Bb314-2

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Leonhard Eulers Einleitung in die Analysis des Unendlichen “ * ᷣ=ð ð — N12511920901 021 IIIIIIIAIIIIIIIINII 1 Us Trübingen Leonhard Eulers Einleitung in die Anal lyſis des Unend ſchen. Aus dem Lateiniſchen uberſehe und mit Anmerkungen und Zuſatzen begleitet von Johann Andreas Chriſtian Michelſen, Profeſſor der Mathematik und Phyſik am vereinigten Berliniſchen und Coͤniſchen Gomnaſium. Zweytes Buch. Berlin, bey Sigismund Friedrich Heſſe 1788. — — — . 2 * KR — 7 – 4 . . – . ) — 6 . S . . . * . . 1 . — . . 4 „ . . . P 4 — 4 . 2 . . 2 2 * Vorred e. 3 Ec⸗ uͤbergebe hiermit den Freunden von n Herrn Eulers Schriften die Ueberſetzung des zweyten Theils ſeiner Einleitung in die Analyſis des Unend⸗ lichen, und zwar nach eben den Regeln bearbeitet, nach welchen ich mich beym erſten Theile gerichtet habe. Was die hinzuge fuͤgten Anmerkungen betrifft, ſo habe ich dieſelben, wo es mir zur Erlaͤuterung noͤ⸗ thig ſchien, ſogleich dem Texte einverleibt, und zur Unterſcheidung in Klammern einſchließen laſſen, ich habe mich aber in Anſehung ihrer kuͤrzer faſſen muͤſſen als beym erſten Theile, weil ſonſt der gegenwaͤtige zu ſtark geworden ſeyn wuͤrde. Aus eben dem Grunde habe ich den Vorſatz muͤſſen fahren laſſen, in einem Anhange theils den Inhalt tabellariſch darzuſtellen, theils manche von den abgehandelten Materien weiter aus einander zu ſetzen, und ſo den gegenwaͤrtigen zweyten Theil dem erſten ganz aͤhnlich zu machen. 2 So⸗ 1V Vorrede. So ungern ich dieſes gethan habe, ſo durfte ich es gleichwohl den Herren Verleger, insbeſondere da zu dieſem zweyten Theile ſo viele Kupfer noͤthig waren, nicht anmuthen, fuͤr den einmal feſtgeſetzten Preis auch die ſonſt ſchon ausgearbeiteten Zuſuͤtze zu liefern, und ich hoffe daher, daß man mir daruͤber keinen Vor⸗ wurf machen werde, zumal, da ich, um dergleichen gaͤnzlich zu vermeiden, die gedachten Zuſaͤtze nebſt den in der Vorrede zum erſten D lungen, ſo wie auch die S. 426 gedachte Unter⸗ ſuchung, die ebenfalls fuͤr den gegenwaͤrtigen Ort zu weitlaͤuftig geworden iſt, ſo bald ſich der Herr Verleger dazu bereitwillig finden laſſen wird, in einem dritten Bande liefern werde. Uebrigens ſtatte ich meinen Herren Recenſenten, die insgeſammt den erſten Theil mit ſo vieler Guͤte und Nachſicht angezeigt und beur⸗ theilt haben, meinen verbindlichſten Dank ab, und wuͤnſche, daß der gegenwaͤrtige zweyte Theil gleiche Guͤte und Nachſicht erfahren moͤge. Inhalt Theile erwaͤhnten Abhand⸗ Ve⸗ den Von der D Von der in D Von den r Ordnn Na 8 ſte ic es te da waren, n Preis liefern, en Vor⸗ Ngleichen nebſt den Abhand⸗ e Unter⸗ n Ort zu Verleger mn dritten meinen ſten Thei⸗ ind beur⸗ ab, und l gleiche Inhalt des zweyten Buchs. Krſtes Capitel. Von den krummen Linien (Curven) uͤberhaupt. Iweytes Capitel. Von der Veraͤnderung der Coordinaten. Drittes Capitel. Von der Eintheilung der algebraiſchen krummen Linien in Ordnungen. Viertes Capitel. Von den vornehmſten Eigenſchaften der Linien einer jeden Ordnung. Fuͤnftes Capitel. Von den Linien der zweyten Ordnung. VYI Inhalt des zweyten Buchs. Sechstes Capitel. Von den Arten der Linien der zweyten Ordnung. — Siebentes Capitel. Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. Achtes Capitel. Von den Aſymptoten. Neuntes Capitel. Von der Eintheilung der Linien der dritten Ordnung in Arten. Zehntes Capitel. 1 Von den vornehmſten Eigenſchaften der Linien der drit⸗ ten Ordnung. Eilftes Capitel. Von den Linien der vierten Ordnung. Zwoͤlftes Capitel. Von der Erforſchung der Geſtalt der krummen Linien. Dreyzehntes Capitel. Von den Eigenſchaften der Curven. Vierzehntes Capitel. Von der Kruͤmmung der Curven. Funfzehn⸗ Inhalt des zweyten Buchs. vVir Funfzehntes Capitel. Von den Curven, die einen oder mehr Durchmeſſer haben. Sechszehntes Capitel. Von der Erfindung der Curven aus gegebenen Eigen⸗ ſchaften der Applicaten. Siebenzehntes Capitel. Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſchaften. Achtzehntes Capitel. 3 Von der Aehnlichkeit und Verwandſchaft der Curven. Neunzehntes Capitel. Von den Durchſchnittspunkten der ECuroben. Zwanzigſtes Capitel. Von der Conſtruktion der Gleichungen. Ein und zwanzigſtes Capitel. Von den tranſcendenten Curven. Zwey und zwanzigſtes Capitel. Aufloͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. Anhang ℳ₰ℳ vri Inhalt des zwehten Buchs. Anhang von den Flaͤchen. Erſtes Capitel. Von den Oberflaͤchen der Koͤrper uͤberhaupt. Zweytes Capitel. S Von den Schnitten der § laͤchen, wenn Ebenen durch ſie gelegt werden. Drittes Capitel. Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel⸗Schnitten. yal Vier tes Capitel. Von der? Verwechſelung der Coordinaten. Fuͤnftes Capitel. Von den Flaͤchen der zweyten Ordnung. L Dee The Sechstes Capitel. Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen. Einlei⸗ Einieitung in die Analyſis des Unendlichen. waarrrriji Zweytes Buch. Diie Theorie der krummen Linien, nebſt einem Anhange von den Oberflaͤchen, õl u N Zweytes Buch. Erſtes Capitel. Von den krummen kinien (Curven) uͤberhaupt. D eine veraͤnderliche Groͤße nichts anders als eine all⸗ gemeine Groͤße iſt, die alle beſtimmte Groͤßen unter ſich begreift: ſo laͤßt ſich dieſelbe geometriſch ſehr paſſend durch eine unbegrenzte gerade Linie RS Fig. I. darſtellen. Denn da man auf einer unbegrenzten Linie jedes beſtimmte Stuͤck zu nehmen im Stande iſt, ſo gewaͤhret ſie eben den Be⸗ griff, den man bey einer veraͤnderlichen Groͤße hat. Zuerſt aber muß man in der unbegrenzten Linie RS einen Punkt A annehmen, um denſelben als den Anfangspunkt aller auf der gedachten Linie zu nehmenden beſtimmten Stuͤcke zu be⸗ trachten, und dann ſtellt jeder beſtimmte Theil von ihr, A b, einen in der veraͤnderlichen Groͤße begriffenen beſtimmten Werth vor. §. 2. Iſt alſo x die veraͤnderliche Groͤße, welche durch die unbegrenzte gerade Linie RS Fig. 1. vorgeſtellt wird, ſo iſt offenbar, daß alle beſtimmte Werthe von X, vorausgeſetzt, A 3 MM daß 6 Zweytes Buch. Erſtes Capitel. daß ſie reell ſind, durch beſtimmte Stuͤcke, die man n auf der geraden Linie RS abſchneidet, vorgeſtellet werden koͤnnen. Nimmt man nemlich den Punkt P in A ſelbſt, ſo druckt das verſchwindende Stuͤck A P den Werth « = aus; je weiter man aber den Punkt P von A entfernt, deſto groͤßer iſt der Werth von X, der durch A P vorgeſtellt wird. Dergleichen Stuͤcke, wie AP, werden Abſciſſen ge⸗ nennnt, und es ſtellen alſo die Abſciſſen beſtimmte Werthe der veränderlichen Groͤße X vor. §. 3. Da ſich aber die unbegrenzte gerade Linie RS (Fig. I.) zu beyden Seiten von A ins Unendliche erſtreckt, ſo kann man auch darauf jeden Werth von x auf eine doppelte Art neh⸗ me. Schneidet man indeß die poſitiven Werthe von auf der rechten Seite von A ab, ſo geben die Stuͤcke Ap auf der linken Seite die negativen Werthe von x. Da nem⸗ lich A P einen deſto groͤßern Werth von anzeigt, je wei⸗ ter der Punkt P von A entfernt wird, ſo muß umgekehrt der Werth von x deſto kleiner werden, je weiter man den⸗ ſelben nach der Linken fortgehen laͤßt, und wenn ? nach A kommt = o werden. Laͤßt man alſo P ſich noch weiter nach der Linken bewegen, ſo kommt man dadurch zu Wer⸗ then von x, die kleiner als Null, d. h. negativ ſind, und es muͤſſen alſo die auf der linken Seite abgeſchnittenen Stuͤcke Ap negatipe Werthe von x anzeigen, wenn die auf der rechten Seite genommenen Stuͤcke A P poſitive Werthe vorſtellen ſollen. Es iſt indeß gleichguͤltig, was man fuͤr eine Seite zu den poſitiven Werthen von * waͤhlen will, indem allemal die entgegengeſetzte Seite den negativen Werthen deſſelben zugehoͤrt, §. 4. kehrt den⸗ c weſter Ver⸗ und nenen ie af ſetchhe fur wil, uiven 4 Von den krummen kinien uͤberhaupt. 7 §F. 4. Da alſo die unbegrenzte gerade Linie RS (Fig. 2.) die veraͤnderliche Groͤße vorſtellt, ſo wollen wir nun unter⸗ ſuchen, wie jede Funktion von X auf eine bequeme Art geometriſch dargeſtellt werden kann. Es ſey y irgend eine Funktion von x, ſo daß alſo y einen beſtimmten Werth be⸗ kommt, wenn man fuͤr X einen beſtimmten Werth ſetzt. Auf der zur Darſtellung der Werthe von æ angenommenen geraden Linie RAS richte man fuͤr jeden beſtimmten Werth von die ſenkrechte Linie ?P M auf, und mache ſie dem zugehoͤri⸗ gen Werthe von y gleich. Iſt der Werth von y poſitiv, ſo ſtelle man P M oberhalb, und wird y negativ, ſo nehme man P M unterhalb der R S. Laͤßt man nemlich die ober⸗ halb liegenden Linien die poſitiven Werthe von y bedeuten, ſo fallen die verſchwindenden Werthe deſſelben in die gerade Linie RS, und die negativen unterhalb derſelben. 5. 5. Die zweyte Figur ſtellt daher eine ſolche Funktion 7 von x vor, die fuͤr X = O den poſitiven Werth y= A B, fuͤr = A P den Werth y = P M, fuͤr = A D den Werth y = o, und fuͤr X = A P den negatiben Werth y7= P'M erhaͤlt, wo alſo P' M' unter der KS zu liegen kommt. Auf eine aͤhnliche Art ſtellt man die Werthe von y», die den negativen Werthen von x entſprechen, oberhalb der RS vor, wenn ſie poſitiv, und unterhalb derſelben, wenn ſie negativ ſind, wie pm; wenn aber fuͤr irgend einen Werth von x, z. B. fuͤr — X =£ A E, y= o wird, ſo ver⸗ ſchwindet daſelbſt die auf RS ſenkrecht aufzurichtende Linie. §F. 6. Wenn mon daher auf dieſe Art fuͤr alle beſtimmte Wer⸗ the von x die zugehöeigen Werthe von „ ſucht, und (Fig. 2.) A 4 H aus ðð D 8 Zweytes Buch. Erſtes Capitel. aus allen Punkten P der Linie RS auf derſelben ſenkrechte Linien P M aufrichtet, welche die Werthe von y ausdrucken: ſo liegen die einen Endpunkte P der Linien P M in RS ſelbſt, die andern aber fallen entweder oberhalb derſelben, wenn y poſitiv, oder unterhalb derſelben, wenn y negatio, oder endlich in ſie, wenn y=o iſt, wie in den Punkten Dund E. Die Endpunkte M der Linien P M ſtellen alſo irgend eine Linie, eine gerade oder krumme, vor, und es wird daher dieſe Linie durch die Funktion y beſtimmt. Es enthaͤlt demnach Funktion y abhaͤngt. jede Funktion von x, wenn man ſie auf die angezeigte Art geometriſch behandelt, die Beſtimmung irgend einer geraden oder krummen Linie, deren Ratur von der Natur der 9. 7. Auf dieſe Art lernt man die krumme Linie, welche aus der Funktion y entſpringt, vollkommen kennen, weil alle ih⸗ re Punkte durch dieſe Funktion beſtimmt werden. Wo man nemlich auch P annimmt, ſo kennt man die Laͤnge der . Linie P M, deren Endpunkt M in der krummen Linie liegt, und es laſſen ſich alſo alle ihre Punkte finden. Auch mag eine krumme Linie beſchaffen ſeyn wie ſie will, ſo kann man doch aus jedem ihrer Punkte eine ſenkrechte Linie auf die gerade Linie RS herabfaͤllen, und ſo A P fuͤr die veraͤn⸗ derliche Gr oͤße , und P M fuͤr y erhalten. Es laͤßt ſich da⸗ her kein Punkt in einer krummen Linie denken, welchen man nicht auf dieſe Art beſtimmen kt koͤnnte. Obgleich mehrere krumme de kinien durch eine ſtetige Be⸗ wegung eines Punktes mechaniſch beſchr ieben, und ſo ganz und auf einmal dem Auge vorgelegt werden koͤnnen, ſo werden wir dennoch hier vorzuͤglich die beſchriebene Entſte⸗ hungs⸗ ð 8 ¶ S = — =ü — — — — — hte n: alf ð Von den krummen Ainien uͤberhaupt. 9 hungsart der krummen Linien aus den Funktionen betrach⸗ ten, weil ſich dabey ein weiteres Feld oͤfnet, und der Cal⸗ eul bequemer gebraucht werden kann. Es fuͤhrt alſo jede Funktion von xX auf irgend eine Linie, eine gerade entwe⸗ der oder eine krumme, und umgekehrt laͤßt ſich jede krum⸗ me Linie auf eine Funktion zuruͤckfuͤhren. Es wird nem⸗ lich die Natur einer krummen Linie durch eine ſolche Funktion von x ausgedruckt, woraus man, wenn man die Stuͤcke AP zwiſchen A und den aus den Punkten der Curve M. auf RS ſenfrecht herabgefaͤllten Linien ? M fuͤr die ver⸗ aͤnderliche Groͤße « ſetzt, allemal den wahren Werth von PM findet. MM §. 9. Dieſe Vorſtellung von den krummen Linien fuͤhrt ſo⸗ gleich auf die Eintheilung derſelben in continuirliche (ſte⸗ tige) und diſcontinuirliche oder vermiſchte. Man nennt nemlich eine krumme Linie alsdann continuirlich, wenn ih⸗ re Natur durch eine einzige beſtimmte Funktion von aus⸗ gedruckt wird; dagegen ſie diſcontinuirlich oder vermiſcht und irregulaͤr heißt, wenn ſie ſo beſchaffen iſt, daß verſchie⸗ dene Theile von ihr, B M, MD, D M ꝛzec., durch verſchiede⸗ ne Funktionen von X ausgedruckt werden, ſo daß, nachdem der eine Theil B M nach einer gewiſſen Funktion von x be⸗ ſchrieben worden iſt, der andere M D aus einer andern Funktion gefunden wird. Der Name dieſer letztern Art der krummen Linien gruͤndet ſich darauf, weil dieſelben nicht nach einem beſtaͤndigen Geſetze fortgehen, ſondern aus Theilen verſchiedener continuirlichen Linien zuſammen⸗ geſetzt ſind. §. 10. Es werden aber in der Geometrie vorzuͤglich die conti⸗ nuirlichen Curven betrachtet, und es wird unten gezeigt A 5 wer⸗ (Sig. 2.) eine continuirliche krumme Linie, deren Natur 10 Zvwepytes Buch. Erſtes Capitel. werden, daß eben die Curven, die durch eine einfoͤrmige Bewegung nach einer gewiſſen beſtaͤndigen Regel mecha⸗ niſch beſchrieben werden koͤnnen, ſich auch durch eine ein⸗ zige Funktion ausdrucken laſſen, und alſo zu den continuir⸗ lichen Curven gehoͤren. Iſt daher die Linie m E B MD M durch irgend eine Funktion y von ausgedruckt wird: ſo iſt aus dem Vorhergehenden bekannt, daß, wenn man die beſtimmten Werthe von xX auf der geraden Linie RS, vom Punkte A annimmt, die zugehoͤrigen Werthe von y die Laͤnge der ſenkrechten Linien P M darſtellen. Bepy der gegenwaͤrtigen Unterſuchung der krummen Li⸗ nien hat man gewiſſe Namen zu merken, deren Gebrauch ſehr haͤufig iſt. So heißt die gerade Linie R8, auf welcher man die Werthe von * abſchneidet, die Axe, oder Abſciſſen⸗ Linie (Linea direétrix). den Endpunkten der Abſciſſen P nach der Curve gezogen wDerden, mit dem Namen der Applicaten. Der Punkt A, von welchem an die Werthe von X ge⸗ nommen werden, wird der Anfangspunkt der Abſciſſen genennt. Unter Abſciſſen verſteht man die Theile der Axe AP, welche die beſtimmten Werthe von x ausdrucken, ([§. 2.] Endlich belegt man die ſenkrechten Linien P M, die aus Den letzten Ausdruck gebraucht man aber auch fuͤr Li⸗ nien wie PM, wenn gleich der Winkel, den ſie mit der Axe machen, kein rechter, ſondern ein ſchiefer Winkel iſt, und unterſcheidet daher noch die ſenkrechten und ſchiefen Applicaten von einander. Wofern nicht ausdruͤcklich das Gegen⸗ ige ge⸗ uit⸗ DM atur : ſo die ͦ⸗ tanch n de, linie ge⸗ iſen Von den krummen linien uͤberhaupt. 11 Gegentheil angezeigt iſt, muß man in den folgenden Un⸗ terſuchungen immer ſenkrechte Applicaten verſtehen. Wenn man alſo eine Abſciſſe AP durch die veraͤnderliche Groͤße anzeigt, oder AP = xX ſetzt, ſo druckt die Funktion y die Groͤße der Applicate PM aus, und es wird alſo PM = y. Wenn daher die Curve continuirlich iſt, ſo wird ihre Natur aus der Beſchaffenheit der Funktion y, oder aus dem Ver⸗ haͤltniſſe erkannt, welches y und X gegen einander haben. Ferner iſt der Theil AS der Axe RS das Stuͤck derſelben, worauf die poſitiven, und der Theil AR dasjenige, worauf die negativen Werthe von « genommen werden, ſo wie uͤber der Axe RS die poſitiven, und unter derſelben die negativen Applicaten liegen. §. 13. Da ſich alſo aus jeder Funktion von 2eine krumme Linie ergiebt, ſo laͤßt ſich dieſe Curve auch aus der Funktion er⸗ kennen und darnach beſchreiben. Setzt man nemlich fuͤr nach und nach von o bis zum Oo alle poſitive Werthe, und ſucht zu einem jeden die zugehoͤrigen Werthe von y, ſo kann man jedes y durch eine, je nachdem es poſitiv oder negativ iſt, oberhalb oder unterhalb RS geſtellte Applicate aus⸗ drucken, und ſo den Theil der Curve B M M (Fig. 2.) finden. Legt man nun auf eine aͤhnliche Art x alle negative Wer⸗ the von o bis zum — 0 bey, ſo beſtimmen die zugehoͤri⸗ gen Werthe von „ den Theil der Curve BEm, und man findet alſo auf dieſem Wege die ganze in der Funktion ent⸗ haltene Curve. K. 14. Da y eine Funktion von X iſt, ſo iſt y entweder leiner entwickelten Funktion von « gleich, oder man hat eine Glei⸗ chens 12 Zweytes Buch. Eiſtes G Capitel. chung, in welcher y durch x beſtimmt wird; in beyden Faͤl⸗ len aber iſt eine Gleichung gegeben, von der man ſagt, daß ſie die Curve ausdrucke. Es wird daher die Natur einer jeden Curve durch eine Gleichung zweyer veraͤnderlichen Groͤßen X und y dargeſtellt, wovon die eine x die Abſeiſſen vom Punkte A an, die andere y aber die ſenkrechten Appli⸗ caten bedeutet. Abſciſſen und Applicaten, zuſammen be⸗ trachtet, wer den rechtwinklige Coordinaten genennt; und man ſagt deswegen, daß die Natur einer Curve durch eine Gleichung zwiſchen rechtwinkligen Coordinaten ausgedruckt ſey, wenn man eine Gleichung hat, die beſtimmt, was fuͤr eine Funktion y von x iſt. Da man allo bey der Unterſuchung der krummen Linien von Funktionen ausgehen kann, ſo muß es ſo viel Geſchlechter Der krummen Linien geben, als wir oben ſim erſten Capitel des erſten Buchs,] Geſchlechter der Funktionen kennen ge⸗ lernt haben. Man theilt daher die krummen Linien, ſo wie die Funktionen, ſehr bequem in Algebraiſche und in Tranſcendente ein. Eine Curve iſt nemlich algebraiſch, wenn ihre Applicate y eine algebraiſche Funktion von der Abſciſſe iſt, oder wenn die Natur dieſer Curve durch eine alge⸗ braiſche Gleichung zwiſchen den Coordinaten X und y aus⸗ gedruckt werden kann. Dieſe Curven pflegt man auch mit dem Namen, geomerriſche Curven, zu belegen. Dagegen iſt eine Curve tranſcendent, wenn ihre Natur durch eine tranſcendente Gleichung zwiſchen X und y ausgedruckt wird, oder, wobey y eine tranſcendente Funktion von x iſt. Dieſe Eintheilung der krummen Linien in algebraiſche und tran⸗ ſcendente muß als die Hauptabtheilung derſelben betrachtet werden. §. 16. enne gend wen we⸗ ſi E eus mal ſchn ind Cur eben Weo⸗ ſpei c⸗ N ſür llen ſtel Von den krummen kinien uͤberhaupt. 13 §H. 16. Wenn man eine krumme Linie nach einer gegebenen Funktion von x, welche die Applicate y ausdruckt, beſchrei⸗ ben will, ſo muß man die Natur der gedachten Funktion ſorgfaͤltig uͤberdenfen, und wohl bemerken, ob ſie eine ein⸗ foͤrmige oder vielfoͤrmige Funktion iſt. Iſt zuvoͤrderſt y eine einfoͤrmige Funktion von x, oder y= b, ſo daß b ir⸗ gend eine einfoͤrmige Funktion von X bedeutet: ſo kommt, weil alsdann „ fuͤr jeden beſtimmten Werth von X nicht mehr als einen beſtimmten Werth erhaͤlt, jeder Ab⸗ ſeiſſe nicht mehr als eine Applicate zu; und es iſt daher die Curve ſo beſchaffen, daß jede gerade auf der Axe RS (Fig. 2.) aus einem Punkte b aufgerichtete ſenkrechte Linie P M alle⸗ mal die Curve, aber in nicht mehr als in einem Punkte M ſchneidet. Es entſpricht alſo in dieſem Falle jedem Punkte in der Axe ein Punkt in der Curve, und es erſtreckt ſich die Curve, da die Axe auf beyden Seiten ohne Ende fortlaͤuft, ebenfalls auf beyden Seiten ins Unendliche. Mit andern Worten: Eine Curve, die aus einer ſolchen Funktion ent⸗ ſpringt, geht continuirlich und ohne irgend eine Unterbre⸗ chung auf beyden Seiten der Axe ohne Ende fort, ſo wie die Linie m EBMDM Fig. 2. §. 17. Nun ſey y eine zweyfoͤrmige Funktion von x, oder es ſey, wenn P und Qeinfoͤrmige Funktionen von « bedeuten, yy= 2Py— QC, und folglich y» = P V (PP— Q). In dieſem Falle kommt alſo jeder Abſeiſſe « eine doppelte Appli⸗ cate zu, und dabey ſind entweder beyde Applicaten reell, oder beyde imaginaͤr. Jenes findet ſtatt, wenn PP groͤ⸗ ßer, und dieſes, wenn PP kleiner als Qiſt. So lange da⸗ her beyde Werhe de von y reell ſind, ſo hat jede Abeiſſe A HE (Fig. 3.) 14 Zwreytes Buch. Erſtes Cap hite el. (Fig. 3) zwey Applicaten P M, P M, oder, ſo ſchneidet die auf der Axe in P ſenkrecht aufgerichtete Linie die Curve in zweyen Punkten M und M. Wenn aber PP fleiner als G iſt, ſo kommen den Abſciſſen gar keine Applicaten zu, oder es begegnet aldann die auf der Axe ſenkrecht aufgerichtete Linie der Curve nirgends, wie z. B in p. Da aber vor⸗ her PP groͤßer als Q war, ſo kann P P nicht kleiner als Q werden, ohne daß zuvor PHP = Q ſey, und dies iſt da⸗ her die Grenze zwiſchen den reellen und imaginaͤren Appli⸗ caten. Da alſo, wo die reellen Applicaten aufhoͤren, wie in Cund 6, da wird y= P Do, oder da werden beyde Ap⸗ plicaten einander gleich, und die Curve aͤndert ihre Rich⸗ tung und geht zuruͦc. §. 18. Rach der 3ten Figur wird die Applicate y imaginaͤr und alſo PP fleiner als Q, wenn die negative Abſeiſſe — X zwi⸗ ſchen den Grenzen AC und A E enthalten iſt: jenſeits E hin⸗ gegen werden die Applicaten wieder reell. Dieſes kann nicht ſtatt finden, wofern nicht in E, PDP= Q iſt, und al⸗ ſo beyde Applicaten abermals zuſammenfallen. Von E an kommen alſo den Abſeiſſen AP wieder zwey Applica⸗ ten Pm, Pm zu, bis in G. wo die Applicaten abermals zuſammenfallen, und alſo jenſeits G wieder imaginaͤr wer⸗ den. Eine ſolche Curve kann alſo aus zwey oder mehrern von einander abgeſonde ten Theilen, MBD BM, FPm Hm be⸗- ſtehen, indeß muß man dieſe Theile zuſammengenommen gleichwohl als eine einzige continuirliche oder regulaͤre krumme Linie betrachten, weil ſie alle aus einer und der⸗ ſelben Funktion entipringen. Es haben alſo dergleichen Curven die Eigenſchaft, daß die auf ihrer Axe in den Punkten derſelben aufgerichteten ſenkrechten inien M M die Cur⸗ die wn l oͤder ichtete vor⸗ als 0 da⸗ Wi⸗ n,We Nde . Ric⸗ ie und ſtwi⸗ hin⸗ kann dal⸗ wwate⸗ rnußs ver⸗ don Von den nummen linien uͤberhaupt. 15 Curvben entweder nirgends oder in zweyen Punkten ſchnei⸗ den, wofern nicht anders beyde Durchſchnittspunkte zu⸗ ſammfallen, ſo wie, wenn die Applicaten durch die Punktte D, F, H, oder I gelegt werden. Wenn y eine dreyfoͤrmige Funktion von x iſt, oder y durch die Gleichung y“ — P y2 † Qy — R= o beſtimmt wird, ſo daß P, Q und R einfoͤrmige Funktionen von x be⸗ deuten: ſo hat die Applicate y fuͤr jeden Werth von X drey Werthe, und dieſe ſind entweder alle drey reell, oder es iſt ſolches nur der eine davon, und die beyden andern ſind imaginaͤr. Aus dieſem Grunde ſchneiden daher alle Appli⸗ caten die Curve entweder in drey Punkten oder nur in einem, es muͤßte denn ſeyn, daß zwey oder auch wohl alle drey Durchſchnittspunkte in einen zuſammenfielen. Da alſo zu jeder Abſciſſe zum wenigſten eine reelle Applicate gehoͤrt, ſo muß ſich die Curve nothwendig auf beyden Seiten der Axe ins Unendliche erſtrecken. Es gehen daher dieſe Cur⸗ ven entweder in einem einzigen continuirlichen Zuge fort, wie die Curve Fig. 4, oder ſie beſtehen aus zwey oder mehr von einander abgeſonderten Theilen, wie die Fig. 5, in⸗ deß muß man im letztern Falle alle dieſe Theile nur als eine und dieſelbe continuirliche Curve betrachten. Wenn y eine vierfoͤrmige Funktion von x iſt, oder y durch die Gleichung y4 — Py3 † Qyz — Ry † S = o be⸗ ſtimmt wird, ſo daß P, Q, R und s einfoͤrmige Funktionen von x bedeuten: ſo gehoͤren zu jedem beſtimmten x entwe⸗ der vier, oder zwey, oder gar keine reelle Applicaten. Wenn daher eine Curve aus einer ſolchen vierfoͤrmigen Funktion ent⸗ 16 Zweytes Buch. Erſtes Capitel. 1 entſpringt, ſo wird ſie von den Applieaten entweder in vier, oder in zwey Punkten, oder gar nicht geſchnitten. Alle dieſe Faͤlle erblickt man in der 6ten Figur, wo aber die Punkte I und o, wo zwey Durchſchnittspunkte zuſammenfallen, von den uͤbrigen unterſchieden werden muͤſſen. Eine ſolche Curve hat daher entweder gar keine, oder ſie hat zwey, oder vier ins Unendliche ſich erſtreckende Schenkel. Im erſten Falle, wo die Schenkel der Curve auf keiner Seite ohne Ende fortlaufen, iſt dieſelbe, ſo wie in der Figur, von allen Seiten geſchloſſen, und begrenzt einen endlichen Raum. Und hieraus laͤßt ſich nunmehr die Natur der krummen Li⸗ nien, die aus vielfoͤrmigen Funktionen uͤberhaupt entſprin⸗ gen, beurtheilen. §K. 21. Iſt nemlich y irgend eine vielförmige Funktion, oder wird y durch eine Gleichung beſtimmt, in welcher n der Exponent der hoͤchſten Poteſtaͤt von y iſt: ſo iſt die Zahl der reellen Werthe von y entweder n, oder n — 2, oder n — 4, oder n — 6 ꝛc., und in eben ſo viel Punkten ſchneiden die Applicaten die Curve. Wenn alſo eine Applicate die Cur⸗ ve in m Punkten ſchneidet, ſo ſchneiden alle uͤbrige Appli⸗ caten eben dieſe Curve in ſo viel Punk ten, daß ihre Zahl von m immer um eine gerade Zahl unterſchieden iſt, und es kann daher die Curve von keiner Applicate in m † I, oder m — I, oder m 3, Punkten ꝛc. geſchnitten werden. Mit andern Worten: Iſt die Zahl der D Durchſchnittspunkte der einen Applicate und der Curode eine gerade oder eine unge⸗ rade Zahl, ſo ſchneiden auch alle uͤbrige Applicaten die Curve entweder in einer geraden oder in einer ungeraden Anzahl von Punkten. §. 22. = — D Angan irgend dieſen weniſe heta: pehrere hl e ſchuün wy Soten Zahl w ten die den; d dder Ides uhl ſe würdig krumn ſa w hhier, lae Pun fallen, ſolche , oder Fole, Ende 1 dlen Pan nmen de Utſyri 1, odetr 1 der ohl der 1— 4 en die Cur⸗ Nl⸗ Indes oder ie der Uge⸗ e die kaden Von den krummen linien uͤberhaupt. 17 §. 22. Wenn alſo eine Applicate die Curve in einer ungeraden Anzahl von Punkten ſchneidet, ſo iſt es unmoͤglich, daß irgend eine andere Applicate die Curve nirgends treffe. In dieſem Falle muß alſo die Curve auf beyden Seiten zum wenigſten einen ins Unendliche ſich erſtreckenden Schenkel haben: und wenn auf der einen oder der andern Seite mehrere Schenkel ohne Ende fortlaufen, ſo muß ihre An⸗ zahl eine ungerade Zahl ſeyn, weil die Zahl der Durch⸗ ſchnittspunkte nirgends eine gerade Zahl ſeyn kann. Zaͤhlt man alſo die ohne Ende fortlaufenden Schenkel an beyden Seiten zuſammen, ſo wird ihre Zahl allemal eine gerade Zahl werden. Eben dieſes findet ſtatt, wenn die Applica⸗ ten die Curve in einer geraden Anzahl von Punkten ſchnei⸗ den; denn alsdann ſind auf jeder Seite entweder gar keine, oder zwey, oder vier ꝛc. ohne Ende fortlaufende Schenkel, und es muß daher die Anzahl aller nothwendig eine gerade Zahl ſeyn. Auf dieſe Art haben wir bereits einige merk⸗ wuͤrdige Eigenſchaften der continuirlichen und regulaͤren krummen Linien gefunden, wodurch man in den Stand ge⸗ ſetzt iſt, dieſelben von den diſcontinuirlichen und irregulaͤ⸗ ren zu unterſcheiden. EulersEinl.in d. Anal. d. Unendl II. B. B Zwey⸗ Zweytes Capitel. Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 9. 23. So wie man eine, durch eine Gleichung zwiſchen den Coordinaten und y, wovon jenes die Abſciſſen und dieſes die Applicaten bedeutet, gegebene Curve uͤber der Axe RS (Fig. 2.) beſchreiben kann, wenn man in dieſer Axe den An⸗ fangspunkt der Abſciſſen A nach Belieben annimmt: ſo kann man auch umgekehrt jede bereits beſchriebene Curve durch eine Gleichung zwiſchen den Coordinaten ausdrucken. Ob aber gleich in dieſem Falle die Curve ſelbſt gegeben iſt, ſo bleiben doch zwey Stuͤcke unſerer Willkuͤhr uͤberlaſſen, nemlich die Lage der Axe RS, und der Anfangspunkt der Abſeiſſen A. Da nun dieſe Dinge auf unzaͤhlige Arten ver⸗ aͤndert werden koͤnnen, ſo laſſen ſich auch fuͤr eine und die⸗ ſelbe Curve unzaͤhlige Gleichungen finden, und man darf daher nicht ſogleich von der Verſchiedenheit der Gleichun⸗ gen auf die Verſchiedenheit der durch ſie ausgedruckten Cur⸗ ven ſchließen, wenn gleich umgekehrt verſchiedene Curven allemal verſchiedene Gleichungen geben. Ob alſo gleich durch Veraͤnderung der Axe und des An⸗ fangspunktes der Abſciſſen unzaͤhlige Gleichungen, die aber alle die Natur einer und derſelben Curve ausdrucken, ent⸗ ſtehen: . ſehe daß imn Coort kennt gend daritg gung ſl elf den, chug eben Alene in iut ei den men er aS Ae, himm Udent ſcd Gih den Nnn en ten. chen de d dieſes Nre Ks en A⸗ : ſ⸗ Curde rucken. en iſ lſen, ſt der ter⸗ NWe⸗ n duf funn Cur⸗ nronn An⸗ ober en⸗ Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 19 ſtehen: ſo ſind doch alle dieſe Gleichungen ſo beſchaffen, daß man aus jeder von ihnen alle uͤbrige abzuleiten im Stande iſt. Iſt nemlich eine Gleichung zwiſchen den Coordinaten bekannt, ſo kennt man dadurch auch die Curve; kennt man aber dieſe, ſo kann man auch, wenn man ir⸗ gend eine gerade Linie zur Axe, und irgend einen Punkt darin zum Anfangspunkte der Abſciſſen annimmt, die Glei⸗ chung zwiſchen den rechtwinkligen Coordinaten finden. Es ſoll alſo in dieſem Capitel die Art und Weiſe gelehret wer⸗ den, wie man aus einer fuͤr eine Curve gegebenen Glei⸗ chung eine andere Gleichung finden kann, welche die Natur eben dieſer Curve fuͤr jede andere Axe und fuͤr jeden andern Anfangspunkt der Abſeiſſen ausdruckt. Auf dieſe Art wer⸗ den wir alle Gleichungen kennen lernen, welche die Na⸗ tur einer und derſelben Curve darſtellen, und dadurch in den Stand geſetzt werden, die Verſchiedenheit der krum⸗ men Linien aus der Verſchiedenheit ihrer Gleichungen leich⸗ ter zu beurtheilen. §. 25. Es ſey alſo eine Gleichung zwiſchen und y gegeben, aus welcher, wenn man Fig. 7. die gerade Linie RS zur Axe, und den Punkt A zum Anfangspunkte der Abſciſſen an⸗ nimmt, und x die Abſciſſe A P, ſo wie y die Applicate P M bedeuten laͤßt, die krumme Linie C B M entſpringe, und folg⸗ lich die Natur dieſer krummen Linie durch die gegebene Gleichung ausgedruckt werde. Behaͤlt man hier zuvoͤrderſt die Axe bey, nimmt aber in derſelben einen andern Punkt D zum Anfangspunkte der Abſeiſſen an, ſo daß nunmehr zu dem Punkte der Curve M die Abſciſſe D P =: t gehoͤret, die Applicate MP = y aber dieſelbe bleibt: ſo laͤßt ſich auf fol⸗ gende Art eine Gleichung zwiſchen t und y finden, welche B2 eben⸗ — 20 Zweytes Buch. Zweytes Capitel. ebenfalls die Natur der Curve CBM ausdruckt. Man ſetzet an AD = f, wodurch denn, da A D nach der Linken zu liegt, luls DP=t=f† X, und folglich X = t — f wird, und bringt darauf dieſen Werth von * in die zwiſchen X und y gege⸗ nech bene Gleichung. Da nun die Groͤße von AD = f unſerer Gune Willkuͤhr uͤberlaſſen bleibt, ſo erhaͤlt man ſchon auf dieſem— parcl Wege unzaͤhlige Gl eichungen „die alle eben dieſelbe kerumme ſaſt Linie ausdrucken. Eeit H. 26. dob⸗ Wenn die Curde die Axe R S in irgend einem Punkte, z. B. in C, ſchneidet, ſo erhaͤlt man, wenn man dieſen . EE Punkr C zum Anfangspunkte der Abſciſſen annimmt, eine Gleichung, welche, wenn die Abſciſſe C P =o iſt, auch die Ap⸗ plicate P M= o giebt, vorausgeſetzt, daß dem Punkte der M Axe Cnicht mehr als eine Applicate zugehoͤrt. Den Punkt C , aber findet man, er mag nun der einzige Durchſchnittspunkt dil ſeyn, oder es mag deren mehrere geben, aus der zuerſt ge⸗ menn gebenen Gleichung zwiſchen « und y, wenn man y= o ſetzt, und dann daraus den Werth oder die Werthe von X ents:— wickelt. So wie nemlich da, wo die Curve die Axe ſchnei⸗ R det, y = o wird, ſo muß man auch, wenn man »„= o dſſo u ſetzt, aus der Gleichung alle die Abſeiſſen oder Werthe von den ie 2 finden, wo die Curve die Axe trifft. in er 8. 27. Geie Es wird alſo der Anfangspunkt der Abſeiſſen, wenn ee man die Axe beybehaͤlt, veraͤndert, wenn man die Abſciſſe ickſ x um eine gegebene Groͤße vermehrt oder vermindert, d h. hhin wenn man t — f fuͤr X ſetzt; und dabey iſt eine poſitive naten Groͤße, wenn man den neuen Anfangspunkt der Abſciſſen cun D auf der linken Seite von A annimmt, und eine negative, ie wenn nſttet lit, nd bring dyp geg⸗ F unſeret dieſen ktumme 1Punte, n bieſen mt, eine e⸗ buntre der en Lunko⸗ hittspunt erſtge⸗ e ſett, 1 X en⸗ it ſnei⸗ an )= the M l, penn ſeſe t, dh poſtbe Nboſn unbe, wean Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 21 wenn man D auf der rechten Seite eben dieſes Punktes fal⸗ len laͤßt. Nun wollen wir annehmen, daß die Curve L B M Fig. 8. nach einer zwiſchen A P= xX, und P M = „ gegebenen Glei⸗ Ohung beſchrieben ſey, und daß dieſelbe e eine andere der erſten parallele Axe rs, und darin D zum Anfangspunkte der Ab⸗ ſeiſſen erhalten ſolle. Zugleich falle die Axe rs auf die Seite der negativen Applicaten, und zwar ſo, daß ihre Entfernung von der erſten A F = g, und die Entfernung DF = AG = f ſey. Setzt man alſo die Abſceiſſe, die auf dieſer neuen Axe zu dem Punkte der Curve M gehoͤrt, oder DQ= t, und die Applicate Q M = u, ſo wird t = D F † F Q= f † x, und u = PM†PQ= g r††y, folglich . X= t — f; und y= u — g. Wenn man daher in der gegebenen Gleichung allenthalben 1— f fuͤr xX, und u — g fuͤr y ſetzt, ſo bekommt man eine Gleichung zwiſchen t und u, welche die Natur eben derſel⸗ ben Curve ausdruckt. §. 28. Da die Groͤßen f und g willkuͤhrlich angenommen, und alſo unendlich veraͤndert werden koͤnnen, ſo kann man auf dem jetzt beſchriebenen Wege unzaͤhligemal mehr Gleichun⸗ gen erhalten, als auf dem vorhin §. 25.] erwaͤhnten; aber alle dieſe Gleichungen drucken demohngeachtet nicht mehr als eine krumme Linie aus. Wenn alſo zwey Gleichungen, die eine zwiſchen X und y, und die andere zwiſchen t und u, bloß ſo von einander unterſchieden ſind, daß man jede von ihnen durch Vergroͤßerung oder Verkleinerung der Coordi⸗ naten in die andere verwandeln kann, ſo geben dieſe Glei⸗ chungen bey aller ihrer Verſchiedenheit dennoch nicht mehr als eine Curve. Es laſſen ſich daher ſehr leicht unzählige B 3 von 22 Zweytes Buch. Zweytes Capitel. von einander verſchiedene Gleichungen machen, die bey aller ihrer Abweichung von einander doch nicht mehr als eine Curve ausdrucken. §. 29. Es ſey nunmehr Fig. 9. die neue Axe rs auf der erſten RS ſenkrecht, und ſchneide dieſelbe in dem Anfangspunkte der Abſceiſſen A, ſo daß alſo beyde Axen den Anfangspunkt der Abſeiſſen mit einander gemein haben. Da man fuͤr die Axe RsS eine die Curve LM ausdruckende Gleichung zwi⸗ ſchen der Abſciſſe A P= x, und der Applicate P M = y hat, ſo ziehe man aus dem Punkte der Curve M auf die neue Axe rs die Linie M Q ſenkrecht, und ſetze die neue Abſciſſe A Q, und die neue Applicate Q M= y, wo denn, weil A PM Q ein Rechteck iſt, t = y, und u = X wird. Man kann alſo aus der gegebenen Gleichung zwiſchen X und y eine neue Gleichung zwiſchen t und u machen, wenn man u fuͤr x, und t fuͤr y ſetzt. Hier wird nun die erſte Abſeiſſe X in die Applicate QM= u, und die Applicate y in die Abſciſſe A Q = t verwandelt, und es geht daher in dem angenommenen Falle bey Annehmung einer neuen Axe wei⸗ ter keine Veraͤnderung vor, als daß die Coordinaten mit einander verwechſelt werden. Aus dieſem Grunde nennt man daher auch die Abſciſſen und Applicaten Coordinaten, ohne dabey zu unterſcheiden, welches die Abſeiſſe und wel⸗ ches die Applicate ſey. Denn wenn eine Gleichung zwiſchen zwey Coordinaten und y gegebengiſt, ſo erhaͤlt man eine und dieſelbe Curve, man mag x oder y fuͤr die Ab⸗ ſeiſſe nehmen. Wir haben hier angenommen, daß das Stuͤck As der neuen Axe rs die poſitiven Abſciſfen enthalte, und daß die poſi⸗ ii die hoſit abern domn G dond ſeten. 1slr man d de R wwiſd eti⸗ ge Rn uſen den i fiſch⸗e RWS de n der hgefe 102 de nan Wer und Rbey nch r erſten punkte epunkt ſir die ung ⸗ Syl, die nere Abſeiſe d, weil S venn Man ſeſe. yin die in dem ſte wei⸗ en i de penmt inuten, nd wel⸗ wiſchhen lt wor ie h⸗ Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 23 poſitiven Applicaten auf die rechte Seite der Axe rs fallen; aber da dieſes unſerer Willkuͤhr uͤberlaſſen iſt, ſo kann man damit nach Gefallen aͤndern. Beſtimmt man nemlich das Stuͤck Ar fuͤr die poſitiven Abſciſſen, ſo iſt A Q = — t, und dann muß man in der Gieichung zwiſchen X und y fuͤr y ſetzen — t. Beſtimmt man ferner die rechte Seite der Axe xs fuͤr die negativen Applicaten, ſo wird Q M = — u, und man muß alsdann — u fuͤr x ſetzen. Hieraus erhellet, daß die Curve dieſelbe bleibt, wenn man gleich in der Gleichung zwiſchen den Coordinaten eine oder beyde Coordinaten ne⸗ gativ annimmt; und dies hat man ſich fuͤr alle Veraͤnde⸗ rungen der Gleichungen zu merken. Es ſchneide ferner Fig. 10. die neue Axe rs die erſte RS unter einem beliebigen Winkel S As, und zwar in dem Anfangspunkte der Abſciſſen A, ſo daß dieſer Punkt in bey⸗ den Axen der Anfangspunkt der Abſciſſen ſey. Ferner ſey fuͤr die Axe RS eine die Curve LM ausdruckende Gleichung zwiſchen der Abſciſſe A P =xX, und der Applicate ?b M =y gegeben, und daraus die Gleichung fuͤr eben dieſelbe Cur⸗ ve fuͤr die Axe rs zu finden. Oder es ſey aus dem Punkte der Curve M auf die neue Axe die ſenkrechte Linie M Q her⸗ abgefaͤllt, und die Gleichung zwiſchen der neuen Abſeiſſe A O= t, und der Applicate M Q= u zu finden. Setzt man den Winkel SAS=q, ſeinen Sinus = m, ſeinen Coſinus = n, und den Radius = 1, ſo wirdmm †nn = I. Zieht man ferner aus b die Linien P p und Pq ſenkrecht auf die neuen Coordinaten, ſo wird, weil AP=, iſt. Pp= x. ſin. , und A p=., coſ. G und, weil P MQ= PAQ=q, und PM =y iſt, gꝗ Qpæ r. ſin. q; und MAq= V. coſ- g9. H 24 Zwepyes Buch. Zweytes Capitel. Hieraus fließet . AQ= t =Ap – Qp = x. coſ. q — y. ſin. q; und QMS=u= Mq † P p = x. ſin. q † y. coſ. q. 4. 32. Da aber ſin. q = m, und coſ. q n iſt, ſo wird ferner t=nXx— my; und u=mX'”Ny; und folglich =nt † mu= nnx† mmx, und L ySnu=—mt =nnyT mmy. Man ſindet alſo die geſuchte Gleichung zwiſchen t und u, wenn man in der Gleichung zwiſchen x und y allenthalben nt ᷣ†¶ mu fuͤr x, und nu — mt füry ſchreibt, vorausgeſetzt, daß der Theil As der Axe die poſitiven Abſeiſſen enthalte, und die poſitiven Applicaten auf die Seite von QM fallen. Auch haben wir hier angenommen, daß der Winkel SAs auf der Seite der negativen Applicaten liege; fiele As uͤber AS, ſo muͤßte man in der Rechnung den Winkel S A s= als negativ betrachten, und. daher auch ſeinen Sinus m ne⸗ gativ nehmen. Endlich ſey Fig. 11. die Lage der neuen Axe ohne alle weitere Bedingung angenommen, und ſo auch der Anfangs⸗ punkt der Abſciſſen D in derſelben. Ferner ſey RS die erſte Axe, wobey man eine Gleichung fuͤr die Curve L. M. zwi⸗ ſchen der Abſeiſſe A P = x, und der Applicate P M = y ha⸗ be, und daraus eine Gleichung zwiſchen andern Coordi⸗ naten t und u, die ſich auf die neue Axe rs beziehen, zu finden. Man faͤlle aus irgend einem Punkte der Curve M die Linie M Q ſenkrecht auf rs, und ſetze die Abſeiſſe D Q =t, und die Applicate Q M = u. Ferner ziehe man, um die Gleichung zwiſchen dieſen Coordinaten zu ſinden, aus dem “Z neuen De ſeue ette Ne. te 502 0⁰0 Nodin W ſee 1tr, entholben legeſet, enthalte, Afalem. intal As Asihe 645= ls n he⸗ Ghe ale ungu⸗ die eſt Mwi⸗ =he⸗ Chordt⸗ n, Mu Urbe M Et, um e us den neuen Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 25 neuen Anfangspunkte der Abſciſſen D die Linie D G auf die eree Axe RS ſenfrecht, und ſetze A G = f, und D G = g. Dann lege man durch d die gerade Linie D O der erſten Axc RS parallel, und laſſe ſie von der verlaͤngerten Appli⸗ cate P M in O ſchneiden, wodurch man MO = y † g, und DO= GP = x f† f erhaͤlt. Endlich ſetze man den Winkel ODQ= q, ſeinen Sinus = m, den Coſinus = n, und den Radius ein fuͤr allemal = 1, ſo daß a lſo wieder m m † nne= 1 ſey. §. 34. Zieht man nunmehr aus dem Punkte O ſowohl auf die neue Axe D Q als auf die Applicate M Q die Linien Op und O q ſenkrecht, ſo wird, da O MQà O DCQ und DO = 2 †ft, und MO=yg iſt, Op= Qq= ( †Tf). ſin. q= mXT mf, und Dp = (Xx†f) coſ. q S= nXTnf; Oꝗq = Qp= (y T) ſin. q = my † mg, und Mq = (y†g) coſ. q = ny †ng. Hieraus fließen folgende Beſtimmungen der neuen Coordi⸗ naten t und u aus X und y: DQ= t =nxnf—my— mg, und QMS=Su=mxYTmfrny ?† ng, Da ſich aber daraus, weil mmnn = 1 iſt, nt? mu=X† f, und nu— mt=ypg ergiebt, ſo bekommt man hieraus XS=mufrnt-—f; und y= n u — mt— g. Bringt man daher dieſe Werthe von x und y in die Glei⸗ chung zwiſchen X und „, ſo findet man die Gleichung zwi⸗ ſchen t und u, welche die Natur eben dieſer Curve ausdruckt. B 5 §. 35. 26 Zewweytes Buch. Zweytes Capitel. 6. 35. die Dda ſich keine Are rs denken laͤßt, die mit der Curve in è derſelben Ebene laͤge, und in dieſer letzten Beſtimmung nicht enthalten waͤre; ſo giebt es auch keine Gleichung fuͤr die Curve LM zwiſchen rechtwinkligen Coordinaten, die nicht in der zwiſchen t und u gefundenen Gleichung begriffen ſeyn in ſollte. Ob alſo gleich die Groͤßen f und g nebſt dem Win⸗ kel q, wovon mund n abhangen, auf unzaͤhlige Arten ver⸗ aͤndert werden koͤnnen, ſo drucken doch alle Gleichungen, die in der zwiſchen t und u auf die beſchriebene Art gefun⸗ ðB denenen Gleichung enthalten ſind, die Natur einer und der⸗ i ſelben Curve aus. Man pflegt daher dieſe Gleichung zwi⸗ ner ſchen t und u die allgemeine Gleichung fuͤr die Curve L. M. . zu nennen, weil dieſelbe alle Gleichungen, die zu eben die⸗ ſon ſer krummen Linie gehoͤren, ohne Ausnahme in ſich faßt. iImr . 356. ͤ Es iſt ſchon oben [§. 23.] angemerkt worden, daß man iiin nicht allemal aus der Verſchiedenheit zweyer oder mehrerer 1n, zwiſchen Coordinaten gegebenen Gleichungen auf eine Ver⸗ ſchiedenheit unter den durch ſie ausgedruckten Curven ſchlieſ⸗ “”M ſen koͤnne: jetzt ſind wir im Stande, ſolches genauer zu be⸗ ſtimmen. Sind nemlich zwey Gleichungen, die eine zwie.˖’ aa ſchen x und y, und die andere zwiſchen t und u gegeben, ſo WMWð,q ſetze man in der erſten X¶ = mu †t f, und y= nu — mt-=g, und laſſe dabey m und n ſo von einander abhan⸗ Fer gen, daß mm †nn = I1 ſey. Hierauf unterſuche man, ob mun die andere Gleichung zwiſchen t und u in der dadurch ge⸗ gei fundenen Gleichung enthalten ſey, oder ob die Buchſtaben— ir f, g, m und n ſo beſtimmt werden koͤnnen, daß man dar⸗ aus die gedachte andere Gleichung zwiſchen t und u erhalte. . Iſt dieſes moͤglich, ſo drucken beyde Gl eichungen eine und die⸗ urden ng nic für die e nicht en ſeyn Win⸗ en ver⸗ gmeen, t gefmn⸗ nd der⸗ wi⸗ de L ben We⸗ eh. Fman hrerer Ver⸗ nube mi n ſo au — bhan⸗ , 69l aben da —2 — di⸗ Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 2 dieſelbe Curve aus, wo nicht, ſo gehoͤren ſie zu derſchiede⸗ nen krummen Linien. Exempel. Auf dieſe Art wird erhellen. daß folgende zwey Glei⸗ chungen yy — ax = o und 16uu — 24tu† tt — 55aufIoat = o einer und derſelben krummen Linie gehoͤren. man in der erſten Gleichung X = mu †nt — f; und„ = nu — mt — g: ſo verwandelt ſich dieſelbe in nnuu — zmntu mmtt — zngu † 2 mgt † gg — mau — nat † af bey ihrer großen Verſchiedenheit von einander dennoch zu Denn ſetzt — 0, Um nun zu ſinden, ob die zweyte von den gegebenen Glei⸗ chungen hierin enthalten ſey, multiplicire man dieſelbe mit nn, und die gefundene mit 16, damit die erſten Glieder von Hierdurch bekommt ma beyden gleich werden. und Iénnuu— 24nntu † 9nntt — Soõnnau † Ionnat = o I6nnuu — 32 mntu † 16 matt — 32ngu † 32 mgt † 16gg — 16mau — lIénat † 16 aaf Ferner unterſuche man, wie viel Glieder durch Beſtimen mung der willkuͤhrlichen Groͤßen f, g, m und n einander gleich gemacht werden koͤnnen. voͤrderſt Hier hat man nun zu⸗ 2Ann = 32 mn, und nn = 16mm und aus jeder dieſer Gleichung folgt Zn = = Am. Weil 28 Zweytes Buch. Zweytes Capitel. Weil aber um = 1 — nn iſt, ſo ergiebt ſich aus der zweyten außerdem 25nn = 16, und alſo n = 4, nnd n = 4 5 5 und es ſtimmen daher ſchon drey Glieder mit einander uͤberein. Das vierte und fuͤnfte Glied geben Soönna = zzng † 16ma; und 1onna = z2 mg — 16n a und hier kommt es nun darauf an, zu unter ſuchen, ob bey⸗ de Gleichungen einerley Werth fuͤr g geben. Nun fließt aus der erſten — — — — — 6em em 3 3 Bepyde Werthe ſtimmen alſo mit einander uͤberein, und ſo ſind ſchon fuͤnf Glieder einander gleich. Es iſt folglich wei⸗ ter nichts uͤbrig, als daß g g † af = o ſey; welches da f noch nicht beſtimmt iſt, ohne Schwierigkeit erhalten wird, weil man nur f = — a zu ſetzen braucht. Es iſt alſo ge⸗ zeigt worden, daß die beyden gegebenen Gleichungen zu einer und derſelben krummen Linie gehoͤren. Ob indeß gleich ſehr von einander verſchiedene Gleichun⸗ gen eine und dieſelbe Curve ausdrucken koͤnnen, ſo giebt es doch auch Faͤlle, wo die Verſchiedenheit der Gleichungen ein ſiche⸗ res Kennzeichen der Verſchiedenheit der durch ſie ausgedruck⸗ ten Curven iſt. Dies iſt allemal, wenn die gegebenen Gleichun⸗ gen zu verſchiedenen: Ordnungen oder Graden gehoͤren, d h. wenn die hoͤchſten Dimenſionen der Coordinaten * und y, tund U uber Gli nenm gehi venn. ſegt Sde. dn ade 2—n Und d geher Ver⸗ Nonn Wde inandee -0n ddey⸗ un ſich Von der Veruaͤnderung der Coordinaten. 29 u verſchieden ſind, denn alsdann ſind die durch die gedachten Gleichungen ausgedruckten Curven nie dieſelben. Es mag nemlich eine Gleichung zwiſchen X und zu einem Grade gehoͤren, zu was fuͤr einem ſie will, ſo erhaͤlt man allemal, wenn man darin X= munt—f, und y= n u — mt=– g ſetzt, eine Gleichung zwiſchen t und u von eben demſelben Grade. Wenn alſo eine andere Gleichung zwiſchen t und u zu einem andern Grade gehoͤrt, ſo druckt ſie auch eine andete Curve aus. §. 38. Wenn alſo zwey Gleichungen, die eine zwiſchen x und , v, und die andere zwiſchen t und u, nicht zu einerley Graden ehoͤren, ſo ſchließt man daraus ſogleich mit Recht auf die Verſchiedenheit der durch ſie ausgedruckten Curven. Nur dann alſo, wenn beyde Gleichungen zu einem und demſel⸗ ben Grade gehoͤren, kann man ungewiß ſeyn, und in die⸗ ſem Falle hat man alſo auch nur noͤthig, die vorhin be⸗ ſchriebene Unterſuchung anzuſtellen. Da indeß der erklaͤrte Weg ſehr weitlaͤuftig und beſchwerlich wird, wenn die Glei⸗ chungen zu einem hoͤhern Grade gehoͤren, ſo werden unten andere Regeln gegeben werden, wornach man die Verſchie⸗ denheit der Curven auf eine leichtere Art zu beurtheiler im Stande ſeyn wird. 6. 39. Die Vorſchriften, die bisher zur Erfindung einer allge⸗ meinen Gleichung fuͤr die krummen Linien gegeben worden ſind, laſſen ſich auch bey der geraden Linie gebrauchen. Denn iſt Fig. 12 anſtatt einer Curve die gerade Linie LM, welche der Axe RS parallel ſeyn ſoll, gegeben, ſo hat die Applicate ?P M, man mag den Anfangspunkt der Abſeiſſen an⸗ 39 Zweytes Buch. Zweytes Caditel. annehmen, wo man will, immer dieſelbe Groͤße, oder es iſt allenthalben y = a, und dieſe Gleichung iſt alſo die Glei⸗ chung einer mit der Axe parallel gezogenen geraden Linie. Um nun die allgemeine Gleichung fuͤr die gerade Linie, wo⸗ bey die Axe rs jede Lage haben kann, zu ſinden, ſetze man DG= g; ſin. ODS= m, coſ. ODsS= n, desgleichen die Abſciſſe O Q = t, und die Applicate M Q = u. Da alſo “ . “”MVMUd y= nu — mt — g, iſt, ſo wird . nu — mt — g — a = o und dieſes iſt eine allgemeine Gleichung fuͤr die gerade Linie. Multiplicirt man dieſelbe durch die beſtaͤndige Groͤße k, und ſetzt man dabey n k = a, mk = — 68, und (g † a) K = — b, ſo erhaͤlt man daraus zur allgemei⸗ nen Gieichung fuͤr die gerade Linie u † 6&t† b= o. Da dieſe Gleichung die allgemeine Gleichung des erſten Grades zwiſchen t und u iſt, ſo erhellet hieraus, daß jede Gleichung zwiſchen zwey Coordinaten, die zum erſten Grade gehoͤrt, feine krumme, ſondern eine gerade Linie ausdrucke. — §. 40. So oft ſich daher eine Gleichung zwiſchen den Coordi⸗ naten x und y von der Form x † 6y — a = o ergiebt, ſo hat man dadurch allemal eine gerade Linie, deren Lage gegen die Axe RS Fig. 13. auf folgende Art be⸗ ſtimmt werden kann. Man ſetzet zuvoͤrderſt „ = o, und findet dadurch den Punkt C in der Axe, wo die gerade Linie, die e durch die Gleichung ausgedruckt wird, die Axe ſchnei⸗ vom ſch dee mnan e gerlhen linn gebener Gagens Wie Deye Hra lechriet Ur, Ne er ſte 189 , ruckt I ein Ge⸗ N 8 en linn. nit, wo⸗ ſtenmn Lleichn CS= . elſen daß ſede nrade duce. Gordi⸗ e e, u be⸗ , und gerade die Ge⸗ =SͦLß 1 Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 31 ſchneidet, indem alsdann A C = — wird. derner ſetzt n man X = 0, wodurch n man y = 5 erhaͤlt, welches der Werth' der Applicate in dem Anfangspunkte der Abſceiſſen iſt. Da man auf dieſe Art zwey Punkte hat, die in der geſuchten geraden Linie liegen, ſo iſt dadurch die ganze gerade Linie beſtimmt, und es entſpricht folglich die Linie LM der ge⸗ gebenen Gleichung. Denn ſetzt man eine nach Belieben angenommene Abſciſſe A P = x, und die zu ihr gehoͤrige Applicate ?P M = y, ſo hat man wegen der Aehnlichkeit der Dreyecke CPM und CA B CP: PM = CA: AB; d. h. A X — a à Hieraus aber fiehr⸗ 4 2 * XxX 6 2 X † βy = a und dieſes iſt die gegebene Gleichung. 8. 41I. L Wenn entweder = oder s =o iſt, ſo findet zwar die beſchriebene Conſtruction nicht ſtatt, indeß ſind dieſe Faͤlle an ſich ſehr leicht. Denn iſt == o, und y = a, ſo iſt klar, daß dieſe Gleichung eine gerade Linie ausdruckt, die der Axe parallel, und von ihr um a entfernt iſt; iſt aber = o, oder y = o, ſo faͤllt die durch die Gleichung aus⸗ gedruckte Linie mit der Axe zuſammen. Wird hingegen 6⁶ = , und X = a, ſo iſt die Linie, welche der Gleichung ein Genuͤge thut, auf der Arxe ſenkrecht, und zwar in dem vom Anfangspunkte der Abſciſſen um a entfernten Punkte. Irn . 32 Zweytes Buch. Zweytes Capitel. In dieſem Falle kommt allen Applicaten nicht mehr als eine Abſeiſſe zu, ſo daß die Abſciſſe aufhoͤrt, eine veraͤnder⸗ liche Groͤße zu ſeyn. Und hieraus erhellet zur Genuͤge, wie die geraden Linien durch Gleichungen zwiſchen recht⸗ winkligen Coordinaten ausgedruckt werden koͤnnen. §. 42. Bisher haben wir angenommen, daß die Coordinaten, durch welche die Natur der Curve beſtimmt wird, auf ein⸗ ander ſenkrecht ſeyen; es wird aber auch die Curve aus der gegebenen Gleichung auf eine aͤhnliche Art beſtimmt, wenn die Applicaten gegen die Axe unter einem ſchiefen Winkel geneigt ſind. Es kann daher die NRatur einer Curve auch durch eine Gleichung zwiſchen ſchiefwinkligen Coordinaten ausgedruckt werden, und auch dieſe Gleichungen laſſen ſich durch Veraͤnderung der Axe und des Anfangspunktes der Abſciſſen auf unzaͤhlige Arten veraͤndern, ohne daß die Curve ſelbſt dabey die geringſte Veraͤnderung leidet, ſo daß man auf dieſe Weiſe auch fuͤr jeden ſchiefen Win⸗ kel der Coordinaten eine allgemeine Gleichung fuͤr die Curve zu finden im Stande iſt. Wenn man aber dieſen ſchiefen Winkel immer anders und anders annimmt, ſo findet man eine viel weiter ſich erſtreckende Gleichung fuͤr die Curve, welche wir die allgemeinſte Gleichung nennen wollen, weil ſie die Ratur der Curve nicht bloß fuͤr jede Axe und fuͤr jeden Anfangspunkt der Abſciſſen, ſondern auch fuͤr jeden Coordinaten⸗Winkel ausdruckt. Aus dieſer allgemeinſten Gleichung erhaͤlt man die allgemeine, wenn man den da⸗ bey zum Grunde liegenden Coordinaten⸗Winkel in einen rechten Winkel verwandelt. ſ. 43. G ſchen n PI= nit Be Abeſen deue ſeigſe A herab⸗ deigle niue, cke d ür ass beliſter⸗ Genid den ter Wocen, d, G⸗ e ans N mnt, venn n WVintel Lutde crch oordinoten loſen ic luktes der da die ledet, ſ eſen Vin⸗ die Curve en ſcicta. rhet nan Ne Curve, len, weil und fr Peminſen den da⸗ in eigen 16 Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 33 §. 43. Es ſey fuͤr die Curve LM Fig. 14 eine Gleichung zwi⸗ ſchen rechtwinkligen Coordinaten, nemlich APp = x, und K„ PM = y gegeben, und es werde verlangt, daß man dafuͤr mit Beybehaltung der Axe RS und des Anfangspunktes der Abſciſſen A eine Gleichung zwiſchen Coordinaten ſuchen ſolle, die unter einem gegebenen Winkel = „ gegen einander ge⸗ neigt ſeyn. Man faͤlle aus dem Punkte M die gerade Linie MO unter dem gegebenen Winkel M QA auf die Axc RS herab, und ſetze ſin. M QA = = ℳ, uUrd cofſ. MQA = — , desgleichen AC, die neue Abſciſſe, = t, und QM, die neue Applicate, =u. Da nun in dem rechtwinkligen Drey⸗ ecke P M Q, = a; und — =, = . U U U iſt, ſo wird u — — E, und t= 'u T2=21†2 und umgekehrt y =— ο u; und = t — »u. Setzt man daher in der zwiſchen x und y gegebenen Glei⸗ chung = t — u, und y = u, ſo bekommt man die Grichung zwiſchen den Coordinaten t und u, welche unter dem gegebenen Winkel gegen einander geneigt ſind. §. 44. Iſt hingegen fuͤr die Curve L M. (Fig. 14) eine Glei⸗ chung zwiſchen den ſchiefwinkligen Coordinaten A C und M gegeben, ſo kann man daraus ebenfalls die Gleichung zwiſchen den rechtwinkligen Coordinaten AP und P M fuͤr eben dieſe Curve finden. Es ſey 9 der Winkel, unter wel⸗ chem die Coordinaten A Q und M Q gegen einander geneigt Kulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. B. C ſind, . 34 Zweytes Buch. Zweytes Ca apitel. ſind, und ſein Sinus = , ſo wie ſein Coſinus =; auch fey eine Gleichung zwiſchen A Q = t, und Q M. = u ge⸗ geben. Zieht man aus M die Applicate MP auf die Axe enkrecht, ſo wird, wenn man AP = x, und MP = V ſetzt, “ . und bringt man dal zer dieſe Werthe in die zwiſchen t und u gegebene Gleichung, ſo erhaͤlt man daraus die Gleichung zwiſe ſchen N und y, welche man ſuchte. , §. 45. Iſt fuͤr die Curve LM Fig. 15 eine Gleichung zwiſchen den rechtwinklichten Coordinaten AP = xX, und P M = y gegeben, ſo findet man die elge el ſe Gleichung fuͤr eben dieſe Curve auf fol gende A Art. Man nehme irgend eine ge⸗ rade Linie rs zur Axe, un darin D zum Anfangspunkte der Abſeiſſen an. Ferner ſetze man den Winkel D TM, welchen die Applicaten MT mit der Axe machen, = 9, ſeinen Sinus = = „ und ſeinen Coſinus = = „„ ſo daß alſo die neuen Applicaten, zwiſchen welchen die Gleichung ge⸗ ſucht wird, DT und LM ſeyn. Dann ziehe man aus D die Linie D G auf die vorige Axe RS ſenkrecht, nehme AG = f, D G = g, und nachdem man 50 der Axe RS parallel gezogen, ſin. ODsS = m, und coſ. ODS = n. Endl ich⸗ faͤlle man, wie vorhin, aus M die Linie 0 auf die Axe r s ſenkrecht herab, und ſetze DQ= t, und QM= u; die ſchiefwinkligen Coordinaten aber D LT = r, und T M = Alsdann iſt zuvoͤrderſt t = r – -s; und u = S (§. 43); und zweytens xmu- nt — f; und„ = nu — mt — g . 36.) Dieraus aber eſiet X ſegt, Dime algen welch 6ndenn Curvel Oder de ten⸗V und daher geno it und u Rchang wiſhen A= eine ge⸗ nnepuntte fDTN 1,= ,, o gung e n ee , mpme Ne N W — Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 35 X = nr — (n- — m ) § — f, und y = –— mr † (zön † 'im) s — g und dabey iſt n- — m = coſ. A V M oder dem Coſinus des Winkels, welchen die neuen Applicaten mit der vori⸗ gen Axe Rs einſchließen, und n † »m = ſin. AVM. Wenn man alſo in der zwiſchen X und y gegebenen Glei⸗ chung fuͤr X und y jene Werthe ſetzt, ſo erhaͤlt man daraus die allgemeinſte Gleichung fuͤr die Curve L. M zwiſchen den Coordinaten r und s. g. 46. Da die Werthe, welche man auf dieſe Art fuͤr « und y ſetzt, die veraͤnderlichen Groͤßen r und s nur in der erſten Dimenſion enthalten, ſo iſt offenbar, daß die gefundene allgemeinſte Gleichung zu eben der Ordnung gehoͤret, von welcher die zwiſchen x und y gegebene iſt. Bey allen Ver⸗ aͤnderungen alſo, die man mit einer Gleichung fuͤr eine Eurve vornehmen kann, indem man nach Belieben die Axe, oder den Anfangspunkt der Abſeiſſen, oder den Coordina⸗ ten⸗Winkel anders nimmt, bleibt demohngeachtet die Ord⸗ nung oder der Grad der Gleichung unveraͤndert. Ob man daher gleich jede zwiſchen rechtwinkligen oder ſchiefwinkli⸗ gen Coordinaten gegebene Gleichung auf unzaͤhli⸗ ge Arten ver⸗ aͤndern kann, ſo, daß ſie gleichwohl noch immer dieſelbe Curve ausdruckt; ſo erhaͤlt man dabey doch nie eine Gleichung weder von einem hoͤhern noch von einem niedrigern Grade. Und hierin liegt der Grund, warum Gleichungen von ver⸗ ſchiedenen Graden, ſo aäͤhnlich ſie uͤbrigens auch einander ſeyn moͤgen, dennoch allemal verſchiedene Curven aus⸗ drucken. C2 Drit⸗ O s GB ðð Drittes Capitel. Von der Eintheilung der algebraiſchen krummen linien in Ordnungen. §. 47. Da es eine eben ſo große Verſchiedenheit unter den krummen Linien als unter den Funktionen giebt, ſo iſt es bey der unendlichen Menge derſelben unmoͤglich, zur Kenntniß von ihnen zu gelangen, wofern man ſie nicht in gewiſſe Claſſen theilt, und dadurch dem Verſtande bey ihrer Unter⸗ ſuchung einen Leitfaden an die Hand giebt und zu Huͤlfe kommt. Zwar haben wir die krummen Linien bereits in algebraiſche und in tranſcendente eingetheilt, allein jede dieſer Claſſen muß wegen der unendlichen Verſchiedenheit der Curven noch weiter zerlegt werden. Hier richten wir indeß unſer Augenmerk bloß auf die g igebraiſchen Curven, und wollen jetzt unterſuchen, wie dieſe am bequenſſten vom neuen in Claſſen getheilt werden koͤnnen. Das erſte, was dabey zu thun iſt, beſteht in der Feſtſetzung des Theilungs⸗ grundes und der Kennzeichen der darnach zu machenden Claſſen, damit man die Curven, denen ebendieſelben Kenn⸗ zeichen zufommen, zu ebenderſelben Claſſe, und diejenigen, bey welchen dieſe Kennzeichen verſchieden ſind, zu verſchie⸗ denen Claſſen cechnen koͤnne. Z §. 48. XN die F Fuumn derer linin Geihr eingerh en e ſdeni als ei uſen aus ei hdiejen en, Furk d So ſo fode doß ſie len de nlich ſüfih Ril t ii gin V nn in den * aſnnien unter den iſtbey t Kennnih in geiſe ter Mnter hereits in liin iede gederhet ncren wi ,Clnin ſen von ſe, was hekunge⸗ nicerden ey Kenn⸗ Genigen, erſci⸗ 16 ℳ Von der Eintheilung der krummen inien. 37 §. 48. Die einzige Quelle der gedachten Kennzeichen ſind alſo die Funktionen oder Gleichungen, wodurch die Netur der krummen Linien ausgedruckt wird; indem bis jetzt kein an⸗ derer Weg bekannt iſt, der zu allen algebraiſchen krummen Linien fuͤhrte. Es koͤnnen aber die Funktionen und die Gleichungen zwiſchen zwey Coordinaten auf mancherley Art eingetheilt werden, ſo wie ſolches auch im erſten Buche (im erſten Capitel) geſchehen iſt. Zuerſt bietet ſich die Viel⸗ foͤrmigkeit der Funktionen, und zwar beym erſten Anblick als ein ſehr guter Theilungsgrund der krummen Linien in Claſſen dar, und darnach wuͤrden diejenigen Curven, die aus einfoͤrmigen Funktionen entſpringen, zur erſten Claſſe, diejenigen, deren Funktion zweyfoͤrmig iſt, zur zwey⸗ ten, und diejenigen, deren Natur durch eine dreyfoͤrmige Funktion ausgedruckt wird, zur dritten Claſſe gehoͤren, und ſo ferner. H. 49. So natuͤrlich aber auch dief ſe Eintheilung zu ſeyn ſcheint, ſo findet man dennoch bey einer ſorgfaͤltigern Ueberlegung, daß ſie der Natur der krummen Linien und den Eigenſchaf⸗ ten derſelben gar nicht angemeſſen iſt. Wie vielfoͤrmig nemlich die Funktion ſeyn ſoll, auf welche eine krumme Li⸗ nie fuͤhrt, das haͤngt vorzuͤglich von der Lage der Axe ab, die willkuͤhrlich iſt; ſo daß, wenn bey einer Axe die Appli⸗ cate eine einfoͤrmige Funktion von der Abfciſſe iſt, dieſelbe bey einer andern Axe eine vielfoͤrmige Funktion ſeyn kann. Es wuͤrde alſo, wenn man hiernach die Claſſen der krum⸗ men Linien feſtſetzen wollte, eine und dieſelbe krumme Linie in verſchiedenen Claſſen vorkommen, und dies waͤre wider den Zweck. So wuͤrde die Curve, welche durch die Glei⸗ C 3 chung Zweytes Buch. Drittes Capitel. chung a3y = aaXX — X4 ausgedruckt wird, zur erſten Claſſe gehoͤren, weil die Applicate y eine einfoͤrmige Funktion von x iſt; verwechſelte man aber die Coordinaten, oder naͤhme man eine Axe an, die auf der vorigen ſenkrecht ſtuͤnde, ſo bekaͤme man fuͤr eben dieſe Curve die Gleichung yA — aayy † a3x = o, und dabey gehoͤrte denn die Curve zur vierten Claſſe. Es kann daher die Vielfoͤrmig⸗ keit der Funktionen bey der Eintheilung derſelben i in Claſſen keinen Theilungsgrund abgeben. §. 50. Eben ſo wenig laͤßt ſich dazu die Menge der Glieder der Gleichungen, welche die Natur der Curven ausdrucken, ge⸗ brauchen. Denn wollte man die Curven, deren Gleichun⸗ gen aus zwey Gliedern beſtehen, wie ym = A X zur er⸗ ſten, die hingegen, deren Gleichungen drey Glieder ent⸗ halten, zur zweyten Claſſe ꝛc. rechnen: ſo wuͤrde auch hier⸗ bepy eine und dieſelbe Curde in mehrern Claſſen vorkommen. So gehoͤrte die Curve in dem Exempel §. 36. deren Glei⸗ chung yy — àaXx = o war, zur erſten und zur vierten Claſſe, weil man dafuͤr, bey veraͤnderter Axe, die Gl ei⸗ chung 16 uu – 24tu †C 9tt — 55 au † IOat = 0% hat. Ja naͤhme man die Axe und den Anfangspunkt der Abſeiſ⸗ ſen anders, ſo wuͤrde man ſie auch zur zweyten und dritten und fuͤnften Claſſe rechnen koͤnnen, und es iſt daher dieſe Eintheilung durchaus verwerflich. §. SI. Dieſe Unbequemlichkeiten vermeidet man, wenn man die Curven nach den Graden der Gleichungen eintheilt, durch welche ſie ausgedruckt werden. Denn da der Grad der Gleichung, wodurch eine Curve ausgedruckt wird, un⸗ ver⸗ Pttan fangs nehne ſie jn Anioht dorhin ie in dder lichtig dee G ltpei ſheddet ſerden Ordhn des er ſſ ung, pti Order Gg Ew ſch in nic iſen Funin en, ode ſenlrecht üchnng denn die Afoͤrmig ln Coſſer ſieder der Ucͤen, N Glechun⸗ Xn zur i⸗ ſeder eni⸗ nich h⸗ emmen. eten Gle⸗ 2 0r Nr Mi 1 deitten her die õñõGH Von der Eintheilung der krummen kinien. 39 veraͤndert derſelbe bleibt, man mag die Axe und den An⸗ fangspunkt d der Abſciſſen und den Coordinaten⸗Winkel an⸗ nehmen, wie man will, ſo gehoͤrt dabey jede krumme Linie nie zu mehr als zu einer EClaſſe Nimmt man daher die Anzahl der Dimenſionen, welche die rechtwinkl igen oder ſchiefwinkligen Coordinaten in der Gleichung fuͤr die Curve haben, zum Theilungsgrunde an, ſo bleiben die Claſſen bey allen Veraͤnderungen, die man mit der Axe, dem An⸗ fangspunkte der Abſciſſen und dem Coordinaten⸗Winkel vornimmt, unver randert dieſelben, und jede Curve gehoͤrt nie zu mehr als zu einer Claſſe, man mag ihre ſpecielle, oder ihre allgemeinſte Gleichung zum Grunde legen. Am richtigſten theilt man daher die Curven nach den Graden der Gle ichung en ein, wodurch ſie ausgedruckt werden. * So wie man nun die aus der Anzahl der Dimenſionen entſpringenden Arten der Gleichungen nach Graden unter⸗ ſcheidet, ſo wollen wir die aus eben dieſer Quelle flie⸗ ßenden Claſſen der krummen Linien mit dem Namen der Ordnangen belegen. Da alſo die gllgemeine Gleichung des er ſten Grades 0 = a † 6E † 7y iſt, ſo gehoͤren hiernach alle Linien, die ſich aus dieſer Gl ei⸗ chung, wenn man darin X und y rechtwinklige oder ſchief⸗ winklige Coordinaten bedeuten laͤßt, ergeben, zur erſten Ordnung. Wir haben aber oben (8. 39] geſehen, daß die angefuͤhrte Gleichung bloß die gerade Linie ausdruckt, und es begreift daher die erſte Ordnung weiter keine Linie in ſich, als die gerade, welches auch allerdings unter allen Linien die einfachſte iſt. Da alſo der Name, Curve, hier nicht gehraucht werden kann, ſo wollen wir die Ordnun⸗ ι gen, 40 Zweytes Buch. Drittes Capitel. gen, womit wir uns jetzt beſchaͤftigen, nicht Grdnungen der krummen Linien, ſondern bloß Grdnungen der Li⸗ nien nennen. Die erſte Ordnung der Linien faßt alſo keine krumme, ſondern allein die gerade Linie in ſich. Es iſt aber hierbey gleichguͤltig, ob man die Coordina⸗ ten rechtwinklig oder ſchiefwinklig annimmt. Denn iſt der Winkel, welchen die Applicaten mit der Axe machen = %, und ſein Sinus = ½, ſo wie ſein Coſinus = : ſo wird die Gleichung in eine Gleichung fuͤr rechtwinklige Coordi⸗ uUI „U naten verwandelt, wenn man y„ = —, und xX = — †t ſetzt, K. 44., und man bekommt dadurch fuͤr die rechtwinklige Coordinaten t und u die Gleichung: 8S4 Y 0o = « † St † (— † —) u. te ℳ Da nun dieſe Gleichung eben den Umfang hat als die vor⸗ hergehende, denn beyde ſind ollgemeine Gleichungen: ſo erhellet, daß die Bedeutung der Gleichung nicht eingeſchraͤnkt wird, wenn man den Winkel, den die Applicaten mit der Axe machen, einem rechten Winkel gleich ſetzt. Eben dieſes findet auch bey den Gleichungen der folgenden Ordnungen ſtatt, ihr Umfang wird nicht geringer, wenn auch ihre Co⸗ ordinaten rechtwinklig angenommen werden. Da alſo die allgemeinen Gleichungen, ſie moͤgen zu einem Grade gehoͤ⸗ ren, zu was fuͤr einem ſie wollen, durch Veraͤnderung des Coordinaten⸗Winkels nichts von ihrem Umfange verlieren, ſo werden wir auch ihre Bedeutung durch Annehmung recht⸗ winkliger Coordinaten nicht einſchraͤnken. Denn eben die Curve, die bey ſchiefwinkligen Coordinaten in einer Glei⸗ chung chung naten non lann, y. lin ans velche nn die =— wenn ten wott che me hgen Nengen en deli⸗ lſo ken Cordina⸗ miſ der hn, ſ wid e Coordi⸗ , Hieter⸗ npen: ſ⸗ eſthedntt n wit der ſen dieſs thnungen ihee C⸗ aſo die dde geß⸗ ung des elieren, grecht⸗ eben die⸗ r Ghin⸗ 4ung Von der Eintheilung der krummen Linien. 41 chung enthalten iſt, wird auch bey rechtwinkligen Coordi⸗ naten durch eben dieſe Gleichung ausgedrucht. §. 54. Die Linien der zweyten Ordnung ſind insgeſammt in folgender allgemeinen Gleichung des zweyten Grades ent⸗ halten: = 2† gx y 5x2 :xy 1 y23, denn wir zaͤhlen alle Curven, welche durch dieſe Gleichung, wenn darin xX und » rechtwinklige Coordinaten bedeuten, ausgedruckt werden, zur zweyten Ordnung der Linien. Da alſo die erſte Ordnung keine Curve enthaͤlt, ſo ſind dieſes die einfachſten krummen Linien, und werden daher auch von einigen krumme Linien der erſten Ordnung genannt. Gewoͤhnlich heißen dieſe Curven Kegel⸗Schnitte, weil man ſie auch durch Schneidung des Kegels erhalten kann, und es giebt davon mehrere Arten, den Kreis, die Ellipſe, die Parabel, und die Hyperbel, welche wir weiter hin aus der allgemeinen Gleichung ableiten werden. 5§. 55* Zur dritten Ordnung der Linien gehoͤren alle Curven, welche folgende allgemeine Gleichung des dritten Grades an die Hand giebt: =aÜ1τιH*7αwvvé; T,Xa 1 822, †) 2r7; wenn man darin x und y rechtwinklige Coordinaten bedeu⸗ ten laßt, indem dieſe Gleichung durch Annehmung ſchief⸗ winkliger Coordinaten, wie wir bereits angemerkt haben, (§. 53.] keinen weitern Umfang bekommt. Da dieſe Glei⸗ chung eine weit groͤßere Anzahl beſtaͤndiger Groͤßen, die man willkuͤhrlich beſtimmen kann, enthaͤlt, als die vorher⸗ gehende, ſo begreift die gegenwaͤrtige Ordnung auch eine C 5 weit 42 Zweytes Buch. Drittes Capitel. weit groͤßere Menge von Arten in ſich, deren Claſſification man beym Mewton findet. H §. 56. Ziur vierten Ordnung der Linien gehoͤren alle Curben, weiche durch folgende allgemeine Gleichung, o = a † 6x † 7y T X † Xy † 272 † 2X 3 † 9X2y †. Xy2 † xy 3 T AX 4 2X y †. „»X22 - £X V 3 † ey2, ausgedruckt werden, wenn 2 und y rechtwinklige Coordina⸗ ten bedeuten, indem die Gleichung bey ſchiefen Applicaten keine groͤßere Allgemeinheit erhaͤlt. In dieſer Gleichung ſind funfzehn beſtaͤndige Groͤßen enthalten, die man nach Belieben annehmen kann, und daher iſt die Verſchieden⸗ heit der Arten, die zu dieſer Ordnung gehoͤren, noch groͤßer als bey der vorhergehenden Ordnung. Man nennt dieſe Linien der vierten Ordnung auch Curven der dritten Ord⸗ nung, weil man die zweyte Ordnung der Linien als die erſte Ordnung der Curven betrachtet, und aus eben dem Grunde ſind die Linien der dritten Ordnung mit den Cur⸗ ven der zweyten Ordnung einerley. §. 527. Hieraus laͤßt ſich ſchon abnehmen, was fuͤr Curben zur⸗ fuͤnften, ſechsten, ſiebenten Ordnung ꝛc. gehoͤren. Es be⸗ ſteht aber die allgemeine Gleichung fuͤr die Linien der fuͤnf⸗ ten Ordnung, da darin zu der allgemeinen Gleichung fuͤr die Linien der vierten Ordnung noch die Glieder MUW:W kommen, aus ein und zwanzig Gliedern, ſo wie die allge⸗ meine Gleichung fuͤr die Linien der ſechsten Ordnung deren acht und zwanzig in ſich faßt, und uͤberhaupt dieſe Menge der Glieder nach den Trigonal⸗Zahlen fortgeht. Es ent⸗ „7 I än daw Mon re Gunge had ſitior ſen nech ten A⸗ 1 l N⸗ den n den Eu⸗ e ur — Von der Eintheilung der krummen Linien. 43 haͤlt nemlich die allgemeine Gleichung für die Linien der (n P 1) (n † 2 2) 1 2 * nten Ordnung Glieder, und eben ſo groß iſt die Anzahl der in ihr befindlichen beſtaͤndigen Groͤßen, die man nach Belieben beſtimmen kann. SJMM Indeß fuͤhrt nicht jede veraͤnderte Beſtimmung dieſer beſtaͤndigen Groͤßen auf verſchiedene kceumme Linien. Denn da wir in dem vorhergehenden Capitel geſehen haben, daß man fuͤr eine und dieſelbe Curve durch Veraͤnderung der Axe und des Anfangspunktes der Abſeiſſen unzaͤhlige Glei⸗ chungen finden kann, ſo D wir aus der Verſchieden⸗ heit der Gleichungen, die zu einem und demſe lben Grade gehoͤren, nicht auf eine Verſ ſgieden heit der durch ſie aus⸗ gedruckten Curden ſchließen. Es wird daher bey der Herleitung der Geſchlechter und Arten, die unter einer Ordnung begriffen ſind, aus der allgemeinen Gleichung viel Behutſamkeit erfordert, wenn man nicht Gefahr laufen will, eine und dieſelbe Curve zu zwey und mehreren Arten zu rechnen. §. 59. Da man alſo aus dem Grade der zwiſchen den Coordi⸗ naten gegebenen Gleichung die Ordnung der Curve beur⸗ theilt, ſo iſt man, ſobald eine algebraiſche Gleichung zwi⸗ ſchen den Coordinaten und y gegeben iſt, im Stande, ſo⸗ gleich zu beſtimmen, zu was fuͤr einer Ordnung die durch jene Gleichung ausgedruckte Curve gehoͤret. Doch muß man, wenn die Gleichung irrational iſt, dieſelbe zuvor von ihrer Irrationalitaͤt befreyen, und uͤberdem daraus auch die etwa vorkommenden Vruͤche wegſchaffen, worauf denn die hoͤchſte Zahl 44 Zweytes Buch. Drittes Capitel. Zahl der Dimenſionen der in ihr befindlichen veraͤnderlichen Groͤßen æ und y die Ordnung der Curve anzeiget. So ge⸗ hoͤrt z. B. die durch die Gleichung yy — axXK = o ausge⸗ Druckte Curve zur zweyten Ordnung, hingegen die Linie, auf welche die Gleichung y y = X Vaa — XX) fuͤhrt, zur vier⸗ ten Ordnung, weil man aus dieſer Gleichung durch Weg⸗ bringung der Irrationalitaͤt eine Gleichung vom vierten Grade erhaͤlt. Die Linie, welche durch die Gleichung a 3 — axx 12 † ten Ordnung, eil man aus dieſer Gleichung durch Weg⸗ ſchaffung des Bruchs a ay † XXy = àa 3 — a XX bekoͤmmt, und das Glied XXy drey Dimenſionen hat. §. 60. Es koͤnnen aber in einer und derſelben Gleichung meh⸗ rteere von einander verſchiedene Curven enthalten ſeyn, je nachdem man die Applicaten ſenkrecht oder unter einem gegebenen Winkel gegen emander geneigt annimmt. So giebt die Gleichung yy = à àa — XX bey rechtwinkligen Coordinaten den Kreis, bey ſchiefwinkligen hingegen die Ellipſe. Alle dieſe verſchiedenen Curven gehoͤren indeß zu einer und derſelben Ordnung, weil die Verwandlung der ſchiefwinkligen Coordinaten in rechtwinklige auf die Ordnung der Curven keinen Einfluß hat, (§. 51 u. 53 ]Ob alſo gleich die allgemeinen Gleichungen fuͤr die krummen Linien, ihre Ordnung mag ſeyn, welche ſie will, durch den Winkel, welchen die Applicaten mit der Axe machen, weder einen weitern, noch einen engern Umfang bekommen; ſo iſt doch bey den ſpeciellen Gleichungen fuͤr die krummen Linien die dadurch ausgedruckte Curve nicht eher beſtimmt, als bis der — ausgedruckt wird, iſt eine Linie der drit⸗ der D Keneis Gleſc degedea ſet wer mahee⸗ Gung nenye ein Nruck ud, egtr einond nin G dſeſe B⸗ in den hetrachte die wi comple cndeen Pllen. NAichen Es 0 alsg kinig auf zur dier⸗ Veg vierten ichung E dads n me, n,N er einen nt. 6 akligen agn de rdeß / g der edaung ſo gech en, he Vlti/ einen ſtdech ien die ElG ℳ Von der Eintheilung der krummen linien. 45 der Winkel unter welchen die Coordinaten gegen einander geneigt ſind, beſtunmt i iſt. . 61. Soll eine Curve zu der Ordnung, welche durch ihre Gleichung angezeigt wird, ganz eigentlich gehoͤren, ſo muß die gedachte Gleichung nicht in rationale Faktoren aufgeloͤ⸗ ſet werden foͤnnen. Denn hat eine Gleichung zwey oder mehrere Faktoren, ſo iſt ſie ein Inbegriff mehrerer Glei⸗ chungen, davon jede eine krumme kLinie enthaͤlt, die zuſam⸗ mengenommen der gegebenen Gleichung entſprechen. Wenn alſo eine Gleichung in Faktoren aufgeloͤſet werden kann, ſo druckt ſie nicht eine ſondern mehrere continuirliche Curven aus, davon eine jede durch eine⸗beſondere Gl eichung ange⸗ zeigt werden kann, und die weiter keine Verbindung unter einander haben, als daß ihre G leichungen in der gegebe⸗ nen Gleichung mit einander multiplicirt worden ſind. Da dieſe Verbindung von unſerer Willkuͤhr abl haͤngt, ſo koͤn⸗ nen dergleichen Curven nicht als continuirliche Curven betrachtet werden, und es geben daher die Gleichungen, die wir oben [im erſten Buche, im ten Capitel, §. 95.] complexe Gleichungen genannt haben, keine continuirliche, ſondern aus continuirlichen zuſammengeſetzte Linien, die wir daher mit dem Namen der complexen Linien belegen wollen. §. 62. So beſteht die Gleichung yy = ay † Xy — ax, die zu einer Linie der zweyten Ordnung zu gehoͤren ſcheint, wenn man ſie auf o reducirt, oder daraus yy — ay — Xy † ax = o macht, aus den beyden Faktoren (y — X) (y — àa) = o; und faßt daher die beyden Gleichungen „ 46 Zweytes Buch. Drittes Capitel. y – X = o, und y — a = o in ſich. Dieſe beyden Gleichungen gehoͤren zu geraden Linien, und zwar die erſte zu einer ſolchen, die die Axe in dem Anfangspunkte der Abſciſſen unter einem halben rechten Winkel ſchneidet, und die andere zu einer ſolchen, die mit der Axe parallel laͤuft, und von ihr um a entfernt iſt; und dieſe beyden geraden Linien werden alſo zugleich durch die Gleichung yy = ay † Xy – axX ausgedruckt. Eben ſo iſt die Gleichung y4 — Xy3 —– aaxX – ay3 † aXXy † a àaXy = o eine com⸗ plexe Gleichung, und es druckt daher dieſelbe keine conti⸗ nuirliche Linie der vierten Ordnung aus, ſondern ſie ent⸗ haͤlt, da ſie aus den Faktoren (y — xX) (y — a) (yy — ax) beſteht, drey ver ſchiedene Linien, zwey gerade, und. eine in der Gleichung Yy. = ax enthaltene e krum me Linie. 6. 63. Es iſt daher leicht, complexe Linien, die zwey oder meh⸗ rere, gerade oder krumme, Linien, von was fuͤr einer Art man will, enthalten, zu finden. Denn druckt man jede dieſer Linien fuͤr eine und dieſelbe Axe und denſelben An⸗ fangspunkt der Abſciſſen durch eine auf o gebrachte Glei⸗ chung aus, ſo hat man in dem Produkte dieſer Gleichun⸗ gen eine complexe Gleichung, welche alle jene Linien in ſich begreift. Waͤre z. B. Fig. 16 aus dem Mittelpunkte C mit dem Radius C A = a ein Kreis beſchrieben, und durch den Mittelpunkt deſſelben die gerade Linie LN gezogen, ſo koͤnnte man hiernach fuͤr jede Axe eine Gleichung finden, welche den Kreis und die gerade Linie, als wenn beyde mur eine Linie waͤren, zuſammen in ſich enthielte. §K. 64. Man nehme den Durchmeſſer A B, welche die gerade Linie L N unter einem hal ben rechten Winkel ſchneide, zur Ne, e,1 1d A⸗= 1— ven Fir! Ph,1¹ F den 6 colap 3 aſte gen Wpa⸗ iie. eine eidet udet, und alel ſonfe en gerad oder neh⸗ 1* ſet einet A. nien in h Von der Eintheilung der krummen linien. 427 Axe, und darauf den Anfangspunkt der Abſeiſſen in A an, und ſetze die Abſciſſe A P = xX, und die Applicate P M = y. Alsdann iſt, fuͤr die gerade? Zinie, P M=CP = a — X, und weil der Punkt M auf der Seite der negati⸗ ven Applicaten liegt, 7 = – a † xX, oder y — X † à = o. Fuͤr den Kreis hingegen ſindet man, weil P M2 = A P. PB, und BP = 2a — x iſt, yy = 2à2X —–— Xx, oder yy † XX — 2aX = o. Multiplicirt man alſo dieſe bey⸗ den Gleichungen mit einander, ſo bekommt man folgende complexe Gleichung vom dritten Grade, „73— — y2X TyXX — X 3 T. ayy — 2axy T† 3axx — 2 ax = o, welche ſowohl den Kreis als die gerade Linie in ſich enthaͤlt. Es gehoͤren nemlich darin zu jeder Abſeiſſe AP = x drey Applicaten, zweye fuͤr den Kreis, und eine fuͤr die gerade Linie. Denn ſetzt man z. B. I = — a, „ ſo wird 7³ † ay⸗ — à a2y — 3 a: = o, und alſo 14 1 „ † a = o, odery = — 1 . 2 Ferner erhaͤlt man durch die Divi ſion mit der gefundenen Wurzel Jy — 2 a àa = o, und es iſt daher auch III. „ = — — 4 V. 3 Es wird demnach der Kreis und die gerade Linie LN durch die gefundene Gleichung ausgedruckt, als wenn beyde Linien eine einzige continuirliche Linie waͤren. —– 48 Zweytes Buch. Drittes Capitel. §. 65. Nachdem wir dieſen Unterſchied zwiſchen compleren und incomplexen Curven bemerkt haben, ſo iſt klar, daß die Linien der zweyten Ordnung entweder continuirliche Curven, oder aus zwey geraden Linien zuſammengeſetzte complexe Linien ſind; denn hat die allgemeine Gleichung Faktoren, ſo ſind dieſelben einfach, und drucken alſo gerade Linien aus. Die Linien der dritten Ordnung aber ſind entweder incomplexe, oder aus einer geraden Linie und einer Linie der zweyten Ordnung, oder aus drey geraden Linien zuſammengeſetzte complexe Linien. Ferner ſind die Linien der vierten Ord⸗ nung entweder continuirliche Linien, oder complexe, die aus einer geraden Linie, und einer Linie der dritten Ord⸗ nung, oder aus zwey Linien der zweyten Ordnung, oder aus einer Linie der zweyten Ordnung und zwey geraden Li⸗ nien, oder endlich aus vier geraden Linien zuſammengeſetzt ſind. Auf eine aͤhnliche Art verhaͤlt es ſich mit den com⸗ plexen Linien der fuͤnften und der uͤbrigen hoͤhern Ordnun⸗ gen. Hieraus erhellet, daß jede Linie von einer hoͤhern Ordnung alle Linien der niedern Ordnungen unter ſich be⸗ greift, aber dieſe nicht allein, ſondern es iſt jede Linie der niedern Ordnungen verbunden, entweder mit geraden Li⸗ nien, oder mit Linien der zweyten, der dritten und der folgenden Ordnungen, doch ſo, daß allemal die Summe der Ordnungszahlen der einfachen Linien der Ordnungszahl der complexen Linie gleich iſt. Vier⸗ ⸗ 22 Von 3 den untt leſcnit Oednur linie in kann, Punkie wie bie Pelebe un, in⸗ nüde iieng ſde nne e den E dre lien n, ſo ſind nnplere, Viertes Capitel. nennökfe Von den vornehmſten Eigenſchaften der linien einer atin Dh⸗ jeden Ordnung. lere, die ”M een Ded⸗ §. 66. D OUYMUM hung, de ⸗ . = letuden h Zu den vornehmſten Eigenſchaften der Linien einer je⸗ D mnre den Ordnung gehoͤrt vor allen andern die Menge der den com⸗ Punkte, in welchen dieſe Linien von einer geraden Linie ldemu geſchnitten werden koͤnnen. G Denn da die Linie der erſten hien Ordnung, oder die gerade Linie, von einer andern geraden ſt Linie in nicht mehr als in einem Punkte geſchnitten werden ede kann, bey den krummen Linien aber ſolches in mehrern Punkten moͤglich iſt: ſo entſteht mit Recht die Frage, in Känd wie viel Punkten die Curven jeder Ordnung von einer nach nn n Belieben gezogenen geraden Linie geſchnitten werden koͤn⸗ Enn⸗ nen, indem die Beantwortung dieſer Frage auf die Kennt⸗ ungff niſß der Curven, die zu den verſchiedenen Ordnungen gehoͤren, einen großen Einſluß hat. Wir werden aber finden, daß jede Linie der zweyten Ordnung von einer geraden Linie in nicht mehr als in zwey, jede Curve der dritten Ordnung in nicht mehr als in drey Punkten ꝛc. geſchnitten wer⸗ den kann. Ve⸗ Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. HD. D d. 67. so Zvwepytes Buch. Viertes Capitel. Gn Wir haben bereits oben (§. 26.] der Art und Weiſe Er⸗ ee waͤhnung gethan, wie die Anzahl der Punkte beſtimmt den werden kann, worin die Axe einer jeden Curve von dieſer dacn Curve geſchnitten wird. Setzt man nemlich in der zwiſchen Ie der Abſciſſe æ und der Applicate y gegebenen Gleichung an y = o, ſo erhaͤlt man eine Gleichung, worin bloß X be⸗ i findlich iſt; und da die Applicate y alle: mal da = o wird, tmſd wo ein Punkt der Curve in die Axe faͤllt, ſo zeigt dieſe Gleichung die Werthe von x, und folglich die Punkte der Axe an, in welchen die Curve die Axe ſchneidet. So er⸗ D haͤlt man, wenn man in der oben [§ 64.] fuͤr den Kreis llit gefundenen Gleichung, yy = 2a X — X, y = o ſetzt, (in 0 = 2àaX — xXX, woraus ſich zwen Werthe fuͤr erge⸗ ge de ben, neml lich X = o, und X 2 a, die anzeigen, daß femg die Axe RS, Fig. 16, zuvoͤrderſt in dem Anfangspunkte wl, v der Abſeiſſen A, und dann in dem Punkte B, wenn AB = 2 2 Wun iſt, von dem Kreiſe geſchnitten wird. Auf eine aͤhnliche Art hrung zeigen auch bey den uͤbrigen Curven, wenn man in der fuͤr ſie gegebenen Gleichung y = o ſetzt, die Werthe von X die Durch ſchnittsp bunkte mit der Axe an. lnge Da bey der allgemeinen Gleichung einer jeden Curve n E jede gerade Linie die Stelle der Axe vertritt, ſo zeigt die Ween in aus derſelben, wenn man y = o ſetzt, entſpringende Glei⸗ in chung die Anzahl der. Punkte an, in welchen die Curve von on einer geraden Linie geſchnitten werden kann. Man fin det ſhn aber auf dieſe Art eine Gleichung, worin bloß die Abſciſſe Kr als eine unbekannte Groͤße enthalken iſt, und es zeigen l daher die Wurzeln derſelben die Durchſchnittspunkte der lenen Curve mit der Axe an. Es haͤngt demnach die Anzahl der decſ Wnke e beſtinnt don dieſe er zuiſchen Gleichung bloß x be⸗ ic⸗ —0 ſe den doß gei⸗ di in ſhe oNAX en Curbe . ſeigt die die Von den vornehmſten Eigenſchaften der Linien ꝛe. 51 Durchſchnittspunkte von der hoͤchſten Poteſtaͤt von in die⸗ ſer Gleichung ab, und kann folglich nicht groͤßer ſeyn, als der Exponent dieſer Poteſtaͤt. Es wird aber im mer ſo viel Durchſchnittspunkte geben, als der Exponent der hoͤchſten Poteſtaͤt von æ Einheiten enthaͤlt, wenn alle Werthe von reell ſind; ſind hingegen einige darunter imaginaͤr, ſo wird die Anzahl der Durchſchnittspunkte um eben ſo viel vermindert. §. 69. Da wir alſo fuͤr jede Ordnung der Linien die allgemein⸗ ſte Gleichung kennen §. 53.- §. 57. verbunden mit §. 45.], ſo ſind wir daraus im Stan de, auf dem beſchriebenen We⸗ ge die Anzahl der Punkte zu finden, in welchen jede Linie, ſie mag zu einer Ordnung gehoͤren, zu was fuͤr einer ſie „will, von einer geraden Linie geſchnitten werden kann. Um von der allgem neinen Gleichung fuͤr die Linie der erſten Ordnung oder die gerade Linie, 0 = † ςX T Yv anzufangen, ſo erhaͤlt man daraus, wenn man y = o, ſetzt, o = a T† £X und dieſe Gleichung kann nicht mehr als eine Wurzel ha⸗ ben. Es erhellet demnach, daß die gerade Linie von einer andern in nicht mehr als in einem Punkte geſchnitten wer⸗ den kann. Wird 3 = o, ſo zeigt die unmoͤgliche Glei⸗ chung o = „ an, daß die Ape in dieſem Falle von der ge⸗ raden Linie gar nicht geſchnitten wird, und es ſind alſo als⸗ dann beyde Linien einander parallel. Es erhellt dieſes auch aus der Gleichung o = † vy, welche man aus der all⸗ gemeinen Gleichung erhaͤlt, wenn man darin s = o ſetzt. D 2 70. §K. 70. Wenn man in der allgemeinen Gleichung der Linien der zweyten Ordnung o = ℳ † 8£ X † „y I rrx 1 xy 4 yy y = o ſetzt, ſo erhaͤlt man dafuͤr 0 = † 6X † àXx, und dieſe Gleichung hat entweder zwey reelle Wurzeln, oder gar keine, oder auch eine, wenn à5 = o iſt. Es kann daher jede Linie der zweyten Ordnung von einer geraden Linie in zwey, oder nur in einem Punkte, oder auch gar nicht geſchnitten werden, und alle dieſe Falle kann man— auf die Art zuſammen ausdrucken, daß man ſagt, eine Li⸗ nie der zweyten Ordnung koͤnne von einer geraden Linie i in nicht mehr als in zwey Punkten geſchnitten werden. F. 7r. 5 Wenn man in der allgemeinen Gleichung fuͤr die Linien der dritten Ordnung y = o ſetzt, ſo erhaͤlt man daraus 0 = „ † 8&X † YXX † àX3 und da dieſe Gleichung nicht mehr als drey Wurzeln haben kann, ſo erhellet daraus, daß die Linien der dritten Ord⸗ nung von einer geraden Linie in nicht mehr als in drey Punkten geſchnitten werden koͤnnen. Es kann ſich aber er⸗ eignen, daß eine Linie der dritten Ordnung von einer gera⸗ den Linie in weniger Punkten geſchnitten wird, z. B. in zweyen, wenn = = o iſt, und die beyden Wurzeln der Gleichung o = „ † 6X † 7XX reell ſind, oder in einem, wenn die obige Gleichung zwey imaginaͤre Wurzeln hat, oder wenn = o, und 7 = 0 iſt, oder auch gar nicht, wenn ⁹° = o, und die uͤbrigen beyden Wurzeln der Glei⸗ chung imaginaͤr ſind, welches ſtatt findet, wenn , , und à verſchwinden, und «nicht = o iſt. “ §. 72. n hietten: iy ner kunntdi e ie in iong. Oud Reſchei ſchritts ijr dies ddnone Dchoup nid geb der frin Uus d ene dieſer Anſſc⸗ die rve lehiͤenſ ſlbl imnn non W uner ne ten geſc weyten Vuneln. Es kang kann nmn t, eine i n Eie ir du. die inien Nrams ln heten ten Ded⸗ n e Gober e⸗ iner geta⸗ n Urzen de in einen, N gar . ſicht, der Ge⸗ „ lod 4 2. Von den vornehmſten Eigenſchaften der linien ꝛc. S3 F. 72. Auf eine aͤhnliche Art ſchließt man, daß die Linien der vierten Ordnung von einer geraden Linie in nicht mehr als in vier Punkten geſchnitten werden koͤnnen; und uͤberhaupt kommt dieſe Eigenſchaft den Linien aller Ordnungen zu, ſo, daß eine Linie von der nten Orbnung von einer geraden Linie in nicht mehr als in n Punkten geſchnitten werden kann. Doch folgt hieraus nicht, daß jede Linie von der Ordnung n von jeder geraden Linie wirklich in n Punkten geſchnitten werde, es kann vielmehr die Anzahl der Durch⸗ ſchnittspunkte auch kleiner als n, ja ſelbſt = o ſeyn, wie wir dies bereits bey den Linien der zweyten und dritten Ordnung angemerkt haben. Es ſagt alſo die angefuͤhrte Behauptung bloß, daß die Anzahl der Durchſchnittspunkte nie groͤßer ſeyn kann, als die Zahl, welche die Ordnung der krummen Linien anzeigt. §. 73. Aus der Anzahl der Punkte, werin eine gerade Linie eine gegebene Curve ſchneidet, laͤßt ſich alſo die Ordnung dieſer Curve nicht beſtimmen. Denn wenn die Anzahl dieſer Durchſchnittspunkte = n iſt, ſo folgt daraus nicht, daß die Curve zur nten Ordnung gehoͤre, ſondern ſie kann da⸗ bey eben ſowohl eine Linie jeder hoͤhern Ordnung ſeyn, ja ſelbſt zu den tranſcendenten Linien gehoͤren. Dagegen kann man mit Gewißheit behaupten, daß jede Curve, die von einer geraden Linie in n Punkten geſchnitten wird, nicht zu einer niedrigern Ordnung gehoͤre. So iſt, wenn eine gegebene Curve von einer geraden Linie in vier Punk⸗ ten geſchnitten wird, ausgemacht, daß man ſie weder zur zweyten noch zur dritten Ordnung rechnen darf; ob ſie D 3 aber 54 Zwepytes Buch. Viertes Capitel. aber zur vierten oder zu einer hoͤhern Ordnung gehoͤre, oder gar tranſcendent ſey? das laͤßt ſich daraus nicht be⸗ Urtheilen. . §. 74. Die allgemeinen Gleichungen, welche wir fuͤr die dinien jeder Ordnung gegeben haben, enthalten mehrere beſtaͤndige Groͤßen, deren Beſtimmung unſerer Willkuͤhr uͤberlaſſen bleibt. Setzt man dafuͤr beſtimmte Groͤßen, ſo werden da⸗ durch die Curven durchaus beſtimmt, und laſſen ſich, wenn die Axe gegeben iſt, ſo beſchreiben, daß alle uͤbrige in eben der allgemeinen Gleichung enthaltenen Curven aus⸗ geſchloſſen werden. So kann, obgleich die Gleichung o = ℳ*½ †. 8X † y allein die gerade Linie in ſich faßt, doch die Lage dieſer geraden Linie in Anſehung der Axe⸗ auf unzaͤh⸗ lige Arten veraͤndert werden, weil die beſtaͤndigen Groͤßen «, 6, 7 unendlich viele Werthe bekommen koͤnnen. So⸗ bald aber dieſe Groͤßen beſtimmte Werthe erhalten, ſo wird die Lage bder geraden Linie ſo beſtimmt, daß außer ihr keine andere der Gleichung ein Genuͤge thut. Es ſcheint zwar,als ob die Gleichung o = e † gx † 7y, da ſie drey beſtaͤndige Groͤßen «, 8, „ enthaͤlt, drey Be⸗ ſtimmungen zulaſſe; allein wegen der Ratur der Glei⸗ chungen iſt dieſe Gleichung ſchon beſtimmt, ſobald das Ver⸗ haͤltniß dieſer beſtaͤndigen Groͤßen, oder das Verhaͤltniß zweyer von ihnen zur dritten feſtgeſetzt iſt, und es laͤßt da⸗ her dieſe Gleichung nicht mehr als zwey Beſti immungen zu. Denn beſtimmt man sSsund? durch «,ſo daß z. B. £ = — «, und 7„ = 2 a wird, ſo verwandelt ſich dieſelbe in o = „— „X † 2 %, und iſt alſo, da = durch die Diviſion wegge⸗ bracht venn die ſn did alſo in d Dbfür,) M den und inde en lakaſn ſoft Ceg die hinier D Nnt nſch, Gn e ibrige n Urben us⸗ nge= i, doo de alf unti⸗ halen, ſe Ouß eie =ð . Von den vornehmſten Eigenſchaften der linien ꝛc. 55 bracht werden kann, dadurch ſchon vollkommen beſtimmt. Auf eine aͤhnliche Art laͤßt die allgemeine Gleichung der Li⸗ nien der zweyten Ordnung, die ſechs beſtaͤndige Groͤßen enthaͤlt, nicht mehr als fuͤnf, die allgemeine Gleichung der Linien der dritten Ordnung nicht mehr als neun, und uͤber⸗ haupt die algemeine Gleichung der Linien der nten Ord⸗ † 1) (n † 2) (n nung nicht mehr . — 1 Beſtimmungen zu. 9 J. 76. Es laſſen ſich aber die gedachten beſtaͤndigen Groͤßen allemal ſo beſtimmen, daß die Curve durch einen gegebenen Punkt gehet, und dadurch wird denn eine dieſer Beſtim⸗ mungen gefunden. Soll z. B. eine fuͤr irgend eine Linie gegehene Gleichung ſo beſtimmt werden, daß die Curve durch einen gegeben Punkt B Fig. 17 gehe, ſo nehme man nach Belieben eine Axe und in derſelben den Anfangspunkt der Abſciſſen A an, und faͤlle aus B die Linie Bb auf die Axe ſenkrecht herab. Hier iſt nun offenbar, daß man, wenn die Curve durch den Punkt B gehet, und Ab = xX ge⸗ ſetzt wird, Bb = y = der Applicate habe. Setzt man alſo in der gegebenen allgemeinen Gleichung Ab fuͤr x, und B b fur y, ſo erhaͤlt man eine Gleichung, woraus ſich eine von den beſtaͤndigen Groͤßen «, , 7, à%, u, ꝛc. beſtimmen laͤßt, und iſt dieſes geſchehen, ſo gehen alle Curven, die in der auf dieſe Art beſtimmten allgemeinen Eleichung ent⸗ ha lten ſind, durch den Punkt B. 77. Soll die Curve uͤberdem auch durch den Punkt Cgehen, ſo faͤlle man auch aus dieſem Punkte die ſenkrechte Linie Cc auf die Axe, und ſetze in der Gleichung = Ac, und 2 A 7 56 Zweytes Buch. Viertes Capitel. y = Cc. Hierdurch wird man eine neue Gleichung be⸗ kommen, woraus ſich ebenfalls eine von den beſtaͤndigen Groͤßen «, 2, 7, d, ꝛc. beſtimmen laſſen wird. Auch iſt leicht einzuſehen, daß man, wenn die Curve durch dreyg Punkte B, C, D gehen ſoll, dadurch auf eben die Art drey, und wenn ſie durch vier Punkte B, C, D, E gehen ſoll, vier beſtaͤndige Groͤßen beſtimmen koͤnne. Wenn alſo die Anzahl der beſtimmten Punkte, wodurch eine Curve gehen ſoll, eben ſo groß iſt, als die Anzahl der Beſtimmungen, welche die allgemeine Gleichung dieſer Curve zulaͤßt, ſo iſt dadurch die Curve durchaus beſtimmt, und die einzige, die durch alle gegebene Punkte gelegt werden kann. §. 78. Da alſo die allgemeine Gleichung der Linien der erſten Ordnung oder der geraden Linie nur zwey Beſtimmungen zulaͤßt, [F. 75.] ſo wird die Linie der erſten Ordnung, oder die gerade Linie, durch jede zwey fuͤr ſie gegebene Punkte, durchaus beſtimmt, und es laͤßt ſich alſo durch zwey gege⸗ bene Punkte nicht mehr als eine gerade Linie legen, wie ſolches auch ſchon aus den Elementen bekannt iſt. Wenn aber nicht mehr als ein Punkt gegeben iſt, ſo iſt die Gleichung noch unbeſtimmt, und es laſſen ſich daher dur ch dieſen Punkt unzaͤhlige gerade Linien legen. §F. 79. Die allgemeine Gleichung der Linien der zweyten Ord⸗ nung laͤßt fuͤnf Beſtimmungen zu [§. 75.], und wenn alſo eine Linie der zweyten Ordnung durch fuͤnf beſtimmte Punkte gehen ſoll, ſo iſt dadurch dieſe Linie durchaus beſtimmt. Es kann daher durch jede fuͤnf gegebene Punkte nicht mehr als eine einzige Linie der zweyten Ordnung gelegt werden; aber wenn wenn le weyt Puntt tied Pot ſonde denn zwey ſche Art ge ini hicht me Vabeche dielP 1 —— on aun de ftünden Auch uech deey eAudeen, gehen ſol, n alſo Nie he gehen mnungen, liit, e einzige, e der eſn immmungen. ung, oder ne Punkte, nen gegee enen, wie Rnnoder Geicwrg nßh iſn ehten nmnaſt tehuntn nmt. G nehe 46 hnn, AN ven Von den vornehmſten Eigenſchaften der Linien ꝛc. 57 wenn nur vier, oder noch weniger Punkte beſtimmt ſind, ſo laſſen ſich dadurch unzaͤhlige Linien legen, die alle zur zweyten Ordnung gehoͤren. Liegen drey von den gegebenen Punkten in einer geraden Linie, ſo findet man, da keine Linie der zweyten Ordnung von einer geraden Linie in drey Punkten geſchnitten werden kann, keine continuirliche Curve, ſondern eine complexe Linie, oder zwey gerade Linien, denn dieſe ſind nach §. 65. in der allgemeinen Gleichung des zweyten Grades enthalten. M §. 80. M . Da ferner die allgemeine Gleichung der Linien der drit⸗ ten Ordnung neun Beſtimmungen zulaͤßt, ſo kann man durch jede neun nach Belieben angenommene Punkte eine Linie der dritten Ordnung, aber auch nicht mehr als eine legen; iſt hingegen die Anzahl der gegebenen Punkte klei⸗ ner, ſo ſind unzaͤhlige Linien der dritten Ordnung moͤglich, die insgeſammt durch dieſe Punkte gehen. Auf eine aͤhn⸗ liche Art laͤßt ſich durch jede vierzehn Punkte nicht mehr als eine Linie der vierten Ordnung, durch jede zwanzig Punkte nicht mehr als eine Linie der fuͤnften Ordnung legen, ꝛc. Ueberhaupt werden die Linien von der Ordnung n durch ſo viel Punkte beſtimmt, als die Formel — 2) = S 3 Einheiten hat, ſo daß, wenn die Anzahl der gegebenen Punkte kleiner iſt, dadurch unendlich viele Linien von eben dieſer Ordnung gelegt werden koͤnnen. §. 8r. S Wenn alſo nicht mehr als — Punkte gegeben wer⸗ den, ſo kann man dadurch allemal eine oder unzaͤhlige Li⸗ D § nien 58 Zweytes Buch. Viertes Capitel. nien von der Ordnung n legen; eine, wenn die Anzahl der , gegebenen Punkten = „unzaͤhlige, wenn dieſelbe kleiner iſt. Es kann aber dieſes, wie auch immer dieſe Punkte gegeben werden moͤgen, nie unmoͤglich werden, weil man bey der Beſtimmung der Coefficienten =, g, 7, ꝛc. nie quadratiſche oder hoͤhere Gleichung aufzuloͤſen hat, ſondern alle dabey vorkommende Gleichungen einfach ſind. Man ſindet daher fuͤr die Groͤßen «, s, „, 9, ꝛc. nie, we⸗ der imaginaͤre noch vielfoͤrmige Werthe, und es muß folg⸗ lich jede reelle Linie durch die gegebenen Punkte gelegt wer⸗ den koͤnnen, aber auch nie mehr als eine, wenn ſo viel Punkte gegeben ſind, als die allgemeine Gleichung Beſtim⸗ mungen zulaßt. Da die Axe nach Belieben angenommen werden kann, ſo erleichtert man ſich die Beſtimmung der Coefficienten „„“, 8, 7, ⁹, ꝛc., wenn man dieſelbe durch einen von den gegebenen Punkten legt, und eben dieſen Punkt A den An⸗ fangspunkt der Abſciſſen ſeyn laͤßt. Thut man dieſes, ſo muß, wenn man X =o ſetzt, auch y = o ſeyn, und es wird daher in der gegebenen allgemeinen Gleichung o = & T 8 K T† 7 y T ϑX2 † sX y † & V2 † „X 3 † ꝛc. ſogleich 4„ = 0. Außerdem kann man die Axe auch noch durch einen andern von den gegebenen Punkten legen, und auch hierdurch wird die Anzahl der Groͤßen, wodurch die Lage der gedachten Punkte beſtimmt wird, vermindert. Endlich kann man ſtatt rechtwinkliger Coordinaten ſolche ſchiefwink⸗ lige nehmen, daß auch die durch den Anfangspunkt der Ab⸗ ſeiſſen gezogene Applicate durch einen von den gegebenen Punkten gehe, indem ſich ſowohl die Natur als die Con⸗ Kru⸗ ſtuet giebt ordin Erl den, d X, B e inde ſen Nge laten⸗ und! parel Dd nuine um Gr nn dicſe⸗ immer e 9 wer den, ,vr. lbſen 1 hot, in de⸗ tden kunn, leffienten 1 tn N 4 den A⸗ o, 6 Von den vornehmſten Eigenſchaften der Linien ꝛc. 9 ſtruetion einer Curve gleich leicht aus ihrer Gleichung er⸗ giebt, es moͤgen dabey rechtwinklige oder ſchiefwinklige Co⸗ ordinaten zum Grunde liegen. J§. 83. Soll z. B. die Linie der zweyten Ordnung gefunden wer⸗ den, die, Fig. 18, durch folgende fuͤnf gegebene Punkte, A, B, C, D und E gelegt werden kann, ſo ziehe man die Axe durch zwey von dieſen Punkten A und B, und nehme in dem einen von ihnen, A, den Anfangspunkt der Abſciſ⸗ ſen. Dann ziehe man von A nach dem dritten Punkte C die gerade Linie AC, laſſe den Winkel CA B den Appli⸗ caten⸗Winkel ſeyn, und ziehe folglich aus den Punkten D und E die geraden Linien D d und Ee nach der Axe mit AC parallel. Setzt man nunmehr A B= a; AC= b; Ad= c; Dd= d; Ae= e und Ee = f; und legt dabey die allge⸗ meine Gleichung der Linien der zweyten Ordnun ig = 2† Sà 7y F àx= †⸗xy † &y⸗ zum Grunde, ſo wird, wenn man die Abſeiſſe ſetzt, die Applicate X+ — O₰ V — O X = 0 y — b X — 4 V — O = cC y = d X e y = f Hieraus ergeben ſich folgende fuͤnf Gleichungen: 1I. O = II. o = H † „b † 5 bz III. o = s † ga † αα— IV. o = « † &ε & † »d † àca † s. d † & dz V. 0 — „ † ge † Yf † ϑe* T sef † ofe⸗ und 60 Zweytes Buch. Viertes Capitel. urnd es iſt alſo = 0; 7„ = — éb; und s = — a. Bringt man nun dieſe Werthe in die uͤbrigen Gleichungen, ſo wird 0 = – òà c — ö bd † Fce †:cd gda o = — da e — bf † dee † ef † ff. Man multiplicire die erſte von dieſen Gleichungen mit ef und die andere mit cd, und ziehe, um ⸗wegzubringen, die zweyte von der erſten ab, ſo bekommt man, = — Jacef — & bdef † èccef † ddef † aꝶ¶ IG—1nue † Obedf-—cdee — S ff oder „ badef — bedf — ddef † cdff acde — acef – cdee † ccef. Hieraus aber fließt à = 4f (be — be — de † c), „S= ce (ad — af — de † cf) und hiernach laſſen ſich alſo alle Coefficienten beſtimmen. §. 84. Sind auf dieſe Art alle Coefficienten der allgemeinen Gleichung, 0 = g P β Xx T† Yy T† 2 † ⸗X y † y2 be⸗ ſtimmt, ſo kann man die durch dieſe Gleichung ausgedruckte Curve uͤber der angenommenen Axe mit Beybehaltung des entſtandenen Coordinaten⸗Winkels durch unzaͤhlige Punkte, die ſich aus der Gleichung finden laſſen, legen, und dieſe urve wird zugleich durch die gegebenen Punkte gehen. Laͤßt die allgemeine Gleichung mehr Beſtimmungen zu als Punkte gegeben ſind, ſo kann man die uͤbrigen nach Be⸗ lieben annehmen „ und darauf die einzelnen Punkte der Curve Crv nd Ahe Vuth — 3 7— eden Medr N R erk 2) , dichmng, en nit el nen die inmen lyontiner G: 6H edevckte dung de Puntte d Re Von den vor n Ei vornehmſten Eigenſchaften der linien c 6 Curve aus der auf dieſe Art beſti Gurve ans der au dieſ. Art benimmten Gleichund fude d ſo die Curve beſchreiben. Man zuf aber gu finden, er hierbey der Abſciſſe na nach und nach mehrere ſowohl poſitive als . negative Werthe, z. — 3, H 2, 3/ 4, 5, 6, 2c. und — I beylegen, und zu einem jeden dieſer W ⸗ er⸗ 2 U dieſe Art fin der Bahe gen t man mehrere Punkte der Curve, die ei ug liegen, um den Gan dle einan⸗ zu erkennen. den Gang der Curve daraus Fuͤnftes Capitel. Von den Linien der zweyten Ordnung. §. 85. Dea die erſte Ordnung der Linien bloß die gerade Linie in ſich faßt, und die Natur dieſer Lime ſchon aus der Ele⸗ mentar⸗Geometrie hinlaͤnglich bekannt iſt, ſo wollen wir nun die Linien der zweyten Ordnung genauer betrachten, weil dieſe Linien unter den Curven die einfachſten ſind, und durch die ganze hoͤhere Geometrie den groͤßten Rutzen ge⸗ waͤhren. Es zeichnen ſich aber dieſe Linien, die man auch Kegel⸗Schnitte nennt, durch eine Menge ſehr merkwuͤr⸗ diger Eigenſchaften aus, die ſchon den Alten nicht unbe⸗ kannt waren, von den Reuern aber ſehr vermehrt worden ſind. Die Kenntniß dieſer Eigenſchaften iſt eine ſo wichtige Sache, daß viele die Erklaͤrung derſelben ſogleich nach der Elementar⸗Geometrie folgen laſſen. Da ſie indeß nicht alle aus einerley Quelle fließen, ſondern einige ſich aus der Gleichung ergeben, andere ſich finden laſſen, wenn man jene Linien als Schnitte eines Kegels betrachtet, und noch andere wieder auf andern Wegen entdeckt werden, ſo wol⸗ len wir hier nur diejenigen Eigenſchaften betrachten, die man mit Beyſeitſetzung der uͤbrigen Huͤlfsmittel bloß aus der Gleichung zu finden im Stande iſt. 1§. 86. ſo erhel Pder get den Wu⸗ — 0 Mpplia ſokunn Venn (tt, ven Punkten) Vueln I3 atnegeſe Aimpn Men d ſachen Nhe Dn niht unie⸗ d wdn 5 rie e i gtis nc ſ ineh ni ſich aut wenn R N e/ n, ſo no R‚ Von den linien der zweyten Ordnung. 63 Wir betrachten alſo die allgemeine Gleichung der Linien der zweyten Ordnung, nemlich 0 = * † 6X † Xy † 3X2 † ⸗Xy † &y, von der wir ſchon gezeigt haben I§. 54.] daß ſie, und zwar bey jedem Applicaten⸗Winkel, alle Linien der zweyten Ord⸗ nung in ſich faſſe. Giebt man derſelben folgende F Form, ””Mcä e . — ſo erhellet daraus, daß zu jeder Abſeiſſe x entweder zwey oder gar keine Applicaten y gehoͤren, je nachdem die bey⸗ den Wurzeln von y entweder reell oder imaginaͤr ſind. Iſt *½ = o ſo kommt zwar jeder Abſciſſe nicht mehr als eine Applicate zu, aber weil alsdann die andere unendlich wird, ſo kann dieſer Fall unſere Unterſuchung nicht ſtoͤren. §. 87. Wenn beyde Werthe von » reell ſind, und dies ſ ndet ſtatt, wenn die Applicate P M N, Fig. 19, die Curve in zwey Punkten M und N ſchneidet, ſo iſt die Summe der beyden Wurzeln exX — — — „ —.6— 2 PM † P N = — vorausgeſetzt, daß die gerade Linie AEF die Axe, A dee Anfangspunkt der Abſciſſen, und APN der Winkel iſt, unter welchem die Applicaten die Axe ſchneiden. Zieht man alſo unter eben dem Winkel eine andere Applicate npm, deren Werth pm negativ iſt, ſo iſt aus eben dem Grunde MðMM H und 64 Zweytes Buch. Funftes G Caditel. und die Differenz zwiſchen dieſer und der vorhergehenden 0 Gleichung alſſ. N PM rEtrN- =Atza W enn man daher aus m und n nach der erſten Applicte PMN gerade, der Axe parallele, Linien zieht, welche die PNAN ſf in den Punkten „ und⸗ betreffen, ſo iſt M nint AI: m P p M † N= = —D, oder * edi M † N,: P p (oder m oder n;) = :: 5° cx,t Es bleibt nemlich dieſes Verhaͤltniß ſtets daſſelbe, man mag Don die Linien M N und mn in der Curve ziehen, wo man will, Prit wenn ſie nur die Axe unter dem angenommenen Applicaten⸗ 11 Winkel ſchneiden, und die geraden Linien n⸗ und m der 11S Axe parallel 8 gezogen werden. in Mhere Wenn Fig. 20. die Applicate P MN ſo weit fortgeruͤckt iie . wird, bis die Punkte Mund N zuſammenfallen, ſo beruͤhrt littt, ſ⸗ die Applicate die Curve; denn wenn die beyden Durch⸗ molge ſchnittspunkte zuſammenfallen, ſo verwandelt ſich die Ap⸗ plicate, welche ſonſt die Curve ſchneidet, in eine Tangente. Es ſey K CI eine ſolche Tangente, und ihr parallel ſeyen dr in beliebiger Anzahl gerade Linien M N, mn, welche der * Curve auf beyden Seiten begegnen, ſo wie aus den Punk⸗ aſe ten M, N, m und n nach der Tangente die geraden Linien MI, NK, und mi, nk der vorhin angenommenen Axe pa⸗ rallel gezogen. Da hier CK, c k auf die entgegenſtehende Seite des Punktes C fallen, ſo muß man ſie negativ neh⸗ men, und es iſt demnach NRte CcI — CK: MI = ⸗‧: °, und ir! Ci — Ck: mi =⸗ e: folglich el 2 n Mlcate Gediene „ ſe, Man o man wil, Myylicaten⸗ d wp N gerüct 1 u int den Duc⸗ 16 de e Tongdnt ynla ee nelhe der dencnt⸗ d lpien nen Ne ⸗ ene ſſende 4 eh⸗ Von den kinien der zweyten Ordnung. 65 cI — CK: MI = Ci — Ck: mi, oder MI : mi = cI — CK : ci—Ck. Da die Lage der Axe in Ruͤckſicht auf die Curbe willkuͤhr⸗ lich iſt, ſo wird allemal, wie man auch die Linien MI, N K, mi, nk zieht, wofern ſie nur einander parallel bleiben, MI: mi = CI – CK: Ci — Ck ſeyn. Zieht man daher die Linien MI und NK ſo, daß CI = CK wird, oder der CL, welche, aus dem Beruͤhrungspunkte C gezogen, die Ordinate M N in L in zwey gleiche Theile theilt, parallel: ſo wird CI — CK = o, und folglich auch Cci — Ck = mi . 2 B 1 (CI — CF) = o. Verluaͤngert man alſo CL. bis in l, ſo wird, weil auch mi und nk der C parallel ſind, mI = Ci, und n1 = Ck, und folglich ml = nl. Wenn daher eine durch den Beruͤhrungspunkt C gezogene gerade Linie CLI eine der Tangente parallele Ordinate M N hal⸗ biret, ſo halbiret dieſelbe auch alle uͤbrige dieſer Tangente parallele Ordinaten mn. F. d0. Da die Linie C LI, Fig. 20, alle der Tangente ICK parallele Ordinaten in zwey gleiche Theile theilt, ſo pflegt man ſie einen Durchmeſſer der Linie der zweyten Ord⸗ nung oder des Kegelſchnitts zu nennen. Es laſſen ſich da⸗ her in jeder Linie der zweyten Ordnung unzaͤhlige Durch⸗ meſſer ziehen, weil es fuͤr einen jeden Punkt dieſer Linie eine Tangente giebt. Die Tangente ICK mag nemlich ge⸗ geben ſeyn, wo ſie will, ſo wird allemal, wenn man M N der 1CK parallel zieht und in L halbiret, die gerade Linie CL alle der IK parallele Ordinaten in zwey gleiche Theile Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. Il. D. E theilen —UN Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel. theilen, und folglich ein Durchmeſſer der Linie der zweyten Ordnung ſeyn. §. 91. Hieraus folgt auch, daß die gerade Linie LI, welche irgend zwey einander parallele Ordinaten M N und mn in zwey gleiche Theile theilt, ebenfalls alle uͤbrige der M N: und mu parallele Ordinaten in zwey gleiche Theile theilen werde; indem es irgendwo eine der M N und mn parallele Tangente [K, und fol glich einen Durchmeſſer geben muß. Hieraus laͤßt ſich eine andere Methode ableiten, in einer gegebenen Linie der zweyten Oednung unzaͤhlige Durchmeſ⸗ ſer zu finden. Zieht man nemlich nach Belieben zwey ein⸗ ander parallele Ordinaten oder Sehnen M N und mn, und halbiret dieſelben in Lund 1: ſo halbiret die durch L und 1 gelegte gerade Linie auch alle uͤbrige der M N und mn pa⸗ rallele Ordinaten, und iſt folglich ein Durchmeſſer. Wenn dabey der Durchmeſſer, verlaͤngert, die Curve in C trifft, ſo beruͤhrt die durch C den Ordinaten parallel gezogene gerade J Linie IK die Curve in dem Punkte C. K. 92. Zu dieſen Eigenſchaften hat uns die Betrachtung der Summe der beyden Wurzeln von y in der Gleichung (X † -) XX † β † vi N e e das Produtt beyder Wur geln P M. PN ( (Fia 19): — x t ere Ax1XI „ entweder zwey reelle Wurzein oder nicht. Jenes findet Katt, wenn die Curve von der Axe in zwey Punkten E und F ge⸗ iſt, und dieſer Ausdruck ” hat die Ap⸗ wofetn W ſaſ, Umede werden ODin PM., de llt we hotolel WM.d Wen gegel El, valhe Und mn in e der N hele theilen geben n. n, in ee Durchmneß⸗ 1 ſrcn ein⸗ d un, M dort Lunl dan dͦ ſe. Wumnng 1 ſft ſ egenegende utung d 9 a, N * 4 th nes fide en 3 Mr 8 Von den linien der zweyten Ordnung. 67 geſchnitten wird. Denn weil alsdann y = o wird, ſo iſt XX T $ X T 5 und AF die Wurzeln von x. Hieraus fließt lnach Th. I. Cap. 2. F. 29.] XX † £ X † & 0 ) EF weil = A P iſt; und man hat folglich allezeit = o: und es ſind demnach AE dann auch „ PM. P N = 5 PE. PF, oder PM. P N : PE. P F = ): &, die Applicate PM N mag gezogen werden, wo man will, wofern nur der Winkel N PF dem angenommenen Applica⸗ ten⸗Winkel gleich iſt. Zieht man alſo die Applicate mn, ſo iſt, da Ep und pm negativ ſind, F. Pu „ pFE. ÿPf K. 93. Schneidet alſo, Fig. 21. eine gerade Linie PEF eine Linie der zweyten Ordnung in den Punkten E und F, und werden auf dieſelbe in beliebiger Anzahl einander parallele Ordinaten N M P, npm gezogen, ſo iſt allemal PM. PN : PE. PF= pm. pn: pE. pF = à: % Und da die Lage der Axe willkuͤhrlich iſt, ſo iſt auf aͤhnliche Art, wenn man PM N die Axe ſeyn laͤßt, und e gr der PE F parallel zieht, PM. PN: PE. PF = qM. q N: qe. q= =pm. pn: pE. p und folglich qeqf: pE. pF = q M. q N: pm. pn Wenn alſo zwey einander parallele Ordinaten ef und E F gegeben ſind, und zwey andere unter ſich parallele Ordina⸗ E 2 ten 68 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitei. ten MN und m n ſo gezogen werden, daß ſie jene in den Nc Punkten P, p, q und r. ſchneiden: ſo iſt allezeit M PM. PN: Pk. Pf = pm. pn: pF. pf= qM. N: qe. q’ — TrM Tn :re rf und dies iſt die zweyte Haupteigenſchaft der Linien der unn zweyten Ordnung. ”MUD H V id, Wenn die beyden Punkte M und N zuſammenfallen, ſo tndn beruͤhrt die Linie P M N die Curve in dem Punkte, wo ſol⸗ ches geſchiehet, und es verwandelt ſich alsdann das Rechteck PM P N in das Quadrat von P M oder PN. Hieraus laͤßt ſich eine neue Eigenſchaft der Tangenten ableiten. Be⸗ e euͤhrt nemlich, Fig. 24, die Linie CPp die Linie der zwey⸗ Rede ten Ordnung in dem Punkte C, und zieht man in beliebiger Nän Anzahl unter einander parallele Linien P M N, pm n unter lini⸗ einem und demſelben Winkel auf die Tangente CPp: ſo iſt Nten nach der eben angefuͤhrten Behauptung . ergin⸗ PC2 : PM. PN=pC2 : pm. .p n, d. h. Pakte wenn eine Ordinate M N die Tangente unter einem gege⸗ hudt⸗ Ddeenen Winkel trifft, ſo hat allezeit das Quadrat C Pz zu derg dem Rechtecke P M. PN ein beſtaͤndiges Verhaͤltniß. derſt 4 JMä ſuoch . 95. ha Hieraus folgt auch, daß, wenn, Fig. 20, ein Durch⸗ d meſer CD einer Linie der zweyten Ordnung, der alle unter dn einander parallele Ordinaten M N, mn in zwey gleiche ininn Theile theilt, der Curve in den Punkten C und Dd begegnet, CL. LD : LM. I. N = C. 1D: Im. In n. iſt. Da aber I. M = LN und Im = In, ſo wird hieraus ine LMa : Ima = CL. LD: CI. 1D nd d. d h. das Quadrat der halben Ordinate L. M hat zu dem Recht⸗ ne der N: ge⸗ Uinien der en Durch Fle tr deh geihe lch Von den! inien der zweyten Ordnung. 69 al Rechtecke CL. 1De n heſt aͤndiges Verhaͤltniß. Nimmt man daher den Durchmeſſer CD zur Axe, und die halben Ordinaten L. M zu den Applicaten an: ſo ergiebt ſich hieraus eine Gleichung fuͤr die Anien der zweyten Ordnung. Setzt man nemtich den Durchmeſſer C D= a, die Abeiſſe CL= x, und die Applicate L. = y, ſo ſteht, weil dann LD=a—X wird, y2 mit a X — x in einem beſtaͤndigen Verhaͤltniſſe. Druckt man daſſelbe durch h: k aus, ſo erhaͤlt man für die Linien der zweyten Ordnung die Gleichung: OMYMB h YY= - (a x — X *). §. 96. Betrachtet man die beyden gefundenen Eigenſchaften in Verbindung mit einander, ſo gelangt man dadurch zur Ent⸗ deckt D anderer E Eigenſchaften. Es ſeyen, F ig. 22, in einer Linie der zweyten Ordnung zwey einander parallele Ordi⸗ naten A; und C gezogen, und darauf das Viereck ACD E ergaͤnzt worden. Zieht man nunmehr aus einem beliebigen Punkte der Curve M die Ordinate M N mit A B und CD parallel, welche folglich die geraden Linien AC und B D in den Punkten P und Q ſchneiden wird: ſo ſind die Theile derſelben PM und Q N einander gleich. Es theilt nemlich [nach §. 91] die gerade Linie, welche die Ordinaten A B und CD halbirt, auch die Ordinate M N in zwey gleiche Theile, und eben das muß ſie nach der Elementar⸗Geometrie mit dem Stuͤcke PC thun. Da alſo die Linien M N und P Q in einem und demſelben Punkte halbiret werden, ſo muß MP = N Q, und MQ = NP ſeyn. Kennt man daher außer den vier Punkten A, B, C, D einer Linie der zweyten Ordnung noch einen fuͤnften M, ſo findet man daraus den ſechsten N, wenn man NQ= =S M P macht. E 3 . 97. W: 70 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel. §. 97. Da alſo MQ. QN zu B Q. D Q ein beſtaͤndiges Ver⸗ haͤltniß hat, ſo muß auch, da Q N = MP iſt, MP. MQ zu B Q. D Q ein beſtaͤndiges Verhaͤltniß haben. Zieht man nemlich durch einen andern Punkt der Curve c die gerade Linie G cH den Linien A B und CD parallel, und ſo weit ver⸗ laͤngert, bis ſie den Seiten AC und BD in G und H be⸗ gegnet: ſo hat auch c G. c H zu B H. D H eben daſſelbe be⸗ ſtaͤndige Verhaͤltniß, und es iſt folglich c G. c H: B H. D H = M P. MQ: B C. D Q Wenn aber durch M der Grundlinie BD parallel die Linie RMS gelegt wird, welche den parallelen Ordinaten à B und CD in Kk und s begegnet: ſo iſt auch, das B Q = MR und D° = MS, das Verhaͤltniß MP. MQ: MR. M S ein beſtaͤndiges Verhaͤltniß. Wenn al iſo durch irgend einen Punkt der Curve M zwey gerade Linien gezogen werden, davon die eine MP Q den gegenuͤberſtehenden Seiten A B und CD, die andere R MS aber der Grundlinie B D parallel iſt, ſo ſind die Durchſchnittspunkte P, Q, R und 8 ſo be⸗ weil Rs der BD parallel und gleich iſt. Ferner hat man, da ſchaffen, daß MP. M Q zu M KR. MS ein deſtaͤndiges T Ver⸗ haͤltniß hat. §. 98. Wenn anſtatt der Ordinate CD, die der A B parallel war, ir gend eine andere Ordinate Dc genommen, u und die Sehne Ac gezogen wird, ſo daß die den Seiten AB und B D parallelen Linien M Q und R MS die Seiten des Vier⸗ ecks A BDc in den Punkten p, Q, R unds ſchneiden: ſo findet eine aͤhnliche Eigenſchaft ſtatt. Denn einmal iſt MP. MQ : B Q. D Q— =CG. Cc H : B H. D H, oder MP. M Q: MR. MS = C G. c H : B H. D H, 1 N ſpie hotherg MI! und ar nachſe ctgied ennehr MX. XS ver Phin Momn ſhi NN e den ben 90 die Linie incten A3 D Nd d ſol⸗ e Rorz, ge , Von den linien der zweyten Ordnung. 71 AA Pp ι AA Gc, und AD GS AcHb iſt, Pp: A P = Gc: A G, oder, da A P: AG= B Q: B H, Pp: B Q (MR) = Gc : B H, und DS (MQ : SSs = c H: D H. Hieraus fließt MQ. Pp: MR. SS= cG. c H: B H. D H, ſo wie ſich aus der Verbindung die ſer Proportionn mit der vorhergehenden MP. M Q: MR. MS= MQ. Pp : MR. SS und aus dieſer durch Addition der vorhergehenden und nachfolgenden Glieder MP. MQ: MR. MS = Mp. MQ: MR. Ms ergiebt. Man mag alſo in der Curve die Punkte e und M. annehmen wo man will, ſo iſt das Verhaͤltniß Mp . M Q: MR. Ms allemal daſſelbe, wofern nur die Linien M Q und Rs durch M mit den Sehnen A B und B b parallel gezogen werden. Nun fließt aber aus der letzten Proportion folgende: MP: MS= Mp: Ms; und da alſo, wenn man den Punkt c veraͤndest, bloß die Punkte p und s be kaͤndert werden, ſo bleibt bey aller Ver⸗ aͤnderung, die man mit c vornehmen mag, wenn M un⸗ veraͤndert beybehalten wird, das Verhaͤltniß Mp: Ms ſtets ein und eben daſſelbe. Sind in einer Linie der zweyten Ordnung, Fig. 23, vier Punkte A, B, C und b gegeben, und die Linien A B, B D, DC und CA gezogen, ſo daß ABCD ein in der Curve be⸗ ſchriebenes Biereck iſt: ſo findet man durch das Borhe ge⸗ hende die allgemeinſte Eigenſchaft der Kegelſchnitte. Zieht man nemlich aus irgend einem Punkte der Curve M nach den Seiten des in ihr beſchriebenen Trapeziums unter gege⸗ benen Winkeln die Linien MP, MQ, MR und MS, ſo ſind ECE 4 alle⸗ 2 Zweytes Buch. Saͤuftes Capitel. allezeit die Rech tecke zwiſchen je zweyen dieſer Linien, die nach gegenuͤberſtehenden Seiten gezogen ſind, in einem ge⸗ gebenen Verhaͤltniſſe; oder es iſt das Verhaͤl tniß MP. MQ: MR:. M S8 ſtets eben daſſelbe und gegeben, man mag den Punkt M annehmen wo man will, wofern man nur die Winkel bey P, Q, R und8 dieſelben bleiben laͤßt. Um ſich hiervon zu uͤberzeugen, ziehe man durch M die Linie Na der AB, und die Linie rs der B D parallel, und bezeichne die Punkte, in welchen dieſe Linien die Seiten des D Trapt⸗ ziums ſchneiden, durch die Buchſtaben p, q, r und s. Alsdann iſt nach dem Vorhergehenden Mp. M q zu Mr. Ms in einem gegebenen Verhaͤltniſſe. Da ferner alle Winkel gegeben ſind, ſo ſind auch die Verhaͤltniſſe MP : Mp, MQ: Mq, MR: Mr, und MS: Ms gegeben. Hieraus fließt, daß auch MP. M Q zu MR. MS ein gegebenes d Ver⸗ haͤltniß hat. §F. 100. Wir haben oben [§. 94] geſehen, daß, wenn, Fig. 24, parallele Ordinaten, M N, mn verlaͤngert werden, bis ſie einer Tangente CPp in bP und p begegnen, PM. PN: CPz = pm. pn: Cp= iſt. Rimmt man daher die Punkte l. und 1 ſo, daß PL die mittlere Proportional⸗Linie zwiſchen PM und P N, und pl die mittlere Proportional⸗Linie zwi⸗ ſchen pm und pn wird: ſo iſt PLa: CPz = pl?: Cpz, und folglich PL: CP = pl: Cp; woraus erhellet, daß alle Punkte L, 1 in einer geraden Linie liegen, die durch den Beruͤhrun gopunkt C geht. Wenn daher eine Applicate PM N ſo in I. geſchnitten wird, daß PLZ = PM. P N iſt, ſo theilt die gerade Linie CLD, welche durch die Punkte C und I. ge⸗ zogen wird, auch alle uͤbrige Applicaten ſo in l, daß b! die mittlere Proportional⸗ Linie zwiſchen p m und pn iſt. Rot Oedoun nen get ſelcher deckung Agens lir, e n. Hrn ; z6 Nyr gebenes n enn, o cen, No/ ſt .N: C Ni n inie zp ſe eline pod 9l¹: 09* , De kud ...) 1 dieunte⸗ ten ſo n n n Von den linien der zweyten Ordnung. 73 iſt. Und wenn zwey Appliecaten P N und ꝓpn ſo in L und 1 geſchnitten werden, daß P Lz = PM. P N, und plz = pm. pn iſt, ſo geht die gerade Linie Ll verlaͤngert durch den Beruͤhrungspunkt C, und ſchneidet alle uͤbrige Appli⸗ caten, die der PM N und pmn para llel ſind, in eben dem Verhaͤltniſſe. Nachdem wir dieſe Eigenſchaften der Linien der zweyten Ordnung, die aus ihrer Gleichung unmittelbar fließen, ken⸗ nen gelernt haben, ſo wollen wir uns zur Unterſuchung ſolcher Eigenſchaften dieſer Curpen wenden, deren Ent⸗ deckung etwas mehr Nachdenken erfordert. Iſt alſo die allgemeine Gleichung fuͤr die Linien der zweyten Ordnung, C DxX † X gegeben, nach welcher zu jeder Abſeiſſe A P = = (Fig. 25) eine doppelte Applicate y, nemlich P M und P N, gehoͤrt: ſo laͤßt ſich die Lage des Durchmeſſers, der alle Ordinaten M N in zwey gleiche Dheile theilt, beſtimmen. Es ſey I G dieſer Durchmeſſer, der folglich die Ordinate M N in dem Halbirungs⸗Punkte L. ſchneiden, und dieſen Punkt mit der M N gemein haben wird. Man ſetze PL = 2, ſo iſt, da Sl — X — 7 — £ PM † 2æ P N iſt, — — - oder 2 62 † =X † † = o; und durch dieſe Gleichung wird die Lage des, Durchmeſſers beſtimmt. §8. 102. Auch laͤgt ſich daraus ferner die Laͤnge des Durchmeſſers 16 (Fig. 25) finden, wodurch man die beyden Stellen der E § Curde 74 Zweytes Buch. Fuͤnftes Caritel. Curve kennen lernt, wo die Punkte M und N zuſammen⸗ fallen, oder wo P M = PN wird. Es iſt nemlich aus der gegebenen Gleichung (§. 87 und 92] — rr und PM. PN= AX =; 2 2 und folglich, Iwenn P M = P N 'iſt,] (PM — P N) 2 = (P M † P N) 2 — 4 P M. P N = L.—XT 2— 2 2) 2 † 2— 42) PMYTPNZ= ao: oder 2 (285 — =v*) „ — 4 a0 è und die Wurzeln dieſer Gleichung ſind A K und AK, ſo daß 2⁄7% AK fAH= — 5 und — 44 ⁶ AK. 1n= — 5* wird. Hieraus fließt (A H — A K) 2 = K Ha = 0222— ) 2 — 4 (²* — 4 ⁹) 22—422) (⸗ 5 — 4 %%) 2 und dabey iſt 1 †4 66 162 = K He 4 °6 indem die Applicaten auf der Axe ſenkrecht angenommen werden. §. 102. Es ſeyen die Applicaten, die wir bisher betrachtet ha⸗ ben, auf der Axe A H (Fig. 25) ſenkrecht, und daraus nun⸗ mehr eine Gleichung fuͤr ſchiefwinklige Applicaten zu finden. Man ziehe aus einem Punkte der Curve M die Applicate Eett 6 hene ſwi es he⸗ gun⸗ nden⸗ M Von den linien der zweyten Ordnung. 75 Mp unter dem Winkel MPH ſchief auf die Axe, und ſetze ſin. Mp H = «, und coſ. Mp H = ö. Ferner ſey die neue Abſciſſe Ap = t, und die Applicate p M = u. Alsdann iſt = „, und 1 = „, und folglich U U y = Au, und X = t † u. Setzt man aber dieſe Werthe in die zwiſchen und y gege⸗ bene Gleichung, o = « † 6x † Yy † àXX † X† &V*⅜ν ſo wird 0 = a † 8t † „»3u†6&tt † 2 t u † „„ u † „ανH † stu † α U k* „αα6 oder 5ñäe „S) u † Dtt t Ees T ers 11 3 9. I04. Hier hat wieder jede Applicate einen doppelten Werth, nemlich p M und pn, und es laͤßt ſich daher der Durch⸗ meſſer ilg der Ordinaten Mn auch wieder wie vorhin be⸗ ſtimmen. Theilt man nemlich die Ordinate Mn in I in zwey gleiche Theile, ſo liegt der Punkt 1 in dem Durchmeſſ er; und ſetzt man pl = v, ſo wird PMTPDN= — (a: T. 2 9) t — 47 — p8 E 2 (K Aσ † Kανsς† vr) Faͤllt man ferner aus 1 die Linie 14 auf die Axe A H ſenk⸗ recht herab, und ſetzt dabey Aq = p, 1e ſo wird * „= 2, und = — = — ; folglich 4 4 V = —; und t = — V=b — —. * 1 2 HW Bringt 1pOo — AOl, und folglich ſeine Tangente, oder X „76 Zwepytes Buch. Fuͤnftes Capitel. Bringt man dieſe Werthe in die vorhin zwiſchen t und geſundene Gleict ung, ſo erhaͤlt ma 2 r:2 2r h ira it a-23: 4 — . r — 1 * 2 ℳ † 2 6 † 21v 9 — oder Guzèo.) q † ( s † 2 %) p † r = 0 oder B (an? †v"a) r (u= † 2,) p t a**ε und durch dieſe Gl Lichung k wird die dage des Durchmeſſers ig beſtimmt. 9. 105. Nun ſchneide der erſte Durchmeſſer 16, deſſen Lage durch die Gleichung 2 62 † =2 † 7 = o [§. 101] beſtimmt wurde, verlaͤngert, die Axe in O, ſo wird 40 = = 5= und folglich ?O = — — x, und 65 — 2 tang. LO P = = — — = 26 und tang. MLG = —. P0O +2 2 2 82 Ferner treffe der andere Durchmeſſer ig, verlaͤngert mit der Axe in o zuſammen, ſo wird — 2 — Z “ † 2 JJ 1 8 AO = – – Und tang. Aol = s † 2 % 4. 8 24 †r Da mun tang. AO I. = — iſt, ſo ſchneiden ſich die bey⸗ den Durchmeſſer IG und ig einander in irgend einem Punkte C, und machen einen Winkel OCo = A 01 — AO L., und es iſt demnach 4 % — s e 4 4 %%† 2rde † 21s% †s tang. OCπo — Der Winkel hingegen, unter welchem der zweyte Durch⸗ meſſer ig ſeine Ordinaten halbirt, iſt M1o = 180⁰ — tang⸗ ung , kage fünme ,kep einem 01— 1;: Von den linien der zweyten Ordnung. 7 2 % ε & † 2 % y *s T† 2 5pÜ SGb e *XX) E⸗ † 2 % — 2 ℳ% * — v» pJs tang. MI Oo = *) Da nemlich, aus der Gleichung am Ende des vorhergehen⸗ — u7 — 16 – (2 K ε£ Tv„ . 1. 8 iſt, ſo 5 † 2½ den §, A q = p = 1 „ † 2 AOlI = =— — = — . q0 AO – Aꝗ 2 “6° † s *) Dieſe Beſtimmung ergiebt ſich aus tang. (« — 6⁶) = tang. „ –— tang 6 D wenn man tang. „ = tang. AOIl, 1I † tang. 4. tang. 6⁶ und tang. 8 = tang. AO L. macht. **) Es iſt nemlich tang. Mlo = tang. (1800 — lIpo — Aol) tang. (1800 — 1p0) — tang. AOI —, und tang. 1 † tang. (1800 — 1po0). tang. AOI . (1900 — 1p o) = —– tang. Ipo= — 6. 5 §. 106. Fetzt wollen wir den Punkt C betrachten, in welchem ſich die beyden Durchmeſſer 16 und ig ſchneiden. Faͤllt man aus demſelben auf die Axe die ſenkrechte Linie o0 herab, und ſetzt dabey AD= g; und CD =h; ſo wird, einmal, weil C in dem Durchmeſſer 1G liegt, V 2 6h†sg † Y† = 0 und zweytens, weil ſich C auch in dem Durchmeſer ig beſindet, (2 46 †v"¹) h † (4: † 2 ) g † uτ †" = o. Zieht man nun von dieſer zweyten Gleichung die erſte, durch & multiplicirt ab, ſo bekoͤmmt man „sh 78 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel. "th † 2rdg †"ς = o, oder h † 2g † 6 = o und aus der erſten und dieſer letzten Gleichung wird k= = eolalich = 5 — = — „folglich (2S — 4 %%g = 26 — 7*, und 286 — „ 2 7% — 2 — h — — — — 8 : und h — 4 ° Da in dieſen beyden Beſtimmungen die Groͤßen „ und , von welchen die Schiefe der Applicaten p Mn abhaͤngt, nicht mit vorkommen, ſo erhellet daraus, daß der Punkt C un⸗ veraͤndert bleibt, wie die Schiefe der gedachten Applicaten auch immer ſich andern mag. §. 107. Es ſchneiden ſich alſo die Durchmeſſer 106 und ig ſtets in demſelben Punkte C, und hat man denſelben einmal ge⸗ funden, ſo gehen alle Durchmeſſer durch ihn; ſo wie auch umgekehrt alle durch dieſen Punkt gezogene gerade Linien Durchmeſſer ſind, und daher alle unter einem gewiſſen be⸗ ſtaͤndigen Winkel gezogene Ordinaten in zwey gleiche Theile theilen. Da es alſo in jeder Linie der zweyten Ordnung nicht mehr als einen Punkt von dieſer Art giebt, und darin alle Durchmeſſer ſich ſchneiden, ſo pflegt man dieſen Punkt den Mittelpunkt der Linien der zweyten Ordnung zu nennen. Man findet denſelben aus der Gleichung = =† 6Ex † Yy † xx † -xy † eyy wenn man AD = . 5 . annimmt, und dabey CD= 2¾2 59 — £$s — —,5 2 macht. geſch di „Wey gt 0 u⸗ licaten binien De nit ſtole tt den ennen⸗ 09. Von den klinien der zweyten Ordnung. 79 §K. 108. Nun haben wir oben S. 102] gefunden, daß AK † AH = 46 — ſey, und dabey ſind I K und H aus den End⸗ s — 355 punkten des Durchmeſſers 16 auf die Axe ſenfrecht herab⸗ AKTAHI gefaͤllt. Hieraus erhellet, daß AD = —— iſt, und daß alſo der Punkt D in gleicher Entfernung von K und H in der KH liegt. Es liegt daher auch der Punkt C in der Mitte der Durchmeſſers I06, und da dies auch von jedem andern Durchmeſſer gilt, ſo ſchneiden ſich nicht nur alle Durchmeſſer in einem und demſelben Punkte, ſondern ſie theilen ſich auch einander insgeſammt in zwey gleiche Theile. K. 1009. Nun ſey, Fig 26, irgend ein Durchmeſſer Al die Axe, und der Winkel, den die Ordinaten M N mit demſelben ma⸗ chen, oder APM, = q, ſein Sinus = m, und ſein Coſinus ☛n. Setzt man die Abſciſſe AP = x, und die Applicate PM = „, ſo verwandelt ſich, da die Applicate zwey gleiche entgegengeſetzte Werthe hat, deren Summe folg⸗ lich = o iſt, die allgemeine Gleichung fuͤr die Linien der zweyten Ordnung in folgende: yy = † $X † XX X und dieſe Gl eichung giebt, wenn man y = o ſeyn laͤßt, die Punkte der Axe G und 1, wo dieſelbe von der Curve geſchnitten wird. Es hat nemlich die Gleichung XX † † . = die beyden Wurzeln, = AG, und X = Al, und es iſt daher — £ —, und AG. AI = –. 2 7 Da 90 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel. Da nun der Mittelpunkt C in der Mitte des Durchmeſſers 61 liegt, ſo wird derſelbe leicht gefunden, indem AGTATI — 27 AC = §. I10. Kennt man den Mittelpunkt einer Linie der zweyten Ordnung C in der Axe AI, ſo nimmt man denſelben am fuͤglichſten zu Anfangspunkte der Abſeiſſen. Man ſetze alſo Cp S=t, ſo erhaͤlt man, da P M = „ bleibet, und = AC –— CP = — — t iſt, folgende Gleichung zwiſchen 2 % . — den Coordinaten t und y vy= ⸗— 2 186 — 6t 1 t 7tt oder 6 tt Fyy = a — Setzt man alſo » fuͤr t, man eine allgemeine Glei⸗ chung fuͤr die Linien der zweyten Ordnung fuͤr den Fall, wenn irgend ein Durchmeſſer zur Axe und der Mittelpunkt zum Anfangspunkt der Abſciſſen angenommen worden iſt, nemlich yy = ℳ — gXX Macht man alſo y» = o, ſo wird C( G = CI = V D und es iſt demnach der ganze Durchmeſſer GI = 2 V “ Setzt man = o, ſo findet man die Ordinate durch den Mittelpunkt, EF: es wird nemlich CE = E = e. und ind d Curbe und Odi⸗ Dure W Durch neſe hinnt eri Norch vndr den. beſhea nal Eige Non n Dura die⸗ Mecd Pen col. ſers lyten n an aſeo ſce Von den Linien der zweyten Ordnung. gr. und folglich die ganze Ordinate EF = 2 V . Da dieſe Ordinate durch den Mittelpunkt geht, ſo iſt auch ſie ein Durchmeſſer, [§. 107], der den Durchmeſſer I unter dem Winkel ECG = q ſchneidet. Es theilet aber dieſer zweyte Durchmeſſer EF alle Ordinaten, die dem erſten Durch⸗ “ meſſer OGI parallel ſind, in zwey gleiche Theile. Denn nimmt man die Abſciſſe CP negativ, ſo bleibt die zu ihr gehoͤrige nach I zu fallende Applicate der vorigen P M gleich; und da ſie ihr auch parallel iſt, ſo wird die gerade Linie durch die beyden Punkte M dem Durchmeſſer GI parallel, und muß folglich von EF in zwey gleiche Theile getheilt wer⸗ den. Es ſind alſo die beyden Durchmeſſer GI und EF ſo beſchaffen, daß jeder alle Ordinaten, die dem andern pa⸗ rallel ſind, in zwey gleiche Theile theilt, und wegen dieſer Eigenſchaft werden ſie zuſammengehoͤrige Durchmeſſer ge⸗ nannt. Wenn alſo in den Endpunkten G und 1 des Durch⸗ meſſers Ol gerade Linien gezogen werden, die dem andern Durchmeſſer EF parallel ſind, ſo beruͤhren dieſe Linien die Curve, und eben dieſes thun die geraden Linien, die durch die Punkte E und F dem Durchmeſſer 6 1 parallel gelegt werden. §. 911 §. 112. Nun ziehe man (Fig. 26) irgend eine ſchiefwinklige Ap⸗ plicate M Q., und ſetze dabey A Q M=; ſin. A Q M= ; coſ. A QM = ;-; die Abſciſſe C Q = t, und die Applicate MQ= u. Da in dem Dreyecke P M Q der Winkel PMQ= 9 — q, und alſo ſin. P MQ = An — -m iſt, [§. 128 des erſten und § 109 des zweyten Buchs], ſ verhaͤlt ſich y: u: PQ=: m: en — m und es wird alſo Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. 1. B. 5 7— . 82 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel. . 3 y = —; P0 = — und — ep x = t — PQ = t — E — Wn. m e Bringt man dieſe Werthe in die Gleichung yy = — βX, oder yy † 6xXx — 4 = o, §. I10, ſo wird (es † β (en – em) 2) uu — 2 βm (An — »m) tu † Omztt — Amze = O D Aus dieſer Gleichung ergiebt ſich fuͤr die Applicate u ein doppelter Werch, QM und — En, und es wird alſ 2£ m (uAn — m)t P g= T e(aν— m) 2 Theilt man man die Ordinate Mn in p in zwey gleiche Theile, ſo wird die gerade Linie Cpg ein neuer Durchmeſ⸗ ſer, der alle der Mn parallele Ordinaten halbirt, und dabey iſt n. Qp= &m (un — »m)t . E † 6oα — vm, =ðWMD — H. II3. Hieraus aber fließt „ Qp Emf(n –ym) tang. GCg = — = „ 1 8 CE CQ† r Qp „ † („n — » m) und C Q 2K P 8 («n —– »m) 2 tang. Mpg = — — ſor §. P& p QT r. CQ † ⁸& (En — m) C' †me) * und Mpg iſt der Winkel, unter welchem die neuen Ordi⸗ naten Mn von dem Durchmeſſer gi halbirt werden. Fer⸗ ner iſt L Cyp = CO T Op⸗ † 2,. CC. Op =z 6 8 Ed E a6ein(e — m) † &Sαt — mn)2 Get T 6A—, m))2 “LUV und l 4 * Von den kinien der zweyten Ordnung. 93 und folglich = HAt W E- † 2 £ρn * — »m) † 68 uen — em)2) te † (n — ,»m 2 Setzt man Cp = r, und P M = s, ſo wird r — (H“α% † & (en — vm) 2)r *V CD 26n Gen —, m) T 8 — m)) er f und u = s † Qp = i 4. m (n – vm) r 4 1 VD⅓ 2 αςοτ — m) T &α , m) 2) Dieſe Werthe geben ferner — 5* 4. Een — mDr lit⸗ = . . tchn⸗ — (An — m) § „* P 1, = — — F WC. .. . . . G und dadurch verwandelt ſich diechleichung yy P xX — a = 0 in (tre T 8h - rm) 2)ss 8Cς † β (es — »m) 2) rr m m Kefe P 2 60.h E— vI) T† G8 (Sn -— mm) * — — 0 FK. 114. ,inl Druckt man nun den Halbmeſſer CG durch und den halben zugehoͤrigen Durchmeſſer CE = CF durch g aus, 2 ſo wird “ tm), f= V =—, und 5 M, oder 6 . ⸗ * = g g; = 6g, und alſo vy Er- = gg. Setzt man ferner den Winkel G cs = ſo wird uuauauamc(s— ng. Fe . D l H 23BB22 AInd 24 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel. und da, wenn man ECe = z ſetzt, indem cCcE= iſt — ſn. i e) 7); » = Coſ. (q†); in — lin. qꝗq; n = coſ. Es iſt demnach tang. p æ 8. ſin. q. ſin. æ 6. tang. q. tang. æ ſmn. 4 T 7) † 2 coſ. q. ſin. æ tang. q † tang. 1tang. „; ſin. p = L. ſin. q. ſin. = V Ce.b † 2 (en –— vm) † 68 (En — 5 und †. scan — -m) 2 = (ſin. (q † æ)) 2 † s(ſin. æ) 2 Braucht man dieſe Werthe, ſo findet man folgende Glei⸗ chung zwiſchen vr und s: ((ſn q †: q † ⸗ † 8⁸ (ſin. æ) 2 S ((ſin. q † ) 2 † (ſin. ) 2) rr. ſin. ꝗ)⸗ 62% (ſin. q)2(ſin. 2) 2 (ſin. p) 2 — « = 0 Es iſt aber L tang. p. ſin. (q† ,,à tang. p (tang. q † tang.*) ün. — coſ. q. tang. pſin. „ tang. (tang. q — tang. P) AS — cot. æ. tang. 4 † 1 ‚ oder ff— cot. p. tang. q — 1 fi – gg gg. cot. p – ff. cot. æ woraus ſich eine Menge von Folgen ableiten laͤßt. Es iſt aber tang. q = agg= ſin. p. ſin. (q † ) f Aſin. x ſin. (4 — p) g. 115. Es ſey der Halbmeſſer Cg = a, und der zugehörige Oalomeſer Ce = b; ſo fließt aus der vorhin lzwiſchen B r-— oder i huige oder, weil ES Von den inien der zweyten Ordnung. 98 . und §s §. 114] gefundenen Gleichung [wenn man darin s = 0 werden laͤßt] ſin. q. ſin. V æ8 n. p V ((ſin. q † æ) 2 † 2 (ſin. æ) 2) gg.: fin. q. ſin. æ Kn. p V(If(ſin. (4 en † gg (ſin. æ) 2) ,g f darin r =o ſetzt,t b = [weil Va S = 22 und £ = O iſt, J. 114] und wenn man fg. ſin. q V Eff (ſin. (q † )) 2 † gg (ſin. ) 2) und es iſt daher I. . ur. ain. q1*. En. “l õ Nun iſt (ſin. (q † *2 — ECün. 7) 2 = fin.(q † ) † ſin. p. ſin. x) = und folglich gg. ſin. x ſin. q. ſin. (q — p) f. ſin. p ſin. (q † ) .” Afſin. p. ſin. (q † ) iſt An. r. ſin. (q — . ſin. q. ſin. (q † *) ſn. (q — p). ſin. (q Tæ — p) ſin. q. ſin. (q — p) ſin. (q †). ſn. ( † * — p) alſo b = f. ſin. (q † æ): g. ſin. (q — p und ſin. q — p) 2 a = f und m. a b = fg. Kn. n ſin. 4 † æ — p) S F 3 116 ſin. q ſin. (q †). ſin. t—— P2 3 §. 116. Wenn man alſo in einem Kegelſchnitte zwey Paar zuſam⸗ mengehoͤrige Durchmeſſer GI, EF, und gi, eß hat, ſo iſt [aus I §. 115.] Cg: Ce = CE. ſin. ECe: CG. ſin. GCg und folglich ſin. GCcg: D ſin. E Ce = CE. Ce: CG. Cg und daher, wenn man die Sehnen Ee und g zieht AGGCg = AECe Ferner iſt aus II §. 115] Cg; Ce = CG. En. GCe: CE. fin. g CE. oder Ce. CG. fin. GCe = CE. Cg. fin, g CE und fogtich, w wenn man die Sehnen Ge und g E zieht, AGCe = AgCE oder, wenn man die gegenuͤberliegenden Dreyecke nimmt, AICf = AiCF Endlich giebt die dritte Gleichung a b. ſin. (q † — = — fg. ſin. ꝗ, Cg. Ce. ſin. g Ce — CG. CE. ſin. G C E und zieht man daher die Sehnen eg und E G, oder die gegenuͤber liegenden FI und fi, ſo iſt auch AICF =— AiCf und daraus folgt, daß die Parallelogramme zwiſchen je zwey zuſammengeharigen Durchmeſſern einander gleich ſind. §. 117. Wir haben alſo drey Paar gleiche Dreyecke, nemlich I. AFCf = AlICi II. Af CI = AFC1 III. AFCI = AfCi und daraus fließt die Gleichheit der Trapezien FfCI =ilcCf. Zieht Zie ſey ner, Nich N dn N lin, Von den linien der zweyten Ordnung. 82 Zieht man hiervon das gemeinſchaftliche Dreyeck fCI ab, ſo findet man AFIf = AlIfi; und da dieſe Dreyecke einer⸗ ley Grundlinie fl haben, ſo fließt aus ihrer Gleichheit fer⸗ ner, daß die Sehnen Fi und fl einander parallel ſind. Auch iſt AFli = Aiff, und ſetzt man dieſe Dreyecke zu den gleichen Dreyecken FCI und fCi, ſo werden die Tra⸗ pezien FCIi und i0fr einander gleich. J. IIS. Hieraus laͤßt ſich eine Methode ableiten, durch einen jeden Punkt M einer Linie der zweyten Ordnung eine Tan⸗ gente M T zu legen. Es ſey, Fig. 27, der Durchmeſſer GI zur Axe angenommen, und der halbe zugehoͤrige Durch⸗ meſſer CE. Man ziehe durch M die Linie MP nach der Axe und mit CE parallel, ſo wird MP eine halbe Ordinate und PD N = P M. Iſt nun auch CM, welches ein Halb⸗ meſſer ſeyn wird, gezogen, ſo ſuche man den damit zuſam⸗ mengehoͤrigen Halbmeſſer CK, und dieſem wird die geſuchte Tangente M parallel ſeyn. Es ſey der Winkel GCE= q; GCM= p; und ECK = xz; ſo iſt, wie wir (§. 114] ge⸗ ſehen haben E Cz ſin. p. (ſin. ( . ) 4 6G2 E P) „und (). 115) ſin. q. ſin. 1. (4 † ) ſin. T — P. ſin. (gq†* p) Nun iſt t aber in dem Dreyecke CM P MC2 = CP2 † M PZ † 2 P M. CP. coſ. g, MP : MC = fſin. p.: fin. 4q, und MP : CP fſin. p Gn. (4 — Pp) Ferner iſt in dem Dreyecke CMT, da die Winkel gege⸗ ben ſind, . CM: cT: MT = Gn. (4 † „): ſin. (q † æ — p) : fſin. p F 4 Schafft Ac= CG V 88 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel. Schafft man daher die Winkel weg, ſo wird MCG. CM MC. CM 2 = . MC= CGV CPET oder 00 CP. CT, folglich CbP: CG= CG: CTr Sð” und hierdurch wird die Lage der Tangente ſehr leicht ge⸗ funden. Es fließt aber aus dieſer Proportion, wenn man dieſelbe durch die Subteaction und Addition der Glieder veraͤndert CP: PG = CG: T G, und weil C(G= cI CP: IP = CG: II. §. 119. Da CE; fin. p. ſin. (g 1.2) CK2 2r= CoGz fſin. . ſin. (q — p) CM·= . “ fin. p. ſin. q — p) CMZ ſin. q. ſin. (q † *) ſin. æ ſin. (q † 2 C G2 ſin. (q — p) ſin. (q † æ= — p) nſ CK2 ſin. q. ſin. (q — p) . und 6E K n. d iſt: ſo wird CE2 † CGz2 ſin. p. ſin. (q † ) † ſin. ſi (q — p) = ‚und CG2 ſin. æ. ſin. (q — p) ſin. . dn. 44 — P i En. ſrn. 1 1 2 W . GA⸗ in. x. ſin. (d ) 1 Nun iſt aber ſin. A. ſin. B = g coſ (A — B) — ⅝ coſ. (A † 3) . und umgekehrt P 2 cofa- — 4 cof B = ſin. . ſin. SG Folglich iſt ſin. p. ſin. (q † *) † ſin. æ. ſin. (q — p) = 34 coſ. (q † — p) — ⅛ coſ. (ꝗq †— † p) † 2½ coſ. (q — = — p) G — ¾ coſ. (q † æ= –— p) = 1eel G— r— b) — i cot A o7 1 ühn- ſin. ( † ) ”M Ferner — 9) 1 Von den ALnien der zweyten Ordnung. 89 Ferner iſt ſin. p. ſin. (q — p) † ſin. æ. ſin. (q † ) = ½ coſ. (q — 2 p) — ” coſ. q † £ coſ. q — ⅝ coſ. (q † 22) = ⅜ coſ. (q — 2 p) — ” coſ. (q † 2) = ſin. (q † æ — p). ſin. (p † æ) Hierdurch wird CETPCGZ ſin. q. fin. (p † 2) = — „und C G2 ſin. æ ſin. (q — p) CKZ †CMzZ ſin. (q † æ — p). ſin. (p † æ) CMNS = ſin. . ſint (q † ) und es iſt folglich CE2 † CG2 CG2 fin. q. ſin. (q † æ) Cs⸗ CMz2 CKA TCMZ— CAZ ſin. (q—p)-lin. (q p) CMa Cz oder ððW CE2 † CG2 = CK2 † CMz. In jeder Linie der zweyten Ordnung iſt alſo die Summe der Quadrate jeder zweyer zuſammengehoͤrigen Durch⸗ meſſer eine beſtaͤndige Groͤße. Wenn alſo zwey zuſammengehoͤrige Halbmeſſer CG und CE, Fig. 27, gegeben werden, ſo findet man zu jedem willkuͤhrlich angenommenen Halbmeſſer CM den damit zu⸗ ſammengehoͤrigen C K, wenn man CK = V (CE2 † CG2 — CM) nimmt. Es iſt daher wegen der obigen Eigenſchaften der Kegelſchnitte TG. TI : TMa = CG. CI: CK2 = CG2 CE= L = CGz : CE2 † C Gaà — CMa= und folglich CE2 † CG2 – C M2 TC. I I. Trä=CGV 90 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel. Auf aͤhnliche Art kommen, wenn man die Ordinate MN zieht, und durch N die Tangente NT legt, beyde Tangen⸗ ten M T und N T in einem Punkte der Axe TI, nemlich in T zuſammen, indem fuͤr jede CP: C G = CG: Cc1 iſt. Zieht man aber die Linie C N, ſo wird CEZ † CG2 — CNZ 1 CGV IN=CG/ TG. TI. . und folglich TM TNZ = CE2 † CGz — CM2: CE2 † CGa — CNz Und da M N in P in zwey gleiche Theile getheilt worden iſt, ſo iſt ſin. CI M : Gn. GTN = TN : T M = V(CE2 † CGz — CNz): V (CE2 ¼ C G2 — CM) “ §. 121. Nun lege man durch die Punkte A und B des Durch⸗ meſſers AB, Fig. 28, die Tangenten AK und BL., und perlaͤngere irgend eine andere Tangente M T, bis ſie die vorhergehenden in den Punkten K und L ſchneiden. Ferner ſey ECF ein zugehoͤriger Durchmeſſer, und alſo ſowohl die Applicate PM als die Tangenten AK und BL. demſelben parallel. Da nun, wegen der Natur der Tangenten § 118] CP: CA = CA : CT iſt, ſo wird, weil CB = CA cp: AP= CA: AT3 und CP; BP = CA: B I. folglich CP: CA= CA: CIT = AbP : A T BDP: BT und daher “MVM AT: BT = A P: B b. Da nunz AI : BI = AK : B L, iſt, ſo hat man AK :BL= AP: BP. Ferner fließt hieraus AT —N en “ R£ . Von den linien der zweyten Ordnung. 91 CA. A D CA. B P — —— BI — — AT: = z B I1 — 5 —, und CA. AP Ab. BP T = 6 -— 1 AP = — — 5 —; und es iſt folglich AILPL= CA: BPD= AK : PM. Auf eine aͤhnliche Art wird BT: PT = CA: AP = BL: P M, und daher A. PM. CA. PM —CA PM·Z BP AP D BP Da nun AP. BP: PMz = 402 .ChE 2 iſt, ſo folgt hier⸗ aus die merkwuͤrdige Eigenſchaft, daß iſt; und daraus wird ferner A P B P AK = CF 4I z BL = CE — V BP: N AP AP; BP = AKz : CE2 = CEa: BL KM: MI. und ł AK : BL = K M: LM §. 122. Durch was fuͤr einen Punkt M einer Linie der zweyten Ordnung man alſo auch eine Tangente legen mag, welche den parallelen Tangenten AK und BL in den Punkten K und L begegnet, ſo iſt immer der Halbmeſſer CE, welcher den Tangenten AK und BI. parallel iſt, die mittlere Pro⸗ portional⸗Linie zwiſchen AK und B L oder CE2 =ẽ AkK. BL Zieht man alfo durch irgend einen andern Punkt m auf eine aͤhnliche Art die Tangente kml, ſo iſt auch CE2 = Ak. B1, und folglich AK : Ak = BI : BL., und AK: Kk = BI: LI. Schnei⸗ 992 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel. Schneiden ſich nun dieſe beyden Tangenten in o, ſo iſt ghe A K: BI = Ak: B L= Kk: LIl = ko: lo = Ko: Lo wen Und dieſes ſind die vornehmſten Eigenſchaften der Kegel⸗ durch ſchnitte auf welche Newton in ſeinen Principiis Philoſo- I phiae naturalis die Aufloͤſung einer Menge! der wichtigſtan eun Aufgaben gegruͤndet hat. .D §. 123. Da AK: e o Lo, Kll⸗ wenn L B nach I da verlaͤngert wird, ſo daß BI= A K der Punkt, wo die lo vnd Tangente, die auf der andern Seite der KI. parallel gezo⸗ Aie gen werden kann, die Tangente LB ſchneiden wuͤrde; ſo I wie K der Punkt in der Tangente LK, wo ſie von der de ſiü BL parallelen Tangente AK geſchnitten wird. Es geht heile demnach die gerade Linie IK durch den Mittelpunkt C, und ſſſen wird daſelbſt in zwey gleiche Theile getheilt. Wenn daher zwey Tangenten B L. und LM auf die beſchriebene Art nach nd I und K verlaͤngert, und von einer dritten Tangente Imo Vyan in den Punkten 1 und o geſchnitten werden, ſo iſt ae BI : BI = Ko: Lo, folglich IB :II = K O: KI. und alſo, die dritte Tangente Im . mag gezogen werden, wo ſie will, allezeit Da n 1B. K L = II. Ko. G. Zieht man alſo eine vierte Tangente X, welche die bey⸗ “ den zuerſt angenommenen IL und KL in den Punkten X und ſchneidet: ſo iſt auch = u IB. K L = I ). RKa, end folglich 11. Ko = I2. Ka, eder II: IX = K Ko l⸗ Zieht man alſo die geraden Linien 12 und A0, und thei⸗ let dieſelben in iegend einem Ver haͤltniſſe, ſo theilet die gerade Linie, die durch die Theilungspunkte geht, die Linie [K in eben dem Verhaͤ tniſſe, in welchem jene Linien dit ule er ⸗ Philoh. ſcigſen Dmac! wo de llee⸗ Urde, ſ der der Es gche 10, mn Mher It noch wene, dee bey⸗ gkien Von den kinien der zweyten Ordnung. 93 getheilet werden. Werden daher die Linien 14 und 0 in zwey gleiche Theile getheilt, ſo theilt die gerade Linie, die durch die Halbirungspunkte gezogen wird, auch die Linie IK in zwey gleiche Theile, und geht folglich durch den Mit⸗ telpunkt des Kegelſchnittes C. 8b. 124. Daß die gerade Linienm H, Fig. 30, welche die Linien læ und Xo in einem gegebenen Verkhaͤltniſſe theilt, auch die Linie KI in eben dem Verhaͤltniſſe theilen muͤſſe, wenn II : 1X = K w: Ko, oder IM: A1 = Ko: o ℳ₰% iſt; laßt ſich auf folgende Art geometriſch erweiſen. Es theile die gerade Linie min die 1“ und Ao in dem Verhaͤlt⸗ niſſe m; n, oder es ſey àQ m ⸗ mo = In : no = m : n und dabey ſchneide ſie verlaͤngert die Tangenten IL und Kl. in den Punkten Q und R: ſo iſt In ne- Im mo m n ſin. Q: ſin. R = — — = — QI R α2 Ko — Q1 KRK und folglich Ql: Re = Q: Ro; und lX: o& = QX: Ro = Ql: Ræ Da nun 12:.— 1,: Ko, ſo iſt auch m n Ql: RK = 1X: o “; Und ſin. Q: ſin. R = — : — IX 0 α Es iſt aber auch —. f. HI HKE HI HK AI — 1 HI R m n — sm, ine in ne 65. 125. Wenn zwey zuſammengehoͤrige Halbmeſſer CG, CE, Fig. 27, gegeben ſind, welche ſich unter dem ſchiefen Win⸗ kel GQCE = q ſchneiden, ſo laſſen ſich allemal zwey andere . WQOð” . 94 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel. zuſammengehoͤrige Halbmeſſer C M und CK finden, die ge⸗ gen einander unter dem rechten Winkel MCK geneigt ſind. Es ſey der Winkel GCM=p, ſo iſt, wenn man ECK = z ſetzt, q † æ — p = 900, und folglich ſin. = coſ. (q — p); und ſin. (q † æ) = coſ. p. Hierdurch wird nach §. 119 CE2 ſin. p. coſ. p ſin. 2 p CG2 fſin. (q — p) coſ. (q — p) fin. 2 (4 — p) S ſin. 2 Pp * En.2. coſ,. 2 — coſ. 2 q. ſin. 2 und alſo con ſin. 2 q. cot. 2 — eol 24, und cot. 2 G CM = CE2 CGZ cot. 24 † CEz. Gn. eine Gleichung, deren Aufloͤſung allemal moͤglich iſt. Es iſt aber CMZ ſin. q. coſ. C G2 tan — — R; und — — = I — — en nd alſo CG;2 i., (q — p) CMzZ tang. ꝗ CGZ tang. b — tang. —4— CNZz tang. J Da nun CMZ † CK2 = CG2 F† CE 2; und CK. CM= CG. CE. n iſt, ſo wird CM T CK = V (CGz † 2CG. CE. ſin. q † CE2) und CM—CK = V (C62 — 2CG. CE. ſin. q † CE2) woraus ſich denn die rechtwinkligen zuſammengehoͤrigen Durchmeſſer finden laſten. . 126. 6E Seyn CA und CE, Fig. 29, die beyden rechtwink⸗ ligen zafammengehoͤrigen Halbmeſſer des Kegelſchnitts, wel eman Hauptdurchmeſſer zu nennen pflegt, und welche ſich dad t Cur uf G Dued Von den linien der zweyten Ordnung. 95 NeH ſich in dem Mittelpunkte C ſenkrecht ſchneiden. Ferner ſey eigid. die Abſeiſſe CP = X, und die Applicate P M = y. Als⸗ (KSè· dann iſt, wie wir, G9. II0, geſehen haben, Jy== 6XX; (D und wenn man die Haupthalbmeſſer AC = a, und CE= b d ſetzt, ſo wird «= bb, und 4 = folglich — 2 bbXxX - — bb —= 9 77 2 2 Da dieſe Gleichung unveraͤndert bleibt, man mag 2 und y poſitiv oder negativ nehmen, ſo erhellet daraus, daß die Curve vier gleiche und aͤhnliche Theile haben werde, die I= auf beyden Seiten der Durchmeſſer AC und EF liegen. Es iſt nemlich der Quadrant ACE aͤhnlich und gleich dem Quadranten ACF, und ihnen liegen auf der andern Seite des Durchmeſſers EF zwey gleiche gegenuͤber. ſ. 8 J. 127. B delt Wenn aus dem Mittelpunkte C, Fig. 29, welchen wir zum Anfangspunkte der Abſciſſen angenommen haben, die gerade Linie C M gezogen wird, ſo iſt b CM = V (Xx † yy) = V (bb — aba † X x) . log. und wenn b = a, oder CE = CA iſt, ſo wird CM= Vbbz= b = a. 2) und In dieſem Falle ſind alſo alle aus dem Mittelpunkte nach der ) Curve gezogene gerade Linien einander gleich; und da dies die höri Eigenſchaft des Zirkels iſt, ſo erhellet, daß ein Kegelſchnitt, in welchem die beyden zuſammengehoͤrigen Hauptdurch⸗ meſſer gleich ſind, nichts anders als ein Kreis iſt, fuͤr wel⸗ chen ſich alſo hieraus, wenn man CP = x, PM = y, und wire CA — 2 ſetzt, folgende Gleichung zwiſchen rechtwinkligen Coordinaten ergiebt, VJ = 32 – * Sõ — 95 Zwoeytes Buch. Fuͤnftes Capitel. §. 128. Wenn aber b nicht gleich a iſt, ſo laͤßt ſich die gerade Linie C M durch nicht rational ausdrucken. Dagegen giebt es einen andern Punkt D in der Axe, der ſo beſchaffen iſt, daß alle von ihm nach der Curve gezogene gerade Linien DM rational ausgedruckt werden koͤnnen. Um dieſen Punkt zu finden, ſetze man CD = f, und da alsdann DP=f=—X iſt, ſo wird Puer trr rub- e- u † ff — (a a — b b) X X 2 fX † a à4 Dieſer Ausdruck iſt nun ein Quadrat, wenn (a a — b b) (bb † ff) M à à iſt, und daraus wird f = + V (a a — b b) Es giebt alſo einen doppelten Punkt von der beſchriebenen ff = „oder o = aa — bb— ff Art in der Axe Ac, der auf beyden Seiten von dem Mittel⸗ punkte C um (D= V (aa — bb) entfernt iſt. Es iſt aber (a a — — r D a = a2 —22 Qa — bb) 1 ‚und alſo SèMU! cb. C?H Da=a — A 2b= Ac — =- L AC Setzt man CP = o, ſo wird D M= DE= a = AC, und ſetzt man die Abſciſſe CP = CD, oder = V (a a — b b) ſo verwandelt ſich die gerade Linie D M in die Applleate 56, und es wird alſo 2 H A C oder D G die dritte Peovortional⸗ Linie u A0 und4 Cu. 129. erw der Nich deowe Rennet 4““ u Nen jene hor diee Harn Par O a ool let haun N Pont Cury ſegkre *½ ienen N⸗ Foher d 5 C, - 9 Von den linien der zweyten Ordnung. 97 §. 129. Wegen dieſer beſondern Eigenſchaft, welche e die auf die erwaͤhnte Art beſtimmten Punkte D haben, ſin 1d dieſelben der groͤßten Aufmerkſamkeit w werth; auch haben ſie ſonſt noch viele andere wichtige Beſchaffenheiten, und werden deswegen mit einem beſondern Namen belegt. Man nennet nem lich dieſe Punkte Brennpunkte des Regelſchnit⸗ tes, und da dieſelben in dem groͤßern Durchmeſſer a liegen, ſo unterſcheidet man auch dieſen groͤßern Durchmeſſer von dem mit ihm zuſammengehoͤrigen b dadurch, daß man jenen die Haupt⸗ und Zwergaxe, und dieſen, b, die zuge⸗ hoͤrige Axe nennt. Die rechtwinklige Applicate D G aber, die aus dem einen von den beyden Brennpunkten auf der Hauptaxe aufgerichtet iſt, erhaͤlt den Namen des halben Parameters, indem man unter dem ganzen Parameter die Ordinate in D, oder O6 zweymal genommen, verſteht. Es iſt alſo die halbe zugehoͤrige Axe CE die mittlere Propor⸗ tional⸗Linie zwiſchen dem halben Parameter und der hal⸗ ben Hauptaxe A C. Endlich giebt man den Punkten der Hauptaxe, wo dieſelbe von der Curve geſchnitten wird, den Namen der Scheitel, dergleichen z. B. A iſt; und dieſe Punkte haben die Eigenſchaft, daß die Tangenten der Curve, die durch ſie gelegt werden, auf der Hauptaxe A G ſenkrecht ſtehen. K. 130. Man ſetze den halben Parameter D G = c, und die Entfernung des Brennpunktes vom Scheitel AD =; ſo iſt CD = àa — d= = V(aa — bb) und D6= — — c; folglich bb = ac; und a — 4= VCaa — a0). alſo ððMM dd ac = 2ad — dd; und a = — — ; und b=4 V= , 2 24d— — * Eulers Einl. in d. Angl.d. Unendl. II. B, G Sing õ 98 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel. ꝛc. Sind alſo die Entfernung des Brennpunkts vom Scheitel A D = d, und der halbe Parameter D C = c gegeben, ſo laͤßt ſich der Kegelſchnitt beſtimmen. Setzt man nun C P=x, ſo wird (c — d)x (c— dyd — t, 2 d — C (a — )X — dd Ne. — — DM=a— Es ſey DP = t, ſo wird « = CD — t = und daher D M = c 4 — W. Druckt man den Winkel ADM durch v aus, ſo wird —— — — coſ. v und alſo D M . d. D M=cCdF (d — c) D M. coſ. v, PM= —— und d – (d – c). coſ. “ d (D M — D G) Uini VV win 6 pied * Von den Arten der Linien der zweyten Ordnung, §. 131. Die Eigenſchaften, welche wir in dem vorhergehenden Capitel gefunden haben, kommen allen Linien der zweyten Ordnung ohne Ausnahme zu; denn wir haben dabey auf nichts geſehen, wodurch ein Unterſchied unter dieſen Linien entſpringen koͤnnte. Es ſind aber die Linien der zweyten Ordnung, dieſer allg zeineinen C Eigenſchaften ungeachtet, in Anſehung ihrer Geſtalt, ſehr von einander unt terſchieden; und wir muͤſſen daher die Arten derſelben aufſuchen, um die mancherley Geſtalten der Linien der zweyten Ordnung kennen zu lernen, und die beſondern Eigenſchaften einer eden Art entdecken zu koͤnnen. d. 132. Wir haben [§. 109.] die allgemeine Gleichung fuͤr die Linien der zweyten Ordnung durch bloße Veraͤnderung der Axe und des Anfangspunkts der Abſciſſen in die Gleichung Jy = a †— & † X verwandelt, worin nnd y recht⸗ winklige Coordinaten bedenten. Da dieſe Gleichung fuͤr jedes « ein doppeltes y, beyde von gleicher Groͤße, aber das eine negatio und das andere poſitio, giebt: ſo theilet die Axe, worauf hier die Abſciſſen genommen werden, die Curve in zwey gleiche und aͤhnliche Theile; und es iſt daher dieſe Are⸗ ein rechtwinkliger Durchmeſſer der Curve und jede eni⸗ G 2 . der 100 Zweytes Buch. Sechstes Capitel. der zweyten Ord⸗ aung hat einen rechtwinkligen Durchmeſſer, und ein ſolcher Durchmeſſer ſoll bey der folgenden Unter⸗ ſuchung die Axe ſeyn. §. 133. In der Gleichung, welche wir hier z zum Grunde legen, ſind drey beſtaͤndige Groͤßen, «, g, und „ enthalten; und da dieſelben auf unzaͤhlige Arten unter ſich veraͤndert wer⸗ den koͤnnen, ſo entſtehen daher auch unendlich viele Ver⸗ ſchiedenheiten in den Linien der zweyten Ordnung, die aber auf ihre Geſtalt nicht immer gleichen Einfluß haben. Denn einmal kann man eine und dieſelbe Figur, ſo vielmal als man will, aus der Gleichung yy = 2„ † SX † 7. XX ethal⸗ ten, wenn man nemlich den Anfangspunkt der Abſciſſen in der Axe veraͤndert, oder X um eine gegebene Groͤße ver⸗ mehrt oder vermindert. Ferner begreift dieſe Gleichung auch eine und dieſelbe Figur in verſchiedener Groͤße unter ſich, ſo daß daher eine unendliche Anzahl von krummen Linien entſteht, die ſich bloß durch die Groͤße von Anandee⸗ unterſcheiden, wie Kreiſe, die mit verſchiedenen beſchrie ben ſind. Hieraus erhellet, daß nicht jede Berſchlevengen der Groͤßen, «, 6 und 7 zu einem Eintheilungsgrunde der Linien der zweyten Ordnung gebraucht werden kann. Der groͤßte Unterſchied der krummen Linien, die unter der Gleichung yy = † gxX † YXX begriffen ſind, beruht auf der Beſchaffenheit des Coefficienten 7, je nachdem der⸗ ſelbe poſitiv oder negativ iſt. Denn iſt er poſitiv, ſo iſt auch «= †8* † YXX, wenn æ = + Oo geſetzt wird, poſi⸗ tio, weil alsdann 4 † gegen vxXx verſchwindet, und folg⸗ lich fuͤr X = – auch y= –. Oο wird. Wenn alſo?poſitiv iſt, nſe M e d eichung e e hen nunder, dhed nde der ſeyn. Man nennt ſie Parabe Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 101 iſt, ſo hat die Curde vier ohne Ende fortlaufende Schen⸗ kel, davon zwey zu = †¼ 00ο, und zwey zu 5 = — 00 gehoͤren. Dergleichen krumme Linien machen daher Eine Art der Linien der zweyten Ordnung aus, und werden Sya perbeln genannt. F. 135. Wenn aber „ negativ iſt, ſo wird, es mag = = oder = — 00 genommen werden, ⸗ † X P xxX negativ, und folglich die Applicate y imaginaͤr. Bey dieſen krum⸗ men Linien kann alſo weder die Abſciſſe noch die? uedlteate unendlich werden, und es giebt daher bey ihnen kein ohne Ende fortlaufende Schen iel, ſondern die ganze Eurte iſt in einem endlichen und beſtimmten Raume enthalten. Dieſe Art der kinien der zweyten Orodnung nennt man Ellipſen, und ite Natur wird durch die Gleichung * † £X † ?X beſtimmt, wenn „ eine negative Groͤße iſt. Da der Werth von „, je nachdem derſelbe poſitiv oder negatio iſt, einen ſolchen Ein ſtuß au die Beſchaffenheit der Linien der zweyten Ordnung hat, daß daher zwey ganz von einander verſchiedene At entſtehen: ſo wird auch die aus yy = « † † Y&τ*⅓ entſer ingende Curve, wenn = o geſetzt wird, und alſo einen zwiſchen dem poſitiven und dem negativen mitten inne liegen iden Wer eth bekommt, eine Mittelgattung zwiſchen der Hyperbel und der Ellipſe bel, und ihre Natur wird alſo durch die Gl eichung yy = e P8&X beſtimmt. Hier iſt es gleich, ob s eine poſitive oder eine negative Groͤße beden⸗ tet; denn die krumme Linie bleibt dieſelbe, wenn man auch * negativ nimmt. Wird nun 2 poſitiv genommen, ſo faͤllt G 2 2 in dene Arten von Linien der zweyten Ordnung, und zwar in 8 punkt der Abſciſſ ſen in den Mittelpunkt der Figur fa 10 3 Zweytes Buch. Sechstes Capitel. in die Augen, daß die App blicate y, fur X= P , = 00 fuͦr x = – Oo aber imaginaͤr iſt. Es hat alſo⸗ die Para⸗ bel zwey ohne Ende fortlaufende Schenkel, aber nicht mehrere. Wir haben alſo drey weſentlich von einander verſchie⸗ Anſehung der ohne Ende fortlaufenden Schenkel. Die Ellioſe hat de ergleiche gar nicht, ſondern iſt in einem end⸗ lichen Raume enthalten. Die Parabel hat deren zwey, 4 „1 A1. , 0*½ „ . W 422 „ . . 1 und die Hyperbel viere. Da wir nun in dem vorhergehen⸗ . en 4 „ a Ee 6 den Gapitel die allgemeinen Eig⸗ enſchafte en der Kegelſchnitte betrachtet haben, ſo woller a wir jetzt die beſondern Eigen⸗ ſchaften einer r jeden Art kennen zu lernen ſt lchen. Wir wollen von der Ellipſe anfangen, deren Gleichung Vy — † = 5 X X. iſt, ſo daß die A ſe iſſe auf einem rechtwinkligen Durchmet ſſer genommen werden. Entfernt man aber den? Anfangspunkt der Abſciffe en, da man den⸗ s 2 ſe! ben annehm en kann, wo man will, um — ſo bekommt 2 R man daraus die Gleichung yy= s 7XX, wo der Anfangs faͤllt. [§. 109. 110] Nun ſey, Fig. 31, C der Ninteſgunkt, und ; A B ein vechtwinkliger D Durchmeſſer, ſo iſt = = *, und — 4* P M = y. Es woird alſo „= , wenn man * = = V. — 7 nimmt, und wenn « dieſe Grenzen † N — , – V — über⸗ „ 2 ſchreitet, ſo wird y imaginar, woraus erhellet, daß die ganze 22— e nor (aeln 7. 74 Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 103 ganze Curve zwiſe chen dieſen Grenzen liegt. Es iſt folglich 7 Man ſe Be CA = — CCB = a, und die halbe zugehoͤrige Axe b b CD = CE = b, ſo iſt « = bb, und 7 = —, und dies giebt fuͤr die Ellipſe die Gleichung bbx bb YyV= bb— 1 à — X) 4 §. 139. Wenn die zu einander g gehoͤri igen Halbapen a und b einander g! leich werden, ſo verwandelt ſich die Ellipſe, weil alsdann Vyy =— 14 – XX, dder yy † X½ = à 4, in einen Kreis. Es wird nemlich in dieſem Falle CM = (xx † yy =a, ſo daß alle Hunkte der krummen Linie M von der m Mit⸗ telpunkte gleich weit abſtehen, und dies iſt die Eie gen nſch haft des Kreiſes. Wenn aber a und b ungleich ſind, ſo wird n entweder A B groͤßer als „ „* die Euroe laͤnglich —— „ enen S2 — 2 Sene — g 2 2 — — DE, oder OE groèßer als A B iſt. Da indeß die zu einan⸗ der gehoͤrigen Axen A. B und DE mit einander verwechſelt werden koͤnnen, und es gleich diel ſ t, auf welche er nan die Abſciſſen nehmen will, ſo mag A P h die groͤßere Ape, oder Ee 0 PF r. * „7☚ 4 aàa groͤßer als b ſeyn. Rimmt man auf dieſer Axe CF = CG = V(aa — bb), ſo werden F und G die Brennpunkte der Ellipſe, und der halbe Parameter derſeben, „oder die in einem von den Brennpunk ten ſe enkre cht errichtete Applie 1 42 cate — ([§. 128. 129.] — . .1 §F. 140. Zieht man nach irgend einem Punkte der Curve M. aus den beyden Brengpunkten die geraden Linien E M N und M. G 4 ſe „ „M 104 Zweytes Buch. Sechstes Capitel. do o5. 5 i, aus [§. me. Fi = a — Ener ch X V 2 — bb (aàa a — b b) a – 2, und GM=a f —- — ſin⸗ folglich F M † G M = 2 a. Wenn man alſo aus beyden e Brennpunkten einer Ellipſe nach einem Punkte ihres Um⸗ 1nd fangs M zwey gerade Linien FM und G M zieht, ſo iſt die Aune Summe derſelben allezeit der groͤßern Axe A B = 2 a gleich. Dies iſt eine Haupteigenſchaft der Ellipſe, und man kann daraus zugleich eine leichte mechaniſche Beſchreibungsart 11. derſel ben herleiten. . §F. 141. degt man durch M die Tangente TMt, und verlangert ſie, bis ſie die Axen in Iundt ſchneidet, ſo iſt, aus §. 118, CbP: CA= CA: CI; folglich C I = =: und auf eine aͤhnliche Art, wenn man die Coordinaten ver wechſelt, “ y Gde Hieraus ergiebt ſich ITe= = = — X; TF = — V (a a — b b) und TA = — — a; und es iſt alſo a a — X aay S S= — — = = — db [weil aa= x = . 138. 4 4 PMa † TP2)= W eka ferner bbx bbx kfan cTMN — n. CT M= und Kang. aay Vaxz † aayy) ſit . col. ugen Gt Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 105 aa y V(bAXX † a 4y y) PM coſ. C I M = [weil tang. re T, P M hDL ſin. CT M = TM' und coſ. CTM = TPA iſt!. Wenn man daher aus A die Linie AV ſenkrecht auf die Axe errichtet, und in dieſem Falle iſt AV zugleich eine Tangente der Curve (§. 129]; ſo iſt a (a – X) bbx = bb(a — ) W AV [= A T. tang. CTMI= ⸗ = M b V S weil ay = b V (aa — Xx) = b V (a — X) (a † X) iſt §. 138. H. 142. — b b Da TF= 2 —Ca . . K. 14 1H und FM= — — b b) 2 ¾ — V (a 2 4 120; ſo iſt a †p† xXV (aa — bb) Eben ſo iſt O I= CT 1col= — bb H. 141. 139. und G M = siarcn- — b) 140; alſo auch GT: GM= a: *; und folglich TF: FM= GT: GM. Es iſt aber TF: FM = fſin. F MT: fin. CT M, und GT: G M = ſin. G Mt: ſin. CTM; folglich Aſn. F MT S= ſin. G Mt, und alſo auch FM T = = GMt. Wenn man daher aus den beyden Brennpunkten einer El⸗ lipſe nach irgend einem Punkte M ihres Umfangs zwey ge⸗ G 4½ rade 106 Zweytes Buch. Sechstes Capitel. ODo rade Linien zieht, ſo ſind dieſe Linien gegen die durch M ge⸗ legte Tangente unter gleit Hhen Winkeln geneigt, und dies iſt OJMU die Haupteigenſchaft der Brennpunkte. gent §. 1432. — HS 4 3 Wd⸗ DaGT: GM = a: xX, §. 142, und C(I = —, §. 141, ge x8 ſ ſo iſt auch CT: CA = a : xX, und alſo CT: GQ M= CT: CA. . Zieht man daher e aus C die gerade Linie CS, welche der Tongente in § begegnet, mit G M parallel, ſo iſt C8 = d CA = a, und eben ſo die Linie, die aus C parallel mit ord FM bis zur Tangente gezogen wird, = CA= a, (weil auch FTY; FM = 6GTL: GM = a: Xx = CT: CA iſt.. Da ief ferner L M z= 3 V (ba XX ad yy) [G. 14 ], und die aayy = bb — bbax iſt, ([§. 1,8, ſo iſt lec kriaa t, „. 44 – XXN Aa = b b) und da F L. G T = „§. 142, auch XX (A0. P M –— V FTL. G T. „ N=„½ WET gen Hieraus ergiebt ſich, da TG: TC = TM: TS, und alſo M TGC. T M. rrs= –— G iſt. l GT. Er V:-CT. EI. “”RM = dV 6I— bb TMAM l 3 C L. y y vorn “ – = — ſiiſt, (§. 141,] ſo wird und da PT = b bx bb t, R ſ I PT. FT E 0 — — — 21 „ 4 1M DPT = FTL: TS, und die Dreyecke TMP und TFES YDMUU inander aͤhnt ich, und folglich F S I = R. 5I 14 Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 107 §. 144. Wenn alſo aus dem einen Brennpunkte F nach der Tan⸗ gente eine ſenkrechte Linie F8 gezogen, und der Punkt S wir dem Mittelpunkte C durch eine gerade Linie verknuͤpft ird: ſo iſt dieſe gerade Linie Cs alezeit der halben großen Ire AC= a gleich. Da ner y= IF: FS, ſo .. r b. M dlali iſe 6S IMA = 6 1 = bN 31/ folglich G6T: FTT = GM: FM = CD2: FS2; und da H auf eine aͤhnliche Art ergiebt, daß die aus dem andern Brennpunkte nach der Tangente gezogene ſenkrechte 6T dee iſt, ſo iſt die halbe kleine Axe cD=b mittlere Proportionallinie zwiſchen dieſen beyden Per⸗ dendiren. Zieht man nun auch aus C die Linie CQ ſenk⸗ recht auf die Tangente, ſo iſt FT: Es = CT: CC; folglich b. C. bX . CT ab ⸗-ð — == *) = – ==, und WVTF L. C a V TM. GNM VF M. G M b. 60F F — – 7 ( CO=— FS ===S=C X, wenn X mit der Tan⸗ „ V P I C 1 gente parallel gezogen worden. Hieraus ergiebt ſich c0— CX =— D T I und PFT. GT Xf. 2 und daher C OQ2 – CX2 = b b, und CX= V (CQ2 — b b); wornach man, wenn die kleine Axe gegeben iſt, in der ſenkrechten Linie CQ den Punkt *½ findet, der ſo bes⸗ ſchaffen iſt, daß eine aus ihm auf CC. ſer nkrecht errichtete Linie durch den Brennpunkt F geht. CQ† CX = *) Es iſt nemlich FT : FM = a:X, und GT: 6GMza: A 2 K. 142 und folglich FT ⸗GIL : FM: SM == 32: XK. Daher aber 108 Zweytes Buch. Sechstes Capitel. . aa. F M. G N aber wird F L. G T= und V FT. 6GT = XX §K. 145. Nachdem wir dieſe Eigenſchaften der Brennpunkte be⸗ trachtet haben, ſo wollen wir unſer Augenmerk auf jede zwey zu einander gehörige X Durchmeſſe icen⸗ Nun iſt den wird, wenn man aus dem Mteigunkte C mit der Tangente TM die Linie CK parallel zieht. Es ſey alſo CM=p, CK = q, und der Winkel MCK= CMT = s, wo denn zu voͤrderſt Pp † qq = aa † bb. (§ 119,] und zweytens Ppq: ſin. s = ab iſt §. 115. Dann iſt erxt yy = bbf Q 2 und d FM. G M, und eben ſo PbP = GK. c0, a b . GN H E di. 6X! und Ferner iſt, da C = = ſn. CMC = = ſin. Ss = TM: TP =EVTT. GT: F — l. 143 und rar)= VFM. G M: — Anmerk. 1. 5. 144] = cxk: cs; und ſois glich weil Rt. 6MA = a: = CK iſ CR Von! und weN Varthe 0R herge IN⸗ Hinger tang Rrbunt ſ ober (a. le ale veil Cl Puyte be ONIN verbunden mit §. 224) = Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 109 cR P. und K R = = 2 ) alſo CR. K R [= Xy] = CP. PM. Ferner iſt ſin, F M 8 = b —b *): en . VSM. FM E qH un und da 2 = C P = Pb laus pp = bb † V àa aàa — 3 — b b) Xx G 5 „ oben) a a D W(àA—DDP) und y = P M = Va db) [aus pp = X2 † yy, wenn man anſtatt æX das Quadrat des ſo eben gefundenen Werthes von x ſetzt,] desgleichen Pd), ay R =— her gefundenen Werthe von y] und b(Vpp=— bb) V (a à — b b) bæX K RK = „[Laus K R = und dem vor⸗ hin gefundenen Werthe von ]: ſo iſt, weil tang. ACM = k, 2 y tang. 2AC = (rſtes B. 14tes Cap. §. 249 2 a b (aa — pp) (pp — bb) Es (a a T† b b) pp — 2àaàbb iſt aber a b = Pq-ſin. s; aa † bb = pp † qq; und Necaa — Pp) — bb = pa. coſ. S ***), und da⸗ her alſo — ddq ſin. 2 5§ PP T dq. coſ 28 weil der Coſinus von s negativ iſt. Endl lich ir tang. 2 A CM = =— CR2 = M T. Mt *vE), und MV = 4. 4 : und AV 110 Zweytes Buch. Sechstes Capitel. = b V – FS *); alſo AV: MV = b: q = CE CF. Zieht man daher die Linien A M und E Ek, ſo ſind dieſelben einander paralel. aayy *) Es iſt nemlich KR = V (CK2 — CRz) = / (qq — —– 6= bbxxEz“ (aa — bbyxx aa) V — —, weil q aa — — —, und — aa a 4 —— FS b FI b — — V —– — — V PFM PM GT FM V. 83) D Denn es iſt in. F M 8 = F M b— GM VFM. GM FVN) Weil (aa — pp) (pp — bb) = (aa † bb p2 — p4— aabb = (pzZ † q2) pz – p4 — pz qz lin. 82 =— P2 q2² (1 — ſin. s2) = pa qa coſ. 82 iſt. xrXX) Es iſt nemlich MT: Pl = CK: KR, und Mt: PC = T M, T P = CK: R, 6 MT Mt :ͤ PM. CP = CKZ: K R. CR; aber CP. PM. = CR. K R, wie kurz vorher bewieſen worden. XXX) Denn es iſt M V = = — 40 — 23 q (21— *) V (a à — Kg) = q V ſo wie AV = by §. 141. 9. 146. Da p q. ſin. S= a b iſt (5§. 145,] ſo iſt p bgarbher als a b; und da pp† qq = aa † bb iſt, ſo iſt der Unterſchied zwi⸗ ſchen p und q kleiner als zwiſchen a und b, und alſo ſind unter allen zu einander gehdrigen Durchmeſſern die recht⸗ wink⸗ ☛ Von den Arten der Linien der zweyten Ordnung. 111 winkligen am meiſten von einander in A nſehung der & Gr groͤße lterſchieden. Es wird daher auch ein Paar gleiche zu ein⸗ ander ge⸗ hoͤrige Durchmiefe geben; und um ſie zu finden, ſey q = p. Alsdan iſt 2 pp = aa † bb; p = q = a † bb 41 2àa b — aa † bb V — — z ln. 8 (=— , — — —, col. 8S = —— P 4 a a † bb aa † bb“ und daher wird ſin. 2 s = —* ihe sS = v — und coſ. ¾ 8 = aa† bb — —; 3 alſo tang. S = = tang. CE B, und V * 5 - D5 . MCK = 2 CE B = AEB. Ferner iſt CP = g⸗ und PM = *), und die zu einander gehoͤrigen gleichen Halb⸗ meſſer CM, CK ſind alſo den Sehnen AK un db BE parallel * *) *) Es iſt C P = wegen CP = 14 Cb. „und V 2 V (a a — d 5) a a † b b b — — —, ſo wie P M = — , wegen P M = 2 V 2 a a a † b b und Pb — — ,, VAα— bb) CP **) Denn da Baä — b tang. ½8 = tang. CMP, unb MPC — R iſt, ſo iſt MC † CEA = — 2R, und a ſo. CM parallel AE. 85 d. 147. Wenn man die Abſeiſſen vom Scheitel A an rechnet, und AP = xX, P M = y nimmt: ſo erhaͤlt man, da in die⸗ ſem Falle a — X iſt, was vorher X war, die Gleichung b 2bb bb 7 — a*- 52) = — * — — X x, a 3 2 wYH 112 Zweytes Buch. Sechstes Capite Ml ” 2 bb“ ”JJJ”M wo in die Augen faͤllt, daß — der Parameter der Ellipſe lll. iſt, §. 129. Es ſey der halbe Parameter, oder die Appli⸗ ſe cate in dem Brennpunkte = c, und die Entfernung des ladden Brennpunkts vom Scheitel AF = d: ſo iſt non ch = Nie, bb =c, und a — V (aa — bb) = d = a — V (aa — ac), 4 und daher dd Da 24d — dd= ae, und a = 1— e Hieraus ergiebt ſich fann . C (2 d- — c) x ½ yy = 26*½ –— — 4 . Gte 2 die Gleichung der Ellipſe fuͤr rechtwinklige Coordinaten, her x wenn die Abſciſſen auf der Hauptaxe AB vom Scheitel A eh an genommen werden. Man erhaͤlt dieſelbe aus dem Ab⸗ A= ſtande des Brennpunkts vom Scheitel AF = d, und dem “S halben Parameter c; wobey indeß zu merken iſt, daß 2 G Glve immer groͤßer als c ſeyn muß, weil ALQ = a = — und M:: delces 8. 148. wbel ⸗ Wenn alſo 2 d = c iſt, ſo iſt yy = 2 CxX, und dies iſt die “ Gleichung fuͤr die Parabel; denn die Gleichung yy = =† 6, ä §. 136 wird auf dieſe Form gebracht, wenn man den An⸗ dd NI fang der Abſeiſſen um veraͤndert. Es ſey alſo Fig. 32. An MAN eine Parabel, deren Natur fuͤr A? = X und PM =y iſ, durch die Gleichung yy = 2 cx ausgedruͤckt werde. Hier ſeht. ſiſſtt der Abſtand des Brennpunkts vom Scheitel A = d = c, dengl e ⸗ ung eiſ 24 6 1MN 16 32 M= . 130 Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 113 der halbe Parameter FH = c, und allenthalben P M2 = 2 F H. A P, ſo daß alſo die Applicaten P M und P N mit der Abſciſſe A P ohne Ende wachſen, und die Curve ſich zu beyden Seiten der Axe ohne Ende fort verbreitet. Wenn man aber x« negativ nimmt, ſo wird die Applicate imagi⸗ naͤr, und jenſeit A nach T zu iſt alſo nichts von der Curve. Da die Gleichung fuͤr die Ellipſe in eine Gleichung fuͤr die Parabel verwandelt wird, wenn man 2 d = c ſetzt: ſo kann man die Parabel als eine Ell lipſe, deren große Halb⸗ d d axe a = 26— unendlich iſt, betrachten; und es laͤßt ſich daher alles, was von der Ellipſe geſagt worden iſt, auf die Parabel anwenden, wenn man a = O ſetzt. Da nun AF = 2 c, und alſo FP = X — c iſt, ſo wird, wenn man aus dem Brennpunkte F nach irgend einem Punkte der Curve M die gerade kinie F M zieht, FM = xX — ex 1 c † yy = XX † cX † cc, und folglich FM=X12c = AP 1AF, welches die Haupteigenſchaft des Brennpunkts der Pa⸗ rabel iſt. 6. 150. Da die Parabel aus der Ellipſe entſteht, wenn man die große Axe = 00 ſetzt; ſo wollen wir die Parabel als eine Ellipſe anſehen, deren halbe Axe AC = a unendlich groß iſt, ſo daß alſo der Mittelpunkt CQunendlich weit von A ab⸗ ſteht. Zieht man nun durch M die Tangente MT, welche derr Axe in T begegnet; ſo wird, da CP: C A = CA: C T Eulers Einl. i in d. Angl.d. Unendl. II. BD. H §. 141. 114 Zweytes Buch. Sechstes Capitel. “ a àa §. I41. und CP = a — X iſt, CcT = —, und alſo = 4— X A X AT = — Weil aber a = O0°, ſo verſchwindet X da⸗ gegen, und es wird daher a — X = a, und AI = X = AP. 34 Dies laͤßt ſich auch auf dieſe Art darthun: Es iſt A1 = — — X X X . oder A T = Xx † — Da nun hier der Nenner des Bruchs eine unendlich große, der Zaͤhler aber eine endliche Groͤße iſt, ſo verſchwindet der Bruch, und es iſt daher ATL = AP= x. 8§. 151. Wenn man daher aus dem Punkte M nach dem unend⸗ lich weit entfernten Mittelpunkte der Parabel C die gerade Linie M C zieht, welche wegen der unendlichen Entfernung des Punkts C der Axe A C parallel wird: ſo iſt auch dieſe Linie MC ein Durchmeſſer, der alle der Tangente M T pa⸗ rallele Sehnen in zwey gleiche Theile theilet. Wird z. B. die Sehne oder Ordinate min der Tangente M T parallel gezogen, ſo wird ſie von dem Durchmeſſer Mp in p halbiret. Es iſt daher eine jede in einer Parabel mit der Axe parallel gezogene gerade Linie ein ſchiefwinkliger? Durchmeſſe er. Da⸗ mit wir die Natur dieſer Durchmeſſer kennen lernen, ſo ſey Mp=t, pm = u, und msr aus m auf der Axe ſenkrecht. Dann in, da PI = 2 X, und M T = V (4XXK † 2 CX) iſt, V(4XX † 2cx) 2X = pm: ps, und VG † 2CX): V 2cX = — pm mss; folglich 2XU V und PS VCAXX T 2 cx) ms= = uV 1: 3 daher Ax. Unend⸗ gode ffemmung ie UT Murnlt albire. Paralt ſo ſh gkrch c,6. Von den Arten der linien der zwehten Ordnung. 115 Ar=rtttV ,und mi = VcX u V . X † C Da aber mr2 = 2 c. Ar [weil allenthalbe n PMA = 2 FH. AP, §. 18] ſo iſt ennu 2cX † 2 cu k – — = 2cX † 20 1 V 2 X T† G 2cX † 2ct † 2 cu 2 — — und alſo X † G uu = 2t (27X † = ru. t, oder pm? = 4 5 M. Mp. gerner iſt 5 m V. 2 X † G coſ. mps = P= V = A miim p 2 X c FM“ alſo J S 2 V2 cx Gn. 2 m pe = 2 = Rt. MFP, und folglich der Winkel mps = MTP = MFr. §. 152. Da MF = APFAF, unb AP = A T iſt, (§. 149 und 150,] ſo iſt F M= F T, und alſo das Dreyeck M F T gleich⸗ ſchenklig, und MFr = 2 M TA, ſo wie wir ſolches eben gefunden haben. Da ferner MT = 2 V x (X † ½ c), ſo iſt M T = 2 V A P. F M, und wenn man daher aus dem Brennpunkte F nach der Tangente die Perpendikul aͤrlinie F S zieht, ſo iſt MS= ST = VA P. F M = WAT. TF, und folglich AT: TS = TS; TF. Hieraus erhellet, daß der Punkt S in der Linie A S ſeyn wird, die in A auf der Axe⸗ ſenkrecht ſteht, Es iſt aber 2 2 As 116 Zweytes Buch. Sechstes Capitel. AS= ½P M AS: TS = AF: FS8, und FS= VAF. FM [weil FS2 = AF. FT, und FT = FM iſt alſo FS die mittlere Proportiallinie zwiſchen AF und F M. Ueberdies iſt AS: MS = AS: LS = FS: FM= VAF: VE M [weil FS = VAF. FM.!. Errichtet man aus M ſenkrecht auf die Tangente die gerade Linie M W, welche die Axe in W ſchneidet; ſo iſt PT : PM = PM : P W, oder 2X: V2CX = V 2cx: PW, und alſo PW = c; oder das Stuͤck der Axe P W, welches zwiſchen der Appli⸗ cate P M und der Perpendikulaͤrlinie M W liegt, hat eine beſtaͤndige Groͤße, und iſt dem halben Parameter oder der Applicate FH gleich. Endlich iſt FW = FT= FM, und MW = 2 V AF. FM. [= 2 F 9] §. 153. Wir kommen nunmehr zur Hyperbel, deren Natur durch die Gleichung yy = a † sX † YXX beſtimmt wird, wenn X und „ rechtwinklige Coordinaten dedenten Veraͤndert man den Anfangspunkt der Abſciſſen um , ſ erhaͤlt man daraus die Gleichung yy = = † XX, wobey der Anfangspunkt der Abſ! ciſſen mit dem Mittelpunkt zuſammen faͤllt, [§. 109. 110.] Es muß aber hier » eine poſitive Groͤße ſeyn, §. 134, « hingegen kann poſitiv oder negativ genommen werden; denn verwechſelt man die Co⸗ ordinaten X und y, ſo wied aus einem poſitioen « ein ne⸗ gatives, und aus einem negativen ein poſitives. Es ſey alſo « negativ, und folglich » 11 ni⸗ ⸗ 4 yl⸗ eine e zuc N eiſen unt e Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 117 VV — % X X — “ 5 wo ſogleich in die Augen faͤllt, daß y zweymal = 0 wird, einmal, wenn = † V = . und zweytens wenn x= — V 2 iſt. Wird alſo, Fig. 33, C zum Mittelpunkte angenommen, und ſind A und B die Punkte, wo die Axe von der Curve geſchnitten wird: ſo iſt, wenn man CA = CB =a ſetzt, aàa = V und ⸗= 7à a, und daher yy = 7X X — Y a a. „ So lange alſo xz kleiner iſt als a², ſo lange iſt die Applicate imaginaͤr, ſo daß daher zu der ganzen Axe AB kein Theil der Curve gehoͤrt. Wenn aber XX groͤßer als aa iſt, ſo wachſen die Applicaten mit den Abſciſſen ohne Ende; und es hat daher die Hyperbel vier ohne Ende fortlaufende und einander gleiche und aͤhnliche Schenkel AI, Ai, BK, B k, welches das Hauptkennzeichen der Hyperdeln iſt. §b. 154. Weil yy = — aa iſt, wenn X« = o wird, ſo hat die Hyperbel nicht ſo wie die Ellipſe eine zugehoͤrige Axe, in⸗ dem die Applicate in dem Mittelpunkte C imaginaͤr iſt Es iſt alſo die zugehoͤrige Axe eine imaginaͤre Groͤße, welche man, um eine Aehnlichkfeit mit der Ellipſe zu erhalten, = b V — 1I ſetzen kann, ſo daß ?a a = b b, und 7 = wird. Setzt man n nunmehr die Abſeiſſe CP = und die bb Applicate PM =— y, ſo wird yy = 2 — 2 a), und es B bb⸗ wird daher die Gieichung fuͤr die Ellipſe N=tt (aa — xN) in die Gleichung fuͤr die Hyperbel verwandelt, wenn man — bb anſtatt bo ſetzt. Wegen dieſer Uebereinſtimmung Arg Zweytes Buch. Sechstes Capitel. laßt ſich das, was bisher von der Ellipſe geſagt worden iſt, ſehr leicht auf die Hyperbel anwenden. Zuvoͤrderſt iſt der Abſtand der Brennpunkte vom Mittelpunkte, der fuͤr die Ellipſe = V (aa — bb) war, fuͤr die Hyperbel V (aa f bb) = CF= CG. Hieraus ergiebt ſich IS daaN t tM mdz t V Gâ1 bb) und da y = — bb † iſt, ſo wird b W T M = = V (a a † XK X † — — 22 V (a a † bb)) = xV (aa † bb) — bbXzX RKM GM= W(aa P†XX F — † 2X (aa † bb)) = =Ca hb. = — A— f. à. 24 Zieht man daher aus den beyden Brennpunkten F und G nach einem Punkte M in der Curve die geraden Linien E M und OM, ſo iſt FM AC = :. „ und G M — AC = Oe und die Differenz dieſer beyden Linien GM — FM = 2AC. So wie alſo bey der Ellipſe die Summe dieſer beyden Linien, ſo iſt bey der Hyperbel die Differenz derſelben der Axe A gleich. §. 155. Hieraus laͤßt ſich auch die Lage der Tangente MT be⸗ ſtimmen. Denn da in allen inien der zweyten Oednung CP: C A = CA: CI iſt, §. 118, woraus ſich CTS= X — UA a3VV und PT = = 2 . 141, ergiebt: ſo wird MT 1 i ſoe d UI — — — — N W☛ kS 1 , Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 119 MTI= VWPMZ†1 PT2)) = Phn V (bax⸗ 4 aay2) = Va axX 1 bbxX — 44) S bx , weil y2 = — (x2 — a a) iſt. Es iſt aber aaXX † bbXX — 44 F M. G M = „ §. 154, folglich aàa MT= V FM. G M. bx Ferner iſt FT= V (Aa bb) — 32 und GT= V (aa † bb) † —, H X folglich FT: FM = a a: X, und GT: GM = aàa: „woraus FT: GI =ẽ FM: CM folgt; und dieſe Proportion zeigt an, daß der Winkel F M G von der Tangente in zwey gleiche Theile getheilt wird, und FMT= GMT iſt. Wird aber die Linie C M verlaͤngert, ſo iſt ſie ein ſchiefwink⸗ liger Durchmeſſer, der alle mit MT parallel gezogene Or⸗ dinaten in zwey gleiche Theile theilet. [Man vergleiche mit dieſen §. den 141 und 142ſten]. Zieht man aus dem Mittelpunkte C die gerade Linie c auf die Tangente ſenkrecht, ſo wird TPM: PT = cr: 1I oder, Vr. GM: aay A T., bbx X und H 4 TM Zweytes Buch. Sechstes Capitel. TM: PM = CT: CC, oder VFM. G My = 4A * :CQ, §. 155; und alſo = à'y Ab ra= P= E. und cae⸗ VFM. G M eben ſo aus dem Brennpunkte k die Linie F S ſenkrecht auf die Tangente, ſo wird L M: PT = FT: TS oder .„F§F lt man aA y, aayy æ FM. GM: e — :TS, und TM: PM= FT: FS, oder a y „ .,F M E VFM. GM: = : FS §. 155; und daher aay F M b. F M. nd FS = : bXVFM. GX VFM. G M. ſo wie, wenn man aus dem andern Brennpunkte die Linie Gs ſenkrecht auf die Tangente faͤllt, a a y. G M b. G M „und Gs= bx V FM. GN VFM. GM wird. Hieraus erhaͤlt man TS = T = TS. Ts = 4r T= ACX— 2a) = CT. PT, und bbXX Xxx “ H Da ferner QS = Qs iſt, ſo iſt L 286 1SIISsS aaFM &) ay V(aa † bb) 28— 2 bz VCF M. G M) bV FM. GM a.T t = C, [weil F M † GM = iſt/ §. 15413 und hieraus fließt 22 b4 1 22 Y 4 abbl cS2 = c: † QSa = aab ⁴4 (6 Ven ſiißt, i eine ichee E une echtou⸗ Nher „ . 3 ietiri und alſo Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 121 aaba † Ga bblbbzx aabb) (a a T bb) x X — a 4 bpb. F M. G MA FM. Gk = aa ⁹°). Es iſt alſo auch hier, wie in der Ellpſe, die gerade Linie cS = = àa = Ccà. Weiter iſt bXV. (aa † b) FSS ca aVFM.: GMN c Ge des aa. FM. 6 Sbb. Wenn man daher aus F die Linie F X der Tangente parallel zieht, und dieſelbe die ſenkrechte Linie C Q in X ſchneidet: ſo iſt CX= VC(bb † CQ2); eine Eigenſchaft, von welcher wir bey der Ellipſe eine aͤhn⸗ liche gehabt haben. §. 144. *) Man kann hier auch folgenden Gang nehmen. Es iſt aabb aayy aa † bh o8 = C0: 1 G62 = bb FM. GM. à à b b 4 C—A b weil aayy FM. G M FM. G M. . bb (aa † bb)xx — à 4 FM. G M weil (X= aa) (aa † bb) = (aa bb) xXx — àa 4 – aabb, aa bb) xXx –— 34 und das uͤhrige folgt, weil FM. GM= — aa iſt H. 154. XX— a à iſt §. 154. Dies geht ferner §. 157. Wenn man in den Scheitelpunkten A und B auf der Abe ſenkrechte Linien errichtet, und ſelbige verlaͤngert, bis H 5 ſie 122 Zioeytes Buch. Sechstes Capitel. “ N ſie der Tangente in V und v begegnen: ſo wird, weil Ar = coh r . 2, und PT: PM = AT: AV = X Aſelke 4 a y Cd n 4 Av. By = eiss :. § 18. ſnn 4 77. Ccherk Außerdem iſt auch eeuin PT : L M = . 1VS= = BI : TV; und folglich Schen be b ) Veorte TV= — M, und TVv = — i — VIM. GM, a lue Duaher denn 1a red 4 TV. Tv = 22. FM. GM=FT. Gr. lweil a Mi= laan XX gien ! FT, und M= 61† iſt § ael. §. 158. den Da cT= =— — iſg . 141, ſo muß CT, oder das Stuͤck e der Axe Roiichen der Tangente und dem Mittelpunkte deſto gente kleiner ſeyn, je groͤßer „ genommen wird, und alſo die Tangente, wenn die Curve ins unendliche fortgezogen wor⸗ den, durch den Mittelpunkt gehen, und CI = o werden. b Inun tang. PT M = = A lwe il bT= r 55 ir Wei 8. PT 554. ſale Na und y 2. VGX-— a2) §. 154, ſo wird, wenn « = 0, r ex bbzx b 64 v7= =, und ” und die Tangente geht als dann fi durch den Mittelpunkt, und macht mit der Axe den Winkel CH S . AC NAN TiN fagic rl⸗ 1 Gloden Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 123 A C deſſen Tangente = — iſt. Errichtet man daher aus A ſenkrecht auf die Axe die gerade Linie AD = b: ſo wird die Linie CD, ſo weit man ſie auch verlaͤngert, die Curve nie ſchneiden, aber ihr immer naͤher und naͤher kommen, und nur nach einer unendlichen Verlaͤngerung mit CI zu⸗ ſammenfallen. Eben das gilt von dem Theile Ck und dem Schenkel Bk. Zieht man auf der andern Seite unter eben dem Winkel die gerade Linie K Cà;, ſo erreicht auch ſie die Schenkel BK und⸗ i nicht anders als nach einer unendlichen Verlaͤngerung. Dergleichen Linien nun, denen ſich eine Curve immer mehr und mehr naͤhert, ohne ſie doch eher als nach einer unendlichen Verlaͤngerung zu erreichen, wer⸗ den Aſymptoten genannt, und es ſind alſo die geraden Li⸗ nien ICk und K Ci zwey Aſymptoten der Hyperbel. K. 159. Es durchſchneiden ſich alſo die Aſymptoten der Hyperbel in dem Mittelpunkte C, und machen mit der Axe den Win⸗ fel A CD= ACd, deſſ ſen Tangente = = „ſo wie die Tan⸗ 2 a b a àa — bb [§. 249 des 1ſten B. verbunden mit §. 234]. Wenn daher b = a iſt, ſo iſt der Winkel D Cq, unter welchem ſich die Aſymptoten ſchneiden, ein rechter Winkel, und in dieſem Falle wird die Hyperbel eine gleichſeitige Syperbel genannt. gente des doppelten Winkels oder tang. DC d= Da aber AC = a, AD = b iſt, ſo iſt CD = Cd = V (aa † bb); und wenn man daher aus dem Brennpunkte G auf eine von den beyden Aſymptoten die Perpendikulaͤr⸗ linie G H herabfaͤllt, ſo wird, weil CG = W(aa † pb). iſt, CH= AC rꝰ B C= a, und 6G H = 3 H 8 , 160. 124 Zweytes Buch. Sechstes Capitel. §. 1r60.. Verlaͤngert m man die Ordinate MPN = 2²y, bis ſie die Aſymptoten in m und n ſchneidet, ſo wird b pm = Pn = , und 7 bb cm = Cn = Waa. — rM r AC = N — ac. Ferner iſt bxX –— ay b Mm = Nn = 7 und alſo bb xx — a a = bb, a a . . weil aayy = bbxXxX — aa bb iſt, §. 154; und daher allenthalben Mm. Nm = Mm. Mn = Nn. Nm = Nn. Mn = bb = ADZ2. Zieht man nun aus M die Linie Mr der Afſymptote Cd varallel: ſo iſt, 2 b: Vä(aa † bb) = Mm: mr (Mr); folglich (bx —= à N a a † bb) und 2 a b Cx àa )W GAa bb). 2a b “ mr = Mr = Cm — mr = Cr = und daraus ergiebt ſich (hbhbxxX — aarnKa t bb) aa † bb 1 cr = aa bb 4 weil bbxx — aayy =aabb, §K. 154. Zieht man daher aus A die Linie A E. der Aſymptote C parallel, ſo iſt = AE = CE [= ¾ Cd] = ⅛ V (aa † bb) §. 169, und folglich Mr. Cr = à¾ E. CE, welches Dnd velches auf die Wad on den! Cten wenn n ſte, oe Crimnt. hinwiede wan mi inie 0) e o A⸗nu A: C hat 9 Von den Arten der Linien der zweyten Ordnung. 125 welches eine Haupteigenſchaft der Hyperbel in Beziehung auf die Aſymptoten iſt. §. 161. Werden alſo, Fig. 34, die Abſciſſen CP= auf der einen von den Aſymptoten vom Mittelpunkte aus, und die Appli⸗ caten b M = y der andern Aſymptote parallel genommen: ſo iſt —aa † b b 4 wenn man nemlich AC= BC=a, und AD=Ad=—b 5 ſetzt, oder yx = h h, und 7= R wenn man A =CE=h annimmt. Wird daher x = o, ſo wird y = 00, ſo wie hinwiederum y= o iſt, wenn Xæ = 0 genommen wird. Zieht man nun durch irgend einen Punkt der Curve M eine gerade Linie QMNR, welche der nach Belieben gezogenen geraden Linie GH parallel iſt, und nimmt dabey C Q = t, und QGM = u an: ſo iſt CH: CH=u; PQ; GH: CG= u: PM; folglich CH CG PQ= u, und PM = 5: u; und daher CG CH R 7=Ou, und xX = t — 5 . Bringt man dieſe Werthe in yx = hh, ſo erhaͤlt man daraus C G cH. CG —, k† — * — 6 u — diis⸗ uu = hh; oder GH GHz= u — — = - hh = 9. u — etut ee 9 Es hat alſo die Applicate u einen doppelten Werth, nem⸗ lich QM und QN, und die Summe dieſer beyden Werthe iſe 6 Zweytes Buch. Sechtes Capitel. 061 iſt S S k, ſo wie das Rechteck zwiſchen ihnen GHZ 1 N = — — . a GH. CC. K. 162 Da alſo QM † QN = Ck iſt, ſo iſt Q M = RN, und Q N = RM. Wenn daher die Punkte M und N zu⸗ ſammenfallen, oder die Linie QR die Curve beruͤhrt: ſo wird ſie in dieſem Punkte in zwey gleiche Theile getheilt. Beruͤhrt nemlich XV die Hyperbel, ſo liegt der Beruͤh⸗ rungspunkt Z in der Mitte von XVY. Wenn man daher aus 2 die gerade Linie ZV der andern Aſymptote parallel zieht: ſo iſt C V = VVY, und dies fuͤhrt auf eine ſehr leichte Art, durch jeden Punkt der Hyperbel eine Tangente zu legen. Man macht nemlich VY = CV, und zieht durch V und ? eine gerade Linis, welche dann die verlangte Tan⸗ gente iſt. Da nun CV. 2 V = hh = iſt, ſo wird CX. CY = aa †T bb= CDe = CD. Cd, und wenn man alſo die geraden Linien D X und dxY zoͤge, ſo wuͤrden ſie einander parallel ſeyn. Hierauf beruht eine ſehr leichte “ Tangenten der Curve zu ziehen. §. 163. Da ferner das Rechteck Q M. QN = S66 hh iſt, ſo faͤllt in die Augen, daß dieſes Rechteck QM. CQN, wo man auch QR der H G parallel ziehen mag, immer dieſelbe Groͤße haben werde. Es wird daher auch QM. QN = GHZ = QN. NR = E. 76 ſeyn Demnte ſich ehesn Neoſch Da ſchende Cigene Eiie e ſt, de ſke von eſe ſ ore allele bigander: PX= ich 80 . Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 127 ſich alſo eine der QR parallele Tangente, welche innerhalb iſen r der Aſymptoten in dem Beruͤhrungspunkte in zwey gleiche Theile gerheilt wiro, §. 162, und nennt man die Haͤlfte derſelben q: ſo wird allezeit QM. QN = QM. MR = RM. RN= R N. NQ= qq. welches eine ſehr merkwuͤrdige Eigenſchaft der Hyperbeln iſt, Ge die zwiſchen ihren Aſymptoten beſchrieben worden ſind. IN N berühet. 0 5. 164. Da die Hyperbel aus zwey einander gerade entgegen⸗ in duin ſtehenden Theilen IA1 und KBKk beſteht: ſo finden dieſe n Mon de Eigenſchaften nicht bloß alsdann ſtatt, wenn eine gerade note hotell Linie auf die Aet zwiſchen den Aſymptoten gezogen worden eſen iſt, daß ſie einen und denſelben Theil der Curve in zwey Tangente Punkten ſchneidet; ſondern auch, wenn eine gerade Linie d ſeht von einem Theile der Curve nach dem entgegenſtehenden ebetlnge dn gezogen wird. Zieht man z. B. aus M die gerade Linie Mqrn nach dem entgegenſtehenden Theile, und mit ihr die Parallele Gh: ſo wird, weil die Dreyecke CGh und PM . . w .B . . einander aͤhnlich ſind, wenn man Cq =t, und q M= u ſetzt, nd venn un 0CG L Ch Sſnidſ Snh u, und qs * h alſo in N Xx = It P Sh' u- Dies giebt, da Xy = ah, § 161, cq. C! — tu 1e⸗ —nuu = h h, oder S s 6n: G. ch h=0 ,CNr ,Kop nin i §. 165. G 891 Es hat alſo die Applicate u einen doppelten Werth, nem⸗ n d DN lich 4M und — an, denn An iſt negatid, weil es auf der 128 Zweytes Buch. Sechstes Capitel. ic. andern Seite der Aſymptote Cb, die zur Axe genommen iſt, SS liegt. Die Summe dieſer beyden Wurzeln qM, — qn iſt da. 8 her — =. t = — qr, folglich qu — q M = qr, und daher q M=rn, und qn = r M. Ferner erhellet aus der Gleichung § 164, daß das Produkt dieſer Wurzeln — atd qn de = — = hh, oder q M. qn = gM. r M=Tn. qn SErn. r M = hh iſt. Es ſind alſo dieſe Rechteke, E wieviel gerade Linien Mn man auch der G h parallel ziehen d Au mag, immer von einer und derſelben Groͤße. Und dies ſind ten die vornehmſten Eigenſchaften der einzelnen Arten der Linien t n der zweyten Ordnung, welche, wenn man ſie mit den all⸗ geren gemeinen Eigenſchaften derſelben verbindet, zu einer außer⸗ ſtantw ordentlichen Menge merkwuͤrdiger Beſchaffenheiten fuͤhren. in⸗ 2= iſe no Hoinne Nung des liinpep Dder des hne Wirgen der , entweder ſcee⸗ leten W Rinaten i , 4 AEue chtecke la ſcen Mes ſnd erkinier Wd⸗ e alſe⸗ fütt. p Siebentes Capitel. Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. §. 1665. Wenn eine krumme Linie, zu was fuͤr einer Ordnung und Art dieſelbe auch immer gehoͤren mag, einen ohne Ende fortlaufenden Schenkel hat, und man aus einem unendlich weit entfernten Punkte in derſelben auf eine willkuͤhrlich angenommene Axe eine ſenkrechte Applicate herabfaͤllt: ſo iſt entweder die Abſciſſe x oder die Applicate y, oder es ſind beyde Coordinaten unendlich. Denn ſollte weder die Ab⸗ ſeiſſe noch die Applicate unendlich ſeyn, ſondern beyde eine beſtimmte oder endliche Groͤße haben: ſo waͤre die Entfere⸗ nung des in der Curve angenommenen Punkts von dem Anfangspunkte der Abſeiſſen endlich, nemlich = V(xx † yy), wider das Angenommene. Wenn daher eine Curve einen ohne Ende fortlaufenden Schenkel hat, ſo gehoͤrt entweder zu irgend einer endlichen Abſciſſe eine unendliche Applicate, oder zu einer unendlichen Abſciſſe eine moͤgliche, endliche entweder oder unendliche, Applicate. Und hieraus laſſen ſich die ohne Ende fortlaunfenden Schenkel der Curven ent⸗ decken. §. 167. Wenn eine algebraiſche Gleichung zwiſchen den Coor⸗ dinaten X und „ von irgend einer Ordnung, die n anzeigen mag, gegeben iſt, und man die Glieder beſonders betrach⸗ tet, in welchen die veraͤnderlichen Groͤßen X und y, n Di⸗ Eulers Einl.i in d. Angl. d.Unendl. II. D. J men⸗ 130 Zweytes Buch. Siebentes Cabitel. menſionen haben, und welche aiſo ayn † gyn - I1X*†. yyn-22 † un Jyn- 3X 3 † . † 2 Xn ſeyn werden: ſo laͤßt ſich dieſer Aus⸗ met druck in einfache Faktoren von der Form Ay † Ex aufloͤſen, pon die entweder reell oder imaginaͤr ſind, Iſtes B §. 90.] und Gn hat derſelbe imaginaͤre Werthe, ſo iſt ihre Anzahl eine ge⸗ rade Zahl, und je zwey derſelben geben im Produkte einen G doppelten reellen Faktor von der Form A2y2 — 2A Bxy. coſ. 6 † B2X2. [§. 91 des 1ſten B. verbunden mit §. 145 eben die⸗ ſes Buchs)]. Ein ſolcher Faktor aber hat allezeit, es mag nun x, oder y, oder beyde zugleich = O ſeyn, den unend⸗ lichen Werth = O2, weil das Glied 2 A B px. coſ. o im⸗ . mer kleiner iſt, „als die beyden uͤbrigen, und weder A noch = o ſeyn kann. Es kann daher ein ſolcher Faktor wie di A2y2 — 2 A B Xy. coſ. & † B2xX2, wenn entweder X oder 7„„ wi doder ſowohl X als y unendlich groß angenommen wird, we⸗ der= = o, noch eine endliche Groͤße, ja nicht einmal bloß = 00 ſeyn, ſondern er iſt allezeit = = 002, welches un⸗ endlich vielmal mehr iſt als .. Nimmt man daher an, daß der hoͤchſte Theil der Glei⸗ chung, ⸗yn † gyn -IX † Yy-2 2 T. Xn, keinen ein⸗ fachen reellen Faktor habe; ein Fall, der nur dann ſtatt finden kann, wenn n eine gerade Zahl iſt: ſo wird derſelbe aus lauter doppelten Faktoren von der Foxm Aaya2 — we 2 A Bx y. coſ. O † BaX beſtehen. Wenn daher entweder x, oder y, oder x und „ zugleich unendlich groß angenom⸗ men werden, ſo wird auch jener Ausdruck ſelbſt einen un⸗ M endlichen Werth = Oο bekommen, und er kann alſo als⸗ dann weder einer endlichen Groͤße, noch irgend einer un⸗ endlichen Groͤße Om, deren Exponent m kleiner als n iſt, gleich ſeyn. Da nun die uͤbrigen Elieder der Gleicun⸗ in . — — IJ ””M vif . ſa e aüfche. o.)) ee ge lte iren yecol⸗ hen die⸗ Enag Gad⸗ oloi 14 1 ke wie Raf, nicd de nal lec es 2 Ge⸗ nen en unn , derſelhe 2² mtrehe em n un⸗ o ee ni 1 Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 131 in welchen die veraͤnderlichen Groͤßen x und y weniger Di⸗ menſionen haben, unendlich Große mit einem kleinern Ex⸗ ponenten geben: ſo koͤnnen ſie jenem hoͤchſten Theile nie gleich werden, und es kann folglich auch die Gleichung nicht beſtehen, wenn entweder x oder y oder beyde veraͤnderliche Groͤßen unendlich angenommen werden. Wenn alſo eine krumme Linie durch eine Gleichung zwi⸗ ſchen den Coordinaten X und „ ausgedruckt wird, deren hoͤchſtes Glied keine einfache reelle Faktoren hat: ſo hat ſie keine ohne Ende fortlaufende Schenkel, ſondern es iſt die ganze Curve in einem endlichen Raume enthalten Rſo wie die Ellipſe oder der Kreis. Wenn daher in der allge⸗ meinen Gleichung der Linien der zweyten Ordnung y⸗ † SXy T YX X † òy † exX † = o das hoͤchſte Glied «y⸗z † gXy † 7XX, worin die veraͤnderlichen Groͤßen X und y zwey Dimenſionen haben, keine einfache reelle Faktoren hat, welches geſchieht, wenn g groͤßer als 442%½ wird: ſo hat die Curve keinen ohne Ende fortlaufenden Schen⸗ kel, und iſt daher eine Ellipſe. §. 170. Um dies deſto deutlicher aus einander ſetzen zu koͤnnen, wollen wir jede Gleichung zwiſchen den Coordinaten und y auf die Art in Glieder theilen, daß wir zu dem hoͤchſten oder erſten alle die Glieder der Gleichung rechnen worin die veraͤnderlichen Groͤßen xX und „ die hoͤchſte Dimenſion von dem Exponenten n haben. Das zweyte Glied ferner ſoll alle die Glieder der Gleichung bekommen, worin beyde veraͤnderliche Groͤßen n — 1 Dimenſionen ausmachen. Zu dem dritten Gliede ſollen alle die Glieder der Gleichung ge⸗ Ja hoͤren, 132 Zweytes Buch. Siebentes Capitel. hoͤren, worin die Anzahl der Dimenſionen der veraͤnderlichen Groͤßen X und y, durch n – 2 ausgedruckt wird; und auf dieſe Art wollen wir weiter fortgehen, bis zu dem Gliede, worin keine Dimenſion von X und „ enthalten iſt, und welches daher bloß aus einer beſtaͤndigen Groͤße beſteht. Außerdem wollen wir das erſte oder hoͤchſte Glied P, das zweyte C XN N §K. 171. Da alſo die krumme Linie, welche durch die Gleichung †¼ Q† R† S † ꝛc. = o ausgedruckt wird, wenn p keinen einfachen reellen Faktor hat, auch keinen ohne Ende fortlaufenden Schenkel hat: ſo wollen wir nun⸗ mehr annehmen, daß das hoͤchſte Glied P Einen einfachen reellen Faktor ay — bx habe, ſo daß P = (a y — b xX) M ſey, wo M eine Funktion von x und y von n — 1 Dimen⸗ ſionen bedeutet, die keine einfache reelle Faktoren hat. Setzt man daher X oder y oder x und y = 00, ſo wird M= OOn-1; Q kann ein aͤhnliches unendlich Großes ſeyn, aber R, 8, ꝛc. werden unendlich Große von niedrigern Graden. Folglich kann die Gleichung P † Q † R † ꝛc. So beſtehen, wenn ay — bx = einer endlichen Groͤße ddder = o iſt, und die Curve wird daher ohne Ende fortlaufen. 8. v7.o.o.e. Es ſey alſo ay — bzx = p, wo p eine ſolche endliche Groͤße ſeyn muß, daß p M † Q †hhS † ꝛc. = o, — Q— R — S ꝛc. oder p = — — wird, wenn die Curve ins Unendliche uͤbergeht. Da aber M eine unendliche Groͤße von einer hoͤhern Ordnung als R, 8, ꝛc. iſt, ſo werden .. 1 - die? Man pinn ſenet — , 2 1—2 War beſie wveld nan Aett aud Gec 48 Mite aufe „‚worn welches Uerden ehte chng , pen n ohre 1 W⸗ bfachen — bN Diner O ord en. per 41. Geie , N Ne Von den ohne Ende ſthufade Schenkeln. 133 5 die Brüche „ 2. = o, und ſleti p = . M Man erhaͤlt alſo den Werth von p aus dem Bruche —. wenn man darin xX und y unendlich groß annimmt. Da P P ferner a y — bx = p iſt, ſo iſt y = r, und — . — = „ weil = o wird, wenn X = Oo iſt. Wenn alſo die Curve ins Unendliche uͤbergeht, ſo iſt y= R. 8. 173. Da Q und M homogene Funktionen von n — 1 Dimen⸗ ſionen ſind, ſo iſt eine Funktion von keiner Dimenſion (1 B. §. 85)] welche daher, wenn man y = 52 ſetzt, einen beſtaͤndigen Werth p fuͤr giebt. Oder, da die Funktion 8 beſtimmt wird, ſobald das Verhaͤltniß zwiſchen „ und x, welches das Verhaͤltniß b: a iſt, beſtimmt wird: ſo erhaͤlt man den Werth von p, wenn man in der Funktion allenthalben b anſtatt y, und a anſtatt X ſetzt. Hat man auf dieſe Art p gefunden, ſo wird ay — bx = p, und dieſe Gleichung iſt in der gegebenen Gleichung P † Q † Kk † S . So enthalten, wenn die Curve ins Unendliche uͤbergeht. F. 174. Der Theil der Curve im Unendlichen wird alſo durch die Gleichung ay — bz = p ausgedruckt; und da dies eine J 3 Glei⸗ *% 134 Zweytes Buch. Siebentes Capitel. Gleichung fuͤr eine gerade Linie iſt, [(5 39. 40], ſo muß dieſe gerade Linie, wenn ſie ohne Ende verlaͤngert wird, mit der Curve zuſammenfallen. Es iſt daher die gedachte gerade Linie eine Aſymptote der Curve, weil die krumme Linie mit ihr im Unendlichen zufammenfaͤllt, und ſich ihr daher immer mehr und mehr naͤhert. Und da die gegebene Gleichung P † Q † R † S † ꝛc = o, wenn man x oder y = 00 ſetzt, in dieſe, ay — bXx = p, uͤbergeht: ſo erhellet zu⸗ gleich, daß diee gerade Linie, nach beyden Seiten verlaͤn⸗ gert, im Unendlichen mit der Curve zuſammenfaͤllt. Es hat daher die krumme Linie zwey ohne Ende fortlaufende, und einander entgegenſtehende Schenkel, davon der eine mit der geraden Linie, wenn man ſie vorwaͤrts, und der andere mit ihr, wenn man ſie ruͤckwaͤrts ohne Ende ver⸗ laͤngert, zuſammenfaͤllt. §. 175. Da alſo die Curde, wenn die fuͤr ſie gegebene Gleichung PP Q † R † 8 † ꝛc. ſo beſchaffen iſt, daß das hoͤchſte Glied derſelben Einen einfachen reellen Faktor hat, zwey ohne Ende fortlaufende Schenkel hat, die ſich einer und derſelben geraden Linie, welche man ihre Aſymptote nennt, auf beyden Seiten immer mehr und mehr naͤhern: ſo wol⸗ len wir jetzt annehmen, daß das hoͤchſte Glied P zwey ein⸗ fache reelle Faktoren ay — bx, und ey — dx habe, ſo daß P = (ay — bxX) (ec 50 –— dx) M, und M eine homogene Funktion von n — 2 Dimenſionen ſey. Hier ſind aber zwey Faͤlle zu erwaͤgen, indem dieſe beyden Faktoren emiwader⸗ einander gleich oder ungle eich ſeyn koͤnnen. Sind nun zuvoͤrderſt dieſe Faktoren einander ungleich, ſo iſt offenbar, daß die Gleichung (a y ſuͤer Ven ty- er⸗) in he RN gerade nie mit tinmer leichng 200 le wn⸗ . G uſende, er eſte 1ad Ne Me bes he hchſe wey wd an, Pmd in t, nogee iwig edes, 4 Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 135 (ay — bx) (cy — d x) M † OQ† Kk †S † ꝛc. = o fuͤr unendliche Abſeiſſen oder Applicaten auf eine doppelte Weiſe beſtehen kann, entweder wenn ay — bx, oder wenn cy — dx einer endlichen Groͤße gleich iſt. Setzt man da⸗ her ay — bx = P,Z ſo daß P eine endliche Groͤße iſt, ſo iſt b im Unendlichen ? . = 1 und es wird, wie vorhin, — Q△— K — $ — *½. — C p cY— dx) 4 (cy — dæ) M welches eine Fanttian von und y von keiner Dimenſion 5 iſt. Wenn man alſo . = —, oder, welches auf eins hinauslaͤuft, allehthalben b anſtatt y, und a anſtatt X ſetzt, ſo findet man den wahren Werth der geſuchten beſtaͤndigen Groͤße p. Es iſt folglich p = — K und da we⸗ gen der Ungleichheit der Faktoren be — a d nicht = o ſeyn, und eben ſo wenig M, da es gar keinen reellen einfachen Faktor enthaͤlt, = o werden kann: ſo entſteht daraus fuͤr p ein endlicher Werth, oder es wird =o, welches ge⸗ ſchiehet, wenn entweder das Glied Q gaͤnzlich fehlt, oder den Faktor ay — b X hat. §. 177. Es hat alſo die Curve wegen des einfachen reellen Faktors ay — bx des hoͤchſten Gliedes P, eben ſo wie im erſten Falle, Eine Aſymptote, deren Lage durch die Gleichung ay — bæ = p angezeigt wird. Auf eine aͤhn⸗ liche Art aber kommt ihr auch wegen des andern Faktors cy— dxz eine Aſymptote zu, welche durch die Gleichung — 2 e (a y — bx) M cy — dx = q ausgedruckt wird, wenn man q = 136 Zweytes Buch. Siebentes Capitel. ennimmt, nachdem man allenthalben anſtatt y und x die beſtimmten Werthe d und c geſetzt hat. Es hat daher die Curve zwey Aſymptoten, und folglich vier ohne Ende fort⸗ laufende Schenkel, die mit dieſen geraden Linien endlich zuſammenfallen. So verhielt es ſich, wie wir oben geſehen haben bey der Hyperbel; und wenn daher das hoͤchſte Glied syy † 6Xy † 7X X in der Gi leichung fur die Linien der zweyten Ordnung «yy † &* † yxXX † dy † eX † ½ = 0 zwwey einfache reelle und ungleiche Faktoren hat, welches ſtatt findet, wenn ½ groͤßer als 4. iſt, ſo iſt die Curve eine Hyperbel. §. 178. Nun ſeyen d die beyden Faktoren a y — bx und ey— a einander gleich, ſo daß P = = (ay — bx)⸗ M. Da P † Q?† R— 8 — ꝛc. R†S †––ic = o iſt, ſo iſt (ay — bx 2 = —— — und da Q eine Funktion von n — 1; R eine Funktion von n – 2; unds eine Funktion von n — 3 Dimenſionen iſt, ſo wird, da M ebenfalls n — 2 Dimenſionen hat, wenn x oder y unendlich groß werden, S o, und folglich — CQ R 1 — 2 ——— — “ — — —, 4. cay be) M = M (ay †1) Run ſind aber und Funktionen von keiner Dimenſion der Gebgen x und y. Da alſo im Unendlichen 7:X = b: a iſt, ſo werden beyde Funitionen „wenn man b das Berhaͤltniß⸗ 4 anſtatt 2. . oder b fuͤr y, und a füͤr ſetzt, zu heſtundigen Großen. 5. 779. Poret t. = fal. ſeße! Nehine )- n. Mha f wen Sche die tobe/ Gc flmk ſeyn dren Rr har th endeſt⸗ ende e ngeſehen 6ſee G nien Ne 4/— — welches en Dki W. gſonen ſp , nnn = n kin lite monn ſen Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 137 . 179. Es werde daher durch dieſe Subſtitution KCay †,2 , und MA— ſo wird (ay — bx)2 = — Ace † x) — B: und dies iſt die Gleichung fuͤr eine krumme Linie, welche mit der Linie, die durch die Gleichung P † QFRTPSEP ꝛc. = o ausgedruckt wird, im Unendlichen zuſammen⸗ faͤllt. Da aber die Groͤßen „ und „willkuͤhrlich ſind, ſo ſetze man = = b und = a, und laſſe bey veraͤnderten Co⸗ ordinaten ay — bx = u V (aa † bb) und by † ax = t V(aa † bb) ſeyn. Alsdann iſt fuͤr eben dieſe Curve à B= a h wovon in die Augen faͤllt, daß es eine Gleichung fuͤr die Parabel iſt. Die geſuchte Curve iſt daher von der Art, daß ſie ohne Ende fortgefuͤhrt, mit einer Parabel zuſam⸗ menfaͤllt. Sie hat daher nur zwey ohne Ende fortlaufende Schenkel, deren Aſymptote keine gerade Linie, ſondern die durch die vorhergehende Sleichung ausgedruckte Pa⸗ dabel iſt, §. 180. Dies ſndet ſtatt, wenn A nicht = o iſt: allein wenn = e wird (welches geſchiehet, wenn das zweyte Glied O fehlet, oder durch a y — b« theilbar iſt), ſo hoͤrt die ge⸗ fundene Gleichung auf eine Sleicungt fuͤr die Parabel zu ſeyn, und verwandelt ſich in uu † . ſ5b, wobey drey Faͤle zu betrachten ſind. Iſt nemlich zuvoͤrderſt B eine 139 Zweytes Buch. Siebentes Capitel. An . B c. HS iſin — — — 4 negative Groͤße, oder aa T ob . ft, ſo begreift die ẽZ Gleichung uu — ff = o dieſe zwey Gleichungen u — f=o, 1 und u † f = o in ſich, welche zu zweyen geraden einander ! parallelen Linien gehoͤren, davon eine jede eine Aſymptote der Curve iſt, wie im erſten Falle. Es hat daher die Curve vier ohne Ende fortlaufende Schenkel, die uͤber alle Grenzen hinaus verlaͤngert mit dieſen beyden geraden Linien zuſammenfallen. VU er §. 18r. . 2 Der zweyte Fall findet ſtatt, wenn B eine poſitive Gröͤße, lb oder = † ft iſt. Weil aber die Gleichung uu †¼ If = o in dieſem Falle unmoͤglich wird, ſo hat die Curve alsdann beinen ohne Ende fortlaufenden Schenkel, ſondern iſt ganz in einem endlichen Raume enthalten. Es hat daher die ) Curve, welche durch die Gleichung P † Q † R † S † ꝛc. ausgedruckt wird, nicht bloß in dem Falle keinen ohne Ende fortlaufenden Schenkel, wenn das hoͤchſte Glied P keinen die eenfachen reellen Faktor hat, ſondern es kann dieſer Um⸗ als, ſtand, wie wir geſehen haben, auch ſtatt finden, obgleich erhäͤtt Faktoren hat In der Folge werden noch mehrere “ deer C dieſer Art vorkommen. 4 ts. 6. 122. wenn Der dritte Fall endlich tritt ein, wenn auch B=0 wird, din ein Umſtand, der ſich bey jedem der beyden vorhergehenden chenr Faͤlle ereignen kann, daher es zweifelhaft iſt, wie die Curve beſchaffen ſeyn werde. Man muß alſo, um die Geſtalt der Curve zu beſtimmen, die folgenden Glieder betrachten. Da nemlich P rd .πD⁸ und = ay — 51): M iſt btot Vaeon den ohne Ende fortlaufenden Echeten 139 egtiſte ſo iſt im Unendlichen . 1= b, und (ay — bx)⸗ 1 Q N 11t * u So. Nun ſetze man, wie vorhin [5§ 179] ecden man he N die Subſtitution X = = = b gebraucht hat, lber ale 0 denkiier = AC(by † a), und . = B; ferner ſey, da 8, T, V ꝛc. Funktionen von (n — 2), (n — 3) ꝛc. Dimenſionen, M aber eine Funktion von n — 1 Dimenſionen iſt, nebi⸗ s (by † ax) TC(by † ax) = VCby † ax) 2 Ifl= XX = C; M = D; MxA— de dedunt = E, ꝛc.: ſo iſt n iſgen D luher h Er — bz) 2 † A Cy T axn) † B 5e Sfa 1† Tr a i3 5/ B H hornde R—⸗ 1† (by † a X) ⁸ — o 9b tin Dieſe Gleichung druckt daher die Natur der krummen Linie erEH aus, deren im Unendlichen gedachter Theil, welchen man hi erhaͤlt, wenn man by † ax unendlich groß annimmt, mit gun der Curve zuſammenfaͤllt, die aus der Gleichung P † Q † RF S † ꝛc. =o entſpringt. Denn ohngeachtet (ay — bx) 2 wenn die Curve ins Unendliche uͤbergeht, einen endlichen oder einen unendlichen Werth, aber von einer niedrigen 20 ti Orduung als 002, erhaͤlt, ſo hat gleichwohl «y † a= glen einen unendlichen Werth. eCede el de UD . 183. rachten Veraͤndert man nun aber die Axe der grfndenen Aſym⸗ i ptote, und ſetzt die Abſciſſen darauf ⸗= . n =t, und 140 Zweytes Buch. Siebentes Capitel. — b x die Applicate b) = u, desgleichen, der Kuͤrze wegen, (aà a n= = g; ſo bekommt man c Dd E uu 4 t g3t gatz gets t. = o. Da alſo 4 dem gegenwaͤrtig zu entwickelnden Falle 4 A = o, und B = o iſt, ſo wird e D E uu† l = 0. Iſt nun C nicht = o, ſo inden, wenn man t= anni —— † — — — annimmt, die Glieder S 2 † zics ꝛc. gegen „und es wird folglich uu †* = 0. g t Dieſe Gleichung druckt daher die Natur der krummen Linie aus, die, wenn man t = ſetzt, mit der Curve zuſam⸗ —O menfaͤllt. Da nun daraus u = = V iſt, ſo hat die Curve zwey Schenkel, welche ſich nach einem und demſelben Theile der Axe zu auf beyden Seiten immer mehr und mehr naͤhern. §. 184. Iſt uͤberdies c = , ſo muß man dieſe Gleichung uu t S = 0 nehmen, wo wieder ein dreyfacher Fall ſtatt ſdet, indem D eine poſitive, oder eine negative Hroͤße, oder = o ſeyn kann. Weil in dem erſten Falle die Gleichung unmoͤglich wird, ſo hat darin die Curve kei⸗ nen ohne Ende fortlaufenden Schenkel, ſondern iſt ganz in einem endlichen Raume enthalten. Was den zweyten Fall be⸗ Von etriſt, derin die wen d den P⸗ Curve der 9 hern. dieſes dieB 6 Glieder n gunz/ in habeh len, we dbenſ den iſ. ſortlon wwey . das nae nſ Pus nen hengk üing einand Undd ſchen mmnen ki de ſee N Mnete und we Glare un , Ngtete en Ful undett onn 8 Nenhi Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 141 — D ff. betrifft, wenn S — — fkf, weil un = iſt; ſo hat darin die Applicate u, ſowohl wenn man t = † 00, als wenn man t = — Oo ſetzt, einen doppelten verſchwinden⸗ den Werth, einen poſitiven und einen negativen, und die Curve daher vier Schenkel, die ſich nach beyden Theilen der Axe und zu beyden Seiten derſelden immer mehr naͤ⸗ hern. Im dritten Falle, oder wenn D = o iſt, muß man E dieſe Gleichung uu t5 — = 0 nehmen, mit der es eben die Bewandniß hat: nd ſo muß man ſo lange fortgehen, als die Gleichung P † Q † R †S † :c. = o fernere Glieder darbietet. §. 185. Angenommen nunmehr, daß das hoͤchſte Glied der Glei⸗ chung ?P † QFTRTS † ꝛc. = o drey einfache reelle Fakto⸗ ren habe: ſo iſt offenbar, daß von jedem dieſer drey Fakto⸗ ren, wenn ſie einander ungleich ſind, alles das gilt, was oben ¶171 — 174] von Einem reellen Faktor gelehret wor⸗ den iſt. In dieſem Falle hat alſo die Curve ſechs ohne Ende fortlaufende Schenkel zu dreyen geraden Aſymptoten. Wenn zwey Faktoren gleich ſind, ſo gilt von dem dritten eben das, was nach dem Vorhergehenden davon behauptet werden muß; was aber die beyden gleichen Faktoren betrifft, ſo muß man auf ſie das vorhin [K 178 — 185⁵] von zwey glei⸗ chen Faktoren Geſagte anwenden. Es bleibt daher nur der dritte Fall zu betrachten uͤbrig, wenn alle drey Faktoren einander gleich ſind. Es ſey daher b = (ay † bx) 3 M. Und da die Gleichung ?P † Q†RTS† ꝛc. = o im Unend⸗ lichen nicht beſtehen kann, wofern nicht (a y — bx) 32 einen endlichen oder wenigſtens einen unendlichen Werth von einer nie⸗ 142 Zweytes Buch. Siebentes Capitel. niedrigern Ordnung als Oο hat, damit die Poteſtaͤt des Unnendlichen, worin das hoͤchſte Glied P uͤbergeht, kleiner .⸗ èGð b werde als Oοπ: ſo iſt allerdings im Unendlichen 4 = – . W §. 186. Un dieſen Fall weiter zu entwickeln, muͤſſen wir das zweyte Glied Q betrachten, und ſehen, ob es denſelben Faktor ay — bx hat oder nicht. Fehlt daſſelbe gaͤnzlich, ſo findet das erſtere ſtatt, indem o einen jeden Faktor zu⸗ laßt. Es ſey alſo zuvoͤrderſt Qnicht durch ay — bx theil⸗ bar. Da nun Q eine Funktion von n — I, und M eine QO a X † byaN eine Funktion von keiner Dunenſenz und 6 wird daher Q. A by)⸗ 2M Groͤße, die wir A nennen wollen, und (a y — bx) 3 † A(ax † by) 2 = o, weil die folgenden Glieder im unend⸗ ſichen gegen A (ax † b 7) 2 verſchwinden. Funktion von n — 3 Dimenſionen iſt, ſo iſt „wenn man 3 = — ſetz, eine beſtaͤndige 7 . 187. Die krumme Linie, welche durch dieſe Gleichung aus⸗ gedruckt wird, iſt daher ſo beſchaffen, daß ſie, ins Unend⸗ liche fortgefuͤhrt, mit der krummen Linie, welche durch die Gleichung P † Q†RFT S † ꝛc. = o ausgedruckt wird, zu⸗ ſammenfaͤllt. Um ſie aber genauer kennen zu lernen, wol⸗ . len wir fuͤr ſie eine andere Axe annehmen, worauf — b die Abſciſſe t = — 1 2, und die Appiicate u = fdr VCa 1 dbe= 8 ſeyn ſoll. Alsdann iſt u? 12 Att.o, und nd di den endlige helannt 5XO ſolgen zrte ſoft⸗ odern S — vi Dder weden 8, ein⸗ gung Da n wir denſelhen le ganſich, ne Ne — r e . Ud .A ene “ i (ay — bX) (a X † by Sõ Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 143 und dieſe Gleichung giebt, wenn man darin t = Oo ſetzt, den Theil der geſuchten Curve P † Q†kn† ꝛc. = o im Un⸗ endlichen. Wenn daher die Geſtalt der Curveus † Atte= 0 5 befannt iſt, ſo iſt auch die Geſtalt des Theils der Curve P † Q † R † ꝛc. = o im Unendlichen bekannt. In dem folgenden Capitel aber wollen wir dieſe krummlinigen Aſym⸗ ptoten beſonders betrachten, §. 188. Wenn das zweyte Glied Q den Faktor a y — bx e hat, ſo iſt es dabey entweder auch durch (ay — bx)2 theilbar oder nicht. Es ſey zuvoͤrderſt nicht durch (ay — bxy 2 theil⸗ bar. Hier nehme man die Funktion von keiner Dimenſion “ ſo daß dieſelbe, wenn man 4 “R — ſetzt, die beſtaͤndige Braoße A gebe; wo dann Gy-— br) 3 1 ACGV=— bæ) (ax by M 1 R † ꝛc. =0 ſeyn wird. Hier iſt nun D wenn man ſetzt, ent⸗ weder B (ay — b X) oder B (a XK † by), je nachdem R ent⸗ weder durch ay — bx theilbar iſt oder nicht; dagegen iſt 5 eine beſtaͤndige Groͤße c. Wenn man daher dieſe Glei⸗ chung in eine andere zwiſchen den Coordinaten t und u fuͤr eine andere Axe, ſo wie worhin⸗ verwandelt, ſo iſt entweder Atu R u 3 †+ — — = 0 oder 1 e= 1 8 a tu S Da indeß bloß er Fall hieher gehoͤrt, in welchem t = 00, ſo 1444 Zweytes Buch. Siebentes Capitel ſo verſchwinden die letzten Glieder dieſer Gleichungen. Es iſt alſo in dem erſten Falle W Atu u † — † = g 88s weilche Gleichung eine doppelte Aſymptote, nemlich einmal A t u = o, und zweytens uuT F = giebt, wovon jene eine gerade Linie, dieſe hingegen eine Parabel iſt. Auch in dem letzten Falle hat u, wenn t = Oo iſt, entweder einen endlichen Werth, ſo daß, weil das Endliche gegen das Unendliche verſchwindet, t k — = o, und n = fuͤr die gerade Linie iſt. Oder es kann auch u einen unendlichen Werth haben, und dann enſeht wegen des Verſchwindens des letzten Gliedes u2 12 = für die Parabel. Es ergiebt ſich daher in beyden Sllen eine doppelte Aſymptote, wovon die eine eine gerade Linie und die an⸗ dere eine Parabel iſt, daher man dieſe Faͤlle auch nicht weiter von einander zu mnterſcheiden noͤthig hat. . §. 189. Nun ſey Q auch durch (ay — bx)2² theilbar, ſ er⸗ haͤlt man, je nachdem R durch (a y — bx) theilbar oder nicht theilbar iſt, durch eben die Operationen, die vor⸗ hin angeſtellt wurden, wiſchen 1t und u dieſe Gleichun⸗ gen: entweder Auz ,1 Aar, da & , oder Die Lo Die er ander ſind;1 zwey dr ober wi Mrala Menfa aber Glieder Athde ſſtr; chunge durch menfe Erpo⸗ Henne ohon ſet ntweden ſde Ne 0 fir N ge lie a G. ch nicn , 6 bar Nde ie w Nlißm Ni Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 145 Die erſte Gleichung iſt eine Gleichung fuͤr drey gerade ein⸗ ander parallele Linien, wenn alle drey Wurzeln derſelben reell ſind; oder fuͤr eine einzige geradlinige Aſymptote, wenn zwey von dieſen Wurzen imaginaär ſind. Hieraus entſtehen aber wieder verſchiedene Faͤlle, je nachdem von jenen drey parallelen Aſymptoten entweder zwey dder ali dren zuſam⸗ menfallen. Die etzte Gleichung u3 1 —,— = 0 aber kann fuͤr t = 00 nur arcdann Rate finden, wenn u = O iſt, ſo daß das Glied gegen das erſte u3 ver⸗ ſchwindet, und alſo u ³3 † F.⸗ = o wird, welches eine Glei⸗ chung fuͤr eine krummlinige Aſymptote der dritten Ordnung iſt. §. 190. Wenn aber A = o; B = o; C = o iſt: ſo muß man die folgenden Glieder der Gleichung P † Q † R † S † ꝛe. = o zu Huͤlfe nehmen, wodurch man die Gleichung 3 4. E 4 F 4 ꝛ u½. † gt † gta gots“ erhaͤlt. Iſt nun darin nicht D = o, ſo verſchwinden alle D Glieder vom dritten an, ſo daß alſo u3 † — iſt. J iſt. J ſt aber anch D =o, ſo wird u † g z = o; und iſt auch E=o, iſt u † 1 = o, ꝛc. Ale dieſe Gleichungen ſind Glei⸗ chungen ſr krumme Linien, welche fuͤr t = 00 mit der durch P † Q † R† S † ꝛc. So ausgedruckten Curve zuſam⸗ menfallen. Da in jeder u3, eine Poteſtaͤt mit einem ungeraden Exponenten, vorkommt, ſo ſind ſie alle reell, und zeigen Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. II. BD. K folg⸗ 146 Zweytes Buch. Siebentes Capitel. folglich an, daß es ohne Ende fortlaufende Schenkel gebe. Es iſt indeß fuͤr dieſe Faͤlle auch die durch die Glei⸗ chung u = o ausgedruckte gerade Linie eine Aſymptote, D weil ſie die Aſymptote der Curven u3 † za = o; u3 † E — — 0, 200 iſt. Sitz §. 191. Da alſo die Schenkel der Curven, die ſich einer gerad⸗ Unigen Aſomptote naͤhern, ſo ſehr von einander verſchieden ſeyn koͤnnen, ſo iſt es von Wichtigkeit, dieſe Verſchieden⸗ heit genauer zu betrachten; und dies wird geſchehen, wenn man die einfachſte krumme Linie zu beſtimmen ſucht, welhe, auf eben dieſelbe geradlinige Aſymptote bezogen, mit der gegebenen Curve uianmeeſoutt⸗ So erhellet, obgleich die u 2 Gleichung u2 1 † = † S = o, wenn ſie lauter 8 reelle Wurzeln hat, drey geradlinige einander parallele Aſymptoten anzeigt, [5§ 189], doch noch nicht, ob die Schen⸗ kei der Curve im Unendlichen hyperboliſch, das heißt, in er Gleichung u = 5 oder von einer andern Art, z. B. in der Glei chung u = —, oder u = = ec. enthalten ſind. Um dieſes zu erkennen muß man das zunaͤchſt folgende Glied, 2 D 11 nemlich 41 oder wenn dieſes fehlt . oder wenn 8£ auch dieſes mangelt, e: nehmen. Wir wollen, um die⸗ ſen Gegenſtand allgemein zu behandeln, das folgende Glied = . ſetzen, wo denn aus der Natur der Gleichung P †. 4 0† Worn ſchn, N OH cn in gole denn die rn (2— lder i berſckieden⸗ hen, Denn gt, wade⸗ Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 147 QEPRT SF zꝛc. = o, die n Dimenſionen hat, erhellet, daß k nicht groͤßer ſeyn kann als n — 3. Laͤßt man nun die A uI Bu C Wurzeln der Gleichung u3 † k 1 — 1 — = 0 dieſe 5 5 * S * ſeyn, (u — 4) (u — 8) (u — 7), ſo iſt (u — a) u — 4) YMRMB (u — ?y) — – = oöo. Ferner ſey u — & = –eine Glei⸗ kK t t. chung, welche die Natur der ei inen Aſomptote ausdruckt; ſo iſt — ( — β † —) (a — 7 † 3 = –; und wenn man tee tt“ 16 tk („ — 8) « — 2J = . t = Oo ſetzt, ſo wird §. 192. D Dieſe Gleichung findet ſtatt, wenn die Wurzel ⸗ den beyden uͤbrigen Wurzeln und 7 ungle eich iſt, und in die⸗ 7 7 ſem Falle wird] = — — und „½ = k; daher (2* – £) (« — 7)) denn die Wurzel u= « die krummlinige Aſhmptote u — = = . 1-— 6—) (2 — 7)) tk; ander ungleich, ſo giebt eine jede eine ſolche Aſymptote. Wenn aber zwey Wurzeln einander gleich ſind, oder 8 = „ iſt, ſo fallen zwey Aſymptoten in eine zuſammen, und es giebt. Sind daher alle Wurzein ein⸗ ℳ . K K iſt alsdann — — 2= woraus 12= ——- und ta tk *— 7 = k wird. Es wird daher die Natur dieſer doppelten Aſymptote durch die Gleichung (u — a)2 = =— aus⸗ („°— gedruckt. Sind endlich alle drey Wurzeln einander gleich, ſo daß daher alle drey Aſymptoten in eine zuſammenfallen, K 2 ſo 148 Zweytes Buch. Siebentes Capitel. egiebt ſo wird die Natur dieſer Aſymptote durch die Gleichung 43 (u — 2)= = = ausg gedruckt. fnig Wos §. 193. YMVMV nauer Wenn das hoͤchſte Glied der Gleichung P † QFRTYTS † ꝛc. = o vier einfache reelle Faktoren hat, ſo laͤßt ſich die nen1 Natur der ohne Ende fortlaufenden Schenkel nebſt den ſe i Aſymptoten, ſowohl wenn die gedachten Faktoren alle 29 einander ungleich, als wenn dieſelben paarweiſe gleich, oder auch, wenn davon drey einander gleich ſind, aus dem Vorhergehenden beurtheilen. Bloß der einzige Fall, wenn alle Wurzeln einander gleich ſind, bedarf einer weitern Betrachtung. Es ſey daher ? = (a y— b x) 4 M, ſo daß M - eine Funktion von n — 4 Dimenſionen iſt. Setzt man nun u in den Funktionen von keiner Dimenſion, ſo wie oben, 15 173] ſce⸗ b X = =, um daraus beſtaͤndige Groͤßen zu erhalten, und nimmt man uͤberdem bey veränderter Axe (§. 1831. t = inlte 2 E, und = — 3 , ſo daß g = = V (a a † b b) iſt: ſo erhaͤl t man fuͤr die Aſymptoten folgende Skeianngen L Die t3 ndchde zwiſchen den Coordinaten t undu. Zuvoͤrderſt u42 2 = I= wenn ſich Q nicht durch ay: — bz theilen laͤßt. 4 dieerh §. 194. Einin, Iſt hiernuͤchſt Q zwar durch ay— b X, aber nicht durch av— Pb2)2 theilbar, ſo bekommt man u4 † 4tt †k† Stt gg kelg = o, worin, fuͤr t = O.., die Applicate u entweder eine endliche oder eine unendliche Groͤße ſeyn k⸗ kann; und bieraus de er⸗ , lin * thann on 144 b) Gaargen 415 — 6 ibr durg 1 6 viher tne huus Von den ohne Ende ſerthaufenden Schenkeln. 149 ergiebt ſich eine doppelte Aſymptote, nem lich eine gerad⸗ D B . Att linige u † 5 = o, und eine krummlinige, us † – = o. Was die geradlinige betrifft, ſo nehme man, um ſie ge⸗ K nauer tennen zu lernen, das folgende Glied Dann findet 5 IK 8 l . man uI 4 5 † — — = o, und dies iſt die Gleichung AItkTT 2 fuͤr die Curve, wovon der Theil, der zu der Abſciſſe t = gehoͤrt, mit der geſuchten Curve zuſammenfaͤllt. K. 195. Es ſey nunmehr O durch (ay — bx)a, aber nicht durch (ay — bX) 3 theilbar Hier muß man ſehen, ob R durch a y — bxæ theilbar iſt, oder nicht. Im erſten Falle ergiebt ſich die Cleichuns im letzten aber dieſe, u4 † Au r tt. o. g gg 23 Die erſte Gleichung giebt zwey andere Gl eichungen, je nachden eudich oder unendlich iſt, und zerfaͤllt daher in uu † e = o, und uz f o. Die erſte ggA 3 dieſer beoden Gleichungen fuͤhrt auf zwey gerade parallele Linien, wenn ſie zwey reelle und ungleiche Wurzeln hat; wenn aber ihre Wurzeln imaginaͤr ſind, ſo iſt dies ein Kennzeichen, daß es keinen ohne Ende forilaufeuden Schen kel giebt: die andere Gl eichung u2 4 — = ⁹ hingegen giebt eine parabolif ſche Aſymptote. Was die Gleichung 150 Zweytes Buch. Siebentes Capitel. G u4 4 2 HS † 62 = O betrifft, ſo enthaͤlt dieſelbe, weil t Bt gung S gegen —„ wenn t= oo wird, verſchwindet, zwey B Gleichungen von der Form uu at = o, und es entſtehen D’ daher zwey paraboliſche Aſymptoten, wenn A⸗= groͤßer als weich 4 B iſt, die aber in eine zuſammenfallen, wenn A2 = 4 B zue⸗ wird, und imaginaͤr werden, wenn Az kleiner als 4 B iſt, chune in welchem Falle alſo kein ohne Ende fortlaufender Schen⸗ btt kel ſtatt findet. §. 196. ſtin nen Iſt endlich Q durch (a y — b x) 3 theilb ar, ſo erhaͤlt e,I man, je nachdem R und § durch ay — bx theilbar oder i nicht theilbar ſind, folgende Gleichungen: Au 3 BaS ca D 14 † —— 1 f ; f —– = 0 8 8 wenn ua as e u4 f4 — † — . † — = o Cnint g gz 6 ift, uA r A- 1 = die g Venn Aus Pet ũ un „ — † — o. . NR g 8 Gen Die erſte dieſer Gleichungen iſt eine Gleichung fuͤr vier ge⸗ ſeih rade einander parallele Linien, wenn alle ihre Wurzeln reell ii; und einander ungleich ſind; ſind aber darunter gleiche, ſo ide fallen zwey oder mehrere von dieſen geraden Linien in eine Fee zuſammen; und ſind imaginaͤre Wurzeln darunter, ſo ſieren heben dieſelben entweder zwey von ihnen, oder alle auf. ad In der zweyten Gleichung muß, wegen t = 00 die Ap⸗ En plicate u nothwe Edi⸗ unendlich ſeyn, und dann geht ſie in die dieſe uler n u4 D „So, weiche auf eine krummiinige eAſym⸗ ben rtote 4 er: ahat yird Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 151 ptote von der vierten Ordnung fuͤhrt. Aus der dritten Glei⸗ . C chung kann ſie den endlichen Werth haben u kri o; auſ⸗ ſerdem ſteckt aber darin auch die Gleichung u3 † – = 0o, 88 E welche eine krummlinige? Aſhmptote von der dritten Ordnung zu erkennen giebt. Endlich verwand elt ſich die vierte Glei⸗ E chung, da u = 0 wird, wenn t = 0 iſt, in u“ † B 1tf t 2 „ „ L o* „ — =— o. Dieſe Gleichung iſt unmoͤglich, wenn B eine po⸗ ſtive Groͤße iſt; iſt aber B eine negative Groͤße, ſo zeigt ſie zwey einander am Scheitel entgegenſtehende Parabeln an, die, ins Unendliche fortgefi ſhrt rmit der Lurve zuſammenfallen. Hieraus erhellet ſchon, wie man weiter fortgehen kann, wenn noch mehr einface Faktoren des hoͤchſten Gliedes P einander gleich ſind. Denn was die ungleichen Faktoren be⸗ trifft, ſo kann ein in jedet von ihnen beſonders betrachtet, und ſo die aus ihm entſpringende Aſymptote beſtimmt werden. ene aber zwey Faktoren einander gleich ſind, ſo lehrt der „gſte und die folgenden §§ die Natur der Curve finden. Zu eben dieſer Abſicht dienen, wenn drey Faktoren einander gleich ſind, § 185 und die folgenden. Den Fall enblich, wo vier Faktoren einander gleich ſind, haben wir ſo eben be⸗ trachtet, und auf aͤhnliche Art kann, wenn mehrere gieiche Faktoren vorkommen, gehandelt werden. Uebrigense Erdete hieraus die große Mannigfaltigkeit und Verſchiedenheit un⸗ ter den krummen Linien, ſelbſt wenn man bloß auf die ohne Ende fortlaufende Schenkel ſieht; denn die Verſchiedenheit, die ſtatt findet, wenn die Curven in dem endn en Raume betrachter werden, haben wir noch gar nicht beruhrt K 4* . 21 lchtes 1 Achtes Capitel. Von den Aſymptoten. §F. 108. “ Wir haben in dem vorhergehenden Capitel mehrere Arten von Aſymptoten kennen gelernt, denn wir haben ge⸗ funden, daß es außer der geraden Linie noch eine Menge Frummliniger Aſymptoten giebt ‚die in der Gleichung uß“ = Ct' enthalten ſind. Selbſt die gerade Linie fuͤhrte auf andere krummlinige Aſymptoten, welchen ſich die Curve mehr naͤherte, als der geraden Linie. Ja ſo oft gefunden wird, daß eine gerade Linie die Aſymptote einer Curve iſt, ſo oft laͤßt ſich auch eine krumme Linie angeben, welche eben die gerade Linie zur Aſymptote hat, und welche zugleich eine Aſymptote der gegebenen Curve iſt. Dergleichen krumm⸗ linige Aſymptoten drucken aber die Natur der Curve, wo⸗ von ſie Aſymptoten ſind, weit genauer aus; denn ſie zeigen zugleich die Anzahl der Schenkel, welche ſich der geraden Linie immer mehr naͤhern, ſo wie auch die Gegend und Seite an, wo ſolches geſchieht, ob oben oder unten, ob vorwaͤrts oder ruckwarto? §. 199. Am bequemſten ordnet man dieſe ſo ſehr von einander verſchiedene Aſymptoten, wenn man der Quelle folgt, aus welcher ihre Kenntniß geſchoͤpft worden iſt. Man erhaͤlt nemlich einige von ihnen aus den einzeln einander unglei⸗ chen denſ ſe wr dier e ſen el Conen 540 noces Cld chung⸗ Ge d = =2 gleich d lſo . kon ⸗ teiban ſiſe A dene woge⸗ dier ſhne ang weſ⸗ Nen Von den Aſymptoten. 153 chen Faktoren des hoͤchſten Gliedes; andere hingegen aus je zwey gleichen, noch andere aus drey, noch andere aus vier einander gleichen Faktoren eben dieſes Gliedes. Es ſey alſo eine Gleichung von der Ordnung n zwiſchen den Coordinaten x und y gegeben, und dieſe Gleichung ſey PTQF† RT S † ꝛc. = o. Ferner ſey P das hoͤchſte Glied, welches alſo alle Glieder der Gleichung von n Dimenſionen, Q das zweyte Glied, welches daher alle Glieder der Glei⸗ chung von n — 1 Dimenſionen in ſich begreift, und auf hthn eine aͤhnliche Art ſey R das dritte, § cas vierte Glied, ꝛc. Mne §. 200. Nun ſey ay — bx ein einfacher Faktor von P, und zu⸗ fihet gleich der einzige, den P von dieſer Art hat. Setzt man une alſo P = (a y — bX) M, ſo wird M eine homogene Funk⸗ funden tion von n — 1 Dimenſionen, die nicht durch a y — bæx nne ſß theilbar iſt. Ferner ſey, Fig. 35, A Z eine Axe, ihre Ab⸗ Lche ſciſſe A P = x, und die Applicate PM= y. Damit man Heine den Faktor a y — b genau auszudrucken im Stande ſeyn rkumi⸗ moͤge, ſo nehme man noch eine andere Axe AX an, welche 8, W⸗ die vorhergehende in dem Anfangspunkte der Abſciſſen A— een ſchneide, und mit ihr einen Winkel XA7Z mache, deſſen geto b b . 9 n x Tangente = —, und folglich ſein Sinus = V aa bb, o hei wie ſein Coſinus = V ſey. In dieſer Axe nehme man die Abſciſſe A Q = t, und die Applicate Q M = u; ſo wird, wenn man Pg und bf den neuen Coordinaten u und t parallet zieht, Pg = Qt = Vaa b.) A g = cdt a X .— aà —. — 55 0r ten H K 5 by Zweytes Buch. Achtes Capitel. und olglich t = A = . Fa bbz und folglich et or Vaa r bo; àV — bxz un =— Mf — =— . ſo di 5 id u = Mf — Qf Vaa † bby Es iſt alſo die Ap plicate u nunmehr ein Faktor des hoͤchſten Gliedes P. §. 201. , au † bt àt — bu ngekehrt — — = . Umgekehrt iſt y Vaa † bpy und VC(aa † bb) Bringt man dieſe Werthe in die Gleichung P † Q † R *† 2c. = 0, ſo erhaͤlt man eine andere Gleichung fuͤr eben dieſelbe Curve, wobey AX die Axe, und t und u die Coor⸗ dinaten ſind. Um aber die Weitlaͤuftigkeit bey den Coeffi⸗ cienten zu vermeiden, moͤgen die Buchſtaben «, g, 7, 5, ꝛc. ihre Stelle vertreten. Auf dieſe Art erhaͤlt man durch die gedachte Subſtitution M = atn-I P† &th- zu † æ«tn- 3 uz † ꝛc. Q = tn- I † & tn-zu † 8 tn- 3 uz † ꝛc. R = „tn-2 † „tu- 3 † „tn-Au2 † ꝛc. S = tn - 3 † à%tn-Au † tn-SuzZ † ꝛc. T = ⸗stn-A4 † stn-Su †† stu-u3 † ꝛc. ꝛc. Weil man aber, um die Aſymptote zu ſinden, die Abſciſſe t unendlich groß annehmen muß, ſo verſchwinden in jedem dieſer Glieder die folgenden Theile gegen den erſten. Wenn alſo der erſte Theil da iſt, ſo koͤnnen die uͤbrigen aus der Acht gelaſſen werden. Fehlt der erſte, ſo nimmt man den zweyten, und fehlen der erſte und der zweyte, ſo faͤngt man von dem dritten an, u. ſ. w. H. 202. Da u die Funktion M nicht theilt, ſo kann der erſte Theil von M nicht fehlen, und es wird alſo ætn- Xu † & tn- 1 = 0. Hier⸗ Hiere 2 horele kNe oc ſete 1, Oder Wen gende Geye ft Glich⸗ Kade der Nhſeſe t 1 ſden us der on ſgt Von den Aſymptoten. 155 g Hieraus ergiebt ſich fuͤr u ein endlicher Wert th, den wir ſetzen wollen; d. h. eine gerade Linie, die mit der A X parallel laͤuft, und von ihr allenthalben um c ens tfernt iſt, iſt die Aſymptete. Um nun die krumm Nnige Aſymptot e, welche ſich der r gegebenen Curve ſtaͤrker naͤhert, zu finden, ſetze man allenthalben, außer im erſten Gliede, anſtatt u, c. Hierdurch erhaͤlt man die Gleichung a tu-In †* Stn- I † tn-2 (a« ca † β c † 7) † the 3 (ℳπ T &βc2 T† 7Yc †* *) † c. = 0. Oder, weil «au † 8β = u — c itt, (u — c) tu- I † tn -2 (a C2 † 8 † 72½) † tn-3 (æc 3 F 8 c2 T / Cc T ⁶) † ꝛc. = o. Wenn alſo das zweyte Glied nicht fehlt, ſo koͤnnen alle fol⸗ genden aus der Acht gelaſſen werden, und dann iſt C— ) † = Fehlt das zweyte, ſo nehne man das dritte, wo denn — C (u — c) 1 Fehlt auch das dritte, ſo erha lt man durch das vierte ra. 2c. Fehlen alle bis auf das le letzte beſtaͤndige Glied, ſo wuͤrde — — 9 A = ; und fehlte auch dieſes nebſt allen uͤbrigen, ſo waͤre die ganze Gleichung durch u — c theilbar, und dann waͤre alſo die gerade Linie u — c = o ſelobſt ein Theil der Curve. §. 2023. Setzt man u — c = 2, d. h. nimmt man die Abſciſſen auf der geradlinigen Aſymptote ſelbſt, ſ⸗ ſind alle krummlinigen Aſym⸗ 156 Zweytes Buch. Achstes Capitel. Aſymptoten, welche der einzige Faktor des hoͤchſten Gliedes P an die Hand giebt, in der allgemeinen Gleichung „= enthalten, worin X jede ganze Zahl, die kleiner als n iſt, bedeutet. Jetzt wollen wir unterſuchen, wie dieſe krumm⸗ linigen Aſymptoten beſchaffen ſind, wenn die Abſeiſſe t= 0α wird. Es ſey alſo, Fig. 36, XX, die geradlinige Aſymptote, die Axe, und A der Anfangspunkt der Abſciſſen. Zieht man die Linie CD, ſo entſtehen vier Gegenden, die wir mit den Buchſtaben P, Q, K und 8 bezeichnen wollen. Nun ſey zuvoͤrderſt 2 = r. Da bey dieſer Vorausſetzung 2 allezeit negativ wird, wenn man t negativ nimmt: ſo hat in die⸗ ſem Falle die Curve zwey Schenkel EX und EVY, welche ſich in den entgegenſtehenden Gegegenden P und S der ge⸗ raden Linie X7 immer mehr und mehr naͤhern; und eben dieſes wird ſtatt finden, ſo lange k irgend eine unge⸗ rade Zahl bedeutet. Iſt aber k = 2, oder irgend eine an⸗ dere gerade Zahl, ſo bleibt 2, man mag t poſitiv oder ne⸗ gativ nehmen, beſtaͤndig poſitiv, und es hat alsdann die Curve zwey Schenkel EX und FV, Fig 37, die mit der geraden Linie XX in den Gegenden P und Q convergiren. Je groͤßer aber k angenommen wird, deſto ſaͤrker conver⸗ giren E X und FY mit XXY. Nun habe das hoͤchſte Gued P zwey einander gleiche Faktoren a y — bx. Veraͤndert man hier eben ſo wie vorhin die Axe, ſo wird P = † atn-zua † „tn- 3u 3 4 ꝛc. = 2tn- T 8tn-zu † sStn-3uz † 6βtn-4u 3 † ꝛc. = 7tn- 2 † th-3u † Ytn-Aua † ytn-5u 3 † ꝛc. = Otn-2 † àta-Au † àtn-Suz † ta-/aß † ꝛc. 2c. Hier⸗ Q R S Hieren les Finde dd keln die menfal Gegen endlic Erg 70 Kahe on, Ecen du m hat de ptoten. auf ehe Memich allenek ſo er ce kee in die⸗ en de Ne ne ungen ne a⸗/ her ne⸗ na N n de dergiten vel⸗ Von den Aſymptoten. H 157 Hieraus entſpringen, je nachdem der erſte Theil des Glie⸗ des O da iſt oder fehlt, die beyden Gleichungen, I. atn-2u2 † gtn-J = o oder æu2 † 8t = O th-Zuz † tn-2u † Yth- 2 — 0 oder u2 † gu † „ = o. Findet alſo die erſte Gleichung „u2 † t = o ſtatt, ſo wird die Aſymptote eine Parabel, mit deren beyden Schen⸗ keln die beyden Schenkel der Curve im Unendlichen zuſam⸗ menfallen. Die Curve hat daher, Fig. 38., in den beyden Gegenden P und R Schenkel, die mit der Parabel EAF endlich zuſammenkommen. §. 205. Ergiebt ſich aber die andere Gleichung æzun † gu † „ = o, ſo muß man unterſuchen, ob ſie zwey reelle Wur⸗ zeln hat, oder nicht. Iſt das letztere, ſo erkennt man dar⸗ an, daß die Curve gar keine ohne Ende fortlaufende Schenkel hat. Sind aber beyde Wurzeln reell und einan⸗ der ungleich, alſo einmal u = c, und zweytens u = d ſo hat die Curve zwey geradlinige, einander parallele Aſym⸗ ptoten. Wie eine jede davon beſchaffen ſey? ſolches wird auf eben die Art, wie vorhin, unterſucht. Setzt man nemlich, da «zuu † gu † 7 = (u — c) (u — d) iſt, allenthalben, nur in dem Faktor u — c nicht, u = c: ſo erhaͤlt man (c — d) tn-2 (u — c) † tu-=3 („c 3 † &ca † vc † ⁹) † tn-4 („CcA † üc3 † Yce † c † *½) † ꝛc. = o. Iſt nun das zweyte Glied nicht = o, ſo ver⸗ ſchwinden KMjð’, D 159 Zweytes Buch. Achtes Capitel. ſchwinden die uͤbrigen Glieder, wenn man t = ſetzt, und es wird alſo die Aſymptote “””Mäͤ (u — 2) † . — 0 ·ᷣððð Zehlt das zweyte Glied, ſo⸗ wird ſie — ) ¼ 2 = o, ꝛ. Fehlen alle bis auf das lette beſtaͤndige Glied, ſo ehn man dafuͤr Die Geſtalten dieſer Curven aber, fuͤr den Fall, wenn t = 0., haben wir bereits vorhin §. 203. insgeſammt beſchrieben. d. 206. Wenn aber die beyden Wurzeln der Gleichung, «uu † gu † „ = o, einander gleich, oder «⸗uu † Su † 2„ = (u –— c)?z iſt, ſo erhaͤlt man, weil u = c iſt, durch dieſe Subſtitution die Gleichung: tn-2 u – c) 2 † tn- 3 ( † àc2 † c † )) † tn-A (acA † gci † yec † à †²) † ꝛc. = o. Hieraus ergeben ſich, je nachdem, das erſte Glied ausgenommen, das zweyte, oder bey der Abweſenheit des erſten das dritte, oder bey dem Fehlen des zweyten und dritten das vierte nicht fehlt, fo igende GSleichu ngen fuͤr die Aſymptoten “ (u — Cc) 2½ † — = o A (u — c)2 † — = 0 tct (u — c) 2 † =S0 bis zu (u— ehit - E Von den Aſymptoten. 159 . A (u — c) †. 0 wenn außer dem letzten beſtaͤndigen Gliede alle uorle S Glie⸗ der fehlen. Wenn aber auch das letzte Glied verſchwaͤnde, ſo wuͤrde (u — c) = 0 werden, und folglich dieg gerade Linie ein Theil der Curve, und die Linie ſelbſt eine complexe Linie ſeyn. H §. 207. Ob gleich auf dieſe Art alle Faͤlle beruͤhrt zu ſeyn ſcheinen, welche bey zwey gleichen Faktoren ſtatt finden, ſo kann doch die letzte Gleichung nach andere Formen annehmen, und daraus folgen denn auch noch andere Aſomptsten. Dies findet ſtatt, wenn der Faktor der Poteſtaͤt tn- 3 durch u — theilbar iſt. Denn behaͤlt man alsdann darin, ſo wie im erſten Gliede, u — c bey, und fuͤgt außerdem das zunaͤchſt folgende da⸗ ſeyende Glied dazu, ſo ergeben ſen folgende Gleichungen. (u — c)2 A — 1 2= Aeu (u — c)⸗ † . 1 c3 — bis zu A (u — c) B (u — c)2 † . K= Wenn aber das zweyte Glied gaͤnzlich fehlet oder durch (u — c) theilbar iſt, 6 betrachte man das dritte Glied; und wenn daſſelbe durch u — c theilbar iſt, ſo laſſe man darin u — c, und fuͤge uͤberdem das zunaͤchſt folgende Glied hinzu. Dadurch entſtehen folgende Gleichungen: C— e⸗ 1 C 1 3 (u — c)²2 † — au ² =S 0 . bis 160 Zweytes Buch. Achtes Capitel. bis zu A(u —c B (u — Cc) 2 † 34 † — — — 0. tt tnu=2 Wenn auch das dritte Glied fehlt, und das vierte durch u — c theilbar iſt, oder wenn auch dieſes fehlt, das fuͤnfte, ꝛc. ſo entſteht fuͤr die krummlinige Aſhiudtote die Gleichung A (u —– c) (u — c) 2 † —,— 1 = O worin der Exponent p allemal kleiner iſt als q, und gkleiner als n — I. §. 208. Setzt man u— c = 2, ſo ſind alle dieſe Gleichungen in der er Jorm. enthalten. Bey der Entwickelung dieſer Formel aber ſind drey Faͤlle zu betrachten; der erſte, wenn g groͤßer als 2 b, der andere, wenn q = 2 p, und der dritte, wenn q kleiner als 2 p iſt. Im erſten Falle, wenn q groͤßer iſt als 2, enthaͤlt jene Gleichung dieſe beyden: A 2 — — 0; und A2z — = 0 t- t4- P denn eine jede dieſer Gleichungen thut ihr, wenn t = H .— e 8 A genommen wird, ein Genuͤge. Setzt man nemlich 2 = 15 ſo verwandelt ſich ent Gleichung in AZ A2 B t2y t2 9 1 4 oder 1† t -2 und dies iſt richtig, weil q groͤßer als 2 p iſt. Es iſt aber nn– 2 b kleiner als —— . Wenn Wenn r d Ne t= 00 und der und al⸗ R hje en und da Munr er N Ninnt, ſett ſanm te durt flnſte, — 4 4 ichung gllegger usgenin cher ſ er Hς wenn enthan Von den Aſymptoten. 161 Wenn hingegen = — iſt, ſo erhaͤlt man B B B , B XZ2t2q-—2 p — 14 r oder X2ta-2 — B † B — o und dies iſt wahr, weil das erſte Glied verſchwindet, wenn 1t= 00 wird. In dieſein Falle hat man alſo uͤber einer und derſelben geradlinigen Aſymptote zwey krummlinige, und alſo vier ohne Ende fortlaufende Schenkel. Der zweyte Fal, wenn = 2 p iſt, giebt die Gleichung e — en 21 — die entweder imaginaͤr it, n wenn A A kleiner iſt als 4B, — und dann giebt es Leine Aſymptote; oder auf zwey aͤhnliche Aſymptoten 2 = — fuͤhrt, wenn AA groͤßer als 4B iſt. Im dritten Falle, wenn q kleiner als 2 p iſt, verſchwin⸗ det das mittlere Glied allemal, wenn man von t = 0ω bdũ nimmt, und man erhaͤlt alſo die Gleichung B 72 F = o . fuͤr eine Aſymptote. Die Beſchaffenheit der vorherge⸗ henden Aſymptoten haben wir bereits auseinander geſetzt, und wir wollen daher nun die Aſymptoten, die in der Form C 22 = c enthalten ſind, betrachten. §. 209. Wenn alſo die Axe auf der geradlinigen Aſymptote u = c ſelbſt genommen, und die Applicate u — c = 2 ge⸗ ſetzt wird, ſo ſind jene krummlinigen Aſymptoten insge⸗ ſammt in der Gleichung 22 — Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. II. H. ent⸗ 162 Zweytes Buch. Achtes Capitel. enthalten, wo k eine ganze Zahl bedeutet, die kleiner als n – I iſt. Mit den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln dieſer Curven aber verhaͤl es ſich auf folgende Art. Wenn = I, oder 22 = Ziß, ſo hat die Curve, weil t nicht negativ werden kann, zwey Schenkel EX und FX, Fig. 39, die auf den Seiten P und R ohne Ende fortlaufen; und eben dieſes findet ſtatt, wenn k irgend eine ungerade Zahl iſt. Bedeutet hingegen k eine gerade Zahl, z. B. 2, ſo GC . ⸗ . daß 22 = t wird, ſo muß man vor allen Dingen unter⸗ ſuchen, ob C negativ oder poſitio iſt. Im erſten Falle kann die Gleichung nicht reell ſeyn, und die Curve hat alſo als⸗ denn keinen ohne Ende fortlaufenden Schenkel. Im an⸗ dern Falle hat die Curve vier unendliche Schenkel, die mit der Aſymptote XY, Fig. 40, zuſammenlaufen, nemlich EFE X, FX, G Y und HV auf den Seiten P, Q, R und S. H. 210. Angenommen, daß das hoͤchſte Glied der Gleichung 5H drey gleiche Faktoren habe, und daß die Gleichung auf die Coordinaten t und u gebracht worden, und u jener dreyfache Faktor von P ſey; ſo iſt P = Tatnh- 3 u 3 † ætn-AuA † zc. QQ = gtn- 1 ata-2u † gtn- 3 u2 t-- du 3 † Stn-5u4 † ꝛc. R =YtI - 2 P 7tn- 3u † 7. 4αHν τ-s † Gtn-6 †z:. = dtn- 3 † otu- Au † tn-5 u2 † tn-6/3 T otn- 7u 4 † ꝛc. Hieraus ergeben ſich nach den verſchiedenen Beſchaffenhei⸗ ten der Glieder Q und R folgende Gleichungen: „tn-zu3 † 6gtn-TI = pers dakee lt nich Foy , u de daßt eſ en Mar⸗ le Noo n lo als⸗ n e. ta, de , erlic 105 ſchung gos R Narfege 4n4 . 1us. 6u4 1 4 . ferhe⸗ Von den Aſymptoten. 1634 stn-3u? † gtn-zu † ytn-2 = o „tn-3u3 † βt n-3uz † yYtn-2 = 0% itn- 3u32 † gtn-3uz † Yta-3u † à tn-3 = % 5. 21. Die erſte Gleichung laͤßt ſich in au3 † t2 = o ver⸗ wDandeln, und es iſt daher dieſe Aſymptote eine Linie der dritten Ordnung, deren Geſtalt die 41ſte Figur zeigt, wenn die Abſciſſen t auf der Axe XX von dem Punkte A an ge⸗ nommen werden. Sie hat nemlich zwey ohne Ende fort⸗ laufende Schenkel E und F auf den Seiten P und CQ. Die zweyte Gleichung giebt «eus † stu † 7t = o.⸗ Aus dieſer Gleichung kann u, wenn man t = Oo ſetzt, einen doppelten Werth, einen endlichen oder einen unend⸗ lichen, bekommen, und es laͤßt ſich dieſelbe daher in dieſe beyde Gleichungen, u † „ = o, und auu f 6t = aufloͤſen. Die letzte Gleichung iſt, wie wir oben geſehen haben, die Gleichung fuͤr die Parabel, und es hat dem⸗ nach die Curve zwey ohne Ende fortlaufende einer Parabel ſich naͤhernde Schenkel. Die erſte Gleichung hingegen gebe u — c = o, welches die Gleichung fuͤr die geradlinige Aſymptote iſt, deren Natur gefunden wird, wenn man allent⸗ halben, außer in su † 7 = u — c, c ſtatt u ſetzt. Es wird alſo tn -2 (u — c) † eén- 3 («c³ † gca † 7 † ) † thran (aC4 † 8c3 † 7 c2 † àc † *) † ic. = 0 und daraus ſieße⸗ wie §. 205, daß entweder ð , oder (n— e) 1 ic. eees ſeyy r64 Zweytes Buch. Achtes Capitel. ſeyn wird, und die letzte Gleichung, welche entſtehen rann, iiſſſſt òò ( u — c) † = 9 In dieſem Falle hat alſo die Curve eine doppelte Aſymptote, die eine iſt von der hier beſchriebenen Art, und die andere eine Parabel. §. 212. Die dritte Gleichung «Ku3 † guz † 7t = 0 kann nicht eſtehen, wenn man t = O annimmt, wofern nicht zu⸗ gleich u = 00 iſt. Es verſchwindet daher das Glied su⸗ gegen 2us3, und man erhaͤlt dieſe Gleichung der dritten OOrdnung, u3 +† 7t = o, fuͤr die Aſymptote, die alſo auf den beyden entgegengeſetzten Seiten P und 8, Fig. 42, zwey ohne Ende fortlaufende Schenkel AE und A F hat. Die vierte Gleichung ⸗us † 2u⸗ † 7 u † % giebt ent⸗ weder eine oder drey geradlinige, einander parallele, Aſym⸗ ptoten, wofern nicht zwey oder auch alle unter ſich gleich ſind. Um die Natur derſelben zu erforſchen, ſey zuvoͤrderſt u = = c eine Wurzel der Gleichung, und von den uͤbrigen keine ihr aͤhnlich, und zugleich „u3 † 2u † v¹ f ½ = (u — Cc) (fu2 † gu † h) Setzt man hier allenthalben, den Factor u — c ausgenom⸗ men, u = c, ſo erhaͤlt man eine Gleichung von der Form tno- 3 u — c) † AtR-4 † Btn-S † Ctn-6 † ꝛc. = 0 und daher ergiebt ſich eine Aſymptote von der Form u — c = K wo K eine Zahl bedeutet, die kleiner als n — 2 iſt. §. 213. Wenn die Gleichung u3 † u2 Tru † 5=0 zwey oleiche Wurzeln hat, ſo daßs⸗ „ u3 ſt: ſo nen, e G⸗ wog! ſen Fal it alſo 42 hat, — Ker denn⸗ hi. ſe ne nodurch ergeben Glied be Uichtren -— ) cken Venn ben k⸗ welchen Umptote, e andere gichi ſeb ou deitter⸗ o a 4,we 1 giht an Ay gech gobrdeck Grigen ) Gemin⸗ Form Von den Aſymptoten. 16 5 „u3 † u † Zu † = (u — c) 2 (fu † g) iſt: ſo gelangt man, wenn man, die Glieder ausgenom⸗ men, worin u — c ein Faktor iſt, u = c ſetzt, zu folgen⸗ der Gleichung du — c)⸗ — t 9 wo ꝗq kleiner als n — 2, und p kleiner als q iſt; allein die⸗ ſen Fall haben wir bereits vorhin §. 207. f. betrachtet. Es iſt alſo nur der noch uͤbrig, wenn die Gleichung, zu3 † Zuz2 † 7 u † *° = ., drey reelle Wurzeln, nemlich (u — c)3 hat, und man folgende Gleichung erhaͤlt: (u— C) 3 tn- 3 † Ptn-4 † Qtn-5 † Rtn-6 p 2c. = o. Iſt P nicht durch u — c theilbar, ſo ſetze man u = , wo denn A . (u — c) 3 † 0 wird. Enthaͤlt hingegen P den Faktor u — c einmal, ſo ſetze man allenthalben, außer in dieſem Faktor, u = e, wodurch ſich eine Gleichung von dieſer Form (aA — ¼ 2la — B ergeben wird, wo g kleiner als n — 2 iſt, und —6 das Glied bedeutet, welches zunaͤchſt auf das zweyte folgt, und nicht verſchwindet, caer u = c ſetzt. Wenn P durch (u — c)2 theilbar iſt, Q aber den Faktor u — c nicht hat, ſo bekommt man eine Gleichung von der Form A (u — c)2 B (u — c) 3 † — 1t. Wenn aber das zweyte Glied durch (n — c) getheilt wer⸗ den kann, ſo muß man bis zu einem Gliede fortgehen, welches nicht durch (u — c)3 theilbar iſt; und hat daßſelbe 166 Zweytes Buch. Achtes Capitel. den Faktor (n — c), ſo muß man noch weiter fortgehen, bis man zu einem durch u — c nicht theilbaren Gliede ge⸗ kommen iſt. Laͤßt ſich aber jenes Glied durch (u — c)⸗ theilen, ſo geht man bis zu einem ſolchen Gliede fort, wel⸗ ches entweder durch u — c nicht getheilt werden kann, oder dieſe Groͤße zum Faktor hat. Im erſten Falle endigt man die Gleichung; im letzten Falle aber geht man weiter, bis man zu einem durch u — nicht theilbaren Gliede gelangt iſe Auf dieſe Art erhaͤlt man allemal eine Gleichung, die unter dieſe allgemeine Form gehoͤrt: * 4 (u — C)2 B (u — c) u c)% † te 1† 149 1 wo r kleiner als n — 2; J kleiner als r, und p kleiner als In dieſer Gleichung ſtecken entweder drey Gleichungen von der Form (u — c) = oder eine von eben dieſer Form, und (lu — c)2 = ; oder die einzige (u — c)3 = . Dies letzte findet ſtatt, wenn 3 groͤßer als 1, und 3 4 groͤßer ats 21 iſt. Dann kann es ſich auch ereignen, daß beyde Gleichungen unmoͤglich werden, und alſo dadurch die Abweſenheit der Aſymptoten anzeigen. Uebrigens ha⸗ pden wir die Geſtalten dieſer Aſymptoten bis auf die ent tehe e K letzte, welche durch die Gleichung (u — c) 3 = ausge⸗ druckt wird, bereits beſchrieben. Was aber dieſe Glei⸗ chung betrifft, ſo fuͤhrt dieſelbe, wenn k eine ungerade Zahl iſt, auf Linien, wie Fig. 36, abgebildet ſind, wo zwey Schen⸗ Sae Vnd de ESgu Mm ſtgel D etſor⸗ meh ſo be tel n ſood⸗ Glch deren — 3e lacht⸗ thehen iane 1— 6 drt, wer ann oder 1 digt voon ſter, hi⸗ gelangt zng de leiner G guter en Wſe ,ℳ 3 anen, deß ipnn 1s Af Nie iit e⸗ ndehli n ſveh Schen⸗ Von den Aſymptoten. 167 4 Schenkel EX und Y auf den entgegengeſetzten Seiten P und S ohne Ende fortlaufen. Wenn hingegen k eine gera⸗ de Zahl iſt, ſo entſteht die 37ſte Figur, wo die beyden Schenkel EX und X auf eben der Seite der ger adlinigen Aſymptote XV, oder auf den Seiten b und QQohne Ende fortgehen. §. 215. Da ſich hieraus die Art und Weiſe, die Aſymptoten zu erforſchen, wenn das hoͤchſte Glied der Gleichung vier oder mehr einfache gleiche Faktoren hat, leicht erkennen laͤßt: ſo verweile ich dabey nicht, ſondern beſchließe dieſes Capi⸗ tel mit der Anwendung der gegebenen Regeln auf einen be⸗ ſondern Fall. Exempel. Es ſey alſo eine krumme Linie gegeben, die durch die Gleichung: ysXX (V — 2) — Xy (yy † X) †p† I = o, deren hoͤchſtes Glied y32X (y — X) den einfachen Faktor y =– x, den quadraliſchen Faktor X, und den enbiſchen y3 enthaͤlt, ausgedruckt wird. Zuvoͤrderſt wollen wir den einfachen Faktor y — X be⸗ trachten. Da man daher, wenn man y = * ſetzt, 2 y – = — — = 0 X erhaͤlt, ſo wird, wegen X = , y — — O0 und dies iſt die Gleichung fuͤr eine geradlinige Aſhmptate BAC, Fig. 43, die mit der Axe XY in dem Anfangspunkte der Abſciſſen einen Winkel von 450 = BAY macht. Dieſe Linie nehme man fuüͤr die Gleichung zur Axe an, indem man 2 G 7 MR 4268 Zweytes Buch. Achtes Capitel. U 1 t. 1— i ſetzt, ſo bekoͤmmt man die Gleichung (u † t) (tt— uu)zu, (tt —– uu) (tt † uu) oder, wenn man mit 4 multiplicirt, ts u † tau u — 2 t3 u2 — 2ttu4 † tus † us 0 — = 214 + 2U4 † 4 Aus dieſer Gleichung findet man, wenn man t = 00 ſetzt, n = o, und es verſchwinden daher alle uͤbrige Glieder auſ⸗ ſer t5 u — 2t4, und man hat alſo fuͤr die krummlinige Aſymptote † 1 = eG ₰A ua 2 t Wegen des Faktors X — „ hat daher die geſuchte Curve die beyden ohne Ende fortlaufenden Schenkel b B und cC. *△ §F. 216. Nun nehme man die beyden gleichen Faktoren X², ſo erhaͤlt man, da — V (yy . ) — 1 7 (y — X) iſt, wenn man die gerade Linie A D auf die vorige XY ſenkrecht ſtellt, wodurch y = t, und X = u wird, die Gleichuug: = tau⸗ — t3 u3 . — t3 u — tus † 1 Dieſe Gleichung verwandelt ſich, wenn man t = Oo ſetzt, in t4u2 – t3 u † I = und hieraus ergeben ſich folgende die ii ſyhe Are! chuo aus ur. und Ed hictt Me ſ ſeder eh⸗ mmmnlmnige chte Cune d eC, 1, 4 Nrige I1 nid, N Von den Aſymptoten. 169 u — —; und u = —. t3 Es fuͤhrt alſo der Faktor X2 auf vier ohne Ende fortlaufen⸗ de Schenkel, nemlich db und ek, wegen der Gleichung u = —, und ⁹D und⸗E, welche auf eben den Seiten lie⸗ gen, wegen der Gleichung u = . Fß. 217. Fuͤr die drey gleichen Faktoren y3 wird XVX ſelbſt zur Axe angenommen, und dadurch t = xX, und y = u. Man hat alſo hier die Gleichung 0 = — t3u3 † ttu4 — t3u — tu3 † 1 die, wenn man t = Oo ſetzt, t3 u3 † t3 u = o, oder u (uu † 1) = o giebt Da die Gleichung un † 1 = o unmoͤglich iſt, ſo findet man hier die einzige Aſymptote u = o, die mit der Axe XVY zuſammenfaͤllt, und deren Natur durch die Glei⸗ chung TI t3u = 1I, oder u = — ü3 ausgedruckt wird. Es fuͤhrt alſo der dreyfache Faktor y nur aufezwey ohne Ende fortlaufende Schenkely und xX; und uͤberhaupt wird daher die geſuchte Curve acht ohne Ende fortlaufende Schenkel haben, von welchen aber hier nicht der Ort iſt zu zeigen, wie ſie in dem endlichen Raume unter einander verbunden werden koͤnnen. §. 218. Aus dieſem und dem vorhergehenden Capitel last t ſich daher die Mannigfaltigkeit der ohne Ende fort laufe 170 Zweytes Buch. Achtes Capitel. ꝛe. Schenkel ſehr deutlich erkennen. Denn einmal naͤhern ſich entweder dieſe Schenkel der Curven einer geraden Linie als ihrer Aſymptote, wie bey der Hyperbel, oder es kommt denſelben keine geradlinige Aſymptote zu, wie bey der Pa⸗ rabel. Im erſten Falle werden die Schenkel der Curven hyperboli⸗ ſche, im andern paraboliſche genannt. Ferner begreift jede dieſer Claſſen eine unzaͤhlige Menge von Arten unter ſich. So werden z. B. die Arten der hyperboliſchen Schenkel durch folgende Gleichungen zwiſchen t und u, wo⸗ von t unendlich geſetzt wird, ausgedruckt: . . A —; u = —; u = u = 1t 13 3 u2 –— u2 = — u2 = tt t3 5 = us 3 ; us = —;z u3 = —; u3 = —– ; ꝛc. . tt t3 t4 2ꝛc. Die Arten der paraboliſchen Schenkel hingegen werden durch folgende Gleichungen angezeigt: u; = At; u3 = At; ua4 = At; us = At; ꝛc. u 3 = At; uA = Atz; us = Atz; us = Atz; ꝛc. u4 = At3 us = At 3; u6 = At 3; u7 = At 3 c. ꝛc. Es giebt aber eine jede von dieſen Gleichungen zum wenig⸗ ſten zwey ohne Ende fortlaufende Schenkel, wenn die Ex⸗ ponenten von t und u nicht beyde gerade Zahlen ſind; da⸗ gegen, wenn ſowohl der Epponent von t als der Erponent von u eine gerade Zahl iſt, entweder gar kein ohne Ende fortlaufender ES Schenkel, oder vier dergleichen ſtatt finden: jenes, wenn die Sleichung unmoͤglich, dieſes wenn ſie reell iſt. Neuntes lenſ eſe der P Crden Peryer n Mten olſhen 1, Ne⸗ venig⸗ die Er⸗ nde e wnnt Ende nden: un ſe Neuntes Capitel. Von der Eintheilung der Linien der dritten Ord⸗ nung in Arten. §. 219. Man betrachtet mit Recht die Natur und die Menge der ohne Ende fortlaufenden Schenkel als ein weſentliches Un⸗ terſcheidungs⸗Kennzeichen der krummen Linien, und gruͤn⸗ det darauf am bequemſten die weitere Abtheilung der Li⸗ nien einer jeden Ordnung in ihre Arten. Auf dieſen Grund laͤßt ſich auch die Abtheilung der Linien der zweyten Ordnung in die Arten bauen, welche wir oben im An⸗ fange des ſechſten Capitels] aus der Natur dieſer Linien ſelbſt abgeleitet haben. Denn iſt die allgemeine Gleichung fuͤr die Linien der zweyten Ordnung ayy † syxX † 7XX † y † † X †% = gegeben, und unterſucht man das hoͤchſte Glied d derſeiben, „yy † gEyX † 7XX, in der Ruͤckſicht, ob es einfache reelle Faktoren habe, oder nicht: ſo entdeckt man drey Faͤlle, in⸗ dem die Funktion «yy † &7Xι † X*X entweder lauter imaginaͤre, oder lauter reelle, und in dieſem Falle entwe⸗ der ungleiche oder gleiche Faktoren enthalten kann. Im erſten Falle ergiebt ſich die erſte Art, oder die Ellipfe, im zweyten die Syperbel, und im dritten die Perabel. — YMM 5. 220. R =S 172 Zweytes Buch. Neuntes Capitel. Es hat alſo in dem Falle, wenn die Faktoren des hoͤch⸗ ſten Gliedes reell und einander nicht gleich ſind, die Curve zwey geradlinige Aſymptoten. Um die Natur derſelben kennen zu lernen, ſetze man y y 1† 8yX † 7XX = (a y — bXx) (cy — dxX) ſo daß cCay — ba) (cy — dx) † Ny 1 X 1 = o ſey. Run betrachte man dörderſt den Faktor a y — bx, der im Unendlichen = = 17 §. 173.] giebt, wodurch denn a 7 — Px 1 Te — d cy a * wird; und es zeigt demnach die Gleichung b F ra ay — bx † be — ad die Lage der einen geradlinigen Aſomptote, ſo wie auf aͤhn⸗ liche Art die Gleichung OJ 3d † sC — a d — bec cy— dx †. die Lage der andern an. §. 221. Um die Natur einer jeden dieſer Aſymptoten zu erforſchen, beziehe man die Gleichung auf eine andere Axe, indem man au † bt at — bu 7 V (a a † bb) VGad † bb) ſetzt, s. 201.], und dabey ſey zugleich ” (a a 1† bb) = g. Al sdann wird (Ja — sꝛb) u † (b † sa) t (ac 1 ba) † De— ad t) † 1= und ⸗ . ſoſ die G denſ⸗ ie Cun derſelben 41) Aßie tſchen, n man Von den Arten der Linien der dritten Ordnung. 173 unnd folglich 8 (be — a d)t u † g (ac † bd) uu † (àb † 1a) t † (9a — ⸗b) u † eg = Setzt man daher in den uͤbrigen Gliedern außer dem erſten — b — sa g (bc — àa d) ſo wird (a c † b d) (àb † s a)z g (bc — a dlz † Og = o (g (be — ad) u † 3b † sa)t † (9a — ⸗b) ()b † sOa) g be — a d) oder g( † c) ( b 2) zcbe — a dhu † b ea a † Gc— a dyzt und es iſt demnach die Aſymptote hyperboliſch, und von der Art u= . Auf eine aͤhnliche Art wird aber auch die andere Aſomptote, die aus dem Faktor cy — dæz entſpringt, be⸗ ſtimmt; und es hat folglich die Curoe zwey Paar ohne Ende fortlaufende Schenkel, die beyde durch die Gleichung A u = -† ausgedruckt werden. §. 222. Nun ſeyen beyde Faktoren einander gleich, oder ayy † βyX † 7XX = (a y — bx) 2 ſo iſt, wenn man auch hier durch die Subſtitutionen bt — ¹ — b aubt ; und X 8 die Gleichung fuͤr eine andere Axe abaͤndert, — WB Zweytes Buch. Neuntes Capitel. (d àa — =b)u (3b † sa) t gguu 4. † — † 6 und wenn man t = Oo ſetzt, un (εb † t g ³* Dieſe Gleichung zeigt zwey paraboliſche Schenkel von der Art uu = At an; es iſt nemlich die Curve ſelbſt eine Pa⸗ rabel, und ſelbſt ihre Aſymptote. Wenn aber Ob † 1a waͤre, ſ gienge die Geichun in zgun †1 A1e = . uͤber, welches eine Gleichung fuͤr zwey gerade einander pa⸗ rallele Linien iſt: und in dieſem Falle laͤßt ſich die ganze Gleichung der zweyten Ordnung in zwey einfache Faktoren aufloͤſen. Auf dieſem Wege wuͤrden wir die Arten der Linien der zweyten Ordnung auch dann gefunden haben, wenn wir ſie bis hieher voͤllig ununterſucht gelaſſen haͤtten. §. 222. Eben dieſen Weg wollen wir nun auch betreten, um die Arten der Linien der dritten Ordnung, deren allgemeine Gleichung *y3 †. 6y ²* †. 7y= 1 9xa “U *Y² † eyxX † "Xà 1 Dy † X † xX = 0 iſt, zu finden. Hier hat das hoͤchſte Glied, sys † gyx † vyxX= † dx3 weil die Anzahl ſeiner Dimenſionen eine ungerade Zahl iſt, entweder einen reellen einfachen Faktor, oder es ſind alle ſeine drey einfache Faktoren reell. Aus dieſem Grunde . ſind hitt folgende Faͤlle zu unterſuchen: I. Wenn nur ein einziger einfacher Faktor r reell iſt. Fkor ſ. Cleche Gache Uundd Hiere nicht ntwe don der un do⸗ 1(4 S nber de gente Fmen Einien Ne⸗ n pirſe 1n N Denege. Zn: t Nall ind ale Greunde Von den Arten der linien der britten Ordnung. 1756 II. Wenn alle drey reell und keiner einem von den abrigen gleich iſt. Wenn zwey Faktoren einander gleich ſind. Iv. Wenn alle drey Faktoren einander gleich ſind. Da es aber bey einem jeden Falle hinlaͤnglich iſt, die Rechnung bey einem einzigen Faktor anzuſtellen, ſo wollen wir dieſen Faktor, er mag nun allein, oder es moͤgen auſ⸗ ſer ihm noch andere, ihm gleiche oder ungleiche, Faktoren ſtatt fſinden, a y — bx ſeyn laſſen, und die Lage der Axe dafuͤr auf eben die Art veraͤndern, wie wir bisher gethan haben. Auf dieſe Art erhalten wir folgende Gleichung «ttu †SStuu † Zu3 †òtt ρ st † guu †αt † Su †⸗= 0 die wir, da ſie einen eben ſo weiten Umfang hat als die vorhergehende, ſtatt dieſer gebrauchen wollen, und worin das hoͤchſte Glied «ttu † st uu † yus allemal wenigſtens den Faktor u hat. Erſter Fall. §. 224. Es habe alſo das hoͤchſte Glied bloß den einzigen reellen Faktor u, welches ſtatt findet, wenn 88 kleiner als 4322 iſt: ſo wird, wenn man t = Oo0 ſetzt, «=u † à = o, eine Gleichung fuͤr eine geradlinige Aſymptote. Es gebe dieſe Gleichung den Werth u= c, ſo wird a tt (u — c) †t (SOcc†τειο †νπι †ος † &caο † 9c ,= und dieſe Gleichung druckt die Natur der Aſymptote aus. Hieraus ergiebt ſich, je nachdem 8c2 † sc † entweder nicht = o oder = o iſt, eine doppelte Aſpmptote, nemlich untweder „ 176 Zewweytes Buch. Neuntes Capitel. u — c = —; oder un c = — t ¹. tt und ſo findet man durch die Betrachtung dieſes Falles die beyden erſten Arten der Linien der dritten Ordnung, nemlich: Die erſte Art hat eine einzige geradlinige Aſymptote A von der Art u = — 2. Die zweyte Art hat eine einzige geradlinige Aſymptote A von der Art u = Zweyter Fall. “ §. 225. Es ſeyen alle drey einfache Faktoren des hoͤchſten Glie⸗ des reell, und keiner dem andern gleich, welches ſtatt fine det, wenn in der Gleichung attu†tuu-† yu3 †âàtt † t u † uu † at † 9u r.= 22 großer als 4 2“7 iſt. In dieſem Falle gilt von einem jeden Faktor, was ſo eben von dem einzigen Faktor gezeigt worden iſt. Es fuͤhrt nemlich jeder Fartor auf zwey hyper⸗ A boliſche Schenket, entweder von der Art u = — oder von dieſer u = 4: . und ſo enthaͤlt dieſer Fall vier verſchiedene Arten der Linien der dritten Ordnung, die drey geradlinige gegen einander unter irgend einem Winkel geneigte Aſym⸗ Dtoten haben, und dieſe Arten ſind: Die dritte Art hat drey Aſymptoten von der Art u = . 4 nd zr 20 noia Alhene 1) Nnn h Nlälge Münden der Fet 1licht wifi ſe g ud loltt ſezen Eu Von den Arten der linien der dritten Ordnung. 177 4. Die vierte Art hat; zwey Aſymptoten von der Art u = — esXN. nemlich. und eine von der Art u = R lynpor⸗ Die fuͤnfte Art hat eine Aſymptote von der Art u = — und zwey von der Art u = Ti *) Uſyngrete Die ſechste hat drey Aſymptoten von der Form = . *) Man ſehe §. 227. S. 178. 179. nach. §. 226. Hier muͤſſen wir aber unterſuchen, ob alle dieſe Arten in le moͤglich ſind, und zu dem Ende wollen wir folgende ganz ſun ſſ⸗ allgemeine Gleichung nehmen: y (æy – X) (7? y — ⅛X) † exXy † Ov † „X † †P ⸗= U deren hoͤchſtes Gl ied drey reelle Faktoren hat, und wo die a Enemn Auslaſſung des Gliedes XX den Umfang derſelben nicht ver⸗ r geſe mindert. Es erhellet aber aus dem Vorhergehenden, daß p hypet⸗ . A nyn der Faktor y eine Aſymptote von der Art u = gebe, wenn 4 „micht = o iſt, und wir wollen daher unterſuchen, auf i was fuͤr Aſymptoten der Faktor «y — 6½ fuͤhre. Zu die⸗ ſtid ſer Abſicht wollen wir Gtinige Vy= aupet, und X = at — 6 u, Ahnn⸗ und zugleich, der Kuͤrze wegen, indem ſoches allemal er⸗ laubt iſt, 4 22 † 22 =— I 125 ſectzen. Dadurch erhaͤlt die Gleichung folgende Form: Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. B. M 44A 178 Zweytes Buch. Neuntes Capitel. 2(gv — aà)ttu † (248 7— (an — 66) ½) tuu . († edu 3 † 8(s † 6 ) tt †. (2a 6 † („„½— 68) ) t u † ( — Es) uz F (on † 69)t „ (a= Eu Hier geht der Faktor „y – x in u uͤber, und es wird daher, wenn man t = O0 ſetzt, und bringt man dieſen Werth anſtatt u in das zweyte Glied, welches t enthaͤlt, ſo ſindet man, daß aus dieſem Faktor u oder «y — 6 eine Aſymptote von der Form u = — ent⸗ ſpringt, wofern nicht α † £ ⁹ („τ T 6 ) († 5*½? 868 (O – 67) 2 iſt. Auf eine aͤhnliche Art giebt der Faktor y— — “ eine A . Aſymptote von der Form „wofern nicht : te et 29. ad = 6 iſt. §. 227. Hieraus erhellet, daß es allerdings moͤglich iſt, daß weder noch die beyden eben gefundenen Formeln = werden, wodurch denn die dritte Art allerdings moͤgli ch wird. Was die vierte Art betrifft, ſo ſetze man „ = o, A damit die eine Aſymptote von der Form u = = It erhal ten wDerde. Alsdann aber fallen die beyden uͤbrigen Ausdruͤcke in einen zuſammen, und es gehoͤren alſo die beyden uͤbri⸗ A gen Aſymptbten zu der Zorm u = , wofern nicht 3 es daß denn E! 8 und drie wi teclid. Wn -l nedrnce Von den Arten der linien der dritten Oednung. 179 Crre. 2 T àQ. 3 = 0 iſt, und es iſt dahe⸗ auch die vierte Art moͤglich. Wenn hingegen außer 2= o auch einer von den beyden uͤbrigen Ausdeuͤckn = d wird, ſo verſchwindet zugleich der andere, und es iſt daher unmoͤglich, daß zwey Aſymprtoten zu der Form u = gehoͤren, ohne daß die dritte unter eben der⸗ ſelben begriffen ſey, und es iſt denmach die fuͤnfte Art un⸗ moͤglich. Die ſechste Art hingegen wird eben hierdurch moͤglich, weil wenn 2 = o iſt, — (ℳ5 2) ( † 9 ) (2à — ½7)2 wird. Es geben alſo dieſe beyden Faͤlle nur fuͤnf Arten der Linien der dritten Ordnung, weil diejenige, die vorhin die fuͤnfte war, wegfaͤllt, und es hat folglich 5 “M Die fuͤnfte Art drey Aſymptoten von der Art u = 4 Dritter Fall. §. 228. Es habe das hoͤchſte Glied zwey gleiche Faktoren u, wel⸗ ches ſtatt findet, wenn in der Gleichung des vorhergehen⸗ den Falls das erſte Glied «ttu verſchwindet; und es iſt demnach die allgemeine Gleichung fuͤr den gegenwaͤrti⸗ gen Fall folgende: atuu — sus † ytt † Htu :nu gtt†ο† Es habe alſo hier das erſte Glied zwey gleiche Faktoren u, und der dritte, von dieſen ver ſchiedene, ſey „t — u. Dieſer dritte Faktor fuͤhrt auf eine Aſymptote entweder von der M 2 Form 180 Zweytes Buch. Neuntes Capitel. A A Form u = 1 oder von der Form u = te je nachdem der Ausdruck (2% † 237) Caze † as) 1 gg„) — 3 en F 60) entweder nicht = o oder = o iſt. §. 229. Was die beyden gleichen Faktoren betrifft, ſo iſt dabey zuvoͤrderſt der Fall zu erwaͤgen, wenn „ nicht = o iſt. Denn alsdann wird, wenn man t = Oo ſetzt, aun †„t = o, Uund dies iſt eine Gleichung fur eine paraboliſche Aſymptote von der Art uu = At. Es entſpringen alſo hieraus zwey neue Arten der Linien der dritten Ordnung, nemlich: A Die ſechſte Art hat eine Aſymptote von der Art u = = und eine von der Art uu = At. Die ſiebente Art hat eine Aſymptote von der Art A .V r u = — und eine paraboliſche von der Art uu = At. §. 230. Nun ſey 7 = o, ſo giebt der dritte Faktor «t — . eeiine Aſymptote von der Form u = R- wenn 9 (a: †6) = a („1† a) iſt; findet dieſes aber nicht ſtatt, ſo gehoͤrt die Aſymptote A zu der Form u = = — Wir haben alſo die Gleichung, D g Und t - 1 mptote . 5 Von den Arten der linien der dritten Ordnung. 1981 † tuu — u3 † %tu T† suun † St † † ₰ und hier wird, wenn man t = 00 ſetzt, euu † du † = o. Run ſey zuvoͤrderſt ⁵) kleiner als 4 26, ſo findet keine Aſomptote ſtatt, und es entſpringen daher aus dieſem Falle zwey Arten: Die achte Art hat eine einzige Aſymptote von der Art u — —. t Die neunte Art hat eine einzige Aſymptote von der A tt §. 23 r. Sind beyde Wurzeln der Gleichung æzuu zuèk = o, reell und ungleich, welches ſtatt ſindet, wenn ⅛ groͤßer als 4= iſt, ſo ergeben ſich daraus zwey geradlinige einander parallele Aſymptoten, davon jede zu der Form u = gehoͤrt; und es giebt daher auch dieſer Fall zwey neue Arten an die Hand. 10. Die zehnte Art hat eine Aſymptote von der Art u = 4, und zwey einander parallele von der Art u =2. II. A Die eilfte Art hat eine Aſymptote von der Art u = 1 AA— und zwey einander parallele von der Art u = M 3 K 232. F. 232. Sind die beyden Wurzeln der Gleichung zuu † du † = o einander gleich, oder 9% 4 &% oder „uuU † 3ZuP „ = a u — c) 2: ſo wird t (u — c) 2 = 6 3 – 5c c – , Cc —– 9 und daraus ergiebt ſich ei ne geradlinige Aſt ymptote von der Art u u = — Es fli ehen alſo hiera us zwey neue eArten. 12. Die zwoͤlfte Art hat eine Aſymptote von der Art XMkn— A u = „und eine von der Art un = . 13. Die dreyz zehnte Art hat eine Aſhmptote von der Art NN A u= , und eine von der Art un = . Vierter Fall. §. 233. Wenn alle drey Faktoren des hoͤchſten Gliedes einander gleich ſind, ſo hat die Gleichung fol gende Form: au 3 † gtt † 7t u † duust Feu †2 = o Hier iſt zuerſt das Glied &tt zu betrachten. Iſt daſſelbe Da, ſo hat die Curve eine paraboliſch de Aſuptote von der Art u3 = Att, und ſo erhaͤlt man eine Art 14. Die vierzehnte Art hat eine einzige paraboliſche Aſym⸗ ptotet von der Art us = Att. g. 234. Fehlt aber das Glied ett, ſo wird sus †vtu duu f ⸗tr euf, = e Setzt wo: hor, abert es N von N N arde 10 guſelhe Von den Arten der linien der dritten Ordnung. 183 Setzt man alſo t = Oο, ſo wird, wofern nicht 7 und⸗ = o ſind, gU3 †tu † t = o. Es ſey nun „ nicht = 0, ſo ſind in dieſer Gleichung fol⸗ gende beyde vvuu Yt = , und „U TP s 0 nthalten, davon die erſte auf eine parabo liſche Aſymptote von der Art u u = At fuͤhrt, und die andere, wenn man — = c ſetzt, dieſe Gleichung giebt, 7 vt (u — c) † 4C 3 † dcc † 6c † " = o, welches eine Gleichu⸗ ng fuͤr eine hyperbolt⸗ iſche uſomptote 2 von der Art u — DW iſt. Alſo hat 15. Die funfz ehnte Art eine paraboliſche Aſymptote von der Art uu = At, und eine geradlinige von der Art A ” u = =, und die Axe der paraboliſchen iſt der andern ge⸗ radligen A Aſt ſymptote parallel. §. 235. Endlich ſey 7 = o, ſo daß die Gleichung ſey: æ U 3 † Qun† st † Gu FD = 0£ wo⸗ nicht verſchwinden kann, ohne daß die Gleichung auf⸗ hoͤre, eine Gleichung fuͤr eine Curve zu ſeyn. Nimmt man aber t = 00, ſo muß auch nothwendig u = 00. werden, und en es wird daher «u3 † 1t = o, und daraus ergiebt ſich Die ſechszehnte Art hat eine paraboliſche Aſymptote von der Art us = At. M 4 d. 236. Zweytes Buch. Neuntes Capitel. §. 236. Wir haben alſo alle Linien der dritten Ordnung auf ſechszehn Arten zuruͤckgebracht, die aber alle zwey und ſiebenzig Arten, welche Newtron dabey angenommen, in ſich faſſen. Ueber den großen Unterſchied zwiſchen der gegen⸗ waͤrtigen Eintheilung und der Newtonianiſchen darf man ſich nicht wundern, da wir bloß auf die Beſchaffenheit der ohne Ende fortlaufenden Schenkel geſehen, Newton aber auch den Zuſtand der Curven in dem endlichen Raume in Erwaͤgung gezogen, und nach der Verſchiedenheit deſſelben verſchiedene Arten gemacht hat. Ob nun gleich der Ein⸗ theilungsgrund willkuͤhrlich ſcheint, ſo haͤtte dennoch MNew⸗ ton auf dem von ihm betretenen Wege noch weit mehr Ar⸗ ten finden koͤnnen, da ſich hingegen nach meiner Methode weder mehr noch weniger Arten entdecken laſſen. §K. 237. Damit nun die Ratur und der Umfang einer jeden Art deſto beſſer erkannt werden moͤge, ſo will ich fuͤr jede Art die allgemeine Gleichung in der einfachſten Form, die ſie, ohne ihren Umfang zu vermindern, erhalten kann, herſetzen, und zugleich bey jeder die darunter begriffenen Newtonig⸗ niſchen Arten anfuͤhren. Die erſte Art. JGX=– ZmXyTnnyVy) T ayy † bx † cy † d = o wenn mm groͤßer als nn, und b nicht = o iſt. Hieher gehoͤren von den Newtonianiſchen Arten, 33, 34, 35, 36, 37, 38. Die zweyte Art. C — 2 mxy fnnyy) † ayy † cy F d= o wenn mm groͤßer als nn iſt. Hier⸗ 3,/4 4 — denn r 47,4 7V. ing ouf ey nen, in R. etf men heit der en At deW die ſe, eeſeget, ewtonis Von den Arten der linien der dritten Ordnung. 185 Hieher gehoͤren von den Aewtonisniſchen Arten 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45. Die dritte Art. y(xX— m y) (F— ny) † ayy † bz † cy † d = o a a wenn weder b =o, noch mb † c † ☛ 2 — „Snoch nb c — 3 Hieher gehören von den Newtoniagniſchen Arten, 1, 2, = o, noch m = n iſt. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; desgleichen 24, 25, 26, 27, wenn a = o iſt. Die vierte Art. 7— my) («— ny) T ayy TcyTd= G 4 4 wenn weder c S= o, noch m = n iſt. (m – n)2 Hieher gehoͤren von den Newtonianiſchen Arten, 10o, 1I, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21; desglei⸗ chen, wenn a = 0 iſt, 28, 29, 30, 31. Die fuͤnfte Art. a ay (m – n)2 wenn m nicht = n iſt. Hieher gehoͤren von den MNewtonianiſchen Arten 225 23, Und 32. † d = y(X— my) c-ann † ayy — Die ſechste Art. Yy (X — my) T axx † bx † cy † d = o wenn weder a = o, noch 2 m3 a a — m b — c = o iſt. Hieher gehoͤren von den NMewtonigniſchen Arten 46, 47, 48, 49, 50, 51, 582. Die ſiebente Art. 77G m ) † axxXx † bxX † m (2 mza? — b)y 1 d = e MNMRNRS5 wenn è 186 Zweytes Buch. Reuntes Caitel. wenn a nicht = iſt. Hieher gehoͤren von den Newtonianiſchen Arten 83, 54, 55, 56. Die achte Art. yy (E— m y) † bbx † cy † d = o wenn weder c = — m bb noch b = o iſt Hieher gehoͤren von den Newtonigniſchen Arten 61 und 62. . Die neunte Art. yy (X– my) † bbæx=mbby P d = 0 woenn b nicht = o iſt. Hieher gehoͤrt von den Newtonianiſchen Arten die 63ſte. Die zehnte Art. yy (W —– m y) — bbz † cy † d = o wenn weder c = mbb, noch b = o iſt. Hieher gehoͤren von den Newtonianiſchen Arten 57, 58, 59. Die eilfte Art. yy (T — m y) — bbx † in bby † d = o wenn b nicht = o iſt. Hieher gehoͤrt von den Wewtonianiſchen Arten die e hoſte. Die zwoͤlfte Art. vy;( my) † cy d = o wenn c nicht = o iſt. dieher gehoͤrt von den Newtonianiſchen Arten die aſte. Die dreyzehnte Art. yy (X – m y) † d = o Hieher gehoͤrt von den Newtonigniſchen Arten die 65ſte. Die vierzehnte Art. V3 Paxx † bzyy †cy † d = o wenn L 1 ne i dern zr tn hnen beh den Ordpun Wte , ten 61 ſten e, Sõõ A Von den Arten der Linien der dritten Ordnung. 1987 „ wenn a nicht o = iſt Hieher gehoͤren von den Newtonianiſck hen Arten 67, 69, 69, 70, 71. Die funfzehnte Art. V3 † bxy † cxXx † d = O wenn b nicht = o iſt. Hieher gehoͤrt von den Newtonianiſchen Arten die 66ſte. Die ſechszehnte Art. y3 †aν*† bx = o wenn b nicht = o iſt. Hieher gehoͤrt von den Newtonianiſchen Arten die 72ſte. §. 238. Es haben aber dieſe Arten meiſtens einen ſo weiten Um⸗ fang, daß jede merkwuͤrdige Unterabtheilungen zulaͤßt, wenn man auf die Geſtalt, welche die Curven in dem end⸗ lichen Raume haben, Ruͤckſicht nimmt. Aus dieſem Grunde hat auch Newton eine groͤßere Anzahl von Arten ange⸗ nommen, um die Curven, die ſich in dem endlichen Raume merklich von einander unterſcheiden, von einander abſon⸗ dern zu koͤnnen. Es waͤre daher aber beſſer, die Gattungen⸗ welche wir mit dem RNRamen der Arten bele egt h ben, Ge⸗ ſchlechter zu nennen, und den Namen der Arten fuͤr d die un⸗ ter ihnen begriffenen zu brauchen. Dies wird insbeſondere bey den Eintheilungen der Linien der vierten und der hoͤhern Ordnungen wichtig, weil dabey jede Art, oder vielmehr jedes Geſchlecht, eine noch viel groͤßere Verſchiedenheit zulaͤßt. “ kann. Setzt man alſo Zehntes Capitel. Von den vornehmſten Eigenſchaften der Linien der dritten Ordnung. So wie wir oben [im fuͤnften Capitel] die vornehmſten Eigenſchaften der Linien der zweyten Ordnung aus der all⸗ gemeinen Gleichung fuͤr dieſe Linien abgeleitet haben: ſo laſſen ſich auch die merkwuͤrdigſten Eigenſchaften der Linien der dritten Oednung aus ihrer allgemeinen Gleichung er⸗ kennen, und auf eine aͤhmliche Art verhaͤlt es ſich mit den Linien der vierten und der folgenden hoͤhern Ordnungen. Wir wollen daher die allgemeinſte Gleichung füͤr die Linien der dritten Ordnung: ay3 † gyzx † 77yXX † àX3 † ⸗syy † eyx † y † X † z = O betrachten, welche die Natur einer jeden Linie der dritten Ordnung ausdruckt, wenn und y die unter irgend einem Winkel gegen einander geneigten Coordinaten ausdruckt, und irgend eine gerade Linie zur Axe angenommen worden iſt. §. 240. Igſ daher « nicht = o, ſo kommt jeder Abſciſſe entweder eine oder drey reelle Applieaten zu. Angenommen, daß es drey reelle Applicaten gebe, ſo iſt bekannt, daß man ihr Verhaͤltniß zu einander aus der Gleichung beſtimmen =1, ſo wird die Gleichung 7 3 aie. Ne das Ven Behen daß n dem ren Eſe der Nit Inn, d. ter öne Ab= Pl,Pi Venn ne nimmt M0 . Punkt . V.d. vornehmſten Eigenſch. derkinien d. dritten Ordn. 199 D t Er 12 11 kIri t en und es iſt die Summe der drey Applicaten, die zue einer und der⸗ ſelben Abſciſſe gehoͤren, = — £X — ; die Summe der drey Rectangel, die zwiſchen je zwey ien de und zwey von dieſen Applicaten eingeſchloſſen ſind, = 7XX † &X † 9; und endlich das Produkt aus allen dreyen, oder das Parallelepipe⸗ dum, welches dieſelben geben, =— — 33 — 3XX S Wenn zwey Applicaten imaginaͤr waͤren, ſo älten diee rch Behauptungen zwar ebenfalls, nur mit dem Unterſchiede, enſ daß man dieſelben nicht auf Linien anwenden koͤnnte, in⸗ in dem weder die Summe noch das Rechteck zweyer imaginaͤÜ⸗ “ ren Applicaten geometriſch dargeſtellt werden kann. W . 241r. eknien Es ſey alſo A2, Fig. 44, die Axe fuͤr irgend eine e Linie zu der dritten Ordnung, auf welcher die Ordinaten L MN und Imn, welche die Curve in dreyen Punkten ſchneiden, un⸗ der Nitn ter einem gegebenen Winkel ſtehen. Setzt man die Abſeiſſe aen A P = X, ſo hat die Applicate y einen dreyfachen Werth, Etruc, PL, PM, und — PN, und es iſt daher cdeni PL † PM — PN = — £X — :. Wenn man daher fro = TA. YN erede . 3 R , nimmt, ſo liegt der Punkt O in der Mitte, ſo daß LO = Nßbͤ oum MO T† NO iſt. Da nun 2 = — — iſt, ſo liegt der inmen Punkt O in der geraden Linie OZ, und dieſe Linie ſchnei⸗ 1 190 det daher alle der LM N parauete Ordinaten Imn auf die Art in o, daß l1o † mo = no iſt. Dies iſt eine Eigen⸗ ſchaft, die der Eigenſchaft der Durchmeſſer der Linien der zweyten Ordnung aͤhnlich iſt. Wenn alſo zwey einander parallele Ordinaten, welche die Curve in drey Punkten ſchneiden, auf die Art in O und o getheilt werden, daß die beyden auf der einen Seite liegenden der dritten auf der andern Seite gleich ſind: ſo theilt die gerade Linie, welche durch dieſe Punkte O und o gezogen wird, auch alle uͤbrige, jenen parallete, Ordinaten auf eine aͤhnliche Art, und iſt alſo gleichſam ein Dur chmeſſet ſer der Linie der dritten Ordnung. §. 242. “” Da ſich bey den Linien der zweyten Ordnung alle Durchmeſſer in einem und demſelben Punkte ſchneiden, ſo wollen wir jetzt unterſuchen, wie ſich die Durchmeſſer der Linien der dritten Ordnung, in dem vorhin angefuͤhrten Verſtande, verhalten. Wir wollen alſo annehmen, daß die Applicaten unter irgend einem andern Winkel gegen die Axe A een⸗ ſeyen, und die Abſciſſe = t, und die Applicate Alsdann iſt [§. 43]. y = nu; und X = t –à mu; und bringt man dieſe Werthe in die allgemeine Gleichung: y3 †P gy2X † 7 yXX † à 4 „yy † &V7 X † -XxX † 9y . P X T = 0 ſo bekommt n man dafuͤr fol gende: † n3 u3 † gnzuzt † Znutt † t 3 † en zuz⸗ enut] † "tt † Snu †t t2* — SGmnu--Zemut 2 —– gSmn? us — 2 mnu't — z5mutt. — m u ym nus † 3 mzust Im 3u3 †† MmZuU?2 I tüͤſe n kien Linmne titin 4 Wen, dar Niten au nde Mini, ucht e der Win G N ug 4 l ſ tiden, f V. d. vornehmſten Eigenſch. d. inien d. dritten Ordn. 19 Es iſt daher fuͤr die gerade Linie, die die Stelle des Durchz⸗ meſſers vertritt, wenn man die bey eben dem Winkel zur Abſeiſſe t gehoͤrige Applicate = v ſetzt — enat † 27 müt — 3m at —– enn † omn — ymnr n3 — Smn2 † Ymzn – ùm J. 243. Nun ſey, Fig. 45, O der Durchſchaittspunkt zweyer ſolcher Durchmeſſer, und von demſelben werde auf die Axe AZ einmal Ob den vorigen Applicaten, und dann 0O C den andern Applieaten parallel gezogen, ſo iſt ððð AP = X; PO = 2; A Q = t; und O Q = v; ferner . 2 = ny; x = t — mv, und folglich = und m t = X † — 2. Man hat alſo — gX 3 = — 6½ — z 3 = — z und 4 B X ςm X * m 1† „ n — — — — Zn. In Bringt man dieſe Werthe in die vorhin gefundene Glei⸗ chung, ſo wird m 3X — Ennx † segmnx— Am᷑nx — — n sm 3 — eInn †gemn — pyemm † — — 6Emnz e munn L — 2 28 mmxæ 2 amm — 2z mnxx † — — † — — emm 3 ⁸m 3x— Dem oder 192 Zweytes Buch. Zehntes Capitel. oder S 2 86 mn X – 1 6Y mmx — 2 7 mNz † 3mmv)] 8 6 — *X †: — o † mn — 2½τςm m — AOmn † amm J §. 244. Es hangt alſo allerdings der Durchſchnittspunkt der Durchmeſſer O von der Reigung der Applicaten gegen die Are, welche durch die Buchſtaben m und n ausgedruckt wird, ab; und es haben daher, (wenn man den Durch⸗ ſchnittspunkt aller Durchmeſſer den Mittelpunkt nennen will,) nicht alle Linien der dritten Ordnung einen Mittel⸗ punkt. Indeß laſſen ſich Faͤlle angeben, wo der Durch⸗ ſchnittspunkt der Durchmeſſer eine unveraͤnderliche Lage hat. Man findet nemlich dergleichen, wenn man die Glie⸗ der, worin min und mm vorkommt, und zwar jede Art beſonders genommen, = o ſetzt, und die daraus entſprin⸗ genden Werthe von * einander gleich macht. Es wird aber aus den gedachten beyden Gleichungen 2 = 3 — ͦ = 3— — ; 288868 — 679y 67 — 95 und wenn dieſe beyde Werthe einander gleich ſeyn ſollen, ſo muß 6862 — 22 72W — 18 2† 6 77= 3 628— 24⁶7* B — 27 % † 1863. oder 8765— 2 662 — — 9⅝⅝ † 67* † 63 – 2 77= 0 ſeyn, woher denn — 9 † 6 63 — 2 % 2% — 6 ⅞ Z wird. So oft dieſen Werth hat, ſo oft ſchneiden ſich alle Durchmeſſer in einem und demſelben Punkte, und es haben daher dieſe Linien der dritten Ordnung einen Mittel⸗ „* punkt, Pdt puntt, hnrt eu erſte Dmn len O ) ee⸗ Mlnn nach Cutve Adi de weig⸗ punt auf punkt Ne⸗ ghen die 8geckt a Du⸗ t nonen en Mitcy Mu⸗ ſce luge NeGs n ſdeſe s antpen⸗ 3pih R ſen . 55 der it nd mn AEE V. d. ornehmſten Eigenſch.d d. üniend. drittenrdn. 193 punkt, und man findet ihn, wenn man in der Arxe 3⁰° — 23 268 — 6 7 ” 1 67: 2668 — 6 ½ A P = „und nimmt. „ 5§. 245. Eben dieſe Beſtimmung des Mittelpunkts findet, vor⸗ ausgeſetzt, daß es dergleichen giebt, auch ſtatt, wenn der erſte Coefficient « nicht der Einheit gleich geſetzt wird. Denn iſt die allgemeinſte Gieichung fuͦr die Linien der drit⸗ ten Ordnung: 2y3 † gyax †77Xß, x3 1 :7 4 xy 42x † y„ X P† X = 0 gegeben, ſo haben die dadurch ausgedruckten Curven einen Mittelpunkt, wenn ——— 9 .6 †9 P 6 6— 2 77⁷² 28 — 6 2½ iſt. Alsdann aber iſt der Mittelpunkt in 0, wenn man Ab = 2 2⁸ — 244 und 266 — 6 7 po = 62— 32 2 68 — 6 %2% macht. Wenn daher eine einzige Ordinate, welche die Curve in drey Punkten ſchneidet, auf die Art getheilt wird, daß die beyden Applicaten auf der einen Seite der dritten auf der andern Seite gleich ſind: ſo theilt die gerade Linie, welche durch den Mittelpunkt und durch dieſen Theilungs⸗ punkt gezogen wird, alle uͤbrige dieſer parallele Ordinaten auf eine aͤhnliche Art. N Kulers i Einl. ind Anal d. Unendl II. 2. N 5.246, . D Zweytes Buch. Zehntes Capitel. §. 246. Wenn man dieſes auf die Gleichungen der oben feſtge⸗ ſetzten Arten [§ 237] anwendet, ſo erhellet, daß die erſte, zweyte, dritte, vierte und fuͤnfte Art einen Mittelpunkt hat, wenn 2 = o iſt, und daß in dieſem Falle der Mittelpunkt in den Anfangspunkt der Abſciſſen faͤllt. Die ſechste und ſiebente Art haben nie einen Mittelpunct, weil der Coeffi⸗ cient a nicht = o ſeyn darf. Die achte, neunte, zehnte, eilfte, zwoͤlfte und dreyzehnte Art haben einen Mittelpunkt, der allemal in dem Anfangspunkte der Abſciſſen liegt. In der vierzehnten, funfzehnten und ſechszehnten Art iſt der Mittelpunkt unendlich weit entfernt, und es ſind daher alle Durchmeſſer derſelben einander parallel. J. 247. Nach dieſen die Summe der drey Werthe einer jeden Abplicate betreffenden Anmerkungen wollen wir nun auch das Produkt aus dieſen Werthen betrachten, denn die Unterſuchung des Aggregats der Rechtecke fuͤhrt eben auf keine merkwuͤrdige Eigenſchaften. Es iſt alſo aus der all⸗ gemeinen Gleichung § 239 — PM. PL. P N = — àxX 3 — ¹XX — X — z Um dieſen Ausdruck zu entwickeln, uͤberlege man, daß faͤr „ = 0o xX3 † „XX T X † . wird, und daß daher die Wurzeln dieſer Gleichung die Punkte angeben werden, wo die Curve die Axe A 2 ſchnei⸗ det. Fallen dieſe Punkte in B, C und D, ſo wird Jx3 rherierfe s AS)EE A &τ ² und es iſt folglich PL. PM. P N = : Ph. PC. 15. Wenn Cd. Wenn Ordin 1. 8 ähene len, ſi⸗ Linie aber foch der lae nſt de Ligkor elte Glach Crd Geie Abs die ii hukt hen Ninepor ichete u der Coeft⸗ t, hrte, gechen, leeg. Nn Nur it N daher ale irer ſeher nun euch wn de ihen aj 5Ar ol daß ir 4 e ſchnn 0 V. d. vornehmſten Eigenſch. d. inien d. dritten Ordn. 195 Wenn man alſo irgend eine andere, der vorigen parallele, Ordinate Imn annimmt, ſo wird PL., PM. PN : PB. PC. PD = pl. pm. pn: p. pC. pD. und dieſe Eigenſchaft iſt allerdings derjenigen aͤhnlich, die wir oben von dem Verhaͤltniſſe der Rechtecke bey den Linien der zweyten Ordnung 15 92. 93] gefunden haben. Eine aͤhnliche Eigenſchaft kommt aber auch den Linien der vier⸗ ten, der fuͤnften und der folgenden hoͤhern Ordnungen zu. . 248. Nun habe die Linie der dritten Ordnung die drey gerad⸗ linigen Aſymptoten FBf, 6pg, HCh, Fig. 46. Da die Linie der dritten Ordnung ſelbſt in dieſe drey Aſy zmptoten . uͤbergeht, wenn die fuͤr ſie gegebene Gleich ung in deey ein⸗ fache Faktoren von der Form py † qX † r aufgeloͤſet wer⸗ den kann: ſo laͤßt ſich fuͤr die Aſymptoten, als eine com⸗ plexe Linie, eine Gleichung finden, deren hoͤchſtes Glied mit dem hoͤchſten Gliede der Gleichung fuͤr die Curve uͤber⸗ einkommt. Da ferner die Lage der Aſymptoten aus dem zweyten Gl iede der Gleichung beſtimmt wird, ſo hat die Gleichung fuͤr die Aſymptoten mit der Gleichung fuͤr die Curve auch das zweyte Glied gemein. Wenn daher die Gleichung fuͤr die Curve bey der Axe A P, der Abfciſſe A P = x, und der Applicate P M = „ folgende iſt: y3 † (Sx †)y= † (vxxX † † 2) y † x3 † aXX 1† 4 X † „*½ — O ſo hat man fuͤr die Aſymptoten bey eben der Axe, AP, der Abſciſſe A P = , und der Applicate P G = z, die Gleichung?: 23 1†* (Sx †e)22 † (ZxXX † & † B) 2 † à⁸ 1 S f D — 0 worin die Coefficienten 6, B, C und D ſo beſchaffen ſind, daß ſich die Gleichung i in drey einfache Faktoren aufloͤſen laͤßt. N 2 8. 249: 196 Zweytes Buch. Zehntes Capitel. §. 249. Wenn daher irgend eine Applicate P N, die ſowohl die Curve a's die Aſymptoten in drey Punkten, jene nemlich in I., M und N, dieſe in F, G und H ſchneidet, gezogen wird: ſo iſt aus der Gleichung fuͤr die Curve BL F PM † PN = — gx — „ Aber aus der Gleichung fuͤr die Aſymptoten iſt ebenfalls PrF † PG T PH = — 6x — und es wird folglich P 1 PMH f PN= PF 1 POt oder FL — GM † HN = 0; und wenn man irgend eine andere Applicate pf zieht, ſo iſt auf aͤhnliche Art fn — g m † h1 = o Wenn alſo eine gerade Linie ſowohl die Curve als die Aſymptoten in drey Punkten ſchneidet, ſo ſind allemal zwey von den zwiſchen den Aſymptoten und der Curve enthalte⸗ nen Theilen der Linie auf der einen Seite dem dritten auf der andern Seite gleich. §. 250. Es koͤnnen alſo die drey Schenkel einer Linie der dritten Ordnung, die drey geradlinige Aſymptoten hat, nicht alle auf denſelben Seiten dieſer Aſymptoten liegen, ſondern es muß ſich der dritte, wenn zwey davon ſich nach einer Seite zu erſtrecken, nothwendig nach einer entgegenſtehenden Seite verbreiten. Linien der dritten Ordnung, wie die Ayſte Figur darſtellt, ſind daher unmoͤglich, weil die gerade Linie, welche die Aſomptoten in den Punkten f, g, h, die Curve aber in den Punkten 1, m, n ſchneidet, die Theile fn, gm, h alle auf einerley Seiten der Aſomptoten hat, 37 und Ve. und . Demn: eerley en Nann pennſ Hien fende don d t die Hey, wird. Unendiit kleine zu der 4 . erce iſn Orden laben fel 0 N i rey uthate⸗ ſan britten dderns Cl⸗ henden de e gerode 1,de⸗ Cheie Nle nd V. d. vornehmſten Eigenſch. d. linien d. dritten Ordn. 197 und alſo die Summe dieſer Theile nicht = o ſeyn fann. Denn die Theile, die auf einerley Seite liegen, bekommen einerley Zeichen, z. B. †, und die auf der entgegenſtehen⸗ den Seite ſich befinden, das entgegenſtehende, —; und nur dann kann die Summe dieſer drey Theile = o werden, wenn ſie verſchiedene Zeichen haben. §. 251. Hieraus laͤßt ſich ſehr deutlich einſehen, w warum die Li⸗ nien der dritten Dedans keine zwey geradl linige Aſymptoten von der Art u = — haben koͤnnen, wenn die dritte zu der Art u = — gehoͤrt, weil ſich die hoerboliſcen Schenkel, A die zu u = — gehoͤren,⸗ unendlich mehr ihrer Aſymptote naͤ⸗ hern, als derjenige, deſſen Art durch u = = ausgedruckt wird. Denn nimmt man an, daß ſich die gerade Linie f†1. unendlich weit entferne, ſo werden fn, g m, hꝗ unendlich kleine Groͤßen. Wenn aber die beyden Schenkel nx, my zu der Art u = R der dritte 12 hingegen zu der Art u = — gehoͤren ſollen, ſo ſind En und gm unendlich klei⸗ ner als h!, und es iſt folglich unmoͤglich, daß gm = fn † hl ſey. Es kann daher uͤberhaupt bey den Linien der hoͤhern Ordnungen, die eben ſo viel Aſymptoten e als Dimenſionen A haben, nie eine Aſomptote zu der Art u = gehoͤren, N 3 wenn 198 Z3Zeytes Buch. Zehntes Capitel. wenn die uͤbrigen Aſymptoten einer hoͤhern Gattung, z. B. A * . A ” 4= . ſind, ſondern es muß, ſo oft eine * n d A „ Aſymptote von der Art u = . da iſt, auch noch eine an⸗ dere von eben der Art da ſeyn. Aus eben dem Grunde iſt es unmoͤglich, daß nicht mehr als eine Aſymptote von der Art uI = D da ſey, ſondern es muß zum wenigſten zwey ge⸗ ben. Denn es naͤhern ſich die hyperboliſchen Schenkel von t 3 A A „ .V der Art u = –g; u = c. ihren Aſymptoten unendlich . . A . 6 mehr, als die von der Art u = . Hiernach laſſen ſich bey der Erfindung der Arten, die zu irgend einer hoͤhern Ordnung gehoͤren, die unmoͤglichen Faͤlle ſehr leicht abſon⸗ dern, und eine Menge ſehr beſchwerlicher Rechnungen vermeiden. Angenommen aber, daß eine Linie der dritten Ordnung von einer geraden Linie nur in zwey Punkten geſchnitten werde, ſo werden alle, dieſer geraden Linie parallel gezogene, Linien die Curve entweder auch in zwey Punkten oder gar nicht ſchneiden. Wenn alſo die Applicaten y der gedachten geraden Linie parallel genommen werden, ſo iſt die Glei⸗ chung für eine ſolche Curve folgende: (yX † exX -† 9)7 xX¹ f† rXX † eX † 2 NYV T —— ex † r. 62 Setzt man neimtich die Abſciſſe A P= X, ſo hat man n zwey Applieaten P M und — PN, und d dabey iſt wegen der Ratur der Gleichungen PM Lhelk. en ſe Hietaut lllen Rn, durch uynkte 0 Nℳ eCe che ale Dyeil⸗ der , erts den, n Rer dit 16: dritte alge cung E Reheen ichtehſen ahenngen Debnurg cne lganpen der ga⸗ edocht die V. d. d. vornegmſten Cigenſch. d. linien b. dritten Ordn. 199 P M — P N = — 2X — &X — à 32 X † s Lheilt man nun die Ordinate M N in dem Punkte 0 zwey gleiche Theile, ſo wird XX T 6 1 2 — PO⅞ = und ſetzt man PO = 2, ſo iſt 2 (6x † 4½ = YxX † cXx † & Hieraus erhellet, daß die Punkte O, in welchen die paral⸗ lelen Ordinaten M N in zwey gleiche Theile getheilt wer⸗ den, in einer Hyperbel liegen; wofern nicht XX † 6X † ₰£½ durch £ †⸗ theilbar iſt; denn in dieſem Falle liegen die Punkte O in einer geraden Linie. §. 254 Iſt daher „XX † &GX † ⁹ durch SX † theilbar, ſo hat die Curve einen Durchmeſſer, oder eine gerade Linie, wel⸗ che alle einander parallele Ordinaten M N in zwey gleiche Theile theilt; eine Eigenſchaft, die ſich bey allen Linien der zweyten Ordnung findet, [§. 90]. Soll aber 7XX † „S † § durch sX †⸗ theildar ſeyn, ſo muß es verſchwin⸗ den, wenn man Xæ = „ ſetzt; und es hat daher die Linie der dritten Ordnung einen Durchmeſſer, wenn 7 26 — 4&α † 8 ⁸ ☛ o. iſt. Hieraus laſſen ſich die Faͤlle, in welchen die Linien der dritten Ordnung einen Durchmeſſer haben, auf eine ganz allgememe Art beſtimmen. Denn iſt die allgemeine Glei⸗ chung N 4 * 200 Zweytes Buch. Zehntes Capitel. òMD N.d⸗ *Yà † 6Yax †YyXX T AX³ † eyy † eyx † a 4 ϑy † X T = = O gegeben, ſo hat daraus y entweder einen dreyfachen oder nur einen einzigen Werth, und es kann daher in dieſem Falle keinen Durchmeſſer geben. Man ziehe alſo auf die⸗ 6 ſelbe Axe andere Arpiicatei u unter irgend einem Winkel, ſerh ſo daß y = nu, und X„ = t – mu werde: ſo bekommt famn. man durch dieſe Subſtitution die Gleichung: ſen ve 14 en 3 u 3 1 Enzuzt † Ynutt † àts † enz uz † nut] Wal † att † Inu † et † x Die — egmnus 2 mnust — 39 mutt — mnu' .. Die 4 “ — m-u 4 90 die † Zm nus † 3èmzunt ††pvumzuz⸗ “ et. — muz in Sollen alſo dieſe neuen Applicaten einen Durchmeſſer zulaſe 1 ſen koͤnnen, ſo muͤſſen ſie einmal einen doppelten Werth he anzunehmen im Stande ſeyn, und es muß ſolgt ich werden Ne ans — gmnz- 1 vmen — m 3 = 0 AV Dur⸗ Außerdem aber wird erfordert, daß die Groͤße, womit Ne u multiplicirt worden iſt, nemlich Une (zn — 3 em)tt † (En — 2am) t † &n — m ach durch diejenige, welche un multiplicirt, oder durch (Gnn — 2Ymn † 3 emm)t † enn – Imn † umm i theilbar ſey; mit andern Worten: jene Groͤße muß = o he werden, wenn man ut — inn † emn — umm r Z Gnn — 2 7 mn † 3 mm ſetzt Hieraus fließt aber l OAn on – 2m) (ann — émn †am m) H — (GSEnn — 27mn † 3 emmym 1 . (Z n hercer d die uiNe efomnn ſa M⸗ n Va⸗ chwelhe⸗ hng =6 V. d. vornehmſten Eigenſch d. inien ddritten Ordn. 201 ( — 3 m) Enn— emn ymm)a (enn -=— 2mn † 3 ° myam Wendet man dieſes auf die oben feſtgeſetzten Arten an, ſo erhellet, daß die erſte Art nie einen Durchmeſſer haben kann. In der zweyten Art hingegen, werden die Ordina⸗ ten von der Axe, worauf die Abſeiſſen X dem Durchmeſſer parallel genommen werden, in zwey gleiche Theile getheilt. Die dritte Art laͤßt ganz und gar keinen Durchmeſſer zu. Die vierte Art hat allemal einen Durchmeſſer, welcher die Ordinaten, die einer Aſymptote parallel ſind, halbi⸗ ret. Die fuͤnfte Art hat drey Durchmeſſer, welche die den einzelnen Aſymptoten parallelen Ordinaten in zwey gleiche Theile theilen. Die ſechſte Art kann keinen Durchmeſſer bekommen. Die ſiebente Art hat einen Durchmeſſer fuͤr die Ordinaten, die der aus dem Faktor * — my entſprin⸗ genden Aſymptote parallel ſind. Die achte Art hat einen Durchmeſſer fuͤr die der Axe parallelen Ordinaten. Die neunte Art hat zwey Durchmeſſer, einen fuͤr die Ordinaten, die der Arxe, den andern fuͤr diejenigen, welche der einen Aſymptote parallel ſind. Die zehnte Art koͤmmt mit der achten, und die eilfte mit der neunten uͤberein. Eben ſo iſt die zwoͤlfte Art in Anſehung der Durchmeſſer der achten, und die dreyzehnte der neunten gleich. Die vierzehnte Art hat einen Durchmeſſer fuͤr die Ordinaten, welche der Axe parallel ſind. Die funfzehnte und ſechszehnte Art laſſen gar keine Ordinaten zu, welche die Curve in zwey Punkten ſchnitten, und koͤnnen folglich auch keinen Darchmeſſer ha⸗ ben. Die Eigenſchaften dieſer Durchmeſſer findet man beym NMewton ausfuͤhrlich bemerkt, und es ſchien daher nuͤtzlich, ſie ſel lbſt hier insgeſammt anzufuͤhren. . 4 R 5 §. 23 . 202 Zweytes Buch. Zehntes Capitel. §. 258. Ob gleich bey den Gleichungen, die wir oben [§. 237]. fuͤr die einzelnen Arten der Linien der dritten Ordnung mit⸗ getheilt haben, die Coordinaten und y rechtwinklig an⸗ genommen worden ſind: ſo wird doch die Ratur dieſer Ar⸗ ten nicht veraͤndert, wenn man die Coordinaten unter ir⸗ gend einem andern Winkel gegen einander geneigt ſeyn laͤßt. Denn es bleibt die Menge der ohne Ende fortlaufenden Schenkel dieſelbe, man mag die Coordinaten rechtwinklig, oder auf irgend eine Art ſchiefwinklig annehmen. Ja es leidet auch die Natur der ohne Ende forklaufenden Schen⸗ kel durch Annahme eines andern Coordinaten⸗Winkels kei⸗ ne Veraͤnderung, ſondern es bleiben dabey die paraboli⸗ ſchen Schenkel paraboliſche, und die hyperboliſchen hyper⸗ boliſche. Endlich geht dadurch ſelbſt in der Art der Schen⸗ kel, ſowohl der paraboliſchen als der hyperboliſchen, keine Veraͤnderung vor. Es gehoͤrt daher jede Curve, welche nach der ſie ausdruckenden Gleichung zu der erſten Art ge⸗ rechnet werden muß, unabaͤnderlich zu dieſer erſten Art, man mag die Coordinaten rechtwinklig oder ſchiefwinklig annehmen, und eben ſo verhaͤlt es ſich mit allen uͤbrigen Arten. §. 259. Schraͤnkt man ſich alſo nicht auf rechtwinklige Coordi⸗ naten ein, ſondern laͤßt den Winkel, welchen ſie einſchlieſ⸗ ſen, willkuͤhrlich ſeyn: ſo wird der Umfang der obigen Glei⸗ chungen nicht vermindert, wenn man yS= nu; æ = t – mu; und mm †nn = I ſetzt. Nimmt man aber den Coordinaten Winkel willkuͤhr⸗ lich an, ſo laſſen ſich die gedachten Gleichungen auf ein⸗ achere Formen zuruͤckbringen. Auf dieſe Art bekoͤmmt man V.d. vornehmſten Eigenſch. d. linien d. dritten Ordn. 203 man fuͤr die einzelnen Arten der Linien der dritten Ordnung y, folgende moͤglich einfachſte Gleichungen zwiſchen den ſchief⸗ b wDiinkligen Coordinaten t und u: g n Die erſte Art. . ſa Ne u (tt † nnuu) †T auufbt cu† d=o Nterlta wenn weder n = o, noch b = o iſt. n laͤßt. Die zweyte Art. fenden u(Gt †nuu) † auu † cu † d= nklg wenn n nicht = o iſt. 18 Die dritte Art. Sten u(tt — nnuu) † auu † bt† cu† d= o o fi⸗ wenn weder n = o, noch b = o, noch 2 n b † ec † tabol⸗ aa de⸗ Ann iſ. Sir Die vierte Art. u (tt — nnuu) † auu † cu † d = o vehe G wenn weder n = o, noch e † — = o iſt. a S ziin Die fuͤnfte Art. a Neyer a (tt — nnuu) Tauu — — † d=π Aunn wenn n nicht = o iſt. Die ſechste Art. uein tuu” att † bt † cu † d = o ſde wenn weder a =o, noch e = o ſſt. li Die ſiebente Art. tuu† att † bt † d = o wenn àa nicht So iſt. ühe⸗ Die achte Art. ei⸗ tuu”† bbt† cu † d = o„ nn wenn weder b = o, noch c = o iſt. 204 Zwezee Buch. Zehntes C pitel. . Die neunte Art. tuu † bbt † d = e wenn b nicht = o iſt. Die zehnte Art. tuu — bbt † cu † d = e wenn weder b = o, noch c = o iſt. Die eilfte Art. tuu — bbt † d = o wenn b nicht = in. Die zwoͤlfte Art. tuu † cu t d = o wenn c nicht = o iſt. Die dreyzehnte Art. , ttuIu P† d= 9. Die vierzehnte Art. nu3 † att †. cu † d = o. Die funfzehnte Art. u; † atu † bt † d = wenn a nicht = o in. Die ſchazehnte Art. us † at = o. Eilftes des imaginaͤr ſind. Eilftes Capitel. Von den linien der vierten Ordnung. §. 260. Die allgemeine Gleichung fur die Linien der vierten Ordnung iſt: „ y4 † 8y 3xX † 7y22 † °*. † ex4 † 63 † 71y2X † yX2 P ⸗X3 T2VYy † AyX T† &X X † -y † &X † = o, die aber, wenn man ſowohl den Coordinaten⸗ Winkel, als die Lage der Axe, und den Anfangspunkt der Abſciſſen ver⸗ aͤndert, auf vielerley Art, je nachdem der Fall iſt, auf ein⸗ fachere Formen gebracht werden kann. Um aber, nach der erklaͤrten Methode, alle unter dieſer Ordnung begrif⸗ fene Arten, oder vielmehr Geſchlechter, [§. 238] zu finden, muß man das hoͤchſte Glied dieſer Gleichung betrachten, und dann entſtehen folgende Faͤlle: 1. Wenn alle vier einfache Faktoren dieſes hoͤchſten Glie⸗ II. . Wenn nur zwey Faktoren reell und einander nicht gleich ſind. III. Wenn nur zwey Faktoren reell und einander gleich ſind. IV. Wenn alle vier Faktoren reell „und keiner einem von den uorigen gleich iſt. V. 206 Zweytes Buch. Eilftes Capitel Wenn zwey Faklorene einander gleich, die uͤbrigen ober ungleich ſind. VI. Wenn je zwey und zwey Faktoren einander gleich ſind. VII. Wenn drey einfache Faktoren einander gleic ſind. VIII. Wenn alle vier Faktoren einander gleich ſind. Erſter Fall. §. 26 1. Wenn alle Faktoren des hoͤchſten Gliedes imaginaͤr ſind, ſo hat die Curve gar keine ohne Ende fortlaufende Schen⸗ kel; und da wir hier die Verſchiedenheit dieſer Schenkel als Eintheilungsgrund gebrauchen, ſo bietet dieſer Fall nicht mehr als ein einziges Geſchlecht dar. Es begreift alſo Das erſte Ge ſchlecht die Curven, die gar keine ohne Ende fortlaufende Schenkel haben, und deren Ratur, wenn man die einfachſte Gleichung nehmen will, durch folgende Gleichung ausgedruckt wird: (yy † mmxx) (yy — 2 pxy † qqxX) † ayx † byx † cyy † dyxX † exx ? fy † gX † h = o wenn pp kleiner als qq iſt. Denn da ſich in dem hoͤchſten Gliede die Groͤßen y4 und X4 nothwendiger Weiſe befin⸗ den, ſo kann man, durch Vermehrung oder Verminderung der Coordinaten X und y um eine gegebene Groͤße, machen, daß y3 und X3 aus dem zweyten Gliede wegfallen. Zweyter Fall. §. 262. Wenn nur zwey Faktoren des hoͤchſten Gliedes reell, und dabed einander nicht gleich ſind, ſo kann man durch Ver⸗ Veran zubri dere/ Denn diger 1 Nerad NDe. und d ha 1— die be ec uinur ſnd. de Sch⸗ Shenel deeſr g ynſt Reheit eGleichng tuct win winderung ſ Mute, 4 ces nu n ch Ver⸗ Von den kinien der vierten Ordnung. 207 Veraͤnderung des Coordinaten⸗Winkels und der Axe es da⸗ hin bringen, daß der eine von dieſen Faktoren und der an⸗ dere y wird. Hierdurch bekommt man folgende Gleichung: YVXCVVy — 2 myxX † nnXX) † ayzX † byx † cyy † dyx † exx † fy † gXxX † h = o wo/mm kleiner als nun iſt. Denn da in dem hoͤchſten Gliede y3 und yX3 nothwen⸗ diger Weiſe da ſind, ſo kann man in dem zweyten Gliede y3 und X3 weglaſſen. Es hat demnach die Curve zwey geradlinige Aſymptoten, davon die eine durch die Gleichung y = o, und die andere durch « = o ausgedruckt wird. Die Art der erſten zeigt die Gleichung: nnyX3 † exx † gX † h = o und die Art der andern dieſe: Xy3 † cyy † fy h = Hieraus entſpringen alſo folgende Geſchlechter: Das zweyte Geſchlecht hat zwey geradlinige Aſymptoten, beyde von der Art⸗ = , wenn weder e noch e eine verſchwindende Groͤße iſt. Das dritte Geſchlecht hat zwey geradlinige Aſymptoten, die eine von der Art A A , u = —, die andere von der Art u = 1 und wird durch die Geichung: yx (yy — 2 myx † nnxx) † ay 2 † bn⸗ † cyy † dyx † fy † gx † h = ausgedruckt, wenn weder c = o, noch o iſt. Das vierte Geſchlecht hat zwey geradlinige Aſymptoten, die eine von der Art A A4 “” u = ,D die andere von der Art u = 137 und wird durch die 208 Zmweytes uc. Eilftes Capitel. die Gleichung: =D == fy 1 4 = . ausgedruckt, wenn c nicht = 0 iſt. Das fuͤnfte Geſ ſchlecht hat zwey geradlinige Aſt ymptoten, beyde von der Art L = 5 7 und wird durch die Gleichung: Y— 2 myX † nnxX) † ayax 4 byXX † ayx 4 B fy † g † h = o ausgedruckt, wenn weder f= 0, noch g = o iſt. Das ſechſte Geſchlecht hat zwey geradlinige Aſymptoten, die eine von der Art V 4 AX u = t die andere von der Art u = =, und wird durch die Gleichung: 7r7 — 2a myx F†nnXX) 4. aya † byxx † dyx † fy † h = o ausgedruckt, wenn f nicht S o iſt. Das ſiebente Geſchlecht. hat zwey geradlinige Aſymptoten, beyde von der Art A u= , und wird durch die Gleichung ausgedruckt: 2’ — 2 myx † nnxx) † ayax † byxx † dyx † h = o wenn nn allenthalben groͤßer als mm iſt. Dritter Fall. Wenn die erwaͤhnten beyden Faktoren des hoͤchſten Gliedes die einzigen reellen, und einander gleich ſind: ſo bekommt die Gleichung folgende Form: 77 G* — 2myX † nnxx) † ayxx †" bx ³ † cyy † dyx 1† exxX † fy † gx † h = o ſo daß wieder nin groͤßer als mim iſt. da adekn . 1he Von den linien der vierten Ordnung. 209 Wofern nun benicht = o0 iſt, ſo giebt dieſe Gleichung Das achte Geſchlecht, welches eine paraboliſche Aſymptote von der Art uu = At hat. Wenn aber b = o i, 6 wird, wenn man x = 00 ſetzt, 1*. 1 — † — * 7 n n nn n h X nnxX Iſt nun aa kleiner als Anne, ſo entſteht Das neunte Geſchlecht, welches keinen ohne Ende fortlaufenden Schenkel hat, Wenn b = o, und aa groͤßer als Anne, aber 2 nicht = o iſt, ſo entſteht Das zehnte Geſchlecht, welches zwey einander parallele Aſymptoten von der Art u = — hat. Wenn = o, und g = o, und aa groͤßer als Anne iſt, ſo ergiebt ſich Das eilfte Geſchlecht, G welches zwey einander parallele Aſte ſymptoten von der Art u = — hat. Wenn = o, und a a = Anne, aber g nicht = = 0 iſt, ſo entſteht Das zwoͤlfte Geſchlecht, welches eine hyperboliſche Aſymplote von der Art A un = = hat. Wenn b = o; g = o; und aàa = Ann e, und n eine negative Groͤße iſt, ſo entſteht ulers! Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. H,. O Dsas 4 Zweytes Buch. Eilftes Capitel. V Das dreyzehnte Geſchlecht, welches eine hyperboliſche A Aſymptote von der Art uu — hat. . T Lt Wenn hingegen b = 03 g = o; a aàa = Anne, und h eine poſitive Groͤße iſt, ſo ergiebt ſi 4 S Das vierzehnte Geſchlecht, welches gar keine ohne Ende fortlaufende Schenkel hat. 1 Vierter Fall. Sind alle vier einfache Faktoren des hoͤchſten Gliedes reell und unter einander ungleich⸗ ſo hat die Gleichung fol⸗ gende Form: yxX (— mx) ((— nx) † ayx by x2 f cyy† dyx † erxxp'fygX † h = O Es hat alſo die Curve vier geradlinige Aſymptoten ent⸗ A A weder von der Art u = oder von der Art u= , H A .Y oder von der Art u = : und daher ergeben ſich, wenn man die §. 251 gegebene Vorſchrift befolgt, iolgende Ge⸗ ſchlechter: Das funfzehnte Geſchlecht, welches dier hoperboliſche Aſymptoten, jede von der Art A = , hat. Das ſechszehnte Geſchlecht, welches vier hyperboliſche Aſymptoten, drey von der 4 “ — Art u = 7 und eine von der Art u = ſt hat. Das we Urt a „Und h llal het en der 1 ” Von den linien der vierten Ordnung. aII Das ſiebenzehnte Geſchlecht, welches vier hyperboliſche Aſymptoten, drey von der Art u = D und eine don der Art u = 13 hat. Das achtzehnte Geſchlecht, welches vier hyperboliſche Aſymptoten, zwey von der A A Art u = R und zwey von der Art u = tt hat. . Das neunzehnte Geſchlecht, welches vier hyperboliſche Aſymptoten, zwey von der Art u = —, eine von der Art u = —, und eine von der Art u = — hat. Das zwanzigſte Geſchlecht, welches vier hyperboliſche Achnhieten⸗ zwey von der A Art u = — und zwey von der Art u = — 2 hat. Das ein und zwanzigſte Geſchlecht, welihes vier hyperboliſche Aſomptoten, jede von der Das zwey und zwanzigſte Geſchlecht, welches vier hyperboliſche Aſymptoten, drey von der Art u = 11 und eine von der Art u = J hat. Das drey und zwanzigſte Geſchlecht, welches vier hyperboliſche Aſymptoten, „dden von der A Art u = 14/7 1 und zwey von der Art u = — 33 hat, 2 Dars 212 Zweytes Buch. Eilftes Capitel⸗ X Das vier und zwanzigſte Geſchlecht, deß die welches vier hyperboliſche Aſymptoten, jede von der mtern der Ge⸗ Fuͤnfter Fall. §. 265. Diſe Wenn zwey Faktoren des hoͤchſten Gliedes gleich, und Canden die beyden uͤbrigen ungleich ſind, ſo hat die Gleichung fol⸗ II gende Form: YYXGXXn F ayxx † bxs † cyy I dyx exx X Met fy TgX T h= O nunſctl Hier ergeben ſich zuvoͤrderſt in Anſehung der gleichen Fak⸗ Nlen da toren alle die Geſchlechter, welche wir beym dritten Falle ſicht un gehabt haben; und dabey theilt ſich ein jedes derſelben in wen de ſo viele, als die ungleichen Faktoren hervorbringen, oder, ſebenund als der zweyte Fall enthaͤlt. Ueberhaupt alſo entſpringen lsgr⸗ aus dieſem Falle ſechsmal ſieben, d. h. zwey und vierzig, Nerden tt Geſchlechter. Unter dieſen ſind aber zwey unmoͤglich, nem⸗ Geſchſech lich, wenn die beyden parallelen Aſymptoten von der Art u = ſind, von den uͤbrigen aber die eine zu der Art A . — A We⸗ u = —, und die andere entweder zu der Art u = —, oder Ven t tt Glechun zu der Art u = 6; gehoͤrt. Es bleiben alſo nicht mehr als vierzig Geſchlechter uͤbrig, die, mit den vorhergehenden zu⸗ Kirgek ſammengenommen, vier und ſechszig Geſchlechter ausmachen, Ge und welche alle einzeln anzufuͤhren viel zu weitlaͤuftig ſeyn wuͤrde. Auch kann ich, da ich noch nicht jedes davon habe unterſuchen koͤnnen, nicht mit Gewißheit behaupten, ob nicht ene noch mehrere unmoͤgliche darunter befindlich ſind. Wer in⸗ pehre hen u⸗ nachen igſer don hee ,nb niht Url i⸗ deß Von den linien der vierten Oordnung. ar deß dieſe Unterſuchung nach den mitgetheilten Vorſchriften unternehmen will, der wird im noͤthigen Falle die Anzahl der Geſchlechter leicht zuſammenziehen und verbeſſern koͤnnen. Sechster Fall. §. 266. Dieſer Fall, bey welchem je zwey und zwey Faktoren einander gleich ſind, iſt in folgender Gleichung enthalten: yyXX † a y3 † bx3 † cyy † dyx † exx † fy † gX † h = 0. Jedes Paar gleiche Faktoren, fuͤr ſich genommen, giebt ſieben verſchiedene Faͤlle, und beyde Paare, zuſammengenommen, geben daher neun und vierzig Geſchlechter. Da aber h nicht zugleich poſitiv und negativ ſeyn kann, ſo werden zwey davon unmoͤg lich, und es bleiben daher uͤberhaupt ſieben und vierzig Geſchlechter uͤbrig; eine Anzahl, die eben⸗ falls groͤßer iſt, als daß hier alle einzeln ſollten angefuͤhrt werden koͤnnen. Bis jetzt haben wir alſo hundert u und eilf Geſchlechter gefunden. Siebenter Fall. §. 267. Wenn drey Faktoren einander gleich ſind, ſo hat die Gleichung folgende Form Y X TayxXX † bx3 † cyy † dyx 1† exx † fy † gxX † h = O Hier giebt der Faktor eine Aſymptote von der Art u = /wenn enicht =o iſt; A H eine Aſymptote von der Art u = t / wenn c =o, aber h⸗/ nicht =o iſt; OO 3 eine 214 Zwepytes Buch. Eilftes Capitel. èW A eine Aſymptote von der Art u = / wenn c =o, und f = o iſt. Hiernaͤchſt giebt der Faktor y3 eine paraboliſche Aſymptote von der Art us = Att, wenn b nicht = o iſt; wenn aber b = o iſt, ſo wird, wenn man X unendlich nimmt, cyy † fytͤ h . = 0 7 Y3 † ayx † dy † ex † g † Hier iſt, wenn e nicht = o, Y3 T ayX T ex = 0 woraus denn, wenn auch a nicht = o iſt, y2 † a x = o, und ay † e = G fließt: und es hat alſo hier zugleich eine paraboliſche Aſym⸗ ptote von der Art uu = At, und eine hyperboliſche ſtatt, die durch folgende Gleichung ausgedruckt wird: es de . cee afe Taan a a a a X Wenn alſo nicht es p aa de † asg = iſt, ſo gehoͤrt dieſe Aſymptote zu der Art u = 2 „im entgegenſtehenden Falle aber zu der Art u = S Wenn hingegen a = o, und e „»⸗= † E X — 0△ und dieſe Gleichung giebt eine paraboliſche Aſymptote von der Art us = A t. Iſt aber e = o, und aà = o, ſo wird 73 † dy † g — o, und dieſe Gleichung giebt entweder eine einzige Aſomptote von der Art u = oder drey von eben der Art, oder eine von der Art u = 1 und eine von der Art u1 = , Lder Pateus 4 Und iſ, ſhe ſihee⸗ ſche ſiat 141 uah — —☚nq — Gr ⸗ den e de M erte tet ,eis Von den linien der vierten Ordnung. 215 oder eine von der Art us = Ueberhaupt alſo giebt es hier acht verſchiedene Faͤlle, die mit den dreyen, welche der Faktor an die Hand giebt, multiplicirt, vier und zwanzig Geſchlechter erzeugen. Die Anzahl aller bisher gefundenen Geſchlechter belaͤuft ſich daher auf hundert und fuͤnf und dreyßig. Achter Falk. Wenn alle Faktoren einander gieich ſind, ſo findet fol⸗ gende Gleichung ſtatt: 74* †T ayzx T byXxX † kx3 T cyy † dyxX † exX †* fy T gxX † h = o. Hier entſteht, wenn k nicht = o iſt, Das hundert und ſechs und dreyßigſte Geſchlecht, welces eine einzige paraboliſche Aſymptote von der Arr = Ata3 hat. Wenn k = o, b aber nicht =o iſt, ſo wird 74 † byXxX † exx = 0 und daher y3 † bxx = o, und by * e = o. Hieraus ſließt fuͤr die geradlinige Aſymptote by † e = & aeZX cCeS dex (by † e) xX † 1 P b 1 bb b — ef g † h = O und es gehoͤrt daher die Aſymptote, wenn nicht ee — bde — bbg = 0 A iſt, zu der Art u = im entgegenſtehenden Falle aber O 4 R 216 Zweytes ne Vu⸗ Eiltes Capitel. zu der Art u = —. Es ergeben ſich alſo hieraus Das hundert und ſieben und dreyßigſte Geſchlecht, welches eine paraboliſche Aſymptote von der Art u3 = Att, und eine hyperboliſche v⸗ von der Art u = 4 hat; und Das hundert und acht und dreyßigſte Geſchlecht, welches eine paraboliſche Aſymptote von der Art 3 = Att, und eine hyperboliſche von der Art u = * hat. 8. 269. Nun ſey k = o, und b = o, ſo daß y4 † ayzxX † cyy † dyx † exx † fy † gX †. h = 0 werde. Iſt hier e nicht = o, ſo wird 4 y4 † ayyX † exXx = 0 und dieſe Gleichung iſt unmoͤglich, wenn aakleiner als. 4 iſt. Iſt hingegen aa groͤßer als 4 e, ſo erhoͤlt man zwey paraboliſche Aſomptoten, die zu einerley Axe gehoͤren, von der Art u u = At; und iſt a a = 4e, ſo fallen dieſe beypde Parabeln in eine zuſammen. Es ergeben ſich alſo hieraus, das hundert neun und dreyßigſte, vierzigſte, und ein und vierzigſte Ge eſchlecht. Iſt aber e = o, ſo daß man dieſe Gleichung hat: VA a 7X † c dyx ? g I & Th = o ſo wird, wenn a nicht = o iſt YV4 T ayyX † cyy T dyx † g5 = o und — ðð Und e ſtandie woher (e, N Fole h ſweh he len ür Non hund⸗ und v werde. holiſche⸗ ſuige, wid, As und ſo Geche die ne W doht —,— 11 = er als e man dh ian, eſe bende hhietont, deM : 30 nd Von den Linien der vierten OoOrdnung. 217 und alſo, wenn ſowohl yy ax = o, als y = einer be⸗ ſtaͤndigen Groͤße iſt ayy † dy g = o woher denn y entweder zwey verſchiedene, oder zwey glei⸗ che, oder zwey imaginaͤre Werthe bekommt. Im erſten Falle hat die Curve außer einer paraboliſchen Aſymptote A zwey parallele Aſymptoten von der Art u = *: im zwey⸗ ten eine von der Art uu = , und im dritten gar keine. Man bekoͤmmt alſo hieraus wieder drey Geſchlechter, das hundert zwey und vierzigſte, drey und vierzigſte, und vier und vierzigſte. §. 270. Nun ſey auch a =So, ſo daß die Gleichung 74 † cyy † dyx † fy † gX † h = werde. Iſt hier nicht d = o, ſo hat die Curve eine para⸗ boliſche Aſymptote von der Art us = At, und eine gerad⸗ linige, die durch die Gleichung dy g = o ausgedruckt ß””ß8s A è wird, von der Art u = — Endlich hat die Curve, wenn d S o iſt, eine paraboliſche Aſymtote von der Art uA4 = At; und ſo haben wir in allem hundert und ſechs und vierzig Geſchlechter der Linien der vierten Ordnung, davon aber die meiſten viele von einander ſich ſehr unterſcheidende Ar⸗ ten unter ſich begreifen. §. 271. Hieraus laͤßt ſich hinlaͤnglich abnehmen, wie ſehr die Zahl de der Geſchlechter der Linien der fuͤnften und der uͤbri⸗ OöP 5 gen Zweytes Buch. Eilftes Capitel. ꝛc. gen hoͤhern Ordnungen wachſe, ſo daß eine vollſtaͤndige Anfuͤhrung derſelben, dergleichen bey den Linien der drit⸗ ten Ordnung unternommen iſt, allein ein weitlaͤufti⸗ ges Werk erfordern wuͤrde. Was aber die vornehmſten Eigenſchaften der Linien der vierten und der hoͤhern Ord⸗ nungen betrifft, ſo laſſen ſich dieſelben aus der allgemeinen Gleichung einer jeden Ordnung auf eine aͤhnliche Art fin⸗ den, als ſolches oben bey den Linien der dritten Ordnung geſchehen iſt, und ich halte es daher nicht fuͤr noͤthig⸗ da⸗ bey zu verweilen. Zwoͤlftes Von D NeG⸗ ſortge ſtalt aus de Abſiht fir n nitun n Geſc Grade hekannt iegend Re es han nohl hat e wenn n e und icche Me Verno jenige wenie limde n led⸗ weitt⸗ enehnmtn hern Oet eneinen te ln in 1Gehhng, DweE . S Zwoͤlftes Capitel. Bon der Erforſchung der Geſtait der krummen linien. §. 272. Die Unterſuchungen der vorhergehenden Capitel hatten die Geſtalt der krummen Linien, welche ſie, ins Unendliche fortgefuͤhrt, haben, zum Gegenſtande; wie aber dieſe Ge⸗ ſtalt in dem endlichen Raume ſey, iſt oͤfters ſehr ſchwer aus der Gleichung zu erkennen. Denn man muß zu dieſer Abſicht aus der Gleichung die Werthe, welche die Applicate fuͤr einen jeden endlichen Werth der Abſeiſſe bekommt, ent⸗ wickeln, und die imaginaͤren von den reellen abſondern? ein Geſchaͤft, welches bey den Gleichungen der hoͤhern Grade gemeiniglich die Kraͤfte der Analyſe, ſo weit ſie bekannt iſt, uͤberſteigt. Giebt man nemlich der Abſciſſe irgend einen endlichen Werth, ſo kann man die Applicate als die unbekannte Groͤße in der Gleichung betrachten, und es haͤngt demnach die Aufloͤſung der Gleichung von der Anzahl der Dimenſionen ab, welche die Applicate darin hat. Es laͤßt ſich aber dieſes Geſchaͤft ſehr erleichtern, wenn man die Gleichung durch Annahme einer bequemern Axe und eines zweckmaͤßigen Coordinaten Winkels auf eine einfachere Form bringt; ſo wie dazu auch, da es gleich iſt., welche Coordinate man als die Abſeiſſe betrachten will, die Verwechſelung der Coordinaten heytraͤgt, wenn man dies jenige die Applicate ſeyn laßt, welche in der Dleichung die wenigſten Dimenſionen hat. 2* R L 220 Zweytes Buch. Zwoͤlftes Capitel. Von d §. 273. . edatid Wollte man z. B. die Geſtalt der Linien der dritten Ord⸗ wird: nung, die zu der erſten Art gehoͤren, beſtimmen, ſo muͤßte gewiſe man die einfachſte Gleichung fuͤr dieſe Art, die §. 258 mit⸗ jenſein getheilt worden iſt, zum Grunde legen, und von den Co⸗ ordinaten t und u die erſte t als die Applicate, und die an⸗ dere u als die Abſeiſſe betrachten, weil t nur zwey Dimen⸗ en ſionen hat. Man haͤtte alſo eine Gleichung von dieſer Form: . . 2 by T† axx T† CXx † d — nn xX 5 . ur zwe 7 = K 20w und daraus erhielte man durch die Aufloͤſung: in den b£ N bbf dx † cXX † a Xx 3 — nnX4) eine ei — X den gar SJJMU und §. 274. Eurpe Es hat folglich in den Faͤllen, in welchen die Werthe pplunt von xX der Funktion . e ANr bb † dx † cxx † ax3 — nnx4 Gend eine einen poſitiven Werth ertheilen, die Appl icate einen dop⸗ wid pelten Werth; wenn aber dieſe Funktion verſchwindet, ſo kommt der Applicate y nicht mehr als ein Werth zu, oder Ees werden beyde Applicaten einander gleich; und wenn der Werth der Funktion negativ wird, ſo ſind die Applicaten imaginaͤr, oder es gehoͤrt dann gar keine Applicate zu den Abſciſſen. Es koͤnnen aber die Werthe der gedachten Funk⸗ tion, wenn ſie poſitiv geweſen ſind, nicht anders negativ dhs werden, als wenn ſie vorher gleich geweſen, oder die den Funktion =o geworden iſt; und es ſind daher vorzuͤglich Fnd die Faͤlle zu erwaͤgen, in welchen bbdX † cXX † àa x3 — nnx4 = wird. Dies muß nun zum wenigſten in zwey Faͤllen ge⸗ N ſchehen, weil ihr Werth, ſo oft xX, es mag poſitiv oder ne⸗ N d ind eon, , Diner⸗ enen ⸗ nindet, ſ u, oder dwnd Neas e gde tinzut⸗ i nnt r di⸗ tſigech Von der Erforſchung der Geſtalt der Curven. 22 1 negatio ſeyn, eine gewiſſe Grenze uͤberſe chreitet, negativ wird: und es braucht daher die Abſciſſe auch nur bis zu einer gewiſſen Grenze genommen zu werden, weil die Appl leaten jenſeits dieſer Grenze imaginaͤr ſind. §. 275. Angenommen, daß der Ausdruck bb † dx † cxX † ax3 — n xA nur zwey reelle Faktoren habe, oder nur in zwey Fallen = o werden koͤnne; welches ſtatt findet, wenn die Abſciſſe in den Punkten P und 8, Fig. 49, ſich endet, wo es nur eine einzige Applicate giebt: ſo werden die Applicaten durch den ganzen Raum Ps hindurch reell und doppelt, jenſeits P und § aber insgeſammt imaginaͤr ſeyn, und alſo die Eurve zwiſchen den Applicaten K k und Nn liegen. Die Applicate⸗in dem Anfangspunkte A aber wird eine Aſym⸗ ptote der Curve werden, und uͤberdem dieſelbe auch in ir⸗ gend einem Punkte ſchneiden. Denn ſetzt man x = o, ſo wird und alſo b – (b † 5 X d. h. es iſt entweder „= 00, oder y = —. Es hat alſo Vy = in dieſem Falle die Curve eine ſolche Geſtan, als die Hoſte Figur darſtellt. §. 276. Nun habe der Ausdruck bb † dzx † cxx † ax3 — unnx4 vier 222 Zweytes Buch. Zwoͤlftes Capitel. vier einfache reelle und einander ungleiche Faktoren, und werde alſo in vier Faͤllen = o. Alsdann muͤſſen die Appli⸗ caten an eben ſo viel Orten P, Q, R, und S die Curve in einem einzigen Punkte beruͤhren. Da nun die Applicaten durch den Raum der Axe X P imaginaͤr geweſen ſeyn wuͤr⸗ den, ſo ſind ſie durch den Raum P Q hindurch reell; hier⸗ auf werden ſie durch den Raum QkR hindurch imaginaͤr, Uund in RS ſind ſie abermals reell, aber jenſeits S nach X zu wieder imaginaͤr. Es beſtehet demnach die Curve aus zwey von einander abgeſonderten Theilen, davon der eine innerhalb der geraden Linien Kk und LI, Fig. 51, und der andere zwiſchen den geraden Linien Mm und Nn liegt. Und da die Applicaten in dem Anfangspunkte der Abſciſſen reell ſind, ſo muß dieſer Punkt in einem von den beyden Theilen der Axe P C oder Rs liegen. Es hat demnach dieſe Curve eine Geſtalt, wie die Fiſte Figur zeigt, und beſteht aus einem Ovale, welches von der andern Curve, deren Aſymptote D E iſt, entfernt liegt, und das zugehöoͤs⸗ rige Oval genannt wird. §. 2722 Wenn zwey Wurzeln einander gleich ſind, ſo fallen ent⸗ weder die Punkte P und Q, oder Q und R, oder R und S zuſammen. Aber wenn das erſte ſtatt finden ſollte, ſo muͤßte, da A zwiſchen P und Q liegt, jede dieſer Wurzeln X ſeyn, und dieſes iſt, da b nicht fehlen darf, unmoͤglich. Wenn hingegen die Punkte R und S zuſammenfallen, ſo wird das zugehoͤrige Oval unendlich klein, und geht in einen zugehoͤrigen Punkt uͤber. Fallen ferner Q und B zuſam⸗ men, ſo iſt das Oval mit den uͤbrigen ſo verbunden, daß eine knotige Curve, Fig. 52, entſteht. Wenn endlich drey Wurzeln gleich ſind, oder die Punkte Q, R und S zu⸗ “ ſam⸗ Von ſummenk Spite . dieſe V. Falle ſo dene Men ſuf ei hrigen An cungen nicht we eine Coe ſo deß doher r eſteres e Ebegletet den Geen lamnes ſie ſtehrerns Curde wi Nerner ) Sn 4 der ͤs giebtein knn, W diehhes⸗ e Cumn Wpplicne ſonn win keel, hie⸗ inagitm . ſoch l une as Nre, 9 1, W Nn . Aſeiſen n denden Mnng eit, un n Cutnt, hhie⸗ felen ten 1S alte ſ Wurpen hnmipis n ſ neien Sſom denr di anhis d ” Von der Erforſchung der Geſtalt der Curven. 22 3 ſammenfallen, ſo geht der Knoten in eine ſcharfe Spitze uͤber, wie ſolches die z3ſte Figur darſtellt. Auf dieſe Weiſe finden bey der erſten Art fuͤnf verſchiedene Faͤlle ſtatt, und daraus hat Newton eben ſo viel erſchie⸗ dene Arten gem acht. §. 278. Auf eine aͤhnliche Art ſind die Unterabtheilungen der uͤbrigen Arten von Newton gefunden worden, indem alle Glei⸗ chungen ſo beſchaffen ſind, daß die eine von den Coordinaten nicht mehr als zwey Dimenſionen hat. Wenn aber die eine Coordinate nur eine einzige Dimenſion hat, ſo iſt die Geſtalt der Curve ſehr leicht zu fſinden. Es hat nemlich die Gleichung alsdann dieſe Form =Dp ſo daß P irgend eine rationale Funktion von iſt, und es mag daher der Abſciſſe ein Werth beygelegt werden, was fuͤr einer es ſey, ſo erhaͤlt y auch ſtets einen einzigen Werth, und es begleitet alſo die Curve ununterbrochen die Axe auf bey⸗ den Seiten. Wenn b eine gebrochene Funktion iſt, ſo kann es ſich ereignen, daß die Applicate an einem oder an mehrern Orten unendlich, und alſo eine Aſymptote der Curve wird; und zwar geſchieht dieſes alsdann, wenn der Nenner der Funktion verſchwinder. 279. 1 Setzt man alſo py = ☚ „ſo zeigen alle reelle Wurteln der Gleichung Q=o jene unendliche Applicaten an, denn es giebt eine jede Wurzel dieſer Gleichung, z. B. X' = fzu erkennen, daß die Applicate, wenn man die Abſciſſe x' =fnimmt, unend⸗ lich ſeyn werde, weil dabey Q=eo iſt. Ferner erhellet, daß die Appli⸗ 224 Zweytes Buch. Zwoͤlfte es Capitel. Applicaten, wenn ſie poſiti geweſen ſind, da groͤßer war als f, negativ ſeyn werden, wenn X kleiner als f wird; und es iſt demnach die Applicate eine Aſymptote von der A Form u = —, und dies iſt uͤberhaupt von allen unglei⸗ chen Fattoren zu merken. Wenn aber Q zwey gleiche Fak⸗ toren (X — f)2 hat, ſo bleiben die Applicaten, wenn ſie poſitio ſind, wenn X groͤßer als ſ iſt, ebenfalls poſitid, wenn x kleiner wird als f, und wenn x = f wird, ſo wird A 24 S8 die Applicate eine Aſymptote von der Art uu = Hat endlich der Nenner Q drey gleiche Faktoren, (X — f)3, ſo haben die Applicaten wieder, wie im erſten Falle, vor und nach der unendlich großen entgegenſtehenden Zeichen. J §. 280. “ Nach dieſen Gleichungen laſſen ſich diejenigen ſehr leicht behandeln, die unter der Form = 2 begriffen ſind, wo P, Q und R ganze Funktionen von X von irgend einer Art anzeigen. Aus dieſen Gleichungen be⸗ kommt die Applicate fuͤr jede Abſciſſe entweder einen doppelten oder gar keinen Werth; jenes findet ſtatt, wenn P P groͤßer als QR, und dieſes, wenn PbP kleiner als QR iſt: und es iſt daher in jeder Grenze, welche die reellen Applicaten von den imaginaͤren trennt, PP = =— QR, und 2 uͤhrt die plie ie Curve =— „,oder, es beruͤhrt dieſe Applicate die folglichy S in einem einzigen Punkte. Man betrachte alſo, um die Geſtalt der Curode kennen zu lernen, die Gleichung deren Ne, der t knt⸗ iren 5 indlich und han weh G tel ent gech, denn e⸗ in, ſ dent c heke fele Eun 2. ſe von e ſe it Nonn hengen de piher eilen Ntt, ven a6 05 He welen Q, Ne Cite hoͤrigen Obalen iſt. Von der Erforſchung der Geſtalt der Curven. 225 deren reelle Wurzeln die Oerter geben werden, wo die Ap⸗ plicaten die Curde in einem einzigen Punkte beruͤhren. Man bemerke dieſe Punkte in der Axe, ſo werden, wenn alle Wurzeln einander ungleich ſind, die Theile der Axe zwiſchen ihnen wechſelsweiſe zwey reelle und imaginaͤre Ap⸗ plicaten haben, und folglich die Curve aus ſo viel von ein⸗ .⸗ ander abgeſonderten Theilen beſtehen, als es dergleichen Abwechſelungen giebt, welches denn eine Quelle von zuge⸗ §. 281. Wenn die Gleichung PP—– QR= 0 zwey gleiche Wur⸗ zeln hat, ſo fallen von jenen in der Axe bemerkten Punkten zwey zuſammen, und es verſchwindet dadurch ein Theil der Axe, entweder ein ſolcher, der imaginaͤre, oder ein ſolcher, der reelle Applicaten hat. Im erſten Falle entſteht eine knotige Linie, wie Fig. 52, im andern ſchwindet ein zuge⸗ hoͤriges Oval in einen Punkt zuſammen. Hat die Gleichung PP — CR = 0 drey gleiche Wurzeln, ſo wird der Knoten un⸗ endlich klein, und geht in eine Spitze uͤber, wie Fig. 53 und hat ſie vier gleiche Wurzeln, ſo ſchwinden entweder zwey zugehoͤrige Ovaͤle i in einen Punkt zuſammen, oder es giebt in der Spitze einen Knoten, oder zwey an dem Schei⸗ tel entgegengeſetzte Spitzen. Sind fuͤnf Wurzeln einander gleich, ſo etgeben ſich daher eigentlich keine neue Arten; denn es entſteht eine Spitze, in welcher nicht, wie vorhin, ein, ſondern zwey Ovale in einen Punkt zuſammenſchwin⸗ den: und auf aͤhnliche Art bringt aͤuch die Gleichheit einer noch groͤßern Anzahl der Wurzeln keine neue Verſchieden⸗ heiten i in der Geſtalt der Curven hervor. S §. 282. Der Knoten, oder der Durchſchnittspunt zweyer Schen⸗ kel einer Curve wird auch doppelter Punkt genannt, weil Eulers Einl. in d. Angl. d. llnendl II. BS. P dis 226 Zweytes Buch. Zwoͤlftes Capitel. die gerade Linie, welche die Curve in dieſem Punkte ſchnei⸗ det, angeſehen werden muß, als ſchnitte ſie dieſelbe in zwey Punkten. Wenn durch den Knoten noch ein anderer Schenkel der Curve gienge, ſo wuͤrde dadurch ein dreyfacher Punkt, ſo wie, wenn zwey doppelte Punkte zuſammenfielen, ein vier⸗ facher Punkt entſtehen, woraus ſich denn die Entſtehungs⸗ art und die Natur der vielfachen Punkte uͤberhaupt, erkennen laͤßt. Es iſt demnach auch jedes verſchwindende Oval oder jeder zugehoͤrige Punkt ein doppelter Punkt, und eben ſo jede Spitze, welche durch einen zugehoͤrigen Punkt, der mit der uͤbrigen Curve verbunden iſt, hervorgebracht wird. Wenn die Gleichung, worin die Applicate y durch die Abſciſſe x ausgedruckt wird, eubiſch iſt, oder zu einem noch hoͤhern Grade gehoͤrt, ſo daß „ einer vielfoͤrmigen Funk⸗ tion von gleich iſt: ſo kommen jeder Abſciſſe entweder ſo viel Werthe zu, als y in der Gleichung Dimenſionen hat, oder es iſt die Anzahl dieſer Werthe um zwey, oder um vier, oder um ſechs, ꝛc. kleiner. Es werden alſo allemal zwey Applicaten zugleich imaginaͤr, und dabey, ehe ſie dies wer⸗ den, einander gleich. Dieſer Uebergang von den imagi⸗ naͤren Applicaten zu den reellen erzeugt mancherley Verſchie⸗ denheiten, die aber mit den bisher erklaͤrten theils uͤberein⸗ ſtimmen theils aus ihnen zuſammengeſetzt ſind. Wenn man aber fuͤr eine betraͤchtliche Anzahl von Abſeiſſen, und zwar ſowohl poſitiven als negativen, alle Werthe der Ap⸗ plitate ſucht, ſo kann man durch die auf dieſe Art gefun⸗ denen Punkte eine Curve legen, und ſo die Geſtalt der Curve finden. Wir wollen dieſes durch ein Beyſpiel erlaͤutern, wel⸗ ches zwar eine Gleichung von einem hoͤhern Grade zum Grunde Ver Grunde wuzeln J&. eoe Geel Apylcoce in de n Uifnnt, ger Cuve ſcha we 91, u, uad Feltſich Wa NdNe punie fnſte beinpe⸗ 1Sei er pun ein vien ſtehunge⸗ akennen Ooclode Nen ſ⸗ nNN iwie ſnc Re endn dod igen Rn N veder oi , N m diet, enadl ies ven en ineg⸗ Woche iotcrei⸗ Ven ſſen, in le ſ ſin⸗ Gcnt N Von der Erforſchung der Geſtalt der Curven. 227 Grunde hat, wo aber die Applicate y bloß durch Quadrat⸗ wurzeln ausgedruckt werden kann. Es ſey nemlich 2y = — V (6x — xx) — V (x † XxX) V (36 — Xx); eine Gleichung, aus der jede zu einer Abſciſſe gehoͤrige Applicate einen achtfachen Werth bekommt. Es faͤllt aber in die Augen, daß die Applicate, wenn man x negativ nimmt, imaginaͤr wird; und eben das findet ſtatt, wenn groͤßer angenommen wird als 6; ſo daß alſo die ganze Curve zwiſchen den Grenzen X = o und X = 6 enthalten ſeyn muß. Man ſetze alſo fuͤr X nach und nach die Werthe 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ſo iſt, wenn V (6x — XX) V (65 † xxX) —0 X = I 2,235 2,645 X —☛☚0 2 2,828 4,000 5,656 3,000 5/196 = 4 2,828 6,324 X = § 2,235 7,416 5,196 4,470 3,316 = 6 0,00 8,484 O0000 Summe ſ6,000 10,796 r2,484 13,392 13.622 12,967] 8,484 folglich y wenn 4 † † — † k — † 3,000 3,000 3,000 E — 5/398 3,163 2,753 3,000 ʃ „0,518 6,242 3,414 27242 0,586 3,696 1,500 1,500 6,811 3,983 0,487 2,341 6,483 0,933 3,167]4 Die vier uͤbrigen Verwechſelungen der Zeichen unterſchei⸗ den ſich von den angefuͤhrten bloß in Anſehung der Zeichen. Es kommt demnach jeder Abſceiſſe eine achtfache Applicate zu, und wenn man dieſelben geometriſch conſtruirt, ſo er⸗ giebt ſich eine Curve, die aus folgenden beyden, AFBEcagbeoDA und afbECAGB CDa, beſteht, zwey Spitzen in A und a, und vier doppelte Punkte oder vier Schenkel⸗Durchſchnitts⸗ punkte in D, k, C und e hat. P 2 Drey⸗ ſeiſen ſuche Veeth (8 dern wodan Dreyzehntes Capitel. eae Von den Eigenſchaften der Curven. M So wie wir oben lim ſiebenten und achten Capitel) die s Natur der ohne Ende fortlaufenden Schenkel auf die Art zu ene beſchreiben geſucht haben, daß wir eine gerade Linie oder eine nai Curve angaben, die mit jener Curve im Unendlichen zuſam⸗ menfiel: eben ſo wollen wir nun im gegenwaͤrtigen Capitel e⸗ jeden Theil der Curven im endlichen Raume betrachten, und die gerade Linie oder die Curve kennen zu lernen ſuchen, die mit einem ſolchen Theile, wenigſtens einen unendlich e kleinen Raum hindurch, zuſammenfaͤllt. Zuvoͤrderſt iſt hier⸗ dy bey klar, daß jede gerade Linie, welche eine Curve beruͤhrt, Glieder da, wo ſie dieſes thut, mit der Curve einerley Rich⸗ und es tung, und folglich auch zum wenigſten zwey Punkte ge⸗ fen t mein habe. Allein es laſſen ſich auch andere Curven finden, Gung die mit einem gegebenen Theile einer Curve noch mehr 9. uͤbereinkommen, und ſich gleichſam daran hinkruͤmmen oder anſchmiegen. Kennt man aber die gedaͤchte gerade Linie wrin A oder dieſe Curve, ſo iſt dadurch auch die andere Curve an d jedem Orte i in derſelben, und ihre Veſchaffenheik bekannt. 8 Nud 9. 286. kurve Iſt daͤher eine Gleichung fuͤr irgend eine Curve zwiſchen End den Loordinaten und y gegeben, ſo extheils man der Ab⸗ Ntra ſeiffe 4. Npith die r, ieen Gen een gen pnn nncgen in icen medih iſtiſ hee belht; an Wich untn g⸗ lin fnlen loch neh⸗ krünne atulni Cute at annt —— — betrachtet, — Von den Eigenſchaften der Curven. 229 ſeiſſe X, Fig. 55, einen beliebigen beſtimmten Werth, AP = p, ſuche die Werthe, welche der Applicate „ fuͤr dieſen Werth der Abſeiſſe zukommen, und nehme davon, wenn es deren mehrere giebt, einen, ?P M = q, nach Willkuͤhr an, wo denn M ein Punkt wird, durch welchen die Curve geht. Iſt dieſes geſchehen, ſo werden ſich die Glieder der gegebe⸗ nen Gleichung, wenn man darin p fuͤr X, und q fuͤr y ſetzt, einander aufheben. Um nun die Natur des Theils der Curve, welcher durch den Punkt M geht, zu erforſchen, ziehe man aus M die gerade Linie Mqg der Axe Ab parallel, nehme dieſe Linie zur Axe an, und ſetze die neue Abſciſſe Mq = t, und die Applicate qm = u. Da der Punkt m ebenfalls in der Curve befindlich iſt, ſo muß ſich, wenn man m q bis nach der vorigen Axe in p verlaͤngert, und Ap = Pp † t fuͤr x, und pm = q † u fuͤr y ſubſtituirt, eine Glei⸗ chung ergeben, die der vorhin gedachten identiſch iſ Bringt man aber dieſe Subſtitutionen in die zwiſchen „ und y gegebene Gleichung, ſo heben ſich darin alle die Glieder, worin weder t noch u vorkommt . einander auf, und es bleiben bloß diejenigen uͤbrig, welche die Coordina⸗ ten t und u enthalten. Auf dieſe Art entſteht eine Glei⸗ chung von folgender Form; 9 = At † BuT† Cte † Dtu† EuuFt– † tan †. Htuu †† ꝛc, worin A, B, C, D, 2ꝛc. heſtaͤndige Groͤßen bedeuten, welche aus den beſtaͤndigen Groͤßen der erſten Gleichung, und aus P und 9, die hier ebenfalls beſtaͤndige Groͤßen ſind, beſtehen. Es wird alſo durch dieſe neue Gleichung die Natur jener Curve ebenfalls ausgedruckt, wenn man M q als die Are, und den Punkt M als den Anfangspunkt der Akſtiſen 2 :8 230 Zweytes Buch. Dreyzehntes Capitel. §. 288. “ Hier flt nun zuvoͤrderſt in die Augen, daß, wenn man Mq = t =o ſetzt, auch Im = u = o ſeyn werde, weil gente dann der Pankt m in M faͤllt. Da wir ferner nur einen un⸗ en endlich kleinen Theil der Curve um M unterſuchen wollen, ſo iſt es zu dieſer Abſicht hinlaͤnglich, wenn wir fuͤr t eben⸗ falls nur unendlich kleine Werthe ſetzen, und in dieſem Un Falle hat auch qm = u nur dergleichen kleine Werthe, in⸗ nden dem wir den Bogen Mm gleichſam als einen verſchwinden⸗ Eder! den Bogen betrachten. Wenn man aber fuͤr t und u un⸗ endlich kleine Werthe ſetzt, ſo werden tt, tu und au noch h viel unbedeutender, und noch mehr ſchwinden t3, tau, Sbſi⸗ zuu, u3, u. ſ. f. und es bleibt daher, da alle Glieder, m worin dieſe Groͤßen vorkommen, bey den uͤbrigen, die ge⸗ w gen ſie gleichſam unendlich groß ſind, nicht in Betrachtung gezogen zu werden brauchen, bloß die Gleichung . Nen o = At † Bu un⸗ uͤbrig, welches eine Gleichung fuͤr die gerade Linie Mz iſt, die durch den Punkt M geht und anzeigt, daß dieſe gerade rin Linie mit der Curve zuſammenfalle, wenn ſich der Punkkt m dem Punkte M ſo ſehr als moͤglich naͤhert. Es iſt alſo dieſe gerade Linie M die Tangente der gleted Curve fuͤr den Ort M, und es kann daher hiernach die Sce Tangente fuͤr einen jeden Punkt der Curve M gefunden N werden. Da nemlich aus der Gleichung At † Bu = e ihi 18 2 — A q M Fen wird, ſo hat man qE: Mq = MP: PT = — A : P Und und da P M = à iſt, ‚ ſo wird die 6 venn nn ende, wel einen un,⸗ n wlen, irt Gen in dicſen ache in⸗ tchanden Uud uW dan ſoc 14, , Gide, n, Wege Crachtung . ſeei ente N ne N min 29 Von den Eigenſchaften der Curven. 231 PT . — 3 4 A Nun pflegt man den Theil der Axe PT die Subtan⸗ gente zu nennen, und es fließt a alſo aus dem Bisherigen folgende Kegel fuͤr die Erfindung der Subtangente: Man ſetze in der fuͤr die Curve gegebenen Gleichung, nachdem man gefunden hat, daß die Applicagte = 4 zu zu der Abſciſſe = p gehoͤre, S’JM X= p F t, und „= q † u und behalte von den Gliedern, welche man durch dieſe Subſtitution erhaͤlt, bloß diejenigen, worin t und u nicht mehr als eine Dimenſion haben, alle uͤbrige aber laſſe man weg. Auf dieſe Art gelangt man zu einer Gleichung At † Bu = o die aus nicht mehr als zwey Gliedern beſteht, und woraus, wenn A und B befannt ſind, die Subtangente B PT = — — A wird. Erſtes Exempel. Es ſey eine Parabel gegeben, deren Natur durch die Gleichung yy = 2 aX ausgedruckt wird, wenn Ab die Hauptaxe und A der Scheitel iſt. Man ſetze AP = p, ſo wird, wenn man P M = ꝗ ſeyn laͤßt, Ferner ſetze man = p † t, und y = q ſ u, ſo wird qq † 2qu † un = 2 ap † 2a und behaͤlt man hiervon nach der gegebenen Regel bloß die Glieder P 4 2 Au „ 232 Zwehtes Buch. Dreyzehntes Caitel. 24 =— 2 at ſo wird — A — — — 4 at qu = o; und : =— — t. gq B. Es iſt demnach die Subtangente 5 =2 — 2 3 1 weil 49 = 2 a p p iſt, und folglich die Subtangente doppelt ſo groß als die Abſeiſſe A P. . zweytes Exempel. Eg ſey eine aus dem Mittelpunkte A beſchriebene Ellipſe gegeben⸗ und ihre Gleichung bb yy = — (a2 — X) oder a àayy † bbyx = aa bb Setzt n man AP = = p, und P M = 9, ſo wird a aqq 1† bbpp = aab b. Nun ſey « = p ft, und y=q † u ſo wird weil man bloß die Glieder zu nehmen hat, worin t und u nicht mehr als eine Dimenſion haben, und die uͤbrigen ſogleich weg⸗ gelaſſen werden koͤnnen, 2 2a qu 2b bot = = 0 und folglich = e e⸗ iſt demnach die Suhtangente . eT = g aadd he A 2 Dpbp — 5 und da dieſer Ausdruck negativ iſt, ſo zeigt er an, daß der Punkt T auf die entgegenſtehende Seite falle. Uebrigens ſtimmt deeſelbe mit der obigen Beſtimmung der Tangenten der Ellipſe lim ſcchsten Capiten auf das genaueſte uͤberein. 5 Es —w* gung/ G n ſe Eit dwe en ſt ſiu hoſh JI — e pe eſchrieben⸗ 11d nii aef ſch nehe cng Grin ngenn 7* Von den Eigenſchaften der Curyen. 233 Drittes Exempel. Es ſey eine Ainie der ſiebenten Art der dritten Grd⸗ nung, deren Gleichung yyVX = à X † bæ 1 c it, gegeben. Setzt man ALb = Ppe und PM = q, ſo wird Pq = app † bp † c. Nun ſey « = † t, und „= q † u, ſo wird ( † ) G * 2qu † uu) = a (pp ?% 2pt † tt) b(p†t) e und wenn man alle uͤberfluͤſſige Glieder weglaͤßt, 2 bpqu †† qt = 2 a pt † bt. Hieraus fließt 1¹ = 2ab 1 — 4g = — ðòè und es iſ ennach die Subtangente bT = — q = — 2 q iiz, A ¹ 2 ap † b -— q 2 àa p † b – 49 2 P3 2 bpp 1 2cP EE oder er= AhpA. apP-—c 2 290, Hat man auf dieſe Art die Kangente der Curtze gefun⸗ den, ſo kennt man auch die Richtung, welche die Cuxpe in dem Punkte M hat; denn es kann die Curye ſehr fuͤglich als ein Weg betrachtet werden, den ein bewegter Punkt beſchreibt, deſſen Richtung jeden Augenblick ſich andert. Es wird demnach der Punkt, welcher durch ſeine Bewegung die Curve Mm beſchreibt, in M nach der Richtung der Tan⸗ gente Me bewegt, und wuͤrde, wenn er dieſe Richung be⸗ P 5 hialts 1e, 234 Zweytes Buch. Drepyzehntes Capitel. hielte, die gerade Linie M/ beſchreiben; aber ſobald er M. verlaͤßt, aͤndert er ſeine Richtung, wenn anders die dinie die er beſchreibt, eine krumme Linie iſt: und wenn man alſo den Gang der krummen Linie kennen lernen will, ſo muß man fuͤr alle einzelne Punkte derſelben die Lage der Tangente beſtimmen. Dies geſchieht nun nach der erklaͤr⸗ ten Methode ſehr leicht und ohne alle Schwierigkeiten, wenn die Gleichung fuͤr die Curve eine rationale Gleichung iſt, die keine Bruͤche enthaͤlt; und auf dieſe Form kann man bekannter Maaßen jede Gleichung bringen. Wenn aber die Gleichung irrational iſt, oder Bruͤche enthaͤlt, und man ſich der Reduection derſelben auf die Form der ratio⸗ nalen und ganzen Gleichungen nicht unterziehen will, ſo fann man zwar eben dieſe Methode anwenden, aber doch mit einer gewiſſen Veraͤnderung, die eben der Grund der Erfindung der Differential⸗ Rechnung geweſen iſt. Aus dieſer Urſach wollen wir auch die Methode, die Tangenten zu finden, wenn die fuͤr die Curve gegebene Gleichung keine rationale und ganze Gleichung iſt, der Diferen ial⸗ Rech⸗ nung gufbewahren. Hieraus laͤßt ſich alſo die Neigung der Tangente M/ gegen die Axe AP oder gegen ihre Parallele M q beſtimmen. Denn da iſt, wenn die Coordinaten bechtwinklig, und alſo der Win⸗ ſet M /6 ein rechter Winkel iſt/ ſo iſt — A S tang. AMA; wenn aber die Coordinaten ſchiefwinklig ſind, ſo findet man den Winkel q4 aus dem gegebenen Winkel Mq und . dem den Vu ten der der Vi der d Cene l⸗ wied! Ner es indend mane ſukte ſenite M Coudn Cfe Ng 7 Ma: wied. der Ny ormnal Kinkig ſche li R ſ. 8 ſochen rs Rlie venn n nn wil, ſe bnge de der etlin erigketen Gleichn Fen knn en. Vn utheit r ao⸗ wil cha N Geund de ſ. N nhenn urA il Ne Ra finmen ,G er ne 10 Von den Eigenſchaften der Curven. 235 dem Verhaͤltniſſe der Seiten M q, qy nach den Vorſchrif⸗ ten der Trigonometrie. Es faͤllt aber in die Augen, daß der Winkel q M, wenn in der Gleichung At † Bu = o der Coefficient A = o iſt, verſchwinde, und alſo die Tan⸗ gente M der Axe AP parallel werde. Iſt hingegen B= a, ſo wird die Tangente M den Applicaten PM parallel, oder es beruͤhrt alsdann die Mplieate PM ſelbſt die Curve in dem n Punkte M. §. 292. . Iſt die Tangente M T gefunden worden, ſo iſt, wenn man auf dieſelbe die Linie M N in dem Beruͤhrungspunkte ſenkrecht zieht, dieſe Mormale M N auf der Curve ſelbſt ſenkrecht, und ihre Lage in jedem Falle leicht zu finden. Am bequemſten aber laͤßt ſich dieſelbe angeben, wenn die Coordinaten rechtwinklig ſind; denn alsdann ſind die Drey⸗ ecke Mq; und MPN einander aͤhnlich, und alſo Mq: q½ = MP: PN, oder — B A= 4: PN woher denn N = – –— 1 B wird. Da man nun dieſen Theil der Axe PN, der zwiſchen der Applicate P M und der Normale MN liegt, die Sub⸗ normale nennt: ſo laͤßt ſich die Subnormale bey recht⸗ winkligen Coordinaten aus der gefundenen Tangente P T ſehr leicht beſtimmen, indem PM PT: PM=PM: PN; oder PN = † iſt. Ueberdem iſt aber, wenn APM = KR, die Tangente MT = V (P T2 †- PMa) urnnd die Normale MN = V (P M ² † PNEZ) eder SSHHõH 236 Zweytes Buch. Drepyzehntes Capitel. oder, da PI: TM = PM: MN iſt den N = e 51 C(PTa T PM⸗) ”̃”Jͦ”ƷñMRBNä Da wir 15. 291] geſehen haben, daß die Tangente, nie it wenn in der Gleichung At †¼ Bu = o, entweder A = o, gineie oder B = o iſt, entweder der Axe oder den Applicaten po⸗ lißt ſch “” rallel laͤuft;: ſo iſt noch der Fall zu betrachten, wenn beyde derge Coeffitienten, oder ſowohl A als B = o werden. Wenn R ſi ſch alſo dieſer Umſtand ereignet, ſo verſchwinden in der K.: 286 gefundenen Gl eichung die Glieder, worin t und u zwey Dimenſionen haben, nicht mehr gegen At † B uu, Ve weil jedes davon ſelbſt = o wird, und duͤrfen daher auch c nicht mehr weggelaſſen werden. Man hat folglich in die⸗ ſem Falle die Gleichung MU fieg 0 = tt † Dtu *† F uu ron ſed zu betrachten, weil man die uͤbrigen Glieder, die gegen die ſeer be angefuͤhrten, wenn t und u unendlich klein angenommen Mun werden, verſchwinden, aus der Acht laſſen kann; und aus ſch w⸗ dieſer Gleichung erhellet, eben ſo wie aus der allgemeinen nd d (§. 287. 288] daß fuͤr t = o auch u = o, und alſo der nemlicͤ Punkt M ein Punkt in der Curve ſeyn werde, ſo wie ſol⸗ ðR 1 die⸗ ches auch das Ungenommene erfordert. “ den kini M gtle Da alſo die Gehngn Sð ßUVMUDƷ Warde = Stt † Dtu Bun Pucke die Beſchaffenheit der Curve nahe bey dem Punkte M aus⸗ nnd druckt, ſo iſt klar, daß dieſelbe imaginaͤr wird, wenn D D mmal d groͤßer als 40CE iſt, und t und unicht = o ſind. In dieſem Falle Gleich gehoͤrt alſo zwar der Punkt M zu der Curpe, iſt aber von e dem Mente, AS Gten n⸗ n beyde Wn an de td t be, ge auch din e⸗ ger te nommen Nd ous mmeinen G Ne nie ie Noud un D nu M Von den Eigenſchaften der E rven. 237 dem uͤbrigen Theile derſel lben getrennt, und folglich ein zu⸗ gehoͤriges Oval, welches in einen Punkt ämmeſcmn det, ſo wie wir im vorhergehenden Capitel [§. 2 , 277] gehabt haben. Hier laͤßt ſich alſo gar keine arehte den⸗ ken, weil ein Punkt von der Tangente, die eine geraͤde Linie iſt, die mit der Curve zwey einander naͤchſte Punkte gemein hat, nicht beruͤhrt werden kann. Auf dieſe Art laͤßt ſich daher der zugehoͤrige Punkt einer Curve, wenn ſie dergleichen hat, erkennen, und von den u uͤbrigen Punkten der Curve unterſcheiden⸗ HD Wenn aber bp groͤßer iſt als 40 E, ſo laͤßt ſich die Gleichung 5 = Ctt † Dtu † Euu in zwey Gleichungen von der Form t † gu = 3 aufloͤſen, davon jede die Natur der Curve ausdruckt. Da alſo jede dieſer beyden Gleichungen die Lage der Tangente oder die Richtung der Curve in dem Punkte M beſtimmt, ſo muͤſſen ſich zwey Schenkel der Curve in dem Punkte M. ſchneiden, und daſelbſt einen doppelten Punkt erzeugen. Setzt man nemlich, Fig. 56, M q = t, und laͤßt man dabey q und ' die beyden Werthe von ſeyn, ſo ſind die beyden gera⸗ den Linien M und M- Tangenten der Curve in dem Punkte M, und es giebt alſo in M ein Durchſchnittspunkt zweyer Schenkel der Curde, davon der eine nach M und der andere nach M= gerichtet iſt. Da nun der zugehoͤrige Punkt ebenfalls als ein doppelter Punkt angeſehen werden muß, ſo zeigt die Gleichung Ctt † Dtu † Enu = o alle⸗ mal das Daſeyn eines doppelten Punktes an, ſo wie die alcund At † Bu = 6, wenn ſie ſtatt findet, allemal hloß einen einfachen Punkt der Curve zu erkennen elr 238 Zweytes Buch. Dreyzehntes Capitel. . 296. ₰ Wenn endlich DD =4CE iſt, ſo fallen die beyden Tan⸗ genten M und M= zuſammen, und der Winkel „½ M; ver⸗ ſchwindet. Hieraus erhellet, nicht nur, daß zwey Schenkel der Curve in dem Punkte M. zuſammenkommen, ſondern auch, daß ſie eine und dieſelbe Richtung haben, und ſich alſo einander veruͤhren; und es iſt daher in dieſem Falle der Punkt M. ebenfalls ein doppelter Punkt, weil die gerade Linie, die durch dieſen Punkt gezogen wird, als eine Linie angeſehen werden muß, welche die Curve in zwey Punkten ſchneidet. Wenn alſo in der Gleichung, die wir §. 286 gefunden ha⸗ ben, die beyden Coefficienten A und B verſchwinden, ſo iſt dies ein Kennzeichen, daß die Curve in M einen doppel⸗ ten Punkt hat. Ferner iſt dieſer doppelte Punkt von drey⸗ facher Art; entweder ein in einen Punkt zuſammenſchwin⸗ dendes Oval oder zugehoͤriger Punkt; oder ein Durch⸗ ſchnittspunkt zweyer Schenkel der Curve, mit andern Wor⸗ ten, ein Knoten; oder ein Beruͤhrungspunkt zweyer Schen⸗ pel der krummen Linie: und dieſe drey Arten des doppelten Punkts fließen aus der dreyfachen Beſchaffenheit, welche die Gleichung o = Ctt † Dtu † Euu haben kann. §. 297. Wenn außer den Coefficienten A und B, auch folgende drey, C, D und FE insgeſammt verſchwinden, ſo muß man die naͤchſten Glieder nehmen, worin t und u drey Dimen⸗ ſionen haben, und dann iſt FEFEtz † Gttu † Htuu † Ius = O Hat dieſe Gleichung nicht mehr als einen reellen Faktor, ſo zeigt derſelbe an, daß nur ein Schenkel der Curve durch den Punkt M gehe, und giebt zugleich die Richtung deſſel⸗ ben oder die Tangente zu erkennen; die deyden imaginaͤ⸗ ren ten Fe Punlte gente, in den herlhrer, ſd. E ele, ſ⸗ erfcche gen wit weche B folgend man folhenn ſunn/ ultt de darin do⸗ bier Vu⸗ ſudz Verdhe ein uye bunden won tierl ſ de rS⸗ Nade⸗ Arf n auch d berſchn tund ehdarden A chenkeld miwch, de⸗ ſſ innder er PutxX linie, de angeehen un gchndent hnndden, f— nen keppe⸗ kwWy nmerſcri⸗ ein Dutt; adeen e⸗ deher in lpelen t, date . 6 hende nuß nan 1 Dinen tr, 4 we dutß n iſt rpni⸗ in HW Von den Eigenſchaften der Curven. 239 ren Faktoren aber ſind ein Kennzeichen eines in dem Punkte M verſchwindenden Ovals. Sind alle drey Tan⸗ gente jener Gl eichung reell, ſo ſi eht man daraus, daß ſich in dem Punkte M drey Schenkel entweder ſchneiden oder beruͤhren, je nachdem die Wurzeln ungleich oder gleich ſind. Es mag aber ein Fall ſtatt finden, was fuͤr einer wolle, ſo hat die Curve in dem Punkte M allemal einen dreyfachen Punkt, und die gerade Linie, die durch M gezo⸗ gen wird, muß als eine gerade Linie betrachtet werden, welche die Curve in drey Punkten ſchneidet. §. 298. Wenn außer allen vorhergehenden Coefficienten auch folgende viere, F, G, H und I verſchwinden: ſo muß man um die Natur der Curve kennen zu lernen, die weiter folgenden Glieder betrachten, worin t und u vier Dimen⸗ ſionen haben, und welche den Punkt M als einen einfachen Punkt darſtellen werden. Denn alsdann fallen entweder darin zwey zugehoͤrige Ovale zuſammen, wenn nemlich alle vier Wurzeln dieſer Gleichung des vierten Grades imaginaͤr ſind; oder es iſt M entweder der Durchſchnitts⸗ oder der Beruͤhrungspunkt zweyer Schenkel der Curve, und zugleich ein zugehoͤriger Punkt, wenn zwey Wurzeln reell und die beyden uͤbrigen imaginaͤr ſind; oder ein Durchſchnittspunkt von vier Schenkeln der Curve, wenn alle vier Wurzeln reell ſind. Der Durchſchnittspunkt zweyer oder dreyer, oder aller vier Schenkel aber wird ein Beruͤhrungspunkt, wenn zwey oder drey oder alle vier Wurzeln einander gleich werden. Arf eine aͤhnliche Art faͤhrt man fort zu ſchließen, wenn auch die Glieder, worin t und u vier Dimenſionen haben, verſchwinden, und man alſo diejenigen nehmen muß, worin t und u fuͤnf oder noch mehr Dimenſionen haben. r”õũ 240 Zweytes Buch. Dreyzehntes Capitel. Rach dieſen Betrachtungen iſt es leicht, eine allgemeine Gleichung fuͤr alle Curven zu finden, welche nicht nur durch den Punkt M gehen, ſondern auch daſelbſt einen einfachen, oder doppelten, oder dreyfachen, oder uͤberhaupt ſo viel⸗ fachen Punkt haben, als man will. Denn ſetzt man AP = p, und P M = q, Uund laͤßt man P, Q, R, 8 zc. Funktionen zwiſchen den Coordinaten X und y bedeuten; ſo iſt offenbar, daß die Gleichung P (x – p) † Q (y — 4) = 0 die Curve ausdrucke, die durch den Punkt M geht. Denn ſetzt man æ = AP = p, ſo wird y = P M = q, wofern nur weder P durch y — 4, noch Q durch X* — p theilbar iſt, oder die Faktoren XK — p und y — q, von welchen der Durchgang der Curve durch M abhaͤngt, nicht durch die M ein vielfacher Punkt iſt. Didiſion aus der Gleichung weggeſchafft werden koͤnnen. Auch iſt bekannt, daß die Gleichung P (« — p) † Q („— q) = 6 aälle Curven enthaͤlte, die durch den Punkt M gehen, und es wird dieſer Punkt ein einfacher Punkt ſeyn, wenn die Gleichung keine von den Formen hat, welche wir ſo⸗ gleich beſchreiben werden, und welche ihr zukommen, wenn 5. 300. Soll i ein doppelter Punkt ſeyn, ſ muß die Gleichüng fuͤr die Curve unter dieſe allgemeine Form gehoͤren: P(x — P)2 1 G& p) ((— 4) † R G— 4)² = 0 und dieſe Form nicht durch die Diviſion zerſtoͤrt werden foͤnnen. Hieraus erhellet, daß die Linien der zweyten Ord⸗ nung keinen doppelten Punkt haben koͤnnen, weil die ange⸗ fuͤhrte Gleichung nur dann zum zweyten Grade gehoͤren kann, Mahr als kann, alsdann zu ſeyn, Sind n ten Oednn driten O den beſte daß es gerade Annie di Natur liche Ar als zwe Nicht ne K Nahnd E- Sol nu Cirbe ſe Oednung dige Gr en d deen Gache alſo di Ordnu den gi⸗ Eule D Ntnur r n öpfachen Apt ſe bie⸗ on, wn ege dr nmen binn oren. 12 0 ict werli hun dl⸗ Mi ine⸗ teit Ng Von den Eigenſchaften der Curven. 241. kann, wenn P, Q und Kk beſtaͤndige Groͤßen ſind; aber alsdann hoͤrt dieſelbe auf, eine Gleichung fuͤr eine Curve zu ſeyn, und wird eine Gleichung fuͤr zwey gerade Linien. Sind hingegen P, Q und R Funktionen vom erſten Grade, z. B. « X † 8 y † 7; ſo druckt die Gleichung Linien der drit⸗ ten Ordnung aus, die in M einen doppelten Punkt haben. Mehr als einen doppelten Punkt aber koͤnnen die Linien der dritten Ordnung, oder ſie muͤſſen complexe aus drey gera⸗ den beſtehende Linien ſeyn, nicht bekommen. Denn geſetzt, daß es zwey doppelte Punkte gebe, und daß dadurch eine gerade Linie gezogen worden ſey, ſo muͤßte dieſe gerade Linie die Curve in vier Punkten ſchneiden, und dies iſt der Natur der Linien der dritten Ordnung zuwider. Auf aͤhn⸗ liche Art koͤnnen die Linien der vierten Ordnung nicht mehr als zwey doppelte Punkte, die Linien der fuͤnften Ordnung nicht mehr als drey⸗ doppelte Punkte haben u. ſ. f. §. 301. Iſt M ein dreyfacher Punkt der Curve, ſo wird die Natur der krummen Linie durch dieſe Gleichung ausgedruckt: P ( — p) 3 † Q(Xx — p) 2(y — q) † R ( — p) (y— q)2 † 8⁸ (y — 94)3 = 00%ℳ Soll nun aber dieſe Gleichung eine Gleichung fuͤr eine Curve ſeyn, ſo muß ſie zu einer hoͤhern als zu der dritten Ordnung gehoͤren, weil ſie, wenn P, Q, R und 8 beſtaͤn⸗ dige Groͤßen waͤren, welches die Natur der Linien der dritten Ordnung nothwendig macht, drey Faktoren von der Form (X — p) † 3(y — q) haben, und ſolglich eine Gleichung fuͤr drey gerade Linien ſeyn wuͤrde. Es koͤnnen alſo die Curven, die zu einer niedrigern als zu der vierten Ordnung gehoͤren, keinen dre yfachen Punkt haben, und den Linien der fuͤnften Ordnung kann nicht mehr als ein Eulers Einl. in d. Angal. d. Unendl. II. HD, &e ein⸗ 242 Zweytes Buch. Dreyzehntes Cinttl, ꝛc. einzi ge er dreyfacher Punkt zukommen, weil es ſonſt eine gerade Linie geben muͤßte, welche die Linien der fuͤnften Ordnung in ſechs Punkten ſchnitte. Dagegen iſt kein Grund vorhanden, warum die Linien der ſechſten Ordnung nicht zwey dreyfache Punkte bekommen koͤnnten. F. 302. Wenn die Gleichung folgende Form hat: P G— p) 4 † (X— p) (y — 1) — 4)² † 8 (X — p) 7 — 4) †* T G — 4)4 = ſo hat die Curve in M einen vierfachen Punkt. Die einfachſte Curve, die einen vierfachen Punkt hat, iſt alſo die Linie der fuͤnften Ordnung. Zwey vierfache Punkte hingegen kom⸗ men nur den Linien der achten und den folgenden hoͤhern Ordnungen zu. Auf eine aͤhnliche Art laſſen ſich allgemeine Gleichungen fuͤr die Linien geben, die in M einen fuͤnf⸗ fachen oder uͤberhaupt jeden vielfachen Punkt haben ſollen. Wenn aber M ein doppelter, oder dreyfacher, oder uͤber⸗ haupt ein vielfacher Punkt iſt, ſo ſchneiden oder beruͤhren ſich eben ſo viel Schenkel der Curve in dem Punkte M, oder es fallen, wenn die Anzahl der ſich ſchneidenden Schenkel kleiner iſt, ein oder mehrere zugehoͤrige Punkte in M zuſammen; und was davon ſtatt finde, laͤßt ſich aus dem vorher Angefuͤhrten erkennen. Man darf nemlich nur in den Funktionen P, Q, R, 8S, ꝛc. allenthalben p und ꝗq fuͤr und y, und t und u fuͤr x — p und y — q ſetzen, ſo erhaͤlt man ſolche Gleichungen, woraus ſich die Beſchaffen⸗ heit der Curve und die Tangenten der Scheukel, die ſich in M ſchneiden, deſtimmett laſſen. Vier⸗ den di den P Ertora n ſeten iſtin linen Wachten ſegen, Ratue aber de ley der gercde bi IId dann Nnde Nde Qnſchn gleiche Wort ſeichne Mung nic ieeinfoc diekinieden gegen kea⸗ nn henn lzemeine Anmn inß hon /ſln, oder ihen berhen Nuntte n Giwile ie Punt t ſch au enlich ſen ſ ſhafen⸗ de ſe Die⸗ * S5õ Vierzehntes Capitel. Von der Kruͤmmung der Curven. 5. 304. Wir haben in dem vorhergehenden Capitel die gera⸗ den Linien aufgeſucht, die die Richtung der Curven fuͤr je⸗ den Punkt derſelben anzeigen: jetzt wollen wir uns mit der Erforſchung einfacherer krummen Linien be ſchaͤftigen, welche an jedem Orte mit einer gegebenen Curve ſo genau uͤber⸗ einſtimmen, daß man dieſelben, wenigſtens einen unendlich kleinen Raum hindurch, als mit ihr zuſammenfallend be⸗ trachten kann. Hierdurch werden wir uns in den Stand ſetzen, die Natur der gegebenen Curve aus der erkannten Natur der gedachten einfachern zu beſtimmen. Wir wollen aber dabey einen aͤhnlichen Weg einſchlagen, als wir oben bey der Erforſchung der Natur der ohne Ende fortlaufen⸗ den Schenkel gegangen ſind. Zuerſt nemlich wollen wir die gerade Linie aufſuchen, welche die gegebene Curve beruͤhrt; und dann die einfachere Curve zu finden uns bemuͤhen, die damit eine noch weit groͤßere Uebereinſtimmung hat, und dieſelbe nicht bloß beruͤhret, ſondern ſich gleichſam an ſie anſchmiegt oder an ihr hinkrummt. Man pflegt aber der⸗ gleichen genauere Beruͤhrung krummer Linien mit dem Worte Gſculation Anſchmiegung, Krümmung! zu bez zeichnen. Nx2 . 305. 244 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel. . 305. H gan Es ſey alſo irgend eine Gleichung zwiſchen den recht⸗ pyl winkligen Coordinaten X und y gegeben, und zur Erfor⸗ n= ſchung der Natur des unendlichen kleinen Theils der Curve Mm, Fig. 55, nachdem man die Abſciſſe A P = p und die Applicate P M = q gefunden hat, in der Axe MR die un⸗ endlich kleine Abſeiſſe Mq = t und die zugehoͤrige Appli⸗ cate qm = u geſetzt worden: ſo erhaͤlt man, wenn man Da kun die hieraus fließenden Werthe von X und y, x = p F t, ”?J” und y = q † u, in die gegebene Gleichung bringt, dafuͤr Kr ſo folgende Gleichung: auch o = At Bu † Cta Dtu † Eua † Ft' † Gtau t. eiingee und dieſe Gleichung druckt die Natur derſelben Curve, auf Rd die Axe MR bezogen, aus. Da wir aber die neuen Coor⸗ “?MVM dinaten t und u unendlich klein angenommen haben, ſo M verſchwinden die folgenden Glieder als unendlichmal klei⸗ g nere Groͤßen gegen die vorhergehenden, und koͤnnen daher, in Vergleichung gegen ſie, ohne Irrthum aus der Acht ge⸗ r laſſen werden. [Man vergleiche hierbey §. 286. f.] i S 8. 3 6. ard Wenn alſo A und B nicht = o ſind, ſo eigt die gleichung moͤne O = At T Bu, ſehende welche man durch Weglaſſung aller folgenden Glieder er⸗ r. Haͤlt, die gerade Linie M an, welche die Curve in dem Punkte M beruͤhret, und mit ihr in dieſem Punkte einer⸗ 6 ley Richtung hat. s ſt aiſo §. 289.1 Und da A und B bekannt find, ſo erhellet hieraus die Lage der Tangente M, und nun wollen wir unterſuchen, wie weit D ſ ic die Curve Mm, als unendlich klein betrachtet, von der die G gera⸗ Denn Mon. g,Ne Ctena. Urde, A KN dde Von der Kruͤmmung der Curven. 245 geraden Linie M unterſcheide. Zu dieſer Abſicht ſey die Normale M N die Axe, und darauf aus m die ſenkrechte Applicate m r herabgefaͤlt; auch ſey dabey Mr =r, und Tr m = s. Alsdann iſt —— Ar T. Be l ” itf — Au Da nun — At — B u = Ctz⸗ 1 Dtu f HE us 4† Fts 4 t u te. iſt: ſo iſt r unendlichmal kleiner als t und u, und deswegen auch unendlichmal kleiner als s; indem s durch t und u, hingegen wr durch die Quadrate oder hoͤhern Poteſtaͤten von t und u. beſtimmt wird. . 307. Wir werden daher die Natur der Curve Mm weit ge⸗ nauer kennen lernen, wenn wir auch die Glieder Ctz † Dtu† E uz beybehalten, und bloß die nach ihnen folgen⸗ den aus der Acht laſſen. Auf dieſe Art erhalten wir tole gende Gleichung zwiſchen t und u: — At — B 6 = Cta † Dth † Eus und wenn wir darin fuͤr t und u die im vorhergehenden . ſtehenden Werthe ſetzen, ſo wird (A2 G † A B D † B2E)rf V QAa f B2) = — † F= (A2D-— — B2D — 2ABCF 2 B E)rs —— — (AE — A BD T B2C)S8 AZ † B2 1 Da aber r unendlichmal kleiner iſt als s, ſo verſchwinden die Glieder rr und es gegen ss, und es wird demnach 246 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel. d(Aa † Ba) r V (A2 † B2) AzE – ABD FK BzZC welches die Gleichung iſt, wodurch die Natur der Curde ausgedruckt wird, die ſich an der gegebenen Curve in dem Punkte M hinkruͤmmt, oder dieſelbe an dieſem Orte genau beruͤhrt. =M Es faͤllt alſo der unendlich kleine Bogen Mm mit dein Scheitel einer uͤber der Axe M N beſchriebenen Parabel zu⸗ ſammen, deren Parameter (A2 †. B2) V (A2 . B2) ⸗E — AFD T B2G iſt; und ſo wie daher die Kruͤmmung dieſer Parabel am Schei⸗ tel beſchaffen iſt, ſo iſt auch die Kruͤmmung der gegebenen Curde in dem Punkte M. Da aber die Kruͤmmung keiner Curve ſo deutlich und leicht erkannt werden kann, als die des Kreiſes, weil dieſelbe allenthalben gleich und deſto groͤßer iſt, je kleiner der Halbmeſſer wird: ſo iſt es bequemer, die Kruͤmmung der Curven durch einen Kreis zu beſtim⸗ men, der eine gleiche Kruͤmmung hat, und daher Kruͤm⸗ mungskreis Circulus oſculator] genannt zu werden pflegt. Wir muͤſſen alſo einen Kreis zu finden ſuchen, deſſen Kruͤm⸗ mung mit der Kruͤmmung der gegebenen Parabel am Scheitel uͤbereinkoͤmmt, damit wir denſelben anſtatt der ſich anſchmiegenden Parabel zu gebrauchen berechtiget ſenn moͤgen. 8 Um dieſes zu thun, wollen wir die Kruͤmmung des Kreiſes als unbekannt anſehen, und dieſelbe auf die er⸗ kl ͤrte Art durch ſt die rummung der Parabel ausdrucken. Wenn Wenn i, Ween W, dene genan gena⸗ er dn e in den n genon nit den ut enen pe biter Cuent da ug 9 ſngrün Nobel an aſtant N gige/r Gm N Ne Grutn Gn. Von der Kruͤmmung der Curven. D 247 Wenn nemlich dieſes geſchehen iſt, ſo ſind wir dadurch be⸗ rechtigt, auch umgekehrt fuͤr die ſich anſchmiegende Para⸗ bel den Kruͤmmungskreis zu ſetzen. Es ſey alſo die gege⸗ bene Curve Mm ein Kreis, der mit dem Halbmeſſer = a beſchrieben worden, und deſſen Natur daher durch die Gl! leichung yy = 2 a X — XX ausgedruckt werde. Nimmt man daher AP = p, und PM = q, ſo wird q4 = 2 a p — pp Run ſetze man X= p † t, und y = q u, ſo bekommt man die Gleichung: qq †2 qu uu = 2a P † 2 àa t — bp -— 2 pt — tt die weil qq = 2 ap — pp iſt, auf dieſe Form gebracht werden kann: o = 2àat — 2pt — 2 qu — tt — uu. Vergleicht man aber dieſe Gleichung n mit der obigen, ſe findet man A = 2 à — 2 p; B = — 24; C = – 1; D= o und E = — 1 und daher wird denn A A † B B = 4 (a a — 2 a p † pp † q = 4;a 2 (AA † B B) V (A A † B B) = 8 a³3; und AAE — ABD † BBC = — A A –— B B = — 4 àa a. Wenn alſo der Halbmeſſer eines Kreiſes = a genommen wird, ſo wird derſelbe von dem Scheitel einer Parabel, deren Ratur durch die Gleichung s8s = 2ar ausgedruckt wird, genau beruͤhrt; und wenn daher eine Curve von dem Scheitel einer Parabel, deren Gleichung 88 = br iſt⸗ genau beruͤhrt wird, ſo wird dieſelbe auch von dem Kreiſe genau beruͤhrt, deſſen Halbmeſſer = b iſt. uah́qãqꝗ4 §. 310. 7 248 Zweytes Buch. Bier zehntes Capitel. FK. 3100. Da wir alſo vorhin gefunden haben, daß die Curve . Mm von einer Parabel, deren Gleichung Qa B B) Y. (A⸗ † B2) AzZE — AED T BaʒGI iſt, genau beruͤhrt wird: ſo faͤllt in die Augen, daß die Kruͤmmung eben dieſer Curve in dem Punkte M auch mit der Kruͤmmung eines Kreiſes ubereintomme, deſſen Halb⸗ 3 meſſer (Aa T. B22 V (Aa † 82) 2 (A 2 E — ABD † B2 C) iſt. Dieſer Ausdruck giebt demnach den Halbmeſſer des Kruͤmmungskreiſes, der auch Kruͤmmungshalbmeſſer ra- dius oſculi] genannt zu werden pflegt, an; und es kann folglich aus der Gleichung zwiſchen t und u, die wir aus der gegebenen Gleichung zwiſchen x und y abgeleitet haben, der Kruͤmmungshal bmeſſer der Curve in dem Punkte M, oder der Halbmeſſer des Kreiſes, der ſich in M an der Curve hinkruͤmmt „ſogleich beſtimmt werden. Man darf nemlich nur aus der zwiſchen t und u gefundenen Glei⸗ chung alle Glieder weglaſſen, worin t und u mehr als zwey Dimenſionen haben, und darauf aus der zuruͤckblei⸗ benden Gleichung von dieſer Form = At † Bu Ctt † Ptu † Euu den Kruͤmmungshalbmeſſer = = ſetzn. §S. 311. Da aber die Wurzelgroͤße V (A⸗= † B 2) einen zwiefachen Weith hat, ſo iſt noch unausgemacht, ob der Ausdruck (A † B2) V (A †. B2) 2 (A2 E – ABD EBZC) (A2 † B2) V (A2 † B2) 2 (A2E — ABD † B20C) poſi⸗ poſti⸗ ſonoben Uugre ſuchen Myh. folch d der Shlede et iſtt i ſeits N her ole ner ode Curben Nun nan unte Danun 9 wird. den d olch n ſn hal⸗ neſer N leſſe rr. d iem ie wie wi itet hoben Punkte N, n ee Pnn de, nen Nn Uihe Von der Kruͤmmung der Eurven. 249 poſitio oder negatid ſey; d. h. ob der Punkt N auf der hoh⸗ len oder auf der erhabenen Seite der Curve liege. Um dieſe Urngewißheit aus dem Wege zu raͤumen, muß man unter⸗ ſuchen, ob der Punkt der Curve m dieſſeits der Tangente M nach der Axe A N hin, oder jenſeits der Tangente be⸗ findlich ſey. Im erſten Falle iſt die Curve nach N zu hohl, und der Mittelpunkt des Kruͤmmungskreiſes liegt in dem Theile der geraden Linie MN, der nach der Axe hin gerich⸗ tet iſt: im andern Falle hingegen faͤllt derſelbe in den jen⸗ ſeits M verlaͤngerten Theil von MN. Es verſchwindet da⸗ her alle Ungewißheit, wenn man unterſucht, ob q m klei⸗ ner oder groͤßer als q iſt; denn im erſten Falle iſt die Curve nach N zu hohl, und im andern erhaben. §. 312. . A Nun iſt q = — und Im = u; folglich muß — At man unterſuchen, ob — groͤßer oder kleiner als u iſt. Da nun m eine unendlich kleine Linie iſt, ſo ſetze man m α = „, wodurch denn und wenn man S Dtt A 2 E wird. Da aber gegen t unendlich klein iſt, ſo verſchwin⸗ den die Glieder to und e2, und es wird folglich (S82C—– ABD † A 2E) tt 4 — 9S Iſ — 250 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel. Iſt demnach „ eine poſitive Groͤße, welches ſtatt findet, wenn BaC— ABb f A⸗E B0— ABD F A2E poſitiv iſt: ſo iſt die Curde nach N zu hohl; iſt aber BC— ABD † A; E B erhaben. §. 313. Damit dieſes deutlicher werde, wollen wir die verſchie⸗ denen Faͤlle, die ſich ereignen koͤnnen, jeden beſonders be⸗ trachten. Es ſey daher zuvoͤrderſt B = o, wo denn die Appli⸗ cate P M, Fig. 57, die Tangene der Curve Mm, und der Kruͤmmungshal bmeſſer = iſt. Ob aber die Curve nach K zu hohl ſeyn werde, wie in der Figur, oder erhaben, er⸗ kennt man aus der Gleichung = At † Ctt † Dtu † Euu. – Z Denn da x= = t, 1 uad m = u, undt unendlichmal klei⸗ ner iſt als u, ſo verſchwinden die Glieder tt und tu gegen uu, und es wird daher At † Euu = O Haben nun in diſer Gleichung A und E verſchiedene Zei⸗ chen, oder iſt eine negative Groͤße, ſo iſt die Curve nach K hoht; ſind aber. die Zeichen von A und E gleich. oder iſt — eine poſitive Groͤße, ſo liegt die Curve auf der andern Seite der Tangente, weil man die Abſeiſſe M q ne⸗ gativ annehmen muß, wenn dai eine reelle Applicate qm gehdren ſol. §. 314. — negativ, ſo iſt dieſelbe nach N zu N neigt, Un Men 9 desh chen un indet, die Cun eine p wird, Ml- — voftio, Plena F Nbiene Aerdr Hihen ſom ſolce n ſcke ſ che ach N ie derſche⸗ vonders be⸗ die yti⸗ W Ne unench! goben, en nnal kiͤ⸗ wird, Von der Kruͤmmung der Curven. 251 §. 314. Nun ſey Fig 55 die Tangente M „. gegen die Axe AP ge⸗ neigt, oder ihr parallel, ſo daß der Winkel RM/ ſpitzig ſey, und die Normale M N die Axe in M jenſeits P ſchneide. In dieſem Falle gehoͤren zu den Abſciſſen t poſitive Applicaten u, und es haben daher die Coefficienten A und B ungleiche Zei⸗ chen, und der Bruch — iſt negativ. Wenn aber dieſes ſtatt findet, ſo haben wir gereit vorhin geſehen, (G 312] , daß AZE —ABDTBZGCG die Curve nach N zu hohl wird, wenn 4 C H . . B eine poſitive Groͤße iſt, oder wenn, im Fall — negativ AAE — ABDFTB — Cnegativ iſt. Wird hingegen A2E— ABD T B2G — ABD Ba 5 1 negativ, oder — poſitiv, ſo iſt die Curve nach N zu erhaben. In beyden Gaͤllen aber iſt der Kruͤmmungshalbmeſſer M D (A2 1 B2) V(A2 † B2) —2 (A2 E — ABD † B2G) §. 3152 Iſt aber A = o, ſd wird die der Axe parallele gerade 4 Linie MR, Fig. 58, zugleich eine Tangente der Curve; auch iſt u unendlichmal kleiner als t, und folglich O Bu † Ctt. Haben daher B und C gleiche Zeichen, oder iſt B0 poſiti, ſo muß u einen negativen Werth haben, und alſo die Curoe nach dem Punkte P zu hohl ſetzu. Dabey faͤllt N in P, wie DK ſolches auch die vorhergehende Regel giebt, wenn man E e meſſer iſt wie vorhin = 252 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel. — . 8 = o ſetzt, und der Kruͤmmungshalbmeſſer iſt = X. Eben dieſe vorhin gegebene Regel gilt, wenn die Tangente, MT, Fig. 59, jenſeits P mit der Axe zuſammenkoͤmmt; denn es iſt alsdann ebenfalls die Curve nach N zu entweder hohl oder A2E – ABD 2 erhaben, je nachde n der Ausdruck — entweder poſitiv oder negatid iſt, und der Kruͤmmungshalb⸗ C0Q(Aa F Bz) N KA⸗ † B2) 2(A 2E — ABD T† B 2GC) Es ſey eine Ellipſe oder ein Quadrant derſelben D MC, Fig. 60, gegeben, der den Mittelpunkt A, die halbe Haupt⸗ axe A D = = a, und die halbe zugehoͤrige Axe AC = b habe. Rimmt man die Abſceiſſen X in der Axe AD vom Mittel⸗ punkte A aus, ſo iſt die Gleichung fuͤr dieſe Ellipſe lnach 1381 aa yy † bbXxX = aabb. Setzt man nun irgend eine Ab. ſeiſſe A P = b, und die Ap⸗ plicate PM= q, ſo wirrd Aaq qꝗq† bbpp = aabb und, wenn man = pft, und y = q † u macht, A2 1 2 aaqu 1. aauu † bbpp † 2 bbpf 1† bbtt = aabb oder 2 bbpt 1† 2 a a q u 1 bbit † aauu = o Es kommt alſo zuvoͤrderſt die Normale M N, wegen der Coefficienten von t und u, dießeits P mit der Axe zuſam⸗ men, und es wird bbp PM: PN = B: A = a24 be; und pN = bbt weil A = = 2 bbp, und B = aa iſt. Außer⸗ und fol Da nul tſſe wi Run N. dem Mi weil AN einander W. ann hohl ode 4 — ben DMc, WWeHowyr (=hhote n Mte- 2 Von der Kruͤmmung der Curven. 253 Außerdem aber iſt auch, weil C = bb; D = o; und E = aa iſt AZ2F. — ABD BzC Baabb Gaddtbbrt) 4 2 4 ba B 2aa4 2aaq und alſo poſitiv: woraus denn erhell et, daß die Curve nach N zu hohl iſt. P §8. 317. Was den Kruͤmmungshalbmeſſer betrifft, ſo iſt A= † Bz = 4 (a4 q q † baApp), und A2E — ABD † B2C = 4 a dbaA, und folglich der Kruͤmmungshalbmeſſer . (24 bapp) HW a 4b4 Da nun MN = V (q4 † ch, und f fo 1glich VC(aA q q † bapp) = aa. MN iſt, ſo wird der Kruͤmmungshalbmeſſe a *. M N 3 =— Wenn man aber auf die verlaͤngerte Normale MN aus dem Mittelpunkte A die ſenkrechte Linie AOzieht, ſo wird, „ bbp weil A N = p — — , und die Dreyecke ANr und AN& einander aͤhnlich ſind, aabbpp — b 4 Pp. NO= d a4. MN un . MO= NO F MN = AA Abpp — . RKMD 1 MN aa. MN MN und alſo . bb Hier⸗ 4 D 254 Zweytes Buc. Vierzehntes Capitel. Hieraus erhaͤlt man fuͤr. den Ceümmungshelbmeſer den Ausdruck a abb MO3 H der fuͤr jede der beyden Axen gleich beguem gebraucht wer⸗ den kann. Hat man fuͤr jeden Punkt einer Curve den Kruͤmmungs⸗ halbmeſſer gefunden, ſo kennt man eben dadurch die Natur der Curve auf das deutlichſte. Denn theilt man ein Stuͤck der Curve in ſehr viele ſehr kleine Theite, ſo kann man einen jeden dieſer Theile als einen Kreisbogen betrachten, deſſen Halbmeſſer der Kruͤmmungshalbmeſſer von ihm iſt. Dodurch iſt man aber auch im Stande die Beſchreibung einer Curve durch eine betraͤchtliche Menge von Punkten wet genauer zu verrichten. Denn wenn man, nachdem mat eine hinlaͤngliche Anzahl von Punkten, durch welche die Lurve gehet, gefunden hat, fuͤr jeden dieſer Punkte zuvoͤrderſt die Tangenten, dann die Normalen, und nun die Kruͤmmungshalbmeſſer ſucht, ſo kann man die kleinen Theile der Curve zwiſchen den gefundenen Punkten mit Huͤlfe des Zirkels beſchreiben, und es wird auf dieſem Wege d je wahre Geſtalt der Curve deſto genauer darge⸗ ſtellt, je mehr Punkte man zuvor gefunden hat. 1 „* §. 319. Da alſo der ſehr ffeine The il der Curde bey M mit dem 2 Kreisbogen, der mit dem Kruͤm munashalbmeſſer beſchrie⸗ ben worden iſt, zuſammenfallt, ſo hat nicht nur das Ele⸗ ment der Curve Mm ſondern auch das vorheragehende Mn eben diefelbe Kruͤmmung. Da nemlich die Natur des un⸗ endlich deuten/ len Pſe⸗ ſite und die ube Uung ber Aitcheen Da non Waonn lne 6 Verd Da 0 Ne Krit ſt,we eineg koͤmm ſeloſt laden lcht vet⸗ tnmings⸗ Die No ein Ctick unn non cachten, ihn ſchreibung Wnktan nochdem ch w Pune nd nun N nkien ni Meſen darge⸗ nit Ren deſchrie⸗ de Ge⸗ 1de Nn 7 N; nblch Von der Kruͤmmung der Curven. 255 endlich kleinen Theils Mm durch eine Gleichung, wie dieſe: SS = ar, wor = Mr, und s = r m die Coordinaten be⸗ deuten, ausgedruckt wird: ſo kommt jeder unendlich klei⸗ nen Abſeiſſe Mr = r eine doppelte Applicate, eine po⸗ ſitive und eine negative zu, und es erſtreckt ſich folglich die Curve auf eben die Art nach n als nach m. Wenn daher der Kruͤmmungshalbmeſſer, der =— ¾ iſt, eine endliche Groͤße hat, ſo iſt die Kruͤmmung auf beyden Seiten, wenigſtens einen unendlich kleinen Raum hindurch, einfoͤrmig. Es kann folglich auch in dieſen Faͤllen die Curve weder ploͤtzlich aus M, nachdem ſie daſelbſt eine Spitze gemacht hat, zuruͤcktreten, noch daſelbſt ihre Kruͤm⸗ mung veraͤndern, und die erhabene Seite von Mn nach N zu kehren, wenn Mm nach eben dieſem Punkte zu hohl iſt. Da man nun eine ſolche Veraͤnderung der Kruͤmmung Wendungspunkt nennt, ſo kann da, wo der Kruͤmmungs⸗ halbmeſſer eine endliche Groͤße hat, weder eine Spitze noch ein Wendungspunkt ſtatt finden. . §. 320. Da aus der Gleichung zwiſchen t und u O = At † Bu † Ct2 † Dtu † Euu † Ft 5 1 Gttu † Htua †ꝛe. (A2 † Ba) V (A2 † B2) 2 (A2 E –— ABD † B2C) wird: ſo faͤllt in die Augen, daß der Kruͤmmungshalb⸗ meſſer, wenn der Krummungshalbmeſſer = AaE –— ABD f BaC = o iſt, unendlich groß wird, und alſo der beruͤhrende Kreis in 4 eine gerade Linie uͤbergehet. Da alſo, wo dieſes geſchiehet, koͤmmt der Curve keine Kruͤmmung zu, und es gehen da⸗ ſelbſt die beyden Elemente der Curve gleichſam in einer ge⸗ raden Linie fort. um aber die Natur der Curve in dieſen Saͤllen 256 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel. Faͤllen genauer kennen zu lernen . muß man die Subſt⸗ tutionen VZ „=s und u = = — 1 V (AA † BB) V (KA † BB) § 306] auch in die Glieder Ft3 † Gttu”† Htuuf Jus bringen. Da nun gegen das erſte Glied r V (A2 † B2) alle folgende Glieder, die r enthalten, verſchwinden, ſo bekommt man, wenn man dieſe Glieder weglaͤßt, und die Suübſtitution durch die ganze Gleichung voknimmt, eine Gleichung von dieſer Form T V (A2 † B2) = ass † 6s 1784a 1 * † ꝛc. §. 321. Aus dieſer Gleichung findet man ſogleich wie oben 15 19 VK(AZ † B2 2 ℳ daß der Kruͤmmungshalbmeſſer = = aber = = o, und folglich der Kruͤmmungshalbmeſſer. un⸗ endlich groß, ſo muß man, um die Natur der Curve ge⸗ nauer kennen zu lernen, das folgende Glied 2₰s 3 nehmen, ſo daß Z rV (A= † B2) = 63 ſey; denn wenn 8 nicht = o iſt, ſo verſchwinden alle ubrige Glieder y84, às5, ꝛc. gegen 6Ss3. Es wird alſo in die⸗ ſem Falle die Curve in M von einer durch dieſe Gleichung T V (A2 † B2) = 8 3 ausgedruckten Curve beruͤhrt, und daraus laͤßt ſich denn auch die Geſtalt jener Curve um M erkennen. Da alſo zu der Abſciſſer, wenn dieſelbe nega⸗ tiv genommen wird, eine negative Applicate s gehoͤrt, ſo ſchlaͤngelt ſich die Curve in M, wie Fig. 61, und han alſo in M einen Wendungspuntt. §. 322. iſt. Iſt neſer un Luice ge nehnen A,Artgt , in die Hleichun et Und e un A Abe nege⸗ hint Von der Kruͤmmung der Curven. 257 §. 322. Iſt außer e auch s = o, ſo wird die Natur der Carde um M durch dieſe Gl eichung D X V (A2, † B2) = 754 ansgedruckt; und da daraus zu jeder Abſciſſer eine doppelte Applieate s, eine poſitive und eine negative, gehoͤrt, und die Abſciſſe nicht auf beyden Seiten genommen werden kann, ſo liegen in dieſem Falle beyde Theile der Curve Mm und Mu, Fig. 62, auf einer und derſelben Seite der TFangente. Wenn aber, weil «, 6, und „ verſchwinden, die Natur der Curve durch die Gleichung r V (A2 † B2) = àϑ85 ausgedruckt wird, ſo hat die Curve bey M wie eder einen 2 Wendungspunkt, wie Fig. 61; und wenn auch * = , und alſo . 1 V (A2 † Ba) = 56 Hð iſt, ſo hat abermals die Curve dergleichen nicht, wie Fig. 62. Ueberhaupt hat die Curve, wenn der Exponent vons eine ungerade Zahl iſt, in M einen Wedungspunkt, wenn aber dieſer Exponent eine gerade Zahl iſt, ſo findet daſelbſt kein Wendungspunkt ſtatt. . 2 6. 323. L P So verhaͤlt es ſich mit den Curven, wenn der Punkt M ein einfacher Punkt iſt, oder wenn in der Gleichung %5= At † Bu † Ctz † Dtu † Euz⸗ † FtS †, zc. A und B nicht zugleich verſchwinden. Wenn aber ſowohl A als B = o iſt, und die Curve zwey oder mehrere ſich in dem Punkte M ſchneidende Schenkel hat, ſo muß man, eben ſo wie vorhin, die Kruͤmmung eines jeden Schenk els und ſeine Beſchaffenheit in M beſonders unterſuchen. An⸗ Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. D. R genom⸗ 258 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel. genommen nemlich, daß fuͤr die Tangente eines Schenkels mt †+ nu = o ſey, ſo ſuche man eine Gleichung fuͤr dieſen Schenkel zwi⸗ ſchen den Coordinaten r und s, ſo daß jene, r, auf der Normale MN, Fig. 55, genommen wird, und unendlich⸗ mal kleiner iſt als s. [§. 306]. Man muß alſo — mr † n S und — M Ss = nr n - u — — WVmZ † n2) N (m2 † n 2) ſetzen; und iſt dieſes geſchehen, und ſind die Gneder, die wegen ihrer unendlichen Kleinheit gegen die uͤbrigen ver⸗ ſchwinden, weggelaſſ ſen worden: ſo erhaäͤlt man, wenn M ein doppelter Punkt iſt, eine Gleichung von der Form: rS = «sSs3 † 6s4 † 7SS † à%86 † ꝛc. wenn aber M ein dreyfacher Punkt iſt, eine Gleichung wie dieſe: . r SS = 2sa 47 1 1ss 1 , P ꝛc. ꝛce. Alle dieſe Gleichungen laſſen ſich aber auf fegende Form bringen: T = ℳ SS † βs3 † 7S4 † à85 † ꝛc. 7 §K. 324. Aus dieſer Gleichung ſieht man, daß der Schenkel der Curve, welchen wir unterſuchen, in M den Kruͤmmungs⸗ halbmeſſer = — hat, und daß folglich dieſer Kruͤmmungs⸗ hal beſſer, wenn „ = o iſt, = O. wird. In dieſem Falle wird alſo die Natur der Curve durch eine von folgen⸗ den Gleichungen ausgedruckt: r =— 683 r = 784; r = %S§; 20. und daraus ſchließt man wieder wie vorhin, [§. 321, 322.] entweder, daß die Curve in M einen Wendungspunkt habe, oder der de iſt, ve Eezte muß ni bedndere nden h lhrigen feln derſ ſeigſchaf Und ſuch und rm t: cht. de ern 1I2 W ale nde, lenn i 1 Von der Kruͤmmung der Curven. 259 oder daß dergleichen daſelbſt nicht ſtatt finde. Das erſte iſt, wenn der Exponent von s eine ungerade Zahl, das letzte aber, wenn er eine gerade Zahl wird. Auf dieſe Art muß man alſo jeden durch M gehenden Schenkel der Cuove beſonders unterſuchen, wenn man zuvor ſeine Tangente ge⸗ funden hat, und dieſe Tangente von den Tangenten der uͤbrigen in eben dieſem Punkte M. ſich ſchneidenden Schen⸗ D keln verſchleden iſt. §. 325. Auf eine andere Art aber verhaͤlt es ſich, wenn die Tangenten zweyer oder mehrerer Schenkel zuſammenfallen. Denn verſchwinden A und B, und ſind in der Gleichung o = Ctt T† Dtu † Enu † Ft3 † Gtzu † ꝛc. die beyden einfachen Faktoren des erſten Gliedes Ctt † Dtu † Euu einander gleich, oder haben die beyven in M, Fig. 55, ſich ſchneidenden Schenkel der Curve eine ge⸗ meinſchaftliche Tangente: ſo ſetze man Ctt † Dcù † Euu = (mt † n u)2 und ſuche eine Gle eichung zwiſchen den Coordinaten Mr = r, und r m = Ss, indem man: — — mr ns — mSs –— nfrf Fem n2 T n2) und u SB VmNm2 † n2) macht. Hierdurch erhaͤlt man eine Gier chung von folgen⸗ V der Form: 32 TT = arSS † 8S 3 r r sA † 1S4a † ersa gss † ꝛc. weil alle Glieder, worin r zwey oder mehr Dimenſio⸗. nen hat, gegen das erſte rr verſchwinden. 6S. 3200. Hier iſt nun zuvoͤrderſt das Glied 83 zu detrachten, denn iſt dieſes da, ſo verſchwinden dagegen alle uͤbrige R 2 M Gue⸗ 4 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel. Glieder, weil r unendlichmal kleiner iſt als s. Iſt alſo 2 nicht = o, ſo wird die Natur der Curve um M. durch die Gleichung Xr = 8S 2 ausgedruckt; und da daraus : = sV As = ss V. . wird, ſo ſet⸗ man, daß der Kruͤmmungshalbmeſſer in M = ½ V . oder auch, weil s in M. verſchwindet, = = 0 iſt. Es iſt demmnach in dem betrachteten Falle die Kruͤm⸗ mung unendlich groß, oder das Element der Curve in M ein Theil eines unendlich kleinen Kreiſes. Da ferner die Applicate s einerley Werth bekommt, man mag die Abſeiſſe r poſitiv oder negativ nehmen, ſo erhellet zugleich, daß die Curve in M, Fig. 63, eine Spitze habe, und in zweyen Schenkeln Mm, M aus einander fahre, die ſich in M be⸗ ruͤhren, und der Tangente Mt die erhabene Seite zukehren. 5. 327. Nun ſey s=o, dagegen aber fehle das Glied 84 nicht, gegen welches das Glied „rss3 verſchwindet. Alsdann wird die Natur der Curve um M durch die Gl leichung TTr — arssSs † 384 ausgedtuck, welche, wenn = klein er als — 4 iſt, wegen ihrer imaginaͤren Faktoren in M einen zugehoͤrigen Punkt zu exkennen giebt, und, wenn 2« groͤßer a lis — 4 iſt, in zwey Gleichungen von der F Form T = fss; und 1 = gSS erfäͤllt. In dieſem 9 Falle beruͤhren ſich alſo in M zwey Schenkel der Eurve, davon der eine den Kruͤmmungshalb⸗ meſſer weſe dieſe gind/ imnen, ſegten laeihr⸗ T Mitw Im den! durch Clee⸗ Gofale einen e ee geſam andert ander durch und die tte S dar zw Eden treien geſan G3. Mune leſee — die unn⸗ tbe in ener die Aſee ch, N in wehon 1i,A aſeen Wane Gng igen Uuntt Von der Kruͤmmung der Curven. 261 meſſer = —, und der andere = — hat. Wenn daher dieſe beyden Schenkel die hohle Seite nach eben der Ge⸗ gend zu⸗ kehren, ſo hat die Curve die Geſtalt zweyer von innen, Fig 64, wenn ſie aber dieſelbe nach entgegenge⸗ ſetzten Seiten zu gerichtet haben, zweyer von außen ſich beruͤhrenden Kreisbogen, Fig. 65. §. 328. Wenn auch 3 verſchwindet, ſo laͤßt ſich die Gleichung entweder in zwey andere Gleichungen aufloͤſen oder nicht. Im erſten Falle ergeben ſich zwey Schenkel, die ſich in dem Punkte M beruͤhren, und davon die Natur eines jeden durch eine ie Gleichung von der Form r- „ Sin ausgedruckt wird. Hier giebt es alſo ſo viel verſchiedene Geſtalten, als Combinationen zweyer Schenkel, die in M einen einfachen Punkt erzeugen. Dieſe Schenkel wollen wir Schenkel der erſten Ordnung nennen, die folglich ins⸗ geſammt in der Gleichung x = sm. enthalten ſind. Im andern Falle, wenn ſich nem lich die Gleichung nicht in zwey andere Gleichungen aufloͤſen laͤßt, wird die Natur der Curve durch eine von folgenden Gleichungen ausgedruckt: 2 — Fr = 4 Sy; rr = as7;; rr = «KS9; 2c. und dieſe Schenkel wollen wir, nebſt dem, den wir vorhin rTTr = «s3 gefunden haben, mit dem Ramen, Schenkel der zweyten Grdnung, belegen, weil ſie die Stelle zweyer Schenkel der erſten Ordnung, die ſich in M beruͤhren, ver⸗ treten. Dieſe Schenkel der zweyten Ordnung haben ins⸗ geſammt in M eine Spitze, wie die Gleichung rr = =8 3 K 326] gab, doch mit dem Unterſchiede, daß der Kruͤm⸗ mungshalbmeſſer in M, der aus der Gleichung PT = ℳ„S3 R 32 B unend⸗ 262 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel. “ unendlich klein war, bey den uͤbrigen Gleichungen unend⸗ lich groß wird. Denn da aus der Gleichung rr = sS rT = SsSVAS. wird, ſo iſt der Kruͤmmungshalbmeſſer in M= S ‚oder unendlich groß, weil s = o iſt. g. 3229. Wenn die Tangenten dreyer Schenkel, die ſich im M ſchneiden, zuſammenfallen, ſo beruͤhren ſich entweder drey Schenkel der erſten Ordnung in eben demſelben Punkte M, oder es iſt M ein Beruͤhrungspunkt eines Schenkels der zweyten und eines Schenkels der erſten Ordnung, oder es geht durch M ein einziger Schenkel der dritten Ord⸗ nung. Es wird aber die Natur der Schenkel der dritten Ordnung durch eine von folgenden Gleichungen: r 3à = eℳS4; 13 = A« S5; r3 = ℳ Ss7; 13 = æas 8; ꝛc. oder uͤberhaupt durch T 3 = ℳ%ℳSn ausgedruckt, wenn n irgend eine ganze Zahl, die groͤßer als 3, und dabey nicht durch 3 theilbar iſt, bedeutet. Die Geſtalt dieſer Schenkel aber iſt ſo beſchaffen, daß in M ein Wendung gopunkt ſtatt findet, wenn n eine ungerade Zahl iſt; wenn aber n eine gerade Zahl wird, ſo gehen die Schenkel ohne Wendungspunkt „wie Fig. 62, fort. Uebri— gens iſt der Krümmungshalbmeſſer bey dieſen Curven in M unendlich klein, wenn n kleiner als 6, und unendlich groß, wenn n groͤßer als 6 iſt. §. 330. Auf eine aͤhnliche Art verhaͤlt es ſich, wenn vier Tangen⸗ ten von den Schenkeln, die ſich in dem Punkte M ſchneiden, J zu⸗ zuſamt veder der erſe dn der einerd ben P ein ein algenn auige e ged Sbite derſe ſch N fuͤnfte Wos der fin Ungera⸗ nung i Nder hi fuupt W⸗ Nongr in M halbn ſer B we —4 45 hin NAn N Puntte els der g, oer nen Otde der deitten 456, . annen e i⸗ Von der Kruͤmmung der Curven. 263 zuſammenfallen. Es beruͤhren ſich nemlich alsdann ent⸗ weder vier Schenkel der erſten Ordnung, oder zwey von der erſten und einer von der zweyten Ordnung, oder zwey von der zweyten Ordnung, oder einer von der erſten und einer von der dritten Ordnung einander in einem und demſel⸗ ben Punkte M, oder es geht endlich durch dieſen Punkt M ein einziger Schenkel der vierten Ordnung g. Es wird aber die Natur der Schenkel der vierten Ordnung durch die allgemeine Gleichung r4 = „ Sh . ausgedruckt, wenn n eine ganze ungerade Zahl bedeutet, die groͤßer als 4 iſt. Alle dieſe Gleichungen geben eine H Spitze, wie die Schenkel der zweyten Ordnung, Fig. 63; und was den Kruͤmmungshalbmeſſer in M betrifft, ſo iſt derſelbe unendlich klein, wenn n kleiner als 8, und unend⸗ lich groß, wenn n groͤßer als 8 iſt Auf eben die Art laͤßt ſich die Natur der Schenkel der fuͤnften und der uͤbrigen hoͤhern Ordnungen beſtimmen. Was die Geſtalt derſelben betrifft, ſo kommen die Schenkel der fuͤnften, der ſiebenten, der neunten und uͤberhaupt aller ungeraden Ordnungen mit den Schenkeln der erſten Ord⸗ nung uͤberein, die entweder einen Wendungspunkt haben, oder nicht. Die Schenkel der ſechsten, achten und uͤber⸗ haupt aller geraden Otdnungen hingegen ſind in Anſehung der Geſtalt mit den Schenkeln der zweyten und vierten Ord⸗ nung von einerley Art, oder haben ir 'sgeſammt eine Spitze in M, wie die 63ſte Figur darſtellt. Den Kruͤmmungs⸗ halbmeſſer anlangend, ſo laͤßt ſich, da die Natur aller die⸗ ſer Vogen durch die Gleichung R 4 HMDW aus⸗ 264 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel ausgedruckt wird, wenn n groͤßer iſt als m, leicht einſehen, daß derſel be, wenn en kleiner iſt als 2 m, unendlich klein, und wenn n grͤſer iſt als 2m, unendlich groß ſey. K. 332. s laſſen ſich alſo die verſchiedenen Beſchaffenheiten, mit welchen ſich die Curven in Anſehung ihrer Geſtalt dar⸗ ſtellen, auf drey Gattungen zuruͤckbringen. Juvoͤrderſt giebt es nemlich Curven, die mit einer ſtetigen Kruͤmmung fortgehen, und nirgends weder einen Wendungspunkt noch eine Spitze haben. Dieſes findet ſtatt, einmal, wenn der Kruͤmmungs halbmeſſer allenthalben endlich iſt; zweytens giebt es auch einige Faͤlle, wo die unendliche Groͤße oder Keinheit des Kruͤmmungshalbmeſſers das Fortſchreiten der Curve in ſtetiger Kruͤmmung nicht verhindert; und zwar er⸗ eignen ſich dieſe e Faͤlle, wenn die Natur der Curve um M durch die Gl eichung ℳA en ousgedruckt wird, ſo daß m eine ungerade Zahl, n hin⸗ gegen eine gerade Zahl und groͤßer als m iſt. Zum an⸗ dern koͤnnen die Curven einen Wendungspunkt haben, wo⸗ bey denn der Kruͤmmungshalbmeſſer nothwendig entweder unendlich klein oder unendlich groß ſeyn muß. Man erkennt ſolches aus der Gleichung ℳMα r i — Sn wenn beyde Exponenten m und n ungerade Zahlen ſind; n muß aber ſteis groͤßer als m ſeyn. Es iſt nemlich der Kruͤmmungshalbmeſſer unendlich groß, wenn n groͤßer als 2 m, und unendlich klein, wenn n kleiner als 2 m iſt. Endlich kann es eine Spitze oder Ruͤckkehrpunkt geben, wo gleichſam zwey Schenkel, mit ihren erhabenen Seiten gegen einander gekehrt, bey ihrer 3 Zu ſammenkunft in einem Punkte ſich be⸗ ruͤh⸗ De Core⸗ kdon liom auf einet yi to, de neinſch W ſ ſchein die Thei⸗ war Siige Lhor wann niche derf der ent 4 ſalt den⸗ 4„ 0 rördert nmeg nrch venn Ne ſwegtens dſe oder en de⸗ wwaren tde n A ſ lio⸗ zum den w mndde aantn ⸗ Von der Kruͤmmung der Curven. 265 ruͤhren und daſelbſt endigen. Einen ſol chen Punkt giebt die Gleichung ð sh zu erkennen, wenn m eine gerade und n eine ungerade Zahl iſt. Bey einer Spi tze iſt daher der Kruͤmmungshalb⸗ meſſer allemal entweder unendl ich groß odee unendlich klein, §. 333. Da ſich alſo alle Verſchiedenheiten, die ſich bey den Curven in Anſehung ihrer ſtetigen Foreſchreitung finden koͤnnen, auf dieſe drey Arten bringen laſſen, ſo erhellet, einmal, daß der Schenkel einer continuirlichen Curve nie auf die Art gebogen ſeyn kann, daß er bey C, Fig. 66, einen endl! chen W Winkel A CB mache. Da ferner bey einer Spitze beyde S Schenkel einander ihre erhabene Seite zukeh⸗ ren, ſo giebt es keine ſolche Spitze A CB in C, Fig. 67, wo die beyden Schenkel A C und B C zwar in C eine ge⸗ meinſchaftliche Tangente ha ben, daben aber die hohle Seite des einen nach der erhaden nen Seite des andern hingerichtet iſt; und ſo oft eine Curve auf dieſe Art t zuruͤckzutreten ſcheinet, ſo oft iſt dieſelbe unvollſtaͤndig, ſo daß, wenn man die Curve nach einer Gl eichung ergaͤnzt, und nach allen ihren Theilen ausdruckt, eine Curve wie Fig. 64, entſteht. Es giebt zwar Methoden Curven zu beſchreiben, wobey dergleichen Spitzen A CB entſtehen, die daher auch vom Marquis de QA Hopital Spitzen der zweyten Art genannt werden. Aber man muß dabey bedenken, daß die mechaniſchen Methoden nicht immer die ganze Curve, die in einer Gleichung enthalten iſt, hervorbringen, ſondern oͤfters nur einen gewiſſen Theil derſelben darſtellen. Durch dieſen einzigen Umſtand wird der ganze Streit, der uͤber die Spitzen der zweyten Art entſtanden und gefuͤhrt worden iſt, gehoben. S R e S9* R 5 Ss 266 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel. So ſehr man indeß hierdurch berechtigt ſcheint zu be⸗ P haupten, daß es keine Spitze der zweyten Ordnut ng gebe, ſo hat man gleichwohl eine Menge von algebraiſchen Cur⸗ ven, die damit verſehen ſind. Unter andern ſogar eine Linie der vierten Ordnung, die in der Gleichung 72 — Yee — 47r — r; =— 0, welche aus dieſer, y = V X . X 3 entſpringt, enthal⸗ ten iſt. Denn wenn hier gleich zuerſt das Glied d V Xx vorkommt, ſo kann daſſelbe dennoch nicht poſitiv und negativ genommen werden, ſondern muß nothwendig das Zeichen † haben, weil, wenn man ihm das Zeichen — ge⸗ ☛ , 4. ben wollte, das andere Glied V X3 = V (X V xX) ima⸗ ginaͤr werden wuͤrde. Und aus dieſem Beyſpiele laͤßt ſich die Einſchraͤnkung, die man zu den obigen hinzufuͤgen muß, hinlnglich abnehmen. 334. Wenn, Fig. 64, zwey Schenkel, die in M eine ge⸗ meinſchaftliche Tangente haben, und alſo vier aus M aus⸗ gehende Bogen, Mm, M, Mn, My vorſtellen, durch ver⸗ ſchiedene Gleichungen ausgedruckt werden, ſo iſt es keinem Zweifel unterworfen, welche von dieſen Schenkeln conti⸗ nuirlich ſind; es ſind ſolches nemlich diejenigen, die durch einerley Gleichung ausgedruckt werden, ſo daß daher der Bogen Mm eine Fortſetzung von Mn, und der Bogen M eine Fortſetzung von M- iſt. Wenn aber jene beyde Schen⸗ kel durch einerley Gleichung ausgedruckt werden, ſo kann, da der vorhergehende Grund wegfaͤllt, der Bogen Mm nicht nur als eine Fortſetzung des Bogens Mn ſondern auch als eine Fortſetzung von M- angeſehen werden; und da auf dieſe Art jeder der Vogen Mn und M/ als eine Fort⸗ ſeetzung ſetzun einen alſo als lt Eyte Ohas dern den, auf bern drue Glie denn e au bier tinun eine dieſe worun nen E ſün d ein enthol⸗ ſed Pr enig en — ge in P M. durch dee⸗ es keiòen aujti⸗ durch Von der Kruͤmmung der Curven. 267 ſetzung von Mm betrachtet werden kann, ſo kann man auch den einen als die Fortſetzung des andern anſehen. Man kann alſo hiernach ſagen, daß ſowohl die Bogen Mm und M als jede zwey andere von den angefuͤhrten eine continuir⸗ liche Curve bilden, und in dieſem Falle ſtoßen in M. zwey Spitzen der zweyten Art m M und n N zuſammen. §. 335. Und dies gilt nicht nur von zwey Schenkeln, die ſich ohne Wendungspunkt und ohne Spitze in dem Punkte M beruͤhren, und durch einerley Gl eichung ausgedruckt wer⸗ den, ſondern es verhaͤlt ſich in Anſehung der Cont einuitaͤt auf eben die Art bey jeden zwey Schenkeln, die ſich in M. beruͤhren, wofern ſie nur durch einerley Gleichung ausge⸗ druckt werden. Es geſchieht dieſes, ſo oft man zu einer Gleichung zwiſchen r und s von folgender Form fommt azrzm — 2 « βr insn † 86820 = 0 denn alsdann wird jeder Schenkel durch die Gleichung . *r n = HESn“ ausgedruckt. In dieſem Falle koͤnnen alſo je zwey von den vier Bogen, die aus dem Punkte M ausgehen, fuͤr eine con⸗ tinuirliche Linie gehalten werden und daher entſtehet denn eine unzaͤhliche Menge von Spitzen der zweyten Art. Eben dieſe Beſchaffen heit der Continuitaͤt iſt aber auch der Grund, warum einige mechaniſche Beſchreibungen und Conſtructio⸗ nen Spitzen der zweyten Art hervorbringen; doch kann die⸗ ſes nicht geſchehen, als wenn man dadurch nicht die ganze in der Gleichung enthaltene Curve, ſondern nur einen oder einige Schenkel derſelben darſtellet. Zunf⸗ eH 2 S 2 ES 7 Funfzehntes Capitel. Von den Curven, die einen oder mehr Durch⸗ meſſer haben. 141 5F. 336. ſehen, daß alle Linien der zweyten Ordnung zum wenigſten einen rechtwinkligen Durchmeſſer haben, der die ganze Cur be in zwey aͤhnliche und gleiche Theile theilt. Die Pa⸗ rabel nemli lich hat einen ſolchen Durchmeſſer, und beſteht daher aus zwey einander gl leichen und aͤhnlichen Theit ilen; die Ellipſe hingegen und die Hyperbel haben deren zwey, die ſich im Mittelpunkte unter einem rechten Winkel ſchnei⸗ den, und daher giebt es bey ihnen vier einander gleiche und aͤhnliche Bogen oder Schenkel. Und was den Kreis betrifft, ſo hat derſelbe, da er von jeder durch den Mittel⸗ punkt gezogenen geraden Linie in zwey gleiche Theile getheilt wird, unzaͤhlige gleiche und aͤhnliche Theile, und zwar ſind ſolches alle Bogen, die zu gleichen Sehnen gehoͤren. Dieſe Aehnlichkeit zweyer oder mehrerer Theile einer und derſelben Curve wollen wir a lſo jetzt genauer unter⸗ ſuchen, und die Curven, die zwey oder mehr einander aͤhn⸗ liche Theile haben, durch allgemeine Gleichungen aus⸗ drucken. Iſt daher eine Gleichung zwiſchen rechtwinkligen Coordinaten und y gegeben, und hat man den ganzen Raum in die vier Gegenden C, R, Sund I, Fig. 68, welche D durch Wir haben oben [im fuͤnften und ſechsten Capitel ge⸗ durch A, liegt de Gegen der Ge ſonn verde ungerade didſen enomnn Hierna den ol Gleichu in den 1, nd des Wnan Wan iſ, ſ eine leiche Gi⸗ penigſen die gonſe Die a⸗ d eſehe Tn; n ſn lce⸗ ohe HZ en Mit⸗ ſe gehe djnot ſid einer let⸗ er hn n aus intigen genen piſhe urch Von den Durchmeſſen ben Von den Durchmeſſern der Curven. 269 durch die in C ſich ſer r e in C ſi enk ſich ſenkrecht ſchneidenden gerade 2 en Linien A B, EF von ei B, EF von einander abgeſondert werde evos 1, eingetheilt: ſo 8 liegt der Theil der CLurve, wobey und d y poſitiv ſind, in der 7 Gegend . der Gegend aber, wobey x poſitiv und y nega ſitiv iſt, in , ferner der, woben X negativ gatig. iſt, in M und der endlich, wobey u aber po⸗ id y negativ ſind, i in T. S z. E eger den Q und R einander gleich und d ohnl ich ſeyn, wenn di ie Gleichung ſo wenn n riai iſt, daß ſie unveraͤndert bl fuͤr y ſetzt. Und da ſich dieſe Beſch die affen⸗ heit bey allen en Pot 1† t6 Zahlen ſind idet i len von y, deren Exponenten gerat in den Gegenden D ſo erhellet, daß die Theile der dent 6 . . ZT er . und R einander gleich und 6 Lurde, aͤhnlich ſeyn un in der Glei chung keine ungeraden eine Poteſtaͤten dieſem eranen Erongennen vorkommen; und daß faig y mit ginommen ie gerade Linie A B, worauf die D ich in w erden, ein Durchmeſer der G Eir⸗ ſ ſeiſſen CP ehn n werde. Hie den lgebrat iſe I chen gehzren, unter ſoigender allgemei folgender allgemeinen Gleichung enthalten: 0 = a † ;6X † XX † † y2 † 4 5y2 eK 3 „ 4 1 X S † -=74 † ꝛc. Aus iſt, ſo druckt die Gleichung 2 = 0 — zir geic⸗ und a hnlice ren e gei theit wird; und es ſind daher auch 4 270 Zweytes Buch. Funfzehntes Capitel. anch die Theile der Curve in den Gegenden S und T ein⸗ ander gl leich und aͤhnlich. Die Theile der Curve in den Gegenden Q und 8 aber werden einander gleich und aͤhnlich ſeyn, wenn die Glei⸗ chung ſo beſchaffen iſt, daß ſie unveraͤndert bleibt, wenn mann — * fuͤr †X ſetzt; und wenn daher 2 irgend eine rationale e Funktion von XX und y iſt, ſo druckt die Gleichung — 0 eine Curve aus, die durch die gerade Linie EF in zwey gleiche und aͤhnliche Theile getheilt wird. Die allgemeine Gleichung fuͤr dieſe Curven iſt demnach 0= † y † YXX † dyy † exxXy † e&y“ 4 „X4 † 9 2y2 † -y4 † ꝛc. und a aus dieſer Gleichung iſt der Theil der Curve in S dem Theile in C, ſo wie der Theil in T dem Theile in R gleich und aͤhnlich. §. 340. Die Theile in den Gegenden O und T aber, oder die Theile in R und S, werden einander gleich ſeyn, wenn die Gleichung zwiſchen den Coordinaten Xund y ſo beſchaffen iſt, daß ſie unveraͤndert bleibt, wenn man beyde Coordi⸗ naten negativ nimmt. Es ſey Z = o die Gleichung fuͤr dieſe Curven, ſo erhellet, daß dieſe Gleichung die ange⸗ fuͤhrte Beſchaffenheit haben werde, wenn 2 eine Funktion von X und y von geraden Dimenſionen, oder ein Aggregat irgend einer Anzahl homogener Funktionen von geraden Dimenſionen iſt. Wenn hingegen 2z ein Agaregat irgend einer Anzahl homogener Funktionen von ungeraden Dimen⸗ ſionen iſt, ſo geht 27, wenn man und y negativ nimmt, in 7 ES und gle Entwede den Gei line gefe Cecheilt w⸗ lnig dn gehdren Mer es Theile luch den wetſelsw len Geic eſcheen Rtonedr lbeen der ande belegen. gieht, beiten Te 3 abe e Gle⸗ t, wenn end eine lichung n Hemeine de Ni en N nſteofen Coorde⸗ ng ii ℳ* Gttien Nkera etaden tgend Dnen, inmt 1 Von den Durchmeſſern der Curven. 271 in — Z uͤber, und es wird daher, da Z = o war, auch — Z = o. erne ch findet man alſo eine doppelte allge⸗ meine Gleichung fuͤr die Curven, die in den entgegenge⸗ ſetzten Grzenden Q und FT, desgleichen in R und S, gleiche und aͤhnliche Theile haben. Die eine nemlich iſt 0 = 2† gXX T YXy T 3y2 † =XA4 † GX 3y † „XXVVy † Jxy3 T† y4 PXXG † 2c. und die andere = ex T gy 1 7X5 † xay †:y † &y' † xXxS † 9XX4y † X3yS † ꝛc. §. 34r. Es ſind alſo die Curven, die zwey einander aͤhnliche und gleiche Theile haben, von einer zwiefachen Gattung. Entweder liegen dieſe beyden Theile dergeſtalt auf den bey⸗ den Seiten um einer geraden Linie, daß alle auf dieſe Linie gezogene ſenkrechte Ordinaten in zwey gleiche Theile getheilt werden. In dieſem Falle heißt die gedachte gerade Linie ein rechtwinkliger Dur ſchmeſſer der Curve, und es gehoͤren dahin die G leichungen im 3327 und 338ſten §. Oder es befinden ſich jene beyde aͤhnliche und gleiche Theile auf den entgegengeſetzten Seiten ſo, daß jede durch den Punkt C gezogene gerade Linie die Curve in zwey wechſelsweiſe einander gleiche Theile theilt, welches bey den Gleichungen des vorhergehenden § der Fall iſt. Dieſe verſchiedene Lage der gleichen Theile wollen wir nun auf die Art ausdrucken, daß wir diejenigen, die zu der erſten Art ge⸗ hoͤren, mit dem Namen, entgegengeſetzt gleich, die von der andern aber mit der Benennung, wechſelsweiſe ſe gleich, belegen. Da es ferner bey der letzten Gattung einen Punkt C giebt, der ſo beſchaffen iſt, daß jede dadurch zu beyden Seiten nach der Curve gezogene gerade Linie in ihm in zwey EE 272 Zweytes Buch. Funfzehntes Capitel zwey gleiche Theile getheilt wird, ſo kann man dieſem Punkte ſehr fuͤglich den Namen Mittelpunkt geben, ſo daß alſo den Curven, die zwey wechſelsweiſe gleiche Theile ha⸗ ben, ein Mittelpunkt zukommt, denen aber, wobey zwey Theile entgegengeſetzt einander g gleich ſind, ein Durchmeſ ſer zugeſchrieben werden kann. 3 §. 342. “ Da die Gleichung 2 = o, wenn y in der Funktion 2Z keine andere als gerade Dimenſionen hat, Curven aus⸗ druckt, die einen Durchmeſſer AB, Fig. 68, haben; und eben dieſe Gleichung, wenn darin die andere Coordinate bloß in geraden Dimenſionen vorkommt, eine Gleichung fuͤr Curven mit dem Durchmeſſer EF iſt: ſo muͤſſen, wenn 2 eine ſolche Funktien von X und y iſt, daß alle Exponen⸗ ten von und y gerade Zahlen ſind, AB und Ef recht⸗ winklige Durchmeſſer der Curve, und alſo die in den Ge⸗ genden Q, R, S und T liegenden vier Theile der Curve ein⸗ ander gleich und aͤhnlich ſeyn. Die allgemeine Gleichung fuͤr dergleichen Curven iſt daher: = a T 6x † 77v* † àXA T sX y2 † & †ας daay⸗ †P ꝛc. . 343. CEs haben alſo die in dieſer Gleichung enthaltene Cur⸗ ven zwey rechtwinklige Durchmeſſer A B und E F, die ſich in dem Punkte C ſenkrecht ſchneiden, und es gehoͤren die⸗ ſelben insgeſammt entweder zu der zweyten, oder zu der vierten, oder zu der ſechſten Ordnung ꝛc., ſo daß keine Linie von einer ungeraden Ordnung Curven enthaͤlt, die mit zwey Durchmeſſern, die ſich ſenkrecht ſchnitten, verſehen waͤren. Und da die Gleichung § 342 auch in der erſten Glei⸗ chung chung in ( Seite in we nik ein Gleichu nx O ſang ſolche Nubo Curt⸗ ſeyn nge eſthele Curde ſc Du ſerg folgt meſe 6ch 60: Durchn Durchr We mot neue men recht E d Wen le Eponen 9 licht 1 den Ge⸗ = ſene s⸗ , Neſh hren de⸗ l N enedie ,die beeher ſerbi⸗ Von den Durchmeſſern der Curven. 273 chung im 340ſten 5 begriffen iſt, ſo haben jene Curven auch in C einen Mittelpunkt, ſo daß jede dadurch zu beyden Seiten nach der Curve gezogene gerade Linie in demſelben in zwey gleiche Theile getheilt wird. Dergleichen Curven mit einem doppelten Durchmeſſer erhaͤlt man alſo aus der Gleichung Z = o, wenn Z irgend eine rationale Funktion von xXX und yy iſt. Da wir auf dieſe Art zu Curven mit zwey Durchmeſ⸗ ſern gelangt ſind, ſo wollen wir nun auch Gleichungen fuͤrn ſolche Curven ſuchen, die mehr als zwey Durchmeſſer haben. Zuvoͤrderſt iſt leicht zu zeigen, daß die Durchmeſſer jeder Curve, die deren nur zwey hat, auf einander ſenkrecht ſeyn muͤſſen, ſo daß keine Curve mit zwey Durchmeſſern moͤglich iſt, die nicht in der zuletzt gefundenen Gleichung enthalten waͤre. Denn wir wollen annehmen, daß eine Curve zwey Durchmeſſer AB und EF Fig. 69 habe, die ſich in C nicht ſenkrecht ſchneiden. Da alsdann EC ein Durchmeſſer iſt, ſo muß der Curve auf beyden Seiten die⸗ ſer geraden Linie gleiche Beſchaffenheit zukommen; und folglich, da der Theil dießeits E C die Linie AC zum Durch⸗ meſſer hat, auch der Theil jenſeits EC den Durchmeſſer GC haben, der in dem Punkte C mit EC den Winkel GCE=ACE mache. Auf aͤhnliche Art muß, da 6 C ein Durchmeſſer iſt, auch 10, wenn G CI = G CE iſt, ein Durchmeſſer von eben der Beſchaffenheit als EG ſeyn. Ferner iſt auch LC ein Durchmeſſer, wenn man 1CL = ICG macht; und ſo findet man, wenn man fortfaͤhrt, immer neue Durchmeſſer, bis der letzte mit dem erſten A C zuſam⸗ menfaͤllt, welches geſchiehet, wenn der Winkel ACE zum rechten Winkel ein rationales Verhaͤltniß hat. Eulers Einl, in d. Angl. d. Unendl. II. H. S §. 345. 274 Zweytes Buch. Sunftchnte Capitel. S Z §. 345. Hat aber der Winkel ACE zum rechten Winkel kein rationales Verhaͤltniß, ſo wird die Anzahl der Durchmeſ⸗ ſer unendlich groß, und die Curve iſt dann ein Kreis, in welchem jede durch den Mittelpunkt gezogene gerade Linie ein rechtwinkliger Durchmeſſe er iſt; d enn dergleichen Durchmeſſer verſtehen wir hier allemal, wenn wir von Durchmeſſern reden, weil dieſe nur die Curven in zwey aͤhnliche und gleiche? Theile theilen. Hieraus erhellet, daß keine algebraif ſche Linie zwey einander parallele Durchmeſ⸗ ſer haben koͤnne. Denn haͤtte ſie zwey ſolche Durchmeſſer, ſo wuͤrde ſie, aus den angef fuͤhrten Gruͤnden, auch unendlich viele unter einander parallele und gleichweit von einander entfernte Durchmeſſer haben, und alſo von einer geraden Linie in unendlich vielen Punkten geſchnitten werden muͤſ⸗ ſen. Allein dieſe Beſchaffenheit kommt den algebraiſchen Linien nicht zu. 8. 346. ₰ Wenn alſo eine Eurve e mehr als zwey Durchmeſſer hat, ſo ſchneiden ſich dieſelben nsgeſammt in einem und demſelben Punkte C, und ſind von einander unter gleichen Winkeln erafernt. Ferne er ſind dieſe Durchmeſſer von zwiefacher Gattung, und ſolgen wechſelsweiſe auf einander, indem nemlich der Durchmeſſer C von eben der Beſchaff enheit iſt, als der Durchmeſſer CA. Daher kommt die Glei⸗ chung fuͤr die Curve, wobey CG die Axre iſt, mit der uͤber⸗ ein, wodey CA zur Axe angenommen wird, und die wech⸗ ſelnden Durchmeſſer CA, CG, CL, ꝛc. ſo wie auch CE, Cl ꝛc. gehoͤren auf gleiche Art zu der Curve. Wenn alſo die An⸗ zahl der Durchmeſſe r endl ich iſt, ſo iſt der Winkel ACG ein gliquoter Theil von vier rechten Winkeln, oder A CE ein ali⸗ aligu wie⸗ , nd ſ. Durch Funti Cn- herin derni ſſe ll te⸗ kreis, geredt ergleichen wir von in zwi lt, N5 aden Grlſchen ſehnN. denſeben Virten PM = y, ſ wird Von den Durchmeſſern der Curben. 275 aliquoter Theil von 18007 oder der halben Peripherie, die wir = * ſezen wollen. 8. 347. Wenn der Winkel ACE, Fig. 70, = = 900 = – iſt, ſo findet der vorhin ſchon unterſuchte Fall ſtatt, wo die Curve zwey auf einander ſenkrechte Durchmeſſer hat. Dieſe Curven wollen wir jetzt nochmals, aber auf einem an⸗ dern Wege, unterſuchen, den wir auch zur Erſindung meh⸗ rerer Durchmeſſer betreten koͤnnen. Es habe demnach die Curve die beyden Durchmeſſer AB und EF. Man nehme in ihr irgend einen Punkt M an, ſetze, nachdem man aus dem Mittelpunkte C die gerade Linie CM gezogen hat, CM = 2, und A C M = s und ſuche eine Gleichung zwiſchen z und s. Da AC ein Durchmeſſer iſt, ſo faͤllt in die Augen, daß 2 eine ſolche Funktion von s ſeyn muß, die unveraͤndert bleibt, wenn man —s fürs ſetzt; denn es muß, wenn man ſtatt des Winkels ACM = s den negativen Winkel A Cm nimmt, . Cm = CM ſeyn. Nun iſt coſ. s eine ſolche? Funktion von s, welche durch die Suhſtitution von — s fuͤr † s nicht veraͤndert wird; und es wird daher dem gedachten Erfor⸗ derniſſe ein Genuͤge geſchehen, wenn irgend eine ratio⸗ nale Funktion von cof. s iſt. K. 348. Setzt man die Abſciſſe CP = x, und die Applicate * = VG † y, und coſ. s = . . Soll nun 2 = 0 die Gleichung fuͤr die Curde ſenn, deren Durchmeſſ er CA iſt, ſo muß 2 eine rationale Funktion von S 2 2 7 . 2 276 Zweytes Buch. Funfzehntes Capitel. 2 und , oder von 2 und x, oder, wegen der Rationalitaͤt, fen von XX † yy und x ſeyn. Aber wenn 2 eine Funktion von XX † yy und x iſt, ſo iſt es auch eine Funktion von yy und x. Denn ſetzt man XX † yy = u, ſo wird 2 eine 1 Funktion von æ und u; und ſetzt man ferner u = t † XX, 49, ſo daß t = yy wird: ſo wird 2 eine Funktion von t und „— In d. h. von yy und x. Wenn daher 2 eine rationale Funk⸗ NeD tion von yy und xX iſt, ſo iſt die gerade Linie CA ein Durch unddi meſſer der Curve: und dieſe Beſtimmung kommt mit der⸗ en de jenigen durchaus uͤberein, die wir oben [§ 338] fuͤr die d urven, denen ein Durchmeſſer zukommt, gefunden haben. hͤ “ linen Mmere Abber die geſuchte Curve ſoll zwey Durchmeſſer AB und —e EF haben, woher denn der Durchmeſſer CB von eben der m Art ſeyn wird, als der Durchmeſſer CA, § 346. Wenn — man alſo die gerade Linie C M = 2 auf den Durchmeſſer C B V 1 bezieht, ſo muß, weil BC M = z — s iſt, 2 eine ſolche “ Funktion von s ſeyn, die unveraͤndert bleibt, wenn man * — s fuͤrs ſetzt. Dergleichen waͤre nun zwar ſin. s, weil ſin S = ſin. (z — 8) iſt, allein es geſchiehet dadurch der SJð vorhergehenden Bedingung fein Genuͤge Man muß alſo Pvirt einen Ausdruck ſuchen, der auf gleiche Art zu s, —s, und Archn *. — s gehoͤrt, und ein ſolcher iſt coſ. 28, indem coſ. 2 8s = * coſ. — 28 = col. 2 ( — s) iſt; und es iſt demnach die Gde Gleichung 2 = o eine Gleichung fuͤr die Curven mit zwey D 8 Durchmeſſern AB und EF, wenn 2 eine rationale Funktion Dan von? und coſ. 2s iſt. Nun iſt coſ. 2 = — „ und den es muß daher 2 eine Funktion von xK † yy und XX — yy Dur oder fontſn kkionn bon 2 ein td, ge unt, nduc⸗ Ne ee. nhoben ADN Ghen der M wie eine Me venn Nn. S, NMl rc der Nus oli -3, l5* c e N woeg Furtin , 1- er 1 Von den Durchmeſſern der Curven. 277 oder von XX und 77 ſeyn, wie wir vorhin [5 342] ge⸗ funden haben. §. 350. Nun wollen wir zu den Curven, die drey Durchmeſſer AB, EF, und GH, Fig. 71, haben, fortgehen, wo ſich denn [§ 346] dieſe Durchmeſſer in einem Punkte C unter den Winkeln ACE, ECG, GCB = 600 = ½2 ſchneiden, und die wechſelnden Durchmeſſern C A, CG, CF von einer⸗ ley Beſchaffenheit ſeyn werden. Setzt man daher C M = 2, und A CM = s, ſo muß, weil GC M = *½ * —s iſt, die Funktion fuͤr die Curve Z = o ſo beſchaffen ſeyn, daß 2 eine rationale Funktion von 2 und einer Groͤße w iſt, die unveraͤndert bleibt, wenn man — s oder % —s fuͤr ſetzt. Es iſt demnach w = coſ. 35, weil coſ. 3 8Sö = coſ. — 3⁸ = coſ. (2 — 3 8) iſt. Setzt man aber die Coor⸗ dinaten CP = x, und P M = y, ſo wird coſ. 3 s = 3 — — 3, und es muß folglich 2Z eine rationale dunk⸗ 23 tion von XX. † yy, und x3 — 3XyV ſeyn. §. 351. Macht man n daher XX† yy = t, und 23 — 3yy= u, ſo wird die allgemeine Gieichung fuͤr die Curven mit n drey Durchmeſſern = a † 8t † vu † Det f etu † uu t ets † ꝛc. und dieſe giebt folgende zwiſchen und y = e†S Gx † yy) † X (XK w-3yy) † GxX † yy)2 † ic. Da nun die Gleichung 0 = =† gXxx † 8yy dem Kreiſe zugehoͤrt, der als eine Curve mit unzaͤhligen Durchmeſſern auch zu den Eurven gerechnet werden kann, 3 278 Zweytes Buch. Funfzehnte⸗ Capitck. die drey Durs chmeſſer haben: ſo iſt die einfachſte Curve mit Drey Durchmeſſern die Linie der dritten Ordnunz, die durch die Gleich ung Xxjz — 3XVy = axxX † ayy † ba ausgedruckt wird, und drey Aſymptoten hat, die ein gleich⸗ ſeitiges Dreyeck machen, in deſſen V. Mitte der Punkt C C liegt. Die gedachten Aſymptoten gehoͤren insgeſammt zu der Art A- 2 = Te⸗ und die Curve nach der oben gemachten Claſſiſi⸗ cation zu der fünften Art. X 6. 352. Wenn die Curve vier Durchmeſſer A B, EF, 6 H und 1 5½, Fig. 72, hat, die ſich in dem Punkte C unter halben rechten Winkeln = * ſchneiden, ſo ſind die Durchme eſſer⸗ CA, CG, CB und CH von einer und derſelben Beſchaffen⸗ heit. Wenn man daher C M = z und ACM = s ſetzt, ſo muß eine ſolche Funktion vons geſucht werden, die un⸗ veraͤndert bleibt, wenn — s oder % — s füͤr s geſetzt wird. Dergleichen iſt aber cof. 48, und wenn alſo Z eine Funktion von 2 und coſ. 4s, oder von XX † 7y. und X4 — 6 ½yy † y iſt, ſo giebt die Gleichung Z = o eine Curve mit vier Durchmeſſern. Es wird daher 2Z eine Funk⸗ tion von t und u, HZ man t = XX † yy, und u = X4 — 6XxXyy † y4 ſetzt; nimmt man aber V = tt — u, ſo wird Z eine Funktion v von t und v, d. h. von XX: P yy und XXxyy. Oder man kann auch 2 ſo beſtimmen, daß man ſagt, es ſey eine Funktion von xXX † yy und X4 † y4. 5. 353. Wenn die durch die Gleichung 2 = 0 ausgedruckte . Curve fuͤnf Durchn jeſſer haben ſoll, ſo muß 2 eine Funktion von gende 4 N e⸗ hat dieſ. ein tegel Puntt hine CGlächon von ſe ſchlieſe col. n5 eine Von den Durchmeſſern der Curven. 279 von2 und coſ. 5 s ſeyn. Da nun, wenn die rechtwinkügen Coordina ten und y ſind, X* — ox TT a1 2 5° M coſ. 5 8 = wird, ſo iſt Z? = o eine Gleich ung fuͤr eine Curve mit fuͤnf Durchmeſſern, wenn 2 eine rationale Funktion von xx † yy und X5 – I0X3yy † 5Xy iſt. Die einfachſte Curve, den Kreis ausgensmmen, die fuͤnf Durchmeſſer hat, iſt demnach eine Linie der fuͤnften Ordnung, die durch fol⸗ gende Gleichung ausgedruckt wird: XS5 – 10X3yy P5 XV4 = daxX e d! † b(XX † y 7) † c, und wegen der Realität aller Faktoren des hoͤch ten Gliedes hat dieſe Curve fuͤnf Aſy uigtbten, die durch ihre Schnitte ein regulaͤres Ft Juͤnfeck k machen, in deſſen Mitte der Mittel⸗ punktC liegt. §. 354. Hieraus erhellet ſchon allgemein, daß eine durch die Gleichung 2 = o ausgedruckte Curven Durchmeſſer, da⸗ . von je zwey neben einander liegende den Winkel = ein⸗ ſchlieſſen, haben werde, wenn 2 eine Funktion von 2 und coſ. ns, oder, bey rechtwinkligen Gordenater irgend eine —,5 rationale Funktion von & † yy, Ut dx xXn — — Xh- 22 13 n (n — 1) (n — 2) (n — 3) 1 2 3 4 Gleichung: . o = = at T vu f dett etu t euu tets ottur t- eine Curve mit n Durchmeſſern geben werde, wenn t = XX † 7V J”ÿMB und ä XnR-A yA — c. it; oder daß die 280 Zweytes Buch. Fuuffehntes Capitel. . - nen —n —2 ⸗2 Dla An- a4 . I . 2 1 2 . 3 * 4 genommen wird. Hieraus laſſen ſich Curven mit ſo viel, unter gleichen Winkeln in einem und demſelben Punkte C ſich ſchneidenden, Durmmeſſern, als man will, finden, und dabey begreift dieſe Gleichung ohne Ausnahme alle alge⸗ broiſche Curven unter ſich, die eine gegebene Anzahl von Durchmeſern haben. Derngleichen mit mehrern Durchmeſſern verſehene Cur⸗ ven haben allemal eine doppelt ſo große Anzahl einander aͤhnlicher und gleicher Theile. Sol hat die Curve mit zwey Durchmeſſern, Fig. 70, vier aͤhnliche und gleiche Theile, AE BE, AF und B F; die Curve mit drey Durchmeſſern, Fig 71, ſechs aͤhnliche und gleiche Theile, A E, GE, G B, FB, FH und AH; die Curve mit vier Durchmeſſern, Fig. 72, acht aͤhnliche und gleiche Theile AE, AK, GE, GI, BlI, BF, HF und HK; und auf aͤhnliche Art iſt die Anzahl der gleichen Theile immer noch einmal ſo groß, als die Anzahl der Durchmeſſer. So wie wir aber oben [§ 338] geſehen haben, daß es Curven giebt, die zwey aͤhnliche und gleiche Theile aber keinen Durchmeſſer haben, ſo finden auch Cur⸗ ven mit mehr als zwey aͤhnlichen und gleichen Theilen ohne Durchmeſſer ſtatt. =WßM 4. 386. Wir wollen von zwey gleichen auf durchaus entgegen⸗ geſetzten Seiten liegenden Theilen, A M E, BK F, Fig. 73, anfangen, welchen Fall wir ſchon oben § 340] gehabt ha⸗ ben. Sollen nemlich einer Curve nicht mehr als zwey gleiche Theile zukommen, ſo muͤſſen dieſelben nothwendig einander “ entgegengeſetzt ſeyn. Dies wird deutlich werden, wenn wir 7 4 54- 20. die de Den – 2 4 Von den Durchmeſſern der Curben. 281 . 4. wir mehrere gleiche Theile betrachten Setzt man alſo wie⸗ der, wie vorhin, CM = z, und den Winkel ACAMI =— s, tſi ſo iſt offenbar, daß den Winkeln s und =†s einerley Werth dunktet von 2 zufommen muͤſſe; denn nimmt man AC M = „ † 8, den, un ſo wird 2 = CK, CK aber muß = CM ſeyn. Man muß le e⸗ alſo einen Ausdruck ſuchen, der den Winkeln s und æ= † s ehl den gemein iſt, und da tang. s = tang. (z2 s), ſo iſt tang. s ein ſolcher. Hiernach gehoͤrt die Gleichung Z = o fuͤr eine Curve, ſo wie wir ſie jetzt betrachten, wenn Z eine Funk⸗ tion von z und tang. s, oder eine Funktion xx † yy und X . X einande 7 iſt. Macht man 7 S= t, ſo wird xX 77 = VyV W (1 † tt), und dann muß 2 eine Funktion von t und yyn Gah, (1 †. tt) d. h. von t und yy ſeyn. Hieraus ergeben ſich ele eben die Gleichungen, die wir oben gefunden haben. ,i , . 357 6l, D Damit aber die Bruͤche, welche in den Ausdruͤcken fuͤr ſchdee die Tangenten vorkommen, vermieden werden, kann man e oncl zu eben dieſem Behufe die Sinus und Coſinus brauchen. )ageſhen Denn da ſin. 28 = ſin. 2(æ † s) und coſ. 28 = coſ. 2( †⁸) d ehe . iſt, ſo kann 2 auch eine rationale Funktion von 2, ſin. 28 1mon und coſ. 28, oder von XX † yy, 2Xy, und XX — yy ſeyn. ingr Wenn einer von den Ausdruͤcken ſin. 28, und coſ. 28 weg⸗ . gelaſſen wird, ſo hat die Curve außerdem auch einen Durch⸗ meſſer. Es kommt alſo bey der geſuchten Aufloͤſung darauf an, daß 2 eine rationale Funktion von Xx, yy, und xy tgeen⸗ ſey, und daher entſteht denn die Gleichung: h95 s==† grx †7xXy † dyy †sςt * . †Hτιρα.π ibth⸗ † xy3 † -y4 † c eikc Wenn nun die Glieder, worin nicht enthalten iſt, ver⸗ ihetdeee ſchwinden, ſo laͤßt ſich die ganze Gl eichung durch X divi⸗ 1,E diren, und dann wird pit S 5 EC . 292 Zweytes Buch. Funfzehntes Capitel. o = ,xX † vy † exs OxXy »xXy2 † &y3 † zxXS † 1. Dieſes ſind aber die beyden Gleichungen, we lche wir oben [5§ 340 gefunden haͤben. 4kK4k. 358, Nun wollen wir eine Curve ſuchen, die nicht mehr als drey aͤhnliche und gleiche Theile AM, BN und DL., Fig. 74, habe, welche daher ſo beſchaffen ſeyn muß, daß, wenn man aus dem Mittelpunkte C drey gerade Linien CM, CN, CL. unter gleichen Winkeln gegen einander zieht, dieſe M Linien immer einander gleich werden. Setzt man lſo den Winkel A CM = §, und die gerade Linie CM. — 2, ſ⸗ muß die gerade Linie z durch s auf eine ſolche Art be⸗ ſtimmt werden, daß den drey Winkeln s., ½ 2 † s, und 2½ † s ein und derſelbe Werth von 2 zukomme, indem MCN=NCL= zæ= iſt. Nun haben dieſe drey Winkel die Aus druͤcke ſin. 38, und cof. 3s gemein. Wenn daher 2 eine rationale Funktion von fol genden drey Groͤßen, XxX † yy; 3 X y –— y³; und X 3 — 3 7y y iſt, ſo giebt die Gleichung 2 = o alle Curven von der geſuchten Art. Es fließt alſo hieraus die allgemeine 0 GSleichung: 0 = a † 2 (XxX † yy) † 7 (Zxxy — y3) 1 9* — 3xyy) ⸗(XKX †T y y)2 † o(xX † yyY) (3 XXy — -p3³) G 1yy, (X5 — 3 *yy) † ꝛc. und die Linien der dr itten Ordnung, die dieher gehören, ſind in der Gleichung begriffen: 0 = « † AXX † Gyy † 5X5 † 37Xy — 3yy † 2 4 H. 359. Wenn die Curve vier gleiche Theile AM, EN, BK und PFL, Fig. 73, haben ſoll, ſo daß jede vier aus dem Mittel⸗ “ punkte ptn CN/ Wuie denn, diege den n eifele Gleicht len ge drey n hen ſ d=½ ett nan (A=;, 18, W 7. B Von den Durchmeſſern der Curven. 283 punkte unter gleichen Winkeln gezogene gerade Linien CM, CN, CK und CL. einander gleich ſind: ſo ſetze man den Winkel ACM = s, und die gerade Linie C M = s, wo denn, weil MGCN = NCKE = K CL 900 = ⅛ æ iſt, die gerade Ludie 2 ſo durch den Winkel s ausgedruckt wer⸗ den muß, daß zu den Winkeln s, † s, æ † s, 317 † s einerley Wenh gehoͤrt. Dieſe Eigenſchaft haben nun die Ausdrücke ſin. 48 und coſ. 4s; und es wird daher die Gleichung Z = o eine Curve mit vier ſolchen gleichen Thei⸗ leern geben, wenn 2 irgend eine rationale Funktion dieſer dren Groͤßen, XX † yy; 4X3 — 4xy3, und X4 – 6xXxVyy +† y« iſt. Die allgemeine Gleichung fuͤr dergleichen Cur⸗ ven iſt demnach = «† &xx †P &yy† 7Xa † R F1 † xxyy — xy3 † vyA † ꝛc. K. 360. Auf eine aͤhnliche Art findet man, daß 2 in der Glei⸗ chung Z = o, wenn dieſelbe eine Curve mit fuͤnf aͤhnli⸗ chen und gleichen Theilen ausdrucken ſoll, eine Funktion folgender drey Groͤßen: — XX † yy; 5X 47 — 1072,3 † ys; x5 — 10x3y2 † 5xy * . ſeyn muß. Ueberhaupt aber muß 2, wenn die durch Z = 0 ausgedruckte Curvenn gleiche Theile haben ſoll, eine ratio⸗ nale Funktion von dieſen drey Groͤßen: . n (n –— IL) (n — 2 nX-kYy — Xu-3 3 1 . 2 . 3 n (n — 1 (n — 2 (n — 3) (n — 4) . 2 . 3 . 4 . 3è5 è” 9 und 284 Zme Buch, dunſzehntes Capitel. 1 . . 4 Dxa- y4— . ſeyn; und wenn einer von dieſen beyden letzten Ausdruͤcken aus der Gleichung wegfaͤllt, ſo hat die Curve zugleich ſo viel Durchmeſer, als n Einheiten enthaͤlt. §. 361. =M Zu dieſer doppelten Claſſe der Curven mit gleichen Thei⸗ len, wonach einigen Durchmeſſer zukommen, andern aber nicht, gehoͤren uͤberhaupt alle algebraiſche Curven, die zwey oder mehr aͤhnliche und gleiche Theile haben. Um ſich hier⸗ von zu uͤberzeugen, habe eine continuirliche Curve die bey⸗ den Theile O Aa und Ob, Fig. 75, einander aͤhnlich und gleich. Man ziehe AB, und beſchreibe daruͤber als uͤber der Grundlinie das gleichſchenklige Dreyeck A CB, deſſen Winkel C dem Winkel O gleich ſey. Da nun die Winkel QAC und O BC einander gleich ſind, ſo ſind auch die Theile der Curve CAa und CB b aͤhnlich und gleich; und wenn *„ man die Winkel BCD, DCE, ꝛc. dem Winkel A CB, und CD = CE = CA = CB macht, ſo hat die Curve, wegen des Geſetzes der Continuitaͤt, auch die Theile D d, Ee ꝛc. bey dieſen geraden Linien aͤhnlich und gleich den Theilen Aa, B b. Wofern alſo das Verhaͤltniß des Winkels ACB zu 3600 nicht irrational iſt, ſo wird die Anzahl der gleichen Theile endlich ſeyn; iſt hingegen dieſes Verhaͤltniß irratio⸗ nal, ſo iſt dieſelbe unendlich groß, und alſo die Curve keine algebraiſche mehr. Es gehoͤrt aber jene Curve allemal zu den vorhin von uns unterſuchten, die keinen Durchmeſer haben. S §. 362. Wenn aber die beyden aͤhnlichen und gleiche Theile auf entgegengeſetzte Seiten der Linien AO und BO, Fig. 76, fallen, folen, T Mw- ud N d Aa Denn hern ſprich den D gen el! ſolglic hoben 60 Prale Re⸗ auch welch follen bbni⸗ Seite Falec Nd En Oder ute *. usdehiͤ⸗ eich , en Chei⸗ een aber N pe 4 ſch die heyn ſich und N Wee 5 deſn e Wiuad Ovenn RN , ,be LH ien kes A Gleithen jrwotio⸗ ekeint nal i nneſe A 4 1 n Von den Durchmeſſern der Curven. 285 fallen, ſo daß der Theil AOa dem Theile OB b aͤhnlich und gleich iſt: ſo ziehe man auf beyden Seiten die geraden Linien A R und B S ſo, daß O AR= O BS = ¾½ A O;, und folg⸗ lich AR der BS parallel werde. Wird nun AB gezogen, und durch den Mittelpunkt C die gerade Linie CV der A RKR und der BS parallel gelegt ſo ſind die Theile a A und b B in Ruͤckſicht auf die gerade Linie CV aͤhnlich und gleich. Wenn alſo nicht ba = o iſt, ſo wird, weil dem Bogen „b B, wenn man von b nach a zu fortgeht, der auf der an⸗ dern Seite liegende aͤhnliche und gleiche Bogen a A ent⸗ ſpricht, dieſem Bogen auch, wenn man von a nach e durch den Raum ae = ba fortgeht, der aͤhnliche und gleiche Bo⸗ gen e E, und dieſem ferner der Bogen db entſprechen, und folglich die Curve unendlich viel aͤhnliche und gleiche Theile haben. Eine ſolche Curve iſt aber keine algebraiſche. §. 363. So verhaͤlt es ſich, wenn die gerade Linie A B gegen die Parallelen AR und Bs eine ſchiefe Lage hat, oder, welches auf einerley hinauslaͤuft, wenn die Seiten AO und BO des Dreyecks AOꝑꝶ ungleich ſind. Iſt hingegen AO = B0, ſo iſt auch AB ſenfrecht auf den Parallelen AR und B S und CV, welche letztere denn zugleich durch O geht. Wenn dieſes iſt, ſo fallen die Punkte a und bh zuſammen; und da die Theile a und b'; nicht nur gleich und aͤhnlich ſeyn, ſondern auch auf beyden Seiten der CV auf gleiche Art liegen werden: ſo iſt in dieſem Falle CV ein Durchmeſſer, und es gehoͤrt demnach die Curve zu den vorhin betrachteten mit einem Durchmeſſer verſehenen Curven. Es giebt folglich keine algebraiſche CLurven mit zweg oder mehr aͤhnlichen und gleichen Theilen, die nicht in der unterſuchten doppelten Claſſe dieſer Curven enthalten waͤren. 2 Sechs⸗ Sechszehntes Capitel. Von der Erfindung der Curven aus gegebenen Eigen⸗ ſchaften der Appntalen. 6. 364. Woen P und O rationale Funktionen der Abſeiſſe ſind, und die Natur einer Curve durch die Gleichung yy — Py † QO = o ausgedruckt wird: ſo gehoͤrt zu jeder Abſciſſe entweder gar keine oder eine doppelte Applicate, und dabey iſt die Summe dieſer Applicaten = P, und ihr Produkt = Q. Iſt daher P eine beſtaͤndige Groͤße, ſo iſt auch die Summe der Applicaten, die zu jeder Abſciſſe e gehoͤren, eine beſtaͤn⸗ dige Groͤße, und die Curve mit einem Durchm er ver⸗ ſehen. V Eden dieſes ſnder ſtatt, wenn P=àaTnX iſt; denn alsdann iſ die gerade Linie, die durch die Glei⸗ chung 2=a † nz ausgedruckt wird, ein Durchmeſſer der Curve im weitern Verſtande, ſo daß nicht bloß rechtwinklige, ſondern auch ſchiefwinklige Durchmeſſer verſtanden werden. Iſt hin⸗ gegen Qeine beſtaͤndige Groͤße, ſo iſt das Rechteck zwiſchen jeden zwey zu einer oſeiſſe e gehoͤrigen Applicaten beſtaͤndig, und 4* V. vnd es ſhnit iſt, Nebon in Biel e, un Naͤteck gen Ven igen lernth fnde, tn, hie ſͦ eine Uerbel e Gleich den de Fig det, u cke Pg dhes be 7— wworiſel Ron Gane den E mnah dern emeig V ſer ſod⸗ eleveder K Ne =O Sumnee. N dehen R N Ne Cn⸗ weten ern 1uc ſ hn wviſten V. d Eifindung der Curven aus Eigenſch. d. Auliet. 287 und es kann folglich die Arxe nirgends von der Curve ge⸗ ſchnitten werden. Wenn aber = % † βX † YXXX iſt, und dieſer Aus druck reelle Faktoren hat, ſo wird die Axe von der Curve in zwey Punkten geſchnitten, und O iſt ein Vielfaches von dem Rechtecke zwiſchen den Theilen der Axe, und das Rechteck zwiſchen den Applicaten ſteht mit Rechtecke zwiſchen den Theilen der Axe in einem beſtaͤndi⸗ gen Verhaͤltniſſe. 5. 365. Es kommen alſo dieſe Eigen ſchaften, die wir oben als Eigenſchaften der Linien der zweyten Ordnung kennen ge⸗ lernt haben, unzaͤhligen andern Curven zu. So iſt die be⸗ ſtaͤndige Groͤße der Rechtecke zwiſchen den beyden Applica⸗ ten, die zu einer Abſciſſe gehoͤren, welche wir (§F. 163. f.] als eine Eigenſchaft der auf die Aſymptote bezogenen Hy⸗ perbel gehabt haben, allen Curven gemein, die in der Gleichung yy — P y — à a enthalten ſind. So wie ferner bey den Kegelſchnitten, wenn man eine gerade Linie E F, Fig. 19, welche die Curve in den beyden Punkten E und F ſchnei⸗ det, zur Axe annimmt, das Rechteck P M. P N zu dem Recht⸗ ecke PE. PF ein beſtaͤndiges Verhaͤltniß hat: ſo findet ſol⸗ ches bey allen Curven ſtatt, die durch die Gleichung yy — Py † ax –— nxXX = o ausgedruckt werden, und zwar iſt P M. PN = PE. PF, oder pm. pn = Ep. p F, wenn yy — Py = à X — xxX iſt. Es kommt alſo dieſe Eigenſchaft, die man als eine Eigenſchaft des Kreiſes in den Elementen kennen lernt, außer ihm nicht nur auch einer unzaͤhligen Menge Curven der hoͤhern Ordnungen zu, ſon⸗ dern es haben ſie auch die uͤbrigen Kegelſchnitte mit ihm gemein. Denn ſetzt man P = b 1 n X, ſo begreift die Glei⸗ 288 Zweytes Buch. Sehezehne Capitel. ßůUB gd Gleichung yy — nxy † xx = ax 1 by, welches eine Ahdri Gleichung fuͤr den Kreis iſt, wenn n = 0 und der die A Winkel EPM ein rechter Winkel iſt, auch die Ellipſe, NI wenn nn kleiner als 4, und die Hyperbel, wene nn gröo⸗ , ßer als 4, und die Parabel, wenn n n =4 iſt, unter ſich. geſhi . 366. n Hieraus folgt, daß ſich in einem ſedem Kegelſchnitte (, din AE BF, Fig 77, deſſen Axen oder Hauptdurchmeſſer AB und E F ſind, jede zwey gerade Linien pq und mn, die auf die Hauptaxen unter einem halben rechten Winkel ge⸗ ed zogen worden, in h ſo ſchneiden muͤſſen, daß m h —n h = Gli ph. q h wird. Eben dieſes fließt auch aus den allgemei⸗ nen Eigenſchaften der Kegelſchnitte Denn zieht man durch den Mitelpunkt C die geraden Linien ?Q und MN unter ei⸗ Sat nem halben rechten Winkel auf die Hauptaxen, ſo werden uh dieſe Linien gleich, und folglich MC. NC= PC. Q; und da ſich alle dieſen Linien gezogene parallele Linien aueau 1 die eben die Art ſchneiden, ſo muß auch m h. nh = ph. qh ie “ ſeyn. Ja, wenn nur die geraden Linten M N und P Qſo geezogen worden ſind, daß ſie gegen einerley Hauptaxe eben dieſelbe Neigung haben, oder daß P CA = N CA iſt, ſo ę — erhellet daraus, da C PH = CN iſt, ſelbſt, daß alle der MN — ine . und P Q parallel gezogene gerade Linien ſich ſo ſchneiden teli werden, daß die Rechtecke zwiſchen ihren Theilen gleich hre ſind, oder m h. hn = ph. h iſt. tilen, 6E B . 367. uIN Dies vorausgeſetzt, wollen wir uns zur Betrachtung derd 4 anderer Eigenſchaften, die jeden zwey zu einer Abſciſſe aus undd der Gleichung pemn yy — Py † Q=o eht, ge⸗ Ei⸗ es i nd de e Ely⸗ R, nn i ler ſch. dmn clyeneis ni Nrch Vonter ſo were 50. C wien 2 9l. 4 1 NN0 lieehen CNN Nee NH ſcneld len gr etruchn Peiſc,n ℳ H V.d. Erfindung der urven aus Eigenſch.d. Applieat. 299 gehoͤrigen Applicaten zukommen, wenden. Es ſey, Fig. 78, die Asſeiſſe A P = x, und die dazu gehoͤrigen Applicaten P M und P N. Sollen n nun zuvoͤrderſt Curven geſucht wer⸗ den, wobey P M2 † P N 2 eine beſtaͤndige Groͤße = aa iſt: ſo geſchie ht dieſer For rderung, da PM PN = P; und PM. N= = Q; und P M2, iſt, ein Genuͤge, wenn . PP — PP — 20 = aa, oder OQ = 43 2 wird; und man hat daher f r die geſuchten Curven. die Gleichung y — Py † . ———— = o. Setzt man ?P = 2nx, ſo erh aͤlt n man fuͤr den Kegelſchnitt, wobey ſich dieſe Eigenſchaft findet, ,y — 2 u) k snnx — fas und dies iſt eine Gleichung fuͤr eine El llipſe, wenn man die Abſciſſen vom Mittelpunkte aus nimmt. F. 368. 14 Hieraus fließt folgende merkwuͤ rdige Eigenſchaft der El⸗ ipſen. Wenn man um irgend zwey zugehoͤrige Halbmeſſer ei⸗ ner Ellipſe A und E F, Fig 79, ein Parallelogramm G HIK beſchreibt, deſſen Seiten die E ellipſe in A, B, E und F be⸗ ruͤhren, ſo theilen die Diagonalen dieſes Parallelogramms G K und HIl alle Sehnen M N, die dem einen Durchmeſſer EF parallel gezogen worden, in Pund p ſo, daß die Summe J der Quadrate P PM2= † P N oder p M2 † p Nz2 ſtets eine und dieſelbe Groͤße = 20 E2 wird; und auf aͤhnliche Art iſt, wenn man die Sehne Rs dem a⸗ ndern Durchmeſſer AB parallel zieht, PR2 PS2 = ½ R2 † 7 82 = 20A 2. Denn ſetzt man Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. B. T CA- — 290 Zweytes Buch. Sechszehntes Capitel. CA=CB=a; und CE= CF = b; CQ=t; und QM= u ſo wird aauu † bbtt = aabb Nun iſt a: b= CQ (t): P? Q, und CP: CQ in einem ge⸗ gebenen Verhaͤltniſſe, m: 1. Macht man daher CP = Xz uad PN y; ſo wird = mi, und y⸗ = u † de; oder X b X t = —; und u = y — — In m a und durch die Subſtitution dieſer Werthe ergiebt ſi die Gieichung 2 a bx y † 7bbXX aayy — — = = aa bb. In Nun ſey — = n, ſo wird m a yy — ZnXVy † ZnnXX = bb und dies iſt die vorhin gefundene Gleichung, welche, an⸗ zeigt, daß P M2 ¼, P Nz eine beſtaͤndige Groͤße iſt. §. 369. Nun ſeyen, Fig. 78, Curven zu ſuchen, wo die Sum⸗ me der Wuͤrfel P M3 † PNz eine beſtaͤndige Groͤße iſt. Da PM FPN = P, und P M. P N = Q iſt, ſo iſt PM3 † PN3 = P3 — 3 P C. enn man daher P M3 † P N 3 = a3 ſetzt, ſo wird Q= P3 — Curven 43 — p X P2 — — =— yy 7† 3 P 35 wo fuͤr P jede rationale Funk tion von X geſetzt werden kann. Die „ „und folglich die allgemeine Gleichung fr dieſe Die en ſt, iſt d wean liſe he ſ die 1200 ed. D untdion nicht dieſe G nicht ſta rmig, ous der = iei ſenn, G Wenn kann d haben, den Ve Ari eieng ſeht ſh e xW½ N nn. Die V.d. Erfindung ber Curven aus Eigenſch. d. Applicat. 291 Die einfachſte Curve, die mit dieſer Eigenſchaft verſehen iſt, iſt daher eine Linie der dritten Ordnung „ welche, wenn man P = 3nx, und a = = Inb ſetzt, durch dieſe Gleichung ausgedruckt wird, Xyy — 3hXXy † Bnnx3 — Znnb3 = O und zu der zweyten Art nach der oben feſtgeſetten Einther⸗ fung gehoͤrt. 370. Auf eine aͤhnliche Art muß man, wenn P MA † P N eine beſtaͤndige Groͤße ſeyn ſoll, da PMA † P N 4 = P4 — 4 P2 G † 2 0C0 iſt, die Groͤße Q durch P ſo beſtimmen, daß F P4 — 4 P2 G † 2 Q QC= a4, oder Q = PP † V (& P4 † % a a) wird. Da aber ſowohl P als Q rationale oder einfoͤrmige Funktionen von x ſeyn muͤſſen, damit „ fuͤr jede Abſciſſe x nicht mehr als zwey Werthe bekommen koͤnne, ſo ſollte dieſe Groͤße V (2 P4 † ½ a4) rational ſeyn; und da dieſes nicht ſtatt finden kann, ſo iſt die Funktion C allemal zwey⸗ foͤrmig, und giebt daher eine vierfoͤrmige Applicate. Allein aus der Gleichung vy — Py † = o wird y = ¾ P £ V (— 4¾PP V G PA † 5 a4)) und es kann deswegen die Applicate y nicht anders moͤglich ſeyn, als wenn V (4 P4 † ε aa) poſitiv genommen wird. Wenn alſo auch gleich Qeine zweyfoͤrmige Funktion iſt, ſo kann dennoch die Applicate y nie mehr als zwey Werthe haben, und die Summe der Biquadrate dieſer Werthe iſt, dem Verlangten gemaͤß, eine beſtaͤndige Groͤße, T 2 A.. 371, wird, ſo iſt 292 Zweyles Buch Sechszehntes Canicll §. 371. Sell eine Curve die Eigenſchaft haben, daß die Summe der fuͤnften Poteſtaͤten der beyden Werthe, welche die Ap⸗ plicate y fuͤr jeden V. Werth der Abſeiſſe X hat, eine beſtaͤn⸗ dige Groͤße, oder P M5 † P NS = as werde: ſo muß PS – 5P3 † 5 P Q2 = as ſeyn. Da a lſo aus der Gleichung yy — Py † Q= 0 Mc P5S 5T7 W iabsyy io Pay⸗ † 5Pya = oder — y)s † y = a5 Auf eben dieſe Art findet man, wann P Mé 1 P N = ſeyn ſoll, die Gleichung (5b — v)6 ys und uͤberhaupt, wenn P Mn † P Nn = an ſeyn ſoll (P — y) n † yn = an wo bP jede einfoͤrmige Funktion von X ſeyn kann. Der Grund von dieſer Gleichung iſt uͤbrigens ſehr leicht. Denn da die Summe beyder Applicaten = P iſt, ſo muß, wenn man die eine y ſetzt, die andern P — y werden, und dar⸗ aus ergiebt ſich ernaelear P — V † v1 = an §. 372. Wenn man aber P anſtatt Q wegſchafft, indem man in die Gleichung, welche das Verhaͤltniß von P und Qaus⸗ drckk P== H ſetzt, ſo erhaͤlt man fuͤr P Mn † P N „ = àa n dieſe Gleie chung Da 2 ₰△ eEnnnt lde Ne ⸗ itir = 5N61 . N n. W Ny denrin 60 Cand⸗ In N — V.d. Erfindung der Curven aus Ei igenſch. d. Applieat. 293 Da nemlich das Produkt der Applicaten = Q iſt, ſo wird, wenn man die eine = y ſetzt, die andere = 2 und daß⸗ aus fließt die e gefundene Gleichung ebenfalls unmittelbar. Wir haben ,s o fuͤr die Curven, wro PMn † P Nn = a n ſeyn ſoll, eine doppelte Gleichung, nemlich, (P?— ) Tyn = an; und yn † — = an Aus der letzten fließt ””MMB D v'n = = anyn —- Qn; und yn — Zan V ( ann — Qn) y = V (Zan £ V (àHazn – Q)) welches ber bloß eine zweyfoͤrmige Funktion iſt, und fuͤr S . i e 2* 1* jede Abſciſſe nich ſcht mehr als zwey Applicaten giebt, wofern nur Q eine rationale oder einfoͤrmige Funktion von X iſt. Die erſte Gleichung yn † (? — vV)n = an hat indeß den Vorzug, daß ſie weniger Dimenſionen hat. Es gelten aber dieſe G chungen nicht bloß, wenn n eine ganze und poſitive 3 Zahl, udern auch, wenn es eine negative Zahl oder ein Bruch iſt. So findet man wenn ſeyn ſoll H die Gleichung . . . 1I a P = P y –— yy PM FPN a HW oder — 2 ° + ayy = Qy — Aay † aa ( — )2 = 72 (5 — )2 52 † 5= — — oder a² Q* † aay4 = Q2; 2 7 Ta; (— = : 5 — 5 I —— = — oder a3 Q³ † 43 76 C3 73 ꝛc. T 3 und R „ 294 Zweytes Buch. Sechszehntes Capitel. und fuͤr die gebrochenen Exponenten wenn ſeyn ſoll die Gleichung VPMTVPN= VaVVy† V (P— y) = V a oder Vy3= V ay — V Q oder rational gemacht VV— Py † ¼ (a — P)2 = % oder yy — (a — 2 V Q)y † Q = o VPM PVPN = V a VyrV&= = Va oder yy — by 1† (à — P) 3 = G ferner PrrPN= V a oder yy – (a — 3 Wa Oy † QS=e 2c. Auf dieſe Art laſſen ſich alſo alle algebraiſche Curven, worin allenthalben PMRT PNRn = an iſt, durch eine einzige allgemeine Gleichung ausdrucken, n mag eine ganze oder gebrochene, poſitive oder negative Zahl ſeyn. §. 374. Was wir bisher von zwey Applicaten gehabt haben, die zu einer Abſeiſſe gehoͤren, das laͤßt ſich auf aͤhnliche Art auf drey zu einer Abſciſſe gehoͤrige Applicaten anwen⸗ den. Es iſt aber die allgemeine Gleichung der Curven, die von den Applicaten in drey Punkten geſchnitten werden, wo Voe wo di von2 dreh iſt n⸗ mne bet Aledren Und wer ntwede beſthns en zuma H mn hoch der ſten 52 13 de 951 fen due d. wird, Hiera⸗ acht . en wordn ne Gß gone V.d. Erfindung der Curven aus Eigenſch. d. Applicat. 295 wo die Buchſtaben P, Q, und K einfoͤrmige Funktionen von « von jeder Art bedeuten. Nun ſeyen p, q und r die drey Applicaten, die zu der Abſeiſſe gehoͤren. Hiervon iſt zwar nur eine allemal nothwendiger Weiſe reell, allein wir betrachten jetzt vorzuͤglich die Oerter der Curven, wo alle drey Applicaten reell ſind. Es iſt alſo aus der Gleichung P= pfq†r; Q=pqTprT qr; und R= pqr; und wenn daher eine Curve gefunden werden ſoll, worin entweder p † q “Cr; oder pꝗq†pr † qr; oder pqr eine beſtaͤndige Groͤße iſt: ſo hat man nichts anders zu thun, als entweder P, oder Q, oder R zu einer beſtaͤndigen Groͤße zu machen, ſo daß die beyden uͤbrigen willkuͤhrlich hleiben. . 375. Hieraus laſſen ſich auch Curven finden, worin pa! 4† qa † rn allenthalben eine beſtaͤndige Groͤße iſt. Es iſt nemlich nach dem, was in dem erſten Buche lim zehnten Capitel im 166ſten §] da geweſen iſt⸗ p † q Tr = P pa † qa † ra = P2 — 2 CG p3 † q3 † r3 = P 3 — 3 P Q. † 3 RK PA † q4 † ra = P4 — 4 P2 Q † 2,0 † 4 P R ps † ꝗ † r? = P? — 5P 3³0 † 5PCC† 5 PR- 5 R ”s “ 1 Iſt ferner n eine negative Zahl, ſo ſetze man 2 = S wo⸗ durch denn R K R 1. I I wird, und die Wurzeln dieſer Gleichung ind „ 1 Hieraus ſindet man auf aͤhnliche Art T 4 296 Zweytes Buch. Sechszehntes Capitel. M T p 4 r K 1 1 2 — 2 P R Ez † d2 1 = pzZz q2 r R KR 1I 4. 1 — 2— 1QRE 3RR p 3 1 MB R 3 I TI 4 1 — Qa — 4Oa R f 40RE f 2b⸗ Ba P4 q4 rA R ꝛc. Setzt man daher einen von dieſe n Ausdruͤcken einer beſtaͤn⸗: digen Groͤße gleich, ſo ſindet man n dadurch das erforderliche Verhaͤltniß zwiſchen den Funktionen P, Q, und R; und wenn man darauf vermittelſt dieſer Gleichung aus der ge⸗ gebenen v3 — Pyz † OQy — R = eine von den Funktionen b, oder Q, oder Rk wegſchafft, ſo erhaͤlt man die Gleichung fuͤr die geſuchte Curve. Sollte z. B. eine Curve gefunden werden, worin p3 † q †r3 = a 5 waͤre, ſo muͤßte man . P3 — 3PQ † 3 R = as ſetzen; und da aus y3 — Pyz † Qy — R= 0 = — Py2 4 r iſt, ſo waͤre 3 73 — 3 Py= † 2 0y † ps — 3PC = = a3 die Gl eichung, wodurch dem Verlangten ein Genuͤge ge⸗ ſcha aͤh 1„ e. Man erreicht alſo vermittelſt der angeführten Formeln den vorg geſetzten Zweck ſehr leicht, n mag eine poſ ſitive oder eine negative gam ze Zahl ſeyn; aber ſchwer rer wird es, Wenn L8S wenn zu ſu ſeh. mnn N d. Erſindun derCutven aus Eige nſch. d. Applicat. 297 * wenn n eine gebrochene, Zaht iſt. Es ſey eine Curve zu zu ſuchen, worin D F WV † Vr = Va ſey. Quadrirt man beyde Haͤlften dieſer Gleichung, ſo be⸗ kommt man, da PTr q †r = P iſt, P f 2VPq † 2 Vpr † 2 V qr = a 1e „ dder a — P —— = VPp † Vpr † V qr; Wn. und wenn man hier nochmals die Quadrate ſucht, ſo wird, ficheſe da pq † pr ar = Qiſt, S ) N⸗ d P) 2 CHe= Ot=VPer a2 Vpdar 1 2 2 Vpr⸗ = †2 GW“„τς dVr) Vpqr = 2 VaR 1 C Hieraus aber fließt Aliſ, (a- P)z = 40 † S VWa h, ober = . . — 2 W a K. ““ Es ſind demnach die geſucht en Curven in der Gleichung „ — Pyy † G (m — P)2 — 2 V a Dy — RK = o oder, wenn man die Irrationalitaͤt wegbringt, da R = — 2aPTPP —–— 4QQC b1 4 iſt, in der Gleichung 64a . (aa — 2 a P † P P –— 4 O2 3 — P — — — 0 Z 7 7 Q— = 2 — enthalten. gige ge §. 377. Noch laͤſtiger iſt dieſer Weg, wenn Wurzeln hoͤherer Poteſtaͤten gegeben werden, und es wird doder Line on er⸗ ſermn Methode nothwendig, welche fol gendes Beyſpiel vor Augen ſtir ehe legen mag. Es ſey nemlich eine Curve zu finden, worin 298 Zvetes Bug. Erhetehntes Capitel. pq 4 Vr: 4 Var . ſey. Setzt man hier V P4 † Ver † Vr = v ſo wird, da Vpr = V R in, “ Vr s ve r Vr: = Vaa — ar, und P † † r = àa — 3V7 Va 3 3 R = P desgleichen 3 Vpaq † .T pra † Vq ar⸗ = V2 — 2 W a R, und P q † pr † r = O= v — 3VVaR F 3VRKR. Nachdem man ſo fuͤr P und Q ſchickliche Werthe gefunden, ſo iſt die Gleichung fuͤr die geſuchte Curve ä õ K = o worin man fuͤr v jede Funktion von x ſetzen kann. §. 378. Dieſer S Schwierigkeiten ungeachtet, laͤßt ſich e eine allge⸗ meine Aufloͤſung geben. Denn da in der Gleichung y 3 — by= † Qy — R = y die drey Applicaten p, 4J und r vorſtellt, ſo iſt, wenn man p =y ſetzt, I=VyIAEFr, und Q = qy † ry † qr oder . 1r = P-—y: und ar = Q — — y (q 1)e Q— Py † yy. Hieraus fließt aber A-— r = W(P2 T 2 by — 3 yy — 4 O und es wird demnach =¾ (— y) V(P 4:ry — 3yy — 40) und 0— eut des worte genen derſ ſn, Verven gebrac und beſtim lea w hah 14 nd 4 B.dErfindung der urven aus Eienſch d. Arpliar. 299 = (P? — y) — V(P- † 2 Py — 3 yy — 40). Wenn alſo eine Curve gefunden werden ſoll, worin pn † qn † rn = an iſt, ſo thut dieſer Aufgabe folgende Gleichung Yn † ( (? — y) ¼ (Pz † 2 Py — 3 yy — 4 Q) n † (⁸½ (P— y) — WP2 † 2 Py — 3 yy — 4 Q) an nd ein Genuͤge, n mag eine ganze oder eine gebrochene Zahl D bedeuten. H §. 379. 1, Auf eben die Art laſſen ſich unzaͤhlige andere Fragen, 8. die Beſchaffenheit dieſer drey Applicaten betreffend, beant⸗ Gihe worten; z. B. wenn fuͤr an irgend eine Funktion von 1 an⸗ genommen wird: und dabey koͤnnen auch anſtatt der Summe der Potetaͤſten andere Funktionen von p, q und r beſtimmt NNe ſeyn, wofern nur alles ſo eingerichtet bleibt, daß durch die Verwechſelung dieſer Groͤßen keine Veraͤnderung hervor⸗ gebracht wird. So laſſen ſich z. B. die drey Applicaten p, q und r, die zu eben derſelben Abſciſſe X gehoͤren, dergeſtalt beſtimmen, daß das Dreyeck, welches mit ihnen beſchrie⸗ neche ben werden kann, eine beſtaͤndige Groͤße haben. Der In⸗ halt dieſes Dreyecks iſt nemlich iVG pPq †r 2phrr r 2ddrr — ba — 44 — ra) i nen und wir wollen ihn = a a ſetzen. Da nun 9 p4 † q4 † r4 = P4 — 4 P2 Q T 4 PR † 2 GQ . und Pp q2 † perz † q2r2 = Qz — 2PR tn iſt, ſo wird 16àa4 — 4 P2 0 — 8 PR — P4 und R= ⁄ †G — 1 bz — — 2 P 0 JMUN.B und 300 Zweytes Buch. Sechszehntes Capitel. 850 und man hat alſo die Gl eichung “R die 7 — Pyy Cy- 5PC b a . Wenn P einer beſtaͤndigen Groͤße, 2 b, gleich geſetzt wird, =SZ ſo wird außerdem auch der Umfang oder Perimeter aller A⸗ dieſer Dreyecke eine beſtaͤndige Groͤße. Setzt man fol glich uhe, “ Q= mx T nbX -† kaa en, ſo ſndet man eine Linie der dritten Ordnung, deren Glei⸗ chung 7 Tmaey — a byy inbxy — nbs f kaa)— ſe nbbx † 2 — kaab bs? = o iſt, und die Eigenſchaft hat, daß einmal die Summe der drey Appli icaten p, q und r, die zu jeder Abſciſſe gehoͤren, eine beſtaͤndige Groͤße = 2 b, und zweytens der Inhalt . des zwiſchen den Seiten p, q und r eingeſchl oſſenen Drey⸗ G ecks allenthalben ſich gleich, und = aa iſt. e 7 . J. 380. ds Auch dient dieſe Methode zur Aufl oͤſung aͤhnlicher Auf⸗ fon gaben bey vier zu einer und derſelben Abſciſſe gehoͤrigen Applicaten; aber da hierbey weiter keine Schwierigkeit “ vorfaͤllt, ſo wenden wir uns zu andern, die Vergleichung, nicht ſolcher Applicaten, die zu d derſe elben, ſondern ſolcher, bieh die zu verſchiedenen Abſeiſſen gehoͤren, betreffenden, Fra⸗ gen. Es ſey alſo das Verhaͤltniß zu beſtimmen, welches Dreie A pplicaten P M und QN, Fig 80, zu einander haben, davon jene der Abſci iſſe Ab = † X, und dieſe der Abſeiſſe V A Q = = — x zugehoͤre. Angenommen, das— de⸗ deiie Gleichung fuͤr dieſe Cuten ſey, wenn X irgend eine di Funktion von xX bedeutet: ſo giebt dieſe Fuuktion X ſelbſt ſe; M Vd Erfindung der urden aus Eigenſch d Appliat. 301. die Applicate PH M; wenn man aber darin — fuͤr † ſetzt, ſo erhaͤlt man durch ſie die andere Applicate QN. Wenn alſo X eine gerade Funkt! on von x, (= P) iſt, ſo r n ird Q N = PM; iſt aber X eine ungerade Funktion von c alee (= Q△) ſo wird QN = — PM. Und wenn P und R ge- ſiht rade, Qund S hingegen ungerade Funktionen von x anzei⸗ gen, und die Gleichung fuͤr die Curve n Gei P T. Q H aXxXxTIsS 222ODd— . iiſt: ſo wird H P M = —2 und QN = 0. Nun ſey eine Curve von der Art zu finden, daß PM † eH ON eine beſtaͤndige Groͤße, z. B. = 2 A B = z a werde. Hier iſt klar, daß der Aufgabe durch die Gleichung y= a † Q ein Genuͤge geſch behen muß, wenn Q eine ungerade Funk⸗ ton von x iſt; denn es wird alsdann eriga PM = a † Q, und QN = àa — QC heigket und folglich e P M † QN = 2 a, C, wie verlangt worden iſt. Setzt man alſo JMVM ſo wird ſoben. u = Q eſſe und dies iſt eine Gl eichung fuͤr eben die Curve, wenn man die gerade Linie Bp zur Axe, und den Punkt B zum An⸗ fangspunkte der Abſciſſen macht, und alſo Bp = x, und d ie p M = u iſt. Wenn man daher irgend eine Curve von die⸗ ſ ſer Art, MB N, Fig. 80, beſchreibt, und eine gerade Linie 302 Zweytes Buch. Sechszehntes Caritel. PQ zur Axe annimmt: ſo wird allemal, wenn man aus dem Mittelpunkte B die Linie B A ſenkrecht auf die Uxe P C herabfaͤllt, und zu beyden Seiten gleiche Abſciſſen AP = A Q abſchneidet, die Summe PM † QN eine beſtaͤndige Groͤße, und = = 2A B ſeyn. §. 382. Da wir aber fuͤr die Curven mit zwey un B 8 auf bey⸗ den Seiten liegenden gleichen Theilen oben (5 340] zwey Gleichungen gefunden haben, die fuͤr die Coordinaten und u folgende ſind. I. „= ax f u t "X † kau † xuu † eus 1 „X5S † &XAu † ꝛc. II. ℳ 1 x⸗ † YXu † zu⸗ † „X4 † gε P „XZuZ † 9xXu3 † ꝛc. ſo findek man, wenn man in jede dieſer Gleichungen u = y — a ſetzt, zwey allgemeine Gleichungen zwiſchen den Coordinaten und „ fuͤr die algebraiſchen Curven, die der vorhergehenden Aufgabe ein Genuͤge thun. Es gehoͤrt alſo dahin, einmal, jede durch den Punkt B gezogene gerade Linie; und dann auch jeder Kegelſchnitt, deſſen Mittelpunkt in B liegt. Da aber in dem letzten Falle jeder Abſciſſe A P und A Q zwey Applicaten zukommen, (außer wenn die Curve eine Hyperbel iſt, und die Applicaten der einen Aſymptote parallel genommen werden) ſo hat man dabey zwey Paar Applicaten, die eine und dieſelbe Summe geben. §K. 383. Wenn eine Curve gefunden werden ſoll, worin nicht die Summe jeder zwey Applicaten PM und QN, ſondern die Po.Ee die Cun Grode en ſce M. Segtn die Not iN Dheilehe torherpel Exrhctt ne gcgenwe nan ans IAb= ſändige ſ ben⸗ Aw lnct . ungen en den die der Nehbrt gerohe puntt ſel n de einen dabey⸗ geden. ſicht Chern di⸗ V. d. Erfindung der Curven aus Eigenſch. d. Applicat. 303 die Summe der Poteſtaͤten derſelben von irgend einem Grade eine beſtaͤndige Groͤße ſeyn ſoll; ſo findet eine aͤhn⸗ liche Aufloͤſung ſtatt. Denn ſoll . PMN † QNn = 2 an ſeyn, ſo iſt klar, daß dieſe Bedingung durch die Gleichung yn = an † Q erfuͤllt werde, wenn Q irgend eine ungerade Funktion von X iſt. Es wird nemlich alsdann PMnRn = an † Q, und Q Nn = an — Q und folglich PMRn † QNR = 2 an Setzt man yn — an = u, ſo druckt die Gleichung u = die Natur einer Curve aus, die fuͤr die Coordination und y um dem Mittelpunkte B zwey wechſelnde gleiche Theile hat, und wenn man daher in den Gleichungen des vorhergehenden § allenthalben yn — an fuͤr u ſchreibt, ſo erhaͤlt man allgemeine Gleichungen fuͤr die Curven, die der gegenwaͤrtigen Aufgabe ein Gnuͤge thun. K. 384. Da alſo dieſe Unterſuchungen keine Schwierigkeit ha⸗ ben, ſo werde verlangt, eine Curve MBN, Fig. 80, von der Art zu finden, daß das Rechteck zwiſchen den Applica⸗ ten PM. QN, welche von dem Punkte A in der Axe auf beyden Seiten in gleicher Groͤße genommen werden, eine beſtaͤndige Groͤße, = a a ſey. Dieſe Aufgabe laͤßt mehrere beſondere Aufloͤſungen zu, und die vornehmſten davon wol⸗ len wir vor der allgemeinen vorhergehen laſſen. Es ſey P eine gerade, und O eine ungerade Funktion der Abſciſſe A P = X, und die Applicate P M = y = P † 2, woher denn, wenn man x negativ nimmt, QCN = P — Q wird. Es muß demnach PM 304 Zweytes Buch. Sechszehntes Capitel. PM/ QN = ep —– Q△μS aa, oder D = V (aa † Q2 werden, und dieſer Ausdruck V (aa † Q O) iſt, da er, weil QC eine gerade Funktion von X iſt, eine gerade Funktion giebt, eine brauchbare Subſtitution fur P. Es iſt lſo die Gleichung fuͤr die geſuchte Curve y = Q.(D† V (aa T† QQ) wo Q jede ungerade Funktion von bedeutet, §. 395. Da aber das Wurzelzeichen ſowohl † als — zul laͤßt, ſo gehbet zu jeder Abſciſſe eine doppelte Applicate, z B zu A B Q† V (A a † 2₰; und S V (aa 1 QO) zu A Q hingegen — Q † V (aa † QOQ); und — 0 — a àa . Qα . und es hat demnach die Curve um A, als dem Mittelpunkte, wechſelnde gleiche Theile. Auch laͤßt ſich die Zweydeutig⸗ keit, die das Wurzelzeichen erzeugt, nicht dadurch aus dem Wege raͤumen, daß man fuͤr Qeine ſolche ungerade Funktion, wie — — „π ſetzt, daß aa † QC ein Quadrat . , M 4 àa wuͤrde; denn es wuͤrde alsdann Vaa † QQ= . † X und alſo eine ungerade Funktion, dergleichen man aber nicht füuͤr P ſetzen darf. Man muß daher allemal fuͤr Qeine ſolche ungerade Funktion von X nehmen, wobey aa † QQ kein Ouadrat wird. §. 386. Auf aͤhnliche Art wird, wenn man y = (P † On ſetzt, QN = (P– Q)n und es muß daher (?2 — Q)n = aa ſeyn. Hieraus wird SYG Pa demn Mi WMde ſcſſe fon hon ſest cde Setzt m gegeben. kheͤlt ⸗ d. Uäurden 0 ½ “” d Eeßdar de Cardenaue E genſh Appika 305 P2 an † Qn; und P = V (a 4 Qn) t, A und dieſen A lusdruck kann man fuͤr b ſetzen, wofern er nur e gerh irrational iſt. Man hat daher fuͤr die Curve, welche der Aufgabe ein Genuͤge thut, die Gl leichung: y = (QC † VC Q)), ””M Was aber die Conſtruction dieſer Curven betrifft, ſo iſt dieſelbe leicht. Denn beſchre ibt man eine Curve, die um dem Mittelpunkte A zwey wechſe lnde aͤhnliche und gleiche Theile hat, und ſetzt man die Appl icate, die zu der 2 Ab⸗ ſceiſſe AP = X gehoͤrt, = 2z: ſo iſt 2 eine ungerade Funk⸗ tion von X, und kann alſo fuͤr Q geſetzt werden. Nun fließt aber aus der gefundenen Gleichung , c r — VA 1 0:) 44 TNX = S S= = — S= ur 1, und es wird daher n — a n en Oan Setzt man daher K = m, und in der zwiſchen z und x V2 mn — a2 . fin gegebenen Gleichung allenthalben 2 = ſo ber nit erhaͤlt man die Gleichung fuͤr die geſuchte Curve zwiſchen ir ei X und y. Da wir nun zwey Gleichungen zwiß ſchen 2 und X ½ gefunden haben, nemlich, entweder— = aAgXXT YXZ † à 1 xXA f &x³⅜a "xXa22 f† D NddtG⸗ x 23 † 2c. H oder rſ 0 = aX † &2 † 7X3 † X22 † eX22 †. 22: † »xXS † 1 XA 2½ † ꝛc. . ſo erhaͤl t man daraus, wenn man (mit Weglaſſung des Di⸗ b2 Eulerxs Einl. in d. Angl. d. Unendl. Il. HOD. U viſors 306 Zweytes Buch. Sechezehntes Capitel. viſors 2, weil man fuͤr C jedes Bielfache von 2 nehmen 2 m kann) allenthalben 2 = ym — ſetzt, zwey allgemeine Gleichungen fuͤr Curven, die der Aufgabe ein Genuͤge thun. §. 387. Es ſey außer P auch R eine gerade, und außer Qauch §s eine ungerade Funktion von x, und dadey die Gleichung für die geſuchten Curven P † CQ . 5 = PM: = R 5 1 ſo iſt P — C — CQQ QN = — 5Z und es wird demnach = aa. Dieſe Bedingung laͤßt ſich aber ſehr leicht rrinen, wenn man PP † Q P † Qu y= D ,2 oder y =. (F — 0 * macht. Hierdurch wird auch die Unbequemlichkeit wegge⸗ ſchafft, die vorhin da war, daß zu jeder Abſciſſe zwey oder mehr Applicaten gehoͤrten, und ſolche Curven gefunden, no ſeder Abſeiſſe nicht mehr als eine Applicate zukommt. Die einfachſte krumme Linie, die der Aufgabe ein Genuͤge thut, iſt daher eine Linie der zweyten Ordnung, die durch die Gleichung ——,— a 75= ausgedruckt wird, und alſo eine Hyperbel. Es thut aber die Hoperdel auch der vorhin gefundenen Gleichung y = Q † W(aa † QOQ) ein n Genige, wenn man Q= nz ſetzt, indem dadurch yy — 2n Xy = aa wird tenn hedertet ligen ine Geei ihun. 9, V., V ſoharr .— Und mu lon x, und die ſllgende Befte Canch Rchung len, wenn Gter n⸗ ſe en n en geindn, Nte Ntornh. ein Genie ,die nuh chnn bau hung dodurh vied V.d. Erfindung der Curven aus Eigenſchd. Applieat. 307 wird; und es laſſen ſich daher die Bedingungen der gegen⸗ waͤrtigen Aufgabe auf eine doppelte Art durch die Hyperbel erfuͤllen. HW Dies vorausgeſetzt, ſo iſt deutlich, daß die Gleichung fuͤr die geſuchte Curve ſo beſchaffen ſeyn muß, daß dieſelbe keine Beraͤnderung leidet, wenn man darin — X fuͤr x, und „ fuͤr y ſetzt. Dergleichen Formeln ſind aber 422 42 n — a — 222 8⁸ (Vn † Vn )P; und (y yn 2; wenn P eine gerade, und Qeine ungerade Funktion von bedeutet. Wenn man alſo eine Gleichung aus einer belie⸗ bigen Anzahl ſolcher Ausdruͤcke zuſammenſetzt, ſo iſt ſolches eine Gleichung fuͤr Curven, die der Aufgabe ein Genuͤge thun. Wenn daher M, P, R, T, ꝛc. gerade, N, Q, 8, V, ꝛc. hingegen ungerade Funktionen von X bedeuten . ſo hat man folgende allgemeine Gleichung: e=a A 3 a 3 = M 4 ( † à) Pp † ( † —)R † C f —–) T i. S y yy a 3 7 3 a a a 3 a 3 B (E—)01 G— —S † ((5; — V . 4 7 a aà Yy aà y3 und multiplicirt man dieſelbe durch eine ungerade Funktion von x, ſo gehen die geraden Funktionen von in ungerade, und die ungeraden in gerade uͤber. Dadurch erhaͤlt man folgende Gleichung: äl a aa 3 az“ =— N † (E . .2) Q 4 G† ) s ( kt ) Ve. a 7 aa Yy a 5½ yv3 J. „yY à yy aa y3 as †. (⸗ 57 7 Befreyet man aber dieſe Gleichungen von den in ihnen vor⸗ M 2 kom⸗ 308 Zweytes Buch. Sechszehntes Capitel. kommenden Bruͤchen, ſo ergeben ſich daraus folgende. zue Ordnung: n gehorige⸗ = anyn M an-t1 (* † O) † an- eiG&1 k an-3 ynT3 (T † V Fan ry ne r (P — — OQ † an †2—2 5) an † 3 er ꝛc. II. e = any n N 1 an-Tynf ( Q) † an- 2y n †2 (KR † ⁵) an-3 y† 3 (T † V) ꝛc. — ar ryn- r (b- Q— an fzyn-a (K -— 8) — adtsyuns (T1 — V) ꝛc. . 389. Es kann aber n in den Formeln (yn † n)p, und 7*— ein Bruch ſeyn. Setzt man daher fuͤr n die Bruche 1, 2, 1, 2Z, ꝛc., ſo verſchwindet in den auf dieſe Art entſtehenden allgemeinen Gleichungen die Ir⸗ rationalitaͤt von ſelbſt t. Man erhaͤlt nem lich dadurch y † a y † as ys † as 0 = † — p . a L 1 te. WVWVay 1 2=⸗ V a — — Q † —— — V ze. 1 Vy W 8 2 aaya yi ay 1 oder Lia o 1 t ai 1 er azy Vay V † ꝛc. Vey Re a272 . und B 0= 4, 94 n -mI. us iner ieh ſeicht ind Nung die⸗ Nurch den 4 ge beyden on erh Curve gi NS e Nhen, d Ir Nie len, ven 7. 1 V.ß d. Erfindung der Curven aus Eigenſch.d. Applicat. 309 nleß und dieſe Gleichungen erhalten, wenn man ſie von den Bruͤchen befreyet, folgende Form: „— anynI P† O◻ † an- ynt 2 (R †* 8) † an-2 yn 3,(T † V) 70. RNINO ſe † anfryn-P - Q) † anfzyn-r (R— 8)r auf 3yn-2 (1 — V) zꝛc. Gkꝑ und MM = anynfIP † Ql- an-Iynf2 (R † 8) † an-a yn- 3 T † V) ꝛe. — utry(. Q. anfe yn- I (R— 8— JM V) ꝛc. Vr. SZ §. 390. Ge. Aus dieſen vier Gleichungen laſfen ſich nun die Curven einer jeden Ordnung, die der Aufgabe ein Genuͤge thun, leicht ſinden. Zuvoͤrderſt gehoͤrt dazu aus der erſten Ord⸗ nung die gerade Linie, welche der Axe A P parallel iſt, und 9, 0b durch den Punkt B geht. Fuͤr die zweyte Ordnung geben die be yden erſten Gl eichungen, wenn man n = 1 1 ſetzt, n dcher eæaxy † yy — aa = o; dande man erhaͤlt nemlich dieſe Gleichung, da die erſte keine n eſ Curve giebt, aus der zweyten, durch die Subſtitutionen n N = aX; P = I; und Q= o: die beyden andern aber geben, wenn man n = o macht, VIN V GE xX) a ( — 4) = = o. Fuͤr die dritte Orde nung geben die beyden erſten Gleichun⸗ MM tr. gen, wenn man n = I ſetzt, 0 = ay („ † β X X) † yy (» †. „x) †P àaa a G- à) N unnd H . = rayz t yy ( ¼ 5x) 6 — à à (— 3*) d9 LG die 310 Zweytes Buch. Sechszehntes Capitel. die beyden letzten aber, wenn man n = o, und n = 1 ſetzt y (aæ † gXx † 7XX) a (æ — Gx † 7 XX) und “ ay² ( † 6X) †. . a2y (« — X) – Auf eine aͤhnliche Art laſſen ſich auch die Curven der uͤbri⸗ gen Ordnungen finden, die der Aufgabe ein Genuͤge thun. O0 It I l M⸗ . A SS , L- S, MA. . —☛ Sieben⸗ tochen, Npplicar ie gewiſe ſß. ſaben Pogen, A uͤbei⸗ Gn. Gibe⸗ Siebenzehntes Capitel. Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſchaften. §K. 391. Die Aufgaben, womit wir uns im vorhergehenden Capitel beſchaͤfftiget haben, waren von der Art, daß es ſehr leicht war, Gleichungen zwiſchen rechtwinkligen oder ſchiefwinkligen Coordinaten zu finden, die ihre Aufloͤſung enthielten. Jetzt wollen wir daher ſolche Eigenſchaften be⸗ trachten, die ſich nicht unmittelbar auf einander parallele Applicaten beziehen; wohin z. B. der Fall gehoͤrt, wenn eine gewiſſe Beſchaffenheit gerader Linien, die aus einem gewiſſen Punkte nach der Curve gezogen worden, gegeben iſt. Es ſey C, Fig. 81, ein ſolcher Punkt, und aus dem⸗ ſelben nach der Curve die geraden Linien CM und CN ge⸗ zogen, und dabey eine gewiſſe auf dieſe Linie ſich bezlehende Eigenſchaft gegeben. Hier muß man von dem bisherigen Verfahren, die Natur der Curve durch die Coordinaten auszudrucken, auf die Art abgehen, daß man die gedach⸗ ten geraden Linien in die Gleichung bringt. Da nun die NRatur der Linien auf ſehr viele andere Ar⸗ ten durch Gleichungen zwiſchen zwey veraͤnderlichen Groͤßen ausgedruckt werden kann, ſo kann man bey der gegenwaͤr⸗ U 4 tigen 312 Zweytes Buch. Siebenze ehntes Caritel. tigen Unterſuchung die gerade Linie C M, die aus dem Punkte C nach der Curre gezogen worden, die Stelle der einen veraͤnderlichen Groͤße vertreten laſſen. Alsdann aber muß man noch eine andere veraͤnder liche Groͤße haben, wodurch die Lage dieſer geraden Linie C M beſtimmt wird. Nimmt man nun zu dieſem Zwecke eine durch den Punkt C gezogene gerade Linie C A zur Axe an, ſo kann der Winkel A CM., oder eine Groͤße, die von dieſem Winkel abhaͤngt, ſehr fuͤglich dieſe andere veraͤnderliche Groͤße ſeyn. Es ſey die gerade Linie C M = 2, der Winkel ACM = %, unnd ſein Sinus oder ſeine Tangente in der Gleichung be⸗ findlich: ſo i ſt offenbar, daß jede Gleichung zwiſchen z und ſin. , oder tang. % die Natur der Curve A M N beſtimmen werde. Es wird nemlich dadurch fuͤr jeden Winkel ACM die Lage der geraden Linie CM, und folglich der Punkt M der Curve beſtimmt. §. 393. Wir muͤſſen aber dieſe Art, die Curven auszudrucken, genauer erwaͤg zen, und es ſey daher zuvoͤrderſt die gerade Linie C M = 2z irgend eine Funktion des Sinus des Win⸗ kels ö. Iſt dieſe Funktion einfoͤrmig, ſo koͤnnte es ſchei⸗ nen, daß die gerade Linie C M der Curve nur in einem Punkte M begegnen werde, weil dem Winkel ACM = %W mur ein einziger Werth der geraden Linie CM. zugehoͤrt. Allein wenn der Winkel e um zwey rechte Winkel ver⸗ groͤßert wird, ſo bleibt die Lage der geraden Linie C M, die durch den Punkt C gezogen iſt, dieſelbe, nur daß ſie nach der e tgegengeſetzten Seite zu gerichtet iſt: und es giebt da⸗ her noch einen andern T Durchſchnittspunkt der geraden Linie CM mit der Curve, wenn auch gleich 2 durch eine einfoͤr⸗ mige Sunktion des Sinus des Winkels beſtimmt wird. Es den u D des 0, Und n, gerade wusd Alein e n R don de einet⸗ chung RS O ſier rn Mnn des g gatib Coſin Mangt, 6 dr dunge ſunn XCNM NunN Nucen gerode ebt du⸗ henbait jeiffot t vi ☚ Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſ⸗ ſch. 3 3 Es ſey nemlich P dieſe Funktion des ſin. , ſo daß der Punkt M. Fig. 82, durch die Gleichung 2 = P ee then werde. Ferner werde o um zwey rechte Winkel vergroͤßert, oder ſein Sinus negativ genommen, und dadurch P in 6 verwandelt, ſo daß nun 2 = Q ſey. Iſt dieſes geſchehen, ſo giebt es einen neuen Durchſchnitt eben der geraden aber ven laͤngerten Linie CM. mit der Curve, nemlich n, wenn man 0 m = nimmt. Ob daher gleich b eine einfoͤrmige Funktion des Sinus des Winkels iſt, ſo begegnet dennoch die gerade Linie CM, die unter einem gegebenen Winkel ACM = ° durch D den Punkt ( gezogen iſt, der Curve in zwey Punkten M und m, es muͤßte denn OQ = — bP ſeyn. Soll daher die gerade Linie C M der Curbe nur in einem Punkte begegnen, ſo muß die Groͤße b eine ungerade Funktion des ſin. % ſeyn. Allein eben dieſes findet ſtatt, wenn b eine e ungerade Funk⸗ tion des coſ. o iſt; und es ſind demnach alle Curven, die von den aus dem Punkte C gezogenen geraden Linien in einem einzigen Punkte geſchnitten werden, in der Glei⸗ chung z = P enthalten, wenn b eine ungerade Funktion des Sinus oder des Coſinus des Winkels ACM = ° iſt. §. 395. Da alſo die Curven, die von den aus dem Punkte C, Fig 81, gezogenen geraden Linien in einem einzigen Punkte geſchnitten werden, in der Gleichung 2 = P enthalten ſind, wenn bP eine ungerade Funktion des Sinus oder Coſinus des Winkels o, oder eine ſolche Funktion iſt, die einen ne⸗ gativen Werth bekommt, wenn man den Sinus oder den Coſinus des 8 Winkels 9 negativ zimmt: ſol taͤßt ſich hieraus U 5 ſehe 314 Zweytes Buc. Siebenzehntes Capitel. ſehr leicht fuͤr dergleichen Curben eine Gleichung zwiſchen rechtwinkligen Coordinaten finden. Faͤllt man nemlich aus dem Punkte M nach der Axe CA die ſenkrechte Linie M P herab, und ſetzt man dabey C P= x, und P M = y: ſo iſt 2 = ſin. %; und — = coſ. 2 “ Wenn alſo P eine ungerade Funktion von und iſt, ſo ſind alle jene Curven in dieſer Gleichung, 2 = b, enthalten, und es wird demnach, um von dem einfachſten Falle an⸗ zufangen X 52 2 = * 2 1 2 † —; 2Z X und, wenn man zu den hiheer Poteſtaͤten fortgeht, „72 2 2 =, 4 t 1 2 22 1 1 XX „* P r 1 3 † ꝛc. X X §. 396. Wenn man dieſe Gleichung durch? dividirt, ſo kommen allenthalben bloß gerade Poteſtaͤten von 2 vor, und da 2 = V (XxX † yy) iſt, ſo bleibt, wenn man nun 2 weg⸗ ſchafft, keine Jrrationalitaͤt weiter uͤbrig, und man erhaͤlt eine Gleichung zwiſchen X und y. Es iſt daher die allge⸗ meine Gleichung ſo beſchaffen, daß die Einheit, oder die beſtändige Groͤße, einer Funktion von — 1 Dimenſionen von 7 und y gleich iſt. Iſt P eine ſlcd Funktion, ſo wird C = P, und alſo . Aber — iſt eine Funktion 5. von einer Dimenſten von xX und y. Wenm alſo eine Funk⸗ tion von einer Dimenſion t von æ und y einer beſtaͤndigen Groͤße onde Grdfe die vor n einen Vem Nei Gne Fn ale Cu etthalte geneine 4Y1 inde don de nicht Mde⸗ nlich ens inie thalen, n XV2 — komme , Wd N un 1 N nun ehit Ne Ahe Mee N. ſen ton wi Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſch. 315 Groͤße gleich iſt, ſo iſt dieſes eine Gleichung für Curven, die von den aus dem Punkte C gezogenen geraden Linien in einem einzigen Punkte geſchnitten werden. . 397 Wenn b eine Funktion von n Dimenſionen von und y, und Qeine Funktion von n † 1 Dimenſionen iſt, ſo iſt 2 eine Funktion von einer Dimenſi on; und es ſind demnach alle Curven, die wir hier unterſuchen, in der Gieichuns 9 = o; oder C = cP enthalten. Bedeutet alſo n irgend eine Zahl, ſo iſt die all⸗ gemeine Gleichung fuͤr dieſe Curven xnI †sxny † 7Xn-Iy2 † ?X-2y3 † :xXn-34 f ꝛt. — C (AXxXxn † BXn-TIVy † Cxn-2y2 † Dxn- 3y3 C ꝛ:c.) und daher werden die Linien der einzelnen Ordnungen, die von den aus dem Punkte C gezogenen geraden Linien in nicht mehr als in einem einzigen Punkte geſchnitten wer⸗ den, durch folgende Gleichungen ausgedruckt: 1. *X † £Ey aX2 † £Xy † 77V = c (Ax †. By) III. 2xX3 † sXxay † 7X2² † dy3 = c (Ax2 † Bxy † CyV) “ IV. „X4 † 6X y † „X y 2 † àX 3 † :y 4 = c „ (Ax3 † Bx2y † Cxy2 † Dy3) 2c. Il §. 398. S16 Zweytes Buch. Sibentehes Capitel. K. 308. SS Zuvoͤrderſt alſo thut die gerade Linie der Aufgabe ein Genuͤge, und man weiß auch ohnehin von ihr, daß ſie von andern aus einem gegebenen Punkte gezogenen geraden Linien in nicht mehr als in einem Punkte geſchnitten werden kann. Die zweyte Gleichung iſt die allgemeine Gleichung fuͤr die Kegelſchnitte, wenn dieſelben durch den Punkt G gehen; aber dieſen Durchſchnittspunkt rechnet man, weil er allen aus ihm gezogenen geraden Linien gemein iſt, nicht mit. Da nun alle Kegelſchnitte von einer geraden Linie in nicht mehr als in zwey Punkten geſchnitten werden, ſo giebt aus dem angefuͤhrten Grunde jede gerade durch den Punkt C, wo er auch in der Eurve genommen wird, ge⸗ zogene Linie nur einen einzigen Durchſchnittspunkt. Die Linien der folgenden Ordnungen gehen insgeſammt durch den Punkt C, und auch bey ihnen wird dieſer Durchſchnitts⸗ punkt, da er allen durch C gezogenen geraden Linien ge⸗ mein iſt, nicht mitgerechnet. Dieſerwegen ſind in den an⸗ gefuͤhrten Gleichungen von den Linien der hoͤhern Ordnun⸗ gen bloß diejenigen enthalten, welche von den aus dem Punkte C gezogenen geraden Linien nur in einem Punkte geſchnitten werden. Auf dieſe Art haben wir alſo alle al⸗ gebraiſche Curven angefuͤhrt, welche von den durch einen gegebenen Punkt E gezogenen geraden Linien in nicht mehr 7 als in einem einzigen Punkte geſchnitten werden. §. 399. “ wollen wir uns zur Unterſuchung ſolcher Curven wenden, die von den geraden Linien, welche aus einem de benen Punkt C gezogen werden, entweder in zwey Punkten, oder gar nicht geſchnitten werden, welches letztere ei findet, wenn die Wurzein der Gleichung, die den do⸗ pel⸗ Vond pelten clſo d ACM Nieole E D und n Cſis Curde no Unüſen n kas 6 ſe flou ſittäpn Ungerade das s Uus Mryeti ſen deſce⸗ Eett Uund bo es wuß/ Pein hunkt e weil er den Wie verden, durch dn id, ee⸗ . De nt durch ſchnitts⸗ ſien ge⸗ Naan⸗ Mrc⸗ als den en Punte 6 ſgt Von derſiudung der e Curben aus andern Eigenſch. 3 17 pelten Durchſchnittspunkt anzeigt, imaginaͤr werden. Da alſo die gerade Linie C M = z fuͤr einen jeden Winkel ACM = ° einen doppelten Werth bekommen muß, ſo wird dieſelbe durch eine quadratiſche Eleichung beſtimmt wer⸗ den. Es ſey alſo 22 — Pz 1 Q = G wo p und Q Funktionen des Winkels oder ſeines Sinus oder Coſinus bedeuten. Da nun die gerade Linie C M die Curve nur in zwey Punkten M und N ſchneiden ſoll, ſo muͤſſen nicht nur P und Q einfoͤrmige Funktonen des Win⸗ kels % ſeyn, ſondern es duͤrfen auch, wenn man den Win⸗ kel um zwey rechte Winkel vergroͤßert, keine neue Durch⸗ ſchnittspunkte entſtehen. Dieſes findet ſtatt, wenn P eine ungerade Funktion des Sinus oder des Coſinus von iſt, ſo daß es negativ wird, wenn man den Sinus oder Coſi⸗ nus negativ nimmt; Q aber muß eine gerade Funktion eben deſſelben Sinus oder Coſinus ſeyn. .. 400. Setzt man nun die rechtwinkligen Coordinaten Cb = x, und PM =y, ſo wird 1. S= ſin. 9; und — = coſ. %, und es muß folglich . „. X „— P eine ungerade Funktion von und *; und Qeine gerade Funktion von 7 und . ſeyn. Hieraus erhellet, daß — eine rationale Funktion Dimenſionen, und auf aͤhnliche Art, „daß eine rationale und 1 von xX* und y, und alſo eine homogene Zunktion von — 1 õ 318 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel. und homogene Funktion von x und y von — 2 Dimenſie⸗ nen ſeyn werde. Wenn alſo 1 eine homogene Funktion von n † 2 Dimenſionen M eine homogene Funktion von n † 1 Dimenſionen und ſ5 N eine homogene Funktion von n Dimenſionen 3 iſ: ſo giebt der Bruch 4 R X uoa eine paſſende Funktion fuͤr und 2 s eine paſſende Funktion fuͤr a. 4 2 Z Da nun 22 — Pz † Q= o iſt, ſo wird P 2 22 und es iſt daher die allgemeine Gleichung fuͤr die Curven, die von den durch den Punkt C gezogenen geraden Linien in zwey Punkten geſchnitten werden, — Ef =o, oder I. — MI N = Mz NzZz NEv) P= — — — und darin und Q T „und alſo P eine irrationale Funktion von x und y, weil 2 = V (XxX † yy), und Q eine rationale Funktion von keiner Dimenſion. “ZMB M 9. 401. Hiernach iſt es ſchon leicht, aus einer jeden Ordnung der Linien diejenigen zu beſtimmen, welche von den durch einen gegebenen Punkt C gezogenen geraden Linien in zwey oder in gar keinem Punkte geſchnitten werden. Fuͤr die zweyte Ord⸗ nung (fg ond nung / eintte Mane ſhnede Sitvee Ppdeſ er irnicht do ſich ichen gen k⸗ 9 chnitte der di⸗ Dm Nahine e M Uinicfi 1² Hiernue Nt, wee lciehe ſ. lon ha lade aber d utbe menſe N — —, — — un 1 ☛ 1¹1 Ctte, n ien erungde un hn 7 Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſch. 3 19 nung nemlich ſetze man n = o, ſo erhaͤlt man die allge⸗ meinſte Gleichung fuͤr die Kegelſchnitte: AX X † 6GXy † Yyy — ϑX — sy † 6= 0 Man mag alſo den Punkt C annehmen, wo man will, ſo ſchneidet jede dadurch gezogene gerade Linie den Kegelſchnitt entweder in zwey Punkten oder nirgends. Es kann ſich indeß ereignen, daß ein Kegelſchnitt von einer geraden Linie in nicht mehr als in einem Punkte geſchnitten werde; allein da ſich dieſes unter den unzaͤhligen durch den Punkt C moͤg⸗ lichen geraden Linien nur in einem oder zwey Faͤllen zutra⸗ gen kann, ſo iſt dieſe Ausnahme von keiner Wichtigkeit; und dann kann man auch ſagen, daß der zweyte Durch⸗ ſchnittspunkt unendlich weit entfernt ſey, ſo daß daher wi⸗ der die Allgemeinheit des obigen Satzes nichts fließt. §. 402. Damit aber deutlich werde, in welchen Faͤllen jene Aus⸗ nahme eintrete, ſo wollen wir die Gleichung zwiſchen X und „ auf eine Gleichung zwiſchen z und den Winkel ⸗ zuruͤckfuͤhren, welche, da y = z. ſin. 0, und X = z. coſ. iſt, folgende ſeyn wied: 22 ( (coſ. 9) 2 † 8 ſin. &: coſ. † „(ſin. )2) — 2 * (J. coſ. Q † s. ſin. ö.) † = o. Hieraus erhellet, daß nur ein Durchſchnittspunkt ſtatt fin⸗ det, wenn der Coefficient von 22 gleich o wird, und dieſes geſchiehet, wenn * † 8. tang. % † (tang. 9)2 = O iſt. Wenn alſo dieſe Gleichung zwey reelle Wur⸗ zeln hat, ſo ſchneidet die durch den Punkt C gezogene ge⸗ rade Linie die Curve nur in einem einzigen Punkte. Da aber die Wurzeln eben dieſer Gleichung die Aſymptoten der Curve anzeigen, ſo erhellet, daß die Hyperbeln von den gera⸗ 320 Zweytes Buch. Siebenzehntes Caritl. geraden Linien, die der einen Aſomptote parallel ſind, nur in einem einzigen Punkte geſchnitten werden, und der lei⸗ chen durch C gehende Linien giebt es ni icht mehr als zwey; bey der Parabel hingegen gehoͤret bloß eine mit der Axe parallel gezogene gerade Linie unter die Ausnahme. Iſt der Kegelſchnitt eine Ellipſe, ſo mag man den Punkt C an⸗ nehmen wo man will, es ſchneidet jede durch ihn gezogene gerade Linie die Curve entweder gar nicht oder in zwey Punkten. .. 403. Die Linien der dritten Ordnung, die jene Ei genſchaft haben, ſindet man, wenn man n = I ſetzt, und ſie ſind alſo in folgender Gleichung enthalten: 2x3 1ex⸗4 7xy⸗ † y3 — x2 — — *y2 X † = y = oO Dieſe Gleichung begreift alle Linien der dritten Ordnung unter ſich, und ſie gehoͤren insgeſammt hieher, wofern nur der Punkt C in der Curve ſelbſt genommen wird; denn macht man æ = o0, ſo verſchwindet zugleich auch y. Auf aͤhnliche Art muß bey den Linien der vierten Ordnung, die hieher gehoͤren, der Punkt C nicht bloß in der Curve lie⸗ gen, ſondern auch ein doppelter Punkt derſelben ſeyn; und es thun daher alle Linien der vierten Ordnung der Aufgabe ein Genuͤge, die einen de appelten Punkt haben, wenn der Punkt C in dem doppelten Punkte angenommen wird. Auf gleiche Art gehoͤren hieher die Linien der fuͤnften Ord⸗ nung, die einen dreyfachen Punkt haben, wenn C in dieſem dreyfachen Punkte genommen wird, u. ſ. w. Dabey aber muß man bemerken, daß es allemal nicht mehr als einen Durch! ſchnittspunkt gebe, wenn die durch C gezogene ge⸗ rade Linie einer geradinigen Aſymptote oder der Axe einer para⸗ ggdet garabelſ ander⸗ — 4 Dieſes ſden Oeden da W Puntwmt 8s derd Hird an Geſchnit ginr w wir hier inagind Nicht mi ſede Mne Vid, kar die Rn W holten Roc Noben, ClDnd. Nder die Wethep ſ, eckoi derſt Sumn Eul DL H M Von derErfindung ber Curven aus andern Eigenſch. 32 d,n paraboliſchen Aſymptote parallel iſt, indem alsdann der d Nri⸗ andere Durchſchattspunkt unendlich! weit entfernt liegt. wen der 1 J. 404. DZ e. N DW Dieſes ſtimmt mit der Natur der Linien, die zu einer unde jeden Ordnung gehoͤren, aufs vollkommenſte uͤberein. Denn gejogere da jede zu irgend einer Ordnung gehoͤrige Linie in ſo viel nrdh Punkten von einer geraden Linie geſchnitten werden kann, als der Exponent der Ordnung Einheiten enthaͤlt; (und ſie wird auch davon in der That jedesmal in ſo viel Punkten geſchnitten, wofern nicht einige Durchſchn littspunkte ima⸗ enko ginaͤr werden, oder unendlich weit ſich entfernen) und da wir hier alle Durchſchnittspunkte, ſie moͤgen reell oder fefi imaginaͤr ſeyn, in Rechnung bringen, und bloß diejenigen nicht mitzaͤhl en, die in den Punkt C fallen: ſo iſt, da jede Linie von der Ordnung n in n Punkten geſchnitten “ wird, klar, daß der Punkt C in einem ſo vielfachen Punkte, als die Zahl n — 2 Einheiten enthaͤlt, angenommen wer⸗ inn den muß, wenn man einen doppelten Durchſchnittspunkt eN. exrhalten will. doung, N l §. 4o5. JDM . en Nach dieſen Betrachtungen iſt es leicht, von den Auf⸗ emim gaben, die das Verhaͤltniß jeder zweyer Werthe von 2, 4 “ Clund CN, betref ffen, entweder die Aufloͤſung zu finden, nen ddder die Unmoͤglich hkeit zu zeigen. Denn da die beyden 1 A Werthe von 2, C M und CN, die Wurzeln der Gleichung n d⸗ —272 — Pz † Q= o dieſen ſind, ſo iſt ihre Summe C M CN = b, und das Recht⸗ obey aben eck tzwiſchen ihnen C M. C N = C. Sollten daher zuvoͤr⸗ als einn derſt Curven geſucht werden, wobey allenthalben die ogene h⸗ Summe C M † CN eine beſtaͤndige Groͤße waͤre: N eae Eulers Einl. in d. Ansl d. Unendl. II. DO. X ſo 322 Zweytes Buch. Siebenzehntes Canitel ſo mi ußte P eine beſtaͤndige Groͤße⸗ ſeyn. Da aber wegen der Natur der Aufgabe j jede durch C gezogene gerade Linie die Curve bloß in zwey Punkten ſchneiden darf, ſo muß nach § 399 nothwendiger Weiſe — M 2 NAVCNEY ſeyn, und dieſe Groͤße kann als eine Irrational⸗ Groͤße nie eine beſtaͤndige werden. Es giebt daher keine Curve, die dieſ er Aufgabe ein Genuͤ⸗ ge thaͤte. S8. 46. Wenn aber die Bedingung, daß die durch C gezogenen geraden Linien die Curve bloß in zwey Punkten ſchneiden ſollen, weggelaſſen, und alſo ſolche Curven geſucht werden⸗/ bey welchen es zwar mehrere Durchſchnittspunkte, aber darunter zwey, Mund N, von der Beſchaffenheit giebt, daß CM † CN eine beſt taͤndige Groͤße wird: ſo laſſen ſich un⸗ zaͤhlige Curven von dieſer Art ſinden, wenn man ? = jener beſtandigen Gr oͤße CM CN =a ſetzt. Es wird nemlich alsdann 22 — a z † = 0 1 N wo Q die Funkiion S bedeutet: und weil dieſe Glei⸗ . chung irrational iſt, ſo erhaͤlt man daraus durch Wegdrin⸗ 47 gung der Irrationalitaͤt a a222 = (er 1 Oha oder : = :220 4 T⸗ . oder a2 La = (xxX 1 yy) (l2 f F 2 L N 1 NN worin L eine homogene Funktion von n † 2, N aber eine homogene Funktion von n Dimenſionen von x und y iſt. Die einfachſte Curve, wodurch die jetzige Aufgabe aufge⸗ loͤſet wird, findet man daher, wenn man 1I Pnder ſttz und welches Ordpun Mittehn ſichenu efcren 5 Venn wa ſch. al⸗ Ven getaen g ſchneide goleſce n de laher ke ne egeſch bre, Uelengt ſeh, n der Pu wa ſowß ſchneiden ſch ⸗ ſchet — ber eint nd * he Nlſ ⸗ de Ane Von der Eifudungter urren aus undeen Eenſch 323 L = ey; und N = – hb ſetzt; und man bekoͤmmt dadurch aa (xx † yy) = (FX † yy bb)2 H welches eine Gleichung fuͤr eine complexe Linie der vierten Ordnung iſt, indem ſie zwey Kreiſe ausdruckt, die den Mittelpunkt C gemein haben. Die einfachſten continuir⸗ lichen Curven aber, die dem Verlangten ein Genuͤge thun, gehoͤren zu der ſechsten Ordnung, und man findet ſie, wenn man = srX b Axy à aya; und N = bb . ſetzt. Dadurch erhaͤlt man aa (xXX † SXy † 7yy) 2 = (Xx † vyyexxX † gxy † Yyy — bb) Es ſey «= I; 8 = 0; und 7= o; ſo wird a à XA » M 4 — 2 bbXX † b4 oder — WWQaxx= 14 —2 e bxX — b) — XX — bb J. 407. Wenn aber dieſe Aufloͤſungen, wobey die durch C gezo⸗ ven, die der Aufgabe eine Genuͤge thun; und es laͤßt ſich daher keine krumme Linie denken, welche von den durch C gezogenen geraden Linien bloß in zwey Punkten M und N ſo geſchnitten wuͤrden, daß CM † CN eine beſtaͤndige Groͤße waͤre. Werden hingegen Durchſchnittspunkte von der Art verlangt, daß das Rechteck CM. CN eine beſtaͤndige Groͤße W’ genen geraden Linien die Curven in mehr als zwey Punkten ſchneiden, ausgeſchloſſen werden; und die Natur der Auf⸗ gabe ſcheint ſolches zu erfordern: ſo giebt es gar keine Cur⸗ ſey; eine Beſchaffenheit, die dem Kreiſe allemal zukommt, der Punkt C mag angenommen werden, wo man will: ſo X 2 laſſen 324 Zweytes Buch. Siecbenzehntes Capitel. laſſen ſich unzaͤhlige Curven finden, wobey dergleichen ſtatt haben. Denn es ſoll alsdann O eine beſtaͤndige Groͤße, und gleich dem Rechtecke CM. CN ſeyn, welches wir =Saa NZz2Zz ſetzen wollen; allein dieſe Forderung enthaͤlt, da Q = P. und folglich eine rationale Funktion von und y iſt, nichts widerſprechendes. §. 408. Es ſey alſo —. = aa, oder L. = = NAEH). 2 1 ſo ſind alle Gutpen, die dieſer Aufgabe⸗ ein Genuͤge thun, in der Gleichung: Nx I L 4 — M † N = o oder Maa = = N (Xx † yy † a a) enthalten, wo M eine homogene Funktion von n † I Dia menſionen, N aber eine homogene Funktion von n Dimen⸗ = YV T aa a a ſionen von X und „ bedeutet, ſo daß eine Funktion von einer Dimenſion von X und y iſt. Dieſe Gleichung begreift demnach alle Curven in ſich, welche von den durch C gezogenen geraden Linien bloß in zwey Punkten M und N ſo geſchnitten werden, daß das Rechteck CM. CN allenthalben eine beſtaͤndige Groͤße und = aa iſt. K. 409. 3 Da alſo eine homogene Funktion von einer Dimen⸗ ſion von x und y iſt, ſo findet man den einfachſten Fall, wenn man M. Nund ſetzt die dl Gcu iyden onan ſhnnten Nn. V. Swevn Alen ) guſzobe Er uf eine Mribrig Non rch 0 ſhritenn de udr . d hen ſin Griße, 4 Ne; E. — ſt,Nh 141 1 W 1Yt — 44 I. Deoe , welhen pin untmn t,M.⅓ . Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſch. 325 NI Sl *„X † gy N ſetzt. Dadurch bekommt man die Gleichung: M XX 1 yy — a (aX † 8⁶ y) † a a = 0 die allemal dem Kreiſe zugehoͤrt; und da ſie eine allgemeine Gleichung zwiſchen rechtwinkligen Coordinaten iſt, ſo faͤllt in die Augen, daß der Kreis der Aufgabe ein Genuͤge thut, wo man auch den Punkt C anneh men mag. Von den K Kegel⸗ ſchnitten außer dem Kreiſe kann keiner ieher gerechnet wer⸗ den. Aus den uͤbrigen Ordnungen der Linien aberl aßt ſich eine unzaͤhlige Menge von Curven finden, ſo daß man zugleich alle erhaͤlt, die aus jeglicher Ordnung hieher gehoͤren. So ſind z. B. die Linien der dritten Ordnung, welche dieſer Aufgabe ein Genuͤge thun, in der Gleichung enthalten: „αX X † £βX y P YyVy = XX T yy † aa à (5X † *y) — aDW oder . † ⁹y) (XX †yy) — a (2 X † Xy †* yyy) 1 aa (&X † 5y) = 0. Auf eine aͤhnliche Art laſſen ſich die Gl eichungen der ien der uͤbrigen Ordnungen, die hieher gehoͤren, finden. §. 410. Nun werde verlangt, von allen Curven, die von den durch C gezogenen geraden Linien in zwey Punkten ge⸗ ſchnitten werden, diejenigen zu beſtimmen, wo die Summe der Quadrate CM2 † CNz eine beftaͤndige Groͤße = aa iſt. Da CM † CN = P; und CM. CN = 0 iſt, ſo wird CM= † CN2 = P P — 2C und es muß folglich 326 Zwente Buch. Siedenzegntes Capitel. 6 2 PP — PP — 2 = 2 aa; oder = 222 ſeyn. Run iſt . P Z 2 Z — nd — — — N, n Q und es wird demnach 2N z2 M MZzZ .ùce D L ILII. urnd folglich M M aa I — — 21 22 — Da L. eine Funktion von n † 2, M eine Funktion von n 4 1, und N eine Funktion von n Dimenſionen von und y iſt, ſo findet hierbey keine Schwierigkeit ſtatt. Setzt man alſo M M fuͤr Lund M dergleichen Funktionen, ſo wird N = = — 243 I. , und es iſt daher die allgemeine Gleichung fuͤr die 22 Curven, die der Aufgabe ein Genuͤge thun: oder 211 L Ex 1 vy— — 2 LM (xx† yy) † MIMG 1† 71 — 2 à à LL= o. Wenn M = o iſt, ſo giebt dieſe Gleichung den Kreis, und da der Mittelpunkt deſſelben in C faͤllt ſo iſt von ſelbſt klar, daß er die Aufgabe aufloͤf. 1. 17 Es ſey3] n † 1 = o, ſo daß M eine beſtaͤndige Groͤße = 2 b, und L. = a X † 8y werde. Alsda unn entſteht eine Linie der vierten Ordnung, und ihre Gl eichung iſt: (ℳ * Vy man ſet⸗ ridi⸗ 1 Peſc⸗ Wen! 1A LI. clonn ſcder ge belche d XV line he Uedentet chung, und do d ſtr iede wachede Mmne den W (x hon nrh und y ſſ, Ancn a N — M — — 91. 4* Von der Erſide ng der urven aus andern Eigenſch. 327 G te⸗ (XX † yy-— à a) —2 b aX D e) EX † yp 2 bb (xX † V)= o. Eine andere Linie der vierten Ordnung erhaͤlt man, wenn man ́”M”MUM L = XX † yy; und M = 2 (G . 8y) ſetzt; denn alsdann gi ebt die Gleichu ng, durch 2XX † 2 7 y dividrirrt. (XxX †T yy) 2 — 22 (X † 6,) (x5½ † yy) † aa (aX † 8y) 2 — aa N yy) D Wofern aber die Diviſion durch X2 † yy ſich nicht vorneh⸗ men laͤßt, ſo gehoͤrt die gefundene Gleichung (wenn man 2 M fuͤr M ſetzt) nemlich ch LL(XXW † y 7) — 21 M GXTyY † a MN GX yp= za I. LE = 0 S allemal zur Ordnung 2n † 6; und man kann daher aus jeder geraden Ordnung Gleichungen fuͤr Curven ſinden, welche der Aufgabe ein Genuͤge thun. Iſt aber I. durch XXTVyy theilbar, d. h. iſt L. = (X X † yy) N, wer In N eine homogene Funktion von n Dimenſionen von 2 und y bedeutet: ſo ergiebt ſich noch eine andere allgemeine Glei⸗ chung, nemlich N N (XxX † yy) 2 — 2 M N (xx † yy) † 2 M M — aa NN & (Xxx † y y) = 0: und da dieſe zu der Ordnung 2n †4 gehoͤrt, ſo hat man fuͤr jede gerade Ordnung zwey Gleichungen fuͤr Curven, welche die angefuͤhrte Eigenſchaft haben. Aus der ſechſten Ordnung gehoͤren z. B. die Curven hie ſeher, die in folgen⸗ den zwey allgemeinen Gl eichungen enthalten ſind: (X † Exy † vyy)2 (xXXx†T yy — a a) — 22a 9X † y) (xx †Pyy) (GXXTSXVYYVyV — à x 1 )) =0% X 4 und 323 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel. =S und (x † ⸗y)2 (XKX † yy) (XX † yy — a a) = 20 („XX P SGxy † vyy) ((X . *y) (Xx'† yy) — a (XX † Eyy P vyy)) In den ungeraden Ordnungen der Linien giebt es alſo keine Curven „die dieſer Aufgabe ei ein n Genuͤge thaͤten. §. 412. Wenn nunmehr Curven geſucht werden ſollen, worin nicht bloß die Summe der Quadrate, C M= † CN2, ſon⸗ dern C M?z † CM. CN † CNz, oder uͤberhaupt CO,G= † n. CM. CN † CN⸗ eine beſtandige Groͤße iſt: ſo laͤßt ſich dieſe Aufgabe auf eine aͤhnliche Art aufloͤſen. Denn da CMz † n. CM. C N † CNZ =— Pz † — 2,0 iſt, ſo wird, wenn man P2 † (n — 2) Q = aa ſetzt, a à — PP n –— 2 und dieſe Gleichung iſt von al en Unbeauemichkeiten frey. Da alſo M z 22 P =— —; und — iſt, ſo wird M222 (n – 2) Nez L2 und folglich . aal. NS „(n — 2) 22 (n— 2);1. Nun ſt S 408] die Gleichung für di die Curve — à à und es ergiebt ſich alſo fuͤr die Bedingung, daß cM=1† n. CM. C N † CNz eine beſtandige Große = aa ſeyn ſoll, die Gl leichung: (a. — 2) Poad u ol. line! Pfed ſan All Da e Men 4 — ̃ bon den i Wufga gor n ſchen ind — — Vt alſo kin Von der Efindung der Eurven aus andern Eigenſch. 329 (n — 2) L Lz — (n — 2) L Mzz † aa L. L. . Mazz e oder, da 22 = XX 4 yy iſt, H aa LL GxXHyy) (n — 2) L2 — ( — 2) LM — M=) =0 wo L. eine Funktion von m † 2, und M eine Funktion von n † I Dimenſionen von X und y iſt. Laͤßt man N irgend eine homogene Funktion von in Di men nfionen bedeuten, und ſetzt man dabey =ðUðWÿj 1 = 4 1X yy) N ſo findet man eine andere allgemeine Gleichung, nemlich: aà (XXx - yy) N2 † (n — 2) (XX † yy) 2 NZ — (n — 2) (X † yy) M N — M2 = K. 413. Menn n = 2 geſetz wird, und alſo (C M CN= = aà ſeyn ſoll, ſo wird entweder aaLL = (XxX † V) MM;- oder M M = aa ( † y) Na. Da beyde Gleichungen homogen ſind, ſo enthaͤlt jede von ihnen zwey oder mehr Gleichungen von dieſer Form: „y = 6X; und es kann daher das Verlangte nicht anders als von zwey oder mehr durch den Punkt C gezogenen gera⸗ den Linien erfuͤllt werden. Da nun dieſes dem Sinne der Aufgabe nicht gemaͤß iſt, ſo erhellet, daß der gedachte? Fall gar nicht ſtatt finden kann; auch iſt dieſe Unmoͤglichkeit ſchon vorher § 405] beruͤhrt worden, weil CMN CN der beſtaͤndigen Groͤße a gleich ſeyn muͤßte. Wird hingegen n = – 2 geſetzt, ſo daß die Differenz M N ſelbſt einge be⸗ ſtandige Groͤße ſeyn wuͤrde, ergeben ſich dieſe zwey Gleichungen: “ a a LL = = G y G a — 2= und aa (2 † yy) N N == (2 (T † 1) N — ⸗ . — ₰ 5 * 330 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel. Der e einfachſte Fall iſt demnach der, wenn N = I, und = 2 b geſetzt wird. Es wird nemlich alsdann aaGX P yY=4 CGXT yy — bx) 2 doder, wenn man a a = Soc nimmt. (xxX 1 19⸗ — ec 1† bx) GrO= er . 1 yy cc f bz c v GE 1 2 bx) und „ — . (S0 f by — X X V. ee † 2 br). §. 414. Es 6 giebt alſo unzaͤhlige Curben, die von den durch C gezogenen geraden Linien ſo in zwey Punkten M und N ge⸗ ſchnitten werden, daß die Groͤße M N allenthalben dieſelbe bleibt. Zuvoͤrderſt faͤllt in die Augen, daß dahin der Kreis gehoͤrt, deſſen Mittel pukt in C liegt, indem dabey M N allenthalben dem Durchmeſſer gleich iſt. Man findet aber dieſen Kreis aus den allgemeinen Gleichungen, wenn man M = o ſetzt. Nach dem Kreiſe ſind hieher zu rechnen die Linien der vierten Ordnung, die durch⸗ die Glei chungen: aà (X † yy) = 4 (X † yy — bx)2 und aaxX = ( † yy) (2 7 — — 2 b) 2 ausgedruckt werden. Will man indeß dieſe Linien genauer kennen lernen, ſo muß man die angefuͤhrten Gleichungen auf andere zwiſchen 2z und dem Winkel e zuruͤckfuͤhren. Da alſo XX †T yy = 27; X = ꝛ. Co0ſ. , und y = 2. ſin. 4 iſt: ſo wird, wenn man a = 2c ſetzt, einmal ccz2 = (22 — bz. col. /2 . cot 0 & c = 2²; und zweytens . e c Vond⸗ Hiern 6l N 0, F (5= W el te ⸗ ſeben g ſonttetf Ah: ſoſ Lure, u d, d Hie Sh ſe No . Wer und 4. lnd vſchen Ree ine Dnne n durß ind Xge⸗ ſoſolch Oreis nder Ns Poben AN „ ſ indet ober e Ben der esEißiund der Curven aus gandern Eizenſch 331 c c (col ) 2 = (2. coſ. o — b) b — — cCoſ. 49 Hiernach laſen ſich dieſe Curven ſehr licht conſtruiren. . 415. Soll nemlich die Curve, welche durch die Gleicungs 2 — b. coſ. 4 — C ausgedruckt wir d, conſtruirt werden: ſo ziehe: man durch C, Fig. 83, die gerade Linie Aà CB, und nehme darauf CD = b, und von D aus auf beyden Seiten DA= DB= c; wo denn zuvoͤrderſt die Punkte A und B in der geſuchten Curve liegen. Darauf faͤlle man auf eine durch C nach Be⸗ lieben gezogene gerade Linie N C M aus D die Linie DI.— ſenkrecht, und ſchneide zu beyden Seiten LM = LN = c ab: ſo ſind auch die Punkte M und N in der geſuchten Curve, und folgl lich allemal, wie in der Aufgabe verlangt wird, MN = 2c. Hier muß bemerkt werden, daß die Curve, wenn cD = b kleiner als c iſt, in C einen n zugehöͤrigen Punkt hat, D Fig. 83. Wenn aber b = c iſt, ſo hat die Curve in C eine Spitze, und AC verſchwindet, Fig. 84. Und iſt endlich b kleiner als c, ſo faͤllt der Punkt A zwiſchen C und B, und die Curve hat in C einen Knoten oder einen doppelten Punkt, Fig. 85. Uebrigens iſt der Darchmeſſer dieſer Curven die gerade Linie ACB, und die auf ihr ſentrecht ſtehende gerade dinie ECF: = 2 c. §. 416. Außer dieſen wieder in ſich zuruͤckkehrenden Curden der vierten Ordaung, thun auch die Linien. mit unendlichen HS Schen⸗ 4 332 Zenee Buch. Siebenzehntes S Capitl. Schenkeln von eben dieſer Ordnung der Aufgabe eine Ge⸗ nuͤge, welche in der Gleichung . b col. „ enthalten ſind. Ihre Conſtruction erhaͤlt man auf folagende Art. Man ziehe durch C, Fig. 86, eine gerade Linie C A B, mache CD = b, und DA=D B = c, wo denn die Punkte A und B in der Curve liegen. Darauf lege man rurch D die gerade Linie ED F ſenkrecht auf CA B, und ziehe C nach Belieben. Setzt man nun den Winkel! DCL = o, ſo wird und macht man fortgeſetzt LM = LN = c, ſo beſtimmen die Punkte M und N die geſuchte Curve. Aus dieſer Conſtruction erhellet, daß die auf die ge⸗ dachte Art beſchriebene Curve die Conchoide der Alten iſt, in C den Pol, und die gerade Linie E F zur Aſomptote hat, der ſich vier ohne Ende fortlaufende Schenkel naͤhern. Es wird aber der Theil hyß h die aͤußere, und g Ag die innere Conchoide genan nt, und uͤberdem iſt in C ein zuge⸗ hdriger Punkt. 6 417. Dies ſind die Curden, der vierten Ordnung, welche der Aufgabe ein Genuͤge thun; es iſt aber leicht, auch die Cur⸗ ven den hoͤhern Ordnungen, die hieher gehoͤren, darzuſtellen. Denn iſt P eine ungerade Funktion des Sinus oder des Eoſinus des Winkels o,„ ſo giebt die Gleichung 2 =— bP —c eine continuirliche Curve, die von allen durch C gezogenen geraden Linien in wey PFunkten M. und N ſo geſchnitten wird CHihn letern Ciſtnite laſen N N o⸗ eraden. 1,eccn Mrellan LN= en Curt eine ſen, on, die ſchninen Geöͤſe, heſctiet logene Uung ſeyn ine d ſolannde nie Al je Puntt durch G l. R= Nanen de len ie Gortehe oien. de, N en pite e t Nut⸗ Negaſelen. 1 N ten cin 3 nin 4 wird, daß alle m —2 c i Curben iisgeamant zu dem Genti iſt. Es koͤnnen aber dieſe rechnet werden, w zu dem Geſchlechte der Conch de diſ Curve ſetzt, welch enn man anſtatt der Direct ir v die wird Nun J . E durch die Gleichung — b eir EE die wirb. aben wir ob ausgedruckt Gleichung di en 3941 ie C ddi geſehen Eurden in ſich ſchließt, die von de de e n durch G geſchnitten werde n. Da atſt ſo laſſen alſo die Groͤße lu derg ſed an jeder Curve z = bP ee d anene iſt, geg waͤrtigen Abſicht ſich ſchicken da ſellen. die Man neh 1. mnehme nemli “”M”ẽ Fig. 87, welche vone nach Gefallen eine Curve CEDLF, geraden dinien al,l allen durch den Punkt C LF, L., geſchnitten allemal nur in einem Punkte d oder n werde. D . 14 5z. B. D od rlangerten Linien CL, von Laus leic dei dieſen gera⸗ ten Curve li iege eine ſtetige Bein werden. Auf dieſe Art kann ben, die von d egung die Curve AMPCGGOB N man duech urch C gezogenen geraden iimm ſoge⸗ iten ſo ge⸗ ſchnitten wird ird, daß allenthalben M N eine bet e beſtaͤndige Groͤße, u. wird j B beſchrieb Hierbey iſt dene Cur X t anzume e zogene Kreislinie i wenn die Curve CEDg eine dab a⸗ iſt, eben dieſelbe Li 1 aus C ge⸗ nung ſeyn wi ben dieſelbe Linie der vi ge⸗ wird, die wi e der vier „ die wir zuerſt, 6414, gefunden hoben. 9. 41 So haben w ir alſo die Auf gabe aufgeloͤſet , welche Cur⸗ Fig. 81, zu C gezogenen RKrl 1 ſuchen befahl, di geraden Linien in den een Ponte durch nkten M und N ſo ge 3 ⸗ 2„ ſchnitten wuͤrden, daß allenthalben C M — CN oder 2334 Zweytes Buch. ce te ede ddder CMzZ — 20M. CN Nar eine beſtaͤndige Groͤße waͤre. Jetzt wollen wir bu tinn den Fall erwaͤgen, wenn 5 “ CM= † CM. CN 1 CN-= eine beſtaͤndige Groͤße ſeyn ſoll. Man muß dann in dem 4A12ten §Hn = I1 ſetzen, und dadurch erhaͤlt man entweder Aa LIL = (XX T yy) (IL.2 — LM †T M2²) wo L eine Funktion von m † 1, und M eine Funktion von m Dimenſionen von X und y bedeutet; oder aa (XX † yy) N N = (Xx † yy) ²* NN — (xXε½7*²) MN MM wo M eine Funktion von einer um 1 hoͤhern Dimenſion als N iſt. 5§ 420. Zuvoͤrderſt faͤllt in die Augen, daß ſich hier, wenn M = o geſetzt wird, ein Kreis ergiebt deſſen Mittelpunkt in dem Punkte C liegt; und da darin alle aus C nach der Cur ve gezogene gerade Linien gleich ſind, ſo thut derſelbe auch allen Aufgaben dieſer Art ein Genuͤge. Fuͤr den gegenwaͤr⸗ tigen Fall aber ſind die einfachſten Curven nach dem Kreiſe die, die in der Gleichung enthalten ſind, welche man aus der erſten durch die Setzung M = b, und L= = X s emnthalt. nemlich aaXX = (xX +† „, (Xx — bx † ein oder XxXI(a a — bb bz — x *) V= b b – PXxX †P XX Setzt man in der andern Gleichung N = I und M = bx, ſo bekommt man ebenfalls eine Linie der vierten Ordnung à GX † yy) = (XX † yy) 2 — bX. (X X † yy) 1 bbxx oder xx TTY bx i44a W(as Tiaabz z bben die 1 10⸗0 ſ ei Kne der NNn heig e Auf Net gen der⸗ ſeſent ſen ale und e yle, pe⸗ iffng Nonde w knen: lche Curp — — lel ine Mies A Wenn WrWN 4 Dntin hir, kon neelyust nut N Nhcc e Chnm den ii ce mnon i 21 f dN — d .n Oednmng X . =i0 die , R.ρ Von der Erfindung derCurven aus andern Eigenſch. 335 de eben ſowohl als die vorige der Aufgabe ein Genuͤge iſt: ſo muͤßte ſeyn, allein dieſe G §. 221. Nach dieſen Aufgaben wollen wir die hoͤhern Poteſet taäͤ⸗ ten der beyden Werthe von 2 aus der Gleichung 22 — Pz MzZz † Q o betrachten, wenn P = 1 , und C= 2 iſt, L eine homogene Funktion von n † 2, M eine homo⸗ gene Funktion von n † 1, und N eine homogene Funktion von n Dimenſionen von und y bedeutet, und X« = der Abſeiſſe CP, und y = der Applicate P M. iſt. Es ſey alſo die Aufgabe: Zwey Durchſchnittspunkte M. und N von der D Art zu finden, daß C M32 † C N 3 = as ſey. Da alſo we⸗ gen der Natur der Gleichung 22 — Pz † Q = o CM3 † CN3 = P3 — 3 G P 3 — 3 P Q= a 3 leichung kann nicht ſtatt fnden, da P32 und PO irrationale Groͤßen ſind. Es laͤßt alſo dieſe Auf⸗ gabe, wenn man ſie im ſtrengſten Verſtande nimmt, keine Aufloͤſung zu. Bleibt indeß die Anzahl der Durchſchnitts⸗ punkte unbeſtimmt, ſo daß auch mehr als zwey da ſeyn koͤnnen: ſo laſſen ſich unzaͤhlige unter dieſe Augabe gehoͤ⸗ P3 — rige Curden finden, wenn man Q = ſetzt, und fur P irgend eine Funktion des Sinus oder Coſinus des Winkels ACM = % annimmt. ”M §. 422. Wenn dagegen Curven geſucht werden, worin CMA † CNA = 24 iſt, ſo muß man H RMK 336 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel. PA — 4 P 2 Q1U 2QQO ae ſetzen, und dieſe Gleichung enthaͤlt, da darin keine Irra⸗ H tionalitaͤt iſt, nichts widerſprechendes. Es muß demnach Q= PP † V. (& P4 † 4 àa 4) ſeyn, und dieſe Funktion kann man, des Wurzelzeichens ungeachtet, als eine einfoͤrmige Funktion betrachten, in⸗ dem VI P4 † an”) nicht negativ genommen werden darf, weil ſonſt die Werthe von 2 imaginaͤr werden wuͤrden. Es iſt daher Nez NMMZz . M A 2 4 — —— 3 —— 4 1 L L. r —= † % a 2„ und dar⸗ die Gleichung fuͤr die Curve 1.— M † N = o, oder MZz NZ Z 227 — 1 2— = = 0 iſt, ſo wird AAzz MMzZz M AZ4 22 — r Tr t VS 11 24) = o Veingt man folglich die Irrationalitaͤt weg, ſo wird — 2 Cr = L. M. I MM)⸗ = 132 † ½ a4 2 L4 “ oder ( † yy) 2 (2 (LL — LM † MM)2 — M4) = a 4 L4. Dieſe Gleichung ſchließt alle hieher gehoͤrige Curven in ſich. §. 423. Sowohl dieſe Aufgabe als die ihr ahnlichen laſſen ſich auf eine andere leichtere Art aufloͤſen, als oben § 372. Denn da CM. C N = C iſt, ſo muß, wenn man die eine 2— NzZ 2 von dieſen Linlen = z ſetzt, die andere = = = werden, weil Q S iſt. Wenn daher CMNn † CNa = — a D ſeyn nder ſenn ll, Ne Gend Ungcrade chaffe h de Cueye ⸗ alflet, nd dieſe ſbetein we ſehn al, 71 8 wl eine n l,t d an) de 1 Sum Eulere den “ türder. D= l, veniſt ſn Ge Gben ſ un dieeine Nt C2— — Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſch. 337 ſeyn ſoll, ſo wird 2 n † — . und folglich a n Prn und dieſe Gleichung iſt rational und thut dem Verlangten ein Genuͤge, wenn n eine gerade Zahl iſt. Iſt aber n eine —— ungerade Zahl, ſo muß man, um die Irrationalitaͤt weg⸗ zuſchaffen, die Quadrate nehmen; wodurch aber die An⸗ zahl der Durchſchnittspunkte verdoppelt wird, und eine Curve entſteht, welche die Aufgabe nicht in dem Sinne aufloͤſet, als gefordert wird. Soll z. B. CMzZ † CNZ = az ſeyn, ſo wird 22 LL. J xxX T y = P NN und dieſe Gleichung ſtimmt mit der oben § 410 gefundenen a à LL. T. — 4) 2 † LL. uͤberein, weil L. — M † N = 0 iſt. Ueberhaupt alſo er⸗ haͤlt man, wenn CMN †. CNN = — an 22 XX † yy = ſeyn ſol, und n eine gerade Zahl iſt, die Gleichung: n an LIn — Ln † Nn. a n Ln I T (L — — Mn = (X VV 2 wo l. eine Funktion von m † 2, eine Funktion von m † 1, und N eine Funktion von m Dimenſionen von X und y bedeutet. 5. 42 4. Eben dieſe Aufloͤſung laͤßt ſich auch aus der Betrachtung der Summe CM † CN = b herleiten. Denn wenn man Culers Einl. in d. Anal d. Unendl. I. 1. 2 von 4 »* õ 338 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel. von den beyden Groͤßen CM. und CN die eine = z ſett, ſo wird die andere = P –— z. Soll nun CMA † CN eine beſtaͤndige Groͤße ſeyn, ſo wird = Ee — On e a n. 3 Wir haben aber geſehen, daß P = = —, und = ⸗ 7 iſ, ſo daß L — M † L = o wird; und daraus fließt . — ⸗ L)n = a* oder “ an Ln? 2 — LnnT (M — L n oder AnLn TLn r N n oder, wenn man L. wegſchafft, aàa n M — Ny 1 (M – N) à † Nn- Dieſe Gl leichungen erfuͤllen die feſtgeſetzte Bedingung, 1 wenn n eine gerade Jahl iſt, genau. Wenn aber n eine unge⸗ rade 3. ahl bedeutet, ſo giebt es zwar zwey Durchſchnitts⸗ punkte M und N von der Art, daß CMn † CNRn = an iſt; allein es ſind dann auch noch zwey andere Durch⸗ 2 n — “ 2 = ſchnittspunkte da, welchen eben dieſe Eigenſchaft zukommt, ſo daß jede durch 0 gezogene gerade Linie das Verlangte weymal thut. Nach dieſen Nuseinanderſetungen iſt es Aeicht, andere ſehr ſchwere Aufgaben aufzuloͤſen. Soll z. B. eine Curve gefunden werden, welche alle durch C gezogene gerade Kinien ſo in zwey Phuneten M 1 und N ſchneiden, daß CMn Giſt oene von n hen hoi⸗ N=A. ſietgns at MWit on dern hen linie emeine werdies Aunine, Chinus N Gr ens c ſchie eine ge Setze und p — = — 1(N —— k gog Nen. Ae Ange⸗ (NZYO dere Dur⸗ 4 o n 9 Verhange⸗ ht, enden ne Curn as guertee n n (Mr Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſch. 339 cNle Nafe CM. CNIGCMnN-2 4 Chn-z) ig. CMZ. CN (CMn-4 T CN R-4) ꝛc.. eine beſtaͤndige Groͤße = an wird: ſo ſetze man den einen Wei th CM=z, wodurch denn der andere CN = — — wird. Geb raucht man nun dieſe Werthe, ſo iſt die Glei⸗ chung, welche die Natur der geſuchten Curve ausdruckt, folgende: zn (Ln † N ) † 2LN (E=2 2 . Nn-2 2,1 8. La Nz (tA T Nn: 4) 1 aL Es iſt aber L — M † N= o, und L, M und N ſind ho⸗ mogene Funktionen von « und y von m † 2, m † I und von m Dimenſionen, ſo wie wir ſie oben ( a400] beſchrie⸗ ben haben. Hiernach iſt entweder L. = M –— N, oder N = M — L, und ſo laſſen ſich unzaͤhllge Aufloͤſungen hieraus ableiten. §. 426 . Wir gehen zur Unterſuchung ſolcher Curven fort, die von den durch den angen dommenen Punkt gezogenen gera⸗ den Linien in drey Punkten geſchninan werden. Die all⸗ genteine e Gl tichung fuͤr d dieſe Curven iſt wo 2 die Defer nung eines je eds n Pus nkts der Curbe von dem Punkte C, und P, Q und E. Zun tionen des Sinus oder Coſinus des Winkels ACM = 0 bedeuten. Es erhellet aber aus eben n den Gruͤnden, die wir oben 6 394] ge⸗ braucht haben, daß, wenn nicht mehr als drey D Durch⸗ ſchnittspunkte entſtehen ſollen, ?b und R ungerade, Qaber eine gerade Funktion von ſin. % und coſ. O& ſeyn Setzt man daher die rechtwinkle gen Coordinaten CP = und 5 M = y, ſo daß X † yy = 22 wird, und laͤßt man P 2 M K, 340 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel. K, L, M, und L homogene Funktionen von X und y von n † 3, n † 2, n t 1I und von n Dimenſionen bedeuten: ſo n wird Lz N und dann bat man fuͤr die geſuchten Curven die e algemeine Gleichung: K — L † M — N = woraus erhellet, daß C ein ſo bielfacher Punkt der Curve ſeyn wird, als n Einheiten enthaͤlt. §. 427. Zuboͤrderſt gehoͤren alſo hieher alle Linien der dritten Ordnung, man mag den Punkt C außer der Curve anneh⸗ men, wo man will. Ferner begreift dieſe Gleichung auch alle Linien der vierten Ordnung unter ſich, wenn der Punkt L in der Curve ſelbſt angenommen wird. Drittens muͤſſen dazu alle Linien der fuͤnften Ordnung gerechnet werden, die einen doppelten Punkt haben, ſo bald der Punkt C in dieſem doppelten Punkte angenommen wird. Und uͤber⸗ haupt thun alle Linien der folgenden hoͤhern Ordnungen, die, wenn n † 3 die Ordnung der Gleichung anzeigt, einen ſo vielfachen Punkt haben, als n Einheiten enthaͤlt, dieſer Bedingung ein Genuͤge. 5§. 428. Es ſeyn p, ꝗ und r. die drey Werthe, welche 2 aus der Gleichung 2³— Pza f Qz — R = o faͤr einen jeden Werth des Winkels CAM = erhaͤlt; ſ iſt wegen der Natur der Gleichungen P= D dq ir; Qp g†pr qr; und R=S pqr. Da alſo ſcon P und K durch und „ nicht rational ausge⸗ druckt Ponder druckt 1 Curven eine be Ungerd glechn fbnen hetennen ſen, Deingt/ 6, ſdett Cigencto Al ( uf ben ſehr naden ſon bndey⸗ 4 4 D Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſch. 34½ nm Druckt werden koͤnnen, ſo iſt offenbar, daß keine ſolche bdang. Curven moͤglich ſind, worin entweder p † q †r, oder Pqr eine beſtaͤndige Groͤße waͤre; und uͤberhaupt kann keine ungerade Funktion von p, 4 und r einer beſtaͤndigen Groͤße gleich geſetzt werden. Die geraden Funktionen hingegen Alurte koͤnnen ohne alle Schwierigkeit einen beſtaͤndigen Werth bekommen. Soll z. B. Nre ſeyn, ſo wird a= = D = a a, und fol glich V(I yy) = aa k. kin Bringt man dieſen Werth in die Gleichung Re annehe K — L † M — N = o awg duh ſo findet man die Gleichung, welche alle mit der gedachten rhut Eigenſchaft begabte Curven. in ſich begreift, de ien⸗ mi niſin M (xx 4 7y) — a a L † a a M — aa N = gaden oder, wenn man M wegſchafft, rckei (Xxx † yy) K — (Xxx 1 yy) L † aa K — (Xx † yy) N = 0. n he⸗ Nneern §. 429. n, ien Auf gleiche Art laſſen ſich auch andere abnliche Aufga⸗ Wr ben ſehr leicht aufloͤſen; z. B. wenn eine Curve gefunden werden ſoll, welche von den durch gezogenen geraden Linien ſo in drey Punkten geſchnitten wird, daß p² † q2 † rà = a2 nak iſ. Denn da P² † 4² † ra = P2 — 2 G e . l und 1 dbb = 7, und iit, ſo wird uge 9292 3 1 2 Nnhke . . . X 342 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel. L2Z2 2 Mzz — — – = aa K2 K oder (XX Fk yy) L2 — 2 2 (X † yy) K M = aa K K. Nun haben wir aber fuͤr die Curven, die eine dreyfache Durchſchneidung zulaſſen, die aUgeneimne Gleichung K — L † M — N = die von der Art iſt, daß die hoͤchſte Zahl der D ienenſionen von „ und y die niedrigſte um 3 uͤbertrifft. Um alſo eine ſolche Gl eichung zu bekommen, und zugleich (xXxX † yy) La — 2 (XXx † yy) K N = 2 à K K zu erhalten, multiplicire man jene Gleichung durch 2 (XX † yy) K, um M wegpringen zu koͤnnen. Dadurch erhaͤlt man folgende allgemeine dem gegenwärtigen Falle entſprechen de Gleichung: 2 (XX † yVy VY) K K — 2* P yy) K L 4 Gx1. 77) Lz2 –— a àa K K — 2 (XX † yy) K N = o. Es iſt ner nlich 2 (XX 3 yy) KK das Gl led, welches die meiſten Dimenſionen enthaͤlt, und zwar iſt die Anzahl der Dime ſionen von und ,d die darin vorkommen, = 2n 8: und dagegen hat das Glied mit den wenigſten Dimenſio⸗ nen, oder 2 X † yy K N deren r 2 n † 5, ſo wie es die Natur der Eace erfordert. . ”YUZMU Da nun weder das hoͤchſte noch das niedrigſte Glied verſchwinden kann, ſo wollen wir, um die einfachſte Lure zu finden, n = o ſetzen, und dabey ſey N= bi; K = X (xXX †. yy); und L= o. Auf dieſe Art bekommt man die Glieichung: 2(XX † yy) 3X2 –– a2XX XX † yy) 2 — 2 b x (XX † yy) 2 = die, durch 2 2 † yy) 2 dividirt t, . X uf3 n, Mvrt iine beſch a ſſ, ſomn en. C. 14 l4 4K) anmen Go ſo Kkonn welche d nenſenen ie „ 1KK [ N Hdii NN. 10* 1, = 2de Dimerſe⸗ U de N Von derErfindung der Curben aus undernEizenſch⸗ 343 X(XX 3 vyy) — Za a & — b3 = 0 und alſo eine Gl leichung vom dritten Grade giebt. Nimmt man hingegen Lnicht = o, ſondern L = 2 C» (X X yy) ſo erhaͤlt man folgende Gleichung des vierten Grades: XX(X X †. 77) — 2 cX (XX † vy) † 2 ccX⅓ +† yy) — aaXX — b 3 X — O0 . – oder XxX (XX † yy) T† (2c — X) 2 (XX †f yy) = aAaxXX † 2 bzx. Auf aͤhnliche Art laſſen ſich aus den hoͤhern Ordnungen eine Menge anderer Curven undene die der Aufgabe ein Genuͤge thun. §. 4z. Auf aͤhnliche Art kann man auch die Curven kennen lers. Da † qa † r eine beſtaͤndige Groͤße iſt. Da nemlich Pà † q* † r * = d4 — 4 7 G † 2 α 1. 45R iſt, ſo muß man P4 — 4 P2 C † 2 0G0 4 E: — e6 ſetzen. Es wird alſo 24 (L4 — 4kK LM. † 2 K ²2 M2 † 4K⸗ LN) = = caK und folglich 4;K2 LNzA = c4 RA — 24 (LA — 4 K L2 M F 2 K2 M2) Setzt man nun den hieraus fůr N entſtehenden Werth in die Gleichung K — L † M – N= o ſo bekommt man eine allgemeine Gleichung fuͤr die Curven, woelche der angefuͤhrten Bedingung ein Genuͤge thun, M 4 r . 2 32. 344 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel. 22L2L. 432. es kann aber außer der Bedingung, daß P4 † q4 † r4 = C4 ſeyn ſoll, auch zugleich die erfuͤllt werden, daß P2²* † q* † P2 e a * ſey. Wegen dieſer muß nemlich 22 L2 — 222KM= aa K K und folglich 4 222 K M = 22 L2 — a a K K ſeyn. Da nun ferner 4 K2 LNz4= =eikX —Tazas t4LaM:4 — 2 K NMaz4 iſt, ſo wird 4 Ka LMNza= EeakA fL a:4 — 2 aa Ka La2 — 2 K Ma4a und AK2 aL. Mz4 = 2 k Lsza — zaa KsLzz. H Bringt man dieſe Werthe ſtatt M und N in die Gleichung K — IL. T M — N = 0 oder 4 4KzLzA — 4 K2 L2z4 † 4 K 2 LMz4 — 4 K2 LNz4 = o ſo erhaͤlt man folgende Gleichung fuͤr die Curven: , 4K 3LzA — 4 K 2 L2242 2 KL324 —–— 2 a 2 K3 Lzz — CAK4 — L44 † 2 a2 K2 Lazz † 2 K2 Mzz4 = Allein wegen . K Mzz = 1Lazz — Haa kk “ iſt 2 R2 Mza = = 1LAz4 — a a K2 Lz22z2 1 a 4KA4 und ſo ergiebt ſich fuͤr die geſuchten Curven dieſe allgemeine Gleichung: . 1õäü — LA2 4 1 2 a2KaLaa⸗ †T a 4 K4= §. 433. Vond dal weria d fnd Muylte ſt, wen by De⸗ 222— ebt ein ein bien ere rie 1Sſen 8br 144 leichong W nben: Un-c4 424 . – Von der Erſndne der Curven aus udemEihnſh. 345 433. Da K eine homogene!? Funktion von X und y ſeyn muß, worin die ZJahl der Dimenſionen um 1 groͤßer iſt als in L.; ſo ſindet man die einfachſte Curve mit drey Durchſchnitts⸗ punkten, wobey pe † q2 † ra = 13 und pA † q4 † ra = ca iſt, wenn man K = 22, und L=bx ſetzt. Es iſt demnach 8 b 26 — 8 bb xX 2z4 f b3x 322 — a2 bxz 4 — 2C424 4 4 — bAx4 †2az? bzx222 † a 424 = 0 Da 22 = X yy iſt, ſo iſt dieſe G Gleichung rational, und giebt eine Linie der ſiebenten Ordnung, worin der Punkt C ein vierfacher Punkt iſt. Man findet aber noch eine an⸗ dere Linie der ſiebenten Ordnung, wenn man „K= *, und L= b ſetzt. Es wird nemlich dadurch 8 bx 324 — 8b bz x 34 † 4 b X24 — 4 aabx e er⸗ — b42 4 † 2 aabbXXZZ † a 4X4 = 0 oder 4 àa a bx 32 2 — 2 aa bbXxZZz † 2cA4XA — a424 8 bX 3 — 8bbXxX † 4 b3xX — b4 und hieraus wird 2aa bx 3 – aabbzzX p X— b) GXX — 2 bx † bby,- XX V 2 bx — bb)(20c4 bb — 2 b † 4XX) — 2a4 (bb — 2 bx † 2XX)) b (2 X — b) (4 XX — 2 b † bb. §. 434. Nun koͤnnten wir fortgehen zu Curven, die von den durch den Punkt c gezogenen geraden Linien in vier 5 Punkten . ntes 6 Capitil. t. 8 Buch. Siebenzehnte 346 Zwente igen be⸗ d darunter diejeni tten wuͤrden, n aͤtten. Punkten eſe gewiſſe gegebene Gabaen t ſnd, ilein bad der Weg, den wir farm ſch daben n nicht Allein, ſo t wird: ſo kann ſi ugen geſtell ird die hier die gei n Nen egtu finden: und man w die gerin Muͤhe aufl loͤſen, Aufgaben entweder mit leichter Muͤh denkbaren laſſen. keine Auft oͤſung zul tdecken, daß ſie oder ſogleich en dern gehe zu nicht laͤnger, ſon daher hierbey Ich verweile a Linien fort. ber die krummen nterſuchung einer andern n dee Er Herder opeine enthelten, “W Der gien enche wic d wenn e N ruckt derliten ſner hen derevon de 6bſolute d winden Rockhrnen zahl don Funktio daß ſo — Ve n der Aehnlichkeit und Verwandſchaft der Curven. 4. 435. Eine jede Gl eichung, durch welche eine Curve ausgedruckt werden ſoll, muß außer den rechtwinkligen Coordinaten xX und y eine oder mehre beſtaͤndige Groͤßen, z. B. a, b, c, c. enthalten, die beſtaͤndige Linien bezeichnen, und mit den veraͤnderlichen Groͤßen «und y zuſammen genommen allent⸗ halben eine und dieſelbe Anzahl von Dimenſionen ausma⸗ chen. Denn wenn irgend ein Glied ein Produkt aus n Li⸗ nien enthaͤlt, ſo muͤſſen auch in jedem andern Gliede eben ſo viel Linien in einander multiplicirt worden ſeyn, weil, wenn dies nicht waͤre, heterogene Groͤßen mit einander verglichen werden muͤßten, welches nicht moͤglich iſt. Es muͤſſen alſo in jeder Gleichung, wodurch eine Curve aus⸗ gedruckt werden ſoll, die beſtaͤndigen Li inien mit den veraͤn⸗ derlichen allenthalben eine und dieſelbe Anzahl von Dimen⸗ ſionen hervorbringen; es waͤre denn, daß eine oder d ie an⸗ dere von den beſtaͤndigen durch die Einheit oder eine andere abſolute Zahl ausgedruekt worden waͤre. Dies vorausgeſetzt, ſo wuͤrden, wenn in einer Gleichung keine beſtaͤndige Linien vorkaͤmen, x und „ allein allenthalben dieſelbe An⸗ zahl von Dimenſionen geben, und folglich eine homogene Funktion ausmachen. Wir haben aber ſchon oben geſehen, daß ſolche Gl heichun gen keine Curven ausdrucken, ſondeen Glei⸗ 348 Zweytes Buch. Achtzehntes Capitel. Gleichungen fuͤr mehrere gerade Linien ſind, die ſich⸗ einan⸗ der i in einem und demſelben Punkte ſchneiden. §. 436. Wir wollen alſo eine Gleichung betrachten, worin auß ſer den beyden veraͤnderlichen Groͤßen x und y nicht mehr als die einzige beſtaͤndige Linie a vorkommt, ſo daß darin die drey Linien a, X, und y allenthalben dieſeibe Anzahl von Dimenſionen haben. Eine ſolche Gleichung giebt, je nachdem der beſtaͤndigen Linie a dieſer oder jener Werth beygelegt wird, unzaͤhlige Curven, die ſich von einander bloß durch die Groͤße unterſcheiden, und uͤbrigens durch⸗ aus einander aͤhn lich ſind. Alle Curven, die auf dieſe Art in einer und derſelben Gleichung enthalten ſind, muͤſſen nothwendig zu einem Geſchlecht gerechnet, und als aͤhn⸗ liche Curven betrachtet werden; und es findet ſich bey ihnen kein anderer Unterſchied, als der, den man bey Kreiſen von verſchiedenen Halbmeſſern wahrnimmt. 8. 437. um dieſen Begriff von der Aehnlichkeit der Curven an einem Beyſpiele zu erlaͤutern, wollen wir eine einzelne Glei⸗ chung betrachten, welche außer den veraͤnderlichen Groͤßen X und „ nur eine beſtaͤndige Linie a enthaͤlt, die Parameter heißen mag; folgende nemlich: y3 — 253 † ayy — aaxX † 2aay = o. Es ſey AC, Fig. 88, der Werh des Parameters a, und bey ACS=a die Linie A M B die Curve, welche in der Glei⸗ chung enthalten iſt, wenn man die gerade Linie AB zur Axe 1 nimmt, und die Coordinaten Aà = xX, und PM = y ſetzt. Nun gebe man dem Parameter a irgend einen andern Werth a ac = = a, Fig. 89, und dabey ſey am b die Curve, wel⸗ Vond welce druckt Curven ticd, Eh def hohen hülmiſe de M u es djen ſger po. QAmnf Curden in man ſbe Egenſche eß w Wmohl „Mer gu Vrh 1 einand s Nut.. dieſe N . Wiſen R as r Sen ihen teiſen 1 Re Lurben an ee⸗ te Grife 4peuman 20 1de G⸗ Y e N⸗ 1= ten N de un vel⸗ — = S ſo wird, wenn man ap = 7 A P = nimmt, 184, d Vond. Aehn lichkeit u. der Verwandſchaftd. Curben. 349 welche nunmehr durch die angefuͤhrte Gleichung ausge⸗ druckt wird. Unter dieſen Borank ntich ſind die beyden Cutven A M B und am b einander aͤhnlich. Denn bleibt AC= a; AP = x; S und ſetzt man a C — 2 AC = — p m XN Setzt man nemlich in der gegebenen Gleichung —, , und fuͤr a, X, und y, und multipticirt darauf alle Glieder durch n3: ſo hringt man eben dieſelbe Gleichung wieder hervor. 5§. 433. Es haben alſo die aͤhnlichen Curven dieſe Eigenſchaft, daß dabey, wenn man die Abſeiſſen AP, ap in dem Ver⸗ haͤltniſſe der Parameter AC und ac nimmt, die Applicaten PM und pm in eben demſelben Verhaͤl tniſſe ſtehen; und dies dient zugleich, um die Natur der Aehnlichkeit deut⸗ licher vor Augen zu legen. Nimmt man e Remllch AP: a p = A C: ſo wird auch PM: pm = AC: ac. Da nun hieraus AP : P M = ap: p m iſt; ſo ſind dieſe Curven in eben dem Sinne einander aͤhnlich, in welchem man uͤberhaupt geometriſchen Figuren Aehnlichkeit ben⸗ legt, und haben, die Groͤße ausgenommen, alle uͤbrige Eigenſchaften mit einander gemein⸗ Denn macht man AP und 9 Zwentes But. Achtuchnte⸗ Caritel. “ und a p homolog, oder den P Parametern AC und a c propor⸗ tional: ſo ſtehen nicht nur auch ? M und p m in dem Ver⸗ haͤltniſſe der Parameter, ſondern auch alle andere auf aͤhnt iche Art gezogene Linien: ja es iſt ſelbſt der Bogen AM: am = A C: a c. Ferner iſt das Verhaͤltniß der Raͤume APM und apm zwiefach ſo hoch als das Berhaͤl⸗ le⸗ niß der Parameter, oder APM: apm = ACz: aca und wenn man zwey homol oge Punkte und o nimmt, 40 : a0 AC iſt; und aus denſelben unter gleichen Winkeln AOM, 20m nach den Curven die geraden Linien OM und 0Om zieht: ſo iſt auch òMW; — N 0 m = AC: ͤꝛa c. “ Endlich ſind auch wegen der Aehnl lichkeit die Tangenten für die homologen Punkte M und m gegen die Axe unter einer⸗ ley Winkel geneigt, und ſ elbſt die Kruͤmm un gshalbmeſſer haben zu einander das Verhaoͤ ltniß der Parameter AC und a c. =ð . 7 5. 439. Hieraus erhellet, daß alle Kreiſe ahnliche Fiauren ſind, da ſie insgeſammt durch die Gleichung yy = 2 2 ½ — XX ausgedruckt werden: und auf gleiche Art ſind auch alle in der Gleichung yy =a c enthaltene Curven, oder alle Pa⸗ rabeln aͤhnliche Figuren. Beſtimmt man nun aus ſolchen Gleichungen, als wir jetzt fur aͤhnliche Curven gehabt ha⸗ bern, und worin die Coordinaten X und y mit dem Para⸗ meter a allenthalben einerley Anzahl von Dimenſionen her⸗ vorbringen, den Werth von y: ſo findet man dafuͤr eine homogene Funktion von a und X von einer Dimenſion. Umgekehrt muß alſo auch die Gleichung: „ 4 Vond wenn enthol 4 ld lice lit e hon 11d ders 1d N ſch euf ſchrejbe Hannhye Curbe he die Curo Ne An die Im, ſ, ſ. g ſchen en ban kann M. D ben wil lih heſt Nof, de thenfel ſn ſch Finen 215-I 1uch al alt D er A Uehr 6 4 X und y. Von d Aehnihkeku de Verwand Haftb Curven. 3 1. wenn P eine e homogene Funktion don a und x von einer Dim ten ſion bedeutet, unzaͤ aͤhlige einander aͤhnliche Curven enthalten, welche man findet, wenn man dem Parameter à nach und nach verſchiedene Werthe beylegt. Auf aͤhn⸗ liche Art wird auch die Ab ſeiſſe xX qus ſolchen Gleichungen eine homogene Funktion von a und y von einer Dimenſion, und der Parameter eine ſ Hunktion d von einer Dimenſt ion von 5 440. Iſt aber irgend eine Eurde A MB gegeben, ſ laſſen ſich auf ſehr leichte Art unzaͤhlige andere ihr aͤhnliche be⸗ ſchreiben. Man nehme irgend ein Verhaͤltniß, welches die homologen Seiten der gegebenen und der zu beſchreibenden Curve haben ſollen, und ſetze daſſelbe = 1: n. Wird nun die Curve A MB durch die Coordinaten X und y auf die Axe A B bezogen, ſo ſchnei de man auf der aͤhnit chen Axe a b die Abſeiſſe a p ſo ab, daß A b ap = r : n werde, und⸗ errichte dann aus B die ſenkrechte gbolicate pm, ſo, daß auch PM: pm = I : n ſey. Iſt dies eſhehen ſo liegt der Punkt m m in der ahn⸗ lichen Curve amb, ſo, daß M und m homolog ſind. Oder man kann auch von irgend einem feſten Punkte 0 ausge⸗ hen. Denn nimmt man in der Curve, die man beſchrei⸗ ben will, einen aͤhnlichen feſten Punkt o an, und macht da⸗ bey beſtaͤndig den inttl a O m = AOU M, und om ſo groß, daß O M: o m = I : n iſt: ſo liegt der Punkt m ebenfalls in der zhnlichen Curve am b. Auf dieſe Art laſ⸗ ſen ſich alſo, nachdem man das Verhaltniß 1: n nach Be⸗ lieben Zweytes Buch. Achtzehntes Canitel. lieben angenommen hat, zhnliche Eurven beſchreiben; man hat aber zu dieſem Zwecke mechaniſche Inſtrumente erfunden, wo durch man, wenn Figuren gegeben ſind, an⸗ dere dieſen aͤhnliche von jeder Groͤße auf eine bequemere Weiſe darſtellen kann. 5§. 441. chung zwiſchen den, Coordinaten A P = x, und P M = y ausgedruckt wird ſo laͤßt ſich daraus ſehr eicht die Glei⸗ chung fuͤr die aͤhnli iche Curve am finden. Denn ſetzt man die homologe Abſeiſſe a p = X, und die Applicate Pm = X, ſo⸗ iſt aus der Conſtruction H :X = I: n; und y: — 1I : n und folglich , XxX = ; und y = Bringt man nun dieſe Werthe in die Gleichung zwiſchen * und y, ſo erhaͤlt man dadurch die zwiſchen X und Y, wodurch die aͤhnliche Curbve ausgedruckt wird. Wenn alſo in dieſer neuen Gleichung bloß die Coordinaten X und nebſt dem Buchſtaben n betrachtet werden, um die Dimen⸗ ſionen zu zaͤhlen, ſo iſt die Anzahl der Dimenſionen allent⸗ halben = o; oder multiplicirt man die Gleichung „ um die Bruͤche wegzuſchaffen, durch irgend eine Poteſtaͤt von n, ſo entſteht eine andere, worin die drey Bucht ſtaben X, V und n allenthalben dieſelbe Anzahl von Dimenſionen ha⸗ ben. Wir haben aber oben [im Anfange dieſes Capitels] geſehen, daß in einer jeden Gleichung fuͤr aͤhnliche Curven die beyden Coordinaten mit / der beſtaͤndigen Groͤße, durch deren Veraͤnderung aͤhnliche Curven entſtehen, allenthal⸗ ben dieſelbe Anzahl von Dimenſionen ausmachen; und es iſt Wenn oiſo die Natur einer Curve A M. durch eine Glei⸗ Pond. dies ſiche En A chen Ct nin t lichten, er Aum Voter ſch. hrlich, Hey den h geich verde Crde AN Rn 4), ſo, ſch. Dar werde. deſen Ben hlie en wabdt ſnd. Ew irgend i naten A iuf die ulere hſtrunent ſind, n heguener e⸗ undAs ſcht Ele⸗ nn D in keom =l, ng fiſten n X R, Venn ol a Nd adeDun ſonen thnk umy, eſinmm itſuden,, anen ſnd ſite Cun ,olut Von d. Aehnlichkeit u. der Verwandſchaft d. Curven. 35 3 iſt dies alſo ein Kennzeichen der Gleichungen, welche aͤhn⸗ liche Curven ausdrucken. „§. 442. Da die homologen Abſciſſen und Applicaten bey aͤhnli⸗ chen Curven in gleichem Verhaͤltniſſe wachſen und abneh⸗ men, ſo koͤnnen die krummen Linien, bey welchen ſich die Abſeiſſe n und Applicaten nach verſchiedenen Vethaͤltniſſ en richten, nicht einander aͤhnlich genannt werden. Da in⸗ deſſen zwiſchen dieſen Curven doch noch immer eine ge⸗ wiſſe Verbindung ſtatt findet, ſo wollen wir ſie verwandte Curven nennen; und es begreift daher die Verwandſchaft der krummen Linien die Aehnlichkeit derſelben als eine Art unter ſich. Es werden nemlich verwandte Curven einander aͤhnlich, wenn die beyden Verh aͤltniſſe, davon das eine bey den Abſeiſſen, das andere bey den Applieaten ſtatt fand, gleich werden. Es laſſen ſich daher aus jeder gegebenen Curve AMB, Fig. 88, unzaͤhlige verwandte Curven a m b, Fig. 89, auf folgende Art nden. Man nehme die Abſciſſe a P, ſo, daß AbP: a p I : m ſey. Dann errichte man die Anplicate bm, ſo daß P M :ͤ: pm = I : n werde. Veraͤndert man nun das eine oder das andere von dieſen Verhaͤltniſſen, oder beyde, ſo ſindet man dadurch un⸗ zaͤhlige Curven, die insgeſammt der Curve A MB ver⸗ wandt ſind. 9. 443. Es werde die Natur der gegebenen Curve A MB durch irgend eine Gleichung zwiſchen den rechtwinkligen Coordi⸗ naten AP = x, und ? M= y ausgedruckt, und in der auf die gedachte Art beſchriebenen verwandten Curve Kulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. B. 3 am b — 354 Zweytes Buch. Achtzehntes Capitel. 2 7 3 D . amb die Abſceiſſe Ap= = X, und die Applicate pm = = X ge⸗ ſetzt: ſon wird, weil = . X= 1: m; und y: X = I : n iſt— — X; und »= 7. In 11 Bringt man daher dieſe Werthe in die zwiſchen X und y gegebene Gleichung, ſo erhaͤlt man eine andere zwiſchen X und X fuͤr die verwandten Curven. Um die Ratur dieſer Gleichung genauer kennen zu lernen, wollen wir anneh⸗ men, die fuͤr die Curve A MBJ gegebene Gleichung ſey ſo beſchaffen, daß die Applicate y irgend einer Funktion von X, die wir = p ſetzen wollen, gleich, urd alſo y = P. Wenn man alſo in P anſtatt æ den Bruch ſetzt, ſo wird P eine Funktion von X und m von keiner Dimenſion; und es muß daher die allgemeine En ichung fuͤr die verwandten Curven ſo beſchaffen ſeyn, daß — eine Funktion von kei⸗ ner Dimenſion von X und m, oder welches einerley iſt, daß eine Funktion von keiner Dimenſion von Vund n einer Funktion von keiner Dimenſion von X und m gleich iſt. 2 §H. 444. Dieſer Unterſchied zwiſchen aͤhnlichen und verwandten Curven iſt vorzuͤglich deswegen zu merken, weil die Cur⸗ ven, die in Ruͤckſicht auf eine Axe oder einen feſten Punkt einander aͤhnlich ſind, auch in Anſehung aller uͤbrigen Adpen oder homologen Punkte aͤhnlich (leiben; dahingegen die Curben, welche blotz zu den einander verwandten ge⸗ horen, ſolches nur in Anſ ſehung derer Axen ſind, worauf ſie bezogen werden, und daß man dabey nicht nach Willkuͤhr an⸗ ond.⸗ andere Dnus di enarten, Oedoung, die derwa Gechlecht tolen wi 4eirige 6 rg Cusgedrn ereus ſnd, der aher die Hiedee xIN iſcen Noh deſer Nn wneh⸗ hurg on Intton ten “ ſoy= Nenſon, terronden . . nidn die C en mn a theggen vontten ind, nut 9in lt⸗ Von d. Aehnlichkeit u. der Verwandſchaft d. Curven. 355 andere Axen oder homologe Punkte annehmen darf, um darauf die Verwandſchaft zu beziehen. Uebrigens iſt zu bemerken, daß, ſo wie alle aͤhnliche Curven zu einerley Ordnung, ja ſelbſt zu einem Geſchlechte gehoͤren, ſo auch die verwandten Curven ſtets unter einem und demſelben Geſchlechte begriffen ſind. Um dies deutlicher zu machen, wollen wir die beſchriebne Aehnlichkeit und Verwandſchaft an einigen von den bekannteſten Curden erlaͤutern, 5. 445. Es ſey alſo die gegebene ECurve ein Kreis, der auf den Durchmeſſer bezogen, und durch die Gleichung yy = 2 cX — XK XK ausgedruckt werde. Man ſetze X 7 X = —; und y = — 11 D ſo enthaͤlt die dadurch entſtehende Gleichung zwiſchen X und X alle aͤhnliche Lurven. Man findet aber durch die angefuͤhrten Subſtitutionen - X2 2 cx&X½ XX woraus erhellet, daß alle 5 hn⸗ iche Figuren ebenfalls Kreiſe ſind, deren Durchmeſſer durch 2nc ausgedruckt wird. Um aber die dem Kreiſe verwandten Curven zu finden, ſetze man — — nd — — 1 — m und y n Hiedurch erhaͤlt man die Gl eichung 12 2 C X X X 32 oder 356 Zweytes Buch. Achtzehntes Capitel. oder maY2 = 2mnzcX — nnXX. Da dieſes eine allgemeine Gleichung fuͤr die Ellipſen iſt, die auf die eine von den Hauptaxen bezogen werden, ſo erhellet, daß alle Ellioſen dem Kreiſe verwandte Curven ſind; auch werden daher alle Ellipſen unter einander ver⸗ wandt. Auf eine aͤhnliche Art findet man, daß au ch die Hyperbeln als einander verwandte Curven angeſehen wer⸗ den muͤſſen. Wenn hingegen bey den Ellipſen und Hyper⸗ beln beyde Hauptaxen einerley Verhaͤltniß zu einander haben, ſo ſind ſie aͤhnliche Curven. Was die durch die Gleichung yy = cx ausgedruckte Parabel betrifft, ſo iſt klar, daß alle ihr aͤhnliche Curven ebenfalls Parabeln ſeyn werden, ſo wie auch, daß alle Pa⸗ rabeln einander aͤhnliche Curven ſind. Betrachtet man aber die verwandten Parabeln, indem man XY. und X — — X — — 7 “ ſetzt: ſ erhaͤlt man dadurch die Gleichung: V2 = nec X; m und da dies ebenfalls eine Gleichung fuͤr eine Parabel iſt, ſo erhellet, daß alle verwandte Parabeln auch einander aͤhnlich ſind, ſo daß in dieſem Falle die Aehnlichkeit eben ſo weit ſich erſtreckt als die Verwandſchaft. Eben dieſes findet bey allen Curven ſtatt, deren Natur durch eine Glei⸗ chhung ausgedruckt wird, welche nur aus zwey Gliedern be⸗ ſteht; dergleichen ſind: y3 = CcCX; y3 = CXX; yx = C 3; ꝛc. Dey dergleichen Curven, ſie moͤgen paraboliſch oder hyper⸗ bo Vond boliſch Uund L ſich el wie n nelkt N W ſode bey: (Cyrbe; Gohen Und nock Mer⸗ ſge kumn dige Brie lch, i ſehn ver dere beſeͤ hntſoringe Werthe nch, ve eyommen inber her ditebete R Weeh Nſer v eine deſ groͤſer d veraͤnden D tden, „ ucden nder w⸗ auch die on wer⸗ d de⸗ 1 Ehende⸗ ecake ſe Curen Fele o⸗ Uin ade . merkt haben. Von d. Aehnlichkeit u. der Verwandſchaft d Curven. 35 7 boliſch ſeyn, findet kein Unterſchied zwiſchen Aehnlichkeit und Verwandſchaft ſtatt; allein dieſe Beſchaffenheit findet ſich auch nur bey dieſen Curven und bey keinen andern, wie wir ſolches bereits beym Kreiſe und der Ellipſe be⸗ H S 9. 447. Legt man, wenn in einer gegebenen Gleichung zwiſchen * und y mehrere beſtaͤndige Groͤßen a, b, c ꝛc. befindlich ſind, allen dieſen beſtaͤndigen Groͤßen beſtimmte Werthe bey: ſo erhaͤlt man daraus nicht mehr als eine einzige Curve; nimmt man aber eine der gedachten beſtaͤndigen Groͤßen, z. B. a, veraͤnderlich an, und legt derſelben nach und nach verſchiedene beſtimmte Werthe bey, ſo findet man, da jeder Werth eine beſondere Curve giebt, daraus unzaͤh⸗ lige krumme Linien, die, wenn außer a keine andere beſtaͤn⸗ dige Linien in der Gleichung ſind, zugleich einander aͤhn⸗ lich, im entgegenſtehenden Falle aber einander unaͤhnlich ſeyn werden. Wenn hingegen außer a auch noch eine an⸗ dere beſtaͤndige Groͤße b veraͤnderlich genommen wird, ſo entſpringen wegen der Veraͤnderlichkeit von b aus jedem Werthe von a unzaͤhlige Curven; und man bekommt dem ⸗— nach, wenn zwey beſtaͤndige Groͤßen a und b veraͤnderlich genommen werden, unendlich mal unendlich viel von ein⸗ ander verſchiedene Curven. Wenn außerdem noch eine dritte beſtaͤndige Groͤße veraͤnderlich gemacht wird, ſo wird die Anzahl der dann moͤglichen Curven noch unendlichmal groͤßer, und uͤberhaupt alſo die Anzahl dieſer Curven durch eine deſto hoͤhere Poteſtaͤt des Unendlichen ausgedruckt, je groͤßer die Menge der beſtaͤndigen Groͤßen iſt, die man zu veraͤnderlichen macht. 8 3 . 4489. . Zrenee Vuch. Aghhme Capitel. M And. Dieſe unendlich vielen Curden, die ſich aus einer Glei⸗ “ chung ergeben, wenn man darin nur eine beſtaͤnd ge Linie fude⸗ veraͤnderlich annimmt, wollen wir jetzt etwas genauer be⸗ eenr trachten. Man findet aber aus einer ſolchen Gleichung, aftit wenn man dieſelbe Axe und ſo auch den Anfangspunkt der “ Abſciſſen beybehaͤlt, nicht nur die gedachten unzaͤ hligen . ukg Curven, ſondern man lernt daraus auch die Lage derſelben abene kennen, ſo, daß durch ſie ein gewiſſer Raum ausgefuͤllet wird, aet in welchem kein Punkt angegeben werden kann, durch wel⸗ nce chhhen nicht eine von jenen unzaͤhligen Curven gehe. denr nachdem aber jene Gleichung beſchaffen iſt, je nachdem wer laͤen Den die erwahnten unzaͤhligen Curven auch einander ent⸗ “ weder aͤhnlich oder unaͤhnlich ſeyn, wie aus dem Vorher⸗ gehenden bekannt iſt; ja es kann ſich ereignen, daß alle 6eenn dieſe Curven zicht bloß einander aͤhnlich, ſondern ſelbſt rne e gleich, und bl oß in A Anſehung ihrer Lage von einander ver⸗ ſchieden ſind. So giebt die Gleichung: y = àa † W (2cX – XXx) adr wenn man a veraͤnderlich annimmt, unzaͤhige gleiche Kreiſe, ſih e deren Halbmeſſer = c iſt, und deren Mittelpunkte in einer geraden auf der Axe ſenerechten d Linie liegen. n W . die nach 6. 44 . er ſc Unmgelehrt kann man auch, wenn eine und dieſelbe athr Curve in einer Ebene in unendlich vielen Lagen nach einem miohee beſtimmten Geſetze beſchrieben wird, die Gleichung finden, wodurch, wenn man darin nur eine beſtaͤndige Groͤße ver⸗ aͤn derlich annimmt, alle dieſe unzaͤhlige einander gleiche ! 2= Curven ausgedruckt werden. Es ſey dieſe in unendlich vielen irgend e Bogen dargeſtellte Curve ein Kreis mit dem Halbmeſſer = c, bewegt und mit unendlich vielen Lagen von der Beſchaffenheit, daß die Abſeiſten n Ge⸗ ne gen 8* en linid aden ver⸗ Cade e⸗ Vrthe⸗ n, uſ Oenn under bet⸗ a „ – Vond. Achnlichkeie. derVerwandſchaftd. Curven. 359 Scheitelpunkte A, a, in einer gegebenen Curve Aal., Fig. 90, welche man die Directrix nennt, liegen, die Durchmeſſer ab aber der Are A B parallel bleiben. Um die Gleichung fuͤr dieſe unzaͤhligen Kreiſe zu finden, nehme man in der Di⸗ rectrix irgend einen Punkt a an, und fale aus demſelben auf die Hauptaxe die ſenkrechte Linie aK. Man ſetze AK = a; und da die Directrix gegeben iſt, ſo iſt auch Ka durch a gegeben. Es ſey alſo K a = A, wo denn A eine gegebene Funktion von a ſeyn wird. Dann ziehe man aus a, der Hauptaxe parallel, die Linie a b, welche der Durch⸗ meſſer des Kreiſes ſeyn wird, der den Scheitelpunkt in dem Punkte der Directrix a hat; und ferner aus einem be⸗ H liebigen Punkte m die Applicate m P =ly zu der Abſeiſſe AP= x. Iſt dieſes geſchehen, ſo hat man àa p = X — a; und pm = y — A V Setzt man nun ap = t; und pm = u; ſo iſt wegen! der Natur des Kreiſes uu = 2c0t — 1t und da t = X — a, und u = y — A iſt, ſo ergieht ſich daher (y –— A) 2 = 2 c (2 – a) — (xX — )²% und dieſes iſt die allgemeine Gleichung, welche alle Kreiſe, die nach der Direetrix Aa L auf die beſchriebene Art liegen, unter ſich begreift. Man findet nemlich alle dieſe Kreiſe aus der erhaltenen Gleichung, wenn man die Linie a, wo⸗ von zugleich à abhaͤngig iſt, veraͤnderlich nimmt. F. 450. Auf aͤhnliche Art kennt man, wenn anſtatt des Kreiſes irgend eine andere Curve amb ſo nach der Directrix Aal. bewegt wird, daß ihr Scheitel oder der Anfangspunkt der Abſciffen a in der Directrix liegt, und die Axe a b ſich ſtets 3 4 paral⸗ õ 360. Zweytes Buch. Achtzehntes Capitel. parallel bleibt, dieſe in unendlich vielen Lagen beſchriebene Curve, und kann auch die Gleichung finden, wodurch die Natur dieſer Curven auf einmal ausgedruckt wird. Es ſey die Natur dieſer ſo fortbewegten Curve durch eine Glei⸗ chung zwiſchen den Coordinaten a bp = t, und pm = u ge⸗ geben, und die Hauptaxe, worauf alle Curven zuſammen⸗ genommen bezogen werden, A B, ſey der Axe ab parallel, und zugleich die Axe der Directrir Aa L. Setzt man nun, wie vorhin AK= a, und Ka = A, ſo daß A eine Funk⸗ tion von a iſt, und macht man die Abſeiſſe A P = x, und die Applicate P M = y: ſo wird t = X –— a, und u = y —– A. Bringt man ferner dieſe Werthe von tund u an⸗ ſtatt dieſer Groͤßen in die gegebene Gleichung, ſo bekommt man dadurch eine allgemeine Formel, welche alle Curven am b zuſammen unter ſich begreift. Denn was man auch dem Buchſtaben a fuͤr einen Werth geben mag, ſo findet man allemal eine Curve am b aus der unzaͤhligen Menge derer, die auf die im Anfange gedachte Art ſich ergeben. Iſt z. B. die Curve am b eine durch die Gleichung uu = ct ausgedruckte Parabel, ſo ſind alle der M. kenge nach unzaͤh⸗ lige, uͤhrigens unter einander gleiche Parabeln, deren Scheitelpunkte in der Direcrrix Aal. liegen, und deren Axen der geraden Linie AB parallel ſind, in der Gleichung: 7 — A)2 = C ( — a) enthalien. §. 451. So wie wir hier angenommen haben, daß ſ. ch der Scheitel der Curve A in der gegebenen Directrix auf die Art fortbewege, daß die Axe derſelben ſich ſtets parallel bleibt: ſo kann auch bey dieſer Bewegung des Scheitels durch eine gegebene Curve die Lage der Axe nach Gefallen veraͤndert werden; und dann erhaͤlt man eine viel allge⸗ mei⸗ Uinde meinere benen dorgefe wolen Crne4 Hertpe, Pultedet Uigeden firer AM , dGnd konmt Ge⸗ der genommern Lend ene Geraded den iſ, ln=p die Re rechte ! dies he ſir el lce nan e dje n = I, ſammer 4 1D Narabe Pt Nonhun tNdu bekommt WCew dad man al S ,, ſ 6 i ſger Aur ce tie guct enz nih beln, deren Von d. Aehnlichkeit u. der Verwandſchaft d. Curven. 361 meinere Gleichung fuͤr eben dieſe Curve, die in einer gege⸗ benen Ebene nach einem beſtimmten Geſetze unendlich oft dargeſtellt werden kann. Um dies deutlicher zu machen, wollen wir zuvoͤrderſt annehmen, daß ſich der Scheitel der Curve A durch den Bogen Aa, Fig. 91, auf die Art fort⸗ bewege, daß die Lage der Axe a b immer nach dem Mittel⸗ punkte des Kreiſes O hingerichtet ſey. Durch dieſe radfoͤr⸗ mige Bewegung der Curve A M B mit der Axe BAO um den Punkt 0 erhaͤlt man alle jene unzaͤhlige Lagen der Curve A M B, die insgeſammt durch eine Gleichung, worin eine beſtaͤndige Groͤße, die man veraͤnderlich annimmt, vor⸗ kommt, ausgedruckt werden ſollen. §. 452. Es ſey der unveraͤnderliche Halbmeſſer A O0 =aàa O0O = c, und der Winkel AO a = «; welcher denn veraͤnderlich an⸗ genommen wird. Aus irgend einem Punkte m, der in ir⸗ Send einer Lage dargeſtellten Curve amb faͤlle man auf die gerade Linie OAB, welche zur Hauptaxe angenommen wor⸗ den iſt, die Applicate m P, und dabey ſey O P = x, und 3 Pm = y. Ferner ziehe man aus eben dem Punkte m auf die Axe ab, welche zu der Curve amb gehoͤrt, die ſenk⸗ rechte Linie mp, und ſetze ap = t, und pm = u. Iſt dies geſchehen, ſo hat man eine unveraͤnderliche Gleichung fuͤr die Curve amb zwiſchen den Coordinaten t und u. Nun lege man durch b die Linie Ps der Ob parallel, und ihr be⸗ gegne die verlaͤngerte Applicate mp in s: ſo iſt pS = x. ſin. «; O p — PS = x. coſ. e desgleichen, weik Pms = AO a = « iſt PS = y. ſin. «e; und mSs = y. coſ. æ. Hieraus fließt OP=cI t = x. coſ. æ † X. ſin. «; 3 ½ und Zweytes Boß Achtzehntes Capitel. ad. und mp = u = y. coſ. æ« — X. ſin - Man ſetze alſo in der zwiſchen t und u gegeb benen Gleicng getten = = X. coſ. « †. 7. in. — c Nee und 1072 = y. Coſ. « — x. ſin. = ſo erhaͤl tr man die algemeine Gleichung zwiſchen den Coor⸗ dinaten X und y, die, wenn man den Winkel « veraͤnder⸗ Afemn lich annimmt, alle Curben a mb unter ſich begreift. „ 5, 453. Es bewege ſich nunmehr der Scheitel der Curve A M B, 9 Fig. 92, nach irgend einer Directrix Aa L, und dabey ver⸗ aͤndere ſich die Lage der Axe ab ſtets auf die Art, daß der Winkel AOa, wie ſolches uͤbrigens auch ſeyn mag, von s dem Punkte a abhange. Es ſey nemlich, wenn der Schei⸗ tel in a iſt, A K = a, und Ka = A, und der Winkel A 0 aà = = e; wo alſo, weil die Directrix gegeben iſt, A eine bekannte Funkrion von a, und der Sinus oder Coſinus e des Winkels ⸗ ebenfalls eine Funktion von a iſt. Dies vorausgeſetzt, ſo iſt I=. KO = –——; und 0 àa = — Wen tang. « fin. v⸗ Gleicht Nun faͤlle man aus einem beliebigen Punkte m der Curve a m b auf die Hauptaxe A O die ſenkrechte Linie m ?b, und zugleich auf die eigentliche Axe derſelben mp; auch ſey A P = X, Pm = y; a p= t, und pm = u. Alsdann ſet, ſ! hat man eine unveraͤnderliche Gleichung zwiſchen den Coor⸗ ul. dinaten t und u, und daraus iſt nunmehr die veraͤnderliche dieſebe Gleichung zwiſchen X und y, die alle Curven am b unter weerden ſich begreift, zu beſtimmen. M aagem WMW H nohme §. 454. den e⸗ Nerinden⸗ tbe 4 5, K, WNe m/ 6 3 g, Non 1der e r 2 Taſens n Cbe nb, ud 1uc ſeß lädana. den Cot⸗ nahme unter ſich begreift — Von d. Aehnlichkeit u. der Verwandſchaft d. Curven. 363 §. 454. Um dieſes zu eiſten, ziehe man aus P auf die verlaͤn⸗ gerte mp die gerade Linie Ps ſenkrecht, welche folglich der Axe der Curve a bO parallel ſeyn wird; und da Pms = AOa = « iſt, ſo wird PS= y Uin. «; und ms = y. .coſ. a. Da ferner O P = a † — — X iſt, ſo wird H tang. MtN† pS = a. ſin. « † A. coſ. æ — x. fin. und dD A. coſ. æ Op — PsS= a. coſ. e † —-—- — k-. col. 46. tang. 2 Hieraus fließt A. coſ. «„ tang. ℳ A „ Op= a. coſ. « † — Xx. coſ. « † y. fſin. « =— — — t . ſin. und es iſt alſo = A. ſin. « — a. coſ: « † x. cof:. 2 — y. ſin. und u = — a. ſin. æ — A. coſ. « † X. fin. 2* † y. coſ. a. Wenn man daher in der zwiſ ſchen t und 4 gegebenen Gleichung t = (x — ) ot⸗— S — A) fin. und u = (Xx — a) ſin. † (v — A) coſ. æ ſetzt, ſo bekommt man die geſuchte Gleichung zwiſchen * und y. Nach was fuͤr einem Geſetze alſo auch eine und dieſelbe Curve amb in einer Ebene unendlichmal beſchrieben werden mag, ſo findet man gleichwohl auf dieſe Art eine allgemeine Gleichung, welche alle dieſe Curven ohne Aus⸗ 4 364 Zweytes Buch, Achtchnes Capitel. & uml᷑m 455. Auf dieſe Weiſe werden unzaͤhlige durchaus einander gleiche, und nur in der Lage von einander verſchiedene Curven in eine Gle eichung zuſammen gefaßt, wenn die zwi⸗ ſchen t und u gegebene Gleichung unveraͤnderlich iſt, und keine beſtaͤndige, als eine veraͤnderliche zu behandelnde, Groͤße in ſich ſchließt. Wenn aber eine oder mehr beſtaͤn⸗ dige Groͤßen von denen, die ſich in der Gleichung zwiſchen t und u befinden, ebenfalls als von a abhaͤngig angeſehen werden, ſo bekommt man unzaͤhlige verſchiedene, und ein⸗ ander entweder aͤhnliche oder unaͤhnliche Curven, die eben⸗ falls in derſelben Gleichung enthalten ſind. Aehnlich wer⸗ den nemlich alle Curven ſeyn, wenn die Gleichung zwiſchen t und u ſo beſchaffen iſt, daß ſie irgend eine homogene Funktion von einer Dimenſion von t und f ausmacht, und f eine Groͤße bedeutet, die auf irgend eine Art von a ab⸗ haͤngt. Wenn aber das Gegentheil ſtatt findet, ſo ſind die Curven unahnlich.⸗ §456. Um dieſe Behauptung von den unaͤhnlichen Curven durch ein Beyſpiel zu erlt laͤutern, wollen wir annehmen, daß dieſe Curven unzaͤhli ige Kreiſe A B, B, amB, Fig. 93, ſeyn, die durch einen gegebenen Punkt B gehen, und ihre Mittelpunkte insgeſammt in der geraden Linie AE haben. Dergleichen Kreiſe ſtellen auf den geographiſchen Charten die Meridiane vor. Man faͤlle aus B die Perpendiculaͤrlinie BC auf AC herab, und dabey ſey B C = c, welche Groͤße folglich underaͤnderlich ſeyn wird Dann betrachte man einen von den gedachten unzaͤhligen Kreiſen amB, und ſetze, nachdem man eine Applicate m P gezogen hat, CP= X, und Pm = y, und den n Halbmeſſet dieſts Kreiſes, der in Anſehung ſeiner Dd.2 ſüiiner /n ſA⸗ C0= Danun! 1* Paen ale Ulchen Wett wi welhe ve ene ſruſe ober, ohr Alt bidote 6en geriſe litheratt, ſben den d Cidſen gen einand ekſchiedene n die zwi⸗ Nit, ud hadande, lehr beſn⸗ g ſwiſcen angochen ne, Ndn, 1, die en halich wer⸗ A Newogene mocht, u hon 1 0l⸗ 4, ſe fnd 7 i von , hachden und Pn Mehung ſeiſet Vond. Aihnlichkeitu. u. der Verwandſe ſchaft d. Eurven. 365 ſeiner zwar beſtaͤndig, in Anſehung aller aber veraͤnderlich iſt, a E = B E= a: ſo iſt CE= V (a a — cc) und PE = = xX † V (a a — ce) Da nun PE2 † Pm = aa iſt, ſo wird y2 † x2 † 2 V (a a — c c) † d à — Cc = a à oder Yy = cc — 2X V (a a — cc) — Xx Wenn aber der Raum CF anſtatt der beſtaͤndigen veraͤn⸗ derlichen Groͤße in die Gleichung gebracht, und CE = a geſetzt wird, ſo bekommt man folgende einfachere Gleichng yy = cc — 2ax — XX welche wegen der Veraͤnderlichkeit von a alle durch B gezo⸗ gene Kreiſe, die ihre Mittelpunkte in der geraden Linie A E haben, ohne Ausnahme unter ſich begreift. Auf aͤhnliche Art wird aber jede unendliche Menge von Curven, die nach einem gewiſſen Geſetze gelegt ſind, auf eige Gleichung zu⸗ ruͤckgebracht, wofern nur gehoͤrig auf den Unterſchied zwi⸗ ſchen den beſtaͤndigen veraͤnderlichen und unveraͤnderlichen Groͤßen geſehen wird. Neun⸗ Neunzehntes Capitel. Von den Durchſchnittspunkten der e Curven. §. 467. In den vorhergehenden Capiteln haben wir uns ſchon mehrmals mit der Betrachtung der Umſtaͤnde beſchaͤftiget, unter welchen Curven von geraden Linien geſchnitten wer⸗ den, da nemlich, wo wir zeigten, daß eine Linie der zwey⸗ ten Ordnung von einer geraden Linie in nicht mehr als in zwey Punkten geſchnitten werden koͤnne, daß die Linien der dritten Ordnung nicht mehr als drey, die der vierten Ordnung nicht mehr als vier Durchſchnittspunkte zulaſ⸗ ſen, ꝛc. Da ich alſo in dem gegenwaͤrtigen Capitel die Durchſchnittspunkte zu beſtimmen mir vorgenommen habe, welche bey zwey ſich ſchneidenden Curven ſtatt finden; ſo muß ich dabey von geraden Linien anfangen, und die Punkte anzugeben ſuchen, in welchen eine gegebene Curve von einer gegebenen geraden Linie geſchnitten wird. Es wird nemlich auf dieſe Art der Weg zur Beſtimmung der Durch⸗ ſchneidung der Curven von andern Curven gebahnt werden, welche bey der Conſtruction der Gleichungen der hoͤhern Grade von der groͤßeſten Wichtigkeit iſt, wie ſolches in dem folgenden Capitel gezeigt werden ſoll. §K. 458. Es ſey alſo eine Curve A Mm, Fig. 94, gegeben, deren Natur durch eine GSleichung zwiſchen den rechtwinkligen Coor⸗ * 4 9 Cordin Run n Ueftegt die (n dieſerſ Uund ſpr⸗ 1 , r fon hende! hahen, hider e Pwer Venn d Küer Els Wen Eunde nd ken, don den Glie heben rben, beſchaftgen itten wer⸗ j der bietten , r*½ zin es tif 1 onnm N hk t inden, ehene Eutde N . Von den Durchſchnittspunkten der Curven. 367 Coordinaten A P = xX, und P M = „ ausgedruckt wird. Nun werde irgend eine gerade Linie B Mm gezogen, und gefragt, in wie viel und in was fuͤr Punkten dieſelbe die Curve AMm ſchneiden werde? Zur Beantwortung dieſer Frage ſuche man die Gleichung fuͤr dieſe gerade Linie, und zwar ebenfalls zwiſchen den rechtwinkligen Coordinaten X und „, ſo wie auch fuͤr eben dieſelbe Axe A P und fuͤr eben den Anfangspunkt der Abſciſſen A. Dieſe Gleichung wird folgende Form ax † 8y = „ haben, woraus erhellet, daß, wenn æ« = o wird, y= AD = X und wenn 7S= o wird W’ = — A= 2 iſt. Hiedurch lernt man nicht nur den Punkt B, wo die ge⸗ rade Linie mit der Axe zuſammenkommt, ſondern auch den Winkel bey B, deſſen Tangente = 4 = — iſt, en⸗ A B 8 nen; und ſo iſt ſowohl die Curve als die gegebene gerade Linie durch Gleichungen zwiſchen gemeinſchaftlichen Coordi⸗ naten und y ausgedruckt. §. 459. Wenn die Abſei ſeen X in beyden Gleichungen immer von gleicher Groͤße genommen werden, ſo zeigen die Applicaten y, wenn ſie verſchieden ſind, an, wie weit die Punkte der Curve und der geraden Linie, die zu einerley Abſeiſſe gehoͤ⸗ ren, von einander entfernt ſen⸗ Wenn ſich alſo aus bey⸗ den Gleichungen nicht mehr als ein Werth fuͤr y ergiebt, ſo haben die Curven und die derade Lime daſelbſt einen Pr unkt 1 368 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel. A Punkt gemein, und es findet alſo an dieſem Orte ein olſen Durchſchnittspunkt ſtatt. Will man alſo die Durchſchnitts⸗ wenn! punkte finden, ſo muß man in beyden Gleichungen außer wegſ⸗ den Abſciſſen X auch die Applicaten y gleich machen; und man hat auf dieſe Art zwey Gleichungen mit zwey unbe⸗ kannten Groͤßen X und y, durch deren Aufloͤſung entwe⸗ gn der die Abſciſſen , wozu die Durchſchnittspunkte gehoͤren, un oder die Applicaten y gefunden werden. Schafft man— Plſen! nemlich aus dieſen beyden Gleichungen y weg, ſo bekemmt Ect be man eine Gleichung, welche bloß die unbekannte Groͤße X Rnd in ſich enthaͤlt, und die Werthe dieſer Gleichung geben die ade Abſeiſſen AP, Ap, deren Applicaten PM, Piᷣ durch die ſenhe⸗ Durchſhnittspunkte M und m gehen. — necrn . gegpen; 5. 460. felin Purt Da die Gleichung fuͤr die gerade Linie *“ X † 4y = = „ hengi iſt, ſo wird daraus ee. Di 27 — ax l Durch 7= 8 W Rihat, und bringt man dieſen Werth fuͤr y in die Gleichung fuͤr in eyen. die Curve, ſo bekommt man eine Gleichung, worin bloß x (tt, N, enthalten iſt, und deren Wurzeln alle reelle Abſciſſen geben, ſolen die wozu Durchſchnittspunkte gehoͤren, ſo daß man aus der zuſammen Anzahl dieſer reellen Wurzeln von X, welche ſich aus dieſer node gnie Gleichung ergeben, auf die Menge der ſtatt findenden Nllen gun Durchſchnittspunkte ſchließen kann. Da aber in dem Wer⸗ the von y = —,— die unbekannte Groͤße nicht mehr Wunf als eine Dimenſion hat, ſo bekommt man durch die Sub⸗ ſcheme ſtitution dieſes Werthes eine Gleichung, in welcher nich Win mehr Dimenſionen erhaͤlti, als vorher in der fuͤr die Lurve von der gegebenen Gleichung und y zuſammen hatten. Es hat inn wird alſo Kulers Oin in chſchitc⸗ gen une chen; und wen n haft man ne Geher g gehand 1 durch N ſeichung i Crin blos ee Nen maon els e ui M 1 ftede nn Ve⸗ nc e Akerr t ur die Me 1n Ghan alſo Von den Durchſchnittspunkten der Curven. 369 alſo entweder eben ſo viel Dimenſionen, oder weniger, wenn durch die Subſti tution die hoͤchſten Poteſtaͤten von wegfallen. 5§. 461. Nachdem man auf dieſe Art die Abſciſſen AP, Ap ge⸗ funden hat, welche zu den Durchſchnittspunkten gehoͤren, ſo laſſen ſich daraus die Durchſchnitts Spunkte M und m ſelbſt leicht beſtimmen. Denn da die Applicaten in den Punkten P und p durch die Durchſchnittspunkte gehen, ſo duͤrfen nur die Punkte bemerkt werden, wo dieſe Applicaten die gerade Linie B Mm ſchneiden. Es koͤnnten auch die Punkte bemerkt werden, wo dieſe Applicaten der Curve AM m be⸗ gegnen; aber da eine Applicate der Curve oͤfters in meh⸗ rern Punkten begegnet, ſo wuͤrde es ungewiß ſeyn, welcher von den Punkten der Curve zugleich ein Durchſchnittspunkt waͤre. Dieſe Unbequemlichkeit vermeidet man, wenn man die Durchſchnittspunkte nach der geraden Linie B Mm be⸗ urtheilt, indem von derſelben keine Applicate in mehr als in einem Punkte geſchnitten werden kann. Ereignet es ſich aber, daß zwey Werthe von x einander gleich werden, ſo fallen die beyden Durchſchnittspunkte M und m in einen zuſammen, und in dieſem Falle beruͤhrt entweder die ge⸗ rade Linie B M die Curve, oder ſchneidet ſie in einem dop⸗ pelten Punkte. §. 462. Wenn nach der Wegſchaffung von y die dadurch ent⸗ ſtehende Gleichung, wodurch x beſtimmt wird, keine reelle Wurzel hat, ſo iſt dieſes ein Kennzeichen, daß die Curve von der geraden Linie BMm nirgends beruͤhrt oder geſchnit⸗ ten wird. Dagegen geben die reellen Wurzeln dieſer Glei⸗ Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. D. Aa chung, 370 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel. JJZM chung, (ſo viel ihrer ſeyn moͤgen) eben ſo viel Durchſchnitts⸗ ð punkte an, weil zu jeder reellen Abſciſſe eine reelle Appli⸗ ʒʒʒcate der geraden Linie B M m gehoͤrt, und, da dieſe Applis 1 aate der Applicate der Curve gleich iſt, daſelbſt nothwendig nice ein Durchſchnittspunkt ſeyn muß. Dieſes muß deswegen tict ſorgfaͤltig gemerkt werden, weil, wenn zwey Curven ſich iin ſchneiden, die einzelnen reellen Wurzeln nicht eben ſo viel hn Durchſchnittspunkte anzeigen. Der Grund hiervon wird muh bald klar werden, wenn wir zwey Curven betrachten, und eſt die Durchſchnittspunkte, die bey ihnen ſtatt finden, auf⸗. ſfuchen werden. “ Poe un hey Es ſeyen alſo, Fig. 95, zwey ſich ſchneidende Curven eenen von irgend einer Art, MEm und MF m beſchrieben, und ,gr um die Durch ſchnittspunkte derſelben zu beſtimmen, ſey dide (cm, Natur einer jeden Curve durch eine Gleichung zwiſchen den n! 2 rechtwinkligen Coordinaten X undy, die auf einerley Axe A B Nuth w und auf denſelben Anfangspunkt der Abſeiſſe bezogen wer⸗ Nadar d den, ausgedruckt. Nimmt man alſo die Abſeiſſen fuͤr enrigen. beyde Curven gleich, ſo werden da, wo es Durchſchnitt⸗ punkte giebt, auch die Applicaten y gleich werden. Wenn man daher aus den beyden gegebenen Gleichungen der iſ Curven y wegſchafft, und ſo eine neue Gleichung macht, Glin die bloß x als eine unbekannte Groͤße enthaͤlt: ſo werden alle Durchſchnittspunkte M, m, m, ſo viel ihrer ſeyn möo- Ulen gen, durch die reellen Wurzeln dieſer Gleichung angezeigt wDmerden. Es werden nemlich die Abſciſſen AP, Ap, Ap, ꝛc. Wrrc welche zu den Durchſchnittspunkten M, m, m, ꝛc. gehoͤren, utnen die Werthe von x ſeyn, die es aus der gedachten Gleichung derge bekommt, . von wird ten, und , a⸗ de Curden hen, und n, ſey die ſſchen den Ae A WW⸗ ſſen 1 fr Atchſctitkh. den. Vmn ſhungen eO fung noc, perd ſunnd ejeiſ MN, . Ndn Gleichangg Von den Durchſhnit epunkten der Eurven. 3717 8. 464. H .Y Hat man aber die Abſciſſen Ab, A p, ꝛ:c. gefunden, welche zu den Durchſchnittspunkten gehoͤren, ſo iſt es hier ſo leicht nicht als vorhin, die Durchſchnittspunkte ſelbſt zu beſtimmen. Denn wenn in jeder Curve eine und dieſelbe Abſciſſe mehrere Applicaten hat; und dies findet ſtatt, wenn in beyden Curven y eine vielfoͤrmige Funktion von x iſt: ſo muß man aus dieſer doppelten Menge der Appli⸗ caten diejenigen ausſuchen, welche einander gleich ſind; und dieſes Aufſuchen iſt ein deſto beſchwerlicheres Geſchaͤfte, je mehrere Werthe der Applicate y in jeder Curve hat. In⸗ deß kann man dieſe Schwierigkeit dadurch heben, daß man bey der Wegſchaffung die Applicate y aus den beyden gegebenen Gleichungen diejenige zu Huͤlfe nimmt, worin „ durch xX beſtimut wird. Man lernt nemlich aus dieſer Gleichung, wie groß die? Applicate aus dem Punkte P bis nach dem Durchſchnittspunkte fuͤr einen jeden gefundenen Werth von x ſey, und man hat dabey nicht noͤthig, die Natur der einen oder auch beyder Curven weiter zu erwaͤgen. . “ 465. Es ſey die eine Curve eine Parabel, welche durc die Gleichung yy — 2x † xX — 2 àAX ☛ o; und die andere ein Kreis, welcher durch die Gleichung: yy † XX — cc = o ausgedruckt werde. Um y wegzubringen, ſubtrahire man zuvoͤrderſt die erſte Gleichung von der zweyten, wo denn der Reſt ſeyn wird aXy t 2aX — ce= oz. und folglichy= d. A a 2 D Hier⸗ Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel. Hieraus ſieht man ſchon, daß zu jedem Werthe von X, den man bekommen kann, reelle Werthe von y gehoͤren wer⸗ den. Wan ſetze alſo den gefundenen Werth von y in die eine Gleichung, ſo findet man c4 — 4 a ccX † 4 (a a — cc) Xx 4 46 und die reellen Wurzeln dieſer Gleichung geben die dahren Durchſchnittspunkte an. Geſetzt c ſey = 2 a, und folglich 4 à4 — 4 a3x — 3aaxx † X4 0% ſo iſt die eine Wurzel dieſer Gleichung X = 2 a, und nach⸗ dem man ſie ausgezogen hat, ſo bleibt die Gleichung X3 † 2àaXX † aàaXx — 2a 3 = 0 uͤbrig, die noch eine reelle Wurzel giebt. Die Applicate aber, die zu beyden Wurzeln gehoͤrt, findet man aus der leichung 4 2 aa — ax X zu der erſten nemlich X = 2 gehoͤrt y = o, ſo daß der Durchſchnittepunt in der Axe ſelbſt liegt. . 4 466. Wenn alſo zwey Gleichungen zwiſchen und y ſo be⸗ ſchaffen ſind, daß man durch die Wegſchaffung von y eine rationale y gleiche Funktion von x findet, ſo erhellet hier⸗ aus, daß alsdann eine jede reelle Wurzel von x aus der letzten Gleichung (nachdem y ganz weggebracht worden ſke einen wahren Durchſchnittspunkt geben werde. Aber man beym Eliminiren keine rationale Funktion von x, die „ gleich iſt findet, ſo kann es ſich ereignen, daß dann nicht alle reele Wurzeln aus der letzten Gleichung wahre Durchſchnittspunkte geben. Denn der Werth von x kann bisweilen ſo groß werden, daß dazu in keiner Curve eine keelle Applicate moͤgl ich iſt; und doch darf man in dieſem Falle Falt dergt ten dirt fent eon, ſpnin ſaben nd ol leſhnie der Dun ſe) Nh n i haber ud ſir Cheft n 1W, uheee wron der ſnda ten wollde inagnn ſie anch s vjen reg wa Ynd = = = e wohrtn dfolglich nd nach⸗ Ayplicete aus der ndas de ndyp ſe⸗ wn in ithilt hir 11 cus M pyrder i Nber vonx, die dah Nna hung wehr⸗ boN 1 kun Culbe di ei zrtien le Von den Durchſchnittspunkten ber Curven. 373 Falle den Calcul keines Fehlers beſchuldigen. Denn da zu dergleichen Abſciſſen in beyden Curven imaginaͤre Applica⸗ ten gehoͤren, und die imaginaͤren Groͤßen eben ſo wohl als dir reellen einander gleich oder ungleich ſeyn koͤnnen: ſo iſt kein Grund da, warum nicht dieſe imaginaͤren Applicaten einander gleich ſeyn, und ſo auf einen imaginaren Durch⸗ ſchnittounkt führen ſollten. §. 467. Um dies deutlicher zu machen, ſeyn Fig. 96. uͤber der⸗ ſelben Axe B A E die Parabel E M fuͤr die Parameter = 2 a, und außer ihr der Kreis AmB mit dem Halbmeſſer = e beſchrieben, ſo daß AE = b, und alſo die Unmoͤglichkeit der Durchſchnittspunkte zum voraus offenbar ſey. Man laſſe A den Anfangspunkt der Abſeiſſen, und die Abſeiſſen nach E zu poſitiv, nach B aber hin negativ ſeyn, und da⸗ bey habe man folgende Gleichungen; fuͤr die Parabel yy = 2ax — 2anbãbs und fuͤr den Kreis Vyy — — 2CX — XX. Schafft man nun, um die Durchſchnittspunkte: zu ſnden, y weg, ſo erhaͤlt man ſogleich XX – 2 (a † c) x — 2 à b = und daraus ergeben ſich zwey reelle Werthe po von x xX S= —- a — c V (aà T c)2 † 2 a b) wovon der eine negativ, der andere poſitiv iſt, und doch findet kein Durchſchnittspunkt ſtatt. Es giebt nemlich ſo wohl die Parabel als der Kreis fuͤr dieſe beyden Abſciſſen imaginaͤre Applicaten, die aber, in was fuͤr einem Grade ſie auch imaginaͤr ſeyn moͤgen, doch einander gleich ſid. Es wird aber, wenn man dieſen Werth von « gebraucht Aa 3— „= 374 Zweytes Buch. Neunzehntes Eapitel. y= V (— 2aa — 2a0 — 2 b E 2a V (aa †2ac † cci,aab) welches allerdings ein imaginaͤrer Ausdruck iſt. §. 4693. Es erhellet aus dieſem Beyſpiele, daß es auch imagi⸗ naͤre Durſchnittspunkte der Curven gebe, die, ob ſie gleich keine Durchſchnittspunkte ſind, doch eben ſowohl durch den Calcul herausgebracht werden, als die reellen. Und daher ſchließt man aus der Zahl der reellen Wurzeln von X aus der letzten Gleichung nicht ſogleich mit Recht auf die Anzahl der wirklichen Durchſchnittspunkte; denn es kann die Anzahl jener reellen Wurzeln groͤßer ſeyn, als die An⸗ zahl dieſer Durchſchnittspunkte, ja es kann von dieſen letz⸗ tern gar keinen geben, wenn man auch zwey oder mehr reelle Werthe von x findet. Indeß macht jeder Durch⸗ ſchnittspunkt eine reelle Wurzel von in der letzten Glei⸗ chung nothwendig; und daher wird es zum wenigſten immer ſo viel reelle Wurzeln von in dieſer Gleichung geben, als Durchſchnittspunkte ſtatt finden, wenn gleich die Menge jeener reellen Wurzeln auch groͤßer ſeyn kann. Ob aber einem jeden reellen Werthe von X ein reeller Durchſchnittspunkt zugehoͤre oder nicht, erkennt man bald, wenn man den zu⸗ gehoͤrigen Werth von y ſucht. Denn iſt dieſer Werth reell, ſo giebt es auch einen reellen Durchſchnittspunkt, 1 und iſt er imaginaͤr, ſo iſt ſolches auch dieſer. 8. 469. Dieſe Ausnahme oder dieſer Unterſchied zwiſchen der Anzahl der reellen Wurzeln von X und der Menge der reel⸗ len Durchſchnittspunkte findet alſo bloß ſtatt, wenn entwe⸗ der in beyden Gleichungen die Applicate y ollenthalben nur gerade Dimenſionen hat, und alſo die Hauptaxe zugleich ders cun⸗ „JN0 d fann, Gſchen glein ob Lartet ſde. E Und da ſind , 4 lebt, i t waeg⸗ ſe gleic hl dur n d inen den N N. 1 es kum die A⸗ leſen let⸗ dder nche der Durch gten Gi⸗ en immee en, die Meng: ber einen itepenr. W Derh ecl t, nſcen N. der ke⸗ gede haben n rMidh der giebt, ſo daß zu jeder Abſciſſe Von den Durchſchnittspunkten der Curven. 375 der Durchmeſſer beyder Curven iſt; oder wenn beyde Glei⸗ chungen ſo beſchaffen ſind, daß bey der Wegbringung von yy auch zugleich y aus der Rechnung wegfaͤllt, und folglich y durch keine rationale Funktion von ausgedruckt werden kann. Iſt z. B. die eine Gleichung yy — Xy = a à und die andere 4 — 2Xy3 † X3y = hbxz ſo bringe man, da aus der erſten (7y — Xy) 2 = a4, oder y4 — 2X3 à4 — Xxyy wird, dieſen Werth in die andere Gleichung. Dadurch wird 24 — XxXyV T x 3? = bbxzx oder und folglich a a † 1I nd . PFaa V(aà a † b b S Es ſcheint alſo ein doppelter Durchſchnittspunkt da u ſeyn; allein ob beyde reell ſind oder nicht, muß man aus dem Werthe von y ſchließen, welchen man aus der Gleichung yy — Xy = aa findet. Es wird aber an⸗ IVYaa . b by und da die Wurzeln dieſer Gleichung insgeſammt reell ſind, ſo iſt klar, daß es hier vier Durchſchnittspunkte xX =- † aa Aa 4= z= 8 1 eeine Curve fuͤr alle Abſeiſſen reelle Applicaten giebt, und . 376 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel. — = a 2 (a a † b b) zwey reelle Durchſchnittspunkte gehoͤren. 470. Wenn aber weder die Axe der Durchmeſſer beyder Cur⸗ ven iſt, noch der Fall ſtatt findet, daß bey der Wegbrin⸗ gung der hoͤhern Poteſtaͤten von y auch y gaͤnzlich wegfaͤllt: ſo zeigen, weil man dann auf eine rationale Funktion von xX, die y gleich iſt, kommt, die einzelnen Wurzeln der letz⸗ ten Gleichung eben ſo viel wahre Durchſchnittspunkte an, ſo daß in dieſen Faͤllen weiter keine Vorſicht noͤthig iſt. Es geſchiehet dieſes, wenn die eine Curve in eine gerade Linie uͤbergeht, wie wir vorhin geſehen haben, oder wenn ihre Applicate durch eine einfoͤrmige Funktion von ausgedruckt wird; denn alsdann hat keine Abſciſſe ecine imaginaire Ap⸗ plicate, und es muͤſſen folglich die einzelnen Wurzeln von wahre Durchſchnittspunkte anzeigen. Meiſtens aber pflegt man, wenn auch y in beyden Gleichungen mehrere Dimen⸗ ſionen hat, bey der Wegſchaffung von y„ auf eine Gleichung zu kommen, worin der Werth von y durch eine rationale und folglich einſormige Funktion von x ausgedruckt wird. §. 471. So oft es ſich aber ereignet, daß einige von den Durch⸗ ſchnittspunkten, welche man durch den Calcul findet, ima⸗ ginaͤr werden, ſo geſchiehet ſolches nicht bloß in den Faͤllen, wenn keine Curve eine reelle Applicate hat, die zu der ge⸗ fundenen Abſciſſe gehoͤre: wie dies der Fall bey dem vor⸗ hergehenden Exempel von einer Parabel und einem Kreiſe war: ſondern es laſſen ſich ſelbſt Beyſpiele geben, wo die doch dot hutt gun ſte ere ſt, ſe unde Durag der Cu⸗ Wegberin⸗ vegfalt: ſtien ton n Pponta . thin ſt. G gerade bite wenn ihee ausgedruct ginalte iy⸗ ezeln don 1 der dſe grae Mnan ije Gleichung ne tetorck⸗ Bg d⸗ 1dor Old, ndet, ine⸗ denſalen e Ms en w⸗ en Freſſ en, we de Nd gibt, hoch Von den Durchſchnittspunkten der Curven. 377 doch zu den einzelnen Wurzeln von x keine Durchſchnitts⸗ punkte gehoͤren. Dergleichen iſt die Linie der dritten Ord⸗ nung, die durch die Gleichung ausgedruckt wird: „3 — 3 ay y † 2aay — 6àXX = 0 die fuͤr alle Abſciſſen reelle Applicaten giebt, und zwar drey⸗ fache, wenn X kleiner iſt als a V ½. Wenn mit dieſer Curve eine Parabel verbunden wird, deren Gleichung yy — 22X = % iſt, ſo giebt es keine reelle? Applicate, wenn x negativ iſt, und es kann folglich auch zu den negativen Abſciſſen x kein Durchſchnittspunkt gehoͤren. §. 472. Man ſchaffe y weg, ſo verwandelt ſich die erſte Glei⸗ chung, da die zweyte yy = 2 ax giebt, in folgende: 2àa y — 6 aax † 2a ay — 6 àaXX = 0 und daher wird — 6aa X † 6a Xxx 240 a † 2àax Da aber jene Gleichung durch y — 3 theilbar iſt, ſo er⸗ haͤlt man, wenn man dividirt, folgende von y befreyte Sleichung: 3 X. 2 a a † 2àaX = 0 und daraus fließt X — — 2. Es ſollte alſo der Durchſchnittspunkt der Curve zu der Ab⸗ ſciſſe * S — a gehoͤren, die in der Parabel keine reelle Applicate hat; in der andern Linie der dritten Ordnung aber wird, wenn man x = — 2a ſetzt 73 — 3 a y † z a a?y — 6a3 = o und daraus erhaͤlt man eine reelle Applicate y 3 a, und Aa 5 zwey 378 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel. zwey imaginaͤre Werthe von y, die in der G Gleichung yy † 2aàa = % enthalten ſind. An dieſen Orten werden nemlich dieſe imaginaͤre Applicaten den n imaginaͤren Appli⸗ caten der Parabel an denſelben Stellen gleich, und ſo erge⸗ ben ſich zwey imaginaͤre Durchſchnittspunkte. Man erhaͤlt aber auch zwey reelle Durchſchnittspunkte aus dem Faktor der obigen Gleichung y — 3X = o, aus welcher 9x — 2 axx = 0 wird. Zuerſt findet ſich alſo in dem Anfangs⸗ punkte der Abſciſſen, wo fuͤr x So auch y = o iſt, ein Durchſchnittspunkt, und der andere gehoͤrt zu der Abſciſſe = 22 wo y = 3 ½ = —— iſt. 9 3 4 . 473. geſtoßen, ob ſich gleich bey der Wegſchaffung von y die Gleichung ZaXy —–— Gaax † 2 àa a y — 6 3XX = 0 ergab, worin y nur eine Dimenſion hat, ſo daß daraus y durch eine rationale Funktion von X ausgedruckt zu werden ſcheint, welches wir vorhin als ein Kennzeichen der Ab⸗ weſenheit der imaginaͤren Durchſchnittspunkte angegeben haben. Und in der That wuͤrden auch keine imaginaͤre Durchſchnittspunkte da ſeyn koͤnnen, wenn dieſe Gleichung keine Diviſoren haͤtte. Allein da hier die Gleichung, wo⸗ rin die Applicate „ nicht mehr vorkommt, durch die Divi⸗ ſion gefunden worden iſt, ſo iſt ſolches eben ſo viel, als ob „ durch keine rationale Funktion von x ausgedruckt werden koͤnnte. So oft nemlich eine ſolche Gleichung in Faktoren aufgeloͤſet werden kann, ſo oft muß man bey der Beurtheilung auf jeden einzelnen Faktor beſonders Ruͤckſicht nehmen; und daher kommt es, daß der eine auf imaginaͤre Durch⸗ ſchnitts⸗ Hier ſind wir alſo auf imaginaͤre Durchſchnittspunkte ſtit n urt Ndie ldine Dine ſcht lf og Glech ſne 1, und uche Mig und di Mng gende, WMr konn Duch gefunz chung 1 * 95X=— lnfengs⸗ ſren du Wſe ſtkpurtte e 2 C, 1 7 n 1 verden N A⸗ ngegebn imeginit Geichung ung, v⸗ die Doi⸗ , e weden n otven uetheileng fehnin e Ns cn Von den Durchſchnittspunkten der Curven. 379 ſchnittspunkte fuͤhren kann, da bey dem andern dergleichen gar nicht vorkommen. §. 474. Nach dieſen Betrachtungen wollen wir die Art und Weiſe bey jeden zwey gegebenen Curven die Durchſchnitts⸗ punkte derſelben zu beſtimmen, genauer betrachten; und da dieſe Unterſuchung von der Wegbringung der einen Co⸗ ordinate y abhaͤngt, ſo brauchen roir dabey bloß auf die Dimenſionen, welche ſie in beyden Gleichungen hat, Ruͤck⸗ ſicht zu nehmen. Dieſe Wegbringung von y wird nemlich auf einerley Art unternommen, die andere Coordinate X mag ſich, in welcher Beſchaffenheit ſié wolle, in beyden Gleichungen befinden. Es ſeyen alſo P, Q, R, 8, T, ꝛc. ſo wie auch p, q, r, s, t, ꝛc. rationale Funktionen von x, und die Gleichungen, wodurch beyde Curven, deren Durchſchnittspunkte geſucht werden, zuooͤrderſt I. P † Qy = o0 II. P † dy = „ Multiplieirt man die erſte von dieſen Gleichungen durch b, und die andere durch b, ſo erhaͤlt man in der Differenz der durch dieſe Multiplication entſtehenden Gleichungen ſol⸗ gende, worin y nicht mehr vorkommt, p Q — Pp = = O Jede von den reellen Wurzeln dieſer Gleichung, worin bloß die unbekannte Groͤße, mit bekannten verbunden, vor⸗ kommt, giebt einen Punkt in der Axe an, woruͤber ein Durchſchnittspunkt befindlich iſt; und fur einen jeden fuͤr x gefundenen Werth erhaͤlt man aus den gegebenen Glei⸗ chungen den reellen Werth 380 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel. Q 4 . welcher den Durchſchnittspunkt anzeigt. Wenn daher die Applicate y in beyden Curven durch eine rationale oder einfoͤrmige Funktion von x ausgedruckt wird, ſo finden keine e imaginaͤren Durchſchnittspunkte ſatt. §. 475. Nun werde die Applieate y der einen Curve durch eine einfoͤrmige Funktion von x ausgedruckt, wie vorhin, die Applicate der andern Curve aber durch eine zweyfoͤrmige; ſo daß ſey P T Qy = o II. Pp qy † ryy = Multiplieirt man die erſte Gleichung durch p, und die andere durch P, und zieht darauf die gefundenen Gleichungen von einander ab, ſo wird, nachdem man durch y dividirt hat, III. p Q — Pq — Pry = o oder “ (Pq — pQ) † Pry = o. Nun multipl eire man die erſte durch Pr, und die dritte durch Q. und ſubtrahire: ſo bekommt man folgende von 7 befreyte Gleichung: Ppr -— pꝗq t 0= Die Wurzeln dieſer Gleichung geben die Abſeiſſen, die zu den Durchſchnittspunkten gehoͤren, und da zu denſelben reelle Applicaten, nemlich — — P = P.Q QQ— P PꝗqH y = — —,— gehhren, ſo ſind dieſe Durchſchnittspunkte reell. §. 476. einf Clet deut 669 t ne. vorhin, die eypſornig; die andee argen dan doidiet ,4 nd de itt ende n) ſn, Me ſhen teil 4 6. Von den Durchſchnittspunkten der Curven. 38 r F. 476. Es ſey wie vorhin die Applicate der einen Curve einer einfoͤrmigen Funktion x gleich, die Applicate der andern Curve aber werde durch eine cubiſche Gleichung ausge⸗ druckt, oder ſey eine dreyfoͤrmige Funktion von x; und alſo die beyden gegebenen Gleichungen ſoigende: I. P 1 Qy = 0 II. bp † qy †% ryy † sy5 = o. Multiplicirt man die erſte von dieſen Gleichungen durch P und die andere durch P, ſo erhaͤlt man, nachdem man ſubtrahirt, und durch „ dividirt hat, III. (Lq — pOQα † Pry † Psyy = o und wenn man hierin anſtatt y den Werth deſſelben S= ſetzt, und die Bruͤche wegſchafft, 2G — p Q3 — P2 QOr T† P32s = O„ oder Q p — P Qa † P2 Or — P3S: = o. Eben dieſe Gleichung findet man ſogleich, wenn man in der zweyten Cleichuns ſtatt ſeinen Werth aus der erſten Gleichung — — ſetzt. Alle reelle Wurzeln von aus dieſer letzten Gleichung fuͤhren demnach, da zu Feder aus der erſten Gleichung reelle Applicaten „ = — gehoͤren, auf eben ſo viel wahre Durchſchnittspunkte. §. 477. Auf zhnliche Art ſchafft man „ leicht weg, wenn die Applicate y der einen Curve durch eine Gleichung von vier oder 382 Zweytes Buch. Neunzehntes Cazic. oder mehr Dimenſionen ausgedruckt wird, die Applicate der andern Curve aber eine einfoͤrmige oder rationale Funktion von x bleibt. Es ſeyen nemlich die. deyden gege 5 benen Gleichungen P † Qy = o p † qy rys † sys † tyA = o. b Da aus der erſten Gleichung y = iſt, ſo erhaͤlt man wenn man dieſen Werth in die andere Gleichung bringt, folgende Gleichung zwiſchen und bekannten Groͤßen: Q4p— P Q3 q † P2 Qar — P3 Qs † Pat = o. Die reellen Wurzeln von aber aus dieſer Gleichung geben eben ſo viel wahre Durchſchnittspunkte, weil man fuͤr jede Abſciſſe X aus der erſten Gleichung eine reelle Applicate y — P nemlich „: = erhaͤlt. §. 478. Nun werde die Applicate y einer jeden Curve durch eine quadratiſche Gleichung, und zwar zuvoͤrderſt durch eine reine, ausgedruckt, und es ſey alſo P † Ryy = e I ryy = oO gegeben. Hieraus findet man darch die Wegbringung von YVy ſogleich —” Pr — Rp = aber die reellen Wurzeln dieſer Gieichung zeigen nur dann wahre Durchſchnittspunkte an, wenn die gefundenen Werthe von dohx pird. weil hoſti den / ndt in der Dſed Dr don — ſerrer Glichung del Un Nen ilſtifen, luch, Damm ette dn Wiet lalionce dengee uig geben n für ſe Ppleate de ß it⸗ du „ Ugoog n nur dan en Vh⸗ Son „ — Vvon den Durchſchnittspunkten der Curven. 3843 — P — b von x ſo beſchaffen ſind, daß S oder — eine poſitive Groͤße wird. In dieſem Falle bekommt nemlich die Applicate , weil yy = — = — iſt, einen doppelten Werth, einen poſitiven und einen negativen; und es gehoͤrt daher zu je⸗ dem fuͤr die Abſciſſe „ aus der Gleichung Pr — Rp = o gefundenen Werthe ein doppelter Durchſchnittspunkt, der von der Axe auf beyden Seiten gleich weit entfernt iſt. Dieſes kann auch nicht anders ſeyn, weil die Axe zugleich der Durchmeſſer beyder Curven iſt, Wenn aber ein Werth von X aus der Gleichung Pr — — Rp = = o den Ausdruͤcken — P — — = — einen negativen Werth ertheilt, ſo wird y imaginaͤr, und alſo die Durchſchnittspunkte ebenfalls. K. 479. Ferner befinde ſich in beyden gegebenen quadratiſchen Gleichungen auch das zweyte Glied, welches y enthaͤlt, und die Gleichungen ſelbſt ſeyen folgende: P † Qy † Ryy = % II. Pp † qy † ryy = o Um die unbefannte Groͤße y aus dieſen Gleichungen weg⸗ zuſchaffen, multiplire man die erſte durch p und die andere durch P, ſuͤbtrahire darauf, und dividire durch y: ſo wird III. (Pq — Qp) † (Pr — Rp)y = o Dann multiplicire man die erſte Gleichung durch r und die letzte durch R, und ſubtrahire, ſo wird IV. ä Cr— Rb) ? (Cr — Rdy = . Da 4 „ 384 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel. Da nun aus dieſen beyden Gleichungen Qyp — q X — Pr. 1 wird, ſo iſt (Qy-— PA)Cr — K) ¹ G: — R= = o oder Perz — 2PRprf Rap † Oapr — PQqr — QRpq PR92 = o. Die reellen Wurzeln dieſer Gleichung geben eben ſo viel wahre Durchſchnittspunkte, wenn zu einem jeden Werthe von X die Applicate aus der Gleichung III. und IV. einen reellen Werth bekommt. Indeß kann es ſich auch ereig⸗ nen, daß die Durchſchnittspunkte imaginaͤr werden, wenn nemlich die Gleichungen III. und IV. Faktoren haben, ſo daß aus ihnen durch die Diviſion eine von y befreyte Glei⸗ chung hergeleitet werden kann. Denn alsdann muß man dieſe Gleichung anſtatt der letzten ſubſtituiren, und zu den fuͤr „* daraus gefundenen Werthen aus den erſten Gleichun⸗ gen die zugehoͤrigen Werthe von y ſuchen. Sind nun dieſe imaginaͤr, ſo iſt ſolches ein Kennzeichen, daß die Durch⸗ ſchnittspunkte imaginaͤr ſind. ℳ §. 480. Es ſey die Applicate y in der einen Curve eine zwey⸗ foͤrmige, in der andern aber eine dreyfoͤrmige Funktion von x; oder die gegebenen Gleichungen beyder Curven folgende: . . I. P † Qy † Ryy = o p † qy † ryy † sy² = o Man ()bs Mon vnd! giett, , und de 1 392 IN: Aus Dut vony Eule CRpg n ſ diel Ww Wohe nd II. Gen Ncuch aih⸗ eden, wenn n halnn Keyte Gen 1nus nen und zu den n Göchon⸗ d vur e Me ut⸗ Mne /re, f Uktion Von den Durchſchnittspunkten der Eurven. 38 5 Man multiplicire die erſte von dieſen Gleichungen durch p und die andere durch P, und ſubtrahire; ſo wird (?q — Qp) † (?r — Rp)y † Psyy = ⸗ welche Gleichung mit der erſten verbunden den Fall wieder giebt, den wir in dem vorhergehenden § unterſucht haben, ſo daß, was da p, q, r war, hier Pq — Qp, Pr— Rp, und P's iſt. Man findet alſo hier PQQq — QQp — PPr † PRp PPS — PR † QRp und PpRJ — QGR p — PPs PQs — PRr † RRp Hieraus wird = (PR4- — QRp — PPs)2 † (QOs — PRr RRE) (?Qq — Qp — Par † PR p) und dieſe Gleichung entwickelt, ſo findet man . F* 3r CRp 8 Vy = P4s2 — Pi Ors † P2 Qaqs — PQ Rps † ORapz † P3 Rrr — P2 CQCRqr † PQzRpr — Q=Rapz — ²2 P2 Rpr † P Ri pp H und da das letzte Glied verſchwindet, ſo iſt die ganze Glei⸗ chung durch P theilbar, und ſo bekommt man: †P3S2 — 2P2² Rq5 — P2 Qrs 4 3PCQRps † PQas — Q³3 ps † R3pz † P2 Rra — PQRqr — 2PR pr † Q2Rpr † PR q2 — 0 . — QRapq. Aus den reellen Wurzeln dieſer Gleichung lernt man die Durchſchnittspunkte kennen, wenn zu ihnen reelle Werthe von y gefunden werden koͤnen. Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. B. Bo . 481r. . 386 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel. §. 481. Nun ſeyen die Gleichungen fuͤr dende Curven cubiſch, und folgende; I. 1 Or † Sry 1 S = . II. 5 † qy † ryy † sys = o. Man multiplicire die erſte durch p, und die andere durch, uud ſubtrahire, ſo erhaͤlt man III. (Pq — Qp) 1† (Pr — Rp)y † (Ps — Sp)yy = o. Ferner multiplicire man die erſte durch s, und die andere durch 8, und ſubtrahite, ſo wird IV. Gp— Ps) . (S54q — QS)y† (SGr — Rs) yy = o. Vergleicht man nun dieſe beyden Gleichungen mit den bey⸗ D den im 470ſten § unterſuchten, ſo wird — 4— O = e — R = Ps –— SsSpr. E St— Re und bringt man dieſe Werthe in die letzte Gleichung, ſo bekommt man (Pq — Qp) 2 (Sr — RsSs) 2 — 2 (Pq — Qp) (Ps- Sp) (Sp-— PS) (Sr — -Rs) 1† (Ps — Sp) 2 (Sp-— PS) 2 † (Pr— Rp) 2 (Sp — Ps) (Sr.— RS) — (Pd — Qp) (Pr-— Rp) (S89 — Q5) (Sr — Rs) — (Pr — Rp) ('s — Sp) (S p — Ps) (69 — Qs) † (Pq — Qp) (— Sp) (S8 q — Q s)2 = — 0u. In dieſer Gleichung ſind ſieben Glieder, die insgeſammt durch ⁸8 p — Ps theilbar ſind, das erſte nur und das fuͤnfte nicht. Verbindet man aber dieſe Glieder, ſo haben ſie zwey Faktoren, nemli ich (Pq — V (Sr —Rs) und (Pq — Qp) (r. Gi Mahrua eſamen de⸗ (H Er⸗ G 6395- : AWr —0 5 C⸗ 11 den tſ dert Nrch, = die odere y mit den (, —S W zu- /, 1 “ irͤggirne das füt G Von den Durchſhnittepuntten der Curven. 387 (Sr — Rs) — (Pr — Rp) Ga — 08), und wenn man in dieſen letzten aufloͤſ⸗ et, ſo wird er = P Qrs † RSpq — PRqS — OSpr und folglich S (Sp — DS) (Rq — Qr) Es laſſen ſich alſo das erſte und fuͤnfte Glied in folgenden Ausdruck (Pq — Qp) (Gr-—RS) GSp- Pe) (Rq - Or) zuſammenziehen, der ebenfalls durch Sp —Ps theilbar iſt, und es entſteht daher die Gleichung: o = (Pq — Qp) (Sr — Rs) (Rq — Qr) † 26 q — O) (Sp — Ps) (Sr –— Rs) † (Sp— — P s) 3 † (Pr -— Rp)2 (SGr — RS) † (?or — Rp) (S53p — Ps) (S8q — QS) — (bq — Qp) (8S q — Qs)2 HWZ die, entwackelt, giebt, 833 — 3 PS2 92 † b⸗ 281r3 †T2PR= prs-— Pz Rras † P2 Orss † PRSqqr — P383 † 3 P2 SpSzZ – Repzs — 2PRSprzZ† R2SpzZrT — RSzpzq —– Q Rprs — PRz qqs — PQSdrr † PQRATS † 3 PSzpqr – 3 P2Sqrs † PQSprS Q=sprr† QRzpqS— QRSpgr — 3 PCRpss † 3 QRSppS — PRSpJqS † 2 P2RJq88 † 2 5Qsqqs — PS2 q3 — PQ qss –— 2 Q0 2 ppr — 2 Q2 8pꝗs † Qpss † QS2pqq = o. L Rr §. 482. Damit dieſer Weg, y aus zwey hoͤhern Gleichungen wegzuſchaffen, deutlicher werde, ſo wollen wir annehmen, daß beyde Gleichungen zum vierten Grade gehoͤten I. P † Cy 1Ry⸗= † Sy; trr= II. P † qy † ry⸗ sys † ty4 = 0 B b 2 Mul⸗ H pi — Tp = D St — TS= d! 388 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel. Multiplicirt man die erſte Gleichung durch Pp, und die letzt H durch P, ſo ſndet man, nachdem man n ſubtrahirt hat, III. (*4- — o) 1 & — Rp)y † (Ps-: — Sp)y⸗ † (Pt – Tp)y3 = O Multiplicirt man ferner die erſte Gleichung durch t, und die uwehre durch T., ſo ergiebt ſich durch eine aͤhnliche Subtraction IV. de — rp, 1 (Ot- — LOy †T (Rt — TL) y2 † (St – I s) y3 = o Nun ſetze man der Kuͤrze wegen Pq — Qp=A] Pt – Tp= a q — Qs = = Pr–— Rp = B Qt-–TA= b Rq —– Qr= 8⁸ pPpP,s — Sp = C Rt — Tr = c wo man bemerken muß, daß nicht nur a= D, ſondern auch Ad—– Cb = (Pt — Tp) (S8 — Qs) = D= Ac — Cb = (Pt — Tp) (Rq — Qr) = D iſt. Gebraucht man nun dieſe Werthe in der dritten und vierten Gleichung, ſo wird 4 III. AT† By Cyy † Dy3 = o a † by † cyy † dys = o Nun multipl ieire man wieder dieſe Gleichungen durch d und D, und ſubtrahire, ſo bekommt man (Ad Da) . (B d — D b) y .† (Cd — Dc) y2 =0 Ferner multiplicire man eben dieſe Gleichungen durch: und D A, und ſubtrahire daranf, ſo wird (AKb — Ba) † (Ac — Ca) y † (Ad — D a) y2 = o Nun g Ghen 11) gn B Geiung Sk n hughhn eine uDnh Ubtraction —, CS=⸗s (r =5 ſrbeen anch 1De 20 Nunn Gleichung: 2 Von den Durchſchnittspunkten der Curven. 389 Nun ſetze man der Kuͤrze wegen Ab — B a = E A d – Da = e HZ Ac — Ca = F Bd– D b = f Cb —–— Bc = £ Ad — Da = G Cd — De=g! ſo iſt G = e; und Eg — Ff = Go, ſo daß Eg — Ef L durch G theilbar iſt. Hierdurch ert haͤlt man dieſe Glei⸗ chungen: E TFVy roxry = 0 VI. e † ty . gyy = o und daraus leitet man durch eine aͤhnliche Operation ab VII. (5 Fe) † (Eg — G e) y = 0 VIII. . (Eg — Ge) † (Eg — 6f)y = o. Endlich ſetze man nochmals der Kuͤrze wegen Ef — Fe = H Eg — Ge = h Eg — Ge = I Fg — Gf = i ſo daß I = h iſt. Dann hat man Vll. ??YJYUVUDð H † Iy = 0 M VIII. ””s 2 h † iy = o und daraus findet man endlich folgende von y befreyte Hi — Ih = o. Setzt man nun in dieſe Gleichung nach und nach die vor⸗ hergehenden Werthe wieder, ſo bekommt man dadurch eine Gleichung, worin bloß die Funktionen P, Q, KR., ic. p, q, r, tc. aus den erſten Gleichungen befindlich ſind. Es iſt aber die Gieichung zwiſchen E, F, G, e, f, g, durch Bb 3 6 =— e, 390 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel. G = e, und die Gleichung zwiſchen A, B, C, D, a, b., c, d, wozu man nachher kommt, durch Da = au theil⸗ bar, und es enthaͤlt daher in der am Ende gefundenen Gleichung jedes Glied nicht mehr als acht Buchſtaben, vier große und vier kleine. Auf dieſe Art kann man nun aus jeden zwey Gieichungen die unbekannte Groͤße y, ihre Di⸗ menſionen moͤgen ſo hoch ſteigen als ſie wollen, wegſchaf⸗ fen, und eine G leichung ſinden, worin bloß « vorkommt. §. 483. Ob gleich dieſe Methode aus zwey Gleichungen eine unbekannte Groͤße wegzuſchaffen allgemein gebraucht wer⸗ den kann, ſo will ll ich doch noch einen andern Weg hinzufuͤ⸗ gen, wobey man nicht ſo viel Subſtituti onen noͤthig hat. Es ſeyen aſo folgende zwey Gleichungen von unde ſtimmten Dimenſionen gegeben Pym † Qymr F† Kym-2 † Sym- 3 †* c. = e pyn † qyn-I † ryn-2 † syn-3 † ꝛc. = 0 und es werde verlangt, daraus eine Gleichung zu finden, worin y nicht mehr enthalten ſey. Zu dieſer Abſicht mul⸗ tiplicire man die letzte Gleichung durch Py k-n † A yk- n- I B y k-n- 2 † Cykn-3 T ꝛc. worin k — n willkuͤhrliche Buchſtaben A, B, C, ꝛc. vor⸗ kommen; und die erſte durch . Py k-i † a y k- m- T † by k-m- 2 t cyk-. 3 † ꝛc. worin k — m willkuͤhrliche Buchſtaben a, b, c, te. ent⸗ halten ſind. Dann ſetze man beyde Produkte einander gleich, ſo daß ſich alle Glieder, worin ſich Poteſtaͤten von y finden, einander aufheben, und die letzten Glieder, die y nicht enthalten, die ge⸗ ſuchte Gl⸗ eichung geben. Die hoͤch⸗ rvns lefinnt, ſtlen b, Wa ucſe D 2, 4² ⸗ eu dene aben, dier pun ans ihre Diu manne 1 R heſti n 4 . 4 A-=3 . . , b, 1¹ ⸗ 3 ¼ k. Von den Durchſchnietevunkten de der Eurven. 891 ſten Poteſtaͤten heben ſich hierbey ſchon von ſelbſt auf, in⸗ dem dieſelben in beyden Produkten Ppyk ſind, und es bleiben daher nur k — 1 Glieder uͤbrig, zu deren Deſtruetion eben ſo viel willkuͤhrl iche Buchſtaben zu beſtimmen ſind. Da nun die Anzahl aller eingefuͤhrten willkuͤhrlichen Groͤßen = 2k — m — n iſt, und dieſelbe = k — 1 ſeyn ſoll, ſo wird kemt† — I. B §. 484. Man mul ltiplicire demnach die erſte Gniguna 3 dur c folgende unbeſtimmte Groͤße: pynR-t † ayH-2 † byn-3 † cyn-4 † 1c. die zweyte aber durch folgende: Pym-I † Ap m-2 † Bym-3 † Cym 4 Pc. Macht man hierauf die einzelnen Glieder, welche aͤhnliche Poteſtaͤten von y enthalten, einander r gleich, ſo entſtehen folgende Gleichungen: WZ Pp = P p Pa † Qp = pA † q P Pb † Qa † Rp = p B † qA † r P Ppc T Cb f Ra † Sp = pC f 4 † rA † sP ꝛc. Solcher Gleichungen erhaͤlt man aber, wenn man die erſte Pp-= Pp mitrechnet, an der Zahl m †n, und wenn man daraus die willkuͤhrlichen Buchſtaben A, B, C, ꝛc. a, b c, 2c. beſtimmt, ſo bleiben in der letzten Gleichung bloß die Buch⸗ ſtaben P, Q, R, ꝛc. p, q, r, ꝛc. zuruͤck, und es geſchiehet daher auf dieſe Art dem Verlangten ein Genuͤge. §. 485. Es laͤßt ſich aber dieſe Beſtimmung der witkkͤhrlichen Buchſtaben leichter bewerkſtelligen, wenn man die Haͤlften Bb4 . ciner „ 392 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel. einer jeden Gleichung neuen unbeſtimmten Groͤßen 2, 6, deutlich werden wird. Es ſeyen dieſe beyden Gleichungen gegeben: Py2 † Qy † R= o II. Py3 1† 4y= † ry † sS = o andere durch Py † A, ſo bekommt man pp = F p Pa † Qp = pA † qP = = . Pb † Qa † Rp = qA † r? = £ QOQb † Ra = rATSP R b = s A ebergeht man nun die erſte identiſche Gleichung, ſo er⸗ haͤlt man aus der zweyten „ W — A . — — und 6 = — A 1 -cp P P ſo daß, wenn man dieſen Werth von s gebraucht, 1= 24 – 44 4½ 20 Rr Ppp pT pPz I Pz FP oder „, ꝛc. gleich ſetzt, wie ſolches durch das folgende Ben i Man multiplicire die erſte durch pyz † ay † b, und die Wde Hr Von den Durchſchnitepunkten der Curven, õ b = 2 q — Ob) (Qbz — Pada) Cr-- R Pa p b⸗ 1— wird. Durch die Subſtitution dieſes Werthes aber findet man aus der vierten Gleichung 2OK̈— Qp) Q◻¾ Pq — Qp) (Qp † Pq) 4 QAPr -— Rp) P2 p H PZp R 5 24— e — er — os P b p bp oder, wenn man mit Pap multiplicirt, . . „Q(Pq — Qp) † a« P(Rp — Pr) — Q(Pq — Qp) (Pq † Qp) † PQ Pr — 2Rp) † (P3qr — P53pS = 0 Es wird alſo PzOq — Qspp— Pz Opr † 25ORpa-— Ps qr à Pi s PQq —– QöpTPRp — Per Die letzte Gleichung aber giebt a R(Pq — Cp) RK — Qabe) RCPDr — Rp) ℳℛt — Pzp paag pyp * 8 Pqs P Pp und daraus findet man P2R2 — QiRP2 — P2Rprf PRapz- — Ps PRq — QRp —– Ps Dieſer doppelte Werth von « giebt nun die geſuchte Glei⸗ chung, die am Ende eben die Form giebt, die wir oben 8. 480 ſi⸗ eben dieſen Fall gefunden haben Zwanzigſtes Capitel. Von der Conſtruction der Gleichungen. 9§. 486. Die Unterſuchungen des vorhergehenden Capitels uͤber die Durchſchnittspunkte der Curven gebraucht man vor⸗ zuͤglich bey der Conſtruction der hoͤhern Gleichungen. Denn ſo wie wir, wenn zwey Curven gegeben waren, eine Gleichung fanden, deren Wurzeln die Durchſchnittspunkte zu erkennen gaben: ſo laſſen ſich auch umgekehrt die Durchſchnittspunkte zweyer Curven zur Beurtheilung der Wurzeln der Gleichungen benutzen; und dieſe Methode iſt insbeſondere dann ſehr vortheilhaft, wenn die Wur⸗ zeln einer Gleichung durch Linien ausgedruckt werden ſollen. Denn hat man die beyden Curven, die zu dieſer Abſicht noͤthig ſind, beſchrieben, ſo laſſen ſich die Durch⸗ ſchnittspunkte ſehr leicht bemerken; und faͤllt man aus ih⸗ nen auf die Axe Applicaten herab, ſo zeigen die Abſciſ⸗ ſen die wahren Wurzeln der Gleichung an. Wenn aber die oben erwaͤhnte Unbequemlichkeit ſtatt findet, ſo geben zwar alle auf dieſe Art gefundene Abſeiſſen Wurzeln an, allein es kann auch ſeyn, daß die Gleichung noch mehr Wurzeln hat, als man durch eine ſolche Conſtruction kennen lernt, S V Knis Glechun Aeund RArr ls di⸗ ecten ſen der mn de Nacunn 66 Durch Che ten bend erforder deren tlori ani frderlch E,EI da We Ulngen. bpitets in man bob⸗ Nötinn e ſtucin . Von der Conſtruction der Gleichungen. 3 95 F. 487. Wenn alſo eine algebraiſche Gleichung geg geben iſt, welche die unbekannte Groͤße X enthaͤlt, und die Wurzeln derſelben beſtimmt werden ſollen, ſo muß man zwey Glei⸗ chungen zwiſchen den beyden n veraͤnderlichen Groͤßen und „ ſuchen, die ſo beſchaffen ſind, daß man daraus durch die Wegſchaffung der Appl cate y iene Gleichung bekomme. Iſt dieſes geſchehen, ſo beſchreibt man die in dieſen beyden Gleichungen enthaltenen Curven uͤber einer gemeinſchaftlichen Axe und fuͤr denſelben Anfangspunkt der Abſeiſſen, und bemerkt die Punkte, in welchen ſie ſich ſchneiden. Faͤllt man nun aus dieſen Durchſchnittspunkten auf die Axe ſenkrechte Ap⸗ plicaten herab, ſo ſtellen die Abſciſſen in der Axe die Wur⸗ zeln der gegebenen Gleichungen vor. Auf dieſe Art findet man die wahren Werthe aller Wurzeln der gegebenen Gleichung, wofern nicht dieſelbe etwa mehr W Wurzeln hat⸗ als Durchſchnittspunkte da ſind. §. 488. Ehe ich aber von der Art und Weiſe rede, die gedach⸗ ten beyden Curven, welche zur Con iſtruction der Gleichung erfordert werden, zu finden, wollen wir die Gleichungen, deren Aufloͤſung dieſe Curven nothwendig macht, a Poſte⸗ riori unterſuchen. Zuvoͤrderſt moͤgen die zur Aufloͤſung er⸗ forderlichen Linien die ſich in M ſchneidenden geraden Linien E M, F M, Fig 97, ſeyn. Man nehme die gerade Linie EF zur Axe, und den Punkt A in ihr zum Anfan gépunkte der Abſceiſſen an, und die aus ihm ſenkr recht aufgerichtete gerade Linie AB C ſchneide die E M in B und d die FM in C. NRun ſey A E = a; AF = b; AB = c; à C= d und 396 Zweytes Buch. Zwanzigſtes Capitel. und dabey ſetze man die Abſciſſe A P= X, Un die Applicate PM == y. Dann iſt fuͤr die erſte gerade Linie E MAsr 2: c = à T x: y; oder ay = c (à 1 x) und fuͤr die andere F M ZM bp: d = b — x: yp; oder by == a(b — x). Schafft man nun aus dieſen beyden Gleichungen y we, ſo bekommt man be 2) = adö(b — 2) vder L abd — abe ab (d — e) = bc † a d be † ad Es laͤßt ſich alſo vermittelſt des Durchſchnittspunkts zweyer geraden Linien die einfache Gleichung = = ab (d — 2 conſtruiren, auf deren Form man a ale einfache Gleichun⸗ gen ohne Ausnahme uruͤcbringen kann. §. 489. Nach den geraden Linien iſt der Kreis am leichteſten zu beſchreiben, und daher wollen wir ſehen, was fuͤr Glei⸗ chungen vermittelſt der Durchſchnittspunkte einer geraden Linie und eines Kreiſes conſtruirt werden koͤnnen. Es ſey alſo, Fig. 98, nachdem man AP zur Axe und den Punkt A zum Anfangspunkte der Abſeiſſen angenommen hat, die gerade Linie E M beſchrieben worden: ſo iſt, wenn man AE = a; A5 = b; AP= ; PM =y a : b, = à † x : und folglich ay = b (a † X) die Gleichung fuͤr die gerade Linie. Ferner ſey der Halb⸗ me ſſer des Kreiſes CM = c, und, nachdem man aus dem . Mit⸗ My Vwvie . A ,i e=I Nan gin . Pedn echung (C=X Die D Aucha Nof, n ſich Wute 1 D enthalt ſtion ) nkts r Glidun ictiſenin fte Gei er Rerode gen. Ei PA unt ht, 8 n mN Von der Conſtruction der Gleichungen. 397 Mittelpunkte deſſelben C auf die Axe die e perpenhiculaͤre Linie CD herabgefaͤllt hat, AD = f; C(D = g; und folglich DP= x –— f; und PM — CD = y— g. Da nun wegen der Natur des Kreiſes CM= = DP f† (PM — CD) 2 iſt, ſo iſt die Gleichung fuͤr den Kreis folgende: cc =xx — 2x †– ff yy — 2gy T†' gg = ( — f) † G — 2g) ². Nun giebt aber die Gleichung fuͤr die gerade Linie b 1 br 44 daher denn — (b — 2) bx b 7— ⅛ = = — 8 1 = wird; und ſetzt man dieſen Werth von y in die andere Gleichung „ſo bekommt man 2 b C — g) x bbr e -akiz — La a HM oder † a a a2a beb — 8) t aa — g⸗ XX † bb — 2aäaf“ *4 aaff = o. — aacc Die Wurzeln dieſer Gleichung findet man alſo durch die Durchſchnittspunkte einer geraden Linie und eines Kreiſes, ſo daß, wenn man aus dieſen Durchſchnittspunkten M und m nach der Axe die Perpendikel M P, mp herabfaͤllt, die Werthe von x durch A und Ap ausgedruckt werden. 4 §. 490. Da i in dieſer Gleichung alle quadratiſche Gleichungen enthalten ſind, ſo laͤßt ſich daher eine allgemeine Conſtru⸗ ction der quadratiſchen Gleichungen ableiten. Es ſey Nem⸗ 398 Zweytes Buch. Zanzigſtes Caniet . nemlich folgende quadratif ſche Gleichung AXX -† B X † c = gegeben, die man denn zuvoͤrderſt auf die obige Form auf die Art bringen muß, daß die erſten Glieder uͤbereinſtim⸗ P men, alſo durch die Multiplication mit 1 b. B(aa 4 bb LAa † bbN A A Setzt man nun die uͤbrigen Glieder gleich, ſo wird 2A ab b — g) — 2Aa af = B (a a † b b) (aa † b by XX T 4 und alſo 14 B (aa † bb) AàaAf= b(b — g) — . b — 9 2Aa4 Da nun A — g) 2 4. aa ff — aaec = S iſt, ſo wird B b (b — b b ((aa † bb) (b — g) à — — c 4 † 35 (aa † bbz Qraa † bb) — — aacc =e — 4 AZaz A uund alſo b — g)2 AQAa H AAZa= 1 Aacc 22 aa † bb fol z. Bb aacc 0 82 b — = — (ee t . — Es bleiben alſo noch drey Groͤßen a, b und c unbeſtimmt, aace C aa db A . — doch muß man dieſelben. ſo annehmen, daß⸗ Rſer eke en Veſrei ſeſcer Auchſt gehrbene tin ein⸗ Se. deriifin meſſer c = S S Von der Conſiruction der Gleichungen. 399 82 — — eine poſitive rsze wird, weil ſor nſt b — g = AB 4 — CD, und alo Pi imaginaͤr ſeyn wuͤrde. §. 491. Es hindert uns alſo nichts, b = o zu ſetzen, und dann iſt BBY4ACQNAMD. — B g = V (cc — MZ 1, ¹ 2 A Da ferner die gegebene Eleüchung Axx † Bx † C = o keine reelle Wurzeln hat, urtirn nicht B B groͤß er als 4A C iſt: ſo — 4A G iſt in dieſem Falle . eine poſtive Groͤße; und ſetzt man derſelben ec gleich, ſo daß c = J 5 249 iſt, ſo wird auch g = o, und a faͤllt gaͤnzlich aus der Rech⸗ nung weg. Es faͤllt alſo die gerade Linie EM in die Alxe AB, und der Mittelpunkt des Kreiſes4 C muß in dem Punkte D angenommen werden, wenn AD = —2 iſt. Beſchreibt man aus Mittelpunkte mit dem dal⸗ V GB B — 44C) 22A Durchſchnittspunkte deſſelben mit der Axe die Wurzeln der gegebenen Gleichung an. Damit aber hier keine Conſtru⸗ ction einer Irrational⸗ Formel noͤthig werde, ſo ſetze man einen Kreis, ſo zeigen die g = c — daß ec — 2ck . XE= cc — A 2A 4AA B B - 4AC AAA werde. Dann iſt — k K † BB — 4AC FB — 4 à C — 4 KkA 0 einen Kreis, deſſen Halbmeſſer = = 400 Zweytes Buch. Zwanzigſtes Capitel. Es bleibt alſo die Beſtimmung der Groͤße k unſerer Will⸗ kuͤhr uͤberlaſſen, und hat man dieſelbe auf irgend eine Art angenommen, ſo muß, da die gerade Linie CM In die Axe faͤllt, der Kreis auf folgende Art beſchrieben werden. Man — B . . . nehme, AD = 21 mache die ſenkrechte Linie cC D = 8B — 4à C — k K 2 A k , und beſchreibe aus dem Mittelpunkte BB — 4 A k 4 ² M . iſt. Die Durchſchnittspunkte dieſes Kreiſes mit der Axe zeigen die Wurzeln der gegebenen Gleichung an. Wenn man aber — B k — — B, und, nachdem man A D = genommen, L CD = — F gemacht hat, und der Halbmeſſer des aus C zu — B B T 2AC beſchrebbenden Kreiſes & = — = — † in: 2AB ſo iſt daher auch der Halbmeſſer des Kreiſes = = AD . CD; und dieſe Conſtruction iſt fuͤr die Pragie die bequemſte. §ß. 49n. 2 Nun wollen wir zwey ſich ſchneidende Kreiſe, gig. 99, betrachten, und fuͤr den erſten AD = a, CD = b, und den Halbmeſſer CM = c ſetzen, wo denn, wenn man AP= x, und P M = „ macht, PDP= a — x, und CD — PM = b — und wegen der Natur bes Kreiſes xxX-— 2 ax † ia †yy — 2 by bb= ce wird. Auf aͤhnliche Arr ſey fuͤr den andern Kreis Ad=f; 4c = g, und ſein Halbmeſſer c M = h, ſo iſt XX— 2 f f fl † yy — 2 gy T gg = h h Zieht ” Ziehtn ſo bei ll⸗ A nun geronm 14- Gte Wahs gfihn lf vne us, da dem hktuir. bin zve fnratict Rak ec⸗ we dreſe ſichden Deſtin KEule guonſe,⸗ ie de, e=h 0 „ nunn N N Von der Conſtruction der Gleichungen. 40 r Zieht man nun dieſe beyden Gleichungen von einander ab, . ſo bleibt — “ 2 ((— a) † aa — ff=— 2 b T g)y T† bb gg = cc= hh uͤbrig; und es iſt demnach 1 bb 1- ee h 2 =?ÿDU. und dagen bb † 2 bg — aa † ff † gg † ec — bh † 2 (a — f) x 20 T 6 und . — = 2 (b † g) — 2 (b † g 2 (b † g) b — y= Da nun (a — x)- † (b — ) ² = cc iſt, ſo wird nach vor⸗ genommener Subſtitution T4(a — f) 2 — 4 (à † †) (b † g9) 2 † b . g) a † 4 (b 1 g 2 — 4(a — f) (aa -ff) x † 2 (aa — cc) (b 1g2 1 4 (àa — †) (cc-— bb) † 2(ff-— hh) (b † g)* † (aa = cc-— ff — hh) 2 Vermittelſt dieſer Gleichung laͤßt ſich die vorhin §. 490 an⸗ gefuͤhrte Gleichung, nemlich AXX † Bx † c = auf unzaͤhlige Arten conſtruiren; und ugleich erhelle dar⸗ aus, daß keine Gleichung, die zu einem hoͤhern Grade als dem zweyten gehoͤrt, durch zwey ſich ſchneidende Kreiſe conſtruirt werden kann, weil ſich zwey Kreiſe in nicht mehr als in zwey Punkten ſchneiden koͤnnen. Da aber eben dieſe quadratiſche Gleichung, vermittelſt einer geraden Linie und eines Kreiſes, welche ſich ſchneiden, conſtruirt werden kann, ſo verdient dieſe Conſtruction vor derjenigen, wozu zwey Kreiſe erfordert werden, mit Recht den Vorzug; es muͤßte ſich denn in einigen einzelnen Faͤllen von ſelbſt eine leichte Beſtimmung der Linien a, b, f, 3,, und h darbieten. Eulers Einl. in d. Ansled. Unendl. ll. O. Cce 8 493 4 7 S 402 Zweytes Buch. Zwanzigſtes Capitel. . 493. m etzt werde ein Kreis von einer Parabel geſchnitten. 1,,) Es ſey nemlich, nachdem man, Fig. 100, aus dem Mittel⸗ puntt punkte des Kreiſes C auf die Axe AP die ſenkrechte Linie CD herabgefaͤllt hat, A D = a, CD = b, und der Halb⸗ meſſer C M = c; ſo iſt die Gleichung zwiſchen den rechttꝛ: Vͤ winkligen Coordinaten AP = x, P M = y fuͤr den Kreiis e, (x — a) 2 † (y — b) 2 = c c. uchnmn bie⸗ Die Axe der Parabel FB aber nehme man auf der ange⸗ nommenen Axe Ab ſenkrecht, und dabey ſey A E = f, EF = g, und der Parameter der Parabel = 2h: ſo iſt, wegen der Natur der Parabel, EP2 =— 2 h (5 F † P M) J’ßMD 144— oder, algebraiſch ausgedruckt, (X — f)2 = 2 h (g T p) und alſo 4 ffiie — U S ucft 2h “ 3 und ((Ehelon, (X — f†) 2 — b = — (b SJ”JMU „— b 4 1 . 4 Setzt n man dieſen Werth i in die erſte Gleichung, und ſcafft daaraus y weg, ſo wird “ Ee LCLILOG— oder . “ ”Ms 3 “ 1 fa. R “ +† 6 ff — 4–2 — 4 ffh (b † g) XA — 4 fe 3 — 4 hb g)x2 †4fhb † g)x † ahh(b- g)2 = † 4hn —s8 ahn fAaahh ⸗ — 4CChh .B und geſchriten. en Nithd lachte Nre N he⸗ n den ee. den Kres Weange⸗ M= 3 —— g, ud e filbtg) ore hh l Und ſ⸗ bekommt man folgende Gleichung: Von der Conſtruction der Gleichungen. 403 und die Wurzeln dieſer Gleichung ſind die Abſceiſſen AP, Ap, Ap,. Ap, daher denn die Applicaten durch die Durchſchnitts⸗ punkte M, m, m, m geben. §. 494. In dieſer Gleichung befinden ſich ſechs beſtͤndige Groͤßen, a, b, c, f, g, und h, davon aber zwey b †g fuͤr eine zu rechnen ſind, ſo daß man nur fuͤnfe behaͤlt, wegnn man b† g = k ſetzt. Macht man nemlich CD T† EF = b † g = k fA † 6 ff — 4 f3 — 4ffhk X4 — 4fx 3 — 4 hkXX † 4 fhkx † 4hhkk = 0 +† 4hn — gahh † Aaahh — A4cCcChh 7. Auf dieſe Form laͤs zt ſich aber jede biquadratiſche Sleichung zuruͤckfuͤhren. Denn es ſey die Gleichung X4 AXxXx3 † BXX — CXT D = O gegeben, ſo iſt, wenn man vergleicht, 4f = A; oder f = g A 6 f. — 4 hk Ahh=— B, oder ½AA— — 4hk 4hh= B und daher wird — 34 A a — B. 32 h 4 b 4 f3 — 4 fhk † Sahh = C oder 7743 — 4 — Ahh † Ah f Sahh = o alſo Endlich iſt Cc 2 (&S 2 hk) 2* 1† 4aahh —Acehbæb. und B A A f. — hk = ¹ — 2hh — 4 und AAN Ah AB C 2 a h = — — – † — — — † —–. 128h 4 16 h 4h Subſtituirt man nun dieſe Werthe, ſo bekommt man eine Gleichung, die c und h enthaͤlt, die man deswegen aus ihr auf die bequemſte Art beſtimmen muß, ſo nemlich, daß jede dieſer Groͤßen einen reellen Werth bekommt. =M 8. 495. Da aber aus jeder biquadratiſchen Gleichung das zweyte Glied leicht weggebracht werden kann, ſo wollen wir an⸗ nehmen, daß ſolches bereits geſchehen ſey, und daß alſo folgende Gleichung X4 £ † BxX — Czx † D = o conſtruirt werden ſolle. Hier iſt nun— te ; k —— h — K = und weil IO 2 hkl — ff= 2 h h — 2 und 2 ah = iſt, ferner, Aha- aBhh 1BB f — 4 cchh= D Hieraus wird 64ccha CCT 4BBhh — 32 Bh † öGAhe — 16 Dhh und alſo Schh= = VGAhhG — 4hh);2 † CC — 16Dh) Da aml Kucze⸗ Dieſe og h om ene wegen as penlg N t. as ſvoe i⸗ Von der Conſtruction der Gleichungen. 405 Da aber insbeſondere darauf zu ſehen iſt, daß ſonoßi . als h reell ſey, ſo ſetz man ſo wird CC — I6Dhh † 8Bhhq —– 32 h4 q — 4hhqq = 0. Damit alſo dem Verlangten ein Genuͤge geſchehe, muͤſſen zwey Faͤlle unterſchieden werden, der eine, wenn D eine negative, und der andere, wenn D eine te poſitive Groͤße iſt. Es ſey alſo D eine poſitive Groͤße = = † EE, ſo daß folgende Gleichung zu conſtruiren iſt: Xx4 X † BX2 — Cx † EE = o. h h — B Man ſetze zu dieſer Abſicht q = o, daß c = 1— ſey, ſo wird hh = d h = –—; 16 E E folglich CC= 4 B E 4CE und k = c a = 2 und fF= 0G II. Wenn aber D negativ, und = — EE iſt, ſo daß folgende Gleichung ernſteirt werden muß * † Bx2 — Cx — EE = 0 ſo wird 64 cchaà = CC † Ahh (4 h h — B) 2 F 16 E Ehh. Dieſe Gleichung giebt einen reellen Werth fuͤr c, man mag h annehmen, wie man will; denn es wird N „ E c 3 Cc — * — E 406 Zwepytes Buch. Zwanzigſtes Capitel. V CC 1 Ahh hh — B) 2 † 16EEhh) e Shn-— . und h fann nach Gefallen angenommen werden. Man nehme es alſo allemal ſo, daß man c leicht conſtruiren fann; und iſt dies geſchehen, ſo wird, wie vorhin AE = f = o; CD † EF= K = 4R — 3: und “ 4 h D = a = — A ghh- Setzt man K = o, ſ ergiebt ſich die Conſtruction der cubiſchen Gleichung Xx3 * † BxX — C = 0 und auf dieſer Conſtruetion beruht Backers bekannte Regel: 5§. 496. Nun wollen wir uͤberhaupt zwey Linien der zweyten Ordnung oder zwey Kegelſchnitte nehmen, deren Glei⸗ chungen ſich auf eine gemeinſchaftliche Axe und auf einer⸗ ley Anfangspunkt der Abſciſſen beziehen, und folgende ſeyn moͤgen: ayy † byx † cxx † dy † cx † † = o yy † syX † YXX † y † ⸗xX † = o. Schafft man hieraus nach der oben erklaͤrten Methode y weg, welches geſchiehet, wenn man dieſe Gleichungen mit den i im 477ſten betrachteten, nemlich P † Qy † Ryy = o und p †T qy † ryy = o vergleicht: ſo werden P und p Funktionen der zwehten Ordnung von X; Q und q Funktionen der erſten Ordnung, und Rund beſtaͤndige Groͤßen; und daher erkennt man, daß die durch die Elimination hervorgebrachte Gleichung eine biqua⸗ Henat Odor Uien, tochken nochen: Nung int G ſien, die ten N flgender ſſebe⸗ Apktion briſe 9 giinden nad hiatng nen E ſechſen lne li⸗ 4 Von der Conſtruction der Gleichungen. 407 Shd biquadratiſche ſeyn wird. Es koͤnnen demnach durch zwey “ ſich ſchneidende Linien der zweyten Ordnung keine Glei⸗ en. Non chungen eonſtruirt werden, die zu einem hoͤhern, als dem Conſteuien vierten Grade gehoͤren; aber von dieſen Gleichungen wiſ⸗ hin ſeon wir, daß ihre Conſtruction vermittelſt des Kreiſes und der Parabel zu Stande gebracht werden kann. Eben dieſes laͤßt ſich auch aus der Natur der Linien der zwey⸗ „ ten Ordnung ſchließen, weswegen dieſelben von einer gera⸗ den Linie in zwey Punkten geſchnitten werden koͤnnen. ſeution de Hiernach koͤnnen zwey gerade Linien die Linien der zweyten Ordnung in vier Punkten ſchneiden; und da zwey gerade Linien, wenn man ſie in Verbindung mit einander be⸗ nte Nege: trachtet, eine Art der Linien der zweyten Ordnung aus⸗ machen: ſo erhellet, daß ſich zwey Linien der zweyten Ord⸗ nung in vier Punkten ſchneiden koͤnnen. der egen. . deren beek 497. N f ien Sollen, um Dutezſchnittspankte zu ethalten, zwey Li⸗ d We nien, die eine von der zweyten und die andere von der drit⸗ ten Ordnung genommen werden, und ihre Gleichungen 20 folgende ſeyn: 20 P † Qy † Ryy = 0 n Nehe — FFrqaytr7y Tsyè o ihnmnn ſo iſt ?P eine Funktion von zwey Dimenſionen von x, Ceine „ Funktion von einer Dimenſion, und R eine beſtaͤndige Hroͤße; dagegen iſt p eine Funktion von drey Dimeſionen, q eine Funktion von zwey Dimenſionen, r eine Funktion von einer Dimenſion, unds eine beſtaͤndige Groͤße. Sieht man hierauf bey der durch die Elimination nach § 480 gefunde⸗ nen Gleichung zuruͤck, ſo erhellet, daß dieſe Gleichung zum ſechſten Grade gehoͤren muß; und es koͤnnen daher durch eine Linie der dritten Ordnung, welche von einer Linie der Cc 4 DW zwey⸗ er wann en Oehnnng int mon⸗ S ſichnnd e 408 Zweytes Buch. Zwantiſtes Capitel. zweyten Ordnung geſchnitten wird, keine G Gleichungen con⸗ ſtruirt werden, die zu einem hoͤhern Grade als dem ſechs⸗ ten gehoͤren. Eben dieſes erkennt man aus der RNatur ei⸗ ner jeden Linie der gedachten Ordnungen. Denn da die Linien der dritten Ordnung von einer geraden Linie in drey Punkten geſchnitten werden, ſo werden ſie von zwey ge⸗ raden Linien, die zuſammengenommen eine Linie der zwey⸗ ten Ordnung ausmachen, in ſechs Punkten geſchnitten. — 5 498. Wenn man die oben erklaͤrten Eliminationen, und die vorhin gebrauchten Schluͤſſe von den Durchſchnittspunkten, welche von geraden Linien gemacht werden, auf die hoͤhern Ordnungen anwendet, ſo iſt klar, daß durch zwey ſich ſchneidende Curven, wenn ſie zu der dritten Ordnung ge⸗ hoͤren, nur Gleichungen, die den neunten, und wenn ſie zu der vierten⸗ Ordnung gehoͤren, nur Gl eichungen, die den ſechszehnten Grad nicht uͤberſteigen, conſtruirt werden koͤnnen. Ueberhaupt koͤnnen durch zwey ſich ſchneidende Linien, davon die eine zur Ordnung m, und die andere zur Ordnung n gehoͤrt, alle Gleichungen conſtruirt werden, welche nicht uͤber die Ordnung min hinausgehen. So braucht man, um eine Gleichung vom hundertſten Grade –— zu conſtruiren, entweder zwey Linien der zehnten Ordnung, “W oder eine Linie der fuͤnften und eine Linie der zwanzigſten Ordnung, ꝛc. wenn man die Zah l 100 in zwey Faktoren aufloͤſet. Wen aber die hoͤchſte Poteſtaͤt der zu conſtruiren⸗ den Gleichung eine Primzahl, oder eine ſolche Zahl iſt, die keine bequeme Faktoren zulaͤßt: ſo muß man dafuͤr eine andere groͤßere Zahl ſetzen, die in bequeme Faktoren zerfaͤllt werden kann; denn die beyden Curven, wodurch ſich Glei⸗ Jungen von h9 ern Graden conſtruiren laſſen, koͤnnen auch 1 . E Lr e Urans Glech ditein (Mu, bKerice ſaed etn 1 foncker iffechſten Ctende g re wenn Duhſ W, plie eifrn Gelt die nigich, wann d Nnd Con Ungen ten denſtn Ralur iͤ⸗ denn da de nie in 1 zwen ge der zwey⸗ hiten. nen, NN itt ttspuntten die e Ru e 0 venn ſe hagen, die Neden Tas vunſcer ttten 4. 7 hnimmkn Gleichung in der Form Von der Conſtruction der Gleichungen. 40⁰9 zur Conſtruction der Gleichungen der niedrigern Grade ge⸗ braucht werden. So kann man zur Conſtruction einer Gleichung vom z0 ſten Grade zwey Curven nehmen, davon die eine zur ſechſten und die andere zur ſiebenten Ordnung gehoͤrt, weil man dadurch eine Gleichung vom zwey und vierzigſten Grade conſtruiren kann; und dieſe Conſtruction iſt allerdings einfacher, als wenn man eine Curvbe von der ritten und eine von der dreyzehnten Ordnung brauchen wollte. K. 499. Hieraus erhellet, daß ſich eine jede Gleichung auf viele, ja auf unzaͤhlige Arten durch zwey einander ſchneidende Curdven ſo conſtruiren laͤßt, daß man ihre reellen Wurzeln daraus erkennen kann. Aus dieſen unzaͤhligen Arten muß man aber jedesmal diejenige waͤhlen, die ſowohl durch die einfachſten als auch zum Entwerfen leichteſten Curven zu Stande gebracht werden; und insbeſondere hat man dar⸗ auf zu ſehen, daß man vermittelſt der Durchſchnittspunkte alle reelle Wurzeln erhalte, welches ſtatt ſinden wird, wenn man ſolche Curven waͤhlt, die keine imaginaͤre Durchſchnittspunkte haben. Nun haben wir oben geſe⸗ hen, daß dergleichen nicht ſtatt finden koͤnnen, wenn die Applicate y in der einen Gleichung fuͤr die Curven einer einfͤrmigen Funktion von xX gleich iſt; denn alsdann iſt es, weil dieſe Curve keine imaginaͤren Applicaten hat, un⸗ noͤglich, daß imaginaͤre Durchſchnittspunkte entſtehen, wenn auch die Anzahl der imaginaͤren Applicaten der ane⸗ dern Curve noch ſo groß iſt. Man muß daher bey dieſer Conſtruction die eine Curve allemal ſo annehmen, daß ihre P † Qy = o enthalten iſt, wo P und O Funktionen v von X bedeuten. Ec sSs . 500. 410 Zweytes Buch. Zwanzigſtes Capitel. Iſt alſo eine Gleichung gegeben, ſo ſuche man eine Curve, welche durch die Gleichung p † Qy = 0 ausgedruckt wird. Und da die Gleichung fuͤr die andere Curve ſo beſchaffen ſeyn muß, daß ſich daraus, wenn man „ „ — P e ⸗ . in ihr 5 fuͤr vy ſetzt, die gegebene Gleichung ergebe: ſo kann man aus der gegebenen Gleichung auch die Glei⸗ cung ſur die andere Curve finden, wenn man darin y fuͤr —— ſetz. Iſt z. B. folgende Gleichung gegeben: ar, Bas t cx t D s ſo nehme man fuͤr die eine Curve die durch die Gleichung ay = XX † bx ausgedruckte Parabel; und da daraus XX = à y — bX wird, ſo ſetze man dieſen Werth, ſo oft es beliebt, in die gegebene Gleichung. Alsdann wird X4 =— a ayy — 2a bxy † bbXxXx Ax3 = † A'aà Xy — Abxx 14 und man bekommt demnach folgende Gleichung de der zwey⸗ ten Ordnung: aayy † A 2 )a) † (B — Ab † bb) xX † cx D = deren Durchſchnittspunkte mit der Curve a y = XX †† bx die Wurzeln der gegebenen Gleichung anzeigen werden, „ K§K. 501. . Da dieſe beyden Curven durch willkͤhrtiche Beſtim⸗ mung der beſtaͤndigen Groͤßen a und b auf unzaͤhlige Arten veraͤndert werden koͤnnen, ſo aͤßt ſich dadurch eine noch weit „ R0— weit lſten g GNotN ine noc⸗ he der der eiſte Caeigen ſructio ſen. U; ſ ſegatid, iſent — man eite die andere wenn mon ergebe: ſo V Gei⸗ un War egeben: 0 Geichung ch, ide⸗ 1S*. 11 be die e Veſin⸗ ige Nttin ne c veit — Von der Conſtruction der Gleichungen. 411 weit groͤßeree Verſch edenheit erhalten. Denn da aus der erſten quadratiſchen Gleichung XX — ay † bx = 0 iſt, ſo hat man auch aCXX — aacy T abcx = o und addirt man dieſes zu der letzten Gleichung, ſo entſteht eine noch viel weiter ſich erſtreckende Gleichung fuͤr eine Linie der zweyten Ordnung, deren Durchſchnittspunkte mit der erſten eben ſo gut die Wurzeln der gegebenen Gleichung anzeigen. Die beyden Curven, wodurch man die Con⸗ ſtruction zu Stande bringen kann, ſind nemlich à y = XXK † bx V II. aayy † a (A — 2 b) xy † (B — Ab † bb ac) xx † a acy † (C † abe)X † D = o und dieſe letzte Gleichung kann ſo eingerichtet werden, daß ſie jeden Kegelſchnitt unter ſich begreift. Man darf nur auf die Groͤße AA — 4B — 4 a c ſehen. Denn iſt dieſe poſitiv, ſo iſt die Curve eine Hyper⸗ bel; iſt ſie = o, ſo iſt die Curve eine Parabel; und iſt ſie negativ, ſo iſt die Curve eine Ellipſe. Ein Kreis aber wird dieſe andere Curve ſeyn, wenn b = à¾A; und a a = B — 4½ AA † ac, oder A A B C = 2à † — — — 4 a iſt; denn alsdann iſt die Gleichung fuͤr denſelben AA a aaVVy TaaXxX — (as † — Ba)j † (C 4 22 A Z † 7 — 4. 5 † D = oder 412 Zweytes Buch. Zwanzieſtes Capitel. oder 4 AA A — — — — —2£ —,... (y Sa 2. †* (X † † . A 3 A B k — — — — — ) ²⁸ 16a 2 4 àa a ⸗ —. — —— 65 † 12 2 1 1 1 F* TSar AB D — 2 —— — 4 à à a a und dieſes Glied das Quadrat des Halbmeſſer des Kreiſes Auf dieſeg Art hat man alſo aus den Kegelſchnitten allein eine unzaͤhlige Menge Curven, die, von der Parabel Ay= XxX † bzx geſchnitten, durch ihre Durchſchnittspunkte zu den Wurzeln einer gegebenen Gleichung fuͤhren. Was man von dieſen Cueven auch fuͤr eine nehmen mag, ſo wird doch die Parabel in denſelben Punkten geſchnitten, ja es ſchneiden ſich alle jene Linien einander in denſelben Punkten. Man kann daher auch aus dieſen unzaͤhligen Curven, wenn man die vorhin gedachte Parabel uͤbergeht, irgend zwey nach Belieben annehmen, dieſelben uͤber einer gemeinſchaftlichen Axe beſchreiben, und ſo durch ihre Durch⸗ ſchnittspunkte die Wurzeln der gegebenen Gleichung kennen lernen. Es kann demnach jene Gleichung conſtruirt wer⸗ den, entweder durch den Kreis und die Parabel, wie wir ſchon oben geſehen haben, oder durch zwey Parabeln, oder durch eine Parabel und Ellipſe oder Hyperbel, oder durch zwey Ellipſen, oder zwey Hyperbeln, oder durch eine El⸗ lipſe und eine Hyperbel. Roch groͤßer aber wird die Man⸗ nigfaltigkeit dieſer Conſtructionen, wenn man dazu auch die Curven der hoͤhern Ordnungen anwendet. MV . §K. 503. yrnn und de die Cu (e lini „ 1 m u. fien de der de Ctei der ee lan, 6 1 deri Pcnd 4 n, V Punkte gen wa bekomn brode, t. +— 1 — 1 — ae Gnicen cei der Parch Gnirespunkt ten. Vas a wagſ chritten, t in denſehen j Anzifjen da thagehe en her en cihrdut dichung re ruit d el, le 4 abeln, ſder ſder durc ch ene id die Nun/ doſe Von der Ganfkruction der Glichungen. 4 3 4. 503. , Auf aͤhnliche Art laſſen ſich die Gleichungen der hhern Grade conſtruiren, wenn man fuͤr die eine Curve eine pa⸗ raboliſche Linie nimmt, die in der Gleichung „= P ent- halten iſt. Soll z. B. folgende Gleichung conſtruirt werden, H XI2 — f? ox2 † fꝰ gx — g12 = 0 ſo nehme man dieſe paraboliſche Gleichung der vierten Ordnung r X4 — ay und da daraus x12 = a 9y 3 wird, ſo bekommt man durch die Subſtitution dieſes Werthes folgende Gleichung fuͤr eine Linie der dritten Ordnung: 2 a 973 — f1ON2 † f9gX — gr2 — 0. Addirt man hierzu irgend ein Vielfaches der erſten Glei⸗ chung X4 — a ³y = o, ſo findet man eine unzaͤhlige Menge Linien der vierten Ordnung, davon je zwey mit ein⸗ ander verbunden zur Conſtruction der gegebenen Gleichung gebraucht werden koͤnnen. K. 504. Ereignet es ſich, daß man auf die beſchriebene Art aus der gegebenen Gleichung keine bequeme Conſtruction finden kann, ſo multiplicirt man dieſelbe mit «, oder X2, oder X3, oder irgend einer andern hoͤhern Poteſtaͤt von «, ſo daß zu ihren Wurzeln noch einige verſchwindende Wurzeln kom⸗ men, welche durch die Durchſchnittspunkte im Anfangs⸗ punkte der Abſciſſen angezeigt, und ſo leicht von den uͤbri⸗ gen wahren Wurzeln unterſchieden werden. Auf dieſe Art bekommt man zwar eine Gleichung von einem hoͤhern Grade, allein demungeachtet fndet man oͤfters bequemere Con⸗ 414 Zweytes Buch. Zwanzigſtes Capittel. CLeoeonſtructionen. Waͤre z. B. die cubiſche Gleichung ge⸗ ſhntti geben: niht H X Axx † BxX 1 C= o J in ge ſo wuͤrde, wenn man xX = ay ſetzte, ſo daß die eine con⸗ Wule ſtruirende Curde eine Parabel wuͤrde, die andere Curve Man d . allezeit eine Hyperbel ſeyn. Denn ſetzt man ay fuͤr xx, ſo Wuyi bekommt man die Gleichung: “ s ſ axy † Aay f Bx PC= 0 ſer Dure oder, wenn man die erſte Gleichung cx X – acy = o hin⸗ ſen gewit zu addirt, folgende von weiterm Umfange Nentich Axy T cXX T a (A — c) y † Bx † C = o DdDutchſ die aber auch ſtets eine Gleichung fuͤr eine Hyperbel iſt. Dirche Scheint es daher bequemer, den Kreis, oder die Ellipſe. lo e oder die Parabel zu gebrauchen, ſo multiplicire man die le il gegebene Gleichung mit , um ſihen X4 † Ax3 † BxX † Cx=0o00 r zu bekommen. Denn vergleicht man dieſe Gleichung mit der oben conſtruirten biquadratiſchen Gleichung, ſo wird D = o, und dieſe Gleichung laͤßt ſich allemal durch den Kreis und die Parabel konſtruiren. §. 505. Da alſo jede Gleichung, ſie mag zu einem Grade ge⸗ hoͤren, zu was fuͤr einem ſie will, durch zwey ſich ſchnei⸗ dende algebraiſche Curven conſtruirt werden kann, und zwar auf unzaͤhlige Arten: ſo kann man zu der einen Curve was fuͤr eine man will annehmen, und daher iſt die Frage entſtanden: Wie eine gegebene Gleichung vermittelſt einer gegebenen Curve conſtruirt werden koͤnne? Hierbey iſt zu⸗ voͤrderſt zu bemerken, daß die gegebene Curve von der Art ſeyn muß, daß ihre Applicate durch eine einfoͤrmige Funk⸗ „ tion von X ausgedruckt wird, damit nicht imaginaͤre Durch⸗ G ſchnitts⸗ pperbel it. „„ die Elibe. e wan die Grode ,ſich ſcni⸗ lonn, f inen Crve Von der Conſtruction der Gleichungen. 415 ſchnittspunkte die Conſtruction verwirren. Denn es iſt nicht hinreichend, daß die gegebene Curve oder auch nur ein gegebener Theil von ihr Abſciſſen habe, welche einer Wurzel der Gleichung gleich ſind, eine Bedingung, die man ausdruͤcklich beyzufuͤgen pflegt, wenn man nur eine Wurzel der gegebenen Gleichung zu wiſſen verlangt: weil es ſich ereignen kann, daß jener Bogen der Curve gar kei⸗ nen Durchſchnittspunkt zulaͤßt, obgleich die Abſciſſe fuͤr ei⸗ nen gewiſſen Punkt in ihr eine wahre Wurzel iſt. Es kann nemlich dieſe Wurzel entweder durch einen imaginaͤren Durchſchnittspunkt gehen, oder ſie koͤnnte auch durch den Durchſchnittspunkt eines andern Schenkels, der zu eben der Abſciſſe gehoͤrte, angezeigt werden. Aus dieſem Grunde halte ich mich daher bey dieſer mehr neugierigen als nuͤtz⸗ lichen Frage nicht auf, da ich die wahren Gruͤnde aller dieſer Conſtructionen ausfuͤhrlich genug gezeigt habe. Ein und zwanzigſtes Capitel. Von den tranſeendenten Curven. g. 506. Bisher haben wir uns mit den algebraiſchen Curven beſchaͤftiget, und dieſe waren ſo beſchaffen, daß, wenn die Abſciſſen auf irgend einer Axe angenommen wurden, die zu dieſen Abſeiſſen gehoͤrige Applicaten durch algebraiſche Funktionen der Abſciſſen ausgedruckt werden konnten, oder ſo, denn dies ſagt eben daſſelbe, daß ſich das Verhaͤltniß zwiſchen den A Abſeiſſen und Applicaten, durch eine algebrai⸗ . ſche Gleichung darſtellen ließ. Hieraus fließt nun ſogleich, daß eine Curve nicht zu den algebraiſchen gerechnet werden darf, wenn man nicht im Stande iſt, den Werth der Ap⸗ plicate durch eine algebraiſche Funktion auszudrucken. Man nennt aber dergleichen Curven, die keine algebraiſche ſind, tranſcendente; und es iſt folglich eine tranſcendente Curve eine ſolche, bey welcher das Verhaͤltniß zwiſchen den Applicaten und Abſeiſſen durch keine algebraiſche Glei⸗ chung ausgedruckt werden kann. So oft daher die Appli⸗ cate y einer tranſcendenten Funktion der Abſeiſſe X gleich iſt, ſo oft muß auch die Curve zu den tranſcendenten C Cur⸗ ven gerechnet werden. §. 50. Im erſten Buche haben wir vorzuglich zwey Arten der tanſtementen Srdhen betrachtet, die Logarithmen, und die * dis weder a hogen, de e — ſeroer gung r Kanſcend Urtende noch ein Mois nich r⸗ Gten Aune ſtſe de den G E ſnd foncle, i er ireti nmn Uuhl er n gli Ne matane Waſen hngſec der ichtren dſe u konſen Euler then. ſaden ai, wen de putden, Ne ) cgebteſche Vnnten, Ne ne algehtei⸗ un ſoceie R werlhe Darth e ni 6riz frien dſt n A die Nyl⸗ . ſe hic denten Cur⸗ ,tt die 4 Von den ktranſcendenten Curven. 417 die e Kreisbogen. Wenn alſo die Applicate y gleich iſt ent⸗ weder einem Logarithmen der Abſciſſe «, oder einem Kreis⸗ bogen, deſſen Sinus, oder Coſinus, oder Tangente durch die Abſciſſe X ausgedruckt wird, ſo daß y= Ix; oder y = A. ſin. x, oder y = A. coſ. x; oder py = A. tang. X iſt; oder wenn uͤberhaupt dergleichen Ausdruͤcke in der Glei⸗ chung zwiſchen und y enthalten ſind, ſo iſt die Curve eine tranſcendente Curve. Doch machen dieſe Curven nur einige Arten der tranſcendenten Linien aus, und es giebt außer ihnen noch eine unzaͤhlige Menge anderer, deren Quelle in der Analyſis des Unendlichen ausfuͤhrlich beſchrieben werden wird, daß es alſo eine weit groͤßere Anzahl von tranſeenden⸗ ten als von algebraiſchen Eurden giebt. C. 508. MMU Wenn eine Funktion keine algebraiſche Funktion iſt, ſo iſt ſie tranſcendent, und macht daher auch die Curve, in deren Gleichung ſie ſich befindet, zu einer tranſcendenten. Es ſind aber die algebraiſchen Gleichungen entweder ra⸗ tionale, und enthalten keine andere als ganze Exponenten, oder irrationale, in welchen gebrochene Exponenten vor⸗ kommen; allein in dieſem letzten Falle kann man ſie gleich⸗ wohl in rationale Gleichungen verwandeln. Wenn alſo eine Gleichung fuͤr eine Curoe ſo beſchaffen iſt, daß ſie we⸗ der rational iſt noch rational gemacht werden kann, ſo gehoͤrt ſie zu den tranſcendenten. Wenn nun in einer Glei⸗ chung ſolche Poteſtaͤten vorkommen, deren Exponenten we. der ganze Zahlen noch Bruͤche ſind, ſo laͤßt ſich dieſelbe nicht rational machen, und es gehoͤren demnach die Curven, die durch ſolche Gleichungen ausgedruckt werden, zu den tranſcendenten. Hieraus ergiebt ſich die erſte und gleich⸗ Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl., II. D. Dd ſam Ar8 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel. ſam einfachſte Art der tranſcendenten Curven, diejenigen nemlich, in deren Gleichungen irrationale Exponenten vor⸗ kommen; und da dieſe Gleichungen weder Logarithmen noch Kreisbogen enthalten, ſondern allein durch irrationale Groͤßen hervorgebracht werden: ſo ſcheinen auch die da⸗ durch ausgedruckten Curven mit mehrerm Rechte zu der gemeinen Geometrie gerechnet zu werden, und ſind daher auch vom Hrn. von Leibnitz interſcendente Curven ge⸗ nannt worden, weil ſie gleichſam das Mittel zwiſchen den algebraiſchen und den tranſeendenten halten. 5„ 509. Eine ſolche interſcendente Curbe iſt die in fegender Gleichun 5 V2 y — X enthaltene; denn man mag dieſe Gleichung durch die Erhe⸗ bung zu Dignitaͤten verwandeln wie man will, ſo erhaͤlt man doch nie dafuͤr eine rationale Gleichung. Es kann daher eine ſolche Gleichung auch auf keine Weiſe geome⸗ triſch conſtruirt werden, weil ſich feine andere Poteſtaͤten geometriſch darſtellen laſſen als ſolche, deren Exponenten rationale Zahlen ſind, und es unterſcheiden ſich daher der⸗ gleichen Curven auch durchaus von den geometriſchen. Denn wollte man den Exponenten V2 nur naͤherungsweiſe ausdrucken, und dafuͤr einen von folgenden Gruͤchen ſetzen, 3; 2,; 17. 1; 09,, 2 5 12 29 70 ſo wuͤrde man zwar algebraiſche Curven bekommen, welche ſich der geſuchten Curve naͤherten, aber zu der dritten, oder ſiebenten, oder ſiebenzehnten, oder ein und vierzig⸗ ſten Ordnung, ꝛc. gehoͤren wuͤrden. Da alſo V 2 nicht anders rational ausgedruckt werden kann, als durch einen Vruch S Hlen ſichtin Cnen , e uun Nn V W nun die Ceritini ſird a Akennet Nhin⸗ 9 loy⸗ ☚ 4 dieeg Mnng Piſäined werden, nel⸗ bleͤ uc ⸗ logorthne hireatinee huch die d chte zu de ſind dohe Lurben ge⸗ Piſcen dan ce pt ttiſter jcherungee nigen han mmen, nela der deitaa und bitti durc tnn becch D nicht im Stande, die durch y = X/2 ſſo V⸗ H Von den tranſcendenten Curven. 4 19 Bruch, deſſen Zaͤhler und Renner unendlich große Zahlen ſind, ſo gehoͤrt die durch die Gl eichung y = =5 ausge⸗ druckte Curve zu einer Ordnung, deren Hoͤhe durch 00 ausgedruckt werden muß, und kann folglich nicht zu den algebraiſchen Curven gerechnet werden. Dazu kommt, daß VY 2 einen doppelten Werth hat, einen poſitiven und einen negativen; woher denn „ allemal einen doppelten Werth erhaͤlt, und alſo die gedachte Curve eine zwiefache Curve 8. 510. Hiernaͤchſt iſt man ohne Beyhuͤlfe der Logarithmen gar ausgedruckte Curve genau zu conſtruiren. Denn da y = 2 iſt, ſo wird, wenn man dle Logarithmen nimmt, 17 = V 2. 1X, und es giebt folglich der Logarithme einer jeden Abſciſſe, mit V 2 multiplicirt, den Logarithmen der Applicate, ſo daß man die zu jeder Abſciſſe gehoͤrige Applicate aus den Lo⸗ garithmiſchen Tafeln beſtimmen muß. Iſt z. B. X« = o, ſo wird auch y= o; iſt = 1, ſo wird auch y= 1; dies erkennet man aus der gegebenen Gleichung ſelbſt ſehr bald. Iſt hingegen X = 2, ſo wird, I1y = V. 2. 12 = V 2. o, 3010300; und da V2 = 1, 41421356 iſt, ſo hat man Iy = o, 4257274, und alſo naͤherungsweiſe y= 2,665 186. Auf dieſe Art kann man zu jeder Abſciſſe die Applicate durch Rechnung finden, und die Curve conſtruiren, wenn fuͤr poſitive Groͤßen geſetzt werden. Laͤßt man aber negativ werden, ſo iſt es ſchwer zu beſtimmen, ob die Werthe von y reell oder imaginair ſeyn werden. Denn es ſey x = — I, ſo bleibt unausgemacht, ob (— „Ve eine reelle oder eine Dd⸗?2 ima⸗ iſt, und es wird folglich 420 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel. imaginaire Groͤße ſey, indem die naͤherungsweiſe fuͤr N2 gefundenen Zahlen uns nicht in den Stand ſetze, daruͤber ciwas zu entſcheiden. 9. 5I. Roch offenbarer iſt es, daß die Gleichungen, in welchen imaginaire Exponenten vorkommen, zu den tranſcendenten gerechnet werden muͤſſen. Es kann ſich indeß allerdings ereignen, daß Ausdruͤcke mit imaginairen Exponenten gleich. wohl einen reellen und beſtimmten Werth haben. Beyſpiele hievon ſind bereits oben im erſten Buch im achten Capitel] da geweſen, und es mag daher hier nur fſolgendes zur Er⸗ laͤuterung ſtehen: 2 y = “ — I .— 1 4 . — T Ov nemlich gleich ſowohl 1 1 als x — ima⸗ ginair iſt, ſo iſt doch die Summe von beyden reell. Denn man ſetze 1« = v, und laſſe e die Zahl bedeuten, deren Hyperboliſche Logarithme = = 1 iſt, ſo wird X e z und braucht man dieſen Werth, ſo bekommt man FVV–—I — vVV — 1 2y = — e“ †T e Nun haben wir im erſten Buche §. 138 geſehen, deß . 1 V— 4 e — vV —I . — = coſ. A. v y = coſ. A. v = coſ. A. 17. Iſt nemlich irgend ein Werth von x in Zahlen gegeben, ſo ſuche man den hyperboliſchen Logarithmen davon, und ſchneide in einem Kreiſe, deſſen Halbmeſſer = 1 iſt, einen Lieſem Logaraithmen gleichen Bogen ab; wo denn der Co⸗ ſinus n e ſiaus R 1 Dr Spn, wo ent zah ſ on Vp⸗ gone ſe alch Re af id denne Alſer dg R af⸗ Glechung (gedr lithniſce rithenſea inden ſicne ee. 18 4 ſen Nam miſche SI ii, Von den tranſcendenten Curven. 4²¹1 ſeſefe ſinus dieſes Bogens den Werth der Applicate y geben wird. , ie Iſt z. B. X = 2, ſo daß 2y = 2 14 2 W wird, ſo hat man » = coſ. A. 12 = coſ. A. O, 6931471805599 dned Bogen, der durch 3,1415926535 ꝛc. ausgedruckt wird, iin 1g00 enthaͤlt, nach der Regel de Tri = 390, 42/ 5177 une 52 ¹, 9˙ 17, und ſein Coſinus iſt = 0, 76923990135409, welche Kntüd⸗ Zahl folglich den Werth der zu der Abſciſſe *½ = 2 gehoͤri⸗ hit gen Applicate y ausdruckt. Da alſo dergleichen Ausdruͤcke nnil Logarithmen und Kreisbogen in ſich enthalten, ſo werden“ ncecE ſie auch mit Recht zu den tranſcendenten gerechnet. §. 512. ——1. Die erſte Stelle unter den tranſcendenten Eurven neh⸗ e men demnach dicſenigen Curven ein, deren Gleichungen, A dean außer algebraiſchen Groͤßen, Logarithmen enthalten, und umn, n die einfachſte darunter iſt diejenige, welche durch die 1 Gleichung H 1 E = K; oder x = bl X i a b a ausgedruckt wird, wo es gleich iſt, was man fuͤr ein Loga⸗ „ rriithmiſches Syſtem zum Grunde legen will, weil alle Lo⸗ garithmiſche Syſteme durch die Multiplication mit der be⸗ ſtaͤndigen Groͤße b auf eins zuruͤckgefuͤhrt werden. Es be⸗ 1 zeichne alſo k die hyperboliſchen Logarithmen, und die durch — y . . D * = bl — ausgedruckte Curve heiße, ſo wie ſie unter die⸗ 6 ſem Namen bereits allgemein bekannt iſt, die Logarith⸗ iin miſche Linie. Es bedeute e die Zahl, deren Logarithme = I iſt, und es ſey folglich HW – 3 32²2 Zmweytes Buch. En und zwanzigſtes Caritel. e = 2,71828182 845904523536028 ſo wird e = E; oder y = a e und aus dieſer Gleichung laͤßt ſich die Natur der Logarith⸗ miſchen Linie ſehr leicht erkennen. Denn ſetzt man fuͤr nach und nach Werthe, die in einer arithmetiſchen Progreſ⸗ ſion fortgehen, ſo erhaͤlt die Applicate y Werthe, die in einer geometriſchen Progreſſion auf einander folgen. Um aber die Gleichung leichter conſtruiren zu koͤnnen, ſetze man— e = ma und b = no, ſo wird „=am ,„ wo m eine jede poſitive Zahl bedeuten kann, die groͤßer als 1 iſt. Wenn alſo xX = o, c, 20c, 3 c, 4t, 5G0, 6 , Lce iüüültt, ſo wird 3 y =— a, am, ama, a m 32, amA, am?s, ams, 2c. und legt man der Abſciſſe X negative Werthe bey, ſo wird, wenn man X — 69 20, rr 3 r, 4 e, — 5C, dee ſetzt, —242 a 4 4 1 7 m. ? ma m? ma ms’ e⸗ §. §13. Hi⸗ eraus erhellet, daß die Appliecate y allenthalben po⸗ ſi itive Werthe bekommt, die ohne Ende wachſen, wenn man die poſitiven Abſeiſſen ohne Ende zunehmen laͤßt, und auf der andern Seite der Axe ohne Ende abnehmen, ſo daß daher die Axe Ap, Fig. 101, die Aſymptote der Curve— wird. Nimmt man nemlich A zum Anfangspunkte der Ab⸗ ſeiſſen an, ſo iſt daſelbſt die Applicate A B = a, und macht . man L. tNII ſegn pir PM d Vird de ut, te mttn Die t Wariihe nnn ſie en Prog⸗ ſe, Ne i en. Ue ern „ wo ℳs 1 i. le beh, ſ 1 5 heben en, venns l, d nchmen, 6 te der Cur nkteder ,und mt Ndhda Von den tranſcendenten Curven. 423 man AP = 2, ſo iſt die Applicate X: c X: b PM= y = am = 4 e und folglich K 1 = — Wenn man alfo die Abſciſſe A b durch die beſtaͤndige Groͤße b dividirt, ſ druckt der Quotient den Logarithmen des Verhaͤlniſſes aus. Wenn der Anfangspunkt der Ab⸗ ſeiſſen anderswo in der Arxe z. B. in a angenommen wird, ſo bleibt die Gleichung ſich aͤhnlich. Denn es ſey Aa = f. ſo wird, wenn man a P =t ſetzt, da dann x= t — f iſt, = aec — O. b S t: b ef: b Man ſetze die beſtaͤndige Größe⸗ a : e = g, ſo wird t : b V= ge: Hieraus erhellet, da ab = g iſt, daß b— 1LM 5 a5 ſeyn wird; und zieht man daher irgend zwey Applicaten PM und pm, die n um Pp von einander entfernt ſind, ſo wird 55 — . und die betͤndige Groͤße b, wovon n jenes Verhaͤltniß ab⸗ hängt, kann als der ee Patamkter der Logarithmiſchen Linie betrachtet werden. F. 514. L Die Tangente der Logarithmiſchen Linie fuͤr jeden Punkt D A laͤßt ſich ebenfalls leicht beſtimmen. Denn da Dod 4 H P MrnMh E „ 2 . 2 ” 424 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel. b PM =as wird, wenn man A Pb = x nim imt: ſo ziehe man n irgend eine andere Applicate QN, die von der vorigen um P= u entfernt liegt. Alsdann iſt „ CN= a eX Tu): b = ae 2. b „ e und, wenn man die M L. der Axe vrale zieht, be Nun ziehe man durch die Punkte M und N die gerade Linie NMT, welche der Axe in dem Punkte T begegne, ſo iſt LN: ML = PM: PT und folglich b “ Aber im erſten Buche haben wir gezeigt, daß⸗ durch eine unendliche Reihe anegedrneet, u : deu e 1† — F † - iſt, und daher wird alſo PT = z5= 1 St 5 : kr. 1 I uU Ers Nun verſchwinde P Q = u, ſo wird, weil dann die Punkte M und N zuſammenfallen, die gerade Linie N M T die Tangente der Curve, und die Subtangente P T iſt dabey Sb, und ſfolglich eine beſtaͤndige Groͤße, welches eine Haupteigenſchaft der Logarithmiſchen Linie iſt. Der Pa⸗ rameter der Logarithmiſchen Linie b iſt daher auch zugleich die Subtangente derſelben, und allenthalben von geicher Groͤße. §. 515. icſpen (haupten den T e neſer Eipenſs Ni e eyNe aunn obe MWomen ſtien hntt de ſgt, ſ Whappt het, di lic, nachenke ine ſ W G elr NN (elg ſehen n nan ed mels - te NR n iendte. Ne fnie Aihes ene. DNe hu⸗ n eche 1 Von den tranſcendenten Curven. 425 Hier eniſteht aber die Frage: Ob b auf dieſe Art die WD Logarithmiſche Linie beſchrieben ſey, und ob dieſelbe ußer dem Schenkel MBm, der auf beyden Seiten ohne Eade fortlaͤuft, keine Theile weiter habe? Denn wir ha⸗ ben oben geſehen, daß es keine Aſymptote giebt, der ſich nicht zwey Schenkel naͤherten, und es haben daher einige behauptet, daß die Logarithmiſche Linie aus zwey aͤhnli⸗ chen Theilen beſtehe, die zu beyden Seiten der Axe ſich fort erſtreckten, ſo daß die Aſymptote zugleich ein Durch⸗ meſſer ſey. Allein die Gleichung y= a e 5 zeigt dieſe Eigenſchaft auf keine Weiſe an; denn wenn — eine ganze b Zahl oder ein Bruch mit einem ungeraden Nenner iſt, ſo hat y nie mehr als einen reellen und dabey poſitiven Werth. Wenn aber der Bruch einen geraden Nenner hat, iſo bekommt die Applicate y einen doppelten Werth, einen po⸗ ſitven und einen negatiben, und dieſer letztere giebt einen Punkt der Curve, der auf der andern Seite der Aſymptote liegt, ſo daß daher die Logarithmiſche Linie jenſeits der Aſymptote unzaͤhlige von einander abgeſonderte Punkte hat, die aber keine continuirliche Linie geben, ob ſolches gleich, weil man ihre Entfernung von einander ſo klein machen kann, als man will, ſtatt zu finden ſcheint. Dies iſt eine ſehr auffallende Beſchaffenheit, dergleichen bey den algebraiſchen Curven gar nicht ſtatt findet. Aber noch auffallender iſt folgende damit in Verbindung ſtehende. Da die Logarithmen der negativen Zahlen imaginaͤr ſind, (welches theils von ſelbſt klar iſt, theils auch daraus einge⸗ ſehen werden kann, weil der Logeritchme von — I zu V⸗=— I Dd 5 ein 4²⁶ Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel. ein endliches Verhaͤltniß hat) ſo iſt 1 — n eine imaginaͤre Kl. Groͤße, die wir Si ſetzen wollen. Ferner iſt der Loga⸗ en rithme eines Quadrats das Zwiefache des Logarithmen ßMU.U der Wurzel, alſſ a ðð’ð 1. (— n) 2 = 1. n2 = 2 1 ł und dabey 1. n gleich einer reellen Groͤße = 21. n. Hier⸗ Eik aus muͤßte nun folgen, daß ſowohl die reelle Groͤße 1. n als die imaginaͤre Haͤlften der reellen Groͤße 1. n⸗ waͤren; und me waͤre dies, ſo muͤßte ferner jede Zahl eine doppelte Haͤl fte, 6 eine reelle und eine imaginaͤre, desgleichen ein dreyfaches “ Drittel, ein vierfaches Viertel ꝛc. haben, und von dieſen “B Theilen duͤrfte einer nie mehr als einer reell ſeyn. Wie dies di mit den gewoͤhnlichen Begriffen von den Groͤßen zu vereini⸗ gen fey⸗/ iſt nicht wohl einzuſehen. *) =ÿ”M D ſa 2 . Fat . Es ſind dieſe Paradoxa ſo paradox nicht als ſie beym erſten . So geet Arnnblick ſcheinen. Solche Widerſpruͤche, als hier entſte⸗ alſetden hen, pflegt man ſonſt als ein Kennzeichen zu betrachten, daß den irgendwe ein Fehler verſteckt liege; warum ſoll man dies Dð’Z nicht auch bey der gegenwaͤrtigen Materie thun? Was indes A.- uber dieſen Punkt weiter zu ſagen iſt, verſpare ich in die dn Vorrede. 3 iſeh F. Srr. üzi „ e dor Zugegeben alſo, was wir hier angenemmen haben, ſo t wuͤrde folgen, daß die Haͤlfte von a nicht nur —, ſondern 1 33 Mẽä auch — † 1.— 1 ſey; denn das Doppelte von dieſem iſt N 4 1 21.— I = a † 1. (— 1)2 = a f1. 1 = a; wo bes uan merkt werden muß, daß † 1.— 1 = — 1. — I iſt, obgleich Aurſ re . nicht l. — I=0 o geſett werden darf. Denn da - „2 u Mc es. imagnke der Mr garithon ſelnG rin; und Haſt, oycche ſrches W WeNWS zu bereinſe⸗ Hheyn etfen hier eutn tachten, N A veon 11 D A. ri erhebn a. 2, ichin Nieſen ſt 1W. t luget⸗ 1227 4 . SSͦõ Von den tranſcendenten Curven. 427 ſo iſt 1. — 1= 1. † 1 — 1.— 1 =— 1.— r. Auf aͤhn⸗ liche Art iſ das Drittel von a, da . I nicht bioh 1, ſon⸗ — dern auch — SW=—, und folglich 31— — 3 EI. 1 =o it, nicht bloß ſandern auch ri. . und — 1 1 jeden. dieſer Ausdruͤcke dieſelbe Groͤße a giebt. Um dieſe Widerſpruͤche, die man ſchlechterdings nicht gelten laſſen darf, aus dem Wege zu raͤumen, muß man zu einem an⸗ dern paradoxen Satze ſeiner Zuflucht nehmen, zu dem nemlich, daß zu jeder Zahl unendlich viel Logarithmen ge⸗ hoͤren, worunter ſich aber nicht mehr als ein reeller finde. So giebt es z. B. obgleich der Logarithme von 1 =o iſt, außerdem noch eine unzaͤhlige Menge imaginaͤrer Logarith⸗ men eben dieſer Ene⸗ nemlich — 3. — — 3, indem das Dreyfache eines 21. — 1; 31.— 3 41.— I; 41. — — 1 und unendlich viel andere, welche man auf dem Wege der Ausziehung der Wurzel findet. Es hat aber dieſe Behaup⸗ tung einen weit hoͤhern Grad von Wahrſcheinlichkeit, als die vorhergehende: denn ſetzt man X = . a, ſo wird. a = ex, und folglich =IIITIZTTYX. und da dieſes eine Gleichung von unendlich vielen Dimen⸗ L ſionen iſt, ſo iſt es gar nichts beſonders, daß x unzaͤhlige Wurzeln hat. Ob aber gleich auf dieſe Art das letzte Pa⸗ radoxon aufgeloͤſet wird, ſo bleibt doch das erſte in ſeiner ganzen Staͤrke, nach welchem zu der logarithmiſchen Linie un⸗ O 428 Zweytes Buch. Ein und zwanzisſtes Canttel. unzaͤhlige von einander abgeſonderte Punkte jenſeits. der Axe gehoͤren. K. 517., Noch deutlicher uͤberzeugt man ſich von der Wirklichkeit dieſer unzaͤhligen Menge von Punkten durch die Gleichung y = (— 1) . Denn ſo oft x eine ganze gerade Zahl oder ein Bruch mit einem geraden Zaͤhler iſt, ſo oft iſt „ = 1; wenn aber x eine ungerade Zahl oder ein Bruch iſt, deſſen Zaͤhler und Nenner ungerade Zahlen ſind, ſo wird „= – 1; in allen uͤbrigen Faͤllen, wenn x entweder ein Bruch mit einem geraden N Nenner oder gar eine Irrationalzahl iſt, iſt der Werth von y imaginäaͤr. Es giebt daher die Gleichung „S (— 1) z eine unzaͤhlige Menge von Punkten, die ab⸗ geſondert von einander auf beyden Eeiten der Axe, und zwar um den Raum = 1 von ihr entfernt, liegen. Unter dieſen Punkten giebt es kein Paar auf eben der Seite der Axe, die nicht von einander abgeſondert waͤren, und dem⸗ ungeachtet ſind ſie ſich ſo nahe, daß die Entfernun ung zwi⸗ ſchen ihnen kleiner als jede gegebene Groͤße iſt. Denn zwi⸗ ſchen jeden zwey noch ſo nahen Werthen der Abſeiſſe laſſen ſich nicht einer ſondern unzaͤhlige Bruͤche ſetzen, deren Nen⸗ ner ungerade Zahlen ſind, und aus jedem dieſer Werthe ſindet man einen zu der gegebenen Gleichung gehoͤrigen Punkt. Es ſcheint alſo nur, als ob man durch dieſe Punkte auf zwey gerade Linien gefuͤhrt werde, die der Axe parallel laufen, und von ihr zu beyden Seiten um 1 entfernt ſind, indem es in dieſen Linien keinen Theil giebt, worin man nicht einen, ſondern unzaͤhlige Punkte, die in der G Gleichung y = (— 1) * enthal ten ſind, angeben koͤnnte. Eben dieſe Anomalie findet auch bey der Gleichung y = (— a) und andern ihr aͤhnlichen ſtatt, in welchen eine negatide Groͤße . zu dhen rèð püne⸗ herti alfftl N i Korin do⸗ die Erp⸗ dazel eatis der Dinn ſee ſo ith e ſermenn Ggr lon, he w yulſſchen don nrn Nur= Dern un gohtit, Gleichn en, die ck Ae, ud n. Unter Sün der 8 uod Denn u Von den tranſcendenten Curben. 429 zu einer unbeſtimmten Poteſtaͤt erhoben iſt, und es war da⸗ her noͤthig, dieſe bey den tranſcendenten Curven moͤglichen auffallenden Beſchaffenheiten hier zu beruͤhren. §. 518. Zu dieſem Geſchlechte der Curven, welche von Loga⸗ rithmen abhaͤngen, gehoͤren nicht nur alle Gleichungen, worin Logarithmen vorkommen, ſondern auch diejenigen, die Exponential⸗Groͤßen enthalten, indem dergleichen Groͤßen ſich ergeben, wenn man von den Logarithmen zu den Zahlen fortgeht; daher denn auch dieſe Curven Expo⸗ nential⸗Curven genannt werden. Eine ſolche Curve iſt die in der Gleichung „ = xXX, oder 1y = XlIX enthaltene. Denn ſetzt man = o, ſo wird y = I; ſetzt man X = I, ſo wird auch „= I1; ſetzt man = 2, ſo wird y»= 4; ſetzt man 2 = 3, ſo wird y = 27, ꝛc. Es ſtellt daher BDM, Fig. 102, die Geſtalt dieſer Curve fuͤr die Axe AP vor, ſo daß, wenn man A C = 1 ſeyn laͤßt, A B = CD = I iſt. Zwiſchen A und C aber ſind die Applicaten kleiner als 1; denn macht man X = — ſo wird JS= v =o, 7071068: und die kleinſte Applicate findet man, wenn man die Ab⸗ 1 ſciſſe x = — = 0,36787944 ſetzt, wo die Applicate y = O, 692200 wird, wie in dem Folgenden gelehrt wer⸗ den ſoll. Um aber zu ſehen, wie die Curve jenſeits B be⸗ ſchaffen ſey, muß man x negativ machen, woduerch alſo I S werden, und die Curve aus lauter von ein⸗ ander abgeſonderten Punkten beſtehen wird, die ſich der Axe als einer Aſymptote naͤhern. Es fallen aber dieſe Punkte bald auf die eine bald auf die andere Seite der Axe, . 5 * — 430 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel. je nachdem entweder eine gerade oder eine ungerade Zahl Jal: bedeutet. Ja auch unter der Axe A P kommen unzaͤhlige dhung ſolcher Punkte zu liegen, wenn man fur X einen Vruch mit dere t einem geraden Nenner ſetzt; denn macht man x = 2 ſo N wird y = † 1 , und Yy = Es endigt ſich daher die continuirliche Curve MDB wider die Art der algebraiſchen Linien ploͤtzlich in B, und anſtatt der Fortſetzung hat ſie die ede⸗ von einander abgeſonderten Punkte, woher denn die Reali⸗ taͤt dieſer gleichſam zugehoͤrigen Punkte aufs deutlichſte in die Augen faͤllt. Denn wenn dergleichen nicht zugegeben werden ſollten, ſo muͤßte man annehmen, daß die Curve in dem Punkte B pooͤtzlich aufhoͤre, und dies waͤre dem— “ Geſege der Continuitaͤt zuwider, und folglich falſch. J. 519. Unnter den unzaͤhligen Curven von dieſer Gattung, deren Conſtruction durch die Logarithmen erhalten werden kann, G her giebt es auch einige, wobey man nicht ſogleich wahrnimmt, HD wie ſie conſtruirt werden koͤnnen, wo man ſich aber den⸗ ußh de noch durch eine geſchickte Subſtitution leicht hilft. Es ge⸗ NA hoͤret hieher die durch die Gleichung 27 = y* ausgedruckte ett Curve. Denn ob man hier gleich beym erſten Anblick ein: gte ſieht, daß die Applicate y beſtaͤndig der Abſeiſſe gleich iſt; ſynen ſo daß eine gerade Linie, die mit der Axe einen halben Alerden rechten Winkel macht, der angefuͤhrten Gleichung ein Ge⸗ ihende nuͤge thut; ſo iſt doch auch offenbar, daß eben dieſe Glei⸗ abi chung einen weitern Umfang hat, als die Gleichung fuͤͤr t die gerade Linie „= x; und daß ſie alſo dadurch nicht er⸗ nd pen ſchoͤpft wird, indem ihr ebenfalls ein Genuͤge geſchehen fann, ohne daß = y iſt: denn ſetzt man x = 2, ſo kang . Don Lt. Nraheech untge Berchm 1- uite 0t weegeben — s eo. 8 wde W ſlch⸗ wung deren verden kon. Noßenimm , cheber den⸗ . Gg .n Wbicten ſer gahſt inen huin hung eine dieſe ⸗ eikng i utch ict 7 ige getteßt Y 4 Von den tranſcendenten Enrven. 431 7 auch = 4 ſeyn. Es druckt demnach die gegebene Glei⸗ chung außer der geraden Linie EAF, Fig. 103, noch an⸗ dere Linien aus, die man mit jener als Theile der darin enthaltenen ganzen Curve anſehen kann; und um auch dieſe Theile od oder die ganze Curve zu finden, ſetze man y = t xX ſo daß 4 Xt X — t * werde. Zieht man hieraus die xte Wurzel, ſo wird —XI = tX, und Xt- = t und man hat daher I.: (t — 1) t (t — 1) X = t z und y = t oder, wenn man t — 1 = — ſetzt X = (1 † ² und y = (I † D r. Es hat folglich die Curve, welche durch die Gleichung Xy = y ausgedruckt wird, außer der geraden Linie K A K noch den Schenkel Kks, welcher ſich den geraden Linien A G und AH als Aſymptoten naͤhert, und wovon die gerade Linie AF der Durchmeſſer iſt. Es ſchneidet aber die Curve die gerade Linie AF in dem Punkte C, ſo daß AB = BC= e iſt, wenn e die Zahl bedeutet, deren Logarithme = 1 iſt. Außerdem aber giebt dieſe Gleichung eine unzaͤhlige Menge von einander abgeſonderter Punkte, welche nebſt der ge⸗ raden Linie EF und der Curve R CS die Gleichung erſchoͤ⸗ pfen. Es laſſen ſich alſo unzaͤhlige Maare r von Zahlen X und y angeben, die ſo beſchaffen ſind, daß X 5 — y* iſt. Von den Rational⸗ Zahlen z. B. ſind dergleichen 432 Zweytes Buch Ein und zwanzigſtes Capitel. X — 2 y = 4 2 3 x = 22 — 2. y = — = 4 6 A4 3 ¾ 27 34 81 54 625 5 Xx= T. = — y = — = 21¹25 44 agz6 4 1024 Wenn ma man nemlich d don jedem Paare dieſer Zahlen die eine zu der Poteſtaͤt erhebt, die zum Exponenten die andere Zahl hat, ſo bekommt man gleiche Groͤßen. So iſt = 42 = 16 c⸗ * G) 4 ⸗ M 256 . 520. Obgleich bey dieſen und den ihnen zhnlichen Curven unzaͤhlige Punkte algebraiſch geſucht werden koͤnnen, ſo darf man doch deswegen dieſe Curven nicht zu den alge⸗ braiſchen zaͤhlen, weil es außer jenen Punkten auch eine unzaͤhlige Menge ſolcher Punkte giebt, die ſich nicht alge⸗ . braiſch beſtimmen laſſen. Wir wollen uns alſo zu einer an⸗ dern Gattung der tranſcendenten Curven wenden, zu ſol⸗ chen nemlich, bey welchen Kreisbogen gebraucht werden; und um dabey die Rechnung nicht durch den Gebrauch zu vieler Zeichen ohne Noth ſchwer zu machen, den Halb⸗ meſſer des Kreiſes, von welchem Bogen bey der Con⸗ ſtruction ℳ ſtucten Dß ſtln tur des dutfen dieer 4 GSichun elegden 4, — Mgl “ lintiru t als ie Uuateen⸗, ſhen auſs Non Coven Ne andere Soſt ſchen Enn 1 HMrnen ohe ouuß i iict N eet aG den, W. ſn⸗ ucht wer anden Gebtmnh, nn hi⸗ w nlu ae on “ Von den tranſtendenten Curben. 433 ſtruction vorkommen, allenthalben der Einheit gleich ſetzen. Daß aber dieſe Curven nicht zu den algebr raiſchen gehoͤren, iſt leicht zu zeigen, obgleich die Unmoͤgli chkeit der Quadra⸗ tur des Kreiſes noch nicht außer allem Zweifel iſt. Wir duͤrfen zu dieſem Entzwecke nur die einfachſte Curve von dieſer Art nehmen, diejenige nemlich, welche durch die Gleichung . = A. ſin. ðèG „α Kreiſes proportional iſt, deſſen Sinus durch — ausgedruckt werden kann. Denn da zu einem und demſe lben Sinus unzaͤhlige e Bogen gehoͤren, ſo iſt die Appl ieate y eine C infinitinomiſche Funktion, und es ſchneidet daher ſowohl ſie ſelbſt als jede andere gerade Linie die Curve in unzaͤhligen Punkten; ein Umſtand, der dieſe Curve von den algebrai⸗ ſchen aufs ſchaͤrfſte abſondert. Es ſey s der k leinſte von den halben Umkreis: ſo ſind die Werthe von X folgendes 8; „W — 8; 2 t s; 3 7 — s; A † s; — te. „ — 7Z — 8; - 2 7T † s; — 37 — s8; — 47 † 8; — 5 % — s; 2c. Nimmt man alſo Fig. 104 die gerade Linie CAB zur Axe, und A zum Anfangspunkte der Abſciſſen an, ſo iſt zuvoͤr⸗ derſt, wenn man die Abſeiſſe = o ſetzt, die Applicate AATI = z a; AA2 = 27 a; AA3 = 3 a, 20. und auf der andern Seite AAPI = z a; AA-2 = 2 7 3; A A 35 = 34, c. Nimmt man aber die Abſeiſſe AP = xX, ſo ſchneidet die Applicate die Curve in unzaͤhligen Punkten M, ausgedruckt wird, ſo daß die Applicate 7 dem Bogen eines den Vogen, die zu dem Sinus — gehoren, und bedeute „ Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. D. Ee und — 434 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel. und es iſt PMXx = as; P M2 = a (r — s); P M53 = a (27 † s) ꝛc. Es beſteht demnach die ganze Curve aus unzaͤh⸗ ligen Theilen AEIAX; ATFYAZ; A2EZA 3; A3FZAA4; ꝛc., die einander aͤhnlich ſind, ſo daß die geraden Linien, welche der Axe BC parallel ſind, und durch die Punkte E und E gehen, Durchmeſſer der Curve werden. Es iſt aber AC = AB = c, und die Intervalle ETEz; EzE3; ETE—I; EIE-2; FIE2; F2 F-ITI; F-IF-—2 ſind, jeder allein genommen, = 2 aæ. Dieſe Curve wird vom Hrn. von Leibnitz die Linie der Sinus genannt, weil man durch ſie den Sinus eines jeden Vogens auf eine leichte Art finden kann. Denn da T = = A. ſin. — iſt, ſo iſt ner- = ſin. A. T. X und ſo hatme man zugleich die Linie der oſns §. 521. Auf aͤhnliche Art findet man die Linie der Tangenten, ſderen Gleichung „ = A. tang. X iſt, wenn man der Kuͤrze wegen a = 1, und c = I ſetzt. dka wird nemlich durch ſin. die Umkehrung X = tang. A. y = Di und die Geſtalt dieſer Curve laͤßt ſich leicht aus der Natur der Tangenten erkennen. Es hat aber dieſelbe unzaͤhlige einander parallele Aſymptoten. Auf gleiche Art kann man die Linie der Se⸗ . canten aus der Gleichung y =— A. ſec. x, oder X = ſec. A. y = — beſchreiben, die ebenfalls unzoͤhlige ohne Ende fortlaufende Schenkel hat. Am bekannteſten aber iſt aus dieſem Geſchlechte der Curven die Cycloide oder Tro⸗ chheide geworden, welche von einem Punkte in der Periphe⸗ —— ge eines einet ge kechtwit heſchel ſchoften cher ken es Mnd e heen ſckeibuns geeden pelter ſch ſpee, Drcmeſer Nesre⸗ d Nerin ſiner Un vey wan erdarh giebt,fet ifet= Purtt in in de den eben ſeh becol Ce. . MMWE 3kiſct nien, ide miie un Es it e ¹, Lili ſi, jede mHen. von Wfedean. t indmimmn 2 . — 4 er Ceogoren nun der ir⸗ genih durch D de Nr Nonyend Cer onnli⸗ init der O der 1 =1 Nzthige ſ⸗ teſenchrf de der e⸗ u haſe ſie — . Von den tranſcendenten Curven. 435 rie eines Kreiſes beſchrieben wird, wenn ſich dieſelbe auf einer geraden Linie fortwaͤlzt, und deren Gleichung fuͤr rechtwinklige Coordinaten „ = V (I — XX) † A. coſ. xX iſt. Dieſe Curve iſt ſowohl wegen der leichten Art ſie zu beſchreiben, als auch wegen der vielen beſondern Eigen⸗ ſchaften, die ſich bey ihr finden, ſehr merkwuͤrdig. Da aber die meiſten von dieſen Eigenſchaften ohne die Analyſis des Unendlichen nicht erklaͤrt werden koͤnnen, ſo wollen wir hier nur die vornehmſten von denen, die aus der Be⸗ ſchreibung der Linie ſelbſt fließen, kuͤrzlich betrachten. d. 522. . Es waͤlze ſich alſo der Kreis A CB, Fig. 105, uͤber der geraden Linie E A fort, und damit die Unterſuchung deſto weiter ſich erſtrecke, ſo beſchreibe, nicht ein Punkt der Pe⸗ ripherie B, ſondern irgend ein Punkt des verlaͤngerten Durchmeſſers D die Curve D d. Es ſey der Halbmeſſer dieſes Kreiſes CA = CB = a, und die Entfernung CD = b, und darin D der aͤußerſte Punkt. Nun ſey der Kreis bey ſeiner Umwaͤlzung in die Lage a QbR gefommen, ſo iſt, wenn man den Raum A = = 2 ſetzt, der Bogen a 2 — 2, der durch den Halbmeſſ er a dividirt, den Winkel ac Q= 4 giebt; ferner befindet ſich der beſchreibende Punkt in d, ſo daß c d = b, der Winkel de Q = — „ und 3J ein Punkt in der geſuchten Curve iſt. Man ziehe alſo aus d zuodͤrderſt die gerade Linie dp auf die A Q fenkrecde, und eben ſo die dn auf QR; ſo iſt dn = b. Hkn. . und en = — b. Coſ. — ſolglich QAn = = dp= a f b. coſ. —. Nan Ce-- ver⸗ „* mnmee ℳ . H S * . . In = z † b. ſin. “ 3 (1 — P= aA. ſin. welche die gemeine Cycloide giebt, aber b entweder groͤßer oder kleiner als a, ſo bekommt die Curdve den Namen der abgekuͤrzten oder der verlaͤngerten Cycloide. . Funktion von X oder von t; oder es ſchneidet jede der 436 Zwehtes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel. verlaͤngere die n, bis ſie der geraden Linie AD in P begegne, und ſetze die Coordinaten DPp = x, und Pd = y; ſo iſt 1 7Z 5* = b cn; oder „ = b — b. coſ. —, und y = A QQ † ʒ à2à2 Da alſo b. coſ. =— b — x iſt, ſo . wird b. ſin. = V (2, b X — X X) und 2 = a A. coſ. V (2 bz — XX) b dieſe Werthe, ſo wird „= V. (2bx — xXX) + a A. ſin. CQbx — Xx) P . Axe A D vom Mittelpunkte an, und ſetzt dabey b — -« = 1, ſo wird Oder nimmt man die Abſciſſen in der V bx — XX) = V V (bb — tt) und dann hat man zwiſchen t und y folgende Gleichung: Z „ = Vü(bb— tt) † aA. coſ Es iſt aber „ allemal eine unendlich vielfache Grundlinie A Q parallel gezogene gerade Linie die Curve in unzaͤhligen Punkten, wofern nicht ihre Entfernung x oder t ſo groß iſt, daß V (2 bx — xxX) oder e v (bb — 14) eine imaginaͤre Groͤße wird. . 523. Zu den bekannteſten Curven dieſer Gattung gehoͤren die Epicreloiden und die Pypocycloiden, welche ent⸗ . ſſtehen, — ; und d gedraucht man wenn b = a iſt; iſt ſchen, tipheit ſolche g wederin uur alinſe neſt nfr 16 fle Ns grede di dieſer anf⸗ i ener . die lage (1240. Uid wenn Cred. Unie ad Re ſehkre id pi =1 N hekonmt die Neangernn nich neftt⸗ eber /he N eCunein unz rt „- Sere tung h ſchen, Von den tranſcendenten Curven. 437 ſtehen, wenn ſich ein Kreis A C B, Fig. 106, uͤber der Pe⸗ riph erie eines andern Kreiſes O AQ umwaͤlzt, und, indem ſolches geſchiehet, irgend ein Punkt D, welchen man ent⸗ weder innerhalb oder außerhalb des beweglichen Kreiſes an⸗ genommen hat, die Curve Dd beſchreibt. Man ſetze den Halbmeſſer des unbeweglichen Kreiſes O A = c, den Halb⸗ meſſer des be eweglichen aber CA = CB= a, die Entfer⸗ nung des beſchreibenden Punktes C(D = b, und laſſe die gerade Linie O D die Axe der geſuchten Curve ſeyn. Aus dieſer anfaͤnglichen Lage, bey welcher die Punkte O, C, D in einer geraden Linie ſind, komme der bewegliche Kreis in die Lage Qck, nachdem er den Bogen AQ= 2 beſchrieben hat, daß alſo A00=- — ſey. Alsdann iſt der Bogen Qa = A Q = 2, unddaher der Winkel ac = — = Rcd, geicun und wenn man cd = CD = b macht, der Punkt 4 in der Curve Dd. Man faͤlle aus ihm auf die Axe die ſenkrechte Linie db herab, und eben ſo ſtelle man cm aus e auf die Axe ſenkrecht, und ziehe außerdem on der Axe Ob parallel. Da der Winkel Ron = A0 = iſt, ſo wird der Winket den = -=- - = Ata⸗ 4 GC und daher bekommt man dn = b. ſin õl und en = b. co .L.t H 20 . GC Da ferner O C = O c = a † c iſt, ſo wird 77 V cm — (a † c). fin. c; und Om = a 1† c). coſ. =. Nennt man alſo die rechtwinkliged Eoordinaten ob= und Pd = y, ſo wird . EEe 3 JJ = 433 8 Zieytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel. =eteet tb 1 11 , und =üt&⅓ Gn. - 4 b. ſin Hieraus erhellet, daß die unbefannte Groͤße 2, wenn eine rationale Zahl iſt wegen der alsdann ſtatt findenden Lommenſurabilitaͤt der Winkel und 8 wegge⸗ ſchafft . und alſo eine algebraif ſche Gl Gleichung zwiſchen den unbekannten Groͤßen und y gefunden werden kann. In den uͤbrigen Faͤllen iſt die auf dieſe Art beſchriebene Curve eine tranſcendente. Wenn man a negativ nimmt, ſo iſt die ſich ergebende Cürve eine Hypocycloide, indem alsdann der bewegliche Kreis innerhalb des unbeweg lichen faͤllt. Gemeiniglich ſetzt man b dem Halbmeſſer a gleich, und dann entſtehen die eigentlich ſogenannten Epicycloiden und Hypocycloiden. Die hier gefundenen Curven erſtrecken ſich alſo weiter, und weil ihre Gleichungen nicht ſchwerer ſind, hat es mir nicht undienlich geſchienen, dieſe Bedingung hinzuzufuͤgen. Wenn man die Qu drate XX und yy addirt, ſo wird XX 1. yy = (a † ) † b⸗ 1 2 b ( 4 c). col. und vermitte lſt dieſer Gleichung wird die unbefannte Groͤße 2 noch leichter weggef ſchafft, wenn die Groͤßen a und c com⸗ menſurabel ſind. K. 524. Außer dem Faͤllen, in welchen die Halbmeſſer der Kreiſe a und c unter einander tommenſatabel ſind, und die Curven darden wern b Mittelp y. 18 . hriebene Cn Z Abeſe de Ne 9 ſ, ddi (de Von den tranſcendenten Eurven. 439 Curven algebraiſche werden, iſt auch der zu bemerken, wenn b = — a — c iſt, oder wenn der Punkt D in den Mittelpunkt O des unbeweglichen Kreiſes faͤllt. Es ſey alſo b — — a — C ſo iſt xX † yy=2 (a † c)⸗ 2 (1 — coſ. — — = 4 G )2(coſ⸗ *ℳ und daher wird 2 7. . V 6 X X col 2 = † yy) 2² 2 (a † c). Da hiernaͤchſt — „= ( † c) (coſ. 2 — — Eéoſ. Ar. a c und = ( † 6)(ſn. = — ſn. Q.. A) a G iſt, ſo wird — J 7 xX (2 a † c) 2 . 2ac VCXXT yY) und cof. 21 2 = — „ 234 cü Vi Da nun V (xx †yy) = 2G † ) cof = — ſ, ſo wird 2 2 = 2 (2 † c). col. . ſin. 21 2 àa C Sÿ”M (2 a c) rrrn n — I. . = 2G 4 *). cof. di. — — Ce 4 H SS “ 2 440 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel. Es ſey z. B. c = 2 a, ſo wird L „ 2 2 X = 6 a. coſ. —. ſin. — 2 A und y = — 6 a. coſ. —. coſ. — 2a a und VG 1 77) = 6 a. gol Man ſete e⸗ cot⸗ = 4, ſo wird ſin. 2. = V. G-— 39; fin. = 2 4q V (I — qq), und coſ. — 2 qq — 1: folglich VCxx 1 M õ 6a urnnd y — 6 àa q (2 q 4— D = (— 2 q) V. Ex † yy) = (1 — U 2) V (xx yY) . oder I8aay = (1 82 a — xx — yy) V (x † yy). Setzt man 18aa = ff, und nimmt dabey die Quadrate, D ſo bekommt man folgende Gleichung der ſechsten Ordnung: (XKXx † yy) 3 = 2 ff (Xx † yp2 † fAxx = 0o. Da es jetzt nicht unſere Abſicht iſt, algebraiſche, ſondern tranſcendente Curven zu betrachten, ſo wollen wir dieſe . Curven fahren laſſen, und zu ſolchen tranſeendenten Cur⸗ ven fortgehen, deren Conſtruction ſowohl Logarithmen als Rreishogen erfordert. N! Ae, ſa gatio ber t e eſcnit de Ne Ne denn ⸗ ntthnen 4 V Von den tranſcendenten Curven. 441 §. 525. Eine ſolche Curve haben wir ſchon oben § 5II aus der Gle ichun „ 1V — 11.— V — 1 1 gefunden, welche wir in folgende y = coſ. A. Ix erwandelten. Nun ergiebt ſich aus dieſer ferner A. cofſ. y A. coſ. y = Ix; und X = e und nimmt man daher, Fig. 107, die gerade einie AP zur Axe, und in ihr A zum Anfangspunkte der Abſciſſe en an, ſo iſt zuvoͤrderſt klar, daß jenſeits A, da, wo die Abſciſſen ne⸗ gativ ſind, kein continuirlicher Theil der Curde iſt, daß aber die Axe AP von der Curve in unzaͤhligen Punkten O. geſchnitten wird, deren Entfernung von A in einer geome⸗ * triſchen Progreſſion ſtehen. Es iſt nemlich AD =e 2; ADI e?; A De = ez; AD3 = e 2; 2c. Auch giebt es unzaͤhlige Durchſchnitspunke die naͤher nach A liegen; AD-T = e 2 ; A D -2 = e 2= 2 AD- 3 = e 2 ꝛc. Ferner laͤuft dieſe CLurve zu beyden Seiten der Axe bis zu den Entfernungen A B = A C = I fort, und beruͤhrt da⸗ ſelbſt die mit der Axe⸗ parallel gezogenen geraden Linien in unzaͤhligen Punkten E und F, deren Entfernungen von Bund C ebenfalls eine geometriſche Progreſſion geben. Es naͤhert ſich alſo die Curve der geraden Linie B C durch unzaͤhlige Bogen, und faͤllt endlich ganz mit ihr zuſammen. Die die⸗ ſer Curve eigenthuͤmliche beſondere Beſchaffenheit beſteht alſo darin, daß nicht eine unendliche, ſondern eine endliche gerade Linie BC ihre Aſomptote iſt, und duech dieſe Eigen⸗ Ees ̃ ſchaft 442 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel. ſchaft iſt ſie von den gigebraif ſchen Curven hinlaͤnglich ab⸗ geſondert. 5§. 526. Zu den tranſcendenten Curven, zu deren Conſtruction Winkel, entweder allein, oder mit Logarithmen verbun⸗ den, erforderlich ſind, gehoͤren auch die unzaͤhli igen Arten der Spiral Linien. Es beziehen ſich aber die Spiral⸗Li⸗ nien auf einen gewiſſen feſten Punkt C, Fig. 108, als auf einen Mittelpunkt, und erſtrecken ſi ch um denſelben ge⸗ meiniglich in unzaͤhligen Bogen. Die Natur dieſer Curven laͤßt ſich am bequemſten durch eine Gl leichung zwiſchen der Entfernung C M irgend eines Punkts der Curve M vom Mittelpunkte C, und dem Winkel ACM, den dieſe gerade Linie CM mit der der Lage nach gegebenen geraden Linie CA macht, ausdrucken. Es ſey alſo der Winkel ACNM = s, oder s der Bogen eines mit dem Halbmeſſer = r beſchriebenen Krei⸗ ſes, welcher das Maaß des Winkels ACM ausdruckt, und die gerade Linie C M = z. Wenn bey dieſen Vorausſetzu ingen eine Gleichung zwiſchen den veraͤnderlichen Groͤßen s und 2 gegeben iſt, ſo iſt ſolches eine Gleichung fuͤr eine Spiral⸗ Linie. Da nemlich der Winkel ACM außer s auf unzaͤh⸗ lige Arten ausgedruckt werden kann, indem die Winkel 2⁷% s; 47 † s; 62æ † s; ꝛc., desgleichen — 27 † s; — 4 7 † s; ꝛc. eben die Lage der geraden Linie C M geben: ſo erhaͤlt, wenn man dieſe Werthe anſtatt s in die Glei⸗ chung bringt, die Entfernung C M unzaͤhlige von einander verſchiedene Werthe, und es ſchneidet demnach die gerade Linie C M, verlaͤngert, die Curpe in unzaͤhligen Punkten, wofern nicht 2z aus dieſen Werthen imaginaͤr wird. Um von dem einfachſten Falle anzufangen, wo y = as iſt; ſo ſind dabey die Werthe von y fuͤr einerley Lage der geraden Linie e deie Jae er Po 7 irnt einande den, oh Dorchne Erfider Gächa Na D ichch ruction herbun⸗ Arten aAlei⸗ „Geanf elben d Curden hen der = . Cets n Kei⸗ — ee . 1sund¹ ander gercde Punten d. n siſt guinh e 6 Von den tranſcendenten Curven. 443 Linie C M. folgende: à (2 * † s); à (47 † 8); a (6 † s) ꝛc. desgleichen — a(27 — 8); — a( 47 — ); ale — ) ꝛ:c. Ja es bleibt die Lage der geraden Linie C M dieſelbe, wenn man fuͤr s d den Bogen æ= †s ſetzt, nur daß man den Werth von 2 negativ nehmen muß; und man hat, daher zu den an⸗ gefuͤhrten Werthen von 2 noch folgende zu ſetzen: — a ( † s); — a (37 † ⁸); — a (5 T s); ꝛc. und dann auch noch dieſe a (7 — s); a (3 7 — 8⁸); aà (57 — 8) ꝛc. Die Geſtalt dieſer Curve iſt demnach ſo, wie die 109te Figur dieſelbe darſtellt. Sie beruͤhrt nemlich die gerade Linie A C in C, und erſtreckt ſich von da in zwey Schenkeln, die ſich in unzaͤhligen Bogen um den Mittelpunkt C winden, und einander in der Linie BC, welche auf A C ſenkrecht iſt, ſchnei⸗ den, ohne Ende fort, und hat die gerade Linie B CB zum Durchmeſſer. Man nennt aber dieſe Curve nach ihrem Erfinder die Archimedeiſche Spiral⸗Linie; und hat man ſie einmat beſchrieben, ſo kann man ſich ihrer, wie aus der Gleichung? = as von ſelbſt einleuchtet, bedienen, um je⸗ den Winkel in jede beliebige Anzahl von Theilen zu theilen. So wie die Gleichung 2 = a s, die, wenn 2 unds recht⸗ winklige Coordinaten waͤren, eine Gleichung fuͤr eine ge⸗ rade Linie ſeyn wuͤrde, die Archimedeiſche Spiral⸗ Linie gegeben hat: ſo erhaͤlt man daraus, wenn man andere algebraiſche Gleichungen zwiſchen 2 und s annimmt, un endlich viel andere Spiral l-⸗Linien, wofern nemlich die Gleichung ſo beſchaffen iſt, daß zu jedem Werthe von s reelle Werthe von 2 gehoͤren. So giebt die Gleichung 2 — — S weiche der Gl eichung fuͤr die Hyperdel zhnlich iſt, wenn Diune⸗ — „ 7 . 444 Zweytes Buch. Ein und zwanzigzſe⸗ Capitl. dieſelbe auf die Aſymptoten bezogen wird, die Spiral⸗ einie, welche Johann Bernoulli die hyperboliſche Spiral⸗Linie nennt, und welche ſich, nachdem ſie aus dem Mittelpunkte C in unzaͤhligen Bogen ausgegangen, endlich in einer un⸗ endlichen Entfernung der geraden Linie A A als einer Aſym⸗ ptote naͤhert. Wenn man die Gieichung 2Z = à V 5 ſeyn laͤßt, ſo gehoͤrt zu den Winkeln s, negativ genommen, keine reelle Entfernung 2; dagegen entſpricht jedem poſiti⸗ Dden Werthe vons ein doppelter Werth von 2, ein poſitiver — und ein negativer; die Spiral⸗Bogen um C ſind indeß ohne Ende. Iſt die Gleichung zwiſchen 2 nnd s von fol⸗ S gender Art: = a V(nn — ss) ſo hat die veraͤnderliche Groͤße 2 keinen reellen Werth, au⸗ ßer wenn s zwiſchen die Grenzen † n und — n faͤllt, und es iſt daher die Curve in dieſem Falle endlich. Legt man nemlich, F Eig. 110, durch den Mittelpunkt C die gerder Linien EF, EpF, ſo daß ſie mit der Axe ACB den Winkel = machen, ſo beruͤhren dieſe Linien die Curve in C „und die Curve ſelbſt bekommt die Ge eſtalt einer Bandſchleife ACBCA. Auf ähnliche Art kann man die Geſtalt unzaͤhliger anderer tranſcendenten Linien beſtimmen; z allein wir wuͤrden zu weitlaͤuftig werden, wenn wir uns laͤnger. dabey verweilen wollten. . 528. Einen unendlichen Umfang bekommt vollends dieſe Un⸗ terſuchung, wenn man nicht bloß algebraiſche, ſondern auch tranſcendente Gleichungen zwiſchen z und s nimmt Unter den Curven, welche man dann findet, verdient vor⸗ zuglich die gemerkt zu werden, die durch die Gleichung 2 2 gen Mnon Cuſtil ſhaft Fig Wulk ſete A⸗ Donn ne wied men, hoſiti⸗ hoſiüͤder d inde, von ſoh 66 Von den tranſeendenten Curvden. 445 2 8⅛⁹ =— n1. — Hr 1. “ ansgedruckt wird. Hierbey ſind nemlich die Winkel § den Logarithmen d der Entfernungen proportional, weswe⸗ gen auch dieſe Curve die Logarithmiſche Spiral⸗Linie genannt wi ird, ſo wie ſie wegen ihrer vielen beſondern Ei⸗ genſchaften eine ſehr bekannte Curve iſt. Die Haupteigen⸗ ſchaft derſelben iſt, daß alle aus dem Mittelpunkte C, Fig. 1II, gezogene gerade Linien die Curve unter gleichen Winkeln ſchneiden. Um eine Gleichung dafuͤr zu erhalten, ſetze man den Winkel ACM = s, und die gerade Linie CM = 2, ſo iſt 8ͤ 2 s = n1. — ; und z = ean. a Dann nehme man einen grͤßern Winkel ACN — ⁸ 1 v, ſo wird 88 V CNSaenen und folglich, nachdem man aus dem Mittelpunkte C den Bogen ML. beſchrieben hat, der =ͤ 2v ſeyn wird 8 x „ 22 3 LNS= aen (e1 — 1) = ae (n † zns † En7 † ꝛc.) „ Hieraus fließt ML— V — rN 1 1 — 1 2nz2 6 e, — 1 † V 4 — 4 ꝛ zu enn WDmienn OYUW 446 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel. Wenn aber die e Differenn der Winkel MCN= v verſchwin⸗ . 1 det, ſo wird — die Tangente des Winkels, welchen der Halbmeſſer chn mit der Curve macht; und wenn alſo v= o 4 genommen wird, ſo iſt die Tangente dieſes Winkels A MC= n und alſo eine beſtaͤndige Groͤſe. Wenn n = I iſt, ſo iſt die⸗ ſer Winkel ein halber rechter Winkel, und in dieſem Falle wird die logarithmiſche Speeial⸗ Linie balbrechtwinklig ge⸗ Rnannt. . Uuof Late luct, 5 ſe Oer 804 . Ud wenn D fſd . H 81 Mauf⸗ ſtrſoke 4 Vogens imhen den ⸗ 175 = abſeht Zwey und zwanzigſtes Capitel. Aufloͤſung einiger den Kreis betreffender Aufgaben. F. 529. Wir haben oben geſehen, [im erſten Buche im achten Capitel!, daß, wenn man den halben Umkreis durch „. aus⸗ druckt, der Bogen von 1800, oder * = 3,14159265358979323846264338 iſt. Der gemeine Logarithme dieſer Zahl iſt = 0,497149872694133854351268288 und wenn man denſelben durch 2, 30258 zc. multiplicirt, ſo findet man den hoperboliſchen Logarithmen eben dieſer Zahl = 1,1447298858494001741434237 Da auf dieſe Art die Laͤnge eines Bogens von 1800 bekannt iſt, ſo kann man auch die Laͤnge jedes in Graden gegebenen Vogens in Zahlen ausdrucken Iſt alſo ein Bogen von n Graden gegeben, und ſeine Laͤnge = — 2, ſo iſt I180: n = : 2 folglich und den Logarithmen von 2 findet man, wenn man von dem Logarithmen von n die Zahl I. 758 122632409172215452526413 abzieht. Wenn aber der gegebene Bogen in Minuten aus⸗ 448 Zwehten Buc. Zwey und zwanziſtes Capitel. gedruckt, und alſo n’ gegeben iſt, ſo muß man von dem Lo⸗ garithmen von n dieſen Logarithmen abziehen: 3,5 36273882792815847961293211 Iſt endlich der Bogen in Secunden gegeben, und alſo = n“; ſo findet man ſeinen Logarithmen, wenn man von dem Lo⸗ garithmen der Zahl n den Logarithmen 5, 3 144251331764594804700600ονn“ ſubtrahirt, oder zu dem Logarithmen der? Zahl n 4,685 574866823540519 529939990 addirt, und von der Charakteriſti der Summe 10 abzieht. §. 530. . umgekehrt laſſen ſich hiernach der Hal bmeſſer und alle Theile von ihm, dergl eichen die Sinus, die Taugenten und Secanten ſind, in Bogen verwandeln, und dieſe Bo⸗ gen dann auf die gewoͤhnliche Art in Graden, Minuten und Secunden ausdrucken. Es ſey eine ſolche durch den Halbmeſſer 1 und Decimaltheile von ihm ausgedruckte Linie. Man nehme ihren Logarithmen, und ſetze zu der Charak⸗ teriſtik deſſelben 10 hinzu, um dieſen Logarithmen ſo zu er⸗ halten, wie er in den Tafeln der Sinus, der Tangenten und Secanten ausgedruckt zu ſeyn pflegt. Alsdann ſubtra⸗ hire man davon =ð ,6855748668235405195299399900 oder addire dazu 5,3144251 3317645948470060009 wo denn in beyden Faͤllen der Logarithme ſich ergiebt, deſ⸗ ſen zugehoͤrige Zahl den Bogen, in Secunden ausgedruckt, giebt. Im letzten Falle muß man die Charakteriſtik um 10 verkleinern. Wird aber ein Bogen geſucht, welcher dem Halbmeſſer gleich ſey, ſo findet man denſelben leichter ohne Logarithmen vermittelſt der Regel de Tri, da æ zu 1800 ſch — „ — Uuf ſch geiqh den ot Und n den ſn, Gi in gente des un 3 Dis Ulfgeben detſt if lis, wof⸗ s ſrhe iſtiderſh Aunn Penc is denher lun ſeinen . folgende Eulers ſt ti nagcrutt tiſtik un l. veſchet ten ihmn e ,, 1 Auſloͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 449 ſich verhaͤlt, wie 1 zu dem Bogen, der dem Halbmeſſer gleich iſt. Auf dieſe Art findet man dieſen Bogen in Gra⸗ den ausgedruckt = , 570, 29577951308232087679 und eben dieſer Bogen iſt in Minuten = 3437974677078493925260788 und in Secunden = 206264“, 8062470963551564728 Nach der gewoͤhnlichen Beſtimmung aber hat derſelbe 570, 177 , 44“, 485“, 22“““, 29““, 21“ und nach den Reihen, die im erſten Buche gefunden wor⸗ den ſind, wird ſein Sinus = 0,841470598480514, und ſein Coſinus = 0,54030230584341 Dividirt man jene Zahl durch dieſe, ſo findet man die Tan⸗ gente des Bogens oder Winkels von 570, 17, 44“, 4811 22“”6, 29“”16, 211** de⸗ 8 531. Dies vorausgeſetzt, ſind wir im Stande, ſehr viele Aufgaben, welche den Kreis betreffen, aufzuloͤſen. Zuvoͤr⸗ derſt iſt bekannt, daß jeder Bogen groͤßer iſt als ſein Si⸗ nus, wofern er nicht etwa ſelbſt = 0 iſt. Bey den Coſi⸗ nus hingegen verhaͤlt es ſich anders, indem der Coſinus eines verſchwindenden Winkels = 1, alſo groͤßer als der Bogen, und der Coſinus des rechten Winkels = o, folglich kleiner als der Bogen iſt. Hieraus erhellet, daß zwiſchen den Grenzen o0 und 90 ein Bogen ſich finden muͤſſe, der ſeinem Coſinus gleich iſt, und dieſen wollen wir durch die folgende Aufgabe zu finden ſuchen. Eulers Einl. in d. Anal d. Unendl. Il. PY. Ff AErſte 450 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes , apitel. Erſte Aufgabe. Den Kreisbogen zu finden, der ſeinem Coſinus gteig in Aufloöͤſung. Es ſey s dieſer Bogen, ſo iſt Ss = ſer Gleichung laͤßt ſich der Werth vons ſchwerlich auf eine bequemere Art, als durch die ſogenannte Re gel Falſi finden. Dazu muß man den Werth von s ſchon beynahe ken⸗ nen, wozu eine leichte Muthmaſſung fuͤhren kann. Iſt ſol⸗ ches aber nicht bekannt, ſo muß man drey oder mehr Wer⸗ the fuͤrs ſetzen, und den Coſinus nach eben der Einheit aus⸗ drucken. Es ſey s = 300. Um dieſen Bogen nach der gegebenen Regel auf Theile des Halbmeſſers zu bringen, ziehe man vom l. 30 = 1,477 1213 ab r,75 8122 6 ſo bleibt l. 300 = 9,7 18998979 Es iſt aber 1. coſ. 30 = 9,9 375 306 und folglich der Coſinus von 300 viel groͤßer als der Bo⸗ gen, und alſo der geſuchte Bogen groͤßer als 300. Wir wollen annehmen, daß „S = 409 ſeh, ſo iſt li. 40 = 1, 6020600. zieht man ab 1,7581226 ſo bleibt IL. A. 40° 9,8439374. Es iſt aber 1. col. 40 = 9,8842540 und alſo der geſuchte Bogen etwas groͤßer als 400⁰. Wir wollen alſo annehmen „daß 8s = 45° ſey. Alsdann iſt coſ.s; allein aus die⸗ uf Kaad hete Gre — 1 tol Denig don 8 en Dioſe D is aus di⸗ auf eſt li fnden ahe ken⸗ W nche Der⸗ Finheters n u bringen 1 der D . Wie e. N. onn i — Aufl ſung einiger den Kreis betteffenden Nufiben 45 1 1.4 5 = 1,65 32 125 abgezogen 1,75681226 ſo bleibt 1. A. 450 = 9, 895 0899 Es iſt aber l. coſ. 45ü° = 9,8494850 und es faͤllt alſo der geſuchte Winkel zwiſchen 400 und 45 °, und laͤßt ſich naͤherungsweiſe beſtimmen. Denn ſetzt man s = 400, ſo iſt der Fehler = † 403 1 66 ſetzt man aber s = 45 ſo iſt äs der Fehler = 4 5 6049, und folglich die Differenz = 859215. Man ſetze alſo: wie ſich 859215 zu 403166 verhaͤlt, ſo verhaͤlt ſich die Differenz der angenommenen Winkel 50° zu dem Ueberſchuſſe des Bogens uͤber 400. Hierdurch findet man den geſuchten Bogen groͤßer als 420, denn jene Gren⸗ zen ſind zu weit von einander entfernt, als daß wir hier genauer ſollten beſtimmen koͤnnen. Wir wollen alſo naͤ⸗ here Grenzen nehmen s = 4 SS= 430 1.8 = 1,6232493 1,63 34685 abgezogen 1,75 8122 6 1,75 8 12 26 1.5 = 9,865 1267 9,8753459 und es iſt und es iſt 1. coſ. s = 9,87107335 „,8641275 1† 5 9460 68 — 1I121 84 1112 1984 ““” 171652: 59468 = = 10: 20, 476. Die naͤchſten Grenzen, zwiſchen welchen der wahre Werth von s enthalten iſt, ſind daher 420, 20“ und 420, 21˙. Dieſe Winkel wollen wir auf Minuten bringen N * 452 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel. S = 214 S= 25 41“ 18 = 3,4048337 3,4050047 abgezogen 3,5362739 3 5362739 18 = 9,8 685598 9,8687308 1. coſ. s = 9,8687851 9 8686700 1 2253 — 608 608 2861: 2253— 1¹: 427: 141 4 4 Hieraus folgern wir, daß der geſuchte Bogen, der ſeinem Coſinus gleich iſt = 420, 40, 47“, 14““ ſey, und ſein Co⸗ ſinus oder die Laͤnge des Bogens iſt = 0,7390847 Ein Kreisausſchnitt ACB, Fig. 112, wird von der Sehne A B in die beyden Theile, den Abſchnitt AEB, und das Dreyeck A CB getheilt, wovon jener kleiner iſt als die⸗ ſes, wenn der Winkel A CB klein, groͤßer aber, wenn der Winkel AC B ſehr ſtumpf iſt. Es giebt alſo einen Fall, wo der Ausſchnitt ACB durch die Sehne AB in zwey gleiche Theile getheilt wird und daher entſteht die Iweyte Aufgabe. Den Kreisausſchnitt ACB zu finden, welcher von der Sehne A B in zwey gleiche Theile getheilt wird, ſo daß das Dreyeck ACB dem Abſchnitte A E gleich iſt. Aufloͤſung. . Nachdem man den Halbmeſſer AC = I, geſetzt, AE = BE = s. ZSieht man daher den Halbmeſſer CE, ſo wird 4Z A F= ſin. s, und CF = coſ. s. Hieraus fließt AACB =S ſin. s. coſ. § = ¾ ſin. und der Ausſchnitt ACB ☛ s. 235 Da ſo ſey der geſuchte Bogen AEB = 28, und folglich ſeine Haͤlfte lſcͤ Da al cke gle i Lor pelen Wirell ah Ni Omnetmnen 1 ſgene 3,ln.⸗ Giſten ſe den d un gus de lamn. D. wir wele Uin eine N Cuel = 1 = = 1 — N ſiren d ſin ⸗ , ied don de RNNDN NN er iſtoki⸗ r, den N nen l, n Nee a de d et ſeine hilfe lneſe l, R Aufloöͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 453 Da alſo dieſer Ausſchnitt dem doppelt genommenen Drey⸗ ecke gleich ſeyn ſoll, ſo iſt s = ſin. 2 8, und es muß daher ein Vogen geſucht werden, welcher dem Sinus des dop⸗ pelten Pogens gleich iſt. Zuooͤrderſt iſt nun klar, daß der Winkel A CB groͤßer als ein rechter Winkel, und folglich s auch groͤßer als 45° iſt, und wir wollen daher folgendes annehmen. 5 = 500 = 55 5 = 540 18 = 1,6989700 1,7403627 1,7323938 abgezogen 1,7581226 1,7581226 1, 7581226 9,9408474 9,982240 1 9,9742712 1. ſin. 28 = 9,9933515 9,9729858] 9, 9782063 † 525041 — 97343. † 39351 92543 617584: 525041 = 50: 40, 154 Es iſt alſo beynahe s = 54⁰°, 150, und wir wollen da⸗ her zu den vohergehenden Annahmen s = 540° ſetzen, wo denn aus den Fehlern s = 540, 17 54“ geſchloſſen werden kann. Dieſer Werth weicht um keine Minute ab, und wir wollen daher folgende Annahmen verſuchen, die bloß um eine Minute von einander abweichen. s = 54°, 17 8 = 54⁰, 188 = 54⁰, 19, oder oder oder s = 3257 5 = 3258 8 = 32597 und . und und 28 = 1080, 34 25 = 1080, 36 2 8S = 1080, 38 das Compl. = 710, 26 = 710, 24 710, 22° 18 = 3,5128178 3,5129511 3,5130844 abgezogen 3,5362739 2, 5362739 3,53627309 18 =— 9,9765429 9,9766772 9,9763105 1. fn. 28 = 9,9767872 2. 9767022 2 9766171 k 243ͤͦ3 2350 — 1934 — —³²4 L 2184 1 Ff 3 Man 454 Zweytes Buch. Zwey und mwenfiſtes Caditel. Man ſchließe alſo 2184 : . 250 = — I1: 60, 52 Hieraus wird s = 540, 18 6“, 526. Tafeln brauchen, und daraus wollen wir folgende um 10“ von einander abweichende Annahmen entlehnen: Wenn man dieſen WMWirnkel genauer beſtimmen will, ſo muß man dazu groͤßere = 54⁰, 18 0 8s = 540, 18/9 10“ oder— — oder s = 195480“ = 195490“ 28 — 1080, 36/ 0% 28 = 108⁰, 36 20 das Compl. = 710, 24% 0 71,, 23, 40“ 18 = 5,2911023304 5,29 1124546 6 abgezogen = 5,3 144251332 5,3144251332 292,976677197 979 766994134 I. ſin. 2 S = 9,0767022291 9,9 766880552 — —— . 2539 — — 113582 113582 363901:250319210: 6˙52 „43 , 337 Es iſt folglich — 8 = 54°, 189 6“, 52 4, 43˙81, 33“8366, und alſo der Winkel ACB = 1090,36 /130,45 “, 27“, 69 “, und ſein Complement — 71 0,23 /46 4, 14“, 3291, 54““ ſo wie der Logarithme des Sinus davon, oder 1. ſin. 28 = 9, 976692471 und der Sinus ſelbſt = o, 9477470 Ferner iſt ſin. s = AF = B F = 0, 8121029 und alſo ſein Doppeltes oder die Sehne A B = I, 6242058. Endlich iſtt der Coſinus CF = 0, 5335143 “ und I =. In iſſt d N Ueibt d deſen 9 Als ſie⸗ an ſet ſen geforde han dieie gebſer den ,10“ /,mdoſt undſcie un lder “ – Aufloͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 455 und hiernach kann man den geſuchten Ausſchnitt naͤherungs⸗ weiſe verzeichnen. §. 533. Auf aͤhnliche Art laßt ſich der Sinus beſtimmen, wo⸗ durch der vierte Theil eines Kreiſes in zwey gleiche Theile getheilt wird. Dritte Aufgabe. In dem Kreis⸗Quadranten ACB, Fig. 113, den Si⸗ nus DE zu verzeichnen, welcher die Ebene des Quadranten in zwey gleiche Cheile theile. Aufloͤſung. Es ſey der Bogen AE = 8, ſo iſt B E = 7 —s;, weil A E B = — iſt, und der Inhalt des Quadranten — – æ. Nun iſt der Inhalt des Ausſchnitts ACE = 2æ s, und da⸗ von das Dreyeck C CDE = ⅛ ſin. s. coſ. s abgezogen, ſo hleibt der Raum ADE = ⅝ S –— ¾ꝭ ſin. s. coſ. s uͤ deſſen Zwiefaches dem Quadranten gleich ſeyn ſoll. dier⸗ aus fließt 4 = £ — g fin. 2 S und daher 8. — ¼ 7% = ⅞ ſin. 25 Man ſete den Bogen s — 7 = s — 45° = u, ſo wird 258 = 90 † 2 u und es muß folglich u = ½ coſ. 2 u; und 2 u = coſ. 2u ſeyn. Da alſo ein Bogen verlangt wird, der ſeinem Co⸗ finus gleich ſey, und wir denſelben in der erſten Aufgabe gefunden haben⸗ H wird = 42⁰°, 20˙, 47“, 14“ Sf4 und 456 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel. und u = 21, 1060, 23 37566 Hieraus ergiebt ſich der Bogen AE = $ = 66⁰, 10 23“, 377 und der Bogen BäE = 230, 49 3 2, 23““ und daher iſt ferner ed= = 0,4039718 und AD = 0, 5960281 und der Sinus DE = O „9147711I. So wie auf dieſe Art der Quadrant eines Kreiſes in zwey gleiche Theile getheilt wird, ſo laͤßt ſich auch die Theilung des ganzen Kreiſes in acht gleiche Theile bewerkſtelligen. So wie jede durch den Mittelpunkt eines Kreiſes ge⸗ zogene gerade Linie den Kreis in zwey gleiche Theile theilt, ſo laſſen ſich auch aus jedem Punkte der Peripherie gerade Linien ziehen, welche den Kreis in drey oder mehr gleiche Theile theilen. Wir wollen jetzt die Theilung in vier gleiche Theile unterſuchen, und aufloͤſen die Vierte Aufgabe. Aus einem Punkte A eines gegebenen Halbkreiſes AEDB, Fig. 114, die Sehne A D zu ziehen, welche die Ebene des Halbkreiſes in zwey gleiche Theile theile. Aufloͤſung. Es ſey der geſuchte Bogen AD = =8, ſo iſt, wenn man den Halbmeſſer CD zieht, der Inhalt des Ausſchnitts ACD = ¾8; und zieht man davon das Dreyeck ACD = 3 AC. DE = ¾ fin.s ab, ſo bleibt der Abſchnitt A D = . 8 — * ſin. s abrig welcher der Haͤlfte des Halbkreiſes gleich ſeyn ſoll. 4 Pm eeveg nrit dede ufd i freiſes ueſe g ſo ein wchei Rreiſeg den o⸗ NNs Saen ſen 6e freis 8 s in we⸗ Aheien ligen Kreiſp eile thel⸗ nie gerade nche goc hiergeich teiſs0, Etne t wenn man Nits A =- glicſer Aufloſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 457 ſoll. Es iſt aber der Inhalt des Halbkreiſes = = β*, und daher 5 — (n. S = à = 900 folglich § — 900⁰ = ſin. s Man ſetze s —– 90⁰⁰ = u, ſo wird ſin. s = coſ. u, und deswegen u = coſ. u⸗ Nun iſt nach der erſten Aufgabe u = 3 42°, 2077 47“ 14“4 alſo s8s &Sπ ACD = 1320, 20 47“, 14““ BCD = 47⁰, 399 126, 465“ Die Sehne A D ſelbſt aber iſt S 1, 8295422. §. 535. Auf dieſe Art ſchneidet man alſo von einem Kreiſe einen Abſchnitt ab, deſſen Inhalt dem vierten Theile des ganzen Kreiſes gleich iſt, der Abſchnitt aber, der dem halben Kreiſe gleich iſt, iſt der Halbkreis ſelbſt, und ſeine Sehne alſo ein Durchmeſſer. Auf aͤhnliche Art kann man den Abſchnitt finden, welcher den dritten Theil vom ganzen Kreiſe ausmacht, und damit wollen wir uns in der folgen⸗ den Aufgabe beſchaͤftigen. Fuͤnfte Aufgabe. . Aus dem Punkte des Umkreiſes A, Fig. 115, zwey Sehnen A B, AC zu ziehen, wodurch der ganze Kreis in zwey gleiche Theile getheilt werde. Aufloͤſung. Setzt man den Halbmeſſer =ͤ 1 und den halben Um⸗ freis = ⸗æ, desgleichen den Bogen & B oder AC s; ſo Sf G4 ſ „ 458 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel. iſt der Inhalt des Abſchnitts AKB oder AFC = 2 5 — * ſin. s. Der Inhalt des Kreiſes aber iſt æ, und da alſo der Inhalt des Abſchnitts A E BB der dritte Theil des Areiſes ſeyn ſoll, ſo wird S — ⅝ ſin. s = . = 600 oder 8 — ſin. s = 1200 und alſo 8 – 1200 = ſin. s Es ſey 8 — 1200° = u, ſo wird u = ſin. (u 1 120) = = ſin. (60 — ) Es muß demnach ein Bogen u ge⸗ eſucht werden, der dem Sinus des Winkels 600— u gleich iſt, und es wird daher u kleiner als 600 ſeyn. Um dieſen Bogen zu finden, neh⸗ men wir alſo feltendes a an u = 200° u 30 uS 40 60 — u = 40⁰ 60 — u = 300 60 — U 20 0 lu = 1 ,3010300 1,4771213 1,6020600 abgezogen. 1,7581226 1581226] ,531226 Iu = 9,5429074 9,7189987 ₰,/8439374 Hn. (60 — u) = 9,50906 5 96989700] 9,6340517 P2651601 — 200287 — 3098657 Es faͤllt alſo in die Augen, daß u etwas kleiner ſey als 300, und rechnet man, ſo findet ſich, daß es groͤßer ſeyn muß, alſo 290. es⸗ ſey alſo id Erwd iho in Muneg Aufloͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 459 P- H u = 29 G e Nr 60 — u = 310⁰ dſ 1u = 1,4623980 abgezogen 1,7581226 lu = 9,7042754 1. ſin. (60 — ¹) = 97118393 75639 — 200287 275926: 75639 = = 10: 169 26“ Es wuͤrde alſo der Winkel u = 290, 16/, 26“ ſeyn. Um ihn indeß noch genauer zu finden, brauche man folgende Annahmen, wobey der Unterſchied nur eine Minute betraͤgt.⸗ u = 290, 16, unu= 2909 17“ oder dodder , der den u = 1756 u = 1757 . pic doher 60 — u = 30⁰ 44 60 — u = 30°43 fon, tet⸗ lu = 3,2445245 3,2447718 abgezogen = 3,5362739 3,5362739 lu = 9,70825060 9,7084999 “ .— Eo.e4 67S— — A e x 2069 — 25²⁰⁹ 1 —2 4: 27: o⸗ e 4598 : C2069 1 37 7 — Es iſt alſo genau 9 0071. u = 2900, 16/9, 27“, 0“ daher der Bogen NR. 8 = AEB = 1490, 16, 27“, o = AFG woher denn ,eb der Bogen BC = 610, 27, 6“, 0““ in nß 1 und die Sehne AB = A C = 1,92 85340 wird 460 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel. 8§. 536. Mit dieſen Aufgaben, welche Bogen finden lehren, die einem gegebenen Sinus oder Coſinus gleich ſind, wollen wir folgende verbinden, die zwar eben dieſes Geſchaͤfte zum Gegenſtande hat, aber mit mehr Schwierigkeit verknuͤpft iſt. Sechste Aufgabe. Von einem Halbkreiſe AE B, Fig. 116 den Bogen AE alſo abzuſchneiden, daß nach der Herabfaͤllung des Sinus ED aus dem Punkte E, der Bogen AE der Summe der bey⸗ den geraden Linien AD † DE gleich ſey. Aufloͤſung. “ Da hier ſogleich in die Augen faͤllt, daß der geſuchte Bogen groͤßer iſt, als ein Quadrant, ſo wollen wir das Complement deſſelben B E ſuchen, und den Bogen BE = s ſetzen, wodurch AE = 1800 — s wird; und da auf dieſe Art AC = I; CD = coſ. s; DE = fſin. s ſo hat man 180⁰° — §S = I † coſ.s † ſin. s NRun iſt aber n. S 2 fin. às. coſ. s; und 1 † coſ. S= 2 coſ. ¾ s. eoſ. s folglich 1800 — s = 2 coſ. ½ s (ſin. s † coſ. ⅛s) Nun iſt ferner oſ. (45°— 3= ⸗ coſ. s † . ſin. 5 s alſo Gin. às † coſ. s = Vz. coſ. (450 — ¾ 5) und daher 1800° — S = 2 V 2 coſ. ¾ s. coſ. (450 — ⅛ 8) Nach dieſer Reduction wollen wir folgende Vorausſetzungen brauchen. 48 = * luufb beol i ſil o ſcchen. leel ren, N len we i un nhftif gen Al 8Snns W geſuchte nwed nBE= 9 da Aufloſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 461 5 = 200 450 — 2¾ §” = 25 ° 1800°0 — S = 1400⁰ ½ s = 210 450° — ⅛ Ss = 240⁰ 1800 — S = 1380 1 (180 — ⁸) = 2,14612 8 d 2,1398791 abgezogen 1,7581226 1,7581226 I. (180 — s) = 0,3880054 0,3817565 . cof. 4 S = 9,9729858 9,9701517 I. coſ. (45° — ¾⅝ s) = 9,9572757 9,9607302 12 V 2 = 0,4515 40 „,45 15450 0,3818065 3824269 Abweichung † 61989 — 6704 6704 68693: 61989 = 10: Es faͤllt demnach s zwiſchen die Grenzen 200, 54 200, 55 und wir wollen daher folgende Hypotheſen ver⸗ 54 und ſuchen. ½s = 200⁰0, 54 18 = 200u,55 450 — 2¾S = 240, 6, 450°— ⅝S = 24⁰, 5 s = 41⁰, 48 8 = 410,50½ 1800° — s 1380, 12 1800— s = 1380, 10 oder oder 1800°— s = 8292 1800⁰0— 8 = 82900 1. (1800— s) = 3,9186593 3,9185545 abgezogen = 2,5362739 3,5362739 0,3823854 2 3822806 I. coſ. à1S = 9,9704419 9,9703937 L coſ. (45 — 4 8) = 9,9603919 9,9604483 I. 2 V2 = 0,45 15450 „, 4515450 2 3823788 ,38287 7 Abweichung † 66 — 1065 1065 31: 66 = 1: 3“, 30“ . 462 Zweykes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel. Es iſt alſo 8 = 200, 54 3, 307“; folglich 8 = 410, 48, 7, 0“ = = BE und der geſuchte Bogen AE = 1380, 11 ½ 53“, 0““ die Linien D E und AD aber DE = 0,6665578, und AD = 1,745435. §. 537 Run wollen wir die Bogen mit ihren Tangenten ver⸗ gleichen „und da in dem erſten Quadranten die Tangen⸗ ten groͤßer ſind, als ihre Bogen, ſo wollen wir einen Bogen ſuchen, der der Haͤlfte ſiner Tangente gleich ſey. Dies giebt die Siebente Aufgabe. Einen Ausſchnitt ACD, Fig. 117, zu finden, welcher die Haͤlfte des Dreyecks ACE ſey, welches zwiſchen dem Halbmeſſer AC, der Tangente AE, und der Secante CE enthalten iſt. Auflöͤſung. Setzt man den Bogen A D = s, ſo wird der Ausſchnitt ACD = –εs, das Dreyeck ACE aber = ⅛ tang. s, und es muß folglich tang. S = s; oder 28 = tang. 5. ſeyn. Wir nehmen aiſo folgende Hypotheſen zu Huͤlfe. b⸗ Hiddue⸗ 460 — 1.1t Nwen 8 = 60⁰ 1. 2 5 =— 2,079 1812 1,7581226 = 700 2,1461280 1,7581226 = 660 2,1205739 1,7581227 §8= 670⁰ 2,1271048 1,7581226 1.28 =D 0,3210586 etang. s = =0,2385606 824930l= 9,4389341 — 509287 0,36245 13 ,35 14169 † 110344 0,3689822 — 31659 Hiedurch . 35 WRAWe⸗ die Kngen wir eite gleich ie. den, vechet niſben den VNNN usſcit nt. 6 2,M iN Pint 0 ce Herh Aufloͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 463 Hiedurch finden wir folgende genauere Grenzen fuͤr s; 660, 46 und 660, 42. Alſo ſey 8⁸ = 660, 466 8 = 6600, 47 oder odder 88 = 4006 8 = 40⁰7 2 5 = 8012 2 8 = 8014 1.2S8 = 3,9037409 3,9038493 3,5362730 3,5362739 1.2 8 = 0,3674670 , 3075754 1. tang. s = 0,3672499 „,3675985 Abweichung = † 217 — 231 2402:12171 = 14: 54“, 14“1 Es iſt demnach der Bogen §8 = A D — 660, 46, 549, 14““ und daher tang. AE = 2,33 II 220 F. 538. Nun ſey folgende Aufgabe aufzuloͤſen: Die achte Aufgabe. Den Bogen AE, Fig. 118, eines gegebenen Kreisquas dranten zu finden, der ſeiner Sehne AE gleich ſey, wenn dieſelbe bis zu ihrer Zuſammenkuaft mit B C verlngert wird. . M Aufloſung. Es ſey der Bogen AE = «§, ſo iſt ſeine Sehne A E= 2 ſin. ½s, und ſein Querſinus AD = I — coſ. s = 2 ſin. 4 s. ſin. ¾ s; und die aͤhnlichen Dreyecke ADE und A CF geben 2 fin. 4 5. ſin. 55: l 2 ſey demnach 464 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel. uſo 8 = 70 99 s = 800s = 840 s8s = 85 G 1.S = 1,8450980 1,9030900 1,9242793 1,9294189 le abgezogen 1,7581226 1,7581226 1,7581226 1,7581226 0,0869754 0,1449674 0,1661567 0,1712963 1. ſin. 5 S = 9,7585913 9,8080675 9,8255 109 9,8296833 9,8455667 9,9530349 9,99 16676 0,0009796 Abweichung O,154433 110,04696501 † 832231 — 9796 nti Es iſt folglich s zwiſchen den Grenzen 84°, 53 und 840, a 54 enthalten. Es ſey daher ferner Negni „ = 84⁰0, 53 „ 84, 54 oder odder ſeihe 8 = 5093 s = 5094 ln A S= 42⁰, 26 ¾ 18 = 420, 27 Vogen 183 = 3,7069737 3,7070589 abgezogen 3,5362739 2536273) ger 0,1706998 0,1707850 nte 1üſin. ½ s = 9,8292003 9,8292694 OJ”ð”M 0,9999001 O,0000544 Abweichung 998 1 — 544 Hiersaus ergiebt ſich der Bogen s = A E= 840, 53“ 38“, 5§1“ . und n der Bogen B E = 500, 6 21“, 91701. lu ſilt. g. 539. ſhehri Obgleich in dem erſten Quadranten alle Bogen kleiner ni ſind, als ihre Tangenten, ſo giebt es doch in den uͤbrigen N Quadranten Bogen, welche ihren Tangenten gleich ſind, ſc und dieſe wollen in wir in der folgenden Aufgabe durch eine von den Reihen entlehnte Methode zu finden ſuchen. NVieunte Ele en — d O. 4 , * der oe i il 5 Aufloͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 465 X eunte Aufgabe. 1 Alle Bogen zu finden ‚ die ihren Tangenten gleich ſm. Aufl ſung. H Der erſte Bogen, der dieſe Eigenſchaft hat, iſt der unendlich kleine. In dem zweyten Quadranten giebt es keinen von dieſer Beſchaffenheit . weil darin die Tangenten negativ ſind. Im dritten Quadranten iſt ſolches ein Bo⸗ gen von etwas weniger als 2700, und dann giebt es der⸗ gleichen in dem fuͤnften, im ſiebenten Quadranten, ꝛc. Es ſey der vierte Theil des Umkreiſes = q, und die geſuchten Bogen ſeyen in der Formel (2n †1) 4* — § enthalten, ſo = tang. s tang. s = 2 ſo iſt = x — 13 4 ½s — 427 4 te. und folglich Es faͤllt aber in die Augen, da s ein deſto kleinerer Bogen iſt, je groͤßer die Zahl n wird, daß eine ſehr kleine Groͤße, und beynahe X = — oder — (2n † 1) a ſeyn wird; genauer ue man Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. I. D. G g I 466 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel. . — . 1 — (2 Ff 1)/4 — S (zn † L)g — — – — 1 14 1 1) (azn † 54 CnT D 34 1I5(2n † 1),7 qS 105(2n † 19797 28 W, . 20. 945 C n † 1) ?9 Da alſo q = 2 = 1,570796326,945 iſ, ſo D der geſuchte Drgen (an † 1) 1,57079632679 — 2R †I 0,63661977 9,17200817 d, 09 052 5 9 6 Gn † 1)*) n † 1)5 SOder, wenn man die Glieder, die in Theilen des Halbmeſſers 0, 5892834 d, 04258543 (2n † 1)7 * (zn † 1) 9 — K. ausgedruckt ſind, nach Art der Bogen beſtimmt, = 13 1312 — 1479 2 n † I (Zn † 1) ²¾ 86924 I21557 (2n f 1) (ae2n † 1)2 8784“ (an † 1)° Mhr lher, a Uens ſind werden, d liöher ou verden n; Aufleſung Ihen int fonnſe reiſ ſechäten S0,6666 ſN 361l7. Aufloͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 467 Es ſind demnach die Bogen . welche der Aufgabe e ein Ge⸗ nuͤge thun, in der Ordnung folgende: I. 1. 900 — 90⁶ I. 3 . 900⁰ — 120, 32 48 Ww. 2. 900 — 5, 14, 22 v. 9 . 90⁰° — 4, 3, 59 V. II. 900 — 3, 19, 24 VII. 13. 900⁰ — 2, 48, 33 VII. 15. 900° — 2, 26, 5 IX. 17. 90° — 2, 8, 51 X. 19. 90⁰ — 1, 55, 16 S. 540. . Mehr Aufgaben ſetze ich nicht her, da die Art, ſie auf⸗ zuloͤſen, aus dieſen Beyſpielen deutlich erhellet. Uebri⸗ gens ſind dieſe Aufgaben vorzuͤglich deswegen erfunden worden, damit die Natur des Kreiſes, deſſen Quadratur bisher auf keinem Wege hat gelingen wollen, bekannter werden moͤchte. Denn haͤtte es ſich ereignet, daß bey der Aufloͤſung irgend einer Aufgabe, entweder ein gegen den ganzen Umkreis commenſurabler Bogen, oder ſein Sinus oder Tangente durch den Halbmeſſer haͤtte conſtruirt werden koͤnnen, ſo haͤtte man allerdings eine Art der Quadratur des Kreiſes gehabt. Haͤtte man z. B. bey der Aufloͤſung der ſechsten Aufgabe den Sinus D E, der = 0,665578 war, = 9,666660 = = ¾ gefunden: ſo wuͤrde man dann eine ſehr Gg 2 ſchoͤne N N D . . 463 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel. ſchoͤne Eigenſchaft des Kreiſes gehabt haben; es koͤnnte nemlich alsdann ein Bogen AE conſtruirt werden, der der geraden Linie AD † DE=IT2½ † VS gleich waͤre. Es iſt aber auch noch kein Grund da, welcher die Unmoͤg⸗ lichkeit dieſer Quadratur des Kreiſes beweiſen koͤnnte; und wenn dieſelbe moͤglich iſt, ſo ſcheint kein Weg geſchickter zu ſeyn, ſie zu entdecken, als der, welchen wir in dieſem Capitel kennen gelernt haben. Anhang de n von F§ l Gg 3 0 ch e n. ” ſc afel eber und ct gen ale Zrtn el lng. Rlichen ſhen ghf ſc doron oben n den So ſnd, . Erſtes Capitel. Von den Oberflaͤchen der Koͤrper uͤberhaupt. §. 1. Di fe Unterſuchungen, welche wir in dem Borhergehen⸗ den uͤber die Curven angeſtellt haben, und die Art und Weiſe, dieſe Curven durch Gleichungen auszudrucken, ha⸗ ben allerdings einen ſehr weiten Umfang, und erſtrecken ſich auf alle krumme Linien, deren Punkte insgeſammt in einer und derſelben Ebene liegen; wenn aber die Curve nicht ganz in eine und dieſelbe Ebene faͤllt, ſo reichen die ertheilten Vorſchriften nicht hin, ihre Eigenſchaften zu ent⸗ decken. Dieſe Art der Curven hat eine doppelte Kruͤm⸗ mung, und in dieſer Ruͤckſicht haben wir daruͤber vom Herrn Clairaut eine vortrefliche und ſcharfſinnige Abhand⸗ lung. Da indeß dieſer Gegenſtand mit der Lehre von den Flaͤchen zuſammenhaͤngt, welche ich mir in dem gegenwaͤr⸗ tigen Abſchnitte vorzutragen vorgenommen habe, ſo werde ich davon nicht beſonders handeln, ſondern die Betrachtung deſſelben mit der folgenden Unterſuchung uͤber die Slchen verbinden. §. 2. So wie die Linien entweder gerade oder krumme Linien ſind, ſo ſind die Flaͤchen entweder eben oder nicht eben; Ga 4 un⸗ 472² Anhang. Erſtes Capitel. unebene Flaͤchen aber nenne ich ſowohl die convexen als die concaven, und auch diejenigen, die theils conver theils concav ſind. So iſt die aͤußere Flaͤche einer Kugel, eines Cylinders und eines Kegels, wenn man von der Grund⸗ flaͤche abſtrahirt, convex, die Flaͤche einer Schuͤſſel hinge⸗ gen concav. So wie man ferner unter einer geraden Linie diejenige verſteht, in welcher jede drey Punkte nach einer⸗ ley Richtung liegen, ſo iſt eine Ebene diejenige, in welcher jede vier Punkte in eine und dieſelbe Ebene fallen; woher denn die nicht ebene Flaͤche, ſie mag convex oder concav ſeyn, als ein ſolche gedacht werden kann, worin man nicht durch jede vier Punkte Eine Ebene zu legen im Stande iſt. §. 3. Wie eine unebne Flaͤche heſchafen ſey, laͤßt ſich leicht erkennen „wenn man weiß, wie weit ſie in jedem Punkte von einer Ebene abſtehe. So wie wir nemlich die Beſchaf⸗ fenheit der Curven aus den Entfernungen ihrer Punkte von einer zur Axe angenommenen geraden Linie zu beurtheilen im Stande ſind: ſo kann man auch die Beſchaffenheit einer unebenen Flaͤche aus der Entfernung ihrer Punkte von einer nach Belieben angenommenen Ebene abnehmen. Soll alſo die Beſchaffenheit einer Flaͤche angegeben werden, ſo darf man nur nach Belieben eine Ebene annehmen, und ſich aus jedem Punkte jener Flaͤche auf dieſel be ſenkrechte Linie gezo⸗ gen gedenken; und kann man die Laͤnge dieſer ſenkrechten Linie durch eine Gleichung beſtimmen, ſo wird dieſe Glei⸗ chung auch die Natur der gedachten Flaͤche ausdrucken. Aus einer ſolchen Gleichung laſſen ſich aber auch umgekehrt alle Punkte dieſer Flaͤche angeben, und es wird daher durch dieſelbe auch die Flaͤche ſel bſt beſtimmt. o nun ſihſe! ſon alres ut eſche⸗ Non die Unds Uurch iinmt, einer Ede chchen Dan ſo walen Dieſed nen a⸗ Und p p Etorde ſnn ſc⸗ Ew Gihrn di bed dige Uehene⸗ lch e n welher 1 kde Na Iumn nic tande ſt 4. ſuute Pdiee Glen rucen. W ngekht 4 uhe utc⸗ Von den Oberflaͤchen der Koͤrper uͤberhaupt. 473 H . 4 Es ſtelle die Ebene der Kupfertafel die Ebene vor, auf welche alle Punkte einer gegebenen Flaͤche bezogen werden ſollen. Ferner ſey M, Fig. 119, irgend ein Punkt in der gegebenen Flaͤche außer der Ebene der Tafel, und aus dem⸗ ſelben M Q auf dieſe Ebene ſenkrecht herabgefaͤllt worden Um nun die Lage dieſes Punktes algebraiſch auszudrucken, nehme man in der Ebene irgend eine gerade Linie A B zur Axe an, und ziehe auf dieſelbe aus Q die gerade Linie QP ſenkrecht. Endlich nehme man in der Axe AB irgend einen Punkt A zum Anfangspunkte der Abſciſſen an. Iſt dieſes geſchehen, ſo kennt man die Lage des Punktes wenn man die Laͤnge der drey Linien A P, P Q, und 0 weiß; und es wird demnach die Lage jedes Punktes M einer Fläche durch drey ſenkrechte Coordinaten auf eine aͤhnliche Art be⸗ ſtimmt, als ſolches bey den Punkten der Curven, die in einer Ebene lagen, durch zwey rechtwinklige Coordigaten geſchehen iſt. Da wir alſo drey Coordinaten AP, PQ und QM ha ſo wollen wir A P = x; PQ = y, und QMS= z ſiten⸗ Dieſe drey Coordinaten werden uns die Natur der ge gebe⸗ nen Flaͤche zu erkennen geben, wenn wir, nachdem wir * und y willkuͤhrlich angenommen haben, zu beſtimmen im Stande ſind, wie groß? iſt; denn koͤnnen wir dieſes, ſo laſſen ſich alle Punkte M in der gedachten Flaͤche angeben. Es wird daher die Ratur einer jeden Flaͤche durch eine Gleichung ausgedruckt, in welcher die Coordinate durch die beyden uͤbrigen Coordinaten « und 7 und durch beſtaͤn⸗ dige Groͤßen beſtimmt wird; und es n daher fuͤr jede ge⸗ gebene Flaͤche die veraͤnderliche Groͤße« gleich einer Funktiog Gg 5 e ger 474 Anhang. Erſtes Capitel. zweyer veraͤnderlichen Groͤßen X und y. Umgekehrt druckt, iieſe, wenn: irgend einer Funktion von X und y gleich iſt, dieſe regulc „GBleichung eine Flaͤche aus, deren Ratur ſich aus ihr erken. nnen laͤßt. Setzt man demnach fuͤr und y alle, ſowohl poſitive als negative Werthe, die ſie bekommen koͤnnen, ſo ðè erhaͤlt man alle Punkte Q der angenommenen Ebene; Uehi und dann ergiebt ſich aus der Gleichung zwiſchen 2, X und urcte 5 die Laͤnge der ſenkrechten Linie OQ M = 2, von dieſer (c Ebene bis zu der durch die Gleichung ausgedruckten Flaͤche⸗ ſhtd Iſt 2 poſitiv, ſo liegt der Punkt M uͤber der Ebene APO ſci iſt aber 2 negatio, ſo liegt M unter ihr; N wird 2 = o, ſo ind faͤ llt M in die Ebene, und wird es imaginaͤr, ſo gehoͤrt zu te doem Punkte Q in der Flaͤche gar kein Punkt M. Hat end⸗ e lich 2 mehr reelle Werthe, ſo ſchneidet die auf der Ebene . uche durch QO ſenkrecht aufgerichtete Linie die gegebene Flaͤche ARante, in mehr als in einem Punke. s, OYUW tl, deß §. 6. Ne Will man alſo die verſchiedenen Arten der Fl zchen be⸗ ca nh. ſtimmen, ſo bietet ſich ſogleich die Abtheilung derſelben in continuirl iche oder regulaͤre, und in diſcontinuirliche oder irregulaͤre dar. Eine Flaͤche iſt nemlich continuirlich, deren en⸗ Punkte ſich insgeſammt durch eine und dieſelbe Gl leichung lenm . zwiſchen 2, X und y ausdrucken laſſen, oder wo 2 fuͤr alle hung . Punkte dieſelbe Funktion bleibt. Irregulaͤr wird hingegen R ui⸗ 1 eine Flaͤche genannt, wenn die Theile derſelben durch ver⸗ nir ſchiedene Funktionen ausgedruckt werden, z. B. wenn die⸗ hein i ſelbe an einem Orte ſphaͤriſch, an einem andern coniſch, R fiſtne an einem dritten cylindriſch oder eben iſt. Dieſe irregu⸗ hen laͤren Flaͤchen ſetzen wir indeß hier ganz bey Seite, und be⸗ Ragr trachten blos die regulaͤren, deren Ratur durch eine und Nn untte dieſelbe Seichung ausgedruckt h wird. Denn kennt man dieſe, Kahe 9 — Von den Oberflaͤchen der Koͤrper uͤberhaupt. 47 d dieſe, ſo laſſen ſich darnach auch die irregulaͤren, da ſie aus ,i regulaͤren Theilen zuſarmmnengeſett ſind, leicht beurtheilen. ihe aux hr Die xegulären Flaͤchen werden e gubörderſt in algebraiſche Chen; und in tranſcendente eingetheilt. Eine Flaͤche iſt eine alge⸗ ur braiſche, wenn ihre Natur durch eine algebraiſche Glei⸗ bon dieſe chung zwiſchen den Coordinaten x«, y und 2 ausgedruckt n ihe wird, oder wenn einer algebraiſchen Funktion von und y h Ägleich iſt. Iſt hingegen 2 keine algebraiſche Funktion von 1 x und y, oder kommen in der Gleichung zwiſchen «, y und gehtan 2 tranſcendente Groͤßen vor; z. B. ſolche die von Logarith⸗ heten men oder Kreisgroͤßen abhangen, ſo iſt die Flaͤche, die a Gen durch eine ſolche Gleichung ausgedruckt wird, eine tranſcen⸗ ene ic⸗ dente. Dergleichen iſt z. B. da, wenn 2 = xX. 1. y; oder 2 = yX; oder 2 = y. ſin. X iſt Es faͤllt aber in die Au⸗ gen, daß man die Unterſuchung der algebraiſchen Flaͤchen vor der Betrachtung der tranſcendenten vorhergehen laſ⸗ NHaen ſen muß. dufikan . 9. itihethe Ferner muß man, um die Natur einer Flaͤche kennen Unic Nn zu lernen, vor allen Dingen unterſuchen, was 2 in Anſe⸗ deGan hung der Menge ſeiner Werthe fuͤr eine Funktion von BD und y iſt. Hier kommen zuerſt diejenigen Flaͤchen vor, fingee n wobey 2 eine einfoͤrmige Funktion von x und y iſt. Es ſey ech d P eine ſolche einfoͤrmige oder rationale Funktion von und venn die y; ſo werden, wenn 2 = b iſt, den einzelnen Punkten en canih der Ebene Q eben ſo viel Punkte der Flaͤche zugehoͤren, eſe ierege oder es wird jede auf der Ebene APO ſenkrecht aufgerich⸗ ,, und tete gerade Linie die Flaͤche in nicht mehr als in einern heienm Punkte ſchneiden. In dieſem Falle kann der Werth de ennt I geraden Linie QM nie imaginaͤr werden, ſondern es gieht “ HM 1 476 Anhang. Erſtes Capitel. dieſe gerade Linie allemal einen reellen Punkt in der Flaͤche. Es bringt indeß dieſe Verſchiedenheit der Funktionen keine weſentliche Verſchiedenheit unter den Flaͤchen hervor; denn ſie haͤngt von der Lage der Ebene A PQ ab, welche eben ſo als die Lage der Axe willkuͤhrlich iſt. Bezieht man daher dieſelbe Flaͤche auf eine andere Ebene, ſo kann die Funktion z aus einer einfoͤrmigen in eine vielfoͤrmige uͤbergehen. Es ſeyen P und Q einfoͤrmige Funktionen von x und y; ſo werden, wenn 22 — Pz † Q = iſt, die geraden Linien, die aus den Punkten OQ der ange⸗ nommenen Ebene auf dieſelbe ſenkrecht geſtellt werden, die Flaͤche entweder in zweyen Punkten oder gar nicht ſchnei⸗ den; denn es hat dann z allemal zwey Werthe, die entwe⸗ der beyde reell oder beyde imaginaͤr ſind. Auf aͤhnliche Art iſt 2, wenn P, Q und R einfoͤrmige Funktionen von und y bedeuten, und 23 — PzZ2 † QZz – R = oO iſt, eine dreyfoͤrmige Funktion, und jede gerade Linie Q M ſchneidet die Flaͤche entweder in dreyen Punkten, wenn alle Wurzeln dieſer Gleichung reell ſind, oder nur in einem, wenn zwey von dieſen Wurzeln imaginaͤr ſind. Auf aͤhn⸗ liche Art hat man zu urtheilen, wenn z durch eine Gleichung von mehrern Dimenſionen beſtimmt wird. Wie vielfoͤrmig alſo die Funktion 2z ſey, erkennt man leicht, ſo bald man die Gleichung zwiſchen x, y und 2 rational gemacht hat. K. 10. So wie wir bey den Gleichungen der Curven geſehen haben, daß die beyden Coordinaten derſelben verwechſelt werden — der du werde eine 5 berwee APC ſ,ni Hepden rent ſechtint den wet aodet ſ⸗ Ar lann, t Und 10 pelte e Her entſrt dan dreh fir r ate nen kene hervo Wte Gieht nn bicförnig öhndt tuonenm Arie l Wenn r in enn, bithr ehichre 1biſthni beld non chen Von den Oberflaͤchen der Koͤrper uͤberhaupt. 477 werden koͤnnen, ſo laſſen ſich auch in jeder Gleichung fuͤr eine Flaͤche die drey Coordinaten x, y und? mit einander verwechſeln. Denn nimmt man zuvoͤrderſt in der Ebene APQ eine gerade auf AbP ſenkrechte Linie Ap zur Axe an, ſo wird nun Ap = y und p Q = x, und dadurch ſind die beyden Coordinaten X und „ mit einander vertauſcht. Die uͤbrigen Verwechſelungen lernt man kennen, wenn man das rechtwinklige Parallelepipedum Ap QM— P' A ergaͤnzt; bey welchem zuvoͤrderſt die drey beſtaͤndigen und auf ein⸗ ander ſenkrechten Ebenen in Betrachtung kommen, APQp, APqz, und Apz&ειGnV; denn die Art, wie die Flaͤche, worin der Punkt M liegt, auf dieſe Ebenen bezogen werden kann, wird durch eben dieſelben Gleichung zwiſchen xX, y und 2 angezeigt. In jeder Ebene aber giebt es eine dop⸗ pelte Axe, die beyde in dem Punkte A anfangen, und da⸗ her entſpringen alſo ſechs verſchiedene Beziehungen zwiſchen den drey Coordinaten. Die Coordinaten ſind H [AP = x entweder ½ PQ = y . D CLQM=2 fuͤr die Ebene AP Qp (AP = y oder p Q = & LQM= 2 AFP = X entweder »g = 2= fuͤr die Ebene APq= HM fE A⸗= = 2 oder „ q = L 4 M = y ent⸗ . 7 478 Anhang. Erſtes Tabltete A p = — 3y entweder 1 b½ = fuͤr die Ebene ApzE= 1 A — £ Wenn aber von dem beſtaͤndigen Punkte à nach dem Punkte AM der Flaͤche die gerade Linie A M gezogen wird, ſo iſt =ð A M == eGxXITYI22). Eine und dieſelbe Gleichung zwiſchen den Coordinaten X, y und 2 giebt uns alſo die Lage aller Punkte einer Flaͤche, in Beziehung auf drey Ebenen zu erkennen, die auf einan⸗ der ſenkrecht ſind, und ſich in dem Punkte à ſchneiden. So wie nemlich die veraͤnderliche Groͤße z die Entfernung eines jeden Punktes der Flaͤche M von der Ebene APQ giebt, ſo giebt die veraͤnderliche Groͤße y die Entfernung eben die⸗ ſes Punktes M von der Ebene APq, und die veraͤnderliche Groͤße von der Ebene Apz. Wiſſen wir aber, wie weit der Punkt M von jeder dieſer drey Ebenen entfernt iſt, ſo kennen wir auch ſeine wahre Lage. Es ſind daher dieſe drey Ebenen, auf welche jede Flaͤche vermittelſt einer Glei⸗ chung zwiſchen drey veraͤnderlichen Groͤßen X, y und 2 be⸗ zogen werden kann, vorzuͤglich zu merken, und iſt eine da⸗ von horizontal, ſo ſind die beyden uͤbrigen vertical, und zwar die eine nach der Richtung AP, und die andere nach der Richtung A p. Hat man nun dieſe drey auf einander ſenkrechte Ebenen feſtgeſetzt, um darauf die gegebene Flaͤche zu beziehen; ſo faue ſaͤle n ſen Al und M Donn ey hel Ous Nen und r⸗ Chedes⸗ derichene die Figen ſe⸗ wen ls eoet Pttind Uitßenn 4 ſekrechti⸗ kommt ir Negohber, ſe lchen Ctene dhen ülrh diee getheilt i ſnige geut Hhlihe T, Aln tie ſigun mnelrel e let, ſ ſ den ote⸗ A,N Cordineten nnrche die auf inmn A ſcredn ie Erfmnm ene⸗ ee⸗ nung dnſe -= = peride et, n 1 — — Gſfarrh⸗ Urtutl, und andetſah Von den Oberflachen der Koͤrper uͤberhaupt. 479 faͤlle man aus jedem Punkte dieſer Flaͤche M auf jene Ebe⸗ nen AP QC, APq und A=; die ſenkrechten Linien M Q, M und M, und mache MQ= 2, Mq = y und M = x Dann ergaͤnze man das Parallelepipedum, wodurch man drey gerade Linien bekoͤmmt, welche jenen gleich ſind, und aus dem Punkte A ausgehen, nemlich A P X, Ap = y und Ar = z, und ſobald man dieſe kennt, ſo iſt auch die Lage des Punktes M bekommt. Laͤßt man aber die veraͤn⸗ derlichen Groͤßen X, y und z, wenn ſie nach den Ebenen, welche die Figur anzeigt, gerichtet ſind, poſitiv ſeyn, ſo muß man ſie, wenn ſie nach den entgegenſtehenden Gegenden laufen, als negativ anſehen. Z Hat in der Gleichung zwiſchen den drey veraͤnderlichen Groͤßen X, y und 2 diejenige, welche auf der Ebene AP Q ſenkrecht iſt, oder 2, allenthalben gerade Dimenſionen, ſo kommt ihr ein doppelter Werth zu, ein poſitiver und ein negakiver, und beyde ſind einander gleich. Alsdann iſt alſo die Flaͤche von der Art, daß ſie ſich auf beyden Seiten der Ebene aͤhnlich und gleich bleibt, und daß der Koͤrper, der durch dieſelbe begrenzt iſt, durch ſie in zwey gleiche Theile getheilt wird. So wie nun bey den ebenen Figuren die⸗ jenige gerade Linie, welche die Figur in zwey gleiche und aͤhnliche Theile theilte, Durchmeſſer genannt wurde, ſo wollen wir bey den Koͤrpern diejenige Ebene, welche den Koͤrper in zwey gleiche und aͤhnliche Theile theilt, die Dia⸗ metral⸗Ebene nennen. Wenn daher die veraͤnderliche Groͤße in der Gleichung allenthalben gerade Dimenſionen hat, ſo iſt die Ebene AP eine Diametral⸗ Ebene. 8. 14. 486% Anhang. Erſtes Capitel. Auf aͤhnliche Art erhellet, daß die Ebene APq worauf y ſenkrecht iſt, eine Diametral⸗Ebene ſeyn werde, wenn y in der Gleichung fuͤr die Flaͤche allenthalben gerade Dimen⸗ ſionen hat; und eben ſo iſt die Ebene Ap? eine Diametral⸗ Ebene, wenn x allenthalben gleiche Dimenſionen hat. So⸗ bald daher eine Gleichung fuͤr eine Flaͤche zwiſchen den ver⸗ aͤnderlichen Groͤßen X, y und gegeben iſt, ſo laͤßt ſich ſo⸗ gleich beurtheilen, ob unter den drey Ebenen Diametral⸗ Ebenen ſeyn werden, oder nicht. Es koͤnnen aber auch zwey, ja alle drey Ebenen Diametral⸗Ebenen ſeyn. Bey der Kugel z. B., deren Mittelpunkt in A liegt, iſt, weil der Halbmeſſer AM = V (xXxXx † yy † 22) à iſt, XX † yy 22 = aa, und es wird folglich die Kugel von jeder der gedachten Ebenen in zwey ahnliche und gleiche Theile getheilt. Um die Geſtalt der Oberflaͤche, die in der gegebenen Gleichung enthalten iſt, zu erkennen, muß man ſein Au⸗ genmerk auf die drey auf einander ſenkrechte Ebenen rich⸗ ten, welche in der 120ſten Figur durch QCQ1Q2 s, TTTTZT3 und VVIVZV3 bezeichnet ſind, und ſich in dem Punkte A ſchneiden. Wenn man ſich dieſe drey Ebe⸗ nen nach allen Seiten ohne Ende erweitert gedenkt, ſo thei⸗ len ſie den Raum in acht Gegenden ein, welche in der Fi⸗ gur durch AX, AXI, A X2, AX 3, A X4, AX5, A X6 und AX? angezeigt werden. Sind in der erſten AX die veraͤnderlichen Groͤßen , y und 2 poſitiv, ſo ſind in den ubrigen ein oder zwey von ihnen oder auch alle drey nega⸗ tive. Die genauere Beſchaffenheit dieſer Werthe aber laͤßht ſich am beſten aus folgendem Schema erkennen. 2— 2— gen zu kel cht Geg dutch de der otge nden gin ſlreghe/ ſt d lllrtedn Uinien 4 welcher ) Eulerg EN hen den ber⸗ lße ſtſch ſo⸗ Vancod nen Cder anc n ſehn. D gt, iſt, w rsrt un⸗ ie nun ſin N Cenin tich CE 1d, w dieſe dee 6 eterttſ e nltenn u V. emn un ſ nd ld en drey ed⸗ Derhe cn 1 ſhenn er S== N Von den Oberflaͤchen der Koͤrper uͤberhaupt. 481r Die Gegend AX Die Gegend AX4 AR= † „ A R= –— „»„ AS = † A S = † z Die Gegeno AXNT Die Gegend A XNS AP/ = — X AP = — X A R = † y Ak’= — y 7 A S = † 2 AS = † z Die Gegend A X2 Die Gegend ANXG AR= † -„ AR = — y J AS = — 2 AS = — 2 Die Gegend AX 3 Die Gegend AX7 P/ — — A = 5 Abe= — X „ — † „ AK= — y A S = — 2 A S= — 2 §. 16. Wr Bequemer iſt es indeß, dieſe acht Gegenden durch Zah⸗ len zu bezeichnen, um jedesmal auf die leichteſte Art anzei⸗ gen zu koͤnnen, von welcher die Rede ſey. Da nun alle acht Gegenden in dem Punkte A zuſammenkommen, und durch drey ſenkrecht ſich ſchneidende Ebenen von einan⸗ der abgeſondert, dieſe drey Ebenen aber durch die ge⸗ raden Linien Pp, Qq, Rr, die ſich in dem Punkte A ſenkrecht ſchneiden, beſtimmt werden: ſo laͤßt ſich jede Gegend durch drey von den Buchſtaben P, Q und R, und p, q und r angeben. Die Hauptgegend oder die erſte P QR iſt nemlich der Raum, welcher das Paral⸗ lelepipedum zwiſchen den ohne Ende verlaͤngerten geraden Linien AP, A Q, AR., und die Gegend Pqr, der Raum, welcher das Parallelepipedum zwiſchen den drey ohne Ende Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. D. Hh ver⸗ 482 Anhang. Erſtes Capitel. verlaͤngerten geraden Linien AP, Aq und Ar enthaͤlt. Setzt man daher AP = xX, AQ = y, A R = 2, ſo iſt Ap = — X, A q = — y, und Ar = — 2. Wir wollen alſo die gedachten acht Gegenden auf die Art durch Zahlen von einander unterſcheiden, daß ſey: i⸗ 1ſte die 2te zwiſchen 4 = 4 aa den Coordinaten 1. 1 » 3te— die 4te zwiſchen — 4 2 den Coordinaten ! 1 = 7 HD“ CAR = + 2 A R = † 2 die 5te die 6te zwiſchen — 1 P den Coordinaten 3 — 7 9 † y 1r = — 2 Ar — — 2 die 7te die 8te zwiſchen † HW . 3* — — den Coordinaten ——“ S den Loordi 8 LAR = †* 2 Ar = — 2 J. 17. Dieſe Gegenden unterſcheiden ſich bald mehr, bald we⸗ niger von einander. Zuvoͤrderſt giebt es zwey Gegenden, die zwey Coordinaten gemein und eine verſchieden haben; dieſe beruͤhren ſich in einer Ebene, und wir wollen ſie da⸗ her verbundene nennen. Dann ſind zwey Coordinaten ver⸗ ſchieden, und eine gemein; dieſe Gegenden beruͤhren ſich bloß in einer geraden Linie, und wir wollen ſie deswegen gerrennte nennen. Endlich ſind alle Coordinaten von ein⸗ ander verſchieden, und die Gegenden haben bloß den Punkt G Cetrennt Mdorſ Wod Nſe den wir e⸗ des Von den Oberflaͤhhen der Koͤrper uͤberhaupt. 483 l Punkt A mit einander gemein; dieſen wollen wir den Namen 2, ſof der entgegengeſetzten Gegenden geben. Was fuͤr Gegen⸗ ir wolen den mit einer jeden verbunden, oder von ihr getrennt, oder 9 Ahen ihr entgegengeſetzt ſeyn, zeigt folgende Tabelle, D Verbunden Getrennt Entgegen⸗ te geſetzt PGR PGTIE qRPGRP q rp ſp q Rſp qr I n nI IV V VI vII VIII — PGTIPGRP qT pGT P qRPGR p q T P qX 4 I I V VI III IV VillI à VII 2— I b R P P QR p q R Pr p q r p QRp Q r II V I VI I VIII IV vI. 11 b QR P C p qRPQR b qrTPQTP qRPqT vV VI VII I vIII II III 5 V - PTFB qRPGTIP qT POQRp qRPCT 9QR 11 V II II vIIHE I vI vVI 1 IV 1 — † Oa PpQhM[Pp qT P Q p q KPQRIP q TPqR Ne VI IV VII HI VII I V III 2 — I P q Rp q rT PQK PqR P QrP qTPGRIPGT — VI vII IVY III vVI. HD I . —1 Pp ꝗqr be JR P r P r b QR P qR Pr P QRN VIII VII I vI Vv IV — II I 1 , bid . 18 Gegen, Es hat alſo jede Gegend drey mit ihr verbundene, zwey den hobet; getrennte und eine entgegengeſetzte, und es erhellet aus hlen ſen der vorſtehenden Tabelle ſogleich, wie eine jede gegen jede Nincer e⸗ andere beſchaffen iſt. Die Ordnung, welche die Zahlen in gihenn ſch dieſer Tabelle beobachten, iſt bemerkenswerth, und um ſie aweget dem Ueberblicke auf eine leichtere Art darzuſtellen, wollen bon eix wir eben dieſelben Zahlen in eben der Ordnung in fol gen⸗ an des Quadrat einſchließen. ut⸗ MUD .. 484 Anhang. Erſtes Capitel. 2 3 1 4 S L& ZYIS 2 LI1S L6LIA4ILS8IZ 215ILL SL e A I E IZ I1 LZ1 3 15 5131 211811I Z6 LA4 9 4 82 121IS 12 2181ALLelslikz 871615 L43La Die Art, wie hier die Zahlen auf einander folgen, faͤllt bey einiger Aufmerkſamkeit von ſelbſt in die Augen, der Gebrauch dieſer Tabelle aber wird in der Folge ausfuͤhrlich gezeigt werden. §. 109. Wir haben ſchon vorhin bemerkt, daß einer Flaͤche, in deren Gleichung die veraͤnderliche Groͤße 2 allenthalben ge⸗ rade Dimenſionen hat, zwey einander gleiche und aͤhnliche Theile zukommen; es iſt nemlich alsdann der Theil in der erſten Gegend gleich und aͤhnlich dem in der zweyten, und auf aͤhnliche Art ſind auch die Theile in der dritten und fuͤnften, desgleichen die in der vierten und ſechsten, und endlich in der ſiebenten und achten mit einander uͤberein⸗ ſtimmend. Wenn hingegen die veraͤnderliche Groͤße y al⸗ lenthalben gerade Dimenſionen hat, ſo ſtimmen die erſte und dritte, die zweyte und fuͤnfte, die vierte und ſiebente, und die ſechste und achte mit einander uͤberein. Hat x in der Gleichung allenthalben gerade Dimenſionen, ſo findet dieſe Uebereinſtimmung in der erſten und vierten, in der zweyten und ſechsten, in der dritten und ſiebenten, und in der fuͤnften und achten Gegend ſtatt. Wenn nemlich in den, de Nuf Nie Hebt, n 1 ſectir Nee Keote Aen Gled CDer unger und Kn ſoſches an die ſecte Geis Groſen » eine unge erſe Hege e hritte. en Mender dchafn 4 N4 39 N lugen, usuhrih „Ven Von den Oberfluͤchen der Koͤrper uͤberhaupt. 488 in der Gleichung allenthalben gerade Dimenſionen hat die veraͤnderliche Groͤße L ſo ſtimmen uͤberein die Gegenden die Gegenden die Gegenden 2/ 1, 5, 6, 3,4, 8,7 3, 5, 1/7,2, 8,4,6 4, 6, 7, 1, 8, 2, 3, 5 §. 20. Wern die Theile der Flaͤche in den getrennten Gegen⸗ den, der erſten und fuͤnften, einander gleich ſeyn ſollen, ſo muß die Gleichung ſo beſchaffen ſeyn, daß ſie unveraͤndert bleibt, wenn man die beyden veraͤnderlichen Groͤßen y und 2 negativ nimmt. Es wird dies alſo ſtatt finden, wenn die beyden Groͤßen y und 2z zuſammengenommen in allen Gliedern der Gleichung allenthalben entweder gerade oder ungerade Dimenſionen haben. Wenn aber die erſte und fuͤnfte Gegend mit einander uͤbereinſtimmen, ſo thun ſolches auch die zweyte und dritte, die vierte und achte, und die ſechste und ſiebente. Auf aͤhnliche Art ſtimmen, wenn in der Gleichung fuͤr die Flaͤche die beyden veraͤnderlichen Groͤßen xX und 2 allenthalben entweder eine gerade oder eine ungerade Anzahl von Dimenſionen ausmachen, die erſte Gegend mit der ſechsten, die zweyte mit der vierten, die dritte mit der achten, und die luͤnfte. mit der ſiebenten uͤberein. Wenn nemlich in der Gleichung fuͤr die Flaͤche allenthal⸗ ben entweder eine gerade oder eine ungerade Anzahl von Dimenſionen haben 7 die veraͤnderlichen Groͤßen y und 2 1 x und z: xX und y h 3 ſo 486 Anhang. Erſtes Capitell. S ſo ſtimmen uͤberein MJJͦJRDÿ die Gegenden die Gegenden die Gegenden lurt 1, 2, 3,4.5,6,7, 8, I 1,2, 3, 4, 5/6, 7, 8 1,2, 3, 4,5,6, 7, 8 5,3,2, 8, 1, 7/ 6, 4, 6, 4,8, 2, 7/ I, 5, 3 7, 8, 4, 3,6, 5, 1, 2 Wenn aber alle drey veraͤnderliche Groͤßen x, y und 2 zuſammengenommen, entweder allenthalben eine gerade S oder allenthalben eine ungerade Anzahl von Dimenſionen haben „ſo ſtimmen die entgegengeſetzten Gegenden mit einander uͤberein. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, † getede §. 21. G Venpen Wenn ſich von dieſen Bedingungen zwey oder alle drey min zugleich bey der Gleichung ſinden, ſo ſtimmen entweder jze c vier oder alle acht Gegenden mit einander uͤberein. n le Wenn ſowohl x als y, jede fuͤr ſich betrachtet, allent⸗ Wem⸗ halben eine gerade Anzahl von Dimenſionen haben, 2 ſbercl ſtimmen folgende Gegenden zu je vieren W mit einander uͤberein. I1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 3/ 5°, I, 7, 2, 8/ 4, 6 4, 6, 7, I, 8, 2, 3, 5 7/ 8, 40 3/ 6, 5, I, 2 . Wenn ſowohl x als 2, jede fuͤr ſich, eine gerade Anzahl Wen y von Dimenſionen haben, ſo ſtimmen folgende Gegen⸗ d 3 den zu je vieren mit einander uͤberen. uud 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ”ßMB 2, 1, 5, 6, 3/ 4, 8, —7 4, 6, 7, I1, 8, 2, 3, 5 6, 4, 8, 2, 7, I, 5, 3 DZ Wenn y und 2 de gerade enſionen . ſden Wm 1 Von den Oberfiͤchen der Kͤrper uͤberhaupt. 487 Wenn die veraͤnderlichen Groͤßen y und 2 jede fuͤr ſich betrachtet, allenthalben eine gerade Anzahl von Dimen⸗ ſionen haben, ſo ſtimmen folgende Gegenden zu je vieren mit einander uͤberein. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8 2, 1, 5, 6, 3, 4, 8, 3, 5, I, 7, 2, 8, 4 5/ 3/ 2, 8, I, 77 6, ◻. §. 22. Wieenn eine von den veraͤnderlichen Groͤßen allenthalben gerade Dimenſionen hat, die beyden uͤbrigen aber zuſam⸗ mengenommen allenthalben entweder eine gerade oder eine ungerade Anzahl von Dimenſionen geben, ſo ſtimmen auch je vier und vier Gegenden mit einander uͤberein, und b zwar auf folgende Art. Wenn 2 allenthalben gerade Dimenſionen hat, xX und y aber allenthalben entweder eine gerade oder eine ungerade Anzahl von Dimenſionen ausmachen, ſo ſtimmen folgende Gegenden mit einander uͤberein. k, 2, 3, 4, 5, 6, 7 38 2, I1, 5, 6, 3, 4, 8, 7 71 8, 4,„ 3, 6, /5, I, 2 . 8, 7, 6, 5, 4, 3,/, 2, I Wenn y allenthalben gerade Dimenſionen hat, und und 2 zuſammengenommen allenthalben entweder eine gerade oder eine ungerade Anzahl von Dimenſionen ge⸗ ben, ſo ſtimmen folgende Gegenden zu vier und vieren mit einander uͤberein. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 3/ 5/ 1 7, 2, 8, 4, 6 ShA 6, 488 Anhang. Erſtes Capitel. R 6, 4, 8, 2, 7, I1, 5, 3 cNtn 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 eis Wenn x allenthalben gerade Dimenſionen hat, und y und 2 zuſammengenommen allenthal ben entweder eine gerade erde oder eine ungerade Anzahl von Dimenſionen geben, ſo “ ſtimmen folgende Gegenden zu vier und vieren Narn mit einander uͤberein. et 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ſcei 4, 6, 7, I, 8, 2, 3, 5 5, 3, 2, 8, I, 7 6, 4 8 , 7,9 6, 5, 4/ 3, 2, I. Ve⸗ In dieſen drey Faͤllen haben alſo alle drey veraͤnderliche ſi Groͤßen X, y und 2 zuſammengenommen allenthalben ent⸗ enhelen weder eine gerade oder eine ungerade Ainzahl von Di⸗ u menſionen. auc, un H WWWWic, §. 23. Pachenf Es find noch folgende Faͤlle von vier gleichen Gegenden nſſh uͤbrig. Wenn mri X und y) allenthalben entweder eine gerade oder eine nn, und y und ꝛ. ungerade Anzahl von Dimenſionen haben, ſo D ſtimmen folgende Gegenden zu vieren mit ein⸗ Wen ander uͤberein. JI, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 5 3/ 2, 8, I1I, 7, 6, 4 drice H —2, 8, 4, 3, 6, 5, I, 2 e 6, 4, 8, 2 7, 1, 5, 3 n . Uuſche Eben dieſe Aehnlichkeiten muͤſſen ſich ergeben, wenn außer⸗ Grite derim die beyden uͤbrigen veraͤnderlichen Groͤßen x und z inr allenthalben entweder eine gerade oder eine ungerade An⸗ gerade zahl . Von den Oberflaͤchen der Koͤrper uͤberhaupt. 489 zahl von Dimenſionen ausmachen, ſo daß dieſe Bedingung bereits in der angefuͤhrten enthalten iſt. Es werden daher die Theile einer Oberflaͤche in je vier getrennten Gegen⸗ “ den unter einander gleich ſeyn, wenn in der liure je gin,5 zwey veraͤnderliche Groͤßen zuſammengenommen, alle llenthal⸗ ien ben entweder eine gerade oder eine ungerade Ar nzahl von Dimenſionen haben. Da es aber drey Tombinationen giebt, ſo iſt zu bemerken, daß wenn zwey die erklaͤrte Ei⸗ genſchaft haben, dieſelbe der dritten ebenfalls zukomme. §. 24. WDenn zu den Bedingungen, wobey je vier Gegenden zrdete gleich und aͤhnlich werden, noch eine neue in ihnen nicht thiten n enthaltene hinzukommt, die je zwey Gegenden einander h gleich und aͤhnlich macht, ſo werden alle Gegenden einander gleich, und die Flaͤche beſteht, aus acht einander gleichen und aͤhnlichen Theilen. Die Gleichung fuͤr dieſe Art der Flaͤchen faßt alle bisher betrachteten Eigenſchaften zuſammen “ in ſich; es haben nemlich die veraͤnderlichen Groͤßen X, y nbignn und 2 jede fuͤr ſich betrachtet, allenthalben gerade Dimen: ſionen, und es muͤſſen daher auch je zwey oder alle drey oder che zuſammengenommen eine gerade Anzahl von Dimenſionen nhihn geben. ſeren nit en §9. 25. Ob aber eine gegebene Gleichung zwiſchen dreyen ver⸗ aͤnderlichen Groͤßen zwey oder alle drey von den betrachte⸗ ten Eigenſchaften an ſich habe oder nicht, erkennt man, in Anſehung der geraden Dimenſionen jeder veraͤnderlichen wenn auſe⸗ Groͤße, leicht. Auch macht es keine Schwierigkeit zu be⸗ inr ſtimmen, ob alle veraͤnderliche Groͤßen allenthalben eine gnn y gerade oder eine ungerade? Anzahl von Dimenſionen geten. . 490 Anhang. Erſtes Capitel. Von den Oberflaͤchen ꝛe. Nicht ſo leicht iſt es, zu unterſuchen, ob je zwey von dieſer Art ſind. Man ſetze in der Gleichung entweder = nz, oder y„= nz, oder = ny, und ſehe, ob in dem einen oder dem andern Falle eine Gleichung ſich ergebe, in wel⸗ cher fuͤr die beyden erſten Annahmen 2z, und fuͤr die letzte y allenthalben gerade Dimenſionen bekomme. Iſt dieſes, . ſo haben je zwey veraͤnderliche Groͤßen zuſammengenom⸗ mmen allenthalben entweder gerade oder ungerade Dimen⸗ ſionen, und es muß daher die Flaͤche zum wenigſten zwey einander gleiche und aͤhnliche Theile haben. Zweytes E Fucen Che Ebe tie eus ente Klye Schnit ein Kichen der hon doran Denn man he kn. Cyitel be veranderlie elkenneng we Geren beii ſditaien Nnn N engenene 4 6 * Dimen⸗ Nan wey nts Zweytes Capitel. Von den Schnitten der Flaͤchen, wenn Ebenen durch ſie gelegt1 werden. §. 26. So w wie ſich Linien in Punkten ſchneiden, ſo thun die Flaͤchen ſolches in Linien, geraden entweder oder krummen. Eine Ebene ſchneidet eine Ebene in einer geraden Linie, wie aus der Elementar⸗Geometrie bekannt iſt; wenn aber eine Kugei von einer Ebene geſchnitten wird, ſo iſt der Schnitt ein Kreis. Kennt man die Linien, in welchen Flaͤchen von gegebenen Ebenen geſchnitten werden, ſo hat man daran ein Huͤlfsmittel zur Kenntniß der Flaͤchen ſelbſt; denn man lernt dadurch auf einmal unzaͤhlige Punkte der Flaͤche kennen, da hingegen nach der im vorhergehenden Capitel beſchriebenen Methode die einzelnen Werthe der veraͤnderlichen Groͤße z nur einzelne Punkte derſelben zu erkennen geben. — §. 27. Da wir die Flaͤchen auf drey auf einander ſenkrechte Ebenen beziehen, ſo muͤſſen wir vor allen Dingen die Durch⸗ ſchnittslinien der Flaͤchen mit dieſen Ebenen betrachten. Nimmt man alſo zuvoͤrderſt die Ebene A PQ, Fig. 121, welche durch die veraͤnderlichen Groͤen AP = x, und A Q y beſtimmt wird, (indem die dritte veraͤnderliche Groͤße 2 die Entfernung der Flaͤche von dieſer Ebene an⸗ „ zeigt) 492 Anhang. Zweytes Capitel. zeigt) ſo faͤllt in die Augen, daß man, wenn man 2 = o ſetzt, die Punkte der Flaͤche finden werde, welche in der Ebene A PO ſelbſt liegen; und es giebt daher die uͤbrigblei⸗ bende Gleichung zwiſchen X und y die Linie, in welcher die Flaͤche von der Ebene A PQ geſchnitten wird. Auf aͤhnliche Art druckt, wenn man y = o ſetzt, die Gleichung zwiſchen xX und - die Drrchſchnittslin linie der Flaͤche und der Ebene APR, und wenn man X =o ſetzt, die zwiſchen y und z die Durchſchnittsl inie der Flaͤche und der Ebene A QR aus. §. 248. Ich habe ſchon vorhin beruͤhrt, daß die Oberflaͤche ei⸗ ner Kugel, die den Mittelpunkt in A hat, und deren Halb⸗ meſſer = * à iſt, durch die Gleichung XX T yy T 2 2 = a a ausgedruckt werde; und ich will d daher dieſes Beyſpiel zur Erlaͤuterung gebrauchen. Es ſey alſo 2z = o, ſo druckt die Gleichung XX † yy = aa den Kugelſchnitt, der von der Ebene APOQ erzeugt wird, aus, und man ſieht, daß der⸗ ſelbe ein Kreis iſt, der den Mittelpunkt in A, und den Halbmeſſer = a hat. Auf aͤhnliche Art iſt, wenn man y = o ſetzt, der Kugelſchnitt, welchen die Ebene APER macht, ein Kreis, der durch die Gleichung † 22 = aa ausgedruckt wird; und wenn man X = o ſetzt, ſo giebt die Gleichung yy † 22 = a a einen gleichen Kreis fuͤr den durch die Ebene AQR hervorgebrachten Kugelſchnitt. Dies ſind bekannte Dinge, da, wenn eine Kugel von einer Ebene ge⸗ ſchnitten wird, welche durch den Mittelpunkt der Kugel geht, der Schnitt allemal ein groͤßter Kreis iſt, der mit der Kugel gleichen Halbmeſſer hat. 9. 29. Richt ſchwerer iſt es, die 2 Durchſchnittslinien zu beſtim⸗ men, welche durch Ebenen gemacht werden, die einer von jenen 1 ſenen 5 Ebene, derten 0 fernung Slt, Ourchſr ar man Gleichuag Rorhrnt — Nnaten linie ous heſünmen 4CNr ſſ enn Wnn den dey 2 einer he ein Durch Chene Ab — Soe nd noch ſondern an ſhnitlini⸗ Cport Racheader wird, und nien ten Durchſh deſe Dr RAzS ce in Ne Nucher i f ihniche der Ehent 1 † und 10R er von der 1, dan der N, ud penn non bene 401 Von den Schnitten der Flaͤchen c. 493 jenen Haupt⸗ Ebenen parallel ſind. Man denke ſich eine Ebene, die der Ebene A P Q parallel ſey, und von ihr um die Weite = h abf ſtehe; ſo werden alle Punkte der Flaͤche, deren Entfernung von eben der Ebene A PQ, welche Ent⸗ fernung durch die veraͤnderliche Groͤße z ausgedruckt wird, =h iſt, in dieſer parallelen Ebene liegen, und alſo eine Durchſchnittslinie bilden. Fuͤr dieſe Durchſchnittslinie hat man daher eine Gleichung, wenn man in der Gleichung fuͤr die Flaͤche 2z = h ſetzt; denn man bekommt dadurch eine Gleichung zwiſchen den Coor⸗ dinaten X und y, welche die Natur der Durchſchnitts⸗ linie ausdruckt. Auf aͤhnliche Art laſſen ſich die Schnitte beſtimmen, welche durch Ebenen, welche der APR oder A CR parallel ſind, erzeugt werden, und es wuͤrde uͤber⸗ fluͤſſig ſeyn, das Geſagte bey ihnen zu wiederholen. §. 30. Wenn alſo in der Gleichung fuͤr eine Flaͤche zwiſchen den drey Coordinaten x«, y und z eine dieſer Coordinaten 2 einer beſtaͤndigen Groͤße h gleich geſetzt wird, ſo entſteht ein Durchſchnitt der Flaͤche und einer Ebene, welche der Ebene A P Q parallel iſt, und von ihr um die Entfernung == h abſteht. Legt man demnach dem Buchſtaben h nach und nach alle moͤgliche Werthe, die poſitiden nicht nur, ſondern auch die negativen, bey, ſo erhaͤlt man alle Durch⸗ ſchnittslinien der Flaͤche und der Ebenen, welche der Ebene A PQ parallel ſind; und da die ganze Flaͤche durch der⸗ gleichen parallele Ebenen in unendliche viele Theile getheilt wird, und man auf die gedachte Art alle Durchſchnittsli⸗ nien kennen lernt: ſo wird man auch durch alle dieſe Durchſchnittslinien mit der Flaͤche ſelbſt bekannt. Alle dieſe Durchſchnittslinien ſind nemlich in einer einzigen Glei⸗ dung 494 Anhang. Zweytes Capitel. chung zwiſchen den Coordinaten X und y, die eine unbe⸗ ſtimmte beſtaͤndige Groͤße in ſich faßt, enthalten, und es ſind daher alle dieſe Durchſchnittslinien entweder é aͤhnliche oder verwandte in einer Gleichung enthaltene Linien. Es werden alſo alle Schnitte der Flaͤche, die der Ebene A PQ parallel ſind, einander gleich ſeyn, und von den Ebenen APR und A QR auf gleiche Art geſchnit⸗ ten werden, wenn die Gleichung zwiſchen X und y ſo be⸗ ſchaffen iſt, daß ſie unveraͤndert bleibt, h mag einen Werth bekommen, was fuͤr einen man will. Dies kann aber nicht geſchehen, wofern nicht die veraͤnderl iche Groͤße 2, ſtatt welcher h geſetzt worden, in der Gleichung fuͤr die Flaͤche gaͤnzlich fehlt. Wenn alſo die dritte veraͤnderliche Groͤße 2 ganz aus der Gleichung fuͤr die Flaͤche wegfaͤllt, ſo ſind alle der Ebene APC parallele Schritte einander gl leich, und ihre Natur wird durch die Gleichung fuͤr die Flaͤche ſelbſt ausgedruckt, indem dieſelbe bloß die beyden veraͤnderlichen Groͤßen X und y enthaͤlt. Auf aͤhnliche Art ſtimmen, wenn in der Gleichung fuͤr die K laͤche entweder X oder y fehlt, alle der Ebene A QR oder A P R parallele Schritte mit ein⸗ ander uͤberein. §. 32. Eine ſolche Flaͤche laͤßt ſich daher nicht nur ſehr leicht denken, ſondern ſelbſt conſtruiren und koͤrperl ich darſtellen. Denn angenommen, daß in der Gleichung die veraͤnderliche Groͤße fehle, und man alſo bloß eine Gleichung zwiſchen den beyden Coordinaten A P = x, und AQ = PM = y habe, ſo beſchreibe man darnach in der Ebene A PQeine Curve B MD, Fig. 122. Dann ſtelle man ſich vor, daß eine eine un gerade dieſebe Durch Linie dene ſi ie E SMießl gereaden nenge⸗ eimat Ri Norſce; die gliner Reſtbeg fnnt, ſad; ſon Sobft N dep heren eine m⸗ n, d er ahrlis Re utl ur . t D Ueetelen. mtindale hung rſſhn E 5A= e APC. n⸗ N,0N h n 1 e Von den Schnitten der Flaͤchen c. 495 eine unbegrenzte, auf dieſer Ebene ſelbſt ſenkrecht bleibende gerade Linie nach der Curve B M D ſich bewege, ſo wird dieſelbe bey ihrer Bewegung die Flaͤche beſchreiben, welche durch die Gleichung ausgedruckt wird. Wenn alſo die Linie B M D ein Kreis iſt, ſo wird die auf dieſe Art entſtan⸗ dene Flaͤche die Oberflaͤche eines geraden, wenn aber B MD eine Ellipſe iſt, die eines ſchiefen Cylinders. Wenn die Linie B M D keine continuirliche, ſondern eine aus mehrern geraden und eine de w Figur bildenden Linie zuſam⸗ mengeſetzte Linie iſt, ſo wird die gedachte Flaͤche eine prismatiſche. Da dieſe Gattung der Flaͤchen alle cylindriſche und pris⸗ matſſche Flaͤchen unter ſich begreift, ſo pflegt man ſich auch die cylindriſche oder prismatiſche zu nennen; die Arten derſelben ader werden durch die ebene Figur B MD be⸗ ſtimmt, aus welcher ſie auf die beſchriebene Art entſtanden ſind; ſo wie daher auch die Figur B MD die Baſis heißt. Sooft daher in der Gleichung fuͤr eine Flaͤche eine von den drey veraͤnderlichen Groͤßen æ, y und 2 fehlt, ſo oft iſt die Flaͤche, welche durch dieſe Gleichung ausgedruckt wird, ent⸗ weder eine cylindriſche, oder eine prismatiſche. Wenn aber zwey veraͤnderliche Groͤßen y und z zugleich fehlen, ſo wird X eine beſtaͤndige Groͤße, und die Linie B MD verwandelt ſich in eine gerade Linie, we lche auf der Axe AD ſenkrecht iſt; woher denn die Flaͤche eine Ebene wird, die auf der Ebene AP Q ſenkrecht ſteht. § 334. Nach dieſer Gattung der Flaͤchen verdient vorzuͤglich diejenige bemerkt zu werden, welche man aus den homoge⸗ neng 496 Anhang. Zweytes Capitel. nen Gleichungen zwiſchen den drey veraͤnderlichen Groͤßen X, y und 2, oder alsdann erhaͤlt, wenn dieſe drey veraͤn⸗ derliche Groͤßen allenthalben eine und dieſelbe Anzahl von Dimenſionen haben, wie z. B. wenn 22 = m xZ † XX † yy iſt. Aus dieſen Gleichungen werden nemlich alle Schnitte, wenn die ſchneidende Ebene einer von den Hauptebenen pa⸗ rallel iſt, einander aͤhnliche Figuren. Denn legt man der veraͤnder lichen Groͤße 2 einen beſtaͤndigen Werth h bey, ſo iſt offenbar, d daß die Gleichung hh mhx † XX † yy wenn man fuͤr h nach und nach andere Werthe an⸗ nimmt, unzaͤhlige einander aͤhnliche Figuren unter ſich be⸗ greife, deren Parameter der h gleich oder proportional ſind. Da alſo dieſe Schnitte nicht bloß einander aͤhnlich ſind, ſon⸗ dern auch in dem Verhaͤltniſſe der Entfernungen von der Ebene APQ wachſen, ſo ſind die Linien, welche aus dem Punkte A durch die homogenen Punkte der Schnitte gezogen werden, gerade Linien. d. 35. Iſt alſo eine ſolche homogene Gleichung zwiſchen den “ veraͤnderlichen Groͤßen «, y und? gegeben, ſo ertheile man der 2 den Werth AR=h, und LSSMm, Fig. 123, ſey in einer Ebene, welche der APQ durch den Punkt R parallel gelegt worden, ſo daß ſie durch die Gleichung zwiſchen æ und y ausgedruckt werde, und RV = x und VM = y ſey. Iſt nun dieſer eine Schnitt LSS M m be⸗ ſchrieben, ſo ſtelle man ſich vor, daß ſich durch den Umfang deſſelben eine unbegrenzte gerade Linie bewege, die ſtets durch den Punkt A gehe, ſo wird dieſe gerade Linie die Flaͤche beſchreiben, welche in der Gleichung enthalten iſt. Dabepy faͤllt in die Augen, daß, wenn LSSMm ein Kreis iſt, Ven ſcen G tigedeuc anict Cueab Und deß Schniten N der Chen WeE daßſch 4 terhe dergeeich ſegende auch ein Mungen. an w einegn berin 48 eine hr Eulen E — nn ini, Schnine ebenen o t mon deer WMoes Werthe G nter ſih xN ttional ind. d,ſon⸗ wiſhen de ,ſerhei U . 1, 1V= sMn Von den Schnitten der Flaͤchen ꝛc. 497 iſt, welcher den Mittel lpunkt in R hat, ein gerader, wenn aber R nicht der Mittelpunkt iſt, ein ſchiefer Kegel ent⸗ ſtehen werde; iſt aber jene Figur geradlinig, ſo ergeben ſich Pyramiden von allerley Art. Aus dieſem Grunde wol⸗ len wir die Flaͤchen, welche in dieſer Art der Gleichungen enthalten ſind, coniſche oder pyramidaliſche nennen. §. 36. Wenn alſo die Gleichung zwiſchen den drey t veränder⸗ lichen Groͤßen «, y und 2 homogen, und alſo die dadurch ausgedruckte Flaͤche coniſch oder pyramidaliſch iſt, ſo er⸗ hellet nicht nur hieraus, daß alle Schnitte, die einer Haupt⸗ ebene A P QC parallel gemacht worden, einander aͤhnlich ſind, und daß ihre Parameter ſich wie die Entfernungen der Schnitte von dem Scheitel A verhal ten, ſondern es werden auch aus gleichem Grunde alle Schnitte, welche entweder der Ebene APR, oder der Ebene A QR parallel ſind, eben dieſe Eigenſchaft haben, daß ſie aͤhnliche Figuren ſind, und daß ſich ihre homologen Seiten wie ihre Entfernungen von A verhalten. Unten wird aber gezeigt werden, daß alle dergleichen Koͤrperſchnitte, die entweder einander, oder irgend einer Ebene durch den Scheitel A parallel liegen, auch einander aͤhnlich, und ihre Parameter den Entfer⸗ nungen vom Scheitel A proportio nal ſind. d. 35. Von einem weitern Umfange iſt die Gattung der la⸗ chen, welche wir jetzt betrachten wollen. Es ſey 2Z irgend eine Funktion von 2, und eine Gleichung zwiſchen den drey veraͤnderlſchen Groͤßen X, y und 2 gegeben. Es werde Z = H, wenn man 2 =h ſetzt. Da man in dieſem Falle eine homogene Gleichung zwiſchen X, y und H erhaͤlt, ſo Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. H. Ji wer⸗ 49 8 Anhang. Zwepytes Capitel. werden alle Schnitte, die der Ebene AP Q parallel ſind, einander hnlich ſeyn, ihre Parameter aber werden ſich nicht wie die Entfernungen h, ſondern wie die Funktionen davon, H, verhalten. Es ſind daher auch die Linien, welche durch die homelogen Punkte dieſer Schnitte gezogen wer⸗ den, keine gerade Linien, ſondern Curven, die von der Funktion Z abhangen. Auch folgt hier nicht, daß die Schnitte, die einer andern Ebene parallel ſind, einander aͤhnlich ſeyen. §. 38. In dieſer Gattung find die beyden vorhergehenden Ar⸗ ten enthalten. Denn wird Z = 2 oder Z = a, ſo ent⸗ ſtehen, weil die Gleichung zwiſchen X, y und z homogen iſt, coniſche Flaͤchen. Eben dieſes geſchiehet, wenn Z = = † 8£2 iſt, nur mit dem Unterſchiede daß die Spitze des Kegels nicht i in den Punkt 4 ſelbſt faͤllt; iſt nemlich Z = , ſo ſteht die Spitze des Kegels bvon A um die Weite b ab Setzt man b= Oo, ſo geht die coniſche Figur in eine chylindriſche uͤber, und es wird Z = 1. Es haben daher die Glei⸗ chungen fuͤr die ey lindeiſchen Flaͤchen die Beſchaffenheit, daß die veraͤnderlichen Groͤßen X, und „ mit der beſtaͤndigen 1 allenthalben dieſelbe Anzahl von Dimenſionen geben. Es mag aber die Gleichung zwiſchen X und y beſchaffen ſeyn, wie ſie will, ſo kann man allemal, wenn 2 nicht darin vor⸗ kommt, durch die Einheit die Homogeneitaͤt herſtellen, und es druckt daher, wie wir bereits oben gezeigt haben, jede Gleichung, worin eine veraͤnderliche Groͤße fehlt, eine ey⸗ lindriſche F Flaͤche aus. §. 39. hen Gleiche einen ſl Pugkt in ſertſte⸗ nd Rrnch zeugen! Nun Rre A Neyeck get ſirpe Nn N AH,0 dreyte ſo wird biſtn tden ſch nktionen e don der deß Ni⸗ nander enden Ke⸗ 1, ſo 2= ei —1 d hrh nen/ Von den Schnitten der Flaͤchen ꝛce. 499 §. 39. Unter den Koͤrpern, bey welchen alle Schnitte, die einer von den Hauptebenen A PQ parallel ſind, einander aͤhnlich werden, ſind vorzuͤglich diejenigen zu merken, bey welchen dieſe Schnitte Kreiſe ſind, welche den Mittelpunkt in eben der geraden und auf AP Q ſenkrechten Linie AR haben. Dergleichen Koͤrper laſſen ſich drechſeln, und man nennt ſie daher gedrehte Koͤrper. Die allgemeine Gleichung fuͤr die⸗ ſelben iſt Z 7 = XX † yy; denn man mag der veraͤnder⸗ lichen Groͤße 3z, um Z = H zu erhalten, einen Werth bey⸗ legen, was fuͤr einen man will, ſo bekommt man allemal fuͤr den Schnitt, welcher der Ebene A P Q parallel iſt, die Gleichung HH = X †yy, und dies iſt eine Gleichung fuͤr einen Kreis, der den Halbmeſſer = H, und den Mittel⸗ punkt in der geraden Linie A R hat. Wenn ZZ = 22 iſt, ſo entſteht ein gerader Kegel; iſt Z Z = aa, ein Chlinder; und iſt ZZ = a a — 22, eine Kugel, und dies ſind die vornehmſten Arten der Koͤrper, die ſich durchs Drehen er⸗ zeugen laſſen. “ð §. 40. Nun wollen wir die Koͤrper betrachten, deren auf der Axe Ab ſenkrechte Schnitte PTV, Fig. 124, insgeſammt Dreyecke ſind, deren Spitzen I in der der Axe A P paralle⸗ len geraden Linie D T liegen. Es ſey AVB die Baſis die⸗ ſes Koͤrpers, oder ein Schnitt von ihm, der in der Ebene A PQ gemacht worden, und irgend eine Curve. Laͤßt man die Entfernung der geraden Linie DT von der Axe A B, oder AD = C ſeyn, und ſetzt man, wie bisher, die drey veraͤnderlichen Groͤßen AP= x, PQ= y und QM = 2; ſo wird PV eine Funktion von x: ſetzt man aber PV = P, ſo iſt wegen der Aehnlichkeit der Dreyecke VQM und VPT Ji 2 P: & 700 Anhang. Zweytes Capitel. P : c = P — y 2 oder Fuͤr dieſe Koͤrper iſt daher — gleich einer Funktion von «; und es unterſcheiden ſich dieſelben von den coniſchen, dafß ſie ſich in eine geradlinige Spitze DT endigen, da ſol⸗ ches die coniſchen in einen Punkt thun. Iſt AVB ein Kreis, ſo entſteht der Koͤrper, den Wallis ausfuͤhrlich unterſucht, und den kegelfoͤrmigen Keil genannt hat. Es ſeyen, wie vorhin, alle auf der Axe AB ſenkrechte Schnitte PTV, mFig. 125, Dreyecke, welche bey bP einen rechten Winkel haben, deren Scheitel T aber irgend eine Curve A T bilden, und die Baſis ſey die Figur AVB. Setzt man die drey veraͤnderlichen Groͤßen AP = z, Pb Q = y und QM = z, ſo iſt in der Curve A VB die gerade Linie PV eine Funktion von X, die wir = P annehmen wollen; uund PT ebenfalls eine Funktion von X, die = Q ſeyn mag. Dies vorausgeſetzt, iſt P: Q = P — y: und alſo oder † † = 1, oder eine beſtandige Groͤße. Wenn alſo die beyden veraͤnderlichen Groͤßen y und 2 nir⸗ gends mehr als eine Dimenſion ausmachen, ſo gehoͤrt der Koͤrper zu der Gattung, welche wir hier beſchrieben haben. §. 42. D die 6 werden Uns hu ſens n Deren Yy nn ſſhen ale Rer Nn. D AD=! 149= fon ben PT,YI Pyimne (ieunkir nan daher andeſche Vonn, Nd urd 4. une Schie ſd ne dodurh ſind, m heyden de⸗ “ Von den Schnitten der Flaͤchen ꝛc. Sor 8. 42. Da wir alſo diejenigen Koͤrper betrachtet haben, wobey die Schnitte, die der einen Hauptebene parallel gemacht werden, insgeſammt einander aͤhnlich ſind: ſo wollen wir uns nun zu ſolchen wenden, wobey dieſe Schnitte wenig⸗ ſtens mit einander verwandte Figuren, oder ſolche werden, deren Applicaten proportional ſind, wenn man die Abſeiſſen Conſchen homolog nimmt. Es ſeyen die drey Hauptſchnitte eines . ſolchen Koͤrpers ABC, ACD und A BD, Fig. 126, ſo daß inddh alle der ACD parallele Schnitte verwandte Figuren wer⸗ 9umnſt⸗ den. Man ſetze die Grundlinie AC = a und die Hoͤhe AD = b, und dabey ſey, nachdem man die Coordinaten Aq = p und qm = q gemacht hat, girgend eine Funk⸗ tion von p. Nun denke man ſich einen parallelen Schnitt Unition ben A ſokrahe PTV, und ſetze die Entfernung AP = x, ſo iſt die Baſis e din, enn PV eine Funktion von x, die wir = Pb., und die Hoͤhe PT berſued ere eine Funktion von «, die wir = Q annehmen wollen. Setzt —K man daher ? Q = y und Q M = 2, ſo iſt wegen der Ver⸗ 21, 50=1 wandtſchaft “ gerode l a: p = P: y; und b: q = Q: 2 ren nulan d-der nng „= T; und ⸗ = 24 9 b K. 43. Wenn alſo alle drey Hauptſchnitte eines Koͤrpers AB C, 10 A CD und A BD gegeben ſind, ſo laͤßt ſich daraus die Na⸗ tur des Koͤrpers beſtimmen, wenn alle dem A CD parallele G Schnitte auch demſelben verwandt ſind. Denn man hat bich⸗ dadurch zuvoͤrderſt P und Q, welches Funktionen von ,ndſn ſind; und dann iſt q eine Funktion von p, ſo daß durch die geheta beyden veraͤnderlichen Groͤßen x und p die veraͤnderlichen 502 Anhang. Zweytes Capitel. Groͤßen y und z beſtimmt werden. Will man aber eine Gleichung zwiſchen den drey Coordinaten X, y und 2 ha⸗ ben, ſo ſetze man, da g eine Funktion von p, oder eine Gleichung zwiſchen p und q gegeben iſt, in dieſer Gleichung p = =— , und q = h˖ denn dadurch erhaͤlt man, da P und C Funktionen von X ſind, eine Gleichung zwiſchen den drey Coordinaten X, y und z, wodurch die Natur der zu dieſer Claſſe gehoͤrigen Koͤrper beſtimmt wird. wenn man = o ſetzt, P = a und Q= b werden muß. §. 44. Wenn in der Gleichung fuͤr die Oberflaͤche die beypyen veraͤnderlichen Groͤßen y und z allenthalben eben dieſelbe Anzahl von Dimenſionen haben, ſo ſind alle auf der Axe AP ſenkrechte Schnitte geradlinige Figuren. Denn ſetzt man fuͤr X irgend eine beſtaͤndige Groͤße, ſo erhaͤlt man eine homogene Gleichung zwiſchen y und 2, welche eine oder mehrere gerade Linien anzeigt. Da nun die Anzahl der Digmenſionen, welche die beyden veraͤnderlichen Groͤßen y un 2 haben, allenthalben dieſelbe, und entweder eine ge⸗ ade oder eine ungerade Zahl iſt: ſo haben dieſerwegen die gedachten Koͤrper nach §. 20 auch je zwey und zwey Theile einander gleich. und fuͤnften, ferner in der zweyten und dritten Gegend ein⸗ ander gleich, und in Anſehung der uͤbrigen braucht man nur den angefuͤhrten § zu Rathe e zu ziehen. F. 45. Wir haben bereits mehrere Gattungen von Koͤrpern be⸗ trachtet, wobey es unzaͤhlige geradli inige Schnitte giebt, denn Es faͤllt aber in die Augen, daß, Es ſind nemlich die Theile in der erſten rerlden lcoct Un un ſien, ſon Dervenn ie Furt ſſid el Glechen Eſ. ſſchen inmnt w iht, oin ⸗ = - in Si Neg ſichtne N: Beaucht ber i nd: e oder en Glichun jen bon z Men X, hdeigen m, W tden dder den die ſce der Ne Denn ſett Rchin nen Ni d ven ſe⸗ le in de n en hegnn . uugt cn Von den Schnitten der Flaͤchen ꝛc. 503 denn es gehoͤren dahin die ſo eben unterſuchten, und dann auch die cylindriſchen und coniſchen Koͤrper. Bey dieſen ſind die Schnitte geradlinig, welche durch die Axe gehen, jene aber erſtrecken ſich weiter. Es ſey nemlich AK M P, Fig. 127, ein Schnitt, der auf der Axe unter dem Winkel MPV = % ſtehe. Setzt man A = X; PQι= y und QQM = z, ſo iſt 5 = tang. O, und P M = iz Soll H. & nun K M eine gerade Linie ſeyn, ſo muß ſn. 9 = ℳ X † werden, wo « und 2 beſtaͤndige Groͤßen, die von dem Win⸗ kel o abhaͤngen, und alſo Funktionen von keiner Dimenſion von y und 2 ſind. Es ſeyen R und S dergt eichen Fuaktio⸗ nen, ſo wird 2« = Rz † S, oder X = Ry † §£ Oder wenn T eine Funktion von einer Dimenſion, und § eine Funktion von keiner Dimenſion von y und 2 bedeutet, ſo ſind alle Koͤrper von dieſer Gattung in dieſer allgemeinen Gleichung X = I † S enthalten. §. 46. Es ſey die Flaͤche, deren Natur durch eine e Gleichung zwiſchen den drey veraͤnderlichen Groͤßen X, y und 2 be⸗ ſtimmt worden, beſchaffen, wie ſie wolle, ſo iſt es allemal leicht, einen jeden nach der Axe AP gemachten Schnitt zu beſtimmen. Es ſey der Winkel V PM, welchen dieſer Schnitt AKMP mit der Ebene A CVP macht = 9, und die gerade Linie PM = v, welches die Applicate des ge⸗ ſuchten Schnitts ſeyn wird; ſo iſt QM = 2 v. ſin. ; und ?PQα = y =— v. coſ. O. Braucht man daher in der Gleichung fuͤr die Flaͤche die Ji 4 Werthe 504 AUnhang. Zweytes Capitel. Werthe v. ſin. 6, und v. coſ. fuͤr y und 2, ſo erhaͤlt man eine Gleichung zwiſchen den beyden veraͤnderlichen Groͤßen X und v. wodurch die NRatur des Schnitts AK M P beſtimmt wird Auf aͤhnliche Art findet man alle Schnitte, welche nach einer von den beyden uͤbrigen Hauptaxen AQC und AR Fig. 121. gemacht werden. Denn es laſſen ſich dieſe drey Axen A P, A CQ und A R, von welchen die drey veraͤnderli⸗ chen Groͤßen x, y und z abhangen, ſo mit einander ver⸗ wechſeln, daß alles, was von der einen erwieſen worden, auch auf die uͤbrigen angewandt werden kann. §. 47. “ Rimmt man alſo die Ebene AP QC zur Hauptebene an, um darauf alle Schnitte der Flaͤche zu beziehen, ſo iſt jeder durch eine Ebene gemachter Schnitt entweder dieſer Ebene parallel oder gegen ſie geneigt, und in dieſem Falle wird die erweiterte Ebene des Schnittes die Ebene A PQ irgend⸗ wo ſchneiden, und der Durchſchnitt dieſer Ebenen wird eine gerade Linie ſeyn. Im erſten Falle, wenn die Ebene des Schnittes der Ebene A PQ parallel iſt, lernt man die Natur dieſes Schnittes kennen, wenn man der veraͤnderli⸗ chen Groͤße 2 einen beſtaͤndigen Werth ertheilt. Im letz⸗ ten Falle, wenn die Ebene des Schnittes gegen die Ebene A PQ geneigt iſt, kann man die Ratur des Schnittes bis ietzt nur dann beſtimmen, wenn entweder die gerade Linie A P, oder die gerade Linie A Q die Durchſchnittslinie der ſchneidenden Ebene und der Ebene APQ iſt. Um alſo alle Schnitte zu finden, muß man auch jeden andern Schnitt jener zwey Ebenen betrachten. Es ſey die gerade Linie E S , Fis. 129, welche der AUre⸗ Ab parallel iſt, die Durchſchnitglini der ſchneidenden Ebene 7 “H Cyene —õ 01 40 400. ene Wriſ Male A⸗ Aa le Nund AN ſeſe dren kaͤnderli⸗ der ver⸗ worden, Gtebene an⸗ ſiſ ſeder eſer Cdene Fole wird Qiütgend⸗ nen wird D Gene nen de. peranderi⸗ . In le⸗ adie Clen chhittes :kOH erol el ni inie der Von den Schnitten der düͤchen c. 505 Ebene und der Ebene APQ, und der NReigungswinkel QS M., den die ſchneidende Ebene ESM mit der Ebene APQC macht, = o, ſo wie die Entfernung A E = f. Da A P = X; P Q y und QM = iſt, ſo wird ES= x, und S8 = y f f. Bezieht man demnach den Schnitt auf die gerade Linie ES als auf ſeine Axe, ſo wird die Abſciſſe E8 = xX; und ſetzt man die Applicate S M = v, ſo wird, weil der Winkel QS M = ° iſt, QM= z = v. ſin. 9%; und S =y1t=v.⸗ coſ. 2 und folglich y = v. coſ. — f. Subſtituirt man daher in der Gleichung zwiſchen X, y und 2, welche fuͤr die Flaͤche gegeben iſt, y = v. coſ. Q — f; und 2 = v. ſin. gH ſo bekoͤmmt man eine Gleichung zwiſchen den Coordinaten X und v fuͤr den geſuchten Schnitt E S M. Waͤre Es ſenk⸗ recht auf der Axe AP, ſo faͤnde man, weil dann ES der andern Hauptaxe in der Ebene APC parallel waͤre, den Schnitt durch Verwechſel ung der veraͤnderlichen Groͤßen X und y auf eben die Art. 8. 49. tun habe der Schnitt ES, Fig. 129, in der Ebene APQ iede willkuͤhrlich angenommene Lage, und es be⸗ gegne ihr die gerade Linie A E, die auf der Axe A b ſenk⸗ recht iſt, in dem Punkte K. Man ziehe ETX der Axe A P parallel, und ſetze AE = f, und den Winkel I1 S = 9; desgleichen, nachdem man die drey veraͤnderlichen Groͤßen A P= x; PQ= y und Q M = 2 angenommen hat, aus Q auf Es die ſenkrechte Li nie e 08, und endlich M1: ſe ſt — Hõ 506 Anhang. Zweytes Capitel. der Winkel QSM die Neigung der ſchneidenden Ebene gegen die Ebene APC. Es ſey QS M= % und die Coorr⸗ dinaten des geſuchten Schnittes E S = t, und S M = v. Aus S ziehe man nach EX und Ob die ſenkrechten Linien 8 T und SV; ſo iſt Q M = 2 = v. ſin. %; S = v. cof. § V = v. coſ. . ſin. 9; QV= v. coſ. G. c0f. 3 und dann auch S I EVX St. ſin. 9; und ET = t. coſ. &. Hieraus fließt AP = XK = t. coſ. J* + v. coſ. 9· ſin. 9 und PQ = 7 = v. coſe o. coſ. 8 — t. ſin. 3 — f. 4 Subſtituirt man dieſe Werthe fuͤr x, „ und 2, ſo findet man die Gleichung fuͤr den geſuchten Schnitt. . 50. Iſt alſo eine Gleichung fuͤr einen Koͤrper gegeben, ſo kann man daraus eine Gleichung fuͤr jeden ebenen Schnitt deſſelben erhalten. Es iſt aber dabey klar, einmal, daß alle Schnitte eines Koͤrpers algebraiſche Curven ſeyn wer⸗ den, wenn die Gleichung fuͤr denſelben zwiſchen den drey Coordinaten «, y und ⸗ eine algebraiſche Gleichung iſt. Ferner koͤnnen t und v in der Gleichung fuͤr den Schnitt, da dieſe Gleichung aus der fuͤr den Koͤrper en ſteht, wenn man darin 2 = v. fin. 9; X = t. coſ. & T v. coſ. . ſin. & 9, und y = col y. cof. 9 — t. ſin. J. — f ſetzt, nicht mehr Dimenſionen bekommen, als die drey Coordinaten x, y und? in jener Gleichung haben. Aber zu einem niedrigern Grade kann die Gleichung fuͤr den Schnitt Schrit Gleder inder ſan, ſo ſnd eſen iger deutich beke ſie ſcn Schrite eine G 3 ð Von den Schnitten der Slaͤchen ꝛc. 507 Ge Schnitt bisweilen gehoͤren, wenn ſich nemlich die hoͤchſten Co Glieder nach der Eudſtitution einander aufheben. — V. D . . linien §. Fk. Haben alſo die drey veraͤnderlichen Groͤßen æ, y und 2 in der Gleichung fuͤr die Flaͤche nicht mehr als eine Dimen⸗ ſion, ſo daß die Gleichung folgende iſt „½X †+ £Sy † 72 = àa ſo ſind alle Schnitte dieſer Flaͤche gerade Linien. In dieſem Falle iſt aber die Flaͤche eine Ebene, welches bey einiger Aufmerkſamkeit in die Augen faͤllt, und unten deutlicher gezeigt werden wird; aus den Elementen aber . iſt bekannt, daß jede zwey Ebenen ſich in einer geraden Li⸗ fnde nie ſchneiden. Auf aͤhnliche Art ſieht man ein, daß alle Schnitte der Koͤrper, deren Natur durch folgende allge⸗ meine Gleichung ausgedruckt wird exX2 † gy2 † 722 † xy † exz † &yz † ax † by † cz † ee = wofern ſie nicht gerade Linien ſind, Linien der zweyten ,ſ Ordnung ſeyn werden, und daß es dabey keinen Schnitt Sm gebe, der nicht in der Gleichung vom zweyten Grade ent⸗ 4 halten ſey. te Drittes . E E „ ee . Drittes Capitel. Von den Eynder⸗ Kegel⸗ und Kugel⸗Schnitten. Da dieſe Koͤrper in den Elementen der Stereometrie betrachtet werden, ſo muͤſſen wir auch ihre Schnitte vor der Erwaͤgung der weniger bekannten Koͤrper unterſuchen. Was nun zuvoͤrderſt die Cylinder betrift, ſo giebt es davon zwey Arten, gerade und ſchiefe. Ein Cylinder heißt ein gerader, wenn alle ſeine auf der Axe ſenkrechte Schnitte einander gleiche Kreiſe ſind, welche ihre Mittelpunkte in eben der geraden Linie haben. Bey einem ſchiefen Cy⸗ linder hingegen ſind nicht die Schnitte, welche auf der Axe ſenkrecht, ſondern diejenigen, welche gegen dieſelbe unter einem gegebenen Winkel geneigt ſind, Kreiſe; man druckt aber dieſe Beſchaffenheit bequemer auf dieſe Art aus: Ein ſchiefer Cylinder iſt ein ſolcher, deſſen auf der Axe ſenkrechte Schnitte einander gleiche Ellipſen ſind, deren Mittelpunkte insgeſammt in der geraden Linie liegen, welche man die Axe⸗ des Cylinders nennt. Es ſey alſo ein gerader oder ſchiefer Cylinder gegeben, deſſen Axe CD, Fig. 130, auf der Ebene der Tafel ſenk⸗ recht ſtehe; und ſeine Grundflaͤche AEBF, oder ſein Schnitt, welcher von der Ebene der Tafel gemacht wird, ſey ein Kreis oder eine Ellipſe. Ich will annehmen, daß dieſe Hrund⸗ Vor Grun und das, ſeiht ( Rdete an lb ater d d als, Chene Uin W Ade reiſe Cylrde itten⸗ metrie ine er tſuchen. s dabon heißt ein Schnitte Uutte in en Cy⸗ uf der Niejce 1, Ne M if der daen wece e, mon Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel ⸗Schnitten. 509 Grundflaͤche eine Ellipſe ſey, die den Mittelpunkt in C, und die zugehoͤrigen Axen AB und EF habe, weil alles das, was von einem ſchiefen Cylinder behauptet wird, ſehr leicht auf den geraden Cylinder angewandt werden kann. Es ſey alſo die eine Hal baxe AC = B C = a, und die . andere CD = CF = c. Setzt man die drey Coordina⸗ ten Cp = x; P Q = y; und QM = 2, ſo iſt wegen der Natur der Ellipſe aacc = aayy † ccxXX und dieſe Gleichung druckt zugleich die Natur des Eylinders aus, da die dritte veraͤnderliche Groͤße 2, weil alle der Ebene CPC parallele Schnitte einander gleich ſind, nicht mit in die Gleichung kommt. 8. 54. Bey dieſem Cylinder ſind alſo alle der Grundflaͤche pa⸗ rallele Schnitte der Grundflaͤche gleich und aͤhnlich; und Kreiſe bey dem geraden, ſo wie Ellipſen bey dem ſchiefen Cyl inder. Ferner ſind die Schnitte, welche durch Ebenen, auf APQ ſenkrecht ſind, gemacht werden, gerade Linien, und je zwey und zwey einander parallel; die aber da, wo die Ebene den Cylinder beruͤhrt, in eine zuſammenfallen, und wenn die Ebene den Cylinder nicht trift, imaginaͤr werden. Dieſes erhellet auch aus der Gleichung. Denn wenn man entweder x, oder y, oder X + a y beſtaͤndig an⸗ nimmt, um den Schnitt der ſchneidenden Ebene und der Grundflaͤche anzuzeigen, ſo hat die Grundflaͤche zwey ein⸗ fache Wurzeln. Und auf dieſe Art haben wir ſchon alle Schnitte beſtimmt, welche durch Ebenen, die einer von den drey Hauptebenen parallel ſind, gemacht werden. 510 Anhang. Drittes Capitel. Um die Natur der uͤbrigen Schnitte; zu erforſchen, wol⸗ len wir annehmen, daß die ſchneidende Ebene und die Ebene der Grundflaͤche die gerade Durchſchnittslinie G T erzeugen, die zuvoͤrderſt der einen zugehoͤrigen Axe EF pa⸗ rallel, oder auf der andern verlaͤngerten Axe A B in G ſenk⸗ recht ſeyn mag. Dies vorausgeſetzt, ſo ſey die Entfernung CS = f, und die Neigung der ſchneidenden Ebene G TM gegen die Grundflaͤche = „. Es begegne die ſchneidende Ebene G L M der Axe des Cylinders in D, ſo wird, wenn man D G zieht, DGC = 9, und folglich f f. ſin. DG = ——; und cD = — —. Co1. O Ccol. Zieht man aus einem Punkte des geſuchten Schnittes M die Linie MT der D G parallel, ſo noird, weil IQ = f— X, und QTM= ½ iſt TM = — OA = —) Un. o coſ. ₰ coſ. ι Man ziehe MS der TG paralee und alſo ſenkrecht auf D 6, ſo wird X MS = LG = P = y; DS = ——. QB= y; und cor 5 §. 56. Nun nehme man die geraden Linien DS und S M zu den Coordinaten des geſuchten Schnittes an, und ſetze DS = t, und 8 M= u; ſo wird y = u; X = t. coſ. (f – x). ſin. „ ccorf. 2²½ S f. tang. % — t. ſin. . “ R Man iſt und weil z = welce⸗ welche d Ctt i N ſekecht arode ſere halb Schritte kleiper der Goſs Nen ejn N. 1 bey er⸗ 30 S inie CI EE NEE tftlnug e 6 T edende d, N chrittes =Sf- Von den Eylinder⸗Kegel⸗ und Kugel⸗Schnitten. 115 Man dringe dieſe Werthe i in die Gleichung fuͤr den Eylinder aacc = ayy † ccxX ſo erha t man fſuͤr den geſuchten Schnitt folgende Gleichung aac3c = aa uu † cctt (coſ. O)2 welche anzeigt, daß der Schnitt eine Ellipſe ſeyn wird, welche den Mittelpunkt in D hat, und deren eine Haupt⸗ axe in die gerade Linie D G faͤllt, die andere aber auf ihr ſenkrecht ſtehet. Es iſt aber die Hauptaxe, welche in die △ gerade Linie D G faͤllt, (indem u = o geſetzt wird) =S — — COI. Oder man ziehe B H der parallel, ſo wird BH = er; die eine Halbaxe des geſuchten Schnittes, und die andere = c — CE. 5* d. 57. Es iſt alſo der auf dieſe Art entſtandene Cylinderſchnitt eine Ellipſe, deren zugehoͤrige Halbaxen i — und c ſind. Wenn daher in der Grundflͤche AEB F, A =a, die groͤ⸗ ßere Halbaxe iſt, ſo ſind, weil groͤßer als a iſt, die Schnitte laͤnglichere Ellipſen als die Grundflaͤche. Iſt aber c kleiner als a, oder iſt der Schnitt G T der groͤßern Are der Baſis parallel, ſo koͤnnen in dem Cylinderſchnitte beyde Axen einander gleich ſeyn, und alſo der Schnitt ein Kreis werden. Dieſes ereignet ſich, wenn ol 5 = c, oder 0C01. aÿ coſ. = iſt. Da alſo in dem Dreyecke BCH, welches . . . . 8 . 4 bey C rechtwinklig iſt, CB H = iſt, ſo iſt coſ. 9 = BC 4 5 = 65 Wenn daher B H = C genommen wird, ſo 512 Anhang. Drittes Capitaael. Emn ſſo ſind die Schnitte Kreiſe; und da dieſes auf eine zwie⸗ fache Weiſe geſchehen kann, indem B H = CE theils ober⸗ un halb, theils unterhalb genommen werden kann, ſo entſte⸗ D8=t hen zwey Reihen kreisfoͤrmiger Schnitte, welche auf der Axe CD ſchief ſtehen, und daher werden dergleichen ey⸗ ld R under ſchiefe Cylinder genannt. . Nun ſey die gerade Linie G T, Fig. 131, beliebig ſchief gelegt, der Schnitt der ſchneidenden Ebene und der Grund⸗ Daaſſon flaͤche, und auf ſie aus dem Mittelpunkte der Grundflaͤche t cok C die ſenkrechte Linie G C = f herabgefaͤllt. Man ſetze den Winkel BC G = ⁹; und den Reigungswinkel CG D = , welchem der Winkel QT M gleich ſeyn wird, wenn man rinntn QT auf GI ſenkrecht zieht. Es iſt daher èMMD Heeyy, D G == 1. und CD = AIIA Es ſey M ein Punkt in dem geſuchten Schnitte, und aus tenc ihm ſenkrecht M Q auf die Grundflaͤche, und von hier QP auf die Axe gefaͤllt, ſo daß, wenn man CP = x, QP= y 1n Nee und QM = ?2 ſetzt, wted aacc = aayy † ccXX Nud werde. Ferner ziehe man auf die Durchſchnittslinie G T. Riet⸗ die geraden Linien PV und Q ſenkrecht, ſo iſt r 6G V = xk. ſin. ; PV = f — x. coſ. und da der Winkel QPW = 9 iſt, ſo wird QW = y. ſin. 9; PW = VITI = y. coſ. 3; und lny QL= f — x. coſ. 3& † y. ſin. . ARledt Zieht man endlich MT, ſo wird, weil MTQ = ⁹ iſt nſten rLrTrM = —; und Q T = e den ſin. Un. 2bt §. 9. Eule le win ls ober⸗ ſ entſt⸗ avf der ichen G⸗ und ans 1hier C=) lrie 61 uad , 7 7 Von den Eyl inder⸗ Kegel⸗ und Kugel⸗ Schnitten. 513 §. 59. Nun ergaͤnze man das Rechteck GSMT, und ſetze D S= t; S M = G T=uu: ſo wird u= GV YVT= x. ſin. & † y. coſ. J. und da QT= f — x. coſ. & † y. ſin. 9 iſt, ſo wird ferner QC — C 6 = y.: ſin. 3 — x. coſ. , und folglich y. ſin. ₰ — X. coſ. è coſ. Da alſo x. ſin J. † y. coſ. = u; und y. ſin. 3 — xX. coſ. = t. coſ. & iſt, ſo hat man ? . y = u. coſ. &ϑ †t. fn. 8. cof o; und X = U. ſin. ₰ϑ — t. coſ. J. coſ. O. Bringt man dieſe Werthe in die Gleichung aacc = a ayy † ccyy, ſo bekommt man D S= LM — DG = 4CC — aauu (coſ. 9)2 † Aaaut. ſin. S. coſ J. cof. „°† natt (Un. 9)2 (coſ. O)2 ccuu (ſin. 5)⸗ — 2 ccut. ſin. 9. coſ. 9. coſ. † cett coſ. 3) 2 (coſ. &)2 und dieſe Gleichung iſt eine gläitu fuͤr eine Ellipſe, welche den Mittelpunkt in D hat, und deren Coordinaten DS und SM auf den Hauptaxen nicht ſenkrecht ſind, wofern nicht a = c, oder der Cylinder ein gerader Cylinder iſt. Um dieſen Schnitt genauer kennen zu lernen, laſſe man a Mebf, Fig. 132, die Curve bedeuten, deren Gleichung zwiſchen den Coordinaten DS = t und MS = u gefunden wor⸗ den; der Kuͤrze wegen wollen wir dafuͤr aa cc = uu † 26t u † „tt annehmen, ſo daß fuͤr den gegenwaͤrtigen Fall Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. B. Kk = 514 Arnhang. Drittes Capitel. Von ℳ₰* = a a (coſ. 9)2 PT cc(ſin. 3) 2 = (a à — C c) ſin. S. cofſ. 9. coſ. „ 7 = aa (ſin. 9) 2 (coſ. 4)2 1. c c (coſ. 9) 2 (coſ. O)* iſt. Die zugehoͤrigen Hauptaxen dieſes Schnittes ſeyen a b und ef, und nachdem man auf die eine davon die Applicate Mp gezogen, ſetze man Dp = p, und Mp = q, desglei⸗ chen den Winkel aD H = ⅛: ſo wird zun die u = p. ſin. & † q coſ. ?; und t = p. coſ.5“ — q. ſin. De und durch die Subſtitution dieſer Werthe bekommt man gaacc — e † æ& (ſin. e⸗ 2 a. ſin. & coſ. † æ (coſ 6)2 le †† 26 Ccof. ) Dashn k26 ſfin. . cofsb b- s(cof 6) Pd — 26ſn. s coſs d P v. (coſ. 6) 2 — 2 ſin. 9. Coſ. 9. † % (ſin. 9) 2 Deh= Da dieſe Gleichung auf einen rechtwinkligen Durchmeſ⸗ ſer bezogen wird, ſo muß der Coefficient von p q = o ſeyn; a daher denn, weil 2. ſin. 9. coſ. &= ſin. 2 ⅛; und ceot. 6)2 — (ſin. ½2 = coſ. 2 iſt ( — 2) a Tse gecat ee H und folg! V 2 tang. 26 — wird. Hierdurch lernt man den Winkel a DH, und folg⸗ lich auch die Lage der Hauptdurchmeſſer kennen. Was die R Halbaxpen ſelbſt betrifft, ſo kann man dieſelben auf folgende Art beſtimmen. “ D = at an H FEα75 † 2 8. ſin. G. Coſ. 17 Cot 6)2) und – = — 2 en ab wdate deige⸗ urihnt⸗ 0 ſehn; 92— 9/ foh⸗ Wos Re hende — 92 nd Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel⸗Schnitten. 5I5 und 4G de= VCæ (coſ. ) 2 — 26. ſin. G. coſ. & † 7 (Iin. 6)2) §. 62. “ 2 (7 — ). ſin. O. coſ. 2 H Da 26= — 72 — f. c2 iſt, ſo wird, wenn man dieſen Werth in die gefundenen Ausdruͤcke bringt, ac V (coſ. &2 — ſin. 72 acV 2 coſ. 2 G al = . V (7. Coſ. 92 — ſin. 62) FC(C— P.). coſ.⸗ „— 27) und eD ac V! coſ. 62 — ſin. 62) — ac V 2 coſ. 26 VC(aæ. coſ.2— . ſin. „2 2) V((aP„.). coſ. 26 1 2 — 7) Das Produkt dieſer beyden Halbaxen iſt demnach 2 a a c c. coſ. 2 V (2 a7 (I † (coſ. 2 6)2) — «% † 77) (ſin. 2 ) 2) Da nun (2 — a.). ſin. 2 = 2 8. coſ. 2 iſt, ſo wird (Caaνν. (n. 2 6) = 46 (coſ. 2 6)2 † 2 27 Cin. 2 6) und folglich ”M 2 aa c c. coſ. 2 =ð D, ebe V AS cof. = — 4 66 (Ü 2 7)²) a à c0 4àA0 aD. eD = —.— VCar =— 6 6 coſ. §. 63. 2 aacc,. coſ. 2 („ † „). cof 26 — =1 7 und 2aaàc c. coſ. 2 („ † 7)). coſ. 26 † « — 7 Kk 2 . iſt, Da aD2 — — 516 Anhang. Drittes Capitel. 1 iſt, ſo wird Aaa c c. ( † ) (coſ. 2 6 2 (= 12aacc 8 402 teD⸗= * . 2 — 458 coſ. 2 2 —— leguen 4qCofſ. 2 )2 — 466 Co. 2⁰) 47 — 8 8 und hieraus fließt = benn ab 1 eD= W 7 2 V C7 — 06)) V(æ — 8 6) SS — 1c V(a 7 – 2 V (= 2à — 6 6)) it i a D — e D = vV ar ss); — Gubdſe Es ſind demnach die Halbaxen aD und e D die Wurzeln ſcgfen dieſer Gleichung uFt he (A7 — β ⁸) X4 — ( 4 acc ax asca = 0 ſeſoe V («7 — £β ⁸£) = a c. coſ. . Iuung 8. 64. . han uhe Da aD. e D = = = 3 und der Winkel iſt, welchen il⸗= die ſchneidende Ebene mit der Grundflaͤche macht, ſo fließt N hHiieraus folgender ſchoͤne Lehtſatz: S OUUM eb ehrſagß. N Wenn ein Cylinder von einer Ebene geſchnitten wird, ſo verhaͤlt ſich allemal das Rechteck der Axen des Schnit⸗ dol D tes zu dem Rechtecke der Axen der Grundflaͤchen des Cy⸗ linders, wie die Secante des Winkels, welchen die Ebene des Schnittes mit der Ebene der Grundflaͤche macht, zum Badius. M Da alſo alle Parallelogramme um den zugehoͤrigen n Durchmeſſern den aus den Axen erzeugten Rechtecken gleich Sichedi ſind, ſo ſtehen auch jene Parallelogramme um der Grund⸗ ſoſ flaͤche und jedem Schnitte des Cylinders in eben demſelben Verhaͤltniſſe. . . §. 65. ☛ W 4 „ ace — ¾½ Wuzdn nwird, Schnit⸗ dos , en die pfiche hdigen glech Grund⸗ hſelben 6 ſo iſt Von den Elinder, Keel und d Kugeh⸗ Egriten. 517 §. 65. Es kann aber die Natur dieſer ſchiefen Eylinderſchnitte bequemer auf folgende Art beſtimmt werden. Wenn die Grundflaͤche des Cylinders die Ellipſe AEBE, Fig. 133, die Halbaxen derſelben AC = BC = a; EC = CF = cz; und die gerade in C auf der Grundflaͤche ſenkrechte Linie CD die Axe des Chlinde rs iſt: ſo ſchneide den Cylinder eine Ebene, deren Durch! ſchnit tslinie mit der Ebene der Grundflaͤche, LH, mit der verlaͤr gerten Axe AB irgend einen ſchiefen Wir kel mache, und auf dieſelbe ſey CH aus C ſenk⸗ recht herabgefaͤllt, und der Winkel GCH = J. Geht alſo die ſchneidende Ebene durch den Punkt der Axe des Cylin⸗ ders D, ſo iſt, wenn man DH zieht, der Winkel CHD der Reigungswinkel der ſchneidenden Ebene gegen die Ebene der Grundflaͤche, welchen wir = % ſetzen wollen. Macht man daher C G = k, ſo iſt G H= f. ſin. 3; C H = f. coſ. 9; “”õs f. coſ. ſin. 4 DH = – ; mnd 0c0 = elin col. ½ coſ Da a ſe⸗ das Dreyeck D C bey C rechtwinklig iſt, ſo wird AKIP Iin. 9:. ſin. Do f. ¶I † ſin i. 2) n DeH coſ. 9 coſ. VCTſn. TEn. &)5) ſin. d. coſ. O coſ. è coſ. DGH= tang. DGH = — -. =VCHHNTH.H n ang = E cof . 66. Nun faͤlle man aus einem Punkte des geſuchten Schnit⸗ tes M auf die Grundflaͤche die ſenkrechte Linie M C herab, ziehe die Applicate 2 b, und ſetze CP= x, und P C= = y ; aacc = aayy † ccxXX 5„ Kk 3 Ferner 51I8 Anhang. Drittes Capitel. Sd Ferner ziehe man OQT der CG parallel, und auf ihr ſey noimmen aus G die ORöſenkrecht, ſo iſt ſo nid G R = y; und QRf— x. SW Da alſo der Winkel IOR= GCH= ⁸ iſt, ſo wird 6T = ;; und TR = = Ela. und folglich Seeenan QT=f –—2 1 aT. 5 Ferner ſind die D Dreyecke CD G und QMT einander aͤhn⸗ lich, und alſo . CCG : DG = Q T: IL M . DReeher und “ CG: C — CT = D6: D S . e,n⸗ wenn man MsS der GT parallel zieht. Hieraus ergiebt ſich ESgnit, DS = (X. coſ. 9 — y. ſin. J XCI E ſin. 92. in. 922) cofſ. J. coſj. . Colen ders Setzt man daher DS = t und MS = u, ſo wird „“ NW x. cof. 8 — V. hn. 3 = coſ. cor o , V (IT ſin. 2. ſin 72) Wden und y = u. coſ. 2 neſe he woraus ſich eine Gleichung zwiſchen t und u ergiebt, die aber noch ſehr verwickel lt it . 67. eot 0 Man ziehe aber anſtatt der Hauptaxen der Baſis den Aj dieſe Durchmeſſer E F, der Durchſchnittslinie TH parallel, und ſce ligt den zugehoͤrigen Durchmeſſer A B, welcher verlaͤngert der T' H in G begegne. Setzt man, nachdem dieſes geſchehen, wie vorhin, CC = f; OCH= 9; CHD= 9; CA = De CB = m; CE= CF=n; und ſt dem Durchmeſſer ſcnite⸗ EF parallel gezogen, und CP = xX, und PQ = y ange⸗ og; . nommen Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel Schnitten. 519 iſſ⸗ nommen worden, ſo daß manz = may 1 n2X2 iſt: . ſo wird 67 = MS= „ wied D und bDG. X NVIIn 2. Gn. 92) CG coſ Setzt m man alſo D8S = t, und MS = u, ſo wird L t cof. 5= CTEr. .2 „ſin. 92) y = u. Da aber 5 = coſ. CGD, und alſo, wenn man CCD=,„ ſetzt, = t. coſ. » iſt, ſo erhaͤlt man fuͤr den geſuchten rgiebt ſ Schnitt, nach den zugehoͤrigen D Durchmeſſern beſtimmt, 92) immnn = mmuurfnntt. coſ. 22 . wobey der Mittelpunkt in D faͤllt, und der eine Halbmeſe er in der Richtung d DS = —.—, und der andere = n iſt. . Was den Winkel GSM betrifft, unter welchem dieſe Durch⸗ meſſer gegen einander geneigt ſind, ſo iſt tang. 8 1 = 5. 5 z und ſin. & coſ. ⸗ —= F † ſin. &ρ2. ſin „2) Auf dieſe Art laͤßt ſich die Natur des geſuchten Schnittes ſs den ſehr leicht erkennen. el, und getr det eſchehen .. . “”?ð 4= Wir wenden uns nach dieſer Betrachtung der Cylinder⸗ echeſt ſchnitte zu dem Kegel, der ein gerader oder ein ſchiefer ſeyn ange mag; es unterſcheidet ſich aber der ſchiefe Kegel vom ,unnen Kk4 7—WN geraden 4 † 9 . 520 Anhang. Drittes Capitel. geraden darin, daß die auf der Axe ſenkrechten Schnitte bey dem ſchiefen Kegel Ellipſen ſind, welche ihre Mittel⸗ punkte in der Axe des Kegels haben, dagegen eben dieſe Schnitte bey dem geraden Kegel Kreiſe ſind. Es ſey alſo Oaebfô, Fig. 134, irgend ein Kegel, der ſeine Spitze in O, und zur Are die gerade Linie Oc habe, die auf der Ebene der Tafel ſenkrecht ſeyn ſolt, ſo daß die Tafel eine durch die Spitze des Kegels 0 gelegte, und auf der Axe deſſelben 0 c ſenkrechte Ebene vorſtelle. Man ziehe durch O in der Ebene der Tafel die geraden Linien A B, E F, den Axen ab und ef eines jeden auf der Axe ſenkrechten Schnittes parallel; und faͤlle aus einem Punkte M des Schnittes aebf auf die Cbene der Tafel die ſenkrechte Linie M (yund aus Qauf AB die ſenkrech te Linie PQherab: ſo iſt, wenn man OPp=, PTPQ= Y und M = 2 ſetzt, auch die Abſeiſſe des Ab⸗ ſchnitt tes c p = x, und die Applicate P M=y; folglich, da die Axen ab, ef zu O c = QM = ? ein beſtaͤndiges Ver⸗ haͤltniß haben, ==òG . manzzz = m m yy † nnXX wenn man a c = bc = mz, und ec = fc = nz ſetzt. Und dieſes iſt die Gleichung, welche die Natur der coniſchen Oberflaͤche zwiſchen den drey veraͤnderlichen Greßen ., y und 2 ausdruckt. . 69. Da alſo alle auf der Axe O ſenkrechte Schnitte Ellipſen ſind, wie aus der Gleichung manz22 = mazyz † n2Xz2 (wenn man 2 einen beſtaͤndigen Werth beylegt) erhellet: ſo laſſen ſich auf aͤhnliche Art leicht die Schnitte finden, welche entweder auf der geraden Linie AB, oder auf E F ſenkrecht ſtehen. Denn wird der Kegel von einer auf A B ſenkrechten und durch den Punkt p gelegten Ebene geſchnit⸗ ten, frer do ic id Nemich Prie; ſileon IC 502 Kegens W A. chnit n dieſe n al⸗ itein Gere dure. lben 0e Ebene 1 ud Gen eehelet: e rdon * „ Kegels = Von den Cylinder⸗ Kegel⸗ und Kugel⸗Schnitten. 521 ten, ſo hat man, wenn man OP=a ſetzt, fuͤr dieſen Schnitt die Gleichung manz22 = mayz † nz a* zwiſchen den Coordinaten Pp = 2 und P M. — y, und es iſt folglich dieſer Schnitt eine Hyperbel, welche den Mit⸗ telpunkt in hat, und deren halbe Zwergaxe = / ſo wie die zugehbrige Halbaxe = iſt. Auf eben die Art findet man, daß der Schnitt, welcher auf E F ſenkrecht iſt, eine Hyperbel iſt, welche den Mittelpunkt in der geraden Linie EF hat. 8§. 70. Wenn die Ebene, von welcher der Kegel geſchnitten wird, zwar auf der Ebene AEBF, Fig 135, aber auf keiner von den Linien A B, E F ſenkrecht iſt, ſo faͤllt es auch hier nicht ſchwer, den Schnitt zu beſtimmen. Es ſchneide nemlich dieſe Ebene die Grundflaäche AEBF in der geraden Linie BE, und zugleich ſey O B = a, und O E= b. Man faͤlle aus einem Punkte M des Schnittes die ſenkrechte Linie MC, und aus Q die Applicate QP, ſo daß OP = xX; PQ = y, und QM = 2u½ ſey: ſo iſt wegen der Natur des manzz32 — may?2 † n2Xx2. Es iſt alſo 1 a : b = a — X eaet Man ſetze die Coordinaten des Schnittes B Q t, und QM = 2 ſo iſt b: V (aa † bb) ==☛ y : t unnd folglich ð 8 S y =— 5 22 Anhang. Drittes Capitel. . bt und a — a t J V (aa T bb) 5 V (Aa 1† bb) Es ſey N Gaa b b) = c, ſo iſt C C. und man erhaͤlt folgende Gleichung zwiſchen t und ⸗ mznzc2z2 = mabztt † nzazcc — znnaact † nnaatt. nnaac . Ran ſetzet — — = O= „, indem B G nnaac M ſo wird mäa bz † naaz manzazbzc2 manzc222 = mabz nsa⸗ uu — 1 mab⸗ † nzaz §. 71. Es iſt aiſo dieſer Kegelſchnitt eine Hyperbel, welche den Mittelpunkt in G hat, und deren halbe Zwergaxe Ga = 7 4 ſo wie die halbe zugehoͤrige Axe — — — . iſt. Die Aſymptoten dieſer Hyperbel mabz TP naaz aber, welche die Axe Ga in dem Punkte G ſchneiden wer⸗ den, machen mit der Arxe G a einen Winkel, deſſen Tan⸗ V (nzbz † naza) eine gleichſeitige werden, ſo muß manzaz † mzanzbz = mzb † nzaz oder 56B = n V (m m — 1) iſt. Soll alſo die Hyperbel gente = = tang. OBE = — . m V (1 — nn) M. 1— 1 6 „ ſeyn. Wofern alſo nicht — groͤßer als o iſt, ſo kann auf ſahe,1 Pend enen ge Wutek Weo 1, G ie A Nöpung dendeb Unie NO ſcnod leton 6ritt : Unad, en 50 „2 5202 —;,; 1n242 eſche der 62 — e Ne ppetbtl in w⸗ in Tan⸗ pert kane uf Von den Ep inder⸗Kegel⸗ und Kugel Schuitten. 523 auf dieſe Art keine geichſeitig Hyperbel entſtehen. Bey einem geraden Kegel, wo m = n iſt, iſt die Tangente des Winkels, welchen die Aſymptoten mit der Axe des Schnit⸗ tes einſchließen, = = m, und der Wink el = dem? Winkel aOc. V Nun ſey der Schnitt ſchief, doch ſo, daß ſein S Schnitt BT, Fig. 136, mit der Ebene AEPBF auf der geraden Linie AB ſenkrecht ſtehe. Man ſetze OB = f, und den Reigungswinkel der Ebene gegen die Ebene der Grund⸗ flaͤche, oder den Winkel O BC = ;, daß alſo dieſe ſchnei⸗ dende Ebene in dem Punkte Cdurch die Axe des Kegels O C gehe. Hiedurch erhaͤlt man fF— f. fin. O& B C = – —; und &ae coſ. O₰ coſ α Ferner ziehe man aus einem Punkte M des geſuchten Schnit⸗ tes die Linie MT auf BT, und auf die Grundflaͤche die Linie MC., ſo wie aus Qdie Linie OQb auf O” ſenkrecht, und ſetze O P = x; PQ = y, und QM = 2z, um manzzz2 = mzyz † na22 zu dekommen. Endlich mache man die Coordinaten fuͤr den Schnitt BT = t, und [M = u, ſo iſt, weil QCLIM = ₰ QM = 2z = u. lin. 6; und L Q = u. coſ. 9 = f = X woher denn J= t: 2 = u. ſin. O; und X = f — u. coſ. und alſo manzuz, ſin, G = matz † ne ((— n. coſ. 6) ² wird. Setzt man Bc= ⸗ = g, ſo daß f=g. coſ. wird, coſ. & ſo iſt 2= (g — u) coſe, und man erhaͤlt fuͤr den Kegelſchnitt ℳ* 524 Anhang. Drittes Capitel. Dond mznzu., ſin. OG2 = matz † nzgz. coſ. 0ô — 2nzgu. . getodekt . coſ. O* † nzuz. coſ. Ooz Man ſetze M geges0, — —col e ee d coſ. ê2 — ma. ſin. 02 Mwi ziehe M S der B I parallel, und nehme B6G = g. coſ. &Oι2 — f. coſ. 9 — Sphltsͦn coſ ꝙ maſin os ) coſ. 62 – ma. ſin. O2— 8 f. coſ euehde 1-— (1 T m2) ſin. 92 ſo daß die Coordinaten GS=s und 8 M =t werden. Als⸗ hubehn dann bekommt man folgende Gleichung:: SSgliite mzitt nun (coſ ù — mz. ſin. o2) s 8 — Uernn: 2 mmunnff ſin %2 “ (coſ. ꝙ — ma. ſin. 62) 0 und es iſt daher die Curve ein Kegelſchnitt, welcher den Mittelpunkt in G hat, und zwar eine Parabel, wenn der Punkt Gunendlich weit fortruͤckt, welches geſchiehet, wenn tang. = oder die gerade Linie B C der Seite des Ke⸗ der . ſen gels O a parallel wird. In dieſem Falle wird mmtt † nnff — 2nn fu. coſ. O = O und der Scheitel der Parabel faͤllt in G, wenn man B G = Oenn f AInnn fl. coſ. —,— mt, und der Parameter iſt —— r . Kcor5 nimmt, u ddr P ſt — . ⸗ htertehent §. 74. nten ſud: Da der Schnitt eine Parabel wird, wenn coſ. 0 — Penn⸗ mꝛ. ſin. 92 = iſt: ſo iſt offenbar, daß derſelbe eine El⸗ lipſe ſeyn wird, wenn coſ. &* groͤßer als me ſin. 0, oder Aes. . I „ . , tang. groͤßer als iſt; und in dieſem Falle kommt die u gerade n her den venn der 8, wern — Von den Eplinder⸗ Kitel und nd Kugel Schniten. 525 gera de Linie B C oben mit der entgegengeſetzten Seite des Kegels O a zuſammen. Da alſo B G = 2 I1 — mza tang 92 iſt, ſo iſt B G groͤßer als BC, indem G der Mittelpunkt des ge⸗ ſuchten Schnitts iſt. Es iſt alſo die Halbaxe dieſes f. ſi Schnitts in der Richtung BC = —, und coſ. O2 — m 2. ſin. 2 nf. ſin. die zugehoͤrige Halbaxe = cof. 52— m⸗ ſin. 92) halbe Parameter = D f. ſin ü. Es wird daher der — und der Schnitt ein Kreis ſeyn, wenn m= n V(coſ &Q — m?¹. ſin 9²) ün. = n — mn m). = ſin. O BC und = — 1 nh) Wofern alſo n nicht groͤßer iſt als m, ſo kann keiner von dieſen Schnitten ein Kreis ſeyn. §. 75. Wem mæz ſin. 92 groͤßer als coſ. &2, oder tang. groͤ⸗ ßer als 3 iſt, ſo daß die gerade Linie B C und die gegen⸗ uͤberſtehende Seite des Kegels Oa oben aus einander fahrende Linien ſind: ſo iſt der Schnitt eine Hyperbel, deren halbe m f. ſin. ₰& Zwergaxe = — T G= fT ma ſn. 67 die halbe zugehoͤrige nf. I1 Axe = . n. der halbe Parameter VWunz ſin. 2 — colſ. &2 5/ g ſin. 9, und die Tangente des Winkels, unter wel⸗ — 526 Anhang. Deittes Capitel. welchem die Af⸗ iſympoten die Are in dem Mittelpunkte 0 ſchneiden = — — V. (mæa ſin. 92 — colſ. O2) iſt. Es wird folglich die operbet gleichſeitig ſeyn, wenn mznza, ſin. 42 — nz coſ. 962 = ma = (mm “ 1) nun ſin. — nn = mm oder Vm Enn) m V(nn — 1) ſin. „= n V (r † m m) und coſ. 9 = n V (I † mm) iſt. Wofern alſo n nicht groͤßer als 1 iſt, ſo kann durch dieſen Schnitt keine gleichſeitige Hyperbel entſtehen. Wenn der Kegel ein gerader Kegel, oder m = n iſt, ſo laſſen ſich alle Schnitte auf die von uns unterſuchten bezie⸗ hen, weil die Lage der geraden Linie A B von unſerer Will⸗ kuͤhr abhaͤngt. Was aber den ſchiefen Kegel betrift, ſo muͤſſen wir noch die Schnitte unterſuchen, welche von einer Ebene, die gegen die gerade Linie AB irgend eine ſchiefe NRei⸗ gung hat, gemacht worden. Es ſey daher BR, Fig. 137, ein Durchſchnitt der ſchneidenden Ebene mit der Ebene der Grundſtaͤche. D Man ſetze OB= f, den Winkel OBR= 3, und den Reigungswinkel der ſchneidenden Ebene gegen die Grund flaͤche = 4: ſo iſt, wenn man aus nach BR die O R ſenkrecht zieht, OR S= f. ſin. 9; und B R = f. coſ: & Zieht man ferner in der ſchneidenden Ebene die gerade Li⸗ nie RC, ſo iſt, da der Winkel ORC=%, f. ſin. . f. ſin 8. ſin. RC = –=–; und OC = - n. 2 coſ. coſ. Wird nun der auf der Axe des Kegels 00 ſenkrechte Schnit auf der Ebene der Grundflͤche entworfen, ſo fallen ſeine bey⸗ den Vond den Hen einander der. d d dol Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel Schni ten. 5 27 Punkte GJ den Hauptaxen nach A B und EF, und verhalten ſich gegen einander wie m: n. Es wied . 77. un In dieſer Projection des Schnittes ziehe man den Durch⸗ meſſer efder BR parallel, ſo iſt der Winkel BO e = 9, und dabey ſey a Ob die Lage des zugehoͤrigen Durchmeſſers. m-h Man ſetze den Halbmeſſer O a = %, und Oe = „, ſo iſt Itum) V(md4. ſin. 92 † n4. coſ. 92) kundcch V (ma. ſin. 32 † n. coſ. 2) hen mn = V (mz. ſin. 22 † n2. coſ 92) und n ſt,ſDe Uÿ: tang. BOb — mn. coſ. 8. lchten beis⸗ mm. fin. ₰ Eer ⸗ Es iſt folglich von dieſem Winkel unft, ſ der Sinus = an ol d etmnener V (m4. ſin. 32 † n4. coſ. 92) ſhieſe e⸗ und Su der Coſinus = = — n ſn. Ebene der . V (mA. ſin. 22 † na. coſ. 22²) 0= Da nun der Winkel Ob = 8 P BOb iſt, ſo wird von de ſin. O b& HWr ma,, ſin. 32 † n 2. coſ. 92 tR n. O& = Vm. ſin. 372 † n4. col. 75) und Uerade⸗ Gol. ObR = nm — Rn lin.à coſ. 2 V (mA., ſin. 3²2 † n. coſ. 92) “ unnd dabey iſt ⸗ „» mn VGImA. ſin. 8² † n4. co. 92²) eShhrit un m, ſin. 2²* † nn. &2= den 528 Anhang. Drittes Capitel. 8. 8. Da alſo OR = f ſin. 8 iſt, ſo wird Ob = °K f. ſin. à V(mA. ſin. 92 † n4. coſ 92²) ſn. OdA. m. ſin. 32 † n. col. 92 und (m m — nny f. ün. J„ . coſ. J. m?. ſin. Jg2 † n. coſ. 32 und da das Dreyeck CbR bey Kk rechtwinklig iſt, ſo iſt m?* ſin 3² † n². coſ. 32 (m – n²) ſin. g„ cof. J. coſ. Rb — tang. CbE — wodurch der Winkel ChR befannt wird. Nun faͤlle man aus einem Punkte des Schnittes M auf die gerade Linie RT die M T der C b parallel, und aus M nach Cb die MS der RT parallel, ſetze bI = M S = t, und b S = TM = u, und betrachte dieſe Linien als ſchiefwinklige Coordinaten des geſuchten Schnittes, indem tang. b S M 7 m. ſin. 2 † n. eco1I 9.2 =— ni n. S cok. N. Eon 5 iſt. Es erhellet alſo, daß dieſe Cordinaten bey einem geraden Kegel rechtwinklig werden, weil dabey m = n iſt. §. 79. Aus dem Punkte M des Schnittes faͤlle man auf die Ebene AE BF die ſenkrechte Linie M Q herab, ſo wird 1C dem Durchmeſſer a b parallel; auch ziehe man aus Q die OIrdinate Ob dem andern Durchmeſſer ef parallel. Setzt man nunmehr OP = xX; P Q = y; und QM = 2, ſo iſt wegen der Natur des Kegels m? y2 2²2 = „2 y2 † „»2 x2. Denn wenn man ſich durch M einen der Grundſlaͤche paral⸗ lelen Schnitt des Kegels gedenkt, ſo ſind die Durchmeſſer deſſelben die den geraden Linien ab und ef parallel ſind, 2 ri 1S, d wen 50=. d . Neſchnit Cooren⸗ 1,(be, N Wn hibe . coſ 8¹) —— ſ fülenmn 8 inie tehatal chneſtr lek in, 7 7 b G — õ tt e (Ob' — 2. OC⸗) s8: = (. halbe Are = = Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel Schnitten. 529 .2 und “2. Da man aber die Catheten des rechtwinkligen Dreyecks COb, oder OC und Ob kennt, ſo iſt die Hypo⸗ thenuſe C b = ſin. 9* VA(m. ſin &ε* † n¹. coſ. 3— (m — — n ) ſin. 8.². cofſ9:. ſin. ) (m². ſin. 32 † na coſ. 9²) coſ. 7 und wegen der Aehnlichkeit der Dreyecke TMQ und bao iſt TM(u): TC(Ob — X): QM bC: Ob: O folglich Ob. u— OC. u alſo u2 ,2. O C2. u = k Cb⸗. ¼76. Obe (Cb — ¹)⸗ §. 80. Entwickelt man dieſe Gleichung, ſo bekommt man 0 = a. Cba. tt (Obs — ua,0C) uu — 2,2,0bz. Cb u „2 be. C be und wenn man darin u u — – Obz. cb 6bz — aa. O0C2 — ſetzt, oder Obeeb C b Ob? — 2. OC² I (72. ſin. 82†n. coſ &2 Nang g &* . und 6GS = s annimmt: ſo iſt 6 der Mittelpunkt des Ke⸗ gelſchnitts, der durch folgende Gleichung zwiſchen den Coordinaten t und s ausgedruckt wird, b⸗, 0C=. Cb⸗ b⸗ — 2. ½ C* und deſſen halbe Are = . 5 die zugehoͤrige v. O b. 0°C Lb⸗ — 2. 602) Ob. O C . und der halbe Para⸗ meter = 6S1 iſt. Uebrigens erhellet, daß die „ KEulers Einl. in d. Angl.d. Unendl, II. B. L1 Cur⸗ 5S30 Arnhang. Drittes Capitel. QCurve, wenn tang. 6 kleiner als — — — — oder tang. kleiner als n iſt, eine Ellipſe, wenn tang. — –, eine arabel, und wenn tan o “ s- Par no g. groͤßer als — iſt, eine Hyperbel ſeyn wird. II E H. 81. Der dritte Koͤrper, deſſen von einer Ebene gemachte Schnitte wir hier unterſuchen wollen, iſt die Kugel, von welcher aus der Elementar⸗Geometrie bekannt iſt, daß alle ebene Schnitte derſelben Kreiſe ſind. Damit indeſſen die Methode, aus jeder fuͤr einen Koͤrper gegebenen Gleichung jeden Schnitt deſſelben zu finden, deutlicher werde, ſo will ich hier eben das analytiſch vortragen, was man ſonſt ſyn⸗ thetiſch zu lehren pflegt. Es ſey alſo, Fig. 138, C der Mittelpunkt der Kugel, und durch denſelben gehe die Ebene der Tafel, ſo daß der durch dieſe Ebene gemachte Schnitt ein groͤßter Kreis ſey, der den Halbmeſſer C A=CB = a habe, welcher zugleich der Halbmeſſer der Kugel ſeyn wird. Ferner ſey die gerade Linie DT der Durchſchnitt der ſchnei⸗ denden Ebene mit jener Ebene der Tafel, und auf ihr aus dem Mittelpunkte C C die gerade Linie cPe=f ſenkrecht, der Neigungswinket aber = = 9. §. 82. Es ſey M irgend ein Punkt in dem geſuchten Schnitte, und aus demſelben auf die Ebene der Tafel M QC, ſo wie von hier auf die zur Axe angenommene CD die Qb ſenk⸗ recht. Pen techt. und C un ſt ſoridd Denken =9 IT A d Dl=t. 1= ſinn “l Ei e ſ: Demn und es aa- f. Meralel, de Uiin cc an Rencde de Nher jogen wer VIC:. gemachte ngel, von „Wale, Gleidung e, ſo wil ſtaſt ſo . Ne diebhene e Schnits (5 =14 lſehn wa der ſcne⸗ hr en legt, der ,ſ. wie ] Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel⸗Schnitten. 531 recht. Setzt man nun die Coordinaten CP = X, P Q = y, und QM = 2, ſo iſt wegen der Natur der Kugel xx † yy † 22 = aa. Man ziehe aus M auch auf D T eine ſenkrechte Linie MAT, ſo wird der Winkel M TOQ der Neigungswinkel der ſchnei⸗ denden Ebene und der Ebene der Grundflaͤche ſeyn, welchen wir = % geſetzt haben. Betrachtet man daher D T und M T als die Coordinaten des geſuchten Schnittes, und ſetzt DT = t, und TM = u, ſo wird MQ = u. ſin. O, und TC = u. coſ. O und fol glich CP = x„* = f — u. coſ o; PQ = y — t; und Q M = 2 — u. ſin. 6. S ubſtituirt man dieſe Werthe, ſo erhaͤlt man folgende Gleichung fuͤr den geſuchten Kugelſchnitt: . ff — 2 f u. coſ. O † uu † tt = aa. Es erhellet, daß dies eine Gleichung fuͤr einen Kreis iſt. Denn ſetzt man u — f. coſ. 0] = s, ſo wird fr. ſin. O* † SsSs † tt = a a und es iſt folglich der Halbmeſſer des Schnittes = V (a a — ff. ſin. ꝙ*). Wenn alſo aus D, der Applicate T M parallel, die Linie De gezogen, und auf ſie die ſenkrechte Linie Cc aus dem Mittelpunkte herabgefaͤllt wird: ſo iſt, wegen CD = f, und CDc = D c = f. coſ. 9; und Cc = f. fſin. 0. Da daher die Coordinatens und t auf den Mittelpunkt be⸗ zogen werden, ſo iſt c der Mittelpunkt des Schnitts, und VK(CB2 — Cc²) der Radius deſſelben, wie aus den Ele⸗ L l 2 men⸗ 5832 Anhang. Drittes Capitel. Oud menten bekannt iſt. Auf aͤhnliche Art aber laſſen ſich auch Rand alle durch Ebenen gemachte Schnitte aller Koͤrper, deren vanfſe Natur durch eine Gleichung zwiſchen drey veraͤnderlichen Groͤßen ausgedruckt iſt, erforf ſchen. . 84. Damit indeß dieſe Operation noch deutlicher werde, ſo ſey ein Koͤrper gegeben, deſſen Natur durch eine Glei⸗ Elbſin chung zwiſchen den drey Coordinaten AP = x; P Q = y udr, und QM = 2, Fig. 139, ausgedruckt werde; wovon die bey⸗ nen dn den erſten in der Ebene der Tafel liegen, die dritte2 aber n de darauf ſenkrecht ſtehen mag. Ferner werde dieſer Koͤrper fonnt ri durch eine Ebene geſchnitten, die mit der Ebene der Tafel aten, die Linie DT gemein habe, und deren Reigungswinkel = ſey. Man ſetze AD = f, und den Winkel AD E = 9: ſo iſt, wenn man aus A nach D E die ſenkrechte Linie A E. zieht, AE = f. ſin. 9; und DE = f cof.8. Hierauf ziehe man aus einem Punkte des geſuchten Schnit⸗ tes M auf D T die MT ſenkrecht, und verbinde Qund T durch QI: ſo iſt der Winkel MT Q= O. Nimmt man daherr TM zu den Coordinaten des geſuchten Schnittes, . und ſetzt man DI = t, und IT M = u, ſo wird “ Ql = u.fn-e; und TQ = u. coſ. . 85. Aus T faͤlle man auf die Arxe Ab die Linie TV ſenkrecht, ſo iſt wegen IDV = %, TVS=t. fin. 5; und DV . t. coſ. Da ferner der Winkel TQb = 9 iſt, ſo wird PV = u. ſin. 9 coſ. %; und ?- TV= u col 3. coſ. ꝙ. Hier⸗ 1 Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel Schnitten. 533 * ſch aut Hieraus laſſen ſich die Coordinaten x, y und 27 durch! t und dernn u auf foigende Art beſtimmen: derlichen AP= X = f † t. coſ — u. ſin. 8. coſ. PQ y= t Iin. S. T u. coſ J. coſ. & und werde, ſt ◻M = 2 = u. lin. 0 ne Blei⸗ Subſtituirt man dieſe Werthe in der Gl eichung zwiſchen x, f=) y und 2, welche fuͤr den Koͤrper gegeben iſt, ſo bekommt NAeen man eine Gleichung zwiſchen t und u, oder den Coordina⸗ tte1 ad ten des geſuchten Schnittes, deſſen Natur alſo dadurch be⸗ er Koreer kannt wird. Es ſtimmt aber dieſe Methode mit der faſt Nar Dfe uͤberein, welche wir oben §. 50 gebraucht haben. rokel= =4. linie Al n Shnit 04 I nt man Schmnes, krecht Viertes Capitel. Von der Verwechſelung der Coordinaten. So wie die Gleichungen fuͤr die krummen Linien, die in einer Ebene liegen, durch Veränderung entweder des Anfangspunkts der Abſciſſen, oder der Lage der Axen, oder beyder Dinge, unzaͤhlige Formen bekommen koͤnnen, ſo findet dieſe Verſchiedenheit bey den gegenwaͤrtigen Glei⸗ chungen in einem noch weit hoͤhern Grade ſtatt. Denn einmal koͤnnen in der Ebene, in welcher zwey Coordinaten liegen, dieſe Coordinaten auf unzaͤhlige Arten veraͤndert worden; und dann laͤßt ſich auch die Ebene, welche zwey Coordinaten enthaͤlt, veraͤndern, und auf dieſe Weiſe die vorhergehende Verſchiedenheit unendlich vermehren. Iſt nemlich eine Gleichung zwiſchen drey auf einander ſenk⸗ rechten Coordinaten gegeben, ſo laͤßt ſich allemal eine an⸗ dere Gleichung zwiſchen drey andern ebenfalls auf einander ſenkrechten Coordinaten finden, deren Lage in Anſehung der vorigen unendlich mehrmal veraͤndert werden kann, als wenn nur zwey Coordinaten da waͤren, wie bey den Gleichungen fuͤr die krummen Linien. Angenommen, daß zupoͤrderſt bloß der Anfangspunkt der Abſeiſſen X in der Axe veraͤndert werde, und die bey⸗ (li,tri Uun Ne de Füte ue ler Cerd e dar j= Gung ſir r, v. diſt bei⸗ er geeben RN ong die der ſenkre Rehnen, dincten daß ober Neongen ley er ſ lleltfi e, die IAS geſogen nelen Co⸗ dertorge lecht, in Enien, Ne D des Konen, ſe gor; zud R Sudere 4 heche wen Veiſe de ten. N der ſcht⸗ l ene an⸗ u aunnhe Anſehung den konn, be den H S Von der Verwechſelung der Coordinaten. 535 den uͤbrigen Coordinaten dieſelben bleiben; ſo wird die neue Abſeiſſe von der vorigen um eine beſtaͤndige Groͤße unterſchieden ſeyn. Es ſey alſo die neue Abſciſſe = t, ſo iſt ? = t = a; und bringt man dieſen Werth in die fuͤr die Flaͤche gegebene Gleichung, ſo bekommt man eine Glei⸗ chung zwiſchen den drey Coordinaten t, y und 2, die zwar von der vorigen verſchieden iſt, aber gleichwohl eben der Flaͤche zugehoͤrt. Auf aͤhnliche Art koͤnnen auch die uͤbri⸗ gen Coordinaten y und z um beſtaͤndige Groͤßen vermehrt oder vermindert werden: und ſetzt man X = t – a; y = u b; und 2— v c, ſo bekommt man eine Glei⸗ chung fuͤr eben die Flaͤche zwiſchen den Coordinaten t, u und v, welche ſelbſt den vorigen parallel ſind. Ob indeß dieſe Gleichung gleich allgemeiner iſt, ſo iſt ſie doch von der gegebenen eben nicht ſehr verſchieden. Da die drey rechtwinkligen Coordinaten, deren Glei⸗ chung die Natur der Flaͤche ausdruckt, auf drey auf einan⸗ der ſenkrechte Ebenen bezogen werden, ſo wollen wir an⸗ nehmen, daß die neue Ebene, in welcher die beyden Coor⸗ dinaten X und y genommen werden, unveraͤndert bleibe, daß aber darin eine andere gerade Linie CT, Fig. 140, zur Axe angenommen werde. Da nun die vorigen Coordinaten bey der Axe Ab folgende waren, AP =x, PMN = y, QM 2, ſo bleibt fuͤr die neue Axe CQ die Coordinate CM = ?2 die⸗ ſelbe, die beyden uͤbrigen aber werden CT = t, und TQ=u, wenn man QT auf die neue Axe C T. ſenkrecht gezogen hat. Um daher die Gleichung zwiſchen dieſen neuen Coordinaten t, u und 2 zu finden, ziehe man CR der vorigen Axe Ab parallel, und aus C auf ſie CB ſenk⸗ recht, und ſetze A B a, BC = b, und den Winkel Lili 4 CNYN 536 Anhang. Viertes Capitel. RCT = = .. Endlich ziehe man TR auf CR, und aus T auf P Q die 18 ſenkrecht. * §. 89. Iſt dieſes geſchehen, ſo iſt in dem Dreyeck TCR TL R E t. ſin. O; und CR = t. coſ. in dem Dreyecke QTS aber, deſſen Winkel bey Q eben⸗ falls = §% iſt, TS = u ſin. %; und QS = u. coſ-. Hieraus findet man AP = 2 = CR † TS — A B= t. coſ. & † u. ſin. — a; und Qb = y= QST TR— BC u. coſ. — t. ſin. & — b Bringt man daher dieſe Werthe fuͤr x und y in die fuͤr die Flaͤche gegebene Gi leichung, ſo bekommt man eine andere Gleichung zwiſchen den neuen Coordinaten t, uund ⸗, welche ebenfalls die Natur der gegebenen Flaͤche ausdruckt. Dieſe neue Gleichung hat einen viel weitern Umfang, da in ihr drey neue willkuͤhrliche beſtaͤndige Groͤßen a, b, und der Winkel befindlich ſind, die in der vorigen Gleichung nicht anzutreffen waren. Auch iſt ſie die allgemeinſte Gleichung, wenn die Ebene, worin X und y liegen, beybehalten wird. K. 90. Es aͤndere ſich nunmehr auch die Ebene, in welcher und y angenommen worden, und zwar zuvoͤrderſt ſo, daß die Durchſchnittslinie der neuen Ebene mit der vorigen A PQ, Fig. 141, in die gerade Linie A P falle, die zugleich als die Axe der neuen Coordinaten angeſehen werden ſoll. Es ſey alſo APT dieſe neue Ebene, deren Neigungswin⸗ kel gegen die vorige der Winkel QPT iſt, den wir = ſeger n wollen, und aus M. nach P T ſenkrecht M T gezogen, 3 welche welche die et ſege penn n , 1 N Lngt chung Uoln 1 aihna Eifil nd de RNe ſer Ete er oo un, we en wir Al= ehen Ung nict ſeichung, wird. welchern ſ, / horigen glaich den ſol. ngowin⸗ wie = te Von der Verwechſelung der Coordinaten. 537 welche auch auf der neuen Ebene ſenkrecht ſeyn wird, und die Stelle der dritten Coordinate vertreten kann. Man ſetze alſo A P = x, PT= u; und IT M = v, ſo iſt, wenn wenn man TLR auf PQ und IS auf QM ſenkrecht gezo⸗ gen hat, TR = u. ſin. n; PR= u. coſ. “; TS = v. ſin. „; MS = v. coſ. » und folglich P Q = y = u. coſ. 7 — v. ſin. „; und 7 Q M = 2 = v. coſ. „ — u. ſin. n. Bringt man dieſe Werthe fuͤr y und? in die gegebene Glei⸗ chung, ſo erhaͤlt man eine zwiſchen den drey neuen Coordi⸗ naten X, u, und v, welche die Natur eben der Slaͤche ausdruckt. Es falle nun der Schnitt der neuen ſchneidenden Ebene und der Ebene AP C in irgend eine Linie C T, und ſey der Reigungswinkel dieſer Ebenen, und CT die Axe in die⸗ ſer Ebene. Man ſuche zuooͤrderſt eine Gleichung zwiſchen den Coordinaten in der Ebene APQ auf die Axe CT bezo⸗ gen, welche man aus der vorhergehenden auf die Art fin⸗ den wird, daß bey u–uñu!uurnnd QM = X = p. coſ. & † 9. ſin. — a; „y S= qꝗ. coſ 5— p. ſin. 5 — b; und 2 = r iſt. Es wird aber aus dem vorhergehenden §, wenn man die neuen Coordinaten t, u und vnennt P = t; 4 = u. coſ. n — v. ſin. 2; und 1 = v. C0ſ. 2 † u. ſin. n. und folglich 538 Anhang. Viertes Capitel. xX = t. coſ. 6½ † u. ſin. 6. coſ. 2 — v. ſin. 6. ſin. 2 — a y = – t. ſin. % † u. coſ. &. coſ. 2 — V. coſ. G. ſin. 2 — b 1 und 2£ = u., ſin. 9 † v. coſ. „. §. 92. RNun nehme man in der neuen Ebene, in welcher die Coordinaten t und u liegen, irgend eine andere Linie zur Axe an, um die allgemeinſte Gleichung fuͤr die gegebene Flaͤche zu bekommen. Es ſeyen zu dem Ende Ab, PQ, QA, Fig 140, die Coordinaten t, u und v, welche wir ſo eben gefunden haben, ſo daß AP der Durchſchnitt der erwaͤhn⸗ ten Ebene mit derjenigen ſey, in welcher man ſich die Haupteoordinaten und y denkt. Es ſey CT die neue Axe, auf welche die neuen allgemeinſten Coordinaten, welche wir ſuchen, bezogen werden, und CT = p; TQ= q; und QM = r. Außerdem ſind die Linien A B und B C beſtaͤn⸗ dige Linien, der Winkel C TR aäber ſey = = J. Dies vor⸗ ausgeſetz, ſo iſt nach § 80. t = p. coſ. 9 † q. ſin. — A B A — p. ſin. 3₰ † 4 coſ. — B C und V . Bringt man dieſe Werthe in in die Ausdruͤcke des vorherge⸗ henden §, ſo findet man x = p (coſ. 6. coſ. — ſin:.coſn. ſin. 5) † ꝗ. (coſ.ſin. † ſin. &. coſ. a. coſ. 3) — r. ſin. g. ſin. * † f y = — pcſin &. coſ. ? † coſ. . coſ. v. ſin. — q. (ſin. 6.ſin. 8.— coſ. &. coſ. a. coſ. 3) — r. coſ. . ſin. 2 † 4 und 4= — p. ſin. 2. ſin. 8 † q. ſin, n. coſ. & † r. coſ. 92. † h W0 Gechaur 6 ſcch eber 1 in en Neolge gen derg ſanwthe Poretitern le ſ Gleichammn den Veche Wücnmes Gfochſe degen ſöverlch genſcheft Nechhe Cote NN Cacr⸗ Clelz Unen Di kbenfele 1 — ſcher die nie jur lagebene W, r ſo chen erraͤhn ſich die eue Aye, velche pir G beſtan⸗ dis a⸗ 7 Von der J Verwechſel ung der Coordinaten. 5 39 wo k, 8 und h beſtaͤndige, und aus den in die Rechnung eingefu hrten entſtandene Linien ſind. 5§. 93 Es enthaͤlt alſo die allgemeinſte Gleichung fuͤr jede Flaͤche ſechs beſtaͤndige willkuͤhrliche Groͤßen, die man an⸗ nehmen kann wie man will, ohne daß deswegen durch die Gleichung eine andere Flaͤche ausgedruckt werde. So ein⸗ fach aber eine Gleichung zwiſchen den Coordinaten x, y und 2 furr eine Fl ache ſeyn mag, ſo wird ſie, wenn man daraus die allgemeinſte Gleichung zwiſchen p, q und r macht, we⸗ gen der großen Menge der beſtaͤndigen willkuͤhrlichen Groͤ⸗ ßen nothwend ig ſehr verwickelt, insbeſondere, wenn hoͤhere Poteſtaͤten von «, y und 2z vorkommen. Es ſind daher die Faͤlle ſelten, wo es rathſam waͤre, zu der allgemeinſten Gleichung aufzuſteigen. Denn wenn man gleich daraus den Vortheil ziehen koͤnnte, daß man durch eine geſchickte Beſtimmung der beſtaäͤndigen Groͤße die Gleichung auf die einfachſte Form zuruͤckfuͤhrte, ſo wird doch dieſe Arbeit wegen der Weitlaͤuftigkeit des Calculs meiſtens ſehr be⸗ ſchwerlich Zur Erforſchung mehrerer merkwuͤrdigen Ei⸗ genſchaften aber leiſtet die Verwandlung der Geichung ir in die allgemeinſte allerdings Nutzen. HZ K. 94. So verwickelt indeß die allgemeinſte Gleichung meiſtens iſt, ſo iſt doch die Anzahl der Dimenſionen der Coordina⸗ ten in derſelben der Anzahl der Dimenſionen der erſten Coordinaten x, y und 2 gleich. Die Gleichung fuͤr die Kugel z. B. XX † yy † 22 = aa iſt eine Gleichung von zwey Dimenſionen, und die allgemeinſte Gleichung enthaͤlt ebenfalls nicht mehr Dimenſionen der Coordinaten p, 4 und 540 Anhang. Viertes Capitel. und r. Aus dieſem Grunde giebt die Anzahl der Dimen⸗ ſionen, welche die Coordinaten in einer Gleichung fuͤr eien Flaͤche haben, ein weſentliches Kennzeichen der Natur die⸗ ſer Flaͤche, weil dieſe Anzahl immer dieſelbe bleibt, man mag die Lage der Coordinaten veraͤndern, wie man will. Es findet ſich hier nemlich bey den Flaͤchen eine aͤhnliche 4 Beſchaffenheit wie bey den Curven, wornach wir dieſelben rt in Ordnungen getheilt haben; und es laſſen ſich daher die Flaͤchen ebenfalls nach den Dimenſionen ihrer Coordinaten un in Ordnungen theilen. Eine Flaͤche der erſten Ordnung iſt denmnach die, deren Gleichung nur eine, eine Flaͤche der En zweyten Ordnung die, deren Gleichung zwey Dimenſionen er enthalten, u. ſ. f. hinn⸗ §. 95. Geitn Wenn man dieſes mit dem vergleicht, was von der Er⸗ e findung der ebenen Schnitte jeder Flaͤche gelehret worden iſt, ſo nimmt man wahr, daß die Ordnung dieſer Schnitte ncn allemal mit der Ordnung der Flaͤche uͤbereinſtimmt. Es Km ſey nemlich eine Gleichung fuͤr irgend, eine Flaͤche zwiſchen S den Coordinaten X, y und z gegeben, die zur nten Ord⸗ nung gehoͤre, und die ſenkrechten Coordinaten eines jeden Schnittes ſeyen t und u. Nun haben wir oben, § 85, ge⸗ at ſehen, daß man die Gleichung zwiſchen t und u findet, wenn wllenn man in der gegebenen Gleichung fuͤr die Flaͤche in der X = f † t. coſ. 9 — u. ſin. 9. coſ. fht „ 1. ln. * † u. cof. §. coſ. und 4 al 7 = u. ſin. rnd ſetzt, und es iſt daher offenbar, daß die Gleichung fuͤr den Cieneſ Schnitt nicht mehr Dimenſionen bekommen kann, als die nie Gleichung zwiſchen x, „ und 2 hat, ſondern daß allemal Ane eben ſo viel Dimenſionen wieder entſtehen werden. le F. 96. imen⸗ r eine r die⸗ man nwil. Mhrüe eſelben er die nnaten g ce der nſonen derb⸗ worde chntte a. R vſſchen 1 Ob⸗ ſeden R,G 1 ven Von der Verwechſelung der Coordinakten. 541 Es kann alſo die Flaͤche der erſten Ordnung von einer Ebene nicht anders als in einer Linie der erſten Ordnung, oder in einer geraden Linie geſchnitten werden. Ferner giebt die Durchſchneidung einer Flaͤche der zweyten Ord⸗ nung keine andere Linien als Linien der zweyten Ordnung oder Kegelſchnitte, denn es gehoͤren auch die coniſchen Flaͤͤ. chen zu der zweyten Ordnung, indem ihre Gleichung 22 = KX † 8y y ſiſt. Auf aͤhnliche Art entſtehen aus der Durchſchneidung einer Flaͤche der dritten Ordnung durch Ebenen Linien der dritten Or dnung, ꝛc. Es kann indeß geſchehen, daß eine Gleichung fuͤr einen Schnitt Diviſoren zulaͤßt, und in die⸗ ſem Falle iſt der Schnitt aus zwey oder mehrern Linien von den niedrigern Ordnungen zuſammengeſetzt. So beſteht der durch den Scheitel gehende Schnitt des Kegels aus zwey geraden Linien, die aber zuſammengenommen als zu der zweyten Ordnung gehoͤrig ſich darſtellen. §. 97. Nach dieſer Beſtimmung der Ordnungen der Flachen wollen wir vor allen uͤbrigen die Flaͤchen betrachten, welche zu der erſten Ordnung gehoͤren. Die Gleichung, welche die Natur derſelben ausdruckt, iſt ℳ„“ X † £y † „2 = «₰ und da alle ebene Schnitte derſelben gerade Linien ſind, ſo faͤllt in die Augen, daß dieſe Flaͤche keine andere als eine Ebene ſeyn kann; denn ſollte ſie erhaben oder hohl ſeyn, ſo muͤßte ſie auch krummlinige Schnitte haben. Run giebt es zwar unter den uͤbrigen Ordnungen ebenfalls Flaͤchen, bey welchen gewiſſe Schnitte gerade Linien ſind, wie z. B. bey 542 Anhang. Viertes Capitel. bey den Cylinder dem Kegel und andern dergleichen ſtaet— E finden, aber es ſind doch dabey die krummlinigen Schnitte nicht ganz ausgeſchloſſen. Es verhaͤlt ſich nemlich hier auf Mn eine aͤhnliche Art, wie bey den Linien. So wie eine Linie, uing die von einer geraden Linie nie in mehr als in einem Punkte Fi geſchnitten werden kann, nothwendig eine gerade Linie iſt, dfde ſo iſt auch die Flaͤche, welche, von einer Ebene geſchniten, a ſedesmal eine gerade Linie giebt, nothwendiger Weiſe auch i11 ſelbſt eine Ebene. §. 98. e= Aus der allgemeinſt ſten Gleichung laͤßt ſich dieſe Beſchaf⸗ “ fenheit aufs klaͤrſte darthun. Man mache nemlich aus der Glieichung =X † &y † 72 † a die allgemeinſte Gleichung zwiſchen den Coordinaten p, q und r nach dem daſten §. Da darin ſechs neue willkuͤhrliche beſtaͤndige Groͤßen vor⸗ Miale = kommen, ſo iſt es allemal moͤglich und erlaubt, dieſelben ſo id zu beſtimmen, daß die Coefficienten der beyden Coordina⸗ ten p und q verſchwinden, und alſo eine Gleichung von der W Form r = fuͤbrig bleibe, welche die Natur eben der Flaͤche . ausdruckt. Es zeigt aber dieſe Gleichung an, daß die ge⸗ N gebene Flaͤche der Ebene, in welcher die beyden Coordina⸗ — ten p und g ſind, parallel, und alſo ſelbſt eine Ebene iſt. . Man kann es auch ſo einrichten, daß r = o wird, und auf dieſe Art faͤllt es in die Augen, daß die Ebene, wie Nun p und q angenommen worden, ſelbſt die geſuchte Ebene iſt. l it S 2 geen §. 99. — Da alſo ausgemacht iſt, daß die durch die Gleichung — AX† 8y † »2 = a ausgedruckte Flaͤche eine Ebene iſt, ſo muͤſſen wir die Lage derſelben gegen die Ebene, worin die Coordinaten « und y angenommen werden, unterſuchen. nd) Es en ſtat chnitt ger arf le Unie, Gnitte, ſſe auch veſheß ans der ſnß hen tor⸗ ſloen ſ in⸗ ton du t N ite diege erdince⸗ Hene ſe id, d te, eice tſchen 6 ð Von der Verwechſelung der Coordinaten. 543 Es ſey alſo Fig. 142, M irgend ein Punkft dieſer Flaͤche, und die drey Coordinaten Ab = x, PQ=y und QM = z. Man ſetze zuvoͤrderſt z = o, ſo bekommt man die Glei⸗ chung «X † gy = a, welche den Schnitt der geſuchten Flaͤche und der Ebene APO ausdtuckt,—und es iſt klar, daß derſelbe eine gerade Linie BCR iſt, deren Lage in Ruͤck⸗ ſicht auf die Axe ſo beſchaffen ſeyn wird, daß die auf der Axe AP in der Ebene ſenkrechte Linie A B = 2, und AC = — „und folglich H tang. A CB = —; ſin. ACB = und coſ. ACB = tnS. Fi⸗ 2 † 62) * — ſſt. VC( † 6*) Nun verlaͤngere man die Ob bis ſie der geraden Linie BG 4“ in R begegne, ſo iſt wegen CP= æ — — ℳ cS = WC: T4) — We 142), und 6 6 PQ= –— 2 §. 100. Man faͤlle aus Q auf B G die ſenkrechte Linie Os herab, und ziehe MS, ſo mißt der Winkel MS Q die Neigung der gegebenen Flaͤche gegen die Ebene APQC. Da alſo PR= iſt, ſo iſt „X † 8$ y — 2 — — 2 8 und da der Winkel ROs den Winket ACB gleich iſt, ſo wird CR = QsS 544 Arnhang. Viertes e Cait. S=ð = VCaa T 82) und folglich tang. QSM = 4 und coſ. QSM = VVe † 62 † 5 u Es neigt ſich alſo die geſuchte Flaͤche gegen die Ebene, in welcher X und y ſind, unter einen Winkel, deſſen tang. = CE 1 2a) iſt, und auf aͤ ͤhnliche Art iſt eben dieſe 8 Flache gegen die Ebene der Coordinaten X und 2 unter einen er Dine — V (ℳ2 † 22) ten de Winkel, deſſen Tangente = und gegen äin 6 emunen die Ebene der Coordinaten y und 2 unter einen Winkel, ſe ih deſſen Tangente = E P iſt, geneigt. . Cegeurrdr denheit woron ſie En eine G⸗e Fuͤnftes e A= kbene, in dang. — hen dit Utr einen d Nen nn Dyte, 4 infes Fuͤnftes Capitel. Von den Flaͤchen der zweyten Ordnung. §. I01. Da wir alſo die Ordnungen der Flaͤchen nach der Zahl der Dimenſionen feſtgeſetzt haben, welche den hoͤchſten Po⸗ teſtaͤten der drey Coordinaten X, y und 2 in der Gleichung zukommen: ſo iſt es, wenn eine algebraif ſche Gleichung fuͤr eine Fläche gegeben wird, leicht, ſogleich die Ordnung an⸗ zugeben, zu weicher dieſe Flaͤche gehoͤrt. Da nun alle Flaͤ⸗ chen der erſten Ordnung Ebenen ſind, ſo wollen wir in dem gegenwaͤrtigen Capitel die Flaͤchen der zweyten Ordnung betrachten. Bey denſelben findet eine weit groͤßere Verſchie⸗ denheit ſtatt, als bey den Linien des zweyten Grades, wovon ſich ſeder bey einiger Aufmerkſamkeit von ſelbſt uͤberzeugen kann. Ich werde ſuchen, die verſchiedenen Ge⸗ ſchlechter dieſer Ordnung deutlich vorzuſtellen; was aber die Flechen der hoͤhern Ordnungen betrifft, ſo iſt die Menge der Geſchlechter und Arten bey denſelben ſo groß, daß wir uns der Auseinanderſetzung derſelben gaͤnzlich enthalten muͤſſen. §. 102. Da die Ratur der Flaͤchen der zweyten Ordnung durch D Gleichung ausgedruckt wird, in welcher die veraͤnder⸗ chen Groͤßen x, y und 2 zu zwey Dimenſionen aufſteigen, ſo gezten der Cylinder und Kegel, die geraden ſowohl als die Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. Il. HOH. Mm ſchie⸗ . 546 Anhang. Fuͤnftes Capitel. ſchiefen, deren Eigenſchaften wir ſchon beſchrieben haben, zu dieſer Ordnung. Alle Flaͤchen aber, welche dieſelbe un⸗ ter ſich begreift, ſind in folgender allgemeinen Gleichung enthalten: .22 † 6yz † 7Xz † dyy † "xVy TOXX † 2 † 1 eSX P z — 0O Denn man mag die drey Coordinaten annehmen, wie man will, ſo iſt die Gleichung allemal in dieſer enthalten. Die verſchiedenen Arten der Flaͤchen werden alſo von den ver⸗ ſchiedenen Verhaͤltniſſen abhangen, welches die Coefficien⸗ ten gegen einander haben, die, obgleich eben dieſelbe Flaͤche durch unzaͤhlige Gleichungen ausgedruckt wird, dennoch eine unendli iche Menge von verſchiedenen Flaͤchen erzeugen. 7 So wie wir bey den Curven die Haupteintheilung daher genommen haben, ob dieſelben ſich ohne Ende fort erſtreck⸗ ten, oder in einem endlichen Raume enthalten waren: ſo laſſen ſich auch alle Flaͤchen, ſie moͤgen zu einer Ordnung gehoͤren, zu was fuͤr einer ſie wollen, ebenfalls in zwey Claſſen eintheilen, davon die eine diejenigen Flaͤchen ent⸗ haͤlt, welche ſich ohne Ende fort erſtrecken, die andere aber diejenigen, we lche in einem endlichen Raume enthalten ſind. So gehoͤren der Cylinder und Kegel zu der erſten, und die Kugel zu der zweyten El laſſe. Von der zweyten Claſſe aber giebt es keine Art, die zu einer ungeraden Ordnung ge⸗ hoͤrte. Denn da jede Flaͤche einer ungeraden Ordnung edene Schnitte von eben der Ordnung hat, und die Curven der ungeraden O Ordnungen ſich ohne Ende fort erſtrecken, ſo muͤſſen ſich auch die Fl aͤchen dieſer Ordnungen ohne Ende ausbreiten. . §H. 104. 411 † ilke. ſlhes 661 doch rinden. Wn die berind ſchens der e ſen Unn ſchuo ke daſnd, ſo Raw 41¾ haben ſelbe U Heichurg 8 4 4 wie nen en. De 1 den ber⸗ he c⸗ dennoch eugen. g dahet terſtrich ac. r Dednung ſn ſe ſchen ent⸗ due abe⸗ halten , , N E ſee Cber Drung k Odnung Curden ſretan e de 5 6 104, Von den Flachen der zweyten Ordnung. 547 . 104. So oft ſich aber eine Flaͤche ohne Ende fort erſtrecken ſoll, ſo muß zum wenigſten eine von den drey veraͤnderlichen Groͤßen X, y und z unendlich groß werden. Da es nun gleich viel iſt, welche dazu angenommen wird, ſo wollen wir ſetzen, daß 2 unendlich wird, wenn die Flaͤche ohne Ende fortlaͤuft. Bey der Unterſuchung dieſes ohne Ende ſich verbreitenden Theils nehmen wir alſo 2 = 00 an, und nun kommt es vorzuͤglich auf die Betrachtung des erſten Gliedes «22 an, ob daſſelbe in der Gleichung vorkommt oder nicht. Iſt alſo dieſes Glied da, ſo verſchwinden da⸗ gegen die Glieder und «, und es entſteht fuͤr dieſen ohne Ende fortlaufenden Theil die Gleichung: 222 † £3 † YXZ † yy † eXy † xXxX † y †X = o in welcher ferner alle Glieder, die nicht unendlich groß oß, oder ſolches doch von einer niedrigern Stufe als ⸗⸗ 2 ſind, ver⸗ ſchwinden. 8. 105. Wir wollen annehmen, daß alle Glieder, in welchen die veraͤnderlichen Groͤßen zwey Dimenſionen haben, da ſuen denn wie auch die Flaͤche beſchaffen ſeyn mag, ſo nthaͤlt gleichwo hl ihre allgemeinſte Gleichung allemal alle Gi ieder von den hoͤchſten Dimenſionen, und es thut daher dieſe Annahme der Allgemeinheit unſerer jetzigen Unter⸗ ſuchung keinen Eintrag. Wenn aber die Glieder ye und X4 da ſind, ſo verſchwinden dagegen die Glieder 3y und , und es bleibt folgende Gleichung uͤbrig: 22 † gyz † 7X † yy † exy † XX = = 0 aus weicher fließt: 2. erXE V Er A % Am 2 und 2– 548 Anhang. Fuͤnftes Capitel. und dieſe Gleichung druckt die Natur des Theils der Flaͤche im Unendlichen aus. §. 106. Wenn alſo eine Flaͤche einen Theil im Unendlichen hat, ſo ſtimmt derſelbe mit dem Theile der Fläͤche im Unend⸗ lichen uͦderein, welcher durch folgende Glihn ausge⸗ druckt wird: 222 † 6yz † 722 yy † xX y † ex = = 0 ſo daß dieſe Flaͤche gleichſam die Aſymptote jener durch die allgemeine Gle eichung ausgedruckten Flaͤche iſt. Da aber in dieſer Gleichung die drey veraͤnderlichen Groͤßen allent⸗ halben zwey Dimenſionen haben, ſo iſt dieſe Gleichung eine Gleichung fuͤr eine coniſche Flaͤche, welche den Scheitel im Anfangspunkte der Coordinaten hat, wo zugleich alle ver⸗ ſchwinden; und es laͤßt ſich daher, ſo oft ſich eine Flaͤche ohne Ende fort erſtreckt, allemal eine coniſche Flaͤche ſin⸗ den, welche als ihre Aſymptote betrachtet werden kann. So wie wir daher die Schenkel der Curven, die ſich ohne Ende fort erſtreckten, nach geradlinigen Aſymptoten einge⸗ theilt haben, ſo kann man die Theile der Flaͤchen, welche ſich ohne Ende verbreiten, nach coniſchen Aſ⸗ ſymptoten⸗ Flaͤchen von einander unterie cheiden. §. 107. So oft daher die coniſche A ſymptoten⸗Flaͤche reell iſt, ſo oft erſtreckt ſich die Flaͤche ſelbſt ohne Ende fort, und zwar auf die Art, daß die Theile von beyden im Unendlichen zu⸗ ſammenfallen; und man kann daher aus der Natur der Aſymptoten Flaͤche die Natur der gegebenen Flaͤche erken⸗ nen. Wird aber die Aſymptoten⸗ Flaͤche imaginaͤr, ſo hat die gegebene Flaͤche keinen Ttheil im Unendlichen, ſondern iſt (gom die ii Nunme dlec N ſelhend en She etſreken RBen Ficeg = =. = Venn eCe 411 † Cligcdruch durch den dieſen en Inn, ich ſon, geſchehet, ferhergeſe Uud es vin Me netten Or 4 icht 0 Endeſrt Tae en kann. ſch ohe ten einee⸗ 1, welche nopegtan⸗ d war ichen zu⸗ hotur d feuten⸗ ſo hat ſondern Von den Fuͤchen der zweyten Ordnung. 549 iſt ge in einem ey dlichen Raume eingeſchloſſen. Um alſo die Flaͤchen der zweyte en Ordnung, die in einem endlichen Raume eit ingeſch loſſen ſind, zu erforſchen, darf man nur die Faͤl lle aufſuchen, in welchen die Gleichung fuͤr die Aſympto⸗ ten? Flaͤch e imaginaͤr wird, und dieſes geſchiehet, wenn die ganze ? Flaͤche in einen Punkt verf ſchwindet. Denn wenn ſie iegend eine Ausdehnung, oder irgend einen Punkt außer dem Scheitel haͤtte, ſo muͤßte ſie ſich auch ohne Ende fort erſtrecken, weil wir oben gezeigt haben, daß die ganze ge⸗ rade Linie, welche durch den Scheitel und einen Punkt der Flaͤche gezogen wird, in der Flaͤche ſelbſt liege. §. 108. Wenn alſo die con iiſche e Aſymptoten⸗Flaͤche „welche durch die Gleichung .22 † gyz † XZ † 7*ν²§ "†. ⸗„Xy † 6XX = 0 ausgedruckt wird, in einen Punkt uͤbergeht, ſo muͤſſen alle durch den Scheitel gehende Schnitte derſelben gleichfalls in dieſen Punkt verſchwinden. Es muß daher einmal, wenn man 2 =o ſetzt, die Gleichung yy † =Xy † &X unmoͤg⸗ lich ſeyn, wenn nicht = o, und y = o iſt, und dieſes geſchiehet, wenn 4 ⅛% groͤßer als⸗⸗ iſt. Eben dieſes muß ferner geſchehen, wenn man entweder = oder y = ol ſetzt, uud es wird alſo 423 groͤßer als 8s?, und 4 %6% groͤßer als . Wofern alſo in einer Gleichung fuͤr eine Flaͤche der zweyten Ordnung „*„22 T 8yz T† YXzZ † „y§p † ⸗Xy † GXX † 22 † 9y † 4 X † „* — O nicht 4 7 groͤßer als :r; 42? groͤßer als 86; groͤßer als “7 iſt, ſo hat die Flaͤche allemal Theile, die ſich ohne Ende fort verbreiten. 4 Mm 3 M §. 109. Sso Anhang. Fuͤnftes Capitel. . 8. 109. ſ Es reichen aber dieſe drey Bedingungen noch nicht hin, ine um eine Flaͤche in einen endlichen Raum einzuſchließen, ſenn ſondern es wird noch außerdem erfordert, daß der aus der Gleichung fuͤr die Aſymptote hergeleitete Werth von z ima⸗ “ ginaͤr werde. Dies geſchieht, wenn der Ausdruck lenle G 4 .à yy † 2 (6y — 2 22£) Xy † (?7 — 42 %)XX rpe g . . 5 beſtaͤndig einen negativen Werth bekommt, wenn fuͤr jede der veraͤnderlichen Groͤßen X und y irgend ein Werth außer o geſetzt wird Da %½Sε – 4 % , und 77à — 425ο negative Groͤßen ſind, ſo findet dieſes ſtatt, wenn (67 † 222) 2 i kleiner als (6 ½ — 4 «⁹) (?72 — 426), oder wenn «:2 † RũZ Ddory⸗ 1I g6 kleiner als 67: † 4 a) iſt, vorausgeſetzt, e daß ⸗ einen poſitiven Werth hahe, weil wir die Gleichung ſt durch « dividirt haben Hat aber «einen poſitiven Werth, M ſo ſind, weil 422½ groͤßer als »5, und 4 29 groͤßer als 2 6, fmi und 4 %92% groͤßer als s iſt, die Coefficienten und „ poſitiv. ine 2 Ccheen g. 110. . Non eine Es wird alſo eine Flaͤche der zweyten Ordnung in einem “ 1 endlichen Raume eingeſchloſſen ſeyn, wenn bey ihrer Glei⸗ chung folgende vier Bedingungen ſtatt finden, daß nemlich fſn . H —— ltaten, 4 groͤßer als „7; 4 ) groͤßer als s; a)e groͤßer alss. ie und „62 † 37⁄2 † % 82 kleiner als y? † 4236° ſurgn iſt. Hiernach beſtimmen wir das erſte Geſchlecht der FlMaea⸗ chen der zweyten Ordnung auf die Art, daß wir dazu alle Flaͤchen rechnen, die ſich nicht ohne Ende fort verbreiten, ſondern in einem endlichen Raume enthalten ſind. Zu die⸗ gicr⸗ ſem Geſchlechte gehoͤrt daher die Kugel, deren Gleichung afi 12 † yy † XX † aa Clher iſt. eth aus ch euer Naande „„ 3 * 2 ½ 4* R 7 14*/ der dir dar alt ertniten AA dis hing Von den Sützn der zweyten O ednung. 5 51 iſt. Denn da hier = = 1 ½ ⁹ = 1; „= 1; £ = 0; „= o; ⸗= o iſt; ſo geſchieht dadurch allen vier ge⸗ fundenen Bedingungen ein Genuͤge. Allgemeiner aber kann man hieher die Gleichung 222 † àyy †. XX = à 2 ” rechnen, welche, wenn «, d und ⁶ poſitive Groͤßen ſind, allemal einer begrenzten Flaͤche zugehoͤrt, wofern nicht ein oder zwey Coefficienten ver ſchwinden. §. III. Hat man ſich von der Richtigkeit dieſer vier Bedingun⸗ gen, wodurch eine Flaͤche zu einer begrenzten wird, uͤber⸗ zeugt, ſo iſt es, wenn eine Gleichung fuͤr eine Flaͤche gege⸗ ben iſt, leicht zu beſtimmen, ob dieſe Flaͤche ohne Ende ſich erſtrecke nde Theile haben werde oder nicht. Fehlt nemlich eine von dieſen Bedingungen, ſo hat ſie gewiß dergleichen. In dieſem Falle werden aber einige Unte rabtheilungen nothwendig, um die ohne Ende ſich erſtreckenden Theile von einander iu unterſchei den. Die erſte Unterabtheilung wird alſo ſeyn, wenn 2 542 † dy † %2 groͤßer als g7„ C† 423° iſt, in welchem Falle die Flaͤche ſich ohne Ende fort ver⸗ breiten, und eine coniſche Flaͤche zur Aſymptote haben wird, wie bereits gezeigt worden iſt. Dieſer Fall ſteht dem vor⸗ hergehenden gerade entgegen, in welchem die Flaͤche in einem endlichen Raume enthalten war. J. II292 Außerdem aber giebt es gewiſſe Zwiſchenfalle, wo die Flaͤche, ob ſie ſech gleich ohne Ende verbreitet, zwiſchen jenen auf aͤhnliche Art enthalten iſt, wie die Parabel zwiſchen der Ellipfe und Hypeebel. Dieſer Fall entſteht, wenn 552 An nhang. Fuͤnftes Capitel. „„E2 † à%&* † 68S2 = 8, † 4 * und alſo 2 = — G7 – xX † y V (& — 4) † X V (vv — 4e6) iſt. Es hat alſo die Gleichung fuͤr die Aſymptote 222 † ayz † YXz † yy † -Xy † 6SXX = 0 zwey einfache Faktoren, die entweder reell, oder imaginaͤr, oder einander gleich ſeyn werden. Dieſe dreyfache Ver⸗ ſchiedenheit giebt drey Geſchlechter der Flaͤchen, die ſich ohne Ende verbreiten, und ſo haben wir uͤberhaupt fuͤnf Geſchlechter der Flaͤchen der zweyten Ordnung erhalten, welche wir nun genauer unterſuchen wollen. §. 113. Da die allgemeine Gleichung durch die Veraͤnderung der drey Axen, welchen die Coordinaten parallel ſind, auf eine einfachere Form gebracht wird, ſo wollen wir uns die⸗ ſer Reduktion auf die Art bedienen, daß wir die Gle leichung auf eine einfachere F Form bringen, ohne ihren Umfang ein⸗ zuſchraͤnken. Da alſo die allgemeine Gl eichung fuͤr die Flaͤchen der zweyten Ordnung folgende iſt: 222 † eyz 6 7X2 1 Dyy † exy † xx † 2 † 3y † X † = = O0 ſo wollen wir eine Gleichung zwiſchen drey andern Coordi⸗ naten p, und r ſuchen, welche ſich in eben dem Punkte ſchneiden, in welchen die drey vorigen es. thaten. Zu die⸗ ſer Abſicht ſetze man aus § 92. X= p (coſ. k. coſ. m — ſin. K. ſin. m. coſ. n) † qccoft. ſin. mip† ſin. k. coſ. m. coſ. n) — r. ſin. K. ſin. n yS—– p. (Coſ. k. coſ. m † coſ. k. ſin. m. coſ. n) — q(ſin. k. ſin. m — coſ. k. coſ. m. coſ. n) – r. coſ. k. ſin. n und 1 = — P ſin. m. ſin n † q. .coſ. m. ſin. n † r. coſ n . wo⸗ Nun 6,lekinmn Crinden⸗ Ada wer an ſehe ESt ſedeß ſ werde: ſ Neich R geneine flgende 4o mmaginar, che Ver⸗ — Ale4 ni fur Ri Von den Flaͤchen der zweyten Ordnung. 553 wodurch man die Gleichung erhaͤlt App † B 44 † Crr † Dpq † Epr † Far T†. Cpr Hq Ir T K = o. 1* §. 114. Nun laſſen ſich die willkuͤhrlichen Groͤßen k, m und n n ſo beſtimmen, daß die drey Coefficienten H, C und F ver⸗ ſchwinden. Denn obgleich die Rechnung zu weitlaͤuftig iſt, als daß dieſe Beſtimmung jener Winkel hier wirklich ge⸗ zeigt werden koͤnnte, ſo muß doch der, der daran zweifeln wollte, daß die Elimination jener Coefficienten allemal zu reellen Werthen der Winkel fuͤhre, zugeben, daß wenig⸗ ſtens zwey Licfieieneen D und C Null gleich gemacht wer⸗ den koͤnnen. t aber dieſes geſchehen, ſo kann die Lage der dritten Are, , d geicher die Ordinaten r parallel ſind, in der der Ordinate p parallelen Ebene leicht ſo veraͤndert werden, daß auch der Coefficient F verſchwindet. Denn man ſetze . 4 = t. ſin. † u. coſ. i; und r = t. coſ. i — u. ſin. i ſo daß ſtatt des Gliedes qar das neue Glied tu eingefuͤhrt werde: ſo kann deſſen Coefficient vermoͤge des Winkels i gleich Null gemacht werden. Auf dieſe Art erhaͤlt die all⸗ gemeine Gleichung fuͤr die Flaͤchen der awehten Ordnung folgende Form: ApP † Bq4 † Crt † Gp † Rq Ir k I „ F. 1I15. Ferner laſſen ſich die Coordinaten durch beſtäaͤndige Groͤßen ſo vermehren oder vermindern, daß die Coefficienten 6, H und I verſchwinden, und zwar wird dazu bloß die Ver⸗ aͤnderung des Anfangspunktes aller Coordinaten erfordert. Mm 5S Auf 554 Anhang. Viertes Capitel. Auf dieſe Aet laſſen ſich alle Flaͤchen der zweyten Ordnung in folgende Gleichung zuſammenfaſſen: App † Bqq † Crr † K = o woraus erhell et, daß jede der drey durch den Anfangspunkt der Coordinaten gelegten Hauptebenen die Flaͤche in zwey gleiche und aͤhnliche Theile theilt. Es hat daher jede Flaͤche der zweyten Ordnung nicht nur eine, ſondern ſelbſt drey Diametral⸗Ebenen, welche ſich in demſelben Punkte durchkreutzen, ſo daß daher auch dieſer Punkt ein Mittel⸗ punkt der Flaͤche wird, ob er gleich in einigen Faͤllen un⸗ endlich weit entfernt iſt. Man legt nemlich der Flaͤche auf aͤhnliche Art einen Mittelpunkt bey, als man ſolches bey den Kegelſchnitten thut, ob derſelbe gleich bey der Parabel unendlich weit entfernt iſt. §. 116. Hat man alſo die allgemeine Gleichung fuͤr die F F laͤchen der zweyten Ordnung auf die einfachſte Form gebracht, ſo bietet die Gleichung AppFBqq Crr = aa das erſte Geſchlecht dieſer Flaͤchen dar, wenn alle drey Coefficienten A, B und C poſitiv ſind; und die Flaͤchen, welche zu dieſem Geſchlechte gehoͤren, ſind daher nicht nur ganz in einem endlichen Raume enthalten, ſondern ſie haben auch insgeſ ſammt einen Mittelpunkt, in welchem ſich die drey Diame tral⸗ Ebnen unter rechten Winkeln ſchneiden. Es ſey, Fig. 143, C der Mittelpunkt dieſer Figur, und CA, cB, CD die auf einander ſenkrechten Hauptaxen, welchen die Coordinaten p, q und r parallel ſind: ſo ſind die drey Diamettal⸗ Ebenen ABab, AD a und B Db und durch dieſelben wird dieſer Koͤrper in je zwey gleiche und aͤhnliche Theile getheilt. Hoppta ſie de le deey u we Piten Nd Wn Wndn ſaleg en Rſhen tbe Dednungn ngepnnt e in wen dahe ſede ldenn ſeebt en Portte. en Wiich dnn de . u Perabel gen, ned ht hur on ſe ben en ſt R Me. t, ud auptaren, dr ſſn⸗ PD 10 ſig⸗ d Von den Flaͤchen der zweyten Ordnung. 555 . D §. 117. Man ſetze r =o, ſo druckt die Gleichung App † B qq — aa die Natur des Hauptſchnittes ABab aus, der alſo eine Ellipſe ſeyn wird, welche den Mittelpunkt in C, und — — und CB = Cl! die albaxen CA Ca n Cb = ; hat. Setzt man q = o, „ ſo gehoͤrt die Gleichung App *† Crr = a a dem Hauptſchnitte ADa zu, der aſo ebenfalls eine Ellipſe iſt, welche den Mittelpunkt in C hat, und deren a a „ Halbaxen CA = Ca = und CD = 0 ſind. Setzt man endlich p = o, ſo bekommt man fuͤr den dritten Hauptſchnitt BDb die Gleichung Bqq † Crr = aa, der daher auch eine Ellipſe iſt, deren Mittelpunkt in C liegt, und deren Halbaxen C = Cb = 5 und CD = = PS ſind. Kennt man aber dieſe drey Hauptſchnitte, oder bloß ihre 3 Hauptaxen CA = ; CB = 2, und CD = 6: ſo iſt dadurch auch die Natur dieſes Koͤrpers bekannt. Da die drey Hauptſchnitte dieſes erſten Geſchlechts der laͤchen der zweyten Ordnung Ellipſen ſind, ſo kann man dieſe Flaͤchen Elliptoiden nennen. §. 118. Zu dieſem Geſchlechte gehoͤren drey Arten, die vor an⸗ dern zu merken ſind. Die erſte iſt, wenn alle drey Haupt⸗ aren CA, CB und Cb einander gleich ſind. In dieſem Falle gehen die gedachten Hauptſchnitte in Kreiſe, und der Koͤrper in eine Kugel uͤber, deren Gleichung, wie wir oben geſehen haben, pp † qq † rr = aa iſt. Die zweyte Art begreift die Faͤlle unter ſich, wo zwey Hauptaxen ein⸗ ander 6 556. Anhang. Fuͤnftes Capitel. ander gleich ſind. Es ſey nemlich CD = = CB, oder C = B, ſo wird der Schnitt BDb ein Kreis, und aus der Glei⸗ chung App † B (qq † rr) = aa erhellet, daß alle dieſem parallele Schnitte ebenfalls Kreiſe ſeyn werden. Es wird daher dieſer Koͤrper ein laͤngliches Sphaͤroid, wenn AC groͤßer als B C, und ein zuſammengedrucktes, wenn AC kleiner als BC. Die dritte Art begreift endiich die Koͤrper unter ſich, wo die drey Coefficienten A, B und C ungleich ſind, und dieſe behalten den allgemeinen Namen der Elli⸗ ptoiden. §. I19. Die foigenden Geſchlechter der Flaͤchen der zweyten Ordnung ſind in dieſer Gleichung enthal ten: App † Bq q T Crr = aa, und zwar zuvoͤrderſt, wenn von den Coefficienten , B und Cgar keiner fehlt, und entweder einer oder zwey negativ ſind. Es ſey bloß der eine von ihnen negativ, wobey wir folgende Gl leichung App † B qq — Crr = aa betrachten wollen, bey welcher wir annehmen, daß A, B und C poſitive Groͤßen bedeuten. Was den Mitte lpunkt dieſes Koͤrpers, und ſeine Diametral⸗Ebenen betrift, ſo verhaͤlt es ſich damit eben ſo wie vorhin. Es erhellet alſo, daß der erſte Hauptſchnitt dieſes Koͤrpers Atab, Fig. 144, eine Ellipſe iſt, deren Halbaxen AC = Ji „Und B C = S ſind. Die beyden uͤbrigen Hanptſchnitte A q und BS aber ſind Hyperbeln, weicher den Mittelpunkt in C, und die halbe zugehoͤrige Axe = S haben. 9. 120. Nd utea en Gr 4 Stean Nopate hptete NN, Men ſt. De ſarette lichee 6 N, ſe ſekcht n⸗ſeel ſdeges Ge ey d Gnander wade en ſpeu⸗ gerede ffren n Maleget Nn e Utt agi dieklip⸗ ſelſteine Nenlch d e der Gle⸗ le deeſen wenn Ac wenn Ac. ſeKoͤrper ngleich Nn = 9 ,Bund notgand den w NA nupvntt henkt, ſc helt ⸗ 50= d5 6„ Von den Flaͤchen der zweyten Ordnung. 557 §F. 120. Es ſtellt alſo dieſe Flaͤche einen Trichter vor, der oben und unten nach Hyperbeln abweicht, und es hat daher die⸗ ſelbe einen Kegel zur Aſymptote, welcher durch die Glei⸗ chung App † Bqq — Crr = o ausgedruckt wird, den Scheitel in dem Mittelpunkte C hat, und deſſen Seiten die Aſymptoten der Hyperbeln ſind. Es ſteht aber dieſer Aſymptoten⸗Kegel zwiſchen der Flaͤche, und iſt ein gera⸗ der, wenn A = B, und ein ſchiefer, wenn A nicht = iſt. Die Axe deſſelben iſt die gerade auf der Ehene AB a ſenkrechte Linie CD. Uebrigens ſind alle der Axe CD ſenk⸗ rechte Schnitte Ellipſen, welche der Ellipſe A Bab ahnlich ſind, ſo wie hingegen die, welche auf der Ebene ABab ſenkrecht ſind, Hyperbeln; daher man auch dieſe Flaͤchen elliptiſch⸗hyperboliſche nennen kann, welche ihren Aſympto⸗ ten⸗Kegel umgeben. Dieſe Flaͤchen machen alſo unſer zweytes Geſchlecht aus. H. 121. Bey dieſem Geſchlechte koͤnnen wieder drey Arten von einander unterſchieden werden. Die erſte iſt diejenige, welche entſteht, wenn a = o iſt, in welchem Falle die El⸗ lipſe ABab in einen Punkt verſchwindet, die Hyperbeln in gerade Linien uͤbergehen, und die Flaͤche ſelbſt ganz mit ihrer Aſymptote zuſammenfaͤllt. Es faßt daher dieſe erſte Art alle gerade ſowohl als ſchiefe Kegel unter ſich, worauf man eine neue Abtheilung gruͤnden koͤnnte. Die zweyte Art ergiebt ſich, wenn A = B wird, in welchem Falle die Ellipſe ABab in einen Kreis uͤbergeht, und die Flaͤche ſelbſt eine runde oder gedrehete Flaͤche wird. Es entſteht nemlich dieſe Flaͤche, wenn ſich eine Hyperbel um ihre zuge⸗ hoͤrige — 558 Anhang. Fuͤnftes Capitel. hoͤrige Axe dreht. Die dritte Art kommt mit dem Ge⸗ ſchlechte ſelbſt uͤberein. §K. 122. Das dritte Geſchlecht wollen wir auf die Art beſtimmen, daß dabey zwey Coefficienten der Glieder pp, qq und r1r negativ werden, und es iſt daher die Gleichung fuͤr dieſes Geſchlecht App — — B q — Crr = Setzt man alſo 1 = o, ſo iſt t erſte der Hauptſchnitt EA Feaf, Big. 145, eine Pyperbel⸗ weich, den Mittelpunkt in C hat, und deren Halbaxen —— „ und e s ſind. Der andere Haupt⸗ ſchnitt, welchen man erhölt, wenn man q= O ſetzt, iſt gleichfalls eine Hyperbel AQC, aq, welche eben dieſelbe halbe Zwergaxe hat, deren zugehoͤrige Halbaxe aber SES V6 iſt. Der dritte § Hauptſchnitt wird i imaginaͤr. End⸗ lich liegt dieſe ganze Flaͤche zwiſchen der coniſchen Aſympto⸗ ten⸗Flaͤche, und man kann ſie daher die hyperboliſch⸗hy⸗ perboliſche nenneu, welche in einen Aſymptoten⸗Kegel be⸗ ſchrieben iſt. Wenn B = C wird, ſo iſt die Flaͤche rund, denn ſie entſteht alsdenn durch Umdrehung einer Hyperbel um ihre Zwergaxe, waraus man eine beſondere Art machen koͤnnte. Wenn aber a =o geſetzt wird, ſo ergiebt ſich eine coniſche Flaͤche, welche wir bereits als eine Art des vorher⸗ gehenden Geſchlecht betrachtet haben, §K. 123. Um die folgenden Glieder kennen zu lernen, wollen wir annehmen, daß einer von den Coefficienten A, B und C ver⸗ ſchwin⸗ Lo ſhnnde. (ireine Ap- velcher Ne Roinet⸗ Nttlr weg Neblichune Mlete G (cchuog wrbey eve wern e lbipde nn der e der Aitep Ulendlich ne Gſaen ſo hekommnt Gleihung: Nedeack wann man Punt, Ne Mon 0 Puuheln, zwen Arter chen dale beſimmen, und rr fir dieſes 1Aeaß nnghat, * Ne Rebo ent ſ jen ieebe, 6 bare i U . nir ⸗ lhepw⸗ lich⸗hi⸗ ad be⸗ perba ſnr nuchen eſcchen vothet⸗ ulen dit d ben⸗ ſvi⸗ Gleichung Von den Fluͤchen der zweyten Ordnung. 559 ſchwinde. Es ſey alſo C = zo, ſo iſt die 5 114 gefundene allgemeine Gleichung Ap p „ B r Gp † Hq it Ir K = o aus welcher man durch Vergroͤßerung oder Verkleinerung der Ordinaten p und q zwar die Glieder Qp und Hq, aber nicht Ir wegſchaffen kann. Es bleibt alſo das Glied Ir in der Gleichung zuruͤck; allein man kann vermittelſt deſſelben das letzte Glied K wegdringen, und wir haben daher die APpP 1 3 = = rr wobey zwey Faͤlle zu erwaͤgen ſind. Der erſte fadet ſtatt, wenn beyde Coefficienten A und B poſitio ſind; der andere, wenn der eine davon negativ iſt. In beyden Faͤllen iſt der Mittelpunkt der Flaͤche in der Axe CD befindlich, aber unendlich weit entfernt. Es ſeyen zuvoͤrderſt beyde Coefficienten A und B poſitid⸗/ ſo bekommt man das vierte Geſchlecht, welches durch dieſe Gleichung: App † Bqq = ar ausgedruckt wird. Der erſte Hauptſchnitt, welcher entſieht, wenn man r = o ſetzt, verſchwindet demnach in einen Punkt, der andere und dritte, wovon jener entſteht, wenn man q =o, und dieſer, wenn man p =o ſetzt, ſind beyde Parabeln, nemlich M Am und N An, Fiz. 146. Da alſo bey dieſer Flaͤche alle auf der Axe Ab ſenkrechte Schnitte Ellipſen, die Schnitte aber, welche durch die Axe gehen, Parabeln ſind, ſo wollen wir die Koͤrper dieſes Geſchlechtes elliptiſch paraboliſche Koͤrper nennen. Es giebt davon zwey Arten; die eine ſindet ſtatt, wenn A = B iſt, in wel⸗ chem Falle der Koͤrper ein runder Koͤrper wird, und kegele foͤrmig 560 Anhang. Fuͤnftes Capitel. foͤrmig paraboliſch heißt; die andere entſteht, wenn a = o iſt, und App † Bqq = bb wird. Dieſe Art giebt Cylin⸗ der, ſowohl gerade, wenn A = B, als ſchiefe, wenn A nicht = B iſ. 8§. 125. Das fuͤnfte Geſchlecht iſt in der Gleichung App—Bqq =ar enthal ten, und ſein erſter Hauptſchnitt, wenn r = o wird, ſind zwey gerade Linien Ee und Ef, welche ſich in dem Punkte A ſchneiden. Alle Schnitte, welche dieſem parallel ſind, ſind Hyperbeln, welche ihre Mittelpunkte in der Axe AbD haben, und zwiſchen den Aſymptoten Ee und 'f liegen. Die beyden Ebenen, welche auf der Ebene APC in den Linien Ee und Ff ſenkrecht ſtehen, fallen im Unendlichen mit der gegebenen Flaͤche zuſammen, und es hat daher dieſe Flaͤche zwey ſich ſchneidende Ebenen zu Aſymptoten. Die uͤbrigen Hauptſchnitte ſind Parabeln, und man kann daher die zu dieſem Geſchlechte gehoͤrigen Flaͤchen paraboliſch hy⸗ perboliſche nennen, die zwey Ebenen zu Aſympoten haben. Eine Art davon, (wenn a = o wird, ſo daß App — B qq = bb iſt), iſt der hyperboliſche Cylinder, deſſen auf der Axe AD ſenkrechte Schnitte insgeſammt unter einander gleiche Hyperbeln ſind. Iſt uͤberdem b = = o ſo eniſtehen die beyden Aſymptoten⸗ Ebenen. §. 126. Das ſechste Geſchlecht der Flaͤchen der zweyten Ord⸗ nung endlich iſt in der Gleichung enthalten: App = aq und dieſe giebt einen paraboliſchen Cylinder, deſſen auf der Axe A B ſenkrechte Schnitte insgeſammt einander aͤhnliche und ndei⸗ Netend gyl e =bl 11 ,ſ„ l, lee Cbs (ömache⸗ WWn goode! Ppien el hner. Wt ae ee nunm des es zwey de Faͤch 411 ſe mng Menſione y, z) nn a = ſoht FEntt eht Cylinr fe, wenn 120 tit ſcin den ſen poroll een D⸗ nauf de — „ SS”ͦñõ Von den Flauͤchen der zweyten Ordnung. 561 und gleiche Parabeln ſind, ſo daß die Scheitel derſel ben in die gerade Linie AD falle len, und die Axen einander parallel ſind. Auf dieſe ſechs Geſchlechter laſſen ſich alſo alle Flaͤ⸗ chen der zweyten Ordnung zuruͤckfuͤhren, ſo daß keine ange⸗ geben werden kann, die nicht darunter begriffen waͤre. Wenn uͤbrigens in dem letzten Geſchlechte a = o, und alſo App = bb iſt, ſo giebt dieſe Gleichung zwey einander po⸗ rallele Ebenen, die gleichſam eine Art dieſes Geſchlechts ausmachen. Es ſindet hier etwas aͤhnliches ſtatt, wie bey den Linien der zweyten Ordnung, wo zwey ſich ſchneidende gerade Linien als eine Art der Hyperbel, zwey parallele Linien aber als eine Art von Parab del betrachtet werden koͤnnen. Ob wir gleich dieſe ſechs Arten aus der einfachſten Glei⸗ Hung abgeleitet haben, auf welche ſich die Gleichung fuͤr die Flächen der zweyten Ordnung zuruͤckfuͤhren laͤßt: ſo iſt es nunmehr dennoch leicht, bey jeder gegebenen Gleichung des zweyten Grades das Geſchlecht anzuzeigen, zu welchem die Flaͤche gehoͤrt. Iſt nemlich die Gleichung 422 † &yz † YXzZ † 77 † Xy T cXX †T 2 y 1† J ⸗X † k = 0: . ſo muß man nach den hoͤchſten Gliedern, worin zwen Di⸗ menſionen der veraͤnderlichen Groͤßen vorkommen, urthei⸗ len, und alſo folgende Glieder betrachten „22 † 6yz2 † yXz † Nyy † :xXy † &X. Iſt darin 442% groͤßer als 7; 4 2% groer als Ss8; 4 ⅝°% groͤßer als ««, und „6 † %ν † 6 68£ bleiner als s;: † 42à4 ſo iſt die Flaͤche in einem endlichen Raume enthalten, und gehoͤrt zu dem erſten Geſchlechte der Elliptoiden. EulersEinl,. in d.Angl. d. Unendl. II. B. Nun §.128. 562 Anhang. Fuͤnftes Capitel. S. I28. Wenn eine oder mehrere von dieſen Bedingungen feh⸗ len, und gleichwohl nicht «« † dνν⅞ † &ερεs = 87* † A2 ρ iſt, ſo gehoͤrt die Flaͤche entweder zum zweyten oder zum dritten Geſchlechte, und iſt eine hyperboliſche Ober⸗ flaͤche, die einen Kegel zur Aſymptote hat, und entweder um denſelben, wie beym zweyten, oder in demſelben be⸗ ſchrieben iſt, wie beym dritten Geſchlechte. Wenn aber **¾⅝ àν†εε⅝ ςνε† αεα iſt, ſo kann der Ausdruck 222 † Gyz † YX † à„y„y † X y † &XX in zwey einfache, reelle oder imaginaͤre Faktsren aufgeloͤſet . werden. Im erſten Falle gehoͤrt die Flaͤche zu dem vierten, im andern zu dem fuͤnften Geſchlechte. Hat endlich der gedachte Ausdruck zwey gleiche Faktoren, oder iſt derſelbe ein Quadrat, ſo gehoͤrt die Flaͤche zu dem ſechsten Ge⸗ ſchlechte. Auf dieſe Art kann man ſogleich beurtheilen, zu was fuͤr einem Geſchiechte eine Flaͤche gehoͤre, und es findet ſich bloß bey dem zweyten und dritten einige Schwierigkeit, daher man auch beyde in eins zuſammenfaſſen koͤnnte. K. 129. Auf aͤhnliche Art laſſen ſich die Flaͤchen der dritten und der folgenden Ordnungen behandeln und in Geſchlechter eintheilen. Man braucht nemlich bloß die hoͤchſten Glieder der Gleichungen in Erwaͤgung zu ziehen, d. h. bey den Flaͤchen der dritten Ordnung diejenigen, worin die Coor⸗ dinaten drey Dimenſionen haben, und welche alſo ſind: 223 † Gy22 † 7y22 † àXατ † -xz2 P oXy2 † ꝛc. Zuooͤrderſt muß man alſo uͤberlegen, ob dieſe Glieder zu⸗ ſammengenommen, oder das hoͤchſte Glied der Gleichung in einfache Faktoren aufgeloͤſet werden kann oder nicht. Wenn dieſe Aufloͤſung nicht ſtatt findet, ſo hat die Flaͤche einen ſuod Pus nan! ſice Fett ütie ouf ſten und /⸗ Ahantor. ſtt, Gr chung, un Aſyoptote, ebere, und Fkeren e iſ dieber ginir, un ter. Endl len trel/ / loan oder hmnt Cide ſoc ngen foh⸗ 671 behten odee ihe Ober⸗ entweder aben be⸗ dunn aber rluedruck 1 taufſebſſe n bierten, endlich der ſt de heiten, zu des findet wirügkeit et8 ldante, Nehenmd Geſclechter ſen GCleder . en den Me C ſnd: K. ieder zu⸗ Hleichung der nicht. e Foͤhe einen Von den Flaͤchen der zweyten Ordnung. 563 einen Kegel der dritten Ordnung zur Aſymptote. Da aber die Natur dieſes Kegels durch das hoͤchſte Glied ausge⸗ druckt wird, wenn man daſſelbe =o ſetzt, ſo giebt es mehrere dergleichen Kegel der dritten Ordnung, nach deren Verſchiedenheit mehrere Geſchlechter von Flaͤchen entſtehen. Denn obgleich alle Kegel der zweyten Ordnung zu einem Geſchlechte gerechnet werden, indem ſie entweder gerade oder ſchief ſind, ſo findet doch bey der dritten Ordnung eine weit groͤßere Mannigfaltigkeit ſtatt. §. 130. Nachdem dieſe Geſchlechter aus einander geſetzt ſind, muß man die Faͤlle betrachten, wo das hoͤchſte Glied in ein⸗ fache Faktoren, und zwar entweder in reelle oder in ima⸗ ginaͤre aufgeloͤſet werden kann. Es habe daſſelbe zuvoͤrderſt einen und zwar reellen Faktor, ſo hat die Flaͤche eine ebene Aſymptote. Der andere Faktor giebt, wenn man ihn = 0 ſetzt, entweder eine moͤgliche oder eine unmoͤgliche Glei⸗ chung, und es giebt daher entweder eine einzige ebene Aſymptote, oder die Flaͤche hat zwey Aſymptoten, eine ebene, und einen Kegel der zweyten Ordnung. Sind drey Faktoren einfach, ſo ſind, weil darunter allemal ein reeller iſt, die beyden uͤbrigen entweder ebenfalls reell oder ima⸗ ginaͤr, und daher entſpringen wieder zwey neue Geſchlech⸗ ter. Endlich ergeben ſich, wenn alle drey einfache Fakto⸗ ren reell ſind, noch daher zwey Geſchlechter, ob davon zwey, oder ob alle drey einander gleich ſind. Zu dieſer Ordnung gehoͤrt uͤbrigens keine Flaͤche, die ſich nicht ohne Ende fort verbreitete. 8 Nn 2 Sechstes Ntod itte “ t hin 2 uten t Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen. “ §S. 131l. In dem Vorhergehenden iſt bereits die Methode be⸗ Iin ſchrieben worden, die Natur des Durchſchnitts zu erfor⸗ r ſchen, der aus der Durchſchneidung einer Flaͤche von einer hen Ebene entſteht. Da nemlich die Curve, welche der Durch⸗ Nan ſchnitt bildet, ganz in der ſchneidenden Ebene liegt, ſo ha⸗ iki ben wir in dieſer Ebene zwey Coordinaten angenommen, Eter du dadurch die Natur des Durchſchnitts beſtimmt, und ſo die in ganze Unterſuchung aufs Bekannte zuruͤckgefuͤhrt. Wenn Rhnd aber die ſchneidende Flaͤche keine Ebene iſt, ſo kann man ien auch, da alsdann der Durchſchnitt nicht in eine Ebene faͤllt, hn . die Natur deſſelben nicht durch zwey Coordinaten aus⸗ “ drucken, ſondern es iſt eine andere Methode noͤthig, um it dieſe Durchſchnitte auf die Art durch Gleichungen zu be⸗ ſt ſtimmen, daß ein jeder Punkt derſelben bekannt ſey. “R Es kann aber die Lage der Punkte, die nicht in einer Ebene liegen, beſtimmt werden, wenn man drey auf ein⸗ ander ſenkrechte Ebenen zu Huͤlfe nimmt, und die Entfer⸗ nungen eines jeden Punktes von dieſen drey Ebenen an⸗ giebt. Es ſind daher drey veraͤnderliche Groͤßen noͤthig, Ann um die Ratur einer Curve, die nicht in einer Ebene liegt, A aus⸗ 4 * gemmnnen und ſo de a. Den okom on Ehene filt ſten aut⸗ ſothig, w ngen iu de ſe⸗ in einer auf ein die Eotfe Senen aNH n Nöthi Hene liett ats⸗ Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen. G 565 auszudrucken, ſo daß bey willkuͤhrlicher Annahme der einen die beyden uͤbrigen beſtimmte? Werthe bekommen. Hierzu reicht alſo eine Gleichung zwiſchen jenen drey Coordinaten nicht hin, indem dieſe die Ratur der ganzen Flaͤche aus⸗ drucken wuͤrde; ſondern man hat zwey Gleichungen noͤthig, durch welche, wenn die eine veraͤnderliche Groͤße einen be⸗ ſtimmten Werth bekommt, zugleich die Werthe der deyden uͤbrigen beſtimmt werden. Man druckt daher die Natur einer Curve, die nicht in einer Ebene liegt, am bequemſten durch zwey Gleichungen zwiſchen drey veraͤnderlichen Groͤßen , y und 2 aus, welche dren auf einander ſenkrechte Coordinaten vorſtellen. Ver⸗ ittelſt ſolcher zwey Gleichungen koͤnnen zwey veraͤnderliche Größen durch die dritte beſtimmt werden, indem ſowohl y als einer Funktion von X gleich ſeyn wird. Auch kann man nach Gefallen eine von den veraͤnderlichen Groͤßen eli⸗ miniren, und alſo drey Gleichungen machen, deren jede nur zwey veraͤnderliche Groͤßen enthaͤlt, eine nemlich zwi⸗ ſchen « und y, die andere zwiſchen 2 und 2, und die dritte zwiſchen y und z. Von dieſen drey Gleichungen ergiebt ſich die dritte aus den beyden uͤbrigen von ſelbſt, ſo daß man, wenn man die Gleichungen zwiſchen X und y, und zwiſchen und z hat, die dritte dwiſchen 7 und 2 durch die Climination von findet. Es ſey alſo eine krumme Linie, die nicht in eine Ebene falle, gegeben, und M, Fig. 148, ſey ein Punkt in ihr. Man nehme nach Belieben die drey auf einander ſenkrechte Axen AB, AC und Ab an, ſo daß dadurch die drey auf Run 3 eein⸗ 566 Anhang. Sechstes Capitel. einander ſenkrechte Ebenen, ABC, BAD und CAD be⸗ ſtimmt werden. Ferner faͤlle man aus dem Punkte der Cutve M auf die Ebene BAG die ſenkrechte Linie MC herab, und ziehe aus dem Punkte Q auf die Axe AD die gerade Linie Ob ſenkrecht, ſo ſind Ab, QP und Q M die drey Coordinaten, durch welche die Curve beſtimmt iſt, wenn man dazwiſchen zwey Gleichungen hat. Es ſey alſo AP = X, PQ = y und QM = 2, und aus den bey⸗ den zwiſchen X, y und 2 gegebenen Gleichungen mache man durch die Elimination eine Gleichung, welche bloß und y enthalte: ſo wird dieſe GSleichung die Lage des Punktes Q in der Ebene BA C beſtimmen, und alle auf die beſchriebene Art aus dem Punkte M entſtandenen Punkte Q werden die Curve E Qf geben, deren Natur durch die Gleichung zwi⸗ ſchen x und y ausgedruckt wird. §. 135. Auf dieſe Art laͤßt ſich die Natur der Curve E QF aus zwey zwiſchen den drey Coordinaten gegebenen Gleichungen leicht erkennen; es entſteht aber dieſe Curve, wenn man aus den Punkten M der geſuchten Curve die ſenkrechten Linien M Q auf die Ebene B A C herabfaͤllt, und man pflegt dieſelbe die Projection der Curve G MH in der Ebene BAC zu nennen. So wie aber die in der Ebene BA C entwor⸗ fene Projection gefunden wird, wenn man die veraͤnderliche Groͤße 2z eliminirt: ſo kann man auch die Projection eben dieſer Curve in der Ebene BAD oder CAD finden, wenn man entweder „ oder x wegſchafft. Eine Profection reicht indeß nicht hin, die Natur der Curve G MH zu erkennen; wenn man aber fuͤr jeden Punkt O die ſenkrechten Linien QCM = z kennt, ſo laͤßt ſich die Curve G MH ſehr leicht aus der Pro⸗ jection E Ar conſtruiren. Hierzu wird erfordert, daß man außer einglech ie Cere der Rro⸗ Dirchſch Nch⸗ ſchang Cbene l jney Fl ſcnin i uchtn MN einer E⸗ er olle uld er enthalte CAD de Unete der Punines eſchriebene welden die Gchang wie 1au Gleicungen penn mor ſnkrechten ondſteg Ebene bA tt i venn man cichrinde⸗ hen; m 101= rro⸗ dos man Außer Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen. 567 außer der Gleichung zwiſchen und y, wodurch die Ratur der Proſection ausgedruckt wird, eine Gleichung zwiſchen 2 und X, oder zwiſchen 2 und y, oder auch zwiſchen X, . und 2 habe, um darous die Laͤnge des Perpendikels Al== fuͤr einen jeden Punkt Q zu erkennen. De die G Gleichung zwiſchen 2 und x die Projection der Curde G MH in der Ebene B A D, die Gleichung zwiſchen 2 und y aber die Projection in der Ebene CAD, und die Gleichung zwiſchen X, y und 2 die Flaͤche aus Edruckt, in welcher die Curve C MH liegt: ſo erhellet einmal, daß durch zwey Projectionen der Curve G MH in zweyen Ebe⸗ nen dieſe Curve ſelbſt bekannt werde. Ferner iſt klar, daß ein gleiches ſtatt fſinde, wenn außer der Flaͤche, in welcher die Curve liegt, noch eine Projection derſelben in einer Ebene gegeben iſt. Denn errichtet man aus den Punkten der Projection die ſenkrechten Linien QM, ſo giebt ihr Durchſchnitt mit der Flaͤche die geſuchte Curve GM H. §. 137. Nach dieſen allgemeinen Bemerkungen uͤber die Erfor⸗ ſchung der Natur einer jeden Curve, die nicht in einer Ebene liegt, iſt es nicht ſchwer, den Durchſchnitt jeder zwey Flaͤchen zu beſtimmen. Denn ſo wie der Durch⸗ ſchnitt zweyer Ebenen eine gerade Linie iſt, ſo iſt der Durchſchnitt zweyer Flaͤchen uͤberhaupt, entweder eine ge⸗ rade oder eine krumme Linie, und dieſe liegt entweder in einer Ebene oder nicht. Er mag indeß beſchaffen ſeyn, wie er wolle, ſo gehoͤren alle ſeine Punkte zu beyden Flaͤchen, und er muß daher in den Gleichungen für beyde Flaͤchen enthalten ſeyn. Wenn alſo beyde Flaͤchen durch Gleichungen Nun 4 zwi⸗ 568 Anhang. Sechstes Capitel. zwiſchen drey Coordinaten ausgedruckt werden, die auf eben dieſelben drey auf einander ſenkrechte Hauptebenen, oder auf eben dieſelben drey auf einander ſenkrechte 2 Axen A B, A C, AD bezogen werden: ſo drucken dieſe be ey den Gleichungen zuſammen die Natur des Schnittes aus. H. 139. Sind alſo zwey Flaͤchen gegeben, we doe ſich ſchnei⸗ den, ſo muß man die Natur einer jeden durch eine Glei⸗ chung zwiſchen drey Coordinaten ausdeucken, welche auf einerley Hauptaxen bezogen werden, wodurch man zwey Gleichungen zwiſchen X, y und 2 von der Art bekommt, daß die Gleichung, welche man daraus durch die Elimination der einen dieſer veraͤnderlichen Groͤße erhaͤlt, die Projection des Durchſchnitts in der Ebene ausdruckt, welche die bey⸗ den uͤbrigen veraͤnderlichen Groͤß oͤßen enthaͤlt. Auf dieſe Art laͤßt ſich daher auch der Schnitt einer jeden Flaͤche von einer Ebene erforſchen. Denn da die allgemeine Gleichung fuͤr die Ebenen =2 † g* † 7X = f iſt, ſo bekommt man, wenn man den Werth von z, der aus dieſer Gleichung ent⸗ ſpringt, oder 3z = — — in d ie Gleichung fuͤr die Flaͤche bringt, eine Geichung fuͤr die Proj ection des Schhnittes in der Ebene der Coordinaten x und y. Es giebt f – &y – Yx“ aber auch zugleich die Gleichung 2 = - die .ℳ Groͤße des Perpendikels QM für⸗ einen jeden Punkt Q. §K. 149. Ereignet es ſich, daßs die Gleichung fuͤr die Projection unmoͤglich wird, wie z. B. wenn man †P yy T aa = o faͤnde: ſo iſt deſes ein Lenmeichen daß die beyden Flaͤchen ſich ſanmge Crindet 1 n mun Und deß eine⸗ ſey die Peuich ld de Maus d 4 G Poeſeeh — nbon Ma! ſdey ume daß inigatiot ommt min ſcung an⸗ 1 ſetinn de Ei e „X — ½ Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen. 569 ſich nirgends ſchneiden. Wenn aber die Gleichung auf ei⸗ nen Punkt fuͤhrt, oder die Projection in einen Punkt ver⸗ ſchwindet: ſo iſt auch der Durchſchnitt ein Punkt, und es beruͤhren ſich daher beyde Fl aͤchen in einem Punkte, wel⸗ chen man alſo aus der Gleichung kennen lernen kann. Es giebt aber außerdem auch eine Beruͤhrung in einer Linie, wenn ſich beyde Flaͤchen in unzaͤhligen Punkten beruͤhren, und dieſe Beruͤhrungslinie iſt entweder gerade oder krumm. Jenes findet ſtatt, wenn eine Ebene einen Cylinder oder einen Kegel beruͤhrt, da hingegen der gerade Kegel von ei⸗ ner Kugel innerhalb in einem Kreiſe beruͤhrt wird. Dieſe Beruͤhrungslinie erkennt man aus der Gleichung, wenn man daraus fuͤr die Projection eine Gleichung erhaͤlt, welche zwey gleiche Wurzeln hat, weil die Beruͤhrung nichts anders iſt, als das Zuſammenfallen zweyer Durch⸗ ſchnitte. G 8. 140. Um dieſes deutlicher zu machen, wollen wir annehmen, daß eine Kugel von einer Ebene geſchnitten werde. Ferner ſey die Gleichung fuͤr die Kugel, nach dem Mittelpunkte eingerichtet, 2 2Z †* yy T† XX = à und die Gleichug fuͤr d ie Ebene in jeder Lage, 22 † 8y P Y7X = f. 4 — wird, ℳ Da aus dieſer letzten Gleichung 2 = ſo erhaͤlt man folgende Gleichung zwiſchen x und y fuͤr die Projection: = f — =22a2 — 2 6fy — 27fx † (a2 † 2)y2 † 267Xy † (2 † 72) XX wovon erhellet, daß ſie eine Gleichung fuͤr eine Ellipſe iſt, Rn 5 wenn 570 Anhang. Sechstes Capitel. wenn ſie reell iſt. Wird ſie imaginaͤr, ſo wird die Kugel nirgends von der Ebene beruͤhrt; und verſchwindet die Ellipſe in einen Punkt, ſo beruͤhren ſich die Kugel und die Ebene. Unm dieſen Fall zu finden, ſuche man bf =— byx — 2V(a'(&α † 6) — f † 2 7fX — ℳ* † 8£ † 7*²)xxX) 7= „2 † ⁸2 wo es weder einen Beruͤhrungspunkt noch einen Durch⸗ ſchnitt giebt, wenn f einen ſolchen Werth hat, daß die Wurzel⸗Groͤßen nicht reell werden koͤnnen. §. 141. Setzt man f = a V (⸗2 † 62 † 72), ſo wird ℳαι2 2 +† 82 und dieſe Gleichung kann nicht reell kun, wofern nicht 7 a 6 à — L d X V2 T 62 †2 5 un 7S= V (a 2 † 82 † 72) iſt. Iſt daher f = a V (a2 † 62 † 72) ſo beruͤhrt die Ebene, welche durch die Gleichung =2 † sy † „X = f aus⸗ gedruckt wird, die Kugel, und man findet den Beruͤhrungs⸗ punkt, wenn man 7 . 8 à X = Va2 † 52 † 72) VC⸗ † ⁶2 † 72) und ℳα 2 = VC= † 62 † 72) §. 142. Hieraus laͤßt ſich eine allgemeine Regel herleiten, durch welche man in den Stand geſetzt wird, zu beurtheilen, ob eine Flaͤche von einer Ebene, oder einer andern Flaͤche be⸗ ruͤhrt werde oder nicht. Hat man nemlich aus beyden Glei⸗ chhungen — ef — gvxx aX — (aza † 62 † 72) — ayà ́ — I hogen erſuc Eckoren e ſe⸗ inender g ier getc geiche Fe ſocbr ih lce du lch, das Ner inogi ung ene⸗ Ahopr N e Gung für nd die ſn nkdon Scheft de Glig ne der Wng Naunn a de Kugen dinet de und dee ℳ V— 02./— rn nich! . S — „ berührr N. x= lalß iſoungs⸗ 32 —- — ud 2 Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen. 571 chungen eine veraͤnderliche Groͤße weggeſchafft, ſo muß man unterſuchen, ob die dadurch erhaltene Gleichung in einfache Faktoren aufgeloͤſet werden kann oder nicht. Denn hat ſie zwey einfache imaginaͤre Faktoren, ſo giebt es einen Beruͤhrungspunkt, welchen man kennen lernt, wenn man jeden Faktor = o ſetzt. Hat ſie hingegen zwey reelle und einander gleiche Faktoren, ſo beruͤhren ſich die Flaͤchen in einer geraden Linie. Hat ſie endlich zwey nicht einfache gleiche Faktoren, oder iſt ſie durch ein Quadrat theilbar, ſo giebt ihre Wurzel, = o geſetzt, die Projection der Linie, welche durch die Beruͤhrung entſteht. Hieraus erhellet auch, daß ſich die Flaͤchen, wenn die gedachte Gleichung vier imaginaͤre Faktoren hat, in zwey Punkten beruͤhren. §. 143. Um dieſes deutlicher zu machen, wollen wir die Beruͤh⸗ rung eines Kegels und einer Kugel unterſuchen, deren Mit⸗ telpunkt in der Axe des Kegels liegt. Es iſt aber die Glei⸗ chung fuͤr die Kugel: 22 † yy † X = aa und die fuͤr den Kegel, wenn man den Scheitel des Kegels um f von dem Mittelpunkte der Kugel entfernt annimmt: . ( = 2) 2 = m XX † nyy Schafft man y weg, ſo wird (f — 2) 2 = na a — nz2 † (m — n) xX die Gleichung fuͤr die Projection des Durchſchnitts in der Ebene der Coordinaten X« und 2. Es ſey zuvoͤrderſt der Kegel ein gerader, oder m = n, ſo wird fk + VEKnI P n) a a — nff) 1Tn Wenn alſo f= a 1 n) iſt, ſo iſt zwiefach 2=— 2 =— (1 n) und 7 „7 . 5872 Anhang. Sechstes Capitel. und es giebt eine Beruͤhrungsli inie, nemlich den Kreis, deſ⸗ ſen Projection in der Ebene, welche durch die Axe geht, eine gerade auf der Axe ſenkrechte Linie iſt. §. 144. Fuͤr den ſchiefen Kegel, wo m und n ungleich ſind, ſcheint die Gleichung allemal einen Durchſchnitt zu geben, da doch oͤfters keiner ſtatt ſindet. Denn wenn m groͤßer iſt als n, ſo erhaͤlt man zwar allezeit eine reelle Gleichung fuͤr die Projection, allein die Realitaͤt der Projection zieht nicht immer die Realitaͤt des Durchſchnitts nach ſich. Denn ſoll der Durchſchnitt reell ſeyn, ſo iſt dazu nicht genug, daß bloß die Projection, ſondern es müͤſſen auch die von der Projection nach dem Durchſchnitte gezogenen Perpendikel reell ſeyn. Ob alſo gleich jede reelle Curve reelle Projectio⸗ nen hat, ſo darf man doch nicht von der Realitaͤt der Pro⸗ jection auf die Realitaͤt der geſuchten Curve ſchließen. Dieſe Regel muß man ſtets vor Augen behalten, damit man von der Realitaͤt der Gleichungen fur die Projectionen keinen falſchen Gebrans mache. — §. 145. Man vermindert dieſe Unbequemlichkeit, wenn man die Projection in der Ebene der Ordinaten x und „ ſucht. Denn da in dieſer Ebene kein Punkt iſt, dem nicht ein Punkt in der coniſchen Flaͤche zugehoͤre: ſo wird, wenn die Projeetion reell iſt, auch allemal der Durchſchnitt reell. Da al/ſo 2 = V (a a — XX — yy) iſt, ſe wird aus der andern Gleichung f— WGaàaà — XX — Vy = V(mxx † nyy) oder 22 le geht, geben, Denn ſol ng, doh wenn wan idſce iht en 9, nenn itrel. 44 Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen. 573 aa † f — (I † m) xxX — (I1 † nyy = 2fV(aa — Xx — yy) und ferner Kr — 2 aa — f) „ — 2 a2 — f) — ff) O v (aa 3 — 2 aa — fr)m — 2 a a — E) n /) 1 = Gtm)aNa † 20r † m)(n)x⸗ye † G †) 2ya) und daher wird aàa — f † n Ga - f) — ( 1m) (1 † n) XX 2 (1 † n) 1 r= = 552 — — WC(n (1 tna nn — n) n) 2 und aa — fr† m (aa † fr) — (1 † m) Cr † n) yy * (I † m) 2 — X2 2 f T m)2 VC(mCI †p m) aa — mff † (n — m) (I † m),yY Soll alſo die gefundene Gleichung Faktoren haben, ſo muß ff = (1 † n) aa; oder ff = (I † m) a 2 ſeyn. Im erſten Falle wird 22 V n— n) 2* 1fn aTNV t 1 m naa — (I † m) xx wo, wenn m liiner als n iſt, nothwendig “ẽ́ñẽͥ n a X = 0; y = àa —— 2 – — z y V , und —= FAT ſeyn 574 Arhang. Sechstes Capitel. ſeyn muß. Es giebt alſo zwey Beruͤhrungspunkte, die von der Axe des Kegels auf beyden Seiten gleich weit ent⸗ fernt ſind. Wenn aber m groͤßer als n iſt, ſo muß man die andere Gleichung maa — (T † n) yy 2 y V (n — m) I † m T)V (1 T† m) nehmen, die nicht reell ſeyn kann, wenn nicht y = o iſt, XX = in welchem Falle æ = + àa V „ und 2 = Varimg) wird. Alsdann giebt es zwey andere Beruͤhrungspunkte, indem die Beruͤhrung in dem Theile des Kegels geſchieht, wo dieſe Punkte am naͤchſten zuſammenfallen. Auf aͤhnliche Art laͤßt ſich die Beruͤhrung in allen einzelnen Faͤllen be⸗ urtheilen. §. 147. Die leichteſte Art aber, die beruͤhrenden Ebenen jeder Art der Flaͤchen zu finden, laͤßt ſich aus der oben erklaͤrten Methode, die Tangenten der Curven zu finden, herleiten. Es ſey die Ratur der Flaͤche, deren Beruͤhrungsebenen geſucht werden, durch eine Gleichung zwiſchen den drey Coordina⸗ ten AP = X; PQ = y; und QM = 2, Fig. 149, ausge⸗ druckt, und daraus die Lage der Ebene, welche die Flaͤche in dem Punkte M beruͤhrt, zu beſtimmen. Wird die Flaͤche von irgend einer durch M gehenden Ebene geſchnitten, ſo muß die Tangente des dadurch entſtandenen Schnittes fuͤr den Punkt M in der beruͤhrenden Ebene liegen. Wenn man alſo die Tangenten zweyer ſolcher Schnitte fuͤr den Punkt M gefunden hat, ſo muß die Ebene, welche durch dieſe beyden Tangenten beſtimmt wird, auch die Flaͤche in dem Punkte M. bezeichnen. §. 148. 2—— Ee w. GeA Negrod lchete Etne4. ſeendien I, vd 1Adee Ginde debe / hine nan dieſe inlen P. ett o⸗ Nebhene e Rus die beruh Nogenn st ſonird PT n hern⸗ Ne gerad 8I0 e, die eit ent⸗ non * 4 — TC) epunkte, eſchieht iholche alen be nen ſcen erkiͤrten ſen 6 geſucht gir aubge⸗ dice etch , 6 ſi für Wenm r er h 1449 Von den Durchſchnitten zweyer Flachen. Es werde alſo zuvoͤrderſt die Flaͤche von einer auf der Ebene APQ ſenkrechten Ebene geſchnitten, und zwar nach der geraden der Axe A P parallen Linie QS. Ferner ſey auf aͤhnliche Art ein Schnitt durch M ſenkrecht auf die Ebene APQaber nach der Linie Qb, welche auf der Axe AP perpendiculaͤr iſt; oder es ſey der erſte Schnitt auf der Axe A B, und der andere auf der Axe Ab ſenkrecht. Es ſey E M der erſte Schnitt, deſſen Tangente MS8, welche der s in dem Punkte s begegnet, geſucht werde, ſo daß QS die Subtangente ſey. Der andere Schnitt ſey die Curve FM, ſeine Tangente MT, und die Subtangente QCI. Hat man dieſe gefunden, ſo wird die Ebene S M T die Flaͤche in dem Punkte M beruͤhren. Zieht man alſo die S T, ſo giebt dieſelbe den Durchſchnit der beruͤhrenden Ebene mit der Ebene APQ; und wenn man aus Q auf § die ſenk⸗ rechte Linie QR zieht, ſo verhaͤlt ſich QR zu Cs wie der Radius zur Tangente des Winkels MRQ, unter welchem die beruͤhrende Ebene gegen die Ebene APQ geneigt iſt. 4 149. Angenommen, daß die Subtangenten Q8s = s, und QT=t nach der oben erklaͤrten Methode gefunden ſeyen; ſo wird 51 PT = t — y; PX =.- und alſo AXx = x – — s. Man lernt alſo hierdurch den Punkt X kennen, in welchem die gerade Linie S T die Axe Ab ſchneidet, und da AXS = T 8 Q iſt, ſo iſt die Tangente dieſes Winkels = —und dadurch — 575 Anhang. Sechstes Capitel. dadurch wird die Lage des Schnitts der beruͤhrenden Ebene mit der Ebene APQ bekannt Da ferner 8T= V. (sS8† tt) iſt, ſo wird QR = „und dividirt man damit V. S. tt 5 die QM, ſo bekommt man die Tangente des Neigungs⸗ 2 V (SS † tt) MN ſenkrecht auf MR, ſo iſt dieſe Linie ſowohl auf der be⸗ ruͤhrenden Ebene als auf der Flaͤche ſelbſt in dem Punkte M. ſenkrecht, und man erkennt ihre Lage aus QN = winkels MR Q = Zieht man außerdem W 110. Man ziehe aus N auf die Axe AbP die Nv ſenkrecht, ſo wird, weil CNV = CST iſt, PV = 27 . — = QW; und N W = — Wenn daher auf dieſe Art die Lage des Punktes N in der Ebene A PQ beſtimmt wird, ſo ſteht die gerade Linie N M auf der Flaͤche ſenkrecht. §K. 150. Wie der Durchſchnitt zweyer Flaͤchen durch Projectionen erforſcht werden muͤſſe, iſt bereits oben gezeigt worden; jetzt wollen wir unterſuchen, zu was fuͤr einer Ordnung die Projection gehoͤre, wenn ſolche nach der Ordnung der Fl aͤche beſtimmt werden ſoll. Zuvoͤrderſt alſo geben zwey Flaͤchen der erſten Ordnung oder zwey Ebenen fuͤr den Durchſchnitt und ſeine Projection eine Linie der erſten Ordnung. Dann haben wir auch geſehen, daß dieſe Projection nicht uͤber die zweyte Ordnung aufſteigen kann, wenn die eine Flaͤche zur zweyten, die andere zur er ſten Ordnung gehoͤrt. Eben ſo iſt offenbar, daß eine Projecetion nicht zu einer hoͤhern, als der dritten Ordnung gehoͤren werde, wenn die eine Floͤche Pe eine rzveyten (EKnift ODnung ge ſhe , Weunn k iiliner Che liter Ebene Blichungen mg, wie Nuuntzeilen, den Gleichone dnc Nede wo und ( es eine 9 ton von X h ſhander an ſo legt de uceg let man damit Neigunge⸗ außerdem auf der be⸗ en Punkte ans N Dre Ab die auf dieſe Att ſinmt irh gkrecht. ltiteicnen geig worden⸗ M Ne o er M Miic = — . ri ine ho Ghern, Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen. 577 Flaͤche eine Flaͤche der dritten, und die andere eine Flaͤche der erſten Ordnung iſt, u. ſ. w. T zur zweyten Ordnung g gehoͤren, ſo wird die Projection des Durchſchnitts entweder zur vierten oder zu einer niedrigern Ordnung gehoͤren, und uͤberh Flaͤche m, und die der andern n iſt. G. 151. Wenn keine von den ſich ſchneidenden Flaͤchen eine Ebene iſt, ſo iſt ihr Durchſchnitt meiſtens eine Curve, die nicht in einer Ebene liegt; doch kann auch der ganze ( Schnitt i in einer Ebene ſich befinden, und dieſes geſchiehet, wenn die Gleichungen beyder Flaͤchen zuſammengenommen eine Glei⸗ chung, wie ⸗2 † y † »3 = f in ſich enthalten. Um zu beurtheilen, ob dieſes ſeyn werde, beſtimme man aus bey⸗ den Gleichungen die beyden veraͤnderlichen Groͤßen 2 und y durch die dritte X, und dabey werde 2 = PD, und y = C, wo b und Q Funktionen von X ſind. Dann uͤ erlege man, ob es eine Zahl n gebe, wobey ſich in P † h Calle Poteſtaͤ⸗ ten von X bis auf die erſte X und die beſtaͤndigen Glieder einander aufheb ben. Iſt dieſes, und iſt ?P † n Q = mxX † k ſo liegt der Schnitt in einer Ebene, und dieſe Ebene wird durch die Gleichung 2z † n y = m X † k ausgedruckt. §. 152. Es ſeyen z. B. zwey Flaͤchen der zweyten Ordnung, ein gerader Kegel, 22 = XX † yy, und eine elliptiſch hyper⸗ boliſche Flaͤche des zweyten Geſchlechts 22 = XX † 2 7y — 2 aX — aa gegeben. Da hieraus XX † 2y y — 2 a — aà = XX† yy wird, ſo iſt „ = V (2a X † a a) und 2 = X † a; und dieſe letzte Gleichung zeigt ſchon an, Eulers Einl. in d. Anal d. Unendl, II. O. Oo daß enn aber beyde Flaͤchen aupt iſt die hoͤchſte Ordnungs⸗ zahl der Projection mn, wenn die Ordnungszahl der einen 578 Anhang. Sechstes Capitel. c. daß der ganze Schnitt in Einer Ebene liegen werde, deren Lage durch die Gleichung z = † a beſtimmt wird. Auf dieſe Art laſſen ſich eine Menge von Auf⸗ gaben, die Natur der Flaͤchen betreffend, aufloͤſen. Reicht indeß das Bisherige nicht hin, ſo iſt dazu die Analyſis des Unendlichen erforderlich, wozu die gegen⸗ waͤrtigen Buͤcher den Weg bahnen. werde, ſtimmt 1 Auf⸗ floͤſen. — „ . . — — . 3 . S *£ . „* . * . * * . „ „ . . E . . — . 2 . — . . 2 . . . 4 . . B . * . 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