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Us Trübingen

Leonhard Eulers
Einleitung

in die

Anal lyſis des Unend ſchen.

Aus dem Lateiniſchen uberſehe
und mit Anmerkungen und Zuſatzen begleitet
von

Johann Andreas Chriſtian Michelſen,

Profeſſor der Mathematik und Phyſik am vereinigten Berliniſchen
und Coͤniſchen Gomnaſium.

Zweytes Buch.

Berlin,
bey Sigismund Friedrich Heſſe
1788.

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Vorred e.

3 Ec⸗ uͤbergebe hiermit den Freunden von n Herrn
Eulers Schriften die Ueberſetzung des zweyten
Theils ſeiner Einleitung in die Analyſis des Unend⸗
lichen, und zwar nach eben den Regeln bearbeitet,
nach welchen ich mich beym erſten Theile gerichtet
habe. Was die hinzuge fuͤgten Anmerkungen betrifft,
ſo habe ich dieſelben, wo es mir zur Erlaͤuterung noͤ⸗
thig ſchien, ſogleich dem Texte einverleibt, und zur
Unterſcheidung in Klammern einſchließen laſſen, ich
habe mich aber in Anſehung ihrer kuͤrzer faſſen muͤſſen
als beym erſten Theile, weil ſonſt der gegenwaͤtige zu
ſtark geworden ſeyn wuͤrde. Aus eben dem Grunde
habe ich den Vorſatz muͤſſen fahren laſſen, in einem
Anhange theils den Inhalt tabellariſch darzuſtellen,
theils manche von den abgehandelten Materien weiter
aus einander zu ſetzen, und ſo den gegenwaͤrtigen
zweyten Theil dem erſten ganz aͤhnlich zu machen.
2 So⸗

1V Vorrede.

So ungern ich dieſes gethan habe, ſo durfte ich es
gleichwohl den Herren Verleger, insbeſondere da zu

dieſem zweyten Theile ſo viele Kupfer noͤthig waren,

nicht anmuthen, fuͤr den einmal feſtgeſetzten Preis
auch die ſonſt ſchon ausgearbeiteten Zuſuͤtze zu liefern,

und ich hoffe daher, daß man mir daruͤber keinen Vor⸗

wurf machen werde, zumal, da ich, um dergleichen
gaͤnzlich zu vermeiden, die gedachten Zuſaͤtze nebſt den
in der Vorrede zum erſten D
lungen, ſo wie auch die S. 426 gedachte Unter⸗
ſuchung, die ebenfalls fuͤr den gegenwaͤrtigen Ort zu
weitlaͤuftig geworden iſt, ſo bald ſich der Herr Verleger
dazu bereitwillig finden laſſen wird, in einem dritten
Bande liefern werde. Uebrigens ſtatte ich meinen
Herren Recenſenten, die insgeſammt den erſten Theil
mit ſo vieler Guͤte und Nachſicht angezeigt und beur⸗
theilt haben, meinen verbindlichſten Dank ab, und
wuͤnſche, daß der gegenwaͤrtige zweyte Theil gleiche
Guͤte und Nachſicht erfahren moͤge.

Inhalt

Theile erwaͤhnten Abhand⸗

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Von der D

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Inhalt

des

zweyten Buchs.

Krſtes Capitel.

Von den krummen Linien (Curven) uͤberhaupt.
Iweytes Capitel.
Von der Veraͤnderung der Coordinaten.

Drittes Capitel.

Von der Eintheilung der algebraiſchen krummen Linien
in Ordnungen.

Viertes Capitel.

Von den vornehmſten Eigenſchaften der Linien einer jeden

Ordnung.

Fuͤnftes Capitel.
Von den Linien der zweyten Ordnung.

VYI Inhalt des zweyten Buchs.
Sechstes Capitel.

Von den Arten der Linien der zweyten Ordnung.

—

Siebentes Capitel.
Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln.

Achtes Capitel.
Von den Aſymptoten.

Neuntes Capitel.
Von der Eintheilung der Linien der dritten Ordnung in
Arten.

Zehntes Capitel.

1

Von den vornehmſten Eigenſchaften der Linien der drit⸗
ten Ordnung.

Eilftes Capitel.

Von den Linien der vierten Ordnung.

Zwoͤlftes Capitel.

Von der Erforſchung der Geſtalt der krummen Linien.

Dreyzehntes Capitel.

Von den Eigenſchaften der Curven.

Vierzehntes Capitel.
Von der Kruͤmmung der Curven.

Funfzehn⸗

Inhalt des zweyten Buchs. vVir
Funfzehntes Capitel.
Von den Curven, die einen oder mehr Durchmeſſer haben.
Sechszehntes Capitel.

Von der Erfindung der Curven aus gegebenen Eigen⸗
ſchaften der Applicaten.

Siebenzehntes Capitel.
Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſchaften.
Achtzehntes Capitel. 3
Von der Aehnlichkeit und Verwandſchaft der Curven.

Neunzehntes Capitel.

Von den Durchſchnittspunkten der ECuroben.

Zwanzigſtes Capitel.
Von der Conſtruktion der Gleichungen.

Ein und zwanzigſtes Capitel.

Von den tranſcendenten Curven.

Zwey und zwanzigſtes Capitel.
Aufloͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben.

Anhang

ℳ₰ℳ

vri Inhalt des zwehten Buchs.
Anhang von den Flaͤchen.
Erſtes Capitel.
Von den Oberflaͤchen der Koͤrper uͤberhaupt.

Zweytes Capitel. S
Von den Schnitten der § laͤchen, wenn Ebenen durch ſie
gelegt werden.
Drittes Capitel.
Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel⸗Schnitten. yal

Vier tes Capitel.

Von der? Verwechſelung der Coordinaten.

Fuͤnftes Capitel.
Von den Flaͤchen der zweyten Ordnung.
L Dee The
Sechstes Capitel.

Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen.

Einlei⸗

Einieitung

in die

Analyſis des Unendlichen.

waarrrriji

Zweytes Buch.

Diie Theorie der krummen Linien, nebſt einem

Anhange von den Oberflaͤchen,

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N

Zweytes Buch.
Erſtes Capitel.

Von den krummen kinien (Curven) uͤberhaupt.

D eine veraͤnderliche Groͤße nichts anders als eine all⸗
gemeine Groͤße iſt, die alle beſtimmte Groͤßen unter ſich
begreift: ſo laͤßt ſich dieſelbe geometriſch ſehr paſſend durch
eine unbegrenzte gerade Linie RS Fig. I. darſtellen. Denn
da man auf einer unbegrenzten Linie jedes beſtimmte Stuͤck
zu nehmen im Stande iſt, ſo gewaͤhret ſie eben den Be⸗
griff, den man bey einer veraͤnderlichen Groͤße hat. Zuerſt
aber muß man in der unbegrenzten Linie RS einen Punkt
A annehmen, um denſelben als den Anfangspunkt aller auf
der gedachten Linie zu nehmenden beſtimmten Stuͤcke zu be⸗
trachten, und dann ſtellt jeder beſtimmte Theil von ihr, A b,
einen in der veraͤnderlichen Groͤße begriffenen beſtimmten
Werth vor.

§. 2.
Iſt alſo x die veraͤnderliche Groͤße, welche durch die
unbegrenzte gerade Linie RS Fig. 1. vorgeſtellt wird, ſo iſt
offenbar, daß alle beſtimmte Werthe von X, vorausgeſetzt,
A 3 MM daß

6 Zweytes Buch. Erſtes Capitel.

daß ſie reell ſind, durch beſtimmte Stuͤcke, die man n auf der

geraden Linie RS abſchneidet, vorgeſtellet werden koͤnnen.

Nimmt man nemlich den Punkt P in A ſelbſt, ſo druckt das
verſchwindende Stuͤck A P den Werth « = aus; je weiter
man aber den Punkt P von A entfernt, deſto groͤßer iſt der
Werth von X, der durch A P vorgeſtellt wird.

Dergleichen Stuͤcke, wie AP, werden Abſciſſen ge⸗

nennnt, und es ſtellen alſo die Abſciſſen beſtimmte Werthe

der veränderlichen Groͤße X vor.

§. 3.

Da ſich aber die unbegrenzte gerade Linie RS (Fig. I.) zu

beyden Seiten von A ins Unendliche erſtreckt, ſo kann man

auch darauf jeden Werth von x auf eine doppelte Art neh⸗
me. Schneidet man indeß die poſitiven Werthe von auf
der rechten Seite von A ab, ſo geben die Stuͤcke Ap auf

der linken Seite die negativen Werthe von x. Da nem⸗

lich A P einen deſto groͤßern Werth von anzeigt, je wei⸗

ter der Punkt P von A entfernt wird, ſo muß umgekehrt
der Werth von x deſto kleiner werden, je weiter man den⸗

ſelben nach der Linken fortgehen laͤßt, und wenn ? nach A

kommt = o werden. Laͤßt man alſo P ſich noch weiter

nach der Linken bewegen, ſo kommt man dadurch zu Wer⸗
then von x, die kleiner als Null, d. h. negativ ſind, und
es muͤſſen alſo die auf der linken Seite abgeſchnittenen
Stuͤcke Ap negatipe Werthe von x anzeigen, wenn die auf
der rechten Seite genommenen Stuͤcke A P poſitive Werthe
vorſtellen ſollen. Es iſt indeß gleichguͤltig, was man fuͤr
eine Seite zu den poſitiven Werthen von * waͤhlen will,
indem allemal die entgegengeſetzte Seite den negativen

Werthen deſſelben zugehoͤrt,

§. 4.

kehrt
den⸗
c
weſter
Ver⸗
und
nenen

ie af
ſetchhe

fur
wil,
uiven

4

Von den krummen kinien uͤberhaupt. 7

§F. 4.
Da alſo die unbegrenzte gerade Linie RS (Fig. 2.) die
veraͤnderliche Groͤße vorſtellt, ſo wollen wir nun unter⸗
ſuchen, wie jede Funktion von X auf eine bequeme Art
geometriſch dargeſtellt werden kann. Es ſey y irgend eine
Funktion von x, ſo daß alſo y einen beſtimmten Werth be⸗
kommt, wenn man fuͤr X einen beſtimmten Werth ſetzt. Auf der
zur Darſtellung der Werthe von æ angenommenen geraden
Linie RAS richte man fuͤr jeden beſtimmten Werth von
die ſenkrechte Linie ?P M auf, und mache ſie dem zugehoͤri⸗
gen Werthe von y gleich. Iſt der Werth von y poſitiv, ſo
ſtelle man P M oberhalb, und wird y negativ, ſo nehme
man P M unterhalb der R S. Laͤßt man nemlich die ober⸗
halb liegenden Linien die poſitiven Werthe von y bedeuten,
ſo fallen die verſchwindenden Werthe deſſelben in die gerade
Linie RS, und die negativen unterhalb derſelben.

5. 5.
Die zweyte Figur ſtellt daher eine ſolche Funktion 7

von x vor, die fuͤr X = O den poſitiven Werth y= A B,

fuͤr = A P den Werth y = P M, fuͤr = A D den
Werth y = o, und fuͤr X = A P den negatiben Werth
y7= P'M erhaͤlt, wo alſo P' M' unter der KS zu liegen
kommt. Auf eine aͤhnliche Art ſtellt man die Werthe von

y», die den negativen Werthen von x entſprechen, oberhalb

der RS vor, wenn ſie poſitiv, und unterhalb derſelben, wenn
ſie negativ ſind, wie pm; wenn aber fuͤr irgend einen
Werth von x, z. B. fuͤr — X =£ A E, y= o wird, ſo ver⸗
ſchwindet daſelbſt die auf RS ſenkrecht aufzurichtende Linie.

§F. 6.
Wenn mon daher auf dieſe Art fuͤr alle beſtimmte Wer⸗
the von x die zugehöeigen Werthe von „ ſucht, und (Fig. 2.)
A 4 H aus

ðð D

8 Zweytes Buch. Erſtes Capitel.

aus allen Punkten P der Linie RS auf derſelben ſenkrechte

Linien P M aufrichtet, welche die Werthe von y ausdrucken:

ſo liegen die einen Endpunkte P der Linien P M in RS ſelbſt,
die andern aber fallen entweder oberhalb derſelben, wenn y
poſitiv, oder unterhalb derſelben, wenn y negatio, oder
endlich in ſie, wenn y=o iſt, wie in den Punkten Dund E.
Die Endpunkte M der Linien P M ſtellen alſo irgend eine

Linie, eine gerade oder krumme, vor, und es wird daher dieſe

Linie durch die Funktion y beſtimmt. Es enthaͤlt demnach

Funktion y abhaͤngt.

jede Funktion von x, wenn man ſie auf die angezeigte Art
geometriſch behandelt, die Beſtimmung irgend einer geraden
oder krummen Linie, deren Ratur von der Natur der

9. 7.

Auf dieſe Art lernt man die krumme Linie, welche aus

der Funktion y entſpringt, vollkommen kennen, weil alle ih⸗

re Punkte durch dieſe Funktion beſtimmt werden. Wo
man nemlich auch P annimmt, ſo kennt man die Laͤnge der
. Linie P M, deren Endpunkt M in der krummen Linie liegt,

und es laſſen ſich alſo alle ihre Punkte finden. Auch mag

eine krumme Linie beſchaffen ſeyn wie ſie will, ſo kann
man doch aus jedem ihrer Punkte eine ſenkrechte Linie auf

die gerade Linie RS herabfaͤllen, und ſo A P fuͤr die veraͤn⸗
derliche Gr oͤße , und P M fuͤr y erhalten. Es laͤßt ſich da⸗

her kein Punkt in einer krummen Linie denken, welchen

man nicht auf dieſe Art beſtimmen kt koͤnnte.

Obgleich mehrere krumme de kinien durch eine ſtetige Be⸗
wegung eines Punktes mechaniſch beſchr ieben, und ſo ganz
und auf einmal dem Auge vorgelegt werden koͤnnen, ſo

werden wir dennoch hier vorzuͤglich die beſchriebene Entſte⸗

hungs⸗

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¶ S = — =ü — — — — —

hte
n:

alf

ð

Von den krummen Ainien uͤberhaupt. 9

hungsart der krummen Linien aus den Funktionen betrach⸗
ten, weil ſich dabey ein weiteres Feld oͤfnet, und der Cal⸗
eul bequemer gebraucht werden kann. Es fuͤhrt alſo jede

Funktion von xX auf irgend eine Linie, eine gerade entwe⸗

der oder eine krumme, und umgekehrt laͤßt ſich jede krum⸗
me Linie auf eine Funktion zuruͤckfuͤhren. Es wird nem⸗
lich die Natur einer krummen Linie durch eine ſolche
Funktion von x ausgedruckt, woraus man, wenn man die
Stuͤcke AP zwiſchen A und den aus den Punkten der Curve

M. auf RS ſenfrecht herabgefaͤllten Linien ? M fuͤr die ver⸗

aͤnderliche Groͤße « ſetzt, allemal den wahren Werth von
PM findet. MM

§. 9.
Dieſe Vorſtellung von den krummen Linien fuͤhrt ſo⸗

gleich auf die Eintheilung derſelben in continuirliche (ſte⸗
tige) und diſcontinuirliche oder vermiſchte. Man nennt
nemlich eine krumme Linie alsdann continuirlich, wenn ih⸗
re Natur durch eine einzige beſtimmte Funktion von aus⸗
gedruckt wird; dagegen ſie diſcontinuirlich oder vermiſcht
und irregulaͤr heißt, wenn ſie ſo beſchaffen iſt, daß verſchie⸗
dene Theile von ihr, B M, MD, D M ꝛzec., durch verſchiede⸗
ne Funktionen von X ausgedruckt werden, ſo daß, nachdem
der eine Theil B M nach einer gewiſſen Funktion von x be⸗
ſchrieben worden iſt, der andere M D aus einer andern
Funktion gefunden wird. Der Name dieſer letztern Art
der krummen Linien gruͤndet ſich darauf, weil dieſelben
nicht nach einem beſtaͤndigen Geſetze fortgehen, ſondern

aus Theilen verſchiedener continuirlichen Linien zuſammen⸗
geſetzt ſind.

§. 10.
Es werden aber in der Geometrie vorzuͤglich die conti⸗

nuirlichen Curven betrachtet, und es wird unten gezeigt

A 5 wer⸗

(Sig. 2.) eine continuirliche krumme Linie, deren Natur

10 Zvwepytes Buch. Erſtes Capitel.

werden, daß eben die Curven, die durch eine einfoͤrmige
Bewegung nach einer gewiſſen beſtaͤndigen Regel mecha⸗
niſch beſchrieben werden koͤnnen, ſich auch durch eine ein⸗
zige Funktion ausdrucken laſſen, und alſo zu den continuir⸗
lichen Curven gehoͤren. Iſt daher die Linie m E B MD M

durch irgend eine Funktion y von ausgedruckt wird: ſo
iſt aus dem Vorhergehenden bekannt, daß, wenn man die
beſtimmten Werthe von xX auf der geraden Linie RS, vom
Punkte A annimmt, die zugehoͤrigen Werthe von y die

Laͤnge der ſenkrechten Linien P M darſtellen.

Bepy der gegenwaͤrtigen Unterſuchung der krummen Li⸗

nien hat man gewiſſe Namen zu merken, deren Gebrauch

ſehr haͤufig iſt.
So heißt die gerade Linie R8, auf welcher man die
Werthe von * abſchneidet, die Axe, oder Abſciſſen⸗ Linie

(Linea direétrix).

den Endpunkten der Abſciſſen P nach der Curve gezogen
wDerden, mit dem Namen der Applicaten.

Der Punkt A, von welchem an die Werthe von X ge⸗

nommen werden, wird der Anfangspunkt der Abſciſſen
genennt.
Unter Abſciſſen verſteht man die Theile der Axe AP,
welche die beſtimmten Werthe von x ausdrucken, ([§. 2.]

Endlich belegt man die ſenkrechten Linien P M, die aus

Den letzten Ausdruck gebraucht man aber auch fuͤr Li⸗

nien wie PM, wenn gleich der Winkel, den ſie mit der

Axe machen, kein rechter, ſondern ein ſchiefer Winkel iſt,

und unterſcheidet daher noch die ſenkrechten und ſchiefen
Applicaten von einander. Wofern nicht ausdruͤcklich das
Gegen⸗

ige
ge⸗
uit⸗
DM
atur
: ſo

die

ͦ⸗

tanch

n de,
linie

ge⸗
iſen

Von den krummen linien uͤberhaupt. 11
Gegentheil angezeigt iſt, muß man in den folgenden Un⸗
terſuchungen immer ſenkrechte Applicaten verſtehen.

Wenn man alſo eine Abſciſſe AP durch die veraͤnderliche
Groͤße anzeigt, oder AP = xX ſetzt, ſo druckt die Funktion

y die Groͤße der Applicate PM aus, und es wird alſo PM = y.

Wenn daher die Curve continuirlich iſt, ſo wird ihre Natur
aus der Beſchaffenheit der Funktion y, oder aus dem Ver⸗
haͤltniſſe erkannt, welches y und X gegen einander haben.
Ferner iſt der Theil AS der Axe RS das Stuͤck derſelben,
worauf die poſitiven, und der Theil AR dasjenige, worauf
die negativen Werthe von « genommen werden, ſo wie uͤber
der Axe RS die poſitiven, und unter derſelben die negativen

Applicaten liegen.

§. 13.
Da ſich alſo aus jeder Funktion von 2eine krumme Linie
ergiebt, ſo laͤßt ſich dieſe Curve auch aus der Funktion er⸗
kennen und darnach beſchreiben. Setzt man nemlich fuͤr
nach und nach von o bis zum Oo alle poſitive Werthe, und
ſucht zu einem jeden die zugehoͤrigen Werthe von y, ſo kann
man jedes y durch eine, je nachdem es poſitiv oder negativ
iſt, oberhalb oder unterhalb RS geſtellte Applicate aus⸗
drucken, und ſo den Theil der Curve B M M (Fig. 2.) finden.
Legt man nun auf eine aͤhnliche Art x alle negative Wer⸗
the von o bis zum — 0 bey, ſo beſtimmen die zugehoͤri⸗
gen Werthe von „ den Theil der Curve BEm, und man
findet alſo auf dieſem Wege die ganze in der Funktion ent⸗

haltene Curve.

K. 14.
Da y eine Funktion von X iſt, ſo iſt y entweder leiner
entwickelten Funktion von « gleich, oder man hat eine Glei⸗
chens

12 Zweytes Buch. Eiſtes G Capitel.

chung, in welcher y durch x beſtimmt wird; in beyden Faͤl⸗

len aber iſt eine Gleichung gegeben, von der man ſagt, daß
ſie die Curve ausdrucke. Es wird daher die Natur einer

jeden Curve durch eine Gleichung zweyer veraͤnderlichen
Groͤßen X und y dargeſtellt, wovon die eine x die Abſeiſſen
vom Punkte A an, die andere y aber die ſenkrechten Appli⸗
caten bedeutet. Abſciſſen und Applicaten, zuſammen be⸗
trachtet, wer den rechtwinklige Coordinaten genennt; und
man ſagt deswegen, daß die Natur einer Curve durch eine
Gleichung zwiſchen rechtwinkligen Coordinaten ausgedruckt
ſey, wenn man eine Gleichung hat, die beſtimmt, was fuͤr
eine Funktion y von x iſt.
Da man allo bey der Unterſuchung der krummen Linien

von Funktionen ausgehen kann, ſo muß es ſo viel Geſchlechter

Der krummen Linien geben, als wir oben ſim erſten Capitel
des erſten Buchs,] Geſchlechter der Funktionen kennen ge⸗
lernt haben. Man theilt daher die krummen Linien, ſo
wie die Funktionen, ſehr bequem in Algebraiſche und in
Tranſcendente ein. Eine Curve iſt nemlich algebraiſch, wenn
ihre Applicate y eine algebraiſche Funktion von der Abſciſſe
iſt, oder wenn die Natur dieſer Curve durch eine alge⸗
braiſche Gleichung zwiſchen den Coordinaten X und y aus⸗
gedruckt werden kann. Dieſe Curven pflegt man auch mit

dem Namen, geomerriſche Curven, zu belegen. Dagegen

iſt eine Curve tranſcendent, wenn ihre Natur durch eine
tranſcendente Gleichung zwiſchen X und y ausgedruckt wird,
oder, wobey y eine tranſcendente Funktion von x iſt. Dieſe
Eintheilung der krummen Linien in algebraiſche und tran⸗
ſcendente muß als die Hauptabtheilung derſelben betrachtet
werden.

§. 16.

enne
gend
wen
we⸗
ſi
E
eus
mal
ſchn
ind
Cur
eben
Weo⸗
ſpei
c⸗
N

ſür

llen

ſtel

Von den krummen kinien uͤberhaupt. 13

§H. 16.

Wenn man eine krumme Linie nach einer gegebenen
Funktion von x, welche die Applicate y ausdruckt, beſchrei⸗
ben will, ſo muß man die Natur der gedachten Funktion

ſorgfaͤltig uͤberdenfen, und wohl bemerken, ob ſie eine ein⸗

foͤrmige oder vielfoͤrmige Funktion iſt. Iſt zuvoͤrderſt y
eine einfoͤrmige Funktion von x, oder y= b, ſo daß b ir⸗
gend eine einfoͤrmige Funktion von X bedeutet: ſo kommt,
weil alsdann „ fuͤr jeden beſtimmten Werth von X nicht
mehr als einen beſtimmten Werth erhaͤlt, jeder Ab⸗
ſeiſſe nicht mehr als eine Applicate zu; und es iſt daher die
Curve ſo beſchaffen, daß jede gerade auf der Axe RS (Fig. 2.)
aus einem Punkte b aufgerichtete ſenkrechte Linie P M alle⸗
mal die Curve, aber in nicht mehr als in einem Punkte M
ſchneidet. Es entſpricht alſo in dieſem Falle jedem Punkte
in der Axe ein Punkt in der Curve, und es erſtreckt ſich die
Curve, da die Axe auf beyden Seiten ohne Ende fortlaͤuft,

ebenfalls auf beyden Seiten ins Unendliche. Mit andern
Worten: Eine Curve, die aus einer ſolchen Funktion ent⸗

ſpringt, geht continuirlich und ohne irgend eine Unterbre⸗
chung auf beyden Seiten der Axe ohne Ende fort, ſo wie
die Linie m EBMDM Fig. 2.

§. 17.
Nun ſey y eine zweyfoͤrmige Funktion von x, oder es

ſey, wenn P und Qeinfoͤrmige Funktionen von « bedeuten,

yy= 2Py— QC, und folglich y» = P V (PP— Q). In
dieſem Falle kommt alſo jeder Abſeiſſe « eine doppelte Appli⸗
cate zu, und dabey ſind entweder beyde Applicaten reell,
oder beyde imaginaͤr. Jenes findet ſtatt, wenn PP groͤ⸗
ßer, und dieſes, wenn PP kleiner als Qiſt. So lange da⸗
her beyde Werhe de von y reell ſind, ſo hat jede Abeiſſe A HE
(Fig. 3.)

14 Zwreytes Buch. Erſtes Cap hite el.
(Fig. 3) zwey Applicaten P M, P M, oder, ſo ſchneidet die

auf der Axe in P ſenkrecht aufgerichtete Linie die Curve in

zweyen Punkten M und M. Wenn aber PP fleiner als G

iſt, ſo kommen den Abſciſſen gar keine Applicaten zu, oder
es begegnet aldann die auf der Axe ſenkrecht aufgerichtete
Linie der Curve nirgends, wie z. B in p. Da aber vor⸗

her PP groͤßer als Q war, ſo kann P P nicht kleiner als Q

werden, ohne daß zuvor PHP = Q ſey, und dies iſt da⸗
her die Grenze zwiſchen den reellen und imaginaͤren Appli⸗

caten. Da alſo, wo die reellen Applicaten aufhoͤren, wie

in Cund 6, da wird y= P Do, oder da werden beyde Ap⸗
plicaten einander gleich, und die Curve aͤndert ihre Rich⸗
tung und geht zuruͦc.

§. 18.

Rach der 3ten Figur wird die Applicate y imaginaͤr und
alſo PP fleiner als Q, wenn die negative Abſeiſſe — X zwi⸗
ſchen den Grenzen AC und A E enthalten iſt: jenſeits E hin⸗

gegen werden die Applicaten wieder reell. Dieſes kann

nicht ſtatt finden, wofern nicht in E, PDP= Q iſt, und al⸗

ſo beyde Applicaten abermals zuſammenfallen. Von E
an kommen alſo den Abſeiſſen AP wieder zwey Applica⸗

ten Pm, Pm zu, bis in G. wo die Applicaten abermals
zuſammenfallen, und alſo jenſeits G wieder imaginaͤr wer⸗
den. Eine ſolche Curve kann alſo aus zwey oder mehrern von

einander abgeſonde ten Theilen, MBD BM, FPm Hm be⸗-
ſtehen, indeß muß man dieſe Theile zuſammengenommen
gleichwohl als eine einzige continuirliche oder regulaͤre
krumme Linie betrachten, weil ſie alle aus einer und der⸗
ſelben Funktion entipringen. Es haben alſo dergleichen
Curven die Eigenſchaft, daß die auf ihrer Axe in den
Punkten derſelben aufgerichteten ſenkrechten inien M M die

Cur⸗

die
wn
l
oͤder
ichtete
vor⸗
als 0
da⸗
Wi⸗
n,We
Nde
. Ric⸗

ie und
ſtwi⸗
hin⸗
kann
dal⸗

wwate⸗
rnußs
ver⸗
don

Von den nummen linien uͤberhaupt. 15

Curvben entweder nirgends oder in zweyen Punkten ſchnei⸗

den, wofern nicht anders beyde Durchſchnittspunkte zu⸗
ſammfallen, ſo wie, wenn die Applicaten durch die Punktte
D, F, H, oder I gelegt werden.

Wenn y eine dreyfoͤrmige Funktion von x iſt, oder y
durch die Gleichung y“ — P y2 † Qy — R= o beſtimmt
wird, ſo daß P, Q und R einfoͤrmige Funktionen von x be⸗
deuten: ſo hat die Applicate y fuͤr jeden Werth von X drey
Werthe, und dieſe ſind entweder alle drey reell, oder es
iſt ſolches nur der eine davon, und die beyden andern ſind
imaginaͤr. Aus dieſem Grunde ſchneiden daher alle Appli⸗
caten die Curve entweder in drey Punkten oder nur in einem,

es muͤßte denn ſeyn, daß zwey oder auch wohl alle drey

Durchſchnittspunkte in einen zuſammenfielen. Da alſo zu
jeder Abſciſſe zum wenigſten eine reelle Applicate gehoͤrt,

ſo muß ſich die Curve nothwendig auf beyden Seiten der

Axe ins Unendliche erſtrecken. Es gehen daher dieſe Cur⸗
ven entweder in einem einzigen continuirlichen Zuge fort,

wie die Curve Fig. 4, oder ſie beſtehen aus zwey oder mehr

von einander abgeſonderten Theilen, wie die Fig. 5, in⸗
deß muß man im letztern Falle alle dieſe Theile nur als eine
und dieſelbe continuirliche Curve betrachten.

Wenn y eine vierfoͤrmige Funktion von x iſt, oder y
durch die Gleichung y4 — Py3 † Qyz — Ry † S = o be⸗
ſtimmt wird, ſo daß P, Q, R und s einfoͤrmige Funktionen
von x bedeuten: ſo gehoͤren zu jedem beſtimmten x entwe⸗
der vier, oder zwey, oder gar keine reelle Applicaten. Wenn
daher eine Curve aus einer ſolchen vierfoͤrmigen Funktion
ent⸗

16 Zweytes Buch. Erſtes Capitel. 1

entſpringt, ſo wird ſie von den Applieaten entweder in vier,
oder in zwey Punkten, oder gar nicht geſchnitten. Alle dieſe
Faͤlle erblickt man in der 6ten Figur, wo aber die Punkte
I und o, wo zwey Durchſchnittspunkte zuſammenfallen,
von den uͤbrigen unterſchieden werden muͤſſen. Eine ſolche
Curve hat daher entweder gar keine, oder ſie hat zwey, oder
vier ins Unendliche ſich erſtreckende Schenkel. Im erſten Falle,
wo die Schenkel der Curve auf keiner Seite ohne Ende
fortlaufen, iſt dieſelbe, ſo wie in der Figur, von allen
Seiten geſchloſſen, und begrenzt einen endlichen Raum.
Und hieraus laͤßt ſich nunmehr die Natur der krummen Li⸗

nien, die aus vielfoͤrmigen Funktionen uͤberhaupt entſprin⸗

gen, beurtheilen.

§K. 21.

Iſt nemlich y irgend eine vielförmige Funktion, oder
wird y durch eine Gleichung beſtimmt, in welcher n der

Exponent der hoͤchſten Poteſtaͤt von y iſt: ſo iſt die Zahl der

reellen Werthe von y entweder n, oder n — 2, oder n — 4,
oder n — 6 ꝛc., und in eben ſo viel Punkten ſchneiden die
Applicaten die Curve. Wenn alſo eine Applicate die Cur⸗
ve in m Punkten ſchneidet, ſo ſchneiden alle uͤbrige Appli⸗
caten eben dieſe Curve in ſo viel Punk ten, daß ihre Zahl
von m immer um eine gerade Zahl unterſchieden iſt, und es
kann daher die Curve von keiner Applicate in m † I, oder
m — I, oder m 3, Punkten ꝛc. geſchnitten werden. Mit
andern Worten: Iſt die Zahl der D Durchſchnittspunkte der
einen Applicate und der Curode eine gerade oder eine unge⸗
rade Zahl, ſo ſchneiden auch alle uͤbrige Applicaten die
Curve entweder in einer geraden oder in einer ungeraden
Anzahl von Punkten.

§. 22.

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D
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Von den krummen linien uͤberhaupt. 17

§. 22.

Wenn alſo eine Applicate die Curve in einer ungeraden
Anzahl von Punkten ſchneidet, ſo iſt es unmoͤglich, daß
irgend eine andere Applicate die Curve nirgends treffe. In
dieſem Falle muß alſo die Curve auf beyden Seiten zum
wenigſten einen ins Unendliche ſich erſtreckenden Schenkel
haben: und wenn auf der einen oder der andern Seite
mehrere Schenkel ohne Ende fortlaufen, ſo muß ihre An⸗

zahl eine ungerade Zahl ſeyn, weil die Zahl der Durch⸗

ſchnittspunkte nirgends eine gerade Zahl ſeyn kann. Zaͤhlt
man alſo die ohne Ende fortlaufenden Schenkel an beyden
Seiten zuſammen, ſo wird ihre Zahl allemal eine gerade

Zahl werden. Eben dieſes findet ſtatt, wenn die Applica⸗

ten die Curve in einer geraden Anzahl von Punkten ſchnei⸗

den; denn alsdann ſind auf jeder Seite entweder gar keine,

oder zwey, oder vier ꝛc. ohne Ende fortlaufende Schenkel,
und es muß daher die Anzahl aller nothwendig eine gerade
Zahl ſeyn. Auf dieſe Art haben wir bereits einige merk⸗
wuͤrdige Eigenſchaften der continuirlichen und regulaͤren
krummen Linien gefunden, wodurch man in den Stand ge⸗
ſetzt iſt, dieſelben von den diſcontinuirlichen und irregulaͤ⸗
ren zu unterſcheiden.

EulersEinl.in d. Anal. d. Unendl II. B. B Zwey⸗

Zweytes Capitel.

Von der Veraͤnderung der Coordinaten.

9. 23.

So wie man eine, durch eine Gleichung zwiſchen den
Coordinaten und y, wovon jenes die Abſciſſen und dieſes

die Applicaten bedeutet, gegebene Curve uͤber der Axe RS

(Fig. 2.) beſchreiben kann, wenn man in dieſer Axe den An⸗
fangspunkt der Abſciſſen A nach Belieben annimmt: ſo

kann man auch umgekehrt jede bereits beſchriebene Curve

durch eine Gleichung zwiſchen den Coordinaten ausdrucken.

Ob aber gleich in dieſem Falle die Curve ſelbſt gegeben iſt,

ſo bleiben doch zwey Stuͤcke unſerer Willkuͤhr uͤberlaſſen,
nemlich die Lage der Axe RS, und der Anfangspunkt der
Abſeiſſen A. Da nun dieſe Dinge auf unzaͤhlige Arten ver⸗
aͤndert werden koͤnnen, ſo laſſen ſich auch fuͤr eine und die⸗
ſelbe Curve unzaͤhlige Gleichungen finden, und man darf

daher nicht ſogleich von der Verſchiedenheit der Gleichun⸗

gen auf die Verſchiedenheit der durch ſie ausgedruckten Cur⸗

ven ſchließen, wenn gleich umgekehrt verſchiedene Curven

allemal verſchiedene Gleichungen geben.

Ob alſo gleich durch Veraͤnderung der Axe und des An⸗

fangspunktes der Abſciſſen unzaͤhlige Gleichungen, die aber
alle die Natur einer und derſelben Curve ausdrucken, ent⸗

ſtehen: .

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daß
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Coort

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An⸗
ober
en⸗

Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 19

ſtehen: ſo ſind doch alle dieſe Gleichungen ſo beſchaffen,
daß man aus jeder von ihnen alle uͤbrige abzuleiten
im Stande iſt. Iſt nemlich eine Gleichung zwiſchen den
Coordinaten bekannt, ſo kennt man dadurch auch die Curve;
kennt man aber dieſe, ſo kann man auch, wenn man ir⸗
gend eine gerade Linie zur Axe, und irgend einen Punkt

darin zum Anfangspunkte der Abſciſſen annimmt, die Glei⸗
chung zwiſchen den rechtwinkligen Coordinaten finden. Es
ſoll alſo in dieſem Capitel die Art und Weiſe gelehret wer⸗

den, wie man aus einer fuͤr eine Curve gegebenen Glei⸗
chung eine andere Gleichung finden kann, welche die Natur
eben dieſer Curve fuͤr jede andere Axe und fuͤr jeden andern
Anfangspunkt der Abſeiſſen ausdruckt. Auf dieſe Art wer⸗
den wir alle Gleichungen kennen lernen, welche die Na⸗
tur einer und derſelben Curve darſtellen, und dadurch in

den Stand geſetzt werden, die Verſchiedenheit der krum⸗

men Linien aus der Verſchiedenheit ihrer Gleichungen leich⸗
ter zu beurtheilen.

§. 25.

Es ſey alſo eine Gleichung zwiſchen und y gegeben,
aus welcher, wenn man Fig. 7. die gerade Linie RS zur
Axe, und den Punkt A zum Anfangspunkte der Abſciſſen an⸗

nimmt, und x die Abſciſſe A P, ſo wie y die Applicate P M
bedeuten laͤßt, die krumme Linie C B M entſpringe, und folg⸗

lich die Natur dieſer krummen Linie durch die gegebene
Gleichung ausgedruckt werde. Behaͤlt man hier zuvoͤrderſt
die Axe bey, nimmt aber in derſelben einen andern Punkt
D zum Anfangspunkte der Abſeiſſen an, ſo daß nunmehr zu
dem Punkte der Curve M die Abſciſſe D P =: t gehoͤret, die

Applicate MP = y aber dieſelbe bleibt: ſo laͤßt ſich auf fol⸗

gende Art eine Gleichung zwiſchen t und y finden, welche
B2 eben⸗

—

20 Zweytes Buch. Zweytes Capitel.
ebenfalls die Natur der Curve CBM ausdruckt. Man ſetzet an
AD = f, wodurch denn, da A D nach der Linken zu liegt, luls
DP=t=f† X, und folglich X = t — f wird, und bringt
darauf dieſen Werth von * in die zwiſchen X und y gege⸗ nech
bene Gleichung. Da nun die Groͤße von AD = f unſerer Gune
Willkuͤhr uͤberlaſſen bleibt, ſo erhaͤlt man ſchon auf dieſem— parcl
Wege unzaͤhlige Gl eichungen „die alle eben dieſelbe kerumme ſaſt
Linie ausdrucken. Eeit
H. 26. dob⸗
Wenn die Curde die Axe R S in irgend einem Punkte,
z. B. in C, ſchneidet, ſo erhaͤlt man, wenn man dieſen .
EE
Punkr C zum Anfangspunkte der Abſciſſen annimmt, eine
Gleichung, welche, wenn die Abſciſſe C P =o iſt, auch die Ap⸗
plicate P M= o giebt, vorausgeſetzt, daß dem Punkte der M
Axe Cnicht mehr als eine Applicate zugehoͤrt. Den Punkt C ,
aber findet man, er mag nun der einzige Durchſchnittspunkt dil
ſeyn, oder es mag deren mehrere geben, aus der zuerſt ge⸗ menn
gebenen Gleichung zwiſchen « und y, wenn man y= o ſetzt,
und dann daraus den Werth oder die Werthe von X ents:—
wickelt. So wie nemlich da, wo die Curve die Axe ſchnei⸗ R
det, y = o wird, ſo muß man auch, wenn man »„= o dſſo u
ſetzt, aus der Gleichung alle die Abſeiſſen oder Werthe von den ie
2 finden, wo die Curve die Axe trifft. in er
8. 27. Geie
Es wird alſo der Anfangspunkt der Abſeiſſen, wenn ee
man die Axe beybehaͤlt, veraͤndert, wenn man die Abſciſſe ickſ
x um eine gegebene Groͤße vermehrt oder vermindert, d h. hhin
wenn man t — f fuͤr X ſetzt; und dabey iſt eine poſitive naten
Groͤße, wenn man den neuen Anfangspunkt der Abſciſſen cun
D auf der linken Seite von A annimmt, und eine negative, ie
wenn

nſttet
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dyp geg⸗
F unſeret
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wean

Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 21

wenn man D auf der rechten Seite eben dieſes Punktes fal⸗
len laͤßt.
Nun wollen wir annehmen, daß die Curve L B M Fig. 8.
nach einer zwiſchen A P= xX, und P M = „ gegebenen Glei⸗
Ohung beſchrieben ſey, und daß dieſelbe e eine andere der erſten
parallele Axe rs, und darin D zum Anfangspunkte der Ab⸗
ſeiſſen erhalten ſolle. Zugleich falle die Axe rs auf die
Seite der negativen Applicaten, und zwar ſo, daß ihre

Entfernung von der erſten A F = g, und die Entfernung

DF = AG = f ſey. Setzt man alſo die Abſceiſſe, die auf
dieſer neuen Axe zu dem Punkte der Curve M gehoͤrt, oder
DQ= t, und die Applicate Q M = u, ſo wird t = D F
† F Q= f † x, und u = PM†PQ= g r††y, folglich
. X= t — f; und y= u — g.
Wenn man daher in der gegebenen Gleichung allenthalben

1— f fuͤr xX, und u — g fuͤr y ſetzt, ſo bekommt man eine

Gleichung zwiſchen t und u, welche die Natur eben derſel⸗
ben Curve ausdruckt.

§. 28.
Da die Groͤßen f und g willkuͤhrlich angenommen, und
alſo unendlich veraͤndert werden koͤnnen, ſo kann man auf
dem jetzt beſchriebenen Wege unzaͤhligemal mehr Gleichun⸗
gen erhalten, als auf dem vorhin §. 25.] erwaͤhnten; aber
alle dieſe Gleichungen drucken demohngeachtet nicht mehr
als eine krumme Linie aus. Wenn alſo zwey Gleichungen,
die eine zwiſchen X und y, und die andere zwiſchen t und u,
bloß ſo von einander unterſchieden ſind, daß man jede von

ihnen durch Vergroͤßerung oder Verkleinerung der Coordi⸗

naten in die andere verwandeln kann, ſo geben dieſe Glei⸗
chungen bey aller ihrer Verſchiedenheit dennoch nicht mehr
als eine Curve. Es laſſen ſich daher ſehr leicht unzählige
B 3 von

22 Zweytes Buch. Zweytes Capitel.

von einander verſchiedene Gleichungen machen, die bey
aller ihrer Abweichung von einander doch nicht mehr als
eine Curve ausdrucken.

§. 29.
Es ſey nunmehr Fig. 9. die neue Axe rs auf der erſten
RS ſenkrecht, und ſchneide dieſelbe in dem Anfangspunkte
der Abſceiſſen A, ſo daß alſo beyde Axen den Anfangspunkt
der Abſeiſſen mit einander gemein haben. Da man fuͤr die
Axe RsS eine die Curve LM ausdruckende Gleichung zwi⸗
ſchen der Abſciſſe A P= x, und der Applicate P M = y hat,
ſo ziehe man aus dem Punkte der Curve M auf die neue
Axe rs die Linie M Q ſenkrecht, und ſetze die neue Abſciſſe
A Q, und die neue Applicate Q M= y, wo denn, weil
A PM Q ein Rechteck iſt, t = y, und u = X wird. Man
kann alſo aus der gegebenen Gleichung zwiſchen X und y

eine neue Gleichung zwiſchen t und u machen, wenn man

u fuͤr x, und t fuͤr y ſetzt. Hier wird nun die erſte Abſeiſſe

X in die Applicate QM= u, und die Applicate y in die

Abſciſſe A Q = t verwandelt, und es geht daher in dem
angenommenen Falle bey Annehmung einer neuen Axe wei⸗
ter keine Veraͤnderung vor, als daß die Coordinaten mit

einander verwechſelt werden. Aus dieſem Grunde nennt

man daher auch die Abſciſſen und Applicaten Coordinaten,
ohne dabey zu unterſcheiden, welches die Abſeiſſe und wel⸗

ches die Applicate ſey. Denn wenn eine Gleichung zwiſchen

zwey Coordinaten und y gegebengiſt, ſo erhaͤlt man
eine und dieſelbe Curve, man mag x oder y fuͤr die Ab⸗
ſeiſſe nehmen.

Wir haben hier angenommen, daß das Stuͤck As der
neuen Axe rs die poſitiven Abſciſfen enthalte, und daß die

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Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 23
poſitiven Applicaten auf die rechte Seite der Axe rs fallen;

aber da dieſes unſerer Willkuͤhr uͤberlaſſen iſt, ſo kann man
damit nach Gefallen aͤndern. Beſtimmt man nemlich das

Stuͤck Ar fuͤr die poſitiven Abſciſſen, ſo iſt A Q = — t, und

dann muß man in der Gieichung zwiſchen X und y fuͤr y
ſetzen — t. Beſtimmt man ferner die rechte Seite der Axe
xs fuͤr die negativen Applicaten, ſo wird Q M = — u, und
man muß alsdann — u fuͤr x ſetzen. Hieraus erhellet, daß
die Curve dieſelbe bleibt, wenn man gleich in der Gleichung
zwiſchen den Coordinaten eine oder beyde Coordinaten ne⸗
gativ annimmt; und dies hat man ſich fuͤr alle Veraͤnde⸗
rungen der Gleichungen zu merken.

Es ſchneide ferner Fig. 10. die neue Axe rs die erſte

RS unter einem beliebigen Winkel S As, und zwar in dem

Anfangspunkte der Abſciſſen A, ſo daß dieſer Punkt in bey⸗
den Axen der Anfangspunkt der Abſciſſen ſey. Ferner ſey
fuͤr die Axe RS eine die Curve LM ausdruckende Gleichung
zwiſchen der Abſciſſe A P =xX, und der Applicate ?b M =y
gegeben, und daraus die Gleichung fuͤr eben dieſelbe Cur⸗
ve fuͤr die Axe rs zu finden. Oder es ſey aus dem Punkte
der Curve M auf die neue Axe die ſenkrechte Linie M Q her⸗
abgefaͤllt, und die Gleichung zwiſchen der neuen Abſeiſſe
A O= t, und der Applicate M Q= u zu finden. Setzt man
den Winkel SAS=q, ſeinen Sinus = m, ſeinen Coſinus
= n, und den Radius = 1, ſo wirdmm †nn = I. Zieht
man ferner aus b die Linien P p und Pq ſenkrecht auf die
neuen Coordinaten, ſo wird, weil AP=, iſt.
Pp= x. ſin. , und A p=., coſ. G
und, weil P MQ= PAQ=q, und PM =y iſt,
gꝗ Qpæ r. ſin. q; und MAq= V. coſ- g9. H

24 Zwepyes Buch. Zweytes Capitel.

Hieraus fließet .
AQ= t =Ap – Qp = x. coſ. q — y. ſin. q; und
QMS=u= Mq † P p = x. ſin. q † y. coſ. q.

4. 32.
Da aber ſin. q = m, und coſ. q n iſt, ſo wird ferner
t=nXx— my; und u=mX'”Ny; und folglich
=nt † mu= nnx† mmx, und
L ySnu=—mt =nnyT mmy.
Man ſindet alſo die geſuchte Gleichung zwiſchen t und u,
wenn man in der Gleichung zwiſchen x und y allenthalben
nt ᷣ†¶ mu fuͤr x, und nu — mt füry ſchreibt, vorausgeſetzt,
daß der Theil As der Axe die poſitiven Abſeiſſen enthalte,
und die poſitiven Applicaten auf die Seite von QM fallen.
Auch haben wir hier angenommen, daß der Winkel SAs
auf der Seite der negativen Applicaten liege; fiele As uͤber
AS, ſo muͤßte man in der Rechnung den Winkel S A s=
als negativ betrachten, und. daher auch ſeinen Sinus m ne⸗
gativ nehmen.

Endlich ſey Fig. 11. die Lage der neuen Axe ohne alle
weitere Bedingung angenommen, und ſo auch der Anfangs⸗
punkt der Abſciſſen D in derſelben. Ferner ſey RS die erſte

Axe, wobey man eine Gleichung fuͤr die Curve L. M. zwi⸗
ſchen der Abſeiſſe A P = x, und der Applicate P M = y ha⸗
be, und daraus eine Gleichung zwiſchen andern Coordi⸗
naten t und u, die ſich auf die neue Axe rs beziehen, zu

finden. Man faͤlle aus irgend einem Punkte der Curve M
die Linie M Q ſenkrecht auf rs, und ſetze die Abſeiſſe D Q =t,
und die Applicate Q M = u. Ferner ziehe man, um die

Gleichung zwiſchen dieſen Coordinaten zu ſinden, aus dem
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neuen

Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 25

neuen Anfangspunkte der Abſciſſen D die Linie D G auf die

eree Axe RS ſenfrecht, und ſetze A G = f, und D G = g.
Dann lege man durch d die gerade Linie D O der erſten
Axc RS parallel, und laſſe ſie von der verlaͤngerten Appli⸗
cate P M in O ſchneiden, wodurch man MO = y † g, und

DO= GP = x f† f erhaͤlt. Endlich ſetze man den Winkel

ODQ= q, ſeinen Sinus = m, den Coſinus = n, und den
Radius ein fuͤr allemal = 1, ſo daß a lſo wieder
m m † nne= 1 ſey.

§. 34.
Zieht man nunmehr aus dem Punkte O ſowohl auf die
neue Axe D Q als auf die Applicate M Q die Linien Op und

O q ſenkrecht, ſo wird, da O MQà O DCQ und DO = 2 †ft,

und MO=yg iſt,
Op= Qq= ( †Tf). ſin. q= mXT mf,
und Dp = (Xx†f) coſ. q S= nXTnf;
Oꝗq = Qp= (y T) ſin. q = my † mg,
und Mq = (y†g) coſ. q = ny †ng.
Hieraus fließen folgende Beſtimmungen der neuen Coordi⸗
naten t und u aus X und y:
DQ= t =nxnf—my— mg, und
QMS=Su=mxYTmfrny ?† ng,
Da ſich aber daraus, weil mmnn = 1 iſt,

nt? mu=X† f, und nu— mt=ypg
ergiebt, ſo bekommt man hieraus

XS=mufrnt-—f; und y= n u — mt— g.

Bringt man daher dieſe Werthe von x und y in die Glei⸗

chung zwiſchen X und „, ſo findet man die Gleichung zwi⸗
ſchen t und u, welche die Natur eben dieſer Curve ausdruckt.

B 5 §. 35.

26 Zewweytes Buch. Zweytes Capitel.
6. 35. die
Dda ſich keine Are rs denken laͤßt, die mit der Curve in è
derſelben Ebene laͤge, und in dieſer letzten Beſtimmung nicht
enthalten waͤre; ſo giebt es auch keine Gleichung fuͤr die
Curve LM zwiſchen rechtwinkligen Coordinaten, die nicht
in der zwiſchen t und u gefundenen Gleichung begriffen ſeyn in
ſollte. Ob alſo gleich die Groͤßen f und g nebſt dem Win⸗
kel q, wovon mund n abhangen, auf unzaͤhlige Arten ver⸗
aͤndert werden koͤnnen, ſo drucken doch alle Gleichungen,
die in der zwiſchen t und u auf die beſchriebene Art gefun⸗ ðB
denenen Gleichung enthalten ſind, die Natur einer und der⸗ i
ſelben Curve aus. Man pflegt daher dieſe Gleichung zwi⸗ ner
ſchen t und u die allgemeine Gleichung fuͤr die Curve L. M. .
zu nennen, weil dieſelbe alle Gleichungen, die zu eben die⸗ ſon
ſer krummen Linie gehoͤren, ohne Ausnahme in ſich faßt. iImr
. 356. ͤ
Es iſt ſchon oben [§. 23.] angemerkt worden, daß man iiin
nicht allemal aus der Verſchiedenheit zweyer oder mehrerer 1n,
zwiſchen Coordinaten gegebenen Gleichungen auf eine Ver⸗
ſchiedenheit unter den durch ſie ausgedruckten Curven ſchlieſ⸗ “”M
ſen koͤnne: jetzt ſind wir im Stande, ſolches genauer zu be⸗
ſtimmen. Sind nemlich zwey Gleichungen, die eine zwie.˖’ aa
ſchen x und y, und die andere zwiſchen t und u gegeben, ſo WMWð,q
ſetze man in der erſten X¶ = mu †t f, und y= nu —
mt-=g, und laſſe dabey m und n ſo von einander abhan⸗ Fer
gen, daß mm †nn = I1 ſey. Hierauf unterſuche man, ob mun
die andere Gleichung zwiſchen t und u in der dadurch ge⸗ gei
fundenen Gleichung enthalten ſey, oder ob die Buchſtaben— ir
f, g, m und n ſo beſtimmt werden koͤnnen, daß man dar⸗
aus die gedachte andere Gleichung zwiſchen t und u erhalte. .
Iſt dieſes moͤglich, ſo drucken beyde Gl eichungen eine und
die⸗

urden
ng nic
für die
e nicht
en ſeyn
Win⸗
en ver⸗
gmeen,
t gefmn⸗
nd der⸗
wi⸗
de L
ben We⸗

eh.

Fman
hrerer
Ver⸗
nube
mi
n ſo
au —
bhan⸗
,
69l
aben
da

—2
—

di⸗

Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 2

dieſelbe Curve aus, wo nicht, ſo gehoͤren ſie zu derſchiede⸗

nen krummen Linien.

Exempel.

Auf dieſe Art wird erhellen. daß folgende zwey Glei⸗

chungen

yy — ax = o

und

16uu — 24tu† tt — 55aufIoat = o

einer und derſelben krummen Linie gehoͤren.
man in der erſten Gleichung
X = mu †nt — f; und„ = nu — mt — g:
ſo verwandelt ſich dieſelbe in
nnuu — zmntu mmtt — zngu † 2 mgt † gg
— mau — nat † af

bey ihrer großen Verſchiedenheit von einander dennoch zu

Denn ſetzt

— 0,

Um nun zu ſinden, ob die zweyte von den gegebenen Glei⸗

chungen hierin enthalten ſey, multiplicire man dieſelbe mit
nn, und die gefundene mit 16, damit die erſten Glieder von
Hierdurch bekommt ma

beyden gleich werden.

und

Iénnuu— 24nntu † 9nntt — Soõnnau † Ionnat = o

I6nnuu — 32 mntu † 16 matt — 32ngu † 32 mgt † 16gg
— 16mau — lIénat † 16 aaf

Ferner unterſuche man, wie viel Glieder durch Beſtimen

mung der willkuͤhrlichen Groͤßen f, g, m und n einander
gleich gemacht werden koͤnnen.

voͤrderſt

Hier hat man nun zu⸗

2Ann = 32 mn, und nn = 16mm
und aus jeder dieſer Gleichung folgt

Zn =

= Am.

Weil

28 Zweytes Buch. Zweytes Capitel.

Weil aber um = 1 — nn iſt, ſo ergiebt ſich aus der

zweyten außerdem
25nn = 16, und alſo

n = 4, nnd n = 4
5 5

und es ſtimmen daher ſchon drey Glieder mit einander
uͤberein. Das vierte und fuͤnfte Glied geben
Soönna = zzng † 16ma; und 1onna = z2 mg — 16n a
und hier kommt es nun darauf an, zu unter ſuchen, ob bey⸗
de Gleichungen einerley Werth fuͤr g geben. Nun fließt
aus der erſten

— — — — —

6em em 3 3
Bepyde Werthe ſtimmen alſo mit einander uͤberein, und ſo
ſind ſchon fuͤnf Glieder einander gleich. Es iſt folglich wei⸗
ter nichts uͤbrig, als daß g g † af = o ſey; welches da
f noch nicht beſtimmt iſt, ohne Schwierigkeit erhalten wird,
weil man nur f = — a zu ſetzen braucht. Es iſt alſo ge⸗
zeigt worden, daß die beyden gegebenen Gleichungen zu
einer und derſelben krummen Linie gehoͤren.

Ob indeß gleich ſehr von einander verſchiedene Gleichun⸗
gen eine und dieſelbe Curve ausdrucken koͤnnen, ſo giebt es doch
auch Faͤlle, wo die Verſchiedenheit der Gleichungen ein ſiche⸗
res Kennzeichen der Verſchiedenheit der durch ſie ausgedruck⸗
ten Curven iſt. Dies iſt allemal, wenn die gegebenen Gleichun⸗
gen zu verſchiedenen: Ordnungen oder Graden gehoͤren, d h.

wenn die hoͤchſten Dimenſionen der Coordinaten * und y, tund
U

uber
Gli
nenm
gehi
venn.
ſegt
Sde.
dn
ade

2—n

Und d
geher
Ver⸗
Nonn

Wde

inandee

-0n
ddey⸗
un ſich

Von der Veruaͤnderung der Coordinaten. 29

u verſchieden ſind, denn alsdann ſind die durch die gedachten
Gleichungen ausgedruckten Curven nie dieſelben. Es mag
nemlich eine Gleichung zwiſchen X und zu einem Grade
gehoͤren, zu was fuͤr einem ſie will, ſo erhaͤlt man allemal,
wenn man darin X= munt—f, und y= n u — mt=– g
ſetzt, eine Gleichung zwiſchen t und u von eben demſelben
Grade. Wenn alſo eine andere Gleichung zwiſchen t und u

zu einem andern Grade gehoͤrt, ſo druckt ſie auch eine

andete Curve aus.

§. 38.
Wenn alſo zwey Gleichungen, die eine zwiſchen x und , v,
und die andere zwiſchen t und u, nicht zu einerley Graden
ehoͤren, ſo ſchließt man daraus ſogleich mit Recht auf die
Verſchiedenheit der durch ſie ausgedruckten Curven. Nur

dann alſo, wenn beyde Gleichungen zu einem und demſel⸗

ben Grade gehoͤren, kann man ungewiß ſeyn, und in die⸗
ſem Falle hat man alſo auch nur noͤthig, die vorhin be⸗
ſchriebene Unterſuchung anzuſtellen. Da indeß der erklaͤrte
Weg ſehr weitlaͤuftig und beſchwerlich wird, wenn die Glei⸗
chungen zu einem hoͤhern Grade gehoͤren, ſo werden unten
andere Regeln gegeben werden, wornach man die Verſchie⸗
denheit der Curven auf eine leichtere Art zu beurtheiler im
Stande ſeyn wird.

6. 39.

Die Vorſchriften, die bisher zur Erfindung einer allge⸗
meinen Gleichung fuͤr die krummen Linien gegeben worden

ſind, laſſen ſich auch bey der geraden Linie gebrauchen.

Denn iſt Fig. 12 anſtatt einer Curve die gerade Linie LM,
welche der Axe RS parallel ſeyn ſoll, gegeben, ſo hat die
Applicate ?P M, man mag den Anfangspunkt der Abſeiſſen
an⸗

39 Zweytes Buch. Zweytes Caditel.

annehmen, wo man will, immer dieſelbe Groͤße, oder es
iſt allenthalben y = a, und dieſe Gleichung iſt alſo die Glei⸗
chung einer mit der Axe parallel gezogenen geraden Linie.

Um nun die allgemeine Gleichung fuͤr die gerade Linie, wo⸗

bey die Axe rs jede Lage haben kann, zu ſinden, ſetze man

DG= g; ſin. ODS= m, coſ. ODsS= n, desgleichen

die Abſciſſe O Q = t, und die Applicate M Q = u.
Da alſo “ .
“”MVMUd y= nu — mt — g,
iſt, ſo wird .
nu — mt — g — a = o
und dieſes iſt eine allgemeine Gleichung fuͤr die gerade
Linie. Multiplicirt man dieſelbe durch die beſtaͤndige
Groͤße k, und ſetzt man dabey n k = a, mk = — 68,
und (g † a) K = — b, ſo erhaͤlt man daraus zur allgemei⸗
nen Gieichung fuͤr die gerade Linie

u † 6&t† b= o.

Da dieſe Gleichung die allgemeine Gleichung des erſten
Grades zwiſchen t und u iſt, ſo erhellet hieraus, daß jede
Gleichung zwiſchen zwey Coordinaten, die zum erſten Grade
gehoͤrt, feine krumme, ſondern eine gerade Linie ausdrucke.

—

§. 40.

So oft ſich daher eine Gleichung zwiſchen den Coordi⸗
naten x und y von der Form

x † 6y — a = o

ergiebt, ſo hat man dadurch allemal eine gerade Linie,

deren Lage gegen die Axe RS Fig. 13. auf folgende Art be⸗
ſtimmt werden kann. Man ſetzet zuvoͤrderſt „ = o, und
findet dadurch den Punkt C in der Axe, wo die gerade
Linie, die e durch die Gleichung ausgedruckt wird, die Axe

ſchnei⸗

vom

ſch

dee
mnan e
gerlhen

linn

gebener
Gagens
Wie
Deye

Hra

lechriet

Ur, Ne

er ſte

189
,

ruckt
I

ein Ge⸗

N 8
en linn.
nit, wo⸗
ſtenmn
Lleichn
CS= .

elſen
daß ſede
nrade
duce.

Gordi⸗

e e,

u be⸗
, und
gerade
die
Ge⸗

=SͦLß
1

Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 31
ſchneidet, indem alsdann A C = — wird. derner ſetzt n man

X = 0, wodurch n man y = 5 erhaͤlt, welches der Werth'

der Applicate in dem Anfangspunkte der Abſceiſſen iſt. Da
man auf dieſe Art zwey Punkte hat, die in der geſuchten
geraden Linie liegen, ſo iſt dadurch die ganze gerade Linie
beſtimmt, und es entſpricht folglich die Linie LM der ge⸗
gebenen Gleichung. Denn ſetzt man eine nach Belieben
angenommene Abſciſſe A P = x, und die zu ihr gehoͤrige
Applicate ?P M = y, ſo hat man wegen der Aehnlichkeit der
Dreyecke CPM und CA B
CP: PM = CA: AB; d. h.

A X — a à
Hieraus aber fiehr⸗
4 2 * XxX
6 2

X † βy = a
und dieſes iſt die gegebene Gleichung.

8. 41I. L
Wenn entweder = oder s =o iſt, ſo findet zwar die
beſchriebene Conſtruction nicht ſtatt, indeß ſind dieſe Faͤlle
an ſich ſehr leicht. Denn iſt == o, und y = a, ſo iſt
klar, daß dieſe Gleichung eine gerade Linie ausdruckt, die
der Axe parallel, und von ihr um a entfernt iſt; iſt aber
= o, oder y = o, ſo faͤllt die durch die Gleichung aus⸗
gedruckte Linie mit der Axe zuſammen. Wird hingegen
6⁶ = , und X = a, ſo iſt die Linie, welche der Gleichung

ein Genuͤge thut, auf der Arxe ſenkrecht, und zwar in dem

vom Anfangspunkte der Abſciſſen um a entfernten Punkte.

Irn

.

32 Zweytes Buch. Zweytes Capitel.

In dieſem Falle kommt allen Applicaten nicht mehr als
eine Abſeiſſe zu, ſo daß die Abſciſſe aufhoͤrt, eine veraͤnder⸗
liche Groͤße zu ſeyn. Und hieraus erhellet zur Genuͤge,

wie die geraden Linien durch Gleichungen zwiſchen recht⸗

winkligen Coordinaten ausgedruckt werden koͤnnen.

§. 42.

Bisher haben wir angenommen, daß die Coordinaten,
durch welche die Natur der Curve beſtimmt wird, auf ein⸗
ander ſenkrecht ſeyen; es wird aber auch die Curve aus der
gegebenen Gleichung auf eine aͤhnliche Art beſtimmt, wenn
die Applicaten gegen die Axe unter einem ſchiefen Winkel

geneigt ſind. Es kann daher die NRatur einer Curve auch

durch eine Gleichung zwiſchen ſchiefwinkligen Coordinaten

ausgedruckt werden, und auch dieſe Gleichungen laſſen ſich
durch Veraͤnderung der Axe und des Anfangspunktes der
Abſciſſen auf unzaͤhlige Arten veraͤndern, ohne daß die
Curve ſelbſt dabey die geringſte Veraͤnderung leidet, ſo

daß man auf dieſe Weiſe auch fuͤr jeden ſchiefen Win⸗
kel der Coordinaten eine allgemeine Gleichung fuͤr die Curve

zu finden im Stande iſt. Wenn man aber dieſen ſchiefen

Winkel immer anders und anders annimmt, ſo findet man
eine viel weiter ſich erſtreckende Gleichung fuͤr die Curve,

welche wir die allgemeinſte Gleichung nennen wollen, weil

ſie die Ratur der Curve nicht bloß fuͤr jede Axe und fuͤr
jeden Anfangspunkt der Abſciſſen, ſondern auch fuͤr jeden
Coordinaten⸗Winkel ausdruckt. Aus dieſer allgemeinſten

Gleichung erhaͤlt man die allgemeine, wenn man den da⸗

bey zum Grunde liegenden Coordinaten⸗Winkel in einen
rechten Winkel verwandelt.

ſ. 43.

G
ſchen n
PI=
nit Be
Abeſen
deue
ſeigſe
A
herab⸗
deigle
niue,
cke d

ür ass
beliſter⸗
Genid

den ter

Wocen,
d, G⸗
e ans N
mnt, venn
n WVintel
Lutde crch
oordinoten
loſen ic
luktes der
da die
ledet, ſ
eſen Vin⸗
die Curve

en ſcicta.

rhet nan
Ne Curve,
len, weil
und fr

Peminſen
den da⸗

in eigen

16

Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 33

§. 43.

Es ſey fuͤr die Curve LM Fig. 14 eine Gleichung zwi⸗
ſchen rechtwinkligen Coordinaten, nemlich APp = x, und
K„
PM = y gegeben, und es werde verlangt, daß man dafuͤr

mit Beybehaltung der Axe RS und des Anfangspunktes der
Abſciſſen A eine Gleichung zwiſchen Coordinaten ſuchen ſolle,

die unter einem gegebenen Winkel = „ gegen einander ge⸗

neigt ſeyn. Man faͤlle aus dem Punkte M die gerade Linie
MO unter dem gegebenen Winkel M QA auf die Axc RS
herab, und ſetze ſin. M QA = = ℳ, uUrd cofſ. MQA =
— ,

desgleichen AC, die neue Abſciſſe, = t, und QM, die

neue Applicate, =u. Da nun in dem rechtwinkligen Drey⸗

ecke P M Q,
= a; und — =, = .
U U U

iſt, ſo wird
u — —
E, und t= 'u T2=21†2

und umgekehrt
y =— ο u; und = t — »u.
Setzt man daher in der zwiſchen x und y gegebenen Glei⸗
chung = t — u, und y = u, ſo bekommt man die

Grichung zwiſchen den Coordinaten t und u, welche unter
dem gegebenen Winkel gegen einander geneigt ſind.

§. 44.

Iſt hingegen fuͤr die Curve L M. (Fig. 14) eine Glei⸗

chung zwiſchen den ſchiefwinkligen Coordinaten A C und
M gegeben, ſo kann man daraus ebenfalls die Gleichung
zwiſchen den rechtwinkligen Coordinaten AP und P M fuͤr
eben dieſe Curve finden. Es ſey 9 der Winkel, unter wel⸗
chem die Coordinaten A Q und M Q gegen einander geneigt

Kulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. B. C ſind,

.

34 Zweytes Buch. Zweytes Ca apitel.

ſind, und ſein Sinus = , ſo wie ſein Coſinus =; auch
fey eine Gleichung zwiſchen A Q = t, und Q M. = u ge⸗
geben. Zieht man aus M die Applicate MP auf die Axe

enkrecht, ſo wird, wenn man AP = x, und MP =
V

ſetzt,
“ .

und bringt man dal zer dieſe Werthe in die zwiſchen t und u

gegebene Gleichung, ſo erhaͤlt man daraus die Gleichung
zwiſe ſchen N und y, welche man ſuchte. ,

§. 45.

Iſt fuͤr die Curve LM Fig. 15 eine Gleichung zwiſchen

den rechtwinklichten Coordinaten AP = xX, und P M = y
gegeben, ſo findet man die elge el ſe Gleichung fuͤr eben
dieſe Curve auf fol gende A Art. Man nehme irgend eine ge⸗
rade Linie rs zur Axe, un darin D zum Anfangspunkte

der Abſeiſſen an. Ferner ſetze man den Winkel D TM,
welchen die Applicaten MT mit der Axe machen, = 9,

ſeinen Sinus = = „ und ſeinen Coſinus = = „„ ſo daß alſo
die neuen Applicaten, zwiſchen welchen die Gleichung ge⸗
ſucht wird, DT und LM ſeyn. Dann ziehe man aus D
die Linie D G auf die vorige Axe RS ſenkrecht, nehme
AG = f, D G = g, und nachdem man 50 der Axe RS

parallel gezogen, ſin. ODsS = m, und coſ. ODS = n.

Endl ich⸗ faͤlle man, wie vorhin, aus M die Linie 0 auf

die Axe r s ſenkrecht herab, und ſetze DQ= t, und QM= u;

die ſchiefwinkligen Coordinaten aber D LT = r, und T M =
Alsdann iſt zuvoͤrderſt
t = r – -s; und u = S (§. 43); und zweytens
xmu- nt — f; und„ = nu — mt — g . 36.)

Dieraus aber eſiet
X

ſegt,
Dime
algen
welch
6ndenn
Curvel
Oder de
ten⸗V
und
daher
geno

it und u
Rchang

wiſhen
A=
eine ge⸗
nnepuntte
fDTN
1,= ,,
o
gung e
n ee
, mpme
Ne N

W —

Von der Veraͤnderung der Coordinaten. 35

X = nr — (n- — m ) § — f, und
y = –— mr † (zön † 'im) s — g
und dabey iſt n- — m = coſ. A V M oder dem Coſinus

des Winkels, welchen die neuen Applicaten mit der vori⸗

gen Axe Rs einſchließen, und n † »m = ſin. AVM.
Wenn man alſo in der zwiſchen X und y gegebenen Glei⸗
chung fuͤr X und y jene Werthe ſetzt, ſo erhaͤlt man daraus
die allgemeinſte Gleichung fuͤr die Curve L. M zwiſchen den
Coordinaten r und s.

g. 46.
Da die Werthe, welche man auf dieſe Art fuͤr « und y

ſetzt, die veraͤnderlichen Groͤßen r und s nur in der erſten

Dimenſion enthalten, ſo iſt offenbar, daß die gefundene
allgemeinſte Gleichung zu eben der Ordnung gehoͤret, von
welcher die zwiſchen x und y gegebene iſt. Bey allen Ver⸗
aͤnderungen alſo, die man mit einer Gleichung fuͤr eine
Eurve vornehmen kann, indem man nach Belieben die Axe,
oder den Anfangspunkt der Abſeiſſen, oder den Coordina⸗
ten⸗Winkel anders nimmt, bleibt demohngeachtet die Ord⸗
nung oder der Grad der Gleichung unveraͤndert. Ob man
daher gleich jede zwiſchen rechtwinkligen oder ſchiefwinkli⸗

gen Coordinaten gegebene Gleichung auf unzaͤhli⸗ ge Arten ver⸗

aͤndern kann, ſo, daß ſie gleichwohl noch immer dieſelbe Curve
ausdruckt; ſo erhaͤlt man dabey doch nie eine Gleichung
weder von einem hoͤhern noch von einem niedrigern Grade.
Und hierin liegt der Grund, warum Gleichungen von ver⸗

ſchiedenen Graden, ſo aäͤhnlich ſie uͤbrigens auch einander

ſeyn moͤgen, dennoch allemal verſchiedene Curven aus⸗
drucken.

C2 Drit⸗

O s
GB ðð

Drittes Capitel.
Von der Eintheilung der algebraiſchen krummen linien
in Ordnungen.

§. 47.

Da es eine eben ſo große Verſchiedenheit unter den
krummen Linien als unter den Funktionen giebt, ſo iſt es bey
der unendlichen Menge derſelben unmoͤglich, zur Kenntniß
von ihnen zu gelangen, wofern man ſie nicht in gewiſſe
Claſſen theilt, und dadurch dem Verſtande bey ihrer Unter⸗
ſuchung einen Leitfaden an die Hand giebt und zu Huͤlfe
kommt. Zwar haben wir die krummen Linien bereits in
algebraiſche und in tranſcendente eingetheilt, allein jede
dieſer Claſſen muß wegen der unendlichen Verſchiedenheit
der Curven noch weiter zerlegt werden. Hier richten wir
indeß unſer Augenmerk bloß auf die g igebraiſchen Curven,
und wollen jetzt unterſuchen, wie dieſe am bequenſſten vom
neuen in Claſſen getheilt werden koͤnnen. Das erſte, was
dabey zu thun iſt, beſteht in der Feſtſetzung des Theilungs⸗

grundes und der Kennzeichen der darnach zu machenden

Claſſen, damit man die Curven, denen ebendieſelben Kenn⸗

zeichen zufommen, zu ebenderſelben Claſſe, und diejenigen,

bey welchen dieſe Kennzeichen verſchieden ſind, zu verſchie⸗
denen Claſſen cechnen koͤnne.

Z §. 48.

XN

die F
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Geihr
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Furk

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*

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unter den
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in geiſe
ter Mnter
hereits in
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,Clnin
ſen von
ſe, was
hekunge⸗
nicerden
ey Kenn⸗
Genigen,
erſci⸗

16

ℳ

Von der Eintheilung der krummen inien. 37

§. 48.

Die einzige Quelle der gedachten Kennzeichen ſind alſo
die Funktionen oder Gleichungen, wodurch die Netur der
krummen Linien ausgedruckt wird; indem bis jetzt kein an⸗
derer Weg bekannt iſt, der zu allen algebraiſchen krummen
Linien fuͤhrte. Es koͤnnen aber die Funktionen und die
Gleichungen zwiſchen zwey Coordinaten auf mancherley Art
eingetheilt werden, ſo wie ſolches auch im erſten Buche
(im erſten Capitel) geſchehen iſt. Zuerſt bietet ſich die Viel⸗

foͤrmigkeit der Funktionen, und zwar beym erſten Anblick

als ein ſehr guter Theilungsgrund der krummen Linien in
Claſſen dar, und darnach wuͤrden diejenigen Curven, die
aus einfoͤrmigen Funktionen entſpringen, zur erſten Claſſe,
diejenigen, deren Funktion zweyfoͤrmig iſt, zur zwey⸗
ten, und diejenigen, deren Natur durch eine dreyfoͤrmige
Funktion ausgedruckt wird, zur dritten Claſſe gehoͤren,
und ſo ferner.

H. 49.

So natuͤrlich aber auch dief ſe Eintheilung zu ſeyn ſcheint,
ſo findet man dennoch bey einer ſorgfaͤltigern Ueberlegung,
daß ſie der Natur der krummen Linien und den Eigenſchaf⸗
ten derſelben gar nicht angemeſſen iſt. Wie vielfoͤrmig
nemlich die Funktion ſeyn ſoll, auf welche eine krumme Li⸗
nie fuͤhrt, das haͤngt vorzuͤglich von der Lage der Axe ab,
die willkuͤhrlich iſt; ſo daß, wenn bey einer Axe die Appli⸗
cate eine einfoͤrmige Funktion von der Abfciſſe iſt, dieſelbe
bey einer andern Axe eine vielfoͤrmige Funktion ſeyn kann.
Es wuͤrde alſo, wenn man hiernach die Claſſen der krum⸗
men Linien feſtſetzen wollte, eine und dieſelbe krumme Linie
in verſchiedenen Claſſen vorkommen, und dies waͤre wider
den Zweck. So wuͤrde die Curve, welche durch die Glei⸗

C 3 chung

Zweytes Buch. Drittes Capitel.

chung a3y = aaXX — X4 ausgedruckt wird, zur erſten
Claſſe gehoͤren, weil die Applicate y eine einfoͤrmige Funktion
von x iſt; verwechſelte man aber die Coordinaten, oder
naͤhme man eine Axe an, die auf der vorigen ſenkrecht
ſtuͤnde, ſo bekaͤme man fuͤr eben dieſe Curve die Gleichung
yA — aayy † a3x = o, und dabey gehoͤrte denn die
Curve zur vierten Claſſe. Es kann daher die Vielfoͤrmig⸗

keit der Funktionen bey der Eintheilung derſelben i in Claſſen

keinen Theilungsgrund abgeben.

§. 50.

Eben ſo wenig laͤßt ſich dazu die Menge der Glieder der

Gleichungen, welche die Natur der Curven ausdrucken, ge⸗
brauchen. Denn wollte man die Curven, deren Gleichun⸗
gen aus zwey Gliedern beſtehen, wie ym = A X zur er⸗
ſten, die hingegen, deren Gleichungen drey Glieder ent⸗

halten, zur zweyten Claſſe ꝛc. rechnen: ſo wuͤrde auch hier⸗
bepy eine und dieſelbe Curde in mehrern Claſſen vorkommen.
So gehoͤrte die Curve in dem Exempel §. 36. deren Glei⸗

chung yy — àaXx = o war, zur erſten und zur vierten
Claſſe, weil man dafuͤr, bey veraͤnderter Axe, die Gl ei⸗
chung 16 uu – 24tu †C 9tt — 55 au † IOat = 0% hat.
Ja naͤhme man die Axe und den Anfangspunkt der Abſeiſ⸗
ſen anders, ſo wuͤrde man ſie auch zur zweyten und dritten

und fuͤnften Claſſe rechnen koͤnnen, und es iſt daher dieſe

Eintheilung durchaus verwerflich.

§. SI.
Dieſe Unbequemlichkeiten vermeidet man, wenn man
die Curven nach den Graden der Gleichungen eintheilt,

durch welche ſie ausgedruckt werden. Denn da der Grad
der Gleichung, wodurch eine Curve ausgedruckt wird, un⸗

ver⸗

Pttan
fangs
nehne
ſie jn
Anioht

dorhin
ie in
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lichtig
dee G

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Afoͤrmig
ln Coſſer

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Ucͤen, N
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ſeder eni⸗
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eten Gle⸗

2 0r
Nr Mi
1 deitten
her die

õñõGH

Von der Eintheilung der krummen kinien. 39

veraͤndert derſelbe bleibt, man mag die Axe und den An⸗
fangspunkt d der Abſciſſen und den Coordinaten⸗Winkel an⸗
nehmen, wie man will, ſo gehoͤrt dabey jede krumme Linie
nie zu mehr als zu einer EClaſſe Nimmt man daher die
Anzahl der Dimenſionen, welche die rechtwinkl igen oder
ſchiefwinkligen Coordinaten in der Gleichung fuͤr die Curve
haben, zum Theilungsgrunde an, ſo bleiben die Claſſen
bey allen Veraͤnderungen, die man mit der Axe, dem An⸗
fangspunkte der Abſciſſen und dem Coordinaten⸗Winkel
vornimmt, unver randert dieſelben, und jede Curve gehoͤrt
nie zu mehr als zu einer Claſſe, man mag ihre ſpecielle,
oder ihre allgemeinſte Gleichung zum Grunde legen. Am
richtigſten theilt man daher die Curven nach den Graden

der Gle ichung en ein, wodurch ſie ausgedruckt werden.

*

So wie man nun die aus der Anzahl der Dimenſionen
entſpringenden Arten der Gleichungen nach Graden unter⸗
ſcheidet, ſo wollen wir die aus eben dieſer Quelle flie⸗
ßenden Claſſen der krummen Linien mit dem Namen der
Ordnangen belegen. Da alſo die gllgemeine Gleichung
des er ſten Grades
0 = a † 6E † 7y
iſt, ſo gehoͤren hiernach alle Linien, die ſich aus dieſer Gl ei⸗
chung, wenn man darin X und y rechtwinklige oder ſchief⸗
winklige Coordinaten bedeuten laͤßt, ergeben, zur erſten
Ordnung. Wir haben aber oben (8. 39] geſehen, daß die
angefuͤhrte Gleichung bloß die gerade Linie ausdruckt, und
es begreift daher die erſte Ordnung weiter keine Linie in
ſich, als die gerade, welches auch allerdings unter allen
Linien die einfachſte iſt. Da alſo der Name, Curve, hier
nicht gehraucht werden kann, ſo wollen wir die Ordnun⸗
ι gen,

40 Zweytes Buch. Drittes Capitel.

gen, womit wir uns jetzt beſchaͤftigen, nicht Grdnungen
der krummen Linien, ſondern bloß Grdnungen der Li⸗
nien nennen. Die erſte Ordnung der Linien faßt alſo keine
krumme, ſondern allein die gerade Linie in ſich.

Es iſt aber hierbey gleichguͤltig, ob man die Coordina⸗
ten rechtwinklig oder ſchiefwinklig annimmt. Denn iſt der
Winkel, welchen die Applicaten mit der Axe machen = %,
und ſein Sinus = ½, ſo wie ſein Coſinus = : ſo wird
die Gleichung in eine Gleichung fuͤr rechtwinklige Coordi⸗

uUI „U
naten verwandelt, wenn man y„ = —, und xX = — †t ſetzt,

K. 44., und man bekommt dadurch fuͤr die rechtwinklige
Coordinaten t und u die Gleichung:

8S4 Y
0o = « † St † (— † —) u.
te ℳ

Da nun dieſe Gleichung eben den Umfang hat als die vor⸗
hergehende, denn beyde ſind ollgemeine Gleichungen: ſo
erhellet, daß die Bedeutung der Gleichung nicht eingeſchraͤnkt
wird, wenn man den Winkel, den die Applicaten mit der

Axe machen, einem rechten Winkel gleich ſetzt. Eben dieſes

findet auch bey den Gleichungen der folgenden Ordnungen
ſtatt, ihr Umfang wird nicht geringer, wenn auch ihre Co⸗
ordinaten rechtwinklig angenommen werden. Da alſo die
allgemeinen Gleichungen, ſie moͤgen zu einem Grade gehoͤ⸗
ren, zu was fuͤr einem ſie wollen, durch Veraͤnderung des
Coordinaten⸗Winkels nichts von ihrem Umfange verlieren,
ſo werden wir auch ihre Bedeutung durch Annehmung recht⸗
winkliger Coordinaten nicht einſchraͤnken. Denn eben die
Curve, die bey ſchiefwinkligen Coordinaten in einer Glei⸗
chung

chung
naten

non
lann,
y.
lin ans

velche
nn die
=—
wenn
ten
wott
che
me

hgen

Nengen
en deli⸗
lſo ken

Cordina⸗
miſ der
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,

Hieter⸗
npen: ſ⸗
eſthedntt
n wit der
ſen dieſs
thnungen
ihee C⸗
aſo die
dde geß⸗
ung des
elieren,
grecht⸗
eben die⸗
r Ghin⸗
4ung

Von der Eintheilung der krummen Linien. 41

chung enthalten iſt, wird auch bey rechtwinkligen Coordi⸗
naten durch eben dieſe Gleichung ausgedrucht.

§. 54.
Die Linien der zweyten Ordnung ſind insgeſammt in
folgender allgemeinen Gleichung des zweyten Grades ent⸗

halten:

= 2† gx y 5x2 :xy 1 y23,
denn wir zaͤhlen alle Curven, welche durch dieſe Gleichung,
wenn darin xX und » rechtwinklige Coordinaten bedeuten,
ausgedruckt werden, zur zweyten Ordnung der Linien. Da
alſo die erſte Ordnung keine Curve enthaͤlt, ſo ſind dieſes

die einfachſten krummen Linien, und werden daher auch

von einigen krumme Linien der erſten Ordnung genannt.
Gewoͤhnlich heißen dieſe Curven Kegel⸗Schnitte, weil
man ſie auch durch Schneidung des Kegels erhalten
kann, und es giebt davon mehrere Arten, den Kreis, die
Ellipſe, die Parabel, und die Hyperbel, welche wir weiter
hin aus der allgemeinen Gleichung ableiten werden.

5§. 55*

Zur dritten Ordnung der Linien gehoͤren alle Curven,
welche folgende allgemeine Gleichung des dritten Grades

an die Hand giebt:

=aÜ1τιH*7αwvvé; T,Xa 1 822, †) 2r7;

wenn man darin x und y rechtwinklige Coordinaten bedeu⸗
ten laßt, indem dieſe Gleichung durch Annehmung ſchief⸗

winkliger Coordinaten, wie wir bereits angemerkt haben,

(§. 53.] keinen weitern Umfang bekommt. Da dieſe Glei⸗
chung eine weit groͤßere Anzahl beſtaͤndiger Groͤßen, die
man willkuͤhrlich beſtimmen kann, enthaͤlt, als die vorher⸗
gehende, ſo begreift die gegenwaͤrtige Ordnung auch eine

C 5 weit

42 Zweytes Buch. Drittes Capitel.

weit groͤßere Menge von Arten in ſich, deren Claſſification

man beym Mewton findet. H
§. 56.
Ziur vierten Ordnung der Linien gehoͤren alle Curben,
weiche durch folgende allgemeine Gleichung,
o = a † 6x † 7y T X † Xy † 272 † 2X 3 † 9X2y †.
Xy2 † xy 3 T AX 4 2X y †. „»X22 - £X V 3 † ey2,
ausgedruckt werden, wenn 2 und y rechtwinklige Coordina⸗
ten bedeuten, indem die Gleichung bey ſchiefen Applicaten
keine groͤßere Allgemeinheit erhaͤlt. In dieſer Gleichung
ſind funfzehn beſtaͤndige Groͤßen enthalten, die man nach
Belieben annehmen kann, und daher iſt die Verſchieden⸗
heit der Arten, die zu dieſer Ordnung gehoͤren, noch groͤßer

als bey der vorhergehenden Ordnung. Man nennt dieſe

Linien der vierten Ordnung auch Curven der dritten Ord⸗

nung, weil man die zweyte Ordnung der Linien als die

erſte Ordnung der Curven betrachtet, und aus eben dem
Grunde ſind die Linien der dritten Ordnung mit den Cur⸗
ven der zweyten Ordnung einerley.

§. 527.

Hieraus laͤßt ſich ſchon abnehmen, was fuͤr Curben zur⸗

fuͤnften, ſechsten, ſiebenten Ordnung ꝛc. gehoͤren. Es be⸗
ſteht aber die allgemeine Gleichung fuͤr die Linien der fuͤnf⸗
ten Ordnung, da darin zu der allgemeinen Gleichung fuͤr
die Linien der vierten Ordnung noch die Glieder MUW:W
kommen, aus ein und zwanzig Gliedern, ſo wie die allge⸗
meine Gleichung fuͤr die Linien der ſechsten Ordnung deren
acht und zwanzig in ſich faßt, und uͤberhaupt dieſe Menge
der Glieder nach den Trigonal⸗Zahlen fortgeht. Es ent⸗

„7

I
än
daw
Mon
re
Gunge
had

ſitior

ſen nech
ten A⸗
1 l N⸗
den n
den Eu⸗

e ur

—

Von der Eintheilung der krummen Linien. 43

haͤlt nemlich die allgemeine Gleichung für die Linien der
(n P 1) (n † 2 2)
1 2

*

nten Ordnung Glieder, und eben ſo groß

iſt die Anzahl der in ihr befindlichen beſtaͤndigen Groͤßen,
die man nach Belieben beſtimmen kann. SJMM

Indeß fuͤhrt nicht jede veraͤnderte Beſtimmung dieſer
beſtaͤndigen Groͤßen auf verſchiedene kceumme Linien. Denn
da wir in dem vorhergehenden Capitel geſehen haben, daß
man fuͤr eine und dieſelbe Curve durch Veraͤnderung der
Axe und des Anfangspunktes der Abſeiſſen unzaͤhlige Glei⸗
chungen finden kann, ſo D wir aus der Verſchieden⸗
heit der Gleichungen, die zu einem und demſe lben Grade
gehoͤren, nicht auf eine Verſ ſgieden heit der durch ſie aus⸗
gedruckten Curden ſchließen. Es wird daher bey der
Herleitung der Geſchlechter und Arten, die unter einer
Ordnung begriffen ſind, aus der allgemeinen Gleichung
viel Behutſamkeit erfordert, wenn man nicht Gefahr
laufen will, eine und dieſelbe Curve zu zwey und mehreren
Arten zu rechnen.

§. 59.
Da man alſo aus dem Grade der zwiſchen den Coordi⸗
naten gegebenen Gleichung die Ordnung der Curve beur⸗

theilt, ſo iſt man, ſobald eine algebraiſche Gleichung zwi⸗

ſchen den Coordinaten und y gegeben iſt, im Stande, ſo⸗
gleich zu beſtimmen, zu was fuͤr einer Ordnung die durch
jene Gleichung ausgedruckte Curve gehoͤret. Doch muß man,
wenn die Gleichung irrational iſt, dieſelbe zuvor von ihrer
Irrationalitaͤt befreyen, und uͤberdem daraus auch die etwa
vorkommenden Vruͤche wegſchaffen, worauf denn die hoͤchſte
Zahl

44 Zweytes Buch. Drittes Capitel.

Zahl der Dimenſionen der in ihr befindlichen veraͤnderlichen

Groͤßen æ und y die Ordnung der Curve anzeiget. So ge⸗
hoͤrt z. B. die durch die Gleichung yy — axXK = o ausge⸗
Druckte Curve zur zweyten Ordnung, hingegen die Linie, auf
welche die Gleichung y y = X Vaa — XX) fuͤhrt, zur vier⸗

ten Ordnung, weil man aus dieſer Gleichung durch Weg⸗

bringung der Irrationalitaͤt eine Gleichung vom vierten
Grade erhaͤlt. Die Linie, welche durch die Gleichung

a 3 — axx
12 †

ten Ordnung, eil man aus dieſer Gleichung durch Weg⸗
ſchaffung des Bruchs a ay † XXy = àa 3 — a XX bekoͤmmt,

und das Glied XXy drey Dimenſionen hat.

§. 60.

Es koͤnnen aber in einer und derſelben Gleichung meh⸗
rteere von einander verſchiedene Curven enthalten ſeyn, je
nachdem man die Applicaten ſenkrecht oder unter einem
gegebenen Winkel gegen emander geneigt annimmt. So

giebt die Gleichung yy = à àa — XX bey rechtwinkligen
Coordinaten den Kreis, bey ſchiefwinkligen hingegen die

Ellipſe. Alle dieſe verſchiedenen Curven gehoͤren indeß zu
einer und derſelben Ordnung, weil die Verwandlung der
ſchiefwinkligen Coordinaten in rechtwinklige auf die Ordnung

der Curven keinen Einfluß hat, (§. 51 u. 53 ]Ob alſo gleich
die allgemeinen Gleichungen fuͤr die krummen Linien, ihre

Ordnung mag ſeyn, welche ſie will, durch den Winkel,

welchen die Applicaten mit der Axe machen, weder einen
weitern, noch einen engern Umfang bekommen; ſo iſt doch
bey den ſpeciellen Gleichungen fuͤr die krummen Linien die
dadurch ausgedruckte Curve nicht eher beſtimmt, als bis

der

— ausgedruckt wird, iſt eine Linie der drit⸗

der D
Keneis

Gleſc
degedea
ſet wer
mahee⸗
Gung
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ElG
ℳ

Von der Eintheilung der krummen linien. 45

der Winkel unter welchen die Coordinaten gegen einander
geneigt ſind, beſtunmt i iſt.

. 61.
Soll eine Curve zu der Ordnung, welche durch ihre
Gleichung angezeigt wird, ganz eigentlich gehoͤren, ſo muß
die gedachte Gleichung nicht in rationale Faktoren aufgeloͤ⸗
ſet werden foͤnnen. Denn hat eine Gleichung zwey oder

mehrere Faktoren, ſo iſt ſie ein Inbegriff mehrerer Glei⸗

chungen, davon jede eine krumme kLinie enthaͤlt, die zuſam⸗
mengenommen der gegebenen Gleichung entſprechen. Wenn
alſo eine Gleichung in Faktoren aufgeloͤſet werden kann, ſo

druckt ſie nicht eine ſondern mehrere continuirliche Curven

aus, davon eine jede durch eine⸗beſondere Gl eichung ange⸗
zeigt werden kann, und die weiter keine Verbindung unter
einander haben, als daß ihre G leichungen in der gegebe⸗
nen Gleichung mit einander multiplicirt worden ſind. Da
dieſe Verbindung von unſerer Willkuͤhr abl haͤngt, ſo koͤn⸗
nen dergleichen Curven nicht als continuirliche Curven
betrachtet werden, und es geben daher die Gleichungen,
die wir oben [im erſten Buche, im ten Capitel, §. 95.]

complexe Gleichungen genannt haben, keine continuirliche,

ſondern aus continuirlichen zuſammengeſetzte Linien, die
wir daher mit dem Namen der complexen Linien belegen
wollen.

§. 62.

So beſteht die Gleichung yy = ay † Xy — ax, die
zu einer Linie der zweyten Ordnung zu gehoͤren ſcheint,
wenn man ſie auf o reducirt, oder daraus yy — ay —
Xy † ax = o macht, aus den beyden Faktoren (y — X)
(y — àa) = o; und faßt daher die beyden Gleichungen
„

46 Zweytes Buch. Drittes Capitel.

y – X = o, und y — a = o in ſich. Dieſe beyden

Gleichungen gehoͤren zu geraden Linien, und zwar die erſte
zu einer ſolchen, die die Axe in dem Anfangspunkte der
Abſciſſen unter einem halben rechten Winkel ſchneidet, und
die andere zu einer ſolchen, die mit der Axe parallel laͤuft,

und von ihr um a entfernt iſt; und dieſe beyden geraden

Linien werden alſo zugleich durch die Gleichung yy = ay †
Xy – axX ausgedruckt. Eben ſo iſt die Gleichung y4 —
Xy3 —– aaxX – ay3 † aXXy † a àaXy = o eine com⸗

plexe Gleichung, und es druckt daher dieſelbe keine conti⸗

nuirliche Linie der vierten Ordnung aus, ſondern ſie ent⸗

haͤlt, da ſie aus den Faktoren (y — xX) (y — a) (yy — ax)
beſteht, drey ver ſchiedene Linien, zwey gerade, und. eine
in der Gleichung Yy. = ax enthaltene e krum me Linie.

6. 63.
Es iſt daher leicht, complexe Linien, die zwey oder meh⸗
rere, gerade oder krumme, Linien, von was fuͤr einer Art

man will, enthalten, zu finden. Denn druckt man jede
dieſer Linien fuͤr eine und dieſelbe Axe und denſelben An⸗

fangspunkt der Abſciſſen durch eine auf o gebrachte Glei⸗
chung aus, ſo hat man in dem Produkte dieſer Gleichun⸗
gen eine complexe Gleichung, welche alle jene Linien in ſich
begreift. Waͤre z. B. Fig. 16 aus dem Mittelpunkte C

mit dem Radius C A = a ein Kreis beſchrieben, und durch

den Mittelpunkt deſſelben die gerade Linie LN gezogen, ſo
koͤnnte man hiernach fuͤr jede Axe eine Gleichung finden,
welche den Kreis und die gerade Linie, als wenn beyde

mur eine Linie waͤren, zuſammen in ſich enthielte.

§K. 64.
Man nehme den Durchmeſſer A B, welche die gerade

Linie L N unter einem hal ben rechten Winkel ſchneide, zur
Ne,

e,1
1d
A⸗=
1—
ven
Fir!
Ph,1¹
F
den 6
colap
3
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gen
Wpa⸗
iie.

eine

eidet
udet, und
alel ſonfe
en

gerad

oder neh⸗
1* ſet

einet A.

nien in h

Von der Eintheilung der krummen linien. 427

Axe, und darauf den Anfangspunkt der Abſeiſſen in A an,
und ſetze die Abſciſſe A P = xX, und die Applicate

P M = y. Alsdann iſt, fuͤr die gerade? Zinie, P M=CP =

a — X, und weil der Punkt M auf der Seite der negati⸗

ven Applicaten liegt, 7 = – a † xX, oder y — X † à = o.

Fuͤr den Kreis hingegen ſindet man, weil P M2 = A P.

PB, und BP = 2a — x iſt, yy = 2à2X —–— Xx, oder

yy † XX — 2aX = o. Multiplicirt man alſo dieſe bey⸗
den Gleichungen mit einander, ſo bekommt man folgende
complexe Gleichung vom dritten Grade,
„73— — y2X TyXX — X 3 T. ayy — 2axy T† 3axx — 2 ax = o,
welche ſowohl den Kreis als die gerade Linie in ſich enthaͤlt.
Es gehoͤren nemlich darin zu jeder Abſeiſſe AP = x drey

Applicaten, zweye fuͤr den Kreis, und eine fuͤr die gerade

Linie. Denn ſetzt man z. B.

I
= — a, „ ſo wird
7³ † ay⸗ — à a2y — 3 a: = o, und alſo

14
1 „ † a = o, odery = — 1 .
2

Ferner erhaͤlt man durch die Divi ſion mit der gefundenen
Wurzel

Jy — 2 a àa = o, und es iſt daher auch

III. „ = — — 4 V. 3

Es wird demnach der Kreis und die gerade Linie LN durch
die gefundene Gleichung ausgedruckt, als wenn beyde Linien
eine einzige continuirliche Linie waͤren.

—–

48 Zweytes Buch. Drittes Capitel.

§. 65.

Nachdem wir dieſen Unterſchied zwiſchen compleren und
incomplexen Curven bemerkt haben, ſo iſt klar, daß die Linien
der zweyten Ordnung entweder continuirliche Curven, oder

aus zwey geraden Linien zuſammengeſetzte complexe Linien

ſind; denn hat die allgemeine Gleichung Faktoren, ſo ſind
dieſelben einfach, und drucken alſo gerade Linien aus. Die
Linien der dritten Ordnung aber ſind entweder incomplexe,

oder aus einer geraden Linie und einer Linie der zweyten
Ordnung, oder aus drey geraden Linien zuſammengeſetzte

complexe Linien. Ferner ſind die Linien der vierten Ord⸗
nung entweder continuirliche Linien, oder complexe, die
aus einer geraden Linie, und einer Linie der dritten Ord⸗

nung, oder aus zwey Linien der zweyten Ordnung, oder

aus einer Linie der zweyten Ordnung und zwey geraden Li⸗
nien, oder endlich aus vier geraden Linien zuſammengeſetzt
ſind. Auf eine aͤhnliche Art verhaͤlt es ſich mit den com⸗
plexen Linien der fuͤnften und der uͤbrigen hoͤhern Ordnun⸗

gen. Hieraus erhellet, daß jede Linie von einer hoͤhern

Ordnung alle Linien der niedern Ordnungen unter ſich be⸗
greift, aber dieſe nicht allein, ſondern es iſt jede Linie der
niedern Ordnungen verbunden, entweder mit geraden Li⸗
nien, oder mit Linien der zweyten, der dritten und der
folgenden Ordnungen, doch ſo, daß allemal die Summe

der Ordnungszahlen der einfachen Linien der Ordnungszahl

der complexen Linie gleich iſt.

Vier⸗

⸗ 22

Von

3

den
untt
leſcnit
Oednur
linie in
kann,
Punkie
wie bie
Pelebe
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nüde
iieng
ſde
nne
e
den

E

dre lien
n, ſo ſind
nnplere, Viertes Capitel.
nennökfe Von den vornehmſten Eigenſchaften der linien einer
atin Dh⸗ jeden Ordnung.
lere, die ”M
een Ded⸗ §. 66. D OUYMUM
hung, de ⸗ . =
letuden h Zu den vornehmſten Eigenſchaften der Linien einer je⸗ D
mnre den Ordnung gehoͤrt vor allen andern die Menge der
den com⸗ Punkte, in welchen dieſe Linien von einer geraden Linie
ldemu geſchnitten werden koͤnnen. G Denn da die Linie der erſten
hien Ordnung, oder die gerade Linie, von einer andern geraden
ſt Linie in nicht mehr als in einem Punkte geſchnitten werden
ede kann, bey den krummen Linien aber ſolches in mehrern
Punkten moͤglich iſt: ſo entſteht mit Recht die Frage, in
Känd wie viel Punkten die Curven jeder Ordnung von einer nach
nn n Belieben gezogenen geraden Linie geſchnitten werden koͤn⸗
Enn⸗ nen, indem die Beantwortung dieſer Frage auf die Kennt⸗
ungff niſß der Curven, die zu den verſchiedenen Ordnungen gehoͤren,
einen großen Einſluß hat. Wir werden aber finden, daß
jede Linie der zweyten Ordnung von einer geraden Linie
in nicht mehr als in zwey, jede Curve der dritten Ordnung
in nicht mehr als in drey Punkten ꝛc. geſchnitten wer⸗
den kann.
Ve⸗ Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. HD. D d. 67.

so Zvwepytes Buch. Viertes Capitel. Gn
Wir haben bereits oben (§. 26.] der Art und Weiſe Er⸗ ee
waͤhnung gethan, wie die Anzahl der Punkte beſtimmt den
werden kann, worin die Axe einer jeden Curve von dieſer dacn
Curve geſchnitten wird. Setzt man nemlich in der zwiſchen Ie
der Abſciſſe æ und der Applicate y gegebenen Gleichung an
y = o, ſo erhaͤlt man eine Gleichung, worin bloß X be⸗ i
findlich iſt; und da die Applicate y alle: mal da = o wird, tmſd
wo ein Punkt der Curve in die Axe faͤllt, ſo zeigt dieſe
Gleichung die Werthe von x, und folglich die Punkte der
Axe an, in welchen die Curve die Axe ſchneidet. So er⸗ D
haͤlt man, wenn man in der oben [§ 64.] fuͤr den Kreis llit
gefundenen Gleichung, yy = 2a X — X, y = o ſetzt, (in
0 = 2àaX — xXX, woraus ſich zwen Werthe fuͤr erge⸗ ge de
ben, neml lich X = o, und X 2 a, die anzeigen, daß femg
die Axe RS, Fig. 16, zuvoͤrderſt in dem Anfangspunkte wl, v
der Abſeiſſen A, und dann in dem Punkte B, wenn AB = 2 2 Wun
iſt, von dem Kreiſe geſchnitten wird. Auf eine aͤhnliche Art hrung
zeigen auch bey den uͤbrigen Curven, wenn man in der fuͤr
ſie gegebenen Gleichung y = o ſetzt, die Werthe von X
die Durch ſchnittsp bunkte mit der Axe an. lnge
Da bey der allgemeinen Gleichung einer jeden Curve n E
jede gerade Linie die Stelle der Axe vertritt, ſo zeigt die Ween in
aus derſelben, wenn man y = o ſetzt, entſpringende Glei⸗ in
chung die Anzahl der. Punkte an, in welchen die Curve von on
einer geraden Linie geſchnitten werden kann. Man fin det ſhn
aber auf dieſe Art eine Gleichung, worin bloß die Abſciſſe Kr
als eine unbekannte Groͤße enthalken iſt, und es zeigen l
daher die Wurzeln derſelben die Durchſchnittspunkte der lenen
Curve mit der Axe an. Es haͤngt demnach die Anzahl der decſ

Wnke
e beſtinnt
don dieſe
er zuiſchen
Gleichung
bloß x be⸗
ic⸗

—0 ſe

den doß
gei⸗ di

in

ſhe oNAX

en Curbe
. ſeigt die die

Von den vornehmſten Eigenſchaften der Linien ꝛe. 51

Durchſchnittspunkte von der hoͤchſten Poteſtaͤt von in die⸗

ſer Gleichung ab, und kann folglich nicht groͤßer ſeyn, als
der Exponent dieſer Poteſtaͤt. Es wird aber im mer ſo viel
Durchſchnittspunkte geben, als der Exponent der hoͤchſten
Poteſtaͤt von æ Einheiten enthaͤlt, wenn alle Werthe von

reell ſind; ſind hingegen einige darunter imaginaͤr, ſo

wird die Anzahl der Durchſchnittspunkte um eben ſo viel
vermindert.

§. 69.

Da wir alſo fuͤr jede Ordnung der Linien die allgemein⸗
ſte Gleichung kennen §. 53.- §. 57. verbunden mit §. 45.],

ſo ſind wir daraus im Stan de, auf dem beſchriebenen We⸗
ge die Anzahl der Punkte zu finden, in welchen jede Linie,

ſie mag zu einer Ordnung gehoͤren, zu was fuͤr einer ſie

„will, von einer geraden Linie geſchnitten werden kann.
Um von der allgem neinen Gleichung fuͤr die Linie der erſten
Ordnung oder die gerade Linie,

0 = † ςX T Yv

anzufangen, ſo erhaͤlt man daraus, wenn man y = o, ſetzt,

o = a T† £X

und dieſe Gleichung kann nicht mehr als eine Wurzel ha⸗

ben. Es erhellet demnach, daß die gerade Linie von einer
andern in nicht mehr als in einem Punkte geſchnitten wer⸗
den kann. Wird 3 = o, ſo zeigt die unmoͤgliche Glei⸗
chung o = „ an, daß die Ape in dieſem Falle von der ge⸗
raden Linie gar nicht geſchnitten wird, und es ſind alſo als⸗

dann beyde Linien einander parallel. Es erhellt dieſes auch
aus der Gleichung o = † vy, welche man aus der all⸗

gemeinen Gleichung erhaͤlt, wenn man darin s = o ſetzt.

D 2 70.

§K. 70.
Wenn man in der allgemeinen Gleichung der Linien der
zweyten Ordnung
o = ℳ † 8£ X † „y I rrx 1 xy 4 yy
y = o ſetzt, ſo erhaͤlt man dafuͤr
0 = † 6X † àXx,
und dieſe Gleichung hat entweder zwey reelle Wurzeln,

oder gar keine, oder auch eine, wenn à5 = o iſt. Es kann

daher jede Linie der zweyten Ordnung von einer geraden
Linie in zwey, oder nur in einem Punkte, oder auch gar

nicht geſchnitten werden, und alle dieſe Falle kann man—

auf die Art zuſammen ausdrucken, daß man ſagt, eine Li⸗
nie der zweyten Ordnung koͤnne von einer geraden Linie i in
nicht mehr als in zwey Punkten geſchnitten werden.

F. 7r. 5
Wenn man in der allgemeinen Gleichung fuͤr die Linien
der dritten Ordnung y = o ſetzt, ſo erhaͤlt man daraus
0 = „ † 8&X † YXX † àX3
und da dieſe Gleichung nicht mehr als drey Wurzeln haben

kann, ſo erhellet daraus, daß die Linien der dritten Ord⸗
nung von einer geraden Linie in nicht mehr als in drey

Punkten geſchnitten werden koͤnnen. Es kann ſich aber er⸗
eignen, daß eine Linie der dritten Ordnung von einer gera⸗
den Linie in weniger Punkten geſchnitten wird, z. B. in

zweyen, wenn = = o iſt, und die beyden Wurzeln der

Gleichung o = „ † 6X † 7XX reell ſind, oder in einem,
wenn die obige Gleichung zwey imaginaͤre Wurzeln hat,
oder wenn = o, und 7 = 0 iſt, oder auch gar nicht,
wenn ⁹° = o, und die uͤbrigen beyden Wurzeln der Glei⸗
chung imaginaͤr ſind, welches ſtatt findet, wenn , , und
à verſchwinden, und «nicht = o iſt.
“ §. 72.

n

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der Ge⸗
„ lod

4 2.

Von den vornehmſten Eigenſchaften der linien ꝛc. S3

F. 72.

Auf eine aͤhnliche Art ſchließt man, daß die Linien der
vierten Ordnung von einer geraden Linie in nicht mehr als
in vier Punkten geſchnitten werden koͤnnen; und uͤberhaupt
kommt dieſe Eigenſchaft den Linien aller Ordnungen zu, ſo,
daß eine Linie von der nten Orbnung von einer geraden
Linie in nicht mehr als in n Punkten geſchnitten werden
kann. Doch folgt hieraus nicht, daß jede Linie von der
Ordnung n von jeder geraden Linie wirklich in n Punkten
geſchnitten werde, es kann vielmehr die Anzahl der Durch⸗
ſchnittspunkte auch kleiner als n, ja ſelbſt = o ſeyn, wie
wir dies bereits bey den Linien der zweyten und dritten
Ordnung angemerkt haben. Es ſagt alſo die angefuͤhrte
Behauptung bloß, daß die Anzahl der Durchſchnittspunkte
nie groͤßer ſeyn kann, als die Zahl, welche die Ordnung

der krummen Linien anzeigt.

§. 73.

Aus der Anzahl der Punkte, werin eine gerade Linie
eine gegebene Curve ſchneidet, laͤßt ſich alſo die Ordnung
dieſer Curve nicht beſtimmen. Denn wenn die Anzahl dieſer

Durchſchnittspunkte = n iſt, ſo folgt daraus nicht, daß

die Curve zur nten Ordnung gehoͤre, ſondern ſie kann da⸗
bey eben ſowohl eine Linie jeder hoͤhern Ordnung ſeyn, ja

ſelbſt zu den tranſcendenten Linien gehoͤren. Dagegen

kann man mit Gewißheit behaupten, daß jede Curve, die
von einer geraden Linie in n Punkten geſchnitten wird,

nicht zu einer niedrigern Ordnung gehoͤre. So iſt, wenn

eine gegebene Curve von einer geraden Linie in vier Punk⸗
ten geſchnitten wird, ausgemacht, daß man ſie weder zur
zweyten noch zur dritten Ordnung rechnen darf; ob ſie
D 3 aber

54 Zwepytes Buch. Viertes Capitel.
aber zur vierten oder zu einer hoͤhern Ordnung gehoͤre,
oder gar tranſcendent ſey? das laͤßt ſich daraus nicht be⸗
Urtheilen. .

§. 74.

Die allgemeinen Gleichungen, welche wir fuͤr die dinien
jeder Ordnung gegeben haben, enthalten mehrere beſtaͤndige

Groͤßen, deren Beſtimmung unſerer Willkuͤhr uͤberlaſſen

bleibt. Setzt man dafuͤr beſtimmte Groͤßen, ſo werden da⸗

durch die Curven durchaus beſtimmt, und laſſen ſich, wenn

die Axe gegeben iſt, ſo beſchreiben, daß alle uͤbrige in
eben der allgemeinen Gleichung enthaltenen Curven aus⸗
geſchloſſen werden. So kann, obgleich die Gleichung o =
ℳ*½ †. 8X † y allein die gerade Linie in ſich faßt, doch die
Lage dieſer geraden Linie in Anſehung der Axe⸗ auf unzaͤh⸗
lige Arten veraͤndert werden, weil die beſtaͤndigen Groͤßen
«, 6, 7 unendlich viele Werthe bekommen koͤnnen. So⸗
bald aber dieſe Groͤßen beſtimmte Werthe erhalten, ſo

wird die Lage bder geraden Linie ſo beſtimmt, daß außer

ihr keine andere der Gleichung ein Genuͤge thut.

Es ſcheint zwar,als ob die Gleichung o = e † gx † 7y,
da ſie drey beſtaͤndige Groͤßen «, 8, „ enthaͤlt, drey Be⸗
ſtimmungen zulaſſe; allein wegen der Ratur der Glei⸗
chungen iſt dieſe Gleichung ſchon beſtimmt, ſobald das Ver⸗
haͤltniß dieſer beſtaͤndigen Groͤßen, oder das Verhaͤltniß
zweyer von ihnen zur dritten feſtgeſetzt iſt, und es laͤßt da⸗
her dieſe Gleichung nicht mehr als zwey Beſti immungen zu.
Denn beſtimmt man sSsund? durch «,ſo daß z. B. £ = — «,

und 7„ = 2 a wird, ſo verwandelt ſich dieſelbe in o = „—
„X † 2 %, und iſt alſo, da = durch die Diviſion wegge⸗
bracht

venn die
ſn did
alſo in d
Dbfür,)
M den
und
inde en

lakaſn

ſoft

Ceg

die hinier
D

Nnt
nſch, Gn
e ibrige n

Urben us⸗

nge=

i, doo de
alf unti⸗

halen, ſe
Ouß eie

=ð
.

Von den vornehmſten Eigenſchaften der linien ꝛc. 55

bracht werden kann, dadurch ſchon vollkommen beſtimmt.
Auf eine aͤhnliche Art laͤßt die allgemeine Gleichung der Li⸗
nien der zweyten Ordnung, die ſechs beſtaͤndige Groͤßen
enthaͤlt, nicht mehr als fuͤnf, die allgemeine Gleichung der
Linien der dritten Ordnung nicht mehr als neun, und uͤber⸗
haupt die algemeine Gleichung der Linien der nten Ord⸗
† 1) (n † 2)

(n
nung nicht mehr . — 1 Beſtimmungen zu.

9

J. 76.

Es laſſen ſich aber die gedachten beſtaͤndigen Groͤßen
allemal ſo beſtimmen, daß die Curve durch einen gegebenen
Punkt gehet, und dadurch wird denn eine dieſer Beſtim⸗

mungen gefunden. Soll z. B. eine fuͤr irgend eine Linie

gegehene Gleichung ſo beſtimmt werden, daß die Curve
durch einen gegeben Punkt B Fig. 17 gehe, ſo nehme man
nach Belieben eine Axe und in derſelben den Anfangspunkt
der Abſciſſen A an, und faͤlle aus B die Linie Bb auf die
Axe ſenkrecht herab. Hier iſt nun offenbar, daß man,
wenn die Curve durch den Punkt B gehet, und Ab = xX ge⸗
ſetzt wird, Bb = y = der Applicate habe. Setzt man
alſo in der gegebenen allgemeinen Gleichung Ab fuͤr x, und
B b fur y, ſo erhaͤlt man eine Gleichung, woraus ſich eine
von den beſtaͤndigen Groͤßen «, , 7, à%, u, ꝛc. beſtimmen
laͤßt, und iſt dieſes geſchehen, ſo gehen alle Curven, die
in der auf dieſe Art beſtimmten allgemeinen Eleichung ent⸗
ha lten ſind, durch den Punkt B.

77.
Soll die Curve uͤberdem auch durch den Punkt Cgehen,
ſo faͤlle man auch aus dieſem Punkte die ſenkrechte Linie
Cc auf die Axe, und ſetze in der Gleichung = Ac, und
2 A 7

56 Zweytes Buch. Viertes Capitel.

y = Cc. Hierdurch wird man eine neue Gleichung be⸗
kommen, woraus ſich ebenfalls eine von den beſtaͤndigen
Groͤßen «, 2, 7, d, ꝛc. beſtimmen laſſen wird. Auch iſt

leicht einzuſehen, daß man, wenn die Curve durch dreyg

Punkte B, C, D gehen ſoll, dadurch auf eben die Art drey,
und wenn ſie durch vier Punkte B, C, D, E gehen ſoll,
vier beſtaͤndige Groͤßen beſtimmen koͤnne. Wenn alſo die

Anzahl der beſtimmten Punkte, wodurch eine Curve gehen

ſoll, eben ſo groß iſt, als die Anzahl der Beſtimmungen,
welche die allgemeine Gleichung dieſer Curve zulaͤßt, ſo iſt
dadurch die Curve durchaus beſtimmt, und die einzige, die
durch alle gegebene Punkte gelegt werden kann.

§. 78.

Da alſo die allgemeine Gleichung der Linien der erſten
Ordnung oder der geraden Linie nur zwey Beſtimmungen

zulaͤßt, [F. 75.] ſo wird die Linie der erſten Ordnung, oder
die gerade Linie, durch jede zwey fuͤr ſie gegebene Punkte,

durchaus beſtimmt, und es laͤßt ſich alſo durch zwey gege⸗

bene Punkte nicht mehr als eine gerade Linie legen, wie

ſolches auch ſchon aus den Elementen bekannt iſt. Wenn aber

nicht mehr als ein Punkt gegeben iſt, ſo iſt die Gleichung
noch unbeſtimmt, und es laſſen ſich daher dur ch dieſen
Punkt unzaͤhlige gerade Linien legen.

§F. 79.
Die allgemeine Gleichung der Linien der zweyten Ord⸗
nung laͤßt fuͤnf Beſtimmungen zu [§. 75.], und wenn alſo
eine Linie der zweyten Ordnung durch fuͤnf beſtimmte Punkte
gehen ſoll, ſo iſt dadurch dieſe Linie durchaus beſtimmt. Es

kann daher durch jede fuͤnf gegebene Punkte nicht mehr als
eine einzige Linie der zweyten Ordnung gelegt werden; aber

wenn

wenn
le
weyt
Puntt
tied
Pot
ſonde
denn
zwey

ſche Art
ge ini

hicht me
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1

——

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nßh iſn

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nmnaſt
tehuntn
nmt. G
nehe 46

hnn, AN
ven

Von den vornehmſten Eigenſchaften der Linien ꝛc. 57

wenn nur vier, oder noch weniger Punkte beſtimmt ſind,

ſo laſſen ſich dadurch unzaͤhlige Linien legen, die alle zur
zweyten Ordnung gehoͤren. Liegen drey von den gegebenen
Punkten in einer geraden Linie, ſo findet man, da keine
Linie der zweyten Ordnung von einer geraden Linie in drey
Punkten geſchnitten werden kann, keine continuirliche Curve,

ſondern eine complexe Linie, oder zwey gerade Linien,

denn dieſe ſind nach §. 65. in der allgemeinen Gleichung des
zweyten Grades enthalten. M

§. 80. M .
Da ferner die allgemeine Gleichung der Linien der drit⸗
ten Ordnung neun Beſtimmungen zulaͤßt, ſo kann man
durch jede neun nach Belieben angenommene Punkte eine
Linie der dritten Ordnung, aber auch nicht mehr als eine
legen; iſt hingegen die Anzahl der gegebenen Punkte klei⸗
ner, ſo ſind unzaͤhlige Linien der dritten Ordnung moͤglich,

die insgeſammt durch dieſe Punkte gehen. Auf eine aͤhn⸗

liche Art laͤßt ſich durch jede vierzehn Punkte nicht mehr als
eine Linie der vierten Ordnung, durch jede zwanzig Punkte
nicht mehr als eine Linie der fuͤnften Ordnung legen, ꝛc.
Ueberhaupt werden die Linien von der Ordnung n durch ſo

viel Punkte beſtimmt, als die Formel — 2)

= S 3 Einheiten hat, ſo daß, wenn die Anzahl der
gegebenen Punkte kleiner iſt, dadurch unendlich viele Linien
von eben dieſer Ordnung gelegt werden koͤnnen.
§. 8r.

S

Wenn alſo nicht mehr als — Punkte gegeben wer⸗

den, ſo kann man dadurch allemal eine oder unzaͤhlige Li⸗
D § nien

58 Zweytes Buch. Viertes Capitel.

nien von der Ordnung n legen; eine, wenn die Anzahl der

,

gegebenen Punkten = „unzaͤhlige, wenn dieſelbe

kleiner iſt. Es kann aber dieſes, wie auch immer dieſe
Punkte gegeben werden moͤgen, nie unmoͤglich werden,

weil man bey der Beſtimmung der Coefficienten =, g, 7, ꝛc.

nie quadratiſche oder hoͤhere Gleichung aufzuloͤſen hat,
ſondern alle dabey vorkommende Gleichungen einfach ſind.
Man ſindet daher fuͤr die Groͤßen «, s, „, 9, ꝛc. nie, we⸗
der imaginaͤre noch vielfoͤrmige Werthe, und es muß folg⸗
lich jede reelle Linie durch die gegebenen Punkte gelegt wer⸗
den koͤnnen, aber auch nie mehr als eine, wenn ſo viel
Punkte gegeben ſind, als die allgemeine Gleichung Beſtim⸗
mungen zulaßt.

Da die Axe nach Belieben angenommen werden kann,
ſo erleichtert man ſich die Beſtimmung der Coefficienten
„„“, 8, 7, ⁹, ꝛc., wenn man dieſelbe durch einen von den

gegebenen Punkten legt, und eben dieſen Punkt A den An⸗
fangspunkt der Abſciſſen ſeyn laͤßt. Thut man dieſes, ſo

muß, wenn man X =o ſetzt, auch y = o ſeyn, und es
wird daher in der gegebenen allgemeinen Gleichung
o = & T 8 K T† 7 y T ϑX2 † sX y † & V2 † „X 3 † ꝛc.

ſogleich 4„ = 0. Außerdem kann man die Axe auch noch

durch einen andern von den gegebenen Punkten legen, und

auch hierdurch wird die Anzahl der Groͤßen, wodurch die Lage

der gedachten Punkte beſtimmt wird, vermindert. Endlich

kann man ſtatt rechtwinkliger Coordinaten ſolche ſchiefwink⸗

lige nehmen, daß auch die durch den Anfangspunkt der Ab⸗
ſeiſſen gezogene Applicate durch einen von den gegebenen
Punkten gehe, indem ſich ſowohl die Natur als die Con⸗
Kru⸗

ſtuet
giebt
ordin

Erl
den, d
X, B

e

inde
ſen
Nge
laten⸗
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nuine

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nn dicſe⸗

immer e
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lbſen 1 hot,
in de⸗

tden kunn,
leffienten
1 tn N
4 den A⸗
o,

6

Von den vornehmſten Eigenſchaften der Linien ꝛc. 9

ſtruetion einer Curve gleich leicht aus ihrer Gleichung er⸗
giebt, es moͤgen dabey rechtwinklige oder ſchiefwinklige Co⸗
ordinaten zum Grunde liegen.

J§. 83.

Soll z. B. die Linie der zweyten Ordnung gefunden wer⸗
den, die, Fig. 18, durch folgende fuͤnf gegebene Punkte,
A, B, C, D und E gelegt werden kann, ſo ziehe man die
Axe durch zwey von dieſen Punkten A und B, und nehme
in dem einen von ihnen, A, den Anfangspunkt der Abſciſ⸗
ſen. Dann ziehe man von A nach dem dritten Punkte C
die gerade Linie AC, laſſe den Winkel CA B den Appli⸗
caten⸗Winkel ſeyn, und ziehe folglich aus den Punkten D
und E die geraden Linien D d und Ee nach der Axe mit AC
parallel. Setzt man nunmehr A B= a; AC= b; Ad= c;
Dd= d; Ae= e und Ee = f; und legt dabey die allge⸗
meine Gleichung der Linien der zweyten Ordnun ig

= 2† Sà 7y F àx= †⸗xy † &y⸗
zum Grunde, ſo wird, wenn man
die Abſeiſſe ſetzt, die Applicate

X+ — O₰ V — O
X = 0 y — b
X — 4 V — O
= cC y = d
X e y = f
Hieraus ergeben ſich folgende fuͤnf Gleichungen:
1I. O =
II. o = H † „b † 5 bz
III. o = s † ga † αα—
IV. o = « † &ε & † »d † àca † s. d † & dz
V. 0 —

„ † ge † Yf † ϑe* T sef † ofe⸗
und

60 Zweytes Buch. Viertes Capitel.

urnd es iſt alſo = 0; 7„ = — éb; und s = — a.

Bringt man nun dieſe Werthe in die uͤbrigen Gleichungen,
ſo wird
0 = – òà c — ö bd † Fce †:cd gda
o = — da e — bf † dee † ef † ff.

Man multiplicire die erſte von dieſen Gleichungen mit ef

und die andere mit cd, und ziehe, um ⸗wegzubringen, die

zweyte von der erſten ab, ſo bekommt man,
= — Jacef — & bdef † èccef † ddef
† aꝶ¶ IG—1nue † Obedf-—cdee — S ff
oder
„ badef — bedf — ddef † cdff
acde — acef – cdee † ccef.

Hieraus aber fließt

à = 4f (be — be — de † c),
„S= ce (ad — af — de † cf)

und hiernach laſſen ſich alſo alle Coefficienten beſtimmen.

§. 84.

Sind auf dieſe Art alle Coefficienten der allgemeinen

Gleichung, 0 = g P β Xx T† Yy T† 2 † ⸗X y † y2 be⸗
ſtimmt, ſo kann man die durch dieſe Gleichung ausgedruckte
Curve uͤber der angenommenen Axe mit Beybehaltung des
entſtandenen Coordinaten⸗Winkels durch unzaͤhlige Punkte,
die ſich aus der Gleichung finden laſſen, legen, und dieſe
urve wird zugleich durch die gegebenen Punkte gehen.
Laͤßt die allgemeine Gleichung mehr Beſtimmungen zu als
Punkte gegeben ſind, ſo kann man die uͤbrigen nach Be⸗

lieben annehmen „ und darauf die einzelnen Punkte der
Curve

Crv

nd
Ahe
Vuth
— 3 7—
eden
Medr
N R
erk

2) ,

dichmng,

en nit el
nen die

inmen

lyontiner

G: 6H

edevckte
dung de
Puntte
d Re

Von den vor n Ei
vornehmſten Eigenſchaften der linien c 6

Curve aus der
auf dieſe Art beſti
Gurve ans der au dieſ. Art benimmten Gleichund fude
d ſo die Curve beſchreiben. Man zuf aber gu finden,
er hierbey der

Abſciſſe na
nach und nach mehrere ſowohl poſitive als .
negative

Werthe, z.
— 3, H 2, 3/ 4, 5, 6, 2c. und — I
beylegen, und zu einem jeden dieſer W ⸗
er⸗

2 U

dieſe Art fin
der Bahe gen t man mehrere Punkte der Curve, die ei
ug liegen, um den Gan dle einan⸗
zu erkennen. den Gang der Curve daraus

Fuͤnftes Capitel.

Von den Linien der zweyten Ordnung.

§. 85.

Dea die erſte Ordnung der Linien bloß die gerade Linie
in ſich faßt, und die Natur dieſer Lime ſchon aus der Ele⸗
mentar⸗Geometrie hinlaͤnglich bekannt iſt, ſo wollen wir
nun die Linien der zweyten Ordnung genauer betrachten,
weil dieſe Linien unter den Curven die einfachſten ſind, und
durch die ganze hoͤhere Geometrie den groͤßten Rutzen ge⸗
waͤhren. Es zeichnen ſich aber dieſe Linien, die man auch
Kegel⸗Schnitte nennt, durch eine Menge ſehr merkwuͤr⸗

diger Eigenſchaften aus, die ſchon den Alten nicht unbe⸗
kannt waren, von den Reuern aber ſehr vermehrt worden

ſind. Die Kenntniß dieſer Eigenſchaften iſt eine ſo wichtige
Sache, daß viele die Erklaͤrung derſelben ſogleich nach
der Elementar⸗Geometrie folgen laſſen. Da ſie indeß nicht
alle aus einerley Quelle fließen, ſondern einige ſich aus der

Gleichung ergeben, andere ſich finden laſſen, wenn man

jene Linien als Schnitte eines Kegels betrachtet, und noch
andere wieder auf andern Wegen entdeckt werden, ſo wol⸗

len wir hier nur diejenigen Eigenſchaften betrachten, die
man mit Beyſeitſetzung der uͤbrigen Huͤlfsmittel bloß aus
der Gleichung zu finden im Stande iſt.

1§. 86.

ſo erhel
Pder get
den Wu⸗
— 0
Mpplia
ſokunn

Venn

(tt, ven

Punkten)

Vueln

I3

atnegeſe
Aimpn
Men d
ſachen

Nhe

Dn

niht unie⸗
d wdn

5 rie e

i
gtis nc
ſ ineh ni
ſich aut
wenn

R
N

e/

n, ſo no

R‚

Von den linien der zweyten Ordnung. 63

Wir betrachten alſo die allgemeine Gleichung der Linien
der zweyten Ordnung, nemlich
0 = * † 6X † Xy † 3X2 † ⸗Xy † &y,
von der wir ſchon gezeigt haben I§. 54.] daß ſie, und zwar
bey jedem Applicaten⸗Winkel, alle Linien der zweyten Ord⸗
nung in ſich faſſe. Giebt man derſelben folgende F Form,
””Mcä e .

—

ſo erhellet daraus, daß zu jeder Abſeiſſe x entweder zwey
oder gar keine Applicaten y gehoͤren, je nachdem die bey⸗
den Wurzeln von y entweder reell oder imaginaͤr ſind. Iſt

*½ = o ſo kommt zwar jeder Abſciſſe nicht mehr als eine

Applicate zu, aber weil alsdann die andere unendlich wird,
ſo kann dieſer Fall unſere Unterſuchung nicht ſtoͤren.

§. 87.

Wenn beyde Werthe von » reell ſind, und dies ſ ndet
ſtatt, wenn die Applicate P M N, Fig. 19, die Curve in zwey
Punkten M und N ſchneidet, ſo iſt die Summe der beyden
Wurzeln
exX — — — „

—.6— 2

PM † P N = —

vorausgeſetzt, daß die gerade Linie AEF die Axe, A dee

Anfangspunkt der Abſciſſen, und APN der Winkel iſt, unter

welchem die Applicaten die Axe ſchneiden. Zieht man alſo

unter eben dem Winkel eine andere Applicate npm, deren

Werth pm negativ iſt, ſo iſt aus eben dem Grunde

MðMM H und

64 Zweytes Buch. Funftes G Caditel.

und die Differenz zwiſchen dieſer und der vorhergehenden 0
Gleichung alſſ. N
PM rEtrN- =Atza
W enn man daher aus m und n nach der erſten Applicte
PMN gerade, der Axe parallele, Linien zieht, welche die PNAN ſf
in den Punkten „ und⸗ betreffen, ſo iſt M nint

AI: m

P p
M † N= = —D, oder
* edi

M † N,: P p (oder m oder n;) = :: 5° cx,t
Es bleibt nemlich dieſes Verhaͤltniß ſtets daſſelbe, man mag Don
die Linien M N und mn in der Curve ziehen, wo man will, Prit
wenn ſie nur die Axe unter dem angenommenen Applicaten⸗ 11
Winkel ſchneiden, und die geraden Linien n⸗ und m der 11S
Axe parallel 8 gezogen werden. in
Mhere
Wenn Fig. 20. die Applicate P MN ſo weit fortgeruͤckt iie .
wird, bis die Punkte Mund N zuſammenfallen, ſo beruͤhrt littt, ſ⸗
die Applicate die Curve; denn wenn die beyden Durch⸗ molge

ſchnittspunkte zuſammenfallen, ſo verwandelt ſich die Ap⸗
plicate, welche ſonſt die Curve ſchneidet, in eine Tangente.
Es ſey K CI eine ſolche Tangente, und ihr parallel ſeyen dr
in beliebiger Anzahl gerade Linien M N, mn, welche der *
Curve auf beyden Seiten begegnen, ſo wie aus den Punk⸗ aſe
ten M, N, m und n nach der Tangente die geraden Linien
MI, NK, und mi, nk der vorhin angenommenen Axe pa⸗
rallel gezogen. Da hier CK, c k auf die entgegenſtehende

Seite des Punktes C fallen, ſo muß man ſie negativ neh⸗
men, und es iſt demnach NRte
CcI — CK: MI = ⸗‧: °, und ir!
Ci — Ck: mi =⸗ e: folglich el

2

n Mlcate

Gediene

„

ſe, Man
o man wil,
Myylicaten⸗
d wp N

gerüct
1 u int
den Duc⸗
16 de
e Tongdnt
ynla ee
nelhe der
dencnt⸗
d lpien
nen Ne ⸗
ene ſſende
4 eh⸗

Von den kinien der zweyten Ordnung. 65
cI — CK: MI = Ci — Ck: mi, oder
MI : mi = cI — CK : ci—Ck.

Da die Lage der Axe in Ruͤckſicht auf die Curbe willkuͤhr⸗
lich iſt, ſo wird allemal, wie man auch die Linien MI, N K,

mi, nk zieht, wofern ſie nur einander parallel bleiben,

MI: mi = CI – CK: Ci — Ck ſeyn. Zieht man daher
die Linien MI und NK ſo, daß CI = CK wird, oder der
CL, welche, aus dem Beruͤhrungspunkte C gezogen, die
Ordinate M N in L in zwey gleiche Theile theilt, parallel:

ſo wird CI — CK = o, und folglich auch Cci — Ck =

mi . 2 B
1 (CI — CF) = o. Verluaͤngert man alſo CL. bis in l,

ſo wird, weil auch mi und nk der C parallel ſind,
mI = Ci, und n1 = Ck, und folglich ml = nl. Wenn

daher eine durch den Beruͤhrungspunkt C gezogene gerade
Linie CLI eine der Tangente parallele Ordinate M N hal⸗

biret, ſo halbiret dieſelbe auch alle uͤbrige dieſer Tangente

parallele Ordinaten mn.

F. d0.
Da die Linie C LI, Fig. 20, alle der Tangente ICK
parallele Ordinaten in zwey gleiche Theile theilt, ſo pflegt

man ſie einen Durchmeſſer der Linie der zweyten Ord⸗

nung oder des Kegelſchnitts zu nennen. Es laſſen ſich da⸗
her in jeder Linie der zweyten Ordnung unzaͤhlige Durch⸗
meſſer ziehen, weil es fuͤr einen jeden Punkt dieſer Linie
eine Tangente giebt. Die Tangente ICK mag nemlich ge⸗
geben ſeyn, wo ſie will, ſo wird allemal, wenn man M N
der 1CK parallel zieht und in L halbiret, die gerade Linie
CL alle der IK parallele Ordinaten in zwey gleiche Theile
Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. Il. D. E theilen

—UN

Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel.

theilen, und folglich ein Durchmeſſer der Linie der zweyten

Ordnung ſeyn.

§. 91.
Hieraus folgt auch, daß die gerade Linie LI, welche
irgend zwey einander parallele Ordinaten M N und mn in

zwey gleiche Theile theilt, ebenfalls alle uͤbrige der M N:

und mu parallele Ordinaten in zwey gleiche Theile theilen
werde; indem es irgendwo eine der M N und mn parallele
Tangente [K, und fol glich einen Durchmeſſer geben muß.
Hieraus laͤßt ſich eine andere Methode ableiten, in einer
gegebenen Linie der zweyten Oednung unzaͤhlige Durchmeſ⸗
ſer zu finden. Zieht man nemlich nach Belieben zwey ein⸗
ander parallele Ordinaten oder Sehnen M N und mn, und

halbiret dieſelben in Lund 1: ſo halbiret die durch L und 1
gelegte gerade Linie auch alle uͤbrige der M N und mn pa⸗

rallele Ordinaten, und iſt folglich ein Durchmeſſer. Wenn

dabey der Durchmeſſer, verlaͤngert, die Curve in C trifft, ſo
beruͤhrt die durch C den Ordinaten parallel gezogene gerade J

Linie IK die Curve in dem Punkte C.

K. 92.
Zu dieſen Eigenſchaften hat uns die Betrachtung der
Summe der beyden Wurzeln von y in der Gleichung

(X † -) XX † β †
vi N e e

das Produtt beyder Wur geln P M. PN ( (Fia 19): —
x t ere Ax1XI
„
entweder zwey reelle Wurzein oder nicht. Jenes findet
Katt, wenn die Curve von der Axe in zwey Punkten E und F
ge⸗

iſt, und dieſer Ausdruck

”

hat

die Ap⸗
wofetn
W
ſaſ,

Umede
werden

ODin

PM.,
de
llt we
hotolel
WM.d

Wen
gegel

El, valhe
Und mn in
e der N
hele theilen
geben n.
n, in ee
Durchmneß⸗
1 ſrcn ein⸗
d un, M
dort Lunl
dan dͦ
ſe. Wumnng
1 ſft ſ
egenegende

utung d

9 a, N
*
4
th

nes fide

en 3 Mr
8

Von den linien der zweyten Ordnung. 67

geſchnitten wird. Denn weil alsdann y = o wird, ſo iſt

XX T $ X T
5
und AF die Wurzeln von x. Hieraus fließt lnach Th. I.
Cap. 2. F. 29.]

XX † £ X † &
0 ) EF

weil = A P iſt; und man hat folglich allezeit

= o: und es ſind demnach AE

dann auch

„
PM. P N = 5 PE. PF, oder

PM. P N : PE. P F = ): &,
die Applicate PM N mag gezogen werden, wo man will,

wofern nur der Winkel N PF dem angenommenen Applica⸗

ten⸗Winkel gleich iſt. Zieht man alſo die Applicate mn,
ſo iſt, da Ep und pm negativ ſind,
F. Pu „ pFE. ÿPf

K. 93.
Schneidet alſo, Fig. 21. eine gerade Linie PEF eine
Linie der zweyten Ordnung in den Punkten E und F, und

werden auf dieſelbe in beliebiger Anzahl einander parallele

Ordinaten N M P, npm gezogen, ſo iſt allemal
PM. PN : PE. PF= pm. pn: pE. pF = à: %
Und da die Lage der Axe willkuͤhrlich iſt, ſo iſt auf aͤhnliche
Art, wenn man PM N die Axe ſeyn laͤßt, und e gr der PE F
parallel zieht,
PM. PN: PE. PF = qM. q N: qe. q= =pm. pn: pE. p
und folglich
qeqf: pE. pF = q M. q N: pm. pn
Wenn alſo zwey einander parallele Ordinaten ef und E F
gegeben ſind, und zwey andere unter ſich parallele Ordina⸗
E 2 ten

68 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitei.
ten MN und m n ſo gezogen werden, daß ſie jene in den Nc
Punkten P, p, q und r. ſchneiden: ſo iſt allezeit M
PM. PN: Pk. Pf = pm. pn: pF. pf= qM. N: qe. q’
— TrM Tn :re rf
und dies iſt die zweyte Haupteigenſchaft der Linien der unn
zweyten Ordnung. ”MUD H
V id,
Wenn die beyden Punkte M und N zuſammenfallen, ſo tndn
beruͤhrt die Linie P M N die Curve in dem Punkte, wo ſol⸗
ches geſchiehet, und es verwandelt ſich alsdann das Rechteck
PM P N in das Quadrat von P M oder PN. Hieraus
laͤßt ſich eine neue Eigenſchaft der Tangenten ableiten. Be⸗ e
euͤhrt nemlich, Fig. 24, die Linie CPp die Linie der zwey⸗ Rede
ten Ordnung in dem Punkte C, und zieht man in beliebiger Nän
Anzahl unter einander parallele Linien P M N, pm n unter lini⸗
einem und demſelben Winkel auf die Tangente CPp: ſo iſt Nten
nach der eben angefuͤhrten Behauptung . ergin⸗
PC2 : PM. PN=pC2 : pm. .p n, d. h. Pakte
wenn eine Ordinate M N die Tangente unter einem gege⸗ hudt⸗
Ddeenen Winkel trifft, ſo hat allezeit das Quadrat C Pz zu derg
dem Rechtecke P M. PN ein beſtaͤndiges Verhaͤltniß. derſt
4 JMä ſuoch
. 95. ha
Hieraus folgt auch, daß, wenn, Fig. 20, ein Durch⸗ d
meſer CD einer Linie der zweyten Ordnung, der alle unter dn
einander parallele Ordinaten M N, mn in zwey gleiche ininn
Theile theilt, der Curve in den Punkten C und Dd begegnet,
CL. LD : LM. I. N = C. 1D: Im. In n.
iſt. Da aber I. M = LN und Im = In, ſo wird hieraus ine
LMa : Ima = CL. LD: CI. 1D nd
d. d h. das Quadrat der halben Ordinate L. M hat zu dem
Recht⸗

ne der
N: ge⸗

Uinien der

en Durch
Fle tr
deh geihe
lch

Von den! inien der zweyten Ordnung. 69

al

Rechtecke CL. 1De n heſt aͤndiges Verhaͤltniß. Nimmt
man daher den Durchmeſſer CD zur Axe, und die halben
Ordinaten L. M zu den Applicaten an: ſo ergiebt ſich hieraus
eine Gleichung fuͤr die Anien der zweyten Ordnung. Setzt
man nemtich den Durchmeſſer C D= a, die Abeiſſe CL= x,
und die Applicate L. = y, ſo ſteht, weil dann LD=a—X
wird, y2 mit a X — x in einem beſtaͤndigen Verhaͤltniſſe.
Druckt man daſſelbe durch h: k aus, ſo erhaͤlt man für die
Linien der zweyten Ordnung die Gleichung: OMYMB

h
YY= - (a x — X *).

§. 96.
Betrachtet man die beyden gefundenen Eigenſchaften in
Verbindung mit einander, ſo gelangt man dadurch zur Ent⸗
deckt D anderer E Eigenſchaften. Es ſeyen, F ig. 22, in einer

Linie der zweyten Ordnung zwey einander parallele Ordi⸗

naten A; und C gezogen, und darauf das Viereck ACD E
ergaͤnzt worden. Zieht man nunmehr aus einem beliebigen

Punkte der Curve M die Ordinate M N mit A B und CD

parallel, welche folglich die geraden Linien AC und B D in
den Punkten P und Q ſchneiden wird: ſo ſind die Theile
derſelben PM und Q N einander gleich. Es theilt nemlich
[nach §. 91] die gerade Linie, welche die Ordinaten A B und
CD halbirt, auch die Ordinate M N in zwey gleiche Theile,
und eben das muß ſie nach der Elementar⸗Geometrie mit

dem Stuͤcke PC thun. Da alſo die Linien M N und P Q

in einem und demſelben Punkte halbiret werden, ſo muß
MP = N Q, und MQ = NP
ſeyn. Kennt man daher außer den vier Punkten A, B, C, D
einer Linie der zweyten Ordnung noch einen fuͤnften M, ſo
findet man daraus den ſechsten N, wenn man NQ= =S M P
macht.
E 3 . 97.

W:

70 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel.

§. 97.
Da alſo MQ. QN zu B Q. D Q ein beſtaͤndiges Ver⸗
haͤltniß hat, ſo muß auch, da Q N = MP iſt, MP. MQ
zu B Q. D Q ein beſtaͤndiges Verhaͤltniß haben. Zieht man

nemlich durch einen andern Punkt der Curve c die gerade

Linie G cH den Linien A B und CD parallel, und ſo weit ver⸗
laͤngert, bis ſie den Seiten AC und BD in G und H be⸗
gegnet: ſo hat auch c G. c H zu B H. D H eben daſſelbe be⸗
ſtaͤndige Verhaͤltniß, und es iſt folglich
c G. c H: B H. D H = M P. MQ: B C. D Q

Wenn aber durch M der Grundlinie BD parallel die Linie

RMS gelegt wird, welche den parallelen Ordinaten à B
und CD in Kk und s begegnet: ſo iſt auch, das B Q = MR
und D° = MS, das Verhaͤltniß MP. MQ: MR. M S
ein beſtaͤndiges Verhaͤltniß. Wenn al iſo durch irgend einen
Punkt der Curve M zwey gerade Linien gezogen werden,
davon die eine MP Q den gegenuͤberſtehenden Seiten A B

und CD, die andere R MS aber der Grundlinie B D parallel

iſt, ſo ſind die Durchſchnittspunkte P, Q, R und 8 ſo be⸗

weil Rs der BD parallel und gleich iſt. Ferner hat man, da

ſchaffen, daß MP. M Q zu M KR. MS ein deſtaͤndiges T Ver⸗
haͤltniß hat.

§. 98.
Wenn anſtatt der Ordinate CD, die der A B parallel
war, ir gend eine andere Ordinate Dc genommen, u und die
Sehne Ac gezogen wird, ſo daß die den Seiten AB und
B D parallelen Linien M Q und R MS die Seiten des Vier⸗
ecks A BDc in den Punkten p, Q, R unds ſchneiden: ſo
findet eine aͤhnliche Eigenſchaft ſtatt. Denn einmal iſt
MP. MQ : B Q. D Q— =CG. Cc H : B H. D H, oder
MP. M Q: MR. MS = C G. c H : B H. D H,

1

N
ſpie
hotherg
MI!
und ar
nachſe

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ennehr
MX.
XS

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ſhi
NN
e
den
ben

90
die Linie
incten A3

D Nd
d ſol⸗

e Rorz,
ge ,

Von den linien der zweyten Ordnung. 71

AA Pp ι AA Gc, und AD GS AcHb iſt,
Pp: A P = Gc: A G, oder, da A P: AG= B Q: B H,
Pp: B Q (MR) = Gc : B H, und
DS (MQ : SSs = c H: D H. Hieraus fließt
MQ. Pp: MR. SS= cG. c H: B H. D H,
ſo wie ſich aus der Verbindung die ſer Proportionn mit der
vorhergehenden
MP. M Q: MR. MS= MQ. Pp : MR. SS
und aus dieſer durch Addition der vorhergehenden und
nachfolgenden Glieder
MP. MQ: MR. MS = Mp. MQ: MR. Ms

ergiebt. Man mag alſo in der Curve die Punkte e und M.

annehmen wo man will, ſo iſt das Verhaͤltniß Mp . M Q:
MR. Ms allemal daſſelbe, wofern nur die Linien M Q und
Rs durch M mit den Sehnen A B und B b parallel gezogen
werden. Nun fließt aber aus der letzten Proportion folgende:
MP: MS= Mp: Ms;
und da alſo, wenn man den Punkt c veraͤndest, bloß die
Punkte p und s be kaͤndert werden, ſo bleibt bey aller Ver⸗
aͤnderung, die man mit c vornehmen mag, wenn M un⸗
veraͤndert beybehalten wird, das Verhaͤltniß Mp: Ms ſtets
ein und eben daſſelbe.

Sind in einer Linie der zweyten Ordnung, Fig. 23, vier

Punkte A, B, C und b gegeben, und die Linien A B, B D,

DC und CA gezogen, ſo daß ABCD ein in der Curve be⸗

ſchriebenes Biereck iſt: ſo findet man durch das Borhe ge⸗

hende die allgemeinſte Eigenſchaft der Kegelſchnitte. Zieht
man nemlich aus irgend einem Punkte der Curve M nach
den Seiten des in ihr beſchriebenen Trapeziums unter gege⸗
benen Winkeln die Linien MP, MQ, MR und MS, ſo ſind
ECE 4 alle⸗

2 Zweytes Buch. Saͤuftes Capitel.

allezeit die Rech tecke zwiſchen je zweyen dieſer Linien, die
nach gegenuͤberſtehenden Seiten gezogen ſind, in einem ge⸗

gebenen Verhaͤltniſſe; oder es iſt das Verhaͤl tniß MP. MQ:

MR:. M S8 ſtets eben daſſelbe und gegeben, man mag den
Punkt M annehmen wo man will, wofern man nur die
Winkel bey P, Q, R und8 dieſelben bleiben laͤßt. Um ſich
hiervon zu uͤberzeugen, ziehe man durch M die Linie Na

der AB, und die Linie rs der B D parallel, und bezeichne

die Punkte, in welchen dieſe Linien die Seiten des D Trapt⸗

ziums ſchneiden, durch die Buchſtaben p, q, r und s.
Alsdann iſt nach dem Vorhergehenden Mp. M q zu Mr. Ms

in einem gegebenen Verhaͤltniſſe. Da ferner alle Winkel

gegeben ſind, ſo ſind auch die Verhaͤltniſſe MP : Mp,
MQ: Mq, MR: Mr, und MS: Ms gegeben. Hieraus
fließt, daß auch MP. M Q zu MR. MS ein gegebenes d Ver⸗

haͤltniß hat.

§F. 100.

Wir haben oben [§. 94] geſehen, daß, wenn, Fig. 24,

parallele Ordinaten, M N, mn verlaͤngert werden, bis ſie
einer Tangente CPp in bP und p begegnen, PM. PN: CPz
= pm. pn: Cp= iſt. Rimmt man daher die Punkte l.
und 1 ſo, daß PL die mittlere Proportional⸗Linie zwiſchen

PM und P N, und pl die mittlere Proportional⸗Linie zwi⸗
ſchen pm und pn wird: ſo iſt PLa: CPz = pl?: Cpz,
und folglich PL: CP = pl: Cp; woraus erhellet, daß
alle Punkte L, 1 in einer geraden Linie liegen, die durch
den Beruͤhrun gopunkt C geht. Wenn daher eine Applicate
PM N ſo in I. geſchnitten wird, daß PLZ = PM. P N

iſt, ſo theilt die gerade Linie CLD, welche durch die Punkte

C und I. ge⸗ zogen wird, auch alle uͤbrige Applicaten ſo in l,

daß b! die mittlere Proportional⸗ Linie zwiſchen p m und pn
iſt.

Rot
Oedoun
nen get
ſelcher
deckung
Agens

lir, e

n. Hrn

; z6 Nyr
gebenes n

enn, o
cen, No/ ſt
.N: C
Ni n
inie zp ſe
eline pod
9l¹: 09*

, De kud

...) 1
dieunte⸗
ten ſo n
n n

Von den linien der zweyten Ordnung. 73

iſt. Und wenn zwey Appliecaten P N und ꝓpn ſo in L und 1

geſchnitten werden, daß P Lz = PM. P N, und plz =
pm. pn iſt, ſo geht die gerade Linie Ll verlaͤngert durch
den Beruͤhrungspunkt C, und ſchneidet alle uͤbrige Appli⸗
caten, die der PM N und pmn para llel ſind, in eben dem
Verhaͤltniſſe.

Nachdem wir dieſe Eigenſchaften der Linien der zweyten
Ordnung, die aus ihrer Gleichung unmittelbar fließen, ken⸗
nen gelernt haben, ſo wollen wir uns zur Unterſuchung
ſolcher Eigenſchaften dieſer Curpen wenden, deren Ent⸗

deckung etwas mehr Nachdenken erfordert. Iſt alſo die
allgemeine Gleichung fuͤr die Linien der zweyten Ordnung,

C DxX † X
gegeben, nach welcher zu jeder Abſeiſſe A P = = (Fig. 25)
eine doppelte Applicate y, nemlich P M und P N, gehoͤrt:
ſo laͤßt ſich die Lage des Durchmeſſers, der alle Ordinaten
M N in zwey gleiche Dheile theilt, beſtimmen. Es ſey I G
dieſer Durchmeſſer, der folglich die Ordinate M N in dem
Halbirungs⸗Punkte L. ſchneiden, und dieſen Punkt mit der
M N gemein haben wird. Man ſetze PL = 2, ſo iſt, da

Sl — X — 7
— £ PM † 2æ P N iſt, — — - oder

2 62 † =X † † = o;

und durch dieſe Gleichung wird die Lage des, Durchmeſſers

beſtimmt.

§8. 102.

Auch laͤgt ſich daraus ferner die Laͤnge des Durchmeſſers
16 (Fig. 25) finden, wodurch man die beyden Stellen der
E § Curde

74 Zweytes Buch. Fuͤnftes Caritel.

Curve kennen lernt, wo die Punkte M und N zuſammen⸗

fallen, oder wo P M = PN wird. Es iſt nemlich aus der

gegebenen Gleichung (§. 87 und 92]
— rr und PM. PN= AX =;
2 2
und folglich, Iwenn P M = P N 'iſt,]
(PM — P N) 2 = (P M † P N) 2 — 4 P M. P N =
L.—XT 2— 2 2) 2 † 2— 42)

PMYTPNZ=

ao:
oder
2 (285 — =v*) „ — 4 a0
è
und die Wurzeln dieſer Gleichung ſind A K und AK, ſo daß
2⁄7%
AK fAH= — 5 und
— 44 ⁶
AK. 1n= — 5*

wird. Hieraus fließt

(A H — A K) 2 = K Ha =
0222— ) 2 — 4 (²* — 4 ⁹) 22—422)

(⸗ 5 — 4 %%) 2
und dabey iſt
1 †4 66
162 = K He
4 °6

indem die Applicaten auf der Axe ſenkrecht angenommen

werden.

§. 102.
Es ſeyen die Applicaten, die wir bisher betrachtet ha⸗

ben, auf der Axe A H (Fig. 25) ſenkrecht, und daraus nun⸗

mehr eine Gleichung fuͤr ſchiefwinklige Applicaten zu finden.
Man ziehe aus einem Punkte der Curve M die Applicate

Eett

6

hene
ſwi

es

he⸗
gun⸗
nden⸗
M

Von den linien der zweyten Ordnung. 75

Mp unter dem Winkel MPH ſchief auf die Axe, und ſetze

ſin. Mp H = «, und coſ. Mp H = ö. Ferner ſey die neue
Abſciſſe Ap = t, und die Applicate p M = u. Alsdann iſt

= „, und 1 = „, und folglich
U U

y = Au, und X = t † u.
Setzt man aber dieſe Werthe in die zwiſchen und y gege⸗
bene Gleichung, o = « † 6x † Yy † àXX † X† &V*⅜ν
ſo wird
0 = a † 8t † „»3u†6&tt † 2 t u † „„ u
† „ανH † stu † α U
k* „αα6
oder
5ñäe „S) u † Dtt t
Ees T ers 11 3

9. I04.

Hier hat wieder jede Applicate einen doppelten Werth,
nemlich p M und pn, und es laͤßt ſich daher der Durch⸗
meſſer ilg der Ordinaten Mn auch wieder wie vorhin be⸗
ſtimmen. Theilt man nemlich die Ordinate Mn in I in zwey
gleiche Theile, ſo liegt der Punkt 1 in dem Durchmeſſ er;
und ſetzt man pl = v, ſo wird
PMTPDN= — (a: T. 2 9) t — 47 — p8
E 2 (K Aσ † Kανsς† vr)
Faͤllt man ferner aus 1 die Linie 14 auf die Axe A H ſenk⸗
recht herab, und ſetzt dabey
Aq = p, 1e ſo wird

*

„= 2, und = — = — ; folglich
4 4
V = —; und t = — V=b — —.
* 1 2 HW
Bringt

1pOo — AOl, und folglich ſeine Tangente, oder

X

„76 Zwepytes Buch. Fuͤnftes Capitel.

Bringt man dieſe Werthe in die vorhin zwiſchen t und
geſundene Gleict ung, ſo erhaͤlt ma
2 r:2 2r h ira it a-23: 4 — . r — 1

* 2 ℳ † 2 6 † 21v 9
— oder
Guzèo.) q † ( s † 2 %) p † r = 0
oder

B (an? †v"a) r (u= † 2,) p t a**ε
und durch dieſe Gl Lichung k wird die dage des Durchmeſſers
ig beſtimmt.
9. 105.
Nun ſchneide der erſte Durchmeſſer 16, deſſen Lage
durch die Gleichung 2 62 † =2 † 7 = o [§. 101] beſtimmt
wurde, verlaͤngert, die Axe in O, ſo wird

40 = = 5= und folglich ?O = — — x, und
65

— 2

tang. LO P = = — — = 26 und tang. MLG = —.

P0O +2 2 2 82
Ferner treffe der andere Durchmeſſer ig, verlaͤngert mit
der Axe in o zuſammen, ſo wird
— 2 — Z “ † 2 JJ 1

8
AO = – – Und tang. Aol =
s † 2 % 4. 8 24 †r

Da mun tang. AO I. = — iſt, ſo ſchneiden ſich die bey⸗

den Durchmeſſer IG und ig einander in irgend einem
Punkte C, und machen einen Winkel OCo = A 01 —

AO L., und es iſt demnach
4 % — s e
4 4 %%† 2rde † 21s% †s

tang. OCπo —

Der Winkel hingegen, unter welchem der zweyte Durch⸗

meſſer ig ſeine Ordinaten halbirt, iſt M1o = 180⁰ —

tang⸗

ung

,

kage
fünme

,kep

einem

01—

1;:

Von den linien der zweyten Ordnung. 7

2 % ε & † 2 % y *s T† 2 5pÜ SGb e

*XX)
E⸗ † 2 % — 2 ℳ% * — v» pJs

tang. MI Oo =

*) Da nemlich, aus der Gleichung am Ende des vorhergehen⸗
— u7 — 16 – (2 K ε£ Tv„ .
1. 8 iſt, ſo
5 † 2½

den §, A q = p =

1 „ † 2
AOlI = =— — = — .
q0 AO – Aꝗ 2 “6° † s
*) Dieſe Beſtimmung ergiebt ſich aus tang. (« — 6⁶) =
tang. „ –— tang 6

D wenn man tang. „ = tang. AOIl,
1I † tang. 4. tang. 6⁶

und tang. 8 = tang. AO L. macht.

**) Es iſt nemlich tang. Mlo = tang. (1800 — lIpo — Aol)
tang. (1800 — 1p0) — tang. AOI
—, und tang.
1 † tang. (1800 — 1po0). tang. AOI .

(1900 — 1p o) = —– tang. Ipo= — 6.
5
§. 106.
Fetzt wollen wir den Punkt C betrachten, in welchem
ſich die beyden Durchmeſſer 16 und ig ſchneiden. Faͤllt

man aus demſelben auf die Axe die ſenkrechte Linie o0

herab, und ſetzt dabey
AD= g; und CD =h;
ſo wird, einmal, weil C in dem Durchmeſſer 1G liegt,
V 2 6h†sg † Y† = 0
und zweytens, weil ſich C auch in dem Durchmeſer ig
beſindet,
(2 46 †v"¹) h † (4: † 2 ) g † uτ †" = o.
Zieht man nun von dieſer zweyten Gleichung die erſte, durch

& multiplicirt ab, ſo bekoͤmmt man
„sh

78 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel.
"th † 2rdg †"ς = o, oder h † 2g † 6 = o
und aus der erſten und dieſer letzten Gleichung wird

k= = eolalich
= 5 — = — „folglich

(2S — 4 %%g = 26 — 7*, und
286 — „ 2 7% — 2
— h — — — —
8 : und h — 4 °
Da in dieſen beyden Beſtimmungen die Groͤßen „ und ,
von welchen die Schiefe der Applicaten p Mn abhaͤngt, nicht
mit vorkommen, ſo erhellet daraus, daß der Punkt C un⸗
veraͤndert bleibt, wie die Schiefe der gedachten Applicaten
auch immer ſich andern mag.

§. 107.
Es ſchneiden ſich alſo die Durchmeſſer 106 und ig ſtets
in demſelben Punkte C, und hat man denſelben einmal ge⸗
funden, ſo gehen alle Durchmeſſer durch ihn; ſo wie auch
umgekehrt alle durch dieſen Punkt gezogene gerade Linien
Durchmeſſer ſind, und daher alle unter einem gewiſſen be⸗
ſtaͤndigen Winkel gezogene Ordinaten in zwey gleiche Theile
theilen. Da es alſo in jeder Linie der zweyten Ordnung nicht
mehr als einen Punkt von dieſer Art giebt, und darin alle
Durchmeſſer ſich ſchneiden, ſo pflegt man dieſen Punkt den
Mittelpunkt der Linien der zweyten Ordnung zu nennen.
Man findet denſelben aus der Gleichung

= =† 6Ex † Yy † xx † -xy † eyy

wenn man AD = . 5 . annimmt, und dabey CD=
2¾2 59 — £$s
— —,5 2 macht.

geſch

di

„Wey
gt
0 u⸗
licaten

binien
De
nit
ſtole
tt den
ennen⸗

09.

Von den klinien der zweyten Ordnung. 79

§K. 108.

Nun haben wir oben S. 102] gefunden, daß AK † AH =
46 —

ſey, und dabey ſind I K und H aus den End⸗

s — 355
punkten des Durchmeſſers 16 auf die Axe ſenfrecht herab⸗
AKTAHI
gefaͤllt. Hieraus erhellet, daß AD = —— iſt, und

daß alſo der Punkt D in gleicher Entfernung von K und H
in der KH liegt. Es liegt daher auch der Punkt C in der
Mitte der Durchmeſſers I06, und da dies auch von jedem
andern Durchmeſſer gilt, ſo ſchneiden ſich nicht nur alle
Durchmeſſer in einem und demſelben Punkte, ſondern ſie
theilen ſich auch einander insgeſammt in zwey gleiche Theile.

K. 1009.
Nun ſey, Fig 26, irgend ein Durchmeſſer Al die Axe,
und der Winkel, den die Ordinaten M N mit demſelben ma⸗
chen, oder APM, = q, ſein Sinus = m, und ſein Coſinus
☛n. Setzt man die Abſciſſe AP = x, und die Applicate
PM = „, ſo verwandelt ſich, da die Applicate zwey

gleiche entgegengeſetzte Werthe hat, deren Summe folg⸗

lich = o iſt, die allgemeine Gleichung fuͤr die Linien der
zweyten Ordnung in folgende:
yy = † $X † XX X
und dieſe Gl eichung giebt, wenn man y = o ſeyn laͤßt,
die Punkte der Axe G und 1, wo dieſelbe von der Curve
geſchnitten wird. Es hat nemlich die Gleichung

XX † † . =
die beyden Wurzeln, = AG, und X = Al, und es iſt daher

— £
—, und AG. AI = –.
2 7
Da

90 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel.

Da nun der Mittelpunkt C in der Mitte des Durchmeſſers
61 liegt, ſo wird derſelbe leicht gefunden, indem
AGTATI —

27

AC =

§. I10.

Kennt man den Mittelpunkt einer Linie der zweyten
Ordnung C in der Axe AI, ſo nimmt man denſelben am
fuͤglichſten zu Anfangspunkte der Abſeiſſen. Man ſetze alſo
Cp S=t, ſo erhaͤlt man, da P M = „ bleibet, und =

AC –— CP = — — t iſt, folgende Gleichung zwiſchen
2 % .

—

den Coordinaten t und y
vy= ⸗— 2 186 — 6t 1 t 7tt
oder
6 tt

Fyy = a —
Setzt man alſo » fuͤr t, man eine allgemeine Glei⸗
chung fuͤr die Linien der zweyten Ordnung fuͤr den Fall,

wenn irgend ein Durchmeſſer zur Axe und der Mittelpunkt

zum Anfangspunkt der Abſciſſen angenommen worden iſt,
nemlich
yy = ℳ — gXX

Macht man alſo y» = o, ſo wird C( G = CI = V D und

es iſt demnach der ganze Durchmeſſer GI = 2 V “

Setzt man = o, ſo findet man die Ordinate durch

den Mittelpunkt, EF: es wird nemlich CE = E = e.

und

ind d

Curbe

und
Odi⸗
Dure
W
Durch
neſe
hinnt
eri

Norch
vndr
den.
beſhea
nal
Eige
Non
n
Dura

die⸗

Mecd

Pen
col.

ſers

lyten
n an
aſeo

ſce

Von den Linien der zweyten Ordnung. gr.

und folglich die ganze Ordinate EF = 2 V . Da dieſe
Ordinate durch den Mittelpunkt geht, ſo iſt auch ſie ein
Durchmeſſer, [§. 107], der den Durchmeſſer I unter dem
Winkel ECG = q ſchneidet. Es theilet aber dieſer zweyte
Durchmeſſer EF alle Ordinaten, die dem erſten Durch⸗

“ meſſer OGI parallel ſind, in zwey gleiche Theile. Denn

nimmt man die Abſciſſe CP negativ, ſo bleibt die zu ihr
gehoͤrige nach I zu fallende Applicate der vorigen P M gleich;
und da ſie ihr auch parallel iſt, ſo wird die gerade Linie
durch die beyden Punkte M dem Durchmeſſer GI parallel,
und muß folglich von EF in zwey gleiche Theile getheilt wer⸗
den. Es ſind alſo die beyden Durchmeſſer GI und EF ſo
beſchaffen, daß jeder alle Ordinaten, die dem andern pa⸗
rallel ſind, in zwey gleiche Theile theilt, und wegen dieſer
Eigenſchaft werden ſie zuſammengehoͤrige Durchmeſſer ge⸗
nannt. Wenn alſo in den Endpunkten G und 1 des Durch⸗
meſſers Ol gerade Linien gezogen werden, die dem andern
Durchmeſſer EF parallel ſind, ſo beruͤhren dieſe Linien die
Curve, und eben dieſes thun die geraden Linien, die durch
die Punkte E und F dem Durchmeſſer 6 1 parallel gelegt
werden. §. 911

§. 112.

Nun ziehe man (Fig. 26) irgend eine ſchiefwinklige Ap⸗
plicate M Q., und ſetze dabey A Q M=; ſin. A Q M= ;
coſ. A QM = ;-; die Abſciſſe C Q = t, und die Applicate
MQ= u. Da in dem Dreyecke P M Q der Winkel
PMQ= 9 — q, und alſo ſin. P MQ = An — -m
iſt, [§. 128 des erſten und § 109 des zweyten Buchs], ſ
verhaͤlt ſich
y: u: PQ=: m: en — m
und es wird alſo
Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. 1. B. 5 7—

. 82 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel. .

3 y = —; P0 = — und
— ep
x = t — PQ = t — E — Wn.
m e
Bringt man dieſe Werthe in die Gleichung yy = — βX,
oder yy † 6xXx — 4 = o, §. I10, ſo wird
(es † β (en – em) 2) uu — 2 βm (An — »m) tu †
Omztt — Amze = O D
Aus dieſer Gleichung ergiebt ſich fuͤr die Applicate u ein
doppelter Werch, QM und — En, und es wird alſ
2£ m (uAn — m)t P
g= T e(aν— m) 2
Theilt man man die Ordinate Mn in p in zwey gleiche
Theile, ſo wird die gerade Linie Cpg ein neuer Durchmeſ⸗
ſer, der alle der Mn parallele Ordinaten halbirt, und
dabey iſt n.
Qp= &m (un — »m)t .
E † 6oα — vm, =ðWMD —
H. II3.
Hieraus aber fließt
„ Qp Emf(n –ym)
tang. GCg = — = „
1 8 CE CQ† r Qp „ † („n — » m) und
C Q 2K P 8 («n —– »m) 2
tang. Mpg = — — ſor
§. P& p QT r. CQ † ⁸& (En — m) C' †me)
* und Mpg iſt der Winkel, unter welchem die neuen Ordi⸗
naten Mn von dem Durchmeſſer gi halbirt werden. Fer⸗
ner iſt L
Cyp = CO T Op⸗ † 2,. CC. Op =z 6
8 Ed E a6ein(e — m) † &Sαt — mn)2
Get T 6A—, m))2 “LUV
und

l 4 *

Von den kinien der zweyten Ordnung. 93
und folglich
= HAt W E- † 2 £ρn * — »m) † 68 uen — em)2)

te † (n — ,»m 2
Setzt man Cp = r, und P M = s, ſo wird

r — (H“α% † & (en — vm) 2)r
*V CD 26n Gen —, m) T 8 — m))
er f und
u = s † Qp =
i 4. m (n – vm) r
4 1 VD⅓ 2 αςοτ — m) T &α , m) 2)
Dieſe Werthe geben ferner
— 5* 4. Een — mDr
lit⸗ = . .
tchn⸗ — (An — m) § „* P
1, = — — F WC. .. . . . G
und dadurch verwandelt ſich diechleichung yy P xX — a = 0 in
(tre T 8h - rm) 2)ss 8Cς † β (es — »m) 2) rr
m m Kefe P 2 60.h E— vI) T† G8 (Sn -— mm) *
— — 0
FK. 114.
,inl Druckt man nun den Halbmeſſer CG durch und den
halben zugehoͤrigen Durchmeſſer CE = CF durch g aus,
2 ſo wird “
tm), f= V =—, und 5 M, oder
6 .
⸗ * = g g; = 6g, und alſo vy Er- = gg.
Setzt man ferner den Winkel G cs = ſo wird
uuauauamc(s—
ng. Fe . D l
H 23BB22 AInd

24 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel.

und da, wenn man ECe = z ſetzt, indem cCcE= iſt

— ſn. i e) 7); » = Coſ. (q†); in — lin. qꝗq; n = coſ.

Es iſt demnach

tang. p æ
8. ſin. q. ſin. æ 6. tang. q. tang. æ
ſmn. 4 T 7) † 2 coſ. q. ſin. æ tang. q † tang. 1tang. „;
ſin. p =

L. ſin. q. ſin. =
V Ce.b † 2 (en –— vm) † 68 (En — 5
und

†. scan — -m) 2 = (ſin. (q † æ)) 2 † s(ſin. æ) 2

Braucht man dieſe Werthe, ſo findet man folgende Glei⸗
chung zwiſchen vr und s:

((ſn q †: q † ⸗ † 8⁸ (ſin. æ) 2 S ((ſin. q † ) 2 † (ſin. ) 2) rr.

ſin. ꝗ)⸗ 62% (ſin. q)2(ſin. 2) 2
(ſin. p) 2 — « = 0
Es iſt aber L
tang. p. ſin. (q† ,,à tang. p (tang. q † tang.*)

ün. — coſ. q. tang. pſin. „ tang. (tang. q — tang. P)

AS — cot. æ. tang. 4 † 1 ‚ oder

ff— cot. p. tang. q — 1
fi – gg
gg. cot. p – ff. cot. æ
woraus ſich eine Menge von Folgen ableiten laͤßt. Es iſt
aber

tang. q =

agg= ſin. p. ſin. (q † )
f Aſin. x ſin. (4 — p)

g. 115.

Es ſey der Halbmeſſer Cg = a, und der zugehörige

Oalomeſer Ce = b; ſo fließt aus der vorhin lzwiſchen

B

r-—

oder

i

huige

oder, weil ES

Von den inien der zweyten Ordnung. 98

. und §s §. 114] gefundenen Gleichung [wenn man darin
s = 0 werden laͤßt]
ſin. q. ſin. V æ8
n. p V ((ſin. q † æ) 2 † 2 (ſin. æ) 2)
gg.: fin. q. ſin. æ
Kn. p V(If(ſin. (4 en † gg (ſin. æ) 2)
,g
f
darin r =o ſetzt,t

b =

[weil Va S = 22 und £ = O iſt, J. 114] und wenn man

fg. ſin. q
V Eff (ſin. (q † )) 2 † gg (ſin. ) 2)
und es iſt daher
I. . ur.

ain. q1*.

En. “l õ

Nun iſt (ſin. (q † *2 — ECün. 7) 2 =

fin.(q † ) † ſin. p. ſin. x) =

und folglich
gg. ſin. x ſin. q. ſin. (q — p)
f. ſin. p ſin. (q † ) .”
Afſin. p. ſin. (q † ) iſt
An. r. ſin. (q — .
ſin. q. ſin. (q † *)
ſn. (q — p). ſin. (q Tæ — p)
ſin. q. ſin. (q — p)
ſin. (q †). ſn. ( † * — p)
alſo
b = f. ſin. (q † æ): g. ſin. (q — p und

ſin. q — p) 2

a = f und

m. a b = fg. Kn. n

ſin. 4 † æ — p) S
F 3 116

ſin. q ſin. (q †). ſin. t—— P2 3

§. 116.
Wenn man alſo in einem Kegelſchnitte zwey Paar zuſam⸗
mengehoͤrige Durchmeſſer GI, EF, und gi, eß hat, ſo iſt
[aus I §. 115.]
Cg: Ce = CE. ſin. ECe: CG. ſin. GCg
und folglich
ſin. GCcg: D ſin. E Ce = CE. Ce: CG. Cg
und daher, wenn man die Sehnen Ee und g zieht
AGGCg = AECe
Ferner iſt aus II §. 115]
Cg; Ce = CG. En. GCe: CE. fin. g CE.
oder
Ce. CG. fin. GCe = CE. Cg. fin, g CE
und fogtich, w wenn man die Sehnen Ge und g E zieht,
AGCe = AgCE
oder, wenn man die gegenuͤberliegenden Dreyecke nimmt,
AICf = AiCF
Endlich giebt die dritte Gleichung a b. ſin. (q † — = —
fg. ſin. ꝗ,
Cg. Ce. ſin. g Ce — CG. CE. ſin. G C E
und zieht man daher die Sehnen eg und E G, oder die
gegenuͤber liegenden FI und fi, ſo iſt auch
AICF =— AiCf
und daraus folgt, daß die Parallelogramme zwiſchen je
zwey zuſammengeharigen Durchmeſſern einander gleich ſind.

§. 117.
Wir haben alſo drey Paar gleiche Dreyecke, nemlich
I. AFCf = AlICi
II. Af CI = AFC1
III. AFCI = AfCi
und daraus fließt die Gleichheit der Trapezien
FfCI =ilcCf.

Zieht

Zie
ſey
ner,
Nich
N

dn

N

lin,

Von den linien der zweyten Ordnung. 82

Zieht man hiervon das gemeinſchaftliche Dreyeck fCI ab,
ſo findet man AFIf = AlIfi; und da dieſe Dreyecke einer⸗

ley Grundlinie fl haben, ſo fließt aus ihrer Gleichheit fer⸗

ner, daß die Sehnen Fi und fl einander parallel ſind.
Auch iſt AFli = Aiff, und ſetzt man dieſe Dreyecke zu
den gleichen Dreyecken FCI und fCi, ſo werden die Tra⸗
pezien FCIi und i0fr einander gleich.

J. IIS.
Hieraus laͤßt ſich eine Methode ableiten, durch einen
jeden Punkt M einer Linie der zweyten Ordnung eine Tan⸗
gente M T zu legen. Es ſey, Fig. 27, der Durchmeſſer GI
zur Axe angenommen, und der halbe zugehoͤrige Durch⸗
meſſer CE. Man ziehe durch M die Linie MP nach der
Axe und mit CE parallel, ſo wird MP eine halbe Ordinate
und PD N = P M. Iſt nun auch CM, welches ein Halb⸗
meſſer ſeyn wird, gezogen, ſo ſuche man den damit zuſam⸗
mengehoͤrigen Halbmeſſer CK, und dieſem wird die geſuchte

Tangente M parallel ſeyn. Es ſey der Winkel GCE= q;

GCM= p; und ECK = xz; ſo iſt, wie wir (§. 114] ge⸗
ſehen haben
E Cz ſin. p. (ſin. ( . ) 4
6G2 E P) „und (). 115)
ſin. q. ſin. 1. (4 † )
ſin. T — P. ſin. (gq†* p)
Nun iſt t aber in dem Dreyecke CM P
MC2 = CP2 † M PZ † 2 P M. CP. coſ. g,
MP : MC = fſin. p.: fin. 4q, und
MP : CP fſin. p Gn. (4 — Pp)
Ferner iſt in dem Dreyecke CMT, da die Winkel gege⸗
ben ſind, .
CM: cT: MT = Gn. (4 † „): ſin. (q † æ — p) : fſin. p
F 4 Schafft

Ac= CG V

88 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel.
Schafft man daher die Winkel weg, ſo wird

MCG. CM
MC. CM 2 =
. MC= CGV CPET oder 00 CP. CT,
folglich
CbP: CG= CG: CTr Sð”

und hierdurch wird die Lage der Tangente ſehr leicht ge⸗
funden. Es fließt aber aus dieſer Proportion, wenn man

dieſelbe durch die Subteaction und Addition der Glieder
veraͤndert
CP: PG = CG: T G, und weil C(G= cI
CP: IP = CG: II.
§. 119.
Da CE; fin. p. ſin. (g 1.2) CK2 2r=
CoGz fſin. . ſin. (q — p) CM·= .
“ fin. p. ſin. q — p) CMZ ſin. q. ſin. (q † *)
ſin. æ ſin. (q † 2 C G2 ſin. (q — p) ſin. (q † æ= — p) nſ
CK2 ſin. q. ſin. (q — p) .
und 6E K n. d iſt: ſo wird
CE2 † CGz2 ſin. p. ſin. (q † ) † ſin. ſi (q — p)
= ‚und
CG2 ſin. æ. ſin. (q — p)
ſin. . dn. 44 — P i En. ſrn. 1 1 2 W
. GA⸗ in. x. ſin. (d ) 1
Nun iſt aber
ſin. A. ſin. B = g coſ (A — B) — ⅝ coſ. (A † 3) .
und umgekehrt P

2 cofa- — 4 cof B = ſin. . ſin. SG
Folglich iſt ſin. p. ſin. (q † *) † ſin. æ. ſin. (q — p) =
34 coſ. (q † — p) — ⅛ coſ. (ꝗq †— † p) † 2½ coſ. (q — = — p)
G — ¾ coſ. (q † æ= –— p) =
1eel G— r— b) — i cot A o7 1 ühn- ſin. ( † )
”M Ferner

—

9)

1

Von den ALnien der zweyten Ordnung. 89

Ferner iſt ſin. p. ſin. (q — p) † ſin. æ. ſin. (q † ) =
½ coſ. (q — 2 p) — ” coſ. q † £ coſ. q — ⅝ coſ. (q † 22)
= ⅜ coſ. (q — 2 p) — ” coſ. (q † 2) =
ſin. (q † æ — p). ſin. (p † æ)
Hierdurch wird
CETPCGZ ſin. q. fin. (p † 2)
= — „und
C G2 ſin. æ ſin. (q — p)
CKZ †CMzZ ſin. (q † æ — p). ſin. (p † æ)
CMNS = ſin. . ſint (q † )
und es iſt folglich
CE2 † CG2 CG2 fin. q. ſin. (q † æ) Cs⸗ CMz2
CKA TCMZ— CAZ ſin. (q—p)-lin. (q p) CMa Cz
oder ððW
CE2 † CG2 = CK2 † CMz.
In jeder Linie der zweyten Ordnung iſt alſo die Summe
der Quadrate jeder zweyer zuſammengehoͤrigen Durch⸗
meſſer eine beſtaͤndige Groͤße.

Wenn alſo zwey zuſammengehoͤrige Halbmeſſer CG und
CE, Fig. 27, gegeben werden, ſo findet man zu jedem
willkuͤhrlich angenommenen Halbmeſſer CM den damit zu⸗
ſammengehoͤrigen C K, wenn man
CK = V (CE2 † CG2 — CM)

nimmt. Es iſt daher wegen der obigen Eigenſchaften der

Kegelſchnitte
TG. TI : TMa = CG. CI: CK2 = CG2 CE= L
= CGz : CE2 † C Gaà — CMa=
und folglich
CE2 † CG2 – C M2
TC. I I.

Trä=CGV

90 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel.

Auf aͤhnliche Art kommen, wenn man die Ordinate MN
zieht, und durch N die Tangente NT legt, beyde Tangen⸗
ten M T und N T in einem Punkte der Axe TI, nemlich
in T zuſammen, indem fuͤr jede CP: C G = CG: Cc1 iſt.
Zieht man aber die Linie C N, ſo wird
CEZ † CG2 — CNZ

1 CGV
IN=CG/ TG. TI. .
und folglich
TM TNZ = CE2 † CGz — CM2: CE2 † CGa — CNz

Und da M N in P in zwey gleiche Theile getheilt worden
iſt, ſo iſt
ſin. CI M : Gn. GTN = TN : T M =
V(CE2 † CGz — CNz): V (CE2 ¼ C G2 — CM)

“ §. 121.

Nun lege man durch die Punkte A und B des Durch⸗

meſſers AB, Fig. 28, die Tangenten AK und BL., und
perlaͤngere irgend eine andere Tangente M T, bis ſie die
vorhergehenden in den Punkten K und L ſchneiden. Ferner
ſey ECF ein zugehoͤriger Durchmeſſer, und alſo ſowohl
die Applicate PM als die Tangenten AK und BL. demſelben
parallel. Da nun, wegen der Natur der Tangenten § 118]

CP: CA = CA : CT iſt, ſo wird, weil CB = CA
cp: AP= CA: AT3 und CP; BP = CA: B I.
folglich
CP: CA= CA: CIT = AbP : A T BDP: BT
und daher “MVM
AT: BT = A P: B b. Da nunz
AI : BI = AK : B L, iſt, ſo hat man
AK :BL= AP: BP.
Ferner fließt hieraus
AT

—N

en

“ R£ .

Von den linien der zweyten Ordnung. 91

CA. A D CA. B P
— —— BI — —
AT: = z B I1 — 5 —, und
CA. AP Ab. BP
T = 6 -— 1 AP = — — 5 —; und es iſt folglich

AILPL= CA: BPD= AK : PM.
Auf eine aͤhnliche Art wird
BT: PT = CA: AP = BL: P M, und daher

A. PM. CA. PM —CA PM·Z
BP AP D BP

Da nun AP. BP: PMz = 402 .ChE 2 iſt, ſo folgt hier⸗
aus die merkwuͤrdige Eigenſchaft, daß

iſt; und daraus wird ferner

A P B P
AK = CF 4I z BL = CE —
V BP: N AP
AP; BP = AKz : CE2 = CEa: BL KM: MI.

und ł
AK : BL = K M: LM

§. 122.

Durch was fuͤr einen Punkt M einer Linie der zweyten
Ordnung man alſo auch eine Tangente legen mag, welche
den parallelen Tangenten AK und BL in den Punkten K
und L begegnet, ſo iſt immer der Halbmeſſer CE, welcher
den Tangenten AK und BI. parallel iſt, die mittlere Pro⸗
portional⸗Linie zwiſchen AK und B L oder
CE2 =ẽ AkK. BL
Zieht man alfo durch irgend einen andern Punkt m auf eine
aͤhnliche Art die Tangente kml, ſo iſt auch
CE2 = Ak. B1, und folglich
AK : Ak = BI : BL., und
AK: Kk = BI: LI.
Schnei⸗

992 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel.

Schneiden ſich nun dieſe beyden Tangenten in o, ſo iſt ghe

A K: BI = Ak: B L= Kk: LIl = ko: lo = Ko: Lo wen
Und dieſes ſind die vornehmſten Eigenſchaften der Kegel⸗ durch
ſchnitte auf welche Newton in ſeinen Principiis Philoſo- I
phiae naturalis die Aufloͤſung einer Menge! der wichtigſtan eun
Aufgaben gegruͤndet hat. .D
§. 123.
Da AK: e o Lo, Kll⸗ wenn L B nach I da
verlaͤngert wird, ſo daß BI= A K der Punkt, wo die lo vnd
Tangente, die auf der andern Seite der KI. parallel gezo⸗ Aie
gen werden kann, die Tangente LB ſchneiden wuͤrde; ſo I
wie K der Punkt in der Tangente LK, wo ſie von der de ſiü
BL parallelen Tangente AK geſchnitten wird. Es geht heile
demnach die gerade Linie IK durch den Mittelpunkt C, und ſſſen
wird daſelbſt in zwey gleiche Theile getheilt. Wenn daher
zwey Tangenten B L. und LM auf die beſchriebene Art nach nd
I und K verlaͤngert, und von einer dritten Tangente Imo Vyan
in den Punkten 1 und o geſchnitten werden, ſo iſt ae
BI : BI = Ko: Lo, folglich
IB :II = K O: KI.
und alſo, die dritte Tangente Im . mag gezogen werden,
wo ſie will, allezeit Da n
1B. K L = II. Ko. G.
Zieht man alſo eine vierte Tangente X, welche die bey⸗ “

den zuerſt angenommenen IL und KL in den Punkten X

und ſchneidet: ſo iſt auch = u
IB. K L = I ). RKa, end folglich

11. Ko = I2. Ka, eder II: IX = K Ko l⸗
Zieht man alſo die geraden Linien 12 und A0, und thei⸗
let dieſelben in iegend einem Ver haͤltniſſe, ſo theilet die
gerade Linie, die durch die Theilungspunkte geht, die
Linie [K in eben dem Verhaͤ tniſſe, in welchem jene Linien

dit
ule
er ⸗
Philoh.

ſcigſen

Dmac!
wo de
llee⸗
Urde, ſ
der der
Es gche
10,
mn Mher
It noch

wene,

dee bey⸗
gkien

Von den kinien der zweyten Ordnung. 93

getheilet werden. Werden daher die Linien 14 und 0 in
zwey gleiche Theile getheilt, ſo theilt die gerade Linie, die
durch die Halbirungspunkte gezogen wird, auch die Linie
IK in zwey gleiche Theile, und geht folglich durch den Mit⸗
telpunkt des Kegelſchnittes C.

8b. 124.
Daß die gerade Linienm H, Fig. 30, welche die Linien
læ und Xo in einem gegebenen Verkhaͤltniſſe theilt, auch die
Linie KI in eben dem Verhaͤltniſſe theilen muͤſſe, wenn
II : 1X = K w: Ko, oder IM: A1 = Ko: o ℳ₰%

iſt; laßt ſich auf folgende Art geometriſch erweiſen. Es

theile die gerade Linie min die 1“ und Ao in dem Verhaͤlt⸗
niſſe m; n, oder es ſey
àQ m ⸗ mo = In : no = m : n
und dabey ſchneide ſie verlaͤngert die Tangenten IL und Kl.
in den Punkten Q und R: ſo iſt
In ne- Im mo m n
ſin. Q: ſin. R = — — = —
QI R α2 Ko — Q1 KRK
und folglich
Ql: Re = Q: Ro; und lX: o& = QX: Ro = Ql: Ræ
Da nun 12:.— 1,: Ko, ſo iſt auch

m n
Ql: RK = 1X: o “; Und ſin. Q: ſin. R = — : —
IX 0 α
Es iſt aber auch
—. f. HI HKE HI HK

AI — 1
HI R m n — sm, ine in ne

65. 125.
Wenn zwey zuſammengehoͤrige Halbmeſſer CG, CE,
Fig. 27, gegeben ſind, welche ſich unter dem ſchiefen Win⸗

kel GQCE = q ſchneiden, ſo laſſen ſich allemal zwey andere

.

WQOð” .

94 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel.

zuſammengehoͤrige Halbmeſſer C M und CK finden, die ge⸗
gen einander unter dem rechten Winkel MCK geneigt ſind.
Es ſey der Winkel GCM=p, ſo iſt, wenn man ECK = z
ſetzt, q † æ — p = 900, und folglich ſin. = coſ. (q — p);
und ſin. (q † æ) = coſ. p. Hierdurch wird nach §. 119

CE2 ſin. p. coſ. p ſin. 2 p
CG2 fſin. (q — p) coſ. (q — p) fin. 2 (4 — p) S
ſin. 2 Pp
* En.2. coſ,. 2 — coſ. 2 q. ſin. 2
und alſo
con ſin. 2 q. cot. 2 — eol 24, und cot. 2 G CM =
CE2
CGZ
cot. 24 † CEz. Gn.

eine Gleichung, deren Aufloͤſung allemal moͤglich iſt. Es
iſt aber

CMZ ſin. q. coſ. C G2 tan
— — R; und — — = I — — en nd alſo
CG;2 i., (q — p) CMzZ tang. ꝗ
CGZ
tang. b — tang. —4— CNZz tang. J
Da nun

CMZ † CK2 = CG2 F† CE 2; und CK. CM= CG. CE. n

iſt, ſo wird
CM T CK = V (CGz † 2CG. CE. ſin. q † CE2) und
CM—CK = V (C62 — 2CG. CE. ſin. q † CE2)

woraus ſich denn die rechtwinkligen zuſammengehoͤrigen

Durchmeſſer finden laſten.

. 126.
6E Seyn CA und CE, Fig. 29, die beyden rechtwink⸗
ligen zafammengehoͤrigen Halbmeſſer des Kegelſchnitts,
wel eman Hauptdurchmeſſer zu nennen pflegt, und welche

ſich

dad
t
Cur
uf
G
Dued

Von den linien der zweyten Ordnung. 95

NeH ſich in dem Mittelpunkte C ſenkrecht ſchneiden. Ferner ſey
eigid. die Abſeiſſe CP = X, und die Applicate P M = y. Als⸗
(KSè· dann iſt, wie wir, G9. II0, geſehen haben, Jy== 6XX;
(D und wenn man die Haupthalbmeſſer AC = a, und CE= b
d ſetzt, ſo wird «= bb, und 4 = folglich
— 2 bbXxX
- — bb —= 9
77 2 2

Da dieſe Gleichung unveraͤndert bleibt, man mag 2 und y
poſitiv oder negativ nehmen, ſo erhellet daraus, daß die
Curve vier gleiche und aͤhnliche Theile haben werde, die
I= auf beyden Seiten der Durchmeſſer AC und EF liegen.
Es iſt nemlich der Quadrant ACE aͤhnlich und gleich dem
Quadranten ACF, und ihnen liegen auf der andern Seite
des Durchmeſſers EF zwey gleiche gegenuͤber.

ſ. 8
J. 127. B
delt Wenn aus dem Mittelpunkte C, Fig. 29, welchen wir
zum Anfangspunkte der Abſciſſen angenommen haben, die
gerade Linie C M gezogen wird, ſo iſt
b
CM = V (Xx † yy) = V (bb — aba † X x)
. log. und wenn b = a, oder CE = CA iſt, ſo wird
CM= Vbbz= b = a.
2) und In dieſem Falle ſind alſo alle aus dem Mittelpunkte nach der
) Curve gezogene gerade Linien einander gleich; und da dies die

höri Eigenſchaft des Zirkels iſt, ſo erhellet, daß ein Kegelſchnitt,
in welchem die beyden zuſammengehoͤrigen Hauptdurch⸗
meſſer gleich ſind, nichts anders als ein Kreis iſt, fuͤr wel⸗
chen ſich alſo hieraus, wenn man CP = x, PM = y, und
wire CA — 2 ſetzt, folgende Gleichung zwiſchen rechtwinkligen
Coordinaten ergiebt,
VJ = 32 – *

Sõ

—

95 Zwoeytes Buch. Fuͤnftes Capitel.
§. 128.

Wenn aber b nicht gleich a iſt, ſo laͤßt ſich die gerade

Linie C M durch nicht rational ausdrucken. Dagegen giebt
es einen andern Punkt D in der Axe, der ſo beſchaffen iſt,
daß alle von ihm nach der Curve gezogene gerade Linien
DM rational ausgedruckt werden koͤnnen. Um dieſen Punkt
zu finden, ſetze man CD = f, und da alsdann DP=f=—X

iſt, ſo wird

Puer trr rub- e- u † ff —

(a a — b b) X X

2 fX †
a à4
Dieſer Ausdruck iſt nun ein Quadrat, wenn
(a a — b b) (bb † ff)
M à à
iſt, und daraus wird
f = + V (a a — b b)
Es giebt alſo einen doppelten Punkt von der beſchriebenen

ff = „oder o = aa — bb— ff

Art in der Axe Ac, der auf beyden Seiten von dem Mittel⸗

punkte C um (D= V (aa — bb) entfernt iſt. Es iſt aber
(a a — — r

D a = a2 —22 Qa — bb) 1 ‚und alſo
SèMU! cb. C?H
Da=a — A 2b= Ac — =-
L AC

Setzt man CP = o, ſo wird D M= DE= a = AC, und

ſetzt man die Abſciſſe CP = CD, oder = V (a a — b b)

ſo verwandelt ſich die gerade Linie D M in die Applleate
56, und es wird alſo

2
H A C

oder D G die dritte Peovortional⸗ Linie u A0 und4 Cu.

129.

erw
der
Nich
deowe
Rennet

4““
u

Nen
jene
hor
diee
Harn
Par
O
a
ool
let
haun

N

Pont
Cury
ſegkre

*½

ienen
N⸗
Foher

d

5
C,
- 9

Von den linien der zweyten Ordnung. 97

§. 129.
Wegen dieſer beſondern Eigenſchaft, welche e die auf die
erwaͤhnte Art beſtimmten Punkte D haben, ſin 1d dieſelben
der groͤßten Aufmerkſamkeit w werth; auch haben ſie ſonſt
noch viele andere wichtige Beſchaffenheiten, und werden
deswegen mit einem beſondern Namen belegt. Man
nennet nem lich dieſe Punkte Brennpunkte des Regelſchnit⸗
tes, und da dieſelben in dem groͤßern Durchmeſſer a liegen,
ſo unterſcheidet man auch dieſen groͤßern Durchmeſſer von
dem mit ihm zuſammengehoͤrigen b dadurch, daß man
jenen die Haupt⸗ und Zwergaxe, und dieſen, b, die zuge⸗

hoͤrige Axe nennt. Die rechtwinklige Applicate D G aber,

die aus dem einen von den beyden Brennpunkten auf der
Hauptaxe aufgerichtet iſt, erhaͤlt den Namen des halben
Parameters, indem man unter dem ganzen Parameter die
Ordinate in D, oder O6 zweymal genommen, verſteht. Es
iſt alſo die halbe zugehoͤrige Axe CE die mittlere Propor⸗
tional⸗Linie zwiſchen dem halben Parameter und der hal⸗
ben Hauptaxe A C. Endlich giebt man den Punkten der
Hauptaxe, wo dieſelbe von der Curve geſchnitten wird,

den Namen der Scheitel, dergleichen z. B. A iſt; und dieſe

Punkte haben die Eigenſchaft, daß die Tangenten der
Curve, die durch ſie gelegt werden, auf der Hauptaxe A G
ſenkrecht ſtehen.

K. 130.
Man ſetze den halben Parameter D G = c, und die

Entfernung des Brennpunktes vom Scheitel AD =; ſo iſt

CD = àa — d= = V(aa — bb) und D6= — — c; folglich
bb = ac; und a — 4= VCaa — a0). alſo

ððMM dd
ac = 2ad — dd; und a = — — ; und b=4 V= ,
2 24d— — *

Eulers Einl. in d. Angl.d. Unendl. II. B, G Sing

õ

98 Zweytes Buch. Fuͤnftes Capitel. ꝛc.

Sind alſo die Entfernung des Brennpunkts vom Scheitel
A D = d, und der halbe Parameter D C = c gegeben, ſo
laͤßt ſich der Kegelſchnitt beſtimmen. Setzt man nun C P=x,
ſo wird
(c — d)x
(c— dyd
— t,
2 d — C

(a — )X — dd

Ne. — —

DM=a—

Es ſey DP = t, ſo wird « = CD — t =
und daher
D M = c 4 — W.
Druckt man den Winkel ADM durch v aus, ſo wird

—— — — coſ. v und alſo
D M .
d. D M=cCdF (d — c) D M. coſ. v,
PM= —— und
d – (d – c). coſ.
“ d (D M — D G)

Uini
VV
win

6 pied

*

Von den Arten der Linien der zweyten Ordnung,

§. 131.

Die Eigenſchaften, welche wir in dem vorhergehenden
Capitel gefunden haben, kommen allen Linien der zweyten
Ordnung ohne Ausnahme zu; denn wir haben dabey auf
nichts geſehen, wodurch ein Unterſchied unter dieſen Linien
entſpringen koͤnnte. Es ſind aber die Linien der zweyten
Ordnung, dieſer allg zeineinen C Eigenſchaften ungeachtet, in
Anſehung ihrer Geſtalt, ſehr von einander unt terſchieden;
und wir muͤſſen daher die Arten derſelben aufſuchen, um
die mancherley Geſtalten der Linien der zweyten Ordnung
kennen zu lernen, und die beſondern Eigenſchaften einer

eden Art entdecken zu koͤnnen.

d. 132.
Wir haben [§. 109.] die allgemeine Gleichung fuͤr die
Linien der zweyten Ordnung durch bloße Veraͤnderung der
Axe und des Anfangspunkts der Abſciſſen in die Gleichung
Jy = a †— & † X verwandelt, worin nnd y recht⸗
winklige Coordinaten bedenten. Da dieſe Gleichung fuͤr
jedes « ein doppeltes y, beyde von gleicher Groͤße, aber
das eine negatio und das andere poſitio, giebt: ſo theilet die
Axe, worauf hier die Abſciſſen genommen werden, die Curve
in zwey gleiche und aͤhnliche Theile; und es iſt daher dieſe
Are⸗ ein rechtwinkliger Durchmeſſer der Curve und jede eni⸗
G 2 . der

100 Zweytes Buch. Sechstes Capitel.

der zweyten Ord⸗ aung hat einen rechtwinkligen Durchmeſſer,
und ein ſolcher Durchmeſſer ſoll bey der folgenden Unter⸗
ſuchung die Axe ſeyn.

§. 133.

In der Gleichung, welche wir hier z zum Grunde legen,
ſind drey beſtaͤndige Groͤßen, «, g, und „ enthalten; und
da dieſelben auf unzaͤhlige Arten unter ſich veraͤndert wer⸗
den koͤnnen, ſo entſtehen daher auch unendlich viele Ver⸗
ſchiedenheiten in den Linien der zweyten Ordnung, die aber
auf ihre Geſtalt nicht immer gleichen Einfluß haben. Denn
einmal kann man eine und dieſelbe Figur, ſo vielmal als
man will, aus der Gleichung yy = 2„ † SX † 7. XX ethal⸗
ten, wenn man nemlich den Anfangspunkt der Abſciſſen in
der Axe veraͤndert, oder X um eine gegebene Groͤße ver⸗

mehrt oder vermindert. Ferner begreift dieſe Gleichung

auch eine und dieſelbe Figur in verſchiedener Groͤße unter
ſich, ſo daß daher eine unendliche Anzahl von krummen
Linien entſteht, die ſich bloß durch die Groͤße von Anandee⸗
unterſcheiden, wie Kreiſe, die mit verſchiedenen beſchrie
ben ſind. Hieraus erhellet, daß nicht jede Berſchlevengen

der Groͤßen, «, 6 und 7 zu einem Eintheilungsgrunde der

Linien der zweyten Ordnung gebraucht werden kann.

Der groͤßte Unterſchied der krummen Linien, die unter
der Gleichung yy = † gxX † YXX begriffen ſind, beruht

auf der Beſchaffenheit des Coefficienten 7, je nachdem der⸗
ſelbe poſitiv oder negativ iſt. Denn iſt er poſitiv, ſo iſt

auch «= †8* † YXX, wenn æ = + Oo geſetzt wird, poſi⸗
tio, weil alsdann 4 † gegen vxXx verſchwindet, und folg⸗

lich fuͤr X = – auch y= –. Oο wird. Wenn alſo?poſitiv

iſt,

nſe
M

e d
eichung
e e
hen
nunder,
dhed
nde der

ſeyn. Man nennt ſie Parabe

Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 101

iſt, ſo hat die Curde vier ohne Ende fortlaufende Schen⸗
kel, davon zwey zu = †¼ 00ο, und zwey zu 5 = — 00

gehoͤren. Dergleichen krumme Linien machen daher Eine

Art der Linien der zweyten Ordnung aus, und werden Sya
perbeln genannt.

F. 135.
Wenn aber „ negativ iſt, ſo wird, es mag = =
oder = — 00 genommen werden, ⸗ † X P xxX negativ,
und folglich die Applicate y imaginaͤr. Bey dieſen krum⸗
men Linien kann alſo weder die Abſciſſe noch die? uedlteate
unendlich werden, und es giebt daher bey ihnen kein
ohne Ende fortlaufende Schen iel, ſondern die ganze Eurte
iſt in einem endlichen und beſtimmten Raume enthalten.
Dieſe Art der kinien der zweyten Orodnung nennt man
Ellipſen, und ite Natur wird durch die Gleichung
* † £X † ?X beſtimmt, wenn „ eine negative Groͤße iſt.

Da der Werth von „, je nachdem derſelbe poſitiv oder
negatio iſt, einen ſolchen Ein ſtuß au die Beſchaffenheit

der Linien der zweyten Ordnung hat, daß daher zwey ganz
von einander verſchiedene At entſtehen: ſo wird auch
die aus yy = « † † Y&τ*⅓ entſer ingende Curve, wenn

= o geſetzt wird, und alſo einen zwiſchen dem poſitiven

und dem negativen mitten inne liegen iden Wer eth bekommt,

eine Mittelgattung zwiſchen der Hyperbel und der Ellipſe
bel, und ihre Natur wird alſo
durch die Gl eichung yy = e P8&X beſtimmt. Hier iſt es
gleich, ob s eine poſitive oder eine negative Groͤße beden⸗
tet; denn die krumme Linie bleibt dieſelbe, wenn man auch
* negativ nimmt. Wird nun 2 poſitiv genommen, ſo faͤllt
G 2 2 in

dene Arten von Linien der zweyten Ordnung, und zwar in
8

punkt der Abſciſſ ſen in den Mittelpunkt der Figur fa

10 3 Zweytes Buch. Sechstes Capitel.

in die Augen, daß die App blicate y, fur X= P , = 00
fuͦr x = – Oo aber imaginaͤr iſt. Es hat alſo⸗ die Para⸗
bel zwey ohne Ende fortlaufende Schenkel, aber nicht
mehrere.

Wir haben alſo drey weſentlich von einander verſchie⸗

Anſehung der ohne Ende fortlaufenden Schenkel. Die

Ellioſe hat de ergleiche gar nicht, ſondern iſt in einem end⸗
lichen Raume enthalten. Die Parabel hat deren zwey,

4 „1 A1. , 0*½ „ . W 422 „ . . 1
und die Hyperbel viere. Da wir nun in dem vorhergehen⸗
. en 4 „ a Ee 6
den Gapitel die allgemeinen Eig⸗ enſchafte en der Kegelſchnitte

betrachtet haben, ſo woller a wir jetzt die beſondern Eigen⸗
ſchaften einer r jeden Art kennen zu lernen ſt lchen.

Wir wollen von der Ellipſe anfangen, deren Gleichung
Vy — † = 5 X X. iſt, ſo daß die A ſe iſſe auf einem
rechtwinkligen Durchmet ſſer genommen werden. Entfernt

man aber den? Anfangspunkt der Abſciffe en, da man den⸗

s

2

ſe! ben annehm en kann, wo man will, um — ſo bekommt
2

R

man daraus die Gleichung yy= s 7XX, wo der Anfangs
faͤllt.
[§. 109. 110] Nun ſey, Fig. 31, C der Ninteſgunkt, und

;

A B ein vechtwinkliger D Durchmeſſer, ſo iſt = = *, und

— 4*
P M = y. Es woird alſo „= , wenn man * = = V. —
7

nimmt, und wenn « dieſe Grenzen † N — , – V — über⸗
„ 2

ſchreitet, ſo wird y imaginar, woraus erhellet, daß die
ganze

22—

e

nor
(aeln

7. 74

Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 103

ganze Curve zwiſe chen dieſen Grenzen liegt. Es iſt folglich

7
Man ſe Be CA = — CCB = a, und die halbe zugehoͤrige Axe

b b

CD = CE = b, ſo iſt « = bb, und 7 = —, und dies

giebt fuͤr die Ellipſe die Gleichung
bbx bb

YyV= bb— 1 à — X) 4

§. 139.

Wenn die zu einander g gehoͤri igen Halbapen a und b
einander g! leich werden, ſo verwandelt ſich die Ellipſe, weil
alsdann Vyy =— 14 – XX, dder yy † X½ = à 4, in einen
Kreis. Es wird nemlich in dieſem Falle CM = (xx † yy =a,
ſo daß alle Hunkte der krummen Linie M von der m Mit⸗
telpunkte gleich weit abſtehen, und dies iſt die Eie gen nſch haft
des Kreiſes. Wenn aber a und b ungleich ſind, ſo wird
n entweder A B groͤßer als

„ „*

die Euroe laͤnglich

——
„
enen
S2
—
2
Sene
—
g
2 2
—
—

DE, oder OE groèßer als A B iſt. Da indeß die zu einan⸗

der gehoͤrigen Axen A. B und DE mit einander verwechſelt
werden koͤnnen, und es gleich diel ſ t, auf welche er nan die
Abſciſſen nehmen will, ſo mag A P h die groͤßere Ape, oder

Ee 0 PF r.

* „7☚ 4
aàa groͤßer als b ſeyn. Rimmt man auf dieſer Axe CF =

CG = V(aa — bb), ſo werden F und G die Brennpunkte

der Ellipſe, und der halbe Parameter derſeben, „oder die
in einem von den Brennpunk ten ſe enkre cht errichtete Applie

1

42

cate — ([§. 128. 129.]
— . .1
§F. 140.
Zieht man nach irgend einem Punkte der Curve M. aus

den beyden Brengpunkten die geraden Linien E M N und M.

G 4 ſe

„ „M

104 Zweytes Buch. Sechstes Capitel. do

o5.
5 i, aus [§. me. Fi = a — Ener ch
X V 2 — bb (aàa a — b b)
a – 2, und GM=a f —- — ſin⸗
folglich F M † G M = 2 a. Wenn man alſo aus beyden e
Brennpunkten einer Ellipſe nach einem Punkte ihres Um⸗ 1nd
fangs M zwey gerade Linien FM und G M zieht, ſo iſt die Aune
Summe derſelben allezeit der groͤßern Axe A B = 2 a gleich.
Dies iſt eine Haupteigenſchaft der Ellipſe, und man kann
daraus zugleich eine leichte mechaniſche Beſchreibungsart 11.
derſel ben herleiten.
.
§F. 141.
degt man durch M die Tangente TMt, und verlangert
ſie, bis ſie die Axen in Iundt ſchneidet, ſo iſt, aus §. 118,
CbP: CA= CA: CI; folglich C I = =:
und auf eine aͤhnliche Art, wenn man die Coordinaten ver
wechſelt, “
y Gde

Hieraus ergiebt ſich
ITe= = = — X; TF = — V (a a — b b) und

TA = — — a;
und es iſt alſo

a a — X aay S

S= — — =
= — db [weil aa= x = . 138.
4 4
PMa † TP2)= W eka ferner
bbx bbx
kfan cTMN — n. CT M= und
Kang. aay Vaxz † aayy) ſit
. col.

ugen

Gt

Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 105

aa y

V(bAXX † a 4y y)

PM
coſ. C I M = [weil tang. re T,

P M hDL
ſin. CT M = TM' und coſ. CTM = TPA iſt!. Wenn man

daher aus A die Linie AV ſenkrecht auf die Axe errichtet,
und in dieſem Falle iſt AV zugleich eine Tangente der
Curve (§. 129]; ſo iſt
a (a – X) bbx = bb(a — ) W

AV [= A T. tang. CTMI= ⸗ = M

b V S weil ay = b V (aa — Xx) = b V (a — X) (a † X)
iſt §. 138.

H. 142.

— b b
Da TF= 2 —Ca . . K. 14 1H und FM=

— — b b)
2 ¾ — V (a 2 4 120; ſo iſt

a †p† xXV (aa — bb)

Eben ſo iſt O I= CT 1col=

— bb
H. 141. 139. und G M = siarcn- — b) 140; alſo auch

GT: GM= a: *;
und folglich
TF: FM= GT: GM.
Es iſt aber
TF: FM = fſin. F MT: fin. CT M, und
GT: G M = ſin. G Mt: ſin. CTM; folglich
Aſn. F MT S= ſin. G Mt, und alſo auch FM T = = GMt.
Wenn man daher aus den beyden Brennpunkten einer El⸗

lipſe nach irgend einem Punkte M ihres Umfangs zwey ge⸗

G 4½ rade

106 Zweytes Buch. Sechstes Capitel. ODo
rade Linien zieht, ſo ſind dieſe Linien gegen die durch M ge⸗
legte Tangente unter gleit Hhen Winkeln geneigt, und dies iſt OJMU
die Haupteigenſchaft der Brennpunkte. gent
§. 1432.
— HS 4 3 Wd⸗
DaGT: GM = a: xX, §. 142, und C(I = —, §. 141, ge
x8 ſ
ſo iſt auch
CT: CA = a : xX, und alſo CT: GQ M= CT: CA.
. Zieht man daher e aus C die gerade Linie CS, welche der
Tongente in § begegnet, mit G M parallel, ſo iſt C8 = d
CA = a, und eben ſo die Linie, die aus C parallel mit ord
FM bis zur Tangente gezogen wird, = CA= a, (weil auch
FTY; FM = 6GTL: GM = a: Xx = CT: CA iſt.. Da ief
ferner L M z= 3 V (ba XX ad yy) [G. 14 ], und die
aayy = bb — bbax iſt, ([§. 1,8, ſo iſt lec
kriaa t,
„.
44 – XXN Aa = b b)
und da F L. G T = „§. 142, auch
XX (A0.
P M –— V FTL. G T. „
N=„½ WET gen
Hieraus ergiebt ſich, da TG: TC = TM: TS, und alſo
M TGC. T M.
rrs= –—
G iſt.
l GT. Er V:-CT. EI.
“”RM = dV 6I— bb TMAM
l 3 C L. y y vorn
“ – = — ſiiſt, (§. 141,] ſo wird
und da PT = b bx bb t, R ſ I
PT. FT E
0 — — — 21 „ 4
1M DPT = FTL: TS, und die Dreyecke TMP und TFES
YDMUU inander aͤhnt ich, und folglich F S I = R.

5I

14

Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 107

§. 144.
Wenn alſo aus dem einen Brennpunkte F nach der Tan⸗

gente eine ſenkrechte Linie F8 gezogen, und der Punkt S
wir dem Mittelpunkte C durch eine gerade Linie verknuͤpft

ird: ſo iſt dieſe gerade Linie Cs alezeit der halben großen

Ire AC= a gleich. Da ner y= IF: FS, ſo
.. r b. M dlali
iſe 6S IMA = 6 1 = bN 31/ folglich
G6T: FTT = GM: FM = CD2: FS2;

und da H auf eine aͤhnliche Art ergiebt, daß die aus dem

andern Brennpunkte nach der Tangente gezogene ſenkrechte

6T
dee iſt, ſo iſt die halbe kleine Axe cD=b

mittlere Proportionallinie zwiſchen dieſen beyden Per⸗
dendiren. Zieht man nun auch aus C die Linie CQ ſenk⸗
recht auf die Tangente, ſo iſt FT: Es = CT: CC; folglich

b. C. bX . CT ab
⸗-ð — == *) = – ==, und
WVTF L. C a V TM. GNM VF M. G M
b. 60F F — – 7 (
CO=— FS ===S=C X, wenn X mit der Tan⸗

„

V P I C 1
gente parallel gezogen worden. Hieraus ergiebt ſich

c0— CX =— D T I und
PFT. GT

Xf. 2 und daher
C OQ2 – CX2 = b b, und CX= V (CQ2 — b b);
wornach man, wenn die kleine Axe gegeben iſt, in
der ſenkrechten Linie CQ den Punkt *½ findet, der ſo bes⸗
ſchaffen iſt, daß eine aus ihm auf CC. ſer nkrecht errichtete
Linie durch den Brennpunkt F geht.

CQ† CX =

*) Es iſt nemlich FT : FM = a:X, und GT: 6GMza: A

2

K. 142 und folglich FT ⸗GIL : FM: SM == 32: XK. Daher
aber

108 Zweytes Buch. Sechstes Capitel.

. aa. F M. G N
aber wird F L. G T= und V FT. 6GT =
XX
§K. 145.

Nachdem wir dieſe Eigenſchaften der Brennpunkte be⸗
trachtet haben, ſo wollen wir unſer Augenmerk auf jede
zwey zu einander gehörige X Durchmeſſe icen⸗ Nun iſt
den wird, wenn man aus dem Mteigunkte C mit der
Tangente TM die Linie CK parallel zieht. Es ſey alſo

CM=p, CK = q, und der Winkel MCK= CMT = s,

wo denn zu voͤrderſt
Pp † qq = aa † bb. (§ 119,] und zweytens
Ppq: ſin. s = ab iſt §. 115.
Dann iſt

erxt yy = bbf Q 2 und

d
FM. G M, und eben ſo
PbP = GK.

c0, a b .
GN H E di. 6X! und

Ferner iſt, da C = =

ſn. CMC = = ſin. Ss =

TM: TP =EVTT. GT: F — l. 143 und rar)=

VFM. G M: — Anmerk. 1. 5. 144] = cxk: cs; und

ſois glich weil Rt. 6MA = a: = CK iſ
CR

Von!

und

weN
Varthe

0R
herge
IN⸗

Hinger
tang

Rrbunt

ſ ober
(a.
le ale

veil

Cl

Puyte be
ONIN

verbunden mit §. 224) =

Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 109

cR P. und K R = = 2 ) alſo CR. K R [= Xy] =
CP. PM. Ferner iſt
ſin, F M 8 = b —b *):
en . VSM. FM E qH
un
und da 2 = C P = Pb laus pp = bb †
V àa aàa —
3 — b b) Xx
G 5 „ oben)

a a
D W(àA—DDP)
und y = P M = Va db) [aus pp = X2 † yy,
wenn man anſtatt æX das Quadrat des ſo eben gefundenen
Werthes von x ſetzt,] desgleichen

Pd), ay

R =—

her gefundenen Werthe von y] und
b(Vpp=— bb)
V (a à — b b)

bæX
K RK = „[Laus K R = und dem vor⸗

hin gefundenen Werthe von ]: ſo iſt, weil tang. ACM = k,

2 y
tang. 2AC = (rſtes B. 14tes Cap. §. 249

2 a b (aa — pp) (pp — bb) Es
(a a T† b b) pp — 2àaàbb

iſt aber a b = Pq-ſin. s; aa † bb = pp † qq; und

Necaa — Pp) — bb = pa. coſ. S ***), und da⸗
her alſo

— ddq ſin. 2 5§
PP T dq. coſ 28
weil der Coſinus von s negativ iſt. Endl lich ir

tang. 2 A CM = =—

CR2 = M T. Mt *vE), und MV = 4. 4 : und

AV

110 Zweytes Buch. Sechstes Capitel.

= b V – FS *); alſo

AV: MV = b: q = CE CF.

Zieht man daher die Linien A M und E Ek, ſo ſind dieſelben

einander paralel.

aayy

*) Es iſt nemlich KR = V (CK2 — CRz) = / (qq — —– 6=

bbxxEz“ (aa — bbyxx aa)
V — —, weil q aa — — —, und —
aa a

4 ——

FS b FI b

— — V —– — — V
PFM PM GT FM V.

83) D Denn es iſt in. F M 8 =
F M b—
GM VFM. GM
FVN) Weil (aa — pp) (pp — bb) = (aa † bb p2 — p4—
aabb = (pzZ † q2) pz – p4 — pz qz lin. 82 =—
P2 q2² (1 — ſin. s2) = pa qa coſ. 82 iſt.

xrXX) Es iſt nemlich MT: Pl = CK: KR, und Mt: PC =
T M, T P = CK: R, 6 MT Mt :ͤ PM. CP =
CKZ: K R. CR; aber CP. PM. = CR. K R, wie kurz
vorher bewieſen worden.

XXX) Denn es iſt M V = = — 40 — 23
q (21— *)
V (a à — Kg) = q V ſo wie AV = by
§. 141.
9. 146.

Da p q. ſin. S= a b iſt (5§. 145,] ſo iſt p bgarbher als a b;

und da pp† qq = aa † bb iſt, ſo iſt der Unterſchied zwi⸗

ſchen p und q kleiner als zwiſchen a und b, und alſo ſind

unter allen zu einander gehdrigen Durchmeſſern die recht⸗
wink⸗

☛

Von den Arten der Linien der zweyten Ordnung. 111

winkligen am meiſten von einander in A nſehung der & Gr groͤße
lterſchieden. Es wird daher auch ein Paar gleiche zu ein⸗
ander ge⸗ hoͤrige Durchmiefe geben; und um ſie zu finden,
ſey q = p. Alsdan iſt 2 pp = aa † bb; p = q =

a † bb 41 2àa b — aa † bb
V — — z ln. 8 (=— , — — —, col. 8S = ——
P 4 a a † bb aa † bb“
und daher wird ſin. 2 s = —*
ihe sS = v — und coſ. ¾ 8 =
aa† bb

— —; 3 alſo tang. S = = tang. CE B, und

V * 5 - D5 .
MCK = 2 CE B = AEB. Ferner iſt CP = g⸗ und

PM = *), und die zu einander gehoͤrigen gleichen Halb⸗
meſſer CM, CK ſind alſo den Sehnen AK un db BE parallel * *)
*) Es iſt C P = wegen CP = 14 Cb. „und
V 2 V (a a — d 5)
a a † b b

b
— — —, ſo wie P M = — , wegen P M =
2 V 2

a a a † b b
und Pb — — ,,

VAα— bb)

CP
**) Denn da Baä — b tang. ½8 = tang. CMP, unb
MPC — R iſt, ſo iſt MC † CEA = — 2R, und a ſo. CM
parallel AE.

85

d. 147.

Wenn man die Abſeiſſen vom Scheitel A an rechnet,
und AP = xX, P M = y nimmt: ſo erhaͤlt man, da in die⸗

ſem Falle a — X iſt, was vorher X war, die Gleichung

b 2bb bb
7 — a*- 52) = — * — — X x,
a 3

2

wYH

112 Zweytes Buch. Sechstes Capite Ml
” 2 bb“ ”JJJ”M
wo in die Augen faͤllt, daß — der Parameter der Ellipſe lll.
iſt, §. 129. Es ſey der halbe Parameter, oder die Appli⸗ ſe
cate in dem Brennpunkte = c, und die Entfernung des ladden
Brennpunkts vom Scheitel AF = d: ſo iſt non ch
= Nie,
bb =c, und a — V (aa — bb) = d = a — V (aa — ac),
4
und daher
dd Da
24d — dd= ae, und a = 1— e
Hieraus ergiebt ſich fann
. C (2 d- — c) x ½
yy = 26*½ –— — 4 . Gte 2
die Gleichung der Ellipſe fuͤr rechtwinklige Coordinaten, her x
wenn die Abſciſſen auf der Hauptaxe AB vom Scheitel A eh
an genommen werden. Man erhaͤlt dieſelbe aus dem Ab⸗ A=
ſtande des Brennpunkts vom Scheitel AF = d, und dem “S
halben Parameter c; wobey indeß zu merken iſt, daß 2 G Glve
immer groͤßer als c ſeyn muß, weil ALQ = a = — und M::
delces
8. 148. wbel ⸗
Wenn alſo 2 d = c iſt, ſo iſt yy = 2 CxX, und dies iſt die
“ Gleichung fuͤr die Parabel; denn die Gleichung yy = =† 6,
ä §. 136 wird auf dieſe Form gebracht, wenn man den An⸗ dd
NI
fang der Abſeiſſen um veraͤndert. Es ſey alſo Fig. 32. An
MAN eine Parabel, deren Natur fuͤr A? = X und PM =y iſ,
durch die Gleichung yy = 2 cx ausgedruͤckt werde. Hier ſeht.
ſiſſtt der Abſtand des Brennpunkts vom Scheitel A = d = c, dengl

e ⸗
ung

eiſ
24 6
1MN

16 32

M=
.
130

Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 113

der halbe Parameter FH = c, und allenthalben P M2 =

2 F H. A P, ſo daß alſo die Applicaten P M und P N mit der

Abſciſſe A P ohne Ende wachſen, und die Curve ſich zu
beyden Seiten der Axe ohne Ende fort verbreitet. Wenn
man aber x« negativ nimmt, ſo wird die Applicate imagi⸗
naͤr, und jenſeit A nach T zu iſt alſo nichts von der Curve.

Da die Gleichung fuͤr die Ellipſe in eine Gleichung fuͤr
die Parabel verwandelt wird, wenn man 2 d = c ſetzt: ſo
kann man die Parabel als eine Ell lipſe, deren große Halb⸗
d d
axe a = 26— unendlich iſt, betrachten; und es laͤßt ſich
daher alles, was von der Ellipſe geſagt worden iſt, auf
die Parabel anwenden, wenn man a = O ſetzt. Da nun
AF = 2 c, und alſo FP = X — c iſt, ſo wird, wenn
man aus dem Brennpunkte F nach irgend einem Punkte der
Curve M die gerade kinie F M zieht,
FM = xX — ex 1 c † yy = XX † cX † cc,
und folglich
FM=X12c = AP 1AF,
welches die Haupteigenſchaft des Brennpunkts der Pa⸗

rabel iſt.

6. 150.
Da die Parabel aus der Ellipſe entſteht, wenn man die

große Axe = 00 ſetzt; ſo wollen wir die Parabel als eine

Ellipſe anſehen, deren halbe Axe AC = a unendlich groß
iſt, ſo daß alſo der Mittelpunkt CQunendlich weit von A ab⸗
ſteht. Zieht man nun durch M die Tangente MT, welche
derr Axe in T begegnet; ſo wird, da CP: C A = CA: C T
Eulers Einl. i in d. Angl.d. Unendl. II. BD. H §. 141.

114 Zweytes Buch. Sechstes Capitel.

“ a àa
§. I41. und CP = a — X iſt, CcT = —, und alſo
= 4— X
A X
AT = — Weil aber a = O0°, ſo verſchwindet X da⸗
gegen, und es wird daher a — X = a, und AI = X = AP.
34

Dies laͤßt ſich auch auf dieſe Art darthun: Es iſt A1 = — —

X

X X .
oder A T = Xx † — Da nun hier der Nenner des

Bruchs eine unendlich große, der Zaͤhler aber eine endliche

Groͤße iſt, ſo verſchwindet der Bruch, und es iſt daher
ATL = AP= x.

8§. 151.
Wenn man daher aus dem Punkte M nach dem unend⸗
lich weit entfernten Mittelpunkte der Parabel C die gerade

Linie M C zieht, welche wegen der unendlichen Entfernung

des Punkts C der Axe A C parallel wird: ſo iſt auch dieſe
Linie MC ein Durchmeſſer, der alle der Tangente M T pa⸗
rallele Sehnen in zwey gleiche Theile theilet. Wird z. B.

die Sehne oder Ordinate min der Tangente M T parallel

gezogen, ſo wird ſie von dem Durchmeſſer Mp in p halbiret.
Es iſt daher eine jede in einer Parabel mit der Axe parallel
gezogene gerade Linie ein ſchiefwinkliger? Durchmeſſe er. Da⸗

mit wir die Natur dieſer Durchmeſſer kennen lernen, ſo ſey

Mp=t, pm = u, und msr aus m auf der Axe ſenkrecht.
Dann in, da PI = 2 X, und M T = V (4XXK † 2 CX) iſt,
V(4XX † 2cx) 2X = pm: ps, und
VG † 2CX): V 2cX = — pm mss; folglich

2XU
V und

PS VCAXX T 2 cx)

ms= = uV 1: 3 daher

Ax.

Unend⸗
gode
ffemmung
ie
UT
Murnlt
albire.
Paralt
ſo ſh
gkrch
c,6.

Von den Arten der linien der zwehten Ordnung. 115

Ar=rtttV ,und mi = VcX u V .

X † C
Da aber
mr2 = 2 c. Ar [weil allenthalbe n PMA = 2 FH. AP,
§. 18] ſo iſt
ennu

2cX † 2 cu k – — = 2cX † 20
1 V 2 X T† G 2cX † 2ct †

2 cu 2 — — und alſo
X † G

uu = 2t (27X † = ru. t, oder pm? = 4 5 M. Mp.
gerner iſt

5 m V. 2 X † G
coſ. mps = P= V = A
miim p 2 X c FM“
alſo J S
2 V2 cx
Gn. 2 m pe = 2 = Rt. MFP,

und folglich der Winkel mps = MTP = MFr.

§. 152.
Da MF = APFAF, unb AP = A T iſt, (§. 149 und
150,] ſo iſt F M= F T, und alſo das Dreyeck M F T gleich⸗

ſchenklig, und MFr = 2 M TA, ſo wie wir ſolches eben

gefunden haben. Da ferner MT = 2 V x (X † ½ c),

ſo iſt M T = 2 V A P. F M, und wenn man daher aus dem

Brennpunkte F nach der Tangente die Perpendikul aͤrlinie
F S zieht, ſo iſt
MS= ST = VA P. F M = WAT. TF, und folglich
AT: TS = TS; TF.

Hieraus erhellet, daß der Punkt S in der Linie A S ſeyn
wird, die in A auf der Axe⸗ ſenkrecht ſteht, Es iſt aber

2 2 As

116 Zweytes Buch. Sechstes Capitel.

AS= ½P M AS: TS = AF: FS8, und
FS= VAF. FM [weil FS2 = AF. FT, und FT = FM iſt
alſo FS die mittlere Proportiallinie zwiſchen AF und F M.
Ueberdies iſt
AS: MS = AS: LS = FS: FM= VAF: VE M
[weil FS = VAF. FM.!.
Errichtet man aus M ſenkrecht auf die Tangente die gerade
Linie M W, welche die Axe in W ſchneidet; ſo iſt
PT : PM = PM : P W, oder
2X: V2CX = V 2cx: PW, und alſo
PW = c;

oder das Stuͤck der Axe P W, welches zwiſchen der Appli⸗
cate P M und der Perpendikulaͤrlinie M W liegt, hat eine

beſtaͤndige Groͤße, und iſt dem halben Parameter oder der

Applicate FH gleich. Endlich iſt

FW = FT= FM, und MW = 2 V AF. FM. [= 2 F 9]

§. 153.
Wir kommen nunmehr zur Hyperbel, deren Natur durch

die Gleichung
yy = a † sX † YXX

beſtimmt wird, wenn X und „ rechtwinklige Coordinaten

dedenten Veraͤndert man den Anfangspunkt der Abſciſſen

um , ſ erhaͤlt man daraus die Gleichung

yy = = † XX,
wobey der Anfangspunkt der Abſ! ciſſen mit dem Mittelpunkt

zuſammen faͤllt, [§. 109. 110.] Es muß aber hier » eine

poſitive Groͤße ſeyn, §. 134, « hingegen kann poſitiv oder
negativ genommen werden; denn verwechſelt man die Co⸗
ordinaten X und y, ſo wied aus einem poſitioen « ein ne⸗

gatives, und aus einem negativen ein poſitives. Es ſey
alſo « negativ, und folglich

»

11

ni⸗
⸗

4

yl⸗
eine
e

zuc

N

eiſen

unt
e

Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 117

VV — % X X — “ 5
wo ſogleich in die Augen faͤllt, daß y zweymal = 0 wird,
einmal, wenn = † V = . und zweytens wenn x= — V 2
iſt. Wird alſo, Fig. 33, C zum Mittelpunkte angenommen,
und ſind A und B die Punkte, wo die Axe von der Curve
geſchnitten wird: ſo iſt, wenn man CA = CB =a ſetzt,

aàa = V und ⸗= 7à a, und daher yy = 7X X — Y a a.
„

So lange alſo xz kleiner iſt als a², ſo lange iſt die Applicate
imaginaͤr, ſo daß daher zu der ganzen Axe AB kein Theil der
Curve gehoͤrt. Wenn aber XX groͤßer als aa iſt, ſo wachſen
die Applicaten mit den Abſciſſen ohne Ende; und es hat
daher die Hyperbel vier ohne Ende fortlaufende und
einander gleiche und aͤhnliche Schenkel AI, Ai, BK, B k,

welches das Hauptkennzeichen der Hyperdeln iſt.

§b. 154.
Weil yy = — aa iſt, wenn X« = o wird, ſo hat die
Hyperbel nicht ſo wie die Ellipſe eine zugehoͤrige Axe, in⸗
dem die Applicate in dem Mittelpunkte C imaginaͤr iſt Es
iſt alſo die zugehoͤrige Axe eine imaginaͤre Groͤße, welche
man, um eine Aehnlichkfeit mit der Ellipſe zu erhalten,
= b V — 1I ſetzen kann, ſo daß ?a a = b b, und 7 =
wird. Setzt man n nunmehr die Abſeiſſe CP = und die

bb
Applicate PM =— y, ſo wird yy = 2 — 2 a), und es

B bb⸗
wird daher die Gieichung fuͤr die Ellipſe N=tt (aa — xN)

in die Gleichung fuͤr die Hyperbel verwandelt, wenn man
— bb anſtatt bo ſetzt. Wegen dieſer Uebereinſtimmung

Arg Zweytes Buch. Sechstes Capitel.

laßt ſich das, was bisher von der Ellipſe geſagt worden iſt,

ſehr leicht auf die Hyperbel anwenden. Zuvoͤrderſt iſt der
Abſtand der Brennpunkte vom Mittelpunkte, der fuͤr die

Ellipſe = V (aa — bb) war, fuͤr die Hyperbel V (aa f bb) =
CF= CG. Hieraus ergiebt ſich

IS daaN t tM mdz t V Gâ1 bb)

und da y = — bb † iſt, ſo wird

b W
T M = = V (a a † XK X † — — 22 V (a a † bb)) =

xV (aa † bb)
—
bbXzX RKM
GM= W(aa P†XX F — † 2X (aa † bb)) =

=Ca hb.
= — A— f. à.

24

Zieht man daher aus den beyden Brennpunkten F und G

nach einem Punkte M in der Curve die geraden Linien E M
und OM, ſo iſt
FM AC = :. „ und G M — AC = Oe und
die Differenz dieſer beyden Linien GM — FM = 2AC.
So wie alſo bey der Ellipſe die Summe dieſer beyden
Linien, ſo iſt bey der Hyperbel die Differenz derſelben
der Axe A gleich.

§. 155.

Hieraus laͤßt ſich auch die Lage der Tangente MT be⸗

ſtimmen. Denn da in allen inien der zweyten Oednung

CP: C A = CA: CI iſt, §. 118, woraus ſich CTS=

X — UA a3VV

und PT = = 2 . 141, ergiebt: ſo wird

MT

1
i

ſoe
d

UI

—
—
—

— N W☛ kS

1

,
Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 119
MTI= VWPMZ†1 PT2)) = Phn V (bax⸗ 4 aay2) =
Va axX 1 bbxX — 44) S
bx ,
weil y2 = — (x2 — a a) iſt. Es iſt aber
aaXX † bbXX — 44

F M. G M = „ §. 154, folglich

aàa
MT= V FM. G M.
bx
Ferner iſt

FT= V (Aa bb) — 32 und GT= V (aa † bb) † —,
H X

folglich

FT: FM = a a: X, und GT: GM = aàa: „woraus

FT: GI =ẽ FM: CM folgt; und dieſe Proportion
zeigt an, daß der Winkel F M G von der Tangente in zwey
gleiche Theile getheilt wird, und FMT= GMT iſt. Wird
aber die Linie C M verlaͤngert, ſo iſt ſie ein ſchiefwink⸗
liger Durchmeſſer, der alle mit MT parallel gezogene Or⸗

dinaten in zwey gleiche Theile theilet. [Man vergleiche

mit dieſen §. den 141 und 142ſten].

Zieht man aus dem Mittelpunkte C die gerade Linie c
auf die Tangente ſenkrecht, ſo wird
TPM: PT = cr: 1I

oder,
Vr. GM: aay A T.,
bbx X
und
H 4 TM

Zweytes Buch. Sechstes Capitel.
TM: PM = CT: CC, oder VFM. G My =

4A
* :CQ, §. 155; und alſo
= à'y Ab
ra= P= E. und cae⸗ VFM. G M

eben ſo aus dem Brennpunkte k die Linie F S ſenkrecht auf
die Tangente, ſo wird L M: PT = FT: TS oder

.„F§F lt man

aA y, aayy
æ FM. GM: e — :TS, und
TM: PM= FT: FS, oder
a y „ .,F M
E VFM. GM: = : FS §. 155; und daher

aay F M b. F M.
nd FS = :
bXVFM. GX VFM. G M.
ſo wie, wenn man aus dem andern Brennpunkte die Linie
Gs ſenkrecht auf die Tangente faͤllt,
a a y. G M b. G M
„und Gs=
bx V FM. GN VFM. GM

wird. Hieraus erhaͤlt man

TS =

T =

TS. Ts = 4r T= ACX— 2a) = CT. PT, und
bbXX Xxx “ H
Da ferner QS = Qs iſt, ſo iſt L
286 1SIISsS aaFM &) ay V(aa † bb)
28— 2 bz VCF M. G M) bV FM. GM
a.T t

= C, [weil F M † GM = iſt/ §. 15413

und hieraus fließt
22 b4 1 22 Y 4 abbl

cS2 = c: † QSa =

aab ⁴4

(6
Ven
ſiißt,
i
eine
ichee

E

une

echtou⸗

Nher

„
.

3
ietiri

und alſo

Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 121

aaba † Ga bblbbzx aabb) (a a T bb) x X — a 4
bpb. F M. G MA FM. Gk

= aa ⁹°).
Es iſt alſo auch hier, wie in der Ellpſe, die gerade Linie
cS = = àa = Ccà. Weiter iſt

bXV. (aa † b)
FSS
ca aVFM.: GMN

c Ge des aa. FM. 6 Sbb.

Wenn man daher aus F die Linie F X der Tangente parallel

zieht, und dieſelbe die ſenkrechte Linie C Q in X ſchneidet:
ſo iſt
CX= VC(bb † CQ2);
eine Eigenſchaft, von welcher wir bey der Ellipſe eine aͤhn⸗
liche gehabt haben. §. 144.

*) Man kann hier auch folgenden Gang nehmen. Es iſt
aabb aayy aa † bh
o8 = C0: 1 G62 = bb FM. GM.
à à b b 4 C—A b weil aayy
FM. G M FM. G M. . bb
(aa † bb)xx — à 4
FM. G M
weil (X= aa) (aa † bb) = (aa bb) xXx — àa 4 – aabb,

aa bb) xXx –— 34
und das uͤhrige folgt, weil FM. GM= —

aa
iſt H. 154.

XX— a à iſt §. 154. Dies geht ferner

§. 157.
Wenn man in den Scheitelpunkten A und B auf der

Abe ſenkrechte Linien errichtet, und ſelbige verlaͤngert, bis

H 5 ſie

122 Zioeytes Buch. Sechstes Capitel. “ N
ſie der Tangente in V und v begegnen: ſo wird, weil Ar = coh
r . 2, und PT: PM = AT: AV =
X Aſelke
4 a y Cd n
4
Av. By = eiss :. § 18. ſnn
4 77. Ccherk
Außerdem iſt auch eeuin
PT : L M = . 1VS= = BI : TV; und folglich Schen
be b ) Veorte
TV= — M, und TVv = — i — VIM. GM, a
lue
Duaher denn 1a red
4
TV. Tv = 22. FM. GM=FT. Gr. lweil a Mi= laan
XX gien !
FT, und M= 61† iſt § ael.
§. 158. den
Da cT= =— — iſg . 141, ſo muß CT, oder das Stuͤck e
der Axe Roiichen der Tangente und dem Mittelpunkte deſto gente
kleiner ſeyn, je groͤßer „ genommen wird, und alſo die
Tangente, wenn die Curve ins unendliche fortgezogen wor⸗
den, durch den Mittelpunkt gehen, und CI = o werden. b
Inun tang. PT M = = A lwe il bT= r 55 ir
Wei 8. PT 554. ſale
Na
und y 2. VGX-— a2) §. 154, ſo wird, wenn « = 0, r
ex bbzx b 64
v7= =, und ” und die Tangente geht als dann fi
durch den Mittelpunkt, und macht mit der Axe den Winkel CH
S . AC

NAN
TiN

fagic

rl⸗
1

Gloden

Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 123

A C deſſen Tangente = — iſt. Errichtet man daher aus

A ſenkrecht auf die Axe die gerade Linie AD = b: ſo wird

die Linie CD, ſo weit man ſie auch verlaͤngert, die Curve

nie ſchneiden, aber ihr immer naͤher und naͤher kommen,
und nur nach einer unendlichen Verlaͤngerung mit CI zu⸗
ſammenfallen. Eben das gilt von dem Theile Ck und dem
Schenkel Bk. Zieht man auf der andern Seite unter eben
dem Winkel die gerade Linie K Cà;, ſo erreicht auch ſie die
Schenkel BK und⸗ i nicht anders als nach einer unendlichen
Verlaͤngerung. Dergleichen Linien nun, denen ſich eine
Curve immer mehr und mehr naͤhert, ohne ſie doch eher
als nach einer unendlichen Verlaͤngerung zu erreichen, wer⸗
den Aſymptoten genannt, und es ſind alſo die geraden Li⸗

nien ICk und K Ci zwey Aſymptoten der Hyperbel.

K. 159.
Es durchſchneiden ſich alſo die Aſymptoten der Hyperbel

in dem Mittelpunkte C, und machen mit der Axe den Win⸗

fel A CD= ACd, deſſ ſen Tangente = = „ſo wie die Tan⸗
2 a b
a àa — bb
[§. 249 des 1ſten B. verbunden mit §. 234]. Wenn daher
b = a iſt, ſo iſt der Winkel D Cq, unter welchem ſich die
Aſymptoten ſchneiden, ein rechter Winkel, und in dieſem
Falle wird die Hyperbel eine gleichſeitige Syperbel genannt.

gente des doppelten Winkels oder tang. DC d=

Da aber AC = a, AD = b iſt, ſo iſt CD = Cd =

V (aa † bb); und wenn man daher aus dem Brennpunkte
G auf eine von den beyden Aſymptoten die Perpendikulaͤr⸗
linie G H herabfaͤllt, ſo wird, weil CG = W(aa † pb). iſt,
CH= AC rꝰ B C= a, und 6G H = 3 H
8 , 160.

124 Zweytes Buch. Sechstes Capitel.
§. 1r60..
Verlaͤngert m man die Ordinate MPN = 2²y, bis ſie die

Aſymptoten in m und n ſchneidet, ſo wird

b
pm = Pn = , und

7 bb
cm = Cn = Waa. — rM r AC = N — ac.
Ferner iſt
bxX –— ay b
Mm = Nn = 7 und alſo

bb
xx — a a = bb,
a a

. . weil aayy = bbxXxX — aa bb iſt, §. 154; und daher
allenthalben

Mm. Nm = Mm. Mn = Nn. Nm = Nn. Mn =
bb = ADZ2. Zieht man nun aus M die Linie Mr der
Afſymptote Cd varallel: ſo iſt,
2 b: Vä(aa † bb) = Mm: mr (Mr); folglich

(bx —= à N a a † bb) und
2 a b

Cx àa )W GAa bb).
2a b “

mr = Mr =

Cm — mr = Cr =

und daraus ergiebt ſich

(hbhbxxX — aarnKa t bb) aa † bb

1 cr = aa bb 4

weil bbxx — aayy =aabb, §K. 154.
Zieht man daher aus A die Linie A E. der Aſymptote C
parallel, ſo iſt =

AE = CE [= ¾ Cd] = ⅛ V (aa † bb) §. 169, und folglich
Mr. Cr = à¾ E. CE,

welches

Dnd

velches
auf die

Wad
on den!
Cten

wenn n
ſte, oe

Crimnt.
hinwiede
wan mi
inie 0)
e o
A⸗nu

A: C

hat
9

Von den Arten der Linien der zweyten Ordnung. 125

welches eine Haupteigenſchaft der Hyperbel in Beziehung
auf die Aſymptoten iſt.
§. 161.

Werden alſo, Fig. 34, die Abſciſſen CP= auf der einen
von den Aſymptoten vom Mittelpunkte aus, und die Appli⸗

caten b M = y der andern Aſymptote parallel genommen:

ſo iſt
—aa † b b

4
wenn man nemlich AC= BC=a, und AD=Ad=—b

5

ſetzt, oder yx = h h, und 7= R wenn man A =CE=h

annimmt. Wird daher x = o, ſo wird y = 00, ſo wie

hinwiederum y= o iſt, wenn Xæ = 0 genommen wird. Zieht

man nun durch irgend einen Punkt der Curve M eine gerade
Linie QMNR, welche der nach Belieben gezogenen geraden
Linie GH parallel iſt, und nimmt dabey C Q = t, und
QGM = u an: ſo iſt

CH: CH=u; PQ; GH: CG= u: PM; folglich

CH CG
PQ= u, und PM = 5: u; und daher

CG CH R
7=Ou, und xX = t — 5 . Bringt man dieſe

Werthe in yx = hh, ſo erhaͤlt man daraus

C G cH. CG
—, k† — * —
6 u — diis⸗ uu = hh; oder
GH GHz=
u — — = - hh = 9.
u — etut ee 9

Es hat alſo die Applicate u einen doppelten Werth, nem⸗
lich QM und QN, und die Summe dieſer beyden Werthe
iſe

6

Zweytes Buch. Sechtes Capitel.

061
iſt S S k, ſo wie das Rechteck zwiſchen ihnen

GHZ
1 N = — — .
a GH. CC.
K. 162

Da alſo QM † QN = Ck iſt, ſo iſt Q M = RN,

und Q N = RM. Wenn daher die Punkte M und N zu⸗

ſammenfallen, oder die Linie QR die Curve beruͤhrt: ſo

wird ſie in dieſem Punkte in zwey gleiche Theile getheilt.

Beruͤhrt nemlich XV die Hyperbel, ſo liegt der Beruͤh⸗
rungspunkt Z in der Mitte von XVY. Wenn man daher
aus 2 die gerade Linie ZV der andern Aſymptote parallel

zieht: ſo iſt C V = VVY, und dies fuͤhrt auf eine ſehr leichte

Art, durch jeden Punkt der Hyperbel eine Tangente zu

legen. Man macht nemlich VY = CV, und zieht durch
V und ? eine gerade Linis, welche dann die verlangte Tan⸗
gente iſt.

Da nun CV. 2 V = hh = iſt, ſo wird

CX. CY = aa †T bb= CDe = CD. Cd, und wenn man

alſo die geraden Linien D X und dxY zoͤge, ſo wuͤrden ſie

einander parallel ſeyn. Hierauf beruht eine ſehr leichte
“ Tangenten der Curve zu ziehen.

§. 163.
Da ferner das Rechteck Q M. QN = S66 hh iſt,

ſo faͤllt in die Augen, daß dieſes Rechteck QM. CQN, wo
man auch QR der H G parallel ziehen mag, immer dieſelbe
Groͤße haben werde. Es wird daher auch QM. QN =

GHZ
= QN. NR = E. 76 ſeyn Demnte
ſich

ehesn
Neoſch

Da
ſchende
Cigene
Eiie e
ſt, de
ſke
von eſe

ſ

ore allele

bigander:

PX=

ich 80

. Von den Arten der linien der zweyten Ordnung. 127

ſich alſo eine der QR parallele Tangente, welche innerhalb

iſen r der Aſymptoten in dem Beruͤhrungspunkte in zwey gleiche
Theile gerheilt wiro, §. 162, und nennt man die Haͤlfte
derſelben q: ſo wird allezeit
QM. QN = QM. MR = RM. RN= R N. NQ= qq.
welches eine ſehr merkwuͤrdige Eigenſchaft der Hyperbeln iſt,
Ge die zwiſchen ihren Aſymptoten beſchrieben worden ſind.
IN N
berühet. 0 5. 164.

Da die Hyperbel aus zwey einander gerade entgegen⸗
in duin ſtehenden Theilen IA1 und KBKk beſteht: ſo finden dieſe
n Mon de Eigenſchaften nicht bloß alsdann ſtatt, wenn eine gerade
note hotell Linie auf die Aet zwiſchen den Aſymptoten gezogen worden

eſen iſt, daß ſie einen und denſelben Theil der Curve in zwey
Tangente Punkten ſchneidet; ſondern auch, wenn eine gerade Linie
d ſeht von einem Theile der Curve nach dem entgegenſtehenden
ebetlnge dn gezogen wird. Zieht man z. B. aus M die gerade Linie

Mqrn nach dem entgegenſtehenden Theile, und mit ihr die
Parallele Gh: ſo wird, weil die Dreyecke CGh und PM

. .
w .B . .
einander aͤhnlich ſind, wenn man Cq =t, und q M= u ſetzt,
nd venn un 0CG L Ch
Sſnidſ Snh u, und qs * h alſo
in N Xx = It P Sh' u- Dies giebt, da Xy = ah, § 161,
cq. C!
— tu 1e⸗ —nuu = h h, oder
S s
6n: G. ch h=0
,CNr
,Kop
nin i §. 165.
G 891
Es hat alſo die Applicate u einen doppelten Werth, nem⸗
n d DN lich 4M und — an, denn An iſt negatid, weil es auf der

128 Zweytes Buch. Sechstes Capitel. ic.

andern Seite der Aſymptote Cb, die zur Axe genommen iſt, SS
liegt. Die Summe dieſer beyden Wurzeln qM, — qn iſt da. 8
her — =. t = — qr, folglich qu — q M = qr, und

daher q M=rn, und qn = r M. Ferner erhellet aus der
Gleichung § 164, daß das Produkt dieſer Wurzeln — atd qn de
= — = hh, oder q M. qn = gM. r M=Tn. qn
SErn. r M = hh iſt. Es ſind alſo dieſe Rechteke, E
wieviel gerade Linien Mn man auch der G h parallel ziehen d Au
mag, immer von einer und derſelben Groͤße. Und dies ſind ten
die vornehmſten Eigenſchaften der einzelnen Arten der Linien t n
der zweyten Ordnung, welche, wenn man ſie mit den all⸗ geren
gemeinen Eigenſchaften derſelben verbindet, zu einer außer⸗ ſtantw
ordentlichen Menge merkwuͤrdiger Beſchaffenheiten fuͤhren. in⸗
2= iſe no
Hoinne
Nung des
liinpep
Dder des
hne
Wirgen
der ,
entweder
ſcee⸗
leten

W
Rinaten
i ,

4 AEue

chtecke

la ſcen
Mes ſnd
erkinier
Wd⸗

e alſe⸗

fütt.

p

Siebentes Capitel.
Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln.

§. 1665.

Wenn eine krumme Linie, zu was fuͤr einer Ordnung
und Art dieſelbe auch immer gehoͤren mag, einen ohne Ende
fortlaufenden Schenkel hat, und man aus einem unendlich
weit entfernten Punkte in derſelben auf eine willkuͤhrlich

angenommene Axe eine ſenkrechte Applicate herabfaͤllt: ſo

iſt entweder die Abſciſſe x oder die Applicate y, oder es ſind
beyde Coordinaten unendlich. Denn ſollte weder die Ab⸗
ſeiſſe noch die Applicate unendlich ſeyn, ſondern beyde eine
beſtimmte oder endliche Groͤße haben: ſo waͤre die Entfere⸗
nung des in der Curve angenommenen Punkts von dem
Anfangspunkte der Abſeiſſen endlich, nemlich = V(xx † yy),
wider das Angenommene. Wenn daher eine Curve einen
ohne Ende fortlaufenden Schenkel hat, ſo gehoͤrt entweder
zu irgend einer endlichen Abſciſſe eine unendliche Applicate,
oder zu einer unendlichen Abſciſſe eine moͤgliche, endliche
entweder oder unendliche, Applicate. Und hieraus laſſen
ſich die ohne Ende fortlaunfenden Schenkel der Curven ent⸗
decken.

§. 167.
Wenn eine algebraiſche Gleichung zwiſchen den Coor⸗
dinaten X und „ von irgend einer Ordnung, die n anzeigen
mag, gegeben iſt, und man die Glieder beſonders betrach⸗

tet, in welchen die veraͤnderlichen Groͤßen X und y, n Di⸗
Eulers Einl.i in d. Angl. d.Unendl. II. D. J men⸗

130 Zweytes Buch. Siebentes Cabitel.

menſionen haben, und welche aiſo ayn † gyn - I1X*†. yyn-22 † un
Jyn- 3X 3 † . † 2 Xn ſeyn werden: ſo laͤßt ſich dieſer Aus⸗ met
druck in einfache Faktoren von der Form Ay † Ex aufloͤſen, pon
die entweder reell oder imaginaͤr ſind, Iſtes B §. 90.] und Gn
hat derſelbe imaginaͤre Werthe, ſo iſt ihre Anzahl eine ge⸗
rade Zahl, und je zwey derſelben geben im Produkte einen G

doppelten reellen Faktor von der Form A2y2 — 2A Bxy. coſ. 6
† B2X2. [§. 91 des 1ſten B. verbunden mit §. 145 eben die⸗
ſes Buchs)]. Ein ſolcher Faktor aber hat allezeit, es mag

nun x, oder y, oder beyde zugleich = O ſeyn, den unend⸗
lichen Werth = O2, weil das Glied 2 A B px. coſ. o im⸗ .
mer kleiner iſt, „als die beyden uͤbrigen, und weder A noch
= o ſeyn kann. Es kann daher ein ſolcher Faktor wie di
A2y2 — 2 A B Xy. coſ. & † B2xX2, wenn entweder X oder 7„„ wi

doder ſowohl X als y unendlich groß angenommen wird, we⸗
der= = o, noch eine endliche Groͤße, ja nicht einmal bloß
= 00 ſeyn, ſondern er iſt allezeit = = 002, welches un⸗
endlich vielmal mehr iſt als ..

Nimmt man daher an, daß der hoͤchſte Theil der Glei⸗
chung, ⸗yn † gyn -IX † Yy-2 2 T. Xn, keinen ein⸗
fachen reellen Faktor habe; ein Fall, der nur dann ſtatt
finden kann, wenn n eine gerade Zahl iſt: ſo wird derſelbe

aus lauter doppelten Faktoren von der Foxm Aaya2 — we
2 A Bx y. coſ. O † BaX beſtehen. Wenn daher entweder
x, oder y, oder x und „ zugleich unendlich groß angenom⸗
men werden, ſo wird auch jener Ausdruck ſelbſt einen un⸗ M
endlichen Werth = Oο bekommen, und er kann alſo als⸗

dann weder einer endlichen Groͤße, noch irgend einer un⸗
endlichen Groͤße Om, deren Exponent m kleiner als n iſt,

gleich ſeyn. Da nun die uͤbrigen Elieder der Gleicun⸗
in

. — —

IJ ””M

vif .

ſa e
aüfche.
o.))
ee ge
lte iren
yecol⸗
hen die⸗
Enag
Gad⸗
oloi
14 1
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Raf,
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es

2 Ge⸗
nen en
unn ,
derſelhe
2²
mtrehe
em
n un⸗
o
ee
ni
1

Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 131

in welchen die veraͤnderlichen Groͤßen x und y weniger Di⸗
menſionen haben, unendlich Große mit einem kleinern Ex⸗
ponenten geben: ſo koͤnnen ſie jenem hoͤchſten Theile nie

gleich werden, und es kann folglich auch die Gleichung nicht

beſtehen, wenn entweder x oder y oder beyde veraͤnderliche

Groͤßen unendlich angenommen werden.

Wenn alſo eine krumme Linie durch eine Gleichung zwi⸗
ſchen den Coordinaten X und „ ausgedruckt wird, deren

hoͤchſtes Glied keine einfache reelle Faktoren hat: ſo hat ſie
keine ohne Ende fortlaufende Schenkel, ſondern es iſt

die ganze Curve in einem endlichen Raume enthalten Rſo

wie die Ellipſe oder der Kreis. Wenn daher in der allge⸗

meinen Gleichung der Linien der zweyten Ordnung y⸗ †

SXy T YX X † òy † exX † = o das hoͤchſte Glied «y⸗z †

gXy † 7XX, worin die veraͤnderlichen Groͤßen X und y

zwey Dimenſionen haben, keine einfache reelle Faktoren
hat, welches geſchieht, wenn g groͤßer als 442%½ wird:
ſo hat die Curve keinen ohne Ende fortlaufenden Schen⸗

kel, und iſt daher eine Ellipſe.

§. 170.

Um dies deſto deutlicher aus einander ſetzen zu koͤnnen,
wollen wir jede Gleichung zwiſchen den Coordinaten und y
auf die Art in Glieder theilen, daß wir zu dem hoͤchſten

oder erſten alle die Glieder der Gleichung rechnen worin
die veraͤnderlichen Groͤßen xX und „ die hoͤchſte Dimenſion
von dem Exponenten n haben. Das zweyte Glied ferner
ſoll alle die Glieder der Gleichung bekommen, worin beyde
veraͤnderliche Groͤßen n — 1 Dimenſionen ausmachen. Zu
dem dritten Gliede ſollen alle die Glieder der Gleichung ge⸗

Ja hoͤren,

132 Zweytes Buch. Siebentes Capitel.

hoͤren, worin die Anzahl der Dimenſionen der veraͤnderlichen
Groͤßen X und y, durch n – 2 ausgedruckt wird; und auf dieſe

Art wollen wir weiter fortgehen, bis zu dem Gliede, worin

keine Dimenſion von X und „ enthalten iſt, und welches

daher bloß aus einer beſtaͤndigen Groͤße beſteht. Außerdem

wollen wir das erſte oder hoͤchſte Glied P, das zweyte C

XN N

§K. 171.
Da alſo die krumme Linie, welche durch die Gleichung

†¼ Q† R† S † ꝛc. = o ausgedruckt wird, wenn
p keinen einfachen reellen Faktor hat, auch keinen ohne

Ende fortlaufenden Schenkel hat: ſo wollen wir nun⸗
mehr annehmen, daß das hoͤchſte Glied P Einen einfachen
reellen Faktor ay — bx habe, ſo daß P = (a y — b xX) M
ſey, wo M eine Funktion von x und y von n — 1 Dimen⸗

ſionen bedeutet, die keine einfache reelle Faktoren hat.
Setzt man daher X oder y oder x und y = 00, ſo wird

M= OOn-1; Q kann ein aͤhnliches unendlich Großes ſeyn,
aber R, 8, ꝛc. werden unendlich Große von niedrigern
Graden. Folglich kann die Gleichung P † Q † R † ꝛc.
So beſtehen, wenn ay — bx = einer endlichen Groͤße
ddder = o iſt, und die Curve wird daher ohne Ende
fortlaufen.

8. v7.o.o.e.
Es ſey alſo ay — bzx = p, wo p eine ſolche endliche

Groͤße ſeyn muß, daß p M † Q †hhS † ꝛc. = o,

— Q— R — S ꝛc.
oder p = — — wird, wenn die Curve

ins Unendliche uͤbergeht. Da aber M eine unendliche Groͤße
von einer hoͤhern Ordnung als R, 8, ꝛc. iſt, ſo werden

.. 1 -

die?
Man
pinn

ſenet

— ,
2 1—2

War

beſie

wveld

nan

Aett
aud
Gec
48

Mite
aufe
„‚worn
welches
Uerden

ehte

chng

, pen

n ohre
1 W⸗

bfachen

— bN

Diner

O

ord

en.

per
41.

Geie

, N

Ne

Von den ohne Ende ſthufade Schenkeln. 133

5
die Brüche „ 2. = o, und ſleti p = .

M
Man erhaͤlt alſo den Werth von p aus dem Bruche —.

wenn man darin xX und y unendlich groß annimmt. Da
P P

ferner a y — bx = p iſt, ſo iſt y = r, und —

. — = „ weil = o wird, wenn X = Oo iſt.

Wenn alſo die Curve ins Unendliche uͤbergeht, ſo iſt y= R.

8. 173.
Da Q und M homogene Funktionen von n — 1 Dimen⸗

ſionen ſind, ſo iſt eine Funktion von keiner Dimenſion
(1 B. §. 85)] welche daher, wenn man y = 52 ſetzt, einen

beſtaͤndigen Werth p fuͤr giebt. Oder, da die Funktion 8

beſtimmt wird, ſobald das Verhaͤltniß zwiſchen „ und x,
welches das Verhaͤltniß b: a iſt, beſtimmt wird: ſo erhaͤlt

man den Werth von p, wenn man in der Funktion

allenthalben b anſtatt y, und a anſtatt X ſetzt. Hat man
auf dieſe Art p gefunden, ſo wird ay — bx = p, und dieſe
Gleichung iſt in der gegebenen Gleichung P † Q † Kk † S

. So enthalten, wenn die Curve ins Unendliche uͤbergeht.

F. 174.
Der Theil der Curve im Unendlichen wird alſo durch die

Gleichung ay — bz = p ausgedruckt; und da dies eine

J 3 Glei⸗

*%

134 Zweytes Buch. Siebentes Capitel.

Gleichung fuͤr eine gerade Linie iſt, [(5 39. 40], ſo muß dieſe

gerade Linie, wenn ſie ohne Ende verlaͤngert wird, mit der

Curve zuſammenfallen. Es iſt daher die gedachte gerade

Linie eine Aſymptote der Curve, weil die krumme Linie mit
ihr im Unendlichen zufammenfaͤllt, und ſich ihr daher immer

mehr und mehr naͤhert. Und da die gegebene Gleichung

P † Q † R † S † ꝛc = o, wenn man x oder y = 00

ſetzt, in dieſe, ay — bXx = p, uͤbergeht: ſo erhellet zu⸗

gleich, daß diee gerade Linie, nach beyden Seiten verlaͤn⸗

gert, im Unendlichen mit der Curve zuſammenfaͤllt. Es

hat daher die krumme Linie zwey ohne Ende fortlaufende,

und einander entgegenſtehende Schenkel, davon der eine

mit der geraden Linie, wenn man ſie vorwaͤrts, und der
andere mit ihr, wenn man ſie ruͤckwaͤrts ohne Ende ver⸗
laͤngert, zuſammenfaͤllt.

§. 175.
Da alſo die Curde, wenn die fuͤr ſie gegebene Gleichung

PP Q † R † 8 † ꝛc. ſo beſchaffen iſt, daß das hoͤchſte

Glied derſelben Einen einfachen reellen Faktor hat, zwey

ohne Ende fortlaufende Schenkel hat, die ſich einer und
derſelben geraden Linie, welche man ihre Aſymptote nennt,
auf beyden Seiten immer mehr und mehr naͤhern: ſo wol⸗

len wir jetzt annehmen, daß das hoͤchſte Glied P zwey ein⸗

fache reelle Faktoren ay — bx, und ey — dx habe, ſo
daß P = (ay — bxX) (ec 50 –— dx) M, und M eine homogene
Funktion von n — 2 Dimenſionen ſey. Hier ſind aber zwey
Faͤlle zu erwaͤgen, indem dieſe beyden Faktoren emiwader⸗
einander gleich oder ungle eich ſeyn koͤnnen.

Sind nun zuvoͤrderſt dieſe Faktoren einander ungleich,
ſo iſt offenbar, daß die Gleichung

(a y

ſuͤer
Ven
ty-
er⸗)

in he

RN
gerade
nie mit
tinmer
leichng
200
le
wn⸗
. G
uſende,

er eſte

1ad Ne
Me bes

he
hchſe
wey

wd

an,
Pmd
in
t,
nogee
iwig
edes,

4

Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 135

(ay — bx) (cy — d x) M † OQ† Kk †S † ꝛc. = o
fuͤr unendliche Abſeiſſen oder Applicaten auf eine doppelte
Weiſe beſtehen kann, entweder wenn ay — bx, oder wenn
cy — dx einer endlichen Groͤße gleich iſt. Setzt man da⸗
her ay — bx = P,Z ſo daß P eine endliche Groͤße iſt, ſo iſt

b
im Unendlichen ? . = 1 und es wird, wie vorhin,

— Q△— K — $ — *½. — C
p cY— dx) 4 (cy — dæ) M
welches eine Fanttian von und y von keiner Dimenſion

5

iſt. Wenn man alſo . = —, oder, welches auf eins

hinauslaͤuft, allehthalben b anſtatt y, und a anſtatt X ſetzt,
ſo findet man den wahren Werth der geſuchten beſtaͤndigen
Groͤße p. Es iſt folglich p = — K und da we⸗

gen der Ungleichheit der Faktoren be — a d nicht = o ſeyn,

und eben ſo wenig M, da es gar keinen reellen einfachen

Faktor enthaͤlt, = o werden kann: ſo entſteht daraus fuͤr
p ein endlicher Werth, oder es wird =o, welches ge⸗

ſchiehet, wenn entweder das Glied Q gaͤnzlich fehlt, oder

den Faktor ay — b X hat.

§. 177.

Es hat alſo die Curve wegen des einfachen reellen
Faktors ay — bx des hoͤchſten Gliedes P, eben ſo wie

im erſten Falle, Eine Aſymptote, deren Lage durch die

Gleichung ay — bæ = p angezeigt wird. Auf eine aͤhn⸗
liche Art aber kommt ihr auch wegen des andern Faktors

cy— dxz eine Aſymptote zu, welche durch die Gleichung

— 2 e
(a y — bx) M

cy — dx = q ausgedruckt wird, wenn man q =

136 Zweytes Buch. Siebentes Capitel.

ennimmt, nachdem man allenthalben anſtatt y und x die

beſtimmten Werthe d und c geſetzt hat. Es hat daher die

Curve zwey Aſymptoten, und folglich vier ohne Ende fort⸗

laufende Schenkel, die mit dieſen geraden Linien endlich

zuſammenfallen. So verhielt es ſich, wie wir oben geſehen
haben bey der Hyperbel; und wenn daher das hoͤchſte Glied
syy † 6Xy † 7X X in der Gi leichung fur die Linien der
zweyten Ordnung «yy † &* † yxXX † dy † eX † ½ = 0
zwwey einfache reelle und ungleiche Faktoren hat, welches

ſtatt findet, wenn ½ groͤßer als 4. iſt, ſo iſt die Curve

eine Hyperbel.

§. 178.

Nun ſeyen d die beyden Faktoren a y — bx und ey— a

einander gleich, ſo daß P = = (ay — bx)⸗ M. Da P † Q?†
R— 8 — ꝛc.
R†S †––ic = o iſt, ſo iſt (ay — bx 2 = —— —
und da Q eine Funktion von n — 1; R eine Funktion von
n – 2; unds eine Funktion von n — 3 Dimenſionen iſt,

ſo wird, da M ebenfalls n — 2 Dimenſionen hat, wenn x

oder y unendlich groß werden, S o, und folglich

— CQ R 1
— 2 ——— — “ — — —,
4. cay be) M = M (ay †1)
Run ſind aber und Funktionen von keiner

Dimenſion der Gebgen x und y. Da alſo im Unendlichen

7:X = b: a iſt, ſo werden beyde Funitionen „wenn man
b
das Berhaͤltniß⸗ 4 anſtatt 2. . oder b fuͤr y, und a füͤr

ſetzt, zu heſtundigen Großen.

5. 779.

Poret

t. =
fal.
ſeße!
Nehine
)-
n.

Mha

f
wen
Sche
die
tobe/

Gc
flmk

ſeyn
dren

Rr
har th
endeſt⸗

ende e

ngeſehen
6ſee G
nien Ne
4/—
—

welches
en

Dki W.
gſonen ſp
, nnn

=

n kin

lite
monn

ſen

Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 137
. 179.
Es werde daher durch dieſe Subſtitution

KCay †,2 , und MA—

ſo wird
(ay — bx)2 = — Ace † x) — B:
und dies iſt die Gleichung fuͤr eine krumme Linie, welche
mit der Linie, die durch die Gleichung P † QFRTPSEP

ꝛc. = o ausgedruckt wird, im Unendlichen zuſammen⸗

faͤllt. Da aber die Groͤßen „ und „willkuͤhrlich ſind, ſo
ſetze man = = b und = a, und laſſe bey veraͤnderten Co⸗
ordinaten
ay — bx = u V (aa † bb) und by † ax = t V(aa † bb)
ſeyn. Alsdann iſt fuͤr eben dieſe Curve
à B=
a h
wovon in die Augen faͤllt, daß es eine Gleichung fuͤr die
Parabel iſt. Die geſuchte Curve iſt daher von der Art,
daß ſie ohne Ende fortgefuͤhrt, mit einer Parabel zuſam⸗
menfaͤllt. Sie hat daher nur zwey ohne Ende fortlaufende
Schenkel, deren Aſymptote keine gerade Linie, ſondern
die durch die vorhergehende Sleichung ausgedruckte Pa⸗

dabel iſt,

§. 180.
Dies ſndet ſtatt, wenn A nicht = o iſt: allein wenn
= e wird (welches geſchiehet, wenn das zweyte Glied
O fehlet, oder durch a y — b« theilbar iſt), ſo hoͤrt die ge⸗
fundene Gleichung auf eine Sleicungt fuͤr die Parabel zu

ſeyn, und verwandelt ſich in uu † .

ſ5b, wobey

drey Faͤle zu betrachten ſind. Iſt nemlich zuvoͤrderſt B eine

139 Zweytes Buch. Siebentes Capitel. An

. B c. HS iſin
— — — 4
negative Groͤße, oder aa T ob . ft, ſo begreift die ẽZ
Gleichung uu — ff = o dieſe zwey Gleichungen u — f=o, 1
und u † f = o in ſich, welche zu zweyen geraden einander !

parallelen Linien gehoͤren, davon eine jede eine Aſymptote
der Curve iſt, wie im erſten Falle. Es hat daher die
Curve vier ohne Ende fortlaufende Schenkel, die uͤber alle
Grenzen hinaus verlaͤngert mit dieſen beyden geraden Linien

zuſammenfallen. VU er
§. 18r. . 2
Der zweyte Fall findet ſtatt, wenn B eine poſitive Gröͤße, lb

oder = † ft iſt. Weil aber die Gleichung uu †¼ If = o
in dieſem Falle unmoͤglich wird, ſo hat die Curve alsdann
beinen ohne Ende fortlaufenden Schenkel, ſondern iſt ganz
in einem endlichen Raume enthalten. Es hat daher die )
Curve, welche durch die Gleichung P † Q † R † S † ꝛc.
ausgedruckt wird, nicht bloß in dem Falle keinen ohne Ende

fortlaufenden Schenkel, wenn das hoͤchſte Glied P keinen die
eenfachen reellen Faktor hat, ſondern es kann dieſer Um⸗ als,
ſtand, wie wir geſehen haben, auch ſtatt finden, obgleich erhäͤtt
Faktoren hat In der Folge werden noch mehrere “ deer C
dieſer Art vorkommen. 4 ts.
6. 122. wenn
Der dritte Fall endlich tritt ein, wenn auch B=0 wird, din
ein Umſtand, der ſich bey jedem der beyden vorhergehenden chenr
Faͤlle ereignen kann, daher es zweifelhaft iſt, wie die Curve
beſchaffen ſeyn werde. Man muß alſo, um die Geſtalt der
Curve zu beſtimmen, die folgenden Glieder betrachten.
Da nemlich
P rd .πD⁸ und = ay — 51): M iſt btot

Vaeon den ohne Ende fortlaufenden Echeten 139

egtiſte ſo iſt im Unendlichen .
1= b, und (ay — bx)⸗ 1 Q N 11t *
u So. Nun ſetze man, wie vorhin [5§ 179] ecden man
he N die Subſtitution X = = = b gebraucht hat,
lber ale 0
denkiier = AC(by † a), und . = B;

ferner ſey, da 8, T, V ꝛc. Funktionen von (n — 2),
(n — 3) ꝛc. Dimenſionen, M aber eine Funktion von
n — 1 Dimenſionen iſt,

nebi⸗ s (by † ax) TC(by † ax) = VCby † ax) 2
Ifl= XX = C; M = D; MxA—
de dedunt = E, ꝛc.: ſo iſt
n iſgen D
luher h Er — bz) 2 † A Cy T axn) † B 5e Sfa 1† Tr a i3
5/ B H
hornde R—⸗ 1† (by † a X) ⁸ — o
9b tin Dieſe Gleichung druckt daher die Natur der krummen Linie
erEH aus, deren im Unendlichen gedachter Theil, welchen man
hi erhaͤlt, wenn man by † ax unendlich groß annimmt, mit

gun der Curve zuſammenfaͤllt, die aus der Gleichung P † Q †
RF S † ꝛc. =o entſpringt. Denn ohngeachtet (ay — bx) 2
wenn die Curve ins Unendliche uͤbergeht, einen endlichen
oder einen unendlichen Werth, aber von einer niedrigen

20 ti Orduung als 002, erhaͤlt, ſo hat gleichwohl «y † a=
glen einen unendlichen Werth.
eCede
el de UD . 183.
rachten Veraͤndert man nun aber die Axe der grfndenen Aſym⸗

i ptote, und ſetzt die Abſciſſen darauf ⸗= . n =t, und

140 Zweytes Buch. Siebentes Capitel.

— b x
die Applicate b) = u, desgleichen, der Kuͤrze

wegen, (aà a n= = g; ſo bekommt man

c Dd E
uu 4 t g3t gatz gets t. = o.
Da alſo 4 dem gegenwaͤrtig zu entwickelnden Falle 4 A = o,

und B = o iſt, ſo wird

e D E
uu† l = 0.

Iſt nun C nicht = o, ſo inden, wenn man t=

anni —— † — — —
annimmt, die Glieder S 2 † zics ꝛc. gegen „und

es wird folglich
uu †* = 0.
g t
Dieſe Gleichung druckt daher die Natur der krummen Linie
aus, die, wenn man t = ſetzt, mit der Curve zuſam⸗

—O
menfaͤllt. Da nun daraus u = = V iſt, ſo hat die

Curve zwey Schenkel, welche ſich nach einem und demſelben

Theile der Axe zu auf beyden Seiten immer mehr und mehr

naͤhern.
§. 184.
Iſt uͤberdies c = , ſo muß man dieſe Gleichung
uu t S = 0 nehmen, wo wieder ein dreyfacher Fall

ſtatt ſdet, indem D eine poſitive, oder eine negative

Hroͤße, oder = o ſeyn kann. Weil in dem erſten Falle

die Gleichung unmoͤglich wird, ſo hat darin die Curve kei⸗
nen ohne Ende fortlaufenden Schenkel, ſondern iſt ganz in

einem endlichen Raume enthalten. Was den zweyten Fall
be⸗

Von

etriſt,

derin die
wen d
den P⸗
Curve
der 9
hern.

dieſes

dieB
6
Glieder

n
gunz/

in habeh

len, we
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den iſ.
ſortlon
wwey .
das nae
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mmnen ki

de ſee

N

Mnete
und we

Glare
un

, Ngtete
en Ful
undett
onn 8

Nenhi

Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 141

— D ff.
betrifft, wenn S — — fkf, weil un = iſt; ſo hat

darin die Applicate u, ſowohl wenn man t = † 00, als
wenn man t = — Oo ſetzt, einen doppelten verſchwinden⸗
den Werth, einen poſitiven und einen negativen, und die
Curve daher vier Schenkel, die ſich nach beyden Theilen
der Axe und zu beyden Seiten derſelden immer mehr naͤ⸗
hern. Im dritten Falle, oder wenn D = o iſt, muß man

E
dieſe Gleichung uu t5 — = 0 nehmen, mit der es eben

die Bewandniß hat: nd ſo muß man ſo lange fortgehen,
als die Gleichung P † Q † R †S † :c. = o fernere
Glieder darbietet.

§. 185.
Angenommen nunmehr, daß das hoͤchſte Glied der Glei⸗
chung ?P † QFTRTS † ꝛc. = o drey einfache reelle Fakto⸗
ren habe: ſo iſt offenbar, daß von jedem dieſer drey Fakto⸗
ren, wenn ſie einander ungleich ſind, alles das gilt, was
oben ¶171 — 174] von Einem reellen Faktor gelehret wor⸗
den iſt. In dieſem Falle hat alſo die Curve ſechs ohne Ende
fortlaufende Schenkel zu dreyen geraden Aſymptoten. Wenn
zwey Faktoren gleich ſind, ſo gilt von dem dritten eben das,

was nach dem Vorhergehenden davon behauptet werden

muß; was aber die beyden gleichen Faktoren betrifft, ſo
muß man auf ſie das vorhin [K 178 — 185⁵] von zwey glei⸗

chen Faktoren Geſagte anwenden. Es bleibt daher nur der

dritte Fall zu betrachten uͤbrig, wenn alle drey Faktoren
einander gleich ſind. Es ſey daher b = (ay † bx) 3 M.
Und da die Gleichung ?P † Q†RTS† ꝛc. = o im Unend⸗
lichen nicht beſtehen kann, wofern nicht (a y — bx) 32 einen
endlichen oder wenigſtens einen unendlichen Werth von einer
nie⸗

142 Zweytes Buch. Siebentes Capitel.

niedrigern Ordnung als Oο hat, damit die Poteſtaͤt des
Unnendlichen, worin das hoͤchſte Glied P uͤbergeht, kleiner

.⸗ èGð b
werde als Oοπ: ſo iſt allerdings im Unendlichen 4 = – .

W §. 186.
Un dieſen Fall weiter zu entwickeln, muͤſſen wir das
zweyte Glied Q betrachten, und ſehen, ob es denſelben
Faktor ay — bx hat oder nicht. Fehlt daſſelbe gaͤnzlich,
ſo findet das erſtere ſtatt, indem o einen jeden Faktor zu⸗
laßt. Es ſey alſo zuvoͤrderſt Qnicht durch ay — bx theil⸗
bar. Da nun Q eine Funktion von n — I, und M eine
QO
a X † byaN
eine Funktion von keiner Dunenſenz und 6 wird daher
Q.
A by)⸗ 2M
Groͤße, die wir A nennen wollen, und (a y — bx) 3 †
A(ax † by) 2 = o, weil die folgenden Glieder im unend⸗
ſichen gegen A (ax † b 7) 2 verſchwinden.

Funktion von n — 3 Dimenſionen iſt, ſo iſt

„wenn man 3 = — ſetz, eine beſtaͤndige

7 . 187.

Die krumme Linie, welche durch dieſe Gleichung aus⸗

gedruckt wird, iſt daher ſo beſchaffen, daß ſie, ins Unend⸗
liche fortgefuͤhrt, mit der krummen Linie, welche durch die
Gleichung P † Q†RFT S † ꝛc. = o ausgedruckt wird, zu⸗
ſammenfaͤllt. Um ſie aber genauer kennen zu lernen, wol⸗
. len wir fuͤr ſie eine andere Axe annehmen, worauf

— b
die Abſciſſe t = — 1 2, und die Appiicate u =

fdr VCa 1 dbe= 8 ſeyn ſoll. Alsdann iſt u? 12 Att.o,

und

nd di
den

endlige

helannt

5XO
ſolgen
zrte

ſoft⸗
odern

S
—

vi

Dder
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8,
ein⸗

gung

Da

n wir
denſelhen
le ganſich,
ne Ne

— r e .

Ud .A ene
“
i

(ay — bX) (a X † by

Sõ

Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 143

und dieſe Gleichung giebt, wenn man darin t = Oo ſetzt,

den Theil der geſuchten Curve P † Q†kn† ꝛc. = o im Un⸗

endlichen. Wenn daher die Geſtalt der Curveus † Atte= 0
5

befannt iſt, ſo iſt auch die Geſtalt des Theils der Curve

P † Q † R † ꝛc. = o im Unendlichen bekannt. In dem
folgenden Capitel aber wollen wir dieſe krummlinigen Aſym⸗
ptoten beſonders betrachten,

§. 188.

Wenn das zweyte Glied Q den Faktor a y — bx e hat,
ſo iſt es dabey entweder auch durch (ay — bx)2 theilbar

oder nicht. Es ſey zuvoͤrderſt nicht durch (ay — bxy 2 theil⸗

bar. Hier nehme man die Funktion von keiner Dimenſion

“ ſo daß dieſelbe, wenn man 4 “R

—

ſetzt, die beſtaͤndige Braoße A gebe; wo dann
Gy-— br) 3 1 ACGV=— bæ) (ax by M 1 R † ꝛc. =0
ſeyn wird. Hier iſt nun D wenn man ſetzt, ent⸗

weder B (ay — b X) oder B (a XK † by), je nachdem R ent⸗
weder durch ay — bx theilbar iſt oder nicht; dagegen iſt

5 eine beſtaͤndige Groͤße c. Wenn man daher dieſe Glei⸗

chung in eine andere zwiſchen den Coordinaten t und u fuͤr
eine andere Axe, ſo wie worhin⸗ verwandelt, ſo iſt entweder

Atu R
u 3 †+ — — = 0 oder
1 e= 1 8
a tu S
Da indeß bloß er Fall hieher gehoͤrt, in welchem t = 00,
ſo

1444 Zweytes Buch. Siebentes Capitel

ſo verſchwinden die letzten Glieder dieſer Gleichungen. Es
iſt alſo in dem erſten Falle
W Atu
u † — † =
g 88s
weilche Gleichung eine doppelte Aſymptote, nemlich einmal

A t
u = o, und zweytens uuT F = giebt, wovon jene

eine gerade Linie, dieſe hingegen eine Parabel iſt. Auch
in dem letzten Falle hat u, wenn t = Oo iſt, entweder
einen endlichen Werth, ſo daß, weil das Endliche gegen

das Unendliche verſchwindet, t k — = o, und n =

fuͤr die gerade Linie iſt. Oder es kann auch u einen

unendlichen Werth haben, und dann enſeht wegen des

Verſchwindens des letzten Gliedes u2 12 = für die

Parabel. Es ergiebt ſich daher in beyden Sllen eine doppelte
Aſymptote, wovon die eine eine gerade Linie und die an⸗
dere eine Parabel iſt, daher man dieſe Faͤlle auch nicht
weiter von einander zu mnterſcheiden noͤthig hat. .

§. 189.

Nun ſey Q auch durch (ay — bx)2² theilbar, ſ er⸗
haͤlt man, je nachdem R durch (a y — bx) theilbar oder
nicht theilbar iſt, durch eben die Operationen, die vor⸗
hin angeſtellt wurden, wiſchen 1t und u dieſe Gleichun⸗
gen: entweder

Auz
,1 Aar, da & , oder

Die

Lo

Die er
ander
ſind;1
zwey dr
ober wi
Mrala

Menfa

aber

Glieder

Athde

ſſtr;

chunge
durch
menfe
Erpo⸗

Henne
ohon ſet

ntweden
ſde Ne

0 fir N

ge

lie a G.

ch nicn

, 6
bar Nde
ie w
Nlißm

Ni

Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 145

Die erſte Gleichung iſt eine Gleichung fuͤr drey gerade ein⸗

ander parallele Linien, wenn alle drey Wurzeln derſelben reell
ſind; oder fuͤr eine einzige geradlinige Aſymptote, wenn

zwey von dieſen Wurzen imaginaär ſind. Hieraus entſtehen
aber wieder verſchiedene Faͤlle, je nachdem von jenen drey
parallelen Aſymptoten entweder zwey dder ali dren zuſam⸗

menfallen. Die etzte Gleichung u3 1 —,— = 0
aber kann fuͤr t = 00 nur arcdann Rate finden, wenn

u = O iſt, ſo daß das Glied gegen das erſte u3 ver⸗

ſchwindet, und alſo u ³3 † F.⸗ = o wird, welches eine Glei⸗

chung fuͤr eine krummlinige Aſymptote der dritten Ordnung iſt.

§. 190.
Wenn aber A = o; B = o; C = o iſt: ſo muß man

die folgenden Glieder der Gleichung P † Q † R † S † ꝛe.

= o zu Huͤlfe nehmen, wodurch man die Gleichung
3 4. E 4 F 4 ꝛ
u½. † gt † gta gots“

erhaͤlt. Iſt nun darin nicht D = o, ſo verſchwinden alle

D
Glieder vom dritten an, ſo daß alſo u3 † — iſt. J iſt. J ſt aber

anch D =o, ſo wird u † g z = o; und iſt auch E=o,

iſt u † 1 = o, ꝛc. Ale dieſe Gleichungen ſind Glei⸗

chungen ſr krumme Linien, welche fuͤr t = 00 mit der
durch P † Q † R† S † ꝛc. So ausgedruckten Curve zuſam⸗
menfallen. Da in jeder u3, eine Poteſtaͤt mit einem ungeraden
Exponenten, vorkommt, ſo ſind ſie alle reell, und zeigen
Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. II. BD. K folg⸗

146 Zweytes Buch. Siebentes Capitel.

folglich an, daß es ohne Ende fortlaufende Schenkel
gebe. Es iſt indeß fuͤr dieſe Faͤlle auch die durch die Glei⸗
chung u = o ausgedruckte gerade Linie eine Aſymptote,

D
weil ſie die Aſymptote der Curven u3 † za = o; u3 †

E
— — 0, 200 iſt.

Sitz

§. 191.
Da alſo die Schenkel der Curven, die ſich einer gerad⸗
Unigen Aſomptote naͤhern, ſo ſehr von einander verſchieden

ſeyn koͤnnen, ſo iſt es von Wichtigkeit, dieſe Verſchieden⸗
heit genauer zu betrachten; und dies wird geſchehen, wenn

man die einfachſte krumme Linie zu beſtimmen ſucht, welhe,
auf eben dieſelbe geradlinige Aſymptote bezogen, mit der
gegebenen Curve uianmeeſoutt⸗ So erhellet, obgleich die
u 2
Gleichung u2 1 † = † S = o, wenn ſie lauter
8
reelle Wurzeln hat, drey geradlinige einander parallele
Aſymptoten anzeigt, [5§ 189], doch noch nicht, ob die Schen⸗
kei der Curve im Unendlichen hyperboliſch, das heißt, in

er Gleichung u = 5 oder von einer andern Art, z. B.

in der Glei chung u = —, oder u = = ec. enthalten ſind.

Um dieſes zu erkennen muß man das zunaͤchſt folgende Glied,

2

D 11
nemlich 41 oder wenn dieſes fehlt . oder wenn

8£

auch dieſes mangelt, e: nehmen. Wir wollen, um die⸗

ſen Gegenſtand allgemein zu behandeln, das folgende Glied

= . ſetzen, wo denn aus der Natur der Gleichung P †.
4 0†

Worn

ſchn,

N

OH

cn
in gole
denn die

rn
(2—
lder i

berſckieden⸗
hen, Denn
gt, wade⸗

Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 147

QEPRT SF zꝛc. = o, die n Dimenſionen hat, erhellet,

daß k nicht groͤßer ſeyn kann als n — 3. Laͤßt man nun die
A uI Bu C
Wurzeln der Gleichung u3 † k 1 — 1 — = 0 dieſe
5 5 * S *

ſeyn, (u — 4) (u — 8) (u — 7), ſo iſt (u — a) u — 4)
YMRMB

(u — ?y) — – = oöo. Ferner ſey u — & = –eine Glei⸗

kK
t t.

chung, welche die Natur der ei inen Aſomptote ausdruckt;
ſo iſt — ( — β † —) (a — 7 † 3 = –; und wenn man
tee tt“ 16 tk
(„ — 8) « — 2J = .

t = Oo ſetzt, ſo wird

§. 192. D

Dieſe Gleichung findet ſtatt, wenn die Wurzel ⸗ den
beyden uͤbrigen Wurzeln und 7 ungle eich iſt, und in die⸗

7 7

ſem Falle wird] = — — und „½ = k; daher
(2* – £) (« — 7))

denn die Wurzel u= « die krummlinige Aſhmptote u — = =
. 1-—
6—) (2 — 7)) tk;
ander ungleich, ſo giebt eine jede eine ſolche Aſymptote.
Wenn aber zwey Wurzeln einander gleich ſind, oder 8 = „
iſt, ſo fallen zwey Aſymptoten in eine zuſammen, und es

giebt. Sind daher alle Wurzein ein⸗

ℳ . K K
iſt alsdann — — 2= woraus 12= ——- und
ta tk *— 7

= k wird. Es wird daher die Natur dieſer doppelten

Aſymptote durch die Gleichung (u — a)2 = =— aus⸗

(„°—
gedruckt. Sind endlich alle drey Wurzeln einander gleich,
ſo daß daher alle drey Aſymptoten in eine zuſammenfallen,
K 2 ſo

148 Zweytes Buch. Siebentes Capitel.
egiebt
ſo wird die Natur dieſer Aſymptote durch die Gleichung 43
(u — 2)= = = ausg gedruckt. fnig
Wos
§. 193. YMVMV nauer
Wenn das hoͤchſte Glied der Gleichung P † QFRTYTS
† ꝛc. = o vier einfache reelle Faktoren hat, ſo laͤßt ſich die nen1
Natur der ohne Ende fortlaufenden Schenkel nebſt den ſe i
Aſymptoten, ſowohl wenn die gedachten Faktoren alle 29
einander ungleich, als wenn dieſelben paarweiſe gleich,
oder auch, wenn davon drey einander gleich ſind, aus dem
Vorhergehenden beurtheilen. Bloß der einzige Fall, wenn
alle Wurzeln einander gleich ſind, bedarf einer weitern
Betrachtung. Es ſey daher ? = (a y— b x) 4 M, ſo daß M -
eine Funktion von n — 4 Dimenſionen iſt. Setzt man nun u
in den Funktionen von keiner Dimenſion, ſo wie oben, 15 173] ſce⸗
b
X = =, um daraus beſtaͤndige Groͤßen zu erhalten, und
nimmt man uͤberdem bey veränderter Axe (§. 1831. t = inlte
2 E, und = — 3 , ſo daß g = = V (a a † b b)
iſt: ſo erhaͤl t man fuͤr die Aſymptoten folgende Skeianngen L Die
t3 ndchde
zwiſchen den Coordinaten t undu. Zuvoͤrderſt u42 2 =
I=
wenn ſich Q nicht durch ay: — bz theilen laͤßt. 4
dieerh
§. 194. Einin,
Iſt hiernuͤchſt Q zwar durch ay— b X, aber nicht durch
av— Pb2)2 theilbar, ſo bekommt man u4 † 4tt †k† Stt
gg kelg
= o, worin, fuͤr t = O.., die Applicate u entweder eine
endliche oder eine unendliche Groͤße ſeyn k⸗ kann; und bieraus de
er⸗

, lin

*
thann on
144 b)
Gaargen

415

—

6

ibr durg
1
6

viher tne
huus

Von den ohne Ende ſerthaufenden Schenkeln. 149

ergiebt ſich eine doppelte Aſymptote, nem lich eine gerad⸗

D B . Att
linige u † 5 = o, und eine krummlinige, us † – = o.

Was die geradlinige betrifft, ſo nehme man, um ſie ge⸗

K
nauer tennen zu lernen, das folgende Glied Dann findet

5

IK

8 l .
man uI 4 5 † — — = o, und dies iſt die Gleichung

AItkTT 2
fuͤr die Curve, wovon der Theil, der zu der Abſciſſe
t = gehoͤrt, mit der geſuchten Curve zuſammenfaͤllt.

K. 195.
Es ſey nunmehr O durch (ay — bx)a, aber nicht durch

(ay — bX) 3 theilbar Hier muß man ſehen, ob R durch
a y — bxæ theilbar iſt, oder nicht. Im erſten Falle ergiebt

ſich die Cleichuns

im letzten aber dieſe,
u4 † Au r tt. o.
g gg 23
Die erſte Gleichung giebt zwey andere Gl eichungen, je
nachden eudich oder unendlich iſt, und zerfaͤllt daher in
uu † e = o, und uz f o. Die erſte
ggA 3
dieſer beoden Gleichungen fuͤhrt auf zwey gerade parallele
Linien, wenn ſie zwey reelle und ungleiche Wurzeln hat;
wenn aber ihre Wurzeln imaginaͤr ſind, ſo iſt dies ein
Kennzeichen, daß es keinen ohne Ende forilaufeuden Schen

kel giebt: die andere Gl eichung u2 4 — = ⁹ hingegen

giebt eine parabolif ſche Aſymptote. Was die Gleichung

150 Zweytes Buch. Siebentes Capitel. G
u4 4 2 HS † 62 = O betrifft, ſo enthaͤlt dieſelbe, weil
t Bt gung
S gegen —„ wenn t= oo wird, verſchwindet, zwey
B
Gleichungen von der Form uu at = o, und es entſtehen D’
daher zwey paraboliſche Aſymptoten, wenn A⸗= groͤßer als weich
4 B iſt, die aber in eine zuſammenfallen, wenn A2 = 4 B zue⸗
wird, und imaginaͤr werden, wenn Az kleiner als 4 B iſt, chune
in welchem Falle alſo kein ohne Ende fortlaufender Schen⸗ btt
kel ſtatt findet.
§. 196. ſtin
nen
Iſt endlich Q durch (a y — b x) 3 theilb ar, ſo erhaͤlt
e,I
man, je nachdem R und § durch ay — bx theilbar oder i
nicht theilbar ſind, folgende Gleichungen:
Au 3 BaS ca D
14 † —— 1 f ; f —– = 0
8 8 wenn
ua as e
u4 f4 — † — . † — = o Cnint
g gz 6 ift,
uA r A- 1 = die
g Venn
Aus Pet ũ
un „ — † — o. . NR
g 8 Gen
Die erſte dieſer Gleichungen iſt eine Gleichung fuͤr vier ge⸗ ſeih
rade einander parallele Linien, wenn alle ihre Wurzeln reell ii;
und einander ungleich ſind; ſind aber darunter gleiche, ſo ide
fallen zwey oder mehrere von dieſen geraden Linien in eine Fee
zuſammen; und ſind imaginaͤre Wurzeln darunter, ſo ſieren
heben dieſelben entweder zwey von ihnen, oder alle auf. ad
In der zweyten Gleichung muß, wegen t = 00 die Ap⸗ En
plicate u nothwe Edi⸗ unendlich ſeyn, und dann geht ſie in die
dieſe uler n u4 D „So, weiche auf eine krummiinige eAſym⸗ ben
rtote

4 er:
ahat

yird

Von den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln. 151
ptote von der vierten Ordnung fuͤhrt. Aus der dritten Glei⸗

. C
chung kann ſie den endlichen Werth haben u kri o; auſ⸗

ſerdem ſteckt aber darin auch die Gleichung u3 † – = 0o,
88

E

welche eine krummlinige? Aſhmptote von der dritten Ordnung
zu erkennen giebt. Endlich verwand elt ſich die vierte Glei⸗

E

chung, da u = 0 wird, wenn t = 0 iſt, in u“ †

B 1tf t 2 „ „ L o* „
— =— o. Dieſe Gleichung iſt unmoͤglich, wenn B eine po⸗
ſtive Groͤße iſt; iſt aber B eine negative Groͤße, ſo zeigt ſie

zwey einander am Scheitel entgegenſtehende Parabeln an,
die, ins Unendliche fortgefi ſhrt rmit der Lurve zuſammenfallen.

Hieraus erhellet ſchon, wie man weiter fortgehen kann,

wenn noch mehr einface Faktoren des hoͤchſten Gliedes P

einander gleich ſind. Denn was die ungleichen Faktoren be⸗

trifft, ſo kann ein in jedet von ihnen beſonders betrachtet, und
ſo die aus ihm entſpringende Aſymptote beſtimmt werden.

ene aber zwey Faktoren einander gleich ſind, ſo lehrt der
„gſte und die folgenden §§ die Natur der Curve finden. Zu

eben dieſer Abſicht dienen, wenn drey Faktoren einander
gleich ſind, § 185 und die folgenden. Den Fall enblich, wo

vier Faktoren einander gleich ſind, haben wir ſo eben be⸗
trachtet, und auf aͤhnliche Art kann, wenn mehrere gieiche
Faktoren vorkommen, gehandelt werden. Uebrigense Erdete
hieraus die große Mannigfaltigkeit und Verſchiedenheit un⸗
ter den krummen Linien, ſelbſt wenn man bloß auf die ohne

Ende fortlaufende Schenkel ſieht; denn die Verſchiedenheit,

die ſtatt findet, wenn die Curven in dem endn en Raume

betrachter werden, haben wir noch gar nicht beruhrt

K 4* . 21

lchtes

1

Achtes Capitel.

Von den Aſymptoten.

§F. 108.

“ Wir haben in dem vorhergehenden Capitel mehrere

Arten von Aſymptoten kennen gelernt, denn wir haben ge⸗
funden, daß es außer der geraden Linie noch eine Menge
Frummliniger Aſymptoten giebt ‚die in der Gleichung

uß“ = Ct' enthalten ſind. Selbſt die gerade Linie fuͤhrte
auf andere krummlinige Aſymptoten, welchen ſich die Curve
mehr naͤherte, als der geraden Linie. Ja ſo oft gefunden
wird, daß eine gerade Linie die Aſymptote einer Curve iſt,
ſo oft laͤßt ſich auch eine krumme Linie angeben, welche eben
die gerade Linie zur Aſymptote hat, und welche zugleich eine

Aſymptote der gegebenen Curve iſt. Dergleichen krumm⸗

linige Aſymptoten drucken aber die Natur der Curve, wo⸗
von ſie Aſymptoten ſind, weit genauer aus; denn ſie zeigen
zugleich die Anzahl der Schenkel, welche ſich der geraden
Linie immer mehr naͤhern, ſo wie auch die Gegend und
Seite an, wo ſolches geſchieht, ob oben oder unten, ob
vorwaͤrts oder ruckwarto?

§. 199.
Am bequemſten ordnet man dieſe ſo ſehr von einander
verſchiedene Aſymptoten, wenn man der Quelle folgt, aus
welcher ihre Kenntniß geſchoͤpft worden iſt. Man erhaͤlt
nemlich einige von ihnen aus den einzeln einander unglei⸗
chen

denſ

ſe wr
dier e
ſen el
Conen
540
noces
Cld
chung⸗
Ge d

=
=2

gleich d
lſo .
kon ⸗
teiban

ſiſe A

dene
woge⸗
dier

ſhne
ang

weſ⸗

Nen

Von den Aſymptoten. 153

chen Faktoren des hoͤchſten Gliedes; andere hingegen aus
je zwey gleichen, noch andere aus drey, noch andere aus
vier einander gleichen Faktoren eben dieſes Gliedes. Es
ſey alſo eine Gleichung von der Ordnung n zwiſchen den
Coordinaten x und y gegeben, und dieſe Gleichung ſey
PTQF† RT S † ꝛc. = o. Ferner ſey P das hoͤchſte Glied,
welches alſo alle Glieder der Gleichung von n Dimenſionen,
Q das zweyte Glied, welches daher alle Glieder der Glei⸗
chung von n — 1 Dimenſionen in ſich begreift, und auf

hthn eine aͤhnliche Art ſey R das dritte, § cas vierte Glied, ꝛc.
Mne §. 200.
Nun ſey ay — bx ein einfacher Faktor von P, und zu⸗
fihet gleich der einzige, den P von dieſer Art hat. Setzt man
une alſo P = (a y — bX) M, ſo wird M eine homogene Funk⸗
funden tion von n — 1 Dimenſionen, die nicht durch a y — bæx
nne ſß theilbar iſt. Ferner ſey, Fig. 35, A Z eine Axe, ihre Ab⸗
Lche ſciſſe A P = x, und die Applicate PM= y. Damit man
Heine den Faktor a y — b genau auszudrucken im Stande ſeyn
rkumi⸗ moͤge, ſo nehme man noch eine andere Axe AX an, welche
8, W⸗ die vorhergehende in dem Anfangspunkte der Abſciſſen A—
een ſchneide, und mit ihr einen Winkel XA7Z mache, deſſen
geto b b .
9 n x Tangente = —, und folglich ſein Sinus = V aa bb, o
hei wie ſein Coſinus = V ſey. In dieſer Axe nehme
man die Abſciſſe A Q = t, und die Applicate Q M = u;
ſo wird, wenn man Pg und bf den neuen Coordinaten u
und t parallet zieht, Pg = Qt = Vaa b.) A g =
cdt a X .— aà —. — 55 0r
ten H K 5 by

Zweytes Buch. Achtes Capitel.

und olglich t = A = .
Fa bbz und folglich et or Vaa r bo;
àV — bxz
un =— Mf — =— . ſo di 5
id u = Mf — Qf Vaa † bby Es iſt alſo die Ap

plicate u nunmehr ein Faktor des hoͤchſten Gliedes P.
§. 201.

, au † bt àt — bu
ngekehrt — — = .
Umgekehrt iſt y Vaa † bpy und VC(aa † bb)

Bringt man dieſe Werthe in die Gleichung P † Q † R *†
2c. = 0, ſo erhaͤlt man eine andere Gleichung fuͤr eben
dieſelbe Curve, wobey AX die Axe, und t und u die Coor⸗
dinaten ſind. Um aber die Weitlaͤuftigkeit bey den Coeffi⸗
cienten zu vermeiden, moͤgen die Buchſtaben «, g, 7, 5, ꝛc.

ihre Stelle vertreten. Auf dieſe Art erhaͤlt man durch die

gedachte Subſtitution
M = atn-I P† &th- zu † æ«tn- 3 uz † ꝛc.
Q = tn- I † & tn-zu † 8 tn- 3 uz † ꝛc.
R = „tn-2 † „tu- 3 † „tn-Au2 † ꝛc.
S = tn - 3 † à%tn-Au † tn-SuzZ † ꝛc.
T = ⸗stn-A4 † stn-Su †† stu-u3 † ꝛc.
ꝛc.
Weil man aber, um die Aſymptote zu ſinden, die Abſciſſe t
unendlich groß annehmen muß, ſo verſchwinden in jedem
dieſer Glieder die folgenden Theile gegen den erſten. Wenn
alſo der erſte Theil da iſt, ſo koͤnnen die uͤbrigen aus der
Acht gelaſſen werden. Fehlt der erſte, ſo nimmt man den
zweyten, und fehlen der erſte und der zweyte, ſo faͤngt
man von dem dritten an, u. ſ. w.

H. 202.

Da u die Funktion M nicht theilt, ſo kann der erſte Theil

von M nicht fehlen, und es wird alſo ætn- Xu † & tn- 1 = 0.
Hier⸗

Hiere
2
horele
kNe

oc

ſete
1,

Oder

Wen
gende

Geye

ft
Glich⸗
Kade

der

Nhſeſe t
1 ſden
us der
on
ſgt

Von den Aſymptoten. 155

g

Hieraus ergiebt ſich fuͤr u ein endlicher Wert th, den wir

ſetzen wollen; d. h. eine gerade Linie, die mit der A X
parallel laͤuft, und von ihr allenthalben um c ens tfernt iſt,
iſt die Aſymptete. Um nun die krumm Nnige Aſymptot e,
welche ſich der r gegebenen Curve ſtaͤrker naͤhert, zu finden,
ſetze man allenthalben, außer im erſten Gliede, anſtatt
u, c. Hierdurch erhaͤlt man die Gleichung
a tu-In †* Stn- I † tn-2 (a« ca † β c † 7) †
the 3 (ℳπ T &βc2 T† 7Yc †* *) † c. = 0.
Oder, weil «au † 8β = u — c itt,
(u — c) tu- I † tn -2 (a C2 † 8 † 72½) † tn-3 (æc 3 F
8 c2 T / Cc T ⁶) † ꝛc. = o.
Wenn alſo das zweyte Glied nicht fehlt, ſo koͤnnen alle fol⸗
genden aus der Acht gelaſſen werden, und dann iſt

C— ) † =

Fehlt das zweyte, ſo nehne man das dritte, wo denn

— C

(u — c) 1
Fehlt auch das dritte, ſo erha lt man durch das vierte

ra. 2c.

Fehlen alle bis auf das le letzte beſtaͤndige Glied, ſo wuͤrde

—

— 9 A = ;

und fehlte auch dieſes nebſt allen uͤbrigen, ſo waͤre die ganze
Gleichung durch u — c theilbar, und dann waͤre alſo die
gerade Linie u — c = o ſelobſt ein Theil der Curve.

§. 2023.
Setzt man u — c = 2, d. h. nimmt man die Abſciſſen auf
der geradlinigen Aſymptote ſelbſt, ſ⸗ ſind alle krummlinigen
Aſym⸗

156 Zweytes Buch. Achstes Capitel.
Aſymptoten, welche der einzige Faktor des hoͤchſten Gliedes
P an die Hand giebt, in der allgemeinen Gleichung „=
enthalten, worin X jede ganze Zahl, die kleiner als n iſt,
bedeutet. Jetzt wollen wir unterſuchen, wie dieſe krumm⸗

linigen Aſymptoten beſchaffen ſind, wenn die Abſeiſſe t= 0α

wird. Es ſey alſo, Fig. 36, XX, die geradlinige Aſymptote,
die Axe, und A der Anfangspunkt der Abſciſſen. Zieht man
die Linie CD, ſo entſtehen vier Gegenden, die wir mit den
Buchſtaben P, Q, K und 8 bezeichnen wollen. Nun ſey

zuvoͤrderſt 2 = r. Da bey dieſer Vorausſetzung 2 allezeit

negativ wird, wenn man t negativ nimmt: ſo hat in die⸗
ſem Falle die Curve zwey Schenkel EX und EVY, welche

ſich in den entgegenſtehenden Gegegenden P und S der ge⸗

raden Linie X7 immer mehr und mehr naͤhern; und
eben dieſes wird ſtatt finden, ſo lange k irgend eine unge⸗
rade Zahl bedeutet. Iſt aber k = 2, oder irgend eine an⸗
dere gerade Zahl, ſo bleibt 2, man mag t poſitiv oder ne⸗
gativ nehmen, beſtaͤndig poſitiv, und es hat alsdann die

Curve zwey Schenkel EX und FV, Fig 37, die mit der

geraden Linie XX in den Gegenden P und Q convergiren.
Je groͤßer aber k angenommen wird, deſto ſaͤrker conver⸗
giren E X und FY mit XXY.
Nun habe das hoͤchſte Gued P zwey einander gleiche

Faktoren a y — bx. Veraͤndert man hier eben ſo wie

vorhin die Axe, ſo wird
P = † atn-zua † „tn- 3u 3 4 ꝛc.
= 2tn- T 8tn-zu † sStn-3uz † 6βtn-4u 3 † ꝛc.
= 7tn- 2 † th-3u † Ytn-Aua † ytn-5u 3 † ꝛc.
= Otn-2 † àta-Au † àtn-Suz † ta-/aß † ꝛc.

2c. Hier⸗

Q
R
S

Hieren
les

Finde
dd
keln die
menfal
Gegen
endlic

Erg
70
Kahe
on,
Ecen
du m
hat de
ptoten.
auf ehe
Memich
allenek
ſo er
ce
kee

in die⸗

en

de Ne
ne ungen
ne a⸗/
her ne⸗
na N
n de
dergiten
vel⸗

Von den Aſymptoten. H 157

Hieraus entſpringen, je nachdem der erſte Theil des Glie⸗
des O da iſt oder fehlt, die beyden Gleichungen,

I.
atn-2u2 † gtn-J = o
oder
æu2 † 8t = O
th-Zuz † tn-2u † Yth- 2 — 0
oder

u2 † gu † „ = o.
Findet alſo die erſte Gleichung „u2 † t = o ſtatt, ſo
wird die Aſymptote eine Parabel, mit deren beyden Schen⸗
keln die beyden Schenkel der Curve im Unendlichen zuſam⸗
menfallen. Die Curve hat daher, Fig. 38., in den beyden
Gegenden P und R Schenkel, die mit der Parabel EAF

endlich zuſammenkommen.

§. 205.
Ergiebt ſich aber die andere Gleichung æzun † gu †
„ = o, ſo muß man unterſuchen, ob ſie zwey reelle Wur⸗
zeln hat, oder nicht. Iſt das letztere, ſo erkennt man dar⸗
an, daß die Curve gar keine ohne Ende fortlaufende

Schenkel hat. Sind aber beyde Wurzeln reell und einan⸗

der ungleich, alſo einmal u = c, und zweytens u = d ſo
hat die Curve zwey geradlinige, einander parallele Aſym⸗
ptoten. Wie eine jede davon beſchaffen ſey? ſolches wird
auf eben die Art, wie vorhin, unterſucht. Setzt man
nemlich, da «zuu † gu † 7 = (u — c) (u — d) iſt,
allenthalben, nur in dem Faktor u — c nicht, u = c:
ſo erhaͤlt man (c — d) tn-2 (u — c) † tu-=3 („c 3 †
&ca † vc † ⁹) † tn-4 („CcA † üc3 † Yce † c † *½)

† ꝛc. = o. Iſt nun das zweyte Glied nicht = o, ſo ver⸗

ſchwinden
KMjð’,

D

159 Zweytes Buch. Achtes Capitel.
ſchwinden die uͤbrigen Glieder, wenn man t = ſetzt,
und es wird alſo die Aſymptote “””Mäͤ
(u — 2) † . — 0 ·ᷣððð
Zehlt das zweyte Glied, ſo⸗ wird ſie
— ) ¼ 2 = o, ꝛ.

Fehlen alle bis auf das lette beſtaͤndige Glied, ſo ehn
man dafuͤr

Die Geſtalten dieſer Curven aber, fuͤr den Fall, wenn
t = 0., haben wir bereits vorhin §. 203. insgeſammt
beſchrieben.

d. 206.
Wenn aber die beyden Wurzeln der Gleichung, «uu †
gu † „ = o, einander gleich, oder «⸗uu † Su † 2„ =
(u –— c)?z iſt, ſo erhaͤlt man, weil u = c iſt, durch dieſe
Subſtitution die Gleichung: tn-2 u – c) 2 † tn- 3 (
† àc2 † c † )) † tn-A (acA † gci † yec † à †²)
† ꝛc. = o. Hieraus ergeben ſich, je nachdem, das erſte Glied

ausgenommen, das zweyte, oder bey der Abweſenheit des

erſten das dritte, oder bey dem Fehlen des zweyten und
dritten das vierte nicht fehlt, fo igende GSleichu ngen fuͤr die
Aſymptoten “

(u — Cc) 2½ † — = o
A
(u — c)2 † — = 0
tct

(u — c) 2 † =S0
bis zu
(u—

ehit

-

E

Von den Aſymptoten. 159

. A
(u — c) †. 0

wenn außer dem letzten beſtaͤndigen Gliede alle uorle S Glie⸗

der fehlen. Wenn aber auch das letzte Glied verſchwaͤnde,
ſo wuͤrde (u — c) = 0 werden, und folglich dieg gerade
Linie ein Theil der Curve, und die Linie ſelbſt eine complexe
Linie ſeyn. H

§. 207.
Ob gleich auf dieſe Art alle Faͤlle beruͤhrt zu ſeyn ſcheinen,
welche bey zwey gleichen Faktoren ſtatt finden, ſo kann doch die
letzte Gleichung nach andere Formen annehmen, und daraus
folgen denn auch noch andere Aſomptsten. Dies findet ſtatt,
wenn der Faktor der Poteſtaͤt tn- 3 durch u — theilbar iſt.
Denn behaͤlt man alsdann darin, ſo wie im erſten Gliede,
u — c bey, und fuͤgt außerdem das zunaͤchſt folgende da⸗
ſeyende Glied dazu, ſo ergeben ſen folgende Gleichungen.

(u — c)2 A — 1 2=
Aeu
(u — c)⸗ † . 1 c3 —
bis zu
A (u — c) B
(u — c)2 † . K=

Wenn aber das zweyte Glied gaͤnzlich fehlet oder durch
(u — c) theilbar iſt, 6 betrachte man das dritte Glied;
und wenn daſſelbe durch u — c theilbar iſt, ſo laſſe man
darin u — c, und fuͤge uͤberdem das zunaͤchſt folgende
Glied hinzu. Dadurch entſtehen folgende Gleichungen:
C— e⸗ 1 C 1 3

(u — c)²2 † — au ² =S 0

.
bis

160 Zweytes Buch. Achtes Capitel.

bis zu
A(u —c B
(u — Cc) 2 † 34 † — — — 0.
tt tnu=2

Wenn auch das dritte Glied fehlt, und das vierte durch
u — c theilbar iſt, oder wenn auch dieſes fehlt, das fuͤnfte, ꝛc.
ſo entſteht fuͤr die krummlinige Aſhiudtote die Gleichung
A (u —– c)
(u — c) 2 † —,— 1 = O
worin der Exponent p allemal kleiner iſt als q, und gkleiner
als n — I.
§. 208.
Setzt man u— c = 2, ſo ſind alle dieſe Gleichungen in
der er Jorm.

enthalten. Bey der Entwickelung dieſer Formel aber ſind
drey Faͤlle zu betrachten; der erſte, wenn g groͤßer als
2 b, der andere, wenn q = 2 p, und der dritte, wenn q
kleiner als 2 p iſt.
Im erſten Falle, wenn q groͤßer iſt als 2, enthaͤlt
jene Gleichung dieſe beyden:

A
2 — — 0; und A2z — = 0
t- t4- P

denn eine jede dieſer Gleichungen thut ihr, wenn t =
H .— e 8 A
genommen wird, ein Genuͤge. Setzt man nemlich 2 = 15
ſo verwandelt ſich ent Gleichung in

AZ A2 B
t2y t2 9 1 4 oder 1† t -2

und dies iſt richtig, weil q groͤßer als 2 p iſt. Es iſt aber

nn– 2
b kleiner als —— .
Wenn

Wenn

r
d Ne
t= 00
und der

und al⸗
R

hje en
und da

Munr
er N
Ninnt,

ſett
ſanm

te durt

flnſte,

—

4
4

ichung

gllegger

usgenin

cher ſ

er Hς

wenn

enthan

Von den Aſymptoten. 161

Wenn hingegen = — iſt, ſo erhaͤlt man

B B B , B
XZ2t2q-—2 p — 14 r oder X2ta-2 — B † B — o

und dies iſt wahr, weil das erſte Glied verſchwindet, wenn
1t= 00 wird. In dieſein Falle hat man alſo uͤber einer
und derſelben geradlinigen Aſymptote zwey krummlinige,

und alſo vier ohne Ende fortlaufende Schenkel.

Der zweyte Fal, wenn = 2 p iſt, giebt die Gleichung

e —
en 21 —

die entweder imaginaͤr it, n wenn A A kleiner iſt als 4B, —

und dann giebt es Leine Aſymptote; oder auf zwey aͤhnliche
Aſymptoten 2 = — fuͤhrt, wenn AA groͤßer als 4B iſt.

Im dritten Falle, wenn q kleiner als 2 p iſt, verſchwin⸗

det das mittlere Glied allemal, wenn man von t = 0ω bdũ

nimmt, und man erhaͤlt alſo die Gleichung
B
72 F = o .
fuͤr eine Aſymptote. Die Beſchaffenheit der vorherge⸗

henden Aſymptoten haben wir bereits auseinander geſetzt,
und wir wollen daher nun die Aſymptoten, die in der Form

C
22 = c enthalten ſind, betrachten.

§. 209.
Wenn alſo die Axe auf der geradlinigen Aſymptote
u = c ſelbſt genommen, und die Applicate u — c = 2 ge⸗
ſetzt wird, ſo ſind jene krummlinigen Aſymptoten insge⸗
ſammt in der Gleichung

22 —

Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. II. H. ent⸗

162 Zweytes Buch. Achtes Capitel.

enthalten, wo k eine ganze Zahl bedeutet, die kleiner als
n – I iſt. Mit den ohne Ende fortlaufenden Schenkeln
dieſer Curven aber verhaͤl es ſich auf folgende Art. Wenn

= I, oder 22 = Ziß, ſo hat die Curve, weil t nicht

negativ werden kann, zwey Schenkel EX und FX, Fig. 39,
die auf den Seiten P und R ohne Ende fortlaufen; und
eben dieſes findet ſtatt, wenn k irgend eine ungerade Zahl
iſt. Bedeutet hingegen k eine gerade Zahl, z. B. 2, ſo

GC . ⸗ .
daß 22 = t wird, ſo muß man vor allen Dingen unter⸗

ſuchen, ob C negativ oder poſitio iſt. Im erſten Falle kann
die Gleichung nicht reell ſeyn, und die Curve hat alſo als⸗
denn keinen ohne Ende fortlaufenden Schenkel. Im an⸗
dern Falle hat die Curve vier unendliche Schenkel, die
mit der Aſymptote XY, Fig. 40, zuſammenlaufen, nemlich
EFE X, FX, G Y und HV auf den Seiten P, Q, R und S.

H. 210.

Angenommen, daß das hoͤchſte Glied der Gleichung 5H

drey gleiche Faktoren habe, und daß die Gleichung auf die
Coordinaten t und u gebracht worden, und u jener dreyfache
Faktor von P ſey; ſo iſt
P = Tatnh- 3 u 3 † ætn-AuA † zc.
QQ = gtn- 1 ata-2u † gtn- 3 u2 t-- du 3 † Stn-5u4 † ꝛc.
R =YtI - 2 P 7tn- 3u † 7. 4αHν τ-s † Gtn-6 †z:.
= dtn- 3 † otu- Au † tn-5 u2 † tn-6/3 T otn- 7u 4 † ꝛc.

Hieraus ergeben ſich nach den verſchiedenen Beſchaffenhei⸗

ten der Glieder Q und R folgende Gleichungen:
„tn-zu3 † 6gtn-TI =

pers
dakee

lt nich

Foy
, u
de daßt
eſ

en Mar⸗

le Noo n

lo als⸗

n e.

ta, de
, erlic
105

ſchung
gos R

Narfege

4n4 .
1us.
6u4 1
4 .

ferhe⸗

Von den Aſymptoten. 1634

stn-3u? † gtn-zu † ytn-2 = o
„tn-3u3 † βt n-3uz † yYtn-2 = 0%
itn- 3u32 † gtn-3uz † Yta-3u † à tn-3 = %
5. 21.
Die erſte Gleichung laͤßt ſich in au3 † t2 = o ver⸗

wDandeln, und es iſt daher dieſe Aſymptote eine Linie der

dritten Ordnung, deren Geſtalt die 41ſte Figur zeigt, wenn
die Abſciſſen t auf der Axe XX von dem Punkte A an ge⸗
nommen werden. Sie hat nemlich zwey ohne Ende fort⸗
laufende Schenkel E und F auf den Seiten P und CQ.
Die zweyte Gleichung giebt «eus † stu † 7t = o.⸗
Aus dieſer Gleichung kann u, wenn man t = Oo ſetzt,
einen doppelten Werth, einen endlichen oder einen unend⸗
lichen, bekommen, und es laͤßt ſich dieſelbe daher in dieſe

beyde Gleichungen, u † „ = o, und auu f 6t =
aufloͤſen. Die letzte Gleichung iſt, wie wir oben geſehen
haben, die Gleichung fuͤr die Parabel, und es hat dem⸗

nach die Curve zwey ohne Ende fortlaufende einer Parabel
ſich naͤhernde Schenkel. Die erſte Gleichung hingegen gebe
u — c = o, welches die Gleichung fuͤr die geradlinige
Aſymptote iſt, deren Natur gefunden wird, wenn man allent⸗
halben, außer in su † 7 = u — c, c ſtatt u ſetzt. Es
wird alſo
tn -2 (u — c) † eén- 3 («c³ † gca † 7 † ) † thran
(aC4 † 8c3 † 7 c2 † àc † *) † ic. = 0
und daraus ſieße⸗ wie §. 205, daß entweder

ð , oder (n— e) 1
ic.

eees ſeyy

r64 Zweytes Buch. Achtes Capitel.

ſeyn wird, und die letzte Gleichung, welche entſtehen

rann, iiſſſſt òò

( u — c) † = 9

In dieſem Falle hat alſo die Curve eine doppelte Aſymptote,
die eine iſt von der hier beſchriebenen Art, und die andere
eine Parabel.

§. 212.

Die dritte Gleichung «Ku3 † guz † 7t = 0 kann nicht
eſtehen, wenn man t = O annimmt, wofern nicht zu⸗
gleich u = 00 iſt. Es verſchwindet daher das Glied su⸗
gegen 2us3, und man erhaͤlt dieſe Gleichung der dritten
OOrdnung, u3 +† 7t = o, fuͤr die Aſymptote, die alſo auf
den beyden entgegengeſetzten Seiten P und 8, Fig. 42, zwey
ohne Ende fortlaufende Schenkel AE und A F hat.
Die vierte Gleichung ⸗us † 2u⸗ † 7 u † % giebt ent⸗
weder eine oder drey geradlinige, einander parallele, Aſym⸗
ptoten, wofern nicht zwey oder auch alle unter ſich gleich

ſind. Um die Natur derſelben zu erforſchen, ſey zuvoͤrderſt
u = = c eine Wurzel der Gleichung, und von den uͤbrigen

keine ihr aͤhnlich, und zugleich
„u3 † 2u † v¹ f ½ = (u — Cc) (fu2 † gu † h)
Setzt man hier allenthalben, den Factor u — c ausgenom⸗
men, u = c, ſo erhaͤlt man eine Gleichung von der Form
tno- 3 u — c) † AtR-4 † Btn-S † Ctn-6 † ꝛc. = 0
und daher ergiebt ſich eine Aſymptote von der Form u — c

= K wo K eine Zahl bedeutet, die kleiner als n — 2 iſt.

§. 213.

Wenn die Gleichung u3 † u2 Tru † 5=0 zwey

oleiche Wurzeln hat, ſo daßs⸗

„ u3

ſt: ſo

nen,

e G⸗

wog!

ſen Fal
it alſo

42

hat,
—
Ker
denn⸗

hi.
ſe ne
nodurch

ergeben
Glied be

Uichtren

-— )
cken

Venn

ben k⸗

welchen

Umptote,
e andere

gichi
ſeb ou

deitter⸗

o a
4,we
1
giht an
Ay
gech
gobrdeck
Grigen

)
Gemin⸗

Form

Von den Aſymptoten. 16 5

„u3 † u † Zu † = (u — c) 2 (fu † g)
iſt: ſo gelangt man, wenn man, die Glieder ausgenom⸗
men, worin u — c ein Faktor iſt, u = c ſetzt, zu folgen⸗

der Gleichung

du — c)⸗ — t 9

wo ꝗq kleiner als n — 2, und p kleiner als q iſt; allein die⸗
ſen Fall haben wir bereits vorhin §. 207. f. betrachtet. Es
iſt alſo nur der noch uͤbrig, wenn die Gleichung, zu3 †
Zuz2 † 7 u † *° = ., drey reelle Wurzeln, nemlich (u — c)3
hat, und man folgende Gleichung erhaͤlt:
(u— C) 3 tn- 3 † Ptn-4 † Qtn-5 † Rtn-6 p 2c. = o.
Iſt P nicht durch u — c theilbar, ſo ſetze man u = , wo
denn

A .
(u — c) 3 † 0
wird. Enthaͤlt hingegen P den Faktor u — c einmal, ſo
ſetze man allenthalben, außer in dieſem Faktor, u = e,

wodurch ſich eine Gleichung von dieſer Form

(aA — ¼ 2la —

B
ergeben wird, wo g kleiner als n — 2 iſt, und —6 das

Glied bedeutet, welches zunaͤchſt auf das zweyte folgt, und

nicht verſchwindet, caer u = c ſetzt. Wenn P durch
(u — c)2 theilbar iſt, Q aber den Faktor u — c nicht hat,

ſo bekommt man eine Gleichung von der Form
A (u — c)2 B

(u — c) 3 † — 1t.

Wenn aber das zweyte Glied durch (n — c) getheilt wer⸗
den kann, ſo muß man bis zu einem Gliede fortgehen,

welches nicht durch (u — c)3 theilbar iſt; und hat daßſelbe

166 Zweytes Buch. Achtes Capitel.

den Faktor (n — c), ſo muß man noch weiter fortgehen,
bis man zu einem durch u — c nicht theilbaren Gliede ge⸗
kommen iſt. Laͤßt ſich aber jenes Glied durch (u — c)⸗
theilen, ſo geht man bis zu einem ſolchen Gliede fort, wel⸗
ches entweder durch u — c nicht getheilt werden kann, oder
dieſe Groͤße zum Faktor hat. Im erſten Falle endigt man
die Gleichung; im letzten Falle aber geht man weiter, bis
man zu einem durch u — nicht theilbaren Gliede gelangt
iſe Auf dieſe Art erhaͤlt man allemal eine Gleichung, die

unter dieſe allgemeine Form gehoͤrt: *
4 (u — C)2 B (u — c)
u c)% † te 1† 149 1

wo r kleiner als n — 2; J kleiner als r, und p kleiner als

In dieſer Gleichung ſtecken entweder drey Gleichungen

von der Form (u — c) = oder eine von eben dieſer

Form, und (lu — c)2 = ; oder die einzige (u — c)3 =

. Dies letzte findet ſtatt, wenn 3 groͤßer als 1, und 3 4

groͤßer ats 21 iſt. Dann kann es ſich auch ereignen, daß
beyde Gleichungen unmoͤglich werden, und alſo dadurch
die Abweſenheit der Aſymptoten anzeigen. Uebrigens ha⸗
pden wir die Geſtalten dieſer Aſymptoten bis auf die
ent tehe e K
letzte, welche durch die Gleichung (u — c) 3 = ausge⸗
druckt wird, bereits beſchrieben. Was aber dieſe Glei⸗
chung betrifft, ſo fuͤhrt dieſelbe, wenn k eine ungerade Zahl

iſt, auf Linien, wie Fig. 36, abgebildet ſind, wo zwey
Schen⸗

Sae
Vnd
de

ESgu

Mm
ſtgel

D
etſor⸗
meh
ſo be
tel n
ſood⸗

Glch

deren
—
3e

lacht⸗

thehen
iane
1— 6

drt, wer
ann oder

1

digt voon

ſter, hi⸗
gelangt
zng de

leiner G

guter

en Wſe

,ℳ 3

anen, deß

ipnn 1s
Af Nie

iit e⸗
ndehli
n ſveh
Schen⸗

Von den Aſymptoten. 167

4

Schenkel EX und Y auf den entgegengeſetzten Seiten P
und S ohne Ende fortlaufen. Wenn hingegen k eine gera⸗

de Zahl iſt, ſo entſteht die 37ſte Figur, wo die beyden
Schenkel EX und X auf eben der Seite der ger adlinigen
Aſymptote XV, oder auf den Seiten b und QQohne Ende
fortgehen.

§. 215.
Da ſich hieraus die Art und Weiſe, die Aſymptoten zu
erforſchen, wenn das hoͤchſte Glied der Gleichung vier oder
mehr einfache gleiche Faktoren hat, leicht erkennen laͤßt:
ſo verweile ich dabey nicht, ſondern beſchließe dieſes Capi⸗
tel mit der Anwendung der gegebenen Regeln auf einen be⸗
ſondern Fall.

Exempel.
Es ſey alſo eine krumme Linie gegeben, die durch die
Gleichung:
ysXX (V — 2) — Xy (yy † X) †p† I = o,
deren hoͤchſtes Glied y32X (y — X) den einfachen Faktor
y =– x, den quadraliſchen Faktor X, und den enbiſchen
y3 enthaͤlt, ausgedruckt wird.

Zuvoͤrderſt wollen wir den einfachen Faktor y — X be⸗

trachten. Da man daher, wenn man y = * ſetzt,

2
y – = — — = 0
X

erhaͤlt, ſo wird, wegen X = ,

y — — O0
und dies iſt die Gleichung fuͤr eine geradlinige Aſhmptate
BAC, Fig. 43, die mit der Axe XY in dem Anfangspunkte der

Abſciſſen einen Winkel von 450 = BAY macht. Dieſe

Linie nehme man fuüͤr die Gleichung zur Axe an, indem man
2 G 7

MR

4268 Zweytes Buch. Achtes Capitel.

U 1 t. 1— i
ſetzt, ſo bekoͤmmt man die Gleichung
(u † t) (tt— uu)zu, (tt —– uu) (tt † uu)
oder, wenn man mit 4 multiplicirt,
ts u † tau u — 2 t3 u2 — 2ttu4 † tus † us
0 — = 214 + 2U4
† 4
Aus dieſer Gleichung findet man, wenn man t = 00 ſetzt,
n = o, und es verſchwinden daher alle uͤbrige Glieder auſ⸗
ſer t5 u — 2t4, und man hat alſo fuͤr die krummlinige
Aſymptote

† 1 = eG

₰A

ua 2
t
Wegen des Faktors X — „ hat daher die geſuchte Curve
die beyden ohne Ende fortlaufenden Schenkel b B und cC.

*△

§F. 216.

Nun nehme man die beyden gleichen Faktoren X², ſo
erhaͤlt man, da
— V (yy . ) — 1
7 (y — X)
iſt, wenn man die gerade Linie A D auf die vorige XY
ſenkrecht ſtellt, wodurch y = t, und X = u wird, die
Gleichuug:

= tau⸗ — t3 u3
. — t3 u — tus
† 1
Dieſe Gleichung verwandelt ſich, wenn man t = Oo ſetzt, in
t4u2 – t3 u † I =

und hieraus ergeben ſich folgende

die

ii
ſyhe
Are!
chuo

aus

ur.

und
Ed
hictt
Me

ſ
ſeder eh⸗

mmmnlmnige

chte Cune
d eC,

1, 4

Nrige I1
nid, N

Von den Aſymptoten. 169

u — —; und u = —.
t3

Es fuͤhrt alſo der Faktor X2 auf vier ohne Ende fortlaufen⸗
de Schenkel, nemlich db und ek, wegen der Gleichung

u = —, und ⁹D und⸗E, welche auf eben den Seiten lie⸗

gen, wegen der Gleichung u = .

Fß. 217.
Fuͤr die drey gleichen Faktoren y3 wird XVX ſelbſt zur
Axe angenommen, und dadurch t = xX, und y = u. Man

hat alſo hier die Gleichung
0 = — t3u3 † ttu4 — t3u — tu3 † 1

die, wenn man t = Oo ſetzt,

t3 u3 † t3 u = o, oder u (uu † 1) = o
giebt Da die Gleichung un † 1 = o unmoͤglich iſt, ſo
findet man hier die einzige Aſymptote u = o, die mit der
Axe XVY zuſammenfaͤllt, und deren Natur durch die Glei⸗
chung

TI
t3u = 1I, oder u = —
ü3

ausgedruckt wird. Es fuͤhrt alſo der dreyfache Faktor y

nur aufezwey ohne Ende fortlaufende Schenkely und xX;

und uͤberhaupt wird daher die geſuchte Curve acht ohne
Ende fortlaufende Schenkel haben, von welchen aber hier
nicht der Ort iſt zu zeigen, wie ſie in dem endlichen Raume
unter einander verbunden werden koͤnnen.

§. 218.

Aus dieſem und dem vorhergehenden Capitel last t ſich
daher die Mannigfaltigkeit der ohne Ende fort laufe

170 Zweytes Buch. Achtes Capitel. ꝛe.

Schenkel ſehr deutlich erkennen. Denn einmal naͤhern ſich
entweder dieſe Schenkel der Curven einer geraden Linie
als ihrer Aſymptote, wie bey der Hyperbel, oder es kommt
denſelben keine geradlinige Aſymptote zu, wie bey der Pa⸗
rabel. Im erſten Falle werden die Schenkel der Curven
hyperboli⸗ ſche, im andern paraboliſche genannt. Ferner
begreift jede dieſer Claſſen eine unzaͤhlige Menge von Arten
unter ſich. So werden z. B. die Arten der hyperboliſchen

Schenkel durch folgende Gleichungen zwiſchen t und u, wo⸗
von t unendlich geſetzt wird, ausgedruckt:
. . A
—; u = —; u = u =

1t 13

3 u2 –— u2 = — u2 =

tt t3

5 = us 3
; us = —;z u3 = —; u3 = —– ; ꝛc.
. tt t3 t4

2ꝛc.

Die Arten der paraboliſchen Schenkel hingegen werden

durch folgende Gleichungen angezeigt:
u; = At; u3 = At; ua4 = At; us = At; ꝛc.
u 3 = At; uA = Atz; us = Atz; us = Atz; ꝛc.
u4 = At3 us = At 3; u6 = At 3; u7 = At 3 c.
ꝛc.

Es giebt aber eine jede von dieſen Gleichungen zum wenig⸗

ſten zwey ohne Ende fortlaufende Schenkel, wenn die Ex⸗
ponenten von t und u nicht beyde gerade Zahlen ſind; da⸗
gegen, wenn ſowohl der Epponent von t als der Erponent
von u eine gerade Zahl iſt, entweder gar kein ohne Ende
fortlaufender ES Schenkel, oder vier dergleichen ſtatt finden:

jenes, wenn die Sleichung unmoͤglich, dieſes wenn ſie
reell iſt.

Neuntes

lenſ
eſe

der P

Crden

Peryer
n Mten
olſhen
1, Ne⸗

venig⸗
die Er⸗
nde e
wnnt
Ende
nden:
un ſe

Neuntes Capitel.

Von der Eintheilung der Linien der dritten Ord⸗
nung in Arten.

§. 219.

Man betrachtet mit Recht die Natur und die Menge der
ohne Ende fortlaufenden Schenkel als ein weſentliches Un⸗
terſcheidungs⸗Kennzeichen der krummen Linien, und gruͤn⸗
det darauf am bequemſten die weitere Abtheilung der Li⸗
nien einer jeden Ordnung in ihre Arten. Auf dieſen
Grund laͤßt ſich auch die Abtheilung der Linien der zweyten
Ordnung in die Arten bauen, welche wir oben im An⸗
fange des ſechſten Capitels] aus der Natur dieſer Linien
ſelbſt abgeleitet haben. Denn iſt die allgemeine Gleichung
fuͤr die Linien der zweyten Ordnung

ayy † syxX † 7XX † y † † X †% =

gegeben, und unterſucht man das hoͤchſte Glied d derſeiben,

„yy † gEyX † 7XX, in der Ruͤckſicht, ob es einfache reelle
Faktoren habe, oder nicht: ſo entdeckt man drey Faͤlle, in⸗
dem die Funktion «yy † &7Xι † X*X entweder lauter
imaginaͤre, oder lauter reelle, und in dieſem Falle entwe⸗
der ungleiche oder gleiche Faktoren enthalten kann. Im
erſten Falle ergiebt ſich die erſte Art, oder die Ellipfe, im
zweyten die Syperbel, und im dritten die Perabel.

—

YMM 5. 220.

R =S

172 Zweytes Buch. Neuntes Capitel.

Es hat alſo in dem Falle, wenn die Faktoren des hoͤch⸗
ſten Gliedes reell und einander nicht gleich ſind, die Curve

zwey geradlinige Aſymptoten. Um die Natur derſelben

kennen zu lernen, ſetze man
y y 1† 8yX † 7XX = (a y — bXx) (cy — dxX)
ſo daß
cCay — ba) (cy — dx) † Ny 1 X 1 = o
ſey. Run betrachte man dörderſt den Faktor a y — bx,

der im Unendlichen = = 17 §. 173.] giebt, wodurch denn
a 7 — Px 1 Te — d cy a *
wird; und es zeigt demnach die Gleichung
b F ra
ay — bx † be — ad

die Lage der einen geradlinigen Aſomptote, ſo wie auf aͤhn⸗
liche Art die Gleichung OJ
3d † sC —
a d — bec

cy— dx †.
die Lage der andern an.

§. 221.

Um die Natur einer jeden dieſer Aſymptoten zu erforſchen,
beziehe man die Gleichung auf eine andere Axe, indem man
au † bt at — bu
7 V (a a † bb) VGad † bb)
ſetzt, s. 201.], und dabey ſey zugleich ” (a a 1† bb) = g.
Al sdann wird

(Ja — sꝛb) u † (b † sa) t

(ac 1 ba) † De— ad t) †
1=

und

⸗ .

ſoſ

die G

denſ⸗
ie Cun
derſelben

41)

Aßie

tſchen,
n man

Von den Arten der Linien der dritten Ordnung. 173

unnd folglich
8 (be — a d)t u † g (ac † bd) uu † (àb † 1a) t
† (9a — ⸗b) u † eg =
Setzt man daher in den uͤbrigen Gliedern außer dem erſten

— b — sa
g (bc — àa d)
ſo wird

(a c † b d) (àb † s a)z
g (bc — a dlz

† Og = o

(g (be — ad) u † 3b † sa)t †

(9a — ⸗b) ()b † sOa)
g be — a d)
oder

g( † c) ( b 2)
zcbe — a dhu † b ea a † Gc— a dyzt

und es iſt demnach die Aſymptote hyperboliſch, und von der
Art u= . Auf eine aͤhnliche Art wird aber auch die andere

Aſomptote, die aus dem Faktor cy — dæz entſpringt, be⸗
ſtimmt; und es hat folglich die Curoe zwey Paar ohne
Ende fortlaufende Schenkel, die beyde durch die Gleichung

A
u = -† ausgedruckt werden.

§. 222.

Nun ſeyen beyde Faktoren einander gleich, oder
ayy † βyX † 7XX = (a y — bx) 2
ſo iſt, wenn man auch hier durch die Subſtitutionen

bt — ¹ — b
aubt ; und X

8
die Gleichung fuͤr eine andere Axe abaͤndert,

—
WB

Zweytes Buch. Neuntes Capitel.
(d àa — =b)u (3b † sa) t

gguu 4. † — † 6
und wenn man t = Oo ſetzt,
un (εb † t
g ³*

Dieſe Gleichung zeigt zwey paraboliſche Schenkel von der
Art uu = At an; es iſt nemlich die Curve ſelbſt eine Pa⸗
rabel, und ſelbſt ihre Aſymptote. Wenn aber Ob † 1a
waͤre, ſ gienge die Geichun in

zgun †1 A1e = .

uͤber, welches eine Gleichung fuͤr zwey gerade einander pa⸗
rallele Linien iſt: und in dieſem Falle laͤßt ſich die ganze
Gleichung der zweyten Ordnung in zwey einfache Faktoren
aufloͤſen.
Auf dieſem Wege wuͤrden wir die Arten der Linien der

zweyten Ordnung auch dann gefunden haben, wenn wir ſie

bis hieher voͤllig ununterſucht gelaſſen haͤtten.

§. 222.
Eben dieſen Weg wollen wir nun auch betreten, um die
Arten der Linien der dritten Ordnung, deren allgemeine
Gleichung
*y3 †. 6y ²* †. 7y= 1 9xa “U *Y² † eyxX † "Xà 1
Dy † X † xX = 0
iſt, zu finden. Hier hat das hoͤchſte Glied,
sys † gyx † vyxX= † dx3

weil die Anzahl ſeiner Dimenſionen eine ungerade Zahl iſt,

entweder einen reellen einfachen Faktor, oder es ſind alle

ſeine drey einfache Faktoren reell. Aus dieſem Grunde

. ſind hitt folgende Faͤlle zu unterſuchen:
I.
Wenn nur ein einziger einfacher Faktor r reell iſt.

Fkor
ſ.

Cleche

Gache
Uundd
Hiere
nicht
ntwe

don der

un do⸗
1(4 S

nber
de gente
Fmen

Einien Ne⸗
n pirſe

1n N

Denege.

Zn: t

Nall
ind ale
Greunde

Von den Arten der linien der britten Ordnung. 1756

II.
Wenn alle drey reell und keiner einem von den abrigen
gleich iſt.
Wenn zwey Faktoren einander gleich ſind.
Iv.
Wenn alle drey Faktoren einander gleich ſind.
Da es aber bey einem jeden Falle hinlaͤnglich iſt, die
Rechnung bey einem einzigen Faktor anzuſtellen, ſo wollen
wir dieſen Faktor, er mag nun allein, oder es moͤgen auſ⸗
ſer ihm noch andere, ihm gleiche oder ungleiche, Faktoren
ſtatt fſinden, a y — bx ſeyn laſſen, und die Lage der Axe
dafuͤr auf eben die Art veraͤndern, wie wir bisher gethan
haben. Auf dieſe Art erhalten wir folgende Gleichung
«ttu †SStuu † Zu3 †òtt ρ st † guu †αt † Su †⸗= 0

die wir, da ſie einen eben ſo weiten Umfang hat als die
vorhergehende, ſtatt dieſer gebrauchen wollen, und worin

das hoͤchſte Glied «ttu † st uu † yus allemal wenigſtens

den Faktor u hat.

Erſter Fall.

§. 224.
Es habe alſo das hoͤchſte Glied bloß den einzigen reellen
Faktor u, welches ſtatt findet, wenn 88 kleiner als 4322
iſt: ſo wird, wenn man t = Oo0 ſetzt, «=u † à = o, eine
Gleichung fuͤr eine geradlinige Aſymptote. Es gebe dieſe
Gleichung den Werth u= c, ſo wird
a tt (u — c) †t (SOcc†τειο †νπι †ος † &caο † 9c ,=
und dieſe Gleichung druckt die Natur der Aſymptote aus.
Hieraus ergiebt ſich, je nachdem 8c2 † sc † entweder
nicht = o oder = o iſt, eine doppelte Aſpmptote, nemlich

untweder
„

176 Zewweytes Buch. Neuntes Capitel.

u — c = —; oder un c = —
t ¹. tt

und ſo findet man durch die Betrachtung dieſes Falles die
beyden erſten Arten der Linien der dritten Ordnung, nemlich:
Die erſte Art hat eine einzige geradlinige Aſymptote

A
von der Art u = —

2.
Die zweyte Art hat eine einzige geradlinige Aſymptote

A
von der Art u =

Zweyter Fall.

“ §. 225.
Es ſeyen alle drey einfache Faktoren des hoͤchſten Glie⸗
des reell, und keiner dem andern gleich, welches ſtatt fine
det, wenn in der Gleichung
attu†tuu-† yu3 †âàtt † t u † uu † at † 9u r.=
22 großer als 4 2“7 iſt. In dieſem Falle gilt von einem
jeden Faktor, was ſo eben von dem einzigen Faktor gezeigt
worden iſt. Es fuͤhrt nemlich jeder Fartor auf zwey hyper⸗

A
boliſche Schenket, entweder von der Art u = — oder von

dieſer u = 4: . und ſo enthaͤlt dieſer Fall vier verſchiedene

Arten der Linien der dritten Ordnung, die drey geradlinige
gegen einander unter irgend einem Winkel geneigte Aſym⸗
Dtoten haben, und dieſe Arten ſind:

Die dritte Art hat drey Aſymptoten von der Art u = .

4

nd zr

20

noia
Alhene
1)
Nnn h
Nlälge
Münden

der Fet

1licht
wifi
ſe g

ud
loltt

ſezen
Eu

Von den Arten der linien der dritten Ordnung. 177

4.
Die vierte Art hat; zwey Aſymptoten von der Art u = —
esXN.
nemlich. und eine von der Art u = R
lynpor⸗ Die fuͤnfte Art hat eine Aſymptote von der Art u = —
und zwey von der Art u = Ti *)
Uſyngrete Die ſechste hat drey Aſymptoten von der Form = .
*) Man ſehe §. 227. S. 178. 179. nach.
§. 226.
Hier muͤſſen wir aber unterſuchen, ob alle dieſe Arten
in le moͤglich ſind, und zu dem Ende wollen wir folgende ganz
ſun ſſ⸗ allgemeine Gleichung nehmen:
y (æy – X) (7? y — ⅛X) † exXy † Ov † „X † †P ⸗=
U deren hoͤchſtes Gl ied drey reelle Faktoren hat, und wo die
a Enemn Auslaſſung des Gliedes XX den Umfang derſelben nicht ver⸗
r geſe mindert. Es erhellet aber aus dem Vorhergehenden, daß
p hypet⸗ . A
nyn der Faktor y eine Aſymptote von der Art u = gebe, wenn
4 „micht = o iſt, und wir wollen daher unterſuchen, auf
i was fuͤr Aſymptoten der Faktor «y — 6½ fuͤhre. Zu die⸗
ſtid ſer Abſicht wollen wir
Gtinige Vy= aupet, und X = at — 6 u,
Ahnn⸗ und zugleich, der Kuͤrze wegen, indem ſoches allemal er⸗
laubt iſt, 4
22 † 22 =— I
125 ſectzen. Dadurch erhaͤlt die Gleichung folgende Form:
Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. B. M 44A

178 Zweytes Buch. Neuntes Capitel.

2(gv — aà)ttu † (248 7— (an — 66) ½) tuu . († edu 3
† 8(s † 6 ) tt †. (2a 6 † („„½— 68) ) t u † ( — Es) uz
F (on † 69)t „ (a= Eu

Hier geht der Faktor „y – x in u uͤber, und es wird

daher, wenn man t = O0 ſetzt,

und bringt man dieſen Werth anſtatt u in das zweyte Glied,

welches t enthaͤlt, ſo ſindet man, daß aus dieſem Faktor u

oder «y — 6 eine Aſymptote von der Form u = — ent⸗

ſpringt, wofern nicht

α † £ ⁹ („τ T 6 ) († 5*½?
868 (O – 67) 2
iſt. Auf eine aͤhnliche Art giebt der Faktor y— — “ eine

A .
Aſymptote von der Form „wofern nicht

: te et 29.
ad = 6

iſt.
§. 227.
Hieraus erhellet, daß es allerdings moͤglich iſt, daß

weder noch die beyden eben gefundenen Formeln =
werden, wodurch denn die dritte Art allerdings moͤgli ch

wird. Was die vierte Art betrifft, ſo ſetze man „ = o,

A
damit die eine Aſymptote von der Form u = = It erhal ten

wDerde. Alsdann aber fallen die beyden uͤbrigen Ausdruͤcke
in einen zuſammen, und es gehoͤren alſo die beyden uͤbri⸗

A
gen Aſymptbten zu der Zorm u = , wofern nicht

3

es
daß
denn
E!

8

und
drie

wi

teclid.
Wn

-l

nedrnce

Von den Arten der linien der dritten Oednung. 179

Crre. 2 T àQ.
3 = 0
iſt, und es iſt dahe⸗ auch die vierte Art moͤglich. Wenn
hingegen außer 2= o auch einer von den beyden uͤbrigen
Ausdeuͤckn = d wird, ſo verſchwindet zugleich der andere,
und es iſt daher unmoͤglich, daß zwey Aſymprtoten zu der
Form u = gehoͤren, ohne daß die dritte unter eben der⸗

ſelben begriffen ſey, und es iſt denmach die fuͤnfte Art un⸗
moͤglich. Die ſechste Art hingegen wird eben hierdurch

moͤglich, weil wenn 2 = o iſt,

— (ℳ5 2) ( † 9 )
(2à — ½7)2
wird. Es geben alſo dieſe beyden Faͤlle nur fuͤnf Arten der
Linien der dritten Ordnung, weil diejenige, die vorhin die

fuͤnfte war, wegfaͤllt, und es hat folglich

5
“M
Die fuͤnfte Art drey Aſymptoten von der Art u = 4

Dritter Fall.
§. 228.
Es habe das hoͤchſte Glied zwey gleiche Faktoren u, wel⸗
ches ſtatt findet, wenn in der Gleichung des vorhergehen⸗
den Falls das erſte Glied «ttu verſchwindet; und es iſt

demnach die allgemeine Gleichung fuͤr den gegenwaͤrti⸗
gen Fall folgende:

atuu — sus † ytt † Htu :nu gtt†ο†
Es habe alſo hier das erſte Glied zwey gleiche Faktoren u,

und der dritte, von dieſen ver ſchiedene, ſey „t — u. Dieſer

dritte Faktor fuͤhrt auf eine Aſymptote entweder von der
M 2 Form

180 Zweytes Buch. Neuntes Capitel.

A A
Form u = 1 oder von der Form u = te je nachdem der

Ausdruck
(2% † 237) Caze † as) 1 gg„) — 3 en F 60)
entweder nicht = o oder = o iſt.

§. 229.
Was die beyden gleichen Faktoren betrifft, ſo iſt dabey
zuvoͤrderſt der Fall zu erwaͤgen, wenn „ nicht = o iſt.
Denn alsdann wird, wenn man t = Oo ſetzt, aun †„t
= o, Uund dies iſt eine Gleichung fur eine paraboliſche
Aſymptote von der Art uu = At. Es entſpringen alſo
hieraus zwey neue Arten der Linien der dritten Ordnung,
nemlich:

A
Die ſechſte Art hat eine Aſymptote von der Art u = =
und eine von der Art uu = At.

Die ſiebente Art hat eine Aſymptote von der Art

A .V r
u = — und eine paraboliſche von der Art uu = At.

§. 230.
Nun ſey 7 = o, ſo giebt der dritte Faktor «t —
.
eeiine Aſymptote von der Form u = R- wenn

9 (a: †6) = a („1† a)

iſt; findet dieſes aber nicht ſtatt, ſo gehoͤrt die Aſymptote

A
zu der Form u = = — Wir haben alſo die Gleichung,

D

g

Und

t - 1

mptote

. 5

Von den Arten der linien der dritten Ordnung. 1981

† tuu — u3

† %tu T† suun
† St †
† ₰

und hier wird, wenn man t = 00 ſetzt, euu † du † = o.
Run ſey zuvoͤrderſt ⁵) kleiner als 4 26, ſo findet keine
Aſomptote ſtatt, und es entſpringen daher aus dieſem Falle
zwey Arten:

Die achte Art hat eine einzige Aſymptote von der Art
u — —.
t

Die neunte Art hat eine einzige Aſymptote von der

A
tt

§. 23 r.
Sind beyde Wurzeln der Gleichung æzuu zuèk = o,
reell und ungleich, welches ſtatt ſindet, wenn ⅛ groͤßer als 4=
iſt, ſo ergeben ſich daraus zwey geradlinige einander parallele

Aſymptoten, davon jede zu der Form u = gehoͤrt; und es

giebt daher auch dieſer Fall zwey neue Arten an die Hand.
10.
Die zehnte Art hat eine Aſymptote von der Art u = 4,
und zwey einander parallele von der Art u =2.

II.
A
Die eilfte Art hat eine Aſymptote von der Art u = 1

AA—
und zwey einander parallele von der Art u =

M 3 K 232.

F. 232.
Sind die beyden Wurzeln der Gleichung zuu † du †
= o einander gleich, oder 9% 4 &% oder „uuU † 3ZuP
„ = a u — c) 2: ſo wird
t (u — c) 2 = 6 3 – 5c c – , Cc —– 9
und daraus ergiebt ſich ei ne geradlinige Aſt ymptote von der
Art u u = — Es fli ehen alſo hiera us zwey neue eArten.
12.
Die zwoͤlfte Art hat eine Aſymptote von der Art
XMkn— A
u = „und eine von der Art un = .

13.

Die dreyz zehnte Art hat eine Aſhmptote von der Art

NN A
u= , und eine von der Art un = .

Vierter Fall.

§. 233.

Wenn alle drey Faktoren des hoͤchſten Gliedes einander
gleich ſind, ſo hat die Gleichung fol gende Form:
au 3 † gtt † 7t u † duust Feu †2 = o
Hier iſt zuerſt das Glied &tt zu betrachten. Iſt daſſelbe
Da, ſo hat die Curve eine paraboliſch de Aſuptote von der
Art u3 = Att, und ſo erhaͤlt man eine Art
14.
Die vierzehnte Art hat eine einzige paraboliſche Aſym⸗
ptotet von der Art us = Att.

g. 234.
Fehlt aber das Glied ett, ſo wird

sus †vtu duu f ⸗tr euf, = e
Setzt

wo:
hor,
abert
es
N

von

N N

arde

10
guſelhe

Von den Arten der linien der dritten Ordnung. 183

Setzt man alſo t = Oο, ſo wird, wofern nicht 7 und⸗
= o ſind,
gU3 †tu † t = o.
Es ſey nun „ nicht = 0, ſo ſind in dieſer Gleichung fol⸗
gende beyde
vvuu Yt = , und „U TP s 0
nthalten, davon die erſte auf eine parabo liſche Aſymptote

von der Art u u = At fuͤhrt, und die andere, wenn man

— = c ſetzt, dieſe Gleichung giebt,
7

vt (u — c) † 4C 3 † dcc † 6c † " = o,
welches eine Gleichu⸗ ng fuͤr eine hyperbolt⸗ iſche uſomptote

2

von der Art u — DW iſt. Alſo hat

15.
Die funfz ehnte Art eine paraboliſche Aſymptote von
der Art uu = At, und eine geradlinige von der Art
A ”
u = =, und die Axe der paraboliſchen iſt der andern ge⸗
radligen A Aſt ſymptote parallel.

§. 235.
Endlich ſey 7 = o, ſo daß die Gleichung ſey:
æ U 3 † Qun† st † Gu FD = 0£
wo⸗ nicht verſchwinden kann, ohne daß die Gleichung auf⸗
hoͤre, eine Gleichung fuͤr eine Curve zu ſeyn. Nimmt man
aber t = 00, ſo muß auch nothwendig u = 00. werden,
und en es wird daher «u3 † 1t = o, und daraus ergiebt ſich

Die ſechszehnte Art hat eine paraboliſche Aſymptote
von der Art us = At.

M 4 d. 236.

Zweytes Buch. Neuntes Capitel.

§. 236.
Wir haben alſo alle Linien der dritten Ordnung auf
ſechszehn Arten zuruͤckgebracht, die aber alle zwey und
ſiebenzig Arten, welche Newtron dabey angenommen, in
ſich faſſen. Ueber den großen Unterſchied zwiſchen der gegen⸗

waͤrtigen Eintheilung und der Newtonianiſchen darf man
ſich nicht wundern, da wir bloß auf die Beſchaffenheit der

ohne Ende fortlaufenden Schenkel geſehen, Newton aber
auch den Zuſtand der Curven in dem endlichen Raume in
Erwaͤgung gezogen, und nach der Verſchiedenheit deſſelben
verſchiedene Arten gemacht hat. Ob nun gleich der Ein⸗
theilungsgrund willkuͤhrlich ſcheint, ſo haͤtte dennoch MNew⸗

ton auf dem von ihm betretenen Wege noch weit mehr Ar⸗

ten finden koͤnnen, da ſich hingegen nach meiner Methode
weder mehr noch weniger Arten entdecken laſſen.

§K. 237.
Damit nun die Ratur und der Umfang einer jeden Art
deſto beſſer erkannt werden moͤge, ſo will ich fuͤr jede Art
die allgemeine Gleichung in der einfachſten Form, die ſie,

ohne ihren Umfang zu vermindern, erhalten kann, herſetzen,

und zugleich bey jeder die darunter begriffenen Newtonig⸗
niſchen Arten anfuͤhren.

Die erſte Art.
JGX=– ZmXyTnnyVy) T ayy † bx † cy † d = o
wenn mm groͤßer als nn, und b nicht = o iſt.
Hieher gehoͤren von den Newtonianiſchen Arten, 33,
34, 35, 36, 37, 38.

Die zweyte Art.
C — 2 mxy fnnyy) † ayy † cy F d= o
wenn mm groͤßer als nn iſt.

Hier⸗

3,/4
4 —

denn r

47,4

7V.

ing ouf
ey
nen, in
R.
etf men
heit der

en At
deW
die ſe,
eeſeget,
ewtonis

Von den Arten der linien der dritten Ordnung. 185

Hieher gehoͤren von den Aewtonisniſchen Arten 39,

40, 41, 42, 43, 44, 45.
Die dritte Art.

y(xX— m y) (F— ny) † ayy † bz † cy † d = o

a a
wenn weder b =o, noch mb † c † ☛ 2 — „Snoch

nb c — 3

Hieher gehören von den Newtoniagniſchen Arten, 1, 2,

= o, noch m = n iſt.

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; desgleichen 24, 25, 26, 27, wenn
a = o iſt.

Die vierte Art.
7— my) («— ny) T ayy TcyTd= G

4 4

wenn weder c S= o, noch m = n iſt.

(m – n)2
Hieher gehoͤren von den Newtonianiſchen Arten, 10o,
1I, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21; desglei⸗
chen, wenn a = 0 iſt, 28, 29, 30, 31.

Die fuͤnfte Art.
a ay
(m – n)2
wenn m nicht = n iſt.
Hieher gehoͤren von den MNewtonianiſchen Arten 225
23, Und 32.

† d =

y(X— my) c-ann † ayy —

Die ſechste Art.
Yy (X — my) T axx † bx † cy † d = o
wenn weder a = o, noch 2 m3 a a — m b — c = o iſt.
Hieher gehoͤren von den NMewtonigniſchen Arten 46,
47, 48, 49, 50, 51, 582.
Die ſiebente Art.
77G m ) † axxXx † bxX † m (2 mza? — b)y 1 d = e
MNMRNRS5 wenn

è

186 Zweytes Buch. Reuntes Caitel.

wenn a nicht = iſt.
Hieher gehoͤren von den Newtonianiſchen Arten 83, 54,
55, 56.
Die achte Art.
yy (E— m y) † bbx † cy † d = o
wenn weder c = — m bb noch b = o iſt

Hieher gehoͤren von den Newtonigniſchen Arten 61

und 62. .
Die neunte Art.
yy (X– my) † bbæx=mbby P d = 0
woenn b nicht = o iſt.
Hieher gehoͤrt von den Newtonianiſchen Arten die 63ſte.

Die zehnte Art.
yy (W —– m y) — bbz † cy † d = o
wenn weder c = mbb, noch b = o iſt.

Hieher gehoͤren von den Newtonianiſchen Arten 57,

58, 59.
Die eilfte Art.
yy (T — m y) — bbx † in bby † d = o
wenn b nicht = o iſt.
Hieher gehoͤrt von den Wewtonianiſchen Arten die e hoſte.

Die zwoͤlfte Art.

vy;( my) † cy d = o
wenn c nicht = o iſt.

dieher gehoͤrt von den Newtonianiſchen Arten die aſte.

Die dreyzehnte Art.
yy (X – m y) † d = o
Hieher gehoͤrt von den Newtonigniſchen Arten die 65ſte.

Die vierzehnte Art.

V3 Paxx † bzyy †cy † d = o
wenn

L

1 ne
i
dern zr
tn hnen
beh den
Ordpun
Wte

,

ten 61

ſten e,

Sõõ

A

Von den Arten der Linien der dritten Ordnung. 1987

„

wenn a nicht o = iſt

Hieher gehoͤren von den Newtonianiſck hen Arten 67,

69, 69, 70, 71.

Die funfzehnte Art.
V3 † bxy † cxXx † d = O
wenn b nicht = o iſt.

Hieher gehoͤrt von den Newtonianiſchen Arten die 66ſte.

Die ſechszehnte Art.
y3 †aν*† bx = o
wenn b nicht = o iſt.

Hieher gehoͤrt von den Newtonianiſchen Arten die 72ſte.

§. 238.

Es haben aber dieſe Arten meiſtens einen ſo weiten Um⸗
fang, daß jede merkwuͤrdige Unterabtheilungen zulaͤßt,

wenn man auf die Geſtalt, welche die Curven

in dem end⸗

lichen Raume haben, Ruͤckſicht nimmt. Aus dieſem Grunde
hat auch Newton eine groͤßere Anzahl von Arten ange⸗
nommen, um die Curven, die ſich in dem endlichen Raume
merklich von einander unterſcheiden, von einander abſon⸗
dern zu koͤnnen. Es waͤre daher aber beſſer, die Gattungen⸗

welche wir mit dem RNRamen der Arten bele egt h

ben, Ge⸗

ſchlechter zu nennen, und den Namen der Arten fuͤr d die un⸗
ter ihnen begriffenen zu brauchen. Dies wird insbeſondere
bey den Eintheilungen der Linien der vierten und der hoͤhern
Ordnungen wichtig, weil dabey jede Art, oder vielmehr jedes
Geſchlecht, eine noch viel groͤßere Verſchiedenheit zulaͤßt.

“

kann. Setzt man alſo

Zehntes Capitel.

Von den vornehmſten Eigenſchaften der Linien der
dritten Ordnung.

So wie wir oben [im fuͤnften Capitel] die vornehmſten
Eigenſchaften der Linien der zweyten Ordnung aus der all⸗

gemeinen Gleichung fuͤr dieſe Linien abgeleitet haben: ſo

laſſen ſich auch die merkwuͤrdigſten Eigenſchaften der Linien
der dritten Oednung aus ihrer allgemeinen Gleichung er⸗
kennen, und auf eine aͤhmliche Art verhaͤlt es ſich mit den
Linien der vierten und der folgenden hoͤhern Ordnungen.
Wir wollen daher die allgemeinſte Gleichung füͤr die Linien
der dritten Ordnung:
ay3 † gyzx † 77yXX † àX3 † ⸗syy † eyx †
y † X † z = O
betrachten, welche die Natur einer jeden Linie der dritten
Ordnung ausdruckt, wenn und y die unter irgend einem

Winkel gegen einander geneigten Coordinaten ausdruckt,

und irgend eine gerade Linie zur Axe angenommen worden iſt.
§. 240.
Igſ daher « nicht = o, ſo kommt jeder Abſciſſe entweder
eine oder drey reelle Applieaten zu. Angenommen, daß
es drey reelle Applicaten gebe, ſo iſt bekannt, daß man
ihr Verhaͤltniß zu einander aus der Gleichung beſtimmen
=1, ſo wird die Gleichung
7 3

aie.

Ne

das

Ven
Behen
daß n
dem
ren

Eſe
der Nit
Inn, d.
ter öne
Ab=

Pl,Pi

Venn ne

nimmt
M0 .
Punkt .

V.d. vornehmſten Eigenſch. derkinien d. dritten Ordn. 199

D t Er 12 11 kIri t en
und es iſt
die Summe der drey Applicaten, die zue einer und der⸗
ſelben Abſciſſe gehoͤren, = — £X — ;
die Summe der drey Rectangel, die zwiſchen je zwey
ien de und zwey von dieſen Applicaten eingeſchloſſen ſind,

= 7XX † &X † 9; und endlich
das Produkt aus allen dreyen, oder das Parallelepipe⸗
dum, welches dieſelben geben, =— — 33 — 3XX

S Wenn zwey Applicaten imaginaͤr waͤren, ſo älten diee
rch Behauptungen zwar ebenfalls, nur mit dem Unterſchiede,
enſ daß man dieſelben nicht auf Linien anwenden koͤnnte, in⸗
in dem weder die Summe noch das Rechteck zweyer imaginaͤÜ⸗
“ ren Applicaten geometriſch dargeſtellt werden kann.
W . 241r.
eknien
Es ſey alſo A2, Fig. 44, die Axe fuͤr irgend eine e Linie
zu der dritten Ordnung, auf welcher die Ordinaten L MN und
Imn, welche die Curve in dreyen Punkten ſchneiden, un⸗
der Nitn ter einem gegebenen Winkel ſtehen. Setzt man die Abſeiſſe
aen A P = X, ſo hat die Applicate y einen dreyfachen Werth,
Etruc, PL, PM, und — PN, und es iſt daher
cdeni PL † PM — PN = — £X — :.
Wenn man daher
fro = TA. YN
erede . 3 R
, nimmt, ſo liegt der Punkt O in der Mitte, ſo daß LO =
Nßbͤ oum MO T† NO iſt. Da nun 2 = — — iſt, ſo liegt der
inmen

Punkt O in der geraden Linie OZ, und dieſe Linie ſchnei⸗
1

190

det daher alle der LM N parauete Ordinaten Imn auf die
Art in o, daß l1o † mo = no iſt. Dies iſt eine Eigen⸗
ſchaft, die der Eigenſchaft der Durchmeſſer der Linien der
zweyten Ordnung aͤhnlich iſt. Wenn alſo zwey einander
parallele Ordinaten, welche die Curve in drey Punkten
ſchneiden, auf die Art in O und o getheilt werden, daß
die beyden auf der einen Seite liegenden der dritten auf
der andern Seite gleich ſind: ſo theilt die gerade Linie,
welche durch dieſe Punkte O und o gezogen wird, auch alle
uͤbrige, jenen parallete, Ordinaten auf eine aͤhnliche Art, und
iſt alſo gleichſam ein Dur chmeſſet ſer der Linie der dritten
Ordnung.
§. 242. “”
Da ſich bey den Linien der zweyten Ordnung alle
Durchmeſſer in einem und demſelben Punkte ſchneiden, ſo
wollen wir jetzt unterſuchen, wie ſich die Durchmeſſer der
Linien der dritten Ordnung, in dem vorhin angefuͤhrten
Verſtande, verhalten. Wir wollen alſo annehmen, daß die
Applicaten unter irgend einem andern Winkel gegen die Axe
A een⸗ ſeyen, und die Abſciſſe = t, und die Applicate
Alsdann iſt [§. 43].
y = nu; und X = t –à mu;
und bringt man dieſe Werthe in die allgemeine Gleichung:
y3 †P gy2X † 7 yXX † à 4 „yy † &V7 X † -XxX † 9y
. P X T = 0
ſo bekommt n man dafuͤr fol gende:
† n3 u3 † gnzuzt † Znutt † t 3 † en zuz⸗ enut]
† "tt † Snu †t t2*
— SGmnu--Zemut

2

—– gSmn? us — 2 mnu't — z5mutt.
— m u
ym nus † 3 mzust
Im 3u3

†† MmZuU?2

I

tüͤſe
n kien
Linmne
titin 4
Wen, dar
Niten au
nde Mini,
ucht e
der Win

G

N ug 4 l

ſ tiden, f

V. d. vornehmſten Eigenſch. d. inien d. dritten Ordn. 19

Es iſt daher fuͤr die gerade Linie, die die Stelle des Durchz⸗
meſſers vertritt, wenn man die bey eben dem Winkel zur
Abſeiſſe t gehoͤrige Applicate = v ſetzt

— enat † 27 müt — 3m at —– enn † omn — ymnr

n3 — Smn2 † Ymzn – ùm

J. 243.
Nun ſey, Fig. 45, O der Durchſchaittspunkt zweyer
ſolcher Durchmeſſer, und von demſelben werde auf die Axe
AZ einmal Ob den vorigen Applicaten, und dann 0O C

den andern Applieaten parallel gezogen, ſo iſt ððð
AP = X; PO = 2; A Q = t; und O Q = v;
ferner .
2 = ny; x = t — mv, und folglich = und

m
t = X † — 2.
Man hat alſo
— gX

3 = — 6½ — z 3 = — z und 4

B

X

ςm X * m

1† „ n — — — —

Zn. In

Bringt man dieſe Werthe in die vorhin gefundene Glei⸗

chung, ſo wird

m 3X
— Ennx † segmnx— Am᷑nx — —
n
sm 3
— eInn †gemn — pyemm † — —
6Emnz e munn L —
2
28 mmxæ 2 amm
— 2z mnxx † — — † — — emm
3
⁸m 3x— Dem

oder

192 Zweytes Buch. Zehntes Capitel.

oder S
2 86 mn X – 1 6Y mmx — 2 7 mNz † 3mmv)]
8 6 — *X †: — o
† mn — 2½τςm m — AOmn † amm J
§. 244.

Es hangt alſo allerdings der Durchſchnittspunkt der
Durchmeſſer O von der Reigung der Applicaten gegen die
Are, welche durch die Buchſtaben m und n ausgedruckt
wird, ab; und es haben daher, (wenn man den Durch⸗
ſchnittspunkt aller Durchmeſſer den Mittelpunkt nennen
will,) nicht alle Linien der dritten Ordnung einen Mittel⸗

punkt. Indeß laſſen ſich Faͤlle angeben, wo der Durch⸗

ſchnittspunkt der Durchmeſſer eine unveraͤnderliche Lage
hat. Man findet nemlich dergleichen, wenn man die Glie⸗
der, worin min und mm vorkommt, und zwar jede Art
beſonders genommen, = o ſetzt, und die daraus entſprin⸗
genden Werthe von * einander gleich macht. Es wird aber
aus den gedachten beyden Gleichungen
2 = 3 — ͦ = 3— — ;
288868 — 679y 67 — 95
und wenn dieſe beyde Werthe einander gleich ſeyn ſollen,
ſo muß
6862 — 22 72W — 18 2† 6 77= 3 628— 24⁶7*
B — 27 % † 1863.
oder
8765— 2 662 — — 9⅝⅝ † 67* † 63 – 2 77= 0
ſeyn, woher denn
— 9 † 6 63 — 2 %
2% — 6 ⅞ Z
wird. So oft dieſen Werth hat, ſo oft ſchneiden ſich
alle Durchmeſſer in einem und demſelben Punkte, und es
haben daher dieſe Linien der dritten Ordnung einen Mittel⸗

„*

punkt,

Pdt
puntt,

hnrt

eu
erſte
Dmn
len O

)

ee⸗
Mlnn

nach
Cutve
Adi
de
weig⸗
punt
auf

punkt Ne⸗
ghen die
8geckt
a Du⸗
t nonen
en Mitcy
Mu⸗
ſce luge
NeGs
n ſdeſe
s antpen⸗
3pih

R ſen

. 55

der it
nd

mn AEE

V. d. ornehmſten Eigenſch.d d. üniend. drittenrdn. 193

punkt, und man findet ihn, wenn man in der Arxe

3⁰° — 23
268 — 6 7
” 1 67:
2668 — 6 ½

A P =

„und

nimmt. „

5§. 245.
Eben dieſe Beſtimmung des Mittelpunkts findet, vor⸗
ausgeſetzt, daß es dergleichen giebt, auch ſtatt, wenn der
erſte Coefficient « nicht der Einheit gleich geſetzt wird.
Denn iſt die allgemeinſte Gieichung fuͦr die Linien der drit⸗

ten Ordnung:

2y3 † gyax †77Xß, x3 1 :7 4 xy 42x † y„
X P† X = 0
gegeben, ſo haben die dadurch ausgedruckten Curven einen
Mittelpunkt, wenn
——— 9 .6 †9 P 6 6— 2 77⁷²
28 — 6 2½
iſt. Alsdann aber iſt der Mittelpunkt in 0, wenn man

Ab = 2 2⁸ — 244 und
266 — 6 7
po = 62— 32
2 68 — 6 %2%

macht. Wenn daher eine einzige Ordinate, welche die
Curve in drey Punkten ſchneidet, auf die Art getheilt wird,

daß die beyden Applicaten auf der einen Seite der dritten

auf der andern Seite gleich ſind: ſo theilt die gerade Linie,
welche durch den Mittelpunkt und durch dieſen Theilungs⸗
punkt gezogen wird, alle uͤbrige dieſer parallele Ordinaten
auf eine aͤhnliche Art. N

Kulers i Einl. ind Anal d. Unendl II. 2. N 5.246,

. D

Zweytes Buch. Zehntes Capitel.

§. 246.
Wenn man dieſes auf die Gleichungen der oben feſtge⸗

ſetzten Arten [§ 237] anwendet, ſo erhellet, daß die erſte,

zweyte, dritte, vierte und fuͤnfte Art einen Mittelpunkt hat,
wenn 2 = o iſt, und daß in dieſem Falle der Mittelpunkt

in den Anfangspunkt der Abſciſſen faͤllt. Die ſechste und

ſiebente Art haben nie einen Mittelpunct, weil der Coeffi⸗

cient a nicht = o ſeyn darf. Die achte, neunte, zehnte,

eilfte, zwoͤlfte und dreyzehnte Art haben einen Mittelpunkt,
der allemal in dem Anfangspunkte der Abſciſſen liegt. In
der vierzehnten, funfzehnten und ſechszehnten Art iſt der

Mittelpunkt unendlich weit entfernt, und es ſind daher alle

Durchmeſſer derſelben einander parallel.

J. 247.
Nach dieſen die Summe der drey Werthe einer jeden
Abplicate betreffenden Anmerkungen wollen wir nun auch
das Produkt aus dieſen Werthen betrachten, denn die
Unterſuchung des Aggregats der Rechtecke fuͤhrt eben auf
keine merkwuͤrdige Eigenſchaften. Es iſt alſo aus der all⸗
gemeinen Gleichung § 239
— PM. PL. P N = — àxX 3 — ¹XX — X — z

Um dieſen Ausdruck zu entwickeln, uͤberlege man, daß faͤr
„ = 0o

xX3 † „XX T X † .

wird, und daß daher die Wurzeln dieſer Gleichung die
Punkte angeben werden, wo die Curve die Axe A 2 ſchnei⸗

det. Fallen dieſe Punkte in B, C und D, ſo wird
Jx3 rherierfe s AS)EE A &τ ²
und es iſt folglich
PL. PM. P N = : Ph. PC. 15.
Wenn

Cd.

Wenn
Ordin
1.

8
ähene
len,

ſi⸗

Linie
aber

foch

der
lae
nſt de
Ligkor

elte

Glach
Crd
Geie
Abs

die ii
hukt hen
Ninepor
ichete u
der Coeft⸗
t, hrte,
gechen,
leeg. Nn
Nur it N
daher ale

irer ſeher
nun euch
wn de
ihen aj
5Ar ol

daß ir

4 e
ſchnn

0

V. d. vornehmſten Eigenſch. d. inien d. dritten Ordn. 195

Wenn man alſo irgend eine andere, der vorigen parallele,
Ordinate Imn annimmt, ſo wird
PL., PM. PN : PB. PC. PD = pl. pm. pn: p. pC. pD.
und dieſe Eigenſchaft iſt allerdings derjenigen aͤhnlich, die
wir oben von dem Verhaͤltniſſe der Rechtecke bey den Linien
der zweyten Ordnung 15 92. 93] gefunden haben. Eine
aͤhnliche Eigenſchaft kommt aber auch den Linien der vier⸗
ten, der fuͤnften und der folgenden hoͤhern Ordnungen zu.

. 248.
Nun habe die Linie der dritten Ordnung die drey gerad⸗

linigen Aſymptoten FBf, 6pg, HCh, Fig. 46. Da die

Linie der dritten Ordnung ſelbſt in dieſe drey Aſy zmptoten .

uͤbergeht, wenn die fuͤr ſie gegebene Gleich ung in deey ein⸗

fache Faktoren von der Form py † qX † r aufgeloͤſet wer⸗
den kann: ſo laͤßt ſich fuͤr die Aſymptoten, als eine com⸗
plexe Linie, eine Gleichung finden, deren hoͤchſtes Glied
mit dem hoͤchſten Gliede der Gleichung fuͤr die Curve uͤber⸗
einkommt. Da ferner die Lage der Aſymptoten aus dem
zweyten Gl iede der Gleichung beſtimmt wird, ſo hat die
Gleichung fuͤr die Aſymptoten mit der Gleichung fuͤr die
Curve auch das zweyte Glied gemein. Wenn daher die
Gleichung fuͤr die Curve bey der Axe A P, der Abfciſſe
A P = x, und der Applicate P M = „ folgende iſt:
y3 † (Sx †)y= † (vxxX † † 2) y † x3 † aXX 1†
4 X † „*½ — O
ſo hat man fuͤr die Aſymptoten bey eben der Axe, AP, der
Abſciſſe A P = , und der Applicate P G = z, die Gleichung?:
23 1†* (Sx †e)22 † (ZxXX † & † B) 2 † à⁸ 1 S f
D — 0
worin die Coefficienten 6, B, C und D ſo beſchaffen ſind,

daß ſich die Gleichung i in drey einfache Faktoren aufloͤſen laͤßt.

N 2 8. 249:

196 Zweytes Buch. Zehntes Capitel.

§. 249.
Wenn daher irgend eine Applicate P N, die ſowohl die
Curve a's die Aſymptoten in drey Punkten, jene nemlich
in I., M und N, dieſe in F, G und H ſchneidet, gezogen
wird: ſo iſt aus der Gleichung fuͤr die Curve
BL F PM † PN = — gx — „
Aber aus der Gleichung fuͤr die Aſymptoten iſt ebenfalls
PrF † PG T PH = — 6x —
und es wird folglich
P 1 PMH f PN= PF 1 POt
oder
FL — GM † HN = 0;
und wenn man irgend eine andere Applicate pf zieht, ſo iſt
auf aͤhnliche Art
fn — g m † h1 = o
Wenn alſo eine gerade Linie ſowohl die Curve als die
Aſymptoten in drey Punkten ſchneidet, ſo ſind allemal zwey
von den zwiſchen den Aſymptoten und der Curve enthalte⸗
nen Theilen der Linie auf der einen Seite dem dritten auf
der andern Seite gleich.

§. 250.

Es koͤnnen alſo die drey Schenkel einer Linie der dritten

Ordnung, die drey geradlinige Aſymptoten hat, nicht alle
auf denſelben Seiten dieſer Aſymptoten liegen, ſondern es
muß ſich der dritte, wenn zwey davon ſich nach einer Seite
zu erſtrecken, nothwendig nach einer entgegenſtehenden
Seite verbreiten. Linien der dritten Ordnung, wie die
Ayſte Figur darſtellt, ſind daher unmoͤglich, weil die gerade

Linie, welche die Aſomptoten in den Punkten f, g, h, die
Curve aber in den Punkten 1, m, n ſchneidet, die Theile

fn, gm, h alle auf einerley Seiten der Aſomptoten hat,
37 und

Ve.

und .
Demn:
eerley
en
Nann
pennſ

Hien

fende

don d
t
die

Hey,

wird.
Unendiit
kleine

zu der

4
.

erce

iſn

Orden

laben

fel

0 N
i rey
uthate⸗
ſan

britten
dderns
Cl⸗
henden
de e
gerode
1,de⸗
Cheie

Nle
nd

V. d. vornehmſten Eigenſch. d. linien d. dritten Ordn. 197

und alſo die Summe dieſer Theile nicht = o ſeyn fann.
Denn die Theile, die auf einerley Seite liegen, bekommen
einerley Zeichen, z. B. †, und die auf der entgegenſtehen⸗

den Seite ſich befinden, das entgegenſtehende, —; und nur

dann kann die Summe dieſer drey Theile = o werden,
wenn ſie verſchiedene Zeichen haben.

§. 251.
Hieraus laͤßt ſich ſehr deutlich einſehen, w warum die Li⸗
nien der dritten Dedans keine zwey geradl linige Aſymptoten

von der Art u = — haben koͤnnen, wenn die dritte zu der
Art u = — gehoͤrt, weil ſich die hoerboliſcen Schenkel,
A
die zu u = — gehoͤren,⸗ unendlich mehr ihrer Aſymptote naͤ⸗

hern, als derjenige, deſſen Art durch u = = ausgedruckt

wird. Denn nimmt man an, daß ſich die gerade Linie f†1.
unendlich weit entferne, ſo werden fn, g m, hꝗ unendlich
kleine Groͤßen. Wenn aber die beyden Schenkel nx, my

zu der Art u = R der dritte 12 hingegen zu der Art

u = — gehoͤren ſollen, ſo ſind En und gm unendlich klei⸗

ner als h!, und es iſt folglich unmoͤglich, daß gm = fn †
hl ſey.

Es kann daher uͤberhaupt bey den Linien der hoͤhern
Ordnungen, die eben ſo viel Aſymptoten e als Dimenſionen

A
haben, nie eine Aſomptote zu der Art u = gehoͤren,

N 3 wenn

198 Z3Zeytes Buch. Zehntes Capitel.
wenn die uͤbrigen Aſymptoten einer hoͤhern Gattung, z. B.
A * .

A ”
4= . ſind, ſondern es muß, ſo oft eine

*

n d A „
Aſymptote von der Art u = . da iſt, auch noch eine an⸗

dere von eben der Art da ſeyn. Aus eben dem Grunde iſt es
unmoͤglich, daß nicht mehr als eine Aſymptote von der Art

uI = D da ſey, ſondern es muß zum wenigſten zwey ge⸗

ben. Denn es naͤhern ſich die hyperboliſchen Schenkel von

t 3

A A „ .V
der Art u = –g; u = c. ihren Aſymptoten unendlich

. . A . 6
mehr, als die von der Art u = . Hiernach laſſen ſich

bey der Erfindung der Arten, die zu irgend einer hoͤhern
Ordnung gehoͤren, die unmoͤglichen Faͤlle ſehr leicht abſon⸗
dern, und eine Menge ſehr beſchwerlicher Rechnungen
vermeiden.

Angenommen aber, daß eine Linie der dritten Ordnung
von einer geraden Linie nur in zwey Punkten geſchnitten
werde, ſo werden alle, dieſer geraden Linie parallel gezogene,
Linien die Curve entweder auch in zwey Punkten oder gar
nicht ſchneiden. Wenn alſo die Applicaten y der gedachten
geraden Linie parallel genommen werden, ſo iſt die Glei⸗
chung für eine ſolche Curve folgende:
(yX † exX -† 9)7 xX¹ f† rXX † eX † 2
NYV T —— ex † r. 62
Setzt man neimtich die Abſciſſe A P= X, ſo hat man n zwey
Applieaten P M und — PN, und d dabey iſt wegen der
Ratur der Gleichungen

PM

Lhelk.
en

ſe

Hietaut
lllen
Rn,
durch

uynkte

0

Nℳ
eCe
che ale

Dyeil⸗

der ,
erts

den, n

Rer dit
16:

dritte
alge
cung

E Reheen
ichtehſen
ahenngen

Debnurg
cne
lganpen
der ga⸗
edocht
die

V. d. d. vornegmſten Cigenſch. d. linien b. dritten Ordn. 199

P M — P N = — 2X — &X — à
32 X † s
Lheilt man nun die Ordinate M N in dem Punkte 0
zwey gleiche Theile, ſo wird
XX T 6 1 2
—

PO⅞ =

und ſetzt man PO = 2, ſo iſt
2 (6x † 4½ = YxX † cXx † &

Hieraus erhellet, daß die Punkte O, in welchen die paral⸗
lelen Ordinaten M N in zwey gleiche Theile getheilt wer⸗
den, in einer Hyperbel liegen; wofern nicht XX † 6X † ₰£½
durch £ †⸗ theilbar iſt; denn in dieſem Falle liegen die
Punkte O in einer geraden Linie.

§. 254

Iſt daher „XX † &GX † ⁹ durch SX † theilbar, ſo hat
die Curve einen Durchmeſſer, oder eine gerade Linie, wel⸗
che alle einander parallele Ordinaten M N in zwey gleiche
Theile theilt; eine Eigenſchaft, die ſich bey allen Linien
der zweyten Ordnung findet, [§. 90]. Soll aber 7XX †
„S † § durch sX †⸗ theildar ſeyn, ſo muß es verſchwin⸗

den, wenn man Xæ = „ ſetzt; und es hat daher die Linie

der dritten Ordnung einen Durchmeſſer, wenn 7 26 — 4&α
† 8 ⁸ ☛ o. iſt.

Hieraus laſſen ſich die Faͤlle, in welchen die Linien der
dritten Ordnung einen Durchmeſſer haben, auf eine ganz
allgememe Art beſtimmen. Denn iſt die allgemeine Glei⸗

chung
N 4 *

200 Zweytes Buch. Zehntes Capitel. òMD N.d⸗

*Yà † 6Yax †YyXX T AX³ † eyy † eyx † a 4
ϑy † X T = = O
gegeben, ſo hat daraus y entweder einen dreyfachen oder
nur einen einzigen Werth, und es kann daher in dieſem

Falle keinen Durchmeſſer geben. Man ziehe alſo auf die⸗ 6
ſelbe Axe andere Arpiicatei u unter irgend einem Winkel, ſerh
ſo daß y = nu, und X„ = t – mu werde: ſo bekommt famn.
man durch dieſe Subſtitution die Gleichung: ſen ve
14 en 3 u 3 1 Enzuzt † Ynutt † àts † enz uz † nut] Wal
† att † Inu † et † x Die
— egmnus 2 mnust — 39 mutt — mnu' .. Die
4 “ — m-u 4 90 die
† Zm nus † 3èmzunt ††pvumzuz⸗ “ et.
— muz in
Sollen alſo dieſe neuen Applicaten einen Durchmeſſer zulaſe 1
ſen koͤnnen, ſo muͤſſen ſie einmal einen doppelten Werth he
anzunehmen im Stande ſeyn, und es muß ſolgt ich werden Ne
ans — gmnz- 1 vmen — m 3 = 0 AV
Dur⸗
Außerdem aber wird erfordert, daß die Groͤße, womit Ne
u multiplicirt worden iſt, nemlich Une
(zn — 3 em)tt † (En — 2am) t † &n — m ach
durch diejenige, welche un multiplicirt, oder durch
(Gnn — 2Ymn † 3 emm)t † enn – Imn † umm i
theilbar ſey; mit andern Worten: jene Groͤße muß = o he
werden, wenn man ut
— inn † emn — umm r
Z Gnn — 2 7 mn † 3 mm
ſetzt Hieraus fließt aber l
OAn on – 2m) (ann — émn †am m) H
— (GSEnn — 27mn † 3 emmym 1
. (Z n

hercer
d die
uiNe
efomnn

ſa M⸗
n Va⸗
chwelhe⸗

hng =6

V. d. vornehmſten Eigenſch d. inien ddritten Ordn. 201

( — 3 m) Enn— emn ymm)a
(enn -=— 2mn † 3 ° myam

Wendet man dieſes auf die oben feſtgeſetzten Arten an,
ſo erhellet, daß die erſte Art nie einen Durchmeſſer haben
kann. In der zweyten Art hingegen, werden die Ordina⸗
ten von der Axe, worauf die Abſeiſſen X dem Durchmeſſer
parallel genommen werden, in zwey gleiche Theile getheilt.

Die dritte Art laͤßt ganz und gar keinen Durchmeſſer zu.

Die vierte Art hat allemal einen Durchmeſſer, welcher
die Ordinaten, die einer Aſymptote parallel ſind, halbi⸗
ret. Die fuͤnfte Art hat drey Durchmeſſer, welche die den
einzelnen Aſymptoten parallelen Ordinaten in zwey gleiche
Theile theilen. Die ſechſte Art kann keinen Durchmeſſer
bekommen. Die ſiebente Art hat einen Durchmeſſer fuͤr
die Ordinaten, die der aus dem Faktor * — my entſprin⸗
genden Aſymptote parallel ſind. Die achte Art hat einen

Durchmeſſer fuͤr die der Axe parallelen Ordinaten. Die

neunte Art hat zwey Durchmeſſer, einen fuͤr die Ordinaten,
die der Arxe, den andern fuͤr diejenigen, welche der einen
Aſymptote parallel ſind. Die zehnte Art koͤmmt mit der
achten, und die eilfte mit der neunten uͤberein. Eben ſo
iſt die zwoͤlfte Art in Anſehung der Durchmeſſer der achten,

und die dreyzehnte der neunten gleich. Die vierzehnte Art

hat einen Durchmeſſer fuͤr die Ordinaten, welche der Axe
parallel ſind. Die funfzehnte und ſechszehnte Art laſſen
gar keine Ordinaten zu, welche die Curve in zwey Punkten
ſchnitten, und koͤnnen folglich auch keinen Darchmeſſer ha⸗
ben. Die Eigenſchaften dieſer Durchmeſſer findet man
beym NMewton ausfuͤhrlich bemerkt, und es ſchien daher
nuͤtzlich, ſie ſel lbſt hier insgeſammt anzufuͤhren. .

4 R 5 §. 23 .

202 Zweytes Buch. Zehntes Capitel.

§. 258.
Ob gleich bey den Gleichungen, die wir oben [§. 237].

fuͤr die einzelnen Arten der Linien der dritten Ordnung mit⸗

getheilt haben, die Coordinaten und y rechtwinklig an⸗

genommen worden ſind: ſo wird doch die Ratur dieſer Ar⸗

ten nicht veraͤndert, wenn man die Coordinaten unter ir⸗

gend einem andern Winkel gegen einander geneigt ſeyn laͤßt.

Denn es bleibt die Menge der ohne Ende fortlaufenden
Schenkel dieſelbe, man mag die Coordinaten rechtwinklig,

oder auf irgend eine Art ſchiefwinklig annehmen. Ja es

leidet auch die Natur der ohne Ende forklaufenden Schen⸗
kel durch Annahme eines andern Coordinaten⸗Winkels kei⸗
ne Veraͤnderung, ſondern es bleiben dabey die paraboli⸗
ſchen Schenkel paraboliſche, und die hyperboliſchen hyper⸗
boliſche. Endlich geht dadurch ſelbſt in der Art der Schen⸗
kel, ſowohl der paraboliſchen als der hyperboliſchen, keine
Veraͤnderung vor. Es gehoͤrt daher jede Curve, welche
nach der ſie ausdruckenden Gleichung zu der erſten Art ge⸗
rechnet werden muß, unabaͤnderlich zu dieſer erſten Art,
man mag die Coordinaten rechtwinklig oder ſchiefwinklig
annehmen, und eben ſo verhaͤlt es ſich mit allen uͤbrigen
Arten.

§. 259.

Schraͤnkt man ſich alſo nicht auf rechtwinklige Coordi⸗

naten ein, ſondern laͤßt den Winkel, welchen ſie einſchlieſ⸗

ſen, willkuͤhrlich ſeyn: ſo wird der Umfang der obigen Glei⸗

chungen nicht vermindert, wenn man
yS= nu; æ = t – mu; und mm †nn = I

ſetzt. Nimmt man aber den Coordinaten Winkel willkuͤhr⸗

lich an, ſo laſſen ſich die gedachten Gleichungen auf ein⸗
achere Formen zuruͤckbringen. Auf dieſe Art bekoͤmmt
man

V.d. vornehmſten Eigenſch. d. linien d. dritten Ordn. 203

man fuͤr die einzelnen Arten der Linien der dritten Ordnung

y, folgende moͤglich einfachſte Gleichungen zwiſchen den ſchief⸗
b wDiinkligen Coordinaten t und u:
g n Die erſte Art. .
ſa Ne u (tt † nnuu) †T auufbt cu† d=o
Nterlta wenn weder n = o, noch b = o iſt.
n laͤßt. Die zweyte Art.
fenden u(Gt †nuu) † auu † cu † d=
nklg wenn n nicht = o iſt.
18 Die dritte Art.
Sten u(tt — nnuu) † auu † bt† cu† d= o
o fi⸗ wenn weder n = o, noch b = o, noch 2 n b † ec †
tabol⸗ aa
de⸗ Ann iſ.
Sir Die vierte Art.
u (tt — nnuu) † auu † cu † d = o
vehe
G wenn weder n = o, noch e † — = o iſt.
a S
ziin Die fuͤnfte Art. a
Neyer a (tt — nnuu) Tauu — — † d=π
Aunn
wenn n nicht = o iſt.
Die ſechste Art.
uein tuu” att † bt † cu † d = o
ſde wenn weder a =o, noch e = o ſſt.

li Die ſiebente Art.
tuu† att † bt † d = o
wenn àa nicht So iſt.

ühe⸗ Die achte Art.
ei⸗ tuu”† bbt† cu † d = o„
nn wenn weder b = o, noch c = o iſt.

204 Zwezee Buch. Zehntes C pitel. .

Die neunte Art.
tuu † bbt † d = e
wenn b nicht = o iſt.
Die zehnte Art.
tuu — bbt † cu † d = e
wenn weder b = o, noch c = o iſt.
Die eilfte Art.
tuu — bbt † d = o
wenn b nicht = in.
Die zwoͤlfte Art.
tuu † cu t d = o
wenn c nicht = o iſt.
Die dreyzehnte Art.
, ttuIu P† d= 9.
Die vierzehnte Art.
nu3 † att †. cu † d = o.
Die funfzehnte Art.
u; † atu † bt † d =
wenn a nicht = o in.

Die ſchazehnte Art.
us † at = o.

Eilftes

des imaginaͤr ſind.

Eilftes Capitel.

Von den linien der vierten Ordnung.

§. 260.

Die allgemeine Gleichung fur die Linien der vierten
Ordnung iſt:
„ y4 † 8y 3xX † 7y22 † °*. † ex4 † 63 † 71y2X †
yX2 P ⸗X3 T2VYy † AyX T† &X X † -y † &X † = o,
die aber, wenn man ſowohl den Coordinaten⸗ Winkel, als
die Lage der Axe, und den Anfangspunkt der Abſciſſen ver⸗

aͤndert, auf vielerley Art, je nachdem der Fall iſt, auf ein⸗

fachere Formen gebracht werden kann. Um aber, nach
der erklaͤrten Methode, alle unter dieſer Ordnung begrif⸗
fene Arten, oder vielmehr Geſchlechter, [§. 238] zu finden,
muß man das hoͤchſte Glied dieſer Gleichung betrachten,
und dann entſtehen folgende Faͤlle:
1.
Wenn alle vier einfache Faktoren dieſes hoͤchſten Glie⸗

II. .
Wenn nur zwey Faktoren reell und einander nicht gleich

ſind.

III.
Wenn nur zwey Faktoren reell und einander gleich ſind.
IV.
Wenn alle vier Faktoren reell „und keiner einem von

den uorigen gleich iſt.
V.

206 Zweytes Buch. Eilftes Capitel

Wenn zwey Faklorene einander gleich, die uͤbrigen ober
ungleich ſind.
VI.
Wenn je zwey und zwey Faktoren einander gleich ſind.
VII.
Wenn drey einfache Faktoren einander gleic ſind.
VIII.
Wenn alle vier Faktoren einander gleich ſind.

Erſter Fall.

§. 26 1.
Wenn alle Faktoren des hoͤchſten Gliedes imaginaͤr ſind,
ſo hat die Curve gar keine ohne Ende fortlaufende Schen⸗

kel; und da wir hier die Verſchiedenheit dieſer Schenkel

als Eintheilungsgrund gebrauchen, ſo bietet dieſer Fall
nicht mehr als ein einziges Geſchlecht dar. Es begreift alſo

Das erſte Ge ſchlecht
die Curven, die gar keine ohne Ende fortlaufende Schenkel
haben, und deren Ratur, wenn man die einfachſte Gleichung
nehmen will, durch folgende Gleichung ausgedruckt wird:
(yy † mmxx) (yy — 2 pxy † qqxX) † ayx † byx †
cyy † dyxX † exx ? fy † gX † h = o
wenn pp kleiner als qq iſt. Denn da ſich in dem hoͤchſten
Gliede die Groͤßen y4 und X4 nothwendiger Weiſe befin⸗
den, ſo kann man, durch Vermehrung oder Verminderung
der Coordinaten X und y um eine gegebene Groͤße, machen,
daß y3 und X3 aus dem zweyten Gliede wegfallen.

Zweyter Fall.
§. 262.
Wenn nur zwey Faktoren des hoͤchſten Gliedes reell,

und dabed einander nicht gleich ſind, ſo kann man durch

Ver⸗

Veran
zubri
dere/

Denn
diger
1
Nerad

NDe.

und d

ha

1—

die be

ec

uinur ſnd.
de Sch⸗
Shenel
deeſr g
ynſt

Reheit
eGleichng
tuct win

winderung
ſ Mute,
4

ces nu
n ch

Ver⸗

Von den kinien der vierten Ordnung. 207

Veraͤnderung des Coordinaten⸗Winkels und der Axe es da⸗
hin bringen, daß der eine von dieſen Faktoren und der an⸗
dere y wird. Hierdurch bekommt man folgende Gleichung:
YVXCVVy — 2 myxX † nnXX) † ayzX † byx † cyy †
dyx † exx † fy † gXxX † h = o
wo/mm kleiner als nun iſt.
Denn da in dem hoͤchſten Gliede y3 und yX3 nothwen⸗

diger Weiſe da ſind, ſo kann man in dem zweyten Gliede

y3 und X3 weglaſſen. Es hat demnach die Curve zwey
geradlinige Aſymptoten, davon die eine durch die Gleichung
y = o, und die andere durch « = o ausgedruckt wird.
Die Art der erſten zeigt die Gleichung:
nnyX3 † exx † gX † h = o
und die Art der andern dieſe:
Xy3 † cyy † fy h =
Hieraus entſpringen alſo folgende Geſchlechter:
Das zweyte Geſchlecht
hat zwey geradlinige Aſymptoten, beyde von der Art⸗

= , wenn weder e noch e eine verſchwindende Groͤße iſt.

Das dritte Geſchlecht
hat zwey geradlinige Aſymptoten, die eine von der Art

A A ,
u = —, die andere von der Art u = 1 und wird durch

die Geichung:
yx (yy — 2 myx † nnxx) † ay 2 † bn⸗ † cyy † dyx †
fy † gx † h =

ausgedruckt, wenn weder c = o, noch o iſt.

Das vierte Geſchlecht
hat zwey geradlinige Aſymptoten, die eine von der Art
A A4 “”
u = ,D die andere von der Art u = 137 und wird durch
die

208 Zmweytes uc. Eilftes Capitel.

die Gleichung: =D
== fy 1 4 = .

ausgedruckt, wenn c nicht = 0 iſt.
Das fuͤnfte Geſ ſchlecht

hat zwey geradlinige Aſt ymptoten, beyde von der Art

L = 5 7 und wird durch die Gleichung:

Y— 2 myX † nnxX) † ayax 4 byXX † ayx 4
B fy † g † h = o
ausgedruckt, wenn weder f= 0, noch g = o iſt.

Das ſechſte Geſchlecht

hat zwey geradlinige Aſymptoten, die eine von der Art

V 4 AX
u = t die andere von der Art u = =, und wird durch

die Gleichung:
7r7 — 2a myx F†nnXX) 4. aya † byxx † dyx †
fy † h = o
ausgedruckt, wenn f nicht S o iſt.
Das ſiebente Geſchlecht.
hat zwey geradlinige Aſymptoten, beyde von der Art

A
u= , und wird durch die Gleichung ausgedruckt:

2’ — 2 myx † nnxx) † ayax † byxx † dyx † h = o
wenn nn allenthalben groͤßer als mm iſt.
Dritter Fall.
Wenn die erwaͤhnten beyden Faktoren des hoͤchſten

Gliedes die einzigen reellen, und einander gleich ſind: ſo

bekommt die Gleichung folgende Form:
77 G* — 2myX † nnxx) † ayxx †" bx ³ † cyy † dyx 1†
exxX † fy † gx † h = o
ſo daß wieder nin groͤßer als mim iſt.

da

adekn
.

1he

Von den linien der vierten Ordnung. 209

Wofern nun benicht = o0 iſt, ſo giebt dieſe Gleichung

Das achte Geſchlecht,
welches eine paraboliſche Aſymptote von der Art
uu = At hat.
Wenn aber b = o i, 6 wird, wenn man x = 00
ſetzt,
1*. 1 — † — *
7 n n nn n h X nnxX
Iſt nun aa kleiner als Anne, ſo entſteht
Das neunte Geſchlecht,
welches keinen ohne Ende fortlaufenden Schenkel hat,
Wenn b = o, und aa groͤßer als Anne, aber 2 nicht
= o iſt, ſo entſteht
Das zehnte Geſchlecht,
welches zwey einander parallele Aſymptoten von der
Art u = — hat.
Wenn = o, und g = o, und aa groͤßer als Anne
iſt, ſo ergiebt ſich
Das eilfte Geſchlecht, G
welches zwey einander parallele Aſte ſymptoten von der
Art u = — hat.
Wenn = o, und a a = Anne, aber g nicht = = 0 iſt,
ſo entſteht

Das zwoͤlfte Geſchlecht,
welches eine hyperboliſche Aſymplote von der Art

A
un = = hat.

Wenn b = o; g = o; und aàa = Ann e, und n eine
negative Groͤße iſt, ſo entſteht
ulers! Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. H,. O Dsas

4

Zweytes Buch. Eilftes Capitel. V

Das dreyzehnte Geſchlecht,
welches eine hyperboliſche A Aſymptote von der Art
uu — hat. .
T Lt
Wenn hingegen b = 03 g = o; a aàa = Anne, und h
eine poſitive Groͤße iſt, ſo ergiebt ſi 4
S Das vierzehnte Geſchlecht,
welches gar keine ohne Ende fortlaufende Schenkel hat.

1

Vierter Fall.
Sind alle vier einfache Faktoren des hoͤchſten Gliedes

reell und unter einander ungleich⸗ ſo hat die Gleichung fol⸗

gende Form:

yxX (— mx) ((— nx) † ayx by x2 f cyy† dyx †

erxxp'fygX † h = O
Es hat alſo die Curve vier geradlinige Aſymptoten ent⸗

A A
weder von der Art u = oder von der Art u= ,

H A .Y
oder von der Art u = : und daher ergeben ſich, wenn

man die §. 251 gegebene Vorſchrift befolgt, iolgende Ge⸗
ſchlechter:
Das funfzehnte Geſchlecht,

welches dier hoperboliſche Aſymptoten, jede von der Art

A
= , hat.

Das ſechszehnte Geſchlecht,
welches vier hyperboliſche Aſymptoten, drey von der

4 “ —
Art u = 7 und eine von der Art u = ſt hat.

Das

we

Urt a

„Und h

llal het

en der

1

”

Von den linien der vierten Ordnung. aII
Das ſiebenzehnte Geſchlecht,
welches vier hyperboliſche Aſymptoten, drey von der
Art u = D und eine don der Art u = 13 hat.
Das achtzehnte Geſchlecht,
welches vier hyperboliſche Aſymptoten, zwey von der
A A
Art u = R und zwey von der Art u = tt hat.
. Das neunzehnte Geſchlecht,
welches vier hyperboliſche Aſymptoten, zwey von der
Art u = —, eine von der Art u = —, und eine von
der Art u = — hat.
Das zwanzigſte Geſchlecht,
welches vier hyperboliſche Achnhieten⸗ zwey von der

A
Art u = — und zwey von der Art u = — 2 hat.

Das ein und zwanzigſte Geſchlecht,
welihes vier hyperboliſche Aſomptoten, jede von der

Das zwey und zwanzigſte Geſchlecht,
welches vier hyperboliſche Aſymptoten, drey von der

Art u = 11 und eine von der Art u = J hat.

Das drey und zwanzigſte Geſchlecht,
welches vier hyperboliſche Aſymptoten, „dden von der

A
Art u = 14/7 1 und zwey von der Art u = — 33 hat,

2 Dars

212 Zweytes Buch. Eilftes Capitel⸗

X

Das vier und zwanzigſte Geſchlecht, deß die
welches vier hyperboliſche Aſymptoten, jede von der mtern
der Ge⸗

Fuͤnfter Fall.

§. 265. Diſe
Wenn zwey Faktoren des hoͤchſten Gliedes gleich, und Canden
die beyden uͤbrigen ungleich ſind, ſo hat die Gleichung fol⸗ II
gende Form:
YYXGXXn F ayxx † bxs † cyy I dyx exx X Met
fy TgX T h= O nunſctl
Hier ergeben ſich zuvoͤrderſt in Anſehung der gleichen Fak⸗ Nlen da
toren alle die Geſchlechter, welche wir beym dritten Falle ſicht un
gehabt haben; und dabey theilt ſich ein jedes derſelben in wen de
ſo viele, als die ungleichen Faktoren hervorbringen, oder, ſebenund
als der zweyte Fall enthaͤlt. Ueberhaupt alſo entſpringen lsgr⸗
aus dieſem Falle ſechsmal ſieben, d. h. zwey und vierzig, Nerden tt
Geſchlechter. Unter dieſen ſind aber zwey unmoͤglich, nem⸗ Geſchſech

lich, wenn die beyden parallelen Aſymptoten von der Art

u = ſind, von den uͤbrigen aber die eine zu der Art

A . — A We⸗
u = —, und die andere entweder zu der Art u = —, oder Ven
t tt Glechun
zu der Art u = 6; gehoͤrt. Es bleiben alſo nicht mehr als
vierzig Geſchlechter uͤbrig, die, mit den vorhergehenden zu⸗ Kirgek
ſammengenommen, vier und ſechszig Geſchlechter ausmachen,
Ge

und welche alle einzeln anzufuͤhren viel zu weitlaͤuftig ſeyn
wuͤrde. Auch kann ich, da ich noch nicht jedes davon habe
unterſuchen koͤnnen, nicht mit Gewißheit behaupten, ob nicht ene
noch mehrere unmoͤgliche darunter befindlich ſind. Wer in⸗

pehre

hen u⸗
nachen
igſer
don hee
,nb niht

Url i⸗
deß

Von den linien der vierten Oordnung. ar

deß dieſe Unterſuchung nach den mitgetheilten Vorſchriften

unternehmen will, der wird im noͤthigen Falle die Anzahl
der Geſchlechter leicht zuſammenziehen und verbeſſern koͤnnen.
Sechster Fall.
§. 266.
Dieſer Fall, bey welchem je zwey und zwey Faktoren
einander gleich ſind, iſt in folgender Gleichung enthalten:
yyXX † a y3 † bx3 † cyy † dyx † exx † fy † gX †
h = 0.
Jedes Paar gleiche Faktoren, fuͤr ſich genommen, giebt ſieben
verſchiedene Faͤlle, und beyde Paare, zuſammengenommen,
geben daher neun und vierzig Geſchlechter. Da aber h
nicht zugleich poſitiv und negativ ſeyn kann, ſo werden
zwey davon unmoͤg lich, und es bleiben daher uͤberhaupt
ſieben und vierzig Geſchlechter uͤbrig; eine Anzahl, die eben⸗
falls groͤßer iſt, als daß hier alle einzeln ſollten angefuͤhrt
werden koͤnnen. Bis jetzt haben wir alſo hundert u und eilf
Geſchlechter gefunden.

Siebenter Fall.

§. 267.
Wenn drey Faktoren einander gleich ſind, ſo hat die
Gleichung folgende Form
Y X TayxXX † bx3 † cyy † dyx 1† exx † fy † gxX †
h = O
Hier giebt der Faktor

eine Aſymptote von der Art u = /wenn enicht =o iſt;

A H
eine Aſymptote von der Art u = t / wenn c =o, aber h⸗/
nicht =o iſt;
OO 3 eine

214 Zwepytes Buch. Eilftes Capitel.

èW A
eine Aſymptote von der Art u = / wenn c =o, und

f = o iſt.

Hiernaͤchſt giebt der Faktor y3 eine paraboliſche Aſymptote

von der Art us = Att, wenn b nicht = o iſt; wenn aber
b = o iſt, ſo wird, wenn man X unendlich nimmt,
cyy † fytͤ h
. = 0

7 Y3 † ayx † dy † ex † g †

Hier iſt, wenn e nicht = o,
Y3 T ayX T ex = 0
woraus denn, wenn auch a nicht = o iſt,
y2 † a x = o, und ay † e = G
fließt: und es hat alſo hier zugleich eine paraboliſche Aſym⸗
ptote von der Art uu = At, und eine hyperboliſche ſtatt,
die durch folgende Gleichung ausgedruckt wird:
es de . cee afe Taan

a a a a X
Wenn alſo nicht es p aa de † asg = iſt, ſo gehoͤrt dieſe

Aſymptote zu der Art u = 2 „im entgegenſtehenden Falle

aber zu der Art u = S Wenn hingegen a = o, und e

„»⸗= † E X — 0△

und dieſe Gleichung giebt eine paraboliſche Aſymptote von

der Art us = A t. Iſt aber e = o, und aà = o, ſo wird
73 † dy † g — o,
und dieſe Gleichung giebt entweder eine einzige Aſomptote

von der Art u = oder drey von eben der Art, oder

eine von der Art u = 1 und eine von der Art u1 = ,

Lder

Pateus

4

Und

iſ,

ſhe ſihee⸗
ſche ſiat

141
uah

—
—☚nq

—

Gr ⸗

den e

de M

erte tet
,eis

Von den linien der vierten Ordnung. 215

oder eine von der Art us = Ueberhaupt alſo giebt es

hier acht verſchiedene Faͤlle, die mit den dreyen, welche
der Faktor an die Hand giebt, multiplicirt, vier und
zwanzig Geſchlechter erzeugen. Die Anzahl aller bisher
gefundenen Geſchlechter belaͤuft ſich daher auf hundert und
fuͤnf und dreyßig.

Achter Falk.

Wenn alle Faktoren einander gieich ſind, ſo findet fol⸗
gende Gleichung ſtatt:
74* †T ayzx T byXxX † kx3 T cyy † dyxX † exX †*
fy T gxX † h = o.
Hier entſteht, wenn k nicht = o iſt,

Das hundert und ſechs und dreyßigſte Geſchlecht,

welces eine einzige paraboliſche Aſymptote von der Arr

= Ata3 hat.
Wenn k = o, b aber nicht =o iſt, ſo wird
74 † byXxX † exx = 0
und daher
y3 † bxx = o, und by * e = o.
Hieraus ſließt fuͤr die geradlinige Aſymptote by † e = &

aeZX cCeS dex
(by † e) xX † 1 P b 1 bb b

—

ef
g † h = O

und es gehoͤrt daher die Aſymptote, wenn nicht

ee — bde — bbg = 0

A
iſt, zu der Art u = im entgegenſtehenden Falle aber

O 4 R

216 Zweytes ne Vu⸗ Eiltes Capitel.
zu der Art u = —. Es ergeben ſich alſo hieraus

Das hundert und ſieben und dreyßigſte Geſchlecht,
welches eine paraboliſche Aſymptote von der Art

u3 = Att, und eine hyperboliſche v⸗ von der Art u = 4

hat; und
Das hundert und acht und dreyßigſte Geſchlecht,
welches eine paraboliſche Aſymptote von der Art
3 = Att, und eine hyperboliſche von der Art u = *
hat.
8. 269.
Nun ſey k = o, und b = o, ſo daß
y4 † ayzxX † cyy † dyx † exx † fy † gX †. h = 0
werde. Iſt hier e nicht = o, ſo wird 4
y4 † ayyX † exXx = 0

und dieſe Gleichung iſt unmoͤglich, wenn aakleiner als. 4
iſt. Iſt hingegen aa groͤßer als 4 e, ſo erhoͤlt man zwey
paraboliſche Aſomptoten, die zu einerley Axe gehoͤren, von

der Art u u = At; und iſt a a = 4e, ſo fallen dieſe beypde

Parabeln in eine zuſammen. Es ergeben ſich alſo hieraus,
das hundert neun und dreyßigſte, vierzigſte, und ein und
vierzigſte Ge eſchlecht.

Iſt aber e = o, ſo daß man dieſe Gleichung hat:
VA a 7X † c dyx ? g I & Th = o
ſo wird, wenn a nicht = o iſt

YV4 T ayyX † cyy T dyx † g5 = o
und

— ðð

Und e
ſtandie

woher

(e, N

Fole h
ſweh he

len ür

Non
hund⸗
und v

werde.
holiſche⸗
ſuige,
wid,

As
und ſo
Geche
die ne
W

doht

—,—
11
=

er als e

man dh

ian,

eſe bende

hhietont,
deM

:

30

nd

Von den Linien der vierten OoOrdnung. 217

und alſo, wenn ſowohl yy ax = o, als y = einer be⸗
ſtaͤndigen Groͤße iſt

ayy † dy g = o

woher denn y entweder zwey verſchiedene, oder zwey glei⸗

che, oder zwey imaginaͤre Werthe bekommt. Im erſten
Falle hat die Curve außer einer paraboliſchen Aſymptote

A
zwey parallele Aſymptoten von der Art u = *: im zwey⸗

ten eine von der Art uu = , und im dritten gar keine.

Man bekoͤmmt alſo hieraus wieder drey Geſchlechter, das
hundert zwey und vierzigſte, drey und vierzigſte, und vier
und vierzigſte.
§. 270.
Nun ſey auch a =So, ſo daß die Gleichung
74 † cyy † dyx † fy † gX † h =
werde. Iſt hier nicht d = o, ſo hat die Curve eine para⸗
boliſche Aſymptote von der Art us = At, und eine gerad⸗
linige, die durch die Gleichung dy g = o ausgedruckt
ß””ß8s A è
wird, von der Art u = — Endlich hat die Curve, wenn

d S o iſt, eine paraboliſche Aſymtote von der Art uA4 = At;

und ſo haben wir in allem hundert und ſechs und vierzig

Geſchlechter der Linien der vierten Ordnung, davon aber
die meiſten viele von einander ſich ſehr unterſcheidende Ar⸗
ten unter ſich begreifen.

§. 271.
Hieraus laͤßt ſich hinlaͤnglich abnehmen, wie ſehr die

Zahl de der Geſchlechter der Linien der fuͤnften und der uͤbri⸗
OöP 5 gen

Zweytes Buch. Eilftes Capitel. ꝛc.

gen hoͤhern Ordnungen wachſe, ſo daß eine vollſtaͤndige
Anfuͤhrung derſelben, dergleichen bey den Linien der drit⸗
ten Ordnung unternommen iſt, allein ein weitlaͤufti⸗
ges Werk erfordern wuͤrde. Was aber die vornehmſten
Eigenſchaften der Linien der vierten und der hoͤhern Ord⸗
nungen betrifft, ſo laſſen ſich dieſelben aus der allgemeinen
Gleichung einer jeden Ordnung auf eine aͤhnliche Art fin⸗
den, als ſolches oben bey den Linien der dritten Ordnung
geſchehen iſt, und ich halte es daher nicht fuͤr noͤthig⸗ da⸗
bey zu verweilen.

Zwoͤlftes

Von

D
NeG⸗
ſortge
ſtalt
aus de
Abſiht
fir n
nitun
n Geſc
Grade
hekannt
iegend
Re
es han
nohl
hat e
wenn n

e und

icche
Me
Verno
jenige
wenie

limde
n led⸗
weitt⸗
enehnmtn
hern Oet

eneinen

te ln in
1Gehhng,

DweE . S

Zwoͤlftes Capitel.
Bon der Erforſchung der Geſtait der krummen
linien.

§. 272.
Die Unterſuchungen der vorhergehenden Capitel hatten
die Geſtalt der krummen Linien, welche ſie, ins Unendliche
fortgefuͤhrt, haben, zum Gegenſtande; wie aber dieſe Ge⸗
ſtalt in dem endlichen Raume ſey, iſt oͤfters ſehr ſchwer
aus der Gleichung zu erkennen. Denn man muß zu dieſer
Abſicht aus der Gleichung die Werthe, welche die Applicate
fuͤr einen jeden endlichen Werth der Abſeiſſe bekommt, ent⸗
wickeln, und die imaginaͤren von den reellen abſondern?
ein Geſchaͤft, welches bey den Gleichungen der hoͤhern
Grade gemeiniglich die Kraͤfte der Analyſe, ſo weit ſie
bekannt iſt, uͤberſteigt. Giebt man nemlich der Abſciſſe

irgend einen endlichen Werth, ſo kann man die Applicate

als die unbekannte Groͤße in der Gleichung betrachten, und
es haͤngt demnach die Aufloͤſung der Gleichung von der
Anzahl der Dimenſionen ab, welche die Applicate darin
hat. Es laͤßt ſich aber dieſes Geſchaͤft ſehr erleichtern,
wenn man die Gleichung durch Annahme einer bequemern
Axe und eines zweckmaͤßigen Coordinaten Winkels auf eine
einfachere Form bringt; ſo wie dazu auch, da es gleich iſt.,

welche Coordinate man als die Abſeiſſe betrachten will, die
Verwechſelung der Coordinaten heytraͤgt, wenn man dies

jenige die Applicate ſeyn laßt, welche in der Dleichung die
wenigſten Dimenſionen hat.

2*

R L

220 Zweytes Buch. Zwoͤlftes Capitel. Von d

§. 273. . edatid
Wollte man z. B. die Geſtalt der Linien der dritten Ord⸗ wird:
nung, die zu der erſten Art gehoͤren, beſtimmen, ſo muͤßte gewiſe
man die einfachſte Gleichung fuͤr dieſe Art, die §. 258 mit⸗ jenſein

getheilt worden iſt, zum Grunde legen, und von den Co⸗
ordinaten t und u die erſte t als die Applicate, und die an⸗

dere u als die Abſeiſſe betrachten, weil t nur zwey Dimen⸗ en
ſionen hat. Man haͤtte alſo eine Gleichung von dieſer Form: .
. 2 by T† axx T† CXx † d — nn xX 5 . ur zwe
7 = K 20w
und daraus erhielte man durch die Aufloͤſung: in den
b£ N bbf dx † cXX † a Xx 3 — nnX4) eine ei
— X den gar
SJJMU und
§. 274. Eurpe
Es hat folglich in den Faͤllen, in welchen die Werthe pplunt
von xX der Funktion . e ANr
bb † dx † cxx † ax3 — nnx4 Gend eine
einen poſitiven Werth ertheilen, die Appl icate einen dop⸗ wid
pelten Werth; wenn aber dieſe Funktion verſchwindet, ſo

kommt der Applicate y nicht mehr als ein Werth zu, oder
Ees werden beyde Applicaten einander gleich; und wenn der
Werth der Funktion negativ wird, ſo ſind die Applicaten
imaginaͤr, oder es gehoͤrt dann gar keine Applicate zu den
Abſciſſen. Es koͤnnen aber die Werthe der gedachten Funk⸗

tion, wenn ſie poſitiv geweſen ſind, nicht anders negativ dhs
werden, als wenn ſie vorher gleich geweſen, oder die den
Funktion =o geworden iſt; und es ſind daher vorzuͤglich Fnd

die Faͤlle zu erwaͤgen, in welchen
bbdX † cXX † àa x3 — nnx4 =
wird. Dies muß nun zum wenigſten in zwey Faͤllen ge⸗ N
ſchehen, weil ihr Werth, ſo oft xX, es mag poſitiv oder
ne⸗

N d
ind eon,
, Diner⸗

enen ⸗
nindet, ſ
u, oder
dwnd
Neas
e gde
tinzut⸗
i nnt
r di⸗

tſigech

Von der Erforſchung der Geſtalt der Curven. 22 1

negatio ſeyn, eine gewiſſe Grenze uͤberſe chreitet, negativ

wird: und es braucht daher die Abſciſſe auch nur bis zu einer

gewiſſen Grenze genommen zu werden, weil die Appl leaten
jenſeits dieſer Grenze imaginaͤr ſind.

§. 275.
Angenommen, daß der Ausdruck
bb † dx † cxX † ax3 — n xA
nur zwey reelle Faktoren habe, oder nur in zwey Fallen
= o werden koͤnne; welches ſtatt findet, wenn die Abſciſſe
in den Punkten P und 8, Fig. 49, ſich endet, wo es nur
eine einzige Applicate giebt: ſo werden die Applicaten durch

den ganzen Raum Ps hindurch reell und doppelt, jenſeits

P und § aber insgeſammt imaginaͤr ſeyn, und alſo die
Eurve zwiſchen den Applicaten K k und Nn liegen. Die
Applicate⸗in dem Anfangspunkte A aber wird eine Aſym⸗
ptote der Curve werden, und uͤberdem dieſelbe auch in ir⸗
gend einem Punkte ſchneiden. Denn ſetzt man x = o, ſo
wird

und alſo
b – (b † 5
X

d. h. es iſt entweder „= 00, oder y = —. Es hat alſo

Vy =

in dieſem Falle die Curve eine ſolche Geſtan, als die Hoſte
Figur darſtellt.

§. 276.
Nun habe der Ausdruck
bb † dzx † cxx † ax3 — unnx4
vier

222 Zweytes Buch. Zwoͤlftes Capitel.

vier einfache reelle und einander ungleiche Faktoren, und
werde alſo in vier Faͤllen = o. Alsdann muͤſſen die Appli⸗

caten an eben ſo viel Orten P, Q, R, und S die Curve in

einem einzigen Punkte beruͤhren. Da nun die Applicaten
durch den Raum der Axe X P imaginaͤr geweſen ſeyn wuͤr⸗

den, ſo ſind ſie durch den Raum P Q hindurch reell; hier⸗

auf werden ſie durch den Raum QkR hindurch imaginaͤr,
Uund in RS ſind ſie abermals reell, aber jenſeits S nach X
zu wieder imaginaͤr. Es beſtehet demnach die Curve aus
zwey von einander abgeſonderten Theilen, davon der eine
innerhalb der geraden Linien Kk und LI, Fig. 51, und
der andere zwiſchen den geraden Linien Mm und Nn liegt.

Und da die Applicaten in dem Anfangspunkte der Abſciſſen

reell ſind, ſo muß dieſer Punkt in einem von den beyden
Theilen der Axe P C oder Rs liegen. Es hat demnach
dieſe Curve eine Geſtalt, wie die Fiſte Figur zeigt, und
beſteht aus einem Ovale, welches von der andern Curve,

deren Aſymptote D E iſt, entfernt liegt, und das zugehöoͤs⸗

rige Oval genannt wird.

§. 2722
Wenn zwey Wurzeln einander gleich ſind, ſo fallen ent⸗
weder die Punkte P und Q, oder Q und R, oder R und S

zuſammen. Aber wenn das erſte ſtatt finden ſollte, ſo

muͤßte, da A zwiſchen P und Q liegt, jede dieſer Wurzeln
X ſeyn, und dieſes iſt, da b nicht fehlen darf, unmoͤglich.
Wenn hingegen die Punkte R und S zuſammenfallen, ſo
wird das zugehoͤrige Oval unendlich klein, und geht in einen
zugehoͤrigen Punkt uͤber. Fallen ferner Q und B zuſam⸗
men, ſo iſt das Oval mit den uͤbrigen ſo verbunden, daß
eine knotige Curve, Fig. 52, entſteht. Wenn endlich
drey Wurzeln gleich ſind, oder die Punkte Q, R und S zu⸗
“ ſam⸗

Von

ſummenk
Spite .
dieſe V.
Falle ſo
dene Men

ſuf ei
hrigen An
cungen
nicht we
eine Coe

ſo deß
doher r
eſteres e
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den Geen
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d

”

Von der Erforſchung der Geſtalt der Curven. 22 3

ſammenfallen, ſo geht der Knoten in eine ſcharfe
Spitze uͤber, wie ſolches die z3ſte Figur darſtellt. Auf
dieſe Weiſe finden bey der erſten Art fuͤnf verſchiedene
Faͤlle ſtatt, und daraus hat Newton eben ſo viel erſchie⸗
dene Arten gem acht.

§. 278.

Auf eine aͤhnliche Art ſind die Unterabtheilungen der
uͤbrigen Arten von Newton gefunden worden, indem alle Glei⸗

chungen ſo beſchaffen ſind, daß die eine von den Coordinaten

nicht mehr als zwey Dimenſionen hat. Wenn aber die
eine Coordinate nur eine einzige Dimenſion hat, ſo iſt die
Geſtalt der Curve ſehr leicht zu fſinden. Es hat nemlich die
Gleichung alsdann dieſe Form
=Dp
ſo daß P irgend eine rationale Funktion von iſt, und es mag
daher der Abſciſſe ein Werth beygelegt werden, was fuͤr

einer es ſey, ſo erhaͤlt y auch ſtets einen einzigen Werth, und

es begleitet alſo die Curve ununterbrochen die Axe auf bey⸗
den Seiten. Wenn b eine gebrochene Funktion iſt, ſo

kann es ſich ereignen, daß die Applicate an einem oder an

mehrern Orten unendlich, und alſo eine Aſymptote der
Curve wird; und zwar geſchieht dieſes alsdann, wenn der
Nenner der Funktion verſchwinder.

279.

1

Setzt man alſo py =

☚

„ſo zeigen alle reelle Wurteln

der Gleichung Q=o jene unendliche Applicaten an, denn es

giebt eine jede Wurzel dieſer Gleichung, z. B. X' = fzu erkennen,

daß die Applicate, wenn man die Abſciſſe x' =fnimmt, unend⸗
lich ſeyn werde, weil dabey Q=eo iſt. Ferner erhellet, daß die
Appli⸗

224 Zweytes Buch. Zwoͤlfte es Capitel.

Applicaten, wenn ſie poſiti geweſen ſind, da groͤßer war
als f, negativ ſeyn werden, wenn X kleiner als f wird;
und es iſt demnach die Applicate eine Aſymptote von der

A
Form u = —, und dies iſt uͤberhaupt von allen unglei⸗

chen Fattoren zu merken. Wenn aber Q zwey gleiche Fak⸗

toren (X — f)2 hat, ſo bleiben die Applicaten, wenn ſie

poſitio ſind, wenn X groͤßer als ſ iſt, ebenfalls poſitid,
wenn x kleiner wird als f, und wenn x = f wird, ſo wird

A
24 S8
die Applicate eine Aſymptote von der Art uu = Hat

endlich der Nenner Q drey gleiche Faktoren, (X — f)3, ſo

haben die Applicaten wieder, wie im erſten Falle, vor und
nach der unendlich großen entgegenſtehenden Zeichen.

J §. 280. “
Nach dieſen Gleichungen laſſen ſich diejenigen ſehr leicht
behandeln, die unter der Form

= 2

begriffen ſind, wo P, Q und R ganze Funktionen von X von
irgend einer Art anzeigen. Aus dieſen Gleichungen be⸗

kommt die Applicate fuͤr jede Abſciſſe entweder einen

doppelten oder gar keinen Werth; jenes findet ſtatt, wenn

P P groͤßer als QR, und dieſes, wenn PbP kleiner als QR

iſt: und es iſt daher in jeder Grenze, welche die reellen
Applicaten von den imaginaͤren trennt, PP = =— QR, und

2 uͤhrt die plie ie Curve
=— „,oder, es beruͤhrt dieſe Applicate die
folglichy S

in einem einzigen Punkte. Man betrachte alſo, um die

Geſtalt der Curode kennen zu lernen, die Gleichung

deren

Ne,
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5

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G

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2.

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hoͤrigen Obalen iſt.

Von der Erforſchung der Geſtalt der Curven. 225
deren reelle Wurzeln die Oerter geben werden, wo die Ap⸗
plicaten die Curde in einem einzigen Punkte beruͤhren.
Man bemerke dieſe Punkte in der Axe, ſo werden, wenn
alle Wurzeln einander ungleich ſind, die Theile der Axe
zwiſchen ihnen wechſelsweiſe zwey reelle und imaginaͤre Ap⸗
plicaten haben, und folglich die Curve aus ſo viel von ein⸗

.⸗ ander abgeſonderten Theilen beſtehen, als es dergleichen

Abwechſelungen giebt, welches denn eine Quelle von zuge⸗

§. 281.
Wenn die Gleichung PP—– QR= 0 zwey gleiche Wur⸗

zeln hat, ſo fallen von jenen in der Axe bemerkten Punkten

zwey zuſammen, und es verſchwindet dadurch ein Theil der
Axe, entweder ein ſolcher, der imaginaͤre, oder ein ſolcher,

der reelle Applicaten hat. Im erſten Falle entſteht eine

knotige Linie, wie Fig. 52, im andern ſchwindet ein zuge⸗
hoͤriges Oval in einen Punkt zuſammen. Hat die Gleichung
PP — CR = 0 drey gleiche Wurzeln, ſo wird der Knoten un⸗
endlich klein, und geht in eine Spitze uͤber, wie Fig. 53
und hat ſie vier gleiche Wurzeln, ſo ſchwinden entweder
zwey zugehoͤrige Ovaͤle i in einen Punkt zuſammen, oder es

giebt in der Spitze einen Knoten, oder zwey an dem Schei⸗
tel entgegengeſetzte Spitzen. Sind fuͤnf Wurzeln einander
gleich, ſo etgeben ſich daher eigentlich keine neue Arten;
denn es entſteht eine Spitze, in welcher nicht, wie vorhin,
ein, ſondern zwey Ovale in einen Punkt zuſammenſchwin⸗
den: und auf aͤhnliche Art bringt aͤuch die Gleichheit einer
noch groͤßern Anzahl der Wurzeln keine neue Verſchieden⸗
heiten i in der Geſtalt der Curven hervor. S

§. 282.
Der Knoten, oder der Durchſchnittspunt zweyer Schen⸗

kel einer Curve wird auch doppelter Punkt genannt, weil

Eulers Einl. in d. Angl. d. llnendl II. BS. P dis

226 Zweytes Buch. Zwoͤlftes Capitel.

die gerade Linie, welche die Curve in dieſem Punkte ſchnei⸗
det, angeſehen werden muß, als ſchnitte ſie dieſelbe in zwey
Punkten. Wenn durch den Knoten noch ein anderer Schenkel

der Curve gienge, ſo wuͤrde dadurch ein dreyfacher Punkt,

ſo wie, wenn zwey doppelte Punkte zuſammenfielen, ein vier⸗
facher Punkt entſtehen, woraus ſich denn die Entſtehungs⸗
art und die Natur der vielfachen Punkte uͤberhaupt, erkennen
laͤßt. Es iſt demnach auch jedes verſchwindende Oval oder

jeder zugehoͤrige Punkt ein doppelter Punkt, und eben ſo

jede Spitze, welche durch einen zugehoͤrigen Punkt, der mit
der uͤbrigen Curve verbunden iſt, hervorgebracht wird.

Wenn die Gleichung, worin die Applicate y durch die

Abſciſſe x ausgedruckt wird, eubiſch iſt, oder zu einem noch

hoͤhern Grade gehoͤrt, ſo daß „ einer vielfoͤrmigen Funk⸗

tion von gleich iſt: ſo kommen jeder Abſciſſe entweder ſo viel

Werthe zu, als y in der Gleichung Dimenſionen hat, oder
es iſt die Anzahl dieſer Werthe um zwey, oder um vier,
oder um ſechs, ꝛc. kleiner. Es werden alſo allemal zwey
Applicaten zugleich imaginaͤr, und dabey, ehe ſie dies wer⸗
den, einander gleich. Dieſer Uebergang von den imagi⸗

naͤren Applicaten zu den reellen erzeugt mancherley Verſchie⸗

denheiten, die aber mit den bisher erklaͤrten theils uͤberein⸗

ſtimmen theils aus ihnen zuſammengeſetzt ſind. Wenn

man aber fuͤr eine betraͤchtliche Anzahl von Abſeiſſen, und

zwar ſowohl poſitiven als negativen, alle Werthe der Ap⸗

plitate ſucht, ſo kann man durch die auf dieſe Art gefun⸗
denen Punkte eine Curve legen, und ſo die Geſtalt der
Curve finden.

Wir wollen dieſes durch ein Beyſpiel erlaͤutern, wel⸗

ches zwar eine Gleichung von einem hoͤhern Grade zum

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Ver

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Gcnt N

Von der Erforſchung der Geſtalt der Curven. 227

Grunde hat, wo aber die Applicate y bloß durch Quadrat⸗
wurzeln ausgedruckt werden kann.

Es ſey nemlich
2y = — V (6x — xx) — V (x † XxX) V (36 — Xx);
eine Gleichung, aus der jede zu einer Abſciſſe gehoͤrige
Applicate einen achtfachen Werth bekommt. Es faͤllt aber
in die Augen, daß die Applicate, wenn man x negativ
nimmt, imaginaͤr wird; und eben das findet ſtatt, wenn
groͤßer angenommen wird als 6; ſo daß alſo die ganze
Curve zwiſchen den Grenzen X = o und X = 6 enthalten
ſeyn muß. Man ſetze alſo fuͤr X nach und nach die Werthe
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ſo iſt,
wenn

V (6x — XX)
V (65 † xxX)

—0

X = I

2,235
2,645

X —☛☚0 2

2,828
4,000
5,656

3,000
5/196

= 4
2,828
6,324

X = §

2,235

7,416

5,196

4,470

3,316

= 6
0,00
8,484

O0000

Summe ſ6,000 10,796 r2,484 13,392 13.622 12,967] 8,484

folglich y wenn

4 † †
— †
k — †

3,000
3,000
3,000

E —

5/398
3,163
2,753

3,000 ʃ

„0,518

6,242
3,414
27242
0,586

3,696
1,500
1,500

6,811
3,983
0,487
2,341

6,483

0,933

3,167]4

Die vier uͤbrigen Verwechſelungen der Zeichen unterſchei⸗
den ſich von den angefuͤhrten bloß in Anſehung der Zeichen.
Es kommt demnach jeder Abſceiſſe eine achtfache Applicate
zu, und wenn man dieſelben geometriſch conſtruirt, ſo er⸗
giebt ſich eine Curve, die aus folgenden beyden, AFBEcagbeoDA
und afbECAGB CDa, beſteht, zwey Spitzen in A und a,
und vier doppelte Punkte oder vier Schenkel⸗Durchſchnitts⸗
punkte in D, k, C und e hat.

P 2 Drey⸗

ſeiſen
ſuche
Veeth
(8 dern
wodan
Dreyzehntes Capitel. eae
Von den Eigenſchaften der Curven. M
So wie wir oben lim ſiebenten und achten Capitel) die s
Natur der ohne Ende fortlaufenden Schenkel auf die Art zu ene
beſchreiben geſucht haben, daß wir eine gerade Linie oder eine nai
Curve angaben, die mit jener Curve im Unendlichen zuſam⸗
menfiel: eben ſo wollen wir nun im gegenwaͤrtigen Capitel e⸗
jeden Theil der Curven im endlichen Raume betrachten,
und die gerade Linie oder die Curve kennen zu lernen ſuchen,
die mit einem ſolchen Theile, wenigſtens einen unendlich e
kleinen Raum hindurch, zuſammenfaͤllt. Zuvoͤrderſt iſt hier⸗ dy
bey klar, daß jede gerade Linie, welche eine Curve beruͤhrt, Glieder
da, wo ſie dieſes thut, mit der Curve einerley Rich⸗ und es
tung, und folglich auch zum wenigſten zwey Punkte ge⸗ fen t
mein habe. Allein es laſſen ſich auch andere Curven finden, Gung
die mit einem gegebenen Theile einer Curve noch mehr 9.
uͤbereinkommen, und ſich gleichſam daran hinkruͤmmen
oder anſchmiegen. Kennt man aber die gedaͤchte gerade Linie wrin A
oder dieſe Curve, ſo iſt dadurch auch die andere Curve an d
jedem Orte i in derſelben, und ihre Veſchaffenheik bekannt. 8 Nud
9. 286. kurve
Iſt daͤher eine Gleichung fuͤr irgend eine Curve zwiſchen End
den Loordinaten und y gegeben, ſo extheils man der Ab⸗ Ntra
ſeiffe

4.

Npith
die r,
ieen
Gen een
gen pnn
nncgen
in icen
medih
iſtiſ hee
belht;
an Wich
untn g⸗
lin fnlen
loch neh⸗
krünne
atulni
Cute at
annt

——
—

betrachtet,

—

Von den Eigenſchaften der Curven. 229

ſeiſſe X, Fig. 55, einen beliebigen beſtimmten Werth, AP = p,
ſuche die Werthe, welche der Applicate „ fuͤr dieſen
Werth der Abſeiſſe zukommen, und nehme davon, wenn
es deren mehrere giebt, einen, ?P M = q, nach Willkuͤhr an,
wo denn M ein Punkt wird, durch welchen die Curve geht.
Iſt dieſes geſchehen, ſo werden ſich die Glieder der gegebe⸗
nen Gleichung, wenn man darin p fuͤr X, und q fuͤr y ſetzt,
einander aufheben. Um nun die Natur des Theils der
Curve, welcher durch den Punkt M geht, zu erforſchen, ziehe
man aus M die gerade Linie Mqg der Axe Ab parallel,
nehme dieſe Linie zur Axe an, und ſetze die neue Abſciſſe
Mq = t, und die Applicate qm = u. Da der Punkt m
ebenfalls in der Curve befindlich iſt, ſo muß ſich, wenn man
m q bis nach der vorigen Axe in p verlaͤngert, und Ap =
Pp † t fuͤr x, und pm = q † u fuͤr y ſubſtituirt, eine Glei⸗
chung ergeben, die der vorhin gedachten identiſch iſ

Bringt man aber dieſe Subſtitutionen in die zwiſchen „
und y gegebene Gleichung, ſo heben ſich darin alle die
Glieder, worin weder t noch u vorkommt . einander auf,
und es bleiben bloß diejenigen uͤbrig, welche die Coordina⸗
ten t und u enthalten. Auf dieſe Art entſteht eine Glei⸗
chung von folgender Form;
9 = At † BuT† Cte † Dtu† EuuFt– † tan †.
Htuu †† ꝛc,
worin A, B, C, D, 2ꝛc. heſtaͤndige Groͤßen bedeuten, welche
aus den beſtaͤndigen Groͤßen der erſten Gleichung, und aus
P und 9, die hier ebenfalls beſtaͤndige Groͤßen ſind, beſtehen.
Es wird alſo durch dieſe neue Gleichung die Natur jener
Curve ebenfalls ausgedruckt, wenn man M q als die Are,
und den Punkt M als den Anfangspunkt der Akſtiſen

2 :8

230 Zweytes Buch. Dreyzehntes Capitel.

§. 288. “
Hier flt nun zuvoͤrderſt in die Augen, daß, wenn man
Mq = t =o ſetzt, auch Im = u = o ſeyn werde, weil gente
dann der Pankt m in M faͤllt. Da wir ferner nur einen un⸗ en

endlich kleinen Theil der Curve um M unterſuchen wollen,
ſo iſt es zu dieſer Abſicht hinlaͤnglich, wenn wir fuͤr t eben⸗

falls nur unendlich kleine Werthe ſetzen, und in dieſem Un
Falle hat auch qm = u nur dergleichen kleine Werthe, in⸗ nden
dem wir den Bogen Mm gleichſam als einen verſchwinden⸗ Eder!
den Bogen betrachten. Wenn man aber fuͤr t und u un⸗
endlich kleine Werthe ſetzt, ſo werden tt, tu und au noch h
viel unbedeutender, und noch mehr ſchwinden t3, tau, Sbſi⸗
zuu, u3, u. ſ. f. und es bleibt daher, da alle Glieder, m
worin dieſe Groͤßen vorkommen, bey den uͤbrigen, die ge⸗ w
gen ſie gleichſam unendlich groß ſind, nicht in Betrachtung
gezogen zu werden brauchen, bloß die Gleichung . Nen
o = At † Bu un⸗
uͤbrig, welches eine Gleichung fuͤr die gerade Linie Mz iſt,
die durch den Punkt M geht und anzeigt, daß dieſe gerade rin
Linie mit der Curve zuſammenfalle, wenn ſich der Punkkt
m dem Punkte M ſo ſehr als moͤglich naͤhert.
Es iſt alſo dieſe gerade Linie M die Tangente der gleted
Curve fuͤr den Ort M, und es kann daher hiernach die Sce
Tangente fuͤr einen jeden Punkt der Curve M gefunden N
werden. Da nemlich aus der Gleichung At † Bu = e ihi
18 2 — A q
M Fen
wird, ſo hat man
qE: Mq = MP: PT = — A : P Und
und da P M = à iſt, ‚ ſo wird die 6

venn nn
ende, wel
einen un,⸗
n wlen,
irt Gen
in dicſen
ache in⸗
tchanden
Uud uW
dan ſoc
14, ,
Gide,
n, Wege
Crachtung

.

ſeei

ente N
ne N
min

29

Von den Eigenſchaften der Curven. 231

PT . — 3 4
A
Nun pflegt man den Theil der Axe PT die Subtan⸗
gente zu nennen, und es fließt a alſo aus dem Bisherigen

folgende
Kegel

fuͤr die Erfindung der Subtangente:
Man ſetze in der fuͤr die Curve gegebenen Gleichung,
nachdem man gefunden hat, daß die Applicagte = 4 zu
zu der Abſciſſe = p gehoͤre, S’JM
X= p F t, und „= q † u
und behalte von den Gliedern, welche man durch dieſe
Subſtitution erhaͤlt, bloß diejenigen, worin t und u nicht
mehr als eine Dimenſion haben, alle uͤbrige aber laſſe man
weg. Auf dieſe Art gelangt man zu einer Gleichung
At † Bu = o
die aus nicht mehr als zwey Gliedern beſteht, und woraus,
wenn A und B befannt ſind, die Subtangente

B
PT = — —
A

wird.
Erſtes Exempel.
Es ſey eine Parabel gegeben, deren Natur durch die
Gleichung

yy = 2 aX
ausgedruckt wird, wenn Ab die Hauptaxe und A der
Scheitel iſt.
Man ſetze AP = p, ſo wird, wenn man P M = ꝗ
ſeyn laͤßt,

Ferner ſetze man = p † t, und y = q ſ u, ſo wird

qq † 2qu † un = 2 ap † 2a
und behaͤlt man hiervon nach der gegebenen Regel bloß
die Glieder
P 4 2 Au

„

232 Zwehtes Buch. Dreyzehntes Caitel.

24 =— 2 at
ſo wird
— A

— — —

4
at qu = o; und : =— —
t. gq B.

Es iſt demnach die Subtangente
5 =2 — 2 3

1

weil 49 = 2 a p p iſt, und folglich die Subtangente doppelt
ſo groß als die Abſeiſſe A P.
.
zweytes Exempel.
Eg ſey eine aus dem Mittelpunkte A beſchriebene
Ellipſe gegeben⸗ und ihre Gleichung

bb
yy = — (a2 — X) oder a àayy † bbyx = aa bb

Setzt n man AP = = p, und P M = 9, ſo wird
a aqq 1† bbpp = aab b.
Nun ſey « = p ft, und y=q † u ſo wird weil man
bloß die Glieder zu nehmen hat, worin t und u nicht mehr
als eine Dimenſion haben, und die uͤbrigen ſogleich weg⸗
gelaſſen werden koͤnnen,
2 2a qu 2b bot = = 0

und folglich
= e
e⸗ iſt demnach die Suhtangente .
eT = g aadd he
A 2 Dpbp — 5

und da dieſer Ausdruck negativ iſt, ſo zeigt er an, daß der
Punkt T auf die entgegenſtehende Seite falle. Uebrigens

ſtimmt deeſelbe mit der obigen Beſtimmung der Tangenten
der Ellipſe lim ſcchsten Capiten auf das genaueſte uͤberein.

5

Es

—w*

gung/

G

n ſe

Eit

dwe

en ſt
ſiu
hoſh

JI —

e pe

eſchrieben⸗

11d

nii aef
ſch nehe
cng

Grin

ngenn

7*

Von den Eigenſchaften der Curyen. 233

Drittes Exempel.

Es ſey eine Ainie der ſiebenten Art der dritten Grd⸗
nung, deren Gleichung
yyVX = à X † bæ 1 c

it, gegeben.

Setzt man ALb = Ppe und PM = q, ſo wird
Pq = app † bp † c.

Nun ſey « = † t, und „= q † u, ſo wird

( † ) G * 2qu † uu) = a (pp ?% 2pt † tt) b(p†t) e
und wenn man alle uͤberfluͤſſige Glieder weglaͤßt,
2 bpqu †† qt = 2 a pt † bt.
Hieraus fließt

1¹ = 2ab 1 — 4g = —
ðòè
und es iſ ennach die Subtangente
bT = — q = — 2 q iiz,
A ¹ 2 ap † b -— q 2 àa p † b – 49
2 P3 2 bpp 1 2cP
EE
oder
er= AhpA.
apP-—c
2 290,

Hat man auf dieſe Art die Kangente der Curtze gefun⸗

den, ſo kennt man auch die Richtung, welche die Cuxpe in

dem Punkte M hat; denn es kann die Curye ſehr fuͤglich
als ein Weg betrachtet werden, den ein bewegter Punkt
beſchreibt, deſſen Richtung jeden Augenblick ſich andert. Es
wird demnach der Punkt, welcher durch ſeine Bewegung
die Curve Mm beſchreibt, in M nach der Richtung der Tan⸗
gente Me bewegt, und wuͤrde, wenn er dieſe Richung be⸗

P 5 hialts 1e,

234 Zweytes Buch. Drepyzehntes Capitel.

hielte, die gerade Linie M/ beſchreiben; aber ſobald er M.
verlaͤßt, aͤndert er ſeine Richtung, wenn anders die dinie
die er beſchreibt, eine krumme Linie iſt: und wenn man
alſo den Gang der krummen Linie kennen lernen will, ſo
muß man fuͤr alle einzelne Punkte derſelben die Lage der
Tangente beſtimmen. Dies geſchieht nun nach der erklaͤr⸗
ten Methode ſehr leicht und ohne alle Schwierigkeiten,
wenn die Gleichung fuͤr die Curve eine rationale Gleichung

iſt, die keine Bruͤche enthaͤlt; und auf dieſe Form kann

man bekannter Maaßen jede Gleichung bringen. Wenn
aber die Gleichung irrational iſt, oder Bruͤche enthaͤlt, und
man ſich der Reduection derſelben auf die Form der ratio⸗
nalen und ganzen Gleichungen nicht unterziehen will, ſo
fann man zwar eben dieſe Methode anwenden, aber doch

mit einer gewiſſen Veraͤnderung, die eben der Grund der

Erfindung der Differential⸗ Rechnung geweſen iſt. Aus

dieſer Urſach wollen wir auch die Methode, die Tangenten

zu finden, wenn die fuͤr die Curve gegebene Gleichung keine
rationale und ganze Gleichung iſt, der Diferen ial⸗ Rech⸗
nung gufbewahren.

Hieraus laͤßt ſich alſo die Neigung der Tangente M/
gegen die Axe AP oder gegen ihre Parallele M q beſtimmen.

Denn da
iſt, wenn die Coordinaten bechtwinklig, und alſo der Win⸗
ſet M /6 ein rechter Winkel iſt/ ſo iſt
— A
S tang. AMA;
wenn aber die Coordinaten ſchiefwinklig ſind, ſo findet man

den Winkel q4 aus dem gegebenen Winkel Mq und
. dem

den Vu
ten der
der Vi
der d
Cene l⸗
wied!
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indend

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ſukte
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M
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7

Ma:

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8

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er ne
10

Von den Eigenſchaften der Curven. 235

dem Verhaͤltniſſe der Seiten M q, qy nach den Vorſchrif⸗
ten der Trigonometrie. Es faͤllt aber in die Augen, daß
der Winkel q M, wenn in der Gleichung At † Bu = o

der Coefficient A = o iſt, verſchwinde, und alſo die Tan⸗

gente M der Axe AP parallel werde. Iſt hingegen B= a,
ſo wird die Tangente M den Applicaten PM parallel,
oder es beruͤhrt alsdann die Mplieate PM ſelbſt die Curve
in dem n Punkte M.

§. 292. .
Iſt die Tangente M T gefunden worden, ſo iſt, wenn
man auf dieſelbe die Linie M N in dem Beruͤhrungspunkte
ſenkrecht zieht, dieſe Mormale M N auf der Curve ſelbſt
ſenkrecht, und ihre Lage in jedem Falle leicht zu finden.

Am bequemſten aber laͤßt ſich dieſelbe angeben, wenn die

Coordinaten rechtwinklig ſind; denn alsdann ſind die Drey⸗
ecke Mq; und MPN einander aͤhnlich, und alſo
Mq: q½ = MP: PN, oder — B A= 4: PN

woher denn
N = – –—
1 B

wird. Da man nun dieſen Theil der Axe PN, der zwiſchen
der Applicate P M und der Normale MN liegt, die Sub⸗
normale nennt: ſo laͤßt ſich die Subnormale bey recht⸗
winkligen Coordinaten aus der gefundenen Tangente P T
ſehr leicht beſtimmen, indem
PM

PT: PM=PM: PN; oder PN = †

iſt. Ueberdem iſt aber, wenn APM = KR, die Tangente
MT = V (P T2 †- PMa)
urnnd die Normale
MN = V (P M ² † PNEZ)
eder

SSHHõH

236 Zweytes Buch. Drepyzehntes Capitel.
oder, da PI: TM = PM: MN iſt den
N = e 51 C(PTa T PM⸗) ”̃”Jͦ”ƷñMRBNä
Da wir 15. 291] geſehen haben, daß die Tangente, nie it
wenn in der Gleichung At †¼ Bu = o, entweder A = o, gineie
oder B = o iſt, entweder der Axe oder den Applicaten po⸗ lißt ſch
“” rallel laͤuft;: ſo iſt noch der Fall zu betrachten, wenn beyde derge
Coeffitienten, oder ſowohl A als B = o werden. Wenn R
ſi ſch alſo dieſer Umſtand ereignet, ſo verſchwinden in der
K.: 286 gefundenen Gl eichung die Glieder, worin t und u
zwey Dimenſionen haben, nicht mehr gegen At † B uu, Ve
weil jedes davon ſelbſt = o wird, und duͤrfen daher auch c
nicht mehr weggelaſſen werden. Man hat folglich in die⸗
ſem Falle die Gleichung MU fieg
0 = tt † Dtu *† F uu ron ſed
zu betrachten, weil man die uͤbrigen Glieder, die gegen die ſeer be
angefuͤhrten, wenn t und u unendlich klein angenommen Mun
werden, verſchwinden, aus der Acht laſſen kann; und aus ſch w⸗
dieſer Gleichung erhellet, eben ſo wie aus der allgemeinen nd d
(§. 287. 288] daß fuͤr t = o auch u = o, und alſo der nemlicͤ
Punkt M ein Punkt in der Curve ſeyn werde, ſo wie ſol⸗ ðR 1 die⸗
ches auch das Ungenommene erfordert. “ den kini
M gtle
Da alſo die Gehngn Sð ßUVMUDƷ Warde
= Stt † Dtu Bun Pucke
die Beſchaffenheit der Curve nahe bey dem Punkte M aus⸗ nnd
druckt, ſo iſt klar, daß dieſelbe imaginaͤr wird, wenn D D mmal d
groͤßer als 40CE iſt, und t und unicht = o ſind. In dieſem Falle Gleich
gehoͤrt alſo zwar der Punkt M zu der Curpe, iſt aber von e
dem

Mente,
AS
Gten n⸗
n beyde
Wn
an de
td
t be,
ge auch
din e⸗

ger te
nommen
Nd ous
mmeinen
G Ne
nie ie

Noud
un D
nu
M

Von den Eigenſchaften der E rven. 237

dem uͤbrigen Theile derſel lben getrennt, und folglich ein zu⸗

gehoͤriges Oval, welches in einen Punkt ämmeſcmn
det, ſo wie wir im vorhergehenden Capitel [§. 2 , 277]
gehabt haben. Hier laͤßt ſich alſo gar keine arehte den⸗
ken, weil ein Punkt von der Tangente, die eine geraͤde

Linie iſt, die mit der Curve zwey einander naͤchſte Punkte

gemein hat, nicht beruͤhrt werden kann. Auf dieſe Art
laͤßt ſich daher der zugehoͤrige Punkt einer Curve, wenn ſie
dergleichen hat, erkennen, und von den u uͤbrigen Punkten
der Curve unterſcheiden⸗ HD

Wenn aber bp groͤßer iſt als 40 E, ſo laͤßt ſich die
Gleichung
5 = Ctt † Dtu † Euu
in zwey Gleichungen von der Form t † gu = 3 aufloͤſen,

davon jede die Natur der Curve ausdruckt. Da alſo jede

dieſer beyden Gleichungen die Lage der Tangente oder die
Richtung der Curve in dem Punkte M beſtimmt, ſo muͤſſen
ſich zwey Schenkel der Curve in dem Punkte M. ſchneiden,
und daſelbſt einen doppelten Punkt erzeugen. Setzt man
nemlich, Fig. 56, M q = t, und laͤßt man dabey q und
' die beyden Werthe von ſeyn, ſo ſind die beyden gera⸗
den Linien M und M- Tangenten der Curve in dem
Punkte M, und es giebt alſo in M ein Durchſchnittspunkt
zweyer Schenkel der Curde, davon der eine nach M und
der andere nach M= gerichtet iſt. Da nun der zugehoͤrige
Punkt ebenfalls als ein doppelter Punkt angeſehen werden
muß, ſo zeigt die Gleichung Ctt † Dtu † Enu = o alle⸗
mal das Daſeyn eines doppelten Punktes an, ſo wie die
alcund At † Bu = 6, wenn ſie ſtatt findet, allemal
hloß einen einfachen Punkt der Curve zu erkennen elr

238 Zweytes Buch. Dreyzehntes Capitel.
. 296.

₰

Wenn endlich DD =4CE iſt, ſo fallen die beyden Tan⸗
genten M und M= zuſammen, und der Winkel „½ M; ver⸗
ſchwindet. Hieraus erhellet, nicht nur, daß zwey Schenkel der
Curve in dem Punkte M. zuſammenkommen, ſondern auch, daß
ſie eine und dieſelbe Richtung haben, und ſich alſo einander
veruͤhren; und es iſt daher in dieſem Falle der Punkt M.
ebenfalls ein doppelter Punkt, weil die gerade Linie, die
durch dieſen Punkt gezogen wird, als eine Linie angeſehen
werden muß, welche die Curve in zwey Punkten ſchneidet.

Wenn alſo in der Gleichung, die wir §. 286 gefunden ha⸗

ben, die beyden Coefficienten A und B verſchwinden, ſo
iſt dies ein Kennzeichen, daß die Curve in M einen doppel⸗
ten Punkt hat. Ferner iſt dieſer doppelte Punkt von drey⸗
facher Art; entweder ein in einen Punkt zuſammenſchwin⸗

dendes Oval oder zugehoͤriger Punkt; oder ein Durch⸗

ſchnittspunkt zweyer Schenkel der Curve, mit andern Wor⸗

ten, ein Knoten; oder ein Beruͤhrungspunkt zweyer Schen⸗

pel der krummen Linie: und dieſe drey Arten des doppelten
Punkts fließen aus der dreyfachen Beſchaffenheit, welche
die Gleichung o = Ctt † Dtu † Euu haben kann.

§. 297.
Wenn außer den Coefficienten A und B, auch folgende
drey, C, D und FE insgeſammt verſchwinden, ſo muß man

die naͤchſten Glieder nehmen, worin t und u drey Dimen⸗

ſionen haben, und dann iſt
FEFEtz † Gttu † Htuu † Ius = O
Hat dieſe Gleichung nicht mehr als einen reellen Faktor, ſo
zeigt derſelbe an, daß nur ein Schenkel der Curve durch
den Punkt M gehe, und giebt zugleich die Richtung deſſel⸗

ben oder die Tangente zu erkennen; die deyden imaginaͤ⸗
ren

ten Fe
Punlte
gente,
in den
herlhrer,
ſd. E
ele, ſ⸗
erfcche
gen wit
weche

B
folgend
man
folhenn
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darin do⸗
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Verdhe
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bunden
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ſ de

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Nade⸗
Arf n
auch d
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tund

ehdarden
A
chenkeld
miwch, de⸗
ſſ innder
er PutxX
linie, de
angeehen
un
gchndent

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nen keppe⸗
kwWy
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ein Dutt;
adeen e⸗
deher in
lpelen
t, date
.

6 hende
nuß nan
1 Dinen

tr, 4
we dutß
n iſt

rpni⸗
in

HW

Von den Eigenſchaften der Curven. 239

ren Faktoren aber ſind ein Kennzeichen eines in dem
Punkte M verſchwindenden Ovals. Sind alle drey Tan⸗
gente jener Gl eichung reell, ſo ſi eht man daraus, daß ſich
in dem Punkte M drey Schenkel entweder ſchneiden oder
beruͤhren, je nachdem die Wurzeln ungleich oder gleich
ſind. Es mag aber ein Fall ſtatt finden, was fuͤr einer
wolle, ſo hat die Curve in dem Punkte M allemal einen
dreyfachen Punkt, und die gerade Linie, die durch M gezo⸗
gen wird, muß als eine gerade Linie betrachtet werden,
welche die Curve in drey Punkten ſchneidet.

§. 298.
Wenn außer allen vorhergehenden Coefficienten auch
folgende viere, F, G, H und I verſchwinden: ſo muß
man um die Natur der Curve kennen zu lernen, die weiter
folgenden Glieder betrachten, worin t und u vier Dimen⸗
ſionen haben, und welche den Punkt M als einen einfachen
Punkt darſtellen werden. Denn alsdann fallen entweder
darin zwey zugehoͤrige Ovale zuſammen, wenn nemlich alle
vier Wurzeln dieſer Gleichung des vierten Grades imaginaͤr
ſind; oder es iſt M entweder der Durchſchnitts⸗ oder der
Beruͤhrungspunkt zweyer Schenkel der Curve, und zugleich
ein zugehoͤriger Punkt, wenn zwey Wurzeln reell und die
beyden uͤbrigen imaginaͤr ſind; oder ein Durchſchnittspunkt
von vier Schenkeln der Curve, wenn alle vier Wurzeln reell

ſind. Der Durchſchnittspunkt zweyer oder dreyer, oder aller

vier Schenkel aber wird ein Beruͤhrungspunkt, wenn zwey

oder drey oder alle vier Wurzeln einander gleich werden.

Arf eine aͤhnliche Art faͤhrt man fort zu ſchließen, wenn
auch die Glieder, worin t und u vier Dimenſionen haben,
verſchwinden, und man alſo diejenigen nehmen muß, worin
t und u fuͤnf oder noch mehr Dimenſionen haben.

r”õũ

240 Zweytes Buch. Dreyzehntes Capitel.

Rach dieſen Betrachtungen iſt es leicht, eine allgemeine

Gleichung fuͤr alle Curven zu finden, welche nicht nur durch

den Punkt M gehen, ſondern auch daſelbſt einen einfachen,

oder doppelten, oder dreyfachen, oder uͤberhaupt ſo viel⸗

fachen Punkt haben, als man will. Denn ſetzt man AP = p,
und P M = q, Uund laͤßt man P, Q, R, 8 zc. Funktionen
zwiſchen den Coordinaten X und y bedeuten; ſo iſt offenbar,
daß die Gleichung

P (x – p) † Q (y — 4) = 0
die Curve ausdrucke, die durch den Punkt M geht. Denn
ſetzt man æ = AP = p, ſo wird y = P M = q, wofern
nur weder P durch y — 4, noch Q durch X* — p theilbar
iſt, oder die Faktoren XK — p und y — q, von welchen der

Durchgang der Curve durch M abhaͤngt, nicht durch die

M ein vielfacher Punkt iſt.

Didiſion aus der Gleichung weggeſchafft werden koͤnnen.

Auch iſt bekannt, daß die Gleichung P (« — p) † Q („— q)
= 6 aälle Curven enthaͤlte, die durch den Punkt M gehen,

und es wird dieſer Punkt ein einfacher Punkt ſeyn, wenn

die Gleichung keine von den Formen hat, welche wir ſo⸗
gleich beſchreiben werden, und welche ihr zukommen, wenn

5. 300.
Soll i ein doppelter Punkt ſeyn, ſ muß die Gleichüng

fuͤr die Curve unter dieſe allgemeine Form gehoͤren:

P(x — P)2 1 G& p) ((— 4) † R G— 4)² = 0
und dieſe Form nicht durch die Diviſion zerſtoͤrt werden

foͤnnen. Hieraus erhellet, daß die Linien der zweyten Ord⸗

nung keinen doppelten Punkt haben koͤnnen, weil die ange⸗

fuͤhrte Gleichung nur dann zum zweyten Grade gehoͤren
kann,

Mahr als

kann,
alsdann
zu ſeyn,
Sind n
ten Oednn

driten O
den beſte
daß es
gerade
Annie di
Natur
liche Ar
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Nicht ne

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nmen binn

oren.
12 0
ict werli
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Mi ine⸗
teit
Ng

Von den Eigenſchaften der Curven. 241.

kann, wenn P, Q und Kk beſtaͤndige Groͤßen ſind; aber

alsdann hoͤrt dieſelbe auf, eine Gleichung fuͤr eine Curve
zu ſeyn, und wird eine Gleichung fuͤr zwey gerade Linien.

Sind hingegen P, Q und R Funktionen vom erſten Grade,
z. B. « X † 8 y † 7; ſo druckt die Gleichung Linien der drit⸗
ten Ordnung aus, die in M einen doppelten Punkt haben.
Mehr als einen doppelten Punkt aber koͤnnen die Linien der
dritten Ordnung, oder ſie muͤſſen complexe aus drey gera⸗
den beſtehende Linien ſeyn, nicht bekommen. Denn geſetzt,
daß es zwey doppelte Punkte gebe, und daß dadurch eine
gerade Linie gezogen worden ſey, ſo muͤßte dieſe gerade
Linie die Curve in vier Punkten ſchneiden, und dies iſt der
Natur der Linien der dritten Ordnung zuwider. Auf aͤhn⸗
liche Art koͤnnen die Linien der vierten Ordnung nicht mehr

als zwey doppelte Punkte, die Linien der fuͤnften Ordnung

nicht mehr als drey⸗ doppelte Punkte haben u. ſ. f.

§. 301.
Iſt M ein dreyfacher Punkt der Curve, ſo wird die
Natur der krummen Linie durch dieſe Gleichung ausgedruckt:
P ( — p) 3 † Q(Xx — p) 2(y — q) † R ( — p) (y— q)2 †
8⁸ (y — 94)3 = 00%ℳ
Soll nun aber dieſe Gleichung eine Gleichung fuͤr eine
Curve ſeyn, ſo muß ſie zu einer hoͤhern als zu der dritten
Ordnung gehoͤren, weil ſie, wenn P, Q, R und 8 beſtaͤn⸗
dige Groͤßen waͤren, welches die Natur der Linien der
dritten Ordnung nothwendig macht, drey Faktoren von
der Form (X — p) † 3(y — q) haben, und ſolglich eine
Gleichung fuͤr drey gerade Linien ſeyn wuͤrde. Es koͤnnen
alſo die Curven, die zu einer niedrigern als zu der vierten

Ordnung gehoͤren, keinen dre yfachen Punkt haben, und

den Linien der fuͤnften Ordnung kann nicht mehr als ein
Eulers Einl. in d. Angal. d. Unendl. II. HD, &e ein⸗

242 Zweytes Buch. Dreyzehntes Cinttl, ꝛc.

einzi ge er dreyfacher Punkt zukommen, weil es ſonſt eine

gerade Linie geben muͤßte, welche die Linien der fuͤnften

Ordnung in ſechs Punkten ſchnitte. Dagegen iſt kein Grund

vorhanden, warum die Linien der ſechſten Ordnung nicht
zwey dreyfache Punkte bekommen koͤnnten.

F. 302.
Wenn die Gleichung folgende Form hat:
P G— p) 4 † (X— p) (y — 1) — 4)² †
8 (X — p) 7 — 4) †* T G — 4)4 =
ſo hat die Curve in M einen vierfachen Punkt. Die einfachſte
Curve, die einen vierfachen Punkt hat, iſt alſo die Linie der
fuͤnften Ordnung. Zwey vierfache Punkte hingegen kom⸗
men nur den Linien der achten und den folgenden hoͤhern
Ordnungen zu. Auf eine aͤhnliche Art laſſen ſich allgemeine

Gleichungen fuͤr die Linien geben, die in M einen fuͤnf⸗

fachen oder uͤberhaupt jeden vielfachen Punkt haben ſollen.

Wenn aber M ein doppelter, oder dreyfacher, oder uͤber⸗
haupt ein vielfacher Punkt iſt, ſo ſchneiden oder beruͤhren
ſich eben ſo viel Schenkel der Curve in dem Punkte M,
oder es fallen, wenn die Anzahl der ſich ſchneidenden

Schenkel kleiner iſt, ein oder mehrere zugehoͤrige Punkte

in M zuſammen; und was davon ſtatt finde, laͤßt ſich aus

dem vorher Angefuͤhrten erkennen. Man darf nemlich nur
in den Funktionen P, Q, R, 8S, ꝛc. allenthalben p und ꝗq

fuͤr und y, und t und u fuͤr x — p und y — q ſetzen, ſo
erhaͤlt man ſolche Gleichungen, woraus ſich die Beſchaffen⸗
heit der Curve und die Tangenten der Scheukel, die ſich
in M ſchneiden, deſtimmett laſſen.

Vier⸗

den di
den P
Ertora
n ſeten
iſtin
linen
Wachten
ſegen,
Ratue
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ley der

gercde bi

IId dann

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hon /ſln,

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ie Punt
t ſch au
enlich
ſen ſ
ſhafen⸗
de ſe

Die⸗

*
S5õ

Vierzehntes Capitel.
Von der Kruͤmmung der Curven.

5. 304.

Wir haben in dem vorhergehenden Capitel die gera⸗
den Linien aufgeſucht, die die Richtung der Curven fuͤr je⸗
den Punkt derſelben anzeigen: jetzt wollen wir uns mit der
Erforſchung einfacherer krummen Linien be ſchaͤftigen, welche
an jedem Orte mit einer gegebenen Curve ſo genau uͤber⸗
einſtimmen, daß man dieſelben, wenigſtens einen unendlich
kleinen Raum hindurch, als mit ihr zuſammenfallend be⸗
trachten kann. Hierdurch werden wir uns in den Stand
ſetzen, die Natur der gegebenen Curve aus der erkannten
Natur der gedachten einfachern zu beſtimmen. Wir wollen

aber dabey einen aͤhnlichen Weg einſchlagen, als wir oben

bey der Erforſchung der Natur der ohne Ende fortlaufen⸗
den Schenkel gegangen ſind. Zuerſt nemlich wollen wir die
gerade Linie aufſuchen, welche die gegebene Curve beruͤhrt;

und dann die einfachere Curve zu finden uns bemuͤhen, die

damit eine noch weit groͤßere Uebereinſtimmung hat, und
dieſelbe nicht bloß beruͤhret, ſondern ſich gleichſam an ſie
anſchmiegt oder an ihr hinkrummt. Man pflegt aber der⸗
gleichen genauere Beruͤhrung krummer Linien mit dem
Worte Gſculation Anſchmiegung, Krümmung! zu bez
zeichnen.

Nx2 . 305.

244 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel.
. 305. H gan
Es ſey alſo irgend eine Gleichung zwiſchen den recht⸗ pyl
winkligen Coordinaten X und y gegeben, und zur Erfor⸗ n=
ſchung der Natur des unendlichen kleinen Theils der Curve
Mm, Fig. 55, nachdem man die Abſciſſe A P = p und die
Applicate P M = q gefunden hat, in der Axe MR die un⸗
endlich kleine Abſeiſſe Mq = t und die zugehoͤrige Appli⸗
cate qm = u geſetzt worden: ſo erhaͤlt man, wenn man Da kun
die hieraus fließenden Werthe von X und y, x = p F t, ”?J”
und y = q † u, in die gegebene Gleichung bringt, dafuͤr Kr ſo
folgende Gleichung: auch
o = At Bu † Cta Dtu † Eua † Ft' † Gtau t. eiingee
und dieſe Gleichung druckt die Natur derſelben Curve, auf Rd
die Axe MR bezogen, aus. Da wir aber die neuen Coor⸗
“?MVM dinaten t und u unendlich klein angenommen haben, ſo
M verſchwinden die folgenden Glieder als unendlichmal klei⸗ g
nere Groͤßen gegen die vorhergehenden, und koͤnnen daher,
in Vergleichung gegen ſie, ohne Irrthum aus der Acht ge⸗ r
laſſen werden. [Man vergleiche hierbey §. 286. f.] i
S 8. 3 6. ard
Wenn alſo A und B nicht = o ſind, ſo eigt die gleichung moͤne
O = At T Bu, ſehende
welche man durch Weglaſſung aller folgenden Glieder er⸗ r.
Haͤlt, die gerade Linie M an, welche die Curve in dem
Punkte M beruͤhret, und mit ihr in dieſem Punkte einer⸗ 6
ley Richtung hat. s ſt aiſo §. 289.1
Und da A und B bekannt find, ſo erhellet hieraus die Lage
der Tangente M, und nun wollen wir unterſuchen, wie weit D
ſ ic die Curve Mm, als unendlich klein betrachtet, von der die G
gera⸗

Denn Mon.

g,Ne

Ctena.

Urde, A

KN dde

Von der Kruͤmmung der Curven. 245

geraden Linie M unterſcheide. Zu dieſer Abſicht ſey die
Normale M N die Axe, und darauf aus m die ſenkrechte
Applicate m r herabgefaͤlt; auch ſey dabey Mr =r, und
Tr m = s. Alsdann iſt

—— Ar T. Be l
” itf — Au

Da nun
— At — B u = Ctz⸗ 1 Dtu f HE us 4† Fts 4 t u te.

iſt: ſo iſt r unendlichmal kleiner als t und u, und deswegen
auch unendlichmal kleiner als s; indem s durch t und u,
hingegen wr durch die Quadrate oder hoͤhern Poteſtaͤten von
t und u. beſtimmt wird.

. 307.
Wir werden daher die Natur der Curve Mm weit ge⸗

nauer kennen lernen, wenn wir auch die Glieder Ctz †
Dtu† E uz beybehalten, und bloß die nach ihnen folgen⸗

den aus der Acht laſſen. Auf dieſe Art erhalten wir tole

gende Gleichung zwiſchen t und u:

— At — B 6 = Cta † Dth † Eus

und wenn wir darin fuͤr t und u die im vorhergehenden .

ſtehenden Werthe ſetzen, ſo wird
(A2 G † A B D † B2E)rf
V QAa f B2) = — † F=
(A2D-— — B2D — 2ABCF 2 B E)rs
—— —
(AE — A BD T B2C)S8
AZ † B2

1

Da aber r unendlichmal kleiner iſt als s, ſo verſchwinden

die Glieder rr und es gegen ss, und es wird demnach

246 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel.

d(Aa † Ba) r V (A2 † B2)
AzE – ABD FK BzZC

welches die Gleichung iſt, wodurch die Natur der Curde
ausgedruckt wird, die ſich an der gegebenen Curve in dem

Punkte M hinkruͤmmt, oder dieſelbe an dieſem Orte genau
beruͤhrt. =M

Es faͤllt alſo der unendlich kleine Bogen Mm mit dein
Scheitel einer uͤber der Axe M N beſchriebenen Parabel zu⸗
ſammen, deren Parameter
(A2 †. B2) V (A2 . B2)
⸗E — AFD T B2G

iſt; und ſo wie daher die Kruͤmmung dieſer Parabel am Schei⸗

tel beſchaffen iſt, ſo iſt auch die Kruͤmmung der gegebenen Curde

in dem Punkte M. Da aber die Kruͤmmung keiner Curve

ſo deutlich und leicht erkannt werden kann, als die des
Kreiſes, weil dieſelbe allenthalben gleich und deſto groͤßer
iſt, je kleiner der Halbmeſſer wird: ſo iſt es bequemer,
die Kruͤmmung der Curven durch einen Kreis zu beſtim⸗
men, der eine gleiche Kruͤmmung hat, und daher Kruͤm⸗
mungskreis Circulus oſculator] genannt zu werden pflegt.

Wir muͤſſen alſo einen Kreis zu finden ſuchen, deſſen Kruͤm⸗
mung mit der Kruͤmmung der gegebenen Parabel am
Scheitel uͤbereinkoͤmmt, damit wir denſelben anſtatt der
ſich anſchmiegenden Parabel zu gebrauchen berechtiget ſenn

moͤgen. 8

Um dieſes zu thun, wollen wir die Kruͤmmung des
Kreiſes als unbekannt anſehen, und dieſelbe auf die er⸗
kl ͤrte Art durch ſt die rummung der Parabel ausdrucken.

Wenn

Wenn
i,
Ween
W,
dene
genan
gena⸗

er dn
e in den
n genon

nit den
ut

enen pe
biter Cuent

da ug 9
ſngrün
Nobel an
aſtant N

gige/r

Gm N
Ne
Grutn
Gn.

Von der Kruͤmmung der Curven. D 247

Wenn nemlich dieſes geſchehen iſt, ſo ſind wir dadurch be⸗

rechtigt, auch umgekehrt fuͤr die ſich anſchmiegende Para⸗

bel den Kruͤmmungskreis zu ſetzen. Es ſey alſo die gege⸗

bene Curve Mm ein Kreis, der mit dem Halbmeſſer = a
beſchrieben worden, und deſſen Natur daher durch die

Gl! leichung

yy = 2 a X — XX

ausgedruckt werde. Nimmt man daher AP = p, und

PM = q, ſo wird
q4 = 2 a p — pp
Run ſetze man X= p † t, und y = q u, ſo bekommt
man die Gleichung:
qq †2 qu uu = 2a P † 2 àa t — bp -— 2 pt — tt
die weil qq = 2 ap — pp iſt, auf dieſe Form gebracht
werden kann:
o = 2àat — 2pt — 2 qu — tt — uu.
Vergleicht man aber dieſe Gleichung n mit der obigen, ſe
findet man
A = 2 à — 2 p; B = — 24; C = – 1; D= o
und E = — 1

und daher wird denn

A A † B B = 4 (a a — 2 a p † pp † q = 4;a 2
(AA † B B) V (A A † B B) = 8 a³3; und
AAE — ABD † BBC = — A A –— B B = — 4 àa a.
Wenn alſo der Halbmeſſer eines Kreiſes = a genommen
wird, ſo wird derſelbe von dem Scheitel einer Parabel,

deren Ratur durch die Gleichung s8s = 2ar ausgedruckt

wird, genau beruͤhrt; und wenn daher eine Curve von
dem Scheitel einer Parabel, deren Gleichung 88 = br iſt⸗
genau beruͤhrt wird, ſo wird dieſelbe auch von dem Kreiſe
genau beruͤhrt, deſſen Halbmeſſer = b iſt.

uah́qãqꝗ4 §. 310.

7

248 Zweytes Buch. Bier zehntes Capitel.

FK. 3100.

Da wir alſo vorhin gefunden haben, daß die Curve .

Mm von einer Parabel, deren Gleichung

Qa B B) Y. (A⸗ † B2)
AzZE — AED T BaʒGI
iſt, genau beruͤhrt wird: ſo faͤllt in die Augen, daß die

Kruͤmmung eben dieſer Curve in dem Punkte M auch mit

der Kruͤmmung eines Kreiſes ubereintomme, deſſen Halb⸗ 3

meſſer
(Aa T. B22 V (Aa † 82)

2 (A 2 E — ABD † B2 C)
iſt. Dieſer Ausdruck giebt demnach den Halbmeſſer des

Kruͤmmungskreiſes, der auch Kruͤmmungshalbmeſſer ra-

dius oſculi] genannt zu werden pflegt, an; und es kann

folglich aus der Gleichung zwiſchen t und u, die wir aus
der gegebenen Gleichung zwiſchen x und y abgeleitet haben,
der Kruͤmmungshal bmeſſer der Curve in dem Punkte M,
oder der Halbmeſſer des Kreiſes, der ſich in M an der
Curve hinkruͤmmt „ſogleich beſtimmt werden. Man darf

nemlich nur aus der zwiſchen t und u gefundenen Glei⸗

chung alle Glieder weglaſſen, worin t und u mehr als
zwey Dimenſionen haben, und darauf aus der zuruͤckblei⸗
benden Gleichung von dieſer Form
= At † Bu Ctt † Ptu † Euu

den Kruͤmmungshalbmeſſer = =

ſetzn.
§S. 311.
Da aber die Wurzelgroͤße V (A⸗= † B 2) einen zwiefachen
Weith hat, ſo iſt noch unausgemacht, ob der Ausdruck

(A † B2) V (A †. B2)
2 (A2 E – ABD EBZC)

(A2 † B2) V (A2 † B2)
2 (A2E — ABD † B20C)

poſi⸗

poſti⸗
ſonoben
Uugre
ſuchen

Myh.

folch
d der
Shlede
et iſtt i
ſeits N
her ole
ner ode
Curben

Nun

nan unte

Danun
9

wird.
den d

olch n
ſn hal⸗

neſer N
leſſe rr.

d iem

ie wie wi
itet hoben
Punkte N,

n ee

Pnn de,
nen Nn
Uihe

Von der Kruͤmmung der Eurven. 249

poſitio oder negatid ſey; d. h. ob der Punkt N auf der hoh⸗
len oder auf der erhabenen Seite der Curve liege. Um dieſe

Urngewißheit aus dem Wege zu raͤumen, muß man unter⸗

ſuchen, ob der Punkt der Curve m dieſſeits der Tangente
M nach der Axe A N hin, oder jenſeits der Tangente be⸗
findlich ſey. Im erſten Falle iſt die Curve nach N zu hohl,
und der Mittelpunkt des Kruͤmmungskreiſes liegt in dem

Theile der geraden Linie MN, der nach der Axe hin gerich⸗
tet iſt: im andern Falle hingegen faͤllt derſelbe in den jen⸗

ſeits M verlaͤngerten Theil von MN. Es verſchwindet da⸗
her alle Ungewißheit, wenn man unterſucht, ob q m klei⸗
ner oder groͤßer als q iſt; denn im erſten Falle iſt die
Curve nach N zu hohl, und im andern erhaben.

§. 312.
.

A
Nun iſt q = — und Im = u; folglich muß

— At
man unterſuchen, ob — groͤßer oder kleiner als u iſt.

Da nun m eine unendlich kleine Linie iſt, ſo ſetze man

m α = „, wodurch denn

und wenn man S

Dtt A 2 E

wird. Da aber gegen t unendlich klein iſt, ſo verſchwin⸗
den die Glieder to und e2, und es wird folglich
(S82C—– ABD † A 2E) tt

4 —

9S Iſ

—

250 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel.

Iſt demnach „ eine poſitive Groͤße, welches ſtatt findet,

wenn

BaC— ABb f A⸗E B0— ABD F A2E

poſitiv iſt: ſo iſt die Curde nach N zu hohl; iſt aber

BC— ABD † A; E
B
erhaben.

§. 313.
Damit dieſes deutlicher werde, wollen wir die verſchie⸗
denen Faͤlle, die ſich ereignen koͤnnen, jeden beſonders be⸗
trachten. Es ſey daher zuvoͤrderſt B = o, wo denn die Appli⸗
cate P M, Fig. 57, die Tangene der Curve Mm, und der

Kruͤmmungshal bmeſſer = iſt. Ob aber die Curve nach K

zu hohl ſeyn werde, wie in der Figur, oder erhaben, er⸗
kennt man aus der Gleichung
= At † Ctt † Dtu † Euu. –
Z Denn da x= = t, 1 uad m = u, undt unendlichmal klei⸗
ner iſt als u, ſo verſchwinden die Glieder tt und tu gegen

uu, und es wird daher
At † Euu = O

Haben nun in diſer Gleichung A und E verſchiedene Zei⸗
chen, oder iſt eine negative Groͤße, ſo iſt die Curve

nach K hoht; ſind aber. die Zeichen von A und E gleich.

oder iſt — eine poſitive Groͤße, ſo liegt die Curve auf der

andern Seite der Tangente, weil man die Abſeiſſe M q ne⸗
gativ annehmen muß, wenn dai eine reelle Applicate qm

gehdren ſol.

§. 314.

— negativ, ſo iſt dieſelbe nach N zu

N
neigt,
Un
Men 9

desh

chen un

indet,
die Cun

eine p

wird,

Ml-

—

voftio,
Plena

F
Nbiene
Aerdr

Hihen
ſom

ſolce

n ſcke

ſ che

ach N

ie derſche⸗
vonders be⸗
die yti⸗

W Ne

unench!

goben, en

nnal kiͤ⸗

wird,

Von der Kruͤmmung der Curven. 251
§. 314.
Nun ſey Fig 55 die Tangente M „. gegen die Axe AP ge⸗

neigt, oder ihr parallel, ſo daß der Winkel RM/ ſpitzig ſey,
und die Normale M N die Axe in M jenſeits P ſchneide. In
dieſem Falle gehoͤren zu den Abſciſſen t poſitive Applicaten u,
und es haben daher die Coefficienten A und B ungleiche Zei⸗

chen, und der Bruch — iſt negativ. Wenn aber dieſes ſtatt

findet, ſo haben wir gereit vorhin geſehen, (G 312] , daß

AZE —ABDTBZGCG
die Curve nach N zu hohl wird, wenn 4 C

H . . B
eine poſitive Groͤße iſt, oder wenn, im Fall — negativ

AAE — ABDFTB

— Cnegativ iſt. Wird hingegen
A2E— ABD T B2G — ABD Ba
5 1 negativ, oder —

poſitiv, ſo iſt die Curve nach N zu erhaben. In beyden
Gaͤllen aber iſt der Kruͤmmungshalbmeſſer M
D (A2 1 B2) V(A2 † B2)
—2 (A2 E — ABD † B2G)

§. 3152
Iſt aber A = o, ſd wird die der Axe parallele gerade

4

Linie MR, Fig. 58, zugleich eine Tangente der Curve; auch iſt

u unendlichmal kleiner als t, und folglich
O Bu † Ctt.

Haben daher B und C gleiche Zeichen, oder iſt B0 poſiti,
ſo muß u einen negativen Werth haben, und alſo die Curoe

nach dem Punkte P zu hohl ſetzu. Dabey faͤllt N in P, wie DK

ſolches auch die vorhergehende Regel giebt, wenn man

E

e

meſſer iſt wie vorhin =

252 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel.

— . 8
= o ſetzt, und der Kruͤmmungshalbmeſſer iſt = X. Eben

dieſe vorhin gegebene Regel gilt, wenn die Tangente, MT,
Fig. 59, jenſeits P mit der Axe zuſammenkoͤmmt; denn es iſt
alsdann ebenfalls die Curve nach N zu entweder hohl oder
A2E – ABD 2
erhaben, je nachde n der Ausdruck —
entweder poſitiv oder negatid iſt, und der Kruͤmmungshalb⸗
C0Q(Aa F Bz) N KA⸗ † B2)
2(A 2E — ABD T† B 2GC)

Es ſey eine Ellipſe oder ein Quadrant derſelben D MC,

Fig. 60, gegeben, der den Mittelpunkt A, die halbe Haupt⸗

axe A D = = a, und die halbe zugehoͤrige Axe AC = b habe.

Rimmt man die Abſceiſſen X in der Axe AD vom Mittel⸗

punkte A aus, ſo iſt die Gleichung fuͤr dieſe Ellipſe lnach
1381
aa yy † bbXxX = aabb.
Setzt man nun irgend eine Ab. ſeiſſe A P = b, und die Ap⸗
plicate PM= q, ſo wirrd
Aaq qꝗq† bbpp = aabb
und, wenn man = pft, und y = q † u macht,

A2 1 2 aaqu 1. aauu † bbpp † 2 bbpf 1† bbtt = aabb

oder
2 bbpt 1† 2 a a q u 1 bbit † aauu = o
Es kommt alſo zuvoͤrderſt die Normale M N, wegen der
Coefficienten von t und u, dießeits P mit der Axe zuſam⸗

men, und es wird
bbp
PM: PN = B: A = a24 be; und pN = bbt

weil A = = 2 bbp, und B = aa iſt.

Außer⸗

und fol

Da nul

tſſe wi

Run N.
dem Mi

weil AN

einander

W.
ann
hohl ode

4
—

ben DMc,

WWeHowyr

(=hhote
n Mte-

2

Von der Kruͤmmung der Curven. 253

Außerdem aber iſt auch, weil
C = bb; D = o; und E = aa iſt
AZ2F. — ABD BzC Baabb Gaddtbbrt) 4 2 4 ba

B 2aa4 2aaq
und alſo poſitiv: woraus denn erhell et, daß die Curve
nach N zu hohl iſt. P
§8. 317.

Was den Kruͤmmungshalbmeſſer betrifft, ſo iſt
A= † Bz = 4 (a4 q q † baApp), und
A2E — ABD † B2C = 4 a dbaA,

und folglich der Kruͤmmungshalbmeſſer .

(24 bapp) HW
a 4b4

Da nun
MN = V (q4 † ch, und f fo 1glich

VC(aA q q † bapp) = aa. MN

iſt, ſo wird der Kruͤmmungshalbmeſſe

a *. M N 3
=—
Wenn man aber auf die verlaͤngerte Normale MN aus

dem Mittelpunkte A die ſenkrechte Linie AOzieht, ſo wird,

„ bbp
weil A N = p — — , und die Dreyecke ANr und AN&

einander aͤhnlich ſind,
aabbpp — b 4 Pp.

NO= d
a4. MN un .
MO= NO F MN = AA Abpp — .
RKMD 1 MN aa. MN MN
und alſo .
bb
Hier⸗

4

D

254 Zweytes Buc. Vierzehntes Capitel.

Hieraus erhaͤlt man fuͤr. den Ceümmungshelbmeſer den
Ausdruck
a abb
MO3

H

der fuͤr jede der beyden Axen gleich beguem gebraucht wer⸗

den kann.

Hat man fuͤr jeden Punkt einer Curve den Kruͤmmungs⸗

halbmeſſer gefunden, ſo kennt man eben dadurch die Natur
der Curve auf das deutlichſte. Denn theilt man ein Stuͤck
der Curve in ſehr viele ſehr kleine Theite, ſo kann man
einen jeden dieſer Theile als einen Kreisbogen betrachten,
deſſen Halbmeſſer der Kruͤmmungshalbmeſſer von ihm iſt.

Dodurch iſt man aber auch im Stande die Beſchreibung

einer Curve durch eine betraͤchtliche Menge von Punkten
wet genauer zu verrichten. Denn wenn man, nachdem

mat eine hinlaͤngliche Anzahl von Punkten, durch welche

die Lurve gehet, gefunden hat, fuͤr jeden dieſer Punkte
zuvoͤrderſt die Tangenten, dann die Normalen, und nun
die Kruͤmmungshalbmeſſer ſucht, ſo kann man die kleinen
Theile der Curve zwiſchen den gefundenen Punkten mit
Huͤlfe des Zirkels beſchreiben, und es wird auf dieſem

Wege d je wahre Geſtalt der Curve deſto genauer darge⸗

ſtellt, je mehr Punkte man zuvor gefunden hat.

1
„*

§. 319.
Da alſo der ſehr ffeine The il der Curde bey M mit dem

2

Kreisbogen, der mit dem Kruͤm munashalbmeſſer beſchrie⸗

ben worden iſt, zuſammenfallt, ſo hat nicht nur das Ele⸗

ment der Curve Mm ſondern auch das vorheragehende Mn

eben diefelbe Kruͤmmung. Da nemlich die Natur des un⸗
endlich

deuten/
len Pſe⸗
ſite und
die ube

Uung ber

Aitcheen

Da non
Waonn
lne
6 Verd

Da

0

Ne Krit

ſt,we
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koͤmm
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lcht vet⸗

tnmings⸗

Die No

ein Ctick
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ſchreibung
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nochdem
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Pune
nd nun
N
nkien ni
Meſen
darge⸗

nit Ren
deſchrie⸗
de Ge⸗
1de Nn
7 N;

nblch

Von der Kruͤmmung der Curven. 255

endlich kleinen Theils Mm durch eine Gleichung, wie dieſe:

SS = ar, wor = Mr, und s = r m die Coordinaten be⸗
deuten, ausgedruckt wird: ſo kommt jeder unendlich klei⸗
nen Abſeiſſe Mr = r eine doppelte Applicate, eine po⸗
ſitive und eine negative zu, und es erſtreckt ſich folglich
die Curve auf eben die Art nach n als nach m. Wenn

daher der Kruͤmmungshalbmeſſer, der =— ¾ iſt, eine

endliche Groͤße hat, ſo iſt die Kruͤmmung auf beyden
Seiten, wenigſtens einen unendlich kleinen Raum hindurch,
einfoͤrmig. Es kann folglich auch in dieſen Faͤllen die
Curve weder ploͤtzlich aus M, nachdem ſie daſelbſt eine

Spitze gemacht hat, zuruͤcktreten, noch daſelbſt ihre Kruͤm⸗
mung veraͤndern, und die erhabene Seite von Mn nach N

zu kehren, wenn Mm nach eben dieſem Punkte zu hohl iſt.

Da man nun eine ſolche Veraͤnderung der Kruͤmmung

Wendungspunkt nennt, ſo kann da, wo der Kruͤmmungs⸗

halbmeſſer eine endliche Groͤße hat, weder eine Spitze noch

ein Wendungspunkt ſtatt finden.

. §. 320.
Da aus der Gleichung zwiſchen t und u
O = At † Bu † Ct2 † Dtu † Euu † Ft 5 1 Gttu † Htua †ꝛe.
(A2 † Ba) V (A2 † B2)
2 (A2 E –— ABD † B2C)
wird: ſo faͤllt in die Augen, daß der Kruͤmmungshalb⸗
meſſer, wenn

der Krummungshalbmeſſer =

AaE –— ABD f BaC = o

iſt, unendlich groß wird, und alſo der beruͤhrende Kreis in 4

eine gerade Linie uͤbergehet. Da alſo, wo dieſes geſchiehet,
koͤmmt der Curve keine Kruͤmmung zu, und es gehen da⸗
ſelbſt die beyden Elemente der Curve gleichſam in einer ge⸗

raden Linie fort. um aber die Natur der Curve in dieſen

Saͤllen

256 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel.

Faͤllen genauer kennen zu lernen . muß man die Subſt⸗

tutionen VZ
„=s und u = = — 1
V (AA † BB) V (KA † BB)

§ 306] auch in die Glieder Ft3 † Gttu”† Htuuf Jus
bringen. Da nun gegen das erſte Glied r V (A2 † B2)
alle folgende Glieder, die r enthalten, verſchwinden, ſo
bekommt man, wenn man dieſe Glieder weglaͤßt, und die
Suübſtitution durch die ganze Gleichung voknimmt, eine
Gleichung von dieſer Form

T V (A2 † B2) = ass † 6s 1784a 1 * † ꝛc.

§. 321.

Aus dieſer Gleichung findet man ſogleich wie oben 15 19
VK(AZ † B2
2 ℳ

daß der Kruͤmmungshalbmeſſer = =

aber = = o, und folglich der Kruͤmmungshalbmeſſer. un⸗
endlich groß, ſo muß man, um die Natur der Curve ge⸗
nauer kennen zu lernen, das folgende Glied 2₰s 3 nehmen,
ſo daß Z
rV (A= † B2) = 63
ſey; denn wenn 8 nicht = o iſt, ſo verſchwinden alle ubrige
Glieder y84, às5, ꝛc. gegen 6Ss3. Es wird alſo in die⸗
ſem Falle die Curve in M von einer durch dieſe Gleichung
T V (A2 † B2) = 8 3 ausgedruckten Curve beruͤhrt, und

daraus laͤßt ſich denn auch die Geſtalt jener Curve um M

erkennen. Da alſo zu der Abſciſſer, wenn dieſelbe nega⸗
tiv genommen wird, eine negative Applicate s gehoͤrt, ſo
ſchlaͤngelt ſich die Curve in M, wie Fig. 61, und han alſo
in M einen Wendungspuntt.

§. 322.

iſt. Iſt

neſer un
Luice ge

nehnen

A,Artgt

, in die

Hleichun
et Und

e un A

Abe nege⸗
hint

Von der Kruͤmmung der Curven. 257
§. 322.

Iſt außer e auch s = o, ſo wird die Natur der Carde
um M durch dieſe Gl eichung D
X V (A2, † B2) = 754
ansgedruckt; und da daraus zu jeder Abſciſſer eine doppelte

Applieate s, eine poſitive und eine negative, gehoͤrt, und

die Abſciſſe nicht auf beyden Seiten genommen werden
kann, ſo liegen in dieſem Falle beyde Theile der Curve
Mm und Mu, Fig. 62, auf einer und derſelben Seite der

TFangente. Wenn aber, weil «, 6, und „ verſchwinden,

die Natur der Curve durch die Gleichung
r V (A2 † B2) = àϑ85
ausgedruckt wird, ſo hat die Curve bey M wie eder einen

2 Wendungspunkt, wie Fig. 61; und wenn auch * = ,

und alſo .
1 V (A2 † Ba) = 56 Hð
iſt, ſo hat abermals die Curve dergleichen nicht, wie
Fig. 62. Ueberhaupt hat die Curve, wenn der Exponent
vons eine ungerade Zahl iſt, in M einen Wedungspunkt,
wenn aber dieſer Exponent eine gerade Zahl iſt, ſo findet
daſelbſt kein Wendungspunkt ſtatt.

. 2 6. 323. L P
So verhaͤlt es ſich mit den Curven, wenn der Punkt M
ein einfacher Punkt iſt, oder wenn in der Gleichung

%5= At † Bu † Ctz † Dtu † Euz⸗ † FtS †, zc.
A und B nicht zugleich verſchwinden. Wenn aber ſowohl A

als B = o iſt, und die Curve zwey oder mehrere ſich in

dem Punkte M ſchneidende Schenkel hat, ſo muß man,
eben ſo wie vorhin, die Kruͤmmung eines jeden Schenk els

und ſeine Beſchaffenheit in M beſonders unterſuchen. An⸗

Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. D. R genom⸗

258 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel.

genommen nemlich, daß fuͤr die Tangente eines Schenkels
mt †+ nu = o
ſey, ſo ſuche man eine Gleichung fuͤr dieſen Schenkel zwi⸗
ſchen den Coordinaten r und s, ſo daß jene, r, auf der
Normale MN, Fig. 55, genommen wird, und unendlich⸗
mal kleiner iſt als s. [§. 306]. Man muß alſo

— mr † n S und — M Ss = nr
n - u — —
WVmZ † n2) N (m2 † n 2)

ſetzen; und iſt dieſes geſchehen, und ſind die Gneder, die

wegen ihrer unendlichen Kleinheit gegen die uͤbrigen ver⸗
ſchwinden, weggelaſſ ſen worden: ſo erhaäͤlt man, wenn M
ein doppelter Punkt iſt, eine Gleichung von der Form:
rS = «sSs3 † 6s4 † 7SS † à%86 † ꝛc.
wenn aber M ein dreyfacher Punkt iſt, eine Gleichung
wie dieſe:
. r SS = 2sa 47 1 1ss 1 , P ꝛc.
ꝛce.
Alle dieſe Gleichungen laſſen ſich aber auf fegende Form
bringen:
T = ℳ SS † βs3 † 7S4 † à85 † ꝛc.

7

§K. 324.

Aus dieſer Gleichung ſieht man, daß der Schenkel der
Curve, welchen wir unterſuchen, in M den Kruͤmmungs⸗

halbmeſſer = — hat, und daß folglich dieſer Kruͤmmungs⸗

hal beſſer, wenn „ = o iſt, = O. wird. In dieſem

Falle wird alſo die Natur der Curve durch eine von folgen⸗

den Gleichungen ausgedruckt:
r =— 683 r = 784; r = %S§; 20.
und daraus ſchließt man wieder wie vorhin, [§. 321, 322.]
entweder, daß die Curve in M einen Wendungspunkt habe,
oder

der de
iſt, ve

Eezte

muß ni
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feln derſ

ſeigſchaf

Und ſuch
und rm

t:
cht.
de ern
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W ale
nde,

lenn i

1

Von der Kruͤmmung der Curven. 259

oder daß dergleichen daſelbſt nicht ſtatt finde. Das erſte
iſt, wenn der Exponent von s eine ungerade Zahl, das

letzte aber, wenn er eine gerade Zahl wird. Auf dieſe Art

muß man alſo jeden durch M gehenden Schenkel der Cuove

beſonders unterſuchen, wenn man zuvor ſeine Tangente ge⸗

funden hat, und dieſe Tangente von den Tangenten der
uͤbrigen in eben dieſem Punkte M. ſich ſchneidenden Schen⸗ D
keln verſchleden iſt.

§. 325.
Auf eine andere Art aber verhaͤlt es ſich, wenn die
Tangenten zweyer oder mehrerer Schenkel zuſammenfallen.
Denn verſchwinden A und B, und ſind in der Gleichung
o = Ctt T† Dtu † Enu † Ft3 † Gtzu † ꝛc.
die beyden einfachen Faktoren des erſten Gliedes Ctt †
Dtu † Euu einander gleich, oder haben die beyven in
M, Fig. 55, ſich ſchneidenden Schenkel der Curve eine ge⸗
meinſchaftliche Tangente: ſo ſetze man
Ctt † Dcù † Euu = (mt † n u)2
und ſuche eine Gle eichung zwiſchen den Coordinaten Mr = r,
und r m = Ss, indem man:
— — mr ns — mSs –— nfrf
Fem n2 T n2) und u SB VmNm2 † n2)
macht. Hierdurch erhaͤlt man eine Gier chung von folgen⸗ V

der Form: 32

TT = arSS † 8S 3 r r sA † 1S4a † ersa gss † ꝛc.
weil alle Glieder, worin r zwey oder mehr Dimenſio⸗.
nen hat, gegen das erſte rr verſchwinden.

6S. 3200.
Hier iſt nun zuvoͤrderſt das Glied 83 zu detrachten,

denn iſt dieſes da, ſo verſchwinden dagegen alle uͤbrige
R 2 M Gue⸗

4

Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel.

Glieder, weil r unendlichmal kleiner iſt als s. Iſt alſo 2
nicht = o, ſo wird die Natur der Curve um M. durch die

Gleichung
Xr = 8S 2

ausgedruckt; und da daraus

: = sV As = ss V. .
wird, ſo ſet⸗ man, daß der Kruͤmmungshalbmeſſer in
M = ½ V . oder auch, weil s in M. verſchwindet, = = 0

iſt. Es iſt demmnach in dem betrachteten Falle die Kruͤm⸗
mung unendlich groß, oder das Element der Curve in M
ein Theil eines unendlich kleinen Kreiſes. Da ferner die
Applicate s einerley Werth bekommt, man mag die Abſeiſſe

r poſitiv oder negativ nehmen, ſo erhellet zugleich, daß

die Curve in M, Fig. 63, eine Spitze habe, und in zweyen
Schenkeln Mm, M aus einander fahre, die ſich in M be⸗

ruͤhren, und der Tangente Mt die erhabene Seite zukehren.

5. 327.

Nun ſey s=o, dagegen aber fehle das Glied 84 nicht,
gegen welches das Glied „rss3 verſchwindet. Alsdann

wird die Natur der Curve um M durch die Gl leichung

TTr — arssSs † 384

ausgedtuck, welche, wenn = klein er als — 4 iſt, wegen

ihrer imaginaͤren Faktoren in M einen zugehoͤrigen Punkt

zu exkennen giebt, und, wenn 2« groͤßer a lis — 4 iſt, in
zwey Gleichungen von der F Form

T = fss; und 1 = gSS

erfäͤllt. In dieſem 9 Falle beruͤhren ſich alſo in M zwey

Schenkel der Eurve, davon der eine den Kruͤmmungshalb⸗

meſſer

weſe
dieſe
gind/
imnen,
ſegten
laeihr⸗

T
Mitw
Im
den!
durch

Clee⸗
Gofale
einen e
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Eden
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G3.
Mune

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—

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tbe in
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Aſee
ch, N

in wehon

1i,A
aſeen

Wane
Gng

igen
Uuntt

Von der Kruͤmmung der Curven. 261

meſſer = —, und der andere = — hat. Wenn daher

dieſe beyden Schenkel die hohle Seite nach eben der Ge⸗
gend zu⸗ kehren, ſo hat die Curve die Geſtalt zweyer von
innen, Fig 64, wenn ſie aber dieſelbe nach entgegenge⸗
ſetzten Seiten zu gerichtet haben, zweyer von außen ſich
beruͤhrenden Kreisbogen, Fig. 65.

§. 328.

Wenn auch 3 verſchwindet, ſo laͤßt ſich die Gleichung
entweder in zwey andere Gleichungen aufloͤſen oder nicht.
Im erſten Falle ergeben ſich zwey Schenkel, die ſich in
dem Punkte M beruͤhren, und davon die Natur eines jeden
durch eine ie Gleichung von der Form
r- „ Sin
ausgedruckt wird. Hier giebt es alſo ſo viel verſchiedene
Geſtalten, als Combinationen zweyer Schenkel, die in M
einen einfachen Punkt erzeugen. Dieſe Schenkel wollen
wir Schenkel der erſten Ordnung nennen, die folglich ins⸗
geſammt in der Gleichung x = sm. enthalten ſind. Im
andern Falle, wenn ſich nem lich die Gleichung nicht in zwey
andere Gleichungen aufloͤſen laͤßt, wird die Natur der Curve
durch eine von folgenden Gleichungen ausgedruckt:

2 —

Fr = 4 Sy; rr = as7;; rr = «KS9; 2c.

und dieſe Schenkel wollen wir, nebſt dem, den wir vorhin
rTTr = «s3 gefunden haben, mit dem Ramen, Schenkel

der zweyten Grdnung, belegen, weil ſie die Stelle zweyer
Schenkel der erſten Ordnung, die ſich in M beruͤhren, ver⸗
treten. Dieſe Schenkel der zweyten Ordnung haben ins⸗
geſammt in M eine Spitze, wie die Gleichung rr = =8 3
K 326] gab, doch mit dem Unterſchiede, daß der Kruͤm⸗
mungshalbmeſſer in M, der aus der Gleichung PT = ℳ„S3
R 32 B unend⸗

262 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel.

“ unendlich klein war, bey den uͤbrigen Gleichungen unend⸗
lich groß wird. Denn da aus der Gleichung rr = sS
rT = SsSVAS.
wird, ſo iſt der Kruͤmmungshalbmeſſer in M= S ‚oder

unendlich groß, weil s = o iſt.

g. 3229.

Wenn die Tangenten dreyer Schenkel, die ſich im M

ſchneiden, zuſammenfallen, ſo beruͤhren ſich entweder drey
Schenkel der erſten Ordnung in eben demſelben Punkte M,
oder es iſt M ein Beruͤhrungspunkt eines Schenkels der
zweyten und eines Schenkels der erſten Ordnung, oder
es geht durch M ein einziger Schenkel der dritten Ord⸗

nung. Es wird aber die Natur der Schenkel der dritten

Ordnung durch eine von folgenden Gleichungen:
r 3à = eℳS4; 13 = A« S5; r3 = ℳ Ss7; 13 = æas 8; ꝛc.
oder uͤberhaupt durch
T 3 = ℳ%ℳSn
ausgedruckt, wenn n irgend eine ganze Zahl, die groͤßer
als 3, und dabey nicht durch 3 theilbar iſt, bedeutet. Die
Geſtalt dieſer Schenkel aber iſt ſo beſchaffen, daß in M ein
Wendung gopunkt ſtatt findet, wenn n eine ungerade Zahl
iſt; wenn aber n eine gerade Zahl wird, ſo gehen die
Schenkel ohne Wendungspunkt „wie Fig. 62, fort. Uebri—
gens iſt der Krümmungshalbmeſſer bey dieſen Curven in M
unendlich klein, wenn n kleiner als 6, und unendlich groß,
wenn n groͤßer als 6 iſt.

§. 330.

Auf eine aͤhnliche Art verhaͤlt es ſich, wenn vier Tangen⸗

ten von den Schenkeln, die ſich in dem Punkte M ſchneiden,
J zu⸗

zuſamt
veder
der erſe
dn der
einerd
ben P
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e ged

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ſch

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fuͤnfte
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Ungera⸗
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W⸗
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45

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Puntte
els der
g, oer

nen Otde

der deitten

456, .

annen
e
i⸗

Von der Kruͤmmung der Curven. 263

zuſammenfallen. Es beruͤhren ſich nemlich alsdann ent⸗
weder vier Schenkel der erſten Ordnung, oder zwey von
der erſten und einer von der zweyten Ordnung, oder zwey

von der zweyten Ordnung, oder einer von der erſten und

einer von der dritten Ordnung einander in einem und demſel⸗

ben Punkte M, oder es geht endlich durch dieſen Punkt M

ein einziger Schenkel der vierten Ordnung g. Es wird aber
die Natur der Schenkel der vierten Ordnung durch die
allgemeine Gleichung
r4 = „ Sh .
ausgedruckt, wenn n eine ganze ungerade Zahl bedeutet,

die groͤßer als 4 iſt. Alle dieſe Gleichungen geben eine H

Spitze, wie die Schenkel der zweyten Ordnung, Fig. 63;

und was den Kruͤmmungshalbmeſſer in M betrifft, ſo iſt

derſelbe unendlich klein, wenn n kleiner als 8, und unend⸗

lich groß, wenn n groͤßer als 8 iſt

Auf eben die Art laͤßt ſich die Natur der Schenkel der
fuͤnften und der uͤbrigen hoͤhern Ordnungen beſtimmen.

Was die Geſtalt derſelben betrifft, ſo kommen die Schenkel
der fuͤnften, der ſiebenten, der neunten und uͤberhaupt aller

ungeraden Ordnungen mit den Schenkeln der erſten Ord⸗

nung uͤberein, die entweder einen Wendungspunkt haben,
oder nicht. Die Schenkel der ſechsten, achten und uͤber⸗
haupt aller geraden Otdnungen hingegen ſind in Anſehung
der Geſtalt mit den Schenkeln der zweyten und vierten Ord⸗
nung von einerley Art, oder haben ir 'sgeſammt eine Spitze
in M, wie die 63ſte Figur darſtellt. Den Kruͤmmungs⸗
halbmeſſer anlangend, ſo laͤßt ſich, da die Natur aller die⸗
ſer Vogen durch die Gleichung

R 4 HMDW aus⸗

264 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel

ausgedruckt wird, wenn n groͤßer iſt als m, leicht einſehen,

daß derſel be, wenn en kleiner iſt als 2 m, unendlich klein,
und wenn n grͤſer iſt als 2m, unendlich groß ſey.

K. 332.

s laſſen ſich alſo die verſchiedenen Beſchaffenheiten,

mit welchen ſich die Curven in Anſehung ihrer Geſtalt dar⸗

ſtellen, auf drey Gattungen zuruͤckbringen. Juvoͤrderſt

giebt es nemlich Curven, die mit einer ſtetigen Kruͤmmung
fortgehen, und nirgends weder einen Wendungspunkt noch
eine Spitze haben. Dieſes findet ſtatt, einmal, wenn der
Kruͤmmungs halbmeſſer allenthalben endlich iſt; zweytens
giebt es auch einige Faͤlle, wo die unendliche Groͤße oder
Keinheit des Kruͤmmungshalbmeſſers das Fortſchreiten der
Curve in ſtetiger Kruͤmmung nicht verhindert; und zwar er⸗

eignen ſich dieſe e Faͤlle, wenn die Natur der Curve um M

durch die Gl eichung
ℳA en
ousgedruckt wird, ſo daß m eine ungerade Zahl, n hin⸗

gegen eine gerade Zahl und groͤßer als m iſt. Zum an⸗

dern koͤnnen die Curven einen Wendungspunkt haben, wo⸗
bey denn der Kruͤmmungshalbmeſſer nothwendig entweder
unendlich klein oder unendlich groß ſeyn muß. Man erkennt
ſolches aus der Gleichung
ℳMα r i — Sn
wenn beyde Exponenten m und n ungerade Zahlen ſind;
n muß aber ſteis groͤßer als m ſeyn. Es iſt nemlich der
Kruͤmmungshalbmeſſer unendlich groß, wenn n groͤßer als
2 m, und unendlich klein, wenn n kleiner als 2 m iſt. Endlich
kann es eine Spitze oder Ruͤckkehrpunkt geben, wo gleichſam
zwey Schenkel, mit ihren erhabenen Seiten gegen einander
gekehrt, bey ihrer 3 Zu ſammenkunft in einem Punkte ſich be⸗
ruͤh⸗

De
Core⸗
kdon
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auf

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yi
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de
neinſch
W
ſ
ſchein
die
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zum

den w

mndde
aantn

⸗

Von der Kruͤmmung der Curven. 265

ruͤhren und daſelbſt endigen. Einen ſol chen Punkt giebt
die Gleichung
ð sh

zu erkennen, wenn m eine gerade und n eine ungerade
Zahl iſt. Bey einer Spi tze iſt daher der Kruͤmmungshalb⸗

meſſer allemal entweder unendl ich groß odee unendlich klein,

§. 333.
Da ſich alſo alle Verſchiedenheiten, die ſich bey den

Curven in Anſehung ihrer ſtetigen Foreſchreitung finden

koͤnnen, auf dieſe drey Arten bringen laſſen, ſo erhellet,
einmal, daß der Schenkel einer continuirlichen Curve nie
auf die Art gebogen ſeyn kann, daß er bey C, Fig. 66,

einen endl! chen W Winkel A CB mache. Da ferner bey einer
Spitze beyde S Schenkel einander ihre erhabene Seite zukeh⸗
ren, ſo giebt es keine ſolche Spitze A CB in C, Fig. 67,

wo die beyden Schenkel A C und B C zwar in C eine ge⸗
meinſchaftliche Tangente ha ben, daben aber die hohle Seite
des einen nach der erhaden nen Seite des andern hingerichtet
iſt; und ſo oft eine Curve auf dieſe Art t zuruͤckzutreten
ſcheinet, ſo oft iſt dieſelbe unvollſtaͤndig, ſo daß, wenn man
die Curve nach einer Gl eichung ergaͤnzt, und nach allen ihren

Theilen ausdruckt, eine Curve wie Fig. 64, entſteht. Es giebt

zwar Methoden Curven zu beſchreiben, wobey dergleichen

Spitzen A CB entſtehen, die daher auch vom Marquis de

QA Hopital Spitzen der zweyten Art genannt werden. Aber

man muß dabey bedenken, daß die mechaniſchen Methoden

nicht immer die ganze Curve, die in einer Gleichung enthalten
iſt, hervorbringen, ſondern oͤfters nur einen gewiſſen Theil
derſelben darſtellen. Durch dieſen einzigen Umſtand wird
der ganze Streit, der uͤber die Spitzen der zweyten Art
entſtanden und gefuͤhrt worden iſt, gehoben.

S

R e S9*
R 5 Ss

266 Zweytes Buch. Vierzehntes Capitel.

So ſehr man indeß hierdurch berechtigt ſcheint zu be⸗ P

haupten, daß es keine Spitze der zweyten Ordnut ng gebe,
ſo hat man gleichwohl eine Menge von algebraiſchen Cur⸗

ven, die damit verſehen ſind. Unter andern ſogar eine

Linie der vierten Ordnung, die in der Gleichung
72 — Yee — 47r — r; =— 0,

welche aus dieſer, y = V X . X 3 entſpringt, enthal⸗

ten iſt. Denn wenn hier gleich zuerſt das Glied d V Xx

vorkommt, ſo kann daſſelbe dennoch nicht poſitiv und

negativ genommen werden, ſondern muß nothwendig das
Zeichen † haben, weil, wenn man ihm das Zeichen — ge⸗

☛

, 4.
ben wollte, das andere Glied V X3 = V (X V xX) ima⸗
ginaͤr werden wuͤrde. Und aus dieſem Beyſpiele laͤßt ſich

die Einſchraͤnkung, die man zu den obigen hinzufuͤgen muß,

hinlnglich abnehmen.

334.
Wenn, Fig. 64, zwey Schenkel, die in M eine ge⸗

meinſchaftliche Tangente haben, und alſo vier aus M aus⸗

gehende Bogen, Mm, M, Mn, My vorſtellen, durch ver⸗
ſchiedene Gleichungen ausgedruckt werden, ſo iſt es keinem
Zweifel unterworfen, welche von dieſen Schenkeln conti⸗
nuirlich ſind; es ſind ſolches nemlich diejenigen, die durch
einerley Gleichung ausgedruckt werden, ſo daß daher der
Bogen Mm eine Fortſetzung von Mn, und der Bogen M
eine Fortſetzung von M- iſt. Wenn aber jene beyde Schen⸗
kel durch einerley Gleichung ausgedruckt werden, ſo kann,
da der vorhergehende Grund wegfaͤllt, der Bogen Mm
nicht nur als eine Fortſetzung des Bogens Mn ſondern auch
als eine Fortſetzung von M- angeſehen werden; und da
auf dieſe Art jeder der Vogen Mn und M/ als eine Fort⸗
ſeetzung

ſetzun

einen
alſo
als

lt

Eyte

Ohas
dern
den,
auf
bern
drue
Glie

denn e

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d
ein

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ſed Pr
enig

en — ge

in P
M.
durch dee⸗

es keiòen

aujti⸗

durch

Von der Kruͤmmung der Curven. 267

ſetzung von Mm betrachtet werden kann, ſo kann man auch den

einen als die Fortſetzung des andern anſehen. Man kann
alſo hiernach ſagen, daß ſowohl die Bogen Mm und M

als jede zwey andere von den angefuͤhrten eine continuir⸗
liche Curve bilden, und in dieſem Falle ſtoßen in M. zwey
Spitzen der zweyten Art m M und n N zuſammen.

§. 335.
Und dies gilt nicht nur von zwey Schenkeln, die ſich

ohne Wendungspunkt und ohne Spitze in dem Punkte M

beruͤhren, und durch einerley Gl eichung ausgedruckt wer⸗
den, ſondern es verhaͤlt ſich in Anſehung der Cont einuitaͤt

auf eben die Art bey jeden zwey Schenkeln, die ſich in M.

beruͤhren, wofern ſie nur durch einerley Gleichung ausge⸗
druckt werden. Es geſchieht dieſes, ſo oft man zu einer
Gleichung zwiſchen r und s von folgender Form fommt
azrzm — 2 « βr insn † 86820 = 0

denn alsdann wird jeder Schenkel durch die Gleichung

. *r n = HESn“
ausgedruckt. In dieſem Falle koͤnnen alſo je zwey von den
vier Bogen, die aus dem Punkte M ausgehen, fuͤr eine con⸗
tinuirliche Linie gehalten werden und daher entſtehet denn
eine unzaͤhliche Menge von Spitzen der zweyten Art. Eben
dieſe Beſchaffen heit der Continuitaͤt iſt aber auch der Grund,
warum einige mechaniſche Beſchreibungen und Conſtructio⸗
nen Spitzen der zweyten Art hervorbringen; doch kann die⸗

ſes nicht geſchehen, als wenn man dadurch nicht die ganze

in der Gleichung enthaltene Curve, ſondern nur einen oder
einige Schenkel derſelben darſtellet.

Zunf⸗

eH

2 S
2 ES 7

Funfzehntes Capitel.

Von den Curven, die einen oder mehr Durch⸗
meſſer haben.

141

5F. 336.

ſehen, daß alle Linien der zweyten Ordnung zum wenigſten
einen rechtwinkligen Durchmeſſer haben, der die ganze
Cur be in zwey aͤhnliche und gleiche Theile theilt. Die Pa⸗
rabel nemli lich hat einen ſolchen Durchmeſſer, und beſteht
daher aus zwey einander gl leichen und aͤhnlichen Theit ilen;
die Ellipſe hingegen und die Hyperbel haben deren zwey,

die ſich im Mittelpunkte unter einem rechten Winkel ſchnei⸗

den, und daher giebt es bey ihnen vier einander gleiche
und aͤhnliche Bogen oder Schenkel. Und was den Kreis
betrifft, ſo hat derſelbe, da er von jeder durch den Mittel⸗

punkt gezogenen geraden Linie in zwey gleiche Theile getheilt

wird, unzaͤhlige gleiche und aͤhnliche Theile, und zwar ſind
ſolches alle Bogen, die zu gleichen Sehnen gehoͤren.

Dieſe Aehnlichkeit zweyer oder mehrerer Theile einer
und derſelben Curve wollen wir a lſo jetzt genauer unter⸗
ſuchen, und die Curven, die zwey oder mehr einander aͤhn⸗
liche Theile haben, durch allgemeine Gleichungen aus⸗
drucken. Iſt daher eine Gleichung zwiſchen rechtwinkligen
Coordinaten und y gegeben, und hat man den ganzen
Raum in die vier Gegenden C, R, Sund I, Fig. 68, welche
D durch

Wir haben oben [im fuͤnften und ſechsten Capitel ge⸗

durch
A,
liegt de
Gegen
der Ge

ſonn

verde
ungerade
didſen
enomnn
Hierna
den ol
Gleichu

in den
1,

nd des
Wnan
Wan
iſ, ſ

eine
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die gonſe
Die a⸗
d eſehe
Tn;
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ſe gehe
djnot ſid

einer
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er hn
n aus
intigen
genen
piſhe
urch

Von den Durchmeſſen ben
Von den Durchmeſſern der Curven. 269

durch die in C ſich ſer
r e in C ſi enk
ſich ſenkrecht ſchneidenden gerade 2
en Linien

A B, EF von ei
B, EF von einander abgeſondert werde
evos 1, eingetheilt: ſo 8

liegt der Theil der CLurve, wobey und
d y poſitiv ſind, in der

7

Gegend .
der Gegend aber, wobey x poſitiv und y nega
ſitiv iſt, in , ferner der, woben X negativ gatig. iſt, in M
und der endlich, wobey u aber po⸗
id y negativ

ſind, i in T.

S z.

E
eger

den Q und R
einander gleich und d ohnl ich ſeyn, wenn di
ie

Gleichung ſo
wenn n riai iſt, daß ſie unveraͤndert bl
fuͤr y ſetzt. Und da ſich dieſe Beſch
die affen⸗

heit bey allen
en Pot 1† t6
Zahlen ſind idet i len von y, deren Exponenten gerat
in den Gegenden D ſo erhellet, daß die Theile der dent
6 . . ZT er .
und R einander gleich und 6 Lurde,
aͤhnlich ſeyn

un in der Glei
chung keine
ungeraden eine Poteſtaͤten
dieſem eranen Erongennen vorkommen; und daß faig y mit
ginommen ie gerade Linie A B, worauf die D ich in
w
erden, ein Durchmeſer der G Eir⸗ ſ ſeiſſen CP
ehn n werde.

Hie

den lgebrat
iſe I
chen gehzren, unter ſoigender allgemei
folgender allgemeinen

Gleichung enthalten:

0 = a † ;6X † XX † † y2 † 4
5y2 eK 3 „ 4 1
X

S † -=74 † ꝛc.

Aus

iſt, ſo druckt die Gleichung

2 = 0

—

zir

geic⸗ und a
hnlice ren e gei theit wird; und es ſind daher
auch

4

270 Zweytes Buch. Funfzehntes Capitel.
anch die Theile der Curve in den Gegenden S und T ein⸗
ander gl leich und aͤhnlich.
Die Theile der Curve in den Gegenden Q und 8 aber

werden einander gleich und aͤhnlich ſeyn, wenn die Glei⸗

chung ſo beſchaffen iſt, daß ſie unveraͤndert bleibt, wenn
mann — * fuͤr †X ſetzt; und wenn daher 2 irgend eine

rationale e Funktion von XX und y iſt, ſo druckt die Gleichung

— 0
eine Curve aus, die durch die gerade Linie EF in zwey
gleiche und aͤhnliche Theile getheilt wird. Die allgemeine
Gleichung fuͤr dieſe Curven iſt demnach
0= † y † YXX † dyy † exxXy † e&y“ 4 „X4 †
9 2y2 † -y4 † ꝛc.
und a aus dieſer Gleichung iſt der Theil der Curve in S dem

Theile in C, ſo wie der Theil in T dem Theile in R gleich

und aͤhnlich.

§. 340.
Die Theile in den Gegenden O und T aber, oder die

Theile in R und S, werden einander gleich ſeyn, wenn die
Gleichung zwiſchen den Coordinaten Xund y ſo beſchaffen

iſt, daß ſie unveraͤndert bleibt, wenn man beyde Coordi⸗
naten negativ nimmt. Es ſey Z = o die Gleichung fuͤr
dieſe Curven, ſo erhellet, daß dieſe Gleichung die ange⸗
fuͤhrte Beſchaffenheit haben werde, wenn 2 eine Funktion
von X und y von geraden Dimenſionen, oder ein Aggregat
irgend einer Anzahl homogener Funktionen von geraden
Dimenſionen iſt. Wenn hingegen 2z ein Agaregat irgend
einer Anzahl homogener Funktionen von ungeraden Dimen⸗

ſionen iſt, ſo geht 27, wenn man und y negativ nimmt,

in

7

ES
und gle
Entwede
den Gei
line gefe
Cecheilt w⸗
lnig dn
gehdren
Mer es
Theile
luch den
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eſcheen
Rtonedr

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belegen.
gieht,
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Te

3 abe
e Gle⸗
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nſteofen
Coorde⸗
ng ii
ℳ*
Gttien
Nkera
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tgend
Dnen,
inmt
1

Von den Durchmeſſern der Curven. 271

in — Z uͤber, und es wird daher, da Z = o war, auch

— Z = o. erne ch findet man alſo eine doppelte allge⸗
meine Gleichung fuͤr die Curven, die in den entgegenge⸗
ſetzten Grzenden Q und FT, desgleichen in R und S, gleiche

und aͤhnliche Theile haben. Die eine nemlich iſt
0 = 2† gXX T YXy T 3y2 † =XA4 † GX 3y † „XXVVy †
Jxy3 T† y4 PXXG † 2c.
und die andere
= ex T gy 1 7X5 † xay †:y † &y' † xXxS †
9XX4y † X3yS † ꝛc.

§. 34r.
Es ſind alſo die Curven, die zwey einander aͤhnliche

und gleiche Theile haben, von einer zwiefachen Gattung.

Entweder liegen dieſe beyden Theile dergeſtalt auf den bey⸗

den Seiten um einer geraden Linie, daß alle auf dieſe

Linie gezogene ſenkrechte Ordinaten in zwey gleiche Theile

getheilt werden. In dieſem Falle heißt die gedachte gerade

Linie ein rechtwinkliger Dur ſchmeſſer der Curve, und es
gehoͤren dahin die G leichungen im 3327 und 338ſten §.
Oder es befinden ſich jene beyde aͤhnliche und gleiche

Theile auf den entgegengeſetzten Seiten ſo, daß jede

durch den Punkt C gezogene gerade Linie die Curve in zwey

wechſelsweiſe einander gleiche Theile theilt, welches bey

den Gleichungen des vorhergehenden § der Fall iſt. Dieſe
verſchiedene Lage der gleichen Theile wollen wir nun auf die

Art ausdrucken, daß wir diejenigen, die zu der erſten Art ge⸗

hoͤren, mit dem Namen, entgegengeſetzt gleich, die von

der andern aber mit der Benennung, wechſelsweiſe ſe gleich,

belegen. Da es ferner bey der letzten Gattung einen Punkt
C giebt, der ſo beſchaffen iſt, daß jede dadurch zu beyden
Seiten nach der Curve gezogene gerade Linie in ihm in

zwey

EE

272 Zweytes Buch. Funfzehntes Capitel

zwey gleiche Theile getheilt wird, ſo kann man dieſem

Punkte ſehr fuͤglich den Namen Mittelpunkt geben, ſo daß

alſo den Curven, die zwey wechſelsweiſe gleiche Theile ha⸗

ben, ein Mittelpunkt zukommt, denen aber, wobey zwey

Theile entgegengeſetzt einander g gleich ſind, ein Durchmeſ
ſer zugeſchrieben werden kann.

3

§. 342. “

Da die Gleichung 2 = o, wenn y in der Funktion 2Z
keine andere als gerade Dimenſionen hat, Curven aus⸗
druckt, die einen Durchmeſſer AB, Fig. 68, haben; und
eben dieſe Gleichung, wenn darin die andere Coordinate
bloß in geraden Dimenſionen vorkommt, eine Gleichung

fuͤr Curven mit dem Durchmeſſer EF iſt: ſo muͤſſen, wenn

2 eine ſolche Funktien von X und y iſt, daß alle Exponen⸗
ten von und y gerade Zahlen ſind, AB und Ef recht⸗
winklige Durchmeſſer der Curve, und alſo die in den Ge⸗
genden Q, R, S und T liegenden vier Theile der Curve ein⸗
ander gleich und aͤhnlich ſeyn. Die allgemeine Gleichung
fuͤr dergleichen Curven iſt daher:
= a T 6x † 77v* † àXA T sX y2 † & †ας
daay⸗ †P ꝛc.

. 343.

CEs haben alſo die in dieſer Gleichung enthaltene Cur⸗
ven zwey rechtwinklige Durchmeſſer A B und E F, die ſich

in dem Punkte C ſenkrecht ſchneiden, und es gehoͤren die⸗

ſelben insgeſammt entweder zu der zweyten, oder zu der
vierten, oder zu der ſechſten Ordnung ꝛc., ſo daß keine Linie
von einer ungeraden Ordnung Curven enthaͤlt, die mit
zwey Durchmeſſern, die ſich ſenkrecht ſchnitten, verſehen
waͤren. Und da die Gleichung § 342 auch in der erſten Glei⸗
chung

chung
in (
Seite
in we
nik ein
Gleichu
nx

O
ſang
ſolche
Nubo
Curt⸗
ſeyn
nge
eſthele
Curde
ſc
Du
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folgt
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6ch
60:
Durchn
Durchr
We
mot
neue
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E

d Wen
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9 licht

1 den Ge⸗

=

ſene s⸗

, Neſh

hren de⸗
l N
enedie
,die
beeher
ſerbi⸗

Von den Durchmeſſern der Curven. 273

chung im 340ſten 5 begriffen iſt, ſo haben jene Curven auch
in C einen Mittelpunkt, ſo daß jede dadurch zu beyden

Seiten nach der Curve gezogene gerade Linie in demſelben

in zwey gleiche Theile getheilt wird. Dergleichen Curven
mit einem doppelten Durchmeſſer erhaͤlt man alſo aus der
Gleichung Z = o, wenn Z irgend eine rationale Funktion

von xXX und yy iſt.

Da wir auf dieſe Art zu Curven mit zwey Durchmeſ⸗

ſern gelangt ſind, ſo wollen wir nun auch Gleichungen fuͤrn

ſolche Curven ſuchen, die mehr als zwey Durchmeſſer haben.

Zuvoͤrderſt iſt leicht zu zeigen, daß die Durchmeſſer jeder

Curve, die deren nur zwey hat, auf einander ſenkrecht
ſeyn muͤſſen, ſo daß keine Curve mit zwey Durchmeſſern
moͤglich iſt, die nicht in der zuletzt gefundenen Gleichung
enthalten waͤre. Denn wir wollen annehmen, daß eine
Curve zwey Durchmeſſer AB und EF Fig. 69 habe, die
ſich in C nicht ſenkrecht ſchneiden. Da alsdann EC ein
Durchmeſſer iſt, ſo muß der Curve auf beyden Seiten die⸗
ſer geraden Linie gleiche Beſchaffenheit zukommen; und
folglich, da der Theil dießeits E C die Linie AC zum Durch⸗
meſſer hat, auch der Theil jenſeits EC den Durchmeſſer
GC haben, der in dem Punkte C mit EC den Winkel
GCE=ACE mache. Auf aͤhnliche Art muß, da 6 C ein
Durchmeſſer iſt, auch 10, wenn G CI = G CE iſt, ein
Durchmeſſer von eben der Beſchaffenheit als EG ſeyn.
Ferner iſt auch LC ein Durchmeſſer, wenn man 1CL = ICG
macht; und ſo findet man, wenn man fortfaͤhrt, immer
neue Durchmeſſer, bis der letzte mit dem erſten A C zuſam⸗
menfaͤllt, welches geſchiehet, wenn der Winkel ACE zum
rechten Winkel ein rationales Verhaͤltniß hat.

Eulers Einl, in d. Angl. d. Unendl. II. H. S §. 345.

274 Zweytes Buch. Sunftchnte Capitel.

S Z

§. 345.

Hat aber der Winkel ACE zum rechten Winkel kein
rationales Verhaͤltniß, ſo wird die Anzahl der Durchmeſ⸗

ſer unendlich groß, und die Curve iſt dann ein Kreis, in

welchem jede durch den Mittelpunkt gezogene gerade

Linie ein rechtwinkliger Durchmeſſe er iſt; d enn dergleichen
Durchmeſſer verſtehen wir hier allemal, wenn wir von

Durchmeſſern reden, weil dieſe nur die Curven in zwey

aͤhnliche und gleiche? Theile theilen. Hieraus erhellet, daß
keine algebraif ſche Linie zwey einander parallele Durchmeſ⸗
ſer haben koͤnne. Denn haͤtte ſie zwey ſolche Durchmeſſer,
ſo wuͤrde ſie, aus den angef fuͤhrten Gruͤnden, auch unendlich

viele unter einander parallele und gleichweit von einander

entfernte Durchmeſſer haben, und alſo von einer geraden
Linie in unendlich vielen Punkten geſchnitten werden muͤſ⸗

ſen. Allein dieſe Beſchaffenheit kommt den algebraiſchen
Linien nicht zu.

8. 346.

₰

Wenn alſo eine Eurve e mehr als zwey Durchmeſſer hat, ſo
ſchneiden ſich dieſelben nsgeſammt in einem und demſelben

Punkte C, und ſind von einander unter gleichen Winkeln

erafernt. Ferne er ſind dieſe Durchmeſſer von zwiefacher

Gattung, und ſolgen wechſelsweiſe auf einander, indem
nemlich der Durchmeſſer C von eben der Beſchaff enheit

iſt, als der Durchmeſſer CA. Daher kommt die Glei⸗

chung fuͤr die Curve, wobey CG die Axre iſt, mit der uͤber⸗
ein, wodey CA zur Axe angenommen wird, und die wech⸗
ſelnden Durchmeſſer CA, CG, CL, ꝛc. ſo wie auch CE, Cl ꝛc.
gehoͤren auf gleiche Art zu der Curve. Wenn alſo die An⸗

zahl der Durchmeſſe r endl ich iſt, ſo iſt der Winkel ACG

ein gliquoter Theil von vier rechten Winkeln, oder A CE ein
ali⸗

aligu

wie⸗

,

nd ſ.
Durch
Funti

Cn-
herin
derni

ſſe

ll te⸗

kreis,
geredt
ergleichen
wir von
in zwi
lt, N5

aden
Grlſchen

ſehnN.

denſeben
Virten

PM = y, ſ wird

Von den Durchmeſſern der Curben. 275

aliquoter Theil von 18007 oder der halben Peripherie, die

wir = * ſezen wollen.

8. 347.
Wenn der Winkel ACE, Fig. 70, = = 900 = – iſt,

ſo findet der vorhin ſchon unterſuchte Fall ſtatt, wo die

Curve zwey auf einander ſenkrechte Durchmeſſer hat.
Dieſe Curven wollen wir jetzt nochmals, aber auf einem an⸗
dern Wege, unterſuchen, den wir auch zur Erſindung meh⸗
rerer Durchmeſſer betreten koͤnnen. Es habe demnach die
Curve die beyden Durchmeſſer AB und EF. Man nehme
in ihr irgend einen Punkt M an, ſetze, nachdem man aus
dem Mittelpunkte C die gerade Linie CM gezogen hat,
CM = 2, und A C M = s
und ſuche eine Gleichung zwiſchen z und s. Da AC ein
Durchmeſſer iſt, ſo faͤllt in die Augen, daß 2 eine ſolche
Funktion von s ſeyn muß, die unveraͤndert bleibt, wenn

man —s fürs ſetzt; denn es muß, wenn man ſtatt des

Winkels ACM = s den negativen Winkel A Cm nimmt, .
Cm = CM ſeyn. Nun iſt coſ. s eine ſolche? Funktion von

s, welche durch die Suhſtitution von — s fuͤr † s nicht

veraͤndert wird; und es wird daher dem gedachten Erfor⸗
derniſſe ein Genuͤge geſchehen, wenn irgend eine ratio⸗
nale Funktion von cof. s iſt.

K. 348.
Setzt man die Abſciſſe CP = x, und die Applicate

*

= VG † y, und coſ. s = .

.

Soll nun 2 = 0 die Gleichung fuͤr die Curde ſenn, deren

Durchmeſſ er CA iſt, ſo muß 2 eine rationale Funktion von
S 2 2

7
. 2

276 Zweytes Buch. Funfzehntes Capitel.

2 und , oder von 2 und x, oder, wegen der Rationalitaͤt, fen
von XX † yy und x ſeyn. Aber wenn 2 eine Funktion von
XX † yy und x iſt, ſo iſt es auch eine Funktion von yy
und x. Denn ſetzt man XX † yy = u, ſo wird 2 eine 1
Funktion von æ und u; und ſetzt man ferner u = t † XX, 49,
ſo daß t = yy wird: ſo wird 2 eine Funktion von t und „— In
d. h. von yy und x. Wenn daher 2 eine rationale Funk⸗ NeD
tion von yy und xX iſt, ſo iſt die gerade Linie CA ein Durch unddi
meſſer der Curve: und dieſe Beſtimmung kommt mit der⸗ en de
jenigen durchaus uͤberein, die wir oben [§ 338] fuͤr die d
urven, denen ein Durchmeſſer zukommt, gefunden haben. hͤ
“ linen
Mmere
Abber die geſuchte Curve ſoll zwey Durchmeſſer AB und —e
EF haben, woher denn der Durchmeſſer CB von eben der m
Art ſeyn wird, als der Durchmeſſer CA, § 346. Wenn —
man alſo die gerade Linie C M = 2 auf den Durchmeſſer C B V 1
bezieht, ſo muß, weil BC M = z — s iſt, 2 eine ſolche “
Funktion von s ſeyn, die unveraͤndert bleibt, wenn man
* — s fuͤrs ſetzt. Dergleichen waͤre nun zwar ſin. s, weil
ſin S = ſin. (z — 8) iſt, allein es geſchiehet dadurch der SJð
vorhergehenden Bedingung fein Genuͤge Man muß alſo Pvirt
einen Ausdruck ſuchen, der auf gleiche Art zu s, —s, und Archn
*. — s gehoͤrt, und ein ſolcher iſt coſ. 28, indem coſ. 2 8s = *
coſ. — 28 = col. 2 ( — s) iſt; und es iſt demnach die Gde
Gleichung 2 = o eine Gleichung fuͤr die Curven mit zwey D 8
Durchmeſſern AB und EF, wenn 2 eine rationale Funktion Dan
von? und coſ. 2s iſt. Nun iſt coſ. 2 = — „ und den
es muß daher 2 eine Funktion von xK † yy und XX — yy Dur

oder

fontſn

kkionn
bon
2 ein
td,
ge unt,
nduc⸗

Ne

ee.

nhoben

ADN
Ghen der
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Nus oli
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c e
N woeg
Furtin

,

1-
er

1

Von den Durchmeſſern der Curven. 277

oder von XX und 77 ſeyn, wie wir vorhin [5 342] ge⸗
funden haben.

§. 350.

Nun wollen wir zu den Curven, die drey Durchmeſſer
AB, EF, und GH, Fig. 71, haben, fortgehen, wo ſich

denn [§ 346] dieſe Durchmeſſer in einem Punkte C unter
den Winkeln ACE, ECG, GCB = 600 = ½2 ſchneiden,
und die wechſelnden Durchmeſſern C A, CG, CF von einer⸗

ley Beſchaffenheit ſeyn werden. Setzt man daher C M = 2,

und A CM = s, ſo muß, weil GC M = *½ * —s iſt, die

Funktion fuͤr die Curve Z = o ſo beſchaffen ſeyn, daß 2

eine rationale Funktion von 2 und einer Groͤße w iſt, die
unveraͤndert bleibt, wenn man — s oder % —s fuͤr
ſetzt. Es iſt demnach w = coſ. 35, weil coſ. 3 8Sö = coſ.

— 3⁸ = coſ. (2 — 3 8) iſt. Setzt man aber die Coor⸗

dinaten CP = x, und P M = y, ſo wird coſ. 3 s =

3 —
— 3, und es muß folglich 2Z eine rationale dunk⸗

23
tion von XX. † yy, und x3 — 3XyV ſeyn.

§. 351.

Macht man n daher XX† yy = t, und 23 — 3yy= u,
ſo wird die allgemeine Gieichung fuͤr die Curven mit n drey
Durchmeſſern

= a † 8t † vu † Det f etu † uu t ets † ꝛc.
und dieſe giebt folgende zwiſchen und y
= e†S Gx † yy) † X (XK w-3yy) † GxX † yy)2 † ic.
Da nun die Gleichung
0 = =† gXxx † 8yy
dem Kreiſe zugehoͤrt, der als eine Curve mit unzaͤhligen
Durchmeſſern auch zu den Eurven gerechnet werden kann,

3 278 Zweytes Buch. Funfzehnte⸗ Capitck.

die drey Durs chmeſſer haben: ſo iſt die einfachſte Curve mit

Drey Durchmeſſern die Linie der dritten Ordnunz, die durch
die Gleich ung

Xxjz — 3XVy = axxX † ayy † ba
ausgedruckt wird, und drey Aſymptoten hat, die ein gleich⸗
ſeitiges Dreyeck machen, in deſſen V. Mitte der Punkt C C liegt.
Die gedachten Aſymptoten gehoͤren insgeſammt zu der Art

A-
2 = Te⸗ und die Curve nach der oben gemachten Claſſiſi⸗

cation zu der fünften Art.

X

6. 352.

Wenn die Curve vier Durchmeſſer A B, EF, 6 H und
1 5½, Fig. 72, hat, die ſich in dem Punkte C unter halben

rechten Winkeln = * ſchneiden, ſo ſind die Durchme eſſer⸗

CA, CG, CB und CH von einer und derſelben Beſchaffen⸗
heit. Wenn man daher C M = z und ACM = s ſetzt,

ſo muß eine ſolche Funktion vons geſucht werden, die un⸗

veraͤndert bleibt, wenn — s oder % — s füͤr s geſetzt
wird. Dergleichen iſt aber cof. 48, und wenn alſo Z eine

Funktion von 2 und coſ. 4s, oder von XX † 7y. und X4

— 6 ½yy † y iſt, ſo giebt die Gleichung Z = o eine
Curve mit vier Durchmeſſern. Es wird daher 2Z eine Funk⸗
tion von t und u, HZ man t = XX † yy, und u = X4

— 6XxXyy † y4 ſetzt; nimmt man aber V = tt — u, ſo

wird Z eine Funktion v von t und v, d. h. von XX: P yy und
XXxyy. Oder man kann auch 2 ſo beſtimmen, daß man
ſagt, es ſey eine Funktion von xXX † yy und X4 † y4.

5. 353.

Wenn die durch die Gleichung 2 = 0 ausgedruckte .

Curve fuͤnf Durchn jeſſer haben ſoll, ſo muß 2 eine Funktion

von

gende
4
N e⸗
hat dieſ.
ein tegel
Puntt

hine

CGlächon

von ſe

ſchlieſe

col. n5

eine

Von den Durchmeſſern der Curven. 279

von2 und coſ. 5 s ſeyn. Da nun, wenn die rechtwinkügen

Coordina ten und y ſind,
X* — ox TT a1
2 5° M

coſ. 5 8 =

wird, ſo iſt Z? = o eine Gleich ung fuͤr eine Curve mit fuͤnf
Durchmeſſern, wenn 2 eine rationale Funktion von xx † yy
und X5 – I0X3yy † 5Xy iſt. Die einfachſte Curve,
den Kreis ausgensmmen, die fuͤnf Durchmeſſer hat, iſt
demnach eine Linie der fuͤnften Ordnung, die durch fol⸗
gende Gleichung ausgedruckt wird:
XS5 – 10X3yy P5 XV4 = daxX e d! † b(XX † y 7) † c,
und wegen der Realität aller Faktoren des hoͤch ten Gliedes
hat dieſe Curve fuͤnf Aſy uigtbten, die durch ihre Schnitte
ein regulaͤres Ft Juͤnfeck k machen, in deſſen Mitte der Mittel⸗
punktC liegt.

§. 354.
Hieraus erhellet ſchon allgemein, daß eine durch die
Gleichung 2 = o ausgedruckte Curven Durchmeſſer, da⸗
.
von je zwey neben einander liegende den Winkel = ein⸗
ſchlieſſen, haben werde, wenn 2 eine Funktion von 2 und
coſ. ns, oder, bey rechtwinkligen Gordenater irgend eine
—,5

rationale Funktion von & † yy, Ut dx xXn — — Xh- 22 13

n (n — 1) (n — 2) (n — 3)
1 2 3 4
Gleichung: .
o = = at T vu f dett etu t euu tets ottur t-
eine Curve mit n Durchmeſſern geben werde, wenn
t = XX † 7V
J”ÿMB und ä

XnR-A yA — c. it; oder daß die

280 Zweytes Buch. Fuuffehntes Capitel.

. - nen —n —2 ⸗2 Dla An- a4
. I . 2 1 2 . 3 * 4

genommen wird. Hieraus laſſen ſich Curven mit ſo viel,

unter gleichen Winkeln in einem und demſelben Punkte C
ſich ſchneidenden, Durmmeſſern, als man will, finden, und
dabey begreift dieſe Gleichung ohne Ausnahme alle alge⸗
broiſche Curven unter ſich, die eine gegebene Anzahl von
Durchmeſern haben.

Derngleichen mit mehrern Durchmeſſern verſehene Cur⸗
ven haben allemal eine doppelt ſo große Anzahl einander

aͤhnlicher und gleicher Theile. Sol hat die Curve mit zwey

Durchmeſſern, Fig. 70, vier aͤhnliche und gleiche Theile,

AE BE, AF und B F; die Curve mit drey Durchmeſſern,

Fig 71, ſechs aͤhnliche und gleiche Theile, A E, GE, G B,
FB, FH und AH; die Curve mit vier Durchmeſſern, Fig. 72,
acht aͤhnliche und gleiche Theile AE, AK, GE, GI, BlI,
BF, HF und HK; und auf aͤhnliche Art iſt die Anzahl der
gleichen Theile immer noch einmal ſo groß, als die Anzahl
der Durchmeſſer. So wie wir aber oben [§ 338] geſehen

haben, daß es Curven giebt, die zwey aͤhnliche und gleiche

Theile aber keinen Durchmeſſer haben, ſo finden auch Cur⸗

ven mit mehr als zwey aͤhnlichen und gleichen Theilen ohne
Durchmeſſer ſtatt.

=WßM 4. 386.

Wir wollen von zwey gleichen auf durchaus entgegen⸗

geſetzten Seiten liegenden Theilen, A M E, BK F, Fig. 73,
anfangen, welchen Fall wir ſchon oben § 340] gehabt ha⸗
ben. Sollen nemlich einer Curve nicht mehr als zwey gleiche
Theile zukommen, ſo muͤſſen dieſelben nothwendig einander
“ entgegengeſetzt ſeyn. Dies wird deutlich werden, wenn
wir

7

4 54- 20.

die de

Den

– 2

4

Von den Durchmeſſern der Curben. 281 .

4. wir mehrere gleiche Theile betrachten Setzt man alſo wie⸗
der, wie vorhin, CM = z, und den Winkel ACAMI =— s,
tſi ſo iſt offenbar, daß den Winkeln s und =†s einerley Werth
dunktet von 2 zufommen muͤſſe; denn nimmt man AC M = „ † 8,
den, un ſo wird 2 = CK, CK aber muß = CM ſeyn. Man muß
le e⸗ alſo einen Ausdruck ſuchen, der den Winkeln s und æ= † s
ehl den gemein iſt, und da tang. s = tang. (z2 s), ſo iſt tang. s

ein ſolcher. Hiernach gehoͤrt die Gleichung Z = o fuͤr eine
Curve, ſo wie wir ſie jetzt betrachten, wenn Z eine Funk⸗

tion von z und tang. s, oder eine Funktion xx † yy und

X . X
einande 7 iſt. Macht man 7 S= t, ſo wird xX 77 = VyV
W (1 † tt), und dann muß 2 eine Funktion von t und yyn
Gah, (1 †. tt) d. h. von t und yy ſeyn. Hieraus ergeben ſich
ele eben die Gleichungen, die wir oben gefunden haben.
,i , . 357
6l, D Damit aber die Bruͤche, welche in den Ausdruͤcken fuͤr
ſchdee die Tangenten vorkommen, vermieden werden, kann man
e oncl zu eben dieſem Behufe die Sinus und Coſinus brauchen.
)ageſhen Denn da ſin. 28 = ſin. 2(æ † s) und coſ. 28 = coſ. 2( †⁸)
d ehe . iſt, ſo kann 2 auch eine rationale Funktion von 2, ſin. 28
1mon und coſ. 28, oder von XX † yy, 2Xy, und XX — yy ſeyn.
ingr Wenn einer von den Ausdruͤcken ſin. 28, und coſ. 28 weg⸗
. gelaſſen wird, ſo hat die Curve außerdem auch einen Durch⸗
meſſer. Es kommt alſo bey der geſuchten Aufloͤſung darauf
an, daß 2 eine rationale Funktion von Xx, yy, und xy
tgeen⸗ ſey, und daher entſteht denn die Gleichung:
h95 s==† grx †7xXy † dyy †sςt * . †Hτιρα.π
ibth⸗ † xy3 † -y4 † c
eikc Wenn nun die Glieder, worin nicht enthalten iſt, ver⸗
ihetdeee ſchwinden, ſo laͤßt ſich die ganze Gl eichung durch X divi⸗
1,E diren, und dann wird
pit S 5 EC

.

292 Zweytes Buch. Funfzehntes Capitel.

o = ,xX † vy † exs OxXy »xXy2 † &y3 † zxXS † 1.

Dieſes ſind aber die beyden Gleichungen, we lche wir oben
[5§ 340 gefunden haͤben.

4kK4k. 358,
Nun wollen wir eine Curve ſuchen, die nicht mehr als
drey aͤhnliche und gleiche Theile AM, BN und DL., Fig. 74,
habe, welche daher ſo beſchaffen ſeyn muß, daß, wenn
man aus dem Mittelpunkte C drey gerade Linien CM, CN,
CL. unter gleichen Winkeln gegen einander zieht, dieſe

M Linien immer einander gleich werden. Setzt man

lſo den Winkel A CM = §, und die gerade Linie CM. — 2,

ſ⸗ muß die gerade Linie z durch s auf eine ſolche Art be⸗
ſtimmt werden, daß den drey Winkeln s., ½ 2 † s, und

2½ † s ein und derſelbe Werth von 2 zukomme, indem
MCN=NCL= zæ= iſt. Nun haben dieſe drey Winkel
die Aus druͤcke ſin. 38, und cof. 3s gemein. Wenn daher

2 eine rationale Funktion von fol genden drey Groͤßen,
XxX † yy; 3 X y –— y³; und X 3 — 3 7y y iſt, ſo giebt
die Gleichung 2 = o alle Curven von der geſuchten Art.
Es fließt alſo hieraus die allgemeine 0 GSleichung:

0 = a † 2 (XxX † yy) † 7 (Zxxy — y3) 1 9* — 3xyy)
⸗(XKX †T y y)2 † o(xX † yyY) (3 XXy — -p3³)
G 1yy, (X5 — 3 *yy) † ꝛc.

und die Linien der dr itten Ordnung, die dieher gehören,
ſind in der Gleichung begriffen:

0 = « † AXX † Gyy † 5X5 † 37Xy — 3yy † 2

4

H. 359.

Wenn die Curve vier gleiche Theile AM, EN, BK und

PFL, Fig. 73, haben ſoll, ſo daß jede vier aus dem Mittel⸗
“ punkte

ptn
CN/
Wuie

denn,

diege
den n
eifele
Gleicht
len ge
drey
n
hen ſ
d=½

ett nan
(A=;,
18, W

7.

B Von den Durchmeſſern der Curven. 283

punkte unter gleichen Winkeln gezogene gerade Linien CM,
CN, CK und CL. einander gleich ſind: ſo ſetze man den
Winkel ACM = s, und die gerade Linie C M = s, wo
denn, weil MGCN = NCKE = K CL 900 = ⅛ æ iſt,
die gerade Ludie 2 ſo durch den Winkel s ausgedruckt wer⸗
den muß, daß zu den Winkeln s, † s, æ † s, 317 † s
einerley Wenh gehoͤrt. Dieſe Eigenſchaft haben nun die
Ausdrücke ſin. 48 und coſ. 4s; und es wird daher die
Gleichung Z = o eine Curve mit vier ſolchen gleichen Thei⸗
leern geben, wenn 2 irgend eine rationale Funktion dieſer
dren Groͤßen, XX † yy; 4X3 — 4xy3, und X4 – 6xXxVyy
+† y« iſt. Die allgemeine Gleichung fuͤr dergleichen Cur⸗
ven iſt demnach
= «† &xx †P &yy† 7Xa † R F1 † xxyy — xy3 † vyA † ꝛc.
K. 360.
Auf eine aͤhnliche Art findet man, daß 2 in der Glei⸗
chung Z = o, wenn dieſelbe eine Curve mit fuͤnf aͤhnli⸗
chen und gleichen Theilen ausdrucken ſoll, eine Funktion
folgender drey Groͤßen: —
XX † yy; 5X 47 — 1072,3 † ys; x5 — 10x3y2 † 5xy *
. ſeyn muß. Ueberhaupt aber muß 2, wenn die durch Z = 0
ausgedruckte Curvenn gleiche Theile haben ſoll, eine ratio⸗
nale Funktion von dieſen drey Groͤßen: .

n (n –— IL) (n — 2
nX-kYy — Xu-3 3
1 . 2 . 3
n (n — 1 (n — 2 (n — 3) (n — 4)
. 2 . 3 . 4 . 3è5
è” 9
und

284 Zme Buch, dunſzehntes Capitel.

1 . . 4

Dxa- y4— .

ſeyn; und wenn einer von dieſen beyden letzten Ausdruͤcken
aus der Gleichung wegfaͤllt, ſo hat die Curve zugleich ſo

viel Durchmeſer, als n Einheiten enthaͤlt.

§. 361. =M
Zu dieſer doppelten Claſſe der Curven mit gleichen Thei⸗
len, wonach einigen Durchmeſſer zukommen, andern aber
nicht, gehoͤren uͤberhaupt alle algebraiſche Curven, die zwey

oder mehr aͤhnliche und gleiche Theile haben. Um ſich hier⸗

von zu uͤberzeugen, habe eine continuirliche Curve die bey⸗
den Theile O Aa und Ob, Fig. 75, einander aͤhnlich und
gleich. Man ziehe AB, und beſchreibe daruͤber als uͤber
der Grundlinie das gleichſchenklige Dreyeck A CB, deſſen
Winkel C dem Winkel O gleich ſey. Da nun die Winkel
QAC und O BC einander gleich ſind, ſo ſind auch die Theile
der Curve CAa und CB b aͤhnlich und gleich; und wenn

*„

man die Winkel BCD, DCE, ꝛc. dem Winkel A CB, und

CD = CE = CA = CB macht, ſo hat die Curve, wegen
des Geſetzes der Continuitaͤt, auch die Theile D d, Ee ꝛc.
bey dieſen geraden Linien aͤhnlich und gleich den Theilen

Aa, B b. Wofern alſo das Verhaͤltniß des Winkels ACB

zu 3600 nicht irrational iſt, ſo wird die Anzahl der gleichen
Theile endlich ſeyn; iſt hingegen dieſes Verhaͤltniß irratio⸗

nal, ſo iſt dieſelbe unendlich groß, und alſo die Curve keine

algebraiſche mehr. Es gehoͤrt aber jene Curve allemal zu
den vorhin von uns unterſuchten, die keinen Durchmeſer
haben.

S §. 362.
Wenn aber die beyden aͤhnlichen und gleiche Theile auf

entgegengeſetzte Seiten der Linien AO und BO, Fig. 76,
fallen,

folen,

T

Mw-
ud N
d
Aa
Denn

hern
ſprich
den D
gen el!
ſolglic
hoben

60

Prale

Re⸗
auch
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Oder
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*.

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A
4 1
n

Von den Durchmeſſern der Curven. 285

fallen, ſo daß der Theil AOa dem Theile OB b aͤhnlich und
gleich iſt: ſo ziehe man auf beyden Seiten die geraden Linien
A R und B S ſo, daß O AR= O BS = ¾½ A O;, und folg⸗
lich AR der BS parallel werde. Wird nun AB gezogen,
und durch den Mittelpunkt C die gerade Linie CV der A RKR
und der BS parallel gelegt ſo ſind die Theile a A und b B
in Ruͤckſicht auf die gerade Linie CV aͤhnlich und gleich.
Wenn alſo nicht ba = o iſt, ſo wird, weil dem Bogen

„b B, wenn man von b nach a zu fortgeht, der auf der an⸗

dern Seite liegende aͤhnliche und gleiche Bogen a A ent⸗
ſpricht, dieſem Bogen auch, wenn man von a nach e durch
den Raum ae = ba fortgeht, der aͤhnliche und gleiche Bo⸗

gen e E, und dieſem ferner der Bogen db entſprechen, und

folglich die Curve unendlich viel aͤhnliche und gleiche Theile
haben. Eine ſolche Curve iſt aber keine algebraiſche.

§. 363.
So verhaͤlt es ſich, wenn die gerade Linie A B gegen die
Parallelen AR und Bs eine ſchiefe Lage hat, oder, welches
auf einerley hinauslaͤuft, wenn die Seiten AO und BO des
Dreyecks AOꝑꝶ ungleich ſind. Iſt hingegen AO = B0, ſo iſt
auch AB ſenfrecht auf den Parallelen AR und B S und CV,
welche letztere denn zugleich durch O geht. Wenn dieſes iſt, ſo
fallen die Punkte a und bh zuſammen; und da die Theile a und
b'; nicht nur gleich und aͤhnlich ſeyn, ſondern auch auf beyden
Seiten der CV auf gleiche Art liegen werden: ſo iſt in dieſem
Falle CV ein Durchmeſſer, und es gehoͤrt demnach die Curve
zu den vorhin betrachteten mit einem Durchmeſſer verſehenen
Curven. Es giebt folglich keine algebraiſche CLurven mit zweg
oder mehr aͤhnlichen und gleichen Theilen, die nicht in der
unterſuchten doppelten Claſſe dieſer Curven enthalten waͤren.

2

Sechs⸗

Sechszehntes Capitel.

Von der Erfindung der Curven aus gegebenen Eigen⸗
ſchaften der Appntalen.

6. 364.
Woen P und O rationale Funktionen der Abſeiſſe ſind,
und die Natur einer Curve durch die Gleichung
yy — Py † QO = o
ausgedruckt wird: ſo gehoͤrt zu jeder Abſciſſe entweder
gar keine oder eine doppelte Applicate, und dabey iſt die
Summe dieſer Applicaten = P, und ihr Produkt = Q.
Iſt daher P eine beſtaͤndige Groͤße, ſo iſt auch die Summe
der Applicaten, die zu jeder Abſciſſe e gehoͤren, eine beſtaͤn⸗
dige Groͤße, und die Curve mit einem Durchm er ver⸗
ſehen. V Eden dieſes ſnder ſtatt, wenn
P=àaTnX
iſt; denn alsdann iſ die gerade Linie, die durch die Glei⸗
chung
2=a † nz
ausgedruckt wird, ein Durchmeſſer der Curve im weitern
Verſtande, ſo daß nicht bloß rechtwinklige, ſondern auch
ſchiefwinklige Durchmeſſer verſtanden werden. Iſt hin⸗
gegen Qeine beſtaͤndige Groͤße, ſo iſt das Rechteck zwiſchen
jeden zwey zu einer oſeiſſe e gehoͤrigen Applicaten beſtaͤndig,
und

4*

V.

vnd es

ſhnit

iſt,

Nebon

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Naͤteck
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Sumnee.

N dehen
R N

Ne Cn⸗

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ern 1uc
ſ hn
wviſten

V. d Eifindung der Curven aus Eigenſch. d. Auliet. 287

und es kann folglich die Arxe nirgends von der Curve ge⸗

ſchnitten werden. Wenn aber
= % † βX † YXXX

iſt, und dieſer Aus druck reelle Faktoren hat, ſo wird die

Axe von der Curve in zwey Punkten geſchnitten, und O iſt
ein Vielfaches von dem Rechtecke zwiſchen den Theilen der

Axe, und das Rechteck zwiſchen den Applicaten ſteht mit

Rechtecke zwiſchen den Theilen der Axe in einem beſtaͤndi⸗
gen Verhaͤltniſſe.

5. 365.
Es kommen alſo dieſe Eigen ſchaften, die wir oben als

Eigenſchaften der Linien der zweyten Ordnung kennen ge⸗

lernt haben, unzaͤhligen andern Curven zu. So iſt die be⸗

ſtaͤndige Groͤße der Rechtecke zwiſchen den beyden Applica⸗

ten, die zu einer Abſciſſe gehoͤren, welche wir (§F. 163. f.]
als eine Eigenſchaft der auf die Aſymptote bezogenen Hy⸗

perbel gehabt haben, allen Curven gemein, die in der

Gleichung yy — P y — à a enthalten ſind. So wie ferner
bey den Kegelſchnitten, wenn man eine gerade Linie E F,

Fig. 19, welche die Curve in den beyden Punkten E und F ſchnei⸗

det, zur Axe annimmt, das Rechteck P M. P N zu dem Recht⸗
ecke PE. PF ein beſtaͤndiges Verhaͤltniß hat: ſo findet ſol⸗
ches bey allen Curven ſtatt, die durch die Gleichung

yy — Py † ax –— nxXX = o ausgedruckt werden, und

zwar iſt P M. PN = PE. PF, oder pm. pn = Ep. p F,
wenn yy — Py = à X — xxX iſt. Es kommt alſo dieſe
Eigenſchaft, die man als eine Eigenſchaft des Kreiſes in
den Elementen kennen lernt, außer ihm nicht nur auch einer
unzaͤhligen Menge Curven der hoͤhern Ordnungen zu, ſon⸗
dern es haben ſie auch die uͤbrigen Kegelſchnitte mit ihm
gemein. Denn ſetzt man P = b 1 n X, ſo begreift die

Glei⸗

288 Zweytes Buch. Sehezehne Capitel. ßůUB gd

Gleichung yy — nxy † xx = ax 1 by, welches eine Ahdri
Gleichung fuͤr den Kreis iſt, wenn n = 0 und der die A
Winkel EPM ein rechter Winkel iſt, auch die Ellipſe, NI
wenn nn kleiner als 4, und die Hyperbel, wene nn gröo⸗ ,
ßer als 4, und die Parabel, wenn n n =4 iſt, unter ſich. geſhi
. 366. n
Hieraus folgt, daß ſich in einem ſedem Kegelſchnitte (, din
AE BF, Fig 77, deſſen Axen oder Hauptdurchmeſſer AB
und E F ſind, jede zwey gerade Linien pq und mn, die
auf die Hauptaxen unter einem halben rechten Winkel ge⸗ ed
zogen worden, in h ſo ſchneiden muͤſſen, daß m h —n h = Gli

ph. q h wird. Eben dieſes fließt auch aus den allgemei⸗
nen Eigenſchaften der Kegelſchnitte Denn zieht man durch

den Mitelpunkt C die geraden Linien ?Q und MN unter ei⸗ Sat
nem halben rechten Winkel auf die Hauptaxen, ſo werden uh
dieſe Linien gleich, und folglich MC. NC= PC. Q;
und da ſich alle dieſen Linien gezogene parallele Linien aueau 1 die

eben die Art ſchneiden, ſo muß auch m h. nh = ph. qh ie
“ ſeyn. Ja, wenn nur die geraden Linten M N und P Qſo
geezogen worden ſind, daß ſie gegen einerley Hauptaxe eben

dieſelbe Neigung haben, oder daß P CA = N CA iſt, ſo ę —
erhellet daraus, da C PH = CN iſt, ſelbſt, daß alle der MN — ine .
und P Q parallel gezogene gerade Linien ſich ſo ſchneiden teli
werden, daß die Rechtecke zwiſchen ihren Theilen gleich hre
ſind, oder m h. hn = ph. h iſt. tilen,
6E
B . 367. uIN
Dies vorausgeſetzt, wollen wir uns zur Betrachtung derd
4 anderer Eigenſchaften, die jeden zwey zu einer Abſciſſe aus undd
der Gleichung pemn
yy — Py † Q=o eht,

ge⸗ Ei⸗

es i
nd de

e Ely⸗ R,

nn i
ler ſch.

dmn

clyeneis
ni Nrch

Vonter

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50. C

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2 9l. 4

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CNN

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etruchn
Peiſc,n

ℳ

H V.d. Erfindung der urven aus Eigenſch.d. Applieat. 299

gehoͤrigen Applicaten zukommen, wenden. Es ſey, Fig. 78,
die Asſeiſſe A P = x, und die dazu gehoͤrigen Applicaten
P M und P N. Sollen n nun zuvoͤrderſt Curven geſucht wer⸗
den, wobey P M2 † P N 2 eine beſtaͤndige Groͤße = aa iſt:
ſo geſchie ht dieſer For rderung, da

PM PN = P; und PM. N= = Q; und P M2,

iſt, ein Genuͤge, wenn .

PP —
PP — 20 = aa, oder OQ = 43
2
wird; und man hat daher f r die geſuchten Curven. die
Gleichung
y — Py † . ———— = o.

Setzt man ?P = 2nx, ſo erh aͤlt n man fuͤr den Kegelſchnitt,
wobey ſich dieſe Eigenſchaft findet,
,y — 2 u) k snnx — fas
und dies iſt eine Gleichung fuͤr eine El llipſe, wenn man
die Abſciſſen vom Mittelpunkte aus nimmt.

F. 368.

14

Hieraus fließt folgende merkwuͤ rdige Eigenſchaft der El⸗
ipſen. Wenn man um irgend zwey zugehoͤrige Halbmeſſer ei⸗

ner Ellipſe A und E F, Fig 79, ein Parallelogramm G HIK
beſchreibt, deſſen Seiten die E ellipſe in A, B, E und F be⸗
ruͤhren, ſo theilen die Diagonalen dieſes Parallelogramms

G K und HIl alle Sehnen M N, die dem einen Durchmeſſer
EF parallel gezogen worden, in Pund p ſo, daß die Summe J

der Quadrate P PM2= † P N oder p M2 † p Nz2 ſtets eine
und dieſelbe Groͤße = 20 E2 wird; und auf aͤhnliche Art iſt,
wenn man die Sehne Rs dem a⸗ ndern Durchmeſſer AB parallel
zieht, PR2 PS2 = ½ R2 † 7 82 = 20A 2. Denn ſetzt man
Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. B. T CA-

—

290 Zweytes Buch. Sechszehntes Capitel.

CA=CB=a; und CE= CF = b; CQ=t; und QM= u
ſo wird
aauu † bbtt = aabb
Nun iſt a: b= CQ (t): P? Q, und CP: CQ in einem ge⸗
gebenen Verhaͤltniſſe, m: 1. Macht man daher
CP = Xz uad PN y;

ſo wird = mi, und y⸗ = u † de; oder

X b X
t = —; und u = y — —
In m a

und durch die Subſtitution dieſer Werthe ergiebt ſi die
Gieichung
2 a bx y † 7bbXX

aayy — — = = aa bb.

In
Nun ſey — = n, ſo wird
m a

yy — ZnXVy † ZnnXX = bb

und dies iſt die vorhin gefundene Gleichung, welche, an⸗

zeigt, daß P M2 ¼, P Nz eine beſtaͤndige Groͤße iſt.

§. 369.

Nun ſeyen, Fig. 78, Curven zu ſuchen, wo die Sum⸗

me der Wuͤrfel P M3 † PNz eine beſtaͤndige Groͤße iſt.
Da PM FPN = P, und P M. P N = Q iſt, ſo iſt
PM3 † PN3 = P3 — 3 P C.
enn man daher P M3 † P N 3 = a3 ſetzt, ſo wird Q=
P3 —

Curven
43
— p X P2 — — =—
yy 7† 3 P 35

wo fuͤr P jede rationale Funk tion von X geſetzt werden kann.

Die

„

„und folglich die allgemeine Gleichung fr dieſe

Die en
ſt, iſt d

wean

liſe he
ſ die
1200

ed. D

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dieſe G
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Wenn
kann d
haben,
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Ari

eieng

ſeht ſh

e xW½

N nn.
Die

V.d. Erfindung ber Curven aus Eigenſch. d. Applicat. 291

Die einfachſte Curve, die mit dieſer Eigenſchaft verſehen
iſt, iſt daher eine Linie der dritten Ordnung „ welche,
wenn man
P = 3nx, und a = = Inb
ſetzt, durch dieſe Gleichung ausgedruckt wird,
Xyy — 3hXXy † Bnnx3 — Znnb3 = O
und zu der zweyten Art nach der oben feſtgeſetten Einther⸗
fung gehoͤrt.

370.
Auf eine aͤhnliche Art muß man, wenn P MA † P N
eine beſtaͤndige Groͤße ſeyn ſoll, da
PMA † P N 4 = P4 — 4 P2 G † 2 0C0
iſt, die Groͤße Q durch P ſo beſtimmen, daß F P4 — 4 P2 G
† 2 Q QC= a4, oder
Q = PP † V (& P4 † % a a)

wird. Da aber ſowohl P als Q rationale oder einfoͤrmige
Funktionen von x ſeyn muͤſſen, damit „ fuͤr jede Abſciſſe x

nicht mehr als zwey Werthe bekommen koͤnne, ſo ſollte
dieſe Groͤße V (2 P4 † ½ a4) rational ſeyn; und da dieſes
nicht ſtatt finden kann, ſo iſt die Funktion C allemal zwey⸗
foͤrmig, und giebt daher eine vierfoͤrmige Applicate. Allein
aus der Gleichung
vy — Py † = o
wird
y = ¾ P £ V (— 4¾PP V G PA † 5 a4))

und es kann deswegen die Applicate y nicht anders moͤglich

ſeyn, als wenn V (4 P4 † ε aa) poſitiv genommen wird.

Wenn alſo auch gleich Qeine zweyfoͤrmige Funktion iſt, ſo

kann dennoch die Applicate y nie mehr als zwey Werthe

haben, und die Summe der Biquadrate dieſer Werthe iſt,

dem Verlangten gemaͤß, eine beſtaͤndige Groͤße,
T 2 A.. 371,

wird, ſo iſt

292 Zweyles Buch Sechszehntes Canicll

§. 371.

Sell eine Curve die Eigenſchaft haben, daß die Summe
der fuͤnften Poteſtaͤten der beyden Werthe, welche die Ap⸗

plicate y fuͤr jeden V. Werth der Abſeiſſe X hat, eine beſtaͤn⸗
dige Groͤße, oder P M5 † P NS = as werde: ſo muß
PS – 5P3 † 5 P Q2 = as

ſeyn. Da a lſo aus der Gleichung yy — Py † Q= 0

Mc

P5S 5T7 W iabsyy io Pay⸗ † 5Pya =
oder
— y)s † y = a5
Auf eben dieſe Art findet man, wann P Mé 1 P N =

ſeyn ſoll, die Gleichung

(5b — v)6 ys

und uͤberhaupt, wenn P Mn † P Nn = an ſeyn ſoll

(P — y) n † yn = an

wo bP jede einfoͤrmige Funktion von X ſeyn kann. Der
Grund von dieſer Gleichung iſt uͤbrigens ſehr leicht. Denn

da die Summe beyder Applicaten = P iſt, ſo muß, wenn

man die eine y ſetzt, die andern P — y werden, und dar⸗

aus ergiebt ſich ernaelear
P — V † v1 = an

§. 372.
Wenn man aber P anſtatt Q wegſchafft, indem man in

die Gleichung, welche das Verhaͤltniß von P und Qaus⸗

drckk P== H ſetzt, ſo erhaͤlt man fuͤr P Mn † P N „

= àa n dieſe Gleie chung

Da

2

₰△

eEnnnt
lde Ne ⸗
itir

=

5N61

. N

n. W

Ny

denrin
60 Cand⸗

In N

—

V.d. Erfindung der Curven aus Ei igenſch. d. Applieat. 293
Da nemlich das Produkt der Applicaten = Q iſt, ſo wird,
wenn man die eine = y ſetzt, die andere = 2 und daß⸗

aus fließt die e gefundene Gleichung ebenfalls unmittelbar.

Wir haben ,s o fuͤr die Curven, wro PMn † P Nn = a n

ſeyn ſoll, eine doppelte Gleichung, nemlich,
(P?— ) Tyn = an; und yn † — = an
Aus der letzten fließt ””MMB D
v'n = = anyn —- Qn; und yn — Zan V ( ann — Qn)

y = V (Zan £ V (àHazn – Q))

welches ber bloß eine zweyfoͤrmige Funktion iſt, und fuͤr

S
.

i

e 2*
1*
jede Abſciſſe nich ſcht mehr als zwey Applicaten giebt, wofern

nur Q eine rationale oder einfoͤrmige Funktion von X iſt.

Die erſte Gleichung yn † (? — vV)n = an hat indeß den
Vorzug, daß ſie weniger Dimenſionen hat.

Es gelten aber dieſe G chungen nicht bloß, wenn n
eine ganze und poſitive 3 Zahl, udern auch, wenn es eine
negative Zahl oder ein Bruch iſt. So findet man

wenn ſeyn ſoll H die Gleichung
. . . 1I a P = P y –— yy
PM FPN a HW oder
— 2 ° + ayy = Qy

—

Aay † aa ( — )2 = 72 (5 — )2
52 † 5= — — oder
a² Q* † aay4 = Q2; 2
7 Ta; (— = : 5 —
5 I —— = — oder
a3 Q³ † 43 76 C3 73

ꝛc.
T 3 und

R

„

294 Zweytes Buch. Sechszehntes Capitel.

und fuͤr die gebrochenen Exponenten

wenn ſeyn ſoll die Gleichung
VPMTVPN= VaVVy† V (P— y) = V a
oder
Vy3= V ay — V Q

oder rational gemacht
VV— Py † ¼ (a — P)2 = %
oder
yy — (a — 2 V Q)y † Q = o

VPM PVPN = V a VyrV&= = Va

oder
yy — by 1† (à — P) 3 = G
ferner
PrrPN= V a

oder

yy – (a — 3 Wa Oy † QS=e
2c.

Auf dieſe Art laſſen ſich alſo alle algebraiſche Curven, worin
allenthalben PMRT PNRn = an iſt, durch eine einzige

allgemeine Gleichung ausdrucken, n mag eine ganze oder
gebrochene, poſitive oder negative Zahl ſeyn.

§. 374.
Was wir bisher von zwey Applicaten gehabt haben,

die zu einer Abſeiſſe gehoͤren, das laͤßt ſich auf aͤhnliche

Art auf drey zu einer Abſciſſe gehoͤrige Applicaten anwen⸗
den. Es iſt aber die allgemeine Gleichung der Curven,

die von den Applicaten in drey Punkten geſchnitten werden,

wo

Voe

wo di
von2
dreh
iſt n⸗
mne bet
Aledren
Und wer
ntwede
beſthns
en
zuma

H
mn
hoch der

ſten

52
13
de
951

fen
due d.

wird,

Hiera⸗

acht

.

en wordn
ne Gß
gone

V.d. Erfindung der Curven aus Eigenſch. d. Applicat. 295

wo die Buchſtaben P, Q, und K einfoͤrmige Funktionen
von « von jeder Art bedeuten. Nun ſeyen p, q und r die
drey Applicaten, die zu der Abſeiſſe gehoͤren. Hiervon
iſt zwar nur eine allemal nothwendiger Weiſe reell, allein
wir betrachten jetzt vorzuͤglich die Oerter der Curven, wo
alle drey Applicaten reell ſind. Es iſt alſo aus der Gleichung
P= pfq†r; Q=pqTprT qr; und R= pqr;
und wenn daher eine Curve gefunden werden ſoll, worin
entweder p † q “Cr; oder pꝗq†pr † qr; oder pqr eine
beſtaͤndige Groͤße iſt: ſo hat man nichts anders zu thun,
als entweder P, oder Q, oder R zu einer beſtaͤndigen Groͤße

zu machen, ſo daß die beyden uͤbrigen willkuͤhrlich hleiben.

. 375.

Hieraus laſſen ſich auch Curven finden, worin pa! 4† qa
† rn allenthalben eine beſtaͤndige Groͤße iſt. Es iſt nemlich
nach dem, was in dem erſten Buche lim zehnten Capitel im
166ſten §] da geweſen iſt⸗
p † q Tr = P
pa † qa † ra = P2 — 2 CG
p3 † q3 † r3 = P 3 — 3 P Q. † 3 RK
PA † q4 † ra = P4 — 4 P2 Q † 2,0 † 4 P R
ps † ꝗ † r? = P? — 5P 3³0 † 5PCC† 5 PR- 5 R

”s “ 1
Iſt ferner n eine negative Zahl, ſo ſetze man 2 = S wo⸗

durch denn
R K R
1. I I
wird, und die Wurzeln dieſer Gleichung ind „ 1
Hieraus ſindet man auf aͤhnliche Art

T 4

296 Zweytes Buch. Sechszehntes Capitel.

M T
p 4 r K
1 1 2 — 2 P R
Ez † d2 1 =
pzZz q2 r R KR
1I 4. 1 — 2— 1QRE 3RR
p 3 1 MB R 3
I TI 4 1 — Qa — 4Oa R f 40RE f 2b⸗ Ba
P4 q4 rA R

ꝛc.

Setzt man daher einen von dieſe n Ausdruͤcken einer beſtaͤn⸗:
digen Groͤße gleich, ſo ſindet man n dadurch das erforderliche

Verhaͤltniß zwiſchen den Funktionen P, Q, und R; und

wenn man darauf vermittelſt dieſer Gleichung aus der ge⸗
gebenen

v3 — Pyz † OQy — R =

eine von den Funktionen b, oder Q, oder Rk wegſchafft, ſo
erhaͤlt man die Gleichung fuͤr die geſuchte Curve. Sollte

z. B. eine Curve gefunden werden, worin p3 † q †r3 = a 5
waͤre, ſo muͤßte man .
P3 — 3PQ † 3 R = as
ſetzen; und da aus y3 — Pyz † Qy — R= 0
= — Py2 4 r

iſt, ſo waͤre
3 73 — 3 Py= † 2 0y † ps — 3PC = = a3

die Gl eichung, wodurch dem Verlangten ein Genuͤge ge⸗

ſcha aͤh 1„ e.

Man erreicht alſo vermittelſt der angeführten Formeln

den vorg geſetzten Zweck ſehr leicht, n mag eine poſ ſitive oder
eine negative gam ze Zahl ſeyn; aber ſchwer rer wird es,

Wenn

L8S

wenn
zu ſu

ſeh.
mnn

N

d. Erſindun derCutven aus Eige nſch. d. Applicat. 297

*

wenn n eine gebrochene, Zaht iſt. Es ſey eine Curve zu
zu ſuchen, worin
D F WV † Vr = Va
ſey. Quadrirt man beyde Haͤlften dieſer Gleichung, ſo be⸗
kommt man, da PTr q †r = P iſt,
P f 2VPq † 2 Vpr † 2 V qr = a

1e „ dder
a — P
—— = VPp † Vpr † V qr;
Wn. und wenn man hier nochmals die Quadrate ſucht, ſo wird,
ficheſe da pq † pr ar = Qiſt, S
) N⸗ d P) 2
CHe= Ot=VPer a2 Vpdar 1 2 2 Vpr⸗ =

†2 GW“„τς dVr) Vpqr = 2 VaR 1 C
Hieraus aber fließt

Aliſ, (a- P)z = 40 † S VWa h, ober = . . — 2 W a K.
““ Es ſind demnach die geſucht en Curven in der Gleichung
„ — Pyy † G (m — P)2 — 2 V a Dy — RK = o
oder, wenn man die Irrationalitaͤt wegbringt, da R =
— 2aPTPP —–— 4QQC
b1 4 iſt, in der Gleichung
64a
. (aa — 2 a P † P P –— 4 O2
3 — P — — — 0
Z 7 7 Q— =
2 — enthalten.
gige ge
§. 377.
Noch laͤſtiger iſt dieſer Weg, wenn Wurzeln hoͤherer
Poteſtaͤten gegeben werden, und es wird doder Line on er⸗
ſermn Methode nothwendig, welche fol gendes Beyſpiel vor Augen
ſtir ehe legen mag. Es ſey nemlich eine Curve zu finden, worin

298 Zvetes Bug. Erhetehntes Capitel.
pq 4 Vr: 4 Var .
ſey. Setzt man hier
V P4 † Ver † Vr = v
ſo wird, da Vpr = V R in, “
Vr s ve r Vr: = Vaa — ar, und

P † † r = àa — 3V7 Va 3 3 R = P
desgleichen

3
Vpaq † .T pra † Vq ar⸗ = V2 — 2 W a R, und

P q † pr † r = O= v — 3VVaR F 3VRKR.

Nachdem man ſo fuͤr P und Q ſchickliche Werthe gefunden,

ſo iſt die Gleichung fuͤr die geſuchte Curve

ä õ

K = o
worin man fuͤr v jede Funktion von x ſetzen kann.

§. 378.

Dieſer S Schwierigkeiten ungeachtet, laͤßt ſich e eine allge⸗
meine Aufloͤſung geben. Denn da in der Gleichung
y 3 — by= † Qy — R =

y die drey Applicaten p, 4J und r vorſtellt, ſo iſt, wenn

man p =y ſetzt,
I=VyIAEFr, und Q = qy † ry † qr
oder .
1r = P-—y: und ar = Q — — y (q 1)e Q— Py † yy.
Hieraus fließt aber
A-— r = W(P2 T 2 by — 3 yy — 4 O
und es wird demnach
=¾ (— y) V(P 4:ry — 3yy — 40)
und

0—
eut

des
worte
genen

derſ

ſn,

Verven

gebrac
und
beſtim
lea w
hah
14
nd

4 B.dErfindung der urven aus Eienſch d. Arpliar. 299
= (P? — y) — V(P- † 2 Py — 3 yy — 40).
Wenn alſo eine Curve gefunden werden ſoll, worin pn † qn
† rn = an iſt, ſo thut dieſer Aufgabe folgende Gleichung
Yn † ( (? — y) ¼ (Pz † 2 Py — 3 yy — 4 Q) n †
(⁸½ (P— y) — WP2 † 2 Py — 3 yy — 4 Q) an

nd ein Genuͤge, n mag eine ganze oder eine gebrochene Zahl D
bedeuten.
H §. 379.
1, Auf eben die Art laſſen ſich unzaͤhlige andere Fragen,
8. die Beſchaffenheit dieſer drey Applicaten betreffend, beant⸗
Gihe worten; z. B. wenn fuͤr an irgend eine Funktion von 1 an⸗
genommen wird: und dabey koͤnnen auch anſtatt der Summe
der Potetaͤſten andere Funktionen von p, q und r beſtimmt
NNe ſeyn, wofern nur alles ſo eingerichtet bleibt, daß durch die

Verwechſelung dieſer Groͤßen keine Veraͤnderung hervor⸗
gebracht wird. So laſſen ſich z. B. die drey Applicaten p,
q und r, die zu eben derſelben Abſciſſe X gehoͤren, dergeſtalt
beſtimmen, daß das Dreyeck, welches mit ihnen beſchrie⸗
neche ben werden kann, eine beſtaͤndige Groͤße haben. Der In⸗
halt dieſes Dreyecks iſt nemlich

iVG pPq †r 2phrr r 2ddrr — ba — 44 — ra)
i nen und wir wollen ihn = a a ſetzen. Da nun 9
p4 † q4 † r4 = P4 — 4 P2 Q T 4 PR † 2 GQ
. und
Pp q2 † perz † q2r2 = Qz — 2PR
tn iſt, ſo wird
16àa4 — 4 P2 0 — 8 PR — P4
und
R= ⁄ †G — 1 bz — —
2 P
0 JMUN.B und

300 Zweytes Buch. Sechszehntes Capitel. 850
und man hat alſo die Gl eichung “R die
7 — Pyy Cy- 5PC b a .
Wenn P einer beſtaͤndigen Groͤße, 2 b, gleich geſetzt wird, =SZ
ſo wird außerdem auch der Umfang oder Perimeter aller A⸗
dieſer Dreyecke eine beſtaͤndige Groͤße. Setzt man fol glich uhe,
“ Q= mx T nbX -† kaa en,
ſo ſndet man eine Linie der dritten Ordnung, deren Glei⸗
chung
7 Tmaey — a byy inbxy — nbs f kaa)— ſe
nbbx † 2 — kaab bs? = o
iſt, und die Eigenſchaft hat, daß einmal die Summe der
drey Appli icaten p, q und r, die zu jeder Abſciſſe gehoͤren,
eine beſtaͤndige Groͤße = 2 b, und zweytens der Inhalt .
des zwiſchen den Seiten p, q und r eingeſchl oſſenen Drey⸗ G
ecks allenthalben ſich gleich, und = aa iſt. e
7
.
J. 380. ds
Auch dient dieſe Methode zur Aufl oͤſung aͤhnlicher Auf⸗ fon
gaben bey vier zu einer und derſelben Abſciſſe gehoͤrigen
Applicaten; aber da hierbey weiter keine Schwierigkeit
“ vorfaͤllt, ſo wenden wir uns zu andern, die Vergleichung,
nicht ſolcher Applicaten, die zu d derſe elben, ſondern ſolcher, bieh
die zu verſchiedenen Abſeiſſen gehoͤren, betreffenden, Fra⸗
gen. Es ſey alſo das Verhaͤltniß zu beſtimmen, welches
Dreie A pplicaten P M und QN, Fig 80, zu einander haben,
davon jene der Abſci iſſe Ab = † X, und dieſe der Abſeiſſe
V A Q = = — x zugehoͤre. Angenommen, das— de⸗
deiie Gleichung fuͤr dieſe Cuten ſey, wenn X irgend eine di
Funktion von xX bedeutet: ſo giebt dieſe Fuuktion X ſelbſt ſe;

M Vd Erfindung der urden aus Eigenſch d Appliat. 301.

die Applicate PH M; wenn man aber darin — fuͤr †
ſetzt, ſo erhaͤlt man durch ſie die andere Applicate QN.

Wenn alſo X eine gerade Funkt! on von x, (= P) iſt, ſo
r n ird Q N = PM; iſt aber X eine ungerade Funktion von
c alee (= Q△) ſo wird QN = — PM. Und wenn P und R ge-
ſiht rade, Qund S hingegen ungerade Funktionen von x anzei⸗
gen, und die Gleichung fuͤr die Curve
n Gei P T. Q
H aXxXxTIsS 222ODd—
. iiſt: ſo wird H
P M = —2 und QN = 0.
Nun ſey eine Curve von der Art zu finden, daß PM †
eH ON eine beſtaͤndige Groͤße, z. B. = 2 A B = z a werde.
Hier iſt klar, daß der Aufgabe durch die Gleichung
y= a † Q
ein Genuͤge geſch behen muß, wenn Q eine ungerade Funk⸗
ton von x iſt; denn es wird alsdann
eriga PM = a † Q, und QN = àa — QC
heigket und folglich
e P M † QN = 2 a,
C, wie verlangt worden iſt. Setzt man alſo
JMVM ſo wird
ſoben. u = Q
eſſe und dies iſt eine Gl eichung fuͤr eben die Curve, wenn man
die gerade Linie Bp zur Axe, und den Punkt B zum An⸗
fangspunkte der Abſciſſen macht, und alſo Bp = x, und
d ie p M = u iſt. Wenn man daher irgend eine Curve von die⸗
ſ ſer Art, MB N, Fig. 80, beſchreibt, und eine gerade Linie

302 Zweytes Buch. Sechszehntes Caritel.

PQ zur Axe annimmt: ſo wird allemal, wenn man aus
dem Mittelpunkte B die Linie B A ſenkrecht auf die Uxe P C
herabfaͤllt, und zu beyden Seiten gleiche Abſciſſen AP =

A Q abſchneidet, die Summe PM † QN eine beſtaͤndige

Groͤße, und = = 2A B ſeyn.

§. 382.

Da wir aber fuͤr die Curven mit zwey un B 8 auf bey⸗
den Seiten liegenden gleichen Theilen oben (5 340] zwey
Gleichungen gefunden haben, die fuͤr die Coordinaten
und u folgende ſind.
I.
„= ax f u t "X † kau † xuu † eus 1
„X5S † &XAu † ꝛc.
II.
ℳ 1 x⸗ † YXu † zu⸗ † „X4 † gε P
„XZuZ † 9xXu3 † ꝛc.
ſo findek man, wenn man in jede dieſer Gleichungen
u = y — a ſetzt, zwey allgemeine Gleichungen zwiſchen den
Coordinaten und „ fuͤr die algebraiſchen Curven, die der
vorhergehenden Aufgabe ein Genuͤge thun. Es gehoͤrt

alſo dahin, einmal, jede durch den Punkt B gezogene gerade
Linie; und dann auch jeder Kegelſchnitt, deſſen Mittelpunkt

in B liegt. Da aber in dem letzten Falle jeder Abſciſſe A P
und A Q zwey Applicaten zukommen, (außer wenn die
Curve eine Hyperbel iſt, und die Applicaten der einen
Aſymptote parallel genommen werden) ſo hat man dabey
zwey Paar Applicaten, die eine und dieſelbe Summe geben.
§K. 383.
Wenn eine Curve gefunden werden ſoll, worin nicht

die Summe jeder zwey Applicaten PM und QN, ſondern
die

Po.Ee

die Cun
Grode en
ſce M.

Segtn
die Not

iN

Dheilehe

torherpel
Exrhctt ne

gcgenwe

nan ans
IAb=
ſändige

ſ ben⸗
Aw

lnct .

ungen
en den
die der
Nehbrt
gerohe
puntt
ſel
n de
einen
dabey⸗
geden.

ſicht
Chern
di⸗

V. d. Erfindung der Curven aus Eigenſch. d. Applicat. 303

die Summe der Poteſtaͤten derſelben von irgend einem
Grade eine beſtaͤndige Groͤße ſeyn ſoll; ſo findet eine aͤhn⸗
liche Aufloͤſung ſtatt. Denn ſoll .
PMN † QNn = 2 an
ſeyn, ſo iſt klar, daß dieſe Bedingung durch die Gleichung
yn = an † Q
erfuͤllt werde, wenn Q irgend eine ungerade Funktion von
X iſt. Es wird nemlich alsdann
PMnRn = an † Q, und Q Nn = an — Q
und folglich
PMRn † QNR = 2 an
Setzt man yn — an = u, ſo druckt die Gleichung u =
die Natur einer Curve aus, die fuͤr die Coordination
und y um dem Mittelpunkte B zwey wechſelnde gleiche

Theile hat, und wenn man daher in den Gleichungen des
vorhergehenden § allenthalben yn — an fuͤr u ſchreibt, ſo

erhaͤlt man allgemeine Gleichungen fuͤr die Curven, die der
gegenwaͤrtigen Aufgabe ein Gnuͤge thun.

K. 384.
Da alſo dieſe Unterſuchungen keine Schwierigkeit ha⸗
ben, ſo werde verlangt, eine Curve MBN, Fig. 80, von
der Art zu finden, daß das Rechteck zwiſchen den Applica⸗
ten PM. QN, welche von dem Punkte A in der Axe auf
beyden Seiten in gleicher Groͤße genommen werden, eine
beſtaͤndige Groͤße, = a a ſey. Dieſe Aufgabe laͤßt mehrere
beſondere Aufloͤſungen zu, und die vornehmſten davon wol⸗
len wir vor der allgemeinen vorhergehen laſſen. Es ſey P
eine gerade, und O eine ungerade Funktion der Abſciſſe A P
= X, und die Applicate P M = y = P † 2, woher denn,
wenn man x negativ nimmt, QCN = P — Q wird. Es
muß demnach

PM

304 Zweytes Buch. Sechszehntes Capitel.

PM/ QN = ep —– Q△μS aa, oder
D = V (aa † Q2
werden, und dieſer Ausdruck V (aa † Q O) iſt, da er,

weil QC eine gerade Funktion von X iſt, eine gerade
Funktion giebt, eine brauchbare Subſtitution fur P. Es

iſt lſo die Gleichung fuͤr die geſuchte Curve
y = Q.(D† V (aa T† QQ)
wo Q jede ungerade Funktion von bedeutet,

§. 395.
Da aber das Wurzelzeichen ſowohl † als — zul laͤßt, ſo
gehbet zu jeder Abſciſſe eine doppelte Applicate, z B zu A B
Q† V (A a † 2₰; und S V (aa 1 QO)
zu A Q hingegen

— Q † V (aa † QOQ); und — 0 — a àa . Qα .

und es hat demnach die Curve um A, als dem Mittelpunkte,
wechſelnde gleiche Theile. Auch laͤßt ſich die Zweydeutig⸗
keit, die das Wurzelzeichen erzeugt, nicht dadurch aus dem
Wege raͤumen, daß man fuͤr Qeine ſolche ungerade

Funktion, wie — — „π ſetzt, daß aa † QC ein Quadrat

. , M 4 àa
wuͤrde; denn es wuͤrde alsdann Vaa † QQ= . † X und

alſo eine ungerade Funktion, dergleichen man aber nicht
füuͤr P ſetzen darf. Man muß daher allemal fuͤr Qeine
ſolche ungerade Funktion von X nehmen, wobey aa † QQ
kein Ouadrat wird.

§. 386.
Auf aͤhnliche Art wird, wenn man y = (P † On ſetzt,
QN = (P– Q)n und es muß daher (?2 — Q)n = aa
ſeyn. Hieraus wird
SYG Pa

demn Mi
WMde
ſcſſe
fon hon
ſest cde

Setzt m

gegeben.

kheͤlt ⸗

d.
Uäurden

0 ½

“” d Eeßdar de Cardenaue E genſh Appika 305
P2 an † Qn; und P = V (a 4 Qn)
t, A und dieſen A lusdruck kann man fuͤr b ſetzen, wofern er nur
e gerh irrational iſt. Man hat daher fuͤr die Curve, welche der
Aufgabe ein Genuͤge thut, die Gl leichung:

y = (QC † VC Q)), ””M
Was aber die Conſtruction dieſer Curven betrifft, ſo iſt
dieſelbe leicht. Denn beſchre ibt man eine Curve, die um
dem Mittelpunkte A zwey wechſe lnde aͤhnliche und gleiche
Theile hat, und ſetzt man die Appl icate, die zu der 2 Ab⸗
ſceiſſe AP = X gehoͤrt, = 2z: ſo iſt 2 eine ungerade Funk⸗
tion von X, und kann alſo fuͤr Q geſetzt werden. Nun
fließt aber aus der gefundenen Gleichung

, c r — VA 1 0:)

44 TNX

= S S=
=
—
S=

ur 1, und es wird daher
n — a n

en Oan Setzt man daher K = m, und in der zwiſchen z und x

V2 mn — a2

. fin gegebenen Gleichung allenthalben 2 = ſo
ber nit erhaͤlt man die Gleichung fuͤr die geſuchte Curve zwiſchen
ir ei X und y. Da wir nun zwey Gleichungen zwiß ſchen 2 und X
½ gefunden haben, nemlich, entweder—

= aAgXXT YXZ † à 1 xXA f &x³⅜a "xXa22 f†

D NddtG⸗ x 23 † 2c.
H oder
rſ 0 = aX † &2 † 7X3 † X22 † eX22 †. 22: † »xXS †
1 XA 2½ † ꝛc. .
ſo erhaͤl t man daraus, wenn man (mit Weglaſſung des Di⸗
b2 Eulerxs Einl. in d. Angl. d. Unendl. Il. HOD. U viſors

306 Zweytes Buch. Sechezehntes Capitel.

viſors 2, weil man fuͤr C jedes Bielfache von 2 nehmen

2 m
kann) allenthalben 2 = ym — ſetzt, zwey allgemeine

Gleichungen fuͤr Curven, die der Aufgabe ein Genuͤge thun.

§. 387.

Es ſey außer P auch R eine gerade, und außer Qauch
§s eine ungerade Funktion von x, und dadey die Gleichung

für die geſuchten Curven

P † CQ .
5 = PM:
= R 5 1
ſo iſt
P — C — CQQ
QN = — 5Z und es wird demnach = aa.

Dieſe Bedingung laͤßt ſich aber ſehr leicht rrinen, wenn

man
PP † Q P † Qu
y= D ,2 oder y =. (F — 0 *
macht. Hierdurch wird auch die Unbequemlichkeit wegge⸗
ſchafft, die vorhin da war, daß zu jeder Abſciſſe zwey oder
mehr Applicaten gehoͤrten, und ſolche Curven gefunden,

no ſeder Abſeiſſe nicht mehr als eine Applicate zukommt.
Die einfachſte krumme Linie, die der Aufgabe ein Genuͤge
thut, iſt daher eine Linie der zweyten Ordnung, die durch

die Gleichung

——,— a

75=

ausgedruckt wird, und alſo eine Hyperbel. Es thut aber

die Hoperdel auch der vorhin gefundenen Gleichung
y = Q † W(aa † QOQ)
ein n Genige, wenn man Q= nz ſetzt, indem dadurch
yy — 2n Xy = aa
wird

tenn
hedertet
ligen
ine Geei
ihun.
9, V., V
ſoharr

.—

Und mu
lon x,
und die
ſllgende

Befte

Canch
Rchung

len, wenn

Gter n⸗
ſe en n
en geindn,

Nte Ntornh.

ein Genie
,die nuh

chnn bau

hung
dodurh

vied

V.d. Erfindung der Curven aus Eigenſchd. Applieat. 307

wird; und es laſſen ſich daher die Bedingungen der gegen⸗
waͤrtigen Aufgabe auf eine doppelte Art durch die Hyperbel

erfuͤllen. HW

Dies vorausgeſetzt, ſo iſt deutlich, daß die Gleichung

fuͤr die geſuchte Curve ſo beſchaffen ſeyn muß, daß dieſelbe

keine Beraͤnderung leidet, wenn man darin — X fuͤr x,

und „ fuͤr y ſetzt. Dergleichen Formeln ſind aber

422 42 n
— a — 222 8⁸
(Vn † Vn )P; und (y yn 2;

wenn P eine gerade, und Qeine ungerade Funktion von
bedeutet. Wenn man alſo eine Gleichung aus einer belie⸗

bigen Anzahl ſolcher Ausdruͤcke zuſammenſetzt, ſo iſt ſolches

eine Gleichung fuͤr Curven, die der Aufgabe ein Genuͤge

thun. Wenn daher M, P, R, T, ꝛc. gerade, N, Q,

8, V, ꝛc. hingegen ungerade Funktionen von X bedeuten .
ſo hat man folgende allgemeine Gleichung:

e=a A 3 a 3
= M 4 ( † à) Pp † ( † —)R † C f —–) T i.
S y yy a 3 7 3
a a a 3 a 3 B
(E—)01 G— —S † ((5; — V .
4 7 a aà Yy aà y3
und multiplicirt man dieſelbe durch eine ungerade Funktion
von x, ſo gehen die geraden Funktionen von in ungerade,

und die ungeraden in gerade uͤber. Dadurch erhaͤlt man
folgende Gleichung: äl

a aa 3 az“
=— N † (E . .2) Q 4 G† ) s ( kt ) Ve.
a 7 aa Yy a 5½ yv3
J. „yY à yy aa y3 as
†. (⸗ 57 7
Befreyet man aber dieſe Gleichungen von den in ihnen vor⸗

M 2 kom⸗

308 Zweytes Buch. Sechszehntes Capitel.

kommenden Bruͤchen, ſo ergeben ſich daraus folgende. zue

Ordnung: n gehorige⸗

= anyn M an-t1 (* † O) † an- eiG&1 k

an-3 ynT3 (T † V
Fan ry ne r (P — — OQ † an †2—2 5)
an † 3 er ꝛc.
II.
e = any n N 1 an-Tynf ( Q) † an- 2y n †2 (KR † ⁵)
an-3 y† 3 (T † V) ꝛc.
— ar ryn- r (b- Q— an fzyn-a (K -— 8) —
adtsyuns (T1 — V) ꝛc.

. 389.

Es kann aber n in den Formeln (yn † n)p, und

7*— ein Bruch ſeyn. Setzt man daher

fuͤr n die Bruche 1, 2, 1, 2Z, ꝛc., ſo verſchwindet in den
auf dieſe Art entſtehenden allgemeinen Gleichungen die Ir⸗

rationalitaͤt von ſelbſt t. Man erhaͤlt nem lich dadurch

y † a y † as ys † as
0 = † — p . a L 1 te.
WVWVay 1 2=⸗ V a
— — Q † —— — V ze.
1 Vy W 8 2 aaya yi ay 1

oder

Lia o 1 t ai 1

er azy Vay

V † ꝛc.

Vey Re a272 .
und

B

0= 4,

94 n

-mI.

us
iner ieh

ſeicht ind

Nung die⸗
Nurch den

4 ge beyden

on erh

Curve gi

NS e

Nhen, d

Ir Nie

len, ven

7. 1

V.ß d. Erfindung der Curven aus Eigenſch.d. Applicat. 309

nleß und dieſe Gleichungen erhalten, wenn man ſie von den
Bruͤchen befreyet, folgende Form:

„— anynI P† O◻ † an- ynt 2 (R †* 8) † an-2 yn 3,(T † V) 70.

RNINO
ſe † anfryn-P - Q) † anfzyn-r (R— 8)r auf 3yn-2 (1 — V) zꝛc.
Gkꝑ und MM
= anynfIP † Ql- an-Iynf2 (R † 8) † an-a yn- 3 T † V) ꝛe.
— utry(. Q. anfe yn- I (R— 8— JM V) ꝛc.
Vr. SZ §. 390.
Ge. Aus dieſen vier Gleichungen laſfen ſich nun die Curven

einer jeden Ordnung, die der Aufgabe ein Genuͤge thun,
leicht ſinden. Zuvoͤrderſt gehoͤrt dazu aus der erſten Ord⸗
nung die gerade Linie, welche der Axe A P parallel iſt, und
9, 0b durch den Punkt B geht. Fuͤr die zweyte Ordnung geben
die be yden erſten Gl eichungen, wenn man n = 1 1 ſetzt,

n dcher eæaxy † yy — aa = o;
dande man erhaͤlt nemlich dieſe Gleichung, da die erſte keine
n eſ Curve giebt, aus der zweyten, durch die Subſtitutionen
n N = aX; P = I; und Q= o: die beyden andern aber
geben, wenn man n = o macht,
VIN V GE xX) a ( — 4) = = o.
Fuͤr die dritte Orde nung geben die beyden erſten Gleichun⸗ MM
tr. gen, wenn man n = I ſetzt,
0 = ay („ † β X X) † yy (» †. „x)
†P àaa a G- à)
N unnd
H . = rayz t yy ( ¼ 5x)
6 — à à (— 3*)
d9 LG die

310 Zweytes Buch. Sechszehntes Capitel.
die beyden letzten aber, wenn man n = o, und n = 1 ſetzt
y (aæ † gXx † 7XX)
a (æ — Gx † 7 XX)
und “
ay² ( † 6X) †. .
a2y (« — X) –

Auf eine aͤhnliche Art laſſen ſich auch die Curven der uͤbri⸗
gen Ordnungen finden, die der Aufgabe ein Genuͤge thun.

O0

It I

l

M⸗ .
A SS , L-

S, MA. .

—☛

Sieben⸗

tochen,
Npplicar
ie
gewiſe
ſß.
ſaben
Pogen,

A uͤbei⸗

Gn.

Gibe⸗

Siebenzehntes Capitel.
Von der Erfindung der Curven aus andern
Eigenſchaften.

§K. 391.
Die Aufgaben, womit wir uns im vorhergehenden
Capitel beſchaͤfftiget haben, waren von der Art, daß es
ſehr leicht war, Gleichungen zwiſchen rechtwinkligen oder
ſchiefwinkligen Coordinaten zu finden, die ihre Aufloͤſung
enthielten. Jetzt wollen wir daher ſolche Eigenſchaften be⸗
trachten, die ſich nicht unmittelbar auf einander parallele
Applicaten beziehen; wohin z. B. der Fall gehoͤrt, wenn
eine gewiſſe Beſchaffenheit gerader Linien, die aus einem
gewiſſen Punkte nach der Curve gezogen worden, gegeben
iſt. Es ſey C, Fig. 81, ein ſolcher Punkt, und aus dem⸗
ſelben nach der Curve die geraden Linien CM und CN ge⸗

zogen, und dabey eine gewiſſe auf dieſe Linie ſich bezlehende

Eigenſchaft gegeben. Hier muß man von dem bisherigen
Verfahren, die Natur der Curve durch die Coordinaten
auszudrucken, auf die Art abgehen, daß man die gedach⸗

ten geraden Linien in die Gleichung bringt.

Da nun die NRatur der Linien auf ſehr viele andere Ar⸗
ten durch Gleichungen zwiſchen zwey veraͤnderlichen Groͤßen

ausgedruckt werden kann, ſo kann man bey der gegenwaͤr⸗

U 4 tigen

312 Zweytes Buch. Siebenze ehntes Caritel.

tigen Unterſuchung die gerade Linie C M, die aus dem
Punkte C nach der Curre gezogen worden, die Stelle der

einen veraͤnderlichen Groͤße vertreten laſſen. Alsdann aber
muß man noch eine andere veraͤnder liche Groͤße haben,

wodurch die Lage dieſer geraden Linie C M beſtimmt wird.

Nimmt man nun zu dieſem Zwecke eine durch den Punkt C

gezogene gerade Linie C A zur Axe an, ſo kann der Winkel

A CM., oder eine Groͤße, die von dieſem Winkel abhaͤngt,
ſehr fuͤglich dieſe andere veraͤnderliche Groͤße ſeyn. Es
ſey die gerade Linie C M = 2, der Winkel ACM = %,

unnd ſein Sinus oder ſeine Tangente in der Gleichung be⸗

findlich: ſo i ſt offenbar, daß jede Gleichung zwiſchen z und

ſin. , oder tang. % die Natur der Curve A M N beſtimmen
werde. Es wird nemlich dadurch fuͤr jeden Winkel ACM

die Lage der geraden Linie CM, und folglich der Punkt M

der Curve beſtimmt.

§. 393.
Wir muͤſſen aber dieſe Art, die Curven auszudrucken,
genauer erwaͤg zen, und es ſey daher zuvoͤrderſt die gerade
Linie C M = 2z irgend eine Funktion des Sinus des Win⸗
kels ö. Iſt dieſe Funktion einfoͤrmig, ſo koͤnnte es ſchei⸗
nen, daß die gerade Linie C M der Curve nur in einem
Punkte M begegnen werde, weil dem Winkel ACM = %W

mur ein einziger Werth der geraden Linie CM. zugehoͤrt.
Allein wenn der Winkel e um zwey rechte Winkel ver⸗
groͤßert wird, ſo bleibt die Lage der geraden Linie C M, die

durch den Punkt C gezogen iſt, dieſelbe, nur daß ſie nach

der e tgegengeſetzten Seite zu gerichtet iſt: und es giebt da⸗
her noch einen andern T Durchſchnittspunkt der geraden Linie
CM mit der Curve, wenn auch gleich 2 durch eine einfoͤr⸗
mige Sunktion des Sinus des Winkels beſtimmt wird.

Es

den u

D

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0,

Und n,
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t vi

☚

Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſ⸗ ſch. 3 3

Es ſey nemlich P dieſe Funktion des ſin. , ſo daß der

Punkt M. Fig. 82, durch die Gleichung 2 = P ee then
werde. Ferner werde o um zwey rechte Winkel vergroͤßert,
oder ſein Sinus negativ genommen, und dadurch P in 6
verwandelt, ſo daß nun 2 = Q ſey. Iſt dieſes geſchehen,

ſo giebt es einen neuen Durchſchnitt eben der geraden aber

ven laͤngerten Linie CM. mit der Curve, nemlich n, wenn man
0 m = nimmt.

Ob daher gleich b eine einfoͤrmige Funktion des Sinus
des Winkels iſt, ſo begegnet dennoch die gerade Linie
CM, die unter einem gegebenen Winkel ACM = ° durch D
den Punkt ( gezogen iſt, der Curve in zwey Punkten M

und m, es muͤßte denn OQ = — bP ſeyn. Soll daher die

gerade Linie C M der Curbe nur in einem Punkte begegnen,
ſo muß die Groͤße b eine ungerade Funktion des ſin. % ſeyn.
Allein eben dieſes findet ſtatt, wenn b eine e ungerade Funk⸗
tion des coſ. o iſt; und es ſind demnach alle Curven, die
von den aus dem Punkte C gezogenen geraden Linien in
einem einzigen Punkte geſchnitten werden, in der Glei⸗
chung z = P enthalten, wenn b eine ungerade Funktion
des Sinus oder des Coſinus des Winkels ACM = ° iſt.

§. 395.

Da alſo die Curven, die von den aus dem Punkte C,

Fig 81, gezogenen geraden Linien in einem einzigen Punkte

geſchnitten werden, in der Gleichung 2 = P enthalten ſind,
wenn bP eine ungerade Funktion des Sinus oder Coſinus
des Winkels o, oder eine ſolche Funktion iſt, die einen ne⸗
gativen Werth bekommt, wenn man den Sinus oder den
Coſinus des 8 Winkels 9 negativ zimmt: ſol taͤßt ſich hieraus

U 5 ſehe

314 Zweytes Buc. Siebenzehntes Capitel.

ſehr leicht fuͤr dergleichen Curben eine Gleichung zwiſchen

rechtwinkligen Coordinaten finden. Faͤllt man nemlich aus
dem Punkte M nach der Axe CA die ſenkrechte Linie M P
herab, und ſetzt man dabey C P= x, und P M = y: ſo iſt

2 = ſin. %; und — = coſ.
2

“ Wenn alſo P eine ungerade Funktion von und iſt, ſo

ſind alle jene Curven in dieſer Gleichung, 2 = b, enthalten,
und es wird demnach, um von dem einfachſten Falle an⸗
zufangen

X 52
2 = * 2 1 2 † —;
2Z X
und, wenn man zu den hiheer Poteſtaͤten fortgeht,
„72 2
2 =, 4 t 1 2 22 1 1

XX „*
P r 1 3 † ꝛc.

X X

§. 396.

Wenn man dieſe Gleichung durch? dividirt, ſo kommen
allenthalben bloß gerade Poteſtaͤten von 2 vor, und da
2 = V (XxX † yy) iſt, ſo bleibt, wenn man nun 2 weg⸗
ſchafft, keine Jrrationalitaͤt weiter uͤbrig, und man erhaͤlt
eine Gleichung zwiſchen X und y. Es iſt daher die allge⸗
meine Gleichung ſo beſchaffen, daß die Einheit, oder die
beſtändige Groͤße, einer Funktion von — 1 Dimenſionen von
7 und y gleich iſt. Iſt P eine ſlcd Funktion, ſo wird

C = P, und alſo . Aber — iſt eine Funktion

5.
von einer Dimenſten von xX und y. Wenm alſo eine Funk⸗
tion von einer Dimenſion t von æ und y einer beſtaͤndigen

Groͤße

onde

Grdfe
die vor
n einen

Vem
Nei

Gne Fn

ale Cu

etthalte
geneine
4Y1

inde

don de
nicht

Mde⸗
nlich ens
inie

thalen,
n

XV2

—

komme
, Wd N
un 1 N
nun ehit
Ne Ahe
Mee N.
ſen ton
wi

Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſch. 315

Groͤße gleich iſt, ſo iſt dieſes eine Gleichung für Curven,
die von den aus dem Punkte C gezogenen geraden Linien
in einem einzigen Punkte geſchnitten werden.

. 397
Wenn b eine Funktion von n Dimenſionen von und y,
und Qeine Funktion von n † 1 Dimenſionen iſt, ſo iſt 2

eine Funktion von einer Dimenſi on; und es ſind demnach
alle Curven, die wir hier unterſuchen, in der Gieichuns

9 = o; oder C = cP
enthalten. Bedeutet alſo n irgend eine Zahl, ſo iſt die all⸗
gemeine Gleichung fuͤr dieſe Curven
xnI †sxny † 7Xn-Iy2 † ?X-2y3 † :xXn-34 f ꝛt.
— C (AXxXxn † BXn-TIVy † Cxn-2y2 † Dxn- 3y3 C ꝛ:c.)

und daher werden die Linien der einzelnen Ordnungen, die
von den aus dem Punkte C gezogenen geraden Linien in

nicht mehr als in einem einzigen Punkte geſchnitten wer⸗
den, durch folgende Gleichungen ausgedruckt:
1.
*X † £Ey
aX2 † £Xy † 77V = c (Ax †. By)
III.
2xX3 † sXxay † 7X2² † dy3 = c (Ax2 † Bxy † CyV)
“ IV.
„X4 † 6X y † „X y 2 † àX 3 † :y 4 = c „
(Ax3 † Bx2y † Cxy2 † Dy3)
2c.

Il

§. 398.

S16 Zweytes Buch. Sibentehes Capitel.

K. 308.
SS Zuvoͤrderſt alſo thut die gerade Linie der Aufgabe ein

Genuͤge, und man weiß auch ohnehin von ihr, daß ſie von

andern aus einem gegebenen Punkte gezogenen geraden
Linien in nicht mehr als in einem Punkte geſchnitten werden
kann. Die zweyte Gleichung iſt die allgemeine Gleichung

fuͤr die Kegelſchnitte, wenn dieſelben durch den Punkt G

gehen; aber dieſen Durchſchnittspunkt rechnet man, weil er

allen aus ihm gezogenen geraden Linien gemein iſt, nicht

mit. Da nun alle Kegelſchnitte von einer geraden Linie

in nicht mehr als in zwey Punkten geſchnitten werden, ſo

giebt aus dem angefuͤhrten Grunde jede gerade durch den

Punkt C, wo er auch in der Eurve genommen wird, ge⸗

zogene Linie nur einen einzigen Durchſchnittspunkt. Die
Linien der folgenden Ordnungen gehen insgeſammt durch
den Punkt C, und auch bey ihnen wird dieſer Durchſchnitts⸗
punkt, da er allen durch C gezogenen geraden Linien ge⸗
mein iſt, nicht mitgerechnet. Dieſerwegen ſind in den an⸗
gefuͤhrten Gleichungen von den Linien der hoͤhern Ordnun⸗
gen bloß diejenigen enthalten, welche von den aus dem
Punkte C gezogenen geraden Linien nur in einem Punkte
geſchnitten werden. Auf dieſe Art haben wir alſo alle al⸗
gebraiſche Curven angefuͤhrt, welche von den durch einen

gegebenen Punkt E gezogenen geraden Linien in nicht mehr

7

als in einem einzigen Punkte geſchnitten werden.

§. 399.
“ wollen wir uns zur Unterſuchung ſolcher Curven
wenden, die von den geraden Linien, welche aus einem

de benen Punkt C gezogen werden, entweder in zwey

Punkten, oder gar nicht geſchnitten werden, welches letztere
ei findet, wenn die Wurzein der Gleichung, die den do⸗
pel⸗

Vond

pelten
clſo d
ACM
Nieole
E

D und

n Cſis
Curde no
Unüſen n
kas 6 ſe

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Ungerade

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en Punte

6

ſgt

Von derſiudung der e Curben aus andern Eigenſch. 3 17

pelten Durchſchnittspunkt anzeigt, imaginaͤr werden. Da

alſo die gerade Linie C M = z fuͤr einen jeden Winkel
ACM = ° einen doppelten Werth bekommen muß, ſo wird

dieſelbe durch eine quadratiſche Eleichung beſtimmt wer⸗
den. Es ſey alſo

22 — Pz 1 Q = G

wo p und Q Funktionen des Winkels oder ſeines Sinus

oder Coſinus bedeuten. Da nun die gerade Linie C M die
Curve nur in zwey Punkten M und N ſchneiden ſoll, ſo

muͤſſen nicht nur P und Q einfoͤrmige Funktonen des Win⸗

kels % ſeyn, ſondern es duͤrfen auch, wenn man den Win⸗
kel um zwey rechte Winkel vergroͤßert, keine neue Durch⸗
ſchnittspunkte entſtehen. Dieſes findet ſtatt, wenn P eine
ungerade Funktion des Sinus oder des Coſinus von iſt,

ſo daß es negativ wird, wenn man den Sinus oder Coſi⸗

nus negativ nimmt; Q aber muß eine gerade Funktion

eben deſſelben Sinus oder Coſinus ſeyn.

.. 400.
Setzt man nun die rechtwinkligen Coordinaten Cb = x,

und PM =y, ſo wird 1. S= ſin. 9; und — = coſ. %, und

es muß folglich

. „. X „—
P eine ungerade Funktion von und *; und

Qeine gerade Funktion von 7 und .

ſeyn. Hieraus erhellet, daß — eine rationale Funktion

Dimenſionen, und auf aͤhnliche Art, „daß eine rationale

und

1

von xX* und y, und alſo eine homogene Zunktion von — 1

õ

318 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel.

und homogene Funktion von x und y von — 2 Dimenſie⸗
nen ſeyn werde. Wenn alſo
1 eine homogene Funktion von n † 2 Dimenſionen
M eine homogene Funktion von n † 1 Dimenſionen und ſ5
N eine homogene Funktion von n Dimenſionen 3
iſ: ſo giebt der Bruch

4 R X uoa

eine paſſende Funktion fuͤr und

2 s

eine paſſende Funktion fuͤr a.
4 2 Z

Da nun
22 — Pz † Q= o
iſt, ſo wird
P

2 22

und es iſt daher die allgemeine Gleichung fuͤr die Curven,
die von den durch den Punkt C gezogenen geraden Linien
in zwey Punkten geſchnitten werden,

— Ef =o, oder I. — MI N =
Mz NzZz NEv)
P= — — —
und darin und Q T „und

alſo P eine irrationale Funktion von x und y, weil 2 =
V (XxX † yy), und Q eine rationale Funktion von keiner
Dimenſion. “ZMB M
9. 401.
Hiernach iſt es ſchon leicht, aus einer jeden Ordnung der

Linien diejenigen zu beſtimmen, welche von den durch einen

gegebenen Punkt C gezogenen geraden Linien in zwey oder in

gar keinem Punkte geſchnitten werden. Fuͤr die zweyte Ord⸗
nung

(fg

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eintte

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7

Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſch. 3 19

nung nemlich ſetze man n = o, ſo erhaͤlt man die allge⸗

meinſte Gleichung fuͤr die Kegelſchnitte:

AX X † 6GXy † Yyy — ϑX — sy † 6= 0
Man mag alſo den Punkt C annehmen, wo man will, ſo
ſchneidet jede dadurch gezogene gerade Linie den Kegelſchnitt
entweder in zwey Punkten oder nirgends. Es kann ſich
indeß ereignen, daß ein Kegelſchnitt von einer geraden Linie
in nicht mehr als in einem Punkte geſchnitten werde; allein
da ſich dieſes unter den unzaͤhligen durch den Punkt C moͤg⸗
lichen geraden Linien nur in einem oder zwey Faͤllen zutra⸗
gen kann, ſo iſt dieſe Ausnahme von keiner Wichtigkeit;
und dann kann man auch ſagen, daß der zweyte Durch⸗
ſchnittspunkt unendlich weit entfernt ſey, ſo daß daher wi⸗
der die Allgemeinheit des obigen Satzes nichts fließt.

§. 402.

Damit aber deutlich werde, in welchen Faͤllen jene Aus⸗
nahme eintrete, ſo wollen wir die Gleichung zwiſchen X

und „ auf eine Gleichung zwiſchen z und den Winkel ⸗

zuruͤckfuͤhren, welche, da y = z. ſin. 0, und X = z. coſ.
iſt, folgende ſeyn wied:
22 ( (coſ. 9) 2 † 8 ſin. &: coſ. † „(ſin. )2) — 2 *
(J. coſ. Q † s. ſin. ö.) † = o.
Hieraus erhellet, daß nur ein Durchſchnittspunkt ſtatt fin⸗

det, wenn der Coefficient von 22 gleich o wird, und dieſes

geſchiehet, wenn
* † 8. tang. % † (tang. 9)2 = O
iſt. Wenn alſo dieſe Gleichung zwey reelle Wur⸗
zeln hat, ſo ſchneidet die durch den Punkt C gezogene ge⸗
rade Linie die Curve nur in einem einzigen Punkte. Da
aber die Wurzeln eben dieſer Gleichung die Aſymptoten der
Curve anzeigen, ſo erhellet, daß die Hyperbeln von den
gera⸗

320 Zweytes Buch. Siebenzehntes Caritl.

geraden Linien, die der einen Aſomptote parallel ſind, nur
in einem einzigen Punkte geſchnitten werden, und der lei⸗
chen durch C gehende Linien giebt es ni icht mehr als zwey;
bey der Parabel hingegen gehoͤret bloß eine mit der Axe

parallel gezogene gerade Linie unter die Ausnahme. Iſt
der Kegelſchnitt eine Ellipſe, ſo mag man den Punkt C an⸗

nehmen wo man will, es ſchneidet jede durch ihn gezogene
gerade Linie die Curve entweder gar nicht oder in zwey
Punkten.

.. 403.
Die Linien der dritten Ordnung, die jene Ei genſchaft

haben, ſindet man, wenn man n = I ſetzt, und ſie ſind

alſo in folgender Gleichung enthalten:

2x3 1ex⸗4 7xy⸗ † y3 — x2 — — *y2

X † = y = oO

Dieſe Gleichung begreift alle Linien der dritten Ordnung

unter ſich, und ſie gehoͤren insgeſammt hieher, wofern nur

der Punkt C in der Curve ſelbſt genommen wird; denn

macht man æ = o0, ſo verſchwindet zugleich auch y. Auf
aͤhnliche Art muß bey den Linien der vierten Ordnung, die
hieher gehoͤren, der Punkt C nicht bloß in der Curve lie⸗

gen, ſondern auch ein doppelter Punkt derſelben ſeyn; und
es thun daher alle Linien der vierten Ordnung der Aufgabe

ein Genuͤge, die einen de appelten Punkt haben, wenn der
Punkt C in dem doppelten Punkte angenommen wird. Auf

gleiche Art gehoͤren hieher die Linien der fuͤnften Ord⸗
nung, die einen dreyfachen Punkt haben, wenn C in dieſem
dreyfachen Punkte genommen wird, u. ſ. w. Dabey aber
muß man bemerken, daß es allemal nicht mehr als einen
Durch! ſchnittspunkt gebe, wenn die durch C gezogene ge⸗
rade Linie einer geradinigen Aſymptote oder der Axe einer

para⸗

ggdet

garabelſ

ander⸗

— 4

Dieſes

ſden Oeden

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Eul

DL
H

M Von derErfindung ber Curven aus andern Eigenſch. 32

d,n paraboliſchen Aſymptote parallel iſt, indem alsdann der
d Nri⸗ andere Durchſchattspunkt unendlich! weit entfernt liegt.
wen
der 1 J. 404. DZ
e. N DW Dieſes ſtimmt mit der Natur der Linien, die zu einer
unde jeden Ordnung gehoͤren, aufs vollkommenſte uͤberein. Denn
gejogere da jede zu irgend einer Ordnung gehoͤrige Linie in ſo viel
nrdh Punkten von einer geraden Linie geſchnitten werden kann,

als der Exponent der Ordnung Einheiten enthaͤlt; (und ſie
wird auch davon in der That jedesmal in ſo viel Punkten
geſchnitten, wofern nicht einige Durchſchn littspunkte ima⸗
enko ginaͤr werden, oder unendlich weit ſich entfernen) und da
wir hier alle Durchſchnittspunkte, ſie moͤgen reell oder

fefi imaginaͤr ſeyn, in Rechnung bringen, und bloß diejenigen
nicht mitzaͤhl en, die in den Punkt C fallen: ſo iſt, da
jede Linie von der Ordnung n in n Punkten geſchnitten
“ wird, klar, daß der Punkt C in einem ſo vielfachen Punkte,
als die Zahl n — 2 Einheiten enthaͤlt, angenommen wer⸗
inn den muß, wenn man einen doppelten Durchſchnittspunkt
eN. exrhalten will.
doung, N l §. 4o5. JDM .
en Nach dieſen Betrachtungen iſt es leicht, von den Auf⸗
emim gaben, die das Verhaͤltniß jeder zweyer Werthe von 2,
4 “ Clund CN, betref ffen, entweder die Aufloͤſung zu finden,
nen ddder die Unmoͤglich hkeit zu zeigen. Denn da die beyden
1 A Werthe von 2, C M und CN, die Wurzeln der Gleichung
n d⸗ —272 — Pz † Q= o
dieſen ſind, ſo iſt ihre Summe C M CN = b, und das Recht⸗
obey aben eck tzwiſchen ihnen C M. C N = C. Sollten daher zuvoͤr⸗
als einn derſt Curven geſucht werden, wobey allenthalben die
ogene h⸗ Summe C M † CN eine beſtaͤndige Groͤße waͤre:

N eae Eulers Einl. in d. Ansl d. Unendl. II. DO. X ſo

322 Zweytes Buch. Siebenzehntes Canitel

ſo mi ußte P eine beſtaͤndige Groͤße⸗ ſeyn. Da aber wegen
der Natur der Aufgabe j jede durch C gezogene gerade Linie

die Curve bloß in zwey Punkten ſchneiden darf, ſo muß
nach § 399 nothwendiger Weiſe —
M 2 NAVCNEY

ſeyn, und dieſe Groͤße kann als eine Irrational⸗ Groͤße nie

eine beſtaͤndige werden. Es giebt daher keine Curve, die
dieſ er Aufgabe ein Genuͤ⸗ ge thaͤte.

S8. 46.

Wenn aber die Bedingung, daß die durch C gezogenen

geraden Linien die Curve bloß in zwey Punkten ſchneiden
ſollen, weggelaſſen, und alſo ſolche Curven geſucht werden⸗/
bey welchen es zwar mehrere Durchſchnittspunkte, aber
darunter zwey, Mund N, von der Beſchaffenheit giebt, daß
CM † CN eine beſt taͤndige Groͤße wird: ſo laſſen ſich un⸗
zaͤhlige Curven von dieſer Art ſinden, wenn man ? = jener
beſtandigen Gr oͤße CM CN =a ſetzt. Es wird nemlich

alsdann
22 — a z † = 0

1

N

wo Q die Funkiion S bedeutet: und weil dieſe Glei⸗

. chung irrational iſt, ſo erhaͤlt man daraus durch Wegdrin⸗

47 gung der Irrationalitaͤt
a a222 = (er 1 Oha oder : = :220 4 T⸗ .

oder
a2 La = (xxX 1 yy) (l2 f F 2 L N 1 NN
worin L eine homogene Funktion von n † 2, N aber eine
homogene Funktion von n Dimenſionen von x und y iſt.
Die einfachſte Curve, wodurch die jetzige Aufgabe aufge⸗
loͤſet wird, findet man daher, wenn man

1I

Pnder

ſttz und

welches
Ordpun
Mittehn
ſichenu
efcren 5
Venn wa

ſch.
al⸗

Ven
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wa

ſowß

ſchneiden

ſch ⸗
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—

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nd *

he Nlſ ⸗

de Ane

Von der Eifudungter urren aus undeen Eenſch 323

L = ey; und N = – hb
ſetzt; und man bekoͤmmt dadurch
aa (xx † yy) = (FX † yy bb)2

H welches eine Gleichung fuͤr eine complexe Linie der vierten

Ordnung iſt, indem ſie zwey Kreiſe ausdruckt, die den

Mittelpunkt C gemein haben. Die einfachſten continuir⸗

lichen Curven aber, die dem Verlangten ein Genuͤge thun,
gehoͤren zu der ſechsten Ordnung, und man findet ſie,
wenn man
= srX b Axy à aya; und N = bb

. ſetzt. Dadurch erhaͤlt man

aa (xXX † SXy † 7yy) 2 = (Xx † vyyexxX † gxy † Yyy — bb)
Es ſey «= I; 8 = 0; und 7= o; ſo wird

a à XA
» M 4 — 2 bbXX † b4
oder
— WWQaxx= 14 —2 e bxX — b)
— XX — bb
J. 407.

Wenn aber dieſe Aufloͤſungen, wobey die durch C gezo⸗

ven, die der Aufgabe eine Genuͤge thun; und es laͤßt ſich

daher keine krumme Linie denken, welche von den durch

C gezogenen geraden Linien bloß in zwey Punkten M und N

ſo geſchnitten wuͤrden, daß CM † CN eine beſtaͤndige Groͤße

waͤre. Werden hingegen Durchſchnittspunkte von der Art
verlangt, daß das Rechteck CM. CN eine beſtaͤndige Groͤße

W’

genen geraden Linien die Curven in mehr als zwey Punkten
ſchneiden, ausgeſchloſſen werden; und die Natur der Auf⸗
gabe ſcheint ſolches zu erfordern: ſo giebt es gar keine Cur⸗

ſey; eine Beſchaffenheit, die dem Kreiſe allemal zukommt,
der Punkt C mag angenommen werden, wo man will: ſo
X 2 laſſen

324 Zweytes Buch. Siecbenzehntes Capitel.

laſſen ſich unzaͤhlige Curven finden, wobey dergleichen ſtatt
haben. Denn es ſoll alsdann O eine beſtaͤndige Groͤße,
und gleich dem Rechtecke CM. CN ſeyn, welches wir =Saa

NZz2Zz

ſetzen wollen; allein dieſe Forderung enthaͤlt, da Q = P.

und folglich eine rationale Funktion von und y iſt, nichts
widerſprechendes.

§. 408.
Es ſey alſo —. = aa, oder L. = = NAEH).
2 1
ſo ſind alle Gutpen, die dieſer Aufgabe⸗ ein Genuͤge thun,
in der Gleichung:
Nx I L
4

— M † N = o

oder
Maa = = N (Xx † yy † a a)

enthalten, wo M eine homogene Funktion von n † I Dia
menſionen, N aber eine homogene Funktion von n Dimen⸗

= YV T aa
a a

ſionen von X und „ bedeutet, ſo daß

eine Funktion von einer Dimenſion von X und y iſt. Dieſe
Gleichung begreift demnach alle Curven in ſich, welche von
den durch C gezogenen geraden Linien bloß in zwey Punkten

M und N ſo geſchnitten werden, daß das Rechteck CM. CN

allenthalben eine beſtaͤndige Groͤße und = aa iſt.

K. 409.

3

Da alſo eine homogene Funktion von einer Dimen⸗

ſion von x und y iſt, ſo findet man den einfachſten Fall,

wenn man
M.

Nund

ſetzt

die dl
Gcu
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Nn. V.
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.

Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſch. 325

NI Sl *„X † gy

N

ſetzt. Dadurch bekommt man die Gleichung: M

XX 1 yy — a (aX † 8⁶ y) † a a = 0

die allemal dem Kreiſe zugehoͤrt; und da ſie eine allgemeine

Gleichung zwiſchen rechtwinkligen Coordinaten iſt, ſo faͤllt
in die Augen, daß der Kreis der Aufgabe ein Genuͤge thut,
wo man auch den Punkt C anneh men mag. Von den K Kegel⸗

ſchnitten außer dem Kreiſe kann keiner ieher gerechnet wer⸗

den. Aus den uͤbrigen Ordnungen der Linien aberl aßt ſich

eine unzaͤhlige Menge von Curven finden, ſo daß man zugleich

alle erhaͤlt, die aus jeglicher Ordnung hieher gehoͤren. So

ſind z. B. die Linien der dritten Ordnung, welche dieſer

Aufgabe ein Genuͤge thun, in der Gleichung enthalten:
„αX X † £βX y P YyVy = XX T yy † aa
à (5X † *y) — aDW
oder .
† ⁹y) (XX †yy) — a (2 X † Xy †* yyy) 1
aa (&X † 5y) = 0.

Auf eine aͤhnliche Art laſſen ſich die Gl eichungen der ien

der uͤbrigen Ordnungen, die hieher gehoͤren, finden.

§. 410.

Nun werde verlangt, von allen Curven, die von den

durch C gezogenen geraden Linien in zwey Punkten ge⸗

ſchnitten werden, diejenigen zu beſtimmen, wo die Summe
der Quadrate CM2 † CNz eine beftaͤndige Groͤße = aa

iſt. Da
CM † CN = P; und CM. CN = 0
iſt, ſo wird
CM= † CN2 = P P — 2C
und es muß folglich

326 Zwente Buch. Siedenzegntes Capitel. 6

2

PP —
PP — 2 = 2 aa; oder = 222
ſeyn. Run iſt .
P Z 2 Z

— nd — — —
N, n Q

und es wird demnach
2N z2 M MZzZ

.ùce D

L ILII.
urnd folglich
M M aa I

— —

21 22

—

Da L. eine Funktion von n † 2, M eine Funktion von n 4 1,

und N eine Funktion von n Dimenſionen von und y iſt,
ſo findet hierbey keine Schwierigkeit ſtatt. Setzt man alſo
M M

fuͤr Lund M dergleichen Funktionen, ſo wird N = =

— 243 I. , und es iſt daher die allgemeine Gleichung fuͤr die
22

Curven, die der Aufgabe ein Genuͤge thun:

oder
211 L Ex 1 vy— — 2 LM (xx† yy) † MIMG 1† 71
— 2 à à LL= o.
Wenn M = o iſt, ſo giebt dieſe Gleichung den Kreis, und
da der Mittelpunkt deſſelben in C faͤllt ſo iſt von ſelbſt klar,
daß er die Aufgabe aufloͤf.

1.

17

Es ſey3] n † 1 = o, ſo daß M eine beſtaͤndige Groͤße
= 2 b, und L. = a X † 8y werde. Alsda unn entſteht eine Linie

der vierten Ordnung, und ihre Gl eichung iſt:
(ℳ

*

Vy

man

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1

Peſc⸗

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chung,

und do d
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den W

(x

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und y ſſ,
Ancn a

N —

M
— —
91.

4*

Von der Erſide ng der urven aus andern Eigenſch. 327

G te⸗ (XX † yy-— à a) —2 b aX D e) EX † yp
2 bb (xX † V)= o.

Eine andere Linie der vierten Ordnung erhaͤlt man, wenn

man ́”M”MUM
L = XX † yy; und M = 2 (G . 8y)
ſetzt; denn alsdann gi ebt die Gleichu ng, durch 2XX † 2 7 y
dividrirrt.
(XxX †T yy) 2 — 22 (X † 6,) (x5½ † yy) † aa (aX † 8y) 2 —
aa N yy) D
Wofern aber die Diviſion durch X2 † yy ſich nicht vorneh⸗
men laͤßt, ſo gehoͤrt die gefundene Gleichung (wenn man
2 M fuͤr M ſetzt) nemlich ch
LL(XXW † y 7) — 21 M GXTyY † a MN GX yp=
za I. LE = 0 S

allemal zur Ordnung 2n † 6; und man kann daher aus

jeder geraden Ordnung Gleichungen fuͤr Curven ſinden,
welche der Aufgabe ein Genuͤge thun. Iſt aber I. durch

XXTVyy theilbar, d. h. iſt L. = (X X † yy) N, wer In N

eine homogene Funktion von n Dimenſionen von 2 und y
bedeutet: ſo ergiebt ſich noch eine andere allgemeine Glei⸗
chung, nemlich
N N (XxX † yy) 2 — 2 M N (xx † yy) † 2 M M — aa NN &
(Xxx † y y) = 0:
und da dieſe zu der Ordnung 2n †4 gehoͤrt, ſo hat man
fuͤr jede gerade Ordnung zwey Gleichungen fuͤr Curven,
welche die angefuͤhrte Eigenſchaft haben. Aus der ſechſten
Ordnung gehoͤren z. B. die Curven hie ſeher, die in folgen⸗
den zwey allgemeinen Gl eichungen enthalten ſind:
(X † Exy † vyy)2 (xXXx†T yy — a a) — 22a 9X † y) (xx †Pyy)
(GXXTSXVYYVyV — à x 1 )) =0%
X 4 und

323 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel.

=S und
(x † ⸗y)2 (XKX † yy) (XX † yy — a a) =

20 („XX P SGxy † vyy) ((X . *y) (Xx'† yy) — a (XX † Eyy P vyy))
In den ungeraden Ordnungen der Linien giebt es alſo keine

Curven „die dieſer Aufgabe ei ein n Genuͤge thaͤten.

§. 412.

Wenn nunmehr Curven geſucht werden ſollen, worin

nicht bloß die Summe der Quadrate, C M= † CN2, ſon⸗
dern C M?z † CM. CN † CNz, oder uͤberhaupt
CO,G= † n. CM. CN † CN⸗

eine beſtandige Groͤße iſt: ſo laͤßt ſich dieſe Aufgabe auf

eine aͤhnliche Art aufloͤſen. Denn da
CMz † n. CM. C N † CNZ =— Pz † — 2,0
iſt, ſo wird, wenn man P2 † (n — 2) Q = aa ſetzt,

a à — PP

n –— 2
und dieſe Gleichung iſt von al en Unbeauemichkeiten frey.
Da alſo
M z 22

P =— —; und —

iſt, ſo wird
M222 (n – 2) Nez
L2
und folglich .
aal. NS
„(n — 2) 22 (n— 2);1.
Nun ſt S 408] die Gleichung für di die Curve

— à à

und es ergiebt ſich alſo fuͤr die Bedingung, daß cM=1†
n. CM. C N † CNz eine beſtandige Große = aa ſeyn ſoll,
die Gl leichung:
(a. — 2)

Poad

u

ol.

line!

Pfed

ſan
All
Da e
Men
4 —
̃ bon
den i
Wufga
gor n
ſchen
ind

—
—

Vt
alſo kin

Von der Efindung der Eurven aus andern Eigenſch. 329

(n — 2) L Lz — (n — 2) L Mzz † aa L. L. . Mazz e
oder, da 22 = XX 4 yy iſt, H
aa LL GxXHyy) (n — 2) L2 — ( — 2) LM — M=) =0
wo L. eine Funktion von m † 2, und M eine Funktion von
n † I Dimenſionen von X und y iſt. Laͤßt man N irgend
eine homogene Funktion von in Di men nfionen bedeuten, und
ſetzt man dabey =ðUðWÿj
1 = 4 1X yy) N
ſo findet man eine andere allgemeine Gleichung, nemlich:
aà (XXx - yy) N2 † (n — 2) (XX † yy) 2 NZ
— (n — 2) (X † yy) M N — M2 =

K. 413.

Menn n = 2 geſetz wird, und alſo (C M CN= = aà
ſeyn ſoll, ſo wird entweder

aaLL = (XxX † V) MM;- oder M M = aa ( † y) Na.

Da beyde Gleichungen homogen ſind, ſo enthaͤlt jede von
ihnen zwey oder mehr Gleichungen von dieſer Form:
„y = 6X; und es kann daher das Verlangte nicht anders
als von zwey oder mehr durch den Punkt C gezogenen gera⸗
den Linien erfuͤllt werden. Da nun dieſes dem Sinne der
Aufgabe nicht gemaͤß iſt, ſo erhellet, daß der gedachte? Fall
gar nicht ſtatt finden kann; auch iſt dieſe Unmoͤglichkeit
ſchon vorher § 405] beruͤhrt worden, weil CMN CN der
beſtaͤndigen Groͤße a gleich ſeyn muͤßte. Wird hingegen
n = – 2 geſetzt, ſo daß die Differenz M N ſelbſt einge be⸗
ſtandige Groͤße ſeyn wuͤrde, ergeben ſich dieſe zwey
Gleichungen: “
a a LL = = G y G a — 2=
und
aa (2 † yy) N N == (2 (T † 1) N — ⸗

. —

₰

5
*

330 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel.

Der e einfachſte Fall iſt demnach der, wenn N = I, und
= 2 b geſetzt wird. Es wird nemlich alsdann
aaGX P yY=4 CGXT yy — bx) 2
doder, wenn man a a = Soc nimmt.
(xxX 1 19⸗ — ec 1† bx) GrO= er .
1 yy cc f bz c v GE 1 2 bx)
und
„ — . (S0 f by — X X V. ee † 2 br).

§. 414.

Es 6 giebt alſo unzaͤhlige Curben, die von den durch C

gezogenen geraden Linien ſo in zwey Punkten M und N ge⸗

ſchnitten werden, daß die Groͤße M N allenthalben dieſelbe
bleibt. Zuvoͤrderſt faͤllt in die Augen, daß dahin der Kreis

gehoͤrt, deſſen Mittel pukt in C liegt, indem dabey M N
allenthalben dem Durchmeſſer gleich iſt. Man findet aber
dieſen Kreis aus den allgemeinen Gleichungen, wenn man
M = o ſetzt. Nach dem Kreiſe ſind hieher zu rechnen die
Linien der vierten Ordnung, die durch⸗ die Glei chungen:
aà (X † yy) = 4 (X † yy — bx)2
und
aaxX = ( † yy) (2 7 — — 2 b) 2
ausgedruckt werden. Will man indeß dieſe Linien genauer

kennen lernen, ſo muß man die angefuͤhrten Gleichungen

auf andere zwiſchen 2z und dem Winkel e zuruͤckfuͤhren. Da
alſo XX †T yy = 27; X = ꝛ. Co0ſ. , und y = 2. ſin. 4 iſt:
ſo wird, wenn man a = 2c ſetzt, einmal
ccz2 = (22 — bz. col. /2
. cot 0 & c = 2²;
und zweytens
. e c

Vond⸗

Hiern

6l

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0, F
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nder Ns
Poben AN
„ ſ
indet ober

e

Ben der esEißiund der Curven aus gandern Eizenſch 331

c c (col ) 2 = (2. coſ. o — b)
b

— —

cCoſ. 49
Hiernach laſen ſich dieſe Curven ſehr licht conſtruiren.

. 415.
Soll nemlich die Curve, welche durch die Gleicungs
2 — b. coſ. 4 — C

ausgedruckt wir d, conſtruirt werden: ſo ziehe: man durch

C, Fig. 83, die gerade Linie Aà CB, und nehme darauf
CD = b, und von D aus auf beyden Seiten DA= DB= c;
wo denn zuvoͤrderſt die Punkte A und B in der geſuchten
Curve liegen. Darauf faͤlle man auf eine durch C nach Be⸗
lieben gezogene gerade Linie N C M aus D die Linie DI.—
ſenkrecht, und ſchneide zu beyden Seiten LM = LN = c
ab: ſo ſind auch die Punkte M und N in der geſuchten

Curve, und folgl lich allemal, wie in der Aufgabe verlangt
wird, MN = 2c.

Hier muß bemerkt werden, daß die Curve, wenn cD

= b kleiner als c iſt, in C einen n zugehöͤrigen Punkt hat, D

Fig. 83.
Wenn aber b = c iſt, ſo hat die Curve in C eine Spitze,
und AC verſchwindet, Fig. 84.
Und iſt endlich b kleiner als c, ſo faͤllt der Punkt A

zwiſchen C und B, und die Curve hat in C einen Knoten

oder einen doppelten Punkt, Fig. 85. Uebrigens iſt der

Darchmeſſer dieſer Curven die gerade Linie ACB, und die
auf ihr ſentrecht ſtehende gerade dinie ECF: = 2 c.

§. 416.
Außer dieſen wieder in ſich zuruͤckkehrenden Curden der

vierten Ordaung, thun auch die Linien. mit unendlichen
HS Schen⸗

4

332 Zenee Buch. Siebenzehntes S Capitl.

Schenkeln von eben dieſer Ordnung der Aufgabe eine Ge⸗
nuͤge, welche in der Gleichung .
b

col. „
enthalten ſind. Ihre Conſtruction erhaͤlt man auf folagende
Art. Man ziehe durch C, Fig. 86, eine gerade Linie C A B,
mache CD = b, und DA=D B = c, wo denn die Punkte
A und B in der Curve liegen. Darauf lege man rurch D
die gerade Linie ED F ſenkrecht auf CA B, und ziehe C
nach Belieben. Setzt man nun den Winkel! DCL = o,

ſo wird

und macht man fortgeſetzt LM = LN = c, ſo beſtimmen
die Punkte M und N die geſuchte Curve.

Aus dieſer Conſtruction erhellet, daß die auf die ge⸗
dachte Art beſchriebene Curve die Conchoide der Alten iſt,

in C den Pol, und die gerade Linie E F zur Aſomptote hat,
der ſich vier ohne Ende fortlaufende Schenkel naͤhern.
Es wird aber der Theil hyß h die aͤußere, und g Ag die
innere Conchoide genan nt, und uͤberdem iſt in C ein zuge⸗
hdriger Punkt.

6 417.
Dies ſind die Curden, der vierten Ordnung, welche der

Aufgabe ein Genuͤge thun; es iſt aber leicht, auch die Cur⸗

ven den hoͤhern Ordnungen, die hieher gehoͤren, darzuſtellen.

Denn iſt P eine ungerade Funktion des Sinus oder des

Eoſinus des Winkels o,„ ſo giebt die Gleichung

2 =— bP —c

eine continuirliche Curve, die von allen durch C gezogenen

geraden Linien in wey PFunkten M. und N ſo geſchnitten
wird

CHihn
letern
Ciſtnite
laſen

N

N
o⸗
eraden.
1,eccn
Mrellan
LN=
en Curt
eine ſen,
on, die
ſchninen
Geöͤſe,
heſctiet
logene
Uung ſeyn

ine d

ſolannde
nie Al
je Puntt
durch
G l.
R=

Nanen

de len ie
Gortehe
oien.
de, N
en

pite e
t Nut⸗

Negaſelen.

1 N

ten

cin
3 nin 4

wird, daß alle
m —2 c i
Curben iisgeamant zu dem Genti iſt. Es koͤnnen aber dieſe
rechnet werden, w zu dem Geſchlechte der Conch de diſ
Curve ſetzt, welch enn man anſtatt der Direct ir v die
wird Nun J . E durch die Gleichung — b eir EE die
wirb. aben wir ob ausgedruckt
Gleichung di en 3941
ie C ddi geſehen
Eurden in ſich ſchließt, die von de de e
n durch G

geſchnitten werde
n. Da atſt
ſo laſſen alſo die Groͤße
lu derg ſed an jeder Curve z = bP ee d anene iſt,
geg waͤrtigen Abſicht ſich ſchicken da ſellen. die

Man neh 1.
mnehme nemli “”M”ẽ
Fig. 87, welche vone nach Gefallen eine Curve CEDLF,
geraden dinien al,l allen durch den Punkt C LF,
L., geſchnitten allemal nur in einem Punkte d oder
n werde. D . 14 5z. B. D od
rlangerten Linien CL, von Laus leic dei dieſen gera⸗

ten Curve li
iege
eine ſtetige Bein werden. Auf dieſe Art kann
ben, die von d egung die Curve AMPCGGOB N man duech
urch C gezogenen geraden iimm ſoge⸗
iten ſo ge⸗

ſchnitten wird
ird, daß allenthalben M N eine bet
e beſtaͤndige

Groͤße, u.
wird j B
beſchrieb Hierbey iſt
dene Cur X t anzume e
zogene Kreislinie i wenn die Curve CEDg eine dab a⸗
iſt, eben dieſelbe Li 1 aus C ge⸗
nung ſeyn wi ben dieſelbe Linie der vi ge⸗
wird, die wi e der vier
„ die wir zuerſt, 6414, gefunden hoben.

9. 41
So haben w
ir alſo die Auf
gabe aufgeloͤſet
, welche Cur⸗

Fig. 81, zu
C gezogenen RKrl 1 ſuchen befahl, di
geraden Linien in den een Ponte durch
nkten M und

N ſo ge 3 ⸗ 2„
ſchnitten wuͤrden, daß allenthalben C M — CN

oder

2334 Zweytes Buch. ce te ede

ddder CMzZ — 20M. CN Nar eine beſtaͤndige Groͤße
waͤre. Jetzt wollen wir bu tinn den Fall erwaͤgen,

wenn 5
“ CM= † CM. CN 1 CN-=

eine beſtaͤndige Groͤße ſeyn ſoll. Man muß dann in dem

4A12ten §Hn = I1 ſetzen, und dadurch erhaͤlt man entweder
Aa LIL = (XX T yy) (IL.2 — LM †T M2²)

wo L eine Funktion von m † 1, und M eine Funktion von

m Dimenſionen von X und y bedeutet; oder
aa (XX † yy) N N = (Xx † yy) ²* NN — (xXε½7*²) MN MM
wo M eine Funktion von einer um 1 hoͤhern Dimenſion
als N iſt.

5§ 420.
Zuvoͤrderſt faͤllt in die Augen, daß ſich hier, wenn
M = o geſetzt wird, ein Kreis ergiebt deſſen Mittelpunkt
in dem Punkte C liegt; und da darin alle aus C nach der

Cur ve gezogene gerade Linien gleich ſind, ſo thut derſelbe auch

allen Aufgaben dieſer Art ein Genuͤge. Fuͤr den gegenwaͤr⸗
tigen Fall aber ſind die einfachſten Curven nach dem Kreiſe

die, die in der Gleichung enthalten ſind, welche man aus

der erſten durch die Setzung M = b, und L= = X s emnthalt.

nemlich
aaXX = (xX +† „, (Xx — bx † ein

oder
XxXI(a a — bb bz — x *)
V= b b – PXxX †P XX

Setzt man in der andern Gleichung N = I und M = bx,
ſo bekommt man ebenfalls eine Linie der vierten Ordnung
à GX † yy) = (XX † yy) 2 — bX. (X X † yy) 1 bbxx
oder

xx TTY bx i44a W(as Tiaabz z bben

die

1

10⸗0
ſ ei
Kne der
NNn

heig

e Auf
Net
gen der⸗

ſeſent

ſen ale
und e
yle, pe⸗
iffng
Nonde w
knen:

lche Curp

—
—

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Mies A

Wenn

WrWN
4 Dntin

hir, kon
neelyust

nut N
Nhcc
e Chnm
den ii
ce mnon i
21 f

dN — d
.n Oednmng

X
. =i0

die

,

R.ρ

Von der Erfindung derCurven aus andern Eigenſch. 335

de eben ſowohl als die vorige der Aufgabe ein Genuͤge

iſt: ſo muͤßte

ſeyn, allein dieſe G

§. 221.
Nach dieſen Aufgaben wollen wir die hoͤhern Poteſet taäͤ⸗
ten der beyden Werthe von 2 aus der Gleichung 22 — Pz
MzZz
† Q o betrachten, wenn P = 1 , und C= 2
iſt, L eine homogene Funktion von n † 2, M eine homo⸗
gene Funktion von n † 1, und N eine homogene Funktion
von n Dimenſionen von und y bedeutet, und X« = der
Abſeiſſe CP, und y = der Applicate P M. iſt. Es ſey alſo
die Aufgabe: Zwey Durchſchnittspunkte M. und N von der D
Art zu finden, daß C M32 † C N 3 = as ſey. Da alſo we⸗

gen der Natur der Gleichung 22 — Pz † Q = o

CM3 † CN3 = P3 — 3 G

P 3 — 3 P Q= a 3
leichung kann nicht ſtatt fnden, da P32
und PO irrationale Groͤßen ſind. Es laͤßt alſo dieſe Auf⸗
gabe, wenn man ſie im ſtrengſten Verſtande nimmt, keine
Aufloͤſung zu. Bleibt indeß die Anzahl der Durchſchnitts⸗
punkte unbeſtimmt, ſo daß auch mehr als zwey da ſeyn
koͤnnen: ſo laſſen ſich unzaͤhlige unter dieſe Augabe gehoͤ⸗

P3 —
rige Curden finden, wenn man Q = ſetzt, und

fur P irgend eine Funktion des Sinus oder Coſinus des
Winkels ACM = % annimmt.

”M §. 422.
Wenn dagegen Curven geſucht werden, worin
CMA † CNA = 24

iſt, ſo muß man
H RMK

336 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel.

PA — 4 P 2 Q1U 2QQO ae

ſetzen, und dieſe Gleichung enthaͤlt, da darin keine Irra⸗ H

tionalitaͤt iſt, nichts widerſprechendes. Es muß demnach
Q= PP † V. (& P4 † 4 àa 4)

ſeyn, und dieſe Funktion kann man, des Wurzelzeichens

ungeachtet, als eine einfoͤrmige Funktion betrachten, in⸗
dem VI P4 † an”) nicht negativ genommen werden darf,

weil ſonſt die Werthe von 2 imaginaͤr werden wuͤrden.

Es iſt daher

Nez NMMZz . M A 2 4
— —— 3 —— 4
1 L L. r —= † % a 2„
und dar⸗ die Gleichung fuͤr die Curve 1.— M † N = o, oder
MZz NZ Z
227 — 1 2— = = 0 iſt, ſo wird
AAzz MMzZz M AZ4
22 — r Tr t VS 11 24) = o
Veingt man folglich die Irrationalitaͤt weg, ſo wird

— 2 Cr = L. M. I MM)⸗ = 132 † ½ a4
2 L4
“ oder
( † yy) 2 (2 (LL — LM † MM)2 — M4) = a 4 L4.
Dieſe Gleichung ſchließt alle hieher gehoͤrige Curven in ſich.

§. 423.
Sowohl dieſe Aufgabe als die ihr ahnlichen laſſen

ſich auf eine andere leichtere Art aufloͤſen, als oben § 372.
Denn da CM. C N = C iſt, ſo muß, wenn man die eine

2— NzZ 2
von dieſen Linlen = z ſetzt, die andere = = =
werden, weil Q S iſt. Wenn daher

CMNn † CNa = — a D
ſeyn

nder

ſenn ll,

Ne

Gend

Ungcrade
chaffe
h de
Cueye ⸗
alflet,

nd dieſe

ſbetein
we

ſehn al,
71 8

wl eine
n l,t
d

an)
de 1 Sum
Eulere

den “
türder.

D= l,
veniſt

ſn Ge
Gben ſ
un dieeine
Nt
C2—

—

Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſch. 337
ſeyn ſoll, ſo wird
2 n † —
. und folglich
a n Prn
und dieſe Gleichung iſt rational und thut dem Verlangten
ein Genuͤge, wenn n eine gerade Zahl iſt. Iſt aber n eine

——

ungerade Zahl, ſo muß man, um die Irrationalitaͤt weg⸗

zuſchaffen, die Quadrate nehmen; wodurch aber die An⸗

zahl der Durchſchnittspunkte verdoppelt wird, und eine

Curve entſteht, welche die Aufgabe nicht in dem Sinne
aufloͤſet, als gefordert wird. Soll z. B.
CMzZ † CNZ = az
ſeyn, ſo wird
22 LL. J
xxX T y = P NN
und dieſe Gleichung ſtimmt mit der oben § 410 gefundenen
a à LL.
T. — 4) 2 † LL.
uͤberein, weil L. — M † N = 0 iſt. Ueberhaupt alſo er⸗
haͤlt man, wenn
CMN †. CNN = — an

22

XX † yy =

ſeyn ſol, und n eine gerade Zahl iſt, die Gleichung:

n an LIn

— Ln † Nn.

a n Ln
I T (L — — Mn

= (X VV 2

wo l. eine Funktion von m † 2, eine Funktion von

m † 1, und N eine Funktion von m Dimenſionen von
X und y bedeutet.
5. 42 4.
Eben dieſe Aufloͤſung laͤßt ſich auch aus der Betrachtung
der Summe CM † CN = b herleiten. Denn wenn man
Culers Einl. in d. Anal d. Unendl. I. 1. 2 von

4

»*

õ

338 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel.
von den beyden Groͤßen CM. und CN die eine = z ſett,
ſo wird die andere = P –— z. Soll nun CMA † CN

eine beſtaͤndige Groͤße ſeyn, ſo wird
= Ee — On e a n. 3
Wir haben aber geſehen, daß P = = —, und = ⸗

7

iſ, ſo daß L — M † L = o wird; und daraus fließt
. — ⸗ L)n = a*
oder
“ an Ln?
2 —
LnnT (M — L n
oder
AnLn
TLn r N n
oder, wenn man L. wegſchafft,
aàa n M — Ny 1
(M – N) à † Nn-
Dieſe Gl leichungen erfuͤllen die feſtgeſetzte Bedingung, 1 wenn
n eine gerade Jahl iſt, genau. Wenn aber n eine unge⸗
rade 3. ahl bedeutet, ſo giebt es zwar zwey Durchſchnitts⸗
punkte M und N von der Art, daß CMn † CNRn = an
iſt; allein es ſind dann auch noch zwey andere Durch⸗

2 n —

“

2 =

ſchnittspunkte da, welchen eben dieſe Eigenſchaft zukommt,

ſo daß jede durch 0 gezogene gerade Linie das Verlangte
weymal thut.

Nach dieſen Nuseinanderſetungen iſt es Aeicht, andere
ſehr ſchwere Aufgaben aufzuloͤſen. Soll z. B. eine Curve

gefunden werden, welche alle durch C gezogene gerade

Kinien ſo in zwey Phuneten M 1 und N ſchneiden, daß
CMn

Giſt
oene
von n
hen hoi⸗
N=A.
ſietgns at

MWit
on dern
hen linie
emeine

werdies
Aunine,

Chinus N

Gr ens

c

ſchie
eine ge
Setze
und p

—
=

—

1(N

——

k

gog Nen.

Ae Ange⸗

(NZYO

dere Dur⸗
4 o n

9

Verhange⸗

ht, enden
ne Curn
as guertee
n n
(Mr

Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſch. 339

cNle Nafe CM. CNIGCMnN-2 4 Chn-z) ig. CMZ. CN

(CMn-4 T CN R-4) ꝛc..
eine beſtaͤndige Groͤße = an wird: ſo ſetze man den einen
Wei th CM=z, wodurch denn der andere CN = — —
wird. Geb raucht man nun dieſe Werthe, ſo iſt die Glei⸗
chung, welche die Natur der geſuchten Curve ausdruckt,
folgende:
zn (Ln † N ) † 2LN (E=2 2 . Nn-2 2,1 8. La Nz
(tA T Nn: 4) 1 aL
Es iſt aber L — M † N= o, und L, M und N ſind ho⸗
mogene Funktionen von « und y von m † 2, m † I und
von m Dimenſionen, ſo wie wir ſie oben ( a400] beſchrie⸗
ben haben. Hiernach iſt entweder L. = M –— N, oder
N = M — L, und ſo laſſen ſich unzaͤhllge Aufloͤſungen
hieraus ableiten.

§. 426 .

Wir gehen zur Unterſuchung ſolcher Curven fort, die

von den durch den angen dommenen Punkt gezogenen gera⸗

den Linien in drey Punkten geſchninan werden. Die all⸗

genteine e Gl tichung fuͤr d dieſe Curven iſt

wo 2 die Defer nung eines je eds n Pus nkts der Curbe von dem

Punkte C, und P, Q und E. Zun tionen des Sinus oder
Coſinus des Winkels ACM = 0 bedeuten. Es erhellet

aber aus eben n den Gruͤnden, die wir oben 6 394] ge⸗
braucht haben, daß, wenn nicht mehr als drey D Durch⸗
ſchnittspunkte entſtehen ſollen, ?b und R ungerade, Qaber

eine gerade Funktion von ſin. % und coſ. O& ſeyn

Setzt man daher die rechtwinkle gen Coordinaten CP =
und 5 M = y, ſo daß X † yy = 22 wird, und laͤßt man
P 2 M K,

340 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel.

K, L, M, und L homogene Funktionen von X und y von
n † 3, n † 2, n t 1I und von n Dimenſionen bedeuten:

ſo n wird

Lz N

und dann bat man fuͤr die geſuchten Curven die e algemeine
Gleichung:
K — L † M — N =
woraus erhellet, daß C ein ſo bielfacher Punkt der Curve
ſeyn wird, als n Einheiten enthaͤlt.

§. 427.

Zuboͤrderſt gehoͤren alſo hieher alle Linien der dritten
Ordnung, man mag den Punkt C außer der Curve anneh⸗
men, wo man will. Ferner begreift dieſe Gleichung auch

alle Linien der vierten Ordnung unter ſich, wenn der Punkt

L in der Curve ſelbſt angenommen wird. Drittens muͤſſen
dazu alle Linien der fuͤnften Ordnung gerechnet werden,

die einen doppelten Punkt haben, ſo bald der Punkt C in

dieſem doppelten Punkte angenommen wird. Und uͤber⸗
haupt thun alle Linien der folgenden hoͤhern Ordnungen,

die, wenn n † 3 die Ordnung der Gleichung anzeigt, einen

ſo vielfachen Punkt haben, als n Einheiten enthaͤlt, dieſer
Bedingung ein Genuͤge.

5§. 428.
Es ſeyn p, ꝗ und r. die drey Werthe, welche 2 aus der
Gleichung
2³— Pza f Qz — R = o
faͤr einen jeden Werth des Winkels CAM = erhaͤlt; ſ
iſt wegen der Natur der Gleichungen

P= D dq ir; Qp g†pr qr; und R=S pqr.

Da alſo ſcon P und K durch und „ nicht rational ausge⸗

druckt

Ponder
druckt 1
Curven
eine be
Ungerd
glechn
fbnen
hetennen

ſen,

Deingt/

6, ſdett
Cigencto
Al

(

uf
ben ſehr
naden ſon
bndey⸗

4

4 D Von der Erfindung der Curven aus andern Eigenſch. 34½
nm Druckt werden koͤnnen, ſo iſt offenbar, daß keine ſolche
bdang. Curven moͤglich ſind, worin entweder p † q †r, oder Pqr

eine beſtaͤndige Groͤße waͤre; und uͤberhaupt kann keine
ungerade Funktion von p, 4 und r einer beſtaͤndigen Groͤße
gleich geſetzt werden. Die geraden Funktionen hingegen
Alurte koͤnnen ohne alle Schwierigkeit einen beſtaͤndigen Werth
bekommen. Soll z. B.

Nre ſeyn, ſo wird a= = D = a a, und fol glich
V(I yy) = aa k.
kin Bringt man dieſen Werth in die Gleichung
Re annehe K — L † M — N = o
awg duh ſo findet man die Gleichung, welche alle mit der gedachten
rhut Eigenſchaft begabte Curven. in ſich begreift, de ien⸗
mi niſin M (xx 4 7y) — a a L † a a M — aa N =
gaden oder, wenn man M wegſchafft,
rckei (Xxx † yy) K — (Xxx 1 yy) L † aa K — (Xx † yy) N = 0.
n he⸗
Nneern §. 429.
n, ien Auf gleiche Art laſſen ſich auch andere abnliche Aufga⸗
Wr ben ſehr leicht aufloͤſen; z. B. wenn eine Curve gefunden
werden ſoll, welche von den durch gezogenen geraden Linien
ſo in drey Punkten geſchnitten wird, daß
p² † q2 † rà = a2
nak iſ. Denn da
P² † 4² † ra = P2 — 2 G
e . l und 1
dbb = 7, und
iit, ſo wird
uge 9292 3 1 2
Nnhke

. . .

X

342 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel.

L2Z2 2 Mzz
— — – = aa
K2 K
oder

(XX Fk yy) L2 — 2 2 (X † yy) K M = aa K K.
Nun haben wir aber fuͤr die Curven, die eine dreyfache
Durchſchneidung zulaſſen, die aUgeneimne Gleichung
K — L † M — N =

die von der Art iſt, daß die hoͤchſte Zahl der D ienenſionen

von „ und y die niedrigſte um 3 uͤbertrifft. Um alſo eine

ſolche Gl eichung zu bekommen, und zugleich

(xXxX † yy) La — 2 (XXx † yy) K N = 2 à K K

zu erhalten, multiplicire man jene Gleichung durch

2 (XX † yy) K, um M wegpringen zu koͤnnen. Dadurch

erhaͤlt man folgende allgemeine dem gegenwärtigen Falle

entſprechen de Gleichung:
2 (XX † yVy VY) K K — 2* P yy) K L 4 Gx1. 77)
Lz2 –— a àa K K — 2 (XX † yy) K N = o.
Es iſt ner nlich 2 (XX 3 yy) KK das Gl led, welches die
meiſten Dimenſionen enthaͤlt, und zwar iſt die Anzahl der

Dime ſionen von und ,d die darin vorkommen, = 2n 8:

und dagegen hat das Glied mit den wenigſten Dimenſio⸗
nen, oder 2 X † yy K N deren r 2 n † 5, ſo wie es die
Natur der Eace erfordert. . ”YUZMU

Da nun weder das hoͤchſte noch das niedrigſte Glied

verſchwinden kann, ſo wollen wir, um die einfachſte Lure

zu finden, n = o ſetzen, und dabey ſey
N= bi; K = X (xXX †. yy); und L= o.
Auf dieſe Art bekommt man die Glieichung:
2(XX † yy) 3X2 –– a2XX XX † yy) 2 — 2 b x (XX † yy) 2 =
die, durch 2 2 † yy) 2 dividirt t,
. X

uf3

n, Mvrt

iine beſch
a
ſſ, ſomn
en. C.
14 l4

4K)

anmen
Go

ſo Kkonn
welche d

nenſenen
ie

„
1KK

[ N
Hdii

NN.

10*
1, = 2de

Dimerſe⸗

U

de N

Von derErfindung der Curben aus undernEizenſch⸗ 343

X(XX 3 vyy) — Za a & — b3 = 0
und alſo eine Gl leichung vom dritten Grade giebt. Nimmt
man hingegen
Lnicht = o, ſondern L = 2 C» (X X yy)
ſo erhaͤlt man folgende Gleichung des vierten Grades:
XX(X X †. 77) — 2 cX (XX † vy) † 2 ccX⅓ +† yy)

— aaXX — b 3 X — O0

. –

oder
XxX (XX † yy) T† (2c — X) 2 (XX †f yy) = aAaxXX † 2 bzx.
Auf aͤhnliche Art laſſen ſich aus den hoͤhern Ordnungen

eine Menge anderer Curven undene die der Aufgabe ein
Genuͤge thun.

§. 4z.
Auf aͤhnliche Art kann man auch die Curven kennen lers.

Da † qa † r
eine beſtaͤndige Groͤße iſt. Da nemlich
Pà † q* † r * = d4 — 4 7 G † 2 α 1. 45R
iſt, ſo muß man
P4 — 4 P2 C † 2 0G0 4 E: — e6
ſetzen. Es wird alſo
24 (L4 — 4kK LM. † 2 K ²2 M2 † 4K⸗ LN) = = caK
und folglich

4;K2 LNzA = c4 RA — 24 (LA — 4 K L2 M F 2 K2 M2)

Setzt man nun den hieraus fůr N entſtehenden Werth in

die Gleichung

K — L † M – N= o

ſo bekommt man eine allgemeine Gleichung fuͤr die Curven,

woelche der angefuͤhrten Bedingung ein Genuͤge thun,

M 4 r . 2 32.

344 Zweytes Buch. Siebenzehntes Capitel.
22L2L. 432.

es kann aber außer der Bedingung, daß
P4 † q4 † r4 = C4
ſeyn ſoll, auch zugleich die erfuͤllt werden, daß

P2²* † q* † P2 e a *

ſey. Wegen dieſer muß nemlich
22 L2 — 222KM= aa K K
und folglich
4 222 K M = 22 L2 — a a K K
ſeyn. Da nun ferner

4 K2 LNz4= =eikX —Tazas t4LaM:4 — 2 K NMaz4

iſt, ſo wird
4 Ka LMNza= EeakA fL a:4 — 2 aa Ka La2 — 2 K Ma4a
und
AK2 aL. Mz4 = 2 k Lsza — zaa KsLzz.
H Bringt man dieſe Werthe ſtatt M und N in die Gleichung
K — IL. T M — N = 0
oder

4

4KzLzA — 4 K2 L2z4 † 4 K 2 LMz4 — 4 K2 LNz4 = o

ſo erhaͤlt man folgende Gleichung fuͤr die Curven:
, 4K 3LzA — 4 K 2 L2242 2 KL324 —–— 2 a 2 K3 Lzz — CAK4
— L44 † 2 a2 K2 Lazz † 2 K2 Mzz4 =
Allein wegen
. K Mzz = 1Lazz — Haa kk
“ iſt
2 R2 Mza = = 1LAz4 — a a K2 Lz22z2 1 a 4KA4

und ſo ergiebt ſich fuͤr die geſuchten Curven dieſe allgemeine
Gleichung: .

1õäü
— LA2 4 1 2 a2KaLaa⸗ †T a 4 K4=

§. 433.

Vond

dal
weria d
fnd
Muylte

ſt, wen
by

De⸗ 222—

ebt ein

ein bien
ere rie

1Sſen

8br

144

leichong

W
nben:
Un-c4

424

.

–

Von der Erſndne der Curven aus udemEihnſh. 345

433.

Da K eine homogene!? Funktion von X und y ſeyn muß,
worin die ZJahl der Dimenſionen um 1 groͤßer iſt als in L.;

ſo ſindet man die einfachſte Curve mit drey Durchſchnitts⸗
punkten, wobey

pe † q2 † ra = 13
und
pA † q4 † ra = ca
iſt, wenn man K = 22, und L=bx ſetzt. Es iſt demnach

8 b 26 — 8 bb xX 2z4 f b3x 322 — a2 bxz 4 — 2C424
4 4
— bAx4 †2az? bzx222 † a 424 = 0

Da 22 = X yy iſt, ſo iſt dieſe G Gleichung rational, und
giebt eine Linie der ſiebenten Ordnung, worin der Punkt
C ein vierfacher Punkt iſt. Man findet aber noch eine an⸗
dere Linie der ſiebenten Ordnung, wenn man „K= *, und
L= b ſetzt. Es wird nemlich dadurch

8 bx 324 — 8b bz x 34 † 4 b X24 — 4 aabx e er⸗
— b42 4 † 2 aabbXXZZ † a 4X4 = 0
oder
4 àa a bx 32 2 — 2 aa bbXxZZz † 2cA4XA — a424

8 bX 3 — 8bbXxX † 4 b3xX — b4
und hieraus wird
2aa bx 3 – aabbzzX

p X— b) GXX — 2 bx † bby,-

XX V 2 bx — bb)(20c4 bb — 2 b † 4XX) — 2a4 (bb — 2 bx † 2XX))
b (2 X — b) (4 XX — 2 b † bb.

§. 434.
Nun koͤnnten wir fortgehen zu Curven, die von den
durch den Punkt c gezogenen geraden Linien in vier

5 Punkten

.

ntes 6 Capitil. t.
8 Buch. Siebenzehnte
346 Zwente

igen be⸗
d darunter diejeni
tten wuͤrden, n aͤtten.
Punkten eſe gewiſſe gegebene Gabaen t ſnd,
ilein bad der Weg, den wir farm ſch daben n nicht
Allein, ſo t wird: ſo kann ſi
ugen geſtell ird die hier
die gei n Nen egtu finden: und man w
die gerin

Muͤhe aufl loͤſen,
Aufgaben entweder mit leichter Muͤh
denkbaren

laſſen.
keine Auft oͤſung zul
tdecken, daß ſie
oder ſogleich en

dern gehe zu
nicht laͤnger, ſon
daher hierbey
Ich verweile

a Linien fort.
ber die krummen
nterſuchung
einer andern

n dee

Er
Herder
opeine
enthelten,

“W Der

gien enche

wic d
wenn e

N ruckt
derliten
ſner hen
derevon de
6bſolute d
winden
Rockhrnen
zahl don
Funktio
daß ſo

—

Ve n der Aehnlichkeit und Verwandſchaft der Curven.

4. 435.

Eine jede Gl eichung, durch welche eine Curve ausgedruckt
werden ſoll, muß außer den rechtwinkligen Coordinaten xX
und y eine oder mehre beſtaͤndige Groͤßen, z. B. a, b, c, c.
enthalten, die beſtaͤndige Linien bezeichnen, und mit den
veraͤnderlichen Groͤßen «und y zuſammen genommen allent⸗
halben eine und dieſelbe Anzahl von Dimenſionen ausma⸗
chen. Denn wenn irgend ein Glied ein Produkt aus n Li⸗
nien enthaͤlt, ſo muͤſſen auch in jedem andern Gliede eben
ſo viel Linien in einander multiplicirt worden ſeyn, weil,
wenn dies nicht waͤre, heterogene Groͤßen mit einander
verglichen werden muͤßten, welches nicht moͤglich iſt. Es
muͤſſen alſo in jeder Gleichung, wodurch eine Curve aus⸗
gedruckt werden ſoll, die beſtaͤndigen Li inien mit den veraͤn⸗
derlichen allenthalben eine und dieſelbe Anzahl von Dimen⸗
ſionen hervorbringen; es waͤre denn, daß eine oder d ie an⸗
dere von den beſtaͤndigen durch die Einheit oder eine andere
abſolute Zahl ausgedruekt worden waͤre. Dies vorausgeſetzt,
ſo wuͤrden, wenn in einer Gleichung keine beſtaͤndige Linien
vorkaͤmen, x und „ allein allenthalben dieſelbe An⸗
zahl von Dimenſionen geben, und folglich eine homogene
Funktion ausmachen. Wir haben aber ſchon oben geſehen,
daß ſolche Gl heichun gen keine Curven ausdrucken, ſondeen

Glei⸗

348 Zweytes Buch. Achtzehntes Capitel.

Gleichungen fuͤr mehrere gerade Linien ſind, die ſich⸗ einan⸗
der i in einem und demſelben Punkte ſchneiden.

§. 436.

Wir wollen alſo eine Gleichung betrachten, worin auß
ſer den beyden veraͤnderlichen Groͤßen x und y nicht mehr
als die einzige beſtaͤndige Linie a vorkommt, ſo daß darin
die drey Linien a, X, und y allenthalben dieſeibe Anzahl
von Dimenſionen haben. Eine ſolche Gleichung giebt,
je nachdem der beſtaͤndigen Linie a dieſer oder jener Werth
beygelegt wird, unzaͤhlige Curven, die ſich von einander
bloß durch die Groͤße unterſcheiden, und uͤbrigens durch⸗
aus einander aͤhn lich ſind. Alle Curven, die auf dieſe Art

in einer und derſelben Gleichung enthalten ſind, muͤſſen
nothwendig zu einem Geſchlecht gerechnet, und als aͤhn⸗

liche Curven betrachtet werden; und es findet ſich bey ihnen

kein anderer Unterſchied, als der, den man bey Kreiſen

von verſchiedenen Halbmeſſern wahrnimmt.

8. 437.
um dieſen Begriff von der Aehnlichkeit der Curven an

einem Beyſpiele zu erlaͤutern, wollen wir eine einzelne Glei⸗

chung betrachten, welche außer den veraͤnderlichen Groͤßen

X und „ nur eine beſtaͤndige Linie a enthaͤlt, die Parameter

heißen mag; folgende nemlich:
y3 — 253 † ayy — aaxX † 2aay = o.

Es ſey AC, Fig. 88, der Werh des Parameters a, und
bey ACS=a die Linie A M B die Curve, welche in der Glei⸗

chung enthalten iſt, wenn man die gerade Linie AB zur Axe
1 nimmt, und die Coordinaten Aà = xX, und PM = y ſetzt.
Nun gebe man dem Parameter a irgend einen andern
Werth a ac = = a, Fig. 89, und dabey ſey am b die Curve,

wel⸗

Vond

welce
druckt
Curven

ticd,

Eh
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hülmiſe de
M u
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ſger po.

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Curden in
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20

1de G⸗
Y e N⸗
1=
ten N

de un
vel⸗

— = S

ſo wird, wenn man ap = 7 A P = nimmt,

184, d

Vond. Aehn lichkeit u. der Verwandſchaftd. Curben. 349

welche nunmehr durch die angefuͤhrte Gleichung ausge⸗
druckt wird. Unter dieſen Borank ntich ſind die beyden
Cutven A M B und am b einander aͤhnlich. Denn bleibt

AC= a; AP = x; S
und ſetzt man

a C — 2 AC = —

p m XN
Setzt man nemlich in der gegebenen Gleichung —, , und

fuͤr a, X, und y, und multipticirt darauf alle Glieder durch

n3: ſo hringt man eben dieſelbe Gleichung wieder hervor.

5§. 433.
Es haben alſo die aͤhnlichen Curven dieſe Eigenſchaft,

daß dabey, wenn man die Abſeiſſen AP, ap in dem Ver⸗

haͤltniſſe der Parameter AC und ac nimmt, die Applicaten
PM und pm in eben demſelben Verhaͤl tniſſe ſtehen; und
dies dient zugleich, um die Natur der Aehnlichkeit deut⸗
licher vor Augen zu legen. Nimmt man e Remllch
AP: a p = A C:

ſo wird auch
PM: pm = AC: ac.
Da nun hieraus AP : P M = ap: p m iſt; ſo ſind dieſe

Curven in eben dem Sinne einander aͤhnlich, in welchem
man uͤberhaupt geometriſchen Figuren Aehnlichkeit ben⸗
legt, und haben, die Groͤße ausgenommen, alle uͤbrige
Eigenſchaften mit einander gemein⸗ Denn macht man AP
und

9

Zwentes But. Achtuchnte⸗ Caritel.

“ und a p homolog, oder den P Parametern AC und a c propor⸗
tional: ſo ſtehen nicht nur auch ? M und p m in dem Ver⸗

haͤltniſſe der Parameter, ſondern auch alle andere auf
aͤhnt iche Art gezogene Linien: ja es iſt ſelbſt der Bogen

AM: am = A C: a c. Ferner iſt das Verhaͤltniß der
Raͤume APM und apm zwiefach ſo hoch als das Berhaͤl⸗ le⸗
niß der Parameter, oder

APM: apm = ACz: aca

und wenn man zwey homol oge Punkte und o nimmt,

40 : a0 AC

iſt; und aus denſelben unter gleichen Winkeln AOM,
20m nach den Curven die geraden Linien OM und 0Om

zieht: ſo iſt auch òMW; —

N 0 m = AC: ͤꝛa c. “

Endlich ſind auch wegen der Aehnl lichkeit die Tangenten für
die homologen Punkte M und m gegen die Axe unter einer⸗
ley Winkel geneigt, und ſ elbſt die Kruͤmm un gshalbmeſſer
haben zu einander das Verhaoͤ ltniß der Parameter AC
und a c. =ð .

7

5. 439.
Hieraus erhellet, daß alle Kreiſe ahnliche Fiauren ſind,

da ſie insgeſammt durch die Gleichung yy = 2 2 ½ — XX

ausgedruckt werden: und auf gleiche Art ſind auch alle in

der Gleichung yy =a c enthaltene Curven, oder alle Pa⸗
rabeln aͤhnliche Figuren. Beſtimmt man nun aus ſolchen

Gleichungen, als wir jetzt fur aͤhnliche Curven gehabt ha⸗

bern, und worin die Coordinaten X und y mit dem Para⸗

meter a allenthalben einerley Anzahl von Dimenſionen her⸗
vorbringen, den Werth von y: ſo findet man dafuͤr eine
homogene Funktion von a und X von einer Dimenſion.

Umgekehrt muß alſo auch die Gleichung:

„ 4

Vond

wenn
enthol
4 ld
lice lit
e hon
11d ders
1d

N
ſch euf
ſchrejbe
Hannhye
Curbe he
die Curo
Ne An
die

Im, ſ,

ſ. g

ſchen en
ban kann
M. D
ben wil
lih heſt
Nof, de
thenfel
ſn ſch

Finen

215-I

1uch al alt D
er A Uehr

6 4

X und y.

Von d Aehnihkeku de Verwand Haftb Curven. 3 1.

wenn P eine e homogene Funktion don a und x von einer
Dim ten ſion bedeutet, unzaͤ aͤhlige einander aͤhnliche Curven
enthalten, welche man findet, wenn man dem Parameter

à nach und nach verſchiedene Werthe beylegt. Auf aͤhn⸗

liche Art wird auch die Ab ſeiſſe xX qus ſolchen Gleichungen
eine homogene Funktion von a und y von einer Dimenſion,
und der Parameter eine ſ Hunktion d von einer Dimenſt ion von

5 440.

Iſt aber irgend eine Eurde A MB gegeben, ſ laſſen
ſich auf ſehr leichte Art unzaͤhlige andere ihr aͤhnliche be⸗
ſchreiben. Man nehme irgend ein Verhaͤltniß, welches die

homologen Seiten der gegebenen und der zu beſchreibenden

Curve haben ſollen, und ſetze daſſelbe = 1: n. Wird nun

die Curve A MB durch die Coordinaten X und y auf die

Axe A B bezogen, ſo ſchnei de man auf der aͤhnit chen Axe
a b die Abſeiſſe a p ſo ab, daß

A b ap = r : n

werde, und⸗ errichte dann aus B die ſenkrechte gbolicate

pm, ſo, daß auch
PM: pm = I : n
ſey. Iſt dies eſhehen ſo liegt der Punkt m m in der ahn⸗
lichen Curve amb, ſo, daß M und m homolog ſind. Oder
man kann auch von irgend einem feſten Punkte 0 ausge⸗

hen. Denn nimmt man in der Curve, die man beſchrei⸗

ben will, einen aͤhnlichen feſten Punkt o an, und macht da⸗
bey beſtaͤndig den inttl a O m = AOU M, und om ſo

groß, daß O M: o m = I : n iſt: ſo liegt der Punkt m

ebenfalls in der zhnlichen Curve am b. Auf dieſe Art laſ⸗

ſen ſich alſo, nachdem man das Verhaltniß 1: n nach Be⸗

lieben

Zweytes Buch. Achtzehntes Canitel.

lieben angenommen hat, zhnliche Eurven beſchreiben;

man hat aber zu dieſem Zwecke mechaniſche Inſtrumente

erfunden, wo durch man, wenn Figuren gegeben ſind, an⸗
dere dieſen aͤhnliche von jeder Groͤße auf eine bequemere
Weiſe darſtellen kann.

5§. 441.

chung zwiſchen den, Coordinaten A P = x, und P M = y

ausgedruckt wird ſo laͤßt ſich daraus ſehr eicht die Glei⸗

chung fuͤr die aͤhnli iche Curve am finden. Denn ſetzt man
die homologe Abſeiſſe a p = X, und die Applicate Pm = X,
ſo⸗ iſt aus der Conſtruction H
:X = I: n; und y: — 1I : n
und folglich

,

XxX = ; und y =

Bringt man nun dieſe Werthe in die Gleichung zwiſchen

* und y, ſo erhaͤlt man dadurch die zwiſchen X und Y,
wodurch die aͤhnliche Curbve ausgedruckt wird. Wenn alſo
in dieſer neuen Gleichung bloß die Coordinaten X und
nebſt dem Buchſtaben n betrachtet werden, um die Dimen⸗

ſionen zu zaͤhlen, ſo iſt die Anzahl der Dimenſionen allent⸗
halben = o; oder multiplicirt man die Gleichung „ um

die Bruͤche wegzuſchaffen, durch irgend eine Poteſtaͤt von

n, ſo entſteht eine andere, worin die drey Bucht ſtaben X,
V und n allenthalben dieſelbe Anzahl von Dimenſionen ha⸗
ben. Wir haben aber oben [im Anfange dieſes Capitels]
geſehen, daß in einer jeden Gleichung fuͤr aͤhnliche Curven

die beyden Coordinaten mit / der beſtaͤndigen Groͤße, durch

deren Veraͤnderung aͤhnliche Curven entſtehen, allenthal⸗
ben dieſelbe Anzahl von Dimenſionen ausmachen; und es

iſt

Wenn oiſo die Natur einer Curve A M. durch eine Glei⸗

Pond.

dies
ſiche En

A
chen Ct
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lichten,

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Voter ſch.
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itſuden,,
anen

ſnd
ſite Cun

,olut

Von d. Aehnlichkeit u. der Verwandſchaft d. Curven. 35 3

iſt dies alſo ein Kennzeichen der Gleichungen, welche aͤhn⸗

liche Curven ausdrucken.

„§. 442.
Da die homologen Abſciſſen und Applicaten bey aͤhnli⸗
chen Curven in gleichem Verhaͤltniſſe wachſen und abneh⸗
men, ſo koͤnnen die krummen Linien, bey welchen ſich die
Abſeiſſe n und Applicaten nach verſchiedenen Vethaͤltniſſ en
richten, nicht einander aͤhnlich genannt werden. Da in⸗

deſſen zwiſchen dieſen Curven doch noch immer eine ge⸗

wiſſe Verbindung ſtatt findet, ſo wollen wir ſie verwandte
Curven nennen; und es begreift daher die Verwandſchaft
der krummen Linien die Aehnlichkeit derſelben als eine Art
unter ſich. Es werden nemlich verwandte Curven einander
aͤhnlich, wenn die beyden Verh aͤltniſſe, davon das eine
bey den Abſeiſſen, das andere bey den Applieaten ſtatt fand,
gleich werden. Es laſſen ſich daher aus jeder gegebenen
Curve AMB, Fig. 88, unzaͤhlige verwandte Curven a m b,
Fig. 89, auf folgende Art nden. Man nehme die Abſciſſe

a P, ſo, daß
AbP: a p I : m

ſey. Dann errichte man die Anplicate bm, ſo daß
P M :ͤ: pm = I : n

werde. Veraͤndert man nun das eine oder das andere von

dieſen Verhaͤltniſſen, oder beyde, ſo ſindet man dadurch un⸗
zaͤhlige Curven, die insgeſammt der Curve A MB ver⸗
wandt ſind.

9. 443.
Es werde die Natur der gegebenen Curve A MB durch
irgend eine Gleichung zwiſchen den rechtwinkligen Coordi⸗
naten AP = x, und ? M= y ausgedruckt, und in der
auf die gedachte Art beſchriebenen verwandten Curve
Kulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. B. 3 am b

—

354 Zweytes Buch. Achtzehntes Capitel.

2 7 3

D .

amb die Abſceiſſe Ap= = X, und die Applicate pm = = X ge⸗
ſetzt: ſon wird, weil = .
X= 1: m; und y: X = I : n
iſt—
— X; und »= 7.
In 11

Bringt man daher dieſe Werthe in die zwiſchen X und y

gegebene Gleichung, ſo erhaͤlt man eine andere zwiſchen X
und X fuͤr die verwandten Curven. Um die Ratur dieſer
Gleichung genauer kennen zu lernen, wollen wir anneh⸗

men, die fuͤr die Curve A MBJ gegebene Gleichung ſey ſo

beſchaffen, daß die Applicate y irgend einer Funktion von
X, die wir = p ſetzen wollen, gleich, urd alſo y = P.

Wenn man alſo in P anſtatt æ den Bruch ſetzt, ſo wird

P eine Funktion von X und m von keiner Dimenſion; und

es muß daher die allgemeine En ichung fuͤr die verwandten

Curven ſo beſchaffen ſeyn, daß — eine Funktion von kei⸗

ner Dimenſion von X und m, oder welches einerley iſt,

daß eine Funktion von keiner Dimenſion von Vund n einer
Funktion von keiner Dimenſion von X und m gleich iſt.

2 §H. 444.
Dieſer Unterſchied zwiſchen aͤhnlichen und verwandten
Curven iſt vorzuͤglich deswegen zu merken, weil die Cur⸗
ven, die in Ruͤckſicht auf eine Axe oder einen feſten Punkt
einander aͤhnlich ſind, auch in Anſehung aller uͤbrigen

Adpen oder homologen Punkte aͤhnlich (leiben; dahingegen

die Curben, welche blotz zu den einander verwandten ge⸗
horen, ſolches nur in Anſ ſehung derer Axen ſind, worauf

ſie bezogen werden, und daß man dabey nicht nach Willkuͤhr

an⸗

ond.⸗

andere
Dnus di
enarten,
Oedoung,
die derwa
Gechlecht
tolen wi
4eirige

6
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Cusgedrn

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a theggen
vontten
ind, nut

9in

lt⸗

Von d. Aehnlichkeit u. der Verwandſchaft d. Curven. 355

andere Axen oder homologe Punkte annehmen darf, um
darauf die Verwandſchaft zu beziehen. Uebrigens iſt zu
bemerken, daß, ſo wie alle aͤhnliche Curven zu einerley
Ordnung, ja ſelbſt zu einem Geſchlechte gehoͤren, ſo auch
die verwandten Curven ſtets unter einem und demſelben
Geſchlechte begriffen ſind. Um dies deutlicher zu machen,
wollen wir die beſchriebne Aehnlichkeit und Verwandſchaft

an einigen von den bekannteſten Curden erlaͤutern,

5. 445.
Es ſey alſo die gegebene ECurve ein Kreis, der auf den
Durchmeſſer bezogen, und durch die Gleichung
yy = 2 cX — XK XK
ausgedruckt werde. Man ſetze

X 7
X = —; und y = —
11 D

ſo enthaͤlt die dadurch entſtehende Gleichung zwiſchen X
und X alle aͤhnliche Lurven. Man findet aber durch die
angefuͤhrten Subſtitutionen
- X2 2 cx&X½ XX

woraus erhellet, daß alle 5 hn⸗ iche Figuren ebenfalls Kreiſe

ſind, deren Durchmeſſer durch 2nc ausgedruckt wird. Um

aber die dem Kreiſe verwandten Curven zu finden, ſetze man
— — nd — — 1
— m und y n
Hiedurch erhaͤlt man die Gl eichung
12 2 C X X X

32 oder

356 Zweytes Buch. Achtzehntes Capitel.

oder
maY2 = 2mnzcX — nnXX.

Da dieſes eine allgemeine Gleichung fuͤr die Ellipſen iſt,

die auf die eine von den Hauptaxen bezogen werden, ſo
erhellet, daß alle Ellioſen dem Kreiſe verwandte Curven
ſind; auch werden daher alle Ellipſen unter einander ver⸗

wandt. Auf eine aͤhnliche Art findet man, daß au ch die

Hyperbeln als einander verwandte Curven angeſehen wer⸗
den muͤſſen. Wenn hingegen bey den Ellipſen und Hyper⸗
beln beyde Hauptaxen einerley Verhaͤltniß zu einander
haben, ſo ſind ſie aͤhnliche Curven.
Was die durch die Gleichung yy = cx ausgedruckte
Parabel betrifft, ſo iſt klar, daß alle ihr aͤhnliche Curven
ebenfalls Parabeln ſeyn werden, ſo wie auch, daß alle Pa⸗

rabeln einander aͤhnliche Curven ſind. Betrachtet man aber

die verwandten Parabeln, indem man
XY. und X
— — X — —
7 “

ſetzt: ſ erhaͤlt man dadurch die Gleichung:
V2 = nec X;
m

und da dies ebenfalls eine Gleichung fuͤr eine Parabel iſt,
ſo erhellet, daß alle verwandte Parabeln auch einander
aͤhnlich ſind, ſo daß in dieſem Falle die Aehnlichkeit eben
ſo weit ſich erſtreckt als die Verwandſchaft. Eben dieſes
findet bey allen Curven ſtatt, deren Natur durch eine Glei⸗
chhung ausgedruckt wird, welche nur aus zwey Gliedern be⸗
ſteht; dergleichen ſind:
y3 = CcCX; y3 = CXX; yx = C 3; ꝛc.
Dey dergleichen Curven, ſie moͤgen paraboliſch oder hyper⸗
bo

Vond

boliſch
Uund L
ſich el
wie n
nelkt

N
W
ſode
bey:

(Cyrbe;

Gohen
Und nock
Mer⸗
ſge kumn
dige Brie
lch, i
ſehn ver
dere beſeͤ
hntſoringe
Werthe
nch, ve
eyommen
inber her

ditebete

R Weeh
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groͤſer d
veraͤnden

D

tden, „

ucden
nder w⸗

auch die

on wer⸗
d de⸗
1 Ehende⸗

ecake
ſe Curen
Fele o⸗
Uin ade

. merkt haben.

Von d. Aehnlichkeit u. der Verwandſchaft d Curven. 35 7
boliſch ſeyn, findet kein Unterſchied zwiſchen Aehnlichkeit
und Verwandſchaft ſtatt; allein dieſe Beſchaffenheit findet
ſich auch nur bey dieſen Curven und bey keinen andern,
wie wir ſolches bereits beym Kreiſe und der Ellipſe be⸗ H

S 9. 447.
Legt man, wenn in einer gegebenen Gleichung zwiſchen

* und y mehrere beſtaͤndige Groͤßen a, b, c ꝛc. befindlich
ſind, allen dieſen beſtaͤndigen Groͤßen beſtimmte Werthe

bey: ſo erhaͤlt man daraus nicht mehr als eine einzige

Curve; nimmt man aber eine der gedachten beſtaͤndigen
Groͤßen, z. B. a, veraͤnderlich an, und legt derſelben nach
und nach verſchiedene beſtimmte Werthe bey, ſo findet man,
da jeder Werth eine beſondere Curve giebt, daraus unzaͤh⸗
lige krumme Linien, die, wenn außer a keine andere beſtaͤn⸗
dige Linien in der Gleichung ſind, zugleich einander aͤhn⸗
lich, im entgegenſtehenden Falle aber einander unaͤhnlich

ſeyn werden. Wenn hingegen außer a auch noch eine an⸗

dere beſtaͤndige Groͤße b veraͤnderlich genommen wird, ſo
entſpringen wegen der Veraͤnderlichkeit von b aus jedem
Werthe von a unzaͤhlige Curven; und man bekommt dem ⸗—
nach, wenn zwey beſtaͤndige Groͤßen a und b veraͤnderlich
genommen werden, unendlich mal unendlich viel von ein⸗

ander verſchiedene Curven. Wenn außerdem noch eine
dritte beſtaͤndige Groͤße veraͤnderlich gemacht wird, ſo wird

die Anzahl der dann moͤglichen Curven noch unendlichmal
groͤßer, und uͤberhaupt alſo die Anzahl dieſer Curven durch
eine deſto hoͤhere Poteſtaͤt des Unendlichen ausgedruckt, je
groͤßer die Menge der beſtaͤndigen Groͤßen iſt, die man zu
veraͤnderlichen macht.

8 3 . 4489.

. Zrenee Vuch. Aghhme Capitel. M And.
Dieſe unendlich vielen Curden, die ſich aus einer Glei⸗ “
chung ergeben, wenn man darin nur eine beſtaͤnd ge Linie fude⸗
veraͤnderlich annimmt, wollen wir jetzt etwas genauer be⸗ eenr
trachten. Man findet aber aus einer ſolchen Gleichung, aftit
wenn man dieſelbe Axe und ſo auch den Anfangspunkt der “
Abſciſſen beybehaͤlt, nicht nur die gedachten unzaͤ hligen . ukg
Curven, ſondern man lernt daraus auch die Lage derſelben abene
kennen, ſo, daß durch ſie ein gewiſſer Raum ausgefuͤllet wird, aet
in welchem kein Punkt angegeben werden kann, durch wel⸗ nce
chhhen nicht eine von jenen unzaͤhligen Curven gehe. denr
nachdem aber jene Gleichung beſchaffen iſt, je nachdem wer laͤen
Den die erwahnten unzaͤhligen Curven auch einander ent⸗ “
weder aͤhnlich oder unaͤhnlich ſeyn, wie aus dem Vorher⸗
gehenden bekannt iſt; ja es kann ſich ereignen, daß alle 6eenn
dieſe Curven zicht bloß einander aͤhnlich, ſondern ſelbſt rne e
gleich, und bl oß in A Anſehung ihrer Lage von einander ver⸗
ſchieden ſind. So giebt die Gleichung:
y = àa † W (2cX – XXx) adr
wenn man a veraͤnderlich annimmt, unzaͤhige gleiche Kreiſe, ſih e
deren Halbmeſſer = c iſt, und deren Mittelpunkte in einer
geraden auf der Axe ſenerechten d Linie liegen. n W
. die nach
6. 44 . er ſc
Unmgelehrt kann man auch, wenn eine und dieſelbe athr
Curve in einer Ebene in unendlich vielen Lagen nach einem miohee
beſtimmten Geſetze beſchrieben wird, die Gleichung finden,
wodurch, wenn man darin nur eine beſtaͤndige Groͤße ver⸗
aͤn derlich annimmt, alle dieſe unzaͤhlige einander gleiche !
2= Curven ausgedruckt werden. Es ſey dieſe in unendlich vielen irgend e
Bogen dargeſtellte Curve ein Kreis mit dem Halbmeſſer = c, bewegt
und mit unendlich vielen Lagen von der Beſchaffenheit, daß die Abſeiſten

n Ge⸗

ne gen
8* en
linid
aden ver⸗
Cade e⸗
Vrthe⸗
n, uſ
Oenn
under bet⸗

a

„
–

Vond. Achnlichkeie. derVerwandſchaftd. Curven. 359

Scheitelpunkte A, a, in einer gegebenen Curve Aal., Fig. 90,

welche man die Directrix nennt, liegen, die Durchmeſſer

ab aber der Are A B parallel bleiben. Um die Gleichung
fuͤr dieſe unzaͤhligen Kreiſe zu finden, nehme man in der Di⸗

rectrix irgend einen Punkt a an, und fale aus demſelben
auf die Hauptaxe die ſenkrechte Linie aK. Man ſetze AK
= a; und da die Directrix gegeben iſt, ſo iſt auch Ka
durch a gegeben. Es ſey alſo K a = A, wo denn A eine
gegebene Funktion von a ſeyn wird. Dann ziehe man aus
a, der Hauptaxe parallel, die Linie a b, welche der Durch⸗
meſſer des Kreiſes ſeyn wird, der den Scheitelpunkt in

dem Punkte der Directrix a hat; und ferner aus einem be⸗ H
liebigen Punkte m die Applicate m P =ly zu der Abſeiſſe
AP= x. Iſt dieſes geſchehen, ſo hat man

àa p = X — a; und pm = y — A V
Setzt man nun ap = t; und pm = u; ſo iſt wegen! der
Natur des Kreiſes
uu = 2c0t — 1t
und da t = X — a, und u = y — A iſt, ſo ergieht
ſich daher
(y –— A) 2 = 2 c (2 – a) — (xX — )²%
und dieſes iſt die allgemeine Gleichung, welche alle Kreiſe,
die nach der Direetrix Aa L auf die beſchriebene Art liegen,

unter ſich begreift. Man findet nemlich alle dieſe Kreiſe

aus der erhaltenen Gleichung, wenn man die Linie a, wo⸗

von zugleich à abhaͤngig iſt, veraͤnderlich nimmt.

F. 450.

Auf aͤhnliche Art kennt man, wenn anſtatt des Kreiſes
irgend eine andere Curve amb ſo nach der Directrix Aal.
bewegt wird, daß ihr Scheitel oder der Anfangspunkt der

Abſciffen a in der Directrix liegt, und die Axe a b ſich ſtets

3 4 paral⸗

õ

360. Zweytes Buch. Achtzehntes Capitel.

parallel bleibt, dieſe in unendlich vielen Lagen beſchriebene

Curve, und kann auch die Gleichung finden, wodurch die
Natur dieſer Curven auf einmal ausgedruckt wird. Es ſey
die Natur dieſer ſo fortbewegten Curve durch eine Glei⸗

chung zwiſchen den Coordinaten a bp = t, und pm = u ge⸗
geben, und die Hauptaxe, worauf alle Curven zuſammen⸗
genommen bezogen werden, A B, ſey der Axe ab parallel,
und zugleich die Axe der Directrir Aa L. Setzt man nun,
wie vorhin AK= a, und Ka = A, ſo daß A eine Funk⸗
tion von a iſt, und macht man die Abſeiſſe A P = x, und
die Applicate P M = y: ſo wird t = X –— a, und u =

y —– A. Bringt man ferner dieſe Werthe von tund u an⸗
ſtatt dieſer Groͤßen in die gegebene Gleichung, ſo bekommt
man dadurch eine allgemeine Formel, welche alle Curven

am b zuſammen unter ſich begreift. Denn was man auch
dem Buchſtaben a fuͤr einen Werth geben mag, ſo findet
man allemal eine Curve am b aus der unzaͤhligen Menge

derer, die auf die im Anfange gedachte Art ſich ergeben.

Iſt z. B. die Curve am b eine durch die Gleichung uu = ct
ausgedruckte Parabel, ſo ſind alle der M. kenge nach unzaͤh⸗

lige, uͤhrigens unter einander gleiche Parabeln, deren

Scheitelpunkte in der Direcrrix Aal. liegen, und deren

Axen der geraden Linie AB parallel ſind, in der Gleichung:
7 — A)2 = C ( — a) enthalien.

§. 451.
So wie wir hier angenommen haben, daß ſ. ch der
Scheitel der Curve A in der gegebenen Directrix auf die
Art fortbewege, daß die Axe derſelben ſich ſtets parallel
bleibt: ſo kann auch bey dieſer Bewegung des Scheitels

durch eine gegebene Curve die Lage der Axe nach Gefallen

veraͤndert werden; und dann erhaͤlt man eine viel allge⸗

mei⸗

Uinde

meinere
benen
dorgefe
wolen
Crne4
Hertpe,
Pultedet
Uigeden
firer
AM ,
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4

1D Narabe

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S

,, ſ 6 i
ſger Aur
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guct
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beln, deren

Von d. Aehnlichkeit u. der Verwandſchaft d. Curven. 361

meinere Gleichung fuͤr eben dieſe Curve, die in einer gege⸗
benen Ebene nach einem beſtimmten Geſetze unendlich oft
dargeſtellt werden kann. Um dies deutlicher zu machen,
wollen wir zuvoͤrderſt annehmen, daß ſich der Scheitel der
Curve A durch den Bogen Aa, Fig. 91, auf die Art fort⸗
bewege, daß die Lage der Axe a b immer nach dem Mittel⸗
punkte des Kreiſes O hingerichtet ſey. Durch dieſe radfoͤr⸗
mige Bewegung der Curve A M B mit der Axe BAO um den
Punkt 0 erhaͤlt man alle jene unzaͤhlige Lagen der Curve
A M B, die insgeſammt durch eine Gleichung, worin eine

beſtaͤndige Groͤße, die man veraͤnderlich annimmt, vor⸗

kommt, ausgedruckt werden ſollen.
§. 452.
Es ſey der unveraͤnderliche Halbmeſſer A O0 =aàa O0O = c,
und der Winkel AO a = «; welcher denn veraͤnderlich an⸗
genommen wird. Aus irgend einem Punkte m, der in ir⸗
Send einer Lage dargeſtellten Curve amb faͤlle man auf die
gerade Linie OAB, welche zur Hauptaxe angenommen wor⸗

den iſt, die Applicate m P, und dabey ſey O P = x, und 3
Pm = y. Ferner ziehe man aus eben dem Punkte m auf

die Axe ab, welche zu der Curve amb gehoͤrt, die ſenk⸗
rechte Linie mp, und ſetze ap = t, und pm = u. Iſt
dies geſchehen, ſo hat man eine unveraͤnderliche Gleichung
fuͤr die Curve amb zwiſchen den Coordinaten t und u. Nun
lege man durch b die Linie Ps der Ob parallel, und ihr be⸗
gegne die verlaͤngerte Applicate mp in s: ſo iſt
pS = x. ſin. «; O p — PS = x. coſ. e
desgleichen, weik Pms = AO a = « iſt
PS = y. ſin. «e; und mSs = y. coſ. æ.
Hieraus fließt
OP=cI t = x. coſ. æ † X. ſin. «;

3 ½ und

Zweytes Boß Achtzehntes Capitel. ad.
und
mp = u = y. coſ. æ« — X. ſin -
Man ſetze alſo in der zwiſchen t und u gegeb benen Gleicng getten
= = X. coſ. « †. 7. in. — c Nee
und 1072

= y. Coſ. « — x. ſin. =
ſo erhaͤl tr man die algemeine Gleichung zwiſchen den Coor⸗
dinaten X und y, die, wenn man den Winkel « veraͤnder⸗ Afemn
lich annimmt, alle Curben a mb unter ſich begreift.

„

5, 453.
Es bewege ſich nunmehr der Scheitel der Curve A M B, 9
Fig. 92, nach irgend einer Directrix Aa L, und dabey ver⸗
aͤndere ſich die Lage der Axe ab ſtets auf die Art, daß der
Winkel AOa, wie ſolches uͤbrigens auch ſeyn mag, von s
dem Punkte a abhange. Es ſey nemlich, wenn der Schei⸗
tel in a iſt, A K = a, und Ka = A, und der Winkel
A 0 aà = = e; wo alſo, weil die Directrix gegeben iſt, A
eine bekannte Funkrion von a, und der Sinus oder Coſinus e
des Winkels ⸗ ebenfalls eine Funktion von a iſt. Dies
vorausgeſetzt, ſo iſt I=.
KO = –——; und 0 àa = — Wen
tang. « fin. v⸗ Gleicht
Nun faͤlle man aus einem beliebigen Punkte m der Curve
a m b auf die Hauptaxe A O die ſenkrechte Linie m ?b, und
zugleich auf die eigentliche Axe derſelben mp; auch ſey
A P = X, Pm = y; a p= t, und pm = u. Alsdann ſet, ſ!
hat man eine unveraͤnderliche Gleichung zwiſchen den Coor⸗ ul.
dinaten t und u, und daraus iſt nunmehr die veraͤnderliche dieſebe
Gleichung zwiſchen X und y, die alle Curven am b unter weerden
ſich begreift, zu beſtimmen. M aagem
WMW H nohme

§. 454.

den e⸗
Nerinden⸗

tbe 4 5,
K, WNe
m/ 6
3 g, Non
1der e

r

2 Taſens
n

Cbe
nb, ud
1uc ſeß

lädana.

den Cot⸗

nahme unter ſich begreift

—

Von d. Aehnlichkeit u. der Verwandſchaft d. Curven. 363

§. 454.
Um dieſes zu eiſten, ziehe man aus P auf die verlaͤn⸗
gerte mp die gerade Linie Ps ſenkrecht, welche folglich der
Axe der Curve a bO parallel ſeyn wird; und da Pms =
AOa = « iſt, ſo wird
PS= y Uin. «; und ms = y. .coſ. a.
Da ferner O P = a † — — X iſt, ſo wird
H tang. MtN†
pS = a. ſin. « † A. coſ. æ — x. fin.
und
dD A. coſ. æ
Op — PsS= a. coſ. e † —-—- — k-. col. 46.
tang.
2 Hieraus fließt
A. coſ. «„
tang. ℳ
A „

Op= a. coſ. « † — Xx. coſ. « † y. fſin. «

=— — — t

. ſin.
und es iſt alſo
= A. ſin. « — a. coſ: « † x. cof:. 2 — y. ſin.
und
u = — a. ſin. æ — A. coſ. « † X. fin. 2* † y. coſ. a.

Wenn man daher in der zwiſ ſchen t und 4 gegebenen

Gleichung
t = (x — ) ot⸗— S — A) fin.
und
u = (Xx — a) ſin. † (v — A) coſ. æ
ſetzt, ſo bekommt man die geſuchte Gleichung zwiſchen *

und y. Nach was fuͤr einem Geſetze alſo auch eine und

dieſelbe Curve amb in einer Ebene unendlichmal beſchrieben

werden mag, ſo findet man gleichwohl auf dieſe Art eine

allgemeine Gleichung, welche alle dieſe Curven ohne Aus⸗

4

364 Zweytes Buch, Achtchnes Capitel.

& uml᷑m 455.
Auf dieſe Weiſe werden unzaͤhlige durchaus einander
gleiche, und nur in der Lage von einander verſchiedene
Curven in eine Gle eichung zuſammen gefaßt, wenn die zwi⸗

ſchen t und u gegebene Gleichung unveraͤnderlich iſt, und

keine beſtaͤndige, als eine veraͤnderliche zu behandelnde,

Groͤße in ſich ſchließt. Wenn aber eine oder mehr beſtaͤn⸗
dige Groͤßen von denen, die ſich in der Gleichung zwiſchen
t und u befinden, ebenfalls als von a abhaͤngig angeſehen

werden, ſo bekommt man unzaͤhlige verſchiedene, und ein⸗
ander entweder aͤhnliche oder unaͤhnliche Curven, die eben⸗

falls in derſelben Gleichung enthalten ſind. Aehnlich wer⸗

den nemlich alle Curven ſeyn, wenn die Gleichung zwiſchen

t und u ſo beſchaffen iſt, daß ſie irgend eine homogene

Funktion von einer Dimenſion von t und f ausmacht, und

f eine Groͤße bedeutet, die auf irgend eine Art von a ab⸗
haͤngt. Wenn aber das Gegentheil ſtatt findet, ſo ſind
die Curven unahnlich.⸗

§456.
Um dieſe Behauptung von den unaͤhnlichen Curven
durch ein Beyſpiel zu erlt laͤutern, wollen wir annehmen,
daß dieſe Curven unzaͤhli ige Kreiſe A B, B, amB, Fig. 93,
ſeyn, die durch einen gegebenen Punkt B gehen, und ihre

Mittelpunkte insgeſammt in der geraden Linie AE haben.

Dergleichen Kreiſe ſtellen auf den geographiſchen Charten
die Meridiane vor. Man faͤlle aus B die Perpendiculaͤrlinie
BC auf AC herab, und dabey ſey B C = c, welche Groͤße folglich

underaͤnderlich ſeyn wird Dann betrachte man einen von

den gedachten unzaͤhligen Kreiſen amB, und ſetze, nachdem
man eine Applicate m P gezogen hat, CP= X, und Pm
= y, und den n Halbmeſſet dieſts Kreiſes, der in Anſehung
ſeiner

Dd.2

ſüiiner /n
ſA⸗

C0=
Danun!
1*

Paen ale
Ulchen

Wett wi

welhe ve
ene ſruſe
ober, ohr

Alt bidote

6en geriſe
litheratt,
ſben den d
Cidſen gen

einand
ekſchiedene
n die zwi⸗
Nit, ud
hadande,
lehr beſn⸗
g ſwiſcen
angochen
ne, Ndn,
1, die en
halich wer⸗
A Newogene
mocht, u
hon 1 0l⸗
4, ſe fnd

7 i von
, hachden
und Pn
Mehung
ſeiſet

Vond. Aihnlichkeitu. u. der Verwandſe ſchaft d. Eurven. 365

ſeiner zwar beſtaͤndig, in Anſehung aller aber veraͤnderlich

iſt, a E = B E= a: ſo iſt
CE= V (a a — cc) und PE = = xX † V (a a — ce)
Da nun PE2 † Pm = aa iſt, ſo wird
y2 † x2 † 2 V (a a — c c) † d à — Cc = a à
oder
Yy = cc — 2X V (a a — cc) — Xx
Wenn aber der Raum CF anſtatt der beſtaͤndigen veraͤn⸗
derlichen Groͤße in die Gleichung gebracht, und CE = a
geſetzt wird, ſo bekommt man folgende einfachere Gleichng
yy = cc — 2ax — XX
welche wegen der Veraͤnderlichkeit von a alle durch B gezo⸗
gene Kreiſe, die ihre Mittelpunkte in der geraden Linie A E
haben, ohne Ausnahme unter ſich begreift. Auf aͤhnliche
Art wird aber jede unendliche Menge von Curven, die nach
einem gewiſſen Geſetze gelegt ſind, auf eige Gleichung zu⸗
ruͤckgebracht, wofern nur gehoͤrig auf den Unterſchied zwi⸗
ſchen den beſtaͤndigen veraͤnderlichen und unveraͤnderlichen
Groͤßen geſehen wird.

Neun⸗

Neunzehntes Capitel.
Von den Durchſchnittspunkten der e Curven.

§. 467.

In den vorhergehenden Capiteln haben wir uns ſchon
mehrmals mit der Betrachtung der Umſtaͤnde beſchaͤftiget,
unter welchen Curven von geraden Linien geſchnitten wer⸗
den, da nemlich, wo wir zeigten, daß eine Linie der zwey⸗
ten Ordnung von einer geraden Linie in nicht mehr als in
zwey Punkten geſchnitten werden koͤnne, daß die Linien
der dritten Ordnung nicht mehr als drey, die der vierten
Ordnung nicht mehr als vier Durchſchnittspunkte zulaſ⸗
ſen, ꝛc. Da ich alſo in dem gegenwaͤrtigen Capitel die
Durchſchnittspunkte zu beſtimmen mir vorgenommen habe,
welche bey zwey ſich ſchneidenden Curven ſtatt finden; ſo
muß ich dabey von geraden Linien anfangen, und die
Punkte anzugeben ſuchen, in welchen eine gegebene Curve
von einer gegebenen geraden Linie geſchnitten wird. Es wird
nemlich auf dieſe Art der Weg zur Beſtimmung der Durch⸗

ſchneidung der Curven von andern Curven gebahnt werden,

welche bey der Conſtruction der Gleichungen der hoͤhern

Grade von der groͤßeſten Wichtigkeit iſt, wie ſolches in

dem folgenden Capitel gezeigt werden ſoll.

§K. 458.

Es ſey alſo eine Curve A Mm, Fig. 94, gegeben, deren

Natur durch eine GSleichung zwiſchen den rechtwinkligen
Coor⸗

*
4

9

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zin es tif 1

onnm N hk

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ehene Eutde

N
.

Von den Durchſchnittspunkten der Curven. 367

Coordinaten A P = xX, und P M = „ ausgedruckt wird.

Nun werde irgend eine gerade Linie B Mm gezogen, und
gefragt, in wie viel und in was fuͤr Punkten dieſelbe

die Curve AMm ſchneiden werde? Zur Beantwortung

dieſer Frage ſuche man die Gleichung fuͤr dieſe gerade Linie,
und zwar ebenfalls zwiſchen den rechtwinkligen Coordinaten
X und „, ſo wie auch fuͤr eben dieſelbe Axe A P und fuͤr eben

den Anfangspunkt der Abſciſſen A. Dieſe Gleichung wird

folgende Form
ax † 8y = „
haben, woraus erhellet, daß, wenn æ« = o wird,

y= AD = X

und wenn 7S= o wird
W’ = — A= 2

iſt. Hiedurch lernt man nicht nur den Punkt B, wo die ge⸗

rade Linie mit der Axe zuſammenkommt, ſondern auch den

Winkel bey B, deſſen Tangente = 4 = — iſt, en⸗
A B 8
nen; und ſo iſt ſowohl die Curve als die gegebene gerade
Linie durch Gleichungen zwiſchen gemeinſchaftlichen Coordi⸗
naten und y ausgedruckt.

§. 459.

Wenn die Abſei ſeen X in beyden Gleichungen immer von
gleicher Groͤße genommen werden, ſo zeigen die Applicaten
y, wenn ſie verſchieden ſind, an, wie weit die Punkte der
Curve und der geraden Linie, die zu einerley Abſeiſſe gehoͤ⸗
ren, von einander entfernt ſen⸗ Wenn ſich alſo aus bey⸗
den Gleichungen nicht mehr als ein Werth fuͤr y ergiebt,
ſo haben die Curven und die derade Lime daſelbſt einen
Pr unkt

1

368 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel. A

Punkt gemein, und es findet alſo an dieſem Orte ein olſen
Durchſchnittspunkt ſtatt. Will man alſo die Durchſchnitts⸗ wenn!
punkte finden, ſo muß man in beyden Gleichungen außer wegſ⸗

den Abſciſſen X auch die Applicaten y gleich machen; und
man hat auf dieſe Art zwey Gleichungen mit zwey unbe⸗

kannten Groͤßen X und y, durch deren Aufloͤſung entwe⸗ gn
der die Abſciſſen , wozu die Durchſchnittspunkte gehoͤren, un
oder die Applicaten y gefunden werden. Schafft man— Plſen!
nemlich aus dieſen beyden Gleichungen y weg, ſo bekemmt Ect be
man eine Gleichung, welche bloß die unbekannte Groͤße X Rnd
in ſich enthaͤlt, und die Werthe dieſer Gleichung geben die ade
Abſeiſſen AP, Ap, deren Applicaten PM, Piᷣ durch die ſenhe⸗
Durchſhnittspunkte M und m gehen. — necrn
. gegpen;
5. 460. felin Purt
Da die Gleichung fuͤr die gerade Linie *“ X † 4y = = „ hengi
iſt, ſo wird daraus ee. Di
27 — ax l Durch
7= 8 W Rihat,
und bringt man dieſen Werth fuͤr y in die Gleichung fuͤr in eyen.
die Curve, ſo bekommt man eine Gleichung, worin bloß x (tt, N,
enthalten iſt, und deren Wurzeln alle reelle Abſciſſen geben, ſolen die
wozu Durchſchnittspunkte gehoͤren, ſo daß man aus der zuſammen
Anzahl dieſer reellen Wurzeln von X, welche ſich aus dieſer node gnie

Gleichung ergeben, auf die Menge der ſtatt findenden Nllen gun
Durchſchnittspunkte ſchließen kann. Da aber in dem Wer⸗

the von y = —,— die unbekannte Groͤße nicht mehr

Wunf
als eine Dimenſion hat, ſo bekommt man durch die Sub⸗ ſcheme
ſtitution dieſes Werthes eine Gleichung, in welcher nich Win
mehr Dimenſionen erhaͤlti, als vorher in der fuͤr die Lurve von der
gegebenen Gleichung und y zuſammen hatten. Es hat inn wird
alſo Kulers

Oin in
chſchitc⸗
gen une
chen; und

wen n

haft man
ne Geher
g gehand

1 durch N

ſeichung i
Crin blos

ee Nen

maon els
e ui M
1 ftede
nn Ve⸗

nc e

Akerr t

ur die Me
1n Ghan
alſo

Von den Durchſchnittspunkten der Curven. 369

alſo entweder eben ſo viel Dimenſionen, oder weniger,
wenn durch die Subſti tution die hoͤchſten Poteſtaͤten von
wegfallen.

5§. 461.

Nachdem man auf dieſe Art die Abſciſſen AP, Ap ge⸗
funden hat, welche zu den Durchſchnittspunkten gehoͤren,
ſo laſſen ſich daraus die Durchſchnitts Spunkte M und m ſelbſt
leicht beſtimmen. Denn da die Applicaten in den Punkten

P und p durch die Durchſchnittspunkte gehen, ſo duͤrfen

nur die Punkte bemerkt werden, wo dieſe Applicaten die
gerade Linie B Mm ſchneiden. Es koͤnnten auch die Punkte
bemerkt werden, wo dieſe Applicaten der Curve AM m be⸗
gegnen; aber da eine Applicate der Curve oͤfters in meh⸗
rern Punkten begegnet, ſo wuͤrde es ungewiß ſeyn, welcher
von den Punkten der Curve zugleich ein Durchſchnittspunkt

waͤre. Dieſe Unbequemlichkeit vermeidet man, wenn man
die Durchſchnittspunkte nach der geraden Linie B Mm be⸗

urtheilt, indem von derſelben keine Applicate in mehr als
in einem Punkte geſchnitten werden kann. Ereignet es ſich
aber, daß zwey Werthe von x einander gleich werden, ſo
fallen die beyden Durchſchnittspunkte M und m in einen
zuſammen, und in dieſem Falle beruͤhrt entweder die ge⸗
rade Linie B M die Curve, oder ſchneidet ſie in einem dop⸗
pelten Punkte.

§. 462.

Wenn nach der Wegſchaffung von y die dadurch ent⸗
ſtehende Gleichung, wodurch x beſtimmt wird, keine reelle
Wurzel hat, ſo iſt dieſes ein Kennzeichen, daß die Curve
von der geraden Linie BMm nirgends beruͤhrt oder geſchnit⸗

ten wird. Dagegen geben die reellen Wurzeln dieſer Glei⸗
Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. D. Aa chung,

370 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel. JJZM
chung, (ſo viel ihrer ſeyn moͤgen) eben ſo viel Durchſchnitts⸗
ð punkte an, weil zu jeder reellen Abſciſſe eine reelle Appli⸗
ʒʒʒcate der geraden Linie B M m gehoͤrt, und, da dieſe Applis 1
aate der Applicate der Curve gleich iſt, daſelbſt nothwendig nice
ein Durchſchnittspunkt ſeyn muß. Dieſes muß deswegen tict
ſorgfaͤltig gemerkt werden, weil, wenn zwey Curven ſich iin
ſchneiden, die einzelnen reellen Wurzeln nicht eben ſo viel hn
Durchſchnittspunkte anzeigen. Der Grund hiervon wird muh
bald klar werden, wenn wir zwey Curven betrachten, und eſt
die Durchſchnittspunkte, die bey ihnen ſtatt finden, auf⸗.
ſfuchen werden. “ Poe
un hey
Es ſeyen alſo, Fig. 95, zwey ſich ſchneidende Curven eenen
von irgend einer Art, MEm und MF m beſchrieben, und ,gr
um die Durch ſchnittspunkte derſelben zu beſtimmen, ſey dide (cm,
Natur einer jeden Curve durch eine Gleichung zwiſchen den n!
2 rechtwinkligen Coordinaten X undy, die auf einerley Axe A B Nuth w
und auf denſelben Anfangspunkt der Abſeiſſe bezogen wer⸗ Nadar d
den, ausgedruckt. Nimmt man alſo die Abſeiſſen fuͤr enrigen.
beyde Curven gleich, ſo werden da, wo es Durchſchnitt⸗
punkte giebt, auch die Applicaten y gleich werden. Wenn
man daher aus den beyden gegebenen Gleichungen der iſ
Curven y wegſchafft, und ſo eine neue Gleichung macht, Glin
die bloß x als eine unbekannte Groͤße enthaͤlt: ſo werden
alle Durchſchnittspunkte M, m, m, ſo viel ihrer ſeyn möo- Ulen
gen, durch die reellen Wurzeln dieſer Gleichung angezeigt
wDmerden. Es werden nemlich die Abſciſſen AP, Ap, Ap, ꝛc. Wrrc
welche zu den Durchſchnittspunkten M, m, m, ꝛc. gehoͤren, utnen
die Werthe von x ſeyn, die es aus der gedachten Gleichung derge
bekommt,
.

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Atchſctitkh.

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Gleichangg

Von den Durchſhnit epunkten der Eurven. 3717

8. 464. H .Y
Hat man aber die Abſciſſen Ab, A p, ꝛ:c. gefunden,
welche zu den Durchſchnittspunkten gehoͤren, ſo iſt es hier
ſo leicht nicht als vorhin, die Durchſchnittspunkte ſelbſt zu
beſtimmen. Denn wenn in jeder Curve eine und dieſelbe

Abſciſſe mehrere Applicaten hat; und dies findet ſtatt,

wenn in beyden Curven y eine vielfoͤrmige Funktion von
x iſt: ſo muß man aus dieſer doppelten Menge der Appli⸗

caten diejenigen ausſuchen, welche einander gleich ſind;
und dieſes Aufſuchen iſt ein deſto beſchwerlicheres Geſchaͤfte,

je mehrere Werthe der Applicate y in jeder Curve hat. In⸗
deß kann man dieſe Schwierigkeit dadurch heben, daß
man bey der Wegſchaffung die Applicate y aus den beyden

gegebenen Gleichungen diejenige zu Huͤlfe nimmt, worin
„ durch xX beſtimut wird. Man lernt nemlich aus dieſer

Gleichung, wie groß die? Applicate aus dem Punkte P bis
nach dem Durchſchnittspunkte fuͤr einen jeden gefundenen
Werth von x ſey, und man hat dabey nicht noͤthig, die
Natur der einen oder auch beyder Curven weiter zu
erwaͤgen. . “

465.

Es ſey die eine Curve eine Parabel, welche durc die
Gleichung
yy — 2x † xX — 2 àAX ☛ o;
und die andere ein Kreis, welcher durch die Gleichung:
yy † XX — cc = o
ausgedruckt werde. Um y wegzubringen, ſubtrahire man
zuvoͤrderſt die erſte Gleichung von der zweyten, wo denn
der Reſt ſeyn wird

aXy t 2aX — ce= oz. und folglichy= d.

A a 2 D Hier⸗

Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel.

Hieraus ſieht man ſchon, daß zu jedem Werthe von X, den

man bekommen kann, reelle Werthe von y gehoͤren wer⸗
den. Wan ſetze alſo den gefundenen Werth von y in die
eine Gleichung, ſo findet man

c4 — 4 a ccX † 4 (a a — cc) Xx 4 46

und die reellen Wurzeln dieſer Gleichung geben die dahren

Durchſchnittspunkte an. Geſetzt c ſey = 2 a, und folglich
4 à4 — 4 a3x — 3aaxx † X4 0%
ſo iſt die eine Wurzel dieſer Gleichung X = 2 a, und nach⸗
dem man ſie ausgezogen hat, ſo bleibt die Gleichung
X3 † 2àaXX † aàaXx — 2a 3 = 0

uͤbrig, die noch eine reelle Wurzel giebt. Die Applicate

aber, die zu beyden Wurzeln gehoͤrt, findet man aus der
leichung

4 2 aa — ax
X

zu der erſten nemlich X = 2 gehoͤrt y = o, ſo daß der
Durchſchnittepunt in der Axe ſelbſt liegt.

.
4

466.

Wenn alſo zwey Gleichungen zwiſchen und y ſo be⸗
ſchaffen ſind, daß man durch die Wegſchaffung von y eine
rationale y gleiche Funktion von x findet, ſo erhellet hier⸗
aus, daß alsdann eine jede reelle Wurzel von x aus der
letzten Gleichung (nachdem y ganz weggebracht worden ſke
einen wahren Durchſchnittspunkt geben werde. Aber
man beym Eliminiren keine rationale Funktion von x, die

„ gleich iſt findet, ſo kann es ſich ereignen, daß dann

nicht alle reele Wurzeln aus der letzten Gleichung wahre
Durchſchnittspunkte geben. Denn der Werth von x kann
bisweilen ſo groß werden, daß dazu in keiner Curve eine
keelle Applicate moͤgl ich iſt; und doch darf man in dieſem
Falle

Falt
dergt
ten
dirt
fent
eon,

ſpnin

ſaben
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der Dun
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Nh n

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Cheft n
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dah Nna
hung wehr⸗
boN 1 kun
Culbe di ei
zrtien
le

Von den Durchſchnittspunkten ber Curven. 373

Falle den Calcul keines Fehlers beſchuldigen. Denn da zu

dergleichen Abſciſſen in beyden Curven imaginaͤre Applica⸗
ten gehoͤren, und die imaginaͤren Groͤßen eben ſo wohl als
dir reellen einander gleich oder ungleich ſeyn koͤnnen: ſo iſt
kein Grund da, warum nicht dieſe imaginaͤren Applicaten
einander gleich ſeyn, und ſo auf einen imaginaren Durch⸗
ſchnittounkt führen ſollten.

§. 467.
Um dies deutlicher zu machen, ſeyn Fig. 96. uͤber der⸗
ſelben Axe B A E die Parabel E M fuͤr die Parameter = 2 a,
und außer ihr der Kreis AmB mit dem Halbmeſſer = e
beſchrieben, ſo daß AE = b, und alſo die Unmoͤglichkeit

der Durchſchnittspunkte zum voraus offenbar ſey. Man

laſſe A den Anfangspunkt der Abſeiſſen, und die Abſeiſſen
nach E zu poſitiv, nach B aber hin negativ ſeyn, und da⸗
bey habe man folgende Gleichungen; fuͤr die Parabel
yy = 2ax — 2anbãbs
und fuͤr den Kreis
Vyy — — 2CX — XX.

Schafft man nun, um die Durchſchnittspunkte: zu ſnden,

y weg, ſo erhaͤlt man ſogleich

XX – 2 (a † c) x — 2 à b =
und daraus ergeben ſich zwey reelle Werthe po von x
xX S= —- a — c V (aà T c)2 † 2 a b)
wovon der eine negativ, der andere poſitiv iſt, und doch
findet kein Durchſchnittspunkt ſtatt. Es giebt nemlich ſo
wohl die Parabel als der Kreis fuͤr dieſe beyden Abſciſſen
imaginaͤre Applicaten, die aber, in was fuͤr einem Grade
ſie auch imaginaͤr ſeyn moͤgen, doch einander gleich ſid.
Es wird aber, wenn man dieſen Werth von « gebraucht
Aa 3— „=

374 Zweytes Buch. Neunzehntes Eapitel.

y= V (— 2aa — 2a0 — 2 b E 2a V (aa †2ac † cci,aab)
welches allerdings ein imaginaͤrer Ausdruck iſt.

§. 4693.

Es erhellet aus dieſem Beyſpiele, daß es auch imagi⸗
naͤre Durſchnittspunkte der Curven gebe, die, ob ſie gleich

keine Durchſchnittspunkte ſind, doch eben ſowohl durch
den Calcul herausgebracht werden, als die reellen. Und
daher ſchließt man aus der Zahl der reellen Wurzeln von

X aus der letzten Gleichung nicht ſogleich mit Recht auf die

Anzahl der wirklichen Durchſchnittspunkte; denn es kann
die Anzahl jener reellen Wurzeln groͤßer ſeyn, als die An⸗

zahl dieſer Durchſchnittspunkte, ja es kann von dieſen letz⸗
tern gar keinen geben, wenn man auch zwey oder mehr
reelle Werthe von x findet. Indeß macht jeder Durch⸗

ſchnittspunkt eine reelle Wurzel von in der letzten Glei⸗

chung nothwendig; und daher wird es zum wenigſten immer

ſo viel reelle Wurzeln von in dieſer Gleichung geben, als
Durchſchnittspunkte ſtatt finden, wenn gleich die Menge

jeener reellen Wurzeln auch groͤßer ſeyn kann. Ob aber einem

jeden reellen Werthe von X ein reeller Durchſchnittspunkt
zugehoͤre oder nicht, erkennt man bald, wenn man den zu⸗
gehoͤrigen Werth von y ſucht. Denn iſt dieſer Werth reell,
ſo giebt es auch einen reellen Durchſchnittspunkt, 1 und iſt
er imaginaͤr, ſo iſt ſolches auch dieſer.

8. 469.
Dieſe Ausnahme oder dieſer Unterſchied zwiſchen der
Anzahl der reellen Wurzeln von X und der Menge der reel⸗
len Durchſchnittspunkte findet alſo bloß ſtatt, wenn entwe⸗

der in beyden Gleichungen die Applicate y ollenthalben nur

gerade Dimenſionen hat, und alſo die Hauptaxe zugleich

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„JN0
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der

giebt, ſo daß zu jeder Abſciſſe

Von den Durchſchnittspunkten der Curven. 375

der Durchmeſſer beyder Curven iſt; oder wenn beyde Glei⸗
chungen ſo beſchaffen ſind, daß bey der Wegbringung von
yy auch zugleich y aus der Rechnung wegfaͤllt, und folglich

y durch keine rationale Funktion von ausgedruckt werden
kann. Iſt z. B. die eine Gleichung
yy — Xy = a à
und die andere
4 — 2Xy3 † X3y = hbxz
ſo bringe man, da aus der erſten (7y — Xy) 2 = a4, oder
y4 — 2X3 à4 — Xxyy wird, dieſen Werth in die
andere Gleichung. Dadurch wird
24 — XxXyV T x 3? = bbxzx
oder

und folglich
a
a † 1I
nd
. PFaa
V(aà a † b b S
Es ſcheint alſo ein doppelter Durchſchnittspunkt da u ſeyn;
allein ob beyde reell ſind oder nicht, muß man aus dem
Werthe von y ſchließen, welchen man aus der Gleichung
yy — Xy = aa
findet. Es wird aber an⸗
IVYaa . b by
und da die Wurzeln dieſer Gleichung insgeſammt reell
ſind, ſo iſt klar, daß es hier vier Durchſchnittspunkte

xX =-

† aa

Aa 4= z=

8

1

eeine Curve fuͤr alle Abſeiſſen reelle Applicaten giebt, und

.

376 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel.

— = a 2
(a a † b b)
zwey reelle Durchſchnittspunkte gehoͤren.

470.

Wenn aber weder die Axe der Durchmeſſer beyder Cur⸗

ven iſt, noch der Fall ſtatt findet, daß bey der Wegbrin⸗
gung der hoͤhern Poteſtaͤten von y auch y gaͤnzlich wegfaͤllt:
ſo zeigen, weil man dann auf eine rationale Funktion von
xX, die y gleich iſt, kommt, die einzelnen Wurzeln der letz⸗
ten Gleichung eben ſo viel wahre Durchſchnittspunkte an,

ſo daß in dieſen Faͤllen weiter keine Vorſicht noͤthig iſt. Es

geſchiehet dieſes, wenn die eine Curve in eine gerade Linie

uͤbergeht, wie wir vorhin geſehen haben, oder wenn ihre

Applicate durch eine einfoͤrmige Funktion von ausgedruckt

wird; denn alsdann hat keine Abſciſſe ecine imaginaire Ap⸗
plicate, und es muͤſſen folglich die einzelnen Wurzeln von

wahre Durchſchnittspunkte anzeigen. Meiſtens aber pflegt
man, wenn auch y in beyden Gleichungen mehrere Dimen⸗
ſionen hat, bey der Wegſchaffung von y„ auf eine Gleichung
zu kommen, worin der Werth von y durch eine rationale
und folglich einſormige Funktion von x ausgedruckt wird.

§. 471.
So oft es ſich aber ereignet, daß einige von den Durch⸗
ſchnittspunkten, welche man durch den Calcul findet, ima⸗
ginaͤr werden, ſo geſchiehet ſolches nicht bloß in den Faͤllen,
wenn keine Curve eine reelle Applicate hat, die zu der ge⸗

fundenen Abſciſſe gehoͤre: wie dies der Fall bey dem vor⸗
hergehenden Exempel von einer Parabel und einem Kreiſe

war: ſondern es laſſen ſich ſelbſt Beyſpiele geben, wo die

doch

dot
hutt
gun

ſte
ere

ſt, ſe
unde
Durag

der Cu⸗
Wegberin⸗
vegfalt:
ſtien ton
n
Pponta .
thin ſt. G
gerade bite
wenn ihee
ausgedruct
ginalte iy⸗
ezeln don 1
der dſe
grae Mnan
ije Gleichung
ne tetorck⸗
Bg d⸗

1dor Old,

ndet, ine⸗

denſalen

e Ms
en w⸗
en Freſſ

en, we de

Nd
gibt,
hoch

Von den Durchſchnittspunkten der Curven. 377

doch zu den einzelnen Wurzeln von x keine Durchſchnitts⸗
punkte gehoͤren. Dergleichen iſt die Linie der dritten Ord⸗

nung, die durch die Gleichung ausgedruckt wird:

„3 — 3 ay y † 2aay — 6àXX = 0

die fuͤr alle Abſciſſen reelle Applicaten giebt, und zwar drey⸗

fache, wenn X kleiner iſt als a V ½. Wenn mit dieſer
Curve eine Parabel verbunden wird, deren Gleichung
yy — 22X = %

iſt, ſo giebt es keine reelle? Applicate, wenn x negativ iſt,

und es kann folglich auch zu den negativen Abſciſſen x kein
Durchſchnittspunkt gehoͤren.

§. 472.
Man ſchaffe y weg, ſo verwandelt ſich die erſte Glei⸗

chung, da die zweyte yy = 2 ax giebt, in folgende:

2àa y — 6 aax † 2a ay — 6 àaXX = 0

und daher wird

— 6aa X † 6a Xxx
240 a † 2àax
Da aber jene Gleichung durch y — 3 theilbar iſt, ſo er⸗
haͤlt man, wenn man dividirt, folgende von y befreyte
Sleichung:

3 X.

2 a a † 2àaX = 0
und daraus fließt

X — — 2.

Es ſollte alſo der Durchſchnittspunkt der Curve zu der Ab⸗
ſciſſe * S — a gehoͤren, die in der Parabel keine reelle

Applicate hat; in der andern Linie der dritten Ordnung

aber wird, wenn man x = — 2a ſetzt
73 — 3 a y † z a a?y — 6a3 = o
und daraus erhaͤlt man eine reelle Applicate y 3 a, und

Aa 5 zwey

378 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel.

zwey imaginaͤre Werthe von y, die in der G Gleichung

yy † 2aàa = % enthalten ſind. An dieſen Orten werden

nemlich dieſe imaginaͤre Applicaten den n imaginaͤren Appli⸗

caten der Parabel an denſelben Stellen gleich, und ſo erge⸗

ben ſich zwey imaginaͤre Durchſchnittspunkte. Man erhaͤlt
aber auch zwey reelle Durchſchnittspunkte aus dem Faktor

der obigen Gleichung y — 3X = o, aus welcher 9x —

2 axx = 0 wird. Zuerſt findet ſich alſo in dem Anfangs⸗
punkte der Abſciſſen, wo fuͤr x So auch y = o iſt, ein
Durchſchnittspunkt, und der andere gehoͤrt zu der Abſciſſe

= 22 wo y = 3 ½ = —— iſt.
9 3 4

. 473.

geſtoßen, ob ſich gleich bey der Wegſchaffung von y die
Gleichung ZaXy —–— Gaax † 2 àa a y — 6 3XX = 0 ergab,
worin y nur eine Dimenſion hat, ſo daß daraus y durch
eine rationale Funktion von X ausgedruckt zu werden
ſcheint, welches wir vorhin als ein Kennzeichen der Ab⸗

weſenheit der imaginaͤren Durchſchnittspunkte angegeben

haben. Und in der That wuͤrden auch keine imaginaͤre
Durchſchnittspunkte da ſeyn koͤnnen, wenn dieſe Gleichung
keine Diviſoren haͤtte. Allein da hier die Gleichung, wo⸗
rin die Applicate „ nicht mehr vorkommt, durch die Divi⸗
ſion gefunden worden iſt, ſo iſt ſolches eben ſo viel, als ob

„ durch keine rationale Funktion von x ausgedruckt werden
koͤnnte. So oft nemlich eine ſolche Gleichung in Faktoren

aufgeloͤſet werden kann, ſo oft muß man bey der Beurtheilung

auf jeden einzelnen Faktor beſonders Ruͤckſicht nehmen;

und daher kommt es, daß der eine auf imaginaͤre Durch⸗

ſchnitts⸗

Hier ſind wir alſo auf imaginaͤre Durchſchnittspunkte

ſtit
n

urt
Ndie
ldine
Dine
ſcht
lf
og
Glech
ſne
1, und

uche

Mig
und di
Mng
gende,
WMr
konn
Duch
gefunz
chung

1 *
95X=—
lnfengs⸗
ſren
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ſtkpurtte

e

2 C,
1 7 n
1 verden
N A⸗
ngegebn
imeginit
Geichung
ung, v⸗
die Doi⸗
,
e weden
n otven
uetheileng
fehnin
e Ns
cn

Von den Durchſchnittspunkten der Curven. 379

ſchnittspunkte fuͤhren kann, da bey dem andern dergleichen
gar nicht vorkommen.

§. 474.
Nach dieſen Betrachtungen wollen wir die Art und

Weiſe bey jeden zwey gegebenen Curven die Durchſchnitts⸗

punkte derſelben zu beſtimmen, genauer betrachten; und

da dieſe Unterſuchung von der Wegbringung der einen Co⸗

ordinate y abhaͤngt, ſo brauchen roir dabey bloß auf die
Dimenſionen, welche ſie in beyden Gleichungen hat, Ruͤck⸗
ſicht zu nehmen. Dieſe Wegbringung von y wird nemlich
auf einerley Art unternommen, die andere Coordinate X
mag ſich, in welcher Beſchaffenheit ſié wolle, in beyden
Gleichungen befinden. Es ſeyen alſo P, Q, R, 8, T, ꝛc.
ſo wie auch p, q, r, s, t, ꝛc. rationale Funktionen von
x, und die Gleichungen, wodurch beyde Curven, deren
Durchſchnittspunkte geſucht werden, zuooͤrderſt

I.
P † Qy = o0
II.
P † dy = „

Multiplieirt man die erſte von dieſen Gleichungen durch b,
und die andere durch b, ſo erhaͤlt man in der Differenz der
durch dieſe Multiplication entſtehenden Gleichungen ſol⸗
gende, worin y nicht mehr vorkommt,
p Q — Pp = = O

Jede von den reellen Wurzeln dieſer Gleichung, worin

bloß die unbekannte Groͤße, mit bekannten verbunden, vor⸗
kommt, giebt einen Punkt in der Axe an, woruͤber ein

Durchſchnittspunkt befindlich iſt; und fur einen jeden fuͤr x

gefundenen Werth erhaͤlt man aus den gegebenen Glei⸗

chungen den reellen Werth

380 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel.

Q 4 .
welcher den Durchſchnittspunkt anzeigt. Wenn daher die
Applicate y in beyden Curven durch eine rationale oder
einfoͤrmige Funktion von x ausgedruckt wird, ſo finden
keine e imaginaͤren Durchſchnittspunkte ſatt.

§. 475.
Nun werde die Applieate y der einen Curve durch eine
einfoͤrmige Funktion von x ausgedruckt, wie vorhin, die
Applicate der andern Curve aber durch eine zweyfoͤrmige;

ſo daß ſey

P T Qy = o
II.
Pp qy † ryy =

Multiplieirt man die erſte Gleichung durch p, und die andere
durch P, und zieht darauf die gefundenen Gleichungen von

einander ab, ſo wird, nachdem man durch y dividirt hat,
III.
p Q — Pq — Pry = o
oder
“ (Pq — pQ) † Pry = o.
Nun multipl eire man die erſte durch Pr, und die dritte
durch Q. und ſubtrahire: ſo bekommt man folgende von 7
befreyte Gleichung:
Ppr -— pꝗq t 0=

Die Wurzeln dieſer Gleichung geben die Abſeiſſen, die zu

den Durchſchnittspunkten gehoͤren, und da zu denſelben reelle
Applicaten, nemlich
— — P = P.Q QQ— P PꝗqH
y = — —,—
gehhren, ſo ſind dieſe Durchſchnittspunkte reell.
§. 476.

einf
Clet
deut
669

t ne.

vorhin, die
eypſornig;

die andee
argen dan
doidiet ,4

nd de itt

ende n)

ſn, Me
ſhen teil

4 6.

Von den Durchſchnittspunkten der Curven. 38 r

F. 476.
Es ſey wie vorhin die Applicate der einen Curve einer

einfoͤrmigen Funktion x gleich, die Applicate der andern

Curve aber werde durch eine cubiſche Gleichung ausge⸗
druckt, oder ſey eine dreyfoͤrmige Funktion von x; und
alſo die beyden gegebenen Gleichungen ſoigende:
I.
P 1 Qy = 0
II.
bp † qy †% ryy † sy5 = o.
Multiplicirt man die erſte von dieſen Gleichungen durch P
und die andere durch P, ſo erhaͤlt man, nachdem man
ſubtrahirt, und durch „ dividirt hat,
III.
(Lq — pOQα † Pry † Psyy = o
und wenn man hierin anſtatt y den Werth deſſelben S=

ſetzt, und die Bruͤche wegſchafft,

2G — p Q3 — P2 QOr T† P32s = O„
oder
Q p — P Qa † P2 Or — P3S: = o.
Eben dieſe Gleichung findet man ſogleich, wenn man in
der zweyten Cleichuns ſtatt ſeinen Werth aus der erſten

Gleichung — — ſetzt. Alle reelle Wurzeln von aus dieſer
letzten Gleichung fuͤhren demnach, da zu Feder aus der

erſten Gleichung reelle Applicaten „ = — gehoͤren, auf

eben ſo viel wahre Durchſchnittspunkte.

§. 477.
Auf zhnliche Art ſchafft man „ leicht weg, wenn die
Applicate y der einen Curve durch eine Gleichung von vier
oder

382 Zweytes Buch. Neunzehntes Cazic.

oder mehr Dimenſionen ausgedruckt wird, die Applicate

der andern Curve aber eine einfoͤrmige oder rationale

Funktion von x bleibt. Es ſeyen nemlich die. deyden gege 5

benen Gleichungen
P † Qy = o
p † qy rys † sys † tyA = o.

b
Da aus der erſten Gleichung y = iſt, ſo erhaͤlt man

wenn man dieſen Werth in die andere Gleichung bringt,
folgende Gleichung zwiſchen und bekannten Groͤßen:
Q4p— P Q3 q † P2 Qar — P3 Qs † Pat = o.
Die reellen Wurzeln von aber aus dieſer Gleichung geben

eben ſo viel wahre Durchſchnittspunkte, weil man fuͤr jede

Abſciſſe X aus der erſten Gleichung eine reelle Applicate y

— P
nemlich „: = erhaͤlt.

§. 478.

Nun werde die Applicate y einer jeden Curve durch eine

quadratiſche Gleichung, und zwar zuvoͤrderſt durch eine
reine, ausgedruckt, und es ſey alſo
P † Ryy = e
I ryy = oO
gegeben. Hieraus findet man darch die Wegbringung von
YVy ſogleich —”
Pr — Rp =
aber die reellen Wurzeln dieſer Gieichung zeigen nur dann
wahre Durchſchnittspunkte an, wenn die gefundenen Werthe
von

dohx
pird.
weil

hoſti
den /
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—

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n für ſe

Ppleate

de ß it⸗

du „

Ugoog n

nur dan
en Vh⸗

Son

„ —

Vvon den Durchſchnittspunkten der Curven. 3843

— P — b
von x ſo beſchaffen ſind, daß S oder — eine poſitive Groͤße

wird. In dieſem Falle bekommt nemlich die Applicate ,

weil yy = — = — iſt, einen doppelten Werth, einen

poſitiven und einen negativen; und es gehoͤrt daher zu je⸗
dem fuͤr die Abſciſſe „ aus der Gleichung Pr — Rp = o
gefundenen Werthe ein doppelter Durchſchnittspunkt, der
von der Axe auf beyden Seiten gleich weit entfernt iſt.

Dieſes kann auch nicht anders ſeyn, weil die Axe zugleich
der Durchmeſſer beyder Curven iſt, Wenn aber ein Werth

von X aus der Gleichung Pr — — Rp = = o den Ausdruͤcken
— P —

— = — einen negativen Werth ertheilt, ſo wird y

imaginaͤr, und alſo die Durchſchnittspunkte ebenfalls.

K. 479.
Ferner befinde ſich in beyden gegebenen quadratiſchen
Gleichungen auch das zweyte Glied, welches y enthaͤlt,
und die Gleichungen ſelbſt ſeyen folgende:
P † Qy † Ryy = %
II.
Pp † qy † ryy = o
Um die unbefannte Groͤße y aus dieſen Gleichungen weg⸗

zuſchaffen, multiplire man die erſte durch p und die andere
durch P, ſuͤbtrahire darauf, und dividire durch y: ſo wird

III.
(Pq — Qp) † (Pr — Rp)y = o
Dann multiplicire man die erſte Gleichung durch r und die
letzte durch R, und ſubtrahire, ſo wird
IV. ä
Cr— Rb) ? (Cr — Rdy = .
Da

4

„

384 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel.

Da nun aus dieſen beyden Gleichungen
Qyp — q X — Pr.

1 wird, ſo iſt
(Qy-— PA)Cr — K) ¹ G: — R= = o
oder
Perz — 2PRprf Rap † Oapr — PQqr — QRpq
PR92 = o.

Die reellen Wurzeln dieſer Gleichung geben eben ſo viel
wahre Durchſchnittspunkte, wenn zu einem jeden Werthe
von X die Applicate aus der Gleichung III. und IV. einen

reellen Werth bekommt. Indeß kann es ſich auch ereig⸗
nen, daß die Durchſchnittspunkte imaginaͤr werden, wenn
nemlich die Gleichungen III. und IV. Faktoren haben, ſo
daß aus ihnen durch die Diviſion eine von y befreyte Glei⸗
chung hergeleitet werden kann. Denn alsdann muß man
dieſe Gleichung anſtatt der letzten ſubſtituiren, und zu den

fuͤr „* daraus gefundenen Werthen aus den erſten Gleichun⸗

gen die zugehoͤrigen Werthe von y ſuchen. Sind nun dieſe
imaginaͤr, ſo iſt ſolches ein Kennzeichen, daß die Durch⸗

ſchnittspunkte imaginaͤr ſind.

ℳ

§. 480.

Es ſey die Applicate y in der einen Curve eine zwey⸗

foͤrmige, in der andern aber eine dreyfoͤrmige Funktion
von x; oder die gegebenen Gleichungen beyder Curven

folgende: . .

I.
P † Qy † Ryy = o
p † qy † ryy † sy² = o
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f Uktion

Von den Durchſchnittspunkten der Eurven. 38 5

Man multiplicire die erſte von dieſen Gleichungen durch p
und die andere durch P, und ſubtrahire; ſo wird
(?q — Qp) † (?r — Rp)y † Psyy = ⸗
welche Gleichung mit der erſten verbunden den Fall wieder
giebt, den wir in dem vorhergehenden § unterſucht haben,
ſo daß, was da p, q, r war, hier Pq — Qp, Pr— Rp,
und P's iſt. Man findet alſo hier
PQQq — QQp — PPr † PRp
PPS — PR † QRp
und
PpRJ — QGR p — PPs
PQs — PRr † RRp
Hieraus wird
= (PR4- — QRp — PPs)2 † (QOs — PRr RRE)
(?Qq — Qp — Par † PR p)
und dieſe Gleichung entwickelt, ſo findet man
. F* 3r CRp 8

Vy =

P4s2 — Pi Ors † P2 Qaqs — PQ Rps † ORapz

† P3 Rrr — P2 CQCRqr † PQzRpr — Q=Rapz
— ²2 P2 Rpr † P Ri pp H
und da das letzte Glied verſchwindet, ſo iſt die ganze Glei⸗
chung durch P theilbar, und ſo bekommt man:
†P3S2 — 2P2² Rq5 — P2 Qrs 4 3PCQRps † PQas
— Q³3 ps † R3pz
† P2 Rra — PQRqr — 2PR pr † Q2Rpr † PR q2 — 0
. — QRapq.
Aus den reellen Wurzeln dieſer Gleichung lernt man die
Durchſchnittspunkte kennen, wenn zu ihnen reelle Werthe
von y gefunden werden koͤnen.

Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. B. Bo . 481r.

.

386 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel.

§. 481.

Nun ſeyen die Gleichungen fuͤr dende Curven cubiſch,
und folgende;

I.
1 Or † Sry 1 S =
. II.
5 † qy † ryy † sys = o.
Man multiplicire die erſte durch p, und die andere durch,
uud ſubtrahire, ſo erhaͤlt man
III.
(Pq — Qp) 1† (Pr — Rp)y † (Ps — Sp)yy = o.
Ferner multiplicire man die erſte durch s, und die andere
durch 8, und ſubtrahite, ſo wird
IV.
Gp— Ps) . (S54q — QS)y† (SGr — Rs) yy = o.

Vergleicht man nun dieſe beyden Gleichungen mit den bey⸗ D

den im 470ſten § unterſuchten, ſo wird
— 4— O = e —
R = Ps –— SsSpr. E St— Re

und bringt man dieſe Werthe in die letzte Gleichung, ſo

bekommt man

(Pq — Qp) 2 (Sr — RsSs) 2 — 2 (Pq — Qp) (Ps- Sp) (Sp-— PS)
(Sr — -Rs) 1† (Ps — Sp) 2 (Sp-— PS) 2 † (Pr— Rp) 2 (Sp — Ps)

(Sr.— RS) — (Pd — Qp) (Pr-— Rp) (S89 — Q5) (Sr — Rs) —

(Pr — Rp) ('s — Sp) (S p — Ps) (69 — Qs) † (Pq — Qp)

(— Sp) (S8 q — Q s)2 = — 0u.
In dieſer Gleichung ſind ſieben Glieder, die insgeſammt
durch ⁸8 p — Ps theilbar ſind, das erſte nur und das fuͤnfte
nicht. Verbindet man aber dieſe Glieder, ſo haben ſie
zwey Faktoren, nemli ich (Pq — V (Sr —Rs) und (Pq — Qp)
(r.

Gi
Mahrua

eſamen
de⸗

(H
Er⸗

G 6395-
:
AWr
—0

5 C⸗

11

den tſ

dert Nrch,

=

die odere

y

mit den

(, —S
W
zu-
/, 1 “

irͤggirne

das füt

G

Von den Durchſhnittepuntten der Curven. 387

(Sr — Rs) — (Pr — Rp) Ga — 08), und wenn man in dieſen

letzten aufloͤſ⸗ et, ſo wird er
= P Qrs † RSpq — PRqS — OSpr
und folglich
S (Sp — DS) (Rq — Qr)
Es laſſen ſich alſo das erſte und fuͤnfte Glied in folgenden
Ausdruck
(Pq — Qp) (Gr-—RS) GSp- Pe) (Rq - Or)

zuſammenziehen, der ebenfalls durch Sp —Ps theilbar iſt,
und es entſteht daher die Gleichung:

o = (Pq — Qp) (Sr — Rs) (Rq — Qr) † 26 q — O)

(Sp — Ps) (Sr –— Rs) † (Sp— — P s) 3 † (Pr -— Rp)2

(SGr — RS) † (?or — Rp) (S53p — Ps) (S8q — QS) —
(bq — Qp) (8S q — Qs)2 HWZ
die, entwackelt, giebt,

833 — 3 PS2 92 † b⸗ 281r3 †T2PR= prs-— Pz Rras †

P2 Orss † PRSqqr — P383 † 3 P2 SpSzZ – Repzs —
2PRSprzZ† R2SpzZrT — RSzpzq —– Q Rprs — PRz qqs
— PQSdrr † PQRATS † 3 PSzpqr – 3 P2Sqrs †
PQSprS Q=sprr† QRzpqS— QRSpgr — 3 PCRpss
† 3 QRSppS — PRSpJqS † 2 P2RJq88 † 2 5Qsqqs —
PS2 q3 — PQ qss –— 2 Q0 2 ppr — 2 Q2 8pꝗs † Qpss †
QS2pqq = o.

L Rr §. 482.
Damit dieſer Weg, y aus zwey hoͤhern Gleichungen
wegzuſchaffen, deutlicher werde, ſo wollen wir annehmen,
daß beyde Gleichungen zum vierten Grade gehoͤten
I.
P † Cy 1Ry⸗= † Sy; trr=
II.
P † qy † ry⸗ sys † ty4 = 0
B b 2 Mul⸗

H pi — Tp = D St — TS= d!

388 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel.

Multiplicirt man die erſte Gleichung durch Pp, und die letzt H

durch P, ſo ſndet man, nachdem man n ſubtrahirt hat,
III.
(*4- — o) 1 & — Rp)y † (Ps-: — Sp)y⸗ †
(Pt – Tp)y3 = O
Multiplicirt man ferner die erſte Gleichung durch t, und die
uwehre durch T., ſo ergiebt ſich durch eine aͤhnliche Subtraction
IV.
de — rp, 1 (Ot- — LOy †T (Rt — TL) y2 †
(St – I s) y3 = o
Nun ſetze man der Kuͤrze wegen
Pq — Qp=A] Pt – Tp= a q — Qs = =
Pr–— Rp = B Qt-–TA= b Rq —– Qr= 8⁸
pPpP,s — Sp = C Rt — Tr = c

wo man bemerken muß, daß nicht nur a= D, ſondern auch
Ad—– Cb = (Pt — Tp) (S8 — Qs) = D=
Ac — Cb = (Pt — Tp) (Rq — Qr) = D
iſt. Gebraucht man nun dieſe Werthe in der dritten und
vierten Gleichung, ſo wird

4
III.
AT† By Cyy † Dy3 = o

a † by † cyy † dys = o

Nun multipl ieire man wieder dieſe Gleichungen durch d

und D, und ſubtrahire, ſo bekommt man
(Ad Da) . (B d — D b) y .† (Cd — Dc) y2 =0

Ferner multiplicire man eben dieſe Gleichungen durch: und D

A, und ſubtrahire daranf, ſo wird
(AKb — Ba) † (Ac — Ca) y † (Ad — D a) y2 = o

Nun

g
Ghen

11) gn

B Geiung

Sk n

hughhn
eine

uDnh

Ubtraction

—,

CS=⸗s

(r =5

ſrbeen anch
1De
20

Nunn

Gleichung:

2

Von den Durchſchnittspunkten der Curven. 389

Nun ſetze man der Kuͤrze wegen
Ab — B a = E A d – Da = e HZ
Ac — Ca = F Bd– D b = f Cb —–— Bc = £
Ad — Da = G Cd — De=g!
ſo iſt G = e; und Eg — Ff = Go, ſo daß Eg — Ef L
durch G theilbar iſt. Hierdurch ert haͤlt man dieſe Glei⸗

chungen:
E TFVy roxry = 0

VI.
e † ty . gyy = o
und daraus leitet man durch eine aͤhnliche Operation ab
VII.
(5 Fe) † (Eg — G e) y = 0
VIII. .
(Eg — Ge) † (Eg — 6f)y = o.

Endlich ſetze man nochmals der Kuͤrze wegen
Ef — Fe = H Eg — Ge = h
Eg — Ge = I Fg — Gf = i
ſo daß I = h iſt. Dann hat man
Vll. ??YJYUVUDð
H † Iy = 0 M
VIII. ””s
2 h † iy = o
und daraus findet man endlich folgende von y befreyte

Hi — Ih = o.

Setzt man nun in dieſe Gleichung nach und nach die vor⸗

hergehenden Werthe wieder, ſo bekommt man dadurch
eine Gleichung, worin bloß die Funktionen P, Q, KR., ic.
p, q, r, tc. aus den erſten Gleichungen befindlich ſind.
Es iſt aber die Gieichung zwiſchen E, F, G, e, f, g, durch
Bb 3 6 =— e,

390 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel.

G = e, und die Gleichung zwiſchen A, B, C, D, a, b.,

c, d, wozu man nachher kommt, durch Da = au theil⸗

bar, und es enthaͤlt daher in der am Ende gefundenen

Gleichung jedes Glied nicht mehr als acht Buchſtaben, vier
große und vier kleine. Auf dieſe Art kann man nun aus
jeden zwey Gieichungen die unbekannte Groͤße y, ihre Di⸗

menſionen moͤgen ſo hoch ſteigen als ſie wollen, wegſchaf⸗

fen, und eine G leichung ſinden, worin bloß « vorkommt.
§. 483.
Ob gleich dieſe Methode aus zwey Gleichungen eine
unbekannte Groͤße wegzuſchaffen allgemein gebraucht wer⸗
den kann, ſo will ll ich doch noch einen andern Weg hinzufuͤ⸗
gen, wobey man nicht ſo viel Subſtituti onen noͤthig hat.
Es ſeyen aſo folgende zwey Gleichungen von unde ſtimmten
Dimenſionen gegeben
Pym † Qymr F† Kym-2 † Sym- 3 †* c. = e
pyn † qyn-I † ryn-2 † syn-3 † ꝛc. = 0

und es werde verlangt, daraus eine Gleichung zu finden,

worin y nicht mehr enthalten ſey. Zu dieſer Abſicht mul⸗
tiplicire man die letzte Gleichung durch

Py k-n † A yk- n- I B y k-n- 2 † Cykn-3 T ꝛc.

worin k — n willkuͤhrliche Buchſtaben A, B, C, ꝛc. vor⸗
kommen; und die erſte durch .

Py k-i † a y k- m- T † by k-m- 2 t cyk-. 3 † ꝛc.
worin k — m willkuͤhrliche Buchſtaben a, b, c, te. ent⸗

halten ſind. Dann ſetze man beyde Produkte einander
gleich, ſo daß ſich alle Glieder, worin ſich Poteſtaͤten von

y finden, einander aufheben, und die letzten Glieder, die
y nicht enthalten, die ge⸗ ſuchte Gl⸗ eichung geben. Die hoͤch⸗

rvns
lefinnt,
ſtlen b,
Wa

ucſe

D 2,
4² ⸗
eu dene
aben, dier
pun ans
ihre Diu
manne

1 R heſti n 4

. 4
A-=3 . .

, b, 1¹ ⸗

3 ¼ k.

Von den Durchſchnietevunkten de der Eurven. 891

ſten Poteſtaͤten heben ſich hierbey ſchon von ſelbſt auf, in⸗

dem dieſelben in beyden Produkten Ppyk ſind, und es bleiben
daher nur k — 1 Glieder uͤbrig, zu deren Deſtruetion eben

ſo viel willkuͤhrl iche Buchſtaben zu beſtimmen ſind. Da

nun die Anzahl aller eingefuͤhrten willkuͤhrlichen Groͤßen
= 2k — m — n iſt, und dieſelbe = k — 1 ſeyn ſoll, ſo
wird kemt† — I. B

§. 484.
Man mul ltiplicire demnach die erſte Gniguna 3 dur c
folgende unbeſtimmte Groͤße:
pynR-t † ayH-2 † byn-3 † cyn-4 † 1c.
die zweyte aber durch folgende:
Pym-I † Ap m-2 † Bym-3 † Cym 4 Pc.

Macht man hierauf die einzelnen Glieder, welche aͤhnliche

Poteſtaͤten von y enthalten, einander r gleich, ſo entſtehen
folgende Gleichungen: WZ
Pp = P p
Pa † Qp = pA † q P
Pb † Qa † Rp = p B † qA † r P
Ppc T Cb f Ra † Sp = pC f 4 † rA † sP
ꝛc.

Solcher Gleichungen erhaͤlt man aber, wenn man die erſte

Pp-= Pp mitrechnet, an der Zahl m †n, und wenn man
daraus die willkuͤhrlichen Buchſtaben A, B, C, ꝛc. a, b c, 2c.
beſtimmt, ſo bleiben in der letzten Gleichung bloß die Buch⸗
ſtaben P, Q, R, ꝛc. p, q, r, ꝛc. zuruͤck, und es geſchiehet
daher auf dieſe Art dem Verlangten ein Genuͤge.

§. 485.

Es laͤßt ſich aber dieſe Beſtimmung der witkkͤhrlichen

Buchſtaben leichter bewerkſtelligen, wenn man die Haͤlften
Bb4 . ciner

„

392 Zweytes Buch. Neunzehntes Capitel.

einer jeden Gleichung neuen unbeſtimmten Groͤßen 2, 6,

deutlich werden wird.

Es ſeyen dieſe beyden Gleichungen gegeben:
Py2 † Qy † R= o
II.
Py3 1† 4y= † ry † sS = o

andere durch Py † A, ſo bekommt man
pp = F p
Pa † Qp = pA † qP = = .
Pb † Qa † Rp = qA † r? = £
QOQb † Ra = rATSP
R b = s A

ebergeht man nun die erſte identiſche Gleichung, ſo er⸗
haͤlt man aus der zweyten

„

W

—

A . — —

und
6 = — A 1 -cp
P P
ſo daß, wenn man dieſen Werth von s gebraucht,
1= 24 – 44 4½ 20 Rr
Ppp pT pPz I Pz FP

oder

„, ꝛc. gleich ſetzt, wie ſolches durch das folgende Ben i

Man multiplicire die erſte durch pyz † ay † b, und die

Wde

Hr

Von den Durchſchnitepunkten der Curven, õ

b =

2 q — Ob) (Qbz — Pada) Cr-- R
Pa p b⸗ 1—
wird. Durch die Subſtitution dieſes Werthes aber findet
man aus der vierten Gleichung
2OK̈— Qp) Q◻¾ Pq — Qp) (Qp † Pq) 4 QAPr -— Rp)
P2 p H PZp R 5

24— e — er — os
P b p bp
oder, wenn man mit Pap multiplicirt,

. .

„Q(Pq — Qp) † a« P(Rp — Pr) — Q(Pq — Qp) (Pq † Qp) †

PQ Pr — 2Rp) † (P3qr — P53pS = 0
Es wird alſo
PzOq — Qspp— Pz Opr † 25ORpa-— Ps qr à Pi s
PQq —– QöpTPRp — Per
Die letzte Gleichung aber giebt
a R(Pq — Cp) RK — Qabe) RCPDr — Rp)

ℳℛt —

Pzp paag pyp
* 8 Pqs
P Pp

und daraus findet man
P2R2 — QiRP2 — P2Rprf PRapz- — Ps
PRq — QRp —– Ps
Dieſer doppelte Werth von « giebt nun die geſuchte Glei⸗
chung, die am Ende eben die Form giebt, die wir oben
8. 480 ſi⸗ eben dieſen Fall gefunden haben

Zwanzigſtes Capitel.
Von der Conſtruction der Gleichungen.

9§. 486.

Die Unterſuchungen des vorhergehenden Capitels uͤber
die Durchſchnittspunkte der Curven gebraucht man vor⸗

zuͤglich bey der Conſtruction der hoͤhern Gleichungen.

Denn ſo wie wir, wenn zwey Curven gegeben waren, eine
Gleichung fanden, deren Wurzeln die Durchſchnittspunkte
zu erkennen gaben: ſo laſſen ſich auch umgekehrt die

Durchſchnittspunkte zweyer Curven zur Beurtheilung der

Wurzeln der Gleichungen benutzen; und dieſe Methode

iſt insbeſondere dann ſehr vortheilhaft, wenn die Wur⸗

zeln einer Gleichung durch Linien ausgedruckt werden
ſollen. Denn hat man die beyden Curven, die zu dieſer

Abſicht noͤthig ſind, beſchrieben, ſo laſſen ſich die Durch⸗

ſchnittspunkte ſehr leicht bemerken; und faͤllt man aus ih⸗

nen auf die Axe Applicaten herab, ſo zeigen die Abſciſ⸗

ſen die wahren Wurzeln der Gleichung an. Wenn aber
die oben erwaͤhnte Unbequemlichkeit ſtatt findet, ſo geben
zwar alle auf dieſe Art gefundene Abſeiſſen Wurzeln an,
allein es kann auch ſeyn, daß die Gleichung noch mehr
Wurzeln hat, als man durch eine ſolche Conſtruction
kennen lernt, S V

Knis
Glechun
Aeund
RArr
ls di⸗
ecten
ſen der
mn de
Nacunn
66 Durch

Che

ten bend

erforder
deren
tlori ani

frderlch
E,EI

da We

Ulngen.

bpitets in
man bob⸗

Nötinn

e ſtucin

.

Von der Conſtruction der Gleichungen. 3 95

F. 487.

Wenn alſo eine algebraiſche Gleichung geg geben iſt,
welche die unbekannte Groͤße X enthaͤlt, und die Wurzeln
derſelben beſtimmt werden ſollen, ſo muß man zwey Glei⸗
chungen zwiſchen den beyden n veraͤnderlichen Groͤßen und „

ſuchen, die ſo beſchaffen ſind, daß man daraus durch die

Wegſchaffung der Appl cate y iene Gleichung bekomme.
Iſt dieſes geſchehen, ſo beſchreibt man die in dieſen beyden
Gleichungen enthaltenen Curven uͤber einer gemeinſchaftlichen
Axe und fuͤr denſelben Anfangspunkt der Abſeiſſen, und bemerkt
die Punkte, in welchen ſie ſich ſchneiden. Faͤllt man nun
aus dieſen Durchſchnittspunkten auf die Axe ſenkrechte Ap⸗
plicaten herab, ſo ſtellen die Abſciſſen in der Axe die Wur⸗
zeln der gegebenen Gleichungen vor. Auf dieſe Art findet
man die wahren Werthe aller Wurzeln der gegebenen
Gleichung, wofern nicht dieſelbe etwa mehr W Wurzeln hat⸗
als Durchſchnittspunkte da ſind.

§. 488.

Ehe ich aber von der Art und Weiſe rede, die gedach⸗
ten beyden Curven, welche zur Con iſtruction der Gleichung
erfordert werden, zu finden, wollen wir die Gleichungen,
deren Aufloͤſung dieſe Curven nothwendig macht, a Poſte⸗
riori unterſuchen. Zuvoͤrderſt moͤgen die zur Aufloͤſung er⸗
forderlichen Linien die ſich in M ſchneidenden geraden Linien
E M, F M, Fig 97, ſeyn. Man nehme die gerade Linie
EF zur Axe, und den Punkt A in ihr zum Anfan gépunkte
der Abſceiſſen an, und die aus ihm ſenkr recht aufgerichtete
gerade Linie AB C ſchneide die E M in B und d die FM in C.
NRun ſey
A E = a; AF = b; AB = c; à C= d

und

396 Zweytes Buch. Zwanzigſtes Capitel.
und dabey ſetze man die Abſciſſe A P= X, Un die Applicate
PM == y. Dann iſt fuͤr die erſte gerade Linie E MAsr
2: c = à T x: y; oder ay = c (à 1 x)
und fuͤr die andere F M ZM
bp: d = b — x: yp; oder by == a(b — x).
Schafft man nun aus dieſen beyden Gleichungen y we,
ſo bekommt man
be 2) = adö(b — 2)
vder L
abd — abe ab (d — e)
= bc † a d be † ad

Es laͤßt ſich alſo vermittelſt des Durchſchnittspunkts zweyer

geraden Linien die einfache Gleichung
= = ab (d — 2
conſtruiren, auf deren Form man a ale einfache Gleichun⸗
gen ohne Ausnahme uruͤcbringen kann.

§. 489.

Nach den geraden Linien iſt der Kreis am leichteſten zu
beſchreiben, und daher wollen wir ſehen, was fuͤr Glei⸗

chungen vermittelſt der Durchſchnittspunkte einer geraden

Linie und eines Kreiſes conſtruirt werden koͤnnen. Es ſey
alſo, Fig. 98, nachdem man AP zur Axe und den Punkt
A zum Anfangspunkte der Abſeiſſen angenommen hat, die
gerade Linie E M beſchrieben worden: ſo iſt, wenn man

AE = a; A5 = b; AP= ; PM =y
a : b, = à † x : und folglich ay = b (a † X)
die Gleichung fuͤr die gerade Linie. Ferner ſey der Halb⸗
me ſſer des Kreiſes CM = c, und, nachdem man aus dem
. Mit⸗

My

Vwvie .
A

,i
e=I
Nan gin

.

Pedn
echung

(C=X

Die D
Aucha

Nof,

n ſich

Wute 1

D
enthalt
ſtion )

nkts r

Glidun

ictiſenin
fte Gei
er Rerode
gen. Ei
PA unt
ht, 8
n mN

Von der Conſtruction der Gleichungen. 397

Mittelpunkte deſſelben C auf die Axe die e perpenhiculaͤre

Linie CD herabgefaͤllt hat,
AD = f; C(D = g; und folglich DP= x –— f; und
PM — CD = y— g.

Da nun wegen der Natur des Kreiſes

CM= = DP f† (PM — CD) 2
iſt, ſo iſt die Gleichung fuͤr den Kreis folgende:
cc =xx — 2x †– ff yy — 2gy T†' gg = ( — f) † G — 2g) ².

Nun giebt aber die Gleichung fuͤr die gerade Linie

b 1 br
44
daher denn
— (b — 2) bx b
7— ⅛ = = — 8 1 =

wird; und ſetzt man dieſen Werth von y in die andere

Gleichung „ſo bekommt man

2 b C — g) x bbr

e -akiz — La

a HM
oder
† a a a2a beb — 8) t aa — g⸗
XX
† bb — 2aäaf“ *4 aaff = o.
— aacc

Die Wurzeln dieſer Gleichung findet man alſo durch die
Durchſchnittspunkte einer geraden Linie und eines Kreiſes,

ſo daß, wenn man aus dieſen Durchſchnittspunkten M und

m nach der Axe die Perpendikel M P, mp herabfaͤllt, die
Werthe von x durch A und Ap ausgedruckt werden.

4

§. 490.

Da i in dieſer Gleichung alle quadratiſche Gleichungen
enthalten ſind, ſo laͤßt ſich daher eine allgemeine Conſtru⸗

ction der quadratiſchen Gleichungen ableiten. Es ſey

Nem⸗

398 Zweytes Buch. Zanzigſtes Caniet

. nemlich folgende quadratif ſche Gleichung
AXX -† B X † c =
gegeben, die man denn zuvoͤrderſt auf die obige Form auf
die Art bringen muß, daß die erſten Glieder uͤbereinſtim⸗
P
men, alſo durch die Multiplication mit 1 b.
B(aa 4 bb LAa † bbN
A A
Setzt man nun die uͤbrigen Glieder gleich, ſo wird
2A ab b — g) — 2Aa af = B (a a † b b)

(aa † b by XX T 4

und alſo
14 B (aa † bb)
AàaAf= b(b — g) — .
b — 9 2Aa4
Da nun
A — g) 2 4. aa ff — aaec = S
iſt, ſo wird
B b (b — b b
((aa † bb) (b — g) à — — c 4 †
35 (aa † bbz Qraa † bb)
— — aacc =e —
4 AZaz A
uund alſo

b — g)2 AQAa H AAZa= 1

Aacc
22 aa † bb
fol z.

Bb aacc 0 82
b — = — (ee t . —

Es bleiben alſo noch drey Groͤßen a, b und c unbeſtimmt,

aace C
aa db A

. —

doch muß man dieſelben. ſo annehmen, daß⸗

Rſer
eke

en

Veſrei
ſeſcer

Auchſt

gehrbene

tin ein⸗

Se.

deriifin

meſſer c =

S S

Von der Conſiruction der Gleichungen. 399

82
— — eine poſitive rsze wird, weil ſor nſt b — g = AB
4

— CD, und alo Pi imaginaͤr ſeyn wuͤrde.

§. 491.
Es hindert uns alſo nichts, b = o zu ſetzen, und
dann iſt

BBY4ACQNAMD. — B
g = V (cc — MZ

1, ¹ 2 A

Da ferner die gegebene Eleüchung Axx † Bx † C = o keine

reelle Wurzeln hat, urtirn nicht B B groͤß er als 4A C iſt: ſo

— 4A G
iſt in dieſem Falle . eine poſtive Groͤße; und
ſetzt man derſelben ec gleich, ſo daß c = J 5 249

iſt, ſo wird auch g = o, und a faͤllt gaͤnzlich aus der Rech⸗
nung weg. Es faͤllt alſo die gerade Linie EM in die

Alxe AB, und der Mittelpunkt des Kreiſes4 C muß in dem

Punkte D angenommen werden, wenn AD = —2 iſt.

Beſchreibt man aus Mittelpunkte mit dem dal⸗
V GB B — 44C)
22A
Durchſchnittspunkte deſſelben mit der Axe die Wurzeln der
gegebenen Gleichung an. Damit aber hier keine Conſtru⸗
ction einer Irrational⸗ Formel noͤthig werde, ſo ſetze man

einen Kreis, ſo zeigen die

g = c — daß ec — 2ck . XE= cc —
A 2A 4AA
B B - 4AC
AAA
werde. Dann iſt
— k K † BB — 4AC FB — 4 à C —

4 KkA

0 einen Kreis, deſſen Halbmeſſer = =

400 Zweytes Buch. Zwanzigſtes Capitel.

Es bleibt alſo die Beſtimmung der Groͤße k unſerer Will⸗
kuͤhr uͤberlaſſen, und hat man dieſelbe auf irgend eine Art
angenommen, ſo muß, da die gerade Linie CM In die Axe

faͤllt, der Kreis auf folgende Art beſchrieben werden. Man

— B . . .
nehme, AD = 21 mache die ſenkrechte Linie cC D =

8B — 4à C — k K
2 A k

, und beſchreibe aus dem Mittelpunkte
BB — 4 A k
4 ² M . iſt.

Die Durchſchnittspunkte dieſes Kreiſes mit der Axe zeigen

die Wurzeln der gegebenen Gleichung an. Wenn man aber
— B
k — — B, und, nachdem man A D = genommen, L

CD = — F gemacht hat, und der Halbmeſſer des aus C zu

— B B T 2AC

beſchrebbenden Kreiſes & = — = — † in:

2AB

ſo iſt daher auch der Halbmeſſer des Kreiſes = = AD . CD;

und dieſe Conſtruction iſt fuͤr die Pragie die bequemſte.

§ß. 49n. 2

Nun wollen wir zwey ſich ſchneidende Kreiſe, gig. 99,

betrachten, und fuͤr den erſten AD = a, CD = b, und
den Halbmeſſer CM = c ſetzen, wo denn, wenn man
AP= x, und P M = „ macht,

PDP= a — x, und CD — PM = b —
und wegen der Natur bes Kreiſes

xxX-— 2 ax † ia †yy — 2 by bb= ce

wird. Auf aͤhnliche Arr ſey fuͤr den andern Kreis Ad=f;
4c = g, und ſein Halbmeſſer c M = h, ſo iſt

XX— 2 f f fl † yy — 2 gy T gg = h h

Zieht

”

Ziehtn
ſo bei
ll⸗

A nun
geronm
14-
Gte

Wahs
gfihn

lf vne
us, da

dem
hktuir.

bin zve
fnratict
Rak ec⸗
we
dreſe
ſichden
Deſtin

KEule

guonſe,⸗

ie de,

e=h 0

„ nunn N

N

Von der Conſtruction der Gleichungen. 40 r
Zieht man nun dieſe beyden Gleichungen von einander ab, .
ſo bleibt — “
2 ((— a) † aa — ff=— 2 b T g)y T† bb gg = cc= hh
uͤbrig; und es iſt demnach

1 bb 1- ee h 2

=?ÿDU. und dagen
bb † 2 bg — aa † ff † gg † ec — bh † 2 (a — f) x
20 T 6
und
. — = 2 (b † g) — 2 (b † g
2 (b † g)

b — y=

Da nun (a — x)- † (b — ) ² = cc iſt, ſo wird nach vor⸗

genommener Subſtitution
T4(a — f) 2 — 4 (à † †) (b † g9) 2 † b . g) a

† 4 (b 1 g 2 — 4(a — f) (aa -ff) x † 2 (aa — cc) (b 1g2

1 4 (àa — †) (cc-— bb) † 2(ff-— hh) (b † g)*
† (aa = cc-— ff — hh) 2
Vermittelſt dieſer Gleichung laͤßt ſich die vorhin §. 490 an⸗
gefuͤhrte Gleichung, nemlich
AXX † Bx † c =
auf unzaͤhlige Arten conſtruiren; und ugleich erhelle dar⸗
aus, daß keine Gleichung, die zu einem hoͤhern Grade
als dem zweyten gehoͤrt, durch zwey ſich ſchneidende Kreiſe
conſtruirt werden kann, weil ſich zwey Kreiſe in nicht mehr
als in zwey Punkten ſchneiden koͤnnen. Da aber eben dieſe
quadratiſche Gleichung, vermittelſt einer geraden Linie und

eines Kreiſes, welche ſich ſchneiden, conſtruirt werden kann,

ſo verdient dieſe Conſtruction vor derjenigen, wozu zwey
Kreiſe erfordert werden, mit Recht den Vorzug; es muͤßte
ſich denn in einigen einzelnen Faͤllen von ſelbſt eine leichte
Beſtimmung der Linien a, b, f, 3,, und h darbieten.

Eulers Einl. in d. Ansled. Unendl. ll. O. Cce 8 493

4
7 S

402 Zweytes Buch. Zwanzigſtes Capitel.

. 493. m
etzt werde ein Kreis von einer Parabel geſchnitten. 1,,)
Es ſey nemlich, nachdem man, Fig. 100, aus dem Mittel⸗ puntt

punkte des Kreiſes C auf die Axe AP die ſenkrechte Linie
CD herabgefaͤllt hat, A D = a, CD = b, und der Halb⸗

meſſer C M = c; ſo iſt die Gleichung zwiſchen den rechttꝛ: Vͤ
winkligen Coordinaten AP = x, P M = y fuͤr den Kreiis e,
(x — a) 2 † (y — b) 2 = c c. uchnmn
bie⸗

Die Axe der Parabel FB aber nehme man auf der ange⸗
nommenen Axe Ab ſenkrecht, und dabey ſey A E = f,
EF = g, und der Parameter der Parabel = 2h: ſo iſt,
wegen der Natur der Parabel,
EP2 =— 2 h (5 F † P M) J’ßMD 144—
oder, algebraiſch ausgedruckt,
(X — f)2 = 2 h (g T p)

und alſo 4 ffiie
— U S ucft
2h “
3 und ((Ehelon,
(X — f†) 2
— b = — (b
SJ”JMU „— b 4 1 .
4 Setzt n man dieſen Werth i in die erſte Gleichung, und ſcafft
daaraus y weg, ſo wird
“ Ee LCLILOG—
oder . “
”Ms 3 “ 1 fa. R
“ +† 6 ff — 4–2 — 4 ffh (b † g)

XA — 4 fe 3 — 4 hb g)x2 †4fhb † g)x † ahh(b- g)2 =
† 4hn —s8 ahn fAaahh
⸗ — 4CChh
.B und

geſchriten.

en Nithd

lachte Nre
N he⸗

n den ee.
den Kres

Weange⸗
M= 3

——

g, ud e

filbtg)
ore
hh

l
Und

ſ⸗ bekommt man folgende Gleichung:

Von der Conſtruction der Gleichungen. 403

und die Wurzeln dieſer Gleichung ſind die Abſceiſſen AP, Ap,

Ap,. Ap, daher denn die Applicaten durch die Durchſchnitts⸗
punkte M, m, m, m geben.

§. 494.

In dieſer Gleichung befinden ſich ſechs beſtͤndige Groͤßen,
a, b, c, f, g, und h, davon aber zwey b †g fuͤr eine zu
rechnen ſind, ſo daß man nur fuͤnfe behaͤlt, wegnn man
b† g = k ſetzt. Macht man nemlich
CD T† EF = b † g = k

fA
† 6 ff — 4 f3 — 4ffhk
X4 — 4fx 3 — 4 hkXX † 4 fhkx † 4hhkk = 0
+† 4hn — gahh † Aaahh
— A4cCcChh

7.

Auf dieſe Form laͤs zt ſich aber jede biquadratiſche Sleichung

zuruͤckfuͤhren. Denn es ſey die Gleichung
X4 AXxXx3 † BXX — CXT D = O

gegeben, ſo iſt, wenn man vergleicht,

4f = A; oder f = g A
6 f. — 4 hk Ahh=— B, oder ½AA— — 4hk 4hh= B
und daher wird

— 34 A a — B.
32 h 4 b
4 f3 — 4 fhk † Sahh = C
oder
7743 — 4 — Ahh † Ah f Sahh = o
alſo

Endlich iſt
Cc 2 (&S

2 hk) 2* 1† 4aahh —Acehbæb.

und
B A A
f. — hk = ¹ — 2hh — 4
und

AAN Ah AB C
2 a h = — — – † — — — † —–.
128h 4 16 h 4h
Subſtituirt man nun dieſe Werthe, ſo bekommt man eine
Gleichung, die c und h enthaͤlt, die man deswegen aus

ihr auf die bequemſte Art beſtimmen muß, ſo nemlich, daß

jede dieſer Groͤßen einen reellen Werth bekommt.

=M

8. 495.

Da aber aus jeder biquadratiſchen Gleichung das zweyte
Glied leicht weggebracht werden kann, ſo wollen wir an⸗
nehmen, daß ſolches bereits geſchehen ſey, und daß alſo
folgende Gleichung
X4 £ † BxX — Czx † D = o
conſtruirt werden ſolle. Hier iſt nun—
te ; k —— h — K =

und weil

IO

2 hkl — ff= 2 h h — 2 und 2 ah =
iſt, ferner,
Aha- aBhh 1BB f — 4 cchh= D

Hieraus wird

64ccha CCT 4BBhh — 32 Bh † öGAhe — 16 Dhh

und alſo
Schh= = VGAhhG — 4hh);2 † CC — 16Dh)
Da

aml

Kucze⸗

Dieſe
og h

om ene
wegen as
penlg N
t.

as ſvoe

i⸗

Von der Conſtruction der Gleichungen. 405

Da aber insbeſondere darauf zu ſehen iſt, daß ſonoßi . als

h reell ſey, ſo ſetz man

ſo wird
CC — I6Dhh † 8Bhhq —– 32 h4 q — 4hhqq = 0.

Damit alſo dem Verlangten ein Genuͤge geſchehe, muͤſſen

zwey Faͤlle unterſchieden werden, der eine, wenn D eine
negative, und der andere, wenn D eine te poſitive Groͤße
iſt. Es ſey alſo

D eine poſitive Groͤße = = † EE, ſo daß folgende Gleichung
zu conſtruiren iſt:
Xx4 X † BX2 — Cx † EE = o.
h h — B
Man ſetze zu dieſer Abſicht q = o, daß c = 1—
ſey, ſo wird

hh =

d h = –—;

16 E E
folglich
CC= 4 B E
4CE
und
k = c a = 2 und fF= 0G
II.
Wenn aber D negativ, und = — EE iſt, ſo daß folgende
Gleichung ernſteirt werden muß
* † Bx2 — Cx — EE = 0
ſo wird
64 cchaà = CC † Ahh (4 h h — B) 2 F 16 E Ehh.
Dieſe Gleichung giebt einen reellen Werth fuͤr c, man
mag h annehmen, wie man will; denn es wird

N „
E c 3 Cc —
*

—

E

406 Zwepytes Buch. Zwanzigſtes Capitel.

V CC 1 Ahh hh — B) 2 † 16EEhh)
e Shn-— .
und h fann nach Gefallen angenommen werden. Man
nehme es alſo allemal ſo, daß man c leicht conſtruiren
fann; und iſt dies geſchehen, ſo wird, wie vorhin

AE = f = o; CD † EF= K = 4R — 3: und
“ 4 h
D = a = —
A ghh-
Setzt man K = o, ſ ergiebt ſich die Conſtruction der
cubiſchen Gleichung

Xx3 * † BxX — C = 0
und auf dieſer Conſtruetion beruht Backers bekannte Regel:

5§. 496.

Nun wollen wir uͤberhaupt zwey Linien der zweyten

Ordnung oder zwey Kegelſchnitte nehmen, deren Glei⸗

chungen ſich auf eine gemeinſchaftliche Axe und auf einer⸗

ley Anfangspunkt der Abſciſſen beziehen, und folgende
ſeyn moͤgen:
ayy † byx † cxx † dy † cx † † = o
yy † syX † YXX † y † ⸗xX † = o.

Schafft man hieraus nach der oben erklaͤrten Methode y
weg, welches geſchiehet, wenn man dieſe Gleichungen mit
den i im 477ſten betrachteten, nemlich
P † Qy † Ryy = o
und
p †T qy † ryy = o
vergleicht: ſo werden P und p Funktionen der zwehten
Ordnung von X; Q und q Funktionen der erſten Ordnung,

und Rund beſtaͤndige Groͤßen; und daher erkennt man, daß

die durch die Elimination hervorgebrachte Gleichung eine
biqua⸗

Henat
Odor
Uien,
tochken
nochen:
Nung int

G
ſien, die
ten N
flgender

ſſebe⸗

Apktion

briſe 9
giinden
nad
hiatng
nen E
ſechſen
lne li⸗

4 Von der Conſtruction der Gleichungen. 407

Shd biquadratiſche ſeyn wird. Es koͤnnen demnach durch zwey
“ ſich ſchneidende Linien der zweyten Ordnung keine Glei⸗
en. Non chungen eonſtruirt werden, die zu einem hoͤhern, als dem
Conſteuien vierten Grade gehoͤren; aber von dieſen Gleichungen wiſ⸗
hin ſeon wir, daß ihre Conſtruction vermittelſt des Kreiſes und

der Parabel zu Stande gebracht werden kann. Eben

dieſes laͤßt ſich auch aus der Natur der Linien der zwey⸗

„ ten Ordnung ſchließen, weswegen dieſelben von einer gera⸗

den Linie in zwey Punkten geſchnitten werden koͤnnen.
ſeution de Hiernach koͤnnen zwey gerade Linien die Linien der zweyten
Ordnung in vier Punkten ſchneiden; und da zwey gerade
Linien, wenn man ſie in Verbindung mit einander be⸗
nte Nege: trachtet, eine Art der Linien der zweyten Ordnung aus⸗
machen: ſo erhellet, daß ſich zwey Linien der zweyten Ord⸗
nung in vier Punkten ſchneiden koͤnnen.

der egen. .
deren beek 497.

N f ien Sollen, um Dutezſchnittspankte zu ethalten, zwey Li⸗
d We nien, die eine von der zweyten und die andere von der drit⸗

ten Ordnung genommen werden, und ihre Gleichungen
20 folgende ſeyn:
20 P † Qy † Ryy = 0
n Nehe — FFrqaytr7y Tsyè o
ihnmnn ſo iſt ?P eine Funktion von zwey Dimenſionen von x, Ceine

„

Funktion von einer Dimenſion, und R eine beſtaͤndige

Hroͤße; dagegen iſt p eine Funktion von drey Dimeſionen,

q eine Funktion von zwey Dimenſionen, r eine Funktion von

einer Dimenſion, unds eine beſtaͤndige Groͤße. Sieht man

hierauf bey der durch die Elimination nach § 480 gefunde⸗
nen Gleichung zuruͤck, ſo erhellet, daß dieſe Gleichung zum
ſechſten Grade gehoͤren muß; und es koͤnnen daher durch
eine Linie der dritten Ordnung, welche von einer Linie der
Cc 4 DW zwey⸗

er wann
en Oehnnng
int mon⸗ S
ſichnnd e

408 Zweytes Buch. Zwantiſtes Capitel.

zweyten Ordnung geſchnitten wird, keine G Gleichungen con⸗
ſtruirt werden, die zu einem hoͤhern Grade als dem ſechs⸗
ten gehoͤren. Eben dieſes erkennt man aus der RNatur ei⸗
ner jeden Linie der gedachten Ordnungen. Denn da die
Linien der dritten Ordnung von einer geraden Linie in drey

Punkten geſchnitten werden, ſo werden ſie von zwey ge⸗
raden Linien, die zuſammengenommen eine Linie der zwey⸗
ten Ordnung ausmachen, in ſechs Punkten geſchnitten.

—

5 498.
Wenn man die oben erklaͤrten Eliminationen, und die

vorhin gebrauchten Schluͤſſe von den Durchſchnittspunkten,

welche von geraden Linien gemacht werden, auf die hoͤhern
Ordnungen anwendet, ſo iſt klar, daß durch zwey ſich

ſchneidende Curven, wenn ſie zu der dritten Ordnung ge⸗

hoͤren, nur Gleichungen, die den neunten, und wenn ſie

zu der vierten⸗ Ordnung gehoͤren, nur Gl eichungen, die
den ſechszehnten Grad nicht uͤberſteigen, conſtruirt werden

koͤnnen. Ueberhaupt koͤnnen durch zwey ſich ſchneidende
Linien, davon die eine zur Ordnung m, und die andere zur
Ordnung n gehoͤrt, alle Gleichungen conſtruirt werden,

welche nicht uͤber die Ordnung min hinausgehen. So

braucht man, um eine Gleichung vom hundertſten Grade

–—

zu conſtruiren, entweder zwey Linien der zehnten Ordnung, “W
oder eine Linie der fuͤnften und eine Linie der zwanzigſten
Ordnung, ꝛc. wenn man die Zah l 100 in zwey Faktoren

aufloͤſet. Wen aber die hoͤchſte Poteſtaͤt der zu conſtruiren⸗

den Gleichung eine Primzahl, oder eine ſolche Zahl iſt, die
keine bequeme Faktoren zulaͤßt: ſo muß man dafuͤr eine
andere groͤßere Zahl ſetzen, die in bequeme Faktoren zerfaͤllt

werden kann; denn die beyden Curven, wodurch ſich Glei⸗

Jungen von h9 ern Graden conſtruiren laſſen, koͤnnen auch

1

.
E

Lr e
Urans
Glech
ditein

(Mu,

bKerice
ſaed
etn 1

foncker
iffechſten
Ctende g

re

wenn

Duhſ
W,

plie
eifrn
Gelt die
nigich,
wann d
Nnd
Con

Ungen ten

denſtn

Ralur iͤ⸗
denn da de

nie in

1 zwen ge
der zwey⸗
hiten.

nen, NN

itt ttspuntten
die e
Ru e
0 venn ſe
hagen, die

Neden

Tas
vunſcer
ttten

4.
7
hnimmkn

Gleichung in der Form

Von der Conſtruction der Gleichungen. 40⁰9

zur Conſtruction der Gleichungen der niedrigern Grade ge⸗
braucht werden. So kann man zur Conſtruction einer
Gleichung vom z0 ſten Grade zwey Curven nehmen, davon
die eine zur ſechſten und die andere zur ſiebenten Ordnung
gehoͤrt, weil man dadurch eine Gleichung vom zwey und
vierzigſten Grade conſtruiren kann; und dieſe Conſtruction
iſt allerdings einfacher, als wenn man eine Curvbe von der
ritten und eine von der dreyzehnten Ordnung brauchen
wollte.
K. 499.
Hieraus erhellet, daß ſich eine jede Gleichung auf viele,
ja auf unzaͤhlige Arten durch zwey einander ſchneidende

Curdven ſo conſtruiren laͤßt, daß man ihre reellen Wurzeln

daraus erkennen kann. Aus dieſen unzaͤhligen Arten muß
man aber jedesmal diejenige waͤhlen, die ſowohl durch die
einfachſten als auch zum Entwerfen leichteſten Curven zu
Stande gebracht werden; und insbeſondere hat man dar⸗
auf zu ſehen, daß man vermittelſt der Durchſchnittspunkte
alle reelle Wurzeln erhalte, welches ſtatt ſinden wird,
wenn man ſolche Curven waͤhlt, die keine imaginaͤre
Durchſchnittspunkte haben. Nun haben wir oben geſe⸗
hen, daß dergleichen nicht ſtatt finden koͤnnen, wenn die
Applicate y in der einen Gleichung fuͤr die Curven einer
einfͤrmigen Funktion von xX gleich iſt; denn alsdann iſt es,
weil dieſe Curve keine imaginaͤren Applicaten hat, un⸗
noͤglich, daß imaginaͤre Durchſchnittspunkte entſtehen,

wenn auch die Anzahl der imaginaͤren Applicaten der ane⸗
dern Curve noch ſo groß iſt. Man muß daher bey dieſer

Conſtruction die eine Curve allemal ſo annehmen, daß ihre

P † Qy = o
enthalten iſt, wo P und O Funktionen v von X bedeuten.
Ec sSs . 500.

410 Zweytes Buch. Zwanzigſtes Capitel.

Iſt alſo eine Gleichung gegeben, ſo ſuche man eine
Curve, welche durch die Gleichung
p † Qy = 0

ausgedruckt wird. Und da die Gleichung fuͤr die andere

Curve ſo beſchaffen ſeyn muß, daß ſich daraus, wenn man

„ „ — P e ⸗ .
in ihr 5 fuͤr vy ſetzt, die gegebene Gleichung ergebe: ſo

kann man aus der gegebenen Gleichung auch die Glei⸗
cung ſur die andere Curve finden, wenn man darin y
fuͤr —— ſetz. Iſt z. B. folgende Gleichung gegeben:
ar, Bas t cx t D s
ſo nehme man fuͤr die eine Curve die durch die Gleichung
ay = XX † bx
ausgedruckte Parabel; und da daraus
XX = à y — bX
wird, ſo ſetze man dieſen Werth, ſo oft es beliebt, in die
gegebene Gleichung. Alsdann wird
X4 =— a ayy — 2a bxy † bbXxXx
Ax3 = † A'aà Xy — Abxx

14

und man bekommt demnach folgende Gleichung de der zwey⸗

ten Ordnung:
aayy † A 2 )a) † (B — Ab † bb) xX † cx D =
deren Durchſchnittspunkte mit der Curve a y = XX †† bx die
Wurzeln der gegebenen Gleichung anzeigen werden,

„ K§K. 501. .

Da dieſe beyden Curven durch willkͤhrtiche Beſtim⸗

mung der beſtaͤndigen Groͤßen a und b auf unzaͤhlige Arten
veraͤndert werden koͤnnen, ſo aͤßt ſich dadurch eine noch
weit

„

R0—

weit
lſten g

GNotN
ine noc⸗
he der
der eiſte
Caeigen
ſructio

ſen.

U; ſ
ſegatid,
iſent

—

man eite

die andere
wenn mon

ergebe: ſo
V Gei⸗

un War

egeben:
0

Geichung

ch, ide⸗

1S*.
11 be die

e Veſin⸗
ige Nttin
ne c
veit

—

Von der Conſtruction der Gleichungen. 411

weit groͤßeree Verſch edenheit erhalten. Denn da aus der
erſten quadratiſchen Gleichung
XX — ay † bx = 0
iſt, ſo hat man auch
aCXX — aacy T abcx = o
und addirt man dieſes zu der letzten Gleichung, ſo entſteht
eine noch viel weiter ſich erſtreckende Gleichung fuͤr eine
Linie der zweyten Ordnung, deren Durchſchnittspunkte mit
der erſten eben ſo gut die Wurzeln der gegebenen Gleichung
anzeigen. Die beyden Curven, wodurch man die Con⸗
ſtruction zu Stande bringen kann, ſind nemlich
à y = XXK † bx V
II.
aayy † a (A — 2 b) xy † (B — Ab † bb ac) xx †
a acy † (C † abe)X † D = o
und dieſe letzte Gleichung kann ſo eingerichtet werden, daß
ſie jeden Kegelſchnitt unter ſich begreift. Man darf nur

auf die Groͤße

AA — 4B — 4 a c
ſehen. Denn iſt dieſe poſitiv, ſo iſt die Curve eine Hyper⸗
bel; iſt ſie = o, ſo iſt die Curve eine Parabel; und iſt ſie
negativ, ſo iſt die Curve eine Ellipſe. Ein Kreis aber wird
dieſe andere Curve ſeyn, wenn
b = à¾A; und a a = B — 4½ AA † ac,

oder
A A B
C = 2à † — — —
4 a
iſt; denn alsdann iſt die Gleichung fuͤr denſelben
AA a
aaVVy TaaXxX — (as † — Ba)j † (C 4 22
A Z
† 7 — 4. 5 † D =

oder

412 Zweytes Buch. Zwanzieſtes Capitel.

oder
4 AA A
— — — — —2£ —,...
(y Sa 2. †* (X † † .
A 3 A B
k — — — — — ) ²⁸
16a 2 4 àa a
⸗ —. — ——
65 † 12 2 1 1 1 F* TSar
AB D
— 2 —— —
4 à à a a

und dieſes Glied das Quadrat des Halbmeſſer des Kreiſes

Auf dieſeg Art hat man alſo aus den Kegelſchnitten allein
eine unzaͤhlige Menge Curven, die, von der Parabel
Ay= XxX † bzx geſchnitten, durch ihre Durchſchnittspunkte

zu den Wurzeln einer gegebenen Gleichung fuͤhren. Was

man von dieſen Cueven auch fuͤr eine nehmen mag, ſo
wird doch die Parabel in denſelben Punkten geſchnitten, ja

es ſchneiden ſich alle jene Linien einander in denſelben
Punkten. Man kann daher auch aus dieſen unzaͤhligen
Curven, wenn man die vorhin gedachte Parabel uͤbergeht,
irgend zwey nach Belieben annehmen, dieſelben uͤber einer

gemeinſchaftlichen Axe beſchreiben, und ſo durch ihre Durch⸗
ſchnittspunkte die Wurzeln der gegebenen Gleichung kennen
lernen. Es kann demnach jene Gleichung conſtruirt wer⸗

den, entweder durch den Kreis und die Parabel, wie wir
ſchon oben geſehen haben, oder durch zwey Parabeln, oder
durch eine Parabel und Ellipſe oder Hyperbel, oder durch
zwey Ellipſen, oder zwey Hyperbeln, oder durch eine El⸗

lipſe und eine Hyperbel. Roch groͤßer aber wird die Man⸗
nigfaltigkeit dieſer Conſtructionen, wenn man dazu auch
die Curven der hoͤhern Ordnungen anwendet.
MV . §K. 503.

yrnn

und de
die Cu

(e lini

„
1

m u.
fien de
der de

Ctei
der ee
lan, 6
1 deri

Pcnd

4

n, V
Punkte
gen wa
bekomn
brode,

t.

+— 1 —

1 —

ae

Gnicen cei

der Parch

Gnirespunkt

ten. Vas

a wagſ

chritten, t
in denſehen

j Anzifjen

da thagehe
en her en
cihrdut
dichung re
ruit d
el, le 4
abeln, ſder
ſder durc

ch ene

id die Nun/
doſe

Von der Ganfkruction der Glichungen. 4 3

4. 503. ,
Auf aͤhnliche Art laſſen ſich die Gleichungen der hhern

Grade conſtruiren, wenn man fuͤr die eine Curve eine pa⸗
raboliſche Linie nimmt, die in der Gleichung „= P ent-

halten iſt. Soll z. B. folgende Gleichung conſtruirt
werden, H
XI2 — f? ox2 † fꝰ gx — g12 = 0
ſo nehme man dieſe paraboliſche Gleichung der vierten
Ordnung r

X4 — ay

und da daraus x12 = a 9y 3 wird, ſo bekommt man durch
die Subſtitution dieſes Werthes folgende Gleichung fuͤr
eine Linie der dritten Ordnung: 2

a 973 — f1ON2 † f9gX — gr2 — 0.
Addirt man hierzu irgend ein Vielfaches der erſten Glei⸗
chung X4 — a ³y = o, ſo findet man eine unzaͤhlige Menge
Linien der vierten Ordnung, davon je zwey mit ein⸗
ander verbunden zur Conſtruction der gegebenen Gleichung

gebraucht werden koͤnnen.

K. 504.
Ereignet es ſich, daß man auf die beſchriebene Art aus
der gegebenen Gleichung keine bequeme Conſtruction finden
kann, ſo multiplicirt man dieſelbe mit «, oder X2, oder
X3, oder irgend einer andern hoͤhern Poteſtaͤt von «, ſo daß
zu ihren Wurzeln noch einige verſchwindende Wurzeln kom⸗
men, welche durch die Durchſchnittspunkte im Anfangs⸗
punkte der Abſciſſen angezeigt, und ſo leicht von den uͤbri⸗
gen wahren Wurzeln unterſchieden werden. Auf dieſe Art
bekommt man zwar eine Gleichung von einem hoͤhern

Grade, allein demungeachtet fndet man oͤfters bequemere
Con⸗

414 Zweytes Buch. Zwanzigſtes Capittel.
CLeoeonſtructionen. Waͤre z. B. die cubiſche Gleichung ge⸗ ſhntti
geben: niht
H X Axx † BxX 1 C= o J in ge
ſo wuͤrde, wenn man xX = ay ſetzte, ſo daß die eine con⸗ Wule
ſtruirende Curde eine Parabel wuͤrde, die andere Curve Man d
. allezeit eine Hyperbel ſeyn. Denn ſetzt man ay fuͤr xx, ſo Wuyi
bekommt man die Gleichung: “ s ſ
axy † Aay f Bx PC= 0 ſer Dure
oder, wenn man die erſte Gleichung cx X – acy = o hin⸗ ſen gewit
zu addirt, folgende von weiterm Umfange Nentich
Axy T cXX T a (A — c) y † Bx † C = o DdDutchſ
die aber auch ſtets eine Gleichung fuͤr eine Hyperbel iſt. Dirche
Scheint es daher bequemer, den Kreis, oder die Ellipſe. lo e
oder die Parabel zu gebrauchen, ſo multiplicire man die le il
gegebene Gleichung mit , um ſihen
X4 † Ax3 † BxX † Cx=0o00 r
zu bekommen. Denn vergleicht man dieſe Gleichung mit
der oben conſtruirten biquadratiſchen Gleichung, ſo wird
D = o, und dieſe Gleichung laͤßt ſich allemal durch den
Kreis und die Parabel konſtruiren.
§. 505.
Da alſo jede Gleichung, ſie mag zu einem Grade ge⸗

hoͤren, zu was fuͤr einem ſie will, durch zwey ſich ſchnei⸗
dende algebraiſche Curven conſtruirt werden kann, und
zwar auf unzaͤhlige Arten: ſo kann man zu der einen Curve
was fuͤr eine man will annehmen, und daher iſt die Frage
entſtanden: Wie eine gegebene Gleichung vermittelſt einer
gegebenen Curve conſtruirt werden koͤnne? Hierbey iſt zu⸗
voͤrderſt zu bemerken, daß die gegebene Curve von der Art
ſeyn muß, daß ihre Applicate durch eine einfoͤrmige Funk⸗
„ tion von X ausgedruckt wird, damit nicht imaginaͤre Durch⸗
G ſchnitts⸗

pperbel it.

„„

die Elibe.

e wan die

Grode
,ſich ſcni⸗

lonn, f

inen Crve

Von der Conſtruction der Gleichungen. 415

ſchnittspunkte die Conſtruction verwirren. Denn es iſt
nicht hinreichend, daß die gegebene Curve oder auch nur
ein gegebener Theil von ihr Abſciſſen habe, welche einer
Wurzel der Gleichung gleich ſind, eine Bedingung, die
man ausdruͤcklich beyzufuͤgen pflegt, wenn man nur eine
Wurzel der gegebenen Gleichung zu wiſſen verlangt: weil

es ſich ereignen kann, daß jener Bogen der Curve gar kei⸗

nen Durchſchnittspunkt zulaͤßt, obgleich die Abſciſſe fuͤr ei⸗
nen gewiſſen Punkt in ihr eine wahre Wurzel iſt. Es kann
nemlich dieſe Wurzel entweder durch einen imaginaͤren
Durchſchnittspunkt gehen, oder ſie koͤnnte auch durch den
Durchſchnittspunkt eines andern Schenkels, der zu eben
der Abſciſſe gehoͤrte, angezeigt werden. Aus dieſem Grunde
halte ich mich daher bey dieſer mehr neugierigen als nuͤtz⸗
lichen Frage nicht auf, da ich die wahren Gruͤnde aller
dieſer Conſtructionen ausfuͤhrlich genug gezeigt habe.

Ein und zwanzigſtes Capitel.
Von den tranſeendenten Curven.

g. 506.
Bisher haben wir uns mit den algebraiſchen Curven

beſchaͤftiget, und dieſe waren ſo beſchaffen, daß, wenn die

Abſciſſen auf irgend einer Axe angenommen wurden, die
zu dieſen Abſeiſſen gehoͤrige Applicaten durch algebraiſche
Funktionen der Abſciſſen ausgedruckt werden konnten, oder
ſo, denn dies ſagt eben daſſelbe, daß ſich das Verhaͤltniß

zwiſchen den A Abſeiſſen und Applicaten, durch eine algebrai⸗ .

ſche Gleichung darſtellen ließ. Hieraus fließt nun ſogleich,
daß eine Curve nicht zu den algebraiſchen gerechnet werden
darf, wenn man nicht im Stande iſt, den Werth der Ap⸗
plicate durch eine algebraiſche Funktion auszudrucken.
Man nennt aber dergleichen Curven, die keine algebraiſche
ſind, tranſcendente; und es iſt folglich eine tranſcendente
Curve eine ſolche, bey welcher das Verhaͤltniß zwiſchen

den Applicaten und Abſeiſſen durch keine algebraiſche Glei⸗

chung ausgedruckt werden kann. So oft daher die Appli⸗

cate y einer tranſcendenten Funktion der Abſeiſſe X gleich
iſt, ſo oft muß auch die Curve zu den tranſcendenten C Cur⸗

ven gerechnet werden.

§. 50.
Im erſten Buche haben wir vorzuglich zwey Arten der
tanſtementen Srdhen betrachtet, die Logarithmen, und

die

*

dis

weder a
hogen,
de e
—

ſeroer
gung r
Kanſcend
Urtende
noch ein
Mois
nich r⸗
Gten

Aune
ſtſe de
den G
E ſnd
foncle, i

er ireti

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Uuhl er

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Waſen
hngſec
der
ichtren
dſe u
konſen
Euler

then.

ſaden
ai, wen de
putden, Ne
) cgebteſche
Vnnten, Ne
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A die Nyl⸗ .
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die

4

Von den ktranſcendenten Curven. 417

die e Kreisbogen. Wenn alſo die Applicate y gleich iſt ent⸗
weder einem Logarithmen der Abſciſſe «, oder einem Kreis⸗

bogen, deſſen Sinus, oder Coſinus, oder Tangente durch

die Abſciſſe X ausgedruckt wird, ſo daß
y= Ix; oder y = A. ſin. x, oder y = A. coſ. x;
oder py = A. tang. X
iſt; oder wenn uͤberhaupt dergleichen Ausdruͤcke in der Glei⸗
chung zwiſchen und y enthalten ſind, ſo iſt die Curve eine

tranſcendente Curve. Doch machen dieſe Curven nur einige

Arten der tranſcendenten Linien aus, und es giebt außer ihnen

noch eine unzaͤhlige Menge anderer, deren Quelle in der

Analyſis des Unendlichen ausfuͤhrlich beſchrieben werden
wird, daß es alſo eine weit groͤßere Anzahl von tranſeenden⸗
ten als von algebraiſchen Eurden giebt.

C. 508. MMU
Wenn eine Funktion keine algebraiſche Funktion iſt, ſo

iſt ſie tranſcendent, und macht daher auch die Curve, in

deren Gleichung ſie ſich befindet, zu einer tranſcendenten.
Es ſind aber die algebraiſchen Gleichungen entweder ra⸗
tionale, und enthalten keine andere als ganze Exponenten,
oder irrationale, in welchen gebrochene Exponenten vor⸗
kommen; allein in dieſem letzten Falle kann man ſie gleich⸗
wohl in rationale Gleichungen verwandeln. Wenn alſo

eine Gleichung fuͤr eine Curoe ſo beſchaffen iſt, daß ſie we⸗

der rational iſt noch rational gemacht werden kann, ſo
gehoͤrt ſie zu den tranſcendenten. Wenn nun in einer Glei⸗

chung ſolche Poteſtaͤten vorkommen, deren Exponenten we.

der ganze Zahlen noch Bruͤche ſind, ſo laͤßt ſich dieſelbe
nicht rational machen, und es gehoͤren demnach die Curven,
die durch ſolche Gleichungen ausgedruckt werden, zu den
tranſcendenten. Hieraus ergiebt ſich die erſte und gleich⸗
Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl., II. D. Dd ſam

Ar8 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel.

ſam einfachſte Art der tranſcendenten Curven, diejenigen

nemlich, in deren Gleichungen irrationale Exponenten vor⸗

kommen; und da dieſe Gleichungen weder Logarithmen

noch Kreisbogen enthalten, ſondern allein durch irrationale
Groͤßen hervorgebracht werden: ſo ſcheinen auch die da⸗

durch ausgedruckten Curven mit mehrerm Rechte zu der
gemeinen Geometrie gerechnet zu werden, und ſind daher

auch vom Hrn. von Leibnitz interſcendente Curven ge⸗
nannt worden, weil ſie gleichſam das Mittel zwiſchen den

algebraiſchen und den tranſeendenten halten.

5„ 509.
Eine ſolche interſcendente Curbe iſt die in fegender
Gleichun
5 V2
y — X

enthaltene; denn man mag dieſe Gleichung durch die Erhe⸗
bung zu Dignitaͤten verwandeln wie man will, ſo erhaͤlt
man doch nie dafuͤr eine rationale Gleichung. Es kann
daher eine ſolche Gleichung auch auf keine Weiſe geome⸗
triſch conſtruirt werden, weil ſich feine andere Poteſtaͤten

geometriſch darſtellen laſſen als ſolche, deren Exponenten

rationale Zahlen ſind, und es unterſcheiden ſich daher der⸗
gleichen Curven auch durchaus von den geometriſchen.
Denn wollte man den Exponenten V2 nur naͤherungsweiſe
ausdrucken, und dafuͤr einen von folgenden Gruͤchen ſetzen,
3; 2,; 17. 1; 09,,
2 5 12 29 70
ſo wuͤrde man zwar algebraiſche Curven bekommen, welche
ſich der geſuchten Curve naͤherten, aber zu der dritten,

oder ſiebenten, oder ſiebenzehnten, oder ein und vierzig⸗

ſten Ordnung, ꝛc. gehoͤren wuͤrden. Da alſo V 2 nicht
anders rational ausgedruckt werden kann, als durch einen
Vruch

S

Hlen

ſichtin

Cnen , e
uun Nn

V W
nun die

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der deitaa

und bitti

durc tnn
becch

D nicht im Stande, die durch y = X/2

ſſo V⸗

H Von den tranſcendenten Curven. 4 19

Bruch, deſſen Zaͤhler und Renner unendlich große Zahlen

ſind, ſo gehoͤrt die durch die Gl eichung y = =5 ausge⸗
druckte Curve zu einer Ordnung, deren Hoͤhe durch 00
ausgedruckt werden muß, und kann folglich nicht zu den
algebraiſchen Curven gerechnet werden. Dazu kommt, daß

VY 2 einen doppelten Werth hat, einen poſitiven und einen

negativen; woher denn „ allemal einen doppelten Werth

erhaͤlt, und alſo die gedachte Curve eine zwiefache Curve

8. 510.
Hiernaͤchſt iſt man ohne Beyhuͤlfe der Logarithmen gar
ausgedruckte Curve

genau zu conſtruiren. Denn da y = 2 iſt, ſo wird,
wenn man dle Logarithmen nimmt, 17 = V 2. 1X, und
es giebt folglich der Logarithme einer jeden Abſciſſe, mit
V 2 multiplicirt, den Logarithmen der Applicate, ſo daß
man die zu jeder Abſciſſe gehoͤrige Applicate aus den Lo⸗
garithmiſchen Tafeln beſtimmen muß. Iſt z. B. X« = o,
ſo wird auch y= o; iſt = 1, ſo wird auch y= 1; dies
erkennet man aus der gegebenen Gleichung ſelbſt ſehr bald.
Iſt hingegen X = 2, ſo wird, I1y = V. 2. 12 = V 2.
o, 3010300; und da V2 = 1, 41421356 iſt, ſo hat man
Iy = o, 4257274, und alſo naͤherungsweiſe y= 2,665 186.
Auf dieſe Art kann man zu jeder Abſciſſe die Applicate durch
Rechnung finden, und die Curve conſtruiren, wenn fuͤr
poſitive Groͤßen geſetzt werden. Laͤßt man aber negativ
werden, ſo iſt es ſchwer zu beſtimmen, ob die Werthe von
y reell oder imaginair ſeyn werden. Denn es ſey x = — I,

ſo bleibt unausgemacht, ob (— „Ve eine reelle oder eine
Dd⸗?2 ima⸗

iſt, und es wird folglich

420 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel.

imaginaire Groͤße ſey, indem die naͤherungsweiſe fuͤr N2
gefundenen Zahlen uns nicht in den Stand ſetze, daruͤber

ciwas zu entſcheiden.

9. 5I.

Roch offenbarer iſt es, daß die Gleichungen, in welchen

imaginaire Exponenten vorkommen, zu den tranſcendenten

gerechnet werden muͤſſen. Es kann ſich indeß allerdings
ereignen, daß Ausdruͤcke mit imaginairen Exponenten gleich.

wohl einen reellen und beſtimmten Werth haben. Beyſpiele

hievon ſind bereits oben im erſten Buch im achten Capitel]
da geweſen, und es mag daher hier nur fſolgendes zur Er⸗
laͤuterung ſtehen:

2 y = “ — I .— 1

4

. — T
Ov nemlich gleich ſowohl 1 1 als x — ima⸗

ginair iſt, ſo iſt doch die Summe von beyden reell. Denn

man ſetze 1« = v, und laſſe e die Zahl bedeuten, deren

Hyperboliſche Logarithme = = 1 iſt, ſo wird X e z und

braucht man dieſen Werth, ſo bekommt man
FVV–—I — vVV — 1

2y = — e“ †T e
Nun haben wir im erſten Buche §. 138 geſehen, deß
. 1 V— 4 e — vV —I
. — = coſ. A. v

y = coſ. A. v = coſ. A. 17.

Iſt nemlich irgend ein Werth von x in Zahlen gegeben, ſo

ſuche man den hyperboliſchen Logarithmen davon, und
ſchneide in einem Kreiſe, deſſen Halbmeſſer = 1 iſt, einen
Lieſem Logaraithmen gleichen Bogen ab; wo denn der Co⸗

ſinus

n e

ſiaus R

1
Dr
Spn,
wo ent

zah ſ
on Vp⸗
gone
ſe alch

Re af

id denne

Alſer dg
R af⸗
Glechung

(gedr

lithniſce

rithenſea

inden
ſicne ee.
18
4
ſen Nam

miſche

SI ii,

Von den tranſcendenten Curven. 4²¹1

ſeſefe ſinus dieſes Bogens den Werth der Applicate y geben wird.
, ie Iſt z. B. X = 2, ſo daß
2y = 2 14 2 W
wird, ſo hat man
» = coſ. A. 12 = coſ. A. O, 6931471805599
dned Bogen, der durch 3,1415926535 ꝛc. ausgedruckt wird,
iin 1g00 enthaͤlt, nach der Regel de Tri = 390, 42/ 5177
une 52 ¹, 9˙ 17, und ſein Coſinus iſt = 0, 76923990135409, welche
Kntüd⸗ Zahl folglich den Werth der zu der Abſciſſe *½ = 2 gehoͤri⸗
hit gen Applicate y ausdruckt. Da alſo dergleichen Ausdruͤcke
nnil Logarithmen und Kreisbogen in ſich enthalten, ſo werden“
ncecE ſie auch mit Recht zu den tranſcendenten gerechnet.
§. 512.
——1. Die erſte Stelle unter den tranſcendenten Eurven neh⸗
e men demnach dicſenigen Curven ein, deren Gleichungen,
A dean außer algebraiſchen Groͤßen, Logarithmen enthalten, und
umn, n die einfachſte darunter iſt diejenige, welche durch die
1 Gleichung H
1 E = K; oder x = bl X
i a b a
ausgedruckt wird, wo es gleich iſt, was man fuͤr ein Loga⸗

„ rriithmiſches Syſtem zum Grunde legen will, weil alle Lo⸗
garithmiſche Syſteme durch die Multiplication mit der be⸗
ſtaͤndigen Groͤße b auf eins zuruͤckgefuͤhrt werden. Es be⸗

1
zeichne alſo k die hyperboliſchen Logarithmen, und die durch
— y . . D
* = bl — ausgedruckte Curve heiße, ſo wie ſie unter die⸗
6 ſem Namen bereits allgemein bekannt iſt, die Logarith⸗
iin miſche Linie. Es bedeute e die Zahl, deren Logarithme
= I iſt, und es ſey folglich HW

– 3

32²2 Zmweytes Buch. En und zwanzigſtes Caritel.

e = 2,71828182 845904523536028

ſo wird
e = E; oder y = a e
und aus dieſer Gleichung laͤßt ſich die Natur der Logarith⸗
miſchen Linie ſehr leicht erkennen. Denn ſetzt man fuͤr
nach und nach Werthe, die in einer arithmetiſchen Progreſ⸗

ſion fortgehen, ſo erhaͤlt die Applicate y Werthe, die in

einer geometriſchen Progreſſion auf einander folgen. Um

aber die Gleichung leichter conſtruiren zu koͤnnen, ſetze man—

e = ma und b = no, ſo wird „=am ,„ wo m eine
jede poſitive Zahl bedeuten kann, die groͤßer als 1 iſt.
Wenn alſo
xX = o, c, 20c, 3 c, 4t, 5G0, 6 , Lce
iüüültt, ſo wird 3
y =— a, am, ama, a m 32, amA, am?s, ams, 2c.
und legt man der Abſciſſe X negative Werthe bey, ſo
wird, wenn man

X — 69 20, rr 3 r, 4 e, — 5C, dee

ſetzt,
—242 a 4 4 1
7 m. ? ma m? ma ms’ e⸗
§. §13.

Hi⸗ eraus erhellet, daß die Appliecate y allenthalben po⸗
ſi itive Werthe bekommt, die ohne Ende wachſen, wenn
man die poſitiven Abſeiſſen ohne Ende zunehmen laͤßt, und
auf der andern Seite der Axe ohne Ende abnehmen, ſo

daß daher die Axe Ap, Fig. 101, die Aſymptote der Curve—

wird. Nimmt man nemlich A zum Anfangspunkte der Ab⸗
ſeiſſen an, ſo iſt daſelbſt die Applicate A B = a, und macht
. man

L.

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nkteder
,und mt

Ndhda

Von den tranſcendenten Curven. 423

man AP = 2, ſo iſt die Applicate
X: c X: b
PM= y = am = 4 e
und folglich
K

1 = —

Wenn man alfo die Abſciſſe A b durch die beſtaͤndige Groͤße
b dividirt, ſ druckt der Quotient den Logarithmen des

Verhaͤlniſſes aus. Wenn der Anfangspunkt der Ab⸗

ſeiſſen anderswo in der Arxe z. B. in a angenommen wird,

ſo bleibt die Gleichung ſich aͤhnlich. Denn es ſey Aa = f.

ſo wird, wenn man a P =t ſetzt, da dann x= t — f iſt,
= aec — O. b S t: b ef: b
Man ſetze die beſtaͤndige Größe⸗ a : e = g, ſo wird
t : b
V= ge:
Hieraus erhellet, da ab = g iſt, daß
b— 1LM
5 a5
ſeyn wird; und zieht man daher irgend zwey Applicaten
PM und pm, die n um Pp von einander entfernt ſind, ſo

wird

55
—
.

und die betͤndige Groͤße b, wovon n jenes Verhaͤltniß ab⸗

hängt, kann als der ee Patamkter der Logarithmiſchen Linie
betrachtet werden.

F. 514. L
Die Tangente der Logarithmiſchen Linie fuͤr jeden Punkt D

A laͤßt ſich ebenfalls leicht beſtimmen. Denn da

Dod 4 H P MrnMh

E
„ 2 . 2
”

424 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel.

b
PM =as

wird, wenn man A Pb = x nim imt: ſo ziehe man n irgend

eine andere Applicate QN, die von der vorigen um P= u
entfernt liegt. Alsdann iſt „

CN= a eX Tu): b = ae 2. b

„ e
und, wenn man die M L. der Axe vrale zieht,

be

Nun ziehe man durch die Punkte M und N die gerade Linie

NMT, welche der Axe in dem Punkte T begegne, ſo iſt

LN: ML = PM: PT
und folglich

b

“ Aber im erſten Buche haben wir gezeigt, daß⸗ durch eine

unendliche Reihe anegedrneet,
u : deu
e 1† — F † -
iſt, und daher wird alſo

PT =

z5= 1 St 5 : kr.

1

I uU

Ers

Nun verſchwinde P Q = u, ſo wird, weil dann die Punkte
M und N zuſammenfallen, die gerade Linie N M T die

Tangente der Curve, und die Subtangente P T iſt dabey

Sb, und ſfolglich eine beſtaͤndige Groͤße, welches eine

Haupteigenſchaft der Logarithmiſchen Linie iſt. Der Pa⸗
rameter der Logarithmiſchen Linie b iſt daher auch zugleich

die Subtangente derſelben, und allenthalben von geicher

Groͤße.

§. 515.

icſpen

(haupten

den T
e

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Eipenſs
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n iendte.

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Aihes ene.

DNe hu⸗

n eche

1

Von den tranſcendenten Curven. 425

Hier eniſteht aber die Frage: Ob b auf dieſe Art die

WD Logarithmiſche Linie beſchrieben ſey, und ob dieſelbe

ußer dem Schenkel MBm, der auf beyden Seiten ohne
Eade fortlaͤuft, keine Theile weiter habe? Denn wir ha⸗
ben oben geſehen, daß es keine Aſymptote giebt, der ſich
nicht zwey Schenkel naͤherten, und es haben daher einige
behauptet, daß die Logarithmiſche Linie aus zwey aͤhnli⸗
chen Theilen beſtehe, die zu beyden Seiten der Axe ſich
fort erſtreckten, ſo daß die Aſymptote zugleich ein Durch⸗

meſſer ſey. Allein die Gleichung y= a e 5 zeigt dieſe

Eigenſchaft auf keine Weiſe an; denn wenn — eine ganze

b
Zahl oder ein Bruch mit einem ungeraden Nenner iſt, ſo
hat y nie mehr als einen reellen und dabey poſitiven Werth.

Wenn aber der Bruch einen geraden Nenner hat, iſo

bekommt die Applicate y einen doppelten Werth, einen po⸗
ſitven und einen negatiben, und dieſer letztere giebt einen
Punkt der Curve, der auf der andern Seite der Aſymptote
liegt, ſo daß daher die Logarithmiſche Linie jenſeits der
Aſymptote unzaͤhlige von einander abgeſonderte Punkte
hat, die aber keine continuirliche Linie geben, ob ſolches
gleich, weil man ihre Entfernung von einander ſo klein
machen kann, als man will, ſtatt zu finden ſcheint. Dies

iſt eine ſehr auffallende Beſchaffenheit, dergleichen bey

den algebraiſchen Curven gar nicht ſtatt findet. Aber noch

auffallender iſt folgende damit in Verbindung ſtehende.

Da die Logarithmen der negativen Zahlen imaginaͤr ſind,
(welches theils von ſelbſt klar iſt, theils auch daraus einge⸗
ſehen werden kann, weil der Logeritchme von — I zu V⸗=— I
Dd 5 ein

4²⁶ Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel.

ein endliches Verhaͤltniß hat) ſo iſt 1 — n eine imaginaͤre Kl.
Groͤße, die wir Si ſetzen wollen. Ferner iſt der Loga⸗ en
rithme eines Quadrats das Zwiefache des Logarithmen ßMU.U
der Wurzel, alſſ a
ðð’ð 1. (— n) 2 = 1. n2 = 2 1 ł
und dabey 1. n gleich einer reellen Groͤße = 21. n. Hier⸗ Eik
aus muͤßte nun folgen, daß ſowohl die reelle Groͤße 1. n als
die imaginaͤre Haͤlften der reellen Groͤße 1. n⸗ waͤren; und me
waͤre dies, ſo muͤßte ferner jede Zahl eine doppelte Haͤl fte, 6
eine reelle und eine imaginaͤre, desgleichen ein dreyfaches “
Drittel, ein vierfaches Viertel ꝛc. haben, und von dieſen “B
Theilen duͤrfte einer nie mehr als einer reell ſeyn. Wie dies di
mit den gewoͤhnlichen Begriffen von den Groͤßen zu vereini⸗
gen fey⸗/ iſt nicht wohl einzuſehen. *) =ÿ”M D ſa
2 . Fat
. Es ſind dieſe Paradoxa ſo paradox nicht als ſie beym erſten . So geet
Arnnblick ſcheinen. Solche Widerſpruͤche, als hier entſte⸗ alſetden
hen, pflegt man ſonſt als ein Kennzeichen zu betrachten, daß den
irgendwe ein Fehler verſteckt liege; warum ſoll man dies Dð’Z
nicht auch bey der gegenwaͤrtigen Materie thun? Was indes A.-
uber dieſen Punkt weiter zu ſagen iſt, verſpare ich in die dn
Vorrede. 3 iſeh
F. Srr. üzi
„ e dor
Zugegeben alſo, was wir hier angenemmen haben, ſo t
wuͤrde folgen, daß die Haͤlfte von a nicht nur —, ſondern 1
33 Mẽä
auch — † 1.— 1 ſey; denn das Doppelte von dieſem iſt N
4 1 21.— I = a † 1. (— 1)2 = a f1. 1 = a; wo bes uan
merkt werden muß, daß † 1.— 1 = — 1. — I iſt, obgleich Aurſ
re
. nicht l. — I=0 o geſett werden darf. Denn da - „2 u
Mc

es.

imagnke
der Mr
garithon

ſelnG
rin; und

Haſt,
oycche ſrches
W

WeNWS
zu bereinſe⸗

Hheyn etfen
hier eutn
tachten, N
A veon

11 D A.
ri

erhebn a.
2, ichin
Nieſen ſt
1W.
t luget⸗

1227

4

. SSͦõ

Von den tranſcendenten Curven. 427
ſo iſt 1. — 1= 1. † 1 — 1.— 1 =— 1.— r. Auf aͤhn⸗
liche Art iſ das Drittel von a, da . I nicht bioh 1, ſon⸗

—
dern auch — SW=—, und folglich 31— — 3
EI. 1 =o it, nicht bloß ſandern auch ri. .

und — 1 1

jeden. dieſer Ausdruͤcke dieſelbe Groͤße a giebt. Um dieſe
Widerſpruͤche, die man ſchlechterdings nicht gelten laſſen
darf, aus dem Wege zu raͤumen, muß man zu einem an⸗
dern paradoxen Satze ſeiner Zuflucht nehmen, zu dem
nemlich, daß zu jeder Zahl unendlich viel Logarithmen ge⸗
hoͤren, worunter ſich aber nicht mehr als ein reeller finde.
So giebt es z. B. obgleich der Logarithme von 1 =o iſt,
außerdem noch eine unzaͤhlige Menge imaginaͤrer Logarith⸗
men eben dieſer Ene⸗ nemlich
— 3.

— — 3, indem das Dreyfache eines

21. — 1; 31.— 3 41.— I; 41. — — 1

und unendlich viel andere, welche man auf dem Wege der
Ausziehung der Wurzel findet. Es hat aber dieſe Behaup⸗
tung einen weit hoͤhern Grad von Wahrſcheinlichkeit, als

die vorhergehende: denn ſetzt man X = . a, ſo wird.

a = ex, und folglich

=IIITIZTTYX.

und da dieſes eine Gleichung von unendlich vielen Dimen⸗
L ſionen iſt, ſo iſt es gar nichts beſonders, daß x unzaͤhlige

Wurzeln hat. Ob aber gleich auf dieſe Art das letzte Pa⸗

radoxon aufgeloͤſet wird, ſo bleibt doch das erſte in ſeiner

ganzen Staͤrke, nach welchem zu der logarithmiſchen Linie
un⸗

O

428 Zweytes Buch. Ein und zwanzisſtes Canttel.

unzaͤhlige von einander abgeſonderte Punkte jenſeits. der
Axe gehoͤren.

K. 517.,

Noch deutlicher uͤberzeugt man ſich von der Wirklichkeit

dieſer unzaͤhligen Menge von Punkten durch die Gleichung
y = (— 1) . Denn ſo oft x eine ganze gerade Zahl oder
ein Bruch mit einem geraden Zaͤhler iſt, ſo oft iſt „ = 1;
wenn aber x eine ungerade Zahl oder ein Bruch iſt, deſſen
Zaͤhler und Nenner ungerade Zahlen ſind, ſo wird „= – 1;
in allen uͤbrigen Faͤllen, wenn x entweder ein Bruch mit
einem geraden N Nenner oder gar eine Irrationalzahl iſt, iſt
der Werth von y imaginäaͤr. Es giebt daher die Gleichung
„S (— 1) z eine unzaͤhlige Menge von Punkten, die ab⸗
geſondert von einander auf beyden Eeiten der Axe, und
zwar um den Raum = 1 von ihr entfernt, liegen. Unter

dieſen Punkten giebt es kein Paar auf eben der Seite der
Axe, die nicht von einander abgeſondert waͤren, und dem⸗

ungeachtet ſind ſie ſich ſo nahe, daß die Entfernun ung zwi⸗
ſchen ihnen kleiner als jede gegebene Groͤße iſt. Denn zwi⸗
ſchen jeden zwey noch ſo nahen Werthen der Abſeiſſe laſſen

ſich nicht einer ſondern unzaͤhlige Bruͤche ſetzen, deren Nen⸗

ner ungerade Zahlen ſind, und aus jedem dieſer Werthe
ſindet man einen zu der gegebenen Gleichung gehoͤrigen

Punkt. Es ſcheint alſo nur, als ob man durch dieſe Punkte

auf zwey gerade Linien gefuͤhrt werde, die der Axe parallel
laufen, und von ihr zu beyden Seiten um 1 entfernt ſind,
indem es in dieſen Linien keinen Theil giebt, worin man

nicht einen, ſondern unzaͤhlige Punkte, die in der G Gleichung

y = (— 1) * enthal ten ſind, angeben koͤnnte. Eben dieſe

Anomalie findet auch bey der Gleichung y = (— a) und

andern ihr aͤhnlichen ſtatt, in welchen eine negatide Groͤße
. zu

dhen

rèð

püne⸗
herti
alfftl

N

i

Korin do⸗
die Erp⸗

dazel

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en, die ck
Ae, ud
n. Unter

Sün der

8
uod

Denn u

Von den tranſcendenten Curben. 429

zu einer unbeſtimmten Poteſtaͤt erhoben iſt, und es war da⸗
her noͤthig, dieſe bey den tranſcendenten Curven moͤglichen

auffallenden Beſchaffenheiten hier zu beruͤhren.

§. 518.
Zu dieſem Geſchlechte der Curven, welche von Loga⸗
rithmen abhaͤngen, gehoͤren nicht nur alle Gleichungen,
worin Logarithmen vorkommen, ſondern auch diejenigen,
die Exponential⸗Groͤßen enthalten, indem dergleichen
Groͤßen ſich ergeben, wenn man von den Logarithmen zu
den Zahlen fortgeht; daher denn auch dieſe Curven Expo⸗

nential⸗Curven genannt werden. Eine ſolche Curve iſt die
in der Gleichung „ = xXX, oder 1y = XlIX enthaltene.

Denn ſetzt man = o, ſo wird y = I; ſetzt man X = I,
ſo wird auch „= I1; ſetzt man = 2, ſo wird y»= 4;
ſetzt man 2 = 3, ſo wird y = 27, ꝛc. Es ſtellt daher BDM,
Fig. 102, die Geſtalt dieſer Curve fuͤr die Axe AP vor,

ſo daß, wenn man A C = 1 ſeyn laͤßt, A B = CD = I iſt.

Zwiſchen A und C aber ſind die Applicaten kleiner als 1;
denn macht man X = — ſo wird JS= v =o, 7071068:
und die kleinſte Applicate findet man, wenn man die Ab⸗
1
ſciſſe x = — = 0,36787944 ſetzt, wo die Applicate

y = O, 692200 wird, wie in dem Folgenden gelehrt wer⸗
den ſoll. Um aber zu ſehen, wie die Curve jenſeits B be⸗
ſchaffen ſey, muß man x negativ machen, woduerch alſo
I
S werden, und die Curve aus lauter von ein⸗
ander abgeſonderten Punkten beſtehen wird, die ſich der
Axe als einer Aſymptote naͤhern. Es fallen aber dieſe
Punkte bald auf die eine bald auf die andere Seite der Axe,

. 5 * —

430 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel.

je nachdem entweder eine gerade oder eine ungerade Zahl Jal:
bedeutet. Ja auch unter der Axe A P kommen unzaͤhlige dhung
ſolcher Punkte zu liegen, wenn man fur X einen Vruch mit dere t
einem geraden Nenner ſetzt; denn macht man x = 2 ſo N
wird y = † 1 , und Yy = Es endigt ſich daher die
continuirliche Curve MDB wider die Art der algebraiſchen
Linien ploͤtzlich in B, und anſtatt der Fortſetzung hat ſie die ede⸗
von einander abgeſonderten Punkte, woher denn die Reali⸗
taͤt dieſer gleichſam zugehoͤrigen Punkte aufs deutlichſte in
die Augen faͤllt. Denn wenn dergleichen nicht zugegeben
werden ſollten, ſo muͤßte man annehmen, daß die Curve
in dem Punkte B pooͤtzlich aufhoͤre, und dies waͤre dem—
“ Geſege der Continuitaͤt zuwider, und folglich falſch.
J. 519.
Unnter den unzaͤhligen Curven von dieſer Gattung, deren
Conſtruction durch die Logarithmen erhalten werden kann, G her
giebt es auch einige, wobey man nicht ſogleich wahrnimmt, HD
wie ſie conſtruirt werden koͤnnen, wo man ſich aber den⸗ ußh de
noch durch eine geſchickte Subſtitution leicht hilft. Es ge⸗ NA
hoͤret hieher die durch die Gleichung 27 = y* ausgedruckte ett
Curve. Denn ob man hier gleich beym erſten Anblick ein: gte
ſieht, daß die Applicate y beſtaͤndig der Abſeiſſe gleich iſt; ſynen
ſo daß eine gerade Linie, die mit der Axe einen halben Alerden
rechten Winkel macht, der angefuͤhrten Gleichung ein Ge⸗ ihende
nuͤge thut; ſo iſt doch auch offenbar, daß eben dieſe Glei⸗ abi
chung einen weitern Umfang hat, als die Gleichung fuͤͤr t
die gerade Linie „= x; und daß ſie alſo dadurch nicht er⸗ nd pen
ſchoͤpft wird, indem ihr ebenfalls ein Genuͤge geſchehen
fann, ohne daß = y iſt: denn ſetzt man x = 2, ſo kang . Don

Lt.

Nraheech
untge

Berchm

1-

uite
0t weegeben

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ige getteßt
Y 4

Von den tranſcendenten Enrven. 431

7 auch = 4 ſeyn. Es druckt demnach die gegebene Glei⸗
chung außer der geraden Linie EAF, Fig. 103, noch an⸗
dere Linien aus, die man mit jener als Theile der darin
enthaltenen ganzen Curve anſehen kann; und um auch dieſe
Theile od oder die ganze Curve zu finden, ſetze man
y = t xX
ſo daß

4
Xt X — t *

werde. Zieht man hieraus die xte Wurzel, ſo wird
—XI = tX, und Xt- = t
und man hat daher

I.: (t — 1) t (t — 1)
X = t z und y = t

oder, wenn man t — 1 = — ſetzt

X = (1 † ² und y = (I † D r.

Es hat folglich die Curve, welche durch die Gleichung

Xy = y ausgedruckt wird, außer der geraden Linie K A K

noch den Schenkel Kks, welcher ſich den geraden Linien A G

und AH als Aſymptoten naͤhert, und wovon die gerade
Linie AF der Durchmeſſer iſt. Es ſchneidet aber die Curve

die gerade Linie AF in dem Punkte C, ſo daß AB = BC= e
iſt, wenn e die Zahl bedeutet, deren Logarithme = 1 iſt.
Außerdem aber giebt dieſe Gleichung eine unzaͤhlige Menge
von einander abgeſonderter Punkte, welche nebſt der ge⸗
raden Linie EF und der Curve R CS die Gleichung erſchoͤ⸗
pfen. Es laſſen ſich alſo unzaͤhlige Maare r von Zahlen X
und y angeben, die ſo beſchaffen ſind, daß
X 5 — y*
iſt. Von den Rational⸗ Zahlen z. B. ſind dergleichen

432 Zweytes Buch Ein und zwanzigſtes Capitel.

X — 2 y = 4
2 3
x = 22 — 2. y = — =
4 6 A4
3 ¾ 27 34 81
54 625 5
Xx= T. = — y = — = 21¹25
44 agz6 4 1024

Wenn ma man nemlich d don jedem Paare dieſer Zahlen die eine
zu der Poteſtaͤt erhebt, die zum Exponenten die andere Zahl
hat, ſo bekommt man gleiche Groͤßen. So iſt

= 42 = 16
c⸗ * G)
4
⸗ M 256
. 520.

Obgleich bey dieſen und den ihnen zhnlichen Curven
unzaͤhlige Punkte algebraiſch geſucht werden koͤnnen, ſo

darf man doch deswegen dieſe Curven nicht zu den alge⸗

braiſchen zaͤhlen, weil es außer jenen Punkten auch eine

unzaͤhlige Menge ſolcher Punkte giebt, die ſich nicht alge⸗ .

braiſch beſtimmen laſſen. Wir wollen uns alſo zu einer an⸗
dern Gattung der tranſcendenten Curven wenden, zu ſol⸗
chen nemlich, bey welchen Kreisbogen gebraucht werden;
und um dabey die Rechnung nicht durch den Gebrauch zu
vieler Zeichen ohne Noth ſchwer zu machen, den Halb⸗

meſſer des Kreiſes, von welchem Bogen bey der Con⸗

ſtruction

ℳ

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“

Von den tranſtendenten Curben. 433

ſtruction vorkommen, allenthalben der Einheit gleich ſetzen.

Daß aber dieſe Curven nicht zu den algebr raiſchen gehoͤren,

iſt leicht zu zeigen, obgleich die Unmoͤgli chkeit der Quadra⸗

tur des Kreiſes noch nicht außer allem Zweifel iſt. Wir

duͤrfen zu dieſem Entzwecke nur die einfachſte Curve von

dieſer Art nehmen, diejenige nemlich, welche durch die
Gleichung .
= A. ſin.

ðèG
„α

Kreiſes proportional iſt, deſſen Sinus durch — ausgedruckt

werden kann. Denn da zu einem und demſe lben Sinus
unzaͤhlige e Bogen gehoͤren, ſo iſt die Appl ieate y eine
C

infinitinomiſche Funktion, und es ſchneidet daher ſowohl ſie

ſelbſt als jede andere gerade Linie die Curve in unzaͤhligen

Punkten; ein Umſtand, der dieſe Curve von den algebrai⸗

ſchen aufs ſchaͤrfſte abſondert. Es ſey s der k leinſte von

den halben Umkreis: ſo ſind die Werthe von X folgendes

8; „W — 8; 2 t s; 3 7 — s; A † s; — te.

„

— 7Z — 8; - 2 7T † s; — 37 — s8; — 47 † 8; — 5 % — s; 2c.

Nimmt man alſo Fig. 104 die gerade Linie CAB zur Axe,

und A zum Anfangspunkte der Abſciſſen an, ſo iſt zuvoͤr⸗
derſt, wenn man die Abſeiſſe = o ſetzt, die Applicate

AATI = z a; AA2 = 27 a; AA3 = 3 a, 20. und auf
der andern Seite AAPI = z a; AA-2 = 2 7 3; A A 35
= 34, c. Nimmt man aber die Abſeiſſe AP = xX, ſo
ſchneidet die Applicate die Curve in unzaͤhligen Punkten M,

ausgedruckt wird, ſo daß die Applicate 7 dem Bogen eines

den Vogen, die zu dem Sinus — gehoren, und bedeute

„

Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. D. Ee und

—

434 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel.

und es iſt PMXx = as; P M2 = a (r — s); P M53 = a
(27 † s) ꝛc. Es beſteht demnach die ganze Curve aus unzaͤh⸗
ligen Theilen AEIAX; ATFYAZ; A2EZA 3; A3FZAA4; ꝛc.,
die einander aͤhnlich ſind, ſo daß die geraden Linien, welche

der Axe BC parallel ſind, und durch die Punkte E und E

gehen, Durchmeſſer der Curve werden. Es iſt aber
AC = AB = c, und die Intervalle ETEz; EzE3;

ETE—I; EIE-2; FIE2; F2 F-ITI; F-IF-—2 ſind, jeder
allein genommen, = 2 aæ. Dieſe Curve wird vom Hrn. von

Leibnitz die Linie der Sinus genannt, weil man durch ſie den
Sinus eines jeden Vogens auf eine leichte Art finden kann.

Denn da T = = A. ſin. — iſt, ſo iſt ner- = ſin. A. T.

X

und ſo hatme man zugleich die Linie der oſns

§. 521.

Auf aͤhnliche Art findet man die Linie der Tangenten,

ſderen Gleichung „ = A. tang. X iſt, wenn man der Kuͤrze
wegen a = 1, und c = I ſetzt. dka wird nemlich durch

ſin.
die Umkehrung X = tang. A. y = Di und die Geſtalt

dieſer Curve laͤßt ſich leicht aus der Natur der Tangenten

erkennen. Es hat aber dieſelbe unzaͤhlige einander parallele

Aſymptoten. Auf gleiche Art kann man die Linie der Se⸗

. canten aus der Gleichung y =— A. ſec. x, oder X = ſec.

A. y = — beſchreiben, die ebenfalls unzoͤhlige ohne

Ende fortlaufende Schenkel hat. Am bekannteſten aber iſt
aus dieſem Geſchlechte der Curven die Cycloide oder Tro⸗
chheide geworden, welche von einem Punkte in der Periphe⸗

——

ge eines

einet ge

kechtwit

heſchel
ſchoften
cher ken
es Mnd

e heen

ſckeibuns

geeden
pelter ſch

ſpee,

Drcmeſer
Nesre⸗
d Nerin

ſiner Un

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Purtt in in de

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Ce. .

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4

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der 1 =1

Nzthige ſ⸗

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de der e⸗
u haſe
ſie

— .

Von den tranſcendenten Curven. 435

rie eines Kreiſes beſchrieben wird, wenn ſich dieſelbe auf
einer geraden Linie fortwaͤlzt, und deren Gleichung fuͤr
rechtwinklige Coordinaten „ = V (I — XX) † A. coſ. xX
iſt. Dieſe Curve iſt ſowohl wegen der leichten Art ſie zu
beſchreiben, als auch wegen der vielen beſondern Eigen⸗
ſchaften, die ſich bey ihr finden, ſehr merkwuͤrdig. Da
aber die meiſten von dieſen Eigenſchaften ohne die Analyſis
des Unendlichen nicht erklaͤrt werden koͤnnen, ſo wollen
wir hier nur die vornehmſten von denen, die aus der Be⸗
ſchreibung der Linie ſelbſt fließen, kuͤrzlich betrachten.

d. 522. .
Es waͤlze ſich alſo der Kreis A CB, Fig. 105, uͤber der
geraden Linie E A fort, und damit die Unterſuchung deſto
weiter ſich erſtrecke, ſo beſchreibe, nicht ein Punkt der Pe⸗
ripherie B, ſondern irgend ein Punkt des verlaͤngerten
Durchmeſſers D die Curve D d. Es ſey der Halbmeſſer
dieſes Kreiſes CA = CB = a, und die Entfernung CD = b,
und darin D der aͤußerſte Punkt. Nun ſey der Kreis bey

ſeiner Umwaͤlzung in die Lage a QbR gefommen, ſo iſt,

wenn man den Raum A = = 2 ſetzt, der Bogen a 2 — 2,

der durch den Halbmeſſ er a dividirt, den Winkel ac Q=

4

giebt; ferner befindet ſich der beſchreibende Punkt in d, ſo

daß c d = b, der Winkel de Q = — „ und 3J ein

Punkt in der geſuchten Curve iſt. Man ziehe alſo aus d

zuodͤrderſt die gerade Linie dp auf die A Q fenkrecde, und

eben ſo die dn auf QR; ſo iſt dn = b. Hkn. . und en =

— b. Coſ. — ſolglich QAn = = dp= a f b. coſ. —. Nan

Ce-- ver⸗

„*

mnmee
ℳ .
H S *
. .

In = z † b. ſin. “
3

(1 — P= aA. ſin.

welche die gemeine Cycloide giebt,
aber b entweder groͤßer oder kleiner als a, ſo bekommt die
Curdve den Namen der abgekuͤrzten oder der verlaͤngerten
Cycloide.
. Funktion von X oder von t; oder es ſchneidet jede der

436 Zwehtes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel.

verlaͤngere die n, bis ſie der geraden Linie AD in P begegne,

und ſetze die Coordinaten DPp = x, und Pd = y; ſo iſt

1 7Z
5* = b cn; oder „ = b — b. coſ. —, und y = A QQ †
ʒ à2à2

Da alſo b. coſ. =— b — x iſt, ſo
.

wird b. ſin. = V (2, b X — X X) und 2 = a A. coſ.

V (2 bz — XX)
b

dieſe Werthe, ſo wird „= V. (2bx — xXX) + a A. ſin.

CQbx — Xx)
P .
Axe A D vom Mittelpunkte an, und ſetzt dabey b — -« = 1,
ſo wird

Oder nimmt man die Abſciſſen in der

V bx — XX) = V V (bb — tt)

und dann hat man zwiſchen t und y folgende Gleichung: Z

„ = Vü(bb— tt) † aA. coſ

Es iſt aber „ allemal eine unendlich vielfache

Grundlinie A Q parallel gezogene gerade Linie die Curve in

unzaͤhligen Punkten, wofern nicht ihre Entfernung x oder t
ſo groß iſt, daß V (2 bx — xxX) oder e v (bb — 14) eine

imaginaͤre Groͤße wird.

. 523.
Zu den bekannteſten Curven dieſer Gattung gehoͤren

die Epicreloiden und die Pypocycloiden, welche ent⸗

. ſſtehen,

— ; und d gedraucht man

wenn b = a iſt; iſt

ſchen,

tipheit
ſolche g
wederin

uur

alinſe neſt

nfr 16
fle Ns
grede di
dieſer anf⸗

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(1240.

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Unie ad

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Neangernn
nich neftt⸗
eber /he N
eCunein
unz rt

„- Sere

tung h

ſchen,

Von den tranſcendenten Curven. 437

ſtehen, wenn ſich ein Kreis A C B, Fig. 106, uͤber der Pe⸗
riph erie eines andern Kreiſes O AQ umwaͤlzt, und, indem
ſolches geſchiehet, irgend ein Punkt D, welchen man ent⸗
weder innerhalb oder außerhalb des beweglichen Kreiſes an⸗

genommen hat, die Curve Dd beſchreibt. Man ſetze den

Halbmeſſer des unbeweglichen Kreiſes O A = c, den Halb⸗
meſſer des be eweglichen aber CA = CB= a, die Entfer⸗
nung des beſchreibenden Punktes C(D = b, und laſſe die

gerade Linie O D die Axe der geſuchten Curve ſeyn. Aus

dieſer anfaͤnglichen Lage, bey welcher die Punkte O, C, D

in einer geraden Linie ſind, komme der bewegliche Kreis in
die Lage Qck, nachdem er den Bogen AQ= 2 beſchrieben

hat, daß alſo A00=- — ſey. Alsdann iſt der Bogen

Qa = A Q = 2, unddaher der Winkel ac = — = Rcd,

geicun und wenn man cd = CD = b macht, der Punkt 4 in der

Curve Dd. Man faͤlle aus ihm auf die Axe die ſenkrechte
Linie db herab, und eben ſo ſtelle man cm aus e auf die
Axe ſenkrecht, und ziehe außerdem on der Axe Ob parallel.

Da der Winkel Ron = A0 = iſt, ſo wird der Winket

den = -=- - = Ata⸗
4 GC
und daher bekommt man

dn = b. ſin õl und en = b. co .L.t H
20 . GC

Da ferner O C = O c = a † c iſt, ſo wird

77 V
cm — (a † c). fin. c; und Om = a 1† c). coſ. =.

Nennt man alſo die rechtwinkliged Eoordinaten ob=
und Pd = y, ſo wird .

EEe 3 JJ =

433 8 Zieytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel.

=eteet tb 1 11
, und
=üt&⅓ Gn. - 4 b. ſin

Hieraus erhellet, daß die unbefannte Groͤße 2, wenn
eine rationale Zahl iſt wegen der alsdann ſtatt findenden
Lommenſurabilitaͤt der Winkel und 8 wegge⸗
ſchafft . und alſo eine algebraif ſche Gl Gleichung zwiſchen den
unbekannten Groͤßen und y gefunden werden kann. In

den uͤbrigen Faͤllen iſt die auf dieſe Art beſchriebene Curve

eine tranſcendente.
Wenn man a negativ nimmt, ſo iſt die ſich ergebende

Cürve eine Hypocycloide, indem alsdann der bewegliche

Kreis innerhalb des unbeweg lichen faͤllt. Gemeiniglich ſetzt
man b dem Halbmeſſer a gleich, und dann entſtehen die

eigentlich ſogenannten Epicycloiden und Hypocycloiden. Die
hier gefundenen Curven erſtrecken ſich alſo weiter, und weil

ihre Gleichungen nicht ſchwerer ſind, hat es mir nicht
undienlich geſchienen, dieſe Bedingung hinzuzufuͤgen. Wenn
man die Qu drate XX und yy addirt, ſo wird

XX 1. yy = (a † ) † b⸗ 1 2 b ( 4 c). col.

und vermitte lſt dieſer Gleichung wird die unbefannte Groͤße

2 noch leichter weggef ſchafft, wenn die Groͤßen a und c com⸗
menſurabel ſind.

K. 524.
Außer dem Faͤllen, in welchen die Halbmeſſer der
Kreiſe a und c unter einander tommenſatabel ſind, und die
Curven

darden

wern b
Mittelp

y.

18

.

hriebene Cn

Z Abeſe de Ne

9 ſ, ddi

(de

Von den tranſcendenten Eurven. 439

Curven algebraiſche werden, iſt auch der zu bemerken,
wenn b = — a — c iſt, oder wenn der Punkt D in den
Mittelpunkt O des unbeweglichen Kreiſes faͤllt. Es ſey alſo
b — — a — C

ſo iſt
xX † yy=2 (a † c)⸗ 2 (1 — coſ. — — = 4 G )2(coſ⸗

*ℳ

und daher wird

2 7. . V 6 X X
col 2 = † yy)
2² 2 (a † c).

Da hiernaͤchſt

—

„= ( † c) (coſ. 2 — — Eéoſ. Ar.
a c
und
= ( † 6)(ſn. = — ſn. Q.. A)
a G
iſt, ſo wird — J 7
xX (2 a † c) 2
. 2ac VCXXT yY)
und

cof. 21 2 = — „
234 cü Vi

Da nun V (xx †yy) = 2G † ) cof = — ſ, ſo wird

2
2 = 2 (2 † c). col. . ſin. 21
2 àa C Sÿ”M
(2 a c)
rrrn n — I. .
= 2G 4 *). cof. di. — —
Ce 4 H SS “

2

440 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel.
Es ſey z. B. c = 2 a, ſo wird

L „ 2 2
X = 6 a. coſ. —. ſin. —
2 A

und
y = — 6 a. coſ. —. coſ. —
2a a
und
VG 1 77) = 6 a. gol

Man ſete e⸗ cot⸗ = 4, ſo wird ſin. 2. = V. G-— 39;

fin. = 2 4q V (I — qq), und coſ. — 2 qq — 1:

folglich
VCxx 1
M õ 6a
urnnd
y — 6 àa q (2 q 4— D = (— 2 q) V. Ex † yy)
= (1 — U 2) V (xx yY)
. oder

I8aay = (1 82 a — xx — yy) V (x † yy).
Setzt man 18aa = ff, und nimmt dabey die Quadrate, D
ſo bekommt man folgende Gleichung der ſechsten Ordnung:

(XKXx † yy) 3 = 2 ff (Xx † yp2 † fAxx = 0o.

Da es jetzt nicht unſere Abſicht iſt, algebraiſche, ſondern
tranſcendente Curven zu betrachten, ſo wollen wir dieſe .
Curven fahren laſſen, und zu ſolchen tranſeendenten Cur⸗

ven fortgehen, deren Conſtruction ſowohl Logarithmen als
Rreishogen erfordert.

N!
Ae,
ſa
gatio
ber t

e eſcnit

de Ne Ne

denn ⸗

ntthnen 4
V

Von den tranſcendenten Curven. 441
§. 525.

Eine ſolche Curve haben wir ſchon oben § 5II aus der
Gle ichun

„ 1V — 11.— V — 1 1
gefunden, welche wir in folgende
y = coſ. A. Ix
erwandelten. Nun ergiebt ſich aus dieſer ferner
A. cofſ. y

A. coſ. y = Ix; und X = e

und nimmt man daher, Fig. 107, die gerade einie AP zur
Axe, und in ihr A zum Anfangspunkte der Abſciſſe en an, ſo
iſt zuvoͤrderſt klar, daß jenſeits A, da, wo die Abſciſſen ne⸗
gativ ſind, kein continuirlicher Theil der Curde iſt, daß

aber die Axe AP von der Curve in unzaͤhligen Punkten O.
geſchnitten wird, deren Entfernung von A in einer geome⸗

*

triſchen Progreſſion ſtehen. Es iſt nemlich AD =e 2;

ADI e?; A De = ez; AD3 = e 2; 2c. Auch giebt

es unzaͤhlige Durchſchnitspunke die naͤher nach A liegen;

AD-T = e 2 ; A D -2 = e 2= 2 AD- 3 = e 2 ꝛc.

Ferner laͤuft dieſe CLurve zu beyden Seiten der Axe bis zu

den Entfernungen A B = A C = I fort, und beruͤhrt da⸗
ſelbſt die mit der Axe⸗ parallel gezogenen geraden Linien in
unzaͤhligen Punkten E und F, deren Entfernungen von Bund C
ebenfalls eine geometriſche Progreſſion geben. Es naͤhert

ſich alſo die Curve der geraden Linie B C durch unzaͤhlige

Bogen, und faͤllt endlich ganz mit ihr zuſammen. Die die⸗
ſer Curve eigenthuͤmliche beſondere Beſchaffenheit beſteht
alſo darin, daß nicht eine unendliche, ſondern eine endliche

gerade Linie BC ihre Aſomptote iſt, und duech dieſe Eigen⸗

Ees ̃ ſchaft

442 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel.

ſchaft iſt ſie von den gigebraif ſchen Curven hinlaͤnglich ab⸗

geſondert.

5§. 526.
Zu den tranſcendenten Curven, zu deren Conſtruction
Winkel, entweder allein, oder mit Logarithmen verbun⸗
den, erforderlich ſind, gehoͤren auch die unzaͤhli igen Arten
der Spiral Linien. Es beziehen ſich aber die Spiral⸗Li⸗
nien auf einen gewiſſen feſten Punkt C, Fig. 108, als auf
einen Mittelpunkt, und erſtrecken ſi ch um denſelben ge⸗

meiniglich in unzaͤhligen Bogen. Die Natur dieſer Curven

laͤßt ſich am bequemſten durch eine Gl leichung zwiſchen der

Entfernung C M irgend eines Punkts der Curve M vom

Mittelpunkte C, und dem Winkel ACM, den dieſe gerade
Linie CM mit der der Lage nach gegebenen geraden Linie CA

macht, ausdrucken. Es ſey alſo der Winkel ACNM = s, oder s
der Bogen eines mit dem Halbmeſſer = r beſchriebenen Krei⸗

ſes, welcher das Maaß des Winkels ACM ausdruckt, und die
gerade Linie C M = z. Wenn bey dieſen Vorausſetzu ingen

eine Gleichung zwiſchen den veraͤnderlichen Groͤßen s und 2

gegeben iſt, ſo iſt ſolches eine Gleichung fuͤr eine Spiral⸗
Linie. Da nemlich der Winkel ACM außer s auf unzaͤh⸗
lige Arten ausgedruckt werden kann, indem die Winkel
2⁷% s; 47 † s; 62æ † s; ꝛc., desgleichen — 27 † s;
— 4 7 † s; ꝛc. eben die Lage der geraden Linie C M geben:
ſo erhaͤlt, wenn man dieſe Werthe anſtatt s in die Glei⸗
chung bringt, die Entfernung C M unzaͤhlige von einander
verſchiedene Werthe, und es ſchneidet demnach die gerade
Linie C M, verlaͤngert, die Curpe in unzaͤhligen Punkten,
wofern nicht 2z aus dieſen Werthen imaginaͤr wird. Um
von dem einfachſten Falle anzufangen, wo y = as iſt; ſo
ſind dabey die Werthe von y fuͤr einerley Lage der geraden
Linie

e
deie
Jae
er
Po 7

irnt
einande
den, oh
Dorchne

Erfider

Gächa
Na D

ichch

ruction
herbun⸗
Arten
aAlei⸗
„Geanf
elben d
Curden
hen der

=

.

Cets
n Kei⸗

—

ee
.

1sund¹

ander
gercde
Punten
d. n
siſt
guinh
e

6

Von den tranſcendenten Curven. 443

Linie C M. folgende: à (2 * † s); à (47 † 8); a (6 † s) ꝛc.

desgleichen — a(27 — 8); — a( 47 — ); ale — ) ꝛ:c.
Ja es bleibt die Lage der geraden Linie C M dieſelbe, wenn
man fuͤr s d den Bogen æ= †s ſetzt, nur daß man den Werth

von 2 negativ nehmen muß; und man hat, daher zu den an⸗

gefuͤhrten Werthen von 2 noch folgende zu ſetzen: — a
( † s); — a (37 † ⁸); — a (5 T s); ꝛc. und dann auch

noch dieſe a (7 — s); a (3 7 — 8⁸); aà (57 — 8) ꝛc. Die
Geſtalt dieſer Curve iſt demnach ſo, wie die 109te Figur

dieſelbe darſtellt. Sie beruͤhrt nemlich die gerade Linie A C

in C, und erſtreckt ſich von da in zwey Schenkeln, die ſich

in unzaͤhligen Bogen um den Mittelpunkt C winden, und
einander in der Linie BC, welche auf A C ſenkrecht iſt, ſchnei⸗
den, ohne Ende fort, und hat die gerade Linie B CB zum
Durchmeſſer. Man nennt aber dieſe Curve nach ihrem
Erfinder die Archimedeiſche Spiral⸗Linie; und hat man
ſie einmat beſchrieben, ſo kann man ſich ihrer, wie aus der

Gleichung? = as von ſelbſt einleuchtet, bedienen, um je⸗

den Winkel in jede beliebige Anzahl von Theilen zu theilen.

So wie die Gleichung 2 = a s, die, wenn 2 unds recht⸗
winklige Coordinaten waͤren, eine Gleichung fuͤr eine ge⸗

rade Linie ſeyn wuͤrde, die Archimedeiſche Spiral⸗ Linie

gegeben hat: ſo erhaͤlt man daraus, wenn man andere
algebraiſche Gleichungen zwiſchen 2 und s annimmt, un

endlich viel andere Spiral l-⸗Linien, wofern nemlich die

Gleichung ſo beſchaffen iſt, daß zu jedem Werthe von s

reelle Werthe von 2 gehoͤren. So giebt die Gleichung

2
— —

S

weiche der Gl eichung fuͤr die Hyperdel zhnlich iſt, wenn

Diune⸗

—

„

7 .

444 Zweytes Buch. Ein und zwanzigzſe⸗ Capitl.

dieſelbe auf die Aſymptoten bezogen wird, die Spiral⸗ einie,

welche Johann Bernoulli die hyperboliſche Spiral⸗Linie

nennt, und welche ſich, nachdem ſie aus dem Mittelpunkte

C in unzaͤhligen Bogen ausgegangen, endlich in einer un⸗
endlichen Entfernung der geraden Linie A A als einer Aſym⸗

ptote naͤhert. Wenn man die Gieichung
2Z = à V 5

ſeyn laͤßt, ſo gehoͤrt zu den Winkeln s, negativ genommen,
keine reelle Entfernung 2; dagegen entſpricht jedem poſiti⸗
Dden Werthe vons ein doppelter Werth von 2, ein poſitiver

—

und ein negativer; die Spiral⸗Bogen um C ſind indeß
ohne Ende. Iſt die Gleichung zwiſchen 2 nnd s von fol⸗

S gender Art:

= a V(nn — ss)

ſo hat die veraͤnderliche Groͤße 2 keinen reellen Werth, au⸗
ßer wenn s zwiſchen die Grenzen † n und — n faͤllt, und
es iſt daher die Curve in dieſem Falle endlich. Legt man
nemlich, F Eig. 110, durch den Mittelpunkt C die gerder
Linien EF, EpF, ſo daß ſie mit der Axe ACB den Winkel =

machen, ſo beruͤhren dieſe Linien die Curve in C „und die

Curve ſelbſt bekommt die Ge eſtalt einer Bandſchleife ACBCA.
Auf ähnliche Art kann man die Geſtalt unzaͤhliger anderer

tranſcendenten Linien beſtimmen; z allein wir wuͤrden zu

weitlaͤuftig werden, wenn wir uns laͤnger. dabey verweilen

wollten.

. 528.

Einen unendlichen Umfang bekommt vollends dieſe Un⸗
terſuchung, wenn man nicht bloß algebraiſche, ſondern
auch tranſcendente Gleichungen zwiſchen z und s nimmt
Unter den Curven, welche man dann findet, verdient vor⸗

zuglich die gemerkt zu werden, die durch die Gleichung

2 2

gen
Mnon
Cuſtil
ſhaft
Fig
Wulk
ſete
A⸗

Donn ne
wied

men,
hoſiti⸗
hoſiüͤder
d inde,

von ſoh

66

Von den tranſeendenten Curvden. 445

2
8⅛⁹ =— n1. — Hr
1. “

ansgedruckt wird. Hierbey ſind nemlich die Winkel §
den Logarithmen d der Entfernungen proportional, weswe⸗

gen auch dieſe Curve die Logarithmiſche Spiral⸗Linie

genannt wi ird, ſo wie ſie wegen ihrer vielen beſondern Ei⸗
genſchaften eine ſehr bekannte Curve iſt. Die Haupteigen⸗
ſchaft derſelben iſt, daß alle aus dem Mittelpunkte C,

Fig. 1II, gezogene gerade Linien die Curve unter gleichen
Winkeln ſchneiden. Um eine Gleichung dafuͤr zu erhalten,

ſetze man den Winkel ACM = s, und die gerade Linie

CM = 2, ſo iſt
8ͤ

2
s = n1. — ; und z = ean.
a

Dann nehme man einen grͤßern Winkel ACN — ⁸ 1 v, ſo
wird
88 V
CNSaenen
und folglich, nachdem man aus dem Mittelpunkte C den
Bogen ML. beſchrieben hat, der =ͤ 2v ſeyn wird
8 x „ 22 3
LNS= aen (e1 — 1) = ae (n † zns † En7 † ꝛc.)

„

Hieraus fließt
ML— V —
rN 1 1 — 1
2nz2 6 e,

—

1 † V 4 — 4 ꝛ
zu enn

WDmienn

OYUW 446 Zweytes Buch. Ein und zwanzigſtes Capitel.
Wenn aber die e Differenn der Winkel MCN= v verſchwin⸗ . 1
det, ſo wird — die Tangente des Winkels, welchen der
Halbmeſſer chn mit der Curve macht; und wenn alſo v= o 4
genommen wird, ſo iſt die Tangente dieſes Winkels A MC= n
und alſo eine beſtaͤndige Groͤſe. Wenn n = I iſt, ſo iſt die⸗
ſer Winkel ein halber rechter Winkel, und in dieſem Falle
wird die logarithmiſche Speeial⸗ Linie balbrechtwinklig ge⸗
Rnannt. . Uuof
Late
luct,
5
ſe Oer
804
. Ud wenn
D fſd
. H 81
Mauf⸗
ſtrſoke
4 Vogens
imhen
den ⸗
175
= abſeht

Zwey und zwanzigſtes Capitel.
Aufloͤſung einiger den Kreis betreffender Aufgaben.

F. 529.
Wir haben oben geſehen, [im erſten Buche im achten
Capitel!, daß, wenn man den halben Umkreis durch „. aus⸗
druckt, der Bogen von 1800, oder
* = 3,14159265358979323846264338
iſt. Der gemeine Logarithme dieſer Zahl iſt
= 0,497149872694133854351268288
und wenn man denſelben durch 2, 30258 zc. multiplicirt, ſo
findet man den hoperboliſchen Logarithmen eben dieſer Zahl
= 1,1447298858494001741434237
Da auf dieſe Art die Laͤnge eines Bogens von 1800 bekannt
iſt, ſo kann man auch die Laͤnge jedes in Graden gegebenen
Vogens in Zahlen ausdrucken Iſt alſo ein Bogen von n
Graden gegeben, und ſeine Laͤnge = — 2, ſo iſt

I180: n = : 2

folglich

und den Logarithmen von 2 findet man, wenn man von
dem Logarithmen von n die Zahl

I. 758 122632409172215452526413
abzieht. Wenn aber der gegebene Bogen in Minuten aus⸗

448 Zwehten Buc. Zwey und zwanziſtes Capitel.

gedruckt, und alſo n’ gegeben iſt, ſo muß man von dem Lo⸗
garithmen von n dieſen Logarithmen abziehen:
3,5 36273882792815847961293211
Iſt endlich der Bogen in Secunden gegeben, und alſo = n“;

ſo findet man ſeinen Logarithmen, wenn man von dem Lo⸗

garithmen der Zahl n den Logarithmen
5, 3 144251331764594804700600ονn“
ſubtrahirt, oder zu dem Logarithmen der? Zahl n
4,685 574866823540519 529939990
addirt, und von der Charakteriſti der Summe 10 abzieht.

§. 530. .

umgekehrt laſſen ſich hiernach der Hal bmeſſer und alle
Theile von ihm, dergl eichen die Sinus, die Taugenten
und Secanten ſind, in Bogen verwandeln, und dieſe Bo⸗
gen dann auf die gewoͤhnliche Art in Graden, Minuten
und Secunden ausdrucken. Es ſey eine ſolche durch den
Halbmeſſer 1 und Decimaltheile von ihm ausgedruckte Linie.
Man nehme ihren Logarithmen, und ſetze zu der Charak⸗
teriſtik deſſelben 10 hinzu, um dieſen Logarithmen ſo zu er⸗
halten, wie er in den Tafeln der Sinus, der Tangenten
und Secanten ausgedruckt zu ſeyn pflegt. Alsdann ſubtra⸗
hire man davon =ð
,6855748668235405195299399900
oder addire dazu
5,3144251 3317645948470060009
wo denn in beyden Faͤllen der Logarithme ſich ergiebt, deſ⸗
ſen zugehoͤrige Zahl den Bogen, in Secunden ausgedruckt,
giebt. Im letzten Falle muß man die Charakteriſtik um 10

verkleinern. Wird aber ein Bogen geſucht, welcher dem
Halbmeſſer gleich ſey, ſo findet man denſelben leichter ohne

Logarithmen vermittelſt der Regel de Tri, da æ zu 1800
ſch

—

„
—

Uuf

ſch
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Und n
den ſn,
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folgende

Eulers

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nagcrutt
tiſtik un l.
veſchet ten
ihmn e
,,

1

Auſloͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 449

ſich verhaͤlt, wie 1 zu dem Bogen, der dem Halbmeſſer

gleich iſt. Auf dieſe Art findet man dieſen Bogen in Gra⸗
den ausgedruckt =
, 570, 29577951308232087679
und eben dieſer Bogen iſt in Minuten =
3437974677078493925260788
und in Secunden =
206264“, 8062470963551564728
Nach der gewoͤhnlichen Beſtimmung aber hat derſelbe
570, 177 , 44“, 485“, 22“““, 29““, 21“
und nach den Reihen, die im erſten Buche gefunden wor⸗
den ſind, wird ſein
Sinus = 0,841470598480514, und ſein
Coſinus = 0,54030230584341
Dividirt man jene Zahl durch dieſe, ſo findet man die Tan⸗

gente des Bogens oder Winkels von 570, 17, 44“, 4811
22“”6, 29“”16, 211** de⸗

8 531.

Dies vorausgeſetzt, ſind wir im Stande, ſehr viele
Aufgaben, welche den Kreis betreffen, aufzuloͤſen. Zuvoͤr⸗
derſt iſt bekannt, daß jeder Bogen groͤßer iſt als ſein Si⸗
nus, wofern er nicht etwa ſelbſt = 0 iſt. Bey den Coſi⸗
nus hingegen verhaͤlt es ſich anders, indem der Coſinus
eines verſchwindenden Winkels = 1, alſo groͤßer als der
Bogen, und der Coſinus des rechten Winkels = o, folglich

kleiner als der Bogen iſt. Hieraus erhellet, daß zwiſchen

den Grenzen o0 und 90 ein Bogen ſich finden muͤſſe, der
ſeinem Coſinus gleich iſt, und dieſen wollen wir durch die
folgende Aufgabe zu finden ſuchen.

Eulers Einl. in d. Anal d. Unendl. Il. PY. Ff AErſte

450 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes , apitel.

Erſte Aufgabe.
Den Kreisbogen zu finden, der ſeinem Coſinus gteig in

Aufloöͤſung.
Es ſey s dieſer Bogen, ſo iſt Ss =
ſer Gleichung laͤßt ſich der Werth vons ſchwerlich auf eine
bequemere Art, als durch die ſogenannte Re gel Falſi finden.
Dazu muß man den Werth von s ſchon beynahe ken⸗
nen, wozu eine leichte Muthmaſſung fuͤhren kann. Iſt ſol⸗
ches aber nicht bekannt, ſo muß man drey oder mehr Wer⸗
the fuͤrs ſetzen, und den Coſinus nach eben der Einheit aus⸗
drucken. Es ſey s = 300. Um dieſen Bogen nach der
gegebenen Regel auf Theile des Halbmeſſers zu bringen,
ziehe man
vom l. 30 = 1,477 1213
ab r,75 8122 6
ſo bleibt l. 300 = 9,7 18998979
Es iſt aber
1. coſ. 30 = 9,9 375 306
und folglich der Coſinus von 300 viel groͤßer als der Bo⸗
gen, und alſo der geſuchte Bogen groͤßer als 300. Wir
wollen annehmen, daß
„S = 409
ſeh, ſo iſt
li. 40 = 1, 6020600.
zieht man ab 1,7581226 ſo bleibt
IL. A. 40° 9,8439374.

Es iſt aber
1. col. 40 = 9,8842540

und alſo der geſuchte Bogen etwas groͤßer als 400⁰. Wir

wollen alſo annehmen „daß 8s = 45° ſey. Alsdann iſt

coſ.s; allein aus die⸗

uf

Kaad
hete Gre

—

1 tol

Denig
don 8 en

Dioſe D

is

aus di⸗
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ahe ken⸗
W
nche Der⸗
Finheters
n
u bringen

1 der D
. Wie

e. N.

onn i

—

Aufl ſung einiger den Kreis betteffenden Nufiben 45 1

1.4 5 = 1,65 32 125
abgezogen 1,75681226 ſo bleibt
1. A. 450 = 9, 895 0899
Es iſt aber
l. coſ. 45ü° = 9,8494850
und es faͤllt alſo der geſuchte Winkel zwiſchen 400 und 45 °,
und laͤßt ſich naͤherungsweiſe beſtimmen. Denn ſetzt
man s = 400, ſo iſt
der Fehler = † 403 1 66
ſetzt man aber s = 45 ſo iſt äs
der Fehler = 4 5 6049, und folglich
die Differenz = 859215.
Man ſetze alſo: wie ſich 859215 zu 403166 verhaͤlt, ſo
verhaͤlt ſich die Differenz der angenommenen Winkel 50° zu
dem Ueberſchuſſe des Bogens uͤber 400. Hierdurch findet
man den geſuchten Bogen groͤßer als 420, denn jene Gren⸗

zen ſind zu weit von einander entfernt, als daß wir hier
genauer ſollten beſtimmen koͤnnen. Wir wollen alſo naͤ⸗

here Grenzen nehmen

s = 4 SS= 430

1.8 = 1,6232493 1,63 34685
abgezogen 1,75 8122 6 1,75 8 12 26
1.5 = 9,865 1267 9,8753459
und es iſt und es iſt
1. coſ. s = 9,87107335 „,8641275
1† 5 9460 68 — 1I121 84
1112 1984 ““”

171652: 59468 = = 10: 20, 476.

Die naͤchſten Grenzen, zwiſchen welchen der wahre Werth
von s enthalten iſt, ſind daher 420, 20“ und 420, 21˙.
Dieſe Winkel wollen wir auf Minuten bringen

N *

452 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel.

S = 214 S= 25 41“
18 = 3,4048337 3,4050047
abgezogen 3,5362739 3 5362739
18 = 9,8 685598 9,8687308
1. coſ. s = 9,8687851 9 8686700
1 2253 — 608
608

2861: 2253— 1¹: 427: 141
4 4

Hieraus folgern wir, daß der geſuchte Bogen, der ſeinem

Coſinus gleich iſt = 420, 40, 47“, 14““ ſey, und ſein Co⸗
ſinus oder die Laͤnge des Bogens iſt = 0,7390847

Ein Kreisausſchnitt ACB, Fig. 112, wird von der
Sehne A B in die beyden Theile, den Abſchnitt AEB, und
das Dreyeck A CB getheilt, wovon jener kleiner iſt als die⸗
ſes, wenn der Winkel A CB klein, groͤßer aber, wenn der
Winkel AC B ſehr ſtumpf iſt. Es giebt alſo einen Fall, wo
der Ausſchnitt ACB durch die Sehne AB in zwey gleiche
Theile getheilt wird und daher entſteht die
Iweyte Aufgabe.
Den Kreisausſchnitt ACB zu finden, welcher von der

Sehne A B in zwey gleiche Theile getheilt wird, ſo daß das

Dreyeck ACB dem Abſchnitte A E gleich iſt.
Aufloͤſung. .

Nachdem man den Halbmeſſer AC = I, geſetzt,

AE = BE = s. ZSieht man daher den Halbmeſſer CE,
ſo wird 4Z
A F= ſin. s, und CF = coſ. s.
Hieraus fließt
AACB =S ſin. s. coſ. § = ¾ ſin.
und der Ausſchnitt

ACB ☛ s.

235

Da

ſo ſey
der geſuchte Bogen AEB = 28, und folglich ſeine Haͤlfte

lſcͤ

Da al
cke gle

i Lor

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1
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= 1 = = 1 —

N ſiren

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RNNDN NN
er iſtoki⸗
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n Nee

a de
d

et
ſeine hilfe
lneſe l,

R

Aufloöͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 453

Da alſo dieſer Ausſchnitt dem doppelt genommenen Drey⸗

ecke gleich ſeyn ſoll, ſo iſt s = ſin. 2 8, und es muß daher
ein Vogen geſucht werden, welcher dem Sinus des dop⸗
pelten Pogens gleich iſt. Zuooͤrderſt iſt nun klar, daß der
Winkel A CB groͤßer als ein rechter Winkel, und folglich s
auch groͤßer als 45° iſt, und wir wollen daher folgendes
annehmen.
5 = 500 = 55 5 = 540
18 = 1,6989700 1,7403627 1,7323938
abgezogen 1,7581226 1,7581226 1, 7581226
9,9408474 9,982240 1 9,9742712
1. ſin. 28 = 9,9933515 9,9729858] 9, 9782063
† 525041 — 97343. † 39351
92543
617584: 525041 = 50: 40, 154
Es iſt alſo beynahe s = 54⁰°, 150, und wir wollen da⸗

her zu den vohergehenden Annahmen s = 540° ſetzen, wo

denn aus den Fehlern s = 540, 17 54“ geſchloſſen werden
kann. Dieſer Werth weicht um keine Minute ab, und
wir wollen daher folgende Annahmen verſuchen, die bloß
um eine Minute von einander abweichen.
s = 54°, 17 8 = 54⁰, 188 = 54⁰, 19,

oder oder oder
s = 3257 5 = 3258 8 = 32597
und . und und
28 = 1080, 34 25 = 1080, 36 2 8S = 1080, 38
das Compl. = 710, 26 = 710, 24 710, 22°

18 = 3,5128178 3,5129511 3,5130844
abgezogen 3,5362739 2, 5362739 3,53627309
18 =— 9,9765429 9,9766772 9,9763105
1. fn. 28 = 9,9767872 2. 9767022 2 9766171
k 243ͤͦ3 2350 — 1934
— —³²4 L
2184 1
Ff 3 Man

454 Zweytes Buch. Zwey und mwenfiſtes Caditel.
Man ſchließe alſo

2184 : . 250 = — I1: 60, 52
Hieraus wird s = 540, 18 6“, 526.

Tafeln brauchen, und daraus wollen wir folgende um 10“
von einander abweichende Annahmen entlehnen:

Wenn man dieſen
WMWirnkel genauer beſtimmen will, ſo muß man dazu groͤßere

= 54⁰, 18 0 8s = 540, 18/9 10“
oder— — oder
s = 195480“ = 195490“
28 — 1080, 36/ 0% 28 = 108⁰, 36 20
das Compl. = 710, 24% 0 71,, 23, 40“
18 = 5,2911023304 5,29 1124546 6
abgezogen = 5,3 144251332 5,3144251332
292,976677197 979 766994134
I. ſin. 2 S = 9,0767022291 9,9 766880552
— —— . 2539 — — 113582
113582
363901:250319210: 6˙52 „43 , 337
Es iſt folglich —
8 = 54°, 189 6“, 52 4, 43˙81, 33“8366, und alſo
der Winkel ACB = 1090,36 /130,45 “, 27“, 69 “, und ſein

Complement — 71 0,23 /46 4, 14“, 3291, 54““
ſo wie der Logarithme des Sinus davon, oder
1. ſin. 28 = 9, 976692471
und
der Sinus ſelbſt = o, 9477470
Ferner iſt
ſin. s = AF = B F = 0, 8121029
und alſo ſein Doppeltes oder
die Sehne A B = I, 6242058.
Endlich iſtt
der Coſinus CF = 0, 5335143
“ und

I =.

In iſſt d
N
Ueibt d
deſen 9
Als ſie⸗

an ſet

ſen
geforde

han dieie
gebſer
den

,10“

/,mdoſt
undſcie

un
lder

“

–

Aufloͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 455

und hiernach kann man den geſuchten Ausſchnitt naͤherungs⸗

weiſe verzeichnen.

§. 533.
Auf aͤhnliche Art laßt ſich der Sinus beſtimmen, wo⸗
durch der vierte Theil eines Kreiſes in zwey gleiche Theile
getheilt wird.
Dritte Aufgabe.
In dem Kreis⸗Quadranten ACB, Fig. 113, den Si⸗
nus DE zu verzeichnen, welcher die Ebene des Quadranten
in zwey gleiche Cheile theile.
Aufloͤſung.
Es ſey der Bogen AE = 8, ſo iſt B E = 7 —s;, weil

A E B = — iſt, und der Inhalt des Quadranten — – æ.

Nun iſt der Inhalt des Ausſchnitts ACE = 2æ s, und da⸗
von das Dreyeck C CDE = ⅛ ſin. s. coſ. s abgezogen, ſo
hleibt der Raum ADE = ⅝ S –— ¾ꝭ ſin. s. coſ. s uͤ
deſſen Zwiefaches dem Quadranten gleich ſeyn ſoll. dier⸗

aus fließt

4 = £ — g fin. 2 S
und daher
8. — ¼ 7% = ⅞ ſin. 25

Man ſete den Bogen s — 7 = s — 45° = u, ſo wird

258 = 90 † 2 u
und es muß folglich
u = ½ coſ. 2 u; und 2 u = coſ. 2u
ſeyn. Da alſo ein Bogen verlangt wird, der ſeinem Co⸗
finus gleich ſey, und wir denſelben in der erſten Aufgabe
gefunden haben⸗ H wird
= 42⁰°, 20˙, 47“, 14“
Sf4 und

456 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel.

und
u = 21, 1060, 23 37566
Hieraus ergiebt ſich der Bogen
AE = $ = 66⁰, 10 23“, 377
und der Bogen
BäE = 230, 49 3 2, 23““
und daher iſt ferner
ed= = 0,4039718 und AD = 0, 5960281
und der Sinus
DE = O „9147711I.
So wie auf dieſe Art der Quadrant eines Kreiſes in zwey
gleiche Theile getheilt wird, ſo laͤßt ſich auch die Theilung
des ganzen Kreiſes in acht gleiche Theile bewerkſtelligen.

So wie jede durch den Mittelpunkt eines Kreiſes ge⸗
zogene gerade Linie den Kreis in zwey gleiche Theile theilt,
ſo laſſen ſich auch aus jedem Punkte der Peripherie gerade
Linien ziehen, welche den Kreis in drey oder mehr gleiche
Theile theilen. Wir wollen jetzt die Theilung in vier gleiche
Theile unterſuchen, und aufloͤſen die

Vierte Aufgabe.

Aus einem Punkte A eines gegebenen Halbkreiſes AEDB,
Fig. 114, die Sehne A D zu ziehen, welche die Ebene des
Halbkreiſes in zwey gleiche Theile theile.

Aufloͤſung.
Es ſey der geſuchte Bogen AD = =8, ſo iſt, wenn man
den Halbmeſſer CD zieht, der Inhalt des Ausſchnitts ACD
= ¾8; und zieht man davon das Dreyeck ACD = 3 AC.
DE = ¾ fin.s ab, ſo bleibt der Abſchnitt A D = . 8 — *
ſin. s abrig welcher der Haͤlfte des Halbkreiſes gleich ſeyn
ſoll.

4

Pm
eeveg

nrit

dede

ufd
i
freiſes

ueſe g

ſo ein
wchei
Rreiſeg
den o⸗

NNs
Saen
ſen

6e
freis 8

s in we⸗
Aheien
ligen

Kreiſp
eile thel⸗
nie gerade
nche goc
hiergeich

teiſs0,
Etne t

wenn man
Nits A
=-
glicſer

Aufloſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 457

ſoll. Es iſt aber der Inhalt des Halbkreiſes = = β*, und
daher

5 — (n. S = à = 900
folglich
§ — 900⁰ = ſin. s
Man ſetze s —– 90⁰⁰ = u, ſo wird ſin. s = coſ. u, und

deswegen
u = coſ. u⸗

Nun iſt nach der erſten Aufgabe
u = 3 42°, 2077 47“ 14“4
alſo
s8s &Sπ ACD = 1320, 20 47“, 14““
BCD = 47⁰, 399 126, 465“
Die Sehne A D ſelbſt aber iſt S 1, 8295422.

§. 535.
Auf dieſe Art ſchneidet man alſo von einem Kreiſe einen
Abſchnitt ab, deſſen Inhalt dem vierten Theile des ganzen
Kreiſes gleich iſt, der Abſchnitt aber, der dem halben

Kreiſe gleich iſt, iſt der Halbkreis ſelbſt, und ſeine Sehne

alſo ein Durchmeſſer. Auf aͤhnliche Art kann man den
Abſchnitt finden, welcher den dritten Theil vom ganzen
Kreiſe ausmacht, und damit wollen wir uns in der folgen⸗
den Aufgabe beſchaͤftigen.

Fuͤnfte Aufgabe. .
Aus dem Punkte des Umkreiſes A, Fig. 115, zwey
Sehnen A B, AC zu ziehen, wodurch der ganze Kreis in
zwey gleiche Theile getheilt werde.

Aufloͤſung.
Setzt man den Halbmeſſer =ͤ 1 und den halben Um⸗

freis = ⸗æ, desgleichen den Bogen & B oder AC s; ſo

Sf G4 ſ

„

458 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel.

iſt der Inhalt des Abſchnitts AKB oder AFC = 2 5 — *
ſin. s. Der Inhalt des Kreiſes aber iſt æ, und da alſo der

Inhalt des Abſchnitts A E BB der dritte Theil des Areiſes
ſeyn ſoll, ſo wird

S — ⅝ ſin. s = . = 600

oder
8 — ſin. s = 1200
und alſo
8 – 1200 = ſin. s
Es ſey 8 — 1200° = u, ſo wird
u = ſin. (u 1 120) = = ſin. (60 — )

Es muß demnach ein Bogen u ge⸗ eſucht werden, der dem
Sinus des Winkels 600— u gleich iſt, und es wird daher
u kleiner als 600 ſeyn. Um dieſen Bogen zu finden, neh⸗
men wir alſo feltendes a an

u = 200° u 30 uS 40
60 — u = 40⁰ 60 — u = 300 60 — U 20 0
lu = 1 ,3010300 1,4771213 1,6020600

abgezogen. 1,7581226 1581226] ,531226

Iu = 9,5429074 9,7189987 ₰,/8439374

Hn. (60 — u) = 9,50906 5 96989700] 9,6340517
P2651601 — 200287 — 3098657

Es faͤllt alſo in die Augen, daß u etwas kleiner ſey als 300,

und rechnet man, ſo findet ſich, daß es groͤßer ſeyn muß,

alſo 290. es⸗ ſey alſo

id

Erwd
iho in
Muneg

Aufloͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 459

P- H u = 29 G
e Nr 60 — u = 310⁰
dſ 1u = 1,4623980
abgezogen 1,7581226
lu = 9,7042754
1. ſin. (60 — ¹) = 97118393
75639
— 200287
275926: 75639 = = 10: 169 26“
Es wuͤrde alſo der Winkel u = 290, 16/, 26“ ſeyn. Um
ihn indeß noch genauer zu finden, brauche man folgende
Annahmen, wobey der Unterſchied nur eine Minute betraͤgt.⸗
u = 290, 16, unu= 2909 17“
oder dodder
, der den u = 1756 u = 1757 .
pic doher 60 — u = 30⁰ 44 60 — u = 30°43
fon, tet⸗ lu = 3,2445245 3,2447718
abgezogen = 3,5362739 3,5362739
lu = 9,70825060 9,7084999
“ .— Eo.e4 67S— — A
e x 2069 — 25²⁰⁹
1 —2 4: 27: o⸗
e 4598 : C2069 1 37 7
— Es iſt alſo genau
9 0071. u = 2900, 16/9, 27“, 0“
daher der Bogen
NR. 8 = AEB = 1490, 16, 27“, o = AFG
woher denn
,eb der Bogen BC = 610, 27, 6“, 0““
in nß 1 und die Sehne
AB = A C = 1,92 85340
wird

460 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel.

8§. 536.
Mit dieſen Aufgaben, welche Bogen finden lehren, die
einem gegebenen Sinus oder Coſinus gleich ſind, wollen wir
folgende verbinden, die zwar eben dieſes Geſchaͤfte zum
Gegenſtande hat, aber mit mehr Schwierigkeit verknuͤpft iſt.

Sechste Aufgabe.

Von einem Halbkreiſe AE B, Fig. 116 den Bogen AE

alſo abzuſchneiden, daß nach der Herabfaͤllung des Sinus
ED aus dem Punkte E, der Bogen AE der Summe der bey⸗

den geraden Linien AD † DE gleich ſey.

Aufloͤſung. “
Da hier ſogleich in die Augen faͤllt, daß der geſuchte
Bogen groͤßer iſt, als ein Quadrant, ſo wollen wir das

Complement deſſelben B E ſuchen, und den Bogen BE = s
ſetzen, wodurch AE = 1800 — s wird; und da auf

dieſe Art
AC = I; CD = coſ. s; DE = fſin. s
ſo hat man
180⁰° — §S = I † coſ.s † ſin. s
NRun iſt aber
n. S 2 fin. às. coſ. s; und 1 † coſ. S= 2 coſ. ¾ s. eoſ. s
folglich
1800 — s = 2 coſ. ½ s (ſin. s † coſ. ⅛s)
Nun iſt ferner

oſ. (45°— 3= ⸗ coſ. s † . ſin. 5 s

alſo
Gin. às † coſ. s = Vz. coſ. (450 — ¾ 5)
und daher
1800° — S = 2 V 2 coſ. ¾ s. coſ. (450 — ⅛ 8)
Nach dieſer Reduction wollen wir folgende Vorausſetzungen
brauchen. 48 =

*

luufb

beol

i ſil
o

ſcchen.

leel

ren, N
len we
i un
nhftif

gen Al
8Snns
W

geſuchte
nwed
nBE=
9 da

Aufloſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 461

5 = 200
450 — 2¾ §” = 25 °
1800°0 — S = 1400⁰

½ s = 210
450° — ⅛ Ss = 240⁰
1800 — S = 1380

1 (180 — ⁸) = 2,14612 8 d 2,1398791
abgezogen 1,7581226 1,7581226
I. (180 — s) = 0,3880054 0,3817565
. cof. 4 S = 9,9729858 9,9701517
I. coſ. (45° — ¾⅝ s) = 9,9572757 9,9607302
12 V 2 = 0,4515 40 „,45 15450
0,3818065 3824269
Abweichung † 61989 — 6704

6704

68693: 61989 = 10:
Es faͤllt demnach s zwiſchen die Grenzen 200, 54
200, 55 und wir wollen daher folgende Hypotheſen ver⸗

54
und

ſuchen.
½s = 200⁰0, 54 18 = 200u,55
450 — 2¾S = 240, 6, 450°— ⅝S = 24⁰, 5
s = 41⁰, 48 8 = 410,50½
1800° — s 1380, 12 1800— s = 1380, 10
oder oder
1800°— s = 8292 1800⁰0— 8 = 82900
1. (1800— s) = 3,9186593 3,9185545
abgezogen = 2,5362739 3,5362739
0,3823854 2 3822806
I. coſ. à1S = 9,9704419 9,9703937
L coſ. (45 — 4 8) = 9,9603919 9,9604483
I. 2 V2 = 0,45 15450 „, 4515450
2 3823788 ,38287 7
Abweichung † 66 — 1065
1065
31: 66 = 1: 3“, 30“

.

462 Zweykes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel.

Es iſt alſo 8 = 200, 54 3, 307“; folglich
8 = 410, 48, 7, 0“ = = BE
und der geſuchte Bogen
AE = 1380, 11 ½ 53“, 0““
die Linien D E und AD aber
DE = 0,6665578, und AD = 1,745435.

§. 537

Run wollen wir die Bogen mit ihren Tangenten ver⸗
gleichen „und da in dem erſten Quadranten die Tangen⸗

ten groͤßer ſind, als ihre Bogen, ſo wollen wir einen

Bogen ſuchen, der der Haͤlfte ſiner Tangente gleich ſey.
Dies giebt die
Siebente Aufgabe.

Einen Ausſchnitt ACD, Fig. 117, zu finden, welcher

die Haͤlfte des Dreyecks ACE ſey, welches zwiſchen dem

Halbmeſſer AC, der Tangente AE, und der Secante CE

enthalten iſt.

Auflöͤſung.
Setzt man den Bogen A D = s, ſo wird der Ausſchnitt
ACD = –εs, das Dreyeck ACE aber = ⅛ tang. s, und
es muß folglich
tang. S = s; oder 28 = tang. 5.
ſeyn. Wir nehmen aiſo folgende Hypotheſen zu Huͤlfe.

b⸗

Hiddue⸗
460

—

1.1t
Nwen

8 = 60⁰
1. 2 5 =— 2,079 1812
1,7581226

= 700

2,1461280
1,7581226

= 660

2,1205739
1,7581227

§8= 670⁰
2,1271048
1,7581226

1.28 =D 0,3210586
etang. s = =0,2385606
824930l=

9,4389341

— 509287

0,36245 13
,35 14169

† 110344

0,3689822
— 31659

Hiedurch

.

35

WRAWe⸗
die Kngen
wir eite
gleich ie.

den, vechet
niſben den

VNNN

usſcit
nt.

6
2,M
iN Pint
0 ce

Herh

Aufloͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 463

Hiedurch finden wir folgende genauere Grenzen fuͤr s; 660,
46 und 660, 42. Alſo ſey

8⁸ = 660, 466 8 = 6600, 47
oder odder
88 = 4006 8 = 40⁰7
2 5 = 8012 2 8 = 8014
1.2S8 = 3,9037409 3,9038493
3,5362730 3,5362739
1.2 8 = 0,3674670 , 3075754
1. tang. s = 0,3672499 „,3675985
Abweichung = † 217 — 231
2402:12171 = 14: 54“, 14“1

Es iſt demnach
der Bogen §8 = A D — 660, 46, 549, 14““
und daher
tang. AE = 2,33 II 220

F. 538.
Nun ſey folgende Aufgabe aufzuloͤſen:

Die achte Aufgabe.
Den Bogen AE, Fig. 118, eines gegebenen Kreisquas
dranten zu finden, der ſeiner Sehne AE gleich ſey, wenn
dieſelbe bis zu ihrer Zuſammenkuaft mit B C verlngert
wird.
. M Aufloſung.
Es ſey der Bogen AE = «§, ſo iſt ſeine Sehne A E= 2
ſin. ½s, und ſein Querſinus AD = I — coſ. s = 2 ſin. 4 s.
ſin. ¾ s; und die aͤhnlichen Dreyecke ADE und A CF geben
2 fin. 4 5. ſin. 55: l
2 ſey demnach

464 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel. uſo
8 = 70 99 s = 800s = 840 s8s = 85 G
1.S = 1,8450980 1,9030900 1,9242793 1,9294189 le
abgezogen 1,7581226 1,7581226 1,7581226 1,7581226
0,0869754 0,1449674 0,1661567 0,1712963
1. ſin. 5 S = 9,7585913 9,8080675 9,8255 109 9,8296833
9,8455667 9,9530349 9,99 16676 0,0009796
Abweichung O,154433 110,04696501 † 832231 — 9796 nti
Es iſt folglich s zwiſchen den Grenzen 84°, 53 und 840, a
54 enthalten. Es ſey daher ferner Negni
„ = 84⁰0, 53 „ 84, 54
oder odder ſeihe
8 = 5093 s = 5094 ln
A S= 42⁰, 26 ¾ 18 = 420, 27 Vogen
183 = 3,7069737 3,7070589
abgezogen 3,5362739 2536273) ger
0,1706998 0,1707850 nte
1üſin. ½ s = 9,8292003 9,8292694
OJ”ð”M 0,9999001 O,0000544
Abweichung 998 1 — 544
Hiersaus ergiebt ſich
der Bogen s = A E= 840, 53“ 38“, 5§1“ .
und n
der Bogen B E = 500, 6 21“, 91701.
lu ſilt.
g. 539. ſhehri
Obgleich in dem erſten Quadranten alle Bogen kleiner ni
ſind, als ihre Tangenten, ſo giebt es doch in den uͤbrigen N
Quadranten Bogen, welche ihren Tangenten gleich ſind, ſc
und dieſe wollen in wir in der folgenden Aufgabe durch eine
von den Reihen entlehnte Methode zu finden ſuchen.
NVieunte Ele

en
—

d O.

4 , *
der
oe
i
il
5

Aufloͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 465

X eunte Aufgabe.

1

Alle Bogen zu finden ‚ die ihren Tangenten gleich ſm.
Aufl ſung. H
Der erſte Bogen, der dieſe Eigenſchaft hat, iſt der
unendlich kleine. In dem zweyten Quadranten giebt es
keinen von dieſer Beſchaffenheit . weil darin die Tangenten
negativ ſind. Im dritten Quadranten iſt ſolches ein Bo⸗
gen von etwas weniger als 2700, und dann giebt es der⸗
gleichen in dem fuͤnften, im ſiebenten Quadranten, ꝛc. Es
ſey der vierte Theil des Umkreiſes = q, und die geſuchten
Bogen ſeyen in der Formel (2n †1) 4* — § enthalten, ſo

= tang. s

tang. s = 2 ſo iſt

= x — 13 4 ½s — 427 4 te.

und folglich

Es faͤllt aber in die Augen, da s ein deſto kleinerer Bogen
iſt, je groͤßer die Zahl n wird, daß eine ſehr kleine Groͤße,

und beynahe X = — oder — (2n † 1) a ſeyn

wird; genauer ue man

Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. I. D. G g

I

466 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel.

. — . 1
— (2 Ff 1)/4 — S (zn † L)g — — – —
1 14 1 1) (azn † 54

CnT D 34 1I5(2n † 1),7 qS 105(2n † 19797

28
W, . 20.
945 C n † 1) ?9

Da alſo q = 2 = 1,570796326,945 iſ, ſo D der

geſuchte Drgen
(an † 1) 1,57079632679 — 2R †I 0,63661977
9,17200817 d, 09 052 5 9 6
Gn † 1)*) n † 1)5

SOder, wenn man die Glieder, die in Theilen des Halbmeſſers

0, 5892834 d, 04258543
(2n † 1)7 * (zn † 1) 9

— K.

ausgedruckt ſind, nach Art der Bogen beſtimmt, =

13 1312 — 1479
2 n † I (Zn † 1) ²¾

86924 I21557
(2n f 1) (ae2n † 1)2

8784“
(an † 1)°

Mhr
lher, a
Uens ſind
werden, d
liöher ou
verden n;
Aufleſung

Ihen int

fonnſe
reiſ

ſechäten

S0,6666

ſN

361l7.

Aufloͤſung einiger den Kreis betreffenden Aufgaben. 467

Es ſind demnach die Bogen . welche der Aufgabe e ein Ge⸗
nuͤge thun, in der Ordnung folgende:

I. 1. 900 — 90⁶
I. 3 . 900⁰ — 120, 32 48
Ww. 2. 900 — 5, 14, 22
v. 9 . 90⁰° — 4, 3, 59
V. II. 900 — 3, 19, 24
VII. 13. 900⁰ — 2, 48, 33
VII. 15. 900° — 2, 26, 5
IX. 17. 90° — 2, 8, 51
X. 19. 90⁰ — 1, 55, 16

S. 540. .
Mehr Aufgaben ſetze ich nicht her, da die Art, ſie auf⸗

zuloͤſen, aus dieſen Beyſpielen deutlich erhellet. Uebri⸗
gens ſind dieſe Aufgaben vorzuͤglich deswegen erfunden

worden, damit die Natur des Kreiſes, deſſen Quadratur

bisher auf keinem Wege hat gelingen wollen, bekannter

werden moͤchte. Denn haͤtte es ſich ereignet, daß bey der
Aufloͤſung irgend einer Aufgabe, entweder ein gegen den
ganzen Umkreis commenſurabler Bogen, oder ſein Sinus

oder Tangente durch den Halbmeſſer haͤtte conſtruirt werden

koͤnnen, ſo haͤtte man allerdings eine Art der Quadratur des
Kreiſes gehabt. Haͤtte man z. B. bey der Aufloͤſung der
ſechsten Aufgabe den Sinus D E, der = 0,665578 war,
= 9,666660 = = ¾ gefunden: ſo wuͤrde man dann eine ſehr
Gg 2 ſchoͤne

N

N D . .

463 Zweytes Buch. Zwey und zwanzigſtes Capitel.
ſchoͤne Eigenſchaft des Kreiſes gehabt haben; es koͤnnte
nemlich alsdann ein Bogen AE conſtruirt werden, der
der geraden Linie AD † DE=IT2½ † VS gleich waͤre.
Es iſt aber auch noch kein Grund da, welcher die Unmoͤg⸗

lichkeit dieſer Quadratur des Kreiſes beweiſen koͤnnte; und

wenn dieſelbe moͤglich iſt, ſo ſcheint kein Weg geſchickter zu
ſeyn, ſie zu entdecken, als der, welchen wir in dieſem
Capitel kennen gelernt haben.

Anhang

de n

von

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Gg 3

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den

So
ſnd, .

Erſtes Capitel.
Von den Oberflaͤchen der Koͤrper uͤberhaupt.

§. 1.

Di fe Unterſuchungen, welche wir in dem Borhergehen⸗
den uͤber die Curven angeſtellt haben, und die Art und
Weiſe, dieſe Curven durch Gleichungen auszudrucken, ha⸗
ben allerdings einen ſehr weiten Umfang, und erſtrecken
ſich auf alle krumme Linien, deren Punkte insgeſammt in
einer und derſelben Ebene liegen; wenn aber die Curve
nicht ganz in eine und dieſelbe Ebene faͤllt, ſo reichen die
ertheilten Vorſchriften nicht hin, ihre Eigenſchaften zu ent⸗
decken. Dieſe Art der Curven hat eine doppelte Kruͤm⸗
mung, und in dieſer Ruͤckſicht haben wir daruͤber vom
Herrn Clairaut eine vortrefliche und ſcharfſinnige Abhand⸗
lung. Da indeß dieſer Gegenſtand mit der Lehre von den
Flaͤchen zuſammenhaͤngt, welche ich mir in dem gegenwaͤr⸗
tigen Abſchnitte vorzutragen vorgenommen habe, ſo werde
ich davon nicht beſonders handeln, ſondern die Betrachtung
deſſelben mit der folgenden Unterſuchung uͤber die Slchen
verbinden.

§. 2.
So wie die Linien entweder gerade oder krumme Linien

ſind, ſo ſind die Flaͤchen entweder eben oder nicht eben;
Ga 4 un⸗

472² Anhang. Erſtes Capitel.

unebene Flaͤchen aber nenne ich ſowohl die convexen als
die concaven, und auch diejenigen, die theils conver theils
concav ſind. So iſt die aͤußere Flaͤche einer Kugel, eines
Cylinders und eines Kegels, wenn man von der Grund⸗
flaͤche abſtrahirt, convex, die Flaͤche einer Schuͤſſel hinge⸗
gen concav. So wie man ferner unter einer geraden Linie
diejenige verſteht, in welcher jede drey Punkte nach einer⸗
ley Richtung liegen, ſo iſt eine Ebene diejenige, in welcher
jede vier Punkte in eine und dieſelbe Ebene fallen; woher
denn die nicht ebene Flaͤche, ſie mag convex oder concav
ſeyn, als ein ſolche gedacht werden kann, worin man nicht
durch jede vier Punkte Eine Ebene zu legen im Stande iſt.

§. 3.

Wie eine unebne Flaͤche heſchafen ſey, laͤßt ſich leicht
erkennen „wenn man weiß, wie weit ſie in jedem Punkte
von einer Ebene abſtehe. So wie wir nemlich die Beſchaf⸗
fenheit der Curven aus den Entfernungen ihrer Punkte von
einer zur Axe angenommenen geraden Linie zu beurtheilen
im Stande ſind: ſo kann man auch die Beſchaffenheit einer
unebenen Flaͤche aus der Entfernung ihrer Punkte von einer
nach Belieben angenommenen Ebene abnehmen. Soll alſo

die Beſchaffenheit einer Flaͤche angegeben werden, ſo darf

man nur nach Belieben eine Ebene annehmen, und ſich aus

jedem Punkte jener Flaͤche auf dieſel be ſenkrechte Linie gezo⸗
gen gedenken; und kann man die Laͤnge dieſer ſenkrechten

Linie durch eine Gleichung beſtimmen, ſo wird dieſe Glei⸗
chung auch die Natur der gedachten Flaͤche ausdrucken. Aus
einer ſolchen Gleichung laſſen ſich aber auch umgekehrt alle
Punkte dieſer Flaͤche angeben, und es wird daher durch
dieſelbe auch die Flaͤche ſel bſt beſtimmt.

o nun
ſihſe!
ſon
alres
ut
eſche⸗
Non die
Unds
Uurch

iinmt,
einer Ede

chchen

Dan
ſo walen
Dieſed
nen a⸗
Und p p
Etorde

ſnn ſc⸗

Ew
Gihrn
di bed
dige

Uehene⸗

lch e
n welher
1 kde
Na
Iumn nic
tande ſt

4. ſuute

Pdiee Glen
rucen. W
ngekht 4
uhe utc⸗

Von den Oberflaͤchen der Koͤrper uͤberhaupt. 473

H . 4
Es ſtelle die Ebene der Kupfertafel die Ebene vor, auf
welche alle Punkte einer gegebenen Flaͤche bezogen werden
ſollen. Ferner ſey M, Fig. 119, irgend ein Punkt in der
gegebenen Flaͤche außer der Ebene der Tafel, und aus dem⸗
ſelben M Q auf dieſe Ebene ſenkrecht herabgefaͤllt worden
Um nun die Lage dieſes Punktes algebraiſch auszudrucken,
nehme man in der Ebene irgend eine gerade Linie A B zur
Axe an, und ziehe auf dieſelbe aus Q die gerade Linie QP
ſenkrecht. Endlich nehme man in der Axe AB irgend einen
Punkt A zum Anfangspunkte der Abſciſſen an. Iſt dieſes
geſchehen, ſo kennt man die Lage des Punktes wenn
man die Laͤnge der drey Linien A P, P Q, und 0 weiß;
und es wird demnach die Lage jedes Punktes M einer Fläche
durch drey ſenkrechte Coordinaten auf eine aͤhnliche Art be⸗
ſtimmt, als ſolches bey den Punkten der Curven, die in
einer Ebene lagen, durch zwey rechtwinklige Coordigaten
geſchehen iſt.

Da wir alſo drey Coordinaten AP, PQ und QM ha
ſo wollen wir A P = x; PQ = y, und QMS= z ſiten⸗
Dieſe drey Coordinaten werden uns die Natur der ge gebe⸗
nen Flaͤche zu erkennen geben, wenn wir, nachdem wir *
und y willkuͤhrlich angenommen haben, zu beſtimmen im
Stande ſind, wie groß? iſt; denn koͤnnen wir dieſes, ſo
laſſen ſich alle Punkte M in der gedachten Flaͤche angeben.
Es wird daher die Ratur einer jeden Flaͤche durch eine
Gleichung ausgedruckt, in welcher die Coordinate durch
die beyden uͤbrigen Coordinaten « und 7 und durch beſtaͤn⸗
dige Groͤßen beſtimmt wird; und es n daher fuͤr jede ge⸗
gebene Flaͤche die veraͤnderliche Groͤße« gleich einer Funktiog
Gg 5 e ger

474 Anhang. Erſtes Capitel.
zweyer veraͤnderlichen Groͤßen X und y. Umgekehrt druckt, iieſe,
wenn: irgend einer Funktion von X und y gleich iſt, dieſe regulc
„GBleichung eine Flaͤche aus, deren Ratur ſich aus ihr erken.
nnen laͤßt. Setzt man demnach fuͤr und y alle, ſowohl
poſitive als negative Werthe, die ſie bekommen koͤnnen, ſo ðè
erhaͤlt man alle Punkte Q der angenommenen Ebene; Uehi
und dann ergiebt ſich aus der Gleichung zwiſchen 2, X und urcte
5 die Laͤnge der ſenkrechten Linie OQ M = 2, von dieſer (c
Ebene bis zu der durch die Gleichung ausgedruckten Flaͤche⸗ ſhtd
Iſt 2 poſitiv, ſo liegt der Punkt M uͤber der Ebene APO ſci
iſt aber 2 negatio, ſo liegt M unter ihr; N wird 2 = o, ſo ind
faͤ llt M in die Ebene, und wird es imaginaͤr, ſo gehoͤrt zu te
doem Punkte Q in der Flaͤche gar kein Punkt M. Hat end⸗ e
lich 2 mehr reelle Werthe, ſo ſchneidet die auf der Ebene . uche
durch QO ſenkrecht aufgerichtete Linie die gegebene Flaͤche ARante,
in mehr als in einem Punke. s,
OYUW tl, deß
§. 6. Ne
Will man alſo die verſchiedenen Arten der Fl zchen be⸗ ca nh.
ſtimmen, ſo bietet ſich ſogleich die Abtheilung derſelben in
continuirl iche oder regulaͤre, und in diſcontinuirliche oder
irregulaͤre dar. Eine Flaͤche iſt nemlich continuirlich, deren en⸗
Punkte ſich insgeſammt durch eine und dieſelbe Gl leichung lenm
. zwiſchen 2, X und y ausdrucken laſſen, oder wo 2 fuͤr alle hung .
Punkte dieſelbe Funktion bleibt. Irregulaͤr wird hingegen R ui⸗ 1
eine Flaͤche genannt, wenn die Theile derſelben durch ver⸗ nir
ſchiedene Funktionen ausgedruckt werden, z. B. wenn die⸗ hein i
ſelbe an einem Orte ſphaͤriſch, an einem andern coniſch, R fiſtne
an einem dritten cylindriſch oder eben iſt. Dieſe irregu⸗ hen
laͤren Flaͤchen ſetzen wir indeß hier ganz bey Seite, und be⸗ Ragr
trachten blos die regulaͤren, deren Ratur durch eine und Nn
untte

dieſelbe Seichung ausgedruckt h wird. Denn kennt man
dieſe, Kahe

9
—

Von den Oberflaͤchen der Koͤrper uͤberhaupt. 47

d dieſe, ſo laſſen ſich darnach auch die irregulaͤren, da ſie aus
,i regulaͤren Theilen zuſarmmnengeſett ſind, leicht beurtheilen.
ihe aux
hr Die xegulären Flaͤchen werden e gubörderſt in algebraiſche
Chen; und in tranſcendente eingetheilt. Eine Flaͤche iſt eine alge⸗
ur braiſche, wenn ihre Natur durch eine algebraiſche Glei⸗
bon dieſe

chung zwiſchen den Coordinaten x«, y und 2 ausgedruckt
n ihe wird, oder wenn einer algebraiſchen Funktion von und y
h Ägleich iſt. Iſt hingegen 2 keine algebraiſche Funktion von

1 x und y, oder kommen in der Gleichung zwiſchen «, y und
gehtan 2 tranſcendente Groͤßen vor; z. B. ſolche die von Logarith⸗
heten men oder Kreisgroͤßen abhangen, ſo iſt die Flaͤche, die
a Gen durch eine ſolche Gleichung ausgedruckt wird, eine tranſcen⸗
ene ic⸗ dente. Dergleichen iſt z. B. da, wenn 2 = xX. 1. y; oder
2 = yX; oder 2 = y. ſin. X iſt Es faͤllt aber in die Au⸗
gen, daß man die Unterſuchung der algebraiſchen Flaͤchen
vor der Betrachtung der tranſcendenten vorhergehen laſ⸗
NHaen ſen muß.
dufikan . 9.
itihethe Ferner muß man, um die Natur einer Flaͤche kennen
Unic Nn zu lernen, vor allen Dingen unterſuchen, was 2 in Anſe⸗
deGan hung der Menge ſeiner Werthe fuͤr eine Funktion von
BD und y iſt. Hier kommen zuerſt diejenigen Flaͤchen vor,
fingee n wobey 2 eine einfoͤrmige Funktion von x und y iſt. Es ſey
ech d P eine ſolche einfoͤrmige oder rationale Funktion von und
venn die y; ſo werden, wenn 2 = b iſt, den einzelnen Punkten
en canih der Ebene Q eben ſo viel Punkte der Flaͤche zugehoͤren,
eſe ierege oder es wird jede auf der Ebene APO ſenkrecht aufgerich⸗
,, und tete gerade Linie die Flaͤche in nicht mehr als in einern
heienm Punkte ſchneiden. In dieſem Falle kann der Werth de
ennt I geraden Linie QM nie imaginaͤr werden, ſondern es gieht
“ HM 1

476 Anhang. Erſtes Capitel.

dieſe gerade Linie allemal einen reellen Punkt in der Flaͤche.
Es bringt indeß dieſe Verſchiedenheit der Funktionen keine

weſentliche Verſchiedenheit unter den Flaͤchen hervor;

denn ſie haͤngt von der Lage der Ebene A PQ ab, welche
eben ſo als die Lage der Axe willkuͤhrlich iſt. Bezieht man
daher dieſelbe Flaͤche auf eine andere Ebene, ſo kann die

Funktion z aus einer einfoͤrmigen in eine vielfoͤrmige

uͤbergehen.
Es ſeyen P und Q einfoͤrmige Funktionen von x und y;

ſo werden, wenn
22 — Pz † Q =

iſt, die geraden Linien, die aus den Punkten OQ der ange⸗

nommenen Ebene auf dieſelbe ſenkrecht geſtellt werden, die

Flaͤche entweder in zweyen Punkten oder gar nicht ſchnei⸗
den; denn es hat dann z allemal zwey Werthe, die entwe⸗
der beyde reell oder beyde imaginaͤr ſind. Auf aͤhnliche
Art iſt 2, wenn P, Q und R einfoͤrmige Funktionen von
und y bedeuten, und
23 — PzZ2 † QZz – R = oO
iſt, eine dreyfoͤrmige Funktion, und jede gerade Linie Q M

ſchneidet die Flaͤche entweder in dreyen Punkten, wenn alle

Wurzeln dieſer Gleichung reell ſind, oder nur in einem,

wenn zwey von dieſen Wurzeln imaginaͤr ſind. Auf aͤhn⸗

liche Art hat man zu urtheilen, wenn z durch eine Gleichung
von mehrern Dimenſionen beſtimmt wird. Wie vielfoͤrmig
alſo die Funktion 2z ſey, erkennt man leicht, ſo bald man
die Gleichung zwiſchen x, y und 2 rational gemacht hat.

K. 10.

So wie wir bey den Gleichungen der Curven geſehen

haben, daß die beyden Coordinaten derſelben verwechſelt
werden

—

der du

werde
eine 5
berwee
APC
ſ,ni
Hepden
rent
ſechtint
den wet
aodet ſ⸗
Ar

lann, t
Und 10
pelte e
Her entſrt

dan dreh

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Gieht nn

bicförnig

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tuonenm

Arie l
Wenn
r in enn,
bithr
ehichre
1biſthni
beld non

chen

Von den Oberflaͤchen der Koͤrper uͤberhaupt. 477

werden koͤnnen, ſo laſſen ſich auch in jeder Gleichung fuͤr

eine Flaͤche die drey Coordinaten x, y und? mit einander
verwechſeln. Denn nimmt man zuvoͤrderſt in der Ebene
APQ eine gerade auf AbP ſenkrechte Linie Ap zur Axe an,

ſo wird nun Ap = y und p Q = x, und dadurch ſind die

beyden Coordinaten X und „ mit einander vertauſcht. Die
uͤbrigen Verwechſelungen lernt man kennen, wenn man das
rechtwinklige Parallelepipedum Ap QM— P' A ergaͤnzt;
bey welchem zuvoͤrderſt die drey beſtaͤndigen und auf ein⸗

ander ſenkrechten Ebenen in Betrachtung kommen, APQp,

APqz, und Apz&ειGnV; denn die Art, wie die Flaͤche, worin

der Punkt M liegt, auf dieſe Ebenen bezogen werden

kann, wird durch eben dieſelben Gleichung zwiſchen xX, y
und 2 angezeigt. In jeder Ebene aber giebt es eine dop⸗
pelte Axe, die beyde in dem Punkte A anfangen, und da⸗
her entſpringen alſo ſechs verſchiedene Beziehungen zwiſchen
den drey Coordinaten.

Die Coordinaten ſind H

[AP = x
entweder ½ PQ = y
. D CLQM=2
fuͤr die Ebene AP Qp
(AP = y
oder p Q = &
LQM= 2
AFP = X
entweder »g = 2=
fuͤr die Ebene APq=
HM fE A⸗= = 2
oder „ q =
L 4 M = y

ent⸗

.
7

478 Anhang. Erſtes Tabltete

A p = — 3y
entweder 1 b½ =
fuͤr die Ebene ApzE=
1 A — £

Wenn aber von dem beſtaͤndigen Punkte à nach dem Punkte

AM der Flaͤche die gerade Linie A M gezogen wird, ſo iſt
=ð A M == eGxXITYI22).
Eine und dieſelbe Gleichung zwiſchen den Coordinaten
X, y und 2 giebt uns alſo die Lage aller Punkte einer Flaͤche,
in Beziehung auf drey Ebenen zu erkennen, die auf einan⸗
der ſenkrecht ſind, und ſich in dem Punkte à ſchneiden.
So wie nemlich die veraͤnderliche Groͤße z die Entfernung
eines jeden Punktes der Flaͤche M von der Ebene APQ giebt,
ſo giebt die veraͤnderliche Groͤße y die Entfernung eben die⸗
ſes Punktes M von der Ebene APq, und die veraͤnderliche
Groͤße von der Ebene Apz. Wiſſen wir aber, wie weit

der Punkt M von jeder dieſer drey Ebenen entfernt iſt, ſo

kennen wir auch ſeine wahre Lage. Es ſind daher dieſe
drey Ebenen, auf welche jede Flaͤche vermittelſt einer Glei⸗
chung zwiſchen drey veraͤnderlichen Groͤßen X, y und 2 be⸗
zogen werden kann, vorzuͤglich zu merken, und iſt eine da⸗
von horizontal, ſo ſind die beyden uͤbrigen vertical, und
zwar die eine nach der Richtung AP, und die andere nach
der Richtung A p.
Hat man nun dieſe drey auf einander ſenkrechte Ebenen
feſtgeſetzt, um darauf die gegebene Flaͤche zu beziehen; ſo
faue

ſaͤle n
ſen Al
und M
Donn
ey hel
Ous Nen
und r⸗
Chedes⸗
derichene
die Figen
ſe⸗ wen
ls eoet

Pttind
Uitßenn 4
ſekrechti⸗
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A,N

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-=
=

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et, n 1

—
—

Gſfarrh⸗
Urtutl, und

andetſah

Von den Oberflachen der Koͤrper uͤberhaupt. 479

faͤlle man aus jedem Punkte dieſer Flaͤche M auf jene Ebe⸗
nen AP QC, APq und A=; die ſenkrechten Linien M Q, M
und M, und mache MQ= 2, Mq = y und M = x
Dann ergaͤnze man das Parallelepipedum, wodurch man
drey gerade Linien bekoͤmmt, welche jenen gleich ſind, und
aus dem Punkte A ausgehen, nemlich A P X, Ap = y
und Ar = z, und ſobald man dieſe kennt, ſo iſt auch die
Lage des Punktes M bekommt. Laͤßt man aber die veraͤn⸗
derlichen Groͤßen X, y und z, wenn ſie nach den Ebenen, welche
die Figur anzeigt, gerichtet ſind, poſitiv ſeyn, ſo muß man
ſie, wenn ſie nach den entgegenſtehenden Gegenden laufen,

als negativ anſehen. Z

Hat in der Gleichung zwiſchen den drey veraͤnderlichen
Groͤßen X, y und 2 diejenige, welche auf der Ebene AP Q

ſenkrecht iſt, oder 2, allenthalben gerade Dimenſionen, ſo

kommt ihr ein doppelter Werth zu, ein poſitiver und ein
negakiver, und beyde ſind einander gleich. Alsdann iſt alſo
die Flaͤche von der Art, daß ſie ſich auf beyden Seiten der
Ebene aͤhnlich und gleich bleibt, und daß der Koͤrper, der
durch dieſelbe begrenzt iſt, durch ſie in zwey gleiche Theile
getheilt wird. So wie nun bey den ebenen Figuren die⸗
jenige gerade Linie, welche die Figur in zwey gleiche und
aͤhnliche Theile theilte, Durchmeſſer genannt wurde, ſo
wollen wir bey den Koͤrpern diejenige Ebene, welche den
Koͤrper in zwey gleiche und aͤhnliche Theile theilt, die Dia⸗
metral⸗Ebene nennen. Wenn daher die veraͤnderliche
Groͤße in der Gleichung allenthalben gerade Dimenſionen

hat, ſo iſt die Ebene AP eine Diametral⸗ Ebene.

8. 14.

486% Anhang. Erſtes Capitel.

Auf aͤhnliche Art erhellet, daß die Ebene APq worauf
y ſenkrecht iſt, eine Diametral⸗Ebene ſeyn werde, wenn y
in der Gleichung fuͤr die Flaͤche allenthalben gerade Dimen⸗
ſionen hat; und eben ſo iſt die Ebene Ap? eine Diametral⸗
Ebene, wenn x allenthalben gleiche Dimenſionen hat. So⸗
bald daher eine Gleichung fuͤr eine Flaͤche zwiſchen den ver⸗
aͤnderlichen Groͤßen X, y und gegeben iſt, ſo laͤßt ſich ſo⸗
gleich beurtheilen, ob unter den drey Ebenen Diametral⸗

Ebenen ſeyn werden, oder nicht. Es koͤnnen aber auch

zwey, ja alle drey Ebenen Diametral⸗Ebenen ſeyn. Bey
der Kugel z. B., deren Mittelpunkt in A liegt, iſt, weil
der Halbmeſſer AM = V (xXxXx † yy † 22) à iſt, XX † yy
22 = aa, und es wird folglich die Kugel von jeder der
gedachten Ebenen in zwey ahnliche und gleiche Theile
getheilt.

Um die Geſtalt der Oberflaͤche, die in der gegebenen
Gleichung enthalten iſt, zu erkennen, muß man ſein Au⸗
genmerk auf die drey auf einander ſenkrechte Ebenen rich⸗
ten, welche in der 120ſten Figur durch QCQ1Q2 s,
TTTTZT3 und VVIVZV3 bezeichnet ſind, und ſich in
dem Punkte A ſchneiden. Wenn man ſich dieſe drey Ebe⸗
nen nach allen Seiten ohne Ende erweitert gedenkt, ſo thei⸗

len ſie den Raum in acht Gegenden ein, welche in der Fi⸗

gur durch AX, AXI, A X2, AX 3, A X4, AX5, A X6
und AX? angezeigt werden. Sind in der erſten AX die
veraͤnderlichen Groͤßen , y und 2 poſitiv, ſo ſind in den
ubrigen ein oder zwey von ihnen oder auch alle drey nega⸗

tive. Die genauere Beſchaffenheit dieſer Werthe aber laͤßht

ſich am beſten aus folgendem Schema erkennen.

2—

2—

gen zu kel

cht Geg

dutch de
der otge
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ſlreghe/

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ſhenn

er
S==

N

Von den Oberflaͤchen der Koͤrper uͤberhaupt. 481r

Die Gegend AX Die Gegend AX4

AR= † „ A R= –— „»„
AS = † A S = † z
Die Gegeno AXNT Die Gegend A XNS
AP/ = — X AP = — X
A R = † y Ak’= — y 7
A S = † 2 AS = † z
Die Gegend A X2 Die Gegend ANXG
AR= † -„ AR = — y J
AS = — 2 AS = — 2
Die Gegend AX 3 Die Gegend AX7
P/ — —
A = 5 Abe= — X „
— † „ AK= — y
A S = — 2 A S= — 2

§. 16. Wr
Bequemer iſt es indeß, dieſe acht Gegenden durch Zah⸗
len zu bezeichnen, um jedesmal auf die leichteſte Art anzei⸗
gen zu koͤnnen, von welcher die Rede ſey. Da nun alle
acht Gegenden in dem Punkte A zuſammenkommen, und
durch drey ſenkrecht ſich ſchneidende Ebenen von einan⸗
der abgeſondert, dieſe drey Ebenen aber durch die ge⸗
raden Linien Pp, Qq, Rr, die ſich in dem Punkte A
ſenkrecht ſchneiden, beſtimmt werden: ſo laͤßt ſich jede
Gegend durch drey von den Buchſtaben P, Q und R,

und p, q und r angeben. Die Hauptgegend oder die

erſte P QR iſt nemlich der Raum, welcher das Paral⸗
lelepipedum zwiſchen den ohne Ende verlaͤngerten geraden
Linien AP, A Q, AR., und die Gegend Pqr, der Raum,
welcher das Parallelepipedum zwiſchen den drey ohne Ende
Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. D. Hh ver⸗

482 Anhang. Erſtes Capitel.

verlaͤngerten geraden Linien AP, Aq und Ar enthaͤlt.
Setzt man daher AP = xX, AQ = y, A R = 2, ſo iſt
Ap = — X, A q = — y, und Ar = — 2. Wir wollen
alſo die gedachten acht Gegenden auf die Art durch Zahlen
von einander unterſcheiden, daß ſey:

i⸗ 1ſte die 2te
zwiſchen 4 = 4 aa
den Coordinaten 1. 1 »
3te— die 4te
zwiſchen — 4 2
den Coordinaten ! 1 = 7
HD“ CAR = + 2 A R = † 2
die 5te die 6te
zwiſchen — 1 P

den Coordinaten 3 — 7 9 † y

1r = — 2 Ar — — 2
die 7te die 8te
zwiſchen † HW . 3* — —
den Coordinaten ——“ S
den Loordi 8 LAR = †* 2 Ar = — 2

J. 17.

Dieſe Gegenden unterſcheiden ſich bald mehr, bald we⸗
niger von einander. Zuvoͤrderſt giebt es zwey Gegenden,
die zwey Coordinaten gemein und eine verſchieden haben;
dieſe beruͤhren ſich in einer Ebene, und wir wollen ſie da⸗
her verbundene nennen. Dann ſind zwey Coordinaten ver⸗
ſchieden, und eine gemein; dieſe Gegenden beruͤhren ſich

bloß in einer geraden Linie, und wir wollen ſie deswegen

gerrennte nennen. Endlich ſind alle Coordinaten von ein⸗
ander verſchieden, und die Gegenden haben bloß den
Punkt

G
Cetrennt
Mdorſ
Wod
Nſe
den
wir e⸗
des

Von den Oberflaͤhhen der Koͤrper uͤberhaupt. 483

l Punkt A mit einander gemein; dieſen wollen wir den Namen
2, ſof der entgegengeſetzten Gegenden geben. Was fuͤr Gegen⸗
ir wolen den mit einer jeden verbunden, oder von ihr getrennt, oder
9 Ahen ihr entgegengeſetzt ſeyn, zeigt folgende Tabelle, D
Verbunden Getrennt Entgegen⸗
te geſetzt
PGR PGTIE qRPGRP q rp ſp q Rſp qr
I n nI IV V VI vII VIII
— PGTIPGRP qT pGT P qRPGR p q T P qX
4 I I V VI III IV VillI à VII
2— I b R P P QR p q R Pr p q r p QRp Q r
II V I VI I VIII IV vI.
11 b QR P C p qRPQR b qrTPQTP qRPqT
vV VI VII I vIII II III 5 V
- PTFB qRPGTIP qT POQRp qRPCT 9QR
11 V II II vIIHE I vI vVI 1 IV
1 — † Oa PpQhM[Pp qT P Q p q KPQRIP q TPqR
Ne VI IV VII HI VII I V III
2 — I P q Rp q rT PQK PqR P QrP qTPGRIPGT
— VI vII IVY III vVI. HD I .
—1 Pp ꝗqr be JR P r P r b QR P qR Pr P QRN
VIII VII I vI Vv IV — II I 1
, bid . 18
Gegen, Es hat alſo jede Gegend drey mit ihr verbundene, zwey
den hobet; getrennte und eine entgegengeſetzte, und es erhellet aus
hlen ſen der vorſtehenden Tabelle ſogleich, wie eine jede gegen jede
Nincer e⸗ andere beſchaffen iſt. Die Ordnung, welche die Zahlen in
gihenn ſch dieſer Tabelle beobachten, iſt bemerkenswerth, und um ſie
aweget dem Ueberblicke auf eine leichtere Art darzuſtellen, wollen
bon eix wir eben dieſelben Zahlen in eben der Ordnung in fol gen⸗
an des Quadrat einſchließen.
ut⸗ MUD ..

484 Anhang. Erſtes Capitel.

2 3 1 4 S L& ZYIS
2 LI1S L6LIA4ILS8IZ
215ILL SL e
A I E IZ I1 LZ1 3 15
5131 211811I Z6 LA4
9 4 82 121IS 12
2181ALLelslikz
871615 L43La

Die Art, wie hier die Zahlen auf einander folgen, faͤllt
bey einiger Aufmerkſamkeit von ſelbſt in die Augen, der
Gebrauch dieſer Tabelle aber wird in der Folge ausfuͤhrlich
gezeigt werden.

§. 109.

Wir haben ſchon vorhin bemerkt, daß einer Flaͤche, in
deren Gleichung die veraͤnderliche Groͤße 2 allenthalben ge⸗
rade Dimenſionen hat, zwey einander gleiche und aͤhnliche

Theile zukommen; es iſt nemlich alsdann der Theil in der

erſten Gegend gleich und aͤhnlich dem in der zweyten, und
auf aͤhnliche Art ſind auch die Theile in der dritten und
fuͤnften, desgleichen die in der vierten und ſechsten, und
endlich in der ſiebenten und achten mit einander uͤberein⸗
ſtimmend. Wenn hingegen die veraͤnderliche Groͤße y al⸗
lenthalben gerade Dimenſionen hat, ſo ſtimmen die erſte
und dritte, die zweyte und fuͤnfte, die vierte und ſiebente,
und die ſechste und achte mit einander uͤberein. Hat x in
der Gleichung allenthalben gerade Dimenſionen, ſo findet
dieſe Uebereinſtimmung in der erſten und vierten, in der
zweyten und ſechsten, in der dritten und ſiebenten, und in
der fuͤnften und achten Gegend ſtatt. Wenn nemlich

in

den, de
Nuf Nie
Hebt, n
1 ſectir
Nee Keote
Aen Gled
CDer unger
und Kn
ſoſches an
die ſecte
Geis
Groſen »
eine unge
erſe Hege
e hritte.
en

Mender
dchafn

4 N4 39
N
lugen,

usuhrih

„Ven

Von den Oberfluͤchen der Koͤrper uͤberhaupt. 488

in der Gleichung allenthalben gerade Dimenſionen hat
die veraͤnderliche Groͤße

L ſo ſtimmen uͤberein
die Gegenden die Gegenden die Gegenden

2/ 1, 5, 6, 3,4, 8,7 3, 5, 1/7,2, 8,4,6 4, 6, 7, 1, 8, 2, 3, 5

§. 20.

Wern die Theile der Flaͤche in den getrennten Gegen⸗
den, der erſten und fuͤnften, einander gleich ſeyn ſollen, ſo
muß die Gleichung ſo beſchaffen ſeyn, daß ſie unveraͤndert
bleibt, wenn man die beyden veraͤnderlichen Groͤßen y und
2 negativ nimmt. Es wird dies alſo ſtatt finden, wenn

die beyden Groͤßen y und 2z zuſammengenommen in

allen Gliedern der Gleichung allenthalben entweder gerade
oder ungerade Dimenſionen haben. Wenn aber die erſte
und fuͤnfte Gegend mit einander uͤbereinſtimmen, ſo thun
ſolches auch die zweyte und dritte, die vierte und achte, und
die ſechste und ſiebente. Auf aͤhnliche Art ſtimmen, wenn in

der Gleichung fuͤr die Flaͤche die beyden veraͤnderlichen

Groͤßen xX und 2 allenthalben entweder eine gerade oder
eine ungerade Anzahl von Dimenſionen ausmachen, die
erſte Gegend mit der ſechsten, die zweyte mit der vierten,
die dritte mit der achten, und die luͤnfte. mit der ſiebenten
uͤberein.

Wenn nemlich in der Gleichung fuͤr die Flaͤche allenthal⸗
ben entweder eine gerade oder eine ungerade Anzahl
von Dimenſionen haben
7

die veraͤnderlichen Groͤßen
y und 2 1 x und z: xX und y
h 3 ſo

486 Anhang. Erſtes Capitell. S
ſo ſtimmen uͤberein MJJͦJRDÿ
die Gegenden die Gegenden die Gegenden lurt

1, 2, 3,4.5,6,7, 8, I 1,2, 3, 4, 5/6, 7, 8 1,2, 3, 4,5,6, 7, 8
5,3,2, 8, 1, 7/ 6, 4, 6, 4,8, 2, 7/ I, 5, 3 7, 8, 4, 3,6, 5, 1, 2
Wenn aber alle drey veraͤnderliche Groͤßen x, y und 2
zuſammengenommen, entweder allenthalben eine gerade
S oder allenthalben eine ungerade Anzahl von Dimenſionen
haben „ſo ſtimmen die entgegengeſetzten Gegenden
mit einander uͤberein.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, †

getede
§. 21. G Venpen
Wenn ſich von dieſen Bedingungen zwey oder alle drey min
zugleich bey der Gleichung ſinden, ſo ſtimmen entweder jze c
vier oder alle acht Gegenden mit einander uͤberein. n le
Wenn ſowohl x als y, jede fuͤr ſich betrachtet, allent⸗ Wem⸗
halben eine gerade Anzahl von Dimenſionen haben, 2 ſbercl
ſtimmen folgende Gegenden zu je vieren W
mit einander uͤberein.
I1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
3/ 5°, I, 7, 2, 8/ 4, 6
4, 6, 7, I, 8, 2, 3, 5
7/ 8, 40 3/ 6, 5, I, 2 .
Wenn ſowohl x als 2, jede fuͤr ſich, eine gerade Anzahl Wen y
von Dimenſionen haben, ſo ſtimmen folgende Gegen⸗ d 3
den zu je vieren mit einander uͤberen. uud
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ”ßMB

2, 1, 5, 6, 3/ 4, 8, —7
4, 6, 7, I1, 8, 2, 3, 5

6, 4, 8, 2, 7, I, 5, 3

DZ

Wenn

y und 2
de gerade
enſionen .
ſden

Wm

1

Von den Oberfiͤchen der Kͤrper uͤberhaupt. 487

Wenn die veraͤnderlichen Groͤßen y und 2 jede fuͤr ſich
betrachtet, allenthalben eine gerade Anzahl von Dimen⸗
ſionen haben, ſo ſtimmen folgende Gegenden
zu je vieren mit einander uͤberein.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8
2, 1, 5, 6, 3, 4, 8,
3, 5, I, 7, 2, 8, 4
5/ 3/ 2, 8, I, 77 6,

◻.

§. 22.

Wieenn eine von den veraͤnderlichen Groͤßen allenthalben
gerade Dimenſionen hat, die beyden uͤbrigen aber zuſam⸗
mengenommen allenthalben entweder eine gerade oder eine
ungerade Anzahl von Dimenſionen geben, ſo ſtimmen auch

je vier und vier Gegenden mit einander uͤberein, und b zwar

auf folgende Art.
Wenn 2 allenthalben gerade Dimenſionen hat, xX und y
aber allenthalben entweder eine gerade oder eine ungerade
Anzahl von Dimenſionen ausmachen, ſo ſtimmen
folgende Gegenden mit einander uͤberein.

k, 2, 3, 4, 5, 6, 7 38
2, I1, 5, 6, 3, 4, 8, 7
71 8, 4,„ 3, 6, /5, I, 2 .
8, 7, 6, 5, 4, 3,/, 2, I
Wenn y allenthalben gerade Dimenſionen hat, und
und 2 zuſammengenommen allenthalben entweder eine
gerade oder eine ungerade Anzahl von Dimenſionen ge⸗
ben, ſo ſtimmen folgende Gegenden zu vier und
vieren mit einander uͤberein.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
3/ 5/ 1 7, 2, 8, 4, 6
ShA 6,

488 Anhang. Erſtes Capitel. R
6, 4, 8, 2, 7, I1, 5, 3 cNtn
8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 eis
Wenn x allenthalben gerade Dimenſionen hat, und y und
2 zuſammengenommen allenthal ben entweder eine gerade erde
oder eine ungerade Anzahl von Dimenſionen geben, ſo “
ſtimmen folgende Gegenden zu vier und vieren Narn
mit einander uͤberein. et
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ſcei
4, 6, 7, I, 8, 2, 3, 5
5, 3, 2, 8, I, 7 6, 4
8 , 7,9 6, 5, 4/ 3, 2, I. Ve⸗
In dieſen drey Faͤllen haben alſo alle drey veraͤnderliche ſi
Groͤßen X, y und 2 zuſammengenommen allenthalben ent⸗ enhelen
weder eine gerade oder eine ungerade Ainzahl von Di⸗ u
menſionen. auc, un
H WWWWic,
§. 23. Pachenf
Es find noch folgende Faͤlle von vier gleichen Gegenden nſſh
uͤbrig. Wenn mri
X und y) allenthalben entweder eine gerade oder eine nn,
und y und ꝛ. ungerade Anzahl von Dimenſionen haben, ſo D
ſtimmen folgende Gegenden zu vieren mit ein⸗ Wen
ander uͤberein.
JI, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
5 3/ 2, 8, I1I, 7, 6, 4 drice
H —2, 8, 4, 3, 6, 5, I, 2 e
6, 4, 8, 2 7, 1, 5, 3 n
. Uuſche
Eben dieſe Aehnlichkeiten muͤſſen ſich ergeben, wenn außer⸗ Grite
derim die beyden uͤbrigen veraͤnderlichen Groͤßen x und z inr
allenthalben entweder eine gerade oder eine ungerade An⸗ gerade
zahl
.

Von den Oberflaͤchen der Koͤrper uͤberhaupt. 489

zahl von Dimenſionen ausmachen, ſo daß dieſe Bedingung
bereits in der angefuͤhrten enthalten iſt. Es werden daher
die Theile einer Oberflaͤche in je vier getrennten Gegen⸗

“ den unter einander gleich ſeyn, wenn in der liure je
gin,5 zwey veraͤnderliche Groͤßen zuſammengenommen, alle llenthal⸗
ien ben entweder eine gerade oder eine ungerade Ar nzahl von
Dimenſionen haben. Da es aber drey Tombinationen
giebt, ſo iſt zu bemerken, daß wenn zwey die erklaͤrte Ei⸗
genſchaft haben, dieſelbe der dritten ebenfalls zukomme.
§. 24.
WDenn zu den Bedingungen, wobey je vier Gegenden
zrdete gleich und aͤhnlich werden, noch eine neue in ihnen nicht
thiten n enthaltene hinzukommt, die je zwey Gegenden einander
h gleich und aͤhnlich macht, ſo werden alle Gegenden einander
gleich, und die Flaͤche beſteht, aus acht einander gleichen
und aͤhnlichen Theilen. Die Gleichung fuͤr dieſe Art der
Flaͤchen faßt alle bisher betrachteten Eigenſchaften zuſammen
“ in ſich; es haben nemlich die veraͤnderlichen Groͤßen X, y
nbignn und 2 jede fuͤr ſich betrachtet, allenthalben gerade Dimen:
ſionen, und es muͤſſen daher auch je zwey oder alle drey
oder che zuſammengenommen eine gerade Anzahl von Dimenſionen
nhihn geben.
ſeren nit en
§9. 25.
Ob aber eine gegebene Gleichung zwiſchen dreyen ver⸗
aͤnderlichen Groͤßen zwey oder alle drey von den betrachte⸗
ten Eigenſchaften an ſich habe oder nicht, erkennt man, in
Anſehung der geraden Dimenſionen jeder veraͤnderlichen
wenn auſe⸗ Groͤße, leicht. Auch macht es keine Schwierigkeit zu be⸗
inr ſtimmen, ob alle veraͤnderliche Groͤßen allenthalben eine
gnn y gerade oder eine ungerade? Anzahl von Dimenſionen geten.

. 490 Anhang. Erſtes Capitel. Von den Oberflaͤchen ꝛe.

Nicht ſo leicht iſt es, zu unterſuchen, ob je zwey von dieſer
Art ſind. Man ſetze in der Gleichung entweder = nz,
oder y„= nz, oder = ny, und ſehe, ob in dem einen

oder dem andern Falle eine Gleichung ſich ergebe, in wel⸗

cher fuͤr die beyden erſten Annahmen 2z, und fuͤr die letzte
y allenthalben gerade Dimenſionen bekomme. Iſt dieſes,
. ſo haben je zwey veraͤnderliche Groͤßen zuſammengenom⸗
mmen allenthalben entweder gerade oder ungerade Dimen⸗

ſionen, und es muß daher die Flaͤche zum wenigſten zwey

einander gleiche und aͤhnliche Theile haben.

Zweytes

E
Fucen
Che Ebe
tie eus
ente Klye
Schnit ein
Kichen der
hon doran
Denn man

he kn.
Cyitel be

veranderlie
elkenneng

we
Geren beii
ſditaien
Nnn N

engenene
4 6 *
Dimen⸗
Nan wey

nts

Zweytes Capitel.

Von den Schnitten der Flaͤchen, wenn Ebenen
durch ſie gelegt1 werden.

§. 26.

So w wie ſich Linien in Punkten ſchneiden, ſo thun die
Flaͤchen ſolches in Linien, geraden entweder oder krummen.
Eine Ebene ſchneidet eine Ebene in einer geraden Linie,
wie aus der Elementar⸗Geometrie bekannt iſt; wenn aber
eine Kugei von einer Ebene geſchnitten wird, ſo iſt der
Schnitt ein Kreis. Kennt man die Linien, in welchen
Flaͤchen von gegebenen Ebenen geſchnitten werden, ſo hat
man daran ein Huͤlfsmittel zur Kenntniß der Flaͤchen ſelbſt;

denn man lernt dadurch auf einmal unzaͤhlige Punkte der

Flaͤche kennen, da hingegen nach der im vorhergehenden
Capitel beſchriebenen Methode die einzelnen Werthe der
veraͤnderlichen Groͤße z nur einzelne Punkte derſelben zu
erkennen geben.

—

§. 27.
Da wir die Flaͤchen auf drey auf einander ſenkrechte
Ebenen beziehen, ſo muͤſſen wir vor allen Dingen die Durch⸗
ſchnittslinien der Flaͤchen mit dieſen Ebenen betrachten.
Nimmt man alſo zuvoͤrderſt die Ebene A PQ, Fig. 121,
welche durch die veraͤnderlichen Groͤen AP = x, und
A Q y beſtimmt wird, (indem die dritte veraͤnderliche
Groͤße 2 die Entfernung der Flaͤche von dieſer Ebene an⸗
„ zeigt)

492 Anhang. Zweytes Capitel.

zeigt) ſo faͤllt in die Augen, daß man, wenn man 2 = o
ſetzt, die Punkte der Flaͤche finden werde, welche in der
Ebene A PO ſelbſt liegen; und es giebt daher die uͤbrigblei⸗
bende Gleichung zwiſchen X und y die Linie, in welcher die
Flaͤche von der Ebene A PQ geſchnitten wird. Auf aͤhnliche
Art druckt, wenn man y = o ſetzt, die Gleichung zwiſchen
xX und - die Drrchſchnittslin linie der Flaͤche und der Ebene
APR, und wenn man X =o ſetzt, die zwiſchen y und z
die Durchſchnittsl inie der Flaͤche und der Ebene A QR aus.

§. 248.
Ich habe ſchon vorhin beruͤhrt, daß die Oberflaͤche ei⸗
ner Kugel, die den Mittelpunkt in A hat, und deren Halb⸗

meſſer = * à iſt, durch die Gleichung XX T yy T 2 2 = a a
ausgedruckt werde; und ich will d daher dieſes Beyſpiel zur

Erlaͤuterung gebrauchen. Es ſey alſo 2z = o, ſo druckt die

Gleichung XX † yy = aa den Kugelſchnitt, der von der
Ebene APOQ erzeugt wird, aus, und man ſieht, daß der⸗
ſelbe ein Kreis iſt, der den Mittelpunkt in A, und den
Halbmeſſer = a hat. Auf aͤhnliche Art iſt, wenn man
y = o ſetzt, der Kugelſchnitt, welchen die Ebene APER

macht, ein Kreis, der durch die Gleichung † 22 = aa
ausgedruckt wird; und wenn man X = o ſetzt, ſo giebt die

Gleichung yy † 22 = a a einen gleichen Kreis fuͤr den durch
die Ebene AQR hervorgebrachten Kugelſchnitt. Dies ſind
bekannte Dinge, da, wenn eine Kugel von einer Ebene ge⸗
ſchnitten wird, welche durch den Mittelpunkt der Kugel
geht, der Schnitt allemal ein groͤßter Kreis iſt, der mit

der Kugel gleichen Halbmeſſer hat.

9. 29.
Richt ſchwerer iſt es, die 2 Durchſchnittslinien zu beſtim⸗

men, welche durch Ebenen gemacht werden, die einer von
jenen

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Von den Schnitten der Flaͤchen c. 493

jenen Haupt⸗ Ebenen parallel ſind. Man denke ſich eine
Ebene, die der Ebene A P Q parallel ſey, und von ihr um
die Weite = h abf ſtehe; ſo werden alle Punkte der Flaͤche,
deren Entfernung von eben der Ebene A PQ, welche Ent⸗
fernung durch die veraͤnderliche Groͤße z ausgedruckt wird,
=h iſt, in dieſer parallelen Ebene liegen, und alſo eine
Durchſchnittslinie bilden. Fuͤr dieſe Durchſchnittslinie

hat man daher eine Gleichung, wenn man in der

Gleichung fuͤr die Flaͤche 2z = h ſetzt; denn man
bekommt dadurch eine Gleichung zwiſchen den Coor⸗
dinaten X und y, welche die Natur der Durchſchnitts⸗
linie ausdruckt. Auf aͤhnliche Art laſſen ſich die Schnitte
beſtimmen, welche durch Ebenen, welche der APR oder
A CR parallel ſind, erzeugt werden, und es wuͤrde uͤber⸗
fluͤſſig ſeyn, das Geſagte bey ihnen zu wiederholen.

§. 30.

Wenn alſo in der Gleichung fuͤr eine Flaͤche zwiſchen
den drey Coordinaten x«, y und z eine dieſer Coordinaten
2 einer beſtaͤndigen Groͤße h gleich geſetzt wird, ſo entſteht
ein Durchſchnitt der Flaͤche und einer Ebene, welche der
Ebene A P Q parallel iſt, und von ihr um die Entfernung
== h abſteht. Legt man demnach dem Buchſtaben h nach
und nach alle moͤgliche Werthe, die poſitiden nicht nur,
ſondern auch die negativen, bey, ſo erhaͤlt man alle Durch⸗
ſchnittslinien der Flaͤche und der Ebenen, welche der Ebene
A PQ parallel ſind; und da die ganze Flaͤche durch der⸗
gleichen parallele Ebenen in unendliche viele Theile getheilt
wird, und man auf die gedachte Art alle Durchſchnittsli⸗
nien kennen lernt: ſo wird man auch durch alle dieſe
Durchſchnittslinien mit der Flaͤche ſelbſt bekannt. Alle
dieſe Durchſchnittslinien ſind nemlich in einer einzigen Glei⸗
dung

494 Anhang. Zweytes Capitel.

chung zwiſchen den Coordinaten X und y, die eine unbe⸗
ſtimmte beſtaͤndige Groͤße in ſich faßt, enthalten, und es
ſind daher alle dieſe Durchſchnittslinien entweder é aͤhnliche
oder verwandte in einer Gleichung enthaltene Linien.

Es werden alſo alle Schnitte der Flaͤche, die der

Ebene A PQ parallel ſind, einander gleich ſeyn, und

von den Ebenen APR und A QR auf gleiche Art geſchnit⸗

ten werden, wenn die Gleichung zwiſchen X und y ſo be⸗
ſchaffen iſt, daß ſie unveraͤndert bleibt, h mag einen Werth
bekommen, was fuͤr einen man will. Dies kann aber nicht
geſchehen, wofern nicht die veraͤnderl iche Groͤße 2, ſtatt
welcher h geſetzt worden, in der Gleichung fuͤr die Flaͤche
gaͤnzlich fehlt. Wenn alſo die dritte veraͤnderliche Groͤße 2
ganz aus der Gleichung fuͤr die Flaͤche wegfaͤllt, ſo ſind alle
der Ebene APC parallele Schritte einander gl leich, und
ihre Natur wird durch die Gleichung fuͤr die Flaͤche ſelbſt
ausgedruckt, indem dieſelbe bloß die beyden veraͤnderlichen

Groͤßen X und y enthaͤlt. Auf aͤhnliche Art ſtimmen, wenn

in der Gleichung fuͤr die K laͤche entweder X oder y fehlt,

alle der Ebene A QR oder A P R parallele Schritte mit ein⸗

ander uͤberein.

§. 32.

Eine ſolche Flaͤche laͤßt ſich daher nicht nur ſehr leicht

denken, ſondern ſelbſt conſtruiren und koͤrperl ich darſtellen.
Denn angenommen, daß in der Gleichung die veraͤnderliche

Groͤße fehle, und man alſo bloß eine Gleichung zwiſchen

den beyden Coordinaten A P = x, und AQ = PM = y

habe, ſo beſchreibe man darnach in der Ebene A PQeine

Curve B MD, Fig. 122. Dann ſtelle man ſich vor, daß

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Von den Schnitten der Flaͤchen c. 495

eine unbegrenzte, auf dieſer Ebene ſelbſt ſenkrecht bleibende
gerade Linie nach der Curve B M D ſich bewege, ſo wird
dieſelbe bey ihrer Bewegung die Flaͤche beſchreiben, welche
durch die Gleichung ausgedruckt wird. Wenn alſo die
Linie B M D ein Kreis iſt, ſo wird die auf dieſe Art entſtan⸗

dene Flaͤche die Oberflaͤche eines geraden, wenn aber B MD

eine Ellipſe iſt, die eines ſchiefen Cylinders. Wenn die

Linie B M D keine continuirliche, ſondern eine aus mehrern
geraden und eine de w Figur bildenden Linie zuſam⸗

mengeſetzte Linie iſt, ſo wird die gedachte Flaͤche eine
prismatiſche.

Da dieſe Gattung der Flaͤchen alle cylindriſche und pris⸗
matſſche Flaͤchen unter ſich begreift, ſo pflegt man ſich auch
die cylindriſche oder prismatiſche zu nennen; die Arten
derſelben ader werden durch die ebene Figur B MD be⸗
ſtimmt, aus welcher ſie auf die beſchriebene Art entſtanden
ſind; ſo wie daher auch die Figur B MD die Baſis heißt.
Sooft daher in der Gleichung fuͤr eine Flaͤche eine von den
drey veraͤnderlichen Groͤßen æ, y und 2 fehlt, ſo oft iſt die
Flaͤche, welche durch dieſe Gleichung ausgedruckt wird, ent⸗
weder eine cylindriſche, oder eine prismatiſche. Wenn aber

zwey veraͤnderliche Groͤßen y und z zugleich fehlen, ſo wird

X eine beſtaͤndige Groͤße, und die Linie B MD verwandelt
ſich in eine gerade Linie, we lche auf der Axe AD ſenkrecht
iſt; woher denn die Flaͤche eine Ebene wird, die auf der
Ebene AP Q ſenkrecht ſteht.

§ 334.

Nach dieſer Gattung der Flaͤchen verdient vorzuͤglich
diejenige bemerkt zu werden, welche man aus den homoge⸗

neng

496 Anhang. Zweytes Capitel.

nen Gleichungen zwiſchen den drey veraͤnderlichen Groͤßen
X, y und 2, oder alsdann erhaͤlt, wenn dieſe drey veraͤn⸗
derliche Groͤßen allenthalben eine und dieſelbe Anzahl von
Dimenſionen haben, wie z. B. wenn 22 = m xZ † XX † yy
iſt. Aus dieſen Gleichungen werden nemlich alle Schnitte,
wenn die ſchneidende Ebene einer von den Hauptebenen pa⸗
rallel iſt, einander aͤhnliche Figuren. Denn legt man der
veraͤnder lichen Groͤße 2 einen beſtaͤndigen Werth h bey, ſo
iſt offenbar, d daß die Gleichung
hh mhx † XX † yy
wenn man fuͤr h nach und nach andere Werthe an⸗
nimmt, unzaͤhlige einander aͤhnliche Figuren unter ſich be⸗
greife, deren Parameter der h gleich oder proportional ſind.
Da alſo dieſe Schnitte nicht bloß einander aͤhnlich ſind, ſon⸗
dern auch in dem Verhaͤltniſſe der Entfernungen von der
Ebene APQ wachſen, ſo ſind die Linien, welche aus dem

Punkte A durch die homogenen Punkte der Schnitte gezogen

werden, gerade Linien.

d. 35.

Iſt alſo eine ſolche homogene Gleichung zwiſchen den
“ veraͤnderlichen Groͤßen «, y und? gegeben, ſo ertheile
man der 2 den Werth AR=h, und LSSMm, Fig. 123,
ſey in einer Ebene, welche der APQ durch den Punkt R
parallel gelegt worden, ſo daß ſie durch die Gleichung
zwiſchen æ und y ausgedruckt werde, und RV = x und
VM = y ſey. Iſt nun dieſer eine Schnitt LSS M m be⸗
ſchrieben, ſo ſtelle man ſich vor, daß ſich durch den Umfang
deſſelben eine unbegrenzte gerade Linie bewege, die ſtets
durch den Punkt A gehe, ſo wird dieſe gerade Linie die

Flaͤche beſchreiben, welche in der Gleichung enthalten iſt.

Dabepy faͤllt in die Augen, daß, wenn LSSMm ein Kreis
iſt,

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Von den Schnitten der Flaͤchen ꝛc. 497

iſt, welcher den Mittel lpunkt in R hat, ein gerader, wenn
aber R nicht der Mittelpunkt iſt, ein ſchiefer Kegel ent⸗
ſtehen werde; iſt aber jene Figur geradlinig, ſo ergeben
ſich Pyramiden von allerley Art. Aus dieſem Grunde wol⸗
len wir die Flaͤchen, welche in dieſer Art der Gleichungen
enthalten ſind, coniſche oder pyramidaliſche nennen.

§. 36.

Wenn alſo die Gleichung zwiſchen den drey t veränder⸗
lichen Groͤßen «, y und 2 homogen, und alſo die dadurch
ausgedruckte Flaͤche coniſch oder pyramidaliſch iſt, ſo er⸗
hellet nicht nur hieraus, daß alle Schnitte, die einer Haupt⸗
ebene A P QC parallel gemacht worden, einander aͤhnlich ſind,
und daß ihre Parameter ſich wie die Entfernungen der
Schnitte von dem Scheitel A verhal ten, ſondern es werden
auch aus gleichem Grunde alle Schnitte, welche entweder
der Ebene APR, oder der Ebene A QR parallel ſind, eben
dieſe Eigenſchaft haben, daß ſie aͤhnliche Figuren ſind, und
daß ſich ihre homologen Seiten wie ihre Entfernungen von
A verhalten. Unten wird aber gezeigt werden, daß alle
dergleichen Koͤrperſchnitte, die entweder einander, oder

irgend einer Ebene durch den Scheitel A parallel liegen,

auch einander aͤhnlich, und ihre Parameter den Entfer⸗
nungen vom Scheitel A proportio nal ſind.

d. 35.

Von einem weitern Umfange iſt die Gattung der la⸗
chen, welche wir jetzt betrachten wollen. Es ſey 2Z irgend
eine Funktion von 2, und eine Gleichung zwiſchen den drey
veraͤnderlſchen Groͤßen X, y und 2 gegeben. Es werde
Z = H, wenn man 2 =h ſetzt. Da man in dieſem Falle
eine homogene Gleichung zwiſchen X, y und H erhaͤlt, ſo
Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. H. Ji wer⸗

49 8 Anhang. Zwepytes Capitel.

werden alle Schnitte, die der Ebene AP Q parallel ſind,
einander hnlich ſeyn, ihre Parameter aber werden ſich
nicht wie die Entfernungen h, ſondern wie die Funktionen
davon, H, verhalten. Es ſind daher auch die Linien, welche
durch die homelogen Punkte dieſer Schnitte gezogen wer⸗

den, keine gerade Linien, ſondern Curven, die von der

Funktion Z abhangen. Auch folgt hier nicht, daß die
Schnitte, die einer andern Ebene parallel ſind, einander
aͤhnlich ſeyen.

§. 38.

In dieſer Gattung find die beyden vorhergehenden Ar⸗

ten enthalten. Denn wird Z = 2 oder Z = a, ſo ent⸗
ſtehen, weil die Gleichung zwiſchen X, y und z homogen iſt,
coniſche Flaͤchen. Eben dieſes geſchiehet, wenn Z = = † 8£2
iſt, nur mit dem Unterſchiede daß die Spitze des Kegels

nicht i in den Punkt 4 ſelbſt faͤllt; iſt nemlich Z = , ſo

ſteht die Spitze des Kegels bvon A um die Weite b ab Setzt
man b= Oo, ſo geht die coniſche Figur in eine chylindriſche
uͤber, und es wird Z = 1. Es haben daher die Glei⸗
chungen fuͤr die ey lindeiſchen Flaͤchen die Beſchaffenheit, daß
die veraͤnderlichen Groͤßen X, und „ mit der beſtaͤndigen 1
allenthalben dieſelbe Anzahl von Dimenſionen geben. Es
mag aber die Gleichung zwiſchen X und y beſchaffen ſeyn,
wie ſie will, ſo kann man allemal, wenn 2 nicht darin vor⸗

kommt, durch die Einheit die Homogeneitaͤt herſtellen, und

es druckt daher, wie wir bereits oben gezeigt haben, jede

Gleichung, worin eine veraͤnderliche Groͤße fehlt, eine ey⸗
lindriſche F Flaͤche aus.

§. 39.

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Von den Schnitten der Flaͤchen ꝛce. 499

§. 39.
Unter den Koͤrpern, bey welchen alle Schnitte, die einer
von den Hauptebenen A PQ parallel ſind, einander aͤhnlich
werden, ſind vorzuͤglich diejenigen zu merken, bey welchen
dieſe Schnitte Kreiſe ſind, welche den Mittelpunkt in eben
der geraden und auf AP Q ſenkrechten Linie AR haben.
Dergleichen Koͤrper laſſen ſich drechſeln, und man nennt ſie
daher gedrehte Koͤrper. Die allgemeine Gleichung fuͤr die⸗
ſelben iſt Z 7 = XX † yy; denn man mag der veraͤnder⸗
lichen Groͤße 3z, um Z = H zu erhalten, einen Werth bey⸗
legen, was fuͤr einen man will, ſo bekommt man allemal
fuͤr den Schnitt, welcher der Ebene A P Q parallel iſt, die
Gleichung HH = X †yy, und dies iſt eine Gleichung fuͤr
einen Kreis, der den Halbmeſſer = H, und den Mittel⸗
punkt in der geraden Linie A R hat. Wenn ZZ = 22 iſt,
ſo entſteht ein gerader Kegel; iſt Z Z = aa, ein Chlinder;
und iſt ZZ = a a — 22, eine Kugel, und dies ſind die
vornehmſten Arten der Koͤrper, die ſich durchs Drehen er⸗
zeugen laſſen. “ð

§. 40.
Nun wollen wir die Koͤrper betrachten, deren auf der
Axe Ab ſenkrechte Schnitte PTV, Fig. 124, insgeſammt
Dreyecke ſind, deren Spitzen I in der der Axe A P paralle⸗

len geraden Linie D T liegen. Es ſey AVB die Baſis die⸗

ſes Koͤrpers, oder ein Schnitt von ihm, der in der Ebene

A PQ gemacht worden, und irgend eine Curve. Laͤßt

man die Entfernung der geraden Linie DT von der Axe
A B, oder AD = C ſeyn, und ſetzt man, wie bisher, die
drey veraͤnderlichen Groͤßen AP= x, PQ= y und QM = 2;
ſo wird PV eine Funktion von x: ſetzt man aber PV = P,
ſo iſt wegen der Aehnlichkeit der Dreyecke VQM und VPT
Ji 2 P: &

700 Anhang.

Zweytes Capitel.
P : c = P — y 2
oder

Fuͤr dieſe Koͤrper iſt daher — gleich einer Funktion von

«; und es unterſcheiden ſich dieſelben von den coniſchen,
dafß ſie ſich in eine geradlinige Spitze DT endigen, da ſol⸗

ches die coniſchen in einen Punkt thun. Iſt AVB ein Kreis,

ſo entſteht der Koͤrper, den Wallis ausfuͤhrlich unterſucht,
und den kegelfoͤrmigen Keil genannt hat.

Es ſeyen, wie vorhin, alle auf der Axe AB ſenkrechte
Schnitte PTV, mFig. 125, Dreyecke, welche bey bP einen
rechten Winkel haben, deren Scheitel T aber irgend eine
Curve A T bilden, und die Baſis ſey die Figur AVB. Setzt
man die drey veraͤnderlichen Groͤßen AP = z, Pb Q = y
und QM = z, ſo iſt in der Curve A VB die gerade Linie
PV eine Funktion von X, die wir = P annehmen wollen;
uund PT ebenfalls eine Funktion von X, die = Q ſeyn mag.
Dies vorausgeſetzt, iſt
P: Q = P — y:
und alſo

oder

† † = 1, oder eine beſtandige Groͤße.

Wenn alſo die beyden veraͤnderlichen Groͤßen y und 2 nir⸗
gends mehr als eine Dimenſion ausmachen, ſo gehoͤrt der

Koͤrper zu der Gattung, welche wir hier beſchrieben haben.

§. 42.

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Von den Schnitten der Flaͤchen ꝛc. Sor
8. 42.
Da wir alſo diejenigen Koͤrper betrachtet haben, wobey
die Schnitte, die der einen Hauptebene parallel gemacht
werden, insgeſammt einander aͤhnlich ſind: ſo wollen wir
uns nun zu ſolchen wenden, wobey dieſe Schnitte wenig⸗
ſtens mit einander verwandte Figuren, oder ſolche werden,
deren Applicaten proportional ſind, wenn man die Abſeiſſen
Conſchen homolog nimmt. Es ſeyen die drey Hauptſchnitte eines
. ſolchen Koͤrpers ABC, ACD und A BD, Fig. 126, ſo daß
inddh alle der ACD parallele Schnitte verwandte Figuren wer⸗
9umnſt⸗ den. Man ſetze die Grundlinie AC = a und die Hoͤhe
AD = b, und dabey ſey, nachdem man die Coordinaten
Aq = p und qm = q gemacht hat, girgend eine Funk⸗
tion von p. Nun denke man ſich einen parallelen Schnitt

Unition ben

A ſokrahe PTV, und ſetze die Entfernung AP = x, ſo iſt die Baſis
e din, enn PV eine Funktion von x, die wir = Pb., und die Hoͤhe PT
berſued ere eine Funktion von «, die wir = Q annehmen wollen. Setzt
—K man daher ? Q = y und Q M = 2, ſo iſt wegen der Ver⸗
21, 50=1 wandtſchaft “
gerode l a: p = P: y; und b: q = Q: 2
ren nulan d-der
nng „= T; und ⸗ = 24
9 b
K. 43.
Wenn alſo alle drey Hauptſchnitte eines Koͤrpers AB C,
10 A CD und A BD gegeben ſind, ſo laͤßt ſich daraus die Na⸗

tur des Koͤrpers beſtimmen, wenn alle dem A CD parallele
G Schnitte auch demſelben verwandt ſind. Denn man hat
bich⸗ dadurch zuvoͤrderſt P und Q, welches Funktionen von
,ndſn ſind; und dann iſt q eine Funktion von p, ſo daß durch die
geheta beyden veraͤnderlichen Groͤßen x und p die veraͤnderlichen

502 Anhang. Zweytes Capitel.

Groͤßen y und z beſtimmt werden. Will man aber eine
Gleichung zwiſchen den drey Coordinaten X, y und 2 ha⸗
ben, ſo ſetze man, da g eine Funktion von p, oder eine
Gleichung zwiſchen p und q gegeben iſt, in dieſer Gleichung
p = =— , und q = h˖
denn dadurch erhaͤlt man, da P und C Funktionen von X
ſind, eine Gleichung zwiſchen den drey Coordinaten X, y
und z, wodurch die Natur der zu dieſer Claſſe gehoͤrigen
Koͤrper beſtimmt wird.
wenn man = o ſetzt, P = a und Q= b werden muß.

§. 44.

Wenn in der Gleichung fuͤr die Oberflaͤche die beypyen

veraͤnderlichen Groͤßen y und z allenthalben eben dieſelbe
Anzahl von Dimenſionen haben, ſo ſind alle auf der Axe
AP ſenkrechte Schnitte geradlinige Figuren. Denn ſetzt
man fuͤr X irgend eine beſtaͤndige Groͤße, ſo erhaͤlt man
eine homogene Gleichung zwiſchen y und 2, welche eine oder
mehrere gerade Linien anzeigt. Da nun die Anzahl der
Digmenſionen, welche die beyden veraͤnderlichen Groͤßen y
un 2 haben, allenthalben dieſelbe, und entweder eine ge⸗
ade oder eine ungerade Zahl iſt: ſo haben dieſerwegen die
gedachten Koͤrper nach §. 20 auch je zwey und zwey Theile
einander gleich.
und fuͤnften, ferner in der zweyten und dritten Gegend ein⸗
ander gleich, und in Anſehung der uͤbrigen braucht man
nur den angefuͤhrten § zu Rathe e zu ziehen.

F. 45.

Wir haben bereits mehrere Gattungen von Koͤrpern be⸗

trachtet, wobey es unzaͤhlige geradli inige Schnitte giebt,
denn

Es faͤllt aber in die Augen, daß,

Es ſind nemlich die Theile in der erſten

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Von den Schnitten der Flaͤchen ꝛc. 503

denn es gehoͤren dahin die ſo eben unterſuchten, und dann
auch die cylindriſchen und coniſchen Koͤrper. Bey dieſen
ſind die Schnitte geradlinig, welche durch die Axe gehen,
jene aber erſtrecken ſich weiter. Es ſey nemlich AK M P,
Fig. 127, ein Schnitt, der auf der Axe unter dem Winkel
MPV = % ſtehe. Setzt man A = X; PQι= y und
QQM = z, ſo iſt 5 = tang. O, und P M = iz Soll

H. &
nun K M eine gerade Linie ſeyn, ſo muß
ſn. 9 = ℳ X †
werden, wo « und 2 beſtaͤndige Groͤßen, die von dem Win⸗
kel o abhaͤngen, und alſo Funktionen von keiner Dimenſion
von y und 2 ſind. Es ſeyen R und S dergt eichen Fuaktio⸗
nen, ſo wird
2« = Rz † S, oder X = Ry † §£
Oder wenn T eine Funktion von einer Dimenſion, und §
eine Funktion von keiner Dimenſion von y und 2 bedeutet,
ſo ſind alle Koͤrper von dieſer Gattung in dieſer allgemeinen
Gleichung X = I † S enthalten.

§. 46.

Es ſey die Flaͤche, deren Natur durch eine e Gleichung
zwiſchen den drey veraͤnderlichen Groͤßen X, y und 2 be⸗
ſtimmt worden, beſchaffen, wie ſie wolle, ſo iſt es allemal
leicht, einen jeden nach der Axe AP gemachten Schnitt zu
beſtimmen. Es ſey der Winkel V PM, welchen dieſer
Schnitt AKMP mit der Ebene A CVP macht = 9, und
die gerade Linie PM = v, welches die Applicate des ge⸗
ſuchten Schnitts ſeyn wird; ſo iſt
QM = 2 v. ſin. ; und ?PQα = y =— v. coſ. O.
Braucht man daher in der Gleichung fuͤr die Flaͤche die
Ji 4 Werthe

504 AUnhang. Zweytes Capitel.

Werthe v. ſin. 6, und v. coſ. fuͤr y und 2, ſo erhaͤlt man
eine Gleichung zwiſchen den beyden veraͤnderlichen Groͤßen

X und v. wodurch die NRatur des Schnitts AK M P beſtimmt
wird Auf aͤhnliche Art findet man alle Schnitte, welche

nach einer von den beyden uͤbrigen Hauptaxen AQC und AR
Fig. 121. gemacht werden. Denn es laſſen ſich dieſe drey
Axen A P, A CQ und A R, von welchen die drey veraͤnderli⸗
chen Groͤßen x, y und z abhangen, ſo mit einander ver⸗
wechſeln, daß alles, was von der einen erwieſen worden,
auch auf die uͤbrigen angewandt werden kann.

§. 47. “
Rimmt man alſo die Ebene AP QC zur Hauptebene an,
um darauf alle Schnitte der Flaͤche zu beziehen, ſo iſt jeder
durch eine Ebene gemachter Schnitt entweder dieſer Ebene
parallel oder gegen ſie geneigt, und in dieſem Falle wird
die erweiterte Ebene des Schnittes die Ebene A PQ irgend⸗
wo ſchneiden, und der Durchſchnitt dieſer Ebenen wird
eine gerade Linie ſeyn. Im erſten Falle, wenn die Ebene

des Schnittes der Ebene A PQ parallel iſt, lernt man die

Natur dieſes Schnittes kennen, wenn man der veraͤnderli⸗
chen Groͤße 2 einen beſtaͤndigen Werth ertheilt. Im letz⸗

ten Falle, wenn die Ebene des Schnittes gegen die Ebene

A PQ geneigt iſt, kann man die Ratur des Schnittes bis
ietzt nur dann beſtimmen, wenn entweder die gerade Linie
A P, oder die gerade Linie A Q die Durchſchnittslinie der

ſchneidenden Ebene und der Ebene APQ iſt. Um alſo alle

Schnitte zu finden, muß man auch jeden andern Schnitt
jener zwey Ebenen betrachten.

Es ſey die gerade Linie E S , Fis. 129, welche der AUre⸗
Ab parallel iſt, die Durchſchnitglini der ſchneidenden
Ebene

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Von den Schnitten der düͤchen c. 505

Ebene und der Ebene APQ, und der NReigungswinkel
QS M., den die ſchneidende Ebene ESM mit der Ebene
APQC macht, = o, ſo wie die Entfernung A E = f. Da
A P = X; P Q y und QM =
iſt, ſo wird
ES= x, und S8 = y f f.
Bezieht man demnach den Schnitt auf die gerade Linie ES
als auf ſeine Axe, ſo wird die Abſciſſe E8 = xX; und ſetzt
man die Applicate S M = v, ſo wird, weil der Winkel
QS M = ° iſt,
QM= z = v. ſin. 9%; und S =y1t=v.⸗ coſ. 2
und folglich
y = v. coſ. — f.
Subſtituirt man daher in der Gleichung zwiſchen X, y und
2, welche fuͤr die Flaͤche gegeben iſt,
y = v. coſ. Q — f; und 2 = v. ſin. gH
ſo bekoͤmmt man eine Gleichung zwiſchen den Coordinaten
X und v fuͤr den geſuchten Schnitt E S M. Waͤre Es ſenk⸗
recht auf der Axe AP, ſo faͤnde man, weil dann ES der
andern Hauptaxe in der Ebene APC parallel waͤre, den
Schnitt durch Verwechſel ung der veraͤnderlichen Groͤßen
X und y auf eben die Art.

8. 49.
tun habe der Schnitt ES, Fig. 129, in der Ebene
APQ iede willkuͤhrlich angenommene Lage, und es be⸗
gegne ihr die gerade Linie A E, die auf der Axe A b ſenk⸗
recht iſt, in dem Punkte K. Man ziehe ETX der Axe A P
parallel, und ſetze AE = f, und den Winkel I1 S = 9;
desgleichen, nachdem man die drey veraͤnderlichen Groͤßen
A P= x; PQ= y und Q M = 2 angenommen hat, aus
Q auf Es die ſenkrechte Li nie e 08, und endlich M1: ſe ſt

—

Hõ

506 Anhang. Zweytes Capitel.

der Winkel QSM die Neigung der ſchneidenden Ebene

gegen die Ebene APC. Es ſey QS M= % und die Coorr⸗

dinaten des geſuchten Schnittes E S = t, und S M = v.

Aus S ziehe man nach EX und Ob die ſenkrechten Linien
8 T und SV; ſo iſt

Q M = 2 = v. ſin. %; S = v. cof.
§ V = v. coſ. . ſin. 9; QV= v. coſ. G. c0f. 3
und dann auch
S I EVX St. ſin. 9; und ET = t. coſ. &.
Hieraus fließt
AP = XK = t. coſ. J* + v. coſ. 9· ſin. 9
und
PQ = 7 = v. coſe o. coſ. 8 — t. ſin. 3 — f.

4 Subſtituirt man dieſe Werthe fuͤr x, „ und 2, ſo findet

man die Gleichung fuͤr den geſuchten Schnitt.

. 50.

Iſt alſo eine Gleichung fuͤr einen Koͤrper gegeben, ſo
kann man daraus eine Gleichung fuͤr jeden ebenen Schnitt
deſſelben erhalten. Es iſt aber dabey klar, einmal, daß
alle Schnitte eines Koͤrpers algebraiſche Curven ſeyn wer⸗
den, wenn die Gleichung fuͤr denſelben zwiſchen den drey
Coordinaten «, y und ⸗ eine algebraiſche Gleichung iſt.
Ferner koͤnnen t und v in der Gleichung fuͤr den Schnitt,

da dieſe Gleichung aus der fuͤr den Koͤrper en ſteht, wenn

man darin
2 = v. fin. 9; X = t. coſ. & T v. coſ. . ſin. & 9, und
y = col y. cof. 9 — t. ſin. J. — f

ſetzt, nicht mehr Dimenſionen bekommen, als die drey

Coordinaten x, y und? in jener Gleichung haben. Aber
zu einem niedrigern Grade kann die Gleichung fuͤr den
Schnitt

Schrit

Gleder

inder
ſan,

ſo ſnd

eſen

iger
deutich

beke

ſie ſcn
Schrite
eine G

3 ð

Von den Schnitten der Slaͤchen ꝛc. 507

Ge Schnitt bisweilen gehoͤren, wenn ſich nemlich die hoͤchſten
Co Glieder nach der Eudſtitution einander aufheben.
— V. D . .
linien §. Fk.

Haben alſo die drey veraͤnderlichen Groͤßen æ, y und 2
in der Gleichung fuͤr die Flaͤche nicht mehr als eine Dimen⸗
ſion, ſo daß die Gleichung folgende iſt
„½X †+ £Sy † 72 = àa
ſo ſind alle Schnitte dieſer Flaͤche gerade Linien. In
dieſem Falle iſt aber die Flaͤche eine Ebene, welches bey
einiger Aufmerkſamkeit in die Augen faͤllt, und unten
deutlicher gezeigt werden wird; aus den Elementen aber
. iſt bekannt, daß jede zwey Ebenen ſich in einer geraden Li⸗
fnde nie ſchneiden. Auf aͤhnliche Art ſieht man ein, daß alle
Schnitte der Koͤrper, deren Natur durch folgende allge⸗
meine Gleichung ausgedruckt wird
exX2 † gy2 † 722 † xy † exz † &yz † ax † by † cz † ee =
wofern ſie nicht gerade Linien ſind, Linien der zweyten
,ſ Ordnung ſeyn werden, und daß es dabey keinen Schnitt
Sm gebe, der nicht in der Gleichung vom zweyten Grade ent⸗
4 halten ſey.

te Drittes

. E E

„ ee .

Drittes Capitel.
Von den Eynder⸗ Kegel⸗ und Kugel⸗Schnitten.

Da dieſe Koͤrper in den Elementen der Stereometrie

betrachtet werden, ſo muͤſſen wir auch ihre Schnitte vor

der Erwaͤgung der weniger bekannten Koͤrper unterſuchen.
Was nun zuvoͤrderſt die Cylinder betrift, ſo giebt es davon
zwey Arten, gerade und ſchiefe. Ein Cylinder heißt ein

gerader, wenn alle ſeine auf der Axe ſenkrechte Schnitte

einander gleiche Kreiſe ſind, welche ihre Mittelpunkte in
eben der geraden Linie haben. Bey einem ſchiefen Cy⸗
linder hingegen ſind nicht die Schnitte, welche auf der
Axe ſenkrecht, ſondern diejenigen, welche gegen dieſelbe
unter einem gegebenen Winkel geneigt ſind, Kreiſe; man

druckt aber dieſe Beſchaffenheit bequemer auf dieſe Art

aus: Ein ſchiefer Cylinder iſt ein ſolcher, deſſen auf der

Axe ſenkrechte Schnitte einander gleiche Ellipſen ſind, deren

Mittelpunkte insgeſammt in der geraden Linie liegen, welche
man die Axe⸗ des Cylinders nennt.
Es ſey alſo ein gerader oder ſchiefer Cylinder gegeben,
deſſen Axe CD, Fig. 130, auf der Ebene der Tafel ſenk⸗
recht ſtehe; und ſeine Grundflaͤche AEBF, oder ſein Schnitt,
welcher von der Ebene der Tafel gemacht wird, ſey ein
Kreis oder eine Ellipſe. Ich will annehmen, daß dieſe

Hrund⸗

Vor

Grun
und
das,
ſeiht

(

Rdete
an lb
ater d

d
als,
Chene
Uin

W
Ade

reiſe

Cylrde

itten⸗

metrie
ine er
tſuchen.
s dabon
heißt ein

Schnitte

Uutte in
en Cy⸗
uf der
Niejce
1,
Ne M
if der
daen
wece

e, mon

Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel ⸗Schnitten. 509

Grundflaͤche eine Ellipſe ſey, die den Mittelpunkt in C,

und die zugehoͤrigen Axen AB und EF habe, weil alles
das, was von einem ſchiefen Cylinder behauptet wird, ſehr
leicht auf den geraden Cylinder angewandt werden kann.
Es ſey alſo die eine Hal baxe AC = B C = a, und die .
andere CD = CF = c. Setzt man die drey Coordina⸗
ten Cp = x; P Q = y; und QM = 2, ſo iſt wegen der
Natur der Ellipſe

aacc = aayy † ccxXX

und dieſe Gleichung druckt zugleich die Natur des Eylinders
aus, da die dritte veraͤnderliche Groͤße 2, weil alle der
Ebene CPC parallele Schnitte einander gleich ſind, nicht
mit in die Gleichung kommt.

8. 54.

Bey dieſem Cylinder ſind alſo alle der Grundflaͤche pa⸗
rallele Schnitte der Grundflaͤche gleich und aͤhnlich; und
Kreiſe bey dem geraden, ſo wie Ellipſen bey dem ſchiefen
Cyl inder. Ferner ſind die Schnitte, welche durch Ebenen,
auf APQ ſenkrecht ſind, gemacht werden, gerade Linien,
und je zwey und zwey einander parallel; die aber da, wo

die Ebene den Cylinder beruͤhrt, in eine zuſammenfallen,

und wenn die Ebene den Cylinder nicht trift, imaginaͤr
werden. Dieſes erhellet auch aus der Gleichung. Denn
wenn man entweder x, oder y, oder X + a y beſtaͤndig an⸗
nimmt, um den Schnitt der ſchneidenden Ebene und der
Grundflaͤche anzuzeigen, ſo hat die Grundflaͤche zwey ein⸗
fache Wurzeln. Und auf dieſe Art haben wir ſchon alle
Schnitte beſtimmt, welche durch Ebenen, die einer von den
drey Hauptebenen parallel ſind, gemacht werden.

510 Anhang. Drittes Capitel.
Um die Natur der uͤbrigen Schnitte; zu erforſchen, wol⸗
len wir annehmen, daß die ſchneidende Ebene und die
Ebene der Grundflaͤche die gerade Durchſchnittslinie G T
erzeugen, die zuvoͤrderſt der einen zugehoͤrigen Axe EF pa⸗
rallel, oder auf der andern verlaͤngerten Axe A B in G ſenk⸗
recht ſeyn mag. Dies vorausgeſetzt, ſo ſey die Entfernung
CS = f, und die Neigung der ſchneidenden Ebene G TM
gegen die Grundflaͤche = „. Es begegne die ſchneidende

Ebene G L M der Axe des Cylinders in D, ſo wird, wenn

man D G zieht, DGC = 9, und folglich

f f. ſin.
DG = ——; und cD = — —.
Co1. O Ccol.

Zieht man aus einem Punkte des geſuchten Schnittes M
die Linie MT der D G parallel, ſo noird, weil IQ = f— X,
und QTM= ½ iſt

TM = — OA = —) Un. o
coſ. ₰ coſ. ι

Man ziehe MS der TG paralee und alſo ſenkrecht auf D 6,
ſo wird
X

MS = LG = P = y; DS = ——.
QB= y; und cor 5

§. 56.

Nun nehme man die geraden Linien DS und S M zu den
Coordinaten des geſuchten Schnittes an, und ſetze DS = t,
und 8 M= u; ſo wird
y = u; X = t. coſ.
(f – x). ſin. „
ccorf.
2²½ S f. tang. % — t. ſin. .
“ R Man

iſt

und weil z =

welce⸗
welche d
Ctt i N

ſekecht

arode

ſere halb
Schritte
kleiper
der Goſs
Nen ejn

N.

1

bey er⸗
30
S

inie CI
EE NEE
tftlnug

e 6 T
edende

d, N

chrittes

=Sf-

Von den Eylinder⸗Kegel⸗ und Kugel⸗Schnitten. 115

Man dringe dieſe Werthe i in die Gleichung fuͤr den Eylinder

aacc = ayy † ccxX
ſo erha t man fſuͤr den geſuchten Schnitt folgende Gleichung
aac3c = aa uu † cctt (coſ. O)2
welche anzeigt, daß der Schnitt eine Ellipſe ſeyn wird,
welche den Mittelpunkt in D hat, und deren eine Haupt⸗

axe in die gerade Linie D G faͤllt, die andere aber auf ihr

ſenkrecht ſtehet. Es iſt aber die Hauptaxe, welche in die

△

gerade Linie D G faͤllt, (indem u = o geſetzt wird) =S — —
COI.

Oder man ziehe B H der parallel, ſo wird BH = er;

die eine Halbaxe des geſuchten Schnittes, und die andere
= c — CE.

5*

d. 57.
Es iſt alſo der auf dieſe Art entſtandene Cylinderſchnitt
eine Ellipſe, deren zugehoͤrige Halbaxen i — und c ſind.
Wenn daher in der Grundflͤche AEB F, A =a, die groͤ⸗
ßere Halbaxe iſt, ſo ſind, weil groͤßer als a iſt, die

Schnitte laͤnglichere Ellipſen als die Grundflaͤche. Iſt aber

c kleiner als a, oder iſt der Schnitt G T der groͤßern Are

der Baſis parallel, ſo koͤnnen in dem Cylinderſchnitte beyde
Axen einander gleich ſeyn, und alſo der Schnitt ein Kreis

werden. Dieſes ereignet ſich, wenn ol 5 = c, oder
0C01.

aÿ
coſ. = iſt. Da alſo in dem Dreyecke BCH, welches

. . . . 8 . 4
bey C rechtwinklig iſt, CB H = iſt, ſo iſt coſ. 9 =
BC 4
5 = 65 Wenn daher B H = C genommen wird,

ſo

512 Anhang. Drittes Capitaael. Emn
ſſo ſind die Schnitte Kreiſe; und da dieſes auf eine zwie⸗
fache Weiſe geſchehen kann, indem B H = CE theils ober⸗ un
halb, theils unterhalb genommen werden kann, ſo entſte⸗ D8=t
hen zwey Reihen kreisfoͤrmiger Schnitte, welche auf der
Axe CD ſchief ſtehen, und daher werden dergleichen ey⸗ ld R

under ſchiefe Cylinder genannt.

. Nun ſey die gerade Linie G T, Fig. 131, beliebig ſchief
gelegt, der Schnitt der ſchneidenden Ebene und der Grund⸗ Daaſſon
flaͤche, und auf ſie aus dem Mittelpunkte der Grundflaͤche t cok

C die ſenkrechte Linie G C = f herabgefaͤllt. Man ſetze den
Winkel BC G = ⁹; und den Reigungswinkel CG D = ,

welchem der Winkel QT M gleich ſeyn wird, wenn man rinntn
QT auf GI ſenkrecht zieht. Es iſt daher èMMD Heeyy,
D G == 1. und CD = AIIA
Es ſey M ein Punkt in dem geſuchten Schnitte, und aus tenc
ihm ſenkrecht M Q auf die Grundflaͤche, und von hier QP
auf die Axe gefaͤllt, ſo daß, wenn man CP = x, QP= y 1n Nee
und QM = ?2 ſetzt, wted
aacc = aayy † ccXX Nud
werde. Ferner ziehe man auf die Durchſchnittslinie G T. Riet⸗
die geraden Linien PV und Q ſenkrecht, ſo iſt r
6G V = xk. ſin. ; PV = f — x. coſ.
und da der Winkel QPW = 9 iſt, ſo wird
QW = y. ſin. 9; PW = VITI = y. coſ. 3; und lny
QL= f — x. coſ. 3& † y. ſin. . ARledt
Zieht man endlich MT, ſo wird, weil MTQ = ⁹ iſt nſten
rLrTrM = —; und Q T = e den
ſin. Un. 2bt

§. 9. Eule

le win
ls ober⸗
ſ entſt⸗
avf der
ichen G⸗

und ans
1hier
C=)

lrie 61

uad

,
7

7

Von den Eyl inder⸗ Kegel⸗ und Kugel⸗ Schnitten. 513

§. 59.
Nun ergaͤnze man das Rechteck GSMT, und ſetze
D S= t; S M = G T=uu: ſo wird
u= GV YVT= x. ſin. & † y. coſ. J.
und da QT= f — x. coſ. & † y. ſin. 9 iſt, ſo wird ferner
QC — C 6 = y.: ſin. 3 — x. coſ. ,
und folglich
y. ſin. ₰ — X. coſ. è
coſ.
Da alſo x. ſin J. † y. coſ. = u; und y. ſin. 3 — xX. coſ. =
t. coſ. & iſt, ſo hat man ?
. y = u. coſ. &ϑ †t. fn. 8. cof o; und
X = U. ſin. ₰ϑ — t. coſ. J. coſ. O.
Bringt man dieſe Werthe in die Gleichung aacc = a ayy
† ccyy, ſo bekommt man

D S= LM — DG =

4CC —

aauu (coſ. 9)2 † Aaaut. ſin. S. coſ J. cof. „°† natt (Un. 9)2

(coſ. O)2

ccuu (ſin. 5)⸗ — 2 ccut. ſin. 9. coſ. 9. coſ. † cett coſ. 3) 2

(coſ. &)2
und dieſe Gleichung iſt eine gläitu fuͤr eine Ellipſe,
welche den Mittelpunkt in D hat, und deren Coordinaten
DS und SM auf den Hauptaxen nicht ſenkrecht ſind, wofern
nicht a = c, oder der Cylinder ein gerader Cylinder iſt.

Um dieſen Schnitt genauer kennen zu lernen, laſſe man
a Mebf, Fig. 132, die Curve bedeuten, deren Gleichung

zwiſchen den Coordinaten DS = t und MS = u gefunden wor⸗

den; der Kuͤrze wegen wollen wir dafuͤr aa cc = uu †
26t u † „tt annehmen, ſo daß fuͤr den gegenwaͤrtigen Fall

Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. II. B. Kk =

514 Arnhang. Drittes Capitel. Von
ℳ₰* = a a (coſ. 9)2 PT cc(ſin. 3) 2
= (a à — C c) ſin. S. cofſ. 9. coſ. „

7 = aa (ſin. 9) 2 (coſ. 4)2 1. c c (coſ. 9) 2 (coſ. O)*
iſt. Die zugehoͤrigen Hauptaxen dieſes Schnittes ſeyen a b
und ef, und nachdem man auf die eine davon die Applicate
Mp gezogen, ſetze man Dp = p, und Mp = q, desglei⸗
chen den Winkel aD H = ⅛: ſo wird zun die
u = p. ſin. & † q coſ. ?; und

t = p. coſ.5“ — q. ſin. De
und durch die Subſtitution dieſer Werthe bekommt man
gaacc — e
† æ& (ſin. e⸗ 2 a. ſin. & coſ. † æ (coſ 6)2 le
†† 26 Ccof. ) Dashn
k26 ſfin. . cofsb b- s(cof 6) Pd — 26ſn. s coſs d
P v. (coſ. 6) 2 — 2 ſin. 9. Coſ. 9. † % (ſin. 9) 2 Deh=
Da dieſe Gleichung auf einen rechtwinkligen Durchmeſ⸗
ſer bezogen wird, ſo muß der Coefficient von p q = o ſeyn; a
daher denn, weil 2. ſin. 9. coſ. &= ſin. 2 ⅛; und ceot. 6)2 —
(ſin. ½2 = coſ. 2 iſt
( — 2) a Tse gecat ee H
und folg! V
2
tang. 26 —
wird. Hierdurch lernt man den Winkel a DH, und folg⸗
lich auch die Lage der Hauptdurchmeſſer kennen. Was die R

Halbaxpen ſelbſt betrifft, ſo kann man dieſelben auf folgende
Art beſtimmen.
“ D = at
an H FEα75 † 2 8. ſin. G. Coſ. 17 Cot 6)2)
und

–

= —
2

en ab
wdate
deige⸗

urihnt⸗
0 ſehn;
92—
9/

foh⸗

Wos Re

hende

—
92
nd

Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel⸗Schnitten. 5I5

und
4G

de= VCæ (coſ. ) 2 — 26. ſin. G. coſ. & † 7 (Iin. 6)2)

§. 62.
“ 2 (7 — ). ſin. O. coſ. 2 H
Da 26= — 72 — f. c2 iſt, ſo wird, wenn
man dieſen Werth in die gefundenen Ausdruͤcke bringt,
ac V (coſ. &2 — ſin. 72 acV 2 coſ. 2 G
al = .
V (7. Coſ. 92 — ſin. 62) FC(C— P.). coſ.⸗ „— 27)
und
eD ac V! coſ. 62 — ſin. 62) — ac V 2 coſ. 26

VC(aæ. coſ.2— . ſin. „2 2) V((aP„.). coſ. 26 1 2 — 7)
Das Produkt dieſer beyden Halbaxen iſt demnach
2 a a c c. coſ. 2
V (2 a7 (I † (coſ. 2 6)2) — «% † 77) (ſin. 2 ) 2)
Da nun
(2 — a.). ſin. 2 = 2 8. coſ. 2
iſt, ſo wird
(Caaνν. (n. 2 6) = 46 (coſ. 2 6)2 † 2 27 Cin. 2 6)
und folglich
”M 2 aa c c. coſ. 2 =ð
D, ebe V AS cof. = — 4 66 (Ü 2 7)²)

a à c0 4àA0

aD. eD =

—.—

VCar =— 6 6 coſ.

§. 63.
2 aacc,. coſ. 2
(„ † „). cof 26 — =1 7
und
2aaàc c. coſ. 2
(„ † 7)). coſ. 26 † « — 7
Kk 2 . iſt,

Da

aD2 — —

516 Anhang. Drittes Capitel. 1
iſt, ſo wird
Aaa c c. ( † ) (coſ. 2 6 2 (= 12aacc 8
402 teD⸗= * . 2 — 458 coſ. 2 2 —— leguen
4qCofſ. 2 )2 — 466 Co. 2⁰) 47 — 8 8
und hieraus fließt = benn
ab 1 eD= W 7 2 V C7 — 06))
V(æ — 8 6) SS
— 1c V(a 7 – 2 V (= 2à — 6 6)) it i
a D — e D = vV ar ss); — Gubdſe
Es ſind demnach die Halbaxen aD und e D die Wurzeln ſcgfen
dieſer Gleichung uFt he
(A7 — β ⁸) X4 — ( 4 acc ax asca = 0 ſeſoe
V («7 — £β ⁸£) = a c. coſ. . Iuung
8. 64. . han uhe
Da aD. e D = = = 3 und der Winkel iſt, welchen il⸗=
die ſchneidende Ebene mit der Grundflaͤche macht, ſo fließt N
hHiieraus folgender ſchoͤne Lehtſatz: S OUUM eb
ehrſagß. N
Wenn ein Cylinder von einer Ebene geſchnitten wird,
ſo verhaͤlt ſich allemal das Rechteck der Axen des Schnit⸗ dol D
tes zu dem Rechtecke der Axen der Grundflaͤchen des Cy⸗
linders, wie die Secante des Winkels, welchen die
Ebene des Schnittes mit der Ebene der Grundflaͤche
macht, zum Badius. M
Da alſo alle Parallelogramme um den zugehoͤrigen n
Durchmeſſern den aus den Axen erzeugten Rechtecken gleich Sichedi
ſind, ſo ſtehen auch jene Parallelogramme um der Grund⸗ ſoſ
flaͤche und jedem Schnitte des Cylinders in eben demſelben
Verhaͤltniſſe. . .
§. 65.

☛
W 4 „

ace

— ¾½

Wuzdn

nwird,
Schnit⸗
dos ,
en die

pfiche

hdigen
glech
Grund⸗
hſelben

6

ſo iſt

Von den Elinder, Keel und d Kugeh⸗ Egriten. 517

§. 65.
Es kann aber die Natur dieſer ſchiefen Eylinderſchnitte
bequemer auf folgende Art beſtimmt werden. Wenn die
Grundflaͤche des Cylinders die Ellipſe AEBE, Fig. 133,
die Halbaxen derſelben AC = BC = a; EC = CF = cz;

und die gerade in C auf der Grundflaͤche ſenkrechte Linie
CD die Axe des Chlinde rs iſt: ſo ſchneide den Cylinder

eine Ebene, deren Durch! ſchnit tslinie mit der Ebene der
Grundflaͤche, LH, mit der verlaͤr gerten Axe AB irgend einen

ſchiefen Wir kel mache, und auf dieſelbe ſey CH aus C ſenk⸗

recht herabgefaͤllt, und der Winkel GCH = J. Geht alſo
die ſchneidende Ebene durch den Punkt der Axe des Cylin⸗
ders D, ſo iſt, wenn man DH zieht, der Winkel CHD der
Reigungswinkel der ſchneidenden Ebene gegen die Ebene
der Grundflaͤche, welchen wir = % ſetzen wollen. Macht

man daher C G = k, ſo iſt

G H= f. ſin. 3; C H = f. coſ. 9; “”õs
f. coſ. ſin. 4
DH = – ; mnd 0c0 = elin
col. ½ coſ
Da a ſe⸗ das Dreyeck D C bey C rechtwinklig iſt, ſo wird
AKIP Iin. 9:. ſin.
Do f. ¶I † ſin i. 2) n DeH coſ. 9
coſ. VCTſn. TEn. &)5)
ſin. d. coſ. O coſ. è
coſ. DGH= tang. DGH = — -.
=VCHHNTH.H n ang = E cof

. 66.
Nun faͤlle man aus einem Punkte des geſuchten Schnit⸗
tes M auf die Grundflaͤche die ſenkrechte Linie M C herab,
ziehe die Applicate 2 b, und ſetze CP= x, und P C= = y ;
aacc = aayy † ccxXX

5„ Kk 3 Ferner

51I8 Anhang. Drittes Capitel. Sd
Ferner ziehe man OQT der CG parallel, und auf ihr ſey noimmen
aus G die ORöſenkrecht, ſo iſt ſo nid
G R = y; und QRf— x. SW
Da alſo der Winkel IOR= GCH= ⁸ iſt, ſo wird
6T = ;; und TR = = Ela.
und folglich Seeenan
QT=f –—2 1 aT. 5
Ferner ſind die D Dreyecke CD G und QMT einander aͤhn⸗
lich, und alſo .
CCG : DG = Q T: IL M .
DReeher
und
“ CG: C — CT = D6: D S . e,n⸗
wenn man MsS der GT parallel zieht. Hieraus ergiebt ſich ESgnit,
DS = (X. coſ. 9 — y. ſin. J XCI E ſin. 92. in. 922)
cofſ. J. coſj. . Colen ders
Setzt man daher DS = t und MS = u, ſo wird „“
NW
x. cof. 8 — V. hn. 3 = coſ. cor o
, V (IT ſin. 2. ſin 72) Wden
und y = u. coſ. 2 neſe he

woraus ſich eine Gleichung zwiſchen t und u ergiebt, die
aber noch ſehr verwickel lt it

. 67. eot 0
Man ziehe aber anſtatt der Hauptaxen der Baſis den Aj dieſe
Durchmeſſer E F, der Durchſchnittslinie TH parallel, und ſce ligt

den zugehoͤrigen Durchmeſſer A B, welcher verlaͤngert der
T' H in G begegne. Setzt man, nachdem dieſes geſchehen,

wie vorhin, CC = f; OCH= 9; CHD= 9; CA = De
CB = m; CE= CF=n; und ſt dem Durchmeſſer ſcnite⸗
EF parallel gezogen, und CP = xX, und PQ = y ange⸗ og;
. nommen

Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel Schnitten. 519

iſſ⸗ nommen worden, ſo daß manz = may 1 n2X2 iſt: .
ſo wird
67 = MS= „
wied D und
bDG. X NVIIn 2. Gn. 92)
CG coſ
Setzt m man alſo D8S = t, und MS = u, ſo wird
L t cof.
5= CTEr. .2 „ſin. 92)
y = u.

Da aber 5 = coſ. CGD, und alſo, wenn man CCD=,„

ſetzt, = t. coſ. » iſt, ſo erhaͤlt man fuͤr den geſuchten

rgiebt ſ Schnitt, nach den zugehoͤrigen D Durchmeſſern beſtimmt,
92) immnn = mmuurfnntt. coſ. 22
. wobey der Mittelpunkt in D faͤllt, und der eine Halbmeſe er

in der Richtung d DS = —.—, und der andere = n iſt.
.

Was den Winkel GSM betrifft, unter welchem dieſe Durch⸗
meſſer gegen einander geneigt ſind, ſo iſt

tang. 8 1 = 5. 5 z und
ſin. & coſ. ⸗

—= F † ſin. &ρ2. ſin „2)
Auf dieſe Art laͤßt ſich die Natur des geſuchten Schnittes

ſs den
ſehr leicht erkennen.

el, und
getr det
eſchehen .. . “”?ð
4= Wir wenden uns nach dieſer Betrachtung der Cylinder⸗
echeſt ſchnitte zu dem Kegel, der ein gerader oder ein ſchiefer ſeyn
ange mag; es unterſcheidet ſich aber der ſchiefe Kegel vom
,unnen Kk4 7—WN geraden

4 †
9
.

520 Anhang. Drittes Capitel.

geraden darin, daß die auf der Axe ſenkrechten Schnitte
bey dem ſchiefen Kegel Ellipſen ſind, welche ihre Mittel⸗
punkte in der Axe des Kegels haben, dagegen eben dieſe
Schnitte bey dem geraden Kegel Kreiſe ſind. Es ſey alſo
Oaebfô, Fig. 134, irgend ein Kegel, der ſeine Spitze in
O, und zur Are die gerade Linie Oc habe, die auf der Ebene
der Tafel ſenkrecht ſeyn ſolt, ſo daß die Tafel eine durch die
Spitze des Kegels 0 gelegte, und auf der Axe deſſelben 0 c

ſenkrechte Ebene vorſtelle. Man ziehe durch O in der Ebene

der Tafel die geraden Linien A B, E F, den Axen ab und
ef eines jeden auf der Axe ſenkrechten Schnittes parallel;
und faͤlle aus einem Punkte M des Schnittes aebf auf die
Cbene der Tafel die ſenkrechte Linie M (yund aus Qauf
AB die ſenkrech te Linie PQherab: ſo iſt, wenn man OPp=,
PTPQ= Y und M = 2 ſetzt, auch die Abſeiſſe des Ab⸗

ſchnitt tes c p = x, und die Applicate P M=y; folglich, da
die Axen ab, ef zu O c = QM = ? ein beſtaͤndiges Ver⸗

haͤltniß haben, ==òG .
manzzz = m m yy † nnXX

wenn man a c = bc = mz, und ec = fc = nz ſetzt.
Und dieſes iſt die Gleichung, welche die Natur der coniſchen

Oberflaͤche zwiſchen den drey veraͤnderlichen Greßen ., y
und 2 ausdruckt.

. 69.
Da alſo alle auf der Axe O ſenkrechte Schnitte Ellipſen
ſind, wie aus der Gleichung manz22 = mazyz † n2Xz2
(wenn man 2 einen beſtaͤndigen Werth beylegt) erhellet:
ſo laſſen ſich auf aͤhnliche Art leicht die Schnitte finden,
welche entweder auf der geraden Linie AB, oder auf E F
ſenkrecht ſtehen. Denn wird der Kegel von einer auf A B

ſenkrechten und durch den Punkt p gelegten Ebene geſchnit⸗

ten,

frer do
ic id

Nemich
Prie;
ſileon
IC
502
Kegens

W
A.

chnit
n dieſe
n al⸗
itein
Gere
dure.
lben 0e
Ebene
1 ud

Gen

eehelet:
e rdon

*
„

Kegels

=

Von den Cylinder⸗ Kegel⸗ und Kugel⸗Schnitten. 521

ten, ſo hat man, wenn man OP=a ſetzt, fuͤr dieſen

Schnitt die Gleichung

manz22 = mayz † nz a*
zwiſchen den Coordinaten Pp = 2 und P M. — y, und es

iſt folglich dieſer Schnitt eine Hyperbel, welche den Mit⸗

telpunkt in hat, und deren halbe Zwergaxe = / ſo

wie die zugehbrige Halbaxe = iſt. Auf eben die Art

findet man, daß der Schnitt, welcher auf E F ſenkrecht iſt,
eine Hyperbel iſt, welche den Mittelpunkt in der geraden
Linie EF hat.

8§. 70.
Wenn die Ebene, von welcher der Kegel geſchnitten
wird, zwar auf der Ebene AEBF, Fig 135, aber auf
keiner von den Linien A B, E F ſenkrecht iſt, ſo faͤllt es auch
hier nicht ſchwer, den Schnitt zu beſtimmen. Es ſchneide
nemlich dieſe Ebene die Grundflaäche AEBF in der geraden
Linie BE, und zugleich ſey O B = a, und O E= b. Man
faͤlle aus einem Punkte M des Schnittes die ſenkrechte Linie
MC, und aus Q die Applicate QP, ſo daß OP = xX;
PQ = y, und QM = 2u½ ſey: ſo iſt wegen der Natur des

manzz32 — may?2 † n2Xx2.
Es iſt alſo

1
a : b = a — X eaet

Man ſetze die Coordinaten des Schnittes B Q t, und
QM = 2 ſo iſt
b: V (aa † bb) ==☛ y : t
unnd folglich
ð 8 S y =—

5 22 Anhang. Drittes Capitel.
. bt und a — a t
J V (aa T bb) 5 V (Aa 1† bb)

Es ſey N Gaa b b) = c, ſo iſt
C C.

und man erhaͤlt folgende Gleichung zwiſchen t und ⸗
mznzc2z2 = mabztt † nzazcc — znnaact † nnaatt.

nnaac .
Ran ſetzet — — = O= „, indem B G
nnaac M
ſo wird

mäa bz † naaz
manzazbzc2
manzc222 = mabz nsa⸗ uu —
1 mab⸗ † nzaz

§. 71.
Es iſt aiſo dieſer Kegelſchnitt eine Hyperbel, welche den
Mittelpunkt in G hat, und deren halbe Zwergaxe Ga =

7 4 ſo wie die halbe zugehoͤrige Axe
— — — . iſt. Die Aſymptoten dieſer Hyperbel

mabz TP naaz
aber, welche die Axe Ga in dem Punkte G ſchneiden wer⸗

den, machen mit der Arxe G a einen Winkel, deſſen Tan⸗

V (nzbz † naza)
eine gleichſeitige werden, ſo muß
manzaz † mzanzbz = mzb † nzaz
oder
56B = n V (m m — 1)

iſt. Soll alſo die Hyperbel

gente =

= tang. OBE = —
. m V (1 — nn)

M. 1— 1 6 „
ſeyn. Wofern alſo nicht — groͤßer als o iſt, ſo kann

auf

ſahe,1

Pend

enen ge
Wutek
Weo

1, G
ie A
Nöpung

dendeb

Unie NO
ſcnod

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6ritt
:

Unad,

en 50

„2
5202
—;,;

1n242

eſche der

62 —

e Ne

ppetbtl

in w⸗
in Tan⸗

pert

kane

uf

Von den Ep inder⸗Kegel⸗ und Kugel Schuitten. 523

auf dieſe Art keine geichſeitig Hyperbel entſtehen. Bey
einem geraden Kegel, wo m = n iſt, iſt die Tangente des
Winkels, welchen die Aſymptoten mit der Axe des Schnit⸗
tes einſchließen, = = m, und der Wink el = dem? Winkel aOc. V

Nun ſey der Schnitt ſchief, doch ſo, daß ſein S Schnitt
BT, Fig. 136, mit der Ebene AEPBF auf der geraden
Linie AB ſenkrecht ſtehe. Man ſetze OB = f, und den
Reigungswinkel der Ebene gegen die Ebene der Grund⸗
flaͤche, oder den Winkel O BC = ;, daß alſo dieſe ſchnei⸗
dende Ebene in dem Punkte Cdurch die Axe des Kegels O C
gehe. Hiedurch erhaͤlt man

fF— f. fin. O&
B C = – —; und &ae
coſ. O₰

coſ α
Ferner ziehe man aus einem Punkte M des geſuchten Schnit⸗
tes die Linie MT auf BT, und auf die Grundflaͤche die
Linie MC., ſo wie aus Qdie Linie OQb auf O” ſenkrecht, und
ſetze O P = x; PQ = y, und QM = 2z, um
manzzz2 = mzyz † na22
zu dekommen. Endlich mache man die Coordinaten fuͤr den
Schnitt BT = t, und [M = u, ſo iſt, weil QCLIM = ₰
QM = 2z = u. lin. 6; und L Q = u. coſ. 9 = f = X
woher denn
J= t: 2 = u. ſin. O; und X = f — u. coſ.

und alſo
manzuz, ſin, G = matz † ne ((— n. coſ. 6) ²
wird.

Setzt man Bc= ⸗ = g, ſo daß f=g. coſ. wird,
coſ. &
ſo iſt 2= (g — u) coſe, und man erhaͤlt fuͤr den Kegelſchnitt

ℳ*

524 Anhang. Drittes Capitel. Dond

mznzu., ſin. OG2 = matz † nzgz. coſ. 0ô — 2nzgu.

. getodekt
. coſ. O* † nzuz. coſ. Ooz
Man ſetze M geges0,
— —col e ee d
coſ. ê2 — ma. ſin. 02 Mwi
ziehe M S der B I parallel, und nehme
B6G = g. coſ. &Oι2 — f. coſ. 9 — Sphltsͦn
coſ ꝙ maſin os ) coſ. 62 – ma. ſin. O2—
8 f. coſ euehde
1-— (1 T m2) ſin. 92
ſo daß die Coordinaten GS=s und 8 M =t werden. Als⸗ hubehn
dann bekommt man folgende Gleichung:: SSgliite
mzitt nun (coſ ù — mz. ſin. o2) s 8 — Uernn:
2 mmunnff ſin %2 “
(coſ. ꝙ — ma. ſin. 62) 0
und es iſt daher die Curve ein Kegelſchnitt, welcher den
Mittelpunkt in G hat, und zwar eine Parabel, wenn der
Punkt Gunendlich weit fortruͤckt, welches geſchiehet, wenn
tang. = oder die gerade Linie B C der Seite des Ke⸗ der
. ſen

gels O a parallel wird. In dieſem Falle wird
mmtt † nnff — 2nn fu. coſ. O = O
und der Scheitel der Parabel faͤllt in G, wenn man B G = Oenn

f AInnn fl. coſ.
—,— mt, und der Parameter iſt —— r .
Kcor5 nimmt, u ddr P ſt — . ⸗
htertehent
§. 74. nten ſud:
Da der Schnitt eine Parabel wird, wenn coſ. 0 — Penn⸗
mꝛ. ſin. 92 = iſt: ſo iſt offenbar, daß derſelbe eine El⸗
lipſe ſeyn wird, wenn coſ. &* groͤßer als me ſin. 0, oder Aes.
. I „ . ,
tang. groͤßer als iſt; und in dieſem Falle kommt die u
gerade n

her den

venn der
8, wern

—

Von den Eplinder⸗ Kitel und nd Kugel Schniten. 525

gera de Linie B C oben mit der entgegengeſetzten Seite des

Kegels O a zuſammen. Da alſo B G = 2

I1 — mza tang 92
iſt, ſo iſt B G groͤßer als BC, indem G der Mittelpunkt
des ge⸗ ſuchten Schnitts iſt. Es iſt alſo die Halbaxe dieſes
f. ſi
Schnitts in der Richtung BC = —, und

coſ. O2 — m 2. ſin. 2

nf. ſin.
die zugehoͤrige Halbaxe = cof. 52— m⸗ ſin. 92)

halbe Parameter = D f. ſin ü. Es wird daher der

— und der

Schnitt ein Kreis ſeyn, wenn m= n V(coſ &Q — m?¹. ſin 9²)

ün. = n — mn m). = ſin. O BC
und
= — 1 nh)

Wofern alſo n nicht groͤßer iſt als m, ſo kann keiner von

dieſen Schnitten ein Kreis ſeyn.

§. 75.
Wem mæz ſin. 92 groͤßer als coſ. &2, oder tang. groͤ⸗

ßer als 3 iſt, ſo daß die gerade Linie B C und die gegen⸗

uͤberſtehende Seite des Kegels Oa oben aus einander fahrende
Linien ſind: ſo iſt der Schnitt eine Hyperbel, deren halbe

m f. ſin. ₰&
Zwergaxe = — T G= fT ma ſn. 67 die halbe zugehoͤrige
nf. I1
Axe = . n. der halbe Parameter

VWunz ſin. 2 — colſ. &2 5/

g ſin. 9, und die Tangente des Winkels, unter
wel⸗

—

526 Anhang. Deittes Capitel.

welchem die Af⸗ iſympoten die Are in dem Mittelpunkte 0
ſchneiden = — — V. (mæa ſin. 92 — colſ. O2) iſt. Es wird
folglich die operbet gleichſeitig ſeyn, wenn
mznza, ſin. 42 — nz coſ. 962 = ma = (mm “ 1)
nun ſin. — nn = mm
oder
Vm Enn) m V(nn — 1)
ſin. „= n V (r † m m) und coſ. 9 = n V (I † mm)

iſt. Wofern alſo n nicht groͤßer als 1 iſt, ſo kann durch
dieſen Schnitt keine gleichſeitige Hyperbel entſtehen.

Wenn der Kegel ein gerader Kegel, oder m = n iſt, ſo
laſſen ſich alle Schnitte auf die von uns unterſuchten bezie⸗
hen, weil die Lage der geraden Linie A B von unſerer Will⸗
kuͤhr abhaͤngt. Was aber den ſchiefen Kegel betrift, ſo
muͤſſen wir noch die Schnitte unterſuchen, welche von einer
Ebene, die gegen die gerade Linie AB irgend eine ſchiefe NRei⸗
gung hat, gemacht worden. Es ſey daher BR, Fig. 137,
ein Durchſchnitt der ſchneidenden Ebene mit der Ebene der
Grundſtaͤche. D Man ſetze OB= f, den Winkel OBR= 3,
und den Reigungswinkel der ſchneidenden Ebene gegen die

Grund flaͤche = 4: ſo iſt, wenn man aus nach BR die

O R ſenkrecht zieht,
OR S= f. ſin. 9; und B R = f. coſ: &

Zieht man ferner in der ſchneidenden Ebene die gerade Li⸗

nie RC, ſo iſt, da der Winkel ORC=%,

f. ſin. . f. ſin 8. ſin.
RC = –=–; und OC = - n. 2
coſ.

coſ.
Wird nun der auf der Axe des Kegels 00 ſenkrechte Schnit
auf der Ebene der Grundflͤche entworfen, ſo fallen ſeine bey⸗
den

Vond

den Hen
einander

der.

d d

dol

Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel Schni ten. 5 27

Punkte GJ den Hauptaxen nach A B und EF, und verhalten ſich gegen
einander wie m: n.
Es wied
. 77.
un In dieſer Projection des Schnittes ziehe man den Durch⸗
meſſer efder BR parallel, ſo iſt der Winkel BO e = 9, und
dabey ſey a Ob die Lage des zugehoͤrigen Durchmeſſers.
m-h Man ſetze den Halbmeſſer O a = %, und Oe = „, ſo iſt
Itum) V(md4. ſin. 92 † n4. coſ. 92)
kundcch V (ma. ſin. 32 † n. coſ. 2)
hen mn
= V (mz. ſin. 22 † n2. coſ 92)
und
n ſt,ſDe Uÿ: tang. BOb — mn. coſ. 8.
lchten beis⸗ mm. fin. ₰
Eer ⸗ Es iſt folglich von dieſem Winkel
unft, ſ der Sinus = an ol d
etmnener V (m4. ſin. 32 † n4. coſ. 92)
ſhieſe e⸗ und
Su der Coſinus = = — n ſn.
Ebene der . V (mA. ſin. 22 † na. coſ. 22²)
0= Da nun der Winkel Ob = 8 P BOb iſt, ſo wird
von de ſin. O b& HWr ma,, ſin. 32 † n 2. coſ. 92
tR n. O& = Vm. ſin. 372 † n4. col. 75)
und
Uerade⸗ Gol. ObR = nm — Rn lin.à coſ. 2
V (mA., ſin. 3²2 † n. coſ. 92)
“ unnd dabey iſt
⸗ „» mn VGImA. ſin. 8² † n4. co. 92²)
eShhrit un m, ſin. 2²* † nn. &2=

den

528 Anhang. Drittes Capitel.

8. 8.
Da alſo OR = f ſin. 8 iſt, ſo wird
Ob = °K f. ſin. à V(mA. ſin. 92 † n4. coſ 92²)
ſn. OdA. m. ſin. 32 † n. col. 92
und

(m m — nny f. ün. J„ . coſ. J.
m?. ſin. Jg2 † n. coſ. 32
und da das Dreyeck CbR bey Kk rechtwinklig iſt, ſo iſt
m?* ſin 3² † n². coſ. 32
(m – n²) ſin. g„ cof. J. coſ.

Rb —

tang. CbE —

wodurch der Winkel ChR befannt wird. Nun faͤlle man

aus einem Punkte des Schnittes M auf die gerade Linie
RT die M T der C b parallel, und aus M nach Cb die MS
der RT parallel, ſetze bI = M S = t, und b S =
TM = u, und betrachte dieſe Linien als ſchiefwinklige

Coordinaten des geſuchten Schnittes, indem tang. b S M

7 m. ſin. 2 † n. eco1I 9.2
=— ni n. S cok. N. Eon 5 iſt. Es erhellet alſo,
daß dieſe Cordinaten bey einem geraden Kegel rechtwinklig

werden, weil dabey m = n iſt.

§. 79.
Aus dem Punkte M des Schnittes faͤlle man auf die
Ebene AE BF die ſenkrechte Linie M Q herab, ſo wird 1C
dem Durchmeſſer a b parallel; auch ziehe man aus Q die
OIrdinate Ob dem andern Durchmeſſer ef parallel. Setzt
man nunmehr OP = xX; P Q = y; und QM = 2, ſo iſt
wegen der Natur des Kegels
m? y2 2²2 = „2 y2 † „»2 x2.
Denn wenn man ſich durch M einen der Grundſlaͤche paral⸗
lelen Schnitt des Kegels gedenkt, ſo ſind die Durchmeſſer
deſſelben die den geraden Linien ab und ef parallel ſind,
2

ri
1S,

d wen

50=.

d .
Neſchnit
Cooren⸗

1,(be,

N Wn

hibe .

coſ 8¹)
——

ſ

fülenmn
8 inie

tehatal
chneſtr
lek in,
7 7

b G —

õ tt e (Ob' — 2. OC⸗) s8: = (.

halbe Are = =

Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel Schnitten. 529

.2 und “2. Da man aber die Catheten des rechtwinkligen

Dreyecks COb, oder OC und Ob kennt, ſo iſt die Hypo⸗

thenuſe C b =

ſin. 9* VA(m. ſin &ε* † n¹. coſ. 3— (m — — n ) ſin. 8.². cofſ9:. ſin. )
(m². ſin. 32 † na coſ. 9²) coſ. 7

und wegen der Aehnlichkeit der Dreyecke TMQ und bao iſt

TM(u): TC(Ob — X): QM bC: Ob: O

folglich
Ob. u— OC. u
alſo

u2 ,2. O C2. u = k Cb⸗. ¼76. Obe (Cb — ¹)⸗

§. 80.
Entwickelt man dieſe Gleichung, ſo bekommt man

0 = a. Cba. tt (Obs — ua,0C) uu — 2,2,0bz. Cb u

„2 be. C be
und wenn man darin u u — – Obz. cb
6bz — aa. O0C2 — ſetzt, oder
Obeeb C b

Ob? — 2. OC² I (72. ſin. 82†n. coſ &2 Nang g &* .

und 6GS = s annimmt: ſo iſt 6 der Mittelpunkt des Ke⸗
gelſchnitts, der durch folgende Gleichung zwiſchen den

Coordinaten t und s ausgedruckt wird,

b⸗, 0C=. Cb⸗
b⸗ — 2. ½ C*
und deſſen halbe Are = . 5 die zugehoͤrige
v. O b. 0°C
Lb⸗ — 2. 602)
Ob. O C

. und der halbe Para⸗

meter = 6S1 iſt. Uebrigens erhellet, daß die

„

KEulers Einl. in d. Angl.d. Unendl, II. B. L1 Cur⸗

5S30 Arnhang. Drittes Capitel.

QCurve, wenn tang. 6 kleiner als — — — —

oder tang. kleiner als n iſt, eine Ellipſe, wenn tang.

— –, eine arabel, und wenn tan o
“ s- Par no g. groͤßer als

— iſt, eine Hyperbel ſeyn wird.
II E

H. 81.

Der dritte Koͤrper, deſſen von einer Ebene gemachte

Schnitte wir hier unterſuchen wollen, iſt die Kugel, von
welcher aus der Elementar⸗Geometrie bekannt iſt, daß alle
ebene Schnitte derſelben Kreiſe ſind. Damit indeſſen die
Methode, aus jeder fuͤr einen Koͤrper gegebenen Gleichung

jeden Schnitt deſſelben zu finden, deutlicher werde, ſo will

ich hier eben das analytiſch vortragen, was man ſonſt ſyn⸗
thetiſch zu lehren pflegt. Es ſey alſo, Fig. 138, C der
Mittelpunkt der Kugel, und durch denſelben gehe die Ebene
der Tafel, ſo daß der durch dieſe Ebene gemachte Schnitt

ein groͤßter Kreis ſey, der den Halbmeſſer C A=CB = a

habe, welcher zugleich der Halbmeſſer der Kugel ſeyn wird.
Ferner ſey die gerade Linie DT der Durchſchnitt der ſchnei⸗
denden Ebene mit jener Ebene der Tafel, und auf ihr aus
dem Mittelpunkte C C die gerade Linie cPe=f ſenkrecht, der

Neigungswinket aber = = 9.

§. 82.

Es ſey M irgend ein Punkt in dem geſuchten Schnitte,
und aus demſelben auf die Ebene der Tafel M QC, ſo wie

von hier auf die zur Axe angenommene CD die Qb ſenk⸗
recht.

Pen

techt.

und C

un ſt
ſoridd
Denken
=9
IT A d
Dl=t.

1=

ſinn
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Ei e
ſ: Demn

und es
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ſtaſt ſo .

Ne
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(5 =14

lſehn wa

der ſcne⸗
hr en
legt, der

,ſ. wie ]

Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel⸗Schnitten. 531

recht. Setzt man nun die Coordinaten CP = X, P Q = y,

und QM = 2, ſo iſt wegen der Natur der Kugel

xx † yy † 22 = aa.

Man ziehe aus M auch auf D T eine ſenkrechte Linie MAT,
ſo wird der Winkel M TOQ der Neigungswinkel der ſchnei⸗

denden Ebene und der Ebene der Grundflaͤche ſeyn, welchen

wir = % geſetzt haben. Betrachtet man daher D T und
M T als die Coordinaten des geſuchten Schnittes, und ſetzt
DT = t, und TM = u, ſo wird
MQ = u. ſin. O, und TC = u. coſ. O
und fol glich
CP = x„* = f — u. coſ o; PQ = y — t; und
Q M = 2 — u. ſin. 6.
S ubſtituirt man dieſe Werthe, ſo erhaͤlt man folgende
Gleichung fuͤr den geſuchten Kugelſchnitt: .
ff — 2 f u. coſ. O † uu † tt = aa.

Es erhellet, daß dies eine Gleichung fuͤr einen Kreis
iſt. Denn ſetzt man u — f. coſ. 0] = s, ſo wird
fr. ſin. O* † SsSs † tt = a a
und es iſt folglich der Halbmeſſer des Schnittes = V
(a a — ff. ſin. ꝙ*). Wenn alſo aus D, der Applicate T M
parallel, die Linie De gezogen, und auf ſie die ſenkrechte

Linie Cc aus dem Mittelpunkte herabgefaͤllt wird: ſo iſt,

wegen CD = f, und CDc =
D c = f. coſ. 9; und Cc = f. fſin. 0.

Da daher die Coordinatens und t auf den Mittelpunkt be⸗

zogen werden, ſo iſt c der Mittelpunkt des Schnitts, und
VK(CB2 — Cc²) der Radius deſſelben, wie aus den Ele⸗
L l 2 men⸗

5832 Anhang. Drittes Capitel. Oud
menten bekannt iſt. Auf aͤhnliche Art aber laſſen ſich auch Rand
alle durch Ebenen gemachte Schnitte aller Koͤrper, deren vanfſe
Natur durch eine Gleichung zwiſchen drey veraͤnderlichen
Groͤßen ausgedruckt iſt, erforf ſchen.
. 84.
Damit indeß dieſe Operation noch deutlicher werde, ſo
ſey ein Koͤrper gegeben, deſſen Natur durch eine Glei⸗ Elbſin
chung zwiſchen den drey Coordinaten AP = x; P Q = y udr,
und QM = 2, Fig. 139, ausgedruckt werde; wovon die bey⸗ nen dn
den erſten in der Ebene der Tafel liegen, die dritte2 aber n de
darauf ſenkrecht ſtehen mag. Ferner werde dieſer Koͤrper fonnt ri
durch eine Ebene geſchnitten, die mit der Ebene der Tafel aten,
die Linie DT gemein habe, und deren Reigungswinkel =
ſey. Man ſetze AD = f, und den Winkel AD E = 9:
ſo iſt, wenn man aus A nach D E die ſenkrechte Linie A E.
zieht,
AE = f. ſin. 9; und DE = f cof.8.
Hierauf ziehe man aus einem Punkte des geſuchten Schnit⸗
tes M auf D T die MT ſenkrecht, und verbinde Qund T
durch QI: ſo iſt der Winkel MT Q= O. Nimmt man
daherr TM zu den Coordinaten des geſuchten Schnittes,
. und ſetzt man DI = t, und IT M = u, ſo wird
“ Ql = u.fn-e; und TQ = u. coſ.

. 85.
Aus T faͤlle man auf die Arxe Ab die Linie TV ſenkrecht,
ſo iſt wegen IDV = %,
TVS=t. fin. 5; und DV . t. coſ.
Da ferner der Winkel TQb = 9 iſt, ſo wird
PV = u. ſin. 9 coſ. %; und ?- TV= u col 3. coſ. ꝙ.
Hier⸗

1

Von den Cylinder⸗Kegel⸗ und Kugel Schnitten. 533

*
ſch aut Hieraus laſſen ſich die Coordinaten x, y und 27 durch! t und
dernn u auf foigende Art beſtimmen:
derlichen AP= X = f † t. coſ — u. ſin. 8. coſ.
PQ y= t Iin. S. T u. coſ J. coſ. &
und
werde, ſt ◻M = 2 = u. lin. 0
ne Blei⸗ Subſtituirt man dieſe Werthe in der Gl eichung zwiſchen x,
f=) y und 2, welche fuͤr den Koͤrper gegeben iſt, ſo bekommt
NAeen man eine Gleichung zwiſchen t und u, oder den Coordina⸗
tte1 ad ten des geſuchten Schnittes, deſſen Natur alſo dadurch be⸗
er Koreer kannt wird. Es ſtimmt aber dieſe Methode mit der faſt
Nar Dfe uͤberein, welche wir oben §. 50 gebraucht haben.
rokel=
=4.
linie Al

n Shnit
04 I
nt man
Schmnes,

krecht

Viertes Capitel.
Von der Verwechſelung der Coordinaten.

So wie die Gleichungen fuͤr die krummen Linien, die
in einer Ebene liegen, durch Veränderung entweder des
Anfangspunkts der Abſciſſen, oder der Lage der Axen, oder
beyder Dinge, unzaͤhlige Formen bekommen koͤnnen, ſo
findet dieſe Verſchiedenheit bey den gegenwaͤrtigen Glei⸗

chungen in einem noch weit hoͤhern Grade ſtatt. Denn

einmal koͤnnen in der Ebene, in welcher zwey Coordinaten
liegen, dieſe Coordinaten auf unzaͤhlige Arten veraͤndert
worden; und dann laͤßt ſich auch die Ebene, welche zwey
Coordinaten enthaͤlt, veraͤndern, und auf dieſe Weiſe die
vorhergehende Verſchiedenheit unendlich vermehren. Iſt

nemlich eine Gleichung zwiſchen drey auf einander ſenk⸗

rechten Coordinaten gegeben, ſo laͤßt ſich allemal eine an⸗

dere Gleichung zwiſchen drey andern ebenfalls auf einander

ſenkrechten Coordinaten finden, deren Lage in Anſehung
der vorigen unendlich mehrmal veraͤndert werden kann,
als wenn nur zwey Coordinaten da waͤren, wie bey den
Gleichungen fuͤr die krummen Linien.
Angenommen, daß zupoͤrderſt bloß der Anfangspunkt
der Abſeiſſen X in der Axe veraͤndert werde, und die bey⸗

(li,tri
Uun Ne de
Füte ue
ler Cerd
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j=
Gung ſir
r, v.
diſt bei⸗
er geeben

RN
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lecht, in

Enien, Ne
D des
Konen, ſe

gor; zud

R Sudere 4
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ten. N
der ſcht⸗
l ene an⸗
u aunnhe
Anſehung
den konn,
be den

H
S

Von der Verwechſelung der Coordinaten. 535

den uͤbrigen Coordinaten dieſelben bleiben; ſo wird die

neue Abſeiſſe von der vorigen um eine beſtaͤndige Groͤße

unterſchieden ſeyn. Es ſey alſo die neue Abſciſſe = t, ſo
iſt ? = t = a; und bringt man dieſen Werth in die fuͤr

die Flaͤche gegebene Gleichung, ſo bekommt man eine Glei⸗

chung zwiſchen den drey Coordinaten t, y und 2, die zwar
von der vorigen verſchieden iſt, aber gleichwohl eben der
Flaͤche zugehoͤrt. Auf aͤhnliche Art koͤnnen auch die uͤbri⸗
gen Coordinaten y und z um beſtaͤndige Groͤßen vermehrt
oder vermindert werden: und ſetzt man X = t – a;
y = u b; und 2— v c, ſo bekommt man eine Glei⸗
chung fuͤr eben die Flaͤche zwiſchen den Coordinaten t, u
und v, welche ſelbſt den vorigen parallel ſind. Ob indeß
dieſe Gleichung gleich allgemeiner iſt, ſo iſt ſie doch von
der gegebenen eben nicht ſehr verſchieden.
Da die drey rechtwinkligen Coordinaten, deren Glei⸗
chung die Natur der Flaͤche ausdruckt, auf drey auf einan⸗
der ſenkrechte Ebenen bezogen werden, ſo wollen wir an⸗
nehmen, daß die neue Ebene, in welcher die beyden Coor⸗
dinaten X und y genommen werden, unveraͤndert bleibe,
daß aber darin eine andere gerade Linie CT, Fig. 140, zur
Axe angenommen werde. Da nun die vorigen Coordinaten
bey der Axe Ab folgende waren, AP =x, PMN = y, QM 2,
ſo bleibt fuͤr die neue Axe CQ die Coordinate CM = ?2 die⸗
ſelbe, die beyden uͤbrigen aber werden CT = t, und
TQ=u, wenn man QT auf die neue Axe C T. ſenkrecht
gezogen hat. Um daher die Gleichung zwiſchen dieſen
neuen Coordinaten t, u und 2 zu finden, ziehe man CR
der vorigen Axe Ab parallel, und aus C auf ſie CB ſenk⸗
recht, und ſetze A B a, BC = b, und den Winkel
Lili 4 CNYN

536 Anhang. Viertes Capitel.

RCT = = .. Endlich ziehe man TR auf CR, und aus T
auf P Q die 18 ſenkrecht.

*

§. 89.
Iſt dieſes geſchehen, ſo iſt in dem Dreyeck TCR
TL R E t. ſin. O; und CR = t. coſ.
in dem Dreyecke QTS aber, deſſen Winkel bey Q eben⸗
falls = §% iſt,
TS = u ſin. %; und QS = u. coſ-.
Hieraus findet man
AP = 2 = CR † TS — A B= t. coſ. & † u. ſin. — a;
und
Qb = y= QST TR— BC u. coſ. — t. ſin. & — b
Bringt man daher dieſe Werthe fuͤr x und y in die fuͤr die
Flaͤche gegebene Gi leichung, ſo bekommt man eine andere
Gleichung zwiſchen den neuen Coordinaten t, uund ⸗, welche
ebenfalls die Natur der gegebenen Flaͤche ausdruckt. Dieſe
neue Gleichung hat einen viel weitern Umfang, da in ihr
drey neue willkuͤhrliche beſtaͤndige Groͤßen a, b, und der
Winkel befindlich ſind, die in der vorigen Gleichung nicht
anzutreffen waren. Auch iſt ſie die allgemeinſte Gleichung,
wenn die Ebene, worin X und y liegen, beybehalten wird.

K. 90.
Es aͤndere ſich nunmehr auch die Ebene, in welcher
und y angenommen worden, und zwar zuvoͤrderſt ſo, daß
die Durchſchnittslinie der neuen Ebene mit der vorigen
A PQ, Fig. 141, in die gerade Linie A P falle, die zugleich

als die Axe der neuen Coordinaten angeſehen werden ſoll.

Es ſey alſo APT dieſe neue Ebene, deren Neigungswin⸗
kel gegen die vorige der Winkel QPT iſt, den wir =
ſeger n wollen, und aus M. nach P T ſenkrecht M T gezogen,
3 welche

welche
die et
ſege
penn
n ,
1

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ſeichung,
wird.

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ſ, /
horigen
glaich
den ſol.
ngowin⸗
wie =

te

Von der Verwechſelung der Coordinaten. 537

welche auch auf der neuen Ebene ſenkrecht ſeyn wird, und
die Stelle der dritten Coordinate vertreten kann. Man
ſetze alſo A P = x, PT= u; und IT M = v, ſo iſt, wenn
wenn man TLR auf PQ und IS auf QM ſenkrecht gezo⸗
gen hat,
TR = u. ſin. n; PR= u. coſ. “; TS = v. ſin. „;
MS = v. coſ. »
und folglich
P Q = y = u. coſ. 7 — v. ſin. „; und 7
Q M = 2 = v. coſ. „ — u. ſin. n.
Bringt man dieſe Werthe fuͤr y und? in die gegebene Glei⸗

chung, ſo erhaͤlt man eine zwiſchen den drey neuen Coordi⸗

naten X, u, und v, welche die Natur eben der Slaͤche

ausdruckt.

Es falle nun der Schnitt der neuen ſchneidenden Ebene
und der Ebene AP C in irgend eine Linie C T, und ſey
der Reigungswinkel dieſer Ebenen, und CT die Axe in die⸗

ſer Ebene. Man ſuche zuooͤrderſt eine Gleichung zwiſchen

den Coordinaten in der Ebene APQ auf die Axe CT bezo⸗

gen, welche man aus der vorhergehenden auf die Art fin⸗
den wird, daß bey

u–uñu!uurnnd QM =
X = p. coſ. & † 9. ſin. — a;
„y S= qꝗ. coſ 5— p. ſin. 5 — b; und 2 = r
iſt. Es wird aber aus dem vorhergehenden §, wenn man
die neuen Coordinaten t, u und vnennt
P = t; 4 = u. coſ. n — v. ſin. 2; und 1 = v. C0ſ. 2 † u. ſin. n.
und folglich

538 Anhang. Viertes Capitel.

xX = t. coſ. 6½ † u. ſin. 6. coſ. 2 — v. ſin. 6. ſin. 2 — a
y = – t. ſin. % † u. coſ. &. coſ. 2 — V. coſ. G. ſin. 2 — b
1 und
2£ = u., ſin. 9 † v. coſ. „.

§. 92.

RNun nehme man in der neuen Ebene, in welcher die

Coordinaten t und u liegen, irgend eine andere Linie zur
Axe an, um die allgemeinſte Gleichung fuͤr die gegebene
Flaͤche zu bekommen. Es ſeyen zu dem Ende Ab, PQ, QA,
Fig 140, die Coordinaten t, u und v, welche wir ſo eben
gefunden haben, ſo daß AP der Durchſchnitt der erwaͤhn⸗

ten Ebene mit derjenigen ſey, in welcher man ſich die

Haupteoordinaten und y denkt. Es ſey CT die neue Axe,

auf welche die neuen allgemeinſten Coordinaten, welche wir

ſuchen, bezogen werden, und CT = p; TQ= q; und
QM = r. Außerdem ſind die Linien A B und B C beſtaͤn⸗
dige Linien, der Winkel C TR aäber ſey = = J. Dies vor⸗
ausgeſetz, ſo iſt nach § 80.
t = p. coſ. 9 † q. ſin. — A B
A — p. ſin. 3₰ † 4 coſ. — B C
und
V .
Bringt man dieſe Werthe in in die Ausdruͤcke des vorherge⸗
henden §, ſo findet man

x = p (coſ. 6. coſ. — ſin:.coſn. ſin. 5) † ꝗ. (coſ.ſin. †
ſin. &. coſ. a. coſ. 3) — r. ſin. g. ſin. * † f
y = — pcſin &. coſ. ? † coſ. . coſ. v. ſin. — q. (ſin. 6.ſin. 8.—
coſ. &. coſ. a. coſ. 3) — r. coſ. . ſin. 2 † 4
und
4= — p. ſin. 2. ſin. 8 † q. ſin, n. coſ. & † r. coſ. 92. † h
W0

Gechaur 6
ſcch eber
1 in en
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1 —

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7

Von der J Verwechſel ung der Coordinaten. 5 39

wo k, 8 und h beſtaͤndige, und aus den in die Rechnung

eingefu hrten entſtandene Linien ſind.

5§. 93

Es enthaͤlt alſo die allgemeinſte Gleichung fuͤr jede
Flaͤche ſechs beſtaͤndige willkuͤhrliche Groͤßen, die man an⸗
nehmen kann wie man will, ohne daß deswegen durch die
Gleichung eine andere Flaͤche ausgedruckt werde. So ein⸗
fach aber eine Gleichung zwiſchen den Coordinaten x, y und

2 furr eine Fl ache ſeyn mag, ſo wird ſie, wenn man daraus

die allgemeinſte Gleichung zwiſchen p, q und r macht, we⸗
gen der großen Menge der beſtaͤndigen willkuͤhrlichen Groͤ⸗
ßen nothwend ig ſehr verwickelt, insbeſondere, wenn hoͤhere
Poteſtaͤten von «, y und 2z vorkommen. Es ſind daher die
Faͤlle ſelten, wo es rathſam waͤre, zu der allgemeinſten
Gleichung aufzuſteigen. Denn wenn man gleich daraus

den Vortheil ziehen koͤnnte, daß man durch eine geſchickte

Beſtimmung der beſtaäͤndigen Groͤße die Gleichung auf die

einfachſte Form zuruͤckfuͤhrte, ſo wird doch dieſe Arbeit

wegen der Weitlaͤuftigkeit des Calculs meiſtens ſehr be⸗
ſchwerlich Zur Erforſchung mehrerer merkwuͤrdigen Ei⸗
genſchaften aber leiſtet die Verwandlung der Geichung ir in
die allgemeinſte allerdings Nutzen. HZ

K. 94.
So verwickelt indeß die allgemeinſte Gleichung meiſtens
iſt, ſo iſt doch die Anzahl der Dimenſionen der Coordina⸗
ten in derſelben der Anzahl der Dimenſionen der erſten
Coordinaten x, y und 2 gleich. Die Gleichung fuͤr die
Kugel z. B. XX † yy † 22 = aa iſt eine Gleichung von
zwey Dimenſionen, und die allgemeinſte Gleichung enthaͤlt

ebenfalls nicht mehr Dimenſionen der Coordinaten p, 4
und

540 Anhang. Viertes Capitel.

und r. Aus dieſem Grunde giebt die Anzahl der Dimen⸗
ſionen, welche die Coordinaten in einer Gleichung fuͤr eien
Flaͤche haben, ein weſentliches Kennzeichen der Natur die⸗
ſer Flaͤche, weil dieſe Anzahl immer dieſelbe bleibt, man
mag die Lage der Coordinaten veraͤndern, wie man will.
Es findet ſich hier nemlich bey den Flaͤchen eine aͤhnliche
4 Beſchaffenheit wie bey den Curven, wornach wir dieſelben rt
in Ordnungen getheilt haben; und es laſſen ſich daher die

Flaͤchen ebenfalls nach den Dimenſionen ihrer Coordinaten un
in Ordnungen theilen. Eine Flaͤche der erſten Ordnung iſt
denmnach die, deren Gleichung nur eine, eine Flaͤche der En
zweyten Ordnung die, deren Gleichung zwey Dimenſionen er
enthalten, u. ſ. f. hinn⸗
§. 95. Geitn
Wenn man dieſes mit dem vergleicht, was von der Er⸗ e
findung der ebenen Schnitte jeder Flaͤche gelehret worden
iſt, ſo nimmt man wahr, daß die Ordnung dieſer Schnitte ncn
allemal mit der Ordnung der Flaͤche uͤbereinſtimmt. Es Km
ſey nemlich eine Gleichung fuͤr irgend, eine Flaͤche zwiſchen S
den Coordinaten X, y und z gegeben, die zur nten Ord⸗
nung gehoͤre, und die ſenkrechten Coordinaten eines jeden
Schnittes ſeyen t und u. Nun haben wir oben, § 85, ge⸗ at
ſehen, daß man die Gleichung zwiſchen t und u findet, wenn wllenn
man in der gegebenen Gleichung fuͤr die Flaͤche in der
X = f † t. coſ. 9 — u. ſin. 9. coſ. fht
„ 1. ln. * † u. cof. §. coſ.
und 4 al
7 = u. ſin. rnd
ſetzt, und es iſt daher offenbar, daß die Gleichung fuͤr den Cieneſ
Schnitt nicht mehr Dimenſionen bekommen kann, als die nie
Gleichung zwiſchen x, „ und 2 hat, ſondern daß allemal Ane
eben ſo viel Dimenſionen wieder entſtehen werden. le

F. 96.

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r eine
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man
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1 Ob⸗
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R,G
1 ven

Von der Verwechſelung der Coordinakten. 541

Es kann alſo die Flaͤche der erſten Ordnung von einer
Ebene nicht anders als in einer Linie der erſten Ordnung,

oder in einer geraden Linie geſchnitten werden. Ferner

giebt die Durchſchneidung einer Flaͤche der zweyten Ord⸗
nung keine andere Linien als Linien der zweyten Ordnung
oder Kegelſchnitte, denn es gehoͤren auch die coniſchen Flaͤͤ.
chen zu der zweyten Ordnung, indem ihre Gleichung

22 = KX † 8y y

ſiſt. Auf aͤhnliche Art entſtehen aus der Durchſchneidung

einer Flaͤche der dritten Ordnung durch Ebenen Linien der
dritten Or dnung, ꝛc. Es kann indeß geſchehen, daß eine
Gleichung fuͤr einen Schnitt Diviſoren zulaͤßt, und in die⸗
ſem Falle iſt der Schnitt aus zwey oder mehrern Linien von
den niedrigern Ordnungen zuſammengeſetzt. So beſteht der
durch den Scheitel gehende Schnitt des Kegels aus zwey
geraden Linien, die aber zuſammengenommen als zu der
zweyten Ordnung gehoͤrig ſich darſtellen.

§. 97.

Nach dieſer Beſtimmung der Ordnungen der Flachen
wollen wir vor allen uͤbrigen die Flaͤchen betrachten, welche
zu der erſten Ordnung gehoͤren. Die Gleichung, welche
die Natur derſelben ausdruckt, iſt
ℳ„“ X † £y † „2 = «₰
und da alle ebene Schnitte derſelben gerade Linien ſind, ſo

faͤllt in die Augen, daß dieſe Flaͤche keine andere als eine

Ebene ſeyn kann; denn ſollte ſie erhaben oder hohl ſeyn, ſo
muͤßte ſie auch krummlinige Schnitte haben. Run giebt
es zwar unter den uͤbrigen Ordnungen ebenfalls Flaͤchen,
bey welchen gewiſſe Schnitte gerade Linien ſind, wie z. B.
bey

542 Anhang. Viertes Capitel.

bey den Cylinder dem Kegel und andern dergleichen ſtaet— E
finden, aber es ſind doch dabey die krummlinigen Schnitte
nicht ganz ausgeſchloſſen. Es verhaͤlt ſich nemlich hier auf Mn
eine aͤhnliche Art, wie bey den Linien. So wie eine Linie, uing
die von einer geraden Linie nie in mehr als in einem Punkte Fi
geſchnitten werden kann, nothwendig eine gerade Linie iſt, dfde
ſo iſt auch die Flaͤche, welche, von einer Ebene geſchniten, a
ſedesmal eine gerade Linie giebt, nothwendiger Weiſe auch i11
ſelbſt eine Ebene.
§. 98. e=
Aus der allgemeinſt ſten Gleichung laͤßt ſich dieſe Beſchaf⸗ “
fenheit aufs klaͤrſte darthun. Man mache nemlich aus der
Glieichung =X † &y † 72 † a die allgemeinſte Gleichung
zwiſchen den Coordinaten p, q und r nach dem daſten §.
Da darin ſechs neue willkuͤhrliche beſtaͤndige Groͤßen vor⸗ Miale
= kommen, ſo iſt es allemal moͤglich und erlaubt, dieſelben ſo id
zu beſtimmen, daß die Coefficienten der beyden Coordina⸗
ten p und q verſchwinden, und alſo eine Gleichung von der W
Form r = fuͤbrig bleibe, welche die Natur eben der Flaͤche .
ausdruckt. Es zeigt aber dieſe Gleichung an, daß die ge⸗ N
gebene Flaͤche der Ebene, in welcher die beyden Coordina⸗ —
ten p und g ſind, parallel, und alſo ſelbſt eine Ebene iſt.
. Man kann es auch ſo einrichten, daß r = o wird, und
auf dieſe Art faͤllt es in die Augen, daß die Ebene, wie Nun
p und q angenommen worden, ſelbſt die geſuchte Ebene iſt. l it
S 2 geen
§. 99. —
Da alſo ausgemacht iſt, daß die durch die Gleichung —

AX† 8y † »2 = a ausgedruckte Flaͤche eine Ebene iſt, ſo
muͤſſen wir die Lage derſelben gegen die Ebene, worin die

Coordinaten « und y angenommen werden, unterſuchen. nd)
Es

en ſtat
chnitt
ger arf
le Unie,
Gnitte,
ſſe auch

veſheß
ans der
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Hene ſe
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tſchen
6

ð

Von der Verwechſelung der Coordinaten. 543

Es ſey alſo Fig. 142, M irgend ein Punkft dieſer Flaͤche,
und die drey Coordinaten Ab = x, PQ=y und QM = z.
Man ſetze zuvoͤrderſt z = o, ſo bekommt man die Glei⸗
chung «X † gy = a, welche den Schnitt der geſuchten
Flaͤche und der Ebene APO ausdtuckt,—und es iſt klar,
daß derſelbe eine gerade Linie BCR iſt, deren Lage in Ruͤck⸗
ſicht auf die Axe ſo beſchaffen ſeyn wird, daß die auf der

Axe AP in der Ebene ſenkrechte Linie A B = 2, und

AC = — „und folglich

H
tang. A CB = —; ſin. ACB = und coſ. ACB =
tnS. Fi⸗ 2 † 62) *

— ſſt.

VC( † 6*)

Nun verlaͤngere man die Ob bis ſie der geraden Linie BG

4“
in R begegne, ſo iſt wegen CP= æ — —

ℳ

cS = WC: T4) — We 142), und
6 6

PQ= –— 2

§. 100.

Man faͤlle aus Q auf B G die ſenkrechte Linie Os herab,
und ziehe MS, ſo mißt der Winkel MS Q die Neigung der
gegebenen Flaͤche gegen die Ebene APQC. Da alſo PR=

iſt, ſo iſt
„X † 8$ y — 2 — — 2
8
und da der Winkel ROs den Winket ACB gleich iſt, ſo wird

CR =

QsS

544 Arnhang. Viertes e Cait.
S=ð = VCaa T 82)
und folglich
tang. QSM = 4 und coſ. QSM =
VVe † 62 † 5 u
Es neigt ſich alſo die geſuchte Flaͤche gegen die Ebene, in
welcher X und y ſind, unter einen Winkel, deſſen tang. =
CE 1 2a) iſt, und auf aͤ ͤhnliche Art iſt eben dieſe 8
Flache gegen die Ebene der Coordinaten X und 2 unter einen er Dine
— V (ℳ2 † 22) ten de
Winkel, deſſen Tangente = und gegen äin
6 emunen
die Ebene der Coordinaten y und 2 unter einen Winkel, ſe ih
deſſen Tangente = E P iſt, geneigt.
. Cegeurrdr
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woron ſie
En
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Fuͤnftes e

A=

kbene, in

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Utr einen
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nn Dyte,

4

infes

Fuͤnftes Capitel.

Von den Flaͤchen der zweyten Ordnung.

§. I01.

Da wir alſo die Ordnungen der Flaͤchen nach der Zahl
der Dimenſionen feſtgeſetzt haben, welche den hoͤchſten Po⸗
teſtaͤten der drey Coordinaten X, y und 2 in der Gleichung
zukommen: ſo iſt es, wenn eine algebraif ſche Gleichung fuͤr
eine Fläche gegeben wird, leicht, ſogleich die Ordnung an⸗
zugeben, zu weicher dieſe Flaͤche gehoͤrt. Da nun alle Flaͤ⸗
chen der erſten Ordnung Ebenen ſind, ſo wollen wir in dem
gegenwaͤrtigen Capitel die Flaͤchen der zweyten Ordnung
betrachten. Bey denſelben findet eine weit groͤßere Verſchie⸗
denheit ſtatt, als bey den Linien des zweyten Grades,
wovon ſich ſeder bey einiger Aufmerkſamkeit von ſelbſt
uͤberzeugen kann. Ich werde ſuchen, die verſchiedenen Ge⸗
ſchlechter dieſer Ordnung deutlich vorzuſtellen; was aber die
Flechen der hoͤhern Ordnungen betrifft, ſo iſt die Menge der
Geſchlechter und Arten bey denſelben ſo groß, daß wir uns
der Auseinanderſetzung derſelben gaͤnzlich enthalten muͤſſen.

§. 102.

Da die Ratur der Flaͤchen der zweyten Ordnung durch
D Gleichung ausgedruckt wird, in welcher die veraͤnder⸗
chen Groͤßen x, y und 2 zu zwey Dimenſionen aufſteigen, ſo
gezten der Cylinder und Kegel, die geraden ſowohl als die
Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. Il. HOH. Mm ſchie⸗

.

546 Anhang. Fuͤnftes Capitel.

ſchiefen, deren Eigenſchaften wir ſchon beſchrieben haben,
zu dieſer Ordnung. Alle Flaͤchen aber, welche dieſelbe un⸗
ter ſich begreift, ſind in folgender allgemeinen Gleichung
enthalten:
.22 † 6yz † 7Xz † dyy † "xVy TOXX † 2 † 1
eSX P z — 0O
Denn man mag die drey Coordinaten annehmen, wie man
will, ſo iſt die Gleichung allemal in dieſer enthalten. Die
verſchiedenen Arten der Flaͤchen werden alſo von den ver⸗
ſchiedenen Verhaͤltniſſen abhangen, welches die Coefficien⸗
ten gegen einander haben, die, obgleich eben dieſelbe Flaͤche
durch unzaͤhlige Gleichungen ausgedruckt wird, dennoch
eine unendli iche Menge von verſchiedenen Flaͤchen erzeugen.

7

So wie wir bey den Curven die Haupteintheilung daher
genommen haben, ob dieſelben ſich ohne Ende fort erſtreck⸗
ten, oder in einem endlichen Raume enthalten waren: ſo
laſſen ſich auch alle Flaͤchen, ſie moͤgen zu einer Ordnung
gehoͤren, zu was fuͤr einer ſie wollen, ebenfalls in zwey
Claſſen eintheilen, davon die eine diejenigen Flaͤchen ent⸗
haͤlt, welche ſich ohne Ende fort erſtrecken, die andere aber

diejenigen, we lche in einem endlichen Raume enthalten ſind.

So gehoͤren der Cylinder und Kegel zu der erſten, und die
Kugel zu der zweyten El laſſe. Von der zweyten Claſſe aber
giebt es keine Art, die zu einer ungeraden Ordnung ge⸗
hoͤrte. Denn da jede Flaͤche einer ungeraden Ordnung
edene Schnitte von eben der Ordnung hat, und die Curven
der ungeraden O Ordnungen ſich ohne Ende fort erſtrecken,
ſo muͤſſen ſich auch die Fl aͤchen dieſer Ordnungen ohne Ende
ausbreiten.

. §H. 104.

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5

6 104,

Von den Flachen der zweyten Ordnung. 547
. 104.
So oft ſich aber eine Flaͤche ohne Ende fort erſtrecken

ſoll, ſo muß zum wenigſten eine von den drey veraͤnderlichen

Groͤßen X, y und z unendlich groß werden. Da es nun
gleich viel iſt, welche dazu angenommen wird, ſo wollen
wir ſetzen, daß 2 unendlich wird, wenn die Flaͤche ohne
Ende fortlaͤuft. Bey der Unterſuchung dieſes ohne Ende
ſich verbreitenden Theils nehmen wir alſo 2 = 00 an, und
nun kommt es vorzuͤglich auf die Betrachtung des erſten
Gliedes «22 an, ob daſſelbe in der Gleichung vorkommt
oder nicht. Iſt alſo dieſes Glied da, ſo verſchwinden da⸗
gegen die Glieder und «, und es entſteht fuͤr dieſen ohne
Ende fortlaufenden Theil die Gleichung:
222 † £3 † YXZ † yy † eXy † xXxX † y †X = o
in welcher ferner alle Glieder, die nicht unendlich groß oß, oder
ſolches doch von einer niedrigern Stufe als ⸗⸗ 2 ſind, ver⸗
ſchwinden.

8. 105.
Wir wollen annehmen, daß alle Glieder, in welchen
die veraͤnderlichen Groͤßen zwey Dimenſionen haben, da
ſuen denn wie auch die Flaͤche beſchaffen ſeyn mag, ſo
nthaͤlt gleichwo hl ihre allgemeinſte Gleichung allemal alle
Gi ieder von den hoͤchſten Dimenſionen, und es thut daher
dieſe Annahme der Allgemeinheit unſerer jetzigen Unter⸗
ſuchung keinen Eintrag. Wenn aber die Glieder ye und X4
da ſind, ſo verſchwinden dagegen die Glieder 3y und ,
und es bleibt folgende Gleichung uͤbrig:
22 † gyz † 7X † yy † exy † XX = = 0
aus weicher fließt:
2. erXE V Er A
%

Am 2 und

2–

548 Anhang. Fuͤnftes Capitel.

und dieſe Gleichung druckt die Natur des Theils der Flaͤche
im Unendlichen aus.

§. 106.

Wenn alſo eine Flaͤche einen Theil im Unendlichen hat,
ſo ſtimmt derſelbe mit dem Theile der Fläͤche im Unend⸗
lichen uͦderein, welcher durch folgende Glihn ausge⸗
druckt wird:
222 † 6yz † 722 yy † xX y † ex = = 0
ſo daß dieſe Flaͤche gleichſam die Aſymptote jener durch die
allgemeine Gle eichung ausgedruckten Flaͤche iſt. Da aber
in dieſer Gleichung die drey veraͤnderlichen Groͤßen allent⸗
halben zwey Dimenſionen haben, ſo iſt dieſe Gleichung eine
Gleichung fuͤr eine coniſche Flaͤche, welche den Scheitel im
Anfangspunkte der Coordinaten hat, wo zugleich alle ver⸗

ſchwinden; und es laͤßt ſich daher, ſo oft ſich eine Flaͤche

ohne Ende fort erſtreckt, allemal eine coniſche Flaͤche ſin⸗
den, welche als ihre Aſymptote betrachtet werden kann.
So wie wir daher die Schenkel der Curven, die ſich ohne

Ende fort erſtreckten, nach geradlinigen Aſymptoten einge⸗

theilt haben, ſo kann man die Theile der Flaͤchen, welche
ſich ohne Ende verbreiten, nach coniſchen Aſ⸗ ſymptoten⸗
Flaͤchen von einander unterie cheiden.

§. 107.

So oft daher die coniſche A ſymptoten⸗Flaͤche reell iſt, ſo
oft erſtreckt ſich die Flaͤche ſelbſt ohne Ende fort, und zwar
auf die Art, daß die Theile von beyden im Unendlichen zu⸗
ſammenfallen; und man kann daher aus der Natur der
Aſymptoten Flaͤche die Natur der gegebenen Flaͤche erken⸗
nen. Wird aber die Aſymptoten⸗ Flaͤche imaginaͤr, ſo hat
die gegebene Flaͤche keinen Ttheil im Unendlichen, ſondern
iſt

(gom

die ii
Nunme
dlec
N
ſelhend
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etſreken
RBen
Ficeg

= =. =

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Cligcdruch
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Uud es vin
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ten einee⸗
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nopegtan⸗

d war
ichen zu⸗
hotur d
feuten⸗
ſo hat
ſondern

Von den Fuͤchen der zweyten Ordnung. 549

iſt ge in einem ey dlichen Raume eingeſchloſſen. Um alſo
die Flaͤchen der zweyte en Ordnung, die in einem endlichen
Raume eit ingeſch loſſen ſind, zu erforſchen, darf man nur die
Faͤl lle aufſuchen, in welchen die Gleichung fuͤr die Aſympto⸗
ten? Flaͤch e imaginaͤr wird, und dieſes geſchiehet, wenn die
ganze ? Flaͤche in einen Punkt verf ſchwindet. Denn wenn
ſie iegend eine Ausdehnung, oder irgend einen Punkt außer
dem Scheitel haͤtte, ſo muͤßte ſie ſich auch ohne Ende fort
erſtrecken, weil wir oben gezeigt haben, daß die ganze ge⸗
rade Linie, welche durch den Scheitel und einen Punkt der
Flaͤche gezogen wird, in der Flaͤche ſelbſt liege.

§. 108.
Wenn alſo die con iiſche e Aſymptoten⸗Flaͤche „welche durch
die Gleichung
.22 † gyz † XZ † 7*ν²§ "†. ⸗„Xy † 6XX = 0
ausgedruckt wird, in einen Punkt uͤbergeht, ſo muͤſſen alle
durch den Scheitel gehende Schnitte derſelben gleichfalls in
dieſen Punkt verſchwinden. Es muß daher einmal, wenn
man 2 =o ſetzt, die Gleichung yy † =Xy † &X unmoͤg⸗
lich ſeyn, wenn nicht = o, und y = o iſt, und dieſes
geſchiehet, wenn 4 ⅛% groͤßer als⸗⸗ iſt. Eben dieſes muß

ferner geſchehen, wenn man entweder = oder y = ol ſetzt,

uud es wird alſo 423 groͤßer als 8s?, und 4 %6% groͤßer als
. Wofern alſo in einer Gleichung fuͤr eine Flaͤche der
zweyten Ordnung
„*„22 T 8yz T† YXzZ † „y§p † ⸗Xy † GXX † 22 † 9y †
4 X † „* — O
nicht 4 7 groͤßer als :r; 42? groͤßer als 86; groͤßer
als “7 iſt, ſo hat die Flaͤche allemal Theile, die ſich ohne
Ende fort verbreiten.

4

Mm 3 M §. 109.

Sso Anhang. Fuͤnftes Capitel. .
8. 109. ſ
Es reichen aber dieſe drey Bedingungen noch nicht hin, ine
um eine Flaͤche in einen endlichen Raum einzuſchließen, ſenn
ſondern es wird noch außerdem erfordert, daß der aus der
Gleichung fuͤr die Aſymptote hergeleitete Werth von z ima⸗ “
ginaͤr werde. Dies geſchieht, wenn der Ausdruck lenle
G 4 .à yy † 2 (6y — 2 22£) Xy † (?7 — 42 %)XX rpe
g . . 5
beſtaͤndig einen negativen Werth bekommt, wenn fuͤr jede
der veraͤnderlichen Groͤßen X und y irgend ein Werth außer
o geſetzt wird Da %½Sε – 4 % , und 77à — 425ο negative
Groͤßen ſind, ſo findet dieſes ſtatt, wenn (67 † 222) 2 i
kleiner als (6 ½ — 4 «⁹) (?72 — 426), oder wenn «:2 † RũZ
Ddory⸗ 1I g6 kleiner als 67: † 4 a) iſt, vorausgeſetzt, e
daß ⸗ einen poſitiven Werth hahe, weil wir die Gleichung ſt
durch « dividirt haben Hat aber «einen poſitiven Werth, M
ſo ſind, weil 422½ groͤßer als »5, und 4 29 groͤßer als 2 6, fmi
und 4 %92% groͤßer als s iſt, die Coefficienten und „ poſitiv. ine
2 Ccheen
g. 110. . Non eine
Es wird alſo eine Flaͤche der zweyten Ordnung in einem “
1 endlichen Raume eingeſchloſſen ſeyn, wenn bey ihrer Glei⸗
chung folgende vier Bedingungen ſtatt finden, daß nemlich fſn
. H —— ltaten,
4 groͤßer als „7; 4 ) groͤßer als s; a)e groͤßer alss. ie
und
„62 † 37⁄2 † % 82 kleiner als y? † 4236° ſurgn
iſt. Hiernach beſtimmen wir das erſte Geſchlecht der FlMaea⸗
chen der zweyten Ordnung auf die Art, daß wir dazu alle
Flaͤchen rechnen, die ſich nicht ohne Ende fort verbreiten,
ſondern in einem endlichen Raume enthalten ſind. Zu die⸗ gicr⸗
ſem Geſchlechte gehoͤrt daher die Kugel, deren Gleichung afi
12 † yy † XX † aa Clher

iſt.

eth aus
ch euer
Naande

„„ 3
* 2 ½ 4*
R 7
14*/

der dir
dar alt
ertniten
AA dis

hing

Von den Sützn der zweyten O ednung. 5 51

iſt. Denn da hier = = 1 ½ ⁹ = 1; „= 1; £ = 0;
„= o; ⸗= o iſt; ſo geſchieht dadurch allen vier ge⸗
fundenen Bedingungen ein Genuͤge. Allgemeiner aber
kann man hieher die Gleichung
222 † àyy †. XX = à 2 ”
rechnen, welche, wenn «, d und ⁶ poſitive Groͤßen ſind,
allemal einer begrenzten Flaͤche zugehoͤrt, wofern nicht ein
oder zwey Coefficienten ver ſchwinden.

§. III.

Hat man ſich von der Richtigkeit dieſer vier Bedingun⸗
gen, wodurch eine Flaͤche zu einer begrenzten wird, uͤber⸗
zeugt, ſo iſt es, wenn eine Gleichung fuͤr eine Flaͤche gege⸗
ben iſt, leicht zu beſtimmen, ob dieſe Flaͤche ohne Ende ſich
erſtrecke nde Theile haben werde oder nicht. Fehlt nemlich
eine von dieſen Bedingungen, ſo hat ſie gewiß dergleichen.
In dieſem Falle werden aber einige Unte rabtheilungen
nothwendig, um die ohne Ende ſich erſtreckenden Theile
von einander iu unterſchei den. Die erſte Unterabtheilung
wird alſo ſeyn, wenn
2 542 † dy † %2 groͤßer als g7„ C† 423°

iſt, in welchem Falle die Flaͤche ſich ohne Ende fort ver⸗

breiten, und eine coniſche Flaͤche zur Aſymptote haben wird,
wie bereits gezeigt worden iſt. Dieſer Fall ſteht dem vor⸗
hergehenden gerade entgegen, in welchem die Flaͤche in
einem endlichen Raume enthalten war.
J. II292
Außerdem aber giebt es gewiſſe Zwiſchenfalle, wo die
Flaͤche, ob ſie ſech gleich ohne Ende verbreitet, zwiſchen jenen
auf aͤhnliche Art enthalten iſt, wie die Parabel zwiſchen der
Ellipfe und Hypeebel. Dieſer Fall entſteht, wenn

552 An nhang. Fuͤnftes Capitel.

„„E2 † à%&* † 68S2 = 8, † 4 *
und alſo
2 = — G7 – xX † y V (& — 4) † X V (vv — 4e6)
iſt. Es hat alſo die Gleichung fuͤr die Aſymptote
222 † ayz † YXz † yy † -Xy † 6SXX = 0

zwey einfache Faktoren, die entweder reell, oder imaginaͤr,
oder einander gleich ſeyn werden. Dieſe dreyfache Ver⸗
ſchiedenheit giebt drey Geſchlechter der Flaͤchen, die ſich

ohne Ende verbreiten, und ſo haben wir uͤberhaupt fuͤnf

Geſchlechter der Flaͤchen der zweyten Ordnung erhalten,
welche wir nun genauer unterſuchen wollen.

§. 113.
Da die allgemeine Gleichung durch die Veraͤnderung
der drey Axen, welchen die Coordinaten parallel ſind, auf
eine einfachere Form gebracht wird, ſo wollen wir uns die⸗

ſer Reduktion auf die Art bedienen, daß wir die Gle leichung

auf eine einfachere F Form bringen, ohne ihren Umfang ein⸗
zuſchraͤnken. Da alſo die allgemeine Gl eichung fuͤr die
Flaͤchen der zweyten Ordnung folgende iſt:

222 † eyz 6 7X2 1 Dyy † exy † xx † 2 † 3y † X † = = O0

ſo wollen wir eine Gleichung zwiſchen drey andern Coordi⸗

naten p, und r ſuchen, welche ſich in eben dem Punkte

ſchneiden, in welchen die drey vorigen es. thaten. Zu die⸗

ſer Abſicht ſetze man aus § 92.
X= p (coſ. k. coſ. m — ſin. K. ſin. m. coſ. n) † qccoft. ſin. mip†
ſin. k. coſ. m. coſ. n) — r. ſin. K. ſin. n
yS—– p. (Coſ. k. coſ. m † coſ. k. ſin. m. coſ. n) — q(ſin. k. ſin. m —
coſ. k. coſ. m. coſ. n) – r. coſ. k. ſin. n
und
1 = — P ſin. m. ſin n † q. .coſ. m. ſin. n † r. coſ n
. wo⸗

Nun
6,lekinmn
Crinden⸗
Ada
wer

an ſehe
ESt
ſedeß ſ
werde: ſ
Neich R
geneine
flgende

4o

mmaginar,
che Ver⸗

—

Ale4

ni fur Ri

Von den Flaͤchen der zweyten Ordnung. 553

wodurch man die Gleichung erhaͤlt
App † B 44 † Crr † Dpq † Epr † Far T†. Cpr
Hq Ir T K = o.

1*

§. 114.

Nun laſſen ſich die willkuͤhrlichen Groͤßen k, m und n n
ſo beſtimmen, daß die drey Coefficienten H, C und F ver⸗
ſchwinden. Denn obgleich die Rechnung zu weitlaͤuftig iſt,
als daß dieſe Beſtimmung jener Winkel hier wirklich ge⸗
zeigt werden koͤnnte, ſo muß doch der, der daran zweifeln
wollte, daß die Elimination jener Coefficienten allemal zu
reellen Werthen der Winkel fuͤhre, zugeben, daß wenig⸗
ſtens zwey Licfieieneen D und C Null gleich gemacht wer⸗
den koͤnnen. t aber dieſes geſchehen, ſo kann die Lage

der dritten Are, , d geicher die Ordinaten r parallel ſind, in

der der Ordinate p parallelen Ebene leicht ſo veraͤndert
werden, daß auch der Coefficient F verſchwindet. Denn
man ſetze
. 4 = t. ſin. † u. coſ. i; und r = t. coſ. i — u. ſin. i
ſo daß ſtatt des Gliedes qar das neue Glied tu eingefuͤhrt
werde: ſo kann deſſen Coefficient vermoͤge des Winkels i
gleich Null gemacht werden. Auf dieſe Art erhaͤlt die all⸗
gemeine Gleichung fuͤr die Flaͤchen der awehten Ordnung
folgende Form:

ApP † Bq4 † Crt † Gp † Rq Ir k

I
„

F. 1I15.

Ferner laſſen ſich die Coordinaten durch beſtäaͤndige
Groͤßen ſo vermehren oder vermindern, daß die Coefficienten
6, H und I verſchwinden, und zwar wird dazu bloß die Ver⸗
aͤnderung des Anfangspunktes aller Coordinaten erfordert.
Mm 5S Auf

554 Anhang. Viertes Capitel.

Auf dieſe Aet laſſen ſich alle Flaͤchen der zweyten Ordnung
in folgende Gleichung zuſammenfaſſen:
App † Bqq † Crr † K = o
woraus erhell et, daß jede der drey durch den Anfangspunkt
der Coordinaten gelegten Hauptebenen die Flaͤche in zwey
gleiche und aͤhnliche Theile theilt. Es hat daher jede
Flaͤche der zweyten Ordnung nicht nur eine, ſondern ſelbſt
drey Diametral⸗Ebenen, welche ſich in demſelben Punkte
durchkreutzen, ſo daß daher auch dieſer Punkt ein Mittel⸗
punkt der Flaͤche wird, ob er gleich in einigen Faͤllen un⸗
endlich weit entfernt iſt. Man legt nemlich der Flaͤche auf
aͤhnliche Art einen Mittelpunkt bey, als man ſolches bey
den Kegelſchnitten thut, ob derſelbe gleich bey der Parabel

unendlich weit entfernt iſt.

§. 116.

Hat man alſo die allgemeine Gleichung fuͤr die F F laͤchen

der zweyten Ordnung auf die einfachſte Form gebracht, ſo
bietet die Gleichung
AppFBqq Crr = aa

das erſte Geſchlecht dieſer Flaͤchen dar, wenn alle drey

Coefficienten A, B und C poſitiv ſind; und die Flaͤchen, welche

zu dieſem Geſchlechte gehoͤren, ſind daher nicht nur ganz

in einem endlichen Raume enthalten, ſondern ſie haben
auch insgeſ ſammt einen Mittelpunkt, in welchem ſich die

drey Diame tral⸗ Ebnen unter rechten Winkeln ſchneiden.

Es ſey, Fig. 143, C der Mittelpunkt dieſer Figur, und
CA, cB, CD die auf einander ſenkrechten Hauptaxen,
welchen die Coordinaten p, q und r parallel ſind: ſo ſind
die drey Diamettal⸗ Ebenen ABab, AD a und B Db und
durch dieſelben wird dieſer Koͤrper in je zwey gleiche und

aͤhnliche Theile getheilt.

Hoppta

ſie de
le deey
u we
Piten

Nd
Wn
Wndn
ſaleg
en
Rſhen
tbe

Dednungn

ngepnnt
e in wen
dahe ſede
ldenn ſeebt

en Portte.

en Wiich
dnn
de .
u Perabel

gen, ned
ht hur on
ſe ben
en ſt R
Me.
t, ud
auptaren,
dr ſſn⸗
PD 10
ſig⸗ d

Von den Flaͤchen der zweyten Ordnung. 555

. D §. 117.
Man ſetze r =o, ſo druckt die Gleichung App † B qq
— aa die Natur des Hauptſchnittes ABab aus, der alſo
eine Ellipſe ſeyn wird, welche den Mittelpunkt in C, und
— — und CB = Cl!
die albaxen CA Ca n Cb = ;
hat. Setzt man q = o, „ ſo gehoͤrt die Gleichung App *†
Crr = a a dem Hauptſchnitte ADa zu, der aſo ebenfalls
eine Ellipſe iſt, welche den Mittelpunkt in C hat, und deren

a a „
Halbaxen CA = Ca = und CD = 0 ſind. Setzt

man endlich p = o, ſo bekommt man fuͤr den dritten
Hauptſchnitt BDb die Gleichung Bqq † Crr = aa, der
daher auch eine Ellipſe iſt, deren Mittelpunkt in C liegt,
und deren Halbaxen C = Cb = 5 und CD = = PS
ſind. Kennt man aber dieſe drey Hauptſchnitte, oder bloß ihre
3
Hauptaxen CA = ; CB = 2, und CD = 6:
ſo iſt dadurch auch die Natur dieſes Koͤrpers bekannt. Da
die drey Hauptſchnitte dieſes erſten Geſchlechts der laͤchen
der zweyten Ordnung Ellipſen ſind, ſo kann man dieſe
Flaͤchen Elliptoiden nennen.

§. 118.

Zu dieſem Geſchlechte gehoͤren drey Arten, die vor an⸗
dern zu merken ſind. Die erſte iſt, wenn alle drey Haupt⸗
aren CA, CB und Cb einander gleich ſind. In dieſem
Falle gehen die gedachten Hauptſchnitte in Kreiſe, und der
Koͤrper in eine Kugel uͤber, deren Gleichung, wie wir oben
geſehen haben, pp † qq † rr = aa iſt. Die zweyte
Art begreift die Faͤlle unter ſich, wo zwey Hauptaxen ein⸗
ander

6

556. Anhang. Fuͤnftes Capitel.

ander gleich ſind. Es ſey nemlich CD = = CB, oder C = B,
ſo wird der Schnitt BDb ein Kreis, und aus der Glei⸗
chung App † B (qq † rr) = aa erhellet, daß alle dieſem
parallele Schnitte ebenfalls Kreiſe ſeyn werden. Es wird
daher dieſer Koͤrper ein laͤngliches Sphaͤroid, wenn AC
groͤßer als B C, und ein zuſammengedrucktes, wenn AC
kleiner als BC. Die dritte Art begreift endiich die Koͤrper
unter ſich, wo die drey Coefficienten A, B und C ungleich
ſind, und dieſe behalten den allgemeinen Namen der Elli⸗
ptoiden.

§. I19.

Die foigenden Geſchlechter der Flaͤchen der zweyten
Ordnung ſind in dieſer Gleichung enthal ten:
App † Bq q T Crr = aa,
und zwar zuvoͤrderſt, wenn von den Coefficienten , B und
Cgar keiner fehlt, und entweder einer oder zwey negativ
ſind. Es ſey bloß der eine von ihnen negativ, wobey wir
folgende Gl leichung
App † B qq — Crr = aa

betrachten wollen, bey welcher wir annehmen, daß A, B

und C poſitive Groͤßen bedeuten. Was den Mitte lpunkt
dieſes Koͤrpers, und ſeine Diametral⸗Ebenen betrift, ſo
verhaͤlt es ſich damit eben ſo wie vorhin. Es erhellet alſo,
daß der erſte Hauptſchnitt dieſes Koͤrpers Atab, Fig. 144,

eine Ellipſe iſt, deren Halbaxen AC = Ji „Und B C =

S ſind. Die beyden uͤbrigen Hanptſchnitte A q und BS
aber ſind Hyperbeln, weicher den Mittelpunkt in C, und die
halbe zugehoͤrige Axe = S haben.

9. 120.

Nd utea
en
Gr 4
Stean
Nopate
hptete
NN, Men
ſt. De
ſarette
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ſekcht
n⸗ſeel
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Utt agi
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Nenlch d

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le deeſen
wenn Ac
wenn Ac.

ſeKoͤrper

ngleich

Nn

=

9

,Bund
notgand
den w

NA
nupvntt
henkt, ſc
helt ⸗

50=

d5

6„

Von den Flaͤchen der zweyten Ordnung. 557
§F. 120.

Es ſtellt alſo dieſe Flaͤche einen Trichter vor, der oben
und unten nach Hyperbeln abweicht, und es hat daher die⸗
ſelbe einen Kegel zur Aſymptote, welcher durch die Glei⸗
chung App † Bqq — Crr = o ausgedruckt wird, den
Scheitel in dem Mittelpunkte C hat, und deſſen Seiten die
Aſymptoten der Hyperbeln ſind. Es ſteht aber dieſer
Aſymptoten⸗Kegel zwiſchen der Flaͤche, und iſt ein gera⸗
der, wenn A = B, und ein ſchiefer, wenn A nicht =
iſt. Die Axe deſſelben iſt die gerade auf der Ehene AB a
ſenkrechte Linie CD. Uebrigens ſind alle der Axe CD ſenk⸗
rechte Schnitte Ellipſen, welche der Ellipſe A Bab ahnlich
ſind, ſo wie hingegen die, welche auf der Ebene ABab
ſenkrecht ſind, Hyperbeln; daher man auch dieſe Flaͤchen
elliptiſch⸗hyperboliſche nennen kann, welche ihren Aſympto⸗
ten⸗Kegel umgeben. Dieſe Flaͤchen machen alſo unſer
zweytes Geſchlecht aus.

H. 121.

Bey dieſem Geſchlechte koͤnnen wieder drey Arten von
einander unterſchieden werden. Die erſte iſt diejenige,
welche entſteht, wenn a = o iſt, in welchem Falle die El⸗
lipſe ABab in einen Punkt verſchwindet, die Hyperbeln in
gerade Linien uͤbergehen, und die Flaͤche ſelbſt ganz mit
ihrer Aſymptote zuſammenfaͤllt. Es faßt daher dieſe erſte
Art alle gerade ſowohl als ſchiefe Kegel unter ſich, worauf
man eine neue Abtheilung gruͤnden koͤnnte. Die zweyte
Art ergiebt ſich, wenn A = B wird, in welchem Falle
die Ellipſe ABab in einen Kreis uͤbergeht, und die Flaͤche
ſelbſt eine runde oder gedrehete Flaͤche wird. Es entſteht
nemlich dieſe Flaͤche, wenn ſich eine Hyperbel um ihre zuge⸗
hoͤrige

—

558 Anhang. Fuͤnftes Capitel.

hoͤrige Axe dreht. Die dritte Art kommt mit dem Ge⸗

ſchlechte ſelbſt uͤberein.
§K. 122.

Das dritte Geſchlecht wollen wir auf die Art beſtimmen,

daß dabey zwey Coefficienten der Glieder pp, qq und r1r

negativ werden, und es iſt daher die Gleichung fuͤr dieſes

Geſchlecht
App — — B q — Crr =

Setzt man alſo 1 = o, ſo iſt t erſte der Hauptſchnitt EA Feaf,
Big. 145, eine Pyperbel⸗ weich, den Mittelpunkt in C hat,

und deren Halbaxen —— „ und e s ſind. Der andere Haupt⸗

ſchnitt, welchen man erhölt, wenn man q= O ſetzt, iſt
gleichfalls eine Hyperbel AQC, aq, welche eben dieſelbe

halbe Zwergaxe hat, deren zugehoͤrige Halbaxe aber

SES V6 iſt. Der dritte § Hauptſchnitt wird i imaginaͤr. End⸗

lich liegt dieſe ganze Flaͤche zwiſchen der coniſchen Aſympto⸗
ten⸗Flaͤche, und man kann ſie daher die hyperboliſch⸗hy⸗
perboliſche nenneu, welche in einen Aſymptoten⸗Kegel be⸗
ſchrieben iſt. Wenn B = C wird, ſo iſt die Flaͤche rund,

denn ſie entſteht alsdenn durch Umdrehung einer Hyperbel

um ihre Zwergaxe, waraus man eine beſondere Art machen
koͤnnte. Wenn aber a =o geſetzt wird, ſo ergiebt ſich eine
coniſche Flaͤche, welche wir bereits als eine Art des vorher⸗
gehenden Geſchlecht betrachtet haben,

§K. 123.

Um die folgenden Glieder kennen zu lernen, wollen wir

annehmen, daß einer von den Coefficienten A, B und C ver⸗
ſchwin⸗

Lo

ſhnnde.

(ireine

Ap-
velcher
Ne Roinet⸗
Nttlr weg
Neblichune
Mlete G

(cchuog

wrbey eve
wern e lbipde
nn der e
der Aitep
Ulendlich ne

Gſaen
ſo hekommnt
Gleihung:

Nedeack
wann man
Punt, Ne
Mon 0
Puuheln,

zwen Arter
chen dale

beſimmen,
und rr
fir dieſes

1Aeaß
nnghat,

*
Ne Rebo

ent ſ

jen ieebe,

6
bare i
U .
nir ⸗

lhepw⸗
lich⸗hi⸗
ad be⸗
perba

ſnr nuchen

eſcchen
vothet⸗

ulen dit
d ben⸗
ſvi⸗

Gleichung

Von den Fluͤchen der zweyten Ordnung. 559

ſchwinde. Es ſey alſo C = zo, ſo iſt die 5 114 gefundene
allgemeine Gleichung
Ap p „ B r Gp † Hq it Ir K = o
aus welcher man durch Vergroͤßerung oder Verkleinerung
der Ordinaten p und q zwar die Glieder Qp und Hq, aber
nicht Ir wegſchaffen kann. Es bleibt alſo das Glied Ir in
der Gleichung zuruͤck; allein man kann vermittelſt deſſelben
das letzte Glied K wegdringen, und wir haben daher die

APpP 1 3 = = rr
wobey zwey Faͤlle zu erwaͤgen ſind. Der erſte fadet ſtatt,
wenn beyde Coefficienten A und B poſitio ſind; der andere,
wenn der eine davon negativ iſt. In beyden Faͤllen iſt
der Mittelpunkt der Flaͤche in der Axe CD befindlich, aber
unendlich weit entfernt.

Es ſeyen zuvoͤrderſt beyde Coefficienten A und B poſitid⸗/
ſo bekommt man das vierte Geſchlecht, welches durch dieſe

Gleichung:

App † Bqq = ar
ausgedruckt wird. Der erſte Hauptſchnitt, welcher entſieht,
wenn man r = o ſetzt, verſchwindet demnach in einen
Punkt, der andere und dritte, wovon jener entſteht, wenn
man q =o, und dieſer, wenn man p =o ſetzt, ſind beyde

Parabeln, nemlich M Am und N An, Fiz. 146. Da alſo

bey dieſer Flaͤche alle auf der Axe Ab ſenkrechte Schnitte
Ellipſen, die Schnitte aber, welche durch die Axe gehen,
Parabeln ſind, ſo wollen wir die Koͤrper dieſes Geſchlechtes
elliptiſch paraboliſche Koͤrper nennen. Es giebt davon
zwey Arten; die eine ſindet ſtatt, wenn A = B iſt, in wel⸗

chem Falle der Koͤrper ein runder Koͤrper wird, und kegele

foͤrmig

560 Anhang. Fuͤnftes Capitel.

foͤrmig paraboliſch heißt; die andere entſteht, wenn a = o
iſt, und App † Bqq = bb wird. Dieſe Art giebt Cylin⸗
der, ſowohl gerade, wenn A = B, als ſchiefe, wenn
A nicht = B iſ.

8§. 125.
Das fuͤnfte Geſchlecht iſt in der Gleichung
App—Bqq =ar
enthal ten, und ſein erſter Hauptſchnitt, wenn r = o wird,
ſind zwey gerade Linien Ee und Ef, welche ſich in dem

Punkte A ſchneiden. Alle Schnitte, welche dieſem parallel

ſind, ſind Hyperbeln, welche ihre Mittelpunkte in der Axe

AbD haben, und zwiſchen den Aſymptoten Ee und 'f liegen.

Die beyden Ebenen, welche auf der Ebene APC in den
Linien Ee und Ff ſenkrecht ſtehen, fallen im Unendlichen mit
der gegebenen Flaͤche zuſammen, und es hat daher dieſe

Flaͤche zwey ſich ſchneidende Ebenen zu Aſymptoten. Die

uͤbrigen Hauptſchnitte ſind Parabeln, und man kann daher
die zu dieſem Geſchlechte gehoͤrigen Flaͤchen paraboliſch hy⸗
perboliſche nennen, die zwey Ebenen zu Aſympoten haben.
Eine Art davon, (wenn a = o wird, ſo daß App — B qq
= bb iſt), iſt der hyperboliſche Cylinder, deſſen auf der
Axe AD ſenkrechte Schnitte insgeſammt unter einander
gleiche Hyperbeln ſind. Iſt uͤberdem b = = o ſo eniſtehen

die beyden Aſymptoten⸗ Ebenen.

§. 126.
Das ſechste Geſchlecht der Flaͤchen der zweyten Ord⸗
nung endlich iſt in der Gleichung enthalten:
App = aq
und dieſe giebt einen paraboliſchen Cylinder, deſſen auf der
Axe A B ſenkrechte Schnitte insgeſammt einander aͤhnliche
und

ndei⸗

Netend

gyl e
=bl
11
,ſ„ l,
lee Cbs

(ömache⸗

WWn
goode!
Ppien el
hner.

Wt

ae
ee nunm
des es zwey
de Faͤch

411

ſe mng
Menſione

y, z)

nn a =

ſoht FEntt
eht Cylinr

fe, wenn

120 tit
ſcin den
ſen poroll

een D⸗

nauf de

—

„
SS”ͦñõ

Von den Flauͤchen der zweyten Ordnung. 561

und gleiche Parabeln ſind, ſo daß die Scheitel derſel ben in

die gerade Linie AD falle len, und die Axen einander parallel

ſind. Auf dieſe ſechs Geſchlechter laſſen ſich alſo alle Flaͤ⸗

chen der zweyten Ordnung zuruͤckfuͤhren, ſo daß keine ange⸗
geben werden kann, die nicht darunter begriffen waͤre.
Wenn uͤbrigens in dem letzten Geſchlechte a = o, und alſo
App = bb iſt, ſo giebt dieſe Gleichung zwey einander po⸗
rallele Ebenen, die gleichſam eine Art dieſes Geſchlechts
ausmachen. Es ſindet hier etwas aͤhnliches ſtatt, wie bey
den Linien der zweyten Ordnung, wo zwey ſich ſchneidende
gerade Linien als eine Art der Hyperbel, zwey parallele
Linien aber als eine Art von Parab del betrachtet werden
koͤnnen.

Ob wir gleich dieſe ſechs Arten aus der einfachſten Glei⸗
Hung abgeleitet haben, auf welche ſich die Gleichung fuͤr
die Flächen der zweyten Ordnung zuruͤckfuͤhren laͤßt: ſo iſt
es nunmehr dennoch leicht, bey jeder gegebenen Gleichung
des zweyten Grades das Geſchlecht anzuzeigen, zu welchem
die Flaͤche gehoͤrt. Iſt nemlich die Gleichung
422 † &yz † YXzZ † 77 † Xy T cXX †T 2 y 1†
J ⸗X † k = 0: .
ſo muß man nach den hoͤchſten Gliedern, worin zwen Di⸗
menſionen der veraͤnderlichen Groͤßen vorkommen, urthei⸗

len, und alſo folgende Glieder betrachten

„22 † 6yz2 † yXz † Nyy † :xXy † &X.
Iſt darin 442% groͤßer als 7; 4 2% groer als Ss8; 4 ⅝°%
groͤßer als ««, und
„6 † %ν † 6 68£ bleiner als s;: † 42à4
ſo iſt die Flaͤche in einem endlichen Raume enthalten, und
gehoͤrt zu dem erſten Geſchlechte der Elliptoiden.
EulersEinl,. in d.Angl. d. Unendl. II. B. Nun §.128.

562 Anhang. Fuͤnftes Capitel.

S. I28.

Wenn eine oder mehrere von dieſen Bedingungen feh⸗
len, und gleichwohl nicht «« † dνν⅞ † &ερεs = 87* †
A2 ρ iſt, ſo gehoͤrt die Flaͤche entweder zum zweyten oder
zum dritten Geſchlechte, und iſt eine hyperboliſche Ober⸗
flaͤche, die einen Kegel zur Aſymptote hat, und entweder
um denſelben, wie beym zweyten, oder in demſelben be⸗
ſchrieben iſt, wie beym dritten Geſchlechte. Wenn aber
**¾⅝ àν†εε⅝ ςνε† αεα iſt, ſo kann der Ausdruck
222 † Gyz † YX † à„y„y † X y † &XX
in zwey einfache, reelle oder imaginaͤre Faktsren aufgeloͤſet

. werden. Im erſten Falle gehoͤrt die Flaͤche zu dem vierten,

im andern zu dem fuͤnften Geſchlechte. Hat endlich der
gedachte Ausdruck zwey gleiche Faktoren, oder iſt derſelbe
ein Quadrat, ſo gehoͤrt die Flaͤche zu dem ſechsten Ge⸗
ſchlechte. Auf dieſe Art kann man ſogleich beurtheilen, zu
was fuͤr einem Geſchiechte eine Flaͤche gehoͤre, und es findet
ſich bloß bey dem zweyten und dritten einige Schwierigkeit,
daher man auch beyde in eins zuſammenfaſſen koͤnnte.

K. 129.

Auf aͤhnliche Art laſſen ſich die Flaͤchen der dritten und
der folgenden Ordnungen behandeln und in Geſchlechter
eintheilen. Man braucht nemlich bloß die hoͤchſten Glieder

der Gleichungen in Erwaͤgung zu ziehen, d. h. bey den

Flaͤchen der dritten Ordnung diejenigen, worin die Coor⸗
dinaten drey Dimenſionen haben, und welche alſo ſind:
223 † Gy22 † 7y22 † àXατ † -xz2 P oXy2 † ꝛc.
Zuooͤrderſt muß man alſo uͤberlegen, ob dieſe Glieder zu⸗
ſammengenommen, oder das hoͤchſte Glied der Gleichung
in einfache Faktoren aufgeloͤſet werden kann oder nicht.
Wenn dieſe Aufloͤſung nicht ſtatt findet, ſo hat die Flaͤche
einen

ſuod
Pus nan!
ſice Fett
ütie ouf
ſten und /⸗
Ahantor.
ſtt, Gr
chung, un
Aſyoptote,
ebere, und
Fkeren e
iſ dieber
ginir, un
ter. Endl
len trel/ /
loan oder
hmnt
Cide ſoc

ngen foh⸗
671
behten odee
ihe Ober⸗
entweder
aben be⸗
dunn aber
rluedruck
1
taufſebſſe
n bierten,
endlich der
ſt de
heiten, zu
des findet

wirügkeit

et8

ldante,

Nehenmd
Geſclechter
ſen GCleder
. en den
Me C
ſnd:
K.
ieder zu⸗
Hleichung
der nicht.
e Foͤhe
einen

Von den Flaͤchen der zweyten Ordnung. 563

einen Kegel der dritten Ordnung zur Aſymptote. Da aber
die Natur dieſes Kegels durch das hoͤchſte Glied ausge⸗
druckt wird, wenn man daſſelbe =o ſetzt, ſo giebt es
mehrere dergleichen Kegel der dritten Ordnung, nach deren
Verſchiedenheit mehrere Geſchlechter von Flaͤchen entſtehen.
Denn obgleich alle Kegel der zweyten Ordnung zu einem
Geſchlechte gerechnet werden, indem ſie entweder gerade
oder ſchief ſind, ſo findet doch bey der dritten Ordnung eine
weit groͤßere Mannigfaltigkeit ſtatt.

§. 130.

Nachdem dieſe Geſchlechter aus einander geſetzt ſind,
muß man die Faͤlle betrachten, wo das hoͤchſte Glied in ein⸗
fache Faktoren, und zwar entweder in reelle oder in ima⸗
ginaͤre aufgeloͤſet werden kann. Es habe daſſelbe zuvoͤrderſt
einen und zwar reellen Faktor, ſo hat die Flaͤche eine ebene
Aſymptote. Der andere Faktor giebt, wenn man ihn = 0
ſetzt, entweder eine moͤgliche oder eine unmoͤgliche Glei⸗
chung, und es giebt daher entweder eine einzige ebene
Aſymptote, oder die Flaͤche hat zwey Aſymptoten, eine

ebene, und einen Kegel der zweyten Ordnung. Sind drey

Faktoren einfach, ſo ſind, weil darunter allemal ein reeller
iſt, die beyden uͤbrigen entweder ebenfalls reell oder ima⸗
ginaͤr, und daher entſpringen wieder zwey neue Geſchlech⸗
ter. Endlich ergeben ſich, wenn alle drey einfache Fakto⸗
ren reell ſind, noch daher zwey Geſchlechter, ob davon
zwey, oder ob alle drey einander gleich ſind. Zu dieſer
Ordnung gehoͤrt uͤbrigens keine Flaͤche, die ſich nicht ohne
Ende fort verbreitete. 8

Nn 2 Sechstes

Ntod
itte
“ t hin
2 uten t
Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen. “
§S. 131l.
In dem Vorhergehenden iſt bereits die Methode be⸗ Iin
ſchrieben worden, die Natur des Durchſchnitts zu erfor⸗ r
ſchen, der aus der Durchſchneidung einer Flaͤche von einer hen
Ebene entſteht. Da nemlich die Curve, welche der Durch⸗ Nan
ſchnitt bildet, ganz in der ſchneidenden Ebene liegt, ſo ha⸗ iki
ben wir in dieſer Ebene zwey Coordinaten angenommen, Eter du
dadurch die Natur des Durchſchnitts beſtimmt, und ſo die in
ganze Unterſuchung aufs Bekannte zuruͤckgefuͤhrt. Wenn Rhnd
aber die ſchneidende Flaͤche keine Ebene iſt, ſo kann man ien
auch, da alsdann der Durchſchnitt nicht in eine Ebene faͤllt, hn .
die Natur deſſelben nicht durch zwey Coordinaten aus⸗ “
drucken, ſondern es iſt eine andere Methode noͤthig, um it
dieſe Durchſchnitte auf die Art durch Gleichungen zu be⸗ ſt
ſtimmen, daß ein jeder Punkt derſelben bekannt ſey. “R
Es kann aber die Lage der Punkte, die nicht in einer
Ebene liegen, beſtimmt werden, wenn man drey auf ein⸗
ander ſenkrechte Ebenen zu Huͤlfe nimmt, und die Entfer⸗
nungen eines jeden Punktes von dieſen drey Ebenen an⸗
giebt. Es ſind daher drey veraͤnderliche Groͤßen noͤthig, Ann
um die Ratur einer Curve, die nicht in einer Ebene liegt, A

aus⸗

4

*

gemmnnen
und ſo de
a. Den
okom on
Ehene filt
ſten aut⸗
ſothig, w
ngen iu de
ſe⸗

in einer
auf ein
die Eotfe

Senen aNH

n Nöthi

Hene liett
ats⸗

Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen. G 565

auszudrucken, ſo daß bey willkuͤhrlicher Annahme der einen
die beyden uͤbrigen beſtimmte? Werthe bekommen. Hierzu
reicht alſo eine Gleichung zwiſchen jenen drey Coordinaten
nicht hin, indem dieſe die Ratur der ganzen Flaͤche aus⸗
drucken wuͤrde; ſondern man hat zwey Gleichungen noͤthig,
durch welche, wenn die eine veraͤnderliche Groͤße einen be⸗
ſtimmten Werth bekommt, zugleich die Werthe der deyden
uͤbrigen beſtimmt werden.

Man druckt daher die Natur einer Curve, die nicht in
einer Ebene liegt, am bequemſten durch zwey Gleichungen

zwiſchen drey veraͤnderlichen Groͤßen , y und 2 aus, welche

dren auf einander ſenkrechte Coordinaten vorſtellen. Ver⸗
ittelſt ſolcher zwey Gleichungen koͤnnen zwey veraͤnderliche
Größen durch die dritte beſtimmt werden, indem ſowohl y
als einer Funktion von X gleich ſeyn wird. Auch kann
man nach Gefallen eine von den veraͤnderlichen Groͤßen eli⸗
miniren, und alſo drey Gleichungen machen, deren jede
nur zwey veraͤnderliche Groͤßen enthaͤlt, eine nemlich zwi⸗
ſchen « und y, die andere zwiſchen 2 und 2, und die dritte
zwiſchen y und z. Von dieſen drey Gleichungen ergiebt
ſich die dritte aus den beyden uͤbrigen von ſelbſt, ſo daß
man, wenn man die Gleichungen zwiſchen X und y, und
zwiſchen und z hat, die dritte dwiſchen 7 und 2 durch die
Climination von findet.

Es ſey alſo eine krumme Linie, die nicht in eine Ebene
falle, gegeben, und M, Fig. 148, ſey ein Punkt in ihr.
Man nehme nach Belieben die drey auf einander ſenkrechte
Axen AB, AC und Ab an, ſo daß dadurch die drey auf
Run 3 eein⸗

566 Anhang. Sechstes Capitel.

einander ſenkrechte Ebenen, ABC, BAD und CAD be⸗
ſtimmt werden. Ferner faͤlle man aus dem Punkte der

Cutve M auf die Ebene BAG die ſenkrechte Linie MC herab,
und ziehe aus dem Punkte Q auf die Axe AD die gerade

Linie Ob ſenkrecht, ſo ſind Ab, QP und Q M die drey

Coordinaten, durch welche die Curve beſtimmt iſt, wenn
man dazwiſchen zwey Gleichungen hat. Es ſey alſo

AP = X, PQ = y und QM = 2, und aus den bey⸗

den zwiſchen X, y und 2 gegebenen Gleichungen mache man
durch die Elimination eine Gleichung, welche bloß und y
enthalte: ſo wird dieſe GSleichung die Lage des Punktes Q
in der Ebene BA C beſtimmen, und alle auf die beſchriebene

Art aus dem Punkte M entſtandenen Punkte Q werden die

Curve E Qf geben, deren Natur durch die Gleichung zwi⸗
ſchen x und y ausgedruckt wird.

§. 135.

Auf dieſe Art laͤßt ſich die Natur der Curve E QF aus
zwey zwiſchen den drey Coordinaten gegebenen Gleichungen
leicht erkennen; es entſteht aber dieſe Curve, wenn man
aus den Punkten M der geſuchten Curve die ſenkrechten
Linien M Q auf die Ebene B A C herabfaͤllt, und man pflegt
dieſelbe die Projection der Curve G MH in der Ebene BAC
zu nennen. So wie aber die in der Ebene BA C entwor⸗
fene Projection gefunden wird, wenn man die veraͤnderliche
Groͤße 2z eliminirt: ſo kann man auch die Projection eben
dieſer Curve in der Ebene BAD oder CAD finden, wenn man

entweder „ oder x wegſchafft. Eine Profection reicht indeß

nicht hin, die Natur der Curve G MH zu erkennen; wenn
man aber fuͤr jeden Punkt O die ſenkrechten Linien QCM = z
kennt, ſo laͤßt ſich die Curve G MH ſehr leicht aus der Pro⸗
jection E Ar conſtruiren. Hierzu wird erfordert, daß man
außer

einglech
ie Cere
der Rro⸗
Dirchſch

Nch⸗
ſchang
Cbene l
jney Fl
ſcnin i
uchtn
MN
einer E⸗
er olle
uld er
enthalte

CAD de
Unete der

Punines
eſchriebene
welden die
Gchang wie

1au
Gleicungen
penn mor
ſnkrechten
ondſteg
Ebene bA

tt i
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cichrinde⸗
hen; m
101=
rro⸗
dos man
Außer

Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen. 567

außer der Gleichung zwiſchen und y, wodurch die Ratur
der Proſection ausgedruckt wird, eine Gleichung zwiſchen
2 und X, oder zwiſchen 2 und y, oder auch zwiſchen X, .
und 2 habe, um darous die Laͤnge des Perpendikels Al==
fuͤr einen jeden Punkt Q zu erkennen.

De die G Gleichung zwiſchen 2 und x die Projection der
Curde G MH in der Ebene B A D, die Gleichung zwiſchen
2 und y aber die Projection in der Ebene CAD, und die

Gleichung zwiſchen X, y und 2 die Flaͤche aus Edruckt, in

welcher die Curve C MH liegt: ſo erhellet einmal, daß

durch zwey Projectionen der Curve G MH in zweyen Ebe⸗

nen dieſe Curve ſelbſt bekannt werde. Ferner iſt klar, daß
ein gleiches ſtatt fſinde, wenn außer der Flaͤche, in welcher
die Curve liegt, noch eine Projection derſelben in einer
Ebene gegeben iſt. Denn errichtet man aus den Punkten
der Projection die ſenkrechten Linien QM, ſo giebt ihr
Durchſchnitt mit der Flaͤche die geſuchte Curve GM H.

§. 137.
Nach dieſen allgemeinen Bemerkungen uͤber die Erfor⸗
ſchung der Natur einer jeden Curve, die nicht in einer
Ebene liegt, iſt es nicht ſchwer, den Durchſchnitt jeder
zwey Flaͤchen zu beſtimmen. Denn ſo wie der Durch⸗
ſchnitt zweyer Ebenen eine gerade Linie iſt, ſo iſt der
Durchſchnitt zweyer Flaͤchen uͤberhaupt, entweder eine ge⸗
rade oder eine krumme Linie, und dieſe liegt entweder in
einer Ebene oder nicht. Er mag indeß beſchaffen ſeyn, wie
er wolle, ſo gehoͤren alle ſeine Punkte zu beyden Flaͤchen,
und er muß daher in den Gleichungen für beyde Flaͤchen

enthalten ſeyn. Wenn alſo beyde Flaͤchen durch Gleichungen

Nun 4 zwi⸗

568 Anhang. Sechstes Capitel.

zwiſchen drey Coordinaten ausgedruckt werden, die auf

eben dieſelben drey auf einander ſenkrechte Hauptebenen,
oder auf eben dieſelben drey auf einander ſenkrechte 2 Axen
A B, A C, AD bezogen werden: ſo drucken dieſe be ey den
Gleichungen zuſammen die Natur des Schnittes aus.

H. 139.
Sind alſo zwey Flaͤchen gegeben, we doe ſich ſchnei⸗
den, ſo muß man die Natur einer jeden durch eine Glei⸗
chung zwiſchen drey Coordinaten ausdeucken, welche auf
einerley Hauptaxen bezogen werden, wodurch man zwey
Gleichungen zwiſchen X, y und 2 von der Art bekommt, daß
die Gleichung, welche man daraus durch die Elimination
der einen dieſer veraͤnderlichen Groͤße erhaͤlt, die Projection
des Durchſchnitts in der Ebene ausdruckt, welche die bey⸗
den uͤbrigen veraͤnderlichen Groͤß oͤßen enthaͤlt. Auf dieſe Art
laͤßt ſich daher auch der Schnitt einer jeden Flaͤche von
einer Ebene erforſchen. Denn da die allgemeine Gleichung
fuͤr die Ebenen =2 † g* † 7X = f iſt, ſo bekommt man,
wenn man den Werth von z, der aus dieſer Gleichung ent⸗

ſpringt, oder 3z = — — in d ie Gleichung fuͤr

die Flaͤche bringt, eine Geichung fuͤr die Proj ection des
Schhnittes in der Ebene der Coordinaten x und y. Es giebt

f – &y – Yx“
aber auch zugleich die Gleichung 2 = - die

.ℳ

Groͤße des Perpendikels QM für⸗ einen jeden Punkt Q.

§K. 149.

Ereignet es ſich, daßs die Gleichung fuͤr die Projection

unmoͤglich wird, wie z. B. wenn man †P yy T aa = o
faͤnde: ſo iſt deſes ein Lenmeichen daß die beyden Flaͤchen
ſich

ſanmge
Crindet

1

n mun

Und
deß eine⸗
ſey die
Peuich

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Maus d

4 G

Poeſeeh

—

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ſcung an⸗

1
ſetinn de

Ei e

„X
— ½

Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen. 569

ſich nirgends ſchneiden. Wenn aber die Gleichung auf ei⸗

nen Punkt fuͤhrt, oder die Projection in einen Punkt ver⸗

ſchwindet: ſo iſt auch der Durchſchnitt ein Punkt, und es
beruͤhren ſich daher beyde Fl aͤchen in einem Punkte, wel⸗
chen man alſo aus der Gleichung kennen lernen kann. Es

giebt aber außerdem auch eine Beruͤhrung in einer Linie,

wenn ſich beyde Flaͤchen in unzaͤhligen Punkten beruͤhren,
und dieſe Beruͤhrungslinie iſt entweder gerade oder krumm.
Jenes findet ſtatt, wenn eine Ebene einen Cylinder oder
einen Kegel beruͤhrt, da hingegen der gerade Kegel von ei⸗

ner Kugel innerhalb in einem Kreiſe beruͤhrt wird. Dieſe

Beruͤhrungslinie erkennt man aus der Gleichung, wenn
man daraus fuͤr die Projection eine Gleichung erhaͤlt,
welche zwey gleiche Wurzeln hat, weil die Beruͤhrung
nichts anders iſt, als das Zuſammenfallen zweyer Durch⸗
ſchnitte. G

8. 140.
Um dieſes deutlicher zu machen, wollen wir annehmen,
daß eine Kugel von einer Ebene geſchnitten werde. Ferner
ſey die Gleichung fuͤr die Kugel, nach dem Mittelpunkte
eingerichtet,
2 2Z †* yy T† XX = à
und die Gleichug fuͤr d ie Ebene in jeder Lage,
22 † 8y P Y7X = f.

4 — wird,
ℳ

Da aus dieſer letzten Gleichung 2 =

ſo erhaͤlt man folgende Gleichung zwiſchen x und y fuͤr die
Projection:
= f — =22a2 — 2 6fy — 27fx † (a2 † 2)y2
† 267Xy † (2 † 72) XX
wovon erhellet, daß ſie eine Gleichung fuͤr eine Ellipſe iſt,
Rn 5 wenn

570 Anhang. Sechstes Capitel.

wenn ſie reell iſt. Wird ſie imaginaͤr, ſo wird die Kugel

nirgends von der Ebene beruͤhrt; und verſchwindet die

Ellipſe in einen Punkt, ſo beruͤhren ſich die Kugel und die

Ebene. Unm dieſen Fall zu finden, ſuche man
bf =— byx — 2V(a'(&α † 6) — f † 2 7fX — ℳ* † 8£ † 7*²)xxX)

7= „2 † ⁸2

wo es weder einen Beruͤhrungspunkt noch einen Durch⸗
ſchnitt giebt, wenn f einen ſolchen Werth hat, daß die
Wurzel⸗Groͤßen nicht reell werden koͤnnen.

§. 141.
Setzt man f = a V (⸗2 † 62 † 72), ſo wird

ℳαι2 2 +† 82
und dieſe Gleichung kann nicht reell kun, wofern nicht
7 a 6 à
— L d
X V2 T 62 †2 5 un 7S= V (a 2 † 82 † 72)

iſt. Iſt daher f = a V (a2 † 62 † 72) ſo beruͤhrt die

Ebene, welche durch die Gleichung =2 † sy † „X = f aus⸗

gedruckt wird, die Kugel, und man findet den Beruͤhrungs⸗

punkt, wenn man
7 . 8 à

X = Va2 † 52 † 72) VC⸗ † ⁶2 † 72) und
ℳα
2 =
VC= † 62 † 72)
§. 142.

Hieraus laͤßt ſich eine allgemeine Regel herleiten, durch

welche man in den Stand geſetzt wird, zu beurtheilen, ob
eine Flaͤche von einer Ebene, oder einer andern Flaͤche be⸗

ruͤhrt werde oder nicht. Hat man nemlich aus beyden Glei⸗
chhungen

— ef — gvxx aX — (aza † 62 † 72) — ayà ́ — I

hogen
erſuc
Eckoren
e
ſe⸗
inender g
ier getc
geiche Fe
ſocbr ih
lce du
lch, das
Ner inogi

ung ene⸗

Ahopr N

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Gung für

nd die ſn
nkdon

Scheft
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Wng

Naunn a

de Kugen
dinet de

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ℳ V—

02./—

rn nich!
.

S

—

„

berührr N.
x= lalß
iſoungs⸗

32

—-

— ud
2

Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen. 571

chungen eine veraͤnderliche Groͤße weggeſchafft, ſo muß man
unterſuchen, ob die dadurch erhaltene Gleichung in einfache
Faktoren aufgeloͤſet werden kann oder nicht. Denn hat
ſie zwey einfache imaginaͤre Faktoren, ſo giebt es einen
Beruͤhrungspunkt, welchen man kennen lernt, wenn man
jeden Faktor = o ſetzt. Hat ſie hingegen zwey reelle und
einander gleiche Faktoren, ſo beruͤhren ſich die Flaͤchen in
einer geraden Linie. Hat ſie endlich zwey nicht einfache
gleiche Faktoren, oder iſt ſie durch ein Quadrat theilbar,
ſo giebt ihre Wurzel, = o geſetzt, die Projection der Linie,

welche durch die Beruͤhrung entſteht. Hieraus erhellet

auch, daß ſich die Flaͤchen, wenn die gedachte Gleichung
vier imaginaͤre Faktoren hat, in zwey Punkten beruͤhren.

§. 143.

Um dieſes deutlicher zu machen, wollen wir die Beruͤh⸗
rung eines Kegels und einer Kugel unterſuchen, deren Mit⸗

telpunkt in der Axe des Kegels liegt. Es iſt aber die Glei⸗

chung fuͤr die Kugel:
22 † yy † X = aa
und die fuͤr den Kegel, wenn man den Scheitel des Kegels
um f von dem Mittelpunkte der Kugel entfernt annimmt: .
( = 2) 2 = m XX † nyy

Schafft man y weg, ſo wird

(f — 2) 2 = na a — nz2 † (m — n) xX

die Gleichung fuͤr die Projection des Durchſchnitts in der

Ebene der Coordinaten X« und 2. Es ſey zuvoͤrderſt der

Kegel ein gerader, oder m = n, ſo wird
fk + VEKnI P n) a a — nff)
1Tn
Wenn alſo f= a 1 n) iſt, ſo iſt zwiefach 2=—

2 =—

(1 n)
und

7

„7 .

5872 Anhang. Sechstes Capitel.

und es giebt eine Beruͤhrungsli inie, nemlich den Kreis, deſ⸗
ſen Projection in der Ebene, welche durch die Axe geht,
eine gerade auf der Axe ſenkrechte Linie iſt.

§. 144.
Fuͤr den ſchiefen Kegel, wo m und n ungleich ſind,
ſcheint die Gleichung allemal einen Durchſchnitt zu geben,
da doch oͤfters keiner ſtatt ſindet. Denn wenn m groͤßer iſt
als n, ſo erhaͤlt man zwar allezeit eine reelle Gleichung fuͤr
die Projection, allein die Realitaͤt der Projection zieht nicht
immer die Realitaͤt des Durchſchnitts nach ſich. Denn ſoll
der Durchſchnitt reell ſeyn, ſo iſt dazu nicht genug, daß
bloß die Projection, ſondern es müͤſſen auch die von der

Projection nach dem Durchſchnitte gezogenen Perpendikel

reell ſeyn. Ob alſo gleich jede reelle Curve reelle Projectio⸗
nen hat, ſo darf man doch nicht von der Realitaͤt der Pro⸗
jection auf die Realitaͤt der geſuchten Curve ſchließen.
Dieſe Regel muß man ſtets vor Augen behalten, damit
man von der Realitaͤt der Gleichungen fur die Projectionen
keinen falſchen Gebrans mache.

—

§. 145.
Man vermindert dieſe Unbequemlichkeit, wenn man

die Projection in der Ebene der Ordinaten x und „ ſucht.
Denn da in dieſer Ebene kein Punkt iſt, dem nicht ein

Punkt in der coniſchen Flaͤche zugehoͤre: ſo wird, wenn
die Projeetion reell iſt, auch allemal der Durchſchnitt reell.
Da al/ſo
2 = V (a a — XX — yy)
iſt, ſe wird aus der andern Gleichung
f— WGaàaà — XX — Vy = V(mxx † nyy)
oder
22

le geht,

geben,

Denn ſol

ng, doh

wenn wan
idſce
iht en
9, nenn
itrel.

44

Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen. 573
aa † f — (I † m) xxX — (I1 † nyy = 2fV(aa — Xx — yy)
und ferner Kr
— 2 aa — f) „ — 2 a2 — f)

— ff) O v
(aa 3 — 2 aa — fr)m — 2 a a — E) n /) 1 =
Gtm)aNa † 20r † m)(n)x⸗ye † G †) 2ya)

und daher wird

aàa — f † n Ga - f) — ( 1m) (1 † n) XX
2
(1 † n) 1 r=

= 552 — — WC(n (1 tna nn — n) n) 2

und

aa — fr† m (aa † fr) — (1 † m) Cr † n) yy *
(I † m) 2

— X2
2 f

T m)2

VC(mCI †p m) aa — mff † (n — m) (I † m),yY

Soll alſo die gefundene Gleichung Faktoren haben,

ſo muß

ff = (1 † n) aa; oder ff = (I † m) a 2
ſeyn. Im erſten Falle wird
22 V n— n)
2* 1fn aTNV t 1 m

naa — (I † m) xx

wo, wenn m liiner als n iſt, nothwendig

“ẽ́ñẽͥ n a
X = 0; y = àa —— 2 – —
z y V , und —= FAT

ſeyn

574 Arhang. Sechstes Capitel.

ſeyn muß. Es giebt alſo zwey Beruͤhrungspunkte, die
von der Axe des Kegels auf beyden Seiten gleich weit ent⸗
fernt ſind. Wenn aber m groͤßer als n iſt, ſo muß man
die andere Gleichung

maa — (T † n) yy 2 y V (n — m)
I † m T)V (1 T† m)

nehmen, die nicht reell ſeyn kann, wenn nicht y = o iſt,

XX =

in welchem Falle æ = + àa V „ und 2 = Varimg)
wird. Alsdann giebt es zwey andere Beruͤhrungspunkte,
indem die Beruͤhrung in dem Theile des Kegels geſchieht,
wo dieſe Punkte am naͤchſten zuſammenfallen. Auf aͤhnliche
Art laͤßt ſich die Beruͤhrung in allen einzelnen Faͤllen be⸗
urtheilen.

§. 147.
Die leichteſte Art aber, die beruͤhrenden Ebenen jeder

Art der Flaͤchen zu finden, laͤßt ſich aus der oben erklaͤrten

Methode, die Tangenten der Curven zu finden, herleiten. Es

ſey die Ratur der Flaͤche, deren Beruͤhrungsebenen geſucht
werden, durch eine Gleichung zwiſchen den drey Coordina⸗

ten AP = X; PQ = y; und QM = 2, Fig. 149, ausge⸗
druckt, und daraus die Lage der Ebene, welche die Flaͤche
in dem Punkte M beruͤhrt, zu beſtimmen. Wird die Flaͤche
von irgend einer durch M gehenden Ebene geſchnitten, ſo
muß die Tangente des dadurch entſtandenen Schnittes fuͤr
den Punkt M in der beruͤhrenden Ebene liegen. Wenn
man alſo die Tangenten zweyer ſolcher Schnitte fuͤr den
Punkt M gefunden hat, ſo muß die Ebene, welche durch
dieſe beyden Tangenten beſtimmt wird, auch die Flaͤche in
dem Punkte M. bezeichnen.

§. 148.

2——

Ee w.
GeA
Negrod
lchete
Etne4.
ſeendien
I, vd
1Adee
Ginde
debe
/ hine
nan dieſe
inlen P.
ett o⸗
Nebhene

e
Rus

die beruh

Nogenn
st
ſonird

PT

n hern⸗
Ne gerad

8I0

e, die
eit ent⸗
non

*

4

—

TC)
epunkte,
eſchieht

iholche

alen be

nen ſcen
erkiͤrten
ſen 6

geſucht

gir
aubge⸗
dice
etch
, 6
ſi für
Wenm
r er

h

1449

Von den Durchſchnitten zweyer Flachen.

Es werde alſo zuvoͤrderſt die Flaͤche von einer auf der
Ebene APQ ſenkrechten Ebene geſchnitten, und zwar nach
der geraden der Axe A P parallen Linie QS. Ferner ſey
auf aͤhnliche Art ein Schnitt durch M ſenkrecht auf die
Ebene APQaber nach der Linie Qb, welche auf der Axe AP

perpendiculaͤr iſt; oder es ſey der erſte Schnitt auf der Axe

A B, und der andere auf der Axe Ab ſenkrecht. Es ſey
E M der erſte Schnitt, deſſen Tangente MS8, welche der

s in dem Punkte s begegnet, geſucht werde, ſo daß QS

die Subtangente ſey. Der andere Schnitt ſey die Curve
FM, ſeine Tangente MT, und die Subtangente QCI. Hat
man dieſe gefunden, ſo wird die Ebene S M T die Flaͤche
in dem Punkte M beruͤhren. Zieht man alſo die S T, ſo
giebt dieſelbe den Durchſchnit der beruͤhrenden Ebene mit
der Ebene APQ; und wenn man aus Q auf § die ſenk⸗
rechte Linie QR zieht, ſo verhaͤlt ſich QR zu Cs wie der
Radius zur Tangente des Winkels MRQ, unter welchem

die beruͤhrende Ebene gegen die Ebene APQ geneigt iſt.

4 149.
Angenommen, daß die Subtangenten Q8s = s, und

QT=t nach der oben erklaͤrten Methode gefunden ſeyen;
ſo wird

51
PT = t — y; PX =.- und alſo

AXx = x – — s.

Man lernt alſo hierdurch den Punkt X kennen, in welchem

die gerade Linie S T die Axe Ab ſchneidet, und da AXS

= T 8 Q iſt, ſo iſt die Tangente dieſes Winkels = —und
dadurch

—

575 Anhang. Sechstes Capitel.

dadurch wird die Lage des Schnitts der beruͤhrenden Ebene
mit der Ebene APQ bekannt Da ferner 8T= V. (sS8† tt)

iſt, ſo wird QR = „und dividirt man damit

V. S. tt 5
die QM, ſo bekommt man die Tangente des Neigungs⸗
2 V (SS † tt)
MN ſenkrecht auf MR, ſo iſt dieſe Linie ſowohl auf der be⸗
ruͤhrenden Ebene als auf der Flaͤche ſelbſt in dem Punkte
M. ſenkrecht, und man erkennt ihre Lage aus QN =

winkels MR Q = Zieht man außerdem

W 110. Man ziehe aus N auf die Axe AbP die
Nv ſenkrecht, ſo wird, weil CNV = CST iſt, PV =

27 .
— = QW; und N W = — Wenn daher auf dieſe Art
die Lage des Punktes N in der Ebene A PQ beſtimmt wird,
ſo ſteht die gerade Linie N M auf der Flaͤche ſenkrecht.

§K. 150.

Wie der Durchſchnitt zweyer Flaͤchen durch Projectionen
erforſcht werden muͤſſe, iſt bereits oben gezeigt worden;
jetzt wollen wir unterſuchen, zu was fuͤr einer Ordnung die
Projection gehoͤre, wenn ſolche nach der Ordnung der Fl aͤche
beſtimmt werden ſoll. Zuvoͤrderſt alſo geben zwey Flaͤchen
der erſten Ordnung oder zwey Ebenen fuͤr den Durchſchnitt
und ſeine Projection eine Linie der erſten Ordnung. Dann

haben wir auch geſehen, daß dieſe Projection nicht uͤber

die zweyte Ordnung aufſteigen kann, wenn die eine Flaͤche
zur zweyten, die andere zur er ſten Ordnung gehoͤrt. Eben
ſo iſt offenbar, daß eine Projecetion nicht zu einer hoͤhern,
als der dritten Ordnung gehoͤren werde, wenn die eine
Floͤche

Pe eine

rzveyten

(EKnift

ODnung ge

ſhe ,

Weunn k

iiliner Che

liter Ebene

Blichungen
mg, wie
Nuuntzeilen,

den Gleichone

dnc Nede

wo und (

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ton von X h

ſhander an

ſo legt de
uceg

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man damit

Neigunge⸗
außerdem

auf der be⸗
en Punkte
ans N

Dre Ab die

auf dieſe Att

ſinmt irh

gkrecht.

ltiteicnen
geig worden⸗
M Ne

o er
M Miic

= —

. ri

ine ho

Ghern,

Von den Durchſchnitten zweyer Flaͤchen. 577

Flaͤche eine Flaͤche der dritten, und die andere eine Flaͤche
der erſten Ordnung iſt, u. ſ. w. T
zur zweyten Ordnung g gehoͤren, ſo wird die Projection des
Durchſchnitts entweder zur vierten oder zu einer niedrigern
Ordnung gehoͤren, und uͤberh

Flaͤche m, und die der andern n iſt.

G. 151.
Wenn keine von den ſich ſchneidenden Flaͤchen eine Ebene
iſt, ſo iſt ihr Durchſchnitt meiſtens eine Curve, die nicht
in einer Ebene liegt; doch kann auch der ganze ( Schnitt i in

einer Ebene ſich befinden, und dieſes geſchiehet, wenn die
Gleichungen beyder Flaͤchen zuſammengenommen eine Glei⸗

chung, wie ⸗2 † y † »3 = f in ſich enthalten. Um zu

beurtheilen, ob dieſes ſeyn werde, beſtimme man aus bey⸗

den Gleichungen die beyden veraͤnderlichen Groͤßen 2 und y
durch die dritte X, und dabey werde 2 = PD, und y = C,

wo b und Q Funktionen von X ſind. Dann uͤ erlege man,
ob es eine Zahl n gebe, wobey ſich in P † h Calle Poteſtaͤ⸗
ten von X bis auf die erſte X und die beſtaͤndigen Glieder
einander aufheb ben. Iſt dieſes, und iſt ?P † n Q = mxX † k
ſo liegt der Schnitt in einer Ebene, und dieſe Ebene wird
durch die Gleichung 2z † n y = m X † k ausgedruckt.

§. 152.
Es ſeyen z. B. zwey Flaͤchen der zweyten Ordnung, ein

gerader Kegel, 22 = XX † yy, und eine elliptiſch hyper⸗

boliſche Flaͤche des zweyten Geſchlechts 22 = XX † 2 7y
— 2 aX — aa gegeben. Da hieraus XX † 2y y — 2 a
— aà = XX† yy wird, ſo iſt „ = V (2a X † a a) und
2 = X † a; und dieſe letzte Gleichung zeigt ſchon an,
Eulers Einl. in d. Anal d. Unendl, II. O. Oo daß

enn aber beyde Flaͤchen

aupt iſt die hoͤchſte Ordnungs⸗
zahl der Projection mn, wenn die Ordnungszahl der einen

578 Anhang. Sechstes Capitel. c.

daß der ganze Schnitt in Einer Ebene liegen werde,
deren Lage durch die Gleichung z = † a beſtimmt
wird. Auf dieſe Art laſſen ſich eine Menge von Auf⸗
gaben, die Natur der Flaͤchen betreffend, aufloͤſen.
Reicht indeß das Bisherige nicht hin, ſo iſt dazu die
Analyſis des Unendlichen erforderlich, wozu die gegen⸗

waͤrtigen Buͤcher den Weg bahnen.

werde,
ſtimmt
1 Auf⸗
floͤſen.

—

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