Bb314-1

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Leonhard Eulers Einleitung in die Analysis des Unendlichen, 1 ðõ N125 11920365 021 UIIIIIINuIIIuIIIIIIIIII ingen Leonhard Euler 58 Einleitung in die Aus dem lateiniſchen uͤberſetzt und mit Anmerkungen und Zuſaͤtzen begleitet von 2D Johann Andreas Chriſtian Michelſen, Profeſſor der Mathematik und Phyſik am vereinigten Berliniſchen und Coͤlniſchen Gymnaſium. H Erſtes Buch. W Be.erÜqrrlin, bey Sigismund Friedrich Heſſe 1788. 4 lier den len deft⸗ mpj Nit berhemnte! hebt mich dadon nit dieſem W. und tran ſchr die Eig hen, un die Erp In Orn⸗ Vorrede des J uUueberſetzers. H ch habe nicht noͤthig, meine Vorrede mit Bewei⸗ ſen fuͤr die Wichtigkeit des Werks, wovon ich hier den liebhabern der mathema tiſchen Wiſſenſchaf⸗ ten den erſten Band, uͤberſetzt und mit Anmerkungen und Zuſaͤtzen begleitet 4 uͤbergebe „ anzufuͤllen. Der beruͤhmte Name ſeines unſterblichen Verfaſſers uͤber⸗ hebt mich deſſen, und ich zeige daher nur den Inhalt davon mit des Hrn. Prof. Fuß *) Worten an. In dieſem Werke iſt die ganze lehre von den algebraiſchen und tranſcendenten Funktionen, ihre Umformung, Aufloͤſung und Entwickelung aus einander geſetzt. Es enthaͤlt alles Nuͤtzliche und Wiſſe ſſenswuͤrdige uͤber die Eigenſchaften und Summationen u unendlicher Rei⸗ hen, und weiſet einen neuen und merkwuͤrdigen Weg, die Ervonentialgroͤße zu behandeln. Es giebt einen * 2 deut⸗ *) In der Lobrede auf Eulern, die Baſel 1296 von dem Hrn. B. ſelbſt uͤberſetzt herausgekommen iſt, S. 64 65. vVv Vorrede des Ueberſetzers. deutlichern und fruchtbarern Begriff von den Logarith⸗ men und deren Gebrauche, und ſetzt den neuen von Eulern entdeckten Algorithmus der Kreis⸗oder Win⸗ kelgroͤßen ins Licht. Im zweyten Theile giebt er die allgemeine Lehre von den krummen linien, mit ihren Abtheilungen und Unterabtheilungen, und in einem Zuſatze die Theorie der Koͤrper und ihrer Oberflaͤchen, nebſt der daraus entſtehenden Gleichungen mit drey veraͤnderlichen Groͤßen. Den Beſchluß dieſes wich⸗ tigen Werks macht die Entwickelung des Begriffs der doppelt gekruͤmmten linien, die aus der Durchſchnei⸗ dung zweyer krummen Flaͤchen entſtehen. Was meine Ueberſetzung betrifft, ſo habe ich dabey ſo treu als moͤglich zu ſeyn geſucht, indem von einem Manne, wie Euler war, alles wichtig iſt. Am allerwenig⸗ ſten habe ich es mir, wie Hr. Pezzi in ſeiner zu Strasburg 1786 erſchienenen franzoͤſiſchen Ueberſetzung, erlaubt, ganze Abſaͤtze wegzulaſſen. Nur an ein Paar Orten, nemlich am Ende des 228ſten § im dreyzehnten und §. 235 im vierzehnten Capitel habe ich eine geringe Aenderung vorgenommen, aber dabey zugleich ange⸗ merkt, wie die veraͤnderten Stellen im Originale heißen. Undeutlich fuͤrchte ich durch meine Treue nicht gewor⸗ den zu ſeyn, ob ich gleich glauben muß, daß dadurch hier und da eine lateiniſche Wendung eingefloſſen ſeyn werde. In N . Vorrede des Ueberſetzers. v* In den hinzugefuͤgten Anmerkungen und Zuſaͤtzen habe ich theils die Stellen, welche mir fuͤr diejenigen, fuͤr die Euler eigentlich geſchrieben hat, nicht deutlich genug zu ſeyn ſchienen, zu erlaͤutern und leichter zu machen geſucht, und dies iſt beſonders in den unmit⸗ telbar nach verſchiedenen §§ ſtehenden Anmerkungen geſchehen; theils habe ich darin aus andern Euleriſchen Schriften verſchiedene Auszuͤge mitgetheilt, woo⸗ 9 das Ganze eine groͤßere Vollſtaͤndigkeit und Brauch⸗ barkeit erhaͤlt. Denn einmal finden ſich S tellen, worin Euler Kenntniſſe aus der gemeinen Algebra vorausſetzt, die darin nicht ſo ausfuͤhrlich vorgetragen werden, z. B. die Eliminations⸗Methode und der Binomiſche Lehrſatz, im groͤßten Umfange, und ohne Differential⸗Rechnung bewieſen. Zweytens fuͤhrt er bisweilen Saͤtze, auf welche er die wichtigſten Unterſuchungen bauet, bloß hiſtoriſch an, z. B. den Satz von der Aufloͤsbarkeit jeder ganzen rationalen Funktion in reelle ein fache oder doppelte Faktoren §. 32, und den Saßz von dem Ver⸗ haͤltniſſe der Coefficienten einer Gleichung zu den S Sum⸗ men der Poteſtaͤten ihrer Wurzeln §. 166. Endlich ſchien es mir nuͤtzlich, manche von den abgehandelten Materien noch nach einer andern Methode bearbeitet mitzutheilen, und außerdem auch einige etwas weiter zu fuͤhren, und auf beſondere Faͤlle anzuwenden. Auf dieſe Art iſt der Anhang entſtanden. In demſelben lie⸗ VI Vorrede des Ueberſetzers. liefere ich zuvoͤrderſt von jedem Capitel eine tabellariſche und ausfuͤhrliche Darſtellung ſeines Inhalts, um da⸗ durch die Ueberſicht des Ganzen zu erleichtern, und hoffe dadurch, manchem wenigſtens, einen nicht unan⸗ genehmen Dienſt geleiſtet zu haben. Dann folgen die gedachten Auszuͤge, z. B. vollſtaͤndige Auseinander⸗ ſetzungen einiger aus der gemeinen Algebra vorausge⸗ ſetzten Gegenſtaͤnde, Zuſatz B zum erſten und Zuſatz D zum vierten Capitel; Beweiſe ſolcher Saͤtze, die Euler nur hiſtoriſch angefuͤhrt hat, Zu ſatz B denn zweyten und Zuſatz B zum zehnten Capi itel; vollſtan digere Beweiſe einiger andern Saͤtze, Zuſatz B zum ach en, und Zuſatz B zum vier zehnten Ca apitel; einige von den im Werke unter cheen Ni tetien, nach einer andern Methode be⸗ leunten und Zuſatz Czum zehnten nbrungen einiger Unterſuchungen und ine ea unzen an beſondere Faͤlle, Zuſatz C zum ſatz C zum ſechs zehnten Capitel. duſtiger ais be irgend einem andern Gegenſtande habe ich in den Zuſaͤtzen zum ſiebenten und achten Ca⸗ — — S 2 = Se Prrr, 2 8 oℛ☛ d0⅓ D — 22 * 0 pitel, welche die Theorie der ſogarit hmen bekeffen ſeyn müͤſſen und 10 wie ich bey den uͤ bri en feſt durchaus aus andern Euleriſchen Schriften ſch 1 doſen konnte, ſo habe ich mich hier zum Theil ganz ter Eulern zu ent⸗ ſernen gezwungen geſehen. Daß ich es varin nicht bloß bey der von ihm mitgetheilten Regel fuͤr die Vorrede des Verfaſſers. vn Erfindung der Logarithmen kleiner Zahlen bewenden ge⸗ laſſen, ſondern außer einer ganz allgemeinen Regel auch die Regeln zur Erfindung der logarithmen groͤßerer und ſehr großer Zahlen, die nicht in den Tafeln ſtehen, mit⸗ getheilt habe, davon brauche ich nichts zu ſagen, das wird hoffentlich den meiſten leſern willkommen ſeyn. Aber hier zeigten ſich noch mehrere Luͤcken. Die gewoͤhn⸗ lichen Beweiſe der Formel erſtrecken ſich nicht weiter als fuͤr den Fall, wenn xX eine poſitive oder abſolute Zahl iſt; daß L 2 3 4ℳ 6 I(r — ) = — — — — — — — — — — – — . 2 3 4 5 6 ſey; erfordert einen beſondern Beweis, den ich S. 486 und 487. Abſ. 9 u. 10 gefuͤhrt habe: allein dabey gilt dieſe Formel auch nur fuͤr den Fall, wenn x ein aͤchter Bruch iſt, und doch muß man beyde Formeln, ſelbſt we⸗ gen §. 140 der Einleitung, ohne Einſchraͤnfung als wahr anſehen koͤnnen. Nun ſcheint es zwar, als ob die an⸗ gefuͤhrten Saͤtze durch die Differential Rechnung eine weitere Ausdehnung erhalten, allein da man dabey die Formel, alx= , braucht, und dieſe bey genauerer D 3 H Er⸗ vm Vorrede des Ueberſetzers. Erwaͤgung durch die gewöhnlichen Beweiſe, zu keiner all⸗ gemeinen Formel erhoben wird, ſo verſchwindet dadurch dieſer Schein wieder. Gleichwohl kann man nicht zuge⸗ ben, daß die Formel dlx = rnicht fuͤr jeden Werth vonx X richtig ſey, und ohne die Theorie derlogarithmen der nicht abſoluten Zahlen vollſtaͤndig entwickelt zu haben, hat man doch kein Recht, ſie als allgemein guͤltig zu betrach⸗ ten. Aus dieſen Gruͤnden hielt ich es fuͤr meine Pflicht von den Logarithmen der nicht abſoluten, und insbeſon⸗ dere der negativen und unmoͤglichen, Zahlen ausfuͤhrlich zu reden: und wenn ich gleich das, was ich daruͤber bey⸗ gebracht habe, fuͤr nichts weiter als fuͤr einen Verſuch ausgeben kann, dieſe Materie aufzuklaͤren, ſo ſcheint mir derſelbe doch der pruͤfenden Aufmerkſamkeit der Ken⸗ ner nicht unwuͤrdig, da die Reſultate meiner Unter⸗ ſuchungen den gewoͤhnlichen Behauptungen oft gerade⸗ zu widerſprechen, und doch dadurch ſo manche Schwie⸗ rigkeiten in der Lehre von den logarithmen aus dem Wege geraͤumt werden. So muß ich z. B. die unendliche Menge der unmoͤglichen Logarithmen, die jede poſitive Zahl außer dem reellen haben ſoll, ſchlechthin leugnen, und dagegen jeder negativen und imaginaͤren Zahl eben ſowohl als den poſitiven einen reellen logarithmen bey⸗ legen, und jeden Logarithmen als zu einer unendlichen Menge von Zahlen gehdrig betrachten, davon aber der groͤßte ve Vorrede des Ueberſetzers. xX groͤßte Theil i imaginaͤr und nur zwey! reell ſind. Gern will ich mich belehren laſſen, wo ich gefehlt habe, indeß da ich alle meine Behauptungen mit Gruͤnden zu be⸗ legen geſucht habe, ſo wuͤnſchte ich auch durch Gruͤnde widerlegt zu werden, um dadurch entweder zur Ver⸗ werfung meiner Theorie bewogen, oder zu ihrer weitern Vervollkommnung in den Stand geſetzt zu werden. Da die auf dieſe Art gelieferten Zuſaͤtze mehr als die Haͤlfte der Ueberſetzung betragen, ſo habe ich vieles weglaſſen muͤſſen, was ich ſo gern noch hinzugefuͤgt haͤtte. Gern haͤtte ich z. B. den Beweis des Satzes, daß alle unmoͤgliche Groͤßen auf die Form M † N V— r gebracht werden lkoͤnnen, mitgenommen; gern die Lehre von der Summation unendlicher Reihen auch aus den Schriften anderer Mathematiker, unter andern aus des fuͤr die Erweiterung der Grenzen der hoͤhern Mathe⸗ matik viel verſprechenden Herrn Prof. Pfaffs Verſuche einer neuen Summations⸗Methode, Berlin 1788 , be⸗ reichert; gern die Theorie der continuirlichen Bruͤche weiter ausgefuͤhrt, und eben ſo gern die Geſchichte mancher Saͤtze ausfuͤhrlicher mitgetheilt. Wird indeß das was ich geliefert habe, von Kennern nicht fuͤr un⸗ zweckmaͤßig erkannt; darf ich hoffen, dadurch Liebhabern der Mathematik einen nicht unangenehmen Dienſt zu leiſten: ſo habe ich mir bereits zu einem dritten Theile, der lauter Zuſuͤtze enthalten ſoll, eine betraͤchtliche Menge von X Vorrede des Ueberſetzers. von Materien geſammlet, und da ich darin nicht ſo ſehr, wie in den gegenwaͤrtigen Zuſaͤtzen, den Gebrauch der Differential⸗und Integral⸗Rechnung zu vermeiden ha⸗ ben wuͤrde, ſo werde ich da auch mehrere Unterſuchungen weit vollſtaͤndiger und zweckmaͤßiger liefern koͤnnen, als es hier moͤglich oder nuͤtzlich geweſen waͤre. Daß uͤbrigens dieſer erſte Band ſpaͤter erſcheint, als er verſprochen war, daran iſt lediglich der Mangel an Papier Urſach geweſen, der verwichenen Winter ſo allgemein ſtatt gefunden hat. Beym zweyten Theil, an den bereits gedruckt wird, ſoll, hoffe ich, dieſes Hin⸗ derniß nicht eintreten, und dann erſcheint derſelbe ge⸗ gen Weyhnachten. Dieſem zweyten Theile werde ich auch ein vollſtaͤndiges Verzeichniß der eingeſchlichenen Druckfehler in beyden Theilen beyfuͤgen, vorlaͤufig ſind am Ende einige angezeigt. Berlin, den 16ten n Auguſt 17 88. de i — Uhuglh bemert eig, n eer Matheme u auf ſind ſon N ds eint, angel ter ſo Theit, e e derdeiich Niee ſſnd Auguſſt rrrrr -ðẽ Vorrede des Werfaſſers. ie Schwierigkeiten, welche liebhaber der Ma⸗ thematik bey der Erlernung der Analyſis des Unendlichen anzutreffen pflegen, ruͤhren, wie ich oft bemerkt habe, groͤßtentheils daher, daß ſie ſich ſo⸗ gleich, wenn ſie kaum die Anfangs⸗ Gruͤnde der Alge⸗ bra begriffen haben, zu dieſem Theile der hoͤhern Mathematik wenden: ein Verfahren, wobey ſie nicht nur auf halben Wege ſtehen zu bleiben gezwungen ſind, ſondern auch ſchwerlich andere als falſche Be⸗ * * 2 riſe xn Voorrede des Verfaſſers. griffe von dem mathematiſchen Unendlichen haben koͤnnen. Denn obgleich die Analyſis des Unendlichen keine vollkommene Kenntniß der gemeinen Algebra und aller bis jetzt entdeckten Kunſtgriffe vorausſetzt; ſo giebt es doch eine Menge von Unterſuchungen, wo⸗ durch der Weg zu dieſer erhabenen Wiſſenſchaft ge⸗ bahnt werden kann, und die gleichwohl in den ge⸗ woͤhnlichen Compendien entweder ganz uͤbergangen, oder doch nicht mit der erforderlichen Sorgfalt ange⸗ ſtellt werden. Dieſem Mangel hoffe ich durch das gegenwaͤrtige Werk abzuhelfen. Denn ich habe dar⸗ in nicht nur die Gegenſtaͤnde, welche die Analyſis des Unendlichen nothwendig vorausſetzt, vollſtaͤndiger und deutlicher abgehandelt als es gewoͤhnlich geſchie⸗ het; ſondern es enthaͤlt daſſelbe auch ſehr viele Unter⸗ ſuchungen, wodurch die Leſer allmaͤhlich und gleichſam unvermerkt mit dem Begriffe des Unendlichen vertraut werden. Außerdem ſind darin mehrere Aufgaben, die man ſonſt erſt in der Analyſis des Unendlichen findet, bloß mit Huͤlfe der gemeinen Algebra aufge⸗ loͤſet, wodurch denn die vollkommene Uebereinſtim⸗ mung beyder Methoden in der Folge deutlich in die Augen faͤllt. Ich habe dieſes Werk in zwey Buͤcher getheilt. Das erſte beſchaͤftiget ſich mit bloß analytiſchen Ge⸗ gen⸗ n nett Ver Wys In Elen wecch becte ie jene Ope mene An aber thei die ſtinn⸗ die Vorrede des Verfaſſers. xiI genſtaͤnden, das andere aber enthaͤlt die noͤthigen geo⸗ metriſchen Unterſuchungen, weil man auch mit dem Vortrage der Analyſis des Unendlichen die Anwen⸗ dung derſelben auf die Geometrie zu verbinden pflegt. In beyden Buͤchern habe ich, mit Weglaſſung des Elementariſchen, bloß ſolche Materien abgehandelt, welche ſonſt entweder gar nicht, oder nicht auf die bequemſte Art unterſucht, oder aus andern Quellen abgeleitet werden. Im erſten Buche findet man alſo, weil die ver⸗ aͤnderlichen Groͤßen und die Funktionen derſelben den Gegenſtand der Analyſis des Unendlichen ausmachen, zuvoͤrderſt eine ausfuͤhrliche Betrachtung der Funktio⸗ nen, ihrer Umformung, Aufloͤſung, und Entwicke⸗ lung durch unendliche Reihen. Ich habe dabey die verſchiedenen Arten der Funktionen angefuͤhrt, die in der hoͤhern Analyſis vorkommen. Ich theile die Funk⸗ tionen zuerſt in algebraiſche und in tranſcendente; jene werden nach den in der gemeinen Algebra uͤblichen Operationen aus den veraͤnderlichen Groͤßen zuſam⸗ mengeſetzt, dieſe hingegen erhaͤlt man theils auf an⸗ dern Wegen, theils durch die erwaͤhnten Operationen, aber unendlichemal wiederholt. Von den Unterab⸗ theilungen der algebraiſchen Funktionen iſt vorzuͤglich die Eintheilung derſelben in rationale und in irratio⸗ ** 3 nale y Vorrede des Verfaſſers. nale wichtig. Jene habe ich ſowohl in einfachte Theile als in ihre Faktoren aufloͤſen gelehret; eine ſ⸗ Odperation, die in der Integral⸗Rechnung die groͤßten gar Vortheile gewaͤhrt: von dieſen aber habe ich gezeigt, wie man ſie durch geſchickte Subſtitutionen in ratio⸗ de nale Funktionen verwandeln kann. Die Entwicke⸗ de lung der Funktionen durch unendliche Reihen erſtreckt den ſich auf beyde Arten, und kann ſelbſt mit dem groͤß⸗ 1 ten Nutzen auf die tranſcendenten Funktionen ange⸗ ne wandt werden: was fuͤr Erweiterungen aber die hoͤ⸗ K here Analhſts der Lehre von den unendlichen Reihen do verdankt, iſt allgemein bekannt. Ich habe daher ei⸗· do nige Caite hinzugefuͤgt, in welchen ich mich mit der . Unterſuchung der Eigenſchaften und der Summen verſchiedener unendlichen Reihen beſchaͤftige, und unr manche davon ſind von der Art, daß ſie der Huͤlfe der de Analyſis des Unendlichen kaum entbehren zu köͤnnen ſcheinen. Hieher gehoͤren insbeſondere die Reihen, i deren Summen durch logarithmen oder durch Kreisss E bogen ausgedruckt werden. Denn da dieſe Groͤßan tranſcendent ſind, und zu ihrer Beſtimmung die Qua⸗ dratur der Hyperbel und des Kreiſes erfordert wird: ſo pflegt man ſie groͤßtentheils erſt in der Analyſis des Unendlichen zu betrachten. Weil ich aber von den n Poteſtaͤten zu den Exponential⸗Groͤßen, die nichts anders als Moteſtaͤten mit veraͤnderlichen Exponenten R ſind, Vorrede des Verfaſſers. xV ſind, fortgegangen bin: ſo bin ich dadurch zu einem ſehr natuͤrlichen und fruchtbaren Begriffe von den lo⸗ garithmen gekommen, woraus ſich nicht nur der außer⸗ ordentliche Nutzen derſelben von ſelbſt ergiebt, „ſon⸗ dern auch alle die unendlichen Reihen, wodurch man dieſe Groͤßen gewoͤhnlich ausdruckt, hergeleitet wer⸗ den koͤnnen; auch hat ſich dabey eine ſehr leichte Art logarithmiſche Tafeln zu verfertigen dargeboten. Ei⸗ nen aͤhnlichen Weg habe ich bey der Betrachtung der Kreisbogen genommen, einer Gattung von Groͤßen, die bey aller ihrer Verſchiedenheit von den logarithmen doch ſo genau mit denſelben verbunden iſt, daß jede Art dann, wenn ſie imaginaͤr zu werden ſcheint, in die andere uͤbergeht. Nach einer kurzen Wiederho⸗ lung deſſen, was in der Geometrie uͤber die Erfindung der Sinus und Coſinus der Bogen, die vielfache von andern ſind, gelehret wird, habe ich aus dem Sinus und Coſinus jedes Bogens den Sinus und Coſinus des kleinſten und gleichſam verſchwindenden Bogens geſucht, und dadurch unendliche Reihen gefunden, aus welchen ſich, da beym Verſchwinden des Bogens der Sinus dem Bogen und der Coſinus dem Radius gleich wird, der Bogen mit ſeinem Sinns und Coſi⸗ nus vermittelſt ohne Ende fortlaufender Reihen ver⸗ gleichen laͤßt. Hierdurch habe ich eine ſolche Menge theils endlicher theils unendlicher Ausdruͤcke fuͤr dieſe XxVI Vorrede des Verfaſſers. Gattung von Groͤßen erhalten, daß zur Erklaͤrung der Natur derſelben die Infiniteſimal⸗Rechnung gar nicht weiter noͤthig iſt. Und ſo wie die Logarithmen einen beſondern Algorithmus nothwendig machen, deſſen Nutzen ſich durch die ganze Analyſis verbrei⸗ tet: ſo habe ich auch die Kreisgroͤßen einem aͤhnlichen Algorithmus unterworfen, damit ſie in dem Calcul eben ſo bequem als die Logarithmen, ja ſelbſt als die algebraiſchen Groͤßen gebraucht werden koͤnnten. Wie ſehr hierdurch die Aufloͤſung der ſchwerſten Auf⸗ gaben erleichtert wird, ſolches zeigen nicht nur meh⸗ rere Capitel dieſes Buchs zur Genuͤge, ſondern es koͤnnte ſolches auch durch eine Menge von Beyſpielen aus der Analyſis des Unendlichen dargethan werden, wenn dieſe nicht ſchon ohnehin bekannt waͤren, und ſich von Tage zu Tage immer mehr vermehrten. Den groͤßten Nutzen aber gewaͤhrt dieſe Unterſuchung bey der Aufloͤſung der gebrochenen Funktionen in reelle Faktoren; und da man dieſe Operation in der Jete⸗ gral⸗Rechnung auf keine Weiſe entbehren kann, ſo habe ich davon umſtaͤndlich gehandelt. Hierauf habe ich die unendlichen Reihen betrachtet, die aus der Entwickelung dieſer Funktionen entſpringen und wie⸗ derkehrende Reihen genannt werden; und dabey ſo⸗ wohl die Summen als die allgemeinen Glieder der⸗ ſelben, nebſt andern merkwuͤrdigen Eigenſchaften, wodurch Vorrede d des Verfaſſes. vVviII wodurch ſie ſich auszeichnen, unterſucht. Da ich hierauf durch die Aufloͤſung in Faktoren gefuͤhrt wur⸗ de, ſo habe ich darauf ebenfalls gezeigt, wie Pro⸗ dukte, die aus mehrern, ja ſelbſt aus unendlich vie⸗ len Faktoren beſtehen, in Reihen verwandelt werden koͤnnen. Dieſe Unterl⸗ ſuchung hat nicht nur den Weg zur Kenntniß unzaͤhliger R eihen gebahnt, ſondern auch, weil man dadutch in den Stand geſetzt wird, Reihen in Produkte aus unzaͤhligen Faktoren zu ver⸗ wandeln, ſehr bequeme Zahl⸗Ausdruͤcke zur Berech⸗ nung der Logarithmen der Sinus, der Coſinus und der Tangenten an die Hand gegeben. Aus eben die⸗ ſer Quelle habe ich außerdem die Aufloͤſung vieler Aufgaben von der Theilung der Zahlen geſchoͤpft, welche ſonſt die Kraͤfte der Analyſis zu uͤberſteigen ſcheinen. Bey einer ſo großen Verſchiedenheit der Materien waͤre es leicht geweſen, mehrere Baͤnde anzufuͤllen; ich habe aber alles ſo ſehr als moͤglich zu⸗ ſammen zu draͤngen geſucht, ſo daß ich zwar den Grund von allen deutlich gezeigt, die weitere Aus⸗ fuͤhrung aber den Leſern uͤberlaſſen habe, um ihnen auf dieſe Art Gelegenheit zur Uebung ihrer Kraͤfte und zur Erweiterung der Grenzen der Analyſis zu geben. Denn ich trage kein Bedenken zu behaupten, nicht nur, daß dieſes Buch viele neue Entdeckungen enthaͤlt, ſondern auch, daß darin Quellen geöffnet xXVIII Vorrede des Verfaſſers. ſind, woraus noch eine Menge anderer wichtiger Ent⸗ deckungen geſchoͤpft werden kann. Eben daſſelbe Verfahren ha be ich bey dem zwey⸗ ten Buche beobachtet, welches ſich mit den Gegen⸗ ſtaͤnden beſchaͤftiget, die man gewöͤhnlich unter dem Titel, hoͤhere Geometrie, abhandelt. Ich habe darin vor der Betrachtung der Kegelſch ite, worauf man ſich ſonſt faſt allein einſch runkt, d die Theorie der krun men linien auf eine ſolche Art vorgetragen, daß man dieſelbe bey der Unterſuchung jeder Gattung dieſer linien mit Nutzen gebrauchen kann. Ich brauche dazu nichts weiter als die Gleichung, wodurch die Natur jeder krummen kinie ausgedruckt wird, und zeige, wie man daraus ſowohl die Geſtalt als die vor⸗ nehmſten Eigenſchaften derſelben zu finden im Stan⸗ de iſt. Vorzuͤglich glaube ich dieſes bey den Kegel⸗ Schnitten geleiſtet zu haben, die man ſonſt entwe⸗ der bloß geometriſch, oder auf eine unvollkommene und nicht genug natuͤrliche Weiſe analytiſch unterſucht hat. Ich habe nemlich zuvoͤrderſt aus der allgemei⸗ nen Gleichung fuͤr die Linien der zweyten Ordnung ihre allgeme inen Eigenſchaften abgeleitet, und dar⸗ auf dieſelben in Geſchlechter oder Arten eingetheilt. Hierbey habe ich darauf Ruͤckſicht genommen, ob die Curve ohne Ende fortlaufende Schenkel hat, oder in einen — — — —— ——,—30¶——— Vorrede des Verfaſſers. xDx einen endlichen Raum eingeſchloſſen iſt, und im erſten Falle wieder auf die Zahl und Beſchaffenheit jener Schenkel geſehen, ob ſie nemlich geradlinige Aſymto⸗ ten haben oder nicht. Auf dieſe Art habe ich die drey bekannten Arten der Kegel⸗Schnitte erhalten, die Ellipſe, die ganz in einem endlichem Raume enthal⸗ ten iſt, die Hyperbel, die vier ohne Ende fortlaufen⸗ de und geraden Aſymtoten ſich naͤhernde Schenkel hat, und die Parabel, deren zwey ohne Ende fort⸗ gehende Schenkel keine Aſymtoten haben. Auf eine aͤhnliche Art habe ich die linien der dritten Ordnung betrachtet, und dieſelben, nach der Auseinander⸗ ſetzung ihrer allgemeinen Eigenſchaften, in ſechszehn Geſchlechter getheilt, unter welchen die von Newton angenommenen zwey und ſiebenzig Arten insgeſammt begriffen ſind. Das Verfahren dabey iſt von mir ſo deutlich und vollſtaͤndig beſchrieben worden, daß es bey der Eintheilung der linien aller uͤbrigen Ordnun⸗ gen leicht nachgeahmt werden kann, indeß habe ich es gleichwohl noch bey den linien der vierten Ord⸗ nung angewandt. Nachdem ich auf dieſe Art das Noͤthige von den Ordnungen der kinien ge⸗ ſagt habe, kehre ich wieder zur Erklaͤrung der all⸗ gemeinen Eigenſchaften aller Linien zuruͤck. Hier beſchreibe ich die Methode, die Tangenten und Normalen der Curven, ja ſelbſt ihre Kruͤmmung, die Xx Vorrede des Verfaſſers. die man aus dem Kruͤmmungs⸗Halbmeſſer beur⸗ theilt, zu beſtimmen. Eigentlich gehoͤren zwar dieſe Gegenſtaͤnde in die Differential⸗Rechnung, allein ich habe hier eben das bloß durch die gemeine Algebra geleiſtet, ſo daß in der Folge der Ueber⸗ gang von der Analyſis des Endlichen zu der Ana⸗ lyſis des Unendlichen deſto leichter iſt. Auch habe ich die Wendungs⸗Punkte, die Spitzen, die dop⸗ pelten und vielfachen Punkte der Curven betrachtet, und gezeigt, wie alle dieſe Dinge aus den Glei⸗ chungen auf eine leichte Art beſtimmt werden; ob ich gleich nicht leugnen will, daß die Differential⸗ Rechnung hierzu noch bequemere Wege enthalte. Eben ſo findet man den Streit wegen der Spitze der zweyten Art, wenn beyde in der Spitze zu⸗ ſammenkommende Bogen ihre Kruͤmmung nach eben der Seite kehren, beruͤhrt „und hoffentlich auf eine ſolche Art entſchieden, daß weiter kein Zweifel ſtatt finden kann. Endlich habe ich einige Capitel hin⸗ zugefuͤgt, um die Erfindung der krummen Linien aus gegebenen Eigenſchaften von ihnen zu lehren, und außerdem verſchiedene Aufgaben, beſondere Sectionen des Kreiſes betreffend, aufgeloͤſet. Da dieſes die geometriſchen Gegenſtaͤnde ſind, deren Kenntniß vorzuͤglich zur Erlernung der Analyſis des Unend lichen erfordert wird: ſo habe ich Anhangs⸗ weiſe Re Vorrede des Verfaſſers. XXI weiſe aus der Stereometrie die Theorie der Koͤr⸗ per und ihrer Oberfiaͤchen analytiſch behandelt, und gezeigt, wie die Natur einer jeden Oberflaͤche durch eine Gleichung dreyer veraͤnderlicher Groͤßen be⸗ ſtimmt werden kann. Nachdem ich die Flaͤchen nach der Anzahl der Dimenſionen der veraͤnder⸗ lichen Groͤßen in der Gleichung, auf eine der bey den linien aͤhnliche Art, in Ordnungen getheilt; ſo habe ich gezeigt, daß die erſte Ordnung bloß die Ebene enthaͤlt. Die Flaͤchen der zweyten Ordnung aber habe ich, in Anſehung der ins Unendliche ſich erſtreckenden Theile, in ſechs Claſſen gebracht, und auf eine aͤhnliche Art laſſen ſich auch die Flaͤchen der uͤbrigen Ordnungen eintheilen. Zugleich habe ich die Durchſchnitte zweyer Flaͤchen betrachtet, und, da dieſelben meiſtens krumme linien ſind, die nicht in einer Ebene liegen, dabey gezeigt, wie man ſie durch Gleichungen ausdrucken kann. End⸗ lich habe ich die Lage der beruͤhrenden Ebenen und der geraden Linien, die auf Flaͤchen ſenkrecht ſte⸗ hen, zu beſtimmen geſucht. Uebrigens muß ich bey der Menge der in die⸗ ſem Werke vorkommenden auch ſchon von andern unterſuchten Gegenſtaͤnde um Verzeihung bitten, daß ich derer, die vor mir eben dieſelben Materien bear⸗ bearbeitet haben, nicht allenthalben roͤhmliche Er⸗ waͤhnung gethan. Bey meinem Vorſatze, alles ſo kurz als moͤglich zu behandeln, wuͤrde die Ge⸗ ſchichte jedes Satzes das Werk zu ſehr vergroͤßert haben. Indeß ſind auch die mehreſten von den ſonſt ſchon aufgeloͤſten Aufgaben hier aus ganz an⸗ dern Gruͤnden aufgeloͤſet worden, ſo daß ich mir davon keinen unbetraͤchtlichen Theil zueigenen darf. Ich hoffe aber, daß ſowohl dieſes als auch insbe⸗ ſondere dasjenige, was ganz neu iſt, den Liebha⸗ bern dieſer Wiſſenſchaft nicht unangenehm ſeyn wird. Inhalt V Voyn de Don der Voa de Rei Von de GN Wa de Von de loe n den entſp⸗ Von der hei XXIII Inh a 1 4 des ſen Buſch 6. Erſtes Capitel. Von den Funktionen uͤberhaupt. Zweytes Capitel. Von der umformung der Funktionen. Drittes Capitel. Von der Verwandlung der Funktionen durch Subſtitution. Viertes Capitel. Von der Entwickelung der Zunktionen durch unendliche Reihen. Fünftes Capitel. Von den Funktionen zweyer oder mehrerer veraͤnderlichen Groͤßen. Sechstes Capitel. Von den Exponential⸗Groͤßen und den Logarithmen. Siebentes Capitel. Von der Entwickelung der Exponential⸗Groͤßen und des Logarithmen durch Reihen. Achtes Capitel. Von den tranſcendenten Groͤßen, die aus dem Kreiſe entſpringen. Neuntes Capitel. Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. Zehntes XxxIV Inhalt des erſten Buchs. Zehntes Capitel. Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren bey der Summirung unendlicher Reihen. Eilftes Capitel. Von andern unendlichen Ausdruͤcken fuͤr die Bogen un nd die Sinus. Zwoͤlftes Cabitel. Von der reellen Entwickelung der gebrochenen Funktionen. Dreyzehnten Capitel. Von den wiederkehrenden Reihen. Vierzehntes Capitel. Von der Multi blieation und Divi iſion der Winkel. Funfzehntes Capitel. Von den Reihen, die aus der Entwickelung der Fakto⸗ ren entſpringen. V Se chs heehne⸗ Capitel. Von der Theilung der Zahlen. Siebenzehntes Capitel. Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen bey der Erfindung der Wurzeln der Gleichungen. Achtzehntes Capitel. Von den continuirlichen Bruͤchen. Ein⸗ Analyſis des Unendlichen. Von den Funktionen, ihrer Aufloͤſung in Faktoren und Entwickelung durch unendliche Reihen: desgleichen die Lehre von den Logarithmen, den Zirkelboͤgen und der ihren Sinus und Tangenten; nebſt vielen andern in der Analyſis des Unendlichen unentbehrlichen Gegenſtaͤnden. in⸗ Lulers Einl.in d. Anal. d. Unendl. I. O. A . . Er ſtes Buch. Erſtes Capitel. Von den Funktionen uͤberhaupt. Ese beſtaͤndige Groͤße iſt eine beſtimmte Groͤße, die immer denſelben Werth behaͤlt. Zu dieſen Groͤßen gehoͤren z. B. alle Zahlen, indem ſie den ihnen einmal beygelegten Werth beſtaͤndig behalten: und wenn dergleichen beſtaͤndige Groͤßen allgemein ausge⸗ druckt werden ſollen, ſo gebraucht man dazu die erſten Buch⸗ ſtaben des Alphabeths a, b, c u. ſ. f. Zwar pflegt man in der gemeinen Analyſis, wo man bloß beſtimmte Groͤßen unterſucht, durch dieſe erſten Buchſtaben des Alphabets die bekannten, und durch die letzten dagegen die unbekannten Groͤßen zu bezeichnen; allein in der hoͤhern Analyſis ſieht man nicht ſo ſehr auf dieſen Unterſchied, ſondern theilt da⸗ ſelbſt die Groͤßen vorzuͤglich in beſtaͤndige und in veraͤnder⸗ liche ein. §. 2. Eine veraͤnderliche Groͤße iſt eine unbeſtimmte oder allgemeine Groͤße, die alle beſtimmte Werthe ohne Aus⸗ nahme unter ſich begreift. Da man einen jeden beſtimmten Werth durch eine Zahl ausdrucken kann, ſo ſchließt alſo eine veraͤnderliche Groͤße A 2 alle 4 Erſtes Buch. Erſtes Capitel. alle Zahlen ohne Ausnahme in ſich. Auf eben die Art nem⸗ lich, als man die Begriffe der Gattungen und der Geſchlech⸗ ter aus den Begriffen der einzelnen Dinge ableitet, iſt auch die veraͤnderliche Groͤße ein Geſchlecht, unter welchem alle beſtimmte Groͤßen begriffen ſind. Dergleichen veraͤnderliche Groͤßen bezeichnet man durch die letzten Buchſtaben des Alphabets *2, y, X u. ſ. f. Eine veraͤnderliche Groͤße wird beſtimmt, wenn ihr irgend ein beſtimmter Werth beygelegt wird. Es kann daher eine veraͤnderliche Groͤße auf unzaͤhlige Arten beſtimmt werden, indem man fuͤr ſie jede Zahl ohne Ausnahme ſetzen kann. Auch wird die Bedeutung einer veraͤnderlichen Groͤße nicht erſchoͤpft, bevor nicht alle be⸗ ſtimmte Werthe fuͤr ſie geſetzt worden ſind. Die veraͤnder⸗ liche Groͤße begreift daher alle nur irgend gedenkbare Zah⸗ len, die poſitiven und negativen, die ganzen und die ge⸗ brochenen, die rationalen, irrationalen und tranſcenden⸗ ten *) unter ſich; ja ſelbſt die Null und die imaginaͤren Zahlen ſind davon nicht ausgeſchloſſen. *) Das Behwort, Tranſcendent, ſteht der Benennung, Al⸗ gebraiſch entgegen. Algebraiſche Groͤten werden diejeni⸗ gen Groͤßen genannt, deren Verhaͤltniß zu gegebenen Groͤßen durch Gleichungen von einem beſtimmten Grade ausgedruckt werden kann; und unter tranſeendenten Groͤßen hat man daher ſolche zu verſtehen, bey welchen dieſes nicht moͤglich iſt. Auf dieſe Art erklaͤrt Leibnitz die tranſcendenten Groͤßen, Opp. Tom. III. p. 106. nach der Genfer Ausgabe vom Jahr 1768. Ein Beyfpiel einer tranſcendenten Groͤße hat man an einem unbeſtimmten Kreisbogen, von welchem er⸗ wieſen iſt, daß zwiſchen ihm und ſeinem Halbmeſſer keine algebraiſche Gleichung ſtatt findet. §. 4. ſtim dene ſt GR den wot dien 38 Zu⸗ Ve⸗ ſlt ob ſi Nn den der R W eeni⸗ Orhzen eMrvdt men ißen, vom hat n et⸗ keine 4 Von den Funktionen uͤberhaupt. 5 H§. 4. Eine Funktion einer veraͤnderlichen Groͤße iſt ein al⸗ gebraiſcher Ausdruck, der auf irgend eine Art aus dieſer veraͤnderlichen Groͤße und aus Zahlen oder beſtandigen Groͤßen zuſammengeſetzt iſt. Ein jeder algebraiſcher Ausdruck, der außer der veraͤn⸗ derlichen Groͤße? lauter beſtaͤndige Groͤßen enthaͤlt, iſt alſo eine Funktion dieſer z. So ſind a † 32; az — 422; az † bV. (aa — 22); c?; u. ſ. f. Funktionen von z. §. 5. Eine Funktion einer veraͤnderlichen Groͤße iſt daher ſeibn eine veraͤnderliche Groͤße. Denn da man fuͤr die veraͤnderliche Groͤße jeden be⸗ ſtimmten Werth ſetzen kann, ſo kann auch die Funktion derſelben unzaͤhlige beſtimmte Werthe erhalten; ja es laͤßt ſich, da die veraͤnderliche Groͤße auch die imaginaͤren Wer⸗ the unter ſich begreift, kein beſtimmter Werth gedenken, den die Funktion nicht ſollte erhalten koͤnnen. So kann zwar die Funktion V (9 — 22), wenn man fuͤr z bloß die moͤglichen Zahlen ſetzt, nie einen groͤßern Werth als 3 bekommen; allein ſetzt man dafuͤr auch die imaginaͤren Zahlen von der Form 5ßV — †, ſo laͤßt ſich kein beſtimmter Werth angeben, den man nicht aus der Formel V (9 — 22) ſollte herleiten koͤnnen. Es giebt indeß auch Ausdruͤcke, die, ob ſie gleich dem Scheine nach zu den Funktionen gehoͤren, dennoch nichts anderß als beſtaͤndige Groͤßen ſind, weil ſte bey aller Veraͤnderung der in ihnen vorkommenden veraͤn⸗ derlichen Groͤße immer einen und denſelben Werth behalten; . Aa –— a22 z. B. 20; 12; * a — 2 A 3 . F. 6. gE Erſtes Buch. Erſtes Capitel. §. 6. Der Hauptunterſchied der Funktionen beruhet auf der Art und Weiſe, wie ſie aus der veraͤnderlichen und aus beſtaͤndigen Groͤßen zuſammengeſetzt ſind. Er haͤngt alſo von den Operationen ab, durch welche Groͤßen mit einander verbunden werden koͤnnen, als der Addition, Subtraction, Multiplication, Diviſion, Erhe⸗ bung zu Poteſtaͤten, Extraction der Wurzeln, ſo wie auch der Aufloͤſung der Gleichungen. Außer dieſen ſogenannten algebraiſchen Operationen giebt es noch eine Menge ande⸗ rer, welche den Beynamen der tranſcendenten fuͤhren, und wohin die Formation der Exvonential⸗ und der logarithmi⸗ ſchen Groͤßen und unzaͤhlige andere gehoͤren, we iche die Integral⸗ Rechnung an die Hand giebt. Inzwiſchen koͤnnen einige Arten der Funktionen bemerkt werden; als die Vielfachen 22; 32; 342; az; die Poteſtaͤ⸗ ten von 2, z. B. 22; 23; 2 2; 2-I; u. ſ. f.: und ſo wie dieſe auf einer einzigen Operation beruhen, ſo werden auch die Ausdruͤcke, die durch jede andere Operation entſtehen, mit dem Namen der Funktionen belegt. *) „ Vielleicht ſoll dies ſo viel ſagen: So wie dieſe auf einer ein⸗ zigen Operation beruhende Arten, ſo werden auch die Aus⸗ druͤcke, die durch jede andere Operation entſtehen, mit einem daher genommenen Namen belegt. §. 7. Man ſtheilt die Funktionen in Algebraiſche und Tran⸗ ſcendente ein; unter jenen verſteht man die, in welchen bloß die algebraiſchen, unter dieſen aber die, in welchen tranſcendente Operationen vorkommen. „. Es ſind alſo die Vielfachen und die Poteſtaͤten von 2, ſo wie auch alle die Ausdruͤcke, welche durch die vorhin ge⸗ nannten gebee ſen! Grd ſich ibri⸗ nale bra hon ein⸗ Mus⸗ anen ran⸗ hen hen n 1, ge⸗ ſten Von den Funktionen uͤberhaupt. 7 nannten algebraiſchen Operationen formiret werden, a † bzn — c V (22 — 22) aaz — 3 bz 3 z. . algebraiſche Funktionen. Ja oͤfters koͤnnen die algebraiſchen Funktionen nicht einmal entwickelt dargeſtellt werden, wie die Funktion 2 von 2, wenn ſie durch folgende Gleichung gegeben wird. 2 = azzZ — bzaZ † cz 3Z — I. Denn obgleich dieſe Gleichung nicht aufgeloͤſet werden kann, ſo iſt doch ausgemacht, daß 2 einem gewiſſen aus der veraͤnderlichen Groͤße 2 und ver⸗ ſchiedenen beſtaͤndigen Groͤßen zuſammengeſetzten Ausdrucke gleich, und deswegen eine Funktion von z iſt. In Anſehung der tranſcendenten Funktionen aber iſt zu merken, daß ſie nur dann wirklich tranſcendent ſind, wenn die darin vor⸗ kommende tranſcendente Operation die veraͤnderliche Groͤße betrifft. *) Denn wenn die tranſcendenten Operationen nur die beſtaͤndigen Groͤßen angehen, ſo bleibt die Funktion al⸗ gebraiſch. Bedeutet z. B. o den Umkreis eines Zirkels, deſ⸗ ſen Halbmeſſer = I iſt: ſo iſt c allerdings eine tranſcendente Groͤße, **) aber die Ausdruͤcke c †z; cz?; 427; u. d. g. ſind nichts deſto weniger algebraiſche Funktionen von 2. Wenn uͤbrigens einige Bedenken tragen, 20 zu den algebraiſchen Funktionen zu rechnen, oder Poteſtaͤten von 2 mit irratio⸗ nalen Exponenten, wie 2V 2² lieber interſcendente als alge⸗ braiſche Funktionen nennen wollen, ſo iſt das eine Sache von geringer Erheblichkeit. **) *) Man vergleiche hiermit die Erklaͤrung der tranſcendenten Funktionen in des Hrn. Hofr. Kaͤſtners Anfangsgruͤnden der Analyſis endlicher Groͤßen §. 571. . **) Ob ſich der ganze Umfang des Kreiſes nicht durch den Halb⸗ meſſer, freylich vermittelſt Wurzelgroͤßen, ausdrucken laſſe? daruͤber iſt ſelbſt nach einer Erinnerung Eulers im zweyten Theile feiner Opuſc. analyt. Petersburg 1785/ noch nichts A,A 4 H qagus⸗ 3 Erſtes Buch. Erſtes Capitel. ausgemacht. Ließe fich das thun, ſe waͤre die Peripheri des Kreiſes nicht tranſeendentiſch. er) Dieſes thut Leibnitz in dem Briefe an Wallis, in wel⸗ chem die bey §. 3 angefuͤhrte Stelle ſteht, in der Nachſchrift. Cramer geht in ſeiner Introduétion à ana 1 des lig- nes courbes algébriques, Genf 1750, S. 8 hier noch peiter im Unterſcheiden. §. 8. Die algebraiſchen Funktionen werden wieder in Ra— tionale und in Irrationale eingetheilt; jene ſind ſolche, in welchen die veraͤnderliche Groͤße kein Wurzelzeichen hat, dieſe aber ſolche, in welchen Wurzelzeichen bey der veraͤnderlichen Groͤße anzutreffen ſind. In den rationalen Funktionen kommen alſo weiter keine Operationen vor als die Addition, die Subtraction, die Multiplication, die Diviſion, und die Erhebung zu Poteſtaͤten, deren Exponenten ganze Zahlen ſind: und es ſind alſo a ; a — 2; a 2; l, az 3 — bzs; u. ſ. f. ra⸗ a Pz tionale; hingegen N. 2 3 a † . (aa -— 22); V V E,n r 1 22); 33— — C 2 irrationale Funktionen von 2. 2 Die irrationalen Funktionen ſi nd ferner entweder Ent⸗ wickelte oder Verwickelte. Entwickelt heißt eine irrationale Funktion, wenn 1 ſie vermittelſt der Wurzelzeichen abgeſondert dargeſtellt iſt, wie in den angefuͤhrten Beyſpielen. Die verwickelten irratio⸗ nalen Funktionen ruͤhren von der Unvollſtaͤndigkeit der Auf⸗ loͤſungskunſt oder Algebra her. So iſt⸗ eine verwickete Imne⸗ tion von , wenn es durch die Gleichung 2 = azZ ²— bzs; gegeben wird; denn man iſt, wenn man auch die Wurzel⸗ Leichen del kei gen tio ir 4 eſter tion, 1 d la⸗ Ent⸗ 1 ſe wie tio⸗ luf⸗ mk⸗ el⸗ hen Von den Funktionen uͤberhaupt. 9 zeichen gebrauchen will, nicht im Stande, den Werth von 2 abgeſondert darzuſtellen. Die rationalen Funktionen werden wieder in ganze und i in gebrochene eingetheilt. In den ganzen rationalen Funktionen kommt weder 2 B mit einem negativen Exponenten, noch ein Bruch vor, deſ⸗ ſen Nenner die? enthielte; und gebrochene Funktionen ſind alſo ſolche, worin entweder Bruͤche mit z im NRenner, oder⸗ mit einem negativen Exponenten vorkommt. Die allgemeine Formel fuͤr die ganzen Funktionen iſt: a † bz †cz dz 3 † ez4 1 fz 5 Ku ſ. w. denn es laͤßt ſich keine ganze Funktion von? gedenken, die nicht in dieſer Formel begriffen ſeyn ſollte. Die allgemeine Formel fuͤr die gebrochenen Funk⸗ tlonen hingegen iſt, da mehrere Bruͤche in Einen verwan⸗ delt werden koͤnnen, a † bz † c 22 † dz 3 1 ez4 † fz5 † ꝛc. 2„ †T 62 † 722 † à23 23 + =24 † 625 † 2c. Die beſtaͤndigen Groͤßen a, b, c, d, ꝛc. «, 8, , ?, ꝛc. machen keine Veraͤnderung, wie ſie auch immer beſchaffen ſeyn moͤ⸗ gen, und man kann ſich darunter ſowohl poſitive als nega⸗ tive, ſowohl ganze als gebrochene, desgleichen rationale, irrationale, ja ſelbſt tranſcendente Groͤßen gedenken. §. 10. Hiernaͤchſt iſt die Eintheilung der Funktionen in Ein⸗ foͤrmige und vielfoͤrmige zu merken. Einſoͤrmig iſt eine Funktion, wenn ſie fuͤr jeden be⸗ ſtimmten Werth von nicht mehr als einen einzigen, viel⸗ foͤrmig aber, wenn ſie fuͤr jeden beſtimmten Werth von ⸗ mehrere beſtimmte Werthe bekoͤmmt. Die rationalen, ganzen A 5 ſowohl 10 Erſtes Buch. Erſtes Capitel ſowohl als gebrochenen, Funktionen ſind daher einfoͤrmige Funktionen; denn ſie geben fuͤr jedes beſtlmmte nie mehr als einen beſtimmten Werth, wie man auch z beſtimmen mag. Die irrationalen Funktionen hingegen ſind vielkoͤr⸗ mige, weil die Wurzelzeich hen auf mehr als einen Werth fuͤh⸗ ren. Auch die tranſcendenten Funktionen ſind theils ein⸗ foͤrmig, theils vielfoͤrmig; ja es giebt darunter ſelbſt un⸗ endlich vielfoͤrmige, z. B. den Bogen, der zu dem SinusX gehoͤrt, indem jeder Sinus als ein Sinus von unendlich vielen Bogen betrachtet werden kann. Zur Bezeichnung einzelner einfoͤrmigen Funktionen wollen wir uns der Buch⸗ ſtaben P, Q, R, S, L ꝛc. bedienen. J. II. Eine Funktion von 2 heißt zweyfoͤrmig, wenn ſie fuͤr jeden beſtimmten Werth von einen doppelten Werth giebt. Dergleichen Funktionen geben die Quadratwurzeln, z. B. V (22 † 22): denn hier giebt jeder Werth von einen doppelten Werth, einen poſitiven und einen negativen. Ueberhaupt aber iſt Z eine zweyfoͤrmige Funktion von 2, wenn es durch die quadratiſche Gleichung 2 — PZ † Q=o beſtimmt wird, und P und Q einfoͤrmige Funktionen von ſind. Denn es iſt alsdenn Z = 45 † V (4 P² — Q u. 7 erhaͤlt fuͤr jeden beſtimmten Werth von? einen doppelten Werth. Uebrigens ſind entweder beyde Werthe von 2 reell, oder beyde imaginaͤr, und, wie aus der Lehre von den Gleichun⸗ gen bekannt iſt, ihre Summe = = P und ihr Produkt = ☛ Q. EKine Funktion von 2 heißt dreyfoͤrmig, wenn ſie fuͤr jeden beſtimmten werth on 2 einen dreyfachen werth giebt. Der⸗ gin — = ðõ Von den Funktionen uͤberhaupt. II Dergleichen Funktionen entſpringen aus der Aufloͤſung der cubiſchen Gleichungen. Sind nemlich P, Q und R ein-⸗ foͤrmige Funktionen von z, und 2 — P 2Z † QZ — R= o; ſo iſt Z ein dreyfoͤrmige Funktion von 2, weil es fuͤr jeden beſtimmten Werth von? einen dreyfachen Werth bekoͤmmt. Dieſe drey Werthe von? ſind entweder alle drey reell, oder es iſt ſolches nur der eine, und die beyden uͤbrigen ſind ima⸗ ginaͤr. Auch iſt bekannt, daß ihre Summe = P, die Summe der Produkte aus je zwey und zweyen von ihnen = Q und das Produkt aus allen dreyen = R iſt. §. 13. Eine Funktion von 2 heißt vierfoͤrmig, wenn ſie fuͤr jeden beſtimmten Werth von? einen vierfachen Werth giebt. Dergleichen Funktionen entſpringen aus der Aufloͤſung der biquadratiſchen Gleichungen. Bedeuten nemlich P, R und § einfoͤrmige Funktionen von ⸗, und iſt 2 — PzZ3 † QZ* — RZ T S= o: ſo iſt 2Z eine vierfoͤrmige Funktion von z, weil Z fuͤr jedes beſtimmte : einen vierfachen Werth bekommt. Dieſe vier Werthe ſind nun entweder alle vier reell, oder alle viere imaginaͤr, oder es ſind davon zwey reell und zwey imaginaͤr. Ferner iſt ihre Summe = P, die Lumme der Produkte aus je zwey und zweyen von ihnen = Q, die Summe aus je drey und dreyen = R, und das Produkt aus allen vieren = S. Auf eine aͤhnliche Art verhaͤlt es ſich mit den fuͤnffoͤrmigen und den uͤbrigen vielfoͤrmigen Funktionen. Es. iſt alſo Z eine vielformige Funktion von z, wenn 2⁰ — Z 1 QZ3 2 — RZ 3 . 8 Z ³— ꝛc. = = o, und alſo 2 jedes beſtimmte 2 ſo viel beſtimmte Werthe giebt, als n Einheiten enthaͤlt. Es . õ 12 Erſtes Buch. Erſtes Capitel. Es muß aber n eine ganze Zahl ſeyn, und alſo die Gleichung, wodurch Z gegeben wird, auf die rationale Form gebracht werden, wenn man beurtheilen will, wie vielfoͤrmig Z iſt; wo alsdann der Exponent der hoͤchſten Poteſtaͤt von Z die Menge der Werthe anzeigt, die fuͤr jedes beſtimmte 2 zu Z gehoͤren. Außerdem muͤſſen P, Q, R, S ꝛc. einfoͤrmige Funktionen von z ſeyn. Denn ſobald einige von dieſen Buchſtaben vielfoͤrmige Funktionen von ⸗ anzeigen, ſo giebt Z fuͤr jedes beſtimmte 2 viel mehr Werthe, als n Einheiten enthaͤlt. Sind unter dieſen Werthen imaginaͤre Werthe, ſo iſt ihre Zahl allezeit gerade; und wenn alſo n eine ungerade Zahl iſt, ſo muß zum wenigſtens ein Werth von Z reell ſeyn; iſt aber n eine gerade Zahl, ſo koͤnnen auch alle Werthe von Z imaginaͤr ſeyn. „§. I5. Wenn ? eine ſolche vielfoͤrmige Funktion von iſt, daß es nie mehr als einen reellen Werth giebt; ſo wird es gewiſſermaßen eine einfoͤrmige Funktion von z, und kann auch meiſtens als eine einſormige Funktion ge⸗ braucht werden. Dergleichen Funktionen ſind . P, . P, „ P ꝛc. denn dieſe haben nie mehr als einen reellen Werth, vorausgeſetzt, daß P eine einfoͤrmige Funktion von 2 iſt. Aus eben der In Urſache kann man auch P, wenn n eine ungerade Zahl iſt, zu den einfoͤrmigen Funktionen zaͤhlen, m mag eine ge⸗ rade, oder eine ungerade Zahl ſeyn. Iſt hingegen n eine gerade Zahl, ſo hat Pn entweder gar keinen oder zwey reelle Werthe; und iſt daher n eine gerade Zahl und n ein Bruch, der durch die kleinſten Zahlen ausgedruckt iſt, ſo kann man auch Pa De ais eine zweyfoͤrmige Funktion betrachten. §. 16. — — —, — = — — — — Von den Funktionen uͤberhaupt. 13 §. 16. Wenn y eine Funktion von 2 iſt, ſo iſt auch 2 eine Funktion von y7. Denn da y eine Funktion von 2 iſt, ſo giebt es, was auch y fuͤr eine Funktion von 2 ſeyn mag, eine Gleichung, worin y durch? und beſtaͤndige Groͤßen gegeben iſt. Aus dieſer Gleichung laͤßt ſich aber auch umgekehrt z durch „ und beſtaͤndige Groͤßen beſtimmen; und da „ eine veraͤnder⸗ liche Groͤße iſt, ſo wird alsdann z einem aus y und aus be⸗ ſtaͤndigen Groͤßen zuſammengeſetzten Ausdrucke gleich, und alſo eine Funktion von y. Nun laͤßt ſich auch beurtheilen, eine wievielfoͤrmige Funktion 2 von y iſt, und es kann 2 eine vielfoͤrmige Funktion von y werden, wenn gleich y eine einfoͤrmige Funktion von 2 iſt. Iſt z. B. y 3 = ayz — bzz; ſo iſt y eine dreyföͤrmige Funktion von 2, clen⸗ 2 nur eine zweyfoͤrmige von y. Wenn y und x Funktionen von 2 ſind, ſo iſt auch y eine Junktion von x, und eine Funktion von y. Denn da y eine Funktion von ? iſt, ſo iſt auch 2 eine Funktion von y §. 16. und eben ſo eine Funktion von x. Folglich iſt die Funktion von y der Funktion von x gleich; und da aus dieſer Gleichung ſowohl y durch X als x durch „ beſtimmt werden kann, ſo iſt klar, daß y eine Funktion von x, und eine Funktion von y iſt. Oft iſt man zwar wegen der Unzulaͤnglichkeit der Algebra nicht im Stande, dieſe Funktionen entwickelt darzuſtellen: allein das hindert die Ueberzeugung von der angefuͤhrten Behauptung nicht. Das lehrt aber die Algebra, wie man aus zwey Gleichun⸗ gen, davon die eine y und 2, die andere hingegen und⸗ ent⸗ 14 Erſtes Buch. Erſtes Capitel. enthaͤlt, eine andere herleitet, worin bloß und y enthal⸗ „ ten ſind. *) *) Man findet ſolches z. B. in Mewtons Arithmetica uni- verſali, in dem Abſchnitte: De duabus pluribusve ae- quationibus in unam transformandis, ut incognitae quantitates exterminentur, in der, Leyden 1732 heraus⸗ gekommenen, Graveſandiſchen Ausgabe, S. 57. f.; in des Hrn. Hofr. Kaͤſtners Anfangsgruͤnden der Analyſis endlicher Groͤßen, in dem Abſchnitte von den Gleichungen §. 199. f. und in Eulers Nouvelle mêthode d'éliminer les quan- tités inconnues des équations, in der Hiſtoire de l'A- cademie royale des Sciences & belles Lettres vom Jahr 1764. Was ich darüber hier beybringen zu muͤſſen geglaubt habe, findet man im Anhange zu dem gegenwaͤrtigen erſten Theile unter der erſten Nummer. J8. 18. Endlich ſind noch einige beſondere Arten von Funk⸗ tionen zu merken. So iſt eine Funktion eine gerade Zunk⸗ tion von 2, wenn ſie eben denſelben Werth giebt, man mag fuͤr z entweder † k oder — k ſetzen. Eine ſolche gerade Funktion von 2 iſt zz; denn man mag fuͤr⸗ entweder † k oder — k ſetzen, ſo erhaͤlt man in beyden Faͤllen fuͤr 2z einerley Werth, nemlich 22 = † kk. Aus eben dem Grunde ſind auch dieſe Poteſtaͤten von 2, 24, 26, 28, und uͤberhaupt zm, wenn m eine gerade, poſitive entweder oder negative, Zahl iſt, gerade Funktionen vonz. In — Ja da auch 2 zu den einfoͤrmigen Funktionen gerechnet werden kann, wenn n eine ungerade Zahl iſt (§. 15]: ſo iſt m auch 2n eine gerade Funktion von⸗, wenn m eine gerade, n aber eine ungerade Zahl iſt. Es werden daher auch alle Ausdruͤcke, die aus dergleichen Poteſtaͤten, auf was fuͤr eine Art 1 hol eine 24 zwe Von den Funktionen uͤberhaupt. 15 Art man will, zuſammengeſetzt ſind, gerade Funktionen von? ſeyn. So iſt 2Z eine gerade Funktion von 2, wenn . a † bz 2 T†czAPdz6”†ec. Z =a † bz2 † cz 4 † dz 5 †P ꝛc. 2=— . . a † † tee oder & P 8ͦ22 †77 4 † 2 20. 2 2 42 n desgleichen wenn Z = a † bz † c? † dæ † ꝛc. oder Z = 2 dA 56 2 4 de Ter d⸗⸗ her a T bz . cz † d?z † ꝛc. oder Z = 44 4 f =è † 72 F . 32 . iſt. Und da dergleichen Ausdruͤcke insgeſammt zu den ein⸗ 4. foͤrmigen Funktionen von? gehoͤren, ſo kann man ſie auch ae gerade einfoͤrmige Funktionen von 2 nennen. ubt n §. 19. Gine vielfoͤrmige gerade Funktion von 2 iſt eine Funk⸗ tion, die zwar fuͤr jedes 2 verſchiedene Werthe, aber DGk-. doch immer eben dsſſelbe giebt, man mag 2 = † K oder ſt, = — k ſetzen. Es ſey ? eine ſolche vielfoͤrmige gerade Funktion von 2 Da die Natur einer vielfoͤrmigen Funktion durch eine Glei⸗ chung zwiſchen Z und 2 ausgedruckt wird, in welcher 2 ſo nen i viel Dimenſionen hat, als es verſchiedene Werthe unter ſich begreift: ſo iſt offenbar, daß? eine vielfoͤrmige gerade Funktion ſeyn wird, wenn die veraͤnderliche Groͤße 2 in ie der Gleichung, welche die Natur von Z ausdruckt, allent⸗ halben eine gerade Anzahl von Dimenſionen hat. So iſt Z. eine zweyfoͤrmige gerade Funktion von 2, wenn 2²=— net 2247 † bzz, und eine dreyfoͤrmige, wenn 2 — az22 * † diſt ,„2 bz 4Z –— cz 8 = o. Ueberhaupt iſt ?— — PZ † QSo, eine Ne zweyfoͤrmige gerade, 2 3 — PZ † QZ – R= oO eine drey⸗ foͤrmige gerade Funktion von 2, u. ſ. f., wenn P, Q, R, 8 e u. ſ. w. einfoͤrmige gerade Funktionen von⸗ ſind,. §. 20 3 S ” 16 Erſtes Buch. Erſtes Capitel. §. 20. Es iſt alſo jede, einfoͤrmige ſowohl als vielfoͤrmige, gerade Funktion von? ein Ausdruck, der auf die Art aus der veraͤnderlichen Groͤße ?z und aus beſtaͤndigen Groͤßen zuſammengeſetzt iſt, daß die Anzahl der Dimenſionen von 2 allenthalben eine gerade Zahl iſt. Außer den einfoͤrmigen Funktionen, wovon vorhin ſchon [§. 18.] Beyſpiele angefuͤhrt worden ſind, gehoͤren alſo hie⸗ her, 1 V (bb — 2z); azz † VGEWιͤ — bi) desgleichen az V 22 † V. (a 4 – 24)) u. ſ. w. Hieraus erhellet, daß man die geraden Funktionen guch durch Funktionen von 22æ erklaͤren kann. Denn iſt 2 irgend eine Funktion von y, ſo erhaͤlt man, wenn man darin allenthalben 22 anſtatt y ſetzt, eine ſolche Furktion von 2, in welcher die Anzahl der Dimenſionen von: allenthalben eine gerade Zahl iſt. Doch muß man den Fall ausnehmen, wenn in dem Ausdrucke fuͤr Z, Vy und andere aͤhnliche Formen vorkommen, welche dadurch, daß man ?2 fuͤr y ſetzt, die Wurzelzeichen verlieren. Denn wenn auch gleich y † Vay eine Funktion von y iſt, ſo wird doch dieſer Ausdruck, wenn man y = 22 ſetzt, keine gerade Funktion von 2, weil alsdann y Tay = 22 † 2Wa iſt. Dieſe Faͤlle alſo ausgenommen ‚Rſo iſt die gegebene Erklaͤrung der geraden Funktionen richtig, und ſehr brauchbar, wenn man dergleichen Funktionen machen will. Eine ungerade Funktion von 2 iſt eine Funktion, deren Werth negativ wird, wenn man — 2 anſtatt? ſetzt. Dergleichen ungerade Funktionen ſind alle Poteſtaͤten von 2, deren Exponenten ungerade Zahlen ſind, z. B. 21, 23, 25, 27, u. ſ. w. ferner 2—1, 2-—3, 22-5 u. ſ. f. ſo wie auch irge⸗ dos ſelb nan Van er don ger behe ege wi hin Un dos eine eine N al ige, gus ſen ſchon hie⸗ cen tionen nwan, ſolche ſſonen man Vy ch, Denn pird rade De g der naman Von den Funktionen uͤberhauppt. 17 n auch 2n, wenn ſowohl m als n eine ungerade Zahl iſt. Ueberhaupt aber iſt jeder Ausdruck, der aus ſolchen Pote⸗ ſtaͤten von z zuſammengeſetzt iſt, eine ungerade Funktion von 2, z. V. a?z † bz“3; az Taz -I; desgleichen 2 † 22 † bz—à u. ſ. f. Was aber die Natur dieſer Funk⸗ tionen und die Art und Weiſe betrifft, dergleichen zu er⸗ finden: ſo laͤßt ſich beydes aus dem, was uͤber die geraden Funktionen geſagt worden iſt, leicht abnehmen. §. 22. Wenn man eine gerade Funktion von 2 durch⸗ 2 0der irgend eine ungerade Funktion von 2 multiplicirt „ſo iſt das Produkt eine ungerade Funktion von 2. Es ſey P eine gerade Funktion von 2, die folglich die⸗ ſelbe bleibt, wenn man darin —2 anſtatt 2 ſetzt. Setzt man alſo in dem Produkte Pz, —2 anſtatt 2, ſo erhaͤlt man — Pz, und P? iſt daher eine ungerade Funktion von z. Ferner ſey P eine gerade und Qeine ungerade Funktion von 2. Hier fließt aus der Erklaͤrung der geraden und un⸗ geraden Funktion [§. 21. 18.] daß P ſtets einerley Werth behaͤlt, man mag 2 poſitiv oder negativ nehmen, Q aber negativ wird, wenn man darin — anſtatt 2 ſetzt. Es wird alſo auch das Produkt PQ, wenn man: negativ nimmt, in — P Q, oder in eine negative Groͤße, verwandelt, und es iſt daher P Q eine ungerade Funktion von 2. So iſt das Produkt aus a † V (aa † 22), einer geraden, und 23, einer ungeraden Funktion vonz, nemlich a?3 †z ' W(aa † 22), eine ungerade Funktion von; und eben das iſt das Pro⸗ bE2 = 2 bz3. Hieraus aber erhellet dukt z = ℳ“M† 82 2 ℳ* † 622 P B . auch, daß G oder eine ungerade Funktion von 2⸗ ſeyn Eulers Einl. in d. Ansl. d. Unendl. I. BD. B wird, 18 Erſtes Buch. Erſtes Capitel. wird, wenn von den beyden Funktionen P und Q die eine eine gerade und die andere eine ungerade Funktion iſt. §. 83. Wenn eine ungerade Funktion durch eine ungerade Funktion multiplicixt oder dividirt wird: ſo iſt das Pro⸗ dukt oder der Ouotient eine gerade Funktion. Es ſeyen Q und 8 zwey ungerade Funktionen von ⸗, ſo daß, wenn man —? anſtatt z ſetzt, Q in — Q, und S in —s uͤbergeht: ſo faͤllt in die Augen, daß ſowohl das Produkt 08 als der Quotient eben denſelben Werth be⸗ haͤl t, man mag? poſitiv oder negatis nehmen, und es ſind daher beyde gerade Funktionen von z. Auch iſt nunmehr offenbar, daß das Quadrat einer ungeraden Funktion eine gerade, der Cubus aber eine ungerade, das Biquadrat davon wiederum eine gerade Funktion u. ſ. w. iſt. §. 24. Wenn y eine ungerade Funktion von ? iſt, ſo iſt aguch? eine ungerade Funktion von y. Da y eine ungerade Funktion von iſt, ſo muß ſich, wenn man —« ſtatt? ſetzt, y in —y verwandeln. Wird daher ? durch y beſtimmt, ſo muß auch 2 in —? uͤbergehen, wenn man — » anſtatt y ſetzt, und alſo? eine ungerade Funktion von y ſeyn. Iſt alſo p = 23, folglich y eine ungerade Funktion von 2; ſo iſt auch aus der Gleichung 23 = y oder 2 = y, 2z eine ungerade Funktion von y. Und da fuͤr y = a 2 † bz 3, y eine ungerade Funktion von ꝛiſt, ſo iſt auch, wenn man aus der Gleichung bz3 † a2 = y den Werth von? durch y ausdruckt, dieſer Werth eine ungerade Funktion von y. §. 25. ſcch welck Glie allen unge⸗ anſet vedet werde lad ne Re rd⸗ 2, ds das be⸗ ſad nehe ene adet Von den Funktionen uͤberhaupt. 19 Wenn die Natur einer Funktion von y durch eine ſolche Gleichung beſtimmt wird, daß die Dimenſionen, welche y und 2 zuſammengenommen in einem jeden Gliede haben, entweder allenthalben eine gerade ,. oder allenthalben eine ungerade Zahl ausmachen: ſo iſt 7 eine ungerade Funktion von 2. Denn wenn man in einer ſolchen Funktion nicht nur — 2 anſtatt 2, ſondern auch — anſtatt y ſetzt: ſo bleiben ent⸗ weder alle Glieder der Gleichung unveraͤndert, oder ſie werden negativ; allein die Gleichung bleibt in beyden Faͤl⸗ len dieſelbe. Hieraus erhellet, daß — „ eben ſo durch — 2, als †y durch †z beſtimmt wird, und daß alſo, wenn man — 2 anſtatt? ſetzt, der Werth von y in — y uͤbergehen, und alſo y eine ungerade Funktion von z ſeyn muß. Iſt z. B. yy = a yz † bzz † c; oder y3 †. ayyZ = byzz . cy † dz: ſo iſt y aus beyden GSleichungen eine ungerade Funktion von 2. §. 26. Wenn ? eine Funktion von 2, und V eine Funktion von y iſt, und X auf eben die Art durch y und beſtaͤn⸗ dige Groͤßen, als Z durch 2 und beſtaͤndige Groͤßen be⸗ ſtimmt wird: ſo werden dieſe Funktionen Xund Z aͤhn⸗ liche Funktionen von y und z genannt. So ſind Z und X aͤhnliche Funktionen von⸗ und y, wenn Z = a † bz † cz2, und = a †– by † cya; oder um auch vielfoͤrmige Funktionen anzufuͤhren, wenn 2 = a22Z† b, und ? = ayyXY †† b. Wenn daher und Z dergleichen aͤhnliche Funktionen von y und ſind: ſo ver⸗ wandelt ſich die Funktion 2, wenn man darin y anſtatt 2 4 „* » . 20 Erſte Buch. Erſtes Capitel. ſetzt, in die Funktion y7. Man pflegt dieſe Aehnlichkeit auch auf die Art auszudrucken, daß man ſagt, X ſey eine eben ſolche Funktion von y als Z von 2; und dieſe Aus⸗ druͤcke werden gebraucht, es moͤgen 2 und y von einander abhaͤngen oder nicht. Es iſt daher a (y † n) † b (yn) 5 eine eben ſolche Funktion von y † n, als ay † bys von y; a22 † bz † c und : S= T r eine eben ſolche Funktion von = , als a † bz † czz „ E. . – ⸗ n: denet iſt: im erſten Falle iſt 2 = † n, und im andern y= —. Hieraus erhellet ſehr deutlich, was es mit der Aehnlichkeit der Funktionen, die in der ganzen hoͤhern Analyſe ein Gegenſtand von der aͤußerſten Wich⸗ tigkeit iſt, fuͤr eine Bewandniß hat. Uebrigens kann das, was bisher uͤber die Natur der Funktionen Einer veraͤnder⸗, lichen Groͤße uͤberhaupt geſagt worden iſt, hier hinreichen, da die weitere Auseinanderſetzung deſſelben bey der folgen⸗ den Anwendung vorkommt. 3 — = Zweytes Wee e wer Gr⸗ ſih wwi alf bete ſen wan⸗ keit aà † 3a a2 †. 3 a22 † 23; oder — ꝑ12 Zweytes Capitel. Von der Umformung der Funktionen. §. 27. Die Funktionen koͤnnen auf eine zwiefache weiſe in andere verwandek, oder auf eine andere Form gebracht werden, indem man dabey entweder die veraͤnderliche Groͤße beybehalten, oder an ihrer Stelle eine andere ein⸗ fuͤhren kann. Wenn die veraͤnderliche Groͤße beybehalten wird, ſo wird die Funktion eigentlich nicht veraͤndert, ſondern nur auf eine andere Art ausgedruckt; ſo wie aus der Algebra bekannt iſt, daß man eine und dieſelbe Groͤße auf mancher⸗ ley Weiſe darſtellen kann. Beyſpiele von dergleichen Ver⸗ wandlungen ſind, wenn man anſtatt der Funktion 2 — 32 † 22, dieſe, (1 — 2) (2 — 2); oder (a † 2) 3 anſtatt 4 a † ? anſtatt 2 3 — — ; oder V(I † 22) † anſtatt = — ſetzt: denn ſo verſchieden auch die Geſtalt Thieſer Ausdruͤcke iſt, ſo bedeuten ſie doch vollkommen ein und daſſelbe. Oft iſt aber die eine Art des Ausdrucks zu der gegenwaͤrtigen Abſicht paſſender als ein anderer gleichbedeutender, und man muß deswegen jedesmal den ſchicklichſten waͤhlen. Die andere Art der Verwandlung der Funktionen, wo⸗ bey man anſtatt der veraͤnderlichen Groͤße? eine andere y nimmt, welche zu 2 ein gegebenes Verhaͤltniß hat, nennt B 3 man „ . 5* * 22 Erſtes Buch. Zweytes Capitel. man die Verwandlung durch Subſtitution; und ihrer muß man ſich auf die Weiſe bedienen, daß die gegebene Funk⸗ tion dadurch kuͤrzer und bequemer ausgedruckt wird. So erkhaͤlt man, wenn man in der Funktion von 2, a« — 4a 32 † 6 àaa ?zz – 4 a 23 † 24, fuͤr a — 2 die veraͤnderliche Groͤße y ſetzt, die viel einfachere Funktion y“4 von y; und wenn man in der irrationalen Funktion (a a † z 2) von 2z, 2 = a à — y v nimmt, an ihrer Stelle die rationale Funktion von y. Von dieſer letzten Art der Verwandlung 2² a †. 2 y der Funktionen ſoll i in dem folgenden, ſo wie von der, wo⸗ bey keine Subſtitution ſtatt findet, in dem gegenwaͤrtigen Sapite gehandelt werden. Die ganzen Funktionen werden oͤfters ſehr vortheil⸗ haft in ihre Faktoren aufgelsſer, und in ein Produłt verwanderr. 4 Wenn eine ganze Funktion in ihre Faktoren aufgeloͤſet wird, ſo faͤllt ihre Beſchaffenheit weit leichter in die Au⸗ gen; denn man ſieht alsdann ſogleich ein, in was fuͤr Faͤl⸗ len ihr Werth = o wird. Verwandelt man z. B. dieſe Funktion von 2, 6— 72 † 23 in das Produkt (1 — 2) (2 — 2) (3 † 2): ſo iſt ſogleich offenbar, daß ſie in drey Faͤllen = 0 wird; nemlich wenn 2z = 1, 2 = 2, und 2=—3 iſt, welches man aus dem Ausdrucke 6 — 72 † 23 ſelbſt weit ſchwerer erkennt. Man nennt aber dergleichen Faktoren, worin bloß die erſte Poteſtaͤt von 2 vorkommt, Zzzum Unterſchiede von den zuſammengeſetzten Faktoren, welche das Quadrat, oder den Cubus, oder irgend eine andere hoͤhere Poteſtaͤt von 2 enthalten, einfache Fakto⸗ ren; en; lene 1nd lehf einfa in ſ non⸗ die 5 Hotte ſchdi als uß S 2 1 R venn 72— 2— bion lung figen und chen nmt, ten, eine kto⸗ Von der Umformung der Funktionen. 23 ren; und ihre allgemeine Form iſt f † g2, ſo wie der all⸗ gemeine Ausdruck der doppelten Faktoren f † g: 1† hzz, und der dreyfachen, f†gZ hzz † 123 u. ſ. w. *) Da⸗ bey faͤllt in die Augen, daß ein jeder doppelter Faktor zwey einfache, ein jeder dreyfache Faktor drey einfache u. ſ. w. in ſich faſſe. Wenn der Exponent der hoͤchſten Poteſtaͤt von? in einer ganzen Funktion von 2 = n iſt: ſo enthaͤlt die Funktion n einfache Faktoren; und ſind unter ihren Faktoren etwa auch doppelte oder dreyfache u. ſ. w. ſo laͤßt ſich die Anzahl ihrer Faktoren nach dem Angefuͤhrten eben⸗ falls beurtheilen. H *) Wenn ein doppelter Faktor zwey einander gleiche einfache Faktoren hat, ſo heißt er ein quadrariſcher Saktor, n wie aa † 2 a 2z T† 22 §. 150, und⸗ — 1 5. 155. §. 29. Man findet die einfachen Faktoren einer jeden ganzen —— Funktion Z von 2, wenn man die Funktion 2 gleich 0 ſetzt, und aus dieſer Gleichung die Wurzeln von 2 zu er⸗ halten ſucht; indem eine jede Wurzel von 2 einen ein⸗ fachen Faktor der Funktion 2 giebt. Iſt daher von der Gleichung ?z = o irgend eine Wurzel 2 = f; ſo iſt 2 — f ein Diviſor und folglich auch ein Faktor der Funktion Z. Sucht man alſo alle Wurzeln der Glei⸗ chung Z = o, nemlich z = f, 2 = g, 2 = h, u. ſ. w.: ſo wird dadurch die Funktion Z in ihre Faktoren aufgeloͤſet, und in das Produkt ( — f) (2 — g) (z — h) ꝛc. verwan⸗ delt; wobey indeß zu merken iſt, daß man dies Produkt, wenn der Coefficient der hoͤchſten Poteſtaͤt von z nicht = † 1 iſt, noch durch dieſen Coefficienten multipliciren muß. Iſt 3. B. 2 = Azn † Bzn-I † Czo- 2 † ꝛc. ſo iſt Z = S B 4 Ae. H 24 Erſtes Buch. Zweytes Capitel. A G — 5) (E — 3%) (— h) ꝛc. *) Iſt hingegen Z = A † BZz † Cz2 † Dz3 † CzA † u. ſ. f. und ſind die Wurzeln der Gleichung 2 = 0, f g; h; i; u. ſ. w. ſo iſt 2 = A (1 — ) (1 — 3) (1— 1) u. ſ. f. *) Auch erhellet hieraus, daß umgekehet 2 =o werden muß, wenn 2— t, oder 1 —, ein Faktor der Funktion Z iſt, und man f anſtatt 2 ſetzt. Denn iſt 2 = f, ſo wird ein Faktor von der Funkti on 2Z, 2 — f oder 1 — 7/ und alſo auch die e Funk⸗ tion ſelbſt = o. 2 Aus 2Z = A zn † Bzn-r 1 Czn-2 † D zu = 3 † ꝛe. folgt, 2 =— A (en Ra-r1 Ra-:1an- z) Verwandelt man alſo Zu †. X En — r † X en a P „. zu 3 ꝛce. in das Produkt (2 — f) C— 3) G— h) (2 — i) (2 — Kk) ꝛe. ſo wird z==A (— f) 6— ⁸) E — h) ꝛ2c. 2 Ai Becae Dz3 † Eza †*. ilat B C Z = A (1 1 = 22 1 3 1⸗ 1 ꝛe. Vermandelt man alſo ² — 11 P: 1 Da⸗ 1R: 1 21 ꝛc. in das Produt ginar ſo iſt Geicd reelle wren einer Fun ſeche Funk dat reel der unk⸗ — . Von der Umformung der Funktionen. 25 ſ Z = A (— 3) — De. HZ §. 30. Die einfachen Faktoren ſind entweder reell oder ima⸗ ginaͤr; und wenn die Funktion Z imaginaͤre Faktoren hat, ſo iſt ihre Anzahl immer eine gerade Zahl. Denn da die einfachen Faktoren aus den Wurzeln der Gleichung Z =o entſpringen: ſo muͤſſen die reellen Wurzeln reelle Faktoren und die imaginaͤren Wurzeln imaginaͤre Fak⸗ toren geben. Und da die Anzahl der imaginaͤren Wurzeln einer jeden Gleichung eine gerade Zahl iſt: ſo muß die Funktion 2 entweder gar keine, oder zwey, oder vier oder ſechs, u. ſ. w. imaginaͤre Faktoren haben. Hat nun die Funktion 2Z nur zwey imaginaͤre Faktoren, ſo iſt das Pro⸗ dukt derſelben ein reelles Produkt, und giebt alſo einen reellen doppelten Faktor. Denn ſetzt man das Produkt aus allen reellen Faktoren = P, ſo iſt das Produkt der beyden imaginaͤren Faktoren = und alſo reell. Auf eben die Art iſt das Produkt aller imaginaͤren Faktoren, wenn die Funktion Z deren viere, oder ſechs, oder achte u. ſ. w. hat, immer reell; weil es jedesmal dem Quotienten gleich iſt, den man aus der Diviſion der Funktion 2 durch das Pro⸗ duet aller reellen Faktoren erhaͤlt. — §. 31. Wenn O ein reelles Produkt aus vier einfachen ima⸗ ginaͤren Faktoren iſt, ſo kann man daſſelbe in zwey dop⸗ pelte reelle Faktoren zerfaͤllen. M 26 Erſtes Buch. Zweytes Capitel. Denn es hat alsdann Q die Form 24 † Az3 † Bzz † Cz † D; und ſollte es nicht in zwey doppelte reelle Fakto⸗ ren aufgeloͤſet werden koͤnnen, ſo muͤßte es ein Produkt aus zwey doppelten imaginaͤren Faktoren ſeyn. Ferner waͤre die Form dieſer beyden doppelten imaginaͤren Faktoren =— a (p d A r Erf s—r 22 — 2 (— q N— 1) 2 P†r –— S V. — I denn es laſſen ſich keine andere imaginaͤre Formen geden⸗ ken, deren Produkt reell und = 24 † A 23 † BzZ2 † Cz † D waͤre. Aus dieſen zwey doppelten imaginaͤren Faktoren er⸗ hielte man aber folgende vier einfache imaginaͤre Faktoren von Q, I. 2— ( †q V— 1) † Pp 2 V — I — qq -r — s V 1) 2.2 — (p † q V — I) — V(pp † 2pq V — I — qq — r - s V — 1) 3. 2 — (P— q V — 1) † V (pp-— 2pq V — I— qq — r † sV — 1) 4.2— (P-q V — 1) — W(pp-— 2 pq V — — dq - k†† s V— 1) Und multiplicirte man nun den erſten und dritten dieſer Faktoren mit einander, und ſetzte dabey der Kuͤrze wegen t = pp – qꝗq — r, und u = 2 5p4 — s: ſo erhielte man zum Produkte 22 — (2 b — V (2t † 2 Vtt † u u))) 2 4 pp † q — p V (2t † 2 V(tt † uu)) † VEtt 1† uu) — 4 W(— 2t † 2 V(tt † uu)) welches allerdings ein reelles Produkt iſt. Eben ſo iſ das Produkt aus dem zweyten und vierten Faktor reell, und = 227 — (2 p † V (2t † 2 V(tt u u))) † pp 4 49 † V (2t † 2 Vä(tt † uu)) † Er † uu) — F*qaVC— 2t †2 Vtt † u u)) “ Auf dieſe Weiſe iſt das Produkt Q, wovon angenommen wurde, daß es nicht in zwey doppelte reelle Faktoren auf⸗ geloͤſet — da Von der Umformung der Funktionen. 27 24 geloͤſet werden koͤnne, wirklich in dergleichen aufgeloͤſet ktto⸗ worden. ) J au *) Wenn man t = bp — qq — r, und u = 2 p q —s ſetzt, N ſo erhalten die einfachen imaginaͤren Faktoren von Q fol⸗ d gende Geſtalt. I. 7 — (p † q V – 1) 1 W (t † n ́ — 1) 2. 2 — (p † q N — 1) – WV (t †T u V – 1) 3. 2 – (P—– V — 1) † V (t— u V — 1) de⸗ 4. 2 – (P — q V — 1¹1) V (t— u V —1) etn Setzt man nun ferner 8 t VEHI VYAa bV — I und (t— uV — 1) ſo erhaͤlt man, wenn man die Quadrate nimmt, —) J t † u N Tr =Saa † 2 ab V — 1 — bb ,) t u V – I = aa — 2a b N I bb — folglich —) t = a a — bb, und u = 2 ab. dieſer Dieſes giebt wegen (aa † bb) 2 = (a a — b b) 2 4 aebb tt † uu nnun woraus aa † bbe= V (tt † uu) wird. Nunmehr iſt alſo aàa = t † 2½V (tt † uu) bb = — àt † 2½Vitt † uu) und folglich 2 = V. Gt 1 4 (tt uu)) und Wenn man daher den Groͤßen a, b, aa, bb, die hier gefun⸗ 1d dDdenen Werthe beylegt, ſo ſind ſelbige reell, und uͤberdies = hat mon dabey V (t † u V — 1) = a † b N – 1 und NV (t –— u V – 1) = a — b V — 1I. Hierdurch aber wer⸗ deß die eigfachen maginaͤren Faktoren von 2 1.2— p - 4 V — 1 † a † by — 1 = 2 — b f a 2“ (b — ) V — I nnen 2, 2 — p — — q V — 1 SSII ſe dJda ê4 56 —. H „ 28 Erſtes Buch. Zweytes Capitel. 3. 2 – p † qN – I 4 a — b-r — I = 2—- p r a — ([b-– q) V =– 1 4. 2 — p † qV — 1 – a †– b N— I = 2— p - a † (b † q) V —– 1 Und da das Produkt aus I. und 3. ( — p† a) 2 †4 (b— q)2 das Produkt aus 2. und 4. aber (z—p-— a) 2 1 (b 1† 02*¾ iſt, ſo faͤllt hieraus auch die Realitaͤr dieſer Produkte, welche entwickelt die im § geben, in die Augen. Daß 2 V († it † V(tt † u u) = V (X 2t † 2 V (tt † uu) ſey, braucht hier wohl kaum erinnert “ werden. §. 32*° Wenn eine ganze Funktion Z von 2z imaginaͤre Fak⸗ toren hat, deren Anzahl uͤbrigens ſo groß oder ſo klein ſeyn kann, als ſie will; ſo kann man allemal je zwey und zwey davon auf eine ſolche Art mit einander verbin⸗ den . daß ihr Produkt reell wird. Da die Anzahl der imaginaͤren Faktoren immer eine gerade Zahl iſt, ſo kann man ſie durch ꝛ2n ausdrucken, und aus §. 30 iſt bekannt, daß das Produkt aus allen dieſen imaginaͤren Faktoren reell iſt. Giebt es daher nur zwey imaginaͤre Faktoren, ſo iſt aus dieſem Grunde ihr Produkt nothwendiger Weiſe reell; und ſind der imaginaͤren Fakto⸗ ren viere, ſo laͤßt ſich ihr Produkt nach dem vorhergehen⸗ den § in zwey doppelte reelle Faktoren von der Form f22† 2 h verwandeln. Nun laͤßt ſich zwar dieſe Beweisart nicht auf die hoͤhern Poteſtaͤten ausdehnen; indeß verliert dadurch der angefuͤhrte Satz nichts von ſeiner Gewißheit; ſo daß alſo allezeit anſtatt jeder an einfachen imaginaͤren 49 Kaktoren n doppelte reelle Faktoren erhalten, und daher .— jede ? ſehe ſn tee der 5 Funtt c2² reele geich danne X/v dad 4 U beke be c wer ſet deir bey Von der Umformung der Funktionen. 29 jede ganze Funktion von 2 entweder in reelle einfache oder 1 in reelle doppelte Faktoren aufgeloͤſet werden kann. In der Folge lim neunten Capitel §. 143 — §. 154] werden Funktionen wie a † bzn; a † bzu † czzn; àa † bza † czzZn † dzin; u. ſ. f. wirklich in dergleichen doppelte reelle Faktoren aufgeloͤſet werden; und fehlt es daher gleich hier an einem ſtrengen Beweiſe, ſo wird doch als⸗ dann aller Zweifel verſchwinden. *) Diß 2) Da der Satz: Jede ganze rationale Funktion von , als tu) xm † Axmn - TI † BxXxNn - 2 P† Cx Mm - 3 † ꝛc., laͤßt ſich in reelle, einfache entweder oder doppelte, Faktoren aufloͤſen, in der Integral⸗Rechnung von der größten Wichtigkeit iſt, ſo hat ihn Euler in ſeinen Recherches ſur les racines ima- ginaires des équations, in der Hiſtoire de l'Academie dt⸗ royale des Sciences & belles Lettres, vom Jahr 1749, o klein durch verſchiedene Beweiſe außer Zweifel zu ſetzen geſucht. zwey Einen vollſtaͤndigen Auszug aus dieſen Unterſuchungen findet gbin, man in dem Anhange zu dem gegennaͤrtigen erſten Cheile unter der zweyten Nummer. e eine §. 33. vumd Wenn eine ganze Funktion 2 fuͤr 2 = a den wWerth deſen A, und fuͤr 2 = b den Werth B erhaͤlt: ſo kann dieſelbe wwen dadurch, daß man fuͤr 2 Werthe ſetzt, die zwiſchen Prodc a und b fallen, jeden zwiſchen A und B liegenden Werth Sm bekommen. ehen Denn da 2 eine einföͤrmige Funktion von 2 iſt, ſo muß Mut es bey der Subſtitution eines jeden reellen Werthes fuͤr 2 eisart auch allemal einen reellen Werth bekommen. Da nun 2, etliert wenn man 2 =a ſetzt, den Werth A, und wenn man 2 = b ſheit; ſetzt, den Werth B bekoͤmmt, ſo kann es nicht anders von üͤrer dem Werthe A zu dem Werthe B, als durch alle zwiſchen Noheer beyden liegenden Werthe, uͤbergehen. Hat alſo die Glei⸗ jede chung . 30 Erſtes Buch. Zwetes Capitel. chung 2 — A =o eine reelle Wurzel, und die Gleichung 2Z –— B = o ebenfalls: ſo muß auch Z—– C = o eine reelle Wurzel haben, wenn C zwiſchen A und B liegt. Geben alſo die Ausdruͤcke Z — A, Z — B einen einfachen reellen Fak⸗ tor, ſo muß auch dem Ausdrucke 2Z — C, wofern nur C zwiſchen A und B fallt, ein einfacher reeller Faktor zukom⸗ men. §. 34 Wenn der Exponent der hoͤchſten Poteſtaͤt von 2 in einer ganzen Funktion Z eine ungerade Zahl 2zn † 1iſt: ſo hat die Funktion 2 zum wenigſten Einen reellen ein⸗ fachen Faktor. 2 hat in dieſem Falle die Form 22n † 1 4 a22n †. 822n - 1 † 22n — 2 † u. ſ. f. Setzt man nun darin 2 = 0, ſo wird Zz = (O0O) 2 n 1 = O, weil alsdann alle folgende Glieder gegen das erſte gehalten verſchwin⸗ den; und es hat alſo Z — Oo einen einfachen reellen Fak⸗ tor, nemlich ? — 00ο. Setzt man ferner = — 00, ſo wird Z = (— 00) 2n †1 = — ; und es hat daher Z † 0 den einfachen reellen Faktor z † 00ο. Da alſo 2Z – 00 und 2 ¼ 00 einen einfachen reellen Faktor ha⸗ ben, ſo muß auch 2Z † C ein einfacher reeller Faktor zu⸗ kommen, wofern C zwiſchen den Grenzen † οund — ι enthalten, d. h. irgend eine reelle Zahl iſt, ſie mag nun poſitiv oder negativ ſeyn. Setzt man daher C = o, ſo hat auch die Funktion 2 ſelbſt einen einfachen reellen Faktor D 2 — c, und c faͤllt zwiſchen T OO und — 0 und iſt folg⸗ lich entweder eine poſitive oder negative Groͤße oder = o. §. 35. Es hat daher jede ganze Funktion Z, worin der Expo⸗ nent der hoͤchſten Poteſtaͤt von eine ungerade Zahl iſt, entwe teelee De n ſehmme zukomm —e ten =: u De noch ei Funktio hat ſie gehen zahl Hahl; iſt/ ſo line gen ung elle iſo⸗ ck⸗ AC kon⸗ 2 in iſt: ein⸗ 1 darin dann bwi⸗ Fok⸗ Eepo⸗ iſ entt⸗ Von der Umformung der Funktionen. 31 entweder einen, oder drey, oder fuͤnf oder ſieben u. ſ. f. reelle einfache Faktoren. Denn da bewieſen worden iſt, (§. 34.] daß die Funk⸗ tion Z allemal Einen reellen einfachen Faktor 2 — c hat, ſo nehme man an, daß ihr auch außerdem der Faktor 2— d zukomme. Dioidirt man nun die Funktion 2, in welcher die hoͤchſte Poteſtaͤt von 2, 22n †1 iſt, durch das Produkt (2 — c) (z — d) ſo iſt die hoͤchſte Poteſtaͤt des Quotien⸗ ten = zan-=1, und da dient der ungerade Exponentzn — 1 zum Beweiſe, daß die Funktion 2Z außer jenen Faktoren noch einen einfachen reellen Faktor hat. Wenn alſo die Funktion Z mehr als einen reellen einfachen Faktor hat, ſo hat ſie entweder drey, oder, da man auf dieſem Wege fort⸗ gehen kann, fuͤnfe, oder ſieben u. ſ. f. Es iſt alſo die An⸗ zahl der reellen einfachen Faktoren immer eine ungerade Zahl; und da die Zahl aller einfachen Faktoren = 2n†1I iſt, ſo iſt auch hieraus die Anzahl der imaginaͤren Faktoren eine gerade Zahl. *) *) Dieſer Satz kann wegen §. 29. auch auf die Art bemieſen werden, daß man zeigt, daß jede Gleichung, worin der Ex⸗ ponent der hoͤchſten Poteſtuͤt eine ungerade Zahl iſt, alſo jede Gl eichung von der Form X2m + 1 † AXZmM † BXZm-TI † Cxm-2 † . . TP N= O zum wenigſten eine reelle Wurzel, und wenn ſie deren meh⸗ rere hat, ſolche immer in ungerader Anzahl habe. Man ſetze alſo 2m †1 † AXm † BXx2m-I † Cx2m-2 † .. .. † N=y und betrachte die krumme Linie, welche durch dieſe Glei⸗ chung ausgedruckt wird. Hier iſt offenbar, daß zu jeder Ab⸗ ſeiſſe X nicht mehr als eine Applicate y gehoͤrt, und daß, wenn y = o wird, der Werth der Abſeiſſe X eine Wurzel der gegebenen Gleichung iſt. Es wird daher dieſe Gleichung auch ſo viel reelle Wurzeln haben, als es Stellen iet/ wo 7 ver⸗ 32 Erſtes Buch. Zweytes Caditel. y verſchwindet, und weil dies da geſchieht, 0 die krumme iu Linie die Abſeiſſen⸗Linie durchſchneidet, ſo wird die Anzahl enig der reellen Wurzeln der gegebenen Gleichung der Menge der Punkte gleich ſeyn, in welchen die krumme Linie die Axe n l ſchneidet, worauf man die Abſeiſſen nimmt. Um nun die eiinne 9 Menge dieſer Durchſchnitts⸗Punkte zu beſtimmen, ſetze man ren zuvoͤrderſt X = † G0. Alsdann wird y ◻ 2 m † 1 vie = 00, und es liegt daher der Theil der krummen Linie, gerade der zu den unendlich großen poſitiven Abſeiſſen gehoͤrt, uͤber der Axe, weil ſeine Applicaten y poſitiv ſind. Nun ſetze 1 man ferner X = – 00. Dann wird y= (— Ozm = — 0., und es ſind alſo in dieſem Falle die Applicaten d. negativ, und der zugehoͤrige Theil der krummen Linie liegt u unter der Axe. Da nun beyde gedachte Theile der krummen Linie Theile von Einer continuirlichen Linie ſind, weil zu jeder Abeiſſe X nicht mehr als eine Applicate y gehoͤrt: ſo muß dieſe Linie nothwendig die Axe irgendwo ſchneiden, und 2 wenn ſie ſolches in mehrern Punkten thut, ſo muß die An⸗ , zahl dieſer Punkte jederzeit eine ungerade Zahl ſeyn. Hier⸗ 6 aus folgt, daß die gegebene Gleichung zum wenigſten eine 1. reelle Wurzel, und wenn ſie deren mehrere enthaͤlt, ſolche un jederzeit in ungerader Anzahl hat. * Ferner iſt die Anzahl der einfachen reellen Faktoren . einer jeden Funktion Z, worin der Exponent der hoͤchſten . Poreſtaͤt von z eine gerade Zahl 2ꝛn iſt, entweder zwey, 1 oder viere oder ſechs u. ſ. f. “ Denn nimmt man an, daß die Funktion Z, 2 m † 1 eeinfache reelle Faktoren habe: ſo erhaͤlt man, wenn man die Funktion durch das Produkt aller dieſer Faktoren divi⸗ . dirt, einen Quotienten, worin die hoͤchſte Poteſtaͤt von 2 = 22n - z m - 1, und alſo eine Poteſtaͤt mit einem ungera⸗ den Exponenten iſt. Es muß alſo die Funktion 2 außer jenen Faktoren nothwendig noch Einen reellen einfachen Faktor 9 I Von der Umformung der Funktionen. 33 mme n Faktor haben, und die Anzahl aller Faktoren wird alſo zum deoer wenigſten = 2 m † 2, und folglich eine gerade Zahl, und Nte die Anzahl aller imaginaͤren einfachen Faktoren ebenfalls Ne eeine gerade Zahl ſeyn. Es iſt alſo die Anzahl aller imagi⸗ naͤren einfachen Faktoren einer jeden ganzen Funktion, ſo dit wie auch ſchon vorhin [§F. 30] bewieſen worden iſt, eine n gerade Zahl. *) n ſie *) Auch dieſer Satz laͤßt ſich aufel eine der beym vorhergehenden ner §. beruͤhrten aͤhnliche Art, oder ſo beweiſen, daß man eist, lieaten daß die Gleichung e liet . X2 m PAXaMm— 1T †† BX2mNm- 2 † CxZm-— 3 † .. .. N= un entweder gar keine oder eine gerade Anzahl reeller Wur⸗ le zeln hat. Denn ſetzt man ReNH und hetrachtet man die krumme Linie, welche durch dieſe iin⸗ Gleichung ausgedruckt wird: ſo wird y, ſowohl wenn man n d XS= † ο, als wenn man X = — 00 nimmt, = † 00, ſice und es liegt daher nicht nur der Theil der Curve, welcher zu den unendlich großen poſitiven, ſonbern auch der, welcher . zu den n eenlid großen negativen Abſeiſſen gehoͤrt, uͤber der Axe. Es kann daher die durch die gegebene Gleichung aus⸗ gedruckte krumme Linie die Axe gar nicht ſchneiden; aber kioren wienn ſe es irgendwo thut, und dadurch in die Gegend un⸗ ochſten ter der Axe kommt, ſo muß ſie es auch jederzeit noch einmal zuef thun, um dadurch wieder in die Gegend uͤber der Axe zu konmmen. Es giebt daher hier entweder gar keinen oder eine serade Anzahl von Durchſchnitts⸗Punkten, und es hat folg⸗ n *1 lich auch die Gleichung nn mon X 2 † AX2n-f † BxZm- 2 † Cxam- 3 †. .. 4 N0 n i⸗ entweder gar keine oder eine gerade Anzahl reeller Wurzeluln. “ it von (Aſeer Wenn in einer ganzen Funktion 2 der Exponent der Uftcen hoͤchſten Poteſtaͤt von⸗ eine gerade Zahl iſt, und die ab⸗ Flkior Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl.l. H. C ſolute . “ 34 Erſtes Buch. Zweytes Capitel. ſolute oder beſtaͤndige Groͤße das Zeichen — vor ſich hat: . ſo har die Funktion 7 zum wenigſten zwey einfache reelle Faktoren. Eine ſolche Funktion hat dieſe Form: 22 n †T† « 2n - I †. 8z 2n - 2 P TrZ — A. Setzt man nun 72 = 0 ſo wird [S. 341 Z = 0, und ſetzt man z = o, ſo wird 2 = — A. Es hat alſo Z — O0o den einfachen reellen Faktor z — 0°, und 2 † A den einfachen reellen Faktor z — o; und da nun o zwiſchen die Grenzen — π und † A faͤllt, ſo muß auch 2 † o den einfachen reellen Faktor 2 — e haben, wo⸗ bey c zwiſchen o und O enthalten iſt. Setzt man nun fer⸗ ner 2 = — 0ö, ſo wird Z= O.ο; und da alsdann Z — den Faktor 2 † O., und Z † A den Faktor 2 † o hat: muß Z † o auch einen einfachen reellen Faktor 2 † d haben, wobey d zwiſchen o und Oo faͤllt, und daraus iſt das zu Beweiſende klar. Wenn alſo Z eine Funktion von der be⸗ ſchriebenen Art iſt, ſo muß die Gleichung ?Z = o zum we⸗ nigſten zwey reelle Wurzeln, eine poſitive und eine negative, haben. So hat z. B. die Gleichung 24 † 423 † 622 † „2 — aàa àa = o zwey reelle Wurzeln, und die eine davon iſt poſitiv und die andere negativ. *) „ Vermittelſt einer geometriſchen Conſtruetion kann man ſich von dieſem Satze auf folgende leichte Art uͤberzeugen. Man ſetze X2 in † AXZMm-TI † BxX2 m - 2 † Cxzm-z P. ...— 00 = y ſo erſtreckt ſich die Curve, welche durch dieſe Gleichung aus⸗ gedruckt wird, nach der Anmeikung zum vorhergehenden §. auf beyden Seiten uͤber der Axe ins Unendliche. Setzt man nun X = O, ſo wird y„= — ◻0, und der Punkt der Curve, der zu = „ gehört, liegt alſo unter der Axe, und es muß daher die Curve, um ſich von dieſem Punkte auf gedachten beyden Seiten uͤber der Axe continuirlich ins Unendliche erſtrecken in können, auch auf beyden Seiten dieſes — 0., 1, wo⸗ un fer⸗ — O Mn. ſ⸗ ſt das der be⸗ im we⸗ gend, u hapon it wan ſh harelgen 00 =), n us enden . ent man akt der der Ar/ nm Puoke tich ins dieſes , Von der Umformung der Funktionen. 35 dieſes Punktes die Axe ſchneiden, um in die Gegend uͤber ihr zu kommen. Da nun jeder Durchſchnitts⸗Punkt eine reelle Wurzel der gegebenen Gleichung giebt, und von den gefun⸗ denen zwey Durchſchnitts⸗Punkten der eine zu einer poſiti⸗ ven und der andere zu einer negativen Abſciſſe fuͤhrt, ſo iſt klar, daß die gegebene Gleichung zum wenigſten zwey reelle Wurzeln, eine politive und eine negative hat. Dieſer Beweis, ſo wie auch die in den Anmerkungen zu den beyden vorhergehenden §§. enthaltenen, ſind aus Eu⸗ lers beym 3 2ſten d. angefuͤhrten Recherches ſur les raci- nes imaginaires des équations entlehnt. * 7 §. 38. Wenn die veraͤnderliche Groͤße? in einer gebrochenen Junktion eben ſo viel oder noch mehr Dimenſionen im Zaͤhler als im Nenner hat: ſo laͤßt ſich die Funktion in zwey Theile aufloͤſen, davon der eine eine ganze, der an⸗ dere aber eine gebrochene Funkrion iſt, wo die veraͤnder⸗— liche Groͤße z im Zaͤhler weniger Dimenſionen hat als im Nenner. Denn wenn der Epponent der hoͤchſten Poteſtaͤt von 2 im Zaͤhler groͤßer iſt als im Nenner, ſo darf man nur den Zaͤhler auf die gewoͤhnliche Art durch den Nenner dividiren, und die Diviſion abbrechen, wenn bey der Fortſetzung der⸗ ſelben in den Quotienten negative Exponenten von z kom⸗ men wuͤrden. Der ſo gefundene Quotient beſteht aus ei⸗ nem ganzen und einem gebrochenen Theile, der Zaͤhler des letztern enthaͤlt z mit weniger Dimenſionen a ls der Renner, und beyde Theile ſind zuſammengenommen der gegebenen Funktion gleich. Waͤre z. B. die gebrochene Funktion C 2 1 36 Erſtes Buch. Zweytes Capitel. tn -gegeben, ſo loͤſete man n dieſelbe durch die Diviſion auf folgende Art auf: 22 † 1 und es iſt folglich I1 † 24 2 Man kann ſolche gebrochene Funktionen, in welchen die ver⸗ aͤnderliche Groͤße z im Zaͤhler mehr Dimenſionen hat als im Nenner, nach dem Beyſpiele der Arithmetik, welche die Bruͤche in unaͤchte und aͤchte theilt, entweder ebenfalls un⸗ aͤchte Bruͤche oder unaͤchte gebrochene Funktionen nennen, und ſie dadurch von den aͤchten gebrochenen Funktionen oder ſolchen unterſcheiden, wo die veraͤnderliche Groͤße im Zaͤhler weniger Dimenſionen hat als im Renner. Es kann alſo jede unaͤchte gebrochene Funktion in eine ganze und in eine aͤchte gebrochene Funktion aufgeloͤſet werden, und dieſe Aufloͤſung geſchieht auf dem Wege der gemeinen Diviſion. . 39. Wenn der Nenner einer gebrochenen Funktion ein Pro⸗ dukt aus zwey Jaktoren iſt, die keinen gemeinſchaftlichen Dwiſor haben: ſo kan man dieſe Funktion in zwey Bruͤche auflo ſen, deren Nenner jenen beyden Jaktoren gleich ſind. Ungeachtet dieſe Aufloͤſung eben ſo wohl bey den un⸗ aͤchten als bey den aͤchten gebrochenen Funktionen ſtatt fin⸗ det; ſo haben wir doch dieſelbe vorzuͤglich bey den aͤchten gebro⸗ ) „ . = gihroche Nenner geneinſc ſebſt in deln, de nen Fun⸗ gebroche⸗ gufloſung hochdeuti E ſey alſo gegeben. Prodokte ſich die 1422 hat. Un Brihe n Nung, wor undy/† 1—22 13 irt man eSumune 3 — 2 8 7 27 11. Da nun d hegen geb Zahler de bekann biſion a die der⸗ en hat a gSe welche die fals u. Dnennen, nktionen Glche in Es kann e und in und dieſe 1 Dbiſds. neinpro⸗ flichen Bruͤche chſind. den un⸗ ſott in aͤchten gebro⸗ Von der Umformung der Funktionen. 37 gebrochenen Funktionen zu betrachten. Zerfaͤllt man aber den Nenner einer ſolchen Funktion in zwey Faktoren, die keinen gemeinſchaftlichen Dioiſor haben, ſo laͤßt ſich die Funktion ſelbſt in zwey andere aͤchte gebrochene Funktionen verwan⸗ deln, deren Renner den Faktoren des Renners der gegebe⸗ nen Funktion gleich ſind. Ueberdies giebt es bey den aͤchten gebrochenen Funktionen nicht mehr als Einen Weg, dieſe Aufloͤſung zu verrichten; wovon man ſich durch ein Beyſpiel noch deutlicher als durch allgemeine Schluͤſſe uͤberzeugen kann. Es ſey alſo die gebrochene Funktion —2 322 — 42 1 † 424 gegeben. Da der Nenner dieſer Funktion 1 † 424 dem Produkte (I1 † 22 † 222) (I — 22 † 222) gleich iſt: ſo laͤßt ſich die Funktion in zwey Bruͤche aufloͤſen, davon der eine 1 † 22 † 222, und der andere 1 — 22 † 222 zum Nenner hat. Um dieſe Bruͤche zu finden, ſetze man, da ſie aͤchte Bruͤche ſind, die Zaͤhler derſelben, und zwar in der Ord⸗ nung, worin die Nenner angefuͤhrt worden ſind, = † s2, und „ † 2. Alsdann iſt G I1 — 22 † 322–— 423 † 62 „ † °G2 1 †T† 424 TT221222 1— 22†222 Addirt man nun dieſe beyden Bruͤche, ſo erhaͤlt man fuͤr die Summe zum Zaͤhler und zum Nenner „— 2 42 T† 2 &22 † — 28z2 † 282 3 1 † 42⁴ 7„ † 272 † 2722 † 72 † 2 22 † 223 Da nun der Nenner dieſer Summe dem Nenner der gege⸗ benen gebrochenen Funktion gleich iſt, ſo muͤſſen auch die Zaͤhler von beyden gleich werden; und da es hier eben ſo viel unbekannte Groͤßen giebt, als Glieder, die einander gleich C 3z“ geſetzt 38 4 Erſtes Buch. Zweytes Capi el. geſetzt werden muͤſſen, ſo kann ſolches allerdings, aber auch nur auf eine einzige Art geſchehen. Man erhaͤlt nemlich die vier Gleichungen 1I. „ † 7 = I 2.— 2 ℳ † S † 2 7% † ⁹ = — 2 3. 22 2 6† 2, 2 à = 3, und 4. 28 † 2 2° — 4; und da „ † „= I, und 8 † = — 2 iſt, ſo geben die zweyte und dritte Gleichung (wenn man — 2 ſtatt £ † à in die zweyte, und 2 ſtatt 2 4½ † 27 in die dritte Gleichung bringt,) — So, und à5 – Er= ½. Hieraus aber wird ⸗= ½; 7 = ; 6 = 4; ⁸° 22¾, und folglich die gegebene gebrochene 1 — 22 P 322 — 423 . Funktion — 424 — gleich folgenden beyden 2 — &£ Z — 4 Z . . .V . 1IT22†2 72 1—2272 7. Es iſt leicht einzuſehen, daß dieſe Aufloͤſung allemal muͤſſe ſe angeſtellt werden koͤnnen, weil allemal ſo viel unbekannte Groͤßen angenommen werden, als erforderlich ſind, um den Zaͤhler zu entwickeln. Wenn aber die gedachten Faktor en des Rennners der gegebenen Funktion keine Prim⸗Groͤßen zu einander ſind, oder einen gemeinſchaftlichen Diviſor haben: ſo laͤßt ſich aus dem, was in der gemeinen Arithmetik von den Bruͤchen ge⸗ lehret wird, einſehen, daß eine ſolche Auffloͤſung nicht ſtatt ſindet. *) . “ Was Euler hier geſagt hat, kann allerdings hinreichen; 4 “D habe ich, da es vielleicht manchem nicht unange⸗ nehm iſt, dieſen Gegenſtand ganz allgemein behandelt zu iaen, das⸗ in dieſer Räckcht Nöͤthige im Anhange bey⸗ gebracht. — — — — viel ei den, g oktor fida hr uch ich deyte n die ingt) n, o; 1,Wl verden, Wenn ebenen Een 18 den, chen ge⸗ nigt ichen; unange⸗ dele u e ey⸗ ct. Von der Umformung der Funktionen. 39 gebracht. Man findet es daſelbſt unter der zweyten Num⸗ mer, unter dem Titel: Zuſatz zu §. 39. §. 40. Es kann daher eine jede gebrochene Funktion in ſo A— . viel einfache BGruͤche von der Form — aufgeloͤſet wer⸗ 42 den, als der Nenner N einfache und einander ungleiche Faktoren hat. . u Es ſtellt dieſer Bruch eine jede aͤchte gebrochene Funk⸗ tion vor, ſo daß M und N ganze Funktionen von ſind, und die hoͤchſte Poteſtaͤt von z in M niedriger iſt als in N. Wird nun der Nenner N in ſeine einfachen Faktoren zer⸗ faͤllt, und ſind diefelben einander ungleich: ſo kann die Funk⸗ . B .. . . tion in ſo viel Bruͤche aufgeloͤſet werden, als N einfache Faktoren enthaͤlt; weil ein jeder Faktor der Nenner eines ſolchen Partial⸗Bruchs wird. Iſt daher p — q? ein Faktor von N, ſo iſt er auch der Nenner eines der Partial Bruͤche M von ; und da 2 in dem Zaͤhler dieſes Bruchs weniger Di⸗ menſionen haben muß, als in dem Nenner, ſo muß daher der Zaͤhler nothwendiger Weiſe eine beſtaͤndige Groͤße ſeyn. Es erwaͤchſt alſo aus jedem einfachen Faktor p — q? des 6* Nenners N ein einfacher Bruch von der Form und die Summe aller dieſer Bruͤche iſt der gegebenen ge⸗ . brochenen Sunktion F — gleich, C 4 Exempel. chem nachher [§. 42. f.]ã geredet werden ſoll. 40 Erſtes Buch. Zwepytes Capitel. Exempe 4 I † Es ſey die Funktion —, gegeben. Da hier die ein⸗ fachen Faktoren des Renners, 2, 1 — 2, 1 † 2, ſind, ſo laͤßt . A B ſich dieſe Funktion in die drey einfachen Bruͤche † t 0 = ⸗ aufloͤſen, wo die beſtaͤndigen Zaͤhler A, 12 2 – 2 3 B und C zu beſtimmen ſind. Bringt man dieſe Bruͤche auf einen gemeinſchaftlichen Renner, der 2 — 23 iſt: ſo muß die Summe ihrer Zaͤhler = 1 † 22 ſeyn; und daher ent⸗ ſteht die Gleichung A † B z — AZ2] P Cz † Bzz = I† PZz — CzZ2 72 und aus dieſer Gleichung ergeben ſich wieder eben ſo viel andere, als man unbekannte Groͤßen i in A, B, und C hat. Es iſt nemlich I. A = I 2 B † C= O 3. — A † B – C= I. Hieraus ergiebt ſich ß — C( = 2; A =I; B = 1; C = — 1; I . Z Z , , I 1I I —— iſt alſo gleich — — — — — und die Funktion⸗ 3 iſt alſo gleich 21: — T:. Daß man auf eine aͤhnliche Art bey einer jeden Anzahl von einfachen und einander ungleichen Faktoren in N verfah⸗ M. 4 4 . * „ ren, und den Bruch jedesmal in eben ſo viel einfache Bruͤche aufloͤſen koͤnne, als N einfache Faktoren enthaͤlt, laͤßt ſich leicht begreifen: wenn aber einige dieſer Faktoren ein⸗ ander gleich ſind, ſo iſt ein anderer Weg noͤthig, von wel⸗ §. 41. Vruch V tion. I 2 eine⸗ i — 1—2 er 4, he auf d wuß r end⸗ jſo biel hot. -— 1 hl t helfoh⸗ inface. en ein⸗ n we⸗ . 4l. Von der Umformung der Funktionen. 41 — § 4r. Da alſo ein jeder einfacher Faktor des Menners N einen einfachen Bruch zur Aufloͤſung der Funk⸗ . M . . . B “ , tion N an die Hand giebt: ſo fraͤgt ſich, wie man, wenn man einen einfachen Faktor des Nenners N kennt, den dggzu gehoͤrigen einfachen Bruch findet? Es ſey p — qz ein einfacher Faktor von N, ſo daß = (p— q2) s, und § eine ganze Funktion von z ſey. Sett man nun den Bruch, der aus dem Faktor P — dq? A erwaͤchſt, = — — a und den Sr⸗ der aus dem andern Faktor des Nenners S entſpringt = „ſo daß nach 6. 39. M A P M M — A 5 = — — I 5= ſo iſ — N p--—-dqz 8 — q2) 8 (Pp — q2) S wo nothwendig M — 45 durch bp — q2 theübar ſeyn muß, weil die ganze Funktion P dem daher ſich ergebenden Quo⸗ tienten gleich iſt. Setzt man alſo 2 = und zwar auch in * ⁹ 4 M M und in 8, ſo wird M -— AS „ folglich A = – u. auf A dieſe Arti ſſt alſo der Zaͤhler A des B ruchs — „ gefunden. Macht man aus einem jeden einfachen Sattor des Nenners N, orgusgeſetzt, daß keine darunter gleich ſind, dergleichen Bruͤche, ſo iſt die Summe derſelben der gegebenen Sunk⸗ tion N gleich. H Exempel. Wenn man z. B. in dem vorhergehenden Exempel n⸗ wo M = 1 † 22, und N = 2 — 2 3 iſt, a als ei⸗ 2 – 23 C „ nen 4² Erſtes Buch. Zweytes Capitel. nen einfachen Faktor annitume⸗ ſo iſt 8 = I – 22, und der Zaͤhler des einfachen Bruchs — , den an die Gand giebt, 2 1, wenn man 2 = 0 ſetz; und dieſen Werth erhaͤlt man dadurch,daß man den einfachen Faktor, der hier ſelbſt? iſt, = o ſetzt. Eben ſo wird, wenn man den einfachen Faktor des NRenners 1 — 2 nimmt, wodurch 1 † 2 S= 2 † 22 wird, A = ii I1 –— 2,= o: alſo A= I, und d der e Bruch, der aus dem Faktor 1 — 2 entſpringt, = — Der dritte Faktor 1† 2 endlich giebt, da dadurch 8S=r=2 2, und A = fuͤr 1 †2 , oder 2 = — I, wird, A = — I, und den einfachen Bruch ⸗ =— . Man findet alſo auf neſem Wege eben ſo wie nerhi [9§. 40.] In⸗ — §. 42. Eine gebrochene Sunktion von der SForm — in — q H welcher die hoͤchſte Poteſtaͤt von 2 in dem Zaͤhler P eine niedrigere Poteſtaͤt iſt „als die hoͤchſte Poteſtaͤt eben die⸗ ſer z in dem Nenner (— q2) In, kann in Partial⸗ Pruͤche pon der Form (b— qzl 1 (P— q2)u- 1 1 (P — 2)a-2 — K „ . r — — verwandelt werden, deren Zaͤhler ins⸗ geſammt beſtandige Groͤßen ſind. . Da Von Da die niedrigere lo P die 4 wo die An ler der S man dieſe — den „D — 723 †,: die hoͤchſt ſch z2n-1, kannte Ge⸗ (liieder glen gen Groͤßen ſeaͤcte ge – — Wir 1— n Bnman we — gr Pertigl. ſolgende E i den, wie ſochen SSõ Von der Umformung der Funktionen. 43 ndder Daea die hoͤchſte Poteſtaͤt von z in dem Zaͤhler P eine niedrigere Poteſtaͤt als 2n iſt, ſo muß ſie 2n-T ſeyn, und alſo ?P die Form haben: dieſen . aT S8Z † Y22 † °ο23 † . . . P K zn- T, 1 wo die Anzahl aller Glieder en, und außerdem P dem Zaͤh⸗ tr de ler der Summe aller gedachten Partial⸗Bruͤche, nachdem non den man dieſelben zuvor auf den gemeinſchaftlichen Renner vodurch (P — q?)n gebracht hat, oder A † B ( — q2) † C(p- q2)= E DCP-- d T.. . . . WCP- qe) T= =&*†v*aαu*αι½ 5723 † . . . . . . E 2n=I iſt. In dieſer Gleichung iſt aber õ die hoͤchſte Poteſtaͤt von z auf beyden Seiten dieſelbe, nem⸗ r lich 22-1, und uͤberdies hat man darin eben ſo viel unbe⸗ S—I, kannte Groͤß zen A, B, C, D. .K (in allen n) als man Gllieder gleich ſetzen muß. Man kann daher die beſtaͤndi⸗ gen Groͤßen A, B, C u. ſ. w. auf die Art beſtimmen, daß P A . die aͤchte gebrochene Funktion — — = — 1 B 0 bp . * (5 — q?*) 1 (P — q2)n- 2 1 (p— q?2) n- 3 K Pg wird; und die ſogleich folgenden §. §. werden dieſe Beſtimmung auf eine ſehr leichte Art verrichten lehren. wenn der Nenner der gebrochenen Funktion N . en di⸗ (p — q2)2² 2 zum einfachen Faktor hat, ſo laſſen ſi ſich die biche Partial⸗ Bruͤche/ die aus dieſem Faktor enſpringen, auf V 4 folgende Art finden. Es iſt in dem Vorhergehenden 5§. 40. 41. gezeigt wor⸗ hler ins⸗ den, wie man die Partial⸗Bruͤche findet, die aus den ein⸗ fachen Faktoren des Renners entſpringen, wenn alle dieſe Fakto⸗ Da 44 Erſtes Buch. Zweytes Capitel. Faktoren ungleich ſind; jetzt nehme man an, daß zwey von dieſen Faktoren gleich ſeyen, oder man betrachte ( — qz)2 als einen Faktor des Nenners N. Aus dieſem Faktor ent⸗ ſpringen nach dem vorhergehenden 5§. die Partial⸗Bruͤche . Nun ſey N = (p – q?)28, c 3 † p – qz ſey (p 42) 5 wird l M A B 1† † N (p-— q 2)28 o — 3 2)2 5=— a; P P = wenn — Salle die einfachen Brüche zuſammengenommen bedeutet, die aus den Faͤktor s des Nenners N ent⸗ H M — A 8 — B (P — q 2) ſpringen. Dann iſt „ — 2)2 und P= — * ee 28. = einer ganzen Funktion, und M — A S — B (p — q2) S durch (p –— q2) 2 theilbar. Es ſey zuvoͤrderſt durch p— qz theilbar, ſo wird der ganze Ausdruck M — AS—B (p—– q 2) S verſchwinden, wenn man p — q⸗ = o, oder 2 = HM ſegt. Setzt man alſo allent⸗ halben anſtatt 2, ſo wird M — AS= o, und folglich M A = 5 oder es giebt der Bruch X, wenn man darin allenthalben anſttt 2 ſetzt, den Werth der beſtaͤndigen Groͤße A. Hat man dieſen gefunden, ſo iſt nun auch die Groͤße M — A S8 — B (? — 42) durch ( — q 2) 2, oder M — A S P— 42 M — As allenthalben 2 = b., ſo wird — — = B8, und foſg⸗ 4“ ſ⸗ — 42 „u . lich — Bs durch p — qz theilbar. Setzt man alſo lich B = iſt, dieſe Theilung vor der Subſtitution von Von der Umformung der Funktionen. 45 M A — 2)8 p-— qz S bemerken iſt, daß man, da M — AS durch p— qz theilbar 4 ): wo aber zu uͤr z an R 2 M — A8 . ſtellen muß. Oder man ſetze — 42 = T, ſo wird B= — wenn man 2= Lannimmt. Hat man nun die Zaͤhler A und 94 B gefunden, ſo ſind die Partial⸗Bruͤche, die aus dem Faktor (5 — q2) 2 des Renners N entſpringen, B — — P— 2 A (P — q2)2 1 Erſtes Exempel. — 22 Es ſey die Funktion . gegeben. Da hier das 2 (1I † 22) Quadrat 22 ein Faktor des Nenners iſt, ſo iſt 8 = I † 22, und M = I — 22. Rennt man nun die aus entſprin⸗ — ꝑ2 gende Partial⸗Bruͤche † , ſo wird A = = wenn der Faktor 2 =o geſetzt wird; folglich A= I. Ferner iſt nun M — A 8S = – 222, welches, durch den einfachen Fak⸗ tor 2 dividirt, I= — 22 giebt; und hieraus ergiebt ſich B = — — „wenn man⸗ =So ſetzt. Es iſt daher 8. I T† 2z2 B=o, und es entſpringt folglich aus dem Faktor des Nen⸗ ners 22 bloß dieſer eine Partial⸗Bruch —N Zwertes 46 Errſtes Buch. Zweytes Capitel. weytes Exempel. die gebrochene — - Es ſey ie gebroch Funktion gege⸗ ben. Da hier das Quadrat (1 — 2) 2 ein Faktor des Ren⸗ A ners iſt, ſo kann man die Partial⸗Bruͤche = = 4 B Kor. 1 . — ſetzen. Ferner iſt M = 23, und 8 = 1 † 24; M felstchA= — = – —, fuͤr 1 — 2 = o, oder 2 = 1; 8 I † 24 alſo A = ½. Hieraus ergiebt ſich weiter M — A 8 = 23— 2 — 2 — — ²¾ † 23 — 324, welches, durch P-⸗ divi⸗ .D T dirt, 1=— 2— f= — à: †P ¾23, und alſo B = = — —, 22121 2 † 224 . . E ⸗ 1I — ¾, und die geſuchten Partial⸗Bruͤche ſind — — 2 (I — 2)2 1 — ——— ⁹ Wenn der Nenner N der gebrochenen Sunktion den Jaktor (p — q2) 3 hat: ſo findet man die aus dieſem A Faktor entſpringenden Partial⸗ ⸗Bruͤche . 5 † — q2)3 B C — — auf folgende Art. Marn ſetze N = (p — q2) 38, und den Bruch, der aus dem Faktor § entſpringt, = 5F/ ſo iſt P == M — A 8 — B (p — q 2)8 — C (P — q 2)2 q7)5 8 = einer gan⸗ zen fuͤrz = 1, giebt. Es iſt alſo B = 9 3 undſ A- den durch woß pen 4, 9 Von der Umformung der Funktionen. 47 zen Funktion. Hier muß zuodoͤrderſt der Zaͤhler M — AS — B (p — q2) S — C(p — q2, 28 durch p — q ? theilbar ſeyn; und ſetzt man daher p — q 2= o, oder 2 = ſo wird M — AS — B (9 — q2) § — C (9 — q2) 28 = o, und M — A S = o, und folglich A = S für 2 = 1. Hat man auf dieſe Weiſe A gefunden, ſo iſt M — AS durch! Pp — q2, M — AS und wenn man :⸗ = 1 ſetzt, V — BS — C( — q2)S noch durch (p — q2)2 theilbar. Nimmt man daher p — q2 = o, ſo wird I — B 8 — C(p — q 2) S = o, und D T B= 5,/ fuͤr 2 = . Iſt auf dieſem Wege auch B gefun⸗ S T — BS den worden, ſo ſetze man : = V; wo alſo V — C S durch q — pz theilbar, und daher V — CS = o werden muß, wenn man p — q2 = o ſetzt. Es iſt daher c= -— — wenn man 2 = U nimmt; und kennt man nun die Zaͤhler A, B und C, ſo ſind die Partial⸗Bruͤche, die aus dem Fak⸗ A tor (p — q 2) 3 des Nenners N entſpringen, — – †⁊† CP q 2) 9 B 2 Exempel. 272 Es ſey die gebrochene Funktion A 27 ge⸗ geben, und die Partial⸗ Bruͤche, die aus dem cubiſchen Haktor (1 — 2) des Renners derſelben entſpringen, ſeyen – F 8B 48 Errſtes Buch. Zwweytes Capitel. 1-. Alsdann iſt M = 22, unds = = 1 4 22; (1 — 2)2 und daraus ergiebt ſich zuvoͤrderſt A = fuͤr 1 — 2 =o, oder 2= 1; alſo A = f. Ferner iſt nun hieraus und aus M=—AS 222 — ¾ T = „ L = = — *¾ — 12; und daher 1 — 2 1—2 — ½ s B = fuͤr 2 = 1, folglich ß = — 4. Endlich iſt V = — TYIAS - 22 f « ꝛ2 — — — = — = — ¾; I — 2Z I — 2 I — 2 — V — folglich c = 5 = 2, „für 2 = I, alſo c = — kg. Es ſind daher die Partial⸗Bruͤche, die aus dem Faktor cc — 2)2 1 1 des Nenners entſpringen, I 4 (I1 — 2).½ §F. 45. wWenn der Nenner N der gebrochenen Funktion den Faktor (5 — q 2) 2 hat: ſo findet man die daraus ent⸗ A ringenden Partigl⸗Bruͤche — — ——— † „ *° * * —, auf fols ende Art. (pP— qz) n 2 b — 2 9 Man ſetze den Nenner N = (5 — ) Zn 2, und ſchließe wie vorhin. Auf dieſe Art findet man M=AZ X. A= Z. n, füͤr⸗ =, und wenn man nun P= a ſetzt, 1 Pp = P. und wenn man nun Q = Sſe etzt, P . 2. B= 2, fuͤr? = Sg † a-1 ½ 4 D5 5§ E. Beſin durche des Re 1 oy= 1s ent⸗ Von der Umformung der Funktionen. 49 1 „ ⏑. .— ◻— CZ 3. Cc= 7Z fuͤr⸗ =. und wenn man nun R= b— : ſetzt, R e P R — DZ .D = ,fuͤr 2 = —, und wenn man nun S8 = — –— ſetzt 4. D Zf HS p — qz ſent, 5. E = ör⸗= Tu. ſ. w. Beſtimmt man aber hiernach alle einzelne Zaͤhler, oder die beſtaͤndigen Groͤßen A, B, C, D, E u. ſ. w. ſo werden da⸗ durch auch die Partial⸗ Bruͤche, die aus dem Faktor (p-= —42N des Nenners N entſpringen, gefunden. Exempel. 1 Es ſey die gebrochene Funktion⸗ . Pgegeben, und die Partial⸗Bruͤche, die aus dem Faktor 25 des Nenners H A BE C D E entſpringen, ſeyen „ † 727 5 † 2 † . Sollen nun nun die beſtaͤndigen Zaͤhler dieſer Bruͤche gefunden werden, ſo iſt M= I † 22; 7= 1 23; und S=o. Man rechne daher auf folgende Art. M 1I Zuvoͤrderſt iſt hier A = 2 122 folglich iſt A = I. M — AZ 22 — 23 Nun ſetze man b = — = = 2 — 22; 2 2 . d B = P 2 — 22 . l ſo iſt zum andern B = Z = TI= fuͤr z = o; folg⸗ lich iſt B = o. P — BZ 2 — 22 Ferner ſetze man Q = — — = = = 1— 2; ſo . Q 1—2 e , „ iſt drittene C= 7Z= D5 fur: =o; folglich iſt C=I. Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. I. G. D Wei⸗ — . 50 Erſtes uch⸗ Zwentes Capitel. Q=— cZ — 2 — 23 I Weiter ſetze man R = 2 2 . . . R — 1 — 2 2Z — I –— 22; ſo iſt viertens D =— — — — — uͤr 2 = o; folglich iſt O = — 1. endli R – D Z — 23 Endlich ſetze man 8 = = — 1 2 = 72. . Z . 8 — 2 † 22 . 2 1 22; ſö iſ fünftene E= z e 1, fuͤr 2 I T† 23 2 = o; folglich iſt = o. Es ſind daher die geſucten Bruͤche, — † — † 5 I 12 —2= 2 §. 46. a. Wenn daͤher irgend eine gebrochene rationale Funk⸗ . M . 2 . » . C „1 * . tion X in ſummirende Theile aufgeloͤſet, und auf die ein⸗ fachſte Art ausgedruckt werden ſoll: ſo kann ſolches auf folgende Weiſe geſchehen. Man ſucht alle einfache Faktoren des Renners N, ſie moͤgen nun reell oder imaginaͤr ſeyn; nimmt von denen, die nicht mehr als einmal vorkommen, einen jeden beſon⸗ ders, und entwickelt nach §. 41. den aus ihm entſpringen⸗ den Partial⸗Bruch. Kommt ein oder der andere Faktor mehr als einmal vor, ſo ſucht man das Produkt aller ein⸗ ander gleichen Faktoren, welches die Form ( — qz)n ha⸗ ben wird, und entwickelt die dazu gehoͤrigen Partial⸗Bruͤche, nach § 45. Hat man auf dieſe Art aus den einzelnen ein⸗ fachen Faktoren des Nenners die daraus entſpringenden Partial⸗Bruͤche gefunden: ſo iſt das Aggregat derſelben der gege ſehebe gebroc außer ſenen der F ſelt v. detung rͤche us der Partia Nhe⸗ nehm ſorgf 1I — 1II — — 2 I — — — Junki ie ein⸗ guf n deren, beſon imen⸗ aktor r ein⸗ ha⸗ ruͤche, n ein⸗ enden n der ege Partial⸗Bruch = FT Von der Umformung der Funktionen. z1 . M 27 ””s gegebenen Funktion N gleich, wofern ſie nicht eine unaͤchte gebrochene Funktion iſt. Denn iſt ſie dies, ſo muß noch außerdem die ganze Funktion von ihr abgeſondert und zu jenen Partial⸗Bruͤchen hinzugeſetzt werden, wenn der Werth der Funktion N auf die einfachſte Art ausgedruckt, darge⸗ ſtellt werden ſoll. Es iſt indeß gleich, ob man dieſe Abſon⸗ derung der ganzen Funktion vor der Findung der Partial⸗ Bruͤche oder nach derſelben vornimmt. Denn man erhaͤlt aus den einzelnen Faktoren des Renners N eben dieſelben Partial⸗Bruͤche, man mag den Zaͤhler M ſelbſt oder dieſen Zaͤhler um ein Vielfaches von N vermehrt oder vermindert nehmen; ſo wie ſolches, wenn man die erklaͤrten Regeln ſorgfaͤltig uͤberdenkt, bald in die Augen faͤllt. Exempel. ll z. B. der th de i Soll z Werth der Funktion 3 , c12) auf die einfachſte Art ausgedruckt werden; ſo nehme man zuerſt den nur cinmal vorkommenden Faktor 1 † 2, wel⸗ cher E = — I giebt. Nun iſt hier M= I, und 2 =23— 224 † 25. Man hat alſo, um den Bruch 11 zu finden, I 23 — 224 † 2 5 . wenn . folglich iſt A = — ¼, und der aus 1 † 2 entſpringende . . 2 = — 1I geſetzt wird; und Hierauf nehme man den qua⸗ dratiſchen Faktor (1 — 2)2 „ der P. = 1 „ M= I, und 4 2 = 23 † 24 giebt. Setzt man alſo die daraus entſprin⸗ M D 2 genden 1 52 Erſtes Buch. Zweytes Capitel. ꝛc. * „ E W A genden Partial⸗Bruͤche = (1— 2)2à —— 2 „wenn man 2 = I annimmt; und folglich . 1 23 † 24 M — 4 7Z 1 — 223 — 2ö24 = 3. Run ſey = —= = — — P I † 2 T† 2 2 T £23 rt⸗ tarisas: ſ iſt = , = 55 T24 wenn m an 2 = I ſetzt; folglich B = 4, und die geſuchten Par⸗ 2 — = . dli tial Bruͤche = = † Endlich giebt der dritte cubiſche Fakior 23 den Quotienten o, M= I, und Z = I — 2 — 22 † 23 Sid man n daher die dazu gehoͤrigen Partigl. Bruͤche 5 P = 1 3; ſo iſt zuvoͤrderſt A = A= Frwre f folglich 2 1 — 2 — 22 † 2 — = 1. Nun ſey ?b = —.— = 1 2 — 22; ſo iſt B = S wenn man?z = o nimmt, und alſo B = I. Fer⸗ ner ſey Q = — = 2 –— 2²2; ſo wird C = 2 wenn man 2 = o ſetzt; ſolglich C = 2. Es erhaͤlt alſo die gege⸗ bene Funktion — — orm: —– † bene Funktion — . ⸗ ⸗ dieſe F k — † 21 2 kommt hierzu kein ganzer Theil, weil die gegebene Funk⸗ tion keine unaͤchte Funktion iſt. Drittes 4 —; ſo wird denn es V eine ne n egec durch! Werth der W. ſeinen Nimmt aher ehe ſusdeue Na erande wird Drittes Capitel. Von der Verwandlung der Funktionen durch Subſtitution. §. 46. b. (Wann y irgend eine Funktion von 2 iſt, und 2 durch eine neue veraͤnderliche Groͤße * beſtimmt wird, ſot⸗ kann auch y durch beſtimmt werden. Durch die Einfuͤhrung einer ſolchen neuen veraͤnderlichen Groͤße « kann man daher, wenn y eine Fenktien von ? iſt, ſowohl y als z beſtimmen. Iſt z. B. y = , ſo wird, TI — æ wenn man 2 = 11 ſetzt, und dieſen Werih von 2 in — — anſtatt⸗ bringt, y»= — Setzt man daher I +T 2z2 irgend einen beſtimmten Werth fuͤr x, ſo findet man da⸗ durch nicht nur fuͤr 2, ſondern auch fuͤr y einen beſtimmten Werth; und der Werth, den man fuͤr y erhaͤlt, iſt zugleich der Werth, welchen y durch z bekommt, wenn man dafuͤr ſeinen auf dieſem Wege gefundenen beſtimmten Werth ſetzt Nimmt man z. B. x = ½, ſo wird 2z = ¼, und y = ⁹¾; aber eben dieſen Werth erhaͤlt y auch, wenn man in dem Ausdrucke, S= dem y gleich iſt, z = . ſetzt. Man bedient ſich aber dieſer Einfuͤhrung einer neuen veranderlichen Groͤße in einer doppelten Abſicht. Denn D 3 einmal 54 Erſtes Buch. Drittes Capitel. einmal ſchafft man dadurch die Irrationalitaͤt weg, wenn ſich dergleichen in dem Ausdrucke, worin y durch 2z beſtimmt wird, befindet; und zweytens kann man, wenn das Ver⸗ haͤltniß zwiſchen y und z in einer Gleichung von einem ſo hohen Grade gegeben wird, daß man daraus keine ent⸗ wickelte y gleiche Funktion von 2 abzuleiten im Stande iſt, durch die Einfuͤhrung einer andern veraͤnderlichen Groͤße X aus der gegebenen eine andre Gleichung machen, aus wel⸗ cher ſich y und z bequem ſinden laſſen. Schon hieraus er⸗ hellet der außerordentliche Rutzen dieſer Subſtitution; es wird aber derſelbe durch das Folgende noch viel deutlicher dargeſtellt werden. –— K. 47. Wenn y = V(a † bz); ſo findet man die neue ver⸗ aͤnderliche Groͤße X, wodurch ſowohl 2 als y rational ausgedruckt werden kann, auf folgende Art. Da ſowohl? als y eine rationale Funktion von x wer⸗ den ſoll; ſo ſetze man VIa † bz) = bxæ; wobehy leicht ein⸗ zuſehen iſt „daß man dadurch ſeine Abſicht erhalten werde. Denn es wird alsdann einmal y» = bx, und zweytens a † bz = bbxx; folglich = bxx — . Es wird da⸗ her ſowohl als y durch eine rationale Funktion von x aus⸗ gedruckt; und man darf dazu nur, wenn »„= V(a † bz) iſt, 2 = bzx — — ſetzen, indem alsdann y = b wird. mn wenn y = (a † b2)n iſt; ſo findet man die neue ver⸗ aͤnderliche Groͤße X, wodurch ſowohl y als 2z rational ausgedruckt werden kann, auf folgende Art. Man b⸗ wirdd nal au wenn immt Ver⸗ hnenſo R ⸗ andeiſt, 1s wel⸗ aus er⸗ Ulcher ſeue vet⸗ tationgl X wer⸗ üat en⸗ en werde. wweytens vied da⸗ n w aus⸗ (aard bl) ted. eve ver⸗ ragtionel Nan Von der Verwandl.d. Funktionen durch Subſtitution. 55 m Man ſetze y= Xm, ſo wird (a † bz)“ 2— Xm, und I (a † bz) = x; folglich a † bz = Xn, und= 2.— Es wird daher in der gegebenen Funktion ſowohl y als ratio⸗ n — a . . nal ausgedruckt, wenn man 2 = —,— ſetzt, indem dieſe Subſtitution y= xm giebt. Ohnerachtet man alſo weder y durch 2, noch? durch y rational ausdrucken kann; ſo ſind dennoch beyde Funktionen durch die Einfuͤhrung der veraͤn⸗ derlichen Groͤße æ rational gemacht worden, ſo wie ſolches der Endzweck der Subſtitution erforderte. §. 49. Es iſt y = =(e ⸗ man ſoll eine neue veraͤn⸗ derliche Groͤße x ſoen. wodurch ſowohl y als z ratio⸗ nal ausgedruckt werden kann. Zuvoͤrderſt faͤllt hier bald in die Augen, daß man der Aufgabe ein Genuͤge thun werde, wenn man y = Xm ſetzt. g⸗ Xn; und aus dieſer Gleichung ergiebt ſich? = 5 Denn es wird aldann (2 1 n = xm, folglich ſo wie ie dieſe Subſtitution hinwiederum y= xm giebt. Zum andern aber laͤßt ſich nun auch leicht einſehen, daß 2)* 1 ben man ſowohl y als 2, wenn 5y) = = (3 1 xi iſt, rational werde ausdrucken tünien, wenn man beyde ge⸗ gebene Ausdruͤcke = Xun ſetzt. Denn es wird alsdann „M– „ Xi/ 2 — fxn D 4 Wemn⸗ 56 Erſtes Buch. Drittes Capitel. §. 50. Wenn y = V ((a † bz) (c † dz)); ſo findet man die Subſtitution, wodurch y und 2 rational ausgedruckt werden koͤnnen, auf folgende Art. Man ſetze V((a † bz) (c † dz)) = (a † bz)æ; denn es iſt leicht einzuſehen, daß z daher einen rationalen Werth bekommen werde, weil der Werth von: in einer einfachen Gleichung gegeben iſt. Alsdann wird c † dz = (a † bz) XX, C — A X und hieraus z = – Pxx — be a d bxx — atr, igtn (c 1†. 42) = (a be) , y S= — 3.. . Es wird alſo die irrationale Funktion . = V (G † bz) (c † dz) durch die Subſtitution 2 = — a X X F Cer: X bxxXx — giebt. Iſt z. B. y = V (aa — 22) = V (at⸗ o.r ſo ſetze man, da b= er. und d=-T .„ — AXX 2 iſt 2 — — — wo denn = . ſt 1 † XX 1 1 — ſeyn wird. So oft daher die Groͤße unter dem Zeichen V zwey einfache reelle Faktoren hat, kann man ſich dieſer Art, ſie auf die Rationalform zu bringen, bedienen; wenn aber die beyden einfachen Faktoren imaginaͤr ſind, ſo iſt folgender Weg vorzuͤglicher. Es iſt y = V(p † qz † r22); man ſoll eine Subſti⸗ tuion fuͤr finden, wodurch der Werth von y rational wird. Es kann dies auf mehrere Arten geſchehen, je nachdem 5 und q poſitive oder negatide Groͤßen ſind. Es ſey zuvoͤr⸗ derſt zur Rationalitaͤt gebracht, indem dieſelbe v7S= Vor det ,6 rat Eſ. wofe abere ire ſer Fal deniels pe⸗ Wechen 14 und duc⸗ 1 e2 und ubſeß wird. chden pwr⸗ duf Von der Verwandl. d Funktionen durch Subſtitution. 57 derſt p poſitivund Saa; denn wenn auch p kein Quadrat iſt, ſo verurſacht doch bey dem gegegenwaͤrtigen Geſchaͤfte die Irrationalitaͤt der beſtaͤndigen Groͤßen keine Schwierigkeit. Es ſey alſo ́MMU I. y = V (a à † be † czz). Setzt man hier (a a † bz † czzZ) = à † Xz, ſo wird b † cz = 2aXx † XX2; und . b – 2 àa X , bXx=–AàAXX—–—aàa C alſo; = 5 =-: folglich „= a † XzZ = wo? und y rationale Funktionen von ſind. Ferner ſey. 2. y = V(a az 2 †T bz † c). Setzt man nun V(aazz † deſe! = az † xX, ſo wird bz † c = 2 a xz † xx, und 2 = XX — — ac†bx=aXX —,. — Dann aber iſt = aZ† X = — ſt y 1 b — 2 àa X 3. Wenn p und r negativ ſind, ſo iſt der Werth von y„,. wofern nicht q q groͤßer als 4 pr iſt, allezeit imaginaͤr. Iltt aber ꝗq q groͤßer als 4 pr; ſo kann der Ausdruck p † ꝗz p rzzZz in zu ey Faktoren aufgeloͤſet werden, und dann gehoͤrt die⸗ ſer Fal unter den vorhergehenden §. Oft kann man aber denſelben bequemer auf dieſe Form bringen, „= V (a a † (b † cz) (d † ez)); und um dieſen Ausdruck rational zu machen, ſetze man y = a † (b T cz) x. Dann iſt d † ez = d — 2 a XK — bXX 2a X T† bxx †cCXXZ, und daher 2 = „ CcXX– e — ae † (cd — be)xX — acXX offt iſt die Re⸗ cXxK — e duction auf dieſe Form leichter, „=— V(aazz † (b † c2) (d † e. Dann ſetze man y = az † (b † c z)x, wo d † bxXX — d und y = ez = 2 a xz † bxx CxXXz, und 2 = e — 2 a5X — (XX d.- be — c d)X— ab und y» = — Tbe — cch— ab k wird. — 2 2a5X — cxæX 9 5 Exem⸗ äs 528 Errſtes Buch. Drittes Capitel. Exempel. Haͤtte man die irrationale Funktion von 2, y =VS— 1† 32 — 22); ſo koͤnnte man dieſelbe auf die Form, y = VII — 2 † 32 – 22 = V (1 — (I1 — 2) (2 — 2)) bringen. Setzt man aber darauf y= I — (1 — 2) xX; ſo wird 2 — 2X † XxxX. I1 TXX — 2 † 2 = — 2 Pxx — xX 2, und ⸗ = und dann iſt 1 — 2 = — = —— , , undy = 1— (1 –— 2) X I † æ — XX = T Xxx— welche die unbeſtimmte Analytik, oder die Diophantaͤiſche Arnalyſis darbietet; denn es laſſen ſich keine andere irratio⸗ nale Formeln, die nicht unter den erwogenen begriffen waͤ⸗ Und dies ſind ohngefehr die Faͤlle, ren, durch die Subſtitution rational machen. Es ſoll da⸗ her nunmehr von dem andern Nutzen der Subſtitution ge⸗ redet werden. H. 52. Es iſt y eine ſolche Funktion von 2, daß ay“ † bz 6 =ðWMB cy 2 = o: man ſoll eine neue veraͤnderliche Groͤße 2? finden, wodurch man die Werthe von y und 2 ent⸗ wickelt darſtellen kann. Da man keine allgemeine Regel fuͤr die Aufloͤſung der Gleichungen hat; ſo kann aus dieſer Gleichung weder „ durch?z, noch? durch y entwickelt dargeſtellt werden. um alſo dieſer Unbequemlichkeit abzuhelfen, ſetze man y„= xm zu, wo dann aX“ n 202... b 268 4. cx? m /YN-à — ſeyn wird, und beſtimme darauf den Exponenten n ſo, daß der Werth von? aus dieſer letzten Gleichung entwickelt werden kann. Dies kann auf dreyerley Arten geſchehen. I. Es mn W g N Ger y 121 erth nn. bpz6-ah † exm O—.5. Hieraus ergiebt ſich Von der Verwandl. d. Funktionen durch Subſtitution. 59 1. Es ſey «n = 6, und alſo n = ; ſo iſt, wenn man die gedachte Gleichung durch 2 *n — 2 dividirt, aX * . 1 † cx ;I 2M 4 5= o. Hieraus ergiebt ſich I — (— a, oder cXN ℳ .ℛδ⸗ n 2=(— ) 61 — e6 1 e5, und 2 2) 67 — 2= 1 ) — à xiMm –— y = n ( . cXIN 8⁸ — 2. Es ſen = yn † à, oder n S ſo iſt, wenn ℳNP man die obige Gleichung durch 2²˙ — 271 dividirt, i ax ln eh-6. b † cx) =o. Hieraus ergiebt ſich Ym 1 — ( ) en — 4, oder 7 euum a XI 2 — 3. Es ſey „ n = Yn † , oder n = — ſo iſt, wenn man dieſelbe Gleichung durch 2*n = 27n dividirt, axn . 2 =– Erſtes Buch. Drittes Capitel. æm ym — S * = (— — 4 6. — en, oder — O afm „ym, — 2 = (— — —) =à — 3 7 — %, und b 2 y = X — 5— 6⅛* — «5 Hier ſind alſo auf drey verſchiedene Arten Funktionen von Mαι I * gefunden worden, die 2 und y„ gleich ſind. Uebrigens kann man fuͤr m eine Zahl ſetzen, was fuͤr eine man will, bloß die Null ausgenommen; und auf dieſe Art laſſen ſich die Formeln auf die bequemſte Form bringen. Exempel. Es ſey die Natur der Funktion y durch die Gleichung y³ † 23 – cyz = o gegeben, und es werde verlangt, daß man Funktionen von x finden ſoll, die den Funktio⸗ nen y und ? gleich ſind. ,B Hier iſt alſo 2 =– 1; b = — 1; .= 3; 868 = 3; y =1 z und 3 = I. Folglich giebt die erſte Beſtimmungs⸗ 1 art, wenn man m = I ſetzt, 2 = (— „und y = C X C XX . (— ) 1oder 2— —— u ndy= 1†* wo ſo gar beyde Formeln rational ſndd. Die andere Art fuͤhrt zu folgenden Warthen⸗ 2 2 - 4, und/= (; “ oder = VX— ) dy= 1 s — v⸗. Die Hien Gleichu ſen ſyn neuen ve lbunen. Dnr, genornm *? rhaolten angenon 70 8 ſowird bon X e- 7. 1 unda * hen ton heigens wil, n ſch ſchut ngt, Von der Verwandl. d. Funktionen durch Subſtitution. 61 Die dritte endlich giebt 2 2 = (Cx — xX33) , und y = X (cx — 23) §. 53. Hieraus laͤßt ſich ruͤckwaͤrts beurtheilen, wie die Gleichungen, in welchen y durch 2 gegeben iſt, beſchaf⸗ fen ſeyn muͤſſen, wenn ſie durch die Einfuͤhrung einer neuen veraͤnderlichen Groͤße X ſollen entwickelt werden koͤnnen. Denn nimmt man an, daß man durch eine bereits vor⸗ genommene Aufloͤſung ( * † bxs cX † )*7 2 — A † BxX“ † Cx † ꝛc. und S bx6 † cx?² † ꝛc. 4'† A † Bx/ † CxXx † ꝛc, erhalten habe; ſo wird daher Ine XP 29, [weil aus den angenommenen Gleichungen 2 = 2) 1 9, und hieraus — T D rd — ,— 4¹P 2 = (P) wird] und alſo * = yz . Da alſo b axe † bx *† cX † ꝛc. 2 — A T Bx T Cx' † ꝛc. ſo wird, wenn man in dieſe Gleichung den Werth y 2 A: von X anſtatt X ſetzüttt, npb aye e- s GD t b 62 STD cyr2 — Ab Lir. 2 — — A † ByÜ2 — diP Cy'2 — q: P †. ꝛc. undaus dieſer Gleichung ergiebt ſich ferner 62 Errſtes Buch. Drittes Capitel. Azr' P † B ys“ C:4): p 1 S E ,: b . = ay 2 — ℳ q: P E byz — 68 q: P cy? 2 — 7 q: pat. ſo wie hieraus, wenn man mit 2 * A b multiplieirt, AzCed Oih- By GNaakrpC) 2(àq-Fr.: P 20. Sa y 1 byea Ga- Dip rcyie — dl: P ze. Setzt n man nun AA1 = m, und 2= nz ſo wird b = g — 6, q = n, und r = « m — 6 m — an; folglich AZ 1B ykrm— en (a- —1C,'¹2 2m mn Si= — Y) n: (a — 8) ay* † by? zn cy 2 (« — Y h: ( ) 2. und dies iſt die Gleichung, aus welcher man bey der Auf⸗ loſung .ℳNhse 62 „— ( * † bx 6 cx ) 5 — — *₰*M I —= Sm —A&αH A † BX † CXxX ꝛc. und * † bxX6 .) — S A † BxXxE CX † ꝛc. erhaͤl. q P r — 5 q †.† Oder man ſetze —— — m, uud⸗ 1 = n; ſ 1 “ m –— .ι I R P P . “ ſemer = m=–n, und r = 4 m — a m † * n. Vermittelſt dieſer Werthe aber wird A 2 †b iu. ſf. der Auft Ponden Aun; 4) 1=( Wer byz 0 einer ne⸗ 2 f fol Von PVt by rch 1. 1820 u 1 — — Auf chung zr So hri ſſe gevj hiher ſch ſhe Grdͤſe Wenn 1— 41; Von der Verwandl. d. Funktionen durch Subſtitution. 63 AZ in B y’ 2 h . cy'2 m -—»(m -— n): E . u, ſ. f. = ay* bys . — 6)CN-- n): e f cy? 2(—)m — n): F†. u. ſ. f.; und dies iſt nunmehr die Gleichung, welche bey der Aufloͤſung — rvaA Xx * . bx“ † cX?7 1 u. ſ. f. 5 2 — em — æmf æan AT x CXx † u. ſ. f. und * . bx6 † cXx P u. ſ. f. — n J= 2 . um — Im †en A CX † u. ſ. f. giebt. §. 54. wenn y auf die Art mit 2 verbunden iſt, daß a y y 1† byz †czZ—n U ?† dy † e = o iſt: ſo findert man mit Huͤlfe einer neuen veraͤnderlichen Groͤße x ſowohl fuͤr y als fuͤr 2 auf folgendem Wege einen rationalen Ausdruck. Man ſetzet y = xX2, und dividirt die dadurch aus ayy † by z † czz † dy † ez = o entſtehende Gleichung durch 2. Alsdann hat man aXX † bxz † cz † AX 1 = o; und hieraus — dx –— e- — dxx — ex = und y = aXX †T† bx † c Auf die gegebene Form kann man aber auch dieſe Glei⸗ chung zwiſchen y und 2, ayy † byz † czz † dy † ez † f =o bringen; wenn man beyde veraͤnderliche Groͤßen um eine gewiſſe beſtaͤndige Groͤße vermehrt oder vermindert; daher ſich auch dieſe Gleichung durch eine neue veraͤnder⸗ liche Groͤße X entwickeln laͤßt. §. 55. Whenn y auf die Art von 2 abhaͤngt, daß a y 3 † ber t eye⸗ † dz3 † eyy †. fyz † gzzZ = o iſt: ſo laͤßt — O=Oòͦðñ 64 Erſtes Buch. Drittes Capitel. laͤßt ſich ſowohl „ als z auf folgende Art rational aus⸗ drucken. Man ſetzet y = X 2, und dividirt, wenn man hiernach die gegebene Gleichung veraͤndert hat, dieſelbe durch 22. Dadurch erhaͤlt man a X32 † bzxxz † cx z † dz † exx † fx † g =o; und hieraus wird err Erg u. AX 3 † bXX † CxX † d a X 3 † bXXTCX † d Aus dieſen Beyſpielen laͤßt ſich leicht erkennen, wie die Gleichungen von hoͤhern Graden zwiſchen y und 2 beſchaf⸗ fen ſeyn muͤſſen, wenn eine aͤhnliche Aufloͤſung ſtatt finden ſoll. Uebrigens ſind dieſelben unter den Formeln des 53ſten §. begriffen; aber wegen der Schwierigkeit, womit die Anwendung der allgemeinen Formeln auf dieſe oͤfters vor⸗ kommende Faͤlle verknuͤpft iſt, ſchien es zweckmaͤßig, einige davon beſonders zu entwickeln. §. 56. Wenn das verhaͤltniß zwiſchen y und 2 durch d die Gleichung ayy † byz † czz = d gegeben iſt: ſo laſſen ſich beyde Groͤßen y und 2 auf folgende Art durch eine neue veraͤnderliche Groͤße X beſtimmen. Man ſetzt »„= x 2, und da dadurch (axx † bx † c) 2 7 = dj wird, ſo bekommt man d d 2 = V F mpy= , WV errTN T 4 X X + b X Auf eine aͤhnliche Art erhaͤlt man, wenn ays † by2z † cyz2 † dz3 = ey † f iſt, durch die Subſtitution »= X 2 und durch die Diviſion der daher entſtandenen Gleichung durch?z, (a x3 † bXX † cX † d) 2z = ex † f; und folglich ex † f ex † f = X V — a T bxxf cxTd )= X N . V 17 Es 2 = — ex“ — fxxX — gxX AxX 3 † bxx T Cx † d- Pon 9 Ei eine ahn Fole de we Gleichu S aA1 ben iſt: bequem Wan mittelſ dndert daß de und de 2 m - ſioßt 9— S ndeg mehr veraͤn hetrach injelne Dimen in Ans die nie Kul 1 aus⸗ nnoch c 11 kextf — 5 X „we Ne tt inden 5ſten i die ftrs vor⸗ ig, einige durch die ſ liſen rch eine Von der Verwandl.d. Funktionen durch Subſtitution. 6 Es ſind aber dieſe, ſo wie auch alle uͤbrigen Faͤlle, die eine aͤhnliche Aufloͤſung zuaſſen, unter dem allgemeinen Falle des folgenden §. begriffen. §. 57. Wenn das vVerhaͤltniß zwiſchen y und 2 durch die Gleichung a ym † bym-I 2 † c ym-= 222 † dym- 323 † 2c. = æ* 1 - . 3y n -IZ † 7y n- 222 † y n- 323 † ꝛc. gege⸗ ben iſt: ſo laͤßt ſich ſowohl y als 2 auf folgende Art bequem durch eine neue veraͤnderliche Groͤße x darſtellen. Man ſetze y = xX2, ſo kann man, nachdem man ver⸗ mittelſt dieſer Subſtitution die gegebene Gleichung abge⸗ aͤndert hat, die ganze abgeaͤnderte Gleichung, vorausgeſetzt, daß der Exponent m groͤßer als n iſt, durch 2n dividiren, und dadurch erhaͤlt man (a in † bxm-TI † CxXmMm =2 † ꝛe.) 2 n - n = α n SXn —I † YXn-2 ꝛc. Hieraus aber V —— . m — n a xm †bXM—I P CxXmN -2 † ꝛc. n . und „α X † $X - I P „Xn-2 †. ꝛc. N — — =(1 . bxm- 1 † cxm-2 † ꝛc. OD m — n Es findet nemlich dieſe Aufloͤſung alsdann ſtatt, wenn in der ganzen zwiſchen y und 2 gegebenen Gleichung nicht mehr als eine doppelte Menge von Dimenſionen beyder veraͤnderlichen Groͤßen y und 2 vorkommt; ſo wie in dem betrachteten Falle die Anzahl dieſer Dimenſionen in jedem einzelnen Gliede der Gleichung entweder m oder n iſt. §. 58. wenn in einer Gleichung zwiſchen y und? dreyerley Dimenſionen vorkommen, ſo daß die hoͤchſte die mittelſte in Anſehung der Hoͤhe um eben ſo viel überſteigt, als die medrigſte unter der mittelſten iſt; ſo kann man mit Lulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. I B. ECE Suͤlfe Erſtes Buch. Drittes Capitel. Huͤlfe der Aufloͤſung der quadratiſchen Gleichungen die veraͤnderlichen Groͤßeny und? durch eine neue veraͤnder⸗ liche Groͤße X ausdrucken. Denn ſetzt man y» = xXz, und dividirt man die durch dieſe Subſtitution erhaltene Gleichung durch die niedrigſte Poteſtaͤt von 2; ſo laͤßt ſich nun der Werth von 2, durch beſtimmt, vermittelſt der Extraction der Quadrat⸗Wurzel erhalten. Folgende Beyſpiele werden dieſes deutlich machen. Erſtes Exempel. Es ſey ay“ † by 22 † cyzzZ † dz3 = 2 eyy † 2 fyz † 2 g22 † hy † iz. Setzt man nun y = X2, und dividirt man die dadurch erhaltene Gleichung durch 2; ſo bekommt man (ax 38 † bXX † C X † d) 22 = 2 (eXxX fx r g 2 † h X Ti; und hieraus 2 = exxLfTg † (Cexx 1GTg)a f (axsfl brxi cx p dychx f )) à 3 b X X T c X †* d. Hat! man aber gefunden, ſo iſt » = xXz. Zweytes Exempel. Es ſey y5 = 2 a 23 † by † cz. Setzt man nun wie⸗ der y = x 2, ſo wird X524 = 2 a 22 † bx † c; und hier⸗ aus findet man a † V(aa † bX6 † cx5) 2 2 — — 6 X 5* ſo wie hieraus — (a & V (a a † b x6 † õ X X V X A V— a 4 † b x6 † 2 X V X Drittes Epempel. Es ſey y 10 = 2ày26 † byz3 † cyA; wo man alſo die D Dimenſionen 10, 7 und 4 hat. Setzt man y = x, und dividirt man die dadurch erhaltene Gicichung durch 24 ſo und 7 — Vond⸗ ſerhat 1152³ BBB K Von der Verwandl. d Funktionen durch Subſtitution. 67 en die ſo erhaͤlt man, x1O02ZS — 2 X 23 † bx † c, oder 26 = nder, 2àaXZ3 † b X 8 Hieraus ergiebt ſich drch a X † æX V (a àa T bX9 † C X 8) 23 = — nd folglich i V (a † V (aa † bx9 † c X 8)) Wuel 2 = „und X 3 machen. 3 V(a *% V(aa † bx9 †† c X8)) dioidirt Aus dieſen Beyſpielen laͤßt ſich die Art des Gebrauchs detommt dieſer Subſtitutionen zur Genuͤge einſehen. „ man al – 17 fortlaufende Formeln ausdruckt. Natur einer ganzen Funktion am leichteſten erkennt, wenn Viertes Capitel. Von der Entwickelung der Funktionen durch unendliche Reihen. Die zu dieſem Capitel noͤthigen Zuſaͤtze ſtehen insgeſammt im An⸗ hange unter der dritten Nunner. . 59. Da die gebrochenen und irrationalen Funktionen von . nicht unter der Form A † B z † Cz2 † D z3 † u. ſ. f. be⸗ griffen ſind, wenn die Anzahl der Glieder eine endliche Zahl iſt: ſo pflegt man aͤhnliche ins Unendliche fortlaufende Aus⸗ druͤcke zu ſuchen, welche den Werth einer jeden gebrochenen und irrationalen Funktion darſtellen. Ja man iſt ſelbſt die Natur der tranſeendenten Funktionen beſſer im Stande ein⸗ zuſehen, wenn man ſie durch dergleichen ins Unendliche Denn ſo wie man die man ſie nach den in ihr vorkommenden verſchiedenen Pote⸗ ſtaͤten von 2 entwickelt, und alſo auf die Form A † B z † CZz † D z3 † u. ſ. f. bringt: ſo iſt auch eben dieſe Form vor allen andern geſchickt, der Seele einen deutlichen Be⸗ griff von der Natur einer jeden andern Funktion zu erthei⸗ len, wenn gleich die Anzahl der darin vorkommenden Glie⸗ der unendlich iſt. Es faͤllt aber in die Augen, daß keine andern, als bloß die ganzen Funktionen von? durch eine endliche Menge ſolcher Glieder, A † Bz † C za † Dz3 † u. ſ. f. ausgedruckt werden koͤnnen: denn ſollte das Gegen⸗ theit moͤglich ſeyn, ſo wuͤrden eben dadurch die Funktionen zu 8 PVeonde gonje ſin, ob ganzen d hrucken! ſer Fun Zweifel dieſe Ent Gilſen au gonze Ze laſen wert daß eine bon dieſe gOeoct meine Zahl ⸗ Es iſt iite ohne Heiheverr 4 Bnd — 4 telbgr fa Man daß nan durch in An⸗ ſelbſ die ande ein⸗ Unendliche nan die nt, wenn nen Pn⸗ diee honn liten Ne⸗ n athe i⸗ den Gu⸗ daß keine durch eine 1 Gege⸗ uttionen u = Von der Entwickelung d. Funkt. durch unendl. Reihen. 69 zu ganzen Funktionen. Und ſollte jemand daran zwei⸗ feln, ob man die uͤbrigen Arten der Funktionen außer den ganzen durch eine unendliche Anzahl ſolcher Glieder aus⸗ drucken koͤnne: ſo wird die wirkliche Entwickelung aller die⸗ ſer Funktionen in dergleichen unendliche Reihen dieſen Zweifel hinlaͤnglich aus dem Wege raͤumen. Damit aber dieſe Entwickelung einen deſto groͤßern Umfang erhalte, ſo muͤſſen außer den Poteſtaͤten von 2z, deren Exponent eine ganze Zahl iſt, auch alle uͤbrigen Poteſtaͤten von 2 zuge⸗ laſſen werden. Auf dieſe Art leidet es gar keinen Zweifel, daß eine jede Funktion von? durch eine unendliche Reihe von dieſer Form A2“ † Bz6 † Cz* Dz f u. ſ. f. aus⸗ gedruckt werden kann, indem «, , , 5 u. ſ. f. ganz allge⸗ meine Zahlzeichen ſind, und man alſo dafuͤr, was fuͤr eine Zahl man will, ſetzen kann. §. 60. Es iſt bekannt, daß man den Bruch . durch eine ohne Ende fortgehende Diviſion in dieſe unendliche . a a β 3 2 6 222 28323 Reihe verwandeln kam; —, 482 — — „ M⸗A92 „3 44 B£B424 † —, — — 20. Da darin jedes Glied zu dem unmit⸗ telbar folgenden das beſtaͤndige Verhaͤleni 1: . Er hat, ſo nennt man ſelbige eine geometriſche Reihe. Marn kann aber dieſe Reihe auch auf die Art finden, daß man ſie anfangs als unbekannt betrachtet. Denn ſetzt man — — — A † Bz † Cz⸗ † Dis † Bae fse. l 6 E 3 und 70 Erſtes Buch. Viertes Capitel. und ſucht man, um dieſe Gleichheit wirklich hervorzubrin⸗ gen, die Coeffieienten A, B, C, D, E u. ſ. f. ſo wird a = (« † 82z) (A † Bz † Cz2 †DZ3 † EzA † ꝛc. Multiplicirt man nun wirklich, ſo bekommt man à = „ A † „ B Z † « Cz2 † e D z3 †T æ= E Z4 † u. ſ. f. †AZ †⁸ B22 † 6 Cz3 T8 Dz4 † u. ſ. f. Es muß alſo a = « A, folglich A = und der Coeffici⸗ ent einer jeden Poteſtaͤt von ⸗ gleich Rull geſetzt werden. Dies giebt folgende Gleichungen à B T† A = 0 ℳ* † 6$ B = 0 „D † ⁶C = 0 ℳ* E 16b = o. Kennt man alſo irgend einen von den Coefficienten, ſo laͤßt ſich daraus der folgende leicht ſinden. Denn ſetzt man den Coefficienten irgend eines Gliedes = P, und den Coeffi⸗ cienten des unmittelbar folgenden grledes = Q: ſo iſt *Q 1 P = 0O, und folglic C= — . Da alſo das erſte Glied A beſtimmt und = — — iſt: ſo findet n man daraus die folgenden Groͤßen B, C, Duſef. „eben ſo, als ſie ſich aus der Diviſion ergaben. Uebrigens ſieht man ohne Muͤhe, daß der Coefieize, von zn in der gefundenen unendlichen Reihe = 12 — iſt, wobey das Zeichen † alsdann ſtatt findet, wenn n eine gerade, — aber, wenn n eine unge⸗ rade Zahl iſt; mit andern Worten: der Coefficient iſt alle⸗ .ℳM N zeit = (— ²) 1. Ponde uße durch ei indliche Da bey die licht ube pilkührli wiedorhi 1 1 Müpt 1, 1br Hieraus t4= Ahalten i Mn fin unmittel ten des und Von der Entwickelung d. Funkt. durch unendl. Reihen. 71 brin⸗ §. 61. Auf eine aͤhnliche Art kann der Bruch 8 4 b Aæ T ⁸ 2 T† 72 2 durch eine ohne Ende fortgehende Diviſion in eine un⸗ endliche Reihe verwandelt worden. . Dea inzwiſchen dieſe Diviſion muͤhſam iſt, und man da⸗ Coeßfiei⸗ bey die Natur der gefundenen unendlichen Reihe nicht ſo leicht uͤberſieht: ſo iſt es vortheilhafter, die geſuchte Reihe uſ. uſ.. aden willkuͤhrlich anzunehmen, und ſie dann auf eben die Art wie vorhin zu beſtimmen. Es ſey alſo 4 bz = A † B2 † Cz2 4. D z3 † Ez4 T u. ſ. f. ℳ + 82 † 222 Multiplicirt man hier auf beyden Seiten durch ⸗ † 82 r 722; ſ erhaͤlt man ur k 1 Ae 1r sBe= † eei 1 spa ku. (f. n Ceft⸗ † 7vA22 † 7 Bz3 † »CzZ4 † u. ſ. f. b dieraus ergiebt ſich «= A = D 2* B † 6⁶A = b; und folglich b s ee iſt A = 2, und B = —— Die uͤbrigen Buchſtaben R erhalten ihre Beſtimmung aus folgenden Gleichungen: kaus de . 2C † g B † 7„A = 0 ſeſchaus .D † β C † 7„ B = o e MH, „ EB † 8D † 7C = o endichen „F F gE T YD = O H Man findet hier alſo aus den Coefficienten jeder zweyer ne vnge⸗ unmittelbar auf einander folgenden Glieder den Coefficien⸗ n iſ el⸗ ten des naͤchſten Gliedes. Sind z. B. die Coefficienten zweyer unmittelbar auf einander folgenden Glieder ?P und Q, und der Coefficient des naͤchſten Gliedes R: ſo iſt = R † E 4 . 6 G 61. 72 Erſtes Buch. Viertes Capitel. — ⁶½£¾ — ? PB RN.T⁷0n beyden erſten Buchſtaben A und B bereits bekannt ſind, ſo findet man aus ihnen nach und nach alle folgenden C, D, E, F, u. ſ. f. und auf dieſe Weiſe erhaͤlt man A † Bz † CzZa † Dz3 † Ez4 1c h 2 Dz A T β2 T† 72 2 6⁶6 Q TPYP = o, oder R = . Da nun die Exempel. I † 22 Es ſey der Bruch . - gegeben, und ihm werde die Reihe A † B 2 T C zZ2 T Dz 3 † ꝛc. gleich geſetzt. 7 = – I iſt, A= I, B = 3; und folglich C = B T A Ein jeder Coefficient iſt alſo die Summe D =CFB der beyden vorhergehenden; und kennt E= DFEC man daher die Coefficienten zweyer un⸗ F = E † D mittelbar auf einander folgenden Glieder u. ſ. w. Pund Q, ſo iſt der naͤchſte BR= P †. Q. Da nun die beyden erſten Coefficienten A und B bekannt ſind, ſo giebt der Bruch . folgende unendliche Reihe: 1 † 32 † 422 T 723 † I124 † 1925 u. ſ. w. die man ohne Muͤhe, ſo weit als man will, fortſetzen kann. §. 62. . Hieraus iſt man bereits im Stande, die Natur der un⸗ endlichen Reihen, worin gebrochene Funktionen verwandelt woerden koͤnnen, zu begreifen. Es findet nemlich bey den⸗ ſelben ein ſolches Geſetz ſtatt, daß ein jedes ihrer Glieder aus einem oder einigen von den vorhergehenden gefun⸗ den werden kann. Bruchs = s † 62, und ſetzt man die unendliche Reihe 0 A Iſt z. B. der Nenner des gegebenen Vonde 112 lnkz pittelbar daß C. Kheilen unendli funden Ware d ſo würdea halten w „0t1 Es wie s d den 6 ſimm Bruge ſll, nit demn derſeben hen, we den Glie Men So daß de a das nich ich nomn ſede L in die id, ſo 1,). ih nn werde geſeze. 1 und Sunme, und kennt tyer un⸗ Gebenr C 3 bonnt nendliche kaon. her un⸗ wandelt bey den⸗ Glieder gefup⸗ gebenn Nahe A Von der Entwickelung d. Funkt. durch unendl. Reihen. 73 A † Bz † Czz P. 8† Pzu † Qzn †1 † Rzn †2 † SzZnP3 † ꝛc.; ſo wird jeder Coefficient Q aus dem un⸗ mittelbar vor ihm hergehenden allein auf die Art beſtimmt, daß =Q † P = o wird. Beſtaͤnde der Renner aus drey Theilen, « † &; † 722; ſo wuͤrde jeder Coefficient in der unendlichen Reihe, R, aus den beyden vorhergehenden ge⸗ funden werden, wenn man ⸗=R † 6 Q † 7 P = o ſetzte. Waͤre der Nenner viertheilig, wie = † 3 ½7ν&†11ο⁄2† à23; ſo wuͤrde jeder Coefficient in der unendlichen Reihe, 8, er⸗ halten werden, wenn man ihn ſo annaͤhme, daß «S † R † „Q† à P = o wuͤrde; und ſo geht dies immer weiter fort. Es wird daher in dieſen unendlichen Reihen jedes Glied aus einem oder einigen von den unmittelbar vorhergehen⸗ den Gliedern nach einem gewiſſen beſtaͤndigen Geſetze be⸗ ſtimmt, und dieſes Geſetz laͤßt ſich aus dem Nenner des Bruchs, der in eine unendliche Reihe verwandelt werden ſoll, ohne Muͤhe erkennen. Man nennt aber dieſe Reihen mit dem beruͤhmten Moivre, der ſich mit der Unterſuchung derſelben vorzuͤglich beſchaͤftiget hat, wiederkehrende Rei⸗ hen, weil man bey denſelben immer zu den vorhergehen⸗ , den Gliedern zuruͤckkehren muß: wenn man die folgenden beſtimmen will. §. 63. Es iſt aber zur Erhaltung ſolcher Reihen nothwendig, daß der beſtaͤndige Theil des Nenners nicht = o ſey; z denn da das erſte Glied derſelben A = 2 iſt §. 60. 61. ſo würde nicht nur dieſes Glied, ſondern auch alle folgenden unend⸗ lich werden, wenn = = 0 waͤre. Dieſen Fall alſo ausge⸗ nommen, der nachher betrachtet werden ſoll, ſo laͤßt ſich jede gebrochene Funktion, die in eine unendliche Reihe E 5 ver⸗ ₰ℳM— 74 Erſtes Buch. Viertes Capitel. verwandelt werden ſoll, auf dieſe Form bringen: a † bz c22 ÿ dz 3 † ꝛc. I1 –— a2 — 822 – 723 – à24 — rꝛc. des Renners = I1 geſetzt worden iſt, weil ſich auf dieſe Art alle Bruͤche ausdrucken laſſen, ſobald das gedachte Glied nicht = o iſt; die uͤbrigen Theile des Nenners aber haben deswegen alle das Zeichen —, damit alle Glieder der Reihe poſitiv werden. Denn ſetzt man die daraus ent⸗ ſpringende wiederkehrende Reihe = A † Bz † Cz DZ3 † E24 † u. ſ. f. ſo werden die Coefficienten auf die Art beſtimmt, daß A = a B = „A T b = B † £ A † c D = „C † εB † YA T d E — aD 4 6cEτν1⅞5hh† a“ te u. ſ. w. . Ein jeder Coefficient iſt alſo ein Aggregat des Vielfachen eines oder mehrerer vorhergehenden Coefficienten, und einer gewiſſen Zahl, welche der Zaͤhler an die Hand giebt. Wenn indeß der Zaͤhler nicht aus einer unendlichen Menge von Theilen beſteht, ſo hoͤrt das Hinzukommen dieſer Zahl bald auf, und dann wird jeder folgende Coefficient nach einem beſtaͤndigen Geſetze bloß aus den vorhergehenden Coefficienten beſtimmt. Damit nun die Folge unter den Glliedern der Reihe ununterbrochen fortgehe, ſo muß man zu der gegenwaͤrtigen Verwandlung aͤchte gebrochene Funk⸗ tionen nehmen; denn bey den unaͤchten gebrochenen Funk⸗ tionen aͤndert die darin enthaltene ganze Funktion in den Gliedern, in welche ſie kommt, das artſch eiten der Reihe. So giebt z. B. der unaͤchte Bruch — D dieſe Reihe: wo das erſte Glied Vonde 1 1ſte gon der der beyd linter her de erdienen Nenner e ſidet me ſache D 4 † . d der Nad-Ih rende, hergehe ſet, nan en Ne⸗ ³1 crithm (a ich ode netiſche Nuct n r. uſ⸗ Von der Entwickelung d. Funkt. durch unendl. Reihen. 75 I1 32 † 4 22 † 623 † IOz1 † 1625 † 2626 † 4227 † Glied u. ſ. f.; es macht aber das vierte Glied 623 eine Ausnahme von der Regel, nach welcher jeder Coefficient die Summe der beyden vorhergehenden iſt. ingen: ed te Gc heben MZ der der §. 64. s ent⸗ . . s D Unter den wiederkehrenden Reihen, die man durch die 1² † bisher beſchriebene Entwickelung der Funktionen erhaͤlt, verdienen diejenigen, die aus Bruͤchen entſpringen, deren Nenner eine Poteſtaͤt iſt, eine beſondere Betrachtung. So b ſindet man z. B. wenn man den Bruch b⸗ in eine (1 — 2)2 ſolche Reihe aufloͤſet, dieſe: a † 2 a, † 3 224, 2 † 4 ℳ3a, 3 † 5„4a, 4 † 2c. k+ b †22b † 3 =2 b † 4 .3 b † ꝛc. iten und der Coefficient von der Poteſtaͤt zn iſt (n † 1) ena l nan-1b. Es iſt indeß auch dieſe Reihe eine wiederkeh⸗ auf die , . . rende, weil darin ein jedes Glied durch die beyden vor⸗ d gich Ane hergehenden beſtimmt wird; und man erkennt das Ge⸗ ſeegtf ſetz, nach welchem ſolches geſchiehet, aus dem entwickel⸗ ten Nenner, der 1 — 22 † „ατ iſt. Setzt man ent duch M atb „= I und 2z = ; ſo geht die Reihe in eine allgemeine “ . arithmetiſche Progreſſion, a † (2 a † b) † (3 a +† 2 b) † “ (4 a † 3 b) † u. ſ. f. uͤber, deren Differenzen unveraͤnder⸗ 8 lich oder einander gleich ſind. Es iſt daher eine jede arith⸗ euar metiſche Progreſſion eine wiederkehrende Reihe. Denn r Ddruckt man dieſelbe auf dieſe Art aus A† B † C† D † E † F †† ꝛc. ſo iſt C = 2 B — A; D = 2C — B; E= 2 D— C; e Rei⸗ u. ſ. f. Nehe: H 76 Erſtes Buch. Viertes Capitel. §. 65. a T bz†cZZz 1I Ferner wird der Bruch 2 „da = 2 c — 22)— 3 = I † 3 22 † 6 4222 † IO &323 † 15 42 4 † u. ſ. f. iſt, in dieſe unendliche Reihe verwandelt: a † 3 4a, P 6ℳ2a. 2 † 10 %3 23 †. r es zr ſ. f. c T 3 =c 6224 †. . . . worin der Coefficient der Poteſtaͤt zn = 11. 2) un⸗ a † a. I . en- rIb † ae iſt. Sett n man aber I. * „a I, und 2 = 1; ſo geht dieſe Reihe in eine allgemeine Progreſſion der zweyten Ordnung uͤber, deren zweyte Dif⸗ ferenzen unveraͤnderlich ſind. Es bezeichne A † B † C † D † E † ꝛc eine ſolche Progreſſion, ſo wird dieſelbe zu⸗ gleich eine wiederkehrende Reihe ſeyn, worin jedes Glied aus den drey vorhergehenden auf die Art beſtimmt wird, daß D = 3 — 3 B † A; E= 3 D — 3C † B; F = 3 E — 3 D † C; u. ſ. f. iſt. Da in einer arithmetiſchen Pro⸗ greſſion die zweyten Differenzen ebenfalls einander gleich ſind, indem dieſelben = o werden: ſo kommt dieſe Eigen⸗ ſchaft auch den ariihmetiſchen Progreſſionen zu. 8. 66. . a † bz †czz † dz5 Auf eine aͤhnliche Art giebt der Bruch 1 eine unendliche Reihe, in welcher die Poteſtaͤt 2n den Coef⸗ n(n † 1) (n † 2) feienten A 1n 2 2. 3. 1. 2. 3. an1 — D an- . = — n 2. . 2. 3. en-d hat. Setzt man daher „ = I/ und 2 = 1; ſo be⸗ greift * Ponder gteft die len Ordn Unter ſich geichenk mag, ſi demn Rer⸗ iſt ſogti 40 — , len Preo Auf greſſior anderl vud d borhen oyeben velche d n a Pogreſt Natur de gerode Dieſe Zohl u von wo dakehe * 1† 9 han aber eneine nte Di⸗ eſelbe zu es Glied m wird, =31— hen Pru er ge Een⸗ Von der Entwickelung d. Funkt. durch unendl. Reihen. 3 greift dieſe Reihe alle algebraiſche Progreſſionen der drit⸗ ten Ordnung, deren dritte Differenzen unveraͤnderlich ſind, unter ſich. Alle Progreſſionen von dieſer Ordnung, der⸗ gleichen hier wider A B† C† D † E † † u. ſ. f. vorſtellen mag, ſind daher zugleich wiederkehrende Reihen, die aus dem Nenner 1 — 42 † 622 — 423 † 24 entſpringen. Es ſt folglich E = 4 D — 60 † 4 8B — A; F = 4 E – 6 D † — B; u. ſ. f., und dieſe Eigenſchaft kommt zugleich alt en Progreſſionen der niedern Ordnungen zu. §. 67. Auf dieſe Art laͤßt ſich zeigen, daß alle algebraiſche Pro⸗ greſſionen einer jeden Ordnung, welche zuletzt auf unver⸗ aͤnderliche Differenzen fuͤhren, wiederkehrende Reihen ſind, und daß das Geſetz, nach welchem jedes Glied aus den vorhergehenden gemacht wird, durch den Nenner (1 – 2) gegeben wird, wobey n eine groͤßere Zahl iſt, als diejenige, welche die Ordnung der Progreſſion anzeigt. Da alſo am † (a † b)m † (a † 2 b) m † (a † 3 b) m † u. ſ. w. eine Progreſſion von der Ordnung m darſtellt: ſo iſt wegen der Ratur der wiederkehrenden Reihen. n(n –— I) I. 2. 0 = am –— – (a † by/ m -- 1I . n(n — I) (n — 2) 1. 2. 3. — (a † n b)m; wo die obern Zeichen gelten, wenn n eine gerade, die untern aber, wenn n eine ungerade Zahl iſt. Dieſe Gleichung iſt allgemein wahr, wenn n eine ganze Zahl und groͤßer als m iſt. Hieraus laͤßt ſich beurtheilen, von was fuͤr einem weiten Umfange die Lehre von den wie⸗ derkehrenden Reihen iſt. (a 2 b — (a T 3 b) m f ..... 4. . (a (n 1, b)n 78 Erſtes Buch. Viertes Capitel. §. 66 S Wenn der Nenner eine Poteſtaͤt, nicht einer zweythei⸗ ligen, ſondern einer vieltheiligen Wurzel iſt: ſo laͤßt ſich die Natur der daraus entſtehenden wiederkehrenden Reihe auch auf eine andere Art erklaͤren. Es ſey nemlich der Bruch (1 — 2 –— ⁶22 –— 723 — 324 — 2c.) m 4 gegeben; ſo iſt die daher entſpringende unendliche Reihe e 20,2 † 1 CNLANP g)5 2. 22 IL. 2. 3 † 4 Haesase. (m † 1) r — »„ Um die Natur dieſer Reihe deſto beſſer einzuſehen, druͤcke man ſie durch allgemeine Buchſtaben aus. Man erhaͤlt alsdann 1 † A2 † Bz2 † Czi f. . . K . 1L -2 4† Mzn-I P Nzn † ꝛc. und ein jeder Coefficient N wird auf die Art aus ſo viel vorhergehenden, als Buchſtaben 2,6, 7 5 u. ſ f. da ſind, beſtimmt, daß N = S M 1 2 m t 6gLT 3 4Am †n nun gleich hier das Geſet der Fortſchreitung nicht beſtaͤn⸗ dig iſt, ſondern von dem Exponenten der Poteſtaͤt abhaͤngt; ſo richtet ſich doch gleichwohl eben dieſe Reihe nach einem andern beſtaͤndigen Geſetze, welches man aus dem entwickelten Nenner findet, und welches der Natur der wiederkehrenden Reihen gemaͤß iſt. Jenes nicht beſtaͤndige Geſetz hat aber nur alsdann ſtatt, wenn der Zaͤhler des Bruchs die Ein⸗ heit, oder eine bekaͤndige Groͤße iſt; denn wenn er er zugleich Pote⸗ “ Vond lotiti nengeſ ungsgre igkeit Von der Entwickelung d. Funkt. durch unendl. Reihen. 79 Poteſtaͤten von? enthaͤlt, ſo wird daſſelbe noch viel zuſam⸗ berthei⸗ mengeſetzter. Dies wird ſich nach der Erklaͤrung der An⸗ ſohdie fangsgruͤnde der Differential⸗ Rechnung mit groͤßerer Leich⸗ iheonch tigkeit zeigen laſſen. Rh g. 60. ꝰR Bisher haben wir angenommen, daß der erſte und be⸗ Niche ſtaͤ„ͤndige Theil des Nenners nicht = o ſey; und haben an nt ſeiner Stelle die Einheit geſetzt. Run wollen wir unter⸗ „ ſuchen, was man fuͤr Reihen erhaͤlt, wenn das beſtaͤndige Glied des Nenners verſchwindet. In dieſem Salle hat die ue gebrochene Funktion folgende Form: a † bz † czz † . 2 (I – a 2àZ — £22 – 20.) n, delck Laͤßt man hier den Faktor des Renners aus der Acht, ſo n erhatt à † bz † c22 giebt der Bruch, 4 — 1 52 der dann uͤbrig bleibt, n-¹ die Reihe A † : 4 CzZ2 † Dz3 † ꝛc. und ſo iſt offenbar, 1N w daß M M guchſoben A guchſbe a † bz † c2 ꝛ:c. = 1B † Cz † De † Ez2 Pit. 1 201 — a2 — B82 — 723— 26.) 7 — M HZ 8 U . — 2 – 822 –—2c. ſeyn werde. Auf eine aͤhn Art wird — „ e. Nufeine hnliche Aet diedd: rc:z Tic). .Y A B 20 . — — † — † C † D 2 † ꝛc. uͤberhaupt iſt 4 Min 2 Zæ 1 2 CTFDZTE:⸗ Ti und uͤberh bt iſt öhangt; 4 P† bz † c 22 † ꝛc. A 8 O ch einen 2m (1 – 2 — £ 22— 723 — 2c.) 2m 2 m-I 2Zin -2 wickelten D † — f ꝛc. m mag eine Zahl bedeuten, was für eine dehrenden 2 n - 3 hot ebet es will. rgeh H vX O A 2Sðèð VE. 80 Errſtes Buch. Viertes Capitel. Da man durch die Subſtitution eine andere veraͤnder⸗ liche Groͤße anſtatt der ⸗ in die gebrochenen Funktionen einſuͤhren, und alſo jede gebrochene Funktion auf unzaͤhlige Arten ausdrucken kann: ſo kann man auch eine und dieſelbe gebrochene Funktion auf unendlich viele Arten durch wieder⸗ kehrende Reihen darſtellen. Iſt z. B. der Bruch y = 824 † ꝛc. wird: ſo erhaͤlt man, wenn man 2 = — ſetzt, . gegeben, wo alſo y»„ = I † 22 † 322 † 523 † — (I † x) I1 † X I † X — X X I T† X — XX = I † ox † XX — X 3 †. 2X4 — 3xX 5 † 5x 6 — ꝛc. ſo wird nun y = — X – OX2 — X3 † XK4 – 2 x5 † 3 X6 — 5 X7 †T ꝛc. XX P X ; und da y= X X — — I I — X . — 2 — 2 X Setzt man ferner = –— —; ſo wird = – —. I † X 1— 4 ½ — XXJ und daraus y = — 2 – Io & — 42XX — 178 3 — 754X4 — ꝛc. und auf dieſe Weiſe laſſen ſich fuͤr y unzählige wiederkehrende Reihen finden. §. 71. Die irrationalen Funktionen verwandelt man nach dem Theorem „ daß m m mn m — 2n m — m (m- n) 2 b 4 Q = Pn † — P. n Q K. nR P Q F m m (m — n m — an) — 2 , Q F ꝛc. n. 31 in unendliche Reihen: dann es laufen hier die Glieder, wenn keine ganze poſitive Zahl iſt, ohne Ende ſort. Setzt man nun ſtatt m und n beſt immte Zahlen, ſo iſt (P † ) De einonder, halten kan gende: aber hi Erponen hent von alf einze raͤnder⸗ nitionen mminlige D Nejhe ch wider⸗ rich y= zu ſowicdvun 51. 2 — 21 Pr= N nach den -nH SS Von der Entwickelung d. Funkt durch unendl Reihen. 81 RM 4 — ½ 1, I — 3 I. I. 3 0(]3P A*& Q = PZ -† 4 P 0 — b 202 — § 3 2. 4 (P † Q) 2 D 2 — ½ P 3012 P 1C0* — 2.4.6 P —2 Q † ꝛc 1 I1. 2 1. 2 5S 1 2.5 &αt ο Pi r1 P — 3. 6 P- 0 1 7. 6. 9 30 — 1. S „ I. d4 2.- 4.2 E*½ E — I QO1 z. 60 30. z.6. 9 P 2 Q p ꝛc IE—4 2 4 2-T 4 TYMl — 3 6 5½ 30 1† 3.6.9 P2 Q — ꝛc. . u. ſ. f. §. 72. Die Glieder dieſer Reihen folgen alſo auf die Art auf einander, daß man ein jedes aus dem vorhergehenden er⸗ halten kann. Denn iſt irgend ein Glied der Reihe, weiche m m — kr kn aus (P † OQ) n entſpringt, = M P 2n , ſo iſt das fol⸗ “ m — (k † I) n gende = = A Qk 1 Man muß aber hierbey bemerken, daß in jedem folgenden Gliede der Exponent von P um eins abnimmt, und dagegen der Expo⸗ nent von Qum eins waͤchſet. Und damit die Anwendung auf einzelne Faͤlle leichter werde, ſo kann man die allgemeine mm Q Form (P † O 1 ſo ausdrucken ? n r † = P) z denn ent⸗ vickelt man den Ausdruck (1 † - P) n, und multiplieirt Kulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. I. HB. F man – Grrrn 82 Erſtes Buch. Viertes Capitel. . in man die daraus entſpringende Reihe durch Pn, ſo erhoͤſt man dadurch die vorhergehende. Ferner kann man, da m nicht bloß die ganzen Zahlen, ſondern auch jeden Bruch vorſtellt, n immer der Einheit gleich ſetzen. Thut man Q nun dieſes, ſo wird, wenn man P. welches eine Funktion von 2 iſt, = 27 ſetzt, (112) M m(m—– 1) 2 . m(m- I W¶(m — 2) 7 ate. 1 1 2 I . 2 . 3 Um aber die folgenden Progreſſions⸗Geſetze zu finden, iſt es dienlich, auch dieſe? Verwandlung der allgemeinen For⸗ mel in eine Reihe zu bemerken m- m — 1 (m — 1I) (m — 2) 2 m — 1 n — — 2) (m. — mn Cn — 2 2 . §. 73. Es ſey alſo zuvoͤrderſt Z = 22, ſo iſt (1 † ½22m-r1 = 1 † r. (m-I)m= 2 (m- T) (m -— 2 (m — 2) Setzt man nun anſtatt dieſer Reihe die allgemeine Formel: ITAZ T BzZ2 † Cz3 PT. .. . . † Mzn-TI P N zn †. u. ſ. f. ſo wird ein jeder Coefficient N aus dem vorhergehenden M. auf die Art beſtimmt, daß N = = *“ M iſt. So iſt, wenn man n = I ſetzt, da alsdann M = I1 iſt, N = A = m — „; ferner, wenn man n = 2 ſetzt, da alsdann m-= 4 m — 2 M = A = —- ℳ iſt, N = B = — ℳ M = 2 (n - Gittme 1 ſo wid alf die iſt wo das de erhaͤſt dam hu wan Ne * nen For⸗ . „1 — 1 J 4 SG . Von der Entwickelung d. Funkt. durch unendl. Reihen. 98 (m — 1) m –— 2) . m — 3 1 2; und eben ſo C = 5 Im — I — 2 — H 2 3 wir die Coefficienten in der vorhin gefundenen Reihe ge⸗ habt haben. §. 74. Ferner ſey Z = az † &zz. Alsdann iſt t † er f gaz)m- rr= I — 1Cn-) aa„1†ig,t ⸗ (22 T 8 2 2) 2 † u. ſ. f. Ordnet man nun die Gieder nach den Poteſtaͤten von 2, ſo wird (1 Tæz T† 6z2) m-TI = . n-) (mn-=- 1) —) 2 4 (m-— ) (m-— 2 m — 3) 3 I . 2 1I . 2 . (m — 1) „ (m—– 1) (m – 2 1 — — es⸗ † — 2 .⸗ Drage . Setzt man daher anſtatt dieſer Reihe die allgemeine Formel: I T†T A2Z T B22 T Cz3 T.. . .. L zZn- 2 P† M zn- I -P Nzn † ꝛc. ſo wird jeder Coefficient aus den bepden vorhergehenden auf die Art beſtimmt, daß N = —,— ℳ* M † .m — 2 L. n 2 fec. iſt; und hiernach laſſen ſich die Coeffieienten aller Glieder aus dem erſten = I finden. Es iſt nemlich (m — 1)9 (m — 2) 4 A † (2 m — 2) 2 2 (m — 3) 2 B n— A 3 3 D = C † .— 3 4½ 3 A = B =— C = 84 Erſtes Buch. Viertes Capitel. §. 75. Wenn 2Z = a 2 † 822 † „/23 iſt, ſo iſt (G.mε er l 72) n-r = 1 ¼ — e, 1 s2: 1223) 1 — 22 Cas l6a 1723) 2 12. 4₰ 2 und ordnet man die Glieder dieſer Reih e nach den Poteſtaͤten von 2, ſo erhaͤlt man r Dar (m-—2) 2 2 (in --1 Mm =— 2) (m — 3 ð † — — * 3 ½ J . 2 Z 1 “ . . 2 P20. 2 1 (m — 1) 823 † 1. — 1) (m– 1 I 2 * — ,(m – I) †. 7 23 † ꝛc. Daͤmit aber das Geſetz dieſer Reihe deſto beſſer in die Au⸗ gen falle, ſo ſetze man an ihrer Stelle I T AZ’† BZ2 † CzZz3 †. † K Zzn- 3 †. L zn- 2 † Mzn-T† Nzn. Hier wird der Coefficient eines jeden Gliedes aus den drey vor! hergehenden auf die Art beſtimmt, daß N = = ℳ* M† 11 (Am- n) (3 m — 8 L † — K iſt. Da nun das erſte Glie = I, und die vordemſelben vorhergehenden oſind; ſo iſt A = — (— B= C- 2) 4 (Am — 2) ½ 2 2 m ₰3 Lm — 2 D= (m — 4) 04 E 5 † Gn⸗ 4 4 + FE = Pon Es wit den beu Ponti Ree mit d „ — 02 41 † — — — = — bkeſtäten tebd indzſi Von derEntwickelung d. Funkt. birch unendl. Reihen. 385 (n 5. ⸗D † — Qn O 0 c x B u. ſ. f. 2 Ueberhaupt alſo werden, wenn AIP22 822 † S 524 ¹ .) m-T = I LAZ T BzZ geſetzt wird, die Coefficienten eines jeden einzeln Gliedes aus dem vorhergehenden auf die Art beſtimmt, daß = W◻☛0611 — — & I m —2 (2m –2 5= ☛ ,A f 25 — z) — — 2 = W „* B † Om- 3 6EA † Qn A 3 3 = 4 0 . 21— ) 4 C 2 An , — Br — AT –— 4 4 . E = — ℳ* D † n 5 c En C — 2 — A 5 5 5 SS m — 5) 5 Es wird nemlich ein jedes Glied aus ſo viel vorhergehen⸗ den beſtimmt, als man Buchſtaben , 8, 7, d, u. ſ. f. in der Funktion von? hat, deren Poteſtaͤt in eine wiederkehrende Reihe verwandelt wird. Uebrigens ſtimmt dieſes Geſetz mit dem §. 68, wo wir die aͤhnliche Formel (1 — =z — 62² — Y2 3 — u. ſ. w.) -m-= I in eine unendliche Reihe F 3 auf: 86 Erſtes Buch. Viertes Capitel. ꝛe. aufloͤſten, uͤberein. Denn wenn man — m anſtatt m ſetzt, und die Buchſtaben 4«, 8B, 7, à, u. ſ. f. negativ nimmt, ſo erhaͤlt man in beyden Faͤllen durchaus einerley Reihen. Inzwiſchen iſt hier nicht der Ort, dieſes Geſetz aus allge⸗ meinen Gruͤnden zu beweiſen, dies kann erſt dann auf eine bequeme Art geſchehen, wenn die Anfangsgruͤnde der Dif⸗ ferential⸗Rechnung vorausgeſetzt werden koͤnnen: jetzt iſt es hinlaͤnglich, die Richtigkeit deſſelben durch die Anwen⸗ dung auf alle darunter begriffene einzelne Faͤlle gezeigt zu haben. Fuͤnftes Von O trachtet ſie ins Grbßer durch,n derlichen ſoleſche bey der liger unt betändert ſchng in R manſie ſtimmte Wſic von o veraͤn mung brige der ub 4 Fuͤnftes Capitel. Von den Funktionen zweyer oder mehrerer veraͤn⸗ derlichen Groͤßen. §K. 77. Os wir gleich bisher mehrere veraͤnderliche Groͤßen be⸗ trachtet haben, ſo waren dieſelben doch immer von der Art, daß ſie insgeſammt Funktionen von einer einzigen veraͤnderlichen Groͤße waren, und daß, wenn man eine davon beſtimmte, da⸗ durch zugleich alle uͤbrigen beſtimmt wurden. Allein die veraͤn⸗ derlichen Groͤßen, die wir nunmehr betrachten werden, ſind ſo beſchaffen, daß keine von der andern abhaͤngt, und daß bey der Beſtimmung der einen die uͤbrigen nichts deſto we⸗ niger unbeſtimmt und veraͤnderlich bleiben. Dergleichen veraͤnderliche Groͤßen, z. B. X, y, 2, ſtimmen alſo in An⸗ ſehung ihrer Bedeutung mit einander uͤberein, weil eine jede alle beſtimmte Werthe unter ſich begreift; allein, wenn man ſie unter einander vergleicht, ſo findet darunter die groͤßte Verſchiedenheit ſtatt; indem, wenn die eine 2 einen be⸗ ſtimmten Werth erhaͤlt, die uͤbrigen X und y noch eben ſo weit ſich erſtrecken, als vorher. Der Unterſchied zwiſchen von einander abhaͤngigen und von einander unabhaͤngigen veraͤnderlichen Groͤßen beſteht alſo darin, daß die Beſtim⸗ mung der einen bey jenen zugleich die Beſtimmung aller uͤbrigen nach ſich zieht, bey dieſen aber auf die Bedeutung der uͤbrigen nicht den geringſten Einfluß hat. 88 Erſtes Buch. Fuͤnftes Capitel. Vd. 8. 78. nuen Line Funktion zweyer oder mehrerer veraͤnderlichen tgn Groͤßen X, y/ 2, iſt daher ein Ausdruck, der auf irgend aige eine Art aus dieſen Groͤßen zuſammengeſetzt iſt. . 1. d Es iſt alſo 3 † Xyz † aze eine Funktion dreyer ver⸗ watic aͤnderlichen Groͤßen X, y, 2; und es bleibt dieſe Funktion, men wenn auch darin eine veraͤnderliche Groͤße z. B. 2 beſtimmnt, en⸗ d. h. an ihrer Stelle eine beſtaͤndige Groͤße geſetzt wird, inderle noch immer eine veraͤnderliche Groͤße, nemlich eine Funk⸗ hebt tion von X und y; ja wenn auch außer 2 noch y beſtimmt durch der wird, ſo iſt ſie doch noch eine Funktion von x. Es erhaͤlt üuuſtger daher eine ſolche Funktion mehrerer veraͤnderlichen Groͤßen nicht eher einen beſt ſtimmten Werth, als bis alle einzelne veraͤnderlichen Groͤßen derſelben beſtimmt ſind. Da nun Eet jede veraͤnderliche Groͤße auf unendlich viele Arten beſtimmt ngle un werden kann, ſo muß eine Funktion zweyer veraͤnderlicher und ge Groͤßen, da ſie fuͤr jede dieſer Groͤßen unendlich vieler Be⸗ N ſtimmungen faͤhig iſt, auf unendliche mal unendlich viele N Arten beſtimmt werden koͤnnen. Bey einer Funktion dreyer ninn veraͤnderlichen Groͤßen iſt aus eben dem Grunde die Anzahl “ der Beſtimmungen noch unendlich vielmal groͤßer, und auf Nen eine aͤhnliche Art waͤchſt dieſelbe, wenn noch mehr veraͤn⸗ huki derliche Groͤßen da ſind. un tockon We . 79. uu man theilt die Funktionen mehrerer veraͤnderlichen in Groͤßen, eben ſo wie die Funktionen einer einzigen, ſehr Dduind bequem in algebraiſche und tranſcendente ein. ſ Unter jenen verſteht man ſolche, deren Zuſammenſetzung meh bloß auf den algebraiſchen Operationen beruht; unter die⸗ alge ſen aber diejenigen, zu welchen zugleich tranſcendente Ope⸗ ra rationen erfordert werden. Man koͤnnte dieſe letztern von e 8 “ neuem zt witd, je Funk⸗ 3 erhaͤlt N n beſtinnt nderlicher ſeler Be⸗ ich viele n Neher je Mohl Und auf tagan etlichen ſckuns nter die nte een bon ſeuem V. d. Funkt. zweyer oder mehrerer veraͤnderl. Groͤßen. 8 9 neuem darnach eintheilen, daß die tranſcendenten Opera⸗ tionen entweder alle, oder nur einige, oder gar nur eine einzige veraͤnderliche Groͤße angehen koͤnnen. Man nehme z. B. den Ausdruck 22 † ylog. z. Dies iſt allerdings eine tranſeendente Funktion von y und 2, weil ſie den Logarith⸗ men von:? enthaͤlt; aber ſie iſt ſolches gleichwohl nur in einent niedrigen Grade, weil bey der Beſtimmung der ver⸗ derlichen Groͤße? eine algebraiſche Funktion von y uͤbrig bleibt Indeß waͤre es von keinem Rutzen, wenn man urch dergleichen Unterabtheilungen die Unterſuchung weit⸗ laͤuftige ger machte. 9. 80. Ferner werden die algebraiſchen Funktionen in ratio⸗ nale und irrationale, und die rationalen wieder in ganze und gebrochene eingetheilt. Was man unter einer jeden dieſer Arten von Funktio⸗ nen zu verſtehen habe, iſt aus dem erſten Capitel [§. 8 und 9] bekannt. Eine Funktion iſt nemlich alsdann rational, wenn keine von den veraͤnderlichen Groͤßen, von welchen ſie eine Funktion iſt, ein Wurzelzeichen vor ſich hat, und eine ganze Funktion, wenn darin keine veraͤn derlichen Bruͤche vorkommen, ſo wie ſie in dieſem Falle ein Bruch iſt. Der allgemeine Ausdruck einer ganzen Funktion zweyer veraͤn⸗ derlichen Groͤßen iſt daher: = † 7* † gz † à⅛y* † y z † 522 †P » 2 3 9y22 † y 22 † 2 2 3 † u. ſ. f.; und wenn P und Q dergleichen ganze Funktionen entweder gwsper oder mehrerer veraͤnderlichen Groͤßen bedeuten, ſo iſt 5 ein allgemeiner Ausdruck der gebrochenen Funktionen. Die irrationalen Funktionen endlich ſind auch hier wieder ent⸗ weder entwickelte oder verwickelte; jene werden vermittelſt 90 Erſtes Buch. Fuͤnftes Capitel. der Wurzelzeichen abget ſondert dargeſtellt, dieſe aber in einer unaufloͤsbaren Gleichung gegeben. So iſt Weine verwickelte irrationale Funktion von und 2, wenn V' = (ayz † 23) V 4 Gvar 24) V T y 5 1† 2 a y23 † 25 iſt §. 81. Auch findet bey den gegenw waͤrtigen Funktionen die Eintheilung in einfoͤrmige und vielfoͤrmige eben ſo gut ſtatt, als bey den Funktionen einer einzigen veraͤnder⸗ lichen Groͤße. So ſind die rationalen? Funktionen einfoͤrmige, weil ſie, wenn man jede ihrer verznderlichen Groͤßen beſtimmt, nicht mehr als einen Werth geben. Laͤßt man nun bp, Q, R, , u. ſ. f. rationale oder einfoͤrmige Funktionen von X, y, 2 bedeuten, ſo iſt V eine zweyfoͤrmige Funktion eben dieſer Groͤßen, wenn V — PV † Q =o iſt; denn in dieſem Falle erhaͤlt V, man mag xX, y und 2, was fuͤr einen be⸗ ſtimmten Werth man will ertheilen, nie Einen, ſondern allezeit einen doppelten beſtimmten Werth. Auf eine aͤhn⸗ liche Art iſt V eine dreyfoͤrmige Funktion, wenn V — PV † QV —– R = o; und eine vierfoͤrmige, wenn VS — PV p† QV —–— RV † S = wiſt. Hieraus laͤßt ſich leicht beurtheilen, wie es mit den abrigen vielfoͤrmigen Sunktionen beſchaffen iſt. §. 82. So wie, wenn man eine Funktion Einer veraͤnderlichen Groͤße =o ſetzt, dadurch die veraͤnderliche Groͤße⸗ einen beſtimmten, einfachen entweder oder vielfachen, Werth er⸗ haͤlt: ſo wird, wenn man eine Funktion zweyer veraͤnder⸗ lichen Ldd ſchen ſiben G Funktion der abhi Funktiot ſetzt, je ubrigen. geſchieht, heſtändige geſett wir inderliche eine veral eine Fun aber zuo ſtümmen Vor; Funktio in hom hon tben die einer ſkelte 11 † rzndor weil ſe, nt, nicht 1x1,,2 en dieſel dielem nen de⸗ ſondern eine ahn⸗ ichen 1 nen erth ⸗ einder⸗ ſcchen B. d. Funkt. zweyer oder mehrerer veraͤnderl. Groͤßen. 91 lichen Groͤßen und? gleich o ſetzt, jede von dieſen veraͤnder⸗ lichen Groͤßen durch die andere beſtimmt, und daher eine Funktion derſelben, ohnerachtet ſie vorher nicht von einan⸗ der abhiengen. Auf eine aͤhnliche Art wird, wenn man eine Funktion dreyer veraͤnderlichen Groͤßen , y und z = 0 ſetzt, jede dieſer veraͤnderlichen Groͤßen durch die beyden uͤbrigen beſtimmt, und eine Funktion derſelben. Eben das geſchieht, wenn eine Funktion nicht der Null, ſondern einer beſtaͤndigen Groͤße, oder auch einer andern Funktion gleich geſetzt wird; denn es wird aus jeder Gleichung, ſo viel ver⸗ aͤnderliche Groͤßen ſie auch enthalten mag, doch immer die eine veraͤnderliche Groͤße durch die uͤbrigen beſtimmt, und eine Funktion derſelben: zwey verſchiedene Gleichungen aber zwiſchen ein und denſelben veraͤnderlichen Groͤßen be⸗ ſtimmen je zwey und zwey davon durch die uͤbrigen u. ſ. f. Vorzuͤglich merkwuͤrdig aber iſt die Eintheilung der Funktionen zweyer oder mehrerer veraͤnderlichen Groͤßen in homogene und heterogene. Homogen iſt eine Funktion, wenn darin allenthalben eben dieſelbe Anzahl von Dimenſionen der veraͤnderlichen Groͤßen befindlich iſt; und heterogen, wenn die Anzahl die⸗ ſer Dimenſionen verſchieden iſt. Es wird aber hierbey eine jede einzelne veraͤnderliche Groͤße fuͤr eine Dimenſion, das Quadrat davon, oder ein Produkt aus zweyen, fuͤr zwey Dimenſionen, ein Produkt aus dreyen, ſie moͤgen nun ein⸗ ander gleich oder ungleich ſeyn, fuͤr drey Dimenſionen ge⸗ rechnet, u. ſ. w. und auf die beſtaͤndigen Groͤßen ſieht man bey der Zaͤhlung der Dimenſionen gar nicht. Auf dieſe Art legt man den Ausdruͤcken «y; 8 eine; dieſen, =y2; 6)2;3 722, zwey; den folgenden, «ys; sy22; 7722; 523, drey: 92 Erſtes Buch. Fuͤnftes Capitel. 2 Vd drey; und dieſen y4; 6y 32; 7y222; %z3; s24, vier N0 Dimenſionen bey, u. ſ. f. he 1 : 6. 84. t: Wir wollen dieſe Eintt heilungen zuvoͤrderſt auf die gan⸗ daher zen Funktionen, und zwar bloß auf die ganzen Funktionen ſonen zweyer veraͤnderlichen Groͤßen anwenden, indem mehr ver⸗ , aͤnderliche Groͤßen hier keinen Unterſchied machen. etah EEs iſt alſo eine ganze Junkti ion eine homogene Funk⸗ J. 2 tion, wenn ſich in allen ihren Gliedern, einzeln genom⸗ 17 men, eine gleiche Anzahl von Dimenſionen findet. erſion Dieſe Funktionen theilt man wieder ſehr bequem nach Aulld der Anzahl der Dimenſionen ein, welche man allenthal ben 1 in ihnen antrifft. So iſt «y † 6? die allgemeine Form der Hl ganzen Funktion von einer Dimenſion; «y⸗ † syz † 722 hingegen die allgemeine Form der Funktionen von zwey d Dimenſionen; ferner =y † &y22 † v7τ* † à23 die all⸗ tin gemeine Form der Funktionen von drey Dimenſionen; Direrſ „yA † 6y 32 T Yy222 † 7yz3 † s24 die allgemeine Form diteh der Funktionen von vier Dimenſionen; u. ſ. f. Nach der ſbe Analogie kann man daher auch eine beſtaͤndige Groͤße , ſdern ohne alle veraͤnderliche Groͤße, eine Funktion von keiner fon den Dimenſion nennen. N Wo Eine gebrochene Funktion ferner iſt homogen, wenn e, ihr Zaͤhler und Nenner hemoene Funktionen ſind. Funkti⸗ So iſt dieſer Bruch W z — eine homogene Funk⸗ tion von y und z. Was aber die Anzahl der Dimenſionen bey dergleichen Funktionen betrifft, ſo erhaͤlt man ſie, wenn zu, man die Zahl der Dimenſionen im Nenner von der Zahl . der H dieger. Unktionen nehr ber⸗ nem noch⸗ nkhalben orn der 1 †71 hon jwey 3 hbie al⸗ enſionen; neeen Nac der Grcſe 4, on keinen 4 V. d. Funkt. zweyer oder mehrerer veraͤnderl. Groͤßen. 93 der Dimenſionen im Zaͤhler abzieht; ſo daß alſo der ange⸗ fihrte Bruch eine Funktion von einer Dimenſion, und y eine Funktion von drey Dimenſionen iſt. Wenn daher der Zaͤhler und Nenner gleiche Mengen von Dimen⸗ ſionen enthaͤlten, ſo wird der Bruch ein⸗ Funktion von kei⸗ 3 † ner Dimenſion, wie ſolches bey desgleichen bey X; 22: 6) ſtatt findet: und iſt die Anzahl der Di⸗ menſionen im Nenner groͤßer als im Zaͤhler, ſo wird die Zahl der Dimenſionen des Bruchs negativ. So iſt z. B. 72 eine Funktion von I Dimenſion; 4 eine 1I 1 Funktion von — 3 Dimenſionen; ine Kunk⸗ Funktion von — 3 Dimenſionen; = eine Funk tion von — 5 Dimenſionen, weil in dem Zaͤhler gar keine Dimenſion Rrreffen iſt. Uebrigens erhellet von ſelbſt, daß mehrere homogene Funktionen, die alle eine und die⸗ ſelbe Anahe von Dimenſionen haben, zu einander addirt, oder von einander ſubtrahirt, wieder eine homogene Funk⸗ tion von eben der Anzahl von Dimenſionen geben. So iſt „ 2z3 y-4 † à24 der Ausdruck «y † — 3 VZ TVYZZ . ,. , 12 2 2 vy † 212« einer, dieſer hingegen ⸗ . 2 — f .I eine 2 VVy VV— 22 Innktion von gar keiner Dimenſion. eine Funktion von Was bisher von den homogenen Funktionen geſagt wor⸗ den iſt, erſtreckt ſich auch auf die irrationalen Funktionen. Iſt daher P irgend eine homogene Funktion, und die Zahl ihrer 1 ſtehen, homogene Funktionen von n, an, zn Dimenſionen 94 Errſtes Buch. Fuͤnftes Capitel. ihrer Dimenſionen alſo n: ſo iſt V Peine Funktion von n, „ P eine Funktion von 4 En, und uͤberhaupt “ eine Funk⸗ tion von Dimenſionen. Es iſt folglich V (yy † 22) e: P — 9 292,9 eine Funktion von einer, (y † 2) eine Funktion von dreyen, a⸗ † 22) eine Funktion von 2 Dimenſionen, und yy T2 eine Funktion von keiner Dimenſion. Dieſes mit V (y4 † 24 dem vorhergehenden zuſammengenommen, ſo erhellet, daß y V (yy T 22) — — E 6 4 äl eine homogone Funktion von — 1 Dimenſion iſt. §. 87. Ob eine verwickelte irrationale Funktion homogen ſey oder nicht? laͤßt ſich hieraus leicht erkennen. Es ſey V eine ſolche verwickelte Funktion, und V † PVZ †T QVFRS=o, ſo daß P, Q und R Funktionen von y und z ſind. Hier faͤllt nun zuvoͤrderſt in die Augen, daß V keine homogene Funktion ſeyn kann, wofern nicht auch b, Q und R homo⸗ gene Funktionen ſind. Setzt man ferner die Anzahl der Dimenſionen in V gleich n, ſo iſt V' eine Funktion von 2n, und V eine Funktion von 39 Dimenſionen; und da nun allenthalben eben dieſelbe Anzahl von Dimenſionen ſtatt fin⸗ den muß, ſo muß P eine Funktion von n, Q eine Funktion von en, und R eine Funktion von zn Dimenſionen ſeyn. Wenn alſo P, Q und R in der Ordnung, in welcher ſie hier ſind, Dimenſ Wen von p un ſo verwa Dignitar ale ein⸗ ls ſie menſion Die ers en, Md nehr iſt N Ne di 1 8 Seße ſowed wonen ſ ſey Vee nd. Hier Howogene⸗ d N hon⸗ Mtil der en bon?n, õ V. d. Funkt. zweyer oder mehrerer veraͤnderl. Groͤßen. 95 2 ſind, ſo ſchließt man daraus, daß Veine Funktion von n Dimenſionen ſey. Iſt z. B. V † (yA † 24) V5 ayS V — 2 ° = 0; ſo iſt Veine homogene Funktion von zwey Dimenſionen von y und 2z. * 4 §. 88. Wenn V eine homogene Funktion von n Dimenſionen von y und z iſt, und man darin allenthalben y = u? ſetzt: ſo verwandelt ſich die Junktion V in ein Produkt aus der Dignitaͤt zu in eine Funktion der veraͤnderlichen Groͤße u. Es werden nemlich durch die Subſtitution yp = uz in alle einzelne Glieder eben ſo hohe Poteſtaͤten von 2 gebracht, als ſie vorher von y enthielten: und da die Anzahl der Di⸗ menſionen von y und z in jedem Gliede n war, ſo muß nun die veraͤnderliche Groͤße z allenthalben n Dimenſionen ha⸗ ben, und alſo in jedem Gliede die Dignitaͤt zu ſeyn. Nun⸗ mehr iſt daher auch die Funktion V durch 2n theilbar, und der Quotient wird, wenn man wirklich theilt, eine Funk⸗ tion von der einzigen veraͤnderlichen Groͤße u. Um dieſes zuvoͤrderſt an einer ganzen Funftion zu zeigen, ſo ſey V = ay 3 † 6y22 † YyzZ2 † 323. Setzt man hier y= uz, ſo wird V = 23 (æ u3 † gu † „à u † ⁹) Aber auch von den Bruͤchen git dieſe Behauptung. Denn es ſey V = *A = und alſo eine Funktion von — 1I Dimenſion. Macht man wieder y = u2, ſo wird V = 2- I (E 1 4. u u † 1 Ja ſelbſt die irrationolen Funktionen ſind nicht davon aus⸗ af X1 VWCV T 22) eſchloſſen. Denn iſt V = geſchloſſen. Denn iſt 2 VyS T 23), Funktion von — ¾ Dimenſionen: ſo wird, wenn man y = uz ſetzt, und aſo eine 96 Erſtes Buch. Suͤnſtes Capitel. ſett, V = 1 4 (1 . L V. (u 3 1) ſich daher die homogenen Funktionen Zweyer veraͤnderlichen Groͤßen in Funktionen von Einer veraͤnderlichen Groͤße ver⸗ wandeln; denn die Poteſtaͤt von? iſt, da ſie ein Faktor iſt, nicht mit in der Funktion von u enthalten. . Auf dieſe Art laſſen §. 89. Wenn alſo V eine homogene Funktion der beyden ver⸗ aͤnderlichen Groͤßen y und z von keiner Dimenſion iſt, ſo wird ſie, wenn man y = u? ſetzt, in eine reine Funktion einer einzigen v veraͤnderlichen Groͤße u verwandelt. Denn da die Zahl der Dimenſionen = o iſt, ſo wird die Dignitaͤt von 2, womit die Funktion von u multiplicirt werden muß, 20 = I, und in dieſem Falle faͤllt die veraͤnder⸗ liche Groͤße ? ganz aus der Rechnung weg. Iſt z. B. V= Y T 1 u † I. 1— ſo wird, wenn man y= uz ſetzt, V== IU — i ſhte urtinn irrational, und z. B. V= , ſo wird, wenn man y = u? ſetzt, V = u — V (uu — 1). §. 90. Eine jede ganze homogene Funktion zweyer veraͤnder⸗ lichen Groͤßen y und 2 kann in ſo viele einfache Sgktoren von der Form «*àä † &z aufgeloſ et werden, gals ſie Dimen⸗ ſionen hat. Denn weil die Funktion homogen iſt, ſo wird ſie durch die Subſtitution p„= u⸗ in ein Produkt aus zn in eine ganze Funktion von u verwandelt, welche folglich in ein⸗ fache Faktoren von der Form =u † 8 aufgeloͤſet werden fann. M ultiplieirt man nun alle dieſe Jaktoren mi 2, ſo wird Vd⸗ wird e hrucht, ventſte gat. 0 dder im der reel Hie⸗ ſonen a, Formn Cber drer Und auf ibrigen menſionn 33 1 4,r Und n ( Euler dendo ion iſt, 0 unktion l⸗ U⸗ * . ealete e berander⸗ 9 — Vͤ V.d. Funkt. zweyer oder mehrerer veraͤnderl. Groͤßen. 97 wird ein jeder auf die Form «uz † 62 = ay † 82 ge⸗ bracht, indem u 2 = y iſt; und da ꝛn ein Multiplicator iſt, ſo entſtehen daher ſo viel ſolcher Faktoren, als n Einheiten hat. Es ſind aber dieſe einfachen Faktoren entweder reell oder imaginaͤr, d. h. die Coefficienten « und 2 ſind entwe⸗ der reelle oder imaginaͤre Groͤßen. Hieraus folgt alſo, daß die Funktion von zwey Dimen⸗ ſionen ayy † byz † czz zwey einfache Faktoren von der Form ay † β; die Funktion ay3 † byzz † cyz2 † dz32 aber drey einfache Faktoren von der Form «y † ez hat; und auf eine aͤhnliche Art verhaͤlt es ſich ferner mit den uͤbrigen ganzen homogenen Funktionen von mehrern Di⸗ menſionen. * *) Die entwickelte Form einer ganzen homogenen Funktion d von y und ? iſt: Ayn † Byn -12 † Cyn-222 † Dyn- 323 P ...P Ozn und ſelbige verwandelt ſich durch die Subſitution y = u⸗ in 21 (Aun † B un- I † Cun-2 † Dun- 3 † . † 0) Da nun Aun † Bun-T † Cun-2 † Dun- 3 1. „ † O=4 ℳN (u † a) (u † b) (u † c) (u † d) ꝛc. 1 iſt: ſo wird zn (A un † B un- T † C un- 2 † D un- 3 P.. .. † 0) = A2n (u ancu † b) (u 4 c) a rc) ꝛe. = und hiervon ſind die Sakioren nzV-A † az VA; V . uz V A † bzV A; 2à ¹ 2 VA; Bieeeinlin d Angl, Unendl.. . G Setzt 98 Erſtes Buch. Fuͤnftes Capitel. DDo Men F Sest man alſo in dieſen Faktoren u? = y, V. A S= æn, go in de und y. A, mit a oder b oder c oder d ꝛe. multipliecirt, = 8, be un ſo erhaͤlt man fuͤr einen jeden die Form ⸗y † 22. eenn 6. 91. i. S doppelte So wie daher der Ausdruck y † z eine allgemeine ſealzei Form fuͤr die ganzen Funktionen von einer Dimenſion iſt: e gehl ſo iſt (2y † 2 2) (vy † à2) eine allgemeine Form der gan⸗ hm. Ee zen Funktionen von zwey, und (ay †42½) (vYy † 2) («y † 52) Entün, eine allgemeine Form der ganzen Funktionen von drey Di⸗ athit. menſionen; und auf eine aͤhnliche Art kann man jede ganze borin d homogene Funktion durch ein Produkt aus ſo viel Faktoren Ded, von der Form ⸗y † 8 darſtellen, als die Funktion Dimen⸗ perden ſionen hat. Man findet aber dieſe Faktoren auf eben die ger es⸗ Art durch die Aufloͤſung der Gleichungen, auf welche nach Zintti dem Obigen die einfachen Faktoren der ganzen Funktionen ate Einer veraͤnderlichen Groͤße gefunden werden. Uebrigens Piin, erſtreckt ſich dieſe Eigenſchaft der homogenen Funktionen M . zweyer veraͤnderlichen Groͤßen nicht auf die homogenen Funk⸗ tieonen dreyer oder mehrerer veraͤnderlichen Groͤßen: denn die allgemeine Form dieſer Funktionen von nicht mehr als zwey Dimenſionen, nemlich ⸗yy † byz cyx † dxz † exxX † f22, laͤßt ſich nicht in jedem Falle auf ein Produkt eine hgeſ von der Form (a« † 8β2 † 7X) (ày † =2 † &X) bringen; teydeve und noch weniger iſt man im Stande die Funktionen von indeßiſt noch mehrern Dimenſionen in dergleichen Produkte zu ver⸗ ſcchen wandeln. V Beyſpie 6. 92. ſmndet, Aus dem, was von den homogenen Funktionen geſagt lent ſo worden iſt, echellet zugleich, was man unter einer hetero⸗ man die genen algeneine enſion iſ: der gon⸗ ert dren Di⸗ ſe ganze A Fekoren kon Dimen⸗ uf ehen die velche nuch unktionen Wögens Funkinen enin Funt⸗ ſen: denn nehe al 1 drn in Pud M, ſonen von e de⸗ en in er gekeo⸗ gnen V..d. Funkt. zweyer oder mehrerer veraͤnderl. Groͤßen. 99 genen Funktlion zu verſtehen hat; dies ſind nemlich ſolche, wo in den einzelnen Gliedern nicht allenthalben eben die⸗ ſelbe Anzahl von Dimenſionen ſtatt findet. Es laſſen ſich aber die heterogenen Funktionen nach der Anzahl der in ihnen vorkommenden verſchiedenen Dimenſionen i in Arten einthei⸗ len. So iſt eine Funktion zweytheilig, wenn darin eine doppelte Anzahl von Dimenſionen ſtatt findet, ſo daß man ſie als ein Aggregat zweyer homogenen Funktionen, die in der Zahl ihrer Dimenſionen verſchieden ſind, betrachten kann. So iſt y* † 2y 322 † yy † 2z eine zweytheilige Funktion, weil ſie theils fuͤnf, theils zwey Dimenſionen enthaͤlt. Eine dreytheilige Funktion hingegen iſt eine ſolche, worin eine dreyfache Anzahl von Dimenſionen angetroffen wird, oder welche in drey homogene Funktionen zerlegt werden kann; z. B. y6 † y222 † 24 † y –— z. Außerdem giebt es aber auch gebrochene und irrationale heterogene Funktionen, die ſo vermiſcht ſind, daß ſie in keine ho⸗ mogene Funktionen aufgeloͤſet werden koͤnnen; z. B. †ayz. . by † 22 Yy — bz Bisweilen kann man eine heterogene Funktion durch eine geſchickte Subſtitution, entweder fuͤr eine oder fuͤr beyde veraͤnderliche Groͤßen, in eine homogene verwandeln; indeß iſt es nicht leicht, die Faͤlle anzugeben, wo ſolches ge⸗ ſchehen kann. Es wird daher hinlaͤnglich ſeyn, einige Beyſpiele anzufuͤhren, wobey eine ſolche Neduction ſtatt findet. R alſo die Funktion y5 † 22y † 732 k — gege⸗ hen: ſo faͤllt bey einiger Ueberlegung in die Augen, daß man h dieſeihe durch die Subſtitution 2 XxX in eine homo⸗ G 2 H gene 100 Errſtes Buch. Fuͤnftes Capitel. gene Funktion verwandeln kann; indem man dadurch y5† 7 P y3XX † — erhaͤlt, welches eine homogene Funktion von fuͤnf Dimenſionen von und iſt. Ferner wird die Funktion Y T V2X †T Vy3X 175 X4 1 in eine homogene Funktion verwandelt wenn man = — E ſetzt; denn man ece dadurch zeſe Funktion von einer Dimenſion, „1 1T. 1 deck nicht durch eine ſo einfache Subſtitution erreichen kann, ſo iſt dieſes Geſchaͤft mit viel groͤßern Schwierig⸗ “ keiten verknuͤpft. * 1 a 2. Wenn man aber ſeinen End⸗ g. 04. Auch verdient noch die ſehr gebraͤuchliche Eintheilung der ganzen Funktionen nach ihrer Ordnung, wobey man auf die groͤßte Zahl der in der Funktion vorkommenden Dimenſionen ſieht, beſonders bemerkt zu werden. So iſt xx † yy † 22 † ay — aa eine Funktion von der zweyten Ordnung, weil darin zwey Dimenſionen vorkommen; und y4 † y3 — ayzz † a byz – aayy † ba eine Funktion von der vierten Ordnung. Auf dieſe Eintheilung nimmt man vorzuͤglich in der Lehre von den krummen Linien Rückſicht. . 95. Endlich iſt noch die Eintheitung der ganzen Funktionen in complexe und incomplexe uͤbrig. Complex nennt man ine Funktion, wenn man dieſelbe in rationale Faktoren gefidſen kann, oder wenn ſie ein Produkt aus zweyen oder meh⸗ Vo mnehreen ſchen 5 1417¼1 heyden 8 11— b eine jede wey bere vei ſie / hot, ald ſe eine ganze Poktoren e denn dado⸗ giebt es Funktion V.d. Funkt. zweyer oder mehrerer veraͤnderl. Groͤßen. 10r ce mehrern rationalen Funktionen iſt. Ein Beyſpiel einer Eunetion ſolchen Funktion giebt y4 — 24 † 2 àa 23 — 2 byzz — 10422zZabzy — bbyy, welches ein Produkt aus den wird die beyden Funktionen (yy † 22 — az † by) (yy — 22 † a 2 — by) iſt. Auf dieſe Weiſe haben wir geſehen, daß eine jede ganze homogene Funktion von nicht mehr als zwey veraͤnderlichen Groͤßen eine complexe Funktion iſt, weil ſie ſo viel einfache Faktoren von der Form ay † sz Nnen, hat, als ſie Dimenſionen enthaͤlt. Incomplex iſt hingegen eine ganze Funktion, wenn ſie auf keine Art in rationale Faktoren aufgeloͤſet werden kann; wie yy † 22 — aa, erteſhnn denn davon faͤllt ſolches bald in die Augen. Uebrigens er⸗ Scrieg giebt es ſich bey der Aufſuchung der Diviſoren, ob eine Funktion complex iſt oder nicht. Nenagere Denn nen einen End⸗ Finthelung olen naon Whwenden n. So⸗ Ner wennen mnen; und Fontuon ung non mmen kiten nktinen . ennt man Fokteren peyen oer e e; Sechstes S I R . 4 ) . R H Sechstes Capitel. WVon den Exponential⸗ Groͤßen und den logarithmen. Auch bey dieſem und dem folgenden Capitel hat es mir be ſſer ge⸗ ſchienen, alle dabey noͤthigen Zuſaͤtze in den ſchon oͤfters ge⸗ dachten Anhang zu bringen. Man findet ſie daſelbſt unter der vierten Nummer. §. 96. Oogleich die Betrachtung der tranſcendenten Funktio⸗ nen eigentlich das Geſchaͤft der Integral⸗Rechnung iſt: ſo iſt es dennoch nuͤtzlich, vorher einige der leichteſten Arten, und die zugleich zu mehrern Unterſuchungen den Weg bah⸗ nen, zu erwaͤgen. Dahin gehoͤren nun zudoͤrderſt die Exponential⸗Groͤßen, oder die Poteſtaͤten, deren Exponent eine veraͤnderliche Groͤße iſt: denn daß dergleichen Groͤßen nicht zu den algebraiſchen. Funktionen gehoͤren, iſt daraus klar, weil in dieſen keine andre als bloß beſtaͤndige Expo⸗ nenten vorkommen duͤrfen. Es giebt aber verſchiedene Ar⸗ ten von Exponential⸗Groͤßen, je nachdem entweder bloß der Exponent, oder außerdem auch die zu einer Proteſtaͤt erho⸗ bene Groͤße veraͤnderlich iſt. Zu jenen gehoͤrt as; zu dieſen hingegen y⸗. Ja es kann auch der Erpenen: eine Expo⸗ nential⸗Groͤße ſeyn, wie in a a; ay. 65 y* X y. Wir ſe⸗ Een i indeß jetz dieſe Eintheiſung bey Seite, weil man die — E einepo⸗ Erone mter ſic doftr ne Debeſti tchalt. den Re ſchna. r liſer e lers e⸗ als unter n Funtir⸗ ni Kr en Nrten, DeRy Grher, die Etponent en Grtſen iſt dauu ndire n Gchene ene Ni⸗ er bos der eſa in uhe⸗ 1; dien ane Chyn 1. Pir ſe el n die Hatur Von den Exponentia!⸗Groͤßen und den Logarithmen. 103 Natur der Exponential⸗Groͤßen durch die Betrachtung der Form ar hinlaͤnglich zu erkennen im Stande iſt. h. 97. Es ſey alſo die Exponential⸗Groͤße a gegeben, welche eine Poteſtaͤt der beſtaͤndigen Groͤße a mit einem veraͤnderlichen Exponenten iſt. Da nun der Exponent? alle beſtimmteZahlen unter ſich begreift, ſo iſt zuvoͤrderſt klar, daß man, wenn man dafuͤr nach und nach alle ganze poſitive Zahlen ſetzt, fuͤr a⸗ die beſtimmten Werthe, a?; az; a3; a4; as; as; u. ſ. f. erhaͤlt. Setzt man hingegen fuͤr 2 nach und nach die negati⸗ ven Zahlen — 1; — 2; — 3 u. ſ. f. ſo bekommt man 1. I . 1. I — —2; — ; — 4; U. ſ. f. und wenn 2 = o iſt, ſo iſt allemal ao = I. Setzt man fuͤr 2 gebrochene Zahlen, wie 2 †; 3 4 4; t. . f. ſo entſtehen dadurch die Werthe V a; Va; Vaa; Va; Va= u. ſ. f. Dieſe Werthe ſind an ſich betrachtet vielfach, weil die Extraetion der Wurzel allezeit auf vielfoͤrmige Werthe, fuͤhrt: allein man pflegt dafuͤr nur immer die Hauptwerthe, d. h. die reellen und po⸗ ſitiven zu nehmen, weil man die Groͤße a⸗ als eine einfoͤr⸗ mige Funktion von 2 betrachtet. So hat a einen gewiſſen Werth, der zwiſchen a2 und as faͤllt, und iſt daher eine Groͤße von eben der Art; und obgleich der Werth von an ½ eben ſowohl = — aa Wa, als = † aa Wa iſt, ſo wird doch bloß der letzte in Betrachtung gezogen. Eben ſo ver⸗ haͤlt es ſich, wenn der Werth von dem Exponenten 2 irra⸗ tional wird. Denn da es in dieſem Falle ſchwer ſeyn wuͤr⸗ de, ſich die Anzahl der a? alsdann zukommenden Werthe zu gedenken, ſo betrachtet man bloß den einen reellen dar⸗ G 4 von. Erſtes Buch. Sechstes Capitel. von. Auf dieſe Art iſt a V 7 ein beſtimmter Werth , der zwiſchen a? und a faͤllt. §. 98. Vorzuͤglich aber haͤngen die Werthe der Exponential⸗ Groͤße ar von der Groͤße der beſtaͤndigen Zahl a ab. Denn iſt 2 = I, ſo iſt ſtets a⸗ = I1, 2 mag einen Weth bekom⸗ men, was fuͤr einen es will: iſt aber a groͤßer als 1, ſo wird der Werth von a⸗ deſto groͤßer, je groͤßer die Zahl iſt, die man fuͤr? ſetzt, und waͤchſt ſelbſt ins unendliche, wenn 2 = O0 wird; wird 2 =o, ſo wird a2⸗ = 1, und iſt z kleiner als o, ſo werden die Werthe von a⸗ kleiner als die Einheit, bis, fuͤr?z = — 00, a⸗ = o wird. Das Gegentheil findet ſtatt, wenn a kleiner als 1, aber doch eine poſitive Groͤße iſt: denn alsdann nimmt a⸗ ab, wenn uͤber o ghinauf waͤchſt, und waͤchſt, wenn man fuͤr 2 negatire Zahlen ſett. Wenn nemlich a kleiner als 1 iſt, ſo iſt — groͤßer als 1; ſezt man alſo — = b, ſo wird a⸗ = b -z, wonach man den iweyten Fall aus dem erſten beurtheilen kann. H F. 99. 3 a =o, , ſo findet ſich zwiſchen den Werthen von a⸗ ein ſehr großer Sprung. Denn ſo lange 2 eine poſitive Zahl, oder groͤßer als nichts iſt, ſo iſt ſtets a? = o; iſt 2 = 0o, ſo wird ao = I; iſt aber eine negative Zahl, ſo erhaͤlt a?z einen unendlich großen Werth. S. iſt, wenn ? = — 3 geſetzt wird, a? = 0o - 3 = = , und alſo unendlich. Noch viel groͤßere Spruͤnge kommen vor, wenn die beſtaͤn⸗ dige Vonde ebt Ounn ſe gerden! nie aus 4.4 12 16) Setzt n hald re⸗ 7 J gen teel 1 teele ſal beſt V Werth Helton lleinere kann. für — 00 ſcente ſtes SO. manf 4²=— vird, R An Ptte m der nw. ab. Dn ih beonn⸗ aſß 1, ſ die ahl nendiche, 21, Und ſeiner als d. Das roch ee enne dbet nigotve .1 ſt = ſif⸗ Von den Exponential⸗Groͤßen und den ogarithmen. 105 dige Groͤße a einen negativen Werth, z. B. — 2 bekommt. Denn ſetzt man alsdann anſtatt 2 die ganzen Zahlen, ſo werden die Werthe von 2z wechſelsweiſe poſitiv und negativ, wie aus dieſer Reihe erhellet: a73; ; a2; a-I; ao; al; a?; aa; à4; ꝛc. † 5; — ¼; † 4; — ¾; 1; –— 2; † 4; — 8; † 16; ꝛc. Setzt man ferner Bruͤche fuͤr 2, ſo bekommt a⸗ = (— 2) * bald reelle bald imaginaire Werthe; ; indem z. B. a² = V — 2 imaginaͤr, a² = V — 2 =— Vz hinge⸗ gen reell iſt. Ob aber, wenn z irrational genommen wird, a? reelle oder imaginaͤre Werthe gebe, laͤßt ſich nicht ein⸗ mal beſtimmen. 56(m. 100. DRUWUDQ Vegen dieſer Unbequemlichkeiten bey den negativen Werthen von a wollen wir a poſitiv und groͤßer als die Ein⸗ heit annehmen, weil man die Faͤlle, wo a eine poſitive und kleinere Zahl als die Einheit iſt, leicht hierauf zuruͤckfuͤhren kann. Nimmt man glſo a? = y, ſo erhaͤlt y, wenn man fuͤr 2 alle reelle poſſtibe Zahlen, die zwiſchen † Oο und — Oo fallen, ſetzt, alle reelle poſitive Werthe, die zwi⸗ ſchen † O und oliegen. Denn iſt? = 0ο, ſo wird „= 00O; iſt ? = o, ſo wird y= I; und wirdez = — 00, ſo wird „ = o. Umgekehrt wird daher auch jeder poſitive Werth, den man n fuͤry annimmt, einen reellen Werth fuͤr 2 geben, ſo daß = „ iſt; wenn aber y ein negativer Werth beygelegt wird, ſo kann⸗ keinen reellen Werth haben. §. IOI. Wenn alſo y = a? iſt, ſo iſt y eine Funktion von?; und wie y von ⸗ abhange, das laͤßt ſich aus der Natur der Poteſtaͤten erkennen, denn dadurch wird, wenn man 2z ei⸗ nen gewiſſen Werth beylegt, der Werth von y beſtienms⸗ G 5 6 106 Erſtes Buch. Sechstes Capitel. Es iſt aber yy = àa 2?; y 3 = e und uͤberhaupt y n = anz; woraus folgt, daß W = aà² . Vy a * = àa 75 — = a 22; – = à 2 ½ U. ſ. f. ſeyn werde. vyy VVy , . X † Zz Ferner iſt, wenn v = ax geſetzt wird, vy = a zund 7 Werth von y aus dem gegebenen Werthe von leicht finden. Exempel. Wenn a = 10 iſt, ſo laſſen ſich die Werthe von p wenn man fuͤr 2 ganze Zahlen ſetzt, ohne alle Rechnung finden. Es iſt nemlich 10 r¼ = 1I0; 102 = 100; 103 = 1000; 104 = 10000; und 100°= 1; ferner 10-1 I 1 – — = O0, I 5 10-2 = — = 0, ol; 103 = — — 10 100 1000 = o, oor. Wenn aber fuͤr 2 Bruͤche geſetzt werden, ſo kann man die Werthe von „ vermittelſt der Extraction der Wurzeln erhalten. So iſt 105 = WI0 = 3, 162277, §. 102. So wie man aber, wenn die Zahl a gegeben iſt, aus jedem Werthe von? den Werth von y finden kann: ſo laͤßt ſich auch umgekehrt aus jedem poſitiven Werthe von „y der dazu gehoͤrige Werth von z beſtimmen, ſo daß a?s =y wird; und dieſer Werth von 2 pflegt, in ſo fern er als eine Funk⸗ tion von y betrachtet wird, der Logarithme von y genennt zu werden. Es macht daher die Lehre von den Logarith⸗ men die Annahme einer gewiſſen beſtaͤndigen Zahl fuͤr a nothwendig, und man nennt deswegen auch dieſe Zahl die Baſis der Logarithmen. So bald ſie feſtgeſetzt iſt, ſo iſt = ax-z. Vermittelſt dieſer Formeln kann man den Pond Ner lo⸗ ſitar, ſtz den man ſie woraus geich noch h die poſit der doge denn d ſer?: Ferne die E der S⸗ 146f. Baſis deren geyen, ſudne wſ. keine Herkt Ijr Sn jedern mit 12,1 1 . werde. r N man den htfinden. e don y Rechnung ; ner 1o-1 —— =— eben, ſo en de nn, i, nn: ſ⸗ /N 3 vird . e Funt⸗ genennt logori fir⸗ hl Ne⸗ ,ſi der Von den Exponential⸗Groͤßen und den vogarithmen. 107 der Logarithme einer jeden Zahl y der Exponent der Pote⸗ ſtaͤt a?, wobey denn die Poteſtaͤt a⸗ ſelbſt der Zahl y gleich iſt; den Logarithmen der Zahl y aber anzuzeigen, bedient man ſich dieſer Bezeichnung, ly. Iſt alſo a? = y ſo iſt 2 = ly; woraus erhellet, daß die Baſis der Logarithmen, wenn ſie gleich uͤbrigens willkuͤhrlich angenommen werden kann, den⸗ noch groͤßer als die Einheit ſeyn muß, und daß alſo bloß die poſitiven Zahlen reelle Logarithmen haben. 5. 103. Was man nun aber auch fuͤr eine Zahl fuͤr die Baſis der Logarithmen a annehmen mag, ſo iſt doch allezeit 11 = 0; denn wenn man in der Gleichung a⸗ = y, welche mit die⸗ ſer 2 = 1 uͤbereinſtimmt, y = I ſetzt, ſo wird 2 = o. Ferner ſind die Logarithmen der Zahlen, die groͤßer als die Einheit ſind, poſitiv, und richten ſich nach dem Werthe der Baſis a. So iſt la = 1; laa = 2; la 3 = 3; la 4 = 4; u. ſ. f. daher man auch ruͤckwaͤrts aus den Logarithmen die Baſis erkennen kann, indem dieſelbe allezeit die Zahl iſt, deren Logarithme = Liſt. Die Logarithmen der Zahlen hin⸗ gegen, die kleiner als die Einheit aber doch poſitiv ſind, I 1 ſind negativ, nemlich = 2 — I 1= = — 2; — 3 u. ſ. f. Die Cogarithmen der negativen Zahlen endlich ſind keine reelle, ſondern imaginaͤre Zahlen, wie e bereits ange⸗ merkt worden iſt. 89. I04. 9 0 0 Auf e eine aͤhnliche Art iſt, wenn 1y = 2 geſetzt wird, 1y y = 22²; Iy 3 = 3²; und uͤberhaupt lyn = n z, oder lyn En ly, weil 2 = ly iſt. Man findet alſo den Logarithmen einer jeden Poteſtaͤt von y, wenn man den Logarithmen von y mit dem Exponenten dieſer Poteſtaͤt multiplicirt. So iſt IVy . 108 Erſtes Buch. Sechstes Capitel. r,=rnr =— — 11,; u. ſ. f. ſo daß man alſo aus dem Logarithmen einer jeden Zahl die kogarithmen aller ihrer Poteſtaͤten zu finden im Stande iſt. Hat man aber bereits zwey Logarithmen, z. B. 1y = 2, und 1Vv = x gefunden, ſo iſt, wegen y = az, und v = ax, lvy = X † 2 = Iv †' 1y; und man erhaͤlt alſo den Loga⸗ rithmen eines Produkts in der Summe der Logarithmen ſeiner Faktoren. Auf eine aͤhnliche Art iſt 1 =— 2 — Xx = Iv — 1y; und der Logarithme eines Bruchs wird da⸗ her gefunden, wenn man den Logarithmen des Nenners von dem Loegarithmen des Zaͤhlers abzieht. Dieſe Regeln die⸗ nen dazu, um aus einigen bekannten Logarithmen die Loga⸗ 8 rithimen vieler andern Zahlen: zu ſinden. 8 §. 105. Es erhellet aber auch hieraus, daß es weiter keine ra⸗ tionale Logarithmen als von den Poteſtaͤten der Baſis a giebt. Denn wofern eine andere Zahl b keine Poteſtaͤt von der Baſis a iſt, ſo kann auch ihr Logarithme durch keine rationale Zahl ausgedruckt werden. Ferner iſt auch der WW Logarithme von b keine Irrationalzahl: denn waͤre 1v = Vn n, ſo waͤre aV = b, und dies kann nicht ſtatt finden, wenn a und b Rationalzahlen ſind. Man pflegt aber nur die Logarithmen der rationalen und der ganzen Zahlen zu ſuchen, weil man daraus die Logarithmen der Bruͤche und der Ir⸗ rationalzahlen fſinden kann. Da alſo die Logarithmen der Zahlen, die keine Poteſtaͤten von der Baſis a ſind, weder rational noch irrational dargeſtellt werden koͤnnen, ſo wer⸗ den ſie mit Recht zu den tranſeendenten Groͤßen gerechnet, und Vond nd die den tran Aus bloß na werden, nehrere. kann abe hloß dure da, wen ſo ſuche 33 fäll hon 12 14 ode eine oder die mür ſen; un en lich, als eine⸗ her ohne ber die waden b gefun Man Gaind Pſlen, weiſe, lorit die Ni. logo⸗ thmen ird de⸗ ees don a die eWs keine te Gl;⸗ r won 9 uich de S , en nu di ſuchen, der e nen det teder ſo wer⸗ nchne Von den Exponential⸗Groͤßen und den logarithmen. 109 und dies iſt der Grund, warum man die Logarithmen zu den tranſcendenten Groͤßen zaͤhlt. 8§. 106. Aus dieſem Grunde koͤnnen die Logarithmen der Zahlen bloß naͤherungsweiſe durch die Decimal⸗Bruͤche ausgedruckt werden, die der Wahrheit deſto naͤher kommen, auf je mehrere Zehntheiler⸗Stellen ſie gefunden worden ſind. Man kann aber auf dieſe Art den Logarithmen jeder Zahl bloß durch die Extraction der Quadratwurzel finden. Denn da, wenn man Iy = 2, 1 V = x ſetzt, 1Vry= ait, ſo ſuche man, wenn die gegebene Zahl b zwiſchen a2 und a3 faͤllt, wovon die Logarithmen 2 und 3 ſind, den Werth 4 von a2 oder aa V a, wo denn b entweder zwiſchen a2² und a 2¾, oder zwiſchen a2⅝ und as fallen wird. Es ſey das eine oder das andere, ſo erhaͤlt man, wenn man von neuem . die mittlere Proportional⸗ Zahl ſucht, andere naͤhere Gren⸗ zen; und faͤhrt man auf dieſem Wege fort, ſo muß man endlich zu Grenzen gelangen, die von einander um weniger als eine gegebene Groͤße entfernt ſind, und welche man da⸗ her ohne Jerthum anſtatt der Groͤße b nehmen kann. Da aber die Logarithmen aller gefundenen Grenzen gegeben werden, ſo wird auf dieſe Art endlich der Logarithme! von b gefunden. G Exempel. Man ſetze die Logarithmiſche Baſis a = 10, ſo wie ſol⸗ ches in den gewoͤhnlichen Logarithmiſchen Tafeln zu geſchehen pflegt, und ſuche den Logarithmen der Zahl 5 naͤherungs⸗ weiſe. Da dieſe Zahl zwiſchen 1 und 10 liegt, wovon die Logarithmen und I ſind: ſo ziehe man nach der folgenden Tabelle — — Erſtes Buch. Sechstes Capitel. Vond Tabelle die Quadratwurzeln aus, und fahre damit ſo lange fort, bis die gefundenen Grenzen ſich nicht weiter von der ſohe 10 gegebenen Zahl 5 unterſcheiden. ithmiſch den, ob A = 1,000000⁰0; IA = 0, 0000000; Es ſey , ar B = 10, 000000; IB = 1,0000000; C = VAB ſchneler C = 3, 162277; IC = o, 5000000; D = V BC He = 5, 623413; D = „, 750000; E = CD E = 4,216964; IE = 0, 6250000; F = D E F = 4,869674; IF = o, 68580, G = VDF Ei lr G = 5,232991; 16 = 0,7187500; H = V F G Debken,, a H = 5,048065; IH = 0,7031250; I = V F H. kann, un 1 = 4,958069; II = o 6953125; K = V HI iber di⸗ K = 5,002965; EK = 0, 6992 187; L = V I K einer un = 4,980416; II. = 0,6972656; M = V KI. Verhatt — 4, 991r627; 1M = 0,69 82421; N = V K M Eſſem N = 4, 997242; IN = 0,6987304; O = V KN der Me O = 5,000052; 10 = 0,6989745; P = VNO n ous P = 4,998647; IP = 0,6988525; ½ V OP QQã— = 4,999 350; 10 = 0, 6989 135; RK = V 0 C dnf R = 4,999701; IR = 0,6989440; 8 = V ORE er te ge 8 4,999876; 18 = 0,6989592; I = V O8S TS 4, 999963; 1T = 0,6989668; V = V Or MNdn V = 5,000008; IV = 0,6989707; W = V TIV man dan W = 4,999984; IW = 0, 6989687; X = V W V net, ſo X = 4,999997; IX = 0,6989697; V = V VX den Sn I = 5,000003; IX = ,6989702; Z = V XXY den. Se 2 = 5, 000000; IZ = o, 6989700; 1o bekan⸗ Auf dieſe Art erhaͤlt man, indem man immer die mittlre tde Proportional⸗Zahl ſucht, endlich Z = 5, o00000, und es iſt er hoha daher der geſuchte Logarithme von 5, wenn man die Loga⸗ ennng rithmiſche Baſis = 10 ſetzt = 0, „,69897 700; folglich bey⸗ ndſir nahe lange on der ſe Zc Von den Exponential⸗ Groͤßen und den Logarithmen. 111 569897 nahe 10 76060ο 5. Auf dieſe Art iſt das gemeine Loga⸗ rithmiſche Syſtem von Brigge und Vlacq berechnet wor⸗ den, ob man gleich nachmals weit kuͤrzere Wege entdeckt hat, auf welchen man die Logarithmen viel leichter und ſchneller findet. §F. 107. Es laſſen ſich alſo ſo viel Logarithmiſche Syſteme ge⸗ denken, als man verſchiedene Zahlen fuͤr die Baſis a ſetzen kann, und ihre Anzahl iſt daher unendlich groß. Es haben aber die Logarithmen zweyer verſchiedener Syſteme, die zu einer und derſelben Zahl gehoͤren, immer ein und daſſelbe Verhaͤltniß zu einander. Denn es ſey die Baſis des einen Syſtems = a, und die Baſis eines andern = b; ferner der Logarithme der Zahl n aus dem erſten Syſtem = p, und aus dem andern = g. Alsdann iſt a? = n, und 4 ba =n; folglich ap = b d, und a S bb; und es muß da⸗ her der Bruch einen beſtaͤndigen Werth bekommen, man mag fuͤr n eine Zahl, was fuͤr eine man will, ſetzen. Hat man daher die Logarithmen irgend eines Syſtems berech⸗ net, ſo laſſen ſich daraus die Logarithmen eines jeden an⸗ dern Syſtems ſehr leicht vermittelſt der Regel de Tri fin⸗ den. So kann man, wenn die Logarithmen fuͤr die Baſis 10 bekannt ſind, die Logarithmen fuͤr jede andere Baſis z. B. 2 ſinden. Denn man ſuche den Logarithmen der Zahl n fuͤr die Baſis 2, welchen wir = q ſetzen wollen, ſo wie der Logarithme eben dieſer Zahlen, fuͤr die Baſis 10, p heiſ⸗ ſen mag. Da nun fuͤr die Baſis 10, 12 = 0, 3010300, und fuͤr die Baſis 2, 12 = I iſt, ſo iſt o, 3010300: I = p: q, und 112 Erſtes Buch. Sechstes Capitel. und folglich q = . loz60 = 3, 3219277. p. Wenn man daher alle gemeine Logarithmen mit 3, 3219277 multipli⸗ cirt, ſo erhaͤlt man Logarithmiſche Tafeln fuͤr die Baſis 2. §. 108. Hieraus folgt, daß die Logarithmen zweyer Zahlen in jedem Syſtem einerley Verhaͤltniß zu einander haben. Denn ſind die Logarithmen der Zahlen M und N fuͤr die Baſis a, m und n, ſo iſt M = = am und N = an, und folglich amn = M* = N“,; alſo M = Nn: und da in die⸗ ſer Gleichung a nicht weiter enthalten iſt, ſo iſt daraus , klar, daß der Werth des Bruchs — — nicht von a abhaͤngt. Denn man nenne die Logarithmen eben dieſer Zahlen fuͤr eine andere Baſis b, u und v, ſo iſt nach eben den Schluͤſ⸗ 2 . m e ſen, wie vorhin M = N r. folglich N n = N ', und dar⸗ aus — = .,oder m: n = ℳ: »y. So haben wir bereits gellhen, daß in jedem vogarithmiſchen Syſteme die Loga⸗ rithmen zweyer verſchiedenen Poteſtaͤten von einer und der⸗ ſelben Zahl z. B. ym und yn in dem Verhaͤlmiſſe der Expo⸗ nenten dieſer Poteſtaͤten m: n ſtehen [§. 103. 104. §. 109. Um alſo ein Logarithmiſches Syſtem fuͤr irgend eine Baſis a zu verfertigen iſt es genug, wenn man nur die Lo⸗ garithmen der Prim⸗Zahlen auf dem beſchriebenen oder einem andern bequemern Wege ſucht. Denn da die Logarithmen der zuſammengeſetzten Zahlen den Summen der Logarith⸗ men Pon! ſen ih ſen de der Pri venn d l5 ! für die und ſolg ſen kogan mnen alle B4, De zung d ſſt ouße nichtoho auch, wen foden kan ſeg nn den Vern tdcn drucks: man n mon de ig oben ſchr der Ertton eine bi enn man multipli⸗ Djsz. yer zahlen er haben. und N für 2 , und d n die⸗ uns 12 cbhange Ihſen fir den Chli⸗ Ndr wir detitl e die r ner und de⸗ ſe der y⸗ geid ene nur diett⸗ nodereinn agertſnnn . muti⸗ ſen SS Von den Exponential Groͤßen und den Logarithmen. 113 men ihrer Faktoren gleich ſind, ſo laſſen ſich die Logarith⸗ men der zuſammengeſetzten Zahlen aus den Logarithmen der Prim⸗Zahlen durch eine bloße Addition finden So iſt, wenn die Logarithmen der Zahlen 3 und 5 bekannt ſind, 115 = 13 † 15; 145 = 213 † 15: und da vorhin (§. 106.] fuͤr die Baſis a = 10, 15 = 0. 6989700 gefunden worden iſt, und uͤberdies 110 = iſt; ſo iſt 1 ½ 12 = 110 – 15, und folglich 12 = I — 0,6989700 = 0,3010300. Aus die⸗ ſen Logarithmen von 2 und 5 aber findet man die Logarith⸗ men aller Zahlen, die aus 2 und 5zuſammengeſetzt ſind; z. B. 4, 8, 16, 32, 64, u. ſ. f. 20, 40, 80, 25, 50, u. ſ. f. . F. II0. Der Nutzen, den die Logarithmiſchen Tafeln zur Verkuͤr⸗ zung der Rechnung mit den beſtimmten Zahlzeichen leiſten, iſt außerordentlich groß, weil man aus dergleichen Tafeln nicht bloß den Logarithmen einer jeden gegebenen Zahl, ſondern auch, wenn ein Logarithme gegeben iſt, die dazu gehoͤrige Zahl finden kann. Bedeuten z. B. c, d e, f, g, h Zahlen, es ſey nun von was fuͤr einer Art es wolle, ſo kann man ccdVe den Werth dieſes Ausdrucks —; ohne alle Multipli⸗ cation finden. Es iſt nemlich der Logarithme dieſes Aus⸗ drucks = 21c † 1d † le — 1f — 4Ig — Ih; und ſucht man nun die zu dieſem Logarithmen gehoͤrige Zahl, ſo hat c cdVe man den Werth von gefunden. Vorzuͤglich wich⸗ Vgh tig aber iſt der Gebrauch der Logarithmiſchen Tafeln bey ſehr verwickelter Erhebungen zu Dignitaͤten und Wurzel⸗ Extractionen, weil man dadurch dieſe Operationen in eine bloße Multiplication und Diviſion verwandelt. Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. I. B. 5 Erſtes S ℳ. 114 Erſtes Buch. Sechstes Capitel. Den Erſtes Exempel. Man ſoll den Werth der Poteſtaͤt 2 7 finden. Da 12 72 = 7712 iſt, ſo multiplicire man den Logarithmen von 2, , den man in den Tafeln = 0,3010300 findet, durch 12, d. h. mit ½ + z. Hierdurch findet man 12 72 = 0,1756008; und 1 da die zu dieſem Logarithmen gehoͤrige Zahl = 1,498307 iſt, o 1I †X ſo iſt beynahe 2 72 = 1,498307. t. Ohngefe Sweptes Epempel. lenzude Wenn ſich die Volksmenge eines Landes jaͤhrlich um⸗ vermehrt, und darin anfaͤnglich 1000900 Menſchen gewe⸗ ſeſch ſen ſind, ſo findet man die Volksmenge dieſes Landes nach und di 100 Jahren auf folgende Art. Man ſetze der Kuͤrze wegen niche die anfaͤngliche Vol ksmenge I00000 = n. Alsdan n iſt die Reh⸗ Volksmenge nach dem erſten Jahre = = (1 1 „ͤ) n = 32 n, n nachden zweyten Jahre = (3 ½) n, nach dem drten Jahre . — (35) n, und alſo nach 100 Jahren = (25) 10 oͤn, und hena der Logarithme von dieſer Zahl iſt = 100 1 † 1100000. Es iſt aber 13½ = 131 – 130 0,014240439, alſo 100 1 ¾ 31 = 1,4240439, und addirt man dazu 1 100000 = 5, . ſo erhaͤlt man den Logarithmen der geſuchten Volksmenge de 6,4240439 = 1. 2654874. Nach 100 Jahren iſt alſo Man ſ die Volksmenge um mehr als 26 ⅛ mal ſo gruß geworden. man d Drittes Exempel. ihre an RNach der Suͤndfluth wurde das menſchliche Geſchlecht ch 10 6 Menſchen fortgepflanzet. Angenommen nun, daß die Anzahl der Menſchen nach 200 Jahren auf 1000000 dader gewachſen ſey, ſo fraͤgt ſich, um den wievielſten Theil ſich die Menſchen Rhrlich vermehrt haben? Man ſen⸗ dieſen ſlef 8 e5 M wievielſt ten Theil = = —, 6 ſind nach 200Zahren ( — ) 900 7 Men⸗ dln n Nn2, nd. Nzo, lich un :, ben gewe⸗ ndes noch e/ ℳοn, alkscnenge c Aorden gun, dah f 1000000 dl ſ⸗ ſige Neſen 100 2)66 Von⸗ OC, 00 30103; und hieraus ergiebt ſich Von den Exponential Groͤßen und den logarithmen. 115 — Menſchen da geweſen. Da nun ( 1) 1000000 1000000 N 53!1 X iſt, ſo wird S = (— ) d5, folglich 1 1 =— I 1000000 1 — 1 — – „* 5,221848 0,0261092 alſo 5 5 5 22I8 67 = o,Oa61092 alſo I T† xX IO61963 — brgez an und 1000000 = 61963X, oder =16 X I000000 ohngefehr. Es wuͤrde alſo die Zahl der Menſchen in 200 Jah⸗ ren zu der angefuͤhrten großen Menge angewachſen ſeyn, wenn ſie ſich jaͤhrlich um den ſechszehnten Theil vermehrt haͤtten; und dies iſt fuͤr das Alter, welches man ihnen beylegt, nicht viel. Haͤtten ſie ſich aber in einem fort in dieſem Verhaͤltniſſe 400 Jahr hindurch vermehrt, ſo waͤre ihre OOOOO Anzahl bis auf 1000000. — — = 166666666666 ange⸗ wachſe ſen⸗ eine Menge, zu deren Unterhaltung der Erdbo⸗ den zu klein geweſen ſeyn wuͤrde. Viertes Exempel. Die jaͤhrliche Vermehrung der Menſchen zu finden, wenn ſich ihre Anzahl alle 100 Jahr verdoppelt. Wenn man die jaͤhrliche Bermehrung der Menſchen = — und ihre anfaͤngliche Zahl = n ſetzt, ſo iſt die Menge derſelben . 00 . nach 100 Jahren = (—) n. Da nun dieſe Menge das Doppelte der anfaͤnglichen Menge, und alſo = 2 n ſeyn ſoll: ſo D = 2 *5 35 „, „und 1—I — — 1 2 = S X 100 X 10069555 I0000000 H 2 und 116 Erſtes Buch. Sechstes Capitel. Vont und alſo = = 144 ohngefehr. Es iſt folglich. rl zur Verdoppelung der Menſchen in jedem Jahrhunderte ge⸗ 21. mnug, wenn ſich dieſelben jaͤhrlich nur um den 144ſten Theil ſchen, vermehren, und es iſt daher laͤcherlich, wenn einige leug⸗ len/ ze nen, daß die ganze Erde von einem Menſchenpaare in ſo dert, un kurzer Zeit habe bevoͤlkert werden koͤnnen. §F. III. h Der groͤßte Nutzen, welchen die Logarithmen gewaͤhren, Kagt abe zeigt ſich bey der Aufloͤſung ſolcher Gleichungen, wo die un⸗ wie viel bekannte Groͤße ein Exponent iſt. Hat man z. B. die Glei⸗ Sitt chung ax = b, und ſoll man daraus x entwickeln, ſo kann nſah ſolches nicht anders als vermittelſt der Logarithmen geſche⸗ hen. Da nemlich ax =b iſt, ſo iſt lax = xlà = 1 b, und nuh 1b . ,B alſo X = Ia. Dabey iſt es uͤbrigens gleich, was man ſich nach d fuͤr eines Logarithmiſchen Syſtems bedienen will, weil die Logarithmen der Zahlen a und b in allen Syſtemen einer⸗ nech iey Verhaͤltniß haben. [§. 108.)] Unnoch Erſtes Erempel. - Es wird gefragt, in wie viel Jahren das menſchliche Geſchlecht u b das Zehnfache anwachſe, wenn die jaͤhrliche Ratur Vermehrung — 55 ſt ² Es geſchehe ſolches nach Jahren, 1. .. und die anfängtice Menge der Menſchen ſey = n, ſo wird noch ib ihre Menge nach Jahren = (—2*½) n ſeyn. Da dieſelbe e- mun auch das Zehnfache von der anfaͤnglichen Menge ſeyn oder ſoll, ſo iſt ) n = 10n, oder () = 10; folg⸗ b lich ℳ S kflgich derte ge⸗ iin Dil emngelung⸗ aare in gerihren ,to die un⸗ 9 die Glei⸗ la, ſo kann hnen geſche⸗ 14l M as mon ſch ly weil die onen Oe⸗ werſchlche die ſihtit⸗ Von den Exponential⸗Groͤßen und deu logarithmen. 117 lich ?v1 — = 110, und Xæ = — o = GG 1101 — 1 100 43214 231. Rach 231 Jahren wird alſo die Anzahl der Men⸗ ſcen. wenn ſie ſich jaͤhrlich um den 100ſten Theil vermeh⸗ ren, zehnmal ſo groß; und folglich nach 462 Jahren hun⸗ dert, und nach 693 Jahren tauſendmal ſo groß. Zweytes Exempel. Es hat jemand 400000 Fl. zu 5§ pro C. aufgenommen, traͤgt aber jaͤhrlich 25000 Fl. ab, und es wird gefragt: In wie viel Jahren er die ganze Schuld bezahlt haben werde? Setzt man die ſchuldige Summe der 400000 Fl. = a, und den jaͤhrlichen Abtrag der 25000 Fl. = b; ſo iſt er ſchuldig G — — nach dem erſten Jahre I00 b 2 nach dem zweyten Jahre (—) a — 105 b — b dri c 105 5= 195 105⁵5 — b nach dem dritten Jahre (S. a (*) b 0 b, und nach «Jahren, wenn man der Kuͤrze wegen 75 — n ſetzt, nxa — nx-Ib — nx-zb — nXx-3b —- — b = nxa — b (I † n †C nz f. † nx- 1). Da nun wegen der Natur der geometriſchen Progreſſionen 1 † n † nz † ns nX — I B f + nx-TI = — iſt: ſo iſt die nach Jahren noch uͤbrige Schuld, die nach der Aufgabe Null ſeyn ſoll, .: nx b — b nxa — nP11 = o, und folglich n“a = 1 n – 1 n — 1 oder En — 1) nxa = nxb — b. Hieraus ergiebt ſich (b — na † a) n“ = b, und n nx = en I H 3 denn „ woher N 8 — 8 Erſtes Buch. Sechstes Capitel. denn = - . — wird. Da nun a = 105 400000, b = 25000, n = 5 iſt; ſo iſt (n— I) a = 20000, und b (n) aà = 5000, Uund die Zahl der Jahre, nach H welchen die gante Schuld bezahlt iſt, = o 00 0☚£ 11853 15 — 6989700 = = 118937 oder etwas kleiner als 33. Nach 33 Jahren nemlich wird nicht nur die ganze Schuld abge⸗ tragen ſeyn, ſondern es muß a lsdann der Creditor dem De⸗ (n 3 3 – 1) b n. — I bitor noch wieder herausgeben 3 (25) „ 5000 – 25000 21533 ☛ 100000 S059 — S00000 Fl. — 200 Da alſo 122 = ,/oal1892991, iſt, ſo iſt 1( = 699 2465 .R und I100000 (— ) = 5,/6992469 = 1 5003 18 8. Es muß folgl ich der Creditor dem Debitor nach 33 Jahren noch 318 Fl. wieder herausgeben. Es haben aber die gemeinen Logarithmen, deren Baſis 10 iſt, außer dieſem Gebrauche, den ſie mit allen andern Logarithmen gemein haben, in der Decadik noch einen beſondern Vorzug, und gewaͤhren daher auch vor andern H Syſtemen einen beſondern Vortheil. Denn da die Logarith⸗ men aller Zahlen, die Poteſtaͤten von 10 ausgenommen, in Deeimal⸗Bruͤchen ausgedruckt werden; ſo fallen die Lo⸗ garithmen der Zahlen, die zwiſchen 1 und 10 enthalten ſind, zwiſchen o und 1, die Logarithmen der Zahlen hin⸗ gegen, die zwiſchen 10 und 100 liegen, zwiſchen 1 und 2 — n3 3àa = Vonde hl und die Chor genannt. weniger garithemn B.die peil dieſ⸗ demnach kennen, Gchört, Leig ſchen d in den id ſtimn Eo ſind 4zo⸗ od W Mon einem helet abſchn Decim 26 tiſe dieſe Wa Wo, lte Nah uld aben⸗ dem De⸗ 14 13¹1 50000 ,. 133 eren Beſs len orden uß enen r andeen garihh mottgen, en die Nl⸗ enthelten geen hin⸗ 1 Und2 leſf. Von den Exponential⸗Groͤßen und den Logarithmen. 119 u. ſ. f. Es beſteht daher jeder Logarithme aus einer ganzen Zahl und einem Decimal⸗Bruche; und die ganze Zahl wird die Charakteriſtik, der Decimal⸗Bruch aber die Mantiſſe genannt. Die Charakteriſtik enthaͤlt daher immer eine Einheit weniger, als die Zahl, welche die ganzen Theile der zu dem Lo⸗ garithmen gehoͤrigen Zahl ausdruckt, Theile enthaͤlt; und es iſt z. B. die Charakteriſtik des Logarithmen der Zahl 738509, = 4, weil dieſe Zahl eine fuͤnftheilige ganze Zahl iſt. Man kann demnach aus dem Logarithmen einer jeden Zahl ſogleich er⸗ kennen, aus wie viel Theilen oder Zifern die Zahl beſtehe; ſo iſt z. B. die Zahl, welche zu dem Logarithmen 7,5804631 gehoͤrt, ihrem ganzen Theile nach eine achttheilige Zahl. §K. 113. Wenn alſo die Mantiſſen zweyer Logarithmen einander gleich ſind, und bloß die Charakteriſtik verſchieden iſt, ſo ſtehen die Zahlen, welche zu dieſen Logarithmen gehoͤren, in dem Verhaͤltniſſe einer Poteſtaͤt der 10 zu der Einheit, und ſtimmen alſo in ihren Zifern mit einander uͤberein. So ſind z. B. die Zahlen, welche zu den Logarithmen 4 9130187 und 6, 9130187 gehoͤren, 81850 und 8185000; zu dem Logarithmen 3, 9130187 aber gehoͤrt die Zahl 8185, und zu dem Logarithmen 0,9130187 endlich 8, 185. Die Mantiſſe allein zeigt alſo die Zifern der Zahl an, welche zu einem Logarithmen gehoͤrt, und aus der Charakteriſtik er⸗ hellet, wie viel man davon zur Linken fuͤr die ganze Zahl abſchneiden muß, wo denn die uͤbrigen zur Linken einen Decimal⸗Bruch ausmachen. Iſt z B. der Logarithme 2,7603429 gefunden worden, ſo findet man nach der Man⸗ tiſſe die Zifern 5758945; die Charakteriſtik 2 aber beſtimmt dieſe Zahl fuͤr den angefuͤhrten Lagarithmen ſo: 575, 8945. Waͤre die Charakteriſtik = = 0, ſo waͤre die zugehoͤrige Zahl 5 4 = Erſtes Buch. Sechstes Capitel. ꝛc. = 5,758945; und verminderte man ſie noch um 1, ſo daß ſie = — I wuͤrde, ſo waͤre die zugehoͤrige Zahl = 0,5758945, ſo wie die Charakteriſtik — 2 auf die Zahl 0,05758945 fuͤhrt. Man ſetzt indeß anſtatt dieſer negativen Charakteriſtiken haͤuſig die Zahlen 9, 8, 7 u. ſ. f. und ſetzt dabey voraus daß dieſe Logarithmen um 10 zu groß angenommen worden ſind. Doch dies pflegt in den Einleitungen zu den Logarith⸗ miſchen Tafeln hinlaͤnglich aus einander geſetzt zu werden. Exempel. Es wird die Progreſſion 2, 4, 16, 256 u. ſ. f. gegeben, in welcher jedes folgende Glied das Quadrat des vorher⸗ gehenden iſt; man ſoll das fuͤnf und zwanzigſte Glied derſelben finden. Man kann die Glieder dieſer Progreſſion auch auf folgende Art ausdrucken: 21, 22, 24, 28 u. ſ. f. wo denn in die Augen faͤllt, daß der Erponent des fuͤnf und zwanzigſten Gliedes 224 =— 16777216, und alſo das geſuchte Glied ſelbſt 216777216 ſeyn wird, und davon iſt der Logarithme 16777216. 1 2. Da nun der Logarithme von 2 = o, 301029995, 66398 195 iſt, ſo iſt der Logarithme der geſuchten Zahl 5050445, 25973367, aus deſſen Charak⸗ teriſtik erhellet, daß die geſuchte Zahl, auf die gewoͤhnliche Art ausgedruckt, aus 5050446 Zifern beſteht. Sucht man aber die Matntiſſe? 259733675932 in den Tafeln auf, ſo findet man die erſten Zifern dieſer Zahl 181858. Ob man alſo gleich dieſe Zahl nicht ganz finden kann, ſo weiß man doch mit Gewiß⸗ heit, daß ſie aus 5050446 Zifern beſteht, und daß die erſten davon 181858 ſind, worauf noch 5050440 andere folgen. Einige davon koͤnnen noch aus groͤßern Logarithmiſchen Ta⸗ feln gefunden werden, wie denn die erſten eilf Zifern dieſer Zahl dieſe 18185852966 ſind. Sie⸗ Vor. De als 1 i⸗ doß die einen einen! Einheit geringer wird 2“ Nehl it an nur Penen 1 W gen. wir zur bon⸗ und men ſo doß 0s, zführ. riſüten Nras n worden logorithi werden. gegeben, rorher⸗ ſe Guic lrogerſion ꝛ uff. t des if Ralſe Ns 1 dovor guithne uithme nlicheln naber i A man de geich M t Gei Meerien e folgen gen du⸗ en die Siebentes Capitel. Von der Entwickelung der Exponential⸗Groͤßen und der Logarithmen durch Reihen. H. 114. Da a0 = 1 1 iſt, und der Werth von a, wenn a a groͤßer als 1 iſt, mit dem Exponenten zugleich waͤchſt: ſo folgt, daß die Poteſtaͤt von a, wenn ihr Exponent die o nur um einen unendlich kleinen Theil uͤbertrifft, ebenfalls nur um einen unendlich kleinen Theil groͤßer ſeyn werde, als die Einheit. Es ſey „ eine unendlich kleine Zahl, oder ein ſo geringer Bruch, daß ſein Werth nur nicht = o ſey; ſo wird a“ — 1 † J, ſo daß ebenfalls eine unendlich kleine Zahl iſt: denn aus dem vorhergehenden Capitel erhellet, daß nur dann « eine unendlich kleine Zahl ſeyn kann, wenn P eine unendlich kleine Zahl iſt. Es wird daher entweder = à, oder groͤßer als „, oder kleiner als ſeyn, und dies Verhaͤltniß wird von dem Werthe von a abhaͤn⸗ gen. Da nun a noch eine unbekannte Groͤße iſt, ſo wollen wir = ka ſetzen, ſo daß a“ = 1 † k a, und wenn man a zur Logarithmiſchen Baſis macht, „= 1(I † k “) ſey. Exempel. Damit man deſto deutlicher einſehe, wie die Zahl K L von der Baſis a abhange, ſo wollen wir a = 10 annehmen, und aus den gemeinen Logarithmiſchen Tafeln den Logarith⸗ men einer Zahl ſuchen, die ſich von der Einheit nur um ei⸗ 5 5 nen 122 Erſtes Buch. Siebentes Capitel. nen ſehr kleinen Theil unterſcheidet. Es ſey dieſe Zahl + — und alſo keo = :; ſo iſt ( —— I000000 1009000 1000000 1 Iod 0000 Hi bt — O, ◻9 3429 — . er Iooo οο5̈h 5 4342²9 Hierau ergied ð „I 29 ſich, da k⸗ — O, 00000 100000 iſt, — — —3422 und k k. 100000 — 100000 . — 15 = 2, 30258; woraus erhellet, daß k eine end⸗ liche Zahl iſt, die von dem Werthe der Baſis a abhaͤngt. Denn wenn man eine andere Zahl fuͤr die Baſis a annaͤhme, ſo wuͤrde der Logarithme von 1 † ka zu dem gefundenen ein beſtimmtes Verhaͤltniß haben, und deswegen auch k einen andern Werth erhalten. §. ri5. Da a* = 1 kw, ſo iſt a!“ = (1 . ko)i, man mag fuͤr i eine Zahl ſetzen, was fuͤr eine man und es iſt da⸗ 16— —=0 — 1) ( — 2) her ai rrrr . Naea 1 se u. ſ. f. Setzt man alſo i = —, ſo daß 2 irgend eine end⸗ liche Zahl bedeutet: ſo wird, weil ⸗ eine unendlich kleine Zahl iſt, i eine unendlich große Zahl, und folglich ⸗= — oder gleich einem Bruche mit einem unendlichen Renner, d. h. einer unendlich kleinen Zahl, ſo wie wir es angenommen haben. Setzt man nun⸗anſtatt e, ſo wird a? = 6 12) = I 1† Kz f 222 — E ks23 4 I 21 I 21 31 1 (— 1) ( — 2) (1 — 3) I 21. 31 . 41 k 424 † u. ſ. f. eine e Gleichung, die voll⸗ 20 folkom iſt da nie ber De denn es Einheit elſo der ls den dine ed⸗ annahne, pdenen ein 91 enen⸗ man mag eiſtö⸗ X —)) * . — 6 3 eine e dlich ken ⸗ ſchen aund k⸗ denn ſetzt man? = I, ſo wird a =I † Tr⸗ V. d. Entwickel. d. Exp. Groͤßen u. d. logar. d. Reihen. 123 vollkommen wahr iſt, wenn man iunendlich groß annimmt. K iſt darin eine endliche Zahl, deren Werth von a abhaͤngt, wie bereits gezeigt worden iſt. §. 116. Da aber i eine unendlich aroße Zaht iſt, ſo iſt — denn es iſt offenbar, daß der Bruch — ſich deſto mehr der Einheit naͤhert, je groͤßer i angenommen wird, und daß er alſo der Einheit gleich werden muß, wenn i groͤßer wird, als jede endliche Zahl, die ſich angeben laͤßt. Aus eben — 2 1 dem Grunde wird i. — I; 3 = 1; u. ſ. f. und — — 4; — = 4½; u. ſ. w. = ; — 4; u. ſ Gebraucht man nun dieſe Werthe, ſo erhaͤlt man a2 = 1 † daher iſt —, = = f–; Kkz kzz2 k323 k 424 t : I I. 2 3 1 1.23.4 F u. ſ. f. ohne Ende. Es erhellt aber aus dieſer Gleichung auch das Verhaͤltniß zwi⸗ kzZ 2 4 ka 1.2. 3 I. 2. 3. 4 ſo muß k ohngefaͤhr = 2,302558 ſeyn, ſo wie wir es vorhin gefunden haben. ð 3 u. ſ f. und wenn a = 10 ſeyn ſoll, Setzt man b = an, ſo wird, wenn man a zur Logarith⸗ miſchen Baſis annimmt, 1b = n; und da nun bz = anz knz iſt, ſo entſteht daher die unendliche Reihe b2 = I 4 — 1 Erſtes Buch. Siebentes Capitel. kanzzz ken323 kan 424 1 . 2 2. 3 1I.2.3. . e +† u. ſ. fi. oder, wenn 1b nſetn ſetzt: bzy = I .5 2 — 15 1 —— b)⸗ * — 0b) † † Ib) 4 † u. ſ. f. Da nun der Werth von k aus dem gegebenen Werthe der Baſis a gefunden werden kann, ſo laͤßt ſich eine jede Exponential⸗ Groͤße b? durch eine un⸗ endliche Reihe ausdrucken, deren Glieder nach den Pote⸗ ſtaͤten von 2 fortſchreiten. Nachdem wir dieſes gezeigt ha⸗ ben, ſo wollen wir nun auch unterſuchen, wie man die Lo⸗ garithmen durch unendliche Reihen ausdrucken kann. §. 118. Da⸗ a * = 1 † k, wenn „ ein unendlich kleinen Bruch bedeutet, und das Verhaͤltniß aiſchen⸗ a und K hurq die Glei⸗ chung beſtimmt wird, àa = 1 1 — wenn man a als die Logarithmiſche Baſts. datrachtet, S IlCI 3 Kk *), und i“ = 1(1 † ka) i. Hierbey iſt klar, daß die Poteſtaäͤt (1 † ka) i die Einheit um ſo mehr uͤberſteigen werde, je groͤßer i angenommen wird, und daß ſie, wenn mani ohne alle Grenze wachſen laͤßt, jede Zahl, die groͤßer als die Einheit iſt, erreichen kann. Setzt man daher (I † ka) S=S I † , ſo wird II1 † X) = ie; und da ia eine endliche Zahl, nemlich der Logarithme von 1 †. x, iſt, ſo erhellet hieraus, daß i eine unendlich große Zahl ſeyn muß, weil ſonſt i ie keinen endlichen Werth haben koͤnnte. Da wir † k 2) i = 1 1 X geet haben, ſo iſt 1 k⸗ =a F ), und ke = (1 ) — 1, folglich lis = Z od, weil 3-—1 i XX X 7, 1 x —.— 3 4 Und k. din⸗ Na= dawi Nlchnen ſelben, beſtim V.d. Entwickel. d. Exp. Groͤßen u. d. logar. d. Riihen. 12 5 . r1 t, wenn 1r † xX) 1 — 1). Da aber i9= 161 † *) iſt l. 118,] ſo 13 T --0 iſt 1r † x) = — (r1* 1— wenn eine unendlich n aus 1 ift. Nun iſt — I 201 große Zahl iſt. Nun iſt (1 † X) i = 1 W + * — — = dnkam, l 1. 2 i 2= e un⸗ . 10— 1) (2i— 1) Ii— 1) (2i — 1) (3i — hin m 6—15° x3 — UQ— Q(2i — 1) (Zi —a 1 ꝛ. den W i . 21 . 3 1 . 2i . 31 . 41 Kſeighe und, weili unendlich groß iſ, ſo ſt ⸗ ——1 — 2. nan diely 2 zZ 3 kan. 1—1 DS = 3 —; ꝛc. Folglich iſt i i 1 1† X) i i † X — 4 8 H. iſe 1I „ x2 enenenc 15 — — — 1 ꝛc. und 101 . 24 = — (— ſchdiele⸗ 23 4 . RR ꝛc.) wenn die Logarithmiſche Baſis = a iſt, ir ſoſt . und k eine Zaht eheute die zu dieſer Baſis gehoͤrt, ſo mai⸗ kxk. lin, ah daß a = 1 12 1 7 r.2.3 — 1 — 2.3 4¹ c. iſt. herſeiyen ðWWðMB 5 6, ven §. 120. 1 degchr Da wir nunmehr eine Reihe haben, welche dem Loga⸗ t rithmen von 1 † x gleich iſt, ſo koͤnnen wir ve ermittelſt der⸗ R . ſelben, wenn die Baſis a gegeben iſt, den Werth der Zahl int . k beſtimmen. Denn ſetzt man 1 † 2 = a, ſo iſt, weil Vn I a — 1 (a — 1) 2 (T — 1) 3 n,ri ia = I iſ, 1 —— 5 .R— a — — † — L † c.) folglich k = 2— I — 2— 122 4 I 2 (a — 10)3 a — 1 dſt 11 — — — . 1 ꝛe. und der Werth dieſer ihe⸗ Reihe muß, wenn man a = 10 ſegt, ohngefehr: 2,30258 2 l ſeynz 126 Erſtes Buch. Siebentes Capitel. ſeyn; ob gleich ſchwer einzuſehen iſt, wie 2,30258 = 2 — D n „„ 4 Eſfens 3 * — † ꝛc. ſeyn koͤnne, da die folgenden gewah „ Glieder dieſer Reihe immer groͤßer werden, und man die (ſiſt ans Summe derſelben nicht auf die Art naͤherungsweiſe zu fin⸗ “ den im Stande iſt, daß man einige Glieder davon zuſa—me 1211 men vereiniget. Es wird ſich indeß bald ein Mittel, dieſer riche in Undequemlichkeit abzuheifen, darbieten. rhit ne §. 121 noch dieke iur Baſi „Xx 2 3 4 Da 11)= X — –— † — — † ꝛc) iſt, nen nar 12 3 4 de Due ſo iſt, wenn man x negativ nimmt, 101— ) =— . (S k Erut Nuhl 2, — — — 12 — 2 k.) Beſonders bewieſen findet man dieen in, ſo bolſchen Satz im Anhange S. 487. Abſatz 9. 10.] Subtrahirt man dieſe Reihe dor der vorheegehenden, ſo erhaͤlt man 1 ( X) — ſchedi⸗ 101— =1— — 1 † — . t — — 1(1— =I = E 1 1* t.) Setz Si I TX a — man nun = = a, ſo daß: X = wird, ,ſo iſt, da — 1)3 (a — 1)*$ 1a =I nunme k = A † (a= daß di D 4 hr (f P1 1 e 37a † 1)3 50a † 1)5 de 2c.) und aus dieſer Gleichung laͤßt ſich der Werth von K unendti aus der Baſis a finden. Set man dahee a = 10, ſo iſt ätz MV ithme 9 93 . k = 2 (— † — . . I 1 1 1† ꝛc.) und da mng 4 die Glieder dieſer Reihe ſehr merkch abnehmen, ſo geben H ſie auch den Werth von k ſehr bald mit e einer hinlaͤnglichen 14 i Genauigkeit. kogari g. 12a2, 9S. I falgender omn de weiſen ⸗ aron zuan⸗ Rinl, Nieſtr Ir) ſ V.d. Entwickel. d. Exp. Groͤßen u. d. logar. d. Reihen. 127 §. 122. Da man bey der Verfertigung eines Logarithmiſchen Syſtems a nach Gefallen annehmen kann, ſo kann es dn ſo gewaͤhlt werden, daß k = 1 iſt. Es ſey alſo k = ſo iſt aus der oben §. 116 gefundenen Reihe a = 1 1† — 1 I. 1.2. 3 1. 2 3. 4 Brüche in Decimal⸗Bruͤche, und addirt man ſie wirklich, ſo erhaͤlt man a = 2,71828182845904523536038, wo auch noch die letzte Zifer genau iſt. Rimmt man nun dieſe Zahl zur Baſis an, ſo heißen die zu ihr gehoͤrigen Logarith⸗ men natuͤrliche oder hyperboliſche Logarithmen, weil die Quadratur der Hyperbel durch dieſe Logarithmen aus⸗ gedruckt werden kann. Der Kuͤrze wegen wollen wir dieſe Zahl 2,71 8281828459 u. ſ. w. immer durch e bezeich⸗ nen, ſo daß alſo e die Baſis der natuͤrlichen oder hyper⸗ † u. ſ. f. Verwandelt man dieſe boliſchen Logarithmen bedeutet, woffir k = I iſt; oder es ſoll e die Summe dieſer Reihe 1 1 — .— † —, — 4 I — – F† u. ſ. w. ohne Ende, anedrucen. 1.I. 2. 3. 4 §. 123. Die hoperboliſchen Logarithmen haben alſo die Eigenſchaft, daß die Zahl 1 † den Logarithmen „ hat, wenn ⸗ eine unendlig 9 kleine Groͤße bedeutet; und da hieraus der Werth von k = 1 bekannt iſt, ſo laſſen ſich die hyperboliſchen Lo⸗ garithmen aller Zahlen finden. Wenn daher e die vorhin, G. 122] gefundene Zahl hedeutet, ſo iſt allezeit e⸗? = 1 † 2 — †. u. ſ. f.; die hyperboliſchen 1.2.3 LI. 2. 3.4 togaruhmen ſeloſt aber ergeben ſich an aus dieſen Reihen. 1(1 I) 129 Erſtes Buch. Siebentes Capitell. pyn Xx2 XK3 XA4 „ e. 15: J — ——... . . — lei ch x 2 15 2 1ITX 2 222 2 227 222 4 . n 1— X I 3 5 7 9 18: die in einem hohen Grade convergiren, wenn man fuͤr 19 einen kleinen Bruch annimmt, ſo daß man aus dieſer letz⸗ lio. ten Reihe die Logarithmen der Zahlen, die nicht viel groͤſ⸗ Es ſnd n ſer als die Einheit ſind, ſehr leicht ſindet. Setzt man nem⸗ Peihen ge ( 1 346 3 2 2 woben ſolg ich = —, ſo iſt !1 — = 1 2 = — † – T† lich = „ ſo iſt! e 2 . . 2 doß in der ——— † ꝛc.; etzt man ? = „ o wird 1 2 = — F 2 2 darans . — † ri.; und ſetzt man x = T ‚ſo 3 . 7 3 5. 75 7. 77 9 delcher, 5 2 2 2 2 Aabo; wird 12= — † — † — — † — † ꝛc. Aus 4 1. 9 3 9 3A 5. 9 ⅞ 7. 97 est deſ Dden Logarithmen dieſer Bruͤche aber findet man ferner die Logarithmen der ganzen Zahlen, indem wegen der Natur der Logarithmen 1²¾ † 13=12, ferner nun! 2- 3 f 12 = Getzt ZR B Nder CA 13; und 212 = 14; desgleichen nunmehr TI4 =I5; Nurat m 12 † 13 = 16; 312 = 18; 213 = 19; und 12 15= Rr geſehen Exempel. 17 Es ſind daher die hyperboliſchen Logarithmen der Zah⸗ 1 len von 1 bis zu 10 folgende: H“Z Duſia 11I = 0C, 00000 ooo 0000â, o0Oαοα 0οο finmen, 12 = 0,69314 71805 59945 30941 72321 vlche 13 = 1 466 22886 68109 69139 52452 rithmen 14 = 1,38629 43611 19890 61883 44042 khntt 6 . xx. 9 in. wanfier 8W 9t bil gi⸗ t mon nen n ferner de 1 der Naue V. d. Entwickel. d. Exp. Groͤßen u d. logar. d. Reihen. 12 15 = 1,60943 79124 34100 37460 0759993 16 = 1,79175 94692 28055 0008I 24773 17 = 1,94591 01490 55313 30510 54639 18 = 2, 07944 15416 79835 92825 16964 19 = 2, 19722 45773 36219 38279 0490b5 110 = 2, 30258 50929 94045 68401 79914 Es ſind nemlich alle dieſe Logarithmen durch obige drey Reihen gefunden worden, bis auf den Logarithmen von 7, wobey folgende Verkuͤrzung gebraucht worden iſt. Dadurch daß in der letzten Reihe = 35 geſetzt wurde, ergab ſich 10 50 = daraus 1 — 15 = 0, O0202027073175194484078230, welcher, von 150 = 215 † 12 = 3, 91202300542 81460586187508 abgezogen, den Logarithmen be von 49 giebt, deſſen Haiſte = 17 iſt. Setzt man den hyperboliſchen Logarithmen von 1 † x, der l ſ X ☚ . — X oder T) = 7; d iſt y= . 1 = + c Nimmt man aber a zur Baſis, und ſetzt den Logarithmen eben derſelben Zahl 1 † X gleich v; ſo iſt, wie wir SS I X x2 X 3 x4 geſehen h V= XG — 1 = , und folglich k = 1. Hieraus laͤßt ſich der fuͤr die Baſis a zu k gehoͤrige Werth ſehr bequem auf die Art be⸗ ſtimmen, daß man ſagt, es ſey Kk gleich dem Quotienten, welchen man durch die Diviſion des hyperboliſchen Loga⸗ rithmen einer jeden Zahl durch den zur Baſis a gehoͤrigen Logarithmen eben derſelben Zahl erhaͤlt. Setzt man da⸗ Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. l. D. J her ausdrucken. Es iſt tee alsdann e? = (I † — )i, und Erſtes Buch. Siebentes Capitel. her dieſe Zahl = a, ſo wird v = I, und alſo k gleich dem hyperboliſchen Logarithmen der Baſis a. In dem gemeinen Logarithmiſchen Syſteme, wo a = 10 iſt, wird daher k = dem hyperboliſchen Logarithmen von 10, oder k = 2, 3025 850929940456840179914, [§. 123.] Wenn man alſo die hyperboliſchen Logarithmen durch dieſe Zahl k disidirt, oder welches einerley iſt, durch 0,43 4294 48190325 182765 112890 multiplicirt: ſo erhaͤlt man die gemeinen Logarithmen, deren Vaſis⸗ a = LIo iſt. K. 125. 2 3 — — — — Dae 1 † 1 r S; ud GS. 123 1 ſo wird, wenn man aV = e ſetzt, und die hyperboliſchen Lo⸗ garithmen nimmt, Fa= = 2, weil le = I iſt. Setzt man 1 2 (12 2 nun dieſen Werth fuͤr 2, ſor wird a? = 1 † — — . S y3 (Ia ) 3 1I 2 . 3 †. ꝛc. [§. 117. und es kann daher auch jede Erpo⸗ nential⸗ Groͤße vermittelſt der hyperboliſchen Logarithmen durch eine unendliche Reihe dargeſtellt werden. Bedeutet ferner i i eine unendlich große Zahl, ſo kann man ſowohl die Erponential⸗ Groͤßen als die Logarithmen durch Poteſttten folglich ay = (1 1 —— ), ſo wie ferner fir die boperbel⸗ ſchen Logarithmen 161 1.9 = i (G 4„) 1 (lK r1.], wenn man daſelbſt k = I ſetzt.) Was den weitern Gebrauch der hyperboliſchen Logarithmen betrifft, ſo wird derſelbe in der Integral⸗Rechnung ausfuͤhrlich beſchrieben werden. Achtes W 1† Von Nas maſſen tachtet tranſcen Elis den ſelhen ina Sett Simns dot ieſegreiſ mnan aber N AA hat*) daße meſſer: den bede I= 1,N 9¹ IN kogarithenen ae gtnſhre en. Mart an ſowehl 6c Votkten 1 , n y ſgertol⸗ gie hen ern Gchtanh ) derhein werder⸗ htes . . „ — J R — e IINRNEIIE STNHNEAZ . D 5 Achtes Capitel. Von den tranſcendenten Groͤßen, die aus dem Kreiſe entſpringen. §. 126. Nach den Logarithmen und den Exponential⸗Groͤßen muͤſſen die Kreisbogen und ihre Sinus und Coſinus be⸗ trachtet werden, nicht nur, weil ſie eine andere Art von . tranſcendenten Groͤßen ausmachen, ſondern auch weil ſie aus den Logarithmen und Exponential⸗Groͤßen, wenn die⸗ ſelben imaginaͤre Groͤßen enthalten, entſpringen. *Setzt man nun den Halbmeſſer eines Kreiſes oder den Sinus Totus = 1, ſo iſt bekannt, daß man die Peripherie dieſes Kreiſes in Zahlen nicht ganz genau ausdrucken kann, daß man aber durch die Raͤherung fuͤr den halben Umkreis die Zahl, 3,141592653589793238462643383279502884197169 399375 105820974944592307816406286208998628034 825⁵ 3421170679821480865132723066470938446 † gefunden hat *). Fuͤr dieſe Zahl wollen wir der Kuͤrze wegen ſetzen, ſo daß alſo æ den halben Umkreis eines Zirkels, deſſen Halb⸗⸗ meſſer = I iſt, oder die Laͤnge eines Bogens von 180 Gra⸗ den bedeutet. *) In den drey letzten §§ des gegenwaͤrtigen Capitels kommen einige Arten vor, das Verhaͤltniß der halben Peri pherie eines Kreiſes zum Radius, oder der ganzen Perigderie zum Dunce meſſer deſſelben zu beſtimmen. J 2 H E12. 132 Erſtes Buch. Achtes Capitel. L S. 127. Nun bedeute einen jeden Bogen dieſes Kreiſes, deſſen Halbmeſſer beſtaͤndig = geſetzt werden ſoll, und ſin. A.z oder ſin. 2z den Sinus, ſo wie coſ. A. z, oder coſ. z den Coſinus des Bogens 2: ſo iſt, da æ ein Bogen von 1800 iſt, ſin. o ° coſ. Oo 7 = 1; ferner ſin. 7 = 1; coſ. 42 =0; ſin. æ = 0; coſ. æ = – 1; fin. 3 7 = — I; coſ. 31 7 = O; ſin. 2 æ = 0; coſ. 2 7 = I. Es fallen alſo alle Sinus und Co⸗ ſinus zwiſchen die Grenzen † 1 und — 1*). Ferner iſt coſ. = ſin. (1 7 — 2); ſin. z = coſ. (4 æ — 2); und (ſin. 2) 2 † (coſ. 2) 2 = 1. Außerdem muͤſſen auch noch folgende Be⸗ zeichnungen gemerket werden: tang. z, welches die Tan⸗ gente des Bogens 7, cot. 2, welches die Cotangente des ſ Bogens 2 bedeutet. Daß tang. 2 = und cot. 2 = cofſ. 2 1 — — — — iſt, iſt . ſin. 2z tang. 2 iſt, iſt, ſo wie auch alles uͤbrige aus der Trigonometrie bekannt. *) Wenn alſo k jede ganze Zahl, die Null nichr ausgeſchloſſen, bedeutet, ſo iſt ſowohl Sin. 2 kæ als Sin. (2 k † I) æ2 = o, Vingegen coſ. 2 k 7 = P† I, und coſ. (2 k T† I) æ — I. Umgekehrt iſt alſo oder n %, wenn Sin. % oder Sin. n O = 0° iſt, entweder 2 kæ oder (2 k † I) æ, je nachdem der Coſi⸗ nus davon entweder = † I oder = — 1 iſt. In jenem Falle findet die Form 2 k, in dieſem aber (2 k † I) æ ſtatt. §. 128. Ferner wird daſelbſt erwieſen, daß, wenn y und 2 zwey Bogen bedeuten, ſin. (y T 2) = fſin. y. coſ. z † coſ. y. ſin. 2, coſ. (y † 2) = coſ. y. coſ. 2 — fin. y ſin. z, desgleichen ſin. (y — 2) = ſin. y. coſ. 2 — coſ. y. ſin. 2, und coſ. (y – 2) = col. y. coſ. 2 † ſin. v. ſin. 2 iſt. Setzt . VM man und o⸗ ſſtcol.1 die Tan⸗ ngente des Ncot. 12 e As N hloſen, 71—0, ——l. 10—0 d C nen Fele ſatt. 1ſwey ſchen 1d Setzt man Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. (33 man daher anſtatt y die Bogen ½2; «; 2; ꝛc. ſo wird ſin. (2 = T† 2) = † cof. 2 coſ. (¾ æ † 2) = — ſfſin. 2 ſin. ( æ –᷑ 2) = P coſ. 2 coſ. (2 æ — 2) = † ſin. z ſin. (æ T 2) — ſin. 2z coſ. (æ † 2) = – coſ. 2 ſin. (zæ — 2) = r ſin. z coſ. (æz –— 2) = – coſ. 2 ſin. (3 æ= † 2) = — coſ. 2 coſ. (3 æ † 2) = F† ſin. 2 — ſin. (2 7 † 2) = † ſin. 2 coſ. (3 æ – 2) = — ſin. 2 fſn. (2 7 — 2) = — ſin. 2 coſ. Q2τ † 2) = † coſ. 2 lcoſ. (2 7 — 2) = † coſ. 2 Wenn alſo n irgend eine ganze Zahl bedeutet, ſo iſt . uin † I ſin. t † 2) = † coſ. 2 „ — eoſ. Enk, † 2) = — ſin. 2 ſin. . — 2) = † coſ⸗ 2 ſin. , † 2) = — ſin. 2 † 2 coſ. n,t2 = — coſi. 2 n. —, † 2) = — coſ. 2 oſ. Gnie 2) = † ſin. 2 ſan. En2 n † 3 ſin. „. — 2) = † ſin. 2 coſ. (1 2) = — coſ. z —— —= — cohz * co ec Etr— — 2) = — ſin. (4, 2 n n † 4 2) = P ſin. 2 ſin. — r — 2) = — ſin. „ † 2) =— 1† coſ. 2 coſ. WBr- = col⸗ Und dieſe Formeln ſind wahr, n mage eine poſitive oder n ne⸗ gative ganze Zahl bedeuten. 134 Erſtes Buch. Achtes Capitel. Wenn fin. 2 — P, und COſ. Z — 9 geſetzt wird, ſo iſt . pp †= 1; und wenn ſin. y = m, und coſ. y = n ge⸗ nommen wird, ſo iſt auch um † nn = I. Die Sinus und Coſinus der aus dieſen zuſammengeſetzten Bogen verhalten ſich ſo, daß ſin. z = p ſin. ( † 2) =S in q † np ſin. (2y † 2) = 2mnq † (nn — mm) p ſin. (3 y † 2) & (3 mn2 H † (n 3 — 3 man) p coſ. z = q coſ. (y † 2) =Snq — m-p colſ. (2y † 2z) = (n n — m m) q — 2 mnp cof. (3 † 2 ²) = (n: — 3 m2 n) q — (3zmnz — m3) u. ſ. f. iſt. Die Bogen 2, y† z, 2y † z, 3y † 2 u. ſ. w. machen eine arithmetiſche Progreſſion, ihre Sinus aber und ihre Coſi⸗ nus eine wiederkehrende Reihe von der Art aus, als aus dem Nenner 1 — Znx † (mm†— nn) XX entſpringt. Es iſt nemlich ſin. (2y † ²) = 2n fin.- G † 2) — (mn m † nn) ſin. 2, oder ſin. GF2) = 2 cofy. ſin. (y † 2) — ſin. 2; und eben ſo coſ.(2 y T 2) 2 coſ. y. coſ. (y Tz) — coſ. z. Auf eine aͤhn⸗ liche Art findet man 8 An. (3 7 † 2) = 2 coſ y. ſin. (27 2) — ſin. (y † 2) und coſ. (3y † 2) = 2 coſ. y. coſ (2 †2) — coſ. CG 2); M desgleichen ſin. (4 † 2) = 2 co y. ſin. (3 4 2)— ſin. E7ν⅜ und coſ. (4y †z) = 2 coſ y. coſ. (3 2) — coſ. (2y†²) u.ſ.f. D Rach dieſem Geſezel laſen ſich die Formeln fuͤr die Sinus und Vond lfnt (ſn ſot Sentn ſin. 0 ſin. 26 ſin. 36 ſin 44 ſin. 5 ſn.600 ſo. n col. W cdl. col coh. col. col 6 ddd Daſin . man, d. ſubtrahi I, ſin 1 eol Da fr elhat ſ iſt Sn ge⸗ nus und derhaen hen eine gre Coſ⸗ als aus r. 6 n , d eben ⸗ feineißn⸗ 9 n d 1; 12) und u., Sinus Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 135 und Coſinus der Bogen, die in einer arithmetiſchen Pro⸗ greſſion fortgehen, ſo weit als man will, fortſetzen*). *) Getzt man alſo y= z = 9, ſo erhaͤlt man ſir die Sinus fn. o = ſin. ſi. 2 ° = 2 coſ. . ſin. ½ ſin. 30 = 2 coſ. . ſin. 2 % — fſin. ſin. 4 O = 2 coſ. G. ſin. 3 O — ſin. 2 G ſn. 5 O = 2 cof. O. ſin. 4%ο — ſin. 3 6½ ſin. 6 % = 2 coſ. &. ſin. 5 O — ſin. 4G und uͤberhaupp-t ⸗ fin. n = 2 coſ. . ſin. (n — 1) % — ſin. (Ün — 2) 6; fuͤr die Coſinus coſ. = coſ. ₰ coſ. 2 = 2 coſ. . coſ. ₰ — 1 coſ. 3 ½ = 2 coſ g. coſ. 2 — coſ. coſ. 4O = 2 coſ. . coſ. 3 O — coſ. 2 G coſ. 5 = 2 coſ. ꝙ. coſ. 4%—– coſ. 30 coſ. 6 0° = 2 coſ. 6. coſ. 5 ο — coſ. 4 G und uͤberhaupt coſ. n = 2 coſ. . coſ. (n – 1) — coſ. (n — 2) §. 2– §F. 130. Da ſin. G † 2) = ſin. y. coſ. 2 coſ. y. ſin.: 2 und ſin. (— 2) = ſin. y. coſ. 2 — coſ. y. ſin. 2; ſo erhaͤlt man, wenn man dieſe Gleichungen theils addirt, theils ß I. ſin. y. coſ 2 = — 1 Z 2 MMUMf 2. . c.y. ſn. 2 = — 8 2 . Da ferner coſ- (y † 2) = coſ. y. coſ 2 — ſin. y. ſn. 2, „und ðUMUÿ oſ. (y — 2) = eoly. coſ 2 4 ſin. Y. ſin.2 in, ſ⸗ ” erhaͤlt man auf eben die Art èMB 136 Errſtes Buch. Achtes Capitel. mn 3. coſ. y. coſ. 2z = — 8 e. Vln. c . — 2).— cof 4. ſin. y. ſin. 2 = A I— — 2 Eriſ 2 Setzt man nun y = 2 = v, ſo bekommt man aus dieſen cc letztern Formeln: =“”” 35. (coſ.4 v) 2 = ecocr und coſ. v = 1 T coſ. v Ni⸗ * 2 2 an 1— colſ. — ie 6. (ſin. 2 vV)2 = —kote, und ſin. v = V kkr wornach man aus dem Coſinus eines jeden Winkels den Si⸗ d nus und Coſinus ſeiner Haͤlfte finden kann *). lkenr W )) Setzt man ½7 = o, alſo v = 2 , ſo wird 2 (ſin. %½2 = 1 —– coſ. 2 %, aus 6, und der 47 2 (coſ. ) 2 = I1 † coſ. 2 %, aus 5. Auch laſſen ſich hier ſchon die Beſt mmungen fuͤr die uͤbrigen Poteſtaͤten der Sinus und Coſinus finden, welche Euler am Ende des 14ten Capitels im 262 und 263ſten §. mitgetheilt, aber bereits vorher oͤfters gebraucht hat. Denn einmal fließen die vier Gleichungen, die im Anfange des 262ſten §. ſtehen, in der Ordnung, in welcher ſie daſelbſt gefundan Eei werden, ſehr leicht aus 4, 2, 1 und 3 des gegenwaͤrti⸗ 1 gen §. Ferner ſind die Beſtimmungen fuͤr 2 (ſin. 2)2 und SH 2(coſ. O) 2 ſo eben angefuͤhrt⸗worden. Und was die uͤbri⸗ e gen Beſtt mmun gen betrifft, ſo iſt chng a(ln. 92) 3 = 2 ſin. 2 (lin. )2 = 2 ſin. o(1— cofa 9) = 2 ſin. O — 2 coſ. 2 %. ſin 9. Aber aus 2 im §. iſt 1 —–— 2 coſ. 2 o. ſin. = — ſin. 3 0 † ſin. ; und alſo iſt A(in. 0)3 = 3 ſin. 0 — ſin. 3 0 Ferner iſt n. πa.tρα n. 9) 2ſin. 7 (3un. 6 Ainz. 2) S3. 2 (ſin. „ 2 – Aan. g. ſin. 9. Es iſt aber 3 . 3. 2 (ſin. ) 2 = 3 — 3 coſ. 290, und aus 4 im §. iſt — 2² fin. 3 0. ſin. 90 = = — coſ. 2 0 † coſ. 40⁰. Folglich 4 sli. /4 3 — 4con a0 à cof 4 . Ferner s en I † coſ. r –☚ — eoſe r — 1s den Si⸗ 1 lrier ler an acheilt, n öomel 1Gaſin ,, rfunden enwarti⸗ 9)2 vod ie uhri⸗ col 29 ſyi⸗ 130) ſ h N Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 137 Ferner iſt 16 ſin. )5 =2ſin. 8(ſin. O) 4—ſin. 9(3 — 4 coſ. 29 †coſ. 4 ⁰) = 6 fin. — 4 2 coſ. 2 0. ſin. & † 2 coſ. 40%. ſin. Es iſt aber aus 2 im F. — 4. 2 coſ. 2 0. ſin. 0 = — 4 ſin. 3 G † 4 ſin. &, und 2 coſ. 4 %. ſin. O = ſin. 5 O — ſin. 3 %. Folglich 16 (ſin. ⁶* = 10 ſin. O — 5§ſin. 3 % † ſin. 5 0%.. Dieſe Beyſpiele zeigen hinlaͤnglich die Art und Weiſe, wie man aus 2 (ſin. O)νεqDd = I — coſ. 2 %, und 2 (coſ. *) 2 = 1 † coſ. 2 %, indem mon jene Gleichung mit 2 fſin. O und dieſe mit 2 co ſ. o fortgeſetzt multiplicirt, und das daher ſich Ergebende nach den vier erſten Gleichungen im § und den bereits gefundenen Beſtimmungen abaͤndert, die von Eulern am angefuͤͤhrten Orte mitgetheilten Beſii iimmungen der Po⸗ teſtaͤten von ſin. und coſ. findet; denn bey der Erfin⸗ dung der Poteſtaͤten der Coſinus iſt das Verfahren dem bey der Erfindung der Poteſtaͤten der Sinus bis auf d das Ande⸗ fuͤhrte durchaus aͤhnlich. 5. 131. Setzt m. man n ferner y † 2 = a, und y — 2 = b; ſon wird b b y = 22 und 2 = —, und bringt man n dieſe Werthe in die vorhergehende Formeln, ſo bekommt man n dieſe Glei⸗ chungen, wovon jede einen Lehrſatz enthaͤlt: I. ſin. a † ſin. b = 2 fin. 211. er WGDW a — b 2. ſin. — ſin. b= 2 coſ. a1b ſin. — — 2 2 3. coſa † coſ. b= 2 coſ. ta. coſ. t 4. cotb — eola = ſfin. . — 138 Erſtes Buch. Achtes Capitel. Hieraus ergiebt ſich ferner vermittelſt der Diviſion . 4 † b a PT b mang. . cor — = 5. H. d — in.db — 2 tang. — — 60ſ. a Pcoſ. b ſin a †† ſin. b a 1 7. — –=— cot. —— coſ. b- coſ. a ſin. a — ſin. b àa— b 8. coſ. a † col. b ſin. à — ſin. b a † b 2. coſ. b — coſ. ꝗq 2 coſ. a p coſ. bb a † b a — b 10. – — cot. ——. CcOot. —— coſ. b – coſ. a 2 2 Endlich findet man hieraus = 11 ſin. a † ſin. b coſ. b — coſ. a coſ. a · coſ. b ſin. a — ſin. b 2 r Ter b cornctrocd = . a — bN2 ſin. a — ſin. b coſ. b— coſ. a 2 ſin. a † ſin. b . coſ. b — coſ. a = (tan a † b X 2 13. ſin. a — ſin. b coſ. a † coſ. b 8. — Da (ſin. 2)2 † (cof. 2) 2 = 1 iſt, ſo iſt auch, wenn man die Faktoren nimmt, (Coſ. 2 † V – I. ſin. 2) (coſ. 2z — YV= 1. fin. 2) = 1. Nun ſind zwar dieſe Faktoren imagi⸗ naͤr, allein ſie gewaͤhren nichts deſtoweniger bey der Mul⸗ tiplication und Combination der Bogen einen ſehr großen Nutzen. Denn ſucht man das Produkt dieſer Faktoren (coſ 2 † V — I. ſin. 2) col y Nr ſin. y); ſo andet man R Von toly. col. Da nun o col. . col.. ſo iſt das (coly. und auße (coly- ſch iſ (eol. 3¹. m. ſeya Hier (col: (olꝛ. ierans enn ſin. n Entv tol.n⸗ — 1=—æ , pen Ar nogi Mu⸗ den Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 139 coſ.y. coſ. z — ſin.y. ſin.2 (coſ.y. ſin. ⁊z ſin.y. coſ.?⸗) V I. Da nun aber coſ. y. coſ. z — ſin. y. ſin. z = coſ. (y † 2), und coſ. y. ſin. 2 ſin. y. coſ. z = ſin. G † 2) iſt, [§. 130.)] ſo iſt das Produkt (coſ.y V I. ſin.y) (coſ.2 † V I. ſin. 2) = coſ. (y † 2) † V — I. ſin. (y † 2), und auf eine aͤhnliche Art ergiebt ſich (coſ. y — V — I ſin. y) (coſ. 2 — V — I. ſin. 2) = =— cof (y † 2) — V — I. ſin. (v † 2). Auch iſt nunmehr leicht einzuſehen, daß (coſ. x V - I. ſin. x) (coſ. y . V I. ſin. y) (coſ. 2 V— I. ſin. 2) = coſ. (XTyT 2) V — I. ſin. (F † / † 2); u. ſ. ſ ſeyn wird. §. 133. Hieraus ergiebt ſich, lwenn man x = y = 2⸗ ſetzt (coſ.2 V I ſin. 2) 2 = coſ. 22 + V— I ſin. 22, desgleichen (coſ.? E– I. ſin. 2) 3 =coſ. 32 V – I. ſin. 3 2, u. uͤberhaupt (coſ. 2 = V—– I. ſin. z) n = coſ. n 2z ½¼ — I. ſimn. n2; ) ſo wie hieraus, wegen der doppelten Zeichen, (coſ.2 . ſin. 2) n † (coſ. — I. ſin. A (coſ.?2 V I. ſin. s 2) 2 V — 1 Entwickelt man aber dieſe Binomien durch Reihen, ſo wird n(n — 1) I 2 coſ. n 2 = ſin. n 2 = coſ. n 2 = (coſ. 2) n — (col. 2)n- 2 (un. ) 4* n(n — 1) (n — 2) (n — 3 nn rA 2) nn n⸗ 5), (co 4 2)-gEn-z)e heu. 1 . 2 . 3 ,4 5 6⁶ Uun. 140 Erſtes Buch. Achtes Capitel. n(n- C) Gn.nz = (cofſ2)n-iſin. 2- coſ. z) n-3. ſin. 2)3 † n n –— I) A 2 Cn - 300 — 4) . 2 * 3 . 4 3 5 Cotay:Cln. 2) — ꝛc. 2²) Daß “ =ð (coſ. 2 Z V —– I. ſin. z)n = coſ. n 3z. X V — I. ſin. n z iſt, wenn n eine ganze poſitive Zahl bedeutet, iſt durch den vorhergehenden und den gegenwaͤrtigen §. außer allen Zwei⸗ fel geſetzt. Es iſt aber dieſer Satz von einem weit groͤßern Umfange, denn er gilt, n mag eine poſitive oder negative, eine ganze oder eine gebrochene, eine rationale oder eine ir⸗ rationale Zahl bedeuten. Gelegentlich beweiſet ſolches Eu⸗ ler in den bey §. 32. angefuͤhrten Recherches ſur les ra- cines imaginaires des équations §. 85. allein mit Huͤlfe der Differential Rechnung. Wie und wie weit man ſich da⸗ von ohne den Gebrauch der Differential⸗Rechnung nberten⸗ gen koͤnne? davon ſehe man den Zuſatz zu dieſem §. i Anhange. .) Es iſt nemlich (coſ. 2 †V — I. ſin. 2) n = coſ. nz † V —–I. ſin. nz, und (coſ. 2— V.— I. ſin. Z) n = coſ. n z — V — I. ſin. n 2; und aus dem Aggregate dieſer beyden Gleichungen erhaͤlt man die Beſtimmung von coſ. n2, ſo wie aus der Differenz derſel⸗ ben die Beſtimmung von ſin. n 2z. MNun ſey ein unendlich kleiner Bogen, folglich ſin. 2 = 2, und coſ. 2 = I. Wenn alsdann n eine unendlich große Zahl bedeutet, ſo daß n? ein endlicher Vogen iſt, den wir = v ſetzen wollen; ſo iſt, weil dann Gn.2 = = 2= — iſt, 1,2 1.2.3.4 1.2. 3.4,5.6 ſin. Von ſin. *= Penn alſ lelſt dieſe mit aber ugen fa bedeute, wiem zur Vath von (ben al⸗ Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 141 n.2)3† V 3 VS V7 ſin. v = v — — — — — — † ꝛc. 1.2. 3 I. 2. 3.4. 5 1.2.3 4.5.6.7 Wenn alſo der Bogen v gegeben iſt, ſo kann man vermit⸗ telſt dieſer Reihen ſeinen Sinus und Coſinus ſinden. Da⸗ mit aber der Nutzen dieſer Formeln deſto deutlicher in die h,ſin.nr Augen falle, ſo wollen wir annehmen, daß v einen Bogen urch den bedeute, der ſich zum Quadranten oder 900° verhalte, 1 Zei⸗ m æ Nizrn wie m zu n, d. h. es ſoll v = —. — ſeyn. Da nun der D Werth von = bekannt iſt, ſo erhaͤlt man, wenn man den⸗ 6s Eun ſelben allenthalben ſubſtituirt, 2 m ls n. ſin. A = —. 900 = cie thue m nſch o † — 1,5707963267948966192313216916 iberzer n 1ſ in mnJ 654596 62462536557565636 —— 0,645964097506246253655756563 5 + — 9,079 69262 6046 67045 1205055488 12, u m ? 1, 4 — ℳ681754 13 3534 86 881006854632 nun die mo uſe T 00οι16 ⅓½4411847873598218726605 mT I — nr o,oοσοοso 432352120853404580 D †. R, -0οωο₰(o—h2t 7292196792681 17 h mIS5 — — , Oπ0ρ0°9°°S7666⁸ 803 510981 1467224 =1 nT 17 FrF. οοavvďo„ «5 311061950 mI9 nd — R5 0σοοοοοwℳ77νdℳ 1370 142 Erſtes Buch. Achtes Capitel. . N m? I . ; † ESr o, ooοοοο οοοwwοä οQw οH1I142 2892856 5 — *0, OOOOOOOOOOOOOOOOOI253899 5403 — n n2² maS m. 4 . , 00οοο%ο0ο¾οοοοο0οοο%οοο 5 64550 — 11 m2 7 m? — — oOοωνωòvbνο.οωοοονοsοNοοοο77- 181239 — „ 20 12 m2 929 . m a5 O, oOοσοοNοοοοοοοοοοοοοοοοοDοοο4 —— 15² In und coſ. A —. 900° = Da . 4 n Coſinus Coſin † I, OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO ſan ms Er — — — o, 2337005501361698273543113745 n2 ſ der —. 0, 25 36695079010480136365633659 S — — o,020 8634807633529608730516364 ſeis ein nimn die 1 —. 0, 00οπ°0°9192 602748394265802417158 Weien o mIOo — M15. „h026 ½%.42 373060605z48 10526 d mrz dargus †* Ri ℳSds8171503665 dee le Lan .— m4 tiplica 1 —BEE hNοα ê(nx8379 1352240 ls wo⸗ 4. M. . ine ſehe 7h6d11.V9794723 n1 lch def — –. %οοο6 44%2⁵7462 m?2 O 7 tang. . 1† RE5- ,σddσHznI] I7 391790981 6335 116364 417158 8310525 zezß 21408 47230 3462 — tang. v= — — = Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 143 m22 — H. 07Ohοι DÜO hωℳυůτσν%Hοſο 1 S‧3⁵599 1652 12 22 m 2 4ℳ † ,0οσ0ο0οοσοDοοσοοωοιομοοοσοοNονι n77 327 m26G6 — 0,00Oο0οιοωdvO ω‿Nn0οοω‿b6αοω dbd½—(-ονωHωοοII!I5 285 n2 m283 † H:. „οοN⁰»MwJ0οοO⏑hLοο öν hπι ‿dvD o1o15 m 3 — – 000OOOOOOOͤO—)v .’OWhο0οπ0οϑ0οπιιο%οσ0ο⁄ ο%ο ſο%ο Da es nun hinlaͤnglich iſt, wenn man die Sinus und Coſinus der Winkel bis zu 45° weiß, [weil coſ. 2 = ſin. (4 –— 2) Und ſin. 2 = coſ. Er — 2) H. 127. und 128. ſo iſt der Bruch — immer kleiner als 3 „, und die Poteſtaͤten des Bruchs — n nehmen daher ſehr ſtark ab „ſo daß meiſten⸗ theils einige wenige Glieder hinreichend ſind, zumal, wenn man die Sinus und Coſinus nicht in ſo vielen Decimal⸗ Theilen verlangt. §K. 135. = Hat man die Sinus und Coſinus gefunden, ſo kann man daraus allerdings nach den bekannten Analogien (F. 127.) die Tangenten und Cotangenten ſinden; allein weil die Nul⸗ tiplication und Diviſion mit ſolchen vieltheiligen Zahlen, als wodurch die Sinus und Coſinus ausgedruckt werden, eine ſehr beſchwerliche Sache iſt, ſo iſt es beſſer, wenn man auch dafuͤr beſondere Formeln ſucht. Es iſt alſo V 3 VS VN — —— — ——— Tir. ſin. 7 I. 2.3¹ I.2.3 4.5 co. vz vVA4 1— — † – — † ꝛc. 1. 2. I. 2, 3.4 5.6 und õ 144 Errſtes Buch. Achtes Capitel. und 2 vA4 V6 t. . coſ.- 1.2 Ea - t& Ect. n. v V3 Vyz 1.2.3 1.2.3.4.5 ss; Setzt man daher wieder v = — 900, ſo iſt ang. A.— .90 0 cot. A. + 90⁰°= „O,6366197723675 † r 0,2975567820597 n 0,3183098861837 k – 0,0186886502773 — n . 0,2052888894145 ms m 3 = 0,0018424752034 — 23 . O,00655 10747882 m2 mz?s 27 „„ O, 0001975800714— nS- 0,0003450292554 — 0,0000216977245 – 37 0,0000202791060 mITI m? HTI 00006°⁵06240 1370 — 1% 0,0000012366527 m X 3 m I TI uIS O,0000002664132 — II: οοHν*.) D mIS5 mx 3 † a⸗ O,OOOOOOO 295864 — I5 o,co00O00047597 14 ir 0,0000000032867 — r5 O/OOOOOOOOOB3969 +† KIS o/OOOOOOOOO365I — 17 Oοο%ο%οιοhονhον1 † KT 00OOοσ%οοοο — r9 /Oποοοοον † n25 —1K12 125 Der Gr kommen. 4 Eiſ Siusund UndCofiar ober ouch goo die duech e dAln. ſett, col ſin. Und mane rmd: l W. Hietnae 300 hin finden. Vey lichah ſt ), Eul po⸗ 1367) tgy⸗ Wlg; 10,4,8 92554 lobo N 02900 1⅞απι oolI õð Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 145 m 3 —— O,0OOOOOOOOOOA5 — 2. 2 . m2 S = n2 .O,O0000000000005 n 2 Der Grund hiervon wird weiter unten [§. 197. f. 1 vor⸗ kommen. D §. 136. Es iſt vorhin §. 134.] bemerkt worden, daß man in den Sinus und Coſinus der Winkel bis zu 45 zugleich die Sinus und Coſinus aller uͤbrigen groͤßern Winkel habe; man kann aber auch ſchon aus den Sinus und Coſinus der Winkel bis zu 300 die Sinus und Coſinus der Winkel, die uͤber 200 ſind, durch eine bloße Addition und Subtraction finden. Denn da ſin. 300 = iſt ſo iſt aus F. 130, wenn man y = 300 ſetzt, * coſ. 2 = ſin. (300 † 2) † ſin. (300 — 2) und ſin. 2 = coſ. (300 –— 2) – coſ. (300 † 2) und man erhaͤlt daher aus den Sinus und Coſinus der Win⸗ kel z und 300 — 2 ſin. (300 † 2) = coſ. 2 — ſin. (300 — 2) und coſ. (300° † 2) = coſ. (300 — 2) — ſin. 2. Hiernach kann man die Sinus und Coſinus der Winkel von 300 bis zu 600, und aus dieſen dann auch alle uͤbrigen finden. §. 137. Bey den Tangenten und Cotangenten giebt es ein aͤhn⸗ tang. a † tang. b I—tang. a. tang. b liches Huͤlfsmittel. Denn da tang. (a † b) = 2tang. a iſt *), ſo iſt tang. 2 a = —, und 1 — tang. 4. tang. a2 Eulers Einl. in d. Anal. d Unendl. 1.B. K cot. H 146 Erſtes Buch. Achtes Capitel. cot. a — tang. à . . cot. 2 a = — Sn. ; *X) Und hiernach laſſen ſich aus den Tangenten und Cotangenten der Bogen, die klei⸗ ner ſind als 300, die Cotangellten der Bogen bis zu 60⁰° finden. Nun ſey a = 300° —–— b, ſo iſt 2 à = 600 — 2 b, und cot. 2 àa = tang. (300 † 2 b); folglich 5 cot. (300 — b) — tang. ( (300 —b5, 2 wornach man auch die Tangenten der Bogen, die groͤßer als 300 ſind, findet. Die Secanten und Coſecanten endlich laſſen ſich aus den Tangenten durch eine bloße Subtraction erhalten; denn es iſt coſec. 2 = cot. „2 – cot. z, und daher ſec. 2 = cot. (45 ö— 4¾ 2) – tang. 3. ***d Hieraus er⸗ hellet zur Gnuͤge, wie die trigonometriſchen Tafeln verfer⸗ tiget werden koͤnnen. tang. (300 † 2 b) = ſin. (a † b) coſ. (a † b) *) Es iſt nemlich tang. (a † b) = §. 127. ſin. a. coſ. b † coſ. a. ſin. b coſ. a. coſ b — ſin. a. ſin. b deen Zäaähler und Nenner dieſes letzten Werthes durch coſ. a. àa coſ. b, ſo bekoͤmmt man den obigen Werth fuͤr tang. (a † b), H ſo wie hieraus, wenn man darin a fuͤr b letzt, den ſogleich folgenden fuͤr tang. 2a. „ §K. 128. und dividirt man L .) Dies folgt aus cot. 2 a = — = —, 9. 127, = tang. 2 u 1 — uang: a. tang. a U * * — =S= 0 vord tann ſoie ſta IN tang 2cot lder ied Ron Vogen, endlichen 7 wh⸗ hraucht der Fen eoſ⸗ V. n In den õ Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 147 eerr Frreke 2 tang. ¼2 en ſi **) Da tang. 2 — — wie ſo eben gezeigt ſen ſich )2 g. 2— — (tang. 2 ſo gezeigt die klei⸗ worden iſt, ſo hat man daher tang. 2— tang. 2 (tang. 22) 2 . = 2 tang. ½ 2, oder tan g.r Ctang 2) 2 † 2 tang. 22 = tang. z. Dividirt man nun hier allenthalben durch tang. z, ſo kommt (tang. 2 22)2 †+ † 2 cot. z. tang. 212 = I, und es 2rind iſt alſo tang. ½ 2 = — cot. 2 † V (1 1 (cot. 2) 2). Da nun V (1 1 cot. e = coſec. z, ſo wird coſec. 2 = 00 —9) tang. ?z † cot. z. Es fliett aber aus (tang. 2) 2 † 2 cot. z. tang. ½ 2z = I duch, tang. 2 2 † 2 cot. 2 = cot. 2, i ote oder tang. 2 = = cot. ¾2 – 2 cot. z, und dieſen Werth in die vorhin fuͤr coſec. 2z gefundene Formel geſetzt ſo iſt Ccoſec. Zz =— cot. 52 — cot. zZ n ſih as Nun ſetze man « = 900— 2, modurch 2 — 450— 12, khalen; coſec. X = ſec. 24 und cot. X = tang. 2 wird; ſo wird aus 60 1 ec. X = cot. æ — cot. X Nun ſey abermals, wie §. 134., 2 ein unendlich kleiner Bogen, und n eine unendlich große Zahl i, ſo daß i⸗ einen RI2 = endlichen Werth v erhalte. Alsdann iſt n z = v, und 2 = V Vv. Dit nn — woher denn ſin. ?2 = —, und cof. 2 = I wird. Ge⸗ d W zat⸗ braucht man nun dieſe Werthe, ſo bekommt man anſtan “ der Sormein §. 233. dieſe: JMD . gi (1 1 — 14 ac —- n eoſ. v = — . — unnnd 2 71 (I †. —— — (1— –– un. V — — 5 B 2 V. — I In dem vorhergehenden Capitel iſt aber bewieſen worden, HWH K 2 daß )R 7 . 2 . R — 4 . r 7„ . ℳ 4 — 14 Erſtes Buc. Aste Capitel. daß (1 . = er iſt, wenn e die Baſis der hyperboli⸗ ſchen Logarithmen bedeutet; und ſetzt man daher fuͤr ⸗ theils † v V — I, theils — v V — I, ſo wird -—— — — erVX 1 . e V — 1 coſ. v = S e rVV—I —- VV Hieraus erhellet, wie die imaginaͤren Eponential⸗Groͤßen auf Sinus und Coſinus reeller Bogen zuruͤckgebracht wer⸗ den koͤnnen. Es wird nemlich erNN —I = cof V T† V – I. ſin. v, und „und . — = col. v — V — I. ſin. v. d. 139. Ferner ſey in eben dieſen n Formel §. 133. n eine unend⸗ ich kleine Zahl, oder n = †, indem ieine unendlich grobe Zaht bedeutet; ſon wird coſ. n 2z = coſ. = I, und ſin. n z« = ſin. † = : denn der Sinus eines unendlich kleinen i Bogens iſt dieſem Bogen ſelbſt gleich, der Coſinus aber = 1. Gebraucht man nun dieſe Werthe in den gedachren Form eln, ſo erhaͤlt man (col ſin. 4 (coſ -—I. ſin. 2) 1 „und 2 1 . 1 2 = Col t11 ſin. õ 21 weil die! Vo Pyn iſt gyperbol Nder yi us der IEX col. 2 Hilt man I1TI 1 1r— den, ſo fur den 1 21 woher den 21— 2 Hieraus Kresde 4 Da Longent Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 1 49 abolt⸗ Nun iſt aber §. 125. gezeigt worden, daß, wenn man die 1 fie⸗ hyperboliſchen Logarithmen nimmt, 1(1 ¼ X) Si (1 † X) — i, oder y 1 = = iyi iſt, indem man dieſe letztere Gleichung aus der vorhergehenden erhaͤlt, wenn man darin y anſtatt 1 † xX ſetzt. Setzt man daher nunmehr anſtatt y theils coſ. 2 † V — I. ſin. z, „theils coſ. 2 — V — 1I. ſin. z, ſo er⸗ haͤlt man 111 1ccαι1½g1nn. rt X1Ccot⸗--r ſin. 2) iht wer⸗ 1=. . — =I, 2 weil die Logarithmen als unendlich kleine Groͤßen verſchwin⸗ den, ſo daß alſo hieraus nichts folgt. Die andere Gleichung, fuͤr den Sinus, hingegen, giebt Groen I(coſ. 2 † V — I. ſin. 2) — I(coſ. z — V — I. ſin. 2) Nun 2 14— 2 V — 1I unend⸗ woher denn ic gc⸗ 1 coſ. z † V — I. ſin. 2 2V — I coſ. 2 — V — 1I. ſin. 2z lu,n Hieraus erhellet, wie man die imaginaͤren Logarithmen auf Kreisbogen zuruͤckfuͤhren kann. fleinen . §. 140. thetel ſin. 2 .— è yne Da — — –— tang. z, ſo wird der Bogen? durch ſeine Prnel, cof. z Eine Tangente auf dieſe Art ausgedruckt: 1 1 I † V — I. tang. ?z? ꝙ .,und 2 V I 1I– V — I. tang. 2Z ððB Da nun nach . 138. H M — 3 2 XK 5 2X7 K 3 iſt, 150 Erſtes Buch. Achtes Capitel. iſt, ſo wird, wenn man æ = V – I. tang. z ſetzt, tang. 2 (tang. 2) 3 Cng. ang. 2)7 2 – — 5 r. † ꝛc. 1 3 5 7 Iſt alſo tang. 2 = t, folglich ein Bogen, VD Tangente t iſt, ſo daß man ihn durch A. tang. t. bezeichnen, und 2 = A. tang. t ſetzen kann: ſo iſt, wenn t bekannt iſt, der zu dieſer Tangente gehoͤrige Bogen 4 t 1t3 1 *⁶ r 7 9 Da nun, wenn die Tangente t dem Radius 1 gleich wird, der zu ihr gehoͤrende Bogen 2 = einem Bogen von 450°, oder iſt, ſo hat man I T I P †— . 2c 3 5 7 9 welches die Reihe iſt, die Leibnitz für den Werth der Pe⸗ ripherie des Zirkels erfunden hat **). *) In der Abhandlung: De vera proportione circuli ad quadratum circumſcriptum in numeris rationalibus, welche man in den Actis eruditorum vom Jahr 1682. G. 41 f. und im dritten Theile der Genfer Ausgabe der Leibnitziſchen Werke S. 140 f. findet. §F. 141. Es faͤllt indeß in die Augen, daß man, um aus dieſer Reihe die Groͤße eines Kreisbo ogens mit weniger Muͤhe zu beſtimmen, fuͤr die Tangente t einen hint aͤnglich kleinen Bruch nehmen muß. So findet man z. B. daraus ſehr leicht die Groͤße des Bogens 2, deſſen Tagente t gleich iſt; denn da iſt dieſer Bogen 2 = 5 – 1865 T 788855 z. und der Werth dieſer Reihe laͤßt ſich mit geringer Muͤhe in Decimal⸗ Bruͤchen ausdrucken. Allein, wenn man auch d. ie Pon Ning Eunde, ſinmen, Langente Nanmu nen Boge Und deſe ausa c Dogen, d Plipherie ſegt Langente 30⁰ — ſen. We Abec tens we das bor auf fol gen don 5 Lering in die tt. ngente, ndr ,der t wird, n, der Pe culi ad nalibus, t 10 82. gae da er ihe kleinen⸗ u ſchr leih n 71 Mihe ouch d, ie Von den tranſcendenten Groͤßen beym Kreiſe. 151 die Laͤnge dieſes Bogens kennt, ſo iſt man doch nicht im Stande, daraus die Groͤße der ganzen Peripherie zu be⸗ ſtimmen, weil man das Verhaͤltniß eines Bogens, deſſen Tangente = iſt, zur ganzen Peripherie nicht angeben kann. Man muß daher, um die Laͤnge der Peripherie zu finden, ei⸗ nen Bogen ſuchen, der ein aliquoter Theil der Peripherie iſt, und deſſen Tangente durch einen kleinen Brucht bequem ausgedruckt werden kann. Weil nun die Tangenten der Bogen, die kleiner als 300 und dabey aliquote Theile der Peripherie ſind, zu verwickelte irrationale Groͤßen werden, ſo pflegt man dieſer Abſicht den Bogen von 300, deſſen Tangente = RM iſt, zu nehmen. Da alſo der Bogen von 300 — iſt, ſo iſt — = — —Fr =- — 3 5 iſt ſo iſt V⸗ 3.3 V 3 5.3 W 3 r. 2 M 3 2. 3 2 3 2 V 3 14— r. und vermittelſt dieſer Reihe hat man den oben S 126.] an⸗ gefuͤhrten Werth von æ mit unglaublicher Muͤhe gefunden. §. 142. Dieſe Arbeit iſt deswegen ſo groß, einmal weil alle ein⸗ zelne Glieder dieſer Reihe Irrational⸗Zahlen ſind, und zwey⸗ tens weil jedes folgende ohngefehr nur dreymal kleiner als das vorhergehende iſt. Dieſer Unbequemlichkeit kann indeß — ꝛc. auf folgende Art angeholfen werden. Man nehme den Bo⸗ gen von 45 oder — und behalte dafuͤr die Reihe 7— — † u. ſ. f. ohnerachtet dieſelbe nur in einem außerſt geringen Grade convergirt, bey, zerfaͤlle aber den Bogen in die ebeyden: 2 und b, ſo daß a † b = = = 45 0, ſey. Da 4 K 4 nun D 152 Errſtes Buch. Achtes Capitel. ꝛc. tang. a † tang. b 1— iſt, ſo iſt auch 1 — tang. a. tang. b. = tang. a † tang. b. und tang. b I— tang. 2 I T tang. a- tang. b = ½, und vermittelſt dieſer Werthe kann man ſo⸗ wohl den Bogen a als den Bogen b durch eine rationale nun tang. (a † b) = 1 = Setzt man nun tang. a = ⅞, ſo wird und weit mehr als die vorhergehende convergirende Reihe ausdrucken. Da ferner die Summe dieſer beyden Bogen = - iſt, ſo hat man daher Cſ.I I I . 1 . 1 J.51 5.27 727 5a5 r. =4 ”ssl 1 1 — — † — - — ꝛc. LI. 3 335 5.3 * 57 3 5 — Auf dieſe Art haͤtte man die Laͤnge des halben Umkreiſes = weit leichter finden koͤnnen, als es durch die vorhin (§.141] * gefundene Reihe geſchehen iſt. 2 Neun⸗ W Ve⸗ Zunktior und daſ lofung ganze ben, d ſucht † 62 ſeben i So deru 9% Ft. wenn ſelben Funkti — Wck W ſ auch ang. b wicd Amnſ rationele de Reihe 1 Bogen 4 nkreiſese 1 huunn⸗ Neuntes Capitel. Von der Erforſchung der teinomiſchen Faktoren. 4 J. 143. Wie man die einfachen Faktoren einer jeden ganzen Funktion finde? iſt oben [im 2ꝛ2ten Cap. §. 29. f.] gelehret, und daſelbſt gezeigt worden, daß man dazu durch die Auf⸗ loͤſung der Gleichungen gelange. Iſt nemlich irgend eine ganze Funktion «= † z † 722 † à%23 † =24 † ꝛc. gege⸗ ben, deren einfache Faktoren von der Form p — q? ge⸗ ſucht werden ſollen: ſo iſt offenbar, daß dieſe Funktion 4 † 8 2 † 722 † 523 † ꝛc. wenn p — qz ein Faktor der⸗ ſelben iſt, fuͤr 2z = , wobey p — qz So wird, auch ſelbſt = o werden muß. Iſt alſo p — q ein Faktor oder Diviſor ⁸ p der Funktion =†τ ιτ*⁹ †τιo*ιενα 20. ſo iſt † “ p52 3 4² 5. wenn man alle Wurein 7 dieſer Gleichung ſucht, durch die⸗ 1 . =o. Umgekehrt erhaͤlt man daher, ſelben eben ſoviel einfache Faktoren der gegebenen ganzen Funktion = † 2 † 722 † à23 † ꝛc. und zwar von der Form b — qz. Es erhellet aber hieraus zugleich, daß ſich die Anzahl dieſer einfachen Faktoren nach der hoͤchſten Poteſtaͤt von 2 richtet. K 5 §. 144. 154 Erſtes Buch. Neuntes Capitel. Wn Auf dieſem Wege laſſen ſich aber die imaginaͤren Fak⸗ r toren gewoͤhnlicher Weiſe ſehr ſchwer ſinden, und es iri ſoll daher in dem gegenwaͤrtigen Capitel ein beſonderer kun i Weg hiezu gezeigt werden. Da aber die einfachen imagi⸗ el wo naͤren Faktoren von der Art ſind, daß die Produkte ar u je zweyen reell werden, S. 32]; iſo findet man die einfachen as imaginaͤren Faktoren, wenn man die doppel ten Faktoren, N⸗ oder die Faktoren von der Form p — qz † rzz aufſucht, eben, die zwar ſelbſt reell ſind, aber dabey aus einfachen imagi⸗ mnh naͤren Faktoren beſtehen. Denn ſind von der Funktion geſinn 2 † g 722 † à23 Tzc. alle reelle doppelte Faktoren von mndckt dieſer trinomiſchen Form p — qz † r22 bekannt, ſo kann eüiigfache man daraus ferner alle imaginaͤren einfachen Faktoren ſin. 0) ð finden. “ 3 wirdde L. 1446. Es hat aber die Trinomie p — q2 † rzz einfache ima⸗ — ginaͤre Faktoren, wenn 4 5Pr groͤßer als 44, oder iklich kleiner als 1 iſt. Da nun die Sinus und Coſinus der Win⸗ men ! kel kleiner als 1 ſind, ſo hat daher der Ausdruck p — q2 rzz len einfache imaginaͤre Faktoren, wenn - = dem Sinus . oderoſinus irgend eines Winkels iſt. Setzt man daher — A — 2 V Pr. erſten coſ. , oder q = 2 V pr. cof. ,, ſo hat die Trinomie das in bp – qz †r22 einfache imaginaͤre Faktoren. Damit aber gtſeg Diieie Frrationalitaͤt keine Schwierigkeit verurſache, ſo wol⸗ rucden . len wir die Formel pp – 2 p q 2. coſ. O& † q qz gebrauchen, . deren einfache imaginaͤre Faktoren dieſe ſind: — 1fale rſek⸗ W 8 „ . infachen ktoren, fſucht, imagi⸗ unktiont len don dne Faktoren e ina⸗ de W⸗ grim n Sins — Myr. omie taber wet uchen, 1. Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 155 q2 — p (coſ. † V — I. ſin. %) und q2 — b (coſ. O — V. — I. ſin. 9). Hier faͤllt in die Augen, daß fuͤr coſ. 0] = † 1, weil als⸗ dann ſin. ½ = o iſt, beyde Faktoren einander gleich und reell werden. H §. 146. Iſt alſo eine ganze Funktieon = † gz † 722 † à23 † :c. gegeben, ſo findet man ihre einfachen i imaginaͤren Faktoren, wenn man daraus die Buchſtaben p und q und den Winkel o beſtimmt, daß dieſe Trinomie p.p — 2 p qz. coſ. o& † qqzz ein Faktor der Funktion wird; denn alsdenn hat ſie auch die einfachen imaginaͤren Faktoren q2 — p (coſ. Q † V — I. ſin. ⁰) und qz — p (coſ. 9 – N – I. ſin. 9₰.) Es wird ah die gegebene Funktion = o, ſowohl, wenn man 2 = — * (eoſ. 9 † V. — 1. ſin. ) als auch, wenn man (cof. %– V. — 1., ſin. 9). Thut man alſo ſolches = wirklich, ſo erhaͤlt man eine doppelte, Gleichung, woraus man ſowohl den Bruch 1. als den Bogen beſtimmen kann. §. 147. So beſchwerlich die gedachten Subſtitutionen fuͤr 2 beym H erſten Anblick ſcheinen, ſo werden ſie gleichwohl durch das, was im vorhergehenden Capitel gelehret worden iſt, ohne große Muͤhe gemacht. Denn da daſelbſt (S. 133 gezeigt worden iſt, daß (coſ. ½ † V — I. fin. O = coſ. n & 1 V — I. fin; ſo entſtehen daher fuͤr die Poteſtaͤten. von 2 folgende Subſtitutionen: fuͤr 156 Erſtes Buch. Neuntes Capitel. NVon fuͤr den erſten Faktor: fuͤr den zweyten Faktor: aßil 2 7 (coſ. † V — I. ſin. o.) 2= Ceol. °— V — I. ſin. g.) Gmig 2 :Ccotae1 V ſin. 2 ⁰.) =Ee (coſ 20-V— ön. 26,) nicei b ecot zet Vr. ſin. 30) 2:= P (coſ, 30— — I. in. 30.) 4 93 Mul — die ande 2 beot⸗ 4 %° † V — I. ſin. 40.) 2i(cof 49-V — I. ſin. 40.) nauf d u. ſ. f. u. ſ. f. Pekommt Setzt man nun der Kuͤrze wegen = r, und ſubſtituirt Ee man wirklich, ſo erhaͤlt man folgende zwey Gleichungen: =e .⸗* † &r. coſ. & † vrz. coſ. 20% † Or 3. coſ. 3 % † c. †erV — I. ſin. O†v V — I. ſin. 2% ors V — I. ſin. 30 Pꝛc. Muſtix — ſæ † Sr. coſ. O † Yr2. coſ. 2 S † r 3. coſ. 3 % † ꝛc.] nd die L — erV — I. ſin. —r V— I. ſin. 9 Br —.lin. 30—2c.) iee Moi §. 148. 04 Addirt und ſubtrahirt man dieſe beyden Gleichungen zu und von einander, und dividirt man im letztern Falle noch sa uͤberdies durch 2 V —–— I; ſo erhaͤlt man daraus dieſe bey⸗ den reellen Gleichungen: H us ide o = P sr. coſ. O † r2. coſ. 2 29 † rz3. coſ. 3 o † ꝛc. Re, di „%= † gr. ſin. o † rz. ſin. 2 % † r 3. ſin. 3 % † ꝛc. da daſſ welche auch ſogleich aus der gegebenen Funktion — ſ ah⸗ 2 † gà † v22 † 723 † :224 † ꝛc. umon gefunden werden koͤnnen, wenn man darin allenthalben ein⸗ halenen mDal zn = rn. coſ. no, und dann zn = rn. ſin. no ſetzt. Dde Auf dieſe Art wird nemlich, da ſin. O 9= o, „ und coſ. o I iſt, fuͤr 20 oder 1 in dem beſtaͤndigen Gliede im erſten Falle 1 aim letzten aber o geſetzt. Wenn man daher aus dieſen bey⸗ Q. den Gleichungen die unbekannten Groͤßen und beſtimmt, deiti Lbſtituirt wngen: dn no er. . ——; S= = hungen i Frleng ieſe hey⸗ 39†1* 30* * hen ein⸗ ſett. 00=l agelel ſen be⸗ Hinnt, Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 157 ſo erhaͤlt man dadurch, da r iſt, einen Faktor der trinomiſchen Funktion pp — 2 pq z. coſ. † q q 2z, welche zwey einfache imaginaͤre Faktoren in ſich ſchließt. §. 149. Multiplicirt man die erſte Gleichung durch ſin. mo, und die andere durch coſ. m, und addirt und ſubtrahirt man darauf die erhaltenen Produkte zu und von einander, ſo bekommt man folgende zwey Gleichungen: = a. ſin. m &O† &r. ſin. (m † 1) & † vrz. ſin. (m †2) o FP àr3. ſin. (m † 3) % † ꝛc. 0o= æa. ſin. m& † gr. ſin. (m — 1) %ο † r. ſin. n 2, T 5r 3. ſin. (m — 3) % † ꝛc, Multiplicirt man hingegen die erſte Gleichung durch coſ. m 9, und die zweyte durch ſin. m %, ſo entſtehen hieraus durch die Addition und Subtraction dieſe Gleichungen: = . coſ. m &O † gr. coſ. (m — I) O † yr2. cof. (m2 † àr 3. coſ. (m — 3) O T ac. 0 = a. cof. m & † gr. coſ. (m † 1) & † Yr2. coſ. (m † 1 2)% P r 3. coſ. (m † 3) %σ † ec. Aus jedem Paare dieſer Gleichungen iſt man nun im Sian⸗ de, die unbekannten Groͤßen r und beſtimmen; und da daſſelbe meiſtens auf mehr denn eine Art geſchehen kann, ſo erhaͤlt man auch zugleich mehrere trinomiſche Faktoren, ja man findet dadurch alle in der gegebenen Funktion ent⸗ haltenen *). *) Dieſes wird durch das Folgende kl klar. §. 1 50. Damit der Gebrauch dieſer Regeln mit vollkommner Deutlichkeit gefaßt werden moͤge⸗ ſo wollen wir die trino⸗ miſchen 158 Erſtes Buch. Neuntes Capitel. In miſchen Faktoren einiger oͤfters vorkommenden Funktionen r gun aufſuchen, um dieſelben bey vorkommender Gelegenheit ein von hier entlehnen zu koͤn nen. Angenommen alſo, daß die gankat trinomiſchen Faktoren von der Form pp – 2 q z. coſ. Dieſe † q qz aus der Funktion an † ꝛn gefunden werden ſollen: a 9 ſo hat man, wenn man r = 1 ſetzt, dieſe beyden Glei⸗ chungen. N deutlche 0 = an -† rn. coſ. n , Uund o = rn. ſin. n ꝙ. nimepe Hiervon giebt die letzte ſin. n O = o, und es iſt daher n- ande ein Bogen, der entweder unter den Ausdruck (2 k † 1) = oder unter dieſen 2 K gehoͤrt, S. die Anmerk. zum 127. K.] Vn wo K eine ganze Zahl bedeutet. Dieſe beyden Faͤlle muͤſſen deswegen von einander unterſchieden werden, weil darin die Coſinus verſchieden ſind, und im erſten coſ. (2 k † 1) = = –— 1, im letzten aber coſ. 2 k 7 = † I iſt. Hier faͤllt indeß in die Augen, daß die erſte Form, oder n %£—v (2 k † 1) æ genommen werden muß, weil dabey coſ. n & = — I, und folglich o = an — rn iſt, woraus ſich denn = := Brgieit Es iſ alſop = e, 1 = 1, und o . —: „und folglich aa — 2 a 2 cel, — 1 272 ein Fakror der Funktion an † zu. Da man nun fuͤr E N jede ganze Zahl ſetzen kann, ſo entſtehen dadurch mehrere Faktoren, deren Anzahl aber deswegen nicht unendlich iſt. wieil, wie jedes Beyſpiel zeigen kann, die erſten Faktoren wiiiederkommen, wenn 2 KPI uͤber n vermehrt wird, in⸗ — M dem coſ. (2 æ T %) = coſ. , iſt, 19. 128]. Iſt ferner n eine AA- uunngerade Zahl, ſo erhaͤlt man, wenn man 2 k † I = n 8 nimmt, den quadratiſchen Faktor aa † 2 az T zz; doch gus di folgt daraus nicht, daß das Quadrat (a †. 2)2 ein Faktor e nI27, unfirt t nehrere Micj ſe Poktoren ied, in⸗ e n eine 41=1 11 noch hetior der Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 159 der Funktion an † zn iſt, weil man daraus nach ([§. 148.] eine einzige Gleichung erhaͤlt, woraus man deutlich abneh⸗ men kann, daß bloß a ein Faktor der Formel an † en iſt. Dieſe Regel muß man immer vor Augen behalten, no oft coſ. entweder † I oder — I iſt. Epempel. Jetzt wollen wir einige Zaͤlle, um jene Faktoren deſto deutlicher vor Augen zu ſtellen, betrachten, und dieſe Faͤlle in zwey Claſſen theilen, je nachdem n eine gerade oder un⸗ gerade Zahl iſt. Wenn n = 1, ſo hat die Formel a † 2Zz den Faktor a P z Wenn n = 2, ſo hat die Formel 212 † 22 den Faktor a2 † 22 Wenn n = 3, ſo hat die Formel 4a3 †. 23 die Faktoren as — 2 àaz. Ccoſ. ½ „ † 22 a † z Wenn n = 4, ſo hat die Formel a *% † 24 die Faktoren a à — 2 àa 2z. coſ. 7* † 22 a aà — 2 a Zz. coſ. 3 7 † 227 Weun n = 5, ſo hat die Formel .r as † 2 5 die Faktoren aAa — 2 az. coſ. † æ † 22 a aà — 2 a z coſ. 3 * † 22 a †T 2 Aus dieſen Beyſpielen erhellet, det, wenn man anſtatt 2 k† I alle ungeraden Zahlen, die Wenn n = 6, ſo hat die Formel 26 † 26 die Faktoren a a — 2 a z. coſ. 1 æ= † 22 a à — 2 a z. Coſ. 3 7„. † 22 a aà — 2 a 2. coſ. r 22 daß man alle Faktoren ſin⸗ nicht 160 Erſtes Buch. Neuntes Capitel. nicht groͤßer als der Exponent n ſind, ſetzet, daß man aber alsdann, wenn ſich ein quadratiſcher Faktor ergiebt, bloß ſeine Wurzel zu den Faktoren zaͤhlen muß. §. 151. Nnn ſey die Funktion an — zn gegeben, welche den tri⸗ nomiſchen Faktor pp — 2 qz. coſ. &Q † qꝗqzz haben wird, wenn man fuͤr r = 1 die Gleichungen o = an — r). coſ. n &, und o =rn. ſin. no erhaͤlt. Es iſt daher auch hier ſin. n = o, und folglich n 0 = (2 k +† 1) æ oder nog = 2k. Da nun der letztere Werth genommen werden muß, und dabey eof. n = I, und folglich o = an — r,, und r = = 3à wird: ſo iſt hier p = a, q = I, und % = r, folglich der trinomiſche Faktor der gegebenen Funktion = a àa — 2 k H 2 a 2z. coſ. †22. Setzt man in dieſer Formel anſtatt 2 K alle gerade Zahlen, die nicht groͤßer als n ſind, ſo er⸗ haͤlt man dadurch alle Faktoren; man muß aber dabey, wDenn man auf quadratiſche Faktoren kommt, die vorhin gegebene Regel vor Augen behalten. Nimmt man alſo zu⸗ voͤrderſt k = o, ſo entſteht der Faktor aa — 2a?z † 2, an deſſen Stelle aber die Wurzel a — 2 genommen werden muß. Eben ſo erhaͤlt man, wenn man 2k = n ſetzt, den Faktor aa † 2àa2 † 22, woraus erhellet, daß a ⸗ ein Didviſor der Funktion an — en iſt. Exempel. Auch hier entſtehen, wie vorhin, zweyerley Faͤlle, je nachdem der Exponent n eine ungerade oder eine gerade Zahl iſt. 2 Wenn 14—2 14— 2 Hie Behan wo nicd e lͤſet Anſ 1 n dop⸗ dolen ſortgeh Eule naber , bloß -aW den wird, col.n, eln. 9 Kr. Da nd daben, 110 — I— II △ ſhgſ — 14— Gher ind, ſe⸗ ber doben, Ne wochnn an clo rui, Murten izt, den 11 n ile, ſe Vmnn Von der Erſorſchung der trinomiſchen Faktdren⸗ 161 Wenn n = 1I, ſo iſt die Formel Wenn n = 2, ſo hat die Formel a 2 — 22 die Faktoren a — 2z und a † 2 a — z ſelbſt der Faktor Ja — Z Wenn n — 23 , ſo hat die Formel 3 — 23 die Faktoren a — 2 aa – 2 a 2. coſ. * † 2 2 Wenn n = 4, ſo hat die Formel 44 — 24 die Faktoren 4 –— 2. a a — 2 a 2. coſ. 3 7 † 22 a † 2z Wenn n = 5, ſo hat die Formel a * — 25 die Faktoren a — zZ a a – 2 a z. coſ. 2 æ P 2 2 1 — 22 9 a a 2 a 2. coſ. τ P† 22 Wennen =6, ſo hat die Formel 26 — 26 die Faktoren 2 — Z. a a — 2 a z. coſ. & T†22 a a — 2 a z. coſ. a †22 † 2 Hierdurch wird die oben §. 32.] vorlaͤufig beygebrachte Behauptung beſ ſtaͤtiget, nemlich, daß jede ganze Funktion, wo nicht in einfache, doch in doppelte reelle Faktoren auf⸗ geloͤſet werden koͤnne: denn wir haben geſehen, daß die in Anſehung ihrer Dimenſionen ganz unbeſtimmte Funktion an zn jederzeit, außer ihren einfachen reellen Faktoren, in doppelte reelle Faktoren aufgeloͤſet werden kann. Wir wollen alſo nunmehr zu zuſammengeſetztern Funktionen fortgehen, dergleichen =† ννααπ iſt. Hat dieſe Funk⸗ H Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. I. H. L tion 162 Erſtes Buch. Neuntes Capitel. tion zwey Faktoren von der Jorm ½† 9 zn, ſo ſetzt das Vor⸗ hergehende zu ihrer Aufloͤſung hinlaͤnglich in den Stand; und es braucht daher hier nur gezeigt zu werden, wie man die Funktion = † g. - „z, wenn ſie nicht zwey Fak⸗ toren von der Fo der oder doppelte, Jaktoven, aufloͤſen kann. 7 §K. 153. Man betrachte alſo dieſe Funktion: azn — 2 an gn, coſ. g “ . PaeI2 (—. „ „* „* † 2 21, welche nick D“ Dt in zwey reeue Larioren von der Ferm „ † zn aufgeloͤſet werden kann. RNimmt man an, daß 9 3. 3 eefn „ e e e PP – 2 P z. coſ. 9 †qZ Z ein doppelter reeller Faktor die⸗ ſer Funktion ſey, wenn 1 = geſetzt wird: ſo bekommt man folgende zwey Gleicht ungen aufzuldſen⸗ 0 = aan – 2 an rn., Ccoſ. g. coſ. n & . r2n, Ccoſ. 2 n %, und 0o = — 2 àa rn. coſ. g. ſin. n 9 † ran, ſin. 2 n ꝙ. Man kann aber auch anſtatt de er erſt Gleichung aus §. 149., (wenn man m = 2n ſetzt) die . nehmen: = a 2n. ſin. 2 mO — 2 aurn. colſ g .lin. n o; und die Vergleichung derſelben mit der vorhergehenden zweyten Gleichung giebt r = a, wodurch denn ferner ſin. 2ng = 2 coſ. g. ſin. n ꝙ wird. Nun iſt aber ſin. 2n % = — 1 2 fin. n o. coſno, und folglich coſ. n & = coſ. g; und da allezeit coſ. (2 kz ☛g) = coſ. g iſt, ſo erhaͤlt man n 0 = 2kz g, und % = 2—J Es iſt alſo der allgemeine doppelte Faktor der gegebenen Funktion = a a – 2 a z. coſ. 2k æ T g S=W †. 22; und man bekommt daher alle Faktoren, woenn man fuͤr 2k nach und nach alle gerade Zahlen etzt, die nicht groͤßer als n ſind, wie e ſolches durch die Anwen⸗ H dung “ orm † &zn hat, in reelle, einfache entwe⸗ . . g de vird. Wir nen, fi hat a⸗⸗ Emnd; mn — Hheneine 111. col. aktoren „ ſobf, hlen ken dung Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 16 ung des Gefundenen auf einen wirklichen Fall erhellen Exempel. Wir wollen, um dieſe Faktoren genauer fennen zu ler⸗ nen, fuͤr n nach und nach 1, 2, 3, 4 u. ſ. f. ſetzen. Es hat alſo JZDMU die Formel a2 – 2 a?z coſ. g † 22 den einzigen Faktor a?2 — 2 a 2z. coſ. g † 22 die Formel a 4 — 2 a 2 22. coſ. g † 24 zwey Faktoren 42² — 2 a z. coſ. Z. . 22 2 . ł — 42 — 2 az. coſ. ( pasaangns ☚ die F Formel as — 2 a 323. coſ. g † 26 drey 8 Faktoren a 2 — 2 a z. coſ. £ † 22 22 — 2 a2. coſ. (— — D£) 22 3 2 — 2 a z. eor ( † 22 die Formel as — 2 4424. coſ. g † 2 9 viier Faktoren 5) † 22 oder a2 †2 az. coſ. E 22 2 5 125 164 Erſtes Buch. Neuntes Capitel. 412 — 222. coſ. & † 22 41 27 — g a2 – 2 a z. coſ. — ) † 22 a2 — 2 a z. coſ. S † 22 A4 f g a2 – 2 a z. coſ. (42 † § )† 22 oder a? † 2az. cot. † z2 4 die Formel a10— 2 a52. coſ. g † 210 fuͤnf Faktoren a2 — 2 2z. cofſ. 2£ † 2 2 a 2 – 2 a 2. coſ. —) †P 22 22 — 2 a z. coſ. E) Ti⸗ 4 — g a2 — 2 a z. coſ. (— — † 22 a2 — 2 a z. cofſ- (42 186) † 22 . Durch dieſe Beyſpiele erhaͤlt der Satz, daß man eine jede ganze Funktion in reelle, einfache oder doppelte Faktoren aufloͤſen koͤnne, eine neue B Beſtaͤtigung. *) *) Eine ſehr ſchoͤne Anwendung des Bisherigen ſindet man auch in der Abhandlung uͤber die Art, die Sinus und Coſinus der Vielfachen der Winkel durch Produkte auszudrucken, welche im erſten Bande der Eulerſchen Opuſc. analytie. Petersburg 1783. G. 353. f. ſteht. Man leſe hierbey das⸗ jenige, was im Anhange unter dem Titel: Zuſaͤtze zum neunten Capitel, befin diich iſt. §. 154. len Fck⸗ einfache Was ob 1 221, ſhaffen aufloſen. 1lzin Form Fakioren P7121 dder de Weiſe ndere hoher aua e Fen ſde ih ghoee Mon die wne haben, n eneſcd te Fottnen man ouch d Coſors . E, Zzudrrckil, analſti⸗ Bitkey M ſite un 154 Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 165 9. 154. Nun koͤnnen wir zu der Funktion „ † gzn † 7n † 323n fortgehen, von der ausgemacht iſt, daß ſie einen reel⸗ len Faktor von der Form „† 9en hat, und deſſen reelle, einfache entweder oder doppelte Faktoren laſſen ſich finden. Was aber den andern Multiplicator, deſſen Form dieſe iſt, „†T zzn † Xzzn, betrifft: ſo kann man ihn, er mag be⸗ ſchaffen ſeyn, wie er will, nach dem vorhergehenden §.. aufloͤſen. Ferner kann auch dieſe Funktion « † z † † 23n † sAn, da ſie ſtets zwey reelle Faktoren von der Form „ † zn † 22n hat, in reelle einfache oder doppelte Faktoren aufgeloͤſet werden. Ja auch dieſe Funktion =† zn † 7Zn †. 923 † :2An † zs iſt nun in reelle, einfache oder doppelte Faktoren aufloͤsbar, da ſie ausgemachter Weiſe einen Faktor von der Form ⸗„ † 9 n hat, und der andere unter die vorhergehende Form gehoͤrt. Wenn es daher auch bis jetzt noch zweifelhaft geweſen waͤre, ob jede ganze Funktion auf dieſe Art aufgeloͤſet werden koͤnne: ſo ſo iſt doch durch das Bisherige aller Zweifel daruͤber gaͤnz⸗ lich gehoben werden. §. 155. Man kann aber dieſe Aufloͤſung in Faktoren auch auf die unendlichen Reihen anwenden. Denn da wir geſehen haben, (9. 125.] daß 1 1 † — — 31I 1TS5* I.2.3 1I.2.3.4. = ex, und ex = (1 † „* iſt, wenn i eine unendlich große „ — Zahl bedeutet: ſo iſt offenbar, daß die Reihe 1 1 — 7.2 x2 — 1 ꝛc. unendlich viel einander gleiche Faktoren, nem⸗ õä 166 Erſtes Buch. Neuntes Capitel. lich 1 † — habe. Zieht man aber von dieſer Reihe das erſte 1 Glied t ab, ſo wird — 1t 5 ꝛc. = ex – I = (1I †) — 1: und vergleicht man dieſe Form mit der im 1iſten . wodurch man a = I k ; n =i, und z = I E 5 . 7 X 2 erhaͤlt, ſo bekommt man zum allgemeinen Faktor (1 † –) Xx 2 kK — 2 (1 † 1 coſ. † I; woraus ſich denn, wenn man fuͤr 2 k nach und nach alle gerade Zahlen ſetzt, alle Fakto⸗ ren ergeben. Setzt man 2 k = o, ſo bekommt man den , XX . quadratiſchen Faktor fuͤr welchen man aber, wegen der [§. 150.] angefuͤhrten Gruͤnde, die Wurzel — nehmen muß, und es iſt daher X ein Faktor des Ansdrucks ex – 1 wie ſolches auch ſchon von ſelbſt in die Augen faͤllt. um die ube⸗ rigen Faktoren zu finden, muß bemerkt werden, 2 K daß coſ⸗ — „, weil = ein unendlich kleiner Bogen iſt, 211 — I — ji genommen werden kann, indem die uͤbri⸗ gen Glieder, wenn man denſelben nach §. 134. ſucht; we⸗ gen der unendlichen Groͤße von i verſchwinden. Man be⸗ k k kommt folglich den allgemeinen Faktor = 4 kk *, und es iſt alſo der Ausdruck ex — I durch X XX . 2 . 2 1 1 † theilbar *). Aus allen dieſen Saten 4 k folgt, 14 Wd der 4xX) ton! erſte Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 167 X 2 folgt, daß der Ausdruck e — I = K — f — — FP 1. 2.3 X 3 1..7 4 † ꝛc.) außeredem Faktor x folgende ohne Ende g. 4 XX fortgehende Faktoren (1 † — † (I † — — F — 1 i5: X X X X 1I * — † — —) (I T† –— — ;,ę) . abe. k⸗ 36772. . .) H . X 1 22 X 3 *) Da ex— I = (1 1 — I— — † — — † . I. 2 I. 2. 3 fie. = x( — † — – † – t† te. 1. 21 1. ,. und davon der Faktor X dernits gefunden worden iſt: ſo muß der noch uͤbrige allgemeine Faktor von ex — I die Form 1 † AXT 8βXX haben, daß man bey einer wirklichen Multipliea⸗ tion der aus im entſtehenden beſondern Faktoren die Reihe X3 1 1 r= — † – — † ꝛc. erhalken kann. Man fin⸗ 2.3 4.2.3.4 K k k k det aber dieſe Form aus — 1t 4 f — x, . kkr2r wenn man dieen Ausdruck durch —,— dividirt. Der * X X Quotient iſt nemlich 1 1 — — 1ERZZ §. 156. Da aber dieſe Faktoren einen unendlich kleinen Theil X. Fe enthalten, und derſelbe nicht weggelaſſen werden kann, T weil er in jedem Faktor vorkommt, und, da die Anzahl der⸗ ſelben = 11 iſt, durch die Multiplication aller das Glied K ebt: ſo wollen wir, um dieſe Unbequemlichkeit zu ver⸗ 24 miieiden⸗ – 168 Erſtes Buch. Neuntes Capitel. meiden, den Ausdruck ex — e-xX betrachten. Da alſo Xx 1 X 1 X X 3 ex — e-x = (I † 1—,) — (1 — = ² (— † — - 7 1.2 3 X Xx2 X 3 +† ꝛc.) iſ, indem ex= I — — Pꝛc. I.2.3. 4. 5 1.2.31 iſt: ſo erhaͤ man, durch die Vergleichung mit 6. 151, n =i, =— 1 1† —, und z = I1 – und dieſe Werthe geben den Faktor des angefuͤhrten Ausdrucks = a a — 2 a? coſ. 2 k—“ 2 X XX K r † 22 = 2 †— 201 — ) cof. — 7 = 22 T n. ii⸗ 11 1 k k 4 k k X X 2 KK 2 kk zz. rr — „indem coſ. 7 = I– –— iſt. 11 14 ii Es iſt daher die Funktfon ex –— e-x durch 1 † ns= k 7. . iheit bar, * und man kann —— ſicher aus dieſem Faktor weglaſſen, weil es, auch mit i multiplicirt, doch noch eine unendlich kleine Groͤße bleibt. Setzt man / nun uͤberdies, wie vorhin, k = o, ſo wird der erſte Faktor = «; und bringt man nunmehr jene Faktoren in Ordnung, ſo findet man eQXxX — e X 2 —— 1 r ter⸗ (krö 1 (1I † r ꝛc. X *% = a 1.2 3.4.5 I. 2. .. .7 Es iſt hier nemlich einem jeden Faktor eine ſolche Form ge⸗ geben worden, daß bey einer wirklichen Multiplication das erſte Glied x herausgebracht werden kann. 2*) Man erhaͤlt nemlich dieis Form, wenn man * fk . † † — †Tꝛc.) llgem 2XX ii AI lSi he ge b 12 chl. Fekor och ene Rde , 2 S; und Mern AI w8õ—— I0r — ) 7 en g PAH i 4X Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 169 k K kK K X X kkx. 4 5 4—— — durch — . — dididirt, und ſie 1 14 11 iſt nothwendig, damit das erſte Glied des Produkts der aus ihr abgeleiteten Faktoren = = I werde. §. 157. X † 2 — XX 1 † — P † ꝛ. „ E Da ferner 2 1.2 I. 2.3.4 X 1 XKNi — 2 — — gleichung dieſer Formel mit der obigen an † zn, [§. 150.] iſt, ſo ſindet man durch die Ver⸗ a = I † — —; 2 = I — —–—; und n =i; woher denn der 1 1 K † r allgemeine Faktor = a a — 2 a z. coſ. — — † 2 2=2 † 2 X X 2 K † J — — 2 (1 — ) coſ. — – wird. Da nun colſ. 11 1 (2K † I 2 Kk 7 I= rI 1n „ ſo erhält dadurch der 1 2 i1 gedachte Faktor die Form — † —— indem das Glied, deſſen Nenner 14 iſt, werſchwindet⸗ Weil aber 4 jeder Faktor des Ausdrucks 1 ¼ — † p ꝛc. die I.2 I T. 2. 3.4 Form I1 † =ν haben muß, ſo muß man den gefundenen Faktor durch dividiren, wodurch derſelde auf . AxX die verlangte Form gebracht, und = I † ETT=. 2 wird. Hieraus findet man alle, der Anzahl nach unendliche, Fak⸗ toren, wenn man fuͤr 2 k † I nach und nach alle ungeraden Zahlen ſetzt, und es iſt daher 2 T. 2 I. 2. 3. 4 ... .61 (T † 18 F⸗ 1S 5§5. 158. Wenn ? eine imaginaͤre Groͤße wird, 60 verwandeln ſich dieſe Exponential⸗ Foemeln in den Sinus und Coſinus irgend eines reellen Vogens. Denn ſetzt man x = 2 V – I, ſo iſt (§. 138.] — — 2 V –— I e 2 V 1 — 2 2 3 2 V— = ſin. 2 = 2 — I. 2. 3 725 27 — ———,ꝑ † c. §. 1 1I.2.3. 4. 5 L. 2. 3 ...7 1 34. und dieſer Ausdruck hat daher folgende, der Zahl nach un⸗ endliche, Faktoren: 1 — (1— — ( — 1 4 6 2 16 2) . (r — r. oder es iſt m.2 = :(1 — — MZ — (1 — 2) (1† (1 — r 1. ec. So oft alſo der Bogen 2 ſo be⸗ ſbafen iſt, daß irgend einer von dieſen Faktoren verſchwin⸗ det, welches geſchieht, wenn z = ; 2= T g; z = T 22 und uͤberhaupt, wennz = F K 2 iſt t, ſo daß Kk jed eganze; ht 34⁴ dedeutet: ſo muß auch der Sinus dieſes BVBogens = o ſeyn: ein Umſtand, der ſo bekannt iſt, daß man daraus auc h ruͤck⸗ waͤrts jene Faktoren finden kann. 8 tol.2=0 lder, wen coſ. 12 Und auch wenm2 = der Natur Von der Erferſchung der trinomiſchen Faktoren. 171 „VI — — 1 .= Eben ſo iſt, da — = coſ. a iſt, Gns0 . 422 422 „ 4 22 coſ 2 = ( — — CI — 4 rMKI — 4 ocI - 4 oder, wenn man jeden dieſer Faktoren in zwey auflſet, 2 22 2 2Z coſ. 2 = (I— — (1 —, (t- 5 (1 1; t 2) (1- 5 1 15ne. frnend und auch hieraus erhellet auf gleiche Art, daß coſ. 2 = o iſt, . . E! K †+ I I, ſo wenn 2 = *; eine Cigenſchaft, die auch aus der Natur des geiſs bekannt iſt. 13 12.3 §. 159. i Aus § 153. iſt man ferner im Stande die Faktoren dieſes Ausdrucks nach u X — — 2à 11 — ex – 2 coſ. g T e-xX = 2 (1 coſ. g — † — † ꝛc. g Te a 2 1† 2.3 t. i [§. 157] zu ſinden. Man kann nemlich diuſen Ausdruck in N — n folgenden verwandeln, (1 X —2 coſ. 9 † (1 — P)i §. 156 125] aus welchem man durch die Vergleichung mit der KWK Formel §. 153. 2 n — i; a = 1 † –; und 2z = 1 – — er⸗ I— 1 1 2r O haͤlt. Daher iſt der allgemeine Faktor der obigen Formel 1 2kz . g X X XX = a àa – 2 a z. coſ. n E7† t- 10) ſchwin⸗ akr . 2 (2 k ˙ 2Ckr 4 H⁊⁊ꝭ coſ. . g ; und da coſ. 26 — I — e e 2 (2kz † g 2 . Cnn — 6 1 iſ, ſo eha man dafue — =, oder dieſe Form 1 † Divi⸗ 11 4 ieſe S (2 HM TXg2 Eſ dir 172 Errſtes Buch. Neuntes Capitel. dirt man alſo die gegebene Formel durch 201 — coſ. g), da⸗ mit die unendliche Reihe ein beſtaͤndiges Glied, = I, erhalte: ſo bekommt man, wenn man die Faktoren nimmt, ex– 2 coſ g'p e- 2.(I – coſ. 8) X X X Xx X = (I P —) (I T. 1 11† 8S8 (27— G= cr 2,2 4 = — 8 2 und wenn man 2 V – I anſtatt X ſetzt, ſo wird ⸗ S. A =a- shu-::5 — I — cof. g — 227— g (1— 1ſ— – (I1— — ͦ P)KI † —- c=I = ( 1 . G-= — “ 2 22 2 26 Ec. T. 2. (I-cofg) I. 2 2.3.4 (1 —coſ. g) 1.2. .601 — coſ. g) Von dieſer Reihe ſind alle Faktoren, ſo weit man ſie auch ſoriſetzen mag, bekannt. §K. 160. Auch von dieſer Funktion e † X e — X laſſen ſich die Faktoren insgeſammt bequem finden und dar⸗ c —X i , b ſtellen. Denn da man dafuͤr (1 † DCI 1 - —) ſetzen kann, ſo erhaͤlt man durch die Vergleichung dieſer Form mit der ain zi, den Faktor a a a — 2 a 2. coſ. † 22, ſo daß m fuͤr das obere Zeichen eine ungerade Zahl, und fuͤr das untere eine gerade Zahl bedeutet. Da aber i eine mmæ unendlich große Zahl iſt, ſo iſt coſ. A = 1 —– — —, 1[6. 155. 1 34.] und hierdurch verwandeit ſich jener allge⸗ meine nultipli Uibet wer berſchwin 4XX † ſabende Danun ſenng aue mndige Cer ihe Nen 4 Wan dod toren, daher ) labe do birsee⸗ — eer G 257 Ut, un 4 te — t* colg) n ſe ac vod dar⸗ — (11-- Nieſe 115, hl, wd der i eine n7 zii er olge⸗ Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 173 . B mm2,, .B . meine Faktor in (a — 2)2 † — — a 2. Nun iſt aber in dem gegenwaͤrtigen Falle a = I † „ und 2 — I † — —, folglich E, und az = 1— 1 11 de c — b — Hieraus ergiebt ſich, wenn man 1 mit 11 zi multiplicirt, und die Glieder, welche durch oder 6 1 di⸗ vidirt werden, weil dieſelben gegen die uͤbrigen Glieder verſchwinden, weglaͤßt, der Faktor (b — c) 2 F 4 -b — c) x † 45X † mmæz; und wenn man das beſtaͤndige Glied deſ⸗ 401 b — c) x T 4XX ſe lben durch die Didiſton auf 1 reducirt, 1 B b c §F. 161. Da nun in allen Faktoren ein beſtaͤndiges Glied, = I, iſt, ſo muß auch die Funktion e brxX + ec-x durch eine ſolche be⸗ ſtaͤndige Groͤße dividirt werden, daß ihr beſtaͤndiges Glied, oder ihr Werth, wenn man X = o ſetzt, = 1 wird. Weil nun eb ee ein ſolcher Dioiſor iſt, kann man, wenn + ec- X e in Fak⸗ toren, die ohne Ende fortlaufen, aufloͤſen. Gebraucht man daher das obere Zeichen, und laͤßt man dabey m eine e unge⸗ rade Zahl bedeuten: ſo wird man dadurch dividirt, den Ausdruck b4 4(b -— c)X †. . e e X 20 3 — c) X “ c)x P 4XX eb ec „. † (b — c) 2 97 † (de c. 2 4 (b — C) X (1 † a r ) ꝛc.; wenn aber das unerezeiger gilt, und daher m eine gerade Zahl bedeutet: ſo wird, vor⸗ 174 Erſtes Buch. Neuntes Capitel. vorausgeſetzt, daß bey m = o die Wurzel des quadrati⸗ ſchen Faktiors genommen werde, bX— ec -X „2 X 40b — —NS-PANX 14 (b- C) X A4XX = (II t) (114 2 L gb— e C 4aτ T (b- c) 2 1I6 2 † (b- c)* (b =– c) X † 4 xx 3622 T (b —– c) 2 * Setzt man b = o, welches ohne Nachha der Allge⸗ meinheit geſchehen kann: . wird I † es : 9 † C C ACX 4XX —— 25 zm C 6* — e. — (1- —) (1-— 4TAXI- 4 cιτ 1— er c 4 T Cc C 16 o- † c C AcCcXTP4 1— — . Setzt man c negatio, ſo erhaͤlt man folgende zwey Glei⸗ chungen: (T † 2c. C1 † 1 45 1ere, c ) tc. Multipliirt man nun die erſte dorm durch die dritte, ſo e2X † e 2 * †. eo Te- erhaͤlt man 2 † ec † e-e z und ſetzt man y anſtatt 2X, ſo wird 1c) 1 — gre R lltiplici wd — — . 01 4 Dieſe Wein au guadrati⸗ — r /N. „X itl-) Ct, gg † 07ρ. jvey Gei⸗ 4017. . — Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 175 9 erfe Vvec-ere (i - 3 e cL) 2 cyhyy 2 † ec† e 20 cc 7T CC e 9 ſEtc c 2cy TVV. 2rKyy 20y 9 τ1T CC 25c 25 . cG Multiplieirt man aber die erſte Form durch die vierte, ſo e2X=– ezX - ec – ec V iſt das Produkt = z und ſetzt man 60 — 620 abermals y anſtatt 2 , ſo wird er — e⸗ v. l 6 2 2 ec er e — (1 †: Pr- tm IT 4 ) — Erſ 422 Tce 2cy Ryy 2 cKN, 2CV y 9 ec 11 62 1I6 =2 Tco- t 25 T ec . Multiplicirt man die zweyte Form mit der dritten, ſo kommt eben dieſe Gleichung, außer daß man c negativ nehmen muß. Es iſt nemlich ec – e—c – ey † ey 12 2. 1e „-† cc CC. Ar. 3 cCc (14 2 1. † yy WI = 2 2 y 2 cy 4 cEY) ge† ce ce 16 o cC 2 Pcc' Kulti iplicirt man endlich die zwe yte F Form mit der vierten, ſo wird ecC — 6—C0 ey † ev ec—e 7V * 2 0 — — =ACI- D EHa erin, 2— e — eE c C Aan cc“ 42+– ce a ) (r. MM y, c1 — 2 c P . I6 PCC 167. 60 36 cG 2 cy † (I T 2 ) c. 36 =† c C §. 163. Dieſe vier Combinationen laſſen ſich nunmehr ſehr be⸗ quem auf den Kreis anwenden, wenn man c = g V — 1, und M 176 Erſtes Buch. Neuntes Capitel. und y„ = VV — 1 ſett: denn es wird alsdann VV — I 4 — V— 12 coſ. V; V N 1 — v*V⸗ 1— 2 V— I. ſin. v; eS V — p e S VN — = 2 coſ. g; und e3 V. — 1— ⸗ — 5 — = 2 V — I. ſin. g. [§. 138.] Hiernach giebt die erſte Combination coſ. v † coſ. g V2 4 I P coſ. g 1.2. (I † coſ. g) 1.2. 3.4. (1 †coſ. g) V6 1.2...6 Tfoer de. 2 % V – VV 2£ v — 2 gv — vv = (1 † 28 a r —T — g g 97 r — g g = VvVv 2 C. v — 2 gv + vvV orr — gg 2è 25 7 — gg = (r — a — cr — . a =4 — (1 — (r; T . — 3 7 8 V V VV (1 — L 1 — —— (1 . e r — g)⸗ V V VV I1 — (— ) ꝛc. 2 (§ 7 — g)2 Hingegen giebt die vierte Combination coſ. v — coſ. g VZ V4 — = I1 — — P ͤ— ) I – coſ. g 1.2 (1– Cco1. g) I.2.3.4(1 – coſ. g VG 4 † ꝛc. 1 2... 0.(I — cofſ. g) 29% V V — VV 2%½ v — — (1— — ) (1 † = =- (I(I1T2 S 5S nn — gg 50 16 2S — 88 2 g v — X 16 — 88 — 2%° Vv — VV Vende Ferner gieb n. § — 12 —, IT, 0 5 t. Mimint me Ckbinci „ Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 177 lldann (1 6 ge e⸗ S6 = ’ * D — Tr —= —) ( — —) ꝛc· 122† 142 l 4 Fg ud VV„ V V VVYy— VV = (I- —) (I — — — (I1= e. 2= 5) (27 † g) 2²* Gr- 2)2 (427 †g,2 74 Ferner giebt die zweyte Combination: 4Iteoſg) ſin. g †† ſin. v. — 1 T vV 3 „ vS5S e ſin. g —üin. g I. 2.3. Eing g I.2..5. ſin. 8 . H 29gV 29V — ) Püe SSg kas sS 1 135 An 1 tr 4 2 gs er 9 v2 - 8 9er-—e + VV yy N . ct a te. 6 = (I 1 — — e — s 28 E. (- HM *15 (r 1 —, — — — (1— —) 2c. .è 3 — g. 3 g 5, — g t Nimmt man endlich v negativ, ſo erhaͤlt man die dritte 8. Combination. = Es koͤnnen aber auch die Ausdruͤcke des 162ſten §. ſelbſt auf folgende Art auf Kreisbogen gebracht werden. Da „, er Lenen Iec(ex cc c ) exe-xec-Xre Ix arl 1 ee 2 Pec e- ðU 2 † ec † e-c iſt, und dieſe Formel, wenn man darin c = g — I und ſ. 1. (g& — = 2 V — 1 ſetzt, in folgende, ol. 2 co G 2coh † or -— 1,. I † coſ. / . lin. g. ſin. 2 del d: 1, hor — 5 1 colg verwan elt wir ſo iſt, = Eulers Einlin ind. Ansl d. unendl. 1.B. N da 178 Errſtes Buch. Neuntes Capitel. ſin. g = t iſt I† coſ. g ang. 2g iſt 22 25 cof tang. 4g. ſin. 2 = 1 - tang. g — — — I. 2 I. 2. 3 2 4 27 tang a † 1.2. 3.4 1I. 23. 4 .5 g. 2 g ,482 – 422 (i à A2 — 427 1152 r. S er gg 9 2 — g 5 257—2g èè 2 1;— ( 1— – ) (1 † – (1 — ꝛc. Aufe eine zhnliche Art vetwandel t ſich der andere Ausdruck, wenn man Zaͤhler und Nenner durch 1 — e-c multiplicirt, eXxYPe— N —- ec- X — & - Cc TX in dieſen, 1 und ſetzt man auch darin Vr. und X = 2 V — I, ſo bekommt man col. col. , oſ. 2 — ſin. S. ſin. 2 oLb e. 1— coſ. g 1— col. g tang. à 5 Es iſt demnach coſ. 2 — cot. g. 6n.: =1 — 5. cot. 8 — — — 24 2 *$ 4 . — — — — ot. c. cot i8 t T.2. 3.4 I. 3.,3 Lot. ? g 1 ¹ 2 – 422 492 — g2 — 42² = (1— 32 145 42) (1 I T — — , (112 — — ꝛ. 4 7 g g 1622—g, 36 7 g = (1 — — — — ) (I- — A114— 1—— —c. 2e 11(1— 9 -) Setzt man alſo v = 22, oder 2 = ¾ò v, ſo hat man coſ. ½ (g — v) ov tan .4 g. ſin. àv = (I P -— —) coſ. ¾ g S. =ð — — — —— . ꝛc. desgleichen 1 P; t; —2) 5 9 cCoſ. Enblich ln n E n. 4 4 — Das Ge⸗ Sinlingi tioy llhe Wir in den zNrgcs nödruck eiglte, Mupnent, — nen o nt non — „ tungi 1 — 1.1) — 1 gleicen eol. ſin. ¾ (g † v) Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 179 coſ. Og †vVy) — = coſ. ¾ v — tang. ¾ g. ſin. v = (I1 — — —) CO1. 28 - £ 25 — — ꝛc. erner ſin. 2 (1 —) (1 1n- Endblich fn. à ?Zg coſ. ½ v' cot. ⅜ g. ſin. v = (1 † 5 (1 . 27— 7 = (r — — 1 . Das Geſetz, nach welchem dieſe Subtoren fortſchreiten, iſt hinlaͤnglich einfach und einfoͤrmig, und durch die Multipli⸗ cation erhaͤlt man aus dieſen Ausdruͤcken diejenigen, welche wir in dem vorhergehenden §. gefunden haben. M 2 Zehn⸗ Dae Ind die bekannt .2 † 6 dem Ou . den dop Zehntes Capitel. Ut it Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren bey u W = der Summirung unendlicher Reihen. . S?ÿMMU 4 P G. 165. Wenn 1 T AZ † BzZ2 † Cz 3 † D z4 +† ꝛc. = (I P 2) (I † z) (I † 72) (1 † 2) ꝛc. iſt: ſo muͤſſen dieſe Faktoren, ihre Zahl mag endlich oder unendlich ſeyn, wenn man ſie ſet h wirklich mit einander multiplicirt, jene Reihe, 1 † A2 † usalbe 8B22 † C23 P DzA Pꝛc., hervorbringen. Es muß daher auch unter der angefuͤhrten Vorausſetzung E A = a † g † „ †. à †s † ꝛc. = der Summe aller dieſer As Groͤßen, einzeln genommen, ꝛc. B = 26 † a7† ad k ey † a) †7) † zc. = der Sum⸗ 1; . me aller Produkte aus je zweyen und zweyen dieſer V Groͤßen, CSagyaS † sn, d avdcic. = der Summe aller Von de Produkte aus je dreyen und dreyen dieſer Groͤßen, ſich bey ferner in der D = der Summe aller Produkte aus je vier und vieren, wſeen⸗ 1E der Summe aller Produkte aus je fuͤnf und fuͤnfen “VMl von dieſen Groͤßen, u. ſ. f. ſeyn. Dieſes iſt aus der D gemeinen Algebra bekant. i ren ber eIIel) Fe loren, 1ma ſt ½ At When ler dieſer der Smm hen dieſe nme oler d vieren d inen s der 16, Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 181 §. 166. Da alſo die Summe der Groͤßen ⸗ † 8 † 7. 1 3 1 u. ſ. f. und die Summe aller Produkte aus je zweyen von ihnen bekannt iſt: ſo iſt dadurch auch die Summe der Quadrate 42 T 62 † 72 † èa ꝛc. gegeben; inden dieſelbe gleich iſt dem Quadrate der Summe der einzelnen Groͤßen weniger den doppelten Produkten aus je zweyen. Auf eine aͤhnliche Art laͤßt ſich die Summe der Wuͤrfel, der Biquadrate und der hoͤhern Poteſtaͤten beſtimmen. Denn wenn man P = z= † 6 †f 7 † à †: † ꝛc. Q= 22 † 82 † 72 † à2 † ‧2 † ꝛc. R= z3 † 63 T 73 †. 3 † =3 † ꝛc. S = 44 † 64 † 74 † °4 † 54 † c. T = § † 85 † 75 † °5 † sS †† ꝛc. — a6 † 66 † 7 † 96 † e6 † ꝛc. ſetzt: ſo ergeben ſich die Werthe von P, Q, , 39 T, V K. aus den bekannten Groͤßen A, B, c, D, Eic. auffolgende Art⸗ PE A Q= A P— 2 B R= AQC— BPTF 3C = A R – BQ † CP — 4 D T = AS—BRTCQ= DP 5E VS= A T — BS f CR — PQTEP — 6. Von der Richtigkeit dieſer Beſtimmungen uͤberziugt man ſich bey angeſtellter Pruͤfung leicht; indeß wird dieſelbe in der Differential⸗ Rechnung! mit der großten Schaͤrfe er⸗ wieſen. *) 22) Dieſe Beſtimmung des Verhältniſſes der Coeffieienten einer HGleichung zu den Summen der Poteftaͤten ihrer Wurzeln fin⸗ det man ſchon in Newtons Arithmetica univerſali, in dem Abſchnitte, de transmutationibus aequationum, M 3 S. 192. Erſtes Buch. Zehntes Capitel. S. 192. der Graveſandſchen Ausgabe, aber eben ſo wie hier ohne Beweis. Es laͤßt ſich von Eulern erwarten, daß er dieſen ſo wichtigen Satz nicht unbewieſen gelaſſen haben werde; auch findet man im zweyten Bande ſeiner Opuſcu- lorum varii argumenti, der zu Berlin 1750, ſo wie der erſte 1746, und der dritte 1751 herausgekommen iſt, S. 108 bis 120, denſelben von ihm theils mit theils ohne Huͤlfe der Differential⸗Rechnung außer allen Zweifel geſetzt. Da dieſe Bevweiſe fuͤr den gegenwaͤrtigen Ort zu weitlaͤuftig ſind, ſo verweiſe ich ihrentwegen auf die Zuſatze zum zehnten Capitel im Anhange, wo man auch von dem, was Euler uͤber eben dieſe Beſtimmung in ſeinen Opuſculis analyticis, im erſten Bande, S. 337 bis 340, geſagt hat, und von den Bemuͤhuns gen anderer Mathematiker uͤber eben dieſen Gegenſtand Nach⸗ richt findet. §. 157. Da alſo §. 156. bewieſen worden⸗ daß erat 1 — tr = 2 1. 2. 3 1345 2.3...7 „* (1 tCTr 5. 1 5. 70 ) r. iſt: ſo iſüt S e es AA 555* (1 † ) (r † — — ꝛ.. 9 τα 16 0 und ſetzt man werie xX = we 2, ſo wird z 1 22 † — — 23³ † zC. * = ( 12) At2 *2) Gαε 35 dierauf nun die obige Regel ngewandt, ſo iſt = . B = Kſl DaN Formr gerade ausdern in eine dieſer wir ein ſeten. 1 1— 2² ie hier daß er n haben Ollen. W Ne 6. 10 hiit de Da diet 1 nd, - en Capitel dba dan Waſten 1 Bemühun tand Rac ⸗ Von dem Gebrauche der nnndene Faktoren ꝛc. 18 3 24 c 2 6G D = d laͤ daher Sð 1 4 1† 1 76 28 25 1 1 2— 1i7. krenre JI I I 1 5 = 1 † : 1 Sae 1 7 7: Sr e⸗ fr. ein: ſon ſo wird, wenn man den Werth dieſer Buchſtaben aus B, C, D u. ſ. w. beſtimmt, ? = ; 0 = = —,;R= —; Pe, C hI 75 ° 6: KSaas; 3 =— 20. 94 55 93555 §. 168. Es faͤllt hieraus in die Augen, daß man die Summe aller der unendichen Relhen. die unter dieſer allgemeinen Form 1 † 5 † 5 † ꝛc. begriffen ſind, wenn n eine gerade Zahl bedeutet, durch die Pripherie des Kreiſes ⸗ ausdrucken kann, weil die gedachte Summe mit “n immer in einem rationalen Verhaͤltniſſe ſteht. Um aber den Werth dieſer Summen deſto deutlicher vor Augen zu ſtellen, wollen wir einige davon, aufei eine edequemere Art ausgedruckt, her⸗ ſeten 20 L 184 Erſtes Buch. Zehntes Capitel. Pund I I. 1 1 22² I4= I I 229 I1 2”?” 1 —– b — “ — k i „ * 2 . F. 4 1† 5r 1.2. 3.. 3 W= 1 42 1 † 1 .. = 28 38 1.2.3...9 5 1 — 258 S 0) — † —. — † — ꝛc. — 7T 1 en 1tst s *c I 2.3 r. .1I 3 WB RM 2ro 691 nch den : S 1t t. = . r2 D 22%½ 3TE 41z2 512 1. 2.3..13 105 ſi I I „ r2 335 I — — 214 Sarmat Kain⸗ 1.2.3. .15 I. 14 1 1“ 214 617 l S c. ⸗ rler 22 3 4 3 r.2, 3. 17 15 —M vird. H I I I = 216 43867 18 As zrs Ar sS 5r s 1.2.3..T9. 21 (S— I I 218 1222277 320 420 520 r. 2.3. „2 ½ 55 18 I. 1I 220 854513 . 11 1— ꝛc. = —, —22 E r 22 2 èèò IP— 55 S= Saanke 2.3..u.25. 273 7 24 H IL . . 224 16977927 1 ⸗ — — 6 F rAe t r 525 1¹0. 1.2. 3.r.27 1— Bis hieher ließen ſich die Coefficienten der Poteſtaͤten von “R ſftde durch einen anderwaͤrts zu erklaͤrenden Kunſtgriff fortſetzen; ich habe indeß denſelben hier beygebracht, weil die beym P 4 erſten Anblicke ſehr unordentliche Reihe von Bruͤchen, I, 1I „1, 2, S5 691 25 3/ 3 317 105 1 3c. in ſehr vielen Faͤlen von außer⸗ ordentlichem Nugen iſt. H“õ 1 —— —14 en bon ttſehen; ſe beyn Gen, l, gußer⸗ Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 185 §. 169. Um die §. 157 gefundene Gleichung eX † 6e X* 6 2 — 1 arre⸗ 3 . = (I . 4— 49 auf eben die Art zu behandeln, ſo Rn xX , wo⸗ durch denn 1† g 4 6 2 1.2. 3.4. 42 . 2. . 6. 4 ⁸ = (I T 2) (t 12) (1 15 1 9 . 2 3 T ꝛc. 4 %½ 7 wird. ier iſt n 8 6 A = B= Hi iſt nun aus (5§. 1 5 1.2.4 1.2.3.4.,4 23 3 ꝛc. und ſetzt man daher —= = be I1 7 „ — 1 ki, = 1 2 R 1 : 5a r. I I . 1 2 1 1s 1gi⸗ T1. S= I — — —– — — * 13 555 1 795 513. e ſo findet man für P, . R, S u. 1 w. dieſe Werthe: I 72 2 4 22 . 1.2.3 2⁷5 r V= 383792 12 I.2. 3...9. 27 7 1.2.3. „II. 2135 1.2.3. be 13 215 M 5 Sð §. 179. 186 Erſtes Buch. Zehntes Capitel. §K. 170. Eben dieſe Summen der Poteſtaͤten der ungeraden Zah⸗ len laſſen ſich auch aus den vorhergehenden Summen, in welchen alle Zahlen vorkommen, finden. Denn wenn man M = — 1 † 1 z t te z. ſetzt, ſo erhoͤlt man, wenn man dieſe Gleichung durchn multipl. M 2* 2 1 t5S † Zu †. ¹ 1c. und zieht man nun dieſe Gleichung, welche bloß die geraden Zahlen enthaͤlt, von der vorhergehenden ab, ſo bekommt man eine, worin bloß die ungeraden Zahlen enthalten ſind; oder es iſt 11I 1†2 — k ꝛc. 219 n MI † 5n 71 99 Zieht man aber die Reihe doppelt genommen von M ab, ſo erkhaͤlt man eine Reihe mit abwechſelnden Zeichen; oder es iſt 2 M 2n-1 — I 1I 1 1 M — —- — = M= I — † — N 2 Zn-TI “ an 3n 41 5n — 1† ꝛc. Es laſſen ſch aſſo nach den erklaͤrten n Sotzen die Reihen I . † T T — r K. 309 5n = 99 171 fummiren, wenn n eine gerade Zahl iſt; und die Summe iſt = = Axn, ſo daß A eine Rational⸗ Zahl iſt. 4 §. 7r. Von luße gusdruͤ ſehe me toſ. eol. 2 77X — Vagleich Wn — 17 1Ah⸗ Mo, in n mon 8 gerden nnmrman WV Eumme Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 197 §. 171. Außerdem geben auch die im 164ſten §. betrachteten Ausdruͤcke, wenn man ſie auf eine aͤhnliche Art behandelt, ſehr merkwürdige Reihen. Denn da coſ. ¾ v † tang. ¾ g. ſin. 2 ½ v = (1 (1 — —) * † g V C1 † *) ꝛc. iſt, ſo wird, wenn man v = und g = — - ſetzt, —. X 1† — 1 Fak = 3 † 1 — — — — — ꝛc. = §Sn –— m 5 n † m . X ð m * X 7„W * mgr2 cof. — † tang. — ſin. — — I † — tang. — — 2n en 2n 2n 2 K 7W X X 7 3 X 3 . 7 454 † —— — ang. —— ꝛc. 2.4 nn 2. 4. 6. n 3 8 1 2.4.6.. 1 n4 Vergleicht man aber dieſen ahne Ende fortlaufenden Aus⸗ druck mit §. 165 ſo erhaͤlt man daher — A8 * m æ — — 2 3— mæ = – tang. ; B = — — C — – —-. tang. —,; 2n S. 2n 2. 4. n n 2.4.6.n 3à 22n „14 E 2v7 mæ . — ,——— ;, E = — tang. — ꝛc. 2.4.6. 8n 4 2,.4.6.8.10. n5 18 22 Weiter iſt 1 I 1 — —B- —; = n — m n †-m 3 n — m N . 2„ 19889 Erſtes Buch. Zehntes Capitel. Hieraus ergeben ſich nach §. 166 folgende Reihen: P I I 1 I 11 2 n- m nTm zu m— Zn m Sn—m Snk 1 I nm⸗ (n'm)2 1S Fm) FrSn. (In- R= I — I 1 — - — 1 (c(n-m) 3 (nfm)4 — (nim,s (Sn-m)s TI 1 I . I . = m) G Tm) Gn-mn) 4 (Zn†m) 4 1 GSn-nmia. 1 11 — 2 1 1— -mDnim- Gr-m nim) Snn nie. *= = itee Syiez , Tec. Setzt m man aber tang. k; iſt l8 166. kæ B 1 P= A= — — — =JðM Ebt rr (akk 2) r2 (kx SS (ér; 1 6 r2 S . SnS 2.4.6. n 3 (2K4 † akk l r4 d((24 ka † 32 k2 . 8) r 4 A48n4 . 2. 4.6. 8n4 I= (3 k?5 † 5 k 3 ta Drt (120KS . 200 k † 8ok)z5 E 961* S6. S. 10. n5 Auf gleiche Art giebt die etzte Gleichung des 164ſten . sof 3 V † cot. 5 g. ſi ſin. 5v 1 ( — — 2 7 — g (1 iN — +- 8 0, Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 189 (1 † 5 (1¹ — 1— r ) ꝛc., wenn man in 42 — 473 . . X m— m dieſem Ausdrucke v = — 7, g = — æ, und tang. = Kk ſetzt, ſo daß cot. 2g = I iſt, coſ. — † . ſn. — = 1 — — — 22 2n k an 2 nk 2. 4 nn 2,4.6 n à 424 „ & X 1 2.4. 6. 8n4 46Eionek —.·= — 1— — — .—-,—— — G4) T T e Durch die Vergleichung mit der allgemeinen Form §. 165. findet man alſo hier — m — 3 4 — z C= D = — ; enk; AE 2.4.6 n 3 k* 2.4.6.8n4* E = — und aus den Faktoren erhaͤlt ma 2.4. 5 8. won k § halt man 1I —— 1 1I1 — 1 = —; 8 —☛ — ; -1= - 5 ° — ; == —- — — c. m 2 n-m 2n † m 4n-em An m §K. 124. Hieraus laſſen ſich nach §. 166. folgende Reihen feemt⸗ ren, und ihre Summen angeben. I I I T 1I Hð = n — rem f 3nim Ihrm t nm t 1I I 1 I 1 A m2 † H: (Snd m) An -m - in 1 t c⸗ —I - I I 1 1 mS (2n —m)² 2 †* En tm) (An - m) 1 (4n inn e⸗ 1 I . I I Sei Tat-m Gnfde Gm m tN T= * ℳ 190 Errſtes Buch. Zehntes Capitel. 1 1 11 1I I m n-my (n Im) (An-m (An im- u. ſ. f. Die Summen b, Q, R, S u. ſ. w. aber ſind — I * 1=A = . = C= U = Q 12 K Qzz = Annkk 2. 4nzkz R — KKk † U 35 — (6 F 6 kK) æ ³ 8n3k3 2 4.6. n 3k 3 8 = (K4 † 4k ”k-†3) 4 — (24 132 Kk † 3 k4) 24 48 4k 4 2. 4.6. G. n 4 k (2k 4 †5 K K T 3) æ 5⁵ (120 † 200 k k 80 kA4) æ=5 T = — 96n5ks 2.4.6. 8. 10 n 5k5 (2 Kefl 7Ktf 30 k )æ“ (720 † 440kkf. 816 ks †i:te)“ 960 n6 Kh G 2. 4. 6. 8. 10. 21. nok⅓ u. ſ. f. 1 Dieſe allgemeine Reihen verdienen, daß wir daraus einige beſondere Faͤlle ableiten; und man findet dergleichen, wenn man das Verhaͤltniß mn durch Zahlen ausdruckt. Es ſey alſo zuroͤrderſt m = 1, und n = 2; wo denn k = tang. 7 = tang. 45° = I wird, und beyde Arten von Reihen in eine verwandelt werden. Es iſt daher „ 1 1 1 I1I + = 1 — - f — — t.. 4 3 7 9 1 JJM = I † — † — † — -é ꝛc. 8 32 52 72 92 — I — – —– — — T — — v. Von dieſ funden, alls Pote ſ daß a len ſind, her aus Gler di 1 — urc den (oße Feche⸗ n S Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 191 7 4 I 1I I I 525 I I I 1 1330 3 ½ 55 75 95 26 1 1 1 1I — — 1 — — — † — † ꝛc. 960 1 f z5 1 56 1 75 1 5 1 ¹ U. ſ. f. Von dieſen Reihen haben wir die erſte bereits F. 140. ge⸗ funden, und von den uͤbrigen ergaben ſich diejenigen, die aus Poteſtaͤten mit geraden Exponenten beſtehen, F§. 169., 4 ſo daß alſo nur die, worin die Exponenten ungerade Zah⸗ len ſind, hier zum erſtenmale vorkommen. Man ſieht da⸗ 1a)⸗ her aus dem Gegenwaͤrtigen, daß man auch die Summen aller dieſer Reihen . Dð 100lir⸗ I 1 1 1 —— 1— —=— —= — F — — — 0. 1046 3 2 n 1 S2nT 72nf1 9 2n1 durch den Werth von æ= auszudrucken im Stande iſt. §. 176. . . Mms Ferner ſey m = 1, n = 3; ſo wird k = tang. — = gleichen, nedruck. tang. 300 = : und die Reihen des 172ſten §. geben 7 I I I 1 I 1 —,— = – – – † — — — — — — † ꝛc. Arten von 6V 3 2 4 1 8 10 1 14 16 2* 1 I 1 1 1 — = † – T –—- T† – † — † –— † ꝛc. 27 22 42 1 82² 1 102 1 142² 1 162 * „3 1 1 1I rI 1 T 2 — † — — — – — — † ic. 162 V 3 23 4³ 83 I103 14 ¾ 163 u. ſ. f. oder I . I 1 r 1 —, I — – † — — — † - — =– F ꝛc. 2 4 3 7 G— 4 192 Erſtes Buch⸗ Zehntes Capitel. Ar. 1 1 1 — 1 † — † — † — — c. 22 t 42 † 52 † 72 E 1. 423 — 1 1I I I — 1— – P —— — — — I c. SIV 3 23³ 4 3 5§ 3 1† 72 8 . In dieſen Reihen fehlen alle durch 3 theilbare Zahlen; da⸗ her kann man auch die von geraden Dimenſionen aus den vorher gefundenen auf folgende Art ableiten. Da [8. 167. 168.] 6,9 32 63 92 122 54 Zieht man nun dieſe letzte Reihe, welche alle durch 3 theil⸗ bare Zahlen enthaͤlt, von der erſten ab, ſo bleiben alle durch 3 nicht theilbare Zahlen uͤbrig; und es iſt daher 8W 4 1 1— 354 = 2, — I 1 22 t en, ſo wie wir es gefunden haben. 6. 177. Eben dieſelbe Vorausſezug, daß nemlich m = 1, n — 3, und k = S auf den 174ſten §. ongewandt, giebt 5z;-r- — — — † — — — — — :c. 2V 3 12 1 5 19 T. . wo in den Nennern bloß die ungeraden Zahlen, die durch J 3 theil⸗ Vyun den hellare gede Artr 1t 160. 777 — — 3 8 7 7 geht man hare unger die Reihe haren Zal — ⸗ Denn neinondere nan ebenfal ush den dey⸗ chlen; ⸗ ſonen aus ten. Da n uch het⸗ bleiben ale doher , ſo wie Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 193 3 theilbaren ausgenommen, vorkommen. Uebrigens kann man auch die Reihen von geraden Dimenſionen auf fol⸗ gende Art aus den vorher gefundenen herleiten. Da [§. 169.] I 1 1I . SF rt; e iſt T 1 XY. Zieht man nun dieſe l tte Reihe, welche alle durch 3 theil⸗ bare ungerade Zahlen enthaͤlt, von der erſten ab, ſo bleibt die Reihe der Quadrate der ungeraden nicht durch 3 theil⸗ baren n Zah len uͤbrig; und es iſt daher 11 3 71 † ni t iz⸗ † ꝛc. 9 II2 Wenn man die Reihen im 172ſten und aſten §. zu einander addirt, oder von einander ſubtrahirt, ſo erhaͤlt man ebenfalls andere merkwuͤrdige Reihen. Es iſt nemlich aus den beyden angefuͤhrten §§. k w W —I 1I 1 — † — — — † —- — — - — — —— — 2n 1 zZnk m nm n-rm 2e2n-m 12n T:e. = k 1) ie. Da aber 2 n k ſin. 2 11 k = tang. — ([§. 172.] = —, und coſ. — — I † kk = — iſt, woher (coſ. ) 4 Lulers Einl in d. Angl d. Unendl. I. B, A 2 5 und n = 4 ſetzen. Alsdann iſt ſin. = ſin. † = 194 Erſtes Buch. Zehntes Capitel. 2 K mæ m m æ — — 2 ſin. — —, coſ. — — = ſin. —, ITkk 2 n 2nR wird, ſo erhaͤlt man durch die Subſtitution dieſes Werthes . I I I I I — — — —ʒ—W J — —————— — Me en — † m * In 1— m n In IJn — m 2 n — — – — — Lc. 3 n – m Zn† m Auf eine aͤhnliche Art findet man durch die Subtraction *. kxæ (I — K k)- I rTr I —,—- — =— — =— – –— — † — — 2 nk azn 2EZnk m n – m n † m — — — — — † — — — ꝛ⁊c. 2 n –— m 2n TmN 3 n– m. 3n P m mæ 2K» = „ E tan mgz n Da aber — F 8. 2 zn 8. — iſt: coſ. — ſo folgt daraus m „. coſ. — n 1 1 D 1 I mzæ m n— m n† m ZIn – m Enm n. ſin. — — † ꝛc. 3n — m Die ſich hieraus ergebenden Reihen der Quadrate und der hoͤhern Poteſtaͤten lehrt die Differential⸗ Rechnung auf eine leichtere Art finden. §. 179. Da wir bereits die Faͤlle betrachtet haben, wo m = 1, und n = 2 oder =3 iſt: ſo wollen wir nunmehr m = I, V 27 und 8 Werthes — 2NRn ne moe 4 e nIl, Im = , 1 — —lt — — — — † — 2V 2 3 5 7 9 II 13 15 1 1 1 †½ I1 1I 11ꝛ 4 3 5 7 9 11 13 15 . . In Wπ£ ☛ Ferner ſey m = I, und n = 8, ſo wird —— Gn. = V C — ), col = VIA 1 —-) und I1 †¼ V 2. Hieraus ergiebt ſich . ..⸗ ſin „ 1 1 1 I — 1† — — — — — — T† — — ꝛc. 4 V (2 — V 2) 7 9 15 17 23 8 (V 2 — ) 7 9 15 17 23 c. Endlich ſey m . und n = 8, wo denn — = 7./ und ſin. 2. „= VC 1*2 ) undent = VC — —), 2 V 2 coſ. 1: . . — = – — wird. r erhaͤlt folglich — P Daraus aber ahai 8 man die Reihen „ S 3 n 5 2 GvY 3 5 11 33 19 27 . SVar 33 5 12 II 13 1 1 ꝛ. N 2 §. 180. fortgehen, und ſo die Summen der Reihen 1, 1, 196 Erſtes Buch. Zehntes Capitel. §. 180. Aus dieſen Reihen entſteht, wenn man dieſelben mit einander combinirt, 2 † V 2) I I II1I 1 1 VCW2) 41 1 r 1 — —— I — I. 4 3 5 7 n. 1 15 . 177 † 77 1 *V (2 — 2) 1 H 1 1 1 1 4 1 3 3 7 9 11 13 15 1 *(V (4 † 2 V 2) T 2 — 1) 1 1I1 I rI r 8, 3 5 7 9 II — IIrIII 13 15 17 1 1 t. (V (4 † 2 V 2) — V 2 † 1) I rI 1 1 =— 1 — — † — T† - — — 8 3 5 7 9 1 1I 1 — — † — — — † — — — † cL. 11 13 15 1 19 2CatrtV⁰ n 1 1 I r 8 5 7 9 I 1 — 5— 1 — 1 — 5 5 3 12. Catr= L L— 14 8 3 5 7 1 r I 9 II 13 1I5 17 99 Au5uf eine aͤhnliche Art kann man, wenn man n = 16, und m entweder 1, oder 3, oder 5, oder 7 annimmt, weiter „ 1 5 ONW¾ — “ Wenn n pen Gliede us der etſt De andere Nn -—mm. Dieſ bey Un— mn lben mit —— — 13 l5 Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 197 5 ꝛc. ſinden, worin die Abwechſelungen der Zeichen, † und — andern Geſetzen folgen. §. 181. UMUW Wenn man in den Reihen des 178ſten §. je zwey und zwey Glieder in eine Summe vereiniget; ſo erhaͤlt man aus der erſten 1 . 1 nn — mm Ann= mmn 9 nn =– mm 1 — - = — I *W IN N. ſin. — — 2 m 2 m 16 nn — mm 25 nn — mm I — I I T . nn— mm Ann — mm onn-mm I6nn - mm — ꝛc. und alſo 7„ 1 . * me 2 mm . amn. ſin. — n Die andere Reihe hingegen giebt *. 1 2 m 2m — — — — — mr m. nn-mm Ann-mm tang. — 1 — 2 m — — Lc. und alſo Inn=mm S :m inn — mm 1 9 nn — mm 1† Tenn-mm 2mm mæ 2 mn tang. — Dieſe beyden Reihen aber zu einander addirt, geben: — I ”Ml 1 ꝛ — Stang — n—mm 25 nn —amm — nn mm. 9 5 an N 32 aaßt 198 Erſtes Buch. Zehntes Capitel. Laͤßt man nun in dieſer Reihe n = 1, und m jede gerade Zahl = 2 k ſeyn, ſo erhaͤlt man, da tang. kæ = o iſt, den Fall, da k = O ausgenommen, allezeit, I 1 I S 1 — T — † c. — 1—4kk 9–4kk 25 — 4 kk 740 — — 4 kk f ic. = o Wenn aber darin n = 2 wird, und m irgend eine unge⸗ 1 rade Zahl, = 2 k † I, iſt, ſo wird, ads m- = 0 tang. — , 4 — (2 Kk † 1) 2² 16 — (2k r 1)2 † 36 — (2k † 1) 2 † c. — —222 2 (2 k † 1)2 §. 182. Multiplicirt man die gefundenen Reihen durch nn, und m ſetzt man dabey — = p, ſo erhaͤlt man dieſe Formen: T 1 I I — — — † — — – — † —— -— ?c. I—pp 4 —–— pp 9—– pp 16— pp 25 — pp — 1I . Tn. — D pp T 1I —I —— — — † ererrrer †. — — † 1et. I1— pp 4— pp 9— pp 16—– pp 25 — PP — — “ 2 Pp. 2b tang. pꝶ Setzt man pp = a, ſo entſtehen daraus dieſe Reihen: 1 Lä ꝛe „ V a 1 1-— a 4— a 16—a 2a ſin. = Va 2 2 1 Va — 4a a 2 àa za tang. = Va' Wofern alſo a nur keine ne negative und keine ganze Quadrat⸗ Ven den it⸗ gegedruc Verm inaginar⸗ kann man wenn à colX†V- ſe ſo iſt eol. yV Iſ dahe col. ſin. uang. ) nn, ) nen: 1 —— Aà 24 1 ng⸗ ge: 1 OoMet : ht Von dem Gebrauche der gefundenen Faktoren ꝛc. 199 zahl iſt, ſo kann die Summe dieſer Reihen durch den Kreis ausgedruckt werden. §. 183. Vermittelſt der oben §. 138.] erklaͤrten Reduktion der imaginaͤren Exponential⸗Groͤßen auf Sinus und Coſinus kann man aber auch die Summen dieſer Reihen angeben, .— wenn a eine negative Zahl iſt. Denn da e*«V— 1 = coſ.Xx † V — I. ſin. x, und e —V — I = coſ. X — V— I. ſin. x iſ, ſo iſt auch, wenn man y V — Ianſtat x ſetzt, y e - — ey —,J „und ſin. yV — 1= — — coſ. y — 1 = — Iſt daher a = — b, und y = W Vb, ſo iſt coſ. æ V — b= — * Vb . e d, und 2 ſin. æ V — b = folglich H 2 V. — 1I e — * V b- „NW V b tang. V — b = zund hieraus „ V — b — — 227V b ſn. V — b „ — 7 V b- e* VD; und »— b (e— VD .* V br Vb tang. æ — b - 8 V b eVb Dies vorausgeſetzt, ſo wird I.— . — c., = — — —— und 1 1 1 r de 1 — †* — - † —- † ꝛc. = N 4 Eben 2 be * VbP L e— V P) 2 . 200 Erſtes Buch. Zehntes Capitel. ꝛc. Eben dieſe Reihen haͤtten durch die im gegenwaͤrtigen Capitel gebrauchte Methode aus dem 162ſten §. hergeleitet werden koͤnnen. Weil aber die Reduktion der Sinus und Coſinus imaginaͤrer Kreisbogen auf reelle Exponential⸗Groͤßen durch den betretenen Weg betraͤchtlich erlaͤutert wird, ſo ſchien mir dieſe Entwickelung der andern vorgezogen werden zu muͤſſen. ſr SS 8 . Eilftes Se Von ont nen Kr ſin. 22. ole=l P euc, D W coſ.—: bder we mg lin. — n W 11 et n wird nCopitel werden Coſinus ndurch ſ ſtien in waden Eilftes Capitel. Von andern unendlichen Ausdruͤcken fuͤr die Bogen und die Sinus. §. 184. Da wir §. 158. geſehen haben, daß, wenn 2 irgend einen Kreisbogen bedeutet, 22 22 2Z 2 ſin. 2 = 1——) 1 — – EI — — KI –— — RNc. und 9 422 422 422 ſ. 2 = (I — — )(I — – — — e⸗ i coſ. 2= (1 — — I ar — 25* er N iſt: ſo iſt auch, wenn man den Bogen 2 = er ſetzt, mæz mz mm. mm., mm mm fin. = — ((— ) ((— —) (— —) (.— — e⸗ n n n n Ann nn 16 . und HZ m⸗ mm mm. 4mm. cof — = (1— NXI — r emn NK(IL ç –8 ) 1c. n nn zönn AgAonn oder wenn man 2n Bnſtattn aimmt, m 2, m = (Ainn-mt m, I6nn-mm, 36nn -= mm .— — = K = ꝛc. und ſin an 2n Inn 16nn 36 n — mn. nn- min onn-mm. 2Snnemm. 4nn-mm coſ. = (-Q ) ––– 00— — Rc. 2n nn onn 25 un 49 nn Loͤſet man nun dieſe Reihen in einfache Faktoren auf, ſo wird N 5 Lin. 202 Errſtes Buch. Eilftes Capitel. 215 n zZnP†m An m — ſn. — = — (— ð ð X n: 2n 2 n 2n und T U1 1— — = — ant (Sm 2 n 3 n 3 n 5n 5n Setzt man endlich n — m anſtatt m, ſo erhaͤlt man, weil (n-mæz mz n — m) æ=. m ,„ An. — – = coſ. Zn“ und coſ. = ſin. — iſt, 2 2 n 2 11 n (n-— m, nim zu- 2nIm n⸗ m)Snfm 2n 2an In An an 6 mæ m zn-— m. Zn-m S⸗ m. 5 90 2n n n 3 n Coſ. = zn Ne. 2 6n –— m §. 185. Da man auf dieſe Art ſowohl fuͤr den Sinus als fuͤr den Coſinus des Winkels = zwey Reihen hat, ſo erhaͤlt man, wenn man die eine davon durch die andere dividirt, 1. 2. . C. X. 2. Z. 9 2 2 4 4 6 6.88 „ 2. 2. 4. 4. 6. 6. 8. Q. 10. I0. r12.12. — = a. e. oder 2 1. 3. 3. 5. 5. 7.7. . 9 . II. II. 13. den Ausdruck fuͤr die Peripherie des Kreiſes, welchen wal⸗ lis in ſeiner Arithmetica infinitorum erfunden hat. Ver⸗ mittelſt des erſten Ausdrucks fuͤr den Sinus kann man aber I — —. 2 .ꝛc. und uſ⸗ unzaͤhlige andere dieſem aͤhnliche Ausdruͤcke erhalten. Denn man findet daraus die die Formel: N“ n —Oen An un 2 m 1 2n 2 n – m 2n †m 4 n – m (—An) 6 n Tn †m on — m) c. welche, —Re c. ——) S — * Vona Dad Wen d ch N Guset den tug. I Au 6 ſecan us als ir ſo ehilt Nd, und o 1 oder cen Wah⸗ hat. De⸗ man che⸗ ſten. Denn 44 — 1—1 pelche, Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 20 3 welche, wenn man darin S I ſetzt, die angefuͤhrte Walliſiſche Beſtimmung giebt. Laͤßt man aber S= ſeyn, . I T ; ſo iſt, weil ſin. — = = 2 iſt, 4 V 7 V 2 4 4 8 8 12. 12 16 „E: 2 1 3.‧5 7 9 II 13 15 17 1 . 1 I und ſetzt man — = , ſo wird, weil ſin. — , =- iſt, 2 12 12 18 18 24 Dividirt man den Walliſiſchen Ausdruck durch den, wo m I S — = „ ſo erhäaͤlt man n 2 2.2.6.6. 10. 10. 14.14.18.18 §. 186. Da die Langente eines jeden Winkels dem Sinus deſ⸗ V 2 = ſelben, durch ſeinen Coſinus dividirt, gleich iſt: ſo kann man auch die Tangente durch dergleichen unendliche Faktoren ausdrucken. Dividirt man daher den erſten Ausdruck fuͤr den Sinus durch den zweyten fuͤr den Coſinus, ſo iſt mæ m „2n — m An’”m. (2n — m. An-†m tanug. — nm Tm (3n — — m (SNTm (Sn- ) dK. mz n-mnm 3n — m. 3n †m. Sn — cot. — = — (Kn GEm An m. 4R m )z. . Auf eine aͤhnt iche Art findet man fuͤr die Secanten und Co⸗ ſecanten [weil ſec. «½ = JEE und coſec. x = En. 5 ie ſec. 204 Erſte Bcl Eiftes Caitel Mun ⸗ mzy n .. 41 AA de. 2 = F n F ) Sn D —g FIn an k n zre. ſen z coſec. — = — l — )2 col. — 2 n n † m — m 21 5Sn — ( e. u— 4n-† m 2n Wenn man aber die beoden, andern Formeln fuͤr den Sinus und Coſinus nimmt, ſo wird Momtmn tang. — 2 m 1Cn-—m) 32n †m) 3(an-m) en Sinus 2n 2 n —– m 2 (n † m) 2n —m) — m) A(3n Tm) mz n-m I (n † m) 3(Zn — m) 3 Zn † m) den Sinn Lot. 2 n 2 m . 2 2n – m) 2(Zn† m) 4(Adn-— m) foden. mz 2 n 2 2n 4 n 4n ec. — = — ——. —,— — – — ?c. en z n-m n-pm Zn — m Znm Sn— m m * 2 n 2 PN 2n 4n An c. Mvct. eo ec. 2 m en-m 2n † m 4n — m An Fm— gleigen duchden i §. 187. Mnfn Wienn man k anſtatt m ſetzt, ſo kann man auf eine ſte Dit ähnliche Art den Sinus und Coſinus des Winkels — finden: Mmien n⸗ Wcach N und wenn man die auf dieſe Art erhaltenen Ausdruͤcke durch die vorhergehenden dividirt, ſo bekommt man: r Bere un. — uß dem en m 2n — m zZnm An–m An?m . lbbeauen En. –— 1E an — k zn An-f W . n. n S mm nn. “”MRcs Mnl —. 2n — 2 † m 4— m 4n m. un do gof. =– n † K zr 3 † k 5 — K Eulen Sians 1 — K. N iß en inden; durch Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 205 zan — nm n†Cm 3n—m Zn † m — m kz n-k n† k 3n — K n † k Sn – k 2 Hn coſ. — an n-m n † m 3 n — m 3n-†um Sn-m kx k n — K in † k 4r-EH'in TE * ſin. — 2 n . „ * . Kk * * Nimmt man alſo fuͤr den Winkel — einen Winkel an, deſ⸗ ſen Sinus und Coſinus bekannt ſind, ſo kann man daraus den Sinus und Coſinus eines jeden andern Winkels XX finden. §. 188. Umgekehrt kann man nun auch die wahren Werthe von dergleichen ohne Ende fortlaufenden Ausdruͤcken entweder durch den Umfang des Kreiſes, oder durch bekannte Sinus und Coſinus erhalten: und dies iſt allerdings von betraͤcht⸗ licher Wichtigkeit, da man bis jetzt noch keine andere Me⸗ thoden kennt, um den Werth ſolcher unendlichen Produkte wirklich darzuſtellen. Zur Beſtimmung von ⸗ aber, oder auf dem Wege der Naͤherung, ſind dergleichen Ausdruͤcke unbequem. Denn ob man gleich die Multiplication der . I I 1I aktoren von — = 2 (I — —) (1 — —) (I — —) u. ſ. f. i F . 3) (1 — 52) 5 ſ. f. in Decimal⸗Bruͤchen leicht verrichten kann, ſo muß man doch, ſelbſt wenn man den Werth von = nur auf zehn Stellen genau finden will, eine ſo große Menge derſelben nehmen, daß dadurch dieſer Weg hoͤchſt beſchwetlich v wird. 206 Erſtes Buch. Eilftes Capitel. §. 189. Der groͤßte Rutzen, den dieſe Ausdruͤcke, ihrer unend⸗ lichen Form ungeachtet, gewaͤhren, zeigt ſich bey der Er⸗ findung der Logarithmen, welche ohne dieſelbe mit den aͤuſ⸗ ſerſten Schwierigkeiten verknuͤpft knn wuͤrde. Zudoͤrderſt nemlich hat man, da = = 4 1— — a — a - 3c. iſt, wenn man die Logarithmen nimmt, 17 =I14 *† 101 — 1 † 1I 1 1 101 — — ) † 1(1 – — ) † ꝛc. oder I = la — 1(1 — T) – ( 251 49 — 4 11 — 6° — — ꝛc. man mag die gemeinen oder 16 hyperboliſchen Logarithmen nehmen. Da man indeß die gemeinen Logarithmen aus den hyperboliſchen leicht finden kann, ſo kann man auch dieſe zuerſt ſuchen, und dann kann man ſich die Erfindung des hyperboliſchen Logarithmen von „ ungemein erleichtern. §. 190. Da nemlich, wenn man die hpperboliſchen Logarithmen . XX X 3 X4 mmt, 1(I1 — X) = — X — — — — — — – 2c. [(§. 122. ni 10 ) 2 3 4 F. 22 121.] iſt, ſo erhaͤlt man, wenn man die einzelnen Glieder ent⸗ wicket, ſ 1I 1I 1 I 9 2.92 33. 4 94 . x I 1. 1 — — — — — — — — ec. 49 2 2.492⸗ 3.49 4.49 4 Yona Denn mn fenden 5 Neihen a Summen vegen 4 ſoſſtlr: I - 4 Summen 1 A= 3 = unend⸗ N Er⸗ Wiuſ⸗ * dche 4 1 — 1 — —, — — nen oder indes Ne eicht inden damn kon hnen von Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 207 Wenn man in dieſen aus unendlich vielen Gliedern beſte⸗ henden Reihen vertical herunter geht, ſo erhaͤlt man ſolche Reihen als diejenigen ſind, wovon oben §. 169. 170.] die Summen gefunden wurden. Setzt man daher der Kuͤrze wegen I I I I A= 1 † — † — † — † — †+ ꝛc. 1 32 52 72 1 53 f 1 I 1 1 3 I¼ 34 154 1 74 1 1 i. 1 1 1 . C —ä IL I g I T dD=I4 38 1 5 † 1 6 † ꝛc. u. ſ. w. ſo iſt l— = 14 — A — 1) — (B — 1) — 7 ( — 1) — 1 — 1) — ꝛc. Wenn man aber die oben gefundenen Summen raͤherungsweiſe ſucht, ſo wird 1, 23370055013616982735431 I1, 01467803160419205454625 I1, 00144707664094212190647 1, 000155179025 29611930298 I, 00001704I36304482550816 I1, O00000188584858311957590 I, OOO0OOO2072240519211I5OOIO OOOOOOOZ323715737915670 I, 000000090258143755665977 I1, 0OOι0οπο0ο0οοο0οο1ι FBZv᷑ſ80769745 5 5 G I, O0000000000ο3ε186677514044 I, 0000000000035 4072294392 I, 0Oοωινιοοοι0οο0οο¼ορο ₰zHö1246691 I, O0O0000000000004371244859 I I I II I I n I I I I „S 2 . $ Oe O d P= 208 Erſtes Buch. Eilftes Capitel. ☛ I, O00000000000OOοωοωομ485693682 = I, OOO0O0O090OOOιωοϑRNhαιο39 65957 I, 00000000OοW0οιοωοιοωď“Hοοι9ο96217 I, 0000000000Oαοω0ο,οοονωd8ͦοοω0666246 I, 00OO0OOOOOOOOOOOOOOOZ4027 I, o0OOOOODOOωοποπιοωοοωο ο.%ↄ᷑⸗ whoονI¼ 25 ¾ = ☚ ſ△ =. I II II. I. II I I, OOOOOOOOOOιO5OρOD OοοWoοοοπωοωI1 ο I, O0O0Oσοωοονονοοιοοοοοοοοοορ11 Hieraus ſi ſindet man ohne verdrießliche Weitlaͤuftigkeit den hyperboliſchen Logarithmen von 2 = I, 144729885 849 40017414342, und multiplicirt man denſelben durch 0,43429 ꝛc., ſo findet man den gemeinen Logarithmen von 7 = 0,49714987269413385435126. §. 191. Da wir ferner auch fuͤr den Sinus und Coſinus des Winkels — einen aus unendlich vielen Faktoren beſtehen⸗ den Ausdruck gefunden haben, ſo koͤnnen wir auch die Loga⸗ rithmen dieſes Sinus und Coſinus dadurch auf eine be⸗ queme Art ausdrucken. Es iſt nemlich aus §. 184.] m v II mm.. — An n 1 ſin. 2 † ler † 1er — n. 1 I 16 n n3† m m . 1 — —— * (1 36n — * ieof. r 1 - ) E 1— ) 11 — ) onn 2Snn 1cr — n) . 49 n Hiernach laſſen ſich zuvoͤrderſt die hyperboliſchen Loga⸗ rithmen eben ſo wie vorhin auf eine leichte Art durch ſehr convergirende Reihen ausdrucken. Damit 1 wir aber die Vonon Die mend gelen w herleie I n. — ! Eſ hen dure ſummire 35 3 1 gkeit den 885849 den durch arithmen, Loſinus e heſehe ⸗ I . — jnn n Loge⸗ t durch nie ober die Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 209 die unendlichen Reihen nicht ohne Roth vervielfaͤltigen, ſo wollen wir die Logarithmen von den erſten Gliedern nicht in dergleichen Reihen entwickeln, und dann iſt 1ſin. — = I= †m † 1(2 n – m) † I(2n † m) — 18 — 3 In An mm m4 mo ms 16nn 2. 102 nad 3. 16 3'n6 4. 16 20 S m m m mo m 8 — e. 360 nn 2. 362n4 3 363n6 1.36 an 8 ““l in m m 4 mé m 8 6ann 2.642n4 7 64 3ön6 4.64 49 S U. ſ. w. m= 1coſ. — = 1 (n — m) † I (n † m) — 21n 2 nn 2 9 2n4 3. 93 n6 4.9 An 8 mm m 4 me mS ZS5nn 2 ,25 2n4 3.25 3qn565 4. 25 A4n 8 Synn 2. 49 2n4 3.49 3'ns 4. 4.49 4n etc. u. ſ. w. §. 192. Es ſind alſo die geraden Poteſtaͤten von in dieſen Rei⸗ hen durch ſol lche Reihen multiplicirt, als wir oben bereits . ſummiren gelernt haben. Es iſt nemlich 1ſin. — = Im +† 1 (2 Hertr)-:ati⸗ nn (43 15 1 16 82 37 102 1 1 0) Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl I. B. 9„* — 2106 Erſtes Buch. Eifes Capieel⸗ m4 I 1I T 24 44 64 84 104 124 mo I 1 I — B (— 66 — — † — f ꝛ.) 3 n⁶ 4⁰ W I06 126 m 8 L „ I L — n Ts T os kt Es 1 os 11 1 160ſ. — = I(n — m) †I (n † m) — 21n mm 1I I „I r nh 372 52 772 92 3 In I T I T — zns Ss 1 ze 5 os! e. 3n6 36 6. 765 9 8 I I — n * I1 † T 20.) 4n5 38 1 sS ¹ 758 9 8⁸ 1 u. ſ. w. . Die Sumen dieſer letzten Reihen findet man §. 190. Was die vorhergehenden Reihen betrifft, ſo koͤnnten ihre Sum⸗ men allerdings aus dieſen hergeleitet werden; damit aber ihr Gebrauch erleichtert werde , ſ⸗ moͤgen ſie gleichfalls hier ſtel hen. Setzt man der Kuüͤrze wegen 1 1 . 11 1 — c. ℳ 2 2 1 2 1 82 † 26. 2 ” 1 . J 1 . 1I . I . 4 . 2 ſARG D gehende d Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 211 I I 1 1 = — 1 1 Ss 88 1 *. u. ſ. w. ſo ſind dieſe Summen naͤherungsweiſe aus zgedruckt, = O, 4112333516712035660911810 0, 0676450210694613696975 7 = 0, 01589 598534350701780804 5à = 0, 003 9 2217717264 4822007570 = o, 00097753376477325984898 = 0, O0O0244200704724928 72274 o, 000061038989453949332915 O, O00001I525 9022251272699 77 0, O0000381471182744318008 o, 00OOιο ονN 367522617534053 “”” = 0, OOOOOOZ3841863595259154 = 0/OOOOOOOS960464832931555 = 0, 0OOOOOOOI490II6141589813 — o, OO00OOOO372529031233986 = o, 000000000ο09/3132257548284 = O, OOOOOOOOOZ 3 283064379807 8 2 K — „ I . A,l 1no Ves m D nr o, 0Oσοω0οιοnπω⁊sοtιοε⅝d766091685 = o, oOOOOOOOOOIAS5I9152 22 858 o, 00000OOOOOOZ63 7 97880710 0,Oοωοοωοωοοιωάnι mzο9419470177 9 = 0, 0O0000000OOOO22737367544 2£ = O, 0OOO οωειοοοοοοsε 4341886 = O, OOοοωοονοωöοιοοιοοωοωwH42108 547 1 „ = 0, 000090000⁹00ο°ι—S50ο%2% 55 271367 Die uͤbrigen Summen erhaͤlt man, wenn man jede vorher⸗ gehende durch 4 dividirt. 3a — Erſtes Buch. Eilftes Capitel. §. 194. Nimmt man nun dieſes zu Huͤlfe, ſo iſt —m) † 12n † m)— 3 In † I2= — 18 1ſn. — — = 1 m † 1 (2zu 2 R =ð lcoſ. — = 1 (n — m) i † m) — 21n — na A=—n- — 3 — — (C — 1) — c. nn Zn6 Da nun die Logarithmen von und 8 bekannt ſind, ſo iſt der hyperboliſche Logarithme des Sinus des Winkels — 900 = = Im † I(zn — m) † 12 n † m) — 31n °93471165583043575410 m 2 — , 1612 335167 12056609 11 4 o, sos 57260 105347306848 m ⁶$ — 5 o, 0O0OO9032 844783567269 n 5 — –: .‧ 0, eohijö 81793 16 2055°1 mI10 — 5 or ocoo1465 19 6 mI2 — 12., &ιοοℳl)5Bι2 i45812 mI 4 — 72 ,⅓οο 11561 — — %hℳ4kGhw½w/ 4859658 m 1I 8 — —7 0 õ 7979 m²8 — .— 1² 3½ 3⁰ — —, 330⁰ — Dagegen iſ Vutib 1 Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 21 m20 — 76* 0 oοσρσοοποοοοοο7697 ₰ — 8 m 2‧ %, ο⏑00ο⏑°οο°—°——ſοοοοι 6827 8 1 — X. — = „, ooOοω0ιοωοοιοω‿οοοωd 29607 m26 — –. O, OOO οωοωυöοο /οοοο οοοο1h08 n26 m2 8 — — —; , oOοωνοM‿ιοοωου᷑᷑οοοοÜιωνονω—ꝰö des Vinkee . 0, o0οσοιοοοοοοοοοοοοοοοο Dagegen iſt der hyperboliſche Logarithme des Coſinus des — 0 Winkels — 900= I(n — m) † lIn † m) — 212 m2 — —. . 0, 23 3700 55013616982735 . — ͤ– „ 00733901580209602727 . m — — o, 00048235888031404063 m 8 — X oOOο0ο879475632402982 m10 — ES. O%h4S³7260896510 2 mI 2 — = ,σοo⸗31430809718653 — ,hοℳ—0 *f,̈iJsos 445 m 16 — 5 õ 4 H 214 Erſtes Buch. Eiſftes Capitel. — “ mIS — r 5 0, OoOOOOOOOA86826395 18S m0 —60°. 0OOOOOOOOOZ 868076974 — II22 R2 2‧ % % %%°%0%°%S—%ιωοο2⁄⁄[‧969 7956 SS m 2 4 — K 2 0 oOονοοοοοοοοοο °62¾ m26 — —- — 0, 00000000000003026249 — – 5°°0°°0°06⁹°°5ν⏑°0ο312232 n 2 m 30 65 O, OOOO ο0οι0οι0οοοοω ωmοο ? 379 m 3 2 — —, „ Rο%οꝶ ποοιωd οD⅜ÿʒ L 11 — 2 0, õ n — ⸗ 0, õ . : — — 55 0, oοσοοοοο%οοο¾οοοοοσισℛ%ο4 §. 195. Multiplicirt man dieſe hyperboliſchen Logarithmen der Sinus und Coſinus durch 0,4342944819 u. ſ. f. ſo er⸗ haͤlt man ihre gemeinen Logarithmen fuͤr den Radius = — I. Da aber in den trigenometriſchen Tafeln der Sinus des rechten Winkels = 10 angenommen zu werden pflegt, ſo muß man, um die Logarithmen der Sinus und Coſinus, ſo wi⸗ ſie in den Dafeln ſtehen, zu erhalten, nach der gedachten Multiplication noch 10 dazu addiren. Hiernach iſt der ð tabu⸗ Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 215 tabulariſche Logarithme des Sinus des Winkels —.ο 1m † I(2n – m) † I(2n † m) — 3 In 2 9, 59 4059885702190 ₰ m⸗= — 2- O, O70022826605901 m — —. , 0ο1 172 66441661 41 2* m — 9, 000039229146453 m S — — o, 00O ⅓°1729270798 m10 — 6. ο36 MmI2 — I 0, o00000%%564348715 m I4 — HKI * oO οω0οο0ο0οũεH 19r m 16 — 5* 0, %₰Nß ooο ο0ôρ n 1 m1 8 — X8 O, oo ρι%οϑ0οοR οπ%ο οοον61˙[2ραι m2 O — 5 O/ OOOOOO ooOOοινι¼ον/39 und der tabulariſche Logarithme des Coſinus des Winkels nin der m ber 9⁰ = IIn— m) † IIn f m) — aln iliral. 10, oOονοοο%οοσ0οσοοNοαοο D nus des mz Pſegtr n2 „101494859341892 ſnus m4 ſehrhten 4 , οSρ7αο 545 der M 9 — 216 Erſtes Buch. Eilftes Capitel. bne mé “ gen m —— , 000209485800017 ,n— ms die geme — , 0οπ0°. 16848348597 Nehype m I △ . — aI9: 10, %ο%7%1†τ Ü9193956 Uus vnd mIz das Le⸗ — οοσσũ:36502272 Vin mIA ſndols ei — nI 4. 0., 0οσνοdN6- ¹298 17 1 5 Neun eb mIa . braug — —— , oeseeeoelzéerazte nIG . erden, 18 at — — , v d; deit ſin DN T 8 nehmen ma0 — 15S 0, o0οσσο 0 0061 2456 Ghen ma 2 — 22.„, õ eine begue ma 4 m Wi⸗ — K 4‧ 0 σσοοοσιοτ*⁊ι* die Hand ma6 H Amngerten — 5 o, OOσ0ο0οουοοο%σOροα 13 M . V Doſer . 106. haben . ſchont Vermittelſt dieſer Formeln kann man n ſotwohl die hyper⸗ boliſchen als die gemeinen Logarithmen der Sinus und t Coſinus eines jeden Winkels finden, ohne daß man dabey die Sinus und Coſinus ſelbſt zu wiſſen braucht. Aus den Logarithmen der Sinus und Coſinus aber findet man die N Logarithmen der Tangenten, der Cotangenten, der Secan⸗ ſir di ten und der Coſecanten durch eine bloße Subtraction, und es ſind alſo dazu keine beſondere Formeln noͤthig. Uebri⸗ . gens ehar⸗ nus und mn dabeg Aus den non Ne Gecan⸗ on, und ri⸗ gens Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 217 gens muß bemerkt werden, daß man von den Zahlen m, n, n — m, n † m u. ſ. f. entweder die hyperboliſchen oder die gemeinen Logarithmen zu nehmen hat, je nachdem man die hyperboliſchen oder die gemeinen Logarithmen der Si⸗g en nus und der Coſinus ſucht. Ueberdies zeigt der Bruch — das Verhaͤltniß an, welches der gegebene Winkel zum rech⸗ ten Winkel hat; und da die Sinus der Winkel, die groͤßer ſind als ein halber rechter Winkel, den Coſinus der Winkel, die um eben ſo viel tleiner ſind als ein halber R, gleich ſind: ſo braucht der Bruch — nie groͤßer als angenommen zu werden, und es convergiren daher die angefuͤhrten Glieder weit ſtaͤrker, ſo daß man meiſtens nur die Hälfte davon zu nehmen braucht, J. 197. Ehe wir dieſen Gegenſtand verlaſſen, muͤſſen wir noch eine bequemere Art die Tangenten und Secanten eines je⸗ den Winkels zu finden, als das vorhergehende Capitel an die Hand giebt, mittheilen. Denn wenn man gleich die Tangenten und Secanten aus den Sinus und Coſinus er⸗ halten kann, ſo iſt doch dieſer Weg, da man dabey die Diviſion gebraucht, in ſo großen Zahlen zu laͤſtig. Zwar haben wir die Formeln fuͤr die Tangenten und Cotangenten ſchon oben §. 135 gegeben, allein wir waren da noch nicht im Stande, den Grund davon zugleich beyzufuͤgen. Dies iſt dem gegenwaͤrtigen Capitel vorbehalten worden 1. H. 198. a. Zuvoͤrderſt leiten wir 3 2⸗ §. 181. einen Ausdruck fuͤr die Tangente des Winkels — * her. Dar nemlich I I . 1 nn – mmNA önn— mm 25 — M △ „ 2c. 218 Errſtes Buch. Eilftes Capitel. B A4AiNRH 2 n iſt, ſo iſt m 4mnN TI . 1 —R tang. — * — — — — † 2n 7* nh — mm Inn— mm Da ferner nn 2Zmm Ann – mm nn — mm 1I r. m 2 mm emn 1 iſt (§. 181.] ſo erhaͤlt man, wenn man un anſtatt n ſetzt, m 21 AAmn“ I 1 Lot. — – — –— 2 n, mzæ „ Annémm Iénn– mm 1— B—,— 1 ꝛc.) 36 n n — mm Verwandelt man nun dieſe? Bruche, die erſten ausgenom⸗ men, wobey ſolches nicht noͤthig iſt, in unendliche Neihen, ſo wird = tang. — r = ͤ — . — 4 m SS . m5 * — (— 4 † † 1c.) 32n 34 ne 3⁶ n5 4 „ m S mS . ſ. w. mE rH 4 nn — Mmin 7 è 1 Von⸗ Und auc wir ode⸗ 35 A ſf. Aus d pelche ten gee werden Angen ſcen deher DN P K. genom⸗ Heihen - Von andern unendl. Ausdruͤcken fuͤr die Bogen ꝛc. 219 m 3 . * 1† R 8 † I 8 6* „ B 64n3 1 S= m 3 An 1 gone u. ſ. f. Aus dem bekannte §. 198. b. Z n Werthe von „. aber findet n man I — =„ 318 3098861837906715 377679 26745028724; und außerdem kommen hier eben die Reihen vor, welche wir oben [§. 190 und 193.] durch die Buckſtaben A, B, C, D u. ſ. f. und , 8, 7, , u. ſ. f. bezeichnet haben. Dies vor⸗ ausgeſetzt, ſo iſt m mn tang. — * l 4 2 m-s — B –— — — (5 — 1 „ desgleichen nn — mm 4 m 4„ m 2 1 1 n „ †n; 4 m 4 . . (C — 1) † 7 — (0 — 1) 2c. Aus dieſen Formeln nun ſind die Ausdruͤcke entſtanden, welche oben §. 135. fuͤr die Tangenten und die Cotangen⸗ ten gegeben worden ſind; und zugleich iſt §. 137. gezeigt werden, wie man die Secanten und Coſecanten aus den Tangenten und Cotangenten durch eine bloße Addition zu finden im Stande iſt. Vermittelſt dieſer Regeln koͤnnten daher die ganzen trigonometriſchen Tafeln auf eine viel leich⸗ tere Art berechnet werden, als es von den erſten Verfertigern derſelben geſchehen iſ. Zwoͤlf⸗ ”” E⸗ S biel Zeo nan de Zwoͤlftes Capitel. ind der ge Von der reellen Entwickelung der gebrochenen J Zunkftionen. Gr- “ 8. 199. Meunere Es iſt bereits oben, im zweyten Capitel, gezeigt wor⸗ — den, wie man eine jede gebrochene Funktion in ſo viel Theile Grce aufloͤſen kann, als der Nenner derſelben einfache Faktoren Zine hat. Da aber hierbey eben dieſe einfache Faktoren die utr Nenner jener Partial⸗Bruͤche werden, und alſo dieſe Bruͤche, “ Nſ wenn die Faktoren, aus welchen ſie entſpringen, imaginaͤr ſind, ebenfalls imaginaͤr werden muͤſſen: ſo kann es in die⸗ ſem Falle von keinem Nutzen ſeyn, daß man; einen reellen Bruch in imaginaͤre aufloͤſet. Da alſo [im neunten Capi⸗ dert tel] gezeigt worden iſt, daß eine jede ganze Funktion, der⸗ ten gleichen der Nenner einer jeden gebrochenen Funktion iſt, An ſo viel einfache imaginaͤre Faktoren ſie auch immer enthal⸗ ten mag, dennoch in doppelte reelle Faktoren aufgeloͤſet nd werden kann: ſo kann man dadurch die imaginaͤren Groͤßen bey der Aufloͤſung der gebrochenen Funktionen vermeiden, 5 1 wenn man dabey nicht die einfachen, ſondern die doppelten eineg recllen Sartoren d des Haupt⸗ Nenners gebraucht. tol. §. 200. — 42 D “ Iſt daher die gedrochene Funktion — gegeben, ſo ſuche SI nman daraus auf die oben Lim zweyten Eatel erkt laͤrte Art 1V. è ſo . enen eigt wor⸗ iel hele Zaknoren toren die maginar an de en welen nten Ceh. i, M⸗ ſton iſt t enthab⸗ uigadſe aa Grlſen erneiden, doppelten ict rte Aet Von der reellen Entwickel. der gebrochenen Funkt. 221 ſo viel einfache Bruͤche, als der Nenner N einfache reelle Faktoren hat Anſtatt der imaginaͤren Faktoren aber nehme man den Ausdruck pp —– 2 p qz. coſ. &† qqzτ zum Faktor von N an; und da man bey dieſem Geſchaͤfte den Zaͤhler und Nenner in entwickelter Geſtalt betrachten muß, ſo ſey der gegebene e Bruch A † Bz † Cz2 T D z3 † Ez4 † ꝛc. (pp — 2b2. CO1. % † ¶q22) ℳ † 8⁸2 † 722 † 523 † 20.) Ferner ſey der Partial⸗ Bruch, der aus dem Faktor des NRenners p p — 2 p 4 z. coſ. † q q 2 2 entſteht, — A † a?z PP — 2 p qz. coſ. O& † q qz Groͤße 2 im Renner zwey Dimenſionen hat, ſo kann ſie i im Zaͤhler wohl eine aber nicht mehr haben, weil ſonſt der denn da die veraͤnderl iche Ausdruck eine ganze Funktion enthielte, welche man beſon⸗ ders ſuchen muß. Setzt man der Kuͤrze wegen den Zaͤhler A † B= 1Cz2 † ic. = M, und den zweyten Faktor des Renners, „ † 82 † 72z2 † :c. = Z; den andern Partial⸗Bruch aber, der aus dem Faktor des Nenners Z entſpringt, = 7 . ſo iſt X = aA „*) und dieſer Aus druck muß pp -— 2 p qz. col. † qq22 eine ganze Funktion von 2, und alſo durch pp — 2 9p q 2 * coſ. O F Ppzz theilbar ſeyn. **) Es muß daher M —– AZ — a?Z z verſchwinden, wenn man pp – 2 p c12. Sof. 9 † Aq22 = o, ſeyn laͤßt, d. h Nent man ſowohl 7Z = (cof. „ 4 144l Erſtes Buch. Zwölftes Capitel. [§. 146.], und ſetzt man „= = f, ſo wird 2n = Ei (col n 9 V — 1. ſin. n o) (§. 133. im Anfange]. Durch die Sub⸗ ſtitution dieſes doppelten Werths von erhaͤlt man daher eine zwiefache Gl leichung, woraus man die unbekannten be⸗ ſtaͤndigen Ge oͤßen A und a beſtimmen kann. *) Da N = (p — 2 Ppdz. coſ. & † 44 *2) 2 iſt, ſo iſt XNX Afas M VN p p 2 b d2. cof. T 2 12 n er 25P q2. et † 4 a2) 24 und folglich v M—=AZ aNZ d 2 (pp— 2 p qz. cof. o † qq;2) * M — A Z— a 2 p Pp — 2 P q. coſ. O † 1 4 2²2 Man vergleiche hierbey den A1ſten §. — ..) Denn . . iſt X nach §. 41. eine ganze Funktien, und folg⸗ lich, weil r 2 5 qz. coſ% † HZz — AZ — an iſt, auch PP a pde. 6τσα Badchet auch M — AZ — a2â durch pp — 2 qz. coſ. & † 9q72 tdeilbae, n weil ſonß de das Vorhernebende nicht ſtatt Enden künnte. . 202. Susſtituirt man wirkl ich, ſo giebt die Gleichung M = AZ † aZz *), wenn man ſie entwickelt, folgende doppelte Gleichung: A Wege lepden G eran dieſe We⸗ lng U 1dahe en be⸗ — =— Rſo Von der reellen Entwickel. der gebrochenen Funkt. 223 A † Bf. coſ. & † Cff. coſ. 2 † D3 coſ. 2 0 †12. 7 T (B f. ſin. OQ † C ff. ſin. 2 ö † Df. 3 ſin. 3 0 † ꝛc) V — I.. ſal (a † 6 f. coſ. Oꝙ † v ff. coſ. 2 ö † àf3. coſ. 39% ꝛc.) + A (sf. ſin. & †☚ ff. ſin. 2 O † à⅛ f3. ſin. 3 t† ze.) — 1 †P a (àaf. coſ. O † & ff. coſ. 2 O †Cf3. coſ. 3 O † 2c.) Wüäl (ſ. ſin. & †† & ff. ſin. 2% T.f3. fin. 3 0 2c.) /— t. Man ſetze, die Rechnung abzukuͤrzen, A T Bf. coſ. & † Cff. coſ. 2 O † D f 3 cof 3 0 † tc. = Bf. ſin. & † Cff. ſin. 2 † Df 3 fſin. 3 O % ꝛc. = „* † βf. coſ. & fl. coOſ. 2 % † 5f 3. coſ. 3 P ꝛc. = gf. ſin. 9 † vff. ſin. 2% f3. ſin. 3 o † ꝛc. = æ f. coſ. & † ff. coſ. 2 O † 7f3. cofſ. 3 O † ec. = « f. ſin. 9 † ff. ſin. 2 % † f3. ſin. 3 % † 2c. = ſo iſt PT. p — 1= A ½ AqV — r † aR ar / — * 82 ☚ D *) Man ſetzt nem! ich zuvörderſt wieder M = A † Bz † Cz2 P D z † ꝛc., und 2 = 4 † 82 P 22 † à23 † ꝛc., und darauf ſubſtituirt man in dieſen Werthen fuͤr 20, 21, 22, 23, ꝛc. die dafür aus zu = fn (coſ. n 0% + — I. ſin. n %) ſich ergebende Werthe. H. 203. Wegen der doppelten Zeichen erhalt n man hietaus dis beyden Gleichungen P.= A OQyk a R. pa=: Axq † a rA*) und hieraus bekommen die unbekannten Groͤßen A und 4 dieſe Beſtimmung ga PBr—=DR d — à O* A = Or—– q R’ und a R —– QOr 1 H Wenn 224 Erſtes Buch. Zwoͤlftes Capitel. (PP – 2 pqz. coſ. O& † ꝗq qZ 2z) Z ben iſt, ſo fſindet man den daher entſtehenden Partial⸗Bruch azF = S lar = auf folgende Art. Man ſetzt Wenn alſo der Bruch gege⸗ f = 1, und nachdem man die einzeln Glieder entwickelt hat, ſo ſucht man dadurch daß man zu = fn. coſ. n & ſetzt, M = P ⸗ ⸗ zn = fn, ſin. n ⸗ M = p ⸗ ⸗ z1 — fn. coſ. n 0 ⸗ 2 = Q ⸗ ⸗ zn fn. ſin. n 0 — q 22 zZn = fn. coſ. n & ⸗ õä ⸗ ⸗ 2Zn = fn. ſin. n % ⸗ 22 = Hat man auf dieſe Art die Werthe P, O, R1 , q, r, ge⸗ funden, ſo iſt „ Pr.—PRN — Pa— bO Pa A= S— R nd . Ar Or— qR ) Es iſt nemlich P V— 1= A † Aaw - r t al farv-t P p V – 1= A Q– AqV — I † a R— ar —I folglich 2 P= 2 A Q † 2 a R, und 2 p = 2 A q † 2ar. 7) Denn aus der zweyten Gleichung iſt, a = und dieſer Werth giebt, wenn man ihn in die erſte Gieichung bringt, P=ANI N a, oder Pr — vR = AQOr — A q R. S Ferner iſt aus der erſten Gleichung, A= =— 5 , und bringt man dieſen Werth in die zweyte Gleichung, ſo P gq. — a 4 R bekommt man p = T ar, oder P 4 — pQ=aqR — aQAr. Erſtes gegeben , goktor der ie Par Und col. 6: UIS22; Hiereus fin ſichte Beuc I WK= ſo kannn 72 We ial⸗ Bruch Un ſett r entwit „Q - — oe-I at-I . ita ,, Nℳ. 00— Eeſtes Von der teellen Entwickel. der gebrochenen Funkt. 225 BErſtes Erampel⸗ 2 2 (1 — 2 † 22) (1 † 24) gegeben, um daraus den Partial⸗Bruch, der aus dem Es ſey die gebrochene Funktion Faktor des Renners, 1 — 2 † 22, entſteht, zu finden, und . — ATaz “ dieſer Partial⸗ Bruch ſey = —— Vergleicht man dieſen Faktor 1 — 2 † 22 mit der allgemeinen Form pp — 2 P q7. coſ. O † qq72, ſo findet man »=; q = 13 1 und coſ. ½ = —, und daraus wird 9= 600 = . Da nun 2 M = 2z2; Z = 1 † 24, Und f= 1 iſt: ſo iſt 1 V 3 R = coſ. — F cok d = =I; I = o. Hieraus findet man A = — 1; und a =0, und der ge⸗ — I ſuchte Bruch iſt daher : Das Complement hier⸗ von iſt — „ *) und da deſſen Nenner 1 † 24 S die Faktoren 1 4 2 C2 † 22, und 1 — 2 V 2 †T 22 hat, ſo kann man dabey dieſe Entwickelung von neuem hmtetneli men. Es wird aber alsdann % — und f im erſten Falle = — 1, und im letzten = † 1. — 1 *) Denn wenn man die beyden Bruͤche⸗ — und — 2 T 22 4 . . addirt „ ſo erhaͤlt man zur Summe 1 † 24 2 2 (1 2 † 22) (I † 24) kEulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. 1.. P Zwey⸗ 826 Erſtes Buch. Zwoͤlftes Caxitel, Zweytes Exempel. Es ſey alſo der Bruch I † 2 † 22 ITT ZV 2 † 22) (I — 2 V 2 T 22) gegeben, wo M = I † 2 † 22, und fuͤr den erſten Faktor = — 1; = , und 2Z = 1 — 2 V 2 † 22 iſt. Hieraus ergiebt ſich 2 V 2 — rI P= 1I—–— coſ. — † coſ. — = — 6 4 V 2 3. 2 r 2 — I p = — ſin. — † ſin. — = —2 — T Q= I1 V2. coſ — 7 col. — = 2 = † V2. ſhn. — on. —=— = 2 2 R = — coſ. — — V 2. cofſ. — — cof. 27 =— 0£ 42 4 4 21 woher denn ferner Or — q R = — 4 2; A = P- und a = o wird. Es erwaͤchſt daher aus den Fekeer des Nenners, 1r⸗V. 2 2, dieſer Partial⸗ Bruch Q — 2 V 2 † 22 und aus dem andern Faktor erhaͤlt man auf eine aͤhnliche D 2W. Folglich ſind die Partial⸗ Art dieſen, — — worin die anfaͤnglich gegebene Funktion LS= — ſin. — — V 2. ſin. — — ſin. A =— 4 4 — 2Z V? 2 † Bruͤche, 22 — aufgeldſe t werden kann, . Cct —: F22) (1 † 24) I — 2†22 L2— n: 2 1⸗⸗ 2 *ITZzZW 2 † zz I – 2 V 2 Tzz Drit⸗ Purdert ſe gegeben. des Nenner ſewicdn⸗ MSI ober hier lel nicht be ſeiner Viel col. col ⸗a cal n der . Hierans II = -,11 NI 2 Fi Fiktor des —ah:N — 1VZe 1 ine hniche Parta⸗ Funktin -1 — 2 1 Drit⸗ Von der reellen Entwickel. der Zebrochenen Funkt. 227 Drittes Erempel. Es ſey der Bruch I † 22 † 22 (1 — *2 † 22) (I † 22 † 322) gegeben. Setzt man hier den Bruch, der aus dem Faktor A Taz — ⁸¾2 † 227 des Nenners, 1 — ⅝2à †2z, entſpringt, = ſo wird p= I; q = 1; und coſ. = 4. woraus ſ=1; M = I † 22 † 22, und Z = I † 22 † 322 wird. Weil aber hier das Verhaͤltniß des Winkels o zum rechten Win⸗ kel nicht bekannt iſt, ſo muß man die Sinus und Coſinus ſeiner Belfachen. beſonders ſuchen. Da nun H“D 3 coſ. 9 = 4 —; ſo wird ſin. 0 = — 5 1 5 coſ. 2% = ém; ſin. 2 = 24 25 25 — 44 127 — 24, ſin. 2 0o= — coſ. 39 = 125 In 3 0= 125 und alſo P= I f 2. 4 †¼ Z = 72 5 25 25 p = 2. 2 † 24 – 4 Q= I † 2. 4 3. 893 5 25 285 3 24 102 „= 2. 2 1 3. 3 = 5 R= 5 12. 25 125 rs . = 5 2. 2 3. — 125 = 2 5 und ſolgiich “ 8 228 Erſtes Buch. Zwoͤlftes Capitel. 53400 2136 Or— q R = 20 — 2130 25. 125 125 Folglich iſt. 1836 15 40 = 33⁰ — 133, und a = — 340 — — 45 2136 178 2136 i △ Es iſt alſo der Bruch, welcher aus dem Faktor 1 —— Reta erwaͤchſt, * „ (17 — 52): 18 I – % 2 †22 Sucht man auf eine aͤhnliche Art den Bruch, der zu dem andern Faktor gehoͤrt, ſo wird p = 1; q = – V 3; TI 1 coſ. öρQ ⸗-= –; f= — – – M= I † 22 † 22, und V3 3 2Z = I — à⸗ †22z. Aus coſ. o – aber findet man N3 coſ. % = ;3 ſin. = cof. 2 % = 2 ſin.2 9= cof. 3 6%°— “ — F*; ſin. 3 0 = S. Zolglic iſt 2 IT 1r = I1 – –. — † —. P=I — v. v 2 „ 2 MN2 1. = 4W2 Vʒ. V; z3 3 9 1 — I. — 1 = 64 a r, r 3 45 38 V . I. 22 — 242 De Portil — — konn, ſind s und ft:ſe wie Ad-= d 8 RAS Ferner i Dſn. ſolglich eS= hieraus lr- lallich — uch, der iu =- 3 122, ud fndes wan — -n r Von der reellen Entwickel. der gebrochenen Funkt. 229 R= — — 8. — I - 1T - - — 4 Vʒ3. V3 5§.3 3 3 V3 z3V3 135 — I 2 à 242 — —— 332 =Yz. Vvʒ3 5. 3 3 zV3 3V 3 135 nal⸗ 2 und alſo Qr — q R= — = „fo iglich 9 100 25 35 —135 — 7 a — —. 712 178 712 178 Die Partial Bruͤche, worin der Bruch I †T 2 2 † 22 (1 — ⁸ 2 T 22) (I T† 22 † 3 22) A B: 178 4 55 P 27 2): 178 — à52 †22 1T22 † 322 aufgeloͤſet werden kann, ſind demnacd §. 204. Es koͤnnen aber die Werthe der Buchſtaben R und v aus OQ und q beſtimmt werden. Denn da Q= † 8 f. coſ. † fa. coſ. 2 % † f3. coſ. 3 ½ †ꝛc. q = 8 f. ſin. % † f2. ſin. 2 0° †+ °f3. ſin. 3 % †ꝛc. iſt: ſo wird Q coſ &Q — q. ſin. O = a. coſ. † f. coſ. 20 † 7f?. col. 30 72.. und alſo R = f(OQ. coſ. — q. ſin. 9%) Ferner iſt OQ. ſin. ꝙ q. coſ. ꝙ S a. fin. O † 6. ſin. 2% † „. ſin. 3 % † :c. folglich r = f(O. ſin. 90 † q. coſ. ). Hieraus fließt weiter Ar — q R = (OQ † qq) f ſin. e Pr — pR = (PO) f† pq)f. ſn. 0 † (Pq — pO) eoß e. Folglich iſt ð gefunden. Erſtes Buch. Zwoͤlftes Capitel. 230 A= PTPa1 Ba — . coſ. as QOQ 1aq ſin. a = — Pq †† p O (OQQ T qq) f. En. 5 Es entſteht alſo aus dem Faktor des Nenners pp-–2 p q 2z. coſ. & † ꝗq q2z dieſer Partial⸗Bruch, POEI Pp) f. ſin. † (Pgq – pOQ) (f. coſ. — 2˙ (Pp — Apaz. coſ. 0 † d q22) (Q Q 1† S . ſin. oder, da f = 1 iſt, dieſer: ( †½ b &p ſin. o& † (Pq — p OQ) (p. coſ. — 42) (Pp — 2 b qz. coſ. 9 † qqz) (QQ† q q) p. ſin. §. 205. Dieſer Partial⸗Bruch entſpringt alſo aus dem Faktor PP —– 2 p q z. coſ. O † qqzz des Nenners der Funktion — — „, und die Bu taben P, p (Pp -— 2pqz. coſ. o † qqzz) Z. cſiaben P n, Q und q werden auf folgende Art aus den Junttionen M und ·? Dadurch daß man zn = coſ. n „ ſetzt, wird M = P und Z = OQ; und dadurch daß man zZ12 = . ſin. n % ſetzt, wird M = p und Z = q. Es muͤſſen aber die Funktionen M und 2 vor dieſer Sub⸗ ſtitution entwickelt werden, ſo daß ſie dieſe Form er⸗ halten, = A Bz f Cz2 † Dzs † EzA † ꝛc. und 2 = = 1 32 4 „a2 1 22 T 24 † z. und dann wird G ch Kafldfuag⸗ Nrſelhen Denn in 022, we ſegte, ben werden ton Vun luktion 5 iine noch hot Nerer Beg ckDroc⸗ entſoringe 95,— 2 Gebßen A, Dier NI— — nar 14— ) — — 1 dem Feoktor er Funttion lchen Peb⸗ cnen A nd Z nd dedech Wor dieer Slb⸗ e n 7 Von der reellen Entwickel. der gebrochenen Funkt. 231 P=A † b. . coſ. † C. 3. coſ. 2 Fo. t.. coſ. 3 % † ꝛc. 5p h2 13 S= B. —. ſin. 2. —. ſin. 2 — p in. O † C 4² in. 2 % † D. Ez. ſin. 39 Tzt. — P pzZ Pp3 . O=⸗= Te. . coſ. ꝙ † 7. —. coſ. 2 0 † . 43.c01. 3 9 † ꝛc. 4 = g. P. fin. 0 † . D. fin. 2 0 4 . E. ſin. 3 0 † ꝛc. §. 206. Es erhellet indeß aus dem Vorhergehenden, daß dieſe Aufloͤſung nicht ſtatt finden kann, wenn die Funktion ? eben denſelben Faktor pp — 2 Pqz. coſ. & † qqzz in ſich enthaͤlt. Denn in dieſem Falle wuͤrde Z in der Gleichung M= AZ † a7âz, wenn man darin zn = fn (coſ. n 0m£ — I. ſin. n 0) ſetzte, verſchwinden, und folglich nichts weiter geſchloſſen werden koͤnnen. Wenn daher der Nenner der gebrochenen Funktion N den Faktor (pp — 2Pqz. coſ. ½ † qqz2)2 oder eine noch hoͤhere Poteſtaͤt enthaͤlt, ſo iſt ein anderer beſon⸗ derer Weg noͤthig, um die Aufloͤfung zu Stande zu bringen. Es ſey alſo N = (pp — 2 92. coſ. ꝙ † qqz2) ² Zâ, und die Par⸗ tial⸗Bruͤche, die aus dem Faktor (pp — 2 qz. coſ. 9 † qqzZ2) 2 entſpringen, ſeyen S pz. or d T d d: = 1 — — , wo folg lich die beſtaͤndigen pp — 2 p qz. coſ. & † q;= Groͤßen A, a, B, b, zu beſtimmen ſind. §. 207. Dies vorausgeſetzt, ſo muß der Ausdruck M — (A † az) Z — (B † b2) 2 (pp — 2pqz. coſ 9† ag⸗ . (pPp — 2p qz. coſ. 9 † q ꝗq22) 2²* P 4 eine 232 Erſtes Buch. Zwoͤlftes Capitel. eine ganze Funkftion, und alſo der Zaͤhler durch den Nen⸗ ner theilbar ſeyn [§. 43] Es iſt alſo zuvoͤrderſt der Aus⸗ druck M — A Z — a? Z durch pp — 252: cof. 9 † qqz theilbar. Da dies der vorhergehende Fall iſt, ſo werden auch hier die Buchſtaben A und a eben ſo wie vorhin be⸗ ſtimmt. Wenn man daher n zn = H. cof n „ ſetzt, ſo wird M = P und Z = R; und wenn man zn — K. ſin. n ſetzt, ſo wird M = P d Z£ = n. Iſt nun dieſes geſchehen, ſo wird nach der §. 204 gegebe⸗ nen 1 Regel = R2 Tn⸗ 3I . ſin. un Pnu † pR J a— Rs Tna p. ſin. „* bar man auf dieſe Art A und a gefunden, ſo wird M— (AP†az)z Fyte coſ. 9† qqzz wir = b ſetzen wollen. Nun muß ferner P — BZ— bzZ eine ganze Funktion [5§. 43] welche durch PP — 2pJqz. coſ. & † q qzz theilbar ſeyn; und da dieſer Ausdruck dem vorhergehenden aͤhnlich iſt, ſo kann man, wenn man P 2 n⸗ coſ. n o ſetzt, P = R , und wenn man 21 — qn- ſin. n o ſetzt, P = r nehmen, und dann iſt 21 ſo wird A= — en Nen⸗ der Aus⸗ Rg ſ dden vothin be⸗ wenn man nd Von der reellen Entwickel. der gebrochenen Funkt. 23 3 Rn— XN coſ. 12 4 NRNAa Pnz üfn. 7 N gq NRN nz' p. ſin. Hieraus laͤßt ſich ſchon allgemein einſehen, wie man bey dieſer Aufloͤſung verfahren muß, wenn der Nenner der ge⸗ gebenen Funktion — den Faktor (pp — 2qz. coſ. † qq2z) K hat, Denn es R“ N = (pp-— 2p qz. coſ. 9 † q422) E, ſo daß alſo d dieſer Bruch M (pp –— 2pqz. coſ. & † ga⸗ aufzuloͤſen iſt. Es gebe ferner der Faktor (pp — 2pq2. coſ. † H die Partial⸗Bruͤche X (pp -— 2 qz. (pp — 2p qz. coſ. 9+† qqzz) )k- I CT cz † dz iꝛe (pp-Pqæ. coſ. o qqzz) -2 F tos 9 † qdz2)K- 3 Setzt man nun, wenn man . n „ 2 = coſ. n & nimmt, M = M und 2 S. und, wenn man n . zn = 1 ſin. n % nimmt, M = und Z = n; .Y ſo wird MN4 mn Mn — coſ. & R⸗ def n2⸗ I Ns P 12 2 ſin. 9“ N= † nz⸗ p. ſn. 5- a= 7 l MDMN ð fr ÿ”ä 2 zuch. Zwoͤ 34 Erſtes Buch. Zwoͤlftes Capitel. gnt Vo Nun ſey — M — (AF az) - „B PP- Pz. cof 6 1 dda und wenn man iſ pn 6 ſetzten zn = —. coſ. t, P — qn n ſetzt, P = P, und wenn man gr ſt, zZn = qn: ſin. n ſetzt, P = p; ſo iſt . B = pn Pn—–— pR coſ. Eeſ⸗ n. die Portin D b = — ⸗ . »„N —J (112) t2 † na p. ſin. pp=– 2pqz. coſ & † qqzz = Q, und wenn man pn — Regleic 2Zn ☛ —. coſ. n % ſe — L qn „ ſetzt, Q = OQ, und wenn man mdaſe — b . Hierons 2 qn⸗ ſin. n ſetzt, Q = q; und lin ſo iſt E = 23 1 2 n — qR coſ. Nunmehr i ”MU O 2 Na⸗ †hs ſn. 6 um⸗ 3 . Maous Seruer ſey 0 — (E † cz) Z. Giuns e pp —– 2p q z. coſ. O † q ꝗqzz = R, und wenn man pn 3 zu = —., coſ. n? d In. 9 ſetzt, R = R, wenn man aber zn — R. “ = ſin. n & ſetzt, R = r; ſ[ſß̃a iſt WU Eudlic l D= Nrn Rn — r N coſ. o 2 † n2 N 2 nz2 . ſin. und NSo d =— AR1 1 rN’ “ ds SD R 2 † n2? p. ſin. . ten B nd venn nen n Man wennman 1d. Hr Von der reellen Entwickel. der gebrochenen Funkt. 23 Auf dieſe Art muß man nun fortgehen, bis man den Zaͤhlet des letzten Bruchs, deſſen Nenner pp — 2 p q z. cofſ. 4 q iſt, gefunden hat. Exempel. gegeben, und 2 — 25 Es ſey der Bruch = die Partial⸗— Bruͤche, welche aus dem Saftor des Nenners (I † 22)4, entſtehen, ſeyen APas Brbz CF- cz 1 D † dez (1 † 22) 4 15 (1 † 22) 3 1† (1 † 22) 2 I † 22 Vergleicht man nun, ſo wird p = I; q = I; coſ. = O, und alſo 9o = ½ . Ferner iſt M = 2 — 23, und Z? = I † 24. Hieraus ergiebt ſich M = 0ο; m = 2; N = 2; n = o; und ſin. O = I; und es wird folglich A = — 4. O = 0; und a S I. Nunmehr iſt alſo A†a⸗z = 2; und daher wird denn P = 2 — 23 — 2 — 25 — — 23, und P = O „— I. I † 22 P S . = Hieraus erhaͤlt man B= o; und b = f. 4 — 23— 422 — 225 Folglich iſt B † bz = ¾=2; und . † 22 — 42Z — ¼2 3. Hieraus wird OQ= = 0, und = 0; folglich C = o; und c = 0 —½ 2 — 2 23 I T† 22 R= ; und r = — 2 folgt, ſo daß alſo D = o, und d = — ½ wird. Es ſind alſo die geſuch⸗ ten Bruͤche - — Endlich iſt nun R = woraus — . Der (1 Tane 2 (I † 22) 3 — & † 22) Zaͤhler — = OWO 236 Erſtes Buch. Zwoͤlftes Capitel ꝛc. “l ,B R– (D† dZ)Z Zaͤhler des uͤbrigen Bruches aber iſse⸗ . . — - f⸗ Fird, und er ſeibſt wird alſo ) ſeyn, .. 210. Auf dieſe Weiſe findet man daher zugleich den Bruch des Complements, welcher, mit den gefundenen Bruͤchen zu⸗ ſammengenommen, die gegebene ge brochene Funktion her⸗ vorbringt. Hat man nemlich von dem Bruche M coſ. & T q q2 2) 7% alle Partial⸗ Bruͤche gefunden, die aus dem Faktor (Pp – 2 p q?z. coſ. † q 2) k entſpringen, ſo iſt, wenn man die Reihe der Werthe P, C, R, s, T, welche man zur Findung jener Partial⸗Bruͤche ſuchen mußte, weiter fortſetzt, derjenige von den Werthen P, Q, R, 8, E, welcher dem letzten, den man zur Findung der Zaͤhler noͤ⸗ thig hatte, folgt, der Zaͤhler des uͤbrigen Bruchs mit dem Nenner Z. Iſt nemlich k = 1, ſo iſt der uͤbrige Bruch S iſt k = 2, ſo iſt derſelbe 7 iſt k = 3; ſo iſt er u. ſ. w. Hat man aber dieſen uͤbrigen Bruch, deſſen Nenner 2 iſt, gefunden, ſo kann man ihn vermittelſt der bisherigen Re⸗ gein weiter aufloͤſen. – d ſeanen Y. dyec . durch e Cn4 ihter 0 ſndigen nen Fank rherg⸗ gezeigt anderee Wichea . ? in den 8 gegebe Urch ltan en Vench lchen zu⸗ lion her⸗ n tor ſt, von eſche nen , peitr . , glee ad⸗ WaNen uſ⸗ nte 2 6 en N — zehntes Capitel. Von den wiederkehrenden Reihen. S§S. 21I. Ju d dieſen Reihen, welche Moipre wiederkehrende zu nennen pflegt, wollen wir hier alle die Reihen rechnen, die durch die Entwickelung einer jeden gebrochenen Funktion durch eine wirkliche Diviſion entſtehen. Es iſt bereits [Cap. 4.] von denſelben gezeigt worden, daß ein jedes ihrer Glieder aus einigen vorhergehenden nach einem be⸗ ſtaͤndigen Geſetze, welches von dem Nenner der gebroche⸗ nen Funktion abhaͤngt, beſtimmt wird. Da nun [in dem vorhergehenden und dem zweyten Capitel von §. 39. an] gezeigt worden iſt, wie man jede gebrochene Funktion in andere einfachere aufloͤſet: ſo koͤnnen dadurch auch die wie⸗ derkehrenden Reihen in andere einfachere aufgeloͤſet wer⸗ den. Die Art und Weiſe, wie dieſes geſchehen kann, ſoll in dem gegenwaͤrtigen Capitel erklaͤrt werden. „§H. 212. Es ſey die aͤchte gebrochene Funktion bZT czZa † dzi † ꝛc. I — =2 — 822 — 723 — 52. gegeben, und die wiederkehrende Reihe, worin dieſelb fe durch die Diviſion verwandelt wird, ſey A f Bz † Cz⸗ T† Dzi † Eza † Fz ꝛc. J ſo iſt aus dem vierten Capitel bekannt, nach n was u füͤr einem Geſetze 238 Erſtes Buch. Dreyzehntes Cavitel. Geſetze die Coefficienten A, B, C, D, E, F de. fortſchrei⸗ en. Wird nun die gegebene Funktion in die einfachen Bruͤche, woraus ſie beſteht, aufgeloͤſet, und ein jeder d die⸗ ſer Bruͤche in eine wiederkehrende Reihe verwand delt: ſo iſt offenbar, daß die Summe aller dieſer Reihen, die aus den Partial⸗Bruͤchen entſtanden ſind, der Reihe A . B z † Cz † Dz3 † Ez4 † Fz?“ † ic gleich ſeyn muß. Es geben aber die Partial⸗ Bruͤche, welche zu finden das vorherge⸗ hende und das zweyte Capitel eine vollſtaͤndige? Anweiſung enthaͤlt, Partial⸗ Reihen, deren Ratur man, weil ſie ſo einfach ſind, leicht erkennt; und da die Summe oller die⸗ ſer Partial⸗ Reihen der Total⸗Reihe gleich iſt, ſo kann man ſich dadurch auch den Weg zu einer vollſtaͤndigen enntni vodn dieſer erleichtern. §. 213. Es ſeyen alſo die wiederkehrenden Reihen, die aus den Partial⸗Bruͤchen entſtehen, folgende: a F bz † czz T dz; T ez4 f† fz; f ꝛc. Aa † bz † cza Y dzè † ez4 T fzs P ꝛc. a † b'z T. cze † d’z3 † ezA † f’25 † ꝛc. A Tba F c’* T d’ † e24 † f25 † ꝛc. u. ſ. w. Da nun dieſe Reihen zuſammengenommen der Reihe A † Bz † Cz2 † Dz32 † Eza † Fzs † zc. gleich ſeyn muͤſſen, ſo muß auch nothwendiger Weiſe A = a † a’ † a! † a““ † ꝛc. B = b † b † b † b” † ꝛc. C = c † c † c“ † c † ꝛc. D = d † d’' † d“ † d’“ † 20. Uu. ſ. w. ſeyn. Kann man daher in jeder der aus den Partial⸗Bruͤ⸗ chen her ertſt Uatinmen te en d hetkeh Solte us, hoß/ Afhe ſoge, daß dan die Ce geich ſep het ſene⸗ her und dar nun dier diet uͤbe⸗ lommt m doraus f ich zeige W artia ſehen. lieſe Re Alhenei Keichen venn n⸗ le der chrei⸗ macen Oer die⸗ ddelt: ſ die aus Abn 1† E n votherge: wweiſung ell ſe ſo ollen die⸗ ann mon 1Kwig us den i jal⸗ W Von den wiederkehrenden Reihen. 239 chen entſtandenen Reihen den Coefficienten der Poteſtaͤt 2n beſtimmen, ſo findet man in der Summe aller dieſer Coef⸗ ficienten den Coefficienten eben dieſer Poteſtaͤt zn in der wiederkehrenden Reihe A † Bz † Cz2 † Dz3 † E24 † ꝛ:c. §. 214. Sollte hier etwa der Zweifel entſtehen: Ob auch dar⸗ aus, daß folgende zwey Reihen gleich ſind, A † Bz † Cz2 † Dz3 † ꝛc. = A † Bz †¼ Cz2 † D z 3 ꝛc. folge, daß A = A, B = B, C( = C, D= D, u ſ. f., oder daß die Coefficienten von einerley Poteſtaͤten immer einander gleich ſeyen? ſo darf man nur uͤberlegen, daß die Gleichs⸗ heit jener Reihen ſtatt finden muß, was auch die veraͤnder⸗ liche Groͤße fuͤr einen Werth erhaͤlt. Man ſetze alſo 2= 0, und dann faͤllt in die Augen, daß A = A iſt. Zieht man nun dieſe gleichen Groͤßen auf beyden Seiten ab, und divi⸗ dirt uͤberdies die uͤbrig bleibende Gleichung durch 2, ſo be⸗ koͤmmt man B † Cz † Dz2 † ꝛc. = B † E⸗ †† Dz 2 † ꝛc. und daraus folgt B = B. Auf eine ahn iche Art laͤßt ſich aber auch zeigen, daß C = C, D = D, ꝛc. iſt. . §. 2154 Wir wollen alſo die Reihen betrachten, die aus den Partial⸗Bruͤchen einer gegebenen gebrochenen Funktion ent⸗ ſtehen. Hier iſt zuvoͤrderſt bekannt, daß der Bruch dieſe Reihe giebt: A † Apz † Apaze † Aps23 † ꝛc., deren allgemeines Glied = A pnzn iſt. Man nennt nemlich der⸗ gleichen Ausdruck ein allgemeines Glied, weil man daraus, wenn man fuͤr n nach und nach alle Zahlen ſetzt, alle Glie⸗ A — P1)2 dieſe der der Reihe erhaͤlt. Ferner giebt der Bruch —— 240 Erſtes Buch. Drezehntes Capſtel. nes Glied = k (k † 1) (k †. 2) . . . . . . . kæ-p. n — dieſe Reihe: A † 2 A pz † 3 2 1p222 † 4 Ap 323 † ꝛc., deren allgemeines Glied = (n † 1) A przn iſt. Eben ſo be⸗ 4 A . . kommt man aus dem Bruche . 8255 die Reihe: A † 3 Apz † 6 A pzz2 1 10 Apas † ꝛc. deren allgeme ines (n † 1) (n 1 2) Glied = . 2 Apez iſt. Ueberhaupt aber giebt der Bruch dieſe Reihe: A T k Apzr —— (1 – pz k . I . 2 1) (k † 2) . Apsz2 † — . 49 Ap323 † ꝛc. deren allgemei⸗ (n 3 1) (n † 2). .. .. (n † k — 1I) I . 2 . 3 . .. . (K — 1) Wenn man die Reihe fo ortſetzt, und das allgemeine Glied aus ihr ſelbſt nimmt, ſo findet man ſolches = 1) .D Apuzn; es iſt aber I1 2 3 . . . . . . . n dieſer Ausdruck dem vorhergehenden gleich, ſo wie ſolches in die Augen faͤllt, wenn man uͤberzwerg multip blicirt. Denn es wird a alsdann I . 2 . 3. . . I. (n †† 2) . . . . (n T. k — I) Funktionen auf Partial⸗Bruͤche von der Form fommt, ſo oft kann man auch das allgemeine Gl lied der wie⸗ „ — I 2. 3.. . . (k — 1) k.Yꝑ. .. (K †T n — I) we lches eine identiſche Gleichung iſt. 9. 216. So oft man daher bey der Aufl oͤſung der gebrochenen A (W PZ) K derkehrenden Reihe, die aus der gegebenen gebrochenen Funktion entſteht, oder der Reihe A T B z † Cz2 † D z3 f†. ꝛc. angeben; denn es iſt daſſelbe die Summe der allge⸗ meinen Glieder der Reihen, die ſich aus den Partial Bruͤ⸗ chen ergeben. Erſtes Das 6 ſtden,/ d Die u †22 Un den Re nan Daraus en C. Mnhn Kerade g. Des al ſwhen, die nechert 4 R der - Bruͤche⸗ . Algemein Das al EII bruche — 1 Kulers Rader G 1, es itoler W ſ e. Degt ! e 4 Wß Qnn (11— 0 nulhe, ene e gehroteten ed der wie⸗ gebrochenen fDu e der ale⸗ hartie Ni⸗ Elſtes Von den wiederkehrenden Rihhen 241 Erſtes Exempel. Das allgemeine Glied der wiederkehrenden Reihe zu finden, die aus dem Bruche — entſpringt. 1 — 2 — 2 2Z Z Die Reihe, die aus dieſem Bruche entſteht, iſt 1 †02 † 222 † 223 † 624 † 1025 † 22 26 † 4227 † 86 28 † ꝛc. Um den Coefficienten der allgemeinen Poteſtaͤt zun zu finden 1 4 loͤſe man den Bruch in 1— 2 – 222 1 2 Daraus erhaͤlt man das geſuchte allgemeine Glied = n + 2 — (2 (— In † 1. 2n) 2 n = — 2 zn, wo das Zeichen † gilt, wenn n eine gerade, und das Zeichen —, wenn n eine un⸗ gerade Zahl iſt. Iweytes Exempel. Das allgemeine Glied der wiederkehrenden Reihe zu I — 2 nden die aus dem Bruche — entſpringt finden, die a 6 ſpringt, und welche 1 ¼ 42 † 142 2 † 4623 † 14624 † 45425 † ꝛc. iſt. Da der Nenner des gegebenen Bruchs = (1 — 22) (1 — 32) iſt, ſo zerfaͤllt d der r Bruch in die beyden Partial⸗ Bruͤche — — z und daraus erhaͤlt man zum 1I1 — 22 SS allgemeinen Nenner 2. 3nzn — 2nzn = (2.3 n — 29) zn. Drittes Exempel. Das allgemeine Glied der Reihe 1 † 32 † 422 † 723 † 1124 1† 1825 † 2926 1† 4727 † ꝛc., welche aus dem 2 2 Bruche — . entſpringt, zu finden. Eulexs Einl. in d. Anal. d. Unendl. I. B. DHDM Da 42 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel. Da die Faktoren des Renners 1 — (— — 2 und 1— ( — 5)2 ſind, ſo bekommt man, wenn man den V 5 † 1 1—V 5 gegebenen Bruch aufloͤſet. — — 1= 1—(—O⸗ hr und les iſt daher das geſuchte allgemeine Glied 1 npI —5 ntI. ( . NS Zn 1 — 5) wierces Exempel. Das allgemeine Glied der Reihe à † (æa † b)z † (⸗2aà † æb † 82) 22 † („ 32 T†. ℳτ b † 2% † β b) 23 † ꝛc., welche ſich gus dem entwickelten Bruche a P bz — L- — ergiebr, zu fin den. Durch die Aufloͤſung des gegebenen Bruchs bekommt man dieſe beyden Partial⸗Bruͤche: C V (æ a, -P 4 ½)) T 2 b): 2 . Ca T 42 “ W TP V & 1 — ( lar c 2 C . Joiglich iſ 1—( . — das allgemeine Glied Wekd a) 1 )Tab 2 1 Gr 142)) . . 2 V (æ P 4 £) 2 (C(α—☛ 4⁸) — 2) — 2 b . VCer 14 £)2 ,„ um —EE e- — . JnzZn; und biera⸗ 8 laſſen ſich die allgemeinen Glieder aller wiederkeh⸗ renden Chen Rei rgthenden Aui die Wr erggache man ind man bft — 2)2 ſichen, we Zndcden 42 52434 1 . 4 1 B.☚⁰ Sr— — —,— 2, Sohis VPon den wiederlehrenden d Reihen. 243 ₰ renden Reihen, worin jedes Glied durch die beyden vor⸗ hergehenden beſtimmt wird, leicht finden. Fuͤnftes Exempel. Das all gemeine Glied der Reihe 1 †2 4 222 † 2 23 † 324 † 32 ¾ 4† + 426 † 427 † 2c., welche aus dem Sruche . I1 — 2 –— 22 † 23 —B — entſpringr, zu finden — 2)² (1 †2) Z Hier iſt zwar das Geſetz, nach welchem die Reihe fort⸗ ſchreitet, ſo offenbar, daß es beym erſten Anblick in die Augen faͤllt. Da inde — — —1 ende . 2=ð † 2) (1 2)2 k. iſt: ſo erhaͤlt man daher das allgemeine Glied 2n † 3 —I Jnzn — — . 21¹, wo das 2 ( (n † I) zn † ¾ zen † ¼ (— I obere Zeichen genommen werden muß, wenn n eine gerade, und das untere, wenn n eine ungerade Zahl iſt. §. 217.- Auf dieſe Art kann man die allgemeinen Glieder aller wiederkehrenden Reihen finden, weil man alle Bruͤche in dergleichen einfache Partial⸗Bruͤche aufloͤſen kann. Will man indeß die imaginaͤren Ausdruͤcke vermeiden, ſo wird man oͤfters auf Partial⸗Bruͤche von dieſer 8 Form kommen: A † Bpzz A . Bpz: 1 — 2 pz. coſ. O † ppzZ2 (1— 2 b2 col. * 1 PpzZ2)2 5 A Bb —— ; und wir muͤſſ ſen daher unter⸗ (1 –, 2 pz. coſ. O † pp zz, k ſuchen, was aus ihrer Entwickel ung für R Reihen entſtehen. Zuvoͤrderſt giebt nun/ zwar der Bruch 2 2. Tor S ppa 2 wenn worden, daß 244 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel. wenn man denſelben entwickelt, weil coſ. n O = 2 col. G. coſ. (n — 1) % – coſ. (n – 2) % (* iſt, A† 2 A pz. coſ. & † 2 Ap222. coſ. 2 O † 2 Ap323. coſ. 3 † Apzzz † 2² Ap323. coſ. † 2 Apaz4. coſ. 4 † 2 Apaz 4 coſ. 2 O ꝛc. (** † Apaz4 aber das allgemeine Glied dieſer Reihe iſt nicht ſo leicht zu entdecken. *) Aus dieſem in der Mumerkund zum 12pften 9. bewieſenen Satze folgt, dasß 2 coſ. cof (n — 1) coſ no † coſ. (n — 2) %, ſo wie aus den ſpeeiellen Saͤtzen, aus welchen er abgeleitet 2 coſ. . coſ. = coſ. 20 † 1 2 coſ. O coſ. 2 % = coſ. 3 O † coſ. G½ 2 coſ. 6. coſ. 3 O = coſ. 4 % † coſ. 2 2 coſ. o. coſ. 4% † = coſ. 5 % † coſ. 3 G U. ſ. w. iſt, und in dieſer Geſtalt werden dieſe Beſtimmungen hier eigentlich gebraucht. A *) Aus der Verglelchung des Bruchs I – 2 P z. coſ. O †ppzZz a † bz mit dem Bruche —- — 82 +† 7 7 22 — §. 61. wird, 2= A, o, 4„“ = „ s a e , und folglich R = 2 c0l. . Q — P, wenn P, Q und K auch hier die ihnen §. 61. bey⸗ gelegte Bedeutung behalten. Setzt man daher A . — 2 p z. Ccoſ. G TppzZzZ = DPp323 ꝛc. und gebraucht man zugleich die in der vorher⸗ gehenden Anmerkung enthaltenen Beſtimmungen, ſo wird A † Bpz † Cpa22 † ud L⸗ Wir hieſe ber Ppe rre wlhes eb deren Ren Pickelnnge GRd! aus die hoher Cbp. 1 Nochns ſett mn ken Su . coſ ,. col. 39 col. 0 benieſenen 1— , r Chgelitt nnin hir — 9 † pir P, .l0 61. M: 00¹1 . urfet⸗ nid 4 Von den wiederkehrenden Reihen. 245 A = A B = 2A. coſ = 2 A. coſ. 9 C = 2 B. coſ — A = 2 A. 2. coſ. . coſ. — A= 2 A. coſ. 2 ₰ † A S 2 C. coſ. ꝙ — B = 2 A. 2 coſ. ô. coſ. 2 % = 2 A. coſ. 3 % † 2 A. coſ. E = 2 D. coſ. — C= 2 A. 2 coſ. ꝙ. coſ. 3 Q † A= u. ſ. w. 2 A. coſ. 40 † 2. A. coſ. 2 % † A und alſo die angenommene Reihe der vom V. im §. mit⸗ getheilten gleich. §. 218. Wir wollen alſo, um zu unſerm Zwecke zu gelangen, dieſe beyden Reihen betrachten Ppz. ſin. † Pp'z“. ſin. 26 † Pp 23. ſin. 3 † Ppiat Gn. 49 †ꝛc. Q† Qpz coſ. ꝙ† Qp'2 .coſ. 20 † Qp z coſ. 30 † Qp2. coſ. 4% Pꝛc. welches ebenfalls zwey Reihen ſind, die man aus Bruͤchen, deren Nenner I — 2 pz. coſ. & † ppz?z iſt, durch die Ent⸗ wickelung erhalten kann. Die erſte Reihe nemlich entſpringt Ppz. ſin. 9 I – 2 pz. coſ. † ppzz °—— Qpz. coſ. — 2 P z. Ccoſ. % † pp zz aus dem Bruche z) aus dieſem „ und die andere Addirt man daher dieſe beyden Bruͤche, ſo giebt ihre Summe Q † Ppz. ſin. O — Qpz. coſ. I – 2 Pz. coſ. ꝙ † pp 22 „ eine Reihe, deren all⸗ gemeines Glied = (P fin. n % † Q coſ. n %) przn iſt; und Ac. Bpz ſetzt man den Bruch⸗ — 2 :. cs E 5 1 p 2 der gedach⸗ ten Summe gleich, wird Q = A, und P = A. cot. 9 † B. coſec. **), Folglich iſt das allgemeine Glied der Q 3 Reihe, 246 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel. 1 – 2 Pz. Coſ. 6% † ppzz Reihe, die aus dem Bruche ſoingt = A. c n 4. W n. nc. .. ſin. O coſ. n O Ppn — ſin. F) —2 n. 0 Es iſß in der Anm terkung zum 129fien §. dewieſen worden, ſin. n = 2 Coſ. . ſin. A=—e— an⸗ ( — 2) o iſt. Autzt mag daher P 2z. ſn. ₰% T =Ppz. cor o& EpS . Db † Cpzzz. † D p323 † E pA24 † ze. 3 = P ſin. 6 C= ¹ B. coſ. 2 P. coſ. & ſin. O = P. ſin. 2 D= 2 C. coſ. Oö — B = P (2 coſ. o. ſin. 2 O — ſin. o%) = PD. ſin. 3 & E = 2D. coſ. 9— C = P (2 coſ. o ſin. 3 0% — ſin. 2 ⁰ P. ſin. 4 u. ſ. w. und alſo A †* B pz † Cpzzz T† Dp323 † EpAzA † ꝛe. — Ppz. ſin. & † Ppazea. fin. 2 † Pp323. fin. 30 PPpA24. ſin. 4 σ ꝛc. ) Da coſ no = 2 col. coſ. (n — ,— col (n — 2) 6 iſt, 5 129,., ſo wi d wenn man C 2— QPp 2. coſ. OG MMl 1— F ceſ o Pp be FCh?zs t Dnze; T E paA24 f ze (izt, und A, B, C, D, E ic, wiedet gach J. 61. benmmt, — nd f c0l. a) 0 ſn ℳ 0 Pnn jedes n n warden⸗ N— —— . . Von den wiederkehrenden Reihen. 2 47 A = Q, B — Q. coſ &†2C. cof o= C. co 0 C = 2 B. coſ. O — A = Q (2 coſ. &. coſ. 9 I) = Q. coſ. 2 G D = 2 C. eet, B=E coſ. O. coſ. 2 ⁹— coſ. ) = Q. colſ. 3 E = 2 D. coſ. 9 — C= 2 co. 0. eot 3o — cal a SS C. coſ. 4 u. ſ. w. und fol lglich A TBpz f. CpZZ2 † Dp323 † E pAzA . 1 ꝛc. = Q † Qpz. coſ. 2 † Qpzz. coſ. 2 0G 1 QPS23 coſ. 3 %† Qp“τ*. co4 6 1 E. 1 D BB **) Aus B= P. ſin. — Q. coſ. 6 folgt nemlich ? = fin † Q. coſ. O½ ſer III. „ und hieraus P = A. cot. ½ † B. coſcc. 0O, weil Q= A; = = cot. , und te . .) Man findet dieſen Ausdruck aus (P. ſin. n 6%† C. cof. n 3) pnzu, wenn man fuͤr P und O die gefundenen Werthe ſetzt, jedes Glied durch ſin. % multiplicirt und dividirt, und coſ. ℳ fuͤr ſin. 9. cot. O, und 1 für ſi n. O. coſec. O ſchreibt. * ) Weil coſ. .. ſin. n? 1 nn. cof he = = ſin. caine iſt, H. 12,8. §. 219. Wenn der Nenner des gegebenen Bruchs eineſpoteſt o er cr — 2 pz. coſ. Q † ppZZz)k iſt, ſo erleichtert man ſich die 5 indung des allgemeinen Gliedes, wenn man den Bruch in fol gende zur dey obgleich imaginaͤre Partial⸗B ruͤche a b ð ſin. ) Pz)E t Enropzn 2 Q4 3 auf⸗ 48 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel. aufloͤſet. Das allgemeine Glied der Reihe, die aus dieſen beyden Bruͤchen zuſammengenommen entſteht, iſt (nPI)NT2) (n †3). . (n-†=k— I I 2 . 3 . (k=—– I (n-Pr)n 2) (n 3). (n-Tk — I) 1I 2 3 .. (K— 1) [§. 215 und 133.] Setzt man daher a † b= f, und a — b = £ ſo daß (coſ.no —— 1. ſin. n ) bpnzn, V— 1 fV— ITg fV =zI=g ; . = = und b = wird, ſo iſt der Ausdruck (n 1 N † 2 3) (n † k — 1) X . 2 . 3 .. . . (k — 1) das allgemeine Glied der Reihe, welche aus dieſen Bruͤchen (f. coſ.n & † g. ſin. no) puzn 1 1 (1 — (coſ. † V — 1I. ſin O)pz) K 1 (1-(coſ. 9 —V— I. ſin. O) pz oder aus dieſem einzigen Bruche . 2 „ k (K — K (K — I) (K — 2) 3 * — — KE L 2.₰ I 2 3 tpP 523. colſ. 3 „ ꝛc. = 85 2 7–. ſin. 3 0 . 1 E entſteht. H) Es iſt nemlich (1 — (coſ. 9 † V. — I. ſin. 0) p z)k (1— (coſ. 9 — V — I. ſin. O0) p 2)k = ((1 — (coſ. o† V — 1I. fin. ) pz) (I — (coſ. o — . —²- I. ſin. ) p z), k = I— 2 pz. coi. % † ppzz)k, OòòG §. 220, — — (cof. † V-— I. ſin. n Ohapnzn Sett Neihe, — 2n entſprin ſſt dos — 1— 22 ſelt, iet a pfe Uund 2 924 2 Un. i deſen NMprf Bhodr mon en Bruhen — 6 in — 13 —— — — A = — —— J 0πϑW22 — —,, —— W T X — 21 C= =S — Von den wiederkehrenden Reihen. 249 §. 220. Setzt m man 1 alſo k = 2, ſo iſt das allgemeine Glied der Reihe, welche aus dem Bruche f — 2 pz (f. coſ. O — g. ſin. O) † ppzz. (f. coſ. 2 — g. ſin. .2 0) (1 – 2 pz. coſ. O† ppzZ)2 entſpringt, = (n † I) (f. coſ. n O † g. ſin. n O½) pozn, Nun iſt das allgemeine Glied der Reihe, welche der Bruch a a =– 2apz. coſ. & P' a ppzz „ = oder — I – 2 pz. coſ. OT† PPpZzZ (I – 2pz. coſ. o † ppzz)2 ſi giebt, = 1. — 1 puzn (§. 218, indem B = o iſt]. in. O Addirt man alſo dieſe beyden Bruͤche, und ſetzt darauf a † f = A; 2 a. coſ. OQ † 2 f. coſ. O — 2 . g. ſin. 0ö = — B; und a f. coſ. 2 % — g. ſin. 2 % = o: ſo wird g 2 B † 2 A. coſ. ½ A † B. coſ. A FT B coſ. % 2 ſin. % = 1 — coſ. 2 09 2 (ſin. O) 2 A. coſ. 2 — B. coſ. O 1= — — XTäc. eS F*X); und g — (ſin. O)2 — 3² 8 B ſin. o% † A ſin. 2 % 2 fin. 9)2 . Es iſt daher das allgemeine Glied A † Bpꝛz der Reihe, die aus dem Vruche ( 2 pz. coſ. & Tppzz)2 A † B coſ. 2 (Kn. 9) 3 fin. (n † I) ꝙ. Pnz 1 En † 1) B ſin. g. ſin. no † A ſin. 2 .. ſin. n 2Cän. 9) L — pnzn † (n † 1) — B coſi. ꝓ. coſ. n O — A coſ. 2 ꝓ. coſ. n O — . . —) puzn = 2 (lin. 9) 2 AHDCπ6αι 1 1 ) col (n † 1) %) pn zn †. 2 (ſin. 6%)* ¶A † B coſ. %) ſin. (n † 1) 2 (lin. 9) 3 entſpringt pa Zn †*ͤIo'DÜ ℳ 250 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitek. (Catz ſin.(n †1) 6 — ½ (n-P1)ſin. n 3)0) 2 (ſin. ⅛) 3 (1 (n †2) ſin. n O –— & n ſin. (n E2) 9) 2 (lin. “ Apnz n rr) Ep Zn KK FN); oder endlich T An. G11) 4 —– (n 1 1) ſin. (n 1 0 Dnen A(ſin. 90) 5 (n a) Gn. n — . ſin. (n † 2) 4 (Un. -yYy) Bdezre *) Setzt man A — 2 † f in 2 a. coſ & † 2 f. coſ. ö — 2 g. ſin. 0 = — B, ſo wird 2 A. coſ. — 2 g. ſin. O = — B, B †P 2 A. coſ. und alſe g = 6 B 4 2 A. coſ. G —, und a †f. coſ. 20 2 ſin. — g. ſin. 2 6 = 0 fließt, wenn man die Wer the von f und g *) Aus ſf = A— a, g = in die letzte Gleichung bringt, a t A. c⸗ *— . cof. 2 0— GB 2 A. coſ. 2) ſin. 2 G 2 fin. G 2 A. lin. 20. coſ. 9 — 2 A. coſ. 2 0. ſin. & . B. n. 2 9 — 2 ſin. ₰ 2 A. ſin 7% † B. An. 29 — A B. coſ. ,weil ſin. 2 5 — 2 ſin. O 48 coſ. 9— col. 29. ſin. = lin. (2 — 1) 9 = ſin. 0, §. 128, 2 0 und 5. 5 = coſ. 6 iſt, welche letztere Beſtimmung aus 11 ſin. 2 % = 2 coſ. g. lin. g. . 129. Anmerk. folgt. Folg⸗ lich wird . A† B. coc — A 1† B. coſ. A 1— coſ. 2 2 n. 9)²*¾ 9. 130. Anmekk, , B † 24. coſ. ***) Setzt man a = A — k, uud g ⸗ Aꝑin. o 5 — 0°, oder (1 — cof. 2 %) — i Y r 1 )oden — II 1 Von den wiederkehrenden Reihen. 251 in die Gleichung a † f. coſ. 2 O — g. ſin. 2 0, ſo wird (B 1 2A. coſ. 1 Cn. 2 20 2 fin. &G folglich (1 — cof. 2 9) = A — B 5. coſ. O – A. 2 (coſ. 9) 2 — A — B. coe doſ ee A. coſ. 2 O — ⁹ „ 4 — — — — re P B. coſ. P. oder (=— o- A Co1. 2 2 ° –— B. coſ. 6. ——— — 2 (ſin. &) 2 * *⁹ Weil coſ. y. ceſ. 2 — fin. y. ſin. 3 = coſ. (y † 2) iſt, ſ, d. 128. fin. (y 2) — ſin. (y =— 2) „) Da nemlich coſ. v. ſin. 2 — — 7 iſt, § 130, ſo iſt — (n † I) coſ. (n † 2) ꝙ. ſin. O † fin. (n . 1) 1n — (n † 1) (4 An (n . 3 ſin. n . 1 2) † En, (n † 1)0 ſin. 6) 3 2 (n † 3 31 n k — * 1n ſin. n † 310 2 (ſin ) 3 ****) Aus §. 10 folgt n. miich (n † 1) coſ. (n † 1) G. fin. O †ſin. (n † ) & coſ. ô₰ ( (n † 1) ſin. (n 2) — ½ n † I) fin. n o⁹) H ſin S † ½ ſin. n † 2) % ſin. n0 D 8 2 (ſin ) 3 (n k 21En. n9 — n. ſin. n . 20 2 (ſin. 3 F. 22 1. 252 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel. §. 221. 1. I Iſt k = 3, 5 iſt das allgemeine Glied der Reihe, welche aus dem Bruche f⸗ „ Aln.9) f =— 3 pz (f. coſ. ½ — g. fin. 0) † 3 ppzz f. Coſ. 2 0— g. l.30 * 2 je- — p 323 (f. coſ. 3 O — g. ſin. 3 ) 3 5 S 6— B , enſpetneter = 1 nd weil 1 11 ₰ „. C RM 4 (f. coſ. n & † g. ſin. n 7) Pnz) ſt,Rig 4— D nun der Bruch a br oder dieſer (1 – 2pz. Coſ. 9 † Ppzz)2 G 4 — 2àapz. coſ. O † appzZzZ b=- A bpz — 2 bppzz. coſ o bp az3 nd dez (I — 2 pz. cof. O † pp 22) 3³ ndlch das allgemeine Glied . 2 8— (n † 3) ſin. (n † 1) O — (n † 1) ſin. n a pn an f 40 4 (ſin. ) 3 s iſt elod (n † 2) ſin. n & — n. ſin. (n † 2 Wop zan (lNC) 4 4 ſin. 6ο) 3 1 4 giebt: ſo erhaͤlt man, wenn man dieſe beyden Bruͤche ad⸗ 3Ap dirt, und den Zaͤhler = A ſetzt, l a † f = A, JNomzn 3 f. coſ. O — 3 g. ſin. & † 2 a. coſ. O — b e 1lin. . „=ec36— s. ſin. 3 . S Hieraus ergiebt ſich P = 2— ſin. 3e — Ccoc o †g. hn- c 2 coſ. ſee S 2 ⅝ (in. ꝙ)2 tang. 9 — f— 2 f. (ſin. .- *); ferner (Eßt f „ (ZZdd.. & 21 — — Rrucheod⸗ — 920 20 Und ), ſaer Von den wiederkehrenden Reihen. 253 ſin. S O — 2 ſin. 2 O⏑ ſin. O g„£ cof „ coſ. 3 % † coſ. a I = A= 2g. (ſin. &Oτε tang. O — 2 f. (ſin. 9 2, folglich A g. ſin. O — f. coſ. Tn. 552 — coſ. ? An. . % — 2 fin 3o † ſin. 5⁰) *½) 16 (ſin. &)5 . A (coſ. O – 2 coſ. 3 % † coſ. 5S oο) £ = 16 (ſin. 0) *); und ; und hieraus und weil 16 (ſin. * = ſin. 5 O — 5 ſin. 3 % † 10. ſin. iſt, [F. 130. Anmerk.] A 0 ſin. % — 3 ſin. 3 16 (ſin. ,5 A(— ſin. 2 % † ſin. 2 %) 16 (ſin. O7h a — = 0; und da 3 lin. %— ſin. 3 % = 4 (lin. „) 3 iſt, G.r30. Anmerk. endlich 3 A ⸗ = 4 (KEn. 9) 2 Es iſt alſo das geſuchte allgemeine Glied (n† 1) (n A zn (in. (n† Oα 2ſin. (n †3) O † ſin. (n50 I - 16 ſin. %) 5⁵ EFXXR) 1+ 3) lin. (n † 1) &O — (n † 1) fin. n 3,% 16 (ſin. &O)* Abpnza (n:P4) ſin. on e1) o — 2 (n †1) (n †S5) ſin. 160ſin. 655 1 . I1 2 G13) 0† Q 12 3 Apnzn n. (n † 5) 0) NJ FNY), *) Wenn man die Gleichung 3 f. coſ. oο — 3 ½. . ſin. 2 2 a. coſ. — b = o auf die Art abaͤndert, daß man darin f. coſ. 3 0 — g. ſin. 3 % anſtatt b aus der vierten Gleichung ſetzt: ſo findet man daraus ſete leicht 2. 254 Erſtes Buch. Dreyzehntes Cavitei. cofſ. 3 0°— g. ſn. 306 — H coſ. † 2 g. ſin. O&½ Nun iſt aber aus den von Kulern §. 26a angefuͤhrten und h ingdieſer Ueberſetzung in der Aan ne kung zum 1 z0ſten F. bes wietenen Beßimmungen der LBotefsfen der Siaus und Co⸗ (col. 5 ſi us, 4 (ſin. O) 3 = 3 ſin. O – “ 3 alſo g. (3 lin. Q– ſin. 3 %) 4g. ſin. V Hie 2 co. 2 col. Gin tang. 9. Ferner iſt aus §. 129, coſ. 3 9 = — 2 col o. coſ. 2 — coſ. %, und aus den vorhin angefuͤhrten § §, *) M (CoN 30 — 3 coſ0) n⸗ col. 2 9 = 1 — 2ſin. 2) 2; folglich iſt — 2 Coſ. 2 coſ. g. f. (I — 2 (ſin. 9) 2 –— 2) . ün. =t ſih. phe. 2 c0ſ. 4. Es wird demnach 40 = l A Z. Gn. 30 — 36' coſ 0† 3 g. fn- 0 — 2 col. . 2 g. (ſin ) 2 tang. 9— — 2 (ſin. )2. **) Wenn man den erſten der hier gefundenen Werthe von a, Qa ARce und den in der vierten Gleichung ſiehenden Werth von b fuͤr a und b in die e dritte Gleichung ſetzt, ſo wird cole⸗ M a ln ze r N f. coſ. 3 0 — g. lin. 3 0 — 3 f. el 3 g. ſin. . 2 coſ. — — 2 cof 3 . coLO † 2g. ſin. 3 .coſ. = o; ober 3 f. 2 coſ. . coſ. 2 9 — 3 g. 2 coſ. Y. ſin. 2 „† f. coſ. 3 — g. lin. 3 O — 3 f. coſ. & † 3 g. ſin. 0 — 2 . coſ. 3 0. 2 (coſ. 9g)2 † 2 g. ſn. Ze. 2 (coſ. 6 = 0. . ſt/ Da nun 2 (coſ. 2) 2 = I † coſ. 2 iſt, F. 130, Anmerk. — ſo er rhaͤlt man hieraus ferner 8— 3 f(2 coſ. 6. coſ. 2 0 — coſ. 0) † t coſ 39 — 2 coſ. 30. ä ſin. 2 ⁰ — ſin. ) 1P g. ſin. 3 2 %. ſin. 3 0. coſ. 2 6 — 2 g. ſin. 3 &. oder 3 Von den wiederkehrenden Reihen. 255 5 odder 3f. coſ. 3 %† f. coſ. 3 % — f. coſ. 5° —– f. coſ. O 2 f. coſ. 3 0 Nreniẽ 38.üin. 30 Fg. imn. 39 — ſin. 59-—g.-lin. 9 — 28. fin. 30. ſten g. be⸗ oder s ind Co⸗ etse 2eotze feote)sglin. 50 — 2lin. 30 † ſin. 2) Hieraus aber wird . ſehr leicht auf die Art beſtimmt, wie es im §. geſchehen iſt. inten , ***) Man ſetze, die Rechnung abzukuͤrzen, ſin. 5 0 — 2 ſin. 3 G col⸗ † ſin. O = R, und coſ. 5 0 — 2 coſ. 30 T coſ. = 8, ſo iſt l.9 f R fs . 5 5 5 = g K; 8 = †, und alſo Micſt A. col. 0 (8. ſin. 0 — f R. coſ. zLin . AR. col An. 4 (än. 6)2 (S. ſin. — K. coſ. 0) AR. Coſ. * 2 (ſin. ⁰) 38 — 2 (ſin. ) * R. roſ. Da aber 2 (ſin. ) 38 = 2 (ſin. 9) 3 (coſ. 5 %— 2 coſ. 3 % † Bne coſ. Oꝙd) = 2 (ſin. ) 3 l. coſ. 4b — — 6 coſ. .. coſ. 2 4) 38 † 4 coſ. &%), und alſo ol. o =— 4 (ſin. 9)3 (coſ. 4 n! – 3 coſ. 2 % P 2) = (indem 2 – 2 coſ. 2 O = 4 (ſin. 2) 2 . iſt, §. 130, Anmerk.) 16 (ſin. & † 4 (ſin. & 3 (coſ. 4 % R icoſ. 2 9) iſt; ferner 2 (ſin. ) 2 R = 2 (ſin. o,2 (fn. 5 1 1ad — 2 fin. 3 % †T ſin. ) = 4 (ſin. 9,3 (coſ. 4 O — coſ. 2 ) 1 al 30,. iſt, (weil 2 coſ. 4 0. ſin. O — 2 coſ. 2 % ſin. & = ſin. 5 10 aHn. 80 † fin. ꝙ, §. 130. 2): ſo wird ne . AB. coſ. — — AJA5— — cſn. 9) 5 alin. 9) K. CcOſ. O 20ſin. 6 ſ col 9. . coſ. — =cln. 9)2 R —ng AE A(En.4 — 2 an 3 † lin. 50 be 116 (ſin. 0) 5 16 (ſin. 0) N) 4 256 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel. **½) Es iſt nemlich a= A — f aus a † = A. Setzt man alſo fuͤr f den vorhia gefundenen Werth, und multiplicirt man außerdem A mit ſin. 5 ο — 5 ſin. 3 % † 10 fin. und dividirt es mit 16 (ſin. 6%2, ſo wird (ſin. 5 % — 5 ſin. 3 †T 10. ſin. 22 16 (ſin. 9)5 A (Un. 9— 2 ſin. En. 542) A(0 ſin. 9— 3 ſin. 3%) — — 16 (ſin. )5 16 (ſin. 0)* ***„ ob Dieſer Theil des allgemeinen Gliedes entſeht aus dem im Anfange des § ſtehenden allgemeinen Gliede ) (n † A— 1 2 . coſ. n † g. ſin. n &) puzn, wenn 2 darin die vorhin fuͤr f und g gefundenen Werthe ſetzt, und das Kommende nach §. 130. 1. 2 abaͤndert. (n . (n † 5 =A I sesern) Hier iſt . 2 AIDGE 2 (n e 1I 1 2 men worden. † 3 (n n 3): 3 (n † 1) genom⸗ ₰△ §. 222. Das allgemeine Glied der Reihe, welche aus dem Bruche A † Bpz (1 – 2 p z. coſ. % † iee entſpringt, iſt folglich Apnzn (n † 5) ( L anfanki . 1I6cfn. Sje. I1 . 2 tve⸗ . 2 Bpnzan (n † 4) † “ 2 Gn t 4) IGSCän. 6)7 C. — ne — iün. ⸗ Gil nan zas allg entſprin Aopr⸗ Juk) T in. (n B pr 111 1 lin. ( Aus die Glieder ) erden nunſh d. 40n 161ſin 64(ſin 6ln. 64) Eulen S wen leipliert in. Hnd itſteht aus Glide hnn din He ſent ud zuat 1) Ke aus den ſin. (n † 5) — Von den wiederkehrenden Reihen. 257 –— n.) gn. (n † 4) 9) . Will man weiter gehen, ſ⸗ wird man auf dieſem Wege fuͤr das allgemeine Glied der Reihe, welche aus dem Bruche A † Bpz (1— 2 Pz. coſ. % † Pp 22) 4 entſpringt, ſinden, (n 2)0 Abnan (n † 2 ( 1 6) ( 1 5 64 (ſin. %7 I 2 . 3 ſin. (n † 1)% R n 0 KaDGTA 1 . 2 3 an. (n ?3) 6 1 . 2 3 2) (n † 3) ſi *I . 2 . 3 n. (n † 7) ) † Bpnzn (n † 6) (n 1 5) n 1. 4) ſn. n o — 16 (ſin. 6)7 1 2 3 3 n (n † 6) (n † 5.) 3 n (n † DKO —— ſn. I(n 12) 0 1 2 Z ſn. (n † 4) — ”M (n †6 o). Aus dieſen Formeln laͤßt ſich die Form der allgemeinen Glieder der hoͤhern Potenzen leicht abnehmen. Will man aber den Grund davon aufſuchen, ſo thut man wohl, wenn man ſich dazu merkt, daß ſin. o = ſin. „ L 4 (ſin. 7) ³“ = 3 ſin. 0,— fſin. 3 0 16(ſin. 2)5 = 10 ſin. 5 ſin. 30 † fin. 5 6 64 (ſin. 0) 7 = 35 ſin. 9 — 21 ſin. 3 % † 7 fin. 50⁰ — ſin. 7 256 (lin. 9)9 = 126 ſin. 9— — 84 ſin. 3 0 † 36 ſin. 5„ — 9 ſin. 7 † ſin. 9 1n) u. ſ. f. Die Erlaͤuterung, welche dieſer § erfordert, findet man int 4 Anhange unter den Zuſaͤtzen zum dreyzehnten Capitel. **) Man ſehe hieruͤber die Anmerkung zum 13ſten 9 nach. Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. Ll. MH. §. 223 258 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel. §. 223. Da man auf dieſe Weiſe alle gebrochenen Funktionen in reelle Partial⸗Bruͤche aufloͤſen kann, ſo laſſen ſich auch die allgemeinen Glieder aller wiederkehrenden Reihen reell dar⸗ ſtellen. Um dies deſto deutlicher zu machen, wollen wir einige Beyſpiele herſetzen. tr ſtes Eempel. I (1 — 2) (1 — 22) (1 — 23) Aus dem Bruche I – 2 – 22 † † 25 — 26 Reihe: 1 F 2 † 222 † 323 † 424 † 525 P. 726 † 9827 † 10 28† 1229 † ꝛc.; man ſoll ihr allgemeines Glied fin⸗ den. Druckt man den gegebenen Bruch nach ſeinen Fakto⸗ entſteht dieſe wiederkehrende 1 ren aus, ſo wird er = — 5 ⸗ DS „und daraus ergeben ſi die Partial⸗Bruͤche — † 6 . — 5 3 — 2)2 2 1— 5 Scr 1 35 T 2 † 27) Von dieſen giebt ‚zum allgemeinen Gliede, der erſte, QAI2) 1 = nn † 3n † 2 ⸗ 2 1I2 —l . I . I ,B e der dritte, 2 2n; der vierte 5 (— I) nzn. Was den fuͤnf⸗ 2 †2 9 T r T=27) betrifft, ſo giebt er, wenn man ihn A F. Bpz mit der Jorm — (18) vergleicht I— 2Ppz. coro nosz 3 gleicht, ,. 7 1 P=; 9 = = = 60⁰; A = † 5: B = — ., und . 3 . 5 9 das .n - I derehhene ſin Aohiet man Aheneine 1 n 4 Wchen ge eine ungerea eine ol o⸗ * dute entden n Hiernach kan Ne At endsge NR Aor kionen in auch die tel dar⸗ Ann wie 12 1t11) der eiſte, nl . e, — 35 Von den wiederkehrenden Reihen. 259 das allgemeine Glied, welches man daher erhaͤlt, iſt dem⸗ 2 fin. In . 1I) O — fin. n ꝙY — nzn — nach † n. G — 1) =— . „ 4 ſin. (n † 1) O — 2 fin. n %½ (— ¹) szn — 9 3 4 lin. (n † 1) — — 2 fin. n 7 (— I) uzn. H Addirt man nun alle gefundenen Glieder, ſof ſindet man das allgemeine Glied der gegebenen Reihe = = (— 1 2 . 1 en 7 4an. Gn 1) 2. — 2 fin. n — 3 32 . 1 7 2n 1† —— „wo die obern R X Zeichen ge⸗ lten, wenn n eine gerade, und die untern, wenn n eine ungerade Zahl iſt. Hierbey iſt zu bemerken, daß, wennn 4 fin. 4 (n † I)2 –— 2 fin. Inz ———— eine Zahl von der Form 2 2 m iſt, 9 V = TX ⅞; ſo wie wenn n ==ͦ 3 m † I iſt, eben dieſer Aus⸗ druck = —3; und wenn n = 3 m † 2 wird, = — iſt, je nachdem n eine gerade oder eine ungerade Z Zahl bedeutet. Hiernach kann die Natur der gegebenen? Reihe auch auf die Art ausgedruckt werden, daß man ſagt: Iſt ſi iſt Lihr allgemeines Glied n = 6 m † G r 1 1) 2z n = 6 m † 1 (X2 † 2 t )an „nn n = 6 m † 2 † 2 † 3— n = 6m 3 (.t t 3) nn 1 2 = 6 m 14 (1 . 4 7 n = 6 m † 5 ⸗ † 7 1 ee M H 260 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel. So gilt z. B. wenn n = 50 iſt, die Form 6 m † 2, und das Glied der Reihe iſt alsdann = 23425 Zweytes Expempel. Aus dem Bruche — 11 entſpringt die wie⸗ 2 5 derkehrende Reihe 1 † 22 † 322 † 323 † 424 † 525 † 626 † 627 † 728 † ꝛc.; man ſoll das allgemeine Glied derſelben finden. Man kann den gegebenen Bruch auf dieſe I † 2 † 22 (I 2)2 (1 12 (112 ol ende Partial⸗Bruͤ =W 3 1— folgendeP 5= 1 , ST⸗ Form bringen, und ihn alſo in 112 4 (1 † 22 Bruͤchen das allgemeine Glied 30 en; der zweyte, z2n; der dritte „ (— 1)nzn; und aus dem vierten, nemlich — 1†2 . . 5 = erhaͤlt man, wenn man ihn mit der Form T1†2 AF Bpz . 1I— 2 Pz. coſso † p pzz vergt eicht, P =; coſ. ꝙ = o; und „ = 2 *; ferner A = — ; und B = 4; alſo zum allge⸗ meinen Gliede: (— ½ ſin. (n † 1) æ † ¾ ſin. Sn) zu. Folglich iſt das geſuchte allgemeine Glied = (4 n † 2* — zn – * (ſin. (n † I) æ — ſin. ½ n æ) zn. Iſt daher ſo iſt das allgemeine Glied n = 4m † o (àn† I) zn n = 4 m † “ (3 n⸗† ¾) zn n = 4 m † z (à n † 2) 2n n = m † 3 1 (à3 n1† 32) zn Iſt z. B. n = 50, gilt die Form n = 4 m 4 2, „und das Glied iſt 39279 0, 9. 224. 5 aufloͤſen. Nun giebt der erſte von dieſen Penn uI man (t entd theilten ée noch! ſergehende Ckennen, ul det algemen (e verden ie wideet AXt o. ebed, einigen do Bruchs 1- 6 ½, 4, 1f. Nen , 6, % ſ du Fon⸗ 46s ihr er elken unchen dier Um al ier unbeſt ſchen oder 3,diel ſyen 1 ungeichun unn li ſſpingti ☛ 12, und igt Re wie⸗ 24 nt meine Glied h auf dieſe n dl in 112, und 2249 ertheilten Vorſchriften ſindene ſetz, nach welchem ein jedes Glied der Reihe aus den vor⸗ hergehenden gefunden wird, den Renner des Bruchs zu u. ſ. f. Von den wiederkehrenden Reihen, 261 §. 224. Wenn alſo eine wiederkehrende Reihe gegeben iſt, ſo kann man, da man den Bruch, woraus ſie entſpringt, leicht entdeckt, das allgemeine Glied derſelben nach den Es giebt aber das Ge⸗ erkennen, und die Faktoren dieſes Nenners geben die Form des allgemeinen Gliedes an die Hand, denn durch den 3e⸗ ler werden bloß die Coefficienten beſtimmt. Es ſey z. B. die wiederkehrende Reihe A † Bz † Cz2 F† Dz3 † E z4 † Fz?5 † ꝛc. gegeben, und aus dem Geſetze, nach welchem jedes Glied aus einigen vorhergehenden beſtimmt wird, ſey der Nenner des Bruchs I1 — 2 –— 6 22 – 723 gefunden, ſo daß D= C † 9 B T† 7 A; E = =D I 4C FT 7B; F = = E T ½D †„ C; Nennt man nun mit Moiore die Multiplicatoren 2, † 8, † 7, die Beziehungs Scale, ſo beruhet das Ge⸗ ſetz der Forſchreitung auf dieſer Beziehungs⸗Scale, und aus ihr erkennt man ſogl eich d den Nenner des Bruchs, aus eihe . ntſprin gt. . 225. Um alſo das allgemeine Glied, oder den Coefficienten der unbeſtimmten Poteſtaͤt zu zu ſinden, ſuche man die ein⸗ fachen oder doppelten Faktoren des Nenners 1 — 22 — 22 welchem die wiederkehrende R — 72 3, die letztern, um die imaginaͤren Fak toren zu vermeiden. Es ſeyen zuvoͤrderſt alle einfache 8 Faktoren unter einander ungleich und reell, und folgende: (1 — pz) (1 — q2) (1–— r 2). Alsdann laͤßt ſich der Bruch, woraus die gegebene Reihe e A S id das entſpringt, in — 1 — 2 † 11⸗auflſen, und das R 3 all⸗ 262 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel. allgemeine Glied der Reihe iſt daher (Apn † Bqn † Ern)zn. Sind zwey Faktoren einander aleich, nemlich q= p, ſo eral erhaͤlt das allgemeine Glied dieſe Form: ((An † B)pn WLeinen Crn)zn; und ſind alle drey einander gleich, r— g=p, ſo deeſer Ab⸗ iſt das allgemeine Glied (Anz † Bn † Cpnzun. Hat aber— efordert der Renner 1 — =2 — 822 –— 723 einen doppelten Faktor, i 5=A daß er= I — pz ( — 2 q2. rar⸗ † qqzr) iſt: ſo iſt das 4 allgemeine Glied = (Apun -†. n 4 Blin. (n † 1)%† Elin. “ ſehn wird. ſin. er, ſ⸗ Da ſich nun daraus, wenn man fuͤr n nach und nach die a- Zahlen o, 1, 2 ſetzt, die Glt leder A, Bz, Czz ergeben docher muͤſſen, ſo findet man dadurch die? Werthe der Buchſtaben 4,= A, B und C. Wmnnne S. 226. :- Iſt die Beziehungs⸗Scale zweytheilig, oder wird ein jedes Glied durch die zwey vorhergehenden beſtimmt, ſo daß C = 2 B= 6A; D = «C— B; E= æa D — C;ꝛc. Pelches en⸗ iſt: ſo iſt offenbar, daß die wiederkehrende Reihe, welche den Rei wir — herechedden A† Bz-PCzz † D z3 † EZA4 T. 6T P zu P Qzni I † ꝛc. ein Gled, ſetzen wollen, aus einem Bruche entſpringt, deſſen Nenner r- I — a2 † 822iſt. Setzt man nun deſſen Faktoren = (1 — pz) No (1 –— q 2) ſo iſt p T† q = «, und pq = 2, und das allge⸗ nol, wen meine Glied der Reihe = (A pn † B qn)zn. Setzt man Glieder⸗ alſo n = o, ſo wird A = A † B; und nimmt man n = I, 4 ſo wird B= Ap † Bq, und folglich A q — B= A (q —– p): A= —5; und B = r— 3. Hat 1 man aber die us , 4 —p b — 4 dern Pzn Werthe A und B gefunden, ſo iſt nehrere P= Apr † Ban; und ünn Q= Apntr † Bqui; desgleichen A B = B B v.-— AB TAA. ſo iſt, n M.n z. 1DN (=p, ſ Hut aber e, ſo ſ i des — l1, „A& M 1d nech die zoß⸗ 1: egeben Guchſteben vird en . 1 1 „ 4 „ „— ſen Nennet 7 Von den wiederkehrenden Reihen. 263 Hieraus laͤßt ſich eine Methode ableiten, jedes Glied aus einem einzigen vorhergehenden zu finden, da ſonſt zu dieſer Abſicht, nach dem Geſetze der Fortſchreitung, zwey erfordert werden. Denn da P= A pn † B qn; und Q= A p. pu B q gniſt, ſo ſolgt, daß Pq— = A (q – p) pn; und Pp – Q= B (p —– q) q“ ſeyn wird. Multiplicirt man nun dieſe Ausdruͤcke mit ein⸗ ander, ſo erhaͤlt man Pap q — (p †T q)PQYQiQ+— A B (p — q)2puq= 0 Da aber p † q = ⸗; pd = 8; (? — q) 2 = (P † q)2 — 4 p 4 — a — 4⁸; und puqn = Sn iſt: ſo bekommt man, wenn man dieſe Werthe ſubſtituirt, SPz — « D Q † QQ = (SA A — «A B † B B)n, oder QOQι– „½ P Q †*bs P P B B — «A B † SAA welches eine ſehr merkwuͤrdige Eigenſchaft der wiederkeh⸗ renden Reihen iſt, deren jedes Glied durch die beyden vor⸗ hergehenden beſtimmt wird. Kennt man alſo darin irgend ein Glied P, ſo iſt das folgende Q = 2– 2P V (( a2 — ,) Pz † (B2 — „A B T 6 A A) 6n); und dieſer Ausdrt iſt, des darin enthaltenen Wurzelzeichens ohngeachtet, ſtets ratio⸗ nal, weil in der wiederkehrenden Reihe keine irrationalen Glieder vorkommen. 5§. 228. Aus jeden zwey unmittel bar auf einander folger nden Glie⸗ dern Pzn und Qzn?1 laßt ſich ferner das von ihnen durch mehrere andere getrennte Glied Xzan finden. Denn ſetzt man S fP2 †gPQC — h A : ſo iſt, weil R 4 88 264 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel. = A pn † Bqn, und Q = Ap. Pn † B q. , ferner X =— P 3 † B q2n iſt, fP2 An2pan B⸗= qan 42fA Ben gP= A⸗p-pan 8B⸗ 2q. q n † g. A Ba gn — h A Ben = —h h A B En X =— Apzn †. V3 — 2 Ip –— R 4 die Ap — * 25 † gæ; und daraus g = — A – 2 B Run iſt aber B — A = . und A — Bq = «B — 2 A ⁶ ℳĩà — 2 As — f= = folglich wird Aca⸗ — 45) und 3 e;: derte 2 Ag 2 B und AC(=a — 4) dei t= K und g= 2 B –᷑4 α A (4⁸ — «a) A 5B — 2AB T A&X: alſo h= *A B TSAX: Gebraucht man alſo dieſe Werthe in X = fP2 † gPC — h A Ben, ſo wird X = CA6 — 2 B) Pz † (2 B — 2) PG BB= — 2A B T6AA — A gs ſo wie hieraus, wenn man fuͤr en den dafuͤr im vorherge⸗ henden §. gefundenen Werth ſetzt, X= (3 A — a B) P2 † 2BPG — A0 „ “ B B — 2A B † 644 7 *) Euler ſe etzt hier zuvoͤrderſt 2 X= Q2A*½ — a B) P † a B — =A)POCQ 4 B B — z«AB † £A A “ und faͤgt darauf hinzu: : Auf eine aͤhntiche Art findet man, und h = B AD t IB d). X Rec⸗ Denckt lf dieſe A br 1 ſo erha⸗ UNd h= n tothenn⸗ Von den wiederkehrenden Reihen. 265 (æ=sA-— (=- 26) B) Pz (23 A) O 2 B 6n 55 1= „ (B B – æ A B P βA A) s und durch die Verbindung dieſer Beſtimmungen mit einander und durch die Wegſchaffung des Gliedes en erhaͤlt man (8⁸ A — a B) P2 † 2 B; PQ— A QQ B B — gA B T†⁸A A- Es ſcheint aber das A in der erſten Bekimmung von X ein Rech nungsfehler zu ſeyn. X= △ . 229. Druckt man die folgenden Glieder der gegebenen Reihe auf dieſe Art aus: A † Bz† Cz2 †. . . . PO rn T Catr ” Kaata kF. XZ2n † VZZn-PITI PZzZzn-pz, ſo erhaͤlt man auf eine aͤhnliche Art (sA — a B) Qa † 2B CR — ARR BB — A B † SA A und da B = 2C — g P iſt, ſo wird — g8 A P2 † 38 (A B † Ce B e--6⸗ B B — a A B T6AA 2 † 2 Z =— Z =— Nun iſt Z = 2 — 6X, und alſo = — ; folglich — g P= † 2 ⅛ àA P Q † (B - a A Q Q = B B - 2 A B †T† g A A . Man kann daher nunmehr auch aus X und v auf eine aͤhn⸗ liche Art die Coefficienten der Poteſtaͤten z4n und 24n, ſo wie hieraus die Coefficienten der Poteſtaͤten 2 8n, 2 8n 1 u. ſ. f. finden. *) Im Originale iſt (B — =A) QC in der Beſtimmung von X noch mit multiplieirt, weiches wahꝛſchein⸗ icher Weiſe ein Druckſe e iſfteieie. * Exempel. — — 266 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel. Exrempel⸗ fünmtn Es ſey die wiederkehrende Reihe n fide 1 †32 † 422 † 723 † II34 † 19825†.4. † P Zn † Qzn.r 2c. in t gegeben. Da darin jeder Coefficient die Summe der bey⸗ Veziehur den vorhergehenden iſt, ſo iſt der Nenner des Bruchs, aus Reihe af welchem dieſe Reihe entſpringt, = 1 — 2 — 22; und folg⸗ — 723 lich æ = 1I; 8 =– — I; A = 1; und B = 3; ſo daß alſo wie vor! BB — « A B † 6S A A = 5 wird. Hieraus ergiebt ſich nun (I — 1, (5PP † 200 — I) n — 20) P: zuvoͤrderſt C= 1V 1 0 — 1n) PPX wo das obere Zeichen gilt, wenn n eine gerade, das untere 8 aber, wenn n eine ungerade Zahl iſt. Iſt z. B. n = 4, ſeſe I † V (5. 121 † 2 11 †2 R folg! ich b = II, ſo iſt Q = 1 2= 25 d = 198. Setzt man ferner den Coefficienten der Poteſtat 22n, — — 4PP 6PQ — QQ —/ ſo iſt X = . „foͤlglich der Coef⸗ „, L ; „. — 4.121 † 6.198 — 320 ficient der Poteſtäͤt 28 = 4 , 22— 222 = 756. D † W. (5 PP — Da aber Q = Crb. 2 iſt, ſo iſt Q C — ih PP 10o I P (&* oc-z) J ; und folglich X = — PPT. 2 † P V (§ PP 20) Ehon . Man findet alſo aus ei⸗ dorherd nem heden Gliede Pzn einer wiederkehrenden Reihe dieſe Gleit F V (5 PP †. 20) beyden: — — n . r, und — P P. †. 2 P PV (S PPD 20). Rae . deNt . K. 230. den we⸗ Auf eine aͤhnliche Art laͤßt ſich in den wieder kehrenden derſtt Reihen, worin jedes Glied aus den drey vorhergehenden laufen be⸗ znpr , der bey⸗ ci aus Wfal: ſo daß di⸗ ſich un 1 Ms untere 1, — I „— Natoſta R2”1, 1 WWN Von den wiederkehrenden Reihen. 267 ſtimmt wird, jedes Glied auch aus den zwey vorhergehen⸗ den finden. Denn es ſey A † Bz † Cz2 T D 2z3 P. . . . Pzn † Qzuir † Rzntz † ꝛc. eine ſolche Reihe, und ihre Beziehungs Sceale ſey 4, — 8, †: 7, oder es entſtehe die Reihe aus einem B Bruche, deſſen Nenner = 1 — =2 T 622 — 723 iſt. Druckt man nun die Gleder P, Q, R eben ſo wie vorhin durch die Faktore ſes Nenners, velche (I – pz) (I — qz) (1 — r2) ſeyn moͤgen, aus, ſo daß P =— A pn † T qa . Ern Q= Ap. pn † B q. qn - Cr. rn, und R— A pz. pn . B q2 qn † E FrZ2. rin iſt: ſo erhaͤlt man, weil p † q † r=æ; pq'† prf qr=8; und pꝗqr = 7 iſt, folgende Proportion: — (ag — ) C3 † (aæ T 6⁶) Q2 — 22 Q PC2 =W R3 ] -C, t, bo R 71 6g’⸗ H † 8$P.] 1 ⸗ , P2 C 7 . . T ZY P3 — 2 a B 1 (ss k 6 B2 † (av, T ,E8g) AB 2 C2 — (ag T 37) AB C . † ⁸A , 2 2 — 2 2 A2 B PEG& 4A k Yw A 3 Es hangt alſo die Erſindung des Gliedes R aus den beyden vorhergehenden P und Q von der Aufloͤſ ſung einer cubiſchen Gleichung ab. g. 231. Nach diefen Unterfuchun ngen uͤber die allgemeinen Glie⸗ der der wiederkehrenden Reihen muͤſſen wir nun auch noch die Art und Weiſe, wie die Summen dieſer Reihen gefun⸗ den werden, kennen zu lernen ſuchen. Hierbey iſt zuvoͤr⸗ derſt offendar, daß die Summe der ganzen ohne Ende fort⸗ laufenden wiederkehrenden Reihe dem Bruche gleich iſt, aus 269 Eeſtes Buch. Dreyzehntes Capitel. aus welchem ſie entſpringt; und da der Renner dieſes Bruchs aus dem Fortſchreitungsgeſetze der Reihe erkannt wird, ſo iſt nur noch uͤbrig, daß gezeigt werde, wie man den Zaͤhler finden kann. Es ſey alſo die Reihe A † Bz † Czz † Dz3 † E ZA † FZS † G z6 † ꝛc. gegeben, und das Geſetz, nach welchem dieſelbe fortſchrei⸗ tett, fi fuͤhre auf den Renner, 1 – 2 † £2 2 — 723 † à24. Angenommen, daß der Bruch, welcher der Summe der a † bz T CcZ2 †T† dz 3 — a*†τπιτ *² — 72 3 † 2 ganzen unendlichen Reihe gleich iſt, = — ſey, und alſo die angefuͤhrte Reihe aus ihm entſpringe: ſo uindet man durch die Vergleichung a = A-— b = B — æ A c = C — = B T 8⁸ A d = D –— a C † 8 B — „A. Demnach iſt die geſuchte Summe A † (B — a A) 2 † (C — = B † , A) 22 . 1 – a 2 † 622 — 72 3 P = (D — aC † ⅛ B — 7 A) 23 1 — 22 † G2 2 — 723 †+ 2 §. 232. Hieraus laͤßt ſich leicht einſehen, wie man die Summe einer wiederkehrenden Reihe bis auf ein gegebenes Glied derſelben zu ſuchen hat. Soll z. B. die Summe der vor⸗ hin angenommenen Reihe bis auf das Glied Pzn gefunden werden, ſo ſetze man ⁸ = A † Bz † Cza † Dzi † E z4 -†f. . .. † Pzn. Da nun die Summe der ganzen unendlichen Reihe bekannt iſt, ſo ſuche man die Summe aller der Glieder, die auf das vorhergehende letzte Pzn ohne Ende fole gen, und nehme dabei t = 20 Do dieſe ſeſhe wi Qirf dehe ſoiſt den en wc fgende⸗ daaber ſo wird: A — Von den wiederkehrenden Reihen. 269 dieſes t= QzntI † Rzn t2 † Sznf3 † Tznia † ic. gkannt Da dieſe Reihe, durch ꝛndr dividirt, eine der gegebenen ie nan gleiche wiederkehrende Reihe giebt, ſo iſt ihre Summet = QznI † (R – „ Q) Zznp2z † (S8 — „ R † β Q) znr 3 . B I1 2 T† 822 –— 723 † %24 itei⸗ (I — S † g R 7Q n4 23u 1I — 2 2 † 8£22 — 723 † 524 ume der Folglich iſt die geſuchte Summe 58 — 2† d 1A1G (C — aBTE 22 , 1 — *ε2 † 8 72 — 723 à24 tpringe: 2 2 — Qnn — I1 – a2 T† 6£22 — 723 † à%24 Qani⸗ — C— eR— é Qlank; 1 — ℳ à † 622 — 723 † ⁹24 (T— a«S † 6R — 2 Q n4 1 — =2 T 6z2 — 723 † 324 §. 233. Iſt daher die Beziehungs⸗Scale zweitheilig, und e, — s: ſo iſt die Summe der Reihe A † Bz † Cz2 † D z3 P, A † (B — « A) 2 .B Pzn, welche aus dem Bruche — s 2 entſpringt, folgende: A † (B — a A) Z — QznII — — (R — „ Q zn t2 eum 1— =2 † 322 1 cl Da aber, wegen der Natur der Reihe, R = Q — 6P iſt, er tot⸗ ſo wird dieſe Summe dadurch in dieſe verwandelt: efunden A † (B — æ« A) z — Qzn I † GPzn † 2 1 — ℳ2à † 62 2 in Exempel. ronfh Iſt die Reihe I † 32 † 422 † 722 kK.. 1 P zn gege⸗ Peoei ben, wo I; (F - t; 4A &1 und ve 3 iſ ſe iſt 270 Erſtes Buch. Dreyzehntes Capitel ꝛc. † 22 — Q zu1I –— P zna 1I — 2 — 22 Setzt man aber 2 = 1, ſo wird die Summe der Reihe I P 3 T 4 F 7 † I1 P. . . . . . † P = P † Q — 3. Die Summe des letzten und des folgenden Gliedes uͤbertrifft alſo die Summe der ganzen Reihe um 3. Da nun Q = P † V (S PP + 20) 2 iſt die Summe derſelben = „iſt, ſo iſt die Summe der Reihe —3P—6FV — 20 2 t3 F 4 17 † 1 k. ., † b= und man kann daher dieſe Summe auch aus dem letzten Gliede allein finden. Von der G deſſen Wünkel Longent nun ſoton 113 41 . — Pata — — er Reihe N Vierzehntes Capitel. Von der Multiplication und Diviſion der Winkel. §. 234. Es bezeichne 2z einen Winkel oder einen Kreisbogen, deſſen Radius = I iſt; ferner ſey der Sinus dieſes Winkels oder Bogens = x, der Coſinus = y, und die Tangente =t, folglich xX 1 yy = 1, und t DM Da nun ſowohl die Sinus als die Coſi nus der Winkel 2; 2 32; 42; 52; ꝛc., wie wir oben *) geſehen haben, eine wiederkehrende Reihe geben, deren Beziehungs: Scale 2y, — I iſt: ſo ſind zuvoͤrderſt die Sinus der gedachten Bogen folgende: ſin. O 2 = 0 ſin. 32 = 42y2 — x ſin. 52 16 K y4 — 12 Xy² † 2 ſin. 62 32 X y* — 32 xy 3 † 6Xy ſin. 72 = 64 X y6 — 80 XxyV4* † 24 Xy ² — X ſin. 82 = 128 Xy7 — 192 XV5 T 80⁰ * 73³ — 8Xy Und uͤberhaupt folgt daraus ſin. n?z = X (2n-— 1pN — (n — 2)24- re- 3 P† 272 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitek. (n-— 3) (n— 4) 22-5yn-g — (n-— 4)In — 5) (n 6) 2n-7yn - 7 (n — 5) (n — 6) (n — 7) (n — 8) 2n-9 = 92 — 2c.) 1I 2 7 3 4 7 ) Man vergleiche hierbey §. 129. “ . W §. 2 35.* Setzt man den Bogenn2 =s, ſo wird ſin. n 2 = ſin. S== Ein. (zæ — s) = ſin. (2 † s) = ſin. (3 æ — §) ꝛc., denn alle dieſe Sinus ſind einander gleich. Hieraus erhalten wir mehrere Werthe fuͤr æ, nemlich S r—Ss 22Ps — S 427† S ſin. 5 ſin. —— . ſin. ——— 5 ſin. — — ſin. 2 n n n n 9 ** *° welche daher insgeſammt der gefundenen Gleichung ein Genuͤge thun. Ferner ſind hierunter ſo viel von einander verſchiedene Werthe, als n Einheiten enthaͤlt, und dieſe Werthe daher die Wurzeln der gefundenen Gleichung. *) Sind nun die Wurzeln der Gleichung a poſteriori bekannt, ſo kommt man durch die Vergleichung dieſer Wurzeln mit den Gliedern der Gleichung auf ſehr merkwuͤrdige Eigen⸗ ſchaften. Da man aber dazu eine Gleichung haben muß, worin bloß als eine unbekannte Groͤße vorkommt, ſo muß man fuͤr y ſeinen Werth V (I. — X 2) ſetzen; und es iſt daher ein doppeltes Verfahren noͤthig, je nachdem n eine gerade oder eine ungerade Zahl iſt. H *) Ueber dieſen Gegenſtand habe ich mich im Anhange in dem Zuſatze zu § 234 — 241 des gegenwaͤrtigen Capitels aus⸗ fuͤhrlich erklaͤrt, und noch ansfuͤhrlicher ſindet man ihn in des Herrn Hofrath Kaͤſtners Abhandlung: Unde plures inſint radiges aequationibus ſectiones angulorum de- Kni⸗ Folgiͤch iſ ſnuienti unnitte YAlores dum ich in terung ſin. —:: ſin. 2= ſu. 32= ſin. 52 ſin. 72 ln. 92 nd überhoun Inn. MüIn — r. wenn n ein chungaberf U Eulers SſIn dennale haler pir ichung ein einander We i belann’ iſeln nit ge Eigen⸗ aden⸗ uß, tommt, 1, des Nchden iths gun⸗ uun ihn in le Plures runm de⸗ l⸗ — Von der Muttil und Diviſion der Winkel. 273 finientibus, Goͤttingen 1756 unkerſucht. Die im Euler unmittelbar folgenden Worte: Cavendum ergo eſt, ne valores aequales pro iisdem habeantur, quod fiet, dum alternae tantum expreſſiones aſſumantur; habe ich in der Ueberſetzung neggelaſſen, weil ſie mir zur Erlaͤu⸗ terung dieſes Gegenſtandes nicht zweckmaͤßig ſcheinen. §. 2 36. ehen n eine ungerade Zahl. Da die Bogen — 2z, 3 5 2, ꝛ. eine Reihe ausmachen, deren 2 iſt, ſo iſt die Beziehungs⸗Scale dieſer Reihe, weil der Coſinus von 22 = 1 — 2XX iſt, 2 — 4 XX, — I. Folglich iſt ſin. — 2 = — £ ſin. 2 =£ x ſin. 32 = 3X— 413 ſin. 5 2 = 5 « — 20 X3 † 1625 ſin. 72 = 7 5½ – 56 X3 † 1I12X5 — 64 X7 ſin. 9 2 = 9 5 — 120 x 3 † 432 “5* — 576 xX7 F 256r9. und uͤberhaupt n(n n –— I) n(nn-— 1) (nn — 9) ſin. nz = n xX — X3 † – — — X 5* n(Inn — 1) (nn — 9) (nn — 25) 1. 2 . 3 4 . 5. 6 7 wenn n eine ungerade Zahl iſt. Die Wurzeln dieſer Glei⸗ X7 † ꝛc. * chung aber ſind: nne⸗ Gn. Si 2) 5 ün. (22 † 2) ; ſn. ( — 2 4 2) ſin. E † 2);2 ꝛc. und ihre Anzahl iſt — p.⸗ H Eulers Einl. ind,Angld. Unendl. 1. S 8. 237. Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel. . §. 237. Es hat daher die Gleichung 274 1— n(nn — 1)x3 ninn-— I (nn — 9 ? o☛) I –— — — ——. ſin. nz I.2 3. ſin. nz 1.2. 3⸗4.5. ſn. nz 2 n= IXN . 8 .2 — —, (worin das obere Zeichen gilt, wenn n um In. Z 1 kleiner iſt, als das Vielfache von 4, ſonſt aber das un⸗ tere genommen werden muß) die Faktoren 1— —) (1— Ti .D ſin. (— †T 2) lin. t und daraus folgt, einmal, daß n 1 1 ſin. 2 — ſin. (— t⸗ 2) n 1 — — fin. n 2z — k. ſin. S † 2) “ iſt, bis man n Glieder hat. Ferner iſt das Produkt von 2—I — fin. n z allen . W— ſin.2 ſin. E. +† 2, ſin. 17. Gn. E † 2) t. oder Gn. n?z = 7 2n-r Gn. ſin. 42) Gn. † .) ün. G † *) 2c. Und da das vorletzte Glied fehlt, ſo iſt eug 4 = ſin. 2 fin. Tte tin. Grr†n. † 2) † ꝛ.. Erſtes 9Sſ.1 oſin 2˙ d. Fernerih und udlic ſn. 1] Mod a u der W Ndck w Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 275 Erſtes Exempel. Wenn n = 2 3 iſt, ſo hat man daher: = ſin. 2 † ſin. (1200 † 2) † ſin. (2400 † 2) = ſin. 2 1† ſin. (600 — 2) — fſin. (605 † 2) 3 1 21 1 † 1 — fin. 32 ſn. z ſin. (1200 † 2) ſin. (2400 † 2) I 1 1I Kx.= In. Gos 5 ſin. (606 † 2) ſin. 32 = — a ſin. z. ſin. (1200 † zy. ſin. (2400 † 2) = Aſin. 2. ſin. (600 — 2). ſin. (600 † 2). Es iſt daher, wie bereits oben bemerkt worden iſt, ftn. (600 † 2) = ſin. 2 ſin. (600 — 2), und 3 coſec. 32 = coſec. 2 † coſec. (600 —2) — coſec. (600 1 2). Zweytes Exempel. Eett man n = 5, ſo erhaͤlt man: Sſin. 2z † ſin. (E æ † 2) † ſin. Gn1a , ün. &—r* 1 ſin. (§& æ † 2), oder o ſin. 2 † ſin. (?7 †T 2) † ſin. ( æ — 2) — fin. (17 † 2) — ſin. (3 æ — 2), oder 0 = ſin. 2 † ſin. (F 2 — 2) — ſin. (F æ † 2) † ſin. (2 2) — ſin. (2 æ — 2). . Ferner iſt 5 1 1 — 1 En. 52 ſn.2 i Iin. 2 — 2²) In-G 1T 3 1 1 und endlich n. 52 = 16 fn. 7. fr. G —2). ſin. (P T 2). ſin. (27 — ²), ſin. S „. 1 2). 8S 2 Drittes 1 276 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel. Drittes Exempel. Auf dieſe Art wird, wenn man n = 2 m † 1 ſetzt, = ſin. 2z † fin. — — 2) — ſin. (= † 2) — ſin. (2— 2) / n 2 n n n n . m „,m T ſin WRDWW 2) † in. (— F 2²) wo die obern Zeichen gelten, wenn m eine ungerade, und die untern, wenn m eine gerade Zahl iſt. Die andere Glei⸗ chung iſt t alsdann: n 1 1 I EE ——e — ſin. n 2 ſn. ſin. — 2) ſin. † 2) ſin..(— — 2) ſin. (— † 2) fſin. (— —– 2) n n n ane ree — HD — P ſin. S 2) ſn. — 2) ſin. 2) 5 welche ſich bequem auf die Coſecanten arwenden laͤßt. Drittens hat man dieſes Produkt: . “ ſin. nz = 2 2 m ſin. z. ſin. (— — 2). ſin. (— † 2) in. n I 1 ſin. ( — 2). ſin. (22 † 2). ſin. —). ſin. (2— † 2).. “MU! me mmImlhz ü α tn n 2) IIn n 12) §. 238. Es ſey nunmehr n eine gerade Zahl. Da y= V (I – XX) und coſ. 22 = 1 –— 2XX, und alſo die Beziehungs⸗Scale Vor r ſeiht 1n,02 ſn. 22: ſin. 4 2 ſin. 62 ſin. 92 und dberhe ſn? =II 1 wenn n ei n oͤien leyder Geitea (Gn.n1)2 Nder TU nſolcher Podukt an Man au be Kn.n1 rade, id andere Gee⸗ —) der Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 277 der Reihe der Sinus, ſo wie vorhin §. 236.]2 — 14 2X, — I iſt, ſo iſt alsdann ſin. O 2 = O ſin. 2 2 = 2 V (I — XX) ſin. 4 2 = (4 « — 8X3) V (1 — Xx) H ſin. 6 2 = (6 5X — 32 X 3 † 32 X5) V (I — XXx) ſin. 8 2 = (8X — 80X3 † 192 K — 128 X7) Ver— x) und uͤberhaupt nInn — 4) n(n ACn 10 1. 2 . 3 I 2 . 3 : 4 . 5 n (n n –— 4) (nn — 16) nn — 30, M I . 2 . 3 . 4 . 4 .. 6 . 7 7t .a. 2n-I Xn-1) V (1 — XX) wenn n eine jede gerade Zahl bedeutet. ſin. n z = (nx — X5 — K. 239. Um dieſe Gleichung rational zu machen, nehme man auf beyden Seiten die Quadrate. Dann iſt (fin. n 2)2 = nnxX † Px4 † Qx6 . J.— 22n-2 Xz1 oder nn I Zzn-z 2 2n-— 2 Die Wurzeln dieſer Gleichung ſind ſowohl poſitiv als negativ, und alſo folgende: ſin 2; ſin. ( — 2); Eſin. (— †2); n n 7 . E. ſin. — ²); fin. † 2 ꝛc. wenn man uͤberhaupt n ſolcher Ausdruͤcke nimmt. Da nun das letzte Glied das Produkt aus allen dieſen Wurzeln iſt, ſo erhaͤlt man, wenn man auf beyden Seiten die Quadratwurzel auszieht, S fin. n 2 = P 2n-I ſin. 2. ſin. (—— 2). ſin. 2) 7 mn(X. — ).. : H WasSs 278 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel. Was fuͤr ein Zeichen jedesmal genommen werden muͤſſe, muß uͤbrigens die Betrachtung der r einzelnen Faͤlle beſtim⸗ men. Exempel. Setzt man fuͤr n nach und nach die Zahlen 2, 4, 6, ꝛc. und nimmt man dabey n verſchiedene Sinus, ſo wird ſin. 22 = 2 fin. 2. ſin. — 2) fn. 42 =— 8 ſin. 2. ſin. (—— 2). ſin. (— +† 2). ſin. (2 — 2) fin. 62 = 32 ſin. 2. ſin. (— — 2). ſin. (— † 2). ſin. (— — 2) ½ ſin. † 2z) ſin. G — 2) Ein. 8 2 = 128 fin. 2z. ſin. (F — 2). ſin. (5 1 2) 2 Z 2 37Z ſin. (— — 2). ſin. (— † 2). ſin. (— — 2) ſin. (— † 2). ſin. (— — 2). . 8 1 . in. F. 240. Es iſt alſo auch uͦberhaupt Ain. n z = 2n- I ſin. 2. ſin. (— — 2) ſin. G † 2). ſin. = * ſin. 2). fin. E 2). ſin. ( 2) „ ſin. (2 = — 2) wenn n eine gerade Zahl iſt. Vergleicht man aber dieſe Formel mit der obigen, (§. 237], wo n eine ungerade Zahl war: ſo findet man unter beyden eine ſo große Ueberein⸗ ſtimmung, Vlnh. ionung, ſelrher, n ſin. n2 — ẽ non o bie Es Wen ſcher Wigt⸗ hol, ſowoh hielfacher cher Modri G 109) ghet ſin. 2 =I n.21 8 21 ln z18 4 n ſin. 52 nbz den miſe, le heſin⸗ ſo wid n cber diſe ſgermde hhl e lenrein⸗ finmung, Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 279 ſtimmung, daß man ſie in eine zuſammenziehen kann. Es iſt daher, n mag eine gerade ode oder eine ungerade Zahl ſeyn — ſin. (= † 2). ſin. ( — 2) “ H, ſin. ( - 2. ſin. (2 † 2) ꝛc. dis man ſo viel Faktoren hat, als n Einheiten enthaͤlt. §. 241. Es leiſten aber dieſe Ausdruͤcke, worin die Sinus viel⸗ facher Winkel durch Faktoren beſtimmt werden, vielen Vor⸗ theil, ſowohl bey der Erfindung der Logarithmen der Sinus vielfacher Winkel, als auch beym Aufſuchen mehrerer ſol⸗ cher Ausdruͤcke der Sinus durch Faktoren, als wir oben (§. 184) gehabt haben. Es iſt aber ſin. 3z = I ſin. 2z ſin. 22 = 2 fin. 2. ſin. (- — 2) ſin. 32 = 4 fin. 2. ſin. SE ) ſn. W † 2) W 27 ſ. ſi ſin. (— — 2). ſin. (— P 2). fin. (̃ͤ— — 2) in. 42 = 8ſin. 2. ſin. .. l 4 2σ ſin. 52 = 16 ſin. 2. fin. F- 2.Bn. f P2) ſin. (=— —2) ſin. S † 2) Kn. 62 = 32 fin. z. Kn⸗ (5 — 2).fin. (6 1 2). an. S= — 2) KX En. S 2). ſn. G25 — 2) 280 Erſies Buch. Vierzehntes Capitel. S W §. 242. o.² eol. 3 Da ferner H — = = 2 coſ. n2 iſt, ſo laſſen ſich auch col 42 . col. 51 die Coſinus vielfacher Winkel auf eine aͤhnliche Art durch cl d⸗ Faktoren ausdrucken. Es iſt nemlich l7 coſ. 2 = I ſin. (— — 2) nd lben coſ. 2 2 = 2 ſin. (— — 2). ſin. (— † 2) eta 4 4 u⸗ col⸗ 3 2 = 4 ſin. (6 — 2). en.(6 † 2). ſin. = — 2) coſ. 42 = 8 ſin. (— — 2). ſin. ( † 2). ſin. (3 — 2) 1 ſin. (8 F 2)– ct. (40. coſ. 52 = 16 ſin. — — 2). ſin. (= † 2). ſin. („ 2) in m, 10 10 10 ſin. (T PT 2z). ſin. (S — 2) tdr S 10 10 ee und uͤberhaupt ſeeinel fi 2 „ 3v Mangeder coſ. n 2z —2 rſn. (xn). ſin. S † 2). ſin. (— — 2) . 211 An. E . †. 2.. ſin. — — 2) c. He⸗ 4 AAAler di bis man ſo viel Faktoren hat, als n Einheiten enthaͤlt. ſt . ‚we . 243. M muß: u Eben dieſe Ausdruͤcke giebt auch die Betrachtung der esc Coſinus vielfacher Winkel an die Hand. Denn wenn der coſ 2 = y geſetzt wird, ſo iſt . . cof. O z = 1 . P sofſ. 1 2 y . coſ. 2 cch 7 4 - ) 2 n eßit gachung dee. N ol.2 Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 281 coſ. 2 2 = 2 yy — I coſ. 3 2 = 43 — 37 coſ. 4 2 — 8 74 — 8y y † rI coſ. 5 2 = 16y5 — 20y 3 † 5y coſ. 6 2 = 32 y6 — 48 y4 † 18/y — 1 coſ. 7 2 = 64 y7 — 112 y * † 56 3 — 7 y und uͤberhauppt . 11 coſ. n z = 2n-I yh — — 2n - 3 y h - 2 † 3 n (n — n! (n — Dꝛn 5 yn- 4 — 4 L— — äl I 2 I 2 3 nIR— - 2 n-9 yn-8 — ꝛc. 1 2 3 4 coſ. (47* n2) = coſ. (6 — n2²) ꝛe. , ſo ſind die Wur⸗ zeln von y in dieſer Gl eichung: coſ. 2; coſ. (= 2 2); 4 * . . coſ. ( - 4 2); coſ. — 4 2) zc. Wie viel man aber davon jedesmal fuͤr y nehnien muͤſſe? ſolches richtet ſich nach der Menge der Einheiten, die n enthaͤlt. §. 244. Hier faͤllt nun zuvoͤrderſt in die Augen, daß die Summe aller dieſer Wurzeln, den Fall ausgenommen, wenn n = iſt, wegen der Abweſenheit des zweyten Gliedes = ſeyn muß: und es iſt daher 0 = coſ. 2. 1 cof. SS — ) † eoc* T2) coſ. —- 2) coſ. ( † 2) ꝛc. wenn man jedesmal ſo viel Glieder nimmt, als n Einheiten hat. Wenn n n eine gerade Zahl iſt, ſo bietet ſich dieſe Glei⸗ S 5 chung O” . 282 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel. chung von ſelbſt dar, indem jedes Glied von einem an⸗ deren ihm entgegenſtehenden aufgehoben wird. Wir wollen daher bloß die ungeraden Zahlen betrachten, und da iſt, die Einheit ausgeſchloſſen, wegen coſ. v = — coſ. ( — V) 0 = coſ. 2 — — coſ. (— — 2) — coſ. (— † 2) 3 3 O= coſ. z — coſ. “ — 2) — coſ. ( † 2) Fcoſ. (2 -— 2) P 5 5 5 coſ. (2— † 2) 5 9= coſ. — col S —,- coſ. (71 2) rcof ( — 2) † 5 cot 2) — cot r —2) — eol 12 und uͤberhaupt iſt, wenn n eine ungerade Zahl bedeutet, = coſ. 2 –— coſ. (= 2) — coß (2 2) † coſ. (2 — 2) † n n n 2 7 3 W 3 7V oſ. ( — coſ. (— — 2) — coſ. (— c = † 2) 7col. E 2) coſ. ⸗ † 2) † .(T— — 2) — coſ. (2— † 2) — ꝛc. CO 2) cof.( † 2) 2c wenn man immer ſo viel Glieder nimmt, als n Einheiten hat, und n groͤßer als die Einheit iſt, wie ſchon vorhin be⸗ merkt worden. 1 §. 245. Was das Produkt aus allen angefuͤhrten Wurzeln be⸗ trifft, ſo findet man ſolches verſchieden, je nachdem n— eine ungerade oder eine ungerademal gerade oder eine gerademal gerade Zahl iſt. Es ſind aber dieſe ver⸗ ſchiedenen Ausdruͤcke in dem allgemeinen Ausdrucke, den wir 4 . . “ l * N16* zin Ein ol. 22 col. 22 col. 52 nd übert col.nzz wemwe ten enth Nr hon der po das 9 Rorn4 lu Von der Multipl. und Didiſion der Winkel. 283 nen an. H wir §. 2 2. gefunden haben, enthalten, wenn man daſelbſt n u jeden Sinus in den Coſinus verwandelt. Es iſt nemlich AA, . . B coſ. 2 = I coſ. z. V— — . „. „. eo. 22=— 2 coſ. G † 2). cof. D — 2) cof. 32= 4 coſt (⸗ 6 2 † 2). coſ. (. — 2). Cof. z. T . „ coſ. 42 = 8 coſ. + 2). cofſ. S — 2) coſ. S † 2) ☚ι CO1. .— — 2) 8 2 2 cofſ. 52 = 16 coſ. A— † 2). Coſ- ( — 2) coſ. (— † 2) * “ 10 10 10 2 37, coſ. (— — 2) coſ. 2. . (— 1 10 und uͤberhaupt eheut coſ. n 2 = 2n - 1 coſ. ( — „ - 2). coſ. ( (— „ — 2) *W 2 2 U1 2n 1 — 3 n — 3 . 4 coſ. ( — –— = † 2). coſ. — „W½ — 2) ₰ 3 . 2n 21n — r 6 cof. — — 5 † 2). col. a⸗ — 2—2) * coſ. — „ † 2) ꝛc. . 2n Erheten wenn man jedesmal ſo viel Faktoren nimmt, als n Einhei⸗ erhin be⸗ ten enthaͤlt. §. 246. Iſt n eine ungerade Zahl, und laͤßt man die Gl eichung von der Einheit anfangen, ſo iſt ”M ny 8 4 wo das obere Zeichen gilt, wenn n eine ungerade Zahl von i ter Form 4m †1, das untere aber, wenn es eine ungerade , dn Zahl von der Form 4m — I1 iſt. Daher iſt ðDMU;— 284 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel. 1† coſ. 2 coſ. z — I I 1 Ccolſ. 32 coſ. z „W 3 L 3 585 1I I TI k — — = — — — — † ſ. S Colſ. 2 cor z57 verr? coſ. (— — 2) coſ. (— † 2) 5 5 1 1 † — coſ. S - coc S= † 2) und aberhaupt, wenn man n = 2 m 1 ſetzt, emI I 1 coſ. n z coſ. (2 m † 1,) 2 col. (t2) eot (A5— 2) 1 1I . col. = 2) col. (— 2=- ²) — m — 2 m — 2 coſ. (— — †2) coſ. (— — 2) n n— I — —— — ꝛc. coſ. „ † 2) Man muß aber auch hier jedesmal ſo viel Glieder nehmen als n Einheiten hat. §. 247. Da = S ſec. v iſt, ſo laſſen ſich hieraus ſehr merk⸗ wuͤrdige Eigenſchaften der Secanten ableiten. Es iſt nemlich lſlec. 2 ſec. 2 ſec. 32 = ſec. (51 2) .(S— —,— — e G 4 2) ßMV 35 5 ſee. t lee) 7ec. d Rer nſec. Fur coſee Zcoſee. 5toee. der nehmer he nelt⸗ ſt nenig le Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 285 Sſec. 5 2 = ſec. 12) ſec. — 2) — ſec. S 12) — ſec. (52 † ſec. S † 2) 7 ſec. 72 = ſec. 1 2) 1† ſec. M — 2) — ſec. SG 42)— 5 R ſeeC — 2) 1Ke. S † † lee. — 2) — ſec. — † 2) D und uͤberhaupt, wenn man n = 2 m † 1 ſetzt, n ſec. n 2 = ſeo. G Paz) † ſec. 2„ — 2) — ſec. 2„2) — ſec. ., 4 — 2 ſec. = r 2) † ſec. Cr-= -: — ſec. — * † 2) — ſec. „—— 2) 4 ec. ( „ 2) † o „ „ „% „ — ſec. 2. §. 248. Fuͤr die Coſecanten aber erhaͤlt man aus §. 237. coſec. 2 = coſec. 2 3 coſec. 3 2 S coſec. 2 P coſec. S — ²) — coſec. ( 2) 5 coſec. 5 2 S coſec.2 † coſec. S — 2) — coſec. (— †2) — colee. (C= — 2) † colec. (= † 2) 7 coſec. 286 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel. J 4 coſec.2 = coſec. 2 † coſbc. Cx — ²) — coſec. ( † 2) — 7 „. 2 coſec.ſ „ — 2) † coſec. E& 12) † coſec. ( — 2) — coſec (32 † 2) und uͤberhaupt, wenn man n = 2 m † ſetzt, . n. coſec. nZ = colec. 2z ooſtc. S —2) — coſec. — † 2)— coſec. ( —2) ooſec. . 372 32 1 . coſec. (2— — 2) coleb: † 2) — Imnve „ „ cde n ). coſec. ( 2) wo die obern Zeichen gelten, wenmn eine gerade, die untern aber, wenn m eine ungerade Zahl iſt. F. 249. Da, wie wir oben [§. 132.] geſehen haben, Coſ. n + V — I. ſin. n 2 = (coſ. 2 — V — I1. ſin. 2) iſt, ſo iſt Coſ. n 2 = (Coſ. 2 † V — I. fin. 2)n † (coſ. 2 — W— I. ſin. z) a fin. nz = — L fin. Dn — (coſ. 2 — V. — I. ſin. ) l 2 — 1 und alſo tang. n 23 = (Coſ. 2z † — I, ſin. 2) n — (coſ. 2 — V. — I. lin. 2) (Coſ. “ V 1. ſin. z)n V — I F (coſ. 2 — V — I. ſin. 2) n ⸗ V—1 ſin. Setzt man daher tang. 2 = S1 = t, ſo iſt tang. . ing. 1 Mhierar tang. 2 tang.² tang.9 tang. 42 tang.): überh MIn nt - — 1 nIn- 12 — 1. Da alſe tan tang. die Wuzen n aßen ta eglecht wird 40t,2 et, 4 Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 287 v H (— -= (1 † t V – 1) n — (I — t V – 1) n 7 tang. n 2 = .- — — (I†tV — rI) n — 1 † (1 — t V — ) / -T 47 E „» „ „ 191 und hieraus folgt fuͤr die Tangenten vielfacher Winkel tang. Zz = t H s ang. 2 2 — 8 I — tt . 3t — t3 . — Pz NE 4t.— 4t3 x tang. 4 = — 6tt † ta ACt 5§ t — 10 t3 tS 14 * F. tang. * = — 10tt T 514 5t4 rt und uͤberhaupt tang. n 2 = Oß — — 2 n(n-I) (n -— 2) (n — 3) (n — — e nt — n 3 t 3 † nn n es — ꝛe. “ I . 2 . I 2 . 3 . 4 . 5 H Nimm 1 — — † — e P — ꝛc, Da alſo tang. n 2 = tang. ( † n 2) = tang. (2 7 † n 2) = tang. (3 † n 2) ꝛc. iſt, ſo ſind die Werthe vontt, oder die Wurzeln der Gleichung folgende: tang.2; tang. (— †z) ; ini) tang. (22 †+ 2) ꝛr. und ihre Anzahl jedesmal = n. 4 in . 250 Laͤßt man die Gleichung von der Einheit anfangen, ſo iſt n nt n(n —I) tt An. — 2) t 3 -lln?, 0 I —— —— † . Vergleicht man nun die Coefficienten mit den Wurzeln, ſo 1 wird n cot. n 2 = zr v ot. z † cot. (— 2²) †. cot. ( 4 ²) † cot. (— † 2) 1 . cot. 5 2) k.. . . cot. — „W † 2). L Ferner SSõ 4 Erſies Buch. Vierzehntes Capitel. M Ferner iſt die Summe der Quadrate dieſer Cotangenten= zu⸗ ſeot. un — — n; und auf eine aͤhnliche Art laſſen ſich die (ſin. n 2) 2 uͤbrigen Poteſtaͤten beſtimmen. Setzt man aber fuͤr n be⸗ . ſtimmte Zahlen, ſo wird nd über cot. 3z = cot. z ncot. n? 2 cot. 2 2 = cot. z † cot. WD † 2) 2W 3 cot. 3 2 = cot. 2 1 cot. S † 2) † cot. ⸗ † ²) 4 cot. 42 = cot. 2 1 cot. †F 2) † cot. W † 2) t cot. (32 . 2) di won 4 7 2 7 5 cot. 52 = cot. z † cot. (— † 2) † cot. (— † 2) † „ 5 Nuo / . cot. † 2) †† cot. (T-— † 2). utſitn 5 5 teſtedde 2 ungerade F. 251. Dern =2, Weil aber cot. v = — cot. S= — *) it, ſo wird 1— ung J 8.— zn COt. 2 = — cot. 2 3 — 2 cot. 22 = cot. 2 — cot. (— †ꝰ*) 2 nd uͤber 7 „ a.— 3 cot. 3 2 = cot. 2 — cot. (— — 2) † cot. (— † ²) dber, w . 7 went 4 cot. 42 = cot. 2 cot. 2) † cot. S + 2z) — genmnde 275 cot. (— — 2) tan Eiers E genten= ſch die ,füͤr n be⸗ wied Von der Multipl. und Didviſion der Winkel. –— 5 cot. 5 2 = cot. 2 — cot. — 2) † cot. S 2) — cot. S — 2) † cot. S . 2) und uͤberhaupt * n cot. n 2 = cot. z — cot. — 2) † cot. (— † 2) — n A 2 % 4. „27 . 11 d 3 ⁷ . cot. (— — 2) † cot. G (22 2) — n n c. bis man ſo viel Glieder hat, als n Ein nheiten enthaͤlt. §. 252. Nun fange die gefundene Glei ichung von der hoͤchſten Poteſtäͤt an, wo denn zuvoͤrderſt die Faͤlle von einander zu unterſcheiden ſind, wenn n eine gerade, und wenn es eine ungerade Zahl iſt. Es ſey alſo n eine ungerade Zahl, oder n = 2 m † I. Alsdann iſt t — tang. 2 = O t3 — 3 tt. tang. 32 — 3t † tang. 32 = 0 t5 — 5144. tang. 52 — IOt3 † I1ott. tang. 52 † 5t — tang. 5 2 = O und uͤberhaupt tn – n tn- I tang. n 2 — 0 „ + taR. nz = 0, wo das obere Zeichen gilt, wenn m eine gerade, das untere aber, wenn m eine ungerade Zahl iſt. Aus dem Coeffi⸗ cienten des zweyten Gliedes ergiebt ſich alſo. tang. 2 = tang. 2z 3 tang. 32 = tang. 2 † tang. Er) tang E⸗ 4 2) Eilers Einl ind Anal d. Unenol. k.. 5tang. „ 290 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel. 5 tang. 5 2 = tang. 2 † tang. S † 2) † tang. S † 2) † tang. W † 2) † tang. S † 2) d. 253. Da tang. v = — tang. (æ2 — v) iſt, ſo laſſen ſich die Win⸗ kel, die groͤßer ſind als ein rechter, auf ſolche zuruͤckfuͤhren, die kleiner als ein rechter Winkel ſind; und alsdann iſt tang. 2 = tang. z . Y 3 tang. 3 2 = tang. z — tang. G — 2) † tang. ( 7 † 2) 77. tang. 5 7 = tang. 2 — tang. = — 2) T tang. (S †2) — 2¾⅓² 27 tang. (— — 2) † tang. (— † 2) 5 5 „ 7* 7tang. 72 = tang. 2 — tang. S — 2) † tang. (2 †* 2) — tang. SD — 2) † tang. S„ † 2) — rang. rrne (T- 4 2) und! jaͤberhaupt, wenn man n = 2 m † I ſetzt, n tang. nZ = tang. z — tang. - 2 tang. ( r2— tang. 2 2) tang. (— † 2) — 4 g. . re g. 2) ““ Kang. (— — 2) %. „ „ ° %% % — 11 tang. l — 2) Ptan g. —— †2). FK. 254. t Ferner M⸗ 2 ceſte hen fählt vechſelnd ſch iſt tang. 2 tang. 32: Ung.5¹ Und uͤerhe tang.net Faennſe der hoͤchſten tt, 12t. 144tz md iberhan nte⸗r wo das bhere untexe⸗ linge han daher . bledes ſo ſch die Vin⸗ rückühren, 1 N no /— 1) g Cty- 1254 Gliedes, ſo wird, Von der r e Multipl. und Diviſion der Winkel. 291 §. 254. Ferner iſt das Produkt aus allen di ieſen Fangenten = tang. n z, denn die Zweydeutigkeit in Anſehung der Zei⸗ e faͤllt weg, weil die Zahl der negativen Zeichen ab⸗ echſelnd eine gerade und eine ungerade Zahl iſt. Folg⸗ “M iſt tang. 2 = tang. 2 tang. 3 2 = tang. z. tang. SGD — 2). tang. (— † 2) * tang. 52 = tang. 2. tang. (5 — 2). tang. SS †P 2) ℳ tang (SS — 2). tang. S † z) und uͤberhaupt, wenn man n = 2 m † I ſetzt, „T. 7. 2 7 tang. nz = tang. 2. tang⸗ (— — 2). tang. (— † 2) tang. (— — 2) ₰½ n n n 2 7 3 — mæz mæ tang. (†— — 2). tang — † 2). Ferner ſey n eine gerade Zahl, ſo iſt, wenn man von der hoͤchſten Poteſtaͤt anfaͤngt, t t † 2 t. cot. 22 — I = 0 t4 † 4 t3. cot. 42 – 6tt – 4At. cot. 42 † 1 = % und uͤberhaupt, wenn n = 2 m geſetzt wird, tn † nta-I cot. nz .2. 1I = o, wo das obere Zeichen gilt, wenn m eine ungerade, das untere hingegen, wenn m eine gerade Zahl iſt. Vergleicht man daher die Wursein mit dem Coefficienten des zweyten 292 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel. — 2 cot. 2 2 = tang. 2 † tang. W †2) 7. 27 — 4 cot. 42 = tang. 2 T tang. MB †2) † tang. HM † 2) † tang. (22 2) ang. (— † z. 8 4 — 6 cot. 62 = tang. 2 † tang. ( † 2) † tang. ( 51 2) † Hierdu 7 * . tang. S 2) † tang. 2) † des Produn und e i tan (T 4 2) . 6 . 1=ta 20. 97 SIA F. 256. IStang Da tang. V = — tang. (X2 — v) iſt, ſo folgt hieraus 2 cot. 2 2 = – tang. 2 † tang. S — 2) 4 cot. 42 = – tang. 2 tang. (— — 2) — tang. (— T 2) † Der Grund ” . 14 indi 7 tang. (— — 2) ” Wd 2= 2 — Nrorkn 6 cot. 6 2 = – tang. 2z †T tang. — 2) — tang. D † 2) † keln= tang. ( — ,— tang. ( † 2) P† 3 tang. 6 — 2) d de und uͤberhaupt, wenn n = 2 m iſt, ithme ðDMĩ‧ . . Reihe gu n. cot. n Zz = – tang.z T tang. (— — 2) — tang. (— † 2z) † er tang. hierard 7 gCt)1 S— — Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 293 tang. WB — 2) — tang. (— † 2) †. tang. E — 2) — tang. (— 1 2) † mæ „ „½ * † tang. — — 2) S §K. 257. Hierdurch wird nun aber auch hier dien Zweydeutigkeit des Produkts aus allen Wurzeln aus dem Wege geraͤumt, und es iſt daher IS=S tang. z. tang. ( — 2) — 7 7 2. IStang. 2. tang.(4 — 2). tang. †P z3Z). tang. (— –— 2) IS= tang. z. tang. G6 — 2). tang. † 2). tang. –W — 2) * tang. ( D † 2). tang. GS — 2) u. ſ. f †. Der Grund von dieſen Gleichungen faͤl lt beym erſten An⸗ blick in die Augen, indem darin immer je zwey und zwey Winkel einander zum rechten Winkel ergaͤnzen. Da das Produkt aus den Tangenten jeder zweyer von dieſen Win⸗ keln = 1 iſt, ſo muß auch das Produtt aus allen der Ein⸗ heit gleich leyn. 8. 258. Da die Sinus und Coſinus der Winkel, die lin leiner arithmetiſchen Progreſſion fortgehen, eine wiederkehrende Reihe ausmachen, ([§. 129.] ſo kann man nach den im vor⸗ hergehenden Capitel erklaͤrten Regeln die Summe jeder T 3 Menge jeder Anzahl von Sinus, deren Winkel in einer arithmeti⸗ 294 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel. Menge dieſer Sinus und Coſinus finden. Sind die in einer arithmetiſchen Progreſſion fortſchreitenden Winkel , a † b, a † 2 b, a † 3 b, a † 4 b, a T 5 b, ꝛc. und ſoll zuvoͤrderſt die Summe aller ihrer der Zahl nach unendlichen Sinus gefunden werden: ſo ſetze man S in. a kſin. A bo, ſin. renren kante de Reihe, und ihre Be⸗ — 1 in: ſo entſpringt dieſelbe Neuner 1 — 2 2. coſ. b † 22 iſt, Da dieſe Reihe eine wiederkeh ziehungs ⸗ Scale 2 cof. b, aus einem Bruche, deſſen N wenn man 2 = I ſetzt; der Bruch ſelbſt aber iſt = ſin. a † 2z (ſin. (a † b) — 2 ſin. a. coſ. b) 1 — 2 2. Coſ. b T† 2 2Z man daher 2z = 1, ſo wird ſin. a † ſin. (a †† b) — 2 ſin. a coſ. b ſin. a — ſin. (a — b) 2 – 2 cof. d “ 2 (1— coſ. b) . 2 ſin. a. cofſ. b = ſin. ( (a † b) † ſin. (a — b) iſt. Da aber — 1S ſin. f — ſin. 2 =— 2 coſ. —. ſin. — 2 — [K.231.] Setzt weil?2 iſt, ſo wird ſin. a — 2i. 4 a und folglich 4 . coſ.2à — ⅞ b) 5 2 fin. 4 . e 2 K. 259. Hierdurch wird man in den Stand geſetzt, die Summe ſchen Progreſſion ſtehen, anzugeben. Soll nemlich die Summe der Reihe ſin. a † ſin. (a † b) † ſin. a 1 2 b) ſin. (a † 3 b) † .. .. . †. ſin. (a † n b) gefunden werden, ſo ſuche man, da die Summe dieſer Reihe, wenn 2 coſ. (a — 2¾ b). ſin. 2 b, und 1— coſ. b = Por. wan 6,die S ler die G diees geſche hergehender t Re 8=II ſo wird . 3—- ſi — — — Auf eine ls inmnt, 8Stl. Ohbde, e S da nun 2 wird cot. — — Uun iſ abe . d die in ahl nech b. id ihre Be ngt Dieſebe Ii InI —coK.) Da aber 1 „* . = hore uln. 4* 1— ℳ b NCumme , Kitheneti-⸗ enlich die 113 ht“ wenn 3 Von der Multipl. und Diviſion der Winkel. 295 wenn man ſie ohne Ende fortgehen laͤßt = QA ca 5 2 fſin. 2 b iſt, die Summe der Glieder, die auf ſin. (a † n b) folgen, oder die Summe von V ſin. (a † (n †I) b) † ſin. (a † (n †2) b) †. fin. (a † (n †3) b) † ꝛc. coſ. (a † (n † ) b) 2 ſin. 2£ b dieſes geſchehen, die zuletzt gefundene Summe von der vor⸗ hergehenden ab, ſo bleibt die geſachte. Summe. uͤbrig. Iſt nemlich §s = fſin. a † ſin. (a † b) † ſin. Gtab.e n. (a Tnb) ſo wird —coſ. (a — 4 b) — — cof. (a † cn 4 ½) b) 2 fin. 2 b . ſin. (a † n b) ſin. Z½ (n † 1) b — ſin. % h 4 welche = ſeyn wird. Zieht man, wenn §. 260. Auf eine aͤhnliche Art erhaͤlt man, wenn man die Coſis nus nimmt, und §s = coſ. a † coſ. (a f' b) † coſ. Ei 2 b coſ. (a P 3 b) T 2c. ohne Ende, ſetzt co. a +† 2 (coſ. (a † b) — 2 coſ- a. coſ. b). v2 = I. I – 2 z. Ccoſ. b † 22 fu * — Da nun 2 coſ. a. coſ. b = coſ. (a — b) † coſ. (a † b) iſt, ſo wird coſ. a — coſ. (a — b) 2 (I — colſ. b) f — f Nun iſt aber col c cof g = 2 fſin. As. ſin. ——; 2 folglich = colſ. — col (— )e — lin⸗ (a — 1 b). fin. b; 4 und — 296 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel. und da uͤberdies 1 — coſ. b = 2 (ſin. ½ b)2 iſt, ſo wird dadurch ſin. (a — £ b) — — —— 2 ſin. „X b ’„ Ferner iſt auf eine aͤhnliche Art die Summe der Reihe coſ. a † n † b coſ. (a (n † 2) b coſ. Qif n † 3) b) † ꝛc. ſin. „b = — . (a a 1b⸗ und zieht man daher dieſe Sum⸗ me von jener ab, ſo bleibt die Summe dieſer Reihe S = coſ. a † coſ. (a † b) cO. † 2 b) † k... i cof. (a † nb) übrig, und es iſt daher = ſn. (a — * P) †. ſin. (aà †. (n † 13) b) 2 fin. 2£ b — coſ. (a T à n b. ſin. g (n † 1) b ſin. £ b. §. 26 1. Es laſſen ſich aus den vorhergehenden Saͤtzen noch ſehr viel andere Fragen, die Sinus und die Tangenten betref⸗ fend, beantworten; z. B. wie man die Quadrate, und die hoͤhern Poteſtaͤten der Sinus und der Tangenten ſummiret. Da man aber dieſe Antworten aus den uͤbrigen Coefficienten der obigen Gleichungen auf eine aͤhnliche Art ableitet, ſo wollen wir uns dabey nicht aufhalten. Man muß indeß in Ruͤckſi icht auf dieſe letztern Summationen bemerken, daß man eine j jede Poteſtaͤt der Sinus und Coſinus durch die einzeln Sinus und Coſinus ausdrucken kann; und davon ſoll nun noch kuͤrzlich geredet werden. Man nehme alſo aus den oben (5. 130)] angefuͤhrten folgende Saͤtze zu Huͤlfe: 2 ſin. Das Geſe —,— S = .. ł H Poreſtdw⸗ ten des Hond ge ufei Plteſtate Coſ. 2 (cof. ſ wird dieſe Gun⸗ ihe ute, d N , ſummiret. eficientan ablera, oich inei ken MN nn 5 0e tienn Al. * Von der Multigl und Diviſit on der Winkel. 297 2 ſin. a. ſin. 2 = coſ. (a — 2) — coſ. (a † 2) 2 coſ. a. ſin. 3z = ſin. (a † 2) – fſin. (a –— 2) 2 ſin. a. coſ. 2 = ſin. (a † 2) † ſin. (a — 2) 2 coſ. a. coſ. z = coſ. (a — 2) † coſ. (a † 2) Hieraus findet man zudvoͤrderſt [S. §. 130. Anmerkel fuͦr die Poteſtaͤten der Sinus ſin. z = ſin. z 2 (ſin. 2)2 = I — coſ. 22 4 (ſin. 2)3 = 3 fin. 2 — fſin. 32 8 (ſin. 2) 4 =– 3 — 4 coſ. 22 † coſ. 4 2Z 16 (ſin. 2) 5 = I10 ſin. z — 5 ſin. 3 2 † ſin. 52 32 (ſin. 2)5 = 10 — I coſ. 22 † 6 coſ. 42 — coſ. 62 64 (ſin. 2)7 = 33 ſin. 2 — 21 ſin. 32 T 7 ſin. 52 — ſin. 72 128 Gr. e 35 — 56 coſ. 22 † 28 col. 32— cof. 62 † coſ. 8 2z 256 (ſin. z, 9 = 126 ſin. z — 84 fſin. 32 † 36 fin. 5 2 — 9 ſin. 72 † ſin. 9 2 ꝛc. Das Geſetz, nach welchem hier die Cocfficienten auf ein⸗ ander folgen, laͤßt ſich aus den Coefficienten einer zu einer Poteſtaͤt erhobenen Binomiums erkennen, nur muß dabey bemerkt werden, daß die abſolute Zahl bey den geraden Poteſtaͤten nur die Haͤlfte von der iſt, welche die Coefficien⸗ ten des zu eben der Poteſtaͤt erhobenen Binomiums an die Hand geben. .. 263. Auf eine ahnliche Art [S. §. 130. Anmerk.] werden die Poteſtaͤten der Coſinus beſt ſtimmt. Es iſt nemlich coſ. z? = coſ.- 2 2 (coſ. 2) 2 = I † coſ. 22 298 Erſtes Buch. Vierzehntes Capitel ꝛc. 4 (coſ. 2) 3 = 3 coſ 2z † coſ. 32 8 (coſ. 2) 4 = 3 † 4 coſ. 22 † coſ. 42 16 (coſ. 2) 5 = 10 coſ. z † 5 coſ. 32 † coſ. 52 32 (coſ. 2) 6 = 10 † I5 coſ. 22 † 6 coſ. 42 † coſ. 6z 64 (coſ. 2) 7 = 35 coſ. 2 † 21 coſ. 32 † 6 coſ. 52 † coſ. 7 2 e. Was das Geſetz betrifft, nach welchem hier die Coefficien⸗ ten auf einander folgen, ſo gilt davon eben das, was da⸗ von vorhin bey den Sinus angemerkt worden iſt. Funf⸗ Von der Ve⸗ don folg⸗ . 4 deren A ſteſt, ur leſer Hufi 1142 hatt ſo der gohen. A dSN CSd D E ron dieſe als aleen den Jahle Wen 52 col71 Coeff⸗ pas do⸗ Nnf⸗ Funfz ehntes Capitel. Von den Reihen, welche aus der Entwickelung der Faktoren entſprinnen. §. 264. Wenn ein Produkt gegeben iſt, welches auch Faktoren von folgender Form (I. † æ2) (TI † 8z) (I † 72) (1 † 52) ( †P s2) (I † 62) 20. deren Anzahl uͤbrigens endlich oder unendlich ſeyn mag, be⸗ ſteht, und man dafuͤr durch die wirkliche Multiplication dieſer Faktoren die Reihe I † AZ T Bz2 † CzZ3 † Dza † E z5 † F 26 P ꝛc. erhaͤlt: ſo iſt bekannt, daß die Coeffieienten auf die Art aus den Zahlen , , 7, 9, e, ꝛc. erwachſen, daß A=α † β P†. † ⁹ †* † † ꝛc. = der Summe aller dieſer Zahlen einzeln genommen, B = der Summe der Produkte aus je zwey und zweyen, = der Summe der Produkte aus je drey und dreyen, D = der Summe der Produkte aus je vier und vieren, E = der Summe der Produkte aus je fuͤnf und fuͤnfen von dieſen Zahlen, ꝛc. iſt, bis daß man zu dem Produkte aus allen gekommen iſt. Man darf aber hierbey keine von den Zahlen «, g, 2, d., 2, ꝛc. mit ſich ſelbſt verbinden. §K. 265. Wenn alſo 2z = 1 geſetzt wird, ſo iſt das Produkt (1 4† a)er 1 6⁶) (1 † 2) (1 T ⁹) (1 † ³) ze. “ gleich 300 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel. gleich der Einheit nebſt der Reihe aller der Zahlen, die ſich aus a, 8, 7., ⁹, s, 2c. ergeben, wenn man dieſ ſelben theils ein⸗ zeln nimmt, theils zwey oder mehrere von einander ver⸗ ſchiedene von denſelben mit einander multiplicirt. Ergiebt ſich dabey eine und dieſelbe Zahl auf zwey oder mehrere Arten, ſo muß dieſelbe auch zwey oder mehrmal in der ge⸗ dachten Reihe enthalten ſeyn. §. 266. Eetz man 2 = — 1 ſo iſt das Produkt (r. — “²) (1 — ⁸) ( — 7) (I — ⁹) (1 — *) ꝛc. wieder gleich der Einheit nebſt der Reihe aller der Zah⸗ len, die ch aus , g, 7, d, s, c. ergeben, wenn man dieſel⸗ ben theils einzeln nimmt, theils zwey oder mehrere von ein⸗ ander verſchiedene von ihnen mit einander multiplieirt, doch mit der Veraͤnderung, daß alle Produkte aus drey, fuͤnf oder jeder ungeraden Menge dieſer Zahlen als nega⸗ tive, die Produkte aber aus zwey, oder vier oder jeder ge⸗ raden Menge von ihnen alſo poſitioe Zahlen betrachtet wer⸗ Dden muͤſſen. §. 267. Setzt man fuͤr , S, 7, , ꝛc. alle Prim⸗Zahlen, 2, 3, 5, 7, I1, 13, ꝛc. ſo iſt das Produkt (I † 2) (I T† 30 (T † s) (I T 7) (I F II) (r † 13) c. = P gleich der Einheit nebſt der Reihe aller Zahlen, die entwe⸗ der ſelbſt Prim⸗Zahlen ſind, oder aus verſchiedenen Prim⸗ Zahlen durch die Multiplication entſtehen. Es iſt alſo P= I T 2 P 3 † 5 F6 † 7 † 10 † 11 † 13 † 14 15 P†47 Fac. welches eine Reihe iſt, worinn alle natuͤrliche Zahlen, die Poteſtaͤten, und diejenigen Zahlen, welche durch Poteſtaͤe ten theil bar ſind, ausgenommen, vorkommen. Es fehlen . nem⸗ Wer ſegotid DKI Reſett wwit R ſich heils in⸗ der bet: Ergiebt mehrere, NM ere von eil⸗ ultiplcitt, V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 301 nemlich die Zahlen 4, 8, 9, 12, 16, 18 tc. weil ſie entweder Poteſtaͤten ſind, wie 4, 8, 9, 16, ꝛc. oder durch Poteſtaͤten getheilt werden koͤnnen, wie 12, 18 ꝛc. §. 268. Auf eben die Art wird es ſich verhalten, wenn man fuͤr ℳ, 8, 7, , ꝛc. die Poteſtaͤten der Prim⸗ Zahlen von irgend ei⸗ nem Grade lecr⸗ Macht man nem ie⸗ P= (I † ( 1 000 14 ) (1 (II ꝛc. ſo wird, wenn man 3irflich multioleir,, I I I I P= IPzr 1 f zn SSE 1 tr — f ꝛc. und in dieſen Bruͤchen kommen alle Zahlen vor, diejenigen ausgenommen, welche entweder ſelbſt Poteſtaͤten, oder durch Poteſtaͤten theilbar ſind. Denn da alle ganze Zahlen ent⸗ weder Prim⸗Zahlen, oder aus dergleichen durch die Multi⸗ plication zuſammengeſetzte Zahlen ſind, ſo fallen hier bloß diejenigen aus, bey deren Zuſammenſetzung eine und die⸗ ſelbe Zahl zwey⸗ oder mehrmal genommen wird. §. 269. . Wenn die Zahlen «, e, 7, d, ꝛc. ſo wie vorhin (§. 266.] negativ genommen, und alſo =CI — 2) (1 — (1 ) — r — —) . TI geſetzt wird; ſo iſt b =— 1 1 1 1 1 1 — Z2n 31 gn On 7 IOn IIn 13 † 15* und Sðõ 302 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel. und denen, die durch Poteſtaͤten theilbar ſind, vorkommen. Aber alle die zuſammengeſetzten Zahlen, die aus drey, fuͤnf, oder jeder ungeraden Menge von Prim Zahlen entſtanden ſind, haben das Zeichen — vor ſich; ſo wie hingegen vor denen, welche aus zwey oder vier oder ſechs oder jeder andern geraden Menge von Prim⸗Zahlen entſprungen ſind, das Zei⸗ chen † ſteht. So kommt z. B. in dieſer Reihe das Glied 361 vor, weil 30 = 2. 3. 5 iſt, und alſo keine Poteſtaͤt in ſich enthaͤlt; dieſes Glied hat das Zeichen — vor ſich, weil 30 ein Produkt aus drey Prim⸗Zahlen iſt. Nimmt man nunmehr den Ausdruck I H 2) (1 — S2) (I — 72) (1 — ⁹°2) (1 — 52 ꝛc. und druckt man Reihe, welche man daraus, wenn man wirklich dividirt, erhaͤlt, auf folgende Art aus: I T AzZz T Bzza † Cz3 T DzZ4 T† E zZ“ † E zZ6 † ꝛc. ſo iſt bekannt, daß die Coefficienten A, B, C, D, E ꝛzc. auf die Art aus den Zahlen «, 2, , 9, ⸗, ꝛc. en tſtehen, daß A = der Summe aller dieſer Zahlen einzeln genommen B = der Summe aller Produkte aus je zwey und zweyen C= der Summe aller Produkte aus je drey und dreyen D = der Summe aller Produkte aus je vier und vieren von ihnen ꝛc. iſt, doch ſo, daß dabey jede auch ſo oft als mMoͤglich mit ſich ſelbſt verbunden wird. §. 271. Setzt 1 man 2 = 1, ſo wird der Ausdruck I —— (1— 1 — à (I — 5) t. der Einheit nebſt der Relbe aller der Zahlen gleich, die aus dieſen V5 ihen ⸗,3 M 6 dern un gimm Nt ſich al⸗ dadurch, ander mun enthalt nen Cuf irgeod die Molti⸗ wo cle aus d len oder al (.— 2 wo keinean mzuuſan Getzt n ile einze kommen, rih, fünf, ſegen bor aandern das Gid Poteſat in ſch, deil — 11 6 , E:e 1, M motmmen ndzweyen und deyen Und vinnn s diean Nin V. d. Reihen die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 303 dieſen «, 6, 7 ⁹, s, O, ꝛc. entſtehen, wenn man dieſelben theils einzeln nimmt, theils zwey oder mehrere mit einan⸗ der multiplicirt, ſo daß man dabey auch jede mehr als ein⸗ mal nimmt oder mit ſich ſelbſt verbindet. Es unterſchei⸗ det ſich alſo die Reihe, die man hier erhaͤlt, von der H. 265. dadurch, daß bey jener nur verſchiedene Faktoren mit ein⸗ ander multiplicirt werden durften, bey dieſer aber ein und derſelbe Faktor zwey und mehrmal vorkommen kann. Es enthaͤlt nemlich die gegenwaͤrtige Reihe alle Zahlen, die auf irgend eine Art aus den Zahlen a, 8, 7, , 5 2c. durch die Multiplication hervorgebracht werden koͤnnen. Es iſt daher die Anzahl der Glieder dieſer Reihe alle⸗ zeit eine unendliche Zahl, die Menge der Faktoren mag endlich oder unendlich ſeyn. Se iſt B. I .I I 1I EAft1 St s t e 1 — — 2 1 wo alle aus der 2 durch die Multiplication entſtehende Zah⸗ len, oder alle Poteſtaͤten der 2 vorkommen. Ferner iſt D 1 I I I 1 1I = I † — † — † — † – † — † — – † 2 13 1+16 SI 5 I 1 I — — ) (I — — a YU 1 1 I Z I5 1781 wo keine andere Zahlen vorkommen, als ſolche, welche aus 2 und 3 zuſammengeſetzt, oder nur durch 2 oder3 theilbar ſind. §. 273. Setzt man daher fuͤr «, 6, 7, o, ꝛc. die Einheit, durch alle einzelne Prim⸗Zahlen dividirt, oder P = 304 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel. 1 — H (1— D)(I — )(I — )(1 — 7) (1 — r15) ic. ſo wird P=I f2 T111. 5 5 ir 15 e. ſo daß hier ſowohl ale Prim⸗Sahlen, als alle aus inen zu⸗ ſammengeſetzte Zahlen vorkommen. Da aber jede ganze 2 P= Zahl entweder eine Prim⸗Zahl iſt, oder aus den Prim⸗Zahlen durch die Multiplication hervorgebracht wird, ſo iſt offen⸗ bar, daß hier alle ganze Zahl en ohne Ausnahme vorkom⸗ men muͤſſen. “ §. 274. Eben das findet ſtatt, wenn man die Poteſtaͤten der Prim⸗Zahlen von irgend einem Grad enimmt. Denn ſetztman 4 I P= . 1 1 1 1I . — (r- ) (1— ATI — 2) (H1 — — t. 2¹ Zn. Sn 71 1IIn ſ⸗ wird — wo alle natuͤrliche Zahlen ohne Ausnahme vorkommen. Hiebt man aber den Faktoren allen halben das Zeichen t, ſo daß P=-: . . iſt: ſo wird I 1I I I II. 1 P=I— — — f — I ½E —I —ILEI L— . 21 Zn. 4 Sn 62 71 l 919 1010 Hier haben die Prim⸗Zahlen das Zeichen — vor ſich; ferner ſind die Produkte aus zwey einander gleichen oder ver⸗ ſchiedenlen Prim⸗Zahlen mit dem Zeichen 1 verſehen, und H eben V er des en, dl mden, e⸗ ſie unger hraucht w. 2. 2 2. 2.5 in 27oen Wenn ſonge dieſ wen Nei - d CQS(- ſbeſt 1eIf. t⸗ Eleragk p ſoN ſinzm ,. Prin⸗Yohlen 0 iſt offen⸗ ns parkam⸗ vorkommn. 13 Rchen , 1 1 * — , 1. ehen, ben . V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 305 eben das findet allemal ſtatt, wenn die Menge der Prim⸗ Zahlen, durch deren Multiplication irgend ein Glied ent⸗ ſtanden, eine gerade Zahl iſt; iſt hingegen dieſe Menge eine ungerade Zahl, ſo muß das Zeichen — wieder ge⸗ braucht werden. So hat das Glied 5 weil 240 = 2. 2. 2. 2. 3. 5 iſt, das Zeichen †. Der Grund hiervon liegt im 270ſten §, wenn man 2 = — I ſetzt. Wenn man dieſes mit dem Vorhergehenden [ſim An⸗ fange dieſes Capitels] vergleicht, ſo erhaͤlt man dadurch zwey Reihen, deren Produkt = I iſt. Es ſey nemlich 1 P = — I I I I I 1— —,) (I – = 1— — 1 — – — — und = (r — ) (1 — 2) (.— 5 — D — u)re. ſo iſt I P= I — — — — — — * †. 219 1 41 1 † n 5 1† Ge † c und 21 31 51 En 7 IOn 1 In [§. 26] und es faltt dabey in die Augen, daß P Q1 iſt. §. 276. Setzt man hingegen I D. = — — ł 1 J I 4. ₰ rn) (1 † 5 (1I † ⸗ 17 † r ꝛic. Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. I. D. U CQ= 306 Eiſtes Buch Funf zehntes Cinidl l 1)r1 ꝛ. 5 n. 71 o=rI † c 2n zn zn on zn TIon. III und es iſt auch hier P Q = 1. Kennt man daher die Sum⸗ me der einen Reihe, ſo kann man auch die Summe der an⸗ dern finden. S . §9. 277. Umgekehrt kann man aus den bekannten Summen die⸗ ſer Reihen die Werthe der ohne Ende fortlaufenden Fak⸗ koren beſtimmen. Denn ſetzt man N= = 3 1 ⸗ 1† 4R— 5 † ꝛc. ſo iſt — — und a - K W . N = 1 . — )01 — er⸗ C= ) 1. Dieraus ergie⸗ ſich uis die Diviſon und daraus findet man MM 21 I3n T I Sn † I 7n † I IIn E I XN 229 — T 31 — 1 Sn — I 7 — 1 11 — 1 * Sind 6 Ei dun uthedi s anch d —I- MI und daran ndere he ummen die⸗ ſfenden ſt⸗ und V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 307 Sind daher M und N bekannt, ſo kann man einmal die Werthe dieſer Produkte finden, und dann erhaͤlt man dar⸗ aus auch die Summen folgender Reihen 1 1 1 1 I 1 1I r M1— — in en en n eon in e, 3 S 4 10 I1 1 1 1 I „ 1 1 „ 1I 1 „ . 5 6 —7/211 1O'n ILen M 1 I 1I A. 11 I IT I TI f L f 1 — r. N n 319 Sn 6Gn f Iocon LIn N I 1 I T † I I 1I— T — I—— — — — — — — — — — — N „II 319 41 Hl 6n 11 8¹² 1 9 I 101 und daraus laſſen ſich vermittelſt der Combination ſehr viele andere herleiten. Erſtes Exen ipel. Es ſey n = I. Da nun, wie wir oben bewieſen ha⸗ 1 X2 X3 X . ben, 1 1 3 1— 14 — † c. iſt, 5 e I .B ſo erhaͤlt man, wenn man X = I ſetzt, = 10O0 =— I 1 † — 1 † 7 † ꝛc. Aber der Logarithme einer mendlich goz zen Zahl iſt ſelbſt unenendl lich groß, und folg⸗ lich iſt 1 r 1 I 1 1 M = I † — † — † — † — † – † — † ꝛc. = £◻⏑ *2 1 3 4 5 67 I I Da nun hierdurch — R = – = o wird, ſe iſt I 1 1I „ I 1I 1I1 I — — — — — ——11 r 2 3 5 96 7 10 11 13 TI 1I — †+ — . 14 15 308 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel. Ferner hat man hieraus 1 . (1— 5) (1 — 1) (1 3) 1 . und dieſes giebt M = 0°0°π= . II 13 17 109 2 3 5 7 „ — —. —, —, — . * .—— (c. I 2 4 6 10 12 16 18 1 2 4 6 10 12 16 18 — — - - — .⸗— 26. 2 3 5 7 I11 13 17 19 Hiernaͤchſt iſt nach den oben [F. 167. f.] erklaͤrten n Regeln von der Summation der reihen⸗ I 77 — 1 † — † — T — † — † — † — — 12: 1 z 1 1 5 2 1 7 2 † 7: kK. = und daraus fließen folgende Eunmen “ 6 — 1I I 1 1 1, I I 7½ 22 32 52 62 72 102 I12 * 1 I 1 1 1I 1 0◻= I † — — — — — — — L 17 13 7 1 7 12 t 16 1 11 * 1 I 1I I 1 1I 1 1 „% = — —- — — T — — T —- — — — — — 2 3 1 4 5 6 7 8 9 „ 1I 1 Endlich erhaͤlt n man fuͤr die Faktoren 22 32 32 72 112 — —. — . rc. oder 6 22—1 32 —1 52 — 1 72—II12—I1 2 = 4 2 25 49 121 169, “ 8 24 48˙ 120 168 r — = o iſt, ſo iſt ferner V 8 12 14 18 290 7 n 13 17 19 2. II 13 17 8 12 12* 14 18 20 00 — —c. „ desgeichen In dieſen die Zuhle dirt man ſo geben! 13, I7, 1 Dann ſi Rkannt 77 V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 309 3. 4. *⁶ K§. 12 14 18 20 1 . 2 4 6 10 12 16 18 1/ I 2 3 5 6 8 9 — —. —, — , — —. —. — — . 3 2 3 4 6 7 9 10 In dieſen Bruͤchen ſind, wenn man den erſten ausnimmt, die Zaͤhler allenthalben um 1 kleiner als die Nenner: ad⸗ dirt man aber den Zaͤhler und Nenner eines jeden Bruchs, ſo geben dieſe Summen die Prim⸗Zahlen 3, 5, 7, 1II, 13, 17, 19 ꝛc. Zweytes Exempel. Setzt man n = 2, ſo iſt aus §. 167. 11† 111 DrI zr⸗= M=I Ä– T† — † — † - † – † — † . = –— 222 32 42 52 62 72 1 6 1 1 rI 1 1 1 7 4 N=IT –— — — — — † — †. 20. — — 21 1 33 1 54 f 63 t 721 90 Hieraus laſſen ſich zuvoͤrderſt folgende Reihen ſummiren 66 1 I I I I 1 — = 1— — — — , 4 ==- — ic. „ 22 32 52 62 72 102 2 0 1 1 I 1 I 1 22— 1 rE 1 — — r. * 4 24 34 54 64 „4 * 104 114 5 I 1 17 1 1 1 — = 1 † — † — † — † — † — † – † — + ꝛc.x 2 122 t 52 52 6 1 72 l o⸗ 112 727 1 1 1 1 1 1 1 '1 15 22 32 42 52 62 72 82 92 I 1 102 Dann ſind daraus auch die Werthe folgender Produkte bekannt M zx7J 22 32 2 22 II2 . 6 22—1 32—1 52 — 1 72—–1 II12 — 1 *4 24 34 54 74, 114 90 24—1 34—1 54—1 74—1 114—1 u „ 310 Erſtes Buch. Funſzehntes Capitel. 15 =– — I. 37 11. & 11.2 I. I. ꝛc. oder 71 22 3 * 5 77 IIZ= 2r. 4 9 25 40 121 169 15–5 10' 26 50 122 170. desgleichen 2 2 2 –. 2 = 1.3 U. — . 22 . . e. oder 72 — I 112— O n 3 4 12 24½ 60 84 5 13 25 61 86 — — —. —. —. :(. . 2 4 12 24 60 84 IJn dieſen Braͤ hen ſind d ie Zaͤß hler allenthalben um rgroͤßer als die Renner, beyde aber zu einander addirt geben die Muadrat e der Primn⸗ Jahlen 32, 52, 72, I12, ꝛc. Drittes Exempel. Da wir nach dem Obigen den Werth von M bloß dann angeb en koͤnnen, wenn n ein gerade e Zahl iſt, ſo ſey nun⸗ mehr 9 = 4. Alsdann iſt J I TL . 7„ 81 † 2. 1 r. f . = T8. N = I † –— — 35 † = † ꝛc. = — 12 5 68⁸ 945⁵0 Darnach laſſen ſa zabbedtt ſol gende Reihen ſummiren 1I .I 1 1I X 2 4 2 4½ 3 34 64 74 104 II4 JI . I 1 ,„ I 1I 5 28 38 58 68 78 I108 I1I8 105 J 1 1I —ꝑ — I — ſ. — * —= — † — — c. . 4 1 24 1 34 54 604 74 104 114 4 1 — I r — — — I 1 . —. — rL 2c. 105 24% 24 44⁴ 54 64¾ 74 8 % 94 Rion Nan. Der und a men nien IMN= 74 — 90 58 - — — 94, ſumminn — — 6 V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 311 Hiernaͤchſt findet man auch die Werthe folgender Produkte 74 24 34 54 74 I14 — —. — „ 20. 90 — 24—1 34—1 54— 1 74—1 11 * — I 7„. 8 2 8 3 8 58 78 11 8 = — —. . 9450 28—1 38—1 5 8— 1 78—1 I1,8 — I 105 = 34 †I PI 54 † I 72†I 114 † I —. — — AN —„ 9* 20 c. und . 4— 24 34 54 74 1II 7 24 f I 34 11 54 † 1 74 † I I1I 4 † I ze. ode — —. —. — — 2. OD 6 24— 1 34—1 54—1 74—1 114—1 r 2 35 — 41. 213 1201 7321 ꝛc, P 34 40 312 1200 7320 In dieſen Bruͤchen ſind die Za=ͤhler allenthalb en um 1 groͤßer als die Nenner, beyde aber zu einander addirt geben die Biquadrate der ungeraden Prim⸗Zahlen, 3, 5, 7, II, 2c. K. 27989.õ Da wir hier d die Summe der Reihe M= I† 1 F S † ꝛc. auf Faktoren gebracht haben, ſo ſetzt uns dieſes i in den Stand, unſere Betrachtung auf die Logarithmen auszudeh⸗ nen. Denn da 1 M = — V — t . t — In d⸗ iſt, ſo hat man daher 1 — — — 1 1— 2) — 1 17 1 i — .. 1M = - I1 ( 72 und es iſt folglich, wenn man die hnperdoliſchen Logarith⸗ men nimmt, 1M= † 1 12 1 1 312 7 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel. 1 = . k rsdRi † — — — — 1 r6 24 1 1 74n 1 1n) ec. Setzt man nun auherden N 1 222 1† = † z5 † 1g 4 c. ſo daß 1I N = — — — (1—– –—K1— — V1 ʒ—ð . — C 32n01 5n0 Rza t. wird: ſo iſt, wenn man wieder die hyperbol iſchen Logarith⸗ men braucht, IN = = CSE. . r rr 1 ꝛc.) 1C 1 . t) 1 Ge= es 1 ger 17 1 r .) tisr t & T l t ) Aus dieſen beyden Beſtimmungen aber folgt 1M=— * 1N = S PC.1* I T n t zr tzntzn ni c) 1 5 1i nrr 3 712 Srigrrzer. nst c.) 2c. §. 279. Da ober ſich, ſond foch ⸗ Nr erſten geſ ſon; Kuinger as i x ſo i⸗ — 1 —— Ulan apͤch Sõ V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 313 Setzt man n = 1, ſo wird M= I †TTIYic. S= 1 ◻◻, ([5§. 277. erſt. Ex] und N = . Folglich iſt r† 1 „ I 1 1 1 1. 1 00 — 4 1 — = † 1 (— † = F – T = r — 313 11 c I r T 7„ II t .) „1 1I 1I „ 1 I 1 S F P 5 173 T5 t. 1 1 1I I I I I I I I 7 22 1 1, 117 † ꝛc.) Da aber dieſe Reihen, außer der erſten, nicht nur jede fuͤr ſich, ſondern auch zuſammengenommen, eine endliche und noch dazu ſehr kleine Summe geben: ſo muß die Summe der erſten Reihe ¾ † 4½ † ½ † *½ † rr † c. unendlich groß ſeyn; ſie iſt nemlich um eine hinlaͤnglich kleine Groͤße geringer als der hyperboliſche Logarithme der Reihe 1 † ¾ T1TZTZT YT ꝛc. §. 280. . x 4 Setzt man n = 2, ſo iſt M = — und N = Folglich wird 1 1 1 1 317 — 16 = F 1 (=2 1 52 l 52 172 † △ — P tt.) II2 I I 1 „I 1 1 46 † 5 5 1 76 1 1 ie.) e. uU 5 4 zr4 Erſtes Buch. urftehnte⸗ Capitel. I als — 190 = f 101 12 12 1 1 ., ..)) At: At St getr 8 118 1 1 3 t 512 1 I i) 2ꝛc. 1 1 I I11= † I (— † — † — † — † — † 2 „ 1 2 1 32 52 122 † 112 c.) iGerS r E11 3 d26 36 5 76 1 6 † tc.) I 7 14 G, z18 1 1 1 1170 1† e.) 20. §. 281. Obgleich das Geſetz, nach welchem die Prim⸗ Zahlen ſorſſoreten nicht bekannt iſt, ſo laſſen ſich doch die Sum⸗ en der hoͤhern Poteſtaͤten dieſer Reihen ohne Schwierig⸗ reit naherungsweiſt beſtimmen. Denn iſt † ꝛc. und U S S Hr r 21 3¹ ſo iſt “ I I 1 T I 5= M — 1— — = n 6 . und da M 1 1I I I T . 2 — n i — F n &n † r 1. n 1 c. ſo wird und de AId-= ſ,ſvit Da alſo ) von ſehr Einde o lann ma nen der ni fgende S 141 1 4 Wd R in⸗ Zahlen „ / 4 Sawierig Wd V.d. Reihen, die aus der Entmigelder Fakt. entſpr. 3 15 M = u — X - 1 7 oder = (M— 1) (1 — und da 1 M. .— — = iſt, ſo wird ⁸=(A— nd - — Dt I I 1 92 I59 21 1 1 1 ð — — — — e. 2 On 15² 219 25 t Stiy n i 3³ 151¹ 21*9 35 z5 279 Da alſo M bekannt iſt, ſo findet man hiernach den Werth von S ſehr leicht, wenn n eine nur einigermaßen große Zahl iſt. Eind aber die Summen der höhern Poteſtöten bekannt, §. 282. ſo kann man aus den gefundenen Formeln auch die Sum⸗ men der niedern Poteſtaͤten beſtimmen. Auf dieſe Art ſind folgende Zrmme⸗ der Reihe 1 r = t n 5¹ gefunden worden. IIN 131¹ 179 Wenn geſetzt wird, ſo iſt die Summe der Reihe 2 4 6; 8; 10 12; 14; 16; I I I UI I N: 5 555588 2 I — * 0,45 2247420041222 ,076993139764252 0,0 17070086850639 O, 004061405366515 0,000993603573633 0,000246026470033 O, 000061244396725 o,00ο0ο⏑ο⏑1K 2 8202621 9 ,oο3S727870 ne „ 316 Erſtes Buch. Sunfzehntes Capitel. n = 20; 0,OOOOOO953961123 n = 22; o,000OOOO338450446 . n = 24; O, OO ωοποω—Jͦνι9 608184 n = 26; o, 0OOOOOOI490I55 5 n = 28; OC, 000000003725333 n = 30; o,0Oσι0νοονυοοωοσ ρ31 323 n — 32; O,000OOOOOOO232830 n = 34; 000000000058207 n = 36; ,000000000014551 Die folgenden Summen der geraden Poteſtaͤten findet man dureh eine fortgeſetzte Diviſion durch 4. 5. 283. Die Verwandlung der Reihe 1 1 1†2 — † 1 † ꝛc. in ein unendliches Produkt kann aber. auch. auf ſoigende Weiſe directe vorgenommen werden. ⸗ ſey A= 1†2 =ð 1 1 12 1 † † ic. . 31¹ * Eubfrahit man berwer 1 ½ R 41 1 1„ 1 K 1. ec ſo erhult man ”ÿUMU . A A 1 2c. = B 4 1 4 2= c. = b, eine Reihe, in welcher alle durch 2 theilbaren Glieder feh⸗ len. Eubtrahirt man ierner htervon . — B — —.. naranen n 39 3 A 1 1† 21 1 1† ic. ſo bekommt man r — =) B =IF T T f — † r- 3) B = I12 1 1 An t t* = worin 7, II, W wegbringe Maſhaff der allen H, D Dieſe nehr auc gefunden Nan. Du Reihen 1 1—— 31 weun n ada wan 1 1 Giagic⸗ voria V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der dakt. entſor. 317 worin außerdem auch alle durch 3 theilbaren Glieder ſeh⸗ len. Subtrahirt man alſo wieder hiervon I 1 I Fc =g t t1 57 1 S5 1 . ſo wird — c= 1 † . t 1 r. 7 IIn 132 171 ſo daß nunmehr auch alle durch 5 theilbaren Glieder weg⸗ geſchafft ſind. Da man nun auf dieſe Art auch alle durch 7, II, und die uͤbrigen Prim⸗Zahlen theilbaren Glieder wegbringen kann, ſo faͤllt in die Augen, daß nach der Wegſchaffung aller durch die Prim⸗Zahlen theilbaren Glie⸗ der allein die Einheit uͤbrig bleibe. Setzt man daher fuͤr B, C, D, E ꝛc. die ihnen zukommenden Werthe, ſo findet man A t — CI = ) a — HaH D c. = I und es iſt daher die Summe der gegebenen Reihe = 1. A= —, oder I . 2n 320 5n 79 11I11 — * 9 * * — An—I 329 — I 52.— I 71— 1 I In.— * Dieſe Methode laͤßt ſich ſehr gut gebrauchen, um nun⸗ mehr auch andere Reihen, deren Summen oben von uns gefunden worden ſind, in unendliche Produkte zu verwan⸗ deln. Wir kennen aber a aus §. 175. die Summen dieſer Reihen ”ÿMBÿ “ I I I M I — — — — — — — — — — 20. 3 1† 5n 79 ½ 7 1IIn † 131 wenn n eine ungerade Jahl iſt; denn der allgemeine Aus⸗ druck 318 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel. 4 druck fuͤr dieſe Summe iſt Næn, und die Werthe von N finden ſich am angefuͤhrten Orte. Da hier bloß die unge⸗ raden Zahlen vorkommen, ſo muß bemerkt werden, daß dieſelben das Zeichen † vor ſich haben, wenn ſie unter die Form qm p”† gehoͤren, und das Zeichen —, wenn ſie unter dem allgemeinen Ausdrucke 4 m — 1 begriff en ſind. Es ſey alſo 3n Se en n n n 5n ſo iſt, wenn man dazu 1 I I 1 31 IIn n I 1 2c. addirt, 1 G1H) A=rr N — — 1 — — ic. = B 7 1 I11 131 17*9 Ferner erht llt man, wenn man hiervon X1 I I 1 Sn 5n 2 51¹ 35 £ 1 5 5¹ ſubtrahirt, 1 . 1 1 1 1. (r — ) B= 1— — kk. — P — — ꝛc. = C . 5n 7 IIh 1I Zn 1 715 worin bereits alle Zahlen fehlen, die durch 3 und 5 theil⸗ var ſind. Addirt man nun wieder 1c= 1 2— IL 1. n n 4 GP n ic. ſo fallen auch die durch 7 theilbaren Zahten weg, und es wird ar, e= t: - “ Hiezu DMUD 1I 1 1 I I I I21 P.d. N Gt⸗ ides ſind chracht wr Non nach! Zahlen the Hier komm Zhlen vo⸗ entweder dem die Oder unter Sch 7 A= - 4 8 4 4 Wnhaden X — — — 6 Dividirt ſo wird 1 oͤder 7 — = 2 tche dn N de n V. d. Reihen, die aus der Camet der Fakt entſpr. 319 (r? — b= 1† — † — — LK. E 1II In 1 2 312 und es ſind alſo auch die l 11 theilbaren Zahlen weg⸗ gebracht worden. Faͤhrt man auf dieſe Art fort, ſo findet man nach der Wegſchaffung aller durch die uͤbrigen Prim⸗ Zahl en theilbaren Zahlen endlich A1 Ct — kzer 6— .) c. = 1 3 oder 3 n 79 IIn 133 177 3n † I Sn—– 1 7n † I IIR T I?* 13n — 1 17n Hier kommen in den Zaͤhlern die Poteſtaͤten aller Prim⸗ Zahlen vor, und eben dieſe Poteſtaͤten ſind in den Nennern entweder um 1 vermehrt, oder um 1 vermindert, je nach⸗ dem die Prim⸗Zahlen entweder unter die Form 4 m — 1, oder unter dieſe, 4m †1 gehoͤren. §. 285. Setzt man alſo n = 1, ſo erhaͤlt man, weil alsdann 8x . ſ haben wir oben 1. 277. . S. gefunden 6 3 J2.4 4. 6 6. 8 10.12 12. 14 16. 18˙ 18.20 Dividirt man daher dieſe zweyte Summe durch die erſte, ſo wird Nu II 13 17 19 23 10 14 I18 18 22 1II 13 17 19 23 10 14 18 18 22 * Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel. DR Hier machen die Prim⸗Zahlen die Zaͤhler, und die unge⸗ „ U rademal geraden Zahlen, die ſich von dieſen Zaͤhlern um 2 33 unterſcheiden, die Nenner aus. Dividirt man aber dieſes iun giebt e Letzte nochmals durch — ſo wird ⸗ — 4 4 £ 12 12 X6 206 24. gach §. 27 2 — 2 6 6 10 14 18 18 22. c. oder 1.4.4. 4. . . . a „ und hierin entſtehen die Bruͤche aus den ungeraden Prim⸗ — J Zahlen, wenn man dieſelben in zwey um 1 von einandere unterſchiedene Theile theilt, und die geraden Theile zu den Doſdirt n Zaͤhlern, die ungeraden hingegen zu den Nennern nimmt. ſowed §. 286. 22: Vergleicht man dieſe Ausdruͤcke mit der wallſſchen ddh Beſtimmung I§. 185.]) itnn 2 22 4 4 & L . 12. aen 2 1. 3. 3.’5. 5. 7. 7. 9. 9. 11. 11 DaI oder 2 = 23. . a. . ee „ 2. 4 4 . 6 6. 8 8. 10 10. 12 * ðMä ſo ſnder man, wenn dieſen letztern Ausdruck durch . 7 3. . 3 5§.5 7. 7 1II. 11.II 13. 13 ze Ddent = 2.4 4. 6 6. 8 10. 12 12. 14½ olen we aus dem vorhergehenden §. dividirt, -31—e le theilt, . 32–—2:9 15.15 21:21 25:25 ”M geroden e xʒ3 8. 10 14. 16 20.22 24. 24. 26 ꝛc. wo in den Zaͤhlern alle ungerade Zahlen vorkommen, die keine Prim⸗Zahlen ſind. us die §. 287. nacht werde r Nernern vo Setzt n man n = 3, ſo wird A = 7 [§. 175.] und daher ““l 78: Eun ersg 6. nd die ge ihlernum cher dieſe 1e. ode aden Pein⸗ don einonder Theileſ den meen umnmt. Waliſchen 2— konmen, die m m V. d. Reihen, die aus der Entwickel der Fakt. entſpr. 321 3 33 53 7³ 113 133 173 —— „„„ —— 8Lc. 32 33 † 1 3 † 1 53— 1 7³ †1 113 † 1 133—1 173— 1 Run giebt aber die Reihe [§. 167.] „ 6 I 1 — = I † — † = † — † — ic. 945 26 36 46 56 1 nach §. 277. 726 26 36 5⁶ 76 I1I6 — — 945 256— 1 36—1 56—1 76—1 116—1 136— oder g. 6 36 56 76 116 136 — = — · — — — — 2 △ 960 36—156—1 76—1 116—1 136—1 Dividirt man alſo dieſen letzten Ausdruck durch den erſten, ſo wird X 3 33 53 73 1I 3 133 173 30 — 33 — 1 53 † 1 73— 1 113— 13 3 † 1* 173 † 1 und dividirt man dieſen nochmals durch den erſten, ſo er⸗ haͤlt man 16 — 2¹† 1 — 7 1 † I II3 † I 133— 1 22—1 15 33—1˙ 53 † 1 73—1˙ 113—1 133 † 1. 173† 1 oder 16 14 62 172 666 1098 , — I5 13 63 171 665 10996 Dieſe Bruͤche entſtehen aus den Cubis der ungeraden Prim⸗ Zahlen, wenn man jeden in zwey um 1 unterſchiedene Thei⸗ le theilt, und die geraden Theile zu den Zaͤhlern, die un⸗ geraden aber zu den Rennern nimmt. §. 288. DWRMWRW Aus dieſen Ausdruͤcken koͤnnen wieder neue Reihen ge⸗ macht werden, in welchen alle natuͤrliche Zahlen in den Nennern vorkommen. Denn da 2— 7. ... 3 4— 3141 — 1 7 †1 II TI 13—1 Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. l. D. intt, 322 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel. iſt ſo iſt lr. Mw 1 6 (Tr † ) (1 † †) (1 — P) (1 † ᷓ) (1 † 2) (I1 — 11 c. und daraus erhaͤlt man, wenn man entwickelt, dieſe Reihe 5 6 7 8$ 9 Mit den Zeichen verhaͤlt es ſich darin ſo, daß die 2 das Zei⸗ chen —, die Prim⸗Z Zahlen von der Form 4 m — 1 eben⸗ falls —, die aber von der Form 4mF† 1 das Zeichen †, und die zuſammengeſetzten Zahlen endlich das Zeichen ha⸗ ben, welches ihnen nach ihrer Entſtehung aus den Prim⸗ Zahlen uranmt e So bekommt der Bruch das Zeichen —, weil 60 = 2. 2. 3. 5 iſt, und die drey erſten Zahlen hier das Zeichem — Auf eine aͤhnliche Art iſt 1 2 — 5 1 5 — D TT — ) . und daraus en tſteht die Reihe „ I I „ I I rI — — — 244 — 1 ½ 1 Hier hat die 2 das Zeichen 1, die Prim⸗Zahlen von der TI . 1 *c. Form 4 m — I das Zeichen —, die von der Form 4Am † 1 das Zeichen †, und die zuſammengeſetzten Zahlen bekom⸗ men das Zeichen, welches ihnen nach ihrer Entſtehung aus den Prim⸗ Zahlen zukommt. — F. 289. Da ferner 2 (1 — † 5 — ,) 3) 20. iſt, ſo erhaͤlt man durch die Entwickelung , 2 ‚und die letzte allein das Zeichen 1 hat. 4 — I ½ 5 ₰ℳ o blos die beſchaffen An — 1de das Zeichen der lonn ober ſoſen e Zahlen r ho ie d Im — Y ehen Zeichen — hal 4m —Id deichen — Mun Neichen fin 1, 3 füntn V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 323 7 I I T 1I — =I12 r rrPrr e r. 2 3 5 7 9 II I3 I3 0—G).. wo bloß die ungeraden Zahlen vorkommen, die Zeichen aber die eihe ſo beſchaffen ſind, daß die Prim⸗Zahlen von der Form . 4 m — 1 das Zeichen †, die von der Form 4 m † aber das Zeichen — haben, wodurch denn zugleich die Zeichen dierdu der zuf ſammengeſetzten Zahlen beſtimmt werden. Hieraus n — n aber laſſen ſich ferner zwey andere Reihen finden, worin ns Neihnt, (alle Zahlen vorkommen. Es iſt nemlich 1 Nichen ha⸗ 1 l uus dn Peim S H 1 3) C — 3) I — Wr) (1 †T 75,) 2% Mgien und daraus ergieht ſi ) durch die Entwickelung “ ſen gohee hie *= I † 213 3 15 5 51 7 5 5 e. Nigen ih⸗ wo die 2 das Zeichen +†, die Prim⸗ Zahlen von der Form 4 m — I ebenfalls k, die von der Form 4 m % 1 aber das — Zeichen — haben. Dann iſt aber auch – x. . 3 (1 D 1— 3)(1 — 17) (1 † 71) ic. tit 1r. unnd hier giebt die Entwickelung . aor ze rz 1- 517- 5 t7 113 1 wo die 2 das Zeichen —, die Prim⸗Zahlen von der Form 13 4 m — 1 das Zeichen † und die von der Form 4 m † 1I das Enirfuß Zeichen — haben. §. 290. Man⸗ kann hieraus noch unzaͤhlige andere Folgen der Zeichen finden, ſ daß die Summe der Reihe X — 1, 2, ¾%, †, * 6/ 7, v, ꝛc. IT. beſtimmbar bleibt. Da nemlich 5.·2 X 2 “ r: 2 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel. 324 2 (I1 — 2) (1 † 4) Cc1 — ⁵) Cr T 5½) (I T rr) ꝛc. iſt, ſo bekommt man, wenn man dieſen Ausdruck durch — = 2 multipticirt, . „ = und (1 — . (1 35 1— ) (1I † 3 (1 † 11) ꝛc. „= I1 † — 11 r — 5 157 E g o ꝛc. Hier ſind die 2 und die 3 Zpoſtid, bie uͤbrigen Prim Zahlen aber, wenn ſie unter die Form 4 m — 1 gehoͤren, negativ, und wenn ſie unter dieſer, 4m † I, begriffen ſind, poſitiv, woraus ſich denn ferner die Zeichen der zuſammengeſetzten Zahlen beſtimmen laſſen. Auf eine aͤhnliche Art ſindet man. aus = — — (rr — 4) c1 — X) (1 *½) (1 — ½) (1 — r1) 2. 1 † F 3 wenn man dieſen Ausdruck durch — = multiplicirt, 3 2 (1—4)(1 — 1) (1 — ) (I — ) (I — rY) ( Tr5) (1Tr,c. und hieraus fernee durch die Entwicke ung rFEItEI t t t5lyIS rt . wo die 2 und die eiue Jahlen⸗ von der Sorm 4 m – 1 poſi⸗ tiv, die Prim⸗ Zahlen von der Form 4 m †1 aber negativ ſind, bloß die 5 ausgenommen, welche ebenfalls poſitiv iſt. §. 291. Aauch laſſen ſich unzaͤhlige Reihen ſinden, deren Summe Sao iſt. Denn da (§. 277. S. 3023.) o= – 3 „ 11 . 13 14. r. 3 4 06 8 12 14 18 iſt, 4 2 * „ . neene 1 1 — ½ 0— ind darans 9 1 2- . 7 annnt das 0— — t) nd daraus en 01— — wo olt huͤ Neichen — S.o, wpenn Nichen —, ſer einigen Uich habe 1XK 1 urq̃ 4 1— * 3 — m). 1 1 —— 10 i Prim Zahlen ten, negetit, ſind, poſtit⸗ mengsiehen he Ret ſrde üast, 5 I 77 /. 1R * XK 7 In l uſ⸗ aher hati eſtin iſ. eren Gunne iſ, V. d. Reihen, die aus der Entwickel der Fakt entſpr. 325 O0 — 1 1¼ 2) (1 T2⁄) (1 †. T NN und hieraus wird, nach §. 276.] 1 0— 1 — — — — † — — † – — — — 2 314 5 6 7) (1TTα²⁰. I = I 1I 10 7 8 9 wo alle Prim⸗Zahlen das Zeichen — haben, und die zu⸗ ſammengeſetzten Zahlen ſich nach der Regel der Multipli⸗ cation richten. 1 . 2 1— 2 Multiplicirt man aber dieſen Ausdruck = 3, ſo iſt auch — — 1 *(i — ) THTD GTH) G †T) ) 1. und derans ſindet man durch die Entwickelung 1 1 I I I I I 2 3 4 5 b 7 8 9 10 wo die 2 das Zeichen †, die uͤbrigen Prim Zahlen aber ins⸗ geſammt das Zeichen — haben. Auf eine aͤhnliche Art iſt (IT 2) (1 — ) (1 — P (1 † und daraus eneſpring die e o= I DCT ) (1 7 c. 1 I TI 1 0= 1— — † — †°☚ — † — – – — — — — — L. —t 5 12 41 5 † 16 ꝛc wo alle Prinns. ahlen, dis⸗ 3 unb die 5 ausgenommen, das Zeichen — haben. Ueberhaupt iſt die Summe dieſer Reihe = o, wenn alle Prim⸗ Zahlen, außer einigen wenigen, das Zeichen —, und hingegen = O0., wenn alle Prim⸗Zahlen, außer einigen wenigen, das Zeichen † haben. §. 292. Auch haben wir oben 6 176. idie Summe der Reihe I — I 1 A =I— fT. — 1 † 1 — 1 1 — 1 1 2 n I FSn 7 11 8n I 01 I In 1 Z1 X 3 wenn 326 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel. wenn n eine ungerade Zahl iſt, gefunden. Da nun hieraus I 2= L. I † 1 1 I 29 2;9 4 1 8n 102 14n — Lc. iſt, ſo bekommt man, wenn man dieſes zu dem Vorher⸗ gehenden addirt, —— 1I 1 1 1 B= (I1 —)) A= — f — 1 —--= 2¹ 5n 71 119 131¹ 175 1 1 1 Addirt man ferner hierzu 1 1 I 1 51 en 25¹ 35¹ 551 ſo bekommt man S= 11 I C= (I † —) B = 1I † – 2 3n ſo wie hieraus, wenn man davon TI = 1 1I 7 7 46on 772 ſubtrahirt, I = (1— C=I — 75 1 1n 13 I7n 191 entſpringt. Faͤhrt man auf dieſem Wege fort, ſo findet man endlich IIn wo alle Prim⸗ Zahlen, welche die Vielfachen do von 6 um 1 uͤberſteigen, das Zeichen —, diejenigen aber, welche um 1 kleiner ſind, das Zeichen † haben. Es iſt alſo A= -— . —- 1 3— 1c. 2 † 1 51 † I * 79 — I = I 4 1)1 2) t- 1 5 . IIn † 1 * I3n — 1 K. 293 Ar vorkommen, (ieden, 1 1 — 7 K, ſ 1 6 fod⸗ — Noidirt, 767 — —, 2 W die enn, ſt, nn 3 hieraus Wether⸗ — — 131¹ 11 V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 327 un ſey n = 1, in welchem Falle àA = – wird, [F. 176.] ſo iſt — 2 5. S. 13 17 19 3V3 3 6 6 12 12 1818 wo in den Zäaͤhlern alle zanf die 3 folgenden Prim⸗ Zahlen orkommen, die NRNenner aber von den Zaͤhlern um 1 unter⸗ . . ſcieden, und alle durch 6 theilbar! ſind. Da nun I5. 277. S. 309.] . =— 4 2²% 5. 5 7.2 II. II 13.13 N. 66 3 8 4. 6 6. ₰ 10.72 12.1k4 iſt, ſo findet man, wenn man n dieſen Ausdruck durch jenen dinr V 32 2.2. Y. 11r. 13. 17. 29. ———— 2 4 4 8 1i0 14 20 wo die Nenner nicht durch 6 theilt bar ſind. Oder es iſe II 13 17 19 2 2V 3 6 6 12 12 I 18 24* 27F 5 7 II 13 1, 19 23 3V3 4 8 10 I4 16 20 22 Folglich iſt, wenn man dieſen e letztern Ausdruck durch den erſtern dividirt, 4 6 6 12 12 18 187 24 — — —, 20. 3 4 8 10 14 16 20 22 eder 4 — 2. 2£ 4 60 2 9 12 „ —— — — — .⸗— 4c. 3 2 4 5 7 8 10 II und dieſe Bruͤche erhaͤlt man, wenn man die Prim⸗Zahlen 5, 7, I1, ꝛc. in zwey um 1 von einander unterſchiedene Theile theilt, und immer den Theil, der durch 3 thei lbar iſt, zum Zaͤhler nimmt. HMM X4 . 294. 328 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel. K. 294. Da wir oben §. 285.] geſehen haben, das 2 =— 3 5 1I. 133 12. ꝛc. oder 4 4 4 8 12 12 16 *. — 5 7 II 13 17 19 3 4 &S 12 12 16 20˙ *. iſt, ſo fndet man, wenn man die vorhergehenden Aus⸗ druͤcke — und , durch dieſen theilt . 2 10 6 Ei =— 4,8 5 . 14 16 . und 2 3 3 9 9 15 15 2 6 6 r2 18 24 30 V 3 5 7 II 19 23 29 Die Bruͤche des erſten Ausdrucks er! haͤlt man aus den Prim⸗Zahlen von der Form 12 m † 6 † I, und die Bruͤche des andern Ausdrucks aus den Prim⸗Zahlen von der Form I2 m † 1, wenn man jede derſelben in zwey um 1 von ein⸗ ander unterſchiedene Theile theilt, und die geraden Theile zu den Zaͤhtern, die ungeraden hingegen zu den Nennern J. 2095. Nun wollen wir noch die §. 179 gefundene Reihe be⸗ trachten, welche folgende iſt: * 1. I 1I EI 1I1 I 1 1 = = I — — - — — † — † — — — – — † ꝛc. = A 2V 2 3 5 7 9 II 13 15 Subtrahirt man davon 1 1 r 1 1 l A = - † - — — = — — t. 3 3 9 15 21 27 33 ſo erhaͤlt man . 1 1 r 1 1 1I I — P)A = 1 — — — - 4 — — — † — — r. = B 5 Addirt — 2 wo kein getndema Zühlern: elſien An nden Hi an ani den en dergen 11 von ein oden Theie den Nennenn edihed⸗ ir 4=A I OGOͦ”ůñ V. d. Reihen, die aus der Entwickel. der Fakt. entſpr. 329 Addirt man ferner hierzu 1 1 1 1 — B =— — — — — — † — — (. 5 S 25 35 55 ſo wird 1 1 I rI —) B= 1 — † — — — † — c. = C . 5 . 7 1 1I 13 17 17 Und faͤhrt man auf dieſe Art fort, ſo erhaͤlt man endlich 1 0 1 ; 5 — 00 — ) 4 (1 — ) ꝛc. 1 wo es ſich mit den Zeichen auf die Art verhaͤlt, daß die Prim⸗Zahlen von der Form 8 m † 1 oder 8 m † 3 negativ, die Prim⸗Zahlen hingegen von der Form 8 m † 5 oder 8 m † 7 poſitiv ſind. Es iſt fol lglich „ 3 5 7 II 13 12, 19 2 2V2 2 6 8 10 14 76 ‧ 18 * 4e wo alle Nenner entweder durch 8 theilbar ſind, oder zu den ungerademal geraden Zahlen gehoͤren. Da nun 1 1I 17 10 2 . 4 4 4 8 12 12 16 20 24 7 3 5 2 II 13 17 19 23 — — —. —. — ⸗. — ⸗ — 20e. und 2 2 6 6 10 14 18 18 22 77 3. 3 5.:. 5 2. 2 II.. 11. 11 13. 13 „. 8 2.4 4.6* 6.8 10. 12 12. 14 iſt, ſo wird * 3 5 7 rI 13 17 19 23 — — — —. — —. — —, — 20. 2V 2 4 4 6 12 12 18 20 22 wo kein Nenner vorkommt, der durch 8 theilbar waͤre, die gerademal geraden Zahlen aber ſind da, ſo oft ſie von den Zaͤhlern nur um rverſchieden ſind. Dividirt man nun den erſten Ausdruck durch den letzten, ſo wird 330 Erſtes Buch. Funfzehntes Capitel ꝛc. 6 6 9 ro rI 2 2 1I1— —,. — 1 3 und dieſe Bruͤche er man jede derſelben in zwey um 1 unterſchiedene Theile theilt, und die geraden Theile, (ausgenommen, wenn fie gerademal gerade Zahlen ſind,) zu den Zaͤhlern nimmt. Auf eine aͤhnliche Art laſſen ſich auch die uͤbrigen Rei⸗ 2 ₰ hen, die wie oben [F. 179. f.] fuͤr die Ausdruͤcke der Kreis⸗ bogen gefunden haben, in Faktoren verwandeln, die aus den Peim⸗ Zahlen formirt werden, und es koͤnnen auf dieſe Art noch ſehr viel andere merkwuͤrdige Eigenſchaften ſowohl dieſer Faktoren, als der unendlichen Reihen gefunden wer⸗ den. Da indeß die vornehmſten davon bereits angefuͤhrt worden ſind, ſo wollen wir uns nicht dabey aufhalten, um noch mehrere zu fin iden, ſondern zu einem hiermit verwand⸗ ten Gegenſtande fortgehen. So wie wir nemlich in dem gegenwaͤrtigen Capitel die Zahlen nach ihrer Entſtehungs⸗ art durch die Multiplication betrachtet haben: ſo wollen wir in dem folgenden die Ent ſtehung derſelben durch die Addition erwaͤgen. Sechs⸗ haͤlt man aus den Prim⸗ gallen⸗ wenn G gegeben Norm bickeltn I ſ: ſit . 38 Aledene ſr ane Wen Ner ſind . deren 6 Pteſtd . d. n, venn 1 Theite wann ſie N W. igen Rei⸗ der Kreis⸗ n, N aus n auf dieſe efunden wer: 8s Gefihe it perwad⸗ glich in den pol Nurqj M⸗ Sechszehntes Capitel. H Von der Theilung der Zahlen. Es ſey der Ausdruck (1 † xX 2) (1 † X62) (1 † X 2) (i 2) 1 † Xx 2) c. gegeben, und es werde gefragt: Was derſelbe fuͤr eine Form bekomme, wenn er durch die Multiplication ent⸗ wickelt wird? Angenommen, daß das geſuchte Produkt = 1 † Pz † Qz2 † Rz3 -T S24 † ꝛe. ſey: ſo iſt offenbar, daß p die Suname der Poteſtaͤten 5 Xx * † X. †. X? † 2 † † ꝛc. ſeyn wird. Ferner iſt alsdann Q die Summe der Produkte aus allen Paaren die⸗ ſer Poteſtaͤten, oder das Aggregat aller Poteſtaͤten von x, deren Eponenten Summen zweyer verſchiedener Glieder dieſer Reihe *Ms £β☚, 7, 3, s, 5 , 20. ſind. Eben ſo iſt R das Aggregat der Poteſtaͤten von , deren Exponenten Summen von drey, 8 das Aggregat der Poteſtaͤten von «, deren Exponenten Summen von vier ℳ verſchiedenen Gliedern eben dieſer Reihe ſind, ꝛc. Die Poteſtaͤten von X die in den Werthen der Buch⸗ ſtaben P, Q, R, S, . vorkommen, haben die Einheit ”! zum Sern 332 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel. zum Coefficienten, wenn ihre Exponenten nur auf eine ein⸗ zige Art aus «, 8, 7, %, ꝛc. formirt werden koͤnnen; kann aber der Exponent einer ſolchen Poteſtaͤt auf mehr denn eine Art die Summe zweyer, dreyer oder mehrerer Glieder der Reihe *“, , 7, à⁹, *½ ꝛc. ſeyn, ſo hat dieſe Poteſtaͤt einen Coefficienten, der eben ſo vielmal, als dies ſtatt findet, die Einheit in ſich enthaͤlt. Findet man z. B. in dem Werthe von OQ den Ausdruck NXn, ſo zeigt derſelbe an, daß die Zahl n auf N verſchiedene Arten die Summe zweyer ver⸗ ſchiedener Glieder der Reihe 4, 8, „, %, ꝛc. iſt. Und kommt man bey der Entwickelung der Faktoren auf ein Glied von der Form NNzm, ſo zeigt der Coefficient N an, auf wie vielerley Art die Zahl n die Summe von m Glie⸗ dern der Reihe «, g, 7, 9, 5, &, ꝛc. ſeyn kann. §K. 299. Wenn man alſo das gegebene Produkt (1 ½* 2) (1 † x*z) (1 †. x 2) (1† * 2) ꝛc. durch die Multiplication wirklich entwickelt, ſo erhellet aus dem dadurch gefundenen Ausdrucke ſogleich, auf wie vie⸗ lerley Arten eine gegebene Zahl die Summe von ſo viel verſchiedenen Gliedern der Reihe «, s, 7, ⁹, «, &%, ꝛc. als man will, ſeyn kann. Will man nemlich wiſſen, auf wie vielerley Arten die Zahl n die Summe von m verſchie⸗ denen Gliedern jener Reihe ſeyn kann, ſo ſucht man in dem entwickelten Produkte das Glied Xnzm, und der Coefficient deſſelben zeigt die verlangte Zahl an. — §. 300. Damit dieſes deſto deutlicher werde, ſo ſey folgendes Produkt, deſſen Faktoren der Zahl nach unendlich ſind, gegeben: . 1 † 2071 ux⸗ 11 (136 As Wen NW Nak 1,1, 3,2. tiſen, ſeben be⸗ ſehn konn in Multi der Cueft man die ſchiedenen die Addi eine iin n, kam den eine ider der R anen Ra De „ daß die eher der⸗ iſ. Uns iauf ein ent Nen, nn 1)u. Ahelet eus pie U⸗ ſ diel . l. ſſen, duj on i Cafiuent fegends ſch ind Von der Theilung der Zahlen. 333 (1 +† x2) (1 † X 22) (I †X 32) (1 T†TX42) (1 † X2) 2c. Entwickelt man daſſelbe durch eine wirkliche Multiplication, ſo dekommt man: 1 12 ( D † X3 † 4 4 xXx5 P† X6 †— † xS † x9 1) †22 CK3 PXx4 T2X5 †2X6 † 3X7 †328 † 49 † 4X10O† SX 1 † 2c.) 122 (XK †X7 †2 X8 1k3* †TAXXOFTSXXI T 7XxTZ T 8XI 3 † 10x14† ꝛc.) † 24 (XI O†XI P†2X12 †3X13 † 5 X14 T 6X1 f † 9X †rIXI7 Pr 5X1 8 † 2c.) 425 Gasanα Nñ2 7 † 3XITS 5 XI 9 † 7X20 †i0Xa V † 13 X2 2 †18X 2 3 † ꝛc.) Tz6(X †F X22 † 2x2 3 3Xx24 † 5X25 † 7X 26 † 11X27 † 1422 S⁸ † 20X 2 9 † ꝛc.) t27 G2 S8 X2 9 † 2730 3X3 1 5x3 2 7X3 3 † 11X3 4 † 15X3 5 †T 21X 36† 2c.) TTzS (K36†xX37 † 2X3 ⁸ † 3X39 5 X40† 7XAI IIXA2 †1 5X4 3 † 22X 44 † 2c.) ꝛc. Aus dieſen Reihen nun laͤßt ſich ſogleich beſtimmen, auf wie vielerley Arten eine gegebene Zahl aus einer gegebenen Menge von einander verſchiedener Glieder dieſer Reihe, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ꝛc. entſtehen kann. Wollte man z. B. wiſſen, auf wie vielerley Art die Zahl 35 die Summe aus ſieben verſchiedenen Gliedern der Reihe 1,2, 3, 4, 5, 6,7, 2c. ſeyn kann: ſo duͤrfte man nur in der Reihe, vor der 27 als ein Multiplicator ſteht, die Poteſtaͤt X3 5 aufſuchen, und der Coefficient dieſer Dignitaͤt, 15, wuͤrde anzeigen, daß man die Zahl 35 auf 15 verſchiedene Arten aus ſieben ver⸗ ſchiedenen Gliedern der Reihe 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, ꝛc. durch die Addition erhalten koͤnne. W §. 301. 334 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel. Setzt man aber 2 = 1, uad zieht man die aͤhnlichen Poteſtaͤten von in eine Summe zuſammen, oder welches eben daſſelbe iſt, entwickelt man die eſen unendlichen Aus⸗ druck (1 T X) (I †. 2) (1 P X 3) (I T X4) (I1 † X⁵) (I † x6c. wodurch man die Reihe: 1 T X TX † 23 †. 2X4 †. 3X5 † 4X6 5x?7 † 6xs ꝛc. erhaͤlt: ſo zeigt ein jeder Coefficient an, auf wie vielerley Arten der Exponent der Dignitaͤt von x, zu welcher er ge⸗ hoͤrt, aus den Gliedern der Reihe 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ꝛc. vorausgeſetzt, daß jedes nicht mehr als einmal genommen werde, durch die Addition entſtehen kann. Auf dieſe Art erhellt, daß die Zahl 8 auf ſechs verſchiedene Arten durch Die Addition verſchiedener Zahlen erhalten wird, und dieſe 8 = 8 8 = 5 f 3 8 = 7 T†T T 8 =— 5 † 2 † 1 8 — 0 † 2 8 = 4 † 3 T r Hier iſt indeß zu bemerken, daß die gegebene Zahl ebenfalls mitgerechnet werden muß, weil die Zahl der zu nehmenden Glieder nicht beſtimmt wird, und alſo auch ein einziges ge⸗ nommen werden kann. d. 302. Man erkennt alſo hieraus, wie eine jede Zahl durch die Addition verſchiedener Zahlen entſteht. Soll nun aber die Bedingung der Verſchiedenheit wegfallen, ſo muß man die vorhin angenommenen Faktoren in den Nenner ſetzen. Es ſey alſo der Ausdruck 1 —„ C— ) 1 — X ) (1 — 2) (r -— * 2) (— xia) i. — gege⸗ (en, ſitich d 4 Her iſt o 1iſt, der entholten boyx, de nonder 4 der Mrieſ Geder, Crvonern Und zwen inonder! Wenn Gliedern ent ſcni Rdoc m, Anan denen, l gebracht wickelten enten de du gme ſeigt an, Gliedern holten we hllichen N ne G INRK An Nurg , md dee W e un a muß man aner ſehen. — 19 Nge⸗ Von der Theilung der Zahlen. 335 gegeben, und die Reihe, welche man daraus, wenn man wirklich dimit, erhaͤlt, ſey † Qze † Rz3 P 824 † 2c. Hi er iſt fenban, daß P das Aggregat der Poteſtaͤten von X iſt, deren E Erkonenken in dieſer Reihe ℳ₰.½õ B, ., 39, 5, 6, „» ꝛc. enthalten ſind. Ferner iſt Q das Aggregat der Poteſtaͤten von X, deren Exponenten Summen zweyer Glieder dieſer Reihe ſind, ſo aber, daß die gedachten zwey Glieder auch einander gleich ſeyn koͤnnen. Weiter iſt R das Aggregat der Poteſtaͤten von x, deren Exponenten Summen dreyer Glieder, und § das Aggregat der Poteſtaͤten von X, deren Exvonenten Summen von vier Gliedern jener Reihe ſind,. und zwar ebengfalls ſo, daß dieſe Glieder entweder alle von einander verſchieden, oder auch alle oder zum Theil einan⸗ der gleich ſeyn koͤnnen. Auf eine aͤhnliche Art vethaͤl t es ſich mit den uͤbrigen Co efficienten. K. 203. Wenn man alſo den ganzen Ausdruck nach allen ſeinen Gliedern entwickelt, und die aͤhnlichen Glieder zuſammen⸗ zieht, ſo iſt man im Stande daraus zu erkennen, auf wie viel verſchiedene Arten eine Zahl n durch die Addition von m, einander entweder gleichen oder von einander verſchie⸗ denen, Gliedern aus der Reihe «, , 7, , s, , ꝛc. hervor⸗ gebracht werden kann. Man darf nemlich nur in dem ent⸗ wickelten Ausdrucke das Glied xnzm ſuchen, und den Coeffi⸗ cienten deſſelben betrachten, der N heißen mag, ſo daß alſo das ganze Glied = N Xnzm iſt; denn dieſer Coefficient N zeigt an, auf wie viel verſchiedene Arten die Zahl n aus m Gliedern der Reihe «, g, 7, de s, c. dur ech die Addition er⸗ hal ten werden kann. §. 304. 336 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel. §. 304. Wir wollen jetzt das Geſagte auf einen vor andern merkwuͤrdigen Fall anwenden. Es ſey alſo der Ausdruck I (1— — (1 — X22) (I — X 32) (1 — X42, (1 — x52) ꝛc. gegeben, wofuͤr man, wenn man ihn durch die Diviſion entwickelt, folgendes erhaͤlt: ITZ (X †Xx2 † X3 † X4 † x5 † x6 † xz7 † xS8 † xS p. ꝛc.) I (a † 23 kt2 x †25 P3 X 6 P†3xX7 † 4S † 429 †5X1° †† ꝛc.) 23 (xX 3 TXA †2S † 3 X † 47 † 5x8 † 7x9 õ T†24 (5. 4 Tx T 2x6 T3X7 †† SX8 † 629 † 9xXT& FIIXII P I 5XI 2 †. 2c.) ꝛ:5 (x5 Tx6 † 2X7 † 3x8 †5 x9 †7XO ι 1 Tr3XI2 TI 8XI 3 † ꝛc.) † 26 (X6 †X7 †2X8 †3 2² F 5X P 7X½ † IIXIZ †14XI 3 † 20 X 1 4 † 2c.) PFPz7 (Xx7 PXS TP2X9 3X1O TSXTI T 7 XXZ L-TIXI3 †I5SXTAZ21XZS † ꝛc) †2 8⁸ (X †X9 † 2X1OTP3XIIF 5XI2 7 X 3 † 1IIXI4 tisxsaꝛ xxe k) ꝛc. Aus dieſen Reihen laͤßt ſich nun ſogleich beſtimmen, auf wie viel verſchiedene Arten eine gegebene Zahl aus einer gege⸗ benen Menge von Gliedern dieſer Reihe, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, ꝛc. durch die Addition hervorgebracht werden kann. Wird z. B. gefragt, auf wie vielerley Art die Zahl 13 aus fuͤnf ganzen Zahlen durch die Addition entſtehen kann: ſo darf man nur das Glied X1325 aufſuchen, denn deſſen Coeffi⸗ cient 18 zeigt an, daß die gegebene Zahl 13 auf achtzehn ver⸗ fettieden 6ethatta Wenn ſon X zuſ⸗ — wenn mon ITt worin ſe in der d geichen e Nhrtior. denn Geo⸗ ſt, und diea wolen wi Naſanmen mmuer zu dale anf Eulers N andern er Wudroc — Ve⸗ 16 ½ ) mmen ont⸗ einer ege⸗ 45 6,7:. n. Wied 3 as fin⸗ nn bif eſen luff⸗ ennen ter⸗ Von der Theilung der x Jahlen. 337 berſchiedene Arten aus fuͤnf ganzen Zahlen durch die Addi⸗ tion erhalten werden kann. F. 305. Wenn man 2 = 1 ſetzt, und die aͤhnlichen Poteſtaͤten von x zuſammenzieht, ſo giebt der Ausdruck 1 — 2)1 — Xa) (1 — X3) (1 — 4) (1 — X7) (1 — X6):, wenn man ihn entwickelt, die Reihe I † X . 2X2 † 3X 3 † 5X 4 † 7X5 † IIXG6 †P ISX7 † 22X 8 T 2c. worin jeder Coefficient anzeigt, auf wie vielerley Ar⸗ ten der Exponent der Poteſtaͤt, zu welcher er gehoͤrt, aus gleichen entweder oder ungleichen ganzen Zahlen durch die Addition hervorgebracht werd den kann. So ſteht man aus dem Gliede 1126, daß dieſes bey 6 auf eilf Arten moͤglich iſt, und dieſe ſind 6 = 6 6= 3TT TIPTI 6 = 5 † I 6 — 2 T12 † 2 6 = 4 † 2 6 — 2 T 2 † 1 † I 6 4 † 1 † 1 6 =— 2 † I †IFTI † r 6 = 3 † 3 6δ% I 1 †ITTTTERI 6 = 3 † 2 † 1 HDierbey iſt zu bemerken, daß die gegebene Zahl ſelbſt, weil ſie in der gegebenen Zahl⸗Reihe 1, 2, 3, 4, 5, 6, ꝛ.. eben⸗ falls enthalten iſt, auch eine Art giebt. F. 306. Nachdem wir dieſes uͤberhaupt angemerkt haͤben, ſo wollen wir die Art und Weiſe, die Menge der gedachten Zuſammenſetzungen gegebener Zahlen zu beſtimmen, ge⸗ nauer zu erforſchen ſuchen. Wir wollen hierbey von dem Falle anfangen, den wir auch vorhin zuerſt beruͤhrt haben, EulersEinl. in d. Anal. d. Unend I. BD. O und 338 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel. und wobey die ganzen Zahlen, woraus die gegebenen durch 8 N dition hervorgebracht werden ſollen, insgeſammt von dnander verſchieden ſind. Es ſey alſo der Aus druck 2 (1 † Xz) (I T† X22) (1 † X32) (1 † 42) (1 †52²) ꝛc. gegeben, und die Reihe, welche man dafuͤr erhaͤlt, wenn man ihn entwickelt und nach den Poteſtaͤten von X ord⸗ net⸗ — 1 † Pz † Qza P R z3 † 624 † LzZS5S † ꝛc. Hier muß nun gezeigt werden, wie man die Srnkionen von X, welche durch die Buchſtaben b, Q, R, 8, e an gedeutet werden, auf eine leichte Art finden kann, er⸗ dies iſt es, worauf es bey der gedachten Unterſuchung eig lich ankommt, §. 307. Setzt man alſo Xu anſtatt 2, ſo wird 2 1:2). (I † x 32) r 1 Ea c1 † 52) c. = r. — ht da daher, da . Nr I T Pz 1 Qz2 † Rzs † 824† ꝛc. i, 2. — = 1 † PXZ †. Qxaa⸗ Rxszs † Sx 424 † ꝛc. ITX X2 wird. Multiplicirt man alſo dieſe Gleichung durch 1 † ſo bekoͤmmt man . ſ end =I † PXxZT QX222 † RxX323 †. 8424 † ꝛc. † x2 TIPX22 † QX323 † Rx424 † ec. 3 1 it dem erth von Z mi und vergleicht man nunmehr dief dieſen W vorhergehenden, ſo wid ? = , 0&= — 7 litdieſe⸗ bon r beſonde ſe ierleh We N n harden in die l Neihe ſey lung einer bgiebt der e els welcher er ganzen d. ehenen durh eſammt hon Druck i)X. hat wenn N Wrc⸗ 25 *. e Funktienn , T,A. an ann denn diss Gchuig eigeunr 1 K. 2 —— 10 velchei wie? 6 — UAlt; 111 e. 2 1 52 Von der Theilung der Zahlen. 339 Qx3 Rx4 . 1 — X 3 ä Es ſind folglich die Werthe, welche man faͤr P, „Q. R,8, ic. erhaͤlt, folgende: X I — - 1 — xX) (1 — X2) X6 (1 — X) (I — X2) (1 — xX 3) X10 (I= X) (1 — X2²) (1— X 3) (I — X) X I * (1 — X) (I1 — X2²) (I1 — X3) (I — X 4) (I — x*) 20: §. 3208. Auf dieſe Art koͤnnen wir alſo jede Poteſtaͤten⸗Reihe von x beſonders darſtellen, und daraus beſtimmen, auf wie vielerley Arten eine gegebene Zahl aus einer gegebenen Menge anderer ganzen Zahlen durch die Addi⸗ tion hervorgebracht werden kann. Zugleich faͤllt hierbey in die Augen, daß jede dieſer Reihen eine wiederkehrende Reihe ſeyn wird, weil ſie insgeſammt aus der Entwicke⸗ lung einer gebrochenen Funktion von x entſpringen. So giebt der erſte Ausdruck P = — die geometriſche Reihe X † X 2 † X 3 † x 4 † x5 1 rs r † ꝛc. aus welcher erhellet, daß eine jede Zahl einmal in der er Reihe der ganzen Zahlen enthalten iſt. N 2 §. 309. “ X 340 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel. §K. 309. X3 Was den zweyten Ausdruck, Q = 1 — 2) (1 — *2) betrifft, ſo giebt derſelbe die Reihe X 3 † X 4 † 2 X 5 † 2 XK6 † 3 X7 † 3 X 8 4xX9 †4X0 † c. und darin zeigt der Coefficient eines jeden Gliedes an, auf wie viel Arten der Exponent von x in zwey ungleiche Theile getheilt werden kann. So giebt das Glied 4?2 zu erken⸗ nen, daß ſich die Zahl 9 auf vier verſchiedene Arten in zwey ungleiche Theile theilen laͤßt. Dividirt man die an⸗ gefuͤhrte Reihe durch X3, ſo erhaͤlt man dun Quotienten — X2) ent⸗ die Reihe, welch he aus dem Bruche r ſpringt, und folgende iſt: 1 † X T,2 X2 † 2X 3 † 3 X 4 PP 3 X5 † 4X6 T 4X7 † ꝛc. Setzt man nun das allgemeine Glied dieſer Reihe = N Xn, ſo iſt aus der Entſtehungsart derſelben klar „daß der Coeffi⸗ cient N anzeigt, auf wie vielerley Arten der Expo⸗ nent n aus den Zahlen 1 und 2 durch die Addition hervor⸗ gebracht werden kann. Da alſo das allgemeine Glied der vorhergehenden Reihe = NX h† 3 iſt, ſo erhalten wir da⸗ durch den Lehrſatz; Auf eben ſo viel Arten, als eine Zahl n aus den Zah⸗ len I und 2 durch die Addition hervorgebracht werden kann, auf eben ſo viel Arten laͤßt ſich die Zahl n 1 3 in zwey un geiche Theile theilen. . 310. Entwickelt man ferner den dritten, XG Ausdruck ſo erhaͤlt man dafuͤr die Reihe 2) C1—x N6 T 1 218 † 3229 1 4r0 † 5711 7r2 T SXI3 † de. in teiher d eviel ver wel t wett — ((1-—) (l ITXT und wenn ſigt, ſo ſei Jlhln aus Polten werd thergehen heſat: uf eb len I, 2uj auf eben ſo mgleiche Ch Der biert Sk, Kenn IO und in di⸗ en, auf ihn ſtehen filt werde herzehende 11 ſd ſegt m d. 2 — — 1²) rlo⅜⅛ da n auf eige Naͤe 11) en⸗ ene Ninn ie man die n⸗ n Qotiecten 2 — — (t⸗ — ) 14774 eihe = Nn, d Ce⸗ Wuen Noe vine Glied der ler Ar A⸗ „ us den 50, N. cacht werden zehl 1 / udrick 1 z!7 Von der Theilung der Zahlen. 341 in welcher der Coefficient eines jeden Gliedes anzeigt, auf wie viel verſchiedene Arten der Exponent der Poteſtaͤt von x, zu welcher er gehoͤrt, in drey ungleiche Theile ge⸗ theilt werden kann. Entwickelt man aber den Bruch (1— (1 — X ²) (1 — ITXT 2X2 T 3 2 3 142 k 5* 7X6 % 827 † ꝛc. und wenn man das allgemeine Glied derſelben = N ſetzt, ſo zeigt der Coefficient Nan, auf wie viel Arten die Zahl n aus den Zahlen 1, 2 und 3 durch die Addition er⸗ halten werden kann. Da nun das allgemeine Glied der vorhergehenden Reihe = NXN †6 iſt, ſo folgt daraus der Lehrſatz: Auf eben ſo viel Arten, als eine Zahl n aus den Zah⸗ len 1, 2 und 3 durch die Addition erhalten werden kann, guf eben ſo viel Arten laͤßt ſich die Zahl n † 6 indrey ungleiche Theile thelen Siy —— 5 ſo bekommt man die Reihe H §. 311. XIO (1 — X) (1 — X2²) (1 — X 3) (I — X 4) Der vierte Ausdruck giebt, wenn man ihn in eine wiederkehrende Rethe aufloͤſet, XIO † XII † 2X12 † 3X13 5X14 † 6x15 † 9 XI1 6 † ꝛc. und in dieſer Reihe zeigt der Coefficient eines jeden Gliedes an, auf wie vielerley Arten der Exponent der neben ihm ſtehenden Poteſtaͤt von X in vier ungleiche Theile zer⸗ faͤlt werden kann. Entwickelt man aber den Ausdruck 1 hergehende Reihe durch X1 dividirt, oder I TX T 2 X²½ T 3X ⅜ † 5 Xx4 † 6X 5 †ToxXs † ꝛc. ſo erhaͤlt man die vor⸗ 2. und ſetzt man das allgemeine Gli ed dieſer Reihe = NXN 7 342 Erſtes Buch. Sechszehntes Caditel. ſo iſt bekannt, daß der Coefficient N anzeigt, auf wie viel Arten die Zahl n aus den Zahlen 1, 2, 3, 4 durch die Addition erhalten werden kann. Da alſo das allgemeine Glied der erſten Reihe = NXNRràο iſt, ſo folgt hieraus der Lehrſatz: Auf eben ſo viel Arten, als eine Jahl n aus den Zah⸗ len 1, 2, 3/ 4 durch die Addition hervorgebracht wer⸗ den kann, auf eben ſo viel Arten laͤßt ſich die Zahl n rio in vier ungleiche Theile theilen. 9. 312. Ueberhaupt alſo zeigt der Coeffigzent N, wenn man die⸗ ſen Ausdruck 1 (1 — xX) = c1 — X 3) . . . . . . . (. — Xin) . in eine Reihe aufl oͤſet, und das allgemeine Glied dieſer Reihe = NxXn ſetzt, an, auf wie vielerley Arten die Zahln aus den Zahlen 1, 2, 3, 4 . . . . . m durch die Addition hervorgebracht werden kann. Loͤſet man aber den Ausdruck müm † 1) X 2 (1— X) (1 — X2) (I1 –— Xx3) . (1 – Xxm) in eine Reihe auf, ſo wird das allgemeine Glied derſelben 4. (m † 1) Næ t — und darin zeigt der Coefieient N an, — „W *% ° auf wie viel verſchiedene Arten die Zahl n † Cn 1 1 . 2 in m ungleiche Theile gethellt werden kann. Hieraus fließt folgender Lehrſatz: Auf eben ſo viele Arten, als man eine Zahl n durch die Addition gaus den Zahlen 1, 2, 3, 4, . . . . . m hervorbringen kann, auf eben ſo viele Arten ußt ſich auch 44, de n. Rachde KTheile bet derſelben b gle oder en cher der Au — — 61 lom Genn dieſen N 7=I eehelten — (1-221 wird, ſor Hit der ent —) ſc. De 781 duch l- (1— und dergl ſo ſudet 1- — 1- 4 Mat ert 4. un wete durch ⸗ algeneine 1 hirnus We Hr p tbrach⸗ Sehlne wan die⸗ — dn de “ die Rblton den Ausduuk 1— W) icd deſſeben eficien 8 N nn1) 1.2 ſenefih — hl n duch n lße ſch uch Von der Theilung der Zahlen. 343 auch die Zahl n † C in m ungleiche Theile theilen. Nachdem wir die Theilung der Zahlen in ungleiche Theile betrachtet haben, ſo wollen wir nun die Theilung derſelben betrachten, bey welcher die Theile auch entweder alle oder einige] einander gleich ſeyn koͤnnen, und bey wel⸗ cher der Ausdruck 1 2= — (1—X2) (1— xX22) (1— x 32) (1— X 42) (1— x52) 2ꝛ0. zum Grunde liegt. Wir wollen annehmen, daß wir aus dieſem Ausdrucke, wenn wir wirklich dividiren, 72 = 1 † Pz † Qz2 † Rz3 † S24 † T 27 † 20. erhalten. Da nun, wenn man x2 anſtatt 2 ſetzt, . 1 H (1 –— X 22) (1 — XK 32) dr — = 12) (1— xX2) c. = 2 wird, ſo wird auch, wenn man eben dieſe Veraͤnderung mit der entwickelten Reihe vornimmt, (I — X2) Z = I † PXZ † Qx222 † RX323†† SXA24 † ꝛc ſeyn. Multiplicirt man ferner die Reihe L Z= I† Pz † Cz2 † RzZ3 † 824 † Tz* † ,. durch 1— X 2, ſo erhaͤlt man (i — X 2) Z = ☛ I . Pz † Qz2 † RZz3 † 624 † ꝛxc. — xX2 — PX22 – Qx23 —–— RXZ4 — 20. und vergleicht man endlich dieſes mit dem Vorhergehenden, ſo findet man X PX Cx AI = — — ; — 3½ 2 Man erhält alſo fuͤr P, Q, R, S ꝛc. folgende Werthe: 344 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel. Ce⸗ (1 – X) — 52) GH e 4 “ = (1 — X2) (1 — X 3) (I— 2) §. 314. Dieſe Beſtimmungen der Buchſtaben P, Q, R, Ss ꝛc. unterſcheiden ſich von den vorher §. 307. gefundenen bloß darin, daß die Exponenten ihrer Z aͤhler kleiner ſind; und es ſtimmen daher die Reihen, die ſich durch die Entwicke⸗ lung der gegenwaͤrtigen und der vorhergehenden Werthe von P, Q, R, 8 ꝛc. ergeben, in Anſehung der Coeffi⸗ cienten auf das genaueſte mit einander uͤberein. Man kann dieſe Uebereinſtimmung ſchon bey einer Vergleichung der Reihen im 300ten und 304ten §. wahrnehmen, allein hier faͤllt zuerſt der Grund davon in die Augen. Wegen dieſer Uebereinſtimmung muͤſſen nun aber auch die Lehr⸗ ſaͤtze, auf welche die gegenwaͤrtige Unterſuchung fuͤhrt, durchaus den obigen (§. 300. bis 312.] aͤhnlich ſeyn, und es ſind dieſelben alſo fol gende: Auf eben ſo viel Arten, als man eine e Zahl n aus den Zahlen 1, 2 durch die Addition hervorbringen kann, auf eben ſo viel Arten laͤßt ſich auch die Zahl n † 2 in zwey Theile theilen. Auf eben ſo viel Arten, als man eine Zahl n aus den Zahlen 1, 2, 3 durch die Addition hervorbringen kann, auf eben ſo viel Arten laͤßt ſich guch die Sahlr n † 3 in drey Theile theilen. Auf „ SEe Ml, eben gir The 4 n Ufe Zehlenl, Uringen ohlnt Eer Alten ſi uf wie laſe, doß ander geic ſicht inden Zohl ausd ton heror lgerden W geche den 3 vorgeb der ur den Zal vorgebr Hie⸗ 11, 1, denen bloß rſnd, e Entvicke⸗ en Vathe er Coeff⸗ in. Man⸗ N Wöͤchung men, olein 4 Myen die kehe⸗ ng ſhe, ſena, ehl n eus mmor int, 1n 2 nn nsus den gen kin 131 luf Von der Theilung der Zahlen. 345 Auf eben ſo viel Arten, als man eine Zahl n aus den Zahlen 1, 2, 3, 4 durch die Addition hervorbringen kann, auf eben ſo viel Arten laͤßt ſich auch diel dahl n † 3 in vier Theile theilen Und uͤberhaupt: Auf eben ſo viel Arten, als man eine Zahl n aus den Zahlen I, 2, 3, 4 .. m durch die Addition hervor⸗ bringen kann, auf eben ſo viel Arten lͤßt ſich auch die Bahl n T m in m Theile theilen. §K. 315. Es mag alſo gefragt werden, entweder, auf wie viel Arten ſich eine gegebene Zahl in m ungleiche Theile, oder auf wie viel Arten ſie ſich auf die Art in m Theile theilen laſſe, daß dieſe Theile auch entweder alle oder einige] ein⸗ ander gleich ſeyn koͤnnen: ſo laͤßt ſich jedesmal die Antwort leicht ſinden, wenn man weiß, auf wie viel Arten eine jede Zahl aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, m durch die Addi⸗ tion hervorgebracht werden kann. Es erhellet dies aus folgenden Lehrſaͤtzen, die aus den obigen abgeleitet ſind. Eine jede Zahl n laͤßt ſich auf ſo viel Arten in m un⸗ gleiche Theile theilen, als die Zahl n — — n 8 5 2 den Zahlen 1, 2, 3, 4, m durch die Addition her⸗ vorgebracht werden kann. Eine jede Zahl n laͤßt ſich auf ſo viel Arten in m gleiche oder ungleiche Theile theilen, als die Zahl n — m aus Dden Zahlen 1, 2, 3, 4, . ..m durch die Addition her⸗ vorgebracht werden kann. Hieraus fließen ferner feitge nde Lehrſaͤtze,. S= 346 Erſte⸗ Buch. Sechszehntes Capitel. Eine jede Zahl n laͤßt ſich auf ſo viel Arten in mungleiche Theile theilen als man die ahln — m — Di in m gleiche oder ungleiche Theile zerfaͤllen kann. Eine jede Zahln laͤßt ſich auf ſo viel Arten in megleiche oder ungleiche Theile theilen, als man die Zahl n † . 1 in m ungleiche Theile zerfaͤllen kann. §. 316. Auf wie viel Arten aber eine Zahl n aus den Zahlen I, 2, 3, 4, m durch die Addition hervorgebracht wer⸗ den kann? ſolches laͤßt ſich durch Formirung wiederkehren⸗ der Reihen finden. Man hat nem lich zu dieſem Endzwecke den Bruch 1 ene (I – X) (1 – X2) (1 — X3). . . ..(1I – Xi) zu entwickeln, und die daraus entſpringende wiederkehrende Reihe bis zu dem Gliede N xn fortzuſetzen, denn der Coeffi⸗ cient dieſes Gliedes N zeigt an, auf wie viel Arten die Zahl n aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, .. m durch die Ad⸗ dition hervorgebracht werden kann. Indeß iſt dieſer Weg mit viel Beſchwerlichkeiten verknuͤpft, ſobald m und n nur einigermaßen große Zahlen ſind; denn die Beziehungs⸗ Scale, welche man aus dem durch die Multiplication ent⸗ wickelten Nenner erhaͤlt, beſteht alsdann aus ſehr vielen Giiedern, und es iſt daher ſehr muTͤhſam, die Reihe bis zu einer betraͤchtlichen Anzahl von Gliedern fortzuſetzen. §. 317. Man erleichtert ſichs aber ſehr, wenn man zuvoͤrderſt die einfachern Faͤlle entwickelt, indem der Fortgang von die⸗ ſen zu den zuſammengeſetztern leicht iſt. Es ſey das allge⸗ meine nine E⸗ Gtſprine velche d giebt, Aten d. Subdal hergehe 1 nd de⸗ ſt (N- wie biel - Hie Peoo⸗ 1d mliche agleiche gliche N AE n. Mhien racht wer⸗ derkeheer⸗ Endzwece - In) kehrende Gefi⸗ Iunn Ne die W er My Darue ſchange⸗ auon un ſihr ilin ihebb tdederſ bon Ni⸗ tlae genne Von der Theilung der Zahlen. 3347 meine Glied der Reihe, welche aus dieſem Bruche (1 — 2) (I1 – X2) (1 – X3) .... —.— entſpringt, = N xn, und das allgemeine Glied der? Reihe, welche dieſer Bruch XI — (1 — X2) ((1— X3) ... . .. (1 — xm)/ giebt, = MXxn, wo der Coefficient 5 M anzeigt, auf wie viel Arten die Zahl n — m aus den Zahlen 1, 2, 3/ 4, .. ... m durch die Addition hervorgebracht werden kann. Subtrahirt man alſo dieſen letzten Ausdruck von dem vor⸗ hergehenden, ſo bleibt (1 — X) (i — xX2) (I — X³) . (1.— XI- 1) und das allgemeine Glied der hieraus entſpringenden Reihe iſt (N — M) xn, und der Coefficient N — M zeigt an, auf wie viel Arten die Zahl n aus den Zahlen 1, 2, 3, ..⸗ (m — 1) durch die Addition hervorgebracht werden kann. §. 318. Hieraus fließt alſo folgende Regel: Wenn L die Menge der Arten, auf welche die Zaht n n aus den Zahlen 1, 2, 3, . (mMm — 1), M die Menge der Arten, auf welche die Zahl n — maus den Zahlen 1, 2, 3 Im, und N die Menge der Arten, auf welche die Zahl n aus den Zahlen 1, 2, 3, . m durch die Addition hervor⸗ gebracht werden kann, bedeutet: ſo iſt, wie wir geſehen haben, N – X,, und folglich N = L † M. Wenn man alſo hereits die Menge der Arten, auf welche die . 348 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel. die Zahlen n und n — m, und zwar jene aus den Zahlen 1, 2, 3, (m — 1), und dieſe aus den Zahlen 1,2, 3, . . . . . . . m durch die Addition hervorgebracht werden, ken⸗ net: ſo findet man daraus durchs Addiren, auf wie viel Arten die Zahlen aus den Zahlen 1, 2, 3.. .. . . m durch die Addition hervorgebracht werden kann. Vermittelſt die⸗ ſes Lehrſatzes kann man von den einfachern Faͤllen, die keine Schwierigkeit haben, ſtufenweiſe zu den zuſammen⸗ geſetztern fortgehen; und auf dieſe Art iſt die am Ende dieſes Capitels befindliche Tabelle berechnet worden, deren Ge⸗ brauch folgender iſt. Will man wiſſen, auf wie viel Arten die Zahl 50 in 7 ungleiche Theile getheilt werden k ann: ſo nehme man in der erſten Vertical⸗Reihe die Zahl 50 — = 22, und in der oberſten Horizontal⸗ Reihe die roͤm ſche Zahl VII. Die Zahl 522, die in der Tabelle neben jener und unter dieſer ſteht, zeigt die verlangte Menge an. Will man hingegen wiſſen, auf wie viel Arten die Zahl 50 in 7? gleiche oder ungleiche Theile getheilt werden kann: ſo nehme man in der erſtern Vertical⸗R eihe die Zahl 50 — 7 = 43. Die in eben der Horizontal Reihe in der 7ten Vertical⸗ Reihe ſtehende Zahl 8946 iſt diejenige, welche man ſuchet. §. 319. Die Vertical⸗ ⸗Reihen dieſer Tabelle ſind zwar r wieder⸗ kehrende Reihen, allein ſie ſtehen gleichwohl mit den natuͤr⸗ lichen Zahlen, den Trigonal⸗ den Pyramidal⸗Zahlen ꝛc. in einer ſehr genauen Verbindung, und es wird nicht undienlich ſeyn⸗, ſelbige hier etwas aus fuͤhrlicher ar unterſuchen. Da nemlich zu Seite 3481 und 611, welche die Werthe von nems S. 608 Abſatz 1 enthaͤlt. T abelle Werthe der Zahl m. Werthe der Zahl n sa ee „ 0 H H e er n — 7 10 13 18 23 II 20 26 14 30 37 47 57 70 35 44 58 71 2⁰ 123 100 133 äl 169 84 101 119 141 164 136 163 235 192 221 255 291 —333 282 331 391 454 532 364 522 618 185 206 f 225 249 270 377 42²7 480⁰ 540 603 612 709 811 931 1057 860 1009 1175 1367 1579 — — — 157 201 252 318 393 436 233 488 598 732 887 10976 1291 1549 1845 2194 252² 1204 653 807 984 1455 1761 2112 2534 3015 297 321 351 378 674 748 831 18 1014 411I —,— — — 478 511 551 398 1115 1226 1342 1469 1602 1206 1360 1540 1729 ðDòè 2172 — —— à —632 672 720⁰ 764 816 1747 1898 2062 2233 2418 2432 2702 3009 3331 3692 40270 4494 4935 5427 864 972 1033 1089 2611 2818 3034 3266 3507 1154 1215 1285 1350 1425 3765 4033 4319 4616 4932 5942 6510 710⁰4 7760 2442 9192 9975 10829 11720 12692 1824 2093 2400 2738 3120 3539 4011 5 102 5731 6430 7190 8033 8946 11044 13534 14950 19928 1495 1575 1650 1735 1815 5260 5608 5969 6351 6747 13702 14800 15944 17180 18467 1906 1991 2087 2178 2280 7166 7599 8056 8529 2027 19858 21301 22856 24473 26207 21873 123961 26226 4526 12241 16475 27493 18138 3590 4242 5013 5888 6912ſ —— 8070 S6o 695 863 1060 1303 1586 1930 2331 2812 33 70 435 4802 5788 6751 272 9373 172 224 285 366 460 5982 725 905 III66 1380 1 786 2063 2503 3036 — 3255 4401 5262 6290 7476 292418 11004 12866 15021 17475 10936 12690 14663 9953 409831 55494 12 62740 70760 419466 22367 16928 20298 23501 27169 25608 29292 36043 31316† 8Sy 10489 12384 14552 17084 292978 23334 27156 31570 36578 42333 33401 38047 43214 49037 54218 61903 0515 80215 41373 47420 5 89623 100654 79725 103226 116792 131970 48849 56297 64707 74287 85067 97299 111036 126560 143948 163540 28652 31275 34082 37108 40340 403 112804 43819 47527 51508 55748 60289 81457 89162 97539 106522 13275 146520 161554 177884 116263 195666 2376 9542 28009 65117 126692 214944 126299 141136 157564 175586 148847 167672 188556 2117982 237489 185425 210005 237405 268099 302196 195491 217280 241279 267507 296320 266006 297495 332337 370733 413112 327748 459718 10083 10642 11229 11835 29941 31943 34085 36308 70281 75762 SrI 187816 362198 511045 150042 258569 399705 567377 163069 283161 440725 629281 17697813097291485315 697097 2484 137977 235899 2586 2700 2808 .l ... . SIeernserserrtereerrernee R — — = =rernnerernenen Werthe der Zahl m. der Sant n. XIII XIV XV XyvVI xVI XvVII XxX XX I 0„%„M%v 1 1 1 1 11 1 1 1 1I1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 2 – 2 2 2 2 2 2 2 2 2. 3 3 3 3 3 3 3 — — 5 5 5 —— — — — — 85 7 7 7 7 7 . 7 7 7 7 6 11 11 11 11 11 11 1II 11 11 N 15 15 15 15 15 15 15 15 15 8 22 22 22 22 22 † 22 22 22 22 —2 30 30 30 30 390 —0 3⁰ 30 30 10 42 42 42 42 42 42 42 42 42 11 56 56 56 56 56 56 56 56 56 12 77 77 77 77 77 7 77 77 7 13 101 101 101 101 101 149 101 101 101 — 14 134 1353 135 135 133 1353 135 135 135 15 174 175 176 176 176 176 176 176 176 16 227 229 230 231 231 231 231 231 231 17 290 293 295 296 297 297 297 297 297 18 373 378 381 383 384 385 385 385 385 19 471 478 483 48 6 488 489 490 49 % 490 20 597 608 615 620 623 625 626 627 627 21 747 762 773 780⁰ 785 788 790⁰ 791 7092 22 935 957 972 983 990 995 998 1000 1002 23 1158 1188 1210 1225 1236 1243 1248 125 1 1255 — 24 1436 1478 1508 1530 1545 1556 1563 1568 –—575 25 1763 I819 1861 1891 1913 1928 10939 1946 1958 26 2164 2241 2297 2339 2369 2391 2406 2417 2436 27 2637 22738 2815 2871 2913 2943 2965 2980 3010 28 3210 3345 3446 3523 3579 3621 3651 3673 3718 29 3882 4057 4192 4293 4370 4426 4468 4498 4565 30 469 1 4920 5096 5231 5332 5409 5465 5507 55604 31 5635 5928 6158 6334 6469 6570 6647 6773 6842 32 6761 7139 7434 72665 7844 7976 8077 8154 8349 33 8073 8551 8932 9226 9459 9633 9770) 9871 t10r43 34 29624 10232 10715 11098— II395 1 1626 1I802 11937 12310 35 11424 12186 12801 13287 13677 13968 14199 14375 14883 36 13542 14499 15272 15892 16380 16765 17062 17293 17977 37 15988 17176 18148 18928 19551 20040 20425 20722 21637 38 18847 20325 21535 22518 23303 23928 24412 24803 26015 39 22142 23961 25469 25694 27684 28472 29092 29588 31185 40 25971 28212 30073 31603 32839 33834 34624 35251 37338 Ar 30366 33104 3540 1 37292 38837 40⁰80 4107 8 41860 44583 42 35452 38797 41612 43951 45464 47420 48668 49668 53174 43 41269 45326 48772 51643 54012 55940 57503 58754 63261 44 47968 52888 57080 60603 63516 65907 67846 69414 75175( 45 55610 61538 66634 70927 74506 77449 79854 81801 89134 46 64370 71509 77667 82898 87268 90889 93854 96271 105558 47 24331 82882 90316 96650 101982 106408 110059 113039 124754 48 85711 95943 104875 II2540 11I9009 r124418 128886 132559 147273 — 92— 98609 110795 121510 130738 138579 145149 150614 155112 173525 50 113287 127786 140587 151685 161144 169120 175767 181274 204226 51 129883 147059 162331 175618 187013 196648 204725 211528 239943 52 148702 169027 187175 203067 216738 228364 238134 246288 281589 53 169919 1938980 215415 243343 2509723 264691 276493 286364 320931 54 193906 222118 247587 270105 2989656 306421 320620 332557 386155 55 2209877 2539981 284054 310748 334051 354091 371153 385528 451276 56 251274 290071 325472 357075 384759 408687 429112 446405 526823 57 285373 330699 372311 409603 442442 470914 495332 516054 614154 58 323689 376577 425349 469300 5098137 541971 571069 595872 715220 59 366566 428104 485184 1536827 582691 [622771 686983 831820 R 657395 . Von der Theilung der Zahlen. 349 7 heenmlich der Bruch Sdieſe Reihe ”MM rfare ran, 1 32e 12 Ns bi. und der Bruch⸗ alſo folgende Reihe (1— F X † x2 † 2 xX 3 T 3X6 † ꝛc. giebt: ſo erhaͤlt man, wenn man dieſe beyden Reihen ad⸗ dirt, I † 2X †† 3 X2 † 4 X3 † 5 X4 † 6X 5 † 7x6 4 z. oder die Reihe, welche durch die Diviſion aus dem Bruche ITX (1 — x) (I1 — XKXK) — —— entſteht; und hieraus er⸗ hellet, daß die Zahlen in den Gliedern dieſer letzten Reihe die Reihe der natuͤrlichen Zahlen geben. Wenn man da⸗ her aus der zweyten Reihe der Tabelle immer zwey und zwey Zahlen nimmt, und dieſelben addirt, ſo erhaͤlt man die Reihe der natuͤrlichen Zahlen, wobey X = I iſt. I † I † 2 † 2 † 3 † 3 † 4 †4 †5 † 5 † 6 † 6 † ꝛc. I † 2 T 3 † 4 † 5S †6 †7 † 8 T 9 † 10 F II 12 z. Umgekehrt findet man aus der Reihe der natuͤrlichen Zah⸗ len die erſte Reihe, wenn man jedes Glied derſelben von jedem folgenden Gliede der unter ihr ſtehenden Reihe ab⸗ zieht. §. 320. Die dritte Vertical⸗ Reihe entſpringt aus dem Bruche I 1 — G — *) (1 — *) (1 — 3) Da nun — tte Fiſt, ſo iſt offenbar, daß man durch die Addition je drey und dreyer Glieder dieſer Reihe, und durch die abermalige Addition je zwey und zweyer Glie⸗ der 1 350 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel. der der durch⸗die erſte Addition erhaltenen Reihe die Tri⸗ gonal⸗Zahlen bekommen werde. Dies beffaͤtiget ſich durch folgendes Exempel J 1 †1†2 314 †S † †S †1ob†ατHπαατι¹ιι1τι11⁷. 11r 141 6 † 9 † 12 † 16 †. 20 † 25 † 30 †. 36 † 42 † 49 † ꝛc. 1 †3 † 6 † 10 † 15 † 21 † 28 † 36 † 45 † 55 † 66 † 78 † 9r †:ꝛc. Umgekehrt ſieht man hier auch, wie die oben ſtehende Reihe aus der Reihe der Trigonal⸗Zahlen erhalten werden kann. Auf eine aͤhnliche Art iſt auch, da die vierte Vertical⸗ I Reihe aus dem Bruche — — — — — 4) (1†. EX) (1 † X † xX) (I Tx TxX x 3) — 1 — X) (I — xXX) (1 — X3 (1 — x4) 4 (1 — X) 4 Wenn alſo in der vierten Vertical⸗Reihe je vier und vier entſpringt, Glieder addirt, ferner in der auf dieſe Art gefundenen Reihe die Summen je drey und dreyer Glieder geſucht, end⸗ lich in der hierdurch entſtandenen Reihe immer je zwey und zwey Glieder zuſammengenommen werden: ſo entſpringt daraus die Reihe der Myramidal⸗ Zahlen, wie folgendes Exempel zeigt. ATIT 2 13 † 5 † 6 † 91 r 1 15 4 18 123 † 27 Fꝛe. Tf 2 †% 4 † 7 FII † 16 †2 3 ¼ 31 † 4 † 53 † 67 †¼ 83 kꝛe. I3 † 7 † 13 ¼ 22 † 34 †50 † 70 † 95 † 125 † 16 1 † 203 Fzc. IT 4 † 10 † 20 † 35 † 56 † 84 † 120 † 165 † 220 † 286 † 364 2c. Auf eine aͤhnliche Art fuͤhrt die fuͤnfte Vertieal Reihe zu den Pyramidal⸗Zahlen von der zweyten Ordnung, die ſechſte zu denen von der dritten Ordnung, ꝛc. §. 322. Umgekehrt fann man aus den ſigurirten Zahlen die Reihen finden, welche in der Tabelle vorkommen, und zwab 1131 1 12 1 1 ½, 1tar 1131 142 111 11 5115 114tI 1 3 144 17142 Nench Zohlen, das vorh kommtn ſeden G. vorhergehea nan dadur man, wen gehenden gehenden bigen n * e Ilt / Wt ift⸗ emten Rehe Mneng, di Nie wen, nd⸗ nrar Von der Theilung der Zahlen. 351 zwar durch die Operationen welche die folgenden Exempel zu erkennen geben. 1213† 4 †5 † 6t†† S r1-%1 t† . I. † I † 2 † 2 †T 3 † 3 P 4 4 † §S † 5 f† ꝛc. II1 1 †3 †6 † 10 † 15 † 21 † 28 † 36 † 45 † 55 † ꝛe. 1†2 †41† 6 † 9 † 12 F 16 † 20 † 25 † 30 † ꝛc. I1† I T 2 T 3 † 4 † 5 † 7 T 8 † 10 † 12 † ꝛc. III ð I†4 † 10 † 20 † 35 † 56 † 84 † 120 † 165 † 220 † ꝛc. 1† 3 † 7 † 13 f 22 † 34 † 50 † 70 † 95 T 125 † :. 1I†2 † 4 † 7 † I1 † 16 †23 † 31 † 41 † 53 † ꝛc. 1 †IT 2 † 3 † 5 † 6 ¼ ⁹ † II † 15 f† 18 f† ꝛt. IV. ———— 1 † 5 15 f 35 f. 70 † 126 210 † 330 † 495 † 715 † 1¹0. 1 † 4 † 1I † 24 † 46 † 80 †130 † 200 † 295 † 420 Pc. 1 † 3 † 7 14 †— 25 † 41 † 64 † 95 † 136 † 189 † :. II2 1 4 † 7 † 12 † 18 † 27 † 38 † 53 † 71 † ꝛ. 1I T 2 † 3 † 5 † 7 † 10 † 13 f 18 f 23 † 2c. V. 20. Hier enthalten die erſten Reihen allenthalben die figurirten Zahlen, und wenn man von einem jeden Gliede derſelben das vorhergehende Glied der zweyten Reihe abzieht, ſo be⸗ kommt man die zweyte Reihe. Zieht man ferner von einem jeden Gliede dieſer zweyten Reihe die Summe der beyden vorhergehenden Glieder der dritten Reihe ab, ſo ethaͤlt man dadurch die dritte Reihe. Auf eben dieſe Art ſindet man, wenn man fortfaͤhrt, von jedem Gliede der vorher⸗ gehenden Reihe die Summe von drey, vier fuͤnf vorher⸗ gehenden Gliedern ꝛc. der folgenden Reihe abzuziehen, die uͤbrigen Reihen, bis man auf eine Reihe kommt, die von I † 1 † 2 anfaͤngt, welches denn jedesmal die in der Ta⸗ belle enthaltene Reihe iſt. §. 323. Die Vertical⸗Reihen der Tabelle fangen alle auf einer⸗ ley Art an, und haben immer mehrere Glieder mit einan⸗ der gemein; woraus erhellet, daß ſie im Unendlichen durch⸗ aus mit einander uͤbereinſtimmen werden. Man erhaͤlt aber fuͤr die O ſte Vertical⸗Reihe diejenige Reihe, die aus dem Bruche 1. (I1 — X(I — X 2) 1 — X 3 I — X 4) 1 — X5) (I — X) (1— 7) ꝛc. entſpringt; und da dieſe eine wiederkehrende Reihe iſt, ſo kommt es vorzuͤglich auf die Betrachtung des Nenners an, um daraus die Beziehungs⸗Scale zu finden. Multi⸗ plieirt man aber die Faktoren des Renners nach und nach mit einander, ſo kommt I — X — X2 †T X5 † x7 — XI 2 — XxIS5 † Xx22 † X26 . — 235 — xX40 † S5 I † ꝛc. und unterſucht man dieſe Reihe genau, ſo findet ſich, daß darin keine andere Poteſtaͤten von vorkommen als ſolche, B .B nn— n .Y V die unter der allgemeinen Form begriffen ſind, und daß die gedachten Poteſtaͤten, wenn n eine ungerade Zahl iſt, negativ, wenn aber n eine gerade Zahl iſt, po⸗ Da alſo die Beziehungs⸗Scale † 1, † 1,0, 0, — 1,0,— 1, 0, 0, 0, 0, † I, O, 0, †, 1I, 0, 0, te. iſt, ſo iſt die wiederkehrende Reihe, die aus dem Bruche 1 — —VI ſtſyring 1 ½112. vorN4 17X15 627220, dieſer Arten der lort, aus Racht we Aten da Und dari Erponent die Yodee .,„ Lul iner⸗ e! N W⸗ Nchen W. Neihe, ii — ——n Ar. de Nhe i, Nes Nennets den. Muti⸗ 6, und nach er ſch, e ſolhe, erifen ſin, ine upente 610 0,0 m bruche 1 Von der Theilung der Zahlen. 353 1I (1 — X) (I — X 2) (I – X 3I — 4) (1— X*(1I — X)1— 7) 1c. entſpringt, folgende: I P X T 2 X2 † 3 X3 † SNaA † xs? † rI X6 † 15 ½7 † 2 28 30 †X9 † 42X1 O-† 56X1I † 77XT2 † IOIXI 3 † 135 X14 †£ 176X15 † 231X16 † 297X17 † 385 X18 † 490Xx9 † 627 X2 0 792 72 1 † 1002 X2 2 † I1250 X2 3 † 1570 2 4 † ꝛc. In dieſer Reihe zeigt jeder Coefficient an, auf wie viel Arten der Epponent der Poteſtaͤt von X, zu welcher er ge⸗ hoͤrt, aus den ganzen Zahlen durch die Addition hervorge⸗ bracht werden kann. So laͤßt ſich die Ba 7 auf funfzehn Arten durch die Addition hervorbringen 7=7 7 = 4 2 † I 7 = 3ITITITI 7= 6 †1 7 =4 †ITITI 7 = 2 T2TZ2TII 75 2 73 T3 PI 7TZ TI TTTIT 7=STI TI=3 P2 fDz 7=2 †I TITITITI 7=4 13 l7 = 3 †2 † FI 7=IIIITIITTI 1†1 §. 325. Wenn man aber dies Produkt (1 † X) (1 † 2) (1 † X3) (I †X n ) (1 †X*) (1 † XS) ꝛc. entwickelt, ſo erhaͤlt man die Reihe: 1 † X † X ² † 2X3 † 2X4 † 3 X5 † 4 X6 † 8S27 162 † 9X9 † F IOXIO † . und darin zeigt jeder Coefficient an, auf wie viel Arten der Exponent der Poteſtaͤt von x, zu welcher er gehoͤrt, durch die Addition ungleicher Zahlen entſtehen kann. So laͤßt ſich die Zahl 9 auf acht Arten durch die Addition ungleicher Zahlen hervorbringen. 9 = 9 9 = 6 † 2 † 1 9 =& 8 fI = 5 † 4 9 = 7 † 2 9 — 5 F 3 F f 9 = 6 3 9 = 4 † 3 1 2 Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. 1. D. 3 §. 226. * 354 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel. d. 326. Um dieſe Formen mit einander zu vergleichen, ſo ſey P =(I —X) (I— X2) ( — ³) ([. — X4) (1.— X5) ((— X6)e. und CQ= ) (1 1x2) (1 X 3) (I †X4) (I1 TX5⁵) (I1 † X6) ꝛc. Alsdann iſt PQ= (I — X2) (I — X4)6 1 — X6) (.-X 8) (I — X I G) (I -X 1 2) ꝛc. Da nun alle dieſe Faktoren in P enthalten ſind, ſo dividire man P durch ? Q, wodurch man 5 = (I — X) (L — X 3) (1— xX5) (1j— ) (r — X) ꝛc. und alſo TI 3= (1 — X) (I — 3) (I — X5) (I — X7) (I – X ²) ꝛc. erhaͤlt. Entwickelt man aber dieſen Bruch, ſo ergiebt ſich daraus eine Reihe, in welcher der Coeffieient eines jeden Gliedes anzeigt, auf wie viel Arten der Exponent der in dieſem Gliede befindlichen Poteſtät von X aus den ungera⸗ den Zahlen durch die Addition hervorgebracht werden kann. Da nun dieſer Ausdruck demienigen gleich iſt, den wir in dem vorhergehenden §. betrachttt haben, ſo folgt hieraus der Lehrſatz: Auf eben ſo viel Arten, als ſich eine gegebene ahl aus allen ganzen aber unter einander ungleichen Zahlen durch die Addition hervorbringen laͤßt, guf eben ſo viel Arten laͤßt ſich dieſe Zahl auch durch die Addition der einander entweder gleichen oder ungleichen ungeraden Zahlen erhalten. §. 322. Da alſo, wie wir vorhin geſehen haben, P = I – X — X2 † X5 † X7 — XI12 — XIS † Xx2 2 † iſt, Uod alſo, t I— X2— b— 1- Es iſ deße r geie⸗ X4 †NI0 9. 324. 1— 1 oder in De ITYI1 g px. Ner Zahlen Zachten bekan Dahlen dure Nun ſin llaochten i . n 6 ſey 4 , N 5 9I-t1:) ,ſo dooidire N. N N Y. ——— A-=. ſergiett ich teines ſeden ment der i BW WN e werden kan. ,An N A fllt hitens den kin hin der ze is 6 IW gen undden oder in dieſe, I † X † X2 † 2 X3 † 2 X4 † 3 X † 4 X6 5 X7 T 6 K8 †£ Von der Dheilung der Zahlen. 355 iſt, ſo wird, wenn man XX anſtatt ſetzt, 5Q 1 — 2 — X4 † XX T XKI 4 — X2 4 — X 8304 X 4 † XS 2 — ꝛc. und alſo, wenn man dieſe Formel durch jene dividirt, Q = I — X2 — XA P†X ρο½X 4 – X2 4— X 3°† ꝛc. dernnn Es iſt dahe auch Q eine wiederkehrende Reihe, die aus der Reihe 3 entſteht, wenn man dieſel be mit 1 — xX2 — X4 † XXOT xI4 — X24 — ec. . multiplieirt. Da nemlich aus §. 324. . = I †X † 2 2 † 3 X3 † 5 X4 † 7 X5 † II X6 † 15 7 † 22 8 † 30 XK 9 † ꝛc. iſt, ſo wird dieſe Reihe, wenn man ſie mit 1 — x2 — 4 † XIO † 2 XI 4 — 20. multiplicirt, in folgende, ITX † 2 X2 † 3 X3 T† 5X4 † 7X* † II X6 † 15 X 7 † 22 X 8 † 30X9 † ꝛc. — xX2 — 3— 2X4— 3* — 5 X6 — Mä — XA— kS — 2 X6 — 38— 5 — — 8X9 † c. = Qverwandelt. Wenn daher die Formation der Zahlen durch die Addition gleicher ſowohl als ungleicher Zahlen bekannt iſt: ſo kann man daraus die Formation der Zahlen durch die Addition der ungeraden Zahlen herleiten. J. 328. Nun ſind noch einige merkwuͤrdige Faͤlle von dieſer Art zu beirachten uͤbrig, deren Entwickelung bey der Unterſuchung 3 2 der 356 Eeſtes Buch. Sechszehntes Capitel. der Natur der Zahlen nicht ohne allen Nutzen iſt. Man erwaͤge alſo folgenden Ausdruck: (I1 T†X) (I TxX2) (I † X4) (1 PX 8) (1 † x16⁶) (1 † x 3 2) 0. in welchem jeder folgende Exponent von x das Doppelte des vorhergehenden iſt. Entwickelt man denſelben, ſo fin⸗ det man die Reihe I † X † x2 † X3 † X4 † x5 † x6 x † XS& -† ꝛe; da es aber zweifelhaft ſeyn kann, ob dieſe Reihe bis ins Unendliche nach dem Geſetze der geometriſchen Progreſſio⸗ nen fortgehe, ſo wollen wir dieſelbe weiter unterſuchen. Es ſey alſo P = (I † 2) (1 † 22) (1 † x4) (r. X 8) (I † X16) ꝛc. und die Reihe, die ſich hieraus durch die Entwickelung der Faktoren ergiebt, ſey P= I † æX -† 6 2 †P X 3 P† A † Xs T &X †aX7 † d ⁸ † ꝛc. Hier faͤllt in die Augen, daß, wenn man xXX anſtatt X ſetzt, das Produkt P (I †X2) (I † XA) (1XS) (I. †16) (1 1tx2). = = und, wenn man in der angenommenen Reihe eben die Ver⸗ aͤnderung vornimmt, P ſeyn wird. Multiplicitt man nun aber durch 1 †xX, ſo wird P= r'X FexX † æX 3 † &x 4 † 8X 5 † 7X6† YX 7 x 8 † D 9 ꝛc. und vergleicht man dieſen Werth von P mit dem obigen, ſo wird * I; ₰⁸ a; „= a; = 8; = 2; 6 Sy; =7; ꝛc. Es ſind daher alle Coefficienten der angenommenen Reihe = 1, und es giebt folglich auch das Produkt P, wenn man ſelbiges entwickelt, die geometriſche Reihe 1 † X † X2 T X3 † Xx4 x5 † X6 -† X7 † X S † ꝛc. —,— = I †˙-ax 2 † 6X 4 X6 † X S † eX TI O† SXI 2 Pꝛc. Nalſ ei u Pe Uetiſchen daß man ton herbo zine Nr ge Wihen. 4 1. ,K vom 5 vo⸗ Deeſen zehn 64 5b, 12 Vyeny Noch Ni ! Va den ouch iu Nbon nemlie Nac kner wdgen Wen men Hi Vagſhole bald in die alo dieſes 5 durn einger 1, 3/9, 2 oddirt beid hiingen kan iſt. Nr I 2) ,, N. Pi W t Mntrickcungde 17 d 5 Uſolt P e —,— 2 — e⸗ 1 . hn de e⸗ 7712 . 10 ½ in Ao “õ l Nbigen, 75 7 * nmenan he ,, wennnan Von der Theilung der Zahlen. 357 §. 32 9. Da alſo hier alle Poteſtaͤten von x, aber jede nicht mehr als einmal vorkommt, ſo folgt aus der Form des Produkts (I TX) (I † X2) (I † X4) (1 † X 8) ꝛc. daß ſich eine jede ganze Zahl aus den Gl iedern der durch 2 aufſteigenden geo⸗ metriſchen Progreſſion 1, 2, 4, 8, 16, 32, zc. und zwar ſo, daß man jedes davon nur einmal nimmt, durch die Addi⸗ tion hervorbringen laͤßt, und daß ſolches nur auf eine ein⸗ zige Art geſchehen kann. Man kennt dieſe Eigenſchaft beym Waͤgen. Hat man nemlich Gewichte von 1, 2, 4, 8, 16, 32 ꝛc. F5, ſo kann man damit, vorausgeſetzt, daß keine Theile vom 15 vorkommen, jede Laſt waͤgen. So kann man mit dieſen zehn Gewichten 1 15, 2 5, 4 f5, 8 TB, 16 ſ5, 32 5, 64 15, 128 , 256 I5, 512 15 jede Laſt bis zu 1024 T, und wenn noch ein Gewicht von 1024 5 hinzukommt, jede Laſt bis zu 2048 15 waͤg gen. §. 2330. Man pflegt aber in den Anleitungen zum Waͤgen außer⸗ dem auch zu zeigen, wie man mit noch weniger Gewichten, davon nemlich jedes groͤßere dreymal groͤßer iſt, als das zu⸗ naͤchſt kleinere, oder mit 1, 3, 9, 27, 81, . 15B. jede Laſt waͤgen koͤnne, wenn dabey keine Bruͤche vom 15 vorkom⸗ men Hierbey werden aber die Gewichte nicht in die eine Wagſchale allein, ſondern, ſo wie es die Umſtaͤnde erfordern, bald in die eine bald in die andere gelegt. Es gruͤndet ſich alſo dieſes Verfahren auf den Satz, daß man aus den Glie⸗ dern einer durch 3 auf ſteigenden geometriſchen Progreſſion 1, 3, 9, 27, 84, ꝛc. wenn man dieſelben bald zu einander addirt bald von einander ſubtrahirt, alle Zahlen hervor⸗ bringen kann. Es iſt nemlich 3 3 1 358 Erſtes Buch. Sechszehntes Capitel. I = 1 5 — 9 — 3 — I 9 =— 9 2 = 3 I 6 = 9 — 3 I0 = 9 † r 3 = 3 7 — 9 — 3 T†T I II = 9 † 3 — r 4 &ę †rI 8 = 9 – 1 1 12 = 9 † 32 1c. 9. 331. Um den Grund hiervon zu zeigen betrachte ich das un⸗ endliche Produkt G †r TX) (-=s 1) G 21TX ) Gn1snπ. welches entwickelt keine andere Poteſtaͤten von enthaͤlt, als ſolche, deren Exponenten aus den Zahlen 1, 3, 9, 27, 81, ꝛc. durch die Addition und Subtraction hervorgebracht werden koͤnnen. Ob aber darin alle Poteſtaͤten von und zugleich jede nicht mehr als einmal vorkomme? erforſche ich ſo. Es ſey P = ꝛc. † CX-3 † bX—2 † àaX-Tr † 1 † „X † 6 X2 † X 3 † x4 † =Xs P ꝛc. ſo iſt klar, daß, wenn man xs anſtatt x ſetzt, TII farasiria: tere: 7X9 † c. und folglich P= = 2c. † ax-A † ax-3 † ax-2 † x-I † I 1 P axX2 T X † «- † Sx5 † gx6 -† Sx 7 P ꝛc. 2 ſeyn wird. Vergleicht man aber dieſen Ausdruck mit dem angenommenen, ſo findet man Es iſt iesa =Wð . d man vehl die Lorkomme len einer durch die Und endli et n thu te ich Ne n n wenthet, G l) 1), hemvorgebrohe etn er irias 1. Uuck nit dem l Von der Theilung der Zahlen. 359 P= I † † Xa † X3 † X † Xs † X6 †X7 2c. 4 r P-2 † 3 † X 4 †X-— 5 † X- S1 K 7 † ꝛc. und man erkennet hieraus, daß alle Poteſtaͤten von x ſo⸗ wohl die mit poſitiven als die mit negativen Exponenten vorkommen, ſo wie auch, daß man alle Zahlen aus den Zah⸗ len einer durch 3 aufſteigenden geometriſchen Progreſſion durch die Addition und Subtraction hervorbringen kann, und endlich, daß man ſolches auf nicht mehr als auf eine Art zu thun in im Stande iſt. Siebenzehntes Capitel. Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen bey der Erſindung der Wurzeln der Gleichungen. §. 332. Es hat der beruͤhmte Daniel Bernoulli in den Com⸗ mentarien der Petersburgiſchen Academie der Wiſſenſchaf⸗ ten im dritten Bande gezeigt, was fuͤr einen großen Nutzen die wiederkehrenden Reihen bey der Erf findung der Wurzeln der Gleichungen von jeg lichem Grade gewaͤhr en, indem er da⸗ ſelbſt lehret, wie man ſich den Wurzeln jeder algebraiſchen Gleichung, die Anzahl ihrer Dimenſionen mag ſeyn, welche ſie will, vermittelſt der wiederkehrenden Reihen zu naͤhern im Stande iſt. Da dieſe Erſe indung haͤufig mit großem Vortheile angewendet werden kann, ſo wollen wir dieſelbe jetzt genauer betrachten, und die Faͤlle zu beſtimmen ſuchen, in welchen ſolches moͤglich iſt. Denn oft ereignet es ſich wider alle Erwartung, daß man auf dieſem Wege keine von den Wurzeln der Gleichung entdeckt. Um alſo dieſe Methode nach ihrem ganzen Umfange und nach allen ihren Vortheilen kennen zu lernen, wollen wir den Grund der⸗ ſelben in den Eigenſchaften der wiederkehrenden Reihen ſelbſt aufſuchen. . 333. Da ſede wiederkehrende Reihe aus der Entwickelung eines rationalen Bruchs entſpringt, ſo ſey dieſer Bruch * wo alod don, dag A 3 Das al Poteſaͤt. in dieein es Yemn ſlches E ha iglicß von 1—u— Wrin teel NNW onder gie ſoch der Fal unte keell und Aammten li- und die Vluch gn n beyde en. 1den Con⸗ hehtaitn in, welch n n Mhen nit grofen pir hle nen ſechen, gen d ſch Dege kene n de Se Nchalaniim ubn Nehen Eitritims ug Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 36 1 a † bz † cz2 † dz3 † ez4 † ꝛc. — 1 — az — 622 –— 72 3 — 52 4 –— ꝛc. und die daraus entſpringende wiederkehrende Reihe ſey AX † Bz † Cz2 -† Dz3 †T EzA †† Fzs PPic. wo alſo die Coefficienten A, B, C, D, ꝛc. ſo beſtimmt wer⸗ den, daß A = 4q B = « A † b C = „* B † β A † c D =—=C8B TYA f d DG ESaAD TSC TYB F† ϑ A Te 20. Das allgemeine Glied aber, oder den Coefficienten der Poteſtaͤt zn findet man, wenn man den gegebenen Bruch in die einfachen Bruͤche aufloͤſet, deren Nenner die Faktoren des Nenners 1 — «z – ⁸22 — 723 — ꝛc. ſind, ſo wie ſolches im dreyzehnten Capitel gezeigt worden iſt. §. 334. Es haͤngt aber die Form des allgemeinen Gliedes vor⸗ zuͤglich von der Natur der einfachen Faktoren des Nenners 1 — a z — 223 — ꝛc. und davon ab, ob dieſe einfachen Fak⸗ toren reell oder imaginaͤr, und ob ſie insgeſammt von ein⸗ ander verſchieden, oder ob zwey oder mehrere davon ein⸗ ander gleich ſind. Damit wir alſo dieſe verſchiedenen Faͤlle nach der Ordnung betrachten, ſo wollen wir zuvoͤrderſt den Fall unterſuchen, wo alle einfache Faktoren des Nenners reell und unter einander ungleich ſind. Es ſeyen alſo die geſammten einfachen Faktoren des Nenners (1 — pzZz) (I — q2) (I — r 2) (1 — 82) 2t. und die einfachen Bruͤche, worin hiernach der gegebene Bruch aufgelsſet wird, ſeyen 3 5 A 362 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel. 1—zZ 1— dqs 1— T2 1—— * Hat man dieſe gefunden, ‚ſo iſt das allgemeine Glied der wiederkehrenden Reihe, die aus dem gegebenen Bruche entſpringt, = 2n (Apa . Bqn 4. Cra f D sn † 2.) und dieſes wollen wir = Pzn ſetzen. Es ſoll nemlich P der Coefficient der Poteſtaͤt zu, und die Coefficienten der folgen⸗ den Poteſtaͤten daher dieſe, Q, R, S, ꝛc. ſeyn, ſo daß a lſo die wiederkehrende Reihe A † Bz † Cz † Dz PT. . . P† Pzn † Qzufr † Rzafz Tie. werden wird. Nun wollen wir n als eine ſehr große Zahl betrachten, oder annehmen, daß die wiederkehrende Reihe bis auf eine große Anzahl von Gliedern fortgeſetzt ſey. Da nun die Poteſtaͤten ungleicher Zahlen einander deſto ungleicher wer⸗ den, je hoͤher man dieſe Poteſtaͤten nimmt, ſo wird alsdann auch der Unterſchied unter den Poteſtaͤten Apu, Bqn, Ern, ꝛc. ſo groß ſeyn, daß diejenige, die aus der groͤßten von den Zahlen p, q, r, ꝛe. entſpringt, alle uͤbrigen an Groͤße weit uͤbertreffen wird, und dieſe uͤbrigen gegen jene ganz verſchwin⸗ den werden, wenn n eine unendlich große Zahl iſt. Da alſo die Zahlen p, q, r, ꝛc. einander ung leich ſind, ſo wird, wenn wir p als die groͤßte unter ihnen betrachten, und n unendlich groß annehmen, ?b = Apn, fuͤr einen ſehr gro⸗ 7 ßen Werth fuͤr n aber nur beynahe P = Apn ſeyn. Auf eine aͤhnliche Art wird aber auch = Apn †, und alſo = p ſeyn. Wenn man daher die wiederkehrende Reihe bis zu einer betraͤchtlichen Anzahl von Gliedern fortgeſetzt hat, Ve lauter ei⸗ ſo kann entſprin 1— p: den g ten des Mhan fnd wan wil ſben htm die vien iodeß e on Glicd Napim Mach ,15 ob der ſch hot, aen N Wie baiſche Gi der 1 Buge nid Ne derſoen⸗ ui aſ die DakN rochten is ouf Da won de, wied Cden P.en Frd ſe⸗ . „/r,A. en bn n ſcht ged⸗ ſcho. 1, G Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 363 hat, ſo findet man durch die Diviſion des Coefficienten ei⸗ nes jeden Gliedes durch den Coefficienten des vorhergehen⸗ den Gliedes einen Werth, welcher dem Werthe der groͤß⸗ ten Zahl p nahe kommt. §. 336. Wenn alſo der Nenner des gegebenen Bruchs a † bz † cz2 †T dz3 † ꝛc. 1— az — 622 — 72 3 — 524 — 2c. lauter einfache reelle und einander ungleiche Faktoren hat, ſo kann man aus der wiederkehrenden Reihe, die aus ihm entſpringt, einen von dieſen einfachen Faktoren, nemlich I1 – pz, oder den Faktor finden, in welchem der Buchſtabe bp den groͤßten Werth hat. Hierbey kommen die Coefficien⸗ ten des Zaͤhlers a, b, c, d, ꝛc. nicht in Anſchlag, ſondern man findet, man mag dieſe Coefficienten annehmen wie man will, endlich eben denſelben Werth des groͤßten Buch⸗ ſtabens p. Ganz genau und der Wahrheit voͤllig gemaͤß erhaͤlt man zwar den Werth von p erſt dann, wenn man die wiederkehrende Reihe bis ins Unendliche fortgeſetzt hat; indeß wenn ſolches nur bis zu einer betraͤchtlichen Anzahl von Gliedern geſchehen iſt, ſo ergiebt ſich doch der Werth von p immer genauer, je groͤßer die Zahl der Glieder ge⸗ macht worden iſt, und je mehr der Buchſtabe p die uͤbrigen q, r, s, ꝛc. an Groͤße uͤbertrifft. Uebrigens iſt es gleich, ob der Buchſtabe p das Zeichen † oder das Zeichen — vor ſich hat, weil ſeine Poteſtaͤten in beyden Faͤllen in ei⸗ nerley Maaße wachſen. §. 337. Wie man dieſes zur Erfindung der Wurzeln jeder alge⸗ braiſchen Gleichung anwenden koͤnne? iſt leicht einzuſehen, weil 364 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel. weil ſich, wenn man die Faktoren des Renners 1 — =2 — 822 –— 723 — à24 — ꝛc. kennt, auch die Wurzeln der Gleichung 1— 22 — g22 — 723 — 24 — ꝛc. = 0 MW angeben laſſen. Iſt z. B. I — pz ein Faktor jenes Nen⸗ . TLL . . . . ners, ſo iſt auch 2 = D eine Wurzel dieſer Gleichung. Da man alſo aus der wiederkehrenden Reihe die groͤßte Zahl p findet, ſo erhaͤlt man auch eben dadurch die kleinſte Wurzel der Gleichung 1— 22 — 6:⸗ — 72 3 – à24 — ꝛc. = 0. Oder ſetzt n man 2 = — „ ſo daß dieſe Gleichung entſteht XIn — ℳM X I= TI — 8 m- 2 — — XII=— 3 3 — „2c. — ſo findet man auf eben dieſem Wege die groͤ oͤßte Wurzel die⸗ ſer Gleichung X = p. §. 338. Iſt alſo die Gleichung XiNm — &αO XIN= I –— 6β△ XIN- 2 — zm- 3 — ꝛc. = — gegeben, und ſind deren Wurzeln insgeſammt reell und un⸗ ter einander ungleich: ſo findet man die groͤßte dieſer Wur⸗ zeln auf folgende Art. Man formirt aus den Coefficienten der gegebenen Gleichung einen Bruch a † bz † cz2 f dzi † ꝛc. 1— 22 — 622 — 723 — 24 — ꝛc. und entwickelt aus demſelben, indem man den Zaͤhler willkuͤr⸗ lich annimmt, eine wiederkehrende Reihe, oder, welches eben das iſt, man nimmt die erſten Glieder der wiederkeh⸗ renden Reihe nach Belieben an. Iſt nun dieſelbe A T Bz † Czz † Dz3 k. . . . . F. Pzn † Qzn- ſo giebt der Bruch 2 den Werth der groͤßten Wurzel x in der nan die wiedert l1, und es Hetlung nd gena Es ſo Warzeln Nonnmen: Nachd öx jen Dahl ſüthig i — 1— geln der Dunade 2 ℳ. ) ⸗ ieſe Du⸗ Sefioendnn Von dem Rutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛe. 365 der gegebenen Gleichung, und zwar deſto genauer, je groͤßer die Zahl n iſt. Erſtes Exempel. Es iſt die Gleichung X5 — 37 — I = 0 gegeben; man ſoll ihre groͤßte Wurzel finden. a † bz — 32 — Man formire den Bruch . . woraus, wenn man die beyden erſten Glieder 1, 2 ſeyn laͤßt, folgende wiederkehrende R Reihe entſpringt: . 1, 2/, 772 33 8 18 6. 251, 829, 2738, ꝛc. und es iſt alſo 3 8 der Werth der groͤßten Warzel, naͤ herungsweiſe geſßttumt. In Decimal⸗Bruͤchen iſt 829 und genau iſt die groͤßte Wurzel = ⸗ 3 † V 13 ſo daß ſich hier alſo nur ein Unterſchied von o,0OπtOD = 3,3027744; = 3,3027756 findet. Uebrigens iſt zu bemerken, daß die Bruͤche wechſelsweiſe kleiner und groͤßer ſind als die lahre Wurzel. Zweytes Exempel. Es ſey die Gleichung 3 2 –— 473 = ⅜ gegeben, deren wurz eln die Sinus dreyer Bogen ſind, die dreyfach ge⸗ nommen den Sinus = ε haben. [§. 226.] Nachdem man die Gleichung auf dieſe Form, o = 1 — 6xX £ † 823, gebracht hat, ſo ſuche man, um in den gan⸗ zen Zahlen zu bleiben, die kleinſte Wurzel, ſo daß es nicht noͤthig iſt, 2 fuͤr X zu ſetzen. Man formire alſo den Bruch 366 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel. à T bx † cxx 1— 6x * † 8X3 4 welcher, wenn man zu den drey erſten Gliedern o0, o, 1I annimmt, weil dabey die Rechnung am leichteſten iſt, und die Poteſtaͤten von X weglaͤßt, weil man bloß die Coefficien⸗ ten braucht, folgende Reihe giebt: “ , o, 1I, 6, 36, 208, 1200, 6912, 39808, 229248. Hieraus ergiebt ſich fuͤr den naͤherungsweiſe beſtimmten 8 Werth der kleinſten Wurzel g: = 0, 1736515. Dies ſollte nun der Sinus eines Winkel von 100 ſeyn, er 3 I0000000 iſt aber um Tafeln = 0, 1736182 iſt. Man findet aber dieſe Wurzel viel leichter, wenn man 2 =— = ⅛y ſetzt, wodurch man die Gleichung 1 — 3y & † y3 = o erhaͤlt. Denn behandelt man dieſe Gleichung auf eine aͤhnliche Art, ſo bekommt man die Reihe 0, 0, 1, 3, 9, 26, 75, 216, 622, 1791, 5157 2ꝛc. und es iſt alſo die kleinſte Wurzel derſelben y ohngefaͤhr = . 179 1 199 5157 573 = 0, 1736474, welcher Werth viel genauer iſt als der vor⸗ hergehende ſt . „3472949. Hieraus aber wird Xx = 4y Drirtes Erempel. Wuͤrde von eben der Gleichung, — 1— 6X * † 8X ³, Die groͤßte Wurzel verlchet ſo ſetze man x = 2, wodurch man y3 % — 37 † I = 0 erhaͤlt. Da nun die groͤßte Wurzel dieſer Gleichung aus einer wiederkehrenden Reihe gefunden wird, deren Bezie⸗ hungs⸗ zu groß, weil dieſer Sinus in den Punde Puns⸗G ihe, w ſcben ann 1/I, Peil man der komm gebte B. ſin. o den Mfang gechehen i 1—2¹4 Hierarsn 9 y ſin len ſeht. DerGr Wurzeln de — ſin 0 ſchſ weri Weeb. fortgeſetr trachtliches geholten, laß die gefun n llein 78— —— 1 weiſe poſitit ſiten der 10,0, I 1ſt, un Se Tie ee Wch⸗ 12924. eſtimmten o ſehn, e inns in de . ytfiſt⸗ reef de des Et It ls⸗ nnd ns n biſe⸗ hund⸗ 7 Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 367 hungs⸗Scale o, 3, — ., iſt: ſo iſt dieſe wiederkehrende Neihe, wenn man die Anfangs⸗Glieder derſelben nach Be⸗ lieben annimmt, I, I, I, 2, 2, 5, 4, 13, 7, 35, 8, 98, — II, ꝛc. Weil man aber in dieſer Reihe endlich auf negative Glie⸗ der kommt, ſo iſt dies ein Kennzeichen, daß die geſuchte groͤßte Wurzel negativ iſt, und in der That iſt X = — ſin. 700 = — 0, 9396926. Man muß daher hierauf bey den Anfangs⸗Gliedern Ruͤck ſicht nehmen, wie z. B. hier geſchehen iſt, 1 —2 †4— 7 14 — 25 49 — 89 172 — a16 605— u. — 605 — ieraus wuͤrde nun — — —, und = – = — H y = 316 63 , 957, ſeyn, allein dieſer Werth entfernt ſich! von dem wah⸗ ren ſehr. F. 339. Der Grund von dieſer Abweichung liegt darin, weil die Wurzeln der gegebenen Gleichung ſin. 100°, ſin 50°, und — fſin. 700 ſind, und die beyden groͤßten Wurzeln derſelben ſich ſo wenig von einander unterſcheiden, daß die zweyte Wurzel ſin. 500 in den Poteſtaͤten, bis zu welchen die Reihe fortgeſetzt worden iſt, zu der groͤßten Wurzel noch ein be⸗ traͤchtliches Verhaͤltniß hat, und alſo nicht, gegen dieſelbe gehalten, =o geſetzt werden kann. Eben daher ruͤhrt es, daß die gefundenen Werthe wechſelsweiſe ſehr viel zu groß und zu klein ſind; indem z. B. wenn man — ſetzt, X = ——- = — — — 0,91 8 wird. Denn da die Poteſtaͤten der groͤßten Wurzel wechſels⸗ weiſe poſitiv und negativ werden, ſo werden auch die Po⸗ teſtaͤten der zweyten Wurzel wechſelsweiſe addirt und ſub⸗ trahirt. 368 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel. ₰ trahirt. Soll alſo dieſe Abweichung unmerklich werden, ſo muß man die Reihe bis zu einer ſehr großen Anzahl von Gliedern fortſetzen. 4 §. 340. Man kann ſich aber auch auf die Art helfen, daß man die gegebene Gleichung durch eine geſchickte Subſtitution auf eine ſolche Form bringt, daß ihre Wurzeln einander nicht mehr ſo nahe liegen. Setzt man z. B. in der Glei⸗ chhung o = 1 — 67 † 8X3, deren Wurzeln — ſin. 700, † üſin. 500, † ſin. 100 find, = — 1; ſo werden die Wur⸗ zeln der Gleichung o = 8y 3 — 24 yy † 18 y — 1 folgende: 1 — fſin. 700, I † ſin. 500, 1 † ſin. 100. Auf dieſe Art wird alſo 1 — ſin. 700 die kleinſte Wurzel, da vorhin — ſin. 700 die groͤßte Wurzel war, und 1 † ſin. 500 wird die groͤßte, da vorher fin. 5˖00 die mittelſte war; und man kann daher vermittelſt dieſes Kunſtgriffs jede Wurzel in die groͤßte oder kleinſte Wurzel der neuen Gleichung verwan⸗ deln, und ſie alſo auch auf dem beſchriebenen Wege finden. Da uͤberdies die Wurzel 1 — ſin. 700 in dem gegenwaͤrti⸗ gen Beyſpiele viel kleiner iſt, als die beyden uͤbrigen, ſo laͤßt ſie ſich auch leicht durch eine wiederkehrende NReihe ſinden. * Viertes Exempel. Die kleinſte Wurzel der Gleichung o = 8y 3 — 24 yy † 18y — 1 zu finden, welche von 1 abgezogen den Si⸗ nus des Winkels von 70° geben wird. Man ſetze y» = 4–2, ſo daß 0 = 23 — 622 † 92 — I werde. Da man nun die kleinſte Wurzel dieſer Gleichung aus einer wiederkehrenden Reihe erhaͤlt, deren Beziehungs⸗ Scale 9, — 6, † 1, iſt, ſo wie man, um die groͤßte Wur⸗ undy= Von Aiufin gen mi 1/I, undes if welche 9 ſet /l upen d Subſctus konn, u bloß auf el erſtt Wurzel hat me cungnahe demdoht unterſchie Heerburh ASx— d wiede Nre erhaͤlt na jel x fir ſunſgrif dann, py wenden ka Vor ober wird Eulerg⸗ eu gin n einaree n der Ge ⸗ n. 00,* 7,1 de e⸗ Iiugder da guhin= 50 o pade r; und m Lred in ehennid- . iheigen, ſ ende Boc⸗ gy?=AV Gen den Dy dn 91- nbithni⸗ gihe Wur⸗ Von dem Niutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 369 zel zu finden, die Beziehungs⸗Scale 6, — 9, † I, anneh⸗ men muͤßte: ſo erhaͤlt man fuͤr die kleinſte Wurzel die Reihe 1, 1, I, 4, 31, 256, 2122, 17593, 145861, ꝛc. a83 und es iſt daher naͤherungsweiſe *= 1 5861 = ,12061483. . und y = 0,06030741 „und ſin. 700 = 1 – y = = 0,93969258, welche Zahl auch noch in der letzten Zifer richtig iſt. Man ſieht folglich an dieſem Beyſpiele, was fuͤr einen großen Nutzen die Berwandlung der Gleichungen vermittelſt der Subſtitution bey der Erſindung der Wurzeln gewaͤhren kann, und, daß die bisher beſchriebene Methode ſich nicht bloß auf die Erfindung der groͤßten oder der kleinſten Wur⸗ zel erſtrecket, ſondern uns auch in den Stand ſetzt, jede Wurzel zu ſinden. S §. 341. H Hat man nun irgend eine Wurzel einer gegebenen Glei⸗ chung naͤherungsweiſe gefunden, ſo daß z. B. die Zahl k von dem wahren Werthe derſelben nur um einen ſehr kleinen Theil unterſchieden iſt: ſo ſetze man xæ — k = y, oder æX = y T k. Hierdurch erhaͤlt man eine Gleichung, deren kleinſte Wur⸗ zel = X — K“ iſt. Sucht man nun dieſe Wurzel vermittelſt einer wiederkehrenden Reihe, und dies iſt leicht, weil die gedachte Wurzel viel kleiner als alle uͤbrigen ſeyn wird: ſo erhaͤlt man in der Summe aus ihr und k die wahre Wur⸗ zel X fuͤr die gegebene Gleichung. Der Gebrauch dieſes Kunſtgriffes erſtreckt ſich ſo weit, daß man ihn ſelbſt dann, wenn die Gleichung imaginaͤre Wurzeln hat, an⸗ wenden kan. H §. 342. Vorzuͤglich wichtig und ſelbſt unentbehrlich nothwendig aber wird er, wenn die gegebene Gleichung zwey einander Eulers Einl. in d. Anal. d. Unend. J. H Aa gleiche g70 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel. gleiche und entgegengeſetzte Wurzeln hat. Wenn nem⸗ lich eine Gleichung, deren groͤßte Wurzel = p iſt, auch eine Wurzel — p hat, ſo findet man die Wurzel p nicht, wenn man auch die wiederkehrende Reihe bis ins Unendliche fortſetzte. Um dies durch ein Beyſpiel zu erlaͤutern, ſo ſey die Gleichung X3 — X2 – 55 † 5 = 0 gegeben, deren groͤßte Wurzel = V5 iſt, die aber auch die Wunzel — W5 hat. Wollte maͤn hier die groͤßte Wurzel „* „ . e =– „ . auf dem beſchriebenen Wege ſuchen, ſo muͤßte man nach der Beziehungs⸗Scale 1, † 5, — 5 die wiederkehrende Reihe 1, 2, 3, 8, 13, 38, 63, 188, 313, 938, 1563, ꝛc. formiren, aber daraus wuͤrde man nirgends andere als un⸗ gleiche Quotienten erhalten. Dagegen werden hier die Quo⸗ tienten aus den wechſelsweiſe genommenen Gliedern einander gleich, wenn man jedes derſelben durch das vorhergehende dividirt, und jeder giebt das Quadrat der geſuchten groͤß⸗ ten Wurzel beynahe. So iſt z. B. beynahe 5 = 33= — 3= 133. So oft ſich daher die wechſelsweiſe genom⸗ menen Glieder einem beſtaͤndigen Verhaͤltniſſe naͤhern, ſo erhaͤlt man jedesmal das Quadrat der geſuchten groͤßten Wurzel beynahe. Die Wurzel X = V5 ſelbſt aber ſindet man, wenn man X = y † 2 ſetzt, wodurch 1 — 3 y — syy — y3 = wird. Denn da ſich die kleinſte Wurzel Dieſer Gleichung aus der Reihe 1, 1, 1, 9, 33, 145, 609, 2585, 10945, 2t. Ergiebt, ſo iſt dieſelbe beynahe = = sies e = 0, 2361 und da⸗ durch erhaͤlt man = V 5 = 2, 2361, die aröͤßte Wurzel der gegebenen Gleichung. Dun Obol hiederke nen wer ben ſehe wahren Clgenei de Fotnn 1 Apr ,B,C ſen: ſot einen gee in ſenemn Olenjon ſommen ſndet man wiederkehr Whenn der Faktor als der 6rX 10 ſud daß 1 deren Gi naͤhern, ſingt , . Denn nen⸗ ie, og Wrrgl „ R NW ſ 8 „ See 1S0 dber adde e Vr 10 N bende Ni⸗ 16) ndere sun⸗ gia ded⸗ edemeinender wrherſehrde ichten geh 2 - — — B Gnſegenen ühern, ſ⸗ Gchn ce er inde 91-* ii.: Uuf prundde h Pli Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 371 Obgleich der Zaͤhler des Bruchs, aus welchem man die wiederkehrende Reihe entwickelt, nach Willkuͤhr angenom⸗ men werden kann, ſo traͤgt doch eine geſchickte Wahl deſſel⸗ ben ſehr viel dazu bey, daß die gefundenen Werthe der wahren Wurzel bald ſehr nahe kommen. Denn da das allgemeine Glied der wiederkehrenden Reihe, wenn man die Faktoren des Nenners ſo wie §. 334 annimmt, = zn (Apau P† Bqn † Ern †5 ꝛc.) wird, und die Buchſtaben A, B, C, ꝛc. durch den Zaͤhler des Bruchs beſtimmt wer⸗ den: ſo kommt es auf die Wahl dieſes Zaͤhlers an, ob A einen großen oder einen kleinen Werth bekommen ſoll; und in jenem Falle wird die groͤßte Wurzel p ſchnell, in dieſem aber langſam gefunden. Ja es kann dieſer Zaͤhler ſo ge⸗ nommen werden, daß A gaͤnzlich verſchwindet, und dann findet man die groͤßte Wurzel p nie, wenn man auch die wiederkehrende Reihe ohne Ende fortſetzte. Dies geſchieht, wenn der Zaͤhler ſo angenommen wird, daß er ſelbſt den Faktor 1 — p? enthaͤlt, denn alsdann faͤllt derſelbe ganz aus der Rechnung weg. Waͤre z. B. die Gleichung 23 — 6XX † 10X –— 3 = gegeben, deren groͤßte Wurzel⸗ = 3 iſt, und formirte man daraus den Bruch — 1 — 32 1 —– 62 † 1022 –— 323 ſo daß die Bezichunge: Scale der wiederkehrenden Reihe 6, — 10, † 3, wuͤrde: ſo erhielte man die Reihe 1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, ꝛc. deren Glieder ſich dem Verhaͤltniſſe 1 : 3 auf keine Weiſe naͤhern, ſondern immer weiter davon entfernen. Es ent⸗ ſpringt nemlich dieſe Reihe auch aus dem Buche⸗ . Aa s und — MWq) 3 72 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel. und giebt daher die groͤßte Wurzel der Gleichung 22 — 3 X † I = O. §. 344. Endlich kann der Zaͤhler auch auf die Art angenommen werden, daß man durch die wiederkehrende Reihe eine jede Wurzel der Gleichung findet, und dies geſchiehet, wenn zu demſelben das Produkt aus allen Faktoren des Nenners, den, welcher aus der geſuchten Wurzel gemacht wird, aus⸗ genommen, gewaͤhlt wird. Setzt man z. B. in dem vor⸗ hergehenden Exempel den Zaͤhler = 1 — 32 † 22, ſo giebt 1— 32 T 22 der Bruch — 6= Tioz he 1, 3, 9, 27, 81, 243, ꝛc.; und da dies eine geometriſche Reihe iſt, ſo giebt ſie ſogleich zu erkennen, daß die Wurzel = 3 iſt. Es iſt nemlich jener Bruch dieſem einfachen Bruche die wiederkehrende Rei⸗ — gleich. Wenn man alſo die Anfangs⸗ Glieder der wiederkehrenden Reihe, welche man nach Willkuͤhr anneh⸗ men kann, auf eine ſolche Art waͤhlt, daß ſie eine geome⸗ triſche Reihe ausmachen, deren Exponent einer von den Wurzeln der gegebenen Gleichung gleich iſt, ſo erhellet hier⸗ aus, daß alsdann die ganze wiederkehrende Reihe eine geome⸗ triſche Progreſſton wird, und die gedachte Wurzel giebt, wenn n ſie gleich weder die groͤßte noch die kleinſte iſt. §. 345. Damit man alſo nicht, indem man die groͤßte oder die kleinſte Wurzel ſucht, durch die wiederkehrende Reihe wi⸗ der Erwarten auf eine andere Wurzel gefuͤhrt werde: ſo muß man den Zaͤhler auf eine ſolche Art annehmen, daß er mit dem Renner keinen Faktor gemein hat. Da nun die⸗ . ſes . 74 —RMZLZM Von de ſufut f ve mar und de nre G nndet m mägt die gebͤte! den werden — H, Me⸗ 1—0*- k10 welce ſich und zu ert Uonehe= — J, 66 ſier den we Nben angefin Wurzel nich ſo ſ. Aus den rxempeln 5 welchen die Wurzein der be de Kunſ jiehen ud unt mngefi ſen uͤhrig nGichun⸗ mumm he inſ t, wvenn Renneti, wird, ous⸗ N r⸗ 11 ſ giete chrende e⸗ Conetrelte. ie Wugt chen Boe Gliederder ltühe wey⸗ me glone⸗ er von den chela Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 373. ſes ſtatt findet, wenn man die Einheit zum Zaͤhler macht, ſo hat man alsdann jedesmal fuͤr das erſte Glied der Reihe, 1, und daraus allein muß man denn auch nach der Bezie⸗ hungs⸗Scale alle uͤbrigen Glieder ſuchen. Auf dieſe Art findet man alſo jedesmal, ſo wie man ſichs vorgeſetzt hat, entweder die groͤßte oder die kleinſte Wurzel. Soll z. B. die groͤßte Wurzel der Gleichung y3 * — 3 y † I = O gefun⸗ den werden, ſo entſpringt aus der Beziehungs⸗Sceale o, † 3, — 1, wenn man von 1 anfaͤngt, die Reihe 1—0 † 3 — I T 9 — 6 f 28 — 27 † 90 — 109 4 297 — 517 1000 — 1848 † 3517 — 6544 † ꝛc. welche ſich offenbar einem beſtaͤndigen Quotienten naͤhert, und zu erkennen giebt, daß die groͤßte Wurzel negativ und — 6544 beynahe = — 2 44 —– — 1,860676 iſt. ECigentlich iſt ſie 3517 — — 1, 36793852; allein der Grund, warum man ſich hier dem wahren Werthe ſo langſam naͤhert, iſt bereits oben angefuͤhrt worden, und liegt darin, weil die zweyte Wurzel nicht viel kleiner als die groͤßte und zugleich poſi⸗ §. 346. Aus dem, was bisher entweder allgemein oder bey den Exempeln bemerkt worden iſt, erhellet der große Nutzen welchen die wiederkehrenden Reihen bey der Erfindung der Wurzeln der Gleichungen haben, ſehr deutlich. Und da da⸗ bey die Kunſtgriffe, wodurch man die Rechnung zuſammen⸗ ziehen, und ſich ſeinem Ziele ſchneller naͤhern kann, zugleich mit angezeigt worden ſind, ſo wuͤrde nichts weiter hinzuzu⸗ ſetzen uͤbrig ſeyn, wofern nicht die Faͤlle, wenn die gegebe⸗ ne Gleichung entweder gleiche oder imaginaͤre Wurzeln hat, A a 3 beſe onez 374 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel. beſonders betrachtet werden muͤßten. Wir wollen alſo an⸗ nehmen, daß der Nenner des Bruchs a † bz † c z2 † dz 3 † ꝛc. I1 –— 22 – 622 — 723 — à324 — ꝛe. den Faktor (1 – pz)2 habe, und die uͤbrigen Faktoren 1 — qz, I — r 2z, ꝛc. ſeyn laſſen. Entwickelt man den Bruch in eine wiederkehrende Reihe, ſo iſt das allgemeine Glied dieſer Reihe = zn ((n † 1) Apn † Bpu +† C qn † ꝛc.) Soll nun der Werth beſtimmt werden, welchen dieſes all⸗ gemeine Glied fuͤr einen ſehr großen Werth fuͤr n erhalten wird, ſo muͤſſen zwey Faͤlle von einander unterſchieden wer⸗ den, davon der eine ſtatt findet, wenn p groͤßer als die uͤbrigen Buchſtaben q, r, ꝛc. iſt, und der andere, wenn p nicht die groͤßte Wurzel giebt. Im erſten Falle, wo p zu⸗ gleich die groͤßte Wurzel iſt, koͤnnen die Glieder Bppn 6 qn †† ꝛe. wegen der Groͤße des Coefficienten n † 1 nicht ſo ſchnell gegen Apn verſchwinden, als vorhin; und im zwey⸗ ten, wenn q groͤßer als p iſt, kann auch (n † 1) Apn gegen Bqu nur langſam verſchwinden, und es wird daher die Erforſchung der groͤßten Wurzel hier ſehr beſchwerlich. Erſtes Exempel. Es ſey die Gleichung — 3 XK † 4 = 0 gegeben,D de⸗ ren groͤßte Wurzel 2 zweymal vorkommt. Man ſuche dieſe groͤßte Wurzel auf die vorhin beſchrie⸗ S dene Art durch die Entwickelung des Bruchs I Anmnnnn — — 32 % † 177 velcher die wiederkehrende Reihe 1, 3, 9, 23, 57, 135, 313, 711, 1593, ꝛ. giebt, worin jedes Glied, durch das vorhergehende divi⸗ dirt, eine 1e Zahl giebt, die groͤher als die 2 iſt. Der Grund hiervon Vend Hiubon n luͤ ,, ſo (n 71 Spotr. durch des woſern nt Ks ſe deren gred find. Wor kehrenden. Dieſe Neihea l, und man r wel die cuch mit Plteſtcten Wenn gegeben p de nan di nan erhielt he welchenan us erkenn Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 37 1 aſten⸗ hiervon iſt aus dem allgemeinen Gliede leicht einzuſehen. Denn laͤßt man in demſelben die Glieder Bpa, Cqn, ꝛc. . weg, ſo iſt das Glied, welches zu der Poteſtaͤt zn gehoͤrt, 1. = (n † 1) Apn † Bpr, und das folgende = (n † 2) Apnfr Ne ſtenen BpuI. Dididirt man aber das letzte von dieſen Gliedern ale enn d . eln dn (n † 2) A † B ün durch das erſte, ſo wir G A groͤßer als p. 8 wofern nicht n eine unendliche Groͤße erreicht hat. dieſesl, r nerhiin SZSZwwweytes Exempel. Es ſey die Gleichung 3 — 2X — 5 X — 320 gegeben, deren groͤßte Wurzel = 3, und die beyden uͤbrigen = — I find. Man ſuche die groͤßte Wurzel vermittelſt einer wieder⸗ N d 4 D kehrenden Reihe, deren Beziehungs⸗Scale 1, † 5, †. 3, iſt. N ne Dieſe Reihe iſt R r, 1, 6, I4, 47, 135, 412, 1228, 2c. in din i und man findet daraus den Werth 3 deswegen ſehr bald, ſtrnl weil die Poteſtaͤten der kleinern Wurzel — 1, wenn man ſie D auch mit n † 1 multiplicirt, dennoch ſehr bald gegen die Poteſtaͤten von 3 verſchwinden. dengen do Dlrittes Exempel. ile Wenn aber die Gleichung 3 † XX –— 8X — I2 = C nnhriſ,ck gegeben wuͤrde, deren Wurzeln 3, — 2, — 2, ſind, ſo wuͤr⸗ de man die groͤßte Wurzel viel langſamer ſuden. Denn man erhielte daraus die Reihe 1, — 1, 9, — 5, 65, 3, 457, 347, 3345, 4915, 2. welche man noch ſehr weit fortſetzen muͤßte, wenn man dar⸗ 1 aus erkennen wollte, daß die aus ihr ſich ergebende Wur⸗ eupee tii zel = 3 ſe. . Ciund 2– ſenon D Aa 347 376 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel. §. 347. Auf eine aͤhnliche Art wuͤrde, wenn drey Faktoren ein⸗ ander gleich, und der eine alſo (1 — pz)s, und die uͤbrigen 1— q, 1 – r 2, ꝛc. waͤren, das allgemeine Glied der wiederkehrenden Reihe = 2 ( Apnp† (n †1) B pn † C pu 4 D qn 4 Ern † ꝛc.) ſeyn. Wenn nun p die groͤßte Wurzel und n eine ſo große? Zahl waͤre, daß die Pote⸗ ſtaͤten qn, rn, ꝛc. gegen pu verſchwaͤnden, ſo wuͤrde man aus der wiederkehrenden Reihe die Wurzel = 2½ (n † 2) (n † 3) A † (n † 2) B L᷑n † 1) (n T 2) A † (n † 1) B † erhalten, welche aber nur alsdann, wenn n de moͤglich groͤßte und gleichſam eine unendlich große Zahl waͤre, der Wahrheit gemaͤß ſeyn kann. Es iſt aber jener Werth = (n †" 2) A † B ½ a Hα en 1 0) B1E . Wenn aber p nicht die groͤßte Wurzel iſt, ſo iſt die Findung derſelben noch mit weit mehr Schwierigkeiten verknuͤpft; und es iſt daher leicht einzuſehen, daß die Aufloͤſung der Gleichun⸗ gen vermittelſt der wiederkehrenden Reihen, wenn dieſe Gleichungen gleiche Wurzeln enthalten, bey weitem ſo vor⸗ theilhaft nicht iſt, als wenn die Wurzeln derſelben alle ein⸗ ander ungleich ſind. “ §. 348. Run wollen wir unterſuchen, wie die ohne Ende fort⸗ geſetzte wiederkehrende Reihe beſchoffen ſeyn wird, wenn der Nenner des Bruchs imaginaͤre Faktoren hat. Ange⸗ nommen alſo, daß der Nenner des Bruchs . 4à4 † b z † cz2 † dz 3 † ꝛc. 1— 22 — 622 — 723 — 24 — ꝛc. die Vond Ne keel herde omiſea ſt went ende R 1 ½5 ſe laht, =; e dahe d X eine ree wiederke ginite A Wenn⸗ das geben, ni H ſlr ſo leg Hode W N groer⸗ nichts, teſtaͤt de die Rei ſohn di Ls um die tech ein⸗ eibügen Gie) der /. MWhe ” nun N die Po⸗ an aus dua 2 die wigic voere, de Batth — 2 Rdong ginunftzund NrC. wenn Mee⸗ nſe ⸗ een lr in Ne in pid,A t. Me Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 377 die reellen Faktoren 1 — qz, 1 — rz, ꝛc. und außerdem folgenden zwey imaginaire Faktoren in ſich enthaltenden trinomiſchen Faktor, 1 – 2 pz. coſ. † ppzz, habe: ſo iſt, wenn man die aus dem Bruche entſpringende wiederkeh⸗ rende Reihe folgende, A † Bz T†T Cz2 T Dz3 T. . . .... † Pzn Qznrr ſeyn laͤßt, nach dem oben Angemerkten, der Coefficient A. ſin. (n † 1) ½ † Bſin. n % Pn † Cqa 1† Dra e. ſin. O Iſt daher p kleiner als eine der folgenden Zahlen q, r, ꝛc. ſo daß die groͤßte Wurzel der Gl leichung XI — 4 X = I — xmNm —2 — 7 XII — 3 — 20. — — eine reelle Groͤße iſt: ſo findet man dieſelbe vermittelſt der wiederkehrenden Reihe eben ſo, als wenn gar keine ima⸗ ginaͤre Wurzeln da waͤren. P= §. 349. Wenn alſo die imaginaͤren Wurzeln ſo beſchaffen ſind, daß das Produkt aus je zweyen, die einen reellen Faktor geben, nicht groͤßer iſt, als das Quadrat der groͤßten Wur⸗ zel: ſo legen dieſelben der Erfindung dieſer groͤßten Wurzel kein Hinderniß in den Weg. Iſt aber das gedachte Pro⸗ dukt dem Quadrate der groͤßten Wurzel gleich, oder gar groͤßer als daſſelbe: ſo findet man auf dem erklaͤrten Wege nichts, weil die Poteſtaͤt pn gegen die gleichmannige Pote⸗ teſtaͤt der groͤßten Wurzel nie verſchwindet, wenn man auch die Reihe ohne Ende fortſetzte. Es wird nicht uͤberfluͤſſig ſeyn, dieſes mit einigen Exempeln zu erlaͤutern. Erſtes Exempel. Es ſey die Gleichung X3 — 2 – 4 = 0 gegeben, um die groͤßte Wurzel derſelben zu finden. Aa 5 Da Sß 3778 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel, Da ſich dieſe Gleichung in die beyden Faktoren (X – 2) (XX † 2* † 2) aufloͤſen laͤßt, ſo hat ſie außer der reellen Wurzel 2 noch zwey imaginaͤre Wurzeln, deren Pro⸗ dukt = 2, alſo kleiner iſt, als das Quadrat der reellen Wurzel; und man iſt daher im Stande, dieſe reelle Wur⸗ zel auf dem bisher erklaͤrten Wege zu ſinden. Man formire alſo nach der Beziehungs⸗Scale 0, † 2, † 4, die wiederkeh⸗ de Reihe 1, 0, 2, 4, 4, 16, 24, 48, 112, 192, 416, 832, ꝛc. aus welcher ſich die reelle Wurz el 2 hinlaͤnglich zu erkennen giebt. Zweytes Exempel. Es ſey die Gleichung X23 — 4XX † 8X — 8 = 0 ge⸗ geben, welche die reelle Wurzel 2 hat, und worin das Produkt der beyden uͤbrigen imaginaͤren Wurzeln = 4, und alſo dem Guadrate der reellen Wurzel gleich iſt. Man ſuche alſo die Wurzel durch eine wiederkehrende Reihe, und um ſolches auf eine bequeme Art thun zu koͤn⸗ nen, ſo ſetze man X = 2y, indem man dadurch die Glei⸗ chung y3 — 2 y y † 2 y — 1 = 0 erhaͤlt. Hieraus ergiebt ſich nun die Reihe, I, 2, 2, I. O, O, I, 2, 2, F, O, C, I, 2, 2, I, c. allein da darin immer eben dieſelben Glieder wiederkehren, ſo laͤßt ſich daraus weiter nichts ſchließen, als entweder, daß die groͤßte Wurzel nicht reell ſey, oder, daß die Gleichung zwey imaginaͤre Wurzeln habe, deren Produkt dem Qua⸗ drate der reellen Wurzel gleich oder noch groͤher als daſ⸗ ſelbe iſt. Drittes Erenupet Endlich ſey die Gleichung X3 — 3XX † 4 — 2 = 0 gegeben, deren reelle Wurzel = I1 iſt, und deren imagi⸗ naͤre Von re heror Vent 12, ein 1,3, Alein, tio ſind, fnden. Ziichen, hen ſollen Cranpel die neel G weyer / irgend ein 1, 10, gene Zar Aein wenn e Winkel daß 1 Fakren w der der nelen E mc Rnpmte wiede i⸗ 5, 5 2,1. akennen 90 worin des rzeln = 4, ich iſe. utcheende hen gww⸗ ih die Gle⸗ us agiit: 1. gadatchen, wweder N dje Cecins 4 den Du ſerab 20 1-1- mag' ini 4 Von dem Rutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 379 naͤre Wurzeln, mit einander multiplicirt „ das Produkt 2 hervorbringen. Wieenn man hier nach der Beziehungs⸗ Scale 3, — 4, †2, eine wiederkehrende Reihe formiret, ſo erhaͤlt man 1, 3, 5, 5, I, — 7, — 15, — I5 † I, 33, 65, 65, I 20. Allein, da die Glieder dieſer Reihe bald poſitiv bald nega⸗ tio ſind, ſo laͤßt ſich daraus die reelle Wurzel 1 keinesweges finden. Dergleichen Abwechſelungen ſind allezeit ein Kenn⸗ zeichen, daß die Wurzeln, welche ſich aus der Reihe erge⸗ ben ſollen, imaginaͤr ſind; ſo wie in dem gegenwaͤrtigen Exempel die imaginaͤren Wurzeln in der That groͤßer als die reelle 1 ſind. §. 350. Es ſey alſo in dem allgemeinen Bruche das Produkt zweyer imaginaͤren Wurzeln pp groͤßer als das Quadrat irgend einer reellen Wurzel, ſo daß die uͤbrigen Poteſtaͤten qn, rn, ꝛc. gegen pu verſchwinden, wenn n eine unendlich große Zahl wird. In dieſem Falle iſt A. ſin. (n † 7) † B. ſin. nꝙ ſin. de, und A mn. WA ſtn. 41, und alſo In. 2= A. fin. (n 2) 0% † B. ſin. (n † 1) % A, ſin. (n † 1)%† B. ſin. n ꝙ. Alein dieſer Ausdruck bekommt nie einen beſtaͤndigen Werth, wenn gleich n unendlich groß wird, denn die Sinus der Winkel bleiben immer in einem hohen Grade veraͤnderlich, ſo daß ſie bald poſitiv bald negatid werden. §. 351. Wenn man indeß die Bruͤche “ „ auf eine aͤhnliche 3l2 5O. Art beſtimmt, und daraus die Buchſtaben A und B eli⸗ minirt, 380 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel. minirt, ſo faͤllt auch n aus der Rechnung weg; denn man findet alsdann P Pp † B — 2 Qp. coſ. o, woraus ſich coſ. Pp p† K ergiebt, und auße eine aͤhnliche Art wird coſ. 9„ Q = Ceets Vergleicht man aber dieſe bepden Werthe mit einander, erhaͤlt man — ₰⏑8 * = V 66 5K/ und QR — PS coſ. 9* = 2 V (QQ— P R) (RR=— QS) L Hat man daher die wiederkehrende Reihe ſo weit fortge⸗ ſetzt, daß die Poteſtaͤten der uͤbrigen Wurzeln gegen pa ver⸗ ſchwinden, ſo kann man auf dieſe Art den trinomiſchen Faktor 1 — 2pf. coſ. ꝙ † ppzz finden. d. 352. Da dieſe Rechnung Ungeuͤbten Schwierigkeit machen koͤnnte, ſo will ich dieſelbe hier ganz herſetzen. Aus dem gefundenen Werthe von erhaͤlt man APp. ſin. (n † 2) 0 † BPp. ſin. (n † 1) = A Q. ſin. (n † 1) 6% † B. Q. ſin. n %. und daraus wird A— Q. ſin. n & — P p. ſin. (n † 1) %½ B Bp. ſin. (n † 2) % — Q. ſin. (n †1)% Auf eine aͤhnliche Art iſt A R. ſin. (n † 1) 0 — Qp. ſin. (n †2) 0 B “ Qp. ſin. (n † 3) 0%. — R. ſin. (n † 2) % Vergleicht man nun dieſe beyden Werthe mit einander ſo wird 6 C. ſin. n 6. ſin. (n † 3) 9— C8. n. n ꝙ. fin. n F.2) % — . Da cbe ſin. à iſt, ſo 9= 4 d dar⸗ En Nun iſt cole ot colb⸗ 1— eol vird et c(ol.0 ol errs n 5 dol. Venn wiederken ninemiſch 1. Nenaan ſchen, rdcot ethe wei furg⸗ gen n Ne rinoniſcen ad waher us den Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 381 POQpp- ſin. H 1) 9. ſin. (n † 3) ₰ — QOp. ſin. (Kn † 1) 6. fin. (n † 2) 0 † Ck. ſin. (n † I) ꝙ. ſin. (n † I) ꝙQ † PQpp. fin. (n † 1)e. ſin. (n † 2) ö. Da aber “ ſin. a. ſin. b. = k. coſ. (a — b) — ¾ coſ. (a † b) iſt, ſo wird O= ¾ QQp. (coſ. 30— cof 9) † ½ QR. ( coſ 2 6) ½ P Qp p. (1 – coſ. 2 0.) und daraus ergiebt ſich, wenn man durch 4½ Q dividirt, (Ppp† R) (I1 — coſ. 29) = = Qr. Cole = col. 3 0) Nun iſt coſ. & = coſ. 2 6. coſ. & † ſin. 2 0. ſin. , und coſ. 3 = coſ. 2 6. coſ. O — ſin. 2 6. ſin. 9; folglich coſ. OQ coſ. 3 =2 ſin. 2 0. ſin. 6— 4 ün. 2) coſg und 1 — coſ. ⁵½ = 2 (lin. He. M Alſo wird PPE f H coſ o = = 2 dp desgleichen Qp F S 2 Rp 2Or. co , und coſ. ꝙ = —;]R— Hieraus aber fließen die obigen Werthe, nemlich KRR — Q8 p = V „und QR –— PS 2 V (QQ– PR) (RR – Q ) coſ. = §K. 353. Wenn der Renner des Bruchs, nach welchem man die wiederkehrende Reihe formiret, mehrere, einander gleiche, trinomiſche Faktoren hat, ſo wird die Crſindung der Wur⸗ zeln 382 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel. zeln noch viel ungewiſſer, wovon man ſich durch die Be⸗ trachtung der Form des oben gegebenen allgemeinen Glie⸗ des uͤberzeugen kann. Iſt indeß irgend eine reelle Wurzel ſchon beynahe bekannt, ſo kann man durch die Verwand⸗ lung der Gleichung den Werth eben derſelben Wurzel im⸗ mer genauer finden. Setzt man nemlich der Summe aus dem ſchon gefundenen Werthe und y gleich, und ſucht man die kleinſte Wurzel dieſer neuen Gleichung: ſo erhaͤlt man, wenn man dieſelbe zu der vorhin gefundenen addirt, den wahren Werth von x. . ́J”ĩRVU5s Exempel. Es ſey die Gleichung X3 — 3XX † 5 — 4 = 0 ge⸗ geben, von welcher man daraus, daß, für « = I, X 3 — 32X † 5 X – 4 — I wird, weiß, daß die eine Wurzel derſelben beynahe = = I iſt. Man ſetze alſo 2 = I † y, ſo wird 1— 2 y — ya = 0. Um nun die kleinſte Wurzel dieſer Gleichung zu finden, for⸗ mire man nach der Beziehungs⸗ Scale 2, 0, 1 1, die wie⸗ derkehrende Reihe I1, 2, 4, 9, 20, 44 97, 214, 472, roar, 2296, c. 1041 Hieraus erhaͤlt man die kleinſte Wurzel 7 beynahe= — = 2296 0,453397, und alſo = 1, 45 3397. Dieſen Werth wuͤrde man ſchwerlich auf einem andern Wege ſo bald und ſo genau gefunden haben. i. 354. Wenn ſich aber irgend eine wiederkehrende Reihe im⸗ mer mehr einer geometriſchen Progreſſion naͤhert, ſo laͤßt ſich auch aus dem Geſetze der Progreſſion ſogleich und auf eine leichte Art erkennen⸗ von was fuͤr einer Gleichung der Quo⸗ Von de OMetient duc das E ſeyen ſunte G⸗ ſit, daß ſon betra oder es ſe mon Mun 6 d - 1 dieſee Ve⸗ halt man 5 Und es ie der gefunden Cer auch d der Brrch n len un I — —2½. 2 Ngeben, de ſhetn Mon hne 1— i de Be⸗ hinen Gle⸗ Veroncd Wrel ; in⸗ Tumnd ans erhit nen adirt, N I,NW Deer Deth e Nehe in nihet, ſe wli⸗ ℳ au ge nder Oud⸗ S. =— Von dem Nutzen der wiederkehrenden Reihen ꝛc. 383 Qustient, den man durch die Diviſion irgend eines Gliedes durch das dorhergchende erhal⸗ eine Wurzel ſeyn werde. Es ſeyen P, Q, R, 8, T, ꝛc. ſehr weit vom Anfange ent⸗ fernte Glieder einer wiederkehrenden Reihe, und von der Art, daß man ſie als Glieder einer geometriſchen Progreſ⸗ ſion betrachten kann. Ferner ſey I = = S †IHε k„†ν ς† 5P, oder es ſey die Beziehungs⸗Scale, «, † , †7 † d. Setzt man nun den Werth des Bruchs P=x, ſo wird PF=XX, und — = X3, und — = X44. Durch die Subſtitutjon dieſer Werthe in der vorhergehenden Gleichung aber er⸗ haͤlt man X4 = ℳxX t ers ker t7 und es iſt daher einleuchtend, daß 2 endlich eine Wurzel der gefundenen Gleichung geben wied. Eben dieſes lehrt aber auch i⸗ vorhergehende Methode, und zugleich, das der Bruch — 2 die groͤßte Wurzel giebt. §. 355. Auch kann man von dieſer Methode die Wurzeln zu fin⸗ den ſelbſt bey unbegrenzten Gleichungen oͤfters mit Rutzen Gebrauch machen. Um dies zu zeigen, ſo ſey die Gleichung 2 3 25 2 7 4 2 6 120 5040 gegeben, deren kleinſte Wurzelz den Bogen 300 oder den ſechsten Theil des halben Umfanges eines Kreiſes giebt, Man bringe alſo die gegebene Gleichung auf die Form 23 2 *⁹ 27 3 60 25320 und 384 Erſtes Buch. Siebenzehntes Capitel ꝛc. und formire daraus ein wiederkehrende Reihe. Die Be⸗ ziehungs⸗ Scale geht hier ohne Ende fort, und iſt 2, 9 — =0, 00, — 230, ie. . die wiedertehtene Ree ſelbſt aber 23 1681 2408 ꝛc. und folglich beynahe 1681.45– 1681.3 — 6043 — 0,5235. 2 — I. 35 — 9632 2408. 60 2408.4 99 Da ſich nun aus dem bekannten Verkhaͤltniſſe der Periphe⸗ rie zu Durchmeſſer ſo weicht der on dem wahren ergiebt, ſo weicht der gefundene Werth von iſt aber das ein ſehr vortheilhaf⸗ 003 ab. Es iſt aber ter Umſtand e der gegebenen Gleichung „daß alle ihre e ßerdem zwiſchen der reell ſind, und daß ſich au n gwiſchen der Murten und den uͤbrigen Wurzeln ein betraͤchtlicher unter⸗ ſchied findet. Da ſich dieſer Umſtand ſehr ſelten ben den unendlichen Gleichungen ereignet, ſo iſt die deſehrie . Methode auch nur ſelten zur Erfind dung ihrer Wurz brauchen. H Acht⸗ Di wwendlich unendlich ſo gloube ſcher Mot ſgen amt ſchrunro worfen, d wichtige ben, die ⸗ Mohen Ge⸗ Wſe hr⸗ alf keine 88, die i lujeigen re einen Brnn nem Run aus einer ſt es m Eulers hn den doen ir uthiht⸗ duß ele hre riſchen de cher bite⸗ e ren W W. Nee MAckukan er Wucſen i cht⸗ Achtzehntes Capitel. Von den continuirlichen Bruͤchen. — §. 356. Da ich in den vorhergehenden Capiteln, ſowohl von den unendlichen Reihen als von den Produkten, die aus einer unendlichen Anzahl von Faktoren beſtehen, gehandelt habe, ſo glaube ich hier, auch noch von einer dritten Art unend⸗ licher Ausdruͤcke, oder von den continuirlichen Bruͤchen etwas ſagen zu muͤſſen. Denn obgleich die Theorie dieſer Bruͤche noch ſehr unvollkommen iſt; ſo iſt doch das keinem Zweifel unter⸗ worfen, daß die Analyſis des Unendlichen daraus einſt ſehr wichtige Vortheile wird ziehen koͤnnen. Verſchiedene Pro⸗ ben, die ich davon gegeben habe, machen ſolches in einem hohen Grade wahrſcheinlich. Vorzuͤglich aber gewaͤhret dieſe Lehre der Arithmetik und der gemeinen Algebra manche auf keine Weiſe zu verachtende Huͤlfsmittel; und dieſe ſind es, die ich mir in dem gegenwaͤrtigen Capitel kuͤrzlich an⸗ zuzeigen und auseinander zu ſetzen vorgenommen habe. Ich verſtehe aber unter einem continuirlichen Bruche einen Bruch, deſſen Renner aus einer ganzen Zahl und ei⸗ nem Bruche beſteht, deſſen Nenner abermals ein Aggregat aus einer ganzen Zahl und einem Bruche von aͤhnlicher Art iſt, es mag nun dieſe Beſchaffenheit immerfort ohne Ende Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. I. B. Bb ſtatt 386 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel. ſtatt finden, oder irgendwo aidike. Dergleichen con⸗ tinuirliche Bruͤche ſind z. B e c172 eirr dD Tr . T. eTTI J FT ꝛc. † † ꝛc. Jn dem erſten ſind alle Zaͤhler der darin enthaltenen Bruͤche Einheiten, und dieſe Art werde ich vorzuͤglich gerracher in dem andern aber pſind dieſe Zaͤhler die Zahlen uͦberhaup . F. 358. Nachdem alſo die Form der eontinuirlichen Bruͤche be⸗ ſchrieben worden iſt, ſo iſt das Naͤchſte, worauf wir zu ſehen haben, die Art und Weiſe, den Werth der aen nnr⸗ lichen Bruͤ die gewoͤhnliche Art auszudru en. lichen Bruͤche auf die gew 1 d ale ſnen⸗ deſto leichter kennen zu lernen, wollen wir ſtur dieſelbe deſto leichter kennen zu wo deſe gehen, und jene Bruͤche anfaͤnglich bey den eſten⸗ dann bey dem zweyten, dann bey dem dritten der in inne enthaltenen Bruͤche ꝛc. abbrechen. Auf dieſe Art iſt klar, daß ſeyn wird a à 1I ab † tI 1 ab c a † c S †1 Pb5( pe † I 7 abcd † ab † ad cd † TI fIrSr —–re † T Aei ſerig dieſe os den leicht iu Wertſam vorherge Nhler ei denſelben: us dem 1 Aben ſo de⸗ die B kann mon ſrmiren: 4 b 1.4 ) — 09 Aeder 3. dor vort Meiger ſlgenden die Renne zum Gran ſegt; den Gruchee ki ene Belte ich dert . Hntörhrut. gen Nühel⸗ woruuf nie der wntinuit huucken. Dr la W⸗ den den eſen , Mer ir ihnte eltitke, — „ SSSZ . Von den continuirlichen Bruͤchen. 32977 rI ahbcde † abe † ade † ede †† abe †a † c†e TEI Pcde f† be † de † be † T†I Ad1 1 — 20. §. 359. Obgleich das Geſetz, nach welchem der Zaͤhler und Nen⸗ ner in dieſen auf die gewoͤhnliche Art ausgedruckten Bruͤchen aus den Buchſtaben a, b, c, d, ꝛc. formirt werden, nicht leicht zu erkennen iſt: ſo ſieht man doch bey einiger Auf⸗ merkſamkeit bald, wie ein jeder dieſer Bruͤche aus den vorhergehenden gemacht werden kann. Es iſt nemlich jeder Zaͤhler ein Aggregat aus dem letzten Zaͤhler, nachdem man denſelben mit einem neuen Buchſtaben multiplicirt hat, und aus dem vorletzten Zaͤhler, ſo wie er iſt genommen; und eben ſo verhaͤlt es ſich mit den Rennern. Schreibt man alſo die Buchſtaben a, b, c, d, ꝛc. nach der Ordnung hin, ſo kann man daraus die gefundenen Bruͤche auf folgende Art formiren: A b C d I. 0 ab † I abe †a† c abed †ab † ad † ed ? r o 1 5 — r ded Enrd Jeder Zaͤhler wird hier gefunden, wenn man den unmittel⸗ bar vorhergehenden Zaͤhler durch den daruͤber ſtehenden Anzeiger multiplicirt, und zu dem Produkte den darauf folgenden Zaͤhler addirt. Eben dieſes Geſetz gilt auch fuͤr die Renner. Damit man aber dieſe Regel vom Anfang an zum Grunde legen koͤnne, ſo habe ich den Bruch vorge⸗ ſetzt; denn ob derſelbe gleich nicht aus dem continuirlichen Bruche entſpringt, ſo macht er doch das Progreſſions Ge⸗ Bb⸗ ſetz 388 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel. ſetz deutlicher. Es ſtellt uͤbrigens ein jeder Bruch den Werth des continuirlichen Bruchs bis zu dem Buchſtaben, der uͤber dem vor ihm hergehenden ſteht, dieſen aber mit eingeſchloſ⸗ ſen, dar. . 360. Auf eine e aͤhnliche Art giebt die andere Gattung der con⸗ tinuirlichen Bruͤche, † 4d † f † 4 ꝛe. V je nachdem man ie hier oder dort abbricht, folgende Werthe: . = a— 4 ab † æ ekf aAabc † sa † aEcEc c a † 2 abed † gad † cd † Yab † eDW½⁶⁰ b † £ bed † gd † 7b ꝛc. und jeder dieſer Bruͤche laͤßt ſch e aus den beyden vorherge⸗ henden auf folgende Art ſnden: 2 b CeC d 4 2 I. à. ab e abce †a ac abcd †gad †acd - vab P a*ν dbd dees ed 1 ed † "b „ 4 „ Sðð 3 , Mon eiger? ſuner ſet die Stele nan jeden des ſegten. ſber ſehend den hierun Produkte Zhler des der Renne daruber don hierun lon den ou Verth des ea ſber den vor iſcioſen, Wenn me Wntarirlich⸗ legtencheuc Die vorhen ren Werth ſhr guteg ſe Verth de 1†4 d zderdeh en der ſter . teineſclo⸗ ttung derte nde Verthe: — Von den econtinuirlichen Bruͤchen. 389 §. 261. Man ſetzt nemlich uͤber die zu formirenden Bruͤche die Anzeiger a, b, c, d, ꝛc., und unter ſie, dieſe, ⸗, 8, 7,d, ꝛc. Ferner ſetzt man in die Stelle des erſten Bruchs S und in die Stelle des zweyten —. Iſt dies geſchehen, ſo findet man jeden der folgenden Bruͤche, wenn man den Zaͤhler des letzten von den vorhergehenden Bruͤchen mit dem dar⸗ uͤber ſtehenden, und den Zaͤhler des vorletzten Bruchs mit dem hierunter ſtehenden Anzeiger multiplicirt, und beyde Produkte zuſammen addirt; wo denn das Aggregat der Zaͤhler des folgenden Bruchs iſt. Auf eine aͤhnliche Art iſt der Nenner ein Aggregat aus dem letzten Nenner durch den daruͤber ſtehenden, und aus dem vorletzten Nenner durch den hierunter ſtehenden Anzeiger multiplicirt. Ein jeder von den auf dieſe Art gefundenen Bruͤchen aber ſtellt den Werth des continuirlichen Bruchs bis zu dem NRenner, der uͤber dem vorhergehenden Bruche ſehr, doch dieſen mit ein⸗ geſchloſſen, dar. §. 362. Wenn man daher dieſe Bruͤche ſo weit fortſetzt, als der tontinuirliche Bruch Anzeiger giebt, ſo findet man in dem letzten Bruche den wahren Werth des continuirlichen Bruchs. Die vorhergehenden Bruͤche aber naͤhern ſich dieſem wah⸗ ren Werthe immer mehr und mehr, und geben daher eine ſehr gute Naͤherung. Angenommen nemlich, daß der wah⸗ re Werth des contuirlichen Bruchs a † FT= = x c rE 7 3 , B b 3 H ſey; 390 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel. ſey; ſo iſt offenbar, daß der erſte Bruch . groͤßer iſt als 2; der zweyte hingegen iſt kleiner als x, der dritte a † iſt wieder groͤßer, der vierte wieder kleiner, und ſo ſi nd dieſe Bruͤche auch ferner wechſelsweiſe groͤßer und kleiner als x. Außerdem faͤllt auch bald in die Augen, daß jeder folgende Bruch dem wahren Werthe von „ naͤher kommt, als jeder der vorhergehenden, und man erhaͤlt daher auf dieſe Art den Werth von naͤherungsweiſe ſehr ſchnell und mit vieler Bequemlichkeit. Dies findet ſelbſt dann ſtatt, wenn der continuirliche Bruch ohne Ende fortgeht, wofern nur die Zaͤhler «, s, „, 5, ꝛc. nicht zu ſehr wach⸗ ſen. Wenn alle dieſe Zaͤhler lauter Einheiten ſind, dann iſt dieſe Naͤherung gar keiner Unbequemlichkeit unterworfen. §K. 363. Damit der Grund von dieſer Naͤherung zu dem wahren Werthe des continuirlichen Bruchs mit mehrerer Deutlich⸗ keit erkannt werden moͤge, ſo wollen wir die larerſwiede der gefundenen Bruͤche betrachten. Den erſten, 2 bey Seite geſetzt, ſo iſt der Unterſchied zwiſchen dem zweyten und drit⸗ ten = der Unterſchied zwiſchen dem dritten und vierten z de nterſchied zwiſchen dem vierten und = r Unterſchied 3 ſche .8 2. W — 8 wird da⸗ fünften = (be † &β (bed†H ,&ςd† G her der Werth des continuirlichen Bruchs durch eine ge⸗ woͤhnliche Reihe von Gliedern auf die Art ausgedruckt, daß —, „ ꝛc. SMä * Sa Gefe ? GeTeesfsafes ee iſt, ſ, u N ſcehuch Wir ſi (en Brus Zichen ju 1,verſchwin 4 1— b ed⸗ Wenn dohen AAhlen, ſont in Nener a deiten, ſon eine in ie⸗ Dies te abechſelnde wandeln, d deſſen Ver .B. dieſe 5X84 hri⸗ Er. . ¹ at afi aie en, Ne ſiͤher ann, ir daher er e ſchnel und zim ſatt, Ne forgch, in t vack⸗ ten ind, dn Luntenporſen den weßten aa Valc⸗ nnerſtieneder 1 , ,ybeie 0 nnd Nt n ud durm gertn un Evied de⸗ hh ene 6 Cruct, N ſt⸗ Von den continuirlichen Bruͤhen. 391 iſt, und dieſe Reihe bricht allezeit ab, wenn der continuir⸗ liche Bruch nicht ins Unendliche fortlaͤuft. d. 364. Wir finden hier alſo eine Art, einen jeden continuir⸗ lichen Bruch in eine Reihe von Gliedern mit abwechſelnden Zeichen zu verwandeln, wenn das erſte Glied des Bruchs, a, verſchwindet. Denn wenn ℳ T 2 † Tac. iſt: ſo iſt nach dem, was wir vorhin gefunden haben, — * .G „*8 7. = 5 — bc1 3) 1 (de † 6) ea †ατανd . 7 Eα—αττπα „ b) (Bede †ρε† 7 be † àbe 85) † 2c. Wenn daher «, 8, 7, à%, ꝛc. keine immer groͤßer werdende Zahlen, ſondern z. B. lauter Einhelten ſind, die Buchſtaben im Nenner aber, a, b, c, d, ꝛc. ganze poſitive Zahlen be⸗ deuten, ſo wird der Werth des continuirlichen Bruchs durch eine in einem hohen Grade convergirende Reihe ausgedruckt. §. 365. Dies wohl erwogen, ſo laͤßt ſich auch jede Reihe mit abwechſelnden Gliedern in einen continuirlichen Bruch ver⸗ wandeln, oder es laͤßt ſich ein continuirlicher Bruch finden, deſſen Werth der Summe jener Reihe gleich iſt. Es ſey z. B. dieſe Reihe Bb4 H genge⸗ 392 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel. ) gegeben; ſo iſt, wenn man die Glieder dieſer Reihe mit der Reihe, die aus dem continuirlichen Vruche entſtand, vergleicht, A= †; und alſo Ab 5— “ =Abe A bers — c = „b Cdtbc†* s) B pPced ad D 5 B— C) b5=— SIl(bc † 8) De bed † d vb) C becde † ode † 7be dde †65 E T ) (C— D) 2c. BBSbcC A bc “ Da aber 6 = — iſt, ſo wird be 5 und alſo AcCcca = = ) 6) Ferner wird bc T d † ? b = Abed ACbed ABbed A — B (A-— B) (B — C) (A— B)(B — C) d † ed H cd † 6 12b= ed und 5 BDde borsSs B-—C (B—– C) (C— D)- CEef e⸗ ear= folglich Auf eine aͤhnliche Art findet man⸗= ꝛc. C=P)D-F)- §. 366. Damit dies Geſetz deſto deutlcher werde, ſ ſey P= b Q bePpSs R= bed-† sd † yb 8 = bede ade t be † dbe † e; ITII= bcedef † ꝛc. VS= boedefg † ꝛc. ZD eyn Virt r = — = = = 1 II I — — — — — II II ſſt ſo w geſett ha — II 1 == 11 — I — I 1 = = II —1 —⸗ l. Neiße nit ſtond, 1bded⸗ 0 Me bef — K Von den continuirlichen Bruͤchen. 393 Alsdann iſt nach dem Geſetze, nach welchem dieſe Ausdruͤcke formirt werden. Q= PcC † 8 R = Qd † „ P 8 e † ⁹° Q T Sf † ⸗R V = T ½ % c. II I II 6. 367. Da nun, wenn man dieſe Buchſtaben gebraucht, *α ℳ½ G6 Mℳ ☚ *673 27/à5 P PGI QK RS iſt: ſo wird, weil wir X = A — B † C — D † E — ?ꝛc. geſetzt haben, ℳ A = †; und alſo = A F 6 = 4 8Q A4 W½ x C „ P CR 1 K F5 “ D 2à20. = Cc 8 2 CGC E — ſR. — EI DHT — P K c. cͤ Nimmt man aber die Differenzen, ſo hat man — „ (Q — ) c Ab-e 22ð B — C = 26 R — 7P) — 244 — B Q POR 7 PRE R — 2“87(8 — ⁹ 092 25ßꝙ e CRe c-=— aSs SS Bb § D = —— S= 394 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel. d 2rN L 267f— DSf KRST XKkT TrT ”MB ꝛc. 2c Wenn man alſo je zwey und zwey mit einander multipli⸗ cirt, ſo wird V P k ABcCd A — B B — C =A B d. — und — = — ( ( ) 6 K; P (XB) (5 — C) Q 8 BCed Bſ — C) (C-D) = BCde. —; und — = 9 S ͤ = (E B R T CDef — — E) = CDef. — und — — (C — D) (D E) C ef. †; und — = ☛5) (- ) ꝛc. a C A bc Da nun P = b; Q= — 5 X— 5 iſt, ſo wird z= Ab „ Bb Cc — — ACEcd E (A — B) — Cc) = BDde —(B– C) (C— D) — CIEef c(C— D) (5 — E) ꝛc. §. 368. Hat man nun die Werthe der Zaͤhler *, , 7, , C. gefunden, ſo kann man die Nenner b, c, d, e, ꝛc. nach Belieben annehmen; doch iſt es gut, ſie ſo zu waͤhlen, daß man, wenn man fuͤr ſie ganze Zahlen geſetzt hat, auch fuͤr 2, , , à, ꝛc. ganze Zahlen erhalte. Dies haͤngt aber auch von der Natur der Zahlen A, B, C, D, ꝛc. ab, je nach⸗ uufim ſt geze . Gnge, 1 b = 6 =— = e f= Venn dah — ſſ: ſo kan nen conn 18 — G- 5Ced — 0((—)) (Def —err „ſend 7 ,k. nach chen, u t, 110 hing/ 16, NE ſich Man ſetze alſo Von den continuirlichen Bruͤchen. 395 nachdem dieſelben ganze Zahlen oder Bruͤche ſind. Wenn ſie ganze Zahlen ſind, ſo geſchiehet dem Verlangten ein Genuͤge, wenn man b = I ſectzt 2= A –£ = A — B = B d = B — C denn alsdann 7 = ACG e = C — D = B D f = D — E wird „ = CE Wenn daher Xx = A — B † C — D † E — F † ꝛc. iſt: ſo kann man den Werth von x auf folgende Art durch einen continuirlichen Bruch ausdrucken: — — B * I † - — – AC k — — . B — — — — C—b5 CE D=— E † ꝛc. §. 369. Wenn aber alle Glieder der Reihe Bruͤche ſind, ſo daß 1 1 7 F =— — — — — † — ꝛ. JZMGMWU: 1 6. 1 iſt, ſo hat man fuͤr ⸗, 8, 7, à, ꝛc. foigende Werthe: b ; a — Abc Rüä Bzcd *= A; = S ; = S O S) C2 de Dz ef „ „ c. 5 = = 7 (C — B) (D — C) SB=CE— D) „= A; folglich * = d = C — B; 7„ = B B e = D — c; 3 = CC und 396 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel. und alsdann giebt folgenden continuirlichen Bruch: Erſtes Exempel. Es ſonr die Nnen uche Keihe 1 :— I † — in einen continuirlichen Bruch verwandelt werden. Es iſt alſo A = 1, B = 2, C = 3, D = 4, ꝛc. und da der Werth der gegebenen Reihe = 12 iſt, ſo iſt alſo Zweytes Exempel. Es ſoll die unendliche Reihe x I I — = 1 — — † † — — — † — — ꝛ.. 4 3 5 7 9 worin æ die Peripherie eines Kreiſes bedeutet, deſſen Durchmeſſer = 1 iſt, in einen continuixlichen Pruch verwandelt werden. abat man . — 1 — und hieren II — I- Dies iſt Freies en in einen co Rher ſo hal 12—— m und daraus 1 X . u: werden. ſoiſt ae * Von den continuirlichen Bruͤchen. 399 1† 1 2 † 9 2 † 25 2 † ꝛc. und hieraus durch die Umkehrung 4 l =FZTG 2 † 25 2 † 49 2† 1c. Dies iſt die Reihe, die Brouncker fuͤr die Quadratur des Kreiſes erfunden hat. Drittes Exempel. Es ſey die unendliche Reihe 1I I I 1I — m n m † en m Bn . in einen continuirlichen Bruch zu verwandeln. Da hier A =m; B =m†n; C = m † en; ꝛc. iſt, ſo erhaͤlt man 1 — - — m m † — — W⸗ n n † ꝛc. X = und daraus wird durch die Umkehrung des Bruchs — m = — — (m f n)2 = n. nfan)⸗ 398 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel. Viertes Exempel. Da wir oben §. 178 gefunden haben, daß m* I I 1I r 2=ð I — — — – — — – —,— ä * mæ m nminm zn-—m n-m n. iſt, ſo hat man, wenn man dieſen Werth in einen continuir⸗ lichen Bruch verwandeln will, A = m; B = n — m; C= n-†m; D = 29n — m; ꝛc. Es wird daher me cef 2 n 1 . — à m m m † — – (n- m) 2 J n⸗ſin. — n=2 m F md⸗ in 2 m (z2n — m) ² 1n — 1 — K. 370. Wenn die gegebene Reihe in continuirlichen Faktoren fort⸗ gehet, ſo daß 14 1 r 1 1 =— — — — A à XApc AscDp † ABCPDE iſt: ſo entſtehen folgende Beſtimmungen: b 3 bcc Bcd A ” 5 — 1 — 0 (C — 1) C de Def = 55 — 5 ½ — 5— E 5 * Man ſetze alſo b = A; folglich * = I c = B — I; ⁸ = A d = C — 1 4½ VY B = D — 1; C f = E — I3 6 = D Als⸗ dere N! bedeutet, 1 e 1= ſte ſo etß uch, ve ſet. E — — und hiera der im An 1 —. — —.0— Von den continuirlichen Bruͤchen. 399 Alsdann wird Erſtes Exempel. Da wir oben geſehen haben, daß, wenn e eine e Zaht bedeutet, deren Logarithme = 1 iſt, 1I 1 I 1 1 — — IL — — † — — † —— Le. 11I.2 I. 2.3 I.2. 3. 4 oder T I I I I 1— = — - — † — — † ꝛc. iſt: ſo erhaͤlt man aus dieſer Reihe einen continuirlichen Bruch, wenn man A = I, B = 2, 0 — 3, D =☛ 4, 20. ſetzt. Es wird nemlich alsdann 1 1 I — — —,— I † I 1†2 E D 1† S 3 + 1 und hieraus, wenn man umkehrt, und die unaͤhnlichen Glie⸗ der im Anfange wegſchaft, 1 I e — 1 II2 2 † 3 3 † 4— 4 † 5 Zweytes 400 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel. Zweytes Exempel. Da der Coſinus eines Bogens, der dem Halbmeſſer gleich iſt, 1 HʒrI X — 1 — — T† — — — ꝛc. 2 2.12 2. 12.30 2. 12.30.56 iſt: ſo wird, wenn man A = I, B = 2, C = 12, D = 30, E = 56, ꝛc. und den Coſinus des Bogens, der dem Hall⸗ meſſ er gleich iſt, = X ſetzt 1 1† . — 11 † 12 29 † 30 585535 † c. oder 1 — 1= –— X I1 † 2 11 † 12 29 † 30 55 † ꝛc. §. 371. Es ſey außerdem die Reihe mit einer geometriſchen ver⸗ bunden, oder X = A — B2 †¼ Cz2 — Dz5 f† Faa — Frr f 1. ſo wird = abs = BDars, ACcde A —– B z — 52) — C2); BDdez CEefz —, * G — C) (C— D) (C— Dz) (0 — E2)) Man ſetze alſo Un abe A 1 Gler euhatt — halimeſer —,— — = — = 7 er den hl⸗ naͤtiſhen te⸗ Von den continuirlichen Bruͤhen. 407 b = I unnd alſo s = A C = A — Bz ⁸₰ = Bz d = B — Cz „ = ACz e* = C — DhHzz’·zZ * = BDZz =Jð ꝛ2c. ſo wird X = — Bz + ; ACz 14 A — Bz † 2 — BDZ 5 — Cz † .⸗ C— D z † Le-. §. 372. Um aber dieſen Fall allgemeiner zu machen, ſo ſey A B Cy2 Dy 3 E y4 X — — 1. † — — S — 20 IL Mz NZ2 023 1 PZ4 Hier erhaͤlt man durch angeſtellte Vergleichung —Ab, BLbcy ACMZCdVZ. ; 12 AAN - BLy GM ELNSN CNMY) BDNzdeyz (B N z — CMy) 5(COZ— D Ny) Run nehme man b, c, d, ꝛc. auf folgende Art: b. = L.; ſo wird « = A c = A Mz – B Ly; 8 = BLLy d = B N z — CMy; „ = ACMayz e = COz — D Ny; = BD Nzyz f = DPZz – EOy; 5 = CE Oyz . . Folglich iſt der continuirliche Bruch, durch welchen die ge⸗ gebene Reihe ausgedruͤckt werden kann, N X = B LLy 1 AM 2— BLY † r — BDNNyz — My C6 DNy T ꝛc. Eulers Einl. in d. Anald, Unendl, I. B. Cc §. 373. 402 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel,. Hat endlich die gegebene Reihe folgende Geſtalt: A AB y ABCVyZ ABCDVyS3 X =— L LMNZz — LMNO=S 1. e⸗ ſo wird Ab Bbcy CMedy⸗ T— —, 8 = 7= Fk 5Mz — ByYy GIz =— By) (Nz — C7) D N deyz EOefyz — — = Ne CvNKO - D) (Oz — Dy) (Pz— E S c. Um alſo dieſe Werthe in ganzen Zahien zu , erhelten, ſetz man S=WDð b = Lz¶(źᷓ!]]) ſo wird „ = Az c = MzZ — By; 6½ = BLyz = Nz — Cy; —– CMyZ e = 02 — Dy; 9 = D N yz f = Pz –— Ey; s = E Oyz c. ꝛc. Demnach wird die gegebene Reihe in folgenden continuir⸗ lichen Bruch AZ 31 1 — CM 1 Ee. NZ — Cy † 62— DPy T ꝛ. oder, damit das Progreſſions⸗ Geſetz vom Anfang an in die Augen falle, in dieſen AZz Ay Lzæ — 4 4 BLVyZ. . — V= Lz — Ay † :- H D Nyz herwandelt. N. 374. uf .entinuit man ein Vruch be Neiſe ge a worde ſich; ah rfinden nen cont geben / eine unen⸗ inl: ſo t- ſomnmeog Sumer Damd e, de werden Neihen, erforſc iihen Be⸗ X-— gelen, eee , Antictis id dM -N V. Von den continuirlichen Bruͤchen. 403 §K. 374. Auf dieſe Art laſſ ſen ſich unzaͤhlige ohne Ende fortgehende continuirliche Bruͤche von der Art finden, daß man ihren wahren Werth angeben kann. Denn da die unendlichen Reihen, die wir oben betrachtet haben und deren Sum⸗ men bekannt ſind, hierzu gebraucht werden koͤnnen: ſo kann man eine jede von dieſen Reihen in einen continuirlichen Bruch verwandeln, deſſen wohrer Werth der Summe jener Reihe gleich ſeyn muß. Die Beyſpiele, die bereits betrach⸗ tet worden ſind, zeigen di e Art und Weiſe hiervon hinlaͤng⸗ lich; allein es waͤre zu wuͤnſchen, daß man eine Methode erfinden moͤchte, durch welche ſich der Werth eines gegebe⸗ nen continuirlichen Bruchs unmittelbar darſtellen oder an⸗ geben ließe. Denn obgleich jeder continuirliche Bruch in eine unendliche Reihe verwandelt, und die Summe dieſer Reihe nach den oben erklaͤrten Methoden geſucht werden kann: ſo werden denn doch dieſe Reihen gemeiniglich ſo zu⸗ ſammengeſetzt, daß man daraus ihre obſchon ſehr einfache Summe kaum zu erforſchen im Stande iſt. 5. 375. Damit man deutlich einſehe, daß es continuirliche Bruͤche gebe, deren Werth aus andern Quellen ſehr leicht erhalten werden kann, ob man gleich denſelben aus den unendlichen Reihen, worin man die Bruͤche verwandelt, auf keine Weiſe zu erforſchen im Stande iſt: ſo wollen wir dieſen continuir⸗ lichen Bruch I1 xX — —— 2 † I 2 † 1 2 † I 2 † 2ꝛc. SS CEc 2 be⸗ . 404 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel. betrachten, deſſen Renner insgeſammt einander gleich ſind. Denn formiren wir daraus auf die oben erklaͤrte Art die Bruͤche o 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1 o I 2 5 12 29 „₰ 2 5 127 29 70 2c. ſo bekommen wir daher folgende Reihe: 1 I 1 1I = 01 1 — — † — — — † — – — ꝛc. 2 2.5 5. 12 12. 29 29.70 oder, wenn wir immer zwey und zwey Glieder mit einan⸗ der verbinden, dieſe: 2 X= — — — † ꝛe. 1I, 5 5. 29 29 S IS; oder I 2 2 X= — — — — r. 2 2 . 12 12. 70 Da uͤberdem 1 1 1 k† — — + — — † ꝛc „ 4 2.2. 5 2.5 . 12 2. 12. 29 3 TI 1 Xx — — — —— F† ꝛc. 4 2.2.5 2. §. 12 2.12.29 iſt: ſo wird auch 1I 1 1I I 1I X= — — —ú — — — E i., 4 1. 5 2‧12 5S. 29 I2. 70 allein ſo ſehr dieſe Reihen auch convergiren, ſo iſt man doch nicht im Stande, ihre Summe aus ihrer Form ab⸗ zuleiten. §. 376. Fuͤr dergleichen continuirliche Bruͤche aber, in welchen entweder alle Nenner einander gleich ſind, oder immer eben dieſelben Nenner wiederkehren, ſo daß ein ſolcher Bruch, nach⸗ ſochte⸗ ntten 6 eine o iſt i⸗ d, X ſodeß a SV dem con ſan Wer ſchverlich durch Rati entdeckt hetrdchtl die Wur ſ daß de⸗ So Weg an hern: ſ⸗ alderer B ich ſud. W die — — 64 70 wa üna n welce nmnereden er Huch, hac⸗ Von den continuirlichen Bruͤhen. 405 nachdem man davon vom Anfang an einige Glieder abge⸗ ſchnitten hat, doch noch dem ganzen Bruche gleich iſt, giebt es eine ſehr leichte Art, den Werth derſelben zu finden. So iſt in dem Exempel des vorhergehenden § wo. — 1 w 2 † I 2 † 1 2 † ꝛc. T , . war, * = —, folglich xxK † 2 X = 1, und X † I = V 2, ſo daß alſo der Werth des angefuͤhrten continuirlichen Bruchs V 2 — 1I iſt. Die Bruͤche aber, welche wir vorhin aus dem continuirlichen Bruche abgeleitet haben, naͤhern ſich die⸗ ſem Werthe unaufhoͤrlich, und das ſo ſchnell, daß wohl ſchwerlich eine ſchnellere Art, dieſen irrationalen Werth durch Rational⸗Zahlen naͤherungsweiſe auszudrucken, wird entdeckt werden koͤnnen. Es iſt nemlich ohne einen eben betraͤchtlichen Fehler V2 — 1 = 3 Denn zieht man die Wurzel wirklich aus, ſo iſt V 2 — 1 = 0,4142 1356236, und = 0,41428571428 ſo daß der Fehler bloß die Hunderttauſendtheile angeht. §. 377. So wie die continuirlichen Bruͤche einen ſehr bequemen Weg an die Hand geben, ſich dem Werthe der V 2 zu naͤ⸗ hern: ſo laͤßt ſich dergleichen daraus auch fuͤr die Wurzeln anderer Zahlen herleiten. Es ſey zu dem Ende 406 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel. a T ꝛc. wo alſo x = . , und XX † à X = I, Uund alſo X P . (ag — . 1 — wird. Es dient . — — a †V (I T — aa) = 2 4 daher dieſer Bruch zur Erfindung der Quadrat⸗Wurzeln aus den Zahlen, die unter die Form aa † 4 gehoͤren. Setzt man alſo fuͤr a nach und nach die Zahlen, 1,2,3,4, c. ſdſo ſindet man à 5; V 2; V 13; V 5; V. 29 ; V 10; V 53; ꝛ. wenn man nemlich dieſe Wurzeln auf ihre ein⸗ fachſte Form zuruͤckfuͤhrt. Es iſt folglich 1, I1, I, I, I, I, L I 2 3 5 S—I —, —, —, —, —, —, (. — —— O. I 2 §5 12 29 —, , =, , , —, c. = 2— I 1 * 2 5 12 29 70 V 2 3, 3/ 3, 3, 3, 3, o 1 3 10 33 09 V 13 — 3 —, —, —, —, — . 1I 3 10 33 109 360 2 4, 4, 4, 4, 4, 4, .„ 1 4 17 72 305 1 4 —, , —, —, ꝛc. = 5— 2 17 72 305 1292 cc. Hierbey iſt zu bemerken, daß die Naͤherung deſto ſchneller erfoglt, je groͤßer a iſt. So iſt in dem letten Exempel V5S mwen —— 12 Ei iſt al S ſen gern n dahe len awen — — Von den n continurlichen Bruͤchen. 407 2, wobey der Zerthum eringeriſel 292. Soi Es iſt aber 5473 der Nenner des elgenden Bruchs §. 378. ſr⸗ Auf dieſe Art aber koͤnnen bloß die Wurzeln ſolcher Zah⸗ dn 17 ien gefunden werden, die Summen zweyer Quadrate ſind. Un daher dieſes Naͤherungs⸗Mittel auch auf andere Zaz⸗ len auszudehnen, ſo ſey an .— —s 1az b r 1 29; 10, 4 † M ihre ein b † 2 a † I D † ꝛc. Alsdann wird WM 1 I —bT . — 4àAb † I T ax 1 7 und fol lglich 1 . 42XX † a bzæ = b, und — ab abb ah = — bz N. Pbr = 144 1 BVermittelſt dieſer Sormel lafen ſich die Quadrat⸗Wurzeln aller Zahlen finden. Setzt man z. B. a = 2, d = 7; ſo wird = — 4 8 = — und dieſen . Werth von 2 erhaͤlt man in den Bruͤchen Z 2, 7, 2, 79 2, 7, ſhlle 2„ — 7 „1, U 112 239 „ ꝛc. i 1 15 32 239 510 me Cc 4 Ss 408 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel. Es iſt daher beynahe — 4 ð 23⁰ und e, = 510 2024 S; = 268,51 Dieſ⸗ er Werth weicht von dem wah⸗ ren 2, isrsis noch nicht um ab IOO00000 Nun wollen wir ferner Xx = — a 1 1 . b † 1 C † 1 a T I † † t a † 2t ſetzen, woraus . rr- = Kia F bxPbcPI ctale . CTX wird. Hieraus aber fließt (aab † 1) XX † (abe † a — b † c) X = be † r, und = — lboe — à Tb -— c † ((abe f a T b? ⸗ † 4 2 (abBb † 2) Allein da die GroTͤße unter dem Wurzel⸗Zeichen in dieſem Ausdrucke wieder die Summe zweyer Quadrate iſt, ſo kann man denſelben bey der Extraction der Quadrat⸗Wurzeln nicht weiter gebrauchen, als wo man ſich ſchon der erſten Formel bedienen konnte. Eben ſo reicht die Formel, welche man findet, wenn man die vier Buchſtaben a, b, c, d, in den den Nn igr vel hal, Da! ſem Vor nen kent guadrati können;1 indem wied. dratiſche nen cont Gleigunea gegeben. erhaͤlt, ſcon geful vied. Verth miliche Alein won kej dn veh⸗ xkberl — raNeſae 4 1, 19,4 — in Neen ſt ſokann 1 Duen n der in ene teche 56 in den Von den continuirlichen Bruͤchen. 409 den Nennern des continuirlichen Bruchs wiederkehren laͤßt, nicht weiter als die zweyte, welche nur zwey Buchſtaben enthaͤlt, ꝛc. 7 §. 380. Da man ſich alſo der continuirlichen Bruͤche mit ſo di vie⸗ lem Vortheile zur Extraction der Quadrat⸗Wurzel bedie⸗ nen kann: ſo werden dieſelben auch bey der Aufloͤſung der quadratiſchen Gleichungen mit Nutzen gebraucht werden koͤnnen; ſo wie ſolches auch ſchon aus der Rechnung erhellt, indem » durch eine unreine quadratiſche Gleichung beſtimmt wird. Es kann aber auch umgekehrt die Wurzel jeder qua⸗ dratiſchen Gleichung ſehr leicht auf folgende Art durch ei⸗ nen continuirli ichen Bruch dargeſtellt werden. Es ſey die Gleichung X X — à X †+ b gegeben. Da man daraus = àa 1 — erhaͤlt, ſo ſetze man in dem letzten Gliede anſtatt X den ſchon gefundenen Werth deſſelben, wo denn X — 3 k — . 1. wird. Faͤhrt man auf dieſem Wege weiter fort, ſo iſt der Berth von x, durch einen ohne Ende fortlaufenden conti⸗ nuirlichen Bruch ausgedruckt, X = à 1- † b b 2 † a † ꝛc. Allein da die Zaͤhler b keine Einheiten ſind, ſo laͤßt ſich da⸗ von kein bequemer Gebrauch machen. Cc S W 8 38 1. S 310 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel. Um nun den Nutzen der continuirlichen Bruͤche in der Arithmetik zu zeigen, ſo iſt zuvoͤrderſt zu bemerken, daß ein jeder gewoͤhnlicher Bruch in einen continuirlichen Bruch verwandelt werden kann. Iſt z. B. der Bruch = 4 gegeben, und darin A groͤßer als B, ſo dividire man A durch B, wo denn der Quotient a und der Reſt C ſeyn mag. Nun dividire man durch dieſen Reſt C den vorhergehenden Diviſor B, und der Quotient ſey b und der Reſt D, den man nun wieder durch den vorhergehenden Diviſor C divi⸗ diren muß. Auf dieſe Art ſetze man dieſe Operation, wel⸗ che man gewoͤhnlich bey der Reduction der Bruͤche auf die kleinſten Zahlen anwendet, um den groͤßten gemeinſchaft⸗ lichen Faktor von A und B zu finden, fort, bis nichts mehr uͤbrig bleibt. Hier iſt ein Beyſpiel: B) A (a“ C) B (b D) C (c E) D (d F ic. Nun iſt, wegen der Natur der Didiſion, A=aàB † C; alſo — = a † — . 1c; B 1† B B dDd C FE C E D 1.) 2 =— CcCD † E? — — —, — — — – “M 8 1 D 1 F G 4 E C D D F E I 1 r; E. 4 ¼ ; 5 d 1K . N c. ic. nd demt ſaben 1 õ Von den continuirlichen Bruͤchen. 311 Setzt man daher die folgenden Werthe in die vorhergehen⸗ he ir e den, ſo wird d A r n Mſei X = — = a † — b 1 1 1 4 s= . und demnach wird endlich X durch die gefundenen Buch⸗ hut Mh ſtaben a, b, c, d, ꝛc. allein auf folgende Art ausgedruckt: Cſemn ner 1 hergehenden X = aà f b † 1 RK, den C † 1 wiſr dek 1 gene 2 itznlr ” Es ſey der Bru uch — 5 gegeben, welcher auf folgende „Art in einen cantinuirlichen Bruch verwandelt wird, deſſen Zaͤhler lauter Einheiten ſind. Man ſtelle zuvoͤrderſt die Operation an, wodurch der groͤßte gemeinſchaftl iche Divi⸗ ſor der Zahlen 59 und 1461 geſucht zu werden pflegt. 59) 1461 (24 118 281 . 236 . 2-— 45) 59 (1 1 45 . 14) 45 (3 4 42 2 3) 14 (4 e p . 12 1 2)3 (11 = 2 1)2 GS 412 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel. Aus dieſen Quotienten wird alsdann 146 t = 1 ⸗ O ä 4 † 4 1 111 1 2 Zweyres Exempel. Auch die Decimal⸗ Bruͤche koͤnnen auf dieſ Art verwan⸗ delt werden. Denn iſt z. B. 141421356 1I00000000 V2 = 1,41421356 = gegeben, ſo ſtellt man zuvoͤrderſt folgende Operation an 100boODOOI A41421356 1 82842772 100000000 2 17157288 41421356 2 14213560 3431456 2 2943728 7106780 2 2438648 5897455 2 505090 1219324 2 4198728 I010160 2 c. 209364 Da nun aus dieſer Operation erhelet, daß jeder Nenner = 2 iſt, ſo hat man 2 = 1I1 † — V2= 1I 12— 2 † 1 2 † 1 —. 2 + ꝛc. und d die Obi⸗ Vor und dief ſamtei. ſnde, ſo ergehen 1 ind ſett n eimmnt, 6 die, wern greſſion a — I — * 2 ℳ At verwen⸗ eratien un d Von den continuirlichen Bruͤchen. 413 und die Beſchaffenheit dieſes Ausdrucks iſe bereits aus dem Obigen bekannt. Drittes Exempel. Vorzuͤglich verdient die Zahl e deren Logarithme = 1I, und die ſelbſt = 2,7 I 8281829459 iſt, unſere Aufmerk⸗ ſamkeit. Da man daraus — =o, 959 1409 14 22 95 findet, ſo giebt dieſer Bruch, wenn man ihn auf die vor⸗ hergehende Art behandelt, folgende Quotienten: 9591409142295 1 gi OOPοο 1. 8451545146224 591409 142295 6 139863996071 1408590857704 10 139312557916 1398639960710 14 55 1438155 9950896994 1I8 2502244⁸8 9925886790 22 1213667 25010204 1c. und ſetzt man dieſe Rechnung, wenn man den Werth von e nimmt, noch weiter fort, ſo findet man dieſe Quotienten, 4 I, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 2ꝛc. die, wenn man den erſten weglaͤßt, eine arithmetiſche Pro⸗ greſſion ausmachen. Es iſt daher e* — I 1 414 Erſtes Buch. Achtzehntes Capitel. In der Analyſis des Unendlichen laͤßt ſich dieſer Bruch weiter unterſuchen. §K. 382. Da man aus dergleichen Ausdruͤcken Vruͤche ableiten kann, die ſich dem wahren Werthe dieſer Ausdru cke ſehr ſchnell naͤhern; ſo kann man ſich dieſer Methode bedienen, um Decimal⸗Bruͤche in gewoͤhnliche Bruͤche zu vert vandeln, die ſich von jenen nur um einen unbetraͤcht lichen Theil un⸗ terſcheiden. Ja, wenn ein Bruch, gegeben iſt, deſſen Zaͤhler und Renner ſehr große Zahlen ſind, ſo kann man dafuͤr einen andern Bruch, deſſen Zaͤhl er und Renner aus kleinern Zahlen beſtehen, ſinden, der zwar d dem gegebenen Bruche nicht vollkommen gleich, aber doch auch nicht merk⸗ lich von ihm unterſchieden iſt. Und ſo laͤßt ſich jene Walli⸗ ſiſche Aufgabe aufloͤſen, worin Lerlandt wird, daß man Bruͤche ſinden ſoll, die durch kleinere e Zahlen ausgedruckt werden, und den Werth des in groͤßern Zahlen gegebenen Bruchs ſo genau erſchoͤpfen, als es durch Zahlen, die nicht groͤßer ſind, geſchehen kann. Die B ruͤche, welche wir auf dem beſchriebenen Wege finden, naͤhern ſich dem Werthe des continuirlichen Bruchs, aus welchem ſie abgeleitet wor⸗ den, ſo ſehr, daß keine andere, die nicht aus groͤßern Zah⸗ len beſtehen, ſich ihm mehr naͤhern koͤnnen. Erſtes Exempel. = Es ſoll das Verhaͤltniß des Durchmeſſers zum Umkreiſe durch ſo kleine Zahlen ausgedruckt werden, daß ſolches auf keine genauere Art geſchehen kann, wofern man nicht groͤ⸗ ßere Zahlen nimmt. Wenn die bickel, und dar Der zwe Peiphe, hallnis gehuct WVechott es her⸗ peniger a dechſae Nan Sonnene Rd ſteht es ſen Brug e uori 4 und ans — . ter Brnch N ſe Pjene weli⸗ i⸗ N nite geleitawes dhern ⸗ hkteſe un nic, Denn weniger als II Von den econtinuirlichen Bruͤchen. 415 Wenn man den bekannten Decimal⸗Bruch 3/1415926535 ꝛc. auf die beſchriebene Art durch eine fortgeſetzte Dibiſion en ent⸗ wickelt, ſo erhaͤlt man die Quotienten, 3, 7,/ 15, I, 292, I, I, ꝛc. und daraus ergeben ſich folgende Bruͤche, 1 3 22 333 355, 103923 o 1 7 106 113 33102 Der zweyte zeigt ſchon an, daß ſich der Durchmeſſer zur Peripherie wie 1: 3 verhalte, und genauer kann dies Ver⸗ 5 haͤltniß durch keine andere als durch groͤßere Zahlen aus⸗ gedruckt werden. Der dritte Bruch giebt das Archimedeiſche Verhaͤltniß 7: 22; und der fuͤnfte das vom Metius, wel⸗ ches der Wahrheit ſchon ſo nahe kommt, daß der Fehler betraͤgt. Uebrigens ſind dieſe Bruͤche wechſelsweiſe zu groß und zu klein. Zweytes Exempel. Man ſoll das Verhaͤltniß eines Tages zum mittlern Sonnenjaͤhre in den moͤglich kleinſten Zahlen ausdrucken. Da dieſes Jahr 365 T., 5 St., 49“ 55“ enthaͤlt, ſo be⸗ ſteht es aus 365 6 00 23 Tagen. Entwickelt man nun die⸗ ſen Bruch, ais woraf es allein ankommt ſo findet man die Quotienten 4, 7, 1, 6, I, 2, 2, 4 und aus ihnen folgende Bruͤche 2, 1, 2, à ι ur 17 4 29 33 227 260 747/ ⸗„ Die S 416 Ecſtes Buch. Achtzehntes Capitel. ꝛc. Die Stunden, Minuten und Secunden, welche das Jahr uͤber 365 Tage enthaͤlt, machen alſo in 4 Jahren ohngefehr einen Tag, und darauf gruͤndet ſich die Einrichtung des Julianiſchen Calenders. Genauer gerechnet, ſo entſtehen daraus in 33 Jahren 8 Tage, oder in 747 Jahren 181 Tage, ſo daß alſo in vier hundert Jahren 97 Tage zu viel her⸗ auskommen. Da alſo der Julianiſche Calender in dieſem Zeitraume 100 Tage einſchaltet, ſo verwandelt der Gre⸗ gorianiſche in vier hundert Jahren drey Schaltjahre i in gemeine Jahre. 1 Ennde des erſten Buchs. Anhang Ueb — o/ außer eine docen B Wßfen Kulersl 1. hegefce Anhang Nn S zu der “ Ueberſetzung des erſten Buchs der n OWDW oliehre in der Euleriſchen Einleitung in die Analyſis des Unendlichen, welche r außer einer vollſtaͤndigen Darſtellung der in dem ge⸗ dachten Buche abgehandelten Materien vetſchiedene groͤßtentheils aus andern Euleriſchen Schriften genommene Zuſaͤtze enthaͤlt. Pie⸗ Eulers Einl. in d. Anal. d. Unend I. B ODd . – 4 Eu und den bon die Gröͤße lgen theit dor daß er ni werkt, zu Nehort. Euler da Cintheilun Wdderſt h keder einonder ein dop ſiß die welche di⸗ Oroͤen be ſe ben Bef Grbe bek tionenein liche Grd⸗ man ihre Zuſaͤtze zum erſten Capitel. A. Inhalt des erſten Capitels. Eer be beſchaͤftiget ſich in dieſem Capitel mit dem Begriffe und den Arten der Funktionen. Da der Begriff der Funk⸗ tion die Begriffe der beſtaͤndigen und der veraͤnderlichen Groͤße vorausſetzt, ſo ſchickt er gleich im Anfange die Erklaͤ⸗ rungen dieſer beyden Gattungen der Groͤßen voraus, und theilt darauf den Begriff der Funktion auf die Art mit, daß er nicht nur die Funktion erklaͤrt, ſondern auch be⸗ merkt, zu was fuͤr einer Gattung der Groͤßen dieſelbe gehoͤrt. Was die Arten der Zunktionen betrifft, ſo redet Euler davon in der Ordnung, in welcher man ſie bey der Eintheilung der Funktionen entdeckt. Man kann nemlich zu⸗ voͤrderſt bey der Eintheilung der Funktionen j jede Funktion entweder an und fuͤr ſich betrachten, oder mehrere unter einander vergleichen. Im erſten Falle bietet ſich wieder ein doppelter Theilungsgrund dar; denn es unterſcheiden ſich die Funktionen theils nach den Operationen, durch welche die veraͤnderliche Groͤße in ihnen mit beſtaͤndigen Groͤßen verbunden iſt, theils nach dem Werthe, welchen ſie bey Beſtimmung der in ihnen enthaltenen veraͤnderlichen Groͤße bekommen. Wenn die Funktionen nach den Opera⸗ tionen eingetheilt werden ſollen, durch welche ihre veraͤnder⸗ liche Groͤße mit beſtaͤndigen Groͤßen verbunden iſt: ſo kann man ihre Arten entweder nach den einzelnen Operationen, Dd 2 oder 420 Zuſuͤtze zum erſten Capitel. oder nach den Gattungen derſelben feſtſetzen. Im erſten Falle giebt es ſo viel e Arten der Funktionen, als es ein⸗ zelne Operationen giebt, durch welche Groͤßen mit einander verbunden werden koͤnnen. Im andern Falle aber ſind die Funktionen entweder algebraiſche oder tranſcendente, und die algebraiſchen wieder entweder rationale oder irrationale Funktionen; endlich laſſen ſich die rationalen Funktionen noch in ganze und gebrochene, und die irrationalen in ent⸗ wickelte und in verwickelte Funktionen eintheilen. Bey der Eintheilung der Funktionen nach dem Werthe, welchen ſie bey Beſtimmung der in ihnen enthaltenen veraͤnderlichen Groͤße bekommen, findet ebenfalls ein zwiefacher Fall ſtatt, indem man dabey einmal den Werth, den die Funktionen erhalten, wenn man fuͤr ihre veraͤnderliche Groͤße irgend eine abſolute beſtaͤndige Groͤße ſetzt, betrachten, oder zweytens auf denjenigen ſehen kann, den ſie bekommen, wenn man fuͤr ihre veraͤnderliche Groͤße nach einander zwey gleich große entgegengeſetzte Groͤßen ſetzt. Im erſten Falle ſind die Funktionen entweder einfoͤrmig oder vielfoͤrmig, und das entweder nach allen ihren Werthen, oder bloß nach +☛ den reellen. Im andern Falle werden die Funktionen in gerade und in ungerade Funktionen getheilt. Was endlich weytens die Eintheilung der Funktionen anlanget, wobey mehrere mit einander verglichen werden, ſo ſind dabey die Funktionen theils einander aͤhnlich oder nicht, und hier laͤßt ſich leicht einſel hen, daß bloß von den aͤhnlichen geſro⸗ chen zu werden braucht. Man kann alſo den Inhalt dieſes Capitels in ſolgende Labelle e bringen. 2. Arten 1 wer 4, 44. db. ¹ n erſen ucs ein⸗ glen inet . Bey der Wen nſie Ran nderl ſchen iar dal ſat, ie Funttinen Hder entns rnig, r Aus 0 nttonen in Vri eih nt, w nd nue Gde t, d ſe ſſen ⸗ ſlgende Zuſuͤtze zum erſten Capitel. 42 ½ Von den Funktionen uͤberhaupt. 1. Begriff der Funktion, §. 1— 5. a. Vorbereitende Erklaͤrungen, §. I — 3. ℳ. der beſtaͤndigen Groͤße, §. 1. 8. der veraͤnderlichen Groͤße, §. 2. 3. b. Begriff der Funktion ſelbſt, §. 4. 5. ℳ. Erklaͤrung der Funktion, §. 4. 8£. Anmerkung uͤber die Art der Groͤße, zu welcher die Funktion gehoͤrt, 9. 5. 2. Arten der Funktionen, F. 6 – — 26. a. wenn die Funktionen an und fuͤr ſich betkachtet wer⸗ den, §. 6 — — 25. ℳ, in Anſehung der Operationen, durch welche die veraͤnderliche Groͤße in denſelben mit beſtaͤndi⸗ gen Groͤßen verbunden iſt, F. 6 — 9, und zwar aa. in Anſehung einzelner Operationen, §. 6. bb. in Anſehung der Gattungen dieſer Operationen, 7– 9. ℳ„α. Algebraiſche Funktionen, F. 8. aaa. Rationale, 9. 8. * α“ ganze 4 . 9. 868. gebrochene) bbb. Irrationale, §. 8. aac, entwickelte 4 868. verwickelte 5. 8 gsé. Tranſcendente Funktionen, §. 7. L 8. in Anſehung des Werthes, welchen die Funktionen bey Beſtimmung der in ihnen enthaltenen ver⸗ uͤnderlichen Groͤße bekommen, §. 10 — — 25. aa. wenn fuͤr die veraͤnderliche Groͤße der Funktionen irgend eine abſolute beſtaͤndige Groͤße geſetzt wird, §. 10 – 17. 4 H Dd 3 .ν 422 Zuſaͤtze zum erſten Capitel. a. hieraus entſtehende Arten der Funktionen, §. 10 –— 15. aaa. wenn jeder auf dieſem Wege ſich erge⸗ bende Werth der Funktionen in Betrach⸗ twung gezogen wird, §. 10 — 14. α. Einfoͤrmige Funktionen, §. 10. g8. Vielfoͤrmige Funktionen, F. 10 — 14. I. beſondere Arten davon, F. 11 — 13. a. zweyfoͤrmige, §. 1II. b. dreyfoͤrmige, §. 12. c. vierfoͤrmige, §. 13. 2. vielfoͤrmige uͤberhaupt, §. 10. 14. pbb. wenn bloß die moͤglichen Werthe genom⸗ men werden §. 15. Bielfoͤrmige Funk⸗ tionen, die wie einfoͤrmige oder zwey⸗ foͤrmige gebraucht werden. 6s. das Bisherige vorausſetzende Erweiterung des Begriffs der Funktion, §. 16. 17. bb. wenn fuͤr die veraͤnderliche Groͤße der Funktionen nach einander zwey gleich große entgegenge⸗ ſetzte G Groͤßen geſetzt werden, F. 18 — 25. „ℳ. gerade Funktionen, §. 18 — 20. aaa. Begriff der geraden Funktion, §. 18. 19. αℳοα. uͤberhaupt, §H. 18. 6s8. insbeſondere der einfoͤrmigen und viel⸗ foͤrmigen, §F. 18. 19. bbb. Kennzeichen der geraden Funktion, . 20. 6⁶8. ungerade Funktionen, §. 21 — 25. aaa. Begriff der ungeraden Funktion, §. 21. pbb. Entſtehungsarten der geraden und ungera⸗ den Funktionen aus einander. §. 22. 23. ecc. Kennzeichen ungerader Funktionen. §. 24. 25. b. Wenn OS lebt alch nan ſichen dderme Daobe hele der fonen i lung ni tionen Funkti hondelt us zwer einander dieſe und Ne Aas und de und erk ſchwere 1) 4 N) lichen (a - 2) 43⁸ 4 do don . Ruoc⸗ emnig⸗ dy . e N. / eß zwort⸗ Re. vey⸗ weitenng 1 e Fontuchen M Mll lni. 1, Vean Zuſuaͤtze zum erſten Capitel. 423 b. Wenn die Funktionen in Vergleichung mit einander betrachtet werden, §. 26. Begriff der aͤhnlichen Funktionen. Uebrigens iſt hier noch zu bemerken, daß die Funktionen auch nach der Anzahl der in ihnen vorkommenden veraͤnder⸗ lichen Groͤßen in Funktionen einer, und in Funktionen zweyer oder mehrer veraͤnderlicher Groͤßen eingetheilt werden koͤnnen. Da aber Euler in dem Capitel, wovon die vorhergehende Ta⸗ velle den Inhalt ausfuͤhrlich darſtellt, nur von den Funk⸗ tionen uͤberhaupt reden wollte: ſo hatte er dieſer Einthei⸗ lung nicht noͤthig zu gedenken, und konnte bey den Funk⸗ tionen einer veraͤnderlichen Groͤße ſtehen bleiben. Von den Funktionen zweyer oder mehrerer veraͤnderlicher Groͤßen handelt das fuͤnfte Capitel. H B. Ueber die Methode aus zwey Gleichungen, die eine unbekannte Groͤße mit einander gemein haben, eine Gleichung zu finden, worin dieſe unbekannte Groͤße nicht enthalten iſt. Zu §. 17. 1. Newton giebt in ſeiner Arithmetica univerfali, nach⸗ dem er S. 57 — 61 von dieſer Methode uͤberhaupt g eredet, und die bekannten Regeln fuͤr die leichtern Faͤlle mitgetheilt und erklaͤrt hat, S. 62 und 63 folgende beſondere, einige ſchwerere Faͤlle betreffende, Regeln: 1) Wenn ́MRUdb: a XX -† bX † c = O0, und fxx †T gx † h=O iſt, ſo erhalt man durch die Wegſchaffung der gemeinſchalt⸗ lichen Groͤße X folgende Gleichung: (ah — bg — 2cf) ah † (bh- eg) “* bf† (agg † eff) “ c =o. 2) Wenn . AX 3 † bzx † Cx † d = o, und x gX T h = O. Dd 4 iſt, 424 Zuſaͤtze zum erſten Capitel. „ iſt, ſo iſt die Gleichung, welche man durch die Wegſchaf⸗ fung der unbekannten Groͤße X bekommt, folgende: (ah — bg — 2cf) & ahh † (bh — cg – 2df * bfh (ch -— qg) (agg † cfſt) † (Zagh † bgg T dff) D =o 3) Wenn aAX4 † bx 3 T cxx dx † F e = o, und fxx † gx t h = o L iſt, ſo giebt die Wegſchaffung von X die Gleichung: (ah – bg – 2 cf) “ ahs † (bh — cg — 2 df) „ bfhh † (agg eff⸗ * (Cchh-—– dgh † egg —– 2 ef h) † (3 agh † bgg † dff) dfh † (2 ahh † 3 bgh — aſs † eff) eſt — (bg — 2 ah) * eigg = 0 4) Wenn AX 3 † bxx † cx d = o, und fæa gxx t hx f k = 0 iſt, ſo bekommt man durch die Wegſchaffung der gemein⸗ ſchaftlichen Groͤße X die Gleichung: (ah – bg —– 2ct) (adh ah- achk) †T (ak † bl 1— cg- adi „ Pdfh — (ak † bh † 2cg † 3df) aakk † (cdh —– ddg = Cck † 2 bdk) (agg † cff) † (3agh † bgg †* dff — 3afk) „ ddf — (Zak — bh † cg † t) „ befk † (bk —– 2dg) „ bhfk — (bbk — 3adh- — edf) ägk = O. 2. Die Art und Wer ſe, wie Newton dieſe Regeln ge⸗ funden, findet man zwar am angefuͤhrten Orte nicht be⸗ merkt, indeß erhaͤlt man ſie unter andern aus den allgemei⸗ nen Gleichungen, zu welchen ſie gehoͤren, wenn man aus denſelben die Groͤße x nach den bekannten Regeln weg⸗ ſchaft. So ergiebt ſich ; z. B. die erſte Regel, wenn man axxX † bx T† c = O in afxx † bfx † cf = O, und fx T gx T h = o in afxx † ag? † ah = O verwandelt, aus dieſen beyden Gleichungen durch die Subtraction (bf –— ag) X † cf –— ah = O0 macht ah — cf hieraus x = — — entwickelt, und bf. — ag dieſen ſ, ſo e (aah 3-—2 AAhh (ah-= 5,O. genden Be 4. Sd N— ſett man 3,) Gtio enn nane 11 Rt Sbe, Zuſatze zum erſten Capitel. 425 dieſen Werth von in die Gleichung axx † bx † c = o bringt. Da nemlich wegen des gefundenen Werthes vonx, aahh — 2 ahfc † ceff (bi — ag) 2* iſt, ſo erhaͤlt man dadurch die Gleichung (aahh — 2 ahfe † ccff) a (ah — ef) b (bf – ag) ² bf — ag oder a3Hh — 2aahfc † accff † abbfh —– bbfſc — aabgh abefg 1† bbffc –— 2 abefg † aacgg X2 — 4 † c = O n — aahh — 2ahic †̈ coff † bbfh — abgh — beſg † acgg (ah- bg -— 2fc) „ ah † (bh-– cg * bf -† (agg † cff) c = O. 3. Den Gebrauch dieſer Regelah zeigt Newton an fol⸗ genden Bey pielen: a. Soll aus den Gleichungen XX 5X — 3y = O, und ZXXK — 2Xy † 4 = die Groͤße X weggeſchaft werden: ſo ſetzt man in der erſten Regel a = 1, b = 5 c = — 3yy, f= 3, g = — 2 und h = 4. Dadurch bekommt man a4 10 † 18 ) *4 † (20— 6) 3) * 15 † (4) — 27Y) — 3 yy = 0 oder 16 † 40y † 72yy † 300 – 90 7 3 † 60 y4 = = O b. Soll man aus den Gleichungen, y3 — Xxyy — 3 = 0, und yy † xy — xXXx T 3 = O, die Groͤße y wegſchaffen: ſo ſetzt man in der zweyten Regel a = 1, b = — X, c = o, d = — 3Xx; [= I, g = X, h = – Xx † 3, und X= . Alsdann wird (3 – XX † xx) õ † 62) (— 32 † X3) †. 3xX XX † (9X — 353 — X² — 3xX) — 3 ²¾ — d 5 * oder 426 Zuſaͤtze zum erſten Capitel. oder 27— I8XX † 34 — 9XX † x6 † 3X4— IX2 † I2X 4 — G oder X6 † 18X4 — 45XX † 27 = O. Euler lehrt in ſeiner Nouvelle méthode c'sliminer ꝛc. einen andern Weg, dieſe Regeln zu finden. Er iſt fol⸗ gender. a. Wenn A † Bz = o, und a † bz = 0 iſt, ſo wird, wenn man die erſte Gleichung mit b und die andern mit B multiplicirt, und das letzte Produet von dem erſten abzieht, Ab- — Ba = O Eben dieſes findet man, wenn man die erſte Gleichung mit a, und die andern mit A multiplicirt, das erſte Produkt von dem zweyten abzieht, und die daher eniſpringende Gleichung Abz — Baz = durch 2 dividirt. b. Wenn A † Be 1 Ciz = O, und a † ba f crz = o iſt, ſo iſt die Differenz zwiſchen der erſten Gleichung mit und der andern mit C multiplicirt, Ac —– Ca † (Bc — Cb) 2 = O ſo wie die Differenz eben dieſer Gleichungen, nachdem man die erſte mit a und die andere mit A multiplicirt, die Dif⸗ ferenz ſelbſt aber durch? dividirt hat, Ba — Ab † (Ca — Ac) z = 0 Auf dieſe Art hat man alſo zwey Gleichungen gefunden, aus welchen ſich die unbekannte Groͤße 2 nach a wegſchaffen laͤß ßt. Es wird aber alsdann (Ac – Ca) (Ca — Ac) — (Bc — Ch) Cba — Ab) = = 0 odder AAcc — 2ACac † Ccaa † Bac — ABbc — BCab † ACbb=0 ℳ ₰ℳ₰ c. Wenn . Le⸗ 112: bit Mere mit eſen abzi Ad — Multiplie die ondere 2 dbldirt, a — Mo hat bekannten eimuſche tiſche Ge ſey Gei chungen bo Fihrt nan eldlich or Ordhen 6, Im belden eub MaXT M- d. Cd- Hierdurch ſhen Glei X Ferner ſe X. B in dadun WASO dW de utt von den leichung n ſe Nohe ſpringenne Pfunden, egſchefen Zuſaͤtze zum erſten Capitel. 427 C. Wenn A † Bz † Czz † Dz3 = O, und a † bz † czz † dz 3 = O0 iſt, ſo wird, wenn man die erſte Gleichung mit d und die andere mit D multiplicirt, und das legte Produrt von dem erſten abzieht, Ad — Da † (Bd — Db)⸗ †* (Cd — De)er = O Multiplicirt man hingegen die erſte Gleichung mit a und die andere mit A, ſo iſt die Differenz zwiſchen beyden durch 2 dividirt, Ba — Ab † (Ca — Ac) 2 4 † (Da — Ad)2r — 0 Man hat alſo zwey Gleichungen, aus welchen ſich die un. bekannte Groͤße 2 nach b wegſchaffen laͤßt, und es iſt leicht einzuſehen, daß man auf eine aͤhnliche Art zwey biquadra⸗ tiſche Gleichungen auf zwey eubiſche, und uͤberhaupt jede zwey Gl eichungen von irgend einem Grade auf zwey Glei⸗ chungen von einem niedrigern Grade zuruͤckfuͤhren kann. Faͤhrt man aber in dieſer Reduktion fort, ſo kommt man endlich nothwendig auf eine Gleichung, in welcher die Groͤße? nicht mehr enthalten iſt. 6. Um ſich aber die Wegſchaffung der Groͤße aus den beyden cubiſchen Gleichungen A † Bz † Czz † Dz3 = 0, und a † bz † czz † dz 3 = o zu erleichtern, ſo ſetze man Ad — Da = A a B. – bA = a” Bd — Db = B aC — cA = b-’ cd — De = cC aàaD — dA = c Hierdurch verwandeln ſich die bey c gefundenen quadratt⸗ ſchen Gleichungen in folgende: A' †B2 † Czz = O, und a' † bz Te czz = O. Ferner ſetze man Ac — Ca = A“ àaB — bA' = a’ Bc“ – Cb = B aC — CcA = b um dadurch die beyden einfachen Gleichungen 428 Zuſaͤtze zum erſten Capitel. zu erhalten, welche folgende von von - befreyte Gleichung geben A'b’ — Ba = 0. . e. Zaͤhlt man nun aber die Buchſtaben A, B, C, D, a, b, c, d, welche in jedem Gliede in einander multiplicirt ſind: ſo enthalten die Ausdruͤcke A, By, C, a’,, by c zwey, und die Ausdruͤcke A“, B, a’, b' vier Dimenſionen, ſo daß alſo die Gleichung Ab’ — B’a’ eine Gleichung von 9 Dimenſionen, oder jedes ihrer Glieder ein Produkt aus acht Groͤßen iſt. Entwickelt man indeß dieſe Gleichung, ſo ſindet ſich, daß ſie ſich durch Ad — Da theilen, und folglich, wenn man wirklich dividirt, in eine Gleichung von ſechs Dimenſionen vebwandeln laͤßt, welche folgende iſt: (Ad — Da) 3 (Ac — Ca) 2 (Cd — Dc) — 2 (Ab — Ba) (Ad — Da) (Cd-— Dce) 1(Bd - Db)2 Ab-— Ba) — (Ab-= Ba (Bc — Cb) Cd-— Dc) = 0 — (Ad-=— Da) (Ac -Ca) (Bd-— Db) f. Wenn zwey Gleichungen vom vierten Grade gegeben ſind, ſo fuͤhrt dieſe Methode auf eine Gleichung von 16 Di⸗ menſionen, die ſich aber, weil ſie durch eine Formel von 8 Dimenſionen theilbar iſt, auf eine Gleichung von 8 Di⸗ menſionen zuruͤckf aͤhren laͤßt. Auf eine aͤhnliche Art ver⸗ haͤte es ſich mit den folgenden hoͤhern Gleichungen. 5. Außerdem macht Euler in der angefuͤhrten Abhand⸗ lung noch eine neue Methode der Wegſchaffung einer unbe⸗ kannten Groͤße aus zweyen Gl eichungen bekannt, welche ſich auf eine genauere Beſtimmung des Begriffs der Elimi⸗ nation gruͤndet. Ueberlegt man nemlich, daß man, wenn ſich jede Gleichung vollkommen aufloͤſen ließe, zur Weg⸗ ſchaffung einer zweyen Gleichungen gemeinſchaftlichen Groͤße aus denſelben uͤberall den Weg einſchlagen koͤnnte, daß man die wegzuſchaffende Groͤße aus beyden Gleichungen ſuchte, und aus dem auf dieſe Art gefundenen doppelten Werthe der⸗ „ Aſcen deſ Ns G un beſte ſſes zwiſe pegzuſcha Ueichung aſſo 3 B. 11† 1 woggeſcͤ die Vuepd gen gemei 11 23 † . (are: Gncvictet Verpeeichun lbi II. d us dieſe neuen Bu dann auch e Nuct wes nuͤſen we liche Vre A= Und aus b= Getzt man Patb lo- Wrqus den hung Cehen nfnd. wen de dos e Dinenimn, Großenſ. , wenn n Dinenſonen — DR (CA-De) ⁵= 6-D Ode ehehen N aW10De J, A&à Euundd Pen Ae he Mr ber⸗ ntidt e Uithe ler⸗ Zuſuͤtze zum erſten Capitel. 429 derſelben eine neue Gleichung machte: ſo ſieht man bald, daß das Geſchaͤfte der Elimination eigentlich in nichts an⸗ derm beſteht, als in der Erfindung eines ſolchen Verhaͤlt⸗ niſſes zwiſchen den in den gegebenen Gleichungen außer der wegzuſchaffenden enthaltenen Groͤßen, wobey die gedachten Gleichungen eine gemeinſchaftliche Wurzel haben. Soll alſo z. B. aus den Gleichungen 22 † Pz † Q = 0, und 23 † pzz † qz † r = O0 2 weggeſchafft werden, ſo gebe man beyden Gleichungen die Wurzel , wodurch denn z — „ ein beyden Gleichun⸗ gen gemeinſchaftticher⸗ Faktor wird. Ferner iſt alsdann 22 † Pz † Q= (2 — °) (2z T A) 23 † Pzz † qz t r = (2 — ) (22 † az † b) und alſo (zz † Pz † * (2z † az P b) = (2 3 † pzz qz T r) (z P† A). Entwickelt man nun dieſe Produkte, ſo ergeben ſich aus der Vergleichung derſelben folgende Gleichungen: l. P † a = p † A; III. Q† Pa b = q 1 pA; II. Pb † Qa = qA †r; IV. Qb = r A. Aus dieſen Gleichungen laſſen ſich nicht nur die drey neuen Buchſtaben A, a und b leicht beſtimmen, ſondern dann auch eine Gleichung ſinden, die das Verhaͤltniß aus⸗ druckt, welches die Groͤßen P, Q, p, q, r zu einander haben muͤſſen, wenn die gegebenen Gleichungen eine gemeinſchaft⸗ liche Wurzel haben ſollen. Es folgt nemlich a aus I. A=—P—ppf† a und aus II. . b= dq † -A- G — Pa, oder b= A p-— p i pa — Q – Pa. Setzt man nun dieſe Werthe in III. ſo bekommt man Pq T PPP-— PPP-T E-FPlar Qa=P-pqqdarr oder Pp (P — p) † pdq — PQ — r = e& -— B)a - (C— — q)a woraus denn A= 430 Zuſaͤtze zum erſten Capitel. Pp (P— P P9—PQ=r Q(P— p) — r P“— p)— (Q— ) PCP-— p)- (— ) wird. Eben dieſe Werthe, in IV gebracht, geben QA † "- Gpp--o ep— Larr ( — ) † ra oder p(P-— p) — Q(Q=— )-r —) OQ—α% Pr P=P)TIr CCP--Pp) r a = Es iſt alſo Q(P— p) †r — L(— ¾ † Pr P. P— p) — (0 — 3) Q(P — p) T r „oder CÄ(P-— p) (P q — Qp) † 2 Or (?— p) † Pr (Q — q4) — P Pr (P — p) 4 P Q (Q — 4)2 † rr = o 6. Nunmehr iſt auch leicht einzuſehen, wie man die un⸗ bekan nte Groͤße 2 aus zwey Gleichungen von jeglichem Grade wegſchaffen kann. Denn ſoll man aus den beyden Glei⸗ chungen zZmmn † PzZzmn-TI . Qzm-2 † Rzm-3 † 8 2m -4 4 ꝛc. = O zZu † pzn-TI qzn-2 † r zn- 3 † Szu-A4 † 2c. = eine neue Gleichung machen, worin nicht mehr enthalten iſt: ſo iſt das eben ſo viel, als, man ſoll das Verhaͤltniß zwi⸗ ſchen den Coefficienten P, Q, R, ꝛc. p, q, r, ꝛc. beſtimmen, wo⸗ bey die gegebenen Gleichungen eine gemeinſchaftliche Wur⸗ zel oder einen gemeinſchaftlichen Faktor haben. Es ſey alſo 2 — „ der gemeinſchaftliche Faktor. Alsdann wird 2Zm † Pzm-I † Qzmn-2 Pꝛc. = = G „) (zm - I P† Azm - 2 † Bzin- 3 † ꝛc. „ 2n 1 pan- 1 † qzanz Pe. — (-—9) (zu- t 1† a zu-2 † ben-3 † ꝛc.) Macht man nun hieraus die Gleichung (zm † Pzm-T † Qzm- 2 † ꝛc. (zn-I† a zn-2 bzn- 3 †ec. = (zu † pzn-TI†. qzn- 2 † ꝛc.) (zm- T. Azm-2 †. Bzm- 3 4. ꝛc.) und entwickelt man die auf beyden Seiten derſelben ſtehen⸗ den M henn iy heden Gungen in un die 3 gohl der hl alle⸗ ihrer Bef lſo noch in einer 6 B,C, u darin dor 1 deswege lſung f Mbobint ie Befin jvey oder Uebrigens 8 Cümt, brigen t —0 ie nmn Neun ihen Cede pben Clei⸗ 1K= 0 1* 1— 1820 nehr etheten hühni/n⸗ timmen, do⸗ fiiche Vu⸗ id = Wl Zuſaͤtze zum erſten Capitel. 431 den Produkte: ſo erhaͤlt man daraus, da die erſten Glieder in beyden Haͤlften einander gleich werden, m † n — 1 Glei⸗ chungen zur Beſtimmung der Buchſtaben A, B, C, ꝛe. Da nun die Zahl der Buchſtaben A, B, C „ꝛc. m — I, und die Zahl der Buchſtaben a, b, c, ꝛc. n — I, und alſo die An⸗ zahl aller dieſer Buchſtaben m † n — 2 iſt: ſo reichen zu ihrer Beſtimmung eben ſo viele Gleichungen hin. Da man alſo noch eine Gleichung mehr hat, ſo gelangt man endlich zu einer Gleichung, worin keiner von den Buchſtaben A, B, C, ꝛc., a, b, c, ꝛc. enthalten iſt, und da auch z nicht darin vorkommt, ſo iſt dieſes die geſuchte Gleichung. 7. Dieſe Euleriſche Eliminations⸗Methode verdient auch deswegen gemerkt zu werden, weil man dadurch zur Auf⸗ loͤſung folgender Aufgabe vorbereitet wird: Es ſind zwey unbeſtimmte algebraiſche Gleichungen gegeben; man ſoll die Beſtimmungen finden, bey welchen dieſe Gleichungen zwey oder mehrere Wurzeln mit einander gemein haben. Uebrigens giebt Euler ſelbſt zu, daß dieſe Methode, bloß als Eliminations⸗Methode betrachtet, nicht immer den uͤbrigen vorzuziehen ſey. II. Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. A. Inhalt des zweyten Capitels. Dieſes Capitel haͤngt mit dem zunaͤchſt folgenden aufs genaueſte zuſammen, welches auch am Ende des 27ſten §. von Eulern ſelbſt bemerkt worden iſt. Es redet aber Euler darin zuvoͤrderſt von den beyden erſten Arten der Verwand⸗ lung der Funktionen, ſo, daß er dieſel ben nach ihrer Be⸗ ſchaffenheit und der Abſicht, warum ſie vorgenommen wer⸗ den, kurz beſchreibt, und dann betrachtet er die Umfor⸗ mung der Funktionen ohne Subſtitution ausfuͤhrlicher. Dieſe Unterſuchung zerfaͤllt in zwey Theile; der erſte be⸗ ſchaͤftiget ſich mit den ganzen, und der andere mit den ge⸗ brochenen Funktionen. Die Verwandlung der ganzen gide⸗ teonen, die hier betrachtet wird, beſteht lediglich in d Aufloͤſung dieſer Funktionen in Faktoren, und davon redet Euler ſo, daß er zuerſt uͤberhaupt die Beſchaffenheit dieſer Verwandlung, und die Art, wie ſie zu Stande gebracht werden kann, beſchreibt, und darauf insbeſondere die Frage beantwortet: In was fuͤr und in wie viel reelle Faktoren jede ganze Funktion aufgeloͤſet werden kann? Bey den gebrochenen Funktionen ferner wird zuerſt die Aufloͤ⸗ ſung der unaͤchten gebrochenen Funktionen in eine ganze und in eine aͤchte gebrochene Funktion, und zweytens die Auflbſung der aͤchten gebrochenen Funktionen in Partial⸗ Sräͤche Gecet ſton fochen fien di in welch niedrige 2 im Ne ſpochen, Reſtehen. Tabe 1, Werl ber: 2 Von ei nen i Euler lgenden a⸗ dn ſng⸗ de cberLul 8 ber Vernemd e Uor⸗ Der ein de NMr e nnerun⸗ ch in e⸗ dNwn e ⸗ N 6 feche zande c⸗ gi die ule zs de t Ne nei n ae e ſone nnns he⸗ zlr tiol⸗ hiice = — 16 folgen diejenigen, die unter die Form Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. 4433 Bruͤche betrachtet. Bey dieſem zweyten Stuͤcke wird erſt⸗ lich von ſolchen Bruͤchen geredet, deren Nenner aus lauter einfachen und einander ungleichen Faktoren beſtehen; dann qz)n in welcher die hoͤchſte Poteſtäͤt von z in dem dem Zaͤhler P eine niedrigere Poteſtaͤt iſt, als die hoͤchſte Poteſtaͤt eben dieſer 2 im Nenner; und endlich wird von ſolchen Bruͤchen ge⸗ ſprochen, deren Nenner aus beyden Arten von Faktoren beſtehen. Tabellariſch dargeſtellt iſt alſo der Inhalt des zweyten Capitels folgender: Von der Umformung der Funktionen. 1. Vorlaͤufig von den beyden zunaͤchſt zu betrachtenden Arten der Verwandlung der Funktionen uͤberhaupt, K. 27. 2. Von einer jeden dieſer Verwandlungsarten der Funktio⸗ nen insbeſondere §. 28. bis zu Ende des dritten Capitels. a. Von der Umformung der Funktionen, §. 28 — 46. a. «. der ganzen Funktionen, §. 28— — 37. Aufloͤſung derſelben in Faktoren. aa. uͤberhaupt, §. 28 — 29. „sa. Beſchaffenheit und Nutzen dieſer Vertvand⸗ lungsart, §. 28. 28. Art und Weiſe, wie ſie zu Stande gebracht H wird. §. 29. Ppb. Aufloͤſung derſelben in reelle Faktoren, oder Be⸗ ſtimmung der Art und der Anzahl der reellen Faktoren, worin jede ganze Funktion aufgeloͤſet werden kann, §. 30 — 37, und zwar ℳℳα. der reellen doppelten Faktoren, die ſtatt der einfachen imaginaͤren genommen werden koͤn⸗ nen. §. 30 –— 32 Eulers Einl. in d. Angal. d. Unendl. J. B. Ee D aag. gehoͤren, 434 O Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. aaa. vorlaͤufige Anmerkung uͤber die Anzahl der imaginaͤren Faktoren in einer ganzen Funktion und der Beſchaffenheit des Pro⸗ dukts aus allen, §. 30. Pbb. die gedachte Beſt ſtimmung ſelbſt, 31 — 32. ae, Wwenn die Funktion ein Produkte aus vier, §. 31. ges. wenn dieſelbe ein Produkt e aus irgend einer geraden Anzahl imaginaͤrer Far⸗ toren iſt, §. 32. 88. der reellen einfachen Faktoren, §. 33 – 37. aaa. ein vorlaͤufiger Satz §. 33. Pbb. die erwaͤhnte Beſtimmung ſelbſt, F. 34 — 37. vnnu. bey ſolchen Funktionen, in welchen der Exponent der hoͤchſten Poteſtaͤt von 2 eine ungerade Zahl iſt §. 34. 35. 6868. bey ſolchen Funktionen, worin eben die⸗ ſer Exponent eine gerade Zahliſt. 9§.36.37. I. uͤberhaupt, §. 36. 2. wenn die beſtaͤndige Groͤße der Funktion negativ iſt, §. 37. p. der gebrochenen Funktionen, §. 38 — — 46. a. a. aa. Aufloͤſung der unaͤchten gebrochenen Funktionen in eine ganze und in eine aͤchte gebrochene Funk⸗ tion. §. 38. bb. Aufloͤſung der aͤchten gebrochenen Funktionen in Partial⸗Bruͤche, J. 39 – 46. a. sa, ſolcher Funktionen, deren Nenner aus lauter ungleichen Faktoren beſtehen, §. 39 — 41. aaa. wenn der Nenner ein Produkt aus zwey Faktoren iſt, die keinen gemei inſchaftlichen Diviſor Baben, §. 39. bbb. wenn Die ln Nen mnte ter fonge außerdemn Of. tenti. leſchtert un 1. Da mtionaſe de hech ſnr onen as N⸗ t aus enn in wacen 34. 5 rin dhen Ni⸗ r G Nrfuntfin - de. ahuttonn henzu zutinmn wluu N4. tt als ſh nſttin b. benn Zuſatze zum zweyten Capitel. 435 bbb. wenn der Nenner ein Produkt aus lauter einfachen ungleichen Faktoren iſt, §. 40. 41. «ua. von der Aufloͤfung dieſer Bruͤche in Par⸗ tial⸗Bruͤche uͤberhaupt, F. 40. ee. wie man zu einem gegebenen Faktor des RNeenners den zugehoͤrigen Partial⸗Bruch findet, §. 41. 88. ſolcher Funktionen, deren Renner aus lauter gleichen Faktoren zuſammengeſetzt ſind, §. 42. y. ſolcher Funktionen, deren Nenner Produkte aus zuſammengeſetzten und einfachen Faktoren ſind. J. 43 — 46. a aaa. Aufloͤſung dieſer Funktionen in Anſehung des zuſammengeſetzten Faktors ihres Nen⸗ ners, §. 43 — 45. « α. wenn derſelbe (p — q2) 2 §. 43. 8s. wenn derſelbe (— q2) 3 §. 44. T. wenn derſelbe ( — q)n iſt, §. 45. bbb. Aufloͤſung derſelben in Anſehung aller Fak⸗ toren ihres Nenners. §. 46. a. Die Unterſuchungen des gegenwaͤrtigen Capitels ſind in dem neunten und zwoͤlften Capitel eben dieſes Buchs wei⸗ ter fortgeſetzt, und die Aufloͤſung der Bruͤche von Eulern außerdem in dem letzten Capitel des zweyten Theils ſeine Differential⸗Rechnung auf eine ſehr vortheilhafte Art er⸗ leichtert und erweitert worden. B. Ueber die Aufl oͤsbarkeit 1 jeder ganzen rationalen Funktion in reelle, einfache ent⸗ weder oder doppelte Faktoren. Zu §. 31. 32. 1. Da Euler im neunten Capitel den Satz: Jede ganze rationale Funktion laͤßt ſich in reelle, einfache entweder oder Ee 2 dop⸗ 436 Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. doppelte, Faktoren aufloͤſen; oder: Man kann die imaginaͤ⸗ ren Faktoren jeder ganzen rationalen Funktion zu zwey und zwey auf die Art verbinden, daß ihr Produkt reell wird; als einen ausgemachten Satz anfuͤhrt, ſelbigen aber gleich⸗ wohl weder hier noch bis zu der angefuͤhrten Stelle ſonſt wo in dem gegenwaͤrtigen Werke bewieſen hat: ſo verdient ein Auszug aus den in der Anmerkung zum letzten der vor⸗ ſtehenden §§. angefuͤhrten Recherches ſur les racines ima- giiſrnaires des équations auch aus dieſem Grunde hier einen Platz. Es beweiſet nemlich Euler in dieſen Recherches bis §. 63. den angefuͤhrten Satz von den Gleichungen, und was hier von den Gleichungen gilt, gilt bekannter Maaßen auch von den Funktionen, auf folgende Art. 2. Zuvoͤrderſt ſchickt er nach einigen anderweitigen Be⸗ trachtungen von §. 20 — 26 drey Lehrſaͤtze voraus. Der erſte iſt mit dem §. 34. 35, der andere mit dem §. 36, und der dritte mit dem §. 37. des erſten Buchs der Einleitung in die Analyſis des Unendlichen uͤbereinſtimmend, und die Beweiſe, die er dafuüͤr giebt, ſind die in den Anmerkungen zu den angefuͤhrten §§. mitgetheilten. Auf dieſe Lehrſaͤtze, gruͤndet er darauf von §. 27 an den Beweis der Aufloͤsbar⸗ keit jeder ganzen rationalen Gleichung, deren Coefficienten lauter reelle Groͤßen ſind, in reelle, einfache entweder oder doppelte, Faktoren, durch folgende Schluͤſſe. 3. Jede Gleichung vom vierten Grade, wie XA4 F Ax3 †. Bx † Cx T D = 0 laͤßt ſich allemal in zwey reelle doppelte Faktoren aufloͤſen. Setzt man X = y — ⅛ A, ſo verwandelt ſich die gege⸗ bene Gleichung in eine Gleichung von eben dem Grade, worin das zweyte Glied fehlt. Angenommen alſo, daß das zweyte Glied bereits fehle, und daß alſo die Gleichung X4 † Ba C † Pp=/0 MZ² i//ſte die e zaben wenn u angeft nd hi Danun wendige nigſten und nim und felg wren B5z2 8 des zoj lſo des don jegſi Unnnre 5 werden Grade hochſte Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. 437 in zwey reelle doppelte Faktoren aufzuloͤſen ſey: ſo faͤllt in i die Augen, nicht nur, daß dieſe Faktoren folgende Form tulni. Cx ††C ux † æ) (KK — ux † 6) = O B hin ſin haben muͤſſen, ſondern auch, daß ſie reell ſeyn werden, HM wenn u, und 8 reell ſind. Vergleicht man nun aber das Rür angefuͤhrte Produkt mit der gegebenen Gleichung, ſo wird Ki B = = T† 8 — uu; C = (6 — a) u; D = a 6, und hieraus fließet, racines Ime. C degir a fe= Buu; s- ⸗„ = ; ſo wie hieraus Nherches M ſahgen, 28 =— uu † B † und 2 « = u † B –— — nmn Nucgn Ferner iſt 42 = 4D, und folglich ttitien de u4 † 2 Buu ? BB — - = 4 D Ntns. Der oder b n us † 2 BuA (BB — 4 D) uu — CC = o. eGlimn Da nun das abſolute Glied dieſer Gleichung, — CcC, noth⸗ d Nde wendiger Weiſe negativ iſt, ſo hat die Gleichung zum we⸗ Menginnn nigſten zwey reelle Wurzeln (Einl. B. 1. Cap. 2. K. 37.) e Ai=, „ und nimmt man eine davon fuͤr u, ſo werden auch =und 6, r luſitben und folglich auch die beyden angenommenen doppelten Fak⸗ rficemana toren XX † ux † a und xX — ux † der Gleichung X4 † urwede Bx 2 † Cx † D = 0 reell. H RM 4. Verbindet man mit dieſem Satze die Behauptungen . e des 30ſten §. des erſten Buchs der Einleitung in die Ana⸗ H .B lyſis des Unendlichen, ſo erhellet, daß auch jede Gleichung iſan. von jeglichem Grade, die nicht mehr als vier einfache ima⸗ eeeen ginaͤre Faktoren hat, in lauter reelle Faktoren aufgeloͤſet, den Gtcn. werden kann. Es iſt demnach jede Gleichung vom fuͤnften o dei⸗ Grade, weil ſie als ein Ausdruck, worin der Exponent der Gih hoͤchſten Poteſtaͤt der unbekannten Groͤße eine ungerade CEe z Zahl 438 Znſaͤtze zum zweyten Capitel. Zahl iſt, nach Einl. B. 1. Cap. 2. §. 34 nothwendig einen reellen einfachen Faktor hat, in lauter reelle, ein weder oder doppelte Faktoren aufloͤsbar. 5. Die Staͤrke des angefuͤhrten Beweiſes beruhet dar⸗ auf, daß die unbekannte Groͤße u durch eine Gleichung vom 6ten Grade beſtimmt wird, deren abſolutes Glied nothwen⸗ diger Weiſe negativ iſt. Daß dieſes ſo ſeyn muͤſſe, laͤßt ſich auch ohne die Gleichung ſelbſt aufzuſuchen erkennen. An⸗ genommen nemlich, daß die Wurzeln der Gleichung X 4 † Bx2 † Cx † D = 0 folgende ſeyen, . X= a, X = b, X = c, x = d; ſo lehrt der bloße Anblick dieſer Gleichung, daß afbcrdD=o ſeyn muß. Laͤßt man ferner XX — ux † 8 jeden dopp Faktor derſelben bedeuten, oder ſetzt man X — ux † =0, ſo iſt ausgemacht, daß u die Summe jedes Paars von den Wurzeln a, b, c, und d iſt. Betrachtet man alſo u als un⸗ bekannt, ſo hat daſſelbe ſo viel Werthe, als es verſchiedene Combinationen der Buchſtaben a, b, c, d, zu zweyen giebt; und da die Anzahl dieſer Combinationen = = 6 iſt, ſo hat u ſechs Werthe und nicht mehr. Es wird alſo u durch eine Gleichung vom 6ten Grade beſtimmt, deren Wurzeln folgende ſind.: = I. u = af†b; II. u = afc; III. u = a †d; IV. u = c † d; V. u = b † d; VI. u.= b † c. Nun iſt a † b † e † d = o, und wenn man alſo die drey erſten Wurzeln òôMW I. u = p; II. u = q; III. u = r. ſetzt, ſo werden die drey uͤbrigen IV. uU=— p; V. u= — q; VI. u =— r, ſo fache ent⸗ elten 0 fli ein cs B hacher (- welches geroden ſabe bor auch des negatid⸗ lſo ein dieſe G on di oppelte 6.V Pgrr, ſcd, wie ſer Einn iſt, un Nodut daesſe Giſ ar: 7 uihe eltl errhet en ctung ian * mn⸗ ee 4 Uſe RN ,N Tkennen ie eicung Mrbepritn uI 16=0., nars hen den Aer ma s deiſcden⸗ repen gilt; 2=6ſ aſo udurh derm Wurgle Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. 439 ſo daß alſo auch jeder Werth von u, negativ genommen, eben⸗ falls ein Werth von wiſt. Nachdem man auf dieſe Art alle ſechs Wurzeln kennen gelernt hat, ſo iſt die Gleichung, aus welcher ſich alle finden laſſen: M (uA — p) (u— ꝗ) (u— r) (u † p) (u ) (uf; r) =o, oder (uu — pp) (uu — qq) (uu — rr) = o, welches eine Gleichung vom bten Grade iſt, worin alle un⸗ geraden Poteſtaͤten von u fehlen, gerade ſo, als wir die⸗ ſelbe vorhin gefunden haben. Aber außerdem iſt darin auch das letzte oder beſtaͤndige Glied nothwendiger Weiſe negativ, weil es = — pp. — qq. — rr = — ppdqrr und alſo ein Quadrat mit dem Zeichen — iſt. Es hat folglich dieſe Gleichung nothwendig zwey reelle Wurzeln, und ſetzt man die eine davon fuͤr u, ſo erhaͤlt man dadurch den doppelten Faktor der gegebenen Gleichung reell. 6. Wollte man hiergegen einwenden, daß daß Quadrat ppqqrr, weil die Wurzeln a, b, c, d, imaginaͤre Groͤßen ſind, nicht nothwendiger Weiſe poſitio ſey: ſo laͤßt ſich die⸗ ſer Einwurf auf folgende Art widerlegen. Da a † b † c † d = 0 “— ab ac † ad † be † bd ed = B abc † abd † acd † bed = C, und abed = D iſt, und B, C und D reelle Groͤßen ſind: ſo iſt auch das Produkt pqr = (a † b) (a † e) (a † d) da es ſich aus den Groͤßen B, C und D beſtimmen laͤßt, reell. Es iſt nemlich pgqr = (a † b) (a † e) (a † d) = aaa † aab † aac † aad † abe abd acd † bed = aa (a b † ccr d) †† abe † abd † acd † bed = C. Ee 4 7. Jede = ℳ 440 Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. 7. Jede Gl eichung vom gten Grade laͤßt ſich agemal in zwey reelle Faktoren vom vierten Grade aufloͤſen. Bringt man das zweyte Glied weg, ſo erhaͤlt die gege⸗ bene Gleichung folgende Form: XS † Bx6 † Cx5 † Dx4 Ex3 † Fx⸗ 4 G1 = 0, und die beyden Faktoren derſelben vom vierten Grade laſ⸗ ſen ſich auf folgende Art ausdrucken: X 4 F. ux 3 † aX 2 P SXx P† = O XA – ux 3 † 5 2 P sX † & = o. . Macht man nun das Produkt aus dieſen beyden Faktoren — . der gegebenen Gleichung gleich, ſo bekommt man 7 Glei⸗ chungen, oder eben ſo vicl, als man unbekannte Cocfficien⸗ ten u, æ, g, , d, e, , hat. Aus dieſen Gleichungen kann man nun nach und nach, und zwar, wie bekannt iſt, ohne Ausziehung der Wurzeln, die Buchſtaben , , „, àd, s, 6 wegſchaffen, ſo daß die Werthe derſelben insgeſammt durch die bekannten Groͤßen B, C, D, E, F, G, H und die un⸗ bekannte Groͤße u reell ausgedruckt werden, und man kommt alſo endlich zu einer Gleichung, die außer u lauter bekannte Groͤßen enthaͤlt. Hieraus muß nun u beſtimmt werden, und iſt ſein Werth reell, ſo werden auch die Wer⸗ the der Buchſtaben *, 86, 7, ꝛc. und folglich auch die ange⸗ nommenen Faktoren vom vierten Grade reell werden. Es kommt alſo nunmehr auf die Erfindung der Glei⸗ chung an, aus welcher ſich der Werth von u beſtimmen laͤßt. Da nun u uͤberhaupt die Summe jeglicher vier Wur⸗ zeln der gegebenen Gleichung ausdruckt, und die Anzahl dieſer Wurzeln = 8 iſt: ſo hat u ſo viel verſchiedene Wer⸗ the, als ſich acht Groͤßen zu vier combiniren laſſen, oder 8.7. 6. 5 1.2.3.4 chung vom v0ſten Grade beſtimmt. Setzt man ferner einen Werth = 70, und es wird folglich a durch eine Glei⸗ wic denm it, 55 ein Prod (uu Ferner chung e ſelbſt ne lich die ſtoben h, folglich in alſo der u voſten Gr digee V. ſten zwe mn, ſ ſirdieg⸗ wen doppele mehr a Faktoren en in einen gelbſet En Grade ahoren nan7 Gle me Kaeſ,1 . Ccficier⸗ ngen kane nt it, ohne “ 4 mmnt durch 1d Ne w d mn ſer n lantr 1 Kfinnt die We⸗ die eng den. nder bn Winmcr nier Wur⸗ Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. 441 Werth von u = p, ſo iſt p die Summe von vier Wurzeln der gegebenen Gleichung, und alſo die Summe der uͤbrigen vier = — u, weil die Summe von allen = O iſt. Iſt da⸗ her u — p ein Faktor der gedachten Gleichung vom voſten Grade, ſo iſt auch u 4† p ein Faktor derſelben, und alſo un — pp ein doppelter Faktor eben dieſer Gleichung. Es wird demnach die Gleichung, aus welcher ſich u— beſtimmen laßt, 35 Faktoren von der Form un — pp haben, oder ein Produkt aus 35 Faktoren von folgender Art ſeyn: (uu — pp) (uu — qꝗ) (uu — rr) (uun — ss) ꝛc. Ferner wird das letzte oder das abſolute Glied dieſer Glei⸗ chung ein Produkt aus 35 negativen Quadraten, und alſo ſeloſt negativ, nemlich — pp qq rr ss ꝛc. Es laͤßt ſich nem⸗ lich die Wurzel dieſes Quadrats, pars ꝛc. aus den Buch⸗ ſtaben B, C, D, ꝛ. beſtimmen, und ſie iſt daher reell, und folglich ihr Quadrat ppqqrrss ꝛc. eine poſitive Groͤße. Da alſo der unbekannte Coefficient u durch eine Gleichung vom 70ſten Grade beſtimmt wird, deren letztes Glied nothwen⸗ diger Weiſe negativ iſt, ſo hat dieſe Gleichung zum wenig⸗ ſten zwey reelle Werthe, und einen davon fuͤr u genom⸗ men, ſo erhaͤlt man einen reellen Faktor vom vierten Grade fuͤr die gegebene Gleichung, und es laͤßt ſich daher dieſelbe in zwey reelle Faktoren vom vierten Grade aufloͤſen. g. Da jeder Faktor vom vierten Grade in zwey reelle doppelte Fartoren aufgeloͤſet werden kann, ſo laͤßt ſich nun⸗ mehr auch jede Gleichung vom achten Grade in vier reelle Faktoren vom zweyten Grade aufloͤſen. Ferner iſt nun klar, daß jede Gleiche vom oten Grade in einen einfachen und in vier doppelte reelle Faktoren auf⸗ geloͤſet werden kann. Endlich kann auch jede Gleichung vom 6ten oder 7ten Grade in einfache oder doppelte reelle Faktoren aufgeloͤſet Ee 5 wer⸗ 4 2 4 7 44² Zuſaͤe zum zweyten Capitel. werden, weil man daraus durch die Multiplication mit xx oder eine Gleichung vom 8ten Grade machen kann. 9. Aber werden auch, wenn u reell iſt, die uͤbrigen Coefficienten «, 2, 7, à, ꝛc. insgeſammt reell werden? Hier⸗ von kann man ſich auf folgende Art uͤberzeugen. Man be⸗ trachte u als eine bekannte Groͤße, ſo daß man alſo eine Gl zicuns mehr hat, als unbekannte Groͤßen zu beſtimmen ſind. Dann ſchaffe man von dieſen Groͤßen, ſo weit es ohne & Extraction der Wurzel angeht, eine nach der andern weg, und wenn man dies gethan hat, ſo wird eine gewiſſe Anzahl von Gleichungen uͤbrig bleiben, und die Anzahl der unbekannten Groͤßen wird um 1 kleiner ſeyn. Angenom⸗ men, daß noch einige unbekannte Groͤßen zu beſtimmen ſind, davon jede in den Gleichungen als eine Poteſtaͤt vor⸗ kommt, ſo kann man von dieſen Gleichungen immer je zwey auf eine ſolche Art mit einander verbinden, daß man dar⸗ aus endlich eine Gleichung findet, worin die unbekannte Groͤße nur eine Dimenſion hat, und die unbekannte Groͤße aus dieſer G leichung alſo auch rational beſtimmen. Auf dieſe Art gelangt man endlich zu zwey Gleichungen, worin di ie tes tzte unbekannte Groͤße enthalten iſt, und da mag denn Ey — * day der Algebra allemal eine Gleichung finden, worin die un⸗ bekannte Groͤße nur in der erſten Poteſtaͤt vorkommt, und woraus ſie ſich alſo durch einen rationalen Ausdruck beſtim⸗ men läaßt. Setzt man nun dieſen Werth in die bereits ge⸗ fundenen Werthe der uͤbrigen Coefficienten, ſo erhaͤlt man fuͤr ſie rationale Beſtimmungen, und es werden folg⸗ lich, wenn u reell iſt, auch alle uͤbrigen Coefficienten noth⸗ wendiger Weiſe reell. 10. Jede teſtaͤt dieſer unbekannten Groͤße ſeyn, welche ſie will, ſo d kang man aus jenen Gleichungen nach bekannten Regeln 1 ſul in aſloſen. Rach hochte 116 ſo daß und die hunſe 4. — Nacht der gee chunge ſu beſein kannten ſimmt. Geohe, Großen Stonde 1, 3, ( Cnacin ſach de daher ſen ſey ſeigen, Weeth f UIm foſchen welhe konnte euͤber Uheſinne 4 der cen ine genſ⸗ Mnzhlde Aogener⸗ Würnmen htfi er nn, mi ng denn nen Negen dein Ren⸗ tenn,, Muckief ſn Mertits h Ahele m cden fotg eaten net⸗ e . Zuſite zum zweyten Capitel. 44 10. Jede Gleichung vom 16ten Grade laͤßt ſich alle⸗ mal in zwey reelle doppelte. Faktoren vom 8ten Grade aufloͤſen. Nach der Wegſchaffung des zweyten Gliedes hat die ge⸗ dachte Gleichung folgende Form: XIG6 † BXIA4 † CXI3 † DXTZ †. ꝛc.. „ — 0o, ſo daß die Anzahl ihrer Coefficienten B, C, D, ic. = 15 iſt, und die beyden Faktoren vom 8ten Grade, worin dieſe Glei⸗ chung ſich aufloͤſen laͤßt, ſind: X8 † ux? † A4X6 † Sx 5 P. „X4 † 5 3 f e⸗ 1e t,=0 X 8 — ux † 9x6 TexsS † 2 X4 † Xx 3 † 4X2 TrX T 6= O. Macht man alſo das Produkt aus dieſen beyden Faktoren der gegebenen Gleichung gleich, ſo bekommt man 15 Glei⸗ chungen, aus welchen man die Buchſtaben u, a, 8, „„d, ꝛc. zu beſtimmen ſuchen muß, und da die Anzahl dieſer unbe⸗ kannten Groͤßen ebenfalls = 15 iſt, ſo iſt die Aufgabe be⸗ ſtimmt. Betrachtet man nun zuvoͤrderſt u als eine bekannte Groͤße, ſo hat man eine Gleichung mehr, als unbekannte Groͤßen , 8, 7, 5, 2c. zu beſtimmen ſind, und man iſt daher im Stande, die Werthe von dieſen Groͤßen durch die Groͤßen u, B, C, D, E, ꝛc. anzugeben, ohne daß man dabey die Extraction der Wurzeln anzuwenden hat. Es werden dem⸗ nach die Werthe von s, 8, 7, d, ꝛc. rational werden, und daher auch, wenn u einen reellen Werth hat, reelle Groͤ⸗ ßen ſeyn. Es kommt folglich jetzt alles bloß d arauf an, zu zeigen, daß man allemal im Stande ſey, einen reellen Werth fuͤr u zu finden. Unm dieſes zu beurtheilen betrachte man die Gleichung zwiſchen u und den bekannten Groͤßen B, C, D, E, ꝛc., zu welcher man durch die Wegſchaffung aller uͤbrigen unbe⸗ kann aten Groͤßen *, 6, 7, 5, ꝛc. gelangt, und worin n, da es uͤberhaupt die Summe jeder 8 Wurzeln von den 16Wurz eln der 6 Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. der gegebenen Gleichung bedeutet, auf die Poteſtaͤt ſteigen 16. I5 . 14 . 13 . 12. LI. I10 . 9 muß, deren Exponent =— — , de rponent = — = 12870 iſt. Es wird alſo u durch eine Gleichung von dem 12870ſten Grade beſtimmt, und da die Summe aller 16 Wurzeln der gegebenen Gleichung = o iſt, ſo wird, wenn man irge nd eine Summe von 8 von dieſen Wurzeln, d. h. u = p ſetzt, die Summe der uͤbrigen 8 Wurzeln = – p, und folglich auch — p ein Werth von u ſeyn. Man kann daher dieſe Gleichung auch als ein Produkt aus 2. 12870 = 6435 Faktoren von dieſer Form uu — pp be⸗ trachten, oder dafur (uu — pp) (uu — qq) (uu — rr) (un — 88) :c. = 0 ſetzen, ſo daß die e Anzahl dieſer Fakteren = = 6435 iſt. Da nun dies eine ungerade Zahl iſt, und das letzte oder abſo⸗ lute Glied der Gleichung = — pp qq rr ss ꝛc. wird, die Wurzel daraus aber, nemlich pqrs ꝛc. aus den Buchſta⸗ ben B, C, D, E, ꝛc. auf eine ſolche Art beſtimmt werden kann, daß es eine rationale und eben deswegen auch reelle Funktion davon iſt: ſo iſt das letzte Glied der Gleichung, wodurch u beſtimmt wird, nothwendiger Weiſe negatio, und es hat daher u zum wenigſten zwey reelle Werthe, die denn, fuͤr u geſetzt, die beyden geſuchten reellen Faktoren vom achten Grade für die gegebene Gleichung hervot⸗ beingen. 1II. Da ſich alſo nach 7 und 8 jede Gleichung vom ach⸗ ten Grade in vier reelle Faktoren vom ꝛten Grade aufl oͤſen laͤßt, ſo kann man nunmehr auch jede Gleichung vom 16ten Grade in ein Produkt aus 8 doppelten reellen Faktoren ver⸗ wandeln, und da jede Gleichung vom 17ten Grade zum wenigſten einen reellen einfachen Faktor hat, ſo kann man ſie außerdem auch noch in acht doppelte reelle Faktoren ouf⸗ lͤſen. Een. 6 ſahrige⸗ Altwedern tplicirt dadurch ſo kann toren an len die⸗ uit denſe die keal⸗ goch! 12. ſicht m lette G bon eine Oucdrote liicht, de woferan Nerade? wird. 2 dukt aus ſen, we konn de bom 12 dern ſe eine Por barke ſoppelte Gleichur dieſelbe eines 6 gungen keinen eſti fie II. 1.9 icng hen n dle t rcd von u ſn Peeduktu A — l Gi. t dber ohi⸗ vid, die en Brchſta⸗ m weden onc ret iſe ntt⸗ Vuthe, Ne lea Tanteeen 4 ng hanen g ten c⸗ de auftoſen gbon lbn uktorenve⸗ Geude tom 1 mmnl⸗ e. Zuſatze zum zweyten Capitel. 445 loͤſen. Eben ſo iſt nunmehr jede Gleichung, die zu einem niedrigern als dem 16ten Grade gehoͤrt, in reelle, einfache entweder oder doppelte, Faktoren aufloͤsbar. Denn mul⸗ tiplicirt man dieſelbe mit x, oder X*2 oder X 3 ꝛc., um ſie dadurch zu einer Gleichung vom 16ten Grade zu machen, ſo kann man dieſe neue Gleichung in 8 doppelte reelle Fak⸗ toren aufloͤſen, und ſondert man darauf von dieſen Fakto⸗ ren die Faktoren «, welche man durch die Multiplication mit denſelben verbunden hat, wieder ab, ſo erhaͤlt man die reellen Faktoren der gegeben Gleichung, die entweder einfach oder doppelt ſeyn werden. 12. Ueberdenkt man die bisher gefuͤhrten Veweiſe, ſo ſieht man bald, daß ihre Staͤrke darauf beruht, daß die letzte Gleichung, wodurch u beſtimmt wird, eine Gleichung von einem ungeraden Exponenten und mit einem negativen Quadrate zum abſoluten Gliede iſt. Auch erkennt man leicht, daß dieſer letzte Umſtand nicht ſtatt finden kann, wofern nicht der Exponent der Gleichung fuͤr u eine ſolche gerade Zahl 2 n iſt, daß ihre Haͤlfte n eine ungerade Zahl wird. Denn da das letzte Glied dieſer Gleichung ein Pro⸗ dukt aus n negativen Quadraten iſt, ſo wuͤrde es poſitiv ſeyn, wenn n eine gerade Zahl waͤre. Aus dieſem Grunde kann daher die gedachte Beweisart bey den Gleichungen vom 12ten oder 20ſten Grade nicht gebraucht werden, ſon⸗ dern ſie paßt allein auf ſolche Gleichungen, deren Exponent eine Poteſtaͤt der 2 iſt. Indeß iſt es genug, um die Auf⸗ losbarkeit aller Gleichungen in reelle, einfache entweder oder doppelte, Faktoren zu beweiſen, daß man dieſelbe bey den Gleichungen von dem Grade 2 außer Zweifel ſetzt, indem dieſelbe, wenn ſie auf dieſe Art von den Gleichungen irgend eines Grades dargethan worden iſt, auch bey allen Glei⸗ chungen, die zu einem niedrigern Grade gehoͤren, weiter keinen Zweifel leidet. — 446 Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. 13. Jede Gleichung von einem Grade, deſſen Expo⸗ nent eine Poteſtaͤt der 2 oder 2n iſt, wenn n von 2 an ir⸗ gend eine ganze Zahl bedeutet, laͤßt ſich in zwey reelle Faktoren vom Grade 21- aufloͤſen. Nach der Wegſchaffung des zweyten Gliedes hat die gedachte Gleichung folgende Form: † Bxz -2 † Cx2 3 † Dxa 4 † it. = uad die Anzahl der Coefficienten B, C, D, E ꝛc. iſt = 2n — r. Setzt man ferner die beyden geſuchten Faktoren — 1 n - I u — T n-1 x2 — uX2Z2 P x? —2 † 6x2 —3 Pic. = O 2¹ TI ſo iſt auch die Anzahl der zu beſtimmenden Coefficienten u, , 8, 2c. = 2n — I. Vergleicht man alſo das Produkt dieſer beyden Faktoren mit der gegebenen Gleichung, ſo erhaͤlt man dadurch eben ſo viel Gleichungen, als unbekannte Groͤßen zu beſtimmen ſind, und man kann daher «, 8, 7 3, ꝛc. durch die bekannten Groͤßen B, C, D, ꝛc. und die un⸗ bekannte Groͤße u ohne die Extraction der Wurzeln und folglich reell finden. Um aber zuletzt u zu beſtimmen, ge⸗ langt man zu einer Gleichung, deren Grad durch folgenden Exponenten angezeigt wird: 2 (2n — 1) (2n — 2) (2n — 3) (2n — 4) ...(2n -—1 † 1) I . 2 . 3 . —4 „ 5 . 221- I wie aus den Regeln der Combination bekannt iſt. Es ſey dieſer Exponent = N, ſo iſt, wenn man die Ordnung der Faktoren des Renners umkehrt, 2n1 2n — 2n — 2 22— 3 2nR — 4 229— 1 † TI — —. . — 6 —— 2- I 2-— 1— I 2291 — 2n -— 3 220 - — — 4 oder um die kleinſten Zahlen zu nehmen N=22, 99620 —.— 2-2n — I — 1 2n 2 — 2- T — 3 2 — 3 3—1 „n-— T n — T . -= F uxz † Xx 2 -2 +† „X2 1- 3 † ꝛc. = o 2n.— I 2n - I — T 2 — 3 2 -r — r 22n-1 †1 Gſ⸗ Nen ſ Geeichun iel von ein dep wird, un ches eine GClied de⸗ Nenn u ſur uge Faktore 11. 0 in wey: 10 alch in ſndnunme Grade ald oder dop aber nuna wonn 260ſte , Ne Cenandter 15 fonale Im, gllemal in der Form aufgeidſet folgich an derlichen ehr zu D 1 en ir⸗ de elle fͤenten Nut Nee g dahit Ubetannte ſr⸗ / Ru⸗ Ourca ud inmen, ₰ 6 Ahende ArIil — 6 ,90 = Zuſtze zum zweyten Capitel. 447 Es iſt alſo ausgemacht, daß N eine ganze Zahi iſt, und da ſowohl der Zaͤhler als der Renner zu vden ungeraden Zahlen gehoͤren, ſo iſt N eine ungerademal gerade, und alſo ½ N eine ungerade Zahl. Da nun in der gegebenen Gleichung das zweyte Glied fehlt, ſo iſt, wenn p eine Wur⸗ zel von u iſt, auch — p eine Wurzel von u, und alſo uu— pp ein doppelter Faktor der Gleichung, wodurch u— beſtimmt wird, und ſolcher Faktoren hat dieſe Gleichung ½ N, wel⸗ ches eine ungerade Zahl iſt. Es iſt daher auch das letzte Glied der Gleichung fuͤr u ein negatives Quadrat, woher denn u zum wenigſten zwey reelle Werthe bekommt, die, fuͤr u geſetzt, die beyden angenommenen Zaktoren zu reellen Faktoren machen. 14. Es laßt ſich alſo jede Gleichung vom zaſten Grade in zwey reelle Faktoren vom 16ten Grade, und alſo nach 10 auch in 16 reelle doppelte Faktoren aufloͤſen. Ferner ſind nunmehr auch alle Gleichungen die zu einem niedrigern Grade als dem 32ſten gehoͤren, in reelle, einfache entweder oder doppelte, Faktoren aufloͤhbar. Etwas aͤhnliches gilt aber nun auch von den Gleichungen vom 64ſten, vom 128ſten, vom 256ſten Grade ꝛc. ſo wie auch von allen den Gleichun⸗ gen, die zu Graden gehoͤren, die niedriger ſind, als die genannten. 15. Auf dieſe Art iſt alſo bewieſen, daß jede ganze ra⸗ tionale Gleichung einer veraͤnderlichen Groͤe Xm † Axm-TI † B xm- 2 † CXm-3 † 2c. == OoO, allemal in lauter reelle Faktoren, einfache entweder von der Form † p, oder doppelte von der Form XX † px † q aufgeloͤſet werden kann, und eben dieſe Aufloͤsbarkeit kommt folglich auch jeder ganzen rationalen Funktion einer veraͤn⸗ derlichen Groͤße zu. Um indeß den angefuͤhrten Satz noch mehr zu beſtaͤtigen zeigt Euler vom Soſten §ß. an, daß jede 448 Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. jede Gleichung vom 6ten und uͤberhaupt vom (An † 2)ten Grade, unabhaͤngig von den vorhergehenden Saͤtzen, zum wenigſten einen reellen Faktor vom zweyten Grade, jede Gleichung vom (8n † 4)ten Grade eben ſo zum wenigſten einen reellen Faktor vom 4ten Grade jede Gleichung vom (16n † 8)ten Grade zum wenigſten einen reellen Faktor vom 8ten Grade hat ꝛc. Es iſt aber die Beweisart, die er dabey gebraucht, der vorhergehenden aͤhnlich, und kann alſo um ſo eher hier weggelaſſen werden. 16. NRun iſt folgender Satz leicht zu beweiſen: Wenn eine algebraiſche Gleichung, ſie mag zu einem Grade ge⸗ hoͤren, zu was fuͤr einem ſie will, imaginaͤre Wurzeln hat, ſo iſt jede dieſer Wurzeln unter der Form M † N V – 1 begriffen, wo M und N reelle Groͤßen bedeuten. So wie man, wenn man die Wurzeln einer Gleichung kennt, daraus die einfachen und doppelten reellen Faktoren zuſammenſetzen kann, in weiche ſich die Gleichung aufloͤſen laͤßt: ſo kann man umgekehrt aus den gedachten Faktoren die Wurzeln der Gleichung finden. Ferner erhaͤlt man ins⸗ beſondere die imaginaͤren Wurzeln aus den doppelten reel⸗ len Faktoren, deren allgemeine Form XN –— 2px † q iſt, wenn man davon diejenigen nimmt, worin pp kleiner als q iſt, X — 2 px † q = o ſetzt, und aus dieſer Gleichung entwickelt. Es erhalten demnach, wenn man pp — q = — rr ſetzt, alle imaginaͤren Wurzein jeder Gleichung folgende Form . = p r — 1I und = p — r - — 1 und es ſind dieſelben folglich auch insgeſammt unter der Form M † N V — 1 begriffen. 17. Wenn alſo eine Gleichung die imaginaͤre Wurzel X = pfTrV — I hat, ſo hat ſie auch folgende: X = p — 1r V – I. Und da die Anzahl der imaginaͤren Wurzeln iſſeher nanini n tor iſt, und dah 3 5 . 11, 19. Q Sas noch Er age en, da die Fort dem er lutionole Foktoren llheneint keit der g⸗ toren gef Cage, d wieſen ve⸗ flgt, gede neinegon nd dies ie loſ von i Fener aͤchten N biſor hab ſlche er Eulers taen Eien lum n ſede nniten retlin un veisart R⸗ , Und knn en. Wenn ſen Grede⸗ nare Wurpa er dorn I3 ſen behunmn nrh 8 Aen Fkr zuge W ethat nen ie⸗ gnelan tt rkiſ⸗ Müne H nGocn gung ilne -1 n uet dNe pe l ne 1) aa Pnſce i Zuſaße zum zweyten Capitel. 449 in jeder Gleichung eine gerade Zahl iſt, ſo gehoͤrt zu jeder imaginaͤren Wurzel x = p † r V — I eine andere X = p – r V – I, ſo daß die Summe von beyden, 2 p, und das Produkt beyder, pp rr, veell ſind. Ferner hat jede Gleichung, wovon Xæ — p – Tr W — I ein imaginaͤrer Fak⸗ tor iſt, auch den imaginaͤren Faktor x — p † rVN — 1, und daher auch den doppelten reellen Faktor XX — 2 px † PP T rr. 18. Vom 64ſten § an ſucht Euler den bisher bewieſenen Satz noch auf eine andere Art außer Zweifel zu ſetzen. Er zeigt nemlich, und zwar unabhaͤngig von dem Bisheri⸗ gen, daß alle unmoͤgliche Wurzeln jeder Gleichung unter die Form M † N V — 1 gehoͤren, und leitet daraus, nach⸗ dem er ſolches hewieſen hat, die Aufloͤsbarkeit jeder ganzen rationalen Funktion in lauter reelle einfache oder doppelte Faktoren mit eben ſo vielem Rechte her, als er vorhin die Allgemeinheit jener Form aus der bewieſenen Aufloͤsbar⸗ keit der ganzen rationalen Funktionen in lauter reelle Fak⸗ toren gefolgert hatte. Er gebraucht aber dabey mehrere Saͤtze, die erſt in den folgenden Capiteln erklaͤrt und be⸗ wieſen werden, und es gehoͤrt daher das, was von §. 64. an folgt, nicht hieher. C. Zuſatz zu .⸗ 39. Jede unaͤchte gebrochene Funktion laͤßt ſich nach §. 38. in eine ganze und in eine aͤchte gebrochene Funktion aufloͤſen, und dies iſt der Grund, warum in dem gegenwaͤrtigen §. bloß von aͤchten Bruͤchen geredet wird. Ferner laͤßt ſich, wenn der Zaͤhler und Nenner einer aͤchten gebrochenen Funktion einen gemeinſchaftlichen Di⸗ viſor haben, dieſe Funktion nach bekannten Regeln in eine ſolche verwandeln, wo der Zaͤhler und Renner Prim⸗Groͤßen Eulers Einl, in d. Angl. d. Unendl. I. HD. FIf zU 450 Zuſaͤße zum zweyten Capitel. zu einander ſind, und man kann ſich daher bey dem Be⸗ weiſe des im gegenwaͤrtigen 5 enthaltenen Satzes auf ſolche Bruͤche einſchraͤnken, deren Zaͤhler und Nenner durch kei⸗ nen gemeinſchaftlichen Diviſor theilbar ſind. Dies vorausgeſetzt, ſo laͤßt ſich die Unmoͤglichkeit der hier gelehrten Aufloͤſung einer aͤchten gebrochenen Funktion, wenn die Faktoren ihres Nenners keine Prim⸗Groͤßen zu einander ſind, auf folgende Art darrhinn Es ſey der gegebene Bruch — in die beyden Partie⸗ Brüche 1 — E. aufzuldſen, wo alſo vorausgeſetzt wird, daß D= M. 8, und N, D, M, P, X und 4 ganze ra⸗ tionale Funktionen einer und derſelben veraͤnderlichen Groͤße, z. B. von 2, ſeyen, und daß 2 in N weniger Dimenſionen als in DO, und N und D keinen gemeinſchaftlichen Diviſor haben. Da alſo N X D = NE ſeon ſo, ſo muß auch N PX F MY PX T MY D MpPD Ddbd— und alſo N = PX † MY, und N — MXY N — PX ſeyn. Nun ſollen aber X und ganze rationale Funktionen ſeyn, und es muß ſich daher N — M V durch P, und N — PX durch M ohne Reſt dividiren laſſen, und da N und D Prim⸗ Groͤßen zu einander ſind, ſo muͤſſen auch N und P, desglei⸗ . chen eN1 NNP Diſoe nd pPz pirde, ſchofich der Ver andets Mmd Funktione manſchef dieſen, D= Nen Bedi X — ſo daß ) har ſeyn Oroͤßen e den e. auf ſo⸗ nucch ken lcket der enihtkin n⸗Grin den Portec⸗ geſett vud, dgmngen erlchen Get. Dinenkonen ſhen Doſo⸗ Fhoknicnen dN-A ndDi N,, ggſei⸗ gen Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. 451 chen N und M ſolches ſeyn. Waͤren aber dabey nicht auch M und P Prim⸗Groͤßen zu einander, ſondern haͤtten den Didiſor P mit einander gemein, ſo koͤnnte man M = p Q und P = = b K ſetzen, r dann muͤßte, weil alsdann — PQ1 2 X „und N — pR = bRX P Q würde, wider die Vorausſetzung auch N und D gemein⸗ ſchaftlich durch p getheilt werden koͤnnen. Es laͤßt ſich alſo der Bruch unter den vorausgeſetzten Bedingungen nicht anders in die Partial⸗Bruͤche † F aufloͤſen, als wenn M und p keinen gemeinſchaftlichen Diviſor haben. 3. Will man indeß dieſen Satz auch fuͤr die gebrochenen Funktionen beweiſen, deren Zaͤhler und Nenner einen ge⸗ meinſchaftlichen Diviſor, 4, aber auch weiter keinen als dieſen, haben, ſo ſetze man D = S qS und S = MP, alſo D = q MP., und behalte uͤbrigens die vorhin angenomme⸗ nen ednageree den Hier haͤtte man alſo Y XA = — 1 = — — , und piai D. XN = PX † 4qMXY, und N – qMTY X I „und ſo daß N — q MX durch P, und N — P X durch q M theil⸗ bar ſeyn muͤßte. Sollten nun q M und b nicht Prim⸗ Grdͤhen zu einander, ſondern beyde durch irgend eine Sf 2 Groͤße „ 452 Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. Groͤße p theilbar ſeyn, ſo wuͤrde 9) M = = p 2 und P = p R und alſo 0OY X = Wor, . und R& werden, und folglich N und D außer q auch noch durch p theilbar ſeyn, welches ebenfalls wider die angenommenen Bedingungen ſtreitet. Es iſt daher der im §. enthaltene Satz auch ohne die vorhin feſtgeſetzte Einſchraͤnkung von allen aͤchten gebrochenen Funktionen wahr. tionen — und ſelbſt betrifft, ſo muß, da P eine aͤchte M gebrochene Funktion ſeyn ſoll, 2 in N weniger Dimenſionen als in D haben, und die Summe der Dimenſionen von 2 in M und P muß der Anzahl der Dimenſionen eben dieſer 2 in D gleich ſeyn. Man kann alſo, wenn man die Zahl der Dimenſionen von 2 in D = = m, und m = n † a an⸗ nimmt, N = Azin-1 † Bzmn⸗=2 † Czm-=3 4.. 3 M= AzZn †P BzurI † Cznz †. . . . K = a ?2 5 † bzés-I P Cc z 2 P.. . . . k. und außerdem, wenn man zuvoͤrderſt X finden will, = 26*- I TP 6 26-2 † zE-3 àz4.. ... ſetzen. Da nun m = n † e iſt, ſo fließt hieraus MI=AszMaAf†Bæ gi-2 Fce † Dejͦ . †A8 † Bé tzm-3 † C Tanra . 14 7) † B A und 4. Was nun die Aufloͤſung der Funktion D in die Fun⸗ Da ſetner ſehn , ſ Nuck durch 1=A ſegn: dor ſtimmt we lig. De⸗ 412m. nd ſoſgli 2 Dea d Dda ferner ſenden G ) enthelve kankung tnn . eine igt Denſonen ſenen von — —— . „16 Zuſaͤtze zum zweyten Capitel. 453 und N — M= 2 A n. : F. B MD 1o B — As. — Ba an-2 — Cs — Dæ . 4(210. 3 — A8 –— B8 — C fzmn-4 † 2c. — AvD)9 — By — Aà]] 5 eine ganze rationale Funktion ſeyn ſoll, ſo muß ſich dieſer fuͤr N — M V gefundene Aus⸗ druck durch P ohne Reſt dividiren laſſen, und folglich X= AZm-ke- I -† Bzm- le-2 † C'zm-- 3 † Dzmn -A-4 † ꝛc. ſeyn; vorausgeſetzt, daß A, B, C, D’ ꝛc. gehoͤrig be⸗ ſtimmt werden. Dieſe Beſtimmung iſt aber allemal moͤg⸗ lich. Denn da P X = N — MV iſt, ſo hat man N- Da ferner X = AZmn-T P Ban † C'a 4 D’a A'bj B bk m- 3 P. C b 1 1. 5 1. . ſan-a 4 ꝛc. † A T BC t A 1 mr k B r61 1d2 — Ae)* — Bæ ezin-2 — Cæ — Dz 2 m -= 3 — As) — B8 — Cg zzm-4 † ꝛc. — A und folglich Aa = A — A Ba † Ab = B — Ba — A C'a † Bb † Ac = C — Cæ= — B6 — A 7 D'a † Cb † B'c † Ad = D — D= — C8 — By — A à b. Da ferner die Anzahl dieſer aus der vorhergehenden flie⸗ ßenden Gleichungen = m iſt, und dieſelben lauter einfache Ff 3 D Glei⸗ 454 Zuÿuſaͤttze zum zweyten Capitel. Gleichungen ſind, uͤberdem darin von den unbekannten Groͤßen A, B/ C, D'’ ꝛc. nicht mehr als m — „, und von „*, 6, 7, à ꝛc. nicht mehr als ½, alſo uͤberhaupt nicht mehr als m unbekannte Groͤßen vorkommen; ſo laſſen ſich daraus auch alle dieſe unbekannte Groͤßen vollkommen entwickeln. Kennt man aber A, B/ C, D' c., ſo kennt man auch xX= A'zm -fe- I † B'zm-g- 2 Can-k- 3 † 2 c. Und kennt man «, g, 7, à ꝛc., ſo kennt man auch * = =— 2 2k- I † £ε2E- 2 † „- 3 † 1c. und daͤdurch denn auch die Partial⸗Bruͤche — und —. Ue⸗ brigens iſt der gegenwaͤrtige Zuſatz aus des Herrn⸗ Dar iſt⸗ Lieutenants von Tempelhof Anfangsgruͤnden der Analyſis endlicher Groͤßen Cap 10. §. 785. f. entlehnt. D. Zuſatz zu §. 41. Die hier beſchriebene Methode, zu einem jeden Faktor des Nenners einer gegebenen gebrochenen Funktion den zu⸗ gehoͤrigen Partial⸗Bruch zu ſinden, ohne dabey die uͤbrigen Faktoren ſelbſt ſondern nur ihr Produkt zu brauchen, ruͤhrt von Eulern ſelbſt her. Er bemerkt dieſes im erſten Theile des vierten Bandes der neuen Sammlungen der Schriften der Petersburgiſchen Akademie der Wiſſenſchaften vom Jahr 1780, in der Abhandlung, welche uͤberſchrieben iſt: Nova methodus, fraétiones quascunque rationales in fraétiones ſimplices reſolvendi. In den Zußuͤtzen zum zwoͤlften Capitel wird des Inhalts dieſes Aufſatzes, ſo weit es geſchehen kann, ausfuͤhrlicher gedacht werden. III. u Nu Umform nunmeyt, b. (.G. Subſtitutio ſichung e 4, duo⸗ tpen ſtimn dertc che⸗ der 5, die ſtit Ad! rtkarten Und bon t nicht lſe ſch ,Nit 4 ( t Herrn Oreſ der Nolgis Uktion den Neunge „D 1 tonales in. III. Zuſaͤtze zum dritten Capitel. Inhalt dieſes Capitels. Nachdem Euler in dem vorhergehenden Capitel die Umformung der Funktionen abgehandelt, ſo geht er nunmehr. b. (ſ. S. 433.) zu der Verwandlung der Funktionen durch Subſtitution fort. Der Weg, den er bey dieſer Unter⸗ ſuchung genommen hat, iſt folgender. ℳ.. Zuvoͤrderſt zeigt er, daß ſich jede Funktion y von 2, wenn? durch eine neue veraͤnderliche Groͤße X be⸗ ſtimmt wird, ebenfalls durch beſtimmen laſſe, und beruͤhrt dabey zugleich die zwiefache Abſicht, in wel⸗ cher dergleichen Subſtitution vorgenommen zu wer⸗ den pflegt, §. 46. b. Dann erklaͤrt er 3. die Art und Weiſe, gegebene Funktionen durch Sub⸗ ſtitution zu verwandeln, §. 47 — 58; und zwar da. wenn dadurch eine irrationale Funktion in eine rationale umgeaͤndert werden ſoll, §. 47 — 51. Die Faͤlle, welche er hier betrachtet, ſind folgende: ℳ„ wenn »= V (a † b 2) iſt, F. 47. g. wenn 0y = (a † bz)m: n iſt, §. 48. Ff 4 v. 456 Zuſaͤtze zum dritten Capitel. vv. wenn y = — ) ſſt, §. 49. 3%, wenn y = V ((a † bz) (Cc † d2)) iſt, F. 50. s wenn y = V (p † qz † r22) iſt, §. 51. bb. wenn dadurch eine neue veraͤnderliche Groͤße gefunden werden ſoll, durch welche ſich y und 2 aus einer verwickelten Funktion entwickelt darſtel⸗ len laſſen, §. 52 — — 58. Hier wird aæ, ein allgemeiner Fall auf die Art betrachtet, daß die Art und Weiſe gelehret wird, aaa. aus einer gegebenen Funktion die gedachten Beſtimmungen fuͤr z und y, §. 52., und bbb. aus dieſen Beſtimmungen von y und 2 die Gleichung, woraus ſie erhalten werden koͤn⸗ nen, zu finden, §. 53. Dann folgen 68. einige beſondere Faͤlle, F. 54 — 58. aaa. wenn y = ayy † byz † c22 † , ez = 0 iſt, §. 54. bbb. wenn ays † byzz † cyz † dzs5 r eyy † fy: P gzz = o iſt, §. 55. ccc. wenn ayy † byz † czz = d iſt, §. 56. ddd. wenn aym † bym- I2 † cym- 222 † dym- 33 ic. = ayn † gyn- I2 † Yyn - 222 † Nyr - 323 † ꝛc. iſt, F. 57. eee. wenn in der zwiſchen y und? gegebenen Glei⸗ chung dreyerley Dimenſionen vorkommen, ſo, daß die hoͤchſte die mittelſte in Anſehung der Hoͤhe um eben ſo viel uͤberſteigt, als die nie⸗ drigſte unter der mittelſten iſt, §. 58. IV. R N F Lrfel vorlin fonen 1 e inn Zuſaͤtze zum vierten Capitel. uttt A. Inhalt des vierten Capitels. iccin Das gegenwaͤrtige Capitel, worin die Entwickelung S der Funktionen durch unendliche Reihen gelehret wird, m zerfaͤllt in zwey Haupttheile. Nachdem nemlich §. 50. einige ni vorlaͤuſige Bemerkungen uͤber dieſe Verwandlung der Funk⸗ immo tionen vorausgeſchickt worden, ſo wird 1. die Art und Weiſe erklaͤrt, wie gebrochene Funktionen . in unendliche Reihen aufgeloͤſet werden rönnen, g. 60 ies bis 70. Dabey werden DZ a. ſolche Bruͤche betrachtet, in deren Nenner das erſte iu keſf! Glied oder die beſtaͤndige Groͤße nicht = o iſt, §. 60 — 63; und dieſe Unterſuchung beſchaͤftiget ſich ,5 wieder 1cfur ℳ mit gebrochenen Funktionen uͤberhaupt . 60 63. tN woen denn a. folgende zwey einzelne Bruͤche Nbennbln a Nelm . 4 —— §. 60. men, , ℳ † 22 2 ſheng de à † bz u 88. — „ §. 61., und dann e ti⸗ „*J † 8£2 T† 722 D a † bz † cz † dz 3 † te. I — „τ - 86 2 — 2 3 — 524 — c. §. 63. in unendliche Reihen verwandelt werden, nachdem zuvor §. 62. die Veſchaffenheit dieſer W. Ff 5 Rei⸗ „0 „ * bb. der allgemeine Bruch 458 Zuſaͤtze zum vierten Capitel. Reihen aus den §. 60 und 61. gefundenen allge⸗ mein beſchrieben worden iſt. s. mit ſolchen gebrochenen Funktionen, deren Nenner eine Poteſtaͤt, F. 64 — 68., und zwar aa. von einem Binomium, §. 64 — 67., oder dga. (I — 2) 2, §. 64. 66. (1 — „2) 3, § 65. vy. (I — 2) 4, §. 66. 5. (I1 — „)n, §. 67., und bb. von einer vieltheiligen Groͤße iſt, §. 68. b. folgen die Bruͤche, in deren Nenner das beſtaͤndige Glied = o iſt, §. 69. Den Beſchluß dieſer Unter⸗ ſuchung macht §. 70. eine Anmerkung uͤber die Nenge der unendlichen Reihen, worin man jeden Bruch ver⸗ wandeln kann, weil ſich aus jedem Bruche durch die Subſtitution unzaͤhlige andere finden laſſen. 2. Der zweyte Haupttheil dieſes Capitels handelt von der Verwandlung der irrationalen Funktionen in unenoͤliche Reihen, §. 71 — 76., und zwar ſo, daß die e Verwand⸗ lung dieſer Funktionen a. §. 71. 72. allgemein beſchrieben, und die Reihen mit⸗ getheilt werden, die man i a. fuͤr (? † Qο*, § 71., und 8. fuͤr (1 † Z)m, wenn m einen Bruch bedeutet, nach dem Binomiſchen Lehrſatze erhaͤlt, §. n. Hierauf werden b. noch insbeſondere die Reihen betrachtet, die ſich nach eben dieſem Lehrſatze . dus (I † = 2) m- I, §. 73. V 6. aus (I † «z †. 82 2) m - 1I, G. 74. 7. aus (I † « † Sτ † νιd6a —r, F. 75., und endlich E hauptet denten mon di Alein, laufende Höktark die At ſind, nen An ſicßtl Nochten. endiiche mehr di druckt w wie, G e, n Lodric culi a bus ig 2 — — I t „u Coeffici ren d⸗ enner . beütnig: ſer luen WMa⸗ 1Druche⸗ e Nunc it von N lnendlit Verwon Her i⸗ atet tu 4 lal Gotig 1. SSõñ Zuſaͤtze zum vierten Capitel. 459 d. aus (1 T az †† 82z2 † 7?2³ † à24 4 zc.)m-1 erge⸗ ben, §. 76. 8. Zuſatz zu h. 59. Es kann beym erſten Anblick auffallen, wenn hier be⸗ hauptet wird, daß die Natur der gebrochenen und tranſcen⸗ denten Funktionen leichter erkannt werden koͤnne, wenn man dieſe Funktionen in unendliche Reihen verwandele. Allein, wenn man unendliche, das heißt, ohne Ende fort⸗ laufende Reihen unterſucht, ſo ſtellt man ſich, wie der Herr Hofrath Kaͤſtner, nicht nur in ſeinen Betrachtungen uͤber die Art, wie allgemeine Begriffe im goͤttlichen Verſtande ſind, Goͤttingen 1767, ſondern auch in der Vorrede zu ſei⸗ nen Anfangsgruͤnden der Analyſis des Unendlichen bemerkt, nicht alle einzelne Glieder dieſer Reihen, ſondern nur das Geſetz vor, welches alle dieſe Glieder gemeinſchaftlich be⸗ obachten. Auch iſt es gar nicht nothwendig, daß jede un⸗ endliche Reihe eine unendliche Groͤße vorſtelle, es kann viel⸗ mehr die Groͤße, die durch eine unendliche Reihe ausge⸗ druckt wird, in ſehr enge Grenzen eingeſchloſſen ſeyn, ſo wie z. B. die Reihe, ½ † † ½ † ꝶ † =τ † &αε † c. ohne Ende, nie = I werden kann. Dieſe Anmerkung hat ſchon Leibnitz in ſeiner Abhandlung: De vera proportione cir- culi ad quadratum circumſcriptum in numeris rationali- bus in den Actis eruditorum vom Jahr 1682 gemacht. C. Zuſatz zu §. 60. Daß, wenn JJMU! a = « A † æ Bz † à C22 † „ DZ3 † « E 24 †. ꝛc. † gE AZ † &β B z2 † 6 Cz3 † 8 D 24 † ꝛc. iſt, auch a = = A, und =B † SA, ſo wie auch die ubrigen Coefficienten einer eden Poteſtͤt von 2, = o ſeyn muͤß 1 t 460 Zuſaͤtze zum vierten Capitel. laͤßt ſich auf folgende Art zeigen. Da? eine veraͤnderlich ene⸗ Groͤße iſt, ſo muß die angefuͤhrte Gleichung, wenn ſie uͤber⸗ ſſcen: haupt richtig ſeyn ſoll, ebenfalls fuͤr jeden beſtimmten Hunde Werth von⸗ wahr ſeyn, und es iſt daher alles das ſtreng demie d und allezeit richtig, ohne welches dieſe Gleichung bey einem ſeyn. beſtimmten Werthe von nicht beſtehen kann. NRun kann iſt, f dieſelbe, wenn man 2 = 0 ſetzt, nicht anders beſtehen, fſiani . als wenn a = « A iſt, folglich iſt a = æ«A. Ferner kann, s ei⸗ da a = =A, und alſo 6 .,1 S: TsCa Te Dea † eg:4 te. 2. B AZ T S8BzZz † 6Cz3 †6Dz4 † c. NdRern ſeyn muß, die obige Gleichung ebenfalls nicht beſtehen, wo⸗ (es fern nicht „B † A = =C T & B = ⸗ D † C = «E E rols 6⁶D = o iſt, ꝛc., und es iſt daher auch dieſes richtig. Auf alt, eine aͤhnliche Art kann man bey andern aͤhnlichen Faͤllen verfahren, oder auch die Beweisart brauchen; der ſich 1 Euler im dreyzehnten Capitel dieſes erſten Buchs im 21len §. bedient hat. D. Zuſatz zu . 6Äôↄ.a welce 1. Dieſer und die folgenden s. ſetzen den Binomiſchen un Lehrſatz in ſeinem ganzen Umfange, oder den Satz vor⸗ Eumen aus, daß S ſchaften (a + b)yn = — an 1 — an-Ib 1 — . 1 A-— hz † doß man 12 lmnſonge D n2 an-3b3 . — U 22 an-aba 2. Ren Veu 1 2 3 1 2 3 4 ſey, nicht nur, wenn n eine ganze poſitive, ſondern auch, airen wenn es eine ganze negative, und auch, wenn es eine ge⸗ brochene, poſitive oder negative, Zahl bedeutet. Da die⸗ ſey, wal ſer Lehrſatz in den Anfangsgruͤnden der gemeinen Algebra gerdhalich nur fuͤr den Fall bewieſen wird, wenn n eine ur guf “́ ganze ittig A t ilee r ſch inzlgten Zuſaͤte zum vierten Capitel. 461 ganze poſitive Zahl iſt, ſo wird die Mittheilung des Eule⸗ riſchen Beweiſes fuͤr die uͤbrigen Faͤlle in dem neunzehnte Bande der neuen Commentarien der Petersburgiſchen A “ demie der Wiſſenſchaften vom Jahr 1774 nicht uͤberſluͤſſig ſeyn. Die Abhandlung, woraus das Folgende genommen iſt, fuͤhrt den Titel: Demonſtratio theorematis Newto- niani de evolutione poteſtatum binomii pro caſibus, qui- bus exponentes non ſunt numeri integri, und faͤngt S. 103. an. 2. Vorlaͤufig ſchickt Euler darin zuvoͤrderſt einiges uͤber die Nothwendigkeit des Beweiſes des Binomiſchen Lehr⸗ ſatzes fuͤr die Faͤlle, wenn n keine ganze poſitive Zahl iſt, voraus. Dieſe Rothwendigkeit erhellet unter andern dar⸗ aus, weil es aͤhnliche Saͤtze giebt, z. B. W I1 — An (I — an) (I – an- I) n — 1 — àa I — a ²*W½ (I — an) (I — an-T) (1 — an-2) I — a3 welche nur in den Faͤllen wahr ſind, wenn n jeine ganze poſitive Zahl bedeutet. Ferner gedenket er des Beweiſes, den der Staatsrath Aepinus im achten Vande der neuen Commentarien der Petersburgiſchen Akademie der Wiſſen⸗ ſchaften vom Jahr 1763 gegeben hat, und bemerkt darauf, daß man, um den Binomiſchen Lehrſatz in ſeinem ganzen Umfange zu beweiſen, nur noͤthig habe z zu zeigen, daß fuͤr jeden Werth fuͤr n D — I n —– 2 GINTTTXI. — x2 1— — 3 Pie- 2 ſey, weil nemlich 1 b) n = anr 4 2) iſt, und es alſo . . b n nur auf die Entwickelung des Ausdrucks (1 † ankommt, der 462 Zuſaͤtze zum vierten Capitel. b der ſich, wenn man —= X ſetzt, in (1 † verwandelt. Nach dieſen vorläußgen Saͤtzen iſt der Beweis des Bino⸗ miſchen Lehrſatzes ſelbſt folgender. 3. Es ſey n n-I n n.—I n-— 2 ll=T A 1* . — X3 † ic. ſo iſt, wenn n eine ganze poſitive Zahl bedeutet, In] = (I T X). Dieſes wird aus den Anfangsgruͤnden der gemeinen Alge⸗ bpra vorausgeſetzt, und kann daraus auch allerdings mit Recht vorausgeſetzt werden. Ferner ſey I[m] = I † P TT S m m-—I m-2 1I 2 3 „ und alſo [m . n] = 1Af Bxa † Cx; † Dx4 † ExsS † ꝛc. wenn die Buchſtaben A, B1, C, D, E, ꝛc. gehdrig beſtimmt werden. 1 4. Um die Buchſtaben A, B, C, D, ꝛc. zu beſtimmen, muͤßte man eigentlich die beyden durch die unbekannten Groͤßen [m] und [n] ausgedruckten Reihen mit einander multipliciren, und das Produkt mit der Reihe 1 † AX † BX † Cx3 † DXA f† ꝛ:c. vergleichen. Allein es iſt, auch ohne daß man ſolches wirklich thut, nicht ſchwer, ſich da⸗ von zu uͤberzeugen, einmal, daß die Buchſtaben A, B, C, D, ꝛc. durch die beyden Vuchſtaben m und n beſtimmt werden, und zweytens, daß die Art, wie ſolches geſchies⸗ het, ſie mag auch ſeyn welche ſie will, keinesweges von der Beſchaffenheit der Buchſtaben m und n abhange, und alſo immer dieſelbe ſeyn werde, es moͤgen nun dieſe Buchſtaben ganze oder gebrochene, poſitive oder negative Zah⸗ uſen ſtthin 2 neine 9 der Leh⸗ (Uſo fn kann: fpe nl=I wird, vas ma lenondtt dino⸗ , beſinmen, Uobekennen. n hande herthit es ſt, ah er, in de⸗ ihen A/, n Refünmmt ſs giſhin neͤneges Phencr,n n leſe Ne lenve Np Zuſaͤtze zum vierten Capitel. 463 Zahlen bedeuten. Und dieſes iſ zu der e gegenwrtigen Ab⸗ ſicht hinlaͤnglich. 5. Denn da der Binomiſche Lehrſatz für den Fall, wenn n eine ganze poſitive Zahl iſt, in der gemeinen Algebra aus der Lehre von den Combinationen hinlaͤnglich bewieſen, und alſo fuͤr dieſen Fall als ausgemacht vorausgeſetzt werden kann: ſo iſt daher klar, daß, wenn m und n ganze poſi⸗ tive Zahlen bedeuten, m-=I —I m—2 ImI= I1 - 2. — — x2 † — —. . = und n n-— — 1 1—2 In] = 1 ¼ 2 1. — x x2† . 2 *3 † c. = (I † xX) ² und folglich Gml. In] = G † n)utn = Im f nl = Irl = 1 ¼ †2 † iſt, wenn man m † n = r ſetzt. Da nun hieraus rx= A = — I 2 — r — I 1—2 1 rj — 17 Tr— 2 1— 3 D — — . e ennn . — „ —2 I 2 3 4 2ðð wird, und dieſe Buchſtaben aus den Buchſtaben m und n, was man ſich hierunter auch fuͤr Zahlen gedenken mag, nach 464 Zuzuſaͤtze zum vierten Capitel. nach Abſatz t 4 doch immer auf eine und dieſelbe Art be⸗ ſtimmt werden: ſo erhellet nunmehr, daß für jeden Werth von m und n allemal 2 [m]. [n] = [m 1 n] iſt. 6. Da alſe ſo, was auch m und n fuͤr Zahlen bedeuten, allemal lm! lnl = In n] iſt, ſo iſt ferner, und zwar auch fuͤr jeden Werth von m, n, p, q ꝛc. W Im] . In] . Ip] = Im T n 1 P. Cm. In]. Ipl. 9] = n En†ρꝙ¹uꝶ 26. und, da man dabey auch m =☛ n = p = q ꝛc. aunehmen kann, ebenfalls Im]2 = zm]; Im 3 = (3 m); lma= — lan). ꝛc. und uͤberhau-tt— Im = Tam wenn a irgend eine ganze poſitive Zahl bedeutet. 7. Nun ſey irgend eine ganze poſitive Zat, und da⸗ bey ſey zugleich am = i, und folglich m = —. Hier fließt aus der letzten Soemel des vorhergehenden Abſates = li] = (r PX1 weil i eine ganze poſitlve Zahl iſt. Hieraus aber folgt weiter Il⸗ =0 r)7 ſo daß alſo hierdurch der Binomiſche Lehrſatz auch fuͤr den Fail bewieſen wird, wenn n eine gehrochene Zahl iſt. 282. Da 60 lbe cegtet, ſt, ſo ſe und foig Sett ne in †,, woduch wieſen i 9. V. ſcen welc den dishe Vaterſchi Dua d rationabt hehaupte des Jin⸗ utionohe⸗ 10. Q ſoſitio al deſelben Eulers heßt te de Behh =☛t2n nh , lr He ſic its cber ſogt ut ſni 6 1 Zuſaͤße zum vierten Capitel. 465 9. .Da auf dieſe Art, wenn m nur eine poſitive, uͤbri⸗ gens aber entweder eine ganze oder eine gebrochene Zahl bedeutet, allemal I[m] = (I † X) m H iſt, ſo ſey nunmehr n = — m. Alsdenn wird m † n =o, . und fol glich [o] = (1I † X) = I. Setzt man aber dieſe Werthe in die Formel Im . Ia] [m † a], ſo wird (I † X) m. (— m] = I, und folglich 1— — — mm — mlI= TTn (I1 1X)-7 wodurch denn der Binomiſche Lehrſatz auch füuͤr den Fall er⸗ B wieſen iſt, wenn n eine gebrechene Jahl bedeutet. 9. Wenn p und q die beyden Grenzen vorſtellen, zwi⸗ ſchen welchen die irrationale Groͤße We liegt, ſo iſt nach dem bisher Erwieſenen, wie groß oder wie klein auch der Unterſchied zwiſchen p und q ſeyn mag, allemal P] = (I † X)y, und [4] = (1I † )u. Da nun das, was von jeder der beyden Grenzen einer Ir⸗ rational⸗Groͤße gilt, auch von dieſer Irrational⸗Groͤße ſelbſt behauptet werden kann, ſo erhellet hieraus die Wahrheit des Binomiſchen Lehrſatzes fuͤr den Fall, wenn n eine Ir⸗ rational⸗Zahl iſt; oder es iſt nunmehr auch T GWal= G⅝ 10. Ob aber gleich bey dieſem letzten Satze Ve ſowohl poſitiv als negativ ſeyn kann, ſo iſt doch bey dem Beweiſe deſſelben e als eine abſolute Zahl betrachtet worden, und Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. I. HO. Gg man 466 Zuſaͤtze zum vierten Capitel. man darf daher, wenn e eine poſitive oder negative Zahl iſt, davon weiter keinen Gebrauch machen, als wenn ſowohl im er ſten Falle von . † e als im andern 4 von — e bloß die reellen Werthe genommen werden. Wenn daher r eine ungerade Zahl iſt, und die unmoͤglichen Werthe von V zS.ae ausgeſchloſſen worden, ſo iſt allemal T IV 1e] = (I † ) z wenn aber r eine gerade Zahl r. in⸗ ſo iſt b loß WV. † = = (1 1413 eerwieſen, und der Fall, wo ”ñ”l . — e vorkommt, iſt i in der obigen Formel gar nicht begriffen. II. Vermittelſt der Differential Rechnung laͤßt ſich die Wahrheit des Binomiſchen Lehrſatzes ſelbſe fuͤr den Fall darthun, wenn n eine unmoͤgliche Zahl iſt, aber fuͤr die gegenwaͤrtige Abſicht reicht ſchon das im dritten bis zum achten Abſatze Enthaltene hin, und ſo weit hat auch Kuler nur den Beweis gefuͤhrt. Da ſich indeß der Satz im neun⸗ ten und zehnten Abſatze leicht mit den vorhergehenden ver⸗ binden ließ, ſo ſchien es mir nicht unzweckmaͤ zig, auch ihn herzuſetzen. 12. Nach §. 3. hat Kuler den Binomiſchen Lehrſatz ſonſt mit Huͤlfe der Analyſis des Unendlichen bewieſen, nachmals aber dieſen Beweis verwerſlich gefunden, weil die A alyſis— des Unendlichen auf den inomiſchen Lehrſatz gegruͤndet ſeyn ſoll. So wie Euler in ſeiner Differential⸗Rechnung verfaͤhrt, wo er im fuͤnften Capitel des erſten Theils mit dem Satze anfaͤngt: Wenn y = Xn iſt, ſo iſt — 1) 2 ðJM —”M n(n. . YI=(XT dr) = Xn nxN- Idx f W xar-⸗ dxa † ꝛc.: ſetzt ſeten ſchen hein, 1 Der He gruͤnde ſiß auf de dlich tt, de weiſe herde poſtir feren⸗ Hommi ſemlia ſeoſt t Offeren deſe e⸗ einen konnen bermitt ſmiß Nrcch 1 Man ners de haben ſeinen Rchon nen B menta henten er enide nuchen, as n en o iſt clend ac Nhl 1 nißt hehrft litſt de z r ji er iir N Nn Nn r er EAr. ! ell⸗ cherde, den bet⸗ lefiset n, mntmas ſPecahſi 1⸗Rechnung Dels m SSSõ Zuſaͤtze zum vierten Capitel. 467 “ ſetzt allerdings die Analyſis des Unendlichen den ganzen Bino⸗ miſchen Lehrſatz voraus; allein man wuͤrde ſehr unrecht han⸗ deln, wenn man dieſes ganz allgemein behaupten wollte. Der Hr. Hofrath Kaͤſtner z. B. beweiſet in ſeinen Anfangs⸗ gruͤnden der Analyſis endlicher Groͤßen den Binomiſchen Lehr⸗ ſatz bloß fuͤr ganze bejahte Exponenten, und erweitert dar⸗ auf denſelben in den Anfangsgruͤnden der Analyſis des Un⸗ endlichen auf andere als bejahte Exponenten auf eine ſolche Art, daß es wohl Niemanden einfallen wird, dieſem Be⸗ weiſe einen Erſchleichungsfehler vorzuwerfen. Da man uͤberdem die Formel d(xn) = n xn-1 dx, wenn n eine ganze poſitive Zahl iſt, aus der Regel fuͤr die Erfindung des Dif⸗ ferentials der Produkte ableiten kann, ohne dazu die Bi⸗ nomial⸗Formel im geringſten zu gebrauchen, indem man nemlich xn = XXXXX. .. ſetzt: ſo laͤßt ſich dieſe Formel ſelbſt fuͤr bejahte und ganze Exponenten durch Huͤlfe der Differential⸗Rechnung darthun, ohne daß dabey das min⸗ deſte erſchlichen wird. Vortheilhaft aber bleibt es immer, einen ſo außerordentlich wichtigen Satz auf mehr als eine Art kennen gelernt zu haben, und wenn daher auch die Beweiſe vermittelſt der Analyſis des Unendlichen viel kuͤrzer ſind, ſo muß man doch die Elementar⸗ Beweiſe deswegen nicht verachten. 13. Von der Geſchichte der Binomial⸗Formel ſindet man in den angefuͤhrten Schriften des Hrn. Hofrath Kaͤſt⸗ ners das merkwuͤrdigſte. Auf eine andere Art als Euler haben kuͤrzlich der Herr Hauptmann von Maſſenbach in ſeinen Anfangsgruͤnden der Differential⸗ und Integral⸗ Rechnung, Halle 1784. und Herr Profeſſor Buſſe in ſei⸗ nen Beytraͤgen zur Mathematik, Leipzig 1786. dieſelbe ele⸗ mentariſch zu beweiſen geſucht. Fuͤr die negativen Expo⸗ nenten habe ich in meinen Briefen uͤber die Buchſtaben⸗ Gg 2 Rech⸗ 2 P * 468 Zuſatze zum vierten Capitel. Rechnung und Algebra, Berlin 1786, und in meinen An⸗ fangsgruͤnden der Buch ſtabenrechnung und Algebra, Ber⸗ lin 1788 die Richtigkeit der Binomial⸗Formel auf die Art erwieſen, daß ich dieſelbe zuerſt fuͤr den Fall wenn n =— — I iſt, dargethan, und darauf gezeigt habe, daß ſie, wenn ſie fuͤr irgend einen negativen Werth fuͤr n gilt, auch fuͤr den um 1 vergroͤßerten negativen Werth gelte. . 14. Wenn n negativ iſt, ſo laͤßt ſich die Binomial⸗ For⸗ mel auf folgende Art Art ausdrucken: † r) (a 1 b) = = a-n — na-n-Ib † — arn- 2 b⸗ — * 2 atafi n2 aa-b i n ſn Nn palln 3) an-4 b2 — I 2 . 3 2 3 4 “ 7 und wenn b negatid iſt, ſo wird nn † 1) (A — b)-n = a-n † na-n-rb I —-E- a-n-2 b2 1 2(n † 1)(n 2) a-n- 3 b nCNT t⸗Eig. I 22 3 12. ₰* 4 Wird a = 1, ſo verwandelt ſich (a — byn in Sar 2)bs ir. 2 2 . 3 n- 4 b 4a †ꝛc. (H=b) = I nb — und da iſt denn nł(n †. 1) (n † 2),. . . . 1 b-- 2) C 1 b Hi, I . 2 . 3 . . 1p – 1I) . £ ein allgemeiner Ausdruck fuͤr alle Glieder. Getzt man nun n einer ganzen Zahl gleich, ſo erhaͤlt man hieraus fuͤr (pP T 1) (p †. 2) 2 p I 2 n 3, (p 4 1) (p . 2) 1 3 bn, 2c., und hieraus laſſen ſich die hieraus fließenden Saͤtze des 64 bis 66ſten §. des 4Aten Capitels der Euleriſchen Einleitung ſehr leicht herleiten. fuͤr n = 2, (p. 4 1) be; fuͤr n = 3, 4 2 Eintl inde 1. C inn Ai⸗ Rl – l e Zuſaͤtze zum fuͤnften Capitel. ilz⸗ Inhalt dieſes Capitels. Von den Funktionen zweyer oder mehre⸗ rer veraäͤnderlichen Groͤßen. 1. Eekl klärung der Funktionen zweyer oder mehrerer ver⸗ 1.k. , aͤnderlichen Groͤßen, §. 77. 78. a. Begriff der von einander unabhaͤngigen Groͤßen, §. 77. b. Erklaͤrung der Funktionen zweyer oder mehrerer ver⸗ aͤnderlichen Groͤßen, §. 78. 2. Eintheilung der Funktionen zweyer oder mehrerer ver⸗ aͤnderlichen Groͤßen, §. 79 — — 87. H a. Eintheilung, die dieſen Funktionen mit den Funktio⸗ nen einer veraͤnderlichen Groͤße gemein iſt, §. 79 — kie — 292. Hiernach ſind ſie e. „. .. in Anſehung der Operationen, durch welche die ver⸗ aͤnderlichen und beſtaͤndigen Groͤßen in ihnen mit — einander verbunden ſind, aa. algebraiſche, §. 79., und dieſe wieder genm n 2a. rationale, ganze entweder oder gebrochene, eus il gs. irrationale Funktionen, §. 80. 4 f bb. tranſcendente, §. 79. g. in Anſehung des Werthes, welchen ſie bey Beſtim⸗ loſen mung der in ihnen vorkommenden veraͤnderlichen Groͤßen enthalten, dan W aa. einfoͤrige,] inn bb. bieliormige, F. §. 81. 82 4 77 Zuſite zum funften Capite b. Eintheilung, die dieſen Sunktionen allein iukommt, §. 83. 6. in homogene, g. in heterogene Funktionen, §. 33. 3. Betrachtung der hieraus ſich ergebenden Unterarten der Funktionen zweyer veraͤnderlichen Groͤßen, F. 84 – 95. a. von den homogenen Funktionen zweyer veraͤnderl lichen Groͤßen, §. 84 — 91. 2. Arten derſelben, §. 84 — 87. aa. ganze, §. 84. bb. gebrochene, §. 8ö8. ecc. irrationale, §. 86. 97. «a. entwickelte, §. 86. e. verwickelte, §. 87. 86. Verwandlung derſelben, F. 88 — 91. aa. durch Subſtitution, §. 88. 89. ℳℳ. der homogenen Funktionen zweyer veraͤnder⸗ lichen Groͤßen uͤberhaupt, §. 88. 68. der homogenen Funktionen zweyer veraͤnder⸗ lichen Groͤßen von der Dimenſion o, §. 89. bb. durch Aufloͤſung in Faktoren von der Form « u † 8β, §. 90. 9I. b. von den heterogenen Funktionen, §. 92. 93. ℳ* Eintheilung derſelben, §. 92. g. Verwandlung derſelben durch Subſtitution in ho⸗ mogene Funktionen, §. 93. c. noch einige andere Eintheilungen der Funktionen zweyer veraͤnderlichen Groͤßen, § 94. 95. «“. Eintheilung dieſer Funktionen uͤberhaupt nach Ord⸗ nungen, §. 94. 68 Eintheilung der een Funktionen in complere und incomplexe. §. 95. VI. od 7. Ve 4,B ter et d. We e. G K 6. 2 Von 4. V. Mnn, 3 Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel. A. Inhalt dieſes Capitels. Von den Exponential ⸗Groͤßen und den Logarithmen. 1. Von den Exponential Groͤßen, §. 96 — foOI. a. Begriff der Exponential⸗ ⸗Groͤße, und dabey zugleich, warum dieſe Groͤßen an dem gegenwaͤrtigen Orte un⸗ terſucht werden, ſo wie auch, was fuͤr welche betrach⸗ herane⸗ tet werden ſollen, §. 96. b. Werthe der Exponential⸗Groͤße, as, 5§. 97 — 99. warde⸗ 2. bey Beſtimmung des veraͤnderlichen Erponeaten 1, 69 § 97. Ne SNn . aus dem Werthe, der a beygelegt wird, §. 98. 99.⸗ aa. wenn a poſitiv genommen, §. 98. . bb. wenn a = o, und wenn es einer negativen Groͤße gleich geſetzt wird, §. 99. in i c. Betrachtung der Gleichung y = a? fuͤr den Fall, wenn 4 a eine poſitive Zahl bedeutet, die groͤßer als 1 iſt, n wege §F. 100. 101l. ℳ. allgemeine Beſtimmung de der e Werthe, die y erhalten nech kann, §. 100. g. uͤber die Art, wie darin y von 2 abhaͤngt, K.1 101. e 2. Von den Logarithmen, §. 102 — 113. a. Von den Logarithmen uͤberhaupt, §. 102 — 106. Gg 4 .. 472 Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel. 2. . Erklörung der Logarithmen und der Baſis derſel⸗ ben, §. 102. 8. Erfindung der Logarithmen, . 103 – 106. aa. wenn ſie aus den gegebenen Dingen genau, I0O3. 104. bb. wenn ſie nur naͤherungsweiſe gefunden werden koͤnnen, §. 105. 106. b. Von den logarithmiſchen Syſtemen, §. 107 — 1II3. 2. Wieviel logarithmiſche Syſteme moͤglich ſind, F. 107. 8£. Verhaͤltniß der Logarithmen zweyer Zahlen in zwey logarithmiſchen Syſtemen, §. 108. v. Verfertigungs⸗Art der logarithmiſchen Syſteme, d. Nutzen derſelben, §. 110. c. Von dem gemeinen logarithmiſchen Syſteme insbe⸗ ſondere. §. 112. 113. B. Zuſatz zu §. 97. 1. Es iſt in der vorhergehenden Tabelle bemerkt wor⸗ den, daß Euler in dem gegenwaͤrtigen §. bloß von den Werthen rede, welche die Exponential⸗Groͤße a⸗ bekommt, wenn fuͤr 2 beſtimmte Werthe geſetzt werden. Es muß alſo a hier ganz allgemein betrachtet, oder weder poſitiv noch negativ, ſondern abſolute genommen werden; und da fraͤgt ſich denn: Ob mit Recht behauhztet werden koͤnne, daß die Werthe Wa, Va, Waa, Wa, Va⸗ ꝛc. viel⸗ fach ſeyn, und a * ſowohl = aa V-a als = = † a a T2 geſetzt werden muͤſſe? e? Da die Beantwortung dieſer Frage den Grund enthaͤlt, warum man von den mehrern Wer⸗ E then der Groͤßen Va, Va, Vaa, Va, Va c., a* cc. nach Eulers Behauptung jedesmal nur die Haupt⸗ werthe nonftn ch ptung Abſot aber ſich i ſedesme beſtimmt. gen Unte⸗ 3. alſo ih werden hey ihn den B ſen B⸗ lft bey de dieſes ſen al NN⸗= nicht ſentlic f00. en geet, des R ſtene inide⸗ hererkt wes Uus don N 2 1, gekenn Fr nus elx Ppſto noch n. W N Nuden e 161 4 75 % M. Nen Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel. 473 werthe, d. h. die reellen und poſitiven nehmen muß, und zugleich auf die Umſtaͤnde fuͤhrt, unter welchen man dies zu thun hat, (denn es wird ſich nachher zeigen, daß es nicht allemal geſchehen darf): ſo iſt dieſelbe ohnſtreitig ſchon dadurch wider den Vorwurf der Unnuͤtzl lich eit ge⸗ ſchuͤtzt, es werden ſich aber daraus in der Folge noch wich⸗ tigere Vortheile ziehen laſſen. 2. Wenn ganz allgemein behauptet werden kann . daß man fuͤr A, was fuͤr eine Groͤße es auch vorſtellen mag, auch allemal † A ſetzen koͤnne: ſo iſt auch Eulers Behau⸗ ptung von den vielfachen Werthen der im vorhergehenden Abſatze angefuͤhrten Groͤßen ohne Einſchraͤnkung richtig; aber dann ſcheint es wenigſtens etwas willkuͤhrliches an ſich zu haben, daß man von dieſen mehreren Werthen jedesmal nur die poſitiven und reellen nehmen ſoll. Dies beſtimmt den Punkt, von welchem bey der gegegenwaͤrti⸗ gen Unterſuchung ausgegangen werden muß. 3. Wenn Groͤßen poſitiv oder negativ genommen, und alſo ihren Conſtructionen die Zeichen † und — vorgeſetzt werden, ſo geſchiehet ſolches eigentl lich deswegen, weil man bey ihnen außer ihren weſentlichen ( Eigenſchaften eine zu⸗ faͤllige Beſchaffenheit unter zwey einander entgegenſtehen⸗ den Bedingungen auf die Art betrachtet, daß man von die⸗ ſen Bedingungen bald die eine, bald die andere ſtatt finden laͤßt. Bey geraden Linien, bey den bewegenden Kraͤften, bey den Exponenten der Dignitaͤten u. d. gl. nimmt man dieſes ſehr bald und aufs deutlichſte wahr. Hiernach wei⸗ ſen alſo die Worte poſitiv und negativ, und die Zeichen † und — eigentlich auf etwas hin, was man ſich ohne ſie nicht gedacht haben wuͤrde; und wenn man folglich das Groͤßen abſolute betrachten nennt, wenn man bloß ihre we⸗ ſentlichen Eigenſchaften in Erwaͤgung zieht, und dabey die Gg 5 Ab⸗ 2– 4274 Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel. Abweſenheit der Zeichen † und — vor ihren Conſtruttio⸗ nen (Ausdruͤcken durch allgemeine Zeichen) ein Kennzeichen ſeyn laͤßt daß dieſe Groͤßen abſolute betrachtet werden ſol⸗ len; ſo iſt klar, daß die abſoluten Groͤßen jedesmal von den poſitiven unterſchieden werden muͤſſen, und daß man alſo eigentlich, und bey allgemeinen Betrachtungen nie berech⸗ tigt iſt, A und † A als einander vollkommen gleich anzu⸗ ſehen, und daher beyde Bezeichnungen mit einander zu verwechſeln. 4. Das kann hierwider kein Einwurf ſeyn, daß man, wenn zwey abſolute Groͤßen A und B zu einander addirt werden ſollen, ſolche auf die Art neben einander zu ſetzen pflegt, daß man vor die zweyte das Zeichen ? ſchreibt. Denn in dem Ausdrucke A † B, als dem Ausdrucke einer Summe der beyden abſoluten Groͤßen A und B, gehoͤrt das Zeichen ſ nicht eigentlich, ſondern nur in ſo fern zu B als es mit A die ſummirenden Theile einer dritten Groͤße aus⸗ macht, und ſteht alſo hier ſchon in einer uneigentlichen oder abgeleiteten Bedeutung. Die urſpruͤngliche oder erſte Be⸗ deutung der Zeichen ſowohl als der Woͤrter iſt nemlich alle⸗ mal die, woraus ſich alle uͤbrigen Bedeutungen als Arten aus dem Geſchlechte ableiten laſſen, und darnach waͤre es ſehr unrecht, die Bedeutung der Zeichen und —, nach welcher ſie Zeichen der Addition und Subtraction ſind, zu der erſten und urſpruͤnglichen Bedeutung dieſer Zeichen machen zu wollen. Da man aber bey allgemeinen Unter⸗ ſuchungen allemal die allgemeinſten Begriffe zum Grunde legen muß, und das Allgemeine auch in allem ihm unter⸗ geordneten Beſondern anzutreffen ſeyn muß, ſo erhellet, daß man von den Zeichen † und — nichts allgemein be⸗ haupten darf, was ihnen nicht als Zeichen des Poſitiven und Regativen zukommt, und zugleich, daß man dieſe Zei⸗ chen ce ahene lelcten k 6 Es dr e zufällis ftuttion ſi eeſt nach d der Zeichen “ Groͤhen, 1 noch ihnen dieſen Zeich Zeichnungen en Follen ſetzte, ſon „ 1B1V I (thhn tern Wravseh fönnte. A⸗ Nmende hbrig ber⸗ auber ven ehrere an ſehk werden ſedemn die gen † dor Cunfructie onzichen AWnſ! unl bon N Wr in en ⸗ 1 geic en einonder n, Wun mnander Mir mer ſeen n ſonch. obrucke tine ,thort do emn u aß dele aut⸗ ntichen de der eſte de nunlih ale en s Nten ac wole end=, Nh Nirn id , dieſe 1 hunde nin uie⸗ , ahelet Alnen d ree NChnn Vorausſetzung, wenn An = = C waͤre, AN = Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel. 475 chen allgemein als Zeichen d des Poſieiv tiven und Negativen betrachten koͤnne. 5. Es drucken alſo die Zeichen und — — allezeit bloß eine zufaͤlli ige Eigenſchaft der Groͤßen aus, vor deren Con⸗ ſtruction ſie ſtehen; und da man das Zufaͤllige am beſten erſt nach dem Weſentlichen betrachtet, ſo bedient man ſich der Zeichen und — auch am beſten ſo, daß man die Groͤßen, zu deren Conſtructionen ſie gehoͤren, erſt dann nach ihnen beſtimmt, wenn man jene zuvor nach allen außer dieſen Zeichen in den Conſtructionen vorkommenden Be⸗ zeichnungen entwickelt hat. Waͤre es daher auch in man⸗ chen Faͤllen vollkommen gleichguͤltig, ob man A oder † A ſette, ſo muß man doch aus dem angefuͤhrten Grunde nie m z. B. † WA mit . († 4) und eben ſo wenig † An mit mn († A) verwechſeln, ob man gleich unter der angefuͤhrten in im — koͤnnte. Ausdruͤcke alſo wie † An muß man 49 verſtehen, in daß man das Zeichen † als zu An und nicht als zu A ge⸗ hoͤrig betrachtet, und außerdem auch nie † A fuͤr A ſetzen, außer wenn A als ein ſummirender Theil neben einem oder mehrere andere ſummirende Theile einer dritten Groͤße ge⸗ ſetzt werden ſoll. 6. Hat man alſo ein Recht, Ausdrucken, wie 7 A, in — Nmn An, A vielfache Werthe beyzulegen? Wenn man auch jedem dieſer Ausdruͤcke an und fuͤr ſich genommen das Zei⸗ chen † vorſetzen duͤrfte, ſo muͤßte man nach dem de he⸗ Z ge vRe 476 Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel. gehenden doch dafuͤr 1 VA, † An, 1 4 und nicht VCX†A) († A), († 1)7 ebenfalls nach MUã Abſatze in die Augen, 1 1 n m daß zwar die Werthe von V († A), (T A),/(†. A) „ in vie lfach ſind, nicht aber die Werthe von † vA, † An, n †* A So iſt alſo auch a⸗ a aa a, nicht aber = — aa Va- * 7. Wenn man die Bedeutung der Zeichen und — nicht auf die Art beſtimmt, als es bisher geſchehen iſt, und folglich auch ohne alle Einſchraͤnkung A und † A als gleichguͤltige Bezei chnungen betrachtet, ſo wird es noth⸗ e : daß man von den mehrern Werthen der Aus⸗ druͤcke MA, A , A „ wenn man dieſelben in fernern 3 Rechnungen gebrauchen will, bloß die poſitiven und reellen Werthe nimmt. Denn wollte man ſolches nicht thun, ſo 11 wuͤrde nicht A4 =— Am geſetzt werden koͤnnen, weil ſonſt eine und dieſelbe Groͤße mehrern von einander verſchiedenen, und eine moͤg liche Groͤße ſelbſt unmoͤglichen Groͤßen muͤß te gleich ſeyn koͤnnen. Aber auf dieſe Art bleibt doch wenig⸗ ſtens in der Folge noch manche anderweitige Schwierigkeit üͤbrig, die ſich ſehr leicht wird heben laſſen, wenn man die abſoluten G Groͤßen allemal von den poſitiven unterſchei⸗ det, und nur dann A und †A als gleichguͤſtige Ausdruͤcke anſieht, wenn das Zeichen † wegen der ſtatt findenden be⸗ ſon⸗ greiben, und da faͤllt denn = Fia a zwar =taa a⸗ ſoſten n Jiitm des 6 ht glag zuſe Wemm bey den ,n wee ſolches ligen in der maß mon, in dem vor obachten als ein be e hoſcthven Verden ar was der geg⸗ n hekowent weill er die ſcheidet 9 Orte u men tückkringen. eine gamer poſttiven . r zwey in he haben ? Nerochenen die Beſtinmn I1. Wen fange in WA 1A e=fuſi⸗ eihn nd⸗ 1 ſeſchehen iß⸗ AInd 14 d6 id & wh⸗ en e Me n ir ,uren n und tetlen ſihr hen, 4 wenſoſttn 8 erchiednen, Gicſen nitt⸗ t oc wenig⸗ Schrietig lel , venn Cen vnteeſ lſcte⸗ ge Uuce tov Zuſͤtze zum ſechsten Capitel. 477 ſondern Umſtaͤnde mehr das Zeichen der Addition, als das Zeichen des Poſitiven iſt, oder der Conſtruction vor welcher es ſteht, wenn man ſie allein nimmt, keine neue Beſtim⸗ mung zuſetzt. C. Zuſatz zu §. 98. Wenn die Werthe von a⸗ betrachtet werden ſollen, die bey den fuͤr a moͤglichen Subſtitutionen ſtatt finden koͤnnen, wie ſolches wegen des Gebrauchs, der von dem Gegenwaͤr⸗ tigen in der Folge gemacht wird, allerdings noͤthig iſt, ſo muß man, wenn man alle Faͤlle nehmen, und dabey die in dem vorhergehenden Zuſatze feſtgeſetzten Unterſchiede be⸗ obachten will, fuͤr a erſt die abſoluten Zahlen, wobey a = o als ein beſonderer Fall angeſehen werden kann, und dann die poſitiven, und nun erſt die negativen Zahlen nehmen. Werden fuͤr a die abſoluten Zahlen geſetzt, ſo ſindet man, was der gegenwaͤrtige §. enthaͤlt. Von den Werthen, die a? bekommt, wenn man a poſitiv nimmt, ſagt Euler nichts, weil er die abſoluten Zahlen und die poſitiven nicht unter⸗ ſcheidet. Was von dieſem Falle an dem gegenwaͤrtigen Orte zu merken iſt, laͤßt ſich auf folgende Behauptung zu⸗ ruͤckbringen. Nimmt man a poſitiv, ſo hat a⸗, wenn ⸗ eine ganze poſitive Zahl iſt, jedesmal nur einen und zwar poſitiven Werth, ſo wie, wenn 2 ein poſitiver Bruch iſt, 2 zwey und mehrere, und darunter auch unmoͤgliche Wer⸗ the haben kann. Setzt man: einer negativen ganzen oder gebrochenen Zahl gleich, ſo iſt leicht einzuſehn, daß dann die Beſtimmung der Werthe von a⸗ noch ſchwieriger wird. D. Zuſatz zu §. 99. I. Wenn man à in a⸗ negativ ſetzt, ſo faͤllt ſogleich im Anfange in die Augen, daß die Unterſuchung dieſer Groͤße auf 428 Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel. auf keine brauchbare Satze fuͤhre; da aber die Theorie der Exponential Groͤßen nicht bloß in der Arithmetik, ſon⸗ dern auch in der analytiſchen Geometrie und in der ange⸗ wandten Mathematik gebraucht wird, ſo iſt es zur Ver⸗ meidung aller Schwierigkeiten nicht hinreichend, daß man a poſitiv ſeyn laͤßt, ſondern man muß daſſelbe einmal abſo⸗ lute nehmen, und dann auch den Fall unterſuchen, wo a eine Groͤße iſt, bey welcher, außer ihren weſentlichen Ei⸗ genſchaften auch eine ſolche zufaͤllige Beſchaffenheit betrach⸗ tet wird, als zu entgegengeſetzten Groͤßen erforderlich iſt. Laͤßt man nun a eine abſolute Zahl bedeuten, die groͤßer als 1 iſt, denn bey dieſem Falle kann me hier aus den von Eulern angefuͤhrten Gruͤnden allerdings ſtehen bleiben, ſo hat a⸗ fuͤr jeden moͤglichen Werth von nie mehr als einen, aber allemal reellen und abſoluten Werth, und da⸗ nZ bey iſt es zugleich erlaubt, fͤr a?, an oder Wa? zu ſetzen. Dies letztere darf man nicht, wenn a poſitiv genommen wird, weil, wenn dabey a? einen Werth hat, der Groͤße 22 a ! allemal n Werthe zukommen maͤſſ en, obgleich darunter mehrere imaginaͤr ſind. Hieraus erhellet ſchon die Noth⸗ wen digkeit der Unterſcheidung zwiſchen a abſolute und a poſitiv genommen, wenn die Theorie der Exponential Groͤ⸗ ßen von allen Schwierigkeiten befreyet werden ſoll, zumal da es, wie ſich in der Folg ge zeigen wird, nicht hin laͤnglich n Z iſt, zu ſagen, daß man von den mehrern Werthen von a n jedesmal nur den poſitiven und reellen nehmen muͤſſe. Ue⸗ brigens gilt fuͤr den Fall, wenn a eine abſolute Zahl und groͤſßer als 1 iſt, alles das was Euler in gegenwaͤrtigen §. geſagt hat. 19 12 1 ber⸗ en koön Erpone brauche gerade reelleen noch /ede wan in Kach, von ei laſen, mon ft ton ſdofenh die Aet ſ andeeeſ rade Br jeigt ſi dachten Und unw⸗ N in den heit ſin ponentia wenden, Hitel erfo onarih haupt d ten, de R hen ihwunf, ſn ange epde⸗ N N. . fenheit bekot Grdeiſ i un, diee e geiß Mne Gen de Ntß wte d ceKaßst 4, Ste Mhonnti Gl ren il, zmrl ce hülngich ne . thenton2 4 „ ite Zi id gennithen . . Zuſaͤtze zum ſechsten Capitel. 479 2. Nimmt mana nicht abſolute, und ſoll dabey a- mit an perwechſelt, und folglich auch a; fuͤr a geſetzt wer⸗ den koͤnnen, welches allerdings, wenn man die Theorie der Exponential⸗Groͤßen allenthalben ohne Schwierigkeit ge⸗ brauchen will, nothwendig iſt; ſo muß, da n auch jede gerade Zahl bedeuten kann, a⸗ fuͤr jeden Werth von 2 zwey reelle entgegengeſetzte, ſonſt einander gleiche, und außerdem noch jede beliebige Anzahl unmoͤglicher Werthe haben. Ob man in dieſem Falle a poſitio oder negativ annimmt, iſt gleich, eigentlich aber darf man dieſe beyden Faͤlle nicht von einander unterſcheiden, ſondern muß ſie ungetrennt laſſen, und das Allgemeine zum Grunde legen. Sobald man fuͤr a eine Groͤße ſetzt, die ſich nicht abſolute betrach⸗ ten laͤßt, ſondern wo man zugleich auf eine zufaͤllige Be⸗ ſchaffenheit unter zwey entgegenſtehenden Bedingungen auf die Art ſehen muß, daß man darin bald die eine bald die andere ſtatt finden laͤßt, wie dies der Fall iſt, wenn a eine ge⸗ rade Linie bedeutet, und ar geometriſch conſtruirt wird: ſo zeigt ſich die Richtigkeit dieſer Behauptungen in den ge⸗ dachten geometriſchen Conſtrucetionen auf eine ſehr deutliche und unwiderſprechliche Weiſe. 3. Bey der Lehre von den Logarithmen, welche Euler in dem 102ten §. vorzutragen anfaͤngt, wird ſich Gelegen⸗ heit finden, die bisher uͤber die Werthe von a in der Er⸗ ponential⸗Groͤße a⸗ vorgebrachten Behauptungen anzu⸗ wenden. Da aber dazu manches aus dem folgenden Ca⸗ pitel erforderlich iſt, ſo will ich, um das, was ich von den Logarithmen zu ſagen habe, nicht zu trennen, ſolches uͤber⸗ haupt bis zu dem Zuſatze zu dem folgenden Capitel verſpa⸗ ren, der die Ueberſchrift, Von den Logarithmen, fuͤhrt. „= Wikft!! SSS . R 1 Si. D RN S c S S SSð SM „ N 2 M 7 NV 72 αR 1 Sch, Je 10 8 — 8, S“ — VII. Zuſise zum ſiebenten Capitel. A. Inhalt dieſes Capitels. Von det Entwickelung der Exdonential⸗ Groͤßen und der Logarithmen durch unendliche Reihen. 1. Von der Entwickelung der Erponential⸗ Groͤßen durch Reihen, §. 114 — 117. aa. Einige vorlaͤufige Saͤtze, §. 114. b. Entwickelung der Exponential⸗Groͤßen durch unend⸗ liche Reihen, F. II5 — 1II7 und 125. „. ohne Logarithmen, §. 115. 116. 8. mit Huͤlfe der Logarithmen, §. II17. . mit Huͤlfe der natuͤrlichen Logarithmen, §. 125. 2. Von der Entwickelung der Logarithmen durch Reihen, §. 118 –— 125. und zwar a. der Logarithmen uͤberhaupt, §K. 118 — 121. b. der natuͤrlichen Logarithmen, §. 122 — 123. c. Vergleichung der natuͤrlichen Logarithmen mit den gemeinen, §. 12z33. B. 1.Me. Lerhaͤni Rutzens, kann, we bedeutet, ſchraͤnkn⸗ ſolute Jah nW — 1 iſt, ann hloß nm. 17 e ol n ein ſehn kann: Gebrauch worin d Ohut me die gering A: ſeten; r negotide die Sis gerithme dos in me kung von Capitel Saͤge de e geleg Eulers Zuſaͤtze zum ſebenten Capitel. 481 B. Von den logarithmen. 1. Man mag die Logarithmen als Exponenten oder als Verhaͤltnißzahlen anſehen, ſo faͤllt ein großer Theil des Nutzens, den man von Logarithmiſchen Tabellen haben kann, weg, wofern man nicht, wenn m einen Logarithmen bedeutet, dafuͤr auch allemal und ohne die geringſte Ein⸗ in . ſchraͤnkung n ſetzen kann. Da alſo nur, wenn a eine ab⸗ ſolute Zahl bedeutet, ohne alle weitere Bedingung am = n n a n iſt, hingegen, wenn a nicht abſolute genommen wird, nm— . am bloß dann an gleich geſetzt werden kann, wenn von a n allein die reellen Werthe genommen werden, und im Fallen eine gerade Zahl iſt, am ſowohl poſitiv als negativ ſeyn kann: ſo iſt es ohnſtreitig am beſten, zum allgemeinen Gebrauch ein ſolches Logarithmiſches Syſtem zu waͤhlen, worin die Baſis abſolute angenommen worden iſt. Thut man nemlich dieſes, ſo kann man allemal und ohne die geringſte Einſchraͤnkung nicht nur ar as = ar†s; n r ar: 38 = ar-s; ſondern auch (ar)n = anr, und Var = a n ſetzen; r und s moͤgen ganze oder gebrochene, poſitive oder negative Zahlen bedeuten, und dies ſind bekannter Maaßen die Saͤtze, worauf ſich die Regeln des Gebrauchs der Lo⸗ garithmen gruͤnden. Fuͤr dieſen Fall gilt denn auch alles das in moͤglich groͤßter Strenge und ohne weitere Einſchraͤn⸗ kung von den Logarithmen, was Euler daruͤber im ſechsten Capitel von §. 102. an geſagt hat, ſo wie dabey auch die Saͤtze des ſiebenten Capitels nur weniger Zuſaͤtze beduͤrfen, die gelegentlich hier hinzugefuͤgt werden ſollen. Eulers Einl. in d. Ansl d. Unendl. I. B. Hh 2. 482 Zuſaͤtze zum ſi ſi ebenten Capitel. 2. Bedeutet nun a eine abſolute Zahl, die groͤßer als 1 iſt, und wird dabey » und . ſo genommen, als es Euler §& II4. gethan hat, ſo kann man allemal, wenn nur n S 1I1 groß genug geſetzt wird, auch a“ = a “ ſetzen, und dann erhaͤlt man aus a“ = I † ka, da nun - = 7* iſt, . 7 1 a?*“ = I†k 7* „und hieraus F =S — = = — . 2 n Wird hier a einer beſtimmten Zahl gleich geſetzt, ſo findet man nach dieſer Formel ebenfalls einen beſtimmten Werth fuͤr k, und ſie druckt daher die Art, wie k von a abhaͤngt, und welche Euler in dem Exempel bey §. 114. in einem einzelnen Falle dargeſtellt hat, allgemein aus. Betrachtet man hingegen kↄ als bekannt, ſo erhaͤlt man daraus zur Er⸗ findung von a aus k die Fernel K) 3, a = (1 1 3. So wie LRuler P= k = geſetzt hat, ſo kann man auch „ F ſetzen, und dann erhaͤlt man aus a“ = 1 † wenn man a die Baſis eines Logarithmiſchen Syſtems 2„ ſeyn laͤßt = 1V — ler † 1) 1 Macht man alſo 1 † °= gn welhes allemal moͤglich iſt wo⸗ G welche eine n Als ma 4 . ches hie ſoword nehmen Kaiche⸗ Nicht trachte demnaa garithin. terſchi Rrithen als 1 Hieran rithmen ſeider un Nur n. 1 l muus ur m mnl, Zuſoetze zum ſiebenten Capitell. 483 wofern nur n groß genug genommen wird, und f eine ab⸗ ſolute Zahl bedeutet, die groͤb er als 1 iſte ſo wird dNe * —— f2 — 1, und man hat folglich 1 1 16² = 1 (6²² — 1), und hieraus 1 D 1 = †+ 2 (7 — 1). Iſt alſo k bekannt, ſo hat man hierin eine Formel, nach welcher man den Logarithmen jeder Zahl, wenn gleich auf eine weitlaͤuftige Art, doch allemal ſo genau finden kann, als man will. 4. Da An, wenn n eine ganze Zahl iſt, ſo wie man ſol⸗ ches hier annehmen muß, allemal eine gerade Zahl wird, 1 ſo wuͤrde, wenn man f in f nicht abſolute, ſondern poſitiv en , nehmen wollte, k zwey entgegengeſette ſonſt einander 25 gleiche Werthe haben, und folgli ch † f— I und — V f— I nicht nur einander entgegengeſetzt, ſondern, abſolute be⸗ trachtet, auch um zwey unteſſchieden ſeyn. Es wuͤrde demnach jede ganze poſitive Zahl außer einen poſitiven Lo⸗ garithmen auch einen negariven von jenem der Groͤße nach unterſchiedenen Logarithmen haben, und die negativen Lo⸗ garithmen folglich auch dann, wenn die Baſis groͤßer als 1 waͤre, nicht bloß zu den aͤchten Bruͤchen gehoͤren. Hieraus erhellet, daß man in der Lehre von den Loga⸗ rithmen das Abſolute von dem Poſitiven ſorgfaͤltig unter⸗ ſcheiden muͤſſe. ””M 484 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 5. Da nach Abſatz 2 ebenſowohl a aus k als k aus a gefunden werden kann, ſo iſt es, uͤberhaupt genommen, will⸗ kuͤhrlich, ob man bey einem Logarithmiſchen Syſtem einen beſtimmten Werth von a oder von k zum Grunde legen will. Thut man das letztere auf die Art, daß man k = 1 ſetzt, ſo faͤllt in die Augen, daß dadurch die Beſtimmung der Logarithmen am allereinfachſten, und folglich auch das darauf ſich gruͤndende Syſtem im Allgemeinen unter allen das brauchbarſte ſeyn werde. In dieſem Syſteme, welches man bekannter Maaßen das Syſtem der natuͤrlichen Loga⸗ rithmen nennt, daher = (1 T† * = 2,71 828182 8459..... und dieſen Werth findet man deſto genauer, je groͤßer man n annimmt. Ferner wird darin X. I1f = 29 (f2 — 1) und man findet aus den Logarithmen dieſes Syſtems die Logarithmen jedes andern Syſtems, wenn man aus der Baſis dieſes letztern Kk nach Abſatz 2 entwickelt, und darauf jene Logarithmen durch k dividirt, oder mit multiplicirt. 6. Es waͤre indeß ſehr unbequem „wenn man die Loga⸗ rithmen aller Zahlen, wenigſtens aller einfachen Zahlen bloß nach der ſo eben gefundenen Regel berechnen ſollte, ja es iſt darnach die Erfindung der Logarithmen kleiner Zah⸗ len ſchon eine beſchwerliche Sache. Man kann ſich hier⸗ von, wenn man will, durch die Berechnung des Logarith⸗ men der Zahl 5 uͤberzeugen, welche man in des Hrn. Ober⸗ Baurath Schulze Taſchenbuche fuͤr diejenigen, ſo gruͤnd⸗ liche Anwendungen der Meßkunſt zu machen ſich vorſetzen, Serlin 1782 und d 1783, und zwar im zweyten Hefte S. 47 . bis sf Ninal Piherie ſehrung gorithrr die dog ſuchen. 76 ie Me hat, und — iſt. D lſo allen unterſcht Live klei veiter n außerdem 8. n Aras mnn v nan en N N A ul Cutgice. n de dae lin gl⸗ n i he⸗: bantth Zuſuͤtze zum ſiebenten Capitel. 485 bis 52 findet, und doch iſt dieſer Logarithme nur bis auf 7 Decimal⸗Stellen geſucht worden. Man muß daher das Bisherige vorzuͤglich gebrauchen, um daraus kuͤrzere Ver⸗ fahrungsarten abzuleiten, und am beſten iſt es, fuͤr die Lo⸗ garithmen kleiner, fuͤr die Logarithmen groͤßerer, und fuͤr die Logarithmen ſehr großen Zahlen deſondere Regeln zu ſuchen. . 7. Fuͤr die Erfindung der Logarithmen kleiner Zahlen iſt die Regel ſehr brauchbar, welche Euler §. 123 mitgetheilt hat, und wornach 11 =— 20X — † 5 † X7 24 1† 10.) 1— X 3 5 7 ₰₰. . I † X iſt. Denn ſetzt man — = n, ſo wird B n — I. X = —— ; 22 alſo allemal ein Bruch, deſſen Zaͤhler und Nenner um zwey unterſchieden ſind, und deſſen Dignitaͤten daher, wenn n eine kleine Zahl iſt, bald ſo klein werden, daß man nicht weiter noͤthig hat, ſie in Anſchlag zu bringen, zumal, da außerdem von jedem xn nur genommen werden duͤrfen. 8. um dieſe Regel aus der Abſatz 5 gefundenen Harmet . 1I S 1f= E — 1 abzuleiten, ſo ſeo f f= I R xX, und nmn = ſo daß m einen ſehr kleinen Bruch bedeute. Als⸗ denn HDM nach der angefuͤhrten Formel Irt= I = tt in e⸗ m ImI 1. 2 — (m— — 1) (m — 2 . (m I1 (m 23 4 C 1 AKm= 2 Q m — 3 xX4 † ꝛc. 1. 2 . 3 1. 2. .3 . 4 h 3 Da S ℳ . . 4 486 Dne zum ſiebenten Cantek. I m– 2 2 m — Da ſich aber — don — 2 —– — von — , — 3 I . 2 4 2 3 3 4 von — 2 deſto weniger unterſcheidet, je groͤßer man n annimmt, und man hier n uͤber alle Grenzen wachſen oder unendlich groß annehmen kann: ſo erhaͤlt man durch die Subſtitution dieſer Werthe anſtalt der vorhergehenden Deſtimmung . X2 Kkx3 X ℳ4 X §£ X6 X7 I4 = 101 T2) = x - 2 + – —- — † — — – † — — tc. 2 3 4 4 5 6 7 9. So wie man aber bey den §. 114. angenommenen I E Bedeutungen der Buch ſtaben k und ꝙ, a = I † ſetzen kann, wenn a eine Zahl bedeutet, die groͤßer als 1 iſt: ſo 1 kann man auch = I — & ſetzen, wenn e kleiner als 1, oder ein aͤchter Bruch iſt, und k und die erwaͤhnte Be⸗ deutung behalt en. Laͤßt man alſo a die Baſis eines Loga⸗ rithmiſchen Syſtems, und 2 = . ſeyn, ſo hat man daher — — I01 — ( P) und fuͤr die hyperboliſchen dogarithmen, wo k = 1I iſt, — Y = I((1 — ) 8 nun g ein aͤchter Bruch, ſo kann man allemal g. = 1 — † ſetzen, und daraus wird denn T Hier⸗ Hiemn “ und es 5, deß der Loga 10. ein ach nommne dder, de —— 1 3 = Nimmt. iuſammen . X — Bruch P Saͤte fſeiner li,, .*; Ne N S . Mur Aer Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 497 Hierdurch aber verwandelt ſich die Formel — = 1(1 — 78 in 1 L Zan Een 19 = g — 1 und es wird daher T 1g = 2 (4 — 1) ſo daß die Abſatz 8 gefundene Formel auch fuͤr die Erfin ndung der Logarithmen der aͤchten Bruͤche gilt. 10. Dies vorausgeſetzt, ſo ſey g = 1I — x, und alſo ein aͤchter Bruch. Dann iſt, wenn m die Abſas 8 ange⸗ nommene Bedeutung behaͤlt, m m 1.2 m-– I)m — 2) m — I1) (m – 2 (m=– X 3 † — . 4 X4 — 2c. I . 2 . 3 1 2 3 „ 4 oder, da man auch hier — 1; a — = — —; =— . 1.2 2 3 — — ꝛc. ſetzen kann 3 2 X 3. X * * ig = I(r — K) =ι — X — — — — — — —- — — 2 3 4. 5 XN6G6 6 — co. Nimmt man nun dieſe Formel mit der Abſatz 8 efundenen zuſammen, ſo erhaͤlt man daher 1 X3. XxS§. X7 xXx2 X = E † — † † — † — † — r ꝛc.· — 3 5 7 9 11 1II. Da X bey den gefuͤhrten Beweiſen als ein aͤchter Bruch betrachtet worden iſt, ſo muß man die gefundenen Saͤtze auch nicht weiter als auf die Faͤlle ausdehnen, wo X H h 4 eine 4888 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. eine ſolche Bedeutung bekommt; und wenn dieſelben bey Vernachlaͤßigung dieſer Regel auf paradoxe Folgen fuͤhren, ſo iſt die Schuld nicht ihnen, ſondern der unrechten An⸗ wendung, die man davon macht, zuzuſchreiben. Setzt I † man z. B. — = — 2, ſo wird 1 † K = — 2 † 2, und folglich x = 3. Hiernach haͤtte man I † X 27 243 2187 1—— — 1 — 2 = 20 — † — † — — † ꝛc.) — 3131 . . † ꝛc.) und doch wird behauptet, daß der Logarithme jeder ne⸗ gativen Zahl unmoͤglich ſey. Ferner erhielte man, wenn man in der Formel 3 X2 X3 xA4 xf— 1(1 – 2) = — (X † — † — † — † — † ꝛc. aA— - . I t =— 1 1t) X = 2 ſetzte, 1er — X) = 1 — 1 -— 2 — — — — 22 — ꝛc. und ſetzte man darin = 3/ ſo wuͤrde 10 — X) = 1 — 2 = — (3 2 4. 27 f. 81 243 f. .) 2 3 4 5 Aber was fuͤr Folgerungen wuͤrde die Vergleichung dieſes und des vorhergehenden Logarithmen von — 2 an die Hand geben? ?ZM 2. uebriges laͤßt ſich bey den Abſatz 8 und 10 gefuͤhr⸗ ten Beweiſen daher nicht der geringſte Grund zum Ein⸗ wurfe wider die Strenge dieſer Beweiſe nehmen, daß darin —— = 2, n — 2 2 — — —, — = — M ꝛc. geſetzt wor⸗ 2 3 den. Denn es wird ja = — um ſo mehr = — — je groͤßer p wird, und bey den Abſatz 8 angenomme⸗ nen Bed n-— 5 ſeiner r Einwurf Mtung deutet, onne, e ſnde, wr dern N Aeiaſ denn de fenigſen Van mnog ſur die den die dora 13 lſen ſch gefunden Ausdruͤe herous at 3 ſien ie efihrn Gten gn⸗ R. ut WIE 1 * 7 1./ er de umn, don Ar nn d M dn pi⸗ MWN/, Sne⸗ Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 489 nen Bedeutungen von m und n kann man ja ſchon = — — ſetzen, wenn p = 1 iſt, und kleiner wird es nie angenommen. Etwas mehr haͤtte der Einwurf auf ſich, wenn man wider die Euleriſche Behau⸗ ptung §. 116., daß man, wenn i eine unendliche Zahl be⸗ i — 1 — 2 i — . deutet, — — ; 2 = 1 —³ = 1; 2ꝛt. ſetzen S” 1 i koͤnne, einwenden wollte, daß dies wenigſtens nicht ſtatt finde, wenn die bey i in dem Zaͤhler dieſer Bruͤche mit dem Zeichen — ſtehende Zahl ſelbſt unendlich groß werde. Allein ſo lange dieſe Zahl eine beſtimmte Groͤße behaͤlt, iſt denn doch immer — = 1; und dies zugegeben, ſo iſt k z k222 kK 323 k AZ «4« wenigſtens a = r 1 1 2 f a † —2 :— tr., man mag dieſe Reihe fortſetzen, ſo weit man will, wofern nur die Anzahl der Glieder eine Zahl bleibt, die ſich ange⸗ ben laͤßt; und dies iſt genug, um ſowohl dieſe Reihe, als die darauf gebaueten brauchbar zu machen. 13. Fuͤr die Findung der Logarithmen groͤßerer Zahen laſſen ſich aus den fuͤr 1(1 ) und 101 — X) Abſatz 8 und 10 gefundenen Formeln mit leichter Muͤhe eben ſo bequeme Ausdruͤcke finden. Denn ſetzt man x = . Rſo erhaͤlt man daraus 1† D) = † — — † P — P 72 — z. 2 2a 323 5a* uurnnd / 2 3 4 ier-- ) = — GC 1 2 1. zai Ks fa. 1 N 13 1.) Hieraus aber fließt Hh è3 1 490 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. a Da P= 4 r - 1— . S“õl 4 atn. Ia — y= 2 ( PNr 2, 1 ) der =1 X1 Y3 WATV) (a „ 12 † 37 . N. sas und wenn man WD = 1 ſut at= a „ 2 4 † z⸗ . — 2 So lange man y nicht groͤßer als a annimmt, fließen dieſe Saͤtze aus den angefuͤhrten in groͤßter Strenge, groͤßer als a muß aber auch y nie angenommen werden, wenn die⸗ ſelben zu der Abſicht, zu welcher ſie erfunden worden, brauchbar ſeyn ſollen. 14. Ferner fließt aus icr † E P=1 =I(a † y) — la y3 „4 X — 22 33 — x. r a 2 a?2 3 4A4a 4 . 1a ²) =la 1 . — – 4 „ — X 1 2 a2 3 a3 4 a4 . und aus der fuͤr 1(1 — 2=1 — 10 — ) — 1 ge⸗ fundenen Beſtimmung 1la — y) = la — 2 12 2 ꝛc.) Dieſe Formeln ſind ſehr bequem, um darnach die Logarith⸗ men ſehr großer Zahlen zu ſinden. Denn ſo groß eine Zahl auch immer ſeyn mag, ſo laͤßt ſie ſich doch allemal in zwey Theite a – 7 theilen, ſo daß a viel groͤßer als y 17 und der Lo⸗ r 737 ) †P ꝛc.) —— — ð — eri⸗ 2 M rhei cus den gatithin IAXV. wickeln, finden, 0 ind = A— 15 d pe⸗ Mon N 11 ſiea de⸗ ,Nca pen N N en wordh⸗ ) Zuſatze zum ſiebenten Capitel. 491 Logarithme von a bekannt iſt. So iſt 369423597639425 = 369400000000000 † 23597639425, und wenn man je⸗ nen Theil a und dieſen y nennt, ſo iſt der Logarithme von a aus den Logarithmiſchen Tafeln bekannt, und um den Lo⸗ garithmen der ganzen Zahl zu finden, darf man von der fuͤr 1(a † y) gefundenen Reihe nur einige wenige Glieder ent⸗ wickeln. Sollte man den Logarithmen von 3694992345682 finden, ſo waͤre es am beſten 3694992345682 — 3695000000000 —–— 7654318 zu ſetzen, 3695000000000 = a, und y = 7654318 zu nie und dann nach der: Formel y 3 — y) = la — — † ꝛc.) zu rechnen. (àa — )) = la (3 1† 2 222 = 1 325 .) zu ch 15. Aus = Abſatz 8 folgt mif = fm — 1, und wenn man mlf = M ſetzt, ſo wird 1 † M = fm, oder (1 † M)m = f. Man ſetze 3 = p, ſo wird t= i MrrIt . ua= † M 3 . p(b — 1) ( — 2) 1 2 3 und hieraus wegen der Bedeutung von — P den⸗ p5 M5 4 M4 1.2.3 IL. 2, 3.4 f= I † pN 1 M oder, da p M = — m d)⸗ (15)32 (I15)* = 1 –1t . Hiernach kann man, wenn ein Logarithme bekannt iſt, aus demſelben die zu ihm gehoͤrige Zahl ſndenn = If 16 492 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 16. Uebrigens betreffen die bisher gefundenen Saͤtze bloß die natuͤrlichen oder hyperboliſchen Logarithmen. Will man ſie auch bey den gemeinen Logarithmen brauchen, ſo darf maon nur, wenn Logarithmen gefunden werden ſollen, die 7 an = a⸗ ſetzen kann. Geht man hiervon aus, ſo muß man, wenn pa die Baſis ſeyn ſoll, dafuͤr auch ( )5 gefundenen hyperboliſchen Logarithmen nach §. 124. der Eu⸗ leriſchen Einleitung in gemeine verwandeln, und wenn die zu einem gemeinen Logarithmen gehoͤrige Zahl gefunden werden ſoll, den gegebenen Logarithmen zuvor auf die ent⸗ gegenſtehende Art in einen hyperboliſchen verwandeln. In des Hrn. Ober⸗Baurath Schulze bereits angefuͤhrten Taſchenbuche im zweyten Hefte, welches ich hiebey ge⸗ braucht habe, findet man die mitgetheilten Regeln weit⸗ laͤuftig durch Exempel erlaͤutert. Soviel von den Logarith⸗ men, wenn die Baſis derſelben abſolute und groͤßer als 1I angenommen wird. 17. Wenn man die Baſis nicht abſolute betrachtet, ſo muß man bey der Unterſuchung der Beſchaffenheit der als⸗ dann ſich ergebenden Logarithmen das nicht aus der Acht laſſen, daß kein Logarithmiſches Syſtem zum Calcul brauch⸗ bar iſt, wofern man nicht ohne alle weitere Einſchraͤnkung nz 1 ſetzen koͤnnen, und laͤßt man nun n eine gerade Zahl bedeu⸗ ten, ſo iſt nicht nur 1 = 1 † a, ſondern auch = 1— a, und außerdem auch noch der Logarithme von n — 2 unmoͤg⸗ lichen Groͤßen. Naͤhme man — a zur Baſis an, ſo muͤßte “ — a = (— a)n geſetzt werden koͤnnen, aber auch dann wuͤrde 1, wenn man n abermals eine gerade Zahl bedeuten ließe, nicht nur der Logarithme von — a, ſondern auch der 5 Lo⸗ erthin iclchen m2 3 4 ſehmen wo (lid ann Antlch 9 12f24 2 ten kann, Logarithen daher die eine zuſe zu entgeg en, und Ehen. 18. De Dehie Duhl, ve biele logor in dande iBerin trorerſe e Wes dos u dieſer Aweiſe vo Jder 1 bezeich nbitebof 1 Mnan n, darf ſolen de derbe nden dee l gerden ouf e berwonde. Vgehrten krachtet, ſe hiW ni N R Clalbeurß ſitrindun i, ſe m u 1 vonig , 1 giße 4 u hem hlde den e⸗ Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 493 Logarithme von † a, und außerdem noch von n — 2 un⸗ moͤglichen Groͤßen. Aus dieſem Grunde habe ich S. 479. Abſatz 2 geſagt, daß es, wenn man die Baſis nicht abſolute nehmen will, gleich ſey, ob man dieſelbe poſitiv oder ne⸗ gativ annehme, und daß man hier dieſe beyden Faͤlle ei⸗ genilich gar nicht trennen ſollte. Nun ſey = a?, ſo iſt 27 f = ☚ a? = ( a) und fol glich, da f jede Zahl bedeu⸗ ten kann, 2 = 1r. = 10 – †) und außerdem zugleich der Logarithme von mehrern unmoͤglichen Groͤßen. Wenn man daher die Baſis nicht abſolute annimmt, ſondern dabey auf eine zufaͤllige Beſchaffenheit auf eine ſolche Art ſieht, als zu entgegengeſetzten Groͤßen erforderlich iſt: ſo gehoͤrt jeder Logarithme zu zwey einander entgegengeſetzten ſonſt glei⸗ chen, und außerdem noch zu einer Menge unmoͤglicher Groͤßen. 18. Da auf dieſe Art jeder Logarithme zu unendlich vie⸗ len Zahlen gehoͤet, ſo fraͤgt ſich, ob umgekehrt auch jede Zahl, wenn ſie nlcht abſolute betrachtet wird, unendlich viele Logarithmen habe? Euler behauptet dieſes im fuͤnf⸗ ten Bande der Memoires der Akademie der Wiſſenſchaften zu Berlin vom Jahr 1749, in der Abhandlung, de la con- troverſe entre Mrs. Leibnitz & Bernoulli fur les logarith- mes des nombres négatifs & imaginaires. Ich will den zu dieſer Abſicht S. 156. 157 ſtehenden Lehrſatz mit ſeinem Beweiſe von Wort zu Wort herſetzen. Lehrſatz. Jeder gegebenen dahl kommen unendlich viele Logs⸗ rithmen zu; oder: Wenn y den Logarithmen der Zahl bezeichnet, ſo hat y unendlich viel Werthe. 494 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. Beweis. Ich will mich hier bloß auf die hyperboliſchen Logarith⸗ men ein! ſchraͤnken, weil bekannter Maaßen die Logarithmen jedes andern Syſtems zu dieſen ein beſtaͤndiges Verhaͤltniß haben, und z. B. wenn der hyperboliſche Logarithme der Zahl X = y geſetzt wird, der gemeine Logarithme eben die⸗ ſer Zahl = 0,43 429 44819. y iſt. Nun beruhen die hyperboliſchen Logarithmen auf dem Satze, daß der Loga⸗ rithme von 1 † , wenn „ eine unendlich kleine Zahl iſt, =o, oder 1 (1 † “½) = « ſey. Hieraus fließt 1 (1 †ε , 1(1 † „) 3 = 34; und uͤberhaupt 1(1I † t‿n ,„. Da aber eine unendlich kleine Zahl bedeutet, ſo kann die Zahl (1 † „)u nicht anders jeder gegebenen Zahl « gleich geſetzt werden, als wenn n unendlich genommen wird. Es ſey daher n eine unendlich große Zahl, und = 1 † n, ſoiglich 1x = y = n . Um nun „ durch X qauszudrucken, 1 1 4 ſo giebt die erſte Formel 1 † = X , und = x — 1, und durch die Subſtitution dieſes Werthes erhaͤlt man aus der zweyten Formel . n y= nXx — n = Ix. 1 — Hieraus erhellet, daß ſich der Werth der Formel n= — n dem Logarithmen von X um ſo mehr naͤhert, je groͤßer man n annimmt, und daß dieſe Formel den wahren Werth des Logarithmen von ausdruckt, wenn man n unendlich groß “ † . . . . . X drey, X vier verſchiedene Werthe hat, ꝛc., ſo leidet es werden laͤßt. So wie nun ausgemacht iſt, daß x zwey, uch k⸗ Perthe Menge von Ve X uendl 19, Clerdinge gee⸗ I †* beydes ſehlerha nn mlr Allbſer ols ſthen wil, K (ndern n Mt wird, gemachte Uleit, un chenfalss hur in de bon den un wend men genommen ti Uner 11 S hris 4 der he⸗ N 4 E ee, — 9, A tn de 4 DhrK nen den. G 1= lim uszudenan 1 — „— J -, Hieu ℳ I — 1 zene er -1l eN8“ , hen zende Gelat e Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 45 es auch keinen Zweifel, daß der Ausdruck unendlich viele Werthe in ſich ſchließt. Es muß folgl lich dieſe unendliche X —— Menge der Werthe von x« auch eine unendliche Menge von Werthen fuͤr 1X geben, und alſo jede gegebene Zal h! X* unendlich viel Logarithmen haben. 19. Beym erſten Anblick ſcheint hiernach die obige Frage allerdings bejahet werden zu muͤſſen. Allein wenn (1 † πιας ſoll geſetzt werden koͤnnen, ſo muß man, da nicht nur 11 † * = „, ſondern auch (I † n = ſeyn ſoll, (und beydes muß ſtatt finden, wenn der gefuͤhrte Beweis nicht fehlerhaft ſeyn ſoll, )entweder „ bloß poſitiv nehmen, und dann wird = (1 † )n allemal eine poſitive Zahl, die groͤßer als 1 iſt, oder, wenn man auch 1(I — *) = –— „ ſetzen will, I1 — n nicht einer Zahl, die groͤßer als 1 iſt, ſondern nur einem Bruche gleich annehmen, der deſto klei⸗ ner wird, je groͤßer n iſt. Es gelten alſo die von Eulern gemachte Schluͤſſe nur in ſo fern allgemein, als „ poſitio bleibt, und X eine Zahl bedeutet, die groͤßer als 1 und alſo ebenfalls poſitiv iſt. Dies nun vorausgeſetzt, ſo iſt auch 1 I „ —,— nur in dem Falle 1 † = xX „und „»= n (X — 1,wenn 1 . , e. von den unendlich vielen Werthen, die haben wuͤrde, T — wenn man es wie († X) betrachtete, bloß der poſitive Werth genommen wird; und es hat demnach, wenn man auch J 1 ſonſt und n (X — 1) als eine unendlich vie lfor mige Sunk⸗ 496 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. . 1 „ Funktion von x betrachten kann, doch hier ſowohl x als e neg . MUUU heun jed (Xæ — 1) nicht mehr als einen Werth, und eben das gilt uf ande denn natuͤrlicher Weiſe von y = n (E — 1) = Ix, ſo daß derm alſo keine poſitive Zahl mehr als einen Logarithmen hat. 1⸗ . S X— m. 20. Um dies noch mehr zu beſtaͤtigen, ſo ſey 1 1 — 4) = K, wa — „, folglich 1 (1 — *)2 = — 2 2M; 1(1 – 2°) 3 = — 3 a; dolen, und uͤberhaupt 1 (1 — = — n u. Ferner ſey (1 — π;, s 1 1 ſoch nich ßVMk ” n. Phrde x, und alſo 1 — = 2 „ wo aber offenbar wieder von 2 7 bloß der abſolute oder poſitive Werth genommen werden nhicen d iſt „— — ͤAn — „ — los ſccher darf. Alsdann iſt »= 2 — I und 1 (1 — )n 12 = S 1 ſolchen „ Mehlege. n (2 — 1). Da nun aber 1 —« ein aͤchter, obgleich von der Einheit nur um einen unendlich kleinen Theil unter⸗ 12. G⸗ ſchiedenen Bruch iſt, ſo muß auch (1 — 1 = ein aͤchter, dn Hle und zwar um ſo kleinerer Bruch ſeyn, je groͤßer n ange⸗ ſind nem nommen wird. Man findet alſo auf dieſem Wege nichts eine Die weiter, als daß die Logarithmen der aͤchten Bruͤche negativ Johla ſe 3. MM ben, wie ſind, weil 2— 1 negativ iſt, und deſto groͤßer werden, enſehe je kleiner die Bruͤche ſind, zu welchen ſie gehoͤren. Aber unes hine daß zu jeder Zahl eine unendliche Menge von Logarithmen, Canze ode gehoͤren ſolle, davon entdeckt ſich hier auch nicht die ge⸗ Annehmne ringſte Spur. logarith hieſelbe 5 421. Eulerg rcr 68 1 Thel ums 1i icten Pien n mn Bene 1 Zuſatze zum ſiebenten Capitel. 497 21. Da alſo, wenn II † ») = „ ſoll geſetzt werden koͤnnen, „ nichts weiter als eine unendlich kleine poſitive oder negative reelle Groͤße bedeuten kann, ſo muß man, wenn jede Zahl giehr als einen Logarithmen hat, dieſelben auf andern Wegen aufzufinden ſuchen. Allein mon nehme an, daß eine Zahl X außer dem bekannten Logarithmen, der m heißen mag, noch den negatioen Logarithmen — e habe. Nennt man die Baſis a, ſo muͤßte dann, weil 1X = m iſt, X = am, und weil außerdem auch IX = — e iſt, zugleich « = a-e ſeyn; oder man muͤßte annehmen wollen, daß eine Zahl durch ihren Logarithmen und die Baſis des Syſtems, zu welchem dieſer Logarithme gehoͤrt, noch nicht voͤllig beſtimmt wuͤrde. Auf eine aͤhnliche Art wuͤrde «, wenn es außer dem Logarithmen m noch den un⸗ moͤglichen Logarithmen eV — I haͤtte, nicht bloß = am, ſondern auch = a— ſeyn, und es ſcheint demnach das ſicherſte zu ſeyn, daß man jeder poſitiven oder abſoluten Zahl nicht mehr als einen Logarthmen beylege. H 22. Eben das ergiebt ſich mit ziemlicher Gewißheit aus dem bloßen Begriffe der Logarithmen. Die Logarithmen ſind nemlich entweder Exponenten, die anzeigen, was fuͤr eine Dignitaͤt eine Zahl von einer gegebenen beſtaͤndigen Zahl a ſey, oder Verhaͤltnißzahlen, welche zu erkennen ge⸗ ben, wie eine Zahl « aus einer gegebenen beſtaͤndigen Zahl a entſtehe, im Grunde aber laufen beyde Vorſtellungen auf eines hinaus. Nun ſey « = am, ſo daß m irgend eine ganze oder gebrochene, poſitive oder negative Zahl bedeute. Annehmen, daß eine und dieſelbe Zahl X unendlich viele Logarithmen habe, heißt daher behaupten, daß eine und dieſelbe Zahl = am auch gefunden werden koͤnne, wenn Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. l. B. Ji man 498 Zuſße zum ſiebenten Capitel. man dieſelbe aus a nach der Formel a-e oder a ſucht, und wer kann das behaupten? 23. Aber es hat ja Euler in der Abſatz 18. angefuͤhrten Abhandlung die unendlich vielen Logarithmen, die eine jede poſitive Zahl hat, S. 158 — 161 in einer ohne Ende fort⸗ laufenden Reihe einzeln dargelegt? Die Quelle, woraus . n . — tete Satz, 7=it= n* — 1), verbunden mit dem, 1I 1IA = II † 1A. Nun kann man zwar in „= n (Q¶ — 1) nur unter der Bedingung « = I ſetzen, daß, ſo wie in RR n , = n (Xx — 1) der Ausdruck X nicht mehr als einen Werth 1 1 W haben kann, ſo auch 1 in n (1 *— 1) nicht mehr als den Werth I habe. Allein da Euler das Folgende eigentlich 1I — aus dem aus „= II =E n (I — 1) fließenden Satze (1 † D = 1 herleitet, ſo darf man ſich bey der Beur⸗ theilung ſeiner Reſultate nicht darauf berufen, ſondern muß ſich lediglich an den Satz (1 † ) 1 halten. Dieſer Setz fann nun durchaus nicht beſtehen, wofern nicht y»= o g ſetzt wird Denn man nehme y außerdem an, wie man wil, ſo wird (rI † V — 1I we= Griße. hach ge ſt doch ls da⸗ 0, 1 noch e ſen V derſores man al ſs nich noch nich den ogan Weigſten Die Ve⸗ hier mic vorgehre y = 2 A7 V — 1 ſeyn, wenn dabey (1 † )) Zuſaͤtze zum ſi⸗ ebenten Capitel. 499 n0n — 1) 12 I 2 nz t D'=rt n. X † 2— DIn 2) † 3, n 32 1* 2 1 T r 1TY 1.2.3 1† 12. 54 E. nie = I, und am allerwenigſten, wenn y einer unmoͤglichen Groͤße gleich geſetzt wird. Wenn man daher gleich ferner nach ganz richtigen Regeln „ = — 222 V — 1 findet; ſo iſt doch in dieſer Formel X noch nicht weiter beſtimmt, als daß man dafuͤr, uͤberhaupt genommen, alle Zahlen o, 1, 2, 3, 4, 5/ 5, ꝛ.. ſetzen koͤnne, und man muß alſo noch erſt anderweitig woher beſtimmen, wie viel von die⸗ ſen Werthen à wirklich bekommen muͤſſe. Nun kann nur I ci & I1 . ) = 1 1 wird; und da dies bloß ſtatt fin⸗ det, wenn à = o iſt, ſo findet man durch das Euleriſche Verfahren eigentlich nichts weiter, als was ſonſt ſchon all⸗ gemein bekannt iſt, daß 11 = o iſt. 24. Da ich hier allgemein angenommenen Saͤtzen wi⸗ derſprechen muß, ſo wird es mir ſehr angenehm ſeyn, wenn man alles das, was ich uͤber die Logarithmen, deren Ba⸗ ſis nicht abſolute angenommen worden iſt, geſagt habe, bloß als einen Verſuch anſehen will, die, bisher denn doch noch nicht von allen Schwierigkeiten befreyte, Theorie von den Logarithmen durch einige genauere Unterſcheidungen wenigſtens von einigen dieſer Schwierigkeiten zu befreyen. Die Vortheile, die daher entſpringen koͤnnen, brauche ich hier nicht aufzuzaͤhlen. Sind die Behauptungen, die ich vorgebracht habe, wahr, ſo wierd ſich ihr Nutzen in der Ji 2 Folge 500 Zuſatze zum ſiebenten Capitel. Folge von ſelbſt ſinden; und habe ich mich geirret, ſo iſt mein Naͤme von zu geringer * edeutung, als daß ich durch auf⸗ richtige Vorlegung meiner Irrthuͤmer irgend jemand zu ver⸗ fuͤhren befuͤrchten ſollte. Ich will alſo noch eins und das andere, was mir nicht unwichtig ſcheint, hinzufuͤgen. 1 25. Euler betrachtet die Formel y = Ix = n (X — 1) als eine allgemein guͤltige Formel, ſelbſt, wenn x negative genommen wied, und leitet daraus in der ſchon oͤfters an⸗ gefuͤhrten Abhandlung S. 161. 162. den Satz her, daß die Logarithmen jeder negativen Zahl lauter imaginaͤre Groͤßen ſind. Nun ſoll ſich doch nach dem, was Abſatz 18 aus die⸗ ſer Abhandlung mitgetheilt worden iſt, der Werth der For⸗ 1I mel n (« — 1) dem Logarithmen von X um ſo mehr naͤ⸗c hern, je groͤßer man n annimmt, und dieſe Formel den wahren Werth von genau ausdruͤcken, wenn man n un. endlich groß werden laͤßt. Man ſetze alſo fuͤr X irgend eine negative Zahl, und fuͤr n nach und nach immer groͤßere po⸗ r ſitive aber ungerade Zahlen. Alsdann findet man fuͤr “ außer den unmoͤglichen Werthen auch allemal einen reellen negativen Werth, und es ſollte folglich hiernach jede nega⸗ tive Zahl außer den imaginaͤren auch einen reellen und zwar negativen Logarithmen haben, der, mit dem Logarith⸗ men der gleich großen poſitiven Zahl verglichen, groͤßer ſeyn wuͤrde. Ferner ſetze man fuͤr n nach und nach immer groͤ⸗ bere poſitive aber gerade Zahlen, und laſſe X poſitiv ſeyn. 1 — Alsdann hat 5 zwey einander entgegengeſetzte ſonſt gleiche Werthe, Perthe. einen de ſhieden en laſ 256. mehr 4 in den ſch ſolch Rohan Miſchen ſhich Uumgic iitwee n xeG Reas an⸗ er, MNe ire Grlhen de ah dae⸗ ſ nie ni⸗ nd N . in in No 4 Gere 1 Ve nᷓ ? 5 de o, tene AN Ulugntt Zuſa aͤze zum ſ. ſ ebenten Capitel. 501 Z Werthe, und es muͤßte demnach »„= 15 = n(X — 1) einen doppelten, ſowohl den Zeichen als der Groͤße nach ver⸗ ſchiedenen, Werth haben. Die Folgen, die ſich hieraus zie⸗ hen laſſen, habe ich nicht noͤthig herzuſetzen. 26. Angenommen nun daß zu jeder poſitiven Zahl nicht mehr als ein Logarithme gehoͤre, denn weiter reichen die in dem Vorhergehenden gefuͤhrten Beweiſe nicht: ſo laͤßt ſich ſolches auch leicht von den negativen und unmoͤglichen Zahlen darthun. Iſt nemlich a die Baſis eines Logarith⸗ miſchen Syſtems, ſo iſt jede negative und einfach unmoͤg⸗ N liche Zahl mit in dem Ausdrucke (2a) enthalten, und folglich ihr Logarithme . Sollte nun dieſe negative oder unmoͤgliche Zahl auch noch einen andern Logarithmen . der von — wirklich verſchiedene wäre, haben, ſo muͤßten m. ſ0 — a) = S a) einen Werth mit einander gemein ha⸗ ben, und wenn man dieſen Werth = r ſetzte, ſo muͤßte . . — . . mn P ””M ferner, da man fuͤr die Bruͤche und zwey andere von gleichen Zaͤhlern und ungleichen Nennern z. B. R und „ S 8 L nehmen koͤnnte, 1 = r werden koͤnnen, welches un⸗ moͤglich iſt. 27. Wenn man alſo die Baſis eines Logarithmi⸗ ſchen Syſtems, und folglich auch alle Zahlen abſolute Ji 3 nimmt, 502 Zuſuͤtze zum ſiebenten Capitel. nimmt, ſo kann man ohne alle Einſchraͤnkung behaupten, daß zu jeder Zahl nicht mehr als ein Logarithme, und zu jedem Logarithmen nicht mehr als eine Zahl gehoͤre, und dann auch N W allemal mit vollem Rechte am = a ſetzen. In dieſem Falle haben alſo nicht nur gleiche Groͤßen gleiche Logarith⸗ men, ſondern es gehoͤren auch allemal zu gleichen Logarith⸗ men gleiche Groͤßen, und fuͤr dieſen Fall iſt daher auch die Lehre von den Logarithmen von allen Schwierigkeiten frey. Nimmt man die Baſis nicht abſolute, ſo ſinden allerdings bey dem Gebrauche der Logarithmen mancherley Schwie⸗ rigkeiten ſtatt, wofern man nicht alle bey der Rechnung ſich ergebende der Baſis entgegenſtehende und unmoͤgliche Werthe ausſchließt, und zugleich die Baſis bloß poſitiv an⸗ nimmt; ſobald man indeß dies thut, ſo hat auch hier jede po⸗ ſitive Zahl nicht mehr als einen Logarithmen, und jeder Lo⸗ garithme nicht mehr als eine poſitive Zaht, zu weicher er gehoͤrt, und man kann alsdann ebenfalls mit vollkommener Sicherheit von der Gleichheit zweyer Groͤßen auf die Gleich⸗ heit ihrer Logarithmen, und von der Gleichheit zweyer Lo⸗ garithmen auf die Gieichheit der zu ihnen gehoͤrenden nm Groͤßen ſchließen, und ſo auch jedesmal a für am ſetzen. Da ſich nun unter dieſer Einſchraͤnkung die poſitiven Zah⸗ len von den abſoluten, die mit ihnen einerley Logarithmen haben, in Anſehung der Groͤße gar nicht unterſcheiden, ſo iſt das ohnſtreitig der Grund geweſen, warum man es in der Lehre von den Logarithmen fuͤr uͤberfluͤſſig gehalten hat, einen Unterſchied zwiſchen der abſoluten und poſitiven Ba⸗ ſis, und den abſoluten und poſitiven Zahlen zu machen. 9 ſthra lr abſol eer keine Zahl d Zeichen der Zal mon de Groͤßen⸗ ſheer Te dhne e gur n unter macht den G ſruiren, neigen Richen Kachion zu den de zu ſlche⸗ 19. ſind ſe Nu el oden und ni⸗ chtet Reganid tien oder n garith hentnd ſehe Amman e NWe Her auch li⸗ . futn ſe. 8 MoeNned Aodn orlen Techerie⸗ trleg chen⸗ hier ußs nd ieNet welcher er udieGeit⸗ wenerte Ghinnren peftin lunihnen ſtiden, ſ mmn ei n helen l riton dr nncn Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitell. 503 28. Bey der im vorhergehenden Abſatze feſtgeſetzten Einſchränkung iſt indeß eine poſitive Zahl im Grunde mit der abſoluten einerley, und das Zeichen † bey ihr hat wei⸗ ter keine Bedeutung, als wenn vor ihr noch eine andere Zahl vorhergeht, und t folglich entweder eigentlich das Zeichen der Addition, oder es ſteht ſo, daß es dem Begriffe der Zahl nicht die mindeſte Beſtimmung zuſetzt. So lange man daher mit bloßen Zahlen zu thun hat, oder bey den Groͤßen, die man unterſucht, einzig und allein auf die Menge ihrer Theile ſieht, ſo lange kann man auch die Logarithmen ohne alle Schwierigkeit gebrauchen, wenn man dieſelben nur nach einer abſoluten und nach einer poſitiven Baſis unter der vorhin gedachten Einſchraͤnkung ſich bekannt ge⸗ macht hat. Aber wenn man die Groͤßen, welche man bey dem Gebrauche der Logarithmen findet, geometriſch con⸗ ſtruiren, oder die Lehrſaͤtze von den Logarithmen bey allge⸗ meinen Unterſuchungen gebrauchen will, wo man ſich die Zeichen † und — nicht als Zeichen der Addition und Sub⸗ traction, ſondern als Zeichen des Poſitiven und Negativen zu denken hat: ſo werden die Saͤtze von den Logarithmen, die zu einer nicht abſolute genommenen Baſis gehoͤren, ſchlechterdings unentbehrlich. 29. Um dieſe Saͤtze nochmals kurz zu wiederholen, ſo ſind ſie folgende. D Zu jeder Groͤße, ſie mag nun poſitiv oder negativ, re⸗ ell oder imaginaͤr ſeyn, gehoͤrt ein moͤglicher Logarithme und nicht mehrere, und wenn die Baſis, abſolute be⸗ trachtet, groͤßer als 1 iſt, ſo gehoͤrt zu jeder poſitiven oder negativen ganzen Zahl, und zu jedem poſitiven oder nega⸗ tiven unächten Bruche ein poſitiver, zu jedem poſitiven oder negativen aͤchten Bruche hingegen ein negatider Lo⸗ garithme. H ”MVM Jis Ferner: 5 504 Zuſaͤe zum ſiebenten Capitel. Ferner: Zu jedem Logarithmen gehoͤren nicht nur zwey einander entgegengeſetzte ſonſt gleiche Zahlen, zu jedem poſitiven Logarithmen nemlich ganze Zahlen oder unaͤchte Bruͤche, und zu jedem negativen Logarithmen aͤchte Bruͤche, ſondern es iſt derſelbe auf erdem guch noch der Logarithme einer Menge unmoͤglicher Groͤßen, nemlich aller derer, die mit den reellen Zahlen, zu welchen er gehoͤrt, auf einer⸗ ley Art aus der poſitiven oder negativen Baſis hervorge⸗ bracht werden koͤnnen. Drittens gehoͤren zwar, wenn die Baſis nicht abſolute betrachtet wird, zu jeden zwey gleichen Groͤßen gleiche Lo⸗ garithmen, aber da jeder Logarithme zu mehr als einer Groͤße gehoͤret ſo laͤßt ſich nicht umgekehrt von der Glei ch⸗ h it zweyer Logarithmen auf die Gleichheit jeder zweyer einzelnen zu ihnen ge hoͤrigen Groͤßen ſchl ießen, ſondern es iſt nur immer eine von den Groͤßen, die zu dem einen Lo⸗ garithmen gehoͤren, einer von den Eroͤßen des andern Lo⸗ garitt jmen gleich. Endlich iſt der Logarithme jeder voſitiven oder ne⸗ gativen Groͤße bey einer nicht abſolute betrachteten Baſis kein anderer als der Logarithme der mit ihnen gleich großen abſoluten Zahl, die aus der gleich großen abſoluten Baſis auf eben die Art gefunden werden kann. Mit andern Wor⸗ ten: Iſt der Logarithme von t bey der abſoluten Baſis a gleich m, ſo iſt auch m der Logarithme von † f und — f, bey der Baſis a, wenn dieſelbe nicht abſolute genommen wird. 30. Die bisher betrachteten dogarithmen waren insge⸗ ſammt reell, ſelbſt wenn ſie zu unmoͤglichen Groͤßen gehoͤr⸗ ten. Ob nun gleich, wenn man die Baſis nicht abſolute betrachtet, jede reelle oder moͤgliche Groͤße auch einen reel⸗ len kogarithmen und nicht mehrere hat, und außerdem auch —⸗ die eul n s Genfalls n ſowoh Nruc V. en gehs ein kogar Vaſis wi⸗ lechaet 31. men be wird, bemn ſoſche au Pitel bewe ſin.nz-= n pe⸗ en de mnih debe Een de Whre her jeder zvene „ſtdern 6 n enen e ondern e⸗ N W. , 4 on deſt evenmmen Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 505 die reellen Logarithmen zu imaginaͤren Groͤßen gehoͤren: ſo giebt es doch auch imaginaͤre Groͤßen, deren Logarithmen . n ebenfalls imaginaͤr ſind. So iſt la = Vm, und da m ſowohl voſitio als negatio ſeyn kann, ſo enthaͤlt der Aus⸗ druck . m allerdings unmoͤgliche Werthe. Genau erwo⸗ gen gehoͤrt aber auch hier zu jeder Groͤße nicht mehr als ein Logarithme, obgleich zu jedem Logarithmen, ſobald die Baſis nicht abſolute betrachtet wird, mehrere Groͤßen ge⸗ rechnet werden muͤſſen. 31. Was die Rothwendigkeit der Theorie der Cogarith⸗ men betrifft, wenn die Baſis nicht abſolute angenommen wird, ſo will ich hier daruͤber nur etwas weniges ſagen, inbem ſich in der Folge oͤfters Gelegenheit zeigen wird, ſolche außer allen Zweifel zu ſetzen. Im vierzehnten Ca⸗ pitel beweiſet Luler, §. 240., daß . . „2 ſin. nz= 2 n-Iſin. z. ſin. — 2). ſin. (. † 2). ſin. (— — 2). SS n— n n . 32 7„ 3 Zò ſin. — 2). ſin — 0). ſin. (2 — 2) ꝛc. ſey, wenn man jedesmal ſo viel Faktoren nimmt als n Ein⸗ heiten hat, und ſetzt darauf §. 241. hinzu, daß dieſer Aus⸗ druck ſehr bequem ſey, um darnach die Logarithmen der Si⸗ nus vielfacher Winkel zu finden. Es muß alſo auch Iün. nz = (n — 1) I2 än. 2 fin. (—. — 2) Tl fin. ( 2) † 2* 37 Iſin. — ) Iin. ( † 2) † ſin. — 2) 1ſn. †z2) 2. ſeyn, wenn man ſo viel Logarithmen der Sinus nimmt, als n Einheiten hat. Hier kann nun? ſehr leicht ſo ange⸗ nommen werden, daß unter den Faktoren, wodurch ſin. nz Ji 5 be⸗ „ 506 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. beſtimmt wird, mehrere negativ werden, ohne daß des⸗ wegen die hergeſetzten Behauptungen aufgehoben wuͤrden. Dergleichen Faͤlle machen nicht die mindeſte Schwierigkeit, wenn man hier Logarithmen braucht, die zu einer nicht abſoluten Baſis gehoͤren, und auch ſelbſt dann, wenn man aus der letzten Formel durch die Differentiation andere Formeln ableitet. Braucht man hingegen bloß ſolche Loga⸗ rithmen, die zu einer abſoluten Baſis gehoͤren, ſo muß man zum wenigſten zuvor mit der gegebenen Formel in Anſehung der Zeichen ihrer Faktoren eine ſolche Veraͤnderung vor⸗ nehmen, daß man alle dieſe Faktoren als poſitiv betrach⸗ ten kann. 32. Ferner findet man, wenn man Logarithmen braucht, die zu einer abſoluten Baſis gehoͤren, aus jedem gegebenen Logarithmen und der Baſis nicht mehr als eine zugehoͤrige Groͤße. Wendet man daher Formeln, bey welchen derglei⸗ chen Logarithmen zum Grunde liegen, auf ſolche Faͤlle an, wo die Baſis nicht abſolute gedacht werden kann, ſo findet man darnach, wenn man aus den Logarithmen auf die zu ihnen gehoͤrigen Groͤßen ſchließen will, nicht alle Groͤßen, von denen doch auf andern Wegen gezeigt werden kann, daß ſie der Aufgabe ein Genuͤge thun. So ergiebt ſich, wenn man die Formel fuͤr die Logarithmiſche Linie an = y arithmetiſch behandelt, zu jedem nicht mehr als ein y, und doch laͤßt ſich auf andere Art zeigen, daß zu jedem ein poſitives und ein negatives „ gehoͤre, und daß alſo auch eigentlich a?ð = –.„ geſetzt werden muͤſſe, welches ſich auch findet, wenn man ein Logarithmiſches Syſtem zum Grunde legt, deſſen Baſis nicht abſolute genommen iſt. 33 Wenn man von den Groͤßen, die zu einem Loga⸗ rithmen gehoͤren, nicht nur alle unmoͤglichen, ſondern ſelbſt die negativen ausſchließt, ſo iſt das im Grunde eben ſo viel, als KHolne s gen , ,eben 6rung Reſultate Abſoluten Foll den Verveth kbunte, d R hoch wel ten Zah nenn ſen S. ℳ u helſtehe tungen zu ſorſchen, Gedße i werden werde. Gngeſehen NMeonder lic dig Erponer hraucht 4 —, ‚— R Hn. N ſolches rigen n i le derpirhen tninget, inn ſc n, dunnen intien de Pſahee onus ne Anſcheng Rrngee hiun bernq⸗ nendeer en gegednn 1 ugehee cen deege⸗ de File l, n, ſ Wet en o Me kole behhen eeden unn ncn ſ, Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 507 als ob man Logarithmen gebraucht, die zu einer abſoluten Baſis gehoͤren, und alle Groͤßen, mit welchen man zu thun hat, ebenfalls bloß abſolute betrachtet. Dies kann zur Er⸗ klaͤrung des Umſtandes dienen, daß in dieſem Falle die Reſultate gleich ſind, man mag das Poſitive von dem Abſoluten unterſcheiden oder nicht, denn man hat in dieſem Fall den Einfluß, den die Setzung des Zeichens † oder die Verwechſelung des Poſitiven mit den Abſoluten haben koͤnnte, durch die gedachte Einſchraͤnkung aufgehoben. 34 Zum Schluſſe will ich noch die Methode herſetzen, nach welcher Hr. Prof. Buͤrja die Logarithmen der abſolu⸗ ten Zahlen berechnen lehrt. Man findet dieſelbe in ſei⸗ nem ſelbſtlernenden Algebriſten, Berlin und Libau 1786. S. 164 f. Um aber die daſelbſt §. 12. ſtehende Au iſge de be zu verſtehen, muß man die S. 153. §. 2. gegebenen Er klaͤ⸗ rungen zu Huͤlfe nehmen. Groͤßen exponenziren heißt er⸗ forſchen, die wievielte Potenz eine Groͤße von einer andern Groͤße iſt, oder zur wievielten Potenz eine Groͤße erhoben werden muß, daß ſie einer andern gegebenen Groͤße gleich werde. Die eine gegebene Groͤße wird alſo als Wurzel angeſehen, und ſoll hier eigentlich Baſis genannt werden; die andere wird als Potenz betrachtet, und ſoll hier eigent⸗ lich Dignitaͤt genannt werden. Was herauskoͤmmt iſt der Exponent, oder eigentlich der Logarithmus. Außerdem braucht man noch dazu folgende Bezeichnung: , welches bedeutet, a durch b exponenziret. b 35. So wie ich die angeführten Erklaͤrungen mit des Hrn. Prof. Buͤrja's Worten mitgetheilt habe, ſo will ich ſolches auch mit der . 12. vorkommenden und hieher gehoͤ⸗ rigen Aufgabe thun. Sie iſt fol gende. Auf⸗ SSSHõ 508 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. Aufgab e. Eine beſtimmte Zahl durch eine ekimmme Zahl ex⸗ ponenziren. Vorbereitung. Es ſey die Baſis a, und der koga⸗ rithmus einer Zahl n ſey = 23; 645, wo die drey letzten Zifern Deeimalbruͤche vorſtellen. So folget daraus a 23; 645 =– n “ 4. . oder a20 F 3 1†8 +– 68 4— 1868 =— n 5 4 oder az0o a3 af6 afe aTOd = n . 6 (a1 c)2. (a?) 3. (a? 8) . (args) . 6 (av886) = n. Wey die Wurzel 2 gegeben iſt, ſo koͤnnen die Potenzen — — a10, aI, ar5, a 35, arS68, als bekannt angenommen werden. Wenn man die Groͤße ao nach und nach zu ihren Po⸗ tenzen erhebet, ſo wird man finden, daß (ax o)2 der Zahln am naͤchſten kommen muß. Waͤre alſo der Exponent 2 unbekannt, ſo wuͤrde man ihn finden, indem man nur beobachtete, welche Potenz von a1ο der Zahl n am naͤch⸗ ſten koͤmmt. Nun didvidire ich die ganze Gleichung beyderſeits durch (a 1 0)2, und ſetze n: (a1 o0)2 = n; ſo koͤmmt , (a 1) 3 . (a? ) (a ? 06) (aTOOS) = n. Wenn ich die Groͤße ar oder a nach und nach zu ihren Potenzen erhebe, ſo muß ich finden, daß (a X1) 3 der Zahl'n am naͤchſten koͤmmt. Folglich wuͤrde ich auf dieſe Art den Exponenten 3 entdecken, wenn er unbekannt waͤre. Ich divid diee⸗ vorige Gleichung durch Gr)s, und ſetze n: (a?) 3 = n; ſo koͤmmt (a dieſer Pinn i en erhe ann nuch Nun leſeichne Na Und nae bekannt horithnn liten Ga laſen. DRe 4 4l, 41 nen. Er 1 ſe f. h (1100 2 uf . Of), utzen ho Nebenerp Aufls⸗ haben, ſtimnten Man henpoten myenonnen hen ⸗ Nn Epvenen: — tich h n ihen i Zuſuͤtze zum ſiebenten Capitel. 509, 2 6 S aS5S . (a? ) . (a GG) . (a? 086) = n. I Wenn ich die Groͤße ars nach und nach zu ihren Poten⸗ . 1 6 M zen erhebe, ſo wird ſich ſinden, daß (a?5) der Zahl n am naͤchſten koͤmmt. Folglich koͤnnte der Exponent 6 auf dieſer Art entdecket werden. vI 6 Nun dividire man die Gleichung durch (a ?S) , und bezeichne n: Gro, „urch n, ſo koͤmmt (2738)“ (a7ĩ S868) . — . Man kann auf die nemliche Art fortfahren, und nach und nach die Exponenten 4 und § erforſchen, wenn ſie un⸗ bekannt ſind. Alſo erhaͤlt man zuletzt alle Ziffern des Lo⸗ garithmus 23; 645. Uebrigens iſt es klar daß die nem⸗ lichen Schluͤſſe ſich auf einen jeden Logarithmus anwenden laſſen. Der Kuͤrze wegen, wollen wir ſolche Groͤßen a a100ο, a 1I, a 75, a7 88, u. ſ. f. Hauptpotenzen von a nen⸗ nen. Erhebet man dieſe wiederum zur iſten, 2ten, 3ten, u. ſ. f. bis zur gten Potenz, ſo bekoͤmmt man (a1 0αω1, (a1 00)2, (àa 1 00) 3, u. ſ. f. Gro):, (ar o)a, (a 1 0) 3, u. u. f. an)ꝛ, CAr)a, (a1)3, u. ſ. f. (ar5), (ars), (ar 5) „ u. ſ. f. Dieſe Groͤßen wollen wir Nebenpo⸗ tenzen von a nennen, und ihre neuen Erponenten ſollen Nebenexponenten ſeyn. Aufloͤſung. Die Schluͤſſe, welche wir jetzt gemacht haben, fuͤhren auf folgende Regel zur Erforſchung der be⸗ ſtimmten Exponenten. Man ſuche erſtlich die Hauptpotenz und dann die Ne⸗ benpotenz der Baſis, welche der gegevenen Dignitat am naͤch⸗ 510 Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. naͤchſten kommen. Hierauf dividire man die gegebene Dignitaͤt durch die gefundene Potenz. Man nehme die Hauptpotenz, welche naͤchſt kleiner iſt, als die vorher gebrauchte. Man ſuche die Nebenpotenz, welche dem gefundenen Quotienten am naͤchſten koͤmmt. Man dividire den Quotienten durch die gefundene Potenz. Man wiederhole dieſes Verfahren, ſo oft man es fuͤr noͤthig halten wird. Man ſchreibe die Rebenexponenten nach einander auf, ſo wie man ſie entdecket. Sie ſind nichts anders, als die Zifern des geſuchten Logarithmus. Man ſetze das Dezimalzeichen vor die Zifer, die aus dem Hauptexponenten 5 entſtanden iſt. Exempel. Es wird verlanget 8765 102325977 2 2 das iſt, man will wiſſen, zur wievielten Potenz 2 erhoben werden muß, daß die obere Zahl herauskomme. Man ſuche erſtlich die Hauptpotenzen von 2. 2710% = 1024 21 =— 2 21,0 — I O7I . 2766 =— 1; 00695 4 21009 =— 1I; Oo0O069 „ 20. . Die gebrochenen Potenzen 276, 2785, 27665 fann man ſinden, indem man wechſelsweiſe die zweyte und fuͤnfte Wur⸗ 3 —, 275, Ferner zel ausziehet. Denn V V2 = (22) 1 INI 1 1— V V215 = (2 15 = (27 ITOT. — 155 u. ſ. f. Die Nebenpotenzen ſindet man, wenn man jede Hauptpo⸗ tenz — —— 0* erig Ktt, n Cuo; 1. Nwer hebet, ur durch die Die Ma durch a10 1.f. Nr MoN Amd weſen,74 der durch eniſin le gegtene Khen it WE W n, cſn ten Kmnt. ⸗ 1 nen e inanber a Gdie . Nr, Me m1 efoten r. IN AN⸗ Zuſaͤtze zum ſiebenten Capitel. 511 tenz einigemal mit ſich ſelbſt multipliziret Dieſes voraus⸗ geſetzt, wird die Operation alſo zu ſtehen kommen. Dignitaͤt. WBaſis.] Logarith⸗ mus. 8765102 325977 2 22; 994 „ . Div. 1099511627776 = (210)4 Quoz. 7; 97181 Div. 4. = (21)2 Quoz. 1; 99295 . Div. 1;86608 = (278) Quoz. 1; 06799 . Div. 1;064 10 = (2708 O Quoz. 1500337 4 Div. 1:00 ́79 = (2 000) Quoz. 1, 00058 ꝛc. ꝛc. Anmerkung. Anſtatt daß man die Hauptpotenz er⸗ hebet, um den Nebenexponenten zu finden, kann man auch durch die Hauptpotenz ſo viel mal als moͤglich dividiren. Die Agzahl der Diviſionen giebt den Rebenepponenten. Z. E. Wenn man gleich anfaͤnglich die gegebene Dignitaͤt durch 210 oder 1024, den Quotienten wieder durch 1024, u. ſ. f. dioidiret haͤtte, ſo wuͤrde man gefunden haben, daß mon Amal dividiren kann, und der letzte Quotient waͤre ge⸗ weſen 7; 9218I. Man nehme aaaac ſo kann ich entwe⸗ der durch a4 oder 4mal durch a dioidiren, der letzte Quo⸗ tient iſt in beoden Faͤllen c. VIII. VIII. Zuſaͤtze zum achten Capitel. ſche A. Inhalt dieſes Capite,„,Vs. 4 , Von den tranſcendenten Groͤßen, die aus dem Kreiſe entſpringen. 1. Vorlaͤufig, § 126 — 131. a. Anzeige des Zuſammenhangs dieſes Capitels mit dem vorhergehenden, und der Bedeutung des Buchſta⸗ bens in der nun folgenden Unterſuchung, §. 126. b. Verſchiedene aus den Anfangsgruͤnden der ebenen Trigonometrie entlehnte, nebſt andern aus ihnen ab⸗ 43 geleiteten Formeln, § 127 — 131. 2 . Die aus den Anfangsgruͤnden der ebenen Trigono⸗ metrie entlehnte Formeln, §. 127. 128. d, M 8. .Benutzung derſelben durch verſchiedene mit ihnen vorgenommene Combinationen zur Erfindung an⸗ ni⸗ derer Formeln, §. 128 — 131. , aa. ſolcher, nach welchen der Sinus und Coſinus ”ÿM eines Winkels mit dem Coſinus und Sinus eines „ andern Winkels verwechſelt werden kann, §. 128. Veryl pb. ſolcher, wodurch die Sinus und Coſinus dere (Eeiie Winkel beſtimmt werden, die in einer arithme⸗ die tiſchen Progreſſion fortſchreiten, §. 129. ecc. ſolcher, wodurch der Sinus und Coſ ſinus eines Winkels aus dem Coſinus des doppelt ſo großen ““ Winkels gegeben wird, §. 130, nebſt einigen “ andern, Euler 8ihren o⸗ nen A one , mit ihten dod Zuſatze zum achten Capitel. 513 andern, in welchen die trigonometriſchen Linien zweyer Winkel mit den trigonometriſchen Linien der Haͤlften ihrer Summe und ihrer Differenz mit einander verglichen werden, §. 131. 2. Entwickelung der trigonometriſchen Linien durch unend⸗ liche Reihen, in welchen dieſe Linien mit den Bogen, zu welchen ſie gehoͤren, verglichen werden, §. 132 — 137. a. dieſe Reihen ſelbſt, F. 132 — 135. ℳ„ Reihen fuͤr die Sinus und Coſinus, §. 132 –— 134. aa. Reihen, in welchen die Sinus und Coſinus ſol⸗ cher Winkel, die Vielfache eines andern Winkels ſind, mit den Sinus und Coſinus des einfachen Winkels verglichen werden, 9. 132. 133. bb. hieraus fließende Reihen, in welchen die Sinus und Coſinus aus den Bogen, zu welchen ſie gehoͤ⸗ ren, beſtimmt werden, §. 134. 2. Reihen, in welchen die Tangenten und Cotangen⸗ ten mit den Bogen, zu welchen ſie gehoͤren, ver⸗ glichen werden, §. 135. b. Anleitung zum vortheilhaften G Gebrauche der gedach⸗ ten Reihen zur Erfindung der trigonometriſchen Li⸗ nien aller Bogen oder Winkel, §. 136. 137, nemlich «. der Sinus und Coſinus, §. 136. g. der Tangenten und Cotangenten, §. 137. „. der Secanten und Coſecanten, §. 137. 3. Weenelchund der Kreisgroͤßen mit den Exponential⸗ Groͤßen und den Logarithmen. §. 138 — 142. a. dieſe Vergleichung ſelbſt, §. 138. 139. a. Formeln, wonach die unmoͤglichen Exponential⸗ Groͤ⸗ ßen auf Sinus und Coſinus reeller Bogen, §. 138. 8. Formel, wonach die unmoͤglichen Logarithmen auf Kreisbogen reducirt werden koͤnnen, §. 139. Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. I. D. Kk 51r14 Zuſatze zum achten Capitel. b. Benutzung der gefundenen Formel zur Erfindung einer andern die Beſtimmung eines Kreisbogens aus ſeiner Tangente betreffenden, §. 140. ℳ. Formel, welche dieſe Beſtimmung enthaͤlt, . 1I40. 8. Gebrauch dieſer Formel zur Erfindung des Ver⸗ haͤltniſſes des halben Umfanges eines Kreiſes zum Radius, §. 141. 142. aa. Um dieſes Verhaͤltniß darnach unmittelbar zu be⸗ ſtimmen, §. 141. bb. um ſolches nach einer andern daraus abgeleite⸗ ten zu eben dieſer Abſicht noch bequemern dor⸗ mel zu finden, §. 142. B. Zuſatz zu H. 133Z. I. Daß „ (coſ. 2 + V – I. ſin. 2) n = coſ. n z + V = I. ſin. n 2 ſey, fließt aus dem von Eulern gefuͤhrten Beweiſe bloß fuͤr den Fall, wenn n eine ganze poſitive Zahl iſt. Da indeß, wenn n eine ganze poſitive Zahl bleibt, auch (coſ. 2 £ V — I. ſin. 2) 2n = coſ. 2 n 3z + V. — I. ſin. 2 nz ſeyn muß, ſo bekommtiman, wenn man jene Formel durch dieſe dividirt, (coſ. 2 ¼ V — I. ſin. Z)n 01 nz V-— I. ſin. nz (coſ. 2 V. — 1. ſin. 2) 2n coſ. anz . V=1. ſin. 2nz oder (coſ. 2z ½ V— I. ſin. 2) 2n = coſ. — n z £ — I. ſin. — n z. Denn einmal iſt coſ. n 2 = coi. — nz, und ſin. –— n z = — ſin. nz, und folglich E V — I. ſin. — n 2 = S I. ſin. nz. Ferner iſt coſ. nz — V. — I. ſin. n z. — — * (eol. anz —. ſin. 2 nz) (coſ. n z + V — I. ſin. n 2) “ wel⸗ 3 (ooſ. ſen nicht ſondern a Rkhonde bon n 9 poſitiden feſigeſt ng ater guls ſeiner e . aß, . ng de Ne Keſsor tlhart⸗ bete Wyck e .I, ln. a. ſe e —,M rnel ug 1. Dh. 01 — . ſin 1 —, UIA! - — III. 1 1.— 1- 2711 Zuſaͤtze zum achten Capitel. 515 welches zu finden man nur wirklich multipliciren, und das Produkt nach Formel 1. 2. 3. und 4 des 130ſten §. veraͤn⸗ dern darf. Folglich iſt anch (col. n⸗ = un. n = = coſ nz* V — I. ſin. nz col. 2 n 2 T. V — I. ſin. 2 n z und da nun coſ. n z = coſ. — nz, und V — I. ſin. n z = — V=– I. ſin. — nz iſt, ſo iſt hieraus coſ. nz V —– I. ſin. nz coſ. 2 nz V — 1I. ſin. 2 n z coſ. — nz V-= I. ſin. — nz = (coſ. nz V -— I. ſin. nz) èn 2. Vernetr iſt, wenn auch P eine ganze Zahl bedeutet (coſ. „ V— I. ſin. 1 2) = coſ.2 — V — I. ſin. 2 und alſo coſ. 2V — I. nk die pte Wurzel aus coſ. 2 +£+ V — I. ſin. z, oder 1 cof. 2 + .— I. ſin. F= (col 2 — — N— 1. ſin 2,P. P Nun ſey auch m eine ganze Zahl, ſo wird m (coſ. . 2 V — 1. ſin. )m = (col 2 V — r. ſin. N, folglich m In coſ. 2 + V — I. ſin. 5 2 (coſ. z —I. ſin. 2). P 3. Hiernach gilt alſo der Satz, daß cefa & 2 NV — I. ſin. z) n = coſ. n 2z — V — TI. ſin. n z ſey, nicht nur fuͤr den Fall, wenn n eine ganze poſitive Zahl, 4 ſondern auch, wenn es eine negative Zahl oder ein Bruch iſt. Behandelt man ferner die fuͤr den poſitiven Bruch⸗Werth von n gefundene Formel, wie Abſatz die fuͤr den ganzen poſitiven Werth eben dieſes Buchſtabens ſchon von Eulern feſtgeſetzte: ſo uͤberzeugt man ſich auch davon, daß — ſowohl Kk 2 V po⸗ 516 Zuſaͤtze zum achten Capitel. poſitiv als negativ genommen werden koͤnne. Endlich laͤßt ſich fuͤr jede Irrational⸗Zahl auf dem Wege der Naͤherung ein Bruch finden, den man fuͤr ſie ſetzen kann und dadurch iſt denn der obige Satz zugleich fuͤr die Irrational⸗ Werthe von n bewieſen. C. Zuſatz zu §. 140. 1. Da ich in dem Zuſatze B zum ſiebenten Capitel, Ab⸗ ſatz 8 bis 11, gezeigt habe, daß die Formel 32 5 „ 9 1=— 2X —= 1 1 t. 1— X I nach dem von Eulern in dieſem Capitel geführten Beweiſe bloß fuͤr den Fall dargethan worden, wenn Xx einen aͤchten Bruch bedeutet: ſo entſteht beym gegenwaͤrtigen § die Frage: Ob nicht darin die gedachte Formel uͤber ihre Grenzen aus⸗ gedehnt werde, indem fuͤr x die imaginaͤre Groͤße V — 1 tang.z geſetzt wird? Muͤßte man nicht in den Formeln A* — I 1 k, und „ = 1I(1 † k a), §. 114, desgleichen in I 1 Xe) = = x; und i « = c 12)1— 1), F. 119, a, k, X und ſchlechterdings als unbenannte Zahlen betrachten, wie ſolches bey einiger Ueberlegung von ſelbſt einleuchtet: ſo ließe ſich vielleicht darauf antworten, daß man V —– I tang. z als einen aͤchten benannten Bruch, deſſen Name V — 1 ſey, anſehen foͤnne, und daß alles das, was von Zahlen uͤberhaupt gelte, auch bey den Arten derſelben ſtatt finden muͤſſe. Allein da aus dem angefuͤhrten Grunde die zu Anfange des § ſtehende Formel bloß fuͤr die unbenannten Zahlen exwieſen iſt, ſo laͤßt ſich daran mit nicht dem ge⸗ ringſten Recht e denken. * „6 11 1— in dem o fugniß ge dieſes Ge Ouf ihn fo ſt, ſo wird ſch, d! 1 — 1—1 ſotᷣ ſe ou Aipes cneiti Pjulcn ſeben gels, ob ſ wie dch s ſer Crweit Geſe be telſt der D hierbey we nbthige dem Vorf Iferenti diein feſgteten 10— 9, und daß nenl Pete — zihotoe 4 N Uhelen e 11 Ann de en ſſ liſu 4 Gtunerck bund R 4 wbebnen ℳ% Nitt ut⸗ Zuſaͤtze zum achten Capitel. 517 2. Es ſcheint alſo allerdings zugegehben werden zu muͤſ⸗ ſen, daß Euler den Satz: I † x 2*½3 2X 5S½ 2X7 2 X9 1—= 22 — -= 51 7 t 1 z.; 1 — X in dem oben ſehenden § nicht mit der erforderlichen Be⸗ fugniß gebrauche. Allein da das, was Euler vermittelſt dieſes Satzes in dem gedachten §. und in den beyden auf ihn folgenden gefunden hat, eben ſo wahr als wichtig iſt, ſo wird dadurch in einem ſehr hohen Grade wahrſchein⸗ lich, daß der Satz, 1 † 1 2X3 2X5 2XxX7 2X9 1— = X 1 1 t1 r r. ſo wie auch die beyden, aus welchen er hergeleitet worden, eines weitern Umfangs faͤhig ſeyn, als ihnen nach Zuſatze B zum ſiebenten Eapitel zukoͤmmt; und es fraͤgt ſich daher, theils, ob ſich ſolches ſo verhalte? theils, wenn dieſes iſt, wie ſich alsdann die obige Einſchraͤnkung derſelben mit die⸗ ſer Erweiterung ihrer Grenzen verttaget . 3. Vorausgeſetzt, daß d. Ix = — iſt, mag eine Groͤße bedeuten, was fuͤr eine es will, ſo laͤßt ſich vermit⸗ telſt der Differential Rechnung, (denn zu dieſer muß man hierbey wohl ſeine Zuflucht nehmen, wenigſtens ſehe ich mich genoͤthiget, am gegenwaͤrtigen Orte eine Ausnahme von dem Vorſatze zu machen, in dieſem Werke nichts aus der Differential⸗Rechnung zu beruͤhren,) ſehr leicht beweifen, daß die in dem Zuſatze Bzum ſiebenten Capitel, Abſatz 8 — 11, feſtgeſetzten Einſchraͤnkungen fuͤr die daſelbſt fuͤr 1C1 † ), I X e 101— 2), , gefundenen Formeln wegfallen koͤnnen, 5 und daß alle dieſe Formeln ihre Guͤltigkelt behalten, man Kk 3 mag 518 Zuſaͤtze zum achten Capitel. mag darin fuͤr X eine Groͤße ſetzen, welche man will. Denn ſectzt man zuvoͤrderſt 1(1 – x) = A † BX † Cx2 † DxX3 † Ex4 † Par ꝛc. welches allemal erlaubt iſt, wofern man die Werthe von A, B, C, D, ꝛc. erſt aus dieſer Gleichung beſtimmt, ſo erhaͤlt man, wenn man differentiirt, — dx — Br † 2CX dx † 3DX2dx †4 Exsdæ † ꝛc. 1I — und wenn man beyde Haͤlften dieſer Gleichuͤng durch dx dividirt, — B F2CXT3DX2 1 4Exs 15Fxa r. und hieraus durch die Multiplication mit 1 PIS=BFT2CX † 3 DX2 † 4EX3 † 5 FXA † ꝛc. BX — 2CXa 3 D Xx3 —4 E X4 —¾1:. Da nun X als eine veraͤnderliche Groͤße jeden Werth haben kann, ſo fließt hieraus, wenn man X = o ſetzt . und da B nicht anders = — I1 ſeyn kann, als wenn fuͤr jeden andern Werth fuͤr 0 = † 2 CxX † 3DX2 † 4EXx3 † 5§5 FX4 † ꝛc. E Bx 2CxX2 – 3 Px3 £ 4 ExXA ꝛe. iſt, ſo iſt dadurch auch die Wahrheit dieſer Gieichung er⸗ wieſen Aus ihr aber wird 2Cα% D =2C= 4 — 3 D= 5F* 45= 0 ꝛc. folglich, da B = + 1 iſt, I M T I . C = — —; — — — ; E = — —; 2 3 4 und alſo X2 x3 X4 X5 Xx6 ICI –x) = = - — – £ — — — £ — — — :ꝛc. 2 1 ½ erlaubt obgelei ſegt we⸗ Und wos an ſch herzeu lll⸗ Adan fehet, . . — 112 tV. 1 1 P V- Und ehen vorherge dl. Denn iirts, Neh de M 4 rid? c e 1 Eleihtng e S Zuſaͤtze zum achten Capitel. 519 4. Laͤßt ſich nun in dieſer Formel fuͤr x jede Groͤße ſetzen, ſo braucht das weiter nicht bewieſen zu werden, daß ſolches auch in der Formel erlaubt ſey, indem dieſelbe aus jener auf eine ſolche Art abgeleitet iſt, daß in ihr alle die Werthe fuͤr X muͤſſen ge⸗ ſetzt werden koͤnnen, welche man in jener dafuͤr ſetzen kann. Und was die imaginaͤren Werthe betrifft, ſo ſetze man, wenn man ſich in Anſehung ihrer durch einen beſondern Beweis uͤberzeugen will, 101+2 V — 1) = A † Bz † Cz⸗ † Dz3 † Ez4 † F 25 † :e. Alsdann findet man, wenn man wieder ſo wie vorhin ver⸗ faͤhrt, nach und nach W — I dz I + 2 V — I — B †P 2 Cz † 3 Pzz 1 4 E 23 † SFza † 1c. 1 + 2 — I P V—I= B † 202 f† 3 Dze † A4EZ3 † ꝛc. V -=— I. Bz 2 V — I. Cz 2 P 3 V 1.Pz 3. c. = B dz † 2 Czdz † 3 Drzde † 4rdet. = . V — 1 aC r B= 30 E2 . C= 4E 3 — I. D = o,ꝛc. 1 — 1 N — r — † — 3 — + — — E= –— —; F= P –= z l. 2 3 4 5 22 23 V — I 24 1 (1 ” „ 2 3 4 25 V — I 5 und eben dieſes erhaͤlt man aus der Formel am Ende des vorhergehenden Abſaßzes, wenn man darin 2 V – I fur X ſetzt. Kk 4 Kr 5. 520 Zuÿſatze zum achten Capitel. 5. Hiernach iſt alſo das keinem Zweifel unterworfen, daß die für 1(1 X), 1 (1 — ), und 1— bekannten For⸗ n fuͤr X jeden Werth zulaſſen, wenn fuͤr jeden W Werth von X, er ſey poſitiv oder negatio, reell oder imaginaͤr, d x d. 1 = iſt; allein dieſes muß denn auch, ehe man wei⸗ ter ſchließt, zuvor außer allen Zweifel geſetzt ſeyn, und ich darf hier dieſe Unterſuchung um ſo weniger unterlaſſen, da ſonſt die in den Zuſaͤtzen zum ſiebenten Capitel geaͤußerten Behauptungen von einer Seite angegriffen werden zu koͤn⸗ nen ſcheinen moͤgten, von welcher ſie doch, genau betrachtet, nur noch mehr Beſtaͤtigung erhalten. 6. Euler beweiſet den Satz, daß, wenn y = 12½ ge⸗ ſetzt wird, dx ſey, im erſten Theile ſeiner Inſtitutionum Calculi differen- tialis, im ſechsten Capitel „ §. 180. fuͤr die hyperboliſchen Logarithmen auf folgende Art. Setzt man y = Ix, ſo geht, wenn man X † dx fuͤr x nimmt, y in y † dy uͤber Es wird folglich yT dy = I (X †T dX), und dy = I(X † dx) — lx =I (1 1. Da nun, wenn die hyperboliſchen kogarithinen genommen werden, 22 2 3 2 £ 2 * it, ſ ſo ergiebt ſi, „wenn man fuͤr 2 in dieſe Formet bringt, . dzx dxz AX3 dy = — — — X 2X ½ 3 *¾3 und 70 ℳ 9 Paſe 7 30 den. V. klein ane Ponf di weil 9 erſchwie 9 A tikeid de⸗ than, a feiſt det IItr. ertpjeſen den koge Pul dies⸗ uder S kunget geometr gewinn und es ſyn, , Nrliſen, N 4 4 . uerten n hercchte, nfelip S don Eleren⸗ mon f Uh B Zuſaͤtze zum achten Capitel. 521 und da alle Glieder dieſer Reihe vom zweyten an gegen das erſte ver ſchwinden, ſo iſt d aqy= S 7. Zu dieſem Beweiſe füͤgt er im 181ſten § noch folgen⸗ den. Wenn p irgend eine Zahl bedeutet, und unendlich klein angenommen wird, ſo kann man den Logarithment von P auf die Art ausdeucken, daß man — be“ — I ſetzt. Hieraus ergiebt ſich durch die Differentiation d. 1p = d. 1 p*“ = pe- T dp = 2 DZ bp weil« als eine unendlich kleine Groͤße in per1dp gegen — 1 verſtee M 8. Allein durch beyde Beweiſe wird offenbar die Rich⸗ dXA tigkeit der Formel, dqy = d. 15« = — — nicht weiter darge⸗ than, als ſo weit ohne Diferential⸗Rechnung die Richtig⸗ keit der Formeln 3 4 5* 11 — 1— 2c. — 1 erwieſen worden iſt, und alſo bloß fuͤr den Fall, wenn von den Logarithmen abſoluter Zahlen die Rede iſt, und im Fall dieſe Zahlen als poſitiv angeſehen werden, ſolches un⸗ ter der S. 5ol. f. Abſatz 27 und 28 beſchriebenen Einſchraͤn⸗ kung geſchieht. Nun kann man zwar die obige Formel auch geometriſch an der Logarithmiſchen Linie darthun, aber man gewinnt dadurch in Anſehung des Umfangs derſelben nichts, und es ſcheinen demnach die Formeln 522 Zuſaͤttze zum achten Capitel. 22 x3 X4 x5 I(I ) = -+ 2 — £ - — + — — ꝛc. und 2 3 4 5 I X 2 * 2X 3 2X 2Xx7 W 11X — 2 † 2X2 † 2 † ꝛc. 1 — X 1 3 5 ſelbſt von der Differential⸗ Rechnung keine Erweiterung zu erwarten zu haben. 9. Wahr muß es indeß doch ſeyn, daß man in der For⸗ mel dy = d. 1x = — fuͤr X jede Groͤße, ſie mag poſitiv oder negativ, eine ganze oder gebrochene Zahl, reell oder imaginaͤr ſeyn, ſetzen koͤnne; denn wie waͤre es ſonſt moͤg⸗ lich, daß man bey dem haͤufigen und mannigfaltigen Ge⸗ brauche dieſer Formel dennoch durch dieſelbe zu keinem Irr⸗ thume verfuͤhrt worden waͤre? Die Art, wie ich mir hier die Schwierigkeiten aus dem Wege zu raͤumen geſucht habe, und welche ich bey dieſer Gelegenheit Kennern zur Pruͤfung vorlegen will, iſt folgende. 10. Ich habe in den Zuſaͤtzen zum ſtebenten Capitel zu zeigen geſucht, daß die Logarithmen, wenn die Baſis ihres Syſtems und folglich auch die Zahlen, zu welchen ſie ge⸗ hoͤren, nicht abſolute genommen werden, nicht bloß zu po⸗ ſitiven ſondern auch zu negativen, ja ſelbſt zu einer unbe⸗ grenzten Menge imaginaͤrer Groͤßen gehoͤren, jeder einzelne Logarithme nemlich zu allen den Groͤßen, welche mit der poſitiven, zu welcher er gehoͤrt, aus einer Groͤße und durch einerley Erhebung zu Dignitaͤten und Extraction der Wurzel entſpringen. So findet man z. B. wenn man den Ausdruck und. iſt nun X = am, und † a die Baſis eines Loga⸗ ritmiſchen Syſtems, ſo iſt IX4 = laAm = Am, und 10 ) = 1 ð ſehne, ſt, die — X ein nogiͤr Menged o ols es zug poſtiv⸗ Grbßen x, logaritht nnehe als Alx = langlich Ax —, Un A Wen eine don der al n die eſterung A nhepe nin oſt WNe ſens W e Boſe iene Gert Noope⸗ enee mde⸗ de einehe R NNW und urh de Quce uüdeus W Zuſatze zum achten Capitel. 523 — 1 – *$ V — I. Cben ſo gehoͤrt uͤberhaupt der Loga⸗ rithme, der zu † X gehoͤrt, da † einer von den Werthen 2n iſt, die in (.2) begriffen ſind, auch zu — x, weil auch 2 — x ein Werth von *) iſt, und außerdem noch zu allen 2n imaginaͤren Gröoͤßen, die in († „)* denthalten ſind, und deren Menge deſto greoͤßer wird, je groͤßer man n annimmt. Dies alſo als ausgemacht vorausgeſetzt, und man muß entweder es zugeben, oder die Logarithmen gar nicht bey wirklich poſitiven und negativen, und noch weniger bey imaginaͤren Groͤßen brauchen; ſo weiß man, daß fuͤr jede Groͤße von zu † X, — X, † X V — I, – XV — I nicht mehr als ein Logarithme gehoͤrt. Da nun eine und dieſelbe Groͤße nicht mehr ars⸗ ein Differential hat, und der Satz, daß d. 1 † æ = d. 1 — — ſey „durch die vorhin angefuͤhrten Beweiſe hin⸗ laͤnglich dargethan iſt: ſo iſt klar, daß auch d. 1 — X = 4d. 1 X V— I/S d. 1 — X — 1 = ſeyn muß. Aber es . — d V.— I. dza — V — I. dx iſt auch — „desgleichen I.X und —,— — = , und man findet folglich das Differential des Logarith⸗ men einer negativen Groͤße — x, und der imaginaͤren Groͤßen von der Zoem e X V — 1I, wenn man ſolches nach der For⸗ mel d. 12 = 42 2 ſucht, indem man darin fuͤr 2ͤ allenthalben die Groͤße ſetzt, deren Logarithmen⸗Differential man verlangt. IIA. R SSõ 4 524 Zuſaͤtze zum achten Capitel. 11. Hier haͤtte ſich alſo eine von den Gelegenheiten ge⸗ funden, deren ich S. 505. n ſan 31. gedacht habe. Allein wenn die Formel d. I2z = — fuͤr jeden Werth von 2 gilt, und wer darf ſolches, ſeloſt wenn er den hier gegebenen Beweis nicht brauchen will, leugnen, da darauf in der Differential⸗ und Integral ⸗Rechnung ſo viel beruhet? ſo iſt dadurch auch, wie ſchon geſagt, die 2 Guͤltigkeit der Sormein X2 . X X4 X5 — — — — — kc. 1 2 3 4 . und I1 † „ 2X3 2 X5S 2Xx7 3 5 7 fuͤr ſeden Werth von x außer allen Zweifel geſetzt; und nun muß man folglich auch zugeben, daß und zugleich 1— 2= 26 r er ꝛc.) ſey, indem man aue, um jene Beſtimmung zu finden, in der Formel I PTX 2 x 2 45 2 — 20. 1— 3 5 7 1 XxS= 3 ſetzen darf. Hier entſtehen aber neue Schwierig⸗ keiten. Sollen die angefuͤhrten Formeln bloß in den in dem Zuſatze B zum ſiebenten Capitel feſtgeſetzten Einſchraͤnkungen gelten? Wie kann denn die Differential⸗Rechnung ſie al als allgemein guͤltige FJormeln darſtellen? Oder will man ſie fuͤr ſe den! Gbann n, den! ſnden im daß man Logaritht negatide Loharitin det 0 Nn le⸗ Pweh on und beyd gleichen behoupte ls ein re⸗ Johl mehr grog auch ſe gaͤch Qele da Und beſtin Dehlenun ſt auf ein miß aber ſtelungee uchſbe ufangsge hrancht h Wer des E ſporen n dings ein nicht aus ⸗ ebenen ui t N heruden 4 ltigtet — ,W H N e W— — . ftden, Schrn n Mden ſcrutungn Gl nu fuͤr jeden Werth von X guͤltig annehmen. Wie ſoll man ſich dann den doppelten unendlich großen Logarithmen den⸗ ken, den man dabey durch ſie fuͤr jede negative Zahl zu finden im Stande iſt? Wie ſoll man ferner das erklaͤren, daß man nach keiner von dieſen Formeln den unmoͤglichen Logarithmen, den nach den gewoͤhnlichen Vorſtellungen jede negative Zahl haben ſoll, und eben ſo wenig den reellen Logarithmen, der ihr nach meiner Vorſtellungsart zukommt, findet? Endlich, wie kann eine jede negative Zahl außer den reellen Logarithmen, den ich ihr beygelegt habe, noch zwey andere reelle, einen poſitiven und einen negativen, und beyde unendlich groß, und jenen, ſoweit man hier ver⸗ gleichen darf, groͤßer als dieſen haben, da doch allgemein behauptet wird, daß ſelbſt jeder poſitiven Zahl nicht mehr als ein reeller Logarithme zukomme, und ich ſo gar keiner Zahl mehr als einen Logarithmen eingeraͤumt habe? So groß auch dieſe Schwierigkeiten zu ſeyn ſcheinen, ſo ſind ſie gleichwohl nichts weniger als unuͤberſteiglich, indem die Quelle davon lediglich in einem nicht hinlaͤnglich deutlichen und beſtimmten Begriffe von den poſitiven und negativen Zahlen und von den Logarithmen liegt. Ich will verſuchen, ſie auf eine befriedigende Art aus dem Wege zu raͤumen, muß aber dabey um Erlaubniß birten, einige von den Vor⸗ ſtellungsarten, die ich bereits in meinen Briefen uͤber die Buchſtabenrechnung und Algebra, ſo wie auch in meinen Anfangsgruͤnden der Buchſtabenrechnung und Algebra ge⸗ braucht habe, auch hier gebrauchen, und dieſelben, um den Leſer des Gegenwaͤrtigen die Muͤhe des Rachſehens zu er⸗ ſparen, zum voraus kurz mittheilen zu duͤrfen. 12. Daß Zahlen V. Mengen von Einheiten ſind, iſt aller⸗ dings eine richtige Vorſtellung, allein man reicht damit nicht aus, wenn man die Regeln der Arithmetik weiter als SW auf 526 Zuſaͤtze zum achten Capitel. auf die abſoluten und unbenannten Zahlen ausdehnen will, und mehr zu thun hat, als zu addiren und zu ſubtrahiren. Denn will man ſich jede Zahl bloß als eine Menge von Ein⸗ heiten denken, ſo iſt eine benannte Zahl auch weiter nichts als eine Menge benannter Einheiten, und eben ſo jede po⸗ ſitive Zahl bloß eine Menge poſitiver, und jede negative Zahl bloß eine Menge negativer Einheten. Allein was ſoll man ſich dabey unter der Multiplication, Diviſion ꝛc. mit einer benannten Zahl vorſtellen? Oder ſoll man ſagen, daß man in keinem Sinne mit einer benannten Zahl mul⸗ tipliciren oder dividiren k—oͤnne? Wie kann man alsdann in der analytiſchen Geometrie von Produkten gerader Li⸗ nien, und in der angewandten Mathematik von Produkten aus Kraͤften in ihre Entfernungen u. d. gl. reden? Und da ſich die benannten Zahlen von den unbenannten bloß darin unterſcheiden, daß ſie außer der Menge der Theile, welche dieſe allein zu erkennen geben, auch noch die Art ber Theile anzeigen, und alſo außer den weſentlichen Eigenſchaften der Zahlen nach etwas Zufaͤlliges ausdrucken: ſo muͤßte man, wenn man die Multiplication und Diviſion benannter Zah⸗ len nicht gelten laſſen wollte, auch die Multiplication und Diviſion poſitiver und negativer Zahlen verwerfen, denn im Grunde ſind ja die poſitiven und negativen Zahlen nichts anders, als eine beſondere Art von benannten Zahlen. Es iſt daher beſſer, wenn man ſich die Zahlen als Begriffe, welche die Entſtehungsart einer Groͤße aus der erſten abſo⸗ luten Einheit, oder aus Eins darſtellen, und die Zifern als die Zeichen dieſer Begriffe gedenkt; und demnach jede abſolute Zahl weiter nichts anzeigen laͤßt, als daß man die erſte abſolute Einheit oder Eins, ohne allen weitern Zuſatz, mehrere Mal nehmen, den benannten und poſitiven und negativen Zahlen aber die Bedeutung giebt, daß man dar⸗ nach us Ae , Un Zeich 13. 1 Ote wei wilen ic zwey ent, us dere hſeſer Ent ſicd, in eden ſo t bey der Y ſolute Ze odiſte as ouf⸗ Uuterſchieb ten Zahlen Grcſd aos Zahlen en fſehingsa — 1V— Abe ſeyn wird ſichY ſich dieſes ſehr woht her wegen Ralhen ete n uper ni hett gager finmnng dachte de died dief chen d, nhinn. 4 Uan x. e nics muſte Doolienr. nn ſinn n dedun 1getthe h, nPlken at NN n Diun/ heile, M t ber heie ſcheiten der an Munnmer 39, ſesnon m afn, Nn Alenne s bunft eſen n du Nn nnuh us nan iP etern 3u Zuſaͤtze zum achten Capitel. 527 nach zuvoͤrderſt die erſte abſolute Einheit mehrere Mal neh⸗ men, und darauf der gefundenen Menge den Namen oder das Zeichen der gegebenen Zahl zuſetzen ſolle. 13. Um von dieſer Aumerkung an dem gegenwaͤrtigen Orte weiter keinen Gebrauch zu machen, als den, um deſſen willen ich ſie habe herſetzen muͤſſen, ſo iſt eigentlich unter zwey entgegengeſetzten ſonſt gleichen Zahlen, wenn man beyye aus der erſten abſoluten Einheit entſtehen laͤßt, in An ſehung dieſer Entſtehungsart, im Allgemeinen betrachtet, kein Unter⸗ ſchied, indem man bey der einen die erſte abſolute Einheit eben ſo vielmal als bey der andern nehmen, und dann auch bey der einen ſowohl als bey der andern die erhaltene ab⸗ ſolute Zahl durch Hinzufuͤgung einer zufaͤlligen Beſtimmung modificiren muß. Wollte man hieraus die Folge herleiten, daß auf dieſe Weiſe in Anſehung der Entſtehungsart aller Unterſchied zwiſchen den poſitiven, negativen, und benann⸗ ten Zahlen jeder Art, ſelbſt wenn ihr Name eine unmoͤgliche Groͤße ausdruckt, wegfalle, wofern nur bey allen dieſen Zahlen eine und dieſelbe Zifer ſtatt finde, und alſo die Ent⸗ ſtehungsart von † æ, von — X, von † X V — I, von — 5XV. — I u d. gl. aus der erſten abſoluten Einheit die⸗ ſelbe ſeyn muͤſſe: ſo laͤßt ſich dawider nichts einwenden, es wird ſich aber bey genauer Ueberlegung auch finden, daß ſich dieſes, ſo lange man beym Allgemeinen ſtehen bleiht, ſehr wohl behaupten laſſe, und am allerwenigſten ſteht da⸗ her wegen der aus jener Behauptung hier zu ziehenden Folgen etwas zu befuͤrchten. Wenn alſo die Entſtehungs⸗ art einer nicht abſoluten Zahl aus der erſten abſoluten Ein⸗ heit gegeben iſt, ſo muß entweder dabey die zufaͤllige Be⸗ ſtimmung ausdruͤcklich angezeigt werden, wodurch die ge⸗ dachte Zahl zu einer nicht abſoluren Zahl wird, oder es wird dieſe Zahl durch die gedachte Entſtehungsart nicht genau S29 Zuſatze zum achten Capitel. genau beſtimmt; und iſt die erwaͤhnte zufaͤllige Beſtimmung bereits gegeben, ſo bleibt in Anſehung der Entſtehungsart der Zahl aus der erſten abſoluten Einheit nichts weiter an⸗ zuzeigen uͤbrig, als wie vielmal man dieſe zu nehmen habe. 14. In einem Logarithmiſchen Syſteme werden nun alle Zahlen als aus der Baſis durch die Erhebung zu Dignitaͤ⸗ ten und die Ausziehung der Wurzeln entſtanden betrachtet, und die Exponenten, welche jedesmal anzeigen, wie man die Baſis durch die Erhebung zu Dignitaͤten und die Ex⸗ traction der Wurzel veraͤndern muͤſſe, um gegebene Zahlen zu finden, die Logarithmen dieſer Zahlen genannt. Dabey nimmt man die Baſis der Bequemlichkeit wegen groͤßer als die Einheit an, ſo daß die Logarithmen aller Zahlen, die groͤßer als die Einheit ſind, poſitiv, und die Logarithmen aller aͤchten Bruͤche negativ werden. Wird nun außerdem die Baſis auch abſolute angenommen, ſo iſt der Logarithme hinlaͤnglich, um jede Zahl genau zu beſtimmen, weil dann jede dieſer Zahlen auch abſolute genommen werden muß; legt man aber eine nicht abſolute Zahl zum Grunde, ſo fuͤhrt jeder Logarithme m, insbeſondere, wenn man ihn im + — verwechſelt, auf mehr denn eine Zahl, und es wird alſo dadurch bloß die Zifer dieſer Zahlen, nicht aber die Einheit oder das Zeichen beſtimmt, welches man ſich dabey gedenken muß, um ſie vollkommen zu kennen. Wenn alſo eine Zahl durch ihren Logarithmen gegeben wird, ſo findet man, wenn man die Baſis nach dieſem Logarithmen behandelt, am Ende weiter nichts, als wie ihre abſolute Zifer aus der erſten abſoluten Einheit durch Wiederholung und Theilung derſelben heivorgebracht werden kann: uͤber die Einheit, welche man ſich dabey gedenken ſoll, ſagt der Logarithme nichts, und eben deswegen ſind bloß die abſoluten Zahlen durch Noch de nd bold jen Einheite Ron I Fünffache — V . Aber ebe etſten ob ſedesmnal N gewd honn hi Nder der fann, EG lder nahe die Crhet erhen aus eder denken; ols aus Veraͤnde Eulen ſchungsert 8 Wd n⸗ denn cle 9 R den M en, pie men nd de Ei⸗ Men Ihen (Naß “ . nnt. Oobeg 6 eaen 1 1 i ſ luni n Eur eänrten er Marliynt n. w N wadden Gen nde, fi ⸗ 0 1N 4 Wa ſigt che d man ſe N Vundkene ſingt Annn, t, er us der ,hi n der oel/ . olen . duech Zuſaͤtze zum achten Capitel. 529 durch die Baſis und den Logarithmen vollkommen be⸗ ſtimmt, weil man die Einheit ſchon zum voraus kennt, worauf ſie ſich beziehen. 15. Um ſich dieſes noch deutlicher zu machen, ſo ele man ſich die Zahlen nach folgendem Schema vor. ſtI—r,2 V - r, 3 V -1,t4 — 1, 5 V-T, T .. oj I „ 2 „ 3 „ 4 „ 5 „ .. — 1 „— 2 — 3 „ — 4 — 5 „ . 1—1IV— 1, — 2 V 1, V 1, —I, — 5V — I,—. Nach demſelben ſind alle Zahlen zwiſchen den Grenzen o und Oο enthalten. Ferner kann man, wenn man bald dieſe bald jene Einheit annimmt, jede Zahl als eine Menge von Einheiten anſehen, und z. B. † 5 — 1 als das Fuͤnffache von † 1IV — I, † 5§ als das Fuͤnffache von † 1, § als das Fuͤnffache von 1, — 5 als das Fuͤnffache von — 1, und — 5 V — 1 als das Fuͤnffache von — 1 V — I betrachten. Aber eben ſowohl laͤßt ſich drittens jede Zahl als aus der erſten abſoluten Einheit entſtanden annehmen, indem man jedesmal die unter oder uͤber ihr ſtehende abſolute Zahl auf die gewoͤhnliche Art aus dieſer Einheit hervorbringen, und dann hieraus jene Zahl durch Hinzuſetzung des Zeichens oder des Namens, wodurch ſie ſich unterſcheidet, erhalten kann. Endlich laͤßt ſich jede abſolute Zahl entweder genau oder naͤherungsweiſe aus jeder andern abſoluten Zahl durch die Erhebung zu Dignitaͤten und die Ausziehung der Wur⸗ zeln erhalten, und jede nicht abſolute Zahl, ihrer Zifer nach, aus eben dieſer Zahl und auf eben dieſe Art entſtanden ge⸗ denken; ſo daß man ſich alſo auch jede nicht abſolute Zahl als aus jeder beliebig angenommenen abſoluten Zahl durch Veraͤnderung derſelben nach irgend einem Exponenten, und Eulers Einl. in d. Angl, d. Unendl. I. O. Ll durch durch Hinzuſetzung des ſie unterſcheidenden Zeichens oder Namens zu dem durch dieſe Overation gefundenen hervor⸗ gebracht vorſtellen kann. 16. Will man die poſitiven und negativen und die un⸗ moͤglichen Zahlen von der Form X V — I nicht auf dieſe Art aus einer abſoluten Baſis ableiten, ſo kann man auch eine poſitive oder negative Zahl zur Baſis an nehmen. Aber wenn man dieſes thut, ſo kann man allemal † X, — , † xX V – I und — X V — I durch eine und dieſelbe Opera⸗ tion aus der angenommenen Baſis hervorbringen, und es wird alſo alsdann durch die Baſis und den Exponenten bloß X genau beſtimmt, und es bleibt ungewiß, ob daſſelbe po⸗ ſitio oder negativ ſey, und ob es ſich auf eine moͤgliche oder auf eine unmoͤgli che Einheit beziehe. Man mag alſo die Baſis annehmen, wie man will, ſo iſt man aus dem Loga⸗ rithmen einer Zahl weiter nichts im Stande zu ſchließen, als wie groß dieſelbe in Vergleichung mit der Einheit ſey, . wovon ſie als ein Vielfaches betrachtet werden kann, aber dieſes zeigt denn auch der Logarithme, ohngeachtet er uns uber die gedachte Einheit in einer voͤlligen Ungewißheit laͤßt, jedemal genau und richtig an. Und da X V –— 1: 2 1V —–I = T x: 1 =— X: I iſt, ſo kommt man hier⸗ durch wieder auf den Satz zuruͤck, daß die Zahlen EKx V — 1, „ nicht mehr als einen Logarithmen, und zugleich, daß ſie denſelben Logarithmen haben, der der abſoluten Zahl „ zukommt. 17. Die Paſis als bekannt vorausgeſetzt, lehrt alſo der Logarithme einer Zahlt! weiter nichts, als wie groß dieſe Zahl ſey, aber dies allemal; denn wenn die Baſis groͤßer als die Einheit angenommen worden iſt, ſo iſt bekannt, daß die Logarithmen mit den Zahlen, zu welchen ſie gehoͤren, wach⸗ ſen und abnehmen. Es haͤngt ſelglich auch jeder Logarithme nicht 7„ ie de Eufluß ſehn, de ccden nur mog oft man (on ſo . ſchrewoder Ziichen negotid len auch ied, ww die gedoc. der Beantn durchaus, ewohder Nicht un 19 G ſtioen negeriven Subtracct die voſti ſer ols chen — un Woſclun ſellngte dern ſelb wahren? ſicht dei⸗ itmns he 4 dun ſetee. d diern u de⸗ — mmnh I11,- ſelbe Ad⸗ gen, wei 1 Chove ten „ N 1 ee ſchlihe, kinheit i, nimg, G erchete mnſßrt m mn he⸗ geic N luten ſchtrclode ofiee el u o⸗ gßereY deN. hnt, w N horen uß⸗ ynthe Zuſaͤe zum achten Capitel. 531 nicht von der Beſch haffenheit, ſondern bloß von der Groͤße der Zahl ab, zu welcher er gehoͤrt, und wenn die Beſchaf⸗ fenheit einer Zahl auf die Beſtimmung des Logarithmen Einfluß haben ſoll, ſo muß ſie eine ſolche Beſchaffenheit ſeyn, daß ſie auch als eine Groͤßen⸗Beſtimmung gedacht werden kann. Iſt dieſes, ſo iſt der gedachte Einfluß nicht nur moͤglich, ſondern er muß ſich auch allemal aͤußern, ſo oft man die erwaͤhnte Vorſtellung zum Grunde legt, aber eben ſo auch mit dieſer Vorſtellung zugleich wieder ver⸗ ſchwinden. Hier fraͤgt ſich alſo: Kann man die durch die Zeichen und — und durch die Benennungen poſitiv und negatio ausgedruckten zufaͤlligen Beſchaffenheiten der Zah⸗ len auch als Groͤßen⸗Beſtimmungen anſehen? und wie wird, wenn dieſes moͤglich iſt, die Groͤße der Zahlen durch die gedachten Zeichen und Benennungen beſtimmt? Auf der Beantwortung dieſer Frage beruhet, ſo viel ich einſehe, durchaus, die Moͤglichkeit der Wegraͤumung der Abſatz 11 erwaͤhnten Schwierigkeiten, und es wird alſo der Muͤhe nicht unwerth ſeyn, dieſelbe zu unterſuchen. 18. Gewoͤhnlich macht man zwiſchen den abſoluten und poſitiven Zahlen keinen Unterſchied, und ſtellt ſich dann die negativen Zahlen als aus den poſitiven durch fortgeſetzte Subtraction der 1 vor. Dabey findet man kein Bedenken, die poſitiven Zahlen groͤßer und die negativen Zahlen klei⸗ ner als 1 zu nennen, und macht alſo hier ſchon das Zei⸗ chen — und die Benennung negativ zu Bezeichnungen einer Groͤßen⸗Beſtimmung. Auch muß man geſtehen, daß dieſe Vorſtellung von den negativen Zahlen als eine relatioe Vor⸗ ſtellung behandelt, nicht nur keine Irrthuͤmer erzeuge, ſon⸗ . dern ſelbſt oͤfters zur leichtern und ſchnellern Entdeckung der wahren Beſchaffenheit der Groͤßen diene. Aber man rede nicht relative ſondern abſolute von Groͤßen, die kleiner ſeyn LI 2 ſollen 532 Zuſatze zum achten Capitel. ſollen als nichts; was laͤßt ſich dann fuͤr ein Begriff faſſen? Wie alſo wenn man ſich die negativen Zahlen, wie auch ſchon mehrere bey andern Gelegenheiten auf den Gedanken gefallen ſind ebenfalls groͤßer als das Unendliche denken koͤnnte? Eine Groͤße, die in einer und eben derſelben Ruͤck⸗ ſicht kleiner als nichts und groͤßer als das Unendliche ſeyn ſollte, waͤre freylich ein Widerſpruch; allein wenn man die negativen Groͤßen in einer Ruͤckſicht kleiner als nichts, und in einer andern groͤßer als das Unendliche nennt, ſo kann ja das ſehr wohl mit einander beſtehen. Auch laͤßt ſich allerdings nicht leugnen, daß die Vorſtellung der negativen Zahlen als groͤßer wie das Unendliche, vorausge ſetzt, daß ſie ſtatt finden fann, der Natur der⸗ reiativen Vorſtel ungen ter andern Umſtͤnden gebrauchen 1 will, as unter ſolchen, wo ihre Guͤltigkeit dargethan iſt; allein das macht denn doch dieſe Vorſtellung nicht an und fuͤr ſich und unter allen Umſtaͤnden verwerflich. Euler verwirft ſie im erſten Theile ſeiner Anleitung zur Differential Rechnung im zweyten Ca⸗ pitel im 100 und 104ten und den folgenden 55, allein wie nachher gezeigt werden ſoll, mit Unrecht. Alſo zur Unter⸗ ſuchung der Frage, ob man, und unter was fuͤr Umſtaͤnden man die negativen Groͤßen groͤßer als das Unendliche nen⸗ nen koͤnne? 19 So wie alle angebliche abſolute Zahlen zwiſchen o 0 und o enthalten ſind, ſo muß man ſich ſolches auch von den poſitiven und negativen Zahlen vorſtellen, und zwar ſo, daß man das poſitide und negative Unendliche eben ſo wohl als die poſitive und negative o zuſammenfallen laͤßt. Eine aͤhnt iche Beſchaffenheit haben z. B. die Tangenten der Winkel Die poſitiven und negativen fangen beyde von o an, und ſobald ſie unendlich groß werden, ſo ſind ſie es ſo⸗ wohl thl Gon ſt Gene ben 99 — kann wvenn m. — unm durch die Und es li n gereck Unendlic in Verg durchan ſellen, der o ober , ſo nen, dern deſto ; Vnd de⸗ lwendliche f und — ſadern als ſcichet, nicht von veyer en Vrr voſti ſicht nur Unendiche, nir b nich 10. EE beſeichn verändert (mkaction 1, e 1 Gelunten Ute daten nendlege venn wole t, lon da negninn geſes Niſe Porſloe Anmn ſen. ute An mact Ruutet A n wennd ſe ur n⸗ 1e Wnn endtge M en vien ches ald n, Nn Pltrohn 6 uitlen l kin 1 genende Lbene M ⸗ ſ⸗ egl Zuſaͤtze zum achten Capitel. 533 wohl auf der poſitiven als auf der negativen Seite. Denkt man ſich alſo die poſitiven und negativen Zahlen in ihrer Folge nach dieſem Schema: o11, † 2, † 3, T† 4, T S, 6, 17 †. .. .. . — 1, — 2, — 3, – 4, —– 5, — 6, — — „ „* *° .. . ſo kann man von den poſitiven Zahlen zu den negativen, wenn man nicht durch die Veraͤnderung des Zeichens und — ugmittelbar von jenen zu dieſen uͤbergehen will, theils durch die Grenze o, theils durch die Grenze 00 kommen, und es liegen alſo die negativen Zahlen, von den poſitiven an gerechnet, nicht nur jenſeits o, ſondern auch jenſeits des Unendlichen. Nun kann man ſich die Groͤße, die einer Zahl in Vergleichung mit einer andern zukommt, wenn beyde durchaus von einerley Art ſind, nach der Entfernung vor⸗ ſtellen, in welcher jene von dieſer entweder nach der Seite der o oder nach der Seite des 00 zu ſteht, und thut man es, ſo nennt man jede Zahl in Vergleichung mit jeder an⸗ dern deſto kleiner, je weiter ſie von ihr nach der Seite von o, und deſto groͤßer, je weiter ſie von ihr nach der Seite des Unend lichen hin entfernt iſt. Wenn man alſo die Zeichen † und — nicht als Zeichen des Poſitiven und Regativen, ſondern als Groͤßen⸗Beſtimmungen an ſieht, und dies ge⸗ ſchiehet, wenn man die poſitiven Zahlen und die abſoluten nicht von einander unterſcheidet, und bey der Vergleichung zweyer entgegengeſetzter Zahlen mit einander allemal von Dder poſitiven ausgeht: ſo iſt allerdings jede negatioe Zahl nicht nur kleiner als nichts, ſondern auch groͤßer als das Unendliche, und dabey zugleich jedesmal um weniger klei⸗ ner als nichts, als ſie groͤßer denn das Unendliche iſt. 20. Legt man nun entweder eine abſolute oder eine mit † bezeichnete Zahl, die groͤßer als 1 iſt zum Grunde, und veraͤndert dieſe durch die Erhebung zu Dignitaͤten un nd die Extraction der Wurzein, ſo daß man die Exponenten ſo⸗ Ll 2è2 wohl 534 Zuſaͤtze zum achten Capitel. wohl der Dignitaͤten als der Wurzeln, welche man ſucht, immer groͤßer und groͤßer werden laͤßt: ſo erreicht man auf dem Wege der Erhebung zu Dignitaͤten das Unendl liche, und auf dem Wege der Extraction der Wurzel die o nie, ſo lange der Expponent eine angebl iche Zahl bleibt, ſondern erſt, wenn dieſer Exponent unendlich und im letzter n Falle zugleich negativ wird. Will man alſo auf dieſem Wege uͤber das Unendliche und uͤber o hinaus gehen, ſo muß man die zum Grunde gelegte Zahl nach einem mehr als unend⸗ lichen Exponenten veraͤndern, wobey man denn, wenn die⸗ ſer Exponent poſitiv iſt, uͤber das Unendliche, und wenn er negativ iſt, uͤber o hinauskommt; und will man auf beyden Wegen eine und dieſelbe Zahl finden, ſo muß, da jede beſtimmte Zahl naͤher bey o als bey dem Uneno⸗ lichen liegt, der poſitive Exponent den negativen in An⸗ ſehung der Groͤße uͤbertreffen, obgleich beyde mehr als un⸗ endlich ſeyn muͤſſen. 21. Betrachtet man alſo die mit — bezeichneten Zah⸗ len ſo, daß man das Zeichen — nicht als das Zeichen des Negativen anſieht, ſondern dadurch die Groͤße der Zahl, vor welcher es ſteht, in Vergleichung mit den abſoluten Zahlen, beſtimmt werden laͤßt: ſo laͤßt ſich jede negative Zahl auf eine zwiefache Art, nemlich theils als eine mehr denn un⸗ endlich kleine, und theils als eine mehr denn unendlich große Zahl gedenken; und nimmt man hierzu die Bedeu⸗ tung, die dieſelbe alsdann hat, wenn das Zeichen — als das Zeichen des Negativen eigentlich genommen wird, ſo ſtellt jede negative Zahl eine dreyfache Groͤsße, eine endliche, und zwey mehr als unendliche, der Groͤße nach unendlich verſchiedene, Zahlen vor. Uebrigens kommt es hier auf keine Weiſe darauf an, ob jede negative Zahl dieſe beyden letzten Bedeutungen allemal i haben koͤnne? es iſt hinlaͤng⸗ . ich, l, n Meſe ſpon ltreten Ntauchbe wirklich und es! es von Vebingte veil es ni Ra gchr nzertren Wolotenn noch don der obſe hieſer doemen Ad umnitt 8 o/ l mice in = = — — = E “ Ueſen N nu⸗ . 1065 d⸗ Wnn die⸗ ir 1 Mn 1 nehr als tn „ V 4 Zuſaͤtze zum achten Capitel. 535 lich, daß gezeigt worden iſt, mit was fuͤr Vorſtellungsar⸗ ten dieſe Bedeutungen zuſammenhaͤngen, und es verſteht ſich von ſelbſt, daß ſie mit jenen Vorſtellungsarten zugleich eintreten und verſchwinden. Das Bedingte iſt nur dann brauchbar, wenn die Bedingungen, welche es voraus ſetzt, wirklich da ſind, aber dann wird es ſelbſt unentbeh lich; und es waͤre ſehr incon! ſequent und ſo gehandelt, wie man es von Mathematikern nicht erwarten darf, wenn etwas Bedingtes deswegen allgemein verworfen werden ſollte, weil es nicht anders als unter den erforderlichen Bedinguge gen gebraucht werden darf. 22. Um nun das Bisherige zur Auflöͤfung der S. 524. 525. Abſatz 11. angefuͤhrten Schwierigkeiten anzuwenden, ſo beruhet die Guͤltigkeit der Formel dx d. lx = — X — fir i⸗ Werth von « auf dem Satze, daß 1 † = I — W Bf ) und damit iſt folgender, den auch der vollſtaͤndig deutli he Begriff von den Logarithmen an die Hand giebt, unzer rennlich verbunden, daß der Logarithme jeder nicht abſoluten Zahl weder von dem bey ihr beſindlichen Zeichen noch von ihrem Namen, ſondern lediglich von der Groͤke der abſoluten Zifer, welche ſie enthaͤlt, abhange. Unter dieſer Vorausſetzung darf man ſich alſo auch nur die Formeln Xx2 X3 x4 XxsS X 1 (I T. 2X) = — k — — — — † — — D 2 3 4 5 6 1I † X 2 Xx32 2 Xk5 2X7 2 X 1— =— 25½ † — † — g— t 1 r. 1— X 3 S 27 9 urch die Differential Rechnung erweitert vorſtellen, und ſt in iolglich auch durch ſie bl unter der Bedingu⸗ g bere ch⸗ — r — r ſen, (S. 522. 523. Formel 536 Zuſaͤte zum achten Capitel. tiget, in jene Formeln eten Beeth von x zu bringen, daß die dabey fuͤr 1 + X oder —— ſich ergebende Zahl, oder diejenige, deren Logarithmen man ſucht, als eine abſelute Zahl betrachtet werde. 23. Dieſes vorausgeſetzt, ſo kann zuvoͤrderſt die Ein⸗ ſchraͤnkung der Formeln X 3 5 welche ich ihnen in den Zuſatz B. zum⸗ ſebenten Capitel ge⸗ geben habe, ſehr wohl mit der Erweiterung ihrer Grenzen beſtehen, welche ſie durch die Differential⸗ ⸗Rechnung er⸗ halten. Hiernach kann man zwar in jenen Formeln fuͤr x jede Groͤße, ſie mag poſitiv oder negativ, reell oder ima⸗ ginaͤr ſeyn, ſetzen, und man iſt dabey insbeſondere in der . „N 1r — )= -— — , — — — — — — — ꝛ. 2 3 4 5 ganz und gar nicht an einen abſoluten Bruch⸗Werth fuͤr X gebunden. Allein nach dem dorhergehenden alen Ab⸗ ſatze muß dabey doch immer die fuͤr 1 — x und —,— ſich ergebende Zahl als eine abſolute Zahl angeſehen, und nd folg⸗ lich, wenn ſie das Zeichen — vor ſich hat, ſolches bey ihr nicht als das Zeichen des Negativen, ſondern als ein Zei⸗ chen einer Groͤßen⸗Beſtimmung betrachtet werden. Man findet daher in dieſem Falle nicht den Logarithmen einer negativen Zahl im gewoͤhnlichen Verſtande, ſondern einer abſoluten Zahl, die man ſich entweder jenſeits o oder jen⸗ ſeits des mnendlichen liegend „und alſo entweder kleiner als O Node⸗ deng N fonnte, Rechnn kungen falend die Di ene, hreitern 24 mman f I—X ſornel⸗ . 1— 1 1— cinen d̃ erſe die die Erſ⸗ andere jeder a X poſit die gro ten Brr iſdet n l⸗ wenn der zu nbilc Mte Hrnen Richeung n ml, ſir n Uoder ima⸗ dere i der Zuſaͤtze zum achten Capitel. 8537 o oder groͤßer als das Unendliche denken muß. Da nun in dem Zuſatze B zum ſiebenten Capitel, ſo wie in der gemei⸗ nen Algebra immer, bloß von ſolchen Zahlen die Rede ſeyn konnte, die zwiſchen o und O. fallen, und die Differentialæ⸗ Rechnung fuͤr dieſen Fall die daſelbſt feſtgeſetzten Einſchraͤn⸗ kungen nicht im mindeſten aufhebt: ſo iſt ja das nichts auf⸗ fallendes und noch weniger etwas widerſprechendes, daß die Differential⸗Rechnung bey veraͤnderten Umſtaͤnden einen andern, oder eigentlich bey einem erweiterten Ziele einen breitern Weg zu gehen erlaubt. 24. Zum andern iſt nun ſehr leicht zu erklaͤren, warum man fuͤr jede negative Zahl — m, wenn man einmal 1I – X = – m, und dann nn . = — m ſeyt, nach den Formeln xXy2 x3 x4 Xxs J ler — ³) = - — — — — — — — — — XLT. 2 3 „ I † X 2X3 225 Rent r n. einen doppelten unendlich großen Logarithmen findet. Die erſte dieſer Formeln gilt nemlich nach S. 487. Abſ. 10. fuͤr die Erfindung der Logarithmen der aͤchten Bruͤche, und die andere zwar uͤberhaupt fuͤr die Erfindung der Logarithmen jeder abſoluten Zahl, allein mit dem Unterſchiede, daß, wenn x« poſitiv wird, der gefundene Logarithme zu einer Zahl, die groͤßer als 1, und wenn negativ wird, zu einem aͤch⸗ ten Bruche gehoͤret. Setzt man alſo 1 — = — m, ſo findet man aus . B wenn man darin „ = m — I macht, den Logarithmen, der zu — m als einem Bruche gehoͤrt, der kleiner iſt als o; Ll 5 und 538 Zuÿſaͤtze zum achten Capitel. und ſetzt man — — = — m, ſo wird = . T, und alſo, wenn m groͤßer als 1 iſt, allemal poſitiv, und man findet daher in dieſem Falle nach I † X 2X3 2XS 2 X7 = eri 5 r 5 1 7 t1. wenn man darin X = lni macht, den Logarithmen, der zu — m gehoͤrt, wenn daſſelbe als eine Zahl betrachtet wird, die jenſeits des Unendlichen liegt, und alſo als mehr denn unendlich groß angeſehen werden muß. „25. Drittens iſt nun auch leicht einzuſehen, warum man nach keiner von den angefuͤhrten Formeln den unmoͤg⸗ lichen Logarithmen, den nach den gewoͤhnlichen Vorſtellun⸗ gen jede negative Zahl haben kann, und eben ſo wenig den reellen Logarithmen, der ihr nach meiner Vorſtellungsart zukommt, ſindet. Haͤtte nemlich auch jede negative Zahl einen imaginaͤren Logarithmen, obgleich nach der im Zu⸗ ſatze B zum ſiebenten Capitel enthaltenen Theorie von den Logarithmen ſolches nicht iſt: ſo muͤßte der Grund von der Unmoͤglichkeit dieſes Logarithmen in der durch das Zeichen — ausgedruckten Beſchaffenheit ſeiner Zahl liegen, und er ſelbſt alſo nicht bloß von der Groͤße, ſondern auch von der Beſchaffenheit ſeiner Zahl abhaͤngen. Allein nach Abſatz 22 ſindet man nach keiner von den bekannten Formeln, ſelbſt wenn ſie durch die Differential⸗Rechnung die moͤglich groͤßte Ausdehnung erhalten haben, den Logarithmen einer Zahl weiter, als in ſo fern er von ihrer Groͤße abhaͤngt. Aus eben dieſem Grunde kann man durch das im vorhergehen⸗ den Abſatze beſchriebene Verfahren nach jenen Formeln den reellen Logarithmen nicht finden, den jede negative Zahl nach meiner er Vorſtellungsart hat⸗ Denn ſobald — m = 1 — » oder ſder⸗ e O dung d auf en dere; Weg⸗ hleibt Wen SEN wera andere wan! Unen dos ye garith ron ap ren 1 ſtens, ſener EB⸗ derd polli man rir „ PStr ai Nce Rnn in, Aru Rea mrig . Vorſteln⸗ pentg del 6 “ n, M a d de h ſen hetgehe⸗ nn E 21 —1 N Zuſaͤtze zum achten Capitel. 539 I † xX „ oder = — geſetzt wird, um den daraus ſich ergeben⸗ den Werth von X in den gedachten Formeln zur Erfin⸗ dung des Logarithmen von — m zu brauchen, ſo hoͤrt — m auf eine negative Zahl zu ſeyn, und erhaͤlt dafuͤr eine an⸗ dere zwiefache vorhin angegebene Bedeutung. Der einzige Weg, den Logarithmen von X und X V — 1 zu finden, bleibt daher der, daß man 1« ſuchet, und dieſen Logarith⸗ men nach der obigen Theorie auch als den Logarithmen von + x und — 2 V — I und uͤberhaupt von allen den Groͤßen betrachtet, die mit X aus der angenommenen Baſis nach einerley Exponenten zugleich hervorgebracht wer⸗ Dden koͤnnen. 26. Endlich ſtellt nach Abſatz 21 jede negative Zaht eine dreyfache Groͤße, eine endliche und zwey mehr als un⸗ endliche der Groͤße nach unendlich verſchiedene Zahlen vor. Von dieſen letzten iſt ferner die eine kleiner als o, und die andere groͤßer als das Unendliche, und dieſe letzte, ſo weit man hier veraleichen kann, um viel mehr groͤßer denn das Unendliche, als jener kleiner denn o iſt. Hiermit ſtimmt aber das vollkommen uͤberein, daß jede negative Zahl drey Lo⸗ garithmen, einen endlichen und zwey unendlich große, und von dieſen den einen negativ und den andern poſitiv, und den poſitiven groͤßer als den negativen hat, und ſonach waͤ⸗ ren alle S. 524. 525. angefuͤhrte Schwierigkeiten gehoben. 27. Es haͤlt ſchwer, eine, in mehrern Stuͤcken wenig⸗ ſtens, neue Theorie, ſo lange man dieſelbe nur bloß nach ſeiner eigenen Vorſtellungsart zu pruͤfen, und noch nicht Gelegenheit gehabt hat, den belehrenden Tadel der Kenner daruͤber zu vernehmen, und darnach dieſelbe weiter zu ver⸗ vollkommnen, ſo vorzutragen, daß der Ausdruck nicht manche Unbequemlichkeiten herbeyfuͤhre. Ich empfinde dieſes 540 Zuſaͤtze zum achten Cabitl. dieſes hier ſehr lebhaft und verſichere daher, daß ich jeder Belehrung offen mich erhalten, ja jede gruͤndliche eur⸗ theilung des Bisherigen, ſo vieler Fehltritte ſie mich auch uͤberfuͤhren mag, wofern ſie nur gruͤndlich und alſo auch belehrend iſt, mit dem aufrichtigſ ten Danke erkennen werde. Daß ich mich an mehrern Orte kuͤrzer haͤtte faſſen koͤnnen, raͤume ich zum voraus ein; allein da das ganze Werk, wel⸗ ches ich hier bearbeite, obgleich von einem Meiſter, den⸗ noch fuͤr Anfaͤnger geſchrieben iſt, ſo habe ich mir bey die⸗ ſer Abhandlung eben dergleichen als meine Leſer vorgeſtellt, und hoffe in dieſer Ruͤckſicht, wegen der hier und da ſonſt zu großen Ausfuͤhrlichkeit, Verzeihung. Jetzt will ich die bisherige Unterſuchung mit ein Paar Anmerkungen be⸗ ſchließen. 28. Ein Hauptſatz iſt es ſowohl i in dieſem Zuſatze als in dem Zuſatze B zum vorhergehenden Capitel, daß man das Abſolute von dem Poſitiven unterſcheiden, und insbe⸗ ſondere auch die abſoluten Zahlen von den poſitiven tren⸗ nen muͤſſe. Hierdurch leugne ich nicht, daß es Faͤlle giebt, wo dieſe Unterſcheidung uͤberfluͤßig ſeyn kann, ich raͤume dergleichen vielmehr in Menge ein, und laſſe ſehr gern jene Unterſcheidung allenthalben fuͤr unnuͤtz gelten, wo man die Zeichen † und — eben ſowohl als Zeichen der Addition und Subtraction betrachten, als ſie fuͤr Zeichen des Poſitiven und Negativen nehmen kann. Indeß dies zugegeben, ſo bleibt dieſelbe in vielen andern Faͤllen doch ſchlechterdings nothwendig, und das nicht bloß bey Anwendung der Arith⸗ metik auf die Geometrie, oder beym Gebrauche derſelben in der angewandten Maͤthematik, ſondern auch in der Arith⸗ metik ſelbſt, z. B ſo oft Zahlen zu Dignitaͤten erhoben und Wurzeln ausgezogen werden ſollen. Unterſcheidet man das Abſolute nicht von dem Poſitiven, ſo muß man auch alle von honti ſge ſn ſich Eil dig nat Ne D ſate, Mori ſortlau ſch da ſett w⸗ . Aber ge — Wnd der Ergaͤnz Giͤgen Und fali. ſide, R Ou⸗ kennt, erregen beym 9 ſen dar don ab ben ſo werden Capite den g eiſer, “ r bey die⸗ Wif ſel, nd Aſnc ſeze elͦ n Eimen das nd inde⸗ Fale gen, „ſc riune genn iine ſetzt werden konnen. Eben ſo iſt Zuſaͤtze zum achten Capitel. 541 von den abſoluten Zahlen bewieſene Saͤtze in eben dem Um⸗ fange von den poſitiven bewieſen annehmen, und dann muͤſ⸗ ſen ſich, die ſich von ſelbſt verſtehenden Modificationen die⸗ ſer Saͤtze vorausgeſetzt, auch die negativen Zahlen vollſtaͤn⸗ dig nach ihnen behandeln laſſen. Aber ſucht man nun z. B. die Quadratwurzel aus — 4 nach dem Binomiſchen Lehr⸗ ſatze, indem man — 4 = 1— 5 ſetzt, und darauf den Ausdruck (1 — 5) entwickelt, ſo erhaͤlt man eine ohne Ende fortlaufende Reihe von lauter moͤglichen Groͤßen, die folg⸗ lich da V — 4 = – 2 V – 1 iſt, = DB 2 V — 1 ſollte ge⸗ 1— (1 — X)2 T † 2 X *†* 3 X2 †T 4X3 † 5 *A4 1† c. aber geſucht, findet man D I = 14 112 2 t So t*. (1 — 2 2 und doch giebt dieſe Reihe auch bey der Hinzufuͤgung ihrer Ergaͤnzung nie I. Daß man ſich, wenn man bedingte Saͤtze als unbedingte behandelt, nicht uͤber die paradoxen und falſchen Reſultate zu wundern habe, welche man dabey findet, iſt freylich etwas ſehr bekanntes; allein wenn man die Quelle dieſer paradoxen und falſchen Folgerungen nicht kennt, ſo vermoͤgen ſie gleichwohl große Schwiertgkeiten zu erregen: und warum ſollte man alſo nicht fruͤh und gleich beym Anfange der Betrachtung der entgegengeſetzten Groͤ⸗ ßen darauf aufmerkſam machen, daß nicht alles, was von den abſoluten Zahlen erwieſen iſt, ſchon deswegen und eben ſo, auf die poſitiven und negativen Groͤßen angewandt werden duͤrfe? In dem Zuſatze B zum vierzehnten Capitel Capitel werde ich von der Unterſcheidung des Abſoluten von dem Poſitiven bey der Beſtimmung der Wurzeln der Glei⸗ qgungen 512 Zuſaͤtze zum acht en Cattl. chungen, in welchen die Sinus, Coſt nus c. vielfacher W kel mit den Sinus, Coſinus ꝛc. der einfachen Winkel lverglichen werden, eine andere nicht ganz unwichtige Anwendung machen. abſoluten Baſis zu zwey einander entgegengeſte etzten ſonſt gleichen, und außer dem noch zu einer unbeſtimmten Menge unmoͤglicher Groͤßen gehoͤre, (S. 492. 493. Abſ. 17.) iſt, ſo viel ich weiß, noch von Niemanden in der Lehre von den Logarithmen behauptet worden; allein das iſt ein ganz . allgemein bekannter und gebrauchter Satz, daß ( a) wenn man fuͤr n jede Zahl ſetzen darf, eine unbeſtim mte Menge von Werthen enthalte, und jener ſagt im Grunde durchaus eben daſſelbe. Wenn man indeß jede auch nicht abſolute Zahl auf die Abſatz 15. beſchriebene Art aus irgend einer abſoluten Zahl durch die Erhebung zu Dignitaͤten und die Ausziehung der Wurzeln entſtehen laͤßt, und dabey die Bedeutung der Logarithmen nach Abſatz 16 ſich gedenkt, ſo gehoͤren auch bey einer abſoluten Baſis zu jedem Loga⸗ rithmen eben ſo viel Zahlen als bey einer nicht abſoluten Baſis, und vielleicht iſt es noch zweckmaͤßiger, ſich die Beſchaffenheit der Logarithmen auf dieſe letzte Art vor⸗ zuſtellen. 30. Als ſich mir der im vorhergehenden Abſatze noch⸗ mols gedachte Satz bey der Ausarbeitung des Abſchnitts, von den Logarithmen, in meinen kuͤrzlich erſchienenen An⸗ fangsgruͤnden der Buchſtabenrechnung und Algebra zuerſt darbot, denn ungeſucht und von ſelbſt ſtellte er ſich mir bey der Vorausſetzung, daß die abſoluten Zahlen nicht immer mit den poſitiven verwechſelt werden foͤnnen, dar: ſo dachte 29. Der Satz, daß jeder Logarithme bey einer nicht c nict m Bet Aiferen ein unen auf, we die Sche heben fongs dac han poheliche fir Oen ethaͤlt er n ſo men ſen ols , gründtich ſ Wa en auf ihn ge her ſeten wohl dadn ſeſen, ſor eingeſchede Wege gen 31. B theils aſs Mendſich den Gadan Intben 3 den negat Knochen in t M 3) Le Wher wn ſe aus inn Runde ſth gedent Hhan Mne 4 Waten a, ſd de n Uate woh Pbſanite, jen ſenenen 1 ut icht inne ſett 6 zu machen. Es ginge ſolches wohl an, wenn man nicht vom Zuſatze zum achten Capitel. 543 ich nicht daran, daß er in der Differential⸗ Rechnung bey dem Beweiſe des Satzes, daß fuͤr jeden Werch von x das Differential des Logarithmen davon d. 15 = D ſey, als ein unentbehrlicher Satz erſcheinen wuͤrde. Ich nahm ihn auf, weil er ſich mir von ſelbſt darbot, und weil er mir die Schwierigkeiten in der Lehre von den Logarithmen zu heben ſchien, derer ich in der Vorrede zu den erwaͤhnten Anfangsgruͤnden der Buchſtabenrechnung und Algebra ge⸗ dacht habe. Iſt indeß das richtig, was ich uͤber den ge⸗ dx woͤhnlichen Beweis des Satzes, daß d. 1 = — und zwar fuͤr jeden Werth von x ſey, Abſatz 6 — 8 geſagt habe, ſo erhaͤlt er dadurch einen Grad von Wichtigkeit mehr, und um ſo mehr wuͤnſchte ich, daß Maͤnner von mehrern Kennt⸗ niſſen als ich ſich herablaſſen moͤgten, meine Vorſtellungen gruͤndlich zu unterſuchen. Auch erſtreckt ſich ſein Einfluß, ſo wie auch der Einfluß der Unterſcheidung, welche mich auf ihn gefuͤhrt hat, noch weiter als ich es hier aus einan⸗ der ſetzen darf, und ſo weit ich deutlich ſehe, wird gleich⸗ wohl dadurch kein wahrer und brauchbarer Satz umge⸗ ſtoßen, ſondern nur in ſeine ihm zukommende Grenzen eingeſchrankt, dagegen aber viele Schwierigkeiten aus dem Wege geraͤumt. 31. Diejenigen, die die negaliven Zahlen ſonſt ſchon theils als mehr denn unendlich klein, theils als mehr denn unendlich groß haben betrachten wollen, ſind dabey auf den Gedanken gefallen, einen Unterſchied zwiſchen den ne⸗ gativen Zahlen von der Form — 1, — 2, — 3 tæ. und 141 12 den negativen Zahlen von der Form — —, An⸗ 544 Zuſaͤtze zum achten Capitel. Anfang an gewoͤhnt wuͤrde, in der ganzen Mathematik = — 2 cLc. anzunehmen, und dann muͤßte man doch auch der Analogie wegen die letzten Zah⸗ len durch — — 3 ꝛc. bezeichnen. —,—, — Allein aus P1 1 PI FI dem angefuͤhrten Grunde hat Euler im erſten Theile ſei⸗ ner Differential Rechnung §. 105. Recht, dieſe doppelte Bezeichnung durchaus zu verwerfen, nur haͤtte er nicht ſich deswegen auch zugleich wider die Vorſtellung von den ne⸗ gativen Zahlen, die ſie freylich veranlaßt, aber nicht noth⸗ wendig erzeugt hatte, als wider eine durchaus unſtatthafte Vorſtellung erklaͤren, und ſo zu ſagen das Kind mit dem Bade ausſchuͤtten ſollen. Ich fuͤrchte wenigſtens eine aͤhnliche Verhaltungsart von meinen kuͤnftigen Beutthei⸗ lern nicht. IX. „Vul Gyfndu 1. Algetne Wrin 1¹. Vort b. deg 4. fi . f 41 4d, D. komm Eulerz WNNW iſe Anbe r nicht ſh r ſich ⸗ Unſunheie nd Men niudend ane en Hutſe⸗ I. IX. =ð Zu ſaͤtze zum neunten Capitel. A. Inhalt dieſes Capitels. Von der Erforſchung der trinomiſchen Faktoren. 1. Vorlaͤufig von der Nothwendigkeit dieſer Lehre fuͤr die Eeſindung der imaginaͤren Faktoren der Funktionen, §K. 143. 144. 2. Allgemeine Regel zur Erforſchung der trinomiſchen Fak⸗ toren, §. 145 — — 149. a. Vorbereitung dazu, §. 145. b. die gedachte Regel ſelbſt, §. 146 — 149. 2. fuͤr die gegebenen Funktionen in unveraͤnderter Form, §. 146. 8. fuͤr dieſe Funktionen, nachdem ſie zuvor zur bequemern Erreichung des vorgeſetzten Endzwecks abgeaͤndert worden, §. 147 — 149. aa. Anleitung zu dieſer Abaͤnderung der Funktionen, §. 147 – 149. pb. Art und Weiſe, wie man aus den abgeander⸗ ten Funktionen die geſuchten trinomiſchen Fak⸗ toren findet, §. 148. 149, am Ende. 3. Erlaͤuterung der gegebenen Regel an einigen oͤfters vor⸗ kommenden Funktionen, §. 150 — 164. Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. l. B. Mm à. 546 Zu uſaͤtze zum neunten Capitel. a. an algebraiſchen, F. 150 — 154. 2. ſolchen, die unter die Form an † zn, g. 150. 2 ſolchen, die unter die F Form an — en, §. 151 J. 152. 7v. ſolchen, die unter die Form azn — 2 an zn. coſ. g † 2en, §. 153. 2. ſolchen, die unter die Form =† zn ††Guτα 15 923n, ꝛc. gehoͤren, §. 154. b. an tranſcendenten Funktionen, §. 155 — 164. Die hier betrachteten Funktionen ſind lauter unendliche Reihen, welche Exponential⸗ Groͤßen ausdrucken, nemlich u. die Exponential⸗Groͤße 9. 155. — 6—X 6. die Expponential⸗ Groͤße „ §. 156. e ex †. e-xX v. die Exponential⸗Groͤße — . 157. . V - r —= - 5 5 . t X 1 — 6 2. V — I d§. die Exponential⸗ Groͤße — B . 2 V — 1 e2 V-r e -V- r — , K. 138. . die Exponential⸗ Groͤße ex — 2 coſ. g 1. exX, §. 159. 2. die Exponential⸗Groͤße ebekxX ec-x, §. 160— 164. Hier wird e Db†X eC-X aa. — — in eine unendliche Reihe von und Faktoren aufgelsſet, S. 160. 161. bb. dann darin b = o, und c theils poſitiv theils negatio geſetzt, §. 162, und die hierdurch ſich ergebenden Reihen ec, auf den Kreis, und zwar auf eine doppelte Ar angewandt, §. 163. 164. De yrendun Tren , e⸗ lteutet, 1 col 9† er,ſw 1 1=I; gich ““ d mnan ſt mgn, ſVus ieſitch 2 MNimmt r har dieſe ſachen gokto col g ein Hot eine lgeme ſodeß nr Vtd: ſo hot S4q (cot. P ks muß dem icol. col. 1 e⸗ — 1 V Anendli drucken, H3 1P-I — 0 Zuſaͤtze zum neunten Capitel. 547 B. Zuſatz zu H. 153. 1. Die am Ende des vorſtehenden § von mir gedachte Anwendung der Euleriſchen Methode die trinomiſchen Fak⸗ toren zu erforſchen, iſt folgende. Wenn 9% einen Winkel bedeutet, und man coſ. † V= I. ſin. O= p, und cof. %— V - I. ſin. 0 = ſetzt, ſo wird P 4 = 1; pn = coſ. n ꝙO V— I. ſin. n; = = coſ. n ꝙ — V —1. ſin. n W folglich pa † qa = 2 coſ n 4; und n — qn = 2 V —r. ſin. n%; und man iſt alſo im Stande, durch Aufloͤſung der Formeln pn † qn, und pn — qn in ihre Faktoren die Sinus und Co⸗ ſinus vielfacher Winkel durch Produkte auszudrucken. 2. Nimmt man nemlich zuvoͤrderſt die Formel pyn † qn = 2 coſ. n ſo hat dieſelbe, wenn n eine ungerade Zahl iſt, den ein⸗ fachen Faktor p † q — 2 coſ. %, ſo daß in dieſen Faͤllen coſ ein Faktor des coſ. n iſt. Laͤßt man nun n die Formel pp — 2 q cof. † qq eine allgemeine Trinomie fuͤr die uͤbrigen Faktoren ſeyn, ſo daß pn † qn verſchwindet, wenn Ppp —– 2 q coſ- erd wird: ſo hat man daher p= q (coſ.= V- I. ſin. )oder p= aA(col. — V— 1. ſin. und folglich Pn = qn (coſ. n σ – V —– I. fin. n *ο) Es muß demnach qn (coſ. n „ P V— I. ſin. n &) † qn = — 0, oder coſ. n æw & V — I. ſin. n = † I = 0% Mm 2 ſeyn, 548 Zuſaͤtze zum neunten Capitel. ſeyn, und hierdurch wird ſin. n 0% und coſ. n „= — I. Da alſo coſ. n = — 1 iſt, ſo muß na entweder «, oder 3, oder 5*, oder 7n, ꝛc. ſeyn, und bedeutet naher⸗ i jede un⸗ gerade Zahl, ſo wird n- = iæ, und „= —, und der all⸗ gemeine doppelte Faktor der Formel pn † gn iſt PpP-ap q coſ. — — 1† 4 . 3. Es laͤgt ſich aber derſelbe auf folgende Art verwan⸗ deln. Aus py † qn = 2 coſ. n & fließt p p † qq= 2 col. 2 0, und durch dieſe Subſtitution wird, da pq = 1 iſt, pp — 2 q cof qq = 2 col 2 2% — 2 co —. Ferner iſt aus Capitel 8, F. 131. a Pbb a — b coſ. b — coſ. à = 2 fin. —. ſin. — —, folglich coſ. 2 % — col. — = 2 fin. 3 5 19) ſin. (⸗ . — 9). Hierduech erhaͤlt n man zum allgemeinen Faktor der Formel pu † qn ann. W 1 ſin. d 9) und ſetzt man darin fuͤr i nach und nach die ungeraden Zah⸗ len, ſo bekommt man 2col n2= 4ln. (2. 9). ln. — %). 4ſn. S 4 0). ſin. — %. 4 ſin. 1e). an. (= — 4) c. bis man uͤberhaupt n Faktoren hat. 6 — = — S =2 20 1 120 2c0 e. 10 200 coln. iis mon n nte Copi uung, n 8 W auf eine Nppelten g 19 — , 4 5„ 3 r, , d Nerch Sð Zuſaͤtze zum neunten Capitel. 5 49 4. Es iſt demnach fuͤr . n =I 2 coſ. = 2 ſin. (— — 9) 2 nR=2 2 coſ. 2 22 fin.( — % ſin. † ) 2 =3 a col 39 = 2 fin: (2. — 9) n. (7- o)ſin. . — 6) Wð .— r 3 n=4 acol 4%2 4in. (—. — ) ſin. S † ) ſin.. — %) ſin. (2— † *%) n=; 2 coſ. S Q = 25 ſin (— — %) ſin (— † ſi 37 3 13) 60 560°= 7 * 10 97 10 6 in. (15 e⸗ fn. (22 p ) ſin. (58. — in AS 12) in – 7) = 6 2 coſ. 6 τ = 26 ſin. (— — &%¾) ſin. (— † %) ſin. (— — %) 12 12 12 3. 5æ & ſin. (— † o) ſin. (— — 9) ſin. ( in- (= 1 0) ſin. E— 9) ſin 72 19) und uͤberhaupt . — n= TI 1 )ſa (— ſi — coſ. n ꝙ = 2n -1 ſin S 2) lin. ( 2 19) Kn. — 2) 1 . (= 4 ) bis man n Faktoren hat. Man vergleiche hiermit das vier⸗ zehnte Capitel des erſten Theils der gegenwaͤrtigen Einlei⸗ tung, F. 2,4 292 5. Behandelt man nunmehr die Formel pn — qn = 2 V – 1. ſin. n auf eine aͤhnliche Art, und nimmt man zum allgemeinen doppelten Faktor derſelben wieder wie vorhin Mm 3 PP 7 550 Zuſaͤtze zum neunten Capitel. Ppp= 2 p q cof. “ † S an, ſo wird, wenn man denſelben = o ſetzt, abermals p= q(coſ.V— I. ſin. *) und pu= qn (coſ. neV —I. ſin. næ) und es muß demnach ꝗ (coſ. n 4 V— I. ſin. n æ) — qn = coſ. ne +V =1I. ſin. n o — I = und folglich ſeyn. 6. Auf dieſe Art erkennt man, daß der Winkel n & ent⸗ weder o, oder 27%, oder 47, oder 67, ꝛc. oder 2i= ſeyn muß, wenn i jede ganze Zahl bedeutet. Es iſt alſo der allge⸗ meine Faktor der Formel P — qn ſin. n o = o, und coſ. na = I pp=2 Pq cof † qd = 2 coſ. 2 ½— 2 cor⸗ und da derſelbe in die beyden Faktoren 2 ſin. (— — ). 2 lin. † 0) aufgeloͤfet werden kann, und die Formel pr — gqn. außet⸗ dem noch den einfachen Faktor P – q = 2 V — I. ſin. 6 hat: ſo wird und folglich fin. EG — 9. 2an 1) 2ſin. — %) *. oder ſn. n9 = An- 1 ſn. g. ſin. . — 9). ſin. (— 9). His mn Ca fr 1lihr 2 ſit 1. B Dite, wr ſin, ne i dem er ſerentiatio Uſecher Nalßer d Uheſdce n n) 19 -, 1 W — 1W Zuſaͤtze zum neunten Capitel. 551 bis man n Faktoren hat. Man vergleiche hiermit Einlei⸗ tung Cap. 14. §. 240. H V H 7. Hieraus fließt fuͤr n=I ſin. = 20. ſin. 7„ n = 2 fin. 2 0 = 2 ſin. O ſin. — °) n) =3 ſin. 3 4 = 4ſin. 9 ſin. (2. — g) üin. S † ⁶½) n =4 ſin. 4 %½ = 8 ſin. 6 ſin. ( — ⁶₰) ſin. S † 9 ſin. — — 9) 4 4 4 7 272 ſin. (22 9) 5 P* n=6 ſin. 6 % = 32 fin. 6 ſn. — ) ſin. ( † )n. E — ) ꝛc. g. Was den Gebrauch betrifft, den Euler an dem Orte, woher dieſer Zuſatz genommen iſt, von den fuͤr En. n z3 und cofſ. n z gefundenen Beſtimmungen macht, in⸗ dem er daraus durch Huͤlfe der Logarithmen und der Dif⸗ ferentiation Formeln fuͤr die Tangenten und Cotangenten vielfacher Winkel ableitet, ſo muß ich ihn uͤbergehen, weil er außer den Grenzen einer Einleitung in die Analyſis des Unendlichen liegt. Mm 4 „ X. Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. Von dem Gebrauche t der trinomiſchen Fak⸗ toren bey der Summirung der Relhen. Inhalt dieſes Capitels. „ I. . Vorläͤuſig ein Huͤlfsſatz, von dem Verhaͤltniſſe der Coef⸗ ficienten einer Gleichung zu den Summen der Poteſtaͤten ihrer Wurzeln, §. 165. 166. 2. Summirung verſchiedener unendlicher Reihen, §. 167 bis 183, nemlich à. derer, die unter 1 1 † z 4 ti. begriffen ſind, wenn n eine gerade Zahl bedentet, §. 167, 168. 2*, Darſtellung der Summen dieſer Reihe uͤberhaupt, 8 16. Ferm, §. 169. k— 1 —— b. derer, die ur ter rdie Form 131 — † — ret. und 21 3² . I . 1 1 T 32 5 7 1 † ꝛc. gehoͤren, wenn n eine gerade Zahl iſt, §. 109, 170. 1 I c. derer, deren allgemeine F ——,— derer, algemeine Form m T T mn) † Darſtellung derſe lben in einer mehr entwickelten Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. 353 S H I — I 1 n — m)n 1“ (3n † m) n † (Sn — m) in „ ic., 08 1 — 1 — † 2c. iſt (myn * (an — m)a (2n † mn (An — el ſo daß die obern Zeichen gelten, wenn n eine unge⸗ RM rade, und die untern, wenn es eine gerade Zahl be⸗ PIt. „ — te. . deutet, §K. 171 — 17 ℳ. Summirung dieſee Reihen in ihrer allgemeinen Form, §. 171 — 174, nemlich den dek aa. der Reihen — 1 + 1 n † (n — m)n (n † m) SFa mn 1c. §. 171. 172. nßk bpbb. der Reihen — †* Nrhee mn (2 n — m. u r. §. 173. 174. en, . AQn 1 m)n 42. Summirung verſchiedener aus ihnen abgeleiteten beſondern Reihen, §. 175 –— 177, und zwar ſol⸗ tberefinſa cher, die aus ihnen entſtanden ſind, S , aa. durch die Subſtitution m = I, und n = 2, J9. 175. hrhn bb. durch die Subſtitution n 1, Uund n = 3. §. 176, 177. mnten aa. aus der erſten allgemeinen Reihe, §. 17 76. d 8. aus der andern, §. 177. HW d. derer Reihen, die man aus den bey o angefuͤhrten zun durch die Addition und Subtraction derſelben zu und von einander findet, §. 178 — 180. nimn n i *. Snummirung der auf dieſe Art gefundenen allge⸗ UDMU meinen Reihen, F. 178. 6§. Summirung verſchiedener aus ihnen abgeleiteten e beſondern Reihen, §. 179. 180. HS DJ SJ Mm 5 ”MM .òZ 554 Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. aa. ſolcher, die man aus ihnen durch Setzung be⸗ ſtimmter Werthe fuͤr m und n erhaͤlt, F. 179. bb. ſolcher, die man aus den hierdurch gefundenen Reihen durch Combination derſelben ferner ab⸗ leiten kann, §. 180. g. derer Reihen, die man aus den bey d beſchriebenen durch die Vereinigung je zweyer Glieder in eine Summe, und die Addition der hierdurch gefundenen Reihen erhalten kann, §. 181 — 183. *,. Summirung dieſer Reihen in der Form, in welcher man ſie gefunden hat, §. 181. 6⁶., Summirung derſelben in abgeaͤnderter Form, §. 182. 183. B. Zuſatz zu §. 166. I1. Ich muß mich hier des in der Anmerkung zum vor⸗ ſtehenden § gethanen Verſprechens entledigen, und ich will es auf die Art thun, daß ich zuvoͤrderſt die hieher gehoͤri⸗ gen von Eulern gegebenen Beweiſe mittheile, und dann einige Anmerkungen hinzufuͤge. Der erſte Beweis, den ich herſetzen werde, iſt in der Abhandlung in Eulers Opuſculis varii argumenti, welche den Titel fuͤhrt: Demenſtratio ge⸗ mina theorematis Neutoniani, quo traditur relatio inter coefficientes cujusvis aequationis algebraicae et ſummas poteſtatum radicum ejusdem, und in der zweyten Samm⸗ lung S. 108 anſaͤngt, der zweyte, und daſelbſt von §. 8 bis zu Ende enthalten. Euler ſchlaͤgt darin den Weg “ daß er die Wahrheit des zu beweiſenden Satzes bloß einer algebraiſchen Gleichung vom fuͤnften Grade X £ — A xA FT Bx3 –— CxX2 † Px — E= o aͤber auf eine ſor che Art jeigt, daß leicht in die Augen faͤllt, daß Rr egee Gleich g ju ober — egeben ken, w gerade ſiteeN ſünbenen 4 . N e Kecnn Ro 4 * 4 „t znfot delatio Intel ſmr 1D G et Imds UWnd/ n mn⸗ õü de. dieſer Gl eichung hedeutet, Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. 555 daß eben derſelbe Beweis bey jeder andern Gleichung ge⸗ fuͤhrt werden koͤnne. Der ganze Beweis iſt folgender. 2. Es ſey die Gleichung X5 — AXA † BX3 — Cx2 † DX — E = o gegeben, und «, s, 7, ⁹, und ſeyen die Wurzeln dieſer Gleichung; auch ſey 82„ = « † £ † -†„ † % r ⸗ 8 22 = 2u2 † 62 † 72 † 52 † ⸗2 Sæj3 = a3 † 83 † 73 † %3 † s3 SaA = aà † ga † 74 †. d4 † =4 SæS = ℳ5 † 65 † „5 † d5 † ⸗s Dieſes vorausgeſetzt, ſo iſt zuvoͤrderſt ℳ 5 — A ℳ4 † Bæ3 — Cα2 † Dæ — E = 0° 85 – A84 † B 63 — C82 † DeS — E = 0 „5 — AY4 † By3 — CZ2 † Dy –— E = O0 „5 — A e4 † B53 — Csa † Ds -— E = und hieraus erhaͤlt man durch die Addition 325 — A Se4 † BS3 — CSæ32 † DSe — 5 F = 0 . oder 8e* = A 822 — B Se 3 † CSa2 — D Sæ † § k. 3. Iſt daher irgend eine algebraiſche Gleichung, ſie mas zu einem Grade gehoͤren, zu was fuͤr einem ſie will, oder Xn — Axh-J † Bxh= 2 — CXR- 3 4 D gn- 4 — „ „ Mx –☛ N = 0 gegeben, wo in den letzten Gliedern die obern Zeichen gel⸗ ten, wenn n eine ungerade, und, die untern, wenn es eine gerade Zahl iſt: ſo iſt offenhar, daß, wenn « jede Wurzel 1 ——— vondern auch S „ 556 Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. Sha n ASn-I — BSæn-=2 † CSen-3 — AISA X. n N ſeyn werde. Es erhellet alſo auf dieſe Art die Wahrheit des Newtonianiſchen Satzes fuͤr einen Fall allemal, und es iſt folglich nur noch uͤbrig, dieſelbe auch fuͤr die hoͤhern und niedern Digsitaͤten zu beweiſen. 4. Fuͤr die hoͤhern Poteſtaͤten laͤßt ſich indeß eben der⸗ * S. 3, 5 der Gleichung X 5 — A XA † BX3 — CX2 † DX, — E = O ein Genuͤge, ſo gehoͤren ſie auch zu den Wurzeln folgender Gleichungen: X 6 — A xX5 † BxX4 — Cx8 F DX2 — Ex = 0 X7— A XG † Bxs5 — CX4†DX3 — E xX2 = „ 8 — Ax7 1 Bx6 — CxS 4 Dx4 — Ex5 — 0 20. und ſetzt man daher in jede dieſer Gleichungen fuͤr & die zmerche *, , 7, à, und s⸗, und addirt die hierdurch ge⸗ fundenen zu einander, ſo wird = A Ses — B Sa4 † CS823 — DSa2 † E Sæ 8 7 = A SG — B Sas †P CS=ι — DS3 † ESaZ 8 S — ASa — BSa † 08 ce S — DSzA † ESæSI *te 5. Bedeutet alſo ⸗ jede Wurzel der Gleichung: Xn – A Xn-I † B xn- 2 — CXnR= 5 5 . Dxn-4 — „— 2 MXx T. N = 0 ſo iſt nicht n nur, wie wir bereits gefunden haben, San A San-I — B San-2 CSan-3 — D Gan-4.. . MSaA — n N nn „ %S . ſeibe Beweis fuͤhren. Denn thun die Werthe, «, 8, , 5 ot — us die alein die ſate gef werden, 844 843 dar 8s ſey. D gende N aſe n lende r U We 1 N erdyrch ie, gnren, D“W : a „4 14 SanT2 — A 8 cnPI — Zuſoͤtze zum zehnten Capſtel. 857 SanktI = A San — SgnHITCS 9— 2 — D S AM- 3 † . Sa2 N Sæ S 1CS , — Y — D Sen a F. MSA3 2. — NS Saenfs=ASæN 2 — B SgnII T. ◻ M 3 Gρα2 S . — D Sh-IP. . * und uͤberhaupt, wenn zu n irgend eine Zahl m hinzugeſetzt wird Sanfm=ASanim-Y — 8 Sbanfm-2 † 0 G anftm- 3 — MS mII & NSem Aus dieſer allgemeinen Formel erhaͤlt man die zuerſt gefun⸗ dene, wenn man m = o ſetzt, indem alsdann ⸗ = 1, 89 — I1, = 1, c. und alſo §Sa ο = n wird. * *° &% 6. Nun iſt zwar dieſe Formel ebenfalls wahr, wenn man m negatio nimmt, und es finden deswegen fur die Gleichung vom fuͤnften Grade X5 — Ax4 T Bx3 — CxX2 † Dx — E= O auch folgende Formeln ſtatt: 824 = ASz3 — BSaZ † CSAI — DSaO0 PESA—T Sa3 — ASa2 — BSæT † CSæ0O — D SZI PESEæ—2 322 = ASe — BSæg=O † CSa=I — D Sa-2 † ES32 ꝛc. allein dieſes ſind nicht die Formeln, welche nach dem Lehr⸗ ſatze gefunden werden muͤſſen. Es ſoll vielmehr bewieſen werden, daß SA4 = ASæ3 — B 82 † CS — 4 b 823 = A Sa2 — BSZ † 3 C Sæ = ASX — 2 B SS« = A ſey. Die Richtigkeit dieſer Sem er heleet alſo auf fol⸗ gende Art. 7. 558 Zuſaͤße zum zehnten Capitel. 7. Man mache mit Beybehaltung der Coefficienten der gegebenen Gleichung vom fuͤnften Grade X 5 — AxA † BxX3 — Cx2 † Dx — E= 8 . folgende Gleichungen der niedern Grade: 2 — A = 0, 22 – A 2Z † B =0 23 — Az2 † Bz —– C = 0 24 — Az3 † Bz2 — Cz † D = 6, und ſetze die Wurzel der erſten Gleichung = p, ferner ſede Wurzel der zweyten Gleichung = q, jede Wurzel der drit⸗ ten Gleichung = r, und jede Wurzel der vierten Gleichung = 8. Ob nun gleich die Wurzeln dieſer Gleichung ſehr von einander verſchieden ſind, ſo iſt doch die Summe der Wur⸗ zeln einer jeden Gleichung = A, die Summe der Produkte aus je zwey und zwey Wurzeln der zweyten, dritten und vierten Gleichung = B, die Summe der Produkte aus je drey Wurzeln in der dritten und vierten Gleichung = C, und das Produkt aller vier Wurzeln der vierten Gleichung = D Da nun, wenn in zwey oder mehrern Gleichungen die Summen der Produkte aus je zwey Wurzeln einander gleich ſind, ebenfalls die Summen der Quadrate der Wur⸗ zeln dieſelben ſind, und eben dieſes von den Summen der Wuͤrfel der Wurzeln behauptet werden kann, wenn außer⸗ dem noch die Summen der Produkte aus je drey Wurzeln, und von den Summen der Biquadrate der Wurzeln, wenn auch die Summen der Produkte aus je vier Wurzeln in den gedachten Gleichungen gleich ſind: ſo iſtt Sa = Ss = Sr = ⁸q = 8 p Ssa2 = 82 = Sr2 = 5 q2 § e3 — 8683 = ₰ †3 Sa4 — 8s4 Es — Es lern Mteus, ſch di ukte au zur Veſt außerden und zur Summe ſic ⸗ey⸗ 8NR , ⸗ 813 554 ch in der 1— wenn wan den Wbat da 542 „8a3 844: undin der 1I.— — S=S venn e je 4: de 843 da4 gas tnnde⸗ — — ſene i NWͦ dai “WZ under W⸗ ommmen N renn eiht tn Vunen , pn enin — — Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. 5859 Es beruhet aber der hierbey zu Huͤlfe genommene Satz darauf, daß die Summe der Quadrate mehrerer Groͤßen durch die Summe dieſer Groͤßen und die Summe der Pro⸗ dukte aus je zweyen von ihnen, beſtimmt werde, und daß zur Beſtimmung der Summe der Wuͤrfel dieſer Groͤßen außerdem noch die Summe der Produkte aus je dreyen, und zur Beſtimmung der Summe ihre Biquadrate noch die Summe der Produkte aus je vieren von ihnen erforder⸗ lich ſey u. ſ. f. 8. Nun iſt nach Abſatz 3 Sp = A 8 q2 = ASq — 2 B Sr3 = ASr3z — BST † 3 C SS2 ASS3 – BSS2 † CSSs Op, und folg⸗ lich in der Gleichung vom fuͤnften Grade: X5 — Ax4†BX3 — Cx2 †DX — E= o wenn man in dieſen Formeiln die Werthe des vorhergehen⸗ den Abſatzes ſubſtituiret S⸗ S A Sa2 = ASA — 2 B 8 23 = ASa2 — BSZ † 3 C SæA =— ASXY3 — BSa: † CSæ — 4 D und in der allgemeinen Gleichung: . Xn— Axn-I † BXn-2 – Cxn-3 † Dxn-4 —, — N=e, wenn « jede Wurzel bedeutet, C= = A Sa2 =— ASg — 2 B H Sa3 = ASa2 — BSæZ † 3G Saa = ASa3 — BSa2 † CSz= — 45b Jas =— A S2„4 — BSa3 † CSa2 — DSs † 5 E 1e. 560 Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. 9. Außer dieſem Beweiſe hat uler i in ſeinen Opuſculis analyticis, im erſten Theile, der zu Petersburg 1783 heraus⸗ gekommen iſt, und zwar in der Abhandlung, die den Titel, Miſcellanea analytica fuͤhrt, S. 337. f. das Verhaͤl tniß der Coeefficienten einer Gleichung zu den Summen der Poteſtaͤ⸗ ten ihrer Wurzeln durch die Aufloͤſung der Aufgabe geſucht: Wenn die Formel 1 † AZ † Bz2 † Cz3 † Dz4 † E 25 † ꝛc. ein Produkt aus den Faktoren 1 † «=z, I † &, I † „z3z, 1 † %2, 1 †. 2, 2c. iſt, die Summe der Poteſtaͤten von «, 8, 7, 9, s, ꝛc. zu ſinden. Nachdem er, um ſich bey der Aufloͤſung kurz ausdrucken zu koͤnnen, P = a †† s. 4† „ † °S † s † ꝛc. Q= a † ge † 72 † 92 † e2 † ir. R = a3 † 83 † 73 † 3 † „3 † ꝛc. 8 — 24 † 84 † 74 † 4 † 54 † ic. geſetzt und angemerkt hat, daß alles darauf ankomme, die Werthe von P, Q, R, 8, v. durch die Buchſtaben A, B, C, D, ꝛc. zu beſtimmen; daß b bloß von A abhaͤnge, weil P = A iſt; daß Q bloß durch A und B beſtimmt werden koͤnne, weil die Produkte aus je drey Buchſtaben «, s, 7, 9, s, nicht in die Beſtimmung der Quadrate kommen; und daß aus aͤhn! ichen Gruͤnden zur Beſtimmung von R bloß A, B und C, zur Beſtimmung von 8 bloß A, B, C, D, erfordert werde, ꝛc.: ſchließet er folgender Maaßen. 10. Wegen der ſo eben gedachten Beſchaffenheit der Abhängigkeit der Buchſtaben P, Q, R, 8 ꝛc. von den Buch⸗ ſtaben A, B, C, D, Lc. laͤßt ſich der Buchſtabe b. auf eben die Art finden, als wenn bloß die Formel 1 † Az gegeben waͤre, und die uͤbrigen Buchſtaben, B, C, D, E, ꝛc. ver⸗ ſchwaͤnden. Unter dieſen Umſtaͤnden aber hat 1 † Az nicht mehr als einen Faktor, der 1 † a⸗ ſeyn mag, ſo daß = 2 a 121 1 m —, S0, bd pie auch II. wenn b u N hat, die A=a bder22 d ſo ſan. Au Faktor die lenden, 1 br oder 2 D NANXN (1 †er b⸗ c: len die E deGich Euler 4 en NP M 4 6 4 ammged konmw a 4 UII 4 Zuſuͤtze zum zehnten Capitel. 561 a = P ſey. Setzt man alſo 1 † az⸗ = o, oder 2 = — —, ſo muß auch I † A 2z = o werden, und folglich 1— So, oder a — A=o ſeyn. Hieraus aber folgt a = P= 4, wie auch ſchon ohnedem bekannt iſt. eI. Ferner erhaͤlt der Buchſtabe OQeben den Werth, als wenn bloß 1 † Az † Bzz da waͤre, und die Glieder von Cz3 an verſchwaͤnden. Da dieſe Formel zwey Faktoren hat, die 1 † az und 1 bz ſeyn moͤgen, ſo wird dabey P= a † b, und d eis † bz. Setzt man nun 1 a⸗« = o, oder 2 = — — ſo muß auch 1 † AZà † Bz2 = O werden, und folglich 1 — T † 2. =o, oder a2 — Aa B = o ſeyn. Auf eben die Art aber erhaͤlt man aus dem andern Faktor die Gleichung bz — A b † B = o, und folglich aus beyden, wenn man ſie zu einander addirt, und Q ſee a ² † bz, und P fuͤr a 1 b ſchreibt, 2— gAP † 2 B = oder Q=AP — 2 B. 12. Den wahren Werth von R findet man aus der For⸗ mel I1 A 2 † Bz 2 † C2z3, welche man = (1 † a 2) (1 † bz) (1I † c2) ſetzen kann, ſo daß P = a † b† c; Q = a2 † ba † ca, und R= a–3 † be † c3 wird. Alsdann ge⸗ ze Subſtituti —1 – —— ben die Subſtitutionen 2=— — 2=— F, r . die Gleichungen: a 3 — Aa Ba — C = b — A bz † B b — C = 0 c 3 — Aca † Bc — C = o Eulers Einl. in d. Anal. d. Unendl. I. ͤ. Nn und 562 Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. und daraus findet man durch die Addition und den Gebrauch der Puchſtaben B, Q, P RACI BP — 30=0, oder R =40 — BP 30. 1 3. Eben ſo findet man den Werth von § aus der For⸗ Mel I1 † AZ † Bzz 1† C23 † Dz4. Setzt man nemlich die⸗ ſelbe = (1 †T az (1 †T bz) (I T cz) (1. † dæ) und fol lglich R= aß † bs † cs † da 8 = aa 1 ba † ca † da ſo bekoͤmmt man durch die Subftitutionen 2 = — – . — $ = — 2 =- 1 2—- die Gleichungen: 4 — Aal † Baz — Ca † D = 0 baA — Abs 6 B bz — Ch D = o CA4 — Ac3 † Bcz — Cc P D = o dA — A di † Bdz — Cd † D = o die, in einander addirt, 8— AK BQ— CP 1 4b., oder “ =44 — 20 0C-— 4 geben. 14. Hieraus laͤßt ſich ſchon abnehmen, wie die Summen der hoͤhern Poteſtaͤten oder T, U, V, ꝛ. beſtimmt werden. Es iſt nenlich =AP-— 2 R= AQ BPI3G 5: = A R — BQ † CP —– 4D T = AS — BR † CO — DP † SE U =— AT — B 8 † CR — DO EP — 6 5 AU — 31 ½ cs — pRI EG-— FP170 3e. 15, 53 e/ BGew⸗ Kaucht n⸗ auch den! ſeführten hen Opule md u lung der 16. G — to denn iſt. Alsd IZgeI ), wenn 62 — — — 7 d? Zdx Aun i ebe 1 —. 1*6 und ſolgli hben der 5 , NSonnen imor vute Zuſuͤtze zum zehnten Capitel 563 D 15. Zu dieſen beyden hier eigentlich nur her gehoͤren⸗ den Beweiſen, weil dabey keine Differential⸗Rechnung ge⸗ braucht wird, kann ich aus gewiſſen Gruͤnden nicht umhin, auch den vermittelſt der Differential⸗ Rechnung von Eulern gefuͤhrten Beweis zu ſetzen. Es iſt derſelbe in der aus ſei⸗ nen Opuſculis varii argumenti vorhin angefuͤhrten Abhand⸗ lung der erſte, und folgender. 16. Es ſey xn — Axn- I †BXR-2 — Cxn-3 . N = Z = (X— 2) (X — ⁸⁶) (X — ) (X — ). (X — »p) wo denn die Anzahl der Faktoren (Xx— ) (X — 8) ꝛc. = n iſ⸗ z . wird = 1 (X — a) † 1(X — ) † 1(X — 2½) F. 1 (X — p») und, wenn man dieſe Gleichung differentirrt 42. d x dx dX dz Z — — f .. . —— und das Gefundene durch dx dividirt Nun iſt aber X —, x xz I x3 1 xX4 Xxs und folglich, da man n ſolcher Reihen erhaͤlt, vorausge⸗ ſetzt, daß die Abſatz 2 erklaͤrten Bezeichnungen hier in eben der Bedeutung gebraucht werden, Nn 2 42 564 Zuſaße zum zehnten Capitel. 42 —– — — 12 182 11.8:2 1 1Ssa 4. 2 dx 17. Zum andern iſt auch dZ=nXN-Idæ-— (n — I) Axn- 2 dx † (n — 2) Bxn- 3 dx — . (n-—3) Cxn-A4dæx † (n—4) Dxn-Sdzæ — ꝛc. und daher, wenn man auch dieſe Gleichung durch dx dividirt, 2 = nXR-TI — (n — I) Axn-2 † (n –— 2) Bxn-3 — dxX (n — 3) Cxn- 4 † 1c. ſo. wie hieraus, wenn man durch 2 = = xn — Axn-X † BxXn-2 — ꝛc. dividirt Zdx— nxn- 1 — (n— r) Axh-2 † (2 — 2) Bxn- 3 — (n -— 3) Cxn-4 Pꝛc. Xn — AXR-TI k BXI2 — CxXxn-=3 +† ꝛc. 18. Da man alſo durch Vergleichung der beyden hier d gefundenen Beſtimmungen von 72 nxn- — (n— 1) Axn- 2 † (n — 2 Bxn- 3 — (n — 3) Cxn- 4 +† ꝛe. Xn — AX-TI † Bxn-32 — Cxn-3 † ꝛc. 2 + † — 8=2 † — S=3 f Sza ft. bebommt, ſo wird, wenn man beyde Haͤlften dieſer Glei⸗ chung durch Xn — Axn- 1 † Bxn-2 — Cxn- 3 † ꝛc. multiplicirt, nxn- 1—(n — I) Axn- 2 † (n — 2) Bazn- 3 — — (n — 3) Cxn- 4 † ꝛc. — — nXn-I . n-2 82 f Xn-3 Se2 † Xxn-48³ † ꝛc. — nAXN:-2 — Axn- 38 g — AXh-4 S842 — C0. InBxa-: † BXn-4S — n Cxn-4 ꝛc. — 2. Hier Hiernd eſnucher Miten, -- fa⸗ —I- †a- Dus Geſe ſt leicht w ſeſen Gls 8 842 843= S44=, 4 = 4 a6 19. Ve⸗ den vorher denſelben he Ddurch erh frenge, un gethan, da dem erſten, lbſet⸗ ein en Bewei Eiten gehe⸗ der dara anders unde Dey demn das ein gie DDrr- -Hur AMrr4 , nj r, A! Wahe Fritte⸗ —— ai⸗ er Cn ,lltplirt, Nrfr , -r N . õs Zuſaze zum zehnten Capitel. 565 Hier ſind nun zu beyden Seiten die erſten Glieder nxn- 1 einander gleich, und es muͤſſ en daher auch die zweyten, die dritten, die vierten ꝛc. einander gleich ſeyn. Folglich iſt — (n – 1) A = S2 — n A , 4 (n — 2) B = Se-2 — AS T n — (n – 3) C = S23 — ASaD2 † B Sæ — nC † (n — 4) D = SAA—ASA3 † BSS=2 — CSæ TnD Das Geſetz, nach welchem dieſe Gleichungen fortſchreiten, iſt leicht wahrzunehmen, und eben ſo leicht findet man aus dieſen Gleichungen die Neutonianiſchen Beſtimmungen: Szæ A Sg2 = AS — 2 B Sa3 = A Sa2 — BSæZ † 3 C SæA = ASZ3 — BSæ2 † CS⸗= — 4D Sasy = A Sa4— BSa3 † CSA2 — DSA † 5 E Sa 6 = = ASas — B Sæa f CS⸗3 — DS= f ESs= -— 65 ꝛc. — 19. Vergleicht man dieſen letzten Beweis mit den bey⸗ den vorhergehenden, ſo iſt der Vorzug, welchen er vor denſelben hat, gar nicht zu verkennen. Der Satz, der dadurch erhaͤrtet werden ſoll, wird ſo allgemein und ſo ſtrenge, und dabey auf eine ſo wenig weitläuftige Art dar⸗ gethan, daß nichts weiter zu verlangen uͤbrig bleibt. Bey dem erſten, Abſatz 2 bis 8 mitgetheilten, Beweiſe wird Abſatz 7 eine Behauptung zu Huͤlfe genommen, die einen neuen Beweis noͤthig macht, da ſie nicht zu den Elementar⸗ Saͤtzen gehoͤrt; und vielleicht iſt die genaue Beſtimmung der darin genannten Summen von Poteſtaͤten nicht einmal anders moͤglich, als eben durch den Neutonianiſchen Satz. Bey dem andern, Abſatz 9 bis 14 ſtehenden, Beweiſe iſt das e ein nicht ganz unwichtiger Umſtand, daß dabey die Nn 3 Buch⸗ 566 Zuſstze zum zehnten Capitel. Buchſtaben P, Q, R, S ꝛc. nicht immer Summen von einer und derſelben Anzahl von Groͤßen ſind. 20. Der Herr Hofrath Kaͤſtner hat in ſeinen Anf angs⸗ gruͤnden der Analyſis endlicher Groͤßen, am Ende, den Neu⸗ tonianiſchen Satz von dem Verhaͤltniſſe der Coefficienten einer Gleichung zu den Summen der Poteſtaͤten ihrer Wurzeln auf ſeine Art, d. h. karz, deutlich und buͤndig, bewieſen, und zu⸗ gleich eines andern Beweiſes von dem ehemaligen Prof. Baͤrmann zu Wittenberg Erwaͤhnung gethan. Da indeß jeder deutſche Mathematiker des Herrn Hofrath Kaͤſtners Werke beſitzen muß, ſo habe ich nicht noͤthig, daraus hier etwas herzuſetzen. 21. Der franzoͤſiſche Ueberſetzer des erſten Theils der Euleriſchen Einleitung in die Analyſis des Unendlichen, Herr Pezzi, deſſen Ueberſetzung Strasburg 1786 erſchienen iſt, hat ebenfalls in einem Anhange zum zehnten Capitel die von Wulern bey §. 166 gelaſſene Luͤcke durch einen ohne Differential⸗Rechnung gefuͤhrten Beweis des Neutoniani⸗ ſchen Satzes auszufuͤllen geſucht. Es empfiehlt ſich indeß die⸗ ſer Beweis weder durch Kuͤrſe, noch durch Leichtigkeit, und ich kann daher uͤberhoben ſeyn, ihn abzuſchreiben. Herr Pezzi hat des Hrn. Hofr. Kaͤſtners Werke nicht gekannt, Das geſteht er ſelbſt, daß er aber auch die Eut leriſchem hier mitgetheilten Beweiſe nicht gewußt hat, laͤßt ſich daraus abnehmen, weil er ſich ruͤhmt, durch die Differential⸗ Rechnung eine andere Methode gefunden zu haben, ohne deſſen, was Euler in dieſer Ruͤckſicht ſchon im Jahr 1750 gethan hat, auch nur im mindeſten zu erwaͤhnen. 22. Uebrigens ſind die Saͤtze aus der Differential Rech⸗ nung, die bey dem Abſatz 1 5 bis 17 ſtehenden Beweiſe ge⸗ braucht werden, von der Art, daß dieſelben eher bekannt ſeyn den Vort gethane dachtend 1. G einem 3 Ic wil reciproca⸗ Pereriburg ren I u lange dor dr des Nemd Alterſuchte 2 We⸗ ſaus deſels XI— G Zentlich 4 ſinng enes ſie aber i gen durch iu fiden. mnen en R 4 Dy irde Naeani NA N l els . on end e ed We Ndlichen, 9 Hee Aeſhienen i W 1e z Neſon ſin⸗ M WI ctt e t, Zuſaͤß aͤße zum zehnten Capitel. 567 ſeyn koͤnnen, als der Neutonianiſche Satz, ſo wie es Euler gethan hat, gebraucht w wird. Ich habe daher um ſo we⸗ niger Bedenken getragen, den ge dachten Beweis hier mit⸗ zutheilen, zumal, da er nicht ſo bekannt zu ſeyn ſcheint, als er es verdient. Wenisſtens iſt Euler dadirch wider den Vorwurf geſichert, als eder⸗ das am Ende des 166ſten. § gethane Verſprechen nicht gehalten, weil man den ge⸗ dachten Beweis nicht in ſeiner Diſfer xe ential⸗Rochnung ſindet. C. Zuſatz zu §. 167 und 168. 1. Es iſt eben ſo angenehm als nützlich, mehrere zu einem Ziele fuhrenden Wege mit cinander zu vergleichen. Ich will daher aus, der Abhandlung de ſummis ſerierum reciprocarum im ſiebenten Bande der Commentarien der Petersburgiſchen Akademie der Wiſſenſchaften von den J ah⸗ ren 1734 und 35 die Art und Weiſe mittheilen wie Kuler lange vor der Ausarbeitung der Einleitung in die Analyſis des Unendlichen die Summen der in den oben ſtehenden 55 unterſuchten Reihen mit Huͤlfe des Kreiſes beſtimmt hat. 2. Wenn s einen Bogen, „ den Sinus und » den Co⸗ ſinus deſſelben bedeutet t, ſo iſt nach Capitel 8 der Einleitung §. 134. —rr2 3 3.4. 5 2567 82 86 1 SI 1.2 1 r.2 „2. 3.4 1. 2. 3.,4.5.6 Ei gentlich werden durch dieſe Formeln die Sinus und Co⸗ finus eines Bogens aus dieſem m Bog en beſtimmt, man kann ſie aber eben ſo gut gebrauchen, um nach jener einen Bo⸗ gen durch ſeinen Sinus, und ans dieſer durch den Coſinus zu finden. Zu dieſer Abſicht ſ ſoll hier indeß bloß die erſts In 4 For⸗ 568 Zuſͤze zum zehnten Capitel. Formel unterſucht werden, und dazu iſt es am bequemſten ihr folgende Form zu geben: . H S§ 4 §5 3 85 4 0° — I1 — — †.- — — c. „y I. 2. 3. V TP2. 3.4.5. 7 3. Da dieſes eine Gleichung von unendlich vielen Di⸗ menſionen iſt, ſo muß ſie auch eine unendliche Anzahl von Wurzeln haben, und nennt man dieſelben A, B, C, D, E, ꝛc., ſo wird, wie aus der Lehre von den Gleichungen D bekannt iſt, 8§ 8 3 § § 57 1 — – — — 711 — — zc. 8 S 8 8S 8 ——— — TI =— — T1 — 1I— — — — 3 ( . (1 — c — P) (1 — 3) c. und foigic 1 1I = = †1 C L P1t 4 ꝛc. = der Sumune der rodute aus je zweyen — —-— = der Summe der Produkte aus je dreyen 1. 2. 3. V d S—nder Summe der Produkte aus je vieren 1I 1.2. 3. 4. 5. y 1I I I I von d —, — — n dieſen Groͤßen XB C DP E 4. Nun ſind aber die Wurzeln der Gleichung Abſatz 2 keine andere als alle die Bogen, deren Sinus =y iſt, und alſo, wenn man den kleinſten dieſer Bogen durch A und c. Dern halben Umkreis durch = ausdruckt, folgende: A, =—A, 2 7 † A, 3 — A, 47 † A, 57 — A, ꝛ”. . desgleichen —-— ,— 2rf4, — * — , 4r t, — 5r — ,1. Es = der GSucnme der Produkte aus je fuͤnfen * ”M Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. 569 inip Es iſt demnach auch die Summe aller dieſer Groͤſen = die Summe aller Produkte aus je zweyen = o itre, 2 B — 1 1i 8 die Summe aller Produkte aus je dreyen = — — nin 1.2. 3. J UMMB die Summe aller Produkte aus je vieen = o Nei . I Nunn die Summe aller Produkten aus je fuͤnfen = 12. 3 4.5 7 die Summe aller Produkte aus je ſechſen von ihnen⸗ =S0O 5. ebt man nunmeh — † — — — — – †– ꝛe. 4. — * — 1 ðͦJJM 1 Sr D t rt rA. I I 1 1 1 A 2 1 1 r A) 3 t D 8ſe den 8— 1I 1 — — B AN 1, 1 —-41 541(224 4 7 ee n ze fuin ſo wird nach dem in der Einleitung, Theil 1. Sa. I0 §. 166, angefuͤhrten Neutonianiſchen Satze „ I P= —; 6SZ unt HHAn b r 2ii U — = — u 2 Y DNen A Nr C 1 y I. 2 y .-l,l RKR P 1. 2. 3. J 570 Zu ſaͤße zum zehnten Capitel. 8 — — — k* — y L. 2. 3. y 1.2.3.4. y T R V= — — — y L. 2. 3. y I. 2. 3. 4. 5. V 8 Q⁄] y. I. 2. J. Y I. 2. 3.. 4 5. y I.2. 3.4.5. 6. 20. 6. Angenomn nen allo, daß y = r = 1 ſey, ſo iſt der kleinſte Vogen A von denen, deren Sinus = 1 iſt, = 4, oder wenn man = q ſetzt, A = q und æ = 2q. Da⸗ bey verwandelt ſich die obige Reihe Abſatz 4 in folgende: X I 1 1I I , , — - — 2 F. 1 F. — : — 4 4 3 , 74 74 — “ † 2t. L. Hieraus aber fleßt . 1 1 1 — (.— — †¼ — — –᷑ bP - — — † ꝛc.) P= 1 4 3 5 7 19 1I” 3 und es iſt demnach 4 1 1 4 = — = 1 = † — - 1 – — — 1 ꝛ 2 4 3 5 9 1I1 . welches die bekannte 4 Aeibnitziſche Reihe zur Beſtimmung des halben Umfangs eines Kreiſes zum Radius, oder des ganzen Umfanges zum Durchmeſſer deſſelben if. 7. Nimkt man nun die Quadrate derer Groͤßen, die ſich aus der V orausſetzung, J= 1, ergeben haben, ſo er⸗ hlt man 1 17 1 r1 — †r — t — † — 1 1. 92 99 A 25q° 259 2½* und durch die Beſtimmungen im fuͤnften Abſatze alſo 2 (r † — † 1 1 † .) = Q P — — † — — † — † ꝛc.) ☛ Q P= q2 9 25 4 9 , „oder Nun i⸗ 1I2 und de ,, 4 i⸗ . . Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. szr oder 2 2 1 1I = — =,1 †% — † — — t t. 2 8 9 25 49 81 Nun iſt aber 1 4 — † — ꝛr. = 14 *† 16 9 25 49 6 I . † 2; 55 r. — G r1 — † 1. r ꝛc.), und 2 9 25 38 es wird folalich 22 1I I I 1 I — =1 † — † — P† —- f - † — f† ꝛc. 6 4 9 16 25 36 8. Da in dem Falle, wenn y = 1 iſt, P = Q = 1 „ 1 DWBU D wird, ſo iſt, fuͤr y„= 1, R = —; 8S = —; T = X; 2 61 17 . V = —; W= —; X = – H „ꝛc. Aus RK = — aber 135 720 315 2 hat man 2 I 1 — (1 — – † — — — †* –— — eꝛc.) = — 92 33 53 7 9 3 oder 3 3 T . 1I T 1 += — = 1— — † – — — † — — 2. 4 32 3 ¾ 53 73 93 Ferner fließt aus aus 8 44 154 54 74 = 3 oder 4½ — 24 112 . 1 15 1 re 6 95 54 †74 5s r. und da dieſe Reihe mit 7 multiplicirt die Reihe T 1I I 1I 1 1 — † — †+ — † — † ꝛc. — sN 8 572 Zuſätze zum zehnten Capitel. giebt, ſo findet man dadurch — 1† — † — III 1 r. 90 — 1 24 34 44 54 64 9. Auf eine aͤhnliche Art entdeckt man die Summen der hoͤhern Poteſtaͤten, nemlich I r. = — = * 3 55S 775 1 95 115 “ 48 1536 und 1 3s † 5o 17 1 & 1 = 1i.. 15– 9566 Aus die⸗ er kegten Neihe “ ergiebt ſich auch * 6 — † — † — = ? ꝛc. = —. 1½2 1 5 t 5 † 945 dur die ſebenten Dignitäten erint man I „I ”ÿMƷMB 1 D 6197 6127 97 11¹1⁷7 t. 1440 184320 und fuͤr die acten 1 I118 — I1728 11 118 —5 1 72 t5 a5 IIs 630 161280 woraus ſich “ weiter 1 25 1 38 46 1 58 t 6 9450 ergiebt. Da bey ungeraden Exponenten die Zeichen vor den Gliedern abwechſeln, und nur bloß bey den geraden Poteſtaͤten gleich ſind, ſo iſt dies die Urſache, daß man die allgemeine Korn 1 1 r t † 1 t 1 r. nur in den Filen ſummiten kann, wenn n eine gerade Zahl iſt. — 1 — Zuſͤtze zum zehnten Capitel. 573 10. Setzt man den kleinſten zu y gehoͤrigen Bogen = 4 7* und alſo y = V ſo wird 4 ”M 1 ☛ 3 * 5* 7* 9 ⅓½ IITX y und fogich —,— I † — — – — F — — Trꝛe. Ferner iſt die Summe der Quadrate jener Glieder oder at. F 5 †. = =2, und alſe wwie bereits vorher gefunden worden iſt. 1II. Macht man y = ſo wird der geine zu y ge⸗ hoͤrige Bogen = 1 Alsdann erhaͤlt man 3 3 z 3z3 2 1 2 — †+ — — — — — † — 2 c. = — = — 2 7 47 5 y V3 und es iſt daher 2 ZW I I IIIII 3V3 2 — 4 5 7 8 0% 11“ Sernee d wird die Summe der Quadrate dieſer Glieder = . — = — 4. und olgli 7 2 folglich 1 in welcher Reihe age uns 3 ſamnengeſegke Glieder feh⸗ len. Es hangt aber dieſe Reihe auch mit folgender 2 7* 1¼ † 1 J tis . = 7 574 Zuſaͤtze zum zehnten Caͤtt zuſammen, indem dieſe mit (1 — multiplicirt, ene giebt, = 42 27 12. Setzt m man y =o, ſo verwandelt ſich die im An⸗ fange Abſatz 2 zum Grunde gelegte Gleichung in lolgende: S2 ⁸5 8⁸ 7 I.2.3 I. 2.3.4.5 1.2. 3. 45.6.7 und die Wurzeln dieſer Gleichung ſind alle die Bogen, und ihre Sumume e iſf daher = = u⸗ — = deren Sinus =o iſt. Die kleinſte Wurzel iſt daher s= o, und dividirt man hierdurch die vorhergehende Gleichung, ſo dekoͤmmt man = 1 — — — † - 4 „ † ꝛc. 1.2. 3 1.2 J. 4'G I. 2. 3. 4. 5. 6. 7 und die Wurzeln dieſer Gleichung ſind alle uͤbrige Bogen, deren Sinus = o iſt, oder *, — , † 2 — 2 , 1 32, — 37 ꝛc. Hieraus fließt § 2% L & 4 1— — 1.2.3 1.2.3,4 5 (1 † a- (1 4 D).= A= Ha-= .1 1c. = (1— ) 8 2 a =— a⸗ — 1672 NNMN. 13. Rimmt man nun auch hier den Neutonianiſchen Satz von dem Verhaͤltniſſe der Coefficienten einer Gleichung zu den Summen der Boteſtͤten ihrer Wurzeln zu Huͤlfe, ſo ſ fadet man rI 1— 2 1 * g tre7 1I T 7 % 1 1t — 1t — f† — z. = 2 z3 7 1 4 x. 3 Q 14. yungen / Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. 575 Wð .. 1X1 T MB I „ ee 1† 1t 32 † 4 5* †ꝛc. = 5 S R TI I— TI I 7 8 P5 35 1 5 1 5 K. = — = 5 r I TI „ T leenl 1 — † — T — 1 3 — [F’c. = - — = T inſage . 8 4 1I I 50172 1— F — PL — P — † ꝛc. = =V 711 212 312 1 412 1 * 6825. 93555 und hieraus Uenn at 6 P 150 21 21 B 108 — 22T 6825 e 20 R 1085 691 T Glitng ⸗ 14. Auch kann man aus den bisher gefundenen Beſtin⸗ — mungen folgende Werthe von = ableiten. 1 1 I I r ige Zegen. 40 z 5 — 7 1 5 1 3 5 7 2 , 1I 1 T — . — — — . *= 2 ( — 2- I †. S, 1— † 1. — 1 5 — r t 5 7 5 -— — 1 1 86 G 1 3 13 — 1 c. * = 4 ( — — . — † — P† — † ec. L — r 1 — . tonionichen (— 1† 5 † 72 74 † g ge. 1 II4 1. L. ℳ — rHeichung 3 1 1 Hüle 33 53 772 „* 1I3 1 1 1 1 1 1— — † — — – TP — — + ꝛc. 16/ „ Ey „5 5 115 ArIt . t 1 t r . r 34 5 * 7* 94 I1 * 7 WS . 5 6 576 Zuſaͤtze zum zehnten Capitel. 1 L 41 I 4 1 — 4 ꝛc. 8 — 7 — 77 95 IIS “ 371 57 22 — — 4 . 1 † 36 56 76 96 11 gu Lon a 1 Vircs gen und 1 Wer us 4, R 4 ge⸗ he 6. der 4 bo. cc. b. Geh 4 Zuſaͤtze zum eilften Capitel. Inhalt dieſe Canitels. W Von andern unend lichen Ausdruͤcken fuͤr die Bogen und die Sinus. 1. Verſchiedene andere unendliche Ausdruͤcke fuͤr die Bo⸗ gen und die Sinus, § 184 — 196. a. dieſe unendliche Ausdruͤcke fuͤr die Vogen und die Si⸗ nus ſelbſt, §. 184 — 187. H «. Reihen fuͤr die Sinus und Coſinus, die, ſo wie ſie aus den bereits gefundenen abgeleitet ſind, bey der gegenwaͤrtigen Unterſuchung als Grundreihen be⸗ handelt werden, §. 184. 2. verſchiedene daraus abgeleitete Reihen, §. 185 — 187. aa. zur Beſtimmung von æ, § 185. bb. fuͤr die Tangenten, Cotangenten, Secanten und Coſecanten, §. 186. cc. zur Erfindung des Sinus und Coſinus eines Win⸗ kels aus dem Sinus und Coſinus eines andern Winkels, §. 187. b. Gebrauch dieſer unendlichen Ausdruͤcke, §. 188 — 196. « von ihrem Gebrauche uͤberhaupt, §. 188. 6. von der Anwendung derſelben zur Erfindung der Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. l. HOH. Oo Lo⸗ 4 573 Zuſatze zum eilften Capitel. Logarithmen von = und der trigonometriſchen Li⸗ nien insbeſonder e §. 199 –— 196, und zwar aa. zur Erfindung des Logarithmen von r, §. 189. 190. bb. zur Erfindung der Logarithmen des Sinus und Coſinus, §. 191 — 195. aa, der hyperboliſchen Logarithmen, §. 191 bis 194. xs. der tabulariſchen Logarithmen, F. 195. cc. von der Erfindung der Logarithmen, der Tan⸗ genten und Cotangenten ꝛc. aus den Logarithmen der Sinus und Coſinus, §. 196. 2. Reihen zur Erfindung der Tangenten und Cotangenten eines Bogens aus dieſem Begen, §. 197. 198. 4 198. b. S E Veon 1 Me nen; 12 At un bis 2. A Mon Fu blo , en 6. zw de wenn Fn OA bee 4. n . Jum jedesmal „ Seragesdne I. Alf. Zuſaͤtze zum zwoͤlften Capitel. Inhalt dieſes Capitels. Von der reellen Entwickelung der gebro⸗ chenen Funktionen. 1. Nothwendigkeit der reellen Entwickelung der gebroche⸗ nen Funktionen, g. 199. 2. Art und Weiſe, wie ſie zu Stande gebracht wird, §. 200 bis 210. „wenn der Nenner der zu entwickelnden gebrochenen Funktion den Faktor pp — 2 p qz. coſ. & † qqz32 bloß in der erſten Poteſtaͤt enthaͤlt, J. 200 — 205. ℳ. erſter Weg, §. 200 — 203. 8. zweyter Weg, §. 204. 205. b. wenn der Nenner der zu entwickelnden gebrochenen Funktion den Faktor Pp—– 2 qz. coſ. 9 † q qzz im Quadrat oder in einer noch hoͤhern Poteſtät t in ſich begreift, §. 206 — 210. ℳ, wenn er denſelben i im Quadrat enthaͤlt, §. 206— 208, s. wenn (pp — 2 4:. coſ. † qqz½) K ein aktor davon iſt. §. 209. Zum Beſchluſſe wird . 210. noch angemerkt, wie man jedesmal den Bruch des Complements finden koͤnne. Oo⸗2 An⸗ 580 Zuſaͤtze zum zwoͤlften Capitel. Anmerk. Die Methode, welche Euler im erſten Theile des fuͤnften Bandes der Actorum der Petersdurgiſchen Aka⸗ demie der Wiſſenſchaften vom Jahr 1780, S. 32. f. bekannt gemacht hat, jeden gegebenen rationalen Bruch in einfache Bruͤche aufzuloͤſen, beruhet darauf, daß wenn (2 — a) ein Faktor des Nenners des gegebenen Bruchs iſt, alle aus dieſem Faktor entſpringende Partial⸗Bruͤche uͤber alle Grenzen wachſen, wenn man 2 = a ſetzt, dagegen alle uͤbrige Partial⸗Bruͤche endlich bleiben, und alſo gegen jene gleichſam verſchwinden. Wie man dieſes bey der Aufloͤſung der Bruͤche in einfache Partial⸗Bruͤche mit Vortheil ge⸗ brauchen Lune⸗ ſolches zeigt Euler am angefuͤhrten Orte fuͤr den Bruch 8 Perſtlich fuͤr den Fall, wenn Q den Faktor 2— a, dann “M den, wenn Q den Faktor (z — a) 2, drit⸗ tens fuͤr den, wenn es den Faktor (zz — a)3 hat, und ſetzt dar⸗ auf hinzu, daß und wie dieſe Methode ebenfalls anwendbar ſey, wenn die Faktoren des Nenners imaginair ſind. Da dazu einige Saͤtze erfordert werden, welche in der Einleitung in die Analyſis des Unendlichen noch nicht vorkommen, ſo muß ich es hier bey der gegebenen Anzeige bewenden laſſen. XIII. — 5 uſit Von 1. Vn 9 jederke 2. Metho Veche ſnd, b. Art u kehren . Erkle ins N au⸗ 14. afni u utſen N * in ſce d goptgen d ſo gener ine N heldi Nuthil gn gefähenn ⸗ anwerddoe de Elen vrtonnen, nmnnor ſa I e R 4 XIII. Zuſatze zum dreyzehnten Capitel. A. Inhalt dieſes Capitels. Von den wiederkehrenden Reihen. 1. Von der Art und Weiſe, das allgemeine Glied jeder wiederkehrenden Reihe zu finden, §. 211 — 230. a. Methode, jede wiederkehrende Reihe in Partial⸗ Reihen aufzuloͤſen, die zuſammengenommen ihr gleich ſind, §. 211 — 214. b. Art und Weiſe, das allgemeine Glied jeder wieder⸗ kehrenden Reihe zu finden, §. 215 — 230. 2. Erklaͤrung der Art und Weiſe, das allgemeine Glied einer wiederkehrenden Reihe zu finden, wenn die Partial⸗Bruͤche der Funktion bekannt ſind, wor⸗ aus dieſe Reihe entſpringt, §. 215 — 223. aa. wenn dieſe Partial⸗Bruͤche unter die Form A „ §. 215, 216. — Ppe)hr gehoͤren §. 215, 21 . A † Bz bb. wenn ſie unter der Form⸗ pz. cote TPpN begriffen ſind, §. 217 — 223. Hier werden fol⸗ gende Faͤlle betrachtet: «. Wwenn k = I iſt, §. 217, 218. 582 Zuſeͤtze zum dreyzehnten Capitel. 68. wenn k irgend eine andere ganze Zahl be⸗ deutet, K. 219 — 2 und dieſer aaa. allgemein, §. 2 bbb. beſonders, wenn = = 2, §. 220, wenn k = 3, §. 221, §. 222 iſt, u. ſ. f. ec. wenn beyde Formen ſtatt finden, F. 22 3³. 36. Methode, das allgemeine Glied einer wiederkeh⸗ renden Reihe aus ihrer Beziehungs⸗ Seale zu ent⸗ wickeln, §. 224 — 230. aa. Erklaͤrung der Beziehungs⸗Scale, §. 224. bb. Methode, das allgemeine Glied einer wieder⸗ kehrenden Reihe aus der B eziehungs⸗Scale der⸗ ſelben zu ſinden, §. 225, 226. ecc. Hieraus abgeleitete Methode, „0. wenn die Beziehungs⸗Scale zweytheilig iſt, aaa. jedes Glied der wiederkehrenden Reihe aus einem einzigen vorhergehenden zu fin⸗ den, §. 226. 227. bbb. aus jeden zwey unmittelbar auf einander folgenden Gliedern Pzn und Qzniz das von ihnen durch mehrere andere getrennte Glied XZan zu entwickeln , §. 228. 220. 668. wenn die Beziehungs⸗Scale dreytheilig iſt, jedes Glied aus den zwey vorhergehenden iu ſinden, §H. 230. 2. Von der Art und Weiſe, die Summe einer wiederkeh⸗ renden Reihe zu finden, §. 231 — 233. a. Methode, die Summe aller ohne Ende fortlaufenden Glieder einer wiederkehrenden Reihe zu finden, §. 231. b. Methode, die Summe einer wiederkehrenden Reihe bis auf ein gegebenes Glied derſelben zu finden, §. 232, 233. A . Ich ten Thei Nruche luſeen, Nehandel ſane d und die vorherge hat, al⸗ hefllrchte ſen Vorwo nyylſellgg mnden Reißt a n utgeh ieng; 4 ſed n ). Sh nende en! den N . i Zuſoͤtze zum dreyzehnten Capitel. 583 «. allgemein, §. 232. s. wenn die Beziehungs⸗Scale zweytheilig iſt, §. 233. B. Zuſatz zu §. 222. Ich war anfaͤnglich willens, die Entwickelung des zwey⸗ ten Theils des allgemeinen Gliedes der Reihe, die aus dem A † Bz Bruche — — bz. coHορα zuſetzen, dnd alſo den Fall des gegenwaͤrtigen K. eben ſo zu entſpringt, ganz her⸗ behandeln, als den im vorhergehenden. Da aber die Zu⸗ ſaͤtze zu dieſem erſten Bande ſchon ſo ſehr angewachſen ſind, und die gedachte Entwickelung fuͤr denjenigen, der alles vorhergehende mit dem erforderlichen Nachdenken geleſen hat, allenfalls als uͤberfluͤßig angeſehen werden kann, ſo befuͤrchte ich uͤber die Abaͤnderung meines Entſchl uſſes kei⸗ nen Vorwurf. Oo-4 XIV. ☛ SSõõ XIV. Zuſatze zum vierz zehnten Capitel. A. Inhalt dieſes Capitels. Von der Multiplication und Diviſion der Winkel. I. B timmung der trigonometriſchen Linien ſolcher Bo⸗ gen oder Winkel, die in einer arithmetiſchen Progreſſion fortſchreiten, F. 234 — 257. a. der Sinus, §. 234 — 241. b. der Coſinus, §. 242 — 245. c. der Secanten, § 246 247. d. der Coſecanten, §. 248. e. der Tangenten und Cotangenten, F. 249 — 257. 2. Summation der Sinus und Coſinus der Winkel, die in einer arithmetiſchen Progreſſion fortgehen, §. 258 — 260. Den Beſchluß machen einige Winke zur weitern Be⸗ nutzung des Bisherigen nebſt dem Verzeichniß einiger dazu nothwendigen Saͤtze, §. 261 — 263. B. Zuſatz zu §. 234 — 241. 1. Wenn einen Bogen eines Kreiſes bedeutet, deſſen Radius = I iſt, und dabey ſin. 2z = x, und coſ. 2 = y geſetzt wird, ſo findet man zwar, wenn man x oder y aus 2 beſtimmt, ſowohl fuͤr xX als fuͤr y nicht mehr als einen Werth, aber dagegen gehoͤren zu jedem xX und y unendlich viele ieebea in/ Ben ung ertt lus und in achte welchen ſin.22 2 C die Nta chen er thun. Be⸗ Naben Von der Sinn ihre Lageo den nega ſin. 5= i, Air W eten De⸗ ichniz ani Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel. 5 85 viele Bogen, ſo daß in dieſem Fall eine unendlich viel⸗ fache Bedeutung bekommt. Die Wahrheit dieſer Behau⸗ ptung erhellet, ſowohl, wenn man den Begriff eines Si⸗ nus und Coſinus genau uͤberlegt, als auch aus den oben im achten Capitel, §. 134, gefundenen Formeln, nach welchen Z 73 27 ſin.: 2 — 2 — — † — 5 — J † 20. 1.2.3 1.2 3 4 5 1.2.3.4.5. 0.7 und 22 2 4 26 MUẽ coſ.?2 = I — — — — — . † 20. I1. 2 I. 2. 3 4 1.2. 3.4. 5. 6 iſt. 2. Will man folglich einen Sinus oder Coſinus bloß auf die Art ausdrucken, daß man den Bogen anzeigt, zu wel⸗ chem er gehoͤret: ſo kann man ſolches auf unzaͤhlige Arten thun. Bedeutet nemlich s irgend einen Bogen, und = den halben Umkreis, ſo iſt, wenn man bey der Beſtimmung der Sinus und Coſinus außer der Groͤße derſelben auch ihre Lage in Erwaͤgung zieht, und alſo die poſitiven von den negativen unterſcheidet, ſin. S = ſin. (æ — s) = ſin. (2 7 † s) = ſin. (3 7 — s) = ſin. (47 † S) ꝛc. und coſ. S = coſ. (27 — S) = coſ. (27 † s) = coſ. Ge- 5) = coſ. (4 † S) ꝛc. Betrachtet man aber die Sinus und Coſinus bloß ihrer Groͤße nach oder abſolute, ſo wird ſogar 8 ſin. S = ſin. (z — s) = ſin. (z † s) = ſin. (2 — s) = ſin. † s) = ſin. (3 7 — 8) = ſin. ( (3* † 8) = ſin. (4 * — S) ꝛc. und coſ. S = coſ. (æ — s) = coſ. (æ † s) = coſ. (2 7 — ⁸) = Oo 5 coſ. 586 Zuſaͤße zum vierzehnten Cabite. cof. (2 † S8) = coſ. (3 — s) = coſ. (3 7. 1 8) = coſ. (42 — ⁸) 2c. 3. Da alſo i in der Gleichung: ſin. nz = (n=— 3) (n- 4) Iͤ . 2 der Sinus in der erſten Haͤlfte oder ſin. n2 bloß durch den Bogen angezeigt iſt, zu welchem er gehoͤret: ſo kann man dafuͤr, wenn man nz2 = s macht, ohne die Gleichung zu zu zerſtoͤren, entweder ſin. S = ſin. (* — S) = ſin. (22 † s) = ſin. (3 æ — s) 2c. oder auch ſin.s = ſin. (7 — s) = = ſin. (æz † s) = ſin. (2 7 — §8) = ſin. (2 æ † s) 20. ſetzen, je nachdem man bey den Sinus entweder ihre Geoße und Lage, oder ihre Groͤße allein in Erwaͤgung zieht. Ferner kann man darin fuͤr X, da x durch dieſe Gleichung x(2n- 1yn- 1(n 2)an- 8yn- 3 † nicht weiter beſtimmt wird, als daß es der Sinus von . don dem Bogen ſeyn ſoll, deſſen Sinus ihre erſte Haͤlfte ausmacht, entweder 8 „ 2 = . 2 Ss 37—8 ſin. — oder ſin. — — oder ſin. — — oder ſin. — . U 83 n „ILI . 4 oder B †T. S 2 — § rn. 2 — oder ſn. oder ſin. — — oder ſin. — c. . n ſegen, je nachdem wie der entweder der erſte oder der zweyte von den ſo eben gedachten Faͤllen angenommen wird. Zugleich wird dabey immer y, als der Coſinus des Bogens, von welchem x der Sinus iſt, = (I — XX). 4. Bringt man nun den jetzt gedachten Werth y = V (I1 — XX) in die Gleichung: “ An. 2— Fyn-5 —²¾ c.) M- 1) 6 erha dieſer 6 jenigen in Eur ſin. ig aler ſin in ſof durch wied. 5 6 nind durch di Formel u beſti tution Dinen u wiſen 1 d Gebt es beſtfun unddie zuglich trachtn — †£ . e 1 e olmmn leißung ir 6r-N ,„ — voeder . en NW N . Sinni⸗ 1 ate hift X(3u- Tyn-X—(n -— 2) 2n- 3 Pn-3 † Zuſaͤtze zum n Vertegnten Eeiet 887 14 ſin. n 2 = (n SH De sIn-s —ic) ſo erhaͤlt man dadurch eine ſolche, die dioß xX enthaͤlt, und dieſer Gleichung thun folglich, weil bey der Erfindung der⸗ jenigen, woraus ſie abgeleitet iſt, die Lage der Sinus mit in G Erwaͤgung gezogen worden, die Werthe UMD un. — z ſin. — ſin. 2 s ſin. — *c⸗ n II in aller Nuͤckſ icht; die Werthe aber — S 7 † S 2—S ſn. = — Rſin. — — ſin. ——— ſin. — — — 5 ꝛ2c. D 11 1 in ſo fern ein Genuͤge, a § ſie und ihre Geundgleichung durch Beyſeitſetzung der “ der Sinus nicht geaͤndert wird. “ 5. So weit iſt man alſo im Stande, die Werthe, weiche xX in der aus der Gleichung: ſin. n Zz = (n-4) X(2n- Tyn- 1— n-—2)2n- 3 Zn- 3 † 2n Syn- 5— c.) durch die Subſtitution y = V . — S entſpringenden Formel haben kann, mit der vollkommenſten Gewißheit zu beſtimmen, ohne daß man noͤthig hat, dieſe Subſti⸗ tution wirklich zu gebrauchen, und ohne die Anzahl der Dimenſionen von in der dadurch entſtehenden Gleichung zu wiſſen. Allein unter den unendlich vielen Werthen, die X auf dieſe Art in der gedachten Gleichung haben kann, giebt es bey jedem beſtimmten Werthe von n auch nur eine beſtimmte Anzahl von einander verſchiedener Werthe von X, und die Kenntniß dieſer Werthe iſt es, worauf es hier vor⸗ zuͤglich ankommt. Man ge langt t dasn durch folgende Be⸗ trachtungen, 1 588 Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel. 2n § D 6. Zuvoͤrderſt kehren von ſin. 2 an die ſchon da⸗ geweſenen Werthe in eben der Ordnung wieder, indem anE S 8 n. OG —8S —— 5 n n n n iſt, und es kann alſo die Anzahl der von einander erſchie⸗ denen Werthe von x, wenn man die Sinus der Groͤße und Lage nach betrachtet, nicht groͤßer als 2 n, wenn man ſie aber abſolute nimmt, nicht groͤßer als an ſeyn. Zum an⸗ dern ſind, wenn n eine ungerade Zahl iſt, unter den 2n Werthen im erſten Falle je zwey, und unter den 4n Wer⸗ then im andern Falle je vier Werthe einander gleich, ſo daß, wenn n eine ungerade Zahl bedeutet, fuͤr X nicht mehr als n von einander verſchiedene Werthe uͤbrig bleiben. Denn einmal iſt SS U nn ſin. — – = ſin. — 1I1 n ſin. 22 = ſin. — 2 — n U desgleichen ſin. Ae⸗= ſin. E— 1) æ — S En. Qne — – in. —— ſn. . = ſn. Qn 32— . n n c Zweytens ſind, wenn man die Sinus abſolute betrachtet, die Sinus von Kn⸗ ſo= n den n? ſin. — ſict berſ ln. ſin Zumm Under den negatve , Nuc, Ne n nd er allen ſt, firx den und n abolun ſch, wen õ Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel. 582 S . . I2 — S Rſdnn⸗ ſin. — an bis zum ſin. — — n 11 le, ſcen von den Sinus von „ n † 8Ss 2nW — S —-4 Ein. 22— an bis zum ſin. 1 II —–+ ee nicht verſchieden, und außerdem iſt auch rGrie § n W — S n mnnn n n „*U um cn 7— S⁸ (n-—I n † s muN n d e De⸗ „W T S n — I) n — § r ec , n n hrigide desgleichen § 2N — S (n † 17 — S (2n — 1) 71 † S ſin. — — — ſin. n†1) „W†S (2 n — 1) æ –— Sù 11 ꝛc. Zum dritten ſind, wenn n eine gerade Zahl bedeutet, unter den vorhin gedachten 2n Werthen n poſitive und n negative, und unter den erwaͤhnten 4n Werthen 2n Si⸗ nus, die zu Bogen gehoͤren, die kleiner ſind als 7, und 2 n Sinus, die zu Bogen gehoͤren, die groͤßer ſind als » und kleiner als 2r, und unter jenen ſowohl als unter dieſen je zwey, und Unter allen je vier gleiche, ſo daß, wenn n eine gerade Zahl iſt, fuͤr X entweder die Anzahl von 2n Werthen, n poſiti⸗ ven und n negativen, mit jenen gleich großen, oder von ne n ab oluten Werthen entſteht. Denn einmal unterſcheiden i ſich, wenn n eine gerade Zahl iſt, die Sinus. 6 En. 590 Zuſatze zum vierzehnten Capitel. fin. —, lin. — ſin. 1 „ln. A — von den Sinus . 1: 1 S „ (n † —Ss (n 2 8 ſin. 22 7 ſin. 1 2 ſin. A 232 „ % & H n n n .. (n. Q 25— . “ 22 dan; bloß durch ihre Lage; und zweytens iſt wieder, wie vorhin ſin. = fſin. — — UI 1 un. — — ſin. s 11 . 4. . (h— I1) = — n. = n. .—r — 1¹⁰ AD l desgſeichen. n n d W Lt —5 — ſin. Qn—UHei n n „(n†II—Ss „ Cn-– I) = — §£ in. . ſin c. 7. Will man alſo bloß alle von einander verſchiedene geordnet Werthe haben, die * in der aus demn hee ſin. n z = S ſ mnuß m n—4) durch die Subſtitution Y= V *Z — Xx) entſpringenden wennne Gleichung bekommen kann, und dieſelben auf die dequemſte . Art ausdrucken: ſo ſind dieſelben mn 1. wenn n eine ungerade Zahl iſt, und ,war wie A⸗ Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel. sr 5 2a. wenn die Sinus ſowohl ihrer Lage als ihrer Groͤße nach betrachtet werden: (an -— 2) 42) 2 4 è ſin. 2; ſin. (— † 2); ſin. (— T†T 2); ſin. ( 11 b. wenn die Sinus bloß ihrer Groͤße nach genommen werden: . ſin. 2; ſin — — ²); =ð — † ²); ſin. ( — 2) ſin.4 2= †2); dewih n ſlin. HM — 2z) eſin De . 2) 2. wenn n eine gerade Zahl iſt, und zwar a. wenn man die Sinus nach Groͤße und Lage zugleich betrachtet, S 77 2 2 E fin. 2; Z ſin. (— — 2) ; T ſin. (8 † 2); . . . .. ſr. — — 2 2) nę b. wenn man ſie bloß nach der Groͤße betrachtet, 18 ſn. 2; z ſin. — 2); = † 2); ſin. (— — ); 2 α. . ſin. (X 1 2) an. S — 2) ſin. (32 — 2). 8. Da ſich das Allgemeine allemal in das ihm unter⸗ teicde geordnete Beſondere durch Hinzuſetzung deſſen, was aus dem ſpecifiſchen Unterſchiede fließt, muß verwandeln laſſen: ſo muß man auch aus den Werthen von X „ En.2; fin. =. — 2); fin. (— 12); fin. (— — „: 1c. SS n n faune wenn n eine ungerade Zahl iſt, die Werthe le cvenſ ſin. 2; ſin. (— f 2); ſin. ( † 2); fin. (— † 2); ꝛ.. ſo wie auch, wenn n eine gerade Zahl ij iſt, folgende 592 Zuſaͤtze zum Nierzehnten Capitel. ſin. 2; = ſin. ( — 2); ſin. S 12); ſin. — 2);1¹. bloß durch Hinzufuͤgung der Zeichen † und — herleiten koͤnnen. Nun iſt in Anſehung der erſten Werthe ſin. z = ſin. 2 ſn⸗ . 2) = ſin. — † 25 „ „— ((n † 1W (2n — ) - — ſin. S † 2) = ſin. ( . † 2) = ſin n.— — — 2) — bn. (E —) = ſn. ( r 2) = Gn(Dar, und in Anſehnng der andern +☛ ſin. z = – ſin. 2 ſin. (2 — 2) = ſin. — 2); n ſin. 1 4 2) = — — ſin. S Man kann demnach, wenn die Sinus der Groͤße und Lage nach betrachtet werden, die Werthe fuͤr X, wenn n eine ungerade Zahl bedeutet, auch durch Än. 2; ün. (— — 2); — fſin. (— † 2); — ſin. (2— — 2) 5½ 2 W 37F 2W † in.( † 2) † ſin x 2) ſin 1† 2); — fKn. 4 — 2) 3 ſin. (d † 2); t ꝛc. II 11 und wenn n eine gerade Zahl iſt, auch durch . „2 * Eſin. 2 — ſin. —; — ſin. (.12); Sſin. D —2)c. aus⸗ H ousdai Nentn u erthe uit eine 9. B in die 6 1Cn-I, wobey e ſchlagen gerade n eine g Dimenſt Vrhecye weil die detn = IRNNE heit verg 10. gen in de ſünmt i ſcht man S. h. doraus werden f. Gelkuuch mal, w ren Kuler ich nict Gleichun Letheilt in die Gleichung Zuſuͤtze zum vierzehnten Capitel. 593 ausdrucken. Im erſten Falle findet man bey einigem Nach⸗ denken uͤberdem auch bald, daß die Anzahl der negativen Werthe jedesmal die kleinere Haͤlfte vonn, und folglich alle⸗ zeit eine gerade Zahl iſt 9. Bringt man nunmehr den Werth y0y = V (1 — XR) ſin. n z = — 4) 2 2(2- Tyn-I —(n-— 2) 2n- 3 yn-3 4 2n- 5 yn-5 — ꝛc.) wobey es am beſten iſt, daß man n den von Eulern einge⸗ ſchlagenen Werth betritt; ſo erhaͤlt man, wenn n eine un⸗ gerade Zahl iſt, eine rationale Gleichung von n, und wenn n eine gerade Zahl iſt, eine rationale Gleichung von 2n * Dimenſionen. Von dieſen Gleichungen ſind alſo aus dem Vorhergehenden alle Wurzeln aufs vollkommenſte bekannt, weil die Anzahl derſelben im erſten Falle = n, und im andern = 2n iſt, und man kann alſo nun dieſe Wurzeln mit den Gliedern der Gleichung mit vollkommener Sicher⸗ heit vergleichen. 10. Dadurch, daß die Wurzeln der gedachten Gleichun⸗ gen in dem Vorhergehenden auf mehr denn eine Art be⸗ ſtimmt ſind, wird dieſe Vergleichung ſehr erleichtert. So ſieht man z. B. den Grund von den im dritten Exempel, S. 276. ſtehenden Gleichungen darnach ſehr bald, ſo wie daraus auch die Gleichung des 240ſten §. leicht gefunden werden kann. Bey dieſer Gleichung kann außerdem der Gebkauch der abſoluten Werthe von X von Nutzen ſeyn, zumal, wenn man davon die Anwendung machen will, de⸗ ren Euler im 241 und 245ſten §. gedenkt. Uebrigens ſinde ich nicht noͤthig, auf eine aͤhnliche Art die Wurzeln der Gleichung zu betrachten, welche Euler im 243ſten § mit⸗ getheilt hat, um darauf die Betrachtung der Coſinus viel⸗ Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. I. BH, Pp facher 594 Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel. facher Winkel zu gruͤnden; denn wer das Bisherige mit Aufmerkſamkeit geleſen hat, muß die dabey noͤthigen Ue⸗ berlegungen ſelbſt anſtellen koͤnnen. C. Einige Saͤtze von Bogen, die einer geometriſchen Progreſſion nr chel 1. Die Saͤtze von den Bogen und ihren Sinus, Coſinus, Tangenten, Secanten u. ſ. f., welche das vierzehnte Capitel des erſten Theils der Euleriſchen Einleitung in die Analyſis des Unendlichen enthaͤlt, beruhen auf der Betrachtung ſol⸗ cher Bogen oder Winkel, die in einer arithmetiſchen Pro⸗ greſſion fortſchreiten. Man kann ihre Anzahl betraͤchtlich vermehren, wenn man dazu die Unterſuchung ſolcher Win⸗ kel ſetzt, die in einer geometriſchen Progreſſion ſtehen; und es wird nicht undienlich ſeyn, einige von den Saͤtzen, wor⸗ auf dieſe Unterſuchung der Bogen fuͤhrt, aus Eulers Opuſ- culis analyticis, und zwar aus der Abhandlung im erſten Theile, welche den Titel: Variae obſervationes circa angu- los in progreſſione geometrica pro gredientes, fuͤhrt, her⸗ zuſetzen. 2. Da ſin. 29— ſn. . vor 9 in, ſo wird, wenns irgend einen Winkel bedeutet, ſin. s = 2 ſin. ¾ s. coſ. S ſin. ½s = 2 ſin. s. coſ. S ſin. S = 2 ſin. 48. coſ. 1 ſin. S = 2 fin. 1½ S. coſ. z1, s ꝛc. Hieraus fließt ſin. s = 16. fin. 17 S. coſ. ½ 8. coſ. s. coſ. s. coſ. 77S und uͤberhaupt wenn z eine unendlich große Potenſtͤt der 2 bedeutet, 61 ſin. S = weil ſin. alſo i in⸗ Hiet — — 60 8 ſin. nd dorau/ IselIin 8. Geg 7„ 1-2 Do nuy ſſeigen ihen e guneſpn us ck ehnne Cl Nee Mohſs ncng ſe⸗ wicenrr rtgid ſate Dar 1ſhen; w Sigen, llts l⸗ gin erſen ie d⸗ 8 ſiſe⸗ e Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel. 595 fin. S Si. ſn. — —. coſ. ¾ Ss. coſ. S. coſ. S. coſ. 17 S. 20. 1 oder ſin. S = S. coſ. ⅛ s. coſ. & S. coſ. S. coſ. .s. coſ. H . weil ſin. . § DS alſo i. ſin. †= iſt. 3. Hieraus ergiebt ſich ſin. s — 2er ½ S. coſ. ½ S. coſ. £ s. coſ. S. coſ. ec. ‚ oder und daraus erhaͤlt m man, wenn man die kaarkthmen nimmt, = I ſin. S † Iſec. ½8 † lſec. 8 †– Iſec. 8 † ſec. 71s † 2c. 4. Setzt man s = = 90⁰, ſo wird 1-= 0 †P I ſec. 45 °† 1ſec. 220, 30 † 1 ſec. II0, 15 † sc. 2 Da nun Iſec. 45 S 0, 1505150 Iſec. 22 0 30 = 0, 0343847 Iſec. II ö, 155 = 0, 0084261 Iſec. 50°, 37 ¾ =— 0, 0020963 Iſec. 20, 48 ¾ = 0, 0005235 Ilſec. 10, 24 ¾ = 0, 0001309 Iſec. Oo0, 42 6⁄6 = 0, 0000227 Iſec. O0O, 21 = O, 0000082 und die Summe der uͤbrigen = 0, 00ο0ο0ο°27 iſ, ſo wird 1 . = 0, 1961201, und da , wegen der unendlichen Groͤße von i, = und 596 Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel. 12 = 0, 30 10300, Etnnnnnet 17 = O, 4971501, und folglich * = 3, 1415941I. §. Ferner iſt aus 4 (ſin. 49) ³ = 3 ſin. % — ſin. 3%, Cap. 8. §. 130. Anmerkung, ſin. 3 % = 3 ſin. O — 4A ſin. 93 = 3 ſin. 6 (I — 4 ſin. 62). Bedeutet daher s irgend einen Bogen, ſo wird 2 ſin. s = 3 ſin. † S (I — ¾ ſin. ſin IS = 3 ſin (r * ſin 2) 2 9 . . S. S 82. fſin. — s = 3 ſin. — (I1 — £ ſin. —) 99 27 77 2c. und folglich, wenn man auf dieſe Art fortfaͤhrt §2 § 2 §2 . ſin. S= S (I — % ſin. —) (I — ¾ ſin. —) (I — ¾ ſin. —) ꝛc. 3 * 9 27 6. Es laſſen ſich aber dieſe zuſammengeſetzten Faktoren auf folgende Art einfacher ausdrucken. Da ſin. = ¼ — ⅞ν coſ. 2 % iſt (Cap. 8. §. 130. Anmerk.) ſo wird 2 coſ. 600 † 2 coſ. 20 1 — ¾ò ſin. 2²= Nun iſt ¼ ¾ coſ. 2 = coſ. a † coſ b = leot h oſ. —, H. 131. folglich coſ. 600 † coſ. 2 = 2 coſ. os † 9) cof. (300 — 9) und daher Mgt mea bekonm ſin. § 22 5 und, wenn — lin. 5 7. Dieſe genten beyzne niels, wenn te eot. 30 D nun cot, 3cat 39 nd wenn Zuſuaͤtze zum vierzehnten Capitel. 599 4 Bringt man dieſe Werthe in die vorhin gefundene Formel, ſo bekommt man = col (z00 †)col. (j00 — 3) — — — CO0O ₰ 1— ¾ ſin. 62 = 4 § § 4 cof. 00 † ) coſ. 00 — —) 3 3 9 (30˙— 9) 4 8 8 — coſ. (300 † —) coſ. (20 0 — — 3 (3 127 G 27 ꝛc. und, wenn man die Secanten braucht, — 2 ſec. 6300 † 7 ſec. (30 °— 5 — ſin. 4 3 § 5 — ſea 0°† —) ſec. (300 — — ſec. (3 (3 9 2 5 .— * ſec. (30⁰ 127 ſec. (30 ° — 27 7. Dieſen beyden Beyſpielen ein drittes von den Tan⸗ genten beyzufuͤgen, ſo iſt aus dem 2409ſten § des 14ten Ca⸗ pitels, wenn man tang. = t et, D— und folglich tang. 3 „= = , Gornni — — 3t4t — — 244 “B cet. c3 0° = z= (J — 10 Da nun cot. o = — iſt, ſo findet man daraus A . — 8tt — 8t -und wenn man t = — ſe etzt, p 3 598 Zuſuͤtze zum vierzehnten Capitel. — ⅝ ſin. 9. coſ. t. 3 O — cot. O = . 3 cot: 30 — cot. 6 3 coſ. 02% — fin. 02 Ferner iſt coſ. 92 = 1† coſ 29, und ſin. 02 = ⅞ — ⅝ꝭ coſ. 2 folaglich 3 coſ. &2 — ſin. Oo2 = I † 2 coſ. 2 ½ = 2(coſ. 600 † coſ. 2 ⁰) = 4 coſ. (30° † %) coſ. (300 — %) weil coſ. a † coſ. b = 2 coſ. . coſ. — iſt, und dabey hat man — 8ſin. 4. coſ. o = — 4a ſin. 2 %, §. 129. Anmerk. Da nun uͤberhaupt ſin. 2 %° = ſin. (a † ) cof. (H — %) — col. (a † ) üün. (a — 0) iſt, ſo wird, wenn man a = 300 ſetzt, 23 cot. 30% — cot. O = An. (300 † %) coſ. (300— O † coſ. (30° † %) ſin. (300— %) coſ. (300 † &%) coſ. (300 — *) — — — tang. (300 † %) † tang. (300 — %) und es iſt folgli ch cot. 3 = cot. ₰ — tang. (300 † )†εCtang. G00— ) 8. Setzt man alſo s anſtatt 3 %, ſo erbaͤ man cot. = 3 cot. — tang. (300⁰ I3 ) †1 2 ang. Go*- 2) und auf eine haliche Art denn auch I Ss 1I § cot. = = — cot. — — T tan ( er Ftang. 30— 7 3. .3 9„ 9 S — cot. = Kcot. — Ttang. 4 Gorre Siang. (30— „ 9 27 27 27 27 20 M Geht got. S E 1 Seot. 5 9. De aus das D ler Forme 5 — W.S ootli ſt,und dben õ Zuſuͤtze zum vierzehnten Capitel. 599 Geht man auf dieſe Art ohne Ende fort, ſo wird endlich S coſ. — I S 1 1 S 1 und folglich 1 MM 1 98 — — tang. (30° † —) — — tang. (300° † —) — 3 ang (3 9 tang (30⁰° † 5 1r1 E0t. S = I § 1 † ang. (3 3 5 g. (3 3 † 1 S S tang. (30 27 . . . . Es iſt daher — = cot. 1 tung. G01*% 1 tang. oi 2) † 7 ang. (300⁰ † ꝛc. 1 § 1I „ sSs — — tang. (300 — —) — — tang. (300— —) — 7 tang 3 5 3 (30 9 .tang. (300— — † 1. 27 27 9. Dieſe Formel hat Euler in der Abhandlung, wor⸗ aus das Vorhergehende insgeſammt entlehnt iſt, auch aus der Formel — 2 o † * — – fF- 4 ſec. (300 † 7 ſec. (300 3) 3 4 § 8 2 ſec. (300 † —) ſec. 00 — — (3 1 ec. (3 5 ſee. (30° 1 ſec. (300 — 3 △0α. Pp 4 durch 60oo Zuſaͤtze zum vierzehnten Capitel. durch die Differemiation gefunden, und außerdem fol⸗ gende aus ſin. 40 = 8 ſin. ꝙ. coſ. 5 1 ) coſ. (45 °— 0) coſ. und ſin. 5S = 16 ſin. 6. coſ. (180 † 10) coſ. (180 — ) coſ. (54°† %) coſ. (54 — °) fließende doemeln itgeeheit⸗ — — C t. 1t — 176 — g, — . ot. S t⸗ ang. 314 8. 5 E 6 tang 64 ꝛc . 4 S † 4 ang. (45 1† tang. (45 °1 3) è* 1 § 6 tang. (45 °† 64 P:ꝛc. 4 4 16 16 tan (450 — ) — ꝛc. 64 8.(45 64 *W — = cot.s † tang. 180 SSS (180 † 2 ꝛc. 1 t (180. — Dt (180 R— Z mn – tan — ) — — tan — —— .⸗ 5§S . 5S 25 mng. T 4 5 tang. (540† Pr. tang. (540 † 5 ꝛc. I § — — tang. (5 0 — — — + tan . 0 — —) 1c. 5 aS.Se 5 25 ang G4 25 a⸗ Zuſitze zum funfzehnten Capitel. 4 Inhalt t dieſes Capitels. 48: R Von den Reihen, die aus der Entwicke⸗ lung der Faktoren entſpringen. Rt 4 1. Art und Weiſe, wie man Produkte in Reihen verwan⸗ o-- delt, § 264 — — 276. 4 a. Reihen, welche aus dem Produkte: (1 † ½) (I T 62) (1 † 722) entſpringen, §. 264 — 269. H H 2. die daraus entſpringende allgemeine Reihe, §. 264. e g. daraus fließende beſtimmtere Reihen, §. 265 — 269. 5 aa. wenn bloß fuͤr z ein beſtimmter Werth angenom⸗ v-r. men wird, §. 265. 266. aaæz, wenn 2 = † I, §. 265. . 88. wenn 2 = — I geſetzt wird, §. 266. 5 bb. wenn außerdem auch fuͤr «, , 7, ꝛc. beſtimmte Groͤßen geſetzt werden, §. 267 – 269. .„ „6. wenn 2 = † 1, und fuͤr «, 6, 7, ꝛc. aaa. alle Prim Zahlen, 2, 3, 5, 7/ ꝛc. §. 267. bbb. die Poteſtaͤten der Prim⸗Zahlen mit ne⸗ gativen Exponenten genommen werden, §. 268. 8⁸. wenn 2 = — 1, und fuͤr «, £, 7, ꝛc. wieder die gedachten Poteſtaͤten der Prim⸗Zahlen ge⸗ ſetzt werden, §. 269. N. Ppops b. 2 . 602 Zuſaͤtze zum funfzehnten Capitel. b. Reihen, die aus dem Produkte ⸗ )1 — 72) (1 — 52) 7. entſpringen, F. 270 — — 276. «. die daraus entſpringende allgemeine Reihe, .: 270. 8. daraus ſiehende beſondere Neihen, §. 271 — Aa. wenn 2 = 1, §. 271 — 2 75. und zwar entweder ℳ bloß 2 — 1, §. 271, er⸗ oder außerdem auch 28. fuͤr «, g, 7, , ꝛc. die Einheit Aaa. durch alle einzelne Prim⸗ Zahlen, §. 273, oder bpbb. durch die Poteſtaͤten dieſer Prim⸗ Zahlen dividirt geſetzt werden. F. 274. 275. *. die in dieſem letzten Falle entſtehende Reihe an und fuͤr ſich, F. 24. 688. Vergleichung derſelben mit der §. 269, §. 275. bb. wenn 2z = — I, und fuͤr «, g, 7, 9, die Ein⸗ heit durch die Poteſtaͤten der Prim⸗ Zahlen dibi⸗ dirt geſetzt werden. §. 276. „2. Art und Weiſe, wie man Reihen in Produkte verwan⸗ delt, §. 277 — — 296. 2. vermittelſt der vorhergehenden Lehrſaͤtze, §. 277 — 282. „. die Art und Weiſe, wie man Reihen in Produkte verwandelt, ſelbſt, §. 277. 2.. Anwendung des Gefundenen, g. 277 — 282. aa. zur Beſtimmung des Werths der gedachten Pro⸗ dukte und verſchiedener Reihen, §. 277. bb. zur Erſindung von Logarithmen, §. 278 — 282. . allgemeine Formeln hierzu, F. 278. — E 68. einzelne Saͤle, 279. 280. 7 TT. t entvedet ben cuß Zuſaͤtze zum funfzehnten Capitel. 60 ⅞ v. Suunmation der dabey vorkommenden Reihen 1 n f. 5 t z t za r 1 §. 281. 282. b. direete Methode dieſer Verwandlung, F. 283 —,— 1297. «. dieſe Methode ſelbſt, §. 283. g. Anwendung derſelben zur Verwandlung verſchiede⸗ ner oben gefundener Reihen in unendliche Pro⸗ . . 1 1 aa. der §. 175. ſummirten Reihen, 1 — 5* † 55 — t — † a — ꝛ. §. 284 — — 291. 75 IIn ℳα. algemein betrachte, §. 284. 88. beſonders, §. 285 — 287. aaa. wenn n = iſt, §. 285 — 286. bbb. wenn n = 3 iſt, §. 287. vv. hierauf gegruͤndete Erfindung verſchiedener Reihen aus Produkten, §. 288 — 291. bb. der §. 176. ſummirten Reihen 1 — † 1 1 I ⸗ . — † 5 — & † ꝛc. wenn n eine ungerade Zahl iſt, §. 292 — 294. a, allgemein betrachtet, §. 292. 6S. beſondere Faͤlle, §. 293. 294. Ec. der §. 179. fuͤr —,— gefundenen Reihe, §. 295. 2 V 2 dd. allgemeine Anmerkung wegen der uͤbrigen oben gefundenen und hieher gehoͤrigen Reihen, §. 296. 2 5 Vr , Hdi XVI. 3 Zuſatze zum ſechszehnten Capitel. . A. Inhalt dieſes Capitels. Von der Theilung der Zahlen. 1. Von der Theilung der Zahlen uͤberhaupt, wo gezeigt 1 Vo gezeigt wird, daß die Entwickelung der Produkte: ſ⸗ (1 † x* 2) (I † X“ 2) (1 x-?. Datrtr:) ꝛc. u9 und es le (1 — x“* 2) (1 — X 32) (1 — X? 2) (1 — X 2) (I — X' 2) ꝛc. Ty auf Reihen fuͤhre, woraus man erkennen kann, nicht nur, auf wie vielerley Arten eine Zahl n die Summe von m verſchiedenen Gliedern der Reihe «, 8, 7, , ⸗ ꝛc. iiß ſeyn, ſondern auch auf wie vielerley Arten eine Zahl n aus n m entweder gleichen oder verſchiedenen Gliedern der . angefuͤhrten Reihe durch die Addition entſtehen kann, §. 297 — 305. Hierbey betrachtet Euler a. die Reihe, die aus dem Produkte (1 † x*) (1 † x*): (1 † x?z) it. entſpringt, §. 297 — 301, und zwar 2. die daher entſpringende ganz allgemeine Reihe, §. 297 —– 299. s. die daher entſtehenden beſondern Reihen, 9. 300 — 301, wenn man 42. . Zuſaͤtze zum ſechszehnten Capitel. 605 aa. fuͤr «, 6, 7, , s, ꝛc. die natuͤrlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 2ꝛ0. §. 300, und bb. außerdem auch noch 2 = I ſetzt, §. 301. 1 p. die Reihe, die aus dem Produkte (1—xX*2) (1 — X 62) (1 —X 2):c. entſpringt, §. 302 — 305, und dabey wieder . die daher ſich ergebende allgemeine Reihe, §. 302, 303. g6. die daher entſpringenden beſondern Reihen, §. 304, 305, wenn man aa. fuͤr «, 8, 7, , s, ꝛc. die natuͤrlichen Zahlen, §. 304, und bb. außerdem noch 2z = I ſetzt, §. 305. 2. Von der Art und Weiſe, die Menge der Zuſammen⸗ ſetzungen gegebener Zahlen aus den natuͤrlichen Zahlen zu beſtimmen, genauer betrachtet, wo gezeigt wird, daß es leicht ſey, anzugeben, auf wie viel Arten ſich eine Zahl entweder in m ungleiche, oder uͤberhaupt in m Theile theilen laſſe, wofern man nur wiſſe, auf wie viel Arten jede Zahl aus den Zahlen 1, 2, 3, 4 m durch die Addition hervorgebracht werden koͤnne, H. 306 bis 315. Hier werden a. folgende zwey Saͤtze bewieſen: ℳ“. Auf eben ſo viel Arten, als man eine Zahl n durch die Addition aus den Zahlen I, 2, 3, A. . . . m hervorbringen kann, auf eben ſo viele Arten laͤßt ſich auch die Zahl n Wn3 Theile theilen, F. 306 — 312, und dadey werden aa. die Coefficienten der Glieder der Reihe 1 † Pz †P Qza † Rz3 † 824 † :c. = (I † X2) (I1 TxX2) (I † æ32) (I † xaz) ꝛc. durch Funktionen von ausgedruckt, §. 306, 307. in m ungleiche R A 606 Zuſaͤtze zum ſechszehnten Capitel. bb. daraus verſchiedene ſpecielle, unter dem ange⸗ fuͤhrten begriffene Saͤtze abgeleitet, §. 308 — 311, und ec. hierauf der gedachte allgemeine Satz gegrunde, §. 312. s. Auf eben ſo viel Arten, als man eine Zahl n aus den Zahlen 1, 2, 3, 4. . m durch die Addition hervorbringen kann, auf eben ſo viel Arten laͤßt ſich auch die Zahl n † m in m Theile theilen, §. 313, 314. Auch hier werden aa. die Coefficienten der Glieder der Reihe I1 † Pz † Qz2 † Rz3 1 824 † zꝛc. = I —=A je — 5 ꝛ⁊c. durch Funk⸗ te,onen von x ausgedruckt, §. 313, bb. daraus verſchiedene ſpecielle, unter dem an⸗ gefuͤhrten allgemeinen begriffene Saͤtze abge⸗ leitet, §. 314, cc. hierauf der gedachte allgemeine Satz gegruͤn⸗ det, §. 314. b. werden aus den vorhergehenden Saͤtzen andere abge⸗ leitet, welche lehren, auf wie viel Arten ſich eine Zahl entweder in m ungleiche oder uͤberhaupt in m Theile theilen laͤßt, wenn bekannt iſt, auf wie vieler⸗ lepy Arten eine Zahl aus den Zahlen 1, 2, 3, 4. .. m durch die Addition herdorgebracht werden kann. §. 315. . 3. Methode, die Menge der Arten, auf welche eine Zahl n aus den Zahlen 1, 2, 3,4. m durch die Addition hervorgebracht werden kann, durch Formi⸗ rung widerkehrendender Reihen zu finden, F. 316 — 218. nnge inne⸗ l n 9 Ne bie e n H e grin ce man etile 4 Zuſaͤtze zum ſechszehnten Capitel. 607 a. dieſe Methode uͤberhaupt beſchrieben, §. 316. b. daraus abgeleitetes leichteres Verfahren, nebſt der Beſchreibung einer hiernach verfertigen Tadelle, §. 317, 318. 4. Verſchiedene ſpeciellere Betrachtungen, §K. 319 — 332. a. Vergleichung die in der vorhin gedachten Tabelle, und zwar in den Vertical⸗Reihen derſelben ſtehende Zahlen mit den natuͤrlichen Zahlen, den Trigonal⸗ den Pyramidal⸗Zahlen, u. ſ. w. F. 319 — 322. p. Ueber die Arten, auf welche eine Zahl durch die Ad⸗ dition der ungeraden Zahlen entſtehen kann, §. 323 bis 327. c. Von der Zuſammenſetzung der ganzen Zahlen aus den Poteſtaͤten der 2 und der 3. F. 328 — 331. B. Zuſaß zu §. 318. I1. Die bequemſte Art, die im § gedachte Tabelle nach der Regel N = L. † M zu verfertigen, wird ſich am beſten an ſagender Tabelle erlaͤutern laſſen. Setzt man I = d . R= T )I - 2)I 3) (rI -x) (1 ) (1 — Xs) (1—23) ꝛc. ſo iſt: 608 Zuſaͤtze zum ſechszehnten Capitel. 1, X, X2, X3, Xx4, xX5, X6, X7, XS, *9, X10, Per t 1 † I † I †T I † 1 † I† ITI MI T I † † 1 1T 2 2 3 3 4 4 5§ =ITITZ 12 13 13 1† 4 † 4 † 5 f 5 † 6 † 5 7 8 1 1 2 3 4 =IT I +2 43 4415 † 7 † 8⅝ † 10 †12 † 14 1 H 1r 2 3 z5 65 SiTr ⸗ 1 3 –5 † 6 † 9 †II † 15 f 18 † 23 † 1— r 2 3 5 7 T=II †2 † 3 5 1 7 † 10 † 13 † 18 T 23 4 30 f 1I T 2 3 5 Uu =ITIT2 † 3 † 5ß † † II † 14 f 20 † 26 f 35 k 1 r 2 3 X=ITIT 2 † 3 † 5 † 7 † II †15 † 21 †28 † 38 † I I1I 2 1 1 40 166 Z=ITIT2 T 3 † 5S T 7 T II T 15 † 22 T† 30 † 41 † Ac. Laͤßt man nemlich nemr die Menge der Arten anzeigen, auf welche die Zahl n aus den Zahlen 1, 2, 3, 4... . m— durch die Addition hervorgebracht werden kann, ſo ver⸗ wandelt ſich die Regel N = L † M in folgende: n*my =— n*†m- 1 † (n — m)*m** wobey aber zu bemerken iſt, daß der Ausdruck (n — m) = wird, wenn n kleiner als m iſt, und daß (n-—m) *m*=O*†NW¼I*, wenn n = m wird, desgleichen Im† = I geſetzt werden muß. Außerdem iſt auch, da keine Zahl aus bloßen Ein⸗ heiten 1II/ X1 1 XI 6 — 6 † 7 10 12 è 16 719 11¼ 15 27 134 1o 13 — —,² 37 kf 4 7,ar — 4 15 2 — 3 3 52 † „ 54 76 12 heiten au nIN: die Wihe, d P nn J R nr Euler⸗ Zuſaͤtze zum ſchetchnten Cinitd. 609 U, XU0, W xxrT, Xrz, XI 3, rr4, r, 216, . X1 8 ꝛe, nE r 11 r 1 † 1I † 1I Tr † 1 4 1 1 r. R = 7 7 38 8 9 5ttA4 6 † 7 7 k 8 4 8 1r otr. ½ 2O 12 14 15 reh ar 24 27 iut 16 „ Tar † 2a 1 27 t 30 1 33 T. 37 f ic- 6 3 1r 1z 18 2 3 — 3 4 3,9 47 in I 27 †34 139 1, 47 f 54 f† 64 1† 72 † 84 11 7 0 rz rI8 23 z0 z7 47 z7 M n iy 37 147 †57 f† 70 v 84 ror 1 119 TrAr † ꝛce. ”l 7 ir 14 207 5 3 5 44 58 1 16 44 I T rI. 1136 163 199 † ꝛc. ðð 3 2 — 1; zr 28 18 492 ttt 49 †65 182 † 105 Ti31 1164 †201 1248 † ,1 3 „ rr 15½ 22 29 40 eet 52 7, t69 1 0 146 1 186 r230 7288 1x. rie 4 173 194 t 123 1157 Taor Ta252 T3r8 P.. megen on heiten auf mehr denn eine Art entſtehen kann, allemal 1in nIN = 1. Dies vorausgeſet, ſo hat de: Reihe, das allgem. Glied, Reihe, das allgem. Glied, P nX I S nAE* 3 3 ½ . (n — 4) ?«4 e—ne OQ na =I 1 (n -2), T ns=n 4 (n — 5) 5* T- R nS nraf(R- 3 * U n? *= n*5*- (n — 6) †6 e EKulers &£ Einl. in d. Angl. d. Unendl. 12. a um 610 Zuſetze zum ſechezehnten Comritel. Um alſo aus der Reihe P die Reihe OQ zu bekommen, darf man nur zu jedem nten Gliede der Reihe P, oder zu I, das (n — 2)te Glied der Reihe ; um aus der Reihe OQ die Reihe R zu erhalten, zu jedem nten Gliede der Reihe OQ des (n — 3)te Gl ied der Reihe R; um aus der Reihe R die Reihe S zu ſinden, zu jedem nten Gliede der Reihe R das (n — 4)te Glied der Reihe S ſetzen, u. ſ. f. Um alſo aus der (r —– 1)ten Reihe die rte Reihe zu finden, addirt man zu jedem nten Gliede der (r – 1)ten Reihe das (n — r)te Glied der rten Reihe, und es ſind folglich die erſten r Glie⸗ der beyder Reihen allemal einander gleich. Ferner findet man die zweyten r Glieder der⸗ rten Reihe, wenn man ihre erſten r Glieder unter die zweyten r Glieder der =— 1)ten Reihe ſetzt, und beyde zuſammen addirt; die Dritten r Glieder der rten Reihe, wenn man ihre zweyten X Glieder unter die dritten Glieder der (r = 1) ten Reihe ſetzt und beyde wieder zuſammenaddirt u. ſ. w. . 2. Die Regel: N = L † M, oder: nxm rm- I † (n — m/rm laͤßt ſich auch auf folgende Art finden. Wenn man unter n alle ganze Zahlen in ihrer natuͤrlichen Bolge “ verſteht, ſo iſt 4 1—X = = n* 3 xxn (1—2) (1— X2) (1 —– X ) und uͤberhaupt ü- nxwmrXn Da Vber N⸗ P,O, ſpringen eutſtehen hohen P. “ 1* 2 21 nfn-I1. 2 1*3*2 Nem’: 3. Di gebtoucht 1Sd⸗ (n1 — m) in (V2 4 und folglic 60720 efe mar 6072 de: gegebenen nnaßen gro auf einele einander Zffer it, ſetehend Zuſatze zum ſechszehnten Capitel. 6rr H Wmen, V Nan, Da aber auch P= Q (I — xX2); Q = R (I — X 3); ꝛc. der ihh und Y = 3Z (1 — Xm) iſt, ſo wird hieraus, wenn man fuͤr dergeiil P, Q, R, Y, Z die aus ihren allgemeinen Gliedern ent⸗ Neihe NR ſpringende Reih en ſetzt, die zweyte Haͤlfte der auf dieſe Art k Ate entſtehenden Gleichungen entwickelt, und darauf die gleich 4D ln K as hohen Poteſtaͤten beyder Haͤlften mit einander vergleicht, oddit nen hTXxn — (n *2 *¾ — (n — 2) †2 ½) XKn (r —re nXn == (n* 3 †* — (n — 3) *3 *) xn, und uͤberhaupt ſene Gle⸗ nm-= 1 xXn = — (n*m** — (n- — m) *m*) Xn; folglich untr inde nea* = n- I † (n — 2) 72 ½ penn nan ne3*½ = niz* †. (n — 3) * 3½, und uͤberhaupt Glidr Ne nmY= nrmM-T* (n — m) mY. N 3. Die bey S. 348. befindliche Tabelle kann auch dann hre /ventn gebraucht werden, wenn n groͤßer iſt als 59. Es ſey z z. B. Nen Naife n = 60 und m = 20, ſo iſt nach der Regel n nrm = nim- I ½ P zir 6GoT Oo" = 6O*r1er 4072 07; 601 27 6o 1 † den. Ven 41*1 9 *½; 60*⁷*1 8 ½ 60⁷1 7 1 42 7 S s Cc. . und folglich igen d⸗ 60 ⁷2 0 40*2 0* †arer 9* † 42 1 8 . 43*1 7* 1 „ S zeht man n dieſe Werthe i in der Tabelle auf, ſo findet man 60 2 0*— 791131. Iſt indeß der Unterſchied zwiſchen der gegebenen Zahl und der hoͤchſten in der Tabelle nur einiger⸗ maßen groß, ſo wird dieſer Weg ſehr beſchwerlich. C. Zuſatz zu §. 323. 1. Daß die Vertical⸗ ⸗Reihen der Labelle S. 348. alle -dAn auf einerley Art anfangen, und immer mehrere Glieder mit einander gemein haben, je groͤßer die uͤber ihnen ſtehende Zifer iſt, davon faͤllt der Grund aus der Abſatz 1 des vor⸗ 3 hergehenden Zuſatzes beſchriebenen Verfertigungsart dieſer * 6rZz Zuſaͤtze zum ſechszehnten Canie. Tabelle ſehr bald in die Augen. So wie nun ners das Ey ne allgemeine Glied der Vertical Reihe I. n** das allgemeine ma ma Glied der Ver⸗ tical⸗Reihe II; n 3 * das algemeine Glied a ſet der Vertical⸗Reihe III u. ſ. w. iſt: ſo laͤßt ſich auch eine Dißferen Reihe denken, deren allgemeines Gl lied n“ iſt, und diſe m Reihe iſt dem Anfange nach diejenige, die in der Tabelle Ju-2) unter Oο ſteht. Da in dieſer Reihe fuͤr jeden Werth von n, doch ſo, daß dafuͤr bloß ganze abſolute Zahlen geſetz werden, nrr. n* ☛☚ — (n — er* † (n — 2) *2* † (n — 3) *3 * †. .. wern ma . ( n, ulit ſeyn muß, indem n* *, weil keine Zahl n aus mehr als det endi aus n Zahlen durch die Addition hervorgebracht werden dur kann, eigentlich = n en= nin- I*† (n— n) InA= nn -2 7 † aſo ere G ¹) n- re n- n):a =nn- 3 (n-n T2) n-a t “ (n-n † I) en -I*† (n— n) : u. ſ. f. iſt: ſo erhellet hieraus, hennan daß und wie dieſe Reihe aus den vorhergehenden durch die Addition gemacht werden kann. So iſt z B. 6°° J= — 5 *1X* † 4 *2 * † 3˙3 * † 2*4* † 1 ** † o** = 1 +† 3 1 dnin 3 2 †1 11 II M Bruchs e 2. Aus ð nwr n*= — (n- — 1) *1* † (n — 2)72 † (n — 33r 1. (n — 4) 4* 1 ꝛc. wird, wenn man allenthalben n — I ſtatt n ſetzt, und der Gleichfoͤrmigkeit wegen (n — 1) °* 0 dazu ſchreibt, 9 (a - . = (n - 2)-. 1 —- z a 4. e (n — 4) 3 *½T ꝛc0. Rihefin Zieht man dieſe letzte Gleichung von der dorhergehenden ab, Riien⸗ und veraͤndert dabey die Differenz nach nemt — nem- rt= l (n— m) *m*, ſo wird . — . n* — (n — I) *= (n — 2) 1* † (n — 4) 2 † l H.. 1† (n — 6)ae K. die Rei Setzt rs Alumerne miine Bed Hach in , und hieſe der uele Wh hen geer 10 nehe al cht werden Pnra elet hicens, en nd de ⸗ — — 8 1-NN ,, und de ſhreib - u Zuſaͤße zum ſechszehnten Capitel. 613 Setzt man ferner in dieſer Reihe (n — 2) fuͤr n, ſo wird, wenn man wieder der Gleichfoͤrmigkeit wegen (n — 2) **0 dazu ſetzt, die gefundene Reihe von ihr adbzieht, und d die Differenz ebenfalls wie vorhin abaͤndert, nr — n = (n — X TI 2* A(n-2) * n — 3, * 35 † —6 2 * P (n — 9) ⁷3 † ꝛc. oder n*☛* (n — 1I) ½0*% † (n — 2 *ο* — (n — 3) ** . P wenn man P die zweyte Haͤlfte der letzten Gleichung bedeu⸗ ten laͤßt. Faͤhrt man auf dieſem Wege fort, ſo verſchwin⸗ det endlich ?P, und dann wird jedes Glied der Reihe 0α bloß durch die vorhergehenden Glieder beſtimmt, und iſt alſo eine wiederkehrende Reihe. 3. Die Beziehungs⸗Scale dieſer Reihe fin idet man, wenn man den Nenner des Bruchs (I1 — X) (1 — X2) (1 — X 3) (I — X4) (I — X5⁵) (I — X⁶) ꝛc. entwickelt, indem ſie ſelbſt aus der Entwickelung dieſes Bruchs entſpringt; und es wird demnach n*. (n — 1) * 0° P (n — 2) 5* — (n — 5) *0* — (n — 7) * * (n — 12) * † (n — 15) * — (n —– 22)*0— (n — 26) ** † (n —– 35) ** †. En — 40) *7 7 — (n — 5I /* * — (n — 57) K†. 20. 4. Da dieſe Reihe fuͤr den Werth m = 20 ſchon in der Tabelle ſteht, ſo kann man ſich dadurch die Findung der Reihe fuͤr den Werth m = O. erleichtern. Denn da die Reihe n2 * aus der Entwickelung dieſes Bruchs 1 (r — X) (I — X2) (I — X 3) (I — X4) (I — X2 0) die Reihe n** aber aus der Entwickelung des Bruchs Qazs— 1 614 Zuſätze zum ſechszehnten Capitel. 1 (1– 2) (1 – xX2) (I — 2 ³) (I — X4) . . . . (1— X οι⅓ entſpringt: ſo iſt offenbar, daß man die erſte Reihe erhaͤlt, wenn man die letztere durch = (I —X2 1) (I —2 2) (I — 2 2 3 K(T-X2 4) (1 - X2 5) (I — X 2 6) ꝛc. oder durch M 44 T – X2 I — x22 — Xx2 3 – xX24 — xX2 5 — xXx26—2. † X4 3 † X 44 † 2X45 † 2246 3X47 † 3X48 † ꝛc. — xX6 — xX6 7 – 256 8 – 3X69 — 47 °— 557 1 — ꝛc. † xX † X9T † 2X92 † 3X93 † 5X94 † 6X95 † ꝛc. multiplicirt. Hiernach wird n*20* = n*°* — (n — 21) ** — (n — 22) *0* — (n — 23) ** – ꝛc. F† (n — 43) ** * † (n — 44) ** † 20n – 45) ** † 2 (n — 46) *½0*½ † ꝛc. (n-= 66) 2— (n — 67) * — 20n — 68) ** — 3(n – 69) * — ꝛc. . 90) e 1. (n — 91) * † 2(n — 92) * * † en 93). † ꝛc. c. Die Coefficienten dieſer Reihen ſind die Glieder der oben fuͤr die Theilung der Zahlen in 2, 3, 4, 5, 6, ꝛe. Theile gefundenen Reihen. §. Bedeutet (n -21) .* die Summe aller Glieder der Reihe n** bis und mit zu dem Gliede (n — 21) ***, und uͤberhaupt [p“α* die Summe aller Glieder eben dieſer Reihe bis und mit dem Gliede pαν*: ſo wird n2 o* = n α [ä(n — 21) **. (n — 43) *f. ſ(n — 45) * 0* † ſ(n — 47)* 0002 * † ze. — (n =– 66) 0— f(n — 68) — ((n — 69) * %— ((n — 70) * %— ꝛc. und e pto, Vermitt n keine rechnen. D Mre 1. De Zahl Nm worfen w viel Arten wenn dieſe biof auf d Ordnung wort dora A; ſegt und iſt ein G an, auf w den konn, 4 vàd à „ 71. 9 1 12 * 001 1A. rt. 1 R - e . 11—,. 14 Nr ℳ 1. W⸗ Glede er o, e diſe Nror f 1* W . Zuſite zum ſechehehnten Cabtd. erz “ . † n 90)*α 4 ſ(n — 92) ** † 1(n —– 93) ** † 21(n — 94* * † tc. und es iſ folglich n cok = n 2 0* † ſ(n — 21¹) ½ ½ — ſ(n — 43 r * — 1en — 45ee* 7e. 4 (a — 6α⅜ † ſ(n – 68) * +ℛ** † ffffen — 69) † ꝛc. — t Grnr — ((n — 92) **½ — Ww tüa =— 93lrr: — ꝛc. ꝛc. Vermittelſt dieſer Formel laͤßt ſich die Reihe n*ο *, wenn n keine zu große Zahl iſt, aus der Reihe n*2 0* leicht be⸗ rechnen. D. Anwendung der lehre von der r Theilung der Zahlen B auf einen beſondern Falll. 1. Die Frage: Auf wie viel Arten kann eine gegebene Zahl N mit einer gegebenen Anzahl n gemeiner Wuͤrfel ge⸗ worfen werden? iſt gleichbedeutend mit dieſer: Auf wie viel Arten kann die Zahl N in n Theile getheilt werden, wenn dieſe Theile 1, 2, 3, 4, 5, 6 ſeyn, und dabey nicht bloß auf die Theile an und fuͤr ſich, ſondern auch auf ihre Ordnung geſehen werden ſoll? und man findet alſo die Ant⸗ wort daraufe wenn man „ GI †a: 123 1raxe † z6)n An a Aanf † Bxn † Cxni3 † Dni F. † x6n ſetz, und die Werthe von A, B, C, D, ꝛc. ſucht. Denn iſt ein Glied dieſer Reihe MX N, ſo zeigt der Coefficient M an, auf wie viel Arten die Zahl N in n Theile getheilt wer⸗ den kann, ſo daß dieſe Theile 1, 2, 3, 4, 5, 6 ſeyn, und 4 Qq 4 alſo 616 Zuſaͤhe zum ſeheehneen Capitel. alſo auch, auf wie viel Arten die Zahl N mit n Würfeln geworfen werden kan. 2. Wenn man einige leichte Saͤtze aus der Differential⸗ Rechnung zu Huͤl fe nehmen darf, ſo kann man die Werthe von A, B, C, D, ꝛc. auf folgende Art finden. Man ſetze AXn(T 11 *2 † X 3 † 24 X 5) n AX † BX2: † Cx DXA tE ExS † 2) und — = 2. Alsdann iſt nicht nur XxdZ hhT Ahxa l. 3n Xi l. 4n xa l 5nx’ Zdax I † T K& T XS T za T aæ ſondern auch xXdZ AxH Rx 1 3Cx 1 4 Dra 1 sSExs † Dc. Zdx 1 † Ax † BxX2 † Cx5 T BDxX4 † Ex7 T ic. und folglich, wenn man dieſe beyden Beſtimmungen ein⸗ ander gleich ſetzt, und mit den Nennern uberzwerg mul⸗ tiplicirt, D T hAXZ † nBxA nCxa n Dx5 † nEX6 P an. TrznA anßB renc ranb -. TSn p BnA T 3n B FjnC f:t. tis . AnA T ANn B 5 H S †* 51 n r Sn A 4 “ A † 2x2 . 3cx †. 4DX4 †* 5 Ex †* 6 Fx6 „ † A p 2 B f† 30C † 4D SE † A f 2B P 30C f4D r NT A Fr 2B f gC † A 1 25K 1 Pierans aber r ſießen n falgende Beſimmungen: OOOJMBMUUÿ 1c. telban 4 29: fferenie Re Wh Mnße Ge nie lungen n ein⸗ wpeg W 1l 215 † 00 K in zaN En 10 ½ 1 t A f Zuſite zum ſechszehnten Caritael. r7 AE= n 2 B= (n — 1) A † en 30= (n-— 2) B † n -— T) A † 3n 4D=(n-— 3) C (2n — 2) B † (IZnſ — 1) A An 5E=G(n -—A4) D (2n — 3) C (3n — 2) B(An — I) A † Sn 6 F=(n — 5) E (zn — 4) D † (3n — 3) C†. (4n — 2) BP(Sn — 1) A 76=(n- 6) F (2n — 5) Ef (3n — 4) D (4n — 3) C (Sn — 2) B ”ꝗUM (5n — 3) G 10. ſo daß alſo jeder Cdefficient durch die fuͤnf vorhergehenden beſtimmt wird. 3. Wenn man von jeder dieſer Gleichungen die unmit⸗ telbar vorhergehende abzieht, ſo wird A= n 2 B = h A † n 3 C nB †A †Cn 4D = nCTnBTnATRnR HS 5EnDInCYB TnAYTN 6F = nhETnDYnCYnB †nA †ᷣ 5n 7 G= nF † nE†nDTnCTInB — (5Sn — 1) A SHSnGYnFTnETnDTn n C — (5S n — 2) B und nimmt man nochmals die Differenzen, ſo erhaͤlt man 2B = (n † 1) A; 3C = (n † 2) B; 40 = (n 3) Cc; 5E = (n † 4) D; 6 K = (n † 5) E — 6n; 70= (n † 6) F — (6n — ) A † 5 n SH= (n T7)0— (6n — 2) 5 † (In — A 9 I = (n † 8) H — (öén — 3) C † (5S n — 2) B 1— (Gn — 4) D † Gn — 3)G O4 5 6 eſt⸗ zum ſechszehnten Emnit fuͤr udey Wuͤrfel fuͤr drey Wörfel 2 B= 3ANdͤà 4 A 3 C = 4 B “ 5 B 4 D= SWGüc 6 C 6 F = 7 E — 12 4 8K 18. 7 G = ⁸ F — II A f† 10 9 F — 17 A f 15 8 H = 9 G — 10 B T† 9 A 10 G — 16 B † 14 A 9 1— 10 H- 9 C† & B TII H — IS GFIZBZ IO K = 11 I — 8D † 7 C 12 I — 14 D † 12 G II TL = 12 FK — 7 E f. 6,D. 13 K — 13 E † II D i2 A = z . — 6,F † 5 E 14 L — 12 F † I0 E ꝛc. 5. Druckt man die Menge der Faͤlle, da N mit n Wuͤr⸗ feln geworfen werden kann, durch [Nnv aus, ſo daß Hnlrn-=I; In ft u=A:Ia lnt;In flrCs.. . .. . . In f 9Nt =I; In †. † 10l = wird: ſo iſt IOIn T 10 Fn ½ = (n †9) In † 9 PnP En 4) ln talyn- †. (Sn — 3) In — 3 Dn und uͤberhaupt AIn † 2 m (n † X — I) In † „— II r — (ôn † 6—X) In † 2— 6 Pn † (Sn †7 — ²) In Pr— Par Setzt man alſo n † = N, und folglich X= N⸗ — n, ſ wird N pIN- Prn 16— I 6) artGnt, N A — N – n wo indeß zu bemerken iſt, daß [PPn 10 geſetzt werden muß, wenn b fleiner als n iſt. Len gen N Vert AnzahlP Et; 7. auch auf ln9 Wheme lukr IN1 venn N—6 ſer le d, d, 8. n un 4 Zuſaͤtze zum ſechszehnten Capitel. Er9 6. Kennt man den Werth der Coefficienten A, B, C, D, ꝛc. Wj⸗ fuͤr irgend eine Anzahl von Wuͤrfeln, ſo laͤßt ſich daraus der Werth eben dieſer Buchſtaben fuͤr die um eins vermehrte Anzahl von Wuͤrfeln auf folgende Art beſtimmen. Es ſey (XHX†X2 †X †X4 †XS † x6) = xXn † AXnI † BXnTz † CxXRnF3 † DXn4 † ec., und (X † x2 † X3 † æ4 † X5 † x5)nI = XnII † Axni2 BKXnt 3 † Cxn-†4 † D unkS † ꝛc. ſo iſt, weil dieſer letzte Ausdruck dem Produkte aus dem zzu erſten in † X2 † x³3 † x4 † x5 † é gleich iſt ctn AS=A f†I und dine BS= BFTATI folglich B = A f† end C = CT† BTPTAFITI C = B † C ior D=DTCTBTFATI D = C † D C EDTCTBTATYTI C=DTE F= FTETDTCTBTA F = C – r itn Dk. G = G†FF†ETFXDTFCTB G=S1t C-A NKN ꝛc. L D” et: „. Die letzte Gleichung G = F C — A kann man . auch auf dieſe Art ausdrucken: [n † 8l'nI *½ = In † 7rn?IX* †. (n † lrne — In re tahe Allgemein iſt alſo In † I T†A FnITIY=In † nfYX-In 4 XFR— In † ² an oder e- IN † TFNIIY = [NIYNTN ININN — N -—6F — wenn man n † 2 = N ſetzt. Es iſt aber hierbey allemal rſom IN— 6]**“ο% 5 wenn N — 6 kleiner als N iſt. Aus die⸗ ſer letzten Formel erhellet, daß die Coefficienten A, B, E. C, D, ꝛc. allemal ganze Zahlen ſind. 8. Will man jeden der Buchſtaben A, B, C, D, ic. an und fuͤr ſich beſtimmen, ſo iſt .MMV 620 Zuſaͤtze zum ſechszehnten Capitel. 4 I — X 6G I PT X † Xx2 P X3 † x4 † x5 = — I – Xx und alſo, wenn V die Abſatz 2 ihm beygelegte Bedeutung „ „ N (n — I) ncn.-— I n — 2) N= P 1 . 2 L 2 . 3 R 61 (n air g. m E I) nn NKN H . X nxnII † — n nIMKP 2) 4 † X 1 1 2 XRTZ ¹ 1 2. 3 3 † ꝛe.) Hieraus wird, wenn man dies Produkt entwickelt, die Glie⸗ 1 der deſſelben mit der Reihe Xn † Axnix † Bxnf2 † Cxni3 P2c. . 4 . 2 . . 0 vergleicht, und fuͤr A, B, C, D, ꝛc. die Abſatz 5 ſtehenden 0 Bezeichnungen braucht 10 In. 1 Pn — n 15 . n(n †1) 4 In P 2 Fn&E = N — 1 6 In † 3]rn = nn D(R T2,/ W 1o In † 4 Pn 0 1) (n † 2) (n 1 In F6FneE— C .. T 50 —n ,‚ 2 . nn 1). .. +†+ 6 H N . In † 7 Fa = n ) — nn NoO In † gne = — — 1 (h 7) nnGn † 1) 3 In 11Par = i F.1) :. (n † 8) nnünI) (n † 2) 3o I 2 0 I .„ 23 3 “ . EES — oo „ο α αο e . OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOoOooOoooo=== —1 Tabelle zu S. 620. 621. welche anzeigt wie oft die Zahl N mit n gemeinen Wuͤrfeln geworfen werden kann. ◻ * OOOOOO -OO- OO& - OQ OQ O- OMOOOεω,Oπμςως.nμddedOς ,OδωdeO△⏑ — α ρμ NO— II n = 3 * OQ O OOOO -OOOρOςOOOmhOOOςnOςdOς., ο 2 n OOOOOOOCOOOO= n = 5 0 0 1 5§ 15 35 70 126 205 305 420 540 651 735 780⁰ 780 735 651 540 420⁰0 305 n = 6 21 56 1260 252 456 756 1161 16661 2247 343 3906 4221 4332 4 21 3906 3431 2856 2247 1666 1161 756 456 252 126 56 21 6 △a ☚ △⏑ △ £$⏑ ⏑ O 1I O △ O Q Q& OA 2„☛W ◻ + ⏑ ◻ ◻ 462 9ʃ7 1667 2807 447 6538 9142 12117 15267 18327 20993 22967 240171 9813 2 40177 22967 20993 18327 15267 5 I μ¾ν οςtος ο .ο.h .öd. 33⁰ — W 09 5 9 1708 3368 6147 16 08 25438 36688 50288 65808 82384 113688 125588 133288 135954 133288 121171125588 9142113688 6538 98813 4417 82384 2807 6 ¾808 1667 50288 9171 36688 Zuſl „ NN — ItIA =: . utI NZ 3 Wen heeden, dere ezeichnet ſin tietr NtrP uk N benn mon: GüNen RxX- wdlich Zuſaͤtze zum ſechszehnten Capitel. 621 In † 10]n = nünI)... (n A unen 1).. (n 3) I . 2 . . . . 105 1 . 2 . . . . 4 In † II Pné = nün †1). . . (n Io) nu(n †1).. (n † 4) I 2 1I1 I 25 . äl unnd(n). (n HO)9 I . 2 .. . . 12 1. 2 .. . . 6 n (n — 2 1 1. 2 Z TnTTl'rr = 2 f. Dr:Cn 2)- nnn 1) :. (n 1 0 I . 2 . . . . 13 1I 2 .. 7 n. n (n — 1) 1 2 2c. und uͤberhaupt rer= n(n†prY). (n F n 2 20 11): tC t ) 1 2 . .. . . 1 1. 2:....(à — 6) n (n—T) nä(n † I) (n † 2) (n † 3). (n †2 — 13) 1.21I 2 .3 . 4 . . . . ( — 12 ) nn en —2) n A A — . † c. 9. Wenn anſtatt gemeiner Wuͤrfel a andere genommen werden, deren Seiten mit den? Zahlen 1I, 2, 3 . . ... bezeichnet ſind, ſo wird [N 1Fnt1 = [NnFI½ † [NnR — N- mme, oder [NFT IPnY — LNFn 1† NYN-TYX-TN — mn- 1*, od. H“ [n † AnY = n † X — — Fn- † In † à — — ITR- 1 — In † 2 — m -— rFn- r wenn man N † 1= = n † 4 ſetzt; desgleichen In † X P'n? = (n † X — 1) In † — 1I Pn — — Gnnim-) [n † — m N*†(mn — n †T m† I — ) h TA— m — Inæ endlich [n 622 Zuſaͤtz zum ſechszehnten Capitel. n(nI). (n†Ar) n nün † ¹) (nXm-T) I . 2 .. .. 17 I . 2 . . . (à — m) . n (n — I) n (n † 1) .. . . (n † 2 — 2 m — 1) .Y (A — 2 m) I . 2 „I . 2. .. . . — nn — ) 2 — 2) nIn † 1) . . „(n 42 — 3 m — 1) 1 . 2 . 3 1 Man vergleiche hiermit die Formeln Abſatz 5 und Abſatz 8. Es iſt aber dabey [n] n*= I; [NPnRN= O, wenn N kleiner 2 . . . . (à — 3 m) als n oder groͤßer als nm, und endlich [N]ne = 1, wenn Lo. Wenn die Wuͤrfel von einander verſchieden ſind, ſo laͤßt ſich die Menge der Arten, auf welche man damit jede Zahl werfen kann, auf einem dem bisherigen aͤhnlichen Wege finden. Haͤtte z. B. der eine 6, der andere 8, und der dritte 12 Seiten, ſo wuͤrde es dabey auf die Entwickelung des Produkts (IX2 FS XS) G xa. xXS) G† Xa ... 2r2) = V ankommen. Entwickelte man das Quadrat oder den Cubus der Reihe: 1 † X †X3 † X†rτdrιHτ † X 36 † ꝛc. foͤnnte man daraus erkennen, welche Zahlen Summen zweyer oder dreyer Trigonal⸗ Zahlen ſind, u. ſ. w. Uebri⸗ gens ſind die gegenwaͤrtigen Zuſaͤtze aus Eulers Abhandlung de partitione numerorum im dritten Bande der neuen Com⸗ mentarien der Petersburgiſchen Akademie der Wiſſenſchaften von den Jahren 1750 und 1751, und der Unterſuchung de partitione numerorum in partes tam numero quam ſpecie datas im vierzehnten Bande der gedachten Commentatien 4 voſn Jahr 1759 genommen. XVII. Pon he⸗ 1 Vur in de 1 Meth W 4. we ( . N WD 8l, We n ſn ſ⸗ ni ie ſcen Dee M N Neung 11 )2 den Euts 116 Summen rn ndlung en Con ſſeten gni⸗ — n hete⸗ eptunen XVII. Zuſaͤtze zum ſiebenzehnten Capitel. Inhalt dieſes Capitels. Von dem Nutzen der wiederkehrenden Rei⸗ den bey der Erfindung der Wurteln der Gleichungen. adie Art und Weiſe, wie er behandelt werden ſoll, §. 332. 2. Methode, die wiederkehrenden Reihen zur Erfindung der Wurzeln der Gleichungen zu benutzen, §. 333 — 343. 2. wenn die Wurzeln der gegebenen Gleichung insge⸗ ſammt reell und einander ungleich ſind, 5 333 – 355 . zuvoͤrderſt einige hier noͤthige Betrachtungen uͤber die wiederkehrenden Reihen und die allgemeinen Glieder derſelben, §. 333 — 336. 6. wie man die durch die vorhergehenden Betrachtun⸗ B gen gefundenen Eigenſchaften der wiederkehrenden Reihen zur Erfindung der Wurzeln der Gleichungen brauchen kann, §. 337 — 345. 2a. allgemeine Anleitung hierzu, §. 337, 338. ppbp. Verhaltungs⸗ Regeln fuͤr einige beſondere Faͤlle, §. 339 — 345. s, wenn die groͤßten Wurzeln der gegebenen Glei⸗ chung nur wenig von einander unterſchieden ſind, §. 339/ 340. I. . Vurzußg, Anzeige des Gegenſtandes der Unterſuchung in dem gegenwaͤrtigen Capitel, ſeine Wichtigkeit, und —☛ X 624 Zuſaͤtze zum ſebenzehnten Capitel. 86s8. wenn eine Wurzel, die bereits naͤherungs⸗ weiſe gefunden worden, noch genauer gefun⸗ den werden ſoll, §. 341. v. wenn die Gleichung zwey gleiche, einander entgegengeſetzte, Wurzeln hat, 9. 342. cc. einige Regeln zur ſchnellern und ſichern Ent⸗ deckung der geſuchten Wurzel, §. 343 — 345. b. wenn zwey oder mehrere von den Wurzeln der gege⸗ benen Gleichung einander gleich ſind, §. 346, 347. s. wenn zwey Wurzeln gleich ſind, g. 346. 86. wenn drey Wurzeln gleich ſind, §. 347. c. wenn die Gleichung imaginate Wureln enthaͤlt 8. 348 — 353. „., wenn das Produkt aus je zwey imagindren Wurzeln, die einen reellen Faktor geben, nicht groͤßer iſt, als das Quadrat der groͤßren Burzel, §. 348, 349. 8s. wenn dieſes Produkt dem Quadrate der groͤßten Wur⸗ zel gleich, oder noch groͤßer iſt als daſſelbe, 5.3492 ⸗352 7. wenn die gegebene Gleichung mehrere trinomiſche Faktoren hat, §. 353 2. Zum Schluſſe wird noch d.. F. 354 die Methode beſchrieben, wenn ſich eine e wieder⸗ kehrende Reihe einer geometriſchen Progreſſien naͤhert, aus dem Geſetze der Progreſſion zu erkennen, von was fuͤr einer Gleichung der Quotient, den man durch die Diviſion irgend eines Gliedes durch das vorherge⸗ hende erhaͤlt, die Wurzel ſeyn werde; und b. . 355. don der Anwendung der bisherigen Methode die Wurzeln zu finden bey unbegrenzten Gleichungen XVIII. Von 1. Vorlaͤus im geger 2. Betracht bis 392. a. Begtl⸗ b. Verwen ſches . Verw mit a d. Verwe in con⸗ e, dieſe ℳ, bi 68. 1 8. ſolch geh „. ſol triſ e. Von nuieli Eulers te Nenand gefun⸗ liche, inene M t, ſze. . XAXVIII. nd ſchnn hn⸗ . af ter. 8 -e. Zuſaͤtze zum achtzehnten Capitel. urzeln der gege⸗ . ei Inhalt dieſes Capitels. ü4H Von den continuirlichen Bruͤchen. Dutzelr enthe, 1. Vorlaͤufig, Anzeige des Gegenſtandes der Unterſuchung im gegenwaͤrtigen Capitel, §. 356. gnnm Ponpe, 2. Betrachtung der continuirlichen Bruͤche ſelbſt, §. 357 icht grher iſ de bis 382. a. Begriff von einem continuirlichen Bruche, §. 357. 30, 30 dea gobten Wur⸗ b. Verwandlung der continurlichen Bruͤche in gewoͤhn⸗ hr d39:381, liche Bruͤche, § 358 — 362. S 1 c. Verwandlung der continnirlichen Bruͤche in Reihen ehrere rinunſſ mit abwechſelnden Gliedern, §. 363, 364. d. Verwandlung der Reihen mit abwechſelnden Gliedern ſch ee wieder⸗ in continuirliche Bruͤche, §. 365 — 373, und zwar rogreſtennahert 2a, dieſer Reihen uͤberhaupt, . 365 — 369. ukennen don ds α. wenn ihre Glieder ganze Zahlen ſind, §. 365 den nan durc de bis 368. MM H ich das worhege⸗ g. wenwalle Glieder Bruͤche ſind, §. 369. e; und g. ſolcher Reihen, die in continuirlichen Faktoren fort⸗ Petigen hehdde gehen, §. 370. M „. ſolcher Reihen, die uberdem noch mitz einer geome⸗ ten Gleihungen triſchen Reihe verbunden ſind, §. 371 — 373. 2. Von der Erforſchung des wahren Werths der conti⸗ nuirlichen Bruͤche, §. 374 — 380, und zwar I. Eulers Einl. in d. Angl. d. Unendl. l. D. Rr. 626 Zuſaͤtze zum achtzehnten Capitel. „. der continuirlichen Bruͤche uͤberhaupt, §. 374, 375. 6s. ſolcher, worin immer eben dieſelben Nenner wie⸗ derkehren F. 326 — 380; wobey zugleich gezeigt wird, wie man die continuirlichen Bruͤche zur Ex⸗ traction der Quadratwurzel und bey der Aufloͤſung der quadratiſchen Gleichungen gebrauchen kann. . Gebrauch der continuirlichen Bruͤche in der Arithme⸗ titk, K. 391. 3062. *. Verwandlung der gewoͤhnlichen Bruͤche in eonti⸗ nuirliche, §. 391. 6. Verwandlung der Bruͤche in andere ſich ihnen naͤ⸗ hernde und durch kleinere Zahlen ausgedruckte, §. 382. Die Erweiterungen, die dieſes Capitel aus den Euler⸗ ſchen Abhandlungen: De fractionibus continuis; De fractio- nibus continuis obſervationes; und De formatione fracétio- num continuarum in den Sammlungen der Petersburgi⸗ ſchen Akademie der Wiſſenſchaften von den Jahren 1744, 1750 und 1779 erhalten koͤnnte, muß ich wegen Mangel an Raum fuͤr einen andern Ort aufbehalten. ſo wie auf in Re ſa einge 4, ee wie: dit Auſbinn 8 n kem , in antß Kritn, n euen facki. taͤbutgi At 1 Vangt Verzeichniß einiger Druckfehler. S. 27 Z. II leſe man V(t †] u — 1) fuͤr V(t † uV— INV P P S. 42 §.42 31 . 2 . ⸗ FI ⸗ 22 FTAX S. 58 Z. 12 eine rationale Subſtitution⸗⸗ die Subſtitution S. 68 Z. 5 vierten ⸗⸗⸗ dritten S. 102 Z. 6 ſechsten⸗⸗⸗vierten S. 113 Z. 3 von unten⸗⸗ verwickelten⸗⸗ verwickelter S. 283 Z. 3 u. 2 v. unten⸗⸗ von der Form⸗⸗ von Form S. 377 Z. 7 von unten⸗⸗ gleichnamige⸗⸗gleichmannige S. 496 Z. 9 von unten⸗⸗ (I1 — )n ⸗=⸗ (I — n NR N N R AN 2 2 2 N N 5 2 A Nachricht an den Buchbinder. Die beyden zu dieſem Theile gehoͤrigen Tabellen muͤſſen, ſo wie es der Titel derſelben anzeigt, gebunden, und die auf zweyen halben Bogen beſind lichen umgedruckten Blaͤt⸗ ter ſtatt derer, die mit ihnen gleiche Seitenzahl haben, eingeklebt werden. n Nichelſen H’ Retet, zu ſch ſoch Rtt. D aſs in d . Mn de Nachrich k. So gern ich den erſten Theil der Eulerſchen Einleitung in die Analyſis des Unendlichen, vom Herrn Profeſſor Michelſen uͤberſetzt und mit Anmerkungen und Zuſaͤtzen be⸗ gleitet, zu der verſprochenen Zeit geliefert haͤtte: ſo iſt mir doch ſolches wegen des verwichenen Winter ſtatt gefunde⸗ nen Mangels an Papier nicht eher moͤglich geweſen als jetzt. Dafuͤr iſt auf einer andern Seite mehr geſchehen, als in der Anzeige dieſes Werks verſprochen worden iſt, indem der gedachte erſte Theil allein ſchon ſo viel Zuſaͤtze enthaͤlt, als zu beyden Theilen kommen ſollten. Obgleich durch dieſe Vermehrung der Zuſaͤtze die Koſten, die bey einem ſolchen Werke ohnehin ſchon groß ſind, ebenfalls ver⸗ vermehrt werden, ſo verlange ich dennoch von denen, die bereits praͤnumerirt haben, weiter keinen Nachſchuß. Aber dagegen wird es Niemand unbillig finden, wenn ich von jetzt an bis zur Erſcheinung des zweyten Theils, als bis wohin die Praͤnumeration noch offen bleiben ſoll, die Praͤnumeration auf 4 ¾ Rthlr. erhoͤhe, da ich nach der Zeit den Preis nicht unter 6 Rthlr. ſetzen kann. Der zweyte Theil wird bereits gedruckt, und da das bisher ſtatt gefundene Hinderniß wegfaͤllt, ſo hoffe ich ihn ganz gewiß ſpaͤteſtens Weyhnachten liefern zu koͤnnen, und bis dahin will ich ebenfalls den Praͤnumerationstermin aus⸗ dehnen. Berlin, den 16ten Auguſt 1788. Siegismund Friedrich Heſſe. S S H D ÿMÿMW l =èMD Sèð l M „ * Leonhard Eulers Einleitung “ in d ie Aus dem lateiniſchen uͤberſettz— und mit Anmerkungen und Zuſaͤtzen begleitet Johann Andreas Chriſtian Michelſen, Prrofeſſor der Mathematik und Phyſik am vereinigten Berliniſchen und Coͤlniſchen Gymnaſium. Er ſtes Buſch. Beerlin, bey Sigismund Friedrich Heſſe I1 788. . * 20 r — F G H J K 1 M. N Focus O Salance Q R S T 0 V E Euroskala Offset VierFarbSelector Standard*- — 3 4 5 6 Copyright 4/1999 VXVMaster GmbH UWwwW.ykymaster. com 2 1