınd. es. Kın heitswurzeln. Die Gleichung möge f;(z)= 0 mit den %” Wurzeln 2,, , An sein. Dann bilden wir nach der früher besprochenen Methode die Gleichungen Z E *) J. für M, 53; S. 173: Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Coefficienten. ® 358 Siebenundzwanzigste Vorlesung 8 307 Achtundzwanzigste Vorlesung $ 308 fi(?) =0 mit den Wurzeln 2,, z Zn; file)=0 ” ” ” 15 % ; Zny f(f)=0 Z 3 2 ” öA » 99 &n In allen diesen Gle10hunman sind die Coeffieienten ebenfalls ganzzahlig, der erste derselben ist in allen gleich 1, und alle Wurzeln haben gleichfalls den Modul 1 Daraus folgt dass die Coeffieienten sämmt- lich endliche obere Grenzen besitzen; denn es ist S MT, Z @& Z n(n—1) 12 1 6 1 5 + 2 ; A I= M “ Z nn — 1 JM V SR REr B 2 f - 2-3 Es giebt aber nur eine endliche Anzahl von Systemen ganzer Zahlen (/) /) welche diesen Bedingungen genügen; diese allein können ( ocfhucntcmysteme werden somıt müssen in der beliebig weit fort- setzbaren Reihe, die wir gebildet haben (1(€) fa(2) //( )7 beliebig viele Funetionen ‚mit einander übereinstimmen so dass etwa fa(e) = fa(@) = fy(e) = welche zu wird. Es müssen demnach die Complexe der Wurzeln fı On gehören, B &X 8 zß ZY , 22 ’ r 9 97 7 &2 Z7 ’ n& ıdentisch seım Dabei braucht freilich zunächst nicht & En n 65 260, ‘‘ zu werden; weıl aber unendlich viele Complexe vorliegen so muss auch einmal eine Uebereinstimmung in der Wurzelzuordnung vorhanden sein, und es muss W D d s D n D Zö_.ä'e — mö 2 Z S werden Hieraus folgt dann sofort 2:—09 Il 262—0 AnnP 17 —d 1 dadurch ist also bewiesen, dass sämmtliche z; Einheitswurzeln des Grades ( — 0) sind, wie behauptet worden war S Kreistheilungsgleichung Methode von Gauss DD Achtundzwanzigste Vorlesung Methode von Gauss Kreistheilungsgleichung Die algebraische Behandlung des Problems, einen ge- &$ 308. gebenen Winkel « in eine vorgeschriebene Anzahl %» von gleichen Theilen zu theilen, hängt von der Lösung einer Gleichung n'°” Grades ab, die in mannigfachen Formen aufgeschrieben werden kann, So ist, wenn man cos — = € setzt, für ein ungerades n 7z—1 nm — 1°) m* —37 , Gn COoSU — NC n(n ——1 ?) @ + 5! und für ein gerades n Il L Nn (n‘ E RE —200 (—1) cosoc—l— @+ 6! + wenn man ferner bei bekanntem « und unbeka.nntem C zu lösen sin — =6 setzt, für ein ungerades n N BED E nn E 12) n(n? — 1?) (n 32) > Sın &X e 3! + 5! und für ein gerades n% n(n® —2) n(w 2 C sina= V1 —8 (1‚s + 5! zz; endlich, wenn man tang — f bezeichnet, dann ist die Gleichung n HN 5 e tang « 1“(2)“"'(4>t4 ( )t6+ für € aufzulösen Am bequemsten aber gestaltet sich die Gleichun von welcher die Theilung abhängt wenn man als Unbekannte die Grösse C & SN einsetzt denn diese wird dann durch die einfache reine Gleichung bestimmt C (1) A S « Handelt es sich insbesondere um die Theilung der ganzen Peri- pherie, d. h. um die Kreistheilung, so wird « = 2 und daher cosd= 1, sn « —0, tang'a — 0 [C ]—1 360 Achtundzwanzigste Vorlesung $ 8308—310. zu setzen sein; die Gleichung (1) geht dabei in die Form @) — 1=0 über, d. h. in diejenige Gleichung, deren Wurzeln wir in der vorigen Vorlesung bereits genauer untersucht haben. Wir haben dort gesehen, dass die Kenntniss einer einzigen primitiven Wurzel @ von (2) ge- nügt, um alle Wurzeln von Hülfe nur die Reihe (2) zu bestimmen, da man ja mit ihrer OO con—l) 6” zu bilden braucht. Wir sahen ferner, dass alle primitiven Wurzeln von (2) die Wurzeln einer gewissen Gleichung /,.(2) = 0 vom Grade (n) sind, welche auf rationalem Wege aus (1) abgeleitet werden kann. Von dieser Gleichung hängt also im Wesentlichen das Problem der Kreistheilung ab; deshalb nennen wir FA 0 die Keens® theilungsgleichung. $ 309. Wir gehen zum Nachweise der Irreduetibilität der Kreis- theilungsgleichung über. Für den Fall, dass %” eine Primzahl oder eine Primzahlpotenz ist, kann man, wie Eisenstein*) es gethan hat, die Irreductibilität von F,(z) aus der blossen Form des Polynoms leicht nachweisen. Wir haben in $ 52 gezeigt, dass ein Polynom unzerlegbar ist, wenn der Coefficient der höchsten Potenz der Variablen gleich 1, jeder der folgenden Coefficienten durch p theilbar, und der letzte zugleich durch keine höhere Potenz von m als die erste theilbar ist. Nun haben wir die folgende Function bei % = n als Kreistheilungspolynom Z —1 F (2) = Z und daraus geht durch die Substitution z = x + 1 die Gestalt _ (@x+1” — 1 F (% +1) —— NM ms ( 8 aa hervor. Somit ist nach dem angeführten Hülfssatze F,(x + 1) und deswegen auch F„(z2) unzerlegbar. Ferner ist für n= v —1 (3) Frr(e) = ‚ A 1? X v»—1 Z ODDE GL N z? D auch hier setzen wir 2 =x-+ 1 und erhalten durch fortgesetzte Potenzirungen der Reihe nach die Gleichungen *) Ueber die Irreductibilität u, s. w. der Lemniscatengleichung. J. für M, 59. S60 Kreistheilungsgleichung. Methode von Gauss. 361 H — xp+ 1 + pXI(x)7 ean + 14 pn ON Wobel A ganze, ganzzahlige Funetionen bezeichnen. Trägt man diese Werthe in (3) ein, dann zeigt die rechte Seite, dass eine ganze Funetion von x herauskommt, und der mittlere Ausdruck An z""1’—17 v—1 — r P E pal) _ E D z? ___]_7 H +nw(z) dass alle Coefficienten mit Ausnahme des ersten durch y theilbar sind. Die rechte Seite von (3) endlich liefert für das von x freie Glied Fy(1)= %. Folglich ist auch hier der Hülfssatz anwendbar; damit ist die Irreductibilität von Fır(@x + 1) und also auch diejenige von I’„”(z) bewiesen. $ 310. Gauss fand den ersten Beweis für die Unzerlegbarkeit von F„(z); er gründete ıhm auf KEigenschaften der Kinheitswurzeln*). Sehr einfache Beweise für den Fall » = p" stammen von Kronecker**). Wir wollen den einen hier vortragen. Ist /’„” in zwei ganze, ganzzahlige Factoren zerlegbar (vgl. $ 48) Fr (8) = x (2) (); dann ergiebt sich für z= 1 aus (3) die Relation u01 vA)= , und deshalb‘ı können wir einen der Factoren %(1) oder %(1) gleich + 1, den anderen gleich + , also etwa X(1) Z i 17 (D = F setzen. Da sich nun die Wurzeln von (3) auf die beiden Gleichungen — x(2) = 0, v(£) = 0 vertheilen, so sei (&n eine derjenigen, welche die erste dieser beiden Gleichungen befriedigen, Welche primitive (v’)® Kinheitswurzel wir dann auch unter @ verstehen, die Reihe der Potenzen K (4) (6) , @*, mp’, 00 in welcher 1, @, ß, --. y sämmtliche zu y theilerfremde Zahlen der Reihe 1, 2, 3, ... p” bezeichnen sollen, enthält unter ihren Gliedern immer @, da ja (4) alle primitiven Einheitswurzeln von Fy(z)= 0 giebt. Folglich ist jedenfalls © A@) @ y@) . Z welche Wurzel von (3) auch unter @ verstanden wird. Da diese Wurzeln alle untereinander verschieden sind, so ist der Ausdruck *) Werke Bd. I, S. 417. **) J. für M. 29; S. 280 und J. de M. (2); ı 362 Achtundzwanzigste Vorlesung $ 310-—311. (6) z (2) x(2*) x(2°) - x(27) für jede Wurzel der Gleichung Fıx(z) = 0 gleich Null; (6) ist dem- nach durch /£(z) theilbar, d. h. es gilt die Gleichung z(8) x (@*) x(@P) —- z(27) = 0(e) : Fm(g), in der o(z) eine ganze, ganzzahlige Funetion bedeutet. Setzen wir in dieser letzten Gleichung z = 1 und bedenken, dass die Anzahl der primitiven Wurzeln (4) gleich p”-'(p — 1) ist, so folgt daraus x(1)”"“1“/“” =0o(1)-m; das birgt aber einen Widerspruch in sich, weil die linke Seite der Gleichung den Werth + 1 hat. Demnach ist F,r unzerlegbar. $ 311. Der Beweis der Irreductibilität für den allgemeinen Fall wird am besten durch strenge Induction gegeben. So ist er ın (eın- facher Weise z. B. von Arndt*) und im Anschlusse an dessen Beweis von Lebesgue **) geliefert worden. Wir folgen dem Beweise Arndt’s. Um eine Unterbrechung des Gedankenganges zu vermeiden, schicken wir einen Hülfssatz voraus. Ist eine ganze, ganzzahlige Funetion Ma G E E a 18 E a vorgelegt, und bedeutet p eine Primzahl, dann gilt die Congruenz f (2)” = f (e”) (mod. p). In der That erhält man durch Potenziren zuerst W Z Z n Ie), wobei g(z) eine ganze, ganzzahlige Function bedeutet. Weiter ıst nach dem bekannten Fermat’schen Satze der Zahlentheorie — e A a = &, + A, a1‚; F “n + pA7L; en UNtEr 6 - 4An passende ganze Zahlen verstanden werden; trägt man dies in die vorhergehende Gleichung ein, dann erhält man das oben ausgesprochene Resultat. — Natürlich folgt daraus auch durch Wiederholung desselben Satzes die Congruenz f(e)P* = f(er°) (mod. p). — Nun sei für jede Zahl m, welche nicht mehr als & verschiedene Primfactoren enthält, die Irreductibilität von / (z) bereits festgestellt; sie soll ijetzt für F„(2) = Frem(g) bewiesen werden, wo die Primzahl p *) J. für M. Bd, 56; S. 178: Einfacher Beweis für die Irreductibilität einer Gleichung in der Kreistheilung. **) J. de M. (2) Bd, 4: D6monstration de lirreductibilite de l’6&quation aux racines primitives de Vunite. Kreistheilungsgleichung. Methode von Gauss 363 zu m theilerfremd ist, und m also (& + 1) von einander verschiedene Primfaectoren enthält. Gesetzt es wäre F, zerlegbar, so dass wir etwa setzen können @ dann bilden wir diejenigen beiden Gleichungen X(£) f O; QF('Z) m O7 deren Wurzeln die p“te» Potenzen der Wurzeln von Z(Z) =0, 1P(Z) =0 sind. Da jede primitive %® Einheitswurzel @ als Product aus je einer p“«ten primitiven Einheitswurzel wo, und einer m* primitiven Kinheits- wurzel 0, darstellbar ist, so besitzen X==0 und F = 0 nur Wurzeln yon des Korm @.0 O Z . und das sind sämmtlich, weil p“ zu m theilerfremd ist, primitive m* KEinheitswurzeln. Die Gleichungen X=0, F = 0 haben daher mit der irreductiblen Gleichung F' = 0 Deshalb mindestens eine und sonach alle Wurzeln , gemeinsam. gelten für jedes @„ die beiden Gleichungen X(°’2) > 07 Ma)y=0 Wendet man nun den Hülfssatz, den wir am Anfange dieses Para- graphen aufstellten, auf y und &% an, so ergiebt sich, dass u(0,) = XA0,) =0, 0(0,) = P(o;) = 0 (mod. p) ist; d. h. es werden y(w,) und %(w,) durch y theilbar, und daher (7) F (02) = %(02) (0,) = p’f (@), wobei f(w,) eine passend gewählte ganze, ganzzahlige Funetion von 6, Ssein wird. Nach der Formel (19), $ 306, ist ferner F, ein Theiler von n ZP A >‚ d. h. man kann z z77‚2f7__ 1 Z TE E E A +1= F„(Z) F(z) setzen, wobei wieder unter /'(z) eine passende ganze, ganzzahlige Funetion zu verstehen ist. Trägt man hier irgend eine primitive m* Einheitswurzel 2# = w, ein, so ergiebt sich daraus F (@,) F(w,) = D, und wenn man dies miıt (7) combinirt, dann folgt die Gleichung 1 = F (®,) f(‘°z)- Aus dem entwickelten Producte F(w,)f(0,) kann man vermöge Fn(6,) = 0 alle Potenzen von w, entfernen, welche den Grad von F, 364 Achtundzwanzigste Vorlesung 8 311—313. übersteigen; es bleibt eine ganzzahlige Function von @, zurück, welche zu einer Gleichung von niederem Grade als ( 1 = (& + a,0, + 0, + - ) führt. Dies gilt für jedes @, und muss wegen der Irreductibilität von J. identisch erfüllt, d. h. es muss 1= pa, sein, was unmöglich ist. Damit ist die Irreductibilität von F„(z) bewiesen. $ 312. Die bei dem letzten Beweise verwendeten Mittel reichen zur Begründung eines allgemeineren von Kronecker *) gegebenen Irreductibilitätssatzes aus: F,.(z) ist auch in demjenigen Ratio- nalitätsbereiche irreductibel, welcher aus der Einheit und einer primitiven %' Einheitswurzel « gebildet ist, so lange k relatıy prim zu n bleibt. Wäre nämlich F"(Z) r %(Z: 06)1‚b(2’‚ “)7 und dabei der Factor %(z, «) in dem angegebenen Rationalitätsbereiche irreductibel, dann müsste die Gleichung %(Z; “) =0 durch eine primitive n° Einheitswurzel w befriedigt werden. Es sei nun x eine primitive (km)'° Einheitswurzel, dann können wir nach & 297 u = n O = n“, setzen. Trägt man das in die letzte Gleichung ein, so erkennt man, n dass die beiden Gleichungen in 8 e y =0 u C =0 eine Wurzel 2 = z gemeinsam haben, und also, da F%„, nach dem vorigen Paragraphen im Gebiete der rationalen Zahlen irreductibel ist, dass die erste der Gleichungen durch alle Wurzeln x” der zweiten befriedigt wird, d. h. dass für jedes T identisch %(7L‘“1 n1'1) —0 ıst Bedeutet nun m eine willkürliche zu n theilerfremde Primzahl, dann kann man, wie aus den Elementen der Zahlentheorie bekannt ist, 7 so bestimmen, dass die beiden Congruenzen x = 1 (mod: %); t= m (mod. n) gelten. Demgemäss haben wir für jedes solche m die Gleichung x(„«‚ut n«‘l”t) B x(mt, a‘t) E x(mm’ 0£) Z ( Da aber @” alle Wurzeln von F„.(2)= 0 giebt, so ist y(z, «) = 0 für alle primitiven %” HEinheitswurzeln erfüllt, und %(z, «) durch F(g2) e *) J. de M. Bd. 19. 365 Kfeistheilungsgleichung. Methode von Gauss. theilbar. Der Annahme nach ist % irreductibel in dem gewählten Rationalitätsbereich; folglich fällt x bis auf einen constanten Factor mit F, zusammen, d. h. F, ist selbst irreductibel. $ 313. Nachdem so die Irreductibilität festgestellt ist, gehen wir zur Auflösung der Kreistheilungsgleichung über, beschränken uns dabei aber stets auf den Fall » = p und behandeln also nur die Kreistheilungsgleichung (8) pı + p 7a L mB . 2 1=0 mit den Wurzeln 3 (9) @ 010 2 m))—17 wobei @ die Bedeutung besıtzt C200n f S | @ 2): V Nun könnte man glauben, dass die algebraische Lösung von (8) voll- ständig durch die Angabe — 2 S=— V1 geliefert sei, und dass dadurch die Frage definıtiy erledigt worden wäre. Aber dem ist nicht so; es handelt sich ja gerade darum, die primitiven Werthe des Ausdrucks V1 von den übrigen Werthen des Symbols zu sondern, und ihre Be- rechnung auf die möglichst einfachen Elemente zurückzuführen. So giebt z. B. die /1 unter anderen alle Wurzeln von CC PE SARET NT Z — 2+1, @ ZD@—1) allein es liefert der Ausdruck e Ll52113 die primitiven sechsten Einheitswurzeln allein und in einfachster Be- rechnungsart; deshalb ist die zweite Darstellung. der ersteren vorzu- ziehen. KEbenso ist für die primitiven achten Einheitswurzeln der Werth 1T 7n wählen und nicht Va V? Am nächstliegenden scheint es, die Untersuchungen von $ 113 zu benutzen und z + % = w in die recıproke Gleichung (8) einzuführen. Dadurch wird nämlich, wenn wir (p — 1) =2uw setzen, die Gleichung des Grades 2u auf eine solche des Grades w zurückgeführt. Um die Form derselben zu erkennen, schreiben wir K (g# + ;‚‘> + <z‘u—l + Zp——l y und erhalten als Recursionsformel (vgl. $ 113) für die @ Purı — WD — Pp—1) (@= 1, 9ı = u + 1: 366 Achtundzwanzigste Vorlesung &$ 313—314 Setzen wir daher weiter als erzeugende Funetion für die ( = @ F P KD +D so ergiebt sich daraus die Bestimmung Tra _le BA 1—ut+% ( 50 E(ut n=0 A n=0 x=0 oder, wenn man als Summationsbuchstaben u — (n + x) einführt >(1+ t)2fi“2( ( jırn u=0 z=U (# —1) _Znu 2( DA „u——f+2(—1)( )„u—l—)/ x=0 z=0 H1er%us erhält man die explieite Form der umgewandelten Gleichung in u vom Grade u = =-(o—1) nämlich z (u—l) gu (u) = S (F7 ) u32 2(— Dz ( ) uu—1—2/__ O x=0 X=0 Mit dieser Reduction sind nun aber auch die Vortheile welche die Anwendung der Methode der reciproken Gleichungen liefert, erschöpft Natürlich gilt die gleiche Umwandlung für ein jedes F„(z) = 0 mit ungeradem m $ 314. Auf diesem Punkte hblieb die Erkenntniss in die Natur der Kreistheilung lange Zeit hindurch stehen, bis es Gauss gelang*), durch eine eben so geniale wie einfache und glückliche Idee das Wesen unserer Gleichung (8) völlig darzulegen Wir wollen den von Gauss gegebenen Entwickelungen folgen Aus der Zahlentheorie ist es bekannt, dass es für jede Primzahl p zugehörige ganze Zahlen g der Art giebt dass die Reste bei den Divisionen der Glieder von (10) UTE OE durch den Modul , von ihrer Reihenfolge abgesehen, mit den Zahlen 12 (p—1) übereinstimmen, so dass also die Reihe (10) die- selben Elemente hat, wie RS v Jn B *) Werke I, Disquisitiones arithmeticae. Sectio VIL Kreistheilungsgleichung. Methode von Gauss 367 %p +1 %D A 2 XD + 3 —la — bei passender Wahl der ganzen Zahlen x Da es bei Potenzen von ® keime Werthänderung hervorruft, wenn man in den Exponenten Viel- fache von n hinzufügt oder unterdrückt, so folgt, dass die Reihe der Wurzeln (9) auch dann entsteht, wenn man dem @ die Werthe (10) zu Exponenten giebt Um die Schreibweise zu erleichtern, bezeichnen wir, wie Gauss es thut @“ == [@)) wo diese Klammer nicht mit der früher $ 64 in anderer Bedeutung eingeführten zu verwechseln ist Danach können wir die Wurzeln von (8) auch in der, viele Vorzüge bietenden Anordnung (11) Lal L c7 G schreiben Wir zerlegen jetzt (p— 1) = e-f, nehmen für Z eine beliebige ganze Zahl und wollen die Summe der Glieder der Reihe (12) [2], LAg‘], L4 g?1, K ] als eine f-gliedrige Periode bezeichnen. Diese Summe der f Wurzeln schreiben wir (18) O Ist 4 = 0 oder ein Vielfaches von , dann wird (f, 0) = — Z und wir wollen diese Periode als die uneigentliche Periode von f Gliedern auffassen, ım Gegensatze zu den übrigen, welche schlechthin Perioden genannt werden sollen Von solchen Perioden giebt es e, nämlich (gl —A Lg# 92 A E [g DE, (14) [9] + [9L+2] + [9“+ ] + + [g““”“] E L9] + [9“] + [9“] 4 +Lgf] Wollte man dieses Schema fortsetzen, so würde die nächste Zeile mit der ersten übereinstimmen, u. s. f. Perioden. Wir beschäftigen uns mit den wichtigsten Kigenschaften der I) Keine der Perioden (14) hat mit einer anderen ein KElement [1] gemeinsam. IM) Für die Summe der Perioden @NL Z g° gilt die Gleichung (15) AF F EG = —- 1 II) Ersetzt man in dem Ausdrucke von (f;2) die Wurzel @ =[1] durch [g%], dann geht die Periode in sich selbst über 368 Achtundzwanzigste Vorlesung $ 314. Denn dadurch verwandelt sich jedes Glied [«] in [ag‘], und deshalb werden die Glieder von [f, 4] nur eyklisch um ein Element. weiter nach rechts geschoben, wenn man auf das letzte wieder das erste folgen lässt. IV) Ersetzt man in den Perioden (14) die Wurzel o=1[1] durch [g], dann werden diese Perioden cyklisch um eine Zeile nach unten geschoben. V) Alle Perioden haben verschiedene Zahlenwerthe. Denn wäre etwa (f, g“) =(f, g*), dann könnte man zunächst alle Glieder dadurch reduciren, dass man allen einzelnen Exponenten durch Sub- traction von Vielfachen von p die kleinsten positiven Werthe giebt; 0 als Kxponent kommt dabei nicht vor, wenn x und ß von 0 verschieden sind. Dann könnte man die Gleichung durch © dividiren und erhielte dadurch eine Gleichung für @, die höchstens bis zum Grade (p—2) aufsteigt. HEine solche giebt es aber wegen der Irreductibilität von (8) nicht. — Wäre ß = 0, dann ergiebt sich direct das Gleiche, falls « von € verschieden ist, weil ja dann in (f, g“) nicht w”?—1 vorkommt; aber auch (f; g‘) = f ist unmöglich, wie man erkennt, wenn man diese Gleichung von w?-1 + w?-? +... + o +1=0 subtrahirt und auf die Differenz die frühere Ueberlegung anwendet. VI) Jede ganze, ganzzahlige Funetion h(®) von w, welche sich nicht ändert, wenn man in ihr @ = [1] durch [g] ersetzt, hat einen ganzzahligen Werth. Denn zunächst ist h(@) = z {A + Agl) + + + Mlg D} da alle Glieder der geschweiften Klammer der Voraussetzung nach einander gleich sind; und demnach ist h(c0) eine symmetrische Function der Wurzeln von (8), und wir können setzen (16) h(®) =%‚ wobei % eine ganze Zahl bedeutet. h(w®) ist also sicher eine rationale Zahl. Die linke Seite hat die Form ug P 71 + a 0?7? L a 073 + ... E &ı bei ganzzahligen Coefficienten x. Subtrahirt man daher von (16) die Tdentität CO R E so müssen links alle Potenzen von @ verschwinden, und es wird er- sichtlich, dass — eine ganze Zahl ist, wie behauptet wurde. VII) Jede ganze, ganzzahlige symmetrische Function der Perioden (14) ist. eine ganze Zahl. Denn nach IV) gehen die Kreistheilungsgleichung. Methode von Gauss 369 Perioden durch die Substitution [g] statt [1] nur Vertauschungen untereinander eın Dadurch ändert sich eine symmetrische Function derselben nıcht Somit zeigt VI) die Richtigkeit des Satzes VIIL) Jede ganze anzzahlige Funetion h(@) von 6, welche sich nicht ändert, wenn man in ihr o =[1] durch [g‘] ersetzt ist eine lıneare ganzzahlige Function der Perioden (14) Wir schreiben h(0) = £ {MIDD) + AID + BLg + + + ATg wie dies der Voraussetzung nach möglich ist Wenn nun h(0) = y 0? 1 - « 0?-7? + + &ı vesetzt wird, dann hat man nach KEintragung dieser Form in die rechte Seite der vorhergehenden Gleichung h(o) ( D a R G oder, wenn man die einander gleichen Perioden zusammenfasst h(w) ( A ß1(fi 9)+ß°(fi O) A G Jeder Coefficient der linken Seite ist eine ganze Zahl; rechts treten da keine Periode mit einer anderen eine Potenz von @ gemeinsam hat nur die Coefficienten ß,:f auf; folglich sind auch diese sämmtlich anze Zahlen Damit ist der aufgestellte Satz vollständig bewiesen IX) Das Produect zweier Perioden (14) ist eine ganzzahlige lineare, homogene Function sämmtlicher eigentlichen oder uneigentlichen Perioden Wir wollen die beiden Perioden (f1) = [ + Ag1 + Ug?] + + + [29%-99 W l el eg ia ag mit einander multiplieiren Dies möge derart geschehen, dass zuerst je zwei untereinander stehende Glieder miteinander multiplicirt werden 4 + ] + [ + wg + [ + wg + und dass dann in jedem Producte w der Reihe nach in ug‘, ug?°, verwandelt wird. So entstehen die weiteren Zeilen A + wg] + IC + wg)91 + [ + wg g + [2 + #g?*] + [(A + ug?9g1 + [ + ug?) g + Jede der erhaltenen Zeilen ist die Summe der Glieder einer Periode wir erhalten demnach die Gleichung (f‚l)(fiu)——(fil+u)+(f‚Ä+u9)+(/‚l+ug“)+ Netto, Algobra, I, 370 Achtundzwanzigste Vorlesung $ 314. Ersetzt man hierin alle ganzen Zahlen 2 + U, 2 + wg‘, --- durch ihre kleinsten positiven Reste modulo p und yereinigt dann die auftretenden gleichen Perioden, dann entsteht das behauptete Resultat (17) ı (F A)(f 1 —> O l g) E fg E (Fg Hierin bedeuten die @ ganze, positive Zahlen oder Null. X) Jede ganze, ganzzahlige Funetion der Perioden (14) ist eine ganzzahlige, lineare Funection sämmtlicher Perioden. Dies ergiebt sich durch fortgesetzte Anwendung des Satzes IX). XI) Die e Perioden (14) von je f Gliedern sind die Wur- zeln einer Gleichung e& Grades, deren erster Coefficient l ist, und deren folgende Coefficienten ganze Zahlen sind. Diese Gleichung lautet (18) CDC L da die Coefficienten symmetrische, ganzzahlige Funetionen der Perioden (14) sind, so folgt aus VIT), dass sie ganzzahlige Werthe: haben. XII) Die Gleichung (18) ist irreductibel. Denn wäre die linke Seite zerlegbar, dann betrachten wir denjenigen ihrer irreductiblen Factoren, welcher (z — (f, g)) enthält, und setzen ihn gleich Null. Nun hätte die entstehende Gleichung (19) H(e) =0 die Wurzel 2 = [g] + [g°+*1] + ---., und folglich hätte die Gleichung (19%) JGa O e Wln C6 Da aber o eine Wurzel der irreductiblen Gleichung (8) ist, so be- sässe (19%) - dıe Wurzeln 6 [0l, 10 ol und also (9) . die Wurzeln &=(%9), 69 “ (g d b alle Wurzeln von (18); daher müsste (18) irreductibel sein, wie (19) es ist. XII) Bedeuten (f;1) und (f;u) zwei von den Perioden (14), so kann (20) (D X r C ON Cal Ara G gesetzt werden, wehn die x passend gewählte ratıonale Zahlen sind, d. h. jede eigentliche Periode ist eine ganze Funcetion jeder anderen eigentlichen Periode. Denn zuerst ist wegen der Gleichung (15) —AA FG EG dann ist weiter ıdentisch (f2) = A0 F A,ı (f; 9) F &na (f,9°) A + Ane(f; 9°), wenn rechts alle @ gleich Null gesetzt werden, mit Ausnahme des Aı = 1, welches als Coefficient von (f,1)==(f,g”) auftritt. Hieraus Kreistheilungsgleichung Methode von (Gjauss 30l folgt durch Potenzirung, wenn man jedesmal rechts die Formel (17) anwendet C O + a3,ı (f, g) F 22 (g A +a2e(f‚g), (fi Ä) = %0 +a31(f‚g) +a32(f; 2) + +a3e(f;g>r (fi Ä)P—1 e 1o+a„_u(f‚g)+a„ 12(f‚ 2)+ +ae 1e(f;9) Die so erhaltenen e Gleichungen sind linear von einander unabhängig Denn wäre das nicht der Fall so würden ganze Zahlen qo, qı, Qn —1 existiren, die nicht alle verschwinden, und für welche die Gleichung l ( OTAr CD 7 r 999 5 dla=a ( A) A an 0 erfüllt wäre Die Existenz einer solchen Gleichung widerspräche aber der Thatsache dass (f;2) nach XII) die Wurzel einer irreduetiblen Gleichung et°n Grades ist Aus der Unabhängigkeit der e linearen Gleichungen fol dass jedes der e Cleder C ( 9°), in der Horm (20) durch Auflösung des Gleichungssystems dargestellt werden kann, ohne dass die Gleichung (20) illusorisch wird. Damit ist der aufgestellte Satz bewiesen XIV) Die Gleichung (21) O BDA BD E G durch welche (f,g”) als ganze Funetion von (f;g) ausgedrückt wird, bleibt richtig, wenn man die Perioden (f, 9), (F 9°), (f,9°), ( cyklisch in ihr weiterschiebt, so dass also auch für u=2,3 OE O ) a e e B gilt Denn setzt man in (21) statt @ ein z, so hat die entstehende Gleichung für z die Wurzel @ und daher (vgl. XIT) auch @! Man kann deshalb in (21) @ durch w%, 7 ersetzen und kommt o aul (Z6) XV) Die f Glieder einer jeden der e Perioden (14) sind die Wurzeln einer Gleichung deren Coefficienten lineare 5? ganzzahlige Functionen der. Perioden (14) sind Diese Glei- chungen lauten CC C (22) (2 Lg*)) (& Kl ( — [gU-9#2) =0 ’ die Coefficienten einer jeden sind symmetrische Functionen der Glieder der betreffenden Periode und ändern sich deshalb nicht, wenn man in 24:% 372 Achtundzwanzigste Vorlesung 8& 314—316. ihnen [1] durch [g‘] ersetzt. Nach VIIT) sind somit sämmtliche Coefficienten in jeder der Gleichungen (22) von der Form Oa A 9)+%>(f; g) F + C ID in welcher die € 07 cl7 C ganze Zahlen bedeuten. Dieser Satz giebt ein treffendes Beispiel für die in $ 47 ange- stellten Betrachtungen über Reductibilität und Irreduetibilität. Die Gleichung (8) ist im Rationalitätsbereiche, welcher aus den rationalen Zahlen besteht, unzerlegbar. Nimmt man dagegen die e Perioden (14) oder gemäss XIII) auch nur eine derselben zum Rationalitätsbereiche hinzu, so wird (8) zerlegbar, derart, dass die Iinken Seiten der Gleichungen (22) die einzelnen Factoren werden, in welche das Polynom von (8) zerfällt. XYD) - In dem aus den ratıonalen ‘ Zahlen und einer der Perioden (14) gebildeten Rationalitätsbereiche ist jede der Gleichungen (22) irreduetibel. Wäre H(z) nämlich ein irreduc- tibler Theiler der ersten Gleichung (22) und zwar derjenige, welcher den Factor (z — [g]) enthält, so könnten wir, mit Andeutung des Rationalitätsbereiches der Coefficienten, H([Ü_l‚ (f: 9)7 (f7 92)7 Y (f7 .ge>)=0 schreiben. Setzt man hierin sowohl bei [g] als bei den Perioden 2 für @ ein, so entsteht eine Gleichung in F 2 mit rationalen Coefficienten, welche die Wurzel z = w besitzt und deswegen auch die Wurzeln Z i.(}yl> I‚!/2(']; ÖE Daher ist gleichfalls El G O OGN — E G D U = d. h. H(z) =0 hat auch die Wurzel [g‘+!] und ebenso [g?+11, ... Der irreductible Factor H (z) fällt sonach mit dem Gleichungspolynom selbst zusammen. Folglich ist die erste, und ebenso jede folgende der Gleichungen (22) irreduectibel. $& 815 Die abgeleiteten Resultate zeigen: Die Lösung der Gleichung (8) kann folgendermassen bewerkstelligt werden. Man bestimmt eine Wurzel der Gleichung (18) vom Grade e. Dann sind wegen (20) alle ihre Wurzeln rational aus dieser Einen ableitbar, und (8) zerfällt in die Gleichungen (22). Bestimmt man eine Wurzel irgend einer von diesen Glei- chungen f Grades, dann ist dies eine primitive Wurzel von (8), und ihre Potenzen ergeben die übrigen Wurzeln von (8). Hiermit ist der erste Schritt zur Zerlegung der Auflösung von (8) in ihre einfachsten Elemente geliefert, Kreistheilungsgleichung Methode von Gauss 373 S 316. Gesetzt, man könnte f weiter ın zwei Factoren zerlegen f= e'f', dann bilden wir e + e’ Perioden von je f” Summanden, nämlich Lgl SR + + [90 D# N (f7g)) [92] + [9” +2] + K — E / ’ .92)7 ( ) U*Ü+W””Ü+ +m—ww%w—Ug%m [J”] + [92”] + + [9"“] = (f 9“) Natürlich gelten von ihnen alle früher abgeleiteten, auf die Perioden (14) bezüglichen Sätze Die neu aufzustellenden Theoreme beziehen sich nur auf den Zusammenhang der Perioden (23) und (14) unter- einander. Die Gesammtheit der Elemente von (f”, g°), (f', g°**), (f', ge—Ve+re«) giebt sämmtliche Elemente von (f, g“) Die Gleichungen C E - E - (e — (f', g°-9t)) =0 @= 1, 2 ) haben Coefficienten, welche linear und ganzzahlig durch die Perioden (14) ausdrückbar sind. Denn diese Coefficienten werden symmetrische ganzzahlige Functionen der Perioden (f”, . und da sich diese Perioden durch Einführung von (f g(e—1)e+ ) [g°] an Stelle von [1] nur cyklisch vertauschen, so bleiben die Coeffi- cienten selbst für diese Substitution ungeändert Also folgt nach $ 314, VIIL) die ausgesprochene HKigenschaft Die Gleichung (24) ist in dem 'aus den rationalen Zahlen und den Perioden (14) gebildeten Rationalitätsbereiche irre- ductibel Wäre nämlich H(z) der irreductible Factor der linken Seite, welcher (z — (f’, g*)) enthält, dann hätte die Gleichung HL ( Da 0 d =0 die Wurzel 2 = (f’, g*). Setzt man nun überall in die Identität G F D ) =0 für @ ein 2, so entsteht eine Gleichung, welche mit (8) eine und daher alle Wurzeln gemeinsam hat Folglich wäre auch H((f; ge+) (f) 9)) (f) 2)7 )—_O da die f-gliedrigen Perioden sich nicht ändern, wenn man [g‘] für [1] einsetzt. Demgemäss hätte H(z)= 0 auch die Wurzeln z=(f”, g+*) (f g2e+a) das widerspricht aber der Annahme der Reductibilität von (24) 374 Achtundzwanzigste Vorlesung 8 317—318. $ 317. Die abgeleiteten Resultate setzen uns in die Lage, jetzt den zweiten Theil der Lösungsvorschrift aus 8& 315, welcher die Auf- lösung einer Gleichung f° Grades forderte, weiter zu vereinfachen. Ist die Gleichung (18) vom Grade e aufgelöst, und sınd da- durch die Perioden (14) bekannt geworden, dann kann man diese in den Rationalitätsbereich aufnehmen. Die e Glei- chungen (24) des Grades e’ haben Coefficienten, welche diesem erweiterten Rationalitätsbereiche angehören. Hat man eine der Gleichungen (24) aufgelöst, dann lassen sich alle e.e’ Pe- rioden (23) von je f’ Gliedern rational darstellen XM und die Lösung einer Gleichung f’*» Grades vollendet die Lösung von (8). Es sind demnach die Wurzeln einer Cleichung d® einer solchen e’* und einer solchen f“ Grades zu bestimmen. Hierdurch sind wir zu der nachstehenden, von Gauss abgeleiteten Auflösungsregel gelangt. Es sei, in seine Primfactoren zerlegt, (d—1)=«-ß-y-.. E, und es möge DE D 4: (04 1=ß.y...é=a, G '€'“_'b7 ß gesetzt werden. Dann vertheilen wir zunächst die (p— 1) _ Wurzeln von (8) in &« Perioden von je @ Gliedern, diese einzeln wieder in ß Perioden von je b Gliedern u. s. f. Die Auflösung einer Gleichung vom «!° Grade giebt uns die Werthe der « Perioden; ja man braucht sogar nur eine beliebige der Wurzeln dieser Gleichung zu besitzen 2 um alle rational darstellen zu können. Wir dürfen diese Wurzel gleich (a, 1) = [1] + [91+ : [9“—9] setzen. Denn um diese Festsetzung zu rechtfertigen, brauchen wir nur unter @ eine vyon denjenigen Wurzeln von (8) zu verstehen, welche unter den @ Gliedern der rechten Seite auftreten, während vor dieser Annahme die Wahl von @ unter den primitiven p Wurzeln der Kinheit noch eine völlig willkürliche war. Ist nun (a, 1) bekannt, dann liefert eine rationale Rechnung nach $ 314, XIII) die Werthe aller übrigen Perioden als ganze, ganzzahlige Funetionen von (a, 1). Hierdurch sind die Coefficienten aller xb Gleichungen ß*°" Grades be- stimmt, von denen die ß*" Perioden von je b Gliedern abhängen. Von einer derselben suchen wir eine beliebige Wurzel, z. B. von derjenigen, welche (b, 1) enthalten muss, und setzen 6, D =[1] + [ + + Lg 940 dieser Wurzel gleich. Das ist erlaubt, wenn wir nur unter @ eine von denjenigen Wurzeln von (8) verstehen, welche unter den b Gliedern der rechten Seite der letzten Gleichung auftreten. Dadurch ist also die Kreistheilungsgleichung. Methode von Gauss. 375 Willkür in der Wahl von @ noch weiter beschränkt. Ist (6, 1) be- kannt, dann liefert $ 314, XIIT) alle übrigen b-gliedrigen Perioden. In derselben Weise geht man fort, bis die Auflösung einer Gleichung gten Girades zu der Feststellung von © = [1] und damit zum Ab- schlusse der Lösung von (8) führt. $ 318. Das Beispiel p = 17 möge diese Vorschriften erläutern. Dabei benutzen wir g=3. HEs wird nicht nöthig sein, neben die fertigen Resultate noch besondere Krklärungen zu setzen. 2A12 3 2560832 00 12 BLG Ö= Q o O A Z Z Z ON CD Z E R COA U a CC @D G2) = 4160760 = —A Die Gleichung, welche (8,1) und (8,3) zu Wurzeln hat, lautet 2 + 2—4=0, und wir setzen, indem wir die numerischen Werthe bis auf sieben Dezimalen angeben, 1 (8;1) 7 (— 1 + V17) = 1,5615528. 2 Ferner ıst CO C@3) = Bl + D @9) = 914 L1 61 RI; (610) — [D - [ I [ (4)1) R (479> ar (8;1); @D - CO CT EH== Die Gleichung, welche (4,1) und (4,9) zu Wurzeln hat, lautet und wir setzen *— (8,1)z — 1=0, (4,1) = 5 [(81) + VCD” + 4] = 2,0494812. Aus den Gleichungen —1 —(41) = (433) + (4,9) + (4,10), C A Y 0, GD —C =CH 3C - 3SC10 folgt (43) - 3 . UD AD OR Z= (4,9) (471)3 + (4)1)2 , 6<4571) Z 1; — (4,10) — z 419 — 41 + 241) +3- 376 Achtundzwanzigste Vorlesung 8 318—319 Ferner wird e C [14], @B - [4]; (25)u= [12], (20) — [9] 48 @10)= [7], (2,15) = [15] + [2]; @iuy= £i %]i_‘+j_' [6]. (21) + (2,18) = (4,1), (2,1) (2,18) = (4,3) Die Gleichung mit den Wurzeln (2,1) und (2,13) wird also und wir können 2° — (4,1)7 + (4,3) = 0 a C_ s & DA {(4,1) + V(4,1) — 4-(4,3)} = > (41)+V2@17 + CS e == 1 8649445 setzen Aus den Gleichungen CD =(@,13)-+(2,9)-+(2,15) +(2,8) +(2,5) +(2,10)-(2,11), 2,1):—2 -+(@2,15), (2,1)® 3(2,1) +(2,8), (2,1)* (2,13) +4(2,15), (2,1) 10(2,1) -+5(2,83) +(@5), (2,.1)8 20 6(2,13) PE -+15(2,15) @ (2:035(2.10) -+21(2,8)+7(2,5)-H(2,10) folgt (2,15) C (2,13) = (2,1)! — 4(2,1)? + 2 (2,11) = (2,1)‘ — 6(2,1)*! + 9(2,1)' — 2 (2,3) =(21)— 3(2,1), (2,5) (2,1)° 5(2,1)* + 5(2,1), C0 — @— 7@LP @0 @n E —— (2,9) — (2,1)' — (2,1)° + 6(2,1)°— 10(2,1)® — 6(2,1)? + 4(2,1) + 1 Endlich haben wir BL 06 = @ [1] 6 —l die Gleichung mit den Wurzeln [1] und [16] wird e und wir setzen M] => {@1) + VCD?— a} = 0,9324722 + i-0,3612417 Hieraus folgen die weiteren Wurzeln der Kreistheilungsgleichung durch Potenzirung D Kreistheilungsgleichung. Methode von Gauss. $ 319. Wir wollen noch zwei Bemerkungen an dieses Beispiel knüpfen. Da (p—1) stets eine gerade Zahl ist, so wird einer ihrer Fac- toren «, ß, y, : E gleich 2. Setzen wir einen solchen bei unserer Auf- lösungsmethode an die letzte Stelle, dann ist jede der voraufgehenden @W Perioden aus einer Anzahl von Perioden (2, 1)= 1[[41] +[ Äg2 | z (2—1) zusammengesetzt. Nun lässt g“ durch p dividirt den Rest (— 1), (vgl. $ 325), also_ist e c 21 C Gn Z 21x 2in E [ SR 1+[ S D ] = 08 =— eine reelle Grösse, und das Gleiche gilt deswegen von der Summe solcher Grössen, d. h. von allen voraufgehenden Perioden. Die ge- troffene Anordnung gewährt demnach den Vortheil, dass alle Berech- nungen bis zur letzten exclus. im Gebiete der reellen Grössen durch- führbar sind, dass die complexen Grössen erst bei der Ausführung der letzten Operation auftreten, und bei der Beschränkung auf die Berech- nung der Winkelfunetionen überhaupt vermieden werden können. — Die zweite Bemerkung bezieht sich auf den Fall, dass (p — 1) eine Potenz von.2 ist. Tritt dies ein, dann erfordert die Lösung jeder Gleichung nur die Ausziehung einer Quadratwurzel, und es ist daher möglich, durch geometrische Constructionen mit Hülfe von Zirkel und Lineal die Bestimmung der Wurzeln durchzuführen. Hierbei wird man auch nur bis zu der Periode (2,1) = 2cos n gehen und erlangt da- durch die Theilung der gesammten Kreisperipherie in p gleiche Theile. Die niedrigsten derartigen Zahlen p sind 3, 5, 17, 257, 65587, ... Für den Fall p = 17 z. B. würde cos — nach S 318 den Werth 38 116 %. 116 V 116 A 17)% + E N 4 OE Vfififi 1? erhalten; die Construction selbst schliesst sich aber geschickter an die Auflösung der einzelnen quadratischen Gleichungen an *). Damit 2” + 1 eine Primzahl werde, muss, wie sich leicht beweisen lässt, m eine Potenz von 2 sein. Denn hätte m einen ungeraden * }I;]i_Ba,chma‚nn: Die Lehre von der Kreistheilung und ihre Beziehungen zur Zahlentheorie. Leipzig, Te_ubner. S 378 Achtundzwanzigste Vorlesung 8 319. Neunundzwanzigste Vorlesung 8 320 —321. von 1 verschiedenen Factor uw, dann wäre bei m — WD die Summe 2" + 1 durch 2“ 4{1 theilbar und also gegen die Annahme keine Primzahl. Es kommen sonach für die geometrische Construction der Kreistheilung nur Zahlen p = 2?” + 1 in Betracht. Die oben ange- führten Zahlen entsprechen den Werthen x 0, 0 23 A aber bei x=5 ist 2” / 1 keine Primzahl mehr, wie Euler gezeigt hat. Neunundzwanzigste Vorlesung. Kreistheilungsgleichung. Methode von Lagrange und Jacobi. $ 320. Es war dem Scharfsinne von Gauss nicht entgangen, dass die Gleichungen, durch welche Perioden geringerer Gliederanzahl aus solchen höherer Gliederanzahl berechnet werden, sich auf reine Gleichungen reduciren lassen (Disq. arith. $ 359). Diese Kigenschaft sowie weitere Krkenntniss der Natur jener Gleichungen zeigt sich am einfachsten bei der Verwendung einer von Lagrange angegebenen Lösungsmethode, die dann später von Jacobi in wesentlichen Stücken ergänzt worden ist*). Lagrange benutzt eine gewisse lineare Funec- tion der Einheitswurzeln, ähnlich wie er es bei den Gleichungen dritten und vierten Grades mit Erfolg gethan hatte. Diese Function führt hier wie im allgemeinen Falle den Namen der Lagrange’schen Resolvente. 8 321. Wir haben in $ 313 die f-gliedrigen Perioden durch (D ( 0 1 SE e « TE E e a Aa definirt. Jetzt verstehen wir unter « irgend eine f* Einheitswurzel und setzen als Lagrange’sche Resolvente an: @) (f4; 0 => [4] + [Ag]a + [g 1a + + + Ag Da es ist also insbesondere (f,; 4; 1) =(f,1). Wir leiten zunächst eine fundamentale Eigenschaft von (2) ab. Aus der Gleichung (3) (Age) Z MO O = a U(f,.4; «) folgt durch Potenzirung (4) W Ag Z , d 3ı der Ausdruck 04 0 andernt sıch nıcht wenn man ın E UTE ET *) Lagrange: Kuvres Bd. 8; notes XII, XIV. Jacobi: Werke Bd. 6. S. 254. Kreistheilungsgleichung. Methode von Lagrange und Jacobi. B ım { dunch en eLze Er s alsopnach S 14 NYI eine lineare, ganzzahlige Function der e Perioden (5) (f; .9)7 (f; 92)7 (f7 ge) und daher, wenn diese Perioden bekannt sind, selbst rational darstellbar. Wir wollen den Ausdruck (4) durch 7 bezeichnen. Tist von Null verschieden. Denn wemn (f, 2; «) = 0 wäre, dann von @ durch könnte man in (2) zunächst alle Exponenten 2, 2g°, ihre kleinsten positiven Reste mod. n ersetzen und die so umgeformte Funetion durch @_ dividiren; dadurch würde ein Ausdruck entstehen, der eine ganze Function von @ höchstens vom Grade (p — 2) wäre, dessen Coefficienten rationale Functionen von « würden, und der den Werth 0 besässe. Das ist jedoch nach $ 312 nıcht möglich, da f# gegen p= e:f-+ 1 relativ prim ist, und also die Kreistheilungs- gleichung auch in dem erweiterten, aus 1 und « gebildeten Ratio- nalitätsbereiche irreductibel bleibt. Erhebt man jetzt einmal (3) in die Potenz mit den Exponenten (—x) und ersetzt andererseits in (3) die Wurzel x durch «*, so folgen die beiden Gleichungen (f‚Ag°; «) * = w*(f, 43 a)7*, ( Ag e — «7#(f, 4; @”), und durch Multiplication beider Gleichungen entsteht (6) A A0 )= A A, woraus ersichtlich ist, dass die rechte Seite sich bei der Einführung von [g°] an die Stelle von [1] nicht ändert. Nach S 314, VIMI) ist ( (fä; @) (f,A; >T rational durch die Perioden (5) darstellbar. Man hat also gemäss (4) und (7), wenn « jetzt eine primitive f Einheitswurzel bedeutet, [2]+[2g‘] AA + + [4gV—94 z (f; Ä); [2]+[49g] « + [Ag* ]« + N + He e R [2]-[Ag] / 4 [2gtarU—0) 4 .. N ].’f—l; und dieses System linearer Gleichungen lässt sich sofort auflösen. Man findet aus ihm 380 Neunundzwanzigste Vorlesung 8& 321—323 f [4] —(f; Ä') 'f‘ VM TV n (8) f [2Ag‘] OR VE TE %i [lg”]—(f‚l)+a*‘%ßl’+ a I 1/T2—{— +„—2f+2Tf 1]/Tf z und erkennt daraus, dass wenn die e Perioden von je f Gliedern bekannt sind, die einzelnen p“ Einheitswurzeln nach Aus- ziehung der f““ Wurzel aus einer bekannten Grösse T unter Benutzung einer primitiven /*2 Einheitswurzel « gebildet werden können. S 322, Ist nun wieder, wie in 8 316, die Zahl f= e’ f und yerstehen wir unter ß eine e’° Wurzel der E1nh91t dann können wir diese in (2) statt x eintragen. Dabei wird ( A; B) = [A] + Ag]B + [2Ag* 18° + __l_ [Äg e—l)e] ße—1 + Ufl”] + [19”+]ß + [19”+“] ß” + + [19(“ 1”] ße_1 (9) —(f Ä)+(f Äy ß+ +(f Äf(_l”)ße*‘ An die Stelle von (3) und (4) treten die Gleichungen (10) f;ÄJ7 > —ß 1(f;Ä' ß)7 (11) (f, Ag°; B)* =(f4; B)“, von denen die zweite zeigt, dass (f; 1; 8)“ = T eine lineare, ganz- zahlige Function der Perioden (5) und daher mit diesen selbst bekannt ıst Tist aus den oben dargelegten Gründen von Null verschieden An die Stelle von (6) trıtt ( A D (f;}‘.(]7ß)—'(f;l ß)— (f;Ä ß); und deshalb ist (12) (F 4; B°) (F 4; B)- Auf Grund von rational durch die Perioden (5) darstellbar (11) und (12) stellen wir jetzt wieder, wenn nun ß eine primitive e’te Einheitswurzel bezeichnet, das System von Gleichungen W W da + + (f Äg(°_l)e) (%4), @ D AB + +(f Ägc—l)e)ße—-l F: ]/T (f',%) + (f”, Ag‘) B + + (f Äg(e—1)„)ß2(e—1) _ g 1/T (n A) f AB 4 (f, A0 B VDE auf, dessen Lösungen Kreistheilungsgleichung. Methode von Lagrange und Jacobi. 381 A Z GDE TE DLYT + + Te'—- 1 ä/Te’— 1 5 (13): er (FAg A BDA U A HBL, FG T OE E E uns zeigen, dass wenn die e Perioden von je f Gliedern be- kannt sind, die ee’ Perioden von je f’ Gliedern nach Aus- ziehung der e’ Wurzel aus einer bekannten Grösse T unter Benutzung einer primitiven e’ EYinheitswurzel ß gebildet werden können. Nimmt man ın (13) e= 1 und also f= o — 1, so erkennt man, wie direct, ohne Vermittelung zwischenliegender Perioden, der Ueber- gang von der Kreistheilungsgleichung zu irgend welchen Perioden ge- macht werden kann. S 323. T wird im Allgemeinen einen complexen Werth haben, und deshalb kann (14) ON gesetzt werden, wobei R und @ als bekannt anzusehen sind. Das ergiebt ( —VT VR[S ka KErsetzt man in (14) 2 durch —2 und ß durch ß—*, dann entsteht der conjugirt complexe Werth zu (f,4; ß), und daher wird f‚ —2 8 =R[ * —ol, {(f2; B)(f, —4 87)) = R l\‚\[ oder weil g Z A —1 —A (15) EGg 2 .87} = R} Nuu erkennen wir aus (10), dass ( A0 D)= B G As D D—1 AL DE ( B SN 05 wird. Bilden wir das Product beider Gleichungen, so wird es klar, dass die Klammergrösse auf der linken Seite von (15) bei der Sub- stitution von [g’] statt [1] sich nicht ändert. Sie ist demnach als ganze, lineare, ganzzahlige Funetion der Perioden (5) darstellbar. Bezeichnen wir sie mit U, so folgt aus (15) 382 Neunundzwanzigste Vorlesung $ 323—325 __R2 VE=VO; (F, 4; ß) + 2hkz VUL° ] OLG Gleichung e’ten Grades, welche von den e Perioden zu je f Gliedern zu den ee’ Per1oden von je f Gliedern führt, kann dadurch aufgelöst werden, dass man eine pr1m1t1ve Wurzel der reinen Gleichung Z = 1 bestimmt, einen Winkel, der dann construirt werden kann, in e’ gle1che Theile theflt und aus einer bekannten Grösse d19 Quadratwurzel zieht. $ 324. Von besonderem Interesse ist der Fall, in welchem man mit Hülfe der soeben dargelegten Methode d1rect von der Kreis- theilungsgleichung zu den Wurzeln [1j, Lgl, übergeht, der Fall also, in Welchem e=1, f=gy—1; e’ = D OE wird. Setzen wir dabei der Bequemlichkeit halb<91 A=1, so wäre, wenn die auftretende (p — 1)° Einheitswurzel wieder mit. @ bezeich- net wird, U E Z Z ) A Z W Sr al 7 a n 0 E NN {L— 11# gla [g e + [g Narn zu berechnen. In dem Producte fassen wir alle Glieder zusammen, welche die gleiche Potenz von « enthalten, und bekommen dabei U= L+1+1++++1) 4« {L9 —11 +[9(9 — 1)1 + [g*(g - U1 + - + [g (g — 1)] +a2{Ly'—l]+[y(y ——DI+[9(9 —1]+ +[9” 2(9 J R {[9’H - 1] - L9(9” D 1)] Ar } Keine der Grössen (g—1), (gl — 1 (g? * — 1) ist congruent 0 modulo , und daher umfasst jede der zugehörigen geschweiften Klammern alle primitiven p° HEinheitswurzeln; deshalb hat eine jede den Werth (—1), und so ergiebt sich (D-D+@+@ + (1 AD E D = Die Kreistheilungsgleichung kann also dadurch aufgelöst werden, dass man eine primitive Wurzel der reinen Gleichung Pl = 1 bestimmt, einen Winkel, der dann construirt werden kann, in (p — 1) gleiche Theile theilt und aus der Grösse p die Quadratwurzel zieht 383 Kreistheilungsgleichung. Methode von Lagrange und Jacobi. $ 325. Während wir in dem letzten Paragraphen von der Kreis- theilungsgleichung direct zu den Wurzeln herabstiegen, wollen wir jetzt versuchen, den kleinsten Schritt zu thun, der in dieser Richtung —1 möglich ist, nämlich, zu den beiden Perioden von Gliedern überzu- gehen. Wir bezeichnen sie durch @ = ] 4 L1 L - ET (16) S und erhalten sofort für ihre Summe (17) % + Yı =—1. Das Product der beiden Perioden tritt zunächst in der Form Po Pı B l Z ( 2 A 2 ? SA A + e ] auf, und die Summanden der rechten Seite sind dabei von dreierlei Art Kntweder ıst ein Summand eine uneigentliche Periode und hat dann den Werth Ii—2— , oder er ist gleich %,, oder gleich @,. Man erhält, wenn diese Fälle bezw. m,, m,, m, mal eintreten Dl (18) PoPı — M 2 r %5 I - Aus unserer allgemeinen Theorie erhellt aber, dass die rechte Seite eine ganze Zahl wird, und da man mit Hülfe von ( SO mop;—1 3 O D— —. E 2 Ma + (m, — mMo) o schreiben kann, so muss %,, welches einer irreductiblen Gleichung zweiten Grades genügt, hierbei verschwinden, d. h. es muss m, m, werden. Ferner muss in (18) die Summe der drei m gleich —* sein, und deshalb geht (18) in Da Z D— al (19) C — 2 A 2 a ) ( + @i) D M = M O L V 4 über. Zur vollständigen Bestimmung des gesuchten Products brauchen wir also nur noch , ausfindig zu machen, d. h. festzustellen, wie viele der Perioden (——— Q 1> den Werth —1 annehmen können. 2 Dies geschieht stets dann und nur dann, wenn g?“+1 + 1 durch p theilbar wird. Nun folgt aus der Definition von g 384 Neunundzwanzigste Vorlesung $ 325-—326. —1 A Va % gP—1—l=( O S I .‚_f+ } ) = 0 (nl D, und da keine frühere Potenz von g als die (p — 1)* durch p getheilt den Rest 0 lässt, so ist 1)—1 . g ? 2 arl 0 (anodl /D da ferner alle Potenzen von g mit den Exponenten 0, 1, ... (»—2) unter einander incongruent sind, so ist auch « = SE 2 der einzige Kx- ponent, für den g“ - 1=:0 wird. Daraus ist ersichtlich, dass mnur, wenn die Gleichung 2%x + 1=" stattfinden kann, der Fall p— 1 ( 2 ] 1) = P 7orkommt. Das geschieht also für ein D en eEnzıses Mal d° k dakır ıst w = 0 und füx eın n=4u 4{1 gar nicht, d. h. dann wird m = 0. Also liefert (19) für diese beiden Fälle die Werthe / BAn OT 4 (wenn d = 4u + 1 ist), 0L p—i——1 (wenn p = 44u + 3 ist); diese beiden Resultate können wir in die eine Gleichung —1 (20) 1—(-1D)? p ) A ’i’ ( zusammenfassen. Die beiden Gleichungen (17) und (20) zeigen also, dass p und ; die Wurzeln der quadratischen Gleichung 1 (21) 2 2+ i (1 — (— 1)pj’ D An sind, und dass sie daher die Werthe 3(—1+V(——177p) Unr ı 2 2 besitzen. Die Frage aber, welcher der beiden Ausdrücke den Werth Wir müssen darauf von @, liefert, ist nicht leicht zu entscheiden. verzichten, die hierauf bezüglichen Untersuchungen vorzutragen. $ 326. Aus diesen Ergebnissen können wir einen höchst merk- würdigen arithmetischen Satz ableiten. Setzen wir na = @DD C - O U so zeigt uns $ 314, XV) dass die Coefficienten jedes der beiden Aus- drücke von der Form Kreistheilungsgleichung Methode von Lagrange und Jacobi 385 Q A A0 Aı sind; wir können somit die Polynome selbst in ähnliche Form bringen und also für den ersten Ausdruck etwa M (e) = Rl) + SC % + TC) yı schreiben, wobei R, S, T ganze, ganzzahlige Funetionen von z bedeuten Ersetzt man nun hierin die Wurzel [1] durch [g] so gehen Ay(2), Folglich wird , und , bezw. in h;(2), nd @, über h,(g) = R(?) + S(e)g, + T@)% Nun liefert /,(2) h,(z) offenbar das Polynom der Kreistheilungsgleichung F„(z); das Product der rechten Seiten unserer beiden letzten Gleichungen wird gleich D ((2R SE E T)V(_1 2 ») A M Dl Z @R-S- 7r CO ıen und wenn wir also zur Abkürzung 2R—S—T=X S—T=YY setzen, so erhalten wir die Darstellung für das Vierfache des Kr e15theflungspolynoms Z (22) 4F„(e) = Caa 1) CO Für 9 17 wird die Gle1chung‚ welche die Wurzeln der Periode © V Lietert —e AF 2a — (4o,-+ 3026305a —(4900+3%)5“)'+(4+930+241)1)5 —%2+1= und daraus folet BA G S=—2/+L2 42 + 3e* — 4Z3—|—„/. A T= 22 — 32 + 57 — 32 + 22 Dies führt dann endlich zu den Schlussresultaten X(2)= 22 + 2452° 47# +42 472 +52 4242 Yiz)=7 + + +22 +# + +2; z7—1 4 8& — Xgr 177(0). Netto, Algebra. I 25 Namen- und Sachregister. (Die Zahlen beziehen sich auf die Seiten.) Abbildung 16. Conjugirt complexe Grössen 13 Ableitung 21. Conjugirte Funetionen 14. — eines Products 22. Convergenz von Näherungsalgorithmen — einer Summe 21. 302, 304. Absoluter Betrag 10. Addition 1. Cubische Gleichung 834ff. — KEuler’sche Lösung 335 — complexer Grössen 4, 11. — irreducibler Fall 338. Adjungirte quadratische Form 183. — goniometrische Lösung 338. Algorithmus d. gemeins, Theilers 64ff, — Lagrange’sche Lösung 3389. — zur Wurzelberechnung 300. — — für alle Wurzeln 308. — Teschirnhausen’sche Lösung 334. — Wurzeldiscussion 245, 337. Algorithmen, die sich ergänzen 305, Amplitude complexer Grössen 10. Darboux 260. Anzahl reeller Dedekind 8. 230ff. 288 £f. Wurzeln_ OS U: Arndt 362. Definite quadratische Form 197. Descartes 233. 342, Associatives Gesetz 1. — Regel 219. 222, Austrittspunkte 268. Determinante quadrat. Form 182, Differentialgl. für Discriminanten 180. Bachmann 377. — für Resultanten 163. Baltzer 158. — für symmetr. Funect. 1383£ff, Bernoulli, D. 290 ff. Discriminanten 177 ff, Bezout 178, — Differentialgl. für sie 180. Bezoutiante 158. 269. Distributives Gesetz 3, BeEzout’sche Resultante 157. Division 3. Biehler 225. 236. 2839. Divisor von Null verschieden 3. Biquadratische Gleichung 341 ff. Doppelwurzel 17. 181, — — HEuler’sche Lösung 341. — — Descartes’sche Lösung 342 Einheiten 3, — — Lagrange’sche Lösung 343 Einheitswurzeln 345. —— Wurzeldiscussion 246, 344 — Darstellung, goniometrische 352. ©S Bonnet 236. — nicht-primitive 347, Borchardt 2. 93. 254 — Pprimitive 347, Burnside 205. — — ihre Anzahl 350. — — ihre Gleichung 353. Catalan 225, — Zugehörigkeit z. Exponenten 347.351 Cauchy 37. 249. 272. Eintrittspunkte 268, — HExistenzbeweis 26. 31. Eintypige symmetr. Funct. 97. — Interpolation 43. Eisenstein’s Irreductibilit.-Theorem 56 — Umkreisungssatz 35. 257. 360. — Wurzelgrenze 203. Elementare symmetr. Funct. 96. Encke 294, Cayley’sche Resultante 158. Cohn 290. Euklid’scher Algor. d. Theiler 64ff, Colombier 236. Euler 180. 290. 298. 341. 378. Commutatives Gesetz 1. — Identitäten 41. Complexe Grössen 1ff, 3. — Resultantendarstellung 152. Excess 254, — geometrische Darstellung 10. Namen- und Sachregister. 387 Faä di Bruno 133. Jacobi 43. 46. 157. 194. 196. 270. 378, Faure 225. Jerrard 125. Folge (Zeichen-) 216. Folgen-Folge 227, Kerschensteiner 159, Kettenbrüche 329. Folgen-Wechsel 227. Königsberger’s Theorem über irreduc- Fouret 212. tible Functionen 61. Hourijer. 216. 233. 290 Frobenius 197. Kreispolygone, reguläre 377. Function, ganze 15. Kreistheilungsgleichung 359 ff. — rationale, d. Wurzeln 113£ff. — Auflösung nach Gauss 365 ff. — Auflösung nach Lagrange 376ff, — o-werthige 114. — Irreductibilitätsbeweise 360, — symmetrische 96ff. 113£f. — Zerlegung 39. — Zerfällung in Factoren 372. Fundamentalsystem 109. Kronecker 48 55 8 268 209 357 361. 364. Ganze Function 15. Cauey 28 5011020 106 178 222 359 361. 366. 378. Lagrange 54. 272. 290. 323ff. 331, 339. 343. 378£f. Gauss’sche Darstellung symmetr. Funct. — Interpolationsformel 39. 104, 110. — Lösung der Kreistheilungsgleichung — Kreistheilung 359£f. 378 Gauss’scher Wurzelexistenzbeweis 28. — Lösung numerischer Gleichungen 328, Gauss’sche Zerlegung ganzer Funct. 52. Lagrange’sche Resolvente 378. Gemeinsamer Theiler 65f£f. Laguerre 205. Geometrische Reihe 91. Laplace 44. Gewicht eines Gliedes 107. Lebesgue 362. Gleichung, algebraische 15, Legendre’s Polynom 210. Z — dritten Grades (siehe: cubische Gl.). Lineare gebrochene Function 319. E fünften Grades; Reduction 124ff. Longchamps 205. Kreistheilungs- 359ff, E reciproke 119. Mandl 55. BA vierten Grades (s.: biquadrat. Gl1.). Mathieu 281. Mittelwerthsätze 214ff, — d. Wurzeldifferenzquadrate 128. 324, 328, Modul complexer Grössen 10. — zweiten Grades (s.: quadratische G1.). Moigno 254. Gleichungspolynom 15. Multiplicität von Wurzeln 18. 38. 72. Goniometrische Lösung cubischer Glei- chungen 388. Newton 277. 278. Gordan 159. Newton’s Formeln d. Potenzsummen 98. — Wurzelexistenzbeweis 173. — Interpolationsformel 50. Grad einer Gleichung 15. — Näherungsmethode 282 ff, 309ff. 314. Grenzen f, d. Wurzeln 20. 201 ff, — Regel 2383, Grenzpunkte bei Näherungsalgorithmen 305. — Regel, vervollständigte 234. Nicht-primitive Einheitswurzeln 347. Hermite 213. 225. 261. Noether 157. Nullstellen 17. — Theorem 269. Ordnung einer Recursionsformel 88. Indefinite quadratische Formen 197. Orthogonale Substitution 198. Interpolationsformel, Cauchy 43. — Lagrange 39. Panton 205. — Newton 50. Partialbrüche 42, 73. Partielle Invariante e. quadrat. Form 182. Differentialgleichungen für Irreductibilität 51 ff. Discriminanten 180. — der Kreistheilungsgleichung 360. — — für Resultanten 163. — der Resultante 169. — — für symmetr. Functionen 133 ff. ]lsenkrahe 301. Isobarische Function 107. Perioden für primitive Einheitswurzeln 637. Iterirung 314 ff. Polygone, reguläre 377. — allgemeine Eigenschaften 316. Polynom einer Gleichung 15. — gebrochener linearer Funet. 319. Potenzsummen ; independente Darstel- — gebrochener rationaler Funct. 321. lung 98. 255 388 Namen- und Sachregister Potenzsummen; Newton’sche Formeln 98 Signatur quadratischer Formen 197 — Waring’sche Formeln 100 Signum 21 — für primitive Einheitswurzeln 356 Poulam 211212 Species quadratischer Formen 197 Sturm 238. 252. 253 Primitive Einheitswurzeln 347 Sturm’scher Satz 240. — — Anzahl 350 An — aus — — Gleichung 353 dem Cauchy’schen Um- kreisungssatze 257. Product der Wurzeldifferenzquadrate Substitution 96. 129 Subtraction 3 Sylvester 127. 158. 182: 199- 213, 225 Quadratische Formen 182 ff. 230. 233. 252. 254. E - adjungirte 183 Sylvester’s Trägheitsgesetz 194. definite 197 Symmetrische Functionen 96 ff, Determinante 182 — — eintypige 97. indefinite 197 — — elementare 96 Invariante 182 — — rationale Funectionen 112 Rang 185 reciproke 183 Tauber 310. Signatur 197 Species 197 Theiler, grösster gemeinsamer 64 ff. Tra@he1tsgesetz quad1ahscher Formen Trägheitsgesetz 195 194. Transformation 183. Transformation der Gleichungen 1138ff. Verwandlung in Quadrate 190. Qua.drat1sche Gleichungen, Lösung 334 — der quadratischen Formen 183, — — Wurzeldiscussion 244. Trennung der Wurzeln 271 ff, Tschirnhausen-Transformation 119. 125 334, 341 Rang quadratischer Formen 185 Rationalitätsbereich 51. 52. 372 Umschlingung des Nullpunktes 38 Reciproke Gleichungen 119. 365 Recursionsformeln f. Potenzsummen 97 Vielfache Wurzeln 18. 38 98 72 181 — f. Reihen 76. 88ff. Vincent 3831 Recurrirende Reihen 86ff. Reductibilität 51 Waring 100. 272. 324 Resolvente 378 Waring’s Formel f. Potenzsummen 100 Resultante 149ff, 162 ff Wechsel der Zeichen 216 — Darstellung 150 ff. Wechsel-Folge 227 — — nach BeEzout 157 Wechsel-Wechsel 227 — — nach Cayley 158 Weierstrass 8 — — nach Euler 158, Wurzel 17. — — durch Gleichungswurzeln 150, — Anzahl (reeller) 208. 217. 230. 238, — KEigenschaften 162fi' Wurzelexistenzbeweis 26 ff, — Partielle Differentialgleichung 163. Wurzelpunkt 17. Reuschle 355. Rolle’s Satz 201. 208 Zeichenfoige 216 Zeichenwechsel 216 — — Anwendungen 209 ff. Runge 55 Zerlegung ganzer Functionen in lineare Factoren 18 Sancery 300 — — — inirreductible Factoren 51. 71 Scheibner 157 — rationaler Funectionen in Partial- Schröder 300 brüche 42. 73 E S N KF P Z SA , E &. D A SS ‚SE S e F EB S NS z F SE A D E e - > &. z e D E DEn A En z E G w S S Z .„. © E Zn Z E S D S — 7 A E z n R e S E A E A SCS Z S E S Z S S Zn E E FE E SEn S ka SO > D Fn A z W - s -& f X> S C Da SE A e An j F Z » R E - E SN Aa S Ü SS O F _ A S M S S > b B A ‚.„ E n O S C > __ SE A Sn S z S s > > - R A x E e E PE 6 Z S SA HA E DE Ar2S . S S Z S e Z S S S> S SX „. SE A S D K S e A e z > E E S S O En z < SE Sn Z M„ l„„k.‚.v. © e . E e E E z Z S S s z Fa S E a ul„ & C e Dın E S SC e S S S S e SE T ELE SE E F 4 D En e S H> z R F R Z Z „.« SC SE S . S > S S S E n Z Z Z B - A .W ea E E $ E 7 D s s z A en 78 LE D, Z 5 - E kE S E S X M A S Z E na E S Z n - DEn Ar S r 3 F S S Sn — S 5 ® DE .. E S En 5 e E C H S &s n Z F D OC z C Sa C S: Aa EB N a SE 2 S 5 E Z S SR S CI m ON SS S T $ a S Z s A An Ü E SE s SE Da .< M z © 2 Y E FL E S E HN D x Z Sn S z Sr — z S E . E e F=: y z S S E En Z D A z En B Zn e irn SI R S oa mer e An D g Z PE x n SE An n > E E Üa E E Va e S> Oa E < > s B E B S S P S S An “ A S An s - n s S > Ar s E n S s E é‚M OS En Z ET < nn S B z Fn R > S - d S S E S Lr R C B > 2 &s 3 e S eE CD A s E S S A - SM z R i ED En S E . S e % S w z e &r S x S K A IO s S z A x Zr Wr S o — Y - S S s A z Z X E Ach S SE en „.M e FE = 8 7 _ e - S : n DE S A S w Z e A C SS e 5 B Z B TS E o A A - 7a Tr E Bn ıS E C E G Ca S , e Z S SE Dn Gn A 6 S, M Ma A S S4 B 2 f A F E e C O O s E RA «x . < Sar B b S A A c7 F a v@ A Cn . e e B Da .< Z E S z n E Za SS SE Zn e E DE S e 5 S E „„\ en A En 3E e Z „.„‚„\ R e z N S Z Z x E A SE REn z z Ar s 3 ® E x D E v Zz v K SE REn S 6 c E N G 4 B S E ..äxü XE e S Z e E DA M „w; (n C Z - “ {& E SSS Ar © A e e en Sn — in A Z e x S A S SA S s S WA‚ A Z Wne ‚E e< s CSa . F E A P A 7 DE An A A z O a AD 5 E E x Z A S S S % u &. Z G A Z x DE A Gn G e \m > Z n S SS e a E E A ea C x E ä n SE * S Ar L X A n $ C 8 e A I A N U AA ® 4E D e A K DA TE ä4. ; B R % %ı G $ i F x RO O { x An B P ; E x S % X e 7 S 49 N Ya Hi W j$, E n ( 3 f AA M % ® 5 O4 ; n W kE M “ © A f E O { E 7 D} H 4 &\ A N Q “ K 8 ü } t. An M 8 Y 55 W 4® S i. 6 N ( , W C r‚} Sl ME e 2 47 S D &l E . /"t-l„ C 4 F &e 8 A z M Yl f AA b N 8 L “;‘ % { CR ’; 8 f H ( E N S A \(‘;a $ vA SN W A x f z A NI f AB Z S da ‘_# @ }‘\\‘ A % A i Z 3 A E AA * S Z O8 € } A / ® \ X S . ä ( RE SA A A M, B K 2 A $ 8 $ C C ‘ En An S En &ı X 2 A V ö “ R A 7 g * «f. ! M X in 4 AA e 2 D 4 A © } A A 6 5 M m © A 3 Aun A S A l Dn S A % Y E ; S 8 ;. X ( X RR S b Y fı y u& OR E M e 8 S A f U H AA D 44 n XO 1D A A ® K D r i S S e S } n P ß j % W Y PE ( %. P / D % A PE LE3 4 D a R / f ( %„n\ htl‘.llul»tfill.\el"illllllll«! BA EE E E G E E E 0 SE SE —— —— 47a STWA W W w\ D arr Ta A .5 i P SAn } +“ ‘P\ 2 Yıa «w..l > , N # ‘« .wé .€\F K V w..ß @ Ö .G.f. SEn auche F 4 A el * R $ D P 6 L c& ä 7 7 2 un . UI « wß& SA + ; .»a&. 4.rü .hp 7 i.a.» Ir P A F S N s a A { .& JR .w. K A Va E OL &s Ta bb EG ; ® S /„..\ e @! . u S ;n‚n) ie® - G A R y E * w °— K x \ F Y <t4‘/ * ® 4n .7 R * Aa A X E % HIS 72 V . % l e D C w s l.w D .ué&; e aL„W 4“ D Y S H AT E F P f .M > rr 4 K 4 24 A % A Pn R \i\. X jn q X Yın Ä) } $ B da 4„ K E 4 .\n b e * Ta &i An E AA “v ».:. 14 s Mar 3 aä£/ F Ar i Z , AF E : {a A M arı S, yB Ö v M OR S V JG4 A ;} ® U n rifl ® < d U A* ß‘l - LE &x 8 r“ z A .m . \ 0 N D3 ..Mf N K W. . p E M % A > “ N +“ # ...f —. SN ® SN f $ r.m M Y k 4 W n $ K e L I AF „& g RS E D] 4 a } Rı A Ar A “ % ® ’ DE a Wa 4 Aa n } Y D a} M‘. E z L7 4 n A& v& *r 04 w d X} * E C «( &f *. \ ä..w T v 3 „...‚„_ a ®„pa „B„.Q%ß— \# E Mk % w ;.«* A T a A A ßr° ya u ® E vr tN„ B aan S WF —.w%.. ; A ® w E V A . 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