Bb247_2

Bb247_2 Provided by University Library of Tübingen Transcribed with Tesseract

To the best of our knowledge this work is free of known copyrights or related property rights (public domain).

Exercitationes Analytico-Syntheticae In Mathesi Pura Zumkley, Kaspar RÜUR2ðð EXERCITATIONES ANALYTICO⸗- SYNTHETICNLE IN MATHESI PURA: ILLUSTRANDX CLINMPRIMIS USIBUS VERO PHILOSOPHICARUM HUMANIORUMQOUE PA= 1 TRIE MONASTERIENSIS SCHOLARLIM ACCOMMODATA: V C Oι K E CASPARO ZUMKLEVY:⸗ EMINENTISSIMI ELECTORIS COLONIENSIS AC PRINCIP: MONASTERIENSIS CONSILIARLO ECCLESIASTICO, GVMNASII PA ULINI MO- NASTERII WESTPHALILE DIRECTORE, ET MATHESEOS SUBLIMIS PROFESSORE. CU M FIGURIS. MULTUM AUCTA ET EMENDATA. CUM PhkIIILEGIO. MONASTERII WESTPHALORUM, SCUMTIBUS PHIL. HENR. PERRENON MDCCLXXXIII. REVERENDISSIMO, ILLUSTRISSIMO EXCELLENTISSIMOQUE DOMINO D O M/I N O FRANCISCO FRIDERICO L. B. DE FURSTENBERG, ECCLESIARUM CATHEDRALIUM MONASTE- RIENSIS, ET PADERBORNENSIS CANONICO CAPITULARI, EMINENTISSIMI ELECTORIS “ COLONIENSIS, PpkRINCIPIS MONASTERIENSIS INTIMO STATUS CONSILIARIO, SCHOLA- RUMQUE TOTIUS PATRIE EPHORO, SONARUM ARTIUM AC SCIENTIARUM PATRONO ATCE CULTORI EXIMIO-. T. M. Q. D. De CASPARUS ZUMKKLEV. AD LECTOREM PREFATIIO. 222 orbi literato . FKru- oam praſtat, collocatus FKtrenue, in Mhatktefi pura la- bore at videlicet non mocta pauciores i, guor penitiorre- ram naturalium indagatio pro meanere fuhcepto, aut lauäanda praprimir animi alaptate » occa- PK D P ATIO. cupat, Kag velut neoncuhſa Gaßhi nitantar, veralmetelm re- e Sgaan edn Pprivatts publicirqae négottis addicendoram parg Taalia major, mentir Bibi Inale rvohar, Sagacitatem in reperi- unca, Sn Aözucdioando perſpi- cacinm, aueerfal ; G Kelscem ane känime n, attanem, arl, en, gax« in manibax alt- guundo verſabientacr., aſſulheat mandh er re. Ne lle geikclem ,„kdale gua ſa- praazmenttonem Gcſ. rebam, era- Aotarum laßfi Nrezeree⸗ t‿nate Lemnzor one Dbath emeklbos abertsm confaelaere. O al enim alia, — — PKX W V A NI.O. alia, Lacilals dl prcter mittam 5 Ffatebitar guilibet Algelra Fub’ſidtir, ac ummortalt praci paé Galcult Leibnittani inven- bo, non modo ardkauam maxrime, aal nataralium rerum indaga- Eonem, prolixamgae viam mi- rcfice complanari, G& contratcti; Fed etéam eſce praſidits acd, eor Matuara reæehſus aditam ape- iri, gat majoribs nochtris obſeptas plane ſce videbatar, gelin G& indier adcktac ea detegi, guorum daeſam nohtrir, fortaſhe temporihbus aclkac é galene, ke- za pofteritas Fernatum Fibe, grata animi recordlatione pra- Fegueleer. PKK AF A T0O. ARanc Mhatttefeor puraz, a Recenttorikar Rlathematicia inſigniter elaboratæ partem, NRam Aiheiptlenaruom pkichfico- mäthematicarum caufſa com- mendo, non deo religauor, gas kefanetas ℳ Mattofi Aiſcipli- lr in lorir Pracipeeig ali- nanda numerabunt, ab opera eidem émpendenda renocare a- non,ets gain potius acuetar ifce admodam menler akteg, pracipue, Jä non adleg mecka- näcdt calcaklt apparatio, guam Ffandamenta,quibas calculun ip- Se fhapenſtructua eht veneank en conkiderationem. RKlt vero com- muni diſcenteum guorumcuce- Zué 6n, i A 60ℳ t⸗ Sr. r&, 4 mdtici uartem, 4 con. ot, gli Bopetu olared- Aeuetu 1 Alet, 4 eefa 2, gan niant in ero lonr- runl- u P RFPA TIO. gque uſut acmodum proficuum arbitrabar, ut G illi, guorlm e re non fſt in Mattkeſeor, Koi- entiarumgue inde Ffuſpenſarum Studiir confeneſcere, conam- malam ratiocinit ffigiem e Nohtolis deferrent ſecum, adl cu- jus normam Faaz veri inneſti- gandi rationes erxigere dein- cepa poſhent. UObtinendo fini kuic, neſcio, an gaidpiam accommodatam magis reéperiatur, a orelxra in geometrica eterem analzfi dt- eroitaltio. Cocupatur e terca Mheorema, vel problema geome- zricum inventienduna Tettkodi da P lo L., P A 110O. elz Fant leges . Fapponitar theo- rema verum, problema factum Feel ſolutum: e kac Sgpothefi Aerivantur confecationes neru per petuo cobdrenter invicem; done in reſolutione theorema- tis Keventatur awad axvtoma äaut propohitionem vel demonfſkra- am, aut Fhecum pfa pagnan- fem innotekvet inde tteorema propohilum aut verum vel hal- Fam. Serimili mocdta in reſoluti- one problematis tota rer deda- itur aäd pohtulatum aub ro- blema falutum aut propoſiltio- nem Zecum epfa pugnanketn, G inde aceſcet problema Fieri, auut non fieri poßſe! gaogc ſi V61G 9606 16, mi; Adodt. ſt in 6 Apli/ ngul⸗ Quarun eltar lium, patehit Slamat on/ Nicas/ fugimn⸗ Ada Am, ſe a metta P KX A FA TI0O. theo⸗ ver reholatee ipha aldi proble- üdin wa delucat, cujſug ſaleetta non tleſi ſé, in geometriz notehtate, el- Nectl emptli grattd acl Erihectionem e anguli obligqat inzenktonem Drema- daaraem medtaraminter datas At zetens onkenele Ppronarliana- . „. 6 . . ſtrr. lium, & alia etzagel generig gnan. patebit pfo Fholatéonem Pro- eoremu, Elematig Frahtra tenkart, dalk elſel. acdl conferactiener, guos mecha. o. nicas auz organicas vocant, con- dadu- Fagiendam ſce. MC. ſitie. 5ethocam kanc analcztt- n, G] cam, feu melholam inzeniendi, . ſuri, a metkodlo Fgnthetica fece melktg. nolſi da, inzenta dacenti, plane Ai- % er- PRE FA TI0O. verſamm eſfe rex ipfa loguitur. Gum enim refolattonis ope in- venllt, Ffgntktelice propont opor- teat; manifohtum eſt a prono- Fitionibus altaz demonſtratis znitinm duci debere, donec aldl Aemonftrandamdeventalar. Minaxr aucurate acleo logquun- tur d, gui metkodlaen ſqnltthe- zicam, aut, ut vocant, metho- dum antiquorum, eam volunt, abu a alcxulo algebrico aliſtine- tur, G Foktematam ratiocuntt- gue dilacide propofiti Fabhi- Aio, rex tota per ocuton menti prononitur . analgticam 6rρν, aut at ajunt, ethodum no- vam, in eo Fitam uatlunank, Fi „ 6 acl- 1 uleulur. ſtitutu 1, nonſtri gant. J bant yet utiolim. propcſit Contradl lic a gebrica la ſiunt Cratohi orum Mopoſi Nloller ſtrate. Tir⸗ peterumn guitur. ope ir. Miopor- prope. nſtratit , dloner niltl. loguun. 1 volunt, alſüint. tiocinii- or Ment m r, dum 10⸗ Al- P R A F A TIO. calculanr, rebusgque iphis Fab- FKkituta ymbola, univerfum de- monſtrattont? negotium abfol vant. Suacerte anzlcſigaude- bant veterer, guc Fokematum ratiociniigee avucuratt ope rem propofitam conficeret. plare contra demonftrationes Nkeynttkee- ticæ a ecentiorilaz calculoaäal- gebrico laborantaor Srem- pla FKint demonftratio Ne gul- Arato linomii, aliagae Slemen- torum Suctidir libri Fecundi propofitioner, ope calcule a Nodernir Fyntketice demon kcratk. Rirum videri poſhfet, cur veterum analzſir, a pluribus Zenn- P N XB A TVO. temporum noſtrorum RMatkke- maticir, erralta minezg Zaerik, äaut plane neglecta. Nℳ icl gao- gue acdl Feculi noſert fata for- aſfe pertinet, ut ommocdltori- barz praſtantiora locuen Fape numero concedere debeante aut, bi molliori erouſattone uten- dum, mirum id, inguam, Bi- deri poffet , nifi compertum Eaberemler, Brevem ſfe huumaäa- ne vite conditeonem, rerusen vero cognoſcendaram Fertem bongiſſimai, ad guam abi la- boriz comrendio perzenire da- retur, ilter breviſfimum kenen- dam ehjſe. Gud utcungue Jeka- Leant, illad ertra omnem con- tro- trorerſi ettollu M ls D Ualte per. prellar atir o, ongucti en, 4 guo int. NeA Omnn 1 9 umn con bere n 4 Fuerit . til uo. nodiori⸗ um ⸗lpe Ant. Gllt, ne Alen- .R, N. nyertu rermn nuli- Nirede LRN. t ſ u. NR N⸗ tro⸗ P K XFA T1 0O. troverſiam poſikam arbitran, mettkokem VNeterum ab es pla- rimé aflimatum irie, gquicun- gue reputarit Fhocum, in geri- tate pernaoſcendla, pulorum au praolarum ſe non moao veri tativ convince plane, ſed ipſi convictiont pariter afßfundi lu- men - univerhaum veritatum, guo inter Fe coaqmentantar, nerum dilacide perſvici, & omner, queir acdl finem propofi- tum contencderir, grehhag, ſeci- bere in naumerato. Mon adeg interim noſteris temporiluasz eoauumntihhima Vete. rum metteoduzs abliterata ft, qäin, PRMFATLO. guen, in Britannia poliſſi- mum, primi Fhabhellii Matke- maticor vindicer Jut reperiret, & admiratorer. & profecto magmés iſce juclicibus eaclem tueri geſe poterat, Fü etiam re- ligat orbiz NRatkematiciz Je- cus placultſjet. ulcerrima certe ſunt, guc G amax imng- Jon Regia Srhola Woolwvicen- Fer Profehhor, Alt G Nattka- ur Sreeart in AcadlemGa &di- nen/fi Muatk. Profehhor, a in e protulerunt. St, ut de re- liguts Fileam, Feliciſfimum in Geometria veteram pramonen- da, e paucis fragementir, Sig- gue Kade melkilatig, ee a, da, no⸗ Manalu, erun . ur en guenſia t o/ t Rhi e Mlln liuit, le libyi gratum Geotber nec Sri⸗ mnt Offe ſitun N mne i I. ⸗ PRAEFA TIO. da . novggut In enten locuptle- zanda, laborem collacavit Ve- terim nuklli kecuncdas Rober- tur & imtan in Kcaltlemia laax- guenfi aliar Brgfethor, cpe. re poſtknene ibidem anno PDö6νNν inpen. Fios ſe. ilippi G Gamitir GN Banko pe magnifice imprehiſo. Mr- laquitur de hoc opere in fron- te libri &ditar Jacobuz Gloce gratum illud, uti ſperatur, Geometris munus futurum, nec Scriptoris jam clariſſimi fx. mæ offecturum. Qua jane prahagii modeftia, nil appo- lhitum magis ea eném opners æmne en em victaro nota erat P K AFATIO. prafigendla, gua lhummor In quavis facultate mortaliam, a ceteri- Fecerni erpertentia Fha- pe teftaleer. Rorum pracipue laboribus proficere halagenz, ercita tiones Kaſoc conforiphi gäd- dam pariker lkectar repertet . pvroprio ktudgio lacubrata. Nnalchi Fgnttkefin plerumgue kubnectere viſum erat, ut via relegenda poneretur ab ocutar: geometricæ autem propathilio- nir reholuttioni khabinde alger ricam aazunzt, ut metkodlus utragae kaciliuz inter ge con- kerri paofhfet, GQuod ur ta et, Ma. 9 gis lor: tio: , u lr. PRNFATITO. Quod autem tacubrationem Kanc qualemncunque Cauci pabler commettam, en potiſgimum cauſa me pverpulikt, ut Rtudio- zum norenækx, ab &minentifhe mo Slectore ac Brincipe No Flro clementiffimo, präahcrigp- ta pro Fhacuttate reſponderem. Slnter alia ibidem gaptentihche- me fancita, S& llua elkts ma- tkematicas pklohopcticasgue difciptinas radendas ita eſhe, t Zacultatum unn alzeri ma- num continué prabeut, Guindi- viduo nevu utragut oouletur. GBi itagae Bogicesr DWrgfef. Fhor eam difeiplencd Nam pur- X 2 kege PR FATIO. tem pertractabit gug Erca demonſtrationig naturam in- dolemque verfatur; paradig- mata demonferattonum perfici- endarum, utié & mettkocli veri- tatir inveniendad, erx nenu kac maäattktematica poterunt in mecdi- um adduci. Gum ero regulæ demonhirationam inventenda- rum proponendlarumgue in Lagica tradi Folitäa, religuc mentir Zenhuumgue phtilo a- ptig igentidem applicanda kint, poterunt demonftratio- ner Koc valamine contenta ita acdthiberi, ut Fkeſuonctin cogita- tione tiir, gua Fori Ratkema- tici prapria kankt, karrogen- ar ur gui gi⸗ e⸗ a⸗ ra. t mni ar. C . 6 em S PRF A TIO. tuer principia propofitionez- gaél e‿ Ontologia Dſhzckola- gia, Dhicchiologia „ & Skcckica depromta, idemqae, ebi lecet, decurratur in demonferando zramer, cus Ratkematicun in- ANAlumantiorum pariter claf- Fium Gandidlati, utiliter Feſe in digs prä‿hertim Wropofitto- näbaxr, gqua Ffaciltorer, G zfte- rihois ** non diſcrimenala Fhant, poterunt ezercere. Gum enim eovdlÿ⸗m TWatkhofi Slemen- tari imbai cudtorunm noremna conftituat - addifcent paula- kim Käumul veritatum inveni- cda- PREFATTO rum Tetkodlum, ad relequa non minnz leteraram Kladia, geaum kolttanr viläd negotia Uulai- Ceſſemam. QNQuod ſi itaguc, ut Sperg, evercitationer Aäd, Aaſchir AEr- aqae commoder inherzitark Kent meam deincepa repueta- ba, act provectiora facere gra- dam, G prahtantihſimam an- Kguoreen Geometrarum NRe- Modum, pro ziribas reddere atentiorem. Datam Abona- Seeris Weſepktatorumcdierma Mazi Nnno revarata Falatia Aöναdννραορ PRE- 1, ,5 , . 3, nu ir PREFATIO AD EDITIONEM II Qrv Nub editionis rrioris nnm optaverann, it vi- delicet Suclidir Datorum, guemadlmoaaum a ARoberta SN ga dltomate Nnglicano edita, & infignäter emencdata Funt, majſor Fieret Germanis copiaz eidtem voto reſponſars ihe, Latinam interpretatior enm eregeraem al von, edem prelo commiſgarus ſchem, id o‿ρ*‿ρd interprelalt Lena- ta praverlit GR. GF. 3hibab, Mhila- RFATIO Philoſopsk,ta in mälitar Jere- nehhſem DVacizr Wen krzi NRaoaäemia Drofe ſhor. Lata- Ear. enenm ero promotor Kac g d-= teone in Germania noſtra ana- Cgleos geometric Ffener, ea- demqgae anzme nolaptate egre- 3 gia in operis eſtibauba Har uper t mectötatla, hubneague inhen Datin infignia roa maäld kaſniciebam. Neogue Loc gqaidem hoca nertunum arbitror, Aiſorimen enler analzfin veterum geome- rican, & anatzſin ane Mato- zum, oeftendere, ePriaor Faci- ndam pro facto aſcamit &., guod D EDITIO NEM M. rider. guod tgronam inſtitutiont pro- enbergii Ffecuum magir cenfeg, in com- . Kaou. poſitione problematir eam Ze- erkum. legit non ita ſemper Poſte- ru an- rior. Suhficit auzc problema, uer,; A gaod in manibitz eſt, all pro- At, e. pohitioner de Datis renocaſſe, le ſuptr oftenjſamnque Kifo fontibata mugte problematis dqDficiendi pocefsa- prakl- tem, fine gam ipha R ynthefir c aalchfhi prono alzeo defluat, vel etiam a conferauotioniz arti. la er Föciig, extra ipfam analzfim ſrinn vaſitig., dͥerivetaur. BVideotur n gent. empli cauza in baucdato libra B Jat. Wyobtema I. Mag. N J. pro- tirſut vohitam. iual Mere. PRNVATIO Peterum, guigee votiſſi- mum veterer Zelzci inda‿ſeria imitantar, Britannorum ve- Kligia premere, loto operis de- curſa conabar, Kos ano diſpar, gquod lli Guclides more calcu- Ca al⸗htineant omnino, Guzus Fulſidia interdum adktibenda cenfut. Sic enim mecum repa- goα: gquicungeét non barbatos zllar er Gactidis IZckola iror, Fed kleneram vartachee intelle- gendi Facultate praditam gju- venkaltem mattematicir Aiſci- plinis publice imbuit ( prina- ta enim inſtitationi . Kä ulla ratione lgronum indoler ferat, Suctidem prafigendam mo 40 ne, Fi t rur fulit rigori 4 muticd gui ita 7 nim al, ſt par. ngulor ori neluti 5 Allituch, gliiden guam tontum ladere, omet, 00an petiſi rum „e- erirde- diſnar, re dlon. , ljur hitenda n epl- Lortator virof, , intall. ita, MI - ß. 4 riyc- 5 la Arſer Slt, M. D EDITIO NEM II mo) ei nitio vertendam mini- me, Fi captai hauoraem confultu- rux Zaciliora elsgit; mocdla ne rigori accurattonegete mattke- maticaæ gauidzpiam decedat. Nl- get ila ſe res omnino labete ut enim alza Fälecam maniſeſtinm eſt parallelogrammornm Erz- angalorumque aſgectionet Jaci- Leori longe metlkoclo erui, Fe veluti prodacta ex bafobaz in altiteadlines erkikeantur. GNua gaidem conſideratio quan- gquam prima fronte in latera tantum nusneriz erprimencaa cadlere, adeogue feerktaer geometricig, guar errationaler vocant, avcomodari nor nah, 4 vide- PRFATIO videanturr liguidotamen often- Ailtar, guankitates irrateona- ler ad rationaler, alva accu- ratione matkematica, reuocari, modo in elementa geometrid co- optetur quantitatum, donec evanefcant, contienao zmmenet- zaraum notia, gquoguidgem vocdt- baula, Lecet abſeinuerint vele- rey, rem tamen aic rite intel- lecto Ffubſtratam uoa in ihäas dalkibebant. Gonſulatur oumnni- no G . Aäcfhtneri Prafatioad Slem. TMattlt. G. I. germanice ekita. Sclitione altera gaid praſti- Ziton, benenole Lector paulcis habe. Al habe! aßſe g. mlimn mn Plſelion. ſunt. d. Jam ini iAgonu⸗ oy, ju Poteur, terorum lerrupt MCt Paftem . 9 en eſen. rrationa- yas dcl. renoluũri, netrid o- n, donec immminul- dem poll- ript ete - it, intel- in ut ur omut- fati⸗ Zernurice- Apraſt r Muuctt aber 4D EDITIONEM I. kabe O gronam, gu tertid claffe geomelric elementis pri- mum mbaunteer, ehibas Ppro- poſilionet Faciliorer adfecta khunt docuit enim eperientia; am in ipfo geometrig liumine, A genus evercitationibaz alum- nos jucunde hfici, guodgue potiuz, inzentionig Ffacultatem miréfäce acſuvari ut autem cæ- teroraum problematum ardo in- terraptuz Zervaretur, proble- mata kac priorem opuhculi partem conhtitaent. Darti erin pohteriori va- riæ itedem propofitiones accef- khere: hant inter reſolutiones P R A FATIO karum, gagdam a puero non- dum duodennt, & tredlecim an- norum puella, proprio marte, Gmodica aneme contentione in- ventæ, &, uti in libro kaben- tur, elaboratä,; uas ret men- tionem in mecdium gcfhferendam duxri, ut hoc exemptlo elucefcat, quantum ack perficienda inge- nia Faſcepta Ffic a tenerer annis ervereitalioa prabeat aagumen- Zelm. guod Fe vero reholati . nem in tantilbka atate dexteri- tar, infolita cuipiam miraqae vicdeatur; minuet ir certe po- nelve admirattonem, ubi intel lererit For te, cuſur aopera gu- venkila Kac Ipha profectum de boeat. AMWey 40 Gort, epcßt bur ſole 4 higura ntur. 5 factun, Or r Nipuli negult, uncli ſ ur, G liouit fi tionen, benci el , lau ni yron poſitioni 40 enon 0 Lero on⸗- Cetim an- io Marte, ntione - ro kaben- 1 fes Men- Perondan Aucſeat, d inmk- rir annis ljuner. nſoltie Neater . 1miragle erte - Giinttl ectunm Ae. AD EDITIONEM II. DBer totum operiæ decurfham propofhitioner, guoadl & veteri- baus hfolenne erat, primum nal- daz FKigurz ratione Kalttta apo- nanter generatim. &koc iden Jactum, ut propvohitioner a Spyaceptore ita enuntiatar di- Kcipult deltneent dici Fhane negalit 5 guankusn ine imaci- nandi Fhacultati concilietur ro- bur, G adchunetur, enuntia tiont ettam prolixiori, atten- tionem, at nil elabatur, adkti- bendi Feli kabelitarx at File- am, kacz ratione kallucxinatio- ni tgronum ourri, dum pro- vohittonir in Kokemate dLepic tæ demonftrationem, huct, non alteri PRAEFAL. AD EDII. II. re arbi- leri conzenire interdlum 4 . tar. VDakam Monate Eran . 1 n Peſephalorum Stia R. zene brir anno reparata ha i NS2. Apgale Pars l. ad. Petitut ſeczti i Diſclanin, lus BAD, 1 540 S 340 — P nim ſizer r Egnilaterum, Conſruc nimmn 40 nilterun 1 EXERCITATIONUM PARS PRIOR. PROPOSITIO I. PROBLEMA. Angulam rectum ſecare trifariam. Pars I. Tab. I. Fig. I. Sitangulus BAC= = Ry petitur ſecari in tres partes æquales. NWeſolutiv. Factum puta: erit itaque angu- lus BA D, anguli recti B A C pars tertia: five BAD = ½ R: conſequenter angulus DAC = 2 R BAC – BAD—; quod fieri poteſt, quo- 3 niam ſuper recta AC erigi poteſt triangulum æquilaterum. Conſtrutctio. In crure anguli capiatur recta arbitraria AC & ſuper AC erigatur triangulum quilaterum DAC: dico factum. A Demon- Ca⸗ 1. 4, f. 32 2 ☛☛– ee Demonſtratio. Eſt angulus BAC = K & 2R DAC = —. Hinc BAD = BAC -— DAC = 3 2 R R — — = 3 Coroll. Si ergo angulus DAC ſecetur bifa- riam; erit angulus BAC trifectus. Et hoc tan- tummodo de recto valet; nam trifectio anguli obliqui geometrice fieri nequit. PROPOSITIO II. PROBLEMA. Ad trianguli æquicruri baſim, ducere intra triangulum parallelam ea lege, ut hæc ſit æqua- lis utrique ſegmento parallelis comprehenſo. R. . Pars I. Tab. I. Fig. II. Sit triangulum ABC quicrurum: petitur ad baſin BC duci parallela DE = DB. Keſolutio. Sit fatum & jungatur BE. Quo- niam per hypothefin eſt BD = DE; erit angu- lus DBE = DEB: & quoniam BC & DE ſunt parallelæ; erit angulus DEB = EBC: erit ita- que angulus DBE = EBC, quod fieri poteſt, ſecçando angulum ABC bifariam. Conſtructio. Angulus ABC ſecetur bifariam reta BE; & ex E ducatur, ED parallela ad BC: dico factum. De = 3 Demonſtratio. Eſt per conſtructionem an- gulus DBE = EBC: & ob BC, DE parallelas = EBC = BED: ergo DBE = DEB, adeoque DE = DB. Coroll. Ob angulos ABC= ACB= ADE= ſ. AED, eſt AD = AE; & AB — AD= AC— l AE: ſive DB = EC= DE. li THEOREMA. .141,31. Si ex diametri punétis extremis, ad idem tn punctum circumferentiæ, utcunque infleéctan- . tur duæ rectæ; angulum rectum hæ compre- hendent. pPars I. Tab. I. Eig. III. Ex diametri B C eli punctis B & C ad puncdtum circumferentiæ A inflectantur duæ rectæ BA, CA: erit BAC= R. uo⸗ Reſolutio. Sit ita, videlicet BAC = R. .“ Quoniam BAC+ B † C= 2 R, erit BAC= R., unt ſi fuerit B C = R. Secetur BCbifsriam in D, t. & jungatur AD: erit B + C = k, fſi fuerit t, 2 B †+ 2 C = 2 R, quod ita eſt, quoniam ADB† ADC = 2 R, & ob ₰AABD æquicru- rum angulus externus ADC = 2 B: fimiliter, den ob A ADC æquicrurum, angulus ADB= 2 C. 4 — Demonſtratio. Secetur BC bifariam in D, & jungatur AD. Sunt anguli ADB †£ ADC= 2R. Jam vero ADC = 2 B: & ADB= 20: ergo 2 B 2 C= 2 R; adeoque B C= R. Et quoniam BAC T BP+ C = 2 R, erit BAC= R. PROPOSITIO I. THEOREMA. Viciſſim; ſi duæ retæ, ad idem punéctum circumferentiæ circuli inflexæ, comprehendant angulum rectum; crura hujus anguli infiſtent extremis punctis diametri. Pars I. Tab. I. Fig. IV. Duæ rectæz AB, AC, ad idem circumferentiæ punétum A in- flexæ, conſtituant angulum BAC ☛ R: erit BC diameter circuli. RAeſolutio. Sit BC diameter: erit, ſi ſecta BC bifariam in D, & juncta AD, fuerit BD = DA: comparentur BD, DA demittendo ex puncto D in AB perpendieularem DE; erit BD = DA, ſi fuerit BED £& AhAED: & hoc erit ſi præ- ter latus DE commune, & angulos ad E rectos, fuerint BE = EA: comparentur AE, EB, de- mittendo ex puncto D in AC perpendicularem DF: erit AE= FD ob parallelas, inter paralle- las æquales: ſunt enim ob angulum BAC = R redtæ AC, ED, item AB, F parallelæ: erit . itaque Vel aut ang den tria ledh easd 90 t R., ant ee 09: 00 DA, pre⸗ Kos, (e⸗ Nem lle⸗ — erit ne . 5 itaque BE = AK; ſi fuerit BE = FD: & hoc erit ſi fuerit Q EBD & △— DC; quod ita eſt, quoniam BD= CD, & ob AB, & DF paralle- las angulus ABCG = FDC, & ob ED & AC paral= lelas angulus EDB = FCD. Demonſtratio. Secetur BG bifariam in D, & jungatur AD; tum ex puncto D demittantur in AB & AC perpendicula DE, DF. (Sive, aliis verbis, ex puncto D ducantur DE, DF ipfis AC, AB parallelæ). Eſt BD= DC, & angu- lus EBD = FDC ob AB, DF parallelas: ſimili- ter ob DE & AC parallelas, angulus EDB= FCD. Ergo A EBD Z AFDC, & EB = FD. Eſt autem ob parallelas inter parallelas FD = AE., ergo BE= EA, & ob latus ED commune, & angulos ad E rectos △ EBD △ EAD, & BD= DA. Sunt itaque BD, DA radii ejus- dem circuli, cujus centrum D, & BC diameter. Corollarium. α ô BED Z △ AED 2 AFD △ FDGC. Et habetur hinc methodus, quodvis triangulum rectangulum in quatuor triangula re angula dividendi, quæ fint congrua. PROPOSITIO V. THEOREMA. Parallelogramma ſuper eadem baſi, & intt⸗ casdem parallelas æqualia ſunt. Pars I. Cael. ,41. ☛ e e Pars I. Tab. I. Fig. V. Sint parallelogramma AC, BF ſuper eadem baſi BC, & inter easdem parallelas BC, AF: erit AC = BF. Keſolutio. Sit ita, & compendii gratia areæ BADG, GBC, GCFE, EDG literis minufculis a, b, c, d exhibeantur. Erit itaque a † b= b-pc adeoque a —– c, & a-†d = d †.c, ſive A ABE Z Q△ DCF, quod ita eſt, ob AB — DC, & BE = CF; & quoniam eſt BC — AD = Ef, erit AD DE= DE EF, five AE = DF. Demonſtratio. AB = DC, & BE= CF. Eſt AD = BC = EF, ergo AD † DE — DE EF. ſive A E = D F, adeoque ₰△ ABE 2 DCF. Sive a †da=d-†c, adeoque a = c, & ap b== b-†Pc, ſive A BCD = EBCF, five AC = BrF. PROPOSITIO VI. PROBLEMA. In angulo rectilineo dato, conſtituere paral- lelogrammum, quod ſit æquale triangulo dato. Pars I. Tab. I. Fig VI. Sit datus angulus D; datum item AAABC; oportet in dato angulo conſtituere parallelogrammum E =r Q△ ABC. Reſolutio. Factum puta. Erit ergo angulus FEC= D, & FE, GC & EC, FG parallelæ: quod utrumque fieri poteſt. Jungatur AE, erit etiam ur len dar log Ple . i — 27 ni etiam EG = Q△ ABC; ſi ſit EG = 2 A AEC., em quod ita eſt, & A A BC = 2 AA“ AEC, quod fieri poteſt, ſecando BC bifariam in E. ee Conſtruétio. Secetur BC bifariam in E, & hlis ad punctum E conſtituatur angulus FEC = D; e ex punécto C ducatur CG parallela ipſi EF; de- 2 mum ex puncto A ducatur AG parallela ipſi ; BC: dico factum. 7 Demonſtratio. Ob BE = EC, A ABE = A△AEC, & H△—A BC = 2 AA“AEC. Jam vero . EG= 2 AαAEC. Hinc EG— AABC. II. CF. 3 PROPOSITIO VII. d. THEOREMA. Cal hi⸗ In quolibet parallelogrammo complementa parallelogrammorum, quæ ſunt circa diagona- lem, æquantur inter ſe. 4 . prors I. Tab. I. Fig. VII. Sit A BC parallelo- ie. grammum, cujus diagonalis BD: fint FH, EG 3 parallelogramma circa diagonalem BD: paralle- 1 logramma AK, & KC, quæ dicuntur horum com- . plementa, æquantur inter ſe. Sive AK = KC. ds Reſolutio. Sit ita, & partes figuræ compen- 2: dii cauſa deſignentur literis minuſculis a, c, d, b; f, e. Sit itaque a = b. Erit hoc ſi ſit erit C = d 17 al. 44: 8 ☛ = c= d & e = f; & ſimul a † c-e ρ b †f; quod utrumque ita eſt. Demonſtratio. a-c †e = d-p b- f, Jam vero c == d & e = f ergo utrimque æqualia au- ferendo, a = b, ſive AK = KC. PROPOSITIO VII. PROBL-EMA. Ad datam rectam applicare in angulo dato parallelogrammum, quod fſit *quale triangulo dato. Pars I. Tab. I. Fig. VIII. Data ſit recta A; datum triangulum C; datus angulus D Oportet ad datam reéctam AB applicare parallelogram- mum BL= C. Keſolutio. Parallelogrammum BF= C in angulo D conſtitui pofſe, patet per Prop VI: conſtituatur, & factum puta: erit itaque A FB = BL. Erunt ergo rectæ EB, BA fitæ in directum, quod fieri poteſt, & ſimul FB, Bl. complementa parallelogrammorum, & parallelo- gramma GA, EM circa diagonalem HK; quod itidem fieri poteſt, ſi compleatur parallelo- grammum, cujus latera GB, BA, & per puncta H & B ductatur recta HB, quæ ob angulos EFH T FHB O 2R, occurret rectæ FE productæ. Occur⸗ ec cuj redl tur pro par⸗ ſus der len P. tili rec date lus 0. uo 9 bſ Occurrat in K & compleatur parallelogrammum, cujus lateta H, FK, & demum producatur GB verſus M. I —,— bil, lhn Elelis au. Conſtructio., Fiat GBE== D, & BF= α C, rectæ EB ponatur BA in direétum, & complea- tur parallelogrammum GA & ducatur HB, cui II produetæ FPE, occurrat in K, tum compleatur 9 parallelogrammum FL, & GB producatur ver- ſus Me: dico factum. Demonſtratio. Quoniam HK eſt diagonalis; parallelogramma GA & EM funt circa diagona- lem, & FB, BL ſunt complementa. Ergo FB-==BL. Eſt autem FB= A C. Ergo BL= Aα.,. iech ae; & angulus ABM = GBE = D. angulo dato le triangulo 0. Oportet Melogram⸗ XX P R P O S I Tl O IN. PkROBIL -EMA. aalbes s Aln Facere parallelogrammum æquale ſpatio rec- e —ilineo dato, ſub angulo dato. d len Pars I. Tab, I. Fig. IX. Sit ABCD figura nulFB, BB rectilinea, & angulus E datus: oportet facere R parallelogrammum FM= ABCD, cujus angu- e lus FKM = E. aralelo⸗ ncka Keſolutio. Factum puta, & ducatur recta hen, goduce quod fieri poteſt per Prop. VI. Ceeut⸗ II. — 10 =☛ II. In angulo GHM = E applicetur ad datam GH parallelogrammum HL = △ DCB quod fieri poteſt per Prop. VIII. III. Parallelogramma FH ◻ HL conſtituant unum parallelogrammum FM. Erit hoc ita, ſi KH, HM item FG, Gb jaceant in directum; & KM., FL ſint paralleſæ: jacebunt KH, HM in di.- rectum; ſi fuerit a; be== 2 R; quod ita eſt ob K a = 2 R, & b = K; jacebunt FG, GlL in directum, ſi ſit c π d = 2 R, quod ita eſt, nam ob KM & FG parallelas c☛ b & c -† d = b†d = 2 R; erunt demum FL, K M parallelæ, ſi rectæ FK, LM ſint æquales & parallelæ, quod ita eſt, cum ſit KF æqualis & parallela rectæ GH; & GH æqualis & parallela rectæ LM. Conſtructio. Ducatur recta BD, & in angu- lo K = E conſtituatur parallelogrammum FH=ADAB: tum ad datam GH, in angulo GHM = E applicetur parallelogrammum HL= △ DCB: dico faéctum. Demonſtratio. K +a = 2 R, & b = K: ergo a †+☚ b = 2 R; & rectæ KH, HM jacent in direétum. Similiter ob MK, FG parallelas C = b & c † d= b † d= 2 R: ergo FG, Gl- jacent in diretum. FK = GH, & parallela; GH = LM & parallela: hinc FK = LM & pa- rallela eſt itaque FM parallelogrammum: jam vero FH = ADAB, & HL= A DCB. Ergo FM = ABGCD. Coroll. Corol. Inveniri pan gboc ſi ſig gurle. Corol. tar relkangr **] Ecere quale. Dats l. gblum B0 gurle gvad ſla mouſtratio rebtangulr ſtum eſt Dotelt, P Redkam ( AHE, 4 centro G titeulus, cireumfer Urit eninx e 11 tur d dater Coroll. Patet inde, quanam ratione poſſit d gnod inveniri parallelogrammum ſub angulo dato, quod ſit figuræ rectilineæ polygonæ cuivis æ= conlitnu duale. fechin; d Loroll. Si angulus datus ſit rectus, habebi- l, HMlindi. tur rectangulum, cuivis ſpatio rectilineo æquale. dd ita eit ob uler XXPROPOSITIO X. noc ite eſt, dti= PROBLEMA. Srl. hi. parallelæ, parallelx, Facere quadratum cuivis ſpatio rectilineo æ- & pirilels quale. tecte Ll. B Pars I. Tab. I. Fig. X. Inventum ſit rectan- L in angn. gulum B ſpatio dato æquale, petitur huic æ Ogfammudk quale quadratum Hl. in ungolo ogrimmum Reſolutio. Factum puta. Ex ſigura & de- mouſtratione theorematis pythagorici patet, eſſe rectangulum BD = HL quadrato. Manife- eb=K: ſtum eſt itidem 1) eſfe AB = AH quod fieri NM nnent poteſt, producendo AD ut fiat AE = A B. 2) herillelu Rectam CD produéctam intercipi angulo recto 9 FG, 6l. AHE, quod utrumque itidem fieri poted, ſi parellen; centro G ſuper diametro AE deſcribatur ſemi- LMN. circulus, & CD producatur, donec occurrat nüm: jam circumferentiæ in H, & jungantur AH, HE. Ergo Erit enim angulus AHE= R per Prop. III. Coro. Con- 12 = Conſtructio. Fiat AFE = AB: centro G, ra- dio AG, deſeribatur ſemicirculus; producatur CD, denec occurrat circumferentiæ in H, du- catur AH, & ſuper AH deſcribatur quadratum HL: dico factum. Demonſtratio. Jungatur HE, &£ repetatur demonſtratio theorematis pythagorici. Deto Dars II. ABD: eri Meſohe cuus cent AbD: er dn ta C4 A: Leægules culi, res G60= tertio, S Quod utr Duncto a kem, & . Asc endto , ki. Prodocatur e in H, dn. r quadtatum ten EXERCITATIONUM V PDARS POSIEROR. PROPOSITIO I. PROBLEMA. . ; . . el. 11 4 Dato triangulo circulum inſfcribere Cal.l „†. Peoers II. Tab. II. Fig. I. Datur tria ulum ABD: erit ipfi inſcribendus circulus EF. Reſolutio. Factum puta: five circulus EFG, cujus centrum C, cogitetur infcriptus triangulo ABD: erit ergo CG = CE, cogitetur pariter du cta CA; erit adeo CG = CE; ſi ſit A GCA & A△ CEA: quod ita erit, ſi præter angulos ad G & E æqules (qui propter AD, AB tangentes cir- culi, recti eſſe debent) ſit præterea angulus GAC = EAC, Erit enim tunc GCA = ECA tertio, & AC latus commune ₰tπω GCA, CEA. Quod utrumque fieri poteſt, cum liceat e dato puncto ad datam restam ducere perpendicula- rem, & angulum datum ſecare bifariam. Simili ratiocinio patet, ducta recta CB fore . CE= CFe Cael. . 14 e Conſtrulétio. Secentur anguli ad baſin DAB, & A BD bifariam rectis AC, BC; tum ex puncto concurſus earundem demittatuùr in latus à B per- pendicularis CE: tum centro C radio, CE defcri- batur circulus: dico factum. Demonſtratio. Ex C demittantur in latera DB, DA perpendicula CF, CG. Eſt (per con- ſtructionem) G AC = EAC, G = E ergo GCA = ECA tertius tertio, & ob latus AC commune erit a CGA CEA, adeoque CG = CE: ſimili argumento erit CE = CF. Circu- Ius adeo tranſit per G, E, F: & ob angulos ibidem rectos (coaſtr.) tangit latera trianguli PROPOSITIO II. PROBI-EMA. Dato circulo infcribere triangulum, *quian- gulum dato. Pars II. Tab. II. Fig. II. Datur circulus MN: oportet ei inſeribi triangulum ABD, æquiangu- Ium △ GEF dato. Reſolutio. Factum puta: eſt adeo B = E, D — F ergo eo ipſo A = G. ber A cogite- tur ducta tangens TK: erit angulus ad peri- Pheriam B= TAD angulo ſub tangente TA & chor⸗ chorda AD. B= b, KAB ☛ , A liceat ce Cnru fümtumdu KAB=E Denon, 8B. l adeogue d EGE. 1 Dato er angulum Tah.I titur eiden ACE, Rgohet lus A R G . lteribust as eonſtit 15 d bin 04, chorda AD. Similiter D= KA B. Ut ergo ſit Im er puncto B= E, & D = F debebit eſſe TAD =— E & latus Abder- KAB=F, quod fieri poteſt, cum ad punctum bio C defeti. A liceat conſtituere angulum, æqualem dato. Conſtrutctio. Ad punctum A in peripheria aſ- ſtur in laters ſumtum ducàtur tangens TK, & fiat TAD= E Elt (per con⸗ KAB=F; tum jungatur BD: dico factum. 6= E ego ob hius 1 Demonſtratio. Per conſtructionem E=TAD CF. Creun. acdeoque triangulum BAD æquiangulum, dato X ob angulos EGF. tera triangoli PROPOSITIO II. I. PROBLEMA. a I. Dato circulo cireumſcribere triangulum æqui- . angulum dato. um, Znian- Tab. II. Fig. III. Datur circulus PMOQ., pe- titur eidem circumſcribi Q AD æquiangulum circulus MN: AGEbF, , eg inngn-⸗ Reſolutio. Fatum puta. Erit adeo angu- lus A = GEF & B= EFG & conſequenter Jeo D= L, D= G: & circuli radii CP, CM, CQcum der Arogite⸗ lateribus trianguli AB, AD, DB angulos rec- olus ad peri⸗ tos conſtituent. gette 14 chor⸗ Sunt 16 =☛ = Sunt quadrilateri APCMomnes angauli ſimul ſumti quatuor re&tis æquales, ſive A † P PCOM † M= 4 R. Sunt anguli ad ?D & M recti ergo A F† PCM E2 R, five A=³3 R—– PCM. Produéto latere FE in R; eſt angulus GEF = 2 R – GER; ut adeo ſit AQ— EF debe- bit eſſe 2 RK — PCM = 2 R – CER, five PCM = GER. Simili ratiocinio eſt angulus B= z R- PCQ & producto latere EF in S angulus EFG = 2 R—– GFS: debebit ergo effe ?CQ GFS; quod utrumque fieri poteſt. Conſtruttio. Broducatur EF utrimque, & fiat ad centrum C angulus PCM = GER & angulus ?PCQ= CES: tum per puncta P, M, (QAQdacantur tangentes BA, AD, DB. dicto faetum, . Demonſtratio. Quod imprimis rectæ DA, AB productæ concurrant, atque ita triangulum conſtituant, patet; quia anguli AMC, APC recti ſunt: ducta ergo MP anguli AMP & APM duobus rectis minores ſunt, concurrent adeo rectæ DA, BA verſus A. JIam vero anguli A PCNM = 2 R & GEF-- GER= 2 R & angulus PCN = GER (per conſtructionem) erit adeo angulus A= GEF . Simili Fimili modl Erit adeo : lum ABD PR In quoxis hypotenuſæ mul lumtis, Tab. I angulum: e ucſo i⸗ Driſcorum 1 A3C0 F Lola iloſteli ter ſe cong diagonales Darallelis 4 tiocjnio don recdtangulo nypotenuſa tis Euari. conjecturz Angulo red Eioure Iy- tis Pà, P uirendum 17 m Suimili modo oſtenditur angulus B = EFG. CMErit adeo D = G. Et conſequenter triangu- go Ium ABD æquiangulum dato EG. PkROPOSITIO MV. e. THEOREMA. Shir. ſire In quovis triangulo rectangulo quadratum hypotenuſæ æquatur quadratis cathetorum ſi- (Q] mul fumtis. 1— ; Tab. II. Fig. IV. Sit triangulum PAB rect- angulum: erit ABCD = BEFP T PAHG. & COecaſio inventionis. Conſtabat facile opinor &½ priſcorum temporum geometris, quadratum M, ABCD Fig. V. in quatuor triangula reétan- Ro gula iſoſceiia ABE, ClE, DCE, DAE in- teer ſe congrua diſpeſci poſſe, ſiquidem ducantur diagonales AC, B00. Dustis vero ad easdem A, parallelis AF, DF item 3CG, CC prono ra- rlun tiocinio concludi poterat, in quovis triangulo eC rectangulo, quod eſſet iſoſeeles, quadratum P&E nypotenuſæ, quadratis cathetorum ſimul ſump- trent tis æquari. Veritate hac oſtenſa erat utique conje turæ locus, an non idem pro quovis tri- . angulo rectangulo obtineret. Deſcriptis itaque P Figura IV. ſuper hypotenuſa A B, & cathe- er tis PA, PB, quadratis AC, PE, PH in- . quirendum erat, an quadratorum fuper cathetis B deſcrip- 18 = e deſcriptorum eæ portiones AHGK, BEC, CEFM, quæ extra quadratum hypotenuſæ ca- debant, æquarentur iis APB, DKPM, quæ quadrato hypotenuſæ continentur: nam quod quadrilaterum PBCM & triangulum K PA at- tinet; eſt utrumque quadratis hypotenuſæ & cathetorum commune. Quæritur adeo, an ſit AP † DKPM = AHGKk † BECCFM. Vocetur APB =— c Quadrilat. , K PM — a Quadrilat. A HCK — e A BEC= ACFNI — m △ KPA — b demum Quadril. PBCM — J. Quæzritur ergo an ſit a † c =ePIEm? Quod ita erit; ſi ſit c = f, & 2 – P m. Keſolutio. Utrumque verum puta ſit ergo IJ. c — f. Sive huAPB & △ =-CEB. Erit hoc ita, ſi ſit AB BC; PB = BE & angu- lus PBA — C(CBE: quod ita eſt. Nam A B = BC, & PB = FB, & angulus A BP † PBC — PBC F CBE = R; & ABP = CBKk. La- tus autem BC occurrere rectæ EF in puncto C, inde patet, ſi triangulum PBA cogitetur ita ſu- perimponi triangulo EBC, ut congruant, tune enim punctum A cadet in C. II. Sit a — e . m. Producatur H verſus D, & ſit a OGK = n. Erit a — e † m, ſi ſit 1) m n, & 2) 2 — e n. 1) Sit ergo m n: erit hoc, ſi præter an- gulum DGK =— IHC =— R, fuerit «) GD = FC & ⁸) GK = FM. ) Erit 60, a. æ quod Ant. ſe & an ſit PM. — 4 CFAN 80 in! . Erit ogu⸗ P0 . La- 4oC, italu⸗ tung m, ſ et an⸗ Dz tit — e = 19 „*) Erit Gl) – FC, ſi üt DH – HC = FE — FC, quod ita erit, fi ſit DAE APB; tunc enim erit DH — PB =— FE, & HC — àP= CE. Efſt autem « DHA OQ AFPB ob AN = àP& D4 — AB & angulum HAD P DAP= DAPT PAB & HAD= PAB. Latus autem (D occurrere lateri pro- ducto HC in O), inde patet, ſi cogitetur triangu- lum PAB fuperimponi triangulo à& Hh, ut con- gruant, tunc enim punéctum B cadet in D ₰) Erit GK = HM, fi ſit &B — K — AF – M, five K 8B=— A M, & hoc ita erit, ſi ſit A AKBZ: A OMA. Quod ita eſt ob angulum K AB = ADM = R, & angulum ABK = HODA ob AæABP 2 A HDA; & HODA = DA M alterno inter HD, AF pa- rallelas; adeoque ABK = DAM, & latus AB = A0. 2) Sit 2= e n. Erit hoc y) ſi ſit e' n = c, quod ita eſt, ob A DHA Z2 A A PB, per oſtenſa; & ⁵) ſi ſit a = c, quod ita eſt, quo⸗ niam itidem per oſtenſa eſt b- a =— b † c. Sive AKABO ADMA. Compoſitio. I. Angulus EBCP CBP = CBPP PBA= R. Hinc E BC. — PBA. Efſt BC= AB, & E = PB. Ergo ACEB O AABD; & CE—z AP= GEI. Et latus 30. occurrere rectæ EF in puncto C patet, ſi tri- angulum PBA cogitetur (uperimponi triangulo BEC. B 2 II. 20 ☛ —= II. Producatur HC verſus D. Angulus HAD DAF = DAF T+ FAB — R. Hinc HAD = FAB; eſt DA = AB & HA= AbP. Ergo AHADO A APB; & DH= PB= FE: erat autem GH = CE; z ergo DC = FC. Latus porro C) occurrere iateri pro- ducto HG in puncto D) patet, ſi triangulum PAB cogitetur ſuperimponi triangulo AHD. III. KAB = ADM = R: Angulus HDA= KAM & HDA= PBA; hinc KBA = DAM, latus AB=AlIly. Ergo ahAKB △ DMA & K B= AM- Eſt autem GB – FA; hinc GK= FM. L IV. Eſt DCGK — CFM = R & DG= FC, item GK — FM per demonſtrata: ergo A DGKOZ △ CFM. V. Eſt per oſtenſa c = f (I.) & c= e n (II.) & n êẽ m (IV.) ergo c =— e m; eſt b † àa — b † c (III.) hinc a — c, ergo a = e m & a P† c=efm: conſequenter a † b-c „ραd — e † b5d-† f† m. SiveA BCD= BEFP PGHA. CHOLEIONMN. Propoſitionem modo demonſtratam de ſolo triangulo reétangulo locum habere poſſe, ſic analytice oſtenditur: Fig. VI. Contrarium enim verum puta, videlicet in quovis triangulo obli- quan- que⸗ X ſim ue tun br. fupt ven ulas Hinc Ab. — 6 — — pro. alum 30. A= AM, NMA hinc ergo eFn 1; ett — nenter C0⸗= ſolo , ſie denim 0 obli⸗ nan⸗ 1 ☛ e 21 quangulo ABC quadratum lateris maximi AB, æquari quadratis reliquorum laterum AC, BC ſimul ſumtis, five eſle AB2 = AC2 P 8C2: ducta ex B perpendiculari B in latus oppoſi- tum β C, quæ cadat extra vel infra, erit (per Prop. IV.) AB⸗ =— AE= + EB2. Sit modo AB== AC BC: erit AC= EBC= = AE P EB=. Eſt EB2 = CB⸗ – CE. Erit adeo AC= BC= = AE⸗ P† CB2 — CE= five AC⸗ = AE⸗ — CE= Sive AC; P CE = AE=. Eſt AK = AC £ EC, prout videlic et perpendiculum cadit extra vel intra: adeoque AE = AC; –☛ 2 AC. EC EC?=. Si ergo ft AC= † CE⸗ = AE=; erit AC⸗ † CE⸗ = AC= .a AC. EC† EC-⸗, & £ 2AC. EC = O, quod eſſe nequit. Hinc proprietas ſupra allata, ſoli triangulo rectangulo con- ven'et. LEM- DRecl. l,v. —☛ LEMMA I. AD PROPOS. V. THEOREMA. Si data recta ſecetur bifariam, & non bifa- riam; exceflus quadrati ſegmenti majoris, ſupra quadratum ſegmenti minoris, æquabitur duplo rectangalo, tota, & diſtantia ſectionum com- prehenſo. Fig. VII. Data recta AB fecetur bifariam in F', & non bifariam in M: erit BM 2= MA= = 2 A B X M F. Demonſtratur. BM= = B F † FM = ABT FM =IAB E AB. MF P FMa. 2 AM= = AF — FNI = AB — FM — 2 4 AD2 — AB. MF E FAM= Ergo M= - AM= = 2 AB. MF. LEMMA II. AD PROPOS. V. THEOREMA. Si data reda ſecetur bifarlam „ & produca- tur, exceſſus quadrati totins una cum produéta;, fuper quadratum productæ quabitur duplo rectangulo tota, & diſtantia ſectionum com- prehenſo- Fig. VII. FN Dre — tur e pe proe rent rect 4 Pn biken er ife⸗ pr⸗ 1 1l. Oll= luct⸗ eta, eom⸗ 14 ee 23 Fig. VII. Data recta A B ſecetur bifariam in F, & producatur verſus M.: erit BM= — MA = 2 A B. F M. Demonſtratio. BM= = BF + FM- = AB TFME ABz † AB. FM † FM. 2 4 AM= = F& — AF = F — AB = AßB⸗- FMz — AB. FM +† . B Ergo BM= -— MA = 2 AB. FNM. PROPOSITIO V. PROBLEMA. Si cujuslibet trianguli latus quodlibet aſluma- tur pro baſi, hæc vero ſecetur bifariam, tum e vertice trianguli ad baſim, vel etiam baſim productam, demittatur perpendiculum; diffe- rentia quadratorum laterum æquabitur duplo rectangulo, quod baſis & diſtantia perpendiculi a puncto biſectionis comprehendunt. Fig. VII. Trianguli CAB bafis AB ſecetur bifariam in E, tum in AB vel AB productam ex C demittatur perpendiculum CM: erit CB2 — CA = 2 AB- FM. Reſo- 24 e Keſolutio. Sit ita: ergo 2 A B. FM = CBz — CAZ, Eſt (per Lemma I. & II.) 2 AB. FM = BMz -— AMz. Debet ergo efſe CBz — CA= = BMz -— AMz, five CB; – BM2 = CA= — AM: quod ita eſt, cum ſit C Bz -— B Mz = CN2, & CA= - AMz = CMz. (per bProp. IV.) Demonſtratio. CM⸗ = CA= — AM, & GN. = CB2 — BMzZ ; hinc CBz — BM2 = A2 — A Mz, ſive CBz — CA 2 = BMZz — A M : autem (per Lemma I. & II.) BM= -— A M2 = 2 AB. FM. Ergo CBz - CA2 = 2 A B. FM. CB2 — CAZ Coroll FM = – — Hinc datis 2 A B . lateribus trianguli datur eo ipſo diſtantia per- pendiculi a puncto biſeétionis: qua inventa de- AB tur A M = — — FM, vel etiam AM = 2 A B F. M — —, prout perpendiculum cadit intra, 2 vel extra: hac obtenta habebitur trianguli alti- tudo CM, ope theorematis pythagorici, inde- que area trianguli CAB. Servit hoc uſui prac- tico, ubi videlicet latera exprimuntur per quan- titates numericas, & area accurate eſt inqui- renda. *x PRO- g ibe ſt du tiͤ tnn eri Ab Tr ten pe 21 17 B. M= m l. &ll) Debet ergo AMA=, ſye 1: quoc ita CM:, & t Prop. IV.) 4M, & — BM = M: -AM: 12-AM = 2 24. PM. Miuc datis Rankis per⸗ inventa de- m A M = cadit intta, kiangali alti⸗ orici, ine⸗ Oe uſui prae⸗ turher glun⸗ e eſt inqui⸗ 580 = e 25 rVYPROPOSITIO VI. PROBILEMA. Si ex cujusvis trianguli vertice ducatur utcun- que recta in baſim; factum ex quadrato cujus- libet lateris in ſegmentum baſeos, lateri oppo ſitum, æ quabitur facto ex quadrato utcunque ductæ in baſim, una cum facto utriusque ſegmen- ti in totam baſim. Fig. VIII. Ex trianguli DAC vertice D duca- tur utcumque in baſim A C reéta D B: erit DCz. AB + Daa. BC = DB2. AC + AB. BC. CA. Reſolutio. Sit ita: erit itaque DCz. AB + DAZ B C - D BzZ AC = A B. B C. A C. Triangulorum DAB, DBC baſes AB, BC cogi- tentur ſectæ bifariam in M & N, & D E fit perpendicularis in baſim AC. Cum ſit AC = A B † BC = 2 M B † 2 BN = 2 M N = 2 M E †+ E N: Erit — BDzZ. AC = — BD AB † BG = — BDZ AB — BDz. BC. Et A B. B C. A C = 2A B. B C. ME F. 2A B. B C. EN. Ergo C Dz. AB £ A Ds. BC -— B Dz. AB — BD⸗., BC== 2AB. BC. ME T. 2 AB. BC. EN. Sive 16 Sive C)2 — BD- 2ABFE Ah —0. * Et ( dividendo uttobique per 2 AB. B6) deit CDz — BD⸗ AD2 — BD2 2 B0 — P- 5 — = ME. EN. AD2 — BD= Quod ita eſt, cum ſit ME = —— CDz – BDz Et EN = — — (per Prop. V. Coroll.) 2 BC Demonſtratio Synthetica Patet, viam rele- gendo: AbDz — BD⸗ CD2 — BD= ME = – ,» EN= —— – . 2 A B 2 8C Ergo AD — 5 (D? — BED: . rgo — — — — „ 2 A B 2 BC AC ME F EN = MB † BN = —. Et Et mu nutipl icando ber 2 A B. 2 A B. 56) AU= — BD2 BCr CD⸗= — — BD⸗ AB= AB BC. AC. AD⸗= — BU2= x* BC-F CD⸗ CD⸗ –— BD⸗ AB= CDz. AB ADZ. BC=BDZ AB - BD⸗ Ree Dz. A B P A Dz⸗. BC -— B2 AB BC= CD. AB ADz. BC— BDz. AC. Ergo CDz. AB F AD⸗. BC-=-= BD⸗-⸗ AC = AB Be. AC. Et (Dz, AB † Ale. BC = DUBz. ALTAB. BC. AC. Tab. VI. lum DE cadat & N = Hinc ME. D42 — D. — — 2 & . h.. UC: A- DB2, 42 Siye AB. B0 D92, BC. Coro. Hinc 2 B3 A: 40e0i ld e. F cr Amn, pundtun tar tecta; tur duple Per junca, Coroll. Mroportione A. BC, . —.— r B B. B0) erit MEANN Dꝛ — B⸗ — 2 AB .V. Corol)) k, Fiam kele⸗ 44 27 Tab. VI. Fig. XXXIV. Quod fſi perpendicu- Daz -— DBZ= lum DE cadat extra; erit ME = – —: 2 A B DB2 — DC⸗ & NE = — 2 B0 — . AC Hinc ME =— EN = MN =– — = 2 DaAz — DB2 DC⸗-⸗ — D2- — — — — 2 A B 2 30 & AB. BC. CA= DAZ BC -— DBZ, BC . DCzZ. AB — DBZ AB. & A B. BC. CA DB2. AB † DB2Z. BC= DAA BC DCZ AB. Sive AB. BC. CA † DBzZ. AC= DCzZ. AB † DAZ. BC. 9 Coroll. I. Fig VII. & XXXIV. Si baſis AC ſe cta ſit bifariam; erit A B = BC & AC =— 2 A B. Hinc 2 A B3 † 2 DBz AB = DCz AB † DA?, AB: adeoque COD2 P† DA2 = 2 (A Bz † DB2). Id eſt: Si cujusvis trianguli baſis ſecetur bifari- am, punétum vero biſectionis & vertex jungan- tur recta; ſumma quadratorum laterum æqua- tur duplæ ſummæ duorum quadratorum, fu- per juncta, & ſemjile haſeos. Coroll. W. Si angulus aDC ſecetur bifa- riam; eſt (ob fegmenta lateribus adjacentibus proportionalia) DA: DC= AB: BC. & DC. AB =— DA. BC, adeoque DCz, AB= DC. DA. BC, 288 Scl. K, g. & DA, BC = DC. DA. AB, & DCz AB† DAZ. BC = DC. DA. AB + DC. DA. BC = AC DC. DA = AB. BC. CA + DBz. AC, adeoque AD. DC= AB. BC + DBz=. Id eſt, ſi cujuslibet trianguli angulus ſecetur bifariam; recta vero biſecans producatur verſus baſim, redtangulum ſub lateribus æquatur rectangulo ex ſegmentis baſeos, una cum quadrato, cujus latus eſt recta angulum biſecans. Coroll. II. Fig. VIII. Si ſit OC = DA, erit DCzZ = DA2, & DCe. AB † DA2 BC = DAZ AC = AB. BC. CA† DBzZ AC, adeo- que DA2 = A B. BC † BDz. Id eſt: ſi ex ver- tice trianguli iſoſceleos ducatur utcunque recta in baſim; quadratum lateris æquabitur reétan- gulo ſub ſegmentis baſeos, una cum quadrato rectæ utcunque ductæ. PROPOSITIO VI. THEOREMA. Sumatur quodvis puuctum extra circulum, & ex eo ducatur una recta, quæ ſecet circulum, altera, quæ in eundem incidat: quod ſi quadra- tum incidentis æquetur rectangulo tota ſecante ejusdemque parte extra circulum comprehenſo; incidens hæc circulo occurret in unico puncto. Fig. IX. Extra circulum BHE ſumatur ut- cun- cunque pun puncdtis D AB: = EA Nſoaluna dii tem CN duta, AB angolus CHaA, ee ob radios e mune Utrin pariter ite AH = N n) H. Denoyl. AHLP = Al 90 A B= citeul. 4 90 ACB (HA = 3 Datam tota ſeg tur legmen Tab. Il int, t ☛☛–r–r– 29 DeAf cunque punctum A, & AE fecet circulum in 1C. DA., 80 punctie D & E; incidat autem AB; & ſit EDB. A, AB2 = EA. AD: erit a B tangens. 62. ldetk, tur bifatim; Keſolutio. Cogitetur ducta tangens AH, ra- verlus baſim, dii item CH, CB, & jungatur AC. Et verum rectangulo en puta, AB fſcilicet eſffe tangentem: erit adeo örto, cnis angulus CBA rectus: & triangulum CBA . AQACHA, conſequenter CB= CH, quod ita eſt ob radios ejusdem circuli æquales: AC com- = M, mune utrique, & AB = AH, quod ultimum 042,50= poariter ita eſt: cum per alibi demonſtrata ſit .4C, Weo. AH = AEL. AD, & AB2 = AE. AD (per eſt: iere. hyp.) Ergo AB2 = AH & AB = AH. toungue etta Hftur tedan⸗ Demonſtratio. AB2z = AE. AD (hyp.) um gagtato AH = AE. AD (per alibi demonſtrata). Er- go A B = AH, BC= CH, quippe radii ejusdem circuli. AC utrique triangulo commune: Er- VII go A—CBAOA ACHA. Et angulus CBA = . CHA = Rk. PROPOSITIO VII. kala, PROBLEMA e hn. cet circulum, 4. od ſi guadra⸗ Datam rectam ita ſecare, ut reétangulum tots ſecante tota & ſegmento minori comprehenſum, æque- enptehenſo; tur ſegmenti majoris quadrato. nico huncto. . Tab. III. Fig. X. Datam rectam AB ita ſecare umetur k. in C, ut ſit AB. BC= CA. . cun⸗ RKeſo- 30 =☛ Keſolutio. Super AC cogitetur deſcriptum quadratum CF, & factum puta: erit A B. BC = ACzZ = A FzZ. Efſt BC = AB — AC. Ergo AB2 — AB. AC = àA Fz Et AB2Z = AB. AF J- AFz. Super A B cogitetur deſcriptum quadratum ABGD & DA = AB fſecetur bifariam in E, erit 2 EA = A B. Erit adeo AB2Z = 2 EA. AF P† AFzZ. Et ABz † Eaz = EAa † 2 EA. AFT AF — Ea T† AF = Ef . Ducatur BE Erit (Prop. IV.) BEz = ABz- ◻ EAe. Ut ergo ſit AB2 T† EA2 = EFz, debet fieri EFzZ = BEz. Sive E:F = BE. Quod ſieri poteſt. Conſtruttio. Super AB erigatur quadratum AG, tum DA ſfſecetur bifariam in E; & ducta BE fiat EF = BE: demum ſuper A F deſcribatur quadratum FC, erit C punctum quæſitum. Demonſtratio. BE= EF (Conſtr.) hinc BEZ = FFZ, Jam vero BEZ = ABZ P EA, — —à 2ꝰ & EF2 = EKA † AF = EA FAC = EA2 † 2 EA. AC ACZ. Ergo A erit ita jns AC; tam 30. extremam Ulum haber PRObLI Etto Pi SA- ſolun, 1 . G = Dhiqne N gebet, ritur, tur geletiptum erit 4B.,80— — AC. al⸗ AE. tum quadratum lam in E, erit A. AAteh 2 5E2 = Ab: 2, debet beri hotelt. tut qvadratum A Gelcribatut queſtun. 1, Conſtr.) hine 31 Ergo AB2 † EA2 = EA 2 † 2 EA. AC-†ACZ. Eſt 2 EKA = AB (conſtr.) Ergo ABz = AB. AC AC⸗ AB –— AB. AC=AB=–AC. AB. Coroll. AB: AC= AC: BC id eſt: recta AB erit ita ſeéta, ut ſit tota ad ſegmentum ma- jus AC; uti hoc ipfum ad reliquum ſegmen- tum BC. Qued dicitur rectam ſecari penes extremam && mediam rationem. Sectio hæc uſum habet præcipuum in Maheſi Veterum. PROBLEMA IDEM ALGEBRICE 8OLUTUM. Eſto Fig. XI. AB = a, AC = xX: erit CB = a – x. Leſolutid. Factum jam puta :ͤ erit adeo ACzZ = AB. BC. Sive X2 22 — à X — Et xz= P. I. a 23 — X³ † ax = a2 , Et x2 † ax †‿Cas = X= V a † àa2 - . . Ubi quantitatis radicalis ſignum ſuperius, ca- Ppi debet, ob valorem X pofitivum, qui inqui- ritur. Con- 32 ☛r Conſtrulctio. Biſecetur imprimis data recta AB in D, tum eidem in puncto B jungatur ad angulum rectum BF = B0, ducatur AF, & ex ea abſcindatur Fι = BF, fiat demum AGC= AG: habebitur punctum C. Demonſtrat. AC=AG; A G=AF-= FG; AF =V' BF2 Aà B = V a* -F az. Ergo X = AC= . BF T AB=-— FG = 2. . a 2 — T. ½ a. † a Za . Solutionem geometricam, præ algebrica dilu- cidam & concinnam eſſe facile intelligitur. Pa- tet interim ex formula algebrica rem in nume- ris ſuccedere non poſſe: numerus videhicet da- tus ita dividi in duos factores nequit, ut ſit, uti ſumma factorum ad factorem majorcm; ita hic ad factorem alterum. Eſt enim x = V 4 a* P a* a V 5 — a 2 * — à = V & a?2 — £ à =: P — I FVp, quæ quantitas eſt ſurda. 7 PRO- Pj Deto laten leos er lege, duplus angul Fig. XlI. ita, ut in A Reſolutie lus B4 fe⸗ =A, & 24—. =C0: en Dunctum tio dependet A, interyallo eidemque fien potelt, chorda tang Puncdkum g = AB. (der hino Ergo Ma: cando datan Conril ettema Vullo AB = = 33 rech XX PROPOSITIO K-. Latur . emum . . Dato latere invenire baſim trianguli iſoſce- leos ea lege, ut angulus quilibet ad baſim ſit FG;]duplus anguli ad verticem. Fig. XII. Datur latus AB, petitur B D ita, ut in A iſoſceli à B) ſit B = U= 2A. Keſolutio. Factum puta, & cogitetur angu- lus B) A ſectus bifariam: erit BIC= CDA in. = A, & AC = 00, & angulus BCD =— 2 A = B: & CD = DB. Erat autem AC — CD: ergo debet efle BD= AC. Punctum vero C, a cujus inventione ſolu- etdr tio dependet, veſtigabitur hac ratione: centro t, ui A, intervallo A B cogitetur deſcriptus circulus, eeeigdemque applicata chorda BD = AC (quod inhi aeri poteſt, cum ſit AC—2 AB). Sit eadem Tu chorda tangens circuli per puncta D., A, & punétum quæſitum C tranſeuntis; erit BD= *½ = AB. BC; & quoniam eſt AC = B0 (per hypotheſin); erit A Cz⸗ = B D⸗ Ergo AC= = AB. BC; quod feri poteſt, ſe- cando datam AB media & extrema ratione in C. Conſtructig. Data recta A B ſecetur media & extrema ratione in C, tum centro A inter- vallo AB deſcribatur circuius EBD; puncto B 0. 6 appli- 34 applicetur chorda BD = AC; demum junga- tur DA: dico factum. Demonſtratio. Jungatur CD, & per puncta A, C, D deſfcribatur alius circulus. Eſt BD= AB. BC: ergo (per Prop. VII.) BD tangens circuli ACD. Eſt B= BDC† CDA, & BLDC = A: ergo B = A E Cl)A; eſt itidem BCD = A † CDA: hinc B= BCD, & BD= AC== CD. & CDA= A: adeo- que B = 2 A = = BDA. Coroll. Cum ſit, 2 T A = 2 R, Et B = 2 A : . 2 R LTrit 5 A=2 R, & A= —. 5 SoHOLION. Si itaque iſtiusmodi triangulum ſit inſeriptum circulo, & anguli ad baſin ſecentur bifariam ; erit peripheria circuli diviſa in quinque partes æquales: ductis adeo chordis erit pentagonum regulare inſcriptum circulo. Conſtruatur ergo iſiusmodi triangulum; eidemque ſimile inſcri- batur circulo dato (per bropof. II.) habebitur pentagonum quæſitum. ** PRO- dre cor kiye nge. in E B0 04, et 0, adeo⸗ fiptam riam; partes gonunn r ergo jnleti⸗ ebitut 3 PROPOSITIO X. PROBLEMA— In data magnitudine recta invenire punctum, quod faciat quadratum ſegmenti unius ad ſeg- menti alterius quadratum in ratione data. Fig. XIII. Datur magnitudine recta AB; petitur in ea punctum C, ita ut ſit AC=: CB= — DE: EF. Reſolatip. Factum puta: erit adeo ACa : CB-⸗ – DE: EF. Inter rectas OE „ EF ſit media continue Prodortiortali EG. Erit adeo DE: E — EKG: EF. Cum vero in proportione continua fſit primus ad tertium, uti quadratum primi ad quadratum ſecundi; erit DE: EF = DEa: EG, Et DE: EG= = ACz: CBe Ergo DE: E = AC: CB DE T EG: EG Ga 4C. . CDr CB Sive DG: Eü = AB: CB. Quod feri poteſt, quærendo ſcilicet quartam proportionalem ad datas DG&, EG, AB. Conſtructio. Inter DE, EfF inveniatur medjia continue proportionalis EG; tum ad D’ EG ſive DG, EG, AB quæratur quarta propor- tionalis BC: habebitur punctum C. C a2 De- 36 ☛E &α = Demonſtratio. DG: EG = AB: CB. Ergo DG — GE: EG= AB— CB: CB. Sive DE: EC= AC: CB. DE⸗: EG-⸗ = ACz: CBZ2 DE⸗: EG⸗ = DE: EF Ergo ACa=: CBz = DE: KrF. PROBLEMA IDEM ALGEBRICE SOLUTUM. Keſolutio. Factum puta: ſit porro DE: EF Sm: n, AB = a, BC= x, AC = a — X Erit ACa: CB⸗ = m: n — 2 aà - X : X2 E m: n mx? = aas n — 2 anx + nx mx2 — nx2 ◻ 2 anx = a n 2 anx 22 n xX² W = m-n m- n 2 anx 22 nz 22 n2 a2 n m— n m-n„ m-n m-n 2² n2 † a? nxm-=—n 22 mn ☛ — = —, m — n m-n a n a V mn Ergo X * = men men e U . Nx 08. — b —☛ = 37 a Vmn-— an .= . Et vocando mn= p erit m — n —— — — 2 = a x P 2. Et a — x = à K m=- .Z m — Sive m —n: pP— n = a *„ X, Conſtructio. Inter m & n datas quæratur media continue proportionalis p, tum ad m-n, pP- n, & a, qnarta proportionalis; habebitur recta CB quæfita. — ——— Demonſtrat. x = axX AEt 2 =a2X — m-n m-n 2 2 — 2 — a²2 %p— n Eta — X = 2²2 m — p —2 ,D —2 m — n m-=-- n . 2 2 —.—2 — 2 AC : CB = a — x: ² — a* m — p „ — 2 ⁷ . m — n 2 2 2 2²2 % p-n = m – p: p-— n 2 Eſt p = Vmn m— n ——— 2 2 Ergom — p: p— n = m?— 2 m mn-Pmn: mn -— 2 n mn †n? = mxm -- 2 “ mn-† n: nx m — 2 mn -.ρ = m: n Ergo ACz: BCZ = m: n 38 xX PROPOSITIO XI. THEOREMA. Datis in recta magnitudine data tribus pune- tis invenire inter ſecundum & tertium, punctum quartum, quod faciat rectangulum fegmentis totius, quæ hoc punctum efficit, comprehen- ſum, ad quadratum, cujus latus puncto fſecun- do & quarto intercipitur, in ratione data. Fig XIV. In data recta AC dantur tria punta A, B, C: inter B, & C petitur punctum D eca lege, ut fit & D. DC: BDz — p: q. Keſolutio. Factum puta, & fuper AC biſe&ta in E deſcriptus ſit circulus, & ex D ad cireum- ferentiam duéta cogitetur perpendicularis DF2 erit FD: DB==—p:q Inter p & q ſit media Propertionalis n, erit FDz: DB = p2: n2, & FD: DB = p: n, ve DB: DP=n:p. Cogitetur ducta FB; & ex puncto G inter B & C duérka itidem GH ipfi D parallela: erit BG: GH — BD: DF. Ut ergo ſit BD. DF= n: p debebit eſſe Rèp= BG :CGH Quodc fieri poteſt, fi vi- delicet rectis n, p, & aflumtz BG duzæratur Quarta proportionzlis GH. Con⸗ in H cirer med 56 reda B cumt ipfi 6 10 4AD. . ine⸗ ntis en⸗ e ntet ☛— e 329 Conſtructio. I.) Data AC ſecetur bifariam in E, & fuper diametro AC deſcribatur femi- circulus. 2.) Inter rectas p & q quæratur media proportionalis n. 3.) Inter puncta B & C aflumatur punctum G, & rectis n, p- BG quæratur quarta proportionalis GH, & hæc rectæ AG inſiſtat perpendiculariter. 4. Puncta B & H jungantur recta BH, quæ occurrat cir- cumferentiæ in F, & ex F ducatur FD parallels ipſi GH, dico fatum. Pemonſroii. BG: 6K— n: P BG: GH = BD: DFE BD: DF=n: p FD: BD= p: n FD: BD⸗ = p?: næ pPp?: n? = p: q FD: BD2 = p: q FD = AD. DC. Ergo AD. DC: BD⸗ = p: q. PROBLEMA IDEM ALGEBRICE SOLUTIM. Reſolutio. Faéctum puta, videlicet AD. DC: BDz⸗ = p: d. Sit AB = a, BC = b BD = x, CD = b — xX, AD = a . X, a. DC= 40 — EH DC = aTxX X b — = = ab -p by — ax — xX2. BD⸗ = z2, AD. DC: BD⸗ = p: 9 ab -P. br — ax — x2: x2 — p: 9 Px = abq bqx — aqx -— qx P † qxz F 2 — bq * x = abq X2 . 22— bd » = àbg Pp 4 PF 94 —,—2 à g —— ba abe e 4 Ergo x = V PTPH 2.: pT9 Quæ formula licet conſtrui poſſit; ipſam ta- men conſtructionem, priori impeditiorem eſſe acile patebit; idem de ſolutionibus algebricis, quæ ſequentur, ſentiendum . J Demonſtratio patet viam relegendo. PROPOSITIO XII. THEOREMA. Datis tribus rectis magnitudine, data item quarta, hanc ita fecarte in duobus punctis, ut quadrata ſegmentorum ſint in ratione datarum trium rearum., Fig. XV. ☛ Tri min deß ang mit aP. Drol Por dic 1 b-ae — 4 2. f Mt; ilam ta⸗ ecitiorem eiſe us egebticis, egendo, XI. ne, data lem s pundts, A tione ſatarun Hig. AMV. ☛n r; = 41 Fig. XV. Datis rectis AH, BD, CN: data item quarta ?b Q, hanc ita ſecare in punctis E & G, ut ſit PF2: GF2⸗ = AH: BD, & PF : GQ* = AH: CN. Keſolutio. Factum puta. Erit ergo I. PFa : GP2 = AH: BD. Inter AH & BD fit media proportionalis R. Erit PPa: GF? = AH: BD = AH=: Ra, & PF: GF = AH: R. II. PF2: GQ = AH: CN. Inter AH & CN ñit media proportionalis S. Erit PF?: GQ = AH: CN= AH=: Ss, & PF: GQ= AH: S. Debebit ergo eſſe PF: GH= AH; R, & ſimul PF: GQ=AH: S. Quod utrumque ita erit, ſi ſub angulo, qui minor reécto eſt, ad reéctam BQ applicetur in- deſfinita PR, & in ea capiatur Pa = AH (ob anguſtiam loci id in ſchemate minus apte expri- mitur) ab==R, b T = S. tum jungatur TQ, & huic ex punctis a & b ducantur parallelæ a F, b G. Conſtructio., Inter AH, BD quæratur media Proportionalis R, & inter AH, CN media pro- Portionalis S; & reliqua peragantur uti modo dictum. De- 2 ☛ ◻ = Demonſtratio. I. PP: FG = AH: R PFzZ: FG2 = AHz: R2 = AH: BD. II. GC: S = PG: P b PG: Pb = PF: AH PF: AH = GQ: S PfF: GCQ =.—- AH: S PFZ : GQ2 = AHZ : S2 = AH: CN. Ergo PFzZ: FG2 = AH: BD, & PF= GQ?* = AH: CN. Alia ſolutio ejusdem problematis fubnectetur infra. SCHOLION. Elegantior erit conſtructio, ſi mediæ propor- tionales hac ratione inquirantur: ſuper AH de- ſcribatur femicirculus, & in A H capiatur A G = BD & AR = CN; tum ex pundcis G & R erigantur perpendiculares GL, RM, & ducantur AL, AM. Erunt heæ reétæ, mediæ proportionales quæfitæ. Eft enim AM⸗= = ARz + MR = AR + AR. RH = ARTRH AR = AH. CN. Et AL = AGa + LG⸗ = AG2 † AG. GH = AG † GH. AG= AH. BD. Ope- Opetatio alg jus ſumma cap (N=C DU⸗= Smn —X— Fit factum. ge y = 1 , Kive pocand L:2 2—- 2— M — 5 2nN . — — 2 mg: — : Unde dem PR Dito trin⸗ hor habert r —☛☚ AH: R AH: BD. B: X. & Pk: CO⸗ is fapnectetur ediæ droor⸗ uper A be⸗ eapietur 4 6 er oncis 1L, N, 8 te, medie m 4 = 6: 1 L 46= All. Oe⸗ —☛ = 43 Operatio algebrica operoſior longe foret, cn- jus ſumma capita adjungo: AH = a BD = b CN = c PQ = m PP= FG = y GCG = 2 = m — X – v7v. Sit factum: erit adeo Xxa: y2 = a: b erit- dbd que 7»„ = x v — . a 1 b Sive vocando ¾% — = q erit y = qx 2 CXx2 X2 : 22 = a: c Et 22 = — 2 2 = m – X – y=m— X — qxX 2 2 2Z2 = m — * — dqX = mz — 2 mx + 22 — cx2 2 mqx ☚ 2 qx²½ = q²*xX* — a —— X2 — 2 amq — 2 am 7 X — — am?* aq2 † 2 aq Pa — — — 34. 2 6Ta aq2 P 2 aq † — c Unde demum moleſto calculo indagabitur x. PROPOSITIO XIII. PROBLEMA. Dato triangulo facere aliud fimile, ad quod hoc habeat ratianem datam. Fig. XVI. 44 — = Fig XVI. Triangnlo ABC ſit ſimile A DEr, & AABC: A DEF=m: n. Reſolutio. Factum puta, erit itaque AABC: A DEF=m: u. Cum vero Triangula fint fimilia; erit A ABC: A DEF= ABzZ: DE⸗ Erit adeo ABz: DEz = m: n. Inter m & n quæratur media proportionalis g 2 Erit ma: ra = A B= – DE⸗ Etm: r = AB: DE. Quod feri poteſt. Conſtruttio. Quærstur inter m & n medis proportionalis r: tum zd m, r, AB datas quarta proportionalis DE. Demum ad punétum E ap- plicetur angulus E = B & D = A-: erit DEF triangulum quæſtum. Demonſtratio ps- tet regrediendo. Solutio data ſuccedet ſemper, ſi etiam rectæ fint irrationales, aut etiam talis fuerit esrun- dem ratio. Quo ſi vero fuerit uti numerus ad n numerum, itam: n= I.: —; habebitur con- m ſtructionis compendium: n Cum enim ſit A B2 : DE2 — I1: — erit 1 m n — AB2 = DE= m— Ergo U Ergo — A: L. G. Rit Eiit deo I ek: reb difariam, & i gurxratur medl hitur baſis ttis —213— N Deto cuivi lig. XVlI. huic inſeridi Deſoluti HE= Darallelaad! Dendiculis. II. Drit tice perhench & EH. E Nypotheiin dncta cogit &M: E = t ſimile A DEr, erit itagne un. 2, erit A AC: 1. Droportionalis ſieni potett. rm & n weci ABdatis guirta punctum Lap- — : eit A emonſtratio pe⸗ ſetlam reitx fuerit eskün- ti numerus 20 habebitut con⸗ eiit Lreo = ς☚ = 45 n . Ergo — AB: DE= DE: AB. m E. G. Sit m: n = 2: 32 = I1: 2 Erit adeo 2¾ AB: DE= DE: AB. Id eſt: recta datæ rectæ AB tripla, ſecetur bifariam, & inter hanc, datamque rectam AB quæratur media continue proportionalis: habe- bitur baſis trianguli quæſiti, quod erit ad datum — 2: 3 =— 1:; %- PROPOSITIO XIV. PROBI-EMA. Dato cuivis triangulo quadratum inſcribera. Fig. XKVII. Datur triangulum CAB: petitur huic inſcribi quadratum EG. Reſolutio. Sit factum. I. erit angulus G = H= E — EFG = R, qnod fieri poteſt ducta parallela ad baſin, & demiſſis inde in baſim per- pendiculis. II. Erit EH = EF. Ducta in baſim e ver- tice perpendiculari CD, erit A AEH W A ACD, & EH: EA = CD: CA, & ob EH =— EF (per hypotheſin) EF: Ea = CD: CA. Per A & F duéta cogitetur indefinita AL & ex C parallela baſi AB recta CL.: erit EFA „ △⏑ CLA, & EF: EAà = CL: AC. Erat 46 ☛ ee Erat autem EF: EA = CO: CA. Hinc CD: CA = CL: AC, & CL= CD, quod fieri poteſt. Conſtrutctio. Demittatur in baſim perpendi- culum CD, (quod ſemper fieri poteſt, ſi latus maximum aſſumatur pro baſi) tum ex puncto C ducatur ad A. B parallela: & fiat CL = CD: & dacatur AL. Ex F, ubi AL occurrit rec- tæ CB, ducatur FE parallela baſi AB, & FG eidem perpendicularis, demum EH parallela ad FG, dico factum Demonſtratio. A CL.A A EFA. Et CL: CA= EF: EA. CL= CD. (Conſtr.) CD: CA= EPFE:; EA. △ ADC O% △ AEH. Ergo CDO; CA= EH: EA. Ergo EF: EA — EH: EKA. Et EF= EH = HG = FG. Sunt autem angali ad E, F, CI, H recti: eſt adeo EFCH quadratum. PROBLEMA IDEM ALGEBRICE. Reſolutio. Factum puta: & ſit Aß = b CD= a EF = à = EH = ND. A . AAC 4 Liyre b: 4 (N=:1 1 5⁵: Coubrudti Pkoportionalis baſi, tum ex in balin A, Denmonſroti⸗ UN= AAn Urgo (D: 9 22 4: be-= . 4 CA. Hine ri potet. haſim petpendi⸗ potelt, ſi latus nm es puncto t CL = C0: L occurrit rec⸗ fi A8, & NG n EH petallels A EA. ) . A. FG. 6, H nd: GEDEACE. ſt A = D. 4 AABC C. Ergo AB: CD= EF: CN: J . ax. Sive b: a = xX: CN = — 5 CNZCD —–— ND=aàa — X. Hinc — 2 — . Et ax = ab — bx 5 . ab ax +◻ bx = ab Xx = — à + b ab a ² CN = a — - = a † b a † b a ☚ b: a = àa CN. Conſtrutctio. Ad a ◻ b & a, quæratur tertia proportionalis CN: ex N ducatur EF parallela baſi, tum ex punctis E & F perpendiculares in baſin EH, FG: dico factum. 2 Demonſtrutio. CN = — 5 ( Conſtr.) . 2 P . a2² ab a † b. a b A ABC A EFC. Ergo CD: AB = CN: EF. à2 ab a: b = * EF= – = DN= EH. a† be a † b PRO- 48⁸ ☛ ◻⏑ = zX PROPOSITIO XvV. PROBLEMA. Dato triangulo inſcribere rectangulum ita, ut ut triangulum ad rectangulum habeat rationem datam. . Fig. XVIII. Dato triangulo CAB inſcribere rectangulum HE X EF ut fit ₰ ABC, five AB. —: HE. EF= m. n. . CD Reſolut. Factum puta, AB. —: HE. FF E m: n. Fiat HE. EF = AB. DK. CoD CD CD & DK quarta proportionalis ad m, n, & — datas. 2 Et propter AB.- DK = HE. EbF. Erit AB: EF = HE (DI): DK. Cum porro fit A ABC A EFC: Erit AB: EF = CD: Cl. Erit adeo DI: DK= CD: CI. Et conſequenter Dl. IC = CD. DkK. Quod ita eſt, ſi ſuper diametris CD, CK deſcribantur ſemicirculi, & ex puncto I cogite- tur tar ducta ad tisIN; tum lela C), oec & er puncto ETrit enim DN Conſruenia tur DK, Aen diamettis K & vli Periphe deücet in M Oernmens per Nhcitur Al teri CA in E. b⸗; & cor aicd fickum, Demunhri N= Ego (l, D: D ANn Lrgo A . Ungo AP, A. P 4) Nt onem ribere fre cogite⸗ tut . 49 tur ducta ad peripheriam CND perpendicula- ris IN; tum ex puncto N ducta N M paral- lela CI), occurrens peripheriæ CMK in M; & ex puncto D, MD parallela ad NF. Erit enim INz = DMz INe = ClI. D. DMz = CD. DK. Conſtructio inde patet. Rectæ CD junga- CD tur DK, quarta proportionalis m, n — tum 2 diametris OCK, CD fuperfcribantur ſemicirculi, & ubi peripheria K MC occurrit baſi A B, vi⸗ delicet in M; ducatur perpendicularis MN occurrens peripheriæ DNC in puncto N: ex N ducatur ad AB parallela NF occurrens la- teri CA in E, & ex E ducatur E H parallela CD; & compleatur rectangulum E H GF: dico factum. Demonſtratio. INa = DM-⸗ INz = CI. D. DMz = CD. DK. Ergo CI. ID = CD. DkK- ILD: DK = CD⸗ CI. AABC &O AEFC. Ergo AB: EF= CD:⸗CI. Ergo AB: EF = ID: DK. WD = HE. Ergo AB: EF = HE: DK. Et AB. DK = HE. EF. D WMW:; H ☛ꝑ à = CD m: n = — : DK 2 n CD 2 m nAB. CD AB. DK = = HE. EF. 2 m DK = CD AB. CD nAB. CD AB. —: HB. EF = . 2 2 2 m =☛& min. Determinatio Problematis. n CDz Eſt DM⸗ = CD. DK = — 2 m Aut biſecando diametrum CD in Q., erit CD⸗ = 4CCQ. 2 nCOQO Si D Mz⸗ 2 n — ivve —— —.* Ergo DM⸗ = n 1 . Sit modo I. — = —; erit 2n = m. m 2 Et DM= C Q : adeoque M N oeccurret cireulo CND in unico puncto, & habetur unica ſolutio problematis, ſi rectangulum inſcriben- dum fit fubduplum trianguli. n 1 Sit II. — – —. Sive 2n &m, m 2 Erit DM = CQ. Cadet adeoe gulun guli. zi⸗ DM. C Dpunc hes Pr EFG wonh Gemin rectan⸗ anguli ID 1 (0 Drit AA br u min, Oecutret tor uvic⸗ nletiber⸗ (Cadet 4 51 Cadet ergo recta MN extra circulum CND: adeoque ſolutio nunquam ſuccedet, ſi rectan- gulum inſcribendum foret majus, ſemiſſe trian- guli. n 1 Sit III. — — Si . Erit i ive 2n = m ri DM =CQ. Conſequenter occurret MN circulo in duobus punctis N, & n: habebuntur adeo duæ ſolutio- nes problematis; & erit rectangulum quæſitum EFGCH, vel etiamefgh: cum fſimili modo de= 45 09 monſtratur eſſe pariter — –: he. ef ☛. e: n, 2 Gemina ergo ſolutio habebitur, quotiescunque rectangulum inſcribendum eſt minus ſemiſſe tri- anguli dati ABC. IDEPM PROBLEMA ALGEBRICE. Reſolutio. Factum puta. Sit autem A B= b CD =a EH = « EF = y Erit CD-— EH = CI = a — x. QαABC O Q EFC. Ergo AB: CD= EF: Cl. b - b b: a ==y: a — X. Ergo y =S — a abx —— bx ² Et HE, EF=xy = 4 D 2 Et ⸗2 ☛e e e. ab abx — bx² 2 t — = — : àax —- X = m: n. a 2„ (hypotheſis.) na? na? Ergo — àaX — X2 Et X2 — 2 X à — 2 m 2 m na? 2 m a² — Ana* X2 — X † + a2 = a2 — — —— ma — 2 na a?s m--en — — — — — — Ubi x gemino gaudet valore poſitivo ab — bx m — 2 n y= – = ¾¼ b + en b v —— a m Pl— Determinatio Problematis. 1 , Sit I. — = —; erit m = 2n. Et m 2 m — 2 n — = O0. m ab Ergo 1 =¼ a y=4b Et xy = — 4 Sit II. po cum e ader r duc tar S 10, ito⸗ n: n. Na? 2 m ana — — — 21 — —9 — = e5 = 52 Sit II. — — 2² u: erit 2 n =& m. Ergov — — m imngiurri ; adeoque problema impoſſibile. n Sit III. — —– 4: erit 2n ᷑ m. Et m . SD n . . — quantitas realis. m m —— 2 n — – quantitas realis - Et † a — 4 . . poñtiva . Quod ſi vero valor radicalis pro X capiatur cum ſigno poſitivo; debebit valor radicalis pro y capi cum ſigno contrario, & viciſſim; erit adeo in utraque hypotheſi produétum xy, idem. PROPOSITIO XVI. PROBLEMA. Datæ rectæ, in directum ponere aliam, ita, ut rectangulum data recta una cum parte pro⸗ ducta, & parte producta comprehenſum æque- tur quadrato dato. Fig. XIX. Rectæ à AB ponatur in directum BC, ut ſit AB † BCG. BC= AC. CB= BC= dato. Reſo. 54 ☛ Reſolutio. Sit fatum AC. CB = BE⸗. Su- per AB deſcribatur ſemicirculus, ad cujus cen- trum O ex angulo E oppoſito, ubi recta AB per hypotheſin eſt produéta, ducatur EO ſe- cans circulum in F: & juncdta ſit FC. Si ſit FC =— EB, & FC ſimul tangens; erit EBzZ = AC. CB; tunc enim eſt FC2⸗ = AC. CB: erit autem utrumque, ſi ſit A FOC & △ BOE, quod erit ſi præter angulum ad O communem ſit O F= O B, quod ita eſt; & EO = 0 C; quod fieri poteſt, erit ebim tunc FC = EB, & ob angulum OBE= R, angulus OFC= R; adeoque FC tangens. Conſtructio., Secetur AB bifariam in O; tum puncéto B, applicetur ad angulum rectum, latus datum BE: jungatur EO; fiatque OC = EO. dico factum. Demonſtratio. Deſcribatur ſuper AB ſemicir- culus occurrens rectæ EO in F: & jungatur FC. Quoniam eſt ED = O0C, & OF = 0B, & angulus EOB= FOC; erit h EOB A COF, & FC = BE & angulus CFO rectus, adeoque CF tangens; conſequenter CFg = AC. CB, five BEa AC. CB. PRO. Dat ejusce reckan⸗ to, guadt⸗ ig. jus be turred A. 1 ducant Su. cen. 1a A 0 ſe⸗ zetit C8: 80 b, Uunem 06 .8, =; tum MS ⸗ 10. emicit⸗ ur kC. B, & (O eoe (b: ☛ 55 PROBLEMA IDEM ALCGEBRICE. AB= a BE= b BC = 5 AC = a F X AC. BC = BEz Eta TX x = N2 Tax = b- X2 P ax P† a? = 4 a? bs Ergo x= 4 a⸗ bz — àa. PROPOSITIO XVII. PROBLEMA. Datur quadratum, datur item rectangulum ejusdem baſeos: invenire duas rectas ita, ut rectangulum ſub iisdem æquetur rectangulo da- to, & ſumma quadratorum earundem æquetur quadrato dato. Fig. XX. Datur ABs, & rectangulum, cu- jus baſis AB, altitudo BF, ſive AB. BF: petun- tur rectæ AH, HB ita, ut ſit A H. HB = AB. PF, & AHz P HB2 = AB2. Reſolutio. Sit factum. Si ad rectam E F ducantur utrumque A H, HB, erit A HA B AB. BF = — -— & 2 △ HAB=AB. BF. Super AB deſcriptus ſit ſemicirculus, erit angulus AHEB AH. HB 5 AHB= R, △¹HAB = – – binc 2 AHAEB 2 . = AH. HB= AB. BF, &, per theorema py- thagoricum AHZ . HBZ = A B2. Conſiructio. Super diametro AB deferibatur ſemicirculus, occurratque rectz EF in H „ & ducantur AH, HB: dico factum. — . Afll HB Demonſiratio. I. AHAB= =- 2 & 2 △ HA B = AH. HB = A B. BF. II. AHz + HB2 = AB?². Determinatio problematis. Latus reckanguli dati vel eſt ſemiſſis lateris quadrati, aut ſemifie minus, vel majus. In cafu pfimo ſemicirculus reétæ ad baſim parallelæ occurret in unico puncto, adeoque unica erit problematis ſolutio, In eafu ſecunde cirealus oceurret parallelæ in duobus punctis H & K, kabebuntur itaque duæ ſolutiones, quas tamen in idem fecidere patebit, K jungantur AK, KB, & oſtendatur eſſe △ HAB kAB. In cafu tertio parallela gadet extra eireulum, adeoque prôblema folvi nequit. 57 PRO. P 1 Ad⸗ Fub dine 2Aas heotema py. 1 B deleribatur F in H, & I. H — 2 k. 3 us litetis majus. In. uim pareleele ge unica erit „do irealus i H& K, Iuas tamen 1t 4, KB, B. lnealu , leoque RO. 57 PROBLEMA IDEMI ALGEBRICE. AB = BC== a BF=b AH=X HB= I.) AH. BH = AB. BF. D Sive xy= ab, & 2 Xy = 2 ab II.) AH;Z HB2 = AB2. X 2 + y2 22 Addendo æquati quationes x²2 † 2Xy † y²? = a² Subtrahendo X2 -— 2 yX. ⸗ 2 1 — 2 à 0 — — — Hinc x Py = V àa2 †+ 2 ab. ———, Xx — V= V az — 2 ab. a = P 1 . 2 V a2 / ab — as — 2 ab. X = V a P 2 ab az = 2 ab 2 — y = V a2 P 2 ab b. — W a* — 2 ab. Determinatio Problematis. = f a: a ² = 2 ab W2 an X .* 2 2 b 4 a, 78 =☛ = b — a, ſive 2 b a: Erit a? —— 2 ab quantitas realis. b 7 a, ſive 2 b 7 a: Erit a? — 2 ab quantitas imaginaria. PROPOSITIO XVIII. PROBLEMA. Eidem lateri, ceu baſi infiſtant quadratum datum, rectangulum itidem datum, majus qua- drato; petitur latus ita ſecari, ut ſi ex puncto ſectionis ad angulum oppoſitum baſeos ducatur recta, rectangulum hac recta, & ſegmento la- teris, quod puncto ſectionis & puncto baſeos intercipitur, contentum æquetur rectangulo dato. Fig. XKXI. Rectæ à B inſiſtant quadratum AH & rectangulam AF: petitur FB ita ſecari in G, ut ſit A G. G B = A B. BF. Reſolutio. Factum pnuta, & fit AG. CB= AB. BF. Concipiatur AB produéta in C, & deſcriptus ſuper A C ſemicirculus AGC, occurrens rectæ B in G, & cogitetur duα recta GC: erit BGCO% △ AGB. Et AB: AG = GB: GC. Et AB. CG = AG. GB Ut ſit elle AB. Adeogt EN1 in 10, l 00 Debebita Sipe F 6 Ltge! 00N Debebi potett, Cnſn ducatut diametro lus oceur lleo fach Dem⸗ F FO:. 20 hadratum majus qua⸗ ex puncto eos ducatut gmento le⸗ do baleos teangdo dratum All ecai in 6, G. GB= cta in 6, A 6G0, ekur Aucts 38. Ut ☛ = 19 Ut ſit adeo AG. GB = AB. BF . = . BF' debebit eſſe AB. BF = AB. CG. Sive BF = CG Adeoque BFzZ = CG-⸗ H Eſt (ſi ſecetur bifari i tur FO.) BFa = FCe A. O5b. .. n CG⸗ = GB-= † BC⸗ ebebit adeo eſſe FO⸗= - O B⸗ . —- OB = CGB= † BC* Sive FO; = OB2 † 3G² H HM . = rd AB. BC= 20B. 8BC. g. 2 = OB= † 2 O0B. BC† BC⸗ — — -2 OBrBC =— OC⸗. Debebit adeo fieri OC = F Pares, — FO. Quod fieri Conſtructio. Data AB biſecetur in 0 ducatur FO: tum fiat OC = FO, & D . 4 , uper iametro AC radio KA defſcribatur ſemicj lus occurrens rectæ BF in G, & d ut i dico factum. ree Ced Demonſtratio. Ducatur imprimis GC. FO= OC= OB P BCG . FO: = OB F 208. BC E BC: 2 0B. BC = AB. BC = GB⸗ FO⸗ = OB-⸗ † GB⸗ † BC- FOsS = OB 60 2 – OB⸗ = GB⸗= † BC⸗ I- OB⸗Ee, & GB BC⸗ = GC⸗ Ergo FB⸗ = GCz, & FB = CGC; adeoque AB. FB = AB. GC. A△AGB △ BGC Et AB: AG = GB: GC Ergo AG. GB = AB. GC. Erat autem AB. GC = AB. FB. Ergo AG. GB = AB. FB. PROBLEMA IDEM ALGEBRICE. AB= a HF = b BP = a T b BG = y AGl = V as P† ye AG. GB = AB. BF yz = aa . y V'as P† y? = a † ab 2 = a² P ab a2 y² † y d, y4 + a2 y2 = a2 † ab —.,.— — P a2 † ab y4 † as y2 † † a 4 = ¼ 24 T ye* T a⸗ = † az † ab —,— —.6— y2 = — 4 22 † * 4 † as † ab y = PR Dantur tur item te nuſa deſe nt gwadrat Drid eder rectæ Gat. Fig. N minor 00 ſeribi trian HN — . Roſaln redangon deleribadn eircumtet II. Iof tranleat 3 cnmkeren tis ME) Et HH. U⸗. PROPOSITIO XK. PROBLEMA. Dantur duæ rectæ diverſæ magnitudinis, da- tur item tertia: petitur ſuper hac veluti hypote- nuſa deſcribi triangulum rectangulum ea lege, ut quadrati catheti majoris ſuper quadratum mi- noris exceſſus, æquetur exceffui quadrati majoris rectæ datæ, ſuper minoris datæ quadratum. Fig. XXII. Dantur rectæ, quarum major AB, minor CD, & tertia EF: petitur ſuper EF de- ſcribi triangulum rectangulum HEF ita, ut ſit HFzZ — HE2 = A B2 — CD-2. Reſolutio. Factum puta. I. Erit adeo A△HEF retangulum, quod ita eſt ſi ſuper diametro EF deſcribatur ſemicirculus, & ad idem punctum eircumferentiæ inflectantur duæ rectæ. II. Inflexæ cogitentur ad punéctum H, illud tranſeat perpendicularis IM prodnéta extra cir- cumferentiam, & jungantur puncta E, M, F rec- tis ME MF. „ Eſt FH* = HI † FI; = HI² † MFZ -— MIZ EH = HI PIE; = HI † EM* —— Ml2. Erit 62 Erit adeo FH2 — EH2 = MF= – EM?*. Ut ſit adeo FH — EH2 = A B2 — CD2; Debet fieri M = AB, & EM = CD. Quod fieri poteſt, Conſtructio. Super data EF deſcribatur ſemi- circulus: tum centro F radio FM = AB deſcri- batur arcus, centro item E radio EM = Ch deſcribatur arcus, qui ſibi occurrant in M: ex punéto M demittatur ad Ef perpendicularis MI, occurrens peripheriæ circuli in H. Demum du- cantur EH, HF: dico factum. Demonſtratio. Junctis MF, ME Eſt AB = MF2 = MlI P IF2 = MI= HF= — Hl=- CD= = ME2 = MI-= P El = MlI2 F. EH — HI*. Ergo AB2 — CD = FH — EH. Determinatio Problematis. Ex conſtructione evidens eſt, problema tan- tum fieri poſſe, ſi data tertia recta EF ſit minor ſumma reliquarum AB, CD. PRO- X P Detis bat recta poſiti inyenire late Fig. XX = 10 data titur, 50, Rialmm B C2. it Ah ſes Kantin perpe Drit BCn Urgo 2) NR M= KK 24: Nt M 4C. MS— 4 — HM, — (; EM = (0. cribatur ſemi⸗ —= 4Ab Gelcri⸗ EM = 00 ntin M·!: ex Gicularis MII, Demunm du⸗ Nti. roblema tan- E' ſit minot NO- ☛☛ ee e. 63 ** PROPOSITIO XX. PROBLEMA. Datis baſi trianguli, differentia laterum, & recta poſitione, ad quam fit vertex trianguli, invenire latera, ipſumque triangulum. Fig. XXIII. Datur baſis AB, & BC — CA = PQ datæ rectæ, & recta DE poſitione, pe- titur, BC, CA & Q△ CAB. Reſolutio. Factum puta: ergo BC=CA † PC. BCzZ = ACz E 2 AC. PQ † P0= BC3 - ACUZ = 2 AC. PQ † PC2 Sit AB ſecta biferiam in F. Sit autem FM di- ſtantia perpendiculi a puncto biſectionis baſeos: Erit BCzZ — ACa = 2 FM. AB (per Prop. V.) Ergo 2 FM. AB = 2 AC. PQ †+ PQ⸗ AC. PQ. PQ⸗ AB 2 A B P Q Sit 2 A B: PQ = ?PQ: GF: erit GF= 2 A B AC. P Et FM = — GF Sive FM -FG = Et 64 Et AB: AC = PQQ: MG. Erit autem AB: A C = P0: MG; Si fuerit I. KH: CH =- PQ: MG Et II. K H: CH = A B: AC primum ita erit; fi fiat GI = PQ, & due cantur perpendicula GH, IK. Alterum ita erit; fi centro K radio KL==AB deſcribatur arcus, cui occurrat HA producta in L: tum per A ducatur AC parallela ad LK. Quod utrumque fieri poteſt. Conſtructio. Secetur AB bifariam in E; tum rectis 2 A B, PQ capiatur tertia proportio- nalis FG. Deinde fiat Gl = PQ, & ducantur GH, IK perpendiculares ad AB, quæ occurrant rectæ poſitione datæ DE, in punctis K & H. per H & A ducatur HL, & centro K radio KL= AB deſcribatur arcus occurrens rectæ Hl. in L. Et ex puncto A ducatur AC ad KL pa- rallela. Demum ducatur CB. Dico factum. Demonſtratio. Ducatur in baſin perpendicu- laris CM. Propter ₰u HLK W△ △ HAC KL: KH =—G CA: CH ſive AB: A CE= KH: CH Propter IK, MC. GH parsallelas. erit KH: CH= GI (PCQ): MG Ergo Ligo Aö: M6= M= F= Ergo TN R1M. 245, Ergo B0— lr= NS= b06 — PROM Hir. XX gluti,. Qum 4 eo Gienlerig Al den erhenl Ldu: lucta in 1d LK. in E; portio⸗ Gcandor Ccurrart &H. K mdio ecle Hl⸗ Kl pe⸗ Kum. rencien⸗ 4 NM.C — =. 65 A0. P0 AB Ergo AB: AC= PQ: MG Et MG = PO= FG = 0 (Conſtructio) 2 A B AC. bO P0= AB 2 AB Et 2 AB. FM = 2 AC. PQ P PO⸗= 2 AB. FM = BC2 — CAa (bProp. V.) Ergo FM = Ergo BCa — CA2 = 2 AC. PQ †. PC⸗ BCa = CAs † 2 AC. PQ P BC = CA P P0 BC — AC = PQC. PROBLEMA IDEM ALGEBRICE. galurto. Cum detur DE poſitione & pun- cKtum A; eo ipſo determinata eſt ad OE perpen- dicularis AR = a. Similiter ex puncto B ad ean- dem perpendicularis BS = b. Determinata eſt E adeoe 66 ☛ ◻ = adeo magnitudine recta R8 = c. Eſt demum data ?b Q = f. CB = y. AC-= xX. Ergo y — 2= f. Et y = f †£ xXK = CB —.,.—² CB2 = f †+ x = x2 2 fx ◻ f= RC = V ACZ — Ak2 = V 2 — ²* SC = SR — CE = c — Vx — a= SC= v CB2 — SB= VX* P 12— b. *— X2 — àa2 = V x2 P 2 fx .◻ f? — ba. cs — 2 C/ X2 — as . X2 — 22 Xx2 + 2 fx + f⸗ — ba, —— ba c2 — f2 — a?2 — 2 fx = 2 CV x2 — a2, 2 Pc2 — f2 — a2 — fxX —,— — = V'Xx — a2. 2 CG C ba α c2 —– fe — a2² f . —— —m, — = n. , 2 G C m =-- nx = V X2 - 2àa ma -= 2 mnx n⸗ X²½ = x2 —- 2² a2 ms = Xa= — n Xx2 ú2 mnx 2 mn aa me —.— ½ = Ir= 2 . 1— nR2 Unde dato epu s p poh 44d po gulu dcenn Egu⸗ Ent in be ſ dn emum Urgo 1☛ Xæquale. ☛ ₰° ſma n?² as me e mn — . —— cn X=2 2 T† 1 — n⸗ 1— n2 — I — n?* = ma n? † as m? X 1 é n? — mn 1 —- 32 = yVaz † me — ae n -- min 1— n 2 Unde rurſum ſubſtituendo loco m & n valores datos habebitur x, & y — f + x. PROPOSITIO NXI. PROBLEMA. Dato rectangulo, datis item duabus rectis, e puncto extremo baſeos intra rectangulum due- tis poſitione: invenire in baſi ad partem op- poſitam producta punctum, ex quo ſi ducatur ad poſitione datam, quæ majorem cum baſi an- gulum conſtituit, parallela alteri poſitione datæ occurrens, habeatur triangulum retangulo dato Fig. XXV. Sit datum rectangulum FA. AD. ſint rectæ AG, AHl datæ poſitione: petitur in baſi verſus D producta punctum K, ex quo ſi ducatur KL parallela ad AG, ſit LAK E 2 Reſo- 68 =☛ 5 = Reſolutio. Factum puta, & FE producatur verſus H. Ob GH & AD parallelas angulus GHA= LAK, & ob AG, & KL paralle- las angulus GAH = ALK. Ergo A— Gια“H O A ALK. Et △ GAH: AALK = GH: AKka=, Jam vero A˖AH = CGH. 2 & A ALK = FA. AD (hyp.) ⸗ FA Ergo ſubſtituendo GH. — : FA . AD 2 = GH: 2 AD = GHz: AKz, quod ita eſt, inter GH & 2 AD quæratur media conti⸗ nue proportionalis AK. Conſtruäétio. Fiat hoc, & ex puncto K du- gatur KL parallela ad GA: dico factum. Demonſtratio. GH: AK = AK : 2 AD GEH: 2 AD = GH: AA A GAHO A ALK. A△ GAH : A ALK = GH-: AK⸗ = GH GH:2 AD = : AD= FA. : FA-AD. Hine AGAH: AALR= FA. FA. AD. A D rede Dara en tion enmn duce (qua Paral duns egne E item Petiti gucatut tngolus Paralle⸗ AEa, Hit elt, 1 conti⸗ kum. 140 AK⸗ FAAM. l.A0. ☛ ☚ 69 AGAH= FA. . Ergo A ALK = FA. AD. „ PROPOSITIO NXII. THEOREMA. Dato rectangulo, dato item angulo, quem recta, per punctum extremum baſeos verſus parallelam baſi ducta, cum baſi conſtituit, dato item puncto in eadem parallela ejusdem por- tione huic angulo oppoſita, invenire in baſi ad eam partem, ubi hoc punctum ſitum eſt, pro- ducta, aliud punctum ea lege, ut triangulum (quod baſis produéta, recta ſub angulo dato parallelam baſi tranſiens, & demum recta per punctum datum & quæſitum ducta conſtituunt) quetur rectangulo dato. Fig. XXVI. Datur rectangulum AC., datur item angulus GAB, & præterea punctum P: petitur in baſi producta punctum K ita, ut ſit △HAK = AC. Reſolutio. Factum puta: erit ergo AC = A HAkK. broducatur DC, & ex puncto B dacatur B M parallela ad AR: erit A M= AC. Ergo 70 S n Ergo AM = △ HAK. AM= ARPQB F† PCCE QCMN NBOQ AAKH=ARPOB RPH PBKN † NBQ Ergo ablatis utrimque ARPQB† NBQ Erit Ab-PQ ρ. CNM = A RPHEA BKN. Eft A-PQC CQNM=A PNM. Ergo △ PNM = △ RPH △ BKN. Eſt ob AB, CM; item AR, BM parallelas angulus HRP =— HAK =— MBK Et angulus HPR— MPK verticali = PK B Ergo A RPH A BKN &X“BRN ½ PNM. Ergo △ PNMO A RPHO A BKN. △ PMN: A RPH= PMz: RPz. △ RPH:; æ BKN = RPz: BKz. A RPH †£+ △ BKN: ARpH = = RPz α. BKz : RPz. △ RPHT A BKN = A PMN. (hyp.) △ PMN: RPH = PMz : RPz⸗ = RPz † BK⸗: RPz. Hinc PMz = RP⸗ P BKz. Et PMz -- RP⸗ = BKz. Er PM RP: BK = BK: PM — Rbp. Datur DUn ob dat Gabitn 4l Qu M- C ſitme per De⸗ euonle B 4 Uge N! Eſt M: Rbz. Rbr. 5Mr: 4 4 N0 N0 60 IEA N. N. tallelas DKB NONA Abe N) — R. Detar = ⏑ = 71 Datur porro RP † PM = AB, cum pariter ob data puncta B, P, M detur PM, & RP; dabitur hoc ipſo PM — RF': erit adeo AB: BK = BK: PM-— RP. Quod fieri poteſt quærendo inter AB, & PM — RP mediam continue proportionalem. Conſtructio. In recta BF capiatur BK, quæ ſit media proportionalis inter AB & PM — RP5 & per K & P ducatur recta KH: dico factum. Demonſtratio. Ducatur ad AG ex puncto B parallela BM: & producatur linea DC in M. AB: BK = BK: PM — RP (Conſtr.) AB = RP † PM Ergo PM RP: BK = BK: PM -=— RP Et PMz — RPzZ = BKa PMz = RPz † BK⸗ Eſt A PNM Oι A BKN A RPH PMz : RP2 = A PMN: ARPH. RPz: BK⸗ = A RPH: A BKN. RP2 P BK⸗: RP⸗ = A RPH † A BKN: RPH. Eſt RPz † BK⸗ = PMz⸗ PMe=: RP2⸗ – △PMN: ARPH= RPH A BKN : A RPH A△ PMN = A RPH A BKN. A PNM = PQCE CQNM. Ergo 72 ☛num³ h L Ergo POC . CCNM = A RPH T A BRN Et ARPOQB – PCQC COQNM NBQ = ARPOB P RPH † BON . BKN. Sive parallelogrammum AM — °AKH. Eſt autem Parallelogrammum AM — AC rectangulo „ quippe ſuper eadem baſi, in- ter easdem parallelas. Ergo demum ABCD — AKH. Determinatio Problematis. PM RP — AB. PM RP — 2 RP — AB — 2 RF PM — RP = AB — 2 R b. Ut itaque ex recta PM pofſit auferri recta ub, AB dabet eſſe AB 7 2 RP, five — 7 Rb. Ut ita-⸗ 2 . que problema fieri poſſit; debet diſtantia pune- forum R & P eſie minor ſemiſſe baſeos. PROBLEMA IDEM AIGEBRICE. Reſolutio. Ex vertice H in baſin AK, due- ta concipiatur perpendicularis HS. Sit autem AB = a RP= c DA = b HS=x HT 5 — b BK = 2 AK = a z. A B, 4 — Urge Ra 32 2 & . tionalis * der gui con — = 73 TP ,AS bnade AB. AD = . HS = AAKH = ab = = 2 — —— AM = A 2 em bal, E ir 2 ab = ax † =z3 5 = 2 ab — . a P†Z — — mutit. AKH RH. a⸗ AK : RP — HS: HFT. N arz: cæ 2 ab ab — bz . lleni ecl d, ☛ 2 a: a — 2 1⸗ 2 5 Ergo 3 2 ² C . yll, Ut its⸗ 42r — : = r- 2. 22 = a² — — 7 = 2 ac. E 2 ac; adeoque t Ciſtantis Pune⸗ a: 2=— le baleos, r 2 c. Quod fiet, ſi inter a * Ppolce. tionslis „ quæratur media continue pr 1G WLe * eterminatio Problemarr iure uti ſupra. bahn AK, dus⸗ ⸗ PROPOSITIO XXII. . Kt antem . er . . atum punétum deſfcribere circulum 6⁶ 4 qui contingat duas rectas poſitione datas Fig. 74 —„ = Fig. XXVII. Datur punctum A: petitur de- ſcribi circulus AKl contingens rectas DB, BC. Reſolutio ſit factum, & centrum circuli ſit H. Erit I. H K— HI. Quod ita erit, ſi ſit A tIKB O.& HIB. Erit hoc ita, fi int anguli ad K, & I (qui ob contactum recti eſſe debent) inter ſe æquales, & angulus K BH — IBH. Erit enim tunc K HB = BEHI, & latus BH commune. Quod utrumque fieri poteſt, ſi videlicet angu- lus D BC fecetur bifariam, & ex H ductæ co= gitentur perpendiculares HK, Hl. Erit II. HA = HI. Quod pariter ſie eſſe pu- ta: erit hoc ita, ſi ſit GE = EF, & HA: EG — HI: EF. Erit GE = KF., fi in recta BN biſecante angulum DBC capiatur punctum E, ex eoque demittatur perpendicularis EF, & centro E radio à G = EF defcribatur arcus, occurrens junctæ AB. Erit pariter HA: EC= HI: EF. sSi dt BI: BE = AH: EG, & fimul BH= BE = HI: EF. Quod ita erit, ſi ad EG ducta fit ex puncto dato A parallela AH occurrens rectæ BN in H, & ex puncto H, perpendi- cularis Hl ad BC. . Conſtructio. Jungatur A B, tum ſecetur an- gulus BC bifariam recta BN: ex rectæ BN., puncdto arbitrario E, demittatur, in BC, per- pendicularis E. Centro E. radio G =— * deſcribatur arcus, occurrens rectæ AB in G: junga- * ungitur G, tallela AH, All demum de Denonron B0 perpendie l. Angalus recki: ergo K mune: ergo . Il.OAH C. Et ob Hl, E HI:! Uigo AH: e Urpo A Denm, Cüm ment A in guobns NNII; eri ancitit ) l enin. Urob parl S 4a: hetitut de⸗ edas DB, BC. im eirculiſit . ſift AHKB ngnliadK, &l bert) inter ſe H. Drit enim BEl commune, zidelicet angn⸗ H adæ co⸗ Hl. ter ſi ele pr⸗ „,& HaA: EG ſi in retta V N . Dunckum E; lacs N . E Erihatur acus, rſter & Kinul 6H: .H occurrens H, krn tun leetu . ex tecte 24 n 6. junpe⸗ = = 7 jungatur EG, & ex puncto A ducatur huic pa- rallela AH, occurrens rectæ BN in H. Radio AH demum deſcribatur circulus: dico facétum. Demonſtratio. Ex H demittantur in BD, BC perpendiculares HK, HI. I. Angulus KBN — CBN.: anguli ad K & recti: ergo KHB — BHI. Latus BH com- mune: ergo ſ. BKHZ △BlH, & HK = HIl- II. Ob AH, EG parallelas BH: BE = AH: EG. Et ob HI, EF perpendiculares BH: BE = = HI : EF Ergo AH: EGC = HI: EF. EG = EF; (Conſtrauctio.) Ergo AH = Hl. Determinatio Problematis. Cum arcus radio EF deſcriptus occurrat rectæ AB in duobus punctis G Fig. XXVII. & g Fig. XXVIII.; erit pariter radius quæſitus hk, ſi ad Eg ducatur parallela Ah. Eſt enim I. ob Ak B h = h Bi, h K = hi Et ob parallelas; Bh: BE = Ah: gE Bh: BE=hi: EF Ergo 76 ☛ 55 = Ergo Abh: gE = hi: EF gE= EF Ergo Ah = hi. Geminam ergo problema datum admittet So= lutionem. IDEM PROBLEMA ALGEBRICE. KReſolutio. Sit factum, & angulus DBC ſec- tus bifariam: eſt angulus BIH rectus, & AH – Hl. Cum vero detur angulus DBC; datur etiam dimidius HH BC. Fig. XXIX. Erit adeo BH: HI = ſin tot.: Sin HBI = p: Sit BH = x. 7 x Erit x: HI = p: q. Sive HI = — producatur data poſitione B H, in N; & ex dato puncto A, demittatur in eandem perpen- dicularis AN . Erit A N data; datum adeo punctum N, & ob datum punctum B erit B N pariter magnitudine data. Sit ergo N= b, A N = a: erit HN = b – X. — AHl=vXNTTIN = db. — X III = — L p AH = HI Ergo a2 b = d r ² ◻ 7 „b- 23, Pbe 2.—02 P2 — — — 2 b — — “ Det Hyjus ægn Reddde dude Unde pera Liit 1 = Veletimxz Der dno Alifmul tn 1g. W eulns 4lB, h = hi, um admittet 90⸗ GEDRICE. nlus DBC ſee⸗ tectus, & AH Ius DBC; datur XIN. Sn HBI= D H= IaN; A eandem perpen- 4; Catum 10e0 Aum B erit 6N lN= =, AN — 1 . ☛ E 77 2„½2 2 ² † b? -— 2 bz P x² = — a ²p² be* p²* — 2 bpx px2 = q ** pXx2 — q*X* —- 2 bp xN = -- a p-- bepa — 2² — b* X p* 2 2 — bzZ — 1 = — . P— q* P — q2* Determinatio Problematis. Hujus æquationis utraque radix eſt poſitiva, adeoque habetur gemina ſolutio Problematis. Unde peractis reliquis operationibus . bp? P p an q T. baq; — a2 pzZ Pe — de Erit x = Vel etiam x = hp? -D d Eba de a: d P2 — 4 “” ** *½ PROPOSITIO XXIV. PROBLEMA. Per duo puncta data, deſcribere circulum, Aui ſimul tangat rectam poſitione datam. Fig. XXX. Dantur puncta A, B: petitur cir- eulus ALB, contingens rectam CG. Keſo. 78 = 5 = KReſolutio. Sit factum: & centrum in K. Erit adeo IJ. KB== KA Quod ita eſt, ſi juncts AB, ſit AEK △ BEK; & hoc ita eſt, ſi an- guli ad E utrimque ſint recti, & ſit A E = EB; erit enim tunc latus KE commune utrique tti- angulo. Erunt autem anguli ad E reéti, & AE = EB; fi ducta chorda AB ſecetur bifa- riam, & perpendiculariter; ; quod fieri poteſt. II. Producatur EK in F, & jungatur BF, & fit Kl. = K B. Erit hoc ita: ſit HI = HG; & KB: HI = KL: GH. Erit HI = HG, ſi in EF, capiatur punctum arbitrarium H, & ex H ad ad CF demittatur perpendicularis HG: tum centro H, radio Hl = HG deſcribatur ar- cus, occurrens junctæ BF. Erit autem KB: HI = KL: HG., Si ſit I. FK: FH = BK: HI Et II. FK: FH — KL; HG. Pprimum erit, ſi ex B ducatur BK parallela ad HI, occurrens rectæ EF in K; & alterum ita erit, ſi ex K ad CG ducatur perpendicularis KbL. Conſtructio. Jungantur imprimis punécta A & B, tum ſecetur AB bifariam & perpendicu- lariter in E, ducaturque BF. In recta EF ca- piatur punctum arbitrarium H; ex eoqne de- mittatur ad CF perpendicularis HG: tum cen- tro £ tro H radio H curtens fette & ex punco . currens rectæ ſcribatur circul Demonſtre ris Kl. l. Junt ang latus commune Et Ka = KS II. ER ob K = H: RW., BS Vigo H0. HG = Etgo K Det. Areus cen te e DE guea ſ ergo unge Datallela B1 tns eodem m ad (C Derpen MH.: Er. . M: Fer Urgo 3 Ntob 4 = centrum in K. ſ junct 43, ita ett, ſi an. & it A = ES, nune utrique tii⸗ 2ad E recti, & AB becetur dike⸗ od iieri poteſt. X jongatur BF, 1: ſt Hl = bitrarium H, & endiculatis HG, 6 deleribztur a⸗ 3 Vo, ll 1. ur BK perallehe K; & Aterum Pethenciollui grimis Duncki 4 & petpencin⸗ In retta Dl er e eolne de⸗ B6: tum cell⸗ tro =—☛☛r 292 tro H radio HI = HG deſcribatur arcus, oc- currens rectæ BF in I. Demum jungatur 1H; & ex punéto B huic ducatur parallela BK, oc- currens rectæ EF in K, & tum radio KB de- ſcribatur circulus: dico factum. Demonſtratio. Ducatur ad CF perpendicula- ris KL.. I. Sunt anguli ad Erecti; & AE = EB & EKK latus commune. Ergo AzAEK = △ BEK. Et KA = K B. II. Eſt ob HG, KL perpendiculares, FH: FK — HG: LK. Ob IH, BkK parallelas FH= FK=IH: KB. Ergo HG: LK = IH: KB HG = HI (Conſtrucéctio) Ergo KL = KB. Determinatio Problematis. Arcus centro Hradio GH deſcriptus occurrit rectæ BF quoque in puncto i (Fig. XXXI.); ſi ergo jungatur Hi, & ducatur eidem ex B parallela B X; circulus AAB radio B deſcrip- tus eodem modo problemati ſatisfaciet. Ducta ad CG perpendiculari X; erit, uti prius, FH: Fx = HG: X FH: Fx =— Hi: Bx Ergo Bzx = zA Et ob QAAEE & △ BEx, Bz — 2A. PRO-⸗ 80 PROBL-EMA IDEM ALGEBRICE. Fig. XXXII. Keſolutio. Sit factum. Erit KL= KA. Data AB fit ſecta bifariam, & per- pendiculariter, per rectam DF, in E: datur adeo punétum A & E, adeoque AL a. Da-⸗ tur item punctum E & F, adeoque EF = b, datur præterea CF noſitione; datur ergo angu- lus CFE. Erit adeo FK: KL — ſin tot. : Wſin EFC FK –.X, EK = b — x. Sit ſin tot: ſin EFC = X X: KL= p: q. Et KL = –— . P ————. — — KA EF TEKS : b — — Ergo Ma —— — = qx e = bpz †p/ a⸗ 72 † bz qa —— a 2 pa. — d? Velæ = bpz — p V a= q2 TE q= — p Pz -- q; 1 PRO. Unde fiet eodem modo, ut in problemate . * VPh Deta retta tione, 40 hu mis, & pund redas en lege Dis datz, it Teliguas. kig NXI & punctum e V Ndne (A er lege, Deſoturi. GC: 0 l Nop. Vl. Dtd 802 20. — duper 8. tur dhgonalie Drgo d0r Rt 80— Ditut aden C, Juod inn DRCE im. Ltit ,& per⸗ E: datue 2a. Da⸗ EE=, tgo ungu⸗ ſin E0 aE —— —— d-r tohlenntt . — = zu *X PROPOSITIO XXV. PROBLEMA. Data recta magnitudine, alia item data poni- tione, ad hujus punctum, ex puncétis extre- mis, & puncto biſectionis datæ inflectere tres rectas ea lege, ut inflexa ad punctum biſectio- nis datæ, ſit media proportionalis inter duas reliquas. Fig XXXIII. Datur recta AB magnitudine, & pnnétum ejusdem bilſectæ F: peritur ad da- tam poſitione MN inflecti tres rectas CB, CF⸗ CA ea lege, ut ſit CB: CF = CF: CA. Keſolutip. Factum puta. Erit adeo C B? CF= CF: Ca, & BC. CA = CFa. Eſt BC † ACz = 2 FCa † 2 BFa (per Prop. VI. Cor. I.) Ergo BCa — 2 BC. CA † AC = 2 BFA † 2 FC2 —– 2 FC2 = 2 BFZ. Super FB erigatur quadratum PK, & duca- tur diagenalis GB. Erit GBz = 2 BF= Ergo BCeZ — 2 BC. CAPE ACZ GB2 Et BC — AC = G. Datur adeo GB, quærendum reſtat punctum C, quod inveniri polie oſtenſum Propofitione XX. F De. 82 . = Demonſtratio. BC — AC = GB. Ergo BCz — 2 BC. CA CA2 = GB2 — 2 BF2* BCa † ACz = 2 BC. CA † 2 BF2 BCz ACz 2 CF2 = 2 CF2 † 2 BF2 PB 2 CA. BC. Eſt BCa P ACz = 2 FC2 . 2 BFe Erat autem BCz † AC2 = 2 BFa . 2 BC. CA Ergo CF2 = CA.- CB, Et CA: CF= CF: CB. 6 PROPOSITIO XXVI. THEOREMA. Sit in duobus triangulis nnus angulus ad ba- ſim æqualis uni, ſummæ vero laterum propor- tionales baſibus: dico triangula fore ſimilia. Tab. VI. Fig. XXXV. Sint triangulorum ABC, DEF angulus B= E, & BA † AC: CB ED P† DF: EF. A ABC WO Q DEF. Reſolutio. Sit ita: erit angulus BAC = EDF, BAC EDF 2. . Sint ergo anguli biſecti rectis AG, DH: erit BAG= EDH per hypotheſin; eritque A“ BG ₰ ½ hypothe h9 om Krinmn N An lam ler hyh Hin Ce B. Lrgo — 2 Pf2 2 Bl; E 2 P. 04 W. as d di⸗ „ ropor⸗ Cemilia. ungulorun 60: 6 Ul. 0I! erit AAG A 8823 △ DEH, fſi præter B = E fuerit AB: BG DE: EH ; quod ita eſſe ſic oſtenditur: Eſt ob angulum BAC biſectum BA: AC= BG: GC, & componendo BA P AC: AB= BC: BG, & alternando BA F AC: CB= AB: BG. Similiter ob angulum EDfF biſectum ED DF: FE = DE: EH. Jam vero ED † DF: FE= BA † AC: BC per hypotheſin: ergo BA B A C: CB= DE: EH. Erat autem BAAC: CB = AB: BG; Hinc AB: BG = DE: EH. Compoſitio. Anguli BAC, EDF ſecentur bi- fariam rectis AG, DH. Eſt BA: AC = BG: GC BA AC: BA = BC: BG BA P AC: BC= BA: BG. Similiter ED DF: EF= DE: EH. Jam vero ED DF: EF = BAPAC: cs, Per hypotheſin: Hinc BA: Bü = DE: EH, & ob B= E, △ BAG O⅓ △ EDH, & F 2 angu⸗ .21. 1,7. 84 angulus BAG = EDH, adeoque 2 BAG =ʒ 2 EDH, ſive BAC= EDF. Ergo ABC „ Q△ DEF. LEMMA AD PROP. XXVII. THEOREMA. Si in duobus triangulis ſit unus angulus æqua- lis uni, latera vero circa alium utrobique angu- lum proportionalia, reliquus vero utrobique an- gulus fuerit minor vel major recto: trianguls erunt ſimilia. Fig. XXXVI. In triangulis ABC, DEF ſit A = D, & circa alium utrobique angulum B & E. Sit A B: B C= DE: EF, fſit præterea, quando eſt C major vel minor redcto, F itidem major vel minor reéto: erit . ABC Q△¾ DEF. Demonſtratur I. Sint C & F minores recto, erit B = E. Si neges, ſfit EZ B. Fiat itaque ABG = E. Eritque △— Aà BG O △ DEF, & AB: BG = DE: EF, & angulus BGA –R & angulus BGC 7 R. Eſt autem AB : BC = DE: EF. Hinc AB: EC = AB: 66. ergo BC = BG, & ang. BCG = B6C. Eft autem BCG OR, eſſet itaque BGC R, eſſet itidem itigen quit. ſiye II. conſt adeot 500 K ualis ll. us Et⸗ ne ang⸗ digdean⸗ triangula DEF 41 ulutm B Reles, Fitidem A. es tecto, jat itagoe PPE, 8 =☛ =☛ä 85 itidem per oſtenſa BC 7 R, quod eſſe ne- quit. Non eſt ergo angulus E inæqualis ABC. ſive E = ABC, & △ ABCOα A DEF. II. Sint C & F majores recto. Facta eadem conſtructione oſtenditur angulum BGA“ = R, adeoque BCG – R, & ob BC = BG eflet BCG = BGC. Eſt autem BCGCG= Kk- Ergo BGC =Z R. Coroll. Si in duobus triangulis ſit unus an- gulus æqualis uni, & latera circa alium utrobi- que angulum proportionalia, & reliquus unius rectus, erunt itidem fimilia. Sit ergo A=D-, & AB: BC = DE: EF, & C = R: erit F= R. Eſt enim E= B: ſi enim non; fiat ABG = E, oſtendetur, uti prius, fore BC = BG. Hinc BCG = BGC. Ergo in trian- gulo BCG angulus BCG P BGC = 2 R, quod eſſe nequit. PROPOSITIO XVII. THEOREMA. Si in duobus triangulis ſit unus angulus æ⸗ qualis uni 3 ſummæ laterum circa hunc angu- lum 86 = er lum fint uti baſes, recta vero biſecans angalum ad eandem partem baſèos conſtituat utrobique angulum, majorem, vel etiam minorem reéto: triangula erunt fimilia. Fig. XKXV. Sit A = D, & BA † AC: CB = EU DF: FE, &, quando eſt AC B 6 – R; ſit DHE , — R: erit ABC Oι% △ DEF. Reſolutio. Sit ita: erit ergo angalus B == Ey & fectis bifariam angulis BAC, EKDF, △ ABG △ DEH, fi præter angulum BAC EDH &, quando eſt AGB – R, fitk DHE = R, fit AB: BG = DE: EH. Quod ita eſle ſic oſtenditur, uti in theoremate præcedenti: Eſt enim BA : AC = BG: GC BAYP AC: AB = BC: BG BA P† AC: BC = AB: BG., Similiter ED P. DF: FE= DE: EH. Hine AB: B = DE:EH. . Compeſitio., Sectis angulis BAC, EDP'pi fariam eft AB: AC= -BG: GC BAAC: CB= AB: BG Similiter ED DF: FE= DE: EH P Ttie & ex e pendien tentum perpend kig. ſeriptus pendion meter 4 Nſe EA (AL, d mngnl ugolum trobigne n reco: 10:0CS † 766; DEb. B=, R,A K, ſt ,. Gemats 1/ Ell, D 90 A* =☛4 97 BA † AC: CB = ED † DF: FE Hinc AB: BG = DE: EH. BAG = EDH. ACGB7 — R, & fimul DHE R. Ergo ſ ABG △ DEH., Angulus ABC = DEF, A ABC %° mA DF. PROPOSITIO XXVIII. THEOREMA. Triangulo cuivis circumſcriptus ſit circulus, & ex circumferentia circuli ducta in baſim per- pendicularis: dico rectangulum lateribus con- tentum æquari rectangulo, quod diametro & perpendiculari continetur. Fig. XXXVII. Triangulo AB C circum- ſeriptus ſit circulus, & in baſim BC ducta per- pendicularis AD, & ex eodem puncto A dia- meter AE: Erit BA. AC = EA. AD. Keſolutio. Sit ita: erit ergo BA: AD = EA: AC, & juncta EC AABD △ CAE, quod ita eſt, ob ADB = R= ACE & angulum A BC= AEC in eodem ſegmento. Com- 83218 ☛e e e Compofitio. Junéta EC eſt AD B = K = A CE & ABC= AEC in eocdem ſeg- mento. Hinc aABDO ACAE & BA: AD = EA: AC, & BA. AC = EA. AD. PROPOSITIO XXN. THEOREMA. Viciſſim triangulo ſit cireumſeriptus cireulus & ex vertice duéta perpendicularis in baſim; ſit vero reétangulum lateribus contentum, æ& quale reétangulo, quod perpendicularis & chor-= da ex eodem puncto circumferentiæ ducts com- prehendunt: dico chordam hanc efle diame- Krum. Fig. XXXVII. Triangulo ABC cireumſerip- tus ſit circulus, & ex circumferentiæ punéto A demifla in BC perpendicularis AD, & du- a chorda AE; fi fuerit BA. AC = EA. AD enit EA diameter. △ Reſolutio. Sit ita: erit ergo angulus E CA = K, quod ita eſt, eum fit A BC = AFC im ebdem ſegmento, & (ob BA. A C= EA.AD) BA: A D =HEA: AC, & angulus BDA = R, (per Coroll., lemmatis ad Prop. XXVII.) Com- C = b & ang ne AEC ter. ( De cnulo kig & er triang 1 gulo AEe A, 60 Milis, culus XAl ADB=R in eodem ſeg⸗ E& B: AD WX iptns eireulus is in baſm; ntentum, ⸗ laris & chor⸗ 2 ucta com ,ele diame- 1eireumickih. entir punto AD, &dr. =CA. Ah, golus ECA C= AC =EA.40) 80'4 =Ry .) Conn. = e. 89 Compoſitio. Jungatur EC. Eſt B A. A C = EA. AD. Hinc BA: AD= EA: AC. & ang. A BC = AEKC in eodem ſegmento, & angulus BDA = R, ergo a ABD W △ AEC, & angulus ACE= R, & AE diame- ter. (per Partis I. Prop. IV.) PROPOSITIO XXX. PROBLEMA. Datis utroque latere trianguli, & perpendi- culo his intereepto invenire triangalum. Fig. XKXXVIII. Datur latus BA; item AC & perpendieulum his interceptum A D: petitur triangulum ABC. Reſolutio. Sit factum: poterit ergo trian- gulo circumſcribi circulus, & ducta diametro AE erit BA. ACvã= EA. AD, five AD: AC = BA: EA, quod fieri poteſt, quærendo ipfis AD, AC, BA quartam proportionalem. Compoſitio. Quæratur hæc quarta propotio- nalis, tum ſuper diametro AE deſcribatur cir- culus, & quoniam eſt AD: AC= BA: EA, & AD — AC, erit BA — EA; poterit ergo circu- 1 90⁰ ☛ *5 e circulo applicari chorda BA, & ex odem pun- &to applicetur latus AC, & ducatur BC: erit △ABC quæfitum. Demonſtratio. Ducatur perpendicularis AF. Eſt per conſtructionem AD: AC = BA: EA, ſive EA. AD= BA. AC, & ob circulum triangulo circumſcriptum BA. AC= EA. AbF⸗- ergo AF = AD. PROPOSITIO NMXI. PROBLEMA. Datam rectam ita prod ucere, ut aggregatum ex tota una cum producta ſit ad partem produ- Sam in ratione quadratorum data. Fig. XXXIX. Data magnitudine reta fit AB: petitur produci verſus C, ut fit AC: BC= Mz : Nz. Reſolutio Sit factum: erit itaque AB „ BC: BC= M: Nz. Ipfis M & N quæratur tertia proportionalis P, erit M: N = N: P, & M: P= Mz: Nz Hinc A B † BC: BC= M: P, & dividendo AB: BC = M— P: P, quod fieri poteſt. Com⸗ Cumnpoet propoktional ad M — P, portionalis Denonſt 3 . 1 PRN Intnn drt lege; ut Zoli inflecct Puli conſtitn Lig. Xl, tur punc um 4 B00 RNluiin Dr alet/ AADN= ex Odem pun⸗ atur BC: erit ndienaris Ab. ob cireulum MW. agoregatum Artem Nrdd⸗ , leca ſt A: AC: BC= igue . vortiotali P, E intlendo Aferi potent. Conn⸗ 91 Compoſitio. Ipfis M & N quæratur tertia proportionalis P, auferatur ex M recta P; & ad M — P, P, & AB quæratur quarta pro- portionalis BC: dico factum. Demonſtratio. M — P: P= AB: BC M: P= AB BC: BC M: N= N: BDB M: P = M : Nz AC: CB = Mz: Nz⸗ PROPOSITIO XXXII. PROBLEMA. Intra datum triangulum invenire punétum es lege; ut ſi ad hoc puncétum ex angulis trian- guli inflectantur rectæ, hæ cum lateribus trian-⸗ guli conſtituant tria triangula *W qualia inter ſe. pig. XL, Sit datum triangulum ABC: peti⸗ tur punctum ) ita, ut fit A ADCA ADB Reſolutio. Sit factum. Si ergo fiat AE= EB; eſlet A ADE= A BDE, & A ADE † A ADC=A DBE † ADBGC. 8 92² Si jam ducatur CE, eſt AEC= ABEC; eſt itaque CDE linea recta; ſimili ratione ſi fiat BF = FC, erit ADF linea recta. Conſtructio. AB, BC ſecentur bifariam in punctis E, F; ex E & F ducantur ad angu- los oppoſitos C & A rectæ EC ,‚ FA; pun- Kum interſectionis D harum rectarum erit pun- cum quæſitum. Demonſtratio. Jungatur BD. A CAEP = AA CBE. A ADE = A DBE. ACAE — A ADE= A CBE — A DBE ACAD = A CBD △ CAF = BAF △ CDF = △ BDF A CAF - A CDF= A BAF-A BDF A△CAD = A ADB. em aliter. Fig. XLI. Reſolutio. Sit ita, ₰ACD= A CBD = ABCG ABAD, erit A ACD = Secetur BC trifariam in E & F, jungantur- que AE, AF, erit A BE = A AEFE = AAAFC A A0& bit ergo eſſe ſl irt a, erit ttidem/ patallele, ergo querlitu Parallelarom Coußna KN,&H& F, Wpara tum, & du AA⸗ Demone 445. A A 6 A DC= 480- 4 lint i ratione ſi fint ur bifariam in ntur ad angu⸗ FA; pun⸗ rum erit pun⸗ . =AU. AFP-APD 8. 24C= A6 — 3 F, Imgmtur AAl ⸗ Aald ☛= 93 ABC 3 bit ergo eſſe a A BD = A A BE, quod erit, fi ſint AB, ED parallelæ; quod fieri poteſt: erit itidem ₰ ACD = A△ ACF, ſi fint AC, FD parallelæ, quod pariter fieri poteſt: punctum △ AFC & quodlibet horum = : debe- ergo quæſitum eſt punctum interſectionis harum parallelarum. Conſtructio. Data BC ſecetur trifariam in E & F, ex E ducatur ED parallela ad BA, & ex F, FD parallela ad AC: erit punctum D quæſi- tum, & duétis BD, DC, & DA erit AA BD Demonſtratio. Jungantur AE, AF. Q“ B0 A ABE = A ABD = — — 3 △ABG △ ACF= ACD = - △ABD = A ACD. △ DBC = Q ABC —- 2A“ ABD = A 2 Q△ABC A△ ABC 3 3 Q△ABD = △ ACD= BCD. PRO- 924 PROPOSITIO XXXIII. PROBLEMA. Sint tres rectæ magnitudine datæ, & præter eas quarta: petitur hæc in duobus punétis ita ſeçari, ut quadrata ſuper ſegmentis ſint in ra-= tione datarum rectarum. Fig. XLlI. Data. 7„ QLucſita. AH, BD, CN & 50. Puncta F & G, ut ſit PFZ: FG=— AH: BD, E FGzZ: GQ = BD: CN. Factum puta. Sit I.) PFz: FG= = AH: BD. II.) FGz: GQ = 3D: CN. Recta quævis PM dividatur ita ut ſit PLa: LMz = AH: BD, (per Prop. X. hujus) erit PFzZ: FC2 = PLz: LMz, & PF: FG = PL: LM. Quod ſi inter B D & CN quæratur media proportionalis K, erit BD: CN = BDzZ: Ke. Eſt autem BD: CN = FGz: GQ . Hine Ferz: GQ = BDz: Kz, 8 4 8 10d B0 portionzls R 50: H FKi:0 ſt Pl’, 2²) Ilter tinue proport 9) d Portionalis R 4) Fit ) 6) Kcetun Demmnhr⸗ Il. : FG: 6E. D: K= : R= MW. atæ, & preter bus punctis ite tis fint in tn. ueſite. Té, AUt ſit 2— Al: B, O2= B0D:NX. 30. CN ut ſit op. X. Mujus) NI⸗ . etätut medis , 6.. Hne 1 . 8 =☛r ει = 95 Si a4 BD, K & LM quæratur quarta pro- portionalis R. Erit BD K = ML: R, ergo FCI: GQ = ML: R, quod fieri poteſt. Conſtructio. 1) Recta PM ita dividatur, ut ſit PLz: LMs = AH: BD. 2) Inter DB & CN quæratur media con- tinue proportionalis K. 3) Ad DB, K, ML quæratur quarta pro- portionalis R. 4) Fiat MO = R, 5) Secetur ⁵Qut ſecta eſt PO. Demonſtratio. I. PF: FG = PL: ML. PFz: FG= = PLz : LMz = AH: BD. II. FG: GQ= LM: MO (R). FGa: GQ = LMz: Ra. DB: K = K: CN. DBz: K⸗ = DB: CN. DB: K = LM: R. DB⸗=: K⸗ = LMaz: Re = DB: CN. Ergo FCG: G = DB: CN. „ O PRO- 96 ☛ PROPOSITIO XXXIV. THEOREMA. Semicirculo inſcriptum fit quodvis triangulum rectangulum, & ex vertice duta perpendicula- ris in baſim: ſegmentis baſeos veluti diametris ſuperſcribantur duo alii ſemicirculi, & puncdta interſectionum trianguli & ſemicirculorum jun- gantur chordis: erit ſegmentum catheti intra circulum ad ſegmentum extra eundem; uti quadratum hujus catheti, ad quadratum alterius. Fig XLIII. Semicirculo inſcriptum ſit A BAC rectangulum, & in baſim AC duéta perpendi- cularis BE, diametris AE, ECfuperſcripti fint ſemicitcuh ADE, EF'Cjunganturque ED, EF. Erit DA: B) = BA: BC⸗. Roſolutio. dSit ĩta. Eſt DB — FE parallelæ: BA: = CA. AE. BC⸗ =— CA. EC; ergo erit DA: FE =— BA2: BC-⸗ = CA. AE: CA. EC. Sive DA: F — AE: EC, & DA: AL = HE: LC. Et DAE. △ FEC., quod ita eſt Ob . . Ob ADE b B4, . Conplti DA: . DA: F= Tümgular Circulo, e tiam chorda hac chorda, cem & baſin telig guadrite W. riangolum pendienlg . diamettis & puncte Orum jun⸗ heri intta dem; uti n Atetias, tABAC elhendl. ce nut EO,Nr. prtillele: itn et 05 = 43 97 ob ADkE = EFC = R, & ob BA, FE parallelas, DAE = FEC. Compoſitio. A DE. — EC = R. DAE = FEC. A△ DAEK △ FEC A: AK = FE.: EC DA: FE = AEK.: LC = AC. AE. AC. EC AC. AE = ABz⸗ AC. EC = BCz DA: FE= AB=: BCS. DA: DB = ABz: BCe. PROPOSITIO XXXV. THEOREMA. Triangulum æquicrurum defſcriptum ſit in circulo, & ex vertice ducta ſit ad circumferen- tiam chorda, quæ ſecet baſim: rectangulum hac chorda, ejusdemque ſegmento inter verti- cem & baſim comprehenſum, æquahitur la- teris quadrato. Fig. XLIV. Hypotheſi. ſ Theſis. AB = AC. L DA. Ak = AB= G Reſos 98 = = Keſolutio. Sit ita: ergo eſſet 1) AD: AB = AB: AE; ſed angulus BAD = BAE, 2) Foret ergo a BDAO⅓ A BEA. Hine 3) Angulus BDA = EBA ſed EBA = ECA, ergo 4) Angulus ECA = BDA. Quod ita eſt. Compoſitio. 3) Angulus BDA = EBA 2) △ BDAO Sï’KEBA 1) AD: AB= AB: AE. Fig. XIL-V. Hypotheſis eft eadem, ſed recta ſit ducta ad baſim productam, erit rurſum re- Rangulum ex hac & ſegmento in circulo com- prehenſum „ & quale quadrato cruris. Hypotheſis. N Tbeſis. AB – . AE x AD = AB2, Reſolutio. Sit ita. Ergo 1) AE: AB = AB: AD angulus BAE pvommunis. Ergo 2) effet A BEA % A BDA. Hine 3) angulus BDA= EBA. Sed 4 Cunnp PR Creul magnit extremis conciye lege; N circumfer y/ – n D Dſli tangens 0 SCHI EA. Hine ed Eed rurlurn re⸗ reulo com⸗ lſit⸗ . 4AB. Ergo ine ſed ☛ ◻△ = 99 4) angulus EBA = BCA, ergo BDA = BCA. Quod ita eſt. Compoſitio. 3) Angulus EBA = BDA 2) △EBA O⅓ △ BDA 1) EA: AB = AB: AD. PROPOSITIO KKXVI. PROBLEMA. Circulus, & recta extra circulum poſitione & magnitudine data ſunt: oportet ex punétis extremis datæ rectæ ad idem circumferentiæ concavæ punctum inflectere duas ſecantes ea lege; ut recta jungens puncta ſectionum in circumferentia convexa, ſit datæ rectæ parallela. Fig. XLVI. Hypotheſis. v TVeſis. Qrculse A. „ re. Ducere DA, EA; ut Sta DE data. BC & DE üfnt paral- Neſolutio. Factum puta, & dufta cogitetur tangens CH. Eſiet angulus BCH = BAC = CHE. Angulus HEC = AED 6 2 ergo 00 w eee ergo α HCE Oι △ DAE; & 1) AE: ED = EH: EC 2) AE. EC = ED. EH. Si jam ducatur tangens E „erit AK. EC 3) DEX EH = FE⸗, & DE: EF = EF: EH. Quod fieri poteſt. = FEz Conſtrultio. 1) Ducatur tangens EF. 2) Ad DE, & Eb reperiatur tertia pro- portionalis EII. 3) EZx H ducatur tangens HC. 4) Ducatur EC & producatur in A. 5) Ducatur AD. 6) Ducatur BC. Demonſtratio. DE EH = EF⸗. EFz = EA EC. Ergo EH DE= EAXEC & EH: EA = EC C: DE. Sed angulus DEA = CEH; ergo A△ DEA O BRHCE, & angulus CHE = DAE = BCH. ergo BC & DE parallelæ. PRO- Ditis mento c citcumke hoc pun diametti pars che Lompreh lig. X 45, ejn DE, pet = 4A0. Reſole & ex 6 NK 4. ft Er. r tertia pro⸗ „ N. 101 PROPOSITIO XXXVII. PROBL. MA. Datis ſemicirculo & perpendiculari ex ſeg- mento diametti ad circumferentiam invenire in circumferentia aliud punctum ea lege, ut ſi ex hoc puncto ducatur ad extremum punctum diametri chorda tranſiens perpendiculum datum; pars chordæ perpendiculo & puncto quæſito comprehenſa ſit radio circuli æ ualis. Fig. XLVII. Semicirculi, AEB diameter ſit AB, ejus ſegmento AD inſiſtat perpendicularis DE, petitur punctum G ea lege, ut fit GF =e aC. Reſolutio. Sit ita, & jungantur AE, 68, & ex G cogitetur demiſſa perpendicularis GH. Eſt hABG △ △AGH. Ergo . AB: AGC = AG: AH. AA AGH Oι AFD. Hinc AG: AH = AF: AD, adeoque AB: AG = AF: AD. V AG = AF †+ FG = AFρ AC (hyp.) Ergo AB: AF † AC= AF: AD. Hinc Hinc AB. AD = AC AF * AF AB. AD = AEz: ergo debet effe AE2 = AC AF AF. Quod fieri poſte oſtenſum Prop. KVI. hu jus. Fig. XLVIII. Compoſitio. Radius AC ſecetur bifariam in L. & deſcripto ſemicirculo applicetur eidem ad punétum extremum A fub angulo recto AE jungatur EL & fiat LN = EL erit AN recta A B quæſita per Prop. XVI. & AN = LN — —.. 4 Fig. XLVII. Centro A intervallo AF = A N deſeribatur arcus ogcurrens perpendiculo DE in F, per puncta à & F: (videatur ſcholion ſub- nexum) ducatur A FG, erit F'G = — = AC. 2 Demonſtratio. CA P† AN. AN = AEZ, (per Conſtruct.) A AGBO A ADPPF. AB: AG-— AF: AD Et AB. AD= AG. AF AB. A D = AEz. Hine CA PT† A N . AN — FG †+ FA. AF. AN = AF. (per conſtr.) Ergo CA = Gb. Scha Kholio ED in F datar Ab invenitar: ſtit⸗ erit! IN. IX AN . NE „ AD⸗ DE D⸗ ebet eßſe NVl brins ilariam in . t eidem 1d tecto 4 1t AN rette 48 N— —. 4 4,= 4NH Gedo DE eholion lab⸗ A — = 4l. „ 2 = 4l, Abk. —46. A e ee. 103 Scholion. Rectam A = AN perpendiculo ED in F occurrere manifeſtum erit; ſi oſten- B datur AF ſive LN — 4 =— AD: quod ſie invenitur: ſit ita: five LN — 2 — IAD 4 ei LNe AD — LN- AD-⸗- —— ABZ= 2 16 LN = AE= 2-. AB. AD B²½ AE L. = = AD-= — AE⸗ AD- † – AE⸗ = AD= DE⸗ AD⸗- † DE⸗ — AD-⸗ †* -an. B. AD DE⸗= AB. AD DE⸗= — AC. AD. . Sive Quod 104 Quod ita eſt, cum fit DE⸗ = AD. DB = ADx AG † CD — AC. AD † AD. Ch. Demonſtratio ſynthetica patet, viam rele- gendo. PROPOSITIO XXXVIII. PROBLEMA. Dato ſemicirculo invenire punctum in cireum- ferentia, ex quo ſi ducatur in diametrum ex parte oppoſita productam ſecans, pars ſecantis extra circulum æquetur radio circuli. Fig. XLIX. In ſemicirculi ACB circumferen- tia petitur punctum C, ea lege; ut ſi ex punéto C in diametrum BA verſus E produétam duca- tur CE, ſit ED = D-rF. Veſolutio. Factum puta. Erit ergo DE = DF & angulus DEF — DFE, & FDC = 2 OEF. Jungatur FC, erit FDC = DCF; & angulus CFB – CEF ECF DEF-T 2 DEF — 3 DEF. CFB Ergo CFB = 3 DEF, & — — DFF. 3 Ut itaque foret DE = DF; angulus CFB foret ſecandus trifariam: quod cum geometrice fieri ne- neguent tricam ² Khol nice Pro⸗ arens C bundto! que attol nec fent = — Pppg — DFE. — DEF De Nbo cimen ſin 1n Ceyli ſyntheſin eſt, fübj tale, LE) Theon 1e; erit .DB — ADx . viam kele. WII. um in dcum- diametrum ex Pars ſecantis nli, cieumferen⸗ K er puncto Auckam duca⸗ gob- —Dr & angolus 0l. DE. 1s CFS foret ometlice feri ne⸗ 105 nequeat; neque problema propoſitum geome- tricam admittet ſolutionem. Scholion. Patet hinc interim ſolutio mecha- nica problematis de triſe tione anguli CFB, vel arcus CB. Producatur diameter ex B verſus A. Puncéto fixo C applicetur recta vel filum, illud- que attollatur ſuper diametrum produétam do- nec tentando innoteſcat eſle ED =– DF, fiat BC BG = DA erit BG — —. Eſt enim DEF 3 = DFE & FDC= 2 DFE = FCD, ergo CFB = DEF T ECF = 3 K = 3 DA CFB CB DA = — — — — B6. 3 3 Scholion. Egregium aliud in eo genere ſpe- cimen ſubminiſtrat Archimedes Libro II. de ſphæ. ra & cylindro, Prop. I. Analyſim problematis & ſyntheſin, quemadmodum ab eodem inſtituta eſt, ſubjungo. Sit autem ad problema lemma tale. LEMMA AD PROP. XXXIX. Tbeorema. Sit cylinder circumſcriptus ſphæ- ræ; erit cylinder ſesquiplus ſphæræ : & viciſ⸗ ſim, 106 e ſim, cylinder ſit ſesquiplus ſphæræ, habeat autem pro baſi circulum maximum ſphæræ; erit circumfrcriptus ſphæræ, ſive habebit pro alti- tudine diametrum ſphæræ. Demonſtratur I. Quoniam per alibi oſtenſa ſphæra æquatur duabus tertiis cylindri circum- ſcripti; tres ſphæræ æquabuntur duplo cylin- dri; adeoque cylinder erit ſesquiplus ſphæræ. Demonſtratur II. Quoniam viciſſim (*) ey- linder, qui habet pro baſi circulum maximum ſphærzæ, cujusque duabus tertiis æquatur ſphæ- ra, eſt circumſcriptus ſphæræ : ſit autem per hypotheſin cylinder habens pro baſi circulum maximum ſphæræ ſequiplus ſphæræ; duplum cylindri æquabitur triplo ſphæræ, & ipfius cy-= lindri duæ tertiæ æ uabuntur ſphæræ. (*) Scholion. Veritas converſæ ſic patet: non ſit cylinder ille circumſcriptus ſphæræ. Sphæra igitur zquabitur duabus tertiis cy- lindri non circumſeripti habentis pro baſi circulum maximum ſphæræ; & fimul æ- quabitur duabus tertiis cylindri circum- ſcripti ejusdem baſeos: quod dici nequit. PRO- Deleribere lem. Tab. VII. cylindro d Meſoluti hoc etit, 1 5 Fit . 2 baleos H Atitudo H 3b K — 2 ſit ejns i 2:¾. Fl Alttnäine Urit er it Ra hærz, beit n ſpheræ; erit bebit pro alti. er alibi oſtent lindri circam⸗ duplo cylin⸗ liplas (pheræ, ciſſin (?) ey⸗ lum maximum Egatur ſphe⸗ ſit aulem per ha N Num ere; Cuplum Cihlns ey⸗ eræ. elle ſie pitet: iptus ſphereY. hus tertiss ey⸗ entis to dal ümnl e. indri cicaum. Gii neqrit. 5RO. 107 PROPOSITIO XXXIX. PROBI-EMA. Deſcribere ſphæram dato cylindro recto æqua- lem. Tab. VII. Fig. L. Petitur ſphæra 8 = P cylindro dato. Reſolutio. Factum puta. Erit S = P, & 28S 3 b hoc erit, ſi ſit — = —. 2 2 38 . . Sit — = cylindro R; ſit autem diameter 2 baſeos HK æqualis diametro ſphæræ: erit ejus altitudo HG = HK. (per converſam lemmatis.) 3 Sit — = cylindro Q ejusdem baſeos, & 2 ſit ejus altitudo ED. Erit P: Q= AB: ED = 2: 3. Sunt enim cylindri æqualium baſium uti AB altitudines. Adeoque ED = AA! . 2 2° — à Erit ergo — = —, ſi ſit R = C. 2 2 Sit R= Q. Quoniam cylindrorum æqua. lium 108 = KE linm baſes ſunt in ratione inverſa altitudinum; erit EEF (BBC): HHK = GH (HK): ED 3 A B D ( . Et cum baſes ſint in ratione dupli- 2 . . 3 A B cata diametrorum, erit BC?: HK* = HK: – „ 2 Rectis BC. HK fit tertia proportionalis LM; erit BC: HK = HK: LM: Et quoniam eſt in proportione continua qua- dratum primi ad quadratum ſecundi, ita primus ad tertium, erit BCzZ : HK2 = BC : LM. Erat 2 A B autem BCzZ: HK2 = HK: — Hlinc 2 3 A B BC: LM = HK: —, & alternando 2 3 A8 BC: HK = LM: — , Erat autem 2 BC: HK = HK: LM. Ergo 3 A B BC: HK = HK: LN = LM: — . Quod fieri poteſt, ſi inter diametrum baſeos & ſesquiplum altitudinis cylindri dati quærantur duæ mediæ continue proportionales, quarum prima Prima erit dem elt an⸗ ſtructio heæ fici vequit: pa adhiberi go conce Conſru ddæ mece diameter ſy Domn, 7 batur circul lus altitade delcribatur linder , RKR Per 50: HK:= BC: IM= 4 altitudinum; (HX): ED. tatione dupli⸗ 34 HK: — . 2 ttionalis N: l: COntinua qua⸗ di, ita pkimus C: LM. Er 2* .Hiac 1 Aternando kat autemn tgo — S= etrum biſeos ti quetantur les, Iuarum prims 109 prima erit diameter ſphæræ deſcribendæ. (Ea- dem eſt analyſis, ſi P fit conus rectus). Con- ſtructio bæc equidem ope circini & regalæ per- fici nequit: ſed debet una cum circulo alia cur- va adhiberi, de quo in geometria fublimiore: quo conceſſo erit conſtructio talis: . 2 àA B . Conſtructio., Inter BC & — quærantur 2 duæ mediæ proportionales HK, LM, erit HK diameter ſphæræ quæſitæ. Demonſtratio. Diametro EF = B0 defcri- batur circulus, & ſuper eodem cylinder Q, cu- 3 A B jus altitudo ED = ––: diametro item H K 2 deſcribatur itidem circulus, & ſuper eodem cy- linder R, cujus altitudo GH = HK. Eſt per conſtrustionem S . 3 A B BC: HK = HK: LM= LM: —. Hinc 2 3 A B BC: HK = LM: —,, & alternando 2 3 A B BC: LM = HK: —. Eſt antem 2 BC: HK 110 BC: HK = HK: LM; & primus ad tertium, uti quadratum primi ad quadratum ſecundi. Hinc BC: LM = BCZ: HK. Frat autem 23 A B 2 BC: LM = HK: Ergo 3 A B BCzZ: HK2 = HK: – (DE). 2 Et quoniam circuli ſint uti quadrata diametrorum; „ erit BC: HK⸗ = BBC (EäF) HHK. 12 2 Ergo EEF: HHK = HK (HG): DE. Id eſt: cylindrorum Q & R baſes ſunt in ra- tione inverſa altitudinuum. Ergo R= Q. Sunt autem cylindri P & Q earundem baſium tt 47 3 A B uti altitudines; ſive P: Q =ẽ AB: — = 2: 3. 2 3 Pb . 8 Eſt itidem (per lemma) R = — . 2 Kbokion. tudo AB; e tudinis =: Ii 3 dini⸗ A —, Kie 2 rantur du UM, prim NNENR. Aheln. Droblema ab Recentiorum tentanti, pol ſinu! inde, riam incogoi Vvenienda alun dis diteilem li beometr n8 20d tertlam, ſecundi, Hine Erat autem .Ltgo (oe). a diamettorum, . 1 EEF) HK. EG6): . pales ſuntin ſa⸗ ☚2 rundem haſium NBB 2 Obe⸗ E = 111 Scholion. Si P ſit conus rectus, cujus alti- tudo AB; erit cylinder ejusdem baſeos & alti- tudinis = 3 P: hinc cylinder Q = 1 cylin- 2 dri 3 P dimidius: adeoque cylindri Qaltitudo A B —. Si ergo inter datam baſeos diametrum 2 BC, & ſemiſſem altitudinis AB coni dati quæ- rantur duæ mediæ continue proportionales HK, LM, prima harum æquabitur diametro ſphæræ quæſitæ. Scholion. Coronidis loco ſubnecto celebre problema ab Antiquis eleganter ſolutum; quod Recentiorum cuipiam, ſolutionem algebricam tentanti, poſſet negotium faceſſere: eluceſcet ſimul inde, plurimum interefſfe, quænam plu- rium incognitarum pro æquatione algebrica in- venienda aſlumatur; id, quod ex rerum ad jun- Sis difficilem veſtigationem ſœpe habet; & ana- ly geometrica facilius expeditur. PRO- — E PROPOSITIO XL. PROBLEMA. Dato Quadrato, & recta magnitudine, pro- ducere latus quadrati ea lege: ut, ſi ex punécto lateris producti ad angulum quadrati oppoſitum ducatur recta, portio hujus reétæ, punéto la= teris producti, & latere quadrati, quod angulo opponitur, intercepta, æquetur rectæ magnitu- dine datæ. Tab. VII. pig. LI. Datur quadratum AC, item recta LK: petitur latus DC ita produci in F; ut, ſi ducatur FA, ſit FE = LK. Reſolutio. Factum puta; & producatur A B verſas H, & ex F ducatur EH perpendicularis ad AF; demum ex F demittatur perpendicularis FG in AH. Eſt angulus àA B E = FGH = R, &, ob △ FGH „„ QAFH ½ AAEB, angulus EA B =GFH; & AB = 80 — FG. Ergo △ABE — AFGH ; & AE — FH. Eſt itidem △ CEF Wα% Q△ AEB. Hinc CF: Ck = a (BC): BE. Ergo CF. BE = BC. CE = BG. GHI. Factum Factum j adeogne Ur E E — [K, (Ee Che UtC: Et (H2 0 208.0 d Küer C*„α(Be, — E5GT Ut itaque ſt debebitelle B oett per th Connpſi Ceinur ad a tenuſa: dun Dotenale e tur Eniäten erit 243 tna citenlun tdine, pro⸗ exr puncto Oppofitutn puncto li- nod angulo e magnito. titum 40, produci in Gcatot &BB endieulatis endiehlatis &, obA ulus EA. Hinc Ergo Fackum — 113 Factum jam puta: erit itaque EF = LK, adeoque EFzZ = LK⸗. Eſt EF⸗ = CE⸗ † CFZ. Hinc CEz † CFz — LKs Et (addendo utrobique BCz) erit CEe CB2 † — LK2 †+ CB2. EKt CB = CE T EB = CEa 20E. EB †. EBz Et CE † CB²2 — 2CE2 † 2C. EB F EB2 = 2CB CE † EB— 2BG. GH † GHz Eſt itidem CFz⸗ = 302. Erge CEa † CBa † CF⸗ – BGz -F 2BG. GH GH= = 56— 6⸗. Ut itaque ſit CE † CBE P CF= LK2 BCS; debebit eſſe BH: = LK P BCa. Quod ſeri poteſt per theorema pythagoricum. Compoſitiv. Rectæ datz BC & LK appli⸗ centur ad angulum rectum, ducaturque hypo- tenuſa: tum in AB producta capiatnr BH hy- potenuſæ æ qualis; ſuper diametro AH deſcriba- tur ſemicirculus, producatur DC Ob AB – BH e n ☛ AH; hinc DC prodacte cadet in- cirfculum, occür. Irachie in e nnn FA, dico factum. t dene di z & Jacatar H Demofk- 114 Demonſtratio. Ex F demittatur in AH per- pendicularis FG, & jungatur FH. Ob angu⸗ lum AFH rectum erit △u FGH O½ QAFHO Q△ ABE. Eſt præterea AB = BC = FG; ergo AA FGH Z △ ABE. Hinc GH = EB, & FH = AE. Eſt (ob △.AEB A CEF) AB (CB): BE Hinc CF. BE = BG. GH= CE. CB. BH =– LK= P. BCz = 6G + GH = BG: P 2 BG. GH T GH⸗ BGa = CFz; & 2 BG. GH = 2 CB. CE = 2 CE. CF EB = 2 CE2 . 2 CE. EB; & GHz = EB2. Ergo LKa -. BC = CFa † CE⸗ † CEa † 2 CE. EB † —.—2 EB = CF P CE; T CE EB = CFa P CEa CB2. Hinc LKa = CFa P CEE = EF, Ergo EF = LK. PROBLEMA DEM ALGEBRICE. Tab. VII. Fig. LIl. AB = AD = a, LK=— b, CFz F (: 4 AADe lre 1 Ego n Giye x. Formul Ppoteſtatem dulo open afke dan re dio ſiat, Ppdo ki Ett A Hine A Sit AB. H aEx, tin Al per. Ob angn. AAPHYO A HG; ergo = E, & (CB): br .(. — † 6 = 10. = 1go ⸗lhr . Lgo 8EDMNC. 1,A= li ☛e =— 1I5 CFe † CE⸗ = Epz, ſive x2 P y2 = bia. Q ADF „Q% ECF; ergo CF: CE= DF: DA „ ſive X: y = X Ta: a. Et ax = xXy † aye a X a² X2 Ergo 7„ = , & y2 = — S 5 N — 22 x2 . X² P† – – = bz EtX. (aa † Xa) aaxXs —.— a † W = b2 Ca †xX). † 2ax3 † 1a* x2 = bz X2 † 2a b X †. a b, Sive X4 P 2ax3 † 222 X2 — bz Xa — 2aba & — a2 bz = O Formula hæc prima fronte extra geometrie poteſtatem poſita videri poſſet; & certe cal- culo operolo, ad æquationem ſecundi gradus affe tam reducitut. Quod ſi interim conſtra- ctio fiat, uti Fig. LI. oſtenſum, ſolutio erit Oppido facilis. Eſt AàAEB 2 A FGH. (per ſupra oſtenſa) Hinc AE = FH. Sit AB = BC – a, LK = b,) AE = PH — y„ BH = XxX; erit A = y T† b. & AH — a . X H z x 116 =☛ = Eſt △ ABE % △ AFH. AB: AE = AF: AH. àa : y =— y ◻ b: a † X a² ax = y2 † by. 2 “ — AH = a † xX = AF2 † FH; = y † b £◻ y² — 2. (y² † by) † b — 1. (a? † ax) † bz. Hinc as ◻2 ax † X² – 2a² 2 ax † bz X³* — a* bz. Et X= a by, APPENDIX HEXERCITATIONES: SELECTA QUEDAM P,O RISMATA. Po demon datam lidet e ſec g dent 1 allecki Kione D te de kappul Opere Promte Der de⸗ DEFINITILO. Poriſma eſt propoſitio, in qua proponitut demonſtrare, rem unam (vel etiam plnres) datam efſie, cui (vel etiam quibus) uti & cui- libet ex rebus innumeris, non quidem datis, ſed quæ, ad ea, quæ data ſunt, eandem ha- bent relationem, convenire oſtendendum eſt » affectionem quandam communem, in propoſi- tione deſcriptam. Deknitio allata, eſt Roberti Simſon, in ope- re de Poriſmatihus ex Euclidis fragmentis apud Pappum, magna ex parte, reſtituto, quo ex opere pariter, poriſmata, quæ ſequuntur, de- promta ſunt. Definitio autem ipſa exemplis per decurſum illuſtrabitur. Cum 120 —=—ð- Cum theorema generatim ſpectatum, ſit pro= pofitio, in quo aliquid demonſtrandum; patet eo ipfo poriſmata ſub theorematibus veluti ſpe= ciem ſub genere contineri: ſi vero ea, quæ da- ta eſle demonſtrantur, proponantur vebuti in- Vvenienda; evidens eſt poriſma per modum pro- blematis enunciari poſle. LEMNMA AD PORISMA L. Si trianguli rectanguli hypotenuſa fecetur bifariam & punctum hoc cum puncto verticis jungatur; recta jungens æquabitur ſemifſi hy-= tenuſaæ Tab. VIII, Fig. I. Sir α ABC angulus A teéëtüs, baſis B C ſecetur bifariam in L) erikg AD — BD. Damonſtratio patet per P. I. Prop, IV. Data poſitione recta „ circulo item poſtione & magnitudine dato, datum erit punctam, per quod fi utcunque ducatur recta hinc poſitione datæ inde circumferentiæ circuli occurrens 5 rectan- tectar gge Ea oe Tab de, ( Atut gue P N e ted E 5 gne cj igitur HE. FE:! angul lus K tiam in 1,62 d ci oltende cirenli Dekin teid eſt “ Ktum, e po⸗ mndum; patet dns veluti hhe⸗ 0 ea, guæ da⸗ 1tur veluti in⸗ t modum pt . MAI. tenuſa ſecetur puncte⸗ vetticis tur ſemicli hy⸗ 8C gulus A am in erit Prop, II. kem poſtione hundtum, het hince hoftihne i ocrutkens ; Lectan⸗ —☛☛1 121 rectangulum comprehenſum ſegmentis utrum- que ductæ inter punétum inveniendum & pun- Sta occurfus, erit datum. Tab. VIII. Fig. II. Datur recta AB pofſitio- ne, circulus COQ poſtione & magnitudine ; datur punctum E, per quod fſi ducatur utcun- que FEG rectangulum FE. ECI erit datum. Keſolutio. Sit ita: ergo ex hypotheſi datum eſt reétangulum FE. EG. Ad AB per pun- Gtum E ducatur perpendicularis E H, occurrat- que circumferentiæ in K, & KG jaungatur ; igitur rurſus ex hypothefi datur rectangulum HE. EK, & FE. E = HE. EK. Ergo FE: EH = EK: EG & funt circa æquales angulos, ergo a— EHF „ A EGK & angu- lus K GE =— EHF= R. Secetur EK bifa- riam in L & jungatur LG erit, per Lemma, LG= LK ſimiliter omnes rectæ a puncto I. ad circumferentiam ductæ eidem LK æqules oſtendentur. punctum igitur L eſt centrum cireuli CD & eſt LE – LK, quare punctum E eſt in eircumferentia circuli dati. Datum au- tem eſt punétum L., data igitur poſitione eſt recta —- 122 reéta LH & data erunt E, H. K, pundcta. quare rectangulum HE. EK & inſ æqusle FE EG datum eſt. Compoſitio. Ex centro L circuli dati ducatur LH perpendicularis ad AB occurratque cireum- ferentiæ in punctis E, K erit punéctum E quæ- ſitum. Demonſtratio. Ducatur FEG & CGK junga- tur. Eſt KGK = EHF = R. Et angulus GFK –— HEF verticali. Ergo △—iEHF A EGK. Et „Eke — EH: E: Et GE. EF =– HE. EK. Similiter ducta recta IEg , & gk. △ Eg k o A EHf,. & gE: EK= LH: Ef. Ergogl. Ef — HB. EK. Illuſtratur hoc exemplo, definitio poriſmatis fuperius data;: oſtendendum enim erat punctum E datum eſſe, & res innumeræ, quæ ad pun- Gum E. datamque rectam AB, & datum cir- culum CD eandem habent relationem, ſunt ſegmenta retarum inter puh dum E, recktam AB & circualum CD. Communis autem affe- io, quam iisdem ſegmentis non datis conve- nire re demonr Gangula iſtin Gdato inventoe tiſma hoc ſut tur: Daorit tine G mae gud, danpulum I Elo, eujut Colliyttur Ws: con niendls ſuhle kes palam eſt tem ex eoce ad diam H, Quenmn ce 4 B EG; ne Ehuslitur, deRo gbidem me Uunſiens eir 4 K., pundta, X ipſi eguale li dati ducxtue ntque cireum⸗ nGum Eque- CRKunge- It ingulus H: EF: Culiter ducta CgNOA ErgogL. N itio potiſmti⸗ erat punctum „ gu t pun⸗ & Catumm it tonen, ſunt n L, telin is zuten iffe. , datis eonye⸗ nite 123 nire demonſtrandum proponitur, hæc eſt: re- tangula iſtiusmodi ſegmentis contenta æquari dato inventoque rectangulo HE. EK; Po- rifma hoc ſub forma Problematis ſic proponere tur: Datis recta poſitione, circulo item poſi- tione & magnitudine, invenire punctum; per quod, ſi ducatur uicunque reéta FEr;; re- dtangulum F E. EG æquetur alicui rectan- gulo, cujus altitudo && hafis data eſt. Colligitur hinc pariter poriſmatum in Matheſi utilitas: cum problematis theorematisque inve- niendis ſubſerviant. Et de problemate quidem res palam eſt in allato exemplo : theorema au-. tem ex eodem poriſmate derivatum, tale eſt: S ad diametrum circuli K E produélam in H, ducatur perpendicularis A B; tzum ex rvectæ A B quovis puncto F ducatur relcta EFG; rectangulum ſub ſegmentis FE. EG &uabitur rectangulo ſub ſegmentis HE. EK. CHOLEIOM. Tab. VIII. Fig. III. Eſt K H perpendicularis ad datam AB. Si⸗ quidem ] lam ex puncdto K ducatur utcunque K M tranſiens circulum in N 3 3 erunt KH, & K M⸗ rectæ rectæ puncto circuli K, & data recta AB in- terceptæ, & KE, K N ſegmenta intercepta cir culo. Jungatur EN erit A HKMO A NKE, ergo K M: HK = KE: KN, adeoque rectan- gulum KM. KN = HK. KE dato. Hine punctum K poriſmati pariter ſatisfaciet: & innumera redctangula KM. KN = Km. K — KlH. KE. LEMMA AD PORISMA II. THEOREMA. Sit quodvis triangualum; baſis ejus ita pro- ducta, ut fit aggregatum ex baſi una cum parte producta ad partem productam, uti quadratum rectæ baſi productæ oppoſitæ ad quadratum la- teris reliqui; puncta vero baſis productæ & verticis jungantur: dico rectangulum aggre- gato ex baſi una cum parte producta, & parte pre- ducta, comprehenſum æquari junétæ quadrato. Tab. VIII. Fig. IV. Trianguli HAE baſis AE t ita prodaucta ut it AG: E = HA⸗=: HE⸗. Erit AG. GE= HG⸗ Demon. Demonſtn ingalo HA bz. AG H:, AG HG. Ab H⸗ dn. . iat R Sreol & punctum ducatur ut ditum erit guod ſi ab e or tecta;: rationem. Tub. Flll Kextta edr catur utoum erit intta eir catur . Reſolutie tam punſtn A: —☛ . 125 rech Ab i. Demonſtratur Per Prop. VI. Part. I. In tri- intercepta cie angulo HAGeſt HG=. AE P HAs. EE— „ A NE, †HE . AG F AE LG AG. Jam vero eoqne recan⸗ HEI. AG = HA2 EG (hyp.) Ergo dato, Hine HGeZ. AE — AE. EG AG ürve ſatchritt HG⸗ = AG. EG. Fert N =— K. Dame. . ingis t1el vt 4 in pehart:s Hun Ste. Nl. kieſch. PORISMA II. MIA I. Sit circulus poſitione & magnitudine datus, & punctum extra eum: quod ſi ex hoc puncto ducatur utcunque ad circumferentiam reéta, ejas i oü qatum erit aliud puncétum intra circulum, ad unn cum hitte quod ſi ab eodem circumferentiæ puncto duca- Cdadrännm tur recta; ad hanc, prius ducta datam habebit uuruum lr. rationem. grodulte⸗ . lin agre. Tab. VIII. Fig. IV. Datus fit circulus CD, e. & extra eum punctum A. Quod ſi modo du.- en catur utcunque ad circumferentiam AF datum Gtæ& uaCrae. erit intra circulum punctum E, ad quod fi du- HAE Müͤ ecatur FE. Erit ratio AF: P E. data. 6:6⸗ Reſolutio. Sit jam poriſma verum; & da. tum punctum E: erit, ductis FA, FE ra- tio AF: EF data. Jungatur AE, & ad ip- pNoN. ſam ſam utcunque productam ducatur EG ita, ut ſit angulus E- G= EAF. Erit ergo (ob angu- lum AlF communem) △ GAF GPE. Et AF: FE = AG: GF=GF: GE; & (ob proportionem continuam) AC2: GHA = AG: CK. Et autem AFz: Fh⸗= —– AG? : GF;. * Ergo AFz: FE2 = AG: CGE. Sumatur quodvis punctum H in circumferen- tia: & jungantur HA, HE, HG. Cum per hypotheſin ratio AF: PE. fit data;, ponatur eidem æqualis AH : HE., erit adeo AF: FE =— AH: HE. Et AFa: FE⸗ = AHz: HEe. Erit adeo AHz : HE⸗ = AG: GE. Ergo (per lemma) AG. GE —– CGHz, Eſt autem (ob AG: GF= GF: GE) AG. CGE = CGE. Ergo GF =– GH. Similiter quævis recta a puncto G ad circumferentiam ducta, eidem CrF æqualis oſtenditur. Eſt ergo C, centrum cir- culi dati, ae proinde datum. Datur item pun- Gtum A, quare A G data eſt: & quia datur FCG, quippe radius circuli dati; dabitur ratio A Gt CE. GF. Cum CF: C, getur prete kudine: cun datur parite Gum E. Conj rentrum cire Phetig in tertis propo Rom, en Utcunque 2 Ppündtum itio reckar Equalis radi Demm, AG: GK. go AG. lam pero gulus PG/ centi propo go A AG: G FGin, Nſt 1g0 (ob angu⸗ AC. GE: GE; & : CF:. 6. in circumteren⸗ HC. E, erit Mer Ie: E = 7. G5. P= CH, F: GE) AG. tqueænis tetta1 n, eidem G centrun ci⸗ tur item Pl- nin daturk G at titi AG: G. 127 GF. Cum vero ſit AG: GF= AF: FE= GF: CkK, datur pariter ratio GF: Gü & cum detur præterea GF, dabitur pariter GE magni- tudine: cum autem punétum E ſit in reéta AG; datur pariter GE poſitione; datur adeo pun- ctum E. Compoſitio. Sit A punctum datum, & G centrum circuli dati: juncta AG occurret peri- pheriæ in K. Inveniatur modo ipſis AG, GK tertia proportionalis GE: erit E punctum quæ- Ktum, ejus videlicet conditionis, ut ductis utcunque ad peripheriam, & a peripheria ad punctum E rectis AF, FE item AHI, HE. ratio rectarum AF : PE item AH : HE fit æqualis rationi datæ A αι: KG. Doemonſitratio. Eſt per conſtructionem AG: GK= GK/EG. Et CK = GF: Ergo AG: GE = CU F : EG. Jam vero in triangulis GFA, FCE eſt an- gulus F C eommunis, & latera huic adja- centia proportionalia. Ergo A FGA% BAA FGE. Et AF: FE= AG: FG (KG) Simili. 128 = = Similiter ductis AH, HE oſtenditur A HGA α △HEG & AH: HE. (KG) = AC: GH Ergo AF: FE — AH: EBE= AG: KG. In hoc poriſmate oſtendendum eſt, punctum E datum eſſe: innumeræ autem rectæ quæ a puncto A ad circumferentiam duci vel inflecti poſſunt, videlicet AF, AH &c. eandem ha-= bent ad puncta àA, E & circumferentiam rela- tionem. Communis autem affectio, quam hisce rectis convenire demonſtranda fuit eſt hæc: ra⸗ tionem harum rectarum æquari rationi AG: AG, dquæ ratio invenienda fuit. PORISMA III. Dentur in recta tria puncta, primum ſecun- dum tertium, & inter primum & ſecundum ſumatur punctum quodvis: data erit eo ipſo alia reéta, datur itidem inter primum & ter⸗ tium quartum aliud punctum ea lege, ut re- Gangulum, cujus unum latus eſt data alia re &ta alterum latus puncto quovis aſſumto & quarto intercipitur, æquetur rectangulo cujus unum la- tus puncto primo & afflumto, alterum hoc ipſe &£ & kecandoi ris puncto? A, B, Gand)) velt Reſolutia E data fect RD⸗ 50 ”* Urgok. 40. Hinc . Finiſtter 3 C. BCX. Uigo (fn CE-= Eigo l. AHGA 0:0H G:K. puntrn gue 1 inflei idem hr am rela⸗ am hisce hæc: f⸗ 4, 6: A, m ſecnd⸗ ecundum teo in n E tel⸗ , t te⸗ lia rectt 8 gonto Dum lae hoc ilo & ☛ eEH 129 & Recundo intercipitur; una cum quadrato late- vis punéto affumto & tertio intercepti. Tab. VIII. Fig. V. Dantur in recta AC pun- Gta A, B, C, in AB famatur utcumque pun- Gum D) vel G data erit eo ipſo recta F & in A C Punctam E ea lege, ut ſit F. DE== A D. DB DCa, vel F. GE= AG. CGB . GC⸗. DKeſolutio. Sit ita, datum videlicet punctum E, data recta F, & F. DE = AD. DB † CD⸗ ER CD⸗ = DB BC = DB- P 2 BD. BC P BC2. Ergo F. DE= AD. DB † DB- † 2 BD. BC † BC=. AD. DB DB-⸗ = AB. DB. Hinc F. DE= AB. DB P 2 BD. BC BC= Similiter oſtenditur F. GE = AB. GB * a BG. BC BC=. Erge (ſabtrahendoe æquationem priorem a poſteriori) F. GE — F. DE = GB — DB AB + 36 — BD K 2 BC. GE — DE = CGD= GB — D. Ergo F. GD = AB. GD GD. 2 80. 1 Sive 130 — eS Sive F= AB †+◻ 2 B0. Data ergo eſt imprimis F; cum detur AB, & BC. Fiat CH = BC. Erit F = A H. Erit quoque AH. DE = A B DB ◻2 8D. BC BCz. Sive AH. DE = AH. BD †£— BC2. AH. DE — AH. BD = BE. AH = BC*. Sive AH: BC = BC: BE. Dantur autem AH, & BC: datur adeo tertia proportionalis BE, erit adeo punétum E datum quod faciat F. DE = AD. DB † CDz. Compeſitio. Fiat imgrimis E = AB †+ 2 BC. Tam in resta AC producta capiatur C = BC; crit AH = F: demum ad AH, & BC qaæ- ratur tertia proportionalis BE: utcunque jam in recta AB, capiatur punctum D. Krit F. DE = AD. DB † CDz. Demonſtratio patet viam relegendo. S0HOLIONM. Poriſma hoc numeris ita exprimi poſſet. Da- tis duobus numeris a & b dantur duo alü nu- meri meri5 tus m, Cceſla. T una en — I b , Drit »g rus n a) erit Eſ 4 Erit e — tut AB, P 20. = 66. Ur autemn ttionalis od faciat ngne ſam Ptit l. let. Dr⸗ 0 Ai nu⸗ meri , e rn 131 meri x & 7, taleles, ut ſi ſumatur utcunque quin- tus m, modo minor numero a; ſactum ab ex- —.— ceſſu primi & quinti, & quinto; ſive a — m X m una cum quadrato ſummæ ſecundi & quinti 3 —— m † b & qualis ſit facto ex ſumma quarti & quin- — ti, & tertio; ſive æX m + 2z. Erit adeo ex hypotheſi æ xX m ⸗-PZ = a — x m †+ m † b fumatur rurſus utcunque nume- rus n vice ipſius m, (qui pariter ſit minor dato „ 2 a) erit ſimiliter n -P‿ς. a – nX . n †T b Eſt adeo mx . Xz = am -. 2 bm P be n .◻ r an 2 bn bz Erit mx — nx = am — an 2 bm — 2 bh — — —.— Sive m- n X x =— m- n à2 PT m é n 2 b Ergo x = 2 2 b — Et X m Z a P 2 b m †&Z = am † bm — bz Sive am —α 2 bm az P. 2 Dz = am ◻☚ 2/2 bm b- I 2 Exem- 132 e Exemplum. Sit a = 30 b = 10. Krit xX = 10 & 2 = 2 Sit modo m = Erit X m †+ Z = 50. 7 = 3 50 — —,— ²¾ a — m x m + b †+ m = 25. 5 †+ 15. 1 5 Si autem foret m ☛ 9 Erit x m †+ 2 = 5O. II = 550 2 — — a — m m ††. b m = 21. 9 † 19. 19 — 519. LEMMA AD PORISMA MW. THEOREMA. Duæ rectæ ſe interſecent ita, ut rectangula ſub ſegmentis fint æqualia: erunt puncta extre- ma rectarum in eodem circulo. Tab. VIII. Fig. VI. Rectæ AB, DE ſe inter= ſecent in C, fit autem AC. CB = DC. CE erunt puncta A,„ D, B, E in eodem circulo. Demonſtratur. Tranſeat imprimis circulus per B, D, A transibit quoque per E. Si enim non; von; circul (hyp. D. C. 0 extren tas: interle fum p Tan terle⸗, rectis punce 40 4AC. Per oß ln e DunAn eat ch ciredlo Dunctu. Adhe . LEitt eGangul a extre⸗ le intet⸗ 5 erunt ſ. sekculus eni non; = E n, 132 non; tranſeat retæ DE aliud punéctum F per circulum: Erit DC. CFE = AC. CB: eſt autem (hyp.) AC. CB = DC. CE. Ergo D0. CF = DC. CE & CF=— CE pars toti, quod dici nequit. Coroll Duæ rectæ ſe interſecent, & puncta extrema jungantur recétis verſus partes oppoſi- tas: quod ſi angulos ſupra vel infra punctum interſectionis æquales conſtituant, erunt rur- ſum puncta rectarum extrema in eodem circulo. Tab. VIII. Fig. VI. Rectarum AB, D ſe in- terſecantium in C punécta extrema jungantur rectis AE, DB & fit angulus D = A, erunt puncta D, A, E, B in eodem circulo: eſt enim △ ACE △ DCB & AC: CE=— CD: CB. Hinc AC. CB = DC. CE & puncta in eodem circulo per oſtenſa. *XX PORISMA IV. In circuli poſitione dati circumferentia datut punctum, ex quo chorda utcunque ducécta trans- eat chordam magnitudine datam; & occurrat circulo in alio puncto; dabitur eo ipſo tertium puncétum in circumferentia circuli, ex quo ſi ad aliud hoc punétum inflectatur recta; reétangu- lum 134 Srrn ce ren, lum, quod bina ſegmenta chordæ eireumferentiæ adjacentia una cum intervallo utcunque ducta & inflexa intercepto conſtituunt, ad rectangu- lum ſub iisdem ſec mentis deinto utrimque eodem inzervallo, habebit rationem datatn. Tab. VIII. Fig. VII. In circuli circumferen- tia datur punétum A & chorda C magnitudine: ex & ütcumque ducatur AB occurrens circulo in B: fit autem ratio data GH: GK., dabitur eo ipfo punctum M, ex quo ſi inflectatur MB, erit CE T EEX DF E EF: CE — Ef x DF — EFP= GH: GKk. Sive CFE. DE: CE. DF = GH: GK Keſolutios Sit ita: datum videlicet punctum M; & CF. ED: CE. FD = GH-⸗ GK Conſequenter erit CF. ED — CE. FD: CE. FDz= GH—– Gk: GK CF. ED = CE T EF x EF T. FD = (E. EFA. EF P. CE. ED EF. E CF. ED — CE. FD= CE EF EF P EF- FD = CD. Ef GH-– GK = HK. FErit adeo CD. EF: CE. FD= HK: GK. kectis C Reck proport Vrit ire C1. e tranſeat erit Cl Vrit lemme in aio AlE⸗= cum yer D0 7* Qum L. recta 4 ABF= punctun Verget Dunun Conp junge hferentiæ ue duda ne eodem umferen. litodine: circulo abitar eo IB, ett — — P= Punctum ED: (E. lecis S 13 Recttis HK, KG, & CD quæratur quarta proportionalis CL. Erit HK: KG = DC: CI. Erit adeo CD. EF: CE FD= DC: Ch; & CD. EF. CL= CE. FD. CD. Sive EF. CL = CE. PD. Sive CE. EF -P EF. CL= CE. EFP CE. FD; id eſt LE. EF = CE. ED. Jam vero cum tranſeat cireulus per puncta A, C, B. D; erit CE. ED = AE. EB. Erit adeo ILE. EF = AE. EB. Hinc (per Lemma) puncta A, L, B, F, erunt pariter in alio circualo, & juncta A, erit angulus ALE = ABF, quippe in eodem ſegmenro; cum vero detur ratio CD: C(EL., detur quoque DC; dabitur eo ipſo CL. Datur itaque pun- Kum L. Datur autem punéctum A, datur adeo recta AL poſitione, datur quoque angulus ABF = ALE, & datur punctum A: Hinc punctum in circumferentia erit datum, ad quod verget reécta BF: fit illud M, datur itaque punctum M. Compoſitio. Fiat HK: KG = DC: CL, & jungatur AL; tum ducatur A N tangens cir- culum 136 Ey culum in A. Fiat angulus NAM = ALC. oeccurratque A M circumferentiæ in M, erit M punctum inveniendum. Hoc eſt: 2 punéeto A ducatur utcunque AEB, occurrens rectæ da- tæ CD., in E, & circumferentiæ in B, & jan- gatur DB M, oceurrens rectæ CD in F. Erit CF. ED: CE. FOD-= GH: GkK. Demonſtratio. Eft angulus ABM = NAM. Jam vero NAM = ALC (per con- Etuctionem). Ergo ALC= ABM; & pun- cta A, L., B. F in eodem circulo (per Co roll, Lemmatis) adeoque LE. EF= AE. EB. Eſt autem AE. EB= CE. EL). Ergo LE. EF = CE. ED. Et addendo utrimque re= Kangulum FE. ED LE. EF †. EE. ED = CE. ED P. FE. ED-. Sive LD. EF = CP. ED. Utrimque au- gerendo CE. E F . LE. EF - CE. EF = CE. ED - CE. EF Sive LC. EF = CE. FD Et ergo lL. D. EF: LC. EF = CF. ED: CE. FD Sive CF. ED: CE. FD = LD: LC Jam vero HK:;: KG= CD: CIL. Nl H CE Con do per tietatis ln6 Gam gulam culum lani & in hae Abitrar diamett reurre extra e rato ſi punctun Tb. Metrum 4 in M, erit M : r puncto trens rectze di⸗ in B, & jan⸗ Din F. Lnt Ch. ABM = .C(percon- ABhA; & por⸗ eulo (per o⸗ P=AL. EB. ). Uigo E utrimque re⸗ DHI. 10. Utrimgne al⸗ D⸗-CE. EE .Y0: C5. :CL — 137 Et HK † KG: KG= DC CL: CL. Sive HG: KG = LD: LC. Erge demum CF. ED: CE. FD = GH: GK, Compofitio eadem potuiſfet fieri retrogradien- do per analyſin; hæc autem paulo brevior va- rietatis cauſa, data eſt, LEMMA AD PORISMA V. THEOREMA. In diametro capiatur punétum, & ad produ- tam ducatur perpendicularis, ſit autem rectan- gulum producta diametro & parte extra cir- culum contentum quadrato rectæ perpendicu- lari & puncto in diametro interceptæ: dico ſi in hac perpendiculari capiatur punctum quodvis arbitrarium atque ab eo ducatur per punétum in diametro recta circumferentiæ circuli utrobique occurrens, rectangulum tota hac recta & parte extra cireulum comprehenſum æquabitur qua. drato ſuper recta, quam punctum diametri & puncéctum arbitrarium intercipiunt. Tab. VIII. Fig. VIII. Sit circulus circa dia. metrum AB capiatur in ea punctum C & pro- duca- 138 S ducatur verſus F'rettæ AF perpendicularis CD. Sit vero FG⸗= = AF. FB. Dico fi in CD ca- piatur quodvis punftum E. & per G ducatur EH occurrens circulo in K, H fore HE. EK = CGE⸗. Demonſtratur. Jungatur A E, quæ occur- rat circumferentiæ in L. & ducatur LB ang. AI B = AFE = R ang. EAF communis. Ergo hALB ι A AFE & AB: AE = AL: AF AF. AB = Ak. AlL. AF. A B † AE. EL= AEF ALTAE. LE= AE= AE⸗ = AF-= P Fhz AF⸗z P PEe = AF. AB T AE. El AFz — AF. AB †£ PFE⸗ = AK. DL. Sive BF. AF P FE⸗ = Ak. EL. AF. FB = FCGZ (hyp.) FG= P† FEs= = AE. EL = EC= EA: EH = EK: El. AE. EL = HE. LK. Hinc HE. EK = CGE= * X x PO.- Data pofi Punc um int ducaur red circumferent cmjos nnum ejusdem cire guetar gua invemiendo Tab. VII tirenlo datn gnoc ſi ntenn MWin P5 F. HN: Roluiio CNlatis ad 4 Oterrt; 1 D E 1. unda Ph lrentir in dienlaris C0. ſ in C0) er ducatutEH , quæ Otcl⸗ . ior⸗ 1 APcommunis, K. er 139 *X PORISMA V. Data poſitione recta & circulo datum erit Punétum intra eundem, per quod ſi uteunfque duca-ur recta occurrens poſitione datæ, & eircumferentiæ in duobus punctis, rectangulum cujas unum latus hæc ipfa recta, alternm pars ejusdem circula & poſitione data intercepta æ=- quetur quadrato ſegmenti ejusdem rectæ puncto inveniendo & poſitione data intercepti. Tab. VIII. Fig. IX. Data pofitione AB & circulo datum erit intra illum punctum , per quod ſi utcunque dnucatur HEF occurens recta AB in F & circulo in punctis G & H fit HF. FG = FPEa Reſolutic. Eſto punctum E tale, ut ſit HF. FC = FEz. Ducatur EK perpendi- chlaris ad AB, quæ circumferentiæ in L. & M. oecurrat; rurfus igitur ex hypotheſi erit LK. KM = LKz. Pifariam ſecetur MI. in N . & juncta FN producatur, occurratque circum. ferentiæ in C, D. 140 Eſt GF. FH = DF. FC. Jam ob hypo- thefin GF. FH = EF⸗ = EK⸗ † FK⸗. Et EK⸗ = LK. K M. Erit adeo 1) F. FC = LK. KM † FK⸗. Cum circuli chordæ LM, DCie interſecent in puncto N; erit CN. ND = MN. NL= NL⸗= ob MI. biſeétam. Erit adeo DF. FC CN. ND = LK. KM † Ni= † FK⸗. Jam vero I. K. K M £ NL⸗ = LK † 2NI- — X LK NLz = K LLLN = NK= Et NK⸗ + FK⸗ = NF'= Ergo DF. FCP CN. ND = NFe. Et ſubtrahendo ntrobique rectangulum NF. DF eſt DF. FC — NP. DF † CN. ND = NP* — NF DfF. Sive CN. DF CN. ND = DN. NF: id eſt NF. CN = DN. N. Ergo demum CN = DN. Et CD ſecta bi- fariam in N. Eſt autem ML. pariter biſecta in N. Erit adeo circuli CMD centrum N eo ipſo datum. data eſt autem poſitione recta AB, & angulus NRB NRB redtu Iitet N., Datur adeo magnitudine ergo datur Connpc’ 4h ipſoad A iteumferen & KI in guc ponat punctum it tur, gueri cumferentis T =Nͦ — L „ INN Iuper 6 Opiens an lam ob hypo- M PFKr. ſe interlecent NL= NL D=IK N ILKLINL = N'. gulamhf. Df ND=N-; C ven bi⸗ N. Vt o iplo dtum. , mgalus NKB e. 141 NRB rectus; datur adeo recta N. K, datur pa- riter NL., & L M; dabitur adeo LCK, & LK LAMMA = K M. Datur adeo rectangulum K L. IL. M. Datur adeo EKKe= conſequenter EKK pofitione & magnitudine. Datum eſt autem punctum K: ergo datur punctum E. Compoſitio. Sumatur circuli centrum N, & ab ipſo ad A B ducatur perpendicularis NK, quæ circumferentiæ in L, & M occurrat, inter MK, & KL inveniatur media proportionalis K E, quæ ponatur a puncto K verſus N. Erit E. pundtum inveniendum. Si enim ab ipſo duca- tur, quævis recta EF, ad rectam Aß quæ cir- cumferentiæ in G, H occurrat; erit GF. FH EFa, uti in lemmate oſtenſum fuit; cum ſit per conſtruétionem KrH2 = MK. KL, quod in lemmate ſupponebatur. LEMMA IL. AD PORISMA VI. PROBLEMA. Super data recta deſcribere ſegmentum circuli capiens angulum æqualem dato. Tab. VIII. 142 er e re Tab. VIII. Fig. X. Sup ſcribere ſegmentum circuli lum AKB = C. er data recta AB de- 2 AKB capiens angu- Solutio. Fiat angulus DAB — Ctum ex puncto A ſuper HD erigatur perpendicularis AE; angulo E&AB fiat ad B æqualis AB F tum centro F, ubi hæ rectæ concurrunt radio FA deſcribatur circulus & inflectantur ad cir- cumferentiam AK, KB dico factum. Demonſtwativ. Angulus FEA = BAK hinc AF = FB & puncta A, 3 in circumfe- rentia circuli & ob HL) radio perpendiculatem erit HD tangens & angulus AKB =— 0DAB. eſt autem DAB — C. Hinc AkKB =— C. L E M M A II. PROBLEMA. In dato circuli ſegmento ex punctis chordæ extremis inflectere ad circumferentiam duas re- ctas, quæ datam ad invicem habeant rationem. Tab. VIII. Fig. XI. In circulo ſegmento ex chordæ AB punctis A & inflectere duas re- ctas A C, CB ut ſit AC: CB=mn Reſe. end 00. Pit iegi⸗ commanis: It AC: dive N 50. amn verd Lt 40: Debet ade Quod fieti Comhaſt tum ex pu Latur tagge Vnonh (Conttract, Al): B Dtgo ma aar inß caplens angu. — Ctam ex erpendiculatis Agnelis ABF hcurtunt radio chantur ad cit⸗ tum. A — BAE. in eirumfe⸗ veniiellitem à — 4b. 8=C. I netis chordæ iam duas le- trationem, egmento en ete us ke⸗ Mſr. e 143 Reſolutio. Sit faetum; & ex C ducta tan- gens C). Erit itaque AD: DC= DC: BD Et ADz: DC⸗ = AD: BD Eſt angulus BCD = CAB, & angulus D commanis: Ergo △ à DCo A CDB Et AC: CB= AD: DC Sive ACz: CB⸗ = AD-⸗=: DC⸗ = AD : Jam vero AC⸗ CB=m: n (hyp.) Et ACza: CB-⸗ =– ma : nz Debet adeo efſfe ma: nz⸗ — AD: BD. Quod fieri poſſe oſtenſum fuit. Compuſitio. Fiat ma : nz — AD; BD tum ex puncto D, ad ſegmentum ACB, da- catur taagens DC, demum jungantur AC, CB. dico factum. Demonſtratio. ma: na = AD : DB (Conſtruct.) AD: DC= DC: BD AtD: BD = ADz: CD⸗ Ergo ma: n⸗ ADz: DC=⸗ Jam 144 Jam vero △ , ADC △ CDB Et AC: CB= AD: DC Sive ACz: CB⸗ = ADz: DC⸗= Ergo ms; nz = AC=: CB⸗ Et m: n = AC: CB. S CHOLEIONM. Sequitur modo elegantiſſimum Poriſma, quod ex hoc EUcLIDIS fragmento apud Pappum Lib. VII. Collect. Mathem.: O'ri egi r1 oν π.αιο, d* er7ανααιt er rode (forſan rov de ſcili- cet zu Xο) doer egieον, e1e T 6ααο*. Quod datum eſt punctum aliquod, a quo ſt ducantur ad hoc (fortaſte hunc ſcilicet circu- lum) continehunt illæ triangulum ſpecie da- tum: feliciſſime reſtituit Ros. SIMSON Opere ſupra laudato. X*XX PORISMA VI. Datis poſitione & magnitudine duobus cir- culis, datum erit aliud punctum, ex quo ſi ad circumferentias circulorum ducantur duæ rectæ conſtituentes angulum datum, contianebunt hæ una cum rectis ipfarum terminos jungentibus triangulum ſpecie datum. Tab. IX. Tab. IX. tra ſint A, ſt ducantar reter 00, qualem dato ctis DE., . gulam AC 1 AdN 600: Jungan E angal Ie Hine Ltob Dit N Lt ang I. lunge tlæ in H, denttum B SNEe 12, guol Punn Lib- e , le ſeili 7g 4 / et ire . Petie Al. 0N Oere 1. nobus eit⸗ duæ tectæ gehunt le lib. I. e 145 Tab. IX. Fig. XII. Circulorum datorum cen- tra ſint A, B: datum erit punctum C, ex quo ü ducantur ad circumferentias circalorum, duæ reteæ CD, CE (vel aliæ quævis CF, CG) comprehendentes angulum DCE (FCG) æ. qualem dato L,; continebunt hæ una cum re- ctis DE, FG ipforum terminos jungentibus △ DCE OOν A FCG O 'QQ ABC, quod trian- guium A BCſpeeie datum eſſe oſtendendum eſt. Reſolutio ſit ita. Erit ergo I. △ DCE W% Q△½ FCG & DE; CE = FC: CCG Jungantur DF, EG Eſt angulaus DCE = FCG (Conſtructio) Sive DCFFCE = FCE P ECG Hinc DCF = ECCG Et ob DC: CE= FC: CG. Sive DC: FC= CE: CC Erit DCF AA ECG . Et angulus CFD = CGE II. Jungatur AU, & occurrat circumferen- tiæ in H, ad circumferentiam circuli, cujus centrum B ducatur CK faciens angnlum HCK =— DCE & jungantur FH, GK, tum DH. EK. K Eſt 146 Eſt DCE = DCH HCFTFCE HCK = HCF TFCE ECK Ergo DCH = ECK Erat autem DOF =– ECG Sive DCH HCF = ECK PKCG & HCF = KCG Hinc HCF Oα △ KCG Et angulus HFC = CGCK Gimiliter oſtenditur u. CDH O ACEK & angulus DFH = EGK III. Jungantur AD, BE, BK. Propter an- gulos HFD EGK ad circumferentias, æqua- les erunt horum dupli ad centra æ quales ſive DAH = EBkK ob triangaula DHAX, EKB iſoſcelia, erit AHD = BKkk. Et cum fit per oſtenſa A CDH O⅓ CEK Erit angulus CHD = CKk. Ergo CHD . DHA= CKE PT EKB. Sunt autem CHD † DHA, quippe dein- ceps poſiti, æquales duobus rectis. Ergo & CKE P EKB; conſequenter CK, KB jacent in directum five CK +£ KB = CB. IV. In triangulis ACD, BCE 'eſt per oſtenſa angulus DAC= EBC, & DCA = FCB. Ergo 40: ſye dantun tem r pund & an 50 eſt, = 06 ACRRK ropter AIl⸗ zs, Zgld ueles ſie⸗ N, EKB ACR ipe lein⸗ go KB jwent heroleili 2CB. Ergo —☛☛☚ 2 Ergo A ACDo A BCKE. Et AC: AD= BC: Bk. Datæ ſunt autem AD, BE datur ergo ratio AC: BC datus eſt præterea angulus ACB, ſive L. Datur adeo ſpecie triangulum ABC; dantur adeo anguli BAC, ABCG. Data eſt au- tem recta AB poſitione, adeoque datum eſt Punctum C. Quia vero eſt DC: CE = AC: CB; & angulus DCE = ACB, erit triangulum DCEO AABC, quod datum ſpecie oſtenſam eſt. Compoſitio. Tab. IX. Fig. XIII. Sint A, B, centra circulorum, qui poſitione dati funt, ſitque angulus ad L datus. Jungatur A B & fſuper ea deſcribatur ſegmentum circuli capiens angulum ACB = L (per Lemma I.) tum (per Lemma II.) ducantur A OC, B C ad ſegmenti circumferentiam, quæ habeant eam rationem, quam habet radius circuli, cujus centrum A, ad radium circuli, cujus centrum B; erit C. punctum inveniendum. Hoc eſt, ſi a puncto C ducatur utcunque CD ad circumferentiam, cu- jus centrum eſt A, & ab eodem punceto Cda- catur alia recta CQ faciens cum CD angnlum DCQipfü ACB, fHve dato angulo ad Læana- lem; occurret OQQcircumferentiæ, Cujus cen- K 2 trum 148 ò trum eſt B, in puncto quodam E, &;, ſi tunc jungatur DE; erit triangulum DCE W% △ A C. Demonſtratio. Ducantur a puncto C rectæ CM., CN circulos contingentes ex una parte; & CO, CP ex altera, & jungantur M, BN. Quoniam igitur ex conſtruéctione eſt CA: CB = AM: BN. Sive CA : AM =— CB: BN, & anguli ad M & N recti, erit AMC Oνι △ BNC. Et angulus ACM — BCN. Et angulus MCA ACN = ACN †£ BCN Sive MCN = ACB. Similiter oſtenditur angulus OCP = ACB Ergo MCN = OCb. II. Quoniam igitur recta CD cadit intra angu- lum MCO; recta CQ, quæ facit angulum DCC. — ACB, five æqualem MCN, five æqualem OCb: necefſario cadet intra angulum NCP, qua- re & circumferentiæ neceſſario occurret. Occurrat in E, quæ ſit ad eandem circumfe- rentiæ partem, ad quam eſt D; & jungantur AD, BE. Cum igitur angulus ACB = DCE. Sive ACE ECB = DCA T ACE Erit ACD= BCE. III. lIll. Diit ſi NBC Hin recto. Urg EU LEt ire Vrg. R Kiye Eſe Urgo I K in dalis fectog Fibus cir Tab. 4A P E 54, AC. ſi tune AACS. 90 tecle Patte; & I, BN. KCa: anebl al PNC. t N N 0 intra angy⸗ golum0CO e Egualem XCL, quu⸗ tret. n drcume- jungintar — ☚ 149 III. Cum triangula AMC, BNC ſint rectangula. Erit ſumma angulorum MAC ACM; item NBC P BC'N æqualis reéto. Hinc DAC ACD item EBC £ BCE, minor recto. Ergo angulus ADC, & BEC major recto. Eſt vero ACD = BCE (ner demonſtrata) Et AC: CB = AD:; BE (Conſtr.) Sive AC: AD = CB: BE. Ergo △ADC △ BEC Et AC: CD = BC: CK. Sive AC: BC = Ch. CE. Eſt etiam ACB = DCE. Ergo △ACB △ DCE. LEMMA AD PORISMA VII. Si in duobus triangulis fit unus angulus æ- qualis uni, aut unus cum altero conſtituat duos rectos; erunt triangula, uti rectangula, late- Tibus circa hos angulos, comprehenſa. W Tab. INX. Fig. XIV. Sit A = EDF vel etiam A P EDF = 2 R. Erit ABC: A DEF = BA. AC: ED. DF. Demon- Memonſtratur. Ductis perpendiculis BG. EH AC. BGG. DF. H 2 2 AO. BG: DF. HE. △ BaG o A EDH L BA: BG = ED: EH. Et BA. AC: BG AC — ED. DF: DF. HE. Et alternando BA K AC: ED. DFr =— AC. BG:; DF. HE. . Coroll. Si præter angulum utrobique Zqua⸗ lem, aut unum cum alio duos reétos conſtitu- entem rectangula circa hos angulos fint æqua- lia; triangula erunt æqualia. Et ſi præter an- gulum utrobique æqualem, aut unum cum alio duos rectos conſtituentem triangula fint æqua= lia; reétangula circa hos angulos erunt æqualia. XX PORISMA VII. Datis poſitione & magnitudine duobus circu- Rs, datum erit aliud punétum, ex quo fſi ad circumferentias circulorum ducantur duæ rectæ conſtituentes angulum datum, continebunt hæ una cum rectis ipſorum terminos jungentibus, querum unus ſit in concava alter in convexa Greumferentia, triangulum magnitudine datum. Tab. IX. Tab. tra üint 4 duen CE dentes Leonti CR⸗ triangul tas mag Aatum, No 6. E. comprel reck 80 AR Urgo — Ut ( Ett lum, to Eigo CE Otene tis Pl. ſ Iis DG, EH F. Hè „ N= gue Zi⸗ 0s Conſtitu⸗ ſint Zgua- Prtæter an⸗ ONN 21i fot eqa⸗ lt Eebalin I. ohos citel⸗ D guo ſi 3 duæ teſte mmebunt he ngentidus, in convexN ine darum, Jub. . 1 /1 Tab. IX. Fig. XV. Ctrculorum datorum cen- tra ſint A, B: datum erit punctum C, ex quo ſi ducantur ad circumferentias duæ rectæz CR, CE (vel aliæ quævis CS, CG) comprehen- dentes angulum RCE (TCG) æqualam dato Lcontinebunt hæ una cum reftis RE, SC △ CRE = ACSG= A CTK quod quidem triangulum CTK magnitudine datum eſt ob da- tas magnitudine CT, CK & angulum TCB datum. Neſolutio. Sit ita, datum videlicet punétum C. Erit adeo duétis CS, CG, quæ pariter comprehendant datum angulum L juncétaque recta SE; A REC = Q△ CSC Ergo (ob angulum RCE = SCG) CK. CE – CS. CG (Lemma Coroll.) Et CS: CR = CE: CGC. Eſt autem ob ſecantium partes extra circu- lum, totis reciproce proportionales CS: CR = CD: CE Ergo CD: CF = CE. CG. Sive CD: CE =— CFE 2 CC. RM Oſtenditur autem (nti in reſolutione Poriſma- tis VI. factum) ſ ſit CD: CE = CF: CG; 60 152 eo ipfo fore AC: CB=AD:; BE & conſe- quenter punctum C datum eflfe. Compoſitio. Inveniatur punctum Cuti in Poriſmate præcedenti, & occurrat ACcircum- ferentiæ concavæ in B, & BC eircumferentiæ convexæ in K. Quod ſi jam a puncto C, ſub dato angulo L, = ACB ducantur duz rectz CR, CE una ad concavam altera ad circum- ferentiam convexam, & jungatur REK: ſimili- ter ſi ſub eodem angulo ducantur CT., CK & jungatur PK. Erit △ RCE =— A TCK. Tab. VI. Fig. XVII. Demonſtratio. IJungantur DE, HK. Frit (per bPoriſma VI.) △ DCEOo △ HCK- Ergeo DC: CH — EC: CK. Sed ob ſegmenta totis ſecautihus reciproce proportionalia eſt DC: CH=CT: CKR Ergo TC: CR = EKC: CK Et CK. CE = IC. CK. Eſt autem angulus RKCE = TCK (per eonſtructionem.) Igitur (per Lemm. Coroll.) △ ö ꝰ RCE = A“ TCK. §CUO. Cnos Poriſma 4 Pappo is, ghl Tiſmata Pitebit, neimn 40 Kin fnmti & angrlorn Tab, tum ”& B, d, Vem tentrum Rcirenln rectæ C tum AF 2R BE & conle⸗ 4 tum C uti in t ACcircum- ircümlerentiee uncto C., inb tot duæ recte tera ad circum= Ir RE: Emil⸗ tur CI, CK BATCK. N, HK Et „ A HCE. .. tihus teclptoee K 21CX (x A NCE= NNO. 153 SCHOLION. Quod mode ſequitur Theorema, non quidem Poriſma eſt, at inter infigniores propoſitiones, a Pappo in Colleétionibus Mathematicis ſerva- tas, quæ quidem ad invenienda Kuclidis Po- riſmata viam ſternerent, uti & ex Corollario Patebit. Eſto autem ad hanc ipfam bropoſitio- nem LEMMA I. AD THEOREMA LCLETIMUM. THEOREMA. Si in quadrilatero duo anguli oppoſiti ſimul ſumti æquentur duobus rectis, erunt vertices angulorum in eodem circulo. Tab. INX. Fig. XVI. Sit ABED quadrilate. rum & B † D= 2 R= A †+ E erunt A, B, E, D in eodem circulo. Demonſtratur. Tranſeat circulus, cujus centrum C, per A, B, E & jungatur (D, ſi circulus non tranſit punétum D) tranſeat per rectæ CD aliud punctum F & jungatur AK, tum AF, FE. Erit itaque ABE † à FE. — 2 R. Eſt autem (hyp.) ABE † ADE = 2 R. — 2 R. Ergo AFE= ADE five AFC. CFE — ADF P FDE, quod dici nequit cum fit ADF = AFC & FDEP = CFE. LE MM A II. Si rectæ indefinitæ applicetur perpendicula- ris, & ex hujus puncto ad libitum aſſumto du- catur utcunque resta tranfiens indefinitam. ex puncto autem ipfius indefinitæ ducatur ad trans- euntem perpendiculum, erunt punctum indefi- nitæ, cui applicata eſt perpendicularis punétum perpendicularis applicatæ, punctum rectæ inde- finitæ ex quo ducta eſt perpendicularis ad trans- euntem, & punctum ubi hæc tranſeunti occur- rit, in eodem circulo. Tab. VIII. Fig. XVII. Rectæ indeſinitæ A B applicetur perpendiculum AE., per K ducatur utcumque EKD occurrens ipf AB in C, & ex Gdemittatur G perpendicularis ad ED, erunt puncta A, E., G, F in eodem circulo. Gimiliter ex rectæ indefinitæ AB puncto B erigatur perpendicularis BD, & ex puncto 0 ducatur utcumque DE occurrens rectæ AB in Ctum ex quolibet puncto G demittatur in ED per- petpencienleni D, G, Fin Demnonſtra Drgo 4C. =IC. C in eodem cire Demonſt L: & F. I D, C. Vi XX R Enici puncta extt lues, ducat rens Derpen culi: pund ductæ Perpe Anite, dico henfum, a una cum pe tinetar, ve tis iametri cula ſund l dici neggit⸗ I. . Oirpendicnle⸗ Catur ad trans- an um ingeki⸗ blaris punctum im tebte inde⸗ s a0 trans- Ceumdi Ocdu⸗ deſtite A er E ducatur in 0 er 45D., erunt cirenlo. zuntto n puncto ede Abin ttatur 1ED el⸗ 155 perpendicularis GF; erunt rurfum punéta B, D, G, F in eodem circulo. Demonſtratur. I. O△ACE Oι A FCB Ergo AC: CE= FC: CG. Er AC. CG — EC. CF. Ergo puncta A, K, Cr, F in eodem circulo (per Lemma ad Poriſma IV.) Demonſtratur. II. △ DFL % △IBG. FL: LD= BL: L & FL. LG = BL. LD ergo puncta B, D. G. F in eodem circulo (per idem.) *XX THEOREMA. Sit ſemicirculus ſuper recta indefinita & ad puncta extrema diametri erigantur perpendicu- lares, ducatur autem utcunque recta, occur- rens perpendicularibus & circumferentiæ cir- culi: punéto huic applicetur recta, utcunque ductæ perpendicularis, occurrens rectæ inde- finitæ, dico reétangulum perpendiculis compre- henſum, æquari rectangulo, quod diametro nna cum parte producta, & parte producta con- tinetur, vel etiam retangulo circuli in ſegmen- tis diametri contento; prout vide licet perpendi- cula ſunt verſus partes oppoſitas, vel easdem. Tab. IX. 156 Tab. IX. Fig. XVII. & XVIII. Rectæ inde- finitæ pars A B ſit diameter, huic ducantur per- pendiculares AE, Bü1) ducatur autem utcun- reéta DE occurrens perpendiculis in D & E, indefinitæ in C, circulo in F; puncto F appli-= cetur EG perpendicularis ipſi DE occurrens indefinitæ in G. Dico AE. BD= AG. GB. Keſolutio. Sit ita: videlicet AE. BD = AG. CB. Erit adeo EA: AU— CB: BD. Sunt au- tem latera proportionalia circa æquales angu= los, quippe rectos: hinc ductis GE. G) erit AGE % △ BGD & angulus AGE = B00G. Ob AACE CFB (Tab. VIII. Fig. XVII.) erunt punta E, A, F, G in eodem circulo. (Lemma II.) . Ob quadrilateri AEFGE (Fig. XVIII.) angulos oppoſitos ſimul ſumtos, duobus rectis æquales, erunt puncta A; E. F, Gin eodem circulo, (Lemma I.) ſi ergo cogitetur circulus per hæc pundta tranfire; erit angulus AGE= AFEK, cum uterque inſiſtat arcui cujus chorda AE: five anguli erunt in eodem ſegmento. Ob 5 0b A Erunt puntta (Lemm. II.). los Oppoßtos d a , C. E mal.) ſ ergo Gta franſire, en inliſtant arcui Erunt aute AG8, B00 4 R Nna 4G = 4 Et ob Angulan C, D, F in Dit deo Ducantur EVBYBF. in et, enm in egmento tece E. Cumpolti⸗ Eſt Apgol Nt AFB- AE= B 1 — III. Redte inde. it ducantur per- Ut autem utcun-⸗ culs in 0 & L, uncto Fapyli- DE occorrens et Al. DD= DD. Sunt au⸗ 4 Egbales angl⸗ C., G0)at C = D. Tab. VIII. dig. P, Gin eodem düillateri AEFG 1s ſmnl lumtos, puncti A, L. mmal.) ſ etgo e: erit a tranfite; ert ntergue inſiſtar vguli erunt in 0 — ☛ 18477 Ob A BLG „ A LFD (Fig. XVII.). Erunt puncta B., G, D. in eodem circulo. (Lemm. II.). Ob Quagrilateri PCBD angu- los oppoſitos duobus rectis æquales, erunt pun cta B, G, F, D in ecdem circulo: (Lem- ma I.) ſi ergo cogitetur circulus per hæc pun- cta franfire, erit angulus BD G = BFG; cum inſiſtant arcui cujus chorda BG. Erunt autem ex hypothefi triangulorum AGE, BDG fimilium: angulus A GE = B006. Et ob puncta E, A, F, G in ecdem circulo ACE = AFE. Erit ergo BDG = AFE. Et ob Angulum BDC = BFGob puncta B, G, D, F in eodem cireulo: Erit adeo AFE = BFCX. Ducantur AF, FB. Erit ergo AFE EFB == EFB† BFG. Sive angulus AFB = EFG. Quod ita eſt, cum uterque ſit rectus. Eſt enim A FB in ſegmento ſemicirculi; & FG perpendicularis rectæ EF. Compoſitio. Jungantur DG, AF, FB. Eſt Angulus AFB = EFG. Et AFB — EFB = EFCG –— EFB. Sive AFE = BFC. Ob 158 Ob puncta E, A, F, G in eodem circulo: eſt AFE= AGE (quod oſtenditur, uti antea.) Ergo BFG = AGE. Similiter ob puncta B, D, G, F in eodem circulo: eſt angulus BFG = BDG. Ergo angulus AGE = 6800G. Jam vero angulus EAG = CGBD = R (per hypotheſin). Hinc in AAα, EAG, BDG tertius EGA = B0G Ergo A-EAG △ BDG. Et EA: AG = GB: BD. Ergo demum AE. BD = AG. GB. Coroll. Wato poſitione & magnitudine cir- culo, ſi ducantur duæ rectæ ſemicirculum ſu- pra diametrum contingentes, datum erit pun- ctum, a quo ſi ducatur utcunque recta ad pun- ctum in circumferentia, & a puncto hoc alia recta, cum illa recta angulum conſtituens, ab- ſcindet hæc alia recta a contingentibus, ſeg- menta verticibus diametri ad jace ntia, quæ con- tinebunt rectangulum dato reétangulo Wιquale. Punétum igitur inveniendum erit in diametro vel extra ecam. Ponatur illud primo effe extra diametrum: ſi ergo ab eo ducatur recta ad al- terutrum verticem diametri, occurrens circum- ferentiæ. & in punéto occurſus ducatur eidem perpendicularis, hæc nullum abſcindet ſegmen- tum . tum ¹ contine tionem 45. Bl rectangulum à Ab, datur ade punctam G. Cum G, gnod rectangulo En dum; nam dad erit redtanguln eſt, er conſtru⸗ 5 Denoniratie dedenget K Mdem circulo eit r, Ni antea) 6, F in eodem D= R (per ius à = 500 Et 40. Gb, wagnitucine cit⸗ eKeum u⸗ datum erit pun- le tecta ad pun bu pundho hor ls dangulo en, ert in hmetto Pri imo eſle extia atut ketti 21 4. Cutrels citenm⸗ 6. Gucatur eidem tlepcnen⸗ blci indet kee tumm e . 159 tum a contingente per verticem hunc ducta; abſcindet autem ſegmentum ex contingente re- liqua: unde nullum erit re ctangulum abſciſſis contentum; quod eſt contra hypotheſin. Non ergo punctum erit extra diametrum. Tab. VIII. Fig XVIII. Sit igitur punctum „ inveniendum in ipfa ducatur per dunctum F, recka EFD perpendi- cularis recteæ FG in E, D. Erg bitur reétangulo dato. Jam vero per Propoſi⸗ ametro A B, fitque illud F ad circumferentiam, *& contingentibus occurrat S α 2 α ex hy potheſi AE. BD gqua- tionem AE. BD = AG. GB. Datum erit ergo rectangulum AG. GB. Data eſt autem paritet AB, datur adeo eo ipio GB & conſequenter punctum G. Sumator igitur in diametro pun- cGtum G, quod faciat rectangulum AG. GB dato reétangulo æquale: erit G punctum invenien- dum; nam dusétis EGF, EFD, ut dictum fuit, erit rectangulum AE. BD = aG GB, hoc eſt, ex conſtructione, dato rectangulo. OOLI UM. Demonſtratio Corollarii ab hac Propoſitione dependet: Si duæ rectæa comprebendant re. Kange. 160 , e ee ctangulum magnitudine datum, detur vero rectarum harum ſumia vel differentia; quæ- libet earundem data eſt. Theorema hoc, quod ad Data, five Propoſtiones de Datis per- tinet, non adeo manifeſtum eſt, ac Data reli- qua, ad quæ inventionem punétorum in Poriſ- matibus quæſitoram hucusque deduximus. De- monſtratur vero ab Kuclide generatim de quo- vis Parallelogrammo, cüjus latera comprehen- dunt angulum datum, Propoſ. 84. & 8. Da- torum. Optandum profefto foret, ut in Ger- mania crebrior iis eſſet libri hujus copia, qui veterum Analyſi operam addicunt: Anglorum emolumentis EUCLIDIS DATA emendatiora & auctiora edidit ROB. SIMSON, imprefſa Glasguæ 1762: tum rurfus uns cum Elemen- tis Euclidis, quinta Datorum editio, idiomate anglicano conſcripta, lucem vidit Edimburgi 775. F I N I S. 127 penlt, 41 17 — 43 1I — 2 ERRATA. n, defiy de A; . FPagç. Lin. loco Corrige nes de Datis per. : 27 penult. DC AB –- DC. AB eſt, ac Dita reli. 44 17 — 60 — — PO nKorum in boriſ- c2² cxa deinximus, De- 43 II — = †5 q 2²* — † q x2 = — enentim de quo⸗ a Atera compfehen- — am“ — am?* N d⸗ l — *— aq ² † 2aq † — c aq“* † 2a q-F a=C ſoret, ut in Ger. 4 T 2a 4 T 24 uins conir, gii 44 19 — quo — — quod lcunt: Auglorum 48 3 — Rtut — — ut 414 emendationt 53 ult. — BC2 — — HB²* 80 N, Wheht — umn eum Llemen- 73 10 — à † 2Z X a — Z — àa T 2 * à — 2Z editio, idiomate 2 bq *X 2 bp X Mimburg 77 à — P — 45 — p=†W☚⁊ 8. 79 ult. — △ BE xX — Q BEX 90 1 — ex odem - ex eodem I00 3 — ED:EH =— Eh. EH. 2 2 115 5 — X (a Tx *) — X ² (aF xX) 122 1I5 — HB. EK — EkK. EH 124 8 — — KAKn I28 2 AlH: HE (KG= AC: CH =— AH: HE — — = AG: GH (KG) — 1I — AG: AG — AG-: KGC6. 130 Bag. Lin. 130 F J3I I 135 12 137 12 138 12 — 15 142 — 145S 4 151 fI — 5 155 —- 20 ERRATA. loco Corrige AB DBD = AB. DB taleles —2 — tales junéta Aà — junéta AL. Contentum — Contentum æquale AE AD -— AE. A AE. D. — AE. El- Circulo ſegmento Circuli ſegmento rectez -- rectæ Ctreulorum - Circulorum (TcGG) — (SCG) FCB — — AQFCG nuna — una ACFB — — QCTFG. egoale Emmento — —— – — TA B. VII. — . = TAB IX APPEND 3,er aen kirois 1 4 1 eTheſe eſs 39 HMNeN N a . . eRall vdt 1,rer 149 AKReE vααοοα telae 44 bee reit,⸗ e z„ mne Paf⸗ * P Go N 8 len 45 Ataertrse ſ 8deg. askar. o- deRel ati õ 124. F. 24 NRt krU5 No ſonHd,18 . EXERCITATIONH ES ANALT. T 160 TPHETICE MATHESI PURA: ILLUSTRANDZ CINMPRIMIS GEOMETRIAE VETERUM; USIBUS VERO PHILOSOPHICARUM HUMANIORIUMQUE PA-=- TRIX MONASTERIENSIS SCHOLARCUM ACCOMMODATA: VCZ O X E CASPARO ZUMKLEY, EMINENTISSIMI ELECTORIS COLONIENSIS A C PRINCIP. MONASTERIENSIS CONSILIARIO ECCLESIASTICO, GVMNASII PAULINI MO. NASTERII WESPPHALI DIRECTORE, ð ET MOTHESEOS SUBLIMIS PROFESSORE. CUM FIGURIS. MULETUM AUCTA ET EMENDATA. . D/ D EG10. MONASTERII WESTPH CALORUM, SCUMTIBUS PHIL. HENR. PERRENON ⸗ MDCCLXXXIII. VierFarbSelector Standard*-Euroskala Offset 2 3 4 5 6 . Copyright 4/71999 VxyMaster Gmbhi www.yXVmaster. com 1