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Leonhard Euler 58
Einleitung

in die

Aus dem lateiniſchen uͤberſetzt

und mit Anmerkungen und Zuſaͤtzen begleitet

von 2D

Johann Andreas Chriſtian Michelſen,

Profeſſor der Mathematik und Phyſik am vereinigten Berliniſchen
und Coͤlniſchen Gymnaſium. H
Erſtes Buch.
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Be.erÜqrrlin,
bey Sigismund Friedrich Heſſe
1788.

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Vorrede
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uUueberſetzers.

H

ch habe nicht noͤthig, meine Vorrede mit Bewei⸗
ſen fuͤr die Wichtigkeit des Werks, wovon ich
hier den liebhabern der mathema tiſchen Wiſſenſchaf⸗
ten den erſten Band, uͤberſetzt und mit Anmerkungen
und Zuſaͤtzen begleitet 4 uͤbergebe „ anzufuͤllen. Der
beruͤhmte Name ſeines unſterblichen Verfaſſers uͤber⸗
hebt mich deſſen, und ich zeige daher nur den Inhalt
davon mit des Hrn. Prof. Fuß *) Worten an. In
dieſem Werke iſt die ganze lehre von den algebraiſchen
und tranſcendenten Funktionen, ihre Umformung,
Aufloͤſung und Entwickelung aus einander geſetzt.
Es enthaͤlt alles Nuͤtzliche und Wiſſe ſſenswuͤrdige uͤber
die Eigenſchaften und Summationen u unendlicher Rei⸗
hen, und weiſet einen neuen und merkwuͤrdigen Weg,

die Ervonentialgroͤße zu behandeln. Es giebt einen

* 2 deut⸗

*) In der Lobrede auf Eulern, die Baſel 1296 von dem
Hrn. B. ſelbſt uͤberſetzt herausgekommen iſt, S. 64 65.

vVv Vorrede des Ueberſetzers.

deutlichern und fruchtbarern Begriff von den Logarith⸗
men und deren Gebrauche, und ſetzt den neuen von

Eulern entdeckten Algorithmus der Kreis⸗oder Win⸗

kelgroͤßen ins Licht. Im zweyten Theile giebt er die
allgemeine Lehre von den krummen linien, mit ihren
Abtheilungen und Unterabtheilungen, und in einem
Zuſatze die Theorie der Koͤrper und ihrer Oberflaͤchen,
nebſt der daraus entſtehenden Gleichungen mit drey
veraͤnderlichen Groͤßen. Den Beſchluß dieſes wich⸗
tigen Werks macht die Entwickelung des Begriffs der
doppelt gekruͤmmten linien, die aus der Durchſchnei⸗
dung zweyer krummen Flaͤchen entſtehen.
Was meine Ueberſetzung betrifft, ſo habe ich dabey

ſo treu als moͤglich zu ſeyn geſucht, indem von einem

Manne, wie Euler war, alles wichtig iſt. Am allerwenig⸗
ſten habe ich es mir, wie Hr. Pezzi in ſeiner zu Strasburg
1786 erſchienenen franzoͤſiſchen Ueberſetzung, erlaubt,
ganze Abſaͤtze wegzulaſſen. Nur an ein Paar Orten,
nemlich am Ende des 228ſten § im dreyzehnten und
§. 235 im vierzehnten Capitel habe ich eine geringe
Aenderung vorgenommen, aber dabey zugleich ange⸗

merkt, wie die veraͤnderten Stellen im Originale heißen.

Undeutlich fuͤrchte ich durch meine Treue nicht gewor⸗
den zu ſeyn, ob ich gleich glauben muß, daß dadurch

hier und da eine lateiniſche Wendung eingefloſſen ſeyn

werde.
In

N .

Vorrede des Ueberſetzers. v*

In den hinzugefuͤgten Anmerkungen und Zuſaͤtzen
habe ich theils die Stellen, welche mir fuͤr diejenigen,
fuͤr die Euler eigentlich geſchrieben hat, nicht deutlich
genug zu ſeyn ſchienen, zu erlaͤutern und leichter zu

machen geſucht, und dies iſt beſonders in den unmit⸗

telbar nach verſchiedenen §§ ſtehenden Anmerkungen

geſchehen; theils habe ich darin aus andern Euleriſchen

Schriften verſchiedene Auszuͤge mitgetheilt, woo⸗ 9
das Ganze eine groͤßere Vollſtaͤndigkeit und Brauch⸗
barkeit erhaͤlt. Denn einmal finden ſich S tellen, worin
Euler Kenntniſſe aus der gemeinen Algebra vorausſetzt,
die darin nicht ſo ausfuͤhrlich vorgetragen werden, z. B.
die Eliminations⸗Methode und der Binomiſche Lehrſatz,
im groͤßten Umfange, und ohne Differential⸗Rechnung
bewieſen. Zweytens fuͤhrt er bisweilen Saͤtze, auf
welche er die wichtigſten Unterſuchungen bauet, bloß
hiſtoriſch an, z. B. den Satz von der Aufloͤsbarkeit
jeder ganzen rationalen Funktion in reelle ein fache oder
doppelte Faktoren §. 32, und den Saßz von dem Ver⸗
haͤltniſſe der Coefficienten einer Gleichung zu den S Sum⸗
men der Poteſtaͤten ihrer Wurzeln §. 166. Endlich
ſchien es mir nuͤtzlich, manche von den abgehandelten
Materien noch nach einer andern Methode bearbeitet
mitzutheilen, und außerdem auch einige etwas weiter
zu fuͤhren, und auf beſondere Faͤlle anzuwenden. Auf

dieſe Art iſt der Anhang entſtanden.

In demſelben

lie⸗

VI Vorrede des Ueberſetzers.

liefere ich zuvoͤrderſt von jedem Capitel eine tabellariſche
und ausfuͤhrliche Darſtellung ſeines Inhalts, um da⸗

durch die Ueberſicht des Ganzen zu erleichtern, und

hoffe dadurch, manchem wenigſtens, einen nicht unan⸗
genehmen Dienſt geleiſtet zu haben. Dann folgen die
gedachten Auszuͤge, z. B. vollſtaͤndige Auseinander⸗
ſetzungen einiger aus der gemeinen Algebra vorausge⸗
ſetzten Gegenſtaͤnde, Zuſatz B zum erſten und Zuſatz D
zum vierten Capitel; Beweiſe ſolcher Saͤtze, die Euler

nur hiſtoriſch angefuͤhrt hat, Zu ſatz B denn zweyten und

Zuſatz B zum zehnten Capi itel; vollſtan digere Beweiſe
einiger andern Saͤtze, Zuſatz B zum ach en, und Zuſatz

B zum vier zehnten Ca apitel; einige von den im Werke
unter cheen Ni tetien, nach einer andern Methode be⸗
leunten und Zuſatz Czum zehnten
nbrungen einiger Unterſuchungen
und ine ea unzen an beſondere Faͤlle, Zuſatz C zum
ſatz C zum ſechs zehnten Capitel.
duſtiger ais be irgend einem andern Gegenſtande
habe ich in den Zuſaͤtzen zum ſiebenten und achten Ca⸗

—
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S
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pitel, welche die Theorie der ſogarit hmen bekeffen ſeyn
müͤſſen und 10 wie ich bey den uͤ bri en feſt durchaus

aus andern Euleriſchen Schriften ſch 1 doſen konnte, ſo
habe ich mich hier zum Theil ganz ter Eulern zu ent⸗
ſernen gezwungen geſehen. Daß ich es varin nicht

bloß bey der von ihm mitgetheilten Regel fuͤr die

Vorrede des Verfaſſers. vn

Erfindung der Logarithmen kleiner Zahlen bewenden ge⸗

laſſen, ſondern außer einer ganz allgemeinen Regel auch

die Regeln zur Erfindung der logarithmen groͤßerer und

ſehr großer Zahlen, die nicht in den Tafeln ſtehen, mit⸗
getheilt habe, davon brauche ich nichts zu ſagen, das wird
hoffentlich den meiſten leſern willkommen ſeyn. Aber
hier zeigten ſich noch mehrere Luͤcken. Die gewoͤhn⸗
lichen Beweiſe der Formel

erſtrecken ſich nicht weiter als fuͤr den Fall, wenn xX
eine poſitive oder abſolute Zahl iſt; daß

L 2 3 4ℳ 6
I(r — ) = — — — — — — — — — — – —
. 2 3 4 5 6

ſey; erfordert einen beſondern Beweis, den ich S. 486
und 487. Abſ. 9 u. 10 gefuͤhrt habe: allein dabey gilt
dieſe Formel auch nur fuͤr den Fall, wenn x ein aͤchter
Bruch iſt, und doch muß man beyde Formeln, ſelbſt we⸗
gen §. 140 der Einleitung, ohne Einſchraͤnfung als wahr
anſehen koͤnnen. Nun ſcheint es zwar, als ob die an⸗
gefuͤhrten Saͤtze durch die Differential Rechnung eine
weitere Ausdehnung erhalten, allein da man dabey die

Formel, alx= , braucht, und dieſe bey genauerer

D 3 H Er⸗

vm Vorrede des Ueberſetzers.

Erwaͤgung durch die gewöhnlichen Beweiſe, zu keiner all⸗
gemeinen Formel erhoben wird, ſo verſchwindet dadurch
dieſer Schein wieder. Gleichwohl kann man nicht zuge⸗

ben, daß die Formel dlx = rnicht fuͤr jeden Werth vonx
X
richtig ſey, und ohne die Theorie derlogarithmen der nicht

abſoluten Zahlen vollſtaͤndig entwickelt zu haben, hat
man doch kein Recht, ſie als allgemein guͤltig zu betrach⸗

ten. Aus dieſen Gruͤnden hielt ich es fuͤr meine Pflicht

von den Logarithmen der nicht abſoluten, und insbeſon⸗
dere der negativen und unmoͤglichen, Zahlen ausfuͤhrlich
zu reden: und wenn ich gleich das, was ich daruͤber bey⸗
gebracht habe, fuͤr nichts weiter als fuͤr einen Verſuch
ausgeben kann, dieſe Materie aufzuklaͤren, ſo ſcheint
mir derſelbe doch der pruͤfenden Aufmerkſamkeit der Ken⸗
ner nicht unwuͤrdig, da die Reſultate meiner Unter⸗

ſuchungen den gewoͤhnlichen Behauptungen oft gerade⸗

zu widerſprechen, und doch dadurch ſo manche Schwie⸗
rigkeiten in der Lehre von den logarithmen aus dem
Wege geraͤumt werden. So muß ich z. B. die unendliche
Menge der unmoͤglichen Logarithmen, die jede poſitive
Zahl außer dem reellen haben ſoll, ſchlechthin leugnen,

und dagegen jeder negativen und imaginaͤren Zahl eben

ſowohl als den poſitiven einen reellen logarithmen bey⸗
legen, und jeden Logarithmen als zu einer unendlichen

Menge von Zahlen gehdrig betrachten, davon aber der
groͤßte

ve

Vorrede des Ueberſetzers. xX

groͤßte Theil i imaginaͤr und nur zwey! reell ſind. Gern

will ich mich belehren laſſen, wo ich gefehlt habe, indeß
da ich alle meine Behauptungen mit Gruͤnden zu be⸗
legen geſucht habe, ſo wuͤnſchte ich auch durch Gruͤnde
widerlegt zu werden, um dadurch entweder zur Ver⸗
werfung meiner Theorie bewogen, oder zu ihrer weitern
Vervollkommnung in den Stand geſetzt zu werden.
Da die auf dieſe Art gelieferten Zuſaͤtze mehr als
die Haͤlfte der Ueberſetzung betragen, ſo habe ich vieles
weglaſſen muͤſſen, was ich ſo gern noch hinzugefuͤgt

haͤtte. Gern haͤtte ich z. B. den Beweis des Satzes,

daß alle unmoͤgliche Groͤßen auf die Form M † N V— r
gebracht werden lkoͤnnen, mitgenommen; gern die Lehre
von der Summation unendlicher Reihen auch aus den

Schriften anderer Mathematiker, unter andern aus des

fuͤr die Erweiterung der Grenzen der hoͤhern Mathe⸗
matik viel verſprechenden Herrn Prof. Pfaffs Verſuche
einer neuen Summations⸗Methode, Berlin 1788 , be⸗
reichert; gern die Theorie der continuirlichen Bruͤche
weiter ausgefuͤhrt, und eben ſo gern die Geſchichte
mancher Saͤtze ausfuͤhrlicher mitgetheilt. Wird indeß
das was ich geliefert habe, von Kennern nicht fuͤr un⸗
zweckmaͤßig erkannt; darf ich hoffen, dadurch Liebhabern

der Mathematik einen nicht unangenehmen Dienſt zu

leiſten: ſo habe ich mir bereits zu einem dritten Theile,
der lauter Zuſuͤtze enthalten ſoll, eine betraͤchtliche Menge
von

X Vorrede des Ueberſetzers.

von Materien geſammlet, und da ich darin nicht ſo ſehr,
wie in den gegenwaͤrtigen Zuſaͤtzen, den Gebrauch der
Differential⸗und Integral⸗Rechnung zu vermeiden ha⸗
ben wuͤrde, ſo werde ich da auch mehrere Unterſuchungen
weit vollſtaͤndiger und zweckmaͤßiger liefern koͤnnen, als
es hier moͤglich oder nuͤtzlich geweſen waͤre.
Daß uͤbrigens dieſer erſte Band ſpaͤter erſcheint,
als er verſprochen war, daran iſt lediglich der Mangel
an Papier Urſach geweſen, der verwichenen Winter ſo
allgemein ſtatt gefunden hat. Beym zweyten Theil,
an den bereits gedruckt wird, ſoll, hoffe ich, dieſes Hin⸗
derniß nicht eintreten, und dann erſcheint derſelbe ge⸗
gen Weyhnachten. Dieſem zweyten Theile werde ich
auch ein vollſtaͤndiges Verzeichniß der eingeſchlichenen
Druckfehler in beyden Theilen beyfuͤgen, vorlaͤufig ſind
am Ende einige angezeigt. Berlin, den 16ten n Auguſt
17 88.

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Vorrede

des

Werfaſſers.

ie Schwierigkeiten, welche liebhaber der Ma⸗

thematik bey der Erlernung der Analyſis des

Unendlichen anzutreffen pflegen, ruͤhren, wie ich oft
bemerkt habe, groͤßtentheils daher, daß ſie ſich ſo⸗

gleich, wenn ſie kaum die Anfangs⸗ Gruͤnde der Alge⸗

bra begriffen haben, zu dieſem Theile der hoͤhern

Mathematik wenden: ein Verfahren, wobey ſie nicht
nur auf halben Wege ſtehen zu bleiben gezwungen

ſind, ſondern auch ſchwerlich andere als falſche Be⸗

* *

2 riſe

xn Voorrede des Verfaſſers.

griffe von dem mathematiſchen Unendlichen haben
koͤnnen. Denn obgleich die Analyſis des Unendlichen
keine vollkommene Kenntniß der gemeinen Algebra
und aller bis jetzt entdeckten Kunſtgriffe vorausſetzt;
ſo giebt es doch eine Menge von Unterſuchungen, wo⸗
durch der Weg zu dieſer erhabenen Wiſſenſchaft ge⸗
bahnt werden kann, und die gleichwohl in den ge⸗
woͤhnlichen Compendien entweder ganz uͤbergangen,
oder doch nicht mit der erforderlichen Sorgfalt ange⸗
ſtellt werden. Dieſem Mangel hoffe ich durch das
gegenwaͤrtige Werk abzuhelfen. Denn ich habe dar⸗
in nicht nur die Gegenſtaͤnde, welche die Analyſis des

Unendlichen nothwendig vorausſetzt, vollſtaͤndiger

und deutlicher abgehandelt als es gewoͤhnlich geſchie⸗
het; ſondern es enthaͤlt daſſelbe auch ſehr viele Unter⸗
ſuchungen, wodurch die Leſer allmaͤhlich und gleichſam
unvermerkt mit dem Begriffe des Unendlichen vertraut
werden. Außerdem ſind darin mehrere Aufgaben,
die man ſonſt erſt in der Analyſis des Unendlichen
findet, bloß mit Huͤlfe der gemeinen Algebra aufge⸗
loͤſet, wodurch denn die vollkommene Uebereinſtim⸗
mung beyder Methoden in der Folge deutlich in die
Augen faͤllt.

Ich habe dieſes Werk in zwey Buͤcher getheilt.
Das erſte beſchaͤftiget ſich mit bloß analytiſchen Ge⸗
gen⸗

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die

Vorrede des Verfaſſers. xiI

genſtaͤnden, das andere aber enthaͤlt die noͤthigen geo⸗
metriſchen Unterſuchungen, weil man auch mit dem
Vortrage der Analyſis des Unendlichen die Anwen⸗
dung derſelben auf die Geometrie zu verbinden pflegt.
In beyden Buͤchern habe ich, mit Weglaſſung des
Elementariſchen, bloß ſolche Materien abgehandelt,
welche ſonſt entweder gar nicht, oder nicht auf die
bequemſte Art unterſucht, oder aus andern Quellen
abgeleitet werden.

Im erſten Buche findet man alſo, weil die ver⸗
aͤnderlichen Groͤßen und die Funktionen derſelben den
Gegenſtand der Analyſis des Unendlichen ausmachen,
zuvoͤrderſt eine ausfuͤhrliche Betrachtung der Funktio⸗
nen, ihrer Umformung, Aufloͤſung, und Entwicke⸗
lung durch unendliche Reihen. Ich habe dabey die
verſchiedenen Arten der Funktionen angefuͤhrt, die in
der hoͤhern Analyſis vorkommen. Ich theile die Funk⸗
tionen zuerſt in algebraiſche und in tranſcendente;
jene werden nach den in der gemeinen Algebra uͤblichen
Operationen aus den veraͤnderlichen Groͤßen zuſam⸗
mengeſetzt, dieſe hingegen erhaͤlt man theils auf an⸗
dern Wegen, theils durch die erwaͤhnten Operationen,

aber unendlichemal wiederholt. Von den Unterab⸗

theilungen der algebraiſchen Funktionen iſt vorzuͤglich
die Eintheilung derſelben in rationale und in irratio⸗
** 3 nale

y Vorrede des Verfaſſers.

nale wichtig. Jene habe ich ſowohl in einfachte
Theile als in ihre Faktoren aufloͤſen gelehret; eine ſ⸗
Odperation, die in der Integral⸗Rechnung die groͤßten gar
Vortheile gewaͤhrt: von dieſen aber habe ich gezeigt,
wie man ſie durch geſchickte Subſtitutionen in ratio⸗ de
nale Funktionen verwandeln kann. Die Entwicke⸗ de
lung der Funktionen durch unendliche Reihen erſtreckt den
ſich auf beyde Arten, und kann ſelbſt mit dem groͤß⸗ 1
ten Nutzen auf die tranſcendenten Funktionen ange⸗ ne
wandt werden: was fuͤr Erweiterungen aber die hoͤ⸗ K
here Analhſts der Lehre von den unendlichen Reihen do
verdankt, iſt allgemein bekannt. Ich habe daher ei⸗· do
nige Caite hinzugefuͤgt, in welchen ich mich mit der .
Unterſuchung der Eigenſchaften und der Summen
verſchiedener unendlichen Reihen beſchaͤftige, und unr
manche davon ſind von der Art, daß ſie der Huͤlfe der de
Analyſis des Unendlichen kaum entbehren zu köͤnnen
ſcheinen. Hieher gehoͤren insbeſondere die Reihen, i
deren Summen durch logarithmen oder durch Kreisss E
bogen ausgedruckt werden. Denn da dieſe Groͤßan
tranſcendent ſind, und zu ihrer Beſtimmung die Qua⸗
dratur der Hyperbel und des Kreiſes erfordert wird:
ſo pflegt man ſie groͤßtentheils erſt in der Analyſis des
Unendlichen zu betrachten. Weil ich aber von den n
Poteſtaͤten zu den Exponential⸗Groͤßen, die nichts
anders als Moteſtaͤten mit veraͤnderlichen Exponenten R
ſind,

Vorrede des Verfaſſers. xV

ſind, fortgegangen bin: ſo bin ich dadurch zu einem

ſehr natuͤrlichen und fruchtbaren Begriffe von den lo⸗
garithmen gekommen, woraus ſich nicht nur der außer⸗
ordentliche Nutzen derſelben von ſelbſt ergiebt, „ſon⸗

dern auch alle die unendlichen Reihen, wodurch man
dieſe Groͤßen gewoͤhnlich ausdruckt, hergeleitet wer⸗

den koͤnnen; auch hat ſich dabey eine ſehr leichte Art
logarithmiſche Tafeln zu verfertigen dargeboten. Ei⸗
nen aͤhnlichen Weg habe ich bey der Betrachtung der

Kreisbogen genommen, einer Gattung von Groͤßen,

die bey aller ihrer Verſchiedenheit von den logarithmen
doch ſo genau mit denſelben verbunden iſt, daß jede
Art dann, wenn ſie imaginaͤr zu werden ſcheint, in
die andere uͤbergeht. Nach einer kurzen Wiederho⸗

lung deſſen, was in der Geometrie uͤber die Erfindung

der Sinus und Coſinus der Bogen, die vielfache von
andern ſind, gelehret wird, habe ich aus dem Sinus

und Coſinus jedes Bogens den Sinus und Coſinus

des kleinſten und gleichſam verſchwindenden Bogens

geſucht, und dadurch unendliche Reihen gefunden, aus
welchen ſich, da beym Verſchwinden des Bogens der

Sinus dem Bogen und der Coſinus dem Radius

gleich wird, der Bogen mit ſeinem Sinns und Coſi⸗

nus vermittelſt ohne Ende fortlaufender Reihen ver⸗
gleichen laͤßt. Hierdurch habe ich eine ſolche Menge

theils endlicher theils unendlicher Ausdruͤcke fuͤr dieſe

XxVI Vorrede des Verfaſſers.
Gattung von Groͤßen erhalten, daß zur Erklaͤrung
der Natur derſelben die Infiniteſimal⸗Rechnung gar
nicht weiter noͤthig iſt. Und ſo wie die Logarithmen
einen beſondern Algorithmus nothwendig machen,
deſſen Nutzen ſich durch die ganze Analyſis verbrei⸗

tet: ſo habe ich auch die Kreisgroͤßen einem aͤhnlichen

Algorithmus unterworfen, damit ſie in dem Calcul
eben ſo bequem als die Logarithmen, ja ſelbſt als die
algebraiſchen Groͤßen gebraucht werden koͤnnten.
Wie ſehr hierdurch die Aufloͤſung der ſchwerſten Auf⸗
gaben erleichtert wird, ſolches zeigen nicht nur meh⸗
rere Capitel dieſes Buchs zur Genuͤge, ſondern es
koͤnnte ſolches auch durch eine Menge von Beyſpielen
aus der Analyſis des Unendlichen dargethan werden,
wenn dieſe nicht ſchon ohnehin bekannt waͤren, und
ſich von Tage zu Tage immer mehr vermehrten. Den
groͤßten Nutzen aber gewaͤhrt dieſe Unterſuchung bey
der Aufloͤſung der gebrochenen Funktionen in reelle
Faktoren; und da man dieſe Operation in der Jete⸗
gral⸗Rechnung auf keine Weiſe entbehren kann, ſo
habe ich davon umſtaͤndlich gehandelt. Hierauf habe

ich die unendlichen Reihen betrachtet, die aus der

Entwickelung dieſer Funktionen entſpringen und wie⸗
derkehrende Reihen genannt werden; und dabey ſo⸗
wohl die Summen als die allgemeinen Glieder der⸗

ſelben, nebſt andern merkwuͤrdigen Eigenſchaften,
wodurch

Vorrede d des Verfaſſes. vVviII

wodurch ſie ſich auszeichnen, unterſucht. Da ich

hierauf durch die Aufloͤſung in Faktoren gefuͤhrt wur⸗
de, ſo habe ich darauf ebenfalls gezeigt, wie Pro⸗
dukte, die aus mehrern, ja ſelbſt aus unendlich vie⸗
len Faktoren beſtehen, in Reihen verwandelt werden
koͤnnen. Dieſe Unterl⸗ ſuchung hat nicht nur den Weg
zur Kenntniß unzaͤhliger R eihen gebahnt, ſondern
auch, weil man dadutch in den Stand geſetzt wird,
Reihen in Produkte aus unzaͤhligen Faktoren zu ver⸗
wandeln, ſehr bequeme Zahl⸗Ausdruͤcke zur Berech⸗

nung der Logarithmen der Sinus, der Coſinus und

der Tangenten an die Hand gegeben. Aus eben die⸗
ſer Quelle habe ich außerdem die Aufloͤſung vieler
Aufgaben von der Theilung der Zahlen geſchoͤpft,
welche ſonſt die Kraͤfte der Analyſis zu uͤberſteigen
ſcheinen. Bey einer ſo großen Verſchiedenheit der

Materien waͤre es leicht geweſen, mehrere Baͤnde

anzufuͤllen; ich habe aber alles ſo ſehr als moͤglich zu⸗
ſammen zu draͤngen geſucht, ſo daß ich zwar den

Grund von allen deutlich gezeigt, die weitere Aus⸗

fuͤhrung aber den Leſern uͤberlaſſen habe, um ihnen auf
dieſe Art Gelegenheit zur Uebung ihrer Kraͤfte und
zur Erweiterung der Grenzen der Analyſis zu geben.
Denn ich trage kein Bedenken zu behaupten,
nicht nur, daß dieſes Buch viele neue Entdeckungen
enthaͤlt, ſondern auch, daß darin Quellen geöffnet

xXVIII Vorrede des Verfaſſers.

ſind, woraus noch eine Menge anderer wichtiger Ent⸗
deckungen geſchoͤpft werden kann.

Eben daſſelbe Verfahren ha be ich bey dem zwey⸗
ten Buche beobachtet, welches ſich mit den Gegen⸗
ſtaͤnden beſchaͤftiget, die man gewöͤhnlich unter dem
Titel, hoͤhere Geometrie, abhandelt. Ich habe darin
vor der Betrachtung der Kegelſch ite, worauf man
ſich ſonſt faſt allein einſch runkt, d die Theorie der krun
men linien auf eine ſolche Art vorgetragen, daß man

dieſelbe bey der Unterſuchung jeder Gattung dieſer

linien mit Nutzen gebrauchen kann. Ich brauche
dazu nichts weiter als die Gleichung, wodurch die
Natur jeder krummen kinie ausgedruckt wird, und
zeige, wie man daraus ſowohl die Geſtalt als die vor⸗
nehmſten Eigenſchaften derſelben zu finden im Stan⸗
de iſt. Vorzuͤglich glaube ich dieſes bey den Kegel⸗
Schnitten geleiſtet zu haben, die man ſonſt entwe⸗
der bloß geometriſch, oder auf eine unvollkommene und
nicht genug natuͤrliche Weiſe analytiſch unterſucht
hat. Ich habe nemlich zuvoͤrderſt aus der allgemei⸗

nen Gleichung fuͤr die Linien der zweyten Ordnung

ihre allgeme inen Eigenſchaften abgeleitet, und dar⸗
auf dieſelben in Geſchlechter oder Arten eingetheilt.
Hierbey habe ich darauf Ruͤckſicht genommen, ob die
Curve ohne Ende fortlaufende Schenkel hat, oder in
einen

— —
—
—— ——,—30¶———

Vorrede des Verfaſſers. xDx

einen endlichen Raum eingeſchloſſen iſt, und im erſten
Falle wieder auf die Zahl und Beſchaffenheit jener
Schenkel geſehen, ob ſie nemlich geradlinige Aſymto⸗
ten haben oder nicht. Auf dieſe Art habe ich die drey

bekannten Arten der Kegel⸗Schnitte erhalten, die

Ellipſe, die ganz in einem endlichem Raume enthal⸗
ten iſt, die Hyperbel, die vier ohne Ende fortlaufen⸗

de und geraden Aſymtoten ſich naͤhernde Schenkel

hat, und die Parabel, deren zwey ohne Ende fort⸗
gehende Schenkel keine Aſymtoten haben. Auf eine
aͤhnliche Art habe ich die linien der dritten Ordnung
betrachtet, und dieſelben, nach der Auseinander⸗
ſetzung ihrer allgemeinen Eigenſchaften, in ſechszehn
Geſchlechter getheilt, unter welchen die von Newton

angenommenen zwey und ſiebenzig Arten insgeſammt
begriffen ſind. Das Verfahren dabey iſt von mir ſo

deutlich und vollſtaͤndig beſchrieben worden, daß es
bey der Eintheilung der linien aller uͤbrigen Ordnun⸗

gen leicht nachgeahmt werden kann, indeß habe ich

es gleichwohl noch bey den linien der vierten Ord⸗

nung angewandt. Nachdem ich auf dieſe Art

das Noͤthige von den Ordnungen der kinien ge⸗
ſagt habe, kehre ich wieder zur Erklaͤrung der all⸗
gemeinen Eigenſchaften aller Linien zuruͤck. Hier
beſchreibe ich die Methode, die Tangenten und

Normalen der Curven, ja ſelbſt ihre Kruͤmmung,

die

Xx Vorrede des Verfaſſers.

die man aus dem Kruͤmmungs⸗Halbmeſſer beur⸗
theilt, zu beſtimmen. Eigentlich gehoͤren zwar
dieſe Gegenſtaͤnde in die Differential⸗Rechnung,
allein ich habe hier eben das bloß durch die gemeine

Algebra geleiſtet, ſo daß in der Folge der Ueber⸗

gang von der Analyſis des Endlichen zu der Ana⸗
lyſis des Unendlichen deſto leichter iſt. Auch habe

ich die Wendungs⸗Punkte, die Spitzen, die dop⸗

pelten und vielfachen Punkte der Curven betrachtet,
und gezeigt, wie alle dieſe Dinge aus den Glei⸗
chungen auf eine leichte Art beſtimmt werden; ob
ich gleich nicht leugnen will, daß die Differential⸗
Rechnung hierzu noch bequemere Wege enthalte.
Eben ſo findet man den Streit wegen der Spitze
der zweyten Art, wenn beyde in der Spitze zu⸗
ſammenkommende Bogen ihre Kruͤmmung nach eben
der Seite kehren, beruͤhrt „und hoffentlich auf eine
ſolche Art entſchieden, daß weiter kein Zweifel ſtatt

finden kann. Endlich habe ich einige Capitel hin⸗
zugefuͤgt, um die Erfindung der krummen Linien

aus gegebenen Eigenſchaften von ihnen zu lehren,
und außerdem verſchiedene Aufgaben, beſondere
Sectionen des Kreiſes betreffend, aufgeloͤſet. Da
dieſes die geometriſchen Gegenſtaͤnde ſind, deren
Kenntniß vorzuͤglich zur Erlernung der Analyſis des
Unend lichen erfordert wird: ſo habe ich Anhangs⸗
weiſe

Re

Vorrede des Verfaſſers. XXI

weiſe aus der Stereometrie die Theorie der Koͤr⸗
per und ihrer Oberfiaͤchen analytiſch behandelt, und
gezeigt, wie die Natur einer jeden Oberflaͤche durch
eine Gleichung dreyer veraͤnderlicher Groͤßen be⸗
ſtimmt werden kann. Nachdem ich die Flaͤchen
nach der Anzahl der Dimenſionen der veraͤnder⸗
lichen Groͤßen in der Gleichung, auf eine der bey

den linien aͤhnliche Art, in Ordnungen getheilt; ſo

habe ich gezeigt, daß die erſte Ordnung bloß die
Ebene enthaͤlt. Die Flaͤchen der zweyten Ordnung
aber habe ich, in Anſehung der ins Unendliche ſich
erſtreckenden Theile, in ſechs Claſſen gebracht, und
auf eine aͤhnliche Art laſſen ſich auch die Flaͤchen
der uͤbrigen Ordnungen eintheilen. Zugleich habe

ich die Durchſchnitte zweyer Flaͤchen betrachtet,

und, da dieſelben meiſtens krumme linien ſind,
die nicht in einer Ebene liegen, dabey gezeigt, wie

man ſie durch Gleichungen ausdrucken kann. End⸗

lich habe ich die Lage der beruͤhrenden Ebenen und
der geraden Linien, die auf Flaͤchen ſenkrecht ſte⸗
hen, zu beſtimmen geſucht.

Uebrigens muß ich bey der Menge der in die⸗
ſem Werke vorkommenden auch ſchon von andern
unterſuchten Gegenſtaͤnde um Verzeihung bitten,
daß ich derer, die vor mir eben dieſelben Materien
bear⸗

bearbeitet haben, nicht allenthalben roͤhmliche Er⸗
waͤhnung gethan. Bey meinem Vorſatze, alles ſo
kurz als moͤglich zu behandeln, wuͤrde die Ge⸗

ſchichte jedes Satzes das Werk zu ſehr vergroͤßert

haben. Indeß ſind auch die mehreſten von den
ſonſt ſchon aufgeloͤſten Aufgaben hier aus ganz an⸗
dern Gruͤnden aufgeloͤſet worden, ſo daß ich mir

davon keinen unbetraͤchtlichen Theil zueigenen darf.

Ich hoffe aber, daß ſowohl dieſes als auch insbe⸗

ſondere dasjenige, was ganz neu iſt, den Liebha⸗
bern dieſer Wiſſenſchaft nicht unangenehm ſeyn

wird.

Inhalt

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XXIII

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des

ſen Buſch 6.

Erſtes Capitel.
Von den Funktionen uͤberhaupt.

Zweytes Capitel.
Von der umformung der Funktionen.

Drittes Capitel.
Von der Verwandlung der Funktionen durch Subſtitution.

Viertes Capitel.
Von der Entwickelung der Zunktionen durch unendliche
Reihen.

Fünftes Capitel.
Von den Funktionen zweyer oder mehrerer veraͤnderlichen
Groͤßen.

Sechstes Capitel.
Von den Exponential⸗Groͤßen und den Logarithmen.

Siebentes Capitel.

Von der Entwickelung der Exponential⸗Groͤßen und des

Logarithmen durch Reihen.

Achtes Capitel.
Von den tranſcendenten Groͤßen, die aus dem Kreiſe
entſpringen.

Neuntes Capitel.
Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren.
Zehntes

XxxIV Inhalt des erſten Buchs.

Zehntes Capitel.
Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren bey der
Summirung unendlicher Reihen.

Eilftes Capitel.

Von andern unendlichen Ausdruͤcken fuͤr die Bogen un nd

die Sinus.
Zwoͤlftes Cabitel.
Von der reellen Entwickelung der gebrochenen Funktionen.
Dreyzehnten Capitel.
Von den wiederkehrenden Reihen.

Vierzehntes Capitel.
Von der Multi blieation und Divi iſion der Winkel.

Funfzehntes Capitel.
Von den Reihen, die aus der Entwickelung der Fakto⸗
ren entſpringen. V
Se chs heehne⸗ Capitel.
Von der Theilung der Zahlen.
Siebenzehntes Capitel.
Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen bey der
Erfindung der Wurzeln der Gleichungen.
Achtzehntes Capitel.
Von den continuirlichen Bruͤchen.

Ein⸗

Analyſis des Unendlichen.

Von den Funktionen, ihrer Aufloͤſung in Faktoren
und Entwickelung durch unendliche Reihen: desgleichen
die Lehre von den Logarithmen, den Zirkelboͤgen und
der ihren Sinus und Tangenten; nebſt vielen andern
in der Analyſis des Unendlichen unentbehrlichen
Gegenſtaͤnden.

in⸗ Lulers Einl.in d. Anal. d. Unendl. I. O. A

. .

Er ſtes Buch.
Erſtes Capitel.
Von den Funktionen uͤberhaupt.

Ese beſtaͤndige Groͤße iſt eine beſtimmte Groͤße, die
immer denſelben Werth behaͤlt.
Zu dieſen Groͤßen gehoͤren z. B. alle Zahlen, indem
ſie den ihnen einmal beygelegten Werth beſtaͤndig behalten:
und wenn dergleichen beſtaͤndige Groͤßen allgemein ausge⸗
druckt werden ſollen, ſo gebraucht man dazu die erſten Buch⸗
ſtaben des Alphabeths a, b, c u. ſ. f. Zwar pflegt man
in der gemeinen Analyſis, wo man bloß beſtimmte Groͤßen
unterſucht, durch dieſe erſten Buchſtaben des Alphabets die
bekannten, und durch die letzten dagegen die unbekannten
Groͤßen zu bezeichnen; allein in der hoͤhern Analyſis ſieht
man nicht ſo ſehr auf dieſen Unterſchied, ſondern theilt da⸗
ſelbſt die Groͤßen vorzuͤglich in beſtaͤndige und in veraͤnder⸗
liche ein.

§. 2.
Eine veraͤnderliche Groͤße iſt eine unbeſtimmte oder
allgemeine Groͤße, die alle beſtimmte Werthe ohne Aus⸗
nahme unter ſich begreift.
Da man einen jeden beſtimmten Werth durch eine Zahl

ausdrucken kann, ſo ſchließt alſo eine veraͤnderliche Groͤße
A 2 alle

4 Erſtes Buch. Erſtes Capitel.

alle Zahlen ohne Ausnahme in ſich. Auf eben die Art nem⸗
lich, als man die Begriffe der Gattungen und der Geſchlech⸗
ter aus den Begriffen der einzelnen Dinge ableitet, iſt auch
die veraͤnderliche Groͤße ein Geſchlecht, unter welchem alle
beſtimmte Groͤßen begriffen ſind. Dergleichen veraͤnderliche
Groͤßen bezeichnet man durch die letzten Buchſtaben des
Alphabets *2, y, X u. ſ. f.

Eine veraͤnderliche Groͤße wird beſtimmt, wenn ihr
irgend ein beſtimmter Werth beygelegt wird.
Es kann daher eine veraͤnderliche Groͤße auf unzaͤhlige
Arten beſtimmt werden, indem man fuͤr ſie jede Zahl ohne
Ausnahme ſetzen kann. Auch wird die Bedeutung einer
veraͤnderlichen Groͤße nicht erſchoͤpft, bevor nicht alle be⸗
ſtimmte Werthe fuͤr ſie geſetzt worden ſind. Die veraͤnder⸗
liche Groͤße begreift daher alle nur irgend gedenkbare Zah⸗
len, die poſitiven und negativen, die ganzen und die ge⸗
brochenen, die rationalen, irrationalen und tranſcenden⸗
ten *) unter ſich; ja ſelbſt die Null und die imaginaͤren
Zahlen ſind davon nicht ausgeſchloſſen.

*) Das Behwort, Tranſcendent, ſteht der Benennung, Al⸗
gebraiſch entgegen. Algebraiſche Groͤten werden diejeni⸗
gen Groͤßen genannt, deren Verhaͤltniß zu gegebenen Groͤßen
durch Gleichungen von einem beſtimmten Grade ausgedruckt
werden kann; und unter tranſeendenten Groͤßen hat man
daher ſolche zu verſtehen, bey welchen dieſes nicht moͤglich iſt.
Auf dieſe Art erklaͤrt Leibnitz die tranſcendenten Groͤßen,
Opp. Tom. III. p. 106. nach der Genfer Ausgabe vom
Jahr 1768. Ein Beyfpiel einer tranſcendenten Groͤße hat
man an einem unbeſtimmten Kreisbogen, von welchem er⸗
wieſen iſt, daß zwiſchen ihm und ſeinem Halbmeſſer keine
algebraiſche Gleichung ſtatt findet.

§. 4.

ſtim
dene
ſt
GR
den
wot
dien
38
Zu⸗
Ve⸗

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W
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Orhzen
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hat
n et⸗
keine

4

Von den Funktionen uͤberhaupt. 5
H§. 4.
Eine Funktion einer veraͤnderlichen Groͤße iſt ein al⸗
gebraiſcher Ausdruck, der auf irgend eine Art aus dieſer
veraͤnderlichen Groͤße und aus Zahlen oder beſtandigen
Groͤßen zuſammengeſetzt iſt.
Ein jeder algebraiſcher Ausdruck, der außer der veraͤn⸗
derlichen Groͤße? lauter beſtaͤndige Groͤßen enthaͤlt, iſt alſo
eine Funktion dieſer z. So ſind a † 32; az — 422; az †
bV. (aa — 22); c?; u. ſ. f. Funktionen von z.

§. 5.
Eine Funktion einer veraͤnderlichen Groͤße iſt daher
ſeibn eine veraͤnderliche Groͤße.
Denn da man fuͤr die veraͤnderliche Groͤße jeden be⸗
ſtimmten Werth ſetzen kann, ſo kann auch die Funktion
derſelben unzaͤhlige beſtimmte Werthe erhalten; ja es laͤßt
ſich, da die veraͤnderliche Groͤße auch die imaginaͤren Wer⸗
the unter ſich begreift, kein beſtimmter Werth gedenken,
den die Funktion nicht ſollte erhalten koͤnnen. So kann
zwar die Funktion V (9 — 22), wenn man fuͤr z bloß
die moͤglichen Zahlen ſetzt, nie einen groͤßern Werth als

3 bekommen; allein ſetzt man dafuͤr auch die imaginaͤren

Zahlen von der Form 5ßV — †, ſo laͤßt ſich kein beſtimmter
Werth angeben, den man nicht aus der Formel V (9 — 22)

ſollte herleiten koͤnnen. Es giebt indeß auch Ausdruͤcke, die,

ob ſie gleich dem Scheine nach zu den Funktionen gehoͤren,
dennoch nichts anderß als beſtaͤndige Groͤßen ſind, weil ſte
bey aller Veraͤnderung der in ihnen vorkommenden veraͤn⸗

derlichen Groͤße immer einen und denſelben Werth behalten; .
Aa –— a22

z. B. 20; 12; *

a — 2

A 3 . F. 6.

gE Erſtes Buch. Erſtes Capitel.
§. 6.

Der Hauptunterſchied der Funktionen beruhet auf der
Art und Weiſe, wie ſie aus der veraͤnderlichen und aus
beſtaͤndigen Groͤßen zuſammengeſetzt ſind.
Er haͤngt alſo von den Operationen ab, durch welche
Groͤßen mit einander verbunden werden koͤnnen, als der
Addition, Subtraction, Multiplication, Diviſion, Erhe⸗
bung zu Poteſtaͤten, Extraction der Wurzeln, ſo wie auch
der Aufloͤſung der Gleichungen. Außer dieſen ſogenannten
algebraiſchen Operationen giebt es noch eine Menge ande⸗
rer, welche den Beynamen der tranſcendenten fuͤhren, und
wohin die Formation der Exvonential⸗ und der logarithmi⸗
ſchen Groͤßen und unzaͤhlige andere gehoͤren, we iche die
Integral⸗ Rechnung an die Hand giebt.

Inzwiſchen koͤnnen einige Arten der Funktionen bemerkt

werden; als die Vielfachen 22; 32; 342; az; die Poteſtaͤ⸗
ten von 2, z. B. 22; 23; 2 2; 2-I; u. ſ. f.: und ſo wie
dieſe auf einer einzigen Operation beruhen, ſo werden auch
die Ausdruͤcke, die durch jede andere Operation entſtehen,
mit dem Namen der Funktionen belegt. *)

„ Vielleicht ſoll dies ſo viel ſagen: So wie dieſe auf einer ein⸗

zigen Operation beruhende Arten, ſo werden auch die Aus⸗
druͤcke, die durch jede andere Operation entſtehen, mit einem
daher genommenen Namen belegt.

§. 7.

Man ſtheilt die Funktionen in Algebraiſche und Tran⸗

ſcendente ein; unter jenen verſteht man die, in welchen

bloß die algebraiſchen, unter dieſen aber die, in welchen

tranſcendente Operationen vorkommen. „.
Es ſind alſo die Vielfachen und die Poteſtaͤten von 2,
ſo wie auch alle die Ausdruͤcke, welche durch die vorhin ge⸗
nannten

gebee
ſen!
Grd
ſich
ibri⸗

nale
bra
hon

ein⸗
Mus⸗
anen

ran⸗

hen

hen

n 1,

ge⸗

ſten

Von den Funktionen uͤberhaupt. 7

nannten algebraiſchen Operationen formiret werden,
a † bzn — c V (22 — 22)

aaz — 3 bz 3

z. . algebraiſche Funktionen.

Ja oͤfters koͤnnen die algebraiſchen Funktionen nicht einmal

entwickelt dargeſtellt werden, wie die Funktion 2 von 2,
wenn ſie durch folgende Gleichung gegeben wird. 2 =
azzZ — bzaZ † cz 3Z — I. Denn obgleich dieſe Gleichung
nicht aufgeloͤſet werden kann, ſo iſt doch ausgemacht, daß

2 einem gewiſſen aus der veraͤnderlichen Groͤße 2 und ver⸗

ſchiedenen beſtaͤndigen Groͤßen zuſammengeſetzten Ausdrucke
gleich, und deswegen eine Funktion von z iſt. In Anſehung
der tranſcendenten Funktionen aber iſt zu merken, daß ſie
nur dann wirklich tranſcendent ſind, wenn die darin vor⸗
kommende tranſcendente Operation die veraͤnderliche Groͤße
betrifft. *) Denn wenn die tranſcendenten Operationen nur
die beſtaͤndigen Groͤßen angehen, ſo bleibt die Funktion al⸗

gebraiſch. Bedeutet z. B. o den Umkreis eines Zirkels, deſ⸗
ſen Halbmeſſer = I iſt: ſo iſt c allerdings eine tranſcendente

Groͤße, **) aber die Ausdruͤcke c †z; cz?; 427; u. d. g. ſind
nichts deſto weniger algebraiſche Funktionen von 2. Wenn

uͤbrigens einige Bedenken tragen, 20 zu den algebraiſchen

Funktionen zu rechnen, oder Poteſtaͤten von 2 mit irratio⸗
nalen Exponenten, wie 2V 2² lieber interſcendente als alge⸗
braiſche Funktionen nennen wollen, ſo iſt das eine Sache
von geringer Erheblichkeit. **)

*) Man vergleiche hiermit die Erklaͤrung der tranſcendenten
Funktionen in des Hrn. Hofr. Kaͤſtners Anfangsgruͤnden der
Analyſis endlicher Groͤßen §. 571. .
**) Ob ſich der ganze Umfang des Kreiſes nicht durch den Halb⸗
meſſer, freylich vermittelſt Wurzelgroͤßen, ausdrucken laſſe?
daruͤber iſt ſelbſt nach einer Erinnerung Eulers im zweyten
Theile feiner Opuſc. analyt. Petersburg 1785/ noch nichts
A,A 4 H qagus⸗

3 Erſtes Buch. Erſtes Capitel.

ausgemacht. Ließe fich das thun, ſe waͤre die Peripheri
des Kreiſes nicht tranſeendentiſch.

er) Dieſes thut Leibnitz in dem Briefe an Wallis, in wel⸗
chem die bey §. 3 angefuͤhrte Stelle ſteht, in der Nachſchrift.
Cramer geht in ſeiner Introduétion à ana 1 des lig-

nes courbes algébriques, Genf 1750, S. 8 hier noch

peiter im Unterſcheiden.

§. 8.
Die algebraiſchen Funktionen werden wieder in Ra—
tionale und in Irrationale eingetheilt; jene ſind ſolche,
in welchen die veraͤnderliche Groͤße kein Wurzelzeichen
hat, dieſe aber ſolche, in welchen Wurzelzeichen bey der
veraͤnderlichen Groͤße anzutreffen ſind.

In den rationalen Funktionen kommen alſo weiter
keine Operationen vor als die Addition, die Subtraction,
die Multiplication, die Diviſion, und die Erhebung zu
Poteſtaͤten, deren Exponenten ganze Zahlen ſind: und es

ſind alſo a ; a — 2; a 2; l, az 3 — bzs; u. ſ. f. ra⸗
a Pz

tionale; hingegen N. 2 3 a † . (aa -— 22); V V E,n r 1 22);

33—
— C 2 irrationale Funktionen von 2.
2

Die irrationalen Funktionen ſi nd ferner entweder Ent⸗
wickelte oder Verwickelte.

Entwickelt heißt eine irrationale Funktion, wenn 1 ſie

vermittelſt der Wurzelzeichen abgeſondert dargeſtellt iſt, wie

in den angefuͤhrten Beyſpielen. Die verwickelten irratio⸗
nalen Funktionen ruͤhren von der Unvollſtaͤndigkeit der Auf⸗
loͤſungskunſt oder Algebra her. So iſt⸗ eine verwickete Imne⸗

tion von , wenn es durch die Gleichung 2 = azZ ²— bzs;

gegeben wird; denn man iſt, wenn man auch die Wurzel⸗
Leichen

del

kei
gen
tio
ir

4

eſter
tion,
1
d

la⸗

Ent⸗

1 ſe
wie
tio⸗
luf⸗
mk⸗
el⸗
hen

Von den Funktionen uͤberhaupt. 9

zeichen gebrauchen will, nicht im Stande, den Werth von 2
abgeſondert darzuſtellen.

Die rationalen Funktionen werden wieder in ganze
und i in gebrochene eingetheilt.
In den ganzen rationalen Funktionen kommt weder 2

B mit einem negativen Exponenten, noch ein Bruch vor, deſ⸗

ſen Nenner die? enthielte; und gebrochene Funktionen ſind
alſo ſolche, worin entweder Bruͤche mit z im NRenner, oder⸗
mit einem negativen Exponenten vorkommt. Die allgemeine
Formel fuͤr die ganzen Funktionen iſt: a † bz †cz dz 3 †
ez4 1 fz 5 Ku ſ. w. denn es laͤßt ſich keine ganze Funktion
von? gedenken, die nicht in dieſer Formel begriffen ſeyn
ſollte. Die allgemeine Formel fuͤr die gebrochenen Funk⸗
tlonen hingegen iſt, da mehrere Bruͤche in Einen verwan⸗
delt werden koͤnnen,
a † bz † c 22 † dz 3 1 ez4 † fz5 † ꝛc.
2„ †T 62 † 722 † à23 23 + =24 † 625 † 2c.
Die beſtaͤndigen Groͤßen a, b, c, d, ꝛc. «, 8, , ?, ꝛc. machen
keine Veraͤnderung, wie ſie auch immer beſchaffen ſeyn moͤ⸗
gen, und man kann ſich darunter ſowohl poſitive als nega⸗
tive, ſowohl ganze als gebrochene, desgleichen rationale,
irrationale, ja ſelbſt tranſcendente Groͤßen gedenken.

§. 10.

Hiernaͤchſt iſt die Eintheilung der Funktionen in Ein⸗
foͤrmige und vielfoͤrmige zu merken.
Einſoͤrmig iſt eine Funktion, wenn ſie fuͤr jeden be⸗
ſtimmten Werth von nicht mehr als einen einzigen, viel⸗
foͤrmig aber, wenn ſie fuͤr jeden beſtimmten Werth von ⸗
mehrere beſtimmte Werthe bekoͤmmt. Die rationalen, ganzen
A 5 ſowohl

10 Erſtes Buch. Erſtes Capitel

ſowohl als gebrochenen, Funktionen ſind daher einfoͤrmige

Funktionen; denn ſie geben fuͤr jedes beſtlmmte nie mehr
als einen beſtimmten Werth, wie man auch z beſtimmen
mag. Die irrationalen Funktionen hingegen ſind vielkoͤr⸗
mige, weil die Wurzelzeich hen auf mehr als einen Werth fuͤh⸗
ren. Auch die tranſcendenten Funktionen ſind theils ein⸗
foͤrmig, theils vielfoͤrmig; ja es giebt darunter ſelbſt un⸗

endlich vielfoͤrmige, z. B. den Bogen, der zu dem SinusX

gehoͤrt, indem jeder Sinus als ein Sinus von unendlich
vielen Bogen betrachtet werden kann. Zur Bezeichnung
einzelner einfoͤrmigen Funktionen wollen wir uns der Buch⸗
ſtaben P, Q, R, S, L ꝛc. bedienen.

J. II.
Eine Funktion von 2 heißt zweyfoͤrmig, wenn ſie
fuͤr jeden beſtimmten Werth von einen doppelten Werth
giebt.
Dergleichen Funktionen geben die Quadratwurzeln,
z. B. V (22 † 22): denn hier giebt jeder Werth von einen
doppelten Werth, einen poſitiven und einen negativen.

Ueberhaupt aber iſt Z eine zweyfoͤrmige Funktion von 2,

wenn es durch die quadratiſche Gleichung 2 — PZ † Q=o
beſtimmt wird, und P und Q einfoͤrmige Funktionen von

ſind. Denn es iſt alsdenn Z = 45 † V (4 P² — Q u. 7 erhaͤlt
fuͤr jeden beſtimmten Werth von? einen doppelten Werth.

Uebrigens ſind entweder beyde Werthe von 2 reell, oder

beyde imaginaͤr, und, wie aus der Lehre von den Gleichun⸗
gen bekannt iſt, ihre Summe = = P und ihr Produkt = ☛ Q.

EKine Funktion von 2 heißt dreyfoͤrmig, wenn ſie fuͤr
jeden beſtimmten werth on 2 einen dreyfachen werth
giebt.

Der⸗

gin

—
=

ðõ

Von den Funktionen uͤberhaupt. II

Dergleichen Funktionen entſpringen aus der Aufloͤſung
der cubiſchen Gleichungen. Sind nemlich P, Q und R ein-⸗

foͤrmige Funktionen von z, und 2 — P 2Z † QZ — R= o;
ſo iſt Z ein dreyfoͤrmige Funktion von 2, weil es fuͤr jeden
beſtimmten Werth von? einen dreyfachen Werth bekoͤmmt.
Dieſe drey Werthe von? ſind entweder alle drey reell, oder
es iſt ſolches nur der eine, und die beyden uͤbrigen ſind ima⸗

ginaͤr. Auch iſt bekannt, daß ihre Summe = P, die Summe

der Produkte aus je zwey und zweyen von ihnen = Q und

das Produkt aus allen dreyen = R iſt.

§. 13.
Eine Funktion von 2 heißt vierfoͤrmig, wenn ſie fuͤr
jeden beſtimmten Werth von? einen vierfachen Werth
giebt.
Dergleichen Funktionen entſpringen aus der Aufloͤſung
der biquadratiſchen Gleichungen. Bedeuten nemlich P, R

und § einfoͤrmige Funktionen von ⸗, und iſt 2 — PzZ3 †

QZ* — RZ T S= o: ſo iſt 2Z eine vierfoͤrmige Funktion
von z, weil Z fuͤr jedes beſtimmte : einen vierfachen Werth

bekommt. Dieſe vier Werthe ſind nun entweder alle vier

reell, oder alle viere imaginaͤr, oder es ſind davon zwey reell

und zwey imaginaͤr. Ferner iſt ihre Summe = P, die Lumme

der Produkte aus je zwey und zweyen von ihnen = Q, die
Summe aus je drey und dreyen = R, und das Produkt aus
allen vieren = S. Auf eine aͤhnliche Art verhaͤlt es ſich mit
den fuͤnffoͤrmigen und den uͤbrigen vielfoͤrmigen Funktionen.
Es. iſt alſo Z eine vielformige Funktion von z, wenn
2⁰ — Z 1 QZ3 2 — RZ 3 . 8 Z ³— ꝛc. = = o, und
alſo 2 jedes beſtimmte 2 ſo viel beſtimmte Werthe

giebt, als n Einheiten enthaͤlt.
Es

.
õ

12 Erſtes Buch. Erſtes Capitel.

Es muß aber n eine ganze Zahl ſeyn, und alſo die
Gleichung, wodurch Z gegeben wird, auf die rationale
Form gebracht werden, wenn man beurtheilen will, wie
vielfoͤrmig Z iſt; wo alsdann der Exponent der hoͤchſten
Poteſtaͤt von Z die Menge der Werthe anzeigt, die fuͤr jedes
beſtimmte 2 zu Z gehoͤren. Außerdem muͤſſen P, Q, R, S ꝛc.

einfoͤrmige Funktionen von z ſeyn. Denn ſobald einige von

dieſen Buchſtaben vielfoͤrmige Funktionen von ⸗ anzeigen,
ſo giebt Z fuͤr jedes beſtimmte 2 viel mehr Werthe, als n
Einheiten enthaͤlt. Sind unter dieſen Werthen imaginaͤre
Werthe, ſo iſt ihre Zahl allezeit gerade; und wenn alſo n
eine ungerade Zahl iſt, ſo muß zum wenigſtens ein Werth
von Z reell ſeyn; iſt aber n eine gerade Zahl, ſo koͤnnen auch
alle Werthe von Z imaginaͤr ſeyn.
„§. I5.

Wenn ? eine ſolche vielfoͤrmige Funktion von iſt,

daß es nie mehr als einen reellen Werth giebt; ſo wird

es gewiſſermaßen eine einfoͤrmige Funktion von z, und
kann auch meiſtens als eine einſormige Funktion ge⸗

braucht werden.
Dergleichen Funktionen ſind . P, . P, „ P ꝛc. denn
dieſe haben nie mehr als einen reellen Werth, vorausgeſetzt,
daß P eine einfoͤrmige Funktion von 2 iſt. Aus eben der
In

Urſache kann man auch P, wenn n eine ungerade Zahl

iſt, zu den einfoͤrmigen Funktionen zaͤhlen, m mag eine ge⸗

rade, oder eine ungerade Zahl ſeyn. Iſt hingegen n eine

gerade Zahl, ſo hat Pn entweder gar keinen oder zwey
reelle Werthe; und iſt daher n eine gerade Zahl und n

ein Bruch, der durch die kleinſten Zahlen ausgedruckt iſt, ſo

kann man auch Pa De ais eine zweyfoͤrmige Funktion betrachten.
§. 16.

—

—

—, — = — —

—
—

Von den Funktionen uͤberhaupt. 13
§. 16.

Wenn y eine Funktion von 2 iſt, ſo iſt auch 2 eine
Funktion von y7.

Denn da y eine Funktion von 2 iſt, ſo giebt es, was
auch y fuͤr eine Funktion von 2 ſeyn mag, eine Gleichung,
worin y durch? und beſtaͤndige Groͤßen gegeben iſt. Aus
dieſer Gleichung laͤßt ſich aber auch umgekehrt z durch „
und beſtaͤndige Groͤßen beſtimmen; und da „ eine veraͤnder⸗
liche Groͤße iſt, ſo wird alsdann z einem aus y und aus be⸗
ſtaͤndigen Groͤßen zuſammengeſetzten Ausdrucke gleich, und
alſo eine Funktion von y. Nun laͤßt ſich auch beurtheilen,
eine wievielfoͤrmige Funktion 2 von y iſt, und es kann 2
eine vielfoͤrmige Funktion von y werden, wenn gleich y eine
einfoͤrmige Funktion von 2 iſt. Iſt z. B. y 3 = ayz — bzz;
ſo iſt y eine dreyföͤrmige Funktion von 2, clen⸗ 2 nur eine
zweyfoͤrmige von y.

Wenn y und x Funktionen von 2 ſind, ſo iſt auch y
eine Junktion von x, und eine Funktion von y.

Denn da y eine Funktion von ? iſt, ſo iſt auch 2 eine
Funktion von y §. 16. und eben ſo eine Funktion von x.
Folglich iſt die Funktion von y der Funktion von x gleich;
und da aus dieſer Gleichung ſowohl y durch X als x durch „
beſtimmt werden kann, ſo iſt klar, daß y eine Funktion
von x, und eine Funktion von y iſt. Oft iſt man zwar
wegen der Unzulaͤnglichkeit der Algebra nicht im Stande,
dieſe Funktionen entwickelt darzuſtellen: allein das hindert
die Ueberzeugung von der angefuͤhrten Behauptung nicht.
Das lehrt aber die Algebra, wie man aus zwey Gleichun⸗
gen, davon die eine y und 2, die andere hingegen und⸗
ent⸗

14 Erſtes Buch. Erſtes Capitel.

enthaͤlt, eine andere herleitet, worin bloß und y enthal⸗ „

ten ſind. *)

*) Man findet ſolches z. B. in Mewtons Arithmetica uni-
verſali, in dem Abſchnitte: De duabus pluribusve ae-
quationibus in unam transformandis, ut incognitae
quantitates exterminentur, in der, Leyden 1732 heraus⸗
gekommenen, Graveſandiſchen Ausgabe, S. 57. f.; in des
Hrn. Hofr. Kaͤſtners Anfangsgruͤnden der Analyſis endlicher
Groͤßen, in dem Abſchnitte von den Gleichungen §. 199. f.
und in Eulers Nouvelle mêthode d'éliminer les quan-
tités inconnues des équations, in der Hiſtoire de l'A-

cademie royale des Sciences & belles Lettres vom Jahr

1764. Was ich darüber hier beybringen zu muͤſſen geglaubt
habe, findet man im Anhange zu dem gegenwaͤrtigen erſten
Theile unter der erſten Nummer.

J8. 18.

Endlich ſind noch einige beſondere Arten von Funk⸗

tionen zu merken. So iſt eine Funktion eine gerade Zunk⸗

tion von 2, wenn ſie eben denſelben Werth giebt, man
mag fuͤr z entweder † k oder — k ſetzen.

Eine ſolche gerade Funktion von 2 iſt zz; denn man

mag fuͤr⸗ entweder † k oder — k ſetzen, ſo erhaͤlt man in
beyden Faͤllen fuͤr 2z einerley Werth, nemlich 22 = † kk.
Aus eben dem Grunde ſind auch dieſe Poteſtaͤten von 2, 24,
26, 28, und uͤberhaupt zm, wenn m eine gerade, poſitive
entweder oder negative, Zahl iſt, gerade Funktionen vonz.

In

—

Ja da auch 2 zu den einfoͤrmigen Funktionen gerechnet
werden kann, wenn n eine ungerade Zahl iſt (§. 15]: ſo iſt

m
auch 2n eine gerade Funktion von⸗, wenn m eine gerade,
n aber eine ungerade Zahl iſt. Es werden daher auch alle
Ausdruͤcke, die aus dergleichen Poteſtaͤten, auf was fuͤr eine

Art

1

hol
eine

24

zwe

Von den Funktionen uͤberhaupt. 15

Art man will, zuſammengeſetzt ſind, gerade Funktionen

von? ſeyn. So iſt 2Z eine gerade Funktion von 2, wenn
. a † bz 2 T†czAPdz6”†ec.
Z =a † bz2 † cz 4 † dz 5 †P ꝛc. 2=— .
. a † † tee oder & P 8ͦ22 †77 4 † 2 20.
2 2 42
n desgleichen wenn Z = a † bz † c? † dæ † ꝛc. oder Z =
2 dA
56 2 4 de Ter d⸗⸗
her a T bz . cz † d?z † ꝛc. oder Z = 44 4
f =è † 72 F . 32
. iſt. Und da dergleichen Ausdruͤcke insgeſammt zu den ein⸗
4. foͤrmigen Funktionen von? gehoͤren, ſo kann man ſie auch
ae gerade einfoͤrmige Funktionen von 2 nennen.
ubt
n §. 19.

Gine vielfoͤrmige gerade Funktion von 2 iſt eine Funk⸗
tion, die zwar fuͤr jedes 2 verſchiedene Werthe, aber
DGk-. doch immer eben dsſſelbe giebt, man mag 2 = † K oder
ſt, = — k ſetzen.
Es ſey ? eine ſolche vielfoͤrmige gerade Funktion von 2
Da die Natur einer vielfoͤrmigen Funktion durch eine Glei⸗
chung zwiſchen Z und 2 ausgedruckt wird, in welcher 2 ſo

nen
i viel Dimenſionen hat, als es verſchiedene Werthe unter
ſich begreift: ſo iſt offenbar, daß? eine vielfoͤrmige gerade
Funktion ſeyn wird, wenn die veraͤnderliche Groͤße 2 in
ie der Gleichung, welche die Natur von Z ausdruckt, allent⸗
halben eine gerade Anzahl von Dimenſionen hat. So iſt Z.
eine zweyfoͤrmige gerade Funktion von 2, wenn 2²=—
net 2247 † bzz, und eine dreyfoͤrmige, wenn 2 — az22 * †
diſt ,„2
bz 4Z –— cz 8 = o. Ueberhaupt iſt ?— — PZ † QSo, eine
Ne zweyfoͤrmige gerade, 2 3 — PZ † QZ – R= oO eine drey⸗
foͤrmige gerade Funktion von 2, u. ſ. f., wenn P, Q, R, 8
e u. ſ. w. einfoͤrmige gerade Funktionen von⸗ ſind,.
§. 20

3 S
”

16 Erſtes Buch. Erſtes Capitel.

§. 20.
Es iſt alſo jede, einfoͤrmige ſowohl als vielfoͤrmige,

gerade Funktion von? ein Ausdruck, der auf die Art aus

der veraͤnderlichen Groͤße ?z und aus beſtaͤndigen Groͤßen
zuſammengeſetzt iſt, daß die Anzahl der Dimenſionen von
2 allenthalben eine gerade Zahl iſt.

Außer den einfoͤrmigen Funktionen, wovon vorhin ſchon

[§. 18.] Beyſpiele angefuͤhrt worden ſind, gehoͤren alſo hie⸗
her, 1 V (bb — 2z); azz † VGEWιͤ — bi) desgleichen

az V 22 † V. (a 4 – 24)) u. ſ. w.

Hieraus erhellet, daß man die geraden Funktionen

guch durch Funktionen von 22æ erklaͤren kann.
Denn iſt 2 irgend eine Funktion von y, ſo erhaͤlt man,
wenn man darin allenthalben 22 anſtatt y ſetzt, eine ſolche
Furktion von 2, in welcher die Anzahl der Dimenſionen
von: allenthalben eine gerade Zahl iſt. Doch muß man
den Fall ausnehmen, wenn in dem Ausdrucke fuͤr Z, Vy
und andere aͤhnliche Formen vorkommen, welche dadurch,
daß man ?2 fuͤr y ſetzt, die Wurzelzeichen verlieren. Denn
wenn auch gleich y † Vay eine Funktion von y iſt, ſo wird
doch dieſer Ausdruck, wenn man y = 22 ſetzt, keine gerade
Funktion von 2, weil alsdann y Tay = 22 † 2Wa iſt. Dieſe
Faͤlle alſo ausgenommen ‚Rſo iſt die gegebene Erklaͤrung der
geraden Funktionen richtig, und ſehr brauchbar, wenn man
dergleichen Funktionen machen will.

Eine ungerade Funktion von 2 iſt eine Funktion, deren
Werth negativ wird, wenn man — 2 anſtatt? ſetzt.
Dergleichen ungerade Funktionen ſind alle Poteſtaͤten
von 2, deren Exponenten ungerade Zahlen ſind, z. B. 21,
23, 25, 27, u. ſ. w. ferner 2—1, 2-—3, 22-5 u. ſ. f. ſo wie

auch

irge⸗
dos

ſelb
nan
Van
er
don
ger
behe
ege
wi
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Denn
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rade
De
g der
naman

Von den Funktionen uͤberhauppt. 17

n

auch 2n, wenn ſowohl m als n eine ungerade Zahl iſt.

Ueberhaupt aber iſt jeder Ausdruck, der aus ſolchen Pote⸗
ſtaͤten von z zuſammengeſetzt iſt, eine ungerade Funktion

von 2, z. V. a?z † bz“3; az Taz -I; desgleichen 2 †

22 † bz—à u. ſ. f. Was aber die Natur dieſer Funk⸗
tionen und die Art und Weiſe betrifft, dergleichen zu er⸗
finden: ſo laͤßt ſich beydes aus dem, was uͤber die geraden
Funktionen geſagt worden iſt, leicht abnehmen.

§. 22.

Wenn man eine gerade Funktion von 2 durch⸗ 2 0der
irgend eine ungerade Funktion von 2 multiplicirt „ſo iſt
das Produkt eine ungerade Funktion von 2.
Es ſey P eine gerade Funktion von 2, die folglich die⸗
ſelbe bleibt, wenn man darin —2 anſtatt 2 ſetzt. Setzt
man alſo in dem Produkte Pz, —2 anſtatt 2, ſo erhaͤlt
man — Pz, und P? iſt daher eine ungerade Funktion von z.
Ferner ſey P eine gerade und Qeine ungerade Funktion
von 2. Hier fließt aus der Erklaͤrung der geraden und un⸗
geraden Funktion [§. 21. 18.] daß P ſtets einerley Werth
behaͤlt, man mag 2 poſitiv oder negativ nehmen, Q aber
negativ wird, wenn man darin — anſtatt 2 ſetzt. Es
wird alſo auch das Produkt PQ, wenn man: negativ
nimmt, in — P Q, oder in eine negative Groͤße, verwandelt,
und es iſt daher P Q eine ungerade Funktion von 2. So iſt
das Produkt aus a † V (aa † 22), einer geraden, und 23,
einer ungeraden Funktion vonz, nemlich a?3 †z ' W(aa † 22),
eine ungerade Funktion von; und eben das iſt das Pro⸗

bE2 = 2 bz3. Hieraus aber erhellet

dukt z =
ℳ“M† 82 2 ℳ* † 622

P B .
auch, daß G oder eine ungerade Funktion von 2⸗ ſeyn

Eulers Einl. in d. Ansl. d. Unendl. I. BD. B wird,

18 Erſtes Buch. Erſtes Capitel.

wird, wenn von den beyden Funktionen P und Q die eine
eine gerade und die andere eine ungerade Funktion iſt.

§. 83.
Wenn eine ungerade Funktion durch eine ungerade
Funktion multiplicixt oder dividirt wird: ſo iſt das Pro⸗
dukt oder der Ouotient eine gerade Funktion.
Es ſeyen Q und 8 zwey ungerade Funktionen von ⸗,
ſo daß, wenn man —? anſtatt z ſetzt, Q in — Q, und S
in —s uͤbergeht: ſo faͤllt in die Augen, daß ſowohl das

Produkt 08 als der Quotient eben denſelben Werth be⸗

haͤl t, man mag? poſitiv oder negatis nehmen, und es ſind
daher beyde gerade Funktionen von z. Auch iſt nunmehr
offenbar, daß das Quadrat einer ungeraden Funktion eine
gerade, der Cubus aber eine ungerade, das Biquadrat
davon wiederum eine gerade Funktion u. ſ. w. iſt.

§. 24.

Wenn y eine ungerade Funktion von ? iſt, ſo iſt
aguch? eine ungerade Funktion von y.
Da y eine ungerade Funktion von iſt, ſo muß ſich,

wenn man —« ſtatt? ſetzt, y in —y verwandeln. Wird

daher ? durch y beſtimmt, ſo muß auch 2 in —? uͤbergehen,
wenn man — » anſtatt y ſetzt, und alſo? eine ungerade
Funktion von y ſeyn. Iſt alſo p = 23, folglich y eine
ungerade Funktion von 2; ſo iſt auch aus der Gleichung

23 = y oder 2 = y, 2z eine ungerade Funktion von y.
Und da fuͤr y = a 2 † bz 3, y eine ungerade Funktion von

ꝛiſt, ſo iſt auch, wenn man aus der Gleichung bz3 †
a2 = y den Werth von? durch y ausdruckt, dieſer Werth
eine ungerade Funktion von y.
§. 25.

ſcch
welck
Glie
allen
unge⸗

anſet
vedet
werde
lad

ne

Re

rd⸗

2,
ds
das

be⸗

ſad
nehe
ene
adet

Von den Funktionen uͤberhaupt. 19

Wenn die Natur einer Funktion von y durch eine

ſolche Gleichung beſtimmt wird, daß die Dimenſionen,
welche y und 2 zuſammengenommen in einem jeden

Gliede haben, entweder allenthalben eine gerade ,. oder

allenthalben eine ungerade Zahl ausmachen: ſo iſt 7 eine
ungerade Funktion von 2.

Denn wenn man in einer ſolchen Funktion nicht nur — 2

anſtatt 2, ſondern auch — anſtatt y ſetzt: ſo bleiben ent⸗

weder alle Glieder der Gleichung unveraͤndert, oder ſie

werden negativ; allein die Gleichung bleibt in beyden Faͤl⸗

len dieſelbe. Hieraus erhellet, daß — „ eben ſo durch — 2,

als †y durch †z beſtimmt wird, und daß alſo, wenn man

— 2 anſtatt? ſetzt, der Werth von y in — y uͤbergehen,

und alſo y eine ungerade Funktion von z ſeyn muß. Iſt

z. B. yy = a yz † bzz † c; oder y3 †. ayyZ = byzz
. cy † dz: ſo iſt y aus beyden GSleichungen eine ungerade
Funktion von 2.

§. 26.

Wenn ? eine Funktion von 2, und V eine Funktion
von y iſt, und X auf eben die Art durch y und beſtaͤn⸗

dige Groͤßen, als Z durch 2 und beſtaͤndige Groͤßen be⸗
ſtimmt wird: ſo werden dieſe Funktionen Xund Z aͤhn⸗
liche Funktionen von y und z genannt.
So ſind Z und X aͤhnliche Funktionen von⸗ und y, wenn
Z = a † bz † cz2, und = a †– by † cya; oder um
auch vielfoͤrmige Funktionen anzufuͤhren, wenn 2 =

a22Z† b, und ? = ayyXY †† b. Wenn daher und Z
dergleichen aͤhnliche Funktionen von y und ſind: ſo ver⸗
wandelt ſich die Funktion 2, wenn man darin y anſtatt 2

4

„*
»

.

20 Erſte Buch. Erſtes Capitel.

ſetzt, in die Funktion y7. Man pflegt dieſe Aehnlichkeit
auch auf die Art auszudrucken, daß man ſagt, X ſey eine
eben ſolche Funktion von y als Z von 2; und dieſe Aus⸗
druͤcke werden gebraucht, es moͤgen 2 und y von einander
abhaͤngen oder nicht. Es iſt daher a (y † n) † b (yn) 5
eine eben ſolche Funktion von y † n, als ay † bys von y;
a22 † bz † c

und : S= T r eine eben ſolche Funktion von = , als
a † bz † czz „ E. . –
⸗ n: denet iſt: im erſten Falle iſt 2 = † n,

und im andern y= —. Hieraus erhellet ſehr deutlich, was

es mit der Aehnlichkeit der Funktionen, die in der ganzen
hoͤhern Analyſe ein Gegenſtand von der aͤußerſten Wich⸗
tigkeit iſt, fuͤr eine Bewandniß hat. Uebrigens kann das,

was bisher uͤber die Natur der Funktionen Einer veraͤnder⸗,

lichen Groͤße uͤberhaupt geſagt worden iſt, hier hinreichen,
da die weitere Auseinanderſetzung deſſelben bey der folgen⸗
den Anwendung vorkommt.

3
— =

Zweytes

Wee

e
wer
Gr⸗
ſih

wwi
alf
bete
ſen
wan⸗

keit

aà † 3a a2 †. 3 a22 † 23; oder — ꝑ12

Zweytes Capitel.
Von der Umformung der Funktionen.

§. 27.
Die Funktionen koͤnnen auf eine zwiefache weiſe in
andere verwandek, oder auf eine andere Form gebracht
werden, indem man dabey entweder die veraͤnderliche
Groͤße beybehalten, oder an ihrer Stelle eine andere ein⸗
fuͤhren kann.
Wenn die veraͤnderliche Groͤße beybehalten wird, ſo

wird die Funktion eigentlich nicht veraͤndert, ſondern nur

auf eine andere Art ausgedruckt; ſo wie aus der Algebra
bekannt iſt, daß man eine und dieſelbe Groͤße auf mancher⸗
ley Weiſe darſtellen kann. Beyſpiele von dergleichen Ver⸗
wandlungen ſind, wenn man anſtatt der Funktion 2 —
32 † 22, dieſe, (1 — 2) (2 — 2); oder (a † 2) 3 anſtatt
4

a † ?

anſtatt

2 3

— — ; oder V(I † 22) † anſtatt = —

ſetzt: denn ſo verſchieden auch die Geſtalt Thieſer Ausdruͤcke
iſt, ſo bedeuten ſie doch vollkommen ein und daſſelbe. Oft
iſt aber die eine Art des Ausdrucks zu der gegenwaͤrtigen
Abſicht paſſender als ein anderer gleichbedeutender, und
man muß deswegen jedesmal den ſchicklichſten waͤhlen.
Die andere Art der Verwandlung der Funktionen, wo⸗
bey man anſtatt der veraͤnderlichen Groͤße? eine andere y
nimmt, welche zu 2 ein gegebenes Verhaͤltniß hat, nennt
B 3 man

„
.

5* *

22 Erſtes Buch. Zweytes Capitel.

man die Verwandlung durch Subſtitution; und ihrer muß

man ſich auf die Weiſe bedienen, daß die gegebene Funk⸗
tion dadurch kuͤrzer und bequemer ausgedruckt wird. So

erkhaͤlt man, wenn man in der Funktion von 2, a« — 4a 32 †
6 àaa ?zz – 4 a 23 † 24, fuͤr a — 2 die veraͤnderliche Groͤße
y ſetzt, die viel einfachere Funktion y“4 von y; und wenn
man in der irrationalen Funktion (a a † z 2) von 2z, 2 =
a à — y
v

nimmt, an ihrer Stelle die rationale Funktion

von y. Von dieſer letzten Art der Verwandlung

2² a †.
2 y
der Funktionen ſoll i in dem folgenden, ſo wie von der, wo⸗
bey keine Subſtitution ſtatt findet, in dem gegenwaͤrtigen

Sapite gehandelt werden.

Die ganzen Funktionen werden oͤfters ſehr vortheil⸗
haft in ihre Faktoren aufgelsſer, und in ein Produłt
verwanderr. 4
Wenn eine ganze Funktion in ihre Faktoren aufgeloͤſet
wird, ſo faͤllt ihre Beſchaffenheit weit leichter in die Au⸗
gen; denn man ſieht alsdann ſogleich ein, in was fuͤr Faͤl⸗
len ihr Werth = o wird. Verwandelt man z. B. dieſe
Funktion von 2, 6— 72 † 23 in das Produkt (1 — 2)

(2 — 2) (3 † 2): ſo iſt ſogleich offenbar, daß ſie in drey

Faͤllen = 0 wird; nemlich wenn 2z = 1, 2 = 2, und
2=—3 iſt, welches man aus dem Ausdrucke 6 — 72 † 23
ſelbſt weit ſchwerer erkennt. Man nennt aber dergleichen
Faktoren, worin bloß die erſte Poteſtaͤt von 2 vorkommt,

Zzzum Unterſchiede von den zuſammengeſetzten Faktoren,

welche das Quadrat, oder den Cubus, oder irgend eine
andere hoͤhere Poteſtaͤt von 2 enthalten, einfache Fakto⸗
ren;

en;
lene
1nd
lehf
einfa
in ſ
non⸗
die 5
Hotte
ſchdi
als

uß

S
2

1
R
venn

72—
2—

bion

lung

figen

und

chen
nmt,
ten,
eine
kto⸗

Von der Umformung der Funktionen. 23

ren; und ihre allgemeine Form iſt f † g2, ſo wie der all⸗
gemeine Ausdruck der doppelten Faktoren f † g: 1† hzz,
und der dreyfachen, f†gZ hzz † 123 u. ſ. w. *) Da⸗
bey faͤllt in die Augen, daß ein jeder doppelter Faktor zwey
einfache, ein jeder dreyfache Faktor drey einfache u. ſ. w.
in ſich faſſe. Wenn der Exponent der hoͤchſten Poteſtaͤt
von? in einer ganzen Funktion von 2 = n iſt: ſo enthaͤlt
die Funktion n einfache Faktoren; und ſind unter ihren
Faktoren etwa auch doppelte oder dreyfache u. ſ. w. ſo laͤßt
ſich die Anzahl ihrer Faktoren nach dem Angefuͤhrten eben⸗
falls beurtheilen. H

*) Wenn ein doppelter Faktor zwey einander gleiche einfache
Faktoren hat, ſo heißt er ein quadrariſcher Saktor, n wie

aa † 2 a 2z T† 22 §. 150, und⸗ — 1 5. 155.

§. 29.

Man findet die einfachen Faktoren einer jeden ganzen ——

Funktion Z von 2, wenn man die Funktion 2 gleich 0

ſetzt, und aus dieſer Gleichung die Wurzeln von 2 zu er⸗

halten ſucht; indem eine jede Wurzel von 2 einen ein⸗

fachen Faktor der Funktion 2 giebt.

Iſt daher von der Gleichung ?z = o irgend eine Wurzel
2 = f; ſo iſt 2 — f ein Diviſor und folglich auch ein Faktor
der Funktion Z. Sucht man alſo alle Wurzeln der Glei⸗
chung Z = o, nemlich z = f, 2 = g, 2 = h, u. ſ. w.: ſo
wird dadurch die Funktion Z in ihre Faktoren aufgeloͤſet,
und in das Produkt ( — f) (2 — g) (z — h) ꝛc. verwan⸗

delt; wobey indeß zu merken iſt, daß man dies Produkt,

wenn der Coefficient der hoͤchſten Poteſtaͤt von z nicht = † 1
iſt, noch durch dieſen Coefficienten multipliciren muß. Iſt
3. B. 2 = Azn † Bzn-I † Czo- 2 † ꝛc. ſo iſt Z =
S B 4 Ae.

H

24 Erſtes Buch. Zweytes Capitel.

A G — 5) (E — 3%) (— h) ꝛc. *) Iſt hingegen Z = A †
BZz † Cz2 † Dz3 † CzA † u. ſ. f. und ſind die Wurzeln
der Gleichung 2 = 0, f g; h; i; u. ſ. w. ſo iſt 2 =

A (1 — ) (1 — 3) (1— 1) u. ſ. f. *) Auch erhellet

hieraus, daß umgekehet 2 =o werden muß, wenn 2— t,

oder 1 —, ein Faktor der Funktion Z iſt, und man f

anſtatt 2 ſetzt. Denn iſt 2 = f, ſo wird ein Faktor von der

Funkti on 2Z, 2 — f oder 1 — 7/ und alſo auch die e Funk⸗
tion ſelbſt = o.

2 Aus
2Z = A zn † Bzn-r 1 Czn-2 † D zu = 3 † ꝛe.
folgt,

2 =— A (en Ra-r1 Ra-:1an- z)
Verwandelt man alſo
Zu †. X En — r † X en a P „. zu 3 ꝛce.

in das Produkt
(2 — f) C— 3) G— h) (2 — i) (2 — Kk) ꝛe.
ſo wird
z==A (— f) 6— ⁸) E — h) ꝛ2c.

2 Ai Becae Dz3 † Eza †*.
ilat
B C
Z = A (1 1 = 22 1 3 1⸗ 1 ꝛe.
Vermandelt man alſo ²

—

11 P: 1 Da⸗ 1R: 1 21 ꝛc.

in das Produt

ginar
ſo iſt

Geicd
reelle
wren
einer
Fun
ſeche
Funk
dat
reel

der

unk⸗

—

.

Von der Umformung der Funktionen. 25

ſ
Z = A (— 3) — De. HZ

§. 30.
Die einfachen Faktoren ſind entweder reell oder ima⸗

ginaͤr; und wenn die Funktion Z imaginaͤre Faktoren hat,

ſo iſt ihre Anzahl immer eine gerade Zahl.
Denn da die einfachen Faktoren aus den Wurzeln der
Gleichung Z =o entſpringen: ſo muͤſſen die reellen Wurzeln
reelle Faktoren und die imaginaͤren Wurzeln imaginaͤre Fak⸗
toren geben. Und da die Anzahl der imaginaͤren Wurzeln
einer jeden Gleichung eine gerade Zahl iſt: ſo muß die
Funktion 2 entweder gar keine, oder zwey, oder vier oder
ſechs, u. ſ. w. imaginaͤre Faktoren haben. Hat nun die
Funktion 2Z nur zwey imaginaͤre Faktoren, ſo iſt das Pro⸗
dukt derſelben ein reelles Produkt, und giebt alſo einen
reellen doppelten Faktor. Denn ſetzt man das Produkt aus
allen reellen Faktoren = P, ſo iſt das Produkt der beyden

imaginaͤren Faktoren = und alſo reell. Auf eben die

Art iſt das Produkt aller imaginaͤren Faktoren, wenn die

Funktion Z deren viere, oder ſechs, oder achte u. ſ. w. hat,
immer reell; weil es jedesmal dem Quotienten gleich iſt,
den man aus der Diviſion der Funktion 2 durch das Pro⸗
duet aller reellen Faktoren erhaͤlt.

—

§. 31.
Wenn O ein reelles Produkt aus vier einfachen ima⸗
ginaͤren Faktoren iſt, ſo kann man daſſelbe in zwey dop⸗
pelte reelle Faktoren zerfaͤllen. M

26 Erſtes Buch. Zweytes Capitel.

Denn es hat alsdann Q die Form 24 † Az3 † Bzz †
Cz † D; und ſollte es nicht in zwey doppelte reelle Fakto⸗
ren aufgeloͤſet werden koͤnnen, ſo muͤßte es ein Produkt aus

zwey doppelten imaginaͤren Faktoren ſeyn. Ferner waͤre

die Form dieſer beyden doppelten imaginaͤren Faktoren
=— a (p d A r Erf s—r
22 — 2 (— q N— 1) 2 P†r –— S V. — I
denn es laſſen ſich keine andere imaginaͤre Formen geden⸗
ken, deren Produkt reell und = 24 † A 23 † BzZ2 † Cz † D
waͤre. Aus dieſen zwey doppelten imaginaͤren Faktoren er⸗
hielte man aber folgende vier einfache imaginaͤre Faktoren
von Q,
I. 2— ( †q V— 1) † Pp 2 V — I — qq -r — s V 1)
2.2 — (p † q V — I) — V(pp † 2pq V — I — qq — r - s V — 1)

3. 2 — (P— q V — 1) † V (pp-— 2pq V — I— qq — r † sV — 1)

4.2— (P-q V — 1) — W(pp-— 2 pq V — — dq - k†† s V— 1)
Und multiplicirte man nun den erſten und dritten dieſer

Faktoren mit einander, und ſetzte dabey der Kuͤrze wegen

t = pp – qꝗq — r, und u = 2 5p4 — s: ſo erhielte man
zum Produkte

22 — (2 b — V (2t † 2 Vtt † u u))) 2 4 pp † q
— p V (2t † 2 V(tt † uu)) † VEtt 1† uu)
— 4 W(— 2t † 2 V(tt † uu))
welches allerdings ein reelles Produkt iſt. Eben ſo iſ das
Produkt aus dem zweyten und vierten Faktor reell, und =

227 — (2 p † V (2t † 2 V(tt u u))) † pp 4 49
† V (2t † 2 Vä(tt † uu)) † Er † uu) —
F*qaVC— 2t †2 Vtt † u u)) “
Auf dieſe Weiſe iſt das Produkt Q, wovon angenommen
wurde, daß es nicht in zwey doppelte reelle Faktoren auf⸗
geloͤſet

—

da

Von der Umformung der Funktionen. 27
24 geloͤſet werden koͤnne, wirklich in dergleichen aufgeloͤſet
ktto⸗ worden. ) J
au
*) Wenn man t = bp — qq — r, und u = 2 p q —s ſetzt,
N ſo erhalten die einfachen imaginaͤren Faktoren von Q fol⸗
d gende Geſtalt.
I. 7 — (p † q V – 1) 1 W (t † n ́ — 1)
2. 2 — (p † q N — 1) – WV (t †T u V – 1)
3. 2 – (P—– V — 1) † V (t— u V — 1)
de⸗ 4. 2 – (P — q V — 1¹1) V (t— u V —1)
etn Setzt man nun ferner 8
t VEHI VYAa bV — I und (t— uV — 1)
ſo erhaͤlt man, wenn man die Quadrate nimmt,
—) J t † u N Tr =Saa † 2 ab V — 1 — bb
,) t u V – I = aa — 2a b N I bb
— folglich
—) t = a a — bb, und u = 2 ab.
dieſer Dieſes giebt
wegen (aa † bb) 2 = (a a — b b) 2 4 aebb tt † uu
nnun woraus aa † bbe= V (tt † uu) wird. Nunmehr iſt alſo
aàa = t † 2½V (tt † uu)
bb = — àt † 2½Vitt † uu) und folglich
2 = V. Gt 1 4 (tt uu)) und
Wenn man daher den Groͤßen a, b, aa, bb, die hier gefun⸗
1d dDdenen Werthe beylegt, ſo ſind ſelbige reell, und uͤberdies
= hat mon dabey V (t † u V — 1) = a † b N – 1 und
NV (t –— u V – 1) = a — b V — 1I. Hierdurch aber wer⸗
deß die eigfachen maginaͤren Faktoren von 2
1.2— p - 4 V — 1 † a † by — 1 = 2 — b f a 2“
(b — ) V — I
nnen 2, 2 — p — — q V — 1 SSII
ſe dJda ê4 56 —.

H
„

28 Erſtes Buch. Zweytes Capitel.

3. 2 – p † qN – I 4 a — b-r — I = 2—- p r a —
([b-– q) V =– 1

4. 2 — p † qV — 1 – a †– b N— I = 2— p - a †

(b † q) V —– 1
Und da das Produkt aus I. und 3.
( — p† a) 2 †4 (b— q)2
das Produkt aus 2. und 4. aber

(z—p-— a) 2 1 (b 1† 02*¾
iſt, ſo faͤllt hieraus auch die Realitaͤr dieſer Produkte,
welche entwickelt die im § geben, in die Augen. Daß
2 V († it † V(tt † u u) = V (X 2t † 2 V (tt † uu)
ſey, braucht hier wohl kaum erinnert “ werden.

§. 32*°
Wenn eine ganze Funktion Z von 2z imaginaͤre Fak⸗
toren hat, deren Anzahl uͤbrigens ſo groß oder ſo klein
ſeyn kann, als ſie will; ſo kann man allemal je zwey

und zwey davon auf eine ſolche Art mit einander verbin⸗
den . daß ihr Produkt reell wird.

Da die Anzahl der imaginaͤren Faktoren immer eine
gerade Zahl iſt, ſo kann man ſie durch ꝛ2n ausdrucken, und
aus §. 30 iſt bekannt, daß das Produkt aus allen dieſen

imaginaͤren Faktoren reell iſt. Giebt es daher nur zwey

imaginaͤre Faktoren, ſo iſt aus dieſem Grunde ihr Produkt

nothwendiger Weiſe reell; und ſind der imaginaͤren Fakto⸗

ren viere, ſo laͤßt ſich ihr Produkt nach dem vorhergehen⸗
den § in zwey doppelte reelle Faktoren von der Form f22†
2 h verwandeln. Nun laͤßt ſich zwar dieſe Beweisart
nicht auf die hoͤhern Poteſtaͤten ausdehnen; indeß verliert
dadurch der angefuͤhrte Satz nichts von ſeiner Gewißheit;
ſo daß alſo allezeit anſtatt jeder an einfachen imaginaͤren

49

Kaktoren n doppelte reelle Faktoren erhalten, und daher

.— jede

?

ſehe
ſn tee
der 5
Funtt
c2²
reele
geich
danne

X/v
dad
4 U

beke

be

c
wer

ſet

deir

bey

Von der Umformung der Funktionen. 29

jede ganze Funktion von 2 entweder in reelle einfache oder
1 in reelle doppelte Faktoren aufgeloͤſet werden kann. In
der Folge lim neunten Capitel §. 143 — §. 154] werden

Funktionen wie a † bzn; a † bzu † czzn; àa † bza †

czzZn † dzin; u. ſ. f. wirklich in dergleichen doppelte
reelle Faktoren aufgeloͤſet werden; und fehlt es daher
gleich hier an einem ſtrengen Beweiſe, ſo wird doch als⸗
dann aller Zweifel verſchwinden. *)
Diß 2) Da der Satz: Jede ganze rationale Funktion von , als
tu) xm † Axmn - TI † BxXxNn - 2 P† Cx Mm - 3 † ꝛc., laͤßt ſich
in reelle, einfache entweder oder doppelte, Faktoren aufloͤſen,
in der Integral⸗Rechnung von der größten Wichtigkeit iſt, ſo
hat ihn Euler in ſeinen Recherches ſur les racines ima-
ginaires des équations, in der Hiſtoire de l'Academie

dt⸗ royale des Sciences & belles Lettres, vom Jahr 1749,
o klein durch verſchiedene Beweiſe außer Zweifel zu ſetzen geſucht.
zwey Einen vollſtaͤndigen Auszug aus dieſen Unterſuchungen findet

gbin, man in dem Anhange zu dem gegennaͤrtigen erſten Cheile
unter der zweyten Nummer.

e eine §. 33.
vumd Wenn eine ganze Funktion 2 fuͤr 2 = a den wWerth
deſen A, und fuͤr 2 = b den Werth B erhaͤlt: ſo kann dieſelbe
wwen dadurch, daß man fuͤr 2 Werthe ſetzt, die zwiſchen
Prodc a und b fallen, jeden zwiſchen A und B liegenden Werth
Sm bekommen.
ehen Denn da 2 eine einföͤrmige Funktion von 2 iſt, ſo muß
Mut es bey der Subſtitution eines jeden reellen Werthes fuͤr 2
eisart auch allemal einen reellen Werth bekommen. Da nun 2,
etliert wenn man 2 =a ſetzt, den Werth A, und wenn man 2 = b
ſheit; ſetzt, den Werth B bekoͤmmt, ſo kann es nicht anders von
üͤrer dem Werthe A zu dem Werthe B, als durch alle zwiſchen
Noheer beyden liegenden Werthe, uͤbergehen. Hat alſo die Glei⸗
jede chung .

30 Erſtes Buch. Zwetes Capitel.

chung 2 — A =o eine reelle Wurzel, und die Gleichung
2Z –— B = o ebenfalls: ſo muß auch Z—– C = o eine reelle
Wurzel haben, wenn C zwiſchen A und B liegt. Geben alſo
die Ausdruͤcke Z — A, Z — B einen einfachen reellen Fak⸗
tor, ſo muß auch dem Ausdrucke 2Z — C, wofern nur C
zwiſchen A und B fallt, ein einfacher reeller Faktor zukom⸗
men.

§. 34

Wenn der Exponent der hoͤchſten Poteſtaͤt von 2 in

einer ganzen Funktion Z eine ungerade Zahl 2zn † 1iſt:

ſo hat die Funktion 2 zum wenigſten Einen reellen ein⸗

fachen Faktor.
2 hat in dieſem Falle die Form 22n † 1 4 a22n †.
822n - 1 † 22n — 2 † u. ſ. f. Setzt man nun darin
2 = 0, ſo wird Zz = (O0O) 2 n 1 = O, weil alsdann
alle folgende Glieder gegen das erſte gehalten verſchwin⸗
den; und es hat alſo Z — Oo einen einfachen reellen Fak⸗
tor, nemlich ? — 00ο. Setzt man ferner = — 00, ſo
wird Z = (— 00) 2n †1 = — ; und es hat daher
Z † 0 den einfachen reellen Faktor z † 00ο. Da alſo

2Z – 00 und 2 ¼ 00 einen einfachen reellen Faktor ha⸗

ben, ſo muß auch 2Z † C ein einfacher reeller Faktor zu⸗
kommen, wofern C zwiſchen den Grenzen † οund — ι
enthalten, d. h. irgend eine reelle Zahl iſt, ſie mag nun
poſitiv oder negativ ſeyn. Setzt man daher C = o, ſo hat
auch die Funktion 2 ſelbſt einen einfachen reellen Faktor

D 2 — c, und c faͤllt zwiſchen T OO und — 0 und iſt folg⸗

lich entweder eine poſitive oder negative Groͤße oder = o.

§. 35.
Es hat daher jede ganze Funktion Z, worin der Expo⸗
nent der hoͤchſten Poteſtaͤt von eine ungerade Zahl iſt,

entwe
teelee
De

n

ſehmme
zukomm
—e

ten =:

u De

noch ei
Funktio
hat ſie
gehen
zahl
Hahl;
iſt/ ſo

line gen

ung
elle
iſo⸗
ck⸗
AC
kon⸗

2 in
iſt:

ein⸗

1
darin
dann

bwi⸗

Fok⸗

Eepo⸗
iſ

entt⸗

Von der Umformung der Funktionen. 31

entweder einen, oder drey, oder fuͤnf oder ſieben u. ſ. f.
reelle einfache Faktoren.
Denn da bewieſen worden iſt, (§. 34.] daß die Funk⸗
tion Z allemal Einen reellen einfachen Faktor 2 — c hat, ſo
nehme man an, daß ihr auch außerdem der Faktor 2— d
zukomme. Dioidirt man nun die Funktion 2, in welcher
die hoͤchſte Poteſtaͤt von 2, 22n †1 iſt, durch das Produkt
(2 — c) (z — d) ſo iſt die hoͤchſte Poteſtaͤt des Quotien⸗
ten = zan-=1, und da dient der ungerade Exponentzn — 1
zum Beweiſe, daß die Funktion 2Z außer jenen Faktoren
noch einen einfachen reellen Faktor hat. Wenn alſo die
Funktion Z mehr als einen reellen einfachen Faktor hat, ſo
hat ſie entweder drey, oder, da man auf dieſem Wege fort⸗
gehen kann, fuͤnfe, oder ſieben u. ſ. f. Es iſt alſo die An⸗
zahl der reellen einfachen Faktoren immer eine ungerade
Zahl; und da die Zahl aller einfachen Faktoren = 2n†1I
iſt, ſo iſt auch hieraus die Anzahl der imaginaͤren Faktoren
eine gerade Zahl. *)

*) Dieſer Satz kann wegen §. 29. auch auf die Art bemieſen
werden, daß man zeigt, daß jede Gleichung, worin der Ex⸗
ponent der hoͤchſten Poteſtuͤt eine ungerade Zahl iſt, alſo jede
Gl eichung von der Form

X2m + 1 † AXZmM † BXZm-TI † Cxm-2 † . . TP N= O

zum wenigſten eine reelle Wurzel, und wenn ſie deren meh⸗
rere hat, ſolche immer in ungerader Anzahl habe. Man
ſetze alſo
2m †1 † AXm † BXx2m-I † Cx2m-2 † .. .. † N=y

und betrachte die krumme Linie, welche durch dieſe Glei⸗
chung ausgedruckt wird. Hier iſt offenbar, daß zu jeder Ab⸗
ſeiſſe X nicht mehr als eine Applicate y gehoͤrt, und daß,
wenn y = o wird, der Werth der Abſeiſſe X eine Wurzel
der gegebenen Gleichung iſt. Es wird daher dieſe Gleichung
auch ſo viel reelle Wurzeln haben, als es Stellen iet/ wo
7 ver⸗

32 Erſtes Buch. Zweytes Caditel.

y verſchwindet, und weil dies da geſchieht, 0 die krumme iu
Linie die Abſeiſſen⸗Linie durchſchneidet, ſo wird die Anzahl enig
der reellen Wurzeln der gegebenen Gleichung der Menge der
Punkte gleich ſeyn, in welchen die krumme Linie die Axe n l
ſchneidet, worauf man die Abſeiſſen nimmt. Um nun die eiinne 9
Menge dieſer Durchſchnitts⸗Punkte zu beſtimmen, ſetze man ren
zuvoͤrderſt X = † G0. Alsdann wird y ◻ 2 m † 1 vie
= 00, und es liegt daher der Theil der krummen Linie, gerade
der zu den unendlich großen poſitiven Abſeiſſen gehoͤrt, uͤber
der Axe, weil ſeine Applicaten y poſitiv ſind. Nun ſetze 1
man ferner X = – 00. Dann wird y= (— Ozm
= — 0., und es ſind alſo in dieſem Falle die Applicaten d.
negativ, und der zugehoͤrige Theil der krummen Linie liegt u
unter der Axe. Da nun beyde gedachte Theile der krummen
Linie Theile von Einer continuirlichen Linie ſind, weil zu
jeder Abeiſſe X nicht mehr als eine Applicate y gehoͤrt: ſo
muß dieſe Linie nothwendig die Axe irgendwo ſchneiden, und 2
wenn ſie ſolches in mehrern Punkten thut, ſo muß die An⸗ ,
zahl dieſer Punkte jederzeit eine ungerade Zahl ſeyn. Hier⸗ 6
aus folgt, daß die gegebene Gleichung zum wenigſten eine 1.
reelle Wurzel, und wenn ſie deren mehrere enthaͤlt, ſolche un
jederzeit in ungerader Anzahl hat. *
Ferner iſt die Anzahl der einfachen reellen Faktoren .
einer jeden Funktion Z, worin der Exponent der hoͤchſten
. Poreſtaͤt von z eine gerade Zahl 2ꝛn iſt, entweder zwey, 1
oder viere oder ſechs u. ſ. f. “
Denn nimmt man an, daß die Funktion Z, 2 m † 1
eeinfache reelle Faktoren habe: ſo erhaͤlt man, wenn man
die Funktion durch das Produkt aller dieſer Faktoren divi⸗
. dirt, einen Quotienten, worin die hoͤchſte Poteſtaͤt von
2 = 22n - z m - 1, und alſo eine Poteſtaͤt mit einem ungera⸗
den Exponenten iſt. Es muß alſo die Funktion 2 außer
jenen Faktoren nothwendig noch Einen reellen einfachen
Faktor 9
I

Von der Umformung der Funktionen. 33
mme

n Faktor haben, und die Anzahl aller Faktoren wird alſo zum
deoer wenigſten = 2 m † 2, und folglich eine gerade Zahl, und
Nte die Anzahl aller imaginaͤren einfachen Faktoren ebenfalls
Ne eeine gerade Zahl ſeyn. Es iſt alſo die Anzahl aller imagi⸗
naͤren einfachen Faktoren einer jeden ganzen Funktion, ſo
dit wie auch ſchon vorhin [§F. 30] bewieſen worden iſt, eine
n gerade Zahl. *)
n ſie *) Auch dieſer Satz laͤßt ſich aufel eine der beym vorhergehenden
ner §. beruͤhrten aͤhnliche Art, oder ſo beweiſen, daß man eist,
lieaten daß die Gleichung
e liet . X2 m PAXaMm— 1T †† BX2mNm- 2 † CxZm-— 3 † .. .. N=
un entweder gar keine oder eine gerade Anzahl reeller Wur⸗
le zeln hat. Denn ſetzt man
ReNH und hetrachtet man die krumme Linie, welche durch dieſe
iin⸗ Gleichung ausgedruckt wird: ſo wird y, ſowohl wenn man
n d XS= † ο, als wenn man X = — 00 nimmt, = † 00,
ſice und es liegt daher nicht nur der Theil der Curve, welcher zu
den unendlich großen poſitiven, ſonbern auch der, welcher .
zu den n eenlid großen negativen Abſeiſſen gehoͤrt, uͤber der
Axe. Es kann daher die durch die gegebene Gleichung aus⸗
gedruckte krumme Linie die Axe gar nicht ſchneiden; aber
kioren wienn ſe es irgendwo thut, und dadurch in die Gegend un⸗
ochſten ter der Axe kommt, ſo muß ſie es auch jederzeit noch einmal
zuef thun, um dadurch wieder in die Gegend uͤber der Axe zu
konmmen. Es giebt daher hier entweder gar keinen oder eine
serade Anzahl von Durchſchnitts⸗Punkten, und es hat folg⸗
n *1 lich auch die Gleichung
nn mon X 2 † AX2n-f † BxZm- 2 † Cxam- 3 †. .. 4 N0
n i⸗ entweder gar keine oder eine gerade Anzahl reeller Wurzeluln. “
it von
(Aſeer Wenn in einer ganzen Funktion 2 der Exponent der
Uftcen hoͤchſten Poteſtaͤt von⸗ eine gerade Zahl iſt, und die ab⸗

Flkior Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl.l. H. C ſolute

. “

34 Erſtes Buch. Zweytes Capitel.

ſolute oder beſtaͤndige Groͤße das Zeichen — vor ſich hat: .

ſo har die Funktion 7 zum wenigſten zwey einfache reelle

Faktoren.
Eine ſolche Funktion hat dieſe Form: 22 n †T† « 2n - I †.
8z 2n - 2 P TrZ — A. Setzt man nun 72 = 0 ſo wird

[S. 341 Z = 0, und ſetzt man z = o, ſo wird 2 = — A.

Es hat alſo Z — O0o den einfachen reellen Faktor z — 0°,
und 2 † A den einfachen reellen Faktor z — o; und da
nun o zwiſchen die Grenzen — π und † A faͤllt, ſo muß
auch 2 † o den einfachen reellen Faktor 2 — e haben, wo⸗
bey c zwiſchen o und O enthalten iſt. Setzt man nun fer⸗
ner 2 = — 0ö, ſo wird Z= O.ο; und da alsdann Z —
den Faktor 2 † O., und Z † A den Faktor 2 † o hat:

muß Z † o auch einen einfachen reellen Faktor 2 † d haben,

wobey d zwiſchen o und Oo faͤllt, und daraus iſt das zu
Beweiſende klar. Wenn alſo Z eine Funktion von der be⸗
ſchriebenen Art iſt, ſo muß die Gleichung ?Z = o zum we⸗
nigſten zwey reelle Wurzeln, eine poſitive und eine negative,
haben. So hat z. B. die Gleichung 24 † 423 † 622 †
„2 — aàa àa = o zwey reelle Wurzeln, und die eine davon iſt
poſitiv und die andere negativ. *)

„ Vermittelſt einer geometriſchen Conſtruetion kann man ſich
von dieſem Satze auf folgende leichte Art uͤberzeugen.
Man ſetze
X2 in † AXZMm-TI † BxX2 m - 2 † Cxzm-z P. ...— 00 = y

ſo erſtreckt ſich die Curve, welche durch dieſe Gleichung aus⸗

gedruckt wird, nach der Anmeikung zum vorhergehenden §.
auf beyden Seiten uͤber der Axe ins Unendliche. Setzt man
nun X = O, ſo wird y„= — ◻0, und der Punkt der
Curve, der zu = „ gehört, liegt alſo unter der Axe,
und es muß daher die Curve, um ſich von dieſem Punkte
auf gedachten beyden Seiten uͤber der Axe continuirlich ins
Unendliche erſtrecken in können, auch auf beyden Seiten
dieſes

—
0.,
1, wo⸗
un fer⸗
— O
Mn. ſ⸗
ſt das
der be⸗
im we⸗
gend,
u
hapon it

wan ſh
harelgen

00 =),

n us
enden .
ent man
akt der
der Ar/
nm Puoke
tich ins

dieſes

, Von der Umformung der Funktionen. 35

dieſes Punktes die Axe ſchneiden, um in die Gegend uͤber ihr
zu kommen. Da nun jeder Durchſchnitts⸗Punkt eine reelle
Wurzel der gegebenen Gleichung giebt, und von den gefun⸗
denen zwey Durchſchnitts⸗Punkten der eine zu einer poſiti⸗
ven und der andere zu einer negativen Abſciſſe fuͤhrt, ſo iſt
klar, daß die gegebene Gleichung zum wenigſten zwey reelle
Wurzeln, eine politive und eine negative hat.

Dieſer Beweis, ſo wie auch die in den Anmerkungen
zu den beyden vorhergehenden §§. enthaltenen, ſind aus Eu⸗
lers beym 3 2ſten d. angefuͤhrten Recherches ſur les raci-
nes imaginaires des équations entlehnt.

* 7 §. 38.

Wenn die veraͤnderliche Groͤße? in einer gebrochenen
Junktion eben ſo viel oder noch mehr Dimenſionen im
Zaͤhler als im Nenner hat: ſo laͤßt ſich die Funktion in

zwey Theile aufloͤſen, davon der eine eine ganze, der an⸗

dere aber eine gebrochene Funkrion iſt, wo die veraͤnder⸗—

liche Groͤße z im Zaͤhler weniger Dimenſionen hat als

im Nenner.

Denn wenn der Epponent der hoͤchſten Poteſtaͤt von 2
im Zaͤhler groͤßer iſt als im Nenner, ſo darf man nur den
Zaͤhler auf die gewoͤhnliche Art durch den Nenner dividiren,
und die Diviſion abbrechen, wenn bey der Fortſetzung der⸗
ſelben in den Quotienten negative Exponenten von z kom⸗
men wuͤrden. Der ſo gefundene Quotient beſteht aus ei⸗

nem ganzen und einem gebrochenen Theile, der Zaͤhler des

letztern enthaͤlt z mit weniger Dimenſionen a ls der Renner,
und beyde Theile ſind zuſammengenommen der gegebenen

Funktion gleich. Waͤre z. B. die gebrochene Funktion

C 2 1

36 Erſtes Buch. Zweytes Capitel.

tn -gegeben, ſo loͤſete man n dieſelbe durch die Diviſion

auf folgende Art auf:

22 † 1

und es iſt folglich
I1 † 24 2
Man kann ſolche gebrochene Funktionen, in welchen die ver⸗
aͤnderliche Groͤße z im Zaͤhler mehr Dimenſionen hat als
im Nenner, nach dem Beyſpiele der Arithmetik, welche die
Bruͤche in unaͤchte und aͤchte theilt, entweder ebenfalls un⸗

aͤchte Bruͤche oder unaͤchte gebrochene Funktionen nennen,

und ſie dadurch von den aͤchten gebrochenen Funktionen
oder ſolchen unterſcheiden, wo die veraͤnderliche Groͤße im
Zaͤhler weniger Dimenſionen hat als im Renner. Es kann
alſo jede unaͤchte gebrochene Funktion in eine ganze und in

eine aͤchte gebrochene Funktion aufgeloͤſet werden, und dieſe

Aufloͤſung geſchieht auf dem Wege der gemeinen Diviſion.

. 39.
Wenn der Nenner einer gebrochenen Funktion ein Pro⸗
dukt aus zwey Jaktoren iſt, die keinen gemeinſchaftlichen
Dwiſor haben: ſo kan man dieſe Funktion in zwey Bruͤche
auflo ſen, deren Nenner jenen beyden Jaktoren gleich ſind.

Ungeachtet dieſe Aufloͤſung eben ſo wohl bey den un⸗
aͤchten als bey den aͤchten gebrochenen Funktionen ſtatt fin⸗

det; ſo haben wir doch dieſelbe vorzuͤglich bey den aͤchten

gebro⸗

)

„
. =

gihroche
Nenner
geneinſc
ſebſt in
deln, de
nen Fun⸗
gebroche⸗
gufloſung
hochdeuti

E ſey alſo

gegeben.
Prodokte
ſich die
1422
hat. Un
Brihe n
Nung, wor
undy/†
1—22
13

irt man

eSumune

3
— 2

8

7 27
11.
Da nun d
hegen geb
Zahler de
bekann

biſion

a die der⸗

en hat a gSe
welche die
fals u.

Dnennen,
nktionen
Glche in
Es kann
e und in

und dieſe

1

Dbiſds.

neinpro⸗
flichen
Bruͤche
chſind.
den un⸗
ſott in
aͤchten
gebro⸗

Von der Umformung der Funktionen. 37

gebrochenen Funktionen zu betrachten. Zerfaͤllt man aber den
Nenner einer ſolchen Funktion in zwey Faktoren, die keinen
gemeinſchaftlichen Dioiſor haben, ſo laͤßt ſich die Funktion

ſelbſt in zwey andere aͤchte gebrochene Funktionen verwan⸗
deln, deren Renner den Faktoren des Renners der gegebe⸗

nen Funktion gleich ſind. Ueberdies giebt es bey den aͤchten
gebrochenen Funktionen nicht mehr als Einen Weg, dieſe
Aufloͤſung zu verrichten; wovon man ſich durch ein Beyſpiel
noch deutlicher als durch allgemeine Schluͤſſe uͤberzeugen kann.
Es ſey alſo die gebrochene Funktion —2 322 — 42
1 † 424
gegeben. Da der Nenner dieſer Funktion 1 † 424 dem
Produkte (I1 † 22 † 222) (I — 22 † 222) gleich iſt: ſo laͤßt
ſich die Funktion in zwey Bruͤche aufloͤſen, davon der eine
1 † 22 † 222, und der andere 1 — 22 † 222 zum Nenner
hat. Um dieſe Bruͤche zu finden, ſetze man, da ſie aͤchte
Bruͤche ſind, die Zaͤhler derſelben, und zwar in der Ord⸗
nung, worin die Nenner angefuͤhrt worden ſind, = † s2,
und „ † 2. Alsdann iſt G

I1 — 22 † 322–— 423 † 62 „ † °G2
1 †T† 424 TT221222 1— 22†222
Addirt man nun dieſe beyden Bruͤche, ſo erhaͤlt man fuͤr
die Summe
zum Zaͤhler und zum Nenner

„— 2 42 T† 2 &22

† — 28z2 † 282 3
1 † 42⁴

7„ † 272 † 2722
† 72 † 2 22 † 223
Da nun der Nenner dieſer Summe dem Nenner der gege⸗
benen gebrochenen Funktion gleich iſt, ſo muͤſſen auch die
Zaͤhler von beyden gleich werden; und da es hier eben ſo viel

unbekannte Groͤßen giebt, als Glieder, die einander gleich

C 3z“ geſetzt

38 4 Erſtes Buch. Zweytes Capi el.

geſetzt werden muͤſſen, ſo kann ſolches allerdings, aber auch
nur auf eine einzige Art geſchehen. Man erhaͤlt nemlich
die vier Gleichungen

1I. „ † 7 = I
2.— 2 ℳ † S † 2 7% † ⁹ = — 2
3. 22 2 6† 2, 2 à = 3, und
4. 28 † 2 2° — 4;

und da „ † „= I, und 8 † = — 2 iſt, ſo geben die zweyte
und dritte Gleichung (wenn man — 2 ſtatt £ † à in die
zweyte, und 2 ſtatt 2 4½ † 27 in die dritte Gleichung bringt,)
— So, und à5 – Er= ½. Hieraus aber wird ⸗= ½; 7 = ;
6 = 4; ⁸° 22¾, und folglich die gegebene gebrochene

1 — 22 P 322 — 423 .
Funktion — 424 — gleich folgenden beyden
2 — &£ Z — 4 Z . . .V .
1IT22†2 72 1—2272 7. Es iſt leicht einzuſehen, daß

dieſe Aufloͤſung allemal muͤſſe ſe angeſtellt werden koͤnnen, weil
allemal ſo viel unbekannte Groͤßen angenommen werden,
als erforderlich ſind, um den Zaͤhler zu entwickeln. Wenn
aber die gedachten Faktor en des Rennners der gegebenen
Funktion keine Prim⸗Groͤßen zu einander ſind, oder einen
gemeinſchaftlichen Diviſor haben: ſo laͤßt ſich aus dem,
was in der gemeinen Arithmetik von den Bruͤchen ge⸗
lehret wird, einſehen, daß eine ſolche Auffloͤſung nicht
ſtatt ſindet. *) .

“ Was Euler hier geſagt hat, kann allerdings hinreichen;
4 “D habe ich, da es vielleicht manchem nicht unange⸗

nehm iſt, dieſen Gegenſtand ganz allgemein behandelt zu
iaen, das⸗ in dieſer Räckcht Nöͤthige im Anhange bey⸗

gebracht.

—

— —

—

viel ei
den, g

oktor

fida

hr

uch
ich

deyte
n die
ingt)

n, o;

1,Wl
verden,
Wenn
ebenen
Een

18 den,
chen ge⸗

nigt

ichen;

unange⸗
dele u
e ey⸗
ct.

Von der Umformung der Funktionen. 39
gebracht. Man findet es daſelbſt unter der zweyten Num⸗
mer, unter dem Titel: Zuſatz zu §. 39.
§. 40.

Es kann daher eine jede gebrochene Funktion in ſo

A— .
viel einfache BGruͤche von der Form — aufgeloͤſet wer⸗
42

den, als der Nenner N einfache und einander ungleiche
Faktoren hat.

. u
Es ſtellt dieſer Bruch eine jede aͤchte gebrochene Funk⸗

tion vor, ſo daß M und N ganze Funktionen von ſind,
und die hoͤchſte Poteſtaͤt von z in M niedriger iſt als in N.

Wird nun der Nenner N in ſeine einfachen Faktoren zer⸗
faͤllt, und ſind diefelben einander ungleich: ſo kann die Funk⸗

. B .. . .
tion in ſo viel Bruͤche aufgeloͤſet werden, als N einfache

Faktoren enthaͤlt; weil ein jeder Faktor der Nenner eines
ſolchen Partial⸗Bruchs wird. Iſt daher p — q? ein Faktor
von N, ſo iſt er auch der Nenner eines der Partial Bruͤche
M
von ; und da 2 in dem Zaͤhler dieſes Bruchs weniger Di⸗
menſionen haben muß, als in dem Nenner, ſo muß daher
der Zaͤhler nothwendiger Weiſe eine beſtaͤndige Groͤße ſeyn.
Es erwaͤchſt alſo aus jedem einfachen Faktor p — q? des

6*

Nenners N ein einfacher Bruch von der Form

und die Summe aller dieſer Bruͤche iſt der gegebenen ge⸗ .

brochenen Sunktion F — gleich,

C 4 Exempel.

chem nachher [§. 42. f.]ã geredet werden ſoll.

40 Erſtes Buch. Zwepytes Capitel.

Exempe

4 I †
Es ſey die Funktion —, gegeben. Da hier die ein⸗

fachen Faktoren des Renners, 2, 1 — 2, 1 † 2, ſind, ſo laͤßt

. A B
ſich dieſe Funktion in die drey einfachen Bruͤche † t

0 = ⸗ aufloͤſen, wo die beſtaͤndigen Zaͤhler A,

12 2 – 2 3

B und C zu beſtimmen ſind. Bringt man dieſe Bruͤche auf

einen gemeinſchaftlichen Renner, der 2 — 23 iſt: ſo muß

die Summe ihrer Zaͤhler = 1 † 22 ſeyn; und daher ent⸗

ſteht die Gleichung
A † B z — AZ2]
P Cz † Bzz = I† PZz
— CzZ2

72

und aus dieſer Gleichung ergeben ſich wieder eben ſo viel
andere, als man unbekannte Groͤßen i in A, B, und C hat.

Es iſt nemlich
I. A = I
2 B † C= O
3. — A † B – C= I.

Hieraus ergiebt ſich ß — C( = 2; A =I; B = 1; C = — 1;

I . Z Z , , I 1I I
—— iſt alſo gleich — — — — —
und die Funktion⸗ 3 iſt alſo gleich 21: — T:.

Daß man auf eine aͤhnliche Art bey einer jeden Anzahl von

einfachen und einander ungleichen Faktoren in N verfah⸗

M. 4 4 . * „
ren, und den Bruch jedesmal in eben ſo viel einfache

Bruͤche aufloͤſen koͤnne, als N einfache Faktoren enthaͤlt, laͤßt

ſich leicht begreifen: wenn aber einige dieſer Faktoren ein⸗

ander gleich ſind, ſo iſt ein anderer Weg noͤthig, von wel⸗

§. 41.

Vruch

V
tion.

I 2

eine⸗
i

—

1—2
er 4,

he auf
d wuß
r end⸗

jſo biel
hot.

-—
1
hl t

helfoh⸗

inface.

en ein⸗
n we⸗

. 4l.

Von der Umformung der Funktionen. 41

—

§ 4r.
Da alſo ein jeder einfacher Faktor des Menners
N einen einfachen Bruch zur Aufloͤſung der Funk⸗

. M . . . B “ ,
tion N an die Hand giebt: ſo fraͤgt ſich, wie man, wenn

man einen einfachen Faktor des Nenners N kennt, den

dggzu gehoͤrigen einfachen Bruch findet?

Es ſey p — qz ein einfacher Faktor von N, ſo daß
= (p— q2) s, und § eine ganze Funktion von z ſey.
Sett man nun den Bruch, der aus dem Faktor P — dq?

A
erwaͤchſt, = — — a und den Sr⸗ der aus dem andern

Faktor des Nenners S entſpringt = „ſo daß nach 6. 39.

M A P M M — A 5
= — — I 5= ſo iſ —
N p--—-dqz 8 — q2) 8 (Pp — q2) S

wo nothwendig M — 45 durch bp — q2 theübar ſeyn muß,
weil die ganze Funktion P dem daher ſich ergebenden Quo⸗

tienten gleich iſt. Setzt man alſo 2 = und zwar auch in

* ⁹ 4 M
M und in 8, ſo wird M -— AS „ folglich A = – u. auf

A
dieſe Arti ſſt alſo der Zaͤhler A des B ruchs — „ gefunden.

Macht man aus einem jeden einfachen Sattor des Nenners
N, orgusgeſetzt, daß keine darunter gleich ſind, dergleichen
Bruͤche, ſo iſt die Summe derſelben der gegebenen Sunk⸗

tion N gleich.

H Exempel.
Wenn man z. B. in dem vorhergehenden Exempel

n⸗ wo M = 1 † 22, und N = 2 — 2 3 iſt, a als ei⸗

2 – 23
C „ nen

4² Erſtes Buch. Zweytes Capitel.

nen einfachen Faktor annitume⸗ ſo iſt 8 = I – 22, und der

Zaͤhler des einfachen Bruchs — , den an die Gand giebt,

2 1, wenn man 2 = 0 ſetz; und dieſen
Werth erhaͤlt man dadurch,daß man den einfachen Faktor, der
hier ſelbſt? iſt, = o ſetzt. Eben ſo wird, wenn man den
einfachen Faktor des NRenners 1 — 2 nimmt, wodurch

1 † 2
S= 2 † 22 wird, A = ii I1 –— 2,= o: alſo A= I,

und d der e Bruch, der aus dem Faktor 1 — 2 entſpringt, =

—
Der dritte Faktor 1† 2 endlich giebt, da dadurch 8S=r=2 2,

und A = fuͤr 1 †2 , oder 2 = — I, wird, A = — I,
und den einfachen Bruch ⸗ =— . Man findet alſo auf

neſem Wege eben ſo wie nerhi [9§. 40.] In⸗ —

§. 42.

Eine gebrochene Sunktion von der SForm — in

— q H
welcher die hoͤchſte Poteſtaͤt von 2 in dem Zaͤhler P eine
niedrigere Poteſtaͤt iſt „als die hoͤchſte Poteſtaͤt eben die⸗
ſer z in dem Nenner (— q2) In, kann in Partial⸗ Pruͤche

pon der Form
(b— qzl 1 (P— q2)u- 1 1 (P — 2)a-2

—

K
„ . r — — verwandelt werden, deren Zaͤhler ins⸗

geſammt beſtandige Groͤßen ſind. .
Da

Von

Da die
niedrigere
lo P die
4

wo die An

ler der S
man dieſe
— den
„D —
723 †,:
die hoͤchſt

ſch z2n-1,

kannte Ge⸗

(liieder glen
gen Groͤßen

ſeaͤcte ge

–

— Wir
1— n

Bnman

we

— gr
Pertigl.
ſolgende
E i
den, wie
ſochen

SSõ

Von der Umformung der Funktionen. 43

ndder Daea die hoͤchſte Poteſtaͤt von z in dem Zaͤhler P eine
niedrigere Poteſtaͤt als 2n iſt, ſo muß ſie 2n-T ſeyn, und
alſo ?P die Form haben:
dieſen . aT S8Z † Y22 † °ο23 † . . . P K zn- T,
1 wo die Anzahl aller Glieder en, und außerdem P dem Zaͤh⸗
tr de ler der Summe aller gedachten Partial⸗Bruͤche, nachdem
non den man dieſelben zuvor auf den gemeinſchaftlichen Renner
vodurch (P — q?)n gebracht hat, oder A † B ( — q2) † C(p- q2)=
E DCP-- d T.. . . . WCP- qe) T= =&*†v*aαu*αι½
5723 † . . . . . . E 2n=I iſt. In dieſer Gleichung iſt aber
õ die hoͤchſte Poteſtaͤt von z auf beyden Seiten dieſelbe, nem⸗
r lich 22-1, und uͤberdies hat man darin eben ſo viel unbe⸗
S—I, kannte Groͤß zen A, B, C, D. .K (in allen n) als man

Gllieder gleich ſetzen muß. Man kann daher die beſtaͤndi⸗
gen Groͤßen A, B, C u. ſ. w. auf die Art beſtimmen, daß

P A
. die aͤchte gebrochene Funktion — — = —
1 B 0 bp .
* (5 — q?*) 1 (P — q2)n- 2 1 (p— q?2) n- 3
K
Pg wird; und die ſogleich folgenden §. §. werden dieſe

Beſtimmung auf eine ſehr leichte Art verrichten lehren.

wenn der Nenner der gebrochenen Funktion N .
en di⸗ (p — q2)2² 2 zum einfachen Faktor hat, ſo laſſen ſi ſich die
biche Partial⸗ Bruͤche/ die aus dieſem Faktor enſpringen, auf V
4 folgende Art finden.
Es iſt in dem Vorhergehenden 5§. 40. 41. gezeigt wor⸗
hler ins⸗ den, wie man die Partial⸗Bruͤche findet, die aus den ein⸗
fachen Faktoren des Renners entſpringen, wenn alle dieſe
Fakto⸗

Da

44 Erſtes Buch. Zweytes Capitel.

Faktoren ungleich ſind; jetzt nehme man an, daß zwey von
dieſen Faktoren gleich ſeyen, oder man betrachte ( — qz)2
als einen Faktor des Nenners N. Aus dieſem Faktor ent⸗
ſpringen nach dem vorhergehenden 5§. die Partial⸗Bruͤche

. Nun ſey N = (p – q?)28,
c 3 † p – qz ſey (p 42) 5
wird l M A B 1†

†
N (p-— q 2)28 o — 3 2)2 5=— a;

P P
= wenn — Salle die einfachen Brüche zuſammengenommen

bedeutet, die aus den Faͤktor s des Nenners N ent⸗

H M — A 8 — B (P — q 2)
ſpringen. Dann iſt „ — 2)2 und

P= — * ee 28. = einer ganzen Funktion,
und M — A S — B (p — q2) S durch (p –— q2) 2 theilbar.
Es ſey zuvoͤrderſt durch p— qz theilbar, ſo wird der ganze
Ausdruck M — AS—B (p—– q 2) S verſchwinden, wenn man

p — q⸗ = o, oder 2 = HM ſegt. Setzt man alſo allent⸗
halben anſtatt 2, ſo wird M — AS= o, und folglich
M
A = 5 oder es giebt der Bruch X, wenn man darin

allenthalben anſttt 2 ſetzt, den Werth der beſtaͤndigen

Groͤße A. Hat man dieſen gefunden, ſo iſt nun auch die

Groͤße M — A S8 — B (? — 42) durch ( — q 2) 2, oder

M — A S
P— 42
M — As
allenthalben 2 = b., ſo wird — — = B8, und foſg⸗
4“ ſ⸗ — 42 „u .
lich

— Bs durch p — qz theilbar. Setzt man alſo

lich B =

iſt, dieſe Theilung vor der Subſtitution von

Von der Umformung der Funktionen. 45

M A
— 2)8 p-— qz S
bemerken iſt, daß man, da M — AS durch p— qz theilbar
4

): wo aber zu

uͤr z an

R

2

M — A8 .
ſtellen muß. Oder man ſetze — 42 = T, ſo wird B= —

wenn man 2= Lannimmt. Hat man nun die Zaͤhler A und
94

B gefunden, ſo ſind die Partial⸗Bruͤche, die aus dem Faktor

(5 — q2) 2 des Renners N entſpringen,
B

— —

P— 2

A
(P — q2)2 1

Erſtes Exempel.

— 22

Es ſey die Funktion . gegeben. Da hier das

2 (1I † 22)
Quadrat 22 ein Faktor des Nenners iſt, ſo iſt 8 = I † 22,
und M = I — 22. Rennt man nun die aus entſprin⸗
— ꝑ2
gende Partial⸗Bruͤche † , ſo wird A = =
wenn der Faktor 2 =o geſetzt wird; folglich A= I. Ferner
iſt nun M — A 8S = – 222, welches, durch den einfachen Fak⸗
tor 2 dividirt, I= — 22 giebt; und hieraus ergiebt ſich
B = — — „wenn man⸗ =So ſetzt. Es iſt daher
8. I T† 2z2
B=o, und es entſpringt folglich aus dem Faktor des Nen⸗

ners 22 bloß dieſer eine Partial⸗Bruch —N

Zwertes

46 Errſtes Buch. Zweytes Capitel.
weytes Exempel.
die gebrochene — -
Es ſey ie gebroch Funktion gege⸗
ben. Da hier das Quadrat (1 — 2) 2 ein Faktor des Ren⸗
A

ners iſt, ſo kann man die Partial⸗Bruͤche = = 4

B Kor. 1 .
— ſetzen. Ferner iſt M = 23, und 8 = 1 † 24;

M
felstchA= — = – —, fuͤr 1 — 2 = o, oder 2 = 1;

8 I † 24
alſo A = ½. Hieraus ergiebt ſich weiter M — A 8 = 23—
2 — 2 — — ²¾ † 23 — 324, welches, durch P-⸗ divi⸗
.D T
dirt, 1=— 2— f= — à: †P ¾23, und alſo B = =

—
—,

22121
2 † 224

. . E ⸗ 1I
— ¾, und die geſuchten Partial⸗Bruͤche ſind — —
2 (I — 2)2
1

— ——— ⁹

Wenn der Nenner N der gebrochenen Sunktion

den Jaktor (p — q2) 3 hat: ſo findet man die aus dieſem
A

Faktor entſpringenden Partial⸗ ⸗Bruͤche . 5 †
— q2)3
B C
— — auf folgende Art.

Marn ſetze N = (p — q2) 38, und den Bruch,

der aus dem Faktor § entſpringt, = 5F/ ſo iſt P ==

M — A 8 — B (p — q 2)8 — C (P — q 2)2

q7)5 8 = einer gan⸗

zen

fuͤrz = 1, giebt. Es iſt alſo B =

9
3

undſ

A-

den
durch
woß
pen
4, 9

Von der Umformung der Funktionen. 47

zen Funktion. Hier muß zuodoͤrderſt der Zaͤhler M — AS
— B (p — q2) S — C(p — q2, 28 durch p — q ? theilbar ſeyn;

und ſetzt man daher p — q 2= o, oder 2 = ſo wird M —

AS — B (9 — q2) § — C (9 — q2) 28 = o, und M —

A S = o, und folglich A = S für 2 = 1. Hat man

auf dieſe Weiſe A gefunden, ſo iſt M — AS durch! Pp — q2,

M — AS
und wenn man :⸗ = 1 ſetzt, V — BS — C( — q2)S

noch durch (p — q2)2 theilbar. Nimmt man daher
p — q2 = o, ſo wird I — B 8 — C(p — q 2) S = o, und

D

T
B= 5,/ fuͤr 2 = . Iſt auf dieſem Wege auch B gefun⸗

S T — BS
den worden, ſo ſetze man : = V; wo alſo V — C S
durch q — pz theilbar, und daher V — CS = o werden

muß, wenn man p — q2 = o ſetzt. Es iſt daher c= -—

—

wenn man 2 = U nimmt; und kennt man nun die Zaͤhler

A, B und C, ſo ſind die Partial⸗Bruͤche, die aus dem Fak⸗

A
tor (p — q 2) 3 des Nenners N entſpringen, — – †⁊†
CP q 2) 9
B 2

Exempel.

272
Es ſey die gebrochene Funktion A 27 ge⸗

geben, und die Partial⸗ Bruͤche, die aus dem cubiſchen Haktor

(1 — 2) des Renners derſelben entſpringen, ſeyen – F

8B

48 Errſtes Buch. Zwweytes Capitel.

1-. Alsdann iſt M = 22, unds = = 1 4 22;
(1 — 2)2

und daraus ergiebt ſich zuvoͤrderſt A = fuͤr 1 — 2 =o,

oder 2= 1; alſo A = f. Ferner iſt nun hieraus und aus

M=—AS 222 — ¾
T = „ L = = — *¾ — 12; und daher
1 — 2 1—2

— ½ s
B = fuͤr 2 = 1, folglich ß = — 4. Endlich iſt

V = — TYIAS - 22 f « ꝛ2

— — — = — = — ¾;

I — 2Z I — 2 I — 2

— V —
folglich c = 5 = 2, „für 2 = I, alſo c = — kg. Es

ſind daher die Partial⸗Bruͤche, die aus dem Faktor cc — 2)2
1 1

des Nenners entſpringen,
I

4 (I1 — 2).½

§F. 45.

wWenn der Nenner N der gebrochenen Funktion

den Faktor (5 — q 2) 2 hat: ſo findet man die daraus ent⸗

A
ringenden Partigl⸗Bruͤche — —

——— † „ *° * * —, auf fols ende Art.
(pP— qz) n 2 b — 2 9
Man ſetze den Nenner N = (5 — ) Zn 2, und ſchließe
wie vorhin. Auf dieſe Art findet man

M=AZ
X. A= Z. n, füͤr⸗ =, und wenn man nun P= a ſetzt,
1

Pp
= P. und wenn man nun Q = Sſe etzt,

P .
2. B= 2, fuͤr? = Sg

† a-1 ½

4 D5

5§ E.
Beſin
durche
des Re

1
oy=

1s ent⸗

Von der Umformung der Funktionen. 49

1

„ ⏑. .— ◻— CZ
3. Cc= 7Z fuͤr⸗ =. und wenn man nun R= b— : ſetzt,
R e P R — DZ
.D = ,fuͤr 2 = —, und wenn man nun S8 = — –— ſetzt
4. D Zf HS p — qz ſent,

5. E = ör⸗= Tu. ſ. w.

Beſtimmt man aber hiernach alle einzelne Zaͤhler, oder die
beſtaͤndigen Groͤßen A, B, C, D, E u. ſ. w. ſo werden da⸗
durch auch die Partial⸗ Bruͤche, die aus dem Faktor (p-= —42N
des Nenners N entſpringen, gefunden.

Exempel.

1
Es ſey die gebrochene Funktion⸗ . Pgegeben, und
die Partial⸗Bruͤche, die aus dem Faktor 25 des Nenners
H A BE C D E
entſpringen, ſeyen „ † 727 5 † 2 † . Sollen nun
nun die beſtaͤndigen Zaͤhler dieſer Bruͤche gefunden werden,

ſo iſt M= I † 22; 7= 1 23; und S=o. Man rechne

daher auf folgende Art.

M 1I
Zuvoͤrderſt iſt hier A = 2 122

folglich iſt A = I.
M — AZ 22 — 23

Nun ſetze man b = — = = 2 — 22;
2 2
. d B = P 2 — 22 . l
ſo iſt zum andern B = Z = TI= fuͤr z = o; folg⸗
lich iſt B = o.
P — BZ 2 — 22
Ferner ſetze man Q = — — = = = 1— 2; ſo
. Q 1—2 e , „
iſt drittene C= 7Z= D5 fur: =o; folglich iſt C=I.
Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. I. G. D Wei⸗

—

.
50 Erſtes uch⸗ Zwentes Capitel.

Q=— cZ — 2 — 23

I

Weiter ſetze man R =

2 2
. . . R — 1 — 2 2Z
— I –— 22; ſo iſt viertens D =— — — — — uͤr

2 = o; folglich iſt O = — 1.

endli R – D Z — 23
Endlich ſetze man 8 = = — 1 2 =
72. . Z .
8 — 2 † 22 .
2 1 22; ſö iſ fünftene E= z e 1, fuͤr
2 I T† 23

2 = o; folglich iſt = o.
Es ſind daher die geſucten Bruͤche, — † — † 5

I 12
—2= 2

§. 46. a.

Wenn daͤher irgend eine gebrochene rationale Funk⸗

. M . 2 . » . C „1 * .
tion X in ſummirende Theile aufgeloͤſet, und auf die ein⸗

fachſte Art ausgedruckt werden ſoll: ſo kann ſolches auf
folgende Weiſe geſchehen.

Man ſucht alle einfache Faktoren des Renners N, ſie

moͤgen nun reell oder imaginaͤr ſeyn; nimmt von denen,
die nicht mehr als einmal vorkommen, einen jeden beſon⸗

ders, und entwickelt nach §. 41. den aus ihm entſpringen⸗
den Partial⸗Bruch. Kommt ein oder der andere Faktor

mehr als einmal vor, ſo ſucht man das Produkt aller ein⸗

ander gleichen Faktoren, welches die Form ( — qz)n ha⸗

ben wird, und entwickelt die dazu gehoͤrigen Partial⸗Bruͤche,
nach § 45. Hat man auf dieſe Art aus den einzelnen ein⸗
fachen Faktoren des Nenners die daraus entſpringenden

Partial⸗Bruͤche gefunden: ſo iſt das Aggregat derſelben der

gege

ſehebe

gebroc
außer
ſenen

der F

ſelt v.
detung
rͤche
us der
Partia
Nhe⸗
nehm
ſorgf

1I —

1II

— —
2 I —

—
—

Junki
ie ein⸗

guf

n deren,
beſon
imen⸗
aktor
r ein⸗
ha⸗
ruͤche,
n ein⸗
enden
n der
ege

Partial⸗Bruch = FT

Von der Umformung der Funktionen. z1

. M 27 ””s
gegebenen Funktion N gleich, wofern ſie nicht eine unaͤchte

gebrochene Funktion iſt. Denn iſt ſie dies, ſo muß noch
außerdem die ganze Funktion von ihr abgeſondert und zu
jenen Partial⸗Bruͤchen hinzugeſetzt werden, wenn der Werth

der Funktion N auf die einfachſte Art ausgedruckt, darge⸗

ſtellt werden ſoll. Es iſt indeß gleich, ob man dieſe Abſon⸗
derung der ganzen Funktion vor der Findung der Partial⸗
Bruͤche oder nach derſelben vornimmt. Denn man erhaͤlt
aus den einzelnen Faktoren des Renners N eben dieſelben
Partial⸗Bruͤche, man mag den Zaͤhler M ſelbſt oder dieſen
Zaͤhler um ein Vielfaches von N vermehrt oder vermindert
nehmen; ſo wie ſolches, wenn man die erklaͤrten Regeln

ſorgfaͤltig uͤberdenkt, bald in die Augen faͤllt.
Exempel.
ll z. B. der th de i
Soll z Werth der Funktion 3 , c12)
auf die einfachſte Art ausgedruckt werden; ſo nehme man
zuerſt den nur cinmal vorkommenden Faktor 1 † 2, wel⸗

cher E = — I giebt. Nun iſt hier M= I, und 2 =23—

224 † 25. Man hat alſo, um den Bruch 11 zu finden,

I
23 — 224 † 2 5 . wenn .

folglich iſt A = — ¼, und der aus 1 † 2 entſpringende

. . 2

= — 1I geſetzt wird; und

Hierauf nehme man den qua⸗

dratiſchen Faktor (1 — 2)2 „ der P. = 1 „ M= I, und
4

2 = 23 † 24 giebt. Setzt man alſo die daraus entſprin⸗
M D 2 genden

1

52 Erſtes Buch. Zweytes Capitel. ꝛc.

*

„ E W A
genden Partial⸗Bruͤche = (1— 2)2à —— 2

„wenn man 2 = I annimmt; und folglich

. 1
23 † 24

M — 4 7Z 1 — 223 — 2ö24
= 3. Run ſey = —= = — —
P I † 2 T† 2 2 T £23
rt⸗ tarisas: ſ iſt = , = 55 T24 wenn
m an 2 = I ſetzt; folglich B = 4, und die geſuchten Par⸗

2 — = . dli
tial Bruͤche = = † Endlich giebt der

dritte cubiſche Fakior 23 den Quotienten o, M= I,

und Z = I — 2 — 22 † 23 Sid man n daher die dazu
gehoͤrigen Partigl. Bruͤche 5 P = 1 3; ſo iſt zuvoͤrderſt

A = A= Frwre f folglich
2 1 — 2 — 22 † 2

—

= 1. Nun ſey ?b = —.— = 1 2 — 22; ſo iſt

B = S wenn man?z = o nimmt, und alſo B = I. Fer⸗

ner ſey Q = — = 2 –— 2²2; ſo wird C = 2 wenn

man 2 = o ſetzt; ſolglich C = 2. Es erhaͤlt alſo die gege⸗
bene Funktion — — orm: —– †
bene Funktion — . ⸗ ⸗ dieſe F k — †

21 2

kommt hierzu kein ganzer Theil, weil die gegebene Funk⸗

tion keine unaͤchte Funktion iſt.

Drittes

4 —; ſo wird

denn es

V

eine ne

n

egec
durch!
Werth
der W.
ſeinen
Nimmt
aher ehe

ſusdeue
Na

erande

wird

Drittes Capitel.

Von der Verwandlung der Funktionen durch
Subſtitution.

§. 46. b.

(Wann y irgend eine Funktion von 2 iſt, und 2 durch
eine neue veraͤnderliche Groͤße * beſtimmt wird, ſot⸗ kann
auch y durch beſtimmt werden.
Durch die Einfuͤhrung einer ſolchen neuen veraͤnderlichen
Groͤße « kann man daher, wenn y eine Fenktien von ? iſt,

ſowohl y als z beſtimmen. Iſt z. B. y = , ſo wird,

TI — æ
wenn man 2 = 11 ſetzt, und dieſen Werih von 2 in

— — anſtatt⸗ bringt, y»= — Setzt man daher

I +T 2z2

irgend einen beſtimmten Werth fuͤr x, ſo findet man da⸗

durch nicht nur fuͤr 2, ſondern auch fuͤr y einen beſtimmten
Werth; und der Werth, den man fuͤr y erhaͤlt, iſt zugleich
der Werth, welchen y durch z bekommt, wenn man dafuͤr
ſeinen auf dieſem Wege gefundenen beſtimmten Werth ſetzt
Nimmt man z. B. x = ½, ſo wird 2z = ¼, und y = ⁹¾;
aber eben dieſen Werth erhaͤlt y auch, wenn man in dem
Ausdrucke, S= dem y gleich iſt, z = . ſetzt.
Man bedient ſich aber dieſer Einfuͤhrung einer neuen
veranderlichen Groͤße in einer doppelten Abſicht. Denn
D 3 einmal

54 Erſtes Buch. Drittes Capitel.

einmal ſchafft man dadurch die Irrationalitaͤt weg, wenn
ſich dergleichen in dem Ausdrucke, worin y durch 2z beſtimmt
wird, befindet; und zweytens kann man, wenn das Ver⸗
haͤltniß zwiſchen y und z in einer Gleichung von einem ſo
hohen Grade gegeben wird, daß man daraus keine ent⸗
wickelte y gleiche Funktion von 2 abzuleiten im Stande iſt,
durch die Einfuͤhrung einer andern veraͤnderlichen Groͤße X
aus der gegebenen eine andre Gleichung machen, aus wel⸗
cher ſich y und z bequem ſinden laſſen. Schon hieraus er⸗
hellet der außerordentliche Rutzen dieſer Subſtitution; es
wird aber derſelbe durch das Folgende noch viel deutlicher
dargeſtellt werden.

–—

K. 47.
Wenn y = V(a † bz); ſo findet man die neue ver⸗
aͤnderliche Groͤße X, wodurch ſowohl 2 als y rational
ausgedruckt werden kann, auf folgende Art.
Da ſowohl? als y eine rationale Funktion von x wer⸗
den ſoll; ſo ſetze man VIa † bz) = bxæ; wobehy leicht ein⸗
zuſehen iſt „daß man dadurch ſeine Abſicht erhalten werde.
Denn es wird alsdann einmal y» = bx, und zweytens

a † bz = bbxx; folglich = bxx — . Es wird da⸗

her ſowohl als y durch eine rationale Funktion von x aus⸗
gedruckt; und man darf dazu nur, wenn »„= V(a † bz)

iſt, 2 = bzx — — ſetzen, indem alsdann y = b wird.
mn

wenn y = (a † b2)n iſt; ſo findet man die neue ver⸗

aͤnderliche Groͤße X, wodurch ſowohl y als 2z rational
ausgedruckt werden kann, auf folgende Art.
Man

b⸗

wirdd

nal au

wenn
immt
Ver⸗
hnenſo
R ⸗
andeiſt,
1s wel⸗
aus er⸗
Ulcher

ſeue vet⸗
tationgl

X wer⸗
üat en⸗
en werde.
wweytens

vied da⸗

n w aus⸗

(aard bl)

ted.

eve ver⸗
ragtionel

Nan

Von der Verwandl.d. Funktionen durch Subſtitution. 55

m
Man ſetze y= Xm, ſo wird (a † bz)“ 2— Xm, und
I

(a † bz) = x; folglich a † bz = Xn, und= 2.— Es

wird daher in der gegebenen Funktion ſowohl y als ratio⸗

n — a . .
nal ausgedruckt, wenn man 2 = —,— ſetzt, indem dieſe

Subſtitution y= xm giebt. Ohnerachtet man alſo weder
y durch 2, noch? durch y rational ausdrucken kann; ſo ſind
dennoch beyde Funktionen durch die Einfuͤhrung der veraͤn⸗
derlichen Groͤße æ rational gemacht worden, ſo wie ſolches
der Endzweck der Subſtitution erforderte.

§. 49.
Es iſt y = =(e ⸗ man ſoll eine neue veraͤn⸗

derliche Groͤße x ſoen. wodurch ſowohl y als z ratio⸗

nal ausgedruckt werden kann.

Zuvoͤrderſt faͤllt hier bald in die Augen, daß man der
Aufgabe ein Genuͤge thun werde, wenn man y = Xm ſetzt.

g⸗

Xn; und aus dieſer Gleichung ergiebt ſich? = 5

Denn es wird aldann (2 1 n = xm, folglich

ſo wie ie dieſe Subſtitution hinwiederum y= xm giebt.
Zum andern aber laͤßt ſich nun auch leicht einſehen, daß
2)* 1 ben
man ſowohl y als 2, wenn 5y) = = (3 1 xi iſt,
rational werde ausdrucken tünien, wenn man beyde ge⸗
gebene Ausdruͤcke = Xun ſetzt. Denn es wird alsdann

„M– „ Xi/ 2 — fxn

D 4 Wemn⸗

56 Erſtes Buch. Drittes Capitel.

§. 50.

Wenn y = V ((a † bz) (c † dz)); ſo findet man die
Subſtitution, wodurch y und 2 rational ausgedruckt
werden koͤnnen, auf folgende Art.

Man ſetze V((a † bz) (c † dz)) = (a † bz)æ; denn

es iſt leicht einzuſehen, daß z daher einen rationalen Werth
bekommen werde, weil der Werth von: in einer einfachen
Gleichung gegeben iſt. Alsdann wird c † dz = (a † bz) XX,

C — A X
und hieraus z = –
Pxx —
be a d

bxx —

atr, igtn (c 1†. 42) = (a be) ,

y S= — 3.. . Es wird alſo die irrationale Funktion

. = V (G † bz) (c † dz) durch die Subſtitution 2 =

— a X X
F
Cer: X
bxxXx —

giebt. Iſt z. B. y = V (aa — 22) =
V (at⸗ o.r ſo ſetze man, da b= er. und d=-T

.„ — AXX 2
iſt 2 — — — wo denn =
. ſt 1 † XX 1 1

— ſeyn wird. So

oft daher die Groͤße unter dem Zeichen V zwey einfache
reelle Faktoren hat, kann man ſich dieſer Art, ſie auf die
Rationalform zu bringen, bedienen; wenn aber die beyden

einfachen Faktoren imaginaͤr ſind, ſo iſt folgender Weg
vorzuͤglicher.

Es iſt y = V(p † qz † r22); man ſoll eine Subſti⸗

tuion fuͤr finden, wodurch der Werth von y rational wird.
Es kann dies auf mehrere Arten geſchehen, je nachdem

5 und q poſitive oder negatide Groͤßen ſind. Es ſey zuvoͤr⸗

derſt

zur Rationalitaͤt gebracht, indem dieſelbe v7S=

Vor

det
,6
rat
Eſ.

wofe
abere

ire

ſer Fal
deniels
pe⸗
Wechen

14

und

duc⸗
1

e2

und

ubſeß
wird.
chden
pwr⸗
duf

Von der Verwandl. d Funktionen durch Subſtitution. 57

derſt p poſitivund Saa; denn wenn auch p kein Quadrat
iſt, ſo verurſacht doch bey dem gegegenwaͤrtigen Geſchaͤfte die
Irrationalitaͤt der beſtaͤndigen Groͤßen keine Schwierigkeit.
Es ſey alſo ́MMU
I. y = V (a à † be † czz). Setzt man hier (a a †
bz † czzZ) = à † Xz, ſo wird b † cz = 2aXx † XX2; und
. b – 2 àa X , bXx=–AàAXX—–—aàa C
alſo; = 5 =-: folglich „= a † XzZ =
wo? und y rationale Funktionen von ſind. Ferner ſey.

2. y = V(a az 2 †T bz † c). Setzt man nun V(aazz †
deſe! = az † xX, ſo wird bz † c = 2 a xz † xx, und 2 =
XX — — ac†bx=aXX

—,. — Dann aber iſt = aZ† X = —
ſt y 1 b — 2 àa X

3. Wenn p und r negativ ſind, ſo iſt der Werth von y„,.
wofern nicht q q groͤßer als 4 pr iſt, allezeit imaginaͤr. Iltt
aber ꝗq q groͤßer als 4 pr; ſo kann der Ausdruck p † ꝗz p rzzZz
in zu ey Faktoren aufgeloͤſet werden, und dann gehoͤrt die⸗
ſer Fal unter den vorhergehenden §. Oft kann man aber
denſelben bequemer auf dieſe Form bringen, „= V (a a †

(b † cz) (d † ez)); und um dieſen Ausdruck rational zu

machen, ſetze man y = a † (b T cz) x. Dann iſt d † ez =

d — 2 a XK — bXX
2a X T† bxx †cCXXZ, und daher 2 = „
CcXX– e

— ae † (cd — be)xX — acXX offt iſt die Re⸗
cXxK — e
duction auf dieſe Form leichter, „=— V(aazz † (b † c2)
(d † e. Dann ſetze man y = az † (b † c z)x, wo d †
bxXX — d

und y =

ez = 2 a xz † bxx CxXXz, und 2 =

e — 2 a5X — (XX

d.- be — c d)X— ab
und y» = — Tbe — cch— ab k wird.
— 2 2a5X — cxæX

9 5 Exem⸗

äs

528 Errſtes Buch. Drittes Capitel.

Exempel.
Haͤtte man die irrationale Funktion von 2, y =VS— 1†
32 — 22); ſo koͤnnte man dieſelbe auf die Form, y =
VII — 2 † 32 – 22 = V (1 — (I1 — 2) (2 — 2)) bringen.
Setzt man aber darauf y= I — (1 — 2) xX; ſo wird
2 — 2X † XxxX.
I1 TXX

— 2 † 2 = — 2 Pxx — xX 2, und ⸗ =

und dann iſt 1 — 2 = — = —— , , undy = 1— (1 –— 2) X
I † æ — XX
= T Xxx—
welche die unbeſtimmte Analytik, oder die Diophantaͤiſche
Arnalyſis darbietet; denn es laſſen ſich keine andere irratio⸗
nale Formeln, die nicht unter den erwogenen begriffen waͤ⸗

Und dies ſind ohngefehr die Faͤlle,

ren, durch die Subſtitution rational machen. Es ſoll da⸗

her nunmehr von dem andern Nutzen der Subſtitution ge⸗
redet werden.

H. 52.

Es iſt y eine ſolche Funktion von 2, daß ay“ † bz 6

=ðWMB cy 2 = o: man ſoll eine neue veraͤnderliche Groͤße
2? finden, wodurch man die Werthe von y und 2 ent⸗
wickelt darſtellen kann.
Da man keine allgemeine Regel fuͤr die Aufloͤſung der

Gleichungen hat; ſo kann aus dieſer Gleichung weder „
durch?z, noch? durch y entwickelt dargeſtellt werden. um
alſo dieſer Unbequemlichkeit abzuhelfen, ſetze man y„= xm zu,

wo dann aX“ n 202... b 268 4. cx? m /YN-à — ſeyn wird,
und beſtimme darauf den Exponenten n ſo, daß der Werth

von? aus dieſer letzten Gleichung entwickelt werden kann.

Dies kann auf dreyerley Arten geſchehen.

I. Es

mn

W

g N
Ger y

121

erth
nn.

bpz6-ah † exm O—.5. Hieraus ergiebt ſich

Von der Verwandl. d. Funktionen durch Subſtitution. 59

1. Es ſey «n = 6, und alſo n = ; ſo iſt, wenn man

die gedachte Gleichung durch 2 *n — 2 dividirt, aX * .

1 † cx ;I 2M 4 5= o. Hieraus ergiebt ſich
I

— (— a, oder
cXN
ℳ
.ℛδ⸗ n
2=(— ) 61 — e6 1 e5, und

2
2) 67 — 2= 1 )

— à xiMm –—
y = n ( .
cXIN

8⁸ —
2. Es ſen = yn † à, oder n S ſo iſt, wenn

ℳNP
man die obige Gleichung durch 2²˙ — 271 dividirt,

i
ax ln eh-6. b † cx) =o. Hieraus ergiebt ſich
Ym 1
— ( ) en — 4, oder

7
euum
a XI

2 —

3. Es ſey „ n = Yn † , oder n = — ſo iſt, wenn

man dieſelbe Gleichung durch 2*n = 27n dividirt, axn .

2 =–

Erſtes Buch. Drittes Capitel.

æm ym — S
* = (— — 4 6. — en, oder

— O

afm „ym, —
2 = (— — —) =à — 3 7 — %, und
b

2

y = X — 5— 6⅛* — «5

Hier ſind alſo auf drey verſchiedene Arten Funktionen von

Mαι I

* gefunden worden, die 2 und y„ gleich ſind. Uebrigens

kann man fuͤr m eine Zahl ſetzen, was fuͤr eine man will,
bloß die Null ausgenommen; und auf dieſe Art laſſen ſich
die Formeln auf die bequemſte Form bringen.

Exempel.
Es ſey die Natur der Funktion y durch die Gleichung

y³ † 23 – cyz = o gegeben, und es werde verlangt,

daß man Funktionen von x finden ſoll, die den Funktio⸗
nen y und ? gleich ſind. ,B

Hier iſt alſo 2 =– 1; b = — 1; .= 3; 868 = 3;
y =1 z und 3 = I. Folglich giebt die erſte Beſtimmungs⸗
1

art, wenn man m = I ſetzt, 2 = (— „und y =

C X C XX .
(— ) 1oder 2— —— u ndy= 1†* wo ſo
gar beyde Formeln rational ſndd.
Die andere Art fuͤhrt zu folgenden Warthen⸗

2
2 - 4, und/= (; “ oder

= VX— ) dy= 1 s — v⸗.

Die

Hien
Gleichu
ſen ſyn
neuen ve
lbunen.
Dnr,
genornm

*?
rhaolten

angenon

70 8

ſowird
bon X
e-

7.
1

unda

*

hen ton
heigens
wil,

n ſch

ſchut
ngt,

Von der Verwandl. d. Funktionen durch Subſtitution. 61

Die dritte endlich giebt

2
2 = (Cx — xX33) , und y = X (cx — 23)

§. 53.
Hieraus laͤßt ſich ruͤckwaͤrts beurtheilen, wie die
Gleichungen, in welchen y durch 2 gegeben iſt, beſchaf⸗
fen ſeyn muͤſſen, wenn ſie durch die Einfuͤhrung einer
neuen veraͤnderlichen Groͤße X ſollen entwickelt werden

koͤnnen.
Denn nimmt man an, daß man durch eine bereits vor⸗

genommene Aufloͤſung
( * † bxs cX † )*7
2 —
A † BxX“ † Cx † ꝛc.

und

S bx6 † cx?² † ꝛc. 4'†
A † Bx/ † CxXx † ꝛc,
erhalten habe; ſo wird daher Ine XP 29, [weil aus den

angenommenen Gleichungen 2 = 2) 1 9, und hieraus
— T D rd — ,— 4¹P
2 = (P) wird] und alſo * = yz . Da alſo

b axe † bx *† cX † ꝛc.

2 —

A T Bx T Cx' † ꝛc.
ſo wird, wenn man in dieſe Gleichung den Werth y 2 A:
von X anſtatt X ſetzüttt,
npb aye e- s GD t b 62 STD cyr2 — Ab Lir.
2 — —

A † ByÜ2 — diP Cy'2 — q: P †. ꝛc.

undaus dieſer Gleichung ergiebt ſich ferner

62 Errſtes Buch. Drittes Capitel.
Azr' P † B ys“ C:4): p 1 S E ,: b . =
ay 2 — ℳ q: P E byz — 68 q: P cy? 2 — 7 q: pat.
ſo wie hieraus, wenn man mit 2 * A b multiplieirt,
AzCed Oih- By GNaakrpC) 2(àq-Fr.: P 20.

Sa y 1 byea Ga- Dip rcyie — dl: P ze.

Setzt n man nun AA1 = m, und 2= nz ſo
wird
b = g — 6, q = n, und r = « m — 6 m — an;
folglich

AZ 1B ykrm— en (a- —1C,'¹2 2m mn Si=

— Y) n: (a — 8)
ay* † by? zn cy 2 (« — Y h: ( ) 2.

und dies iſt die Gleichung, aus welcher man bey der Auf⸗
loſung

.ℳNhse 62

„— ( * † bx 6 cx ) 5 —
— *₰*M I —= Sm —A&αH
A † BX † CXxX ꝛc. und
* † bxX6 .) — S
A † BxXxE CX † ꝛc.

erhaͤl.
q P r — 5 q †.†

Oder man ſetze —— — m, uud⸗ 1 = n; ſ

1
“ m –— .ι I R
P P . “

ſemer = m=–n, und r = 4 m — a m † * n.
Vermittelſt dieſer Werthe aber wird

A 2

†b

iu. ſf.
der Auft

Ponden

Aun;

4)
1=(

Wer
byz 0
einer ne⸗
2 f fol
Von
PVt by

rch 1.

1820 u

1 — —

Auf
chung zr
So hri
ſſe gevj
hiher ſch
ſhe Grdͤſe

Wenn

1— 41;

Von der Verwandl. d. Funktionen durch Subſtitution. 63

AZ in B y’ 2 h . cy'2 m -—»(m -— n): E . u, ſ. f. =

ay* bys . — 6)CN-- n): e f cy? 2(—)m — n):

F†. u. ſ. f.; und dies iſt nunmehr die Gleichung, welche bey
der Aufloͤſung

— rvaA Xx * . bx“ † cX?7 1 u. ſ. f. 5
2 — em — æmf æan
AT x CXx † u. ſ. f. und
* . bx6 † cXx P u. ſ. f. — n
J= 2 . um — Im †en
A CX † u. ſ. f. giebt.
§. 54.

wenn y auf die Art mit 2 verbunden iſt, daß a y y 1†
byz †czZ—n U ?† dy † e = o iſt: ſo findert man mit Huͤlfe
einer neuen veraͤnderlichen Groͤße x ſowohl fuͤr y als fuͤr
2 auf folgendem Wege einen rationalen Ausdruck.
Man ſetzet y = xX2, und dividirt die dadurch aus
ayy † by z † czz † dy † ez = o entſtehende Gleichung
durch 2. Alsdann hat man aXX † bxz † cz † AX 1
= o; und hieraus
— dx –— e- — dxx — ex
= und y = aXX †T† bx † c
Auf die gegebene Form kann man aber auch dieſe Glei⸗
chung zwiſchen y und 2, ayy † byz † czz † dy † ez †
f =o bringen; wenn man beyde veraͤnderliche Groͤßen um
eine gewiſſe beſtaͤndige Groͤße vermehrt oder vermindert;
daher ſich auch dieſe Gleichung durch eine neue veraͤnder⸗
liche Groͤße X entwickeln laͤßt.

§. 55.
Whenn y auf die Art von 2 abhaͤngt, daß a y 3 †

ber t eye⸗ † dz3 † eyy †. fyz † gzzZ = o iſt: ſo

laͤßt

—

O=Oòͦðñ

64 Erſtes Buch. Drittes Capitel.

laͤßt ſich ſowohl „ als z auf folgende Art rational aus⸗
drucken.
Man ſetzet y = X 2, und dividirt, wenn man hiernach
die gegebene Gleichung veraͤndert hat, dieſelbe durch 22.
Dadurch erhaͤlt man a X32 † bzxxz † cx z † dz † exx †
fx † g =o; und hieraus wird
err Erg u.
AX 3 † bXX † CxX † d a X 3 † bXXTCX † d
Aus dieſen Beyſpielen laͤßt ſich leicht erkennen, wie die
Gleichungen von hoͤhern Graden zwiſchen y und 2 beſchaf⸗

fen ſeyn muͤſſen, wenn eine aͤhnliche Aufloͤſung ſtatt finden

ſoll. Uebrigens ſind dieſelben unter den Formeln des 53ſten
§. begriffen; aber wegen der Schwierigkeit, womit die

Anwendung der allgemeinen Formeln auf dieſe oͤfters vor⸗

kommende Faͤlle verknuͤpft iſt, ſchien es zweckmaͤßig, einige
davon beſonders zu entwickeln.

§. 56.

Wenn das verhaͤltniß zwiſchen y und 2 durch d die
Gleichung ayy † byz † czz = d gegeben iſt: ſo laſſen

ſich beyde Groͤßen y und 2 auf folgende Art durch eine
neue veraͤnderliche Groͤße X beſtimmen.

Man ſetzt »„= x 2, und da dadurch (axx † bx † c)

2 7 = dj wird, ſo bekommt man
d

d
2 = V F mpy= , WV errTN T

4 X X + b X

Auf eine aͤhnliche Art erhaͤlt man, wenn ays † by2z †

cyz2 † dz3 = ey † f iſt, durch die Subſtitution »= X 2
und durch die Diviſion der daher entſtandenen Gleichung

durch?z, (a x3 † bXX † cX † d) 2z = ex † f; und folglich

ex † f ex † f
= X V —
a T bxxf cxTd )= X N

. V

17

Es

2 =

— ex“ — fxxX — gxX

AxX 3 † bxx T Cx † d-

Pon 9

Ei
eine ahn
Fole de

we
Gleichu
S aA1
ben iſt:
bequem
Wan
mittelſ
dndert
daß de
und de
2 m -

ſioßt

9—

S

ndeg
mehr
veraͤn
hetrach
injelne

Dimen
in Ans
die nie
Kul

1 aus⸗

nnoch

c 11

kextf

— 5 X
„we Ne
tt inden
5ſten
i die
ftrs vor⸗
ig, einige

durch die

ſ liſen
rch eine

Von der Verwandl.d. Funktionen durch Subſtitution. 6

Es ſind aber dieſe, ſo wie auch alle uͤbrigen Faͤlle, die
eine aͤhnliche Aufloͤſung zuaſſen, unter dem allgemeinen
Falle des folgenden §. begriffen.

§. 57.
Wenn das vVerhaͤltniß zwiſchen y und 2 durch die
Gleichung a ym † bym-I 2 † c ym-= 222 † dym- 323 † 2c.
= æ* 1 - . 3y n -IZ † 7y n- 222 † y n- 323 † ꝛc. gege⸗
ben iſt: ſo laͤßt ſich ſowohl y als 2 auf folgende Art
bequem durch eine neue veraͤnderliche Groͤße x darſtellen.
Man ſetze y = xX2, ſo kann man, nachdem man ver⸗
mittelſt dieſer Subſtitution die gegebene Gleichung abge⸗
aͤndert hat, die ganze abgeaͤnderte Gleichung, vorausgeſetzt,
daß der Exponent m groͤßer als n iſt, durch 2n dividiren,
und dadurch erhaͤlt man (a in † bxm-TI † CxXmMm =2 † ꝛe.)

2 n - n = α n SXn —I † YXn-2 ꝛc. Hieraus aber

V —— . m — n
a xm †bXM—I P CxXmN -2 † ꝛc. n .
und

„α X † $X - I P „Xn-2 †. ꝛc. N — —
=(1 . bxm- 1 † cxm-2 † ꝛc. OD m — n
Es findet nemlich dieſe Aufloͤſung alsdann ſtatt, wenn
in der ganzen zwiſchen y und 2 gegebenen Gleichung nicht
mehr als eine doppelte Menge von Dimenſionen beyder
veraͤnderlichen Groͤßen y und 2 vorkommt; ſo wie in dem
betrachteten Falle die Anzahl dieſer Dimenſionen in jedem
einzelnen Gliede der Gleichung entweder m oder n iſt.

§. 58.
wenn in einer Gleichung zwiſchen y und? dreyerley
Dimenſionen vorkommen, ſo daß die hoͤchſte die mittelſte
in Anſehung der Hoͤhe um eben ſo viel überſteigt, als
die medrigſte unter der mittelſten iſt; ſo kann man mit
Lulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. I B. ECE Suͤlfe

Erſtes Buch. Drittes Capitel.

Huͤlfe der Aufloͤſung der quadratiſchen Gleichungen die

veraͤnderlichen Groͤßeny und? durch eine neue veraͤnder⸗
liche Groͤße X ausdrucken.

Denn ſetzt man y» = xXz, und dividirt man die durch

dieſe Subſtitution erhaltene Gleichung durch die niedrigſte
Poteſtaͤt von 2; ſo laͤßt ſich nun der Werth von 2, durch
beſtimmt, vermittelſt der Extraction der Quadrat⸗Wurzel
erhalten. Folgende Beyſpiele werden dieſes deutlich machen.
Erſtes Exempel.
Es ſey ay“ † by 22 † cyzzZ † dz3 = 2 eyy † 2 fyz †
2 g22 † hy † iz. Setzt man nun y = X2, und dividirt
man die dadurch erhaltene Gleichung durch 2; ſo bekommt
man
(ax 38 † bXX † C X † d) 22 = 2 (eXxX fx r g 2 † h X Ti;
und hieraus 2 =
exxLfTg † (Cexx 1GTg)a f (axsfl brxi cx p dychx f ))
à 3 b X X T c X †* d.
Hat! man aber gefunden, ſo iſt » = xXz.
Zweytes Exempel.
Es ſey y5 = 2 a 23 † by † cz. Setzt man nun wie⸗
der y = x 2, ſo wird X524 = 2 a 22 † bx † c; und hier⸗

aus findet man
a † V(aa † bX6 † cx5)

2 2 — — 6

X 5*

ſo wie hieraus
— (a & V (a a † b x6 † õ
X X V X
A V— a 4 † b x6 † 2
X V X
Drittes Epempel.
Es ſey y 10 = 2ày26 † byz3 † cyA; wo man alſo
die D Dimenſionen 10, 7 und 4 hat. Setzt man y = x,
und dividirt man die dadurch erhaltene Gicichung durch 24

ſo

und

7 —

Vond⸗

ſerhat

1152³

BBB K

Von der Verwandl. d Funktionen durch Subſtitution. 67
en die ſo erhaͤlt man, x1O02ZS — 2 X 23 † bx † c, oder 26 =
nder, 2àaXZ3 † b X
8 Hieraus ergiebt ſich

drch a X † æX V (a àa T bX9 † C X 8)
23 = — nd folglich i
V (a † V (aa † bx9 † c X 8))
Wuel 2 = „und
X 3
machen. 3
V(a *% V(aa † bx9 †† c X8))
dioidirt Aus dieſen Beyſpielen laͤßt ſich die Art des Gebrauchs
detommt dieſer Subſtitutionen zur Genuͤge einſehen.

„

man al

–
17

fortlaufende Formeln ausdruckt.
Natur einer ganzen Funktion am leichteſten erkennt, wenn

Viertes Capitel.
Von der Entwickelung der Funktionen durch
unendliche Reihen.

Die zu dieſem Capitel noͤthigen Zuſaͤtze ſtehen insgeſammt im An⸗
hange unter der dritten Nunner.

. 59.
Da die gebrochenen und irrationalen Funktionen von .
nicht unter der Form A † B z † Cz2 † D z3 † u. ſ. f. be⸗
griffen ſind, wenn die Anzahl der Glieder eine endliche Zahl
iſt: ſo pflegt man aͤhnliche ins Unendliche fortlaufende Aus⸗

druͤcke zu ſuchen, welche den Werth einer jeden gebrochenen

und irrationalen Funktion darſtellen. Ja man iſt ſelbſt die

Natur der tranſeendenten Funktionen beſſer im Stande ein⸗

zuſehen, wenn man ſie durch dergleichen ins Unendliche
Denn ſo wie man die

man ſie nach den in ihr vorkommenden verſchiedenen Pote⸗
ſtaͤten von 2 entwickelt, und alſo auf die Form A † B z †
CZz † D z3 † u. ſ. f. bringt: ſo iſt auch eben dieſe Form
vor allen andern geſchickt, der Seele einen deutlichen Be⸗
griff von der Natur einer jeden andern Funktion zu erthei⸗

len, wenn gleich die Anzahl der darin vorkommenden Glie⸗

der unendlich iſt. Es faͤllt aber in die Augen, daß keine
andern, als bloß die ganzen Funktionen von? durch eine
endliche Menge ſolcher Glieder, A † Bz † C za † Dz3 †
u. ſ. f. ausgedruckt werden koͤnnen: denn ſollte das Gegen⸗

theit moͤglich ſeyn, ſo wuͤrden eben dadurch die Funktionen
zu

8

PVeonde

gonje
ſin, ob
ganzen d
hrucken!
ſer Fun
Zweifel
dieſe Ent

Gilſen au

gonze Ze
laſen wert
daß eine
bon dieſe
gOeoct
meine

Zahl ⸗

Es iſt
iite ohne
Heiheverr

4 Bnd

—

4
telbgr fa

Man
daß nan

durch

in An⸗

ſelbſ die
ande ein⸗
Unendliche
nan die
nt, wenn
nen Pn⸗
diee honn
liten Ne⸗
n athe i⸗
den Gu⸗
daß keine
durch eine
1 Gege⸗
uttionen
u

=

Von der Entwickelung d. Funkt. durch unendl. Reihen. 69

zu ganzen Funktionen. Und ſollte jemand daran zwei⸗
feln, ob man die uͤbrigen Arten der Funktionen außer den
ganzen durch eine unendliche Anzahl ſolcher Glieder aus⸗
drucken koͤnne: ſo wird die wirkliche Entwickelung aller die⸗
ſer Funktionen in dergleichen unendliche Reihen dieſen
Zweifel hinlaͤnglich aus dem Wege raͤumen. Damit aber
dieſe Entwickelung einen deſto groͤßern Umfang erhalte, ſo
muͤſſen außer den Poteſtaͤten von 2z, deren Exponent eine
ganze Zahl iſt, auch alle uͤbrigen Poteſtaͤten von 2 zuge⸗
laſſen werden. Auf dieſe Art leidet es gar keinen Zweifel,
daß eine jede Funktion von? durch eine unendliche Reihe

von dieſer Form A2“ † Bz6 † Cz* Dz f u. ſ. f. aus⸗

gedruckt werden kann, indem «, , , 5 u. ſ. f. ganz allge⸗

meine Zahlzeichen ſind, und man alſo dafuͤr, was fuͤr eine
Zahl man will, ſetzen kann.

§. 60.
Es iſt bekannt, daß man den Bruch . durch

eine ohne Ende fortgehende Diviſion in dieſe unendliche

. a a β 3 2 6 222 28323
Reihe verwandeln kam; —, 482 — —
„ M⸗A92 „3 44
B£B424
† —, — — 20. Da darin jedes Glied zu dem unmit⸗

telbar folgenden das beſtaͤndige Verhaͤleni 1: . Er hat, ſo

nennt man ſelbige eine geometriſche Reihe.
Marn kann aber dieſe Reihe auch auf die Art finden,
daß man ſie anfangs als unbekannt betrachtet. Denn ſetzt

man

— — — A † Bz † Cz⸗ † Dis † Bae fse.
l 6
E 3 und

70 Erſtes Buch. Viertes Capitel.

und ſucht man, um dieſe Gleichheit wirklich hervorzubrin⸗
gen, die Coeffieienten A, B, C, D, E u. ſ. f. ſo wird
a = (« † 82z) (A † Bz † Cz2 †DZ3 † EzA † ꝛc.
Multiplicirt man nun wirklich, ſo bekommt man

à = „ A † „ B Z † « Cz2 † e D z3 †T æ= E Z4 † u. ſ. f.

†AZ †⁸ B22 † 6 Cz3 T8 Dz4 † u. ſ. f.
Es muß alſo a = « A, folglich A = und der Coeffici⸗

ent einer jeden Poteſtaͤt von ⸗ gleich Rull geſetzt werden.
Dies giebt folgende Gleichungen

à B T† A = 0
ℳ* † 6$ B = 0
„D † ⁶C = 0
ℳ* E 16b = o.

Kennt man alſo irgend einen von den Coefficienten, ſo laͤßt
ſich daraus der folgende leicht ſinden. Denn ſetzt man den
Coefficienten irgend eines Gliedes = P, und den Coeffi⸗
cienten des unmittelbar folgenden grledes = Q: ſo iſt

*Q 1 P = 0O, und folglic C= — . Da alſo das erſte

Glied A beſtimmt und = — — iſt: ſo findet n man daraus die
folgenden Groͤßen B, C, Duſef. „eben ſo, als ſie ſich aus

der Diviſion ergaben. Uebrigens ſieht man ohne Muͤhe,

daß der Coefieize, von zn in der gefundenen unendlichen

Reihe = 12 — iſt, wobey das Zeichen † alsdann ſtatt

findet, wenn n eine gerade, — aber, wenn n eine unge⸗

rade Zahl iſt; mit andern Worten: der Coefficient iſt alle⸗

.ℳM N

zeit = (— ²) 1.

Ponde

uße

durch ei
indliche

Da

bey die
licht ube
pilkührli
wiedorhi
1 1
Müpt
1,

1br

Hieraus

t4=

Ahalten i

Mn fin

unmittel
ten des

und

Von der Entwickelung d. Funkt. durch unendl. Reihen. 71
brin⸗ §. 61.

Auf eine aͤhnliche Art kann der Bruch 8 4 b
Aæ T ⁸ 2 T† 72 2

durch eine ohne Ende fortgehende Diviſion in eine un⸗
endliche Reihe verwandelt worden. .
Dea inzwiſchen dieſe Diviſion muͤhſam iſt, und man da⸗
Coeßfiei⸗ bey die Natur der gefundenen unendlichen Reihe nicht ſo
leicht uͤberſieht: ſo iſt es vortheilhafter, die geſuchte Reihe

uſ.
uſ..

aden willkuͤhrlich anzunehmen, und ſie dann auf eben die Art
wie vorhin zu beſtimmen. Es ſey alſo
4 bz = A † B2 † Cz2 4. D z3 † Ez4 T u. ſ. f.
ℳ + 82 † 222
Multiplicirt man hier auf beyden Seiten durch ⸗ † 82 r
722; ſ erhaͤlt man
ur k 1 Ae 1r sBe= † eei 1 spa ku. (f.
n Ceft⸗ † 7vA22 † 7 Bz3 † »CzZ4 † u. ſ. f.
b dieraus ergiebt ſich «= A = D 2* B † 6⁶A = b; und folglich
b
s ee iſt A = 2, und B = —— Die uͤbrigen Buchſtaben
R erhalten ihre Beſtimmung aus folgenden Gleichungen:
kaus de
. 2C † g B † 7„A = 0
ſeſchaus .D † β C † 7„ B = o
e MH, „ EB † 8D † 7C = o
endichen „F F gE T YD = O
H Man findet hier alſo aus den Coefficienten jeder zweyer
ne vnge⸗ unmittelbar auf einander folgenden Glieder den Coefficien⸗
n iſ el⸗ ten des naͤchſten Gliedes. Sind z. B. die Coefficienten

zweyer unmittelbar auf einander folgenden Glieder ?P und
Q, und der Coefficient des naͤchſten Gliedes R: ſo iſt = R †
E 4 . 6 G

61.

72 Erſtes Buch. Viertes Capitel.

— ⁶½£¾ — ? PB
RN.T⁷0n
beyden erſten Buchſtaben A und B bereits bekannt ſind, ſo
findet man aus ihnen nach und nach alle folgenden C, D,
E, F, u. ſ. f. und auf dieſe Weiſe erhaͤlt man A † Bz †

CzZa † Dz3 † Ez4 1c h
2 Dz A T β2 T† 72 2

6⁶6 Q TPYP = o, oder R =

. Da nun die

Exempel.
I † 22
Es ſey der Bruch . - gegeben, und ihm werde
die Reihe A † B 2 T C zZ2 T Dz 3 † ꝛc. gleich geſetzt.

7 = – I iſt, A= I, B = 3; und folglich
C = B T A Ein jeder Coefficient iſt alſo die Summe
D =CFB der beyden vorhergehenden; und kennt
E= DFEC man daher die Coefficienten zweyer un⸗
F = E † D mittelbar auf einander folgenden Glieder
u. ſ. w. Pund Q, ſo iſt der naͤchſte BR= P †. Q.
Da nun die beyden erſten Coefficienten A und B bekannt

ſind, ſo giebt der Bruch . folgende unendliche

Reihe: 1 † 32 † 422 T 723 † I124 † 1925 u. ſ. w. die
man ohne Muͤhe, ſo weit als man will, fortſetzen kann.

§. 62. .
Hieraus iſt man bereits im Stande, die Natur der un⸗
endlichen Reihen, worin gebrochene Funktionen verwandelt
woerden koͤnnen, zu begreifen. Es findet nemlich bey den⸗
ſelben ein ſolches Geſetz ſtatt, daß ein jedes ihrer Glieder
aus einem oder einigen von den vorhergehenden gefun⸗
den werden kann.
Bruchs = s † 62, und ſetzt man die unendliche Reihe
0 A

Iſt z. B. der Nenner des gegebenen

Vonde

112
lnkz
pittelbar
daß C.
Kheilen
unendli
funden
Ware d

ſo würdea

halten w
„0t1
Es wie
s d
den 6
ſimm
Bruge
ſll,
nit demn
derſeben
hen, we
den Glie
Men

So
daß de
a das
nich
ich
nomn
ſede L

in die

id, ſo
1,).

ih

nn werde

geſeze.
1 und

Sunme,
und kennt
tyer un⸗
Gebenr
C
3 bonnt

nendliche

kaon.

her un⸗
wandelt
bey den⸗
Glieder
gefup⸗
gebenn
Nahe
A

Von der Entwickelung d. Funkt. durch unendl. Reihen. 73

A † Bz † Czz P. 8† Pzu † Qzn †1 † Rzn †2 †
SzZnP3 † ꝛc.; ſo wird jeder Coefficient Q aus dem un⸗

mittelbar vor ihm hergehenden allein auf die Art beſtimmt,

daß =Q † P = o wird. Beſtaͤnde der Renner aus drey
Theilen, « † &; † 722; ſo wuͤrde jeder Coefficient in der
unendlichen Reihe, R, aus den beyden vorhergehenden ge⸗
funden werden, wenn man ⸗=R † 6 Q † 7 P = o ſetzte.
Waͤre der Nenner viertheilig, wie = † 3 ½7ν&†11ο⁄2† à23;

ſo wuͤrde jeder Coefficient in der unendlichen Reihe, 8, er⸗

halten werden, wenn man ihn ſo annaͤhme, daß «S † R †
„Q† à P = o wuͤrde; und ſo geht dies immer weiter fort.
Es wird daher in dieſen unendlichen Reihen jedes Glied
aus einem oder einigen von den unmittelbar vorhergehen⸗
den Gliedern nach einem gewiſſen beſtaͤndigen Geſetze be⸗
ſtimmt, und dieſes Geſetz laͤßt ſich aus dem Nenner des
Bruchs, der in eine unendliche Reihe verwandelt werden
ſoll, ohne Muͤhe erkennen. Man nennt aber dieſe Reihen
mit dem beruͤhmten Moivre, der ſich mit der Unterſuchung

derſelben vorzuͤglich beſchaͤftiget hat, wiederkehrende Rei⸗

hen, weil man bey denſelben immer zu den vorhergehen⸗ ,
den Gliedern zuruͤckkehren muß: wenn man die folgenden

beſtimmen will.

§. 63.
Es iſt aber zur Erhaltung ſolcher Reihen nothwendig,
daß der beſtaͤndige Theil des Nenners nicht = o ſey; z denn

da das erſte Glied derſelben A = 2 iſt §. 60. 61. ſo würde

nicht nur dieſes Glied, ſondern auch alle folgenden unend⸗
lich werden, wenn = = 0 waͤre. Dieſen Fall alſo ausge⸗
nommen, der nachher betrachtet werden ſoll, ſo laͤßt ſich
jede gebrochene Funktion, die in eine unendliche Reihe
E 5 ver⸗

₰ℳM—

74 Erſtes Buch. Viertes Capitel.

verwandelt werden ſoll, auf dieſe Form bringen:
a † bz c22 ÿ dz 3 † ꝛc.

I1 –— a2 — 822 – 723 – à24 — rꝛc.

des Renners = I1 geſetzt worden iſt, weil ſich auf dieſe Art

alle Bruͤche ausdrucken laſſen, ſobald das gedachte Glied
nicht = o iſt; die uͤbrigen Theile des Nenners aber haben

deswegen alle das Zeichen —, damit alle Glieder der

Reihe poſitiv werden. Denn ſetzt man die daraus ent⸗
ſpringende wiederkehrende Reihe = A † Bz † Cz
DZ3 † E24 † u. ſ. f. ſo werden die Coefficienten auf die
Art beſtimmt, daß
A = a
B = „A T b
= B † £ A † c
D = „C † εB † YA T d
E — aD 4 6cEτν1⅞5hh† a“ te
u. ſ. w. .
Ein jeder Coefficient iſt alſo ein Aggregat des Vielfachen
eines oder mehrerer vorhergehenden Coefficienten, und

einer gewiſſen Zahl, welche der Zaͤhler an die Hand giebt.
Wenn indeß der Zaͤhler nicht aus einer unendlichen Menge
von Theilen beſteht, ſo hoͤrt das Hinzukommen dieſer Zahl
bald auf, und dann wird jeder folgende Coefficient nach

einem beſtaͤndigen Geſetze bloß aus den vorhergehenden

Coefficienten beſtimmt. Damit nun die Folge unter den
Glliedern der Reihe ununterbrochen fortgehe, ſo muß man
zu der gegenwaͤrtigen Verwandlung aͤchte gebrochene Funk⸗

tionen nehmen; denn bey den unaͤchten gebrochenen Funk⸗

tionen aͤndert die darin enthaltene ganze Funktion in den

Gliedern, in welche ſie kommt, das artſch eiten der Reihe.

So giebt z. B. der unaͤchte Bruch — D dieſe Reihe:

wo das erſte Glied

Vonde

1
1ſte
gon der
der beyd

linter

her de

erdienen
Nenner e

ſidet me
ſache D
4 †
.

d der
Nad-Ih
rende,
hergehe
ſet, nan
en Ne⸗

³1

crithm

(a
ich ode
netiſche
Nuct n
r.
uſ⸗

Von der Entwickelung d. Funkt. durch unendl. Reihen. 75

I1 32 † 4 22 † 623 † IOz1 † 1625 † 2626 † 4227 †
Glied u. ſ. f.; es macht aber das vierte Glied 623 eine Ausnahme
von der Regel, nach welcher jeder Coefficient die Summe
der beyden vorhergehenden iſt.

ingen:

ed

te Gc
heben MZ
der der §. 64.
s ent⸗ . . s
D Unter den wiederkehrenden Reihen, die man durch die
1² †

bisher beſchriebene Entwickelung der Funktionen erhaͤlt,
verdienen diejenigen, die aus Bruͤchen entſpringen, deren
Nenner eine Poteſtaͤt iſt, eine beſondere Betrachtung. So

b
ſindet man z. B. wenn man den Bruch b⸗ in eine

(1 — 2)2
ſolche Reihe aufloͤſet, dieſe:
a † 2 a, † 3 224, 2 † 4 ℳ3a, 3 † 5„4a, 4 † 2c.
k+ b †22b † 3 =2 b † 4 .3 b † ꝛc.
iten und der Coefficient von der Poteſtaͤt zn iſt (n † 1) ena
l nan-1b. Es iſt indeß auch dieſe Reihe eine wiederkeh⸗

auf die

, . .
rende, weil darin ein jedes Glied durch die beyden vor⸗
d gich
Ane hergehenden beſtimmt wird; und man erkennt das Ge⸗
ſeegtf ſetz, nach welchem ſolches geſchiehet, aus dem entwickel⸗
ten Nenner, der 1 — 22 † „ατ iſt. Setzt man
ent duch M
atb „= I und 2z = ; ſo geht die Reihe in eine allgemeine “
. arithmetiſche Progreſſion, a † (2 a † b) † (3 a +† 2 b) †
“ (4 a † 3 b) † u. ſ. f. uͤber, deren Differenzen unveraͤnder⸗
8 lich oder einander gleich ſind. Es iſt daher eine jede arith⸗
euar metiſche Progreſſion eine wiederkehrende Reihe. Denn

r Ddruckt man dieſelbe auf dieſe Art aus A† B † C† D † E †
F †† ꝛc. ſo iſt C = 2 B — A; D = 2C — B; E= 2 D— C;
e Rei⸗ u. ſ. f.

Nehe: H

76 Erſtes Buch. Viertes Capitel.

§. 65.
a T bz†cZZz 1I
Ferner wird der Bruch 2 „da = 2

c — 22)— 3 = I † 3 22 † 6 4222 † IO &323 † 15 42 4 †
u. ſ. f. iſt, in dieſe unendliche Reihe verwandelt:
a † 3 4a, P 6ℳ2a. 2 † 10 %3 23 †. r es zr ſ. f.
c T 3 =c 6224 †. . . .

worin der Coefficient der Poteſtaͤt zn = 11. 2) un⸗ a †

a.

I .
en- rIb † ae iſt. Sett n man aber

I. *

„a I, und 2 = 1; ſo geht dieſe Reihe in eine allgemeine

Progreſſion der zweyten Ordnung uͤber, deren zweyte Dif⸗

ferenzen unveraͤnderlich ſind. Es bezeichne A † B † C †
D † E † ꝛc eine ſolche Progreſſion, ſo wird dieſelbe zu⸗
gleich eine wiederkehrende Reihe ſeyn, worin jedes Glied

aus den drey vorhergehenden auf die Art beſtimmt wird,
daß D = 3 — 3 B † A; E= 3 D — 3C † B; F = 3 E —
3 D † C; u. ſ. f. iſt. Da in einer arithmetiſchen Pro⸗

greſſion die zweyten Differenzen ebenfalls einander gleich

ſind, indem dieſelben = o werden: ſo kommt dieſe Eigen⸗

ſchaft auch den ariihmetiſchen Progreſſionen zu.

8. 66.
. a † bz †czz † dz5
Auf eine aͤhnliche Art giebt der Bruch 1

eine unendliche Reihe, in welcher die Poteſtaͤt 2n den Coef⸗
n(n † 1) (n † 2)

feienten A 1n 2

2. 3. 1. 2. 3.
an1 — D an- . = — n
2. . 2. 3.
en-d hat. Setzt man daher „ = I/ und 2 = 1; ſo be⸗
greift

*

Ponder

gteft die

len Ordn
Unter ſich
geichenk
mag, ſi
demn Rer⸗
iſt ſogti
40 — ,
len Preo

Auf
greſſior
anderl
vud d
borhen
oyeben
velche d
n a
Pogreſt
Natur de

gerode

Dieſe
Zohl u
von wo
dakehe

* 1†
9

han aber
eneine
nte Di⸗

eſelbe zu
es Glied

m wird,
=31—
hen Pru
er ge
Een⸗

Von der Entwickelung d. Funkt. durch unendl. Reihen. 3

greift dieſe Reihe alle algebraiſche Progreſſionen der drit⸗
ten Ordnung, deren dritte Differenzen unveraͤnderlich ſind,

unter ſich. Alle Progreſſionen von dieſer Ordnung, der⸗

gleichen hier wider A B† C† D † E † † u. ſ. f. vorſtellen
mag, ſind daher zugleich wiederkehrende Reihen, die aus
dem Nenner 1 — 42 † 622 — 423 † 24 entſpringen. Es
ſt folglich E = 4 D — 60 † 4 8B — A; F = 4 E – 6 D †
— B; u. ſ. f., und dieſe Eigenſchaft kommt zugleich
alt en Progreſſionen der niedern Ordnungen zu.

§. 67.

Auf dieſe Art laͤßt ſich zeigen, daß alle algebraiſche Pro⸗
greſſionen einer jeden Ordnung, welche zuletzt auf unver⸗
aͤnderliche Differenzen fuͤhren, wiederkehrende Reihen ſind,
und daß das Geſetz, nach welchem jedes Glied aus den
vorhergehenden gemacht wird, durch den Nenner (1 – 2)

gegeben wird, wobey n eine groͤßere Zahl iſt, als diejenige,

welche die Ordnung der Progreſſion anzeigt. Da alſo
am † (a † b)m † (a † 2 b) m † (a † 3 b) m † u. ſ. w. eine

Progreſſion von der Ordnung m darſtellt: ſo iſt wegen der

Ratur der wiederkehrenden Reihen.
n(n –— I)
I. 2.

0 = am –— – (a † by/ m --
1I .

n(n — I) (n — 2)
1. 2. 3.

— (a † n b)m; wo die obern Zeichen gelten, wenn n eine

gerade, die untern aber, wenn n eine ungerade Zahl iſt.
Dieſe Gleichung iſt allgemein wahr, wenn n eine ganze
Zahl und groͤßer als m iſt. Hieraus laͤßt ſich beurtheilen,

von was fuͤr einem weiten Umfange die Lehre von den wie⸗

derkehrenden Reihen iſt.

(a 2 b —

(a T 3 b) m f ..... 4. . (a (n 1, b)n

78 Erſtes Buch. Viertes Capitel.
§. 66 S

Wenn der Nenner eine Poteſtaͤt, nicht einer zweythei⸗
ligen, ſondern einer vieltheiligen Wurzel iſt: ſo laͤßt ſich die
Natur der daraus entſtehenden wiederkehrenden Reihe auch
auf eine andere Art erklaͤren. Es ſey nemlich der Bruch
(1 — 2 –— ⁶22 –— 723 — 324 — 2c.) m 4
gegeben; ſo iſt die daher entſpringende unendliche Reihe
e 20,2 † 1 CNLANP g)5

2. 22 IL. 2. 3
† 4 Haesase.
(m † 1)

r — »„

Um die Natur dieſer Reihe deſto beſſer einzuſehen, druͤcke
man ſie durch allgemeine Buchſtaben aus. Man erhaͤlt
alsdann
1 † A2 † Bz2 † Czi f. . . K . 1L -2 4†
Mzn-I P Nzn † ꝛc. und ein jeder Coefficient N wird
auf die Art aus ſo viel vorhergehenden, als Buchſtaben

2,6, 7 5 u. ſ f. da ſind, beſtimmt, daß N = S M

1 2 m t 6gLT 3 4Am †n
nun gleich hier das Geſet der Fortſchreitung nicht beſtaͤn⸗
dig iſt, ſondern von dem Exponenten der Poteſtaͤt abhaͤngt;
ſo richtet ſich doch gleichwohl eben dieſe Reihe nach einem
andern beſtaͤndigen Geſetze, welches man aus dem entwickelten

Nenner findet, und welches der Natur der wiederkehrenden

Reihen gemaͤß iſt. Jenes nicht beſtaͤndige Geſetz hat aber
nur alsdann ſtatt, wenn der Zaͤhler des Bruchs die Ein⸗
heit, oder eine bekaͤndige Groͤße iſt; denn wenn er er zugleich

Pote⸗ “

Vond

lotiti
nengeſ
ungsgre
igkeit

Von der Entwickelung d. Funkt. durch unendl. Reihen. 79

Poteſtaͤten von? enthaͤlt, ſo wird daſſelbe noch viel zuſam⸗

berthei⸗ mengeſetzter. Dies wird ſich nach der Erklaͤrung der An⸗
ſohdie fangsgruͤnde der Differential⸗ Rechnung mit groͤßerer Leich⸗
iheonch tigkeit zeigen laſſen.
Rh g. 60.
ꝰR Bisher haben wir angenommen, daß der erſte und be⸗
Niche ſtaͤ„ͤndige Theil des Nenners nicht = o ſey; und haben an
nt ſeiner Stelle die Einheit geſetzt. Run wollen wir unter⸗
„ ſuchen, was man fuͤr Reihen erhaͤlt, wenn das beſtaͤndige
Glied des Nenners verſchwindet. In dieſem Salle hat die
ue gebrochene Funktion folgende Form:

a † bz † czz † .

2 (I – a 2àZ — £22 – 20.)

n, delck Laͤßt man hier den Faktor des Renners aus der Acht, ſo
n erhatt à † bz † c22
giebt der Bruch, 4 — 1 52 der dann uͤbrig bleibt,
n-¹ die Reihe A † : 4 CzZ2 † Dz3 † ꝛc. und ſo iſt offenbar,
1N w daß M M
guchſoben A
guchſbe a † bz † c2 ꝛ:c. = 1B † Cz † De † Ez2 Pit.
1 201 — a2 — B82 — 723— 26.) 7
— M HZ 8
U . — 2 – 822 –—2c.
ſeyn werde. Auf eine aͤhn Art wird —
„ e. Nufeine hnliche Aet diedd: rc:z Tic).
.Y A B 20
. — — † — † C † D 2 † ꝛc. uͤberhaupt iſt
4 Min 2 Zæ 1 2 CTFDZTE:⸗ Ti und uͤberh bt iſt
öhangt; 4 P† bz † c 22 † ꝛc. A 8 O
ch einen 2m (1 – 2 — £ 22— 723 — 2c.) 2m 2 m-I 2Zin -2

wickelten D
† — f ꝛc. m mag eine Zahl bedeuten, was für eine

dehrenden 2 n - 3
hot ebet es will.
rgeh H vX O A 2Sðèð VE.

80 Errſtes Buch. Viertes Capitel.

Da man durch die Subſtitution eine andere veraͤnder⸗

liche Groͤße anſtatt der ⸗ in die gebrochenen Funktionen

einſuͤhren, und alſo jede gebrochene Funktion auf unzaͤhlige
Arten ausdrucken kann: ſo kann man auch eine und dieſelbe
gebrochene Funktion auf unendlich viele Arten durch wieder⸗
kehrende Reihen darſtellen. Iſt z. B. der Bruch y =

824 † ꝛc. wird: ſo erhaͤlt man, wenn man 2 = — ſetzt,

. gegeben, wo alſo y»„ = I † 22 † 322 † 523 †

— (I † x) I1 † X
I † X — X X I T† X — XX
= I † ox † XX — X 3 †. 2X4 — 3xX 5 † 5x 6 — ꝛc. ſo wird nun
y = — X – OX2 — X3 † XK4 – 2 x5 † 3 X6 — 5 X7 †T ꝛc.

XX P X

; und da

y=

X X — — I

I — X . — 2 — 2 X
Setzt man ferner = –— —; ſo wird = – —.
I † X 1— 4 ½ — XXJ

und daraus y = — 2 – Io & — 42XX — 178 3 —
754X4 — ꝛc. und auf dieſe Weiſe laſſen ſich fuͤr y unzählige
wiederkehrende Reihen finden.

§. 71.
Die irrationalen Funktionen verwandelt man nach dem

Theorem „ daß

m m mn m — 2n
m — m (m- n) 2
b 4 Q = Pn † — P. n Q K. nR P Q F
m m (m — n m — an) —
2 , Q F ꝛc.

n. 31

in unendliche Reihen: dann es laufen hier die Glieder,
wenn keine ganze poſitive Zahl iſt, ohne Ende ſort.

Setzt man nun ſtatt m und n beſt immte Zahlen, ſo iſt

(P † )

De
einonder,
halten kan

gende:

aber hi
Erponen
hent von
alf einze

raͤnder⸗
nitionen

mminlige

D Nejhe
ch wider⸗
rich y=

zu

ſowicdvun
51.
2 — 21
Pr=

N

nach den

-nH

SS

Von der Entwickelung d. Funkt durch unendl Reihen. 81

RM 4 — ½ 1, I — 3 I. I. 3
0(]3P A*& Q = PZ -† 4 P 0 — b 202 —

§ 3 2. 4

(P † Q) 2 D 2 — ½ P 3012 P 1C0* — 2.4.6
P —2 Q † ꝛc
1 I1. 2 1. 2 5S 1 2.5
&αt ο Pi r1 P — 3. 6 P- 0 1 7. 6. 9
30 — 1. S
„ I. d4 2.- 4.2
E*½ E — I QO1 z. 60 30. z.6. 9
P 2 Q p ꝛc
IE—4 2 4 2-T 4
TYMl — 3 6 5½ 30 1† 3.6.9
P2 Q — ꝛc. .
u. ſ. f.
§. 72.

Die Glieder dieſer Reihen folgen alſo auf die Art auf
einander, daß man ein jedes aus dem vorhergehenden er⸗
halten kann. Denn iſt irgend ein Glied der Reihe, weiche

m m — kr kn
aus (P † OQ) n entſpringt, = M P 2n , ſo iſt das fol⸗
“ m — (k † I) n
gende = = A Qk 1 Man muß
aber hierbey bemerken, daß in jedem folgenden Gliede der
Exponent von P um eins abnimmt, und dagegen der Expo⸗
nent von Qum eins waͤchſet. Und damit die Anwendung

auf einzelne Faͤlle leichter werde, ſo kann man die allgemeine

mm

Q
Form (P † O 1 ſo ausdrucken ? n r † = P) z denn ent⸗

vickelt man den Ausdruck (1 † - P) n, und multiplieirt

Kulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. I. HB. F man

–

Grrrn

82 Erſtes Buch. Viertes Capitel.
. in
man die daraus entſpringende Reihe durch Pn, ſo erhoͤſt
man dadurch die vorhergehende. Ferner kann man, da m
nicht bloß die ganzen Zahlen, ſondern auch jeden Bruch
vorſtellt, n immer der Einheit gleich ſetzen. Thut man

Q
nun dieſes, ſo wird, wenn man P. welches eine Funktion

von 2 iſt, = 27 ſetzt,
(112) M m(m—– 1) 2 . m(m- I W¶(m — 2) 7 ate.
1 1 2 I . 2 . 3
Um aber die folgenden Progreſſions⸗Geſetze zu finden, iſt
es dienlich, auch dieſe? Verwandlung der allgemeinen For⸗
mel in eine Reihe zu bemerken

m- m — 1 (m — 1I) (m — 2) 2
m — 1 n — — 2) (m. —
mn Cn — 2 2 .
§. 73.
Es ſey alſo zuvoͤrderſt Z = 22, ſo iſt (1 † ½22m-r1 = 1 †
r. (m-I)m= 2 (m- T) (m -— 2 (m — 2)

Setzt man nun anſtatt dieſer Reihe die allgemeine Formel:
ITAZ T BzZ2 † Cz3 PT. .. . . † Mzn-TI P N zn †. u. ſ. f.
ſo wird ein jeder Coefficient N aus dem vorhergehenden M.
auf die Art beſtimmt, daß N = = *“ M iſt. So iſt,
wenn man n = I ſetzt, da alsdann M = I1 iſt, N = A =
m —

„; ferner, wenn man n = 2 ſetzt, da alsdann

m-= 4 m — 2
M = A = —- ℳ iſt, N = B = — ℳ M =

2

(n -

Gittme
1
ſo wid
alf die

iſt wo
das de

erhaͤſt
dam
hu wan

Ne *

nen For⸗

.
„1
— 1 J
4

SG .

Von der Entwickelung d. Funkt. durch unendl. Reihen. 98

(m — 1) m –— 2) . m — 3

1 2; und eben ſo C = 5
Im — I — 2 — H
2 3

wir die Coefficienten in der vorhin gefundenen Reihe ge⸗
habt haben.

§. 74.
Ferner ſey Z = az † &zz. Alsdann iſt t † er f gaz)m- rr=
I —
1Cn-) aa„1†ig,t ⸗ (22 T 8 2 2) 2 † u. ſ. f.

Ordnet man nun die Gieder nach den Poteſtaͤten von 2,
ſo wird (1 Tæz T† 6z2) m-TI =
. n-) (mn-=- 1) —) 2 4 (m-— ) (m-— 2 m — 3) 3
I . 2 1I . 2 .
(m — 1) „ (m—– 1) (m – 2
1 — — es⸗ † — 2 .⸗ Drage .
Setzt man daher anſtatt dieſer Reihe die allgemeine Formel:
I T†T A2Z T B22 T Cz3 T.. . .. L zZn- 2 P† M zn- I -P Nzn † ꝛc.
ſo wird jeder Coefficient aus den bepden vorhergehenden

auf die Art beſtimmt, daß N = —,— ℳ* M † .m — 2 L.
n

2 fec.

iſt; und hiernach laſſen ſich die Coeffieienten aller Glieder
aus dem erſten = I finden. Es iſt nemlich
(m — 1)9
(m — 2) 4 A † (2 m — 2)
2 2
(m — 3) 2 B n— A
3 3
D = C † .— 3 4½ 3

A =

B =—

C =

84 Erſtes Buch. Viertes Capitel.

§. 75.
Wenn 2Z = a 2 † 822 † „/23 iſt, ſo iſt
(G.mε er l 72) n-r = 1 ¼ — e, 1
s2: 1223) 1 — 22 Cas l6a 1723) 2 12.

4₰ 2

und ordnet man die Glieder dieſer Reih e nach den Poteſtaͤten
von 2, ſo erhaͤlt man

r Dar (m-—2) 2 2 (in --1 Mm =— 2) (m — 3
ð † — — * 3 ½
J . 2 Z 1 “ . . 2 P20.

2

1 (m — 1) 823 † 1. — 1) (m–
1 I 2

* —

,(m – I)

†.

7 23 † ꝛc.

Daͤmit aber das Geſetz dieſer Reihe deſto beſſer in die Au⸗

gen falle, ſo ſetze man an ihrer Stelle

I T AZ’† BZ2 † CzZz3 †. † K Zzn- 3 †. L zn- 2 † Mzn-T† Nzn.

Hier wird der Coefficient eines jeden Gliedes aus den drey

vor! hergehenden auf die Art beſtimmt, daß N = = ℳ* M†
11

(Am- n) (3 m —

8 L † — K iſt. Da nun das erſte Glie
= I, und die vordemſelben vorhergehenden oſind; ſo iſt
A = — (—
B= C- 2) 4 (Am — 2) ½
2 2
m ₰3 Lm — 2
D= (m — 4) 04 E 5 † Gn⸗
4 4 +

FE =

Pon

Es wit
den beu
Ponti
Ree
mit d

„
— 02

41 †

—
—
—
=

—

bkeſtäten

tebd

indzſi

Von derEntwickelung d. Funkt. birch unendl. Reihen. 385

(n 5. ⸗D † — Qn O 0 c x B
u. ſ. f.

2

Ueberhaupt alſo werden, wenn

AIP22 822 † S 524 ¹ .) m-T = I LAZ T BzZ

geſetzt wird, die Coefficienten eines jeden einzeln Gliedes
aus dem vorhergehenden auf die Art beſtimmt, daß

= W◻☛0611

— — &

I

m —2 (2m –2
5= ☛ ,A f 25

— z) — — 2
= W „* B † Om- 3 6EA † Qn A
3 3
= 4 0 . 21— ) 4 C 2 An ,
— Br — AT –—
4 4 .
E = — ℳ* D † n 5 c En C — 2 — A
5 5 5
SS m — 5)
5

Es wird nemlich ein jedes Glied aus ſo viel vorhergehen⸗
den beſtimmt, als man Buchſtaben , 8, 7, d, u. ſ. f. in der
Funktion von? hat, deren Poteſtaͤt in eine wiederkehrende
Reihe verwandelt wird. Uebrigens ſtimmt dieſes Geſetz
mit dem §. 68, wo wir die aͤhnliche Formel (1 — =z
— 62² — Y2 3 — u. ſ. w.) -m-= I in eine unendliche Reihe

F 3 auf:

86 Erſtes Buch. Viertes Capitel. ꝛe.

aufloͤſten, uͤberein. Denn wenn man — m anſtatt m ſetzt,
und die Buchſtaben 4«, 8B, 7, à, u. ſ. f. negativ nimmt, ſo
erhaͤlt man in beyden Faͤllen durchaus einerley Reihen.
Inzwiſchen iſt hier nicht der Ort, dieſes Geſetz aus allge⸗
meinen Gruͤnden zu beweiſen, dies kann erſt dann auf eine
bequeme Art geſchehen, wenn die Anfangsgruͤnde der Dif⸗
ferential⸗Rechnung vorausgeſetzt werden koͤnnen: jetzt iſt
es hinlaͤnglich, die Richtigkeit deſſelben durch die Anwen⸗

dung auf alle darunter begriffene einzelne Faͤlle gezeigt zu

haben.

Fuͤnftes

Von

O
trachtet
ſie ins
Grbßer
durch,n
derlichen
ſoleſche
bey der
liger unt
betändert
ſchng in
R
manſie
ſtimmte
Wſic
von o
veraͤn
mung
brige
der ub

4

Fuͤnftes Capitel.
Von den Funktionen zweyer oder mehrerer veraͤn⸗
derlichen Groͤßen.

§K. 77.

Os wir gleich bisher mehrere veraͤnderliche Groͤßen be⸗
trachtet haben, ſo waren dieſelben doch immer von der Art, daß
ſie insgeſammt Funktionen von einer einzigen veraͤnderlichen
Groͤße waren, und daß, wenn man eine davon beſtimmte, da⸗
durch zugleich alle uͤbrigen beſtimmt wurden. Allein die veraͤn⸗
derlichen Groͤßen, die wir nunmehr betrachten werden, ſind
ſo beſchaffen, daß keine von der andern abhaͤngt, und daß
bey der Beſtimmung der einen die uͤbrigen nichts deſto we⸗
niger unbeſtimmt und veraͤnderlich bleiben. Dergleichen
veraͤnderliche Groͤßen, z. B. X, y, 2, ſtimmen alſo in An⸗
ſehung ihrer Bedeutung mit einander uͤberein, weil eine
jede alle beſtimmte Werthe unter ſich begreift; allein, wenn
man ſie unter einander vergleicht, ſo findet darunter die groͤßte
Verſchiedenheit ſtatt; indem, wenn die eine 2 einen be⸗
ſtimmten Werth erhaͤlt, die uͤbrigen X und y noch eben ſo

weit ſich erſtrecken, als vorher. Der Unterſchied zwiſchen

von einander abhaͤngigen und von einander unabhaͤngigen
veraͤnderlichen Groͤßen beſteht alſo darin, daß die Beſtim⸗
mung der einen bey jenen zugleich die Beſtimmung aller

uͤbrigen nach ſich zieht, bey dieſen aber auf die Bedeutung

der uͤbrigen nicht den geringſten Einfluß hat.

88 Erſtes Buch. Fuͤnftes Capitel. Vd.
8. 78. nuen
Line Funktion zweyer oder mehrerer veraͤnderlichen tgn
Groͤßen X, y/ 2, iſt daher ein Ausdruck, der auf irgend aige
eine Art aus dieſen Groͤßen zuſammengeſetzt iſt. . 1. d
Es iſt alſo 3 † Xyz † aze eine Funktion dreyer ver⸗ watic
aͤnderlichen Groͤßen X, y, 2; und es bleibt dieſe Funktion, men
wenn auch darin eine veraͤnderliche Groͤße z. B. 2 beſtimmnt, en⸗
d. h. an ihrer Stelle eine beſtaͤndige Groͤße geſetzt wird, inderle
noch immer eine veraͤnderliche Groͤße, nemlich eine Funk⸗ hebt
tion von X und y; ja wenn auch außer 2 noch y beſtimmt durch der
wird, ſo iſt ſie doch noch eine Funktion von x. Es erhaͤlt üuuſtger
daher eine ſolche Funktion mehrerer veraͤnderlichen Groͤßen
nicht eher einen beſt ſtimmten Werth, als bis alle einzelne
veraͤnderlichen Groͤßen derſelben beſtimmt ſind. Da nun Eet
jede veraͤnderliche Groͤße auf unendlich viele Arten beſtimmt ngle un
werden kann, ſo muß eine Funktion zweyer veraͤnderlicher und ge
Groͤßen, da ſie fuͤr jede dieſer Groͤßen unendlich vieler Be⸗ N
ſtimmungen faͤhig iſt, auf unendliche mal unendlich viele N
Arten beſtimmt werden koͤnnen. Bey einer Funktion dreyer ninn
veraͤnderlichen Groͤßen iſt aus eben dem Grunde die Anzahl “
der Beſtimmungen noch unendlich vielmal groͤßer, und auf Nen
eine aͤhnliche Art waͤchſt dieſelbe, wenn noch mehr veraͤn⸗ huki
derliche Groͤßen da ſind. un
tockon
We
. 79. uu
man theilt die Funktionen mehrerer veraͤnderlichen in
Groͤßen, eben ſo wie die Funktionen einer einzigen, ſehr Dduind
bequem in algebraiſche und tranſcendente ein. ſ
Unter jenen verſteht man ſolche, deren Zuſammenſetzung meh
bloß auf den algebraiſchen Operationen beruht; unter die⸗ alge
ſen aber diejenigen, zu welchen zugleich tranſcendente Ope⸗ ra
rationen erfordert werden. Man koͤnnte dieſe letztern von e
8 “ neuem

zt witd,
je Funk⸗
3 erhaͤlt
N
n beſtinnt
nderlicher
ſeler Be⸗
ich viele
n Neher
je Mohl
Und auf
tagan

etlichen

ſckuns
nter die
nte
een bon
ſeuem

V. d. Funkt. zweyer oder mehrerer veraͤnderl. Groͤßen. 8 9

neuem darnach eintheilen, daß die tranſcendenten Opera⸗
tionen entweder alle, oder nur einige, oder gar nur eine
einzige veraͤnderliche Groͤße angehen koͤnnen. Man nehme
z. B. den Ausdruck 22 † ylog. z. Dies iſt allerdings eine
tranſeendente Funktion von y und 2, weil ſie den Logarith⸗
men von:? enthaͤlt; aber ſie iſt ſolches gleichwohl nur in
einent niedrigen Grade, weil bey der Beſtimmung der ver⸗
derlichen Groͤße? eine algebraiſche Funktion von y uͤbrig
bleibt Indeß waͤre es von keinem Rutzen, wenn man
urch dergleichen Unterabtheilungen die Unterſuchung weit⸗
laͤuftige ger machte.

9. 80.

Ferner werden die algebraiſchen Funktionen in ratio⸗

nale und irrationale, und die rationalen wieder in ganze

und gebrochene eingetheilt.

Was man unter einer jeden dieſer Arten von Funktio⸗

nen zu verſtehen habe, iſt aus dem erſten Capitel [§. 8 und 9]

bekannt. Eine Funktion iſt nemlich alsdann rational, wenn
keine von den veraͤnderlichen Groͤßen, von welchen ſie eine
Funktion iſt, ein Wurzelzeichen vor ſich hat, und eine
ganze Funktion, wenn darin keine veraͤn derlichen Bruͤche
vorkommen, ſo wie ſie in dieſem Falle ein Bruch iſt. Der
allgemeine Ausdruck einer ganzen Funktion zweyer veraͤn⸗
derlichen Groͤßen iſt daher: = † 7* † gz † à⅛y* † y z †
522 †P » 2 3 9y22 † y 22 † 2 2 3 † u. ſ. f.; und wenn
P und Q dergleichen ganze Funktionen entweder gwsper oder

mehrerer veraͤnderlichen Groͤßen bedeuten, ſo iſt 5 ein

allgemeiner Ausdruck der gebrochenen Funktionen. Die
irrationalen Funktionen endlich ſind auch hier wieder ent⸗
weder entwickelte oder verwickelte; jene werden vermittelſt

90 Erſtes Buch. Fuͤnftes Capitel.

der Wurzelzeichen abget ſondert dargeſtellt, dieſe aber in einer
unaufloͤsbaren Gleichung gegeben. So iſt Weine verwickelte

irrationale Funktion von und 2, wenn V' = (ayz †
23) V 4 Gvar 24) V T y 5 1† 2 a y23 † 25 iſt

§. 81.

Auch findet bey den gegenw waͤrtigen Funktionen die
Eintheilung in einfoͤrmige und vielfoͤrmige eben ſo gut
ſtatt, als bey den Funktionen einer einzigen veraͤnder⸗
lichen Groͤße.

So ſind die rationalen? Funktionen einfoͤrmige, weil ſie,
wenn man jede ihrer verznderlichen Groͤßen beſtimmt, nicht
mehr als einen Werth geben. Laͤßt man nun bp, Q, R,
, u. ſ. f. rationale oder einfoͤrmige Funktionen von X, y, 2

bedeuten, ſo iſt V eine zweyfoͤrmige Funktion eben dieſer
Groͤßen, wenn V — PV † Q =o iſt; denn in dieſem

Falle erhaͤlt V, man mag xX, y und 2, was fuͤr einen be⸗
ſtimmten Werth man will ertheilen, nie Einen, ſondern
allezeit einen doppelten beſtimmten Werth. Auf eine aͤhn⸗

liche Art iſt V eine dreyfoͤrmige Funktion, wenn V —
PV † QV —– R = o; und eine vierfoͤrmige, wenn
VS — PV p† QV —–— RV † S = wiſt. Hieraus laͤßt

ſich leicht beurtheilen, wie es mit den abrigen vielfoͤrmigen

Sunktionen beſchaffen iſt.

§. 82.

So wie, wenn man eine Funktion Einer veraͤnderlichen
Groͤße =o ſetzt, dadurch die veraͤnderliche Groͤße⸗ einen
beſtimmten, einfachen entweder oder vielfachen, Werth er⸗
haͤlt: ſo wird, wenn man eine Funktion zweyer veraͤnder⸗
lichen

Ldd

ſchen
ſiben G
Funktion
der abhi
Funktiot
ſetzt, je
ubrigen.
geſchieht,
heſtändige
geſett wir
inderliche
eine veral
eine Fun
aber zuo

ſtümmen

Vor;
Funktio
in hom

hon
tben die

einer
ſkelte

11 †

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weil ſe,
nt, nicht
1x1,,2
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dielem
nen de⸗
ſondern
eine ahn⸗

ichen
1 nen
erth ⸗
einder⸗
ſcchen

B. d. Funkt. zweyer oder mehrerer veraͤnderl. Groͤßen. 91

lichen Groͤßen und? gleich o ſetzt, jede von dieſen veraͤnder⸗

lichen Groͤßen durch die andere beſtimmt, und daher eine

Funktion derſelben, ohnerachtet ſie vorher nicht von einan⸗
der abhiengen. Auf eine aͤhnliche Art wird, wenn man eine
Funktion dreyer veraͤnderlichen Groͤßen , y und z = 0
ſetzt, jede dieſer veraͤnderlichen Groͤßen durch die beyden
uͤbrigen beſtimmt, und eine Funktion derſelben. Eben das

geſchieht, wenn eine Funktion nicht der Null, ſondern einer

beſtaͤndigen Groͤße, oder auch einer andern Funktion gleich
geſetzt wird; denn es wird aus jeder Gleichung, ſo viel ver⸗
aͤnderliche Groͤßen ſie auch enthalten mag, doch immer die
eine veraͤnderliche Groͤße durch die uͤbrigen beſtimmt, und
eine Funktion derſelben: zwey verſchiedene Gleichungen
aber zwiſchen ein und denſelben veraͤnderlichen Groͤßen be⸗

ſtimmen je zwey und zwey davon durch die uͤbrigen u. ſ. f.

Vorzuͤglich merkwuͤrdig aber iſt die Eintheilung der
Funktionen zweyer oder mehrerer veraͤnderlichen Groͤßen
in homogene und heterogene.

Homogen iſt eine Funktion, wenn darin allenthalben
eben dieſelbe Anzahl von Dimenſionen der veraͤnderlichen
Groͤßen befindlich iſt; und heterogen, wenn die Anzahl die⸗
ſer Dimenſionen verſchieden iſt. Es wird aber hierbey eine
jede einzelne veraͤnderliche Groͤße fuͤr eine Dimenſion, das
Quadrat davon, oder ein Produkt aus zweyen, fuͤr zwey
Dimenſionen, ein Produkt aus dreyen, ſie moͤgen nun ein⸗
ander gleich oder ungleich ſeyn, fuͤr drey Dimenſionen ge⸗
rechnet, u. ſ. w. und auf die beſtaͤndigen Groͤßen ſieht man
bey der Zaͤhlung der Dimenſionen gar nicht. Auf dieſe Art
legt man den Ausdruͤcken «y; 8 eine; dieſen, =y2; 6)2;3

722, zwey; den folgenden, «ys; sy22; 7722; 523,
drey:

92 Erſtes Buch. Fuͤnftes Capitel. 2 Vd
drey; und dieſen y4; 6y 32; 7y222; %z3; s24, vier N0
Dimenſionen bey, u. ſ. f. he
1 :
6. 84. t:
Wir wollen dieſe Eintt heilungen zuvoͤrderſt auf die gan⸗ daher
zen Funktionen, und zwar bloß auf die ganzen Funktionen ſonen
zweyer veraͤnderlichen Groͤßen anwenden, indem mehr ver⸗ ,
aͤnderliche Groͤßen hier keinen Unterſchied machen. etah
EEs iſt alſo eine ganze Junkti ion eine homogene Funk⸗ J. 2
tion, wenn ſich in allen ihren Gliedern, einzeln genom⸗ 17
men, eine gleiche Anzahl von Dimenſionen findet. erſion
Dieſe Funktionen theilt man wieder ſehr bequem nach Aulld
der Anzahl der Dimenſionen ein, welche man allenthal ben 1
in ihnen antrifft. So iſt «y † 6? die allgemeine Form der Hl
ganzen Funktion von einer Dimenſion; «y⸗ † syz † 722
hingegen die allgemeine Form der Funktionen von zwey d
Dimenſionen; ferner =y † &y22 † v7τ* † à23 die all⸗ tin
gemeine Form der Funktionen von drey Dimenſionen; Direrſ
„yA † 6y 32 T Yy222 † 7yz3 † s24 die allgemeine Form diteh
der Funktionen von vier Dimenſionen; u. ſ. f. Nach der ſbe
Analogie kann man daher auch eine beſtaͤndige Groͤße , ſdern
ohne alle veraͤnderliche Groͤße, eine Funktion von keiner fon den
Dimenſion nennen.
N Wo
Eine gebrochene Funktion ferner iſt homogen, wenn e,
ihr Zaͤhler und Nenner hemoene Funktionen ſind. Funkti⸗
So iſt dieſer Bruch W z — eine homogene Funk⸗
tion von y und z. Was aber die Anzahl der Dimenſionen
bey dergleichen Funktionen betrifft, ſo erhaͤlt man ſie, wenn zu,
man die Zahl der Dimenſionen im Nenner von der Zahl .
der H

dieger.
Unktionen
nehr ber⸗

nem noch⸗
nkhalben
orn der
1 †71
hon jwey
3 hbie al⸗
enſionen;
neeen

Nac der

Grcſe 4,
on keinen

4

V. d. Funkt. zweyer oder mehrerer veraͤnderl. Groͤßen. 93

der Dimenſionen im Zaͤhler abzieht; ſo daß alſo der ange⸗
fihrte Bruch eine Funktion von einer Dimenſion, und

y eine Funktion von drey Dimenſionen iſt. Wenn

daher der Zaͤhler und Nenner gleiche Mengen von Dimen⸗
ſionen enthaͤlten, ſo wird der Bruch ein⸗ Funktion von kei⸗

3 †
ner Dimenſion, wie ſolches bey desgleichen bey
X; 22: 6) ſtatt findet: und iſt die Anzahl der Di⸗

menſionen im Nenner groͤßer als im Zaͤhler, ſo wird die
Zahl der Dimenſionen des Bruchs negativ. So iſt z. B.

72 eine Funktion von I Dimenſion; 4 eine
1I 1
Funktion von — 3 Dimenſionen; ine Kunk⸗
Funktion von — 3 Dimenſionen; = eine Funk

tion von — 5 Dimenſionen, weil in dem Zaͤhler gar keine
Dimenſion Rrreffen iſt. Uebrigens erhellet von ſelbſt,

daß mehrere homogene Funktionen, die alle eine und die⸗
ſelbe Anahe von Dimenſionen haben, zu einander addirt,
oder von einander ſubtrahirt, wieder eine homogene Funk⸗

tion von eben der Anzahl von Dimenſionen geben. So iſt
„ 2z3 y-4 † à24
der Ausdruck «y † — 3
VZ TVYZZ

. ,. , 12 2 2 vy † 212«
einer, dieſer hingegen ⸗ . 2 — f .I eine
2 VVy VV— 22

Innktion von gar keiner Dimenſion.

eine Funktion von

Was bisher von den homogenen Funktionen geſagt wor⸗
den iſt, erſtreckt ſich auch auf die irrationalen Funktionen.

Iſt daher P irgend eine homogene Funktion, und die Zahl
ihrer

1

ſtehen, homogene Funktionen von n, an, zn Dimenſionen

94 Errſtes Buch. Fuͤnftes Capitel.

ihrer Dimenſionen alſo n: ſo iſt V Peine Funktion von n,
„ P eine Funktion von 4 En, und uͤberhaupt “ eine Funk⸗

tion von Dimenſionen. Es iſt folglich V (yy † 22)

e: P — 9 292,9
eine Funktion von einer, (y † 2) eine Funktion von

dreyen, a⸗ † 22) eine Funktion von 2 Dimenſionen, und
yy T2

eine Funktion von keiner Dimenſion. Dieſes mit

V (y4 † 24
dem vorhergehenden zuſammengenommen, ſo erhellet, daß
y V (yy T 22) — — E
6 4
äl

eine homogone Funktion von — 1 Dimenſion iſt.

§. 87.
Ob eine verwickelte irrationale Funktion homogen ſey
oder nicht? laͤßt ſich hieraus leicht erkennen. Es ſey V eine

ſolche verwickelte Funktion, und V † PVZ †T QVFRS=o,
ſo daß P, Q und R Funktionen von y und z ſind. Hier

faͤllt nun zuvoͤrderſt in die Augen, daß V keine homogene
Funktion ſeyn kann, wofern nicht auch b, Q und R homo⸗
gene Funktionen ſind. Setzt man ferner die Anzahl der

Dimenſionen in V gleich n, ſo iſt V' eine Funktion von 2n,

und V eine Funktion von 39 Dimenſionen; und da nun

allenthalben eben dieſelbe Anzahl von Dimenſionen ſtatt fin⸗

den muß, ſo muß P eine Funktion von n, Q eine Funktion
von en, und R eine Funktion von zn Dimenſionen ſeyn.
Wenn alſo P, Q und R in der Ordnung, in welcher ſie hier

ſind,

Dimenſ

Wen
von p un
ſo verwa
Dignitar

ale ein⸗
ls ſie
menſion
Die ers
en, Md
nehr iſt N
Ne di
1 8
Seße
ſowed

wonen ſ
ſey Vee

nd. Hier

Howogene⸗

d N hon⸗
Mtil der

en bon?n,

õ

V. d. Funkt. zweyer oder mehrerer veraͤnderl. Groͤßen. 95

2
ſind, ſo ſchließt man daraus, daß Veine Funktion von n
Dimenſionen ſey. Iſt z. B. V † (yA † 24) V5 ayS V
— 2 ° = 0; ſo iſt Veine homogene Funktion von zwey
Dimenſionen von y und 2z.

*

4

§. 88.

Wenn V eine homogene Funktion von n Dimenſionen

von y und z iſt, und man darin allenthalben y = u? ſetzt:

ſo verwandelt ſich die Junktion V in ein Produkt aus der
Dignitaͤt zu in eine Funktion der veraͤnderlichen Groͤße u.

Es werden nemlich durch die Subſtitution yp = uz in
alle einzelne Glieder eben ſo hohe Poteſtaͤten von 2 gebracht,
als ſie vorher von y enthielten: und da die Anzahl der Di⸗
menſionen von y und z in jedem Gliede n war, ſo muß nun
die veraͤnderliche Groͤße z allenthalben n Dimenſionen ha⸗
ben, und alſo in jedem Gliede die Dignitaͤt zu ſeyn. Nun⸗
mehr iſt daher auch die Funktion V durch 2n theilbar, und
der Quotient wird, wenn man wirklich theilt, eine Funk⸗
tion von der einzigen veraͤnderlichen Groͤße u. Um dieſes
zuvoͤrderſt an einer ganzen Funftion zu zeigen, ſo ſey V
= ay 3 † 6y22 † YyzZ2 † 323. Setzt man hier y= uz,
ſo wird V = 23 (æ u3 † gu † „à u † ⁹) Aber auch von
den Bruͤchen git dieſe Behauptung. Denn es ſey V =
*A

= und alſo eine Funktion von — 1I Dimenſion.

Macht man wieder y = u2, ſo wird V = 2- I (E 1 4.
u u † 1

Ja ſelbſt die irrationolen Funktionen ſind nicht davon aus⸗
af X1 VWCV T 22)
eſchloſſen. Denn iſt V =
geſchloſſen. Denn iſt 2 VyS T 23),
Funktion von — ¾ Dimenſionen: ſo wird, wenn man y = uz
ſetzt,

und aſo eine

96 Erſtes Buch. Suͤnſtes Capitel.

ſett, V = 1 4 (1 . L
V. (u 3 1)
ſich daher die homogenen Funktionen Zweyer veraͤnderlichen
Groͤßen in Funktionen von Einer veraͤnderlichen Groͤße ver⸗
wandeln; denn die Poteſtaͤt von? iſt, da ſie ein Faktor iſt,
nicht mit in der Funktion von u enthalten.

. Auf dieſe Art laſſen

§. 89.
Wenn alſo V eine homogene Funktion der beyden ver⸗
aͤnderlichen Groͤßen y und z von keiner Dimenſion iſt, ſo
wird ſie, wenn man y = u? ſetzt, in eine reine Funktion
einer einzigen v veraͤnderlichen Groͤße u verwandelt.
Denn da die Zahl der Dimenſionen = o iſt, ſo wird
die Dignitaͤt von 2, womit die Funktion von u multiplicirt
werden muß, 20 = I, und in dieſem Falle faͤllt die veraͤnder⸗
liche Groͤße ? ganz aus der Rechnung weg. Iſt z. B. V=
Y T 1 u † I.
1—

ſo wird, wenn man y= uz ſetzt, V==
IU —

i ſhte urtinn irrational, und z. B. V= ,

ſo wird, wenn man y = u? ſetzt, V = u — V (uu — 1).

§. 90.
Eine jede ganze homogene Funktion zweyer veraͤnder⸗
lichen Groͤßen y und 2 kann in ſo viele einfache Sgktoren
von der Form «*àä † &z aufgeloſ et werden, gals ſie Dimen⸗
ſionen hat.
Denn weil die Funktion homogen iſt, ſo wird ſie durch
die Subſtitution p„= u⸗ in ein Produkt aus zn in eine
ganze Funktion von u verwandelt, welche folglich in ein⸗
fache Faktoren von der Form =u † 8 aufgeloͤſet werden

fann. M ultiplieirt man nun alle dieſe Jaktoren mi 2, ſo
wird

Vd⸗

wird e
hrucht,
ventſte
gat. 0
dder im
der reel
Hie⸗
ſonen a,
Formn

Cber drer

Und auf
ibrigen
menſionn

33

1
4,r

Und
n (

Euler

dendo
ion iſt,
0
unktion
l⸗
U⸗
* .
ealete
e
berander⸗
9 —
Vͤ

V.d. Funkt. zweyer oder mehrerer veraͤnderl. Groͤßen. 97

wird ein jeder auf die Form «uz † 62 = ay † 82 ge⸗

bracht, indem u 2 = y iſt; und da ꝛn ein Multiplicator iſt,

ſo entſtehen daher ſo viel ſolcher Faktoren, als n Einheiten

hat. Es ſind aber dieſe einfachen Faktoren entweder reell

oder imaginaͤr, d. h. die Coefficienten « und 2 ſind entwe⸗

der reelle oder imaginaͤre Groͤßen.
Hieraus folgt alſo, daß die Funktion von zwey Dimen⸗

ſionen ayy † byz † czz zwey einfache Faktoren von der

Form ay † β; die Funktion ay3 † byzz † cyz2 † dz32
aber drey einfache Faktoren von der Form «y † ez hat;
und auf eine aͤhnliche Art verhaͤlt es ſich ferner mit den
uͤbrigen ganzen homogenen Funktionen von mehrern Di⸗
menſionen. *

*) Die entwickelte Form einer ganzen homogenen Funktion d von
y und ? iſt:
Ayn † Byn -12 † Cyn-222 † Dyn- 323 P ...P Ozn
und ſelbige verwandelt ſich durch die Subſitution y = u⸗ in
21 (Aun † B un- I † Cun-2 † Dun- 3 † . † 0)
Da nun
Aun † Bun-T † Cun-2 † Dun- 3 1. „ † O=4 ℳN
(u † a) (u † b) (u † c) (u † d) ꝛc. 1
iſt: ſo wird
zn (A un † B un- T † C un- 2 † D un- 3 P.. .. † 0) =
A2n (u ancu † b) (u 4 c) a rc) ꝛe. =
und hiervon ſind die Sakioren

nzV-A † az VA; V
. uz V A † bzV A;
2à ¹ 2 VA;

Bieeeinlin d Angl, Unendl.. . G Setzt

98 Erſtes Buch. Fuͤnftes Capitel. DDo
Men F
Sest man alſo in dieſen Faktoren u? = y, V. A S= æn, go in de
und y. A, mit a oder b oder c oder d ꝛe. multipliecirt, = 8, be un
ſo erhaͤlt man fuͤr einen jeden die Form ⸗y † 22. eenn
6. 91. i. S
doppelte
So wie daher der Ausdruck y † z eine allgemeine ſealzei
Form fuͤr die ganzen Funktionen von einer Dimenſion iſt: e gehl
ſo iſt (2y † 2 2) (vy † à2) eine allgemeine Form der gan⸗ hm. Ee
zen Funktionen von zwey, und (ay †42½) (vYy † 2) («y † 52) Entün,
eine allgemeine Form der ganzen Funktionen von drey Di⸗ athit.
menſionen; und auf eine aͤhnliche Art kann man jede ganze borin d
homogene Funktion durch ein Produkt aus ſo viel Faktoren Ded,
von der Form ⸗y † 8 darſtellen, als die Funktion Dimen⸗ perden
ſionen hat. Man findet aber dieſe Faktoren auf eben die ger es⸗
Art durch die Aufloͤſung der Gleichungen, auf welche nach Zintti
dem Obigen die einfachen Faktoren der ganzen Funktionen ate
Einer veraͤnderlichen Groͤße gefunden werden. Uebrigens Piin,
erſtreckt ſich dieſe Eigenſchaft der homogenen Funktionen M .
zweyer veraͤnderlichen Groͤßen nicht auf die homogenen Funk⸗
tieonen dreyer oder mehrerer veraͤnderlichen Groͤßen: denn
die allgemeine Form dieſer Funktionen von nicht mehr als
zwey Dimenſionen, nemlich ⸗yy † byz cyx † dxz †
exxX † f22, laͤßt ſich nicht in jedem Falle auf ein Produkt eine hgeſ
von der Form (a« † 8β2 † 7X) (ày † =2 † &X) bringen; teydeve
und noch weniger iſt man im Stande die Funktionen von indeßiſt
noch mehrern Dimenſionen in dergleichen Produkte zu ver⸗ ſcchen
wandeln. V Beyſpie
6. 92. ſmndet,
Aus dem, was von den homogenen Funktionen geſagt lent ſo
worden iſt, echellet zugleich, was man unter einer hetero⸗ man die
genen

algeneine
enſion iſ:
der gon⸗
ert
dren Di⸗
ſe ganze
A Fekoren
kon Dimen⸗
uf ehen die
velche nuch
unktionen
Wögens
Funkinen
enin Funt⸗
ſen: denn
nehe al
1 drn
in Pud
M,
ſonen von
e de⸗

en in

er gekeo⸗
gnen

V..d. Funkt. zweyer oder mehrerer veraͤnderl. Groͤßen. 99

genen Funktlion zu verſtehen hat; dies ſind nemlich ſolche,
wo in den einzelnen Gliedern nicht allenthalben eben die⸗

ſelbe Anzahl von Dimenſionen ſtatt findet. Es laſſen ſich

aber die heterogenen Funktionen nach der Anzahl der in ihnen

vorkommenden verſchiedenen Dimenſionen i in Arten einthei⸗

len. So iſt eine Funktion zweytheilig, wenn darin eine
doppelte Anzahl von Dimenſionen ſtatt findet, ſo daß man

ſie als ein Aggregat zweyer homogenen Funktionen, die in
der Zahl ihrer Dimenſionen verſchieden ſind, betrachten
kann. So iſt y* † 2y 322 † yy † 2z eine zweytheilige

Funktion, weil ſie theils fuͤnf, theils zwey Dimenſionen
enthaͤlt. Eine dreytheilige Funktion hingegen iſt eine ſolche,
worin eine dreyfache Anzahl von Dimenſionen angetroffen

wird, oder welche in drey homogene Funktionen zerlegt
werden kann; z. B. y6 † y222 † 24 † y –— z. Außerdem
giebt es aber auch gebrochene und irrationale heterogene

Funktionen, die ſo vermiſcht ſind, daß ſie in keine ho⸗

mogene Funktionen aufgeloͤſet werden koͤnnen; z. B.
†ayz. .
by † 22 Yy — bz

Bisweilen kann man eine heterogene Funktion durch

eine geſchickte Subſtitution, entweder fuͤr eine oder fuͤr
beyde veraͤnderliche Groͤßen, in eine homogene verwandeln;

indeß iſt es nicht leicht, die Faͤlle anzugeben, wo ſolches ge⸗
ſchehen kann. Es wird daher hinlaͤnglich ſeyn, einige
Beyſpiele anzufuͤhren, wobey eine ſolche Neduction ſtatt

findet. R alſo die Funktion y5 † 22y † 732 k — gege⸗

hen: ſo faͤllt bey einiger Ueberlegung in die Augen, daß

man h dieſeihe durch die Subſtitution 2 XxX in eine homo⸗
G 2 H gene

100 Errſtes Buch. Fuͤnftes Capitel.
gene Funktion verwandeln kann; indem man dadurch y5†
7 P y3XX † — erhaͤlt, welches eine homogene Funktion
von fuͤnf Dimenſionen von und iſt. Ferner wird die

Funktion Y T V2X †T Vy3X 175 X4 1 in eine homogene

Funktion verwandelt wenn man = — E ſetzt; denn man

ece dadurch zeſe Funktion von einer Dimenſion,

„1 1T. 1
deck nicht durch eine ſo einfache Subſtitution erreichen
kann, ſo iſt dieſes Geſchaͤft mit viel groͤßern Schwierig⸗
“ keiten verknuͤpft.

* 1 a 2. Wenn man aber ſeinen End⸗

g. 04.

Auch verdient noch die ſehr gebraͤuchliche Eintheilung

der ganzen Funktionen nach ihrer Ordnung, wobey man
auf die groͤßte Zahl der in der Funktion vorkommenden
Dimenſionen ſieht, beſonders bemerkt zu werden. So iſt
xx † yy † 22 † ay — aa eine Funktion von der zweyten
Ordnung, weil darin zwey Dimenſionen vorkommen; und
y4 † y3 — ayzz † a byz – aayy † ba eine Funktion
von der vierten Ordnung. Auf dieſe Eintheilung nimmt
man vorzuͤglich in der Lehre von den krummen Linien
Rückſicht.

. 95.

Endlich iſt noch die Eintheitung der ganzen Funktionen

in complexe und incomplexe uͤbrig. Complex nennt man
ine Funktion, wenn man dieſelbe in rationale Faktoren
gefidſen kann, oder wenn ſie ein Produkt aus zweyen oder
meh⸗

Vo

mnehreen
ſchen 5
1417¼1
heyden 8
11— b
eine jede
wey bere
vei ſie /
hot, ald ſe
eine ganze
Poktoren e
denn dado⸗
giebt es
Funktion

V.d. Funkt. zweyer oder mehrerer veraͤnderl. Groͤßen. 10r

ce mehrern rationalen Funktionen iſt. Ein Beyſpiel einer
Eunetion ſolchen Funktion giebt y4 — 24 † 2 àa 23 — 2 byzz —
10422zZabzy — bbyy, welches ein Produkt aus den
wird die beyden Funktionen (yy † 22 — az † by) (yy — 22 †
a 2 — by) iſt. Auf dieſe Weiſe haben wir geſehen, daß
eine jede ganze homogene Funktion von nicht mehr als
zwey veraͤnderlichen Groͤßen eine complexe Funktion iſt,
weil ſie ſo viel einfache Faktoren von der Form ay † sz
Nnen, hat, als ſie Dimenſionen enthaͤlt. Incomplex iſt hingegen
eine ganze Funktion, wenn ſie auf keine Art in rationale
Faktoren aufgeloͤſet werden kann; wie yy † 22 — aa,
erteſhnn denn davon faͤllt ſolches bald in die Augen. Uebrigens er⸗
Scrieg giebt es ſich bey der Aufſuchung der Diviſoren, ob eine
Funktion complex iſt oder nicht.

Nenagere

Denn nen

einen End⸗

Finthelung
olen naon
Whwenden
n. So⸗
Ner wennen
mnen; und
Fontuon
ung non
mmen kiten

nktinen .
ennt man
Fokteren
peyen oer

e e; Sechstes

S I R

. 4 )
. R

H Sechstes Capitel.
WVon den Exponential⸗ Groͤßen und den logarithmen.

Auch bey dieſem und dem folgenden Capitel hat es mir be ſſer ge⸗
ſchienen, alle dabey noͤthigen Zuſaͤtze in den ſchon oͤfters ge⸗

dachten Anhang zu bringen. Man findet ſie daſelbſt unter

der vierten Nummer.

§. 96.

Oogleich die Betrachtung der tranſcendenten Funktio⸗
nen eigentlich das Geſchaͤft der Integral⸗Rechnung iſt: ſo
iſt es dennoch nuͤtzlich, vorher einige der leichteſten Arten,
und die zugleich zu mehrern Unterſuchungen den Weg bah⸗
nen, zu erwaͤgen. Dahin gehoͤren nun zudoͤrderſt die
Exponential⸗Groͤßen, oder die Poteſtaͤten, deren Exponent
eine veraͤnderliche Groͤße iſt: denn daß dergleichen Groͤßen
nicht zu den algebraiſchen. Funktionen gehoͤren, iſt daraus
klar, weil in dieſen keine andre als bloß beſtaͤndige Expo⸗
nenten vorkommen duͤrfen. Es giebt aber verſchiedene Ar⸗
ten von Exponential⸗Groͤßen, je nachdem entweder bloß der
Exponent, oder außerdem auch die zu einer Proteſtaͤt erho⸗
bene Groͤße veraͤnderlich iſt. Zu jenen gehoͤrt as; zu dieſen
hingegen y⸗. Ja es kann auch der Erpenen: eine Expo⸗

nential⸗Groͤße ſeyn, wie in a a; ay. 65 y* X y. Wir ſe⸗
Een i indeß jetz dieſe Eintheiſung bey Seite, weil man die

—

E
einepo⸗
Erone
mter ſic
doftr ne
Debeſti
tchalt.
den Re

ſchna.

r liſer e
lers e⸗
als unter

n Funtir⸗
ni Kr
en Nrten,
DeRy
Grher, die
Etponent
en Grtſen
iſt dauu
ndire n
Gchene ene Ni⸗
er bos der
eſa in uhe⸗
1; dien
ane Chyn

1. Pir ſe
el n die
Hatur

Von den Exponentia!⸗Groͤßen und den Logarithmen. 103

Natur der Exponential⸗Groͤßen durch die Betrachtung der

Form ar hinlaͤnglich zu erkennen im Stande iſt.

h. 97.

Es ſey alſo die Exponential⸗Groͤße a gegeben, welche
eine Poteſtaͤt der beſtaͤndigen Groͤße a mit einem veraͤnderlichen
Exponenten iſt. Da nun der Exponent? alle beſtimmteZahlen
unter ſich begreift, ſo iſt zuvoͤrderſt klar, daß man, wenn man
dafuͤr nach und nach alle ganze poſitive Zahlen ſetzt, fuͤr a⸗
die beſtimmten Werthe, a?; az; a3; a4; as; as; u. ſ. f.
erhaͤlt. Setzt man hingegen fuͤr 2 nach und nach die negati⸗

ven Zahlen — 1; — 2; — 3 u. ſ. f. ſo bekommt man

1. I . 1. I

— —2; — ; — 4; U. ſ. f. und wenn 2 = o iſt, ſo iſt

allemal ao = I. Setzt man fuͤr 2 gebrochene Zahlen, wie
2 †; 3 4 4; t. . f. ſo entſtehen dadurch die Werthe

V a; Va; Vaa; Va; Va= u. ſ. f. Dieſe Werthe ſind
an ſich betrachtet vielfach, weil die Extraetion der Wurzel

allezeit auf vielfoͤrmige Werthe, fuͤhrt: allein man pflegt

dafuͤr nur immer die Hauptwerthe, d. h. die reellen und po⸗
ſitiven zu nehmen, weil man die Groͤße a⸗ als eine einfoͤr⸗

mige Funktion von 2 betrachtet. So hat a einen gewiſſen
Werth, der zwiſchen a2 und as faͤllt, und iſt daher eine
Groͤße von eben der Art; und obgleich der Werth von an ½
eben ſowohl = — aa Wa, als = † aa Wa iſt, ſo wird
doch bloß der letzte in Betrachtung gezogen. Eben ſo ver⸗
haͤlt es ſich, wenn der Werth von dem Exponenten 2 irra⸗
tional wird. Denn da es in dieſem Falle ſchwer ſeyn wuͤr⸗
de, ſich die Anzahl der a? alsdann zukommenden Werthe
zu gedenken, ſo betrachtet man bloß den einen reellen dar⸗
G 4 von.

Erſtes Buch. Sechstes Capitel.

von. Auf dieſe Art iſt a V 7 ein beſtimmter Werth , der
zwiſchen a? und a faͤllt.

§. 98.

Vorzuͤglich aber haͤngen die Werthe der Exponential⸗
Groͤße ar von der Groͤße der beſtaͤndigen Zahl a ab. Denn
iſt 2 = I, ſo iſt ſtets a⸗ = I1, 2 mag einen Weth bekom⸗
men, was fuͤr einen es will: iſt aber a groͤßer als 1, ſo
wird der Werth von a⸗ deſto groͤßer, je groͤßer die Zahl
iſt, die man fuͤr? ſetzt, und waͤchſt ſelbſt ins unendliche,
wenn 2 = O0 wird; wird 2 =o, ſo wird a2⸗ = 1, und
iſt z kleiner als o, ſo werden die Werthe von a⸗ kleiner als
die Einheit, bis, fuͤr?z = — 00, a⸗ = o wird. Das
Gegentheil findet ſtatt, wenn a kleiner als 1, aber doch eine
poſitive Groͤße iſt: denn alsdann nimmt a⸗ ab, wenn uͤber
o ghinauf waͤchſt, und waͤchſt, wenn man fuͤr 2 negatire

Zahlen ſett. Wenn nemlich a kleiner als 1 iſt, ſo iſt —

groͤßer als 1; ſezt man alſo — = b, ſo wird a⸗ = b -z,

wonach man den iweyten Fall aus dem erſten beurtheilen

kann.

H F. 99.

3 a =o, , ſo findet ſich zwiſchen den Werthen von a⸗ ein

ſehr großer Sprung. Denn ſo lange 2 eine poſitive Zahl,

oder groͤßer als nichts iſt, ſo iſt ſtets a? = o; iſt 2 = 0o,

ſo wird ao = I; iſt aber eine negative Zahl, ſo erhaͤlt
a?z einen unendlich großen Werth. S. iſt, wenn ? = — 3

geſetzt wird, a? = 0o - 3 = = , und alſo unendlich.

Noch viel groͤßere Spruͤnge kommen vor, wenn die beſtaͤn⸗

dige

Vonde

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Ounn ſe
gerden!
nie aus
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12 16)
Setzt n
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enne dbet
nigotve

.1
ſt =
ſif⸗

Von den Exponential⸗Groͤßen und den ogarithmen. 105

dige Groͤße a einen negativen Werth, z. B. — 2 bekommt.
Denn ſetzt man alsdann anſtatt 2 die ganzen Zahlen, ſo
werden die Werthe von 2z wechſelsweiſe poſitiv und negativ,
wie aus dieſer Reihe erhellet:
a73; ; a2; a-I; ao; al; a?; aa; à4; ꝛc.
† 5; — ¼; † 4; — ¾; 1; –— 2; † 4; — 8; † 16; ꝛc.
Setzt man ferner Bruͤche fuͤr 2, ſo bekommt a⸗ = (— 2) *
bald reelle bald imaginaire Werthe; ; indem z. B.

a² = V — 2 imaginaͤr, a² = V — 2 =— Vz hinge⸗
gen reell iſt. Ob aber, wenn z irrational genommen wird,
a? reelle oder imaginaͤre Werthe gebe, laͤßt ſich nicht ein⸗
mal beſtimmen.

56(m. 100. DRUWUDQ
Vegen dieſer Unbequemlichkeiten bey den negativen
Werthen von a wollen wir a poſitiv und groͤßer als die Ein⸗
heit annehmen, weil man die Faͤlle, wo a eine poſitive und
kleinere Zahl als die Einheit iſt, leicht hierauf zuruͤckfuͤhren
kann. Nimmt man glſo a? = y, ſo erhaͤlt y, wenn man
fuͤr 2 alle reelle poſſtibe Zahlen, die zwiſchen † Oο und
— Oo fallen, ſetzt, alle reelle poſitive Werthe, die zwi⸗

ſchen † O und oliegen. Denn iſt? = 0ο, ſo wird „= 00O;

iſt ? = o, ſo wird y= I; und wirdez = — 00, ſo wird „
= o. Umgekehrt wird daher auch jeder poſitive Werth, den
man n fuͤry annimmt, einen reellen Werth fuͤr 2 geben, ſo daß
= „ iſt; wenn aber y ein negativer Werth beygelegt
wird, ſo kann⸗ keinen reellen Werth haben.

§. IOI.
Wenn alſo y = a? iſt, ſo iſt y eine Funktion von?;
und wie y von ⸗ abhange, das laͤßt ſich aus der Natur der
Poteſtaͤten erkennen, denn dadurch wird, wenn man 2z ei⸗
nen gewiſſen Werth beylegt, der Werth von y beſtienms⸗
G 5 6

106 Erſtes Buch. Sechstes Capitel.

Es iſt aber yy = àa 2?; y 3 = e und uͤberhaupt y n
= anz; woraus folgt, daß W = aà² . Vy a *

= àa 75 — = a 22; – = à 2 ½ U. ſ. f. ſeyn werde.
vyy VVy
, . X † Zz
Ferner iſt, wenn v = ax geſetzt wird, vy = a zund

7

Werth von y aus dem gegebenen Werthe von leicht finden.

Exempel.

Wenn a = 10 iſt, ſo laſſen ſich die Werthe von p
wenn man fuͤr 2 ganze Zahlen ſetzt, ohne alle Rechnung

finden. Es iſt nemlich 10 r¼ = 1I0; 102 = 100;
103 = 1000; 104 = 10000; und 100°= 1; ferner 10-1

I 1
– — = O0, I 5 10-2 = — = 0, ol; 103 = — —
10 100 1000

= o, oor. Wenn aber fuͤr 2 Bruͤche geſetzt werden, ſo
kann man die Werthe von „ vermittelſt der Extraction der

Wurzeln erhalten. So iſt 105 = WI0 = 3, 162277,

§. 102.

So wie man aber, wenn die Zahl a gegeben iſt, aus
jedem Werthe von? den Werth von y finden kann: ſo laͤßt
ſich auch umgekehrt aus jedem poſitiven Werthe von „y der
dazu gehoͤrige Werth von z beſtimmen, ſo daß a?s =y wird;

und dieſer Werth von 2 pflegt, in ſo fern er als eine Funk⸗
tion von y betrachtet wird, der Logarithme von y genennt
zu werden. Es macht daher die Lehre von den Logarith⸗
men die Annahme einer gewiſſen beſtaͤndigen Zahl fuͤr a

nothwendig, und man nennt deswegen auch dieſe Zahl die

Baſis der Logarithmen. So bald ſie feſtgeſetzt iſt, ſo iſt

= ax-z. Vermittelſt dieſer Formeln kann man den

Pond

Ner lo⸗
ſitar,
ſtz den
man ſie
woraus
geich
noch h
die poſit

der doge
denn d
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Ferne
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146f.
Baſis

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Sn
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werde.

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man den

htfinden.

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—— =—

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3 vird .
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logori
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hl Ne⸗
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der

Von den Exponential⸗Groͤßen und den vogarithmen. 107

der Logarithme einer jeden Zahl y der Exponent der Pote⸗
ſtaͤt a?, wobey denn die Poteſtaͤt a⸗ ſelbſt der Zahl y gleich
iſt; den Logarithmen der Zahl y aber anzuzeigen, bedient
man ſich dieſer Bezeichnung, ly. Iſt alſo a? = y ſo iſt 2 = ly;
woraus erhellet, daß die Baſis der Logarithmen, wenn ſie
gleich uͤbrigens willkuͤhrlich angenommen werden kann, den⸗
noch groͤßer als die Einheit ſeyn muß, und daß alſo bloß
die poſitiven Zahlen reelle Logarithmen haben.

5. 103.
Was man nun aber auch fuͤr eine Zahl fuͤr die Baſis
der Logarithmen a annehmen mag, ſo iſt doch allezeit 11 = 0;

denn wenn man in der Gleichung a⸗ = y, welche mit die⸗

ſer 2 = 1 uͤbereinſtimmt, y = I ſetzt, ſo wird 2 = o.
Ferner ſind die Logarithmen der Zahlen, die groͤßer als
die Einheit ſind, poſitiv, und richten ſich nach dem Werthe
der Baſis a. So iſt la = 1; laa = 2; la 3 = 3; la 4 = 4;
u. ſ. f. daher man auch ruͤckwaͤrts aus den Logarithmen die
Baſis erkennen kann, indem dieſelbe allezeit die Zahl iſt,
deren Logarithme = Liſt. Die Logarithmen der Zahlen hin⸗
gegen, die kleiner als die Einheit aber doch poſitiv ſind,

I 1
ſind negativ, nemlich = 2 — I 1= = — 2; — 3

u. ſ. f. Die Cogarithmen der negativen Zahlen endlich ſind
keine reelle, ſondern imaginaͤre Zahlen, wie e bereits ange⸗
merkt worden iſt.

89. I04.

9 0 0

Auf e eine aͤhnliche Art iſt, wenn 1y = 2 geſetzt wird,

1y y = 22²; Iy 3 = 3²; und uͤberhaupt lyn = n z, oder lyn
En ly, weil 2 = ly iſt. Man findet alſo den Logarithmen einer
jeden Poteſtaͤt von y, wenn man den Logarithmen von y

mit dem Exponenten dieſer Poteſtaͤt multiplicirt. So iſt

IVy

.

108 Erſtes Buch. Sechstes Capitel.

r,=rnr =— — 11,; u. ſ. f.

ſo daß man alſo aus dem Logarithmen einer jeden Zahl die

kogarithmen aller ihrer Poteſtaͤten zu finden im Stande iſt.

Hat man aber bereits zwey Logarithmen, z. B. 1y = 2,

und 1Vv = x gefunden, ſo iſt, wegen y = az, und v = ax,

lvy = X † 2 = Iv †' 1y; und man erhaͤlt alſo den Loga⸗
rithmen eines Produkts in der Summe der Logarithmen

ſeiner Faktoren. Auf eine aͤhnliche Art iſt 1 =— 2 — Xx

= Iv — 1y; und der Logarithme eines Bruchs wird da⸗
her gefunden, wenn man den Logarithmen des Nenners von
dem Loegarithmen des Zaͤhlers abzieht. Dieſe Regeln die⸗

nen dazu, um aus einigen bekannten Logarithmen die Loga⸗

8 rithimen vieler andern Zahlen: zu ſinden.

8 §. 105.

Es erhellet aber auch hieraus, daß es weiter keine ra⸗

tionale Logarithmen als von den Poteſtaͤten der Baſis a

giebt. Denn wofern eine andere Zahl b keine Poteſtaͤt von

der Baſis a iſt, ſo kann auch ihr Logarithme durch keine
rationale Zahl ausgedruckt werden. Ferner iſt auch der

WW Logarithme von b keine Irrationalzahl: denn waͤre 1v = Vn n,

ſo waͤre aV = b, und dies kann nicht ſtatt finden, wenn
a und b Rationalzahlen ſind. Man pflegt aber nur die
Logarithmen der rationalen und der ganzen Zahlen zu ſuchen,
weil man daraus die Logarithmen der Bruͤche und der Ir⸗
rationalzahlen fſinden kann. Da alſo die Logarithmen der
Zahlen, die keine Poteſtaͤten von der Baſis a ſind, weder

rational noch irrational dargeſtellt werden koͤnnen, ſo wer⸗
den ſie mit Recht zu den tranſeendenten Groͤßen gerechnet,

und

Vond

nd die
den tran

Aus
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ſo ſuche
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ſo wer⸗
nchne

Von den Exponential⸗Groͤßen und den logarithmen. 109

und dies iſt der Grund, warum man die Logarithmen zu
den tranſcendenten Groͤßen zaͤhlt.

8§. 106.

Aus dieſem Grunde koͤnnen die Logarithmen der Zahlen
bloß naͤherungsweiſe durch die Decimal⸗Bruͤche ausgedruckt
werden, die der Wahrheit deſto naͤher kommen, auf je
mehrere Zehntheiler⸗Stellen ſie gefunden worden ſind. Man
kann aber auf dieſe Art den Logarithmen jeder Zahl
bloß durch die Extraction der Quadratwurzel finden. Denn

da, wenn man Iy = 2, 1 V = x ſetzt, 1Vry= ait,

ſo ſuche man, wenn die gegebene Zahl b zwiſchen a2 und
a3 faͤllt, wovon die Logarithmen 2 und 3 ſind, den Werth

4

von a2 oder aa V a, wo denn b entweder zwiſchen a2² und

a 2¾, oder zwiſchen a2⅝ und as fallen wird. Es ſey das
eine oder das andere, ſo erhaͤlt man, wenn man von neuem .
die mittlere Proportional⸗ Zahl ſucht, andere naͤhere Gren⸗
zen; und faͤhrt man auf dieſem Wege fort, ſo muß man
endlich zu Grenzen gelangen, die von einander um weniger

als eine gegebene Groͤße entfernt ſind, und welche man da⸗

her ohne Jerthum anſtatt der Groͤße b nehmen kann. Da
aber die Logarithmen aller gefundenen Grenzen gegeben
werden, ſo wird auf dieſe Art endlich der Logarithme! von
b gefunden. G

Exempel.

Man ſetze die Logarithmiſche Baſis a = 10, ſo wie ſol⸗
ches in den gewoͤhnlichen Logarithmiſchen Tafeln zu geſchehen
pflegt, und ſuche den Logarithmen der Zahl 5 naͤherungs⸗
weiſe. Da dieſe Zahl zwiſchen 1 und 10 liegt, wovon die
Logarithmen und I ſind: ſo ziehe man nach der folgenden
Tabelle

—

—

Erſtes Buch. Sechstes Capitel. Vond
Tabelle die Quadratwurzeln aus, und fahre damit ſo lange
fort, bis die gefundenen Grenzen ſich nicht weiter von der ſohe 10
gegebenen Zahl 5 unterſcheiden. ithmiſch
den, ob
A = 1,000000⁰0; IA = 0, 0000000; Es ſey , ar
B = 10, 000000; IB = 1,0000000; C = VAB ſchneler
C = 3, 162277; IC = o, 5000000; D = V BC
He = 5, 623413; D = „, 750000; E = CD
E = 4,216964; IE = 0, 6250000; F = D E
F = 4,869674; IF = o, 68580, G = VDF Ei lr
G = 5,232991; 16 = 0,7187500; H = V F G Debken,, a
H = 5,048065; IH = 0,7031250; I = V F H. kann, un
1 = 4,958069; II = o 6953125; K = V HI iber di⸗
K = 5,002965; EK = 0, 6992 187; L = V I K einer un
= 4,980416; II. = 0,6972656; M = V KI. Verhatt
— 4, 991r627; 1M = 0,69 82421; N = V K M Eſſem
N = 4, 997242; IN = 0,6987304; O = V KN der Me
O = 5,000052; 10 = 0,6989745; P = VNO n ous
P = 4,998647; IP = 0,6988525; ½ V OP
QQã— = 4,999 350; 10 = 0, 6989 135; RK = V 0 C dnf
R = 4,999701; IR = 0,6989440; 8 = V ORE er te ge
8 4,999876; 18 = 0,6989592; I = V O8S
TS 4, 999963; 1T = 0,6989668; V = V Or MNdn
V = 5,000008; IV = 0,6989707; W = V TIV man dan
W = 4,999984; IW = 0, 6989687; X = V W V net, ſo
X = 4,999997; IX = 0,6989697; V = V VX den Sn
I = 5,000003; IX = ,6989702; Z = V XXY den. Se
2 = 5, 000000; IZ = o, 6989700; 1o bekan⸗
Auf dieſe Art erhaͤlt man, indem man immer die mittlre tde
Proportional⸗Zahl ſucht, endlich Z = 5, o00000, und es iſt er hoha
daher der geſuchte Logarithme von 5, wenn man die Loga⸗ ennng
rithmiſche Baſis = 10 ſetzt = 0, „,69897 700; folglich bey⸗ ndſir
nahe

lange
on der

ſe
Zc

Von den Exponential⸗ Groͤßen und den Logarithmen. 111

569897
nahe 10 76060ο 5. Auf dieſe Art iſt das gemeine Loga⸗
rithmiſche Syſtem von Brigge und Vlacq berechnet wor⸗
den, ob man gleich nachmals weit kuͤrzere Wege entdeckt
hat, auf welchen man die Logarithmen viel leichter und
ſchneller findet.

§F. 107.
Es laſſen ſich alſo ſo viel Logarithmiſche Syſteme ge⸗

denken, als man verſchiedene Zahlen fuͤr die Baſis a ſetzen

kann, und ihre Anzahl iſt daher unendlich groß. Es haben
aber die Logarithmen zweyer verſchiedener Syſteme, die zu
einer und derſelben Zahl gehoͤren, immer ein und daſſelbe
Verhaͤltniß zu einander. Denn es ſey die Baſis des einen
Syſtems = a, und die Baſis eines andern = b; ferner
der Logarithme der Zahl n aus dem erſten Syſtem = p,
und aus dem andern = g. Alsdann iſt a? = n, und
4
ba =n; folglich ap = b d, und a S bb; und es muß da⸗

her der Bruch einen beſtaͤndigen Werth bekommen, man

mag fuͤr n eine Zahl, was fuͤr eine man will, ſetzen. Hat
man daher die Logarithmen irgend eines Syſtems berech⸗
net, ſo laſſen ſich daraus die Logarithmen eines jeden an⸗
dern Syſtems ſehr leicht vermittelſt der Regel de Tri fin⸗
den. So kann man, wenn die Logarithmen fuͤr die Baſis
10 bekannt ſind, die Logarithmen fuͤr jede andere Baſis
z. B. 2 ſinden. Denn man ſuche den Logarithmen der Zahl
n fuͤr die Baſis 2, welchen wir = q ſetzen wollen, ſo wie
der Logarithme eben dieſer Zahlen, fuͤr die Baſis 10, p heiſ⸗
ſen mag. Da nun fuͤr die Baſis 10, 12 = 0, 3010300,
und fuͤr die Baſis 2, 12 = I iſt, ſo iſt o, 3010300: I = p: q,
und

112 Erſtes Buch. Sechstes Capitel.

und folglich q = . loz60 = 3, 3219277. p. Wenn man

daher alle gemeine Logarithmen mit 3, 3219277 multipli⸗
cirt, ſo erhaͤlt man Logarithmiſche Tafeln fuͤr die Baſis 2.

§. 108.

Hieraus folgt, daß die Logarithmen zweyer Zahlen
in jedem Syſtem einerley Verhaͤltniß zu einander haben.
Denn ſind die Logarithmen der Zahlen M und N fuͤr
die Baſis a, m und n, ſo iſt M = = am und N = an, und
folglich amn = M* = N“,; alſo M = Nn: und da in die⸗
ſer Gleichung a nicht weiter enthalten iſt, ſo iſt daraus

, klar, daß der Werth des Bruchs — — nicht von a abhaͤngt.

Denn man nenne die Logarithmen eben dieſer Zahlen fuͤr

eine andere Baſis b, u und v, ſo iſt nach eben den Schluͤſ⸗
2 . m e

ſen, wie vorhin M = N r. folglich N n = N ', und dar⸗

aus — = .,oder m: n = ℳ: »y. So haben wir bereits

gellhen, daß in jedem vogarithmiſchen Syſteme die Loga⸗
rithmen zweyer verſchiedenen Poteſtaͤten von einer und der⸗

ſelben Zahl z. B. ym und yn in dem Verhaͤlmiſſe der Expo⸗

nenten dieſer Poteſtaͤten m: n ſtehen [§. 103. 104.

§. 109.
Um alſo ein Logarithmiſches Syſtem fuͤr irgend eine

Baſis a zu verfertigen iſt es genug, wenn man nur die Lo⸗

garithmen der Prim⸗Zahlen auf dem beſchriebenen oder einem
andern bequemern Wege ſucht. Denn da die Logarithmen

der zuſammengeſetzten Zahlen den Summen der Logarith⸗
men

Pon!

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geid ene
nur diett⸗
nodereinn
agertſnnn
. muti⸗
ſen

SS

Von den Exponential Groͤßen und den Logarithmen. 113

men ihrer Faktoren gleich ſind, ſo laſſen ſich die Logarith⸗
men der zuſammengeſetzten Zahlen aus den Logarithmen
der Prim⸗Zahlen durch eine bloße Addition finden So iſt,
wenn die Logarithmen der Zahlen 3 und 5 bekannt ſind,
115 = 13 † 15; 145 = 213 † 15: und da vorhin (§. 106.]
fuͤr die Baſis a = 10, 15 = 0. 6989700 gefunden worden
iſt, und uͤberdies 110 = iſt; ſo iſt 1 ½ 12 = 110 – 15,
und folglich 12 = I — 0,6989700 = 0,3010300. Aus die⸗
ſen Logarithmen von 2 und 5 aber findet man die Logarith⸗
men aller Zahlen, die aus 2 und 5zuſammengeſetzt ſind;
z. B. 4, 8, 16, 32, 64, u. ſ. f. 20, 40, 80, 25, 50, u. ſ. f.

.

F. II0.

Der Nutzen, den die Logarithmiſchen Tafeln zur Verkuͤr⸗
zung der Rechnung mit den beſtimmten Zahlzeichen leiſten,
iſt außerordentlich groß, weil man aus dergleichen Tafeln
nicht bloß den Logarithmen einer jeden gegebenen Zahl, ſondern
auch, wenn ein Logarithme gegeben iſt, die dazu gehoͤrige Zahl

finden kann. Bedeuten z. B. c, d e, f, g, h Zahlen,

es ſey nun von was fuͤr einer Art es wolle, ſo kann man

ccdVe
den Werth dieſes Ausdrucks —; ohne alle Multipli⸗
cation finden. Es iſt nemlich der Logarithme dieſes Aus⸗
drucks = 21c † 1d † le — 1f — 4Ig — Ih; und ſucht
man nun die zu dieſem Logarithmen gehoͤrige Zahl, ſo hat

c cdVe
man den Werth von gefunden. Vorzuͤglich wich⸗
Vgh
tig aber iſt der Gebrauch der Logarithmiſchen Tafeln bey
ſehr verwickelter Erhebungen zu Dignitaͤten und Wurzel⸗
Extractionen, weil man dadurch dieſe Operationen in

eine bloße Multiplication und Diviſion verwandelt.

Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. I. B. 5 Erſtes

S

ℳ.

114 Erſtes Buch. Sechstes Capitel. Den
Erſtes Exempel.

Man ſoll den Werth der Poteſtaͤt 2 7 finden. Da 12 72
= 7712 iſt, ſo multiplicire man den Logarithmen von 2, ,
den man in den Tafeln = 0,3010300 findet, durch 12, d. h.

mit ½ + z. Hierdurch findet man 12 72 = 0,1756008; und 1
da die zu dieſem Logarithmen gehoͤrige Zahl = 1,498307 iſt, o
1I †X
ſo iſt beynahe 2 72 = 1,498307. t.

Ohngefe

Sweptes Epempel.
lenzude

Wenn ſich die Volksmenge eines Landes jaͤhrlich um⸗

vermehrt, und darin anfaͤnglich 1000900 Menſchen gewe⸗ ſeſch
ſen ſind, ſo findet man die Volksmenge dieſes Landes nach und di
100 Jahren auf folgende Art. Man ſetze der Kuͤrze wegen niche
die anfaͤngliche Vol ksmenge I00000 = n. Alsdan n iſt die Reh⸗
Volksmenge nach dem erſten Jahre = = (1 1 „ͤ) n = 32 n, n
nachden zweyten Jahre = (3 ½) n, nach dem drten Jahre .
— (35) n, und alſo nach 100 Jahren = (25) 10 oͤn, und hena
der Logarithme von dieſer Zahl iſt = 100 1 † 1100000.
Es iſt aber 13½ = 131 – 130 0,014240439, alſo
100 1 ¾ 31 = 1,4240439, und addirt man dazu 1 100000 = 5,
. ſo erhaͤlt man den Logarithmen der geſuchten Volksmenge de
6,4240439 = 1. 2654874. Nach 100 Jahren iſt alſo Man ſ
die Volksmenge um mehr als 26 ⅛ mal ſo gruß geworden. man d
Drittes Exempel. ihre an
RNach der Suͤndfluth wurde das menſchliche Geſchlecht
ch 10

6 Menſchen fortgepflanzet. Angenommen nun, daß
die Anzahl der Menſchen nach 200 Jahren auf 1000000 dader

gewachſen ſey, ſo fraͤgt ſich, um den wievielſten Theil ſich
die Menſchen Rhrlich vermehrt haben? Man ſen⸗ dieſen ſlef
8 e5
M wievielſt ten Theil = = —, 6 ſind nach 200Zahren ( — ) 900 7
Men⸗

dln
n Nn2,
nd.
Nzo,

lich un :,
ben gewe⸗
ndes noch

e/
ℳοn,
alkscnenge
c
Aorden

gun, dah
f 1000000
dl ſ⸗

ſige Neſen
100

2)66

Von⸗

OC, 00 30103; und hieraus ergiebt ſich

Von den Exponential Groͤßen und den logarithmen. 115

—

Menſchen da geweſen. Da nun ( 1) 1000000

1000000 N 53!1 X
iſt, ſo wird S = (— ) d5, folglich 1 1 =—
I 1000000 1
— 1 — – „* 5,221848 0,0261092 alſo
5 5 5 22I8 67 = o,Oa61092 alſo
I T† xX IO61963
— brgez an und 1000000 = 61963X, oder =16
X I000000

ohngefehr. Es wuͤrde alſo die Zahl der Menſchen in 200 Jah⸗
ren zu der angefuͤhrten großen Menge angewachſen ſeyn, wenn
ſie ſich jaͤhrlich um den ſechszehnten Theil vermehrt haͤtten;
und dies iſt fuͤr das Alter, welches man ihnen beylegt,
nicht viel. Haͤtten ſie ſich aber in einem fort in dieſem
Verhaͤltniſſe 400 Jahr hindurch vermehrt, ſo waͤre ihre
OOOOO

Anzahl bis auf 1000000. — — = 166666666666 ange⸗

wachſe ſen⸗ eine Menge, zu deren Unterhaltung der Erdbo⸗
den zu klein geweſen ſeyn wuͤrde.

Viertes Exempel.

Die jaͤhrliche Vermehrung der Menſchen zu finden,
wenn ſich ihre Anzahl alle 100 Jahr verdoppelt. Wenn

man die jaͤhrliche Bermehrung der Menſchen = — und
ihre anfaͤngliche Zahl = n ſetzt, ſo iſt die Menge derſelben
. 00 .
nach 100 Jahren = (—) n. Da nun dieſe Menge

das Doppelte der anfaͤnglichen Menge, und alſo = 2 n ſeyn
ſoll: ſo D = 2 *5 35 „, „und 1—I — — 1 2 =
S X 100
X 10069555
I0000000
H 2 und

116 Erſtes Buch. Sechstes Capitel. Vont

und alſo = = 144 ohngefehr. Es iſt folglich. rl
zur Verdoppelung der Menſchen in jedem Jahrhunderte ge⸗ 21.
mnug, wenn ſich dieſelben jaͤhrlich nur um den 144ſten Theil ſchen,
vermehren, und es iſt daher laͤcherlich, wenn einige leug⸗ len/ ze
nen, daß die ganze Erde von einem Menſchenpaare in ſo dert, un

kurzer Zeit habe bevoͤlkert werden koͤnnen.

§F. III. h
Der groͤßte Nutzen, welchen die Logarithmen gewaͤhren, Kagt abe
zeigt ſich bey der Aufloͤſung ſolcher Gleichungen, wo die un⸗ wie viel
bekannte Groͤße ein Exponent iſt. Hat man z. B. die Glei⸗ Sitt
chung ax = b, und ſoll man daraus x entwickeln, ſo kann nſah
ſolches nicht anders als vermittelſt der Logarithmen geſche⸗
hen. Da nemlich ax =b iſt, ſo iſt lax = xlà = 1 b, und nuh
1b . ,B
alſo X = Ia. Dabey iſt es uͤbrigens gleich, was man ſich nach d

fuͤr eines Logarithmiſchen Syſtems bedienen will, weil die
Logarithmen der Zahlen a und b in allen Syſtemen einer⸗ nech

iey Verhaͤltniß haben. [§. 108.)]
Unnoch

Erſtes Erempel. -
Es wird gefragt, in wie viel Jahren das menſchliche
Geſchlecht u b das Zehnfache anwachſe, wenn die jaͤhrliche Ratur
Vermehrung — 55 ſt ² Es geſchehe ſolches nach Jahren, 1. ..
und die anfängtice Menge der Menſchen ſey = n, ſo wird noch ib
ihre Menge nach Jahren = (—2*½) n ſeyn. Da dieſelbe e-
mun auch das Zehnfache von der anfaͤnglichen Menge ſeyn oder
ſoll, ſo iſt ) n = 10n, oder () = 10; folg⸗ b

lich

ℳ S

kflgich

derte ge⸗
iin Dil
emngelung⸗
aare in

gerihren
,to die un⸗
9 die Glei⸗
la, ſo kann

hnen geſche⸗
14l M

as mon ſch

ly weil die
onen Oe⸗

werſchlche
die ſihtit⸗

Von den Exponential⸗Groͤßen und deu logarithmen. 117

lich ?v1 — = 110, und Xæ = — o = GG
1101 — 1 100 43214
231. Rach 231 Jahren wird alſo die Anzahl der Men⸗
ſcen. wenn ſie ſich jaͤhrlich um den 100ſten Theil vermeh⸗
ren, zehnmal ſo groß; und folglich nach 462 Jahren hun⸗
dert, und nach 693 Jahren tauſendmal ſo groß.

Zweytes Exempel.

Es hat jemand 400000 Fl. zu 5§ pro C. aufgenommen,
traͤgt aber jaͤhrlich 25000 Fl. ab, und es wird gefragt: In
wie viel Jahren er die ganze Schuld bezahlt haben werde?
Setzt man die ſchuldige Summe der 400000 Fl. = a, und
den jaͤhrlichen Abtrag der 25000 Fl. = b; ſo iſt er ſchuldig

G — —
nach dem erſten Jahre I00 b

2
nach dem zweyten Jahre (—) a — 105 b — b

dri c 105 5= 195 105⁵5 — b
nach dem dritten Jahre (S. a (*) b 0 b,

und nach «Jahren, wenn man der Kuͤrze wegen 75 — n ſetzt,
nxa — nx-Ib — nx-zb — nXx-3b —- — b =
nxa — b (I † n †C nz f. † nx- 1). Da nun wegen der
Natur der geometriſchen Progreſſionen 1 † n † nz † ns

nX — I B
f + nx-TI = — iſt: ſo iſt die nach Jahren

noch uͤbrige Schuld, die nach der Aufgabe Null ſeyn ſoll,

.: nx b — b
nxa — nP11 = o, und folglich n“a = 1
n – 1 n — 1

oder En — 1) nxa = nxb — b. Hieraus ergiebt ſich

(b — na † a) n“ = b, und n nx = en I

H 3 denn

„ woher

N 8 —

8 Erſtes Buch. Sechstes Capitel.

denn = - . — wird. Da nun a =

105
400000, b = 25000, n = 5 iſt; ſo iſt (n— I) a = 20000,

und b (n) aà = 5000, Uund die Zahl der Jahre, nach

H
welchen die gante Schuld bezahlt iſt, = o 00

0☚£
11853

15 — 6989700

= = 118937 oder etwas kleiner als 33. Nach

33 Jahren nemlich wird nicht nur die ganze Schuld abge⸗
tragen ſeyn, ſondern es muß a lsdann der Creditor dem De⸗

(n 3 3 – 1) b

n. — I

bitor noch wieder herausgeben

3
(25) „ 5000 – 25000

21533
☛ 100000 S059 — S00000 Fl.

—

200

Da alſo 122 = ,/oal1892991, iſt, ſo iſt 1( =

699 2465 .R und I100000 (— ) = 5,/6992469 =

1 5003 18 8. Es muß folgl ich der Creditor dem Debitor

nach 33 Jahren noch 318 Fl. wieder herausgeben.

Es haben aber die gemeinen Logarithmen, deren Baſis
10 iſt, außer dieſem Gebrauche, den ſie mit allen andern

Logarithmen gemein haben, in der Decadik noch einen

beſondern Vorzug, und gewaͤhren daher auch vor andern
H Syſtemen einen beſondern Vortheil. Denn da die Logarith⸗

men aller Zahlen, die Poteſtaͤten von 10 ausgenommen,

in Deeimal⸗Bruͤchen ausgedruckt werden; ſo fallen die Lo⸗
garithmen der Zahlen, die zwiſchen 1 und 10 enthalten
ſind, zwiſchen o und 1, die Logarithmen der Zahlen hin⸗
gegen, die zwiſchen 10 und 100 liegen, zwiſchen 1 und 2

— n3 3àa =

Vonde

hl und

die Chor
genannt.
weniger
garithemn
B.die
peil dieſ⸗
demnach
kennen,

Gchört,

Leig

ſchen d
in den
id ſtimn
Eo ſind
4zo⸗
od
W
Mon
einem
helet
abſchn
Decim
26
tiſe
dieſe
Wa

Wo,

lte Nah

uld aben⸗
dem De⸗

14
13¹1

50000 ,.

133

eren Beſs
len orden
uß enen
r andeen
garihh
mottgen,
en die Nl⸗
enthelten
geen hin⸗
1 Und2

leſf.

Von den Exponential⸗Groͤßen und den Logarithmen. 119

u. ſ. f. Es beſteht daher jeder Logarithme aus einer ganzen
Zahl und einem Decimal⸗Bruche; und die ganze Zahl wird
die Charakteriſtik, der Decimal⸗Bruch aber die Mantiſſe
genannt. Die Charakteriſtik enthaͤlt daher immer eine Einheit
weniger, als die Zahl, welche die ganzen Theile der zu dem Lo⸗
garithmen gehoͤrigen Zahl ausdruckt, Theile enthaͤlt; und es iſt
z. B. die Charakteriſtik des Logarithmen der Zahl 738509, = 4,
weil dieſe Zahl eine fuͤnftheilige ganze Zahl iſt. Man kann
demnach aus dem Logarithmen einer jeden Zahl ſogleich er⸗
kennen, aus wie viel Theilen oder Zifern die Zahl beſtehe; ſo
iſt z. B. die Zahl, welche zu dem Logarithmen 7,5804631

gehoͤrt, ihrem ganzen Theile nach eine achttheilige Zahl.

§K. 113.
Wenn alſo die Mantiſſen zweyer Logarithmen einander

gleich ſind, und bloß die Charakteriſtik verſchieden iſt, ſo
ſtehen die Zahlen, welche zu dieſen Logarithmen gehoͤren,
in dem Verhaͤltniſſe einer Poteſtaͤt der 10 zu der Einheit,

und ſtimmen alſo in ihren Zifern mit einander uͤberein.

So ſind z. B. die Zahlen, welche zu den Logarithmen

4 9130187 und 6, 9130187 gehoͤren, 81850 und 8185000;
zu dem Logarithmen 3, 9130187 aber gehoͤrt die Zahl 8185,

und zu dem Logarithmen 0,9130187 endlich 8, 185. Die

Mantiſſe allein zeigt alſo die Zifern der Zahl an, welche zu
einem Logarithmen gehoͤrt, und aus der Charakteriſtik er⸗
hellet, wie viel man davon zur Linken fuͤr die ganze Zahl
abſchneiden muß, wo denn die uͤbrigen zur Linken einen
Decimal⸗Bruch ausmachen. Iſt z B. der Logarithme
2,7603429 gefunden worden, ſo findet man nach der Man⸗
tiſſe die Zifern 5758945; die Charakteriſtik 2 aber beſtimmt
dieſe Zahl fuͤr den angefuͤhrten Lagarithmen ſo: 575, 8945.
Waͤre die Charakteriſtik = = 0, ſo waͤre die zugehoͤrige Zahl
5 4 =

Erſtes Buch. Sechstes Capitel. ꝛc.

= 5,758945; und verminderte man ſie noch um 1, ſo daß
ſie = — I wuͤrde, ſo waͤre die zugehoͤrige Zahl = 0,5758945,
ſo wie die Charakteriſtik — 2 auf die Zahl 0,05758945 fuͤhrt.
Man ſetzt indeß anſtatt dieſer negativen Charakteriſtiken
haͤuſig die Zahlen 9, 8, 7 u. ſ. f. und ſetzt dabey voraus

daß dieſe Logarithmen um 10 zu groß angenommen worden

ſind. Doch dies pflegt in den Einleitungen zu den Logarith⸗
miſchen Tafeln hinlaͤnglich aus einander geſetzt zu werden.
Exempel.
Es wird die Progreſſion 2, 4, 16, 256 u. ſ. f. gegeben,

in welcher jedes folgende Glied das Quadrat des vorher⸗

gehenden iſt; man ſoll das fuͤnf und zwanzigſte Glied
derſelben finden. Man kann die Glieder dieſer Progreſſion
auch auf folgende Art ausdrucken: 21, 22, 24, 28 u. ſ. f.
wo denn in die Augen faͤllt, daß der Erponent des fuͤnf
und zwanzigſten Gliedes 224 =— 16777216, und alſo das
geſuchte Glied ſelbſt 216777216 ſeyn wird, und davon
iſt der Logarithme 16777216. 1 2. Da nun der Logarithme
von 2 = o, 301029995, 66398 195 iſt, ſo iſt der Logarithme
der geſuchten Zahl 5050445, 25973367, aus deſſen Charak⸗
teriſtik erhellet, daß die geſuchte Zahl, auf die gewoͤhnliche Art
ausgedruckt, aus 5050446 Zifern beſteht. Sucht man aber die
Matntiſſe? 259733675932 in den Tafeln auf, ſo findet man die
erſten Zifern dieſer Zahl 181858. Ob man alſo gleich dieſe
Zahl nicht ganz finden kann, ſo weiß man doch mit Gewiß⸗

heit, daß ſie aus 5050446 Zifern beſteht, und daß die erſten
davon 181858 ſind, worauf noch 5050440 andere folgen.

Einige davon koͤnnen noch aus groͤßern Logarithmiſchen Ta⸗
feln gefunden werden, wie denn die erſten eilf Zifern dieſer
Zahl dieſe 18185852966 ſind.

Sie⸗

Vor.

De
als 1 i⸗
doß die
einen
einen!
Einheit
geringer
wird 2“
Nehl it
an nur
Penen
1
W
gen.
wir
zur

bon⸗
und
men

ſo doß
0s,
zführ.
riſüten
Nras
n worden
logorithi
werden.

gegeben,
rorher⸗
ſe Guic
lrogerſion
ꝛ uff.
t des if
Ralſe Ns
1 dovor
guithne
uithme
nlicheln
naber i
A man de
geich M
t Gei
Meerien
e folgen
gen du⸗
en die

Siebentes Capitel.

Von der Entwickelung der Exponential⸗Groͤßen und
der Logarithmen durch Reihen.

H. 114.
Da a0 = 1 1 iſt, und der Werth von a, wenn a a groͤßer
als 1 iſt, mit dem Exponenten zugleich waͤchſt: ſo folgt,
daß die Poteſtaͤt von a, wenn ihr Exponent die o nur um
einen unendlich kleinen Theil uͤbertrifft, ebenfalls nur um
einen unendlich kleinen Theil groͤßer ſeyn werde, als die
Einheit. Es ſey „ eine unendlich kleine Zahl, oder ein ſo
geringer Bruch, daß ſein Werth nur nicht = o ſey; ſo

wird a“ — 1 † J, ſo daß ebenfalls eine unendlich kleine

Zahl iſt: denn aus dem vorhergehenden Capitel erhellet,

daß nur dann « eine unendlich kleine Zahl ſeyn kann, wenn
P eine unendlich kleine Zahl iſt. Es wird daher entweder
= à, oder groͤßer als „, oder kleiner als ſeyn,
und dies Verhaͤltniß wird von dem Werthe von a abhaͤn⸗

gen. Da nun a noch eine unbekannte Groͤße iſt, ſo wollen

wir = ka ſetzen, ſo daß a“ = 1 † k a, und wenn man

a zur Logarithmiſchen Baſis macht, „= 1(I † k “) ſey.

Exempel.
Damit man deſto deutlicher einſehe, wie die Zahl K

L von der Baſis a abhange, ſo wollen wir a = 10 annehmen,

und aus den gemeinen Logarithmiſchen Tafeln den Logarith⸗

men einer Zahl ſuchen, die ſich von der Einheit nur um ei⸗

5 5 nen

122 Erſtes Buch. Siebentes Capitel.

nen ſehr kleinen Theil unterſcheidet. Es ſey dieſe Zahl

+ — und alſo keo = :; ſo iſt ( ——
I000000 1009000 1000000
1 Iod 0000 Hi bt
— O, ◻9 3429 — . er
Iooo οο5̈h 5 4342²9 Hierau ergied
ð „I 29
ſich, da k⸗ — O, 00000 100000 iſt, — — —3422 und k
k. 100000 —
100000 .
— 15 = 2, 30258; woraus erhellet, daß k eine end⸗

liche Zahl iſt, die von dem Werthe der Baſis a abhaͤngt.
Denn wenn man eine andere Zahl fuͤr die Baſis a annaͤhme,
ſo wuͤrde der Logarithme von 1 † ka zu dem gefundenen ein
beſtimmtes Verhaͤltniß haben, und deswegen auch k einen
andern Werth erhalten.

§. ri5.
Da a* = 1 kw, ſo iſt a!“ = (1 . ko)i, man mag
fuͤr i eine Zahl ſetzen, was fuͤr eine man und es iſt da⸗
16— —=0 — 1) ( — 2)

her ai rrrr . Naea 1 se

u. ſ. f. Setzt man alſo i = —, ſo daß 2 irgend eine end⸗
liche Zahl bedeutet: ſo wird, weil ⸗ eine unendlich kleine

Zahl iſt, i eine unendlich große Zahl, und folglich ⸗= —

oder gleich einem Bruche mit einem unendlichen Renner,

d. h. einer unendlich kleinen Zahl, ſo wie wir es angenommen

haben. Setzt man nun⸗anſtatt e, ſo wird a? = 6 12)
= I 1† Kz f 222 — E ks23 4
I 21 I 21 31
1 (— 1) ( — 2) (1 — 3)

I 21. 31 . 41

k 424 † u. ſ. f. eine e Gleichung, die

voll⸗

20

folkom
iſt da
nie ber

De

denn es
Einheit
elſo der
ls

den

dine ed⸗

annahne,
pdenen ein
91 enen⸗

man mag
eiſtö⸗

X
—))
* .
— 6

3
eine e

dlich ken

⸗

ſchen aund k⸗ denn ſetzt man? = I, ſo wird a =I † Tr⸗

V. d. Entwickel. d. Exp. Groͤßen u. d. logar. d. Reihen. 123

vollkommen wahr iſt, wenn man iunendlich groß annimmt.

K iſt darin eine endliche Zahl, deren Werth von a abhaͤngt,

wie bereits gezeigt worden iſt.
§. 116.
Da aber i eine unendlich aroße Zaht iſt, ſo iſt —

denn es iſt offenbar, daß der Bruch — ſich deſto mehr der

Einheit naͤhert, je groͤßer i angenommen wird, und daß er

alſo der Einheit gleich werden muß, wenn i groͤßer wird,
als jede endliche Zahl, die ſich angeben laͤßt. Aus eben

— 2 1
dem Grunde wird i. — I; 3 = 1; u. ſ. f. und
— — 4; — = 4½; u. ſ. w.
= ; — 4; u. ſ
Gebraucht man nun dieſe Werthe, ſo erhaͤlt man a2 = 1 †

daher iſt —, = = f–;

Kkz kzz2 k323 k 424

t : I I. 2 3 1 1.23.4 F u. ſ. f. ohne Ende. Es

erhellt aber aus dieſer Gleichung auch das Verhaͤltniß zwi⸗
kzZ
2
4 ka
1.2. 3 I. 2. 3. 4
ſo muß k ohngefaͤhr = 2,302558 ſeyn, ſo wie wir es vorhin
gefunden haben. ð

3

u. ſ f. und wenn a = 10 ſeyn ſoll,

Setzt man b = an, ſo wird, wenn man a zur Logarith⸗

miſchen Baſis annimmt, 1b = n; und da nun bz = anz

knz

iſt, ſo entſteht daher die unendliche Reihe b2 = I 4 —

1

Erſtes Buch. Siebentes Capitel.

kanzzz ken323 kan 424
1 . 2 2. 3 1I.2.3. .

e

+† u. ſ. fi. oder, wenn

1b nſetn ſetzt: bzy = I .5 2 — 15 1 —— b)⸗ * — 0b)

† † Ib) 4 † u. ſ. f. Da nun der Werth von k aus

dem gegebenen Werthe der Baſis a gefunden werden kann,
ſo laͤßt ſich eine jede Exponential⸗ Groͤße b? durch eine un⸗
endliche Reihe ausdrucken, deren Glieder nach den Pote⸗
ſtaͤten von 2 fortſchreiten. Nachdem wir dieſes gezeigt ha⸗
ben, ſo wollen wir nun auch unterſuchen, wie man die Lo⸗
garithmen durch unendliche Reihen ausdrucken kann.

§. 118.

Da⸗ a * = 1 † k, wenn „ ein unendlich kleinen Bruch
bedeutet, und das Verhaͤltniß aiſchen⸗ a und K hurq die Glei⸗

chung beſtimmt wird, àa = 1 1 —

wenn man a als die Logarithmiſche Baſts. datrachtet,
S IlCI 3 Kk *), und i“ = 1(1 † ka) i. Hierbey iſt klar, daß
die Poteſtaäͤt (1 † ka) i die Einheit um ſo mehr uͤberſteigen

werde, je groͤßer i angenommen wird, und daß ſie, wenn

mani ohne alle Grenze wachſen laͤßt, jede Zahl, die groͤßer
als die Einheit iſt, erreichen kann. Setzt man daher (I † ka)
S=S I † , ſo wird II1 † X) = ie; und da ia eine endliche
Zahl, nemlich der Logarithme von 1 †. x, iſt, ſo erhellet
hieraus, daß i eine unendlich große Zahl ſeyn muß, weil
ſonſt i ie keinen endlichen Werth haben koͤnnte.

Da wir † k 2) i = 1 1 X geet haben, ſo iſt 1 k⸗

=a F ), und ke = (1 ) — 1, folglich lis =

Z

od, weil

3-—1

i

XX X

7,

1 x

—.—

3 4
Und k. din⸗

Na=

dawi
Nlchnen
ſelben,
beſtim

V.d. Entwickel. d. Exp. Groͤßen u. d. logar. d. Riihen. 12 5

. r1
t, wenn 1r † xX) 1 — 1). Da aber i9= 161 † *) iſt l. 118,] ſo
13 T
--0
iſt 1r † x) = — (r1* 1— wenn eine unendlich
n aus 1
ift. Nun iſt — I 201
große Zahl iſt. Nun iſt (1 † X) i = 1 W + * — — =
dnkam, l 1. 2 i 2=
e un⸗ . 10— 1) (2i— 1) Ii— 1) (2i — 1) (3i —
hin m 6—15° x3 — UQ— Q(2i — 1) (Zi —a 1 ꝛ.
den W i . 21 . 3 1 . 2i . 31 . 41
Kſeighe und, weili unendlich groß iſ, ſo ſt ⸗ ——1 — 2.
nan diely 2 zZ 3
kan. 1—1 DS
= 3 —; ꝛc. Folglich iſt i i 1 1† X) i i † X —
4 8 H. iſe
1I „ x2
enenenc 15 — — — 1 ꝛc. und 101 . 24 = — (—
ſchdiele⸗ 23 4

. RR ꝛc.) wenn die Logarithmiſche Baſis = a iſt,
ir ſoſt
. und k eine Zaht eheute die zu dieſer Baſis gehoͤrt, ſo
mai⸗ kxk.

lin, ah daß a = 1 12 1 7 r.2.3 — 1 — 2.3 4¹ c. iſt.

herſeiyen ðWWðMB 5
6, ven §. 120. 1
degchr Da wir nunmehr eine Reihe haben, welche dem Loga⸗
t rithmen von 1 † x gleich iſt, ſo koͤnnen wir ve ermittelſt der⸗
R . ſelben, wenn die Baſis a gegeben iſt, den Werth der Zahl
int . k beſtimmen. Denn ſetzt man 1 † 2 = a, ſo iſt, weil
Vn I a — 1 (a — 1) 2 (T — 1) 3
n,ri ia = I iſ, 1 —— 5 .R—
a — — † —
L † c.) folglich k = 2— I — 2— 122
4 I 2
(a — 10)3 a — 1
dſt 11 — — — . 1 ꝛe. und der Werth dieſer
ihe⸗ Reihe muß, wenn man a = 10 ſegt, ohngefehr: 2,30258 2
l ſeynz

126 Erſtes Buch. Siebentes Capitel.
ſeyn; ob gleich ſchwer einzuſehen iſt, wie 2,30258 = 2 — D n
„„ 4 Eſfens
3 * — † ꝛc. ſeyn koͤnne, da die folgenden gewah
„ Glieder dieſer Reihe immer groͤßer werden, und man die (ſiſt ans
Summe derſelben nicht auf die Art naͤherungsweiſe zu fin⸗ “
den im Stande iſt, daß man einige Glieder davon zuſa—me 1211
men vereiniget. Es wird ſich indeß bald ein Mittel, dieſer riche in
Undequemlichkeit abzuheifen, darbieten. rhit ne
§. 121 noch dieke
iur Baſi
„Xx 2 3 4
Da 11)= X — –— † — — † ꝛc) iſt, nen nar
12 3 4 de Due
ſo iſt, wenn man x negativ nimmt, 101— ) =— . (S k Erut
Nuhl 2,
— — — 12 — 2 k.) Beſonders bewieſen findet man dieen in, ſo
bolſchen
Satz im Anhange S. 487. Abſatz 9. 10.] Subtrahirt man
dieſe Reihe dor der vorheegehenden, ſo erhaͤlt man 1 ( X) — ſchedi⸗
101— =1— — 1 † — . t — —
1(1— =I = E 1 1* t.) Setz Si
I TX a —
man nun = = a, ſo daß: X = wird, ,ſo iſt, da
— 1)3 (a — 1)*$
1a =I nunme k = A † (a= daß di
D 4 hr (f P1 1 e 37a † 1)3 50a † 1)5 de
2c.) und aus dieſer Gleichung laͤßt ſich der Werth von K unendti
aus der Baſis a finden. Set man dahee a = 10, ſo iſt ätz
MV ithme
9 93 .
k = 2 (— † — . .
I 1 1 1† ꝛc.) und da mng
4 die Glieder dieſer Reihe ſehr merkch abnehmen, ſo geben H
ſie auch den Werth von k ſehr bald mit e einer hinlaͤnglichen 14 i
Genauigkeit. kogari
g. 12a2,

9S.
I

falgender

omn de
weiſen ⸗
aron zuan⸗

Rinl, Nieſtr

Ir) ſ

V.d. Entwickel. d. Exp. Groͤßen u. d. logar. d. Reihen. 127

§. 122.
Da man bey der Verfertigung eines Logarithmiſchen
Syſtems a nach Gefallen annehmen kann, ſo kann es dn
ſo gewaͤhlt werden, daß k = 1 iſt. Es ſey alſo k =

ſo iſt aus der oben §. 116 gefundenen Reihe a = 1 1† —

1
I. 1.2. 3 1. 2 3. 4
Brüche in Decimal⸗Bruͤche, und addirt man ſie wirklich, ſo
erhaͤlt man a = 2,71828182845904523536038, wo auch
noch die letzte Zifer genau iſt. Rimmt man nun dieſe Zahl
zur Baſis an, ſo heißen die zu ihr gehoͤrigen Logarith⸗
men natuͤrliche oder hyperboliſche Logarithmen, weil
die Quadratur der Hyperbel durch dieſe Logarithmen aus⸗
gedruckt werden kann. Der Kuͤrze wegen wollen wir dieſe
Zahl 2,71 8281828459 u. ſ. w. immer durch e bezeich⸗
nen, ſo daß alſo e die Baſis der natuͤrlichen oder hyper⸗

† u. ſ. f. Verwandelt man dieſe

boliſchen Logarithmen bedeutet, woffir k = I iſt; oder es

ſoll e die Summe dieſer Reihe 1 1 — .— † —, — 4

I
— – F† u. ſ. w. ohne Ende, anedrucen.

1.I. 2. 3. 4

§. 123.
Die hoperboliſchen Logarithmen haben alſo die Eigenſchaft,

daß die Zahl 1 † den Logarithmen „ hat, wenn ⸗ eine

unendlig 9 kleine Groͤße bedeutet; und da hieraus der Werth
von k = 1 bekannt iſt, ſo laſſen ſich die hyperboliſchen Lo⸗
garithmen aller Zahlen finden. Wenn daher e die vorhin,
G. 122] gefundene Zahl hedeutet, ſo iſt allezeit e⸗? = 1 †

2 — †. u. ſ. f.; die hyperboliſchen

1.2.3 LI. 2. 3.4
togaruhmen ſeloſt aber ergeben ſich an aus dieſen Reihen.

1(1 I)

129 Erſtes Buch. Siebentes Capitell. pyn
Xx2 XK3 XA4 „ e. 15:
J — ——... . . —
lei ch x 2 15 2
1ITX 2 222 2 227 222 4 . n
1— X I 3 5 7 9 18:
die in einem hohen Grade convergiren, wenn man fuͤr 19
einen kleinen Bruch annimmt, ſo daß man aus dieſer letz⸗ lio.
ten Reihe die Logarithmen der Zahlen, die nicht viel groͤſ⸗ Es ſnd n
ſer als die Einheit ſind, ſehr leicht ſindet. Setzt man nem⸗ Peihen ge
( 1 346 3 2 2 woben ſolg
ich = —, ſo iſt !1 — = 1 2 = — † – T†
lich = „ ſo iſt! e
2 . . 2 doß in der
——— † ꝛc.; etzt man ? = „ o wird 1 2 = — F
2 2 darans .
— † ri.; und ſetzt man x = T ‚ſo
3 . 7 3 5. 75 7. 77 9 delcher,
5 2 2 2 2 Aabo;
wird 12= — † — † — — † — † ꝛc. Aus
4 1. 9 3 9 3A 5. 9 ⅞ 7. 97 est deſ
Dden Logarithmen dieſer Bruͤche aber findet man ferner die
Logarithmen der ganzen Zahlen, indem wegen der Natur
der Logarithmen 1²¾ † 13=12, ferner nun! 2- 3 f 12 = Getzt
ZR B Nder CA
13; und 212 = 14; desgleichen nunmehr TI4 =I5;
Nurat m
12 † 13 = 16; 312 = 18; 213 = 19; und 12 15= Rr
geſehen
Exempel.
17
Es ſind daher die hyperboliſchen Logarithmen der Zah⸗ 1
len von 1 bis zu 10 folgende: H“Z Duſia
11I = 0C, 00000 ooo 0000â, o0Oαοα 0οο finmen,
12 = 0,69314 71805 59945 30941 72321 vlche
13 = 1 466 22886 68109 69139 52452 rithmen
14 = 1,38629 43611 19890 61883 44042 khntt

6
. xx.
9
in.
wanfier
8W
9t bil gi⸗
t mon nen

n ferner de
1 der Naue

V. d. Entwickel. d. Exp. Groͤßen u d. logar. d. Reihen. 12

15 = 1,60943 79124 34100 37460 0759993
16 = 1,79175 94692 28055 0008I 24773
17 = 1,94591 01490 55313 30510 54639
18 = 2, 07944 15416 79835 92825 16964
19 = 2, 19722 45773 36219 38279 0490b5
110 = 2, 30258 50929 94045 68401 79914

Es ſind nemlich alle dieſe Logarithmen durch obige drey

Reihen gefunden worden, bis auf den Logarithmen von 7,
wobey folgende Verkuͤrzung gebraucht worden iſt. Dadurch

daß in der letzten Reihe = 35 geſetzt wurde, ergab ſich

10 50 =
daraus 1 — 15 = 0, O0202027073175194484078230,

welcher, von 150 = 215 † 12 = 3, 91202300542
81460586187508 abgezogen, den Logarithmen be von 49
giebt, deſſen Haiſte = 17 iſt.

Setzt man den hyperboliſchen Logarithmen von 1 † x,
der l ſ X ☚ . — X
oder T) = 7; d iſt y= . 1 = + c

Nimmt man aber a zur Baſis, und ſetzt den Logarithmen

eben derſelben Zahl 1 † X gleich v; ſo iſt, wie wir SS

I X x2 X 3 x4
geſehen h V= XG — 1

= , und folglich k = 1. Hieraus laͤßt ſich der fuͤr die

Baſis a zu k gehoͤrige Werth ſehr bequem auf die Art be⸗
ſtimmen, daß man ſagt, es ſey Kk gleich dem Quotienten,
welchen man durch die Diviſion des hyperboliſchen Loga⸗
rithmen einer jeden Zahl durch den zur Baſis a gehoͤrigen
Logarithmen eben derſelben Zahl erhaͤlt. Setzt man da⸗
Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. l. D. J her

ausdrucken. Es iſt tee alsdann e? = (I † — )i, und

Erſtes Buch. Siebentes Capitel.

her dieſe Zahl = a, ſo wird v = I, und alſo k gleich dem
hyperboliſchen Logarithmen der Baſis a. In dem gemeinen
Logarithmiſchen Syſteme, wo a = 10 iſt, wird daher k =
dem hyperboliſchen Logarithmen von 10, oder k = 2, 3025
850929940456840179914, [§. 123.] Wenn man alſo die
hyperboliſchen Logarithmen durch dieſe Zahl k disidirt,
oder welches einerley iſt, durch 0,43 4294 48190325 182765
112890 multiplicirt: ſo erhaͤlt man die gemeinen Logarithmen,
deren Vaſis⸗ a = LIo iſt.

K. 125.
2 3
— — — —
Dae 1 † 1 r S; ud GS. 123 1 ſo
wird, wenn man aV = e ſetzt, und die hyperboliſchen Lo⸗
garithmen nimmt, Fa= = 2, weil le = I iſt. Setzt man

1

2 (12 2
nun dieſen Werth fuͤr 2, ſor wird a? = 1 † — — . S
y3 (Ia ) 3

1I 2 . 3

†. ꝛc. [§. 117. und es kann daher auch jede Erpo⸗

nential⸗ Groͤße vermittelſt der hyperboliſchen Logarithmen

durch eine unendliche Reihe dargeſtellt werden. Bedeutet

ferner i i eine unendlich große Zahl, ſo kann man ſowohl die
Erponential⸗ Groͤßen als die Logarithmen durch Poteſttten

folglich ay = (1 1 —— ), ſo wie ferner fir die boperbel⸗

ſchen Logarithmen 161 1.9 = i (G 4„) 1 (lK r1.],

wenn man daſelbſt k = I ſetzt.) Was den weitern Gebrauch
der hyperboliſchen Logarithmen betrifft, ſo wird derſelbe in

der Integral⸗Rechnung ausfuͤhrlich beſchrieben werden.

Achtes

W

1†

Von

Nas

maſſen
tachtet
tranſcen
Elis den
ſelhen ina
Sett
Simns dot

ieſegreiſ

mnan aber
N
AA

hat*)

daße

meſſer:
den bede

I= 1,N

9¹ IN
kogarithenen

ae

gtnſhre
en. Mart
an ſowehl

6c Votkten

1 , n
y ſgertol⸗
gie hen

ern Gchtanh
) derhein

werder⸗

htes

. . „
— J
R — e
IINRNEIIE STNHNEAZ .
D 5

Achtes Capitel.

Von den tranſcendenten Groͤßen, die aus dem
Kreiſe entſpringen.

§. 126.

Nach den Logarithmen und den Exponential⸗Groͤßen
muͤſſen die Kreisbogen und ihre Sinus und Coſinus be⸗
trachtet werden, nicht nur, weil ſie eine andere Art von .
tranſcendenten Groͤßen ausmachen, ſondern auch weil ſie
aus den Logarithmen und Exponential⸗Groͤßen, wenn die⸗
ſelben imaginaͤre Groͤßen enthalten, entſpringen.
*Setzt man nun den Halbmeſſer eines Kreiſes oder den

Sinus Totus = 1, ſo iſt bekannt, daß man die Peripherie
dieſes Kreiſes in Zahlen nicht ganz genau ausdrucken kann, daß
man aber durch die Raͤherung fuͤr den halben Umkreis die

Zahl, 3,141592653589793238462643383279502884197169
399375 105820974944592307816406286208998628034 825⁵
3421170679821480865132723066470938446 † gefunden

hat *). Fuͤr dieſe Zahl wollen wir der Kuͤrze wegen ſetzen,

ſo daß alſo æ den halben Umkreis eines Zirkels, deſſen Halb⸗⸗
meſſer = I iſt, oder die Laͤnge eines Bogens von 180 Gra⸗

den bedeutet.

*) In den drey letzten §§ des gegenwaͤrtigen Capitels kommen
einige Arten vor, das Verhaͤltniß der halben Peri pherie eines
Kreiſes zum Radius, oder der ganzen Perigderie zum Dunce
meſſer deſſelben zu beſtimmen.

J 2 H E12.

132 Erſtes Buch. Achtes Capitel.

L S. 127.
Nun bedeute einen jeden Bogen dieſes Kreiſes, deſſen
Halbmeſſer beſtaͤndig = geſetzt werden ſoll, und ſin. A.z oder
ſin. 2z den Sinus, ſo wie coſ. A. z, oder coſ. z den Coſinus des
Bogens 2: ſo iſt, da æ ein Bogen von 1800 iſt, ſin. o °
coſ. Oo 7 = 1; ferner ſin. 7 = 1; coſ. 42 =0; ſin. æ = 0;
coſ. æ = – 1; fin. 3 7 = — I; coſ. 31 7 = O; ſin. 2 æ
= 0; coſ. 2 7 = I. Es fallen alſo alle Sinus und Co⸗
ſinus zwiſchen die Grenzen † 1 und — 1*). Ferner iſt coſ.
= ſin. (1 7 — 2); ſin. z = coſ. (4 æ — 2); und (ſin. 2) 2 †
(coſ. 2) 2 = 1. Außerdem muͤſſen auch noch folgende Be⸗
zeichnungen gemerket werden: tang. z, welches die Tan⸗
gente des Bogens 7, cot. 2, welches die Cotangente des

ſ
Bogens 2 bedeutet. Daß tang. 2 = und cot. 2 =

cofſ. 2 1
— — — — iſt, iſt .
ſin. 2z tang. 2 iſt, iſt, ſo wie auch alles uͤbrige aus der

Trigonometrie bekannt.

*) Wenn alſo k jede ganze Zahl, die Null nichr ausgeſchloſſen,
bedeutet, ſo iſt ſowohl Sin. 2 kæ als Sin. (2 k † I) æ2 = o,
Vingegen coſ. 2 k 7 = P† I, und coſ. (2 k T† I) æ — I.
Umgekehrt iſt alſo oder n %, wenn Sin. % oder Sin. n O = 0°
iſt, entweder 2 kæ oder (2 k † I) æ, je nachdem der Coſi⸗
nus davon entweder = † I oder = — 1 iſt. In jenem Falle
findet die Form 2 k, in dieſem aber (2 k † I) æ ſtatt.
§. 128.
Ferner wird daſelbſt erwieſen, daß, wenn y und 2 zwey
Bogen bedeuten,
ſin. (y T 2) = fſin. y. coſ. z † coſ. y. ſin. 2,

coſ. (y † 2) = coſ. y. coſ. 2 — fin. y ſin. z, desgleichen

ſin. (y — 2) = ſin. y. coſ. 2 — coſ. y. ſin. 2, und
coſ. (y – 2) = col. y. coſ. 2 † ſin. v. ſin. 2 iſt. Setzt
. VM man

und o⸗
ſſtcol.1

die Tan⸗
ngente des

Ncot. 12

e As N

hloſen,
71—0,
——l.
10—0
d C
nen Fele
ſatt.

1ſwey

ſchen
1d
Setzt
man

Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. (33

man daher anſtatt y die Bogen ½2; «; 2; ꝛc. ſo wird

ſin. (2 = T† 2) = † cof. 2

coſ. (¾ æ † 2) = — ſfſin. 2

ſin. ( æ –᷑ 2) = P coſ. 2
coſ. (2 æ — 2) = † ſin. z

ſin. (æ T 2) — ſin. 2z

coſ. (æ † 2) = – coſ. 2

ſin. (zæ — 2) = r ſin. z

coſ. (æz –— 2) = – coſ. 2

ſin. (3 æ= † 2) = — coſ. 2

coſ. (3 æ † 2) = F† ſin. 2

—

ſin. (2 7 † 2) = † ſin. 2

coſ. (3 æ – 2) = — ſin. 2

fſn. (2 7 — 2) = — ſin. 2

coſ. Q2τ † 2) = † coſ. 2 lcoſ. (2 7 — 2) = † coſ. 2

Wenn alſo n irgend eine ganze Zahl bedeutet, ſo iſt

. uin † I
ſin. t † 2) = † coſ. 2
„

—

eoſ. Enk, † 2) = — ſin. 2

ſin. . — 2) = † coſ⸗

2

ſin. , † 2) = — ſin. 2

† 2
coſ. n,t2 = — coſi. 2

n. —,

† 2) = — coſ. 2

oſ. Gnie 2) = † ſin. 2

ſan. En2 n † 3

ſin. „. — 2) = † ſin. 2

coſ. (1 2) = — coſ. z

—— —= — cohz

*

co ec Etr— — 2) = —

ſin. (4,
2

n

n † 4

2) = P ſin. 2 ſin. — r — 2) = — ſin. „

† 2) =— 1† coſ. 2 coſ. WBr- = col⸗

Und dieſe Formeln ſind wahr, n mage eine poſitive oder n ne⸗

gative ganze Zahl bedeuten.

134 Erſtes Buch. Achtes Capitel.

Wenn fin. 2 — P, und COſ. Z — 9 geſetzt wird, ſo iſt .

pp †= 1; und wenn ſin. y = m, und coſ. y = n ge⸗

nommen wird, ſo iſt auch um † nn = I. Die Sinus und

Coſinus der aus dieſen zuſammengeſetzten Bogen verhalten
ſich ſo, daß
ſin. z = p
ſin. ( † 2) =S in q † np
ſin. (2y † 2) = 2mnq † (nn — mm) p
ſin. (3 y † 2) & (3 mn2 H † (n 3 — 3 man) p
coſ. z = q
coſ. (y † 2) =Snq — m-p
colſ. (2y † 2z) = (n n — m m) q — 2 mnp

cof. (3 † 2 ²) = (n: — 3 m2 n) q — (3zmnz — m3)

u. ſ. f. iſt.
Die Bogen 2, y† z, 2y † z, 3y † 2 u. ſ. w. machen eine
arithmetiſche Progreſſion, ihre Sinus aber und ihre Coſi⸗
nus eine wiederkehrende Reihe von der Art aus, als aus
dem Nenner 1 — Znx † (mm†— nn) XX entſpringt. Es
iſt nemlich

ſin. (2y † ²) = 2n fin.- G † 2) — (mn m † nn) ſin. 2,
oder
ſin. GF2) = 2 cofy. ſin. (y † 2) — ſin. 2; und eben ſo
coſ.(2 y T 2) 2 coſ. y. coſ. (y Tz) — coſ. z. Auf eine aͤhn⸗
liche Art findet man 8
An. (3 7 † 2) = 2 coſ y. ſin. (27 2) — ſin. (y † 2) und
coſ. (3y † 2) = 2 coſ. y. coſ (2 †2) — coſ. CG 2);

M desgleichen

ſin. (4 † 2) = 2 co y. ſin. (3 4 2)— ſin. E7ν⅜ und
coſ. (4y †z) = 2 coſ y. coſ. (3 2) — coſ. (2y†²) u.ſ.f.

D Rach dieſem Geſezel laſen ſich die Formeln fuͤr die Sinus

und

Vond

lfnt
(ſn ſot

Sentn
ſin. 0
ſin. 26
ſin. 36
ſin 44
ſin. 5
ſn.600

ſo. n
col.

W cdl.

col
coh.
col.

col 6

ddd

Daſin
.
man, d.
ſubtrahi

I, ſin

1 eol

Da fr

elhat

ſ iſt
Sn ge⸗
nus und
derhaen

hen eine
gre Coſ⸗
als aus
r. 6

n ,

d eben ⸗
feineißn⸗

9 n d

1;

12) und
u.,

Sinus

Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 135

und Coſinus der Bogen, die in einer arithmetiſchen Pro⸗
greſſion fortgehen, ſo weit als man will, fortſetzen*).

*) Getzt man alſo y= z = 9, ſo erhaͤlt man ſir die Sinus
fn. o = ſin.
ſi. 2 ° = 2 coſ. . ſin. ½
ſin. 30 = 2 coſ. . ſin. 2 % — fſin.
ſin. 4 O = 2 coſ. G. ſin. 3 O — ſin. 2 G
ſn. 5 O = 2 cof. O. ſin. 4%ο — ſin. 3 6½
ſin. 6 % = 2 coſ. &. ſin. 5 O — ſin. 4G
und uͤberhaupp-t ⸗
fin. n = 2 coſ. . ſin. (n — 1) % — ſin. (Ün — 2) 6;
fuͤr die Coſinus
coſ. = coſ. ₰
coſ. 2 = 2 coſ. . coſ. ₰ — 1
coſ. 3 ½ = 2 coſ g. coſ. 2 — coſ.
coſ. 4O = 2 coſ. . coſ. 3 O — coſ. 2 G
coſ. 5 = 2 coſ. ꝙ. coſ. 4%—– coſ. 30
coſ. 6 0° = 2 coſ. 6. coſ. 5 ο — coſ. 4 G
und uͤberhaupt
coſ. n = 2 coſ. . coſ. (n – 1) — coſ. (n — 2) §.

2–

§F. 130.

Da ſin. G † 2) = ſin. y. coſ. 2 coſ. y. ſin.: 2 und
ſin. (— 2) = ſin. y. coſ. 2 — coſ. y. ſin. 2; ſo erhaͤlt

man, wenn man dieſe Gleichungen theils addirt, theils ß
I. ſin. y. coſ 2 = — 1 Z 2 MMUMf
2. . c.y. ſn. 2 = — 8 2 .
Da ferner coſ- (y † 2) = coſ. y. coſ 2 — ſin. y. ſn. 2, „und ðUMUÿ
oſ. (y — 2) = eoly. coſ 2 4 ſin. Y. ſin.2 in, ſ⸗ ”
erhaͤlt man auf eben die Art èMB

136 Errſtes Buch. Achtes Capitel. mn

3. coſ. y. coſ. 2z = — 8 e. Vln.
c . — 2).— cof
4. ſin. y. ſin. 2 = A I— — 2 Eriſ
2
Setzt man nun y = 2 = v, ſo bekommt man aus dieſen cc
letztern Formeln: =“””
35. (coſ.4 v) 2 = ecocr und coſ. v = 1 T coſ. v Ni⸗
* 2 2 an
1— colſ. — ie
6. (ſin. 2 vV)2 = —kote, und ſin. v = V kkr

wornach man aus dem Coſinus eines jeden Winkels den Si⸗ d
nus und Coſinus ſeiner Haͤlfte finden kann *). lkenr

W
)) Setzt man ½7 = o, alſo v = 2 , ſo wird
2 (ſin. %½2 = 1 —– coſ. 2 %, aus 6, und der

47 2 (coſ. ) 2 = I1 † coſ. 2 %, aus 5.
Auch laſſen ſich hier ſchon die Beſt mmungen fuͤr die uͤbrigen
Poteſtaͤten der Sinus und Coſinus finden, welche Euler am
Ende des 14ten Capitels im 262 und 263ſten §. mitgetheilt,
aber bereits vorher oͤfters gebraucht hat. Denn einmal
fließen die vier Gleichungen, die im Anfange des 262ſten §.

ſtehen, in der Ordnung, in welcher ſie daſelbſt gefundan Eei
werden, ſehr leicht aus 4, 2, 1 und 3 des gegenwaͤrti⸗ 1
gen §. Ferner ſind die Beſtimmungen fuͤr 2 (ſin. 2)2 und SH
2(coſ. O) 2 ſo eben angefuͤhrt⸗worden. Und was die uͤbri⸗ e
gen Beſtt mmun gen betrifft, ſo iſt chng
a(ln. 92) 3 = 2 ſin. 2 (lin. )2 = 2 ſin. o(1— cofa 9)
= 2 ſin. O — 2 coſ. 2 %. ſin 9. Aber aus 2 im §. iſt 1
—–— 2 coſ. 2 o. ſin. = — ſin. 3 0 † ſin. ; und alſo iſt
A(in. 0)3 = 3 ſin. 0 — ſin. 3 0
Ferner iſt
n. πa.tρα n. 9) 2ſin. 7 (3un. 6 Ainz. 2)
S3. 2 (ſin. „ 2 – Aan. g. ſin. 9. Es iſt aber 3
. 3. 2 (ſin. ) 2 = 3 — 3 coſ. 290, und aus 4 im §. iſt
— 2² fin. 3 0. ſin. 90 = = — coſ. 2 0 † coſ. 40⁰. Folglich 4
sli. /4 3 — 4con a0 à cof 4 .
Ferner

s en

I † coſ. r

–☚

— eoſe r

—

1s den Si⸗

1

lrier
ler an
acheilt,
n öomel
1Gaſin ,,
rfunden
enwarti⸗
9)2 vod
ie uhri⸗

col 29

ſyi⸗

130)

ſ
h

N

Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 137

Ferner iſt
16 ſin. )5 =2ſin. 8(ſin. O) 4—ſin. 9(3 — 4 coſ. 29 †coſ. 4 ⁰)
= 6 fin. — 4 2 coſ. 2 0. ſin. & † 2 coſ. 40%. ſin.
Es iſt aber aus 2 im F. — 4. 2 coſ. 2 0. ſin. 0 = — 4 ſin. 3 G
† 4 ſin. &, und
2 coſ. 4 %. ſin. O = ſin. 5 O — ſin. 3 %. Folglich
16 (ſin. ⁶* = 10 ſin. O — 5§ſin. 3 % † ſin. 5 0%..
Dieſe Beyſpiele zeigen hinlaͤnglich die Art und Weiſe, wie
man aus 2 (ſin. O)νεqDd = I — coſ. 2 %, und 2 (coſ. *) 2 =
1 † coſ. 2 %, indem mon jene Gleichung mit 2 fſin. O und
dieſe mit 2 co ſ. o fortgeſetzt multiplicirt, und das daher ſich
Ergebende nach den vier erſten Gleichungen im § und den
bereits gefundenen Beſtimmungen abaͤndert, die von Eulern
am angefuͤͤhrten Orte mitgetheilten Beſii iimmungen der Po⸗
teſtaͤten von ſin. und coſ. findet; denn bey der Erfin⸗
dung der Poteſtaͤten der Coſinus iſt das Verfahren dem bey
der Erfindung der Poteſtaͤten der Sinus bis auf d das Ande⸗
fuͤhrte durchaus aͤhnlich.

5. 131.
Setzt m. man n ferner y † 2 = a, und y — 2 = b; ſon wird

b b
y = 22 und 2 = —, und bringt man n dieſe Werthe

in die vorhergehende Formeln, ſo bekommt man n dieſe Glei⸗

chungen, wovon jede einen Lehrſatz enthaͤlt:

I. ſin. a † ſin. b = 2 fin. 211. er WGDW

a — b

2. ſin. — ſin. b= 2 coſ. a1b ſin. — —
2 2

3. coſa † coſ. b= 2 coſ. ta. coſ. t
4. cotb — eola = ſfin. .

—

138 Erſtes Buch. Achtes Capitel.

Hieraus ergiebt ſich ferner vermittelſt der Diviſion

. 4 † b
a PT b mang. . cor — =
5. H. d — in.db — 2

tang. — —
60ſ. a Pcoſ. b
ſin a †† ſin. b a 1
7. — –=— cot. ——
coſ. b- coſ. a
ſin. a — ſin. b àa— b
8. coſ. a † col. b

ſin. à — ſin. b a † b
2. coſ. b — coſ. ꝗq 2
coſ. a p coſ. bb a † b a — b
10. – — cot. ——. CcOot. ——
coſ. b – coſ. a 2 2

Endlich findet man hieraus =
11 ſin. a † ſin. b coſ. b — coſ. a
coſ. a · coſ. b ſin. a — ſin. b
2 r Ter b cornctrocd = . a — bN2

ſin. a — ſin. b coſ. b— coſ. a 2
ſin. a † ſin. b . coſ. b — coſ. a = (tan a † b X 2
13. ſin. a — ſin. b coſ. a † coſ. b 8. —

Da (ſin. 2)2 † (cof. 2) 2 = 1 iſt, ſo iſt auch, wenn

man die Faktoren nimmt, (Coſ. 2 † V – I. ſin. 2) (coſ. 2z —
YV= 1. fin. 2) = 1. Nun ſind zwar dieſe Faktoren imagi⸗
naͤr, allein ſie gewaͤhren nichts deſtoweniger bey der Mul⸗
tiplication und Combination der Bogen einen ſehr großen

Nutzen. Denn ſucht man das Produkt dieſer Faktoren

(coſ 2 † V — I. ſin. 2) col y Nr ſin. y);
ſo andet man

R

Von

toly. col.
Da nun o

col. .
col..
ſo iſt das
(coly.

und auße

(coly-

ſch iſ
(eol. 3¹.

m.

ſeya

Hier

(col:

(olꝛ.

ierans

enn

ſin. n
Entv

tol.n⸗

— 1=—æ

, pen
Ar
nogi
Mu⸗
den

Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 139

coſ.y. coſ. z — ſin.y. ſin.2 (coſ.y. ſin. ⁊z ſin.y. coſ.?⸗) V I.
Da nun aber

coſ. y. coſ. z — ſin. y. ſin. z = coſ. (y † 2), und
coſ. y. ſin. 2 ſin. y. coſ. z = ſin. G † 2) iſt, [§. 130.)]
ſo iſt das Produkt
(coſ.y V I. ſin.y) (coſ.2 † V I. ſin. 2) = coſ. (y † 2) †
V — I. ſin. (y † 2),
und auf eine aͤhnliche Art ergiebt ſich
(coſ. y — V — I ſin. y) (coſ. 2 — V — I. ſin. 2) = =— cof
(y † 2) — V — I. ſin. (v † 2).
Auch iſt nunmehr leicht einzuſehen, daß
(coſ. x V - I. ſin. x) (coſ. y . V I. ſin. y) (coſ. 2 V— I.
ſin. 2) = coſ. (XTyT 2) V — I. ſin. (F † / † 2); u. ſ. ſ
ſeyn wird.

§. 133.
Hieraus ergiebt ſich, lwenn man x = y = 2⸗ ſetzt
(coſ.2 V I ſin. 2) 2 = coſ. 22 + V— I ſin. 22, desgleichen
(coſ.? E– I. ſin. 2) 3 =coſ. 32 V – I. ſin. 3 2, u. uͤberhaupt
(coſ. 2 = V—– I. ſin. z) n = coſ. n 2z ½¼ — I. ſimn. n2; ) ſo wie
hieraus, wegen der doppelten Zeichen,
(coſ.2 . ſin. 2) n † (coſ. — I. ſin. A
(coſ.?2 V I. ſin. s 2)
2 V — 1
Entwickelt man aber dieſe Binomien durch Reihen, ſo wird
n(n — 1)
I 2

coſ. n 2 =

ſin. n 2 =

coſ. n 2 = (coſ. 2) n —

(col. 2)n- 2 (un. ) 4*

n(n — 1) (n — 2) (n — 3

nn rA 2) nn n⸗ 5), (co 4 2)-gEn-z)e heu.
1 . 2 . 3 ,4 5 6⁶

Uun.

140 Erſtes Buch. Achtes Capitel.

n(n- C)

Gn.nz = (cofſ2)n-iſin. 2- coſ. z) n-3. ſin. 2)3 †

n n –— I) A 2 Cn - 300 — 4)
. 2 * 3 . 4 3 5

Cotay:Cln. 2) — ꝛc.

2²) Daß “ =ð
(coſ. 2 Z V —– I. ſin. z)n = coſ. n 3z. X V — I. ſin. n z
iſt, wenn n eine ganze poſitive Zahl bedeutet, iſt durch den
vorhergehenden und den gegenwaͤrtigen §. außer allen Zwei⸗

fel geſetzt. Es iſt aber dieſer Satz von einem weit groͤßern

Umfange, denn er gilt, n mag eine poſitive oder negative,
eine ganze oder eine gebrochene, eine rationale oder eine ir⸗
rationale Zahl bedeuten. Gelegentlich beweiſet ſolches Eu⸗
ler in den bey §. 32. angefuͤhrten Recherches ſur les ra-
cines imaginaires des équations §. 85. allein mit Huͤlfe
der Differential Rechnung. Wie und wie weit man ſich da⸗
von ohne den Gebrauch der Differential⸗Rechnung nberten⸗
gen koͤnne? davon ſehe man den Zuſatz zu dieſem §. i
Anhange.

.) Es iſt nemlich

(coſ. 2 †V — I. ſin. 2) n = coſ. nz † V —–I. ſin. nz, und

(coſ. 2— V.— I. ſin. Z) n = coſ. n z — V — I. ſin. n 2; und

aus dem Aggregate dieſer beyden Gleichungen erhaͤlt man die
Beſtimmung von coſ. n2, ſo wie aus der Differenz derſel⸗
ben die Beſtimmung von ſin. n 2z.

MNun ſey ein unendlich kleiner Bogen, folglich ſin. 2 = 2,
und coſ. 2 = I. Wenn alsdann n eine unendlich große Zahl
bedeutet, ſo daß n? ein endlicher Vogen iſt, den wir = v

ſetzen wollen; ſo iſt, weil dann Gn.2 = = 2= — iſt,

1,2 1.2.3.4 1.2. 3.4,5.6

ſin.

Von

ſin. *=

Penn alſ
lelſt dieſe

mit aber

ugen fa
bedeute,

wiem zur

Vath von

(ben al⸗

Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 141

n.2)3† V 3 VS V7
ſin. v = v — — — — — — † ꝛc.
1.2. 3 I. 2. 3.4. 5 1.2.3 4.5.6.7
Wenn alſo der Bogen v gegeben iſt, ſo kann man vermit⸗

telſt dieſer Reihen ſeinen Sinus und Coſinus ſinden. Da⸗
mit aber der Nutzen dieſer Formeln deſto deutlicher in die

h,ſin.nr Augen falle, ſo wollen wir annehmen, daß v einen Bogen
urch den bedeute, der ſich zum Quadranten oder 900° verhalte,
1 Zei⸗ m æ
Nizrn wie m zu n, d. h. es ſoll v = —. — ſeyn. Da nun der
D Werth von = bekannt iſt, ſo erhaͤlt man, wenn man den⸗
6s Eun ſelben allenthalben ſubſtituirt,
2 m
ls n. ſin. A = —. 900 =
cie
thue m
nſch o † — 1,5707963267948966192313216916
iberzer n
1ſ in mnJ 654596 62462536557565636
—— 0,645964097506246253655756563

5
+ — 9,079 69262 6046 67045 1205055488

12, u m ?
1, 4 — ℳ681754 13 3534 86 881006854632
nun die mo
uſe T 00οι16 ⅓½4411847873598218726605
mT I
— nr o,oοσοοso 432352120853404580
D †. R, -0οωο₰(o—h2t 7292196792681 17
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17
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142 Erſtes Buch. Achtes Capitel. . N

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und coſ. A —. 900° = Da
. 4 n Coſinus
Coſin
† I, OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO ſan
ms Er —
— — o, 2337005501361698273543113745

n2 ſ der

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21408

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3462

—

tang. v= — — =

Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 143

m22
— H. 07Ohοι DÜO hωℳυůτσν%Hοſο 1 S‧3⁵599 1652 12
22
m 2 4ℳ
† ,0οσ0ο0οοσοDοοσοοωοιομοοοσοοNονι n77 327

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— 0,00Oο0οιοωdvO ω‿Nn0οοω‿b6αοω dbd½—(-ονωHωοοII!I5 285
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† H:. „οοN⁰»MwJ0οοO⏑hLοο öν hπι ‿dvD o1o15

m 3
— – 000OOOOOOOͤO—)v .’OWhο0οπ0οϑ0οπιιο%οσ0ο⁄ ο%ο ſο%ο

Da es nun hinlaͤnglich iſt, wenn man die Sinus und
Coſinus der Winkel bis zu 45° weiß, [weil coſ. 2 = ſin.
(4 –— 2) Und ſin. 2 = coſ. Er — 2) H. 127. und 128. ſo

iſt der Bruch — immer kleiner als 3 „, und die Poteſtaͤten

des Bruchs — n nehmen daher ſehr ſtark ab „ſo daß meiſten⸗

theils einige wenige Glieder hinreichend ſind, zumal, wenn

man die Sinus und Coſinus nicht in ſo vielen Decimal⸗
Theilen verlangt.

§K. 135. =
Hat man die Sinus und Coſinus gefunden, ſo kann man
daraus allerdings nach den bekannten Analogien (F. 127.)
die Tangenten und Cotangenten ſinden; allein weil die Nul⸗
tiplication und Diviſion mit ſolchen vieltheiligen Zahlen,
als wodurch die Sinus und Coſinus ausgedruckt werden,
eine ſehr beſchwerliche Sache iſt, ſo iſt es beſſer, wenn man

auch dafuͤr beſondere Formeln ſucht. Es iſt alſo

V 3 VS VN

— —— — ——— Tir.

ſin. 7 I. 2.3¹ I.2.3 4.5

co. vz vVA4
1— — † – — † ꝛc.
1. 2. I. 2, 3.4 5.6

und

õ

144 Errſtes Buch. Achtes Capitel.

und 2 vA4 V6 t.
. coſ.- 1.2 Ea - t&
Ect. n. v V3 Vyz
1.2.3 1.2.3.4.5 ss;
Setzt man daher wieder v = — 900, ſo iſt
ang. A.— .90 0 cot. A. + 90⁰°=
„O,6366197723675
† r 0,2975567820597 n 0,3183098861837
k – 0,0186886502773 — n . 0,2052888894145
ms m 3
= 0,0018424752034 — 23 . O,00655 10747882
m2 mz?s
27 „„ O, 0001975800714— nS- 0,0003450292554
— 0,0000216977245 – 37 0,0000202791060
mITI m?
HTI 00006°⁵06240 1370 — 1% 0,0000012366527
m X 3 m I TI
uIS O,0000002664132 — II: οοHν*.) D
mIS5 mx 3
† a⸗ O,OOOOOOO 295864 — I5 o,co00O00047597
14 ir 0,0000000032867 — r5 O/OOOOOOOOOB3969
+† KIS o/OOOOOOOOO365I — 17 Oοο%ο%οιοhονhον1
† KT 00OOοσ%οοοο — r9 /Oποοοοον
†

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—1K12

125
Der Gr
kommen.

4

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ſin.
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finden.

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02900
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õð

Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 145

m 3
—— O,0OOOOOOOOOOA5

—

2.
2

. m2 S

= n2 .O,O0000000000005

n 2
Der Grund hiervon wird weiter unten [§. 197. f. 1 vor⸗
kommen.

D

§. 136.
Es iſt vorhin §. 134.] bemerkt worden, daß man in den
Sinus und Coſinus der Winkel bis zu 45 zugleich die Sinus
und Coſinus aller uͤbrigen groͤßern Winkel habe; man kann
aber auch ſchon aus den Sinus und Coſinus der Winkel bis zu
300 die Sinus und Coſinus der Winkel, die uͤber 200 ſind,
durch eine bloße Addition und Subtraction finden. Denn

da ſin. 300 = iſt ſo iſt aus F. 130, wenn man y = 300
ſetzt, *
coſ. 2 = ſin. (300 † 2) † ſin. (300 — 2) und
ſin. 2 = coſ. (300 –— 2) – coſ. (300 † 2)
und man erhaͤlt daher aus den Sinus und Coſinus der Win⸗
kel z und 300 — 2
ſin. (300 † 2) = coſ. 2 — ſin. (300 — 2) und
coſ. (300° † 2) = coſ. (300 — 2) — ſin. 2.
Hiernach kann man die Sinus und Coſinus der Winkel von

300 bis zu 600, und aus dieſen dann auch alle uͤbrigen
finden.

§. 137.
Bey den Tangenten und Cotangenten giebt es ein aͤhn⸗

tang. a † tang. b
I—tang. a. tang. b

liches Huͤlfsmittel. Denn da tang. (a † b) =

2tang. a

iſt *), ſo iſt tang. 2 a = —, und
1 — tang. 4. tang. a2
Eulers Einl. in d. Anal. d Unendl. 1.B. K cot. H

146 Erſtes Buch. Achtes Capitel.

cot. a — tang. à . .
cot. 2 a = — Sn. ; *X) Und hiernach laſſen ſich
aus den Tangenten und Cotangenten der Bogen, die klei⸗

ner ſind als 300, die Cotangellten der Bogen bis zu 60⁰°

finden.
Nun ſey a = 300° —–— b, ſo iſt 2 à = 600 — 2 b, und
cot. 2 àa = tang. (300 † 2 b); folglich 5

cot. (300 — b) — tang. ( (300 —b5,
2
wornach man auch die Tangenten der Bogen, die groͤßer
als 300 ſind, findet.
Die Secanten und Coſecanten endlich laſſen ſich aus
den Tangenten durch eine bloße Subtraction erhalten;
denn es iſt
coſec. 2 = cot. „2 – cot. z, und daher
ſec. 2 = cot. (45 ö— 4¾ 2) – tang. 3. ***d Hieraus er⸗
hellet zur Gnuͤge, wie die trigonometriſchen Tafeln verfer⸗
tiget werden koͤnnen.

tang. (300 † 2 b) =

ſin. (a † b)
coſ. (a † b)

*) Es iſt nemlich tang. (a † b) = §. 127.

ſin. a. coſ. b † coſ. a. ſin. b
coſ. a. coſ b — ſin. a. ſin. b
deen Zäaähler und Nenner dieſes letzten Werthes durch coſ. a.
àa coſ. b, ſo bekoͤmmt man den obigen Werth fuͤr tang. (a † b),
H ſo wie hieraus, wenn man darin a fuͤr b letzt, den ſogleich
folgenden fuͤr tang. 2a.

„ §K. 128. und dividirt man

L .) Dies folgt aus cot. 2 a = — = —, 9. 127, =
tang. 2 u
1 — uang: a. tang. a U

*

*

—
=S=

0
vord

tann
ſoie
ſta
IN
tang
2cot
lder
ied

Ron
Vogen,
endlichen

7 wh⸗

hraucht
der Fen

eoſ⸗ V.

n

In den

õ

Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 147

eerr Frreke

2 tang. ¼2
en ſi **) Da tang. 2 — — wie ſo eben gezeigt
ſen ſich )2 g. 2— — (tang. 2 ſo gezeigt
die klei⸗ worden iſt, ſo hat man daher tang. 2— tang. 2 (tang. 22) 2
. = 2 tang. ½ 2, oder tan g.r Ctang 2) 2 † 2 tang. 22 =

tang. z. Dividirt man nun hier allenthalben durch tang. z,
ſo kommt (tang. 2 22)2 †+ † 2 cot. z. tang. 212 = I, und es

2rind iſt alſo tang. ½ 2 = — cot. 2 † V (1 1 (cot. 2) 2). Da
nun V (1 1 cot. e = coſec. z, ſo wird coſec. 2 =
00 —9) tang. ?z † cot. z. Es fliett aber aus (tang. 2) 2 †
2 cot. z. tang. ½ 2z = I duch, tang. 2 2 † 2 cot. 2 = cot. 2,
i ote oder tang. 2 = = cot. ¾2 – 2 cot. z, und dieſen Werth in
die vorhin fuͤr coſec. 2z gefundene Formel geſetzt ſo iſt
Ccoſec. Zz =— cot. 52 — cot. zZ
n ſih as Nun ſetze man « = 900— 2, modurch 2 — 450— 12,
khalen; coſec. X = ſec. 24 und cot. X = tang. 2 wird; ſo wird aus
60 1 ec. X = cot. æ — cot. X
Nun ſey abermals, wie §. 134., 2 ein unendlich kleiner
Bogen, und n eine unendlich große Zahl i, ſo daß i⸗ einen
RI2 = endlichen Werth v erhalte. Alsdann iſt n z = v, und 2 =
V Vv.
Dit nn — woher denn ſin. ?2 = —, und cof. 2 = I wird. Ge⸗
d W
zat⸗ braucht man nun dieſe Werthe, ſo bekommt man anſtan
“ der Sormein §. 233. dieſe: JMD .
gi (1 1 — 14 ac —- n
eoſ. v = — . — unnnd
2
71 (I †. —— — (1— ––
un. V — — 5
B 2 V. — I
In dem vorhergehenden Capitel iſt aber bewieſen worden,
HWH K 2 daß

)R

7

. 2 . R — 4 . r 7„

.

ℳ 4 —
14 Erſtes Buc. Aste Capitel.

daß (1 . = er iſt, wenn e die Baſis der hyperboli⸗

ſchen Logarithmen bedeutet; und ſetzt man daher fuͤr ⸗
theils † v V — I, theils — v V — I, ſo wird
-—— — —
erVX 1 . e V — 1
coſ. v =
S e rVV—I —- VV
Hieraus erhellet, wie die imaginaͤren Eponential⸗Groͤßen
auf Sinus und Coſinus reeller Bogen zuruͤckgebracht wer⸗
den koͤnnen. Es wird nemlich
erNN —I = cof V T† V – I. ſin. v, und

„und

.

— = col. v — V — I. ſin. v.

d. 139.
Ferner ſey in eben dieſen n Formel §. 133. n eine unend⸗

ich kleine Zahl, oder n = †, indem ieine unendlich grobe

Zaht bedeutet; ſon wird coſ. n 2z = coſ. = I, und ſin. n z«

= ſin. † = : denn der Sinus eines unendlich kleinen

i
Bogens iſt dieſem Bogen ſelbſt gleich, der Coſinus aber = 1.
Gebraucht man nun dieſe Werthe in den gedachren Form eln,
ſo erhaͤlt man

(col ſin. 4 (coſ -—I. ſin. 2) 1
„und
2
1 . 1
2 = Col t11 ſin. õ 21

weil die!

Vo
Pyn iſt
gyperbol

Nder yi

us der

IEX
col. 2

Hilt man

I1TI
1

1r—

den, ſo

fur den
1
21
woher den
21—
2
Hieraus
Kresde

4

Da

Longent

Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 1 49
abolt⸗ Nun iſt aber §. 125. gezeigt worden, daß, wenn man die
1
fie⸗ hyperboliſchen Logarithmen nimmt, 1(1 ¼ X) Si (1 † X) — i,

oder y 1 = = iyi iſt, indem man dieſe letztere Gleichung

aus der vorhergehenden erhaͤlt, wenn man darin y anſtatt
1 † xX ſetzt. Setzt man daher nunmehr anſtatt y theils
coſ. 2 † V — I. ſin. z, „theils coſ. 2 — V — 1I. ſin. z, ſo er⸗
haͤlt man
111 1ccαι1½g1nn. rt X1Ccot⸗--r ſin. 2)

iht wer⸗ 1=. . — =I,
2

weil die Logarithmen als unendlich kleine Groͤßen verſchwin⸗
den, ſo daß alſo hieraus nichts folgt. Die andere Gleichung,
fuͤr den Sinus, hingegen, giebt

Groen

I(coſ. 2 † V — I. ſin. 2) — I(coſ. z — V — I. ſin. 2)

Nun

2
14— 2 V — 1I
unend⸗
woher denn
ic gc⸗ 1 coſ. z † V — I. ſin. 2
2V — I coſ. 2 — V — 1I. ſin. 2z
lu,n Hieraus erhellet, wie man die imaginaͤren Logarithmen auf
Kreisbogen zuruͤckfuͤhren kann.
fleinen .
§. 140.
thetel ſin. 2 .— è
yne Da — — –— tang. z, ſo wird der Bogen? durch ſeine
Prnel, cof. z Eine
Tangente auf dieſe Art ausgedruckt:
1 1 I † V — I. tang. ?z? ꝙ
.,und 2 V I 1I– V — I. tang. 2Z ððB
Da nun nach . 138. H M
— 3 2 XK 5 2X7
K 3 iſt,

150 Erſtes Buch. Achtes Capitel.

iſt, ſo wird, wenn man æ = V – I. tang. z ſetzt,
tang. 2 (tang. 2) 3 Cng. ang. 2)7
2 – — 5 r. † ꝛc.
1 3 5 7
Iſt alſo tang. 2 = t, folglich ein Bogen, VD Tangente
t iſt, ſo daß man ihn durch A. tang. t. bezeichnen, und 2 =
A. tang. t ſetzen kann: ſo iſt, wenn t bekannt iſt, der zu
dieſer Tangente gehoͤrige Bogen 4
t 1t3 1 *⁶ r 7 9

Da nun, wenn die Tangente t dem Radius 1 gleich wird,
der zu ihr gehoͤrende Bogen 2 = einem Bogen von 450°,

oder iſt, ſo hat man

I T I

P †— . 2c
3 5 7 9

welches die Reihe iſt, die Leibnitz für den Werth der Pe⸗

ripherie des Zirkels erfunden hat **).

*) In der Abhandlung: De vera proportione circuli ad
quadratum circumſcriptum in numeris rationalibus,
welche man in den Actis eruditorum vom Jahr 1682.
G. 41 f. und im dritten Theile der Genfer Ausgabe der
Leibnitziſchen Werke S. 140 f. findet.

§F. 141.
Es faͤllt indeß in die Augen, daß man, um aus dieſer
Reihe die Groͤße eines Kreisbo ogens mit weniger Muͤhe zu
beſtimmen, fuͤr die Tangente t einen hint aͤnglich kleinen
Bruch nehmen muß. So findet man z. B. daraus ſehr
leicht die Groͤße des Bogens 2, deſſen Tagente t gleich
iſt; denn da iſt dieſer Bogen 2 = 5 – 1865 T 788855 z.
und der Werth dieſer Reihe laͤßt ſich mit geringer Muͤhe
in Decimal⸗ Bruͤchen ausdrucken. Allein, wenn man auch

d.
ie

Pon

Ning
Eunde,
ſinmen,
Langente
Nanmu
nen Boge
Und deſe
ausa c
Dogen, d
Plipherie

ſegt

Langente
30⁰ —

ſen.

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t 10 82.
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leih n
71

Mihe
ouch

d,
ie

Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 151

die Laͤnge dieſes Bogens kennt, ſo iſt man doch nicht im
Stande, daraus die Groͤße der ganzen Peripherie zu be⸗
ſtimmen, weil man das Verhaͤltniß eines Bogens, deſſen
Tangente = iſt, zur ganzen Peripherie nicht angeben kann.

Man muß daher, um die Laͤnge der Peripherie zu finden, ei⸗

nen Bogen ſuchen, der ein aliquoter Theil der Peripherie iſt,
und deſſen Tangente durch einen kleinen Brucht bequem

ausgedruckt werden kann. Weil nun die Tangenten der

Bogen, die kleiner als 300 und dabey aliquote Theile der
Peripherie ſind, zu verwickelte irrationale Groͤßen werden,
ſo pflegt man dieſer Abſicht den Bogen von 300, deſſen

Tangente = RM iſt, zu nehmen. Da alſo der Bogen von
300 — iſt, ſo iſt — = — —Fr =- —
3 5 iſt ſo iſt V⸗ 3.3 V 3 5.3 W 3

r. 2 M 3 2. 3 2 3 2 V 3 14— r.
und vermittelſt dieſer Reihe hat man den oben S 126.] an⸗

gefuͤhrten Werth von æ mit unglaublicher Muͤhe gefunden.

§. 142.
Dieſe Arbeit iſt deswegen ſo groß, einmal weil alle ein⸗
zelne Glieder dieſer Reihe Irrational⸗Zahlen ſind, und zwey⸗
tens weil jedes folgende ohngefehr nur dreymal kleiner als
das vorhergehende iſt. Dieſer Unbequemlichkeit kann indeß

— ꝛc.

auf folgende Art angeholfen werden. Man nehme den Bo⸗

gen von 45 oder — und behalte dafuͤr die Reihe
7— — † u. ſ. f. ohnerachtet dieſelbe nur in einem außerſt

geringen Grade convergirt, bey, zerfaͤlle aber den Bogen

in die ebeyden: 2 und b, ſo daß a † b = = = 45 0, ſey. Da
4

K 4 nun

D

152 Errſtes Buch. Achtes Capitel. ꝛc.

tang. a † tang. b
1— iſt, ſo iſt auch
1 — tang. a. tang. b. = tang. a † tang. b. und tang. b
I— tang. 2
I T tang. a-
tang. b = ½, und vermittelſt dieſer Werthe kann man ſo⸗
wohl den Bogen a als den Bogen b durch eine rationale

nun tang. (a † b) = 1 =

Setzt man nun tang. a = ⅞, ſo wird

und weit mehr als die vorhergehende convergirende Reihe
ausdrucken. Da ferner die Summe dieſer beyden Bogen

= - iſt, ſo hat man daher

Cſ.I I I . 1
. 1 J.51 5.27 727 5a5 r.
=4 ”ssl 1 1
— — † — - — ꝛc.
LI. 3 335 5.3 * 57 3 5 —

Auf dieſe Art haͤtte man die Laͤnge des halben Umkreiſes =

weit leichter finden koͤnnen, als es durch die vorhin (§.141]

*

gefundene Reihe geſchehen iſt.

2 Neun⸗

W

Ve⸗
Zunktior
und daſ
lofung
ganze
ben, d
ſucht
† 62

ſeben i
So
deru

9%
Ft.

wenn

ſelben
Funkti
—
Wck
W

ſ auch
ang. b
wicd

Amnſ
rationele
de Reihe
1 Bogen

4

nkreiſese
1

huunn⸗

Neuntes Capitel.
Von der Erforſchung der teinomiſchen Faktoren.

4

J. 143.
Wie man die einfachen Faktoren einer jeden ganzen
Funktion finde? iſt oben [im 2ꝛ2ten Cap. §. 29. f.] gelehret,
und daſelbſt gezeigt worden, daß man dazu durch die Auf⸗
loͤſung der Gleichungen gelange. Iſt nemlich irgend eine
ganze Funktion «= † z † 722 † à%23 † =24 † ꝛc. gege⸗
ben, deren einfache Faktoren von der Form p — q? ge⸗
ſucht werden ſollen: ſo iſt offenbar, daß dieſe Funktion
4 † 8 2 † 722 † 523 † ꝛc. wenn p — qz ein Faktor der⸗

ſelben iſt, fuͤr 2z = , wobey p — qz So wird, auch ſelbſt
= o werden muß. Iſt alſo p — q ein Faktor oder Diviſor
⁸ p
der Funktion =†τ ιτ*⁹ †τιo*ιενα 20. ſo iſt † “

p52 3
4² 5.
wenn man alle Wurein 7 dieſer Gleichung ſucht, durch die⸗

1 . =o. Umgekehrt erhaͤlt man daher,

ſelben eben ſoviel einfache Faktoren der gegebenen ganzen
Funktion = † 2 † 722 † à23 † ꝛc. und zwar von der Form
b — qz. Es erhellet aber hieraus zugleich, daß ſich die
Anzahl dieſer einfachen Faktoren nach der hoͤchſten Poteſtaͤt
von 2 richtet.

K 5 §. 144.

154 Erſtes Buch. Neuntes Capitel. Wn
Auf dieſem Wege laſſen ſich aber die imaginaͤren Fak⸗ r
toren gewoͤhnlicher Weiſe ſehr ſchwer ſinden, und es iri
ſoll daher in dem gegenwaͤrtigen Capitel ein beſonderer kun i
Weg hiezu gezeigt werden. Da aber die einfachen imagi⸗ el wo
naͤren Faktoren von der Art ſind, daß die Produkte ar u je
zweyen reell werden, S. 32]; iſo findet man die einfachen as
imaginaͤren Faktoren, wenn man die doppel ten Faktoren, N⸗
oder die Faktoren von der Form p — qz † rzz aufſucht, eben,
die zwar ſelbſt reell ſind, aber dabey aus einfachen imagi⸗ mnh
naͤren Faktoren beſtehen. Denn ſind von der Funktion geſinn
2 † g 722 † à23 Tzc. alle reelle doppelte Faktoren von mndckt
dieſer trinomiſchen Form p — qz † r22 bekannt, ſo kann eüiigfache
man daraus ferner alle imaginaͤren einfachen Faktoren ſin. 0)
ð finden. “ 3 wirdde
L. 1446.
Es hat aber die Trinomie p — q2 † rzz einfache ima⸗ —
ginaͤre Faktoren, wenn 4 5Pr groͤßer als 44, oder iklich
kleiner als 1 iſt. Da nun die Sinus und Coſinus der Win⸗ men !
kel kleiner als 1 ſind, ſo hat daher der Ausdruck p — q2 rzz len
einfache imaginaͤre Faktoren, wenn - = dem Sinus
. oderoſinus irgend eines Winkels iſt. Setzt man daher — A —
2 V Pr. erſten
coſ. , oder q = 2 V pr. cof. ,, ſo hat die Trinomie das in
bp – qz †r22 einfache imaginaͤre Faktoren. Damit aber gtſeg

Diieie Frrationalitaͤt keine Schwierigkeit verurſache, ſo wol⸗ rucden
. len wir die Formel pp – 2 p q 2. coſ. O& † q qz gebrauchen, .
deren einfache imaginaͤre Faktoren dieſe ſind:

—

1fale

rſek⸗
W 8
„ .
infachen
ktoren,

fſucht,

imagi⸗
unktiont
len don
dne

Faktoren

e ina⸗

de W⸗
grim

n Sins

—

Myr.
omie
taber
wet
uchen,

1.

Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 155

q2 — p (coſ. † V — I. ſin. %) und
q2 — b (coſ. O — V. — I. ſin. 9).
Hier faͤllt in die Augen, daß fuͤr coſ. 0] = † 1, weil als⸗
dann ſin. ½ = o iſt, beyde Faktoren einander gleich und
reell werden. H

§. 146.

Iſt alſo eine ganze Funktieon = † gz † 722 † à23 † :c.
gegeben, ſo findet man ihre einfachen i imaginaͤren Faktoren,
wenn man daraus die Buchſtaben p und q und den Winkel
o beſtimmt, daß dieſe Trinomie p.p — 2 p qz. coſ. o& † qqzz
ein Faktor der Funktion wird; denn alsdenn hat ſie auch die
einfachen imaginaͤren Faktoren q2 — p (coſ. Q † V — I.
ſin. ⁰) und qz — p (coſ. 9 – N – I. ſin. 9₰.) Es
wird ah die gegebene Funktion = o, ſowohl, wenn man

2 = — * (eoſ. 9 † V. — 1. ſin. ) als auch, wenn man

(cof. %– V. — 1., ſin. 9). Thut man alſo ſolches
=
wirklich, ſo erhaͤlt man eine doppelte, Gleichung, woraus
man ſowohl den Bruch 1. als den Bogen beſtimmen
kann.

§. 147.
So beſchwerlich die gedachten Subſtitutionen fuͤr 2 beym H

erſten Anblick ſcheinen, ſo werden ſie gleichwohl durch das,

was im vorhergehenden Capitel gelehret worden iſt, ohne
große Muͤhe gemacht. Denn da daſelbſt (S. 133 gezeigt
worden iſt, daß (coſ. ½ † V — I. fin. O = coſ. n & 1
V — I. fin; ſo entſtehen daher fuͤr die Poteſtaͤten. von
2 folgende Subſtitutionen:

fuͤr

156 Erſtes Buch. Neuntes Capitel. NVon

fuͤr den erſten Faktor: fuͤr den zweyten Faktor: aßil
2 7 (coſ. † V — I. ſin. o.) 2= Ceol. °— V — I. ſin. g.) Gmig
2 :Ccotae1 V ſin. 2 ⁰.) =Ee (coſ 20-V— ön. 26,) nicei
b ecot zet Vr. ſin. 30) 2:= P (coſ, 30— — I. in. 30.)
4 93 Mul
— die ande
2 beot⸗ 4 %° † V — I. ſin. 40.) 2i(cof 49-V — I. ſin. 40.) nauf d
u. ſ. f. u. ſ. f. Pekommt
Setzt man nun der Kuͤrze wegen = r, und ſubſtituirt Ee
man wirklich, ſo erhaͤlt man folgende zwey Gleichungen: =e
.⸗* † &r. coſ. & † vrz. coſ. 20% † Or 3. coſ. 3 % † c.
†erV — I. ſin. O†v V — I. ſin. 2% ors V — I. ſin. 30 Pꝛc. Muſtix
— ſæ † Sr. coſ. O † Yr2. coſ. 2 S † r 3. coſ. 3 % † ꝛc.] nd die
L — erV — I. ſin. —r V— I. ſin. 9 Br —.lin. 30—2c.) iee Moi
§. 148. 04
Addirt und ſubtrahirt man dieſe beyden Gleichungen zu
und von einander, und dividirt man im letztern Falle noch sa
uͤberdies durch 2 V —–— I; ſo erhaͤlt man daraus dieſe bey⸗
den reellen Gleichungen: H us ide
o = P sr. coſ. O † r2. coſ. 2 29 † rz3. coſ. 3 o † ꝛc. Re, di
„%= † gr. ſin. o † rz. ſin. 2 % † r 3. ſin. 3 % † ꝛc. da daſſ
welche auch ſogleich aus der gegebenen Funktion — ſ ah⸗
2 † gà † v22 † 723 † :224 † ꝛc. umon
gefunden werden koͤnnen, wenn man darin allenthalben ein⸗ halenen
mDal zn = rn. coſ. no, und dann zn = rn. ſin. no ſetzt. Dde
Auf dieſe Art wird nemlich, da ſin. O 9= o, „ und coſ. o I
iſt, fuͤr 20 oder 1 in dem beſtaͤndigen Gliede im erſten Falle 1
aim letzten aber o geſetzt. Wenn man daher aus dieſen bey⸗ Q.
den Gleichungen die unbekannten Groͤßen und beſtimmt, deiti

Lbſtituirt

wngen:
dn
no
er.
.

——; S= =

hungen i
Frleng
ieſe hey⸗

39†1*
30*

*

hen ein⸗
ſett.
00=l
agelel
ſen be⸗
Hinnt,

Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 157

ſo erhaͤlt man dadurch, da r iſt, einen Faktor der

trinomiſchen Funktion pp — 2 pq z. coſ. † q q 2z,
welche zwey einfache imaginaͤre Faktoren in ſich ſchließt.

§. 149.
Multiplicirt man die erſte Gleichung durch ſin. mo, und
die andere durch coſ. m, und addirt und ſubtrahirt man
darauf die erhaltenen Produkte zu und von einander, ſo
bekommt man folgende zwey Gleichungen:
= a. ſin. m &O† &r. ſin. (m † 1) & † vrz. ſin. (m †2) o
FP àr3. ſin. (m † 3) % † ꝛc.
0o= æa. ſin. m& † gr. ſin. (m — 1) %ο † r. ſin. n 2,
T 5r 3. ſin. (m — 3) % † ꝛc,
Multiplicirt man hingegen die erſte Gleichung durch coſ. m 9,
und die zweyte durch ſin. m %, ſo entſtehen hieraus durch

die Addition und Subtraction dieſe Gleichungen:

= . coſ. m &O † gr. coſ. (m — I) O † yr2. cof. (m2
† àr 3. coſ. (m — 3) O T ac.

0 = a. cof. m & † gr. coſ. (m † 1) & † Yr2. coſ. (m † 1 2)%

P r 3. coſ. (m † 3) %σ † ec.

Aus jedem Paare dieſer Gleichungen iſt man nun im Sian⸗
de, die unbekannten Groͤßen r und beſtimmen; und

da daſſelbe meiſtens auf mehr denn eine Art geſchehen kann,
ſo erhaͤlt man auch zugleich mehrere trinomiſche Faktoren,
ja man findet dadurch alle in der gegebenen Funktion ent⸗
haltenen *).

*) Dieſes wird durch das Folgende kl klar.

§. 1 50.

Damit der Gebrauch dieſer Regeln mit vollkommner
Deutlichkeit gefaßt werden moͤge⸗ ſo wollen wir die trino⸗
miſchen

158 Erſtes Buch. Neuntes Capitel. In

miſchen Faktoren einiger oͤfters vorkommenden Funktionen r gun
aufſuchen, um dieſelben bey vorkommender Gelegenheit ein
von hier entlehnen zu koͤn nen. Angenommen alſo, daß die gankat
trinomiſchen Faktoren von der Form pp – 2 q z. coſ. Dieſe
† q qz aus der Funktion an † ꝛn gefunden werden ſollen: a 9
ſo hat man, wenn man r = 1 ſetzt, dieſe beyden Glei⸗
chungen. N
deutlche
0 = an -† rn. coſ. n , Uund o = rn. ſin. n ꝙ. nimepe
Hiervon giebt die letzte ſin. n O = o, und es iſt daher n- ande
ein Bogen, der entweder unter den Ausdruck (2 k † 1) =
oder unter dieſen 2 K gehoͤrt, S. die Anmerk. zum 127. K.] Vn

wo K eine ganze Zahl bedeutet. Dieſe beyden Faͤlle muͤſſen
deswegen von einander unterſchieden werden, weil darin
die Coſinus verſchieden ſind, und im erſten coſ. (2 k † 1) =
= –— 1, im letzten aber coſ. 2 k 7 = † I iſt. Hier faͤllt
indeß in die Augen, daß die erſte Form, oder n %£—v
(2 k † 1) æ genommen werden muß, weil dabey coſ. n &
= — I, und folglich o = an — rn iſt, woraus ſich denn

= := Brgieit Es iſ alſop = e, 1 = 1, und o .
—:
„und folglich aa — 2 a 2 cel, — 1
272 ein Fakror der Funktion an † zu. Da man nun fuͤr E N
jede ganze Zahl ſetzen kann, ſo entſtehen dadurch mehrere
Faktoren, deren Anzahl aber deswegen nicht unendlich iſt.
wieil, wie jedes Beyſpiel zeigen kann, die erſten Faktoren
wiiiederkommen, wenn 2 KPI uͤber n vermehrt wird, in⸗ —
M dem coſ. (2 æ T %) = coſ. , iſt, 19. 128]. Iſt ferner n eine AA-
uunngerade Zahl, ſo erhaͤlt man, wenn man 2 k † I = n
8 nimmt, den quadratiſchen Faktor aa † 2 az T zz; doch gus di
folgt daraus nicht, daß das Quadrat (a †. 2)2 ein Faktor e

nI27,

unfirt
t nehrere
Micj ſe
Poktoren
ied, in⸗
e n eine
41=1
11 noch
hetior
der

Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 159

der Funktion an † zn iſt, weil man daraus nach ([§. 148.]

eine einzige Gleichung erhaͤlt,

woraus man deutlich abneh⸗

men kann, daß bloß a ein Faktor der Formel an † en iſt.

Dieſe

Regel muß man immer vor Augen behalten, no oft

coſ. entweder † I oder — I iſt.

Epempel.
Jetzt wollen wir einige Zaͤlle, um jene Faktoren deſto
deutlicher vor Augen zu ſtellen, betrachten, und dieſe Faͤlle
in zwey Claſſen theilen, je nachdem n eine gerade oder un⸗

gerade Zahl iſt.

Wenn n = 1, ſo hat
die Formel
a † 2Zz
den Faktor
a P z

Wenn n = 2, ſo hat
die Formel
212 † 22
den Faktor
a2 † 22

Wenn n = 3, ſo hat
die Formel
4a3 †. 23
die Faktoren
as — 2 àaz. Ccoſ. ½ „ † 22

a † z

Wenn n = 4, ſo hat
die Formel
a *% † 24
die Faktoren
a à — 2 àa 2z. coſ. 7* † 22

a aà — 2 a Zz. coſ. 3 7 † 227

Weun n = 5, ſo hat

die Formel .r

as † 2 5
die Faktoren
aAa — 2 az. coſ. † æ † 22
a aà — 2 a z coſ. 3 * † 22

a †T 2
Aus dieſen Beyſpielen erhellet,

det, wenn man anſtatt 2 k† I alle ungeraden Zahlen, die

Wenn n = 6, ſo hat
die Formel
26 † 26
die Faktoren
a a — 2 a z. coſ. 1 æ= † 22
a à — 2 a z. Coſ. 3 7„. † 22
a aà — 2 a 2. coſ. r 22

daß man alle Faktoren ſin⸗

nicht

160 Erſtes Buch. Neuntes Capitel.

nicht groͤßer als der Exponent n ſind, ſetzet, daß man aber
alsdann, wenn ſich ein quadratiſcher Faktor ergiebt, bloß

ſeine Wurzel zu den Faktoren zaͤhlen muß.

§. 151.
Nnn ſey die Funktion an — zn gegeben, welche den tri⸗
nomiſchen Faktor pp — 2 qz. coſ. &Q † qꝗqzz haben wird,
wenn man fuͤr r = 1 die Gleichungen o = an — r). coſ. n &,

und o =rn. ſin. no erhaͤlt. Es iſt daher auch hier ſin. n
= o, und folglich n 0 = (2 k +† 1) æ oder nog = 2k. Da
nun der letztere Werth genommen werden muß, und dabey

eof. n = I, und folglich o = an — r,, und r = = 3à

wird: ſo iſt hier p = a, q = I, und % = r, folglich

der trinomiſche Faktor der gegebenen Funktion = a àa —

2 k H
2 a 2z. coſ. †22. Setzt man in dieſer Formel anſtatt

2 K alle gerade Zahlen, die nicht groͤßer als n ſind, ſo er⸗
haͤlt man dadurch alle Faktoren; man muß aber dabey,

wDenn man auf quadratiſche Faktoren kommt, die vorhin

gegebene Regel vor Augen behalten. Nimmt man alſo zu⸗
voͤrderſt k = o, ſo entſteht der Faktor aa — 2a?z † 2, an
deſſen Stelle aber die Wurzel a — 2 genommen werden
muß. Eben ſo erhaͤlt man, wenn man 2k = n ſetzt, den
Faktor aa † 2àa2 † 22, woraus erhellet, daß a ⸗ ein
Didviſor der Funktion an — en iſt.

Exempel.

Auch hier entſtehen, wie vorhin, zweyerley Faͤlle, je

nachdem der Exponent n eine ungerade oder eine gerade

Zahl iſt.
2 Wenn

14—2

14— 2

Hie
Behan
wo nicd
e lͤſet
Anſ
1
n dop⸗
dolen
ſortgeh
Eule

naber
, bloß

-aW
den wird,

col.n,

eln. 9
Kr. Da
nd daben,

110
— I—
II
△

ſhgſ
— 14—

Gher

ind, ſe⸗

ber doben,
Ne wochnn
an clo
rui,
Murten
izt, den
11 n

ile, ſe

Vmnn

Von der Erſorſchung der trinomiſchen Faktdren⸗ 161

Wenn n = 1I, ſo iſt
die Formel

Wenn n = 2, ſo hat
die Formel
a 2 — 22
die Faktoren
a — 2z und a † 2

a — z
ſelbſt der Faktor
Ja — Z
Wenn n — 23 , ſo hat
die Formel
3 — 23
die Faktoren
a — 2

aa – 2 a 2. coſ. * † 2 2

Wenn n = 4, ſo hat

die Formel

44 — 24
die Faktoren
4 –— 2.

a a — 2 a 2. coſ. 3 7 † 22

a † 2z

Wenn n = 5, ſo hat
die Formel
a * — 25
die Faktoren
a — zZ

a a – 2 a z. coſ. 2 æ P 2 2

1 — 22 9
a a 2 a 2. coſ. τ P† 22

Wennen =6, ſo hat
die Formel

26 — 26
die Faktoren
2 — Z.

a a — 2 a z. coſ. & T†22
a a — 2 a z. coſ. a †22

† 2

Hierdurch wird die oben §. 32.] vorlaͤufig beygebrachte
Behauptung beſ ſtaͤtiget, nemlich, daß jede ganze Funktion,

wo nicht in einfache, doch in doppelte reelle Faktoren auf⸗

geloͤſet werden koͤnne: denn wir haben geſehen, daß die
in Anſehung ihrer Dimenſionen ganz unbeſtimmte Funktion
an zn jederzeit, außer ihren einfachen reellen Faktoren,
in doppelte reelle Faktoren aufgeloͤſet werden kann. Wir
wollen alſo nunmehr zu zuſammengeſetztern Funktionen
fortgehen, dergleichen =† ννααπ iſt. Hat dieſe Funk⸗ H
Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. I. H. L tion

162 Erſtes Buch. Neuntes Capitel.

tion zwey Faktoren von der Jorm ½† 9 zn, ſo ſetzt das Vor⸗
hergehende zu ihrer Aufloͤſung hinlaͤnglich in den Stand;
und es braucht daher hier nur gezeigt zu werden, wie man
die Funktion = † g. - „z, wenn ſie nicht zwey Fak⸗
toren von der Fo
der oder doppelte, Jaktoven, aufloͤſen kann.

7

§K. 153.

Man betrachte alſo dieſe Funktion: azn — 2 an gn, coſ. g

“

. PaeI2 (—. „ „* „*
† 2 21, welche nick D“ Dt in zwey reeue Larioren von der Ferm
„ † zn aufgeloͤſet werden kann. RNimmt man an, daß
9
3. 3 eefn „ e e e
PP – 2 P z. coſ. 9 †qZ Z ein doppelter reeller Faktor die⸗

ſer Funktion ſey, wenn 1 = geſetzt wird: ſo bekommt

man folgende zwey Gleicht ungen aufzuldſen⸗
0 = aan – 2 an rn., Ccoſ. g. coſ. n & . r2n, Ccoſ. 2 n %, und
0o = — 2 àa rn. coſ. g. ſin. n 9 † ran, ſin. 2 n ꝙ.
Man kann aber auch anſtatt de er erſt Gleichung aus
§. 149., (wenn man m = 2n ſetzt) die . nehmen:
= a 2n. ſin. 2 mO — 2 aurn. colſ g .lin. n o;
und die Vergleichung derſelben mit der vorhergehenden
zweyten Gleichung giebt r = a, wodurch denn ferner ſin.
2ng = 2 coſ. g. ſin. n ꝙ wird. Nun iſt aber ſin. 2n % =

—
1

2 fin. n o. coſno, und folglich coſ. n & = coſ. g; und da

allezeit coſ. (2 kz ☛g) = coſ. g iſt, ſo erhaͤlt man n 0 =
2kz g, und % = 2—J Es iſt alſo der allgemeine

doppelte Faktor der gegebenen Funktion = a a – 2 a z. coſ.
2k æ T g
S=W †. 22; und man bekommt daher alle Faktoren,
woenn man fuͤr 2k nach und nach alle gerade Zahlen etzt,
die nicht groͤßer als n ſind, wie e ſolches durch die Anwen⸗
H dung

“

orm † &zn hat, in reelle, einfache entwe⸗

.

.

g de
vird.

Wir
nen, fi
hat a⸗⸗

Emnd;

mn

—

Hheneine

111. col.
aktoren
„ ſobf,
hlen ken
dung

Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 16

ung des Gefundenen auf einen wirklichen Fall erhellen

Exempel.

Wir wollen, um dieſe Faktoren genauer fennen zu ler⸗
nen, fuͤr n nach und nach 1, 2, 3, 4 u. ſ. f. ſetzen. Es

hat alſo JZDMU
die Formel
a2 – 2 a?z coſ. g † 22
den einzigen Faktor
a?2 — 2 a 2z. coſ. g † 22

die Formel
a 4 — 2 a 2 22. coſ. g † 24
zwey Faktoren

42² — 2 a z. coſ. Z. . 22
2 .
ł —
42 — 2 az. coſ. (

pasaangns

☚

die F Formel

as — 2 a 323. coſ. g † 26

drey 8 Faktoren

a 2 — 2 a z. coſ. £ † 22

22 — 2 a2. coſ. (— — D£) 22
3

2 — 2 a z. eor (

† 22
die Formel
as — 2 4424. coſ. g † 2 9
viier Faktoren

5) † 22 oder a2 †2 az. coſ. E 22
2

5 125

164 Erſtes Buch. Neuntes Capitel.

412 — 222. coſ. & † 22
41
27 — g
a2 – 2 a z. coſ. — ) † 22

a2 — 2 a z. coſ. S † 22

A4 f g
a2 – 2 a z. coſ. (42 † § )† 22 oder a? † 2az. cot. † z2
4

die Formel
a10— 2 a52. coſ. g † 210
fuͤnf Faktoren
a2 — 2 2z. cofſ. 2£ † 2 2

a 2 – 2 a 2. coſ. —) †P 22

22 — 2 a z. coſ. E) Ti⸗
4 — g
a2 — 2 a z. coſ. (— — † 22

a2 — 2 a z. cofſ- (42 186) † 22

.

Durch dieſe Beyſpiele erhaͤlt der Satz, daß man eine jede

ganze Funktion in reelle, einfache oder doppelte Faktoren
aufloͤſen koͤnne, eine neue B Beſtaͤtigung. *)

*) Eine ſehr ſchoͤne Anwendung des Bisherigen ſindet man auch
in der Abhandlung uͤber die Art, die Sinus und Coſinus
der Vielfachen der Winkel durch Produkte auszudrucken,
welche im erſten Bande der Eulerſchen Opuſc. analytie.
Petersburg 1783. G. 353. f. ſteht. Man leſe hierbey das⸗
jenige, was im Anhange unter dem Titel: Zuſaͤtze zum
neunten Capitel, befin diich iſt.

§. 154.

len Fck⸗
einfache
Was ob
1 221,
ſhaffen
aufloſen.
1lzin
Form
Fakioren
P7121
dder de
Weiſe
ndere
hoher aua
e Fen
ſde
ih ghoee

Mon
die wne

haben,

n eneſcd
te Fottnen

man ouch
d Coſors

. E,
Zzudrrckil,

analſti⸗
Bitkey M
ſite un

154

Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 165

9. 154.
Nun koͤnnen wir zu der Funktion „ † gzn † 7n †
323n fortgehen, von der ausgemacht iſt, daß ſie einen reel⸗
len Faktor von der Form „† 9en hat, und deſſen reelle,
einfache entweder oder doppelte Faktoren laſſen ſich finden.
Was aber den andern Multiplicator, deſſen Form dieſe iſt,
„†T zzn † Xzzn, betrifft: ſo kann man ihn, er mag be⸗

ſchaffen ſeyn, wie er will, nach dem vorhergehenden §..

aufloͤſen. Ferner kann auch dieſe Funktion « † z †
† 23n † sAn, da ſie ſtets zwey reelle Faktoren von der
Form „ † zn † 22n hat, in reelle einfache oder doppelte

Faktoren aufgeloͤſet werden. Ja auch dieſe Funktion =† zn

† 7Zn †. 923 † :2An † zs iſt nun in reelle, einfache
oder doppelte Faktoren aufloͤsbar, da ſie ausgemachter
Weiſe einen Faktor von der Form ⸗„ † 9 n hat, und der

andere unter die vorhergehende Form gehoͤrt. Wenn es

daher auch bis jetzt noch zweifelhaft geweſen waͤre, ob jede
ganze Funktion auf dieſe Art aufgeloͤſet werden koͤnne: ſo
ſo iſt doch durch das Bisherige aller Zweifel daruͤber gaͤnz⸗
lich gehoben werden.

§. 155.
Man kann aber dieſe Aufloͤſung in Faktoren auch auf

die unendlichen Reihen anwenden. Denn da wir geſehen

haben, (9. 125.] daß 1 1 † — — 31I 1TS5*

I.2.3 1I.2.3.4.
= ex, und ex = (1 † „* iſt, wenn i eine unendlich große

„

—

Zahl bedeutet: ſo iſt offenbar, daß die Reihe 1 1 —

7.2

x2

— 1 ꝛc. unendlich viel einander gleiche Faktoren, nem⸗

õä

166 Erſtes Buch. Neuntes Capitel.

lich 1 † — habe. Zieht man aber von dieſer Reihe das erſte
1

Glied t ab, ſo wird — 1t 5 ꝛc. = ex – I

= (1I †) — 1: und vergleicht man dieſe Form mit der
im 1iſten . wodurch man a = I k ; n =i, und z = I
E 5 . 7 X 2
erhaͤlt, ſo bekommt man zum allgemeinen Faktor (1 † –)

Xx 2 kK
— 2 (1 † 1 coſ. † I; woraus ſich denn, wenn man

fuͤr 2 k nach und nach alle gerade Zahlen ſetzt, alle Fakto⸗
ren ergeben. Setzt man 2 k = o, ſo bekommt man den

, XX .
quadratiſchen Faktor fuͤr welchen man aber, wegen

der [§. 150.] angefuͤhrten Gruͤnde, die Wurzel — nehmen

muß, und es iſt daher X ein Faktor des Ansdrucks ex – 1

wie ſolches auch ſchon von ſelbſt in die Augen faͤllt.

um die ube⸗ rigen Faktoren zu finden, muß bemerkt werden,

2 K
daß coſ⸗ — „, weil = ein unendlich kleiner Bogen iſt,

211

— I — ji genommen werden kann, indem die uͤbri⸗

gen Glieder, wenn man denſelben nach §. 134. ſucht; we⸗
gen der unendlichen Groͤße von i verſchwinden. Man be⸗

k k
kommt folglich den allgemeinen Faktor =

4 kk
*, und es iſt alſo der Ausdruck ex — I durch

X XX . 2 . 2
1 1 † theilbar *). Aus allen dieſen Saten

4 k
folgt,

14
Wd
der
4xX)
ton!

erſte

Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 167

X 2
folgt, daß der Ausdruck e — I = K — f — — FP

1. 2.3
X 3
1..7 4 † ꝛc.) außeredem Faktor x folgende ohne Ende
g. 4 XX
fortgehende Faktoren (1 † — † (I † — — F —
1 i5:
X X X X
1I * — † — —) (I T† –— — ;,ę) . abe.
k⸗ 36772. . .) H
. X 1 22 X 3
*) Da ex— I = (1 1 — I— — † — — †
. I. 2 I. 2. 3
fie. = x( — † — – † – t† te.
1. 21 1. ,.

und davon der Faktor X dernits gefunden worden iſt: ſo muß
der noch uͤbrige allgemeine Faktor von ex — I die Form 1 †
AXT 8βXX haben, daß man bey einer wirklichen Multipliea⸗
tion der aus im entſtehenden beſondern Faktoren die Reihe

X3
1 1 r= — † – — † ꝛc. erhalken kann. Man fin⸗

2.3 4.2.3.4
K k k k
det aber dieſe Form aus — 1t 4 f — x,

. kkr2r
wenn man dieen Ausdruck durch —,— dividirt. Der

* X X

Quotient iſt nemlich 1 1 — —
1ERZZ

§. 156.
Da aber dieſe Faktoren einen unendlich kleinen Theil

X.

Fe enthalten, und derſelbe nicht weggelaſſen werden kann,

T

weil er in jedem Faktor vorkommt, und, da die Anzahl der⸗
ſelben = 11 iſt, durch die Multiplication aller das Glied

K ebt: ſo wollen wir, um dieſe Unbequemlichkeit zu ver⸗

24 miieiden⸗

–

168 Erſtes Buch. Neuntes Capitel.

meiden, den Ausdruck ex — e-xX betrachten. Da alſo

Xx 1 X 1 X X 3
ex — e-x = (I † 1—,) — (1 — = ² (— † — -
7 1.2 3
X Xx2 X 3
+† ꝛc.) iſ, indem ex= I — — Pꝛc.
I.2.3. 4. 5 1.2.31

iſt: ſo erhaͤ man, durch die Vergleichung mit 6. 151, n =i,
=— 1 1† —, und z = I1 – und dieſe Werthe geben

den Faktor des angefuͤhrten Ausdrucks = a a — 2 a? coſ.

2 k—“ 2 X XX K
r † 22 = 2 †— 201 — ) cof. — 7 = 22 T
n. ii⸗ 11 1
k k 4 k k X X 2 KK 2 kk zz.
rr — „indem coſ. 7 = I– –— iſt.
11 14 ii
Es iſt daher die Funktfon ex –— e-x durch 1 † ns=
k 7. .

iheit bar, * und man kann —— ſicher aus dieſem Faktor

weglaſſen, weil es, auch mit i multiplicirt, doch noch eine
unendlich kleine Groͤße bleibt. Setzt man / nun uͤberdies,
wie vorhin, k = o, ſo wird der erſte Faktor = «; und
bringt man nunmehr jene Faktoren in Ordnung, ſo findet man

eQXxX — e X

2

—— 1 r ter⸗ (krö

1

(1I † r ꝛc.

X *%

= a 1.2 3.4.5 I. 2. .. .7
Es iſt hier nemlich einem jeden Faktor eine ſolche Form ge⸗
geben worden, daß bey einer wirklichen Multiplication das
erſte Glied x herausgebracht werden kann.

2*) Man erhaͤlt nemlich dieis Form, wenn man * fk

.
† † — †Tꝛc.)

llgem

2XX

ii

AI

lSi

he ge b

12 chl.

Fekor

och ene
Rde ,
2 S; und
Mern
AI

w8õ——

I0r

— )
7
en g
PAH

i

4X

Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 169

k K kK K X X kkx.
4 5 4—— — durch — . — dididirt, und ſie
1 14 11
iſt nothwendig, damit das erſte Glied des Produkts der aus

ihr abgeleiteten Faktoren = = I werde.

§. 157.

X † 2 — XX

1 † — P † ꝛ.

„ E
Da ferner
2 1.2 I. 2.3.4
X 1 XKNi
— 2

— —

gleichung dieſer Formel mit der obigen an † zn, [§. 150.]

iſt, ſo ſindet man durch die Ver⸗

a = I † — —; 2 = I — —–—; und n =i; woher denn der
1 1

K † r

allgemeine Faktor = a a — 2 a z. coſ. — — † 2 2=2 †

2 X X 2 K † J
— — 2 (1 — ) coſ. — – wird. Da nun colſ.
11 1
(2K † I 2 Kk 7
I= rI 1n „ ſo erhält dadurch der
1 2 i1
gedachte Faktor die Form — † —— indem

das Glied, deſſen Nenner 14 iſt, werſchwindet⸗ Weil aber

4
jeder Faktor des Ausdrucks 1 ¼ — † p ꝛc. die

I.2 I T. 2. 3.4

Form I1 † =ν haben muß, ſo muß man den gefundenen

Faktor durch dividiren, wodurch derſelde auf
. AxX
die verlangte Form gebracht, und = I † ETT=. 2 wird.

Hieraus findet man alle, der Anzahl nach unendliche, Fak⸗
toren, wenn man fuͤr 2 k † I nach und nach alle ungeraden
Zahlen ſetzt, und es iſt daher

2 T. 2 I. 2. 3. 4 ... .61
(T † 18 F⸗ 1S
5§5. 158.

Wenn ? eine imaginaͤre Groͤße wird, 60 verwandeln ſich
dieſe Exponential⸗ Foemeln in den Sinus und Coſinus irgend
eines reellen Vogens. Denn ſetzt man x = 2 V – I, ſo
iſt (§. 138.]

— — 2 V –— I
e 2 V 1 — 2 2 3

2 V— = ſin. 2 = 2 — I. 2. 3

725 27
— ———,ꝑ † c. §. 1
1I.2.3. 4. 5 L. 2. 3 ...7 1 34.

und dieſer Ausdruck hat daher folgende, der Zahl nach un⸗

endliche, Faktoren:

1 — (1— — ( —
1 4 6 2 16 2)

.

(r — r. oder es iſt

m.2 = :(1 — — MZ — (1 — 2) (1†

(1 — r 1. ec. So oft alſo der Bogen 2 ſo be⸗

ſbafen iſt, daß irgend einer von dieſen Faktoren verſchwin⸗
det, welches geſchieht, wenn z = ; 2= T g; z = T 22

und uͤberhaupt, wennz = F K 2 iſt t, ſo daß Kk jed eganze; ht

34⁴
dedeutet: ſo muß auch der Sinus dieſes BVBogens = o ſeyn:

ein Umſtand, der ſo bekannt iſt, daß man daraus auc h ruͤck⸗

waͤrts jene Faktoren finden kann.

8

tol.2=0
lder, wen
coſ. 12
Und auch
wenm2 =

der Natur

Von der Erferſchung der trinomiſchen Faktoren. 171

„VI — — 1

.=
Eben ſo iſt, da — = coſ. a iſt, Gns0
. 422 422 „ 4 22
coſ 2 = ( — — CI — 4 rMKI — 4 ocI - 4

oder, wenn man jeden dieſer Faktoren in zwey auflſet,

2 22 2 2Z
coſ. 2 = (I— — (1 —, (t- 5 (1 1; t 2) (1- 5 1 15ne.

frnend und auch hieraus erhellet auf gleiche Art, daß coſ. 2 = o iſt, .
. E! K †+ I
I, ſo wenn 2 = *; eine Cigenſchaft, die auch aus
der Natur des geiſs bekannt iſt.
13
12.3 §. 159.
i Aus § 153. iſt man ferner im Stande die Faktoren
dieſes Ausdrucks
nach u X — — 2à 11 —
ex – 2 coſ. g T e-xX = 2 (1 coſ. g — † — † ꝛc.
g Te a 2 1† 2.3 t.
i [§. 157] zu ſinden. Man kann nemlich diuſen Ausdruck in
N
—
n folgenden verwandeln, (1 X —2 coſ. 9 † (1 — P)i §. 156
125] aus welchem man durch die Vergleichung mit der
KWK Formel §. 153. 2 n — i; a = 1 † –; und 2z = 1 – — er⸗
I— 1 1
2r O
haͤlt. Daher iſt der allgemeine Faktor der obigen Formel
1 2kz . g X X XX
= a àa – 2 a z. coſ. n E7† t- 10)
ſchwin⸗ akr .
2 (2 k ˙ 2Ckr
4 H⁊⁊ꝭ coſ. . g ; und da coſ. 26 — I —
e e 2 (2kz † g 2 .
Cnn — 6 1 iſ, ſo eha man dafue
— =, oder dieſe Form 1 † Divi⸗
11 4 ieſe S (2 HM TXg2
Eſ dir

172 Errſtes Buch. Neuntes Capitel.

dirt man alſo die gegebene Formel durch 201 — coſ. g), da⸗
mit die unendliche Reihe ein beſtaͤndiges Glied, = I, erhalte:
ſo bekommt man, wenn man die Faktoren nimmt,
ex– 2 coſ g'p e-

2.(I – coſ. 8)

X X X Xx X
= (I P —) (I T. 1 11†
8S8 (27—

G=

cr 2,2 4 = — 8 2

und wenn man 2 V – I anſtatt X ſetzt, ſo wird

⸗ S.

A =a- shu-::5 —
I — cof. g — 227— g
(1— 1ſ— – (I1— — ͦ P)KI † —- c=I =
( 1 . G-= — “ 2
22 2 26
Ec.

T. 2. (I-cofg) I. 2 2.3.4 (1 —coſ. g) 1.2. .601 — coſ. g)
Von dieſer Reihe ſind alle Faktoren, ſo weit man ſie auch
ſoriſetzen mag, bekannt.

§K. 160.

Auch von dieſer Funktion
e † X e — X
laſſen ſich die Faktoren insgeſammt bequem finden und dar⸗

c —X i

, b
ſtellen. Denn da man dafuͤr (1 † DCI 1 - —)

ſetzen kann, ſo erhaͤlt man durch die Vergleichung dieſer
Form mit der ain zi, den Faktor a a a — 2 a 2. coſ. † 22,

ſo daß m fuͤr das obere Zeichen eine ungerade Zahl, und
fuͤr das untere eine gerade Zahl bedeutet. Da aber i eine
mmæ

unendlich große Zahl iſt, ſo iſt coſ. A = 1 —– — —,
1[6. 155. 1 34.] und hierdurch verwandeit ſich jener allge⸗
meine

nultipli
Uibet wer
berſchwin
4XX †

ſabende

Danun
ſenng aue
mndige
Cer ihe
Nen 4

Wan dod

toren,
daher )
labe do
birsee⸗

—
eer

G

257
Ut, un

4 te

— t*

colg)

n ſe ac

vod dar⸗

—
(11--

Nieſe
115,
hl, wd
der i eine
n7

zii
er olge⸗

Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 173

. B mm2,, .B .
meine Faktor in (a — 2)2 † — — a 2. Nun iſt aber in

dem gegenwaͤrtigen Falle a = I † „ und 2 — I † — —,

folglich E, und az = 1— 1

11

de c — b — Hieraus ergiebt ſich, wenn man 1 mit

11
zi multiplicirt, und die Glieder, welche durch oder 6 1 di⸗
vidirt werden, weil dieſelben gegen die uͤbrigen Glieder
verſchwinden, weglaͤßt, der Faktor (b — c) 2 F 4 -b — c) x †
45X † mmæz; und wenn man das beſtaͤndige Glied deſ⸗
401 b — c) x T 4XX

ſe lben durch die Didiſton auf 1 reducirt, 1 B b c

§F. 161.

Da nun in allen Faktoren ein beſtaͤndiges Glied, = I, iſt,
ſo muß auch die Funktion e brxX + ec-x durch eine ſolche be⸗
ſtaͤndige Groͤße dividirt werden, daß ihr beſtaͤndiges Glied,
oder ihr Werth, wenn man X = o ſetzt, = 1 wird. Weil
nun eb ee ein ſolcher Dioiſor iſt, kann man, wenn
+ ec- X
e in Fak⸗
toren, die ohne Ende fortlaufen, aufloͤſen. Gebraucht man
daher das obere Zeichen, und laͤßt man dabey m eine e unge⸗
rade Zahl bedeuten: ſo wird

man dadurch dividirt, den Ausdruck

b4 4(b -— c)X †. .
e e X 20 3 — c) X “ c)x P 4XX
eb ec „. † (b — c) 2 97 † (de c. 2
4 (b — C) X
(1 † a r ) ꝛc.; wenn aber das unerezeiger

gilt, und daher m eine gerade Zahl bedeutet: ſo wird,

vor⸗

174 Erſtes Buch. Neuntes Capitel.

vorausgeſetzt, daß bey m = o die Wurzel des quadrati⸗
ſchen Faktiors genommen werde,

bX— ec -X „2 X 40b — —NS-PANX 14 (b- C) X A4XX
= (II t) (114 2 L
gb— e C 4aτ T (b- c) 2 1I6 2 † (b- c)*
(b =– c) X † 4 xx
3622 T (b —– c) 2

*

Setzt man b = o, welches ohne Nachha der Allge⸗
meinheit geſchehen kann: . wird

I † es : 9 † C C

ACX 4XX

——

25 zm C

6* — e. — (1- —) (1-— 4TAXI- 4 cιτ

1— er c 4 T Cc C 16 o- † c C
AcCcXTP4
1— — .

Setzt man c negatio, ſo erhaͤlt man folgende zwey Glei⸗
chungen:

(T † 2c.
C1 † 1 45 1ere, c ) tc.

Multipliirt man nun die erſte dorm durch die dritte, ſo
e2X † e 2 * †. eo Te-

erhaͤlt man
2 † ec † e-e

z und ſetzt man y anſtatt
2X, ſo wird

1c)
1 —
gre
R lltiplici
wd

—
— .

01

4

Dieſe
Wein au

guadrati⸗

—
r /N. „X
itl-)

Ct,

gg †

07ρ.

jvey Gei⸗

4017. .
—

Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 175

9

erfe Vvec-ere (i - 3 e cL) 2 cyhyy
2 † ec† e 20 cc 7T CC e 9 ſEtc c
2cy TVV. 2rKyy 20y
9 τ1T CC 25c 25 . cG
Multiplieirt man aber die erſte Form durch die vierte, ſo
e2X=– ezX - ec – ec

V
iſt das Produkt = z und ſetzt man

60 — 620

abermals y anſtatt 2 , ſo wird
er — e⸗ v. l 6 2 2
ec er e — (1 †: Pr- tm IT 4 )
— Erſ 422 Tce
2cy Ryy 2 cKN, 2CV y
9 ec 11 62 1I6 =2 Tco- t 25 T ec .

Multiplicirt man die zweyte Form mit der dritten, ſo kommt
eben dieſe Gleichung, außer daß man c negativ nehmen
muß. Es iſt nemlich
ec – e—c – ey † ey 12 2. 1e

„-† cc CC. Ar. 3 cCc
(14 2 1. † yy WI = 2 2 y 2 cy 4 cEY)
ge† ce ce 16 o cC 2 Pcc'
Kulti iplicirt man endlich die zwe yte F Form mit der vierten,
ſo wird

ecC — 6—C0

ey † ev ec—e 7V * 2 0
— — =ACI- D EHa erin,
2— e — eE c C Aan cc“ 42+– ce
a ) (r. MM y, c1 — 2 c P
. I6 PCC 167. 60 36 cG
2 cy †
(I T 2 ) c.

36 =† c C

§. 163.

Dieſe vier Combinationen laſſen ſich nunmehr ſehr be⸗
quem auf den Kreis anwenden, wenn man c = g V — 1,
und

M

176 Erſtes Buch. Neuntes Capitel.

und y„ = VV — 1 ſett: denn es wird alsdann
VV — I 4 — V—

12 coſ. V;

V N 1 — v*V⸗ 1— 2 V— I. ſin. v;

eS V — p e S VN — = 2 coſ. g; und

e3 V. — 1— ⸗ — 5 — = 2 V — I. ſin. g. [§. 138.]
Hiernach giebt die erſte Combination

coſ. v † coſ. g V2 4
I P coſ. g 1.2. (I † coſ. g) 1.2. 3.4. (1 †coſ. g)
V6
1.2...6 Tfoer de.
2 % V – VV 2£ v — 2 gv — vv
= (1 † 28 a r
—T — g g 97 r — g g
= VvVv 2 C. v — 2 gv + vvV
orr — gg 2è 25 7 — gg

= (r — a — cr — .

a =4 — (1 — (r; T .

—
3 7 8
V V VV
(1 — L 1 — ——
(1 . e r — g)⸗
V V VV
I1 — (— ) ꝛc.
2 (§ 7 — g)2
Hingegen giebt die vierte Combination
coſ. v — coſ. g VZ V4
— = I1 — — P ͤ— )
I – coſ. g 1.2 (1– Cco1. g) I.2.3.4(1 – coſ. g

VG
4 † ꝛc.

1 2... 0.(I — cofſ. g)

29% V V — VV 2%½ v —
— (1— — ) (1 † = =- (I(I1T2
S 5S nn — gg 50 16 2S — 88
2 g v — X

16 — 88 —

2%° Vv — VV

Vende

Ferner gieb

n. §

— 12
—, IT,
0
5

t.

Mimint me
Ckbinci

„

Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 177

lldann
(1 6 ge e⸗ S6 =
’ *
D
— Tr —= —) ( — —) ꝛc·
122† 142 l 4 Fg
ud VV„ V V VVYy— VV
= (I- —) (I — — — (I1=
e. 2= 5) (27 † g) 2²* Gr- 2)2
(427 †g,2
74 Ferner giebt die zweyte Combination:
4Iteoſg) ſin. g †† ſin. v. — 1 T vV 3 „ vS5S e
ſin. g —üin. g I. 2.3. Eing g I.2..5. ſin. 8 .
H 29gV 29V — )
Püe SSg kas sS 1 135
An 1 tr 4 2 gs er 9 v2 - 8
9er-—e + VV
yy N . ct a te.
6 = (I 1 — — e
— s 28 E.
(- HM
*15 (r 1 —, — — — (1— —) 2c.
.è 3 — g. 3 g 5, — g
t Nimmt man endlich v negativ, ſo erhaͤlt man die dritte
8. Combination. =
Es koͤnnen aber auch die Ausdruͤcke des 162ſten §. ſelbſt
auf folgende Art auf Kreisbogen gebracht werden. Da
„, er Lenen Iec(ex cc c ) exe-xec-Xre Ix
arl 1 ee 2 Pec e- ðU 2 † ec † e-c
iſt, und dieſe Formel, wenn man darin c = g — I und
ſ. 1. (g& —
= 2 V — 1 ſetzt, in folgende, ol. 2 co G 2coh †
or -— 1,. I † coſ. /
. lin. g. ſin. 2 del d: 1,
hor — 5 1 colg verwan elt wir ſo iſt,
= Eulers Einlin ind. Ansl d. unendl. 1.B. N da

178 Errſtes Buch. Neuntes Capitel.

ſin. g
= t iſt
I† coſ. g ang. 2g iſt
22 25
cof tang. 4g. ſin. 2 = 1 - tang. g — — —
I. 2 I. 2. 3
2 4 27
tang a † 1.2. 3.4 1I. 23. 4 .5 g. 2 g
,482 – 422 (i à A2 — 427 1152 r.
S er gg 9 2 — g 5 257—2g
èè 2 1;— ( 1— – )

(1 † – (1 — ꝛc.

Aufe eine zhnliche Art vetwandel t ſich der andere Ausdruck,
wenn man Zaͤhler und Nenner durch 1 — e-c multiplicirt,

eXxYPe— N —- ec- X — & - Cc TX

in dieſen, 1 und ſetzt man auch

darin Vr. und X = 2 V — I, ſo bekommt man

col. col. , oſ. 2 — ſin. S. ſin. 2 oLb e.
1— coſ. g 1— col. g tang. à 5

Es iſt demnach

coſ. 2 — cot. g. 6n.: =1 — 5. cot. 8 — — —
24 2 *$ 4
. — — — — ot. c.
cot i8 t T.2. 3.4 I. 3.,3 Lot. ? g 1 ¹
2 – 422 492 — g2 — 42²
= (1— 32 145 42) (1 I T — — , (112 — — ꝛ.

4 7 g g 1622—g, 36 7 g
= (1 — — — — ) (I- — A114— 1—— —c.
2e 11(1— 9 -)
Setzt man alſo v = 22, oder 2 = ¾ò v, ſo hat man
coſ. ½ (g — v)

ov tan .4 g. ſin. àv = (I P -— —)
coſ. ¾ g S. =ð

— — — —— . ꝛc. desgleichen
1 P; t; —2) 5 9

cCoſ.

Enblich
ln n E
n. 4 4
—
Das Ge⸗
Sinlingi
tioy llhe
Wir in den

zNrgcs
nödruck
eiglte,
Mupnent,

—

nen o
nt non

— „

tungi

1
—

1.1)

—

1

gleicen

eol.

ſin. ¾ (g † v)

Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 179

coſ. Og †vVy)
— = coſ. ¾ v — tang. ¾ g. ſin. v = (I1 — — —)
CO1. 28 - £

25 — — ꝛc. erner

ſin. 2
(1 —) (1 1n-
Endblich

fn. à ?Zg coſ. ½ v' cot. ⅜ g. ſin. v = (1 † 5

(1 .
27— 7 = (r — — 1 .
Das Geſetz, nach welchem dieſe Subtoren fortſchreiten, iſt
hinlaͤnglich einfach und einfoͤrmig, und durch die Multipli⸗
cation erhaͤlt man aus dieſen Ausdruͤcken diejenigen, welche
wir in dem vorhergehenden §. gefunden haben.

M 2 Zehn⸗

Dae
Ind die
bekannt
.2 † 6
dem Ou
. den dop
Zehntes Capitel. Ut it
Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren bey u W
= der Summirung unendlicher Reihen.
. S?ÿMMU 4 P
G. 165.
Wenn 1 T AZ † BzZ2 † Cz 3 † D z4 +† ꝛc. = (I P 2)
(I † z) (I † 72) (1 † 2) ꝛc. iſt: ſo muͤſſen dieſe Faktoren,
ihre Zahl mag endlich oder unendlich ſeyn, wenn man ſie ſet h
wirklich mit einander multiplicirt, jene Reihe, 1 † A2 † usalbe
8B22 † C23 P DzA Pꝛc., hervorbringen. Es muß daher
auch unter der angefuͤhrten Vorausſetzung E
A = a † g † „ †. à †s † ꝛc. = der Summe aller dieſer As
Groͤßen, einzeln genommen, ꝛc.
B = 26 † a7† ad k ey † a) †7) † zc. = der Sum⸗ 1;
. me aller Produkte aus je zweyen und zweyen dieſer V
Groͤßen,
CSagyaS † sn, d avdcic. = der Summe aller Von de
Produkte aus je dreyen und dreyen dieſer Groͤßen, ſich bey
ferner in der
D = der Summe aller Produkte aus je vier und vieren, wſeen⸗
1E der Summe aller Produkte aus je fuͤnf und fuͤnfen “VMl
von dieſen Groͤßen, u. ſ. f. ſeyn. Dieſes iſt aus der D
gemeinen Algebra bekant. i

ren ber

eIIel)
Fe loren,
1ma ſt
½ At
When

ler dieſer

der Smm
hen dieſe

nme oler

d vieren

d inen
s der

16,

Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 181
§. 166.
Da alſo die Summe der Groͤßen ⸗ † 8 † 7. 1 3 1 u. ſ. f.

und die Summe aller Produkte aus je zweyen von ihnen

bekannt iſt: ſo iſt dadurch auch die Summe der Quadrate
42 T 62 † 72 † èa ꝛc. gegeben; inden dieſelbe gleich iſt
dem Quadrate der Summe der einzelnen Groͤßen weniger
den doppelten Produkten aus je zweyen. Auf eine aͤhnliche

Art laͤßt ſich die Summe der Wuͤrfel, der Biquadrate und

der hoͤhern Poteſtaͤten beſtimmen. Denn wenn man
P = z= † 6 †f 7 † à †: † ꝛc.
Q= 22 † 82 † 72 † à2 † ‧2 † ꝛc.
R= z3 † 63 T 73 †. 3 † =3 † ꝛc.
S = 44 † 64 † 74 † °4 † 54 † c.
T = § † 85 † 75 † °5 † sS †† ꝛc.
— a6 † 66 † 7 † 96 † e6 † ꝛc.
ſetzt: ſo ergeben ſich die Werthe von P, Q, , 39 T, V K.

aus den bekannten Groͤßen A, B, c, D, Eic. auffolgende Art⸗

PE A
Q= A P— 2 B
R= AQC— BPTF 3C
= A R – BQ † CP — 4 D
T = AS—BRTCQ= DP 5E
VS= A T — BS f CR — PQTEP — 6.
Von der Richtigkeit dieſer Beſtimmungen uͤberziugt man
ſich bey angeſtellter Pruͤfung leicht; indeß wird dieſelbe

in der Differential⸗ Rechnung! mit der großten Schaͤrfe er⸗

wieſen. *)

22) Dieſe Beſtimmung des Verhältniſſes der Coeffieienten einer

HGleichung zu den Summen der Poteftaͤten ihrer Wurzeln fin⸗
det man ſchon in Newtons Arithmetica univerſali, in

dem Abſchnitte, de transmutationibus aequationum,
M 3 S. 192.

Erſtes Buch. Zehntes Capitel.

S. 192. der Graveſandſchen Ausgabe, aber eben ſo wie hier
ohne Beweis. Es laͤßt ſich von Eulern erwarten, daß er
dieſen ſo wichtigen Satz nicht unbewieſen gelaſſen haben
werde; auch findet man im zweyten Bande ſeiner Opuſcu-
lorum varii argumenti, der zu Berlin 1750, ſo wie der
erſte 1746, und der dritte 1751 herausgekommen iſt, S. 108
bis 120, denſelben von ihm theils mit theils ohne Huͤlfe der
Differential⸗Rechnung außer allen Zweifel geſetzt. Da dieſe
Bevweiſe fuͤr den gegenwaͤrtigen Ort zu weitlaͤuftig ſind, ſo
verweiſe ich ihrentwegen auf die Zuſatze zum zehnten Capitel
im Anhange, wo man auch von dem, was Euler uͤber eben
dieſe Beſtimmung in ſeinen Opuſculis analyticis, im erſten

Bande, S. 337 bis 340, geſagt hat, und von den Bemuͤhuns

gen anderer Mathematiker uͤber eben dieſen Gegenſtand Nach⸗
richt findet.

§. 157.

Da alſo §. 156. bewieſen worden⸗ daß
erat 1 — tr =
2 1. 2. 3 1345 2.3...7
„* (1 tCTr 5. 1 5. 70 ) r.
iſt: ſo iſüt
S e es

AA 555* (1 † ) (r † — — ꝛ..

9 τα 16 0
und ſetzt man werie xX = we 2, ſo wird

z 1 22 † — — 23³ † zC. * =

( 12) At2 *2) Gαε 35

dierauf nun die obige Regel ngewandt, ſo iſt = .

B =

Kſl
DaN

Formr

gerade
ausdern
in eine
dieſer
wir ein
ſeten.

1
1—
2²

ie hier
daß er
n haben
Ollen.
W Ne
6. 10
hiit de
Da diet
1 nd, -
en Capitel
dba dan
Waſten
1 Bemühun

tand Rac ⸗

Von dem Gebrauche der nnndene Faktoren ꝛc. 18 3

24 c 2 6G D = d laͤ
daher Sð
1 4 1† 1 76 28 25 1

1
2— 1i7. krenre

JI I I 1
5 = 1 † : 1 Sae
1

7 7: Sr e⸗ fr.

ein: ſon ſo wird, wenn man den Werth dieſer Buchſtaben aus

B, C, D u. ſ. w. beſtimmt, ? = ; 0 = = —,;R= —;
Pe, C hI 75 ° 6: KSaas;

3

=— 20.
94 55 93555

§. 168.
Es faͤllt hieraus in die Augen, daß man die Summe

aller der unendichen Relhen. die unter dieſer allgemeinen

Form 1 † 5 † 5 † ꝛc. begriffen ſind, wenn n eine

gerade Zahl bedeutet, durch die Pripherie des Kreiſes ⸗

ausdrucken kann, weil die gedachte Summe mit “n immer

in einem rationalen Verhaͤltniſſe ſteht. Um aber den Werth
dieſer Summen deſto deutlicher vor Augen zu ſtellen, wollen
wir einige davon, aufei eine edequemere Art ausgedruckt, her⸗
ſeten
20 L

184 Erſtes Buch. Zehntes Capitel. Pund

I I. 1 1 22² I4=

I I 229 I1 2”?”
1 —– b —

“ — k i „ * 2 .
F. 4 1† 5r 1.2. 3.. 3 W=
1 42 1 † 1 .. =
28 38 1.2.3...9 5
1 — 258 S 0)
— † —. — † — ꝛc. — 7T 1 en
1tst s *c I 2.3 r. .1I 3 WB RM
2ro 691 nch den
: S 1t t. = . r2 D
22%½ 3TE 41z2 512 1. 2.3..13 105 ſi
I I „ r2 335
I — —
214 Sarmat Kain⸗ 1.2.3. .15 I. 14

1 1“ 214 617
l S c. ⸗ rler
22 3 4 3 r.2, 3. 17 15 —M vird. H
I I I = 216 43867 18
As zrs Ar sS 5r s 1.2.3..T9. 21 (S—
I I 218 1222277
320 420 520 r. 2.3. „2 ½ 55 18
I. 1I 220 854513

.

11

1— ꝛc. = —, —22

E r 22 2 èèò
IP— 55
S= Saanke 2.3..u.25. 273 7 24 H
IL . . 224 16977927
1 ⸗ — — 6
F rAe t r 525 1¹0. 1.2. 3.r.27 1—
Bis hieher ließen ſich die Coefficienten der Poteſtaͤten von “R ſftde
durch einen anderwaͤrts zu erklaͤrenden Kunſtgriff fortſetzen;
ich habe indeß denſelben hier beygebracht, weil die beym P
4 erſten Anblicke ſehr unordentliche Reihe von Bruͤchen, I,
1I „1, 2, S5 691 25
3/ 3 317 105 1 3c. in ſehr vielen Faͤlen von außer⸗

ordentlichem Nugen iſt. H“õ 1

——

—14

en bon
ttſehen;
ſe beyn
Gen, l,

gußer⸗

Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 185

§. 169.
Um die §. 157 gefundene Gleichung
eX † 6e X* 6
2 — 1 arre⸗ 3 .
= (I . 4—
49

auf eben die Art zu behandeln, ſo Rn xX , wo⸗
durch denn

1†

g 4 6

2 1.2. 3.4. 42 . 2. . 6. 4 ⁸

= (I T 2) (t 12) (1 15 1 9 .

2 3 T ꝛc.

4

%½ 7
wird. ier iſt n 8 6 A = B=
Hi iſt nun aus (5§. 1 5 1.2.4 1.2.3.4.,4 23

3 ꝛc. und ſetzt man daher

—= =
be I1 7 „ — 1 ki,

= 1 2 R 1 : 5a r.

I I . 1
2 1 1s 1gi⸗ T1.

S= I — — —– — — *
13 555 1 795 513. e

ſo findet man für P, . R, S u. 1 w. dieſe Werthe:

I 72 2 4
22 . 1.2.3 2⁷5
r V= 383792 12
I.2. 3...9. 27 7 1.2.3. „II. 2135
1.2.3. be 13 215 M 5 Sð §. 179.

186 Erſtes Buch. Zehntes Capitel.

§K. 170.
Eben dieſe Summen der Poteſtaͤten der ungeraden Zah⸗
len laſſen ſich auch aus den vorhergehenden Summen, in
welchen alle Zahlen vorkommen, finden. Denn wenn man

M = — 1 † 1 z t te z.

ſetzt, ſo erhoͤlt man, wenn man dieſe Gleichung durchn multipl.

M
2* 2 1 t5S † Zu †. ¹ 1c.

und zieht man nun dieſe Gleichung, welche bloß die geraden
Zahlen enthaͤlt, von der vorhergehenden ab, ſo bekommt man
eine, worin bloß die ungeraden Zahlen enthalten ſind; oder
es iſt
11I 1†2 — k ꝛc.

219 n MI † 5n 71 99

Zieht man aber die Reihe doppelt genommen von M ab, ſo

erkhaͤlt man eine Reihe mit abwechſelnden Zeichen; oder es iſt

2 M 2n-1 — I 1I 1 1
M — —- — = M= I — † —
N 2 Zn-TI “ an 3n 41 5n

— 1† ꝛc. Es laſſen ſch aſſo nach den erklaͤrten n Sotzen

die Reihen
I . † T T — r K.

309 5n = 99 171
fummiren, wenn n eine gerade Zahl iſt; und die Summe
iſt = = Axn, ſo daß A eine Rational⸗ Zahl iſt.

4 §. 7r.

Von

luße
gusdruͤ
ſehe me

toſ.

eol.
2

77X

—

Vagleich
Wn

— 17

1Ah⸗
Mo, in
n mon

8

gerden
nnmrman
WV

Eumme

Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 197

§. 171.

Außerdem geben auch die im 164ſten §. betrachteten
Ausdruͤcke, wenn man ſie auf eine aͤhnliche Art behandelt,
ſehr merkwürdige Reihen. Denn da

coſ. ¾ v † tang. ¾ g. ſin. 2 ½ v = (1 (1 — —)

* † g

V
C1 † *) ꝛc.

iſt, ſo wird, wenn man v = und g = — - ſetzt,

—. X
1† — 1 Fak = 3 †
1 — — — — — ꝛc. =

§Sn –— m 5 n † m

. X ð m * X 7„W * mgr2
cof. — † tang. — ſin. — — I † — tang. — —
2n en 2n 2n 2

K

7W X X 7 3 X 3 . 7 454 †
—— — ang. —— ꝛc.
2.4 nn 2. 4. 6. n 3 8 1 2.4.6.. 1 n4

Vergleicht man aber dieſen ahne Ende fortlaufenden Aus⸗
druck mit §. 165 ſo erhaͤlt man daher

—

A8 * m æ — — 2 3— mæ

= – tang. ; B = — — C — – —-. tang. —,;
2n S. 2n 2. 4. n n 2.4.6.n 3à 22n
„14 E 2v7 mæ .
— ,——— ;, E = — tang. — ꝛc.
2.4.6. 8n 4 2,.4.6.8.10. n5 18 22

Weiter iſt

1 I 1

— —B- —; =

n — m n †-m 3 n — m

N . 2„

19889 Erſtes Buch. Zehntes Capitel.

Hieraus ergeben ſich nach §. 166 folgende Reihen:
P I I 1 I 11 2
n- m nTm zu m— Zn m Sn—m Snk
1 I
nm⸗ (n'm)2 1S Fm) FrSn. (In-
R= I — I 1 — - — 1
(c(n-m) 3 (nfm)4 — (nim,s (Sn-m)s
TI 1 I . I .
= m) G Tm) Gn-mn) 4 (Zn†m) 4 1 GSn-nmia.
1 11 — 2 1 1—
-mDnim- Gr-m nim) Snn nie.

*= = itee Syiez ,

Tec.

Setzt m man aber tang. k; iſt l8 166.

kæ B 1
P= A= — — —
=JðM Ebt rr (akk 2) r2

(kx SS (ér; 1 6 r2 S .
SnS 2.4.6. n 3
(2K4 † akk l r4 d((24 ka † 32 k2 . 8) r 4

A48n4 . 2. 4.6. 8n4
I= (3 k?5 † 5 k 3 ta Drt (120KS . 200 k † 8ok)z5
E 961* S6. S. 10. n5

Auf gleiche Art giebt die etzte Gleichung des 164ſten .

sof 3 V † cot. 5 g. ſi ſin. 5v 1 ( — —

2 7 — g

(1

iN

—
+-

8
0,

Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 189

(1 † 5 (1¹ — 1— r ) ꝛc., wenn man in

42 — 473
. . X m— m
dieſem Ausdrucke v = — 7, g = — æ, und tang. =
Kk ſetzt, ſo daß cot. 2g = I iſt,
coſ. — † . ſn. — = 1 — — — 22
2n k an 2 nk 2. 4 nn 2,4.6 n à
424 „ & X 1
2.4. 6. 8n4 46Eionek —.·=
— 1— — — .—-,—— —
G4) T T e

Durch die Vergleichung mit der allgemeinen Form §. 165.
findet man alſo hier

— m — 3 4

— z C= D = — ;
enk; AE 2.4.6 n 3 k* 2.4.6.8n4*

E = — und aus den Faktoren erhaͤlt ma
2.4. 5 8. won k § halt man
1I —— 1 1I1 — 1
= —; 8 —☛ — ; -1= - 5 ° — ; == —- — — c.
m 2 n-m 2n † m 4n-em An m
§K. 124.

Hieraus laſſen ſich nach §. 166. folgende Reihen feemt⸗
ren, und ihre Summen angeben.

I I I T 1I Hð
= n — rem f 3nim Ihrm t nm t
1I I 1 I 1
A m2 † H: (Snd m) An -m - in 1 t c⸗
—I - I I 1 1
mS (2n —m)² 2 †* En tm) (An - m) 1 (4n inn e⸗
1 I . I I
Sei Tat-m Gnfde Gm m tN
T=

* ℳ

190 Errſtes Buch. Zehntes Capitel.

1 1 11 1I I

m n-my (n Im) (An-m (An im-
u. ſ. f.
Die Summen b, Q, R, S u. ſ. w. aber ſind
— I *
1=A = . =
C= U = Q 12 K Qzz
= Annkk 2. 4nzkz
R — KKk † U 35 — (6 F 6 kK) æ ³
8n3k3 2 4.6. n 3k 3
8 = (K4 † 4k ”k-†3) 4 — (24 132 Kk † 3 k4) 24
48 4k 4 2. 4.6. G. n 4 k
(2k 4 †5 K K T 3) æ 5⁵ (120 † 200 k k 80 kA4) æ=5
T = —
96n5ks 2.4.6. 8. 10 n 5k5

(2 Kefl 7Ktf 30 k )æ“ (720 † 440kkf. 816 ks †i:te)“
960 n6 Kh G 2. 4. 6. 8. 10. 21. nok⅓
u. ſ. f. 1

Dieſe allgemeine Reihen verdienen, daß wir daraus
einige beſondere Faͤlle ableiten; und man findet dergleichen,
wenn man das Verhaͤltniß mn durch Zahlen ausdruckt.
Es ſey alſo zuroͤrderſt m = 1, und n = 2; wo denn

k = tang. 7 = tang. 45° = I wird, und beyde Arten von

Reihen in eine verwandelt werden. Es iſt daher
„ 1 1 1 I1I
+ = 1 — - f — — t..
4 3 7 9
1 JJM
= I † — † — † — -é ꝛc.
8 32 52 72 92
— I — – —– — — T — — v.

Von dieſ

funden,
alls Pote
ſ daß a
len ſind,
her aus
Gler di

1 —

urc den

(oße
Feche⸗

n

S

Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 191

7 4 I 1I I I
525 I I I 1
1330 3 ½ 55 75 95
26 1 1 1 1I
— — 1 — — — † — † ꝛc.
960 1 f z5 1 56 1 75 1 5 1 ¹
U. ſ. f.

Von dieſen Reihen haben wir die erſte bereits F. 140. ge⸗
funden, und von den uͤbrigen ergaben ſich diejenigen, die
aus Poteſtaͤten mit geraden Exponenten beſtehen, F§. 169.,

4 ſo daß alſo nur die, worin die Exponenten ungerade Zah⸗
len ſind, hier zum erſtenmale vorkommen. Man ſieht da⸗
1a)⸗ her aus dem Gegenwaͤrtigen, daß man auch die Summen
aller dieſer Reihen . Dð
100lir⸗ I 1 1 1
—— 1— —=— —= — F — — — 0.
1046 3 2 n 1 S2nT 72nf1 9 2n1

durch den Werth von æ= auszudrucken im Stande iſt.

§. 176.
. .
Mms Ferner ſey m = 1, n = 3; ſo wird k = tang. — =
gleichen,
nedruck. tang. 300 = : und die Reihen des 172ſten §. geben
7 I I I 1 I 1
—,— = – – – † — — — — — — † ꝛc.
Arten von 6V 3 2 4 1 8 10 1 14 16
2* 1 I 1 1 1
— = † – T –—- T† – † — † –— † ꝛc.
27 22 42 1 82² 1 102 1 142² 1 162 *
„3 1 1 1I rI 1 T
2 — † — — — – — — † ic.

162 V 3 23 4³ 83 I103 14 ¾ 163
u. ſ. f. oder

I . I 1 r 1
—, I — – † — — — † - — =– F ꝛc.
2 4 3 7 G—

4

192 Erſtes Buch⸗ Zehntes Capitel.

Ar. 1 1 1
— 1 † — † — † — — c.
22 t 42 † 52 † 72 E 1.
423 — 1 1I I I
— 1— – P —— — — — I c.
SIV 3 23³ 4 3 5§ 3 1† 72 8 .

In dieſen Reihen fehlen alle durch 3 theilbare Zahlen; da⸗

her kann man auch die von geraden Dimenſionen aus
den vorher gefundenen auf folgende Art ableiten. Da
[8. 167. 168.]

6,9 32 63 92 122 54
Zieht man nun dieſe letzte Reihe, welche alle durch 3 theil⸗
bare Zahlen enthaͤlt, von der erſten ab, ſo bleiben alle
durch 3 nicht theilbare Zahlen uͤbrig; und es iſt daher
8W 4 1 1—
354 = 2, — I 1 22 t en, ſo wie
wir es gefunden haben.

6. 177.

Eben dieſelbe Vorausſezug, daß nemlich m = 1,

n — 3, und k = S auf den 174ſten §. ongewandt, giebt
5z;-r- — — — † — — — — — :c.
2V 3 12 1 5 19 T.
.
wo in den Nennern bloß die ungeraden Zahlen, die durch

J 3 theil⸗

Vyun den

hellare
gede Artr
1t 160.
777 —

— 3

8
7 7
geht man
hare unger
die Reihe
haren Zal

— ⸗

Denn

neinondere

nan ebenfal
ush den dey⸗

chlen; ⸗
ſonen aus
ten. Da

n

uch het⸗
bleiben ale
doher

, ſo wie

Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 193

3 theilbaren ausgenommen, vorkommen. Uebrigens kann
man auch die Reihen von geraden Dimenſionen auf fol⸗
gende Art aus den vorher gefundenen herleiten. Da

[§. 169.]

I 1 1I .
SF rt; e iſt
T 1 XY.
Zieht man nun dieſe l tte Reihe, welche alle durch 3 theil⸗
bare ungerade Zahlen enthaͤlt, von der erſten ab, ſo bleibt
die Reihe der Quadrate der ungeraden nicht durch 3 theil⸗
baren n Zah len uͤbrig; und es iſt daher

11 3 71 † ni t iz⸗ † ꝛc.

9 II2

Wenn man die Reihen im 172ſten und aſten §.
zu einander addirt, oder von einander ſubtrahirt, ſo erhaͤlt
man ebenfalls andere merkwuͤrdige Reihen. Es iſt nemlich
aus den beyden angefuͤhrten §§.
k w W —I 1I 1

— † — — — † —- — — - — — —— —
2n 1 zZnk m nm n-rm 2e2n-m 12n T:e.
= k 1)
ie. Da aber
2 n k
ſin. 2
11
k = tang. — ([§. 172.] = —, und
coſ. — —
I † kk = — iſt, woher
(coſ. ) 4
Lulers Einl in d. Angl d. Unendl. I. B, A 2 5

und n = 4 ſetzen. Alsdann iſt ſin. = ſin. † =

194 Erſtes Buch. Zehntes Capitel.

2 K mæ m m æ
— — 2 ſin. — —, coſ. — — = ſin. —,
ITkk 2 n 2nR

wird, ſo erhaͤlt man durch die Subſtitution dieſes Werthes

. I I I I I

— — — —ʒ—W J — —————— — Me en — †
m * In 1— m n In IJn — m 2
n

— — – — — Lc.
3 n – m Zn† m
Auf eine aͤhnliche Art findet man durch die Subtraction
*. kxæ (I — K k)- I rTr I
—,—- — =— — =— – –— — † — —
2 nk azn 2EZnk m n – m n † m
— — — — — † — — — ꝛ⁊c.
2 n –— m 2n TmN 3 n– m. 3n P m
mæ
2K» = „ E tan mgz n
Da aber — F 8. 2 zn 8. — iſt:
coſ. —
ſo folgt daraus
m
„. coſ. —
n 1 1 D 1 I
mzæ m n— m n† m ZIn – m Enm
n. ſin. —
— † ꝛc.
3n — m

Die ſich hieraus ergebenden Reihen der Quadrate und der

hoͤhern Poteſtaͤten lehrt die Differential⸗ Rechnung auf eine

leichtere Art finden.

§. 179.
Da wir bereits die Faͤlle betrachtet haben, wo m = 1,
und n = 2 oder =3 iſt: ſo wollen wir nunmehr m = I,
V 27

und

8
Werthes

—

2NRn

ne moe
4 e

nIl,
Im = ,

1
— —lt — — — — † —
2V 2 3 5 7 9 II 13 15
1 1 1 †½ I1 1I 11ꝛ
4 3 5 7 9 11 13 15 .
. In Wπ£ ☛
Ferner ſey m = I, und n = 8, ſo wird ——
Gn. = V C — ), col = VIA 1 —-) und

I1 †¼ V 2. Hieraus ergiebt ſich

. ..⸗

ſin
„ 1 1 1 I
— 1† — — — — — — T† — — ꝛc.
4 V (2 — V 2) 7 9 15 17 23
8 (V 2 — ) 7 9 15 17 23 c.

Endlich ſey m . und n = 8, wo denn — = 7./ und

ſin. 2. „= VC 1*2 ) undent = VC — —),

2 V 2
coſ. 1: .
. — = – — wird. r erhaͤlt
folglich — P Daraus aber ahai
8
man die Reihen
„ S 3 n 5 2
GvY 3 5 11 33 19 27 .
SVar 33 5 12 II 13 1 1 ꝛ.
N 2 §. 180.

fortgehen, und ſo die Summen der Reihen 1, 1,

196 Erſtes Buch. Zehntes Capitel.

§. 180.

Aus dieſen Reihen entſteht, wenn man dieſelben mit
einander combinirt,

2 † V 2) I I II1I 1 1
VCW2) 41 1 r 1 — —— I — I.
4 3 5 7 n. 1 15
.
177 † 77 1
*V (2 — 2) 1 H 1 1 1 1
4 1 3 3 7 9 11 13 15
1
*(V (4 † 2 V 2) T 2 — 1) 1 1I1 I rI r
8, 3 5 7 9 II
— IIrIII
13 15 17 1 1 t.
(V (4 † 2 V 2) — V 2 † 1) I rI 1 1
=— 1 — — † — T† - — —
8 3 5 7 9
1 1I 1
— — † — — — † — — — † cL.
11 13 15 1 19
2CatrtV⁰ n 1 1 I r
8 5 7 9 I
1
— 5— 1 — 1 — 5 5 3 12.
Catr= L L— 14
8 3 5 7
1 r I
9 II 13 1I5 17 99
Au5uf eine aͤhnliche Art kann man, wenn man n = 16, und

m entweder 1, oder 3, oder 5, oder 7 annimmt, weiter

„

1
5

ONW¾
—

“

Wenn n
pen Gliede
us der etſt

De andere

Nn -—mm.

Dieſ bey

Un— mn

lben mit

—— —

13 l5

Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 197

5 ꝛc. ſinden, worin die Abwechſelungen der Zeichen, † und
— andern Geſetzen folgen.

§. 181. UMUW
Wenn man in den Reihen des 178ſten §. je zwey und
zwey Glieder in eine Summe vereiniget; ſo erhaͤlt man
aus der erſten

1 . 1

nn — mm Ann= mmn 9 nn =– mm

1
— - = —
I *W IN
N. ſin. —

—

2 m 2 m
16 nn — mm 25 nn — mm
I — I I

T .
nn— mm Ann — mm onn-mm I6nn - mm

— ꝛc. und alſo

7„ 1
. *
me 2 mm .
amn. ſin. —
n

Die andere Reihe hingegen giebt

*. 1 2 m 2m
— — — — —
mr m. nn-mm Ann-mm
tang. —
1 —
2 m

— — Lc. und alſo
Inn=mm S

:m inn — mm 1 9 nn — mm 1† Tenn-mm
2mm

mæ
2 mn tang. —

Dieſe beyden Reihen aber zu einander addirt, geben:

—

I ”Ml 1 ꝛ — Stang
— n—mm 25 nn —amm —
nn mm. 9 5 an
N 32 aaßt

198 Erſtes Buch. Zehntes Capitel.

Laͤßt man nun in dieſer Reihe n = 1, und m jede gerade

Zahl = 2 k ſeyn, ſo erhaͤlt man, da tang. kæ = o iſt,
den Fall, da k = O ausgenommen, allezeit,
I 1 I S 1
— T — † c. —
1—4kk 9–4kk 25 — 4 kk 740 — — 4 kk f ic. = o

Wenn aber darin n = 2 wird, und m irgend eine unge⸗

1
rade Zahl, = 2 k † I, iſt, ſo wird, ads m- = 0
tang. — ,
4 — (2 Kk † 1) 2² 16 — (2k r 1)2 † 36 — (2k † 1) 2 † c.

— —222
2 (2 k † 1)2

§. 182.
Multiplicirt man die gefundenen Reihen durch nn, und

m
ſetzt man dabey — = p, ſo erhaͤlt man dieſe Formen:

T 1 I I
— — — † — — – — † —— -— ?c.
I—pp 4 —–— pp 9—– pp 16— pp 25 — pp
— 1I .
Tn. — D pp
T 1I —I
—— — — † ererrrer †. — — † 1et.
I1— pp 4— pp 9— pp 16—– pp 25 — PP

— —

“ 2 Pp. 2b tang. pꝶ
Setzt man pp = a, ſo entſtehen daraus dieſe Reihen:

1 Lä ꝛe „ V a 1
1-— a 4— a 16—a 2a ſin. = Va 2 2
1 Va

— 4a a 2 àa za tang. = Va'
Wofern alſo a nur keine ne negative und keine ganze Quadrat⸗

Ven den

it⸗
gegedruc

Verm
inaginar⸗
kann man
wenn à
colX†V-
ſe ſo iſt
eol. yV
Iſ dahe

col.
ſin.

uang.

) nn, )
nen:

1

——

Aà 24
1

ng⸗ ge: 1

OoMet :

ht

Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 199

zahl iſt, ſo kann die Summe dieſer Reihen durch den Kreis
ausgedruckt werden.

§. 183.
Vermittelſt der oben §. 138.] erklaͤrten Reduktion der
imaginaͤren Exponential⸗Groͤßen auf Sinus und Coſinus
kann man aber auch die Summen dieſer Reihen angeben,

.—
wenn a eine negative Zahl iſt. Denn da e*«V— 1 =

coſ.Xx † V — I. ſin. x, und e —V — I = coſ. X — V— I. ſin. x

iſ, ſo iſt auch, wenn man y V — Ianſtat x ſetzt,

y e - — ey
—,J „und ſin. yV — 1= — —

coſ. y — 1 = —
Iſt daher a = — b, und y = W Vb, ſo iſt
coſ. æ V — b= — * Vb . e d, und
2
ſin. æ V — b = folglich
H 2 V. — 1I
e — * V b- „NW V b
tang. V — b = zund hieraus

„ V — b — — 227V b
ſn. V — b „ — 7 V b- e* VD; und

»— b (e— VD .* V br Vb

tang. æ — b - 8 V b eVb
Dies vorausgeſetzt, ſo wird
I.— . — c., = — — ——
und
1 1 1 r de 1

— †* — - † —- † ꝛc. =

N 4 Eben

2 be * VbP L e— V P) 2 .

200 Erſtes Buch. Zehntes Capitel. ꝛc.

Eben dieſe Reihen haͤtten durch die im gegenwaͤrtigen Capitel
gebrauchte Methode aus dem 162ſten §. hergeleitet werden
koͤnnen. Weil aber die Reduktion der Sinus und Coſinus
imaginaͤrer Kreisbogen auf reelle Exponential⸗Groͤßen durch
den betretenen Weg betraͤchtlich erlaͤutert wird, ſo ſchien
mir dieſe Entwickelung der andern vorgezogen werden
zu muͤſſen.

ſr
SS

8 .

Eilftes

Se

Von ont

nen Kr

ſin. 22.

ole=l

P euc,

D
W
coſ.—:

bder we
mg
lin. —
n
W
11

et n
wird

nCopitel
werden
Coſinus
ndurch
ſ ſtien
in waden

Eilftes Capitel.
Von andern unendlichen Ausdruͤcken fuͤr die Bogen
und die Sinus.

§. 184.

Da wir §. 158. geſehen haben, daß, wenn 2 irgend
einen Kreisbogen bedeutet,

22 22 2Z 2
ſin. 2 = 1——) 1 — – EI — — KI –— — RNc. und

9
422 422 422
ſ. 2 = (I — — )(I — – — — e⸗ i
coſ. 2= (1 — — I ar — 25* er N iſt:

ſo iſt auch, wenn man den Bogen 2 = er ſetzt,

mæz mz mm. mm., mm mm
fin. = — ((— ) ((— —) (— —) (.— — e⸗
n n n n Ann nn 16 .
und HZ
m⸗ mm mm. 4mm.
cof — = (1— NXI — r emn NK(IL ç –8 ) 1c.

n nn zönn AgAonn
oder wenn man 2n Bnſtattn aimmt,
m 2, m = (Ainn-mt m, I6nn-mm, 36nn -= mm

.— — = K = ꝛc. und
ſin an 2n Inn 16nn 36 n —
mn. nn- min onn-mm. 2Snnemm. 4nn-mm
coſ. = (-Q ) ––– 00— — Rc.

2n nn onn 25 un 49 nn
Loͤſet man nun dieſe Reihen in einfache Faktoren auf, ſo
wird
N 5 Lin.

202 Errſtes Buch. Eilftes Capitel.

215 n zZnP†m An m —
ſn. — = — (— ð ð X n:
2n 2 n 2n
und
T U1 1— —
= — ant (Sm
2 n 3 n 3 n 5n 5n
Setzt man endlich n — m anſtatt m, ſo erhaͤlt man, weil

(n-mæz mz n — m) æ=. m ,„
An. — – = coſ. Zn“ und coſ. = ſin. — iſt,
2 2 n

2 11 n

(n-— m, nim zu- 2nIm n⸗ m)Snfm
2n 2an In An an 6
mæ m zn-— m. Zn-m S⸗ m.

5 90

2n n n 3 n

Coſ. =
zn

Ne.

2 6n –— m

§. 185.
Da man auf dieſe Art ſowohl fuͤr den Sinus als fuͤr
den Coſinus des Winkels = zwey Reihen hat, ſo erhaͤlt
man, wenn man die eine davon durch die andere dividirt,

1. 2. . C. X. 2. Z. 9
2 2 4 4 6 6.88
„ 2. 2. 4. 4. 6. 6. 8. Q. 10. I0. r12.12.
— = a. e. oder

2 1. 3. 3. 5. 5. 7.7. . 9 . II. II. 13.
den Ausdruck fuͤr die Peripherie des Kreiſes, welchen wal⸗
lis in ſeiner Arithmetica infinitorum erfunden hat. Ver⸗

mittelſt des erſten Ausdrucks fuͤr den Sinus kann man aber

I — —.
2

.ꝛc. und uſ⸗

unzaͤhlige andere dieſem aͤhnliche Ausdruͤcke erhalten. Denn

man findet daraus die die Formel:

N“

n —Oen An un
2 m 1 2n 2 n – m 2n †m 4 n – m

(—An) 6 n
Tn †m on — m) c.

welche,

—Re c.

——) S — *

Vona

Dad
Wen d
ch N
Guset
den
tug.

I

Au 6
ſecan

us als ir
ſo ehilt
Nd,

und o

1 oder

cen Wah⸗
hat. De⸗

man che⸗

ſten. Denn

44
—
1—1

pelche,

Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 20 3

welche, wenn man darin

S I ſetzt, die angefuͤhrte
Walliſiſche Beſtimmung giebt. Laͤßt man aber S= ſeyn,

. I T ;
ſo iſt, weil ſin. — = = 2 iſt,
4 V

7 V 2 4 4 8 8 12. 12 16 „E:
2 1 3.‧5 7 9 II 13 15 17
1 . 1 I
und ſetzt man — = , ſo wird, weil ſin. — , =- iſt,

2 12 12 18 18 24

Dividirt man den Walliſiſchen Ausdruck durch den, wo
m I S
— = „ ſo erhäaͤlt man
n 2
2.2.6.6. 10. 10. 14.14.18.18

§. 186.
Da die Langente eines jeden Winkels dem Sinus deſ⸗

V 2 =

ſelben, durch ſeinen Coſinus dividirt, gleich iſt: ſo kann man

auch die Tangente durch dergleichen unendliche Faktoren
ausdrucken. Dividirt man daher den erſten Ausdruck fuͤr
den Sinus durch den zweyten fuͤr den Coſinus, ſo iſt
mæ m „2n — m An’”m. (2n — m. An-†m

tanug. — nm Tm (3n — — m (SNTm (Sn- ) dK.

mz n-mnm 3n — m. 3n †m. Sn —
cot. — = — (Kn GEm An m. 4R m )z. .
Auf eine aͤhnt iche Art findet man fuͤr die Secanten und Co⸗

ſecanten
[weil ſec. «½ = JEE und coſec. x = En. 5 ie

ſec.

204 Erſte Bcl Eiftes Caitel Mun

⸗
mzy n .. 41 AA
de. 2 = F n F ) Sn D —g
FIn an k
n zre. ſen z
coſec. — = — l — )2 col. —
2 n n † m — m 21
5Sn —
( e. u—
4n-† m 2n
Wenn man aber die beoden, andern Formeln fuͤr den Sinus
und Coſinus nimmt, ſo wird Momtmn
tang. — 2 m 1Cn-—m) 32n †m) 3(an-m) en Sinus
2n 2 n —– m 2 (n † m) 2n —m) — m) A(3n Tm)
mz n-m I (n † m) 3(Zn — m) 3 Zn † m) den Sinn
Lot. 2 n 2 m . 2 2n – m) 2(Zn† m) 4(Adn-— m) foden.
mz 2 n 2 2n 4 n 4n
ec. — = — ——. —,— — – — ?c.
en z n-m n-pm Zn — m Znm Sn— m
m * 2 n 2 PN 2n 4n An c. Mvct.
eo ec. 2 m en-m 2n † m 4n — m An Fm— gleigen
duchden i
§. 187. Mnfn
Wienn man k anſtatt m ſetzt, ſo kann man auf eine ſte Dit
ähnliche Art den Sinus und Coſinus des Winkels — finden: Mmien
n⸗ Wcach N
und wenn man die auf dieſe Art erhaltenen Ausdruͤcke durch
die vorhergehenden dividirt, ſo bekommt man: r Bere
un. — uß dem
en m 2n — m zZnm An–m An?m . lbbeauen
En. –— 1E an — k zn An-f W .
n. n S mm
nn. “”MRcs Mnl
—. 2n — 2 † m 4— m 4n m. un do
gof. =– n † K zr 3 † k 5 — K Eulen

Sians

1
— K.
N
iß en
inden;

durch

Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 205

zan — nm n†Cm 3n—m Zn † m — m
kz n-k n† k 3n — K n † k Sn – k

2 Hn
coſ. —
an n-m n † m 3 n — m 3n-†um Sn-m
kx k n — K in † k 4r-EH'in TE *
ſin. —
2 n

. „ * . Kk * *
Nimmt man alſo fuͤr den Winkel — einen Winkel an, deſ⸗
ſen Sinus und Coſinus bekannt ſind, ſo kann man daraus

den Sinus und Coſinus eines jeden andern Winkels XX

finden.

§. 188.
Umgekehrt kann man nun auch die wahren Werthe von
dergleichen ohne Ende fortlaufenden Ausdruͤcken entweder
durch den Umfang des Kreiſes, oder durch bekannte Sinus
und Coſinus erhalten: und dies iſt allerdings von betraͤcht⸗
licher Wichtigkeit, da man bis jetzt noch keine andere Me⸗
thoden kennt, um den Werth ſolcher unendlichen Produkte
wirklich darzuſtellen. Zur Beſtimmung von ⸗ aber, oder

auf dem Wege der Naͤherung, ſind dergleichen Ausdruͤcke
unbequem. Denn ob man gleich die Multiplication der

. I I 1I
aktoren von — = 2 (I — —) (1 — —) (I — —) u. ſ. f. i
F . 3) (1 — 52) 5 ſ. f. in

Decimal⸗Bruͤchen leicht verrichten kann, ſo muß

man doch, ſelbſt wenn man den Werth von = nur auf zehn

Stellen genau finden will, eine ſo große Menge derſelben
nehmen, daß dadurch dieſer Weg hoͤchſt beſchwetlich v wird.

206 Erſtes Buch. Eilftes Capitel.

§. 189.
Der groͤßte Rutzen, den dieſe Ausdruͤcke, ihrer unend⸗
lichen Form ungeachtet, gewaͤhren, zeigt ſich bey der Er⸗
findung der Logarithmen, welche ohne dieſelbe mit den aͤuſ⸗

ſerſten Schwierigkeiten verknuͤpft knn wuͤrde. Zudoͤrderſt

nemlich hat man, da = = 4 1— — a — a - 3c.

iſt, wenn man die Logarithmen nimmt, 17 =I14 *† 101 — 1 †

1I 1 1
101 — — ) † 1(1 – — ) † ꝛc. oder I = la — 1(1 — T) –
( 251 49 — 4

11 — 6° — — ꝛc. man mag die gemeinen oder

16
hyperboliſchen Logarithmen nehmen. Da man indeß die
gemeinen Logarithmen aus den hyperboliſchen leicht finden
kann, ſo kann man auch dieſe zuerſt ſuchen, und dann kann
man ſich die Erfindung des hyperboliſchen Logarithmen von
„ ungemein erleichtern.

§. 190.

Da nemlich, wenn man die hpperboliſchen Logarithmen
. XX X 3 X4
mmt, 1(I1 — X) = — X — — — — — — – 2c. [(§. 122.
ni 10 ) 2 3 4 F. 22

121.] iſt, ſo erhaͤlt man, wenn man die einzelnen Glieder ent⸗
wicket,

ſ 1I 1I 1 I
9 2.92 33. 4 94 .
x I 1. 1
— — — — — — — — ec.
49 2 2.492⸗ 3.49 4.49 4

Yona

Denn mn
fenden 5
Neihen a
Summen
vegen

4

ſoſſtlr:
I
-
4
Summen 1
A=

3 =

unend⸗
N Er⸗
Wiuſ⸗

*

dche

4
1

—
1

— —, —

—

nen oder

indes Ne
eicht inden
damn kon

hnen von

Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 207

Wenn man in dieſen aus unendlich vielen Gliedern beſte⸗
henden Reihen vertical herunter geht, ſo erhaͤlt man ſolche
Reihen als diejenigen ſind, wovon oben §. 169. 170.] die
Summen gefunden wurden. Setzt man daher der Kuͤrze
wegen

I I I I
A= 1 † — † — † — † — †+ ꝛc.
1 32 52 72 1 53 f
1 I 1 1
3 I¼ 34 154 1 74 1 1 i.
1 1 1

.
C —ä
IL I g I T
dD=I4 38 1 5 † 1 6 † ꝛc.
u. ſ. w.
ſo iſt l— = 14 — A — 1) — (B — 1) — 7 ( — 1) —
1 — 1) — ꝛc. Wenn man aber die oben gefundenen

Summen raͤherungsweiſe ſucht, ſo wird
1, 23370055013616982735431
I1, 01467803160419205454625
I1, 00144707664094212190647
1, 000155179025 29611930298
I, 00001704I36304482550816
I1, O00000188584858311957590
I, OOO0OOO2072240519211I5OOIO
OOOOOOOZ323715737915670
I, 000000090258143755665977
I1, 0OOι0οπο0ο0οοο0οο1ι FBZv᷑ſ80769745 5 5 G
I, O0000000000ο3ε186677514044
I, 0000000000035 4072294392
I, 0Oοωινιοοοι0οο0οο¼ορο ₰zHö1246691
I, O0O0000000000004371244859

I I I II I I n I I I I

„S 2 . $ Oe O d

P=

208 Erſtes Buch. Eilftes Capitel.

☛ I, O00000000000OOοωοωομ485693682
= I, OOO0O0O090OOOιωοϑRNhαιο39 65957
I, 00000000OοW0οιοωοιοωď“Hοοι9ο96217
I, 0000000000Oαοω0ο,οοονωd8ͦοοω0666246
I, 00OO0OOOOOOOOOOOOOOOZ4027
I, o0OOOOODOOωοποπιοωοοωο ο.%ↄ᷑⸗ whoονI¼ 25

¾ = ☚ ſ△
=. I II II. I. II I

I, OOOOOOOOOOιO5OρOD OοοWoοοοπωοωI1 ο

I, O0O0Oσοωοονονοοιοοοοοοοοοορ11

Hieraus ſi ſindet man ohne verdrießliche Weitlaͤuftigkeit den

hyperboliſchen Logarithmen von 2 = I, 144729885 849
40017414342, und multiplicirt man denſelben durch

0,43429 ꝛc., ſo findet man den gemeinen Logarithmen

von 7 = 0,49714987269413385435126.

§. 191.

Da wir ferner auch fuͤr den Sinus und Coſinus des

Winkels — einen aus unendlich vielen Faktoren beſtehen⸗

den Ausdruck gefunden haben, ſo koͤnnen wir auch die Loga⸗

rithmen dieſes Sinus und Coſinus dadurch auf eine be⸗
queme Art ausdrucken. Es iſt nemlich aus §. 184.]

m v II mm.. — An n
1 ſin. 2 † ler † 1er — n. 1 I 16 n n3†
m m
. 1 — —— *
(1 36n — *
ieof. r 1 - ) E 1— ) 11 — )

onn 2Snn

1cr — n) .
49 n

Hiernach laſſen ſich zuvoͤrderſt die hyperboliſchen Loga⸗
rithmen eben ſo wie vorhin auf eine leichte Art durch

ſehr convergirende Reihen ausdrucken. Damit 1 wir aber

die

Vonon

Die mend
gelen w
herleie
I
n. —

!

Eſ

hen dure

ſummire

35
3
1
gkeit den
885849
den durch

arithmen,

Loſinus e

heſehe ⸗

I

. —

jnn

n Loge⸗
t durch
nie ober
die

Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 209

die unendlichen Reihen nicht ohne Roth vervielfaͤltigen, ſo
wollen wir die Logarithmen von den erſten Gliedern nicht
in dergleichen Reihen entwickeln, und dann iſt
1ſin. — = I= †m † 1(2 n – m) † I(2n † m) — 18 — 3 In
An

mm m4 mo ms
16nn 2. 102 nad 3. 16 3'n6 4. 16 20 S
m m m mo m 8 — e.
360 nn 2. 362n4 3 363n6 1.36 an 8 ““l
in m m 4 mé m 8
6ann 2.642n4 7 64 3ön6 4.64 49 S
U. ſ. w.
m=
1coſ. — = 1 (n — m) † I (n † m) — 21n
2

nn 2 9 2n4 3. 93 n6 4.9 An 8

mm m 4 me mS

ZS5nn 2 ,25 2n4 3.25 3qn565 4. 25 A4n 8

Synn 2. 49 2n4 3.49 3'ns 4. 4.49 4n etc.
u. ſ. w.
§. 192.

Es ſind alſo die geraden Poteſtaͤten von in dieſen Rei⸗
hen durch ſol lche Reihen multiplicirt, als wir oben bereits .

ſummiren gelernt haben. Es iſt nemlich

1ſin. — = Im +† 1 (2 Hertr)-:ati⸗

nn (43 15 1 16 82 37 102 1 1 0)
Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl I. B. 9„* —

2106 Erſtes Buch. Eifes Capieel⸗

m4 I 1I T
24 44 64 84 104 124
mo I 1 I

— B (— 66 — — † — f ꝛ.)

3 n⁶ 4⁰ W I06 126
m 8 L „ I L
— n Ts T os kt Es 1 os 11 1

160ſ. — = I(n — m) †I (n † m) — 21n

mm 1I I „I r
nh 372 52 772 92

3
In I T I T
— zns Ss 1 ze 5 os! e.
3n6 36 6. 765 9
8 I I
— n * I1 † T 20.)
4n5 38 1 sS ¹ 758 9 8⁸ 1
u. ſ. w. .

Die Sumen dieſer letzten Reihen findet man §. 190. Was
die vorhergehenden Reihen betrifft, ſo koͤnnten ihre Sum⸗
men allerdings aus dieſen hergeleitet werden; damit aber
ihr Gebrauch erleichtert werde , ſ⸗ moͤgen ſie gleichfalls hier

ſtel hen.
Setzt man der Kuüͤrze wegen
1 1 . 11
1 — c.
ℳ 2 2 1 2 1 82 † 26.
2 ” 1 . J 1 . 1I . I . 4 .

2
ſARG
D

gehende d

Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 211

I I 1 1
= — 1 1 Ss 88 1 *.
u. ſ. w.

ſo ſind dieſe Summen naͤherungsweiſe aus zgedruckt,
= O, 4112333516712035660911810
0, 0676450210694613696975
7 = 0, 01589 598534350701780804
5à = 0, 003 9 2217717264 4822007570
= o, 00097753376477325984898
= 0, O0O0244200704724928 72274
o, 000061038989453949332915
O, O00001I525 9022251272699 77
0, O0000381471182744318008
o, 00OOιο ονN 367522617534053 “””
= 0, OOOOOOZ3841863595259154
= 0/OOOOOOOS960464832931555
= 0, 0OOOOOOOI490II6141589813
— o, OO00OOOO372529031233986
= o, 000000000ο09/3132257548284
= O, OOOOOOOOOZ 3 283064379807

8

2 K — „
I . A,l

1no Ves
m D nr

o, 0Oσοω0οιοnπω⁊sοtιοε⅝d766091685
= o, oOOOOOOOOOIAS5I9152 22 858
o, 00000OOOOOOZ63 7 97880710
0,Oοωοοωοωοοιωάnι mzο9419470177
9 = 0, 0O0000000OOOO22737367544
2£ = O, 0OOO οωειοοοοοοsε 4341886
= O, OOοοωοονοωöοιοοιοοωοωwH42108 547 1
„ = 0, 000090000⁹00ο°ι—S50ο%2% 55 271367

Die uͤbrigen Summen erhaͤlt man, wenn man jede vorher⸗
gehende durch 4 dividirt.

3a —

Erſtes Buch. Eilftes Capitel.

§. 194.
Nimmt man nun dieſes zu Huͤlfe, ſo iſt

—m) † 12n † m)— 3 In † I2= — 18

1ſn. — — = 1 m † 1 (2zu
2 R =ð

lcoſ. — = 1 (n — m) i † m) — 21n

— na A=—n- — 3 — — (C — 1) — c.
nn Zn6

Da nun die Logarithmen von und 8 bekannt ſind, ſo iſt
der hyperboliſche Logarithme des Sinus des Winkels

— 900 = = Im † I(zn — m) † 12 n † m) — 31n
°93471165583043575410

m 2

— , 1612 335167 12056609 11

4 o, sos 57260 105347306848

m ⁶$

— 5 o, 0O0OO9032 844783567269

n 5
— –: .‧ 0, eohijö 81793 16 2055°1
mI10

— 5 or ocoo1465 19 6

mI2
— 12., &ιοοℳl)5Bι2 i45812
mI 4
— 72 ,⅓οο 11561
— — %hℳ4kGhw½w/ 4859658

m 1I 8

— —7 0 õ 7979

m²8

— .—

1² 3½
3⁰

— —,

330⁰

—

Dagegen iſ

Vutib
1

Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 21

m20
— 76* 0 oοσρσοοποοοοοο7697

₰
—

8

m
2‧ %, ο⏑00ο⏑°οο°—°——ſοοοοι 6827

8
1

— X. — = „, ooOοω0ιοωοοιοω‿οοοωd 29607

m26
— –. O, OOO οωοωυöοο /οοοο οοοο1h08
n26

m2 8
— — —; , oOοωνοM‿ιοοωου᷑᷑οοοοÜιωνονω—ꝰö
des Vinkee . 0, o0οσοιοοοοοοοοοοοοοοοο

Dagegen iſt der hyperboliſche Logarithme des Coſinus des

—

0
Winkels — 900= I(n — m) † lIn † m) — 212
m2
— —. . 0, 23 3700 55013616982735
.
— ͤ– „ 00733901580209602727
.
m
— — o, 00048235888031404063
m 8
— X oOOο0ο879475632402982
m10
— ES. O%h4S³7260896510
2
mI 2
— = ,σοo⸗31430809718653
— ,hοℳ—0 *f,̈iJsos 445
m 16
— 5 õ
4

H

214 Erſtes Buch. Eiſftes Capitel. — “

mIS
— r 5 0, OoOOOOOOOA86826395 18S

m0
—60°. 0OOOOOOOOOZ 868076974
— II22
R2 2‧ % % %%°%0%°%S—%ιωοο2⁄⁄[‧969 7956 SS
m 2 4
— K 2 0 oOονοοοοοοοοοο °62¾

m26
— —- — 0, 00000000000003026249
— – 5°°0°°0°06⁹°°5ν⏑°0ο312232
n 2
m 30
65 O, OOOO ο0οι0οι0οοοοω ωmοο ? 379
m 3 2
— —, „ Rο%οꝶ ποοιωd οD⅜ÿʒ L
11
— 2 0, õ
n
— ⸗ 0, õ .
:
— — 55 0, oοσοοοοο%οοο¾οοοοοσισℛ%ο4

§. 195.

Multiplicirt man dieſe hyperboliſchen Logarithmen der

Sinus und Coſinus durch 0,4342944819 u. ſ. f. ſo er⸗
haͤlt man ihre gemeinen Logarithmen fuͤr den Radius = — I.
Da aber in den trigenometriſchen Tafeln der Sinus des
rechten Winkels = 10 angenommen zu werden pflegt, ſo
muß man, um die Logarithmen der Sinus und Coſinus, ſo
wi⸗ ſie in den Dafeln ſtehen, zu erhalten, nach der gedachten
Multiplication noch 10 dazu addiren. Hiernach iſt der
ð tabu⸗

Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 215

tabulariſche Logarithme des Sinus des Winkels —.ο
1m † I(2n – m) † I(2n † m) — 3 In
2 9, 59 4059885702190

₰

m⸗=
— 2- O, O70022826605901

m
— —. , 0ο1 172 66441661
41

2*

m
— 9, 000039229146453

m S
— — o, 00O ⅓°1729270798

m10
— 6. ο36

MmI2
— I 0, o00000%%564348715

m I4
— HKI * oO οω0οο0ο0οũεH 19r

m 16
— 5* 0, %₰Nß ooο ο0ôρ
n 1

m1 8
— X8 O, oo ρι%οϑ0οοR οπ%ο οοον61˙[2ραι

m2 O
— 5 O/ OOOOOO ooOOοινι¼ον/39

und der tabulariſche Logarithme des Coſinus des Winkels

nin der m
ber 9⁰ = IIn— m) † IIn f m) — aln
iliral. 10, oOονοοο%οοσ0οσοοNοαοο D
nus des mz
Pſegtr n2 „101494859341892
ſnus m4
ſehrhten 4 , οSρ7αο 545
der M 9 —

216 Erſtes Buch. Eilftes Capitel. bne

mé “ gen m
—— , 000209485800017 ,n—
ms die geme
— , 0οπ0°. 16848348597 Nehype
m I △ .
— aI9: 10, %ο%7%1†τ Ü9193956 Uus vnd
mIz das Le⸗
— οοσσũ:36502272 Vin
mIA ſndols ei
— nI 4. 0., 0οσνοdN6- ¹298 17 1 5 Neun eb
mIa . braug
— —— , oeseeeoelzéerazte
nIG . erden,
18 at
— — , v d; deit ſin
DN T 8
nehmen
ma0
— 15S 0, o0οσσο 0 0061 2456
Ghen
ma 2
— 22.„, õ eine begue
ma 4 m Wi⸗
— K 4‧ 0 σσοοοσιοτ*⁊ι* die Hand
ma6 H Amngerten
— 5 o, OOσ0ο0οουοοο%σOροα 13 M
. V Doſer
. 106. haben
. ſchont
Vermittelſt dieſer Formeln kann man n ſotwohl die hyper⸗
boliſchen als die gemeinen Logarithmen der Sinus und t
Coſinus eines jeden Winkels finden, ohne daß man dabey
die Sinus und Coſinus ſelbſt zu wiſſen braucht. Aus den
Logarithmen der Sinus und Coſinus aber findet man die N
Logarithmen der Tangenten, der Cotangenten, der Secan⸗ ſir di
ten und der Coſecanten durch eine bloße Subtraction, und
es ſind alſo dazu keine beſondere Formeln noͤthig. Uebri⸗ .
gens

ehar⸗

nus und
mn dabeg

Aus den

non Ne
Gecan⸗
on, und
ri⸗
gens

Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 217

gens muß bemerkt werden, daß man von den Zahlen m,

n, n — m, n † m u. ſ. f. entweder die hyperboliſchen oder

die gemeinen Logarithmen zu nehmen hat, je nachdem man

die hyperboliſchen oder die gemeinen Logarithmen der Si⸗g en

nus und der Coſinus ſucht. Ueberdies zeigt der Bruch —

das Verhaͤltniß an, welches der gegebene Winkel zum rech⸗
ten Winkel hat; und da die Sinus der Winkel, die groͤßer
ſind als ein halber rechter Winkel, den Coſinus der Winkel,
die um eben ſo viel tleiner ſind als ein halber R, gleich ſind:

ſo braucht der Bruch — nie groͤßer als angenommen zu

werden, und es convergiren daher die angefuͤhrten Glieder
weit ſtaͤrker, ſo daß man meiſtens nur die Hälfte davon zu
nehmen braucht,

J. 197.
Ehe wir dieſen Gegenſtand verlaſſen, muͤſſen wir noch
eine bequemere Art die Tangenten und Secanten eines je⸗
den Winkels zu finden, als das vorhergehende Capitel an
die Hand giebt, mittheilen. Denn wenn man gleich die
Tangenten und Secanten aus den Sinus und Coſinus er⸗
halten kann, ſo iſt doch dieſer Weg, da man dabey die
Diviſion gebraucht, in ſo großen Zahlen zu laͤſtig. Zwar
haben wir die Formeln fuͤr die Tangenten und Cotangenten
ſchon oben §. 135 gegeben, allein wir waren da noch nicht
im Stande, den Grund davon zugleich beyzufuͤgen. Dies
iſt dem gegenwaͤrtigen Capitel vorbehalten worden 1.

H. 198. a.
Zuvoͤrderſt leiten wir 3 2⸗ §. 181. einen Ausdruck
fuͤr die Tangente des Winkels — * her. Dar nemlich
I I . 1
nn – mmNA önn— mm 25 — M △

„ 2c.

218 Errſtes Buch. Eilftes Capitel.

B A4AiNRH 2 n
iſt, ſo iſt
m 4mnN TI . 1 —R
tang. — * — — — — †
2n 7* nh — mm Inn— mm
Da ferner

nn 2Zmm Ann – mm nn — mm

1I r. m
2 mm emn 1

iſt (§. 181.] ſo erhaͤlt man, wenn man un anſtatt n ſetzt,

m 21 AAmn“ I 1

Lot. — – — –—

2 n, mzæ „ Annémm Iénn– mm

1— B—,— 1 ꝛc.)

36 n n — mm
Verwandelt man nun dieſe? Bruche, die erſten ausgenom⸗

men, wobey ſolches nicht noͤthig iſt, in unendliche Neihen,

ſo wird =
tang. — r = ͤ — . —
4 m SS . m5
* — (— 4 † † 1c.)

32n 34 ne 3⁶ n5

4 „ m S mS

. ſ. w.
mE rH 4 nn — Mmin 7

è 1

Von⸗

Und auc
wir ode⸗
35
A ſf.

Aus d

pelche

ten gee
werden
Angen
ſcen
deher

DN

P K.

genom⸗
Heihen

-

Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 219

m 3

. *

1†

R
8

†

I

8

6* „
B

64n3

1 S=

m 3

An 1 gone

u. ſ. f.

Aus dem bekannte

§. 198. b. Z
n Werthe von „. aber findet n man

I
— =„ 318 3098861837906715 377679 26745028724;

und außerdem kommen hier eben die Reihen vor, welche
wir oben [§. 190 und 193.] durch die Buckſtaben A, B, C, D
u. ſ. f. und , 8, 7, , u. ſ. f. bezeichnet haben. Dies vor⸗

ausgeſetzt, ſo iſt
m mn

tang. — *
l

4 2 m-s
— B –— —
— (5 — 1 „

desgleichen

nn — mm

4 m 4„ m 2
1 1 n „ †n;

4 m 4 .
. (C — 1) † 7 — (0 — 1) 2c.

Aus dieſen Formeln nun ſind die Ausdruͤcke entſtanden,
welche oben §. 135. fuͤr die Tangenten und die Cotangen⸗
ten gegeben worden ſind; und zugleich iſt §. 137. gezeigt

werden, wie man die

Secanten und Coſecanten aus den

Tangenten und Cotangenten durch eine bloße Addition zu

finden im Stande iſt.

Vermittelſt dieſer Regeln koͤnnten

daher die ganzen trigonometriſchen Tafeln auf eine viel leich⸗
tere Art berechnet werden, als es von den erſten Verfertigern

derſelben geſchehen iſ.

Zwoͤlf⸗

””

E⸗ S biel
Zeo
nan de
Zwoͤlftes Capitel. ind
der ge
Von der reellen Entwickelung der gebrochenen
J Zunkftionen. Gr-
“ 8. 199. Meunere
Es iſt bereits oben, im zweyten Capitel, gezeigt wor⸗ —
den, wie man eine jede gebrochene Funktion in ſo viel Theile Grce
aufloͤſen kann, als der Nenner derſelben einfache Faktoren Zine
hat. Da aber hierbey eben dieſe einfache Faktoren die utr
Nenner jener Partial⸗Bruͤche werden, und alſo dieſe Bruͤche, “
Nſ
wenn die Faktoren, aus welchen ſie entſpringen, imaginaͤr
ſind, ebenfalls imaginaͤr werden muͤſſen: ſo kann es in die⸗
ſem Falle von keinem Nutzen ſeyn, daß man; einen reellen
Bruch in imaginaͤre aufloͤſet. Da alſo [im neunten Capi⸗ dert
tel] gezeigt worden iſt, daß eine jede ganze Funktion, der⸗ ten
gleichen der Nenner einer jeden gebrochenen Funktion iſt, An
ſo viel einfache imaginaͤre Faktoren ſie auch immer enthal⸗
ten mag, dennoch in doppelte reelle Faktoren aufgeloͤſet nd
werden kann: ſo kann man dadurch die imaginaͤren Groͤßen
bey der Aufloͤſung der gebrochenen Funktionen vermeiden, 5 1
wenn man dabey nicht die einfachen, ſondern die doppelten eineg
recllen Sartoren d des Haupt⸗ Nenners gebraucht. tol.
§. 200. — 42
D
“ Iſt daher die gedrochene Funktion — gegeben, ſo ſuche
SI nman daraus auf die oben Lim zweyten Eatel erkt laͤrte Art 1V.
è ſo

.

enen

eigt wor⸗
iel hele
Zaknoren
toren die
maginar
an de
en welen

nten Ceh.

i, M⸗
ſton iſt
t enthab⸗
uigadſe
aa Grlſen
erneiden,
doppelten

ict

rte Aet

Von der reellen Entwickel. der gebrochenen Funkt. 221

ſo viel einfache Bruͤche, als der Nenner N einfache reelle
Faktoren hat Anſtatt der imaginaͤren Faktoren aber nehme
man den Ausdruck pp —– 2 p qz. coſ. &† qqzτ zum Faktor
von N an; und da man bey dieſem Geſchaͤfte den Zaͤhler

und Nenner in entwickelter Geſtalt betrachten muß, ſo ſey

der gegebene e Bruch
A † Bz † Cz2 T D z3 † Ez4 † ꝛc.
(pp — 2b2. CO1. % † ¶q22) ℳ † 8⁸2 † 722 † 523 † 20.)
Ferner ſey der Partial⸗ Bruch, der aus dem Faktor des
NRenners p p — 2 p 4 z. coſ. † q q 2 2 entſteht, —
A † a?z
PP — 2 p qz. coſ. O& † q qz
Groͤße 2 im Renner zwey Dimenſionen hat, ſo kann ſie i im
Zaͤhler wohl eine aber nicht mehr haben, weil ſonſt der

denn da die veraͤnderl iche

Ausdruck eine ganze Funktion enthielte, welche man beſon⸗
ders ſuchen muß.

Setzt man der Kuͤrze wegen den Zaͤhler A † B=

1Cz2 † ic. = M, und den zweyten Faktor des Renners,

„ † 82 † 72z2 † :c. = Z; den andern Partial⸗Bruch aber, der
aus dem Faktor des Nenners Z entſpringt, = 7 . ſo iſt X

= aA „*) und dieſer Aus druck muß
pp -— 2 p qz. col. † qq22
eine ganze Funktion von 2, und alſo durch pp — 2 9p q 2 *
coſ. O F Ppzz theilbar ſeyn. **) Es muß daher M —– AZ

— a?Z z verſchwinden, wenn man pp – 2 p c12. Sof. 9 †

Aq22 = o, ſeyn laͤßt, d. h Nent man ſowohl 7Z = (cof. „

4 144l

Erſtes Buch. Zwölftes Capitel.

[§. 146.], und ſetzt man „= = f, ſo wird 2n = Ei (col n 9

V — 1. ſin. n o) (§. 133. im Anfange]. Durch die Sub⸗

ſtitution dieſes doppelten Werths von erhaͤlt man daher
eine zwiefache Gl leichung, woraus man die unbekannten be⸗
ſtaͤndigen Ge oͤßen A und a beſtimmen kann.

*) Da N = (p — 2 Ppdz. coſ. & † 44 *2) 2 iſt, ſo iſt

XNX Afas M
VN p p 2 b d2. cof. T 2 12

n er 25P q2. et † 4 a2) 24

und folglich
v M—=AZ aNZ d
2 (pp— 2 p qz. cof. o † qq;2) *
M — A Z— a 2

p Pp — 2 P q. coſ. O † 1 4 2²2
Man vergleiche hierbey den A1ſten §.

—

..) Denn . . iſt X nach §. 41. eine ganze Funktien, und folg⸗

lich, weil
r 2 5 qz. coſ% † HZz
— AZ — an

iſt, auch PP a pde. 6τσα Badchet auch

M — AZ — a2â durch pp — 2 qz. coſ. & † 9q72
tdeilbae, n weil ſonß de das Vorhernebende nicht ſtatt Enden künnte.

. 202.
Susſtituirt man wirkl ich, ſo giebt die Gleichung

M = AZ † aZz *), wenn man ſie entwickelt, folgende
doppelte Gleichung:

A

Wege
lepden G

eran
dieſe We⸗

lng
U
1dahe
en be⸗

—
=—

Rſo

Von der reellen Entwickel. der gebrochenen Funkt. 223

A † Bf. coſ. & † Cff. coſ. 2 † D3 coſ. 2 0 †12. 7
T (B f. ſin. OQ † C ff. ſin. 2 ö † Df. 3 ſin. 3 0 † ꝛc) V — I..
ſal (a † 6 f. coſ. Oꝙ † v ff. coſ. 2 ö † àf3. coſ. 39% ꝛc.)
+ A (sf. ſin. & †☚ ff. ſin. 2 O † à⅛ f3. ſin. 3 t† ze.) — 1
†P a (àaf. coſ. O † & ff. coſ. 2 O †Cf3. coſ. 3 O † 2c.)
Wüäl (ſ. ſin. & †† & ff. ſin. 2% T.f3. fin. 3 0 2c.) /— t.
Man ſetze, die Rechnung abzukuͤrzen,
A T Bf. coſ. & † Cff. coſ. 2 O † D f 3 cof 3 0 † tc. =
Bf. ſin. & † Cff. ſin. 2 † Df 3 fſin. 3 O % ꝛc. =
„* † βf. coſ. & fl. coOſ. 2 % † 5f 3. coſ. 3 P ꝛc. =
gf. ſin. 9 † vff. ſin. 2% f3. ſin. 3 o † ꝛc. =
æ f. coſ. & † ff. coſ. 2 O † 7f3. cofſ. 3 O † ec. =
« f. ſin. 9 † ff. ſin. 2 % † f3. ſin. 3 % † 2c. =
ſo iſt PT. p — 1= A ½ AqV — r † aR ar / —

* 82 ☚ D

*) Man ſetzt nem! ich zuvörderſt wieder
M = A † Bz † Cz2 P D z † ꝛc., und
2 = 4 † 82 P 22 † à23 † ꝛc.,
und darauf ſubſtituirt man in dieſen Werthen fuͤr 20, 21,
22, 23, ꝛc. die dafür aus zu = fn (coſ. n 0% + — I.
ſin. n %) ſich ergebende Werthe.

H. 203.

Wegen der doppelten Zeichen erhalt n man hietaus dis
beyden Gleichungen
P.= A OQyk a R.
pa=: Axq † a rA*)
und hieraus bekommen die unbekannten Groͤßen A und 4
dieſe Beſtimmung

ga PBr—=DR d — à O*
A = Or—– q R’ und a R —– QOr 1
H Wenn

224 Erſtes Buch. Zwoͤlftes Capitel.
(PP – 2 pqz. coſ. O& † ꝗq qZ 2z) Z
ben iſt, ſo fſindet man den daher entſtehenden Partial⸗Bruch

azF =
S lar = auf folgende Art. Man ſetzt

Wenn alſo der Bruch gege⸗

f = 1, und nachdem man die einzeln Glieder entwickelt

hat, ſo ſucht man dadurch
daß man zu = fn. coſ. n & ſetzt, M = P
⸗ ⸗ zn = fn, ſin. n ⸗ M = p
⸗ ⸗ z1 — fn. coſ. n 0 ⸗ 2 = Q
⸗ ⸗ zn fn. ſin. n 0 — q
22 zZn = fn. coſ. n & ⸗ õä
⸗ ⸗ 2Zn = fn. ſin. n % ⸗ 22 =
Hat man auf dieſe Art die Werthe P, O, R1 , q, r, ge⸗
funden, ſo iſt

„ Pr.—PRN — Pa— bO Pa
A= S— R nd . Ar Or— qR

) Es iſt nemlich

P V— 1= A † Aaw - r t al farv-t

P p V – 1= A Q– AqV — I † a R— ar —I
folglich 2 P= 2 A Q † 2 a R, und 2 p = 2 A q † 2ar.

7) Denn aus der zweyten Gleichung iſt, a = und

dieſer Werth giebt, wenn man ihn in die erſte Gieichung
bringt, P=ANI N a, oder Pr — vR =
AQOr — A q R.
S Ferner iſt aus der erſten Gleichung, A= =— 5 ,

und bringt man dieſen Werth in die zweyte Gleichung, ſo
P gq. — a 4 R

bekommt man p = T ar, oder P 4 —

pQ=aqR — aQAr.

Erſtes

gegeben ,
goktor der

ie Par

Und col. 6:

UIS22;

Hiereus fin
ſichte Beuc

I
WK=

ſo kannn

72 We
ial⸗ Bruch

Un ſett

r entwit

„Q -
—

oe-I

at-I

.

ita ,,
Nℳ. 00—

Eeſtes

Von der teellen Entwickel. der gebrochenen Funkt. 225

BErſtes Erampel⸗
2 2

(1 — 2 † 22) (1 † 24)
gegeben, um daraus den Partial⸗Bruch, der aus dem

Es ſey die gebrochene Funktion

Faktor des Renners, 1 — 2 † 22, entſteht, zu finden, und

. — ATaz “
dieſer Partial⸗ Bruch ſey = —— Vergleicht man

dieſen Faktor 1 — 2 † 22 mit der allgemeinen Form
pp — 2 P q7. coſ. O † qq72, ſo findet man »=; q = 13

1
und coſ. ½ = —, und daraus wird 9= 600 = . Da nun
2

M = 2z2; Z = 1 † 24, Und f= 1 iſt: ſo iſt
1 V 3

R = coſ. — F cok d = =I; I = o.

Hieraus findet man A = — 1; und a =0, und der ge⸗

— I
ſuchte Bruch iſt daher : Das Complement hier⸗
von iſt — „ *) und da deſſen Nenner 1 † 24

S
die Faktoren 1 4 2 C2 † 22, und 1 — 2 V 2 †T 22 hat,
ſo kann man dabey dieſe Entwickelung von neuem hmtetneli

men. Es wird aber alsdann % — und f im erſten Falle

= — 1, und im letzten = † 1.
— 1

*) Denn wenn man die beyden Bruͤche⸗ — und
— 2 T 22
4 . . addirt „ ſo erhaͤlt man zur Summe
1 † 24
2 2

(1 2 † 22) (I † 24)
kEulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. 1.. P Zwey⸗

826 Erſtes Buch. Zwoͤlftes Caxitel,

Zweytes Exempel.
Es ſey alſo der Bruch
I † 2 † 22
ITT ZV 2 † 22) (I — 2 V 2 T 22)
gegeben, wo M = I † 2 † 22, und fuͤr den erſten Faktor

= — 1; = , und 2Z = 1 — 2 V 2 † 22 iſt. Hieraus
ergiebt ſich
2 V 2 — rI

P= 1I—–— coſ. — † coſ. — = —
6 4 V 2

3. 2 r 2 — I
p = — ſin. — † ſin. — = —2 — T

Q= I1 V2. coſ — 7 col. — = 2

= † V2. ſhn. — on. —=— = 2

2
R = — coſ. — — V 2. cofſ. — — cof. 27 =— 0£
42 4 4
21
woher denn ferner Or — q R = — 4 2; A = P-

und a = o wird. Es erwaͤchſt daher aus den Fekeer des
Nenners, 1r⸗V. 2 2, dieſer Partial⸗ Bruch Q —
2 V 2 † 22
und aus dem andern Faktor erhaͤlt man auf eine aͤhnliche
D 2W. Folglich ſind die Partial⸗

Art dieſen, — —
worin die anfaͤnglich gegebene Funktion

LS= — ſin. — — V 2. ſin. — — ſin. A =—
4 4

— 2Z V? 2 †
Bruͤche,
22 —
aufgeldſe t werden kann, .

Cct —: F22) (1 † 24) I — 2†22
L2— n: 2 1⸗⸗
2 *ITZzZW 2 † zz I – 2 V 2 Tzz

Drit⸗

Purdert

ſe
gegeben.

des Nenner

ſewicdn⸗

MSI
ober hier
lel nicht be
ſeiner Viel

col.
col ⸗a

cal

n der

. Hierans

II

= -,11

NI

2 Fi
Fiktor des
—ah:N
—
1VZe 1
ine hniche

Parta⸗

Funktin
-1
—
2
1
Drit⸗

Von der reellen Entwickel. der Zebrochenen Funkt. 227

Drittes Erempel.

Es ſey der Bruch
I † 22 † 22
(1 — *2 † 22) (I † 22 † 322)
gegeben. Setzt man hier den Bruch, der aus dem Faktor
A Taz

— ⁸¾2 † 227

des Nenners, 1 — ⅝2à †2z, entſpringt, =

ſo wird p= I; q = 1; und coſ. = 4. woraus ſ=1;

M = I † 22 † 22, und Z = I † 22 † 322 wird. Weil
aber hier das Verhaͤltniß des Winkels o zum rechten Win⸗
kel nicht bekannt iſt, ſo muß man die Sinus und Coſinus

ſeiner Belfachen. beſonders ſuchen. Da nun H“D
3
coſ. 9 = 4 —; ſo wird ſin. 0 = —
5 1 5
coſ. 2% = ém; ſin. 2 = 24
25 25
— 44 127
— 24, ſin. 2 0o= —
coſ. 39 = 125 In 3 0= 125
und alſo
P= I f 2. 4 †¼ Z = 72
5 25 25
p = 2. 2 † 24 – 4
Q= I † 2. 4 3. 893
5 25 285
3 24 102
„= 2. 2 1 3. 3 = 5
R= 5 12. 25 125 rs
. = 5 2. 2 3. — 125 = 2 5 und ſolgiich

“
8

228 Erſtes Buch. Zwoͤlftes Capitel.

53400 2136
Or— q R = 20 — 2130

25. 125 125
Folglich iſt.

1836 15 40
= 33⁰ — 133, und a = — 340 — — 45
2136 178 2136 i

△

Es iſt alſo der Bruch, welcher aus dem Faktor 1 —— Reta
erwaͤchſt, *
„ (17 — 52): 18

I – % 2 †22

Sucht man auf eine aͤhnliche Art den Bruch, der zu
dem andern Faktor gehoͤrt, ſo wird p = 1; q = – V 3;

TI 1
coſ. öρQ ⸗-= –; f= — – – M= I † 22 † 22, und
V3 3

2Z = I — à⸗ †22z. Aus coſ. o – aber findet man

N3
coſ. % = ;3 ſin. =
cof. 2 % = 2 ſin.2 9=
cof. 3 6%°— “ — F*; ſin. 3 0 = S.

Zolglic iſt
2 IT

1r
= I1 – –. — † —.
P=I — v. v 2

„ 2 MN2 1. = 4W2
Vʒ. V; z3 3 9
1 — I. — 1 = 64
a r, r 3 45
38 V . I. 22 — 242

De Portil

—
—

konn, ſind

s und

ft:ſe wie

Ad-=
d

8
RAS

Ferner i
Dſn.
ſolglich
eS=
hieraus
lr-
lallich

—

uch, der iu
=- 3

122, ud

fndes wan

— -n

r

Von der reellen Entwickel. der gebrochenen Funkt. 229

R= — — 8. — I - 1T - - — 4
Vʒ3. V3 5§.3 3 3 V3 z3V3 135
— I 2 à 242 — —— 332
=Yz. Vvʒ3 5. 3 3 zV3 3V 3 135
nal⸗ 2

und alſo Qr — q R= — = „fo iglich

9 100 25 35 —135

— 7 a — —.
712 178 712 178
Die Partial Bruͤche, worin der Bruch
I †T 2 2 † 22
(1 — ⁸ 2 T 22) (I T† 22 † 3 22)

A B: 178 4 55 P 27 2): 178
— à52 †22 1T22 † 322

aufgeloͤſet werden

kann, ſind demnacd

§. 204.
Es koͤnnen aber die Werthe der Buchſtaben R und v

aus OQ und q beſtimmt werden. Denn da

Q= † 8 f. coſ. † fa. coſ. 2 % † f3. coſ. 3 ½ †ꝛc.
q = 8 f. ſin. % † f2. ſin. 2 0° †+ °f3. ſin. 3 % †ꝛc.

iſt: ſo wird

Q coſ &Q — q. ſin. O = a. coſ. † f. coſ. 20 † 7f?. col. 30 72..

und alſo

R = f(OQ. coſ. — q. ſin. 9%)
Ferner iſt
OQ. ſin. ꝙ q. coſ. ꝙ S a. fin. O † 6. ſin. 2% † „. ſin. 3 % † :c.
folglich
r = f(O. ſin. 90 † q. coſ. ).
Hieraus fließt weiter
Ar — q R = (OQ † qq) f ſin. e
Pr — pR = (PO) f† pq)f. ſn. 0 † (Pq — pO) eoß e.
Folglich iſt ð

gefunden.

Erſtes Buch. Zwoͤlftes Capitel.

230
A= PTPa1 Ba — . coſ.
as QOQ 1aq ſin.
a = — Pq †† p O

(OQQ T qq) f. En. 5
Es entſteht alſo aus dem Faktor des Nenners pp-–2 p q 2z.
coſ. & † ꝗq q2z dieſer Partial⸗Bruch,
POEI Pp) f. ſin. † (Pgq – pOQ) (f. coſ. — 2˙
(Pp — Apaz. coſ. 0 † d q22) (Q Q 1† S . ſin.

oder, da f = 1 iſt, dieſer:

( †½ b &p ſin. o& † (Pq — p OQ) (p. coſ. — 42)
(Pp — 2 b qz. coſ. 9 † qqz) (QQ† q q) p. ſin.

§. 205.
Dieſer Partial⸗Bruch entſpringt alſo aus dem Faktor

PP —– 2 p q z. coſ. O † qqzz des Nenners der Funktion

— — „, und die Bu taben P, p
(Pp -— 2pqz. coſ. o † qqzz) Z. cſiaben P n,
Q und q werden auf folgende Art aus den Junttionen M und ·?
Dadurch daß man

zn = coſ. n „ ſetzt, wird M = P

und Z = OQ; und dadurch
daß man
zZ12 = . ſin. n % ſetzt, wird M = p
und Z = q.
Es muͤſſen aber die Funktionen M und 2 vor dieſer Sub⸗

ſtitution entwickelt werden, ſo daß ſie dieſe Form er⸗
halten,

= A Bz f Cz2 † Dzs † EzA † ꝛc.

und 2 = = 1 32 4 „a2 1 22 T 24 † z.

und dann wird

G ch
Kafldfuag⸗
Nrſelhen
Denn in
022, we
ſegte, ben
werden ton
Vun luktion 5
iine noch hot
Nerer Beg
ckDroc⸗

entſoringe

95,— 2
Gebßen A,

Dier
NI—
—

nar

14— )

— —

1

dem Feoktor
er Funttion

lchen Peb⸗

cnen A nd Z

nd dedech

Wor

dieer Slb⸗
e n

7

Von der reellen Entwickel. der gebrochenen Funkt. 231

P=A † b. . coſ. † C. 3. coſ. 2 Fo. t.. coſ. 3 % † ꝛc.
5p h2 13
S= B. —. ſin. 2. —. ſin. 2 —
p in. O † C 4² in. 2 % † D. Ez. ſin. 39 Tzt.
— P pzZ Pp3 .
O=⸗= Te. . coſ. ꝙ † 7. —. coſ. 2 0 † . 43.c01. 3 9 † ꝛc.
4 = g. P. fin. 0 † . D. fin. 2 0 4 . E. ſin. 3 0 † ꝛc.

§. 206.
Es erhellet indeß aus dem Vorhergehenden, daß dieſe
Aufloͤſung nicht ſtatt finden kann, wenn die Funktion ? eben
denſelben Faktor pp — 2 Pqz. coſ. & † qqzz in ſich enthaͤlt.
Denn in dieſem Falle wuͤrde Z in der Gleichung M= AZ †

a7âz, wenn man darin zn = fn (coſ. n 0m£ — I. ſin. n 0)
ſetzte, verſchwinden, und folglich nichts weiter geſchloſſen

werden koͤnnen. Wenn daher der Nenner der gebrochenen
Funktion N den Faktor (pp — 2Pqz. coſ. ½ † qqz2)2 oder

eine noch hoͤhere Poteſtaͤt enthaͤlt, ſo iſt ein anderer beſon⸗
derer Weg noͤthig, um die Aufloͤfung zu Stande zu bringen.
Es ſey alſo N = (pp — 2 92. coſ. ꝙ † qqz2) ² Zâ, und die Par⸗
tial⸗Bruͤche, die aus dem Faktor (pp — 2 qz. coſ. 9 † qqzZ2) 2
entſpringen, ſeyen S pz. or d T d d: = 1
— — , wo folg lich die beſtaͤndigen
pp — 2 p qz. coſ. & † q;=
Groͤßen A, a, B, b, zu beſtimmen ſind.

§. 207.
Dies vorausgeſetzt, ſo muß der Ausdruck

M — (A † az) Z — (B † b2) 2 (pp — 2pqz. coſ 9† ag⸗
. (pPp — 2p qz. coſ. 9 † q ꝗq22) 2²*

P 4 eine

232 Erſtes Buch. Zwoͤlftes Capitel.

eine ganze Funkftion, und alſo der Zaͤhler durch den Nen⸗

ner theilbar ſeyn [§. 43] Es iſt alſo zuvoͤrderſt der Aus⸗

druck M — A Z — a? Z durch pp — 252: cof. 9 † qqz
theilbar. Da dies der vorhergehende Fall iſt, ſo werden
auch hier die Buchſtaben A und a eben ſo wie vorhin be⸗
ſtimmt. Wenn man daher
n

zn = H. cof n „ ſetzt, ſo wird M = P
und Z = R; und wenn man

zn — K. ſin. n ſetzt, ſo wird M = P
d Z£ = n.

Iſt nun dieſes geſchehen, ſo wird nach der §. 204 gegebe⸗
nen 1 Regel

= R2 Tn⸗ 3I . ſin. un

Pnu † pR J

a—
Rs Tna p. ſin. „*

bar man auf dieſe Art A und a gefunden, ſo wird

M— (AP†az)z
Fyte coſ. 9† qqzz
wir = b ſetzen wollen. Nun muß ferner P — BZ— bzZ

eine ganze Funktion [5§. 43] welche

durch PP — 2pJqz. coſ. & † q qzz theilbar ſeyn; und da

dieſer Ausdruck dem vorhergehenden aͤhnlich iſt, ſo kann
man, wenn man

P 2
n⸗ coſ. n o ſetzt, P = R , und wenn man

21 —

qn- ſin. n o ſetzt, P = r nehmen, und dann iſt

21

ſo wird

A=

—

en Nen⸗
der Aus⸗
Rg
ſ dden
vothin be⸗

wenn man

nd

Von der reellen Entwickel. der gebrochenen Funkt. 23 3

Rn— XN coſ.
12 4 NRNAa Pnz üfn. 7
N gq
NRN nz' p. ſin.

Hieraus laͤßt ſich ſchon allgemein einſehen, wie man bey
dieſer Aufloͤſung verfahren muß, wenn der Nenner der ge⸗

gebenen Funktion — den Faktor (pp — 2qz. coſ. † qq2z) K

hat, Denn es R“ N = (pp-— 2p qz. coſ. 9 † q422) E,
ſo daß alſo d dieſer Bruch
M
(pp –— 2pqz. coſ. & † ga⸗
aufzuloͤſen iſt. Es gebe ferner der Faktor (pp — 2pq2.
coſ. † H die Partial⸗Bruͤche

X

(pp -— 2 qz. (pp — 2p qz. coſ. 9+† qqzz) )k- I
CT cz † dz iꝛe
(pp-Pqæ. coſ. o qqzz) -2 F tos 9 † qdz2)K- 3

Setzt man nun, wenn man
. n „ 2
= coſ. n & nimmt, M = M
und 2 S. und, wenn man
n .

zn = 1 ſin. n % nimmt, M =

und Z = n; .Y
ſo wird
MN4 mn Mn — coſ. &

R⸗ def n2⸗ I Ns P 12 2 ſin. 9“
N= † nz⸗ p. ſn. 5-

a=

7
l MDMN
ð fr ÿ”ä

2 zuch. Zwoͤ
34 Erſtes Buch. Zwoͤlftes Capitel. gnt
Vo
Nun ſey — M — (AF az) - „B
PP- Pz. cof 6 1 dda und wenn man iſ
pn 6 ſetzten
zn = —. coſ. t, P —
qn n ſetzt, P = P, und wenn man gr ſt,
zZn = qn: ſin. n ſetzt, P = p;
ſo iſt .
B = pn Pn—–— pR coſ. Eeſ⸗
n. die Portin
D
b = — ⸗ . »„N —J (112)
t2 † na p. ſin.
pp=– 2pqz. coſ & † qqzz = Q, und wenn man
pn — Regleic
2Zn ☛ —. coſ. n % ſe — L
qn „ ſetzt, Q = OQ, und wenn man mdaſe
— b . Hierons
2 qn⸗ ſin. n ſetzt, Q = q; und lin
ſo iſt
E = 23 1 2 n — qR coſ. Nunmehr i
”MU O 2 Na⸗ †hs ſn. 6 um⸗ 3
. Maous
Seruer ſey 0 — (E † cz) Z. Giuns e
pp —– 2p q z. coſ. O † q ꝗqzz = R, und wenn man
pn 3
zu = —., coſ. n? d
In. 9 ſetzt, R = R, wenn man aber
zn — R. “
= ſin. n & ſetzt, R = r;
ſ[ſß̃a iſt WU Eudlic
l D= Nrn Rn — r N coſ. o
2 † n2 N 2 nz2 . ſin. und NSo
d =— AR1 1 rN’ “ ds
SD R 2 † n2? p. ſin. . ten B

nd

venn nen

n Man

wennman

1d.

Hr

Von der reellen Entwickel. der gebrochenen Funkt. 23

Auf dieſe Art muß man nun fortgehen, bis man den Zaͤhlet
des letzten Bruchs, deſſen Nenner pp — 2 p q z. cofſ. 4

q iſt, gefunden hat.

Exempel.

gegeben, und

2 — 25
Es ſey der Bruch =
die Partial⸗— Bruͤche, welche aus dem Saftor des Nenners
(I † 22)4, entſtehen, ſeyen

APas Brbz CF- cz 1 D † dez

(1 † 22) 4 15 (1 † 22) 3 1† (1 † 22) 2 I † 22

Vergleicht man nun, ſo wird p = I; q = I; coſ. = O,
und alſo 9o = ½ . Ferner iſt M = 2 — 23, und Z? = I † 24.
Hieraus ergiebt ſich M = 0ο; m = 2; N = 2; n = o;
und ſin. O = I; und es wird folglich

A = — 4. O = 0; und a S I.
Nunmehr iſt alſo A†a⸗z = 2; und daher wird denn P =
2 — 23 — 2 — 25

— — 23, und P = O „— I.
I † 22 P S . =
Hieraus erhaͤlt man
B= o; und b = f. 4
— 23— 422 — 225
Folglich iſt B † bz = ¾=2; und . † 22

— 42Z — ¼2 3. Hieraus wird OQ= = 0, und = 0; folglich
C = o; und c = 0
—½ 2 — 2 23
I T† 22
R= ; und r = — 2 folgt, ſo daß alſo
D = o, und d = — ½ wird. Es ſind alſo die geſuch⸗

ten Bruͤche - —

Endlich iſt nun R = woraus

— . Der
(1 Tane 2 (I † 22) 3 — & † 22)

Zaͤhler

— = OWO

236 Erſtes Buch. Zwoͤlftes Capitel ꝛc.

“l ,B R– (D† dZ)Z
Zaͤhler des uͤbrigen Bruches aber iſse⸗ . . —
- f⸗ Fird, und er ſeibſt wird alſo ) ſeyn,

.. 210.

Auf dieſe Weiſe findet man daher zugleich den Bruch

des Complements, welcher, mit den gefundenen Bruͤchen zu⸗

ſammengenommen, die gegebene ge brochene Funktion her⸗

vorbringt. Hat man nemlich von dem Bruche
M
coſ. & T q q2 2) 7%
alle Partial⸗ Bruͤche gefunden, die aus dem Faktor
(Pp – 2 p q?z. coſ. † q 2) k entſpringen, ſo iſt, wenn
man die Reihe der Werthe P, C, R, s, T, welche man
zur Findung jener Partial⸗Bruͤche ſuchen mußte, weiter
fortſetzt, derjenige von den Werthen P, Q, R, 8, E,
welcher dem letzten, den man zur Findung der Zaͤhler noͤ⸗
thig hatte, folgt, der Zaͤhler des uͤbrigen Bruchs mit dem

Nenner Z. Iſt nemlich k = 1, ſo iſt der uͤbrige Bruch S

iſt k = 2, ſo iſt derſelbe 7 iſt k = 3; ſo iſt er u. ſ. w.

Hat man aber dieſen uͤbrigen Bruch, deſſen Nenner 2 iſt,
gefunden, ſo kann man ihn vermittelſt der bisherigen Re⸗
gein weiter aufloͤſen.

–

d

ſeanen Y.
dyec .

durch e
Cn4
ihter 0
ſndigen
nen Fank
rherg⸗
gezeigt
anderee
Wichea
. ?

in den

8

gegebe
Urch

ltan

en Vench
lchen zu⸗
lion her⸗

n tor

ſt, von

eſche nen
, peitr
. ,
glee ad⸗
WaNen

uſ⸗

nte 2 6
en N

—

zehntes Capitel.

Von den wiederkehrenden Reihen.

S§S. 21I.
Ju d dieſen Reihen, welche Moipre wiederkehrende zu
nennen pflegt, wollen wir hier alle die Reihen rechnen, die
durch die Entwickelung einer jeden gebrochenen Funktion
durch eine wirkliche Diviſion entſtehen. Es iſt bereits
[Cap. 4.] von denſelben gezeigt worden, daß ein jedes
ihrer Glieder aus einigen vorhergehenden nach einem be⸗
ſtaͤndigen Geſetze, welches von dem Nenner der gebroche⸗

nen Funktion abhaͤngt, beſtimmt wird. Da nun [in dem

vorhergehenden und dem zweyten Capitel von §. 39. an]
gezeigt worden iſt, wie man jede gebrochene Funktion in
andere einfachere aufloͤſet: ſo koͤnnen dadurch auch die wie⸗
derkehrenden Reihen in andere einfachere aufgeloͤſet wer⸗

den. Die Art und Weiſe, wie dieſes geſchehen kann, ſoll
in dem gegenwaͤrtigen Capitel erklaͤrt werden.

„§H. 212.

Es ſey die aͤchte gebrochene Funktion
bZT czZa † dzi † ꝛc.
I — =2 — 822 — 723 — 52.
gegeben, und die wiederkehrende Reihe, worin dieſelb fe
durch die Diviſion verwandelt wird, ſey
A f Bz † Cz⸗ T† Dzi † Eza † Fz ꝛc. J
ſo iſt aus dem vierten Capitel bekannt, nach n was u füͤr einem

Geſetze

238 Erſtes Buch. Dreyzehntes Cavitel.

Geſetze die Coefficienten A, B, C, D, E, F de. fortſchrei⸗
en. Wird nun die gegebene Funktion in die einfachen
Bruͤche, woraus ſie beſteht, aufgeloͤſet, und ein jeder d die⸗

ſer Bruͤche in eine wiederkehrende Reihe verwand delt: ſo

iſt offenbar, daß die Summe aller dieſer Reihen, die aus

den Partial⸗Bruͤchen entſtanden ſind, der Reihe A . B z †

Cz † Dz3 † Ez4 † Fz?“ † ic gleich ſeyn muß. Es geben
aber die Partial⸗ Bruͤche, welche zu finden das vorherge⸗

hende und das zweyte Capitel eine vollſtaͤndige? Anweiſung

enthaͤlt, Partial⸗ Reihen, deren Ratur man, weil ſie ſo
einfach ſind, leicht erkennt; und da die Summe oller die⸗

ſer Partial⸗ Reihen der Total⸗Reihe gleich iſt, ſo kann man

ſich dadurch auch den Weg zu einer vollſtaͤndigen enntni

vodn dieſer erleichtern.

§. 213.
Es ſeyen alſo die wiederkehrenden Reihen, die aus den
Partial⸗Bruͤchen entſtehen, folgende:
a F bz † czz T dz; T ez4 f† fz; f ꝛc.
Aa † bz † cza Y dzè † ez4 T fzs P ꝛc.
a † b'z T. cze † d’z3 † ezA † f’25 † ꝛc.
A Tba F c’* T d’ † e24 † f25 † ꝛc.
u. ſ. w.

Da nun dieſe Reihen zuſammengenommen der Reihe

A † Bz † Cz2 † Dz32 † Eza † Fzs † zc.

gleich ſeyn muͤſſen, ſo muß auch nothwendiger Weiſe

A = a † a’ † a! † a““ † ꝛc.
B = b † b † b † b” † ꝛc.
C = c † c † c“ † c † ꝛc.
D = d † d’' † d“ † d’“ † 20.

Uu. ſ. w.

ſeyn. Kann man daher in jeder der aus den Partial⸗Bruͤ⸗

chen

her ertſt
Uatinmen
te en d

hetkeh

Solte

us, hoß/

Afhe
ſoge, daß
dan die Ce
geich ſep
het ſene⸗
her
und dar
nun dier
diet uͤbe⸗
lommt m
doraus f
ich zeige

W
artia

ſehen.

lieſe Re
Alhenei
Keichen
venn n⸗

le der

chrei⸗
macen
Oer die⸗
ddelt: ſ
die aus
Abn 1†
E n
votherge:
wweiſung
ell ſe ſo
ollen die⸗
ann mon
1Kwig

us den

i jal⸗ W

Von den wiederkehrenden Reihen. 239

chen entſtandenen Reihen den Coefficienten der Poteſtaͤt 2n
beſtimmen, ſo findet man in der Summe aller dieſer Coef⸗

ficienten den Coefficienten eben dieſer Poteſtaͤt zn in der

wiederkehrenden Reihe A † Bz † Cz2 † Dz3 † E24 † ꝛ:c.

§. 214.
Sollte hier etwa der Zweifel entſtehen: Ob auch dar⸗
aus, daß folgende zwey Reihen gleich ſind,
A † Bz † Cz2 † Dz3 † ꝛc. = A † Bz †¼ Cz2 † D z 3 ꝛc.
folge, daß A = A, B = B, C( = C, D= D, u ſ. f., oder
daß die Coefficienten von einerley Poteſtaͤten immer einander
gleich ſeyen? ſo darf man nur uͤberlegen, daß die Gleichs⸗
heit jener Reihen ſtatt finden muß, was auch die veraͤnder⸗
liche Groͤße fuͤr einen Werth erhaͤlt. Man ſetze alſo 2= 0,

und dann faͤllt in die Augen, daß A = A iſt. Zieht man

nun dieſe gleichen Groͤßen auf beyden Seiten ab, und divi⸗
dirt uͤberdies die uͤbrig bleibende Gleichung durch 2, ſo be⸗
koͤmmt man B † Cz † Dz2 † ꝛc. = B † E⸗ †† Dz 2 † ꝛc. und
daraus folgt B = B. Auf eine ahn iche Art laͤßt ſich aber
auch zeigen, daß C = C, D = D, ꝛc. iſt.

. §. 2154

Wir wollen alſo die Reihen betrachten, die aus den
Partial⸗Bruͤchen einer gegebenen gebrochenen Funktion ent⸗
ſtehen. Hier iſt zuvoͤrderſt bekannt, daß der Bruch
dieſe Reihe giebt: A † Apz † Apaze † Aps23 † ꝛc., deren
allgemeines Glied = A pnzn iſt. Man nennt nemlich der⸗
gleichen Ausdruck ein allgemeines Glied, weil man daraus,
wenn man fuͤr n nach und nach alle Zahlen ſetzt, alle Glie⸗
A
— P1)2
dieſe

der der Reihe erhaͤlt. Ferner giebt der Bruch ——

240 Erſtes Buch. Drezehntes Capſtel.

nes Glied =

k (k † 1) (k †. 2) . . . . . . . kæ-p. n —

dieſe Reihe: A † 2 A pz † 3 2 1p222 † 4 Ap 323 † ꝛc.,
deren allgemeines Glied = (n † 1) A przn iſt. Eben ſo be⸗

4 A . .
kommt man aus dem Bruche . 8255 die Reihe: A †

3 Apz † 6 A pzz2 1 10 Apas † ꝛc. deren allgeme ines
(n † 1) (n 1 2)

Glied = . 2 Apez iſt. Ueberhaupt aber giebt
der Bruch dieſe Reihe: A T k Apzr ——
(1 – pz k . I . 2
1) (k † 2) .
Apsz2 † — . 49 Ap323 † ꝛc. deren allgemei⸗

(n 3 1) (n † 2). .. .. (n † k — 1I)
I . 2 . 3 . .. . (K — 1)
Wenn man die Reihe fo ortſetzt, und das allgemeine Glied
aus ihr ſelbſt nimmt, ſo findet man ſolches =

1) .D
Apuzn; es iſt aber

I1 2 3 . . . . . . . n

dieſer Ausdruck dem vorhergehenden gleich, ſo wie ſolches
in die Augen faͤllt, wenn man uͤberzwerg multip blicirt. Denn

es wird a alsdann I . 2 . 3. . . I. (n †† 2) . . . . (n T. k — I)

Funktionen auf Partial⸗Bruͤche von der Form

fommt, ſo oft kann man auch das allgemeine Gl lied der wie⸗

„

— I 2. 3.. . . (k — 1) k.Yꝑ. .. (K †T n — I) we lches eine

identiſche Gleichung iſt.

9. 216.
So oft man daher bey der Aufl oͤſung der gebrochenen

A
(W PZ) K

derkehrenden Reihe, die aus der gegebenen gebrochenen

Funktion entſteht, oder der Reihe A T B z † Cz2 † D z3 f†.
ꝛc. angeben; denn es iſt daſſelbe die Summe der allge⸗

meinen Glieder der Reihen, die ſich aus den Partial Bruͤ⸗

chen ergeben.
Erſtes

Das 6
ſtden,/ d

Die
u †22

Un den

Re nan

Daraus en

C.

Mnhn

Kerade g.

Des al
ſwhen, die

nechert 4
R der
-

Bruͤche⸗
.

Algemein

Das al
EII

bruche —
1

Kulers

Rader G

1, es itoler

W ſ

e. Degt !
e 4
Wß Qnn

(11— 0
nulhe, ene

e gehroteten
ed der wie⸗
gebrochenen
fDu
e der ale⸗
hartie Ni⸗

Elſtes

Von den wiederkehrenden Rihhen 241
Erſtes Exempel.

Das allgemeine Glied der wiederkehrenden Reihe zu

finden, die aus dem Bruche — entſpringt.
1 — 2 —

2 2Z Z
Die Reihe, die aus dieſem Bruche entſteht, iſt 1 †02 †
222 † 223 † 624 † 1025 † 22 26 † 4227 † 86 28 † ꝛc.
Um den Coefficienten der allgemeinen Poteſtaͤt zun zu finden

1 4

loͤſe man den Bruch in
1— 2 – 222 1 2

Daraus erhaͤlt man das geſuchte allgemeine Glied =

n +

2 —
(2 (— In † 1. 2n) 2 n = — 2 zn, wo das Zeichen † gilt,

wenn n eine gerade, und das Zeichen —, wenn n eine un⸗
gerade Zahl iſt.

Iweytes Exempel.

Das allgemeine Glied der wiederkehrenden Reihe zu

I — 2
nden die aus dem Bruche — entſpringt
finden, die a 6 ſpringt, und

welche 1 ¼ 42 † 142 2 † 4623 † 14624 † 45425 † ꝛc. iſt.

Da der Nenner des gegebenen Bruchs = (1 — 22)
(1 — 32) iſt, ſo zerfaͤllt d der r Bruch in die beyden Partial⸗
Bruͤche — — z und daraus erhaͤlt man zum
1I1 — 22 SS

allgemeinen Nenner 2. 3nzn — 2nzn = (2.3

n — 29) zn.

Drittes Exempel.

Das allgemeine Glied der Reihe 1 † 32 † 422 † 723
† 1124 1† 1825 † 2926 1† 4727 † ꝛc., welche aus dem

2 2
Bruche — . entſpringt, zu finden.
Eulexs Einl. in d. Anal. d. Unendl. I. B. DHDM Da

42 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel.

Da die Faktoren des Renners 1 — (— — 2 und

1— ( — 5)2 ſind, ſo bekommt man, wenn man den
V 5 † 1 1—V 5
gegebenen Bruch aufloͤſet. — — 1=
1—(—O⸗ hr

und les iſt daher das geſuchte allgemeine Glied
1 npI —5 ntI.
( . NS Zn 1 — 5)

wierces Exempel.
Das allgemeine Glied der Reihe
à † (æa † b)z † (⸗2aà † æb † 82) 22 † („ 32 T†. ℳτ b † 2%
† β b) 23 † ꝛc., welche ſich gus dem entwickelten Bruche

a P bz
— L- — ergiebr, zu fin den.

Durch die Aufloͤſung des gegebenen Bruchs bekommt

man dieſe beyden Partial⸗Bruͤche:

C V (æ a, -P 4 ½)) T 2 b): 2 . Ca T 42

“
W TP V &
1 — ( lar
c 2 C . Joiglich iſ
1—( . —
das allgemeine Glied
Wekd a) 1 )Tab 2 1 Gr 142)) .
. 2 V (æ P 4 £)
2 (C(α—☛ 4⁸) — 2) — 2 b . VCer 14 £)2 ,„ um
—EE e- — . JnzZn; und
biera⸗ 8 laſſen ſich die allgemeinen Glieder aller wiederkeh⸗
renden

Chen Rei
rgthenden

Aui die
Wr
erggache
man ind
man bft

— 2)2
ſichen, we

Zndcden

42 52434

1 . 4 1

B.☚⁰
Sr—

—
—,—

2, Sohis

VPon den wiederlehrenden d Reihen. 243

₰

renden Reihen, worin jedes Glied durch die beyden vor⸗
hergehenden beſtimmt wird, leicht finden.

Fuͤnftes Exempel.

Das all gemeine Glied der Reihe 1 †2 4 222 † 2 23 †
324 † 32 ¾ 4† + 426 † 427 † 2c., welche aus dem Sruche
.

I1 — 2 –— 22 † 23

—B

— entſpringr, zu finden
— 2)² (1 †2) Z

Hier iſt zwar das Geſetz, nach welchem die Reihe fort⸗
ſchreitet, ſo offenbar, daß es beym erſten Anblick in die

Augen faͤllt. Da inde — — —1
ende . 2=ð † 2) (1 2)2 k.
iſt: ſo erhaͤlt man daher das allgemeine Glied

2n † 3 —I
Jnzn — — . 21¹, wo das

2 ( (n † I) zn † ¾ zen † ¼ (— I

obere Zeichen genommen werden muß, wenn n eine gerade,
und das untere, wenn n eine ungerade Zahl iſt.

§. 217.-
Auf dieſe Art kann man die allgemeinen Glieder aller
wiederkehrenden Reihen finden, weil man alle Bruͤche in
dergleichen einfache Partial⸗Bruͤche aufloͤſen kann. Will
man indeß die imaginaͤren Ausdruͤcke vermeiden, ſo wird
man oͤfters auf Partial⸗Bruͤche von dieſer 8 Form kommen:

A † Bpzz A . Bpz:
1 — 2 pz. coſ. O † ppzZ2 (1— 2 b2 col. * 1 PpzZ2)2 5
A Bb —— ; und wir muͤſſ ſen daher unter⸗

(1 –, 2 pz. coſ. O † pp zz, k
ſuchen, was aus ihrer Entwickel ung für R Reihen entſtehen.

Zuvoͤrderſt giebt nun/ zwar der Bruch 2 2. Tor S ppa
2 wenn

worden, daß

244 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel.

wenn man denſelben entwickelt, weil coſ. n O = 2 col. G.
coſ. (n — 1) % – coſ. (n – 2) % (* iſt,
A† 2 A pz. coſ. & † 2 Ap222. coſ. 2 O † 2 Ap323. coſ. 3
† Apzzz † 2² Ap323. coſ.
† 2 Apaz4. coſ. 4
† 2 Apaz 4 coſ. 2 O ꝛc. (**
† Apaz4
aber das allgemeine Glied dieſer Reihe iſt nicht ſo leicht zu

entdecken.

*) Aus dieſem in der Mumerkund zum 12pften 9. bewieſenen

Satze folgt, dasß
2 coſ. cof (n — 1) coſ no † coſ. (n — 2) %,
ſo wie aus den ſpeeiellen Saͤtzen, aus welchen er abgeleitet

2 coſ. . coſ. = coſ. 20 † 1
2 coſ. O coſ. 2 % = coſ. 3 O † coſ. G½
2 coſ. 6. coſ. 3 O = coſ. 4 % † coſ. 2
2 coſ. o. coſ. 4% † = coſ. 5 % † coſ. 3 G
U. ſ. w.
iſt, und in dieſer Geſtalt werden dieſe Beſtimmungen hier
eigentlich gebraucht.

A
*) Aus der Verglelchung des Bruchs

I – 2 P z. coſ. O †ppzZz

a † bz

mit dem Bruche —- —
82 +† 7 7 22

— §. 61. wird, 2= A, o,

4„“ = „ s a e , und folglich R = 2 c0l. . Q

— P, wenn P, Q und K auch hier die ihnen §. 61. bey⸗

gelegte Bedeutung behalten. Setzt man daher
A

. — 2 p z. Ccoſ. G TppzZzZ =
DPp323 ꝛc. und gebraucht man zugleich die in der vorher⸗
gehenden Anmerkung enthaltenen Beſtimmungen, ſo wird

A † Bpz † Cpa22 †

ud
L⸗

Wir
hieſe ber
Ppe
rre
wlhes eb
deren Ren
Pickelnnge

GRd!

aus die

hoher
Cbp.
1
Nochns

ſett mn

ken Su
. coſ

,.

col. 39
col. 0

benieſenen

1— ,
r Chgelitt

nnin hir

—

9 † pir

P,
.l0
61. M:

00¹1 .

urfet⸗
nid

4

Von den wiederkehrenden Reihen. 245

A = A
B = 2A. coſ = 2 A. coſ. 9

C = 2 B. coſ — A = 2 A. 2. coſ. . coſ. — A=

2 A. coſ. 2 ₰ † A

S 2 C. coſ. ꝙ — B = 2 A. 2 coſ. ô. coſ. 2 % =
2 A. coſ. 3 % † 2 A. coſ.
E = 2 D. coſ. — C= 2 A. 2 coſ. ꝙ. coſ. 3 Q † A=

u. ſ. w.

2 A. coſ. 40 † 2. A. coſ. 2 % † A

und alſo die angenommene Reihe der vom V. im §. mit⸗

getheilten gleich.

§. 218.

Wir wollen alſo, um zu unſerm Zwecke zu gelangen,

dieſe beyden Reihen betrachten

Ppz. ſin. † Pp'z“. ſin. 26 † Pp 23. ſin. 3 † Ppiat Gn. 49 †ꝛc.
Q† Qpz coſ. ꝙ† Qp'2 .coſ. 20 † Qp z coſ. 30 † Qp2. coſ. 4% Pꝛc.
welches ebenfalls zwey Reihen ſind, die man aus Bruͤchen,
deren Nenner I — 2 pz. coſ. & † ppz?z iſt, durch die Ent⸗
wickelung erhalten kann. Die erſte Reihe nemlich entſpringt

Ppz. ſin. 9
I – 2 pz. coſ. † ppzz
°—— Qpz. coſ.
— 2 P z. Ccoſ. % † pp zz

aus dem Bruche

z)

aus dieſem

„ und die andere

Addirt man

daher dieſe beyden Bruͤche, ſo giebt ihre Summe

Q † Ppz. ſin. O — Qpz. coſ.
I – 2 Pz. coſ. ꝙ † pp 22

„ eine Reihe, deren all⸗

gemeines Glied = (P fin. n % † Q coſ. n %) przn iſt; und

Ac. Bpz

ſetzt man den Bruch⸗ — 2 :. cs E 5 1 p

2 der gedach⸗

ten Summe gleich, wird Q = A, und P = A. cot. 9 †
B. coſec. **), Folglich iſt das allgemeine Glied der

Q 3

Reihe,

246 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel.

1 – 2 Pz. Coſ. 6% † ppzz

Reihe, die aus dem Bruche

ſoingt =
A. c n 4. W n. nc. .. ſin. O coſ. n O
Ppn —
ſin. F) —2

n.

0 Es iſß in der Anm terkung zum 129fien §. dewieſen worden,
ſin. n = 2 Coſ. . ſin. A=—e— an⸗ ( — 2) o
iſt. Autzt mag daher
P 2z. ſn. ₰%
T =Ppz. cor o& EpS . Db † Cpzzz. †
D p323 † E pA24 † ze.
3 = P ſin. 6
C= ¹ B. coſ. 2 P. coſ. & ſin. O = P. ſin. 2
D= 2 C. coſ. Oö — B = P (2 coſ. o. ſin. 2 O — ſin. o%)
= PD. ſin. 3 &

E = 2D. coſ. 9— C = P (2 coſ. o ſin. 3 0% — ſin. 2 ⁰

P. ſin. 4
u. ſ. w.
und alſo A †* B pz † Cpzzz T† Dp323 † EpAzA † ꝛe.
— Ppz. ſin. & † Ppazea. fin. 2 † Pp323. fin. 30
PPpA24. ſin. 4 σ ꝛc.

) Da coſ no = 2 col. coſ. (n — ,— col (n — 2) 6
iſt, 5 129,., ſo wi d wenn man
C 2— QPp 2. coſ. OG MMl
1— F ceſ o Pp be FCh?zs t Dnze;

T E paA24 f ze (izt, und A, B, C, D, E ic, wiedet
gach J. 61. benmmt, —

nd f

c0l.

a)
0
ſn

ℳ 0

Pnn
jedes

n

n warden⸗

N—
——

.

. Von den wiederkehrenden Reihen. 2 47

A = Q,
B — Q. coſ &†2C. cof o= C. co 0
C = 2 B. coſ. O — A = Q (2 coſ. &. coſ. 9 I) = Q. coſ. 2 G
D = 2 C. eet, B=E coſ. O. coſ. 2 ⁹— coſ. )
= Q. colſ. 3
E = 2 D. coſ. 9 — C= 2 co. 0. eot 3o — cal a
SS C. coſ. 4
u. ſ. w.
und fol lglich A TBpz f. CpZZ2 † Dp323 † E pAzA . 1 ꝛc.
= Q † Qpz. coſ. 2 † Qpzz. coſ. 2 0G 1 QPS23
coſ. 3 %† Qp“τ*. co4 6 1 E. 1

D BB
**) Aus B= P. ſin. — Q. coſ. 6 folgt nemlich ? = fin †
Q. coſ. O½ ſer

III.

„ und hieraus P = A. cot. ½ † B. coſcc. 0O,

weil Q= A; = = cot. , und te .

.) Man findet dieſen Ausdruck aus (P. ſin. n 6%† C. cof. n 3)
pnzu, wenn man fuͤr P und O die gefundenen Werthe ſetzt,
jedes Glied durch ſin. % multiplicirt und dividirt, und coſ. ℳ
fuͤr ſin. 9. cot. O, und 1 für ſi n. O. coſec. O ſchreibt.

* ) Weil coſ. .. ſin. n? 1 nn. cof he = = ſin. caine
iſt, H. 12,8.
§. 219.
Wenn der Nenner des gegebenen Bruchs eineſpoteſt
o er cr — 2 pz. coſ. Q † ppZZz)k iſt, ſo erleichtert man ſich
die 5 indung des allgemeinen Gliedes, wenn man den Bruch
in fol gende zur dey obgleich imaginaͤre Partial⸗B ruͤche
a b
ð ſin. ) Pz)E t Enropzn 2
Q4 3 auf⸗

48 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel.

aufloͤſet. Das allgemeine Glied der Reihe, die aus dieſen
beyden Bruͤchen zuſammengenommen entſteht, iſt
(nPI)NT2) (n †3). . (n-†=k— I

I 2 . 3 . (k=—– I
(n-Pr)n 2) (n 3). (n-Tk — I)
1I 2 3 .. (K— 1)
[§. 215 und 133.]

Setzt man daher a † b= f, und a — b = £ ſo daß

(coſ.no —— 1. ſin. n ) bpnzn,

V— 1
fV— ITg fV =zI=g ; .
= = und b = wird, ſo iſt der

Ausdruck
(n 1 N † 2 3) (n † k — 1)
X . 2 . 3 .. . . (k — 1)
das allgemeine Glied der Reihe, welche aus dieſen Bruͤchen

(f. coſ.n & † g. ſin. no) puzn

1 1
(1 — (coſ. † V — 1I. ſin O)pz) K 1 (1-(coſ. 9 —V— I. ſin. O) pz
oder aus dieſem einzigen Bruche

. 2 „
k (K —
K (K — I) (K — 2) 3 *
— — KE L 2.₰
I 2 3 tpP 523. colſ. 3 „ ꝛc.
= 85 2 7–. ſin. 3 0 . 1 E

entſteht.

H) Es iſt nemlich (1 — (coſ. 9 † V. — I. ſin. 0) p z)k

(1— (coſ. 9 — V — I. ſin. O0) p 2)k = ((1 — (coſ. o†
V — 1I. fin. ) pz) (I — (coſ. o — . —²- I. ſin. ) p z), k =
I— 2 pz. coi. % † ppzz)k, OòòG

§. 220,

— — (cof. † V-— I. ſin. n Ohapnzn

Sett
Neihe,
— 2n

entſprin
ſſt dos

—

1— 22
ſelt,

iet
a pfe
Uund 2
924

2 Un.

i deſen

NMprf

Bhodr

mon

en Bruhen

—
6

in

—
13

——
—
—

A =

— ——
J 0πϑW22

— —,,
——

W T

X

—
21 C= =S

—

Von den wiederkehrenden Reihen. 249

§. 220.

Setzt m man 1 alſo k = 2, ſo iſt das allgemeine Glied der
Reihe, welche aus dem Bruche
f — 2 pz (f. coſ. O — g. ſin. O) † ppzz. (f. coſ. 2 — g. ſin. .2 0)
(1 – 2 pz. coſ. O† ppzZ)2
entſpringt, = (n † I) (f. coſ. n O † g. ſin. n O½) pozn, Nun
iſt das allgemeine Glied der Reihe, welche der Bruch

a a =– 2apz. coſ. & P' a ppzz
„ = oder —
I – 2 pz. coſ. OT† PPpZzZ (I – 2pz. coſ. o † ppzz)2
ſi
giebt, = 1. — 1 puzn (§. 218, indem B = o iſt].
in. O

Addirt man alſo dieſe beyden Bruͤche, und ſetzt darauf
a † f = A; 2 a. coſ. OQ † 2 f. coſ. O — 2 . g. ſin. 0ö = — B;

und a f. coſ. 2 % — g. ſin. 2 % = o: ſo wird g 2

B † 2 A. coſ. ½ A † B. coſ. A FT B coſ. %
2 ſin. % = 1 — coſ. 2 09 2 (ſin. O) 2
A. coſ. 2 — B. coſ. O

1= — — XTäc. eS F*X); und g —
(ſin. O)2 — 3² 8

B ſin. o% † A ſin. 2 %
2 fin. 9)2

. Es iſt daher das allgemeine Glied

A † Bpꝛz
der Reihe, die aus dem Vruche ( 2 pz. coſ. & Tppzz)2
A † B coſ.

2 (Kn. 9) 3 fin. (n † I) ꝙ. Pnz 1 En † 1)
B ſin. g. ſin. no † A ſin. 2 .. ſin. n
2Cän. 9) L — pnzn † (n † 1)
— B coſi. ꝓ. coſ. n O — A coſ. 2 ꝓ. coſ. n O
— . . —) puzn =
2 (lin. 9) 2
AHDCπ6αι 1 1 ) col (n † 1) %)
pn zn †.
2 (ſin. 6%)*
¶A † B coſ. %) ſin. (n † 1)
2 (lin. 9) 3

entſpringt

pa Zn †*ͤIo'DÜ

ℳ

250 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitek.

(Catz ſin.(n †1) 6 — ½ (n-P1)ſin. n 3)0)
2 (ſin. ⅛) 3
(1 (n †2) ſin. n O –— & n ſin. (n E2) 9)
2 (lin. “

Apnz n rr)

Ep Zn KK FN); oder

endlich
T An. G11) 4 —– (n 1 1) ſin. (n 1 0 Dnen
A(ſin. 90) 5
(n a) Gn. n — . ſin. (n † 2)
4 (Un. -yYy) Bdezre

*) Setzt man A — 2 † f in 2 a. coſ & † 2 f. coſ. ö — 2 g.
ſin. 0 = — B, ſo wird 2 A. coſ. — 2 g. ſin. O = — B,

B †P 2 A. coſ.
und alſe g = 6

B 4 2 A. coſ. G
—, und a †f. coſ. 20
2 ſin.

— g. ſin. 2 6 = 0 fließt, wenn man die Wer the von f und g

*) Aus ſf = A— a, g =

in die letzte Gleichung bringt, a t A. c⸗ *— . cof. 2 0—

GB 2 A. coſ. 2) ſin. 2 G
2 fin. G
2 A. lin. 20. coſ. 9 — 2 A. coſ. 2 0. ſin. & . B. n. 2 9
— 2 ſin. ₰

2 A. ſin 7% † B. An. 29 — A B. coſ. ,weil ſin. 2
5

—

2 ſin. O
48

coſ. 9— col. 29. ſin. = lin. (2 — 1) 9 = ſin. 0, §. 128,
2 0
und 5. 5 = coſ. 6 iſt, welche letztere Beſtimmung aus
11

ſin. 2 % = 2 coſ. g. lin. g. . 129. Anmerk. folgt. Folg⸗
lich wird .
A† B. coc — A 1† B. coſ.
A 1— coſ. 2 2 n. 9)²*¾ 9. 130. Anmekk,

, B † 24. coſ.
***) Setzt man a = A — k, uud g ⸗ Aꝑin. o

5

— 0°, oder (1 — cof. 2 %) —

i

Y r

1

)oden

—
II
1

Von den wiederkehrenden Reihen. 251

in die Gleichung a † f. coſ. 2 O — g. ſin. 2 0, ſo wird

(B 1 2A. coſ. 1 Cn. 2 20

2 fin. &G
folglich (1 — cof. 2 9) = A — B 5. coſ. O – A. 2 (coſ. 9) 2
— A — B. coe doſ ee A. coſ. 2 O

— ⁹ „ 4 — — — — re P
B. coſ. P. oder (=— o-

A Co1. 2 2 ° –— B. coſ. 6.

——— —

2 (ſin. &) 2

* *⁹ Weil coſ. y. ceſ. 2 — fin. y. ſin. 3 = coſ. (y † 2)
iſt, ſ, d. 128.

fin. (y 2) — ſin. (y =— 2)
„) Da nemlich coſ. v. ſin. 2 — —

7

iſt, § 130, ſo iſt
— (n † I) coſ. (n † 2) ꝙ. ſin. O † fin. (n . 1)

1n
— (n † 1) (4 An (n . 3 ſin. n . 1 2) † En, (n † 1)0
ſin. 6) 3
2 (n † 3 31 n k — * 1n ſin. n † 310

2 (ſin ) 3

****) Aus §. 10 folgt n. miich
(n † 1) coſ. (n † 1) G. fin. O †ſin. (n † ) & coſ. ô₰

( (n † 1) ſin. (n 2) — ½ n † I) fin. n o⁹)
H ſin S †
½ ſin. n † 2) % ſin. n0
D 8 2 (ſin ) 3
(n k 21En. n9 — n. ſin. n . 20
2 (ſin. 3

F. 22 1.

252 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel.
§. 221. 1. I
Iſt k = 3, 5 iſt das allgemeine Glied der Reihe,
welche aus dem Bruche f⸗
„ Aln.9)
f =— 3 pz (f. coſ. ½ — g. fin. 0)
† 3 ppzz f. Coſ. 2 0— g. l.30 * 2 je-
— p 323 (f. coſ. 3 O — g. ſin. 3 ) 3 5
S 6—
B ,
enſpetneter = 1 nd weil 1
11 ₰ „.
C RM 4 (f. coſ. n & † g. ſin. n 7) Pnz) ſt,Rig
4—
D nun der Bruch a br oder dieſer
(1 – 2pz. Coſ. 9 † Ppzz)2 G
4 — 2àapz. coſ. O † appzZzZ b=-
A bpz — 2 bppzz. coſ o bp az3 nd dez
(I — 2 pz. cof. O † pp 22) 3³ ndlch
das allgemeine Glied . 2 8—
(n † 3) ſin. (n † 1) O — (n † 1) ſin. n a pn an f 40
4 (ſin. ) 3 s iſt elod
(n † 2) ſin. n & — n. ſin. (n † 2 Wop zan (lNC)
4 4 ſin. 6ο) 3 1 4
giebt: ſo erhaͤlt man, wenn man dieſe beyden Bruͤche ad⸗ 3Ap
dirt, und den Zaͤhler = A ſetzt, l
a † f = A, JNomzn
3 f. coſ. O — 3 g. ſin. & † 2 a. coſ. O — b e 1lin. .
„=ec36— s. ſin. 3 . S
Hieraus ergiebt ſich
P
= 2— ſin. 3e — Ccoc o †g. hn- c
2 coſ. ſee
S 2 ⅝ (in. ꝙ)2 tang. 9 — f— 2 f. (ſin. .- *); ferner (Eßt
f

„ (ZZdd.. & 21

— —

Rrucheod⸗

—

920

20 Und

), ſaer

Von den wiederkehrenden Reihen. 253

ſin. S O — 2 ſin. 2 O⏑ ſin. O
g„£ cof „ coſ. 3 % † coſ.
a I = A= 2g. (ſin. &Oτε tang. O — 2 f. (ſin. 9 2, folglich
A g. ſin. O — f. coſ.
Tn. 552 — coſ. ?
An. . % — 2 fin 3o † ſin. 5⁰) *½)
16 (ſin. &)5
. A (coſ. O – 2 coſ. 3 % † coſ. 5S oο)
£ = 16 (ſin. 0)

*); und

; und hieraus

und weil 16 (ſin. * = ſin. 5 O — 5 ſin. 3 % † 10. ſin.

iſt, [F. 130. Anmerk.]
A 0 ſin. % — 3 ſin. 3
16 (ſin. ,5
A(— ſin. 2 % † ſin. 2 %)
16 (ſin. O7h

a —

= 0;

und da 3 lin. %— ſin. 3 % = 4 (lin. „) 3 iſt, G.r30. Anmerk.

endlich
3 A ⸗
= 4 (KEn. 9) 2
Es iſt alſo das geſuchte allgemeine Glied
(n† 1) (n A zn (in. (n† Oα 2ſin. (n †3) O † ſin. (n50
I - 16 ſin. %) 5⁵ EFXXR)
1+ 3) lin. (n † 1) &O — (n † 1) fin. n 3,%
16 (ſin. &O)*
Abpnza (n:P4) ſin. on e1) o — 2 (n †1) (n †S5) ſin.
160ſin. 655 1 . I1 2
G13) 0† Q 12

3 Apnzn

n. (n † 5) 0) NJ FNY),

*) Wenn man die Gleichung 3 f. coſ. oο — 3 ½. . ſin. 2 2 a.
coſ. — b = o auf die Art abaͤndert, daß man darin
f. coſ. 3 0 — g. ſin. 3 % anſtatt b aus der vierten Gleichung
ſetzt: ſo findet man daraus ſete leicht
2.

254 Erſtes Buch. Dreyzehntes Cavitei.
cofſ. 3 0°— g. ſn. 306 — H coſ. † 2 g. ſin. O&½
Nun iſt aber aus den von Kulern §. 26a angefuͤhrten und h
ingdieſer Ueberſetzung in der Aan ne kung zum 1 z0ſten F. bes
wietenen Beßimmungen der LBotefsfen der Siaus und Co⸗ (col. 5
ſi us, 4 (ſin. O) 3 = 3 ſin. O – “ 3 alſo
g. (3 lin. Q– ſin. 3 %) 4g. ſin. V Hie
2 co. 2 col. Gin
tang. 9. Ferner iſt aus §. 129, coſ. 3 9 = — 2 col o.
coſ. 2 — coſ. %, und aus den vorhin angefuͤhrten § §, *) M
(CoN 30 — 3 coſ0) n⸗
col. 2 9 = 1 — 2ſin. 2) 2; folglich iſt —
2 Coſ.
2 coſ. g. f. (I — 2 (ſin. 9) 2 –— 2) .
ün. =t ſih. phe.
2 c0ſ. 4.
Es wird demnach 40
= l A Z. Gn. 30 — 36' coſ 0† 3 g. fn- 0 —
2 col. .
2 g. (ſin ) 2 tang. 9— — 2 (ſin. )2.
**) Wenn man den erſten der hier gefundenen Werthe von a, Qa
ARce

und den in der vierten Gleichung ſiehenden Werth von b
fuͤr a und b in die e dritte Gleichung ſetzt, ſo wird cole⸗
M a ln ze r

N
f. coſ. 3 0 — g. lin. 3 0 — 3 f. el 3 g. ſin.
. 2 coſ. —
— 2 cof 3 . coLO † 2g. ſin. 3 .coſ. = o; ober
3 f. 2 coſ. . coſ. 2 9 — 3 g. 2 coſ. Y. ſin. 2 „† f. coſ. 3
— g. lin. 3 O — 3 f. coſ. & † 3 g. ſin. 0 — 2 . coſ. 3 0.
2 (coſ. 9g)2 † 2 g. ſn. Ze. 2 (coſ. 6 = 0. . ſt/
Da nun 2 (coſ. 2) 2 = I † coſ. 2 iſt, F. 130, Anmerk. —
ſo er rhaͤlt man hieraus ferner 8—
3 f(2 coſ. 6. coſ. 2 0 — coſ. 0) † t coſ 39 — 2 coſ. 30.
ä ſin. 2 ⁰ — ſin. )
1P g. ſin. 3 2 %. ſin. 3 0. coſ. 2 6 — 2 g. ſin. 3 &.

oder

3

Von den wiederkehrenden Reihen. 255

5

odder
3f. coſ. 3 %† f. coſ. 3 % — f. coſ. 5° —– f. coſ. O 2 f. coſ. 3 0
Nreniẽ 38.üin. 30 Fg. imn. 39 — ſin. 59-—g.-lin. 9 — 28. fin. 30.
ſten g. be⸗
oder

s ind Co⸗ etse 2eotze feote)sglin. 50 — 2lin. 30 † ſin. 2)

Hieraus aber wird . ſehr leicht auf die Art beſtimmt, wie

es im §. geſchehen iſt.
inten , ***) Man ſetze, die Rechnung abzukuͤrzen, ſin. 5 0 — 2 ſin. 3 G
col⸗ † ſin. O = R, und coſ. 5 0 — 2 coſ. 30 T coſ. = 8, ſo iſt
l.9 f R fs
. 5 5 5 = g K; 8 = †, und alſo
Micſt A. col. 0 (8. ſin. 0 — f R. coſ.
zLin . AR. col
An. 4 (än. 6)2 (S. ſin. — K. coſ. 0)
AR. Coſ. *

2 (ſin. ⁰) 38 — 2 (ſin. ) * R. roſ.
Da aber 2 (ſin. ) 38 = 2 (ſin. 9) 3 (coſ. 5 %— 2 coſ. 3 % †

Bne coſ. Oꝙd) = 2 (ſin. ) 3 l. coſ. 4b — — 6 coſ. .. coſ. 2
4) 38
† 4 coſ. &%), und alſo ol. o =— 4 (ſin. 9)3 (coſ. 4
n! – 3 coſ. 2 % P 2) = (indem 2 – 2 coſ. 2 O = 4 (ſin. 2) 2
. iſt, §. 130, Anmerk.) 16 (ſin. & † 4 (ſin. & 3 (coſ. 4 %
R icoſ. 2 9) iſt; ferner 2 (ſin. ) 2 R = 2 (ſin. o,2 (fn. 5
1 1ad — 2 fin. 3 % †T ſin. ) = 4 (ſin. 9,3 (coſ. 4 O — coſ. 2 )
1 al 30,. iſt, (weil 2 coſ. 4 0. ſin. O — 2 coſ. 2 % ſin. & = ſin. 5
10 aHn. 80 † fin. ꝙ, §. 130. 2): ſo wird
ne . AB. coſ. — — AJA5—
— cſn. 9) 5 alin. 9) K. CcOſ. O 20ſin. 6
ſ col 9. . coſ. — =cln. 9)2 R
—ng AE A(En.4 — 2 an 3 † lin. 50
be 116 (ſin. 0) 5 16 (ſin. 0) N)

4

256 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel.

**½) Es iſt nemlich a= A — f aus a † = A. Setzt man
alſo fuͤr f den vorhia gefundenen Werth, und multiplicirt
man außerdem A mit ſin. 5 ο — 5 ſin. 3 % † 10 fin. und
dividirt es mit 16 (ſin. 6%2, ſo wird
(ſin. 5 % — 5 ſin. 3 †T 10. ſin. 22
16 (ſin. 9)5
A (Un. 9— 2 ſin. En. 542) A(0 ſin. 9— 3 ſin. 3%)

— —

16 (ſin. )5 16 (ſin. 0)*

***„ ob Dieſer Theil des allgemeinen Gliedes entſeht aus
dem im Anfange des § ſtehenden allgemeinen Gliede
) (n †
A— 1 2 . coſ. n † g. ſin. n &) puzn, wenn
2

darin die vorhin fuͤr f und g gefundenen Werthe ſetzt, und
das Kommende nach §. 130. 1. 2 abaͤndert.

(n . (n † 5 =A

I

sesern) Hier iſt .
2 AIDGE 2 (n e
1I

1 2

men worden.

† 3 (n n 3):

3 (n † 1) genom⸗

₰△

§. 222.

Das allgemeine Glied der Reihe, welche aus dem

Bruche
A † Bpz
(1 – 2 p z. coſ. % † iee
entſpringt, iſt folglich

Apnzn (n † 5) ( L anfanki .
1I6cfn. Sje. I1 . 2 tve⸗ . 2
Bpnzan (n † 4) † “ 2 Gn t 4)
IGSCän. 6)7 C. — ne — iün.

⸗

Gil nan
zas allg

entſprin
Aopr⸗
Juk)
T

in. (n

B pr

111
1

lin. (

Aus die

Glieder )
erden
nunſh
d.
40n
161ſin
64(ſin

6ln.

64)
Eulen

S wen
leipliert
in. Hnd

itſteht aus
Glide

hnn din

He ſent ud

zuat

1) Ke

aus den

ſin. (n † 5) —

Von den wiederkehrenden Reihen. 257

–—

n.) gn. (n † 4) 9) .
Will man weiter gehen, ſ⸗ wird man auf dieſem Wege fuͤr
das allgemeine Glied der Reihe, welche aus dem Bruche
A † Bpz
(1— 2 Pz. coſ. % † Pp 22) 4
entſpringt, ſinden,

(n 2)0

Abnan (n † 2 ( 1 6) ( 1 5
64 (ſin. %7 I 2 . 3 ſin. (n † 1)%
R n 0 KaDGTA
1 . 2 3 an. (n ?3) 6 1 . 2 3

2) (n † 3)
ſi
*I . 2 . 3 n. (n † 7) ) †
Bpnzn (n † 6) (n 1 5) n 1. 4) ſn. n o —
16 (ſin. 6)7 1 2 3
3 n (n † 6) (n † 5.) 3 n (n † DKO
—— ſn. I(n 12) 0 1 2 Z
ſn. (n † 4) — ”M (n †6 o).
Aus dieſen Formeln laͤßt ſich die Form der allgemeinen
Glieder der hoͤhern Potenzen leicht abnehmen. Will man

aber den Grund davon aufſuchen, ſo thut man wohl, wenn
man ſich dazu merkt, daß

ſin. o = ſin. „ L
4 (ſin. 7) ³“ = 3 ſin. 0,— fſin. 3 0
16(ſin. 2)5 = 10 ſin. 5 ſin. 30 † fin. 5 6
64 (ſin. 0) 7 = 35 ſin. 9 — 21 ſin. 3 % † 7 fin. 50⁰ — ſin. 7
256 (lin. 9)9 = 126 ſin. 9— — 84 ſin. 3 0 † 36 ſin. 5„ — 9 ſin. 7
† ſin. 9 1n)
u. ſ. f.

Die Erlaͤuterung, welche dieſer § erfordert, findet man int
4 Anhange unter den Zuſaͤtzen zum dreyzehnten Capitel.

**) Man ſehe hieruͤber die Anmerkung zum 13ſten 9 nach.
Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. Ll. MH. §. 223

258 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel.

§. 223.
Da man auf dieſe Weiſe alle gebrochenen Funktionen in
reelle Partial⸗Bruͤche aufloͤſen kann, ſo laſſen ſich auch die
allgemeinen Glieder aller wiederkehrenden Reihen reell dar⸗
ſtellen. Um dies deſto deutlicher zu machen, wollen wir
einige Beyſpiele herſetzen.

tr ſtes Eempel.

I
(1 — 2) (1 — 22) (1 — 23)

Aus dem Bruche

I – 2 – 22 † † 25 — 26
Reihe: 1 F 2 † 222 † 323 † 424 † 525 P. 726 † 9827 †
10 28† 1229 † ꝛc.; man ſoll ihr allgemeines Glied fin⸗
den. Druckt man den gegebenen Bruch nach ſeinen Fakto⸗

entſteht dieſe wiederkehrende

1
ren aus, ſo wird er = — 5 ⸗ DS „und
daraus ergeben ſi die Partial⸗Bruͤche — †
6 . — 5

3 — 2)2 2 1— 5 Scr 1 35 T 2 † 27)

Von dieſen giebt ‚zum allgemeinen Gliede, der erſte,
QAI2) 1 = nn † 3n † 2
⸗ 2 1I2

—l . I . I ,B e
der dritte, 2 2n; der vierte 5 (— I) nzn. Was den fuͤnf⸗

2 †2
9 T r T=27) betrifft, ſo giebt er, wenn man ihn
A F. Bpz
mit der Jorm — (18) vergleicht
I— 2Ppz. coro nosz 3 gleicht,
,. 7 1
P=; 9 = = = 60⁰; A = † 5: B = — ., und
. 3 . 5 9
das

.n - I

derehhene
ſin

Aohiet man
Aheneine
1 n 4

Wchen ge
eine ungerea

eine ol o⸗

*

dute
entden n
Hiernach kan
Ne At endsge
NR

Aor

kionen in
auch die
tel dar⸗
Ann wie

12 1t11)
der eiſte,
nl

.
e, — 35

Von den wiederkehrenden Reihen. 259

das allgemeine Glied, welches man daher erhaͤlt, iſt dem⸗
2 fin. In . 1I) O — fin. n ꝙY

— nzn —
nach † n. G — 1) =—
. „ 4 ſin. (n † 1) O — 2 fin. n %½ (— ¹) szn —
9 3
4 lin. (n † 1) — — 2 fin. n 7
(— I) uzn.
H
Addirt man nun alle gefundenen Glieder, ſof ſindet man das
allgemeine Glied der gegebenen Reihe = = (— 1 2 . 1 en
7
4an. Gn 1) 2. — 2 fin. n —
3 32

. 1 7 2n 1† —— „wo die obern R
X
Zeichen ge⸗ lten, wenn n eine gerade, und die untern, wenn n
eine ungerade Zahl iſt. Hierbey iſt zu bemerken, daß, wennn

4 fin. 4 (n † I)2 –— 2 fin. Inz

————

eine Zahl von der Form 2 2 m iſt,
9 V
= TX ⅞; ſo wie wenn n ==ͦ 3 m † I iſt, eben dieſer Aus⸗
druck = —3; und wenn n = 3 m † 2 wird, = — iſt,
je nachdem n eine gerade oder eine ungerade Z Zahl bedeutet.

Hiernach kann die Natur der gegebenen? Reihe auch auf

die Art ausgedruckt werden, daß man ſagt:

Iſt ſi iſt Lihr allgemeines Glied
n = 6 m † G r 1 1) 2z
n = 6 m † 1 (X2 † 2 t )an
„nn
n = 6 m † 2 † 2 † 3—
n = 6m 3 (.t t 3)
nn 1 2
= 6 m 14 (1 . 4 7
n = 6 m † 5 ⸗ † 7 1 ee

M H

260 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel.

So gilt z. B. wenn n = 50 iſt, die Form 6 m † 2, und

das Glied der Reihe iſt alsdann = 23425

Zweytes Expempel.

Aus dem Bruche — 11 entſpringt die wie⸗

2 5
derkehrende Reihe 1 † 22 † 322 † 323 † 424 † 525 †
626 † 627 † 728 † ꝛc.; man ſoll das allgemeine Glied
derſelben finden. Man kann den gegebenen Bruch auf dieſe
I † 2 † 22
(I 2)2 (1 12 (112

ol ende Partial⸗Bruͤ =W 3 1—
folgendeP 5= 1 , ST⸗

Form bringen, und ihn alſo in

112
4 (1 † 22

Bruͤchen das allgemeine Glied 30 en; der zweyte, z2n;

der dritte „ (— 1)nzn; und aus dem vierten, nemlich —

1†2 . . 5
= erhaͤlt man, wenn man ihn mit der Form

T1†2
AF Bpz .
1I— 2 Pz. coſso † p pzz vergt eicht, P =; coſ. ꝙ = o; und

„ = 2 *; ferner A = — ; und B = 4; alſo zum allge⸗

meinen Gliede: (— ½ ſin. (n † 1) æ † ¾ ſin. Sn) zu.
Folglich iſt das geſuchte allgemeine Glied = (4 n † 2*

— zn – * (ſin. (n † I) æ — ſin. ½ n æ) zn.

Iſt daher ſo iſt das allgemeine Glied
n = 4m † o (àn† I) zn
n = 4 m † “ (3 n⸗† ¾) zn
n = 4 m † z (à n † 2) 2n
n = m † 3 1 (à3 n1† 32) zn

Iſt z. B. n = 50, gilt die Form n = 4 m 4 2, „und

das Glied iſt 39279 0,

9. 224.

5 aufloͤſen. Nun giebt der erſte von dieſen

Penn

uI man
(t entd

theilten

ée noch!

ſergehende
Ckennen, ul
det algemen

(e verden
ie wideet

AXt o.

ebed,

einigen do
Bruchs 1-

6 ½, 4,
1f. Nen

, 6, %
ſ du Fon⸗

46s ihr er elken

unchen dier

Um al

ier unbeſt

ſchen oder
3,diel
ſyen 1
ungeichun
unn li

ſſpingti

☛

12, und

igt Re wie⸗

24 nt
meine Glied

h auf dieſe

n dl in

112, und
2249

ertheilten Vorſchriften ſindene
ſetz, nach welchem ein jedes Glied der Reihe aus den vor⸗
hergehenden gefunden wird, den Renner des Bruchs zu

u. ſ. f.

Von den wiederkehrenden Reihen, 261

§. 224.
Wenn alſo eine wiederkehrende Reihe gegeben iſt, ſo
kann man, da man den Bruch, woraus ſie entſpringt,
leicht entdeckt, das allgemeine Glied derſelben nach den
Es giebt aber das Ge⸗

erkennen, und die Faktoren dieſes Nenners geben die Form
des allgemeinen Gliedes an die Hand, denn durch den 3e⸗
ler werden bloß die Coefficienten beſtimmt. Es ſey z. B.
die wiederkehrende Reihe
A † Bz † Cz2 F† Dz3 † E z4 † Fz?5 † ꝛc.
gegeben, und aus dem Geſetze, nach welchem jedes Glied aus
einigen vorhergehenden beſtimmt wird, ſey der Nenner des
Bruchs I1 — 2 –— 6 22 – 723 gefunden, ſo daß D= C †
9 B T† 7 A; E = =D I 4C FT 7B; F = = E T ½D †„ C;
Nennt man nun mit Moiore die Multiplicatoren
2, † 8, † 7, die Beziehungs Scale, ſo beruhet das Ge⸗
ſetz der Forſchreitung auf dieſer Beziehungs⸗Scale, und

aus ihr erkennt man ſogl eich d den Nenner des Bruchs, aus

eihe . ntſprin gt.

. 225.
Um alſo das allgemeine Glied, oder den Coefficienten
der unbeſtimmten Poteſtaͤt zu zu ſinden, ſuche man die ein⸗
fachen oder doppelten Faktoren des Nenners 1 — 22 — 22

welchem die wiederkehrende R

— 72 3, die letztern, um die imaginaͤren Fak toren zu vermeiden.

Es ſeyen zuvoͤrderſt alle einfache 8 Faktoren unter einander
ungleich und reell, und folgende: (1 — pz) (1 — q2) (1–— r 2).
Alsdann laͤßt ſich der Bruch, woraus die gegebene Reihe
e A S id das
entſpringt, in — 1 — 2 † 11⸗auflſen, und das

R 3 all⸗

262 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel.

allgemeine Glied der Reihe iſt daher (Apn † Bqn † Ern)zn.

Sind zwey Faktoren einander aleich, nemlich q= p, ſo eral
erhaͤlt das allgemeine Glied dieſe Form: ((An † B)pn WLeinen
Crn)zn; und ſind alle drey einander gleich, r— g=p, ſo deeſer Ab⸗
iſt das allgemeine Glied (Anz † Bn † Cpnzun. Hat aber— efordert
der Renner 1 — =2 — 822 –— 723 einen doppelten Faktor, i 5=A
daß er= I — pz ( — 2 q2. rar⸗ † qqzr) iſt: ſo iſt das 4
allgemeine Glied = (Apun -†. n 4 Blin. (n † 1)%† Elin. “ ſehn wird.
ſin. er, ſ⸗
Da ſich nun daraus, wenn man fuͤr n nach und nach die a-
Zahlen o, 1, 2 ſetzt, die Glt leder A, Bz, Czz ergeben docher
muͤſſen, ſo findet man dadurch die? Werthe der Buchſtaben 4,=
A, B und C. Wmnnne
S. 226. :-
Iſt die Beziehungs⸗Scale zweytheilig, oder wird ein
jedes Glied durch die zwey vorhergehenden beſtimmt, ſo
daß C = 2 B= 6A; D = «C— B; E= æa D — C;ꝛc. Pelches en⸗
iſt: ſo iſt offenbar, daß die wiederkehrende Reihe, welche den Rei
wir — herechedden
A† Bz-PCzz † D z3 † EZA4 T. 6T P zu P Qzni I † ꝛc. ein Gled,
ſetzen wollen, aus einem Bruche entſpringt, deſſen Nenner r-
I — a2 † 822iſt. Setzt man nun deſſen Faktoren = (1 — pz) No
(1 –— q 2) ſo iſt p T† q = «, und pq = 2, und das allge⸗ nol, wen
meine Glied der Reihe = (A pn † B qn)zn. Setzt man Glieder⸗
alſo n = o, ſo wird A = A † B; und nimmt man n = I,
4 ſo wird B= Ap † Bq, und folglich A q — B= A (q —– p):
A= —5; und B = r— 3. Hat 1 man aber die us ,
4 —p b — 4 dern Pzn
Werthe A und B gefunden, ſo iſt nehrere
P= Apr † Ban; und ünn
Q= Apntr † Bqui; desgleichen
A B = B B v.-— AB TAA. ſo iſt, n

M.n z.
1DN
(=p, ſ
Hut aber
e, ſo
ſ i des
— l1,
„A& M
1d nech die

zoß⸗
1: egeben

Guchſteben

vird en

. 1

1
„ 4

„ „—
ſen Nennet

7

Von den wiederkehrenden Reihen. 263

Hieraus laͤßt ſich eine Methode ableiten, jedes Glied

aus einem einzigen vorhergehenden zu finden, da ſonſt zu
dieſer Abſicht, nach dem Geſetze der Fortſchreitung, zwey
erfordert werden. Denn da

P= A pn † B qn; und Q= A p. pu B q gniſt, ſo ſolgt, daß

Pq— = A (q – p) pn; und Pp – Q= B (p —– q) q“
ſeyn wird. Multiplicirt man nun dieſe Ausdruͤcke mit ein⸗
ander, ſo erhaͤlt man
Pap q — (p †T q)PQYQiQ+— A B (p — q)2puq= 0
Da aber p † q = ⸗; pd = 8; (? — q) 2 = (P † q)2 —
4 p 4 — a — 4⁸; und puqn = Sn iſt: ſo bekommt man,
wenn man dieſe Werthe ſubſtituirt,
SPz — « D Q † QQ = (SA A — «A B † B B)n, oder
QOQι– „½ P Q †*bs P P
B B — «A B † SAA
welches eine ſehr merkwuͤrdige Eigenſchaft der wiederkeh⸗
renden Reihen iſt, deren jedes Glied durch die beyden vor⸗

hergehenden beſtimmt wird. Kennt man alſo darin irgend

ein Glied P, ſo iſt das folgende Q = 2– 2P V (( a2 — ,)

Pz † (B2 — „A B T 6 A A) 6n); und dieſer Ausdrt iſt, des
darin enthaltenen Wurzelzeichens ohngeachtet, ſtets ratio⸗
nal, weil in der wiederkehrenden Reihe keine irrationalen
Glieder vorkommen.

5§. 228.

Aus jeden zwey unmittel bar auf einander folger nden Glie⸗
dern Pzn und Qzn?1 laßt ſich ferner das von ihnen durch

mehrere andere getrennte Glied Xzan finden. Denn

ſetzt man
S fP2 †gPQC — h A :

ſo iſt, weil

R 4 88

264 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel.

= A pn † Bqn, und Q = Ap. Pn † B q. , ferner
X =— P 3 † B q2n iſt,

fP2 An2pan B⸗= qan 42fA Ben
gP= A⸗p-pan 8B⸗ 2q. q n † g. A Ba gn
— h A Ben = —h h A B En

X =— Apzn †. V3

— 2 Ip –— R
4 die Ap — *

25 † gæ; und daraus g = —

A – 2 B
Run iſt aber B — A = . und A — Bq =
«B — 2 A ⁶ ℳĩà — 2 As
— f= =
folglich wird Aca⸗ — 45) und 3
e;: derte 2 Ag 2 B und
AC(=a — 4) dei t= K und g=
2 B –᷑4 α A (4⁸ — «a) A

5B — 2AB T A&X: alſo h= *A B TSAX:
Gebraucht man alſo dieſe Werthe in X = fP2 † gPC —
h A Ben, ſo wird
X = CA6 — 2 B) Pz † (2 B — 2) PG
BB= — 2A B T6AA

— A gs

ſo wie hieraus, wenn man fuͤr en den dafuͤr im vorherge⸗

henden §. gefundenen Werth ſetzt,

X= (3 A — a B) P2 † 2BPG — A0 „
“ B B — 2A B † 644 7

*) Euler ſe etzt hier zuvoͤrderſt 2
X= Q2A*½ — a B) P † a B — =A)POCQ 4
B B — z«AB † £A A “
und faͤgt darauf hinzu: : Auf eine aͤhntiche Art findet man,

und h =

B
AD t IB d).

X

Rec⸗

Denckt
lf dieſe
A br
1
ſo erha⸗

UNd h=

n tothenn⸗

Von den wiederkehrenden Reihen. 265

(æ=sA-— (=- 26) B) Pz (23 A) O 2 B 6n
55

1= „ (B B – æ A B P βA A) s

und durch die Verbindung dieſer Beſtimmungen mit einander

und durch die Wegſchaffung des Gliedes en erhaͤlt man
(8⁸ A — a B) P2 † 2 B; PQ— A QQ
B B — gA B T†⁸A A-
Es ſcheint aber das A in der erſten Bekimmung von X ein
Rech nungsfehler zu ſeyn.

X=

△

. 229.

Druckt man die folgenden Glieder der gegebenen Reihe
auf dieſe Art aus:

A † Bz† Cz2 †. . . . PO rn T Catr ” Kaata kF.

XZ2n † VZZn-PITI PZzZzn-pz,
ſo erhaͤlt man auf eine aͤhnliche Art
(sA — a B) Qa † 2B CR — ARR
BB — A B † SA A
und da B = 2C — g P iſt, ſo wird
— g8 A P2 † 38 (A B † Ce B e--6⸗
B B — a A B T6AA
2 † 2

Z =—

Z =—

Nun iſt Z = 2 — 6X, und alſo = — ; folglich

— g P= † 2 ⅛ àA P Q † (B - a A Q Q
= B B - 2 A B †T† g A A .
Man kann daher nunmehr auch aus X und v auf eine aͤhn⸗
liche Art die Coefficienten der Poteſtaͤten z4n und 24n,
ſo wie hieraus die Coefficienten der Poteſtaͤten 2 8n, 2 8n 1

u. ſ. f. finden.

*) Im Originale iſt (B — =A) QC in der Beſtimmung von
X noch mit multiplieirt, weiches wahꝛſchein⸗ icher Weiſe

ein Druckſe e iſfteieie.

*

Exempel.

—

—

266 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel.

Exrempel⸗ fünmtn
Es ſey die wiederkehrende Reihe n fide
1 †32 † 422 † 723 † II34 † 19825†.4. † P Zn † Qzn.r 2c. in t
gegeben. Da darin jeder Coefficient die Summe der bey⸗ Veziehur
den vorhergehenden iſt, ſo iſt der Nenner des Bruchs, aus Reihe af
welchem dieſe Reihe entſpringt, = 1 — 2 — 22; und folg⸗ — 723
lich æ = 1I; 8 =– — I; A = 1; und B = 3; ſo daß alſo wie vor!
BB — « A B † 6S A A = 5 wird. Hieraus ergiebt ſich nun (I — 1,
(5PP † 200 — I) n — 20) P:
zuvoͤrderſt C= 1V 1 0 — 1n) PPX
wo das obere Zeichen gilt, wenn n eine gerade, das untere 8
aber, wenn n eine ungerade Zahl iſt. Iſt z. B. n = 4, ſeſe
I † V (5. 121 † 2 11 †2 R
folg! ich b = II, ſo iſt Q = 1 2= 25 d
= 198. Setzt man ferner den Coefficienten der Poteſtat 22n,
— — 4PP 6PQ — QQ —/
ſo iſt X = . „foͤlglich der Coef⸗ „,
L
; „. — 4.121 † 6.198 — 320
ficient der Poteſtäͤt 28 = 4 , 22— 222 = 756.
D † W. (5 PP —
Da aber Q = Crb. 2 iſt, ſo iſt Q C — ih
PP 10o I P (&* oc-z)
J ; und folglich X =
— PPT. 2 † P V (§ PP 20) Ehon
. Man findet alſo aus ei⸗ dorherd
nem heden Gliede Pzn einer wiederkehrenden Reihe dieſe Gleit
F V (5 PP †. 20)
beyden: — — n . r, und
— P P. †. 2 P PV (S PPD 20). Rae
. deNt
. K. 230. den we⸗
Auf eine aͤhnliche Art laͤßt ſich in den wieder kehrenden derſtt
Reihen, worin jedes Glied aus den drey vorhergehenden laufen

be⸗

znpr ,
der bey⸗
ci aus
Wfal:
ſo daß di⸗
ſich un
1
Ms untere

1,

—

I
„—

Natoſta R2”1, 1
WWN

Von den wiederkehrenden Reihen. 267

ſtimmt wird, jedes Glied auch aus den zwey vorhergehen⸗
den finden. Denn es ſey A † Bz † Cz2 T D 2z3 P. . . .
Pzn † Qzuir † Rzntz † ꝛc. eine ſolche Reihe, und ihre
Beziehungs Sceale ſey 4, — 8, †: 7, oder es entſtehe die
Reihe aus einem B Bruche, deſſen Nenner = 1 — =2 T 622
— 723 iſt. Druckt man nun die Gleder P, Q, R eben ſo

wie vorhin durch die Faktore ſes Nenners, velche
(I – pz) (I — qz) (1 — r2) ſeyn moͤgen, aus, ſo daß
P =— A pn † T qa . Ern
Q= Ap. pn † B q. qn - Cr. rn, und

R— A pz. pn . B q2 qn † E FrZ2. rin
iſt: ſo erhaͤlt man, weil p † q † r=æ; pq'† prf qr=8;

und pꝗqr = 7 iſt, folgende Proportion:

— (ag — ) C3
† (aæ T 6⁶) Q2
— 22 Q PC2 =W
R3 ] -C, t, bo R 71 6g’⸗ H
† 8$P.] 1 ⸗ , P2 C 7
. .
T ZY P3
— 2 a B 1 (ss k 6 B2 † (av, T ,E8g) AB 2
C2 — (ag T 37) AB C .
† ⁸A , 2 2 — 2 2 A2 B
PEG& 4A

k Yw A 3
Es hangt alſo die Erſindung des Gliedes R aus den beyden

vorhergehenden P und Q von der Aufloͤſ ſung einer cubiſchen
Gleichung ab.

g. 231.

Nach diefen Unterfuchun ngen uͤber die allgemeinen Glie⸗
der der wiederkehrenden Reihen muͤſſen wir nun auch noch
die Art und Weiſe, wie die Summen dieſer Reihen gefun⸗
den werden, kennen zu lernen ſuchen. Hierbey iſt zuvoͤr⸗
derſt offendar, daß die Summe der ganzen ohne Ende fort⸗
laufenden wiederkehrenden Reihe dem Bruche gleich iſt,
aus

269 Eeſtes Buch. Dreyzehntes Capitel.

aus welchem ſie entſpringt; und da der Renner dieſes

Bruchs aus dem Fortſchreitungsgeſetze der Reihe erkannt
wird, ſo iſt nur noch uͤbrig, daß gezeigt werde, wie man
den Zaͤhler finden kann. Es ſey alſo die Reihe
A † Bz † Czz † Dz3 † E ZA † FZS † G z6 † ꝛc.
gegeben, und das Geſetz, nach welchem dieſelbe fortſchrei⸗
tett, fi fuͤhre auf den Renner, 1 – 2 † £2 2 — 723 † à24.

Angenommen, daß der Bruch, welcher der Summe der

a † bz T CcZ2 †T† dz 3
— a*†τπιτ *² — 72 3 † 2

ganzen unendlichen Reihe gleich iſt, = —

ſey, und alſo die angefuͤhrte Reihe aus ihm entſpringe:

ſo uindet man durch die Vergleichung
a = A-—
b = B — æ A
c = C — = B T 8⁸ A
d = D –— a C † 8 B — „A.

Demnach iſt die geſuchte Summe
A † (B — a A) 2 † (C — = B † , A) 22 .
1 – a 2 † 622 — 72 3 P =
(D — aC † ⅛ B — 7 A) 23
1 — 22 † G2 2 — 723 †+ 2

§. 232.
Hieraus laͤßt ſich leicht einſehen, wie man die Summe
einer wiederkehrenden Reihe bis auf ein gegebenes Glied
derſelben zu ſuchen hat. Soll z. B. die Summe der vor⸗
hin angenommenen Reihe bis auf das Glied Pzn gefunden
werden, ſo ſetze man
⁸ = A † Bz † Cza † Dzi † E z4 -†f. . .. † Pzn.
Da nun die Summe der ganzen unendlichen Reihe bekannt
iſt, ſo ſuche man die Summe aller der Glieder, die auf das
vorhergehende letzte Pzn ohne Ende fole gen, und nehme dabei

t =

20
Do dieſe
ſeſhe wi
Qirf

dehe
ſoiſt den

en wc

fgende⸗

daaber

ſo wird:

A

—

Von den wiederkehrenden Reihen. 269

dieſes t= QzntI † Rzn t2 † Sznf3 † Tznia † ic.
gkannt Da dieſe Reihe, durch ꝛndr dividirt, eine der gegebenen
ie nan gleiche wiederkehrende Reihe giebt, ſo iſt ihre Summet =

QznI † (R – „ Q) Zznp2z † (S8 — „ R † β Q) znr 3 .

B I1 2 T† 822 –— 723 † %24
itei⸗ (I — S † g R 7Q n4
23u 1I — 2 2 † 8£22 — 723 † 524
ume der Folglich iſt die geſuchte Summe 58 —
2† d 1A1G (C — aBTE 22
, 1 — *ε2 † 8 72 — 723 à24
tpringe: 2 2 — Qnn

—

I1 – a2 T† 6£22 — 723 † à%24
Qani⸗ — C— eR— é Qlank;
1 — ℳ à † 622 — 723 † ⁹24
(T— a«S † 6R — 2 Q n4
1 — =2 T 6z2 — 723 † 324

§. 233.
Iſt daher die Beziehungs⸗Scale zweitheilig, und e, — s:
ſo iſt die Summe der Reihe A † Bz † Cz2 † D z3 P,
A † (B — « A) 2 .B

Pzn, welche aus dem Bruche — s 2 entſpringt,
folgende:
A † (B — a A) Z — QznII — — (R — „ Q zn t2
eum 1— =2 † 322
1 cl Da aber, wegen der Natur der Reihe, R = Q — 6P iſt,
er tot⸗ ſo wird dieſe Summe dadurch in dieſe verwandelt:
efunden A † (B — æ« A) z — Qzn I † GPzn † 2
1 — ℳ2à † 62 2
in Exempel.
ronfh Iſt die Reihe I † 32 † 422 † 722 kK.. 1 P zn gege⸗
Peoei ben, wo I; (F - t; 4A &1 und ve 3 iſ ſe
iſt

270 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel ꝛc.

† 22 — Q zu1I –— P zna
1I — 2 — 22
Setzt man aber 2 = 1, ſo wird die Summe der Reihe
I P 3 T 4 F 7 † I1 P. . . . . . † P = P † Q — 3. Die
Summe des letzten und des folgenden Gliedes uͤbertrifft alſo
die Summe der ganzen Reihe um 3. Da nun Q =
P † V (S PP + 20)
2

iſt die Summe derſelben =

„iſt, ſo iſt die Summe der Reihe
—3P—6FV — 20

2

t3 F 4 17 † 1 k. ., † b=

und man kann daher dieſe Summe auch aus dem letzten

Gliede allein finden.

Von der

G
deſſen
Wünkel

Longent

nun ſoton
113 41

.

— Pata

— —

er Reihe

N

Vierzehntes Capitel.
Von der Multiplication und Diviſion der Winkel.

§. 234.
Es bezeichne 2z einen Winkel oder einen Kreisbogen,
deſſen Radius = I iſt; ferner ſey der Sinus dieſes
Winkels oder Bogens = x, der Coſinus = y, und die
Tangente =t, folglich xX 1 yy = 1, und t DM Da

nun ſowohl die Sinus als die Coſi nus der Winkel 2; 2

32; 42; 52; ꝛc., wie wir oben *) geſehen haben, eine
wiederkehrende Reihe geben, deren Beziehungs: Scale

2y, — I iſt: ſo ſind zuvoͤrderſt die Sinus der gedachten
Bogen folgende:
ſin. O 2 = 0

ſin. 32 = 42y2 — x

ſin. 52 16 K y4 — 12 Xy² † 2
ſin. 62 32 X y* — 32 xy 3 † 6Xy
ſin. 72 = 64 X y6 — 80 XxyV4* † 24 Xy ² — X
ſin. 82 = 128 Xy7 — 192 XV5 T 80⁰ * 73³ — 8Xy
Und uͤberhaupt folgt daraus

ſin. n?z = X (2n-— 1pN — (n — 2)24- re- 3 P†

272 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitek.

(n-— 3) (n— 4) 22-5yn-g — (n-— 4)In — 5) (n 6) 2n-7yn - 7

(n — 5) (n — 6) (n — 7) (n — 8)

2n-9 = 92 — 2c.)
1I 2 7 3 4 7

) Man vergleiche hierbey §. 129. “

. W §. 2 35.*

Setzt man den Bogenn2 =s, ſo wird ſin. n 2 = ſin. S==
Ein. (zæ — s) = ſin. (2 † s) = ſin. (3 æ — §) ꝛc., denn alle

dieſe Sinus ſind einander gleich. Hieraus erhalten wir

mehrere Werthe fuͤr æ, nemlich

S r—Ss 22Ps — S 427† S
ſin. 5 ſin. —— . ſin. ——— 5 ſin. — — ſin. 2
n n n n

9 ** *°

welche daher insgeſammt der gefundenen Gleichung ein
Genuͤge thun. Ferner ſind hierunter ſo viel von einander

verſchiedene Werthe, als n Einheiten enthaͤlt, und dieſe
Werthe daher die Wurzeln der gefundenen Gleichung. *)
Sind nun die Wurzeln der Gleichung a poſteriori bekannt,

ſo kommt man durch die Vergleichung dieſer Wurzeln mit
den Gliedern der Gleichung auf ſehr merkwuͤrdige Eigen⸗

ſchaften. Da man aber dazu eine Gleichung haben muß,
worin bloß als eine unbekannte Groͤße vorkommt, ſo
muß man fuͤr y ſeinen Werth V (I. — X 2) ſetzen; und es
iſt daher ein doppeltes Verfahren noͤthig, je nachdem n

eine gerade oder eine ungerade Zahl iſt.

H

*) Ueber dieſen Gegenſtand habe ich mich im Anhange in dem

Zuſatze zu § 234 — 241 des gegenwaͤrtigen Capitels aus⸗
fuͤhrlich erklaͤrt, und noch ansfuͤhrlicher ſindet man ihn in
des Herrn Hofrath Kaͤſtners Abhandlung: Unde plures

inſint radiges aequationibus ſectiones angulorum de-

Kni⸗

Folgiͤch iſ

ſnuienti
unnitte
YAlores
dum
ich in
terung

ſin. —::
ſin. 2=
ſu. 32=
ſin. 52
ſin. 72

ln. 92

nd überhoun
Inn.

MüIn
—

r.
wenn n ein
chungaberf

U

Eulers

SſIn
dennale
haler pir

ichung ein
einander
We
i belann’
iſeln nit
ge Eigen⸗
aden⸗ uß,

tommt,

1, des
Nchden

iths gun⸗
uun ihn in
le Plures
runm de⸗
l⸗

—

Von der Muttil und Diviſion der Winkel. 273

finientibus, Goͤttingen 1756 unkerſucht. Die im Euler
unmittelbar folgenden Worte: Cavendum ergo eſt, ne
valores aequales pro iisdem habeantur, quod fiet,
dum alternae tantum expreſſiones aſſumantur; habe
ich in der Ueberſetzung neggelaſſen, weil ſie mir zur Erlaͤu⸗
terung dieſes Gegenſtandes nicht zweckmaͤßig ſcheinen.

§. 2 36.

ehen n eine ungerade Zahl. Da die Bogen — 2z,
3 5 2, ꝛ. eine Reihe ausmachen, deren
2 iſt, ſo iſt die Beziehungs⸗Scale dieſer Reihe,
weil der Coſinus von 22 = 1 — 2XX iſt, 2 — 4 XX, — I.

Folglich iſt

ſin. — 2 = — £

ſin. 2 =£ x
ſin. 32 = 3X— 413
ſin. 5 2 = 5 « — 20 X3 † 1625
ſin. 72 = 7 5½ – 56 X3 † 1I12X5 — 64 X7
ſin. 9 2 = 9 5 — 120 x 3 † 432 “5* — 576 xX7 F 256r9.

und uͤberhaupt

n(n n –— I) n(nn-— 1) (nn — 9)
ſin. nz = n xX — X3 † – — — X 5*

n(Inn — 1) (nn — 9) (nn — 25)
1. 2 . 3 4 . 5. 6 7
wenn n eine ungerade Zahl iſt. Die Wurzeln dieſer Glei⸗

X7 † ꝛc.

*

chung aber ſind: nne⸗ Gn. Si 2) 5 ün. (22 † 2) ; ſn. ( — 2 4 2)

ſin. E † 2);2 ꝛc. und ihre Anzahl iſt — p.⸗ H

Eulers Einl. ind,Angld. Unendl. 1. S 8. 237.

Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel. .

§. 237.
Es hat daher die Gleichung

274

1— n(nn — 1)x3 ninn-— I (nn — 9 ?
o☛) I –— — — ——.
ſin. nz I.2 3. ſin. nz 1.2. 3⸗4.5. ſn. nz
2 n= IXN . 8
.2 — —, (worin das obere Zeichen gilt, wenn n um
In. Z

1 kleiner iſt, als das Vielfache von 4, ſonſt aber das un⸗
tere genommen werden muß) die Faktoren

1— —) (1— Ti .D
ſin. (— †T 2) lin. t

und daraus folgt, einmal, daß
n 1 1
ſin. 2

—

ſin. (— t⸗ 2)
n 1

— —
fin. n 2z

— k.
ſin. S † 2) “

iſt, bis man n Glieder hat. Ferner iſt das Produkt von

2—I
— fin. n z

allen

.

W—

ſin.2 ſin. E. +† 2, ſin. 17. Gn. E † 2) t.
oder
Gn. n?z = 7 2n-r Gn. ſin. 42) Gn. † .)
ün. G † *) 2c.
Und da das vorletzte Glied fehlt, ſo iſt eug
4 = ſin. 2 fin. Tte tin. Grr†n. † 2) † ꝛ..

Erſtes

9Sſ.1

oſin 2˙

d.
Fernerih

und udlic
ſn. 1]

Mod a u

der W

Ndck w

Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 275
Erſtes Exempel.

Wenn n = 2 3 iſt, ſo hat man daher:
= ſin. 2 † ſin. (1200 † 2) † ſin. (2400 † 2) = ſin. 2 1†
ſin. (600 — 2) — fſin. (605 † 2)
3 1 21 1 † 1 —
fin. 32 ſn. z ſin. (1200 † 2) ſin. (2400 † 2)
I 1 1I
Kx.= In. Gos 5 ſin. (606 † 2)
ſin. 32 = — a ſin. z. ſin. (1200 † zy. ſin. (2400 † 2) =
Aſin. 2. ſin. (600 — 2). ſin. (600 † 2).
Es iſt daher, wie bereits oben bemerkt worden iſt,
ftn. (600 † 2) = ſin. 2 ſin. (600 — 2), und
3 coſec. 32 = coſec. 2 † coſec. (600 —2) — coſec. (600 1 2).

Zweytes Exempel.

Eett man n = 5, ſo erhaͤlt man:
Sſin. 2z † ſin. (E æ † 2) † ſin. Gn1a , ün. &—r* 1
ſin. (§& æ † 2), oder
o ſin. 2 † ſin. (?7 †T 2) † ſin. ( æ — 2) — fin. (17 † 2) —
ſin. (3 æ — 2), oder
0 = ſin. 2 † ſin. (F 2 — 2) — ſin. (F æ † 2) † ſin. (2 2) —
ſin. (2 æ — 2). .
Ferner iſt
5 1 1 — 1

En. 52 ſn.2 i Iin. 2 — 2²) In-G 1T 3
1 1
und endlich

n. 52 = 16 fn. 7. fr. G —2). ſin. (P T 2). ſin. (27 — ²),

ſin. S „. 1 2).

8S 2 Drittes

1

276 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel.

Drittes Exempel.
Auf dieſe Art wird, wenn man n = 2 m † 1 ſetzt,

= ſin. 2z † fin. — — 2) — ſin. (= † 2) — ſin. (2— 2)
/ n 2 n n
n n
. m „,m
T ſin WRDWW 2) † in. (— F 2²)
wo die obern Zeichen gelten, wenn m eine ungerade, und

die untern, wenn m eine gerade Zahl iſt. Die andere Glei⸗

chung iſt t alsdann:
n 1 1 I

EE ——e —

ſin. n 2 ſn. ſin. — 2) ſin. † 2)

ſin..(— — 2) ſin. (— † 2) fſin. (— —– 2)
n n n

ane ree — HD — P

ſin. S 2) ſn. — 2) ſin. 2)

5

welche ſich bequem auf die Coſecanten arwenden laͤßt.

Drittens hat man dieſes Produkt:

. “
ſin. nz = 2 2 m ſin. z. ſin. (— — 2). ſin. (— † 2)
in. n I 1

ſin. ( — 2). ſin. (22 † 2). ſin. —). ſin. (2— † 2)..

“MU! me mmImlhz
ü α tn n 2) IIn n 12)
§. 238.
Es ſey nunmehr n eine gerade Zahl. Da y= V (I – XX)

und coſ. 22 = 1 –— 2XX, und alſo die Beziehungs⸗Scale

Vor

r ſeiht
1n,02
ſn. 22:
ſin. 4 2
ſin. 62
ſin. 92
und dberhe

ſn? =II

1

wenn n ei

n oͤien
leyder Geitea
(Gn.n1)2

Nder

TU

nſolcher
Podukt an
Man au be

Kn.n1

rade, id

andere Gee⸗

—)

der

Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 277

der Reihe der Sinus, ſo wie vorhin §. 236.]2 — 14 2X,
— I iſt, ſo iſt alsdann
ſin. O 2 = O
ſin. 2 2 = 2 V (I — XX)
ſin. 4 2 = (4 « — 8X3) V (1 — Xx) H
ſin. 6 2 = (6 5X — 32 X 3 † 32 X5) V (I — XXx)
ſin. 8 2 = (8X — 80X3 † 192 K — 128 X7) Ver— x)
und uͤberhaupt

nInn — 4) n(n ACn 10
1. 2 . 3 I 2 . 3 : 4 . 5
n (n n –— 4) (nn — 16) nn — 30, M
I . 2 . 3 . 4 . 4 .. 6 . 7 7t .a.
2n-I Xn-1) V (1 — XX)
wenn n eine jede gerade Zahl bedeutet.

ſin. n z = (nx — X5 —

K. 239.
Um dieſe Gleichung rational zu machen, nehme man auf
beyden Seiten die Quadrate. Dann iſt
(fin. n 2)2 = nnxX † Px4 † Qx6 . J.— 22n-2 Xz1
oder
nn

I
Zzn-z 2 2n-— 2

Die Wurzeln dieſer Gleichung ſind ſowohl poſitiv als negativ,

und alſo folgende: ſin 2; ſin. ( — 2); Eſin. (— †2);
n n
7 .
E. ſin. — ²); fin. † 2 ꝛc. wenn man uͤberhaupt

n ſolcher Ausdruͤcke nimmt. Da nun das letzte Glied das
Produkt aus allen dieſen Wurzeln iſt, ſo erhaͤlt man, wenn
man auf beyden Seiten die Quadratwurzel auszieht,

S

fin. n 2 = P 2n-I ſin. 2. ſin. (—— 2). ſin. 2) 7

mn(X. — )..
: H WasSs

278 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel.
Was fuͤr ein Zeichen jedesmal genommen werden muͤſſe,
muß uͤbrigens die Betrachtung der r einzelnen Faͤlle beſtim⸗
men.

Exempel.
Setzt man fuͤr n nach und nach die Zahlen 2, 4, 6, ꝛc.
und nimmt man dabey n verſchiedene Sinus, ſo wird

ſin. 22 = 2 fin. 2. ſin. — 2)
fn. 42 =— 8 ſin. 2. ſin. (—— 2). ſin. (— +† 2). ſin. (2 — 2)
fin. 62 = 32 ſin. 2. ſin. (— — 2). ſin. (— † 2). ſin. (— — 2) ½
ſin. † 2z) ſin. G — 2)
Ein. 8 2 = 128 fin. 2z. ſin. (F — 2). ſin. (5 1 2)
2 Z 2 37Z
ſin. (— — 2). ſin. (— † 2). ſin. (— — 2)
ſin. (— † 2). ſin. (— — 2).
. 8 1 . in.

F. 240.
Es iſt alſo auch uͦberhaupt

Ain. n z = 2n- I ſin. 2. ſin. (— — 2) ſin. G † 2). ſin. = *
ſin. 2). fin. E 2). ſin. ( 2) „
ſin. (2 = — 2)

wenn n eine gerade Zahl iſt. Vergleicht man aber dieſe

Formel mit der obigen, (§. 237], wo n eine ungerade Zahl
war: ſo findet man unter beyden eine ſo große Ueberein⸗
ſtimmung,

Vlnh.

ionung,
ſelrher, n

ſin. n2 —

ẽ non o bie

Es Wen

ſcher Wigt⸗

hol, ſowoh
hielfacher
cher Modri

G 109) ghet
ſin. 2 =I

n.21 8 21
ln z18 4
n

ſin. 52

nbz

den miſe,
le heſin⸗

ſo wid

n cber diſe
ſgermde hhl
e lenrein⸗
finmung,

Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 279

ſtimmung, daß man ſie in eine zuſammenziehen kann. Es
iſt daher, n mag eine gerade ode oder eine ungerade Zahl ſeyn

—

ſin. (= † 2). ſin. ( — 2) “

H,

ſin. ( - 2.

ſin. (2 † 2) ꝛc.

dis man ſo viel Faktoren hat, als n Einheiten enthaͤlt.

§. 241.
Es leiſten aber dieſe Ausdruͤcke, worin die Sinus viel⸗
facher Winkel durch Faktoren beſtimmt werden, vielen Vor⸗
theil, ſowohl bey der Erfindung der Logarithmen der Sinus
vielfacher Winkel, als auch beym Aufſuchen mehrerer ſol⸗
cher Ausdruͤcke der Sinus durch Faktoren, als wir oben
(§. 184) gehabt haben. Es iſt aber

ſin. 3z = I ſin. 2z

ſin. 22 = 2 fin. 2. ſin. (- — 2)
ſin. 32 = 4 fin. 2. ſin. SE ) ſn. W † 2)
W 27
ſ. ſi ſin. (— — 2). ſin. (— P 2). fin. (̃ͤ— — 2)
in. 42 = 8ſin. 2. ſin. .. l 4
2σ
ſin. 52 = 16 ſin. 2. fin. F- 2.Bn. f P2) ſin. (=— —2)

ſin. S † 2)

Kn. 62 = 32 fin. z. Kn⸗ (5 — 2).fin. (6 1 2). an. S= — 2) KX

En. S 2). ſn. G25 — 2)

280 Erſies Buch. Vierzehntes Capitel. S W
§. 242. o.²
eol. 3
Da ferner H — = = 2 coſ. n2 iſt, ſo laſſen ſich auch col 42
. col. 51
die Coſinus vielfacher Winkel auf eine aͤhnliche Art durch cl d⸗
Faktoren ausdrucken. Es iſt nemlich l7
coſ. 2 = I ſin. (— — 2) nd lben
coſ. 2 2 = 2 ſin. (— — 2). ſin. (— † 2) eta
4 4 u⸗
col⸗ 3 2 = 4 ſin. (6 — 2). en.(6 † 2). ſin. = — 2)
coſ. 42 = 8 ſin. (— — 2). ſin. ( † 2). ſin. (3 — 2) 1
ſin. (8 F 2)– ct. (40.
coſ. 52 = 16 ſin. — — 2). ſin. (= † 2). ſin. („ 2) in m,
10 10 10
ſin. (T PT 2z). ſin. (S — 2) tdr
S 10 10 ee
und uͤberhaupt ſeeinel fi
2 „ 3v Mangeder
coſ. n 2z —2 rſn. (xn). ſin. S † 2). ſin. (— — 2)
. 211
An. E . †. 2.. ſin. — — 2) c. He⸗
4 AAAler di
bis man ſo viel Faktoren hat, als n Einheiten enthaͤlt. ſt .
‚we
. 243. M muß: u
Eben dieſe Ausdruͤcke giebt auch die Betrachtung der esc
Coſinus vielfacher Winkel an die Hand. Denn wenn der
coſ 2 = y geſetzt wird, ſo iſt .
. cof. O z = 1 . P
sofſ. 1 2 y .
coſ. 2

cch

7 4
- )

2

n eßit

gachung dee.
N

ol.2

Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 281

coſ. 2 2 = 2 yy — I
coſ. 3 2 = 43 — 37
coſ. 4 2 — 8 74 — 8y y † rI
coſ. 5 2 = 16y5 — 20y 3 † 5y
coſ. 6 2 = 32 y6 — 48 y4 † 18/y — 1
coſ. 7 2 = 64 y7 — 112 y * † 56 3 — 7 y
und uͤberhauppt

. 11
coſ. n z = 2n-I yh — — 2n - 3 y h - 2 †
3
n (n — n! (n —
Dꝛn 5 yn- 4 — 4 L— — äl
I 2 I 2 3

nIR— - 2 n-9 yn-8 — ꝛc.
1 2 3 4

coſ. (47* n2) = coſ. (6 — n2²) ꝛe. , ſo ſind die Wur⸗

zeln von y in dieſer Gl eichung: coſ. 2; coſ. (= 2 2);

4 * . .
coſ. ( - 4 2); coſ. — 4 2) zc. Wie viel man aber davon

jedesmal fuͤr y nehnien muͤſſe? ſolches richtet ſich nach der
Menge der Einheiten, die n enthaͤlt.

§. 244.
Hier faͤllt nun zuvoͤrderſt in die Augen, daß die Summe
aller dieſer Wurzeln, den Fall ausgenommen, wenn n =
iſt, wegen der Abweſenheit des zweyten Gliedes = ſeyn
muß: und es iſt daher

0 = coſ. 2. 1 cof. SS — ) † eoc* T2) coſ. —- 2)

coſ. ( † 2) ꝛc.

wenn man jedesmal ſo viel Glieder nimmt, als n Einheiten
hat. Wenn n n eine gerade Zahl iſt, ſo bietet ſich dieſe Glei⸗
S 5 chung

O” .

282 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel.

chung von ſelbſt dar, indem jedes Glied von einem an⸗
deren ihm entgegenſtehenden aufgehoben wird. Wir
wollen daher bloß die ungeraden Zahlen betrachten, und
da iſt, die Einheit ausgeſchloſſen, wegen coſ. v = —

coſ. ( — V)
0 = coſ. 2 — — coſ. (— — 2) — coſ. (— † 2)
3 3
O= coſ. z — coſ. “ — 2) — coſ. ( † 2) Fcoſ. (2 -— 2) P
5 5 5
coſ. (2— † 2)
5
9= coſ. — col S —,- coſ. (71 2) rcof ( — 2) †

5

cot 2) — cot r —2) — eol 12
und uͤberhaupt iſt, wenn n eine ungerade Zahl bedeutet,

= coſ. 2 –— coſ. (= 2) — coß (2 2) † coſ. (2 — 2) †
n n n
2 7 3 W 3 7V
oſ. ( — coſ. (— — 2) — coſ. (—
c = † 2) 7col. E 2) coſ. ⸗ † 2) †
.(T— — 2) — coſ. (2— † 2) — ꝛc.
CO 2) cof.( † 2) 2c

wenn man immer ſo viel Glieder nimmt, als n Einheiten

hat, und n groͤßer als die Einheit iſt, wie ſchon vorhin be⸗

merkt worden.

1

§. 245.
Was das Produkt aus allen angefuͤhrten Wurzeln be⸗

trifft, ſo findet man ſolches verſchieden, je nachdem n—

eine ungerade oder eine ungerademal gerade oder eine
gerademal gerade Zahl iſt. Es ſind aber dieſe ver⸗
ſchiedenen Ausdruͤcke in dem allgemeinen Ausdrucke, den
wir

4 . . “

l *

N16*
zin Ein
ol. 22

col. 22

col. 52

nd übert

col.nzz

wemwe
ten enth

Nr

hon der

po das 9
Rorn4
lu

Von der Multipl. und Didiſion der Winkel. 283

nen an. H
wir §. 2 2. gefunden haben, enthalten, wenn man daſelbſt
n u jeden Sinus in den Coſinus verwandelt. Es iſt nemlich
AA, . .
B coſ. 2 = I coſ. z.
V— — . „. „.
eo. 22=— 2 coſ. G † 2). cof. D — 2)
cof. 32= 4 coſt (⸗ 6 2 † 2). coſ. (. — 2). Cof. z.
T . „
coſ. 42 = 8 coſ. + 2). cofſ. S — 2) coſ. S † 2) ☚ι
CO1. .— — 2)
8
2
2 cofſ. 52 = 16 coſ. A— † 2). Coſ- ( — 2) coſ. (— † 2) *
“ 10 10 10
2
37, coſ. (— — 2) coſ. 2. .
(— 1 10
und uͤberhaupt
eheut coſ. n 2 = 2n - 1 coſ. ( — „ - 2). coſ. ( (— „ — 2) *W
2 2 U1 2n
1 — 3 n — 3
. 4 coſ. ( — –— = † 2). coſ. — „W½ — 2) ₰
3 . 2n 21n
— r
6 cof. — — 5 † 2). col. a⸗ — 2—2) *
coſ. — „ † 2) ꝛc.
. 2n
Erheten wenn man jedesmal ſo viel Faktoren nimmt, als n Einhei⸗
erhin be⸗ ten enthaͤlt.
§. 246.
Iſt n eine ungerade Zahl, und laͤßt man die Gl eichung
von der Einheit anfangen, ſo iſt
”M ny
8 4 wo das obere Zeichen gilt, wenn n eine ungerade Zahl von
i ter Form 4m †1, das untere aber, wenn es eine ungerade
, dn Zahl von der Form 4m — I1 iſt. Daher iſt ðDMU;—

284 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel.

1† coſ. 2 coſ. z
— I I 1
Ccolſ. 32 coſ. z „W
3 L 3
585 1I I TI
k — — = — — — — †
ſ. S Colſ. 2
cor z57 verr? coſ. (— — 2) coſ. (— † 2)
5 5
1 1
† —

coſ. S - coc S= † 2)

und aberhaupt, wenn man n = 2 m 1 ſetzt,
emI I 1

coſ. n z coſ. (2 m † 1,) 2 col. (t2) eot (A5— 2)

1 1I .
col. = 2) col. (— 2=- ²)

—

m — 2 m — 2
coſ. (— — †2) coſ. (— — 2)
n n—
I
— —— — ꝛc.

coſ. „ † 2)
Man muß aber auch hier jedesmal ſo viel Glieder nehmen
als n Einheiten hat.

§. 247.
Da = S ſec. v iſt, ſo laſſen ſich hieraus ſehr merk⸗
wuͤrdige Eigenſchaften der Secanten ableiten. Es iſt nemlich

lſlec. 2 ſec. 2

ſec. 32 = ſec. (51 2) .(S— —,— — e G 4 2)
ßMV 35 5 ſee.

t

lee)

7ec.

d Rer

nſec.

Fur
coſee

Zcoſee.

5toee.

der nehmer

he nelt⸗

ſt nenig

le

Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 285
Sſec. 5 2 = ſec. 12) ſec. — 2) — ſec. S 12) —
ſec. (52 † ſec. S † 2)
7 ſec. 72 = ſec. 1 2) 1† ſec. M — 2) — ſec. SG 42)—
5 R
ſeeC — 2) 1Ke. S † † lee. — 2) —

ſec. — † 2) D
und uͤberhaupt, wenn man n = 2 m † 1 ſetzt,

n ſec. n 2 = ſeo. G Paz) † ſec. 2„ — 2) —
ſec. 2„2) — ſec. ., 4
— 2
ſec. = r 2) † ſec. Cr-= -: —
ſec. — * † 2) — ſec. „—— 2) 4

ec. ( „ 2) † o „ „ „% „ — ſec. 2.

§. 248.
Fuͤr die Coſecanten aber erhaͤlt man aus §. 237.
coſec. 2 = coſec. 2

3 coſec. 3 2 S coſec. 2 P coſec. S — ²) — coſec. ( 2)
5 coſec. 5 2 S coſec.2 † coſec. S — 2) — coſec. (— †2) —

colee. (C= — 2) † colec. (= † 2)

7 coſec.

286 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel.

J 4
coſec.2 = coſec. 2 † coſbc. Cx — ²) — coſec. ( † 2) —

7 „.

2
coſec.ſ „ — 2) † coſec. E& 12) †

coſec. ( — 2) — coſec (32 † 2)
und uͤberhaupt, wenn man n = 2 m † ſetzt,

.
n. coſec. nZ = colec. 2z ooſtc. S —2) — coſec. — † 2)—
coſec. ( —2) ooſec. .
372 32 1 .
coſec. (2— — 2) coleb: † 2) —

Imnve
„ „ cde n ). coſec. ( 2)

wo die obern Zeichen gelten, wenmn eine gerade, die untern
aber, wenn m eine ungerade Zahl iſt.

F. 249.
Da, wie wir oben [§. 132.] geſehen haben,
Coſ. n + V — I. ſin. n 2 = (coſ. 2 — V — I1. ſin. 2)
iſt, ſo iſt
Coſ. n 2 = (Coſ. 2 † V — I. fin. 2)n † (coſ. 2 — W— I. ſin. z) a
fin. nz = — L fin. Dn — (coſ. 2 — V. — I. ſin. )
l 2 — 1

und alſo tang. n 23 =
(Coſ. 2z † — I, ſin. 2) n — (coſ. 2 — V. — I. lin. 2)
(Coſ. “ V 1. ſin. z)n V — I F (coſ. 2 — V — I. ſin. 2) n ⸗ V—1

ſin.
Setzt man daher tang. 2 = S1 = t, ſo iſt

tang.

.

ing. 1
Mhierar
tang. 2
tang.²
tang.9

tang. 42

tang.):

überh

MIn
nt - —
1

nIn-
12 —
1.
Da alſe tan

tang.
die Wuzen

n

aßen

ta
eglecht
wird

40t,2

et, 4

Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 287
v H
(— -= (1 † t V – 1) n — (I — t V – 1) n
7 tang. n 2 = .- — —
(I†tV — rI) n — 1 † (1 — t V — ) / -T
47 E „» „ „
191 und hieraus folgt fuͤr die Tangenten vielfacher Winkel
tang. Zz = t H
s ang. 2 2 —
8 I — tt
. 3t — t3
. — Pz NE
4t.— 4t3
x tang. 4 = — 6tt † ta
ACt 5§ t — 10 t3 tS 14 *
F. tang. * = — 10tt T 514 5t4
rt und uͤberhaupt tang. n 2 =
Oß — — 2 n(n-I) (n -— 2) (n — 3) (n —
— e nt — n 3 t 3 † nn n es — ꝛe.
“ I . 2 . I 2 . 3 . 4 . 5 H
Nimm 1 — — † — e P — ꝛc,
Da alſo tang. n 2 = tang. ( † n 2) = tang. (2 7 † n 2) =
tang. (3 † n 2) ꝛc. iſt, ſo ſind die Werthe vontt, oder
die Wurzeln der Gleichung folgende: tang.2; tang. (— †z) ;
ini) tang. (22 †+ 2) ꝛr. und ihre Anzahl jedesmal = n.
4
in . 250
Laͤßt man die Gleichung von der Einheit anfangen, ſo iſt
n nt n(n —I) tt An. — 2) t 3
-lln?, 0 I —— —— † .
Vergleicht man nun die Coefficienten mit den Wurzeln, ſo
1 wird n cot. n 2 = zr
v ot. z † cot. (— 2²) †. cot. ( 4 ²) † cot. (— † 2) 1 .

cot. 5 2) k.. . . cot. — „W † 2).
L Ferner

SSõ
4
Erſies Buch. Vierzehntes Capitel. M
Ferner iſt die Summe der Quadrate dieſer Cotangenten= zu⸗
ſeot.
un — — n; und auf eine aͤhnliche Art laſſen ſich die
(ſin. n 2) 2
uͤbrigen Poteſtaͤten beſtimmen. Setzt man aber fuͤr n be⸗ .
ſtimmte Zahlen, ſo wird nd über
cot. 3z = cot. z
ncot. n?
2 cot. 2 2 = cot. z † cot. WD † 2)
2W
3 cot. 3 2 = cot. 2 1 cot. S † 2) † cot. ⸗ † ²)
4 cot. 42 = cot. 2 1 cot. †F 2) † cot. W † 2) t
cot. (32 . 2) di won
4
7 2 7
5 cot. 52 = cot. z † cot. (— † 2) † cot. (— † 2) †
„ 5 Nuo /
.
cot. † 2) †† cot. (T-— † 2). utſitn
5 5 teſtedde
2 ungerade
F. 251. Dern =2,
Weil aber cot. v = — cot. S= — *) it, ſo wird 1— ung
J 8.— zn
COt. 2 = — cot. 2 3
—
2 cot. 22 = cot. 2 — cot. (— †ꝰ*)
2 nd uͤber
7 „ a.—
3 cot. 3 2 = cot. 2 — cot. (— — 2) † cot. (— † ²)
dber, w
. 7 went
4 cot. 42 = cot. 2 cot. 2) † cot. S + 2z) — genmnde
275
cot. (— — 2) tan
Eiers E

genten=
ſch die

,füͤr n be⸗

wied

Von der Multipl. und Didviſion der Winkel.

–—

5 cot. 5 2 = cot. 2 — cot. — 2) † cot. S 2) —
cot. S — 2) † cot. S . 2)
und uͤberhaupt

*
n cot. n 2 = cot. z — cot. — 2) † cot. (— † 2) —
n

A

2 % 4. „27 .
11

d 3 ⁷ .
cot. (— — 2) † cot. G (22 2) —
n n

c.
bis man ſo viel Glieder hat, als n Ein nheiten enthaͤlt.

§. 252.

Nun fange die gefundene Glei ichung von der hoͤchſten
Poteſtäͤt an, wo denn zuvoͤrderſt die Faͤlle von einander zu
unterſcheiden ſind, wenn n eine gerade, und wenn es eine
ungerade Zahl iſt. Es ſey alſo n eine ungerade Zahl,

oder n = 2 m † I. Alsdann iſt

t — tang. 2 = O
t3 — 3 tt. tang. 32 — 3t † tang. 32 = 0
t5 — 5144. tang. 52 — IOt3 † I1ott. tang. 52 † 5t —
tang. 5 2 = O
und uͤberhaupt
tn – n tn- I tang. n 2 — 0 „ + taR. nz = 0,
wo das obere Zeichen gilt, wenn m eine gerade, das untere
aber, wenn m eine ungerade Zahl iſt. Aus dem Coeffi⸗
cienten des zweyten Gliedes ergiebt ſich alſo.

tang. 2 = tang. 2z

3 tang. 32 = tang. 2 † tang. Er) tang E⸗ 4 2)

Eilers Einl ind Anal d. Unenol. k.. 5tang.

„

290 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel.

5 tang. 5 2 = tang. 2 † tang. S † 2) † tang. S † 2) †

tang. W † 2) † tang. S † 2)

d. 253.

Da tang. v = — tang. (æ2 — v) iſt, ſo laſſen ſich die Win⸗
kel, die groͤßer ſind als ein rechter, auf ſolche zuruͤckfuͤhren,
die kleiner als ein rechter Winkel ſind; und alsdann iſt
tang. 2 = tang. z

. Y
3 tang. 3 2 = tang. z — tang. G — 2) † tang. ( 7 † 2)
77.
tang. 5 7 = tang. 2 — tang. = — 2) T tang. (S †2) —
2¾⅓² 27
tang. (— — 2) † tang. (— † 2)
5 5
„ 7*
7tang. 72 = tang. 2 — tang. S — 2) † tang. (2 †* 2) —
tang. SD — 2) † tang. S„ † 2) —

rang. rrne (T- 4 2)
und! jaͤberhaupt, wenn man n = 2 m † I ſetzt,

n tang. nZ = tang. z — tang. - 2 tang. ( r2—
tang. 2 2) tang. (— † 2) —
4 g. . re g. 2)
““
Kang. (— — 2) %. „ „ ° %% % —
11

tang. l — 2) Ptan g. —— †2).
FK. 254.

t

Ferner

M⸗ 2

ceſte
hen fählt

vechſelnd
ſch iſt
tang. 2

tang. 32:

Ung.5¹

Und uͤerhe

tang.net

Faennſe
der hoͤchſten
tt, 12t.
144tz
md iberhan
nte⸗r
wo das bhere
untexe⸗ linge
han daher

. bledes ſo

ſch die Vin⸗
rückühren,

1 N
no /— 1)

g Cty-

1254

Gliedes, ſo wird,

Von der r e Multipl. und Diviſion der Winkel. 291

§. 254.
Ferner iſt das Produkt aus allen di ieſen Fangenten =
tang. n z, denn die Zweydeutigkeit in Anſehung der Zei⸗
e faͤllt weg, weil die Zahl der negativen Zeichen ab⸗
echſelnd eine gerade und eine ungerade Zahl iſt. Folg⸗

“M iſt

tang. 2 = tang. 2

tang. 3 2 = tang. z. tang. SGD — 2). tang. (— † 2)
*

tang. 52 = tang. 2. tang. (5 — 2). tang. SS †P 2) ℳ

tang (SS — 2). tang. S † z)

und uͤberhaupt, wenn man n = 2 m † I ſetzt,

„T. 7. 2 7
tang. nz = tang. 2. tang⸗ (— — 2). tang. (— † 2) tang. (— — 2) ₰½
n n n

2 7 3

—

mæz mæ
tang. (†— — 2). tang — † 2).

Ferner ſey n eine gerade Zahl, ſo iſt, wenn man von
der hoͤchſten Poteſtaͤt anfaͤngt,
t t † 2 t. cot. 22 — I = 0
t4 † 4 t3. cot. 42 – 6tt – 4At. cot. 42 † 1 = %
und uͤberhaupt, wenn n = 2 m geſetzt wird,
tn † nta-I cot. nz .2. 1I = o,
wo das obere Zeichen gilt, wenn m eine ungerade, das
untere hingegen, wenn m eine gerade Zahl iſt. Vergleicht
man daher die Wursein mit dem Coefficienten des zweyten

292 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel.
— 2 cot. 2 2 = tang. 2 † tang. W †2)
7. 27
— 4 cot. 42 = tang. 2 T tang. MB †2) † tang. HM † 2) †
tang. (22 2)
ang. (— † z.
8 4
— 6 cot. 62 = tang. 2 † tang. ( † 2) † tang. ( 51 2) †
Hierdu
7 * .
tang. S 2) † tang. 2) † des Produn
und e i
tan (T 4 2)
. 6 . 1=ta
20.
97 SIA
F. 256.
IStang
Da tang. V = — tang. (X2 — v) iſt, ſo folgt hieraus
2 cot. 2 2 = – tang. 2 † tang. S — 2)
4 cot. 42 = – tang. 2 tang. (— — 2) — tang. (— T 2) † Der Grund
” . 14 indi
7
tang. (— — 2) ” Wd
2= 2 — Nrorkn
6 cot. 6 2 = – tang. 2z †T tang. — 2) — tang. D † 2) † keln=
tang. ( — ,— tang. ( † 2) P†
3
tang. 6 — 2) d de
und uͤberhaupt, wenn n = 2 m iſt, ithme
ðDMĩ‧ . . Reihe gu
n. cot. n Zz = – tang.z T tang. (— — 2) — tang. (— † 2z) † er
tang.

hierard

7
gCt)1

S—
—

Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 293
tang. WB — 2) — tang. (— † 2) †.
tang. E — 2) — tang. (— 1 2) †

mæ
„ „½ * † tang. — — 2)

S

§K. 257.

Hierdurch wird nun aber auch hier dien Zweydeutigkeit
des Produkts aus allen Wurzeln aus dem Wege geraͤumt,
und es iſt daher

IS=S tang. z. tang. ( — 2)

—

7 7 2.
IStang. 2. tang.(4 — 2). tang. †P z3Z). tang. (— –— 2)

IS= tang. z. tang. G6 — 2). tang. † 2). tang. –W — 2) *

tang. ( D † 2). tang. GS — 2)

u. ſ. f †.
Der Grund von dieſen Gleichungen faͤl lt beym erſten An⸗
blick in die Augen, indem darin immer je zwey und zwey
Winkel einander zum rechten Winkel ergaͤnzen. Da das
Produkt aus den Tangenten jeder zweyer von dieſen Win⸗
keln = 1 iſt, ſo muß auch das Produtt aus allen der Ein⸗
heit gleich leyn.

8. 258.
Da die Sinus und Coſinus der Winkel, die lin leiner
arithmetiſchen Progreſſion fortgehen, eine wiederkehrende
Reihe ausmachen, ([§. 129.] ſo kann man nach den im vor⸗
hergehenden Capitel erklaͤrten Regeln die Summe jeder
T 3 Menge

jeder Anzahl von Sinus, deren Winkel in einer arithmeti⸗

294 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel.

Menge dieſer Sinus und Coſinus finden. Sind die in

einer arithmetiſchen Progreſſion fortſchreitenden Winkel

, a † b, a † 2 b, a † 3 b, a † 4 b, a T 5 b, ꝛc.
und ſoll zuvoͤrderſt die Summe aller ihrer der Zahl nach
unendlichen Sinus gefunden werden: ſo ſetze man
S in. a kſin. A bo, ſin. renren kante
de Reihe, und ihre Be⸗

— 1 in: ſo entſpringt dieſelbe
Neuner 1 — 2 2. coſ. b † 22 iſt,

Da dieſe Reihe eine wiederkeh
ziehungs ⸗ Scale 2 cof. b,
aus einem Bruche, deſſen N

wenn man 2 = I ſetzt; der Bruch ſelbſt aber iſt =

ſin. a † 2z (ſin. (a † b) — 2 ſin. a. coſ. b)
1 — 2 2. Coſ. b T† 2 2Z
man daher 2z = 1, ſo wird
ſin. a † ſin. (a †† b) — 2 ſin. a coſ. b ſin. a — ſin. (a — b)
2 – 2 cof. d “ 2 (1— coſ. b) .

2 ſin. a. cofſ. b = ſin. ( (a † b) † ſin. (a — b) iſt. Da aber
—

1S
ſin. f — ſin. 2 =— 2 coſ. —. ſin. —
2 —

[K.231.] Setzt

weil?2
iſt, ſo wird ſin. a —

2i. 4 a und folglich 4

. coſ.2à — ⅞ b)
5 2 fin. 4 .
e 2
K. 259.

Hierdurch wird man in den Stand geſetzt, die Summe

ſchen Progreſſion ſtehen, anzugeben. Soll nemlich die
Summe der Reihe
ſin. a † ſin. (a † b) † ſin. a 1 2 b) ſin. (a † 3 b) † ..
.. . †. ſin. (a † n b)
gefunden werden, ſo ſuche man, da die Summe dieſer Reihe,
wenn

2 coſ. (a — 2¾ b). ſin. 2 b, und 1— coſ. b =

Por.

wan

6,die S
ler die G

diees geſche
hergehender
t Re
8=II
ſo wird

.
3—-

ſi

—
— —

Auf eine
ls inmnt,
8Stl.

Ohbde,

e
S

da nun 2
wird

cot.
— —

Uun iſ abe

.

d die in

ahl nech
b.
id ihre Be
ngt Dieſebe

Ii

InI
—coK.)
Da aber

1 „*
. =
hore uln. 4*

1— ℳ b

NCumme

, Kitheneti-⸗

enlich die

113 ht“

wenn

3

Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 295

wenn man ſie ohne Ende fortgehen laͤßt = QA ca 5
2 fſin. 2 b
iſt, die Summe der Glieder, die auf ſin. (a † n b) folgen,
oder die Summe von V

ſin. (a † (n †I) b) † ſin. (a † (n †2) b) †. fin. (a † (n †3) b) † ꝛc.

coſ. (a † (n † ) b)
2 ſin. 2£ b
dieſes geſchehen, die zuletzt gefundene Summe von der vor⸗
hergehenden ab, ſo bleibt die geſachte. Summe. uͤbrig.
Iſt nemlich
§s = fſin. a † ſin. (a † b) † ſin. Gtab.e n. (a Tnb)
ſo wird
—coſ. (a — 4 b) — — cof. (a † cn 4 ½) b)
2 fin. 2 b .
ſin. (a † n b) ſin. Z½ (n † 1) b
— ſin. % h 4

welche = ſeyn wird. Zieht man, wenn

§. 260.

Auf eine aͤhnliche Art erhaͤlt man, wenn man die Coſis
nus nimmt, und
§s = coſ. a † coſ. (a f' b) † coſ. Ei 2 b coſ. (a P 3 b) T 2c.
ohne Ende, ſetzt
co. a +† 2 (coſ. (a † b) — 2 coſ- a. coſ. b).

v2 = I.
I – 2 z. Ccoſ. b † 22 fu *

—

Da nun 2 coſ. a. coſ. b = coſ. (a — b) † coſ. (a † b) iſt,

ſo wird
coſ. a — coſ. (a — b)
2 (I — colſ. b)

f — f
Nun iſt aber col c cof g = 2 fſin. As. ſin. ——;

2

folglich = colſ. — col (— )e — lin⸗ (a — 1 b). fin. b;

4 und

—

296 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel.

und da uͤberdies 1 — coſ. b = 2 (ſin. ½ b)2 iſt, ſo wird
dadurch
ſin. (a — £ b)
— — ——

2 ſin. „X b ’„
Ferner iſt auf eine aͤhnliche Art die Summe der Reihe

coſ. a † n † b coſ. (a (n † 2) b coſ. Qif n † 3) b) † ꝛc.

ſin. „b
= — . (a a 1b⸗ und zieht man daher dieſe Sum⸗
me von jener ab, ſo bleibt die Summe dieſer Reihe
S = coſ. a † coſ. (a † b) cO. † 2 b) † k... i cof. (a † nb)

übrig, und es iſt daher

= ſn. (a — * P) †. ſin. (aà †. (n † 13) b)
2 fin. 2£ b
— coſ. (a T à n b. ſin. g (n † 1) b
ſin. £ b.
§. 26 1.

Es laſſen ſich aus den vorhergehenden Saͤtzen noch ſehr
viel andere Fragen, die Sinus und die Tangenten betref⸗
fend, beantworten; z. B. wie man die Quadrate, und die
hoͤhern Poteſtaͤten der Sinus und der Tangenten ſummiret.

Da man aber dieſe Antworten aus den uͤbrigen Coefficienten

der obigen Gleichungen auf eine aͤhnliche Art ableitet, ſo
wollen wir uns dabey nicht aufhalten. Man muß indeß in
Ruͤckſi icht auf dieſe letztern Summationen bemerken, daß man
eine j jede Poteſtaͤt der Sinus und Coſinus durch die einzeln

Sinus und Coſinus ausdrucken kann; und davon ſoll nun

noch kuͤrzlich geredet werden.

Man nehme alſo aus den oben (5. 130)] angefuͤhrten
folgende Saͤtze zu Huͤlfe:
2 ſin.

Das Geſe

—,—
S = ..

ł

H

Poreſtdw⸗
ten des

Hond ge

ufei

Plteſtate

Coſ.
2 (cof.

ſ wird

dieſe Gun⸗

ihe

ute, d N
, ſummiret.
eficientan
ablera,
oich inei
ken MN nn
5 0e tienn

Al.

*

Von der Multigl und Diviſit on der Winkel. 297

2 ſin. a. ſin. 2 = coſ. (a — 2) — coſ. (a † 2)
2 coſ. a. ſin. 3z = ſin. (a † 2) – fſin. (a –— 2)
2 ſin. a. coſ. 2 = ſin. (a † 2) † ſin. (a — 2)
2 coſ. a. coſ. z = coſ. (a — 2) † coſ. (a † 2)

Hieraus findet man zudvoͤrderſt [S. §. 130. Anmerkel fuͦr
die Poteſtaͤten der Sinus
ſin. z = ſin. z
2 (ſin. 2)2 = I — coſ. 22
4 (ſin. 2)3 = 3 fin. 2 — fſin. 32
8 (ſin. 2) 4 =– 3 — 4 coſ. 22 † coſ. 4 2Z
16 (ſin. 2) 5 = I10 ſin. z — 5 ſin. 3 2 † ſin. 52
32 (ſin. 2)5 = 10 — I coſ. 22 † 6 coſ. 42 — coſ. 62

64 (ſin. 2)7 = 33 ſin. 2 — 21 ſin. 32 T 7 ſin. 52 — ſin. 72
128 Gr. e 35 — 56 coſ. 22 † 28 col. 32— cof. 62
† coſ. 8 2z

256 (ſin. z, 9 = 126 ſin. z — 84 fſin. 32 † 36 fin. 5 2 —
9 ſin. 72 † ſin. 9 2
ꝛc.
Das Geſetz, nach welchem hier die Cocfficienten auf ein⸗
ander folgen, laͤßt ſich aus den Coefficienten einer zu einer
Poteſtaͤt erhobenen Binomiums erkennen, nur muß dabey
bemerkt werden, daß die abſolute Zahl bey den geraden
Poteſtaͤten nur die Haͤlfte von der iſt, welche die Coefficien⸗
ten des zu eben der Poteſtaͤt erhobenen Binomiums an die
Hand geben.

.. 263.
Auf eine ahnliche Art [S. §. 130. Anmerk.] werden die
Poteſtaͤten der Coſinus beſt ſtimmt. Es iſt nemlich
coſ. z? = coſ.- 2
2 (coſ. 2) 2 = I † coſ. 22

298 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel ꝛc.

4 (coſ. 2) 3 = 3 coſ 2z † coſ. 32
8 (coſ. 2) 4 = 3 † 4 coſ. 22 † coſ. 42
16 (coſ. 2) 5 = 10 coſ. z † 5 coſ. 32 † coſ. 52
32 (coſ. 2) 6 = 10 † I5 coſ. 22 † 6 coſ. 42 † coſ. 6z
64 (coſ. 2) 7 = 35 coſ. 2 † 21 coſ. 32 † 6 coſ. 52 † coſ. 7 2
e.
Was das Geſetz betrifft, nach welchem hier die Coefficien⸗
ten auf einander folgen, ſo gilt davon eben das, was da⸗
von vorhin bey den Sinus angemerkt worden iſt.

Funf⸗

Von der

Ve⸗
don folg⸗
. 4
deren A
ſteſt, ur
leſer Hufi
1142
hatt ſo
der gohen.
A

dSN
CSd
D
E
ron dieſe
als aleen
den Jahle

Wen

52

col71

Coeff⸗
pas do⸗

Nnf⸗

Funfz ehntes Capitel.

Von den Reihen, welche aus der Entwickelung der
Faktoren entſprinnen.

§. 264.
Wenn ein Produkt gegeben iſt, welches auch Faktoren
von folgender Form
(I. † æ2) (TI † 8z) (I † 72) (1 † 52) ( †P s2) (I † 62) 20.
deren Anzahl uͤbrigens endlich oder unendlich ſeyn mag, be⸗
ſteht, und man dafuͤr durch die wirkliche Multiplication
dieſer Faktoren die Reihe
I † AZ T Bz2 † CzZ3 † Dza † E z5 † F 26 P ꝛc.
erhaͤlt: ſo iſt bekannt, daß die Coeffieienten auf die Art aus
den Zahlen , , 7, 9, e, ꝛc. erwachſen, daß
A=α † β P†. † ⁹ †* † † ꝛc. = der Summe aller dieſer
Zahlen einzeln genommen,
B = der Summe der Produkte aus je zwey und zweyen,
= der Summe der Produkte aus je drey und dreyen,
D = der Summe der Produkte aus je vier und vieren,
E = der Summe der Produkte aus je fuͤnf und fuͤnfen
von dieſen Zahlen, ꝛc. iſt, bis daß man zu dem Produkte
aus allen gekommen iſt. Man darf aber hierbey keine von
den Zahlen «, g, 2, d., 2, ꝛc. mit ſich ſelbſt verbinden.

§K. 265.

Wenn alſo 2z = 1 geſetzt wird, ſo iſt das Produkt
(1 4† a)er 1 6⁶) (1 † 2) (1 T ⁹) (1 † ³) ze. “
gleich

300 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel.

gleich der Einheit nebſt der Reihe aller der Zahlen, die ſich

aus a, 8, 7., ⁹, s, 2c. ergeben, wenn man dieſ ſelben theils ein⸗

zeln nimmt, theils zwey oder mehrere von einander ver⸗
ſchiedene von denſelben mit einander multiplicirt. Ergiebt

ſich dabey eine und dieſelbe Zahl auf zwey oder mehrere
Arten, ſo muß dieſelbe auch zwey oder mehrmal in der ge⸗
dachten Reihe enthalten ſeyn.

§. 266.

Eetz man 2 = — 1 ſo iſt das Produkt
(r. — “²) (1 — ⁸) ( — 7) (I — ⁹) (1 — *) ꝛc.
wieder gleich der Einheit nebſt der Reihe aller der Zah⸗
len, die ch aus , g, 7, d, s, c. ergeben, wenn man dieſel⸗

ben theils einzeln nimmt, theils zwey oder mehrere von ein⸗

ander verſchiedene von ihnen mit einander multiplieirt,
doch mit der Veraͤnderung, daß alle Produkte aus drey,
fuͤnf oder jeder ungeraden Menge dieſer Zahlen als nega⸗
tive, die Produkte aber aus zwey, oder vier oder jeder ge⸗

raden Menge von ihnen alſo poſitioe Zahlen betrachtet wer⸗
Dden muͤſſen.

§. 267.
Setzt man fuͤr , S, 7, , ꝛc. alle Prim⸗Zahlen, 2, 3, 5,
7, I1, 13, ꝛc. ſo iſt das Produkt

(I † 2) (I T† 30 (T † s) (I T 7) (I F II) (r † 13) c. = P

gleich der Einheit nebſt der Reihe aller Zahlen, die entwe⸗

der ſelbſt Prim⸗Zahlen ſind, oder aus verſchiedenen Prim⸗

Zahlen durch die Multiplication entſtehen. Es iſt alſo
P= I T 2 P 3 † 5 F6 † 7 † 10 † 11 † 13 † 14 15 P†47 Fac.
welches eine Reihe iſt, worinn alle natuͤrliche Zahlen, die
Poteſtaͤten, und diejenigen Zahlen, welche durch Poteſtaͤe
ten theil bar ſind, ausgenommen, vorkommen. Es fehlen
. nem⸗

Wer
ſegotid

DKI

Reſett wwit

R ſich

heils in⸗

der bet:

Ergiebt
mehrere,
NM

ere von eil⸗

ultiplcitt,

V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 301

nemlich die Zahlen 4, 8, 9, 12, 16, 18 tc. weil ſie entweder
Poteſtaͤten ſind, wie 4, 8, 9, 16, ꝛc. oder durch Poteſtaͤten
getheilt werden koͤnnen, wie 12, 18 ꝛc.

§. 268.

Auf eben die Art wird es ſich verhalten, wenn man fuͤr
ℳ, 8, 7, , ꝛc. die Poteſtaͤten der Prim⸗ Zahlen von irgend ei⸗
nem Grade lecr⸗ Macht man nem ie⸗
P= (I † ( 1 000 14 ) (1 (II ꝛc.
ſo wird, wenn man 3irflich multioleir,,
I I I I
P= IPzr 1 f zn SSE 1 tr — f ꝛc.
und in dieſen Bruͤchen kommen alle Zahlen vor, diejenigen

ausgenommen, welche entweder ſelbſt Poteſtaͤten, oder durch

Poteſtaͤten theilbar ſind. Denn da alle ganze Zahlen ent⸗
weder Prim⸗Zahlen, oder aus dergleichen durch die Multi⸗
plication zuſammengeſetzte Zahlen ſind, ſo fallen hier bloß
diejenigen aus, bey deren Zuſammenſetzung eine und die⸗
ſelbe Zahl zwey⸗ oder mehrmal genommen wird.

§. 269. .
Wenn die Zahlen «, e, 7, d, ꝛc. ſo wie vorhin (§. 266.]
negativ genommen, und alſo

=CI — 2) (1 — (1 ) — r — —) .

TI
geſetzt wird; ſo iſt
b =— 1 1 1 1 1 1
— Z2n 31 gn On 7 IOn IIn

13 † 15*

und

Sðõ

302 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel.

und denen, die durch Poteſtaͤten theilbar ſind, vorkommen.
Aber alle die zuſammengeſetzten Zahlen, die aus drey, fuͤnf,
oder jeder ungeraden Menge von Prim Zahlen entſtanden
ſind, haben das Zeichen — vor ſich; ſo wie hingegen vor
denen, welche aus zwey oder vier oder ſechs oder jeder andern
geraden Menge von Prim⸗Zahlen entſprungen ſind, das Zei⸗
chen † ſteht. So kommt z. B. in dieſer Reihe das Glied

361 vor, weil 30 = 2. 3. 5 iſt, und alſo keine Poteſtaͤt in

ſich enthaͤlt; dieſes Glied hat das Zeichen — vor ſich, weil
30 ein Produkt aus drey Prim⸗Zahlen iſt.

Nimmt man nunmehr den Ausdruck

I

H 2) (1 — S2) (I — 72) (1 — ⁹°2) (1 — 52 ꝛc.

und druckt man Reihe, welche man daraus, wenn man

wirklich dividirt, erhaͤlt, auf folgende Art aus:
I T AzZz T Bzza † Cz3 T DzZ4 T† E zZ“ † E zZ6 † ꝛc.
ſo iſt bekannt, daß die Coefficienten A, B, C, D, E ꝛzc. auf
die Art aus den Zahlen «, 2, , 9, ⸗, ꝛc. en tſtehen, daß
A = der Summe aller dieſer Zahlen einzeln genommen
B = der Summe aller Produkte aus je zwey und zweyen
C= der Summe aller Produkte aus je drey und dreyen
D = der Summe aller Produkte aus je vier und vieren
von ihnen ꝛc. iſt, doch ſo, daß dabey jede auch ſo oft als
mMoͤglich mit ſich ſelbſt verbunden wird.

§. 271.
Setzt 1 man 2 = 1, ſo wird der Ausdruck
I

—— (1— 1 — à (I — 5) t.
der Einheit nebſt der Relbe aller der Zahlen gleich, die aus
dieſen

V5

ihen ⸗,3
M 6
dern
un gimm
Nt ſich al⸗
dadurch,
ander mun

enthalt nen

Cuf irgeod
die Molti⸗

wo cle aus d
len oder al

(.—

2

wo keinean

mzuuſan

Getzt n
ile einze

kommen,
rih, fünf,
ſegen bor
aandern
das Gid

Poteſat in

ſch, deil

— 11 6

, E:e
1, M
motmmen
ndzweyen
und deyen
Und vinnn

s

diean
Nin

V. d. Reihen die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 303

dieſen «, 6, 7 ⁹, s, O, ꝛc. entſtehen, wenn man dieſelben
theils einzeln nimmt, theils zwey oder mehrere mit einan⸗
der multiplicirt, ſo daß man dabey auch jede mehr als ein⸗
mal nimmt oder mit ſich ſelbſt verbindet. Es unterſchei⸗
det ſich alſo die Reihe, die man hier erhaͤlt, von der H. 265.
dadurch, daß bey jener nur verſchiedene Faktoren mit ein⸗
ander multiplicirt werden durften, bey dieſer aber ein und
derſelbe Faktor zwey und mehrmal vorkommen kann. Es

enthaͤlt nemlich die gegenwaͤrtige Reihe alle Zahlen, die

auf irgend eine Art aus den Zahlen a, 8, 7, , 5 2c. durch
die Multiplication hervorgebracht werden koͤnnen.

Es iſt daher die Anzahl der Glieder dieſer Reihe alle⸗
zeit eine unendliche Zahl, die Menge der Faktoren mag
endlich oder unendlich ſeyn. Se iſt B.

I .I I 1I
EAft1 St s t e

1 — —

2 1
wo alle aus der 2 durch die Multiplication entſtehende Zah⸗
len, oder alle Poteſtaͤten der 2 vorkommen. Ferner iſt
D

1 I I I 1 1I
= I † — † — † — † – † — † — –
† 2 13 1+16 SI 5

I 1
I — — ) (I — —
a YU
1 1 I
Z I5 1781

wo keine andere Zahlen vorkommen, als ſolche, welche aus 2

und 3 zuſammengeſetzt, oder nur durch 2 oder3 theilbar ſind.

§. 273.

Setzt man daher fuͤr «, 6, 7, o, ꝛc. die Einheit, durch
alle einzelne Prim⸗Zahlen dividirt, oder

P =

304 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel.

1
— H (1— D)(I — )(I — )(1 — 7) (1 — r15) ic.
ſo wird
P=I f2 T111. 5 5 ir 15 e.

ſo daß hier ſowohl ale Prim⸗Sahlen, als alle aus inen zu⸗
ſammengeſetzte Zahlen vorkommen. Da aber jede ganze

2

P=

Zahl entweder eine Prim⸗Zahl iſt, oder aus den Prim⸗Zahlen

durch die Multiplication hervorgebracht wird, ſo iſt offen⸗
bar, daß hier alle ganze Zahl en ohne Ausnahme vorkom⸗
men muͤſſen.

“

§. 274.
Eben das findet ſtatt, wenn man die Poteſtaͤten der
Prim⸗Zahlen von irgend einem Grad enimmt. Denn ſetztman

4 I
P= . 1 1 1 1I .
— (r- ) (1— ATI — 2) (H1 — — t.
2¹ Zn. Sn 71 1IIn
ſ⸗ wird —

wo alle natuͤrliche Zahlen ohne Ausnahme vorkommen.

Hiebt man aber den Faktoren allen halben das Zeichen t,

ſo daß
P=-: . .

iſt: ſo wird

I

1I I I II. 1
P=I— — — f — I ½E —I —ILEI L— .
21 Zn. 4 Sn 62 71 l 919 1010
Hier haben die Prim⸗Zahlen das Zeichen — vor ſich; ferner
ſind die Produkte aus zwey einander gleichen oder ver⸗
ſchiedenlen Prim⸗Zahlen mit dem Zeichen 1 verſehen, und
H eben

V

er des
en, dl
mden, e⸗
ſie unger

hraucht w.

2. 2 2. 2.5
in 27oen

Wenn
ſonge dieſ
wen Nei

-
d
CQS(-
ſbeſt
1eIf.

t⸗

Eleragk

p ſoN
ſinzm ,.
Prin⸗Yohlen
0 iſt offen⸗
ns parkam⸗

vorkommn.

13 Rchen ,

1
1 * — ,
1.

ehen,
ben

.

V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 305

eben das findet allemal ſtatt, wenn die Menge der Prim⸗
Zahlen, durch deren Multiplication irgend ein Glied ent⸗
ſtanden, eine gerade Zahl iſt; iſt hingegen dieſe Menge
eine ungerade Zahl, ſo muß das Zeichen — wieder ge⸗

braucht werden. So hat das Glied 5 weil 240 =

2. 2. 2. 2. 3. 5 iſt, das Zeichen †. Der Grund hiervon liegt
im 270ſten §, wenn man 2 = — I ſetzt.

Wenn man dieſes mit dem Vorhergehenden [ſim An⸗
fange dieſes Capitels] vergleicht, ſo erhaͤlt man dadurch
zwey Reihen, deren Produkt = I iſt. Es ſey nemlich

1
P = —
I I I I I
1— —,) (I – = 1— — 1 — – — —
und
= (r — ) (1 — 2) (.— 5 — D — u)re.
ſo iſt
I
P= I — — — — — — *
†. 219 1 41 1 † n 5 1† Ge † c
und

21 31 51 En 7 IOn 1 In
[§. 26] und es faltt dabey in die Augen, daß P Q1 iſt.

§. 276.
Setzt man hingegen
I

D. = —
— ł

1 J I 4. ₰
rn) (1 † 5 (1I † ⸗ 17 † r ꝛic.

Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. I. D. U CQ=

306 Eiſtes Buch Funf zehntes Cinidl

l 1)r1 ꝛ.

5 n. 71

o=rI † c

2n zn zn on zn TIon. III
und es iſt auch hier P Q = 1. Kennt man daher die Sum⸗
me der einen Reihe, ſo kann man auch die Summe der an⸗
dern finden. S .

§9. 277.
Umgekehrt kann man aus den bekannten Summen die⸗
ſer Reihen die Werthe der ohne Ende fortlaufenden Fak⸗
koren beſtimmen. Denn ſetzt man

N= = 3 1 ⸗ 1† 4R— 5 † ꝛc.
ſo iſt
— — und
a - K W .
N = 1 .
— )01 — er⸗ C= ) 1.

Dieraus ergie⸗ ſich uis die Diviſon
und daraus findet man
MM 21 I3n T I Sn † I 7n † I IIn E I

XN 229 — T 31 — 1 Sn — I 7 — 1 11 — 1 *
Sind

6

Ei dun
uthedi
s anch d

—I-
MI

und daran
ndere he

ummen die⸗
ſfenden ſt⸗

und

V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 307

Sind daher M und N bekannt, ſo kann man einmal die
Werthe dieſer Produkte finden, und dann erhaͤlt man dar⸗
aus auch die Summen folgender Reihen

1 1 1 1 I 1 1I r
M1— — in en en n eon in e,
3 S 4 10 I1
1 1 1 I „ 1 1 „ 1I 1
„ . 5 6 —7/211 1O'n ILen
M 1 I 1I
A. 11 I IT I TI f L f 1 — r.
N n 319 Sn 6Gn f Iocon LIn
N I 1 I T † I I 1I— T
— I—— — — — — — — — — — —
N „II 319 41 Hl 6n 11 8¹² 1 9
I
101

und daraus laſſen ſich vermittelſt der Combination ſehr viele
andere herleiten.

Erſtes Exen ipel.

Es ſey n = I. Da nun, wie wir oben bewieſen ha⸗

1 X2 X3 X .
ben, 1 1 3 1— 14 — † c. iſt,

5
e I .B
ſo erhaͤlt man, wenn man X = I ſetzt, = 10O0 =—

I 1 † — 1 † 7 † ꝛc. Aber der Logarithme einer

mendlich goz zen Zahl iſt ſelbſt unenendl lich groß, und folg⸗
lich iſt

1 r 1 I 1 1
M = I † — † — † — † — † – † — † ꝛc. = £◻⏑
*2 1 3 4 5 67
I I

Da nun hierdurch — R = – = o wird, ſe iſt

I 1 1I „ I 1I 1I1
I — — — — — ——11 r
2 3 5 96 7 10 11 13
TI 1I
— †+ — .
14 15

308 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel.

Ferner hat man hieraus
1 .
(1— 5) (1 — 1) (1 3) 1 .
und dieſes giebt

M = 0°0°π=

.

II 13 17 109

2 3 5 7
„ — —. —, —, — . * .—— (c.
I 2 4 6 10 12 16 18
1 2 4 6 10 12 16 18
— — - - — .⸗— 26.
2 3 5 7 I11 13 17 19

Hiernaͤchſt iſt nach den oben [F. 167. f.] erklaͤrten n Regeln
von der Summation der reihen⸗

I 77
— 1 † — † — T — † — † — † — —
12: 1 z 1 1 5 2 1 7 2 † 7: kK. =
und daraus fließen folgende Eunmen “
6 — 1I I 1 1 1, I I
7½ 22 32 52 62 72 102 I12 *
1 I 1 1 1I 1
0◻= I † — — — — — — —
L 17 13 7 1 7 12 t 16 1 11 *
1 I 1I I 1 1I 1 1
„% = — —- — — T — — T —- — — — — —
2 3 1 4 5 6 7 8 9
„ 1I 1
Endlich erhaͤlt n man fuͤr die Faktoren
22 32 32 72 112

— —. — . rc. oder

6 22—1 32 —1 52 — 1 72—II12—I1
2 = 4 2 25 49 121 169,
“ 8 24 48˙ 120 168

r — = o iſt, ſo iſt ferner

V
8 12 14 18 290
7 n 13 17 19
2. II 13 17
8 12 12* 14 18 20

00

— —c. „ desgeichen

In dieſen
die Zuhle
dirt man
ſo geben!
13, I7, 1

Dann ſi
Rkannt

77

V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 309

3. 4. *⁶ K§. 12 14 18 20
1 . 2 4 6 10 12 16 18
1/ I 2 3 5 6 8 9
— —. —, — , — —. —. — — .
3 2 3 4 6 7 9 10

In dieſen Bruͤchen ſind, wenn man den erſten ausnimmt,
die Zaͤhler allenthalben um 1 kleiner als die Nenner: ad⸗
dirt man aber den Zaͤhler und Nenner eines jeden Bruchs,
ſo geben dieſe Summen die Prim⸗Zahlen 3, 5, 7, 1II,
13, 17, 19 ꝛc.

Zweytes Exempel.
Setzt man n = 2, ſo iſt aus §. 167.

11† 111 DrI zr⸗=
M=I Ä– T† — † — † - † – † — † . = –—
222 32 42 52 62 72 1 6
1 1 rI 1 1 1 7 4
N=IT –— — — — — † — †. 20. — —
21 1 33 1 54 f 63 t 721 90
Hieraus laſſen ſich zuvoͤrderſt folgende Reihen ſummiren
66 1 I I I I 1
— = 1— — — — , 4 ==- — ic.
„ 22 32 52 62 72 102 2
0 1 1 I 1 I 1
22— 1 rE 1 — — r.
* 4 24 34 54 64 „4 * 104 114
5 I 1 17 1 1 1
— = 1 † — † — † — † — † — † – † — + ꝛc.x
2 122 t 52 52 6 1 72 l o⸗ 112
727 1 1 1 1 1 1 1 '1
15 22 32 42 52 62 72 82 92
I
1 102

Dann ſind daraus auch die Werthe folgender Produkte
bekannt M

zx7J 22 32 2 22 II2 .
6 22—1 32—1 52 — 1 72—–1 II12 — 1
*4 24 34 54 74, 114

90 24—1 34—1 54—1 74—1 114—1
u „

310 Erſtes Buch. Funſzehntes Capitel.

15 =– — I. 37 11. & 11.2 I. I. ꝛc. oder
71 22 3 * 5 77 IIZ=
2r. 4 9 25 40 121 169
15–5 10' 26 50 122 170.
desgleichen
2 2 2 –. 2
= 1.3 U. — . 22 . . e. oder

72 — I 112—

O n

3 4 12 24½ 60 84
5 13 25 61 86
— — —. —. —. :(. .
2 4 12 24 60 84
IJn dieſen Braͤ hen ſind d ie Zaͤß hler allenthalben um rgroͤßer
als die Renner, beyde aber zu einander addirt geben die

Muadrat e der Primn⸗ Jahlen 32, 52, 72, I12, ꝛc.

Drittes Exempel.

Da wir nach dem Obigen den Werth von M bloß dann

angeb en koͤnnen, wenn n ein gerade e Zahl iſt, ſo ſey nun⸗
mehr 9 = 4. Alsdann iſt
J I TL . 7„
81 † 2. 1 r. f . = T8.
N = I † –— — 35 † = † ꝛc. = —
12 5 68⁸ 945⁵0
Darnach laſſen ſa zabbedtt ſol gende Reihen ſummiren
1I .I 1 1I X
2 4 2 4½ 3 34 64 74 104 II4
JI . I 1 ,„ I 1I
5 28 38 58 68 78 I108 I1I8
105 J 1 1I
—ꝑ — I — ſ. — * —= — † — — c.
. 4 1 24 1 34 54 604 74 104 114
4 1 — I r
— — — I 1 . —. — rL 2c.
105 24% 24 44⁴ 54 64¾ 74 8 % 94

Rion
Nan. Der

und a
men nien

IMN=

74

—

90
58

- —
—

94,
ſumminn

—
—

6

V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 311

Hiernaͤchſt findet man auch die Werthe folgender Produkte

74 24 34 54 74 I14
— —. — „ 20.
90 — 24—1 34—1 54— 1 74—1 11 * — I
7„. 8 2 8 3 8 58 78 11 8
= — —. .

9450 28—1 38—1 5 8— 1 78—1 I1,8 — I
105 = 34 †I PI 54 † I 72†I 114 † I

—. — — AN —„ 9* 20 c. und
. 4— 24 34 54 74 1II
7 24 f I 34 11 54 † 1 74 † I I1I 4 † I ze. ode
— —. —. — — 2. OD
6 24— 1 34—1 54—1 74—1 114—1 r
2
35 — 41. 213 1201 7321 ꝛc, P

34 40 312 1200 7320

In dieſen Bruͤchen ſind die Za=ͤhler allenthalb en um 1 groͤßer

als die Nenner, beyde aber zu einander addirt geben die
Biquadrate der ungeraden Prim⸗Zahlen, 3, 5, 7, II, 2c.

K. 27989.õ
Da wir hier d die Summe der Reihe
M= I† 1 F S † ꝛc.
auf Faktoren gebracht haben, ſo ſetzt uns dieſes i in den
Stand, unſere Betrachtung auf die Logarithmen auszudeh⸗
nen. Denn da
1

M = — V
— t . t — In d⸗
iſt, ſo hat man daher

1 — — — 1 1— 2) — 1 17 1 i — ..
1M = - I1 ( 72

und es iſt folglich, wenn man die hnperdoliſchen Logarith⸗

men nimmt,

1M= † 1 12 1 1

312

7

Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel.

1
= . k rsdRi
† — — — —
1
r6 24 1 1 74n 1 1n)
ec.
Setzt man nun auherden
N 1 222 1† = † z5 † 1g 4 c. ſo daß
1I
N = — —
— (1—– –—K1— — V1 ʒ—ð .
— C 32n01 5n0 Rza t.

wird: ſo iſt, wenn man wieder die hyperbol iſchen Logarith⸗
men braucht,

IN = = CSE. . r rr 1 ꝛc.)
1C 1 . t)
1 Ge= es 1 ger 17 1 r .)
tisr t & T l t )

Aus dieſen beyden Beſtimmungen aber folgt

1M=— * 1N = S PC.1* I T
n t zr tzntzn ni c)
1
5 1i nrr 3 712 Srigrrzer. nst c.)

2c.

§. 279.

Da ober
ſich, ſond
foch ⸗
Nr erſten

geſ ſon;
Kuinger as

i

x ſo i⸗

—

1

——
Ulan

apͤch

Sõ

V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 313

Setzt man n = 1, ſo wird M= I †TTIYic.

S= 1 ◻◻, ([5§. 277. erſt. Ex] und N = . Folglich iſt
r† 1 „ I 1 1 1
1. 1 00 — 4 1 — = † 1 (— † = F – T = r —
313 11 c I r T 7„ II t .)
„1 1I 1I „ 1 I
1 S F P 5 173 T5 t.
1 1 1I I I

I I I I I
7 22 1 1, 117 † ꝛc.)
Da aber dieſe Reihen, außer der erſten, nicht nur jede fuͤr
ſich, ſondern auch zuſammengenommen, eine endliche und

noch dazu ſehr kleine Summe geben: ſo muß die Summe

der erſten Reihe ¾ † 4½ † ½ † *½ † rr † c. unendlich
groß ſeyn; ſie iſt nemlich um eine hinlaͤnglich kleine Groͤße
geringer als der hyperboliſche Logarithme der Reihe 1 † ¾
T1TZTZT YT ꝛc.
§. 280.

. x 4
Setzt man n = 2, ſo iſt M = — und N =

Folglich wird

1 1 1 1
317 — 16 = F 1 (=2 1 52 l 52 172 †

△

— P tt.)

II2

I I 1 „I 1

1 46 † 5 5 1 76 1 1 ie.)
e.
uU 5 4

zr4 Erſtes Buch. urftehnte⸗ Capitel.

I

als — 190 = f 101 12 12 1 1 ., ..))
At: At St getr
8 118
1 1
3 t 512 1 I i)
2ꝛc.
1 1 I
I11= † I (— † — † — † — † — † 2
„ 1 2 1 32 52 122 † 112 c.)
iGerS r E11
3 d26 36 5 76 1 6 † tc.)

I
7 14 G, z18 1 1 1 1170 1† e.)

20.

§. 281.
Obgleich das Geſetz, nach welchem die Prim⸗ Zahlen
ſorſſoreten nicht bekannt iſt, ſo laſſen ſich doch die Sum⸗
en der hoͤhern Poteſtaͤten dieſer Reihen ohne Schwierig⸗
reit naherungsweiſt beſtimmen. Denn iſt
† ꝛc. und

U

S S Hr r

21 3¹
ſo iſt “
I I 1 T I
5= M — 1— — = n 6 .
und da
M 1 1I I I T .
2 — n i — F n &n † r 1. n 1 c.
ſo wird

und de
AId-=

ſ,ſvit

Da alſo )
von ſehr

Einde
o lann ma
nen der ni
fgende S
141
1 4
Wd
R

in⸗ Zahlen
„ / 4
Sawierig

Wd

V.d. Reihen, die aus der Entmigelder Fakt. entſpr. 3 15

M
= u — X - 1 7

oder

= (M— 1) (1 —

und da
1
M. .— — =

iſt, ſo wird
⁸=(A— nd - — Dt

I I 1
92 I59 21

1 1 1

ð — — — — e.

2 On 15² 219 25

t Stiy n i

3³ 151¹ 21*9

35 z5

279

Da alſo M bekannt iſt, ſo findet man hiernach den Werth
von S ſehr leicht, wenn n eine nur einigermaßen große Zahl iſt.

Eind aber die Summen der höhern Poteſtöten bekannt,

§. 282.

ſo kann man aus den gefundenen Formeln auch die Sum⸗

men der niedern Poteſtaͤten beſtimmen. Auf dieſe Art ſind

folgende Zrmme⸗ der Reihe

1 r = t n

5¹
gefunden worden.

IIN 131¹ 179

Wenn geſetzt wird, ſo iſt die Summe der Reihe

2
4
6;
8;
10
12;
14;
16;

I I I UI I N:

5 555588 2

I
—
*

0,45 2247420041222

,076993139764252

0,0 17070086850639
O, 004061405366515
0,000993603573633
0,000246026470033
O, 000061244396725
o,00ο0ο⏑ο⏑1K 2 8202621 9
,oο3S727870

ne

„

316 Erſtes Buch. Sunfzehntes Capitel.

n = 20; 0,OOOOOO953961123
n = 22; o,000OOOO338450446 .
n = 24; O, OO ωοποω—Jͦνι9 608184
n = 26; o, 0OOOOOOI490I55 5
n = 28; OC, 000000003725333
n = 30; o,0Oσι0νοονυοοωοσ ρ31 323
n — 32; O,000OOOOOOO232830
n = 34; 000000000058207
n = 36; ,000000000014551

Die folgenden Summen der geraden Poteſtaͤten findet man
dureh eine fortgeſetzte Diviſion durch 4.

5. 283.

Die Verwandlung der Reihe 1 1 1†2 — † 1 † ꝛc.

in ein unendliches Produkt kann aber. auch. auf ſoigende

Weiſe directe vorgenommen werden. ⸗ ſey

A= 1†2 =ð 1 1 12 1 † † ic. .

31¹ *
Eubfrahit man berwer
1 ½
R 41 1 1„ 1 K 1. ec

ſo erhult man ”ÿUMU .

A A 1 2c. = B
4 1 4 2= c. = b,

eine Reihe, in welcher alle durch 2 theilbaren Glieder feh⸗
len. Eubtrahirt man ierner htervon

.
— B — —.. naranen n
39 3 A 1 1† 21 1 1† ic.

ſo bekommt man

r — =) B =IF T T f — †
r- 3) B = I12 1 1 An t t* =

worin

7, II, W
wegbringe
Maſhaff
der allen
H, D

Dieſe
nehr auc
gefunden
Nan. Du
Reihen
1

1——

31
weun n

ada wan

1
1

Giagic⸗

voria

V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der dakt. entſor. 317

worin außerdem auch alle durch 3 theilbaren Glieder ſeh⸗
len. Subtrahirt man alſo wieder hiervon
I 1 I
Fc =g t t1 57 1 S5 1 .

ſo wird

— c= 1 † . t 1 r.

7 IIn 132 171

ſo daß nunmehr auch alle durch 5 theilbaren Glieder weg⸗

geſchafft ſind. Da man nun auf dieſe Art auch alle durch
7, II, und die uͤbrigen Prim⸗Zahlen theilbaren Glieder
wegbringen kann, ſo faͤllt in die Augen, daß nach der
Wegſchaffung aller durch die Prim⸗Zahlen theilbaren Glie⸗
der allein die Einheit uͤbrig bleibe. Setzt man daher fuͤr
B, C, D, E ꝛc. die ihnen zukommenden Werthe, ſo findet man

A t — CI = ) a — HaH D c. = I

und es iſt daher die Summe der gegebenen Reihe =
1.

A= —, oder

I .

2n 320 5n 79 11I11

— * 9 * * —
An—I 329 — I 52.— I 71— 1 I In.—

*

Dieſe Methode laͤßt ſich ſehr gut gebrauchen, um nun⸗
mehr auch andere Reihen, deren Summen oben von uns
gefunden worden ſind, in unendliche Produkte zu verwan⸗
deln. Wir kennen aber a aus §. 175. die Summen dieſer

Reihen ”ÿMBÿ “
I I I M
I — — — — — — — — — — 20.
3 1† 5n 79 ½ 7 1IIn † 131

wenn n eine ungerade Jahl iſt; denn der allgemeine Aus⸗

druck

318 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel.

4

druck fuͤr dieſe Summe iſt Næn, und die Werthe von N
finden ſich am angefuͤhrten Orte. Da hier bloß die unge⸗
raden Zahlen vorkommen, ſo muß bemerkt werden, daß
dieſelben das Zeichen † vor ſich haben, wenn ſie unter die
Form qm p”† gehoͤren, und das Zeichen —, wenn ſie unter
dem allgemeinen Ausdrucke 4 m — 1 begriff en ſind. Es
ſey alſo
3n Se en n n n 5n
ſo iſt, wenn man dazu

1 I I 1
31 IIn n I 1 2c.
addirt,

1

G1H) A=rr N — — 1 — — ic. = B

7 1 I11 131 17*9

Ferner erht llt man, wenn man hiervon

X1 I I 1
Sn 5n 2 51¹ 35 £ 1 5 5¹
ſubtrahirt,
1 . 1 1 1 1.
(r — ) B= 1— — kk. — P — — ꝛc. = C
. 5n 7 IIh 1I Zn 1 715

worin bereits alle Zahlen fehlen, die durch 3 und 5 theil⸗
var ſind. Addirt man nun wieder

1c= 1 2— IL 1.
n n 4 GP n ic.

ſo fallen auch die durch 7 theilbaren Zahten weg, und es wird

ar, e= t: - “

Hiezu DMUD
1I 1 1
I I I I21

P.d. N

Gt⸗

ides ſind
chracht wr
Non nach!
Zahlen the

Hier komm
Zhlen vo⸗
entweder
dem die
Oder unter

Sch
7
A= -
4
8
4 4
Wnhaden

X

—
— —

6
Dividirt
ſo wird
1
oͤder
7

— =
2

tche dn N
de n

V. d. Reihen, die aus der Camet der Fakt entſpr. 319

(r? — b= 1† — † — — LK. E

1II In 1 2 312

und es ſind alſo auch die l 11 theilbaren Zahlen weg⸗

gebracht worden. Faͤhrt man auf dieſe Art fort, ſo findet
man nach der Wegſchaffung aller durch die uͤbrigen Prim⸗
Zahl en theilbaren Zahlen endlich

A1 Ct — kzer 6— .) c. = 1
3

oder
3 n 79 IIn 133 177

3n † I Sn—– 1 7n † I IIR T I?* 13n — 1 17n
Hier kommen in den Zaͤhlern die Poteſtaͤten aller Prim⸗

Zahlen vor, und eben dieſe Poteſtaͤten ſind in den Nennern

entweder um 1 vermehrt, oder um 1 vermindert, je nach⸗
dem die Prim⸗Zahlen entweder unter die Form 4 m — 1,
oder unter dieſe, 4m †1 gehoͤren.

§. 285.
Setzt man alſo n = 1, ſo erhaͤlt man, weil alsdann
8x
. ſ

haben wir oben 1. 277. . S. gefunden
6 3 J2.4 4. 6 6. 8 10.12 12. 14 16. 18˙ 18.20
Dividirt man daher dieſe zweyte Summe durch die erſte,

ſo wird

Nu

II 13 17 19 23
10 14 I18 18 22
1II 13 17 19 23
10 14 18 18 22

*

Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel. DR
Hier machen die Prim⸗Zahlen die Zaͤhler, und die unge⸗ „ U
rademal geraden Zahlen, die ſich von dieſen Zaͤhlern um 2 33
unterſcheiden, die Nenner aus. Dividirt man aber dieſes iun giebt e
Letzte nochmals durch — ſo wird ⸗
— 4 4 £ 12 12 X6 206 24. gach §. 27
2 — 2 6 6 10 14 18 18 22. c. oder
1.4.4. 4. . . . a „
und hierin entſtehen die Bruͤche aus den ungeraden Prim⸗ — J
Zahlen, wenn man dieſelben in zwey um 1 von einandere
unterſchiedene Theile theilt, und die geraden Theile zu den Doſdirt n
Zaͤhlern, die ungeraden hingegen zu den Nennern nimmt. ſowed
§. 286. 22:
Vergleicht man dieſe Ausdruͤcke mit der wallſſchen ddh
Beſtimmung I§. 185.]) itnn
2 22 4 4 & L . 12. aen
2 1. 3. 3.’5. 5. 7. 7. 9. 9. 11. 11 DaI
oder
2 = 23. . a. . ee
„ 2. 4 4 . 6 6. 8 8. 10 10. 12 * ðMä
ſo ſnder man, wenn dieſen letztern Ausdruck durch .
7 3. . 3 5§.5 7. 7 1II. 11.II 13. 13 ze Ddent
= 2.4 4. 6 6. 8 10. 12 12. 14½ olen we
aus dem vorhergehenden §. dividirt, -31—e le theilt,
. 32–—2:9 15.15 21:21 25:25 ”M geroden e
xʒ3 8. 10 14. 16 20.22 24. 24. 26 ꝛc.
wo in den Zaͤhlern alle ungerade Zahlen vorkommen, die
keine Prim⸗Zahlen ſind. us die
§. 287. nacht werde
r Nernern vo
Setzt n man n = 3, ſo wird A = 7 [§. 175.] und
daher ““l 78:
Eun ersg

6.

nd die ge
ihlernum
cher dieſe

1e. ode

aden Pein⸗
don einonder
Theileſ den
meen umnmt.

Waliſchen

2—

konmen, die

m m

V. d. Reihen, die aus der Entwickel der Fakt. entſpr. 321

3 33 53 7³ 113 133 173

—— „„„ —— 8Lc.

32 33 † 1 3 † 1 53— 1 7³ †1 113 † 1 133—1 173— 1

Run giebt aber die Reihe [§. 167.]

„ 6 I 1
— = I † — † = † — † — ic.
945 26 36 46 56 1
nach §. 277.

726 26 36 5⁶ 76 I1I6

—

—

945 256— 1 36—1 56—1 76—1 116—1 136—

oder
g. 6 36 56 76 116 136

— = — · — — — — 2
△

960 36—156—1 76—1 116—1 136—1

Dividirt man alſo dieſen letzten Ausdruck durch den erſten,

ſo wird

X 3 33 53 73 1I 3 133 173

30 — 33 — 1 53 † 1 73— 1 113— 13 3 † 1* 173 † 1
und dividirt man dieſen nochmals durch den erſten, ſo er⸗
haͤlt man

16 — 2¹† 1 — 7 1 † I II3 † I 133— 1 22—1

15 33—1˙ 53 † 1 73—1˙ 113—1 133 † 1. 173† 1

oder
16 14 62 172 666 1098 ,

—

I5 13 63 171 665 10996

Dieſe Bruͤche entſtehen aus den Cubis der ungeraden Prim⸗

Zahlen, wenn man jeden in zwey um 1 unterſchiedene Thei⸗
le theilt, und die geraden Theile zu den Zaͤhlern, die un⸗

geraden aber zu den Rennern nimmt.

§. 288. DWRMWRW

Aus dieſen Ausdruͤcken koͤnnen wieder neue Reihen ge⸗
macht werden, in welchen alle natuͤrliche Zahlen in den

Nennern vorkommen. Denn da

2— 7. ... 3

4— 3141 — 1 7 †1 II TI 13—1
Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. l. D. intt,

322 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel.
iſt ſo iſt

lr. Mw 1
6 (Tr † ) (1 † †) (1 — P) (1 † ᷓ) (1 † 2) (I1 — 11 c.
und daraus erhaͤlt man, wenn man entwickelt, dieſe Reihe

5 6 7 8$ 9

Mit den Zeichen verhaͤlt es ſich darin ſo, daß die 2 das Zei⸗

chen —, die Prim⸗Z Zahlen von der Form 4 m — 1 eben⸗
falls —, die aber von der Form 4mF† 1 das Zeichen †,
und die zuſammengeſetzten Zahlen endlich das Zeichen ha⸗
ben, welches ihnen nach ihrer Entſtehung aus den Prim⸗

Zahlen uranmt e So bekommt der Bruch das Zeichen

—, weil 60 = 2. 2. 3. 5 iſt, und die drey erſten Zahlen hier
das Zeichem —
Auf eine aͤhnliche Art iſt

1
2 — 5 1 5 — D TT — ) .
und daraus en tſteht die Reihe
„ I I „ I I rI
— — — 244 — 1 ½ 1

Hier hat die 2 das Zeichen 1, die Prim⸗Zahlen von der

TI

.
1 *c.

Form 4 m — I das Zeichen —, die von der Form 4Am † 1

das Zeichen †, und die zuſammengeſetzten Zahlen bekom⸗
men das Zeichen, welches ihnen nach ihrer Entſtehung aus
den Prim⸗ Zahlen zukommt. —
F. 289.
Da ferner
2 (1 — † 5 — ,) 3) 20.
iſt, ſo erhaͤlt man durch die Entwickelung

, 2

‚und die letzte allein das Zeichen 1 hat.

4
— I ½

5
₰ℳ

o blos die

beſchaffen

An — 1de
das Zeichen
der lonn
ober ſoſen

e Zahlen r

ho ie d
Im — Y ehen

Zeichen — hal

4m —Id

deichen —

Mun
Neichen fin
1, 3

füntn

V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 323

7 I I T 1I
— =I12 r rrPrr e r.
2 3 5 7 9 II I3 I3
0—G).. wo bloß die ungeraden Zahlen vorkommen, die Zeichen aber
die eihe ſo beſchaffen ſind, daß die Prim⸗Zahlen von der Form
. 4 m — 1 das Zeichen †, die von der Form 4 m † aber
das Zeichen — haben, wodurch denn zugleich die Zeichen
dierdu der zuf ſammengeſetzten Zahlen beſtimmt werden. Hieraus
n — n aber laſſen ſich ferner zwey andere Reihen finden, worin
ns Neihnt, (alle Zahlen vorkommen. Es iſt nemlich
1 Nichen ha⸗ 1 l
uus dn Peim S H 1 3) C — 3) I — Wr) (1 †T 75,) 2%
Mgien und daraus ergieht ſi ) durch die Entwickelung “
ſen gohee hie *= I † 213 3 15 5 51 7 5 5 e.
Nigen ih⸗ wo die 2 das Zeichen +†, die Prim⸗ Zahlen von der Form
4 m — I ebenfalls k, die von der Form 4 m % 1 aber das
— Zeichen — haben. Dann iſt aber auch
– x. .
3 (1 D 1— 3)(1 — 17) (1 † 71) ic.
tit 1r. unnd hier giebt die Entwickelung .
aor ze rz 1- 517- 5 t7 113 1
wo die 2 das Zeichen —, die Prim⸗Zahlen von der Form
13 4 m — 1 das Zeichen † und die von der Form 4 m † 1I das
Enirfuß Zeichen — haben.
§. 290.

Man⸗ kann hieraus noch unzaͤhlige andere Folgen der
Zeichen finden, ſ daß die Summe der Reihe

X
— 1, 2, ¾%, †, * 6/ 7, v, ꝛc.
IT.

beſtimmbar bleibt. Da nemlich

5.·2 X 2 “ r: 2

Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel.

324
2 (I1 — 2) (1 † 4) Cc1 — ⁵) Cr T 5½) (I T rr) ꝛc.
iſt, ſo bekommt man, wenn man dieſen Ausdruck durch —
= 2 multipticirt, .
„ = und

(1 — . (1 35 1— ) (1I † 3 (1 † 11) ꝛc.

„= I1 † — 11 r — 5 157 E g o ꝛc.

Hier ſind die 2 und die 3 Zpoſtid, bie uͤbrigen Prim Zahlen
aber, wenn ſie unter die Form 4 m — 1 gehoͤren, negativ,
und wenn ſie unter dieſer, 4m † I, begriffen ſind, poſitiv,
woraus ſich denn ferner die Zeichen der zuſammengeſetzten
Zahlen beſtimmen laſſen. Auf eine aͤhnliche Art ſindet

man. aus
= — —
(rr — 4) c1 — X) (1 *½) (1 — ½) (1 — r1) 2.
1 † F 3

wenn man dieſen Ausdruck durch — = multiplicirt,
3
2 (1—4)(1 — 1) (1 — ) (I — ) (I — rY) ( Tr5) (1Tr,c.
und hieraus fernee durch die Entwicke ung
rFEItEI t t t5lyIS rt .

wo die 2 und die eiue Jahlen⸗ von der Sorm 4 m – 1 poſi⸗
tiv, die Prim⸗ Zahlen von der Form 4 m †1 aber negativ
ſind, bloß die 5 ausgenommen, welche ebenfalls poſitiv iſt.

§. 291.
Aauch laſſen ſich unzaͤhlige Reihen ſinden, deren Summe
Sao iſt. Denn da (§. 277. S. 3023.)
o= – 3 „ 11 . 13 14. r.
3 4 06 8 12 14 18
iſt,

4 2 *

„ .
neene

1 1

— ½

0—

ind darans

9 1 2-
. 7

annnt das
0— —
t)
nd daraus en

01— —

wo olt huͤ

Neichen —
S.o, wpenn
Nichen —,
ſer einigen

Uich habe

1XK

1
urq̃ 4
1— *

3

—
m).

1 1
——

10 i
Prim Zahlen
ten, negetit,
ſind, poſtit⸗
mengsiehen
he Ret ſrde

üast,

5 I 77 /.

1R
* XK
7

In l uſ⸗
aher hati
eſtin iſ.

eren Gunne

iſ,

V. d. Reihen, die aus der Entwickel der Fakt entſpr. 325

O0 —

1
1¼ 2) (1 T2⁄) (1 †. T NN
und hieraus wird, nach §. 276.]

1
0— 1 — — — — † — — † – — — —
2 314 5 6

7) (1TTα²⁰.

I = I 1I
10

7 8 9
wo alle Prim⸗Zahlen das Zeichen — haben, und die zu⸗
ſammengeſetzten Zahlen ſich nach der Regel der Multipli⸗

cation richten.

1 . 2
1— 2

Multiplicirt man aber dieſen Ausdruck

= 3, ſo iſt auch
— — 1
*(i — ) THTD GTH) G †T) ) 1.
und derans ſindet man durch die Entwickelung
1 1 I I I I I
2 3 4 5 b 7 8 9 10
wo die 2 das Zeichen †, die uͤbrigen Prim Zahlen aber ins⸗
geſammt das Zeichen — haben. Auf eine aͤhnliche Art iſt
(IT 2) (1 — ) (1 — P (1 †
und daraus eneſpring die e

o= I

DCT ) (1 7 c.

1 I TI 1
0= 1— — † — †°☚ — † — – – — — — — — L.
—t 5 12 41 5 † 16 ꝛc
wo alle Prinns. ahlen, dis⸗ 3 unb die 5 ausgenommen, das
Zeichen — haben. Ueberhaupt iſt die Summe dieſer Reihe

= o, wenn alle Prim⸗ Zahlen, außer einigen wenigen, das

Zeichen —, und hingegen = O0., wenn alle Prim⸗Zahlen,

außer einigen wenigen, das Zeichen † haben.

§. 292.

Auch haben wir oben 6 176. idie Summe der Reihe
I — I 1
A =I— fT. — 1 † 1 — 1 1 — 1 1
2 n I FSn 7 11 8n I 01 I In 1 Z1
X 3 wenn

326 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel.

wenn n eine ungerade Zahl iſt, gefunden. Da nun hieraus

I 2= L. I † 1 1 I
29 2;9 4 1 8n 102 14n — Lc.

iſt, ſo bekommt man, wenn man dieſes zu dem Vorher⸗
gehenden addirt,

—— 1I 1 1 1
B= (I1 —)) A= — f — 1 —--=
2¹ 5n 71 119 131¹ 175
1 1 1

Addirt man ferner hierzu
1 1 I 1
51 en 25¹ 35¹ 551
ſo bekommt man

S= 11 I
C= (I † —) B = 1I † –

2 3n
ſo wie hieraus, wenn man davon
TI = 1 1I
7 7 46on 772
ſubtrahirt,
I
= (1— C=I —
75 1 1n 13 I7n 191
entſpringt. Faͤhrt man auf dieſem Wege fort, ſo findet
man endlich

IIn
wo alle Prim⸗ Zahlen, welche die Vielfachen do von 6 um 1
uͤberſteigen, das Zeichen —, diejenigen aber, welche um
1 kleiner ſind, das Zeichen † haben. Es iſt alſo
A= -— . —- 1 3— 1c.
2 † 1 51 † I * 79 — I

= I

4 1)1 2) t- 1 5

. IIn † 1 * I3n — 1

K. 293

Ar

vorkommen,

(ieden, 1

1 —
7
K, ſ 1 6 fod⸗

—

Noidirt,

767

—
—,

2

W die enn,

ſt, nn 3

hieraus
Wether⸗

— —

131¹ 11

V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 327

un ſey n = 1, in welchem Falle àA = – wird,

[F. 176.] ſo iſt
— 2 5. S. 13 17 19
3V3 3 6 6 12 12 1818
wo in den Zäaͤhlern alle zanf die 3 folgenden Prim⸗ Zahlen
orkommen, die NRNenner aber von den Zaͤhlern um 1 unter⸗

. .

ſcieden, und alle durch 6 theilbar! ſind. Da nun
I5. 277. S. 309.] .
=— 4 2²% 5. 5 7.2 II. II 13.13 N.
66 3 8 4. 6 6. ₰ 10.72 12.1k4

iſt, ſo findet man, wenn man n dieſen Ausdruck durch jenen

dinr
V 32 2.2. Y. 11r. 13. 17. 29.

————

2 4 4 8 1i0 14 20

wo die Nenner nicht durch 6 theilt bar ſind. Oder es iſe

II 13 17 19 2
2V 3 6 6 12 12 I 18 24*
27F 5 7 II 13 1, 19 23
3V3 4 8 10 I4 16 20 22

Folglich iſt, wenn man dieſen e letztern Ausdruck durch den

erſtern dividirt,

4 6 6 12 12 18 187 24
— — —, 20.
3 4 8 10 14 16 20 22
eder
4 — 2. 2£ 4 60 2 9 12 „
—— — — — .⸗— 4c.
3 2 4 5 7 8 10 II

und dieſe Bruͤche erhaͤlt man, wenn man die Prim⸗Zahlen

5, 7, I1, ꝛc. in zwey um 1 von einander unterſchiedene
Theile theilt, und immer den Theil, der durch 3 thei lbar
iſt, zum Zaͤhler nimmt. HMM

X4 . 294.

328 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel.

K. 294.
Da wir oben §. 285.] geſehen haben, das
2 =— 3 5 1I. 133 12. ꝛc. oder
4 4 4 8 12 12 16
*. — 5 7 II 13 17 19
3 4 &S 12 12 16 20˙ *.
iſt, ſo fndet man, wenn man die vorhergehenden Aus⸗
druͤcke — und , durch dieſen theilt
. 2 10 6
Ei =— 4,8 5 . 14 16 . und
2 3 3 9 9 15 15
2 6 6 r2 18 24 30
V 3 5 7 II 19 23 29

Die Bruͤche des erſten Ausdrucks er! haͤlt man aus den

Prim⸗Zahlen von der Form 12 m † 6 † I, und die Bruͤche

des andern Ausdrucks aus den Prim⸗Zahlen von der Form

I2 m † 1, wenn man jede derſelben in zwey um 1 von ein⸗
ander unterſchiedene Theile theilt, und die geraden Theile

zu den Zaͤhtern, die ungeraden hingegen zu den Nennern

J. 2095.
Nun wollen wir noch die §. 179 gefundene Reihe be⸗
trachten, welche folgende iſt:

* 1. I 1I EI 1I1 I 1 1
= = I — — - — — † — † — — — – — † ꝛc. = A
2V 2 3 5 7 9 II 13 15
Subtrahirt man davon
1 1 r 1 1 l
A = - † - — — = — — t.

3 3 9 15 21 27 33
ſo erhaͤlt man .

1 1 r 1 1 1I I
— P)A = 1 — — — - 4 — — — † — — r. = B

5
Addirt

— 2

wo kein
getndema
Zühlern:
elſien An

nden Hi

an ani den
en dergen
11 von ein
oden Theie
den Nennenn

edihed⸗

ir 4=A
I

OGOͦ”ůñ

V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 329

Addirt man ferner hierzu

1 1 1 1
— B =— — — — — — † — — (.
5 S 25 35 55
ſo wird
1 1 I rI
—) B= 1 — † — — — † — c. = C
. 5 . 7 1 1I 13 17 17

Und faͤhrt man auf dieſe Art fort, ſo erhaͤlt man endlich

1 0 1 ; 5 — 00 — ) 4

(1 — ) ꝛc. 1

wo es ſich mit den Zeichen auf die Art verhaͤlt, daß die
Prim⸗Zahlen von der Form 8 m † 1 oder 8 m † 3 negativ,
die Prim⸗Zahlen hingegen von der Form 8 m † 5 oder
8 m † 7 poſitiv ſind. Es iſt fol lglich
„ 3 5 7 II 13 12, 19 2
2V2 2 6 8 10 14 76 ‧ 18 * 4e
wo alle Nenner entweder durch 8 theilbar ſind, oder zu den
ungerademal geraden Zahlen gehoͤren. Da nun

1 1I 17 10 2 .
4 4 4 8 12 12 16 20 24
7 3 5 2 II 13 17 19 23
— — —. —. — ⸗. — ⸗ — 20e. und
2 2 6 6 10 14 18 18 22
77 3. 3 5.:. 5 2. 2 II.. 11. 11 13. 13 „.
8 2.4 4.6* 6.8 10. 12 12. 14

iſt, ſo wird
* 3 5 7 rI 13 17 19 23
— — — —. — —. — —, — 20.
2V 2 4 4 6 12 12 18 20 22
wo kein Nenner vorkommt, der durch 8 theilbar waͤre, die
gerademal geraden Zahlen aber ſind da, ſo oft ſie von den

Zaͤhlern nur um rverſchieden ſind. Dividirt man nun den

erſten Ausdruck durch den letzten, ſo wird

330 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel ꝛc.

6 6 9 ro rI

2 2
1I1— —,. —
1 3
und dieſe Bruͤche er
man jede derſelben in zwey um 1 unterſchiedene Theile
theilt, und die geraden Theile, (ausgenommen, wenn fie

gerademal gerade Zahlen ſind,) zu den Zaͤhlern nimmt.

Auf eine aͤhnliche Art laſſen ſich auch die uͤbrigen Rei⸗

2

₰

hen, die wie oben [F. 179. f.] fuͤr die Ausdruͤcke der Kreis⸗

bogen gefunden haben, in Faktoren verwandeln, die aus
den Peim⸗ Zahlen formirt werden, und es koͤnnen auf dieſe
Art noch ſehr viel andere merkwuͤrdige Eigenſchaften ſowohl
dieſer Faktoren, als der unendlichen Reihen gefunden wer⸗
den. Da indeß die vornehmſten davon bereits angefuͤhrt

worden ſind, ſo wollen wir uns nicht dabey aufhalten, um

noch mehrere zu fin iden, ſondern zu einem hiermit verwand⸗
ten Gegenſtande fortgehen. So wie wir nemlich in dem

gegenwaͤrtigen Capitel die Zahlen nach ihrer Entſtehungs⸗
art durch die Multiplication betrachtet haben: ſo wollen
wir in dem folgenden die Ent ſtehung derſelben durch die

Addition erwaͤgen.

Sechs⸗

haͤlt man aus den Prim⸗ gallen⸗ wenn

G
gegeben
Norm
bickeltn
I
ſ: ſit
. 38
Aledene
ſr ane
Wen
Ner

ſind .

deren 6

Pteſtd

. d.

n, venn
1 Theite
wann ſie

N
W.

igen Rei⸗
der Kreis⸗

n, N aus
n auf dieſe

efunden wer:
8s Gefihe
it perwad⸗
glich in den
pol
Nurqj M⸗

Sechszehntes Capitel. H
Von der Theilung der Zahlen.

Es ſey der Ausdruck

(1 † xX 2) (1 † X62) (1 † X 2) (i 2) 1 † Xx 2) c.
gegeben, und es werde gefragt: Was derſelbe fuͤr eine
Form bekomme, wenn er durch die Multiplication ent⸗
wickelt wird? Angenommen, daß das geſuchte Produkt =
1 † Pz † Qz2 † Rz3 -T S24 † ꝛe.

ſey: ſo iſt offenbar, daß p die Suname der Poteſtaͤten

5
Xx * † X. †. X? † 2 † † ꝛc. ſeyn wird. Ferner iſt
alsdann Q die Summe der Produkte aus allen Paaren die⸗
ſer Poteſtaͤten, oder das Aggregat aller Poteſtaͤten von x,
deren Eponenten Summen zweyer verſchiedener Glieder
dieſer Reihe
*Ms £β☚, 7, 3, s, 5 , 20.
ſind. Eben ſo iſt R das Aggregat der Poteſtaͤten von ,
deren Exponenten Summen von drey, 8 das Aggregat der
Poteſtaͤten von «, deren Exponenten Summen von vier

ℳ

verſchiedenen Gliedern eben dieſer Reihe ſind, ꝛc.

Die Poteſtaͤten von X die in den Werthen der Buch⸗
ſtaben P, Q, R, S, . vorkommen, haben die Einheit
”! zum

Sern

332 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel.

zum Coefficienten, wenn ihre Exponenten nur auf eine ein⸗

zige Art aus «, 8, 7, %, ꝛc. formirt werden koͤnnen; kann
aber der Exponent einer ſolchen Poteſtaͤt auf mehr denn eine
Art die Summe zweyer, dreyer oder mehrerer Glieder der
Reihe *“, , 7, à⁹, *½ ꝛc. ſeyn, ſo hat dieſe Poteſtaͤt einen
Coefficienten, der eben ſo vielmal, als dies ſtatt findet, die
Einheit in ſich enthaͤlt. Findet man z. B. in dem Werthe

von OQ den Ausdruck NXn, ſo zeigt derſelbe an, daß die

Zahl n auf N verſchiedene Arten die Summe zweyer ver⸗
ſchiedener Glieder der Reihe 4, 8, „, %, ꝛc. iſt. Und
kommt man bey der Entwickelung der Faktoren auf ein
Glied von der Form NNzm, ſo zeigt der Coefficient N an,
auf wie vielerley Art die Zahl n die Summe von m Glie⸗
dern der Reihe «, g, 7, 9, 5, &, ꝛc. ſeyn kann.

§K. 299.
Wenn man alſo das gegebene Produkt
(1 ½* 2) (1 † x*z) (1 †. x 2) (1† * 2) ꝛc.

durch die Multiplication wirklich entwickelt, ſo erhellet aus
dem dadurch gefundenen Ausdrucke ſogleich, auf wie vie⸗
lerley Arten eine gegebene Zahl die Summe von ſo viel
verſchiedenen Gliedern der Reihe «, s, 7, ⁹, «, &%, ꝛc.
als man will, ſeyn kann. Will man nemlich wiſſen, auf
wie vielerley Arten die Zahl n die Summe von m verſchie⸗
denen Gliedern jener Reihe ſeyn kann, ſo ſucht man in dem
entwickelten Produkte das Glied Xnzm, und der Coefficient
deſſelben zeigt die verlangte Zahl an. —

§. 300.

Damit dieſes deſto deutlicher werde, ſo ſey folgendes

Produkt, deſſen Faktoren der Zahl nach unendlich ſind,

gegeben: .
1 †

2071
ux⸗

11 (136

As Wen
NW
Nak
1,1, 3,2.
tiſen,
ſeben be⸗
ſehn konn

in Multi

der Cueft
man die
ſchiedenen
die Addi

eine iin
n, kam
den eine
ider der
R anen
Ra De
„ daß die
eher der⸗
iſ. Uns
iauf ein
ent Nen,
nn

1)u.
Ahelet eus
pie U⸗
ſ diel
. l.
ſſen, duj
on i
Cafiuent

fegends

ſch ind

Von der Theilung der Zahlen. 333

(1 +† x2) (1 † X 22) (I †X 32) (1 T†TX42) (1 † X2) 2c.
Entwickelt man daſſelbe durch eine wirkliche Multiplication,
ſo dekommt man:
1 12 ( D † X3 † 4 4 xXx5 P† X6 †—
† xS † x9 1)
†22 CK3 PXx4 T2X5 †2X6 † 3X7 †328 † 49
† 4X10O† SX 1 † 2c.)

122 (XK †X7 †2 X8 1k3* †TAXXOFTSXXI T 7XxTZ

T 8XI 3 † 10x14† ꝛc.)
† 24 (XI O†XI P†2X12 †3X13 † 5 X14 T 6X1 f † 9X
†rIXI7 Pr 5X1 8 † 2c.)
425 Gasanα Nñ2 7 † 3XITS 5 XI 9 † 7X20 †i0Xa
V † 13 X2 2 †18X 2 3 † ꝛc.)
Tz6(X †F X22 † 2x2 3 3Xx24 † 5X25 † 7X 26 † 11X27
† 1422 S⁸ † 20X 2 9 † ꝛc.)
t27 G2 S8 X2 9 † 2730 3X3 1 5x3 2 7X3 3 † 11X3 4
† 15X3 5 †T 21X 36† 2c.)
TTzS (K36†xX37 † 2X3 ⁸ † 3X39 5 X40† 7XAI IIXA2
†1 5X4 3 † 22X 44 † 2c.)
ꝛc.
Aus dieſen Reihen nun laͤßt ſich ſogleich beſtimmen, auf
wie vielerley Arten eine gegebene Zahl aus einer gegebenen
Menge von einander verſchiedener Glieder dieſer Reihe,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ꝛc. entſtehen kann. Wollte man z. B.
wiſſen, auf wie vielerley Art die Zahl 35 die Summe aus
ſieben verſchiedenen Gliedern der Reihe 1,2, 3, 4, 5, 6,7, 2c.
ſeyn kann: ſo duͤrfte man nur in der Reihe, vor der 27 als
ein Multiplicator ſteht, die Poteſtaͤt X3 5 aufſuchen, und
der Coefficient dieſer Dignitaͤt, 15, wuͤrde anzeigen, daß

man die Zahl 35 auf 15 verſchiedene Arten aus ſieben ver⸗
ſchiedenen Gliedern der Reihe 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, ꝛc. durch

die Addition erhalten koͤnne.
W §. 301.

334 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel.

Setzt man aber 2 = 1, uad zieht man die aͤhnlichen
Poteſtaͤten von in eine Summe zuſammen, oder welches

eben daſſelbe iſt, entwickelt man die eſen unendlichen Aus⸗

druck
(1 T X) (I †. 2) (1 P X 3) (I T X4) (I1 † X⁵) (I † x6c.
wodurch man die Reihe:
1 T X TX † 23 †. 2X4 †. 3X5 † 4X6 5x?7 † 6xs ꝛc.
erhaͤlt: ſo zeigt ein jeder Coefficient an, auf wie vielerley
Arten der Exponent der Dignitaͤt von x, zu welcher er ge⸗
hoͤrt, aus den Gliedern der Reihe 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ꝛc.
vorausgeſetzt, daß jedes nicht mehr als einmal genommen
werde, durch die Addition entſtehen kann. Auf dieſe Art

erhellt, daß die Zahl 8 auf ſechs verſchiedene Arten durch

Die Addition verſchiedener Zahlen erhalten wird, und dieſe

8 = 8 8 = 5 f 3
8 = 7 T†T T 8 =— 5 † 2 † 1
8 — 0 † 2 8 = 4 † 3 T r

Hier iſt indeß zu bemerken, daß die gegebene Zahl ebenfalls
mitgerechnet werden muß, weil die Zahl der zu nehmenden
Glieder nicht beſtimmt wird, und alſo auch ein einziges ge⸗
nommen werden kann.
d. 302.
Man erkennt alſo hieraus, wie eine jede Zahl durch
die Addition verſchiedener Zahlen entſteht. Soll nun aber
die Bedingung der Verſchiedenheit wegfallen, ſo muß man
die vorhin angenommenen Faktoren in den Nenner ſetzen.
Es ſey alſo der Ausdruck
1

—„

C— ) 1 — X ) (1 — 2) (r -— * 2) (— xia) i.

— gege⸗

(en,
ſitich d
4
Her iſt o
1iſt, der

entholten
boyx, de

nonder 4
der Mrieſ
Geder,
Crvonern
Und zwen
inonder!

Wenn
Gliedern ent
ſcni
Rdoc
m, Anan
denen, l
gebracht
wickelten

enten de

du gme
ſeigt an,
Gliedern
holten we

hllichen
N ne

G
INRK

An Nurg
, md dee

W e

un a
muß man
aner ſehen.

—
19

Nge⸗

Von der Theilung der Zahlen. 335

gegeben, und die Reihe, welche man daraus, wenn man

wirklich dimit, erhaͤlt, ſey
† Qze † Rz3 P 824 † 2c.

Hi er iſt fenban, daß P das Aggregat der Poteſtaͤten von

X iſt, deren E Erkonenken in dieſer Reihe

ℳ₰.½õ B, ., 39, 5, 6, „» ꝛc.

enthalten ſind. Ferner iſt Q das Aggregat der Poteſtaͤten

von X, deren Exponenten Summen zweyer Glieder dieſer
Reihe ſind, ſo aber, daß die gedachten zwey Glieder auch
einander gleich ſeyn koͤnnen. Weiter iſt R das Aggregat

der Poteſtaͤten von x, deren Exponenten Summen dreyer

Glieder, und § das Aggregat der Poteſtaͤten von X, deren
Exvonenten Summen von vier Gliedern jener Reihe ſind,.
und zwar ebengfalls ſo, daß dieſe Glieder entweder alle von
einander verſchieden, oder auch alle oder zum Theil einan⸗
der gleich ſeyn koͤnnen. Auf eine aͤhnliche Art vethaͤl t es
ſich mit den uͤbrigen Co efficienten.

K. 203.
Wenn man alſo den ganzen Ausdruck nach allen ſeinen
Gliedern entwickelt, und die aͤhnlichen Glieder zuſammen⸗
zieht, ſo iſt man im Stande daraus zu erkennen, auf wie
viel verſchiedene Arten eine Zahl n durch die Addition von
m, einander entweder gleichen oder von einander verſchie⸗
denen, Gliedern aus der Reihe «, , 7, , s, , ꝛc. hervor⸗
gebracht werden kann. Man darf nemlich nur in dem ent⸗
wickelten Ausdrucke das Glied xnzm ſuchen, und den Coeffi⸗
cienten deſſelben betrachten, der N heißen mag, ſo daß alſo
das ganze Glied = N Xnzm iſt; denn dieſer Coefficient N
zeigt an, auf wie viel verſchiedene Arten die Zahl n aus m
Gliedern der Reihe «, g, 7, de s, c. dur ech die Addition er⸗
hal ten werden kann.

§. 304.

336 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel.

§. 304.
Wir wollen jetzt das Geſagte auf einen vor andern
merkwuͤrdigen Fall anwenden. Es ſey alſo der Ausdruck
I
(1— — (1 — X22) (I — X 32) (1 — X42, (1 — x52) ꝛc.
gegeben, wofuͤr man, wenn man ihn durch die Diviſion
entwickelt, folgendes erhaͤlt:
ITZ (X †Xx2 † X3 † X4 † x5 † x6 † xz7
† xS8 † xS p. ꝛc.)
I (a † 23 kt2 x †25 P3 X 6 P†3xX7 † 4S
† 429 †5X1° †† ꝛc.)
23 (xX 3 TXA †2S † 3 X † 47 † 5x8 † 7x9
õ
T†24 (5. 4 Tx T 2x6 T3X7 †† SX8 † 629 † 9xXT&
FIIXII P I 5XI 2 †. 2c.)
ꝛ:5 (x5 Tx6 † 2X7 † 3x8 †5 x9 †7XO ι 1
Tr3XI2 TI 8XI 3 † ꝛc.)
† 26 (X6 †X7 †2X8 †3 2² F 5X P 7X½ † IIXIZ
†14XI 3 † 20 X 1 4 † 2c.)
PFPz7 (Xx7 PXS TP2X9 3X1O TSXTI T 7 XXZ L-TIXI3
†I5SXTAZ21XZS † ꝛc)
†2 8⁸ (X †X9 † 2X1OTP3XIIF 5XI2 7 X 3 † 1IIXI4
tisxsaꝛ xxe k)
ꝛc.
Aus dieſen Reihen laͤßt ſich nun ſogleich beſtimmen, auf wie
viel verſchiedene Arten eine gegebene Zahl aus einer gege⸗
benen Menge von Gliedern dieſer Reihe, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, ꝛc.
durch die Addition hervorgebracht werden kann. Wird
z. B. gefragt, auf wie vielerley Art die Zahl 13 aus fuͤnf
ganzen Zahlen durch die Addition entſtehen kann: ſo darf
man nur das Glied X1325 aufſuchen, denn deſſen Coeffi⸗
cient 18 zeigt an, daß die gegebene Zahl 13 auf achtzehn
ver⸗

fettieden
6ethatta

Wenn

ſon X zuſ⸗

—

wenn mon

ITt

worin ſe
in der d
geichen e
Nhrtior.

denn Geo⸗

ſt, und diea

wolen wi
Naſanmen
mmuer zu
dale anf
Eulers

N andern
er Wudroc

—

Ve⸗

16 ½ )

mmen ont⸗
einer ege⸗
45 6,7:.
n. Wied

3 as fin⸗

nn bif
eſen luff⸗

ennen
ter⸗

Von der Theilung der x Jahlen. 337

berſchiedene Arten aus fuͤnf ganzen Zahlen durch die Addi⸗
tion erhalten werden kann.

F. 305.
Wenn man 2 = 1 ſetzt, und die aͤhnlichen Poteſtaͤten

von x zuſammenzieht, ſo giebt der Ausdruck
1

— 2)1 — Xa) (1 — X3) (1 — 4) (1 — X7) (1 — X6):,

wenn man ihn entwickelt, die Reihe
I † X . 2X2 † 3X 3 † 5X 4 † 7X5 † IIXG6 †P ISX7 † 22X 8 T 2c.
worin jeder Coefficient anzeigt, auf wie vielerley Ar⸗
ten der Exponent der Poteſtaͤt, zu welcher er gehoͤrt, aus
gleichen entweder oder ungleichen ganzen Zahlen durch die
Addition hervorgebracht werd den kann. So ſteht man aus
dem Gliede 1126, daß dieſes bey 6 auf eilf Arten moͤglich
iſt, und dieſe ſind

6 = 6 6= 3TT TIPTI
6 = 5 † I 6 — 2 T12 † 2
6 = 4 † 2 6 — 2 T 2 † 1 † I
6 4 † 1 † 1 6 =— 2 † I †IFTI † r
6 = 3 † 3 6δ% I 1 †ITTTTERI
6 = 3 † 2 † 1

HDierbey iſt zu bemerken, daß die gegebene Zahl ſelbſt, weil
ſie in der gegebenen Zahl⸗Reihe 1, 2, 3, 4, 5, 6, ꝛ.. eben⸗
falls enthalten iſt, auch eine Art giebt.

F. 306.

Nachdem wir dieſes uͤberhaupt angemerkt haͤben, ſo
wollen wir die Art und Weiſe, die Menge der gedachten

Zuſammenſetzungen gegebener Zahlen zu beſtimmen, ge⸗

nauer zu erforſchen ſuchen. Wir wollen hierbey von dem

Falle anfangen, den wir auch vorhin zuerſt beruͤhrt haben,

EulersEinl. in d. Anal. d. Unend I. BD. O und

338 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel.

und wobey die ganzen Zahlen, woraus die gegebenen durch
8 N dition hervorgebracht werden ſollen, insgeſammt von
dnander verſchieden ſind. Es ſey alſo der Aus druck
2 (1 † Xz) (I T† X22) (1 † X32) (1 † 42) (1 †52²) ꝛc.
gegeben, und die Reihe, welche man dafuͤr erhaͤlt, wenn

man ihn entwickelt und nach den Poteſtaͤten von X ord⸗

net⸗ — 1 † Pz † Qza P R z3 † 624 † LzZS5S † ꝛc.
Hier muß nun gezeigt werden, wie man die Srnkionen
von X, welche durch die Buchſtaben b, Q, R, 8, e an
gedeutet werden, auf eine leichte Art finden kann, er⸗ dies
iſt es, worauf es bey der gedachten Unterſuchung eig
lich ankommt,

§. 307.
Setzt man alſo Xu anſtatt 2, ſo wird 2
1:2). (I † x 32) r 1 Ea c1 † 52) c. = r. —

ht

da daher, da .
Nr I T Pz 1 Qz2 † Rzs † 824† ꝛc.
i,

2. — = 1 † PXZ †. Qxaa⸗ Rxszs † Sx 424 † ꝛc.
ITX

X2
wird. Multiplicirt man alſo dieſe Gleichung durch 1 †
ſo bekoͤmmt man .
ſ end =I † PXxZT QX222 † RxX323 †. 8424 † ꝛc.
† x2 TIPX22 † QX323 † Rx424 † ec. 3
1 it dem
erth von Z mi
und vergleicht man nunmehr dief dieſen W
vorhergehenden, ſo wid ? = , 0&= — 7

litdieſe⸗
bon r beſonde

ſe ierleh

We N
n harden
in die l
Neihe ſey
lung einer
bgiebt der e

els welcher
er ganzen

d.

ehenen durh
eſammt hon
Druck
i)X.
hat wenn
N Wrc⸗

25 *.

e Funktienn

, T,A. an
ann denn diss

Gchuig eigeunr

1
K. 2 ——

10

velchei wie?

6
— UAlt;
111

e.
2
1
52

Von der Theilung der Zahlen. 339

Qx3 Rx4 .
1 — X 3 ä

Es ſind folglich die Werthe, welche man faͤr P, „Q. R,8, ic.
erhaͤlt, folgende:

X
I — -
1 — xX) (1 — X2)
X6
(1 — X) (I — X2) (1 — xX 3)
X10
(I= X) (1 — X2²) (1— X 3) (I — X)
X I *
(1 — X) (I1 — X2²) (I1 — X3) (I — X 4) (I — x*)
20:
§. 3208.

Auf dieſe Art koͤnnen wir alſo jede Poteſtaͤten⸗Reihe
von x beſonders darſtellen, und daraus beſtimmen, auf
wie vielerley Arten eine gegebene Zahl aus einer
gegebenen Menge anderer ganzen Zahlen durch die Addi⸗

tion hervorgebracht werden kann. Zugleich faͤllt hierbey

in die Augen, daß jede dieſer Reihen eine wiederkehrende

Reihe ſeyn wird, weil ſie insgeſammt aus der Entwicke⸗

lung einer gebrochenen Funktion von x entſpringen. So

giebt der erſte Ausdruck P = — die geometriſche Reihe

X † X 2 † X 3 † x 4 † x5 1 rs r † ꝛc.
aus welcher erhellet, daß eine jede Zahl einmal in der er Reihe

der ganzen Zahlen enthalten iſt.

N 2 §. 309.

“

X

340 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel.

§K. 309.

X3
Was den zweyten Ausdruck, Q = 1 — 2) (1 — *2)

betrifft, ſo giebt derſelbe die Reihe
X 3 † X 4 † 2 X 5 † 2 XK6 † 3 X7 † 3 X 8 4xX9 †4X0 † c.
und darin zeigt der Coefficient eines jeden Gliedes an, auf
wie viel Arten der Exponent von x in zwey ungleiche Theile
getheilt werden kann. So giebt das Glied 4?2 zu erken⸗
nen, daß ſich die Zahl 9 auf vier verſchiedene Arten in
zwey ungleiche Theile theilen laͤßt. Dividirt man die an⸗
gefuͤhrte Reihe durch X3, ſo erhaͤlt man dun Quotienten

— X2) ent⸗

die Reihe, welch he aus dem Bruche r
ſpringt, und folgende iſt:
1 † X T,2 X2 † 2X 3 † 3 X 4 PP 3 X5 † 4X6 T 4X7 † ꝛc.
Setzt man nun das allgemeine Glied dieſer Reihe = N Xn,
ſo iſt aus der Entſtehungsart derſelben klar „daß der Coeffi⸗
cient N anzeigt, auf wie vielerley Arten der Expo⸗
nent n aus den Zahlen 1 und 2 durch die Addition hervor⸗
gebracht werden kann. Da alſo das allgemeine Glied der
vorhergehenden Reihe = NX h† 3 iſt, ſo erhalten wir da⸗
durch den Lehrſatz;
Auf eben ſo viel Arten, als eine Zahl n aus den Zah⸗
len I und 2 durch die Addition hervorgebracht werden

kann, auf eben ſo viel Arten laͤßt ſich die Zahl n 1 3 in

zwey un geiche Theile theilen.

. 310.

Entwickelt man ferner den dritten,
XG

Ausdruck
ſo erhaͤlt man dafuͤr die Reihe

2) C1—x
N6 T 1 218 † 3229 1 4r0 † 5711 7r2
T SXI3 † de.
in

teiher d
eviel ver
wel

t wett

—

((1-—) (l

ITXT
und wenn
ſigt, ſo ſei
Jlhln aus
Polten werd
thergehen
heſat:
uf eb
len I, 2uj
auf eben ſo
mgleiche Ch

Der biert

Sk, Kenn
IO
und in di⸗
en, auf
ihn ſtehen
filt werde
herzehende
11
ſd ſegt m

d.

2
—
— 1²)

rlo⅜⅛
da n auf
eige Naͤe
11) en⸗
ene Ninn ie

man die n⸗
n Qotiecten

2

— — (t⸗

— )

14774
eihe = Nn,
d Ce⸗

Wuen Noe

vine Glied der
ler Ar A⸗

„
us den 50,
N.
cacht werden

zehl 1 /

udrick

1 z!7

Von der Theilung der Zahlen. 341

in welcher der Coefficient eines jeden Gliedes anzeigt, auf
wie viel verſchiedene Arten der Exponent der Poteſtaͤt von
x, zu welcher er gehoͤrt, in drey ungleiche Theile ge⸗
theilt werden kann. Entwickelt man aber den Bruch
(1— (1 — X ²) (1 —
ITXT 2X2 T 3 2 3 142 k 5* 7X6 % 827 † ꝛc.
und wenn man das allgemeine Glied derſelben = N
ſetzt, ſo zeigt der Coefficient Nan, auf wie viel Arten die
Zahl n aus den Zahlen 1, 2 und 3 durch die Addition er⸗
halten werden kann. Da nun das allgemeine Glied der
vorhergehenden Reihe = NXN †6 iſt, ſo folgt daraus der
Lehrſatz:
Auf eben ſo viel Arten, als eine Zahl n aus den Zah⸗
len 1, 2 und 3 durch die Addition erhalten werden kann,
guf eben ſo viel Arten laͤßt ſich die Zahl n † 6 indrey
ungleiche Theile thelen Siy

——

5 ſo bekommt man die Reihe H

§. 311.
XIO
(1 — X) (1 — X2²) (1 — X 3) (I — X 4)

Der vierte Ausdruck

giebt, wenn man ihn in eine wiederkehrende Rethe aufloͤſet,

XIO † XII † 2X12 † 3X13 5X14 † 6x15 † 9 XI1 6 † ꝛc.

und in dieſer Reihe zeigt der Coefficient eines jeden Gliedes

an, auf wie vielerley Arten der Exponent der neben
ihm ſtehenden Poteſtaͤt von X in vier ungleiche Theile zer⸗
faͤlt werden kann. Entwickelt man aber den Ausdruck
1
hergehende Reihe durch X1 dividirt, oder
I TX T 2 X²½ T 3X ⅜ † 5 Xx4 † 6X 5 †ToxXs † ꝛc.

ſo erhaͤlt man die vor⸗

2.

und ſetzt man das allgemeine Gli ed dieſer Reihe = NXN

7

342 Erſtes Buch. Sechszehntes Caditel.

ſo iſt bekannt, daß der Coefficient N anzeigt, auf wie viel
Arten die Zahl n aus den Zahlen 1, 2, 3, 4 durch die
Addition erhalten werden kann. Da alſo das allgemeine
Glied der erſten Reihe = NXNRràο iſt, ſo folgt hieraus
der Lehrſatz:
Auf eben ſo viel Arten, als eine Jahl n aus den Zah⸗
len 1, 2, 3/ 4 durch die Addition hervorgebracht wer⸗
den kann, auf eben ſo viel Arten laͤßt ſich die Zahl n rio
in vier ungleiche Theile theilen.

9. 312.

Ueberhaupt alſo zeigt der Coeffigzent N, wenn man die⸗
ſen Ausdruck

1
(1 — xX) = c1 — X 3) . . . . . . . (. — Xin) .
in eine Reihe aufl oͤſet, und das allgemeine Glied dieſer
Reihe = NxXn ſetzt, an, auf wie vielerley Arten die Zahln
aus den Zahlen 1, 2, 3, 4 . . . . . m durch die Addition
hervorgebracht werden kann. Loͤſet man aber den Ausdruck
müm † 1)
X 2
(1— X) (1 — X2) (I1 –— Xx3) . (1 – Xxm)
in eine Reihe auf, ſo wird das allgemeine Glied derſelben

4. (m † 1)
Næ t — und darin zeigt der Coefieient N an,

—

„W *% °

auf wie viel verſchiedene Arten die Zahl n † Cn 1
1 . 2

in m ungleiche Theile gethellt werden kann. Hieraus fließt
folgender Lehrſatz:

Auf eben ſo viele Arten, als man eine Zahl n durch
die Addition gaus den Zahlen 1, 2, 3, 4, . . . . . m

hervorbringen kann, auf eben ſo viele Arten ußt ſich
auch

44, de

n.

Rachde
KTheile bet
derſelben b
gle oder en
cher der Au

— —

61

lom Genn
dieſen N
7=I
eehelten

—

(1-221

wird, ſor

Hit der ent

—)
ſc. De
781
duch l-

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ſo ſudet

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—

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4.

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durch ⸗
algeneine
1 hirnus

We

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tbrach⸗

Sehlne

wan die⸗

—

dn de “

die Rblton

den Ausduuk

1— W)
icd deſſeben

eficien 8 N
nn1)

1.2

ſenefih

—

hl n duch

n lße ſch
uch

Von der Theilung der Zahlen. 343

auch die Zahl n † C in m ungleiche Theile
theilen.

Nachdem wir die Theilung der Zahlen in ungleiche
Theile betrachtet haben, ſo wollen wir nun die Theilung
derſelben betrachten, bey welcher die Theile auch entweder
alle oder einige] einander gleich ſeyn koͤnnen, und bey wel⸗
cher der Ausdruck
1

2= —

(1—X2) (1— xX22) (1— x 32) (1— X 42) (1— x52) 2ꝛ0.

zum Grunde liegt. Wir wollen annehmen, daß wir aus
dieſem Ausdrucke, wenn wir wirklich dividiren,
72 = 1 † Pz † Qz2 † Rz3 † S24 † T 27 † 20.
erhalten. Da nun, wenn man x2 anſtatt 2 ſetzt,

. 1 H
(1 –— X 22) (1 — XK 32) dr — = 12) (1— xX2) c. = 2

wird, ſo wird auch, wenn man eben dieſe Veraͤnderung
mit der entwickelten Reihe vornimmt,
(I — X2) Z = I † PXZ † Qx222 † RX323†† SXA24 † ꝛc
ſeyn. Multiplicirt man ferner die Reihe L
Z= I† Pz † Cz2 † RzZ3 † 824 † Tz* † ,.

durch 1— X 2, ſo erhaͤlt man

(i — X 2) Z = ☛ I . Pz † Qz2 † RZz3 † 624 † ꝛxc.
— xX2 — PX22 – Qx23 —–— RXZ4 — 20.
und vergleicht man endlich dieſes mit dem Vorhergehenden,
ſo findet man

X PX Cx AI
= — — ; — 3½ 2
Man erhält alſo fuͤr P, Q, R, S ꝛc. folgende Werthe:

344 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel.

Ce⸗ (1 – X) — 52)
GH e
4 “
= (1 — X2) (1 — X 3) (I— 2)
§. 314.

Dieſe Beſtimmungen der Buchſtaben P, Q, R, Ss ꝛc.
unterſcheiden ſich von den vorher §. 307. gefundenen bloß
darin, daß die Exponenten ihrer Z aͤhler kleiner ſind; und
es ſtimmen daher die Reihen, die ſich durch die Entwicke⸗
lung der gegenwaͤrtigen und der vorhergehenden Werthe
von P, Q, R, 8 ꝛc. ergeben, in Anſehung der Coeffi⸗
cienten auf das genaueſte mit einander uͤberein. Man
kann dieſe Uebereinſtimmung ſchon bey einer Vergleichung

der Reihen im 300ten und 304ten §. wahrnehmen, allein

hier faͤllt zuerſt der Grund davon in die Augen. Wegen
dieſer Uebereinſtimmung muͤſſen nun aber auch die Lehr⸗
ſaͤtze, auf welche die gegenwaͤrtige Unterſuchung fuͤhrt,
durchaus den obigen (§. 300. bis 312.] aͤhnlich ſeyn, und
es ſind dieſelben alſo fol gende:
Auf eben ſo viel Arten, als man eine e Zahl n aus
den Zahlen 1, 2 durch die Addition hervorbringen kann,
auf eben ſo viel Arten laͤßt ſich auch die Zahl n † 2 in
zwey Theile theilen.
Auf eben ſo viel Arten, als man eine Zahl n aus den
Zahlen 1, 2, 3 durch die Addition hervorbringen kann,
auf eben ſo viel Arten laͤßt ſich guch die Sahlr n † 3 in
drey Theile theilen.
Auf

„

SEe
Ml,
eben
gir The

4

n

Ufe
Zehlenl,
Uringen
ohlnt

Eer
Alten ſi
uf wie
laſe, doß
ander geic
ſicht inden
Zohl ausd
ton heror
lgerden

W

geche

den 3

vorgeb

der ur
den Zal
vorgebr

Hie⸗

11, 1,
denen bloß
rſnd,

e Entvicke⸗

en Vathe
er Coeff⸗
in. Man⸗

N Wöͤchung

men, olein
4 Myen
die kehe⸗
ng ſhe,
ſena,

ehl n eus
mmor int,
1n 2 nn

nsus den
gen kin
131

luf

Von der Theilung der Zahlen. 345

Auf eben ſo viel Arten, als man eine Zahl n aus den
Zahlen 1, 2, 3, 4 durch die Addition hervorbringen kann,

auf eben ſo viel Arten laͤßt ſich auch diel dahl n † 3 in
vier Theile theilen

Und uͤberhaupt:

Auf eben ſo viel Arten, als man eine Zahl n aus den
Zahlen I, 2, 3, 4 .. m durch die Addition hervor⸗
bringen kann, auf eben ſo viel Arten lͤßt ſich auch die
Bahl n T m in m Theile theilen.

§K. 315.
Es mag alſo gefragt werden, entweder, auf wie viel
Arten ſich eine gegebene Zahl in m ungleiche Theile, oder
auf wie viel Arten ſie ſich auf die Art in m Theile theilen
laſſe, daß dieſe Theile auch entweder alle oder einige] ein⸗
ander gleich ſeyn koͤnnen: ſo laͤßt ſich jedesmal die Antwort
leicht ſinden, wenn man weiß, auf wie viel Arten eine jede
Zahl aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, m durch die Addi⸗

tion hervorgebracht werden kann. Es erhellet dies aus

folgenden Lehrſaͤtzen, die aus den obigen abgeleitet ſind.

Eine jede Zahl n laͤßt ſich auf ſo viel Arten in m un⸗

gleiche Theile theilen, als die Zahl n — — n 8 5

2

den Zahlen 1, 2, 3, 4, m durch die Addition her⸗
vorgebracht werden kann.
Eine jede Zahl n laͤßt ſich auf ſo viel Arten in m gleiche
oder ungleiche Theile theilen, als die Zahl n — m aus
Dden Zahlen 1, 2, 3, 4, . ..m durch die Addition her⸗
vorgebracht werden kann.
Hieraus fließen ferner feitge nde Lehrſaͤtze,.

S=

346 Erſte⸗ Buch. Sechszehntes Capitel.

Eine jede Zahl n laͤßt ſich auf ſo viel Arten in mungleiche

Theile theilen als man die ahln — m —

Di in m gleiche
oder ungleiche Theile zerfaͤllen kann.
Eine jede Zahln laͤßt ſich auf ſo viel Arten in megleiche
oder ungleiche Theile theilen, als man die Zahl n †

. 1 in m ungleiche Theile zerfaͤllen kann.

§. 316.
Auf wie viel Arten aber eine Zahl n aus den Zahlen

I, 2, 3, 4, m durch die Addition hervorgebracht wer⸗

den kann? ſolches laͤßt ſich durch Formirung wiederkehren⸗
der Reihen finden. Man hat nem lich zu dieſem Endzwecke
den Bruch

1
ene
(I – X) (1 – X2) (1 — X3). . . ..(1I – Xi)

zu entwickeln, und die daraus entſpringende wiederkehrende
Reihe bis zu dem Gliede N xn fortzuſetzen, denn der Coeffi⸗

cient dieſes Gliedes N zeigt an, auf wie viel Arten die
Zahl n aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, .. m durch die Ad⸗
dition hervorgebracht werden kann. Indeß iſt dieſer Weg
mit viel Beſchwerlichkeiten verknuͤpft, ſobald m und n nur
einigermaßen große Zahlen ſind; denn die Beziehungs⸗
Scale, welche man aus dem durch die Multiplication ent⸗
wickelten Nenner erhaͤlt, beſteht alsdann aus ſehr vielen
Giiedern, und es iſt daher ſehr muTͤhſam, die Reihe bis zu
einer betraͤchtlichen Anzahl von Gliedern fortzuſetzen.

§. 317.

Man erleichtert ſichs aber ſehr, wenn man zuvoͤrderſt

die einfachern Faͤlle entwickelt, indem der Fortgang von die⸗
ſen zu den zuſammengeſetztern leicht iſt. Es ſey das allge⸗
meine

nine
E⸗
Gtſprine
velche d
giebt,
Aten d.

Subdal
hergehe
1
nd de⸗
ſt (N-
wie biel

-

Hie
Peoo⸗
1d

mliche

agleiche

gliche

N AE

n.

Mhien
racht wer⸗
derkeheer⸗
Endzwece

- In)
kehrende
Gefi⸗
Iunn Ne
die W
er My
Darue
ſchange⸗
auon un
ſihr ilin
ihebb

tdederſ
bon Ni⸗
tlae

genne

Von der Theilung der Zahlen. 3347

meine Glied der Reihe, welche aus dieſem Bruche
(1 — 2) (I1 – X2) (1 – X3) .... —.—
entſpringt, = N xn, und das allgemeine Glied der? Reihe,
welche dieſer Bruch

XI

— (1 — X2) ((1— X3) ... . .. (1 — xm)/
giebt, = MXxn, wo der Coefficient 5 M anzeigt, auf wie viel
Arten die Zahl n — m aus den Zahlen 1, 2, 3/ 4, ..

... m durch die Addition hervorgebracht werden kann.

Subtrahirt man alſo dieſen letzten Ausdruck von dem vor⸗
hergehenden, ſo bleibt
(1 — X) (i — xX2) (I — X³) . (1.— XI- 1)
und das allgemeine Glied der hieraus entſpringenden Reihe
iſt (N — M) xn, und der Coefficient N — M zeigt an, auf
wie viel Arten die Zahl n aus den Zahlen 1, 2, 3, ..⸗
(m — 1) durch die Addition hervorgebracht werden kann.

§. 318.

Hieraus fließt alſo folgende Regel:
Wenn
L die Menge der Arten, auf welche die Zaht n n aus den
Zahlen 1, 2, 3, . (mMm — 1),
M die Menge der Arten, auf welche die Zahl n — maus
den Zahlen 1, 2, 3 Im, und
N die Menge der Arten, auf welche die Zahl n aus den
Zahlen 1, 2, 3, . m durch die Addition hervor⸗
gebracht werden kann, bedeutet: ſo iſt, wie wir geſehen
haben,
N – X,, und folglich N = L † M.

Wenn man alſo hereits die Menge der Arten, auf welche
die .

348 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel.

die Zahlen n und n — m, und zwar jene aus den Zahlen
1, 2, 3, (m — 1), und dieſe aus den Zahlen 1,2, 3,
. . . . . . . m durch die Addition hervorgebracht werden, ken⸗
net: ſo findet man daraus durchs Addiren, auf wie viel
Arten die Zahlen aus den Zahlen 1, 2, 3.. .. . . m durch
die Addition hervorgebracht werden kann. Vermittelſt die⸗
ſes Lehrſatzes kann man von den einfachern Faͤllen, die
keine Schwierigkeit haben, ſtufenweiſe zu den zuſammen⸗
geſetztern fortgehen; und auf dieſe Art iſt die am Ende dieſes
Capitels befindliche Tabelle berechnet worden, deren Ge⸗
brauch folgender iſt.

Will man wiſſen, auf wie viel Arten die Zahl 50 in 7
ungleiche Theile getheilt werden k ann: ſo nehme man in
der erſten Vertical⸗Reihe die Zahl 50 — = 22, und
in der oberſten Horizontal⸗ Reihe die roͤm ſche Zahl VII.
Die Zahl 522, die in der Tabelle neben jener und unter
dieſer ſteht, zeigt die verlangte Menge an.

Will man hingegen wiſſen, auf wie viel Arten die Zahl
50 in 7? gleiche oder ungleiche Theile getheilt werden kann:
ſo nehme man in der erſtern Vertical⸗R eihe die Zahl 50 —
7 = 43. Die in eben der Horizontal Reihe in der 7ten
Vertical⸗ Reihe ſtehende Zahl 8946 iſt diejenige, welche
man ſuchet.

§. 319.
Die Vertical⸗ ⸗Reihen dieſer Tabelle ſind zwar r wieder⸗
kehrende Reihen, allein ſie ſtehen gleichwohl mit den natuͤr⸗
lichen Zahlen, den Trigonal⸗ den Pyramidal⸗Zahlen ꝛc. in einer
ſehr genauen Verbindung, und es wird nicht undienlich
ſeyn⸗, ſelbige hier etwas aus fuͤhrlicher ar unterſuchen. Da
nemlich

zu Seite 3481 und 611, welche die Werthe von nems S. 608 Abſatz 1 enthaͤlt.

T abelle

Werthe der Zahl m.

Werthe
der Zahl n

sa ee „ 0

H H

e er n —

7
10

13

18

23

II

20
26

14

30

37
47
57
70

35

44

58
71
2⁰

123

100
133

äl

169

84

101
119

141
164

136
163
235

192
221

255

291

—333

282
331
391
454
532

364

522
618

185

206 f
225

249
270

377

42²7

480⁰

540
603

612
709
811
931
1057

860
1009
1175
1367

1579

— —
—

157
201
252

318

393

436

233

488
598
732
887

10976
1291

1549
1845

2194

252²

1204

653
807
984

1455
1761
2112

2534
3015

297
321
351
378

674
748
831

18
1014

411I
—,— — —
478

511

551
398

1115
1226
1342
1469
1602

1206
1360
1540
1729

ðDòè

2172

—

——
à

—632
672

720⁰

764

816

1747
1898
2062

2233

2418

2432
2702
3009

3331

3692
40270

4494
4935

5427

864

972
1033

1089

2611

2818
3034
3266
3507

1154

1215
1285

1350

1425

3765
4033
4319
4616
4932

5942
6510
710⁰4
7760

2442

9192
9975

10829
11720
12692

1824
2093
2400
2738

3120

3539
4011

5 102
5731
6430
7190
8033
8946

11044

13534
14950

19928

1495

1575
1650

1735
1815

5260

5608

5969

6351
6747

13702
14800
15944
17180
18467

1906

1991

2087

2178
2280

7166

7599

8056
8529

2027

19858
21301
22856

24473

26207

21873

123961

26226

4526

12241

16475 27493
18138

3590

4242

5013

5888
6912ſ

——

8070

S6o

695
863

1060
1303

1586

1930

2331
2812
33 70
435

4802

5788

6751

272

9373

172
224
285
366
460

5982
725
905
III66
1380
1 786
2063
2503
3036
— 3255
4401
5262
6290
7476

292418

11004
12866
15021
17475

10936
12690
14663

9953

409831 55494
12 62740
70760

419466
22367

16928 20298
23501
27169
25608

29292 36043

31316†

8Sy

10489
12384
14552
17084
292978
23334
27156
31570
36578
42333

33401
38047
43214
49037

54218
61903
0515
80215

41373
47420

5 89623
100654

79725

103226
116792
131970

48849
56297
64707
74287
85067

97299
111036
126560
143948
163540

28652
31275
34082
37108
40340

403 112804

43819
47527
51508
55748
60289

81457

89162

97539
106522

13275
146520
161554
177884

116263 195666

2376

9542

28009

65117

126692 214944

126299
141136
157564
175586

148847
167672
188556
2117982

237489

185425
210005
237405
268099
302196

195491
217280
241279
267507

296320

266006
297495
332337
370733
413112

327748 459718

10083
10642
11229
11835

29941
31943
34085
36308

70281
75762
SrI
187816

362198 511045
150042 258569 399705 567377
163069 283161 440725 629281
17697813097291485315 697097

2484 137977 235899
2586
2700

2808

.l ... . SIeernserserrtereerrernee R — — = =rernnerernenen

Werthe der Zahl m.

der Sant n. XIII XIV XV XyvVI xVI XvVII XxX XX I
0„%„M%v 1 1 1 1 11 1 1 1
1I1 1 1 1 1 1 I 1 1 1
2 – 2 2 2 2 2 2 2 2 2.
3 3 3 3 3 3 3
— — 5 5 5 —— — — — —
85 7 7 7 7 7 . 7 7 7 7
6 11 11 11 11 11 11 1II 11 11
N 15 15 15 15 15 15 15 15 15
8 22 22 22 22 22 † 22 22 22 22
—2 30 30 30 30 390 —0 3⁰ 30 30
10 42 42 42 42 42 42 42 42 42
11 56 56 56 56 56 56 56 56 56
12 77 77 77 77 77 7 77 77 7
13 101 101 101 101 101 149 101 101 101
— 14 134 1353 135 135 133 1353 135 135 135
15 174 175 176 176 176 176 176 176 176
16 227 229 230 231 231 231 231 231 231
17 290 293 295 296 297 297 297 297 297
18 373 378 381 383 384 385 385 385 385
19 471 478 483 48 6 488 489 490 49 % 490
20 597 608 615 620 623 625 626 627 627
21 747 762 773 780⁰ 785 788 790⁰ 791 7092
22 935 957 972 983 990 995 998 1000 1002
23 1158 1188 1210 1225 1236 1243 1248 125 1 1255
— 24 1436 1478 1508 1530 1545 1556 1563 1568 –—575
25 1763 I819 1861 1891 1913 1928 10939 1946 1958
26 2164 2241 2297 2339 2369 2391 2406 2417 2436
27 2637 22738 2815 2871 2913 2943 2965 2980 3010
28 3210 3345 3446 3523 3579 3621 3651 3673 3718
29 3882 4057 4192 4293 4370 4426 4468 4498 4565
30 469 1 4920 5096 5231 5332 5409 5465 5507 55604
31 5635 5928 6158 6334 6469 6570 6647 6773 6842
32 6761 7139 7434 72665 7844 7976 8077 8154 8349
33 8073 8551 8932 9226 9459 9633 9770) 9871 t10r43
34 29624 10232 10715 11098— II395 1 1626 1I802 11937 12310
35 11424 12186 12801 13287 13677 13968 14199 14375 14883
36 13542 14499 15272 15892 16380 16765 17062 17293 17977
37 15988 17176 18148 18928 19551 20040 20425 20722 21637
38 18847 20325 21535 22518 23303 23928 24412 24803 26015
39 22142 23961 25469 25694 27684 28472 29092 29588 31185
40 25971 28212 30073 31603 32839 33834 34624 35251 37338
Ar 30366 33104 3540 1 37292 38837 40⁰80 4107 8 41860 44583
42 35452 38797 41612 43951 45464 47420 48668 49668 53174
43 41269 45326 48772 51643 54012 55940 57503 58754 63261
44 47968 52888 57080 60603 63516 65907 67846 69414 75175(
45 55610 61538 66634 70927 74506 77449 79854 81801 89134
46 64370 71509 77667 82898 87268 90889 93854 96271 105558
47 24331 82882 90316 96650 101982 106408 110059 113039 124754
48 85711 95943 104875 II2540 11I9009 r124418 128886 132559 147273
— 92— 98609 110795 121510 130738 138579 145149 150614 155112 173525
50 113287 127786 140587 151685 161144 169120 175767 181274 204226
51 129883 147059 162331 175618 187013 196648 204725 211528 239943
52 148702 169027 187175 203067 216738 228364 238134 246288 281589
53 169919 1938980 215415 243343 2509723 264691 276493 286364 320931
54 193906 222118 247587 270105 2989656 306421 320620 332557 386155
55 2209877 2539981 284054 310748 334051 354091 371153 385528 451276
56 251274 290071 325472 357075 384759 408687 429112 446405 526823
57 285373 330699 372311 409603 442442 470914 495332 516054 614154
58 323689 376577 425349 469300 5098137 541971 571069 595872 715220
59 366566 428104 485184 1536827 582691 [622771 686983 831820 R

657395

.

Von der Theilung der Zahlen. 349

7 heenmlich der Bruch Sdieſe Reihe
”MM rfare ran, 1 32e 12 Ns bi.
und der Bruch⸗ alſo folgende Reihe
(1— F

X † x2 † 2 xX 3 T 3X6 † ꝛc.
giebt: ſo erhaͤlt man, wenn man dieſe beyden Reihen ad⸗
dirt,
I † 2X †† 3 X2 † 4 X3 † 5 X4 † 6X 5 † 7x6 4 z.
oder die Reihe, welche durch die Diviſion aus dem Bruche

ITX

(1 — x) (I1 — XKXK) — —— entſteht; und hieraus er⸗

hellet, daß die Zahlen in den Gliedern dieſer letzten Reihe
die Reihe der natuͤrlichen Zahlen geben. Wenn man da⸗
her aus der zweyten Reihe der Tabelle immer zwey und
zwey Zahlen nimmt, und dieſelben addirt, ſo erhaͤlt man
die Reihe der natuͤrlichen Zahlen, wobey X = I iſt.
I † I † 2 † 2 † 3 † 3 † 4 †4 †5 † 5 † 6 † 6 † ꝛc.
I † 2 T 3 † 4 † 5S †6 †7 † 8 T 9 † 10 F II 12 z.
Umgekehrt findet man aus der Reihe der natuͤrlichen Zah⸗
len die erſte Reihe, wenn man jedes Glied derſelben von
jedem folgenden Gliede der unter ihr ſtehenden Reihe ab⸗

zieht.
§. 320.
Die dritte Vertical⸗ Reihe entſpringt aus dem Bruche
I 1 —
G — *) (1 — *) (1 — 3) Da nun —

tte Fiſt, ſo iſt offenbar, daß man

durch die Addition je drey und dreyer Glieder dieſer Reihe,
und durch die abermalige Addition je zwey und zweyer Glie⸗

der

1

350 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel.

der der durch⸗die erſte Addition erhaltenen Reihe die Tri⸗
gonal⸗Zahlen bekommen werde. Dies beffaͤtiget ſich durch
folgendes Exempel J
1 †1†2 314 †S † †S †1ob†ατHπαατι¹ιι1τι11⁷.
11r 141 6 † 9 † 12 † 16 †. 20 † 25 † 30 †. 36 † 42 † 49 † ꝛc.
1 †3 † 6 † 10 † 15 † 21 † 28 † 36 † 45 † 55 † 66 † 78 † 9r †:ꝛc.
Umgekehrt ſieht man hier auch, wie die oben ſtehende Reihe
aus der Reihe der Trigonal⸗Zahlen erhalten werden kann.
Auf eine aͤhnliche Art iſt auch, da die vierte Vertical⸗
I
Reihe aus dem Bruche — — — — — 4)
(1†. EX) (1 † X † xX) (I Tx TxX x 3) — 1
— X) (I — xXX) (1 — X3 (1 — x4) 4 (1 — X) 4
Wenn alſo in der vierten Vertical⸗Reihe je vier und vier

entſpringt,

Glieder addirt, ferner in der auf dieſe Art gefundenen
Reihe die Summen je drey und dreyer Glieder geſucht, end⸗

lich in der hierdurch entſtandenen Reihe immer je zwey und
zwey Glieder zuſammengenommen werden: ſo entſpringt
daraus die Reihe der Myramidal⸗ Zahlen, wie folgendes
Exempel zeigt.
ATIT 2 13 † 5 † 6 † 91 r 1 15 4 18 123 † 27 Fꝛe.
Tf 2 †% 4 † 7 FII † 16 †2 3 ¼ 31 † 4 † 53 † 67 †¼ 83 kꝛe.
I3 † 7 † 13 ¼ 22 † 34 †50 † 70 † 95 † 125 † 16 1 † 203 Fzc.
IT 4 † 10 † 20 † 35 † 56 † 84 † 120 † 165 † 220 † 286 † 364 2c.
Auf eine aͤhnliche Art fuͤhrt die fuͤnfte Vertieal Reihe
zu den Pyramidal⸗Zahlen von der zweyten Ordnung, die
ſechſte zu denen von der dritten Ordnung, ꝛc.

§. 322.
Umgekehrt fann man aus den ſigurirten Zahlen die

Reihen finden, welche in der Tabelle vorkommen, und
zwab

1131
1 12
1 1 ½,
1tar
1131
142
111

11 5115
114tI
1 3
144
17142

Nench
Zohlen,
das vorh
kommtn
ſeden G.
vorhergehea
nan dadur
man, wen
gehenden
gehenden
bigen

n

*

e
Ilt /
Wt ift⸗
emten Rehe
Mneng, di

Nie

wen, nd⸗
nrar

Von der Theilung der Zahlen. 351

zwar durch die Operationen welche die folgenden Exempel

zu erkennen geben.

1213† 4 †5 † 6t†† S r1-%1 t† .
I. † I † 2 † 2 †T 3 † 3 P 4 4 † §S † 5 f† ꝛc. II1

1 †3 †6 † 10 † 15 † 21 † 28 † 36 † 45 † 55 † ꝛe.
1†2 †41† 6 † 9 † 12 F 16 † 20 † 25 † 30 † ꝛc.
I1† I T 2 T 3 † 4 † 5 † 7 T 8 † 10 † 12 † ꝛc. III

ð

I†4 † 10 † 20 † 35 † 56 † 84 † 120 † 165 † 220 † ꝛc.

1† 3 † 7 † 13 f 22 † 34 † 50 † 70 † 95 T 125 † :.
1I†2 † 4 † 7 † I1 † 16 †23 † 31 † 41 † 53 † ꝛc.

1 †IT 2 † 3 † 5 † 6 ¼ ⁹ † II † 15 f† 18 f† ꝛt. IV.

————

1 † 5 15 f 35 f. 70 † 126 210 † 330 † 495 † 715 † 1¹0.

1 † 4 † 1I † 24 † 46 † 80 †130 † 200 † 295 † 420 Pc.
1 † 3 † 7 14 †— 25 † 41 † 64 † 95 † 136 † 189 † :.

II2 1 4 † 7 † 12 † 18 † 27 † 38 † 53 † 71 † ꝛ.
1I T 2 † 3 † 5 † 7 † 10 † 13 f 18 f 23 † 2c. V.

20.

Hier enthalten die erſten Reihen allenthalben die figurirten

Zahlen, und wenn man von einem jeden Gliede derſelben
das vorhergehende Glied der zweyten Reihe abzieht, ſo be⸗

kommt man die zweyte Reihe. Zieht man ferner von einem

jeden Gliede dieſer zweyten Reihe die Summe der beyden
vorhergehenden Glieder der dritten Reihe ab, ſo ethaͤlt

man dadurch die dritte Reihe. Auf eben dieſe Art ſindet

man, wenn man fortfaͤhrt, von jedem Gliede der vorher⸗
gehenden Reihe die Summe von drey, vier fuͤnf vorher⸗
gehenden Gliedern ꝛc. der folgenden Reihe abzuziehen, die
uͤbrigen Reihen, bis man auf eine Reihe kommt, die von

I † 1 † 2 anfaͤngt, welches denn jedesmal die in der Ta⸗

belle enthaltene Reihe iſt.

§. 323.
Die Vertical⸗Reihen der Tabelle fangen alle auf einer⸗
ley Art an, und haben immer mehrere Glieder mit einan⸗
der gemein; woraus erhellet, daß ſie im Unendlichen durch⸗
aus mit einander uͤbereinſtimmen werden. Man erhaͤlt

aber fuͤr die O ſte Vertical⸗Reihe diejenige Reihe, die

aus dem Bruche
1.
(I1 — X(I — X 2) 1 — X 3 I — X 4) 1 — X5) (I — X) (1— 7) ꝛc.

entſpringt; und da dieſe eine wiederkehrende Reihe iſt,
ſo kommt es vorzuͤglich auf die Betrachtung des Nenners
an, um daraus die Beziehungs⸗Scale zu finden. Multi⸗

plieirt man aber die Faktoren des Renners nach und nach

mit einander, ſo kommt
I — X — X2 †T X5 † x7 — XI 2 — XxIS5 † Xx22 † X26

. — 235 — xX40 † S5 I † ꝛc.

und unterſucht man dieſe Reihe genau, ſo findet ſich, daß
darin keine andere Poteſtaͤten von vorkommen als ſolche,

B .B nn— n .Y V
die unter der allgemeinen Form begriffen ſind,

und daß die gedachten Poteſtaͤten, wenn n eine ungerade
Zahl iſt, negativ, wenn aber n eine gerade Zahl iſt, po⸗

Da alſo die Beziehungs⸗Scale
† 1, † 1,0, 0, — 1,0,— 1, 0, 0, 0, 0, † I, O, 0, †, 1I, 0, 0, te.
iſt, ſo iſt die wiederkehrende Reihe, die aus dem Bruche
1

—

—VI
ſtſyring
1 ½112.
vorN4
17X15
627220,

dieſer

Arten der
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die Yodee

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Lul iner⸗
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Nes Nennets
den. Muti⸗
6, und nach

er ſch,
e ſolhe,
erifen ſin,

ine upente

610 0,0

m bruche
1

Von der Theilung der Zahlen. 353

1I
(1 — X) (I — X 2) (I – X 3I — 4) (1— X*(1I — X)1— 7) 1c.
entſpringt, folgende:
I P X T 2 X2 † 3 X3 † SNaA † xs? † rI X6 † 15 ½7 † 2 28
30 †X9 † 42X1 O-† 56X1I † 77XT2 † IOIXI 3 † 135 X14 †£
176X15 † 231X16 † 297X17 † 385 X18 † 490Xx9 †
627 X2 0 792 72 1 † 1002 X2 2 † I1250 X2 3 † 1570 2 4 † ꝛc.

In dieſer Reihe zeigt jeder Coefficient an, auf wie viel

Arten der Epponent der Poteſtaͤt von X, zu welcher er ge⸗
hoͤrt, aus den ganzen Zahlen durch die Addition hervorge⸗
bracht werden kann. So laͤßt ſich die Ba 7 auf funfzehn
Arten durch die Addition hervorbringen

7=7 7 = 4 2 † I 7 = 3ITITITI
7= 6 †1 7 =4 †ITITI 7 = 2 T2TZ2TII
75 2 73 T3 PI 7TZ TI TTTIT
7=STI TI=3 P2 fDz 7=2 †I TITITITI

7=4 13 l7 = 3 †2 † FI 7=IIIITIITTI 1†1
§. 325.
Wenn man aber dies Produkt
(1 † X) (1 † 2) (1 † X3) (I †X n ) (1 †X*) (1 † XS) ꝛc.
entwickelt, ſo erhaͤlt man die Reihe:
1 † X † X ² † 2X3 † 2X4 † 3 X5 † 4 X6 † 8S27 162 †
9X9 † F IOXIO † .
und darin zeigt jeder Coefficient an, auf wie viel Arten der
Exponent der Poteſtaͤt von x, zu welcher er gehoͤrt, durch
die Addition ungleicher Zahlen entſtehen kann. So laͤßt
ſich die Zahl 9 auf acht Arten durch die Addition ungleicher

Zahlen hervorbringen.

9 = 9 9 = 6 † 2 † 1
9 =& 8 fI = 5 † 4
9 = 7 † 2 9 — 5 F 3 F f
9 = 6 3 9 = 4 † 3 1 2

Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. 1. D. 3 §. 226.

*

354 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel.

d. 326.
Um dieſe Formen mit einander zu vergleichen, ſo ſey
P =(I —X) (I— X2) ( — ³) ([. — X4) (1.— X5) ((— X6)e.
und
CQ= ) (1 1x2) (1 X 3) (I †X4) (I1 TX5⁵) (I1 † X6) ꝛc.
Alsdann iſt
PQ= (I — X2) (I — X4)6 1 — X6) (.-X 8) (I — X I G) (I -X 1 2) ꝛc.

Da nun alle dieſe Faktoren in P enthalten ſind, ſo dividire

man P durch ? Q, wodurch man
5 = (I — X) (L — X 3) (1— xX5) (1j— ) (r — X) ꝛc.
und alſo
TI

3= (1 — X) (I — 3) (I — X5) (I — X7) (I – X ²) ꝛc.
erhaͤlt. Entwickelt man aber dieſen Bruch, ſo ergiebt ſich
daraus eine Reihe, in welcher der Coeffieient eines jeden
Gliedes anzeigt, auf wie viel Arten der Exponent der in
dieſem Gliede befindlichen Poteſtät von X aus den ungera⸗
den Zahlen durch die Addition hervorgebracht werden kann.
Da nun dieſer Ausdruck demienigen gleich iſt, den wir in

dem vorhergehenden §. betrachttt haben, ſo folgt hieraus

der Lehrſatz:

Auf eben ſo viel Arten, als ſich eine gegebene ahl

aus allen ganzen aber unter einander ungleichen Zahlen
durch die Addition hervorbringen laͤßt, guf eben ſo viel
Arten laͤßt ſich dieſe Zahl auch durch die Addition der
einander entweder gleichen oder ungleichen ungeraden
Zahlen erhalten.

§. 322.
Da alſo, wie wir vorhin geſehen haben,
P = I – X — X2 † X5 † X7 — XI12 — XIS † Xx2 2 †

iſt,

Uod alſo, t
I— X2—

b—

1-
Es iſ deße
r geie⸗

X4 †NI0

9. 324.

1—
1

oder in De
ITYI1
g px.
Ner Zahlen
Zachten bekan
Dahlen dure

Nun ſin
llaochten i

.

n 6 ſey

4 ,
N 5

9I-t1:)
,ſo dooidire

N. N
N Y.

———

A-=.
ſergiett ich
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,An N A

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IW

gen undden

oder in dieſe,
I † X † X2 † 2 X3 † 2 X4 † 3 X † 4 X6 5 X7 T 6 K8 †£

Von der Dheilung der Zahlen. 355

iſt, ſo wird, wenn man XX anſtatt ſetzt,
5Q 1 — 2 — X4 † XX T XKI 4 — X2 4 — X 8304
X 4 † XS 2 — ꝛc.
und alſo, wenn man dieſe Formel durch jene dividirt, Q =
I — X2 — XA P†X ρο½X 4 – X2 4— X 3°† ꝛc.

dernnn

Es iſt dahe auch Q eine wiederkehrende Reihe, die aus
der Reihe 3 entſteht, wenn man dieſel be mit 1 — xX2 —

X4 † XXOT xI4 — X24 — ec. . multiplieirt. Da nemlich
aus §. 324. .

= I †X † 2 2 † 3 X3 † 5 X4 † 7 X5 † II X6 † 15 7 †

22 8 † 30 XK 9 † ꝛc.
iſt, ſo wird dieſe Reihe, wenn man ſie mit
1 — x2 — 4 † XIO † 2 XI 4 — 20.
multiplicirt, in folgende,

ITX † 2 X2 † 3 X3 T† 5X4 † 7X* † II X6 † 15 X 7 † 22 X 8 †

30X9 † ꝛc.
— xX2 — 3— 2X4— 3* — 5 X6 — Mä

— XA— kS — 2 X6 — 38— 5 —

—

8X9 † c. = Qverwandelt. Wenn daher die Formation
der Zahlen durch die Addition gleicher ſowohl als ungleicher
Zahlen bekannt iſt: ſo kann man daraus die Formation der
Zahlen durch die Addition der ungeraden Zahlen herleiten.

J. 328.
Nun ſind noch einige merkwuͤrdige Faͤlle von dieſer Art zu
beirachten uͤbrig, deren Entwickelung bey der Unterſuchung

3 2 der

356 Eeſtes Buch. Sechszehntes Capitel.

der Natur der Zahlen nicht ohne allen Nutzen iſt. Man
erwaͤge alſo folgenden Ausdruck:
(I1 T†X) (I TxX2) (I † X4) (1 PX 8) (1 † x16⁶) (1 † x 3 2) 0.
in welchem jeder folgende Exponent von x das Doppelte
des vorhergehenden iſt. Entwickelt man denſelben, ſo fin⸗
det man die Reihe
I † X † x2 † X3 † X4 † x5 † x6 x † XS& -† ꝛe;
da es aber zweifelhaft ſeyn kann, ob dieſe Reihe bis ins
Unendliche nach dem Geſetze der geometriſchen Progreſſio⸗
nen fortgehe, ſo wollen wir dieſelbe weiter unterſuchen.
Es ſey alſo
P = (I † 2) (1 † 22) (1 † x4) (r. X 8) (I † X16) ꝛc.
und die Reihe, die ſich hieraus durch die Entwickelung der
Faktoren ergiebt, ſey
P= I † æX -† 6 2 †P X 3 P† A † Xs T &X †aX7 † d ⁸ † ꝛc.
Hier faͤllt in die Augen, daß, wenn man xXX anſtatt X ſetzt,
das Produkt

P
(I †X2) (I † XA) (1XS) (I. †16) (1 1tx2). = =

und, wenn man in der angenommenen Reihe eben die Ver⸗
aͤnderung vornimmt,
P
ſeyn wird. Multiplicitt man nun aber durch 1 †xX, ſo wird
P= r'X FexX † æX 3 † &x 4 † 8X 5 † 7X6† YX 7 x 8 † D 9 ꝛc.
und vergleicht man dieſen Werth von P mit dem obigen,
ſo wird
* I; ₰⁸ a; „= a; = 8; = 2; 6 Sy; =7; ꝛc.
Es ſind daher alle Coefficienten der angenommenen Reihe
= 1, und es giebt folglich auch das Produkt P, wenn man
ſelbiges entwickelt, die geometriſche Reihe
1 † X † X2 T X3 † Xx4 x5 † X6 -† X7 † X S † ꝛc.

—,— = I †˙-ax 2 † 6X 4 X6 † X S † eX TI O† SXI 2 Pꝛc.

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Pe
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daß man

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1. ,K

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64 5b, 12

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l Nbigen,
75 7 *
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,, wennnan

Von der Theilung der Zahlen. 357

§. 32 9.
Da alſo hier alle Poteſtaͤten von x, aber jede nicht mehr
als einmal vorkommt, ſo folgt aus der Form des Produkts
(I TX) (I † X2) (I † X4) (1 † X 8) ꝛc. daß ſich eine jede
ganze Zahl aus den Gl iedern der durch 2 aufſteigenden geo⸗
metriſchen Progreſſion 1, 2, 4, 8, 16, 32, zc. und zwar ſo,
daß man jedes davon nur einmal nimmt, durch die Addi⸗
tion hervorbringen laͤßt, und daß ſolches nur auf eine ein⸗
zige Art geſchehen kann. Man kennt dieſe Eigenſchaft beym
Waͤgen. Hat man nemlich Gewichte von 1, 2, 4, 8, 16, 32
ꝛc. F5, ſo kann man damit, vorausgeſetzt, daß keine Theile
vom 15 vorkommen, jede Laſt waͤgen. So kann man mit
dieſen zehn Gewichten 1 15, 2 5, 4 f5, 8 TB, 16 ſ5, 32 5,
64 15, 128 , 256 I5, 512 15 jede Laſt bis zu 1024 T, und
wenn noch ein Gewicht von 1024 5 hinzukommt, jede Laſt
bis zu 2048 15 waͤg gen.

§. 2330.
Man pflegt aber in den Anleitungen zum Waͤgen außer⸗
dem auch zu zeigen, wie man mit noch weniger Gewichten,
davon nemlich jedes groͤßere dreymal groͤßer iſt, als das zu⸗
naͤchſt kleinere, oder mit 1, 3, 9, 27, 81, . 15B. jede Laſt
waͤgen koͤnne, wenn dabey keine Bruͤche vom 15 vorkom⸗
men Hierbey werden aber die Gewichte nicht in die eine
Wagſchale allein, ſondern, ſo wie es die Umſtaͤnde erfordern,
bald in die eine bald in die andere gelegt. Es gruͤndet ſich
alſo dieſes Verfahren auf den Satz, daß man aus den Glie⸗
dern einer durch 3 auf ſteigenden geometriſchen Progreſſion
1, 3, 9, 27, 84, ꝛc. wenn man dieſelben bald zu einander
addirt bald von einander ſubtrahirt, alle Zahlen hervor⸗
bringen kann. Es iſt nemlich

3 3 1

358 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel.

I = 1 5 — 9 — 3 — I 9 =— 9
2 = 3 I 6 = 9 — 3 I0 = 9 † r
3 = 3 7 — 9 — 3 T†T I II = 9 † 3 — r
4 &ę †rI 8 = 9 – 1 1 12 = 9 † 32
1c.
9. 331.

Um den Grund hiervon zu zeigen betrachte ich das un⸗

endliche Produkt

G †r TX) (-=s 1) G 21TX ) Gn1snπ.
welches entwickelt keine andere Poteſtaͤten von enthaͤlt,
als ſolche, deren Exponenten aus den Zahlen 1, 3, 9, 27,
81, ꝛc. durch die Addition und Subtraction hervorgebracht
werden koͤnnen. Ob aber darin alle Poteſtaͤten von und
zugleich jede nicht mehr als einmal vorkomme? erforſche
ich ſo. Es ſey
P = ꝛc. † CX-3 † bX—2 † àaX-Tr † 1 † „X † 6 X2 † X 3
† x4 † =Xs P ꝛc.
ſo iſt klar, daß, wenn man xs anſtatt x ſetzt,

TII farasiria: tere: 7X9 † c.
und folglich

P= = 2c. † ax-A † ax-3 † ax-2 † x-I † I 1 P axX2 T X
† «- † Sx5 † gx6 -† Sx 7 P ꝛc.

2

ſeyn wird. Vergleicht man aber dieſen Ausdruck mit dem

angenommenen, ſo findet man

Es iſt iesa

=Wð .

d man
vehl die
Lorkomme
len einer
durch die
Und endli
et n thu

te ich Ne n

n wenthet,

G l) 1),
hemvorgebrohe
etn er

irias
1.
Uuck nit dem

l

Von der Theilung der Zahlen. 359

P= I † † Xa † X3 † X † Xs † X6 †X7 2c.

4 r P-2 † 3 † X 4 †X-— 5 † X- S1 K 7 † ꝛc.

und man erkennet hieraus, daß alle Poteſtaͤten von x ſo⸗
wohl die mit poſitiven als die mit negativen Exponenten
vorkommen, ſo wie auch, daß man alle Zahlen aus den Zah⸗
len einer durch 3 aufſteigenden geometriſchen Progreſſion
durch die Addition und Subtraction hervorbringen kann,
und endlich, daß man ſolches auf nicht mehr als auf eine
Art zu thun in im Stande iſt.

Siebenzehntes Capitel.

Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen bey der
Erſindung der Wurzeln der Gleichungen.

§. 332.

Es hat der beruͤhmte Daniel Bernoulli in den Com⸗

mentarien der Petersburgiſchen Academie der Wiſſenſchaf⸗

ten im dritten Bande gezeigt, was fuͤr einen großen Nutzen
die wiederkehrenden Reihen bey der Erf findung der Wurzeln

der Gleichungen von jeg lichem Grade gewaͤhr en, indem er da⸗
ſelbſt lehret, wie man ſich den Wurzeln jeder algebraiſchen

Gleichung, die Anzahl ihrer Dimenſionen mag ſeyn, welche

ſie will, vermittelſt der wiederkehrenden Reihen zu naͤhern
im Stande iſt. Da dieſe Erſe indung haͤufig mit großem
Vortheile angewendet werden kann, ſo wollen wir dieſelbe

jetzt genauer betrachten, und die Faͤlle zu beſtimmen ſuchen,
in welchen ſolches moͤglich iſt. Denn oft ereignet es ſich
wider alle Erwartung, daß man auf dieſem Wege keine

von den Wurzeln der Gleichung entdeckt. Um alſo dieſe
Methode nach ihrem ganzen Umfange und nach allen ihren

Vortheilen kennen zu lernen, wollen wir den Grund der⸗

ſelben in den Eigenſchaften der wiederkehrenden Reihen

ſelbſt aufſuchen.

. 333.
Da ſede wiederkehrende Reihe aus der Entwickelung
eines rationalen Bruchs entſpringt, ſo ſey dieſer Bruch

*

wo alod
don, dag
A
3

Das al
Poteſaͤt.
in dieein
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1—u—
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ug

Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 36 1

a † bz † cz2 † dz3 † ez4 † ꝛc.
— 1 — az — 622 –— 72 3 — 52 4 –— ꝛc.
und die daraus entſpringende wiederkehrende Reihe ſey
AX † Bz † Cz2 -† Dz3 †T EzA †† Fzs PPic.
wo alſo die Coefficienten A, B, C, D, ꝛc. ſo beſtimmt wer⸗
den, daß
A = 4q
B = « A † b
C = „* B † β A † c
D =—=C8B TYA f d DG
ESaAD TSC TYB F† ϑ A Te

20.

Das allgemeine Glied aber, oder den Coefficienten der
Poteſtaͤt zn findet man, wenn man den gegebenen Bruch
in die einfachen Bruͤche aufloͤſet, deren Nenner die Faktoren
des Nenners 1 — «z – ⁸22 — 723 — ꝛc. ſind, ſo wie

ſolches im dreyzehnten Capitel gezeigt worden iſt.

§. 334.
Es haͤngt aber die Form des allgemeinen Gliedes vor⸗
zuͤglich von der Natur der einfachen Faktoren des Nenners

1 — a z — 223 — ꝛc. und davon ab, ob dieſe einfachen Fak⸗

toren reell oder imaginaͤr, und ob ſie insgeſammt von ein⸗
ander verſchieden, oder ob zwey oder mehrere davon ein⸗
ander gleich ſind. Damit wir alſo dieſe verſchiedenen Faͤlle
nach der Ordnung betrachten, ſo wollen wir zuvoͤrderſt den
Fall unterſuchen, wo alle einfache Faktoren des Nenners
reell und unter einander ungleich ſind. Es ſeyen alſo die
geſammten einfachen Faktoren des Nenners
(1 — pzZz) (I — q2) (I — r 2) (1 — 82) 2t.

und die einfachen Bruͤche, worin hiernach der gegebene

Bruch aufgelsſet wird, ſeyen
3 5 A

362 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel.

1—zZ 1— dqs 1— T2 1—— *

Hat man dieſe gefunden, ‚ſo iſt das allgemeine Glied der
wiederkehrenden Reihe, die aus dem gegebenen Bruche
entſpringt, =
2n (Apa . Bqn 4. Cra f D sn † 2.)
und dieſes wollen wir = Pzn ſetzen. Es ſoll nemlich P der
Coefficient der Poteſtaͤt zu, und die Coefficienten der folgen⸗
den Poteſtaͤten daher dieſe, Q, R, S, ꝛc. ſeyn, ſo daß a lſo die
wiederkehrende Reihe
A † Bz † Cz † Dz PT. . . P† Pzn † Qzufr † Rzafz Tie.
werden wird.

Nun wollen wir n als eine ſehr große Zahl betrachten, oder
annehmen, daß die wiederkehrende Reihe bis auf eine

große Anzahl von Gliedern fortgeſetzt ſey. Da nun die

Poteſtaͤten ungleicher Zahlen einander deſto ungleicher wer⸗
den, je hoͤher man dieſe Poteſtaͤten nimmt, ſo wird alsdann
auch der Unterſchied unter den Poteſtaͤten Apu, Bqn, Ern, ꝛc.
ſo groß ſeyn, daß diejenige, die aus der groͤßten von den
Zahlen p, q, r, ꝛe. entſpringt, alle uͤbrigen an Groͤße weit
uͤbertreffen wird, und dieſe uͤbrigen gegen jene ganz verſchwin⸗
den werden, wenn n eine unendlich große Zahl iſt. Da
alſo die Zahlen p, q, r, ꝛc. einander ung leich ſind, ſo wird,
wenn wir p als die groͤßte unter ihnen betrachten, und n

unendlich groß annehmen, ?b = Apn, fuͤr einen ſehr gro⸗

7

ßen Werth fuͤr n aber nur beynahe P = Apn ſeyn. Auf

eine aͤhnliche Art wird aber auch = Apn †, und alſo
= p ſeyn. Wenn man daher die wiederkehrende Reihe

bis zu einer betraͤchtlichen Anzahl von Gliedern fortgeſetzt
hat,

Ve

lauter ei⸗
ſo kann
entſprin
1— p:
den g
ten des
Mhan fnd
wan wil
ſben
htm
die vien
iodeß e

on Glicd

Napim
Mach
,15
ob der
ſch hot,
aen N

Wie
baiſche

Gi der
1 Buge

nid Ne
derſoen⸗
ui aſ die

DakN

rochten
is ouf
Da won de,

wied Cden

P.en Frd ſe⸗ .
„/r,A.

en bn

n ſcht ged⸗

ſcho.
1,

G

Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 363

hat, ſo findet man durch die Diviſion des Coefficienten ei⸗
nes jeden Gliedes durch den Coefficienten des vorhergehen⸗
den Gliedes einen Werth, welcher dem Werthe der groͤß⸗
ten Zahl p nahe kommt.

§. 336.
Wenn alſo der Nenner des gegebenen Bruchs
a † bz † cz2 †T dz3 † ꝛc.
1— az — 622 — 72 3 — 524 — 2c.

lauter einfache reelle und einander ungleiche Faktoren hat,
ſo kann man aus der wiederkehrenden Reihe, die aus ihm
entſpringt, einen von dieſen einfachen Faktoren, nemlich
I1 – pz, oder den Faktor finden, in welchem der Buchſtabe
bp den groͤßten Werth hat. Hierbey kommen die Coefficien⸗
ten des Zaͤhlers a, b, c, d, ꝛc. nicht in Anſchlag, ſondern
man findet, man mag dieſe Coefficienten annehmen wie
man will, endlich eben denſelben Werth des groͤßten Buch⸗
ſtabens p. Ganz genau und der Wahrheit voͤllig gemaͤß
erhaͤlt man zwar den Werth von p erſt dann, wenn man
die wiederkehrende Reihe bis ins Unendliche fortgeſetzt hat;
indeß wenn ſolches nur bis zu einer betraͤchtlichen Anzahl
von Gliedern geſchehen iſt, ſo ergiebt ſich doch der Werth
von p immer genauer, je groͤßer die Zahl der Glieder ge⸗
macht worden iſt, und je mehr der Buchſtabe p die uͤbrigen
q, r, s, ꝛc. an Groͤße uͤbertrifft. Uebrigens iſt es gleich,
ob der Buchſtabe p das Zeichen † oder das Zeichen — vor
ſich hat, weil ſeine Poteſtaͤten in beyden Faͤllen in ei⸗
nerley Maaße wachſen.

§. 337.
Wie man dieſes zur Erfindung der Wurzeln jeder alge⸗
braiſchen Gleichung anwenden koͤnne? iſt leicht einzuſehen,
weil

364 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel.

weil ſich, wenn man die Faktoren des Renners 1 — =2 —
822 –— 723 — à24 — ꝛc. kennt, auch die Wurzeln der
Gleichung

1— 22 — g22 — 723 — 24 — ꝛc. = 0

MW

angeben laſſen. Iſt z. B. I — pz ein Faktor jenes Nen⸗

. TLL . . . .
ners, ſo iſt auch 2 = D eine Wurzel dieſer Gleichung.

Da man alſo aus der wiederkehrenden Reihe die groͤßte
Zahl p findet, ſo erhaͤlt man auch eben dadurch die kleinſte
Wurzel der Gleichung 1— 22 — 6:⸗ — 72 3 – à24 — ꝛc.
= 0. Oder ſetzt n man 2 = — „ ſo daß dieſe Gleichung
entſteht
XIn — ℳM X I= TI — 8 m- 2 — — XII=— 3 3 — „2c. —
ſo findet man auf eben dieſem Wege die groͤ oͤßte Wurzel die⸗
ſer Gleichung X = p.

§. 338.
Iſt alſo die Gleichung

XiNm — &αO XIN= I –— 6β△ XIN- 2 — zm- 3 — ꝛc. = —
gegeben, und ſind deren Wurzeln insgeſammt reell und un⸗
ter einander ungleich: ſo findet man die groͤßte dieſer Wur⸗
zeln auf folgende Art. Man formirt aus den Coefficienten
der gegebenen Gleichung einen Bruch
a † bz † cz2 f dzi † ꝛc.
1— 22 — 622 — 723 — 24 — ꝛc.
und entwickelt aus demſelben, indem man den Zaͤhler willkuͤr⸗

lich annimmt, eine wiederkehrende Reihe, oder, welches

eben das iſt, man nimmt die erſten Glieder der wiederkeh⸗

renden Reihe nach Belieben an. Iſt nun dieſelbe

A T Bz † Czz † Dz3 k. . . . . F. Pzn † Qzn-

ſo giebt der Bruch 2 den Werth der groͤßten Wurzel x in
der

nan die
wiedert
l1,

und es

Hetlung

nd gena

Es ſo
Warzeln
Nonnmen:
Nachd
öx
jen Dahl

ſüthig i

— 1—

geln der

Dunade

2
ℳ. ) ⸗
ieſe Du⸗
Sefioendnn

Von dem Rutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛe. 365

der gegebenen Gleichung, und zwar deſto genauer, je groͤßer
die Zahl n iſt.

Erſtes Exempel.

Es iſt die Gleichung X5 — 37 — I = 0 gegeben;
man ſoll ihre groͤßte Wurzel finden.
a † bz
— 32 —

Man formire den Bruch . . woraus, wenn

man die beyden erſten Glieder 1, 2 ſeyn laͤßt, folgende
wiederkehrende R Reihe entſpringt: .
1, 2/, 772 33 8 18 6. 251, 829, 2738, ꝛc.

und es iſt alſo 3 8 der Werth der groͤßten Warzel, naͤ

herungsweiſe geſßttumt. In Decimal⸗Bruͤchen iſt
829
und genau iſt die groͤßte Wurzel =
⸗ 3 † V 13
ſo daß ſich hier alſo nur ein Unterſchied von o,0OπtOD

= 3,3027744;
= 3,3027756

findet. Uebrigens iſt zu bemerken, daß die Bruͤche

wechſelsweiſe kleiner und groͤßer ſind als die lahre Wurzel.

Zweytes Exempel.
Es ſey die Gleichung 3 2 –— 473 = ⅜ gegeben, deren

wurz eln die Sinus dreyer Bogen ſind, die dreyfach ge⸗

nommen den Sinus = ε haben. [§. 226.]
Nachdem man die Gleichung auf dieſe Form, o = 1 —
6xX £ † 823, gebracht hat, ſo ſuche man, um in den gan⸗
zen Zahlen zu bleiben, die kleinſte Wurzel, ſo daß es nicht

noͤthig iſt, 2 fuͤr X zu ſetzen. Man formire alſo den Bruch

366 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel.

à T bx † cxx
1— 6x * † 8X3

4

welcher, wenn man zu den drey erſten Gliedern o0, o, 1I

annimmt, weil dabey die Rechnung am leichteſten iſt, und
die Poteſtaͤten von X weglaͤßt, weil man bloß die Coefficien⸗
ten braucht, folgende Reihe giebt: “
, o, 1I, 6, 36, 208, 1200, 6912, 39808, 229248.
Hieraus ergiebt ſich fuͤr den naͤherungsweiſe beſtimmten

8
Werth der kleinſten Wurzel g: = 0, 1736515.

Dies ſollte nun der Sinus eines Winkel von 100 ſeyn, er

3
I0000000

iſt aber um

Tafeln = 0, 1736182 iſt. Man findet aber dieſe Wurzel

viel leichter, wenn man 2 =— = ⅛y ſetzt, wodurch man die
Gleichung 1 — 3y & † y3 = o erhaͤlt. Denn behandelt
man dieſe Gleichung auf eine aͤhnliche Art, ſo bekommt
man die Reihe
0, 0, 1, 3, 9, 26, 75, 216, 622, 1791, 5157 2ꝛc.
und es iſt alſo die kleinſte Wurzel derſelben y ohngefaͤhr =
. 179 1 199
5157 573
= 0, 1736474, welcher Werth viel genauer iſt als der vor⸗
hergehende ſt .

„3472949. Hieraus aber wird Xx = 4y

Drirtes Erempel.
Wuͤrde von eben der Gleichung, — 1— 6X * † 8X ³,
Die groͤßte Wurzel verlchet
ſo ſetze man x = 2, wodurch man y3 % — 37 † I = 0

erhaͤlt. Da nun die groͤßte Wurzel dieſer Gleichung aus
einer wiederkehrenden Reihe gefunden wird, deren Bezie⸗
hungs⸗

zu groß, weil dieſer Sinus in den

Punde

Puns⸗G
ihe, w
ſcben ann
1/I,
Peil man
der komm
gebte B.
ſin. o
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1—2¹4

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— ſin 0
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——

1

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Et

It ls⸗

nnd ns

n biſe⸗
hund⸗

7

Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 367

hungs⸗Scale o, 3, — ., iſt: ſo iſt dieſe wiederkehrende
Neihe, wenn man die Anfangs⸗Glieder derſelben nach Be⸗
lieben annimmt,
I, I, I, 2, 2, 5, 4, 13, 7, 35, 8, 98, — II, ꝛc.
Weil man aber in dieſer Reihe endlich auf negative Glie⸗
der kommt, ſo iſt dies ein Kennzeichen, daß die geſuchte
groͤßte Wurzel negativ iſt, und in der That iſt X = —
ſin. 700 = — 0, 9396926. Man muß daher hierauf bey
den Anfangs⸗Gliedern Ruͤck ſicht nehmen, wie z. B. hier
geſchehen iſt,
1 —2 †4— 7 14 — 25 49 — 89 172 — a16 605— u.

— 605 —
ieraus wuͤrde nun — — —, und = – = —
H y = 316 63

, 957, ſeyn, allein dieſer Werth entfernt ſich! von dem wah⸗

ren ſehr.

F. 339.
Der Grund von dieſer Abweichung liegt darin, weil die
Wurzeln der gegebenen Gleichung ſin. 100°, ſin 50°, und

— fſin. 700 ſind, und die beyden groͤßten Wurzeln derſelben

ſich ſo wenig von einander unterſcheiden, daß die zweyte
Wurzel ſin. 500 in den Poteſtaͤten, bis zu welchen die Reihe
fortgeſetzt worden iſt, zu der groͤßten Wurzel noch ein be⸗
traͤchtliches Verhaͤltniß hat, und alſo nicht, gegen dieſelbe
gehalten, =o geſetzt werden kann. Eben daher ruͤhrt es,
daß die gefundenen Werthe wechſelsweiſe ſehr viel zu groß
und zu klein ſind; indem z. B. wenn man

—

ſetzt, X = ——- = — — — 0,91 8
wird. Denn da die Poteſtaͤten der groͤßten Wurzel wechſels⸗
weiſe poſitiv und negativ werden, ſo werden auch die Po⸗
teſtaͤten der zweyten Wurzel wechſelsweiſe addirt und ſub⸗
trahirt.

368 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel.

₰

trahirt. Soll alſo dieſe Abweichung unmerklich werden, ſo

muß man die Reihe bis zu einer ſehr großen Anzahl von

Gliedern fortſetzen. 4

§. 340.
Man kann ſich aber auch auf die Art helfen, daß man
die gegebene Gleichung durch eine geſchickte Subſtitution
auf eine ſolche Form bringt, daß ihre Wurzeln einander
nicht mehr ſo nahe liegen. Setzt man z. B. in der Glei⸗
chhung o = 1 — 67 † 8X3, deren Wurzeln — ſin. 700, †
üſin. 500, † ſin. 100 find, = — 1; ſo werden die Wur⸗
zeln der Gleichung o = 8y 3 — 24 yy † 18 y — 1 folgende:
1 — fſin. 700, I † ſin. 500, 1 † ſin. 100. Auf dieſe Art
wird alſo 1 — ſin. 700 die kleinſte Wurzel, da vorhin —
ſin. 700 die groͤßte Wurzel war, und 1 † ſin. 500 wird die
groͤßte, da vorher fin. 5˖00 die mittelſte war; und man
kann daher vermittelſt dieſes Kunſtgriffs jede Wurzel in die
groͤßte oder kleinſte Wurzel der neuen Gleichung verwan⸗
deln, und ſie alſo auch auf dem beſchriebenen Wege finden.
Da uͤberdies die Wurzel 1 — ſin. 700 in dem gegenwaͤrti⸗
gen Beyſpiele viel kleiner iſt, als die beyden uͤbrigen, ſo
laͤßt ſie ſich auch leicht durch eine wiederkehrende NReihe
ſinden.

*

Viertes Exempel.

Die kleinſte Wurzel der Gleichung o = 8y 3 — 24 yy
† 18y — 1 zu finden, welche von 1 abgezogen den Si⸗

nus des Winkels von 70° geben wird.
Man ſetze y» = 4–2, ſo daß 0 = 23 — 622 † 92 — I
werde. Da man nun die kleinſte Wurzel dieſer Gleichung
aus einer wiederkehrenden Reihe erhaͤlt, deren Beziehungs⸗
Scale 9, — 6, † 1, iſt, ſo wie man, um die groͤßte Wur⸗

undy=

Von

Aiufin
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1/I,

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Subſctus
konn, u
bloß auf
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dn 91-
nbithni⸗
gihe Wur⸗

Von dem Niutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 369

zel zu finden, die Beziehungs⸗Scale 6, — 9, † I, anneh⸗

men muͤßte: ſo erhaͤlt man fuͤr die kleinſte Wurzel die Reihe
1, 1, I, 4, 31, 256, 2122, 17593, 145861, ꝛc.

a83

und es iſt daher naͤherungsweiſe *= 1 5861

= ,12061483.

. und y = 0,06030741 „und ſin. 700 = 1 – y = = 0,93969258,
welche Zahl auch noch in der letzten Zifer richtig iſt. Man

ſieht folglich an dieſem Beyſpiele, was fuͤr einen großen

Nutzen die Berwandlung der Gleichungen vermittelſt der
Subſtitution bey der Erſindung der Wurzeln gewaͤhren

kann, und, daß die bisher beſchriebene Methode ſich nicht

bloß auf die Erfindung der groͤßten oder der kleinſten Wur⸗
zel erſtrecket, ſondern uns auch in den Stand ſetzt, jede

Wurzel zu ſinden. S
§. 341. H
Hat man nun irgend eine Wurzel einer gegebenen Glei⸗
chung naͤherungsweiſe gefunden, ſo daß z. B. die Zahl k von

dem wahren Werthe derſelben nur um einen ſehr kleinen Theil

unterſchieden iſt: ſo ſetze man xæ — k = y, oder æX = y T k.
Hierdurch erhaͤlt man eine Gleichung, deren kleinſte Wur⸗
zel = X — K“ iſt. Sucht man nun dieſe Wurzel vermittelſt
einer wiederkehrenden Reihe, und dies iſt leicht, weil die
gedachte Wurzel viel kleiner als alle uͤbrigen ſeyn wird: ſo
erhaͤlt man in der Summe aus ihr und k die wahre Wur⸗
zel X fuͤr die gegebene Gleichung. Der Gebrauch dieſes
Kunſtgriffes erſtreckt ſich ſo weit, daß man ihn ſelbſt
dann, wenn die Gleichung imaginaͤre Wurzeln hat, an⸗
wenden kan. H

§. 342.

Vorzuͤglich wichtig und ſelbſt unentbehrlich nothwendig
aber wird er, wenn die gegebene Gleichung zwey einander
Eulers Einl. in d. Anal. d. Unend. J. H Aa gleiche

g70 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel.

gleiche und entgegengeſetzte Wurzeln hat. Wenn nem⸗
lich eine Gleichung, deren groͤßte Wurzel = p iſt, auch
eine Wurzel — p hat, ſo findet man die Wurzel p
nicht, wenn man auch die wiederkehrende Reihe bis
ins Unendliche fortſetzte. Um dies durch ein Beyſpiel zu
erlaͤutern, ſo ſey die Gleichung X3 — X2 – 55 † 5 = 0
gegeben, deren groͤßte Wurzel = V5 iſt, die aber auch die

Wunzel — W5 hat. Wollte maͤn hier die groͤßte Wurzel
„* „ . e =– „ .
auf dem beſchriebenen Wege ſuchen, ſo muͤßte man nach der

Beziehungs⸗Scale 1, † 5, — 5 die wiederkehrende Reihe
1, 2, 3, 8, 13, 38, 63, 188, 313, 938, 1563, ꝛc.

formiren, aber daraus wuͤrde man nirgends andere als un⸗
gleiche Quotienten erhalten. Dagegen werden hier die Quo⸗

tienten aus den wechſelsweiſe genommenen Gliedern einander

gleich, wenn man jedes derſelben durch das vorhergehende
dividirt, und jeder giebt das Quadrat der geſuchten groͤß⸗
ten Wurzel beynahe. So iſt z. B. beynahe 5 = 33= —

3= 133. So oft ſich daher die wechſelsweiſe genom⸗

menen Glieder einem beſtaͤndigen Verhaͤltniſſe naͤhern, ſo
erhaͤlt man jedesmal das Quadrat der geſuchten groͤßten
Wurzel beynahe. Die Wurzel X = V5 ſelbſt aber ſindet
man, wenn man X = y † 2 ſetzt, wodurch 1 — 3 y —
syy — y3 = wird. Denn da ſich die kleinſte Wurzel
Dieſer Gleichung aus der Reihe

1, 1, 1, 9, 33, 145, 609, 2585, 10945, 2t.
Ergiebt, ſo iſt dieſelbe beynahe = = sies e = 0, 2361 und da⸗

durch erhaͤlt man = V 5 = 2, 2361, die aröͤßte Wurzel
der gegebenen Gleichung.

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Obol
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ii.: Uuf

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h Pli

Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 371
Obgleich der Zaͤhler des Bruchs, aus welchem man die
wiederkehrende Reihe entwickelt, nach Willkuͤhr angenom⸗
men werden kann, ſo traͤgt doch eine geſchickte Wahl deſſel⸗
ben ſehr viel dazu bey, daß die gefundenen Werthe der

wahren Wurzel bald ſehr nahe kommen. Denn da das

allgemeine Glied der wiederkehrenden Reihe, wenn man
die Faktoren des Nenners ſo wie §. 334 annimmt, =
zn (Apau P† Bqn † Ern †5 ꝛc.) wird, und die Buchſtaben

A, B, C, ꝛc. durch den Zaͤhler des Bruchs beſtimmt wer⸗

den: ſo kommt es auf die Wahl dieſes Zaͤhlers an, ob A
einen großen oder einen kleinen Werth bekommen ſoll; und
in jenem Falle wird die groͤßte Wurzel p ſchnell, in dieſem
aber langſam gefunden. Ja es kann dieſer Zaͤhler ſo ge⸗
nommen werden, daß A gaͤnzlich verſchwindet, und dann

findet man die groͤßte Wurzel p nie, wenn man auch die
wiederkehrende Reihe ohne Ende fortſetzte. Dies geſchieht,

wenn der Zaͤhler ſo angenommen wird, daß er ſelbſt den
Faktor 1 — p? enthaͤlt, denn alsdann faͤllt derſelbe ganz
aus der Rechnung weg. Waͤre z. B. die Gleichung 23 —
6XX † 10X –— 3 = gegeben, deren groͤßte Wurzel⸗ = 3

iſt, und formirte man daraus den Bruch

— 1 — 32
1 —– 62 † 1022 –— 323

ſo daß die Bezichunge: Scale der wiederkehrenden Reihe

6, — 10, † 3, wuͤrde: ſo erhielte man die Reihe

1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, ꝛc.
deren Glieder ſich dem Verhaͤltniſſe 1 : 3 auf keine Weiſe
naͤhern, ſondern immer weiter davon entfernen. Es ent⸗

ſpringt nemlich dieſe Reihe auch aus dem Buche⸗ .

Aa s und

—
MWq)

3 72 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel.

und giebt daher die groͤßte Wurzel der Gleichung 22 —
3 X † I = O.

§. 344.
Endlich kann der Zaͤhler auch auf die Art angenommen
werden, daß man durch die wiederkehrende Reihe eine jede
Wurzel der Gleichung findet, und dies geſchiehet, wenn zu
demſelben das Produkt aus allen Faktoren des Nenners,
den, welcher aus der geſuchten Wurzel gemacht wird, aus⸗
genommen, gewaͤhlt wird. Setzt man z. B. in dem vor⸗
hergehenden Exempel den Zaͤhler = 1 — 32 † 22, ſo giebt
1— 32 T 22
der Bruch — 6= Tioz
he 1, 3, 9, 27, 81, 243, ꝛc.; und da dies eine geometriſche
Reihe iſt, ſo giebt ſie ſogleich zu erkennen, daß die Wurzel
= 3 iſt. Es iſt nemlich jener Bruch dieſem einfachen Bruche

die wiederkehrende Rei⸗

— gleich. Wenn man alſo die Anfangs⸗ Glieder der
wiederkehrenden Reihe, welche man nach Willkuͤhr anneh⸗
men kann, auf eine ſolche Art waͤhlt, daß ſie eine geome⸗
triſche Reihe ausmachen, deren Exponent einer von den
Wurzeln der gegebenen Gleichung gleich iſt, ſo erhellet hier⸗
aus, daß alsdann die ganze wiederkehrende Reihe eine geome⸗
triſche Progreſſton wird, und die gedachte Wurzel giebt,

wenn n ſie gleich weder die groͤßte noch die kleinſte iſt.

§. 345.

Damit man alſo nicht, indem man die groͤßte oder die

kleinſte Wurzel ſucht, durch die wiederkehrende Reihe wi⸗
der Erwarten auf eine andere Wurzel gefuͤhrt werde: ſo
muß man den Zaͤhler auf eine ſolche Art annehmen, daß er
mit dem Renner keinen Faktor gemein hat. Da nun die⸗
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.
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Gliederder

ltühe wey⸗
me glone⸗
er von den
chela

Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 373.

ſes ſtatt findet, wenn man die Einheit zum Zaͤhler macht,
ſo hat man alsdann jedesmal fuͤr das erſte Glied der Reihe,
1, und daraus allein muß man denn auch nach der Bezie⸗
hungs⸗Scale alle uͤbrigen Glieder ſuchen. Auf dieſe Art
findet man alſo jedesmal, ſo wie man ſichs vorgeſetzt hat,
entweder die groͤßte oder die kleinſte Wurzel. Soll z. B.
die groͤßte Wurzel der Gleichung y3 * — 3 y † I = O gefun⸗
den werden, ſo entſpringt aus der Beziehungs⸗Sceale o, †
3, — 1, wenn man von 1 anfaͤngt, die Reihe

1—0 † 3 — I T 9 — 6 f 28 — 27 † 90 — 109 4 297 — 517
1000 — 1848 † 3517 — 6544 † ꝛc.

welche ſich offenbar einem beſtaͤndigen Quotienten naͤhert,

und zu erkennen giebt, daß die groͤßte Wurzel negativ und
— 6544

beynahe = — 2 44 —– — 1,860676 iſt. ECigentlich iſt ſie

3517

— — 1, 36793852; allein der Grund, warum man ſich

hier dem wahren Werthe ſo langſam naͤhert, iſt bereits
oben angefuͤhrt worden, und liegt darin, weil die zweyte
Wurzel nicht viel kleiner als die groͤßte und zugleich poſi⸗

§. 346.

Aus dem, was bisher entweder allgemein oder bey den
Exempeln bemerkt worden iſt, erhellet der große Nutzen
welchen die wiederkehrenden Reihen bey der Erfindung der
Wurzeln der Gleichungen haben, ſehr deutlich. Und da da⸗
bey die Kunſtgriffe, wodurch man die Rechnung zuſammen⸗
ziehen, und ſich ſeinem Ziele ſchneller naͤhern kann, zugleich
mit angezeigt worden ſind, ſo wuͤrde nichts weiter hinzuzu⸗

ſetzen uͤbrig ſeyn, wofern nicht die Faͤlle, wenn die gegebe⸗

ne Gleichung entweder gleiche oder imaginaͤre Wurzeln hat,
A a 3 beſe onez

374 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel.

beſonders betrachtet werden muͤßten. Wir wollen alſo an⸗
nehmen, daß der Nenner des Bruchs
a † bz † c z2 † dz 3 † ꝛc.
I1 –— 22 – 622 — 723 — à324 — ꝛe.
den Faktor (1 – pz)2 habe, und die uͤbrigen Faktoren
1 — qz, I — r 2z, ꝛc. ſeyn laſſen. Entwickelt man den
Bruch in eine wiederkehrende Reihe, ſo iſt das allgemeine
Glied dieſer Reihe = zn ((n † 1) Apn † Bpu +† C qn † ꝛc.)
Soll nun der Werth beſtimmt werden, welchen dieſes all⸗
gemeine Glied fuͤr einen ſehr großen Werth fuͤr n erhalten
wird, ſo muͤſſen zwey Faͤlle von einander unterſchieden wer⸗
den, davon der eine ſtatt findet, wenn p groͤßer als die
uͤbrigen Buchſtaben q, r, ꝛc. iſt, und der andere, wenn p
nicht die groͤßte Wurzel giebt. Im erſten Falle, wo p zu⸗
gleich die groͤßte Wurzel iſt, koͤnnen die Glieder Bppn 6 qn
†† ꝛe. wegen der Groͤße des Coefficienten n † 1 nicht ſo
ſchnell gegen Apn verſchwinden, als vorhin; und im zwey⸗
ten, wenn q groͤßer als p iſt, kann auch (n † 1) Apn gegen
Bqu nur langſam verſchwinden, und es wird daher die
Erforſchung der groͤßten Wurzel hier ſehr beſchwerlich.

Erſtes Exempel.

Es ſey die Gleichung — 3 XK † 4 = 0 gegeben,D de⸗
ren groͤßte Wurzel 2 zweymal vorkommt.

Man ſuche dieſe groͤßte Wurzel auf die vorhin beſchrie⸗ S

dene Art durch die Entwickelung des Bruchs
I

Anmnnnn
—

— 32 % † 177
velcher die wiederkehrende Reihe

1, 3, 9, 23, 57, 135, 313, 711, 1593, ꝛ.

giebt, worin jedes Glied, durch das vorhergehende divi⸗
dirt, eine 1e Zahl giebt, die groͤher als die 2 iſt. Der Grund

hiervon

Vend

Hiubon
n luͤ
,, ſo
(n 71
Spotr.

durch des

woſern nt

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find.
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Dieſe Neihea
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und man r
wel die
cuch mit
Plteſtcten

Wenn
gegeben p
de nan di

nan erhielt

he
welchenan
us erkenn

Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 37

1 aſten⸗ hiervon iſt aus dem allgemeinen Gliede leicht einzuſehen.
Denn laͤßt man in demſelben die Glieder Bpa, Cqn, ꝛc.
. weg, ſo iſt das Glied, welches zu der Poteſtaͤt zn gehoͤrt,
1. = (n † 1) Apn † Bpr, und das folgende = (n † 2) Apnfr
Ne ſtenen BpuI. Dididirt man aber das letzte von dieſen Gliedern
ale enn d .
eln dn
(n † 2) A † B
ün durch das erſte, ſo wir G A groͤßer als p.
8 wofern nicht n eine unendliche Groͤße erreicht hat.
dieſesl,
r nerhiin SZSZwwweytes Exempel.

Es ſey die Gleichung 3 — 2X — 5 X — 320 gegeben,
deren groͤßte Wurzel = 3, und die beyden uͤbrigen = — I
find.
Man ſuche die groͤßte Wurzel vermittelſt einer wieder⸗

N
d 4

D kehrenden Reihe, deren Beziehungs⸗Scale 1, † 5, †. 3, iſt.
N ne Dieſe Reihe iſt
R r, 1, 6, I4, 47, 135, 412, 1228, 2c.
in din i und man findet daraus den Werth 3 deswegen ſehr bald,
ſtrnl weil die Poteſtaͤten der kleinern Wurzel — 1, wenn man ſie

D auch mit n † 1 multiplicirt, dennoch ſehr bald gegen die
Poteſtaͤten von 3 verſchwinden.

dengen do Dlrittes Exempel.
ile Wenn aber die Gleichung 3 † XX –— 8X — I2 = C
nnhriſ,ck gegeben wuͤrde, deren Wurzeln 3, — 2, — 2, ſind, ſo wuͤr⸗
de man die groͤßte Wurzel viel langſamer ſuden. Denn

man erhielte daraus die Reihe

1, — 1, 9, — 5, 65, 3, 457, 347, 3345, 4915, 2.
welche man noch ſehr weit fortſetzen muͤßte, wenn man dar⸗

1 aus erkennen wollte, daß die aus ihr ſich ergebende Wur⸗
eupee tii zel = 3 ſe.
. Ciund 2–

ſenon D Aa 347

376 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel.

§. 347.

Auf eine aͤhnliche Art wuͤrde, wenn drey Faktoren ein⸗
ander gleich, und der eine alſo (1 — pz)s, und die uͤbrigen
1— q, 1 – r 2, ꝛc. waͤren, das allgemeine Glied der
wiederkehrenden Reihe = 2 ( Apnp† (n †1)
B pn † C pu 4 D qn 4 Ern † ꝛc.) ſeyn. Wenn nun p die
groͤßte Wurzel und n eine ſo große? Zahl waͤre, daß die Pote⸗
ſtaͤten qn, rn, ꝛc. gegen pu verſchwaͤnden, ſo wuͤrde man aus der
wiederkehrenden Reihe die Wurzel =
2½ (n † 2) (n † 3) A † (n † 2) B
L᷑n † 1) (n T 2) A † (n † 1) B †
erhalten, welche aber nur alsdann, wenn n de moͤglich
groͤßte und gleichſam eine unendlich große Zahl waͤre, der
Wahrheit gemaͤß ſeyn kann. Es iſt aber jener Werth =
(n †" 2) A † B
½ a Hα en 1 0) B1E .
Wenn aber p nicht die groͤßte Wurzel iſt, ſo iſt die Findung
derſelben noch mit weit mehr Schwierigkeiten verknuͤpft; und
es iſt daher leicht einzuſehen, daß die Aufloͤſung der Gleichun⸗
gen vermittelſt der wiederkehrenden Reihen, wenn dieſe
Gleichungen gleiche Wurzeln enthalten, bey weitem ſo vor⸗
theilhaft nicht iſt, als wenn die Wurzeln derſelben alle ein⸗
ander ungleich ſind.

“ §. 348.
Run wollen wir unterſuchen, wie die ohne Ende fort⸗

geſetzte wiederkehrende Reihe beſchoffen ſeyn wird, wenn

der Nenner des Bruchs imaginaͤre Faktoren hat. Ange⸗
nommen alſo, daß der Nenner des Bruchs
. 4à4 † b z † cz2 † dz 3 † ꝛc.

1— 22 — 622 — 723 — 24 — ꝛc.

die

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Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 377

die reellen Faktoren 1 — qz, 1 — rz, ꝛc. und außerdem

folgenden zwey imaginaire Faktoren in ſich enthaltenden

trinomiſchen Faktor, 1 – 2 pz. coſ. † ppzz, habe: ſo

iſt, wenn man die aus dem Bruche entſpringende wiederkeh⸗
rende Reihe folgende,

A † Bz T†T Cz2 T Dz3 T. . . .... † Pzn Qznrr
ſeyn laͤßt, nach dem oben Angemerkten, der Coefficient
A. ſin. (n † 1) ½ † Bſin. n % Pn † Cqa 1† Dra e.
ſin. O
Iſt daher p kleiner als eine der folgenden Zahlen q, r, ꝛc.
ſo daß die groͤßte Wurzel der Gl leichung
XI — 4 X = I — xmNm —2 — 7 XII — 3 — 20. — —
eine reelle Groͤße iſt: ſo findet man dieſelbe vermittelſt der
wiederkehrenden Reihe eben ſo, als wenn gar keine ima⸗
ginaͤre Wurzeln da waͤren.

P=

§. 349.
Wenn alſo die imaginaͤren Wurzeln ſo beſchaffen ſind,
daß das Produkt aus je zweyen, die einen reellen Faktor
geben, nicht groͤßer iſt, als das Quadrat der groͤßten Wur⸗

zel: ſo legen dieſelben der Erfindung dieſer groͤßten Wurzel

kein Hinderniß in den Weg. Iſt aber das gedachte Pro⸗
dukt dem Quadrate der groͤßten Wurzel gleich, oder gar
groͤßer als daſſelbe: ſo findet man auf dem erklaͤrten Wege
nichts, weil die Poteſtaͤt pn gegen die gleichmannige Pote⸗
teſtaͤt der groͤßten Wurzel nie verſchwindet, wenn man auch
die Reihe ohne Ende fortſetzte. Es wird nicht uͤberfluͤſſig
ſeyn, dieſes mit einigen Exempeln zu erlaͤutern.

Erſtes Exempel.

Es ſey die Gleichung X3 — 2 – 4 = 0 gegeben,
um die groͤßte Wurzel derſelben zu finden.
Aa 5 Da

Sß

3778 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel,

Da ſich dieſe Gleichung in die beyden Faktoren
(X – 2) (XX † 2* † 2) aufloͤſen laͤßt, ſo hat ſie außer der
reellen Wurzel 2 noch zwey imaginaͤre Wurzeln, deren Pro⸗
dukt = 2, alſo kleiner iſt, als das Quadrat der reellen
Wurzel; und man iſt daher im Stande, dieſe reelle Wur⸗
zel auf dem bisher erklaͤrten Wege zu ſinden. Man formire
alſo nach der Beziehungs⸗Scale 0, † 2, † 4, die wiederkeh⸗
de Reihe
1, 0, 2, 4, 4, 16, 24, 48, 112, 192, 416, 832, ꝛc.

aus welcher ſich die reelle Wurz el 2 hinlaͤnglich zu erkennen

giebt.
Zweytes Exempel.

Es ſey die Gleichung X23 — 4XX † 8X — 8 = 0 ge⸗
geben, welche die reelle Wurzel 2 hat, und worin das
Produkt der beyden uͤbrigen imaginaͤren Wurzeln = 4,
und alſo dem Guadrate der reellen Wurzel gleich iſt.
Man ſuche alſo die Wurzel durch eine wiederkehrende
Reihe, und um ſolches auf eine bequeme Art thun zu koͤn⸗
nen, ſo ſetze man X = 2y, indem man dadurch die Glei⸗
chung y3 — 2 y y † 2 y — 1 = 0 erhaͤlt. Hieraus ergiebt
ſich nun die Reihe,
I, 2, 2, I. O, O, I, 2, 2, F, O, C, I, 2, 2, I, c.
allein da darin immer eben dieſelben Glieder wiederkehren,
ſo laͤßt ſich daraus weiter nichts ſchließen, als entweder, daß
die groͤßte Wurzel nicht reell ſey, oder, daß die Gleichung
zwey imaginaͤre Wurzeln habe, deren Produkt dem Qua⸗
drate der reellen Wurzel gleich oder noch groͤher als daſ⸗
ſelbe iſt.

Drittes Erenupet
Endlich ſey die Gleichung X3 — 3XX † 4 — 2 = 0

gegeben, deren reelle Wurzel = I1 iſt, und deren imagi⸗

naͤre

Von
re

heror
Vent
12, ein
1,3,
Alein,
tio ſind,
fnden.
Ziichen,
hen ſollen
Cranpel
die neel

G
weyer /
irgend ein
1, 10,

gene Zar

Aein
wenn e
Winkel
daß

1

Fakren
w der
der nelen
E mc
Rnpmte
wiede i⸗

5, 5
2,1.

akennen

90
worin des
rzeln = 4,
ich iſe.
utcheende
hen gww⸗
ih die Gle⸗
us agiit:

1.
gadatchen,
wweder N
dje Cecins
4 den Du
ſerab

20

1-1-
mag'
ini

4

Von dem Rutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 379

naͤre Wurzeln, mit einander multiplicirt „ das Produkt
2 hervorbringen.
Wieenn man hier nach der Beziehungs⸗ Scale 3, — 4,
†2, eine wiederkehrende Reihe formiret, ſo erhaͤlt man
1, 3, 5, 5, I, — 7, — 15, — I5 † I, 33, 65, 65, I 20.

Allein, da die Glieder dieſer Reihe bald poſitiv bald nega⸗

tio ſind, ſo laͤßt ſich daraus die reelle Wurzel 1 keinesweges
finden. Dergleichen Abwechſelungen ſind allezeit ein Kenn⸗
zeichen, daß die Wurzeln, welche ſich aus der Reihe erge⸗
ben ſollen, imaginaͤr ſind; ſo wie in dem gegenwaͤrtigen
Exempel die imaginaͤren Wurzeln in der That groͤßer als
die reelle 1 ſind.
§. 350.
Es ſey alſo in dem allgemeinen Bruche das Produkt
zweyer imaginaͤren Wurzeln pp groͤßer als das Quadrat
irgend einer reellen Wurzel, ſo daß die uͤbrigen Poteſtaͤten
qn, rn, ꝛc. gegen pu verſchwinden, wenn n eine unendlich
große Zahl wird. In dieſem Falle iſt
A. ſin. (n † 7) † B. ſin. nꝙ

ſin. de, und
A mn. WA ſtn. 41, und alſo
In.

2= A. fin. (n 2) 0% † B. ſin. (n † 1) %
A, ſin. (n † 1)%† B. ſin. n ꝙ.
Alein dieſer Ausdruck bekommt nie einen beſtaͤndigen Werth,
wenn gleich n unendlich groß wird, denn die Sinus der
Winkel bleiben immer in einem hohen Grade veraͤnderlich,
ſo daß ſie bald poſitiv bald negatid werden.

§. 351.

Wenn man indeß die Bruͤche

“

„ auf eine aͤhnliche

3l2
5O.

Art beſtimmt, und daraus die Buchſtaben A und B eli⸗
minirt,

380 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel.

minirt, ſo faͤllt auch n aus der Rechnung weg; denn man
findet alsdann P Pp † B — 2 Qp. coſ. o, woraus ſich coſ.

Pp p† K
ergiebt, und auße eine aͤhnliche Art wird coſ. 9„
Q
= Ceets Vergleicht man aber dieſe bepden Werthe
mit einander, erhaͤlt man
— ₰⏑8
* = V 66 5K/ und
QR — PS
coſ. 9* =

2 V (QQ— P R) (RR=— QS) L
Hat man daher die wiederkehrende Reihe ſo weit fortge⸗
ſetzt, daß die Poteſtaͤten der uͤbrigen Wurzeln gegen pa ver⸗
ſchwinden, ſo kann man auf dieſe Art den trinomiſchen
Faktor 1 — 2pf. coſ. ꝙ † ppzz finden.

d. 352.

Da dieſe Rechnung Ungeuͤbten Schwierigkeit machen

koͤnnte, ſo will ich dieſelbe hier ganz herſetzen. Aus dem
gefundenen Werthe von erhaͤlt man

APp. ſin. (n † 2) 0 † BPp. ſin. (n † 1) = A Q. ſin.
(n † 1) 6% † B. Q. ſin. n %. und daraus wird
A— Q. ſin. n & — P p. ſin. (n † 1) %½
B Bp. ſin. (n † 2) % — Q. ſin. (n †1)%
Auf eine aͤhnliche Art iſt
A R. ſin. (n † 1) 0 — Qp. ſin. (n †2) 0
B “ Qp. ſin. (n † 3) 0%. — R. ſin. (n † 2) %
Vergleicht man nun dieſe beyden Werthe mit einander ſo
wird
6 C. ſin. n 6. ſin. (n † 3) 9— C8. n. n ꝙ. fin.

n F.2) % —

.

Da cbe
ſin. à
iſt, ſo
9=
4
d dar⸗
En
Nun iſt
cole
ot
colb⸗
1— eol
vird
et

c(ol.0

ol
errs n

5

dol.

Venn

wiederken

ninemiſch

1.

Nenaan
ſchen,
rdcot

ethe

wei furg⸗
gen n Ne
rinoniſcen

ad waher
us den

Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 381

POQpp- ſin. H 1) 9. ſin. (n † 3) ₰ — QOp. ſin.
(Kn † 1) 6. fin. (n † 2) 0 †
Ck. ſin. (n † I) ꝙ. ſin. (n † I) ꝙQ † PQpp. fin. (n † 1)e.
ſin. (n † 2) ö.
Da aber “
ſin. a. ſin. b. = k. coſ. (a — b) — ¾ coſ. (a † b)
iſt, ſo wird
O= ¾ QQp. (coſ. 30— cof 9) † ½ QR. ( coſ 2 6)
½ P Qp p. (1 – coſ. 2 0.)
und daraus ergiebt ſich, wenn man durch 4½ Q dividirt,
(Ppp† R) (I1 — coſ. 29) = = Qr. Cole = col. 3 0)
Nun iſt
coſ. & = coſ. 2 6. coſ. & † ſin. 2 0. ſin. , und
coſ. 3 = coſ. 2 6. coſ. O — ſin. 2 6. ſin. 9; folglich
coſ. OQ coſ. 3 =2 ſin. 2 0. ſin. 6— 4 ün. 2) coſg und
1 — coſ. ⁵½ = 2 (lin. He. M
Alſo wird
PPE f H
coſ o = = 2 dp desgleichen
Qp F S
2 Rp

2Or. co , und

coſ. ꝙ =

—;]R—

Hieraus aber fließen die obigen Werthe, nemlich

KRR — Q8

p = V „und

QR –— PS
2 V (QQ– PR) (RR – Q )

coſ. =

§K. 353.
Wenn der Renner des Bruchs, nach welchem man die

wiederkehrende Reihe formiret, mehrere, einander gleiche,

trinomiſche Faktoren hat, ſo wird die Crſindung der Wur⸗
zeln

382 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel.

zeln noch viel ungewiſſer, wovon man ſich durch die Be⸗
trachtung der Form des oben gegebenen allgemeinen Glie⸗
des uͤberzeugen kann. Iſt indeß irgend eine reelle Wurzel
ſchon beynahe bekannt, ſo kann man durch die Verwand⸗
lung der Gleichung den Werth eben derſelben Wurzel im⸗
mer genauer finden. Setzt man nemlich der Summe aus
dem ſchon gefundenen Werthe und y gleich, und ſucht man
die kleinſte Wurzel dieſer neuen Gleichung: ſo erhaͤlt man,
wenn man dieſelbe zu der vorhin gefundenen addirt, den
wahren Werth von x. .

́J”ĩRVU5s Exempel.

Es ſey die Gleichung X3 — 3XX † 5 — 4 = 0 ge⸗
geben, von welcher man daraus, daß, für « = I, X 3
— 32X † 5 X – 4 — I wird, weiß, daß die eine
Wurzel derſelben beynahe = = I iſt.
Man ſetze alſo 2 = I † y, ſo wird 1— 2 y — ya = 0.
Um nun die kleinſte Wurzel dieſer Gleichung zu finden, for⸗
mire man nach der Beziehungs⸗ Scale 2, 0, 1 1, die wie⸗
derkehrende Reihe
I1, 2, 4, 9, 20, 44 97, 214, 472, roar, 2296, c.
1041

Hieraus erhaͤlt man die kleinſte Wurzel 7 beynahe= — =

2296
0,453397, und alſo = 1, 45 3397. Dieſen Werth
wuͤrde man ſchwerlich auf einem andern Wege ſo bald und
ſo genau gefunden haben.

i. 354.

Wenn ſich aber irgend eine wiederkehrende Reihe im⸗
mer mehr einer geometriſchen Progreſſion naͤhert, ſo laͤßt
ſich auch aus dem Geſetze der Progreſſion ſogleich und auf
eine leichte Art erkennen⸗ von was fuͤr einer Gleichung der
Quo⸗

Von de

OMetient
duc das
E ſeyen
ſunte G⸗
ſit, daß
ſon betra
oder es ſe

mon Mun

6
d -
1

dieſee Ve⸗
halt man
5

Und es ie

der gefunden
Cer auch d

der Brrch

n len
un
I

— —2½.

2

Ngeben, de

ſhetn
Mon hne

1—

i de Be⸗
hinen Gle⸗
Veroncd
Wrel ; in⸗
Tumnd ans
erhit nen
adirt, N

I,NW

Deer Deth

e Nehe in

nihet, ſe
wli⸗ ℳ au

ge nder
Oud⸗

S. =—

Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 383

Qustient, den man durch die Diviſion irgend eines Gliedes
durch das dorhergchende erhal⸗ eine Wurzel ſeyn werde.
Es ſeyen P, Q, R, 8, T, ꝛc. ſehr weit vom Anfange ent⸗
fernte Glieder einer wiederkehrenden Reihe, und von der
Art, daß man ſie als Glieder einer geometriſchen Progreſ⸗
ſion betrachten kann. Ferner ſey I = = S †IHε k„†ν ς† 5P,
oder es ſey die Beziehungs⸗Scale, «, † , †7 † d. Setzt

man nun den Werth des Bruchs P=x, ſo wird PF=XX,

und — = X3, und — = X44. Durch die Subſtitutjon
dieſer Werthe in der vorhergehenden Gleichung aber er⸗
haͤlt man

X4 = ℳxX t ers ker t7

und es iſt daher einleuchtend, daß 2 endlich eine Wurzel

der gefundenen Gleichung geben wied. Eben dieſes lehrt
aber auch i⸗ vorhergehende Methode, und zugleich, das

der Bruch — 2 die groͤßte Wurzel giebt.

§. 355.
Auch kann man von dieſer Methode die Wurzeln zu fin⸗
den ſelbſt bey unbegrenzten Gleichungen oͤfters mit Rutzen
Gebrauch machen. Um dies zu zeigen, ſo ſey die Gleichung

2 3 25 2 7 4
2 6 120 5040

gegeben, deren kleinſte Wurzelz den Bogen 300 oder den
ſechsten Theil des halben Umfanges eines Kreiſes giebt,
Man bringe alſo die gegebene Gleichung auf die Form
23 2 *⁹ 27
3 60 25320

und

384 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel ꝛc.

und formire daraus ein wiederkehrende Reihe. Die Be⸗
ziehungs⸗ Scale geht hier ohne Ende fort, und iſt

2, 9 — =0, 00, — 230, ie. .
die wiedertehtene Ree ſelbſt aber
23 1681 2408 ꝛc.
und folglich beynahe
1681.45– 1681.3 — 6043 — 0,5235.
2 — I. 35 —

9632
2408. 60 2408.4 99
Da ſich nun aus dem bekannten Verkhaͤltniſſe der Periphe⸗
rie zu Durchmeſſer
ſo weicht der on dem wahren
ergiebt, ſo weicht der gefundene Werth von

iſt aber das ein ſehr vortheilhaf⸗
003 ab. Es iſt aber
ter Umſtand e der gegebenen Gleichung „daß alle ihre
e

ßerdem zwiſchen der
reell ſind, und daß ſich au n gwiſchen der
Murten und den uͤbrigen Wurzeln ein betraͤchtlicher unter⸗
ſchied findet. Da ſich dieſer Umſtand ſehr ſelten ben den
unendlichen Gleichungen ereignet, ſo iſt die deſehrie .
Methode auch nur ſelten zur Erfind dung ihrer Wurz
brauchen. H

Acht⸗

Di
wwendlich
unendlich
ſo gloube
ſcher Mot
ſgen amt
ſchrunro
worfen, d
wichtige
ben, die ⸗
Mohen Ge⸗
Wſe hr⸗
alf keine
88, die i
lujeigen

re
einen Brnn
nem Run
aus einer
ſt es m
Eulers

hn den doen
ir uthiht⸗
duß ele hre
riſchen de
cher bite⸗
e ren W W.
Nee MAckukan
er Wucſen i

cht⸗

Achtzehntes Capitel.

Von den continuirlichen Bruͤchen.

—

§. 356.
Da ich in den vorhergehenden Capiteln, ſowohl von den
unendlichen Reihen als von den Produkten, die aus einer
unendlichen Anzahl von Faktoren beſtehen, gehandelt habe,
ſo glaube ich hier, auch noch von einer dritten Art unend⸗
licher Ausdruͤcke, oder von den continuirlichen Bruͤchen etwas

ſagen zu muͤſſen. Denn obgleich die Theorie dieſer Bruͤche noch

ſehr unvollkommen iſt; ſo iſt doch das keinem Zweifel unter⸗
worfen, daß die Analyſis des Unendlichen daraus einſt ſehr
wichtige Vortheile wird ziehen koͤnnen. Verſchiedene Pro⸗
ben, die ich davon gegeben habe, machen ſolches in einem
hohen Grade wahrſcheinlich. Vorzuͤglich aber gewaͤhret
dieſe Lehre der Arithmetik und der gemeinen Algebra manche
auf keine Weiſe zu verachtende Huͤlfsmittel; und dieſe ſind
es, die ich mir in dem gegenwaͤrtigen Capitel kuͤrzlich an⸗
zuzeigen und auseinander zu ſetzen vorgenommen habe.

Ich verſtehe aber unter einem continuirlichen Bruche

einen Bruch, deſſen Renner aus einer ganzen Zahl und ei⸗
nem Bruche beſteht, deſſen Nenner abermals ein Aggregat

aus einer ganzen Zahl und einem Bruche von aͤhnlicher Art
iſt, es mag nun dieſe Beſchaffenheit immerfort ohne Ende

Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. I. B. Bb ſtatt

386 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel.

ſtatt finden, oder irgendwo aidike. Dergleichen con⸗
tinuirliche Bruͤche ſind z. B

e c172
eirr dD
Tr . T.
eTTI J
FT ꝛc. † † ꝛc.

Jn dem erſten ſind alle Zaͤhler der darin enthaltenen Bruͤche

Einheiten, und dieſe Art werde ich vorzuͤglich gerracher
in dem andern aber pſind dieſe Zaͤhler die Zahlen uͦberhaup .

F. 358.
Nachdem alſo die Form der eontinuirlichen Bruͤche be⸗

ſchrieben worden iſt, ſo iſt das Naͤchſte, worauf wir zu

ſehen haben, die Art und Weiſe, den Werth der aen nnr⸗
lichen Bruͤ die gewoͤhnliche Art auszudru en.
lichen Bruͤche auf die gew 1 d ale ſnen⸗
deſto leichter kennen zu lernen, wollen wir ſtur
dieſelbe deſto leichter kennen zu wo
deſe gehen, und jene Bruͤche anfaͤnglich bey den eſten⸗
dann bey dem zweyten, dann bey dem dritten der in inne
enthaltenen Bruͤche ꝛc. abbrechen. Auf dieſe Art iſt klar,

daß ſeyn wird
a à
1I ab † tI
1 ab c a † c
S †1 Pb5( pe † I
7 abcd † ab † ad cd † TI
fIrSr —–re † T

Aei
ſerig dieſe
os den
leicht iu
Wertſam
vorherge
Nhler ei
denſelben:
us dem 1
Aben ſo de⸗
die B
kann mon
ſrmiren:
4 b
1.4

) —

09

Aeder 3.

dor vort
Meiger
ſlgenden
die Renne

zum Gran

ſegt; den
Gruchee

ki
ene Belte

ich dert .

Hntörhrut.

gen Nühel⸗
woruuf nie
der wntinuit
huucken. Dr
la W⸗
den den eſen
, Mer ir ihnte
eltitke,

—

„
SSSZ .

Von den continuirlichen Bruͤchen. 32977

rI ahbcde † abe † ade † ede †† abe †a † c†e
TEI Pcde f† be † de † be †
T†I
Ad1 1
—
20.
§. 359.

Obgleich das Geſetz, nach welchem der Zaͤhler und Nen⸗
ner in dieſen auf die gewoͤhnliche Art ausgedruckten Bruͤchen
aus den Buchſtaben a, b, c, d, ꝛc. formirt werden, nicht
leicht zu erkennen iſt: ſo ſieht man doch bey einiger Auf⸗
merkſamkeit bald, wie ein jeder dieſer Bruͤche aus den
vorhergehenden gemacht werden kann. Es iſt nemlich jeder
Zaͤhler ein Aggregat aus dem letzten Zaͤhler, nachdem man
denſelben mit einem neuen Buchſtaben multiplicirt hat, und
aus dem vorletzten Zaͤhler, ſo wie er iſt genommen; und
eben ſo verhaͤlt es ſich mit den Rennern. Schreibt man
alſo die Buchſtaben a, b, c, d, ꝛc. nach der Ordnung hin, ſo
kann man daraus die gefundenen Bruͤche auf folgende Art
formiren:
A b C d

I. 0 ab † I abe †a† c abed †ab † ad † ed ? r
o 1 5 — r ded Enrd

Jeder Zaͤhler wird hier gefunden, wenn man den unmittel⸗
bar vorhergehenden Zaͤhler durch den daruͤber ſtehenden
Anzeiger multiplicirt, und zu dem Produkte den darauf
folgenden Zaͤhler addirt. Eben dieſes Geſetz gilt auch fuͤr
die Renner. Damit man aber dieſe Regel vom Anfang an

zum Grunde legen koͤnne, ſo habe ich den Bruch vorge⸗

ſetzt; denn ob derſelbe gleich nicht aus dem continuirlichen
Bruche entſpringt, ſo macht er doch das Progreſſions Ge⸗
Bb⸗ ſetz

388 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel.

ſetz deutlicher. Es ſtellt uͤbrigens ein jeder Bruch den Werth

des continuirlichen Bruchs bis zu dem Buchſtaben, der uͤber
dem vor ihm hergehenden ſteht, dieſen aber mit eingeſchloſ⸗
ſen, dar.

. 360.

Auf eine e aͤhnliche Art giebt die andere Gattung der con⸗
tinuirlichen Bruͤche,

†
4d †
f † 4 ꝛe. V
je nachdem man ie hier oder dort abbricht, folgende Werthe: .
= a—
4 ab † æ
ekf
aAabc † sa † aEcEc
c
a † 2 abed † gad † cd † Yab † eDW½⁶⁰
b † £ bed † gd † 7b

ꝛc.
und jeder dieſer Bruͤche laͤßt ſch e aus den beyden vorherge⸗
henden auf folgende Art ſnden:

2 b CeC d 4 2
I. à. ab e abce †a ac abcd †gad †acd - vab P a*ν
dbd dees ed 1 ed † "b
„ 4 „ Sðð

3 ,

Mon
eiger?
ſuner ſet

die Stele

nan jeden
des ſegten.
ſber ſehend
den hierun
Produkte
Zhler des
der Renne
daruber
don hierun
lon den ou
Verth des ea
ſber den vor

iſcioſen,

Wenn me
Wntarirlich⸗
legtencheuc
Die vorhen
ren Werth
ſhr guteg
ſe Verth de

1†4
d

zderdeh

en der ſter .

teineſclo⸗

ttung derte

nde Verthe:

—

Von den econtinuirlichen Bruͤchen. 389

§. 261.
Man ſetzt nemlich uͤber die zu formirenden Bruͤche die

Anzeiger a, b, c, d, ꝛc., und unter ſie, dieſe, ⸗, 8, 7,d, ꝛc.
Ferner ſetzt man in die Stelle des erſten Bruchs S und in

die Stelle des zweyten —. Iſt dies geſchehen, ſo findet
man jeden der folgenden Bruͤche, wenn man den Zaͤhler
des letzten von den vorhergehenden Bruͤchen mit dem dar⸗

uͤber ſtehenden, und den Zaͤhler des vorletzten Bruchs mit

dem hierunter ſtehenden Anzeiger multiplicirt, und beyde

Produkte zuſammen addirt; wo denn das Aggregat der

Zaͤhler des folgenden Bruchs iſt. Auf eine aͤhnliche Art iſt
der Nenner ein Aggregat aus dem letzten Nenner durch den
daruͤber ſtehenden, und aus dem vorletzten Nenner durch
den hierunter ſtehenden Anzeiger multiplicirt. Ein jeder
von den auf dieſe Art gefundenen Bruͤchen aber ſtellt den

Werth des continuirlichen Bruchs bis zu dem NRenner, der

uͤber dem vorhergehenden Bruche ſehr, doch dieſen mit ein⸗

geſchloſſen, dar.

§. 362.
Wenn man daher dieſe Bruͤche ſo weit fortſetzt, als der
tontinuirliche Bruch Anzeiger giebt, ſo findet man in dem
letzten Bruche den wahren Werth des continuirlichen Bruchs.

Die vorhergehenden Bruͤche aber naͤhern ſich dieſem wah⸗
ren Werthe immer mehr und mehr, und geben daher eine
ſehr gute Naͤherung. Angenommen nemlich, daß der wah⸗

re Werth des contuirlichen Bruchs
a † FT= = x
c rE 7

3

, B b 3 H ſey;

390 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel.

ſey; ſo iſt offenbar, daß der erſte Bruch . groͤßer iſt als 2;

der zweyte hingegen iſt kleiner als x, der dritte a †

iſt wieder groͤßer, der vierte wieder kleiner, und ſo ſi nd
dieſe Bruͤche auch ferner wechſelsweiſe groͤßer und kleiner
als x. Außerdem faͤllt auch bald in die Augen, daß jeder

folgende Bruch dem wahren Werthe von „ naͤher kommt,

als jeder der vorhergehenden, und man erhaͤlt daher auf
dieſe Art den Werth von naͤherungsweiſe ſehr ſchnell und
mit vieler Bequemlichkeit. Dies findet ſelbſt dann ſtatt,

wenn der continuirliche Bruch ohne Ende fortgeht,
wofern nur die Zaͤhler «, s, „, 5, ꝛc. nicht zu ſehr wach⸗

ſen. Wenn alle dieſe Zaͤhler lauter Einheiten ſind, dann

iſt dieſe Naͤherung gar keiner Unbequemlichkeit unterworfen.

§K. 363.

Damit der Grund von dieſer Naͤherung zu dem wahren
Werthe des continuirlichen Bruchs mit mehrerer Deutlich⸗
keit erkannt werden moͤge, ſo wollen wir die larerſwiede der

gefundenen Bruͤche betrachten. Den erſten, 2 bey Seite

geſetzt, ſo iſt der Unterſchied zwiſchen dem zweyten und drit⸗

ten = der Unterſchied zwiſchen dem dritten und vierten

z de nterſchied zwiſchen dem vierten und
= r Unterſchied 3 ſche
.8 2. W

— 8 wird da⸗
fünften = (be † &β (bed†H ,&ςd† G
her der Werth des continuirlichen Bruchs durch eine ge⸗
woͤhnliche Reihe von Gliedern auf die Art ausgedruckt, daß

—, „ ꝛc.

SMä *
Sa Gefe ? GeTeesfsafes ee
iſt,

ſ, u N

ſcehuch

Wir ſi

(en Brus

Zichen ju
1,verſchwin
4

1—

b

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Wenn dohen

AAhlen, ſont

in Nener a
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eine in ie⸗

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wandeln, d
deſſen Ver
.B. dieſe
5X84

hri⸗ Er.
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Ne forgch,
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1 ,
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0
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gertn un

Evied de⸗

hh ene 6
Cruct, N

ſt⸗

Von den continuirlichen Bruͤhen. 391

iſt, und dieſe Reihe bricht allezeit ab, wenn der continuir⸗
liche Bruch nicht ins Unendliche fortlaͤuft.

d. 364.
Wir finden hier alſo eine Art, einen jeden continuir⸗
lichen Bruch in eine Reihe von Gliedern mit abwechſelnden
Zeichen zu verwandeln, wenn das erſte Glied des Bruchs,
a, verſchwindet. Denn wenn

ℳ
T 2
† Tac.
iſt: ſo iſt nach dem, was wir vorhin gefunden haben,
— * .G „*8 7.
= 5 — bc1 3) 1 (de † 6) ea †ατανd
. 7

Eα—αττπα „ b) (Bede †ρε† 7 be † àbe 85) † 2c.

Wenn daher «, 8, 7, à%, ꝛc. keine immer groͤßer werdende

Zahlen, ſondern z. B. lauter Einhelten ſind, die Buchſtaben

im Nenner aber, a, b, c, d, ꝛc. ganze poſitive Zahlen be⸗
deuten, ſo wird der Werth des continuirlichen Bruchs durch
eine in einem hohen Grade convergirende Reihe ausgedruckt.

§. 365.
Dies wohl erwogen, ſo laͤßt ſich auch jede Reihe mit
abwechſelnden Gliedern in einen continuirlichen Bruch ver⸗
wandeln, oder es laͤßt ſich ein continuirlicher Bruch finden,

deſſen Werth der Summe jener Reihe gleich iſt. Es ſey

z. B. dieſe Reihe

Bb4 H genge⸗

392 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel.
)

gegeben; ſo iſt, wenn man die Glieder dieſer Reihe mit
der Reihe, die aus dem continuirlichen Vruche entſtand,
vergleicht,

A= †; und alſo Ab
5— “ =Abe
A bers —
c = „b Cdtbc†* s)
B pPced ad D 5 B— C)
b5=— SIl(bc † 8) De bed † d vb)
C becde † ode † 7be dde †65 E T ) (C— D)
2c.

BBSbcC A bc “
Da aber 6 = — iſt, ſo wird be 5 und alſo
AcCcca =
= ) 6) Ferner wird bc T d † ? b =

Abed ACbed ABbed
A — B (A-— B) (B — C) (A— B)(B — C)
d † ed H
cd † 6 12b= ed und 5 BDde
borsSs B-—C (B—– C) (C— D)-
CEef

e⸗ ear=

folglich

Auf eine aͤhnliche Art findet man⸗= ꝛc.

C=P)D-F)-

§. 366.

Damit dies Geſetz deſto deutlcher werde, ſ ſey
P= b
Q bePpSs
R= bed-† sd † yb
8 = bede ade t be † dbe † e;
ITII= bcedef † ꝛc.
VS= boedefg † ꝛc.

ZD

eyn
Virt r

=

—
=
=
=

1 II I
— —

— — —
II

II

ſſt ſo w
geſett ha

—
II

1 ==
11

— I

—

I

1

= =
II
—1 —⸗

l.

Neiße nit
ſtond,

1bded⸗

0

Me

bef

— K

Von den continuirlichen Bruͤchen. 393

Alsdann iſt nach dem Geſetze, nach welchem dieſe Ausdruͤcke

formirt werden.
Q= PcC † 8
R = Qd † „ P
8 e † ⁹° Q
T Sf † ⸗R
V = T ½ %
c.

II I II

6. 367.

Da nun, wenn man dieſe Buchſtaben gebraucht,

*α ℳ½ G6 Mℳ ☚

*673 27/à5
P PGI QK RS

iſt: ſo wird, weil wir X = A — B † C — D † E — ?ꝛc.

geſetzt haben,

ℳ
A = †; und alſo = A F
6 = 4 8Q
A4 W½ x
C „ P CR
1 K F5 “
D 2à20. =
Cc 8 2 CGC
E — ſR. — EI
DHT — P K
c. cͤ
Nimmt man aber die Differenzen, ſo hat man
— „ (Q — ) c Ab-e
22ð
B — C = 26 R — 7P) — 244 — B Q
POR 7 PRE R
— 2“87(8 — ⁹ 092 25ßꝙ e CRe
c-=— aSs SS
Bb § D =

——
S=

394 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel.

d 2rN L 267f— DSf
KRST XKkT TrT
”MB ꝛc. 2c
Wenn man alſo je zwey und zwey mit einander multipli⸗
cirt, ſo wird V

P k ABcCd
A — B B — C =A B d. — und — = —
( ( ) 6 K; P (XB) (5 — C)
Q 8 BCed
Bſ — C) (C-D) = BCde. —; und — =
9 S ͤ = (E B
R T CDef
— — E) = CDef. — und — —
(C — D) (D E) C ef. †; und — = ☛5) (- )
ꝛc.
a C A bc
Da nun P = b; Q= — 5 X— 5 iſt, ſo wird
z= Ab
„ Bb Cc
—
— ACEcd
E (A — B) — Cc)
= BDde
—(B– C) (C— D)
— CIEef
c(C— D) (5 — E)
ꝛc.
§. 368.

Hat man nun die Werthe der Zaͤhler *, , 7, , C.
gefunden, ſo kann man die Nenner b, c, d, e, ꝛc. nach
Belieben annehmen; doch iſt es gut, ſie ſo zu waͤhlen, daß
man, wenn man fuͤr ſie ganze Zahlen geſetzt hat, auch fuͤr
2, , , à, ꝛc. ganze Zahlen erhalte. Dies haͤngt aber
auch von der Natur der Zahlen A, B, C, D, ꝛc. ab, je

nach⸗

uufim
ſt geze .
Gnge, 1
b =

6 =—

=
e

f=

Venn dah
—

ſſ: ſo kan

nen conn

18

—
G-
5Ced
—
0((—))
(Def

—err

„ſend

7

,k. nach
chen, u
t, 110
hing/
16, NE
ſich

Man ſetze alſo

Von den continuirlichen Bruͤchen. 395

nachdem dieſelben ganze Zahlen oder Bruͤche ſind. Wenn
ſie ganze Zahlen ſind, ſo geſchiehet dem Verlangten ein
Genuͤge, wenn man

b = I ſectzt 2= A
–£ = A — B = B
d = B — C denn alsdann 7 = ACG
e = C — D = B D
f = D — E wird „ = CE

Wenn daher
Xx = A — B † C — D † E — F † ꝛc.
iſt: ſo kann man den Werth von x auf folgende Art durch
einen continuirlichen Bruch ausdrucken:

— — B
* I † - — – AC
k — —
. B — — — —
C—b5 CE
D=— E † ꝛc.
§. 369.
Wenn aber alle Glieder der Reihe Bruͤche ſind, ſo daß
1 1 7 F
=— — — — — † — ꝛ.
JZMGMWU: 1 6. 1
iſt, ſo hat man fuͤr ⸗, 8, 7, à, ꝛc. foigende Werthe:
b ; a — Abc Rüä Bzcd
*= A; = S ; = S O S)
C2 de Dz ef
„ „ c.

5 = = 7
(C — B) (D — C) SB=CE— D)

„= A; folglich * =
d = C — B; 7„ = B B
e = D — c; 3 = CC

und

396 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel.

und alsdann giebt folgenden continuirlichen Bruch:

Erſtes Exempel.
Es ſonr die Nnen uche Keihe

1 :— I † —

in einen continuirlichen Bruch verwandelt werden.
Es iſt alſo A = 1, B = 2, C = 3, D = 4, ꝛc. und
da der Werth der gegebenen Reihe = 12 iſt, ſo iſt alſo

Zweytes Exempel.
Es ſoll die unendliche Reihe

x I I
— = 1 — — † † — — — † — — ꝛ..
4 3 5 7 9
worin æ die Peripherie eines Kreiſes bedeutet, deſſen
Durchmeſſer = 1 iſt, in einen continuixlichen Pruch

verwandelt werden.

abat man
.

— 1 —

und hieren

II
—

I-

Dies iſt
Freies en

in einen co
Rher
ſo hal

12——

m

und daraus
1

X

.
u:

werden.
ſoiſt ae

*

Von den continuirlichen Bruͤchen. 399

1† 1
2 † 9
2 † 25
2 † ꝛc.
und hieraus durch die Umkehrung
4 l
=FZTG
2 † 25
2 † 49
2† 1c.

Dies iſt die Reihe, die Brouncker fuͤr die Quadratur des
Kreiſes erfunden hat.

Drittes Exempel.
Es ſey die unendliche Reihe
1I I I 1I
— m n m † en m Bn .
in einen continuirlichen Bruch zu verwandeln.
Da hier A =m; B =m†n; C = m † en; ꝛc. iſt,
ſo erhaͤlt man
1

— - — m

m † — — W⸗

n n † ꝛc.

X =

und daraus wird durch die Umkehrung des Bruchs

— m = — — (m f n)2
= n. nfan)⸗

398 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel.
Viertes Exempel.

Da wir oben §. 178 gefunden haben, daß

m*
I I 1I r 2=ð I
— — — – — — – —,— ä *
mæ m nminm zn-—m n-m
n.

iſt, ſo hat man, wenn man dieſen Werth in einen continuir⸗
lichen Bruch verwandeln will, A = m; B = n — m;
C= n-†m; D = 29n — m; ꝛc. Es wird daher

me
cef 2
n 1 .
— à m
m m † — – (n- m) 2
J n⸗ſin. — n=2 m F md⸗
in 2 m (z2n — m) ²
1n — 1 —
K. 370.

Wenn die gegebene Reihe in continuirlichen Faktoren fort⸗
gehet, ſo daß

14 1 r 1 1
=— — — —

A à XApc AscDp † ABCPDE
iſt: ſo entſtehen folgende Beſtimmungen:

b 3 bcc Bcd
A ” 5 — 1 — 0 (C — 1)
C de Def

= 55 — 5 ½ — 5— E 5 *

Man ſetze alſo

b = A; folglich * = I
c = B — I; ⁸ = A
d = C — 1 4½ VY B
= D — 1; C
f = E — I3 6 = D

Als⸗

dere

N!
bedeutet,

1

e

1=

ſte ſo etß
uch, ve
ſet. E

— —

und hiera
der im An
1

—.

—

—.0—

Von den continuirlichen Bruͤchen. 399
Alsdann wird

Erſtes Exempel.

Da wir oben geſehen haben, daß, wenn e eine e Zaht
bedeutet, deren Logarithme = 1 iſt,

1I 1 I 1 1
— — IL — — † — — † —— Le.
11I.2 I. 2.3 I.2. 3. 4
oder
T I I I I
1— = — - — † — — † ꝛc.

iſt: ſo erhaͤlt man aus dieſer Reihe einen continuirlichen
Bruch, wenn man A = I, B = 2, 0 — 3, D =☛ 4, 20.
ſetzt. Es wird nemlich alsdann

1 1
I — — —,—
I † I

1†2

E

D

1†

S
3

+

1
und hieraus, wenn man umkehrt, und die unaͤhnlichen Glie⸗
der im Anfange wegſchaft,

1 I
e — 1 II2
2 † 3
3 † 4—
4 † 5

Zweytes

400 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel.
Zweytes Exempel.

Da der Coſinus eines Bogens, der dem Halbmeſſer

gleich iſt,
1 HʒrI X
— 1 — — T† — — — ꝛc.
2 2.12 2. 12.30 2. 12.30.56
iſt: ſo wird, wenn man A = I, B = 2, C = 12, D = 30,
E = 56, ꝛc. und den Coſinus des Bogens, der dem Hall⸗

meſſ er gleich iſt, = X ſetzt

1 1†
. —
11 † 12
29 † 30
585535 † c.
oder
1 — 1= –—
X I1 † 2
11 † 12
29 † 30
55 † ꝛc.
§. 371.

Es ſey außerdem die Reihe mit einer geometriſchen ver⸗

bunden, oder
X = A — B2 †¼ Cz2 — Dz5 f† Faa — Frr f 1.
ſo wird

= abs = BDars, ACcde
A —– B z — 52) — C2);
BDdez CEefz —, *
G — C) (C— D) (C— Dz) (0 — E2))

Man ſetze alſo

Un abe
A
1
Gler euhatt

—

halimeſer

—,—

—
=
—
=

7
er den hl⸗

naͤtiſhen te⸗

Von den continuirlichen Bruͤhen. 407

b = I unnd alſo s = A
C = A — Bz ⁸₰ = Bz
d = B — Cz „ = ACz
e* = C — DhHzz’·zZ * = BDZz
=Jð ꝛ2c.
ſo wird
X = — Bz
+ ; ACz
14 A — Bz † 2 — BDZ
5 — Cz † .⸗
C— D z † Le-.
§. 372.
Um aber dieſen Fall allgemeiner zu machen, ſo ſey
A B Cy2 Dy 3 E y4
X — — 1. † — — S — 20

IL Mz NZ2 023 1 PZ4
Hier erhaͤlt man durch angeſtellte Vergleichung

—Ab, BLbcy ACMZCdVZ. ;
12 AAN - BLy GM ELNSN CNMY)
BDNzdeyz

(B N z — CMy) 5(COZ— D Ny)
Run nehme man b, c, d, ꝛc. auf folgende Art:

b. = L.; ſo wird « = A
c = A Mz – B Ly; 8 = BLLy
d = B N z — CMy; „ = ACMayz
e = COz — D Ny; = BD Nzyz
f = DPZz – EOy; 5 = CE Oyz
. .

Folglich iſt der continuirliche Bruch, durch welchen die ge⸗
gebene Reihe ausgedruͤckt werden kann,
N
X = B LLy

1 AM 2— BLY †

r — BDNNyz
— My C6 DNy T ꝛc.

Eulers Einl. in d. Anald, Unendl, I. B. Cc §. 373.

402 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel,.

Hat endlich die gegebene Reihe folgende Geſtalt:
A AB y ABCVyZ ABCDVyS3

X =— L LMNZz — LMNO=S 1. e⸗

ſo wird
Ab Bbcy CMedy⸗
T— —, 8 = 7=
Fk 5Mz — ByYy GIz =— By) (Nz — C7)
D N deyz EOefyz
— — =
Ne CvNKO - D) (Oz — Dy) (Pz— E S
c.

Um alſo dieſe Werthe in ganzen Zahien zu , erhelten, ſetz

man S=WDð
b = Lz¶(źᷓ!]]) ſo wird „ = Az
c = MzZ — By; 6½ = BLyz
= Nz — Cy; —– CMyZ
e = 02 — Dy; 9 = D N yz
f = Pz –— Ey; s = E Oyz
c. ꝛc.

Demnach wird die gegebene Reihe in folgenden continuir⸗

lichen Bruch

AZ 31
1 — CM
1 Ee.
NZ — Cy †
62— DPy T ꝛ.

oder, damit das Progreſſions⸗ Geſetz vom Anfang an in die
Augen falle, in dieſen

AZz Ay Lzæ — 4 4 BLVyZ. .
— V= Lz — Ay † :- H D Nyz
herwandelt.
N. 374.

uf
.entinuit

man ein
Vruch be
Neiſe ge
a worde
ſich; ah
rfinden
nen cont
geben /
eine unen⸗

inl: ſo t-

ſomnmeog
Sumer

Damd
e, de
werden
Neihen,
erforſc

iihen Be⸗

X-—

gelen, eee

, Antictis

id

dM
-N

V.

Von den continuirlichen Bruͤchen. 403

§K. 374.
Auf dieſe Art laſſ ſen ſich unzaͤhlige ohne Ende fortgehende
continuirliche Bruͤche von der Art finden, daß man ihren
wahren Werth angeben kann. Denn da die unendlichen
Reihen, die wir oben betrachtet haben und deren Sum⸗
men bekannt ſind, hierzu gebraucht werden koͤnnen: ſo kann

man eine jede von dieſen Reihen in einen continuirlichen

Bruch verwandeln, deſſen wohrer Werth der Summe jener
Reihe gleich ſeyn muß. Die Beyſpiele, die bereits betrach⸗
tet worden ſind, zeigen di e Art und Weiſe hiervon hinlaͤng⸗
lich; allein es waͤre zu wuͤnſchen, daß man eine Methode
erfinden moͤchte, durch welche ſich der Werth eines gegebe⸗
nen continuirlichen Bruchs unmittelbar darſtellen oder an⸗
geben ließe. Denn obgleich jeder continuirliche Bruch in
eine unendliche Reihe verwandelt, und die Summe dieſer
Reihe nach den oben erklaͤrten Methoden geſucht werden

kann: ſo werden denn doch dieſe Reihen gemeiniglich ſo zu⸗

ſammengeſetzt, daß man daraus ihre obſchon ſehr einfache
Summe kaum zu erforſchen im Stande iſt.

5. 375.

Damit man deutlich einſehe, daß es continuirliche Bruͤche

gebe, deren Werth aus andern Quellen ſehr leicht erhalten
werden kann, ob man gleich denſelben aus den unendlichen
Reihen, worin man die Bruͤche verwandelt, auf keine Weiſe
zu erforſchen im Stande iſt: ſo wollen wir dieſen continuir⸗
lichen Bruch

I1
xX — ——
2 † I
2 † 1
2 † I
2 † 2ꝛc. SS
CEc 2 be⸗

.

404 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel.

betrachten, deſſen Renner insgeſammt einander gleich ſind.
Denn formiren wir daraus auf die oben erklaͤrte Art die
Bruͤche
o 2, 2, 2, 2, 2, 2,
1 o I 2 5 12 29
„₰ 2 5 127 29 70 2c.
ſo bekommen wir daher folgende Reihe:
1 I 1 1I

= 01 1 — — † — — — † — – — ꝛc.

2 2.5 5. 12 12. 29 29.70
oder, wenn wir immer zwey und zwey Glieder mit einan⸗
der verbinden, dieſe:

2
X= — — — † ꝛe.
1I, 5 5. 29 29 S IS;
oder
I 2 2
X= — — — — r.
2 2 . 12 12. 70
Da uͤberdem
1 1 1
k† — — + — — † ꝛc
„ 4 2.2. 5 2.5 . 12 2. 12. 29
3 TI 1 Xx
— — — —— F† ꝛc.
4 2.2.5 2. §. 12 2.12.29
iſt: ſo wird auch
1I 1 1I I 1I
X= — — —ú — — — E i.,
4 1. 5 2‧12 5S. 29 I2. 70

allein ſo ſehr dieſe Reihen auch convergiren, ſo iſt man

doch nicht im Stande, ihre Summe aus ihrer Form ab⸗

zuleiten.

§. 376.
Fuͤr dergleichen continuirliche Bruͤche aber, in welchen
entweder alle Nenner einander gleich ſind, oder immer eben

dieſelben Nenner wiederkehren, ſo daß ein ſolcher Bruch,
nach⸗

ſochte⸗
ntten
6 eine
o iſt i⸗

d, X

ſodeß a
SV
dem con
ſan Wer
ſchverlich

durch Rati
entdeckt

hetrdchtl
die Wur

ſ daß de⸗

So
Weg an
hern: ſ⸗
alderer B

ich ſud.
W die

— — 64
70
wa üna

n welce
nmnereden
er Huch,
hac⸗

Von den continuirlichen Bruͤhen. 405

nachdem man davon vom Anfang an einige Glieder abge⸗
ſchnitten hat, doch noch dem ganzen Bruche gleich iſt, giebt
es eine ſehr leichte Art, den Werth derſelben zu finden.
So iſt in dem Exempel des vorhergehenden § wo.

— 1 w
2 † I
2 † 1
2 † ꝛc.

T , .
war, * = —, folglich xxK † 2 X = 1, und X † I = V 2,

ſo daß alſo der Werth des angefuͤhrten continuirlichen Bruchs

V 2 — 1I iſt. Die Bruͤche aber, welche wir vorhin aus

dem continuirlichen Bruche abgeleitet haben, naͤhern ſich die⸗
ſem Werthe unaufhoͤrlich, und das ſo ſchnell, daß wohl
ſchwerlich eine ſchnellere Art, dieſen irrationalen Werth
durch Rational⸗Zahlen naͤherungsweiſe auszudrucken, wird
entdeckt werden koͤnnen. Es iſt nemlich ohne einen eben
betraͤchtlichen Fehler V2 — 1 = 3 Denn zieht man
die Wurzel wirklich aus, ſo iſt

V 2 — 1 = 0,4142 1356236, und
= 0,41428571428

ſo daß der Fehler bloß die Hunderttauſendtheile angeht.

§. 377.
So wie die continuirlichen Bruͤche einen ſehr bequemen

Weg an die Hand geben, ſich dem Werthe der V 2 zu naͤ⸗

hern: ſo laͤßt ſich dergleichen daraus auch fuͤr die Wurzeln
anderer Zahlen herleiten. Es ſey zu dem Ende

406 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel.

a T ꝛc.

wo alſo x = . , und XX † à X = I, Uund alſo X

P

. (ag — .
1 — wird. Es dient

.
— — a †V (I T — aa) =
2 4

daher dieſer Bruch zur Erfindung der Quadrat⸗Wurzeln
aus den Zahlen, die unter die Form aa † 4 gehoͤren.

Setzt man alſo fuͤr a nach und nach die Zahlen, 1,2,3,4, c.
ſdſo ſindet man à 5; V 2; V 13; V 5; V. 29 ; V 10;
V 53; ꝛ. wenn man nemlich dieſe Wurzeln auf ihre ein⸗

fachſte Form zuruͤckfuͤhrt. Es iſt folglich

1, I1, I, I, I, I,
L I 2 3 5 S—I
—, —, —, —, —, —, (. — ——
O. I 2 §5 12 29
—, , =, , , —, c. = 2— I
1 * 2 5 12 29 70 V 2
3, 3/ 3, 3, 3, 3,
o 1 3 10 33 09 V 13 — 3
—, —, —, —, — .
1I 3 10 33 109 360 2
4, 4, 4, 4, 4, 4,
.„ 1 4 17 72 305
1 4 —, , —, —, ꝛc. = 5— 2

17 72 305 1292
cc.
Hierbey iſt zu bemerken, daß die Naͤherung deſto ſchneller
erfoglt, je groͤßer a iſt. So iſt in dem letten Exempel V5S

mwen
——

12

Ei iſt al

S

ſen gern
n dahe
len awen

— —

Von den n continurlichen Bruͤchen. 407

2, wobey der Zerthum eringeriſel
292. Soi

Es iſt aber 5473 der Nenner des elgenden Bruchs

§. 378.
ſr⸗ Auf dieſe Art aber koͤnnen bloß die Wurzeln ſolcher Zah⸗
dn 17 ien gefunden werden, die Summen zweyer Quadrate ſind.
Un daher dieſes Naͤherungs⸗Mittel auch auf andere Zaz⸗
len auszudehnen, ſo ſey

an .— —s
1az b r 1
29; 10, 4 † M
ihre ein b † 2
a † I
D † ꝛc.
Alsdann wird WM
1 I —bT
. — 4àAb † I T ax
1 7
und fol lglich
1 . 42XX † a bzæ = b, und
— ab abb ah
= — bz N. Pbr = 144
1 BVermittelſt dieſer Sormel lafen ſich die Quadrat⸗Wurzeln
aller Zahlen finden. Setzt man z. B. a = 2, d = 7; ſo
wird = — 4 8 = — und dieſen
. Werth von 2 erhaͤlt man in den Bruͤchen Z
2, 7, 2, 79 2, 7,
ſhlle 2„ — 7 „1, U 112 239 „ ꝛc.
i 1 15 32 239 510
me Cc 4 Ss

408 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel.

Es iſt daher beynahe — 4 ð 23⁰ und e, =

510
2024
S; = 268,51 Dieſ⸗ er Werth weicht von dem wah⸗
ren 2, isrsis noch nicht um ab
IOO00000
Nun wollen wir ferner
Xx = —
a 1 1 .
b † 1
C † 1
a T I
†
† t
a † 2t
ſetzen, woraus
. rr- = Kia F
bxPbcPI ctale

. CTX
wird. Hieraus aber fließt
(aab † 1) XX † (abe † a — b † c) X = be † r, und
= — lboe — à Tb -— c † ((abe f a T b? ⸗ † 4
2 (abBb † 2)
Allein da die GroTͤße unter dem Wurzel⸗Zeichen in dieſem
Ausdrucke wieder die Summe zweyer Quadrate iſt, ſo kann
man denſelben bey der Extraction der Quadrat⸗Wurzeln
nicht weiter gebrauchen, als wo man ſich ſchon der erſten
Formel bedienen konnte. Eben ſo reicht die Formel, welche
man findet, wenn man die vier Buchſtaben a, b, c, d, in
den

den Nn
igr vel
hal,

Da!
ſem Vor
nen kent
guadrati
können;1
indem
wied.
dratiſche
nen cont
Gleigunea

gegeben.

erhaͤlt,
ſcon geful

vied.
Verth
miliche

Alein
won kej

dn veh⸗

xkberl

—

raNeſae

4 1,
19,4
—

in Neen
ſt ſokann
1 Duen
n der in
ene teche
56 in
den

Von den continuirlichen Bruͤchen. 409

den Nennern des continuirlichen Bruchs wiederkehren laͤßt,
nicht weiter als die zweyte, welche nur zwey Buchſtaben
enthaͤlt, ꝛc.

7
§. 380.
Da man ſich alſo der continuirlichen Bruͤche mit ſo di vie⸗

lem Vortheile zur Extraction der Quadrat⸗Wurzel bedie⸗
nen kann: ſo werden dieſelben auch bey der Aufloͤſung der

quadratiſchen Gleichungen mit Nutzen gebraucht werden
koͤnnen; ſo wie ſolches auch ſchon aus der Rechnung erhellt,
indem » durch eine unreine quadratiſche Gleichung beſtimmt
wird. Es kann aber auch umgekehrt die Wurzel jeder qua⸗
dratiſchen Gleichung ſehr leicht auf folgende Art durch ei⸗
nen continuirli ichen Bruch dargeſtellt werden. Es ſey die

Gleichung

X X — à X †+ b

gegeben. Da man daraus
= àa 1 —

erhaͤlt, ſo ſetze man in dem letzten Gliede anſtatt X den
ſchon gefundenen Werth deſſelben, wo denn
X — 3 k — . 1.
wird. Faͤhrt man auf dieſem Wege weiter fort, ſo iſt der
Berth von x, durch einen ohne Ende fortlaufenden conti⸗
nuirlichen Bruch ausgedruckt,
X = à 1- † b b
2 †
a † ꝛc.
Allein da die Zaͤhler b keine Einheiten ſind, ſo laͤßt ſich da⸗
von kein bequemer Gebrauch machen.
Cc S W 8 38 1.

S

310 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel.

Um nun den Nutzen der continuirlichen Bruͤche in der

Arithmetik zu zeigen, ſo iſt zuvoͤrderſt zu bemerken, daß ein
jeder gewoͤhnlicher Bruch in einen continuirlichen Bruch
verwandelt werden kann. Iſt z. B. der Bruch = 4
gegeben, und darin A groͤßer als B, ſo dividire man A
durch B, wo denn der Quotient a und der Reſt C ſeyn mag.
Nun dividire man durch dieſen Reſt C den vorhergehenden
Diviſor B, und der Quotient ſey b und der Reſt D, den

man nun wieder durch den vorhergehenden Diviſor C divi⸗

diren muß. Auf dieſe Art ſetze man dieſe Operation, wel⸗
che man gewoͤhnlich bey der Reduction der Bruͤche auf die
kleinſten Zahlen anwendet, um den groͤßten gemeinſchaft⸗
lichen Faktor von A und B zu finden, fort, bis nichts mehr
uͤbrig bleibt. Hier iſt ein Beyſpiel:

B) A (a“
C) B (b
D) C (c
E) D (d
F ic.
Nun iſt, wegen der Natur der Didiſion,
A=aàB † C; alſo — = a † —
. 1c; B 1† B
B dDd C FE
C E D 1.)
2 =— CcCD † E? — — —, — — — –
“M 8 1 D 1 F G 4 E
C D
D F E I
1 r; E. 4 ¼ ; 5 d 1K
.
N c. ic.

nd demt
ſaben

1

õ

Von den continuirlichen Bruͤchen. 311

Setzt man daher die folgenden Werthe in die vorhergehen⸗

he ir e den, ſo wird
d A r
n Mſei X = — = a † — b 1 1 1
4
s=
. und demnach wird endlich X durch die gefundenen Buch⸗
hut Mh ſtaben a, b, c, d, ꝛc. allein auf folgende Art ausgedruckt:
Cſemn ner 1
hergehenden X = aà f b † 1
RK, den C † 1
wiſr dek 1
gene 2
itznlr ”
Es ſey der Bru uch — 5 gegeben, welcher auf folgende
„Art in einen cantinuirlichen Bruch verwandelt wird, deſſen
Zaͤhler lauter Einheiten ſind. Man ſtelle zuvoͤrderſt die
Operation an, wodurch der groͤßte gemeinſchaftl iche Divi⸗
ſor der Zahlen 59 und 1461 geſucht zu werden pflegt.
59) 1461 (24
118
281 .
236 .
2-— 45) 59 (1
1 45
. 14) 45 (3
4 42
2 3) 14 (4
e p . 12
1 2)3 (11
= 2
1)2 GS

412 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel.

Aus dieſen Quotienten wird alsdann

146 t
= 1 ⸗ O
ä
4 † 4
1 111 1
2

Zweyres Exempel.

Auch die Decimal⸗ Bruͤche koͤnnen auf dieſ Art verwan⸗
delt werden. Denn iſt z. B.
141421356
1I00000000

V2 = 1,41421356 =

gegeben, ſo ſtellt man zuvoͤrderſt folgende Operation an
100boODOOI A41421356

1
82842772 100000000 2
17157288 41421356 2
14213560 3431456 2
2943728 7106780 2
2438648 5897455 2
505090 1219324 2
4198728 I010160 2
c. 209364

Da nun aus dieſer Operation erhelet, daß jeder Nenner
= 2 iſt, ſo hat man

2 = 1I1 † —
V2= 1I 12—
2 † 1
2 † 1
—.
2 + ꝛc.

und

d die
Obi⸗

Vor
und dief

ſamtei.

ſnde, ſo
ergehen

1

ind ſett n
eimmnt,

6

die, wern
greſſion a

— I
—

*
2
ℳ

At verwen⸗

eratien un

d

Von den continuirlichen Bruͤchen. 413

und die Beſchaffenheit dieſes Ausdrucks iſe bereits aus
dem Obigen bekannt.

Drittes Exempel.

Vorzuͤglich verdient die Zahl e deren Logarithme = 1I,
und die ſelbſt = 2,7 I 8281829459 iſt, unſere Aufmerk⸗

ſamkeit. Da man daraus — =o, 959 1409 14 22 95

findet, ſo giebt dieſer Bruch, wenn man ihn auf die vor⸗

hergehende Art behandelt, folgende Quotienten:
9591409142295 1 gi OOPοο 1.
8451545146224 591409 142295 6

139863996071 1408590857704 10
139312557916 1398639960710 14

55 1438155 9950896994 1I8
2502244⁸8 9925886790 22

1213667 25010204
1c.

und ſetzt man dieſe Rechnung, wenn man den Werth von
e nimmt, noch weiter fort, ſo findet man dieſe Quotienten,
4

I, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 2ꝛc.

die, wenn man den erſten weglaͤßt, eine arithmetiſche Pro⸗
greſſion ausmachen. Es iſt daher

e* — I 1

414 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel.

In der Analyſis des Unendlichen laͤßt ſich dieſer Bruch

weiter unterſuchen.

§K. 382.

Da man aus dergleichen Ausdruͤcken Vruͤche ableiten
kann, die ſich dem wahren Werthe dieſer Ausdru cke ſehr
ſchnell naͤhern; ſo kann man ſich dieſer Methode bedienen,
um Decimal⸗Bruͤche in gewoͤhnliche Bruͤche zu vert vandeln,

die ſich von jenen nur um einen unbetraͤcht lichen Theil un⸗

terſcheiden. Ja, wenn ein Bruch, gegeben iſt, deſſen
Zaͤhler und Renner ſehr große Zahlen ſind, ſo kann man

dafuͤr einen andern Bruch, deſſen Zaͤhl er und Renner aus
kleinern Zahlen beſtehen, ſinden, der zwar d dem gegebenen
Bruche nicht vollkommen gleich, aber doch auch nicht merk⸗
lich von ihm unterſchieden iſt. Und ſo laͤßt ſich jene Walli⸗
ſiſche Aufgabe aufloͤſen, worin Lerlandt wird, daß man
Bruͤche ſinden ſoll, die durch kleinere e Zahlen ausgedruckt
werden, und den Werth des in groͤßern Zahlen gegebenen
Bruchs ſo genau erſchoͤpfen, als es durch Zahlen, die nicht
groͤßer ſind, geſchehen kann. Die B ruͤche, welche wir auf
dem beſchriebenen Wege finden, naͤhern ſich dem Werthe
des continuirlichen Bruchs, aus welchem ſie abgeleitet wor⸗

den, ſo ſehr, daß keine andere, die nicht aus groͤßern Zah⸗

len beſtehen, ſich ihm mehr naͤhern koͤnnen.

Erſtes Exempel.
= Es ſoll das Verhaͤltniß des Durchmeſſers zum Umkreiſe
durch ſo kleine Zahlen ausgedruckt werden, daß ſolches auf

keine genauere Art geſchehen kann, wofern man nicht groͤ⸗
ßere Zahlen nimmt.

Wenn

die
bickel,

und dar

Der zwe
Peiphe,
hallnis
gehuct

WVechott
es her⸗

peniger a

dechſae

Nan
Sonnene
Rd

ſteht es

ſen Brug
e uori

4

und ans

—

.

ter Brnch

N ſe

Pjene weli⸗

i⸗ N

nite
geleitawes

dhern ⸗

hkteſe
un nic,

Denn

weniger als
II

Von den econtinuirlichen Bruͤchen. 415

Wenn man den bekannten Decimal⸗Bruch

3/1415926535 ꝛc.

auf die beſchriebene Art durch eine fortgeſetzte Dibiſion en ent⸗
wickelt, ſo erhaͤlt man die Quotienten,

3, 7,/ 15, I, 292, I, I, ꝛc.
und daraus ergeben ſich folgende Bruͤche,
1 3 22 333 355, 103923

o 1 7 106 113 33102

Der zweyte zeigt ſchon an, daß ſich der Durchmeſſer zur
Peripherie wie 1: 3 verhalte, und genauer kann dies Ver⸗

5

haͤltniß durch keine andere als durch groͤßere Zahlen aus⸗

gedruckt werden. Der dritte Bruch giebt das Archimedeiſche
Verhaͤltniß 7: 22; und der fuͤnfte das vom Metius, wel⸗

ches der Wahrheit ſchon ſo nahe kommt, daß der Fehler

betraͤgt. Uebrigens ſind dieſe Bruͤche
wechſelsweiſe zu groß und zu klein.

Zweytes Exempel.

Man ſoll das Verhaͤltniß eines Tages zum mittlern
Sonnenjaͤhre in den moͤglich kleinſten Zahlen ausdrucken.
Da dieſes Jahr 365 T., 5 St., 49“ 55“ enthaͤlt, ſo be⸗
ſteht es aus 365 6 00 23 Tagen. Entwickelt man nun die⸗
ſen Bruch, ais woraf es allein ankommt ſo findet man
die Quotienten

4, 7, 1, 6, I, 2, 2, 4

und aus ihnen folgende Bruͤche

2, 1, 2, à ι ur

17 4 29 33 227 260 747/

⸗„

Die

S

416 Ecſtes Buch. Achtzehntes Capitel. ꝛc.

Die Stunden, Minuten und Secunden, welche das Jahr
uͤber 365 Tage enthaͤlt, machen alſo in 4 Jahren ohngefehr
einen Tag, und darauf gruͤndet ſich die Einrichtung des

Julianiſchen Calenders. Genauer gerechnet, ſo entſtehen

daraus in 33 Jahren 8 Tage, oder in 747 Jahren 181 Tage,
ſo daß alſo in vier hundert Jahren 97 Tage zu viel her⸗

auskommen. Da alſo der Julianiſche Calender in dieſem

Zeitraume 100 Tage einſchaltet, ſo verwandelt der Gre⸗
gorianiſche in vier hundert Jahren drey Schaltjahre i in
gemeine Jahre.

1

Ennde des erſten Buchs.

Anhang

Ueb

—

o/

außer eine

docen B
Wßfen

Kulersl

1.
hegefce
Anhang
Nn S zu der
“ Ueberſetzung des erſten Buchs
der n OWDW
oliehre in der
Euleriſchen Einleitung
in die
Analyſis des Unendlichen,
welche r
außer einer vollſtaͤndigen Darſtellung der in dem ge⸗
dachten Buche abgehandelten Materien vetſchiedene
groͤßtentheils aus andern Euleriſchen Schriften
genommene Zuſaͤtze enthaͤlt.
Pie⸗ Eulers Einl. in d. Anal. d. Unend I. B ODd .

–

4

Eu

und den
bon die
Gröͤße
lgen
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daß er ni
werkt, zu
Nehort.
Euler da
Cintheilun
Wdderſt h
keder
einonder
ein dop
ſiß die
welche di⸗
Oroͤen be
ſe ben Bef
Grbe bek
tionenein
liche Grd⸗
man ihre

Zuſaͤtze zum erſten Capitel.

A. Inhalt des erſten Capitels.

Eer be beſchaͤftiget ſich in dieſem Capitel mit dem Begriffe
und den Arten der Funktionen. Da der Begriff der Funk⸗
tion die Begriffe der beſtaͤndigen und der veraͤnderlichen
Groͤße vorausſetzt, ſo ſchickt er gleich im Anfange die Erklaͤ⸗
rungen dieſer beyden Gattungen der Groͤßen voraus, und
theilt darauf den Begriff der Funktion auf die Art mit,
daß er nicht nur die Funktion erklaͤrt, ſondern auch be⸗
merkt, zu was fuͤr einer Gattung der Groͤßen dieſelbe
gehoͤrt. Was die Arten der Zunktionen betrifft, ſo redet
Euler davon in der Ordnung, in welcher man ſie bey der
Eintheilung der Funktionen entdeckt. Man kann nemlich zu⸗
voͤrderſt bey der Eintheilung der Funktionen j jede Funktion
entweder an und fuͤr ſich betrachten, oder mehrere unter
einander vergleichen. Im erſten Falle bietet ſich wieder
ein doppelter Theilungsgrund dar; denn es unterſcheiden
ſich die Funktionen theils nach den Operationen, durch
welche die veraͤnderliche Groͤße in ihnen mit beſtaͤndigen
Groͤßen verbunden iſt, theils nach dem Werthe, welchen
ſie bey Beſtimmung der in ihnen enthaltenen veraͤnderlichen
Groͤße bekommen. Wenn die Funktionen nach den Opera⸗
tionen eingetheilt werden ſollen, durch welche ihre veraͤnder⸗
liche Groͤße mit beſtaͤndigen Groͤßen verbunden iſt: ſo kann
man ihre Arten entweder nach den einzelnen Operationen,
Dd 2 oder

420 Zuſuͤtze zum erſten Capitel.

oder nach den Gattungen derſelben feſtſetzen. Im erſten
Falle giebt es ſo viel e Arten der Funktionen, als es ein⸗
zelne Operationen giebt, durch welche Groͤßen mit einander
verbunden werden koͤnnen. Im andern Falle aber ſind die
Funktionen entweder algebraiſche oder tranſcendente, und
die algebraiſchen wieder entweder rationale oder irrationale
Funktionen; endlich laſſen ſich die rationalen Funktionen

noch in ganze und gebrochene, und die irrationalen in ent⸗

wickelte und in verwickelte Funktionen eintheilen. Bey der
Eintheilung der Funktionen nach dem Werthe, welchen ſie
bey Beſtimmung der in ihnen enthaltenen veraͤnderlichen
Groͤße bekommen, findet ebenfalls ein zwiefacher Fall ſtatt,
indem man dabey einmal den Werth, den die Funktionen
erhalten, wenn man fuͤr ihre veraͤnderliche Groͤße irgend eine

abſolute beſtaͤndige Groͤße ſetzt, betrachten, oder zweytens

auf denjenigen ſehen kann, den ſie bekommen, wenn man

fuͤr ihre veraͤnderliche Groͤße nach einander zwey gleich

große entgegengeſetzte Groͤßen ſetzt. Im erſten Falle ſind

die Funktionen entweder einfoͤrmig oder vielfoͤrmig, und

das entweder nach allen ihren Werthen, oder bloß nach

+☛

den reellen. Im andern Falle werden die Funktionen in
gerade und in ungerade Funktionen getheilt. Was endlich
weytens die Eintheilung der Funktionen anlanget, wobey

mehrere mit einander verglichen werden, ſo ſind dabey die

Funktionen theils einander aͤhnlich oder nicht, und hier

laͤßt ſich leicht einſel hen, daß bloß von den aͤhnlichen geſro⸗

chen zu werden braucht.

Man kann alſo den Inhalt dieſes Capitels in ſolgende

Labelle e bringen.

2. Arten
1 wer

4,

44.

db.

¹

n erſen
ucs ein⸗
glen inet
. Bey der
Wen nſie
Ran nderl ſchen
iar dal ſat,
ie Funttinen
Hder entns
rnig,
r Aus 0
nttonen in

Vri eih

nt, w
nd nue Gde
t, d ſe
ſſen ⸗

ſlgende

Zuſuͤtze zum erſten Capitel. 42 ½

Von den Funktionen uͤberhaupt.

1. Begriff der Funktion, §. 1— 5.

a. Vorbereitende Erklaͤrungen, §. I — 3.
ℳ. der beſtaͤndigen Groͤße, §. 1.
8. der veraͤnderlichen Groͤße, §. 2. 3.
b. Begriff der Funktion ſelbſt, §. 4. 5.
ℳ. Erklaͤrung der Funktion, §. 4.
8£. Anmerkung uͤber die Art der Groͤße, zu welcher die
Funktion gehoͤrt, 9. 5.
2. Arten der Funktionen, F. 6 – — 26.
a. wenn die Funktionen an und fuͤr ſich betkachtet wer⸗
den, §. 6 — — 25.
ℳ, in Anſehung der Operationen, durch welche die
veraͤnderliche Groͤße in denſelben mit beſtaͤndi⸗
gen Groͤßen verbunden iſt, F. 6 — 9, und zwar
aa. in Anſehung einzelner Operationen, §. 6.
bb. in Anſehung der Gattungen dieſer Operationen,
7– 9.
ℳ„α. Algebraiſche Funktionen, F. 8.
aaa. Rationale, 9. 8.
* α“ ganze 4 . 9.
868. gebrochene)
bbb. Irrationale, §. 8.
aac, entwickelte 4
868. verwickelte 5. 8
gsé. Tranſcendente Funktionen, §. 7. L
8. in Anſehung des Werthes, welchen die Funktionen
bey Beſtimmung der in ihnen enthaltenen ver⸗
uͤnderlichen Groͤße bekommen, §. 10 — — 25.
aa. wenn fuͤr die veraͤnderliche Groͤße der Funktionen
irgend eine abſolute beſtaͤndige Groͤße geſetzt
wird, §. 10 – 17. 4 H
Dd 3 .ν

422 Zuſaͤtze zum erſten Capitel.

a. hieraus entſtehende Arten der Funktionen,
§. 10 –— 15.
aaa. wenn jeder auf dieſem Wege ſich erge⸗
bende Werth der Funktionen in Betrach⸗
twung gezogen wird, §. 10 — 14.
α. Einfoͤrmige Funktionen, §. 10.
g8. Vielfoͤrmige Funktionen, F. 10 — 14.
I. beſondere Arten davon, F. 11 — 13.
a. zweyfoͤrmige, §. 1II.
b. dreyfoͤrmige, §. 12.
c. vierfoͤrmige, §. 13.
2. vielfoͤrmige uͤberhaupt, §. 10. 14.
pbb. wenn bloß die moͤglichen Werthe genom⸗
men werden §. 15. Bielfoͤrmige Funk⸗

tionen, die wie einfoͤrmige oder zwey⸗

foͤrmige gebraucht werden.
6s. das Bisherige vorausſetzende Erweiterung
des Begriffs der Funktion, §. 16. 17.
bb. wenn fuͤr die veraͤnderliche Groͤße der Funktionen
nach einander zwey gleich große entgegenge⸗
ſetzte G Groͤßen geſetzt werden, F. 18 — 25.
„ℳ. gerade Funktionen, §. 18 — 20.
aaa. Begriff der geraden Funktion, §. 18. 19.
αℳοα. uͤberhaupt, §H. 18.
6s8. insbeſondere der einfoͤrmigen und viel⸗
foͤrmigen, §F. 18. 19.

bbb. Kennzeichen der geraden Funktion, . 20.

6⁶8. ungerade Funktionen, §. 21 — 25.
aaa. Begriff der ungeraden Funktion, §. 21.

pbb. Entſtehungsarten der geraden und ungera⸗

den Funktionen aus einander. §. 22. 23.
ecc. Kennzeichen ungerader Funktionen. §. 24. 25.
b. Wenn

OS

lebt
alch nan
ſichen
dderme
Daobe
hele der
fonen i
lung ni
tionen
Funkti
hondelt

us zwer

einander
dieſe und

Ne
Aas
und de
und erk
ſchwere
1)
4 N)
lichen
(a -
2)

43⁸

4
do don
. Ruoc⸗

emnig⸗ dy .
e N. /
eß zwort⸗
Re. vey⸗

weitenng

1

e Fontuchen

M Mll

lni.

1, Vean

Zuſuaͤtze zum erſten Capitel. 423

b. Wenn die Funktionen in Vergleichung mit einander
betrachtet werden, §. 26. Begriff der aͤhnlichen
Funktionen.
Uebrigens iſt hier noch zu bemerken, daß die Funktionen
auch nach der Anzahl der in ihnen vorkommenden veraͤnder⸗

lichen Groͤßen in Funktionen einer, und in Funktionen zweyer

oder mehrer veraͤnderlicher Groͤßen eingetheilt werden koͤnnen.
Da aber Euler in dem Capitel, wovon die vorhergehende Ta⸗

velle den Inhalt ausfuͤhrlich darſtellt, nur von den Funk⸗

tionen uͤberhaupt reden wollte: ſo hatte er dieſer Einthei⸗
lung nicht noͤthig zu gedenken, und konnte bey den Funk⸗
tionen einer veraͤnderlichen Groͤße ſtehen bleiben. Von den

Funktionen zweyer oder mehrerer veraͤnderlicher Groͤßen
handelt das fuͤnfte Capitel. H

B. Ueber die Methode

aus zwey Gleichungen, die eine unbekannte Groͤße mit
einander gemein haben, eine Gleichung zu finden, worin

dieſe unbekannte Groͤße nicht enthalten iſt.

Zu §. 17.
1. Newton giebt in ſeiner Arithmetica univerfali, nach⸗
dem er S. 57 — 61 von dieſer Methode uͤberhaupt g eredet,
und die bekannten Regeln fuͤr die leichtern Faͤlle mitgetheilt
und erklaͤrt hat, S. 62 und 63 folgende beſondere, einige
ſchwerere Faͤlle betreffende, Regeln:
1) Wenn ́MRUdb:
a XX -† bX † c = O0, und fxx †T gx † h=O
iſt, ſo erhalt man durch die Wegſchaffung der gemeinſchalt⸗
lichen Groͤße X folgende Gleichung:
(ah — bg — 2cf) ah † (bh- eg) “* bf† (agg † eff) “ c =o.
2) Wenn .
AX 3 † bzx † Cx † d = o, und x gX T h = O.
Dd 4 iſt,

424 Zuſaͤtze zum erſten Capitel.

„

iſt, ſo iſt die Gleichung, welche man durch die Wegſchaf⸗

fung der unbekannten Groͤße X bekommt, folgende:

(ah — bg — 2cf) & ahh † (bh — cg – 2df * bfh (ch -— qg)

(agg † cfſt) † (Zagh † bgg T dff) D =o
3) Wenn
aAX4 † bx 3 T cxx dx † F e = o, und fxx † gx t h = o
L iſt, ſo giebt die Wegſchaffung von X die Gleichung:

(ah – bg – 2 cf) “ ahs † (bh — cg — 2 df) „ bfhh †

(agg eff⸗ * (Cchh-—– dgh † egg —– 2 ef h) † (3 agh † bgg †
dff) dfh † (2 ahh † 3 bgh — aſs † eff) eſt — (bg —
2 ah) * eigg = 0
4) Wenn

AX 3 † bxx † cx d = o, und fæa gxx t hx f k = 0

iſt, ſo bekommt man durch die Wegſchaffung der gemein⸗

ſchaftlichen Groͤße X die Gleichung:

(ah – bg —– 2ct) (adh ah- achk) †T (ak † bl 1— cg- adi „

Pdfh — (ak † bh † 2cg † 3df) aakk † (cdh —– ddg = Cck †
2 bdk) (agg † cff) † (3agh † bgg †* dff — 3afk) „ ddf —
(Zak — bh † cg † t) „ befk † (bk —– 2dg) „ bhfk — (bbk —
3adh- — edf) ägk = O.

2. Die Art und Wer ſe, wie Newton dieſe Regeln ge⸗
funden, findet man zwar am angefuͤhrten Orte nicht be⸗
merkt, indeß erhaͤlt man ſie unter andern aus den allgemei⸗
nen Gleichungen, zu welchen ſie gehoͤren, wenn man aus
denſelben die Groͤße x nach den bekannten Regeln weg⸗
ſchaft. So ergiebt ſich ; z. B. die erſte Regel, wenn man
axxX † bx T† c = O in afxx † bfx † cf = O, und
fx T gx T h = o in afxx † ag? † ah = O verwandelt,
aus dieſen beyden Gleichungen durch die Subtraction
(bf –— ag) X † cf –— ah = O0 macht

ah — cf

hieraus x = — — entwickelt, und
bf. — ag

dieſen

ſ, ſo e

(aah

3-—2

AAhh

(ah-=

5,O.
genden Be
4. Sd
N—
ſett man
3,)
Gtio

enn nane
11 Rt Sbe,

Zuſatze zum erſten Capitel. 425

dieſen Werth von in die Gleichung axx † bx † c = o
bringt. Da nemlich wegen des gefundenen Werthes vonx,
aahh — 2 ahfc † ceff
(bi — ag) 2*
iſt, ſo erhaͤlt man dadurch die Gleichung
(aahh — 2 ahfe † ccff) a (ah — ef) b
(bf – ag) ² bf — ag
oder
a3Hh — 2aahfc † accff † abbfh —– bbfſc — aabgh abefg 1†
bbffc –— 2 abefg † aacgg

X2 —

4

† c = O

n
—

aahh — 2ahic †̈ coff † bbfh — abgh — beſg † acgg

(ah- bg -— 2fc) „ ah † (bh-– cg * bf -† (agg † cff) c = O.

3. Den Gebrauch dieſer Regelah zeigt Newton an fol⸗
genden Bey pielen:
a. Soll aus den Gleichungen XX 5X — 3y = O, und
ZXXK — 2Xy † 4 = die Groͤße X weggeſchaft werden: ſo
ſetzt man in der erſten Regel a = 1, b = 5 c = — 3yy,

f= 3, g = — 2 und h = 4. Dadurch bekommt man
a4 10 † 18 ) *4 † (20— 6) 3) * 15 † (4) — 27Y)
— 3 yy = 0
oder

16 † 40y † 72yy † 300 – 90 7 3 † 60 y4 = = O
b. Soll man aus den Gleichungen, y3 — Xxyy — 3 = 0,
und yy † xy — xXXx T 3 = O, die Groͤße y wegſchaffen:
ſo ſetzt man in der zweyten Regel a = 1, b = — X, c = o,
d = — 3Xx; [= I, g = X, h = – Xx † 3, und X= .
Alsdann wird
(3 – XX † xx) õ † 62)
(— 32 † X3) †. 3xX XX † (9X — 353 — X² — 3xX)

— 3 ²¾ —
d 5 *

oder

426 Zuſaͤtze zum erſten Capitel.
oder
27— I8XX † 34 — 9XX † x6 † 3X4— IX2 † I2X 4 — G
oder

X6 † 18X4 — 45XX † 27 = O.

Euler lehrt in ſeiner Nouvelle méthode c'sliminer

ꝛc. einen andern Weg, dieſe Regeln zu finden. Er iſt fol⸗
gender.
a. Wenn
A † Bz = o, und a † bz = 0
iſt, ſo wird, wenn man die erſte Gleichung mit b und die

andern mit B multiplicirt, und das letzte Produet von dem

erſten abzieht,
Ab- — Ba = O
Eben dieſes findet man, wenn man die erſte Gleichung mit
a, und die andern mit A multiplicirt, das erſte Produkt
von dem zweyten abzieht, und die daher eniſpringende
Gleichung Abz — Baz = durch 2 dividirt.
b. Wenn
A † Be 1 Ciz = O, und a † ba f crz = o
iſt, ſo iſt die Differenz zwiſchen der erſten Gleichung mit
und der andern mit C multiplicirt,
Ac —– Ca † (Bc — Cb) 2 = O
ſo wie die Differenz eben dieſer Gleichungen, nachdem man
die erſte mit a und die andere mit A multiplicirt, die Dif⸗
ferenz ſelbſt aber durch? dividirt hat,
Ba — Ab † (Ca — Ac) z = 0
Auf dieſe Art hat man alſo zwey Gleichungen gefunden,

aus welchen ſich die unbekannte Groͤße 2 nach a wegſchaffen

laͤß ßt. Es wird aber alsdann
(Ac – Ca) (Ca — Ac) — (Bc — Ch) Cba — Ab) = = 0
odder
AAcc — 2ACac † Ccaa † Bac — ABbc — BCab † ACbb=0

ℳ ₰ℳ₰ c. Wenn

. Le⸗
112:
bit
Mere mit

eſen abzi

Ad —

Multiplie

die ondere
2 dbldirt,
a —
Mo hat
bekannten
eimuſche
tiſche Ge
ſey Gei
chungen bo
Fihrt nan

eldlich or

Ordhen

6, Im
belden eub
MaXT
M-
d.
Cd-
Hierdurch
ſhen Glei
X
Ferner ſe
X.
B
in dadun

WASO

dW de
utt von den

leichung n
ſe Nohe
ſpringenne

Pfunden,
egſchefen

Zuſaͤtze zum erſten Capitel. 427

C. Wenn
A † Bz † Czz † Dz3 = O, und a † bz † czz † dz 3 = O0
iſt, ſo wird, wenn man die erſte Gleichung mit d und die
andere mit D multiplicirt, und das legte Produrt von dem
erſten abzieht,
Ad — Da † (Bd — Db)⸗ †* (Cd — De)er = O
Multiplicirt man hingegen die erſte Gleichung mit a und
die andere mit A, ſo iſt die Differenz zwiſchen beyden durch

2 dividirt,

Ba — Ab † (Ca — Ac) 2 4 † (Da — Ad)2r — 0
Man hat alſo zwey Gleichungen, aus welchen ſich die un.

bekannte Groͤße 2 nach b wegſchaffen laͤßt, und es iſt leicht

einzuſehen, daß man auf eine aͤhnliche Art zwey biquadra⸗
tiſche Gleichungen auf zwey eubiſche, und uͤberhaupt jede
zwey Gl eichungen von irgend einem Grade auf zwey Glei⸗
chungen von einem niedrigern Grade zuruͤckfuͤhren kann.
Faͤhrt man aber in dieſer Reduktion fort, ſo kommt man
endlich nothwendig auf eine Gleichung, in welcher die
Groͤße? nicht mehr enthalten iſt.

6. Um ſich aber die Wegſchaffung der Groͤße aus den

beyden cubiſchen Gleichungen A † Bz † Czz † Dz3 = 0,

und a † bz † czz † dz 3 = o zu erleichtern, ſo ſetze man

Ad — Da = A a B. – bA = a”
Bd — Db = B aC — cA = b-’
cd — De = cC aàaD — dA = c

Hierdurch verwandeln ſich die bey c gefundenen quadratt⸗
ſchen Gleichungen in folgende:
A' †B2 † Czz = O, und a' † bz Te czz = O.
Ferner ſetze man
Ac — Ca = A“ àaB — bA' = a’
Bc“ – Cb = B aC — CcA = b
um dadurch die beyden einfachen Gleichungen

428 Zuſaͤtze zum erſten Capitel.

zu erhalten, welche folgende von von - befreyte Gleichung geben

A'b’ — Ba = 0. .
e. Zaͤhlt man nun aber die Buchſtaben A, B, C, D, a, b,
c, d, welche in jedem Gliede in einander multiplicirt ſind:
ſo enthalten die Ausdruͤcke A, By, C, a’,, by c zwey, und die
Ausdruͤcke A“, B, a’, b' vier Dimenſionen, ſo daß alſo die
Gleichung Ab’ — B’a’ eine Gleichung von 9 Dimenſionen,

oder jedes ihrer Glieder ein Produkt aus acht Groͤßen iſt.

Entwickelt man indeß dieſe Gleichung, ſo ſindet ſich, daß
ſie ſich durch Ad — Da theilen, und folglich, wenn man
wirklich dividirt, in eine Gleichung von ſechs Dimenſionen

vebwandeln laͤßt, welche folgende iſt: (Ad — Da) 3

(Ac — Ca) 2 (Cd — Dc) — 2 (Ab — Ba) (Ad — Da) (Cd-— Dce)
1(Bd - Db)2 Ab-— Ba) — (Ab-= Ba (Bc — Cb) Cd-— Dc) = 0
— (Ad-=— Da) (Ac -Ca) (Bd-— Db)

f. Wenn zwey Gleichungen vom vierten Grade gegeben

ſind, ſo fuͤhrt dieſe Methode auf eine Gleichung von 16 Di⸗
menſionen, die ſich aber, weil ſie durch eine Formel von 8
Dimenſionen theilbar iſt, auf eine Gleichung von 8 Di⸗
menſionen zuruͤckf aͤhren laͤßt. Auf eine aͤhnliche Art ver⸗
haͤte es ſich mit den folgenden hoͤhern Gleichungen.

5. Außerdem macht Euler in der angefuͤhrten Abhand⸗

lung noch eine neue Methode der Wegſchaffung einer unbe⸗
kannten Groͤße aus zweyen Gl eichungen bekannt, welche
ſich auf eine genauere Beſtimmung des Begriffs der Elimi⸗
nation gruͤndet. Ueberlegt man nemlich, daß man, wenn
ſich jede Gleichung vollkommen aufloͤſen ließe, zur Weg⸗
ſchaffung einer zweyen Gleichungen gemeinſchaftlichen Groͤße
aus denſelben uͤberall den Weg einſchlagen koͤnnte, daß man
die wegzuſchaffende Groͤße aus beyden Gleichungen ſuchte,

und aus dem auf dieſe Art gefundenen doppelten Werthe
der⸗

„

Aſcen
deſ Ns G
un beſte
ſſes zwiſe
pegzuſcha
Ueichung
aſſo 3 B.
11†
1 woggeſcͤ
die Vuepd
gen gemei
11
23 † .
(are:
Gncvictet
Verpeeichun
lbi
II. d
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nuͤſen we
liche Vre
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b=

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(CA-De)
⁵=
6-D
Ode ehehen

N
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J, A&à
Euundd

Pen Ae

he Mr ber⸗

ntidt

e Uithe
ler⸗

Zuſuͤtze zum erſten Capitel. 429

derſelben eine neue Gleichung machte: ſo ſieht man bald,
daß das Geſchaͤfte der Elimination eigentlich in nichts an⸗

derm beſteht, als in der Erfindung eines ſolchen Verhaͤlt⸗

niſſes zwiſchen den in den gegebenen Gleichungen außer der
wegzuſchaffenden enthaltenen Groͤßen, wobey die gedachten
Gleichungen eine gemeinſchaftliche Wurzel haben. Soll
alſo z. B. aus den Gleichungen

22 † Pz † Q = 0, und 23 † pzz † qz † r = O0

2 weggeſchafft werden, ſo gebe man beyden Gleichungen

die Wurzel , wodurch denn z — „ ein beyden Gleichun⸗
gen gemeinſchaftticher⸗ Faktor wird. Ferner iſt alsdann
22 † Pz † Q= (2 — °) (2z T A)
23 † Pzz † qz t r = (2 — ) (22 † az † b) und alſo
(zz † Pz † * (2z † az P b) = (2 3 † pzz qz T r) (z P† A).
Entwickelt man nun dieſe Produkte, ſo ergeben ſich aus der
Vergleichung derſelben folgende Gleichungen:
l. P † a = p † A; III. Q† Pa b = q 1 pA;
II. Pb † Qa = qA †r; IV. Qb = r A.
Aus dieſen Gleichungen laſſen ſich nicht nur die drey

neuen Buchſtaben A, a und b leicht beſtimmen, ſondern

dann auch eine Gleichung ſinden, die das Verhaͤltniß aus⸗
druckt, welches die Groͤßen P, Q, p, q, r zu einander haben

muͤſſen, wenn die gegebenen Gleichungen eine gemeinſchaft⸗

liche Wurzel haben ſollen. Es folgt nemlich a aus I.
A=—P—ppf† a
und aus II. .

b= dq † -A- G — Pa, oder b= A p-— p i

pa — Q – Pa.
Setzt man nun dieſe Werthe in III. ſo bekommt man
Pq T PPP-— PPP-T E-FPlar Qa=P-pqqdarr
oder
Pp (P — p) † pdq — PQ — r = e& -— B)a - (C— — q)a

woraus denn A=

430 Zuſaͤtze zum erſten Capitel.

Pp (P— P P9—PQ=r Q(P— p) — r
P“— p)— (Q— ) PCP-— p)- (— )
wird. Eben dieſe Werthe, in IV gebracht, geben
QA † "- Gpp--o ep— Larr ( — ) † ra
oder
p(P-— p) — Q(Q=— )-r —) OQ—α% Pr
P=P)TIr CCP--Pp) r

a =

Es iſt alſo
Q(P— p) †r — L(— ¾ † Pr
P. P— p) — (0 — 3) Q(P — p) T r

„oder

CÄ(P-— p) (P q — Qp) † 2 Or (?— p) † Pr (Q — q4) —

P Pr (P — p) 4 P Q (Q — 4)2 † rr = o
6. Nunmehr iſt auch leicht einzuſehen, wie man die un⸗
bekan nte Groͤße 2 aus zwey Gleichungen von jeglichem Grade
wegſchaffen kann. Denn ſoll man aus den beyden Glei⸗
chungen
zZmmn † PzZzmn-TI . Qzm-2 † Rzm-3 † 8 2m -4 4 ꝛc. = O
zZu † pzn-TI qzn-2 † r zn- 3 † Szu-A4 † 2c. =
eine neue Gleichung machen, worin nicht mehr enthalten
iſt: ſo iſt das eben ſo viel, als, man ſoll das Verhaͤltniß zwi⸗
ſchen den Coefficienten P, Q, R, ꝛc. p, q, r, ꝛc. beſtimmen, wo⸗
bey die gegebenen Gleichungen eine gemeinſchaftliche Wur⸗
zel oder einen gemeinſchaftlichen Faktor haben. Es ſey alſo
2 — „ der gemeinſchaftliche Faktor. Alsdann wird
2Zm † Pzm-I † Qzmn-2 Pꝛc. = = G „) (zm - I P† Azm - 2 †
Bzin- 3 † ꝛc. „
2n 1 pan- 1 † qzanz Pe. — (-—9) (zu- t 1† a zu-2 †
ben-3 † ꝛc.)
Macht man nun hieraus die Gleichung
(zm † Pzm-T † Qzm- 2 † ꝛc. (zn-I† a zn-2 bzn- 3 †ec. =
(zu † pzn-TI†. qzn- 2 † ꝛc.) (zm- T. Azm-2 †. Bzm- 3 4. ꝛc.)
und entwickelt man die auf beyden Seiten derſelben ſtehen⸗
den

M henn
iy heden
Gungen in
un die 3
gohl der

hl alle⸗

ihrer Bef
lſo noch
in einer 6

B,C, u

darin dor
1
deswege
lſung f
Mbobint
ie Befin
jvey oder
Uebrigens
8 Cümt,
brigen t

—0
ie nmn Neun
ihen Cede
pben Clei⸗

1K= 0

1*

1—

1820

nehr etheten
hühni/n⸗
timmen, do⸗
fiiche Vu⸗
id

=

Wl

Zuſaͤtze zum erſten Capitel. 431

den Produkte: ſo erhaͤlt man daraus, da die erſten Glieder
in beyden Haͤlften einander gleich werden, m † n — 1 Glei⸗
chungen zur Beſtimmung der Buchſtaben A, B, C, ꝛe. Da
nun die Zahl der Buchſtaben A, B, C „ꝛc. m — I, und die
Zahl der Buchſtaben a, b, c, ꝛc. n — I, und alſo die An⸗
zahl aller dieſer Buchſtaben m † n — 2 iſt: ſo reichen zu
ihrer Beſtimmung eben ſo viele Gleichungen hin. Da man
alſo noch eine Gleichung mehr hat, ſo gelangt man endlich
zu einer Gleichung, worin keiner von den Buchſtaben A,

B, C, ꝛc., a, b, c, ꝛc. enthalten iſt, und da auch z nicht

darin vorkommt, ſo iſt dieſes die geſuchte Gleichung.
7. Dieſe Euleriſche Eliminations⸗Methode verdient auch
deswegen gemerkt zu werden, weil man dadurch zur Auf⸗
loͤſung folgender Aufgabe vorbereitet wird: Es ſind zwey
unbeſtimmte algebraiſche Gleichungen gegeben; man ſoll
die Beſtimmungen finden, bey welchen dieſe Gleichungen
zwey oder mehrere Wurzeln mit einander gemein haben.
Uebrigens giebt Euler ſelbſt zu, daß dieſe Methode, bloß
als Eliminations⸗Methode betrachtet, nicht immer den
uͤbrigen vorzuziehen ſey.

II.

Zuſaͤtze zum zweyten Capitel.

A. Inhalt des zweyten Capitels.

Dieſes Capitel haͤngt mit dem zunaͤchſt folgenden aufs
genaueſte zuſammen, welches auch am Ende des 27ſten §.
von Eulern ſelbſt bemerkt worden iſt. Es redet aber Euler
darin zuvoͤrderſt von den beyden erſten Arten der Verwand⸗

lung der Funktionen, ſo, daß er dieſel ben nach ihrer Be⸗

ſchaffenheit und der Abſicht, warum ſie vorgenommen wer⸗
den, kurz beſchreibt, und dann betrachtet er die Umfor⸗
mung der Funktionen ohne Subſtitution ausfuͤhrlicher.
Dieſe Unterſuchung zerfaͤllt in zwey Theile; der erſte be⸗
ſchaͤftiget ſich mit den ganzen, und der andere mit den ge⸗
brochenen Funktionen. Die Verwandlung der ganzen gide⸗
teonen, die hier betrachtet wird, beſteht lediglich in d
Aufloͤſung dieſer Funktionen in Faktoren, und davon redet

Euler ſo, daß er zuerſt uͤberhaupt die Beſchaffenheit dieſer

Verwandlung, und die Art, wie ſie zu Stande gebracht

werden kann, beſchreibt, und darauf insbeſondere die

Frage beantwortet: In was fuͤr und in wie viel reelle

Faktoren jede ganze Funktion aufgeloͤſet werden kann? Bey

den gebrochenen Funktionen ferner wird zuerſt die Aufloͤ⸗
ſung der unaͤchten gebrochenen Funktionen in eine ganze
und in eine aͤchte gebrochene Funktion, und zweytens die
Auflbſung der aͤchten gebrochenen Funktionen in Partial⸗
Sräͤche

Gecet
ſton
fochen

fien di

in welch
niedrige
2 im Ne
ſpochen,
Reſtehen.
Tabe

1, Werl
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2 Von ei
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ſone nnns he⸗
zlr tiol⸗

hiice

= —

16

folgen diejenigen, die unter die Form

Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. 4433

Bruͤche betrachtet. Bey dieſem zweyten Stuͤcke wird erſt⸗
lich von ſolchen Bruͤchen geredet, deren Nenner aus lauter
einfachen und einander ungleichen Faktoren beſtehen; dann

qz)n
in welcher die hoͤchſte Poteſtäͤt von z in dem dem Zaͤhler P eine

niedrigere Poteſtaͤt iſt, als die hoͤchſte Poteſtaͤt eben dieſer

2 im Nenner; und endlich wird von ſolchen Bruͤchen ge⸗

ſprochen, deren Nenner aus beyden Arten von Faktoren
beſtehen.

Tabellariſch dargeſtellt iſt alſo der Inhalt des zweyten
Capitels folgender:

Von der Umformung der Funktionen.

1. Vorlaͤufig von den beyden zunaͤchſt zu betrachtenden Arten
der Verwandlung der Funktionen uͤberhaupt, K. 27.

2. Von einer jeden dieſer Verwandlungsarten der Funktio⸗

nen insbeſondere §. 28. bis zu Ende des dritten Capitels.
a. Von der Umformung der Funktionen, §. 28 — 46. a.

«. der ganzen Funktionen, §. 28— — 37. Aufloͤſung

derſelben in Faktoren.
aa. uͤberhaupt, §. 28 — 29.

„sa. Beſchaffenheit und Nutzen dieſer Vertvand⸗

lungsart, §. 28.

28. Art und Weiſe, wie ſie zu Stande gebracht H

wird. §. 29.

Ppb. Aufloͤſung derſelben in reelle Faktoren, oder Be⸗
ſtimmung der Art und der Anzahl der reellen

Faktoren, worin jede ganze Funktion aufgeloͤſet
werden kann, §. 30 — 37, und zwar
ℳℳα. der reellen doppelten Faktoren, die ſtatt der
einfachen imaginaͤren genommen werden koͤn⸗
nen. §. 30 –— 32

Eulers Einl. in d. Angal. d. Unendl. J. B. Ee D aag.

gehoͤren,

434

O

Zuſaͤtze zum zweyten Capitel.

aaa. vorlaͤufige Anmerkung uͤber die Anzahl
der imaginaͤren Faktoren in einer ganzen
Funktion und der Beſchaffenheit des Pro⸗

dukts aus allen, §. 30.

Pbb. die gedachte Beſt ſtimmung ſelbſt, 31 — 32.
ae, Wwenn die Funktion ein Produkte aus vier,

§. 31.

ges. wenn dieſelbe ein Produkt e aus irgend
einer geraden Anzahl imaginaͤrer Far⸗

toren iſt, §. 32.

88. der reellen einfachen Faktoren, §. 33 – 37.

aaa. ein vorlaͤufiger Satz §. 33.

Pbb. die erwaͤhnte Beſtimmung ſelbſt, F. 34 — 37.
vnnu. bey ſolchen Funktionen, in welchen der
Exponent der hoͤchſten Poteſtaͤt von 2
eine ungerade Zahl iſt §. 34. 35.
6868. bey ſolchen Funktionen, worin eben die⸗
ſer Exponent eine gerade Zahliſt. 9§.36.37.

I. uͤberhaupt, §. 36.

2. wenn die beſtaͤndige Groͤße der Funktion

negativ iſt, §. 37.

p. der gebrochenen Funktionen, §. 38 — — 46. a. a.

aa. Aufloͤſung der unaͤchten gebrochenen Funktionen

in eine ganze und in eine aͤchte gebrochene Funk⸗

tion. §. 38.

bb. Aufloͤſung der aͤchten gebrochenen Funktionen in

Partial⸗Bruͤche, J. 39 – 46. a.

sa, ſolcher Funktionen, deren Nenner aus lauter
ungleichen Faktoren beſtehen, §. 39 — 41.
aaa. wenn der Nenner ein Produkt aus zwey
Faktoren iſt, die keinen gemei inſchaftlichen

Diviſor Baben, §. 39.

bbb. wenn

Die ln
Nen mnte
ter fonge
außerdemn
Of. tenti.
leſchtert un

1. Da
mtionaſe

de hech
ſnr onen
as N⸗

t aus enn

in wacen
34. 5
rin dhen Ni⸗
r G

Nrfuntfin

- de.
ahuttonn
henzu
zutinmn
wluu
N4.
tt als ſh

nſttin

b. benn

Zuſatze zum zweyten Capitel. 435

bbb. wenn der Nenner ein Produkt aus lauter
einfachen ungleichen Faktoren iſt, §. 40. 41.
«ua. von der Aufloͤfung dieſer Bruͤche in Par⸗
tial⸗Bruͤche uͤberhaupt, F. 40.
ee. wie man zu einem gegebenen Faktor des
RNeenners den zugehoͤrigen Partial⸗Bruch
findet, §. 41.
88. ſolcher Funktionen, deren Renner aus lauter
gleichen Faktoren zuſammengeſetzt ſind, §. 42.
y. ſolcher Funktionen, deren Nenner Produkte
aus zuſammengeſetzten und einfachen Faktoren
ſind. J. 43 — 46. a
aaa. Aufloͤſung dieſer Funktionen in Anſehung
des zuſammengeſetzten Faktors ihres Nen⸗
ners, §. 43 — 45.
« α. wenn derſelbe (p — q2) 2 §. 43.
8s. wenn derſelbe (— q2) 3 §. 44.
T. wenn derſelbe ( — q)n iſt, §. 45.
bbb. Aufloͤſung derſelben in Anſehung aller Fak⸗
toren ihres Nenners. §. 46. a.
Die Unterſuchungen des gegenwaͤrtigen Capitels ſind in
dem neunten und zwoͤlften Capitel eben dieſes Buchs wei⸗
ter fortgeſetzt, und die Aufloͤſung der Bruͤche von Eulern

außerdem in dem letzten Capitel des zweyten Theils ſeine

Differential⸗Rechnung auf eine ſehr vortheilhafte Art er⸗
leichtert und erweitert worden.

B. Ueber die Aufl oͤsbarkeit

1

jeder ganzen rationalen Funktion in reelle, einfache ent⸗

weder oder doppelte Faktoren.
Zu §. 31. 32.
1. Da Euler im neunten Capitel den Satz: Jede ganze
rationale Funktion laͤßt ſich in reelle, einfache entweder oder
Ee 2 dop⸗

436 Zuſaͤtze zum zweyten Capitel.

doppelte, Faktoren aufloͤſen; oder: Man kann die imaginaͤ⸗

ren Faktoren jeder ganzen rationalen Funktion zu zwey und
zwey auf die Art verbinden, daß ihr Produkt reell wird;
als einen ausgemachten Satz anfuͤhrt, ſelbigen aber gleich⸗
wohl weder hier noch bis zu der angefuͤhrten Stelle ſonſt
wo in dem gegenwaͤrtigen Werke bewieſen hat: ſo verdient
ein Auszug aus den in der Anmerkung zum letzten der vor⸗
ſtehenden §§. angefuͤhrten Recherches ſur les racines ima-

giiſrnaires des équations auch aus dieſem Grunde hier einen

Platz. Es beweiſet nemlich Euler in dieſen Recherches
bis §. 63. den angefuͤhrten Satz von den Gleichungen, und
was hier von den Gleichungen gilt, gilt bekannter Maaßen
auch von den Funktionen, auf folgende Art.

2. Zuvoͤrderſt ſchickt er nach einigen anderweitigen Be⸗

trachtungen von §. 20 — 26 drey Lehrſaͤtze voraus. Der

erſte iſt mit dem §. 34. 35, der andere mit dem §. 36, und

der dritte mit dem §. 37. des erſten Buchs der Einleitung

in die Analyſis des Unendlichen uͤbereinſtimmend, und die
Beweiſe, die er dafuüͤr giebt, ſind die in den Anmerkungen

zu den angefuͤhrten §§. mitgetheilten. Auf dieſe Lehrſaͤtze,
gruͤndet er darauf von §. 27 an den Beweis der Aufloͤsbar⸗
keit jeder ganzen rationalen Gleichung, deren Coefficienten
lauter reelle Groͤßen ſind, in reelle, einfache entweder oder
doppelte, Faktoren, durch folgende Schluͤſſe.
3. Jede Gleichung vom vierten Grade, wie
XA4 F Ax3 †. Bx † Cx T D = 0
laͤßt ſich allemal in zwey reelle doppelte Faktoren aufloͤſen.

Setzt man X = y — ⅛ A, ſo verwandelt ſich die gege⸗
bene Gleichung in eine Gleichung von eben dem Grade,
worin das zweyte Glied fehlt. Angenommen alſo, daß das
zweyte Glied bereits fehle, und daß alſo die Gleichung
X4 † Ba C † Pp=/0 MZ²

i//ſte
die e

zaben
wenn u

angeft

nd hi

Danun
wendige
nigſten

und nim

und felg
wren
B5z2 8

des zoj
lſo des

don jegſi

Unnnre 5
werden
Grade

hochſte

Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. 437

in zwey reelle doppelte Faktoren aufzuloͤſen ſey: ſo faͤllt in

i die Augen, nicht nur, daß dieſe Faktoren folgende Form
tulni. Cx ††C ux † æ) (KK — ux † 6) = O B
hin ſin haben muͤſſen, ſondern auch, daß ſie reell ſeyn werden,
HM wenn u, und 8 reell ſind. Vergleicht man nun aber das
Rür angefuͤhrte Produkt mit der gegebenen Gleichung, ſo wird
Ki B = = T† 8 — uu; C = (6 — a) u; D = a 6,
und hieraus fließet,
racines Ime. C
degir a fe= Buu; s- ⸗„ = ; ſo wie hieraus
Nherches M
ſahgen, 28 =— uu † B † und 2 « = u † B –— —
nmn Nucgn Ferner iſt 42 = 4D, und folglich
ttitien de u4 † 2 Buu ? BB — - = 4 D
Ntns. Der oder
b n us † 2 BuA (BB — 4 D) uu — CC = o.
eGlimn Da nun das abſolute Glied dieſer Gleichung, — CcC, noth⸗
d Nde wendiger Weiſe negativ iſt, ſo hat die Gleichung zum we⸗
Menginnn nigſten zwey reelle Wurzeln (Einl. B. 1. Cap. 2. K. 37.)
e Ai=, „ und nimmt man eine davon fuͤr u, ſo werden auch =und 6,
r luſitben und folglich auch die beyden angenommenen doppelten Fak⸗
rficemana toren XX † ux † a und xX — ux † der Gleichung X4 †
urwede Bx 2 † Cx † D = 0 reell. H RM
4. Verbindet man mit dieſem Satze die Behauptungen .
e des 30ſten §. des erſten Buchs der Einleitung in die Ana⸗ H
.B lyſis des Unendlichen, ſo erhellet, daß auch jede Gleichung
iſan. von jeglichem Grade, die nicht mehr als vier einfache ima⸗
eeeen ginaͤre Faktoren hat, in lauter reelle Faktoren aufgeloͤſet,
den Gtcn. werden kann. Es iſt demnach jede Gleichung vom fuͤnften
o dei⸗ Grade, weil ſie als ein Ausdruck, worin der Exponent der
Gih hoͤchſten Poteſtaͤt der unbekannten Groͤße eine ungerade

CEe z Zahl

438 Znſaͤtze zum zweyten Capitel.

Zahl iſt, nach Einl. B. 1. Cap. 2. §. 34 nothwendig einen
reellen einfachen Faktor hat, in lauter reelle, ein
weder oder doppelte Faktoren aufloͤsbar.

5. Die Staͤrke des angefuͤhrten Beweiſes beruhet dar⸗
auf, daß die unbekannte Groͤße u durch eine Gleichung vom
6ten Grade beſtimmt wird, deren abſolutes Glied nothwen⸗
diger Weiſe negativ iſt. Daß dieſes ſo ſeyn muͤſſe, laͤßt ſich
auch ohne die Gleichung ſelbſt aufzuſuchen erkennen. An⸗
genommen nemlich, daß die Wurzeln der Gleichung

X 4 † Bx2 † Cx † D = 0
folgende ſeyen, .
X= a, X = b, X = c, x = d;

ſo lehrt der bloße Anblick dieſer Gleichung, daß
afbcrdD=o
ſeyn muß. Laͤßt man ferner XX — ux † 8 jeden dopp
Faktor derſelben bedeuten, oder ſetzt man X — ux † =0,
ſo iſt ausgemacht, daß u die Summe jedes Paars von den

Wurzeln a, b, c, und d iſt. Betrachtet man alſo u als un⸗
bekannt, ſo hat daſſelbe ſo viel Werthe, als es verſchiedene
Combinationen der Buchſtaben a, b, c, d, zu zweyen giebt;

und da die Anzahl dieſer Combinationen = = 6 iſt,

ſo hat u ſechs Werthe und nicht mehr. Es wird alſo u durch
eine Gleichung vom 6ten Grade beſtimmt, deren Wurzeln
folgende ſind.: =
I. u = af†b; II. u = afc; III. u = a †d;
IV. u = c † d; V. u = b † d; VI. u.= b † c.
Nun iſt a † b † e † d = o, und wenn man alſo die drey
erſten Wurzeln òôMW
I. u = p; II. u = q; III. u = r.
ſetzt, ſo werden die drey uͤbrigen
IV. uU=— p; V. u= — q; VI. u =— r,

ſo

fache ent⸗

elten

0
fli ein
cs B
hacher

(-

welches
geroden
ſabe bor
auch des
negatid⸗
lſo ein
dieſe G
on di
oppelte

6.V

Pgrr,
ſcd, wie
ſer Einn

iſt, un
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7

uihe eltl

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*
mn⸗ ee 4
Uſe RN
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eicung

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uI 16=0.,
nars hen den
Aer ma
s deiſcden⸗
repen gilt;
2=6ſ

aſo udurh

derm Wurgle

Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. 439

ſo daß alſo auch jeder Werth von u, negativ genommen, eben⸗
falls ein Werth von wiſt. Nachdem man auf dieſe Art alle

ſechs Wurzeln kennen gelernt hat, ſo iſt die Gleichung, aus
welcher ſich alle finden laſſen: M
(uA — p) (u— ꝗ) (u— r) (u † p) (u ) (uf; r) =o, oder
(uu — pp) (uu — qq) (uu — rr) = o,

welches eine Gleichung vom bten Grade iſt, worin alle un⸗

geraden Poteſtaͤten von u fehlen, gerade ſo, als wir die⸗
ſelbe vorhin gefunden haben. Aber außerdem iſt darin
auch das letzte oder beſtaͤndige Glied nothwendiger Weiſe
negativ, weil es = — pp. — qq. — rr = — ppdqrr und

alſo ein Quadrat mit dem Zeichen — iſt. Es hat folglich
dieſe Gleichung nothwendig zwey reelle Wurzeln, und ſetzt
man die eine davon fuͤr u, ſo erhaͤlt man dadurch den
doppelten Faktor der gegebenen Gleichung reell.

6. Wollte man hiergegen einwenden, daß daß Quadrat

ppqqrr, weil die Wurzeln a, b, c, d, imaginaͤre Groͤßen

ſind, nicht nothwendiger Weiſe poſitio ſey: ſo laͤßt ſich die⸗
ſer Einwurf auf folgende Art widerlegen. Da
a † b † c † d = 0 “—
ab ac † ad † be † bd ed = B
abc † abd † acd † bed = C, und
abed = D
iſt, und B, C und D reelle Groͤßen ſind: ſo iſt auch das
Produkt
pqr = (a † b) (a † e) (a † d)

da es ſich aus den Groͤßen B, C und D beſtimmen laͤßt, reell.

Es iſt nemlich
pgqr = (a † b) (a † e) (a † d) = aaa † aab † aac † aad
† abe abd acd † bed = aa (a b † ccr d)
†† abe † abd † acd † bed = C.

Ee 4 7. Jede

= ℳ

440 Zuſaͤtze zum zweyten Capitel.

7. Jede Gl eichung vom gten Grade laͤßt ſich agemal in
zwey reelle Faktoren vom vierten Grade aufloͤſen.

Bringt man das zweyte Glied weg, ſo erhaͤlt die gege⸗

bene Gleichung folgende Form:
XS † Bx6 † Cx5 † Dx4 Ex3 † Fx⸗ 4 G1 = 0,
und die beyden Faktoren derſelben vom vierten Grade laſ⸗
ſen ſich auf folgende Art ausdrucken:
X 4 F. ux 3 † aX 2 P SXx P† = O
XA – ux 3 † 5 2 P sX † & = o. .

Macht man nun das Produkt aus dieſen beyden Faktoren

—

. der gegebenen Gleichung gleich, ſo bekommt man 7 Glei⸗

chungen, oder eben ſo vicl, als man unbekannte Cocfficien⸗
ten u, æ, g, , d, e, , hat. Aus dieſen Gleichungen kann
man nun nach und nach, und zwar, wie bekannt iſt, ohne
Ausziehung der Wurzeln, die Buchſtaben , , „, àd, s, 6
wegſchaffen, ſo daß die Werthe derſelben insgeſammt durch

die bekannten Groͤßen B, C, D, E, F, G, H und die un⸗

bekannte Groͤße u reell ausgedruckt werden, und man
kommt alſo endlich zu einer Gleichung, die außer u lauter
bekannte Groͤßen enthaͤlt. Hieraus muß nun u beſtimmt
werden, und iſt ſein Werth reell, ſo werden auch die Wer⸗
the der Buchſtaben *, 86, 7, ꝛc. und folglich auch die ange⸗
nommenen Faktoren vom vierten Grade reell werden.

Es kommt alſo nunmehr auf die Erfindung der Glei⸗

chung an, aus welcher ſich der Werth von u beſtimmen

laͤßt. Da nun u uͤberhaupt die Summe jeglicher vier Wur⸗

zeln der gegebenen Gleichung ausdruckt, und die Anzahl

dieſer Wurzeln = 8 iſt: ſo hat u ſo viel verſchiedene Wer⸗
the, als ſich acht Groͤßen zu vier combiniren laſſen, oder
8.7. 6. 5
1.2.3.4
chung vom v0ſten Grade beſtimmt. Setzt man ferner einen
Werth

= 70, und es wird folglich a durch eine Glei⸗

wic denm
it, 55
ein Prod
(uu
Ferner
chung e
ſelbſt ne
lich die
ſtoben h,
folglich in
alſo der u
voſten Gr
digee V.
ſten zwe

mn, ſ

ſirdieg⸗
wen

doppele
mehr a
Faktoren
en
in einen
gelbſet
En
Grade

ahoren

nan7 Gle

me
Kaeſ,1
. Ccficier⸗
ngen kane

nt it, ohne

“ 4
mmnt durch
1d Ne w
d mn
ſer n lantr
1 Kfinnt
die We⸗
die eng
den.
nder bn
Winmcr
nier Wur⸗

Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. 441

Werth von u = p, ſo iſt p die Summe von vier Wurzeln
der gegebenen Gleichung, und alſo die Summe der uͤbrigen
vier = — u, weil die Summe von allen = O iſt. Iſt da⸗

her u — p ein Faktor der gedachten Gleichung vom voſten

Grade, ſo iſt auch u 4† p ein Faktor derſelben, und alſo
un — pp ein doppelter Faktor eben dieſer Gleichung. Es
wird demnach die Gleichung, aus welcher ſich u— beſtimmen
laßt, 35 Faktoren von der Form un — pp haben, oder
ein Produkt aus 35 Faktoren von folgender Art ſeyn:
(uu — pp) (uu — qꝗ) (uu — rr) (uun — ss) ꝛc.

Ferner wird das letzte oder das abſolute Glied dieſer Glei⸗

chung ein Produkt aus 35 negativen Quadraten, und alſo

ſeloſt negativ, nemlich — pp qq rr ss ꝛc. Es laͤßt ſich nem⸗

lich die Wurzel dieſes Quadrats, pars ꝛc. aus den Buch⸗

ſtaben B, C, D, ꝛ. beſtimmen, und ſie iſt daher reell, und

folglich ihr Quadrat ppqqrrss ꝛc. eine poſitive Groͤße. Da

alſo der unbekannte Coefficient u durch eine Gleichung vom

70ſten Grade beſtimmt wird, deren letztes Glied nothwen⸗

diger Weiſe negativ iſt, ſo hat dieſe Gleichung zum wenig⸗

ſten zwey reelle Werthe, und einen davon fuͤr u genom⸗

men, ſo erhaͤlt man einen reellen Faktor vom vierten Grade

fuͤr die gegebene Gleichung, und es laͤßt ſich daher dieſelbe
in zwey reelle Faktoren vom vierten Grade aufloͤſen.

g. Da jeder Faktor vom vierten Grade in zwey reelle
doppelte Fartoren aufgeloͤſet werden kann, ſo laͤßt ſich nun⸗
mehr auch jede Gleichung vom achten Grade in vier reelle
Faktoren vom zweyten Grade aufloͤſen.
Ferner iſt nun klar, daß jede Gleiche vom oten Grade
in einen einfachen und in vier doppelte reelle Faktoren auf⸗
geloͤſet werden kann.
Endlich kann auch jede Gleichung vom 6ten oder 7ten
Grade in einfache oder doppelte reelle Faktoren aufgeloͤſet
Ee 5 wer⸗

4 2
4
7

44² Zuſaͤe zum zweyten Capitel.

werden, weil man daraus durch die Multiplication mit xx

oder eine Gleichung vom 8ten Grade machen kann.

9. Aber werden auch, wenn u reell iſt, die uͤbrigen

Coefficienten «, 2, 7, à, ꝛc. insgeſammt reell werden? Hier⸗
von kann man ſich auf folgende Art uͤberzeugen. Man be⸗
trachte u als eine bekannte Groͤße, ſo daß man alſo eine
Gl zicuns mehr hat, als unbekannte Groͤßen zu beſtimmen
ſind. Dann ſchaffe man von dieſen Groͤßen, ſo weit es
ohne & Extraction der Wurzel angeht, eine nach der andern
weg, und wenn man dies gethan hat, ſo wird eine gewiſſe
Anzahl von Gleichungen uͤbrig bleiben, und die Anzahl der
unbekannten Groͤßen wird um 1 kleiner ſeyn. Angenom⸗

men, daß noch einige unbekannte Groͤßen zu beſtimmen

ſind, davon jede in den Gleichungen als eine Poteſtaͤt vor⸗
kommt, ſo kann man von dieſen Gleichungen immer je zwey
auf eine ſolche Art mit einander verbinden, daß man dar⸗
aus endlich eine Gleichung findet, worin die unbekannte
Groͤße nur eine Dimenſion hat, und die unbekannte Groͤße
aus dieſer G leichung alſo auch rational beſtimmen. Auf
dieſe Art gelangt man endlich zu zwey Gleichungen, worin
di ie tes tzte unbekannte Groͤße enthalten iſt, und da mag denn

Ey
—
*

day

der Algebra allemal eine Gleichung finden, worin die un⸗

bekannte Groͤße nur in der erſten Poteſtaͤt vorkommt, und
woraus ſie ſich alſo durch einen rationalen Ausdruck beſtim⸗

men läaßt. Setzt man nun dieſen Werth in die bereits ge⸗

fundenen Werthe der uͤbrigen Coefficienten, ſo erhaͤlt man
fuͤr ſie rationale Beſtimmungen, und es werden folg⸗

lich, wenn u reell iſt, auch alle uͤbrigen Coefficienten noth⸗
wendiger Weiſe reell.

10. Jede

teſtaͤt dieſer unbekannten Groͤße ſeyn, welche ſie will,
ſo d kang man aus jenen Gleichungen nach bekannten Regeln

1
ſul in
aſloſen.
Rach
hochte
116
ſo daß
und die
hunſe

4.

—
Nacht
der gee
chunge
ſu beſein
kannten
ſimmt.
Geohe,
Großen
Stonde
1, 3, (
Cnacin
ſach de
daher
ſen ſey
ſeigen,
Weeth f
UIm
foſchen
welhe
konnte
euͤber

Uheſinne
4
der cen
ine genſ⸗
Mnzhlde
Aogener⸗

Würnmen
htfi er

nn, mi
ng denn
nen Negen
dein Ren⸗
tenn,,
Muckief ſn
Mertits h
Ahele m
cden fotg
eaten net⸗

e

.

Zuſite zum zweyten Capitel. 44

10. Jede Gleichung vom 16ten Grade laͤßt ſich alle⸗
mal in zwey reelle doppelte. Faktoren vom 8ten Grade

aufloͤſen.

Nach der Wegſchaffung des zweyten Gliedes hat die ge⸗
dachte Gleichung folgende Form:

XIG6 † BXIA4 † CXI3 † DXTZ †. ꝛc.. „ — 0o,
ſo daß die Anzahl ihrer Coefficienten B, C, D, ic. = 15 iſt,
und die beyden Faktoren vom 8ten Grade, worin dieſe Glei⸗
chung ſich aufloͤſen laͤßt, ſind:
X8 † ux? † A4X6 † Sx 5 P. „X4 † 5 3 f e⸗ 1e t,=0
X 8 — ux † 9x6 TexsS † 2 X4 † Xx 3 † 4X2 TrX T 6= O.
Macht man alſo das Produkt aus dieſen beyden Faktoren
der gegebenen Gleichung gleich, ſo bekommt man 15 Glei⸗
chungen, aus welchen man die Buchſtaben u, a, 8, „„d, ꝛc.
zu beſtimmen ſuchen muß, und da die Anzahl dieſer unbe⸗

kannten Groͤßen ebenfalls = 15 iſt, ſo iſt die Aufgabe be⸗

ſtimmt. Betrachtet man nun zuvoͤrderſt u als eine bekannte

Groͤße, ſo hat man eine Gleichung mehr, als unbekannte

Groͤßen , 8, 7, 5, 2c. zu beſtimmen ſind, und man iſt daher im
Stande, die Werthe von dieſen Groͤßen durch die Groͤßen
u, B, C, D, E, ꝛc. anzugeben, ohne daß man dabey die
Extraction der Wurzeln anzuwenden hat. Es werden dem⸗

nach die Werthe von s, 8, 7, d, ꝛc. rational werden, und
daher auch, wenn u einen reellen Werth hat, reelle Groͤ⸗

ßen ſeyn. Es kommt folglich jetzt alles bloß d arauf an, zu
zeigen, daß man allemal im Stande ſey, einen reellen
Werth fuͤr u zu finden.
Unm dieſes zu beurtheilen betrachte man die Gleichung

zwiſchen u und den bekannten Groͤßen B, C, D, E, ꝛc., zu
welcher man durch die Wegſchaffung aller uͤbrigen unbe⸗

kann aten Groͤßen *, 6, 7, 5, ꝛc. gelangt, und worin n, da
es uͤberhaupt die Summe jeder 8 Wurzeln von den 16Wurz eln
der

6

Zuſaͤtze zum zweyten Capitel.

der gegebenen Gleichung bedeutet, auf die Poteſtaͤt ſteigen

16. I5 . 14 . 13 . 12. LI. I10 . 9
muß, deren Exponent =— —
, de rponent = —

= 12870 iſt. Es wird alſo u durch eine Gleichung von

dem 12870ſten Grade beſtimmt, und da die Summe aller
16 Wurzeln der gegebenen Gleichung = o iſt, ſo wird,
wenn man irge nd eine Summe von 8 von dieſen Wurzeln,
d. h. u = p ſetzt, die Summe der uͤbrigen 8 Wurzeln

= – p, und folglich auch — p ein Werth von u ſeyn.

Man kann daher dieſe Gleichung auch als ein Produkt aus
2. 12870 = 6435 Faktoren von dieſer Form uu — pp be⸗
trachten, oder dafur
(uu — pp) (uu — qq) (uu — rr) (un — 88) :c. = 0

ſetzen, ſo daß die e Anzahl dieſer Fakteren = = 6435 iſt. Da

nun dies eine ungerade Zahl iſt, und das letzte oder abſo⸗
lute Glied der Gleichung = — pp qq rr ss ꝛc. wird, die
Wurzel daraus aber, nemlich pqrs ꝛc. aus den Buchſta⸗
ben B, C, D, E, ꝛc. auf eine ſolche Art beſtimmt werden
kann, daß es eine rationale und eben deswegen auch reelle

Funktion davon iſt: ſo iſt das letzte Glied der Gleichung,
wodurch u beſtimmt wird, nothwendiger Weiſe negatio,

und es hat daher u zum wenigſten zwey reelle Werthe, die
denn, fuͤr u geſetzt, die beyden geſuchten reellen Faktoren
vom achten Grade für die gegebene Gleichung hervot⸗
beingen.

1II. Da ſich alſo nach 7 und 8 jede Gleichung vom ach⸗

ten Grade in vier reelle Faktoren vom ꝛten Grade aufl oͤſen

laͤßt, ſo kann man nunmehr auch jede Gleichung vom 16ten
Grade in ein Produkt aus 8 doppelten reellen Faktoren ver⸗

wandeln, und da jede Gleichung vom 17ten Grade zum

wenigſten einen reellen einfachen Faktor hat, ſo kann man

ſie außerdem auch noch in acht doppelte reelle Faktoren ouf⸗

lͤſen.

Een. 6
ſahrige⸗
Altwedern
tplicirt
dadurch
ſo kann
toren an
len die⸗

uit denſe

die keal⸗
goch!
12.
ſicht m
lette G
bon eine
Oucdrote
liicht, de
woferan
Nerade?
wird. 2
dukt aus
ſen, we
konn de
bom 12
dern ſe
eine Por

barke

ſoppelte
Gleichur
dieſelbe

eines 6

gungen
keinen

eſti fie
II. 1.9
icng hen
n dle
t rcd
von u ſn
Peeduktu

A — l

Gi.
t dber ohi⸗
vid, die
en Brchſta⸗
m weden
onc ret
iſe ntt⸗
Vuthe, Ne

lea Tanteeen

4

ng hanen

g ten c⸗
de auftoſen
gbon lbn
uktorenve⸗
Geude
tom 1
mmnl⸗
e.

Zuſatze zum zweyten Capitel. 445

loͤſen. Eben ſo iſt nunmehr jede Gleichung, die zu einem
niedrigern als dem 16ten Grade gehoͤrt, in reelle, einfache
entweder oder doppelte, Faktoren aufloͤsbar. Denn mul⸗

tiplicirt man dieſelbe mit x, oder X*2 oder X 3 ꝛc., um ſie

dadurch zu einer Gleichung vom 16ten Grade zu machen,
ſo kann man dieſe neue Gleichung in 8 doppelte reelle Fak⸗
toren aufloͤſen, und ſondert man darauf von dieſen Fakto⸗
ren die Faktoren «, welche man durch die Multiplication
mit denſelben verbunden hat, wieder ab, ſo erhaͤlt man
die reellen Faktoren der gegeben Gleichung, die entweder
einfach oder doppelt ſeyn werden.
12. Ueberdenkt man die bisher gefuͤhrten Veweiſe, ſo
ſieht man bald, daß ihre Staͤrke darauf beruht, daß die
letzte Gleichung, wodurch u beſtimmt wird, eine Gleichung
von einem ungeraden Exponenten und mit einem negativen
Quadrate zum abſoluten Gliede iſt. Auch erkennt man

leicht, daß dieſer letzte Umſtand nicht ſtatt finden kann,

wofern nicht der Exponent der Gleichung fuͤr u eine ſolche

gerade Zahl 2 n iſt, daß ihre Haͤlfte n eine ungerade Zahl

wird. Denn da das letzte Glied dieſer Gleichung ein Pro⸗

dukt aus n negativen Quadraten iſt, ſo wuͤrde es poſitiv

ſeyn, wenn n eine gerade Zahl waͤre. Aus dieſem Grunde

kann daher die gedachte Beweisart bey den Gleichungen

vom 12ten oder 20ſten Grade nicht gebraucht werden, ſon⸗
dern ſie paßt allein auf ſolche Gleichungen, deren Exponent
eine Poteſtaͤt der 2 iſt. Indeß iſt es genug, um die Auf⸗

losbarkeit aller Gleichungen in reelle, einfache entweder oder

doppelte, Faktoren zu beweiſen, daß man dieſelbe bey den
Gleichungen von dem Grade 2 außer Zweifel ſetzt, indem

dieſelbe, wenn ſie auf dieſe Art von den Gleichungen irgend

eines Grades dargethan worden iſt, auch bey allen Glei⸗
chungen, die zu einem niedrigern Grade gehoͤren, weiter
keinen Zweifel leidet.

—

446 Zuſaͤtze zum zweyten Capitel.

13. Jede Gleichung von einem Grade, deſſen Expo⸗
nent eine Poteſtaͤt der 2 oder 2n iſt, wenn n von 2 an ir⸗
gend eine ganze Zahl bedeutet, laͤßt ſich in zwey reelle
Faktoren vom Grade 21- aufloͤſen.
Nach der Wegſchaffung des zweyten Gliedes hat die
gedachte Gleichung folgende Form:
† Bxz -2 † Cx2 3 † Dxa 4 † it. =
uad die Anzahl der Coefficienten B, C, D, E ꝛc. iſt = 2n — r.

Setzt man ferner die beyden geſuchten Faktoren

— 1 n - I u — T n-1
x2 — uX2Z2 P x? —2 † 6x2 —3 Pic. = O

2¹ TI

ſo iſt auch die Anzahl der zu beſtimmenden Coefficienten u, ,
8, 2c. = 2n — I. Vergleicht man alſo das Produkt dieſer
beyden Faktoren mit der gegebenen Gleichung, ſo erhaͤlt
man dadurch eben ſo viel Gleichungen, als unbekannte

Groͤßen zu beſtimmen ſind, und man kann daher «, 8, 7

3, ꝛc. durch die bekannten Groͤßen B, C, D, ꝛc. und die un⸗
bekannte Groͤße u ohne die Extraction der Wurzeln und
folglich reell finden. Um aber zuletzt u zu beſtimmen, ge⸗
langt man zu einer Gleichung, deren Grad durch folgenden
Exponenten angezeigt wird:

2 (2n — 1) (2n — 2) (2n — 3) (2n — 4) ...(2n -—1 † 1)

I . 2 . 3 . —4 „ 5 . 221- I

wie aus den Regeln der Combination bekannt iſt. Es ſey

dieſer Exponent = N, ſo iſt, wenn man die Ordnung der
Faktoren des Renners umkehrt,
2n1 2n — 2n — 2 22— 3 2nR — 4 229— 1 † TI

—
—. . — 6 ——

2- I 2-— 1— I 2291 — 2n -— 3 220 - — — 4

oder um die kleinſten Zahlen zu nehmen

N=22, 99620 —.—

2-2n — I — 1 2n 2 — 2- T — 3 2 — 3 3—1

„n-— T n — T . -=
F uxz † Xx 2 -2 +† „X2 1- 3 † ꝛc. = o

2n.— I 2n - I — T 2 — 3 2 -r — r 22n-1 †1

Gſ⸗
Nen
ſ
Geeichun

iel von

ein dep
wird, un
ches eine
GClied de⸗
Nenn u

ſur uge

Faktore

11. 0
in wey:
10 alch in
ſndnunme
Grade ald
oder dop
aber nuna
wonn 260ſte
, Ne
Cenandter
15
fonale
Im,
gllemal in
der Form
aufgeidſet

folgich an

derlichen

ehr zu

D
1 en ir⸗
de elle

fͤenten
Nut Nee
g dahit
Ubetannte
ſr⸗ /
Ru⸗

Ourca ud

inmen, ₰

6 Ahende

ArIil

—

6

,90

=

Zuſtze zum zweyten Capitel. 447

Es iſt alſo ausgemacht, daß N eine ganze Zahi iſt, und
da ſowohl der Zaͤhler als der Renner zu vden ungeraden
Zahlen gehoͤren, ſo iſt N eine ungerademal gerade, und
alſo ½ N eine ungerade Zahl. Da nun in der gegebenen
Gleichung das zweyte Glied fehlt, ſo iſt, wenn p eine Wur⸗
zel von u iſt, auch — p eine Wurzel von u, und alſo uu— pp
ein doppelter Faktor der Gleichung, wodurch u— beſtimmt
wird, und ſolcher Faktoren hat dieſe Gleichung ½ N, wel⸗
ches eine ungerade Zahl iſt. Es iſt daher auch das letzte
Glied der Gleichung fuͤr u ein negatives Quadrat, woher

denn u zum wenigſten zwey reelle Werthe bekommt, die,

fuͤr u geſetzt, die beyden angenommenen Zaktoren zu reellen
Faktoren machen.

14. Es laßt ſich alſo jede Gleichung vom zaſten Grade
in zwey reelle Faktoren vom 16ten Grade, und alſo nach
10 auch in 16 reelle doppelte Faktoren aufloͤſen. Ferner
ſind nunmehr auch alle Gleichungen die zu einem niedrigern
Grade als dem 32ſten gehoͤren, in reelle, einfache entweder
oder doppelte, Faktoren aufloͤhbar. Etwas aͤhnliches gilt
aber nun auch von den Gleichungen vom 64ſten, vom 128ſten,
vom 256ſten Grade ꝛc. ſo wie auch von allen den Gleichun⸗

gen, die zu Graden gehoͤren, die niedriger ſind, als die

genannten.
15. Auf dieſe Art iſt alſo bewieſen, daß jede ganze ra⸗
tionale Gleichung einer veraͤnderlichen Groͤe
Xm † Axm-TI † B xm- 2 † CXm-3 † 2c. == OoO,
allemal in lauter reelle Faktoren, einfache entweder von
der Form † p, oder doppelte von der Form XX † px † q
aufgeloͤſet werden kann, und eben dieſe Aufloͤsbarkeit kommt
folglich auch jeder ganzen rationalen Funktion einer veraͤn⸗
derlichen Groͤße zu. Um indeß den angefuͤhrten Satz noch
mehr zu beſtaͤtigen zeigt Euler vom Soſten §ß. an, daß
jede

448 Zuſaͤtze zum zweyten Capitel.

jede Gleichung vom 6ten und uͤberhaupt vom (An † 2)ten

Grade, unabhaͤngig von den vorhergehenden Saͤtzen, zum
wenigſten einen reellen Faktor vom zweyten Grade, jede
Gleichung vom (8n † 4)ten Grade eben ſo zum wenigſten
einen reellen Faktor vom 4ten Grade jede Gleichung vom
(16n † 8)ten Grade zum wenigſten einen reellen Faktor
vom 8ten Grade hat ꝛc. Es iſt aber die Beweisart, die er
dabey gebraucht, der vorhergehenden aͤhnlich, und kann
alſo um ſo eher hier weggelaſſen werden.

16. NRun iſt folgender Satz leicht zu beweiſen: Wenn

eine algebraiſche Gleichung, ſie mag zu einem Grade ge⸗
hoͤren, zu was fuͤr einem ſie will, imaginaͤre Wurzeln
hat, ſo iſt jede dieſer Wurzeln unter der Form M †

N V – 1 begriffen, wo M und N reelle Groͤßen bedeuten.

So wie man, wenn man die Wurzeln einer Gleichung
kennt, daraus die einfachen und doppelten reellen Faktoren
zuſammenſetzen kann, in weiche ſich die Gleichung aufloͤſen
laͤßt: ſo kann man umgekehrt aus den gedachten Faktoren
die Wurzeln der Gleichung finden. Ferner erhaͤlt man ins⸗
beſondere die imaginaͤren Wurzeln aus den doppelten reel⸗
len Faktoren, deren allgemeine Form XN –— 2px † q iſt,
wenn man davon diejenigen nimmt, worin pp kleiner als q
iſt, X — 2 px † q = o ſetzt, und aus dieſer Gleichung
entwickelt. Es erhalten demnach, wenn man pp — q = — rr
ſetzt, alle imaginaͤren Wurzein jeder Gleichung folgende
Form .
= p r — 1I und = p — r - — 1

und es ſind dieſelben folglich auch insgeſammt unter der

Form M † N V — 1 begriffen.

17. Wenn alſo eine Gleichung die imaginaͤre Wurzel

X = pfTrV — I hat, ſo hat ſie auch folgende: X = p
— 1r V – I. Und da die Anzahl der imaginaͤren Wurzeln

iſſeher
nanini
n
tor iſt,
und dah
3 5 . 11,
19. Q
Sas noch
Er age
en, da
die Fort
dem er
lutionole
Foktoren
llheneint
keit der g⸗
toren gef

Cage, d

wieſen ve⸗
flgt,

gede
neinegon
nd dies ie
loſ von i
Fener
aͤchten N
biſor hab
ſlche er
Eulers

taen
Eien lum
n ſede
nniten
retlin un
veisart R⸗
, Und knn

en. Wenn
ſen Grede⸗

nare Wurpa

er dorn I3
ſen behunmn
nrh 8
Aen Fkr
zuge
W
ethat nen ie⸗
gnelan tt
rkiſ⸗

Müne H

nGocn
gung ilne

-1

n uet dNe

pe l
ne 1)
aa Pnſce
i

Zuſaße zum zweyten Capitel. 449

in jeder Gleichung eine gerade Zahl iſt, ſo gehoͤrt zu jeder
imaginaͤren Wurzel x = p † r V — I eine andere X =
p – r V – I, ſo daß die Summe von beyden, 2 p, und
das Produkt beyder, pp rr, veell ſind. Ferner hat jede

Gleichung, wovon Xæ — p – Tr W — I ein imaginaͤrer Fak⸗

tor iſt, auch den imaginaͤren Faktor x — p † rVN — 1,
und daher auch den doppelten reellen Faktor XX — 2 px †
PP T rr.
18. Vom 64ſten § an ſucht Euler den bisher bewieſenen
Satz noch auf eine andere Art außer Zweifel zu ſetzen.
Er zeigt nemlich, und zwar unabhaͤngig von dem Bisheri⸗
gen, daß alle unmoͤgliche Wurzeln jeder Gleichung unter
die Form M † N V — 1 gehoͤren, und leitet daraus, nach⸗
dem er ſolches hewieſen hat, die Aufloͤsbarkeit jeder ganzen
rationalen Funktion in lauter reelle einfache oder doppelte
Faktoren mit eben ſo vielem Rechte her, als er vorhin die
Allgemeinheit jener Form aus der bewieſenen Aufloͤsbar⸗
keit der ganzen rationalen Funktionen in lauter reelle Fak⸗
toren gefolgert hatte. Er gebraucht aber dabey mehrere
Saͤtze, die erſt in den folgenden Capiteln erklaͤrt und be⸗
wieſen werden, und es gehoͤrt daher das, was von §. 64.
an folgt, nicht hieher.

C. Zuſatz zu .⸗ 39.

Jede unaͤchte gebrochene Funktion laͤßt ſich nach §. 38.
in eine ganze und in eine aͤchte gebrochene Funktion aufloͤſen,
und dies iſt der Grund, warum in dem gegenwaͤrtigen §.
bloß von aͤchten Bruͤchen geredet wird.
Ferner laͤßt ſich, wenn der Zaͤhler und Nenner einer

aͤchten gebrochenen Funktion einen gemeinſchaftlichen Di⸗

viſor haben, dieſe Funktion nach bekannten Regeln in eine
ſolche verwandeln, wo der Zaͤhler und Renner Prim⸗Groͤßen
Eulers Einl, in d. Angl. d. Unendl. I. HD. FIf zU

450 Zuſaͤße zum zweyten Capitel.

zu einander ſind, und man kann ſich daher bey dem Be⸗
weiſe des im gegenwaͤrtigen 5 enthaltenen Satzes auf ſolche
Bruͤche einſchraͤnken, deren Zaͤhler und Nenner durch kei⸗
nen gemeinſchaftlichen Diviſor theilbar ſind.
Dies vorausgeſetzt, ſo laͤßt ſich die Unmoͤglichkeit der
hier gelehrten Aufloͤſung einer aͤchten gebrochenen Funktion,
wenn die Faktoren ihres Nenners keine Prim⸗Groͤßen zu
einander ſind, auf folgende Art darrhinn

Es ſey der gegebene Bruch — in die beyden Partie⸗

Brüche 1 — E. aufzuldſen, wo alſo vorausgeſetzt wird,

daß D= M. 8, und N, D, M, P, X und 4 ganze ra⸗
tionale Funktionen einer und derſelben veraͤnderlichen Groͤße,
z. B. von 2, ſeyen, und daß 2 in N weniger Dimenſionen
als in DO, und N und D keinen gemeinſchaftlichen Diviſor
haben. Da alſo

N X
D = NE
ſeon ſo, ſo muß auch
N PX F MY PX T MY
D MpPD Ddbd—
und alſo
N = PX † MY, und
N — MXY
N — PX

ſeyn. Nun ſollen aber X und ganze rationale Funktionen
ſeyn, und es muß ſich daher N — M V durch P, und N — PX
durch M ohne Reſt dividiren laſſen, und da N und D Prim⸗
Groͤßen zu einander ſind, ſo muͤſſen auch N und P, desglei⸗
. chen

eN1
NNP
Diſoe
nd pPz

pirde,
ſchofich
der Ver

andets

Mmd

Funktione
manſchef
dieſen,
D=
Nen Bedi
X

—

ſo daß )
har ſeyn
Oroͤßen

e den e.

auf ſo⸗
nucch ken

lcket der

enihtkin

n⸗Grin

den Portec⸗

geſett vud,

dgmngen
erlchen Get.
Dinenkonen

ſhen Doſo⸗

Fhoknicnen
dN-A
ndDi
N,, ggſei⸗
gen

Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. 451

chen N und M ſolches ſeyn. Waͤren aber dabey nicht auch

M und P Prim⸗Groͤßen zu einander, ſondern haͤtten den
Didiſor P mit einander gemein, ſo koͤnnte man M = p Q
und P = = b K ſetzen, r dann muͤßte, weil alsdann

— PQ1 2
X „und
N — pR
= bRX
P Q

würde, wider die Vorausſetzung auch N und D gemein⸗

ſchaftlich durch p getheilt werden koͤnnen. Es laͤßt ſich alſo

der Bruch unter den vorausgeſetzten Bedingungen nicht

anders in die Partial⸗Bruͤche † F aufloͤſen, als wenn
M und p keinen gemeinſchaftlichen Diviſor haben.
3. Will man indeß dieſen Satz auch fuͤr die gebrochenen
Funktionen beweiſen, deren Zaͤhler und Nenner einen ge⸗
meinſchaftlichen Diviſor, 4, aber auch weiter keinen als
dieſen, haben, ſo ſetze man D = S qS und S = MP, alſo
D = q MP., und behalte uͤbrigens die vorhin angenomme⸗
nen ednageree den Hier haͤtte man alſo

Y
XA = — 1 = — — , und piai

D.
XN = PX † 4qMXY, und
N – qMTY

X

I

„und

ſo daß N — q MX durch P, und N — P X durch q M theil⸗
bar ſeyn muͤßte. Sollten nun q M und b nicht Prim⸗
Grdͤhen zu einander, ſondern beyde durch irgend eine
Sf 2 Groͤße

„

452 Zuſaͤtze zum zweyten Capitel.

Groͤße p theilbar ſeyn, ſo wuͤrde 9) M = = p 2 und P = p R

und alſo

0OY
X = Wor, . und

R&

werden, und folglich N und D außer q auch noch durch p
theilbar ſeyn, welches ebenfalls wider die angenommenen
Bedingungen ſtreitet. Es iſt daher der im §. enthaltene
Satz auch ohne die vorhin feſtgeſetzte Einſchraͤnkung von
allen aͤchten gebrochenen Funktionen wahr.

tionen — und ſelbſt betrifft, ſo muß, da P eine aͤchte

M
gebrochene Funktion ſeyn ſoll, 2 in N weniger Dimenſionen
als in D haben, und die Summe der Dimenſionen von 2
in M und P muß der Anzahl der Dimenſionen eben dieſer
2 in D gleich ſeyn. Man kann alſo, wenn man die Zahl
der Dimenſionen von 2 in D = = m, und m = n † a an⸗
nimmt,
N = Azin-1 † Bzmn⸗=2 † Czm-=3 4.. 3
M= AzZn †P BzurI † Cznz †. . . . K
= a ?2 5 † bzés-I P Cc z 2 P.. . . . k.
und außerdem, wenn man zuvoͤrderſt X finden will,
= 26*- I TP 6 26-2 † zE-3 àz4.. ...
ſetzen. Da nun m = n † e iſt, ſo fließt hieraus

MI=AszMaAf†Bæ gi-2 Fce † Dejͦ .
†A8 † Bé tzm-3 † C
Tanra .
14 7) † B
A
und

4. Was nun die Aufloͤſung der Funktion D in die Fun⸗

Da ſetner

ſehn , ſ

Nuck durch

1=A
ſegn: dor
ſtimmt we
lig. De⸗

412m.

nd ſoſgli
2
Dea d

Dda ferner
ſenden G

) enthelve
kankung tnn

. eine igt

Denſonen
ſenen von

— ——
.

„16

Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. 453
und N — M= 2
A n. : F. B MD 1o
B — As. — Ba an-2 — Cs — Dæ
. 4(210. 3
— A8 –— B8 — C fzmn-4 † 2c.
— AvD)9 — By
— Aà]]

5 eine ganze rationale Funktion

ſeyn ſoll, ſo muß ſich dieſer fuͤr N — M V gefundene Aus⸗
druck durch P ohne Reſt dividiren laſſen, und folglich
X= AZm-ke- I -† Bzm- le-2 † C'zm-- 3 † Dzmn -A-4 † ꝛc.
ſeyn; vorausgeſetzt, daß A, B, C, D’ ꝛc. gehoͤrig be⸗
ſtimmt werden. Dieſe Beſtimmung iſt aber allemal moͤg⸗
lich. Denn da P X = N — MV iſt, ſo hat man

N-
Da ferner X =

AZmn-T P Ban † C'a 4 D’a
A'bj B bk m- 3 P. C b
1 1. 5 1. . ſan-a 4 ꝛc.
† A T BC
t
A 1 mr k B r61 1d2
— Ae)* — Bæ ezin-2 — Cæ — Dz
2 m -= 3
— As) — B8 — Cg zzm-4 † ꝛc.
— A

und folglich
Aa = A — A
Ba † Ab = B — Ba — A
C'a † Bb † Ac = C — Cæ= — B6 — A 7
D'a † Cb † B'c † Ad = D — D= — C8 — By — A à
b.
Da ferner die Anzahl dieſer aus der vorhergehenden flie⸗
ßenden Gleichungen = m iſt, und dieſelben lauter einfache
Ff 3 D Glei⸗

454 Zuÿuſaͤttze zum zweyten Capitel.

Gleichungen ſind, uͤberdem darin von den unbekannten
Groͤßen A, B/ C, D'’ ꝛc. nicht mehr als m — „, und von
„*, 6, 7, à ꝛc. nicht mehr als ½, alſo uͤberhaupt nicht
mehr als m unbekannte Groͤßen vorkommen; ſo laſſen ſich
daraus auch alle dieſe unbekannte Groͤßen vollkommen
entwickeln. Kennt man aber A, B/ C, D' c., ſo kennt
man auch
xX= A'zm -fe- I † B'zm-g- 2 Can-k- 3 † 2 c.
Und kennt man «, g, 7, à ꝛc., ſo kennt man auch
* = =— 2 2k- I † £ε2E- 2 † „- 3 † 1c.

und daͤdurch denn auch die Partial⸗Bruͤche — und —. Ue⸗

brigens iſt der gegenwaͤrtige Zuſatz aus des Herrn⸗ Dar iſt⸗
Lieutenants von Tempelhof Anfangsgruͤnden der Analyſis
endlicher Groͤßen Cap 10. §. 785. f. entlehnt.
D. Zuſatz zu §. 41.
Die hier beſchriebene Methode, zu einem jeden Faktor

des Nenners einer gegebenen gebrochenen Funktion den zu⸗

gehoͤrigen Partial⸗Bruch zu ſinden, ohne dabey die uͤbrigen

Faktoren ſelbſt ſondern nur ihr Produkt zu brauchen, ruͤhrt
von Eulern ſelbſt her. Er bemerkt dieſes im erſten Theile

des vierten Bandes der neuen Sammlungen der Schriften

der Petersburgiſchen Akademie der Wiſſenſchaften vom
Jahr 1780, in der Abhandlung, welche uͤberſchrieben iſt:

Nova methodus, fraétiones quascunque rationales in

fraétiones ſimplices reſolvendi. In den Zußuͤtzen zum
zwoͤlften Capitel wird des Inhalts dieſes Aufſatzes, ſo weit

es geſchehen kann, ausfuͤhrlicher gedacht werden.

III.

u

Nu
Umform
nunmeyt,
b. (.G.
Subſtitutio

ſichung e

4, duo⸗
tpen
ſtimn
dertc
che⸗
der

5, die
ſtit

Ad!

rtkarten

Und bon
t nicht
lſe ſch
,Nit

4 ( t
Herrn Oreſ

der Nolgis

Uktion den
Neunge

„D

1
tonales in.

III.
Zuſaͤtze zum dritten Capitel.
Inhalt dieſes Capitels.

Nachdem Euler in dem vorhergehenden Capitel die
Umformung der Funktionen abgehandelt, ſo geht er

nunmehr.

b. (ſ. S. 433.) zu der Verwandlung der Funktionen durch
Subſtitution fort. Der Weg, den er bey dieſer Unter⸗
ſuchung genommen hat, iſt folgender.
ℳ.. Zuvoͤrderſt zeigt er, daß ſich jede Funktion y von 2,
wenn? durch eine neue veraͤnderliche Groͤße X be⸗
ſtimmt wird, ebenfalls durch beſtimmen laſſe, und
beruͤhrt dabey zugleich die zwiefache Abſicht, in wel⸗
cher dergleichen Subſtitution vorgenommen zu wer⸗
den pflegt, §. 46. b. Dann erklaͤrt er
3. die Art und Weiſe, gegebene Funktionen durch Sub⸗
ſtitution zu verwandeln, §. 47 — 58; und zwar
da. wenn dadurch eine irrationale Funktion in eine
rationale umgeaͤndert werden ſoll, §. 47 — 51.
Die Faͤlle, welche er hier betrachtet, ſind folgende:
ℳ„ wenn »= V (a † b 2) iſt, F. 47.
g. wenn 0y = (a † bz)m: n iſt, §. 48.
Ff 4 v.

456 Zuſaͤtze zum dritten Capitel.

vv. wenn y = — ) ſſt, §. 49.

3%, wenn y = V ((a † bz) (Cc † d2)) iſt, F. 50.
s wenn y = V (p † qz † r22) iſt, §. 51.
bb. wenn dadurch eine neue veraͤnderliche Groͤße
gefunden werden ſoll, durch welche ſich y und 2
aus einer verwickelten Funktion entwickelt darſtel⸗
len laſſen, §. 52 — — 58. Hier wird
aæ, ein allgemeiner Fall auf die Art betrachtet, daß
die Art und Weiſe gelehret wird,
aaa. aus einer gegebenen Funktion die gedachten
Beſtimmungen fuͤr z und y, §. 52., und
bbb. aus dieſen Beſtimmungen von y und 2 die
Gleichung, woraus ſie erhalten werden koͤn⸗
nen, zu finden, §. 53. Dann folgen
68. einige beſondere Faͤlle, F. 54 — 58.
aaa. wenn y = ayy † byz † c22 † , ez = 0
iſt, §. 54.

bbb. wenn ays † byzz † cyz † dzs5 r eyy †

fy: P gzz = o iſt, §. 55.
ccc. wenn ayy † byz † czz = d iſt, §. 56.
ddd. wenn aym † bym- I2 † cym- 222 † dym- 33

ic. = ayn † gyn- I2 † Yyn - 222 † Nyr - 323

† ꝛc. iſt, F. 57.
eee. wenn in der zwiſchen y und? gegebenen Glei⸗
chung dreyerley Dimenſionen vorkommen, ſo,
daß die hoͤchſte die mittelſte in Anſehung der
Hoͤhe um eben ſo viel uͤberſteigt, als die nie⸗
drigſte unter der mittelſten iſt, §. 58.

IV.

R
N F
Lrfel
vorlin
fonen

1 e

inn

Zuſaͤtze zum vierten Capitel.
uttt A. Inhalt des vierten Capitels.
iccin Das gegenwaͤrtige Capitel, worin die Entwickelung
S der Funktionen durch unendliche Reihen gelehret wird,
m zerfaͤllt in zwey Haupttheile. Nachdem nemlich §. 50. einige
ni vorlaͤuſige Bemerkungen uͤber dieſe Verwandlung der Funk⸗
immo tionen vorausgeſchickt worden, ſo wird
1. die Art und Weiſe erklaͤrt, wie gebrochene Funktionen
. in unendliche Reihen aufgeloͤſet werden rönnen, g. 60
ies bis 70. Dabey werden DZ
a. ſolche Bruͤche betrachtet, in deren Nenner das erſte
iu keſf! Glied oder die beſtaͤndige Groͤße nicht = o iſt,

§. 60 — 63; und dieſe Unterſuchung beſchaͤftiget ſich
,5 wieder

1cfur ℳ mit gebrochenen Funktionen uͤberhaupt . 60 63.
tN woen denn
a. folgende zwey einzelne Bruͤche
Nbennbln a
Nelm
. 4 —— §. 60.
men, , ℳ † 22 2
ſheng de à † bz
u 88. — „ §. 61., und dann
e ti⸗ „*J † 8£2 T† 722 D

a † bz † cz † dz 3 † te.
I — „τ - 86 2 — 2 3 — 524 — c.
§. 63. in unendliche Reihen verwandelt werden,
nachdem zuvor §. 62. die Veſchaffenheit dieſer
W. Ff 5 Rei⸗

„0
„
*

bb. der allgemeine Bruch

458 Zuſaͤtze zum vierten Capitel.

Reihen aus den §. 60 und 61. gefundenen allge⸗
mein beſchrieben worden iſt.

s. mit ſolchen gebrochenen Funktionen, deren Nenner

eine Poteſtaͤt, F. 64 — 68., und zwar
aa. von einem Binomium, §. 64 — 67., oder
dga. (I — 2) 2, §. 64.
66. (1 — „2) 3, § 65.
vy. (I — 2) 4, §. 66.
5. (I1 — „)n, §. 67., und
bb. von einer vieltheiligen Groͤße iſt, §. 68.
b. folgen die Bruͤche, in deren Nenner das beſtaͤndige

Glied = o iſt, §. 69. Den Beſchluß dieſer Unter⸗
ſuchung macht §. 70. eine Anmerkung uͤber die Nenge

der unendlichen Reihen, worin man jeden Bruch ver⸗

wandeln kann, weil ſich aus jedem Bruche durch die

Subſtitution unzaͤhlige andere finden laſſen.

2. Der zweyte Haupttheil dieſes Capitels handelt von der
Verwandlung der irrationalen Funktionen in unenoͤliche

Reihen, §. 71 — 76., und zwar ſo, daß die e Verwand⸗

lung dieſer Funktionen

a. §. 71. 72. allgemein beſchrieben, und die Reihen mit⸗

getheilt werden, die man
i
a. fuͤr (? † Qο*, § 71., und
8. fuͤr (1 † Z)m, wenn m einen Bruch bedeutet, nach
dem Binomiſchen Lehrſatze erhaͤlt, §. n. Hierauf
werden

b. noch insbeſondere die Reihen betrachtet, die ſich nach

eben dieſem Lehrſatze
. dus (I † = 2) m- I, §. 73. V
6. aus (I † «z †. 82 2) m - 1I, G. 74.
7. aus (I † « † Sτ † νιd6a —r, F. 75., und endlich

E
hauptet

denten

mon di
Alein,
laufende
Höktark
die At
ſind,
nen An
ſicßtl
Nochten.
endiiche
mehr di
druckt w
wie, G
e, n
Lodric
culi a
bus ig

2
—
—

I

t „u
Coeffici

ren d⸗

enner

.
beütnig:
ſer luen

WMa⸗
1Druche⸗

e Nunc

it von N

lnendlit
Verwon

Her i⸗

atet tu
4 lal

Gotig

1.

SSõñ

Zuſaͤtze zum vierten Capitel. 459

d. aus (1 T az †† 82z2 † 7?2³ † à24 4 zc.)m-1 erge⸗
ben, §. 76.
8. Zuſatz zu h. 59.

Es kann beym erſten Anblick auffallen, wenn hier be⸗
hauptet wird, daß die Natur der gebrochenen und tranſcen⸗

denten Funktionen leichter erkannt werden koͤnne, wenn

man dieſe Funktionen in unendliche Reihen verwandele.
Allein, wenn man unendliche, das heißt, ohne Ende fort⸗
laufende Reihen unterſucht, ſo ſtellt man ſich, wie der Herr
Hofrath Kaͤſtner, nicht nur in ſeinen Betrachtungen uͤber
die Art, wie allgemeine Begriffe im goͤttlichen Verſtande
ſind, Goͤttingen 1767, ſondern auch in der Vorrede zu ſei⸗
nen Anfangsgruͤnden der Analyſis des Unendlichen bemerkt,
nicht alle einzelne Glieder dieſer Reihen, ſondern nur das
Geſetz vor, welches alle dieſe Glieder gemeinſchaftlich be⸗

obachten. Auch iſt es gar nicht nothwendig, daß jede un⸗

endliche Reihe eine unendliche Groͤße vorſtelle, es kann viel⸗
mehr die Groͤße, die durch eine unendliche Reihe ausge⸗
druckt wird, in ſehr enge Grenzen eingeſchloſſen ſeyn, ſo
wie z. B. die Reihe, ½ † † ½ † ꝶ † =τ † &αε † c. ohne

Ende, nie = I werden kann. Dieſe Anmerkung hat ſchon

Leibnitz in ſeiner Abhandlung: De vera proportione cir-
culi ad quadratum circumſcriptum in numeris rationali-
bus in den Actis eruditorum vom Jahr 1682 gemacht.

C. Zuſatz zu §. 60.
Daß, wenn JJMU!
a = « A † æ Bz † à C22 † „ DZ3 † « E 24 †. ꝛc.
† gE AZ † &β B z2 † 6 Cz3 † 8 D 24 † ꝛc.
iſt, auch a = = A, und =B † SA, ſo wie auch die ubrigen
Coefficienten einer eden Poteſtͤt von 2, = o ſeyn muͤß
1 t

460 Zuſaͤtze zum vierten Capitel.
laͤßt ſich auf folgende Art zeigen. Da? eine veraͤnderlich ene⸗
Groͤße iſt, ſo muß die angefuͤhrte Gleichung, wenn ſie uͤber⸗ ſſcen:
haupt richtig ſeyn ſoll, ebenfalls fuͤr jeden beſtimmten Hunde
Werth von⸗ wahr ſeyn, und es iſt daher alles das ſtreng demie d
und allezeit richtig, ohne welches dieſe Gleichung bey einem ſeyn.
beſtimmten Werthe von nicht beſtehen kann. NRun kann iſt, f
dieſelbe, wenn man 2 = 0 ſetzt, nicht anders beſtehen, fſiani .
als wenn a = « A iſt, folglich iſt a = æ«A. Ferner kann, s ei⸗
da a = =A, und alſo 6 .,1
S: TsCa Te Dea † eg:4 te. 2. B
AZ T S8BzZz † 6Cz3 †6Dz4 † c. NdRern
ſeyn muß, die obige Gleichung ebenfalls nicht beſtehen, wo⸗ (es
fern nicht „B † A = =C T & B = ⸗ D † C = «E E rols
6⁶D = o iſt, ꝛc., und es iſt daher auch dieſes richtig. Auf alt,
eine aͤhnliche Art kann man bey andern aͤhnlichen Faͤllen

verfahren, oder auch die Beweisart brauchen; der ſich 1
Euler im dreyzehnten Capitel dieſes erſten Buchs im 21len
§. bedient hat.

D. Zuſatz zu . 6Äôↄ.a welce

1. Dieſer und die folgenden s. ſetzen den Binomiſchen un
Lehrſatz in ſeinem ganzen Umfange, oder den Satz vor⸗ Eumen
aus, daß S ſchaften
(a + b)yn = — an 1 — an-Ib 1 — . 1 A-— hz † doß man
12 lmnſonge
D n2 an-3b3 . — U 22 an-aba 2. Ren Veu
1 2 3 1 2 3 4
ſey, nicht nur, wenn n eine ganze poſitive, ſondern auch, airen
wenn es eine ganze negative, und auch, wenn es eine ge⸗
brochene, poſitive oder negative, Zahl bedeutet. Da die⸗ ſey, wal
ſer Lehrſatz in den Anfangsgruͤnden der gemeinen Algebra
gerdhalich nur fuͤr den Fall bewieſen wird, wenn n eine ur guf

“́ ganze

ittig A
t ilee
r ſch
inzlgten

Zuſaͤte zum vierten Capitel. 461

ganze poſitive Zahl iſt, ſo wird die Mittheilung des Eule⸗
riſchen Beweiſes fuͤr die uͤbrigen Faͤlle in dem neunzehnte
Bande der neuen Commentarien der Petersburgiſchen A “
demie der Wiſſenſchaften vom Jahr 1774 nicht uͤberſluͤſſig
ſeyn. Die Abhandlung, woraus das Folgende genommen
iſt, fuͤhrt den Titel: Demonſtratio theorematis Newto-
niani de evolutione poteſtatum binomii pro caſibus, qui-
bus exponentes non ſunt numeri integri, und faͤngt
S. 103. an.
2. Vorlaͤufig ſchickt Euler darin zuvoͤrderſt einiges uͤber
die Nothwendigkeit des Beweiſes des Binomiſchen Lehr⸗
ſatzes fuͤr die Faͤlle, wenn n keine ganze poſitive Zahl iſt,
voraus. Dieſe Rothwendigkeit erhellet unter andern dar⸗
aus, weil es aͤhnliche Saͤtze giebt, z. B. W

I1 — An (I — an) (I – an- I)

n —

1 — àa I — a ²*W½
(I — an) (I — an-T) (1 — an-2)
I — a3

welche nur in den Faͤllen wahr ſind, wenn n jeine ganze
poſitive Zahl bedeutet. Ferner gedenket er des Beweiſes,
den der Staatsrath Aepinus im achten Vande der neuen
Commentarien der Petersburgiſchen Akademie der Wiſſen⸗
ſchaften vom Jahr 1763 gegeben hat, und bemerkt darauf,
daß man, um den Binomiſchen Lehrſatz in ſeinem ganzen
Umfange zu beweiſen, nur noͤthig habe z zu zeigen, daß fuͤr
jeden Werth fuͤr n D
— I n —– 2

GINTTTXI. — x2 1— — 3 Pie-

2

ſey, weil nemlich 1 b) n = anr 4 2) iſt, und es alſo

. . b n
nur auf die Entwickelung des Ausdrucks (1 † ankommt,
der

462 Zuſaͤtze zum vierten Capitel.

b
der ſich, wenn man —= X ſetzt, in (1 † verwandelt.

Nach dieſen vorläußgen Saͤtzen iſt der Beweis des Bino⸗
miſchen Lehrſatzes ſelbſt folgender.

3. Es ſey

n n-I n n.—I n-— 2

ll=T A 1* . — X3 † ic.

ſo iſt, wenn n eine ganze poſitive Zahl bedeutet,
In] = (I T X).
Dieſes wird aus den Anfangsgruͤnden der gemeinen Alge⸗

bpra vorausgeſetzt, und kann daraus auch allerdings mit

Recht vorausgeſetzt werden. Ferner ſey

I[m] = I † P TT S

m m-—I m-2
1I 2 3

„

und alſo
[m . n] = 1Af Bxa † Cx; † Dx4 † ExsS † ꝛc.

wenn die Buchſtaben A, B1, C, D, E, ꝛc. gehdrig beſtimmt

werden. 1

4. Um die Buchſtaben A, B, C, D, ꝛc. zu beſtimmen,
muͤßte man eigentlich die beyden durch die unbekannten
Groͤßen [m] und [n] ausgedruckten Reihen mit einander
multipliciren, und das Produkt mit der Reihe 1 † AX †

BX † Cx3 † DXA f† ꝛ:c. vergleichen. Allein es iſt, auch

ohne daß man ſolches wirklich thut, nicht ſchwer, ſich da⸗
von zu uͤberzeugen, einmal, daß die Buchſtaben A, B,
C, D, ꝛc. durch die beyden Vuchſtaben m und n beſtimmt

werden, und zweytens, daß die Art, wie ſolches geſchies⸗

het, ſie mag auch ſeyn welche ſie will, keinesweges von
der Beſchaffenheit der Buchſtaben m und n abhange, und
alſo immer dieſelbe ſeyn werde, es moͤgen nun dieſe
Buchſtaben ganze oder gebrochene, poſitive oder negative

Zah⸗

uſen
ſtthin
2
neine 9
der Leh⸗

(Uſo fn

kann:
fpe

nl=I

wird,

vas ma

lenondtt

dino⸗

, beſinmen,

Uobekennen.

n hande
herthit
es ſt, ah
er, in de⸗
ihen A/,

n Refünmmt

ſs giſhin
neͤneges
Phencr,n
n leſe
Ne lenve

Np

Zuſaͤtze zum vierten Capitel. 463

Zahlen bedeuten. Und dieſes iſ zu der e gegenwrtigen Ab⸗
ſicht hinlaͤnglich.
5. Denn da der Binomiſche Lehrſatz für den Fall, wenn

n eine ganze poſitive Zahl iſt, in der gemeinen Algebra aus

der Lehre von den Combinationen hinlaͤnglich bewieſen, und
alſo fuͤr dieſen Fall als ausgemacht vorausgeſetzt werden
kann: ſo iſt daher klar, daß, wenn m und n ganze poſi⸗
tive Zahlen bedeuten,

m-=I —I m—2
ImI= I1 - 2. — — x2 † — —. . =
und
n n-— — 1 1—2
In] = 1 ¼ 2 1. — x x2† . 2 *3 † c. =
(I † xX) ²
und folglich

Gml. In] = G † n)utn = Im f nl = Irl = 1 ¼ †2 †

iſt, wenn man m † n = r ſetzt. Da nun hieraus

rx=
A = —
I 2
— r — I 1—2
1 rj — 17 Tr— 2 1— 3
D — — . e ennn . — „ —2
I 2 3 4
2ðð

wird, und dieſe Buchſtaben aus den Buchſtaben m und n,

was man ſich hierunter auch fuͤr Zahlen gedenken mag,

nach

464 Zuzuſaͤtze zum vierten Capitel.

nach Abſatz t 4 doch immer auf eine und dieſelbe Art be⸗

ſtimmt werden: ſo erhellet nunmehr, daß für jeden Werth

von m und n allemal
2 [m]. [n] = [m 1 n]
iſt.
6. Da alſe ſo, was auch m und n fuͤr Zahlen bedeuten,
allemal
lm! lnl = In n]
iſt, ſo iſt ferner, und zwar auch fuͤr jeden Werth von
m, n, p, q ꝛc. W
Im] . In] . Ip] = Im T n 1 P.
Cm. In]. Ipl. 9] = n En†ρꝙ¹uꝶ

26.

und, da man dabey auch m =☛ n = p = q ꝛc. aunehmen

kann, ebenfalls
Im]2 = zm]; Im 3 = (3 m); lma= — lan). ꝛc.
und uͤberhau-tt—
Im = Tam

wenn a irgend eine ganze poſitive Zahl bedeutet.

7. Nun ſey irgend eine ganze poſitive Zat, und da⸗

bey ſey zugleich am = i, und folglich m = —. Hier fließt
aus der letzten Soemel des vorhergehenden Abſates
= li] = (r PX1

weil i eine ganze poſitlve Zahl iſt. Hieraus aber folgt

weiter

Il⸗ =0 r)7

ſo daß alſo hierdurch der Binomiſche Lehrſatz auch fuͤr den

Fail bewieſen wird, wenn n eine gehrochene Zahl iſt.
282. Da

60
lbe
cegtet,

ſt, ſo ſe
und foig

Sett ne

in †,,

woduch
wieſen i

9. V.

ſcen welc
den dishe
Vaterſchi

Dua d

rationabt
hehaupte

des Jin⸗
utionohe⸗

10. Q

ſoſitio al

deſelben
Eulers

heßt te
de Behh

=☛t2n

nh

, lr
He ſic

its

cber ſogt

ut ſni

6
1

Zuſaͤße zum vierten Capitel. 465

9. .Da auf dieſe Art, wenn m nur eine poſitive, uͤbri⸗
gens aber entweder eine ganze oder eine gebrochene Zahl

bedeutet, allemal

I[m] = (I † X) m H
iſt, ſo ſey nunmehr n = — m. Alsdenn wird m † n =o, .
und fol glich
[o] = (1I † X) = I.
Setzt man aber dieſe Werthe in die Formel Im . Ia]
[m † a], ſo wird
(I † X) m. (— m] = I, und folglich

1— — — mm
— mlI= TTn (I1 1X)-7

wodurch denn der Binomiſche Lehrſatz auch füuͤr den Fall er⸗ B

wieſen iſt, wenn n eine gebrechene Jahl bedeutet.

9. Wenn p und q die beyden Grenzen vorſtellen, zwi⸗

ſchen welchen die irrationale Groͤße We liegt, ſo iſt nach

dem bisher Erwieſenen, wie groß oder wie klein auch der

Unterſchied zwiſchen p und q ſeyn mag, allemal

P] = (I † X)y, und
[4] = (1I † )u.

Da nun das, was von jeder der beyden Grenzen einer Ir⸗

rational⸗Groͤße gilt, auch von dieſer Irrational⸗Groͤße ſelbſt
behauptet werden kann, ſo erhellet hieraus die Wahrheit
des Binomiſchen Lehrſatzes fuͤr den Fall, wenn n eine Ir⸗

rational⸗Zahl iſt; oder es iſt nunmehr auch

T

GWal= G⅝

10. Ob aber gleich bey dieſem letzten Satze Ve ſowohl

poſitiv als negativ ſeyn kann, ſo iſt doch bey dem Beweiſe

deſſelben e als eine abſolute Zahl betrachtet worden, und
Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. I. HO. Gg man

466 Zuſaͤtze zum vierten Capitel.

man darf daher, wenn e eine poſitive oder negative

Zahl iſt, davon weiter keinen Gebrauch machen, als

wenn ſowohl im er ſten Falle von . † e als im andern

4

von — e bloß die reellen Werthe genommen werden.
Wenn daher r eine ungerade Zahl iſt, und die unmoͤglichen

Werthe von V zS.ae ausgeſchloſſen worden, ſo iſt allemal

T

IV 1e] = (I † ) z wenn aber r eine gerade Zahl

r.

in⸗ ſo iſt b loß WV. † = = (1 1413 eerwieſen, und der Fall, wo
”ñ”l

. — e vorkommt, iſt i in der obigen Formel gar nicht begriffen.
II. Vermittelſt der Differential Rechnung laͤßt ſich die

Wahrheit des Binomiſchen Lehrſatzes ſelbſe fuͤr den Fall
darthun, wenn n eine unmoͤgliche Zahl iſt, aber fuͤr die

gegenwaͤrtige Abſicht reicht ſchon das im dritten bis zum
achten Abſatze Enthaltene hin, und ſo weit hat auch Kuler
nur den Beweis gefuͤhrt. Da ſich indeß der Satz im neun⸗

ten und zehnten Abſatze leicht mit den vorhergehenden ver⸗
binden ließ, ſo ſchien es mir nicht unzweckmaͤ zig, auch ihn
herzuſetzen.

12. Nach §. 3. hat Kuler den Binomiſchen Lehrſatz ſonſt
mit Huͤlfe der Analyſis des Unendlichen bewieſen, nachmals
aber dieſen Beweis verwerſlich gefunden, weil die A alyſis—
des Unendlichen auf den inomiſchen Lehrſatz gegruͤndet
ſeyn ſoll. So wie Euler in ſeiner Differential⸗Rechnung

verfaͤhrt, wo er im fuͤnften Capitel des erſten Theils mit
dem Satze anfaͤngt: Wenn y = Xn iſt, ſo iſt
— 1)

2

ðJM —”M n(n. .
YI=(XT dr) = Xn nxN- Idx f W xar-⸗ dxa † ꝛc.:

ſetzt

ſeten

ſchen
hein, 1

Der He
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n, mntmas

ſPecahſi

1⸗Rechnung
Dels m

SSSõ

Zuſaͤtze zum vierten Capitel. 467 “

ſetzt allerdings die Analyſis des Unendlichen den ganzen Bino⸗

miſchen Lehrſatz voraus; allein man wuͤrde ſehr unrecht han⸗

deln, wenn man dieſes ganz allgemein behaupten wollte.

Der Hr. Hofrath Kaͤſtner z. B. beweiſet in ſeinen Anfangs⸗

gruͤnden der Analyſis endlicher Groͤßen den Binomiſchen Lehr⸗
ſatz bloß fuͤr ganze bejahte Exponenten, und erweitert dar⸗
auf denſelben in den Anfangsgruͤnden der Analyſis des Un⸗
endlichen auf andere als bejahte Exponenten auf eine ſolche
Art, daß es wohl Niemanden einfallen wird, dieſem Be⸗
weiſe einen Erſchleichungsfehler vorzuwerfen. Da man
uͤberdem die Formel d(xn) = n xn-1 dx, wenn n eine ganze

poſitive Zahl iſt, aus der Regel fuͤr die Erfindung des Dif⸗

ferentials der Produkte ableiten kann, ohne dazu die Bi⸗
nomial⸗Formel im geringſten zu gebrauchen, indem man
nemlich xn = XXXXX. .. ſetzt: ſo laͤßt ſich dieſe Formel
ſelbſt fuͤr bejahte und ganze Exponenten durch Huͤlfe der
Differential⸗Rechnung darthun, ohne daß dabey das min⸗
deſte erſchlichen wird. Vortheilhaft aber bleibt es immer,
einen ſo außerordentlich wichtigen Satz auf mehr als eine Art
kennen gelernt zu haben, und wenn daher auch die Beweiſe
vermittelſt der Analyſis des Unendlichen viel kuͤrzer ſind,

ſo muß man doch die Elementar⸗ Beweiſe deswegen nicht

verachten.
13. Von der Geſchichte der Binomial⸗Formel ſindet

man in den angefuͤhrten Schriften des Hrn. Hofrath Kaͤſt⸗

ners das merkwuͤrdigſte. Auf eine andere Art als Euler
haben kuͤrzlich der Herr Hauptmann von Maſſenbach in
ſeinen Anfangsgruͤnden der Differential⸗ und Integral⸗
Rechnung, Halle 1784. und Herr Profeſſor Buſſe in ſei⸗
nen Beytraͤgen zur Mathematik, Leipzig 1786. dieſelbe ele⸗
mentariſch zu beweiſen geſucht. Fuͤr die negativen Expo⸗
nenten habe ich in meinen Briefen uͤber die Buchſtaben⸗
Gg 2 Rech⸗

2 P
*

468 Zuſatze zum vierten Capitel.

Rechnung und Algebra, Berlin 1786, und in meinen An⸗

fangsgruͤnden der Buch ſtabenrechnung und Algebra, Ber⸗

lin 1788 die Richtigkeit der Binomial⸗Formel auf die Art

erwieſen, daß ich dieſelbe zuerſt fuͤr den Fall wenn n =— — I
iſt, dargethan, und darauf gezeigt habe, daß ſie, wenn
ſie fuͤr irgend einen negativen Werth fuͤr n gilt, auch fuͤr
den um 1 vergroͤßerten negativen Werth gelte. .
14. Wenn n negativ iſt, ſo laͤßt ſich die Binomial⸗ For⸗
mel auf folgende Art Art ausdrucken:
† r)

(a 1 b) = = a-n — na-n-Ib † — arn- 2 b⸗ —

* 2

atafi n2 aa-b i n ſn Nn palln 3) an-4 b2 —
I 2 . 3 2 3 4 “ 7
und wenn b negatid iſt, ſo wird

nn † 1)

(A — b)-n = a-n † na-n-rb I —-E- a-n-2 b2 1

2(n † 1)(n 2) a-n- 3 b nCNT t⸗Eig.
I 22 3 12. ₰* 4
Wird a = 1, ſo verwandelt ſich (a — byn in
Sar 2)bs ir.
2 2 . 3

n- 4 b 4a †ꝛc.

(H=b) = I nb —
und da iſt denn
nł(n †. 1) (n † 2),. . . . 1 b-- 2) C 1 b Hi,
I . 2 . 3 . . 1p – 1I) . £
ein allgemeiner Ausdruck fuͤr alle Glieder. Getzt man nun
n einer ganzen Zahl gleich, ſo erhaͤlt man hieraus fuͤr
(pP T 1) (p †. 2) 2 p
I 2
n 3, (p 4 1) (p . 2) 1 3 bn, 2c., und hieraus laſſen
ſich die hieraus fließenden Saͤtze des 64 bis 66ſten §. des 4Aten
Capitels der Euleriſchen Einleitung ſehr leicht herleiten.

fuͤr

n = 2, (p. 4 1) be; fuͤr n = 3,

4

2 Eintl
inde
1. C

inn Ai⸗
Rl
– l
e Zuſaͤtze zum fuͤnften Capitel.
ilz⸗ Inhalt dieſes Capitels.

Von den Funktionen zweyer oder mehre⸗
rer veraäͤnderlichen Groͤßen.

1. Eekl klärung der Funktionen zweyer oder mehrerer ver⸗
1.k. , aͤnderlichen Groͤßen, §. 77. 78.
a. Begriff der von einander unabhaͤngigen Groͤßen, §. 77.
b. Erklaͤrung der Funktionen zweyer oder mehrerer ver⸗
aͤnderlichen Groͤßen, §. 78.
2. Eintheilung der Funktionen zweyer oder mehrerer ver⸗
aͤnderlichen Groͤßen, §. 79 — — 87. H
a. Eintheilung, die dieſen Funktionen mit den Funktio⸗
nen einer veraͤnderlichen Groͤße gemein iſt, §. 79 —
kie — 292. Hiernach ſind ſie
e. „. .. in Anſehung der Operationen, durch welche die ver⸗
aͤnderlichen und beſtaͤndigen Groͤßen in ihnen mit

— einander verbunden ſind,
aa. algebraiſche, §. 79., und dieſe wieder
genm n 2a. rationale, ganze entweder oder gebrochene,
eus il gs. irrationale Funktionen, §. 80.
4 f bb. tranſcendente, §. 79.
g. in Anſehung des Werthes, welchen ſie bey Beſtim⸗
loſen mung der in ihnen vorkommenden veraͤnderlichen
Groͤßen enthalten,
dan W aa. einfoͤrige,]
inn bb. bieliormige, F. §. 81. 82

4

77 Zuſite zum funften Capite

b. Eintheilung, die dieſen Sunktionen allein iukommt,
§. 83.
6. in homogene,
g. in heterogene Funktionen, §. 33.

3. Betrachtung der hieraus ſich ergebenden Unterarten der
Funktionen zweyer veraͤnderlichen Groͤßen, F. 84 – 95.
a. von den homogenen Funktionen zweyer veraͤnderl lichen

Groͤßen, §. 84 — 91.
2. Arten derſelben, §. 84 — 87.
aa. ganze, §. 84.
bb. gebrochene, §. 8ö8.
ecc. irrationale, §. 86. 97.
«a. entwickelte, §. 86.
e. verwickelte, §. 87.
86. Verwandlung derſelben, F. 88 — 91.
aa. durch Subſtitution, §. 88. 89.
ℳℳ. der homogenen Funktionen zweyer veraͤnder⸗
lichen Groͤßen uͤberhaupt, §. 88.
68. der homogenen Funktionen zweyer veraͤnder⸗
lichen Groͤßen von der Dimenſion o, §. 89.
bb. durch Aufloͤſung in Faktoren von der Form
« u † 8β, §. 90. 9I.
b. von den heterogenen Funktionen, §. 92. 93.
ℳ* Eintheilung derſelben, §. 92.
g. Verwandlung derſelben durch Subſtitution in ho⸗
mogene Funktionen, §. 93.
c. noch einige andere Eintheilungen der Funktionen zweyer
veraͤnderlichen Groͤßen, § 94. 95.
«“. Eintheilung dieſer Funktionen uͤberhaupt nach Ord⸗
nungen, §. 94.
68 Eintheilung der een Funktionen in complere und
incomplexe. §. 95.

VI.

od

7. Ve
4,B

ter
et
d. We

e. G

K

6.

2 Von

4. V.

Mnn,
3 Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel.
A. Inhalt dieſes Capitels.
Von den Exponential ⸗Groͤßen und den
Logarithmen.
1. Von den Exponential Groͤßen, §. 96 — foOI.
a. Begriff der Exponential⸗ ⸗Groͤße, und dabey zugleich,
warum dieſe Groͤßen an dem gegenwaͤrtigen Orte un⸗
terſucht werden, ſo wie auch, was fuͤr welche betrach⸗
herane⸗ tet werden ſollen, §. 96.
b. Werthe der Exponential⸗Groͤße, as, 5§. 97 — 99.
warde⸗ 2. bey Beſtimmung des veraͤnderlichen Erponeaten 1,
69 § 97.
Ne SNn . aus dem Werthe, der a beygelegt wird, §. 98. 99.⸗
aa. wenn a poſitiv genommen, §. 98.
. bb. wenn a = o, und wenn es einer negativen
Groͤße gleich geſetzt wird, §. 99.
in i c. Betrachtung der Gleichung y = a? fuͤr den Fall, wenn
4 a eine poſitive Zahl bedeutet, die groͤßer als 1 iſt,
n wege §F. 100. 101l.
ℳ. allgemeine Beſtimmung de der e Werthe, die y erhalten
nech kann, §. 100.
g. uͤber die Art, wie darin y von 2 abhaͤngt, K.1 101.
e 2. Von den Logarithmen, §. 102 — 113.

a. Von den Logarithmen uͤberhaupt, §. 102 — 106.
Gg 4 ..

472 Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel.

2. . Erklörung der Logarithmen und der Baſis derſel⸗
ben, §. 102.
8. Erfindung der Logarithmen, . 103 – 106.
aa. wenn ſie aus den gegebenen Dingen genau,
I0O3. 104.
bb. wenn ſie nur naͤherungsweiſe gefunden werden
koͤnnen, §. 105. 106.
b. Von den logarithmiſchen Syſtemen, §. 107 — 1II3.
2. Wieviel logarithmiſche Syſteme moͤglich ſind, F. 107.
8£. Verhaͤltniß der Logarithmen zweyer Zahlen in zwey
logarithmiſchen Syſtemen, §. 108.
v. Verfertigungs⸗Art der logarithmiſchen Syſteme,
d. Nutzen derſelben, §. 110.

c. Von dem gemeinen logarithmiſchen Syſteme insbe⸗
ſondere. §. 112. 113.

B. Zuſatz zu §. 97.

1. Es iſt in der vorhergehenden Tabelle bemerkt wor⸗
den, daß Euler in dem gegenwaͤrtigen §. bloß von den
Werthen rede, welche die Exponential⸗Groͤße a⸗ bekommt,

wenn fuͤr 2 beſtimmte Werthe geſetzt werden. Es muß alſo

a hier ganz allgemein betrachtet, oder weder poſitiv noch

negativ, ſondern abſolute genommen werden; und da

fraͤgt ſich denn: Ob mit Recht behauhztet werden koͤnne,

daß die Werthe Wa, Va, Waa, Wa, Va⸗ ꝛc. viel⸗
fach ſeyn, und a * ſowohl = aa V-a als = = † a a T2
geſetzt werden muͤſſe? e? Da die Beantwortung dieſer Frage

den Grund enthaͤlt, warum man von den mehrern Wer⸗

E

then der Groͤßen Va, Va, Vaa, Va, Va c., a*
cc. nach Eulers Behauptung jedesmal nur die Haupt⸗

werthe

nonftn
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ptung
Abſot
aber
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3.
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Nuden e

161 4
75 % M.

Nen

Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel. 473

werthe, d. h. die reellen und poſitiven nehmen muß, und
zugleich auf die Umſtaͤnde fuͤhrt, unter welchen man dies
zu thun hat, (denn es wird ſich nachher zeigen, daß es
nicht allemal geſchehen darf): ſo iſt dieſelbe ohnſtreitig
ſchon dadurch wider den Vorwurf der Unnuͤtzl lich eit ge⸗
ſchuͤtzt, es werden ſich aber daraus in der Folge noch wich⸗

tigere Vortheile ziehen laſſen.

2. Wenn ganz allgemein behauptet werden kann . daß
man fuͤr A, was fuͤr eine Groͤße es auch vorſtellen mag,
auch allemal † A ſetzen koͤnne: ſo iſt auch Eulers Behau⸗
ptung von den vielfachen Werthen der im vorhergehenden
Abſatze angefuͤhrten Groͤßen ohne Einſchraͤnkung richtig;
aber dann ſcheint es wenigſtens etwas willkuͤhrliches an
ſich zu haben, daß man von dieſen mehreren Werthen
jedesmal nur die poſitiven und reellen nehmen ſoll. Dies
beſtimmt den Punkt, von welchem bey der gegegenwaͤrti⸗
gen Unterſuchung ausgegangen werden muß.

3. Wenn Groͤßen poſitiv oder negativ genommen, und
alſo ihren Conſtructionen die Zeichen † und — vorgeſetzt
werden, ſo geſchiehet ſolches eigentl lich deswegen, weil man
bey ihnen außer ihren weſentlichen ( Eigenſchaften eine zu⸗
faͤllige Beſchaffenheit unter zwey einander entgegenſtehen⸗
den Bedingungen auf die Art betrachtet, daß man von die⸗
ſen Bedingungen bald die eine, bald die andere ſtatt finden
laͤßt. Bey geraden Linien, bey den bewegenden Kraͤften,

bey den Exponenten der Dignitaͤten u. d. gl. nimmt man

dieſes ſehr bald und aufs deutlichſte wahr. Hiernach wei⸗

ſen alſo die Worte poſitiv und negativ, und die Zeichen †

und — eigentlich auf etwas hin, was man ſich ohne ſie
nicht gedacht haben wuͤrde; und wenn man folglich das

Groͤßen abſolute betrachten nennt, wenn man bloß ihre we⸗

ſentlichen Eigenſchaften in Erwaͤgung zieht, und dabey die
Gg 5 Ab⸗

2–

4274 Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel.

Abweſenheit der Zeichen † und — vor ihren Conſtruttio⸗
nen (Ausdruͤcken durch allgemeine Zeichen) ein Kennzeichen
ſeyn laͤßt daß dieſe Groͤßen abſolute betrachtet werden ſol⸗
len; ſo iſt klar, daß die abſoluten Groͤßen jedesmal von den
poſitiven unterſchieden werden muͤſſen, und daß man alſo
eigentlich, und bey allgemeinen Betrachtungen nie berech⸗
tigt iſt, A und † A als einander vollkommen gleich anzu⸗

ſehen, und daher beyde Bezeichnungen mit einander zu

verwechſeln.

4. Das kann hierwider kein Einwurf ſeyn, daß man,
wenn zwey abſolute Groͤßen A und B zu einander addirt
werden ſollen, ſolche auf die Art neben einander zu ſetzen
pflegt, daß man vor die zweyte das Zeichen ? ſchreibt.
Denn in dem Ausdrucke A † B, als dem Ausdrucke einer

Summe der beyden abſoluten Groͤßen A und B, gehoͤrt das

Zeichen ſ nicht eigentlich, ſondern nur in ſo fern zu B als
es mit A die ſummirenden Theile einer dritten Groͤße aus⸗
macht, und ſteht alſo hier ſchon in einer uneigentlichen oder
abgeleiteten Bedeutung. Die urſpruͤngliche oder erſte Be⸗
deutung der Zeichen ſowohl als der Woͤrter iſt nemlich alle⸗
mal die, woraus ſich alle uͤbrigen Bedeutungen als Arten

aus dem Geſchlechte ableiten laſſen, und darnach waͤre es

ſehr unrecht, die Bedeutung der Zeichen und —, nach
welcher ſie Zeichen der Addition und Subtraction ſind, zu

der erſten und urſpruͤnglichen Bedeutung dieſer Zeichen

machen zu wollen. Da man aber bey allgemeinen Unter⸗
ſuchungen allemal die allgemeinſten Begriffe zum Grunde
legen muß, und das Allgemeine auch in allem ihm unter⸗
geordneten Beſondern anzutreffen ſeyn muß, ſo erhellet,

daß man von den Zeichen † und — nichts allgemein be⸗
haupten darf, was ihnen nicht als Zeichen des Poſitiven

und Regativen zukommt, und zugleich, daß man dieſe Zei⸗
chen

ce ahene

lelcten k
6 Es dr

e zufällis

ftuttion ſi

eeſt nach d

der Zeichen

“ Groͤhen, 1

noch ihnen
dieſen Zeich
Zeichnungen

en Follen

ſetzte, ſon

„
1B1V
I

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fönnte. A⸗

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1 geic en
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n, Wun
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,thort do
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dele aut⸗
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der eſte de
nunlih ale
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ac wole
end=, Nh
Nirn id ,
dieſe
1 hunde
nin uie⸗
, ahelet
Alnen d
ree NChnn

Vorausſetzung, wenn An = = C waͤre, AN =

Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel. 475

chen allgemein als Zeichen d des Poſieiv tiven und Negativen
betrachten koͤnne.
5. Es drucken alſo die Zeichen und — — allezeit bloß
eine zufaͤlli ige Eigenſchaft der Groͤßen aus, vor deren Con⸗
ſtruction ſie ſtehen; und da man das Zufaͤllige am beſten
erſt nach dem Weſentlichen betrachtet, ſo bedient man ſich
der Zeichen und — auch am beſten ſo, daß man die
Groͤßen, zu deren Conſtructionen ſie gehoͤren, erſt dann
nach ihnen beſtimmt, wenn man jene zuvor nach allen außer
dieſen Zeichen in den Conſtructionen vorkommenden Be⸗

zeichnungen entwickelt hat. Waͤre es daher auch in man⸗

chen Faͤllen vollkommen gleichguͤltig, ob man A oder † A

ſette, ſo muß man doch aus dem angefuͤhrten Grunde nie
m

z. B. † WA mit . († 4) und eben ſo wenig † An mit

mn

(† A) verwechſeln, ob man gleich unter der angefuͤhrten

in im

—

koͤnnte. Ausdruͤcke alſo wie † An muß man 49 verſtehen,
in
daß man das Zeichen † als zu An und nicht als zu A ge⸗
hoͤrig betrachtet, und außerdem auch nie † A fuͤr A ſetzen,
außer wenn A als ein ſummirender Theil neben einem oder
mehrere andere ſummirende Theile einer dritten Groͤße ge⸗
ſetzt werden ſoll.

6. Hat man alſo ein Recht, Ausdrucken, wie 7 A,

in

— Nmn
An, A vielfache Werthe beyzulegen? Wenn man auch
jedem dieſer Ausdruͤcke an und fuͤr ſich genommen das Zei⸗
chen † vorſetzen duͤrfte, ſo muͤßte man nach dem de he⸗
Z ge vRe

476 Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel.
gehenden doch dafuͤr 1 VA, † An, 1 4 und nicht

VCX†A) († A), († 1)7
ebenfalls nach MUã Abſatze in die Augen,

1
1
n m

daß zwar die Werthe von V († A), (T A),/(†. A) „

in
vie lfach ſind, nicht aber die Werthe von † vA, † An,
n
†* A So iſt alſo auch a⸗ a
aa a, nicht aber = — aa Va-

*

7. Wenn man die Bedeutung der Zeichen und —

nicht auf die Art beſtimmt, als es bisher geſchehen iſt,
und folglich auch ohne alle Einſchraͤnkung A und † A als
gleichguͤltige Bezei chnungen betrachtet, ſo wird es noth⸗

e : daß man von den mehrern Werthen der Aus⸗

druͤcke MA, A , A „ wenn man dieſelben in fernern

3 Rechnungen gebrauchen will, bloß die poſitiven und reellen

Werthe nimmt. Denn wollte man ſolches nicht thun, ſo

11

wuͤrde nicht A4 =— Am geſetzt werden koͤnnen, weil ſonſt eine

und dieſelbe Groͤße mehrern von einander verſchiedenen,

und eine moͤg liche Groͤße ſelbſt unmoͤglichen Groͤßen muͤß te
gleich ſeyn koͤnnen. Aber auf dieſe Art bleibt doch wenig⸗

ſtens in der Folge noch manche anderweitige Schwierigkeit

üͤbrig, die ſich ſehr leicht wird heben laſſen, wenn man

die abſoluten G Groͤßen allemal von den poſitiven unterſchei⸗

det, und nur dann A und †A als gleichguͤſtige Ausdruͤcke

anſieht, wenn das Zeichen † wegen der ſtatt findenden be⸗
ſon⸗

greiben, und da faͤllt denn

= Fia a zwar =taa a⸗

ſoſten n
Jiitm des
6 ht
glag zuſe

Wemm
bey den ,n
wee ſolches
ligen in der
maß mon,
in dem vor
obachten
als ein be
e hoſcthven
Verden ar
was der geg⸗
n hekowent
weill er die
ſcheidet 9
Orte u men
tückkringen.

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poſttiven .
r zwey in

he haben ?
Nerochenen

die Beſtinmn

I1. Wen

fange in

WA 1A
e=fuſi⸗

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1 ſeſchehen iß⸗
AInd 14 d6
id & wh⸗
en e Me

n ir ,uren
n und tetlen
ſihr hen, 4
wenſoſttn
8 erchiednen,
Gicſen nitt⸗
t oc wenig⸗
Schrietig lel
, venn
Cen vnteeſ lſcte⸗
ge Uuce

tov

Zuſͤtze zum ſechsten Capitel. 477

ſondern Umſtaͤnde mehr das Zeichen der Addition, als das

Zeichen des Poſitiven iſt, oder der Conſtruction vor welcher
es ſteht, wenn man ſie allein nimmt, keine neue Beſtim⸗
mung zuſetzt.

C. Zuſatz zu §. 98.
Wenn die Werthe von a⸗ betrachtet werden ſollen, die

bey den fuͤr a moͤglichen Subſtitutionen ſtatt finden koͤnnen,
wie ſolches wegen des Gebrauchs, der von dem Gegenwaͤr⸗

tigen in der Folge gemacht wird, allerdings noͤthig iſt, ſo

muß man, wenn man alle Faͤlle nehmen, und dabey die
in dem vorhergehenden Zuſatze feſtgeſetzten Unterſchiede be⸗
obachten will, fuͤr a erſt die abſoluten Zahlen, wobey a = o
als ein beſonderer Fall angeſehen werden kann, und dann
die poſitiven, und nun erſt die negativen Zahlen nehmen.
Werden fuͤr a die abſoluten Zahlen geſetzt, ſo ſindet man,
was der gegenwaͤrtige §. enthaͤlt. Von den Werthen, die
a? bekommt, wenn man a poſitiv nimmt, ſagt Euler nichts,
weil er die abſoluten Zahlen und die poſitiven nicht unter⸗
ſcheidet. Was von dieſem Falle an dem gegenwaͤrtigen
Orte zu merken iſt, laͤßt ſich auf folgende Behauptung zu⸗
ruͤckbringen. Nimmt man a poſitiv, ſo hat a⸗, wenn ⸗
eine ganze poſitive Zahl iſt, jedesmal nur einen und zwar

poſitiven Werth, ſo wie, wenn 2 ein poſitiver Bruch iſt,

2 zwey und mehrere, und darunter auch unmoͤgliche Wer⸗
the haben kann. Setzt man: einer negativen ganzen oder
gebrochenen Zahl gleich, ſo iſt leicht einzuſehn, daß dann
die Beſtimmung der Werthe von a⸗ noch ſchwieriger wird.

D. Zuſatz zu §. 99.
I. Wenn man à in a⸗ negativ ſetzt, ſo faͤllt ſogleich im

Anfange in die Augen, daß die Unterſuchung dieſer Groͤße
auf

428 Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel.

auf keine brauchbare Satze fuͤhre; da aber die Theorie

der Exponential Groͤßen nicht bloß in der Arithmetik, ſon⸗
dern auch in der analytiſchen Geometrie und in der ange⸗
wandten Mathematik gebraucht wird, ſo iſt es zur Ver⸗

meidung aller Schwierigkeiten nicht hinreichend, daß man

a poſitiv ſeyn laͤßt, ſondern man muß daſſelbe einmal abſo⸗
lute nehmen, und dann auch den Fall unterſuchen, wo a
eine Groͤße iſt, bey welcher, außer ihren weſentlichen Ei⸗
genſchaften auch eine ſolche zufaͤllige Beſchaffenheit betrach⸗
tet wird, als zu entgegengeſetzten Groͤßen erforderlich iſt.
Laͤßt man nun a eine abſolute Zahl bedeuten, die groͤßer
als 1 iſt, denn bey dieſem Falle kann me hier aus den
von Eulern angefuͤhrten Gruͤnden allerdings ſtehen bleiben,
ſo hat a⸗ fuͤr jeden moͤglichen Werth von nie mehr als

einen, aber allemal reellen und abſoluten Werth, und da⸗

nZ

bey iſt es zugleich erlaubt, fͤr a?, an oder Wa? zu ſetzen.

Dies letztere darf man nicht, wenn a poſitiv genommen
wird, weil, wenn dabey a? einen Werth hat, der Groͤße
22
a ! allemal n Werthe zukommen maͤſſ en, obgleich darunter
mehrere imaginaͤr ſind. Hieraus erhellet ſchon die Noth⸗
wen digkeit der Unterſcheidung zwiſchen a abſolute und a
poſitiv genommen, wenn die Theorie der Exponential Groͤ⸗
ßen von allen Schwierigkeiten befreyet werden ſoll, zumal
da es, wie ſich in der Folg ge zeigen wird, nicht hin laͤnglich

n Z

iſt, zu ſagen, daß man von den mehrern Werthen von a n
jedesmal nur den poſitiven und reellen nehmen muͤſſe. Ue⸗
brigens gilt fuͤr den Fall, wenn a eine abſolute Zahl und

groͤſßer als 1 iſt, alles das was Euler in gegenwaͤrtigen §.

geſagt hat.

19
12
1 ber⸗
en koön
Erpone
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thenton2

4

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ite Zi id

gennithen

. .

Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel. 479

2. Nimmt mana nicht abſolute, und ſoll dabey a- mit
an perwechſelt, und folglich auch a; fuͤr a geſetzt wer⸗
den koͤnnen, welches allerdings, wenn man die Theorie der
Exponential⸗Groͤßen allenthalben ohne Schwierigkeit ge⸗
brauchen will, nothwendig iſt; ſo muß, da n auch jede
gerade Zahl bedeuten kann, a⸗ fuͤr jeden Werth von 2 zwey
reelle entgegengeſetzte, ſonſt einander gleiche, und außerdem
noch jede beliebige Anzahl unmoͤglicher Werthe haben. Ob
man in dieſem Falle a poſitio oder negativ annimmt, iſt
gleich, eigentlich aber darf man dieſe beyden Faͤlle nicht
von einander unterſcheiden, ſondern muß ſie ungetrennt
laſſen, und das Allgemeine zum Grunde legen. Sobald
man fuͤr a eine Groͤße ſetzt, die ſich nicht abſolute betrach⸗
ten laͤßt, ſondern wo man zugleich auf eine zufaͤllige Be⸗
ſchaffenheit unter zwey entgegenſtehenden Bedingungen auf
die Art ſehen muß, daß man darin bald die eine bald die
andere ſtatt finden laͤßt, wie dies der Fall iſt, wenn a eine ge⸗
rade Linie bedeutet, und ar geometriſch conſtruirt wird: ſo
zeigt ſich die Richtigkeit dieſer Behauptungen in den ge⸗
dachten geometriſchen Conſtrucetionen auf eine ſehr deutliche
und unwiderſprechliche Weiſe.
3. Bey der Lehre von den Logarithmen, welche Euler
in dem 102ten §. vorzutragen anfaͤngt, wird ſich Gelegen⸗
heit finden, die bisher uͤber die Werthe von a in der Er⸗
ponential⸗Groͤße a⸗ vorgebrachten Behauptungen anzu⸗
wenden. Da aber dazu manches aus dem folgenden Ca⸗
pitel erforderlich iſt, ſo will ich, um das, was ich von den
Logarithmen zu ſagen habe, nicht zu trennen, ſolches uͤber⸗
haupt bis zu dem Zuſatze zu dem folgenden Capitel verſpa⸗
ren, der die Ueberſchrift, Von den Logarithmen, fuͤhrt.

„=
Wikft!! SSS
. R 1 Si. D
RN S
c S S SSð
SM
„ N 2 M 7
NV 72 αR 1 Sch,
Je 10
8 —
8, S“ —

VII.
Zuſise zum ſiebenten Capitel.

A. Inhalt dieſes Capitels.

Von det Entwickelung der Exdonential⸗
Groͤßen und der Logarithmen durch
unendliche Reihen.

1. Von der Entwickelung der Erponential⸗ Groͤßen durch
Reihen, §. 114 — 117.
aa. Einige vorlaͤufige Saͤtze, §. 114.
b. Entwickelung der Exponential⸗Groͤßen durch unend⸗
liche Reihen, F. II5 — 1II7 und 125.
„. ohne Logarithmen, §. 115. 116.
8. mit Huͤlfe der Logarithmen, §. II17.
. mit Huͤlfe der natuͤrlichen Logarithmen, §. 125.
2. Von der Entwickelung der Logarithmen durch Reihen,
§. 118 –— 125. und zwar
a. der Logarithmen uͤberhaupt, §K. 118 — 121.
b. der natuͤrlichen Logarithmen, §. 122 — 123.
c. Vergleichung der natuͤrlichen Logarithmen mit den
gemeinen, §. 12z33.

B.

1.Me.
Lerhaͤni
Rutzens,
kann, we
bedeutet,

ſchraͤnkn⸗
ſolute Jah
nW

—

1 iſt,

ann hloß
nm.
17 e
ol n ein
ſehn kann:
Gebrauch
worin d
Ohut me
die gering
A:
ſeten; r
negotide
die Sis
gerithme
dos in me
kung von
Capitel
Saͤge de

e geleg

Eulers

Zuſaͤtze zum ſebenten Capitel. 481

B. Von den logarithmen.

1. Man mag die Logarithmen als Exponenten oder als
Verhaͤltnißzahlen anſehen, ſo faͤllt ein großer Theil des

Nutzens, den man von Logarithmiſchen Tabellen haben

kann, weg, wofern man nicht, wenn m einen Logarithmen

bedeutet, dafuͤr auch allemal und ohne die geringſte Ein⸗
in .
ſchraͤnkung n ſetzen kann. Da alſo nur, wenn a eine ab⸗
ſolute Zahl bedeutet, ohne alle weitere Bedingung am =
n n

a n iſt, hingegen, wenn a nicht abſolute genommen wird,
nm— .

am bloß dann an gleich geſetzt werden kann, wenn von
a n allein die reellen Werthe genommen werden, und im
Fallen eine gerade Zahl iſt, am ſowohl poſitiv als negativ
ſeyn kann: ſo iſt es ohnſtreitig am beſten, zum allgemeinen
Gebrauch ein ſolches Logarithmiſches Syſtem zu waͤhlen,
worin die Baſis abſolute angenommen worden iſt.
Thut man nemlich dieſes, ſo kann man allemal und ohne
die geringſte Einſchraͤnkung nicht nur ar as = ar†s;
n r
ar: 38 = ar-s; ſondern auch (ar)n = anr, und Var = a n

ſetzen; r und s moͤgen ganze oder gebrochene, poſitive oder

negative Zahlen bedeuten, und dies ſind bekannter Maaßen
die Saͤtze, worauf ſich die Regeln des Gebrauchs der Lo⸗
garithmen gruͤnden. Fuͤr dieſen Fall gilt denn auch alles
das in moͤglich groͤßter Strenge und ohne weitere Einſchraͤn⸗
kung von den Logarithmen, was Euler daruͤber im ſechsten
Capitel von §. 102. an geſagt hat, ſo wie dabey auch die
Saͤtze des ſiebenten Capitels nur weniger Zuſaͤtze beduͤrfen,
die gelegentlich hier hinzugefuͤgt werden ſollen.

Eulers Einl. in d. Ansl d. Unendl. I. B. Hh 2.

482 Zuſaͤtze zum ſi ſi ebenten Capitel.

2. Bedeutet nun a eine abſolute Zahl, die groͤßer als 1

iſt, und wird dabey » und . ſo genommen, als es Euler

§& II4. gethan hat, ſo kann man allemal, wenn nur n
S 1I1

groß genug geſetzt wird, auch a“ = a “ ſetzen, und dann
erhaͤlt man aus a“ = I † ka, da nun - = 7* iſt,
.
7 1
a?*“ = I†k 7* „und hieraus
F =S — = = — . 2

n

Wird hier a einer beſtimmten Zahl gleich geſetzt, ſo findet

man nach dieſer Formel ebenfalls einen beſtimmten Werth

fuͤr k, und ſie druckt daher die Art, wie k von a abhaͤngt,

und welche Euler in dem Exempel bey §. 114. in einem
einzelnen Falle dargeſtellt hat, allgemein aus. Betrachtet
man hingegen kↄ als bekannt, ſo erhaͤlt man daraus zur Er⸗
findung von a aus k die Fernel

K) 3,
a = (1 1

3. So wie LRuler P= k = geſetzt hat, ſo kann man auch

„ F ſetzen, und dann erhaͤlt man aus a“ = 1 †

wenn man a die Baſis eines Logarithmiſchen Syſtems

2„ ſeyn laͤßt

=
1V — ler † 1)
1
Macht man alſo 1 † °= gn welhes allemal moͤglich iſt
wo⸗

G
welche
eine n
Als ma
4 .
ches hie

ſoword

nehmen

Kaiche⸗
Nicht
trachte
demnaa
garithin.
terſchi
Rrithen
als 1
Hieran
rithmen
ſeider

un Nur n.

1
l

muus ur

m mnl,

Zuſoetze zum ſiebenten Capitell. 483

wofern nur n groß genug genommen wird, und f eine ab⸗

ſolute Zahl bedeutet, die groͤb er als 1 iſte ſo wird dNe *

——

f2 — 1, und man hat folglich
1 1

16² = 1 (6²² — 1), und hieraus
1 D

1 = †+ 2 (7 — 1).

Iſt alſo k bekannt, ſo hat man hierin eine Formel, nach

welcher man den Logarithmen jeder Zahl, wenn gleich auf
eine weitlaͤuftige Art, doch allemal ſo genau finden kann,
als man will.
4. Da An, wenn n eine ganze Zahl iſt, ſo wie man ſol⸗
ches hier annehmen muß, allemal eine gerade Zahl wird,
1

ſo wuͤrde, wenn man f in f nicht abſolute, ſondern poſitiv

en ,
nehmen wollte, k zwey entgegengeſette ſonſt einander
25

gleiche Werthe haben, und folgli ch † f— I und — V f— I
nicht nur einander entgegengeſetzt, ſondern, abſolute be⸗
trachtet, auch um zwey unteſſchieden ſeyn. Es wuͤrde
demnach jede ganze poſitive Zahl außer einen poſitiven Lo⸗
garithmen auch einen negariven von jenem der Groͤße nach
unterſchiedenen Logarithmen haben, und die negativen Lo⸗
garithmen folglich auch dann, wenn die Baſis groͤßer
als 1 waͤre, nicht bloß zu den aͤchten Bruͤchen gehoͤren.
Hieraus erhellet, daß man in der Lehre von den Loga⸗

rithmen das Abſolute von dem Poſitiven ſorgfaͤltig unter⸗

ſcheiden muͤſſe. ””M

484 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel.

5. Da nach Abſatz 2 ebenſowohl a aus k als k aus a
gefunden werden kann, ſo iſt es, uͤberhaupt genommen, will⸗
kuͤhrlich, ob man bey einem Logarithmiſchen Syſtem einen
beſtimmten Werth von a oder von k zum Grunde legen
will. Thut man das letztere auf die Art, daß man k = 1
ſetzt, ſo faͤllt in die Augen, daß dadurch die Beſtimmung
der Logarithmen am allereinfachſten, und folglich auch das

darauf ſich gruͤndende Syſtem im Allgemeinen unter allen
das brauchbarſte ſeyn werde. In dieſem Syſteme, welches

man bekannter Maaßen das Syſtem der natuͤrlichen Loga⸗
rithmen nennt, daher

= (1 T† * = 2,71 828182 8459.....

und dieſen Werth findet man deſto genauer, je groͤßer man
n annimmt. Ferner wird darin
X.

I1f = 29 (f2 — 1)

und man findet aus den Logarithmen dieſes Syſtems die

Logarithmen jedes andern Syſtems, wenn man aus der
Baſis dieſes letztern Kk nach Abſatz 2 entwickelt, und darauf

jene Logarithmen durch k dividirt, oder mit multiplicirt.

6. Es waͤre indeß ſehr unbequem „wenn man die Loga⸗
rithmen aller Zahlen, wenigſtens aller einfachen Zahlen

bloß nach der ſo eben gefundenen Regel berechnen ſollte, ja

es iſt darnach die Erfindung der Logarithmen kleiner Zah⸗
len ſchon eine beſchwerliche Sache. Man kann ſich hier⸗
von, wenn man will, durch die Berechnung des Logarith⸗

men der Zahl 5 uͤberzeugen, welche man in des Hrn. Ober⸗

Baurath Schulze Taſchenbuche fuͤr diejenigen, ſo gruͤnd⸗
liche Anwendungen der Meßkunſt zu machen ſich vorſetzen,
Serlin 1782 und d 1783, und zwar im zweyten Hefte S. 47
. bis

sf
Ninal
Piherie
ſehrung
gorithrr
die dog
ſuchen.
76
ie Me
hat, und

—

iſt. D

lſo allen

unterſcht

Live klei

veiter n

außerdem

8. n

Aras
mnn v

nan en N N
A ul

Cutgice.
n de dae

lin gl⸗

n i he⸗:

bantth

Zuſuͤtze zum ſiebenten Capitel. 485

bis 52 findet, und doch iſt dieſer Logarithme nur bis auf 7

Decimal⸗Stellen geſucht worden. Man muß daher das

Bisherige vorzuͤglich gebrauchen, um daraus kuͤrzere Ver⸗

fahrungsarten abzuleiten, und am beſten iſt es, fuͤr die Lo⸗
garithmen kleiner, fuͤr die Logarithmen groͤßerer, und fuͤr
die Logarithmen ſehr großen Zahlen deſondere Regeln zu
ſuchen. .
7. Fuͤr die Erfindung der Logarithmen kleiner Zahlen iſt
die Regel ſehr brauchbar, welche Euler §. 123 mitgetheilt
hat, und wornach
11 =— 20X — † 5 † X7 24 1† 10.)

1— X 3 5 7 ₰₰.
. I † X
iſt. Denn ſetzt man — = n, ſo wird B

n — I.

X = —— ; 22

alſo allemal ein Bruch, deſſen Zaͤhler und Nenner um zwey
unterſchieden ſind, und deſſen Dignitaͤten daher, wenn n

eine kleine Zahl iſt, bald ſo klein werden, daß man nicht

weiter noͤthig hat, ſie in Anſchlag zu bringen, zumal, da

außerdem von jedem xn nur genommen werden duͤrfen.

8. um dieſe Regel aus der Abſatz 5 gefundenen Harmet

. 1I S

1f= E — 1 abzuleiten, ſo ſeo f f= I R xX, und

nmn = ſo daß m einen ſehr kleinen Bruch bedeute. Als⸗

denn HDM nach der angefuͤhrten Formel

Irt= I = tt in e⸗
m ImI 1. 2
— (m— — 1) (m — 2 .
(m I1 (m 23 4 C 1 AKm= 2 Q m — 3 xX4 † ꝛc.
1. 2 . 3 1. 2. .3 . 4
h 3 Da

S ℳ . . 4

486 Dne zum ſiebenten Cantek.

I m– 2 2 m —
Da ſich aber — don — 2 —– — von — , — 3
I . 2 4 2 3 3 4

von — 2 deſto weniger unterſcheidet, je groͤßer man n

annimmt, und man hier n uͤber alle Grenzen wachſen oder
unendlich groß annehmen kann: ſo erhaͤlt man durch die

Subſtitution dieſer Werthe anſtalt der vorhergehenden

Deſtimmung .

X2 Kkx3 X ℳ4 X §£ X6 X7
I4 = 101 T2) = x - 2 + – —- — † — — – † — — tc.
2 3 4 4 5 6 7

9. So wie man aber bey den §. 114. angenommenen
I
E
Bedeutungen der Buch ſtaben k und ꝙ, a = I † ſetzen

kann, wenn a eine Zahl bedeutet, die groͤßer als 1 iſt: ſo
1

kann man auch = I — & ſetzen, wenn e kleiner als 1,
oder ein aͤchter Bruch iſt, und k und die erwaͤhnte Be⸗

deutung behalt en. Laͤßt man alſo a die Baſis eines Loga⸗

rithmiſchen Syſtems, und 2 = . ſeyn, ſo hat man daher

— — I01 —
( P)

und fuͤr die hyperboliſchen dogarithmen, wo k = 1I iſt,

— Y = I((1 — )
8 nun g ein aͤchter Bruch, ſo kann man allemal
g. = 1 — †
ſetzen, und daraus wird denn
T

Hier⸗

Hiemn
“

und es

5, deß
der Loga

10.
ein ach
nommne

dder, de

—— 1
3

=

Nimmt.

iuſammen
. X

—

Bruch P
Saͤte

fſeiner li,,

.*; Ne N
S
.

Mur Aer

Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 497

Hierdurch aber verwandelt ſich die Formel — =

1(1 — 78 in
1 L
Zan Een
19 = g — 1
und es wird daher
T

1g = 2 (4 — 1)
ſo daß die Abſatz 8 gefundene Formel auch fuͤr die Erfin ndung
der Logarithmen der aͤchten Bruͤche gilt.
10. Dies vorausgeſetzt, ſo ſey g = 1I — x, und alſo
ein aͤchter Bruch. Dann iſt, wenn m die Abſas 8 ange⸗
nommene Bedeutung behaͤlt,

m m 1.2
m-– I)m — 2) m — I1) (m – 2 (m=–
X 3 † — . 4 X4 — 2c.
I . 2 . 3 1 2 3 „ 4
oder, da man auch hier — 1;
a — = — —; =—
. 1.2 2 3
— — ꝛc. ſetzen kann
3
2 X 3. X * *
ig = I(r — K) =ι — X — — — — — — —- — —
2 3 4. 5
XN6G6
6 — co.

Nimmt man nun dieſe Formel mit der Abſatz 8 efundenen

zuſammen, ſo erhaͤlt man daher

1 X3. XxS§. X7 xXx2 X
= E † — † † — † — † — r ꝛc.·
— 3 5 7 9 11

1II. Da X bey den gefuͤhrten Beweiſen als ein aͤchter
Bruch betrachtet worden iſt, ſo muß man die gefundenen
Saͤtze auch nicht weiter als auf die Faͤlle ausdehnen, wo X
H h 4 eine

4888 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel.

eine ſolche Bedeutung bekommt; und wenn dieſelben bey
Vernachlaͤßigung dieſer Regel auf paradoxe Folgen fuͤhren,

ſo iſt die Schuld nicht ihnen, ſondern der unrechten An⸗
wendung, die man davon macht, zuzuſchreiben. Setzt

I †

man z. B. — = — 2, ſo wird 1 † K = — 2 † 2,
und folglich x = 3. Hiernach haͤtte man
I † X 27 243 2187
1—— — 1 — 2 = 20 — † — † — — † ꝛc.)
— 3131 . . † ꝛc.)

und doch wird behauptet, daß der Logarithme jeder ne⸗
gativen Zahl unmoͤglich ſey. Ferner erhielte man, wenn
man in der Formel
3 X2 X3 xA4 xf—
1(1 – 2) = — (X † — † — † — † — † ꝛc.
aA— - . I t =— 1 1t)
X = 2 ſetzte,

1er — X) = 1 — 1 -— 2 — — — — 22 — ꝛc.

und ſetzte man darin = 3/ ſo wuͤrde

10 — X) = 1 — 2 = — (3 2 4. 27 f. 81 243 f. .)
2 3 4 5
Aber was fuͤr Folgerungen wuͤrde die Vergleichung dieſes
und des vorhergehenden Logarithmen von — 2 an die
Hand geben? ?ZM

2. uebriges laͤßt ſich bey den Abſatz 8 und 10 gefuͤhr⸗

ten Beweiſen daher nicht der geringſte Grund zum Ein⸗
wurfe wider die Strenge dieſer Beweiſe nehmen, daß
darin —— = 2, n — 2 2

— — —, — = — M ꝛc. geſetzt wor⸗

2 3

den. Denn es wird ja = — um ſo mehr = —

— je groͤßer p wird, und bey den Abſatz 8 angenomme⸗

nen

Bed
n-—

5
ſeiner r

Einwurf

Mtung

deutet,

onne, e
ſnde, wr
dern N
Aeiaſ

denn de

fenigſen

Van mnog
ſur die
den

die dora

13
lſen ſch
gefunden

Ausdruͤe
herous

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3

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Gten gn⸗
R. ut

WIE

1
*
7 1./

er de

umn, don

Ar
nn d
M

dn pi⸗

MWN/,

Sne⸗

Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 489
nen Bedeutungen von m und n kann man ja ſchon
= — — ſetzen, wenn p = 1 iſt, und

kleiner wird es nie angenommen. Etwas mehr haͤtte der

Einwurf auf ſich, wenn man wider die Euleriſche Behau⸗

ptung §. 116., daß man, wenn i eine unendliche Zahl be⸗
i — 1 — 2 i — .
deutet, — — ; 2 = 1 —³ = 1; 2ꝛt. ſetzen
S” 1 i
koͤnne, einwenden wollte, daß dies wenigſtens nicht ſtatt
finde, wenn die bey i in dem Zaͤhler dieſer Bruͤche mit
dem Zeichen — ſtehende Zahl ſelbſt unendlich groß werde.
Allein ſo lange dieſe Zahl eine beſtimmte Groͤße behaͤlt, iſt
denn doch immer — = 1; und dies zugegeben, ſo iſt

k z k222 kK 323 k AZ «4«
wenigſtens a = r 1 1 2 f a † —2 :— tr.,
man mag dieſe Reihe fortſetzen, ſo weit man will, wofern
nur die Anzahl der Glieder eine Zahl bleibt, die ſich ange⸗
ben laͤßt; und dies iſt genug, um ſowohl dieſe Reihe, als

die darauf gebaueten brauchbar zu machen.
13. Fuͤr die Findung der Logarithmen groͤßerer Zahen
laſſen ſich aus den fuͤr 1(1 ) und 101 — X) Abſatz 8 und 10
gefundenen Formeln mit leichter Muͤhe eben ſo bequeme

Ausdruͤcke finden. Denn ſetzt man x = . Rſo erhaͤlt man

daraus
1† D) = † — — † P — P 72 — z.
2 2a 323 5a*
uurnnd
/ 2 3 4
ier-- ) = — GC 1 2 1. zai Ks fa. 1 N 13 1.)
Hieraus aber fließt
Hh è3 1

490 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel.
a Da P=

4
r -
1— . S“õl
4

atn. Ia — y= 2 ( PNr 2, 1 )

der
=1 X1 Y3
WATV) (a „ 12 † 37 . N. sas
und wenn man WD = 1 ſut
at= a „ 2 4 † z⸗ . — 2
So lange man y nicht groͤßer als a annimmt, fließen dieſe
Saͤtze aus den angefuͤhrten in groͤßter Strenge, groͤßer als
a muß aber auch y nie angenommen werden, wenn die⸗
ſelben zu der Abſicht, zu welcher ſie erfunden worden,
brauchbar ſeyn ſollen.

14. Ferner fließt aus icr † E P=1 =I(a † y) — la

y3 „4
X — 22 33 — x.

r

a 2 a?2 3 4A4a 4 .
1a ²) =la 1 . — – 4 „ — X 1
2 a2 3 a3 4 a4 .

und aus der fuͤr 1(1 — 2=1 — 10 — ) — 1 ge⸗

fundenen Beſtimmung
1la — y) = la — 2 12 2 ꝛc.)
Dieſe Formeln ſind ſehr bequem, um darnach die Logarith⸗
men ſehr großer Zahlen zu ſinden. Denn ſo groß eine Zahl
auch immer ſeyn mag, ſo laͤßt ſie ſich doch allemal in zwey
Theite a – 7 theilen, ſo daß a viel groͤßer als y 17 und der
Lo⸗

r
737 )

†P ꝛc.)

—— — ð —

eri⸗

2 M
rhei
cus den

gatithin
IAXV.
wickeln,

finden,

0
ind =

A—

15

d pe⸗

Mon N

11

ſiea de⸗
,Nca
pen N
N
en wordh⸗

)

Zuſatze zum ſiebenten Capitel. 491

Logarithme von a bekannt iſt. So iſt 369423597639425

= 369400000000000 † 23597639425, und wenn man je⸗
nen Theil a und dieſen y nennt, ſo iſt der Logarithme von
a aus den Logarithmiſchen Tafeln bekannt, und um den Lo⸗
garithmen der ganzen Zahl zu finden, darf man von der fuͤr
1(a † y) gefundenen Reihe nur einige wenige Glieder ent⸗
wickeln. Sollte man den Logarithmen von 3694992345682
finden, ſo waͤre es am beſten 3694992345682 —

3695000000000 —–— 7654318 zu ſetzen, 3695000000000 = a,

und y = 7654318 zu nie und dann nach der: Formel

y 3
— y) = la — — † ꝛc.) zu rechnen.
(àa — )) = la (3 1† 2 222 = 1 325 .) zu ch

15. Aus = Abſatz 8 folgt mif = fm — 1,
und wenn man mlf = M ſetzt, ſo wird 1 † M = fm, oder
(1 † M)m = f.

Man ſetze 3 = p, ſo wird

t= i MrrIt . ua= †

M 3 .

p(b — 1) ( — 2)
1 2 3

und hieraus wegen der Bedeutung von — P
den⸗ p5 M5 4 M4
1.2.3 IL. 2, 3.4

f= I † pN 1

M
oder, da p M = —
m

d)⸗ (15)32 (I15)*

= 1 –1t .

Hiernach kann man, wenn ein Logarithme bekannt iſt, aus
demſelben die zu ihm gehoͤrige Zahl ſndenn

= If

16

492 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel.

16. Uebrigens betreffen die bisher gefundenen Saͤtze bloß
die natuͤrlichen oder hyperboliſchen Logarithmen. Will man
ſie auch bey den gemeinen Logarithmen brauchen, ſo darf

maon nur, wenn Logarithmen gefunden werden ſollen, die

7

an = a⸗ ſetzen kann. Geht man hiervon aus, ſo muß

man, wenn pa die Baſis ſeyn ſoll, dafuͤr auch ( )5

gefundenen hyperboliſchen Logarithmen nach §. 124. der Eu⸗

leriſchen Einleitung in gemeine verwandeln, und wenn die
zu einem gemeinen Logarithmen gehoͤrige Zahl gefunden
werden ſoll, den gegebenen Logarithmen zuvor auf die ent⸗

gegenſtehende Art in einen hyperboliſchen verwandeln.
In des Hrn. Ober⸗Baurath Schulze bereits angefuͤhrten

Taſchenbuche im zweyten Hefte, welches ich hiebey ge⸗
braucht habe, findet man die mitgetheilten Regeln weit⸗
laͤuftig durch Exempel erlaͤutert. Soviel von den Logarith⸗
men, wenn die Baſis derſelben abſolute und groͤßer als

1I angenommen wird.

17. Wenn man die Baſis nicht abſolute betrachtet, ſo

muß man bey der Unterſuchung der Beſchaffenheit der als⸗
dann ſich ergebenden Logarithmen das nicht aus der Acht
laſſen, daß kein Logarithmiſches Syſtem zum Calcul brauch⸗

bar iſt, wofern man nicht ohne alle weitere Einſchraͤnkung

nz

1

ſetzen koͤnnen, und laͤßt man nun n eine gerade Zahl bedeu⸗
ten, ſo iſt nicht nur 1 = 1 † a, ſondern auch = 1— a, und
außerdem auch noch der Logarithme von n — 2 unmoͤg⸗

lichen Groͤßen. Naͤhme man — a zur Baſis an, ſo muͤßte

“

— a = (— a)n geſetzt werden koͤnnen, aber auch dann

wuͤrde 1, wenn man n abermals eine gerade Zahl bedeuten

ließe, nicht nur der Logarithme von — a, ſondern auch der
5 Lo⸗

erthin
iclchen

m2 3
4 ſehmen wo
(lid ann
Antlch 9

12f24

2

ten kann,

Logarithen

daher die
eine zuſe
zu entgeg

en, und

Ehen.

18. De

Dehie
Duhl, ve
biele logor
in dande
iBerin

trorerſe e
Wes dos
u dieſer

Aweiſe vo

Jder

1 bezeich

nbitebof
1 Mnan
n, darf
ſolen de
derbe
nden dee
l gerden
ouf e
berwonde.
Vgehrten

krachtet, ſe

hiW
ni N R
Clalbeurß
ſitrindun

i, ſe m

u

1 vonig
, 1 giße

4 u hem

hlde
den
e⸗

Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 493

Logarithme von † a, und außerdem noch von n — 2 un⸗
moͤglichen Groͤßen. Aus dieſem Grunde habe ich S. 479.
Abſatz 2 geſagt, daß es, wenn man die Baſis nicht abſolute

nehmen will, gleich ſey, ob man dieſelbe poſitiv oder ne⸗

gativ annehme, und daß man hier dieſe beyden Faͤlle ei⸗
genilich gar nicht trennen ſollte. Nun ſey = a?, ſo iſt

27

f = ☚ a? = ( a) und fol glich, da f jede Zahl bedeu⸗

ten kann, 2 = 1r. = 10 – †) und außerdem zugleich der

Logarithme von mehrern unmoͤglichen Groͤßen. Wenn man
daher die Baſis nicht abſolute annimmt, ſondern dabey auf
eine zufaͤllige Beſchaffenheit auf eine ſolche Art ſieht, als
zu entgegengeſetzten Groͤßen erforderlich iſt: ſo gehoͤrt jeder
Logarithme zu zwey einander entgegengeſetzten ſonſt glei⸗
chen, und außerdem noch zu einer Menge unmoͤglicher
Groͤßen.
18. Da auf dieſe Art jeder Logarithme zu unendlich vie⸗
len Zahlen gehoͤet, ſo fraͤgt ſich, ob umgekehrt auch jede
Zahl, wenn ſie nlcht abſolute betrachtet wird, unendlich
viele Logarithmen habe? Euler behauptet dieſes im fuͤnf⸗
ten Bande der Memoires der Akademie der Wiſſenſchaften
zu Berlin vom Jahr 1749, in der Abhandlung, de la con-
troverſe entre Mrs. Leibnitz & Bernoulli fur les logarith-
mes des nombres négatifs & imaginaires. Ich will den

zu dieſer Abſicht S. 156. 157 ſtehenden Lehrſatz mit ſeinem

Beweiſe von Wort zu Wort herſetzen.

Lehrſatz.
Jeder gegebenen dahl kommen unendlich viele Logs⸗
rithmen zu; oder: Wenn y den Logarithmen der Zahl

bezeichnet, ſo hat y unendlich viel Werthe.

494 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel.
Beweis.

Ich will mich hier bloß auf die hyperboliſchen Logarith⸗
men ein! ſchraͤnken, weil bekannter Maaßen die Logarithmen
jedes andern Syſtems zu dieſen ein beſtaͤndiges Verhaͤltniß
haben, und z. B. wenn der hyperboliſche Logarithme der
Zahl X = y geſetzt wird, der gemeine Logarithme eben die⸗
ſer Zahl = 0,43 429 44819. y iſt. Nun beruhen die
hyperboliſchen Logarithmen auf dem Satze, daß der Loga⸗
rithme von 1 † , wenn „ eine unendlich kleine Zahl iſt,
=o, oder 1 (1 † “½) = « ſey. Hieraus fließt 1 (1 †ε ,
1(1 † „) 3 = 34; und uͤberhaupt 1(1I † t‿n ,„. Da
aber eine unendlich kleine Zahl bedeutet, ſo kann die
Zahl (1 † „)u nicht anders jeder gegebenen Zahl « gleich
geſetzt werden, als wenn n unendlich genommen wird. Es
ſey daher n eine unendlich große Zahl, und = 1 † n,
ſoiglich 1x = y = n . Um nun „ durch X qauszudrucken,
1 1

4

ſo giebt die erſte Formel 1 † = X , und = x — 1,
und durch die Subſtitution dieſes Werthes erhaͤlt man aus
der zweyten Formel
.
n
y= nXx — n = Ix.
1

—

Hieraus erhellet, daß ſich der Werth der Formel n= — n
dem Logarithmen von X um ſo mehr naͤhert, je groͤßer man
n annimmt, und daß dieſe Formel den wahren Werth des
Logarithmen von ausdruckt, wenn man n unendlich groß

“ † . . . . .
X drey, X vier verſchiedene Werthe hat, ꝛc., ſo leidet
es

werden laͤßt. So wie nun ausgemacht iſt, daß x zwey,

uch k⸗
Perthe

Menge
von Ve
X uendl
19,
Clerdinge
gee⸗
I †*
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ſehlerha
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„— J -,

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I

—
1
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,

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Gelat

e

Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 45

es auch keinen Zweifel, daß der Ausdruck unendlich viele
Werthe in ſich ſchließt. Es muß folgl lich dieſe unendliche

X

——

Menge der Werthe von x« auch eine unendliche Menge

von Werthen fuͤr 1X geben, und alſo jede gegebene Zal h!
X* unendlich viel Logarithmen haben.
19. Beym erſten Anblick ſcheint hiernach die obige Frage
allerdings bejahet werden zu muͤſſen. Allein wenn (1 † πιας
ſoll geſetzt werden koͤnnen, ſo muß man, da nicht nur
11 † * = „, ſondern auch (I † n = ſeyn ſoll, (und
beydes muß ſtatt finden, wenn der gefuͤhrte Beweis nicht
fehlerhaft ſeyn ſoll, )entweder „ bloß poſitiv nehmen, und
dann wird = (1 † )n allemal eine poſitive Zahl, die
groͤßer als 1 iſt, oder, wenn man auch 1(I — *) = –— „
ſetzen will, I1 — n nicht einer Zahl, die groͤßer als 1 iſt,
ſondern nur einem Bruche gleich annehmen, der deſto klei⸗

ner wird, je groͤßer n iſt. Es gelten alſo die von Eulern

gemachte Schluͤſſe nur in ſo fern allgemein, als „ poſitio
bleibt, und X eine Zahl bedeutet, die groͤßer als 1 und alſo
ebenfalls poſitiv iſt. Dies nun vorausgeſetzt, ſo iſt auch
1 I „

—,—

nur in dem Falle 1 † = xX „und „»= n (X — 1,wenn

1

. , e.
von den unendlich vielen Werthen, die haben wuͤrde,
T

—

wenn man es wie († X) betrachtete, bloß der poſitive Werth

genommen wird; und es hat demnach, wenn man auch
J 1

ſonſt und n (X — 1) als eine unendlich vie lfor mige
Sunk⸗

496 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel.

.

1 „
Funktion von x betrachten kann, doch hier ſowohl x als e neg
. MUUU heun jed
(Xæ — 1) nicht mehr als einen Werth, und eben das gilt uf ande
denn natuͤrlicher Weiſe von y = n (E — 1) = Ix, ſo daß derm
alſo keine poſitive Zahl mehr als einen Logarithmen hat. 1⸗
. S X— m.
20. Um dies noch mehr zu beſtaͤtigen, ſo ſey 1 1 — 4) = K, wa
— „, folglich 1 (1 — *)2 = — 2 2M; 1(1 – 2°) 3 = — 3 a; dolen,
und uͤberhaupt 1 (1 — = — n u. Ferner ſey (1 — π;, s
1 1 ſoch nich
ßVMk ” n. Phrde x,
und alſo 1 — = 2 „ wo aber offenbar wieder von 2 7
bloß der abſolute oder poſitive Werth genommen werden nhicen
d iſt „— — ͤAn — „ — los ſccher
darf. Alsdann iſt »= 2 — I und 1 (1 — )n 12 =
S 1 ſolchen
„ Mehlege.
n (2 — 1). Da nun aber 1 —« ein aͤchter, obgleich von
der Einheit nur um einen unendlich kleinen Theil unter⸗ 12. G⸗
ſchiedenen Bruch iſt, ſo muß auch (1 — 1 = ein aͤchter, dn Hle
und zwar um ſo kleinerer Bruch ſeyn, je groͤßer n ange⸗ ſind nem
nommen wird. Man findet alſo auf dieſem Wege nichts eine Die
weiter, als daß die Logarithmen der aͤchten Bruͤche negativ Johla ſe
3. MM ben, wie
ſind, weil 2— 1 negativ iſt, und deſto groͤßer werden, enſehe
je kleiner die Bruͤche ſind, zu welchen ſie gehoͤren. Aber unes hine
daß zu jeder Zahl eine unendliche Menge von Logarithmen, Canze ode
gehoͤren ſolle, davon entdeckt ſich hier auch nicht die ge⸗ Annehmne
ringſte Spur. logarith
hieſelbe 5
421. Eulerg

rcr 68

1 Thel ums
1i icten

Pien n

mn Bene

1

Zuſatze zum ſiebenten Capitel. 497

21. Da alſo, wenn II † ») = „ ſoll geſetzt werden
koͤnnen, „ nichts weiter als eine unendlich kleine poſitive
oder negative reelle Groͤße bedeuten kann, ſo muß man,
wenn jede Zahl giehr als einen Logarithmen hat, dieſelben
auf andern Wegen aufzufinden ſuchen. Allein mon nehme
an, daß eine Zahl X außer dem bekannten Logarithmen,
der m heißen mag, noch den negatioen Logarithmen — e
habe. Nennt man die Baſis a, ſo muͤßte dann, weil
1X = m iſt, X = am, und weil außerdem auch IX = — e
iſt, zugleich « = a-e ſeyn; oder man muͤßte annehmen
wollen, daß eine Zahl durch ihren Logarithmen und die
Baſis des Syſtems, zu welchem dieſer Logarithme gehoͤrt,
noch nicht voͤllig beſtimmt wuͤrde. Auf eine aͤhnliche Art
wuͤrde «, wenn es außer dem Logarithmen m noch den un⸗
moͤglichen Logarithmen eV — I haͤtte, nicht bloß = am,

ſondern auch = a— ſeyn, und es ſcheint demnach

das ſicherſte zu ſeyn, daß man jeder poſitiven oder
abſoluten Zahl nicht mehr als einen Logarthmen
beylege. H

22. Eben das ergiebt ſich mit ziemlicher Gewißheit aus
dem bloßen Begriffe der Logarithmen. Die Logarithmen
ſind nemlich entweder Exponenten, die anzeigen, was fuͤr
eine Dignitaͤt eine Zahl von einer gegebenen beſtaͤndigen
Zahl a ſey, oder Verhaͤltnißzahlen, welche zu erkennen ge⸗
ben, wie eine Zahl « aus einer gegebenen beſtaͤndigen Zahl
a entſtehe, im Grunde aber laufen beyde Vorſtellungen auf

eines hinaus. Nun ſey « = am, ſo daß m irgend eine

ganze oder gebrochene, poſitive oder negative Zahl bedeute.
Annehmen, daß eine und dieſelbe Zahl X unendlich viele
Logarithmen habe, heißt daher behaupten, daß eine und
dieſelbe Zahl = am auch gefunden werden koͤnne, wenn
Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. l. B. Ji man

498 Zuſße zum ſiebenten Capitel.

man dieſelbe aus a nach der Formel a-e oder a
ſucht, und wer kann das behaupten?

23. Aber es hat ja Euler in der Abſatz 18. angefuͤhrten

Abhandlung die unendlich vielen Logarithmen, die eine jede

poſitive Zahl hat, S. 158 — 161 in einer ohne Ende fort⸗
laufenden Reihe einzeln dargelegt? Die Quelle, woraus

. n .

—

tete Satz, 7=it= n* — 1), verbunden mit dem,

1I
1IA = II † 1A. Nun kann man zwar in „= n (Q¶ — 1)
nur unter der Bedingung « = I ſetzen, daß, ſo wie in
RR n ,
= n (Xx — 1) der Ausdruck X nicht mehr als einen Werth
1 1 W

haben kann, ſo auch 1 in n (1 *— 1) nicht mehr als den
Werth I habe. Allein da Euler das Folgende eigentlich

1I

—

aus dem aus „= II =E n (I — 1) fließenden Satze

(1 † D = 1 herleitet, ſo darf man ſich bey der Beur⸗
theilung ſeiner Reſultate nicht darauf berufen, ſondern muß
ſich lediglich an den Satz (1 † ) 1 halten. Dieſer

Setz fann nun durchaus nicht beſtehen, wofern nicht y»= o
g ſetzt wird Denn man nehme y außerdem an, wie man
wil, ſo wird

(rI †

V — 1I

we=
Griße.
hach ge
ſt doch
ls da⸗
0, 1
noch e
ſen V

derſores
man al
ſs nich
noch nich
den ogan
Weigſten
Die Ve⸗
hier mic
vorgehre

y = 2 A7 V — 1 ſeyn, wenn dabey (1 † ))

Zuſaͤtze zum ſi⸗ ebenten Capitel. 499
n0n — 1) 12

I 2 nz

t D'=rt n. X †

2— DIn 2)

†

3, n 32
1* 2 1 T r
1TY 1.2.3 1† 12. 54 E.

nie = I, und am allerwenigſten, wenn y einer unmoͤglichen
Groͤße gleich geſetzt wird. Wenn man daher gleich ferner
nach ganz richtigen Regeln „ = — 222 V — 1 findet; ſo
iſt doch in dieſer Formel X noch nicht weiter beſtimmt,
als daß man dafuͤr, uͤberhaupt genommen, alle Zahlen
o, 1, 2, 3, 4, 5/ 5, ꝛ.. ſetzen koͤnne, und man muß alſo
noch erſt anderweitig woher beſtimmen, wie viel von die⸗
ſen Werthen à wirklich bekommen muͤſſe. Nun kann nur

I

ci & I1

. ) = 1 1 wird; und da dies bloß ſtatt fin⸗

det, wenn à = o iſt, ſo findet man durch das Euleriſche
Verfahren eigentlich nichts weiter, als was ſonſt ſchon all⸗

gemein bekannt iſt, daß 11 = o iſt.

24. Da ich hier allgemein angenommenen Saͤtzen wi⸗
derſprechen muß, ſo wird es mir ſehr angenehm ſeyn, wenn
man alles das, was ich uͤber die Logarithmen, deren Ba⸗
ſis nicht abſolute angenommen worden iſt, geſagt habe,
bloß als einen Verſuch anſehen will, die, bisher denn doch

noch nicht von allen Schwierigkeiten befreyte, Theorie von

den Logarithmen durch einige genauere Unterſcheidungen
wenigſtens von einigen dieſer Schwierigkeiten zu befreyen.
Die Vortheile, die daher entſpringen koͤnnen, brauche ich
hier nicht aufzuzaͤhlen. Sind die Behauptungen, die ich
vorgebracht habe, wahr, ſo wierd ſich ihr Nutzen in der
Ji 2 Folge

500 Zuſatze zum ſiebenten Capitel.

Folge von ſelbſt ſinden; und habe ich mich geirret, ſo iſt mein

Naͤme von zu geringer * edeutung, als daß ich durch auf⸗
richtige Vorlegung meiner Irrthuͤmer irgend jemand zu ver⸗
fuͤhren befuͤrchten ſollte. Ich will alſo noch eins und das
andere, was mir nicht unwichtig ſcheint, hinzufuͤgen.

1

25. Euler betrachtet die Formel y = Ix = n (X — 1)

als eine allgemein guͤltige Formel, ſelbſt, wenn x negative
genommen wied, und leitet daraus in der ſchon oͤfters an⸗
gefuͤhrten Abhandlung S. 161. 162. den Satz her, daß die
Logarithmen jeder negativen Zahl lauter imaginaͤre Groͤßen
ſind. Nun ſoll ſich doch nach dem, was Abſatz 18 aus die⸗
ſer Abhandlung mitgetheilt worden iſt, der Werth der For⸗

1I

mel n (« — 1) dem Logarithmen von X um ſo mehr naͤ⸗c
hern, je groͤßer man n annimmt, und dieſe Formel den
wahren Werth von genau ausdruͤcken, wenn man n un.

endlich groß werden laͤßt. Man ſetze alſo fuͤr X irgend eine
negative Zahl, und fuͤr n nach und nach immer groͤßere po⸗

r

ſitive aber ungerade Zahlen. Alsdann findet man fuͤr “

außer den unmoͤglichen Werthen auch allemal einen reellen

negativen Werth, und es ſollte folglich hiernach jede nega⸗
tive Zahl außer den imaginaͤren auch einen reellen und
zwar negativen Logarithmen haben, der, mit dem Logarith⸗
men der gleich großen poſitiven Zahl verglichen, groͤßer ſeyn
wuͤrde. Ferner ſetze man fuͤr n nach und nach immer groͤ⸗
bere poſitive aber gerade Zahlen, und laſſe X poſitiv ſeyn.
1

—

Alsdann hat 5 zwey einander entgegengeſetzte ſonſt gleiche
Werthe,

Perthe.
einen de
ſhieden

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256.
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Ulugntt

Zuſa aͤze zum ſ. ſ ebenten Capitel. 501
Z

Werthe, und es muͤßte demnach »„= 15 = n(X — 1)
einen doppelten, ſowohl den Zeichen als der Groͤße nach ver⸗
ſchiedenen, Werth haben. Die Folgen, die ſich hieraus zie⸗
hen laſſen, habe ich nicht noͤthig herzuſetzen.
26. Angenommen nun daß zu jeder poſitiven Zahl nicht
mehr als ein Logarithme gehoͤre, denn weiter reichen die
in dem Vorhergehenden gefuͤhrten Beweiſe nicht: ſo laͤßt
ſich ſolches auch leicht von den negativen und unmoͤglichen
Zahlen darthun. Iſt nemlich a die Baſis eines Logarith⸗
miſchen Syſtems, ſo iſt jede negative und einfach unmoͤg⸗

N
liche Zahl mit in dem Ausdrucke (2a) enthalten, und
folglich ihr Logarithme . Sollte nun dieſe negative oder
unmoͤgliche Zahl auch noch einen andern Logarithmen . der
von — wirklich verſchiedene wäre, haben, ſo muͤßten

m.

ſ0

— a) = S a) einen Werth mit einander gemein ha⸗
ben, und wenn man dieſen Werth = r ſetzte, ſo muͤßte

. . — . . mn P ””M
ferner, da man fuͤr die Bruͤche und zwey andere von

gleichen Zaͤhlern und ungleichen Nennern z. B. R und „

S 8

L
nehmen koͤnnte, 1 = r werden koͤnnen, welches un⸗
moͤglich iſt.
27. Wenn man alſo die Baſis eines Logarithmi⸗

ſchen Syſtems, und folglich auch alle Zahlen abſolute

Ji 3 nimmt,

502 Zuſuͤtze zum ſiebenten Capitel.

nimmt, ſo kann man ohne alle Einſchraͤnkung behaupten, daß
zu jeder Zahl nicht mehr als ein Logarithme, und zu jedem

Logarithmen nicht mehr als eine Zahl gehoͤre, und dann auch
N W

allemal mit vollem Rechte am = a ſetzen. In dieſem

Falle haben alſo nicht nur gleiche Groͤßen gleiche Logarith⸗

men, ſondern es gehoͤren auch allemal zu gleichen Logarith⸗
men gleiche Groͤßen, und fuͤr dieſen Fall iſt daher auch die
Lehre von den Logarithmen von allen Schwierigkeiten frey.

Nimmt man die Baſis nicht abſolute, ſo ſinden allerdings
bey dem Gebrauche der Logarithmen mancherley Schwie⸗

rigkeiten ſtatt, wofern man nicht alle bey der Rechnung ſich
ergebende der Baſis entgegenſtehende und unmoͤgliche

Werthe ausſchließt, und zugleich die Baſis bloß poſitiv an⸗

nimmt; ſobald man indeß dies thut, ſo hat auch hier jede po⸗

ſitive Zahl nicht mehr als einen Logarithmen, und jeder Lo⸗

garithme nicht mehr als eine poſitive Zaht, zu weicher er
gehoͤrt, und man kann alsdann ebenfalls mit vollkommener

Sicherheit von der Gleichheit zweyer Groͤßen auf die Gleich⸗

heit ihrer Logarithmen, und von der Gleichheit zweyer Lo⸗

garithmen auf die Gieichheit der zu ihnen gehoͤrenden
nm

Groͤßen ſchließen, und ſo auch jedesmal a für am ſetzen.
Da ſich nun unter dieſer Einſchraͤnkung die poſitiven Zah⸗
len von den abſoluten, die mit ihnen einerley Logarithmen
haben, in Anſehung der Groͤße gar nicht unterſcheiden, ſo
iſt das ohnſtreitig der Grund geweſen, warum man es in
der Lehre von den Logarithmen fuͤr uͤberfluͤſſig gehalten hat,
einen Unterſchied zwiſchen der abſoluten und poſitiven Ba⸗
ſis, und den abſoluten und poſitiven Zahlen zu machen.

9
ſthra
lr abſol
eer keine
Zahl d
Zeichen
der Zal
mon de
Groͤßen⸗
ſheer Te
dhne e
gur n
unter
macht
den G
ſruiren,
neigen
Richen
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zu den
de zu
ſlche⸗

19.
ſind ſe
Nu
el oden
und ni⸗
chtet
Reganid
tien
oder n

garith

hentnd
ſehe
Amman

e
NWe

Her auch li⸗
.
futn ſe.

8 MoeNned
Aodn

orlen Techerie⸗
trleg chen⸗

hier ußs
nd ieNet
welcher er

udieGeit⸗
wenerte
Ghinnren

peftin
lunihnen
ſtiden, ſ
mmn ei n
helen l

riton dr
nncn

Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitell. 503

28. Bey der im vorhergehenden Abſatze feſtgeſetzten
Einſchränkung iſt indeß eine poſitive Zahl im Grunde mit
der abſoluten einerley, und das Zeichen † bey ihr hat wei⸗
ter keine Bedeutung, als wenn vor ihr noch eine andere
Zahl vorhergeht, und t folglich entweder eigentlich das
Zeichen der Addition, oder es ſteht ſo, daß es dem Begriffe
der Zahl nicht die mindeſte Beſtimmung zuſetzt. So lange
man daher mit bloßen Zahlen zu thun hat, oder bey den
Groͤßen, die man unterſucht, einzig und allein auf die Menge
ihrer Theile ſieht, ſo lange kann man auch die Logarithmen
ohne alle Schwierigkeit gebrauchen, wenn man dieſelben
nur nach einer abſoluten und nach einer poſitiven Baſis

unter der vorhin gedachten Einſchraͤnkung ſich bekannt ge⸗

macht hat. Aber wenn man die Groͤßen, welche man bey
dem Gebrauche der Logarithmen findet, geometriſch con⸗
ſtruiren, oder die Lehrſaͤtze von den Logarithmen bey allge⸗
meinen Unterſuchungen gebrauchen will, wo man ſich die
Zeichen † und — nicht als Zeichen der Addition und Sub⸗
traction, ſondern als Zeichen des Poſitiven und Negativen
zu denken hat: ſo werden die Saͤtze von den Logarithmen,
die zu einer nicht abſolute genommenen Baſis gehoͤren,
ſchlechterdings unentbehrlich.
29. Um dieſe Saͤtze nochmals kurz zu wiederholen, ſo
ſind ſie folgende. D
Zu jeder Groͤße, ſie mag nun poſitiv oder negativ, re⸗
ell oder imaginaͤr ſeyn, gehoͤrt ein moͤglicher Logarithme
und nicht mehrere, und wenn die Baſis, abſolute be⸗
trachtet, groͤßer als 1 iſt, ſo gehoͤrt zu jeder poſitiven oder
negativen ganzen Zahl, und zu jedem poſitiven oder nega⸗
tiven unächten Bruche ein poſitiver, zu jedem poſitiven
oder negativen aͤchten Bruche hingegen ein negatider Lo⸗
garithme. H ”MVM
Jis Ferner:

5

504 Zuſaͤe zum ſiebenten Capitel.

Ferner: Zu jedem Logarithmen gehoͤren nicht nur zwey

einander entgegengeſetzte ſonſt gleiche Zahlen, zu jedem
poſitiven Logarithmen nemlich ganze Zahlen oder unaͤchte
Bruͤche, und zu jedem negativen Logarithmen aͤchte Bruͤche,
ſondern es iſt derſelbe auf erdem guch noch der Logarithme

einer Menge unmoͤglicher Groͤßen, nemlich aller derer, die

mit den reellen Zahlen, zu welchen er gehoͤrt, auf einer⸗

ley Art aus der poſitiven oder negativen Baſis hervorge⸗

bracht werden koͤnnen.

Drittens gehoͤren zwar, wenn die Baſis nicht abſolute

betrachtet wird, zu jeden zwey gleichen Groͤßen gleiche Lo⸗
garithmen, aber da jeder Logarithme zu mehr als einer
Groͤße gehoͤret ſo laͤßt ſich nicht umgekehrt von der Glei ch⸗

h it zweyer Logarithmen auf die Gleichheit jeder zweyer

einzelnen zu ihnen ge hoͤrigen Groͤßen ſchl ießen, ſondern es
iſt nur immer eine von den Groͤßen, die zu dem einen Lo⸗
garithmen gehoͤren, einer von den Eroͤßen des andern Lo⸗
garitt jmen gleich.

Endlich iſt der Logarithme jeder voſitiven oder ne⸗

gativen Groͤße bey einer nicht abſolute betrachteten Baſis

kein anderer als der Logarithme der mit ihnen gleich großen
abſoluten Zahl, die aus der gleich großen abſoluten Baſis
auf eben die Art gefunden werden kann. Mit andern Wor⸗

ten: Iſt der Logarithme von t bey der abſoluten Baſis a

gleich m, ſo iſt auch m der Logarithme von † f und — f,

bey der Baſis a, wenn dieſelbe nicht abſolute genommen

wird.
30. Die bisher betrachteten dogarithmen waren insge⸗

ſammt reell, ſelbſt wenn ſie zu unmoͤglichen Groͤßen gehoͤr⸗

ten. Ob nun gleich, wenn man die Baſis nicht abſolute
betrachtet, jede reelle oder moͤgliche Groͤße auch einen reel⸗

len kogarithmen und nicht mehrere hat, und außerdem auch
—⸗ die

eul
n s

Genfalls

n ſowoh

Nruc V.
en gehs
ein kogar
Vaſis wi⸗
lechaet
31.
men be
wird,

bemn

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Pitel bewe

ſin.nz-=

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n enen e

ondern e⸗

N W.

, 4

on deſt
evenmmen

Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 505

die reellen Logarithmen zu imaginaͤren Groͤßen gehoͤren: ſo
giebt es doch auch imaginaͤre Groͤßen, deren Logarithmen
. n

ebenfalls imaginaͤr ſind. So iſt la = Vm, und da

m ſowohl voſitio als negatio ſeyn kann, ſo enthaͤlt der Aus⸗

druck . m allerdings unmoͤgliche Werthe. Genau erwo⸗
gen gehoͤrt aber auch hier zu jeder Groͤße nicht mehr als
ein Logarithme, obgleich zu jedem Logarithmen, ſobald die
Baſis nicht abſolute betrachtet wird, mehrere Groͤßen ge⸗
rechnet werden muͤſſen.

31. Was die Rothwendigkeit der Theorie der Cogarith⸗
men betrifft, wenn die Baſis nicht abſolute angenommen
wird, ſo will ich hier daruͤber nur etwas weniges ſagen,
inbem ſich in der Folge oͤfters Gelegenheit zeigen wird,
ſolche außer allen Zweifel zu ſetzen. Im vierzehnten Ca⸗
pitel beweiſet Luler, §. 240., daß

. . „2
ſin. nz= 2 n-Iſin. z. ſin. — 2). ſin. (. † 2). ſin. (— — 2).
SS n— n n .

32 7„ 3 Zò
ſin. — 2). ſin — 0). ſin. (2 — 2) ꝛc.

ſey, wenn man jedesmal ſo viel Faktoren nimmt als n Ein⸗
heiten hat, und ſetzt darauf §. 241. hinzu, daß dieſer Aus⸗

druck ſehr bequem ſey, um darnach die Logarithmen der Si⸗

nus vielfacher Winkel zu finden. Es muß alſo auch

Iün. nz = (n — 1) I2 än. 2 fin. (—. — 2) Tl fin. ( 2) †

2* 37
Iſin. — ) Iin. ( † 2) † ſin. — 2) 1ſn. †z2) 2.

ſeyn, wenn man ſo viel Logarithmen der Sinus nimmt,

als n Einheiten hat. Hier kann nun? ſehr leicht ſo ange⸗

nommen werden, daß unter den Faktoren, wodurch ſin. nz

Ji 5 be⸗

„

506 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel.

beſtimmt wird, mehrere negativ werden, ohne daß des⸗
wegen die hergeſetzten Behauptungen aufgehoben wuͤrden.
Dergleichen Faͤlle machen nicht die mindeſte Schwierigkeit,

wenn man hier Logarithmen braucht, die zu einer nicht

abſoluten Baſis gehoͤren, und auch ſelbſt dann, wenn man
aus der letzten Formel durch die Differentiation andere
Formeln ableitet. Braucht man hingegen bloß ſolche Loga⸗
rithmen, die zu einer abſoluten Baſis gehoͤren, ſo muß man
zum wenigſten zuvor mit der gegebenen Formel in Anſehung
der Zeichen ihrer Faktoren eine ſolche Veraͤnderung vor⸗
nehmen, daß man alle dieſe Faktoren als poſitiv betrach⸗
ten kann.
32. Ferner findet man, wenn man Logarithmen braucht,
die zu einer abſoluten Baſis gehoͤren, aus jedem gegebenen
Logarithmen und der Baſis nicht mehr als eine zugehoͤrige
Groͤße. Wendet man daher Formeln, bey welchen derglei⸗
chen Logarithmen zum Grunde liegen, auf ſolche Faͤlle an,
wo die Baſis nicht abſolute gedacht werden kann, ſo findet
man darnach, wenn man aus den Logarithmen auf die zu
ihnen gehoͤrigen Groͤßen ſchließen will, nicht alle Groͤßen,
von denen doch auf andern Wegen gezeigt werden kann,
daß ſie der Aufgabe ein Genuͤge thun. So ergiebt ſich,
wenn man die Formel fuͤr die Logarithmiſche Linie an = y
arithmetiſch behandelt, zu jedem nicht mehr als ein y,

und doch laͤßt ſich auf andere Art zeigen, daß zu jedem

ein poſitives und ein negatives „ gehoͤre, und daß alſo auch
eigentlich a?ð = –.„ geſetzt werden muͤſſe, welches ſich auch
findet, wenn man ein Logarithmiſches Syſtem zum Grunde
legt, deſſen Baſis nicht abſolute genommen iſt.

33 Wenn man von den Groͤßen, die zu einem Loga⸗
rithmen gehoͤren, nicht nur alle unmoͤglichen, ſondern ſelbſt
die negativen ausſchließt, ſo iſt das im Grunde eben ſo viel,
als

KHolne
s gen

, ,eben
6rung

Reſultate
Abſoluten
Foll den
Verveth
kbunte, d

R
hoch wel
ten Zah
nenn ſen
S. ℳ
u helſtehe
tungen zu
ſorſchen,
Gedße i
werden
werde.
Gngeſehen
NMeonder
lic dig
Erponer
hraucht

4

—,

‚—

R
Hn. N
ſolches
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tninget,
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n, dunnen
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Pſahee
onus ne

Anſcheng

Rrngee

hiun bernq⸗

nendeer
en gegednn
1 ugehee
cen deege⸗
de File l,
n, ſ Wet
en o Me
kole behhen
eeden unn
ncn ſ,

Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 507

als ob man Logarithmen gebraucht, die zu einer abſoluten
Baſis gehoͤren, und alle Groͤßen, mit welchen man zu thun
hat, ebenfalls bloß abſolute betrachtet. Dies kann zur Er⸗
klaͤrung des Umſtandes dienen, daß in dieſem Falle die
Reſultate gleich ſind, man mag das Poſitive von dem
Abſoluten unterſcheiden oder nicht, denn man hat in dieſem
Fall den Einfluß, den die Setzung des Zeichens † oder die
Verwechſelung des Poſitiven mit den Abſoluten haben
koͤnnte, durch die gedachte Einſchraͤnkung aufgehoben.

34 Zum Schluſſe will ich noch die Methode herſetzen,
nach welcher Hr. Prof. Buͤrja die Logarithmen der abſolu⸗
ten Zahlen berechnen lehrt. Man findet dieſelbe in ſei⸗
nem ſelbſtlernenden Algebriſten, Berlin und Libau 1786.
S. 164 f. Um aber die daſelbſt §. 12. ſtehende Au iſge de be
zu verſtehen, muß man die S. 153. §. 2. gegebenen Er klaͤ⸗

rungen zu Huͤlfe nehmen. Groͤßen exponenziren heißt er⸗

forſchen, die wievielte Potenz eine Groͤße von einer andern
Groͤße iſt, oder zur wievielten Potenz eine Groͤße erhoben
werden muß, daß ſie einer andern gegebenen Groͤße gleich
werde. Die eine gegebene Groͤße wird alſo als Wurzel
angeſehen, und ſoll hier eigentlich Baſis genannt werden;
die andere wird als Potenz betrachtet, und ſoll hier eigent⸗
lich Dignitaͤt genannt werden. Was herauskoͤmmt iſt der
Exponent, oder eigentlich der Logarithmus. Außerdem
braucht man noch dazu folgende Bezeichnung:

, welches bedeutet, a durch b exponenziret.
b

35. So wie ich die angeführten Erklaͤrungen mit des

Hrn. Prof. Buͤrja's Worten mitgetheilt habe, ſo will ich

ſolches auch mit der . 12. vorkommenden und hieher gehoͤ⸗
rigen Aufgabe thun. Sie iſt fol gende.
Auf⸗

SSSHõ

508 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel.
Aufgab e.

Eine beſtimmte Zahl durch eine ekimmme Zahl ex⸗
ponenziren.

Vorbereitung. Es ſey die Baſis a, und der koga⸗

rithmus einer Zahl n ſey = 23; 645, wo die drey letzten

Zifern Deeimalbruͤche vorſtellen. So folget daraus
a 23; 645 =– n

“ 4. .
oder a20 F 3 1†8 +– 68 4— 1868 =— n

5 4
oder az0o a3 af6 afe aTOd = n

. 6
(a1 c)2. (a?) 3. (a? 8) . (args) . 6 (av886) = n.
Wey die Wurzel 2 gegeben iſt, ſo koͤnnen die Potenzen

— —

a10, aI, ar5, a 35, arS68, als bekannt angenommen
werden.
Wenn man die Groͤße ao nach und nach zu ihren Po⸗
tenzen erhebet, ſo wird man finden, daß (ax o)2 der Zahln
am naͤchſten kommen muß. Waͤre alſo der Exponent 2
unbekannt, ſo wuͤrde man ihn finden, indem man nur
beobachtete, welche Potenz von a1ο der Zahl n am naͤch⸗
ſten koͤmmt.
Nun didvidire ich die ganze Gleichung beyderſeits durch
(a 1 0)2, und ſetze n: (a1 o0)2 = n; ſo koͤmmt

,
(a 1) 3 . (a? ) (a ? 06) (aTOOS) = n.
Wenn ich die Groͤße ar oder a nach und nach zu ihren
Potenzen erhebe, ſo muß ich finden, daß (a X1) 3 der Zahl'n
am naͤchſten koͤmmt. Folglich wuͤrde ich auf dieſe Art den
Exponenten 3 entdecken, wenn er unbekannt waͤre.
Ich divid diee⸗ vorige Gleichung durch Gr)s, und ſetze
n: (a?) 3 = n; ſo koͤmmt

(a

dieſer

Pinn i

en erhe
ann nuch

Nun

leſeichne

Na
Und nae
bekannt
horithnn
liten Ga
laſen.
DRe

4
4l, 41

nen. Er
1 ſe f. h

(1100 2

uf

.

Of),
utzen ho
Nebenerp
Aufls⸗
haben,
ſtimnten
Man
henpoten

myenonnen

hen ⸗
Nn

Epvenen:
—
tich

h n ihen

i

Zuſuͤtze zum ſiebenten Capitel. 509,
2 6 S aS5S .
(a? ) . (a GG) . (a? 086) = n.

I
Wenn ich die Groͤße ars nach und nach zu ihren Poten⸗

. 1 6 M
zen erhebe, ſo wird ſich ſinden, daß (a?5) der Zahl n
am naͤchſten koͤmmt. Folglich koͤnnte der Exponent 6 auf
dieſer Art entdecket werden.

vI 6
Nun dividire man die Gleichung durch (a ?S) , und

bezeichne n: Gro, „urch n, ſo koͤmmt

(2738)“ (a7ĩ S868) . — .

Man kann auf die nemliche Art fortfahren, und nach

und nach die Exponenten 4 und § erforſchen, wenn ſie un⸗

bekannt ſind. Alſo erhaͤlt man zuletzt alle Ziffern des Lo⸗
garithmus 23; 645. Uebrigens iſt es klar daß die nem⸗
lichen Schluͤſſe ſich auf einen jeden Logarithmus anwenden
laſſen.
Der Kuͤrze wegen, wollen wir ſolche Groͤßen a a100ο,

a 1I, a 75, a7 88, u. ſ. f. Hauptpotenzen von a nen⸗
nen. Erhebet man dieſe wiederum zur iſten, 2ten, 3ten,
u. ſ. f. bis zur gten Potenz, ſo bekoͤmmt man (a1 0αω1,
(a1 00)2, (àa 1 00) 3, u. ſ. f. Gro):, (ar o)a, (a 1 0) 3,
u. u. f. an)ꝛ, CAr)a, (a1)3, u. ſ. f. (ar5), (ars),
(ar 5) „ u. ſ. f. Dieſe Groͤßen wollen wir Nebenpo⸗
tenzen von a nennen, und ihre neuen Erponenten ſollen
Nebenexponenten ſeyn.
Aufloͤſung. Die Schluͤſſe, welche wir jetzt gemacht
haben, fuͤhren auf folgende Regel zur Erforſchung der be⸗
ſtimmten Exponenten.
Man ſuche erſtlich die Hauptpotenz und dann die Ne⸗
benpotenz der Baſis, welche der gegevenen Dignitat am
naͤch⸗

510 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel.

naͤchſten kommen. Hierauf dividire man die gegebene
Dignitaͤt durch die gefundene Potenz.
Man nehme die Hauptpotenz, welche naͤchſt kleiner iſt,
als die vorher gebrauchte. Man ſuche die Nebenpotenz,
welche dem gefundenen Quotienten am naͤchſten koͤmmt.

Man dividire den Quotienten durch die gefundene Potenz.

Man wiederhole dieſes Verfahren, ſo oft man es fuͤr
noͤthig halten wird.
Man ſchreibe die Rebenexponenten nach einander auf,
ſo wie man ſie entdecket. Sie ſind nichts anders, als die
Zifern des geſuchten Logarithmus.
Man ſetze das Dezimalzeichen vor die Zifer, die aus
dem Hauptexponenten 5 entſtanden iſt.

Exempel. Es wird verlanget
8765 102325977

2 2

das iſt, man will wiſſen, zur wievielten Potenz 2 erhoben

werden muß, daß die obere Zahl herauskomme. Man

ſuche erſtlich die Hauptpotenzen von 2.
2710% = 1024

21 =— 2
21,0 — I O7I .

2766 =— 1; 00695 4
21009 =— 1I; Oo0O069 „ 20. .

Die gebrochenen Potenzen 276, 2785, 27665 fann man
ſinden, indem man wechſelsweiſe die zweyte und fuͤnfte Wur⸗

3

—,
275, Ferner

zel ausziehet. Denn V V2 = (22)
1 INI 1 1—
V V215 = (2 15 = (27 ITOT. — 155 u. ſ. f.
Die Nebenpotenzen ſindet man, wenn man jede Hauptpo⸗
tenz

—
——

0*

erig
Ktt, n

Cuo; 1.

Nwer

hebet, ur

durch die
Die Ma
durch a10
1.f. Nr
MoN Amd

weſen,74

der durch
eniſin

le gegtene

Khen it
WE W n,
cſn ten Kmnt.

⸗

1 nen e

inanber a
Gdie

.
Nr, Me

m1 efoten

r. IN

AN⸗

Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 511

tenz einigemal mit ſich ſelbſt multipliziret Dieſes voraus⸗
geſetzt, wird die Operation alſo zu ſtehen kommen.

Dignitaͤt. WBaſis.] Logarith⸗
mus.
8765102 325977 2 22; 994 „ .
Div. 1099511627776 = (210)4

Quoz. 7; 97181

Div. 4. = (21)2

Quoz. 1; 99295 .
Div. 1;86608 = (278)
Quoz. 1; 06799 .
Div. 1;064 10 = (2708

O

Quoz. 1500337

4
Div. 1:00 ́79 = (2 000)

Quoz. 1, 00058
ꝛc. ꝛc.

Anmerkung. Anſtatt daß man die Hauptpotenz er⸗
hebet, um den Nebenexponenten zu finden, kann man auch
durch die Hauptpotenz ſo viel mal als moͤglich dividiren.
Die Agzahl der Diviſionen giebt den Rebenepponenten.
Z. E. Wenn man gleich anfaͤnglich die gegebene Dignitaͤt
durch 210 oder 1024, den Quotienten wieder durch 1024,
u. ſ. f. dioidiret haͤtte, ſo wuͤrde man gefunden haben, daß
mon Amal dividiren kann, und der letzte Quotient waͤre ge⸗

weſen 7; 9218I. Man nehme aaaac ſo kann ich entwe⸗

der durch a4 oder 4mal durch a dioidiren, der letzte Quo⸗
tient iſt in beoden Faͤllen c.

VIII.

VIII.
Zuſaͤtze zum achten Capitel. ſche
A. Inhalt dieſes Capite,„,Vs.
4
,

Von den tranſcendenten Groͤßen, die aus
dem Kreiſe entſpringen.

1. Vorlaͤufig, § 126 — 131.
a. Anzeige des Zuſammenhangs dieſes Capitels mit dem
vorhergehenden, und der Bedeutung des Buchſta⸗
bens in der nun folgenden Unterſuchung, §. 126.
b. Verſchiedene aus den Anfangsgruͤnden der ebenen
Trigonometrie entlehnte, nebſt andern aus ihnen ab⸗ 43
geleiteten Formeln, § 127 — 131.
2 . Die aus den Anfangsgruͤnden der ebenen Trigono⸗

metrie entlehnte Formeln, §. 127. 128. d, M
8. .Benutzung derſelben durch verſchiedene mit ihnen
vorgenommene Combinationen zur Erfindung an⸗ ni⸗
derer Formeln, §. 128 — 131. ,
aa. ſolcher, nach welchen der Sinus und Coſinus ”ÿM
eines Winkels mit dem Coſinus und Sinus eines „
andern Winkels verwechſelt werden kann, §. 128. Veryl
pb. ſolcher, wodurch die Sinus und Coſinus dere (Eeiie
Winkel beſtimmt werden, die in einer arithme⸗ die
tiſchen Progreſſion fortſchreiten, §. 129.
ecc. ſolcher, wodurch der Sinus und Coſ ſinus eines
Winkels aus dem Coſinus des doppelt ſo großen ““

Winkels gegeben wird, §. 130, nebſt einigen
“ andern, Euler

8ihren o⸗
nen A one

, mit ihten
dod

Zuſatze zum achten Capitel. 513

andern, in welchen die trigonometriſchen Linien
zweyer Winkel mit den trigonometriſchen Linien
der Haͤlften ihrer Summe und ihrer Differenz
mit einander verglichen werden, §. 131.
2. Entwickelung der trigonometriſchen Linien durch unend⸗
liche Reihen, in welchen dieſe Linien mit den Bogen,
zu welchen ſie gehoͤren, verglichen werden, §. 132 — 137.
a. dieſe Reihen ſelbſt, F. 132 — 135.
ℳ„ Reihen fuͤr die Sinus und Coſinus, §. 132 –— 134.
aa. Reihen, in welchen die Sinus und Coſinus ſol⸗
cher Winkel, die Vielfache eines andern Winkels
ſind, mit den Sinus und Coſinus des einfachen
Winkels verglichen werden, 9. 132. 133.
bb. hieraus fließende Reihen, in welchen die Sinus
und Coſinus aus den Bogen, zu welchen ſie gehoͤ⸗
ren, beſtimmt werden, §. 134.
2. Reihen, in welchen die Tangenten und Cotangen⸗
ten mit den Bogen, zu welchen ſie gehoͤren, ver⸗
glichen werden, §. 135.
b. Anleitung zum vortheilhaften G Gebrauche der gedach⸗
ten Reihen zur Erfindung der trigonometriſchen Li⸗
nien aller Bogen oder Winkel, §. 136. 137, nemlich
«. der Sinus und Coſinus, §. 136.
g. der Tangenten und Cotangenten, §. 137.
„. der Secanten und Coſecanten, §. 137.
3. Weenelchund der Kreisgroͤßen mit den Exponential⸗
Groͤßen und den Logarithmen. §. 138 — 142.
a. dieſe Vergleichung ſelbſt, §. 138. 139.
a. Formeln, wonach die unmoͤglichen Exponential⸗ Groͤ⸗
ßen auf Sinus und Coſinus reeller Bogen, §. 138.
8. Formel, wonach die unmoͤglichen Logarithmen auf
Kreisbogen reducirt werden koͤnnen, §. 139.

Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. I. D. Kk

51r14 Zuſatze zum achten Capitel.

b. Benutzung der gefundenen Formel zur Erfindung einer
andern die Beſtimmung eines Kreisbogens aus ſeiner
Tangente betreffenden, §. 140.
ℳ. Formel, welche dieſe Beſtimmung enthaͤlt, . 1I40.
8. Gebrauch dieſer Formel zur Erfindung des Ver⸗

haͤltniſſes des halben Umfanges eines Kreiſes zum

Radius, §. 141. 142.
aa. Um dieſes Verhaͤltniß darnach unmittelbar zu be⸗
ſtimmen, §. 141.
bb. um ſolches nach einer andern daraus abgeleite⸗
ten zu eben dieſer Abſicht noch bequemern dor⸗
mel zu finden, §. 142.

B. Zuſatz zu H. 133Z.
I. Daß „
(coſ. 2 + V – I. ſin. 2) n = coſ. n z + V = I. ſin. n 2
ſey, fließt aus dem von Eulern gefuͤhrten Beweiſe bloß fuͤr
den Fall, wenn n eine ganze poſitive Zahl iſt. Da indeß,
wenn n eine ganze poſitive Zahl bleibt, auch
(coſ. 2 £ V — I. ſin. 2) 2n = coſ. 2 n 3z + V. — I. ſin. 2 nz

ſeyn muß, ſo bekommtiman, wenn man jene Formel durch

dieſe dividirt,

(coſ. 2 ¼ V — I. ſin. Z)n 01 nz V-— I. ſin. nz
(coſ. 2 V. — 1. ſin. 2) 2n coſ. anz . V=1. ſin. 2nz
oder

(coſ. 2z ½ V— I. ſin. 2) 2n = coſ. — n z £ — I. ſin. — n z.
Denn einmal iſt coſ. n 2 = coi. — nz, und ſin. –— n z = —
ſin. nz, und folglich E V — I. ſin. — n 2 = S I.
ſin. nz. Ferner iſt
coſ. nz — V. — I. ſin. n z.

—
— *

(eol. anz —. ſin. 2 nz) (coſ. n z + V — I. ſin. n 2)
“ wel⸗

3
(ooſ.
ſen nicht
ſondern a
Rkhonde
bon n 9
poſitiden

feſigeſt

ng ater
guls ſeiner

e
.
aß, .
ng de Ne
Keſsor

tlhart⸗

bete
Wyck e

.I, ln. a.
ſe e

—,M

rnel ug

1. Dh. 01
—
. ſin 1
—, UIA!

-
— III.
1
1.— 1-

2711

Zuſaͤtze zum achten Capitel. 515

welches zu finden man nur wirklich multipliciren, und das
Produkt nach Formel 1. 2. 3. und 4 des 130ſten §. veraͤn⸗
dern darf. Folglich iſt anch
(col. n⸗ = un. n = = coſ nz* V — I. ſin. nz
col. 2 n 2 T. V — I. ſin. 2 n z
und da nun coſ. n z = coſ. — nz, und V — I. ſin. n z = —
V=– I. ſin. — nz iſt, ſo iſt hieraus
coſ. nz V —– I. ſin. nz

coſ. 2 nz V — 1I. ſin. 2 n z

coſ. — nz V-= I. ſin. — nz = (coſ. nz V -— I. ſin. nz) èn
2. Vernetr iſt, wenn auch P eine ganze Zahl bedeutet

(coſ. „ V— I. ſin. 1 2) = coſ.2 — V — I. ſin. 2

und alſo coſ. 2V — I. nk die pte Wurzel aus
coſ. 2 +£+ V — I. ſin. z, oder

1
cof. 2 + .— I. ſin. F= (col 2 — — N— 1. ſin 2,P.
P

Nun ſey auch m eine ganze Zahl, ſo wird

m

(coſ. . 2 V — 1. ſin. )m = (col 2 V — r. ſin. N,
folglich
m In
coſ. 2 + V — I. ſin. 5 2 (coſ. z —I. ſin. 2).
P

3. Hiernach gilt alſo der Satz, daß
cefa & 2 NV — I. ſin. z) n = coſ. n 2z — V — TI. ſin. n z
ſey, nicht nur fuͤr den Fall, wenn n eine ganze poſitive Zahl,

4

ſondern auch, wenn es eine negative Zahl oder ein Bruch iſt.

Behandelt man ferner die fuͤr den poſitiven Bruch⸗Werth
von n gefundene Formel, wie Abſatz die fuͤr den ganzen
poſitiven Werth eben dieſes Buchſtabens ſchon von Eulern
feſtgeſetzte: ſo uͤberzeugt man ſich auch davon, daß — ſowohl
Kk 2 V po⸗

516 Zuſaͤtze zum achten Capitel.

poſitiv als negativ genommen werden koͤnne. Endlich laͤßt

ſich fuͤr jede Irrational⸗Zahl auf dem Wege der Naͤherung

ein Bruch finden, den man fuͤr ſie ſetzen kann und dadurch
iſt denn der obige Satz zugleich fuͤr die Irrational⸗ Werthe
von n bewieſen.

C. Zuſatz zu §. 140.
1. Da ich in dem Zuſatze B zum ſiebenten Capitel, Ab⸗
ſatz 8 bis 11, gezeigt habe, daß die Formel
32 5 „ 9
1=— 2X —= 1 1 t.
1— X I

nach dem von Eulern in dieſem Capitel geführten Beweiſe
bloß fuͤr den Fall dargethan worden, wenn Xx einen aͤchten

Bruch bedeutet: ſo entſteht beym gegenwaͤrtigen § die Frage:

Ob nicht darin die gedachte Formel uͤber ihre Grenzen aus⸗
gedehnt werde, indem fuͤr x die imaginaͤre Groͤße V — 1
tang.z geſetzt wird? Muͤßte man nicht in den Formeln
A* — I 1 k, und „ = 1I(1 † k a), §. 114, desgleichen in

I

1 Xe) = = x; und i « = c 12)1— 1), F. 119, a, k,

X und ſchlechterdings als unbenannte Zahlen betrachten,

wie ſolches bey einiger Ueberlegung von ſelbſt einleuchtet:
ſo ließe ſich vielleicht darauf antworten, daß man V —– I

tang. z als einen aͤchten benannten Bruch, deſſen Name

V — 1 ſey, anſehen foͤnne, und daß alles das, was von
Zahlen uͤberhaupt gelte, auch bey den Arten derſelben ſtatt
finden muͤſſe. Allein da aus dem angefuͤhrten Grunde die
zu Anfange des § ſtehende Formel bloß fuͤr die unbenannten
Zahlen exwieſen iſt, ſo laͤßt ſich daran mit nicht dem ge⸗
ringſten Recht e denken.

*

„6

11

1—

in dem o
fugniß ge

dieſes Ge

Ouf ihn fo
ſt, ſo wird
ſch, d!

1

—

1—1

ſotᷣ ſe ou
Aipes cneiti

Pjulcn ſeben

gels, ob ſ
wie dch s
ſer Crweit

Geſe be
telſt der D
hierbey we

nbthige

dem Vorf
Iferenti
diein
feſgteten

10— 9,
und daß

nenl Pete

—

zihotoe 4 N
Uhelen e
11 Ann de en
ſſ liſu

4 Gtunerck

bund R

4
wbebnen

ℳ%
Nitt ut⸗

Zuſaͤtze zum achten Capitel. 517

2. Es ſcheint alſo allerdings zugegehben werden zu muͤſ⸗

ſen, daß Euler den Satz:

I † x 2*½3 2X 5S½ 2X7 2 X9

1—= 22 — -= 51 7 t 1 z.;

1 — X

in dem oben ſehenden § nicht mit der erforderlichen Be⸗
fugniß gebrauche. Allein da das, was Euler vermittelſt
dieſes Satzes in dem gedachten §. und in den beyden
auf ihn folgenden gefunden hat, eben ſo wahr als wichtig
iſt, ſo wird dadurch in einem ſehr hohen Grade wahrſchein⸗
lich, daß der Satz,

1 † 1 2X3 2X5 2XxX7 2X9
1— = X 1 1 t1 r r.

ſo wie auch die beyden, aus welchen er hergeleitet worden,

eines weitern Umfangs faͤhig ſeyn, als ihnen nach Zuſatze

B zum ſiebenten Eapitel zukoͤmmt; und es fraͤgt ſich daher,
theils, ob ſich ſolches ſo verhalte? theils, wenn dieſes iſt,
wie ſich alsdann die obige Einſchraͤnkung derſelben mit die⸗

ſer Erweiterung ihrer Grenzen verttaget .

3. Vorausgeſetzt, daß d. Ix = — iſt, mag eine

Groͤße bedeuten, was fuͤr eine es will, ſo laͤßt ſich vermit⸗
telſt der Differential Rechnung, (denn zu dieſer muß man
hierbey wohl ſeine Zuflucht nehmen, wenigſtens ſehe ich mich
genoͤthiget, am gegenwaͤrtigen Orte eine Ausnahme von

dem Vorſatze zu machen, in dieſem Werke nichts aus der

Differential⸗Rechnung zu beruͤhren,) ſehr leicht beweifen,
daß die in dem Zuſatze Bzum ſiebenten Capitel, Abſatz 8 — 11,
feſtgeſetzten Einſchraͤnkungen fuͤr die daſelbſt fuͤr 1C1 † ),

I X e
101— 2), , gefundenen Formeln wegfallen koͤnnen,

5
und daß alle dieſe Formeln ihre Guͤltigkelt behalten, man
Kk 3 mag

518 Zuſaͤtze zum achten Capitel.

mag darin fuͤr X eine Groͤße ſetzen, welche man will. Denn

ſectzt man zuvoͤrderſt

1(1 – x) = A † BX † Cx2 † DxX3 † Ex4 † Par ꝛc.
welches allemal erlaubt iſt, wofern man die Werthe von

A, B, C, D, ꝛc. erſt aus dieſer Gleichung beſtimmt, ſo

erhaͤlt man, wenn man differentiirt,
— dx

— Br † 2CX dx † 3DX2dx †4 Exsdæ † ꝛc.

1I —

und wenn man beyde Haͤlften dieſer Gleichuͤng durch dx
dividirt,

— B F2CXT3DX2 1 4Exs 15Fxa r.

und hieraus durch die Multiplication mit 1
PIS=BFT2CX † 3 DX2 † 4EX3 † 5 FXA † ꝛc.
BX — 2CXa 3 D Xx3 —4 E X4 —¾1:.
Da nun X als eine veraͤnderliche Groͤße jeden Werth haben
kann, ſo fließt hieraus, wenn man X = o ſetzt

.

und da B nicht anders = — I1 ſeyn kann, als wenn fuͤr
jeden andern Werth fuͤr
0 = † 2 CxX † 3DX2 † 4EXx3 † 5§5 FX4 † ꝛc.
E Bx 2CxX2 – 3 Px3 £ 4 ExXA ꝛe.
iſt, ſo iſt dadurch auch die Wahrheit dieſer Gieichung er⸗
wieſen Aus ihr aber wird
2Cα% D =2C= 4 — 3 D= 5F* 45= 0 ꝛc.
folglich, da B = + 1 iſt,
I

M T I
. C = — —; — — — ; E = — —;
2 3 4

und alſo

X2 x3 X4 X5 Xx6
ICI –x) = = - — – £ — — — £ — — — :ꝛc.
2

1 ½

erlaubt
obgelei
ſegt we⸗
Und wos
an ſch
herzeu
lll⸗

Adan
fehet,
. . —
112
tV.
1 1
P V-

Und ehen
vorherge

dl. Denn

iirts,
Neh de
M

4 rid?

c e

1 Eleihtng e

S

Zuſaͤtze zum achten Capitel. 519

4. Laͤßt ſich nun in dieſer Formel fuͤr x jede Groͤße ſetzen,
ſo braucht das weiter nicht bewieſen zu werden, daß ſolches
auch in der Formel

erlaubt ſey, indem dieſelbe aus jener auf eine ſolche Art
abgeleitet iſt, daß in ihr alle die Werthe fuͤr X muͤſſen ge⸗
ſetzt werden koͤnnen, welche man in jener dafuͤr ſetzen kann.
Und was die imaginaͤren Werthe betrifft, ſo ſetze man, wenn
man ſich in Anſehung ihrer durch einen beſondern Beweis

uͤberzeugen will,

101+2 V — 1) = A † Bz † Cz⸗ † Dz3 † Ez4 † F 25 † :e.

Alsdann findet man, wenn man wieder ſo wie vorhin ver⸗
faͤhrt, nach und nach
W — I dz
I + 2 V — I
— B †P 2 Cz † 3 Pzz 1 4 E 23 † SFza † 1c.
1 + 2 — I
P V—I= B † 202 f† 3 Dze † A4EZ3 † ꝛc.
V -=— I. Bz 2 V — I. Cz 2 P 3 V 1.Pz 3. c.

= B dz † 2 Czdz † 3 Drzde † 4rdet.

= . V — 1
aC r B= 30 E2 . C= 4E 3 — I. D = o,ꝛc.
1 — 1 N — r
— † — 3 — + — — E= –— —; F= P –= z l.
2 3 4 5
22 23 V — I 24
1 (1 ” „
2 3 4
25 V — I
5

und eben dieſes erhaͤlt man aus der Formel am Ende des
vorhergehenden Abſaßzes, wenn man darin 2 V – I fur X ſetzt.

Kk 4 Kr 5.

520 Zuÿſatze zum achten Capitel.
5. Hiernach iſt alſo das keinem Zweifel unterworfen,

daß die für 1(1 X), 1 (1 — ), und 1— bekannten For⸗

n fuͤr X jeden Werth zulaſſen, wenn fuͤr jeden W Werth

von X, er ſey poſitiv oder negatio, reell oder imaginaͤr,

d x
d. 1 = iſt; allein dieſes muß denn auch, ehe man wei⸗

ter ſchließt, zuvor außer allen Zweifel geſetzt ſeyn, und ich
darf hier dieſe Unterſuchung um ſo weniger unterlaſſen, da

ſonſt die in den Zuſaͤtzen zum ſiebenten Capitel geaͤußerten

Behauptungen von einer Seite angegriffen werden zu koͤn⸗
nen ſcheinen moͤgten, von welcher ſie doch, genau betrachtet,

nur noch mehr Beſtaͤtigung erhalten.

6. Euler beweiſet den Satz, daß, wenn y = 12½ ge⸗

ſetzt wird,
dx

ſey, im erſten Theile ſeiner Inſtitutionum Calculi differen-
tialis, im ſechsten Capitel „ §. 180. fuͤr die hyperboliſchen
Logarithmen auf folgende Art. Setzt man y = Ix, ſo
geht, wenn man X † dx fuͤr x nimmt, y in y † dy uͤber
Es wird folglich

yT dy = I (X †T dX), und dy = I(X † dx) — lx =I (1 1.

Da nun, wenn die hyperboliſchen kogarithinen genommen
werden,

22 2 3 2 £ 2 *

it, ſ ſo ergiebt ſi, „wenn man fuͤr 2 in dieſe Formet

bringt, .
dzx dxz AX3

dy = — — —

X 2X ½ 3 *¾3

und

70 ℳ 9
Paſe

7 30
den. V.
klein ane
Ponf di

weil 9

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tikeid de⸗

than, a

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Nrliſen, N

4

4 .
uerten

n hercchte,

nfelip

S
don Eleren⸗

mon f

Uh B

Zuſaͤtze zum achten Capitel. 521
und da alle Glieder dieſer Reihe vom zweyten an gegen

das erſte ver ſchwinden, ſo iſt

d
aqy= S

7. Zu dieſem Beweiſe füͤgt er im 181ſten § noch folgen⸗

den. Wenn p irgend eine Zahl bedeutet, und unendlich

klein angenommen wird, ſo kann man den Logarithment von
P auf die Art ausdeucken, daß man
— be“ — I
ſetzt. Hieraus ergiebt ſich durch die Differentiation
d. 1p = d. 1 p*“ = pe- T dp =
2 DZ bp
weil« als eine unendlich kleine Groͤße in per1dp gegen — 1
verſtee M
8. Allein durch beyde Beweiſe wird offenbar die Rich⸗

dXA
tigkeit der Formel, dqy = d. 15« = — — nicht weiter darge⸗

than, als ſo weit ohne Diferential⸗Rechnung die Richtig⸗

keit der Formeln
3 4 5*
11 — 1— 2c.

— 1

erwieſen worden iſt, und alſo bloß fuͤr den Fall, wenn von
den Logarithmen abſoluter Zahlen die Rede iſt, und im

Fall dieſe Zahlen als poſitiv angeſehen werden, ſolches un⸗
ter der S. 5ol. f. Abſatz 27 und 28 beſchriebenen Einſchraͤn⸗

kung geſchieht. Nun kann man zwar die obige Formel auch
geometriſch an der Logarithmiſchen Linie darthun, aber man
gewinnt dadurch in Anſehung des Umfangs derſelben nichts,

und es ſcheinen demnach die Formeln

522 Zuſaͤttze zum achten Capitel.
22 x3 X4 x5
I(I ) = -+ 2 — £ - — + — — ꝛc. und
2 3 4 5
I X 2 * 2X 3 2X 2Xx7 W
11X — 2 † 2X2 † 2 † ꝛc.
1 — X 1 3 5

ſelbſt von der Differential⸗ Rechnung keine Erweiterung zu
erwarten zu haben.

9. Wahr muß es indeß doch ſeyn, daß man in der For⸗

mel dy = d. 1x = — fuͤr X jede Groͤße, ſie mag poſitiv

oder negativ, eine ganze oder gebrochene Zahl, reell oder

imaginaͤr ſeyn, ſetzen koͤnne; denn wie waͤre es ſonſt moͤg⸗

lich, daß man bey dem haͤufigen und mannigfaltigen Ge⸗
brauche dieſer Formel dennoch durch dieſelbe zu keinem Irr⸗
thume verfuͤhrt worden waͤre? Die Art, wie ich mir hier die

Schwierigkeiten aus dem Wege zu raͤumen geſucht habe,
und welche ich bey dieſer Gelegenheit Kennern zur Pruͤfung

vorlegen will, iſt folgende.

10. Ich habe in den Zuſaͤtzen zum ſtebenten Capitel zu
zeigen geſucht, daß die Logarithmen, wenn die Baſis ihres
Syſtems und folglich auch die Zahlen, zu welchen ſie ge⸗

hoͤren, nicht abſolute genommen werden, nicht bloß zu po⸗
ſitiven ſondern auch zu negativen, ja ſelbſt zu einer unbe⸗
grenzten Menge imaginaͤrer Groͤßen gehoͤren, jeder einzelne
Logarithme nemlich zu allen den Groͤßen, welche mit der
poſitiven, zu welcher er gehoͤrt, aus einer Groͤße und durch
einerley Erhebung zu Dignitaͤten und Extraction der Wurzel
entſpringen. So findet man z. B. wenn man den Ausdruck

und. iſt nun X = am, und † a die Baſis eines Loga⸗
ritmiſchen Syſtems, ſo iſt IX4 = laAm = Am, und

10 ) = 1 ð

ſehne,

ſt, die

— X ein

nogiͤr

Menged
o ols
es zug
poſtiv⸗
Grbßen
x,
logaritht
nnehe als

Alx =

langlich

Ax
—, Un
A

Wen eine
don der

al n

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eſterung A

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nin oſt

WNe
ſens W

e Boſe iene

Gert
Noope⸗
enee mde⸗
de einehe
R NNW
und urh
de Quce
uüdeus

W

Zuſatze zum achten Capitel. 523

— 1 – *$ V — I. Cben ſo gehoͤrt uͤberhaupt der Loga⸗

rithme, der zu † X gehoͤrt, da † einer von den Werthen
2n

iſt, die in (.2) begriffen ſind, auch zu — x, weil auch

2

— x ein Werth von *) iſt, und außerdem noch zu allen

2n

imaginaͤren Gröoͤßen, die in († „)* denthalten ſind, und deren
Menge deſto greoͤßer wird, je groͤßer man n annimmt. Dies
alſo als ausgemacht vorausgeſetzt, und man muß entweder
es zugeben, oder die Logarithmen gar nicht bey wirklich
poſitiven und negativen, und noch weniger bey imaginaͤren
Groͤßen brauchen; ſo weiß man, daß fuͤr jede Groͤße von
zu † X, — X, † X V — I, – XV — I nicht mehr als ein
Logarithme gehoͤrt. Da nun eine und dieſelbe Groͤße nicht
mehr ars⸗ ein Differential hat, und der Satz, daß d. 1 † æ =

d. 1 — — ſey „durch die vorhin angefuͤhrten Beweiſe hin⸗
laͤnglich dargethan iſt: ſo iſt klar, daß auch d. 1 — X =
4d. 1 X V— I/S d. 1 — X — 1 = ſeyn muß. Aber es

. — d V.— I. dza — V — I. dx
iſt auch — „desgleichen I.X und —,— — =

, und man findet folglich das Differential des Logarith⸗

men einer negativen Groͤße — x, und der imaginaͤren Groͤßen

von der Zoem e X V — 1I, wenn man ſolches nach der For⸗

mel d. 12 = 42 2 ſucht, indem man darin fuͤr 2ͤ allenthalben

die Groͤße ſetzt, deren Logarithmen⸗Differential man verlangt.

IIA.

R
SSõ
4

524 Zuſaͤtze zum achten Capitel.

11. Hier haͤtte ſich alſo eine von den Gelegenheiten ge⸗

funden, deren ich S. 505. n ſan 31. gedacht habe. Allein

wenn die Formel d. I2z = — fuͤr jeden Werth von 2 gilt,

und wer darf ſolches, ſeloſt wenn er den hier gegebenen
Beweis nicht brauchen will, leugnen, da darauf in der
Differential⸗ und Integral ⸗Rechnung ſo viel beruhet? ſo
iſt dadurch auch, wie ſchon geſagt, die 2 Guͤltigkeit der
Sormein
X2 . X X4 X5

— — — — — kc. 1
2 3 4 . und
I1 † „ 2X3 2 X5S 2Xx7
3 5 7

fuͤr ſeden Werth von x außer allen Zweifel geſetzt; und nun
muß man folglich auch zugeben, daß

und zugleich
1— 2= 26 r er ꝛc.)
ſey, indem man aue, um jene Beſtimmung zu finden, in
der Formel

I PTX 2 x 2 45 2
— 20.
1— 3 5 7 1

XxS= 3 ſetzen darf. Hier entſtehen aber neue Schwierig⸗

keiten. Sollen die angefuͤhrten Formeln bloß in den in dem

Zuſatze B zum ſiebenten Capitel feſtgeſetzten Einſchraͤnkungen

gelten? Wie kann denn die Differential⸗Rechnung ſie al als
allgemein guͤltige FJormeln darſtellen? Oder will man ſie
fuͤr

ſe den!
Gbann
n, den!
ſnden im
daß man
Logaritht
negatide
Loharitin

det 0

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Pweh on
und beyd
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— ,W

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— .

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n Mden
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Gl nu

fuͤr jeden Werth von X guͤltig annehmen. Wie ſoll man
ſich dann den doppelten unendlich großen Logarithmen den⸗
ken, den man dabey durch ſie fuͤr jede negative Zahl zu
finden im Stande iſt? Wie ſoll man ferner das erklaͤren,
daß man nach keiner von dieſen Formeln den unmoͤglichen
Logarithmen, den nach den gewoͤhnlichen Vorſtellungen jede

negative Zahl haben ſoll, und eben ſo wenig den reellen

Logarithmen, der ihr nach meiner Vorſtellungsart zukommt,
findet? Endlich, wie kann eine jede negative Zahl außer

den reellen Logarithmen, den ich ihr beygelegt habe, noch
zwey andere reelle, einen poſitiven und einen negativen,

und beyde unendlich groß, und jenen, ſoweit man hier ver⸗
gleichen darf, groͤßer als dieſen haben, da doch allgemein
behauptet wird, daß ſelbſt jeder poſitiven Zahl nicht mehr
als ein reeller Logarithme zukomme, und ich ſo gar keiner
Zahl mehr als einen Logarithmen eingeraͤumt habe? So

groß auch dieſe Schwierigkeiten zu ſeyn ſcheinen, ſo ſind
ſie gleichwohl nichts weniger als unuͤberſteiglich, indem die

Quelle davon lediglich in einem nicht hinlaͤnglich deutlichen

und beſtimmten Begriffe von den poſitiven und negativen

Zahlen und von den Logarithmen liegt. Ich will verſuchen,
ſie auf eine befriedigende Art aus dem Wege zu raͤumen,
muß aber dabey um Erlaubniß birten, einige von den Vor⸗
ſtellungsarten, die ich bereits in meinen Briefen uͤber die
Buchſtabenrechnung und Algebra, ſo wie auch in meinen
Anfangsgruͤnden der Buchſtabenrechnung und Algebra ge⸗

braucht habe, auch hier gebrauchen, und dieſelben, um den

Leſer des Gegenwaͤrtigen die Muͤhe des Rachſehens zu er⸗
ſparen, zum voraus kurz mittheilen zu duͤrfen.

12. Daß Zahlen V. Mengen von Einheiten ſind, iſt aller⸗

dings eine richtige Vorſtellung, allein man reicht damit

nicht aus, wenn man die Regeln der Arithmetik weiter als
SW auf

526 Zuſaͤtze zum achten Capitel.

auf die abſoluten und unbenannten Zahlen ausdehnen will,

und mehr zu thun hat, als zu addiren und zu ſubtrahiren.

Denn will man ſich jede Zahl bloß als eine Menge von Ein⸗
heiten denken, ſo iſt eine benannte Zahl auch weiter nichts
als eine Menge benannter Einheiten, und eben ſo jede po⸗
ſitive Zahl bloß eine Menge poſitiver, und jede negative
Zahl bloß eine Menge negativer Einheten. Allein was
ſoll man ſich dabey unter der Multiplication, Diviſion ꝛc.
mit einer benannten Zahl vorſtellen? Oder ſoll man ſagen,
daß man in keinem Sinne mit einer benannten Zahl mul⸗

tipliciren oder dividiren k—oͤnne? Wie kann man alsdann

in der analytiſchen Geometrie von Produkten gerader Li⸗
nien, und in der angewandten Mathematik von Produkten
aus Kraͤften in ihre Entfernungen u. d. gl. reden? Und da

ſich die benannten Zahlen von den unbenannten bloß darin

unterſcheiden, daß ſie außer der Menge der Theile, welche
dieſe allein zu erkennen geben, auch noch die Art ber Theile
anzeigen, und alſo außer den weſentlichen Eigenſchaften der
Zahlen nach etwas Zufaͤlliges ausdrucken: ſo muͤßte man,

wenn man die Multiplication und Diviſion benannter Zah⸗

len nicht gelten laſſen wollte, auch die Multiplication und

Diviſion poſitiver und negativer Zahlen verwerfen, denn

im Grunde ſind ja die poſitiven und negativen Zahlen nichts
anders, als eine beſondere Art von benannten Zahlen. Es
iſt daher beſſer, wenn man ſich die Zahlen als Begriffe,
welche die Entſtehungsart einer Groͤße aus der erſten abſo⸗
luten Einheit, oder aus Eins darſtellen, und die Zifern
als die Zeichen dieſer Begriffe gedenkt; und demnach jede
abſolute Zahl weiter nichts anzeigen laͤßt, als daß man die
erſte abſolute Einheit oder Eins, ohne allen weitern Zuſatz,
mehrere Mal nehmen, den benannten und poſitiven und
negativen Zahlen aber die Bedeutung giebt, daß man dar⸗
nach

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Zuſaͤtze zum achten Capitel. 527

nach zuvoͤrderſt die erſte abſolute Einheit mehrere Mal neh⸗
men, und darauf der gefundenen Menge den Namen oder
das Zeichen der gegebenen Zahl zuſetzen ſolle.

13. Um von dieſer Aumerkung an dem gegenwaͤrtigen
Orte weiter keinen Gebrauch zu machen, als den, um deſſen
willen ich ſie habe herſetzen muͤſſen, ſo iſt eigentlich unter

zwey entgegengeſetzten ſonſt gleichen Zahlen, wenn man beyye

aus der erſten abſoluten Einheit entſtehen laͤßt, in An ſehung
dieſer Entſtehungsart, im Allgemeinen betrachtet, kein Unter⸗
ſchied, indem man bey der einen die erſte abſolute Einheit
eben ſo vielmal als bey der andern nehmen, und dann auch
bey der einen ſowohl als bey der andern die erhaltene ab⸗
ſolute Zahl durch Hinzufuͤgung einer zufaͤlligen Beſtimmung
modificiren muß. Wollte man hieraus die Folge herleiten,
daß auf dieſe Weiſe in Anſehung der Entſtehungsart aller
Unterſchied zwiſchen den poſitiven, negativen, und benann⸗
ten Zahlen jeder Art, ſelbſt wenn ihr Name eine unmoͤgliche
Groͤße ausdruckt, wegfalle, wofern nur bey allen dieſen
Zahlen eine und dieſelbe Zifer ſtatt finde, und alſo die Ent⸗
ſtehungsart von † æ, von — X, von † X V — I, von
— 5XV. — I u d. gl. aus der erſten abſoluten Einheit die⸗
ſelbe ſeyn muͤſſe: ſo laͤßt ſich dawider nichts einwenden, es
wird ſich aber bey genauer Ueberlegung auch finden, daß
ſich dieſes, ſo lange man beym Allgemeinen ſtehen bleiht,
ſehr wohl behaupten laſſe, und am allerwenigſten ſteht da⸗
her wegen der aus jener Behauptung hier zu ziehenden
Folgen etwas zu befuͤrchten. Wenn alſo die Entſtehungs⸗
art einer nicht abſoluten Zahl aus der erſten abſoluten Ein⸗
heit gegeben iſt, ſo muß entweder dabey die zufaͤllige Be⸗
ſtimmung ausdruͤcklich angezeigt werden, wodurch die ge⸗
dachte Zahl zu einer nicht abſoluren Zahl wird, oder es

wird dieſe Zahl durch die gedachte Entſtehungsart nicht

genau

S29 Zuſatze zum achten Capitel.

genau beſtimmt; und iſt die erwaͤhnte zufaͤllige Beſtimmung
bereits gegeben, ſo bleibt in Anſehung der Entſtehungsart
der Zahl aus der erſten abſoluten Einheit nichts weiter an⸗
zuzeigen uͤbrig, als wie vielmal man dieſe zu nehmen habe.

14. In einem Logarithmiſchen Syſteme werden nun alle
Zahlen als aus der Baſis durch die Erhebung zu Dignitaͤ⸗
ten und die Ausziehung der Wurzeln entſtanden betrachtet,
und die Exponenten, welche jedesmal anzeigen, wie man
die Baſis durch die Erhebung zu Dignitaͤten und die Ex⸗

traction der Wurzel veraͤndern muͤſſe, um gegebene Zahlen
zu finden, die Logarithmen dieſer Zahlen genannt. Dabey
nimmt man die Baſis der Bequemlichkeit wegen groͤßer als

die Einheit an, ſo daß die Logarithmen aller Zahlen, die
groͤßer als die Einheit ſind, poſitiv, und die Logarithmen
aller aͤchten Bruͤche negativ werden. Wird nun außerdem
die Baſis auch abſolute angenommen, ſo iſt der Logarithme
hinlaͤnglich, um jede Zahl genau zu beſtimmen, weil dann
jede dieſer Zahlen auch abſolute genommen werden muß;

legt man aber eine nicht abſolute Zahl zum Grunde, ſo fuͤhrt

jeder Logarithme m, insbeſondere, wenn man ihn im
+ — verwechſelt, auf mehr denn eine Zahl, und es wird

alſo dadurch bloß die Zifer dieſer Zahlen, nicht aber die
Einheit oder das Zeichen beſtimmt, welches man ſich dabey
gedenken muß, um ſie vollkommen zu kennen. Wenn alſo eine
Zahl durch ihren Logarithmen gegeben wird, ſo findet man,
wenn man die Baſis nach dieſem Logarithmen behandelt,
am Ende weiter nichts, als wie ihre abſolute Zifer aus der
erſten abſoluten Einheit durch Wiederholung und Theilung
derſelben heivorgebracht werden kann: uͤber die Einheit,

welche man ſich dabey gedenken ſoll, ſagt der Logarithme

nichts, und eben deswegen ſind bloß die abſoluten Zahlen
durch

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duech

Zuſaͤtze zum achten Capitel. 529

durch die Baſis und den Logarithmen vollkommen be⸗
ſtimmt, weil man die Einheit ſchon zum voraus kennt,
worauf ſie ſich beziehen.

15. Um ſich dieſes noch deutlicher zu machen, ſo ele
man ſich die Zahlen nach folgendem Schema vor.

ſtI—r,2 V - r, 3 V -1,t4 — 1, 5 V-T, T ..
oj I „ 2 „ 3 „ 4 „ 5 „ ..
— 1 „— 2 — 3 „ — 4 — 5 „ .
1—1IV— 1, — 2 V 1, V 1, —I, — 5V — I,—.

Nach demſelben ſind alle Zahlen zwiſchen den Grenzen o
und Oο enthalten. Ferner kann man, wenn man bald dieſe
bald jene Einheit annimmt, jede Zahl als eine Menge von

Einheiten anſehen, und z. B. † 5 — 1 als das Fuͤnffache
von † 1IV — I, † 5§ als das Fuͤnffache von † 1, § als das

Fuͤnffache von 1, — 5 als das Fuͤnffache von — 1, und
— 5 V — 1 als das Fuͤnffache von — 1 V — I betrachten.
Aber eben ſowohl laͤßt ſich drittens jede Zahl als aus der
erſten abſoluten Einheit entſtanden annehmen, indem man
jedesmal die unter oder uͤber ihr ſtehende abſolute Zahl auf

die gewoͤhnliche Art aus dieſer Einheit hervorbringen, und

dann hieraus jene Zahl durch Hinzuſetzung des Zeichens
oder des Namens, wodurch ſie ſich unterſcheidet, erhalten
kann. Endlich laͤßt ſich jede abſolute Zahl entweder genau
oder naͤherungsweiſe aus jeder andern abſoluten Zahl durch
die Erhebung zu Dignitaͤten und die Ausziehung der Wur⸗
zeln erhalten, und jede nicht abſolute Zahl, ihrer Zifer nach,
aus eben dieſer Zahl und auf eben dieſe Art entſtanden ge⸗
denken; ſo daß man ſich alſo auch jede nicht abſolute Zahl
als aus jeder beliebig angenommenen abſoluten Zahl durch
Veraͤnderung derſelben nach irgend einem Exponenten, und
Eulers Einl. in d. Angl, d. Unendl. I. O. Ll durch

durch Hinzuſetzung des ſie unterſcheidenden Zeichens oder
Namens zu dem durch dieſe Overation gefundenen hervor⸗
gebracht vorſtellen kann.

16. Will man die poſitiven und negativen und die un⸗
moͤglichen Zahlen von der Form X V — I nicht auf dieſe

Art aus einer abſoluten Baſis ableiten, ſo kann man auch

eine poſitive oder negative Zahl zur Baſis an nehmen. Aber

wenn man dieſes thut, ſo kann man allemal † X, — ,
† xX V – I und — X V — I durch eine und dieſelbe Opera⸗

tion aus der angenommenen Baſis hervorbringen, und es
wird alſo alsdann durch die Baſis und den Exponenten
bloß X genau beſtimmt, und es bleibt ungewiß, ob daſſelbe po⸗
ſitio oder negativ ſey, und ob es ſich auf eine moͤgliche oder
auf eine unmoͤgli che Einheit beziehe. Man mag alſo die
Baſis annehmen, wie man will, ſo iſt man aus dem Loga⸗
rithmen einer Zahl weiter nichts im Stande zu ſchließen,
als wie groß dieſelbe in Vergleichung mit der Einheit ſey,
. wovon ſie als ein Vielfaches betrachtet werden kann, aber
dieſes zeigt denn auch der Logarithme, ohngeachtet er uns
uber die gedachte Einheit in einer voͤlligen Ungewißheit laͤßt,
jedemal genau und richtig an. Und da X V –— 1:
2 1V —–I = T x: 1 =— X: I iſt, ſo kommt man hier⸗
durch wieder auf den Satz zuruͤck, daß die Zahlen EKx V — 1,
„ nicht mehr als einen Logarithmen, und zugleich, daß
ſie denſelben Logarithmen haben, der der abſoluten Zahl „
zukommt.

17. Die Paſis als bekannt vorausgeſetzt, lehrt alſo der
Logarithme einer Zahlt! weiter nichts, als wie groß dieſe Zahl
ſey, aber dies allemal; denn wenn die Baſis groͤßer als die
Einheit angenommen worden iſt, ſo iſt bekannt, daß die
Logarithmen mit den Zahlen, zu welchen ſie gehoͤren, wach⸗
ſen und abnehmen. Es haͤngt ſelglich auch jeder Logarithme
nicht

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Zuſaͤe zum achten Capitel. 531

nicht von der Beſch haffenheit, ſondern bloß von der Groͤße
der Zahl ab, zu welcher er gehoͤrt, und wenn die Beſchaf⸗
fenheit einer Zahl auf die Beſtimmung des Logarithmen

Einfluß haben ſoll, ſo muß ſie eine ſolche Beſchaffenheit

ſeyn, daß ſie auch als eine Groͤßen⸗Beſtimmung gedacht
werden kann. Iſt dieſes, ſo iſt der gedachte Einfluß nicht

nur moͤglich, ſondern er muß ſich auch allemal aͤußern, ſo
oft man die erwaͤhnte Vorſtellung zum Grunde legt, aber
eben ſo auch mit dieſer Vorſtellung zugleich wieder ver⸗

ſchwinden. Hier fraͤgt ſich alſo: Kann man die durch die
Zeichen und — und durch die Benennungen poſitiv und
negatio ausgedruckten zufaͤlligen Beſchaffenheiten der Zah⸗
len auch als Groͤßen⸗Beſtimmungen anſehen? und wie
wird, wenn dieſes moͤglich iſt, die Groͤße der Zahlen durch
die gedachten Zeichen und Benennungen beſtimmt? Auf
der Beantwortung dieſer Frage beruhet, ſo viel ich einſehe,
durchaus, die Moͤglichkeit der Wegraͤumung der Abſatz 11
erwaͤhnten Schwierigkeiten, und es wird alſo der Muͤhe

nicht unwerth ſeyn, dieſelbe zu unterſuchen.

18. Gewoͤhnlich macht man zwiſchen den abſoluten und

poſitiven Zahlen keinen Unterſchied, und ſtellt ſich dann die
negativen Zahlen als aus den poſitiven durch fortgeſetzte

Subtraction der 1 vor. Dabey findet man kein Bedenken,
die poſitiven Zahlen groͤßer und die negativen Zahlen klei⸗
ner als 1 zu nennen, und macht alſo hier ſchon das Zei⸗
chen — und die Benennung negativ zu Bezeichnungen einer
Groͤßen⸗Beſtimmung. Auch muß man geſtehen, daß dieſe
Vorſtellung von den negativen Zahlen als eine relatioe Vor⸗

ſtellung behandelt, nicht nur keine Irrthuͤmer erzeuge, ſon⸗ .
dern ſelbſt oͤfters zur leichtern und ſchnellern Entdeckung der

wahren Beſchaffenheit der Groͤßen diene. Aber man rede

nicht relative ſondern abſolute von Groͤßen, die kleiner ſeyn
LI 2 ſollen

532 Zuſatze zum achten Capitel.

ſollen als nichts; was laͤßt ſich dann fuͤr ein Begriff faſſen?

Wie alſo wenn man ſich die negativen Zahlen, wie auch
ſchon mehrere bey andern Gelegenheiten auf den Gedanken
gefallen ſind ebenfalls groͤßer als das Unendliche denken
koͤnnte? Eine Groͤße, die in einer und eben derſelben Ruͤck⸗
ſicht kleiner als nichts und groͤßer als das Unendliche ſeyn
ſollte, waͤre freylich ein Widerſpruch; allein wenn man die

negativen Groͤßen in einer Ruͤckſicht kleiner als nichts, und
in einer andern groͤßer als das Unendliche nennt, ſo kann

ja das ſehr wohl mit einander beſtehen. Auch laͤßt ſich
allerdings nicht leugnen, daß die Vorſtellung der negativen
Zahlen als groͤßer wie das Unendliche, vorausge ſetzt, daß ſie
ſtatt finden fann, der Natur der⸗ reiativen Vorſtel ungen
ter andern Umſtͤnden gebrauchen 1 will, as unter ſolchen,
wo ihre Guͤltigkeit dargethan iſt; allein das macht denn
doch dieſe Vorſtellung nicht an und fuͤr ſich und unter allen
Umſtaͤnden verwerflich. Euler verwirft ſie im erſten Theile
ſeiner Anleitung zur Differential Rechnung im zweyten Ca⸗
pitel im 100 und 104ten und den folgenden 55, allein wie
nachher gezeigt werden ſoll, mit Unrecht. Alſo zur Unter⸗
ſuchung der Frage, ob man, und unter was fuͤr Umſtaͤnden
man die negativen Groͤßen groͤßer als das Unendliche nen⸗
nen koͤnne?

19 So wie alle angebliche abſolute Zahlen zwiſchen o 0
und o enthalten ſind, ſo muß man ſich ſolches auch von
den poſitiven und negativen Zahlen vorſtellen, und zwar
ſo, daß man das poſitide und negative Unendliche eben ſo
wohl als die poſitive und negative o zuſammenfallen laͤßt.
Eine aͤhnt iche Beſchaffenheit haben z. B. die Tangenten der
Winkel Die poſitiven und negativen fangen beyde von o
an, und ſobald ſie unendlich groß werden, ſo ſind ſie es ſo⸗
wohl

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Zuſaͤtze zum achten Capitel. 533

wohl auf der poſitiven als auf der negativen Seite. Denkt

man ſich alſo die poſitiven und negativen Zahlen in ihrer

Folge nach dieſem Schema:
o11, † 2, † 3, T† 4, T S, 6, 17 †. .. .. .

— 1, — 2, — 3, – 4, —– 5, — 6, — — „ „* *° .. .

ſo kann man von den poſitiven Zahlen zu den negativen,

wenn man nicht durch die Veraͤnderung des Zeichens und
— ugmittelbar von jenen zu dieſen uͤbergehen will, theils
durch die Grenze o, theils durch die Grenze 00 kommen,
und es liegen alſo die negativen Zahlen, von den poſitiven

an gerechnet, nicht nur jenſeits o, ſondern auch jenſeits des

Unendlichen. Nun kann man ſich die Groͤße, die einer Zahl
in Vergleichung mit einer andern zukommt, wenn beyde
durchaus von einerley Art ſind, nach der Entfernung vor⸗
ſtellen, in welcher jene von dieſer entweder nach der Seite
der o oder nach der Seite des 00 zu ſteht, und thut man
es, ſo nennt man jede Zahl in Vergleichung mit jeder an⸗
dern deſto kleiner, je weiter ſie von ihr nach der Seite von
o, und deſto groͤßer, je weiter ſie von ihr nach der Seite des
Unend lichen hin entfernt iſt. Wenn man alſo die Zeichen
† und — nicht als Zeichen des Poſitiven und Regativen,
ſondern als Groͤßen⸗Beſtimmungen an ſieht, und dies ge⸗
ſchiehet, wenn man die poſitiven Zahlen und die abſoluten
nicht von einander unterſcheidet, und bey der Vergleichung
zweyer entgegengeſetzter Zahlen mit einander allemal von

Dder poſitiven ausgeht: ſo iſt allerdings jede negatioe Zahl

nicht nur kleiner als nichts, ſondern auch groͤßer als das
Unendliche, und dabey zugleich jedesmal um weniger klei⸗
ner als nichts, als ſie groͤßer denn das Unendliche iſt.
20. Legt man nun entweder eine abſolute oder eine mit

† bezeichnete Zahl, die groͤßer als 1 iſt zum Grunde, und

veraͤndert dieſe durch die Erhebung zu Dignitaͤten un nd die

Extraction der Wurzein, ſo daß man die Exponenten ſo⸗
Ll 2è2 wohl

534 Zuſaͤtze zum achten Capitel.

wohl der Dignitaͤten als der Wurzeln, welche man ſucht,

immer groͤßer und groͤßer werden laͤßt: ſo erreicht man auf
dem Wege der Erhebung zu Dignitaͤten das Unendl liche, und
auf dem Wege der Extraction der Wurzel die o nie, ſo
lange der Expponent eine angebl iche Zahl bleibt, ſondern
erſt, wenn dieſer Exponent unendlich und im letzter n Falle
zugleich negativ wird. Will man alſo auf dieſem Wege
uͤber das Unendliche und uͤber o hinaus gehen, ſo muß man
die zum Grunde gelegte Zahl nach einem mehr als unend⸗
lichen Exponenten veraͤndern, wobey man denn, wenn die⸗
ſer Exponent poſitiv iſt, uͤber das Unendliche, und wenn
er negativ iſt, uͤber o hinauskommt; und will man auf
beyden Wegen eine und dieſelbe Zahl finden, ſo muß,
da jede beſtimmte Zahl naͤher bey o als bey dem Uneno⸗

lichen liegt, der poſitive Exponent den negativen in An⸗

ſehung der Groͤße uͤbertreffen, obgleich beyde mehr als un⸗
endlich ſeyn muͤſſen.

21. Betrachtet man alſo die mit — bezeichneten Zah⸗
len ſo, daß man das Zeichen — nicht als das Zeichen des
Negativen anſieht, ſondern dadurch die Groͤße der Zahl, vor
welcher es ſteht, in Vergleichung mit den abſoluten Zahlen,
beſtimmt werden laͤßt: ſo laͤßt ſich jede negative Zahl auf
eine zwiefache Art, nemlich theils als eine mehr denn un⸗
endlich kleine, und theils als eine mehr denn unendlich

große Zahl gedenken; und nimmt man hierzu die Bedeu⸗
tung, die dieſelbe alsdann hat, wenn das Zeichen — als

das Zeichen des Negativen eigentlich genommen wird, ſo
ſtellt jede negative Zahl eine dreyfache Groͤsße, eine endliche,
und zwey mehr als unendliche, der Groͤße nach unendlich
verſchiedene, Zahlen vor. Uebrigens kommt es hier auf
keine Weiſe darauf an, ob jede negative Zahl dieſe beyden
letzten Bedeutungen allemal i haben koͤnne? es iſt hinlaͤng⸗
. ich,

l,
n Meſe
ſpon
ltreten
Ntauchbe
wirklich
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V 4

Zuſaͤtze zum achten Capitel. 535

lich, daß gezeigt worden iſt, mit was fuͤr Vorſtellungsar⸗

ten dieſe Bedeutungen zuſammenhaͤngen, und es verſteht

ſich von ſelbſt, daß ſie mit jenen Vorſtellungsarten zugleich
eintreten und verſchwinden. Das Bedingte iſt nur dann
brauchbar, wenn die Bedingungen, welche es voraus ſetzt,

wirklich da ſind, aber dann wird es ſelbſt unentbeh lich;

und es waͤre ſehr incon! ſequent und ſo gehandelt, wie man

es von Mathematikern nicht erwarten darf, wenn etwas
Bedingtes deswegen allgemein verworfen werden ſollte,
weil es nicht anders als unter den erforderlichen Bedinguge

gen gebraucht werden darf.

22. Um nun das Bisherige zur Auflöͤfung der S. 524.
525. Abſatz 11. angefuͤhrten Schwierigkeiten anzuwenden,

ſo beruhet die Guͤltigkeit der Formel

dx
d. lx = —
X

—

fir i⸗ Werth von « auf dem Satze, daß 1 † = I —

W

Bf ) und damit iſt folgender, den auch der vollſtaͤndig

deutli he Begriff von den Logarithmen an die Hand giebt,
unzer rennlich verbunden, daß der Logarithme jeder nicht

abſoluten Zahl weder von dem bey ihr beſindlichen Zeichen
noch von ihrem Namen, ſondern lediglich von der Groͤke

der abſoluten Zifer, welche ſie enthaͤlt, abhange. Unter

dieſer Vorausſetzung darf man ſich alſo auch nur die

Formeln
Xx2 X3 x4 XxsS X
1 (I T. 2X) = — k — — — — † — — D
2 3 4 5 6
1I † X 2 Xx32 2 Xk5 2X7 2 X
1— =— 25½ † — † — g— t 1 r.
1— X 3 S 27 9

urch die Differential Rechnung erweitert vorſtellen, und
ſt in iolglich auch durch ſie bl unter der Bedingu⸗ g bere ch⸗

— r — r ſen, (S. 522. 523.

Formel

536 Zuſaͤte zum achten Capitel.

tiget, in jene Formeln eten Beeth von x zu bringen, daß

die dabey fuͤr 1 + X oder —— ſich ergebende Zahl, oder

diejenige, deren Logarithmen man ſucht, als eine abſelute

Zahl betrachtet werde.

23. Dieſes vorausgeſetzt, ſo kann zuvoͤrderſt die Ein⸗
ſchraͤnkung der Formeln

X 3 5
welche ich ihnen in den Zuſatz B. zum⸗ ſebenten Capitel ge⸗
geben habe, ſehr wohl mit der Erweiterung ihrer Grenzen
beſtehen, welche ſie durch die Differential⸗ ⸗Rechnung er⸗

halten. Hiernach kann man zwar in jenen Formeln fuͤr x

jede Groͤße, ſie mag poſitiv oder negativ, reell oder ima⸗
ginaͤr ſeyn, ſetzen, und man iſt dabey insbeſondere in der

. „N

1r — )= -— — , — — — — — — — ꝛ.
2 3 4 5
ganz und gar nicht an einen abſoluten Bruch⸗Werth fuͤr
X gebunden. Allein nach dem dorhergehenden alen Ab⸗

ſatze muß dabey doch immer die fuͤr 1 — x und —,— ſich

ergebende Zahl als eine abſolute Zahl angeſehen, und nd folg⸗

lich, wenn ſie das Zeichen — vor ſich hat, ſolches bey ihr

nicht als das Zeichen des Negativen, ſondern als ein Zei⸗

chen einer Groͤßen⸗Beſtimmung betrachtet werden. Man
findet daher in dieſem Falle nicht den Logarithmen einer
negativen Zahl im gewoͤhnlichen Verſtande, ſondern einer
abſoluten Zahl, die man ſich entweder jenſeits o oder jen⸗
ſeits des mnendlichen liegend „und alſo entweder kleiner als
O

Node⸗
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N
fonnte,
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ml, ſir n

Uoder ima⸗
dere i der

Zuſaͤtze zum achten Capitel. 8537
o oder groͤßer als das Unendliche denken muß. Da nun in
dem Zuſatze B zum ſiebenten Capitel, ſo wie in der gemei⸗
nen Algebra immer, bloß von ſolchen Zahlen die Rede ſeyn

konnte, die zwiſchen o und O. fallen, und die Differentialæ⸗

Rechnung fuͤr dieſen Fall die daſelbſt feſtgeſetzten Einſchraͤn⸗
kungen nicht im mindeſten aufhebt: ſo iſt ja das nichts auf⸗
fallendes und noch weniger etwas widerſprechendes, daß
die Differential⸗Rechnung bey veraͤnderten Umſtaͤnden einen

andern, oder eigentlich bey einem erweiterten Ziele einen

breitern Weg zu gehen erlaubt.

24. Zum andern iſt nun ſehr leicht zu erklaͤren, warum
man fuͤr jede negative Zahl — m, wenn man einmal

1I – X = – m, und dann nn . = — m ſeyt, nach den
Formeln
xXy2 x3 x4 Xxs
J ler — ³) = - — — — — — — — — — XLT.
2 3 „
I † X 2X3 225
Rent r n.

einen doppelten unendlich großen Logarithmen findet. Die
erſte dieſer Formeln gilt nemlich nach S. 487. Abſ. 10. fuͤr
die Erfindung der Logarithmen der aͤchten Bruͤche, und die
andere zwar uͤberhaupt fuͤr die Erfindung der Logarithmen
jeder abſoluten Zahl, allein mit dem Unterſchiede, daß, wenn
x« poſitiv wird, der gefundene Logarithme zu einer Zahl,
die groͤßer als 1, und wenn negativ wird, zu einem aͤch⸗
ten Bruche gehoͤret. Setzt man alſo 1 — = — m, ſo
findet man aus . B

wenn man darin „ = m — I macht, den Logarithmen,
der zu — m als einem Bruche gehoͤrt, der kleiner iſt als o;
Ll 5 und

538 Zuÿſaͤtze zum achten Capitel.

und ſetzt man — — = — m, ſo wird = . T, und
alſo, wenn m groͤßer als 1 iſt, allemal poſitiv, und man
findet daher in dieſem Falle nach
I † X 2X3 2XS 2 X7

= eri 5 r 5 1 7 t1.

wenn man darin X = lni macht, den Logarithmen, der
zu — m gehoͤrt, wenn daſſelbe als eine Zahl betrachtet wird,
die jenſeits des Unendlichen liegt, und alſo als mehr denn
unendlich groß angeſehen werden muß.
„25. Drittens iſt nun auch leicht einzuſehen, warum

man nach keiner von den angefuͤhrten Formeln den unmoͤg⸗
lichen Logarithmen, den nach den gewoͤhnlichen Vorſtellun⸗

gen jede negative Zahl haben kann, und eben ſo wenig den

reellen Logarithmen, der ihr nach meiner Vorſtellungsart

zukommt, ſindet. Haͤtte nemlich auch jede negative Zahl
einen imaginaͤren Logarithmen, obgleich nach der im Zu⸗

ſatze B zum ſiebenten Capitel enthaltenen Theorie von den
Logarithmen ſolches nicht iſt: ſo muͤßte der Grund von der
Unmoͤglichkeit dieſes Logarithmen in der durch das Zeichen
— ausgedruckten Beſchaffenheit ſeiner Zahl liegen, und er
ſelbſt alſo nicht bloß von der Groͤße, ſondern auch von der
Beſchaffenheit ſeiner Zahl abhaͤngen. Allein nach Abſatz 22
ſindet man nach keiner von den bekannten Formeln, ſelbſt
wenn ſie durch die Differential⸗Rechnung die moͤglich groͤßte
Ausdehnung erhalten haben, den Logarithmen einer Zahl

weiter, als in ſo fern er von ihrer Groͤße abhaͤngt. Aus

eben dieſem Grunde kann man durch das im vorhergehen⸗
den Abſatze beſchriebene Verfahren nach jenen Formeln den

reellen Logarithmen nicht finden, den jede negative Zahl nach

meiner er Vorſtellungsart hat⸗ Denn ſobald — m = 1 — »

oder

ſder⸗

e O

dung d
auf en
dere;
Weg⸗
hleibt

Wen

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wera

andere
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Unen
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nn
E 21 —1
N

Zuſaͤtze zum achten Capitel. 539

I † xX „
oder = — geſetzt wird, um den daraus ſich ergeben⸗

den Werth von X in den gedachten Formeln zur Erfin⸗
dung des Logarithmen von — m zu brauchen, ſo hoͤrt — m
auf eine negative Zahl zu ſeyn, und erhaͤlt dafuͤr eine an⸗
dere zwiefache vorhin angegebene Bedeutung. Der einzige
Weg, den Logarithmen von X und X V — 1 zu finden,
bleibt daher der, daß man 1« ſuchet, und dieſen Logarith⸗
men nach der obigen Theorie auch als den Logarithmen von
+ x und — 2 V — I und uͤberhaupt von allen den Groͤßen

betrachtet, die mit X aus der angenommenen Baſis
nach einerley Exponenten zugleich hervorgebracht wer⸗
Dden koͤnnen.

26. Endlich ſtellt nach Abſatz 21 jede negative Zaht
eine dreyfache Groͤße, eine endliche und zwey mehr als un⸗
endliche der Groͤße nach unendlich verſchiedene Zahlen vor.
Von dieſen letzten iſt ferner die eine kleiner als o, und die
andere groͤßer als das Unendliche, und dieſe letzte, ſo weit
man hier veraleichen kann, um viel mehr groͤßer denn das
Unendliche, als jener kleiner denn o iſt. Hiermit ſtimmt aber
das vollkommen uͤberein, daß jede negative Zahl drey Lo⸗
garithmen, einen endlichen und zwey unendlich große, und
von dieſen den einen negativ und den andern poſitiv, und
den poſitiven groͤßer als den negativen hat, und ſonach waͤ⸗
ren alle S. 524. 525. angefuͤhrte Schwierigkeiten gehoben.

27. Es haͤlt ſchwer, eine, in mehrern Stuͤcken wenig⸗
ſtens, neue Theorie, ſo lange man dieſelbe nur bloß nach
ſeiner eigenen Vorſtellungsart zu pruͤfen, und noch nicht
Gelegenheit gehabt hat, den belehrenden Tadel der Kenner
daruͤber zu vernehmen, und darnach dieſelbe weiter zu ver⸗
vollkommnen, ſo vorzutragen, daß der Ausdruck nicht
manche Unbequemlichkeiten herbeyfuͤhre. Ich empfinde
dieſes

540 Zuſaͤtze zum achten Cabitl.

dieſes hier ſehr lebhaft und verſichere daher, daß ich jeder

Belehrung offen mich erhalten, ja jede gruͤndliche eur⸗
theilung des Bisherigen, ſo vieler Fehltritte ſie mich auch
uͤberfuͤhren mag, wofern ſie nur gruͤndlich und alſo auch
belehrend iſt, mit dem aufrichtigſ ten Danke erkennen werde.
Daß ich mich an mehrern Orte kuͤrzer haͤtte faſſen koͤnnen,
raͤume ich zum voraus ein; allein da das ganze Werk, wel⸗
ches ich hier bearbeite, obgleich von einem Meiſter, den⸗

noch fuͤr Anfaͤnger geſchrieben iſt, ſo habe ich mir bey die⸗

ſer Abhandlung eben dergleichen als meine Leſer vorgeſtellt,
und hoffe in dieſer Ruͤckſicht, wegen der hier und da ſonſt
zu großen Ausfuͤhrlichkeit, Verzeihung. Jetzt will ich die

bisherige Unterſuchung mit ein Paar Anmerkungen be⸗

ſchließen.

28. Ein Hauptſatz iſt es ſowohl i in dieſem Zuſatze als in
dem Zuſatze B zum vorhergehenden Capitel, daß man das
Abſolute von dem Poſitiven unterſcheiden, und insbe⸗
ſondere auch die abſoluten Zahlen von den poſitiven tren⸗
nen muͤſſe. Hierdurch leugne ich nicht, daß es Faͤlle giebt,
wo dieſe Unterſcheidung uͤberfluͤßig ſeyn kann, ich raͤume
dergleichen vielmehr in Menge ein, und laſſe ſehr gern jene
Unterſcheidung allenthalben fuͤr unnuͤtz gelten, wo man die
Zeichen † und — eben ſowohl als Zeichen der Addition und
Subtraction betrachten, als ſie fuͤr Zeichen des Poſitiven
und Negativen nehmen kann. Indeß dies zugegeben, ſo

bleibt dieſelbe in vielen andern Faͤllen doch ſchlechterdings

nothwendig, und das nicht bloß bey Anwendung der Arith⸗
metik auf die Geometrie, oder beym Gebrauche derſelben
in der angewandten Maͤthematik, ſondern auch in der Arith⸗
metik ſelbſt, z. B ſo oft Zahlen zu Dignitaͤten erhoben und
Wurzeln ausgezogen werden ſollen. Unterſcheidet man das
Abſolute nicht von dem Poſitiven, ſo muß man auch alle
von

honti
ſge
ſn ſich

Eil

dig nat
Ne D
ſate,
Mori

ſortlau
ſch da

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.
Aber ge
—
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Ergaͤnz
Giͤgen
Und fali.
ſide,
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kennt,
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beym 9
ſen dar
don ab
ben ſo
werden
Capite
den g

eiſer, “
r bey die⸗
Wif ſel,
nd Aſnc

ſeze elͦ n
Eimen das
nd inde⸗
Fale gen,
„ſc riune
genn iine

ſetzt werden konnen. Eben ſo iſt

Zuſaͤtze zum achten Capitel. 541

von den abſoluten Zahlen bewieſene Saͤtze in eben dem Um⸗
fange von den poſitiven bewieſen annehmen, und dann muͤſ⸗
ſen ſich, die ſich von ſelbſt verſtehenden Modificationen die⸗
ſer Saͤtze vorausgeſetzt, auch die negativen Zahlen vollſtaͤn⸗
dig nach ihnen behandeln laſſen. Aber ſucht man nun z. B.
die Quadratwurzel aus — 4 nach dem Binomiſchen Lehr⸗
ſatze, indem man — 4 = 1— 5 ſetzt, und darauf den

Ausdruck (1 — 5) entwickelt, ſo erhaͤlt man eine ohne Ende
fortlaufende Reihe von lauter moͤglichen Groͤßen, die folg⸗
lich da V — 4 = – 2 V – 1 iſt, = DB 2 V — 1 ſollte ge⸗

1—

(1 — X)2 T † 2 X *†* 3 X2 †T 4X3 † 5 *A4 1† c.

aber geſucht, findet man

D

I
= 14 112 2 t So t*.

(1 — 2 2

und doch giebt dieſe Reihe auch bey der Hinzufuͤgung ihrer

Ergaͤnzung nie I. Daß man ſich, wenn man bedingte
Saͤtze als unbedingte behandelt, nicht uͤber die paradoxen
und falſchen Reſultate zu wundern habe, welche man dabey
findet, iſt freylich etwas ſehr bekanntes; allein wenn man
die Quelle dieſer paradoxen und falſchen Folgerungen nicht
kennt, ſo vermoͤgen ſie gleichwohl große Schwiertgkeiten zu

erregen: und warum ſollte man alſo nicht fruͤh und gleich

beym Anfange der Betrachtung der entgegengeſetzten Groͤ⸗
ßen darauf aufmerkſam machen, daß nicht alles, was von
den abſoluten Zahlen erwieſen iſt, ſchon deswegen und
eben ſo, auf die poſitiven und negativen Groͤßen angewandt
werden duͤrfe? In dem Zuſatze B zum vierzehnten Capitel
Capitel werde ich von der Unterſcheidung des Abſoluten von
dem Poſitiven bey der Beſtimmung der Wurzeln der Glei⸗
qgungen

512 Zuſaͤtze zum acht en Cattl.

chungen, in welchen die Sinus, Coſt nus c. vielfacher W
kel mit den Sinus, Coſinus ꝛc. der einfachen Winkel lverglichen
werden, eine andere nicht ganz unwichtige Anwendung
machen.

abſoluten Baſis zu zwey einander entgegengeſte etzten ſonſt
gleichen, und außer dem noch zu einer unbeſtimmten
Menge unmoͤglicher Groͤßen gehoͤre, (S. 492. 493. Abſ. 17.)
iſt, ſo viel ich weiß, noch von Niemanden in der Lehre von
den Logarithmen behauptet worden; allein das iſt ein ganz
.
allgemein bekannter und gebrauchter Satz, daß ( a)
wenn man fuͤr n jede Zahl ſetzen darf, eine unbeſtim mte
Menge von Werthen enthalte, und jener ſagt im Grunde
durchaus eben daſſelbe. Wenn man indeß jede auch nicht
abſolute Zahl auf die Abſatz 15. beſchriebene Art aus irgend
einer abſoluten Zahl durch die Erhebung zu Dignitaͤten und

die Ausziehung der Wurzeln entſtehen laͤßt, und dabey die

Bedeutung der Logarithmen nach Abſatz 16 ſich gedenkt,
ſo gehoͤren auch bey einer abſoluten Baſis zu jedem Loga⸗
rithmen eben ſo viel Zahlen als bey einer nicht abſoluten
Baſis, und vielleicht iſt es noch zweckmaͤßiger, ſich die

Beſchaffenheit der Logarithmen auf dieſe letzte Art vor⸗

zuſtellen.

30. Als ſich mir der im vorhergehenden Abſatze noch⸗
mols gedachte Satz bey der Ausarbeitung des Abſchnitts,
von den Logarithmen, in meinen kuͤrzlich erſchienenen An⸗

fangsgruͤnden der Buchſtabenrechnung und Algebra zuerſt

darbot, denn ungeſucht und von ſelbſt ſtellte er ſich mir bey
der Vorausſetzung, daß die abſoluten Zahlen nicht immer
mit den poſitiven verwechſelt werden foͤnnen, dar: ſo dachte

29. Der Satz, daß jeder Logarithme bey einer nicht

c nict
m Bet
Aiferen

ein unen
auf, we
die Sche
heben
fongs

dac han
poheliche

fir Oen
ethaͤlt er
n ſo men

ſen ols ,

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ſ Wa en

auf ihn ge

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ſeſen, ſor
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31. B
theils aſs
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den Gadan

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Pbſanite,
jen ſenenen 1

ut
icht inne
ſett
6

zu machen. Es ginge ſolches wohl an, wenn man nicht vom

Zuſatze zum achten Capitel. 543

ich nicht daran, daß er in der Differential⸗ Rechnung bey
dem Beweiſe des Satzes, daß fuͤr jeden Werch von x das

Differential des Logarithmen davon d. 15 = D ſey, als

ein unentbehrlicher Satz erſcheinen wuͤrde. Ich nahm ihn
auf, weil er ſich mir von ſelbſt darbot, und weil er mir
die Schwierigkeiten in der Lehre von den Logarithmen zu
heben ſchien, derer ich in der Vorrede zu den erwaͤhnten

Anfangsgruͤnden der Buchſtabenrechnung und Algebra ge⸗

dacht habe. Iſt indeß das richtig, was ich uͤber den ge⸗
dx
woͤhnlichen Beweis des Satzes, daß d. 1 = — und zwar

fuͤr jeden Werth von x ſey, Abſatz 6 — 8 geſagt habe, ſo
erhaͤlt er dadurch einen Grad von Wichtigkeit mehr, und
um ſo mehr wuͤnſchte ich, daß Maͤnner von mehrern Kennt⸗

niſſen als ich ſich herablaſſen moͤgten, meine Vorſtellungen

gruͤndlich zu unterſuchen. Auch erſtreckt ſich ſein Einfluß,
ſo wie auch der Einfluß der Unterſcheidung, welche mich
auf ihn gefuͤhrt hat, noch weiter als ich es hier aus einan⸗
der ſetzen darf, und ſo weit ich deutlich ſehe, wird gleich⸗
wohl dadurch kein wahrer und brauchbarer Satz umge⸗
ſtoßen, ſondern nur in ſeine ihm zukommende Grenzen
eingeſchrankt, dagegen aber viele Schwierigkeiten aus dem
Wege geraͤumt.

31. Diejenigen, die die negaliven Zahlen ſonſt ſchon
theils als mehr denn unendlich klein, theils als mehr denn
unendlich groß haben betrachten wollen, ſind dabey auf
den Gedanken gefallen, einen Unterſchied zwiſchen den ne⸗

gativen Zahlen von der Form — 1, — 2, — 3 tæ. und

141 12

den negativen Zahlen von der Form — —,

An⸗

544 Zuſaͤtze zum achten Capitel.
Anfang an gewoͤhnt wuͤrde, in der ganzen Mathematik
= — 2 cLc. anzunehmen, und dann
muͤßte man doch auch der Analogie wegen die letzten Zah⸗

len durch — — 3 ꝛc. bezeichnen.

—,—, — Allein aus
P1 1 PI FI

dem angefuͤhrten Grunde hat Euler im erſten Theile ſei⸗

ner Differential Rechnung §. 105. Recht, dieſe doppelte
Bezeichnung durchaus zu verwerfen, nur haͤtte er nicht ſich
deswegen auch zugleich wider die Vorſtellung von den ne⸗
gativen Zahlen, die ſie freylich veranlaßt, aber nicht noth⸗

wendig erzeugt hatte, als wider eine durchaus unſtatthafte
Vorſtellung erklaͤren, und ſo zu ſagen das Kind mit dem

Bade ausſchuͤtten ſollen. Ich fuͤrchte wenigſtens eine

aͤhnliche Verhaltungsart von meinen kuͤnftigen Beutthei⸗

lern nicht.

IX.

„Vul
Gyfndu
1.

Algetne

Wrin
1¹. Vort
b. deg
4. fi
.
f
41
4d,
D.

komm

Eulerz

WNNW

iſe Anbe
r nicht ſh

r ſich ⸗

Unſunheie

nd Men
niudend ane

en Hutſe⸗

I.

IX. =ð
Zu ſaͤtze zum neunten Capitel.
A. Inhalt dieſes Capitels.

Von der Erforſchung der trinomiſchen
Faktoren.

1. Vorlaͤufig von der Nothwendigkeit dieſer Lehre fuͤr die
Eeſindung der imaginaͤren Faktoren der Funktionen,
§K. 143. 144.
2. Allgemeine Regel zur Erforſchung der trinomiſchen Fak⸗
toren, §. 145 — — 149.
a. Vorbereitung dazu, §. 145.
b. die gedachte Regel ſelbſt, §. 146 — 149.
2. fuͤr die gegebenen Funktionen in unveraͤnderter
Form, §. 146.
8. fuͤr dieſe Funktionen, nachdem ſie zuvor zur
bequemern Erreichung des vorgeſetzten Endzwecks
abgeaͤndert worden, §. 147 — 149.
aa. Anleitung zu dieſer Abaͤnderung der Funktionen,
§. 147 – 149.
pb. Art und Weiſe, wie man aus den abgeander⸗
ten Funktionen die geſuchten trinomiſchen Fak⸗
toren findet, §. 148. 149, am Ende.
3. Erlaͤuterung der gegebenen Regel an einigen oͤfters vor⸗
kommenden Funktionen, §. 150 — 164.

Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. l. B. Mm à.

546 Zu uſaͤtze zum neunten Capitel.

a. an algebraiſchen, F. 150 — 154.
2. ſolchen, die unter die Form an † zn, g. 150.
2 ſolchen, die unter die F Form an — en, §. 151 J. 152.
7v. ſolchen, die unter die Form azn — 2 an zn. coſ. g †
2en, §. 153.
2. ſolchen, die unter die Form =† zn ††Guτα 15 923n, ꝛc.
gehoͤren, §. 154.
b. an tranſcendenten Funktionen, §. 155 — 164. Die
hier betrachteten Funktionen ſind lauter unendliche
Reihen, welche Exponential⸗ Groͤßen ausdrucken,
nemlich
u. die Exponential⸗Groͤße 9. 155.

— 6—X

6. die Expponential⸗ Groͤße „ §. 156.

e ex †. e-xX
v. die Exponential⸗Groͤße — . 157.

. V - r —= -
5 5 . t X 1 — 6 2. V — I
d§. die Exponential⸗ Groͤße — B .
2 V — 1

e2 V-r e -V- r
— , K. 138.

. die Exponential⸗ Groͤße ex — 2 coſ. g 1. exX, §. 159.
2. die Exponential⸗Groͤße ebekxX ec-x, §. 160— 164.

Hier wird
e Db†X eC-X
aa. — — in eine unendliche Reihe von

und

Faktoren aufgelsſet, S. 160. 161.
bb. dann darin b = o, und c theils poſitiv theils
negatio geſetzt, §. 162, und die hierdurch ſich
ergebenden Reihen
ec, auf den Kreis, und zwar auf eine doppelte Ar
angewandt, §. 163. 164.

De
yrendun
Tren , e⸗
lteutet, 1
col 9†
er,ſw
1 1=I;

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icol.
col.

1
e⸗

— 1 V
Anendli
drucken,

H3
1P-I

— 0

Zuſaͤtze zum neunten Capitel. 547
B. Zuſatz zu H. 153.

1. Die am Ende des vorſtehenden § von mir gedachte
Anwendung der Euleriſchen Methode die trinomiſchen Fak⸗
toren zu erforſchen, iſt folgende. Wenn 9% einen Winkel
bedeutet, und man
coſ. † V= I. ſin. O= p, und cof. %— V - I. ſin. 0 =
ſetzt, ſo wird
P 4 = 1; pn = coſ. n ꝙO V— I. ſin. n; = = coſ. n ꝙ —
V —1. ſin. n W

folglich
pa † qa = 2 coſ n 4; und n — qn = 2 V —r. ſin. n%;

und man iſt alſo im Stande, durch Aufloͤſung der Formeln
pn † qn, und pn — qn in ihre Faktoren die Sinus und Co⸗
ſinus vielfacher Winkel durch Produkte auszudrucken.
2. Nimmt man nemlich zuvoͤrderſt die Formel
pyn † qn = 2 coſ. n
ſo hat dieſelbe, wenn n eine ungerade Zahl iſt, den ein⸗
fachen Faktor p † q — 2 coſ. %, ſo daß in dieſen Faͤllen
coſ ein Faktor des coſ. n iſt. Laͤßt man nun n die Formel
pp — 2 q cof. † qq
eine allgemeine Trinomie fuͤr die uͤbrigen Faktoren ſeyn,
ſo daß pn † qn verſchwindet, wenn Ppp —– 2 q coſ- erd

wird: ſo hat man daher
p= q (coſ.= V- I. ſin. )oder p= aA(col. — V— 1. ſin.

und folglich
Pn = qn (coſ. n σ – V —– I. fin. n *ο)

Es muß demnach
qn (coſ. n „ P V— I. ſin. n &) † qn = — 0, oder

coſ. n æw & V — I. ſin. n = † I = 0%

Mm 2 ſeyn,

548 Zuſaͤtze zum neunten Capitel.

ſeyn, und hierdurch wird ſin. n 0% und coſ. n „= — I.
Da alſo coſ. n = — 1 iſt, ſo muß na entweder «, oder 3,
oder 5*, oder 7n, ꝛc. ſeyn, und bedeutet naher⸗ i jede un⸗

gerade Zahl, ſo wird n- = iæ, und „= —, und der all⸗

gemeine doppelte Faktor der Formel pn † gn iſt

PpP-ap q coſ. — — 1† 4 .

3. Es laͤgt ſich aber derſelbe auf folgende Art verwan⸗

deln. Aus py † qn = 2 coſ. n & fließt p p † qq= 2 col. 2 0,
und durch dieſe Subſtitution wird, da pq = 1 iſt,

pp — 2 q cof qq = 2 col 2 2% — 2 co —.
Ferner iſt aus Capitel 8, F. 131.
a Pbb a — b

coſ. b — coſ. à = 2 fin. —. ſin. — —, folglich

coſ. 2 % — col. — = 2 fin. 3 5 19) ſin. (⸗ . — 9).

Hierduech erhaͤlt n man zum allgemeinen Faktor der Formel

pu † qn
ann. W 1 ſin. d 9)

und ſetzt man darin fuͤr i nach und nach die ungeraden Zah⸗
len, ſo bekommt man

2col n2= 4ln. (2. 9). ln. — %). 4ſn. S 4 0).
ſin. — %. 4 ſin. 1e). an. (= — 4) c.

bis man uͤberhaupt n Faktoren hat.

6

—
= —

S

=2 20

1 120

2c0

e.

10 200

coln.

iis mon n

nte Copi
uung, n
8 W

auf eine
Nppelten

g
19
— ,

4
5„
3 r,

, d

Nerch

Sð

Zuſaͤtze zum neunten Capitel. 5 49

4. Es iſt demnach
fuͤr

.
n =I 2 coſ. = 2 ſin. (— — 9)
2

nR=2 2 coſ. 2 22 fin.( — % ſin. † )

2 =3 a col 39 = 2 fin: (2. — 9) n. (7- o)ſin. . — 6)

Wð .— r 3
n=4 acol 4%2 4in. (—. — ) ſin. S † ) ſin.. — %)

ſin. (2— † *%)
n=; 2 coſ. S Q = 25 ſin (— — %) ſin (— † ſi 37 3
13) 60 560°= 7 * 10 97 10 6 in. (15 e⸗
fn. (22 p ) ſin. (58. —
in AS 12) in – 7)

= 6 2 coſ. 6 τ = 26 ſin. (— — &%¾) ſin. (— † %) ſin. (— — %)
12 12 12

3. 5æ &
ſin. (— † o) ſin. (— — 9) ſin. (
in- (= 1 0) ſin. E— 9) ſin 72 19)
und uͤberhaupt

. — n= TI 1 )ſa (— ſi —
coſ. n ꝙ = 2n -1 ſin S 2) lin. ( 2 19) Kn. — 2)

1 .
(= 4 )

bis man n Faktoren hat. Man vergleiche hiermit das vier⸗
zehnte Capitel des erſten Theils der gegenwaͤrtigen Einlei⸗
tung, F. 2,4 292
5. Behandelt man nunmehr die Formel
pn — qn = 2 V – 1. ſin. n
auf eine aͤhnliche Art, und nimmt man zum allgemeinen

doppelten Faktor derſelben wieder wie vorhin

Mm 3 PP

7

550 Zuſaͤtze zum neunten Capitel.

Ppp= 2 p q cof. “ † S
an, ſo wird, wenn man denſelben = o ſetzt, abermals
p= q(coſ.V— I. ſin. *) und pu= qn (coſ. neV —I. ſin. næ)
und es muß demnach
ꝗ (coſ. n 4 V— I. ſin. n æ) — qn = coſ. ne +V =1I.

ſin. n o — I =
und folglich

ſeyn.
6. Auf dieſe Art erkennt man, daß der Winkel n & ent⸗
weder o, oder 27%, oder 47, oder 67, ꝛc. oder 2i= ſeyn
muß, wenn i jede ganze Zahl bedeutet. Es iſt alſo der allge⸗
meine Faktor der Formel P — qn

ſin. n o = o, und coſ. na = I

pp=2 Pq cof † qd = 2 coſ. 2 ½— 2 cor⸗
und da derſelbe in die beyden Faktoren
2 ſin. (— — ). 2 lin. † 0)

aufgeloͤfet werden kann, und die Formel pr — gqn. außet⸗
dem noch den einfachen Faktor
P – q = 2 V — I. ſin. 6
hat: ſo wird

und folglich

fin. EG — 9. 2an 1) 2ſin. — %) *.
oder
ſn. n9 = An- 1 ſn. g. ſin. . — 9). ſin. (— 9).

His mn
Ca

fr
1lihr

2 ſit

1. B
Dite, wr
ſin, ne i
dem er

ſerentiatio

Uſecher
Nalßer d
Uheſdce

n
n)

19

-,

1 W
— 1W

Zuſaͤtze zum neunten Capitel. 551
bis man n Faktoren hat. Man vergleiche hiermit Einlei⸗
tung Cap. 14. §. 240. H V H

7. Hieraus fließt
fuͤr
n=I ſin. = 20. ſin.

7„
n = 2 fin. 2 0 = 2 ſin. O ſin. — °)

n) =3 ſin. 3 4 = 4ſin. 9 ſin. (2. — g) üin. S † ⁶½)

n =4 ſin. 4 %½ = 8 ſin. 6 ſin. ( — ⁶₰) ſin. S † 9 ſin. — — 9)
4 4 4
7 272
ſin. (22 9)
5

P*

n=6 ſin. 6 % = 32 fin. 6 ſn. — ) ſin. ( † )n. E — )

ꝛc.
g. Was den Gebrauch betrifft, den Euler an dem
Orte, woher dieſer Zuſatz genommen iſt, von den fuͤr
En. n z3 und cofſ. n z gefundenen Beſtimmungen macht, in⸗
dem er daraus durch Huͤlfe der Logarithmen und der Dif⸗
ferentiation Formeln fuͤr die Tangenten und Cotangenten
vielfacher Winkel ableitet, ſo muß ich ihn uͤbergehen, weil
er außer den Grenzen einer Einleitung in die Analyſis des
Unendlichen liegt.

Mm 4 „

X.
Zuſaͤtze zum zehnten Capitel.

Von dem Gebrauche t der trinomiſchen Fak⸗
toren bey der Summirung
der Relhen.

Inhalt dieſes Capitels.

„

I. . Vorläͤuſig ein Huͤlfsſatz, von dem Verhaͤltniſſe der Coef⸗

ficienten einer Gleichung zu den Summen der Poteſtaͤten
ihrer Wurzeln, §. 165. 166.

2. Summirung verſchiedener unendlicher Reihen, §. 167

bis 183, nemlich
à. derer, die unter 1 1 † z 4 ti. begriffen ſind,
wenn n eine gerade Zahl bedentet, §. 167, 168.
2*, Darſtellung der Summen dieſer Reihe uͤberhaupt,
8 16.

Ferm, §. 169.

k— 1 ——
b. derer, die ur ter rdie Form 131 — † — ret. und

21 3²
. I . 1

1 T 32 5 7 1 † ꝛc. gehoͤren, wenn n eine

gerade Zahl iſt, §. 109, 170.

1 I
c. derer, deren allgemeine F ——,—
derer, algemeine Form m T T mn)

†

Darſtellung derſe lben in einer mehr entwickelten

Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. 353
S H I — I 1
n — m)n 1“ (3n † m) n † (Sn — m) in „ ic., 08
1

— 1
— † 2c. iſt
(myn * (an — m)a (2n † mn (An — el

ſo daß die obern Zeichen gelten, wenn n eine unge⸗
RM rade, und die untern, wenn es eine gerade Zahl be⸗
PIt. „ —
te. . deutet, §K. 171 — 17
ℳ. Summirung dieſee Reihen in ihrer allgemeinen
Form, §. 171 — 174, nemlich

den dek aa. der Reihen — 1 + 1 n †
(n — m)n (n † m)
SFa mn 1c. §. 171. 172.
nßk bpbb. der Reihen — †*
Nrhee mn (2 n — m. u
r. §. 173. 174.
en, . AQn 1 m)n
42. Summirung verſchiedener aus ihnen abgeleiteten
beſondern Reihen, §. 175 –— 177, und zwar ſol⸗
tberefinſa cher, die aus ihnen entſtanden ſind, S
, aa. durch die Subſtitution m = I, und n = 2, J9. 175.
hrhn bb. durch die Subſtitution n 1, Uund n = 3.
§. 176, 177.
mnten aa. aus der erſten allgemeinen Reihe, §. 17 76.
d 8. aus der andern, §. 177. HW
d. derer Reihen, die man aus den bey o angefuͤhrten
zun durch die Addition und Subtraction derſelben zu und
von einander findet, §. 178 — 180.
nimn n i *. Snummirung der auf dieſe Art gefundenen allge⸗
UDMU meinen Reihen, F. 178.
6§. Summirung verſchiedener aus ihnen abgeleiteten
e beſondern Reihen, §. 179. 180. HS
DJ SJ Mm 5 ”MM

.òZ

554 Zuſaͤtze zum zehnten Capitel.

aa. ſolcher, die man aus ihnen durch Setzung be⸗
ſtimmter Werthe fuͤr m und n erhaͤlt, F. 179.
bb. ſolcher, die man aus den hierdurch gefundenen
Reihen durch Combination derſelben ferner ab⸗
leiten kann, §. 180.

g. derer Reihen, die man aus den bey d beſchriebenen

durch die Vereinigung je zweyer Glieder in eine
Summe, und die Addition der hierdurch gefundenen
Reihen erhalten kann, §. 181 — 183.
*,. Summirung dieſer Reihen in der Form, in welcher
man ſie gefunden hat, §. 181.

6⁶., Summirung derſelben in abgeaͤnderter Form,

§. 182. 183.

B. Zuſatz zu §. 166.

I1. Ich muß mich hier des in der Anmerkung zum vor⸗

ſtehenden § gethanen Verſprechens entledigen, und ich will
es auf die Art thun, daß ich zuvoͤrderſt die hieher gehoͤri⸗
gen von Eulern gegebenen Beweiſe mittheile, und dann
einige Anmerkungen hinzufuͤge. Der erſte Beweis, den ich
herſetzen werde, iſt in der Abhandlung in Eulers Opuſculis
varii argumenti, welche den Titel fuͤhrt: Demenſtratio ge⸗
mina theorematis Neutoniani, quo traditur relatio inter
coefficientes cujusvis aequationis algebraicae et ſummas
poteſtatum radicum ejusdem, und in der zweyten Samm⸗
lung S. 108 anſaͤngt, der zweyte, und daſelbſt von §. 8
bis zu Ende enthalten. Euler ſchlaͤgt darin den Weg “
daß er die Wahrheit des zu beweiſenden Satzes bloß
einer algebraiſchen Gleichung vom fuͤnften Grade

X £ — A xA FT Bx3 –— CxX2 † Px — E= o

aͤber auf eine ſor che Art jeigt, daß leicht in die Augen faͤllt,
daß

Rr

egee
Gleich

g ju

ober

—

egeben
ken, w
gerade

ſiteeN
ſünbenen

4 .
N

e Kecnn
Ro

4 * 4
„t znfot
delatio Intel

ſmr 1D G
et Imds

UWnd/
n mn⸗
õü

de.

dieſer Gl eichung hedeutet,

Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. 555

daß eben derſelbe Beweis bey jeder andern Gleichung ge⸗
fuͤhrt werden koͤnne. Der ganze Beweis iſt folgender.

2. Es ſey die Gleichung
X5 — AXA † BX3 — Cx2 † DX — E = o
gegeben, und «, s, 7, ⁹, und ſeyen die Wurzeln dieſer
Gleichung; auch ſey
82„ = « † £ † -†„ † % r ⸗
8 22 = 2u2 † 62 † 72 † 52 † ⸗2
Sæj3 = a3 † 83 † 73 † %3 † s3
SaA = aà † ga † 74 †. d4 † =4
SæS = ℳ5 † 65 † „5 † d5 † ⸗s
Dieſes vorausgeſetzt, ſo iſt zuvoͤrderſt

ℳ 5 — A ℳ4 † Bæ3 — Cα2 † Dæ — E = 0°
85 – A84 † B 63 — C82 † DeS — E = 0
„5 — AY4 † By3 — CZ2 † Dy –— E = O0
„5 — A e4 † B53 — Csa † Ds -— E =
und hieraus erhaͤlt man durch die Addition
325 — A Se4 † BS3 — CSæ32 † DSe — 5 F = 0

. oder
8e* = A 822 — B Se 3 † CSa2 — D Sæ † § k.

3. Iſt daher irgend eine algebraiſche Gleichung, ſie
mas zu einem Grade gehoͤren, zu was fuͤr einem ſie will,
oder
Xn — Axh-J † Bxh= 2 — CXR- 3 4 D gn- 4 — „ „
Mx –☛ N = 0
gegeben, wo in den letzten Gliedern die obern Zeichen gel⸗
ten, wenn n eine ungerade, und, die untern, wenn es eine
gerade Zahl iſt: ſo iſt offenhar, daß, wenn « jede Wurzel

1

———

vondern auch

S
„

556 Zuſaͤtze zum zehnten Capitel.

Sha n ASn-I — BSæn-=2 † CSen-3 —
AISA X. n N

ſeyn werde. Es erhellet alſo auf dieſe Art die Wahrheit

des Newtonianiſchen Satzes fuͤr einen Fall allemal, und es
iſt folglich nur noch uͤbrig, dieſelbe auch fuͤr die hoͤhern
und niedern Digsitaͤten zu beweiſen.

4. Fuͤr die hoͤhern Poteſtaͤten laͤßt ſich indeß eben der⸗

*

S.

3, 5 der Gleichung
X 5 — A XA † BX3 — CX2 † DX, — E = O

ein Genuͤge, ſo gehoͤren ſie auch zu den Wurzeln folgender
Gleichungen:

X 6 — A xX5 † BxX4 — Cx8 F DX2 — Ex = 0
X7— A XG † Bxs5 — CX4†DX3 — E xX2 =
„ 8 — Ax7 1 Bx6 — CxS 4 Dx4 — Ex5 — 0

20.

und ſetzt man daher in jede dieſer Gleichungen fuͤr & die

zmerche *, , 7, à, und s⸗, und addirt die hierdurch ge⸗
fundenen zu einander, ſo wird
= A Ses — B Sa4 † CS823 — DSa2 † E Sæ
8 7 = A SG — B Sas †P CS=ι — DS3 † ESaZ
8 S — ASa — BSa † 08 ce S — DSzA † ESæSI

*te

5. Bedeutet alſo ⸗ jede Wurzel der Gleichung:
Xn – A Xn-I † B xn- 2 — CXnR= 5 5 . Dxn-4 — „—
2 MXx T. N = 0
ſo iſt nicht n nur, wie wir bereits gefunden haben,

San A San-I — B San-2 CSan-3 — D Gan-4.. .
MSaA — n N

nn
„ %S .

ſeibe Beweis fuͤhren. Denn thun die Werthe, «, 8, ,

5 ot —

us die

alein die
ſate gef
werden,
844
843
dar
8s
ſey. D
gende N

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U We 1 N

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gnren, D“W

:
a

„4
14

SanT2 — A 8 cnPI —

Zuſoͤtze zum zehnten Capſtel. 857

SanktI = A San — SgnHITCS 9— 2 — D S AM- 3 † .
Sa2 N Sæ
S 1CS , — Y — D Sen a F.
MSA3 2. — NS

Saenfs=ASæN 2 — B SgnII T.

◻
M
3

Gρα2
S
.

— D Sh-IP. . *

und uͤberhaupt, wenn zu n irgend eine Zahl m hinzugeſetzt
wird
Sanfm=ASanim-Y — 8 Sbanfm-2 † 0 G anftm- 3 —
MS mII & NSem
Aus dieſer allgemeinen Formel erhaͤlt man die zuerſt gefun⸗
dene, wenn man m = o ſetzt, indem alsdann ⸗ = 1,
89 — I1, = 1, c. und alſo §Sa ο = n wird.

* *° &%

6. Nun iſt zwar dieſe Formel ebenfalls wahr, wenn
man m negatio nimmt, und es finden deswegen fur die

Gleichung vom fuͤnften Grade

X5 — Ax4 T Bx3 — CxX2 † Dx — E= O
auch folgende Formeln ſtatt:
824 = ASz3 — BSaZ † CSAI — DSaO0 PESA—T
Sa3 — ASa2 — BSæT † CSæ0O — D SZI PESEæ—2
322 = ASe — BSæg=O † CSa=I — D Sa-2 † ES32
ꝛc.
allein dieſes ſind nicht die Formeln, welche nach dem Lehr⸗
ſatze gefunden werden muͤſſen. Es ſoll vielmehr bewieſen
werden, daß
SA4 = ASæ3 — B 82 † CS — 4 b
823 = A Sa2 — BSZ † 3 C
Sæ = ASX — 2 B
SS« = A
ſey. Die Richtigkeit dieſer Sem er heleet alſo auf fol⸗
gende Art.
7.

558 Zuſaͤße zum zehnten Capitel.

7. Man mache mit Beybehaltung der Coefficienten der
gegebenen Gleichung vom fuͤnften Grade
X 5 — AxA † BxX3 — Cx2 † Dx — E= 8 .
folgende Gleichungen der niedern Grade:
2 — A = 0,
22 – A 2Z † B =0
23 — Az2 † Bz —– C = 0
24 — Az3 † Bz2 — Cz † D = 6,

und ſetze die Wurzel der erſten Gleichung = p, ferner ſede

Wurzel der zweyten Gleichung = q, jede Wurzel der drit⸗
ten Gleichung = r, und jede Wurzel der vierten Gleichung
= 8. Ob nun gleich die Wurzeln dieſer Gleichung ſehr von
einander verſchieden ſind, ſo iſt doch die Summe der Wur⸗
zeln einer jeden Gleichung = A, die Summe der Produkte
aus je zwey und zwey Wurzeln der zweyten, dritten und
vierten Gleichung = B, die Summe der Produkte aus je
drey Wurzeln in der dritten und vierten Gleichung = C,
und das Produkt aller vier Wurzeln der vierten Gleichung

= D Da nun, wenn in zwey oder mehrern Gleichungen

die Summen der Produkte aus je zwey Wurzeln einander
gleich ſind, ebenfalls die Summen der Quadrate der Wur⸗

zeln dieſelben ſind, und eben dieſes von den Summen der

Wuͤrfel der Wurzeln behauptet werden kann, wenn außer⸗
dem noch die Summen der Produkte aus je drey Wurzeln,
und von den Summen der Biquadrate der Wurzeln, wenn

auch die Summen der Produkte aus je vier Wurzeln in den

gedachten Gleichungen gleich ſind: ſo iſtt
Sa = Ss = Sr = ⁸q = 8 p
Ssa2 = 82 = Sr2 = 5 q2
§ e3 — 8683 = ₰ †3
Sa4 — 8s4
Es

—

Es lern
Mteus,
ſch di
ukte au
zur Veſt
außerden
und zur
Summe
ſic ⸗ey⸗
8NR
,
⸗
813
554
ch in der
1—
wenn wan
den Wbat
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542
„8a3
844:
undin der
1I.—

—
S=S

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4:
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843
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tnnde⸗

—

—

ſene i
NWͦ
dai “WZ

under
W⸗
ommmen N
renn eiht
tn Vunen
, pn
enin

—
—

Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. 5859

Es beruhet aber der hierbey zu Huͤlfe genommene Satz
darauf, daß die Summe der Quadrate mehrerer Groͤßen
durch die Summe dieſer Groͤßen und die Summe der Pro⸗
dukte aus je zweyen von ihnen, beſtimmt werde, und daß
zur Beſtimmung der Summe der Wuͤrfel dieſer Groͤßen
außerdem noch die Summe der Produkte aus je dreyen,

und zur Beſtimmung der Summe ihre Biquadrate noch die

Summe der Produkte aus je vieren von ihnen erforder⸗
lich ſey u. ſ. f.

8. Nun iſt nach Abſatz 3
Sp = A
8 q2 = ASq — 2 B
Sr3 = ASr3z — BST † 3 C
SS2 ASS3 – BSS2 † CSSs Op, und folg⸗
lich in der Gleichung vom fuͤnften Grade:
X5 — Ax4†BX3 — Cx2 †DX — E= o
wenn man in dieſen Formeiln die Werthe des vorhergehen⸗
den Abſatzes ſubſtituiret
S⸗ S A
Sa2 = ASA — 2 B

8 23 = ASa2 — BSZ † 3 C

SæA =— ASXY3 — BSa: † CSæ — 4 D
und in der allgemeinen Gleichung: .
Xn— Axn-I † BXn-2 – Cxn-3 † Dxn-4 —, — N=e,
wenn « jede Wurzel bedeutet,

C= = A
Sa2 =— ASg — 2 B H
Sa3 = ASa2 — BSæZ † 3G
Saa = ASa3 — BSa2 † CSz= — 45b
Jas =—

A S2„4 — BSa3 † CSa2 — DSs † 5 E
1e.

560 Zuſaͤtze zum zehnten Capitel.

9. Außer dieſem Beweiſe hat uler i in ſeinen Opuſculis

analyticis, im erſten Theile, der zu Petersburg 1783 heraus⸗
gekommen iſt, und zwar in der Abhandlung, die den Titel,
Miſcellanea analytica fuͤhrt, S. 337. f. das Verhaͤl tniß der

Coeefficienten einer Gleichung zu den Summen der Poteſtaͤ⸗

ten ihrer Wurzeln durch die Aufloͤſung der Aufgabe geſucht:
Wenn die Formel 1 † AZ † Bz2 † Cz3 † Dz4 † E 25 † ꝛc.

ein Produkt aus den Faktoren 1 † «=z, I † &, I † „z3z,

1 † %2, 1 †. 2, 2c. iſt, die Summe der Poteſtaͤten von «, 8,
7, 9, s, ꝛc. zu ſinden. Nachdem er, um ſich bey der
Aufloͤſung kurz ausdrucken zu koͤnnen,
P = a †† s. 4† „ † °S † s † ꝛc.
Q= a † ge † 72 † 92 † e2 † ir.
R = a3 † 83 † 73 † 3 † „3 † ꝛc.
8 — 24 † 84 † 74 † 4 † 54 † ic.
geſetzt und angemerkt hat, daß alles darauf ankomme, die
Werthe von P, Q, R, 8, v. durch die Buchſtaben A, B,

C, D, ꝛc. zu beſtimmen; daß b bloß von A abhaͤnge, weil

P = A iſt; daß Q bloß durch A und B beſtimmt werden
koͤnne, weil die Produkte aus je drey Buchſtaben «, s, 7,
9, s, nicht in die Beſtimmung der Quadrate kommen;
und daß aus aͤhn! ichen Gruͤnden zur Beſtimmung von R
bloß A, B und C, zur Beſtimmung von 8 bloß A, B, C, D,
erfordert werde, ꝛc.: ſchließet er folgender Maaßen.

10. Wegen der ſo eben gedachten Beſchaffenheit der
Abhängigkeit der Buchſtaben P, Q, R, 8 ꝛc. von den Buch⸗
ſtaben A, B, C, D, Lc. laͤßt ſich der Buchſtabe b. auf eben
die Art finden, als wenn bloß die Formel 1 † Az gegeben
waͤre, und die uͤbrigen Buchſtaben, B, C, D, E, ꝛc. ver⸗

ſchwaͤnden. Unter dieſen Umſtaͤnden aber hat 1 † Az nicht

mehr als einen Faktor, der 1 † a⸗ ſeyn mag, ſo daß
= 2 a

121
1
m —,
S0, bd
pie auch

II.
wenn b
u N
hat, die
A=a

bder22

d ſo

ſan. Au
Faktor die
lenden,
1 br
oder

2 D
NANXN
(1 †er
b⸗ c:

len die E

deGich

Euler

4 en
NP M
4
6 4
ammged
konmw

a 4
UII 4

Zuſuͤtze zum zehnten Capitel. 561
a = P ſey. Setzt man alſo 1 † az⸗ = o, oder 2 =

— —, ſo muß auch I † A 2z = o werden, und folglich 1—

So, oder a — A=o ſeyn. Hieraus aber folgt a = P= 4,

wie auch ſchon ohnedem bekannt iſt.

eI. Ferner erhaͤlt der Buchſtabe OQeben den Werth, als
wenn bloß 1 † Az † Bzz da waͤre, und die Glieder von
Cz3 an verſchwaͤnden. Da dieſe Formel zwey Faktoren
hat, die 1 † az und 1 bz ſeyn moͤgen, ſo wird dabey
P= a † b, und d eis † bz. Setzt man nun 1 a⸗« = o,

oder 2 = — — ſo muß auch 1 † AZà † Bz2 = O werden,

und folglich 1 — T † 2. =o, oder a2 — Aa B = o

ſeyn. Auf eben die Art aber erhaͤlt man aus dem andern
Faktor die Gleichung bz — A b † B = o, und folglich aus
beyden, wenn man ſie zu einander addirt, und Q ſee
a ² † bz, und P fuͤr a 1 b ſchreibt, 2— gAP † 2 B =
oder
Q=AP — 2 B.

12. Den wahren Werth von R findet man aus der For⸗
mel I1 A 2 † Bz 2 † C2z3, welche man = (1 † a 2) (1 † bz)
(1I † c2) ſetzen kann, ſo daß P = a † b† c; Q = a2 †
ba † ca, und R= a–3 † be † c3 wird. Alsdann ge⸗

ze Subſtituti —1 – ——
ben die Subſtitutionen 2=— — 2=— F, r .
die Gleichungen:
a 3 — Aa Ba — C =
b — A bz † B b — C = 0
c 3 — Aca † Bc — C = o
Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. I. ͤ. Nn und

562 Zuſaͤtze zum zehnten Capitel.

und daraus findet man durch die Addition und den Gebrauch
der Puchſtaben B, Q, P

RACI BP — 30=0, oder R =40 — BP 30.

1 3. Eben ſo findet man den Werth von § aus der For⸗
Mel I1 † AZ † Bzz 1† C23 † Dz4. Setzt man nemlich die⸗
ſelbe = (1 †T az (1 †T bz) (I T cz) (1. † dæ) und fol lglich

R= aß † bs † cs † da 8 = aa 1 ba † ca † da

ſo bekoͤmmt man durch die Subftitutionen 2 = — – .

— $

= — 2 =- 1 2—- die Gleichungen:
4 — Aal † Baz — Ca † D = 0
baA — Abs 6 B bz — Ch D = o
CA4 — Ac3 † Bcz — Cc P D = o
dA — A di † Bdz — Cd † D = o
die, in einander addirt, 8— AK BQ— CP 1 4b.,
oder
“ =44 — 20 0C-— 4
geben.

14. Hieraus laͤßt ſich ſchon abnehmen, wie die Summen
der hoͤhern Poteſtaͤten oder T, U, V, ꝛ. beſtimmt werden.
Es iſt nenlich

=AP-— 2
R= AQ BPI3G

5: = A R — BQ † CP —– 4D
T = AS — BR † CO — DP † SE
U =— AT — B 8 † CR — DO EP — 6 5
AU — 31 ½ cs — pRI EG-— FP170
3e.

15,

53
e/ BGew⸗
Kaucht n⸗
auch den!
ſeführten
hen Opule

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lung der
16. G

—

to denn
iſt. Alsd
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), wenn
62

— —
—

7

d?
Zdx
Aun i ebe
1

—.

1*6

und ſolgli
hben der

5 ,

NSonnen
imor vute

Zuſuͤtze zum zehnten Capitel 563 D

15. Zu dieſen beyden hier eigentlich nur her gehoͤren⸗
den Beweiſen, weil dabey keine Differential⸗Rechnung ge⸗
braucht wird, kann ich aus gewiſſen Gruͤnden nicht umhin,
auch den vermittelſt der Differential⸗ Rechnung von Eulern
gefuͤhrten Beweis zu ſetzen. Es iſt derſelbe in der aus ſei⸗
nen Opuſculis varii argumenti vorhin angefuͤhrten Abhand⸗
lung der erſte, und folgender.

16. Es ſey
xn — Axn- I †BXR-2 — Cxn-3 . N = Z =
(X— 2) (X — ⁸⁶) (X — ) (X — ). (X — »p)
wo denn die Anzahl der Faktoren (Xx— ) (X — 8) ꝛc. = n
iſ⸗ z . wird
= 1 (X — a) † 1(X — ) † 1(X — 2½) F. 1 (X — p»)
und, wenn man dieſe Gleichung differentirrt
42. d x dx dX dz

Z — — f .. . ——
und das Gefundene durch dx dividirt

Nun iſt aber

X —, x xz I x3 1 xX4 Xxs
und folglich, da man n ſolcher Reihen erhaͤlt, vorausge⸗
ſetzt, daß die Abſatz 2 erklaͤrten Bezeichnungen hier in
eben der Bedeutung gebraucht werden,
Nn 2 42

564 Zuſaße zum zehnten Capitel.
42 —– — — 12 182 11.8:2 1 1Ssa 4.

2 dx
17. Zum andern iſt auch
dZ=nXN-Idæ-— (n — I) Axn- 2 dx † (n — 2) Bxn- 3 dx —
. (n-—3) Cxn-A4dæx † (n—4) Dxn-Sdzæ — ꝛc.

und daher, wenn man auch dieſe Gleichung durch dx

dividirt,

2 = nXR-TI — (n — I) Axn-2 † (n –— 2) Bxn-3 —

dxX
(n — 3) Cxn- 4 † 1c.

ſo. wie hieraus, wenn man durch 2 = = xn — Axn-X †

BxXn-2 — ꝛc. dividirt

Zdx—
nxn- 1 — (n— r) Axh-2 † (2 — 2) Bxn- 3 — (n -— 3) Cxn-4 Pꝛc.
Xn — AXR-TI k BXI2 — CxXxn-=3 +† ꝛc.

18. Da man alſo durch Vergleichung der beyden hier

d
gefundenen Beſtimmungen von 72
nxn- — (n— 1) Axn- 2 † (n — 2 Bxn- 3 — (n — 3) Cxn- 4 +† ꝛe.
Xn — AX-TI † Bxn-32 — Cxn-3 † ꝛc.

2 + † — 8=2 † — S=3 f Sza ft.

bebommt, ſo wird, wenn man beyde Haͤlften dieſer Glei⸗
chung durch Xn — Axn- 1 † Bxn-2 — Cxn- 3 † ꝛc. multiplicirt,
nxn- 1—(n — I) Axn- 2 † (n — 2) Bazn- 3 — — (n — 3) Cxn- 4 † ꝛc.

—
—

nXn-I . n-2 82 f Xn-3 Se2 † Xxn-48³ † ꝛc.

— nAXN:-2 — Axn- 38 g — AXh-4 S842 — C0.

InBxa-: † BXn-4S
— n Cxn-4

ꝛc.

— 2.

Hier

Hiernd
eſnucher
Miten,
--
fa⸗
—I-
†a-

Dus Geſe
ſt leicht w
ſeſen Gls
8
842
843=
S44=,
4 = 4
a6

19. Ve⸗
den vorher
denſelben he
Ddurch erh

frenge, un

gethan, da
dem erſten,

lbſet⸗ ein
en Bewei

Eiten gehe⸗
der dara
anders unde
Dey demn
das ein gie

DDrr-

-Hur

AMrr4 ,
nj r,

A!

Wahe

Fritte⸗

——

ai⸗
er Cn
,lltplirt,
Nrfr

, -r

N

. õs

Zuſaze zum zehnten Capitel. 565
Hier ſind nun zu beyden Seiten die erſten Glieder nxn- 1
einander gleich, und es muͤſſ en daher auch die zweyten, die
dritten, die vierten ꝛc. einander gleich ſeyn. Folglich iſt
— (n – 1) A = S2 — n A ,
4 (n — 2) B = Se-2 — AS T n

— (n – 3) C = S23 — ASaD2 † B Sæ — nC

† (n — 4) D = SAA—ASA3 † BSS=2 — CSæ TnD
Das Geſetz, nach welchem dieſe Gleichungen fortſchreiten,
iſt leicht wahrzunehmen, und eben ſo leicht findet man aus
dieſen Gleichungen die Neutonianiſchen Beſtimmungen:
Szæ A
Sg2 = AS — 2 B
Sa3 = A Sa2 — BSæZ † 3 C
SæA = ASZ3 — BSæ2 † CS⸗= — 4D
Sasy = A Sa4— BSa3 † CSA2 — DSA † 5 E
Sa 6 = = ASas — B Sæa f CS⸗3 — DS= f ESs= -— 65
ꝛc.

—

19. Vergleicht man dieſen letzten Beweis mit den bey⸗
den vorhergehenden, ſo iſt der Vorzug, welchen er vor
denſelben hat, gar nicht zu verkennen. Der Satz, der

dadurch erhaͤrtet werden ſoll, wird ſo allgemein und ſo

ſtrenge, und dabey auf eine ſo wenig weitläuftige Art dar⸗
gethan, daß nichts weiter zu verlangen uͤbrig bleibt. Bey
dem erſten, Abſatz 2 bis 8 mitgetheilten, Beweiſe wird

Abſatz 7 eine Behauptung zu Huͤlfe genommen, die einen

neuen Beweis noͤthig macht, da ſie nicht zu den Elementar⸗
Saͤtzen gehoͤrt; und vielleicht iſt die genaue Beſtimmung
der darin genannten Summen von Poteſtaͤten nicht einmal
anders moͤglich, als eben durch den Neutonianiſchen Satz.
Bey dem andern, Abſatz 9 bis 14 ſtehenden, Beweiſe iſt

das e ein nicht ganz unwichtiger Umſtand, daß dabey die

Nn 3 Buch⸗

566 Zuſstze zum zehnten Capitel.

Buchſtaben P, Q, R, S ꝛc. nicht immer Summen von
einer und derſelben Anzahl von Groͤßen ſind.

20. Der Herr Hofrath Kaͤſtner hat in ſeinen Anf angs⸗

gruͤnden der Analyſis endlicher Groͤßen, am Ende, den Neu⸗

tonianiſchen Satz von dem Verhaͤltniſſe der Coefficienten einer
Gleichung zu den Summen der Poteſtaͤten ihrer Wurzeln auf

ſeine Art, d. h. karz, deutlich und buͤndig, bewieſen, und zu⸗

gleich eines andern Beweiſes von dem ehemaligen Prof.
Baͤrmann zu Wittenberg Erwaͤhnung gethan. Da indeß
jeder deutſche Mathematiker des Herrn Hofrath Kaͤſtners

Werke beſitzen muß, ſo habe ich nicht noͤthig, daraus hier

etwas herzuſetzen.

21. Der franzoͤſiſche Ueberſetzer des erſten Theils der

Euleriſchen Einleitung in die Analyſis des Unendlichen, Herr

Pezzi, deſſen Ueberſetzung Strasburg 1786 erſchienen iſt,
hat ebenfalls in einem Anhange zum zehnten Capitel die
von Wulern bey §. 166 gelaſſene Luͤcke durch einen ohne
Differential⸗Rechnung gefuͤhrten Beweis des Neutoniani⸗

ſchen Satzes auszufuͤllen geſucht. Es empfiehlt ſich indeß die⸗
ſer Beweis weder durch Kuͤrſe, noch durch Leichtigkeit, und
ich kann daher uͤberhoben ſeyn, ihn abzuſchreiben. Herr

Pezzi hat des Hrn. Hofr. Kaͤſtners Werke nicht gekannt,

Das geſteht er ſelbſt, daß er aber auch die Eut leriſchem hier

mitgetheilten Beweiſe nicht gewußt hat, laͤßt ſich daraus

abnehmen, weil er ſich ruͤhmt, durch die Differential⸗

Rechnung eine andere Methode gefunden zu haben, ohne
deſſen, was Euler in dieſer Ruͤckſicht ſchon im Jahr 1750
gethan hat, auch nur im mindeſten zu erwaͤhnen.

22. Uebrigens ſind die Saͤtze aus der Differential Rech⸗
nung, die bey dem Abſatz 1 5 bis 17 ſtehenden Beweiſe ge⸗
braucht werden, von der Art, daß dieſelben eher bekannt

ſeyn

den Vort
gethane
dachtend

1. G
einem 3
Ic wil
reciproca⸗
Pereriburg
ren I u
lange dor dr
des Nemd
Alterſuchte

2 We⸗
ſaus deſels

XI—

G Zentlich 4

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R 4

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Ndlichen, 9 Hee

Aeſhienen i
W 1e

z Neſon ſin⸗
M WI

ctt e t,

Zuſaͤß aͤße zum zehnten Capitel. 567

ſeyn koͤnnen, als der Neutonianiſche Satz, ſo wie es Euler

gethan hat, gebraucht w wird. Ich habe daher um ſo we⸗

niger Bedenken getragen, den ge dachten Beweis hier mit⸗
zutheilen, zumal, da er nicht ſo bekannt zu ſeyn ſcheint,
als er es verdient. Wenisſtens iſt Euler dadirch wider
den Vorwurf geſichert, als eder⸗ das am Ende des 166ſten.
§ gethane Verſprechen nicht gehalten, weil man den ge⸗
dachten Beweis nicht in ſeiner Diſfer xe ential⸗Rochnung ſindet.

C. Zuſatz zu §. 167 und 168.

1. Es iſt eben ſo angenehm als nützlich, mehrere zu
einem Ziele fuhrenden Wege mit cinander zu vergleichen.
Ich will daher aus, der Abhandlung de ſummis ſerierum
reciprocarum im ſiebenten Bande der Commentarien der
Petersburgiſchen Akademie der Wiſſenſchaften von den J ah⸗
ren 1734 und 35 die Art und Weiſe mittheilen wie Kuler

lange vor der Ausarbeitung der Einleitung in die Analyſis

des Unendlichen die Summen der in den oben ſtehenden 55
unterſuchten Reihen mit Huͤlfe des Kreiſes beſtimmt hat.
2. Wenn s einen Bogen, „ den Sinus und » den Co⸗
ſinus deſſelben bedeutet t, ſo iſt nach Capitel 8 der Einleitung

§. 134.

—rr2 3 3.4. 5 2567
82 86 1
SI 1.2 1 r.2 „2. 3.4 1. 2. 3.,4.5.6

Ei gentlich werden durch dieſe Formeln die Sinus und Co⸗
finus eines Bogens aus dieſem m Bog en beſtimmt, man kann
ſie aber eben ſo gut gebrauchen, um nach jener einen Bo⸗
gen durch ſeinen Sinus, und ans dieſer durch den Coſinus
zu finden. Zu dieſer Abſicht ſ ſoll hier indeß bloß die erſts
In 4 For⸗

568 Zuſͤze zum zehnten Capitel.

Formel unterſucht werden, und dazu iſt es am bequemſten ihr
folgende Form zu geben: .

H S§ 4 §5 3 85 4
0° — I1 — — †.- — — c.
„y I. 2. 3. V TP2. 3.4.5. 7

3. Da dieſes eine Gleichung von unendlich vielen Di⸗

menſionen iſt, ſo muß ſie auch eine unendliche Anzahl von
Wurzeln haben, und nennt man dieſelben A, B, C, D,

E, ꝛc., ſo wird, wie aus der Lehre von den Gleichungen D

bekannt iſt,

8§ 8 3 § § 57
1 — – — — 711 — — zc.
8 S 8 8S 8
——— — TI =— — T1 — 1I— — — — 3
( . (1 — c — P) (1 — 3) c.

und foigic
1 1I
= = †1 C L P1t 4 ꝛc.
= der Sumune der rodute aus je zweyen
— —-— = der Summe der Produkte aus je dreyen
1. 2. 3. V
d S—nder Summe der Produkte aus je vieren
1I
1.2. 3. 4. 5. y
1I I I I
von d —, — —
n dieſen Groͤßen XB C DP E
4. Nun ſind aber die Wurzeln der Gleichung Abſatz 2
keine andere als alle die Bogen, deren Sinus =y iſt, und
alſo, wenn man den kleinſten dieſer Bogen durch A und

c.

Dern halben Umkreis durch = ausdruckt, folgende:

A, =—A, 2 7 † A, 3 — A, 47 † A, 57 — A, ꝛ”.
. desgleichen
—-— ,— 2rf4, — * — , 4r t, — 5r — ,1.
Es

= der GSucnme der Produkte aus je fuͤnfen

* ”M

Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. 569
inip Es iſt demnach auch
die Summe aller dieſer Groͤſen =

die Summe aller Produkte aus je zweyen = o

itre, 2 B — 1
1i 8 die Summe aller Produkte aus je dreyen = — —
nin 1.2. 3. J
UMMB die Summe aller Produkte aus je vieen = o
Nei . I
Nunn die Summe aller Produkten aus je fuͤnfen =
12. 3 4.5 7
die Summe aller Produkte aus je ſechſen von ihnen⸗ =S0O
5. ebt man nunmeh
— † — — — — – †– ꝛe.
4. — * —
1 ðͦJJM 1
Sr D t rt rA.
I I 1 1 1
A 2 1 1 r A) 3 t D
8ſe den 8— 1I 1 — —
B AN 1, 1 —-41 541(224 4 7
ee n ze
fuin ſo wird nach dem in der Einleitung, Theil 1. Sa. I0
§. 166, angefuͤhrten Neutonianiſchen Satze
„ I
P= —;
6SZ
unt HHAn b r
2ii U — = —
u 2 Y
DNen A Nr C 1
y I. 2 y
.-l,l RKR P
1. 2. 3. J

570 Zu ſaͤße zum zehnten Capitel.
8
— — — k* —
y L. 2. 3. y 1.2.3.4. y
T R
V= — — —
y L. 2. 3. y I. 2. 3. 4. 5.
V 8 Q⁄]
y. I. 2. J. Y I. 2. 3.. 4 5. y I.2. 3.4.5. 6.

20.

6. Angenomn nen allo, daß y = r = 1 ſey, ſo iſt der
kleinſte Vogen A von denen, deren Sinus = 1 iſt, = 4,
oder wenn man = q ſetzt, A = q und æ = 2q. Da⸗
bey verwandelt ſich die obige Reihe Abſatz 4 in folgende:
X I 1 1I I
, , — - — 2 F. 1 F. — : — 4
4 3 , 74 74
— “ † 2t. L.
Hieraus aber fleßt .
1 1 1
— (.— — †¼ — — –᷑ bP - — — † ꝛc.) P= 1
4 3 5 7 19 1I” 3
und es iſt demnach 4

1 1
4 = — = 1 = † — - 1 – — — 1 ꝛ
2 4 3 5 9 1I1

.

welches die bekannte 4 Aeibnitziſche Reihe zur Beſtimmung
des halben Umfangs eines Kreiſes zum Radius, oder des
ganzen Umfanges zum Durchmeſſer deſſelben if.

7. Nimkt man nun die Quadrate derer Groͤßen, die

ſich aus der V orausſetzung, J= 1, ergeben haben, ſo er⸗
hlt man
1 17
1 r1 — †r — t — † — 1 1.
92 99 A 25q° 259 2½*
und durch die Beſtimmungen im fuͤnften Abſatze alſo
2 (r † — † 1 1 † .) = Q P
— — † — — † — † ꝛc.) ☛ Q P=
q2 9 25 4 9 ,

„oder

Nun i⸗

1I2

und de

,, 4 i⸗

. .

Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. szr
oder
2 2 1 1I
= — =,1 †% — † — — t t.
2 8 9 25 49 81
Nun iſt aber 1 4 — † — ꝛr. = 14 *† 16
9 25 49 6
I .
† 2; 55 r. — G r1 — † 1. r ꝛc.), und
2 9 25 38
es wird folalich
22 1I I I 1 I
— =1 † — † — P† —- f - † — f† ꝛc.
6 4 9 16 25 36
8. Da in dem Falle, wenn y = 1 iſt, P = Q = 1
„ 1 DWBU D
wird, ſo iſt, fuͤr y„= 1, R = —; 8S = —; T = X;
2 61 17 .
V = —; W= —; X = – H „ꝛc. Aus RK = — aber
135 720 315 2
hat man
2 I 1
— (1 — – † — — — †* –— — eꝛc.) = —
92 33 53 7 9 3
oder
3 3 T . 1I T 1
+= — = 1— — † – — — † — — 2.
4 32 3 ¾ 53 73 93
Ferner fließt aus aus 8
44 154 54 74 = 3
oder
4½ — 24 112 . 1 15 1 re
6 95 54 †74 5s r.

und da dieſe Reihe mit 7 multiplicirt die Reihe

T 1I I 1I 1
1 — † — †+ — † — † ꝛc.

—

sN
8

572 Zuſätze zum zehnten Capitel.
giebt, ſo findet man dadurch
— 1† — † — III 1 r.
90 — 1 24 34 44 54 64
9. Auf eine aͤhnliche Art entdeckt man die Summen der
hoͤhern Poteſtaͤten, nemlich
I r. = — = *
3 55S 775 1 95 115 “ 48 1536
und
1 3s † 5o 17 1 & 1 = 1i.. 15– 9566

Aus die⸗ er kegten Neihe “ ergiebt ſich auch

* 6
— † — † — = ? ꝛc. = —.
1½2 1 5 t 5 † 945

dur die ſebenten Dignitäten erint man
I „I ”ÿMƷMB 1 D 6197 6127
97 11¹1⁷7 t. 1440 184320

und fuͤr die acten

1 I118 — I1728
11 118 —5 1 72 t5 a5 IIs 630 161280
woraus ſich “ weiter
1 25 1 38 46 1 58 t 6 9450

ergiebt. Da bey ungeraden Exponenten die Zeichen vor

den Gliedern abwechſeln, und nur bloß bey den geraden

Poteſtaͤten gleich ſind, ſo iſt dies die Urſache, daß man die
allgemeine Korn

1 1 r t † 1 t 1 r.

nur in den Filen ſummiten kann, wenn n eine gerade

Zahl iſt.

— 1 —

Zuſͤtze zum zehnten Capitel. 573
10. Setzt man den kleinſten zu y gehoͤrigen Bogen
= 4 7* und alſo y = V ſo wird

4 ”M 1
☛ 3 * 5* 7* 9 ⅓½ IITX y

und fogich
—,— I † — — – — F — — Trꝛe.
Ferner iſt die Summe der Quadrate jener Glieder oder

at. F 5 †. = =2, und alſe

wwie bereits vorher gefunden worden iſt.

1II. Macht man y = ſo wird der geine zu y ge⸗

hoͤrige Bogen = 1 Alsdann erhaͤlt man

3 3 z 3z3 2 1 2
— †+ — — — — — † — 2 c. = — = —
2 7 47 5 y V3
und es iſt daher
2 ZW I I IIIII

3V3 2 — 4 5 7 8 0% 11“
Sernee d wird die Summe der Quadrate dieſer Glieder =

.
— = — 4. und olgli
7 2 folglich
1
in welcher Reihe age uns 3 ſamnengeſegke Glieder feh⸗
len. Es hangt aber dieſe Reihe auch mit folgender

2

7*
1¼ † 1 J tis . = 7

574 Zuſaͤtze zum zehnten Caͤtt

zuſammen, indem dieſe mit (1 — multiplicirt, ene giebt,

= 42
27
12. Setzt m man y =o, ſo verwandelt ſich die im An⸗
fange Abſatz 2 zum Grunde gelegte Gleichung in lolgende:
S2 ⁸5 8⁸ 7
I.2.3 I. 2.3.4.5 1.2. 3. 45.6.7
und die Wurzeln dieſer Gleichung ſind alle die Bogen,

und ihre Sumume e iſf daher = = u⸗ — =

deren Sinus =o iſt. Die kleinſte Wurzel iſt daher s= o,

und dividirt man hierdurch die vorhergehende Gleichung, ſo
dekoͤmmt man
= 1 — — — † - 4 „ † ꝛc.
1.2. 3 1.2 J. 4'G I. 2. 3. 4. 5. 6. 7
und die Wurzeln dieſer Gleichung ſind alle uͤbrige Bogen,
deren Sinus = o iſt, oder *, — , † 2 — 2 , 1 32,
— 37 ꝛc. Hieraus fließt
§ 2% L & 4

1— —

1.2.3 1.2.3,4 5
(1 † a- (1 4 D).= A= Ha-=

.1 1c. = (1— )

8 2
a =— a⸗ — 1672
NNMN.
13. Rimmt man nun auch hier den Neutonianiſchen
Satz von dem Verhaͤltniſſe der Coefficienten einer Gleichung
zu den Summen der Boteſtͤten ihrer Wurzeln zu Huͤlfe,
ſo ſ fadet man

rI 1— 2

1 * g tre7
1I T 7 %
1 1t — 1t — f† — z. = 2
z3 7 1 4 x. 3 Q

14.
yungen /

Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. 575 Wð
.. 1X1 T MB I „
ee 1† 1t 32 † 4 5* †ꝛc. = 5 S R
TI I— TI I 7 8
P5 35 1 5 1 5 K. = — = 5
r I TI „ T
leenl 1 — † — T — 1 3 — [F’c. = - — = T
inſage . 8 4
1I I 50172
1— F — PL — P — † ꝛc. = =V
711 212 312 1 412 1 * 6825. 93555
und hieraus
Uenn at 6 P 150 21 21 B 108 — 22T 6825
e 20 R 1085 691 T
Glitng ⸗
14. Auch kann man aus den bisher gefundenen Beſtin⸗
— mungen folgende Werthe von = ableiten.
1 1 I I r
ige Zegen. 40 z 5 — 7 1 5 1
3 5 7 2
, 1I 1
T — . — — — .
*= 2 ( —
2- I †.
S, 1— † 1. — 1 5 — r t
5 7
5
-— — 1 1
86 G 1 3 13 — 1 c.
* = 4 ( — —
.
— † — P† — † ec.
L
— r 1 — .
tonionichen (— 1† 5 † 72 74 † g ge. 1 II4 1. L.
ℳ —
rHeichung 3 1 1
Hüle 33 53 772 „* 1I3
1 1 1 1 1
1— — † — — – TP — — + ꝛc.
16/ „ Ey „5 5 115
ArIt . t 1 t r . r
34 5 * 7* 94 I1 *

7

WS . 5 6
576 Zuſaͤtze zum zehnten Capitel.
1 L 41 I 4 1 — 4 ꝛc.
8 — 7 — 77 95 IIS “
371 57 22
— — 4
.
1 † 36 56 76 96 11 gu
Lon a
1 Vircs
gen und
1 Wer
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4, R
4
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he
6. der
4
bo.
cc.
b. Geh

4

Zuſaͤtze zum eilften Capitel.
Inhalt dieſe Canitels. W

Von andern unend lichen Ausdruͤcken fuͤr
die Bogen und die Sinus.

1. Verſchiedene andere unendliche Ausdruͤcke fuͤr die Bo⸗

gen und die Sinus, § 184 — 196.
a. dieſe unendliche Ausdruͤcke fuͤr die Vogen und die Si⸗
nus ſelbſt, §. 184 — 187. H
«. Reihen fuͤr die Sinus und Coſinus, die, ſo wie ſie
aus den bereits gefundenen abgeleitet ſind, bey der
gegenwaͤrtigen Unterſuchung als Grundreihen be⸗
handelt werden, §. 184.
2. verſchiedene daraus abgeleitete Reihen, §. 185 — 187.
aa. zur Beſtimmung von æ, § 185.
bb. fuͤr die Tangenten, Cotangenten, Secanten und
Coſecanten, §. 186.
cc. zur Erfindung des Sinus und Coſinus eines Win⸗
kels aus dem Sinus und Coſinus eines andern
Winkels, §. 187.
b. Gebrauch dieſer unendlichen Ausdruͤcke, §. 188 — 196.
« von ihrem Gebrauche uͤberhaupt, §. 188.
6. von der Anwendung derſelben zur Erfindung der
Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. l. HOH. Oo Lo⸗

4

573 Zuſatze zum eilften Capitel.

Logarithmen von = und der trigonometriſchen Li⸗
nien insbeſonder e §. 199 –— 196, und zwar

aa. zur Erfindung des Logarithmen von r,

§. 189. 190.
bb. zur Erfindung der Logarithmen des Sinus und
Coſinus, §. 191 — 195.
aa, der hyperboliſchen Logarithmen, §. 191
bis 194.
xs. der tabulariſchen Logarithmen, F. 195.
cc. von der Erfindung der Logarithmen, der Tan⸗
genten und Cotangenten ꝛc. aus den Logarithmen
der Sinus und Coſinus, §. 196.

2. Reihen zur Erfindung der Tangenten und Cotangenten
eines Bogens aus dieſem Begen, §. 197. 198. 4
198. b.

S E

Veon

1 Me

nen;

12 At un
bis 2.
A Mon
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6. zw
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OA
bee
4. n
.

Jum
jedesmal

„
Seragesdne

I.

Alf.
Zuſaͤtze zum zwoͤlften Capitel.

Inhalt dieſes Capitels.

Von der reellen Entwickelung der gebro⸗
chenen Funktionen.

1. Nothwendigkeit der reellen Entwickelung der gebroche⸗
nen Funktionen, g. 199.

2. Art und Weiſe, wie ſie zu Stande gebracht wird, §. 200
bis 210.
„wenn der Nenner der zu entwickelnden gebrochenen
Funktion den Faktor pp — 2 p qz. coſ. & † qqz32
bloß in der erſten Poteſtaͤt enthaͤlt, J. 200 — 205.
ℳ. erſter Weg, §. 200 — 203.
8. zweyter Weg, §. 204. 205.
b. wenn der Nenner der zu entwickelnden gebrochenen
Funktion den Faktor Pp—– 2 qz. coſ. 9 † q qzz im
Quadrat oder in einer noch hoͤhern Poteſtät t in ſich
begreift, §. 206 — 210.
ℳ, wenn er denſelben i im Quadrat enthaͤlt, §. 206— 208,
s. wenn (pp — 2 4:. coſ. † qqz½) K ein aktor
davon iſt. §. 209.

Zum Beſchluſſe wird . 210. noch angemerkt, wie man
jedesmal den Bruch des Complements finden koͤnne.

Oo⸗2 An⸗

580 Zuſaͤtze zum zwoͤlften Capitel.

Anmerk. Die Methode, welche Euler im erſten Theile
des fuͤnften Bandes der Actorum der Petersdurgiſchen Aka⸗

demie der Wiſſenſchaften vom Jahr 1780, S. 32. f. bekannt
gemacht hat, jeden gegebenen rationalen Bruch in einfache

Bruͤche aufzuloͤſen, beruhet darauf, daß wenn (2 — a)
ein Faktor des Nenners des gegebenen Bruchs iſt, alle aus
dieſem Faktor entſpringende Partial⸗Bruͤche uͤber alle
Grenzen wachſen, wenn man 2 = a ſetzt, dagegen alle
uͤbrige Partial⸗Bruͤche endlich bleiben, und alſo gegen jene
gleichſam verſchwinden. Wie man dieſes bey der Aufloͤſung
der Bruͤche in einfache Partial⸗Bruͤche mit Vortheil ge⸗

brauchen Lune⸗ ſolches zeigt Euler am angefuͤhrten Orte

fuͤr den Bruch 8 Perſtlich fuͤr den Fall, wenn Q den Faktor

2— a, dann “M den, wenn Q den Faktor (z — a) 2, drit⸗
tens fuͤr den, wenn es den Faktor (zz — a)3 hat, und ſetzt dar⸗
auf hinzu, daß und wie dieſe Methode ebenfalls anwendbar
ſey, wenn die Faktoren des Nenners imaginair ſind. Da dazu
einige Saͤtze erfordert werden, welche in der Einleitung

in die Analyſis des Unendlichen noch nicht vorkommen, ſo

muß ich es hier bey der gegebenen Anzeige bewenden laſſen.

XIII.

— 5

uſit

Von

1. Vn 9

jederke

2. Metho

Veche
ſnd,
b. Art u
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N
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14.

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ſo gener ine
N heldi
Nuthil gn
gefähenn ⸗

anwerddoe
de Elen
vrtonnen,
nmnnor ſa

I

e R 4

XIII.
Zuſatze zum dreyzehnten Capitel.

A. Inhalt dieſes Capitels.
Von den wiederkehrenden Reihen.

1. Von der Art und Weiſe, das allgemeine Glied jeder
wiederkehrenden Reihe zu finden, §. 211 — 230.
a. Methode, jede wiederkehrende Reihe in Partial⸗
Reihen aufzuloͤſen, die zuſammengenommen ihr gleich
ſind, §. 211 — 214.
b. Art und Weiſe, das allgemeine Glied jeder wieder⸗
kehrenden Reihe zu finden, §. 215 — 230.
2. Erklaͤrung der Art und Weiſe, das allgemeine Glied
einer wiederkehrenden Reihe zu finden, wenn die
Partial⸗Bruͤche der Funktion bekannt ſind, wor⸗
aus dieſe Reihe entſpringt, §. 215 — 223.
aa. wenn dieſe Partial⸗Bruͤche unter die Form

A
„ §. 215, 216.
— Ppe)hr gehoͤren §. 215, 21
. A † Bz
bb. wenn ſie unter der Form⸗ pz. cote TPpN
begriffen ſind, §. 217 — 223. Hier werden fol⸗
gende Faͤlle betrachtet:
«. Wwenn k = I iſt, §. 217, 218.

582 Zuſeͤtze zum dreyzehnten Capitel.

68. wenn k irgend eine andere ganze Zahl be⸗
deutet, K. 219 — 2 und dieſer
aaa. allgemein, §. 2
bbb. beſonders, wenn = = 2, §. 220, wenn
k = 3, §. 221, §. 222 iſt, u. ſ. f.
ec. wenn beyde Formen ſtatt finden, F. 22 3³.
36. Methode, das allgemeine Glied einer wiederkeh⸗
renden Reihe aus ihrer Beziehungs⸗ Seale zu ent⸗
wickeln, §. 224 — 230.
aa. Erklaͤrung der Beziehungs⸗Scale, §. 224.
bb. Methode, das allgemeine Glied einer wieder⸗
kehrenden Reihe aus der B eziehungs⸗Scale der⸗
ſelben zu ſinden, §. 225, 226.
ecc. Hieraus abgeleitete Methode,
„0. wenn die Beziehungs⸗Scale zweytheilig iſt,

aaa. jedes Glied der wiederkehrenden Reihe

aus einem einzigen vorhergehenden zu fin⸗
den, §. 226. 227.
bbb. aus jeden zwey unmittelbar auf einander
folgenden Gliedern Pzn und Qzniz das von
ihnen durch mehrere andere getrennte Glied
XZan zu entwickeln , §. 228. 220.
668. wenn die Beziehungs⸗Scale dreytheilig iſt,
jedes Glied aus den zwey vorhergehenden iu
ſinden, §H. 230.

2. Von der Art und Weiſe, die Summe einer wiederkeh⸗
renden Reihe zu finden, §. 231 — 233.

a. Methode, die Summe aller ohne Ende fortlaufenden

Glieder einer wiederkehrenden Reihe zu finden, §. 231.
b. Methode, die Summe einer wiederkehrenden Reihe
bis auf ein gegebenes Glied derſelben zu finden,
§. 232, 233.

A

.

Ich

ten Thei
Nruche

luſeen,
Nehandel
ſane d
und die
vorherge
hat, al⸗
hefllrchte
ſen Vorwo

nyylſellgg
mnden Reißt
a n

utgeh ieng; 4

ſed n ). Sh

nende en! den N

. i

Zuſoͤtze zum dreyzehnten Capitel. 583

«. allgemein, §. 232.
s. wenn die Beziehungs⸗Scale zweytheilig iſt, §. 233.

B. Zuſatz zu §. 222.
Ich war anfaͤnglich willens, die Entwickelung des zwey⸗
ten Theils des allgemeinen Gliedes der Reihe, die aus dem
A † Bz
Bruche — — bz. coHορα
zuſetzen, dnd alſo den Fall des gegenwaͤrtigen K. eben ſo zu

entſpringt, ganz her⸗

behandeln, als den im vorhergehenden. Da aber die Zu⸗

ſaͤtze zu dieſem erſten Bande ſchon ſo ſehr angewachſen ſind,
und die gedachte Entwickelung fuͤr denjenigen, der alles
vorhergehende mit dem erforderlichen Nachdenken geleſen
hat, allenfalls als uͤberfluͤßig angeſehen werden kann, ſo
befuͤrchte ich uͤber die Abaͤnderung meines Entſchl uſſes kei⸗
nen Vorwurf.

Oo-4 XIV.

☛
SSõõ

XIV.
Zuſatze zum vierz zehnten Capitel.

A. Inhalt dieſes Capitels.

Von der Multiplication und Diviſion der
Winkel.

I. B timmung der trigonometriſchen Linien ſolcher Bo⸗

gen oder Winkel, die in einer arithmetiſchen Progreſſion

fortſchreiten, F. 234 — 257.
a. der Sinus, §. 234 — 241.
b. der Coſinus, §. 242 — 245.
c. der Secanten, § 246 247.
d. der Coſecanten, §. 248.
e. der Tangenten und Cotangenten, F. 249 — 257.
2. Summation der Sinus und Coſinus der Winkel, die in
einer arithmetiſchen Progreſſion fortgehen, §. 258 — 260.
Den Beſchluß machen einige Winke zur weitern Be⸗
nutzung des Bisherigen nebſt dem Verzeichniß einiger
dazu nothwendigen Saͤtze, §. 261 — 263.

B. Zuſatz zu §. 234 — 241.
1. Wenn einen Bogen eines Kreiſes bedeutet, deſſen
Radius = I iſt, und dabey ſin. 2z = x, und coſ. 2 = y
geſetzt wird, ſo findet man zwar, wenn man x oder y aus
2 beſtimmt, ſowohl fuͤr xX als fuͤr y nicht mehr als einen
Werth, aber dagegen gehoͤren zu jedem xX und y unendlich
viele

ieebea

in/ Ben
ung ertt
lus und
in achte
welchen

ſin.22

2 C
die Nta
chen er
thun. Be⸗
Naben Von
der Sinn
ihre Lageo

den nega

ſin. 5=

i, Air
W

eten De⸗
ichniz ani

Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel. 5 85

viele Bogen, ſo daß in dieſem Fall eine unendlich viel⸗
fache Bedeutung bekommt. Die Wahrheit dieſer Behau⸗

ptung erhellet, ſowohl, wenn man den Begriff eines Si⸗
nus und Coſinus genau uͤberlegt, als auch aus den oben

im achten Capitel, §. 134, gefundenen Formeln, nach

welchen
Z 73 27
ſin.: 2 — 2 — — † — 5 — J † 20.
1.2.3 1.2 3 4 5 1.2.3.4.5. 0.7
und
22 2 4 26 MUẽ
coſ.?2 = I — — — — — . † 20.
I1. 2 I. 2. 3 4 1.2. 3.4. 5. 6
iſt.

2. Will man folglich einen Sinus oder Coſinus bloß auf
die Art ausdrucken, daß man den Bogen anzeigt, zu wel⸗
chem er gehoͤret: ſo kann man ſolches auf unzaͤhlige Arten
thun. Bedeutet nemlich s irgend einen Bogen, und = den
halben Umkreis, ſo iſt, wenn man bey der Beſtimmung
der Sinus und Coſinus außer der Groͤße derſelben auch
ihre Lage in Erwaͤgung zieht, und alſo die poſitiven von
den negativen unterſcheidet,

ſin. S = ſin. (æ — s) = ſin. (2 7 † s) = ſin. (3 7 — s) =

ſin. (47 † S) ꝛc.
und
coſ. S = coſ. (27 — S) = coſ. (27 † s) = coſ. Ge- 5) =
coſ. (4 † S) ꝛc.
Betrachtet man aber die Sinus und Coſinus bloß ihrer

Groͤße nach oder abſolute, ſo wird ſogar

8

ſin. S = ſin. (z — s) = ſin. (z † s) = ſin. (2 — s) =

ſin. † s) = ſin. (3 7 — 8) = ſin. ( (3* † 8) =
ſin. (4 * — S) ꝛc.
und
coſ. S = coſ. (æ — s) = coſ. (æ † s) = coſ. (2 7 — ⁸) =
Oo 5 coſ.

586 Zuſaͤße zum vierzehnten Cabite.

cof. (2 † S8) = coſ. (3 — s) = coſ. (3 7. 1 8) =
coſ. (42 — ⁸) 2c.
3. Da alſo i in der Gleichung:
ſin. nz =
(n=— 3) (n- 4)
Iͤ . 2
der Sinus in der erſten Haͤlfte oder ſin. n2 bloß durch den
Bogen angezeigt iſt, zu welchem er gehoͤret: ſo kann man
dafuͤr, wenn man nz2 = s macht, ohne die Gleichung zu
zu zerſtoͤren, entweder
ſin. S = ſin. (* — S) = ſin. (22 † s) = ſin. (3 æ — s) 2c.
oder auch
ſin.s = ſin. (7 — s) = = ſin. (æz † s) = ſin. (2 7 — §8) =
ſin. (2 æ † s) 20.
ſetzen, je nachdem man bey den Sinus entweder ihre
Geoße und Lage, oder ihre Groͤße allein in Erwaͤgung zieht.
Ferner kann man darin fuͤr X, da x durch dieſe Gleichung

x(2n- 1yn- 1(n 2)an- 8yn- 3 †

nicht weiter beſtimmt wird, als daß es der Sinus von .

don dem Bogen ſeyn ſoll, deſſen Sinus ihre erſte Haͤlfte
ausmacht, entweder
8 „ 2 = . 2 Ss 37—8
ſin. — oder ſin. — — oder ſin. — — oder ſin. — .
U 83 n „ILI
. 4
oder

B

†T. S 2 — §
rn. 2 — oder ſn. oder ſin. — — oder ſin. — c. .
n

ſegen, je nachdem wie der entweder der erſte oder der
zweyte von den ſo eben gedachten Faͤllen angenommen

wird. Zugleich wird dabey immer y, als der Coſinus des

Bogens, von welchem x der Sinus iſt, = (I — XX).

4. Bringt man nun den jetzt gedachten Werth y =
V (I1 — XX) in die Gleichung:
“ An.

2— Fyn-5 —²¾ c.)

M- 1)

6 erha
dieſer 6
jenigen
in Eur

ſin.
ig aler
ſin

in ſof
durch
wied.
5 6
nind

durch di
Formel
u beſti
tution
Dinen
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1 d
Gebt es
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zuglich
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— †£

.
e
1 e

olmmn
leißung ir

6r-N

,„ —

voeder .
en NW N

.

Sinni⸗
1

ate hift

X(3u- Tyn-X—(n -— 2) 2n- 3 Pn-3 †

Zuſaͤtze zum n Vertegnten Eeiet 887

14

ſin. n 2 =

(n SH De sIn-s —ic)

ſo erhaͤlt man dadurch eine ſolche, die dioß xX enthaͤlt, und
dieſer Gleichung thun folglich, weil bey der Erfindung der⸗
jenigen, woraus ſie abgeleitet iſt, die Lage der Sinus mit
in G Erwaͤgung gezogen worden, die Werthe UMD
un. — z ſin. — ſin. 2 s ſin. — *c⸗
n II
in aller Nuͤckſ icht; die Werthe aber
— S 7 † S 2—S

ſn. = — Rſin. — — ſin. ——— ſin. — — — 5 ꝛ2c.
D 11 1

in ſo fern ein Genuͤge, a § ſie und ihre Geundgleichung
durch Beyſeitſetzung der “ der Sinus nicht geaͤndert
wird. “
5. So weit iſt man alſo im Stande, die Werthe, weiche

xX in der aus der Gleichung:
ſin. n Zz =

(n-4)

X(2n- Tyn- 1— n-—2)2n- 3 Zn- 3 † 2n Syn- 5— c.)

durch die Subſtitution y = V . — S entſpringenden
Formel haben kann, mit der vollkommenſten Gewißheit
zu beſtimmen, ohne daß man noͤthig hat, dieſe Subſti⸗
tution wirklich zu gebrauchen, und ohne die Anzahl der
Dimenſionen von in der dadurch entſtehenden Gleichung
zu wiſſen. Allein unter den unendlich vielen Werthen, die
X auf dieſe Art in der gedachten Gleichung haben kann,
giebt es bey jedem beſtimmten Werthe von n auch nur eine
beſtimmte Anzahl von einander verſchiedener Werthe von X,
und die Kenntniß dieſer Werthe iſt es, worauf es hier vor⸗
zuͤglich ankommt. Man ge langt t dasn durch folgende Be⸗

trachtungen,

1

588 Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel.

2n § D
6. Zuvoͤrderſt kehren von ſin. 2 an die ſchon da⸗

geweſenen Werthe in eben der Ordnung wieder, indem

anE S 8 n. OG —8S —— 5
n n n n

iſt, und es kann alſo die Anzahl der von einander erſchie⸗

denen Werthe von x, wenn man die Sinus der Groͤße und
Lage nach betrachtet, nicht groͤßer als 2 n, wenn man ſie
aber abſolute nimmt, nicht groͤßer als an ſeyn. Zum an⸗

dern ſind, wenn n eine ungerade Zahl iſt, unter den 2n

Werthen im erſten Falle je zwey, und unter den 4n Wer⸗
then im andern Falle je vier Werthe einander gleich, ſo
daß, wenn n eine ungerade Zahl bedeutet, fuͤr X nicht
mehr als n von einander verſchiedene Werthe uͤbrig bleiben.
Denn einmal iſt

SS

U nn
ſin. — – = ſin. —
1I1 n
ſin. 22 = ſin. — 2 —
n U
desgleichen
ſin. Ae⸗= ſin. E— 1) æ — S
En. Qne — – in. ——
ſn. . = ſn. Qn 32— .
n n
c
Zweytens ſind, wenn man die Sinus abſolute betrachtet,

die Sinus von
Kn⸗

ſo=

n den

n?
ſin. —

ſict berſ

ln.

ſin

Zumm
Under den
negatve ,
Nuc, Ne

n nd
er allen
ſt, firx
den und
n abolun
ſch, wen

õ

Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel. 582

S . . I2 — S
Rſdnn⸗ ſin. — an bis zum ſin. — —
n 11
le, ſcen von den Sinus von
„ n † 8Ss 2nW — S
—-4 Ein. 22— an bis zum ſin.
1 II —–+
ee nicht verſchieden, und außerdem iſt auch
rGrie § n W — S
n mnnn n n „*U
um cn 7— S⁸ (n-—I n † s
muN n
d e De⸗ „W T S n — I) n — §
r ec , n n
hrigide desgleichen
§ 2N — S
(n † 17 — S (2n — 1) 71 † S
ſin. — — — ſin.
n†1) „W†S (2 n — 1) æ –— Sù
11
ꝛc.
Zum dritten ſind, wenn n eine gerade Zahl bedeutet,
unter den vorhin gedachten 2n Werthen n poſitive und n
negative, und unter den erwaͤhnten 4n Werthen 2n Si⸗
nus, die zu Bogen gehoͤren, die kleiner ſind als 7, und 2 n
Sinus, die zu Bogen gehoͤren, die groͤßer ſind als » und kleiner
als 2r, und unter jenen ſowohl als unter dieſen je zwey, und
Unter allen je vier gleiche, ſo daß, wenn n eine gerade Zahl
iſt, fuͤr X entweder die Anzahl von 2n Werthen, n poſiti⸗
ven und n negativen, mit jenen gleich großen, oder von
ne n ab oluten Werthen entſteht. Denn einmal unterſcheiden
i ſich, wenn n eine gerade Zahl iſt, die Sinus.
6 En.

590 Zuſatze zum vierzehnten Capitel.

fin. —, lin. — ſin. 1 „ln. A —
von den Sinus . 1:
1 S „ (n † —Ss (n 2 8
ſin. 22 7 ſin. 1 2 ſin. A 232 „ % & H
n n n
.. (n. Q 25— . “
22 dan;
bloß durch ihre Lage; und zweytens iſt wieder, wie vorhin
ſin. = fſin. — —
UI 1
un. — — ſin. s
11 . 4.
. (h— I1) = —
n. = n. .—r —
1¹⁰ AD l
desgſeichen.
n n d W
Lt —5 — ſin. Qn—UHei
n n
„(n†II—Ss „ Cn-– I) = — §£
in. . ſin
c.
7. Will man alſo bloß alle von einander verſchiedene geordnet
Werthe haben, die * in der aus demn hee
ſin. n z = S ſ mnuß m
n—4)
durch die Subſtitution Y= V *Z — Xx) entſpringenden wennne
Gleichung bekommen kann, und dieſelben auf die dequemſte .
Art ausdrucken: ſo ſind dieſelben mn
1. wenn n eine ungerade Zahl iſt, und ,war wie

A⸗

Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel. sr

5 2a. wenn die Sinus ſowohl ihrer Lage als ihrer Groͤße
nach betrachtet werden:

(an -— 2) 42)

2 4 è
ſin. 2; ſin. (— † 2); ſin. (— T†T 2); ſin. (
11

b. wenn die Sinus bloß ihrer Groͤße nach genommen
werden:
.
ſin. 2; ſin — — ²); =ð — † ²); ſin. ( — 2) ſin.4 2= †2);
dewih n
ſlin. HM — 2z) eſin De . 2)
2. wenn n eine gerade Zahl iſt, und zwar
a. wenn man die Sinus nach Groͤße und Lage zugleich
betrachtet,

S 77 2 2
E fin. 2; Z ſin. (— — 2) ; T ſin. (8 † 2); . . .

.. ſr. — — 2 2)
nę

b. wenn man ſie bloß nach der Groͤße betrachtet,
18 ſn. 2; z ſin. — 2); = † 2); ſin. (— — );

2 α.
. ſin. (X 1 2) an. S — 2) ſin. (32 — 2).

8. Da ſich das Allgemeine allemal in das ihm unter⸗
teicde geordnete Beſondere durch Hinzuſetzung deſſen, was aus
dem ſpecifiſchen Unterſchiede fließt, muß verwandeln laſſen:
ſo muß man auch aus den Werthen von X

„ En.2; fin. =. — 2); fin. (— 12); fin. (— — „: 1c.
SS n n
faune wenn n eine ungerade Zahl iſt, die Werthe
le cvenſ ſin. 2; ſin. (— f 2); ſin. ( † 2); fin. (— † 2); ꝛ..

ſo wie auch, wenn n eine gerade Zahl ij iſt, folgende

592 Zuſaͤtze zum Nierzehnten Capitel.

ſin. 2; = ſin. ( — 2); ſin. S 12); ſin. — 2);1¹.

bloß durch Hinzufuͤgung der Zeichen † und — herleiten

koͤnnen. Nun iſt in Anſehung der erſten Werthe

ſin. z = ſin. 2

ſn⸗ . 2) = ſin. — † 25
„ „— ((n † 1W (2n — ) -
— ſin. S † 2) = ſin. ( . † 2) = ſin n.— — — 2)
— bn. (E —) = ſn. ( r 2) = Gn(Dar,

und in Anſehnng der andern
+☛ ſin. z = – ſin. 2

ſin. (2 — 2) = ſin. — 2);
n

ſin. 1 4 2) = — — ſin. S

Man kann demnach, wenn die Sinus der Groͤße und Lage
nach betrachtet werden, die Werthe fuͤr X, wenn n eine
ungerade Zahl bedeutet, auch durch

Än. 2; ün. (— — 2); — fſin. (— † 2); — ſin. (2— — 2) 5½
2 W 37F 2W
† in.( † 2) † ſin x 2) ſin 1† 2);
— fKn. 4 — 2) 3 ſin. (d † 2); t ꝛc.
II 11
und wenn n eine gerade Zahl iſt, auch durch

. „2 *
Eſin. 2 — ſin. —; — ſin. (.12); Sſin. D —2)c.
aus⸗

H

ousdai
Nentn u

erthe

uit eine

9. B
in die 6

1Cn-I,

wobey e
ſchlagen
gerade
n eine g
Dimenſt

Vrhecye

weil die
detn =
IRNNE
heit verg
10.
gen in de
ſünmt i
ſcht man
S. h.
doraus
werden f.
Gelkuuch

mal, w
ren Kuler

ich nict
Gleichun
Letheilt

in die Gleichung

Zuſuͤtze zum vierzehnten Capitel. 593

ausdrucken. Im erſten Falle findet man bey einigem Nach⸗
denken uͤberdem auch bald, daß die Anzahl der negativen
Werthe jedesmal die kleinere Haͤlfte vonn, und folglich alle⸗
zeit eine gerade Zahl iſt

9. Bringt man nunmehr den Werth y0y = V (1 — XR)

ſin. n z =

— 4)
2

2(2- Tyn-I —(n-— 2) 2n- 3 yn-3 4 2n- 5 yn-5 — ꝛc.)

wobey es am beſten iſt, daß man n den von Eulern einge⸗

ſchlagenen Werth betritt; ſo erhaͤlt man, wenn n eine un⸗
gerade Zahl iſt, eine rationale Gleichung von n, und wenn
n eine gerade Zahl iſt, eine rationale Gleichung von 2n

*

Dimenſionen. Von dieſen Gleichungen ſind alſo aus dem
Vorhergehenden alle Wurzeln aufs vollkommenſte bekannt,

weil die Anzahl derſelben im erſten Falle = n, und im

andern = 2n iſt, und man kann alſo nun dieſe Wurzeln
mit den Gliedern der Gleichung mit vollkommener Sicher⸗

heit vergleichen.

10. Dadurch, daß die Wurzeln der gedachten Gleichun⸗

gen in dem Vorhergehenden auf mehr denn eine Art be⸗
ſtimmt ſind, wird dieſe Vergleichung ſehr erleichtert. So
ſieht man z. B. den Grund von den im dritten Exempel,
S. 276. ſtehenden Gleichungen darnach ſehr bald, ſo wie
daraus auch die Gleichung des 240ſten §. leicht gefunden
werden kann. Bey dieſer Gleichung kann außerdem der

Gebkauch der abſoluten Werthe von X von Nutzen ſeyn,

zumal, wenn man davon die Anwendung machen will, de⸗

ren Euler im 241 und 245ſten §. gedenkt. Uebrigens ſinde

ich nicht noͤthig, auf eine aͤhnliche Art die Wurzeln der
Gleichung zu betrachten, welche Euler im 243ſten § mit⸗

getheilt hat, um darauf die Betrachtung der Coſinus viel⸗

Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. I. BH, Pp facher

594 Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel.

facher Winkel zu gruͤnden; denn wer das Bisherige mit
Aufmerkſamkeit geleſen hat, muß die dabey noͤthigen Ue⸗
berlegungen ſelbſt anſtellen koͤnnen.

C. Einige Saͤtze von Bogen, die einer geometriſchen
Progreſſion nr chel

1. Die Saͤtze von den Bogen und ihren Sinus, Coſinus,
Tangenten, Secanten u. ſ. f., welche das vierzehnte Capitel
des erſten Theils der Euleriſchen Einleitung in die Analyſis
des Unendlichen enthaͤlt, beruhen auf der Betrachtung ſol⸗

cher Bogen oder Winkel, die in einer arithmetiſchen Pro⸗

greſſion fortſchreiten. Man kann ihre Anzahl betraͤchtlich
vermehren, wenn man dazu die Unterſuchung ſolcher Win⸗
kel ſetzt, die in einer geometriſchen Progreſſion ſtehen; und
es wird nicht undienlich ſeyn, einige von den Saͤtzen, wor⸗
auf dieſe Unterſuchung der Bogen fuͤhrt, aus Eulers Opuſ-
culis analyticis, und zwar aus der Abhandlung im erſten
Theile, welche den Titel: Variae obſervationes circa angu-
los in progreſſione geometrica pro gredientes, fuͤhrt, her⸗
zuſetzen.
2. Da
ſin. 29— ſn. . vor 9
in, ſo wird, wenns irgend einen Winkel bedeutet,
ſin. s = 2 ſin. ¾ s. coſ. S
ſin. ½s = 2 ſin. s. coſ. S
ſin. S = 2 ſin. 48. coſ. 1
ſin. S = 2 fin. 1½ S. coſ. z1, s
ꝛc.
Hieraus fließt
ſin. s = 16. fin. 17 S. coſ. ½ 8. coſ. s. coſ. s. coſ. 77S
und uͤberhaupt

wenn z eine unendlich große Potenſtͤt der 2 bedeutet,

61

ſin. S =

weil ſin.
alſo i in⸗

Hiet

— —

60

8 ſin.
nd dorau/
IselIin
8. Geg

7„

1-2

Do nuy

ſſeigen

ihen e

guneſpn

us ck

ehnne Cl

Nee Mohſs

ncng ſe⸗
wicenrr
rtgid
ſate Dar
1ſhen; w
Sigen,
llts l⸗
gin erſen
ie d⸗
8 ſiſe⸗ e

Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel. 595

fin. S Si. ſn. — —. coſ. ¾ Ss. coſ. S. coſ. S. coſ. 17 S. 20.
1

oder
ſin. S = S. coſ. ⅛ s. coſ. & S. coſ. S. coſ. .s. coſ. H .

weil ſin.
. § DS
alſo i. ſin. †= iſt.

3. Hieraus ergiebt ſich

ſin. s

—

2er ½ S. coſ. ½ S. coſ. £ s. coſ. S. coſ. ec.
‚ oder

und daraus erhaͤlt m man, wenn man die kaarkthmen nimmt,

= I ſin. S † Iſec. ½8 † lſec. 8 †– Iſec. 8 † ſec. 71s † 2c.

4. Setzt man s = = 90⁰, ſo wird

1-= 0 †P I ſec. 45 °† 1ſec. 220, 30 † 1 ſec. II0, 15 † sc.
2

Da nun
Iſec. 45 S 0, 1505150
Iſec. 22 0 30 = 0, 0343847
Iſec. II ö, 155 = 0, 0084261
Iſec. 50°, 37 ¾ =— 0, 0020963
Iſec. 20, 48 ¾ = 0, 0005235
Ilſec. 10, 24 ¾ = 0, 0001309
Iſec. Oo0, 42 6⁄6 = 0, 0000227
Iſec. O0O, 21 = O, 0000082
und die Summe der uͤbrigen = 0, 00ο0ο0ο°27 iſ, ſo wird

1 . = 0, 1961201, und da

, wegen der unendlichen Groͤße von i, = und

596 Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel.

12 = 0, 30 10300,

Etnnnnnet

17 = O, 4971501, und folglich
* = 3, 1415941I.

§. Ferner iſt aus
4 (ſin. 49) ³ = 3 ſin. % — ſin. 3%,
Cap. 8. §. 130. Anmerkung,
ſin. 3 % = 3 ſin. O — 4A ſin. 93 = 3 ſin. 6 (I — 4 ſin. 62).
Bedeutet daher s irgend einen Bogen, ſo wird

2
ſin. s = 3 ſin. † S (I — ¾ ſin.

ſin IS = 3 ſin (r * ſin 2)
2 9 . .

S. S 82.
fſin. — s = 3 ſin. — (I1 — £ ſin. —)
99 27 77
2c.

und folglich, wenn man auf dieſe Art fortfaͤhrt

§2 § 2 §2 .
ſin. S= S (I — % ſin. —) (I — ¾ ſin. —) (I — ¾ ſin. —) ꝛc.
3 * 9 27

6. Es laſſen ſich aber dieſe zuſammengeſetzten Faktoren
auf folgende Art einfacher ausdrucken. Da
ſin. = ¼ — ⅞ν coſ. 2 %
iſt (Cap. 8. §. 130. Anmerk.) ſo wird

2 coſ. 600 † 2 coſ. 20

1 — ¾ò ſin. 2²=

Nun iſt

¼ ¾ coſ. 2 =

coſ. a † coſ b = leot h oſ. —, H. 131.
folglich

coſ. 600 † coſ. 2 = 2 coſ. os † 9) cof. (300 — 9)
und daher

Mgt mea
bekonm
ſin. §

22

5

und, wenn

—

lin. 5

7. Dieſe
genten beyzne
niels, wenn

te

eot. 30

D nun cot,
3cat 39

nd wenn

Zuſuaͤtze zum vierzehnten Capitel. 599
4 Bringt man dieſe Werthe in die vorhin gefundene Formel,

ſo bekommt man
= col (z00 †)col. (j00 — 3)

— — — CO0O

₰

1— ¾ ſin. 62 =

4 § §
4 cof. 00 † ) coſ. 00 — —)
3 3 9 (30˙— 9)
4 8 8
— coſ. (300 † —) coſ. (20 0 — —
3 (3 127 G 27
ꝛc.

und, wenn man die Secanten braucht,
— 2 ſec. 6300 † 7 ſec. (30 °— 5

—

ſin.

4
3 § 5
— ſea 0°† —) ſec. (300 — —
ſec. (3 (3 9

2 5 .— *
ſec. (30⁰ 127 ſec. (30 ° — 27
7. Dieſen beyden Beyſpielen ein drittes von den Tan⸗
genten beyzufuͤgen, ſo iſt aus dem 2409ſten § des 14ten Ca⸗

pitels, wenn man tang. = t et,
D— und folglich

tang. 3 „= = ,

Gornni — — 3t4t — — 244
“B cet. c3 0° = z= (J — 10
Da nun cot. o = — iſt, ſo findet man daraus
A . — 8tt — 8t

-und wenn man t = — ſe etzt,
p 3

598 Zuſuͤtze zum vierzehnten Capitel.

— ⅝ ſin. 9. coſ.

t. 3 O — cot. O = .
3 cot: 30 — cot. 6 3 coſ. 02% — fin. 02

Ferner iſt
coſ. 92 = 1† coſ 29, und
ſin. 02 = ⅞ — ⅝ꝭ coſ. 2
folaglich
3 coſ. &2 — ſin. Oo2 = I † 2 coſ. 2 ½ = 2(coſ. 600 † coſ. 2 ⁰)
= 4 coſ. (30° † %) coſ. (300 — %)
weil coſ. a † coſ. b = 2 coſ. . coſ. — iſt, und dabey
hat man
— 8ſin. 4. coſ. o = — 4a ſin. 2 %, §. 129. Anmerk.
Da nun uͤberhaupt
ſin. 2 %° = ſin. (a † ) cof. (H — %) — col. (a † )
üün. (a — 0)
iſt, ſo wird, wenn man a = 300 ſetzt,
23 cot. 30% — cot. O =
An. (300 † %) coſ. (300— O † coſ. (30° † %) ſin. (300— %)
coſ. (300 † &%) coſ. (300 — *)

—
—

— tang. (300 † %) † tang. (300 — %)
und es iſt folgli ch

cot. 3 = cot. ₰ — tang. (300 † )†εCtang. G00— )
8. Setzt man alſo s anſtatt 3 %, ſo erbaͤ man

cot. = 3 cot. — tang. (300⁰ I3 ) †1 2 ang. Go*- 2)

und auf eine haliche Art denn auch

I Ss 1I §
cot. = = — cot. — — T tan ( er Ftang. 30— 7
3. .3 9„ 9 S
— cot. = Kcot. — Ttang. 4 Gorre Siang. (30—

„ 9 27 27 27 27
20 M

Geht

got. S E

1
Seot.
5

9. De
aus das D
ler Forme
5

—

W.S

ootli

ſt,und dben

õ

Zuſuͤtze zum vierzehnten Capitel. 599

Geht man auf dieſe Art ohne Ende fort, ſo wird endlich

S
coſ. —
I S 1
1 S
1

und folglich
1 MM 1 98
— — tang. (30° † —) — — tang. (300° † —) —
3 ang (3 9 tang (30⁰° † 5
1r1
E0t. S =

I § 1
† ang. (3 3 5 g. (3 3 †

1 S
S tang. (30 27 . . . .

Es iſt daher

— = cot. 1 tung. G01*% 1 tang. oi 2) †
7 ang. (300⁰ † ꝛc.
1 § 1I „ sSs
— — tang. (300 — —) — — tang. (300— —) —
7 tang 3 5 3 (30 9

.tang. (300— — † 1.
27 27

9. Dieſe Formel hat Euler in der Abhandlung, wor⸗
aus das Vorhergehende insgeſammt entlehnt iſt, auch aus

der Formel
— 2 o † * — –
fF- 4 ſec. (300 † 7 ſec. (300 3)
3 4 § 8
2 ſec. (300 † —) ſec. 00 — —
(3 1 ec. (3 5

ſee. (30° 1 ſec. (300 — 3

△0α.

Pp 4 durch

60oo Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel.

durch die Differemiation gefunden, und außerdem fol⸗
gende aus

ſin. 40 = 8 ſin. ꝙ. coſ. 5 1 ) coſ. (45 °— 0) coſ.
und
ſin. 5S = 16 ſin. 6. coſ. (180 † 10) coſ. (180 — )
coſ. (54°† %) coſ. (54 — °)
fließende doemeln itgeeheit⸗

— — C t. 1t — 176 — g, —
. ot. S t⸗ ang. 314 8. 5 E 6 tang 64 ꝛc

. 4 S
† 4 ang. (45 1† tang. (45 °1 3) è*

1 §
6 tang. (45 °† 64 P:ꝛc.
4 4 16 16

tan (450 — ) — ꝛc.
64 8.(45 64 *W

— = cot.s † tang. 180 SSS (180 † 2 ꝛc.

1 t (180. — Dt (180 R— Z
mn – tan — ) — — tan — —— .⸗
5§S . 5S 25 mng.

T
4 5 tang. (540† Pr. tang. (540 † 5 ꝛc.

I §
— — tang. (5 0 — — — + tan . 0 — —) 1c.
5 aS.Se 5 25 ang G4 25

a⸗
Zuſitze zum funfzehnten Capitel.
4 Inhalt t dieſes Capitels.
48:
R Von den Reihen, die aus der Entwicke⸗
lung der Faktoren entſpringen.
Rt
4 1. Art und Weiſe, wie man Produkte in Reihen verwan⸗
o-- delt, § 264 — — 276.
4 a. Reihen, welche aus dem Produkte: (1 † ½) (I T 62)
(1 † 722) entſpringen, §. 264 — 269. H
H 2. die daraus entſpringende allgemeine Reihe, §. 264.
e g. daraus fließende beſtimmtere Reihen, §. 265 — 269.
5 aa. wenn bloß fuͤr z ein beſtimmter Werth angenom⸗
v-r. men wird, §. 265. 266.
aaæz, wenn 2 = † I, §. 265.
. 88. wenn 2 = — I geſetzt wird, §. 266.
5 bb. wenn außerdem auch fuͤr «, , 7, ꝛc. beſtimmte
Groͤßen geſetzt werden, §. 267 – 269.
.„ „6. wenn 2 = † 1, und fuͤr «, 6, 7, ꝛc.

aaa. alle Prim Zahlen, 2, 3, 5, 7/ ꝛc. §. 267.
bbb. die Poteſtaͤten der Prim⸗Zahlen mit ne⸗
gativen Exponenten genommen werden,
§. 268.
8⁸. wenn 2 = — 1, und fuͤr «, £, 7, ꝛc. wieder
die gedachten Poteſtaͤten der Prim⸗Zahlen ge⸗
ſetzt werden, §. 269.
N. Ppops b.

2
.

602 Zuſaͤtze zum funfzehnten Capitel.

b. Reihen, die aus dem Produkte
⸗ )1 — 72) (1 — 52) 7.
entſpringen, F. 270 — — 276.
«. die daraus entſpringende allgemeine Reihe, .: 270.
8. daraus ſiehende beſondere Neihen, §. 271 —
Aa. wenn 2 = 1, §. 271 — 2 75. und zwar entweder
ℳ bloß 2 — 1, §. 271, er⸗ oder außerdem auch
28. fuͤr «, g, 7, , ꝛc. die Einheit

Aaa. durch alle einzelne Prim⸗ Zahlen, §. 273,

oder
bpbb. durch die Poteſtaͤten dieſer Prim⸗ Zahlen
dividirt geſetzt werden. F. 274. 275.

*. die in dieſem letzten Falle entſtehende

Reihe an und fuͤr ſich, F. 24.
688. Vergleichung derſelben mit der §. 269,
§. 275.
bb. wenn 2z = — I, und fuͤr «, g, 7, 9, die Ein⸗

heit durch die Poteſtaͤten der Prim⸗ Zahlen dibi⸗

dirt geſetzt werden. §. 276.

„2. Art und Weiſe, wie man Reihen in Produkte verwan⸗
delt, §. 277 — — 296.
2. vermittelſt der vorhergehenden Lehrſaͤtze, §. 277 — 282.
„. die Art und Weiſe, wie man Reihen in Produkte
verwandelt, ſelbſt, §. 277.
2.. Anwendung des Gefundenen, g. 277 — 282.
aa. zur Beſtimmung des Werths der gedachten Pro⸗
dukte und verſchiedener Reihen, §. 277.
bb. zur Erſindung von Logarithmen, §. 278 — 282.
. allgemeine Formeln hierzu, F. 278.

— E

68. einzelne Saͤle, 279. 280.

7

TT.

t entvedet

ben cuß

Zuſaͤtze zum funfzehnten Capitel.

60 ⅞

v. Suunmation der dabey vorkommenden Reihen

1
n f. 5 t z t za r 1 §. 281. 282.

b. direete Methode dieſer Verwandlung, F. 283 —,— 1297.

«. dieſe Methode ſelbſt, §. 283.

g. Anwendung derſelben zur Verwandlung verſchiede⸗
ner oben gefundener Reihen in unendliche Pro⸗

. . 1 1
aa. der §. 175. ſummirten Reihen, 1 — 5* † 55 —

t — † a — ꝛ. §. 284 — — 291.

75 IIn
ℳα. algemein betrachte, §. 284.
88. beſonders, §. 285 — 287.
aaa. wenn n = iſt, §. 285 — 286.
bbb. wenn n = 3 iſt, §. 287.

vv. hierauf gegruͤndete Erfindung verſchiedener

Reihen aus Produkten, §. 288 — 291.

bb. der §. 176. ſummirten Reihen 1 — †

1 1 I ⸗ .
— † 5 — & † ꝛc. wenn n eine ungerade Zahl

iſt, §. 292 — 294.
a, allgemein betrachtet, §. 292.
6S. beſondere Faͤlle, §. 293. 294.

Ec. der §. 179. fuͤr —,— gefundenen Reihe, §. 295.

2 V 2

dd. allgemeine Anmerkung wegen der uͤbrigen oben
gefundenen und hieher gehoͤrigen Reihen, §. 296.

2

5 Vr ,

Hdi
XVI.
3
Zuſatze zum ſechszehnten Capitel. .
A. Inhalt dieſes Capitels.
Von der Theilung der Zahlen.
1. Von der Theilung der Zahlen uͤberhaupt, wo gezeigt 1 Vo
gezeigt wird, daß die Entwickelung der Produkte: ſ⸗
(1 † x* 2) (I † X“ 2) (1 x-?. Datrtr:) ꝛc. u9
und es le
(1 — x“* 2) (1 — X 32) (1 — X? 2) (1 — X 2) (I — X' 2) ꝛc. Ty
auf Reihen fuͤhre, woraus man erkennen kann, nicht
nur, auf wie vielerley Arten eine Zahl n die Summe
von m verſchiedenen Gliedern der Reihe «, 8, 7, , ⸗ ꝛc. iiß
ſeyn, ſondern auch auf wie vielerley Arten eine Zahl n aus n
m entweder gleichen oder verſchiedenen Gliedern der .

angefuͤhrten Reihe durch die Addition entſtehen kann,
§. 297 — 305. Hierbey betrachtet Euler

a. die Reihe, die aus dem Produkte (1 † x*) (1 † x*):

(1 † x?z) it. entſpringt, §. 297 — 301, und zwar
2. die daher entſpringende ganz allgemeine Reihe,
§. 297 —– 299.
s. die daher entſtehenden beſondern Reihen, 9. 300 —
301, wenn man
42.

.

Zuſaͤtze zum ſechszehnten Capitel. 605

aa. fuͤr «, 6, 7, , s, ꝛc. die natuͤrlichen Zahlen
1, 2, 3, 4, 5, 2ꝛ0. §. 300, und
bb. außerdem auch noch 2 = I ſetzt, §. 301.
1

p. die Reihe, die aus dem Produkte
(1—xX*2) (1 — X 62) (1 —X 2):c.
entſpringt, §. 302 — 305, und dabey wieder
. die daher ſich ergebende allgemeine Reihe, §. 302, 303.
g6. die daher entſpringenden beſondern Reihen, §. 304,
305, wenn man
aa. fuͤr «, 8, 7, , s, ꝛc. die natuͤrlichen Zahlen,
§. 304, und
bb. außerdem noch 2z = I ſetzt, §. 305.
2. Von der Art und Weiſe, die Menge der Zuſammen⸗
ſetzungen gegebener Zahlen aus den natuͤrlichen Zahlen
zu beſtimmen, genauer betrachtet, wo gezeigt wird, daß
es leicht ſey, anzugeben, auf wie viel Arten ſich eine
Zahl entweder in m ungleiche, oder uͤberhaupt in m
Theile theilen laſſe, wofern man nur wiſſe, auf wie viel
Arten jede Zahl aus den Zahlen 1, 2, 3, 4 m
durch die Addition hervorgebracht werden koͤnne, H. 306
bis 315. Hier werden
a. folgende zwey Saͤtze bewieſen:
ℳ“. Auf eben ſo viel Arten, als man eine Zahl n durch
die Addition aus den Zahlen I, 2, 3, A. . . . m
hervorbringen kann, auf eben ſo viele Arten laͤßt

ſich auch die Zahl n Wn3

Theile theilen, F. 306 — 312, und dadey werden
aa. die Coefficienten der Glieder der Reihe 1 † Pz
†P Qza † Rz3 † 824 † :c. = (I † X2) (I1 TxX2)
(I † æ32) (I † xaz) ꝛc. durch Funktionen von
ausgedruckt, §. 306, 307.

in m ungleiche

R

A

606 Zuſaͤtze zum ſechszehnten Capitel.

bb. daraus verſchiedene ſpecielle, unter dem ange⸗

fuͤhrten begriffene Saͤtze abgeleitet, §. 308 —

311, und
ec. hierauf der gedachte allgemeine Satz gegrunde,
§. 312.
s. Auf eben ſo viel Arten, als man eine Zahl n
aus den Zahlen 1, 2, 3, 4. . m durch die
Addition hervorbringen kann, auf eben ſo viel
Arten laͤßt ſich auch die Zahl n † m in m Theile
theilen, §. 313, 314. Auch hier werden
aa. die Coefficienten der Glieder der Reihe
I1 † Pz † Qz2 † Rz3 1 824 † zꝛc. =
I
—=A je — 5 ꝛ⁊c. durch Funk⸗
te,onen von x ausgedruckt, §. 313,

bb. daraus verſchiedene ſpecielle, unter dem an⸗

gefuͤhrten allgemeinen begriffene Saͤtze abge⸗
leitet, §. 314,

cc. hierauf der gedachte allgemeine Satz gegruͤn⸗

det, §. 314.
b. werden aus den vorhergehenden Saͤtzen andere abge⸗
leitet, welche lehren, auf wie viel Arten ſich eine
Zahl entweder in m ungleiche oder uͤberhaupt in m
Theile theilen laͤßt, wenn bekannt iſt, auf wie vieler⸗
lepy Arten eine Zahl aus den Zahlen 1, 2, 3, 4. .. m
durch die Addition herdorgebracht werden kann.
§. 315. .

3. Methode, die Menge der Arten, auf welche eine Zahl

n aus den Zahlen 1, 2, 3,4. m durch die
Addition hervorgebracht werden kann, durch Formi⸗
rung widerkehrendender Reihen zu finden, F. 316 —
218.

nnge

inne⸗

l n
9 Ne
bie

e

n H

e
grin

ce
man
etile

4

Zuſaͤtze zum ſechszehnten Capitel. 607

a. dieſe Methode uͤberhaupt beſchrieben, §. 316.
b. daraus abgeleitetes leichteres Verfahren, nebſt der
Beſchreibung einer hiernach verfertigen Tadelle,
§. 317, 318.
4. Verſchiedene ſpeciellere Betrachtungen, §K. 319 — 332.
a. Vergleichung die in der vorhin gedachten Tabelle,
und zwar in den Vertical⸗Reihen derſelben ſtehende
Zahlen mit den natuͤrlichen Zahlen, den Trigonal⸗ den
Pyramidal⸗Zahlen, u. ſ. w. F. 319 — 322.
p. Ueber die Arten, auf welche eine Zahl durch die Ad⸗
dition der ungeraden Zahlen entſtehen kann, §. 323
bis 327.
c. Von der Zuſammenſetzung der ganzen Zahlen aus
den Poteſtaͤten der 2 und der 3. F. 328 — 331.

B. Zuſaß zu §. 318.
I1. Die bequemſte Art, die im § gedachte Tabelle nach

der Regel N = L. † M zu verfertigen, wird ſich am beſten

an ſagender Tabelle erlaͤutern laſſen. Setzt man

I
= d
.
R= T )I - 2)I 3) (rI -x) (1 ) (1 — Xs) (1—23)
ꝛc.
ſo iſt:

608 Zuſaͤtze zum ſechszehnten Capitel.

1, X, X2, X3, Xx4, xX5, X6, X7, XS, *9, X10,

Per t 1 † I † I †T I † 1 † I† ITI MI T I † †

1 1T 2 2 3 3 4 4 5§

=ITITZ 12 13 13 1† 4 † 4 † 5 f 5 † 6 †
5 7 8

1 1 2 3 4

=IT I +2 43 4415 † 7 † 8⅝ † 10 †12 † 14 1

H 1r 2 3 z5 65
SiTr ⸗ 1 3 –5 † 6 † 9 †II † 15 f 18 † 23 †
1— r 2 3 5 7

T=II †2 † 3 5 1 7 † 10 † 13 † 18 T 23 4 30 f

1I T 2 3 5

Uu =ITIT2 † 3 † 5ß † † II † 14 f 20 † 26 f 35 k

1 r 2 3

X=ITIT 2 † 3 † 5 † 7 † II †15 † 21 †28 † 38 †

I I1I 2

1 1

40 166

Z=ITIT2 T 3 † 5S T 7 T II T 15 † 22 T† 30 † 41 †
Ac.

Laͤßt man nemlich nemr die Menge der Arten anzeigen, auf

welche die Zahl n aus den Zahlen 1, 2, 3, 4... . m—

durch die Addition hervorgebracht werden kann, ſo ver⸗
wandelt ſich die Regel N = L † M in folgende:
n*my =— n*†m- 1 † (n — m)*m**
wobey aber zu bemerken iſt, daß der Ausdruck (n — m) =
wird, wenn n kleiner als m iſt, und daß (n-—m) *m*=O*†NW¼I*,
wenn n = m wird, desgleichen Im† = I geſetzt werden
muß. Außerdem iſt auch, da keine Zahl aus bloßen Ein⸗
heiten

1II/ X1

1 XI
6
—
6 † 7
10 12
è
16 719
11¼ 15

27 134

1o 13

— —,²

37 kf 4

7,ar

—

4 15

2

—

3 3
52 †
„

54 76

12

heiten au
nIN:

die
Wihe, d
P nn
J
R nr

Euler⸗

Zuſaͤtze zum ſchetchnten Cinitd. 609

U, XU0, W xxrT, Xrz, XI 3, rr4, r, 216, . X1 8 ꝛe,
nE r 11 r 1 † 1I † 1I Tr † 1 4 1 1 r.
R = 7 7 38 8 9
5ttA4 6 † 7 7 k 8 4 8 1r otr.
½ 2O 12 14 15 reh ar 24 27
iut 16 „ Tar † 2a 1 27 t 30 1 33 T. 37 f ic-
6 3 1r 1z 18 2 3 — 3 4 3,9 47
in I 27 †34 139 1, 47 f 54 f† 64 1† 72 † 84 11
7 0 rz rI8 23 z0 z7 47 z7 M
n iy 37 147 †57 f† 70 v 84 ror 1 119 TrAr † ꝛce.
”l 7 ir 14 207 5 3 5 44 58
1 16 44 I T rI. 1136 163 199 † ꝛc.
ðð 3 2 — 1; zr 28 18 492
ttt 49 †65 182 † 105 Ti31 1164 †201 1248 †
,1 3 „ rr 15½ 22 29 40
eet 52 7, t69 1 0 146 1 186 r230 7288 1x.
rie 4 173 194 t 123 1157 Taor Ta252 T3r8 P..
megen on heiten auf mehr denn eine Art entſtehen kann, allemal
1in nIN = 1. Dies vorausgeſet, ſo hat
de: Reihe, das allgem. Glied, Reihe, das allgem. Glied,
P nX I S nAE* 3 3 ½ . (n — 4) ?«4
e—ne OQ na =I 1 (n -2), T ns=n 4 (n — 5) 5*
T- R nS nraf(R- 3 * U n? *= n*5*- (n — 6) †6
e EKulers &£ Einl. in d. Angl. d. Unendl. 12. a um

610 Zuſetze zum ſechezehnten Comritel.

Um alſo aus der Reihe P die Reihe OQ zu bekommen, darf
man nur zu jedem nten Gliede der Reihe P, oder zu I,

das (n — 2)te Glied der Reihe ; um aus der Reihe OQ

die Reihe R zu erhalten, zu jedem nten Gliede der Reihe OQ

des (n — 3)te Gl ied der Reihe R; um aus der Reihe R die
Reihe S zu ſinden, zu jedem nten Gliede der Reihe R das

(n — 4)te Glied der Reihe S ſetzen, u. ſ. f. Um alſo aus
der (r —– 1)ten Reihe die rte Reihe zu finden, addirt man

zu jedem nten Gliede der (r – 1)ten Reihe das (n — r)te

Glied der rten Reihe, und es ſind folglich die erſten r Glie⸗
der beyder Reihen allemal einander gleich. Ferner findet

man die zweyten r Glieder der⸗ rten Reihe, wenn man
ihre erſten r Glieder unter die zweyten r Glieder der

=— 1)ten Reihe ſetzt, und beyde zuſammen addirt; die
Dritten r Glieder der rten Reihe, wenn man ihre zweyten
X Glieder unter die dritten Glieder der (r = 1) ten Reihe

ſetzt und beyde wieder zuſammenaddirt u. ſ. w. .
2. Die Regel: N = L † M, oder: nxm rm- I †

(n — m/rm laͤßt ſich auch auf folgende Art finden. Wenn
man unter n alle ganze Zahlen in ihrer natuͤrlichen Bolge “

verſteht, ſo iſt

4

1—X
= = n* 3 xxn

(1—2) (1— X2) (1 —– X )
und uͤberhaupt

ü-

nxwmrXn

Da

Vber
N⸗
P,O,
ſpringen
eutſtehen

hohen P.

“
1* 2 21
nfn-I1.
2
1*3*2
Nem’:
3. Di
gebtoucht
1Sd⸗
(n1 — m) in
(V2
4
und folglic

60720

efe mar
6072 de:
gegebenen
nnaßen gro

auf einele
einander
Zffer it,
ſetehend

Zuſatze zum ſechszehnten Capitel. 6rr H

Wmen, V
Nan, Da aber auch P= Q (I — xX2); Q = R (I — X 3); ꝛc.
der ihh und Y = 3Z (1 — Xm) iſt, ſo wird hieraus, wenn man fuͤr
dergeiil P, Q, R, Y, Z die aus ihren allgemeinen Gliedern ent⸗
Neihe NR ſpringende Reih en ſetzt, die zweyte Haͤlfte der auf dieſe Art
k Ate entſtehenden Gleichungen entwickelt, und darauf die gleich 4D
ln K as hohen Poteſtaͤten beyder Haͤlften mit einander vergleicht,
oddit nen hTXxn — (n *2 *¾ — (n — 2) †2 ½) XKn
(r —re nXn == (n* 3 †* — (n — 3) *3 *) xn, und uͤberhaupt
ſene Gle⸗ nm-= 1 xXn = — (n*m** — (n- — m) *m*) Xn; folglich
untr inde nea* = n- I † (n — 2) 72 ½
penn nan ne3*½ = niz* †. (n — 3) * 3½, und uͤberhaupt
Glidr Ne nmY= nrmM-T* (n — m) mY.
N 3. Die bey S. 348. befindliche Tabelle kann auch dann
hre /ventn gebraucht werden, wenn n groͤßer iſt als 59. Es ſey z z. B.
Nen Naife n = 60 und m = 20, ſo iſt nach der Regel n nrm = nim- I ½ P
zir 6GoT Oo" = 6O*r1er 4072 07; 601 27 6o 1 †
den. Ven 41*1 9 *½; 60*⁷*1 8 ½ 60⁷1 7 1 42 7 S s Cc.
. und folglich
igen d⸗ 60 ⁷2 0 40*2 0* †arer 9* † 42 1 8 . 43*1 7* 1 „

S zeht man n dieſe Werthe i in der Tabelle auf, ſo findet man
60 2 0*— 791131. Iſt indeß der Unterſchied zwiſchen der
gegebenen Zahl und der hoͤchſten in der Tabelle nur einiger⸗
maßen groß, ſo wird dieſer Weg ſehr beſchwerlich.

C. Zuſatz zu §. 323.
1. Daß die Vertical⸗ ⸗Reihen der Labelle S. 348. alle
-dAn auf einerley Art anfangen, und immer mehrere Glieder mit
einander gemein haben, je groͤßer die uͤber ihnen ſtehende
Zifer iſt, davon faͤllt der Grund aus der Abſatz 1 des vor⸗

3 hergehenden Zuſatzes beſchriebenen Verfertigungsart dieſer

*

6rZz Zuſaͤtze zum ſechszehnten Canie.

Tabelle ſehr bald in die Augen. So wie nun ners das Ey ne
allgemeine Glied der Vertical Reihe I. n** das allgemeine ma ma
Glied der Ver⸗ tical⸗Reihe II; n 3 * das algemeine Glied a ſet
der Vertical⸗Reihe III u. ſ. w. iſt: ſo laͤßt ſich auch eine Dißferen
Reihe denken, deren allgemeines Gl lied n“ iſt, und diſe m
Reihe iſt dem Anfange nach diejenige, die in der Tabelle Ju-2)

unter Oο ſteht. Da in dieſer Reihe fuͤr jeden Werth von
n, doch ſo, daß dafuͤr bloß ganze abſolute Zahlen geſetz

werden, nrr.
n* ☛☚ — (n — er* † (n — 2) *2* † (n — 3) *3 * †. .. wern ma
. ( n, ulit
ſeyn muß, indem n* *, weil keine Zahl n aus mehr als det endi
aus n Zahlen durch die Addition hervorgebracht werden dur
kann, eigentlich = n en= nin- I*† (n— n) InA= nn -2 7 † aſo ere
G ¹) n- re n- n):a =nn- 3 (n-n T2) n-a t “
(n-n † I) en -I*† (n— n) : u. ſ. f. iſt: ſo erhellet hieraus, hennan
daß und wie dieſe Reihe aus den vorhergehenden durch die
Addition gemacht werden kann. So iſt z B. 6°° J= —
5 *1X* † 4 *2 * † 3˙3 * † 2*4* † 1 ** † o** = 1 +† 3 1 dnin
3 2 †1 11 II M Bruchs e
2. Aus ð nwr
n*= — (n- — 1) *1* † (n — 2)72 † (n — 33r 1.
(n — 4) 4* 1 ꝛc.
wird, wenn man allenthalben n — I ſtatt n ſetzt, und der
Gleichfoͤrmigkeit wegen (n — 1) °* 0 dazu ſchreibt, 9
(a - . = (n - 2)-. 1 —- z a 4. e
(n — 4) 3 *½T ꝛc0. Rihefin
Zieht man dieſe letzte Gleichung von der dorhergehenden ab, Riien⸗
und veraͤndert dabey die Differenz nach nemt — nem- rt= l
(n— m) *m*, ſo wird . —
. n* — (n — I) *= (n — 2) 1* † (n — 4) 2 † l
H.. 1† (n — 6)ae K. die Rei

Setzt

rs
Alumerne
miine Bed
Hach in

, und hieſe

der uele
Wh
hen geer

10

nehe al
cht werden

Pnra

elet hicens,

en nd de

⸗ —

— 8

1-NN

,, und de
ſhreib

- u

Zuſaͤße zum ſechszehnten Capitel. 613

Setzt man ferner in dieſer Reihe (n — 2) fuͤr n, ſo wird,
wenn man wieder der Gleichfoͤrmigkeit wegen (n — 2) **0
dazu ſetzt, die gefundene Reihe von ihr adbzieht, und d die
Differenz ebenfalls wie vorhin abaͤndert,
nr — n = (n — X TI 2*
A(n-2) * n — 3, * 35 † —6 2 * P
(n — 9) ⁷3 † ꝛc.
oder
n*☛* (n — 1I) ½0*% † (n — 2 *ο* — (n — 3) ** . P
wenn man P die zweyte Haͤlfte der letzten Gleichung bedeu⸗
ten laͤßt. Faͤhrt man auf dieſem Wege fort, ſo verſchwin⸗
det endlich ?P, und dann wird jedes Glied der Reihe 0α
bloß durch die vorhergehenden Glieder beſtimmt, und iſt
alſo eine wiederkehrende Reihe.

3. Die Beziehungs⸗Scale dieſer Reihe fin idet man,

wenn man den Nenner des Bruchs

(I1 — X) (1 — X2) (1 — X 3) (I — X4) (I — X5⁵) (I — X⁶) ꝛc.
entwickelt, indem ſie ſelbſt aus der Entwickelung dieſes
Bruchs entſpringt; und es wird demnach
n*. (n — 1) * 0° P (n — 2) 5* — (n — 5) *0* —
(n — 7) * * (n — 12) * † (n — 15) * —
(n —– 22)*0— (n — 26) ** † (n —– 35) ** †.
En — 40) *7 7 — (n — 5I /* * — (n — 57) K†. 20.
4. Da dieſe Reihe fuͤr den Werth m = 20 ſchon in der
Tabelle ſteht, ſo kann man ſich dadurch die Findung der
Reihe fuͤr den Werth m = O. erleichtern. Denn da die
Reihe n2 * aus der Entwickelung dieſes Bruchs
1
(r — X) (I — X2) (I — X 3) (I — X4) (I — X2 0)

die Reihe n** aber aus der Entwickelung des Bruchs

Qazs— 1

614 Zuſätze zum ſechszehnten Capitel.

1
(1– 2) (1 – xX2) (I — 2 ³) (I — X4) . . . . (1— X οι⅓
entſpringt: ſo iſt offenbar, daß man die erſte Reihe erhaͤlt,
wenn man die letztere durch =
(I —X2 1) (I —2 2) (I — 2 2 3 K(T-X2 4) (1 - X2 5) (I — X 2 6) ꝛc.
oder durch M 44
T – X2 I — x22 — Xx2 3 – xX24 — xX2 5 — xXx26—2.
† X4 3 † X 44 † 2X45 † 2246 3X47 † 3X48 † ꝛc.
— xX6 — xX6 7 – 256 8 – 3X69 — 47 °— 557 1 — ꝛc.
† xX † X9T † 2X92 † 3X93 † 5X94 † 6X95 † ꝛc.

multiplicirt. Hiernach wird

n*20* = n*°* — (n — 21) ** — (n — 22) *0* —
(n — 23) ** – ꝛc.
F† (n — 43) ** * † (n — 44) ** † 20n – 45) ** †

2 (n — 46) *½0*½ † ꝛc.

(n-= 66) 2— (n — 67) * — 20n — 68) ** —
3(n – 69) * — ꝛc.
. 90) e 1. (n — 91) * † 2(n — 92) * * †
en 93). † ꝛc.
c.

Die Coefficienten dieſer Reihen ſind die Glieder der oben
fuͤr die Theilung der Zahlen in 2, 3, 4, 5, 6, ꝛe. Theile

gefundenen Reihen.

§. Bedeutet (n -21) .* die Summe aller Glieder der
Reihe n** bis und mit zu dem Gliede (n — 21) ***, und
uͤberhaupt [p“α* die Summe aller Glieder eben dieſer

Reihe bis und mit dem Gliede pαν*: ſo wird

n2 o* = n α [ä(n — 21) **. (n — 43) *f.

ſ(n — 45) * 0* † ſ(n — 47)* 0002 * † ze.

— (n =– 66) 0— f(n — 68) —
((n — 69) * %— ((n — 70) * %— ꝛc.

und e
pto,

Vermitt
n keine
rechnen.

D Mre

1. De
Zahl Nm
worfen w
viel Arten
wenn dieſe
biof auf d
Ordnung
wort dora

A;

ſegt und

iſt ein G
an, auf w
den konn,

4

vàd à
„
71.

9 1 12 *
001 1A.

rt.
1
R -

e .

11—,.
14

Nr ℳ
1. W⸗

Glede er

o,
e diſe

Nror f

1*
W

.

Zuſite zum ſechehehnten Cabtd. erz

“ . † n 90)*α 4 ſ(n — 92) ** †
1(n —– 93) ** † 21(n — 94* * † tc.
und es iſ folglich
n cok = n 2 0* † ſ(n — 21¹) ½ ½ — ſ(n — 43 r * —
1en — 45ee* 7e.
4 (a — 6α⅜ † ſ(n – 68) * +ℛ** †
ffffen — 69) † ꝛc.
— t Grnr — ((n — 92) **½ —
Ww tüa =— 93lrr: — ꝛc.
ꝛc.
Vermittelſt dieſer Formel laͤßt ſich die Reihe n*ο *, wenn
n keine zu große Zahl iſt, aus der Reihe n*2 0* leicht be⸗
rechnen.

D. Anwendung der lehre von der r Theilung der Zahlen
B auf einen beſondern Falll.

1. Die Frage: Auf wie viel Arten kann eine gegebene
Zahl N mit einer gegebenen Anzahl n gemeiner Wuͤrfel ge⸗
worfen werden? iſt gleichbedeutend mit dieſer: Auf wie
viel Arten kann die Zahl N in n Theile getheilt werden,
wenn dieſe Theile 1, 2, 3, 4, 5, 6 ſeyn, und dabey nicht
bloß auf die Theile an und fuͤr ſich, ſondern auch auf ihre
Ordnung geſehen werden ſoll? und man findet alſo die Ant⸗
wort daraufe wenn man „
GI †a: 123 1raxe † z6)n

An a Aanf † Bxn † Cxni3 † Dni F. † x6n

ſetz, und die Werthe von A, B, C, D, ꝛc. ſucht. Denn

iſt ein Glied dieſer Reihe MX N, ſo zeigt der Coefficient M
an, auf wie viel Arten die Zahl N in n Theile getheilt wer⸗
den kann, ſo daß dieſe Theile 1, 2, 3, 4, 5, 6 ſeyn, und
4 Qq 4 alſo

616 Zuſaͤhe zum ſeheehneen Capitel.

alſo auch, auf wie viel Arten die Zahl N mit n Würfeln
geworfen werden kan.

2. Wenn man einige leichte Saͤtze aus der Differential⸗

Rechnung zu Huͤl fe nehmen darf, ſo kann man die Werthe
von A, B, C, D, ꝛc. auf folgende Art finden. Man ſetze
AXn(T 11 *2 † X 3 † 24 X 5) n

AX † BX2: † Cx DXA tE ExS † 2)
und — = 2. Alsdann iſt nicht nur

XxdZ hhT Ahxa l. 3n Xi l. 4n xa l 5nx’
Zdax I † T K& T XS T za T aæ
ſondern auch
xXdZ AxH Rx 1 3Cx 1 4 Dra 1 sSExs † Dc.
Zdx 1 † Ax † BxX2 † Cx5 T BDxX4 † Ex7 T ic.

und folglich, wenn man dieſe beyden Beſtimmungen ein⸗

ander gleich ſetzt, und mit den Nennern uberzwerg mul⸗

tiplicirt,
D T hAXZ † nBxA nCxa n Dx5 † nEX6 P
an. TrznA anßB renc ranb -.
TSn p BnA T 3n B FjnC f:t.
tis . AnA T ANn B 5

H S †* 51 n r Sn A 4 “

A † 2x2 . 3cx †. 4DX4 †* 5 Ex †* 6 Fx6 „
† A p 2 B f† 30C † 4D SE †
A f 2B P 30C f4D r
NT A Fr 2B f gC †

A 1 25K 1

Pierans aber r ſießen n falgende Beſimmungen:

OOOJMBMUUÿ

1c.

telban
4

29:

fferenie

Re Wh
Mnße Ge

nie
lungen n ein⸗
wpeg W

1l
215 †
00 K
in
zaN

En
10 ½
1
t

A f

Zuſite zum ſechszehnten Caritael. r7

AE= n

2 B= (n — 1) A † en
30= (n-— 2) B † n -— T) A † 3n
4D=(n-— 3) C (2n — 2) B † (IZnſ — 1) A An

5E=G(n -—A4) D (2n — 3) C (3n — 2) B(An — I) A † Sn
6 F=(n — 5) E (zn — 4) D † (3n — 3) C†. (4n — 2) BP(Sn — 1) A
76=(n- 6) F (2n — 5) Ef (3n — 4) D (4n — 3) C (Sn — 2) B
”ꝗUM (5n — 3) G
10.

ſo daß alſo jeder Cdefficient durch die fuͤnf vorhergehenden

beſtimmt wird.

3. Wenn man von jeder dieſer Gleichungen die unmit⸗
telbar vorhergehende abzieht, ſo wird
A= n
2 B = h A † n
3 C nB †A †Cn
4D = nCTnBTnATRnR HS
5EnDInCYB TnAYTN
6F = nhETnDYnCYnB †nA †ᷣ 5n
7 G= nF † nE†nDTnCTInB — (5Sn — 1) A
SHSnGYnFTnETnDTn n C — (5S n — 2) B
und nimmt man nochmals die Differenzen, ſo erhaͤlt man
2B = (n † 1) A; 3C = (n † 2) B; 40 = (n 3) Cc;
5E = (n † 4) D; 6 K = (n † 5) E — 6n;
70= (n † 6) F — (6n — ) A † 5 n
SH= (n T7)0— (6n — 2) 5 † (In — A
9 I = (n † 8) H — (öén — 3) C † (5S n — 2) B
1— (Gn — 4) D † Gn — 3)G

O4 5

6 eſt⸗ zum ſechszehnten Emnit

fuͤr udey Wuͤrfel fuͤr drey Wörfel
2 B= 3ANdͤà 4 A
3 C = 4 B “ 5 B
4 D= SWGüc 6 C
6 F = 7 E — 12 4 8K 18.
7 G = ⁸ F — II A f† 10 9 F — 17 A f 15

8 H = 9 G — 10 B T† 9 A 10 G — 16 B † 14 A

9 1— 10 H- 9 C† & B TII H — IS GFIZBZ

IO K = 11 I — 8D † 7 C 12 I — 14 D † 12 G
II TL = 12 FK — 7 E f. 6,D. 13 K — 13 E † II D
i2 A = z . — 6,F † 5 E 14 L — 12 F † I0 E
ꝛc.

5. Druckt man die Menge der Faͤlle, da N mit n Wuͤr⸗
feln geworfen werden kann, durch [Nnv aus, ſo daß
Hnlrn-=I; In ft u=A:Ia lnt;In flrCs..
. .. . . In f 9Nt =I; In †. † 10l =
wird: ſo iſt
IOIn T 10 Fn ½ = (n †9) In † 9 PnP En 4) ln talyn- †.
(Sn — 3) In — 3 Dn
und uͤberhaupt
AIn † 2 m (n † X — I) In † „— II r —
(ôn † 6—X) In † 2— 6 Pn † (Sn †7 — ²) In Pr— Par
Setzt man alſo n † = N, und folglich X= N⸗ — n, ſ wird

N pIN- Prn 16— I 6) artGnt, N A —
N – n

wo indeß zu bemerken iſt, daß [PPn 10 geſetzt werden
muß, wenn b fleiner als n iſt.

Len
gen
N Vert

AnzahlP

Et;

7.
auch auf
ln9
Wheme

lukr

IN1
venn
N—6
ſer le
d, d,

8.
n un

4 Zuſaͤtze zum ſechszehnten Capitel. Er9

6. Kennt man den Werth der Coefficienten A, B, C, D, ꝛc.
Wj⸗ fuͤr irgend eine Anzahl von Wuͤrfeln, ſo laͤßt ſich daraus
der Werth eben dieſer Buchſtaben fuͤr die um eins vermehrte
Anzahl von Wuͤrfeln auf folgende Art beſtimmen. Es ſey
(XHX†X2 †X †X4 †XS † x6) = xXn † AXnI † BXnTz †
CxXRnF3 † DXn4 † ec., und
(X † x2 † X3 † æ4 † X5 † x5)nI = XnII † Axni2
BKXnt 3 † Cxn-†4 † D unkS † ꝛc.

ſo iſt, weil dieſer letzte Ausdruck dem Produkte aus dem
zzu erſten in † X2 † x³3 † x4 † x5 † é gleich iſt
ctn AS=A f†I und
dine BS= BFTATI folglich B = A f†
end C = CT† BTPTAFITI C = B † C
ior D=DTCTBTFATI D = C † D

C EDTCTBTATYTI C=DTE
F= FTETDTCTBTA F = C – r

itn Dk. G = G†FF†ETFXDTFCTB G=S1t C-A
NKN ꝛc. L D”
et: „. Die letzte Gleichung G = F C — A kann man

. auch auf dieſe Art ausdrucken:
[n † 8l'nI *½ = In † 7rn?IX* †. (n † lrne — In re

tahe Allgemein iſt alſo
In † I T†A FnITIY=In † nfYX-In 4 XFR— In † ² an
oder
e- IN † TFNIIY = [NIYNTN ININN — N -—6F
— wenn man n † 2 = N ſetzt. Es iſt aber hierbey allemal
rſom IN— 6]**“ο% 5 wenn N — 6 kleiner als N iſt. Aus die⸗
ſer letzten Formel erhellet, daß die Coefficienten A, B,
E. C, D, ꝛc. allemal ganze Zahlen ſind.

8. Will man jeden der Buchſtaben A, B, C, D, ic.
an und fuͤr ſich beſtimmen, ſo iſt .MMV

620 Zuſaͤtze zum ſechszehnten Capitel.

4

I — X 6G

I PT X † Xx2 P X3 † x4 † x5 = —
I – Xx
und alſo, wenn V die Abſatz 2 ihm beygelegte Bedeutung
„ „ N (n — I) ncn.-— I n — 2) N=
P 1 . 2 L 2 . 3 R 61
(n air g. m E I) nn NKN H .
X nxnII † — n nIMKP 2)
4 † X 1 1 2 XRTZ ¹ 1 2. 3 3 † ꝛe.)
Hieraus wird, wenn man dies Produkt entwickelt, die Glie⸗ 1
der deſſelben mit der Reihe Xn † Axnix † Bxnf2 † Cxni3 P2c.
. 4 . 2 . . 0
vergleicht, und fuͤr A, B, C, D, ꝛc. die Abſatz 5 ſtehenden 0
Bezeichnungen braucht 10
In. 1 Pn — n 15 .
n(n †1) 4
In P 2 Fn&E = N
— 1 6
In † 3]rn = nn D(R T2,/ W 1o
In † 4 Pn 0 1) (n † 2) (n 1
In F6FneE— C .. T 50 —n ,‚ 2
. nn 1). .. +†+ 6 H N .
In † 7 Fa = n ) — nn NoO
In † gne = — — 1 (h 7) nnGn † 1) 3
In 11Par = i F.1) :. (n † 8) nnünI) (n † 2) 3o
I 2 0 I .„ 23 3 “ .

EES
—

oo „ο α αο e

.

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOoOooOoooo=== —1

Tabelle zu S. 620. 621.
welche anzeigt

wie oft die Zahl N mit n gemeinen Wuͤrfeln geworfen
werden kann.

◻

*

OOOOOO -OO- OO& - OQ OQ O- OMOOOεω,Oπμςως.nμddedOς ,OδωdeO△⏑ — α ρμ NO— II

n = 3

*

OQ O OOOO -OOOρOςOOOmhOOOςnOςdOς., ο

2

n

OOOOOOOCOOOO=

n

= 5
0
0
1

5§
15
35
70
126
205
305
420
540
651
735
780⁰
780
735
651
540
420⁰0
305

n = 6

21
56
1260
252
456
756
1161

16661

2247
343
3906
4221
4332
4 21
3906
3431
2856
2247
1666
1161
756
456
252
126

56

21
6

△a ☚ △⏑ △ £$⏑ ⏑ O

1I

O △ O Q Q& OA

2„☛W ◻
+ ⏑

◻
◻

462
9ʃ7
1667
2807

447

6538
9142
12117
15267
18327
20993
22967

240171 9813

2 40177
22967
20993
18327
15267

5
I

μ¾ν οςtος ο .ο.h .öd.

33⁰

—
W 09 5 9

1708

3368
6147

16 08

25438
36688
50288
65808
82384

113688
125588
133288
135954

133288

121171125588
9142113688
6538 98813

4417 82384
2807 6 ¾808

1667 50288
9171 36688

Zuſl

„ NN —

ItIA =:

.

utI NZ

3 Wen
heeden, dere
ezeichnet ſin
tietr
NtrP
uk

N

benn mon:
GüNen
RxX-
wdlich

Zuſaͤtze zum ſechszehnten Capitel. 621

In † 10]n = nünI)... (n A unen 1).. (n 3)

I . 2 . . . . 105 1 . 2 . . . . 4
In † II Pné = nün †1). . . (n Io) nu(n †1).. (n † 4)
I 2 1I1 I 25 .
äl unnd(n). (n HO)9
I . 2 .. . . 12 1. 2 .. . . 6
n (n — 2
1 1. 2 Z
TnTTl'rr = 2 f. Dr:Cn 2)- nnn 1) :. (n 1 0
I . 2 . . . . 13 1I 2 .. 7
n. n (n — 1)
1 2
2c.

und uͤberhaupt
rer= n(n†prY). (n F n 2 20 11): tC t )
1 2 . .. . . 1 1. 2:....(à — 6)
n (n—T) nä(n † I) (n † 2) (n † 3). (n †2 — 13)
1.21I 2 .3 . 4 . . . . ( — 12 )

nn en —2) n A A — .

† c.

9. Wenn anſtatt gemeiner Wuͤrfel a andere genommen

werden, deren Seiten mit den? Zahlen 1I, 2, 3 . . ...
bezeichnet ſind, ſo wird
[N 1Fnt1 = [NnFI½ † [NnR — N- mme, oder

[NFT IPnY — LNFn 1† NYN-TYX-TN — mn- 1*, od. H“

[n † AnY = n † X — — Fn- † In † à — — ITR- 1 —
In † 2 — m -— rFn- r
wenn man N † 1= = n † 4 ſetzt; desgleichen
In † X P'n? = (n † X — 1) In † — 1I Pn — — Gnnim-)
[n † — m N*†(mn — n †T m† I — ) h TA— m — Inæ
endlich

[n

622 Zuſaͤtz zum ſechszehnten Capitel.

n(nI). (n†Ar) n nün † ¹) (nXm-T)
I . 2 .. .. 17 I . 2 . . . (à — m)
. n (n — I) n (n † 1) .. . . (n † 2 — 2 m — 1)
.Y (A — 2 m)

I . 2 „I . 2. .. . .

— nn — ) 2 — 2) nIn † 1) . . „(n 42 — 3 m — 1)

1 . 2 . 3 1
Man vergleiche hiermit die Formeln Abſatz 5 und Abſatz 8.
Es iſt aber dabey [n] n*= I; [NPnRN= O, wenn N kleiner

2 . . . . (à — 3 m)

als n oder groͤßer als nm, und endlich [N]ne = 1, wenn

Lo. Wenn die Wuͤrfel von einander verſchieden ſind, ſo
laͤßt ſich die Menge der Arten, auf welche man damit jede

Zahl werfen kann, auf einem dem bisherigen aͤhnlichen Wege
finden. Haͤtte z. B. der eine 6, der andere 8, und der
dritte 12 Seiten, ſo wuͤrde es dabey auf die Entwickelung

des Produkts
(IX2 FS XS) G xa. xXS) G† Xa ... 2r2) = V
ankommen. Entwickelte man das Quadrat oder den Cubus

der Reihe:

1 † X †X3 † X†rτdrιHτ † X 36 † ꝛc.

foͤnnte man daraus erkennen, welche Zahlen Summen

zweyer oder dreyer Trigonal⸗ Zahlen ſind, u. ſ. w. Uebri⸗

gens ſind die gegenwaͤrtigen Zuſaͤtze aus Eulers Abhandlung
de partitione numerorum im dritten Bande der neuen Com⸗

mentarien der Petersburgiſchen Akademie der Wiſſenſchaften
von den Jahren 1750 und 1751, und der Unterſuchung de

partitione numerorum in partes tam numero quam ſpecie

datas im vierzehnten Bande der gedachten Commentatien 4
voſn Jahr 1759 genommen.

XVII.

Pon
he⸗

1 Vur
in de
1 Meth
W
4. we
(

.

N WD
8l, We

n ſn ſ⸗
ni ie
ſcen Dee
M N
Neung

11 )2

den Euts

116
Summen
rn
ndlung
en Con
ſſeten
gni⸗

—

n hete⸗

eptunen

XVII.
Zuſaͤtze zum ſiebenzehnten Capitel.
Inhalt dieſes Capitels.

Von dem Nutzen der wiederkehrenden Rei⸗

den bey der Erfindung der Wurteln
der Gleichungen.

adie Art und Weiſe, wie er behandelt werden ſoll, §. 332.

2. Methode, die wiederkehrenden Reihen zur Erfindung der

Wurzeln der Gleichungen zu benutzen, §. 333 — 343.

2. wenn die Wurzeln der gegebenen Gleichung insge⸗
ſammt reell und einander ungleich ſind, 5 333 – 355
. zuvoͤrderſt einige hier noͤthige Betrachtungen uͤber
die wiederkehrenden Reihen und die allgemeinen

Glieder derſelben, §. 333 — 336.

6. wie man die durch die vorhergehenden Betrachtun⸗ B

gen gefundenen Eigenſchaften der wiederkehrenden

Reihen zur Erfindung der Wurzeln der Gleichungen

brauchen kann, §. 337 — 345.
2a. allgemeine Anleitung hierzu, §. 337, 338.

ppbp. Verhaltungs⸗ Regeln fuͤr einige beſondere Faͤlle,

§. 339 — 345.

s, wenn die groͤßten Wurzeln der gegebenen Glei⸗
chung nur wenig von einander unterſchieden

ſind, §. 339/ 340.

I. . Vurzußg, Anzeige des Gegenſtandes der Unterſuchung
in dem gegenwaͤrtigen Capitel, ſeine Wichtigkeit, und

—☛

X

624 Zuſaͤtze zum ſebenzehnten Capitel.

86s8. wenn eine Wurzel, die bereits naͤherungs⸗

weiſe gefunden worden, noch genauer gefun⸗
den werden ſoll, §. 341.

v. wenn die Gleichung zwey gleiche, einander

entgegengeſetzte, Wurzeln hat, 9. 342.
cc. einige Regeln zur ſchnellern und ſichern Ent⸗
deckung der geſuchten Wurzel, §. 343 — 345.
b. wenn zwey oder mehrere von den Wurzeln der gege⸗

benen Gleichung einander gleich ſind, §. 346, 347.

s. wenn zwey Wurzeln gleich ſind, g. 346.
86. wenn drey Wurzeln gleich ſind, §. 347.
c. wenn die Gleichung imaginate Wureln enthaͤlt
8. 348 — 353.
„., wenn das Produkt aus je zwey imagindren Wurzeln,

die einen reellen Faktor geben, nicht groͤßer iſt, als

das Quadrat der groͤßren Burzel, §. 348, 349.
8s. wenn dieſes Produkt dem Quadrate der groͤßten Wur⸗

zel gleich, oder noch groͤßer iſt als daſſelbe, 5.3492 ⸗352

7. wenn die gegebene Gleichung mehrere trinomiſche
Faktoren hat, §. 353
2. Zum Schluſſe wird noch

d.. F. 354 die Methode beſchrieben, wenn ſich eine e wieder⸗

kehrende Reihe einer geometriſchen Progreſſien naͤhert,
aus dem Geſetze der Progreſſion zu erkennen, von was
fuͤr einer Gleichung der Quotient, den man durch die

Diviſion irgend eines Gliedes durch das vorherge⸗

hende erhaͤlt, die Wurzel ſeyn werde; und
b. . 355. don der Anwendung der bisherigen Methode

die Wurzeln zu finden bey unbegrenzten Gleichungen

XVIII.

Von

1. Vorlaͤus

im geger
2. Betracht
bis 392.
a. Begtl⸗
b. Verwen
ſches
. Verw
mit a
d. Verwe
in con⸗
e, dieſe
ℳ,
bi
68. 1
8. ſolch
geh
„. ſol
triſ
e. Von
nuieli
Eulers

te

Nenand gefun⸗

liche, inene M
t, ſze. . XAXVIII.
nd ſchnn hn⸗ . af ter.
8 -e. Zuſaͤtze zum achtzehnten Capitel.
urzeln der gege⸗ .
ei Inhalt dieſes Capitels.
ü4H Von den continuirlichen Bruͤchen.
Dutzelr enthe, 1. Vorlaͤufig, Anzeige des Gegenſtandes der Unterſuchung
im gegenwaͤrtigen Capitel, §. 356.
gnnm Ponpe, 2. Betrachtung der continuirlichen Bruͤche ſelbſt, §. 357

icht grher iſ de bis 382.
a. Begriff von einem continuirlichen Bruche, §. 357.

30, 30
dea gobten Wur⸗ b. Verwandlung der continurlichen Bruͤche in gewoͤhn⸗

hr d39:381, liche Bruͤche, § 358 — 362. S 1
c. Verwandlung der continnirlichen Bruͤche in Reihen

ehrere rinunſſ
mit abwechſelnden Gliedern, §. 363, 364.
d. Verwandlung der Reihen mit abwechſelnden Gliedern
ſch ee wieder⸗ in continuirliche Bruͤche, §. 365 — 373, und zwar
rogreſtennahert 2a, dieſer Reihen uͤberhaupt, . 365 — 369.
ukennen don ds α. wenn ihre Glieder ganze Zahlen ſind, §. 365
den nan durc de bis 368. MM H
ich das worhege⸗ g. wenwalle Glieder Bruͤche ſind, §. 369.
e; und g. ſolcher Reihen, die in continuirlichen Faktoren fort⸗

Petigen hehdde gehen, §. 370. M
„. ſolcher Reihen, die uberdem noch mitz einer geome⸗

ten Gleihungen
triſchen Reihe verbunden ſind, §. 371 — 373.
2. Von der Erforſchung des wahren Werths der conti⸗
nuirlichen Bruͤche, §. 374 — 380, und zwar
I. Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. l. D. Rr.

626 Zuſaͤtze zum achtzehnten Capitel.

„. der continuirlichen Bruͤche uͤberhaupt, §. 374, 375.

6s. ſolcher, worin immer eben dieſelben Nenner wie⸗

derkehren F. 326 — 380; wobey zugleich gezeigt
wird, wie man die continuirlichen Bruͤche zur Ex⸗
traction der Quadratwurzel und bey der Aufloͤſung
der quadratiſchen Gleichungen gebrauchen kann.
. Gebrauch der continuirlichen Bruͤche in der Arithme⸗
titk, K. 391. 3062.
*. Verwandlung der gewoͤhnlichen Bruͤche in eonti⸗
nuirliche, §. 391.
6. Verwandlung der Bruͤche in andere ſich ihnen naͤ⸗

hernde und durch kleinere Zahlen ausgedruckte,

§. 382.

Die Erweiterungen, die dieſes Capitel aus den Euler⸗
ſchen Abhandlungen: De fractionibus continuis; De fractio-
nibus continuis obſervationes; und De formatione fracétio-
num continuarum in den Sammlungen der Petersburgi⸗
ſchen Akademie der Wiſſenſchaften von den Jahren 1744,
1750 und 1779 erhalten koͤnnte, muß ich wegen Mangel
an Raum fuͤr einen andern Ort aufbehalten.

ſo wie
auf in
Re ſa
einge

4,

ee wie:
dit

Auſbinn
8
n kem

,

in antß

Kritn,

n euen
facki.
taͤbutgi
At
1 Vangt

Verzeichniß einiger Druckfehler.

S. 27 Z. II leſe man V(t †] u — 1) fuͤr V(t † uV— INV
P P
S. 42 §.42 31 . 2 . ⸗ FI ⸗ 22 FTAX
S. 58 Z. 12 eine rationale Subſtitution⸗⸗ die
Subſtitution
S. 68 Z. 5 vierten ⸗⸗⸗ dritten
S. 102 Z. 6 ſechsten⸗⸗⸗vierten
S. 113 Z. 3 von unten⸗⸗ verwickelten⸗⸗ verwickelter
S. 283 Z. 3 u. 2 v. unten⸗⸗ von der Form⸗⸗ von Form
S. 377 Z. 7 von unten⸗⸗ gleichnamige⸗⸗gleichmannige
S. 496 Z. 9 von unten⸗⸗ (I1 — )n ⸗=⸗ (I — n

NR
N
N
R

AN

2
2 2

N

N

5 2

A

Nachricht an den Buchbinder.

Die beyden zu dieſem Theile gehoͤrigen Tabellen muͤſſen,
ſo wie es der Titel derſelben anzeigt, gebunden, und die
auf zweyen halben Bogen beſind lichen umgedruckten Blaͤt⸗
ter ſtatt derer, die mit ihnen gleiche Seitenzahl haben,
eingeklebt werden.

n
Nichelſen
H’ Retet, zu
ſch ſoch
Rtt. D
aſs in d

.

Mn de

Nachrich k.

So gern ich den erſten Theil der Eulerſchen Einleitung
in die Analyſis des Unendlichen, vom Herrn Profeſſor
Michelſen uͤberſetzt und mit Anmerkungen und Zuſaͤtzen be⸗
gleitet, zu der verſprochenen Zeit geliefert haͤtte: ſo iſt mir
doch ſolches wegen des verwichenen Winter ſtatt gefunde⸗
nen Mangels an Papier nicht eher moͤglich geweſen als
jetzt. Dafuͤr iſt auf einer andern Seite mehr geſchehen,
als in der Anzeige dieſes Werks verſprochen worden iſt,
indem der gedachte erſte Theil allein ſchon ſo viel Zuſaͤtze
enthaͤlt, als zu beyden Theilen kommen ſollten. Obgleich
durch dieſe Vermehrung der Zuſaͤtze die Koſten, die bey
einem ſolchen Werke ohnehin ſchon groß ſind, ebenfalls
ver⸗

vermehrt werden, ſo verlange ich dennoch von denen,

die
bereits praͤnumerirt haben, weiter keinen Nachſchuß.

Aber dagegen wird es Niemand unbillig finden, wenn
ich von jetzt an bis zur Erſcheinung des zweyten Theils,
als bis wohin die Praͤnumeration noch offen bleiben ſoll,
die Praͤnumeration auf 4 ¾ Rthlr. erhoͤhe, da ich nach der
Zeit den Preis nicht unter 6 Rthlr. ſetzen kann. Der
zweyte Theil wird bereits gedruckt, und da das bisher
ſtatt gefundene Hinderniß wegfaͤllt, ſo hoffe ich ihn ganz
gewiß ſpaͤteſtens Weyhnachten liefern zu koͤnnen, und bis
dahin will ich ebenfalls den Praͤnumerationstermin aus⸗

dehnen. Berlin, den 16ten Auguſt 1788.

Siegismund Friedrich Heſſe.

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*

Leonhard Eulers
Einleitung

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Aus dem lateiniſchen uͤberſettz—
und mit Anmerkungen und Zuſaͤtzen begleitet

Johann Andreas Chriſtian Michelſen,

Prrofeſſor der Mathematik und Phyſik am vereinigten Berliniſchen
und Coͤlniſchen Gymnaſium.

Er ſtes Buſch.

Beerlin,
bey Sigismund Friedrich Heſſe
I1 788.

.
*

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