Bb247_2
author: Zumkley, Kaspar

RÜUR2ðð

EXERCITATIONES

ANALYTICO⸗- SYNTHETICNLE

IN
MATHESI PURA:
ILLUSTRANDX CLINMPRIMIS
USIBUS VERO
PHILOSOPHICARUM HUMANIORUMQOUE PA=
1 TRIE MONASTERIENSIS SCHOLARLIM
ACCOMMODATA:
V C Oι K E
CASPARO ZUMKLEVY:⸗
EMINENTISSIMI ELECTORIS COLONIENSIS
AC PRINCIP: MONASTERIENSIS CONSILIARLO
ECCLESIASTICO, GVMNASII PA ULINI MO-
NASTERII WESTPHALILE DIRECTORE,
ET MATHESEOS SUBLIMIS
PROFESSORE.
CU M FIGURIS.

MULTUM AUCTA ET EMENDATA.

CUM PhkIIILEGIO.
MONASTERII WESTPHALORUM,
SCUMTIBUS PHIL. HENR. PERRENON
MDCCLXXXIII.

REVERENDISSIMO, ILLUSTRISSIMO
EXCELLENTISSIMOQUE DOMINO
D O M/I N O

FRANCISCO FRIDERICO
L. B. DE FURSTENBERG,

ECCLESIARUM CATHEDRALIUM MONASTE-
RIENSIS, ET PADERBORNENSIS
CANONICO CAPITULARI,
EMINENTISSIMI ELECTORIS
“ COLONIENSIS,
PpkRINCIPIS MONASTERIENSIS
INTIMO STATUS CONSILIARIO, SCHOLA-
RUMQUE TOTIUS PATRIE EPHORO,
SONARUM ARTIUM AC SCIENTIARUM PATRONO
ATCE CULTORI EXIMIO-.

T. M. Q. D. De
CASPARUS ZUMKKLEV.

AD LECTOREM
PREFATIIO.

222 orbi literato . FKru-
oam praſtat, collocatus
FKtrenue, in Mhatktefi pura la-
bore at videlicet non mocta
pauciores i, guor penitiorre-
ram naturalium indagatio pro
meanere fuhcepto, aut lauäanda
praprimir animi alaptate »
occa-

PK D P ATIO.

cupat, Kag velut neoncuhſa
Gaßhi nitantar, veralmetelm re-
e Sgaan edn Pprivatts publicirqae
négottis addicendoram parg

Taalia major, mentir Bibi Inale

rvohar, Sagacitatem in reperi-
unca, Sn Aözucdioando perſpi-
cacinm, aueerfal ; G Kelscem
ane känime n, attanem,
arl, en, gax« in manibax alt-
guundo verſabientacr., aſſulheat

mandh er re.

Ne lle geikclem ,„kdale gua ſa-
praazmenttonem Gcſ. rebam, era-
Aotarum laßfi Nrezeree⸗
t‿nate Lemnzor one Dbath emeklbos
abertsm confaelaere. O al enim
alia,

— —

PKX W V A NI.O.

alia, Lacilals dl prcter mittam 5
Ffatebitar guilibet Algelra
Fub’ſidtir, ac ummortalt praci
paé Galcult Leibnittani inven-
bo, non modo ardkauam maxrime,
aal nataralium rerum indaga-
Eonem, prolixamgae viam mi-
rcfice complanari, G& contratcti;
Fed etéam eſce praſidits acd, eor
Matuara reæehſus aditam ape-
iri, gat majoribs nochtris
obſeptas plane ſce videbatar,
gelin G& indier adcktac ea detegi,
guorum daeſam nohtrir, fortaſhe
temporihbus aclkac é galene, ke-
za pofteritas Fernatum Fibe,
grata animi recordlatione pra-
Fegueleer.

PKK AF A T0O.
ARanc Mhatttefeor puraz, a
Recenttorikar Rlathematicia
inſigniter elaboratæ partem,
NRam Aiheiptlenaruom pkichfico-
mäthematicarum caufſa com-
mendo, non deo religauor, gas
kefanetas ℳ Mattofi Aiſcipli-
lr in lorir Pracipeeig ali-
nanda numerabunt, ab opera
eidem émpendenda renocare a-
non,ets gain potius acuetar
ifce admodam menler akteg,
pracipue, Jä non adleg mecka-
näcdt calcaklt apparatio, guam
Ffandamenta,quibas calculun ip-
Se fhapenſtructua eht veneank en
conkiderationem. RKlt vero com-
muni diſcenteum guorumcuce-
Zué

6n,
i
A
60ℳ
t⸗

Sr.

r&, 4
mdtici

uartem,

4 con.
ot, gli
Bopetu
olared-
Aeuetu
1 Alet,
4 eefa
2, gan

niant in
ero lonr-

runl-

u

P RFPA TIO.
gque uſut acmodum proficuum
arbitrabar, ut G illi, guorlm
e re non fſt in Mattkeſeor, Koi-
entiarumgue inde Ffuſpenſarum
Studiir confeneſcere, conam-
malam ratiocinit ffigiem e
Nohtolis deferrent ſecum, adl cu-
jus normam Faaz veri inneſti-
gandi rationes erxigere dein-

cepa poſhent.
UObtinendo fini kuic, neſcio,

an gaidpiam accommodatam
magis reéperiatur, a orelxra in
geometrica eterem analzfi dt-
eroitaltio. Cocupatur e terca
Mheorema, vel problema geome-
zricum inventienduna Tettkodi

da

P lo L., P A 110O.
elz Fant leges . Fapponitar theo-

rema verum, problema factum
Feel ſolutum: e kac Sgpothefi
Aerivantur confecationes neru
per petuo cobdrenter invicem;
done in reſolutione theorema-
tis Keventatur awad axvtoma äaut
propohitionem vel demonfſkra-
am, aut Fhecum pfa pagnan-
fem innotekvet inde tteorema
propohilum aut verum vel hal-
Fam. Serimili mocdta in reſoluti-
one problematis tota rer deda-
itur aäd pohtulatum aub ro-
blema falutum aut propoſiltio-
nem Zecum epfa pugnanketn, G
inde aceſcet problema Fieri,
auut non fieri poßſe! gaogc ſi

V61G

9606 16,

mi; Adodt.

ſt in 6
Apli/
ngul⸗
Quarun
eltar
lium,
patehit
Slamat
on/

Nicas/

fugimn⸗
Ada

Am, ſe
a metta

P KX A FA TI0O.
theo⸗ ver reholatee ipha aldi proble-
üdin wa delucat, cujſug ſaleetta non
tleſi ſé, in geometriz notehtate, el-

Nectl emptli grattd acl Erihectionem
e anguli obligqat inzenktonem
Drema- daaraem medtaraminter datas
At zetens onkenele Ppronarliana-
. „. 6 . .
ſtrr. lium, & alia etzagel generig

gnan. patebit pfo Fholatéonem Pro-
eoremu, Elematig Frahtra tenkart, dalk
elſel. acdl conferactiener, guos mecha.

o. nicas auz organicas vocant, con-
dadu- Fagiendam ſce.
MC.

ſitie. 5ethocam kanc analcztt-
n, G] cam, feu melholam inzeniendi,
. ſuri, a metkodlo Fgnthetica fece melktg.
nolſi da, inzenta dacenti, plane Ai-
% er-

PRE FA TI0O.
verſamm eſfe rex ipfa loguitur.

Gum enim refolattonis ope in-
venllt, Ffgntktelice propont opor-
teat; manifohtum eſt a prono-
Fitionibus altaz demonſtratis
znitinm duci debere, donec
aldl Aemonftrandamdeventalar.
Minaxr aucurate acleo logquun-
tur d, gui metkodlaen ſqnltthe-
zicam, aut, ut vocant, metho-
dum antiquorum, eam volunt,
abu a alcxulo algebrico aliſtine-
tur, G Foktematam ratiocuntt-
gue dilacide propofiti Fabhi-
Aio, rex tota per ocuton menti
prononitur . analgticam 6rρν,
aut at ajunt, ethodum no-

vam, in eo Fitam uatlunank, Fi
„ 6
acl-

1
uleulur.
ſtitutu 1,

nonſtri

gant. J

bant yet
utiolim.
propcſit
Contradl
lic a
gebrica
la ſiunt
Cratohi

orum

Mopoſi
Nloller
ſtrate.
Tir⸗

peterumn

guitur.
ope ir.
Miopor-
prope.
nſtratit
, dloner
niltl.

loguun.

1 volunt,
alſüint.
tiocinii-
or Ment
m r,
dum 10⸗

Al-

P R A F A TIO.

calculanr, rebusgque iphis Fab-
FKkituta ymbola, univerfum de-
monſtrattont? negotium abfol
vant. Suacerte anzlcſigaude-
bant veterer, guc Fokematum
ratiociniigee avucuratt ope rem
propofitam conficeret. plare
contra demonftrationes Nkeynttkee-
ticæ a ecentiorilaz calculoaäal-
gebrico laborantaor Srem-
pla FKint demonftratio Ne gul-
Arato linomii, aliagae Slemen-
torum Suctidir libri Fecundi
propofitioner, ope calcule a
Nodernir Fyntketice demon
kcratk.
Rirum videri poſhfet, cur
veterum analzſir, a pluribus
Zenn-

P N XB A TVO.
temporum noſtrorum RMatkke-
maticir, erralta minezg Zaerik,
äaut plane neglecta. Nℳ icl gao-
gue acdl Feculi noſert fata for-
aſfe pertinet, ut ommocdltori-
barz praſtantiora locuen Fape
numero concedere debeante aut,
bi molliori erouſattone uten-
dum, mirum id, inguam, Bi-
deri poffet , nifi compertum
Eaberemler, Brevem ſfe huumaäa-
ne vite conditeonem, rerusen
vero cognoſcendaram Fertem
bongiſſimai, ad guam abi la-
boriz comrendio perzenire da-
retur, ilter breviſfimum kenen-
dam ehjſe. Gud utcungue Jeka-
Leant, illad ertra omnem con-
tro-

trorerſi

ettollu

M
ls D

Ualte per.
prellar
atir o,

ongucti

en, 4

guo int.

NeA
Omnn 1 9
umn con
bere n

4 Fuerit .
til uo.
nodiori⸗
um ⸗lpe
Ant. Gllt,
ne Alen-
.R, N.
nyertu
rermn
nuli-
Nirede
LRN.
t ſ u.
NR N⸗
tro⸗

P K XFA T1 0O.

troverſiam poſikam arbitran,
mettkokem VNeterum ab es pla-
rimé aflimatum irie, gquicun-
gue reputarit Fhocum, in geri-
tate pernaoſcendla, pulorum au
praolarum ſe non moao veri
tativ convince plane, ſed ipſi
convictiont pariter afßfundi lu-
men - univerhaum veritatum,
guo inter Fe coaqmentantar,
nerum dilacide perſvici, &
omner, queir acdl finem propofi-
tum contencderir, grehhag, ſeci-
bere in naumerato.

Mon adeg interim noſteris
temporiluasz eoauumntihhima Vete.
rum metteoduzs abliterata ft,
qäin,

PRMFATLO.

guen, in Britannia poliſſi-
mum, primi Fhabhellii Matke-
maticor vindicer Jut reperiret,
& admiratorer. & profecto
magmés iſce juclicibus eaclem
tueri geſe poterat, Fü etiam re-
ligat orbiz NRatkematiciz Je-
cus placultſjet. ulcerrima
certe ſunt, guc G amax imng-
Jon Regia Srhola Woolwvicen-
Fer Profehhor, Alt G Nattka-
ur Sreeart in AcadlemGa &di-
nen/fi Muatk. Profehhor, a in
e protulerunt. St, ut de re-
liguts Fileam, Feliciſfimum in
Geometria veteram pramonen-
da, e paucis fragementir, Sig-
gue Kade melkilatig, ee
a,

da, no⸗
Manalu,
erun .
ur en
guenſia
t o/
t Rhi
e Mlln
liuit,
le libyi
gratum
Geotber
nec Sri⸗
mnt Offe
ſitun N
mne i

I.
⸗

PRAEFA TIO.

da . novggut In enten locuptle-
zanda, laborem collacavit Ve-
terim nuklli kecuncdas Rober-
tur & imtan in Kcaltlemia laax-
guenfi aliar Brgfethor, cpe.

re poſtknene ibidem anno

PDö6νNν inpen.
Fios ſe. ilippi G Gamitir GN Banko
pe magnifice imprehiſo. Mr-
laquitur de hoc opere in fron-
te libri &ditar Jacobuz Gloce
gratum illud, uti ſperatur,
Geometris munus futurum,
nec Scriptoris jam clariſſimi fx.
mæ offecturum. Qua jane
prahagii modeftia, nil appo-

lhitum magis ea eném opners

æmne en em victaro nota erat

P K AFATIO.
prafigendla, gua lhummor In
quavis facultate mortaliam, a
ceteri- Fecerni erpertentia Fha-
pe teftaleer.

Rorum pracipue laboribus
proficere halagenz, ercita
tiones Kaſoc conforiphi gäd-
dam pariker lkectar repertet .
pvroprio ktudgio lacubrata.
Nnalchi Fgnttkefin plerumgue

kubnectere viſum erat, ut via

relegenda poneretur ab ocutar:
geometricæ autem propathilio-

nir reholuttioni khabinde alger

ricam aazunzt, ut metkodlus
utragae kaciliuz inter ge con-

kerri paofhfet,
GQuod

ur

ta

et,
Ma.

9

gis
lor:
tio:
,
u

lr.

PRNFATITO.
Quod autem tacubrationem
Kanc qualemncunque Cauci pabler
commettam, en potiſgimum
cauſa me pverpulikt, ut Rtudio-
zum norenækx, ab &minentifhe
mo Slectore ac Brincipe No
Flro clementiffimo, präahcrigp-
ta pro Fhacuttate reſponderem.
Slnter alia ibidem gaptentihche-
me fancita, S& llua elkts ma-
tkematicas pklohopcticasgue
difciptinas radendas ita eſhe,
t Zacultatum unn alzeri ma-
num continué prabeut, Guindi-
viduo nevu utragut oouletur.

GBi itagae Bogicesr DWrgfef.
Fhor eam difeiplencd Nam pur-
X 2 kege

PR FATIO.
tem pertractabit gug Erca
demonſtrationig naturam in-

dolemque verfatur; paradig-

mata demonferattonum perfici-

endarum, utié & mettkocli veri-
tatir inveniendad, erx nenu kac
maäattktematica poterunt in mecdi-
um adduci. Gum ero regulæ
demonhirationam inventenda-
rum proponendlarumgue in
Lagica tradi Folitäa, religuc
mentir Zenhuumgue phtilo a-

ptig igentidem applicanda

kint, poterunt demonftratio-
ner Koc valamine contenta ita
acdthiberi, ut Fkeſuonctin cogita-
tione tiir, gua Fori Ratkema-

tici prapria kankt, karrogen-

ar

ur

gui
gi⸗
e⸗
a⸗

ra.

t

mni
ar.
C
. 6
em

S

PRF A TIO.

tuer principia propofitionez-
gaél e‿ Ontologia Dſhzckola-
gia, Dhicchiologia „ & Skcckica
depromta, idemqae, ebi lecet,
decurratur in demonferando
zramer, cus Ratkematicun in-

ANAlumantiorum pariter claf-
Fium Gandidlati, utiliter Feſe
in digs prä‿hertim Wropofitto-
näbaxr, gqua Ffaciltorer, G zfte-
rihois ** non diſcrimenala
Fhant, poterunt ezercere. Gum
enim eovdlÿ⸗m TWatkhofi Slemen-
tari imbai cudtorunm noremna
conftituat - addifcent paula-
kim Käumul veritatum inveni-
cda-

PREFATTO
rum Tetkodlum, ad relequa

non minnz leteraram Kladia,
geaum kolttanr viläd negotia Uulai-

Ceſſemam.
QNQuod ſi itaguc, ut Sperg,

evercitationer Aäd, Aaſchir AEr-
aqae commoder inherzitark
Kent meam deincepa repueta-
ba, act provectiora facere gra-
dam, G prahtantihſimam an-
Kguoreen Geometrarum NRe-
Modum, pro ziribas reddere
atentiorem. Datam Abona-
Seeris Weſepktatorumcdierma
Mazi Nnno revarata Falatia

Aöναdννραορ

PRE-

1,

,5
,
.

3,

nu
ir

PREFATIO

AD EDITIONEM II

Qrv Nub editionis rrioris

nnm optaverann, it vi-
delicet Suclidir Datorum,
guemadlmoaaum a ARoberta
SN ga dltomate Nnglicano
edita, & infignäter emencdata
Funt, majſor Fieret Germanis
copiaz eidtem voto reſponſars

ihe, Latinam interpretatior

enm eregeraem al von, edem
prelo commiſgarus ſchem, id
o‿ρ*‿ρd interprelalt Lena-
ta praverlit GR. GF. 3hibab,
Mhila-

RFATIO
Philoſopsk,ta in mälitar Jere-
nehhſem DVacizr Wen krzi

NRaoaäemia Drofe ſhor. Lata-

Ear. enenm ero promotor Kac g d-=

teone in Germania noſtra ana-
Cgleos geometric Ffener, ea-

demqgae anzme nolaptate egre- 3

gia in operis eſtibauba Har uper
t mectötatla, hubneague
inhen Datin infignia roa
maäld kaſniciebam.

Neogue Loc gqaidem hoca
nertunum arbitror, Aiſorimen
enler analzfin veterum geome-
rican, & anatzſin ane Mato-
zum, oeftendere, ePriaor Faci-

ndam pro facto aſcamit &.,
guod

D EDITIO NEM M.

rider. guod tgronam inſtitutiont pro-
enbergii Ffecuum magir cenfeg, in com-
. Kaou. poſitione problematir eam Ze-
erkum. legit non ita ſemper Poſte-
ru an- rior. Suhficit auzc problema,
uer,; A gaod in manibitz eſt, all pro-
At, e. pohitioner de Datis renocaſſe,
le ſuptr oftenjſamnque Kifo fontibata
mugte problematis dqDficiendi pocefsa-
prakl- tem, fine gam ipha R ynthefir
c aalchfhi prono alzeo defluat,
vel etiam a conferauotioniz arti.
la er Föciig, extra ipfam analzfim
ſrinn vaſitig., dͥerivetaur. BVideotur
n gent. empli cauza in baucdato libra B
Jat. Wyobtema I. Mag. N J. pro-
tirſut vohitam.

iual Mere.

PRNVATIO

Peterum, guigee votiſſi-
mum veterer Zelzci inda‿ſeria
imitantar, Britannorum ve-
Kligia premere, loto operis de-
curſa conabar, Kos ano diſpar,
gquod lli Guclides more calcu-
Ca al⸗htineant omnino, Guzus
Fulſidia interdum adktibenda
cenfut. Sic enim mecum repa-
goα: gquicungeét non barbatos

zllar er Gactidis IZckola iror,

Fed kleneram vartachee intelle-
gendi Facultate praditam gju-

venkaltem mattematicir Aiſci-
plinis publice imbuit ( prina-
ta enim inſtitationi . Kä ulla
ratione lgronum indoler ferat,
Suctidem prafigendam
mo

40

ne, Fi t
rur fulit
rigori 4
muticd

gui ita 7

nim al,
ſt par.
ngulor
ori
neluti 5
Allituch,

gliiden

guam
tontum
ladere,
omet,
00an

petiſi
rum „e-
erirde-
diſnar,
re dlon.
, ljur
hitenda

n epl-

Lortator

virof,

, intall.

ita, MI -

ß.

4 riyc-
5 la

Arſer Slt,

M.

D EDITIO NEM II

mo) ei nitio vertendam mini-

me, Fi captai hauoraem confultu-
rux Zaciliora elsgit; mocdla ne
rigori accurattonegete mattke-
maticaæ gauidzpiam decedat. Nl-
get ila ſe res omnino labete ut
enim alza Fälecam maniſeſtinm
eſt parallelogrammornm Erz-
angalorumque aſgectionet Jaci-
Leori longe metlkoclo erui, Fe
veluti prodacta ex bafobaz in
altiteadlines erkikeantur. GNua
gaidem conſideratio quan-
gquam prima fronte in latera
tantum nusneriz erprimencaa
cadlere, adeogue feerktaer
geometricig, guar errationaler
vocant, avcomodari nor nah, 4
vide-

PRFATIO

videanturr liguidotamen often-
Ailtar, guankitates irrateona-
ler ad rationaler, alva accu-
ratione matkematica, reuocari,
modo in elementa geometrid co-
optetur quantitatum, donec
evanefcant, contienao zmmenet-
zaraum notia, gquoguidgem vocdt-
baula, Lecet abſeinuerint vele-
rey, rem tamen aic rite intel-
lecto Ffubſtratam uoa in ihäas
dalkibebant. Gonſulatur oumnni-

no G . Aäcfhtneri Prafatioad

Slem. TMattlt. G. I. germanice

ekita.

Sclitione altera gaid praſti-
Ziton, benenole Lector paulcis

habe.

Al
habe!
aßſe g.

mlimn mn

Plſelion.

ſunt. d.
Jam ini
iAgonu⸗
oy, ju
Poteur,
terorum
lerrupt
MCt
Paftem

.

9

en eſen.
rrationa-

yas dcl.

renoluũri,
netrid o-
n, donec
immminul-
dem poll-

ript ete -

it, intel-
in ut
ur omut-

fati⸗

Zernurice-

Apraſt

r Muuctt

aber

4D EDITIONEM I.
kabe O gronam, gu tertid
claffe geomelric elementis pri-
mum mbaunteer, ehibas Ppro-

poſilionet Faciliorer adfecta

khunt docuit enim eperientia;
am in ipfo geometrig liumine,
A genus evercitationibaz alum-
nos jucunde hfici, guodgue
potiuz, inzentionig Ffacultatem
miréfäce acſuvari ut autem cæ-
teroraum problematum ardo in-
terraptuz Zervaretur, proble-
mata kac priorem opuhculi
partem conhtitaent.

Darti erin pohteriori va-
riæ itedem propofitiones accef-
khere: hant inter reſolutiones

P R A FATIO

karum, gagdam a puero non-
dum duodennt, & tredlecim an-
norum puella, proprio marte,
Gmodica aneme contentione in-
ventæ, &, uti in libro kaben-
tur, elaboratä,; uas ret men-
tionem in mecdium gcfhferendam

duxri, ut hoc exemptlo elucefcat,

quantum ack perficienda inge-
nia Faſcepta Ffic a tenerer annis
ervereitalioa prabeat aagumen-

Zelm. guod Fe vero reholati .

nem in tantilbka atate dexteri-

tar, infolita cuipiam miraqae
vicdeatur; minuet ir certe po-
nelve admirattonem, ubi intel
lererit For te, cuſur aopera gu-

venkila Kac Ipha profectum de
boeat. AMWey

40
Gort,
epcßt
bur ſole
4 higura
ntur. 5
factun,
Or r

Nipuli

negult,

uncli ſ
ur, G
liouit fi
tionen,
benci el
, lau
ni yron
poſitioni
40 enon

0

Lero on⸗-
Cetim an-
io Marte,
ntione -
ro kaben-
1 fes Men-
Perondan

Aucſeat,

d inmk-
rir annis
ljuner.
nſoltie

Neater .

1miragle
erte -
Giinttl
ectunm Ae.

AD EDITIONEM II.

DBer totum operiæ decurfham
propofhitioner, guoadl & veteri-
baus hfolenne erat, primum nal-
daz FKigurz ratione Kalttta apo-
nanter generatim. &koc iden
Jactum, ut propvohitioner a
Spyaceptore ita enuntiatar di-

Kcipult deltneent dici Fhane

negalit 5 guankusn ine imaci-

nandi Fhacultati concilietur ro-
bur, G adchunetur, enuntia
tiont ettam prolixiori, atten-
tionem, at nil elabatur, adkti-
bendi Feli kabelitarx at File-
am, kacz ratione kallucxinatio-
ni tgronum ourri, dum pro-
vohittonir in Kokemate dLepic
tæ demonftrationem, huct, non
alteri

PRAEFAL. AD EDII. II.

re arbi-
leri conzenire interdlum 4
. tar. VDakam Monate
Eran . 1 n
Peſephalorum Stia R. zene
brir anno reparata ha
i
NS2.

Apgale

Pars l. ad.
Petitut ſeczti i

Diſclanin,
lus BAD, 1
540 S

340 — P

nim ſizer r
Egnilaterum,

Conſruc
nimmn 40
nilterun 1

EXERCITATIONUM
PARS PRIOR.
PROPOSITIO I.
PROBLEMA.

Angulam rectum ſecare trifariam.

Pars I. Tab. I. Fig. I. Sitangulus BAC= = Ry
petitur ſecari in tres partes æquales.

NWeſolutiv. Factum puta: erit itaque angu-

lus BA D, anguli recti B A C pars tertia: five
BAD = ½ R: conſequenter angulus DAC =

2 R
BAC – BAD—; quod fieri poteſt, quo-
3

niam ſuper recta AC erigi poteſt triangulum
æquilaterum.

Conſtrutctio. In crure anguli capiatur recta
arbitraria AC & ſuper AC erigatur triangulum
quilaterum DAC: dico factum.

A Demon-

Ca⸗ 1. 4, f. 32

2 ☛☛– ee
Demonſtratio. Eſt angulus BAC = K &

2R
DAC = —. Hinc BAD = BAC -— DAC =
3
2 R
R — — =
3
Coroll. Si ergo angulus DAC ſecetur bifa-
riam; erit angulus BAC trifectus. Et hoc tan-
tummodo de recto valet; nam trifectio anguli
obliqui geometrice fieri nequit.

PROPOSITIO II.
PROBLEMA.

Ad trianguli æquicruri baſim, ducere intra
triangulum parallelam ea lege, ut hæc ſit æqua-
lis utrique ſegmento parallelis comprehenſo.

R.

.

Pars I. Tab. I. Fig. II. Sit triangulum ABC
quicrurum: petitur ad baſin BC duci parallela
DE = DB.

Keſolutio. Sit fatum & jungatur BE. Quo-
niam per hypothefin eſt BD = DE; erit angu-
lus DBE = DEB: & quoniam BC & DE ſunt
parallelæ; erit angulus DEB = EBC: erit ita-
que angulus DBE = EBC, quod fieri poteſt,
ſecçando angulum ABC bifariam.

Conſtructio. Angulus ABC ſecetur bifariam
reta BE; & ex E ducatur, ED parallela ad BC:
dico factum. De

= 3

Demonſtratio. Eſt per conſtructionem an-
gulus DBE = EBC: & ob BC, DE parallelas
= EBC = BED: ergo DBE = DEB, adeoque
DE = DB.

Coroll. Ob angulos ABC= ACB= ADE=
ſ. AED, eſt AD = AE; & AB — AD= AC—
l AE: ſive DB = EC= DE.

li
THEOREMA. .141,31.
Si ex diametri punétis extremis, ad idem
tn punctum circumferentiæ, utcunque infleéctan-
. tur duæ rectæ; angulum rectum hæ compre-
hendent.
pPars I. Tab. I. Eig. III. Ex diametri B C
eli punctis B & C ad puncdtum circumferentiæ A
inflectantur duæ rectæ BA, CA: erit BAC= R.
uo⸗ Reſolutio. Sit ita, videlicet BAC = R.

.“ Quoniam BAC+ B † C= 2 R, erit BAC= R.,
unt ſi fuerit B C = R. Secetur BCbifsriam in D,
t. & jungatur AD: erit B + C = k, fſi fuerit
t, 2 B †+ 2 C = 2 R, quod ita eſt, quoniam
ADB† ADC = 2 R, & ob ₰AABD æquicru-
rum angulus externus ADC = 2 B: fimiliter,
den ob A ADC æquicrurum, angulus ADB= 2 C.

4 —

Demonſtratio. Secetur BC bifariam in D, &
jungatur AD. Sunt anguli ADB †£ ADC= 2R.
Jam vero ADC = 2 B: & ADB= 20: ergo
2 B 2 C= 2 R; adeoque B C= R. Et
quoniam BAC T BP+ C = 2 R, erit BAC= R.

PROPOSITIO I.
THEOREMA.

Viciſſim; ſi duæ retæ, ad idem punéctum
circumferentiæ circuli inflexæ, comprehendant
angulum rectum; crura hujus anguli infiſtent
extremis punctis diametri.

Pars I. Tab. I. Fig. IV. Duæ rectæz AB,
AC, ad idem circumferentiæ punétum A in-
flexæ, conſtituant angulum BAC ☛ R: erit
BC diameter circuli.

RAeſolutio. Sit BC diameter: erit, ſi ſecta
BC bifariam in D, & juncta AD, fuerit BD = DA:
comparentur BD, DA demittendo ex puncto D
in AB perpendieularem DE; erit BD = DA,
ſi fuerit BED £& AhAED: & hoc erit ſi præ-
ter latus DE commune, & angulos ad E rectos,
fuerint BE = EA: comparentur AE, EB, de-
mittendo ex puncto D in AC perpendicularem
DF: erit AE= FD ob parallelas, inter paralle-
las æquales: ſunt enim ob angulum BAC = R
redtæ AC, ED, item AB, F parallelæ: erit
. itaque

Vel

aut

ang

den

tria

ledh

easd

90
t
R.,

ant

ee
09:
00
DA,
pre⸗
Kos,
(e⸗
Nem
lle⸗

—

erit
ne

. 5

itaque BE = AK; ſi fuerit BE = FD: & hoc
erit ſi fuerit Q EBD & △— DC; quod ita eſt,
quoniam BD= CD, & ob AB, & DF paralle-
las angulus ABCG = FDC, & ob ED & AC paral=
lelas angulus EDB = FCD.

Demonſtratio. Secetur BG bifariam in D, &
jungatur AD; tum ex puncto D demittantur in
AB & AC perpendicula DE, DF. (Sive, aliis
verbis, ex puncto D ducantur DE, DF ipfis
AC, AB parallelæ). Eſt BD= DC, & angu-
lus EBD = FDC ob AB, DF parallelas: ſimili-
ter ob DE & AC parallelas, angulus EDB= FCD.
Ergo A EBD Z AFDC, & EB = FD. Eſt
autem ob parallelas inter parallelas FD = AE.,
ergo BE= EA, & ob latus ED commune, &
angulos ad E rectos △ EBD △ EAD, &
BD= DA. Sunt itaque BD, DA radii ejus-
dem circuli, cujus centrum D, & BC diameter.

Corollarium. α ô BED Z △ AED 2 AFD
△ FDGC. Et habetur hinc methodus, quodvis
triangulum rectangulum in quatuor triangula
re angula dividendi, quæ fint congrua.

PROPOSITIO V.
THEOREMA.

Parallelogramma ſuper eadem baſi, & intt⸗
casdem parallelas æqualia ſunt.

Pars I.

Cael. ,41.

☛ e e

Pars I. Tab. I. Fig. V. Sint parallelogramma

AC, BF ſuper eadem baſi BC, & inter easdem
parallelas BC, AF: erit AC = BF.

Keſolutio. Sit ita, & compendii gratia areæ
BADG, GBC, GCFE, EDG literis minufculis
a, b, c, d exhibeantur. Erit itaque a † b= b-pc
adeoque a —– c, & a-†d = d †.c, ſive A ABE Z
Q△ DCF, quod ita eſt, ob AB — DC, & BE = CF;
& quoniam eſt BC — AD = Ef, erit AD DE=
DE EF, five AE = DF.

Demonſtratio. AB = DC, & BE= CF.
Eſt AD = BC = EF, ergo AD † DE — DE EF.
ſive A E = D F, adeoque ₰△ ABE 2 DCF.
Sive a †da=d-†c, adeoque a = c, & ap b==
b-†Pc, ſive A BCD = EBCF, five AC = BrF.

PROPOSITIO VI.
PROBLEMA.

In angulo rectilineo dato, conſtituere paral-

lelogrammum, quod ſit æquale triangulo dato.

Pars I. Tab. I. Fig VI. Sit datus angulus D;
datum item AAABC; oportet in dato angulo
conſtituere parallelogrammum E =r Q△ ABC.

Reſolutio. Factum puta. Erit ergo angulus
FEC= D, & FE, GC & EC, FG parallelæ:
quod utrumque fieri poteſt. Jungatur AE, erit
etiam

ur
len

dar
log
Ple

.
i

— 27

ni etiam EG = Q△ ABC; ſi ſit EG = 2 A AEC.,
em quod ita eſt, & A A BC = 2 AA“ AEC, quod
fieri poteſt, ſecando BC bifariam in E.

ee Conſtruétio. Secetur BC bifariam in E, &
hlis ad punctum E conſtituatur angulus FEC = D;
e ex punécto C ducatur CG parallela ipſi EF; de-
2 mum ex puncto A ducatur AG parallela ipſi
; BC: dico factum.
7 Demonſtratio. Ob BE = EC, A ABE =

A△AEC, & H△—A BC = 2 AA“AEC. Jam vero
. EG= 2 AαAEC. Hinc EG— AABC.

II.
CF.
3 PROPOSITIO VII.
d. THEOREMA. Cal hi⸗
In quolibet parallelogrammo complementa
parallelogrammorum, quæ ſunt circa diagona-
lem, æquantur inter ſe.
4
. prors I. Tab. I. Fig. VII. Sit A BC parallelo-
ie. grammum, cujus diagonalis BD: fint FH, EG
3 parallelogramma circa diagonalem BD: paralle-
1 logramma AK, & KC, quæ dicuntur horum com-
. plementa, æquantur inter ſe. Sive AK = KC.
ds Reſolutio. Sit ita, & partes figuræ compen-
2: dii cauſa deſignentur literis minuſculis a, c, d,

b; f, e. Sit itaque a = b. Erit hoc ſi ſit

erit
C = d

17
al. 44:

8 ☛ =

c= d & e = f; & ſimul a † c-e ρ b †f;
quod utrumque ita eſt.

Demonſtratio. a-c †e = d-p b- f, Jam

vero c == d & e = f ergo utrimque æqualia au-
ferendo, a = b, ſive AK = KC.

PROPOSITIO VII.
PROBL-EMA.

Ad datam rectam applicare in angulo dato

parallelogrammum, quod fſit *quale triangulo

dato.

Pars I. Tab. I. Fig. VIII. Data ſit recta A;
datum triangulum C; datus angulus D Oportet

ad datam reéctam AB applicare parallelogram-
mum BL= C.

Keſolutio. Parallelogrammum BF= C in
angulo D conſtitui pofſe, patet per Prop VI:
conſtituatur, & factum puta: erit itaque A
FB = BL. Erunt ergo rectæ EB, BA fitæ in
directum, quod fieri poteſt, & ſimul FB, Bl.
complementa parallelogrammorum, & parallelo-
gramma GA, EM circa diagonalem HK; quod
itidem fieri poteſt, ſi compleatur parallelo-
grammum, cujus latera GB, BA, & per puncta
H & B ductatur recta HB, quæ ob angulos
EFH T FHB O 2R, occurret rectæ FE productæ.
Occur⸗

ec

cuj

redl
tur
pro
par⸗
ſus

der

len
P.

tili

rec
date
lus

0.
uo

9

bſ Occurrat in K & compleatur parallelogrammum,
cujus lateta H, FK, & demum producatur
GB verſus M.

I

—,—

bil, lhn
Elelis au. Conſtructio., Fiat GBE== D, & BF= α C,
rectæ EB ponatur BA in direétum, & complea-
tur parallelogrammum GA & ducatur HB, cui
II produetæ FPE, occurrat in K, tum compleatur
9 parallelogrammum FL, & GB producatur ver-
ſus Me: dico factum.

Demonſtratio. Quoniam HK eſt diagonalis;
parallelogramma GA & EM funt circa diagona-
lem, & FB, BL ſunt complementa. Ergo
FB-==BL. Eſt autem FB= A C. Ergo BL= Aα.,.
iech ae; & angulus ABM = GBE = D.

angulo dato
le triangulo

0. Oportet
Melogram⸗ XX P R P O S I Tl O IN.
PkROBIL -EMA. aalbes
s Aln Facere parallelogrammum æquale ſpatio rec-
e —ilineo dato, ſub angulo dato.
d len Pars I. Tab, I. Fig. IX. Sit ABCD figura
nulFB, BB rectilinea, & angulus E datus: oportet facere
R parallelogrammum FM= ABCD, cujus angu-
e lus FKM = E.
aralelo⸗
ncka Keſolutio. Factum puta, & ducatur recta
hen,

goduce quod fieri poteſt per Prop. VI.
Ceeut⸗ II.

—
10 =☛
II. In angulo GHM = E applicetur ad datam

GH parallelogrammum HL = △ DCB quod

fieri poteſt per Prop. VIII.

III. Parallelogramma FH ◻ HL conſtituant
unum parallelogrammum FM. Erit hoc ita, ſi
KH, HM item FG, Gb jaceant in directum; &
KM., FL ſint paralleſæ: jacebunt KH, HM in di.-
rectum; ſi fuerit a; be== 2 R; quod ita eſt ob
K a = 2 R, & b = K; jacebunt FG, GlL
in directum, ſi ſit c π d = 2 R, quod ita eſt,
nam ob KM & FG parallelas c☛ b & c -† d =
b†d = 2 R; erunt demum FL, K M parallelæ,
ſi rectæ FK, LM ſint æquales & parallelæ,
quod ita eſt, cum ſit KF æqualis & parallela
rectæ GH; & GH æqualis & parallela rectæ LM.

Conſtructio. Ducatur recta BD, & in angu-

lo K = E conſtituatur parallelogrammum

FH=ADAB: tum ad datam GH, in angulo
GHM = E applicetur parallelogrammum
HL= △ DCB: dico faéctum.

Demonſtratio. K +a = 2 R, & b = K:
ergo a †+☚ b = 2 R; & rectæ KH, HM jacent
in direétum. Similiter ob MK, FG parallelas
C = b & c † d= b † d= 2 R: ergo FG, Gl-
jacent in diretum. FK = GH, & parallela;
GH = LM & parallela: hinc FK = LM & pa-
rallela eſt itaque FM parallelogrammum: jam
vero FH = ADAB, & HL= A DCB. Ergo
FM = ABGCD.
Coroll.

Corol.
Inveniri pan
gboc ſi ſig
gurle.

Corol.

tar relkangr

**]

Ecere
quale.

Dats l.
gblum B0
gurle gvad

ſla
mouſtratio
rebtangulr
ſtum eſt
Dotelt, P
Redkam (
AHE, 4
centro G
titeulus,
cireumfer
Urit eninx

e 11

tur d dater Coroll. Patet inde, quanam ratione poſſit
d gnod inveniri parallelogrammum ſub angulo dato,
quod ſit figuræ rectilineæ polygonæ cuivis æ=
conlitnu duale.
fechin; d Loroll. Si angulus datus ſit rectus, habebi-
l, HMlindi. tur rectangulum, cuivis ſpatio rectilineo æquale.
dd ita eit ob
uler XXPROPOSITIO X.
noc ite eſt,
dti= PROBLEMA. Srl. hi.
parallelæ,
parallelx, Facere quadratum cuivis ſpatio rectilineo æ-
& pirilels quale.
tecte Ll.
B Pars I. Tab. I. Fig. X. Inventum ſit rectan-
L in angn. gulum B ſpatio dato æquale, petitur huic æ
Ogfammudk quale quadratum Hl.
in ungolo
ogrimmum Reſolutio. Factum puta. Ex ſigura & de-
mouſtratione theorematis pythagorici patet, eſſe
rectangulum BD = HL quadrato. Manife-
eb=K: ſtum eſt itidem 1) eſfe AB = AH quod fieri
NM nnent poteſt, producendo AD ut fiat AE = A B. 2)
herillelu Rectam CD produéctam intercipi angulo recto
9 FG, 6l. AHE, quod utrumque itidem fieri poted, ſi
parellen; centro G ſuper diametro AE deſcribatur ſemi-
LMN. circulus, & CD producatur, donec occurrat
nüm: jam circumferentiæ in H, & jungantur AH, HE.

Ergo Erit enim angulus AHE= R per Prop. III.

Coro. Con-

12 =

Conſtructio. Fiat AFE = AB: centro G, ra-
dio AG, deſeribatur ſemicirculus; producatur
CD, denec occurrat circumferentiæ in H, du-
catur AH, & ſuper AH deſcribatur quadratum
HL: dico factum.

Demonſtratio. Jungatur HE, &£ repetatur
demonſtratio theorematis pythagorici.

Deto

Dars II.
ABD: eri

Meſohe

cuus cent

AbD: er

dn ta C4
A:
Leægules
culi, res
G60=
tertio, S
Quod utr
Duncto a
kem, & .
Asc

endto , ki.
Prodocatur
e in H, dn.
r quadtatum

ten EXERCITATIONUM
V PDARS POSIEROR.

PROPOSITIO I.
PROBLEMA.

. ; . . el. 11 4
Dato triangulo circulum inſfcribere Cal.l „†.

Peoers II. Tab. II. Fig. I. Datur tria ulum
ABD: erit ipfi inſcribendus circulus EF.

Reſolutio. Factum puta: five circulus EFG,
cujus centrum C, cogitetur infcriptus triangulo
ABD: erit ergo CG = CE, cogitetur pariter
du cta CA; erit adeo CG = CE; ſi ſit A GCA &
A△ CEA: quod ita erit, ſi præter angulos ad G &
E æqules (qui propter AD, AB tangentes cir-
culi, recti eſſe debent) ſit præterea angulus
GAC = EAC, Erit enim tunc GCA = ECA
tertio, & AC latus commune ₰tπω GCA, CEA.
Quod utrumque fieri poteſt, cum liceat e dato
puncto ad datam restam ducere perpendicula-
rem, & angulum datum ſecare bifariam.

Simili ratiocinio patet, ducta recta CB fore
. CE= CFe

Cael. .

14 e

Conſtrulétio. Secentur anguli ad baſin DAB,
& A BD bifariam rectis AC, BC; tum ex puncto
concurſus earundem demittatuùr in latus à B per-
pendicularis CE: tum centro C radio, CE defcri-
batur circulus: dico factum.

Demonſtratio. Ex C demittantur in latera
DB, DA perpendicula CF, CG. Eſt (per con-
ſtructionem) G AC = EAC, G = E ergo
GCA = ECA tertius tertio, & ob latus AC
commune erit a CGA CEA, adeoque CG =
CE: ſimili argumento erit CE = CF. Circu-
Ius adeo tranſit per G, E, F: & ob angulos

ibidem rectos (coaſtr.) tangit latera trianguli

PROPOSITIO II.
PROBI-EMA.

Dato circulo infcribere triangulum, *quian-
gulum dato.

Pars II. Tab. II. Fig. II. Datur circulus MN:
oportet ei inſeribi triangulum ABD, æquiangu-
Ium △ GEF dato.

Reſolutio. Factum puta: eſt adeo B = E,
D — F ergo eo ipſo A = G. ber A cogite-
tur ducta tangens TK: erit angulus ad peri-
Pheriam B= TAD angulo ſub tangente TA &
chor⸗

chorda AD.
B= b,
KAB ☛ ,
A liceat ce

Cnru
fümtumdu
KAB=E

Denon,
8B. l
adeogue d

EGE.

1

Dato er
angulum

Tah.I
titur eiden

ACE,

Rgohet
lus A
R G .
lteribust
as eonſtit

15

d bin 04, chorda AD. Similiter D= KA B. Ut ergo ſit
Im er puncto B= E, & D = F debebit eſſe TAD =— E &
latus Abder- KAB=F, quod fieri poteſt, cum ad punctum
bio C defeti. A liceat conſtituere angulum, æqualem dato.

Conſtrutctio. Ad punctum A in peripheria aſ-
ſtur in laters ſumtum ducàtur tangens TK, & fiat TAD= E
Elt (per con⸗ KAB=F; tum jungatur BD: dico factum.
6= E ego
ob hius 1 Demonſtratio. Per conſtructionem E=TAD
CF. Creun. acdeoque triangulum BAD æquiangulum, dato
X ob angulos EGF.

tera triangoli
PROPOSITIO II.
I. PROBLEMA. a I.

Dato circulo cireumſcribere triangulum æqui-
. angulum dato.
um, Znian-
Tab. II. Fig. III. Datur circulus PMOQ., pe-
titur eidem circumſcribi Q AD æquiangulum
circulus MN: AGEbF,
, eg inngn-⸗
Reſolutio. Fatum puta. Erit adeo angu-
lus A = GEF & B= EFG & conſequenter
Jeo D= L, D= G: & circuli radii CP, CM, CQcum
der Arogite⸗ lateribus trianguli AB, AD, DB angulos rec-
olus ad peri⸗ tos conſtituent.
gette 14
chor⸗ Sunt

16 =☛ =

Sunt quadrilateri APCMomnes angauli ſimul
ſumti quatuor re&tis æquales, ſive A † P PCOM
† M= 4 R. Sunt anguli ad ?D & M recti ergo
A F† PCM E2 R, five A=³3 R—– PCM.

Produéto latere FE in R; eſt angulus GEF
= 2 R – GER; ut adeo ſit AQ— EF debe-
bit eſſe 2 RK — PCM = 2 R – CER, five
PCM = GER.

Simili ratiocinio eſt angulus B= z R- PCQ
& producto latere EF in S angulus EFG =

2 R—– GFS: debebit ergo effe ?CQ GFS;

quod utrumque fieri poteſt.

Conſtruttio. Broducatur EF utrimque, &
fiat ad centrum C angulus PCM = GER &
angulus ?PCQ= CES: tum per puncta P, M,
(QAQdacantur tangentes BA, AD, DB. dicto
faetum, .

Demonſtratio. Quod imprimis rectæ DA,
AB productæ concurrant, atque ita triangulum
conſtituant, patet; quia anguli AMC, APC
recti ſunt: ducta ergo MP anguli AMP &
APM duobus rectis minores ſunt, concurrent
adeo rectæ DA, BA verſus A.

JIam vero anguli A PCNM = 2 R & GEF--
GER= 2 R & angulus PCN = GER (per
conſtructionem) erit adeo angulus A= GEF .

Simili

Fimili modl

Erit adeo :
lum ABD

PR

In quoxis
hypotenuſæ
mul lumtis,

Tab. I
angulum: e

ucſo i⸗
Driſcorum 1
A3C0 F
Lola iloſteli
ter ſe cong
diagonales
Darallelis 4
tiocjnio don
recdtangulo
nypotenuſa
tis Euari.
conjecturz
Angulo red

Eioure Iy-

tis Pà, P

uirendum

17

m Suimili modo oſtenditur angulus B = EFG.
CMErit adeo D = G. Et conſequenter triangu-
go Ium ABD æquiangulum dato EG.

PkROPOSITIO MV.
e. THEOREMA. Shir.

ſire
In quovis triangulo rectangulo quadratum
hypotenuſæ æquatur quadratis cathetorum ſi-
(Q] mul fumtis.

1—
; Tab. II. Fig. IV. Sit triangulum PAB rect-
angulum: erit ABCD = BEFP T PAHG.

& COecaſio inventionis. Conſtabat facile opinor
&½ priſcorum temporum geometris, quadratum
M, ABCD Fig. V. in quatuor triangula reétan-
Ro gula iſoſceiia ABE, ClE, DCE, DAE in-
teer ſe congrua diſpeſci poſſe, ſiquidem ducantur
diagonales AC, B00. Dustis vero ad easdem
A, parallelis AF, DF item 3CG, CC prono ra-
rlun tiocinio concludi poterat, in quovis triangulo
eC rectangulo, quod eſſet iſoſeeles, quadratum
P&E nypotenuſæ, quadratis cathetorum ſimul ſump-
trent tis æquari. Veritate hac oſtenſa erat utique
conje turæ locus, an non idem pro quovis tri-
. angulo rectangulo obtineret. Deſcriptis itaque
P Figura IV. ſuper hypotenuſa A B, & cathe-
er tis PA, PB, quadratis AC, PE, PH in-
. quirendum erat, an quadratorum fuper cathetis
B deſcrip-

18 = e

deſcriptorum eæ portiones AHGK, BEC,
CEFM, quæ extra quadratum hypotenuſæ ca-
debant, æquarentur iis APB, DKPM, quæ
quadrato hypotenuſæ continentur: nam quod
quadrilaterum PBCM & triangulum K PA at-
tinet; eſt utrumque quadratis hypotenuſæ &
cathetorum commune. Quæritur adeo, an ſit
AP † DKPM = AHGKk † BECCFM.
Vocetur APB =— c Quadrilat. , K PM — a
Quadrilat. A HCK — e A BEC= ACFNI
— m △ KPA — b demum Quadril. PBCM
— J. Quæzritur ergo an ſit a † c =ePIEm?
Quod ita erit; ſi ſit c = f, & 2 – P m.

Keſolutio. Utrumque verum puta ſit ergo
IJ. c — f. Sive huAPB & △ =-CEB. Erit

hoc ita, ſi ſit AB BC; PB = BE & angu-
lus PBA — C(CBE: quod ita eſt. Nam A B =
BC, & PB = FB, & angulus A BP † PBC
— PBC F CBE = R; & ABP = CBKk. La-
tus autem BC occurrere rectæ EF in puncto C,
inde patet, ſi triangulum PBA cogitetur ita ſu-
perimponi triangulo EBC, ut congruant, tune
enim punctum A cadet in C.
II. Sit a — e . m. Producatur H verſus
D, & ſit a OGK = n. Erit a — e † m, ſi
ſit 1) m n, & 2) 2 — e n.
1) Sit ergo m n: erit hoc, ſi præter an-
gulum DGK =— IHC =— R, fuerit «) GD =
FC & ⁸) GK = FM.

) Erit

60,
a.
æ
quod
Ant.
ſe &
an ſit
PM.
— 4
CFAN
80
in!

.

Erit

ogu⸗
P0
. La-
4oC,
italu⸗
tung

m, ſ

et an⸗

Dz

tit

— e = 19

„*) Erit Gl) – FC, ſi üt DH – HC =
FE — FC, quod ita erit, fi ſit DAE
APB; tunc enim erit DH — PB =— FE, &
HC — àP= CE. Efſt autem « DHA OQ
AFPB ob AN = àP& D4 — AB & angulum
HAD P DAP= DAPT PAB & HAD=
PAB. Latus autem (D occurrere lateri pro-
ducto HC in O), inde patet, ſi cogitetur triangu-
lum PAB fuperimponi triangulo à& Hh, ut con-
gruant, tunc enim punéctum B cadet in D
₰) Erit GK = HM, fi ſit &B — K —
AF – M, five K 8B=— A M, & hoc ita erit,
ſi ſit A AKBZ: A OMA. Quod ita eſt ob
angulum K AB = ADM = R, & angulum
ABK = HODA ob AæABP 2 A HDA; &
HODA = DA M alterno inter HD, AF pa-
rallelas; adeoque ABK = DAM, & latus
AB = A0.

2) Sit 2= e n. Erit hoc y) ſi ſit e' n = c,

quod ita eſt, ob A DHA Z2 A A PB, per

oſtenſa; & ⁵) ſi ſit a = c, quod ita eſt, quo⸗
niam itidem per oſtenſa eſt b- a =— b † c. Sive

AKABO ADMA.

Compoſitio. I. Angulus EBCP CBP =
CBPP PBA= R. Hinc E BC. — PBA. Efſt
BC= AB, & E = PB. Ergo ACEB O
AABD; & CE—z AP= GEI. Et latus 30.
occurrere rectæ EF in puncto C patet, ſi tri-
angulum PBA cogitetur (uperimponi triangulo
BEC.
B 2 II.

20 ☛ —=

II. Producatur HC verſus D. Angulus
HAD DAF = DAF T+ FAB — R. Hinc
HAD = FAB; eſt DA = AB & HA= AbP.
Ergo AHADO A APB; & DH= PB=
FE: erat autem GH = CE; z ergo DC =
FC. Latus porro C) occurrere iateri pro-

ducto HG in puncto D) patet, ſi triangulum

PAB cogitetur ſuperimponi triangulo AHD.
III. KAB = ADM = R: Angulus HDA=

KAM & HDA= PBA; hinc KBA = DAM,

latus AB=AlIly. Ergo ahAKB △ DMA
& K B= AM- Eſt autem GB – FA; hinc
GK= FM. L
IV. Eſt DCGK — CFM = R & DG=
FC, item GK — FM per demonſtrata: ergo
A DGKOZ △ CFM.
V. Eſt per oſtenſa c = f (I.) & c= e n
(II.) & n êẽ m (IV.) ergo c =— e m; eſt
b † àa — b † c (III.) hinc a — c, ergo a =
e m & a P† c=efm: conſequenter
a † b-c „ραd — e † b5d-† f† m. SiveA BCD=
BEFP PGHA.

CHOLEIONMN.

Propoſitionem modo demonſtratam de ſolo
triangulo reétangulo locum habere poſſe, ſic
analytice oſtenditur: Fig. VI. Contrarium enim
verum puta, videlicet in quovis triangulo obli-
quan-

que⸗

X
ſim
ue
tun
br.

fupt

ven

ulas
Hinc
Ab.

—

6 —
—
pro.
alum

30.

A=
AM,
NMA

hinc

ergo

eFn
1; ett
—

nenter

C0⸗=

ſolo
, ſie
denim
0 obli⸗
nan⸗

1

☛ e 21

quangulo ABC quadratum lateris maximi AB,
æquari quadratis reliquorum laterum AC, BC
ſimul ſumtis, five eſle AB2 = AC2 P 8C2:
ducta ex B perpendiculari B in latus oppoſi-
tum β C, quæ cadat extra vel infra, erit (per
Prop. IV.)

AB⸗ =— AE= + EB2. Sit modo AB==
AC BC: erit
AC= EBC= = AE P EB=.
Eſt EB2 = CB⸗ – CE.
Erit adeo AC= BC= = AE⸗ P† CB2 —
CE= five AC⸗ = AE⸗ — CE= Sive
AC; P CE = AE=.
Eſt AK = AC £ EC, prout videlic et
perpendiculum cadit extra vel intra: adeoque
AE = AC; –☛ 2 AC. EC EC?=. Si ergo
ft AC= † CE⸗ = AE=; erit AC⸗ † CE⸗ =
AC= .a AC. EC† EC-⸗, & £ 2AC.
EC = O, quod eſſe nequit. Hinc proprietas
ſupra allata, ſoli triangulo rectangulo con-

ven'et.

LEM-

DRecl. l,v.

—☛
LEMMA I. AD PROPOS. V.
THEOREMA.

Si data recta ſecetur bifariam, & non bifa-
riam; exceflus quadrati ſegmenti majoris, ſupra
quadratum ſegmenti minoris, æquabitur duplo

rectangalo, tota, & diſtantia ſectionum com-

prehenſo.

Fig. VII. Data recta AB fecetur bifariam
in F', & non bifariam in M: erit BM 2= MA= =
2 A B X M F.

Demonſtratur. BM= = B F † FM =
ABT FM =IAB E AB. MF P FMa.

2

AM= = AF — FNI = AB — FM —

2
4 AD2 — AB. MF E FAM= Ergo M= - AM=
= 2 AB. MF.

LEMMA II. AD PROPOS. V.
THEOREMA.

Si data reda ſecetur bifarlam „ & produca-
tur, exceſſus quadrati totins una cum produéta;,
fuper quadratum productæ quabitur duplo
rectangulo tota, & diſtantia ſectionum com-
prehenſo-

Fig. VII.

FN

Dre

—

tur
e pe
proe
rent
rect
4 Pn

biken
er

ife⸗
pr⸗
1

1l.
Oll=

luct⸗
eta,
eom⸗

14

ee 23

Fig. VII. Data recta A B ſecetur bifariam in F,
& producatur verſus M.: erit BM= — MA =

2 A B. F M.
Demonſtratio. BM= = BF + FM- =
AB TFME ABz † AB. FM † FM.
2 4
AM= = F& — AF = F — AB =

AßB⸗-
FMz — AB. FM +† . B

Ergo BM= -— MA = 2 AB. FNM.

PROPOSITIO V.
PROBLEMA.

Si cujuslibet trianguli latus quodlibet aſluma-
tur pro baſi, hæc vero ſecetur bifariam, tum

e vertice trianguli ad baſim, vel etiam baſim

productam, demittatur perpendiculum; diffe-
rentia quadratorum laterum æquabitur duplo
rectangulo, quod baſis & diſtantia perpendiculi
a puncto biſectionis comprehendunt.

Fig. VII. Trianguli CAB bafis AB ſecetur
bifariam in E, tum in AB vel AB productam
ex C demittatur perpendiculum CM: erit

CB2 — CA = 2 AB- FM.
Reſo-

24 e

Keſolutio. Sit ita: ergo 2 A B. FM =
CBz — CAZ, Eſt (per Lemma I. & II.)
2 AB. FM = BMz -— AMz. Debet ergo
efſe CBz — CA= = BMz -— AMz, five
CB; – BM2 = CA= — AM: quod ita
eſt, cum ſit C Bz -— B Mz = CN2, &
CA= - AMz = CMz. (per bProp. IV.)

Demonſtratio. CM⸗ = CA= — AM, &
GN. = CB2 — BMzZ ; hinc CBz — BM2 =
A2 — A Mz, ſive CBz — CA 2 = BMZz — A M :
autem (per Lemma I. & II.) BM= -— A M2 =
2 AB. FM. Ergo CBz - CA2 = 2 A B. FM.

CB2 — CAZ
Coroll FM = – — Hinc datis
2 A B .

lateribus trianguli datur eo ipſo diſtantia per-
pendiculi a puncto biſeétionis: qua inventa de-

AB
tur A M = — — FM, vel etiam AM =
2

A B
F. M — —, prout perpendiculum cadit intra,
2

vel extra: hac obtenta habebitur trianguli alti-
tudo CM, ope theorematis pythagorici, inde-
que area trianguli CAB. Servit hoc uſui prac-
tico, ubi videlicet latera exprimuntur per quan-
titates numericas, & area accurate eſt inqui-
renda.

*x PRO-

g
ibe
ſt
du
tiͤ

tnn
eri

Ab

Tr
ten

pe

21

17

B. M=
m l. &ll)
Debet ergo
AMA=, ſye
1: quoc ita
CM:, &
t Prop. IV.)

4M, &
— BM =
M: -AM:
12-AM =
2 24. PM.

Miuc datis

Rankis per⸗
inventa de-

m A M =

cadit intta,

kiangali alti⸗
orici, ine⸗
Oe uſui prae⸗
turher glun⸗
e eſt inqui⸗

580

= e 25

rVYPROPOSITIO VI.
PROBILEMA.

Si ex cujusvis trianguli vertice ducatur utcun-

que recta in baſim; factum ex quadrato cujus-

libet lateris in ſegmentum baſeos, lateri oppo
ſitum, æ quabitur facto ex quadrato utcunque
ductæ in baſim, una cum facto utriusque ſegmen-
ti in totam baſim.

Fig. VIII. Ex trianguli DAC vertice D duca-
tur utcumque in baſim A C reéta D B:

erit DCz. AB + Daa. BC = DB2. AC +

AB. BC. CA.

Reſolutio. Sit ita: erit itaque DCz. AB +
DAZ B C - D BzZ AC = A B. B C. A C.
Triangulorum DAB, DBC baſes AB, BC cogi-
tentur ſectæ bifariam in M & N, & D E fit

perpendicularis in baſim AC.

Cum ſit AC = A B † BC = 2 M B †
2 BN = 2 M N = 2 M E †+ E N:
Erit — BDzZ. AC = — BD AB † BG
= — BDZ AB — BDz. BC.

Et A B. B C. A C = 2A B. B C. ME F.
2A B. B C. EN.

Ergo C Dz. AB £ A Ds. BC -— B Dz.

AB — BD⸗., BC== 2AB. BC. ME T. 2 AB.
BC. EN.

Sive

16

Sive C)2 — BD- 2ABFE Ah —0. *
Et ( dividendo uttobique per 2 AB. B6) deit
CDz — BD⸗ AD2 — BD2

2 B0 — P- 5 — = ME. EN.

AD2 — BD=
Quod ita eſt, cum ſit ME = ——

CDz – BDz
Et EN = — — (per Prop. V. Coroll.)
2 BC

Demonſtratio Synthetica Patet, viam rele-
gendo:

AbDz — BD⸗ CD2 — BD=
ME = – ,» EN= —— – .
2 A B 2 8C
Ergo AD — 5 (D? — BED:
. rgo — — — —
„ 2 A B 2 BC
AC

ME F EN = MB † BN = —.
Et Et mu nutipl icando ber 2 A B. 2 A B. 56)

AU= — BD2 BCr CD⸗= — — BD⸗ AB=
AB BC. AC.

AD⸗= — BU2= x* BC-F CD⸗ CD⸗ –— BD⸗ AB=
CDz. AB ADZ. BC=BDZ AB - BD⸗
Ree Dz. A B P A Dz⸗. BC -— B2
AB BC= CD. AB ADz. BC— BDz.
AC.
Ergo CDz. AB F AD⸗. BC-=-= BD⸗-⸗
AC = AB Be. AC. Et (Dz, AB
† Ale. BC = DUBz. ALTAB. BC. AC.

Tab. VI.

lum DE cadat

& N =

Hinc ME.

D42 — D.

— —

2
& . h..
UC: A-
DB2, 42
Siye AB. B0
D92, BC.

Coro.
Hinc 2 B3
A: 40e0i
ld e. F cr
Amn, pundtun
tar tecta;
tur duple
Per junca,

Coroll.
Mroportione
A. BC,

.

—.—
r B
B. B0) erit

MEANN
Dꝛ — B⸗

—

2 AB
.V. Corol))

k, Fiam kele⸗

44

27

Tab. VI. Fig. XXXIV. Quod fſi perpendicu-

Daz -— DBZ=
lum DE cadat extra; erit ME = – —:
2 A B
DB2 — DC⸗
& NE = —
2 B0

—

. AC
Hinc ME =— EN = MN =– — =
2

DaAz — DB2 DC⸗-⸗ — D2-

— — — —

2 A B 2 30
& AB. BC. CA= DAZ BC -— DBZ, BC .
DCzZ. AB — DBZ AB. & A B. BC. CA
DB2. AB † DB2Z. BC= DAA BC DCZ AB.
Sive AB. BC. CA † DBzZ. AC= DCzZ. AB †
DAZ. BC.

9

Coroll. I. Fig VII. & XXXIV. Si baſis AC
ſe cta ſit bifariam; erit A B = BC & AC =— 2 A B.
Hinc 2 A B3 † 2 DBz AB = DCz AB † DA?,
AB: adeoque COD2 P† DA2 = 2 (A Bz † DB2).
Id eſt: Si cujusvis trianguli baſis ſecetur bifari-
am, punétum vero biſectionis & vertex jungan-
tur recta; ſumma quadratorum laterum æqua-
tur duplæ ſummæ duorum quadratorum, fu-
per juncta, & ſemjile haſeos.

Coroll. W. Si angulus aDC ſecetur bifa-
riam; eſt (ob fegmenta lateribus adjacentibus
proportionalia) DA: DC= AB: BC. & DC. AB =—
DA. BC, adeoque DCz, AB= DC. DA. BC,

288

Scl. K, g.

& DA, BC = DC. DA. AB, & DCz AB†
DAZ. BC = DC. DA. AB + DC. DA. BC
= AC DC. DA = AB. BC. CA + DBz. AC,
adeoque AD. DC= AB. BC + DBz=. Id eſt,
ſi cujuslibet trianguli angulus ſecetur bifariam;
recta vero biſecans producatur verſus baſim,
redtangulum ſub lateribus æquatur rectangulo ex
ſegmentis baſeos, una cum quadrato, cujus
latus eſt recta angulum biſecans.

Coroll. II. Fig. VIII. Si ſit OC = DA,
erit DCzZ = DA2, & DCe. AB † DA2 BC =
DAZ AC = AB. BC. CA† DBzZ AC, adeo-
que DA2 = A B. BC † BDz. Id eſt: ſi ex ver-
tice trianguli iſoſceleos ducatur utcunque recta
in baſim; quadratum lateris æquabitur reétan-
gulo ſub ſegmentis baſeos, una cum quadrato

rectæ utcunque ductæ.

PROPOSITIO VI.
THEOREMA.

Sumatur quodvis puuctum extra circulum, &
ex eo ducatur una recta, quæ ſecet circulum,
altera, quæ in eundem incidat: quod ſi quadra-
tum incidentis æquetur rectangulo tota ſecante
ejusdemque parte extra circulum comprehenſo;
incidens hæc circulo occurret in unico puncto.

Fig. IX. Extra circulum BHE ſumatur ut-
cun-

cunque pun
puncdtis D
AB: = EA

Nſoaluna
dii tem CN

duta, AB

angolus
CHaA, ee
ob radios e
mune Utrin
pariter ite
AH = N
n) H.

Denoyl.
AHLP = Al
90 A B=
citeul. 4
90 ACB
(HA =

3

Datam
tota ſeg
tur legmen
Tab. Il

int, t

☛☛–r–r– 29

DeAf cunque punctum A, & AE fecet circulum in
1C. DA., 80 punctie D & E; incidat autem AB; & ſit
EDB. A, AB2 = EA. AD: erit a B tangens.
62. ldetk,
tur bifatim; Keſolutio. Cogitetur ducta tangens AH, ra-
verlus baſim, dii item CH, CB, & jungatur AC. Et verum
rectangulo en puta, AB fſcilicet eſffe tangentem: erit adeo
örto, cnis angulus CBA rectus: & triangulum CBA .
AQACHA, conſequenter CB= CH, quod ita eſt
ob radios ejusdem circuli æquales: AC com-
= M, mune utrique, & AB = AH, quod ultimum
042,50= poariter ita eſt: cum per alibi demonſtrata ſit
.4C, Weo. AH = AEL. AD, & AB2 = AE. AD (per
eſt: iere. hyp.) Ergo AB2 = AH & AB = AH.
toungue etta
Hftur tedan⸗ Demonſtratio. AB2z = AE. AD (hyp.)
um gagtato AH = AE. AD (per alibi demonſtrata). Er-
go A B = AH, BC= CH, quippe radii ejusdem
circuli. AC utrique triangulo commune: Er-
VII go A—CBAOA ACHA. Et angulus CBA =
. CHA = Rk.

PROPOSITIO VII.

kala, PROBLEMA e hn.
cet circulum, 4.
od ſi guadra⸗ Datam rectam ita ſecare, ut reétangulum
tots ſecante tota & ſegmento minori comprehenſum, æque-
enptehenſo; tur ſegmenti majoris quadrato.

nico huncto. .
Tab. III. Fig. X. Datam rectam AB ita ſecare
umetur k. in C, ut ſit AB. BC= CA. .
cun⸗ RKeſo-

30 =☛

Keſolutio. Super AC cogitetur deſcriptum
quadratum CF, & factum puta: erit A B. BC =
ACzZ = A FzZ. Efſt BC = AB — AC.
Ergo AB2 — AB. AC = àA Fz
Et AB2Z = AB. AF J- AFz.
Super A B cogitetur deſcriptum quadratum
ABGD & DA = AB fſecetur bifariam in E, erit
2 EA = A B.
Erit adeo AB2Z = 2 EA. AF P† AFzZ.

Et ABz † Eaz = EAa † 2 EA. AFT AF —

Ea T† AF = Ef .
Ducatur BE Erit (Prop. IV.) BEz = ABz-
◻ EAe.
Ut ergo ſit AB2 T† EA2 = EFz, debet fieri
EFzZ = BEz.

Sive E:F = BE. Quod ſieri poteſt.

Conſtruttio. Super AB erigatur quadratum
AG, tum DA ſfſecetur bifariam in E; & ducta
BE fiat EF = BE: demum ſuper A F deſcribatur
quadratum FC, erit C punctum quæſitum.

Demonſtratio. BE= EF (Conſtr.) hinc
BEZ = FFZ,
Jam vero BEZ = ABZ P EA,
— —à 2ꝰ
& EF2 = EKA † AF = EA FAC = EA2 †
2 EA. AC ACZ.

Ergo

A erit ita
jns AC;
tam 30.

extremam
Ulum haber

PRObLI

Etto Pi

SA-

ſolun,

1 .

G
=

Dhiqne
N gebet,
ritur,

tur geletiptum
erit 4B.,80—
— AC.
al⸗
AE.
tum quadratum
lam in E, erit

A.
AAteh 2

5E2 = Ab:
2, debet beri

hotelt.

tut qvadratum
A Gelcribatut
queſtun.

1,
Conſtr.) hine

31

Ergo AB2 † EA2 = EA 2 † 2 EA. AC-†ACZ.
Eſt 2 EKA = AB (conſtr.)
Ergo ABz = AB. AC AC⸗

AB –— AB. AC=AB=–AC. AB.

Coroll. AB: AC= AC: BC id eſt: recta
AB erit ita ſeéta, ut ſit tota ad ſegmentum ma-
jus AC; uti hoc ipfum ad reliquum ſegmen-
tum BC. Qued dicitur rectam ſecari penes
extremam && mediam rationem. Sectio hæc
uſum habet præcipuum in Maheſi Veterum.

PROBLEMA IDEM ALGEBRICE
8OLUTUM.

Eſto Fig. XI. AB = a, AC = xX: erit
CB = a – x.

Leſolutid. Factum jam puta :ͤ erit adeo

ACzZ = AB. BC. Sive

X2 22 — à X

— Et xz= P. I. a 23 —
X³ † ax = a2 , Et x2 † ax †‿Cas =

X= V a † àa2 - . .
Ubi quantitatis radicalis ſignum ſuperius, ca-
Ppi debet, ob valorem X pofitivum, qui inqui-

ritur. Con-

32 ☛r

Conſtrulctio. Biſecetur imprimis data recta
AB in D, tum eidem in puncto B jungatur
ad angulum rectum BF = B0, ducatur AF,
& ex ea abſcindatur Fι = BF, fiat demum
AGC= AG: habebitur punctum C.

Demonſtrat. AC=AG; A G=AF-= FG;

AF =V' BF2 Aà B = V a* -F az.

Ergo X = AC= . BF T AB=-— FG =

2. . a 2 — T.
½ a. † a Za .

Solutionem geometricam, præ algebrica dilu-

cidam & concinnam eſſe facile intelligitur. Pa-

tet interim ex formula algebrica rem in nume-
ris ſuccedere non poſſe: numerus videhicet da-
tus ita dividi in duos factores nequit, ut ſit, uti
ſumma factorum ad factorem majorcm; ita hic
ad factorem alterum. Eſt enim x = V 4 a* P a*
a V 5 — a
2

*

— à = V & a?2 — £ à =:

P

— I FVp, quæ quantitas eſt ſurda.

7

PRO-

Pj

Deto laten

leos er lege,

duplus angul

Fig. XlI.
ita, ut in A

Reſolutie
lus B4 fe⸗
=A, &
24—.
=C0: en
Dunctum
tio dependet
A, interyallo
eidemque
fien potelt,
chorda tang
Puncdkum g
= AB.
(der hino
Ergo Ma:
cando datan

Conril
ettema
Vullo AB

= = 33
rech XX PROPOSITIO K-.

Latur .
emum . .
Dato latere invenire baſim trianguli iſoſce-
leos ea lege, ut angulus quilibet ad baſim ſit
FG;]duplus anguli ad verticem.

Fig. XII. Datur latus AB, petitur B D
ita, ut in A iſoſceli à B) ſit B = U= 2A.

Keſolutio. Factum puta, & cogitetur angu-
lus B) A ſectus bifariam: erit BIC= CDA
in. = A, & AC = 00, & angulus BCD =—
2 A = B: & CD = DB. Erat autem AC
— CD: ergo debet efle BD= AC.

Punctum vero C, a cujus inventione ſolu-
etdr tio dependet, veſtigabitur hac ratione: centro
t, ui A, intervallo A B cogitetur deſcriptus circulus,
eeeigdemque applicata chorda BD = AC (quod
inhi aeri poteſt, cum ſit AC—2 AB). Sit eadem
Tu chorda tangens circuli per puncta D., A, &
punétum quæſitum C tranſeuntis; erit BD=
*½ = AB. BC; & quoniam eſt AC = B0
(per hypotheſin); erit A Cz⸗ = B D⸗
Ergo AC= = AB. BC; quod feri poteſt, ſe-
cando datam AB media & extrema ratione in C.

Conſtructig. Data recta A B ſecetur media
& extrema ratione in C, tum centro A inter-
vallo AB deſcribatur circuius EBD; puncto B

0. 6 appli-

34

applicetur chorda BD = AC; demum junga-

tur DA: dico factum.

Demonſtratio. Jungatur CD, & per puncta
A, C, D deſfcribatur alius circulus. Eſt

BD= AB. BC: ergo (per Prop. VII.) BD

tangens circuli ACD. Eſt B= BDC† CDA,
& BLDC = A: ergo B = A E Cl)A; eſt
itidem BCD = A † CDA: hinc B= BCD,
& BD= AC== CD. & CDA= A: adeo-
que B = 2 A = = BDA.

Coroll. Cum ſit, 2 T A = 2 R,
Et B = 2 A :
. 2 R
LTrit 5 A=2 R, & A= —.
5

SoHOLION.

Si itaque iſtiusmodi triangulum ſit inſeriptum
circulo, & anguli ad baſin ſecentur bifariam ;
erit peripheria circuli diviſa in quinque partes
æquales: ductis adeo chordis erit pentagonum
regulare inſcriptum circulo. Conſtruatur ergo
iſiusmodi triangulum; eidemque ſimile inſcri-
batur circulo dato (per bropof. II.) habebitur
pentagonum quæſitum.

** PRO-

dre

cor
kiye

nge.

in
E
B0
04,
et
0,

adeo⸗

fiptam
riam;
partes
gonunn
r ergo
jnleti⸗
ebitut

3

PROPOSITIO X.
PROBLEMA—

In data magnitudine recta invenire punctum,
quod faciat quadratum ſegmenti unius ad ſeg-

menti alterius quadratum in ratione data.

Fig. XIII. Datur magnitudine recta AB;
petitur in ea punctum C, ita ut ſit AC=: CB=
— DE: EF.

Reſolatip. Factum puta: erit adeo ACa :

CB-⸗ – DE: EF. Inter rectas OE „ EF ſit

media continue Prodortiortali EG.

Erit adeo DE: E — EKG: EF. Cum vero
in proportione continua fſit primus ad tertium,
uti quadratum primi ad quadratum ſecundi; erit

DE: EF = DEa: EG,
Et DE: EG= = ACz: CBe
Ergo DE: E = AC: CB
DE T EG: EG Ga 4C. . CDr CB
Sive DG: Eü = AB: CB.

Quod feri poteſt, quærendo ſcilicet quartam
proportionalem ad datas DG&, EG, AB.

Conſtructio. Inter DE, EfF inveniatur medjia
continue proportionalis EG; tum ad D’ EG
ſive DG, EG, AB quæratur quarta propor-
tionalis BC: habebitur punctum C.
C a2 De-

36 ☛E &α =

Demonſtratio. DG: EG = AB: CB.
Ergo DG — GE: EG= AB— CB: CB.
Sive DE: EC= AC: CB.
DE⸗: EG-⸗ = ACz: CBZ2
DE⸗: EG⸗ = DE: EF
Ergo ACa=: CBz = DE: KrF.

PROBLEMA IDEM ALGEBRICE
SOLUTUM.
Keſolutio. Factum puta: ſit porro DE: EF
Sm: n, AB = a, BC= x, AC = a — X
Erit ACa: CB⸗ = m: n

— 2

aà - X : X2 E m: n
mx? = aas n — 2 anx + nx

mx2 — nx2 ◻ 2 anx = a n

2 anx 22 n
xX² W =
m-n m- n
2 anx 22 nz 22 n2 a2 n
m— n m-n„ m-n m-n
2² n2 † a? nxm-=—n 22 mn
☛ — = —,
m — n m-n

a n a V mn
Ergo X * =
men men

e

U
.

Nx

08.

— b

—☛ = 37

a Vmn-— an
.= . Et vocando mn= p erit
m — n
—— — —
2 = a x P 2. Et a — x = à K
m=- .Z m —
Sive m —n: pP— n = a *„ X,

Conſtructio. Inter m & n datas quæratur
media continue proportionalis p, tum ad m-n,
pP- n, & a, qnarta proportionalis; habebitur
recta CB quæfita.

— ———
Demonſtrat. x = axX AEt 2 =a2X —
m-n m-n
2 2 —
2 — a²2 %p— n Eta — X = 2²2 m — p
—2 ,D —2
m — n m-=-- n

. 2 2 —.—2 — 2
AC : CB = a — x: ² — a* m — p „
— 2 ⁷
. m — n
2 2 2
2²2 % p-n = m – p: p-— n
2 Eſt p = Vmn

m— n

——— 2 2
Ergom — p: p— n = m?— 2 m mn-Pmn:

mn -— 2 n mn †n? = mxm -- 2 “ mn-† n:

nx m — 2 mn -.ρ = m: n
Ergo ACz: BCZ = m: n

38
xX PROPOSITIO XI.
THEOREMA.

Datis in recta magnitudine data tribus pune-
tis invenire inter ſecundum & tertium, punctum
quartum, quod faciat rectangulum fegmentis
totius, quæ hoc punctum efficit, comprehen-
ſum, ad quadratum, cujus latus puncto fſecun-
do & quarto intercipitur, in ratione data.

Fig XIV. In data recta AC dantur tria punta
A, B, C: inter B, & C petitur punctum D
eca lege, ut fit & D. DC: BDz — p: q.

Keſolutio. Factum puta, & fuper AC biſe&ta
in E deſcriptus ſit circulus, & ex D ad cireum-
ferentiam duéta cogitetur perpendicularis DF2
erit FD: DB==—p:q Inter p & q ſit media
Propertionalis n, erit FDz: DB = p2: n2, &
FD: DB = p: n, ve
DB: DP=n:p.

Cogitetur ducta FB; & ex puncto G inter
B & C duérka itidem GH ipfi D parallela:
erit BG: GH — BD: DF.
Ut ergo ſit BD. DF= n: p debebit eſſe
Rèp= BG :CGH Quodc fieri poteſt, fi vi-
delicet rectis n, p, & aflumtz BG duzæratur
Quarta proportionzlis GH.

Con⸗

in H
cirer
med

56
reda
B
cumt
ipfi 6

10

4AD. .

ine⸗

ntis
en⸗

e

ntet

☛—

e 329

Conſtructio. I.) Data AC ſecetur bifariam
in E, & fuper diametro AC deſcribatur femi-
circulus. 2.) Inter rectas p & q quæratur
media proportionalis n. 3.) Inter puncta B
& C aflumatur punctum G, & rectis n, p-

BG quæratur quarta proportionalis GH, & hæc

rectæ AG inſiſtat perpendiculariter. 4. Puncta
B & H jungantur recta BH, quæ occurrat cir-
cumferentiæ in F, & ex F ducatur FD parallels
ipſi GH, dico fatum.

Pemonſroii. BG: 6K— n: P
BG: GH = BD: DFE

BD: DF=n: p
FD: BD= p: n
FD: BD⸗ = p?: næ
pPp?: n? = p: q
FD: BD2 = p: q
FD = AD. DC.
Ergo AD. DC: BD⸗ = p: q.

PROBLEMA IDEM ALGEBRICE
SOLUTIM.

Reſolutio. Faéctum puta, videlicet

AD. DC: BDz⸗ = p: d. Sit AB = a, BC = b

BD = x, CD = b — xX, AD = a . X, a.
DC=

40 — EH
DC = aTxX X b — = = ab -p by — ax — xX2.
BD⸗ = z2, AD. DC: BD⸗ = p: 9
ab -P. br — ax — x2: x2 — p: 9
Px = abq bqx — aqx -— qx
P † qxz F 2 — bq * x = abq

X2 . 22— bd » = àbg
Pp 4 PF 94

—,—2

à g —— ba abe e 4

Ergo x =
V PTPH 2.: pT9

Quæ formula licet conſtrui poſſit; ipſam ta-
men conſtructionem, priori impeditiorem eſſe
acile patebit; idem de ſolutionibus algebricis,
quæ ſequentur, ſentiendum .

J Demonſtratio patet viam relegendo.

PROPOSITIO XII.
THEOREMA.

Datis tribus rectis magnitudine, data item
quarta, hanc ita fecarte in duobus punctis, ut

quadrata ſegmentorum ſint in ratione datarum
trium rearum.,

Fig. XV.

☛

Tri

min
deß
ang
mit

aP.
Drol

Por

dic

1 b-ae
—

4 2. f

Mt; ilam ta⸗
ecitiorem eiſe
us egebticis,

egendo,

XI.

ne, data lem
s pundts, A
tione ſatarun

Hig. AMV.

☛n r; = 41

Fig. XV. Datis rectis AH, BD, CN: data
item quarta ?b Q, hanc ita ſecare in punctis E
& G, ut ſit PF2: GF2⸗ = AH: BD, & PF : GQ*
= AH: CN.

Keſolutio. Factum puta. Erit ergo
I. PFa : GP2 = AH: BD.
Inter AH & BD fit media proportionalis R.
Erit PPa: GF? = AH: BD = AH=: Ra, &
PF: GF = AH: R.
II. PF2: GQ = AH: CN.
Inter AH & CN ñit media proportionalis S.
Erit PF?: GQ = AH: CN= AH=: Ss, &
PF: GQ= AH: S.

Debebit ergo eſſe PF: GH= AH; R, & ſimul

PF: GQ=AH: S.
Quod utrumque ita erit, ſi ſub angulo, qui
minor reécto eſt, ad reéctam BQ applicetur in-

deſfinita PR, & in ea capiatur Pa = AH (ob

anguſtiam loci id in ſchemate minus apte expri-
mitur) ab==R, b T = S. tum jungatur TQ,
& huic ex punctis a & b ducantur parallelæ
a F, b G.

Conſtructio., Inter AH, BD quæratur media
Proportionalis R, & inter AH, CN media pro-

Portionalis S; & reliqua peragantur uti modo
dictum.

De-

2 ☛ ◻ =
Demonſtratio. I. PP: FG = AH: R
PFzZ: FG2 = AHz: R2 = AH: BD.
II. GC: S = PG: P b
PG: Pb = PF: AH
PF: AH = GQ: S
PfF: GCQ =.—- AH: S
PFZ : GQ2 = AHZ : S2 = AH: CN.
Ergo PFzZ: FG2 = AH: BD, & PF= GQ?*
= AH: CN.
Alia ſolutio ejusdem problematis fubnectetur
infra.

SCHOLION.

Elegantior erit conſtructio, ſi mediæ propor-
tionales hac ratione inquirantur: ſuper AH de-
ſcribatur femicirculus, & in A H capiatur A G
= BD & AR = CN; tum ex pundcis
G & R erigantur perpendiculares GL, RM, &
ducantur AL, AM. Erunt heæ reétæ, mediæ
proportionales quæfitæ. Eft enim AM⸗= =
ARz + MR = AR + AR. RH = ARTRH
AR = AH. CN. Et AL = AGa + LG⸗
= AG2 † AG. GH = AG † GH. AG= AH.

BD.
Ope-

Opetatio alg
jus ſumma cap
(N=C DU⸗=
Smn —X—

Fit factum.

ge y = 1 ,
Kive pocand

L:2

2—-

2— M — 5

2nN

. —
— 2 mg:
—

:

Unde dem

PR

Dito trin⸗
hor habert r

—☛☚

AH: R
AH: BD.

B: X.
& Pk: CO⸗

is fapnectetur

ediæ droor⸗
uper A be⸗
eapietur 4 6
er oncis
1L, N, 8
te, medie
m 4 =
6: 1
L 46= All.

Oe⸗

—☛ = 43
Operatio algebrica operoſior longe foret, cn-
jus ſumma capita adjungo: AH = a BD = b
CN = c PQ = m PP= FG = y GCG = 2
= m — X – v7v.
Sit factum: erit adeo Xxa: y2 = a: b erit-
dbd
que 7»„ = x v — .

a 1

b
Sive vocando ¾% — = q erit y = qx
2

CXx2
X2 : 22 = a: c Et 22 = —
2
2 = m – X – y=m— X — qxX

2

2

2Z2 = m — * — dqX = mz — 2 mx + 22 —

cx2
2 mqx ☚ 2 qx²½ = q²*xX* —
a

——

X2 — 2 amq — 2 am 7 X

— — am?*
aq2 † 2 aq Pa — — —
34. 2 6Ta aq2 P 2 aq † — c

Unde demum moleſto calculo indagabitur x.

PROPOSITIO XIII.
PROBLEMA.

Dato triangulo facere aliud fimile, ad quod
hoc habeat ratianem datam.
Fig. XVI.

44 — =

Fig XVI. Triangnlo ABC ſit ſimile A DEr,
& AABC: A DEF=m: n.

Reſolutio. Factum puta, erit itaque
AABC: A DEF=m: u.
Cum vero Triangula fint fimilia; erit A ABC:
A DEF= ABzZ: DE⸗
Erit adeo ABz: DEz = m: n.
Inter m & n quæratur media proportionalis g
2 Erit ma: ra = A B= – DE⸗
Etm: r = AB: DE. Quod feri poteſt.

Conſtruttio. Quærstur inter m & n medis
proportionalis r: tum zd m, r, AB datas quarta
proportionalis DE. Demum ad punétum E ap-
plicetur angulus E = B & D = A-: erit
DEF triangulum quæſtum. Demonſtratio ps-
tet regrediendo.

Solutio data ſuccedet ſemper, ſi etiam rectæ
fint irrationales, aut etiam talis fuerit esrun-
dem ratio. Quo ſi vero fuerit uti numerus ad
n
numerum, itam: n= I.: —; habebitur con-
m
ſtructionis compendium:

n
Cum enim ſit A B2 : DE2 — I1: — erit
1 m

n
— AB2 = DE=
m—

Ergo

U
Ergo — A:
L. G. Rit

Eiit deo

I ek: reb
difariam, & i
gurxratur medl
hitur baſis ttis

—213—
N

Deto cuivi
lig. XVlI.

huic inſeridi

Deſoluti
HE=
Darallelaad!
Dendiculis.
II. Drit
tice perhench
& EH. E
Nypotheiin
dncta cogit
&M: E

=

t ſimile A DEr,

erit itagne
un.
2, erit A AC:

1.

Droportionalis

ſieni potett.

rm & n weci
ABdatis guirta
punctum Lap-
— : eit A
emonſtratio pe⸗

ſetlam reitx
fuerit eskün-
ti numerus 20

habebitut con⸗

eiit

Lreo

= ς☚ = 45

n .
Ergo — AB: DE= DE: AB.
m
E. G. Sit m: n = 2: 32 = I1: 2
Erit adeo 2¾ AB: DE= DE: AB.
Id eſt: recta datæ rectæ AB tripla, ſecetur
bifariam, & inter hanc, datamque rectam AB
quæratur media continue proportionalis: habe-
bitur baſis trianguli quæſiti, quod erit ad datum

— 2: 3 =— 1:; %-

PROPOSITIO XIV.
PROBI-EMA.

Dato cuivis triangulo quadratum inſcribera.

Fig. XKVII. Datur triangulum CAB: petitur
huic inſcribi quadratum EG.

Reſolutio. Sit factum. I. erit angulus G =
H= E — EFG = R, qnod fieri poteſt ducta
parallela ad baſin, & demiſſis inde in baſim per-
pendiculis.
II. Erit EH = EF. Ducta in baſim e ver-
tice perpendiculari CD, erit A AEH W A ACD,
& EH: EA = CD: CA, & ob EH =— EF (per
hypotheſin) EF: Ea = CD: CA. Per A & F
duéta cogitetur indefinita AL & ex C parallela
baſi AB recta CL.: erit EFA „ △⏑ CLA,
& EF: EAà = CL: AC.
Erat

46 ☛ ee

Erat autem EF: EA = CO: CA. Hinc
CD: CA = CL: AC, &
CL= CD, quod fieri poteſt.

Conſtrutctio. Demittatur in baſim perpendi-

culum CD, (quod ſemper fieri poteſt, ſi latus

maximum aſſumatur pro baſi) tum ex puncto C
ducatur ad A. B parallela: & fiat CL = CD:
& dacatur AL. Ex F, ubi AL occurrit rec-
tæ CB, ducatur FE parallela baſi AB, & FG
eidem perpendicularis, demum EH parallela
ad FG, dico factum
Demonſtratio. A CL.A A EFA.
Et CL: CA= EF: EA.
CL= CD. (Conſtr.)
CD: CA= EPFE:; EA.
△ ADC O% △ AEH.
Ergo CDO; CA= EH: EA.
Ergo EF: EA — EH: EKA. Et
EF= EH = HG = FG.
Sunt autem angali ad E, F, CI, H recti:
eſt adeo EFCH quadratum.

PROBLEMA IDEM ALGEBRICE.

Reſolutio. Factum puta: & ſit Aß = b

CD= a EF = à = EH = ND.
A

.

AAC 4

Liyre b: 4

(N=:1

1 5⁵:
Coubrudti
Pkoportionalis
baſi, tum ex
in balin A,

Denmonſroti⸗

UN=
AAn
Urgo (D: 9

22
4: be-=

.
4

CA. Hine

ri potet.

haſim petpendi⸗
potelt, ſi latus
nm es puncto
t CL = C0:
L occurrit rec⸗
fi A8, & NG
n EH petallels

A EA.

)

.
A.
FG.
6, H nd:

GEDEACE.

ſt A =

D.
4

AABC C. Ergo AB: CD= EF:
CN: J

. ax.
Sive b: a = xX: CN = —
5
CNZCD —–— ND=aàa — X.
Hinc — 2 — . Et ax = ab — bx
5
. ab
ax +◻ bx = ab Xx = —
à + b
ab a ²

CN = a — - =
a † b a † b
a ☚ b: a = àa CN.
Conſtrutctio. Ad a ◻ b & a, quæratur tertia
proportionalis CN: ex N ducatur EF parallela
baſi, tum ex punctis E & F perpendiculares
in baſin EH, FG: dico factum.

2

Demonſtrutio. CN = — 5 ( Conſtr.)
. 2 P
. a2² ab
a † b. a b
A ABC A EFC.
Ergo CD: AB = CN: EF.
à2 ab
a: b = * EF= – = DN= EH.

a† be a † b

PRO-

48⁸ ☛ ◻⏑ =

zX PROPOSITIO XvV.
PROBLEMA.

Dato triangulo inſcribere rectangulum ita, ut
ut triangulum ad rectangulum habeat rationem
datam. .

Fig. XVIII. Dato triangulo CAB inſcribere
rectangulum HE X EF ut fit ₰ ABC, five

AB. —: HE. EF= m. n.

. CD
Reſolut. Factum puta, AB. —: HE. FF

E m: n. Fiat HE. EF = AB. DK.

CoD CD

CD
& DK quarta proportionalis ad m, n, & — datas.
2

Et propter AB.- DK = HE. EbF.
Erit AB: EF = HE (DI): DK.
Cum porro fit A ABC A EFC:
Erit AB: EF = CD: Cl.
Erit adeo DI: DK= CD: CI.
Et conſequenter Dl. IC = CD. DkK.

Quod ita eſt, ſi ſuper diametris CD, CK

deſcribantur ſemicirculi, & ex puncto I cogite-
tur

tar ducta ad
tisIN; tum
lela C), oec
& er puncto

ETrit enim

DN
Conſruenia
tur DK, Aen

diamettis K
& vli Periphe
deücet in M
Oernmens per
Nhcitur Al
teri CA in E.
b⸗; & cor
aicd fickum,

Demunhri
N=

Ego (l,
D: D

ANn

Lrgo A .
Ungo AP,
A. P

4) Nt
onem

ribere
fre

cogite⸗

tut

. 49

tur ducta ad peripheriam CND perpendicula-
ris IN; tum ex puncto N ducta N M paral-
lela CI), occurrens peripheriæ CMK in M;
& ex puncto D, MD parallela ad NF.
Erit enim INz = DMz INe = ClI. D.
DMz = CD. DK.

Conſtructio inde patet. Rectæ CD junga-

CD
tur DK, quarta proportionalis m, n — tum
2

diametris OCK, CD fuperfcribantur ſemicirculi,
& ubi peripheria K MC occurrit baſi A B, vi⸗
delicet in M; ducatur perpendicularis MN
occurrens peripheriæ DNC in puncto N: ex
N ducatur ad AB parallela NF occurrens la-
teri CA in E, & ex E ducatur E H parallela
CD; & compleatur rectangulum E H GF:

dico factum.

Demonſtratio. INa = DM-⸗
INz = CI. D. DMz = CD. DK.
Ergo CI. ID = CD. DkK-
ILD: DK = CD⸗ CI.
AABC &O AEFC. Ergo AB: EF= CD:⸗CI.
Ergo AB: EF = ID: DK.
WD = HE.
Ergo AB: EF = HE: DK.
Et AB. DK = HE. EF.

D WMW:; H

☛ꝑ à =

CD
m: n = — : DK
2

n CD
2 m
nAB. CD
AB. DK = = HE. EF.

2 m

DK =

CD AB. CD nAB. CD
AB. —: HB. EF = .
2 2 2 m

=☛& min.

Determinatio Problematis.

n CDz
Eſt DM⸗ = CD. DK = —

2 m

Aut biſecando diametrum CD in Q., erit
CD⸗ = 4CCQ.
2 nCOQO Si D Mz⸗ 2 n

— ivve —— —.*

Ergo DM⸗ =

n 1 .
Sit modo I. — = —; erit 2n = m.
m 2

Et DM= C Q : adeoque M N oeccurret
cireulo CND in unico puncto, & habetur unica
ſolutio problematis, ſi rectangulum inſcriben-
dum fit fubduplum trianguli.

n 1
Sit II. — – —. Sive 2n &m,
m 2

Erit DM = CQ.

Cadet

adeoe
gulun
guli.

zi⸗

DM.

C
Dpunc
hes Pr

EFG
wonh

Gemin
rectan⸗
anguli

ID

1
(0
Drit
AA

br

u

min,

Oecutret
tor uvic⸗
nletiber⸗

(Cadet

4

51
Cadet ergo recta MN extra circulum CND:

adeoque ſolutio nunquam ſuccedet, ſi rectan-
gulum inſcribendum foret majus, ſemiſſe trian-
guli.

n 1
Sit III. — — Si . Erit
i ive 2n = m ri
DM =CQ.

Conſequenter occurret MN circulo in duobus
punctis N, & n: habebuntur adeo duæ ſolutio-
nes problematis; & erit rectangulum quæſitum
EFGCH, vel etiamefgh: cum fſimili modo de=

45 09
monſtratur eſſe pariter — –: he. ef ☛. e: n,
2

Gemina ergo ſolutio habebitur, quotiescunque
rectangulum inſcribendum eſt minus ſemiſſe tri-
anguli dati ABC.

IDEPM PROBLEMA ALGEBRICE.

Reſolutio. Factum puta. Sit autem A B= b
CD =a EH = « EF = y
Erit CD-— EH = CI = a — x.
QαABC O Q EFC. Ergo AB: CD= EF: Cl.
b - b
b: a ==y: a — X. Ergo y =S —
a

abx —— bx ²

Et HE, EF=xy =

4

D 2 Et

⸗2 ☛e e e.

ab abx — bx² 2
t — = — : àax —- X = m: n.
a 2„
(hypotheſis.)
na? na?
Ergo — àaX — X2 Et X2 — 2 X à —
2 m 2 m

na? 2 m a² — Ana*

X2 — X † + a2 = a2 — — ——

ma — 2 na a?s m--en

— — — — — —

Ubi x gemino gaudet valore poſitivo
ab — bx m — 2 n
y= – = ¾¼ b + en b v ——

a m

Pl—

Determinatio Problematis.

1 ,
Sit I. — = —; erit m = 2n. Et
m 2

m — 2 n
— = O0.
m
ab
Ergo 1 =¼ a y=4b Et xy = —

4
Sit II.

po

cum

e
ader

r
duc
tar
S
10,
ito⸗

n: n.

Na?
2 m

ana

—

—
— 21
—

—9
—

= e5 = 52

Sit II. — — 2² u: erit 2 n =& m. Ergov — —
m
imngiurri ; adeoque problema impoſſibile.

n
Sit III. — —– 4: erit 2n ᷑ m. Et
m .

SD n . .
— quantitas realis.
m
m —— 2 n
— – quantitas realis
-

Et † a — 4

.
.

poñtiva .

Quod ſi vero valor radicalis pro X capiatur
cum ſigno poſitivo; debebit valor radicalis pro
y capi cum ſigno contrario, & viciſſim; erit
adeo in utraque hypotheſi produétum xy, idem.

PROPOSITIO XVI.
PROBLEMA.

Datæ rectæ, in directum ponere aliam, ita,
ut rectangulum data recta una cum parte pro⸗
ducta, & parte producta comprehenſum æque-
tur quadrato dato.

Fig. XIX. Rectæ à AB ponatur in directum
BC, ut ſit AB † BCG. BC= AC. CB= BC=

dato.
Reſo.

54 ☛

Reſolutio. Sit fatum AC. CB = BE⸗. Su-
per AB deſcribatur ſemicirculus, ad cujus cen-
trum O ex angulo E oppoſito, ubi recta AB
per hypotheſin eſt produéta, ducatur EO ſe-
cans circulum in F: & juncdta ſit FC.

Si ſit FC =— EB, & FC ſimul tangens; erit
EBzZ = AC. CB; tunc enim eſt FC2⸗ = AC. CB:
erit autem utrumque, ſi ſit A FOC & △ BOE,
quod erit ſi præter angulum ad O communem
ſit O F= O B, quod ita eſt; & EO = 0 C;
quod fieri poteſt, erit ebim tunc FC = EB,
& ob angulum OBE= R, angulus OFC= R;
adeoque FC tangens.

Conſtructio., Secetur AB bifariam in O; tum
puncéto B, applicetur ad angulum rectum, latus
datum BE: jungatur EO; fiatque OC = EO.
dico factum.

Demonſtratio. Deſcribatur ſuper AB ſemicir-
culus occurrens rectæ EO in F: & jungatur FC.
Quoniam eſt ED = O0C, & OF = 0B, &
angulus EOB= FOC; erit h EOB A COF,
& FC = BE & angulus CFO rectus, adeoque

CF tangens; conſequenter CFg = AC. CB,
five BEa AC. CB.

PRO.

Dat
ejusce
reckan⸗
to,
guadt⸗

ig.
jus be
turred

A.
1

ducant

Su.
cen.
1a A
0 ſe⸗

zetit
C8:
80 b,
Uunem
06
.8,

=;

tum
MS

⸗ 10.

emicit⸗
ur kC.
B, &
(O
eoe

(b:

☛ 55
PROBLEMA IDEM ALCGEBRICE.
AB= a BE= b BC = 5 AC = a F X
AC. BC = BEz Eta TX x = N2 Tax = b-
X2 P ax P† a? = 4 a? bs Ergo

x= 4 a⸗ bz — àa.

PROPOSITIO XVII.
PROBLEMA.

Datur quadratum, datur item rectangulum
ejusdem baſeos: invenire duas rectas ita, ut
rectangulum ſub iisdem æquetur rectangulo da-
to, & ſumma quadratorum earundem æquetur
quadrato dato.

Fig. XX. Datur ABs, & rectangulum, cu-
jus baſis AB, altitudo BF, ſive AB. BF: petun-

tur rectæ AH, HB ita, ut ſit A H. HB = AB. PF,

& AHz P HB2 = AB2.
Reſolutio. Sit factum. Si ad rectam E F
ducantur utrumque A H, HB, erit A HA B
AB. BF
= — -— & 2 △ HAB=AB. BF. Super

AB deſcriptus ſit ſemicirculus, erit angulus
AHEB

AH. HB 5
AHB= R, △¹HAB = – – binc 2 AHAEB
2 .
= AH. HB= AB. BF, &, per theorema py-

thagoricum AHZ . HBZ = A B2.

Conſiructio. Super diametro AB deferibatur
ſemicirculus, occurratque rectz EF in H „ &
ducantur AH, HB: dico factum.
— . Afll HB
Demonſiratio. I. AHAB= =-
2
& 2 △ HA B = AH. HB = A B. BF.
II. AHz + HB2 = AB?².

Determinatio problematis.
Latus reckanguli dati vel eſt ſemiſſis lateris
quadrati, aut ſemifie minus, vel majus. In
cafu pfimo ſemicirculus reétæ ad baſim parallelæ
occurret in unico puncto, adeoque unica erit

problematis ſolutio, In eafu ſecunde cirealus

oceurret parallelæ in duobus punctis H & K,
kabebuntur itaque duæ ſolutiones, quas tamen
in idem fecidere patebit, K jungantur AK, KB,
& oſtendatur eſſe △ HAB kAB. In cafu
tertio parallela gadet extra eireulum, adeoque
prôblema folvi nequit. 57

PRO.

P

1

Ad⸗
Fub

dine 2Aas

heotema py.

1

B deleribatur

F in H, &

I. H

—

2
k.

3
us litetis

majus. In.

uim pareleele
ge unica erit

„do irealus

i H& K,
Iuas tamen

1t 4, KB,
B. lnealu

, leoque

RO.

57
PROBLEMA IDEMI ALGEBRICE.

AB = BC== a BF=b AH=X HB=
I.) AH. BH = AB. BF. D
Sive xy= ab, & 2 Xy = 2 ab
II.) AH;Z HB2 = AB2.
X 2 + y2 22
Addendo æquati
quationes x²2 † 2Xy † y²? = a²
Subtrahendo X2 -— 2 yX. ⸗ 2 1
— 2 à 0

—
—
—

Hinc x Py = V àa2 †+ 2 ab.

———,

Xx — V= V az — 2 ab.
a = P 1 .
2 V a2 / ab — as — 2 ab.
X = V a P 2 ab az = 2 ab

2 —
y = V a2 P 2 ab b.
— W a* — 2 ab.

Determinatio Problematis.
= f a:
a ² = 2 ab
W2 an

X
.*

2 2
b 4 a,

78 =☛ =
b — a, ſive 2 b a:

Erit a? —— 2 ab quantitas realis.
b 7 a, ſive 2 b 7 a:

Erit a? — 2 ab quantitas imaginaria.

PROPOSITIO XVIII.
PROBLEMA.

Eidem lateri, ceu baſi infiſtant quadratum
datum, rectangulum itidem datum, majus qua-
drato; petitur latus ita ſecari, ut ſi ex puncto
ſectionis ad angulum oppoſitum baſeos ducatur
recta, rectangulum hac recta, & ſegmento la-
teris, quod puncto ſectionis & puncto baſeos
intercipitur, contentum æquetur rectangulo
dato.
Fig. XKXI. Rectæ à B inſiſtant quadratum AH
& rectangulam AF: petitur FB ita ſecari in G,

ut ſit A G. G B = A B. BF.

Reſolutio. Factum pnuta, & fit AG. CB=
AB. BF. Concipiatur AB produéta in C,
& deſcriptus ſuper A C ſemicirculus AGC,
occurrens rectæ B in G, & cogitetur duα
recta GC: erit BGCO% △ AGB.
Et AB: AG = GB: GC.
Et AB. CG = AG. GB

Ut ſit
elle AB.

Adeogt
EN1
in 10,
l 00
Debebita
Sipe F
6
Ltge!

00N
Debebi
potett,

Cnſn
ducatut
diametro
lus oceur
lleo fach

Dem⸗
F
FO:.
20

hadratum
majus qua⸗
ex puncto
eos ducatut
gmento le⸗
do baleos
teangdo

dratum All
ecai in 6,

G. GB=
cta in 6,
A 6G0,
ekur Aucts

38.

Ut

☛ = 19

Ut ſit adeo AG. GB = AB. BF
. = . BF' debebit
eſſe AB. BF = AB. CG. Sive BF = CG
Adeoque BFzZ = CG-⸗ H
Eſt (ſi ſecetur bifari i
tur FO.) BFa = FCe A. O5b. ..
n CG⸗ = GB-= † BC⸗
ebebit adeo eſſe FO⸗= - O B⸗ .
—- OB = CGB= † BC*
Sive FO; = OB2 † 3G² H
HM . = rd AB. BC= 20B. 8BC.
g. 2 = OB= † 2 O0B. BC† BC⸗ —

— -2
OBrBC =— OC⸗.

Debebit adeo fieri OC = F
Pares, — FO. Quod fieri

Conſtructio. Data AB biſecetur in 0
ducatur FO: tum fiat OC = FO, & D .
4 , uper
iametro AC radio KA defſcribatur ſemicj
lus occurrens rectæ BF in G, & d ut i
dico factum. ree Ced

Demonſtratio. Ducatur imprimis GC.
FO= OC= OB P BCG .
FO: = OB F 208. BC E BC:
2 0B. BC = AB. BC = GB⸗
FO⸗ = OB-⸗ † GB⸗ † BC-
FOsS = OB

60

2 – OB⸗ = GB⸗= † BC⸗
I- OB⸗Ee, & GB BC⸗ = GC⸗
Ergo FB⸗ = GCz, & FB = CGC;
adeoque AB. FB = AB. GC.
A△AGB △ BGC
Et AB: AG = GB: GC
Ergo AG. GB = AB. GC.
Erat autem AB. GC = AB. FB.
Ergo AG. GB = AB. FB.

PROBLEMA IDEM ALGEBRICE.

AB= a HF = b BP = a T b
BG = y AGl = V as P† ye
AG. GB = AB. BF

yz = aa .
y V'as P† y? = a † ab

2

= a² P ab
a2 y² † y d,
y4 + a2 y2 = a2 † ab

—.,.—

— P a2 † ab
y4 † as y2 † † a 4 = ¼ 24 T

ye* T a⸗ = † az † ab

—,—

—.6—

y2 = — 4 22 † * 4 † as † ab

y =

PR

Dantur
tur item te
nuſa deſe
nt gwadrat
Drid eder
rectæ Gat.
Fig. N
minor 00
ſeribi trian

HN — .
Roſaln

redangon
deleribadn
eircumtet
II. Iof
tranleat 3
cnmkeren
tis ME)
Et HH.
U⸗.

PROPOSITIO XK.
PROBLEMA.

Dantur duæ rectæ diverſæ magnitudinis, da-
tur item tertia: petitur ſuper hac veluti hypote-
nuſa deſcribi triangulum rectangulum ea lege,
ut quadrati catheti majoris ſuper quadratum mi-
noris exceſſus, æquetur exceffui quadrati majoris
rectæ datæ, ſuper minoris datæ quadratum.

Fig. XXII. Dantur rectæ, quarum major AB,
minor CD, & tertia EF: petitur ſuper EF de-
ſcribi triangulum rectangulum HEF ita, ut ſit
HFzZ — HE2 = A B2 — CD-2.

Reſolutio. Factum puta. I. Erit adeo A△HEF
retangulum, quod ita eſt ſi ſuper diametro EF
deſcribatur ſemicirculus, & ad idem punctum
eircumferentiæ inflectantur duæ rectæ.
II. Inflexæ cogitentur ad punéctum H, illud
tranſeat perpendicularis IM prodnéta extra cir-
cumferentiam, & jungantur puncta E, M, F rec-
tis ME MF. „
Eſt FH* = HI † FI; = HI² † MFZ -— MIZ
EH = HI PIE; = HI † EM* —— Ml2.
Erit

62
Erit adeo FH2 — EH2 = MF= – EM?*.
Ut ſit adeo FH — EH2 = A B2 — CD2;
Debet fieri M = AB, & EM = CD.
Quod fieri poteſt,

Conſtructio. Super data EF deſcribatur ſemi-

circulus: tum centro F radio FM = AB deſcri-

batur arcus, centro item E radio EM = Ch
deſcribatur arcus, qui ſibi occurrant in M: ex
punéto M demittatur ad Ef perpendicularis MI,
occurrens peripheriæ circuli in H. Demum du-
cantur EH, HF: dico factum.

Demonſtratio. Junctis MF, ME
Eſt AB = MF2 = MlI P IF2 = MI=
HF= — Hl=-
CD= = ME2 = MI-= P El = MlI2 F.
EH — HI*.
Ergo AB2 — CD = FH — EH.

Determinatio Problematis.
Ex conſtructione evidens eſt, problema tan-
tum fieri poſſe, ſi data tertia recta EF ſit minor
ſumma reliquarum AB, CD.

PRO-

X P

Detis bat
recta poſiti
inyenire late

Fig. XX
= 10 data
titur, 50,
Rialmm
B
C2.
it Ah ſes
Kantin perpe
Drit BCn

Urgo 2)

NR M=
KK 24:

Nt M

4C.

MS—

4

— HM,
— (;
EM = (0.

cribatur ſemi⸗
—= 4Ab Gelcri⸗
EM = 00
ntin M·!: ex
Gicularis MII,

Demunm du⸗

Nti.
roblema tan-
E' ſit minot

NO-

☛☛ ee e. 63

** PROPOSITIO XX.
PROBLEMA.

Datis baſi trianguli, differentia laterum, &
recta poſitione, ad quam fit vertex trianguli,
invenire latera, ipſumque triangulum.
Fig. XXIII. Datur baſis AB, & BC — CA
= PQ datæ rectæ, & recta DE poſitione, pe-
titur, BC, CA & Q△ CAB.

Reſolutio. Factum puta: ergo BC=CA † PC.
BCzZ = ACz E 2 AC. PQ † P0=
BC3 - ACUZ = 2 AC. PQ † PC2
Sit AB ſecta biferiam in F. Sit autem FM di-
ſtantia perpendiculi a puncto biſectionis baſeos:
Erit BCzZ — ACa = 2 FM. AB (per Prop. V.)
Ergo 2 FM. AB = 2 AC. PQ †+ PQ⸗
AC. PQ. PQ⸗

AB 2 A B

P Q

Sit 2 A B: PQ = ?PQ: GF: erit GF=
2 A B

AC. P
Et FM = — GF Sive FM -FG =

Et

64

Et AB: AC = PQQ: MG.
Erit autem AB: A C = P0: MG;
Si fuerit I. KH: CH =- PQ: MG
Et II. K H: CH = A B: AC
primum ita erit; fi fiat GI = PQ, & due
cantur perpendicula GH, IK.
Alterum ita erit; fi centro K radio KL==AB
deſcribatur arcus, cui occurrat HA producta in
L: tum per A ducatur AC parallela ad LK.
Quod utrumque fieri poteſt.

Conſtructio. Secetur AB bifariam in E;
tum rectis 2 A B, PQ capiatur tertia proportio-
nalis FG. Deinde fiat Gl = PQ, & ducantur
GH, IK perpendiculares ad AB, quæ occurrant
rectæ poſitione datæ DE, in punctis K & H.
per H & A ducatur HL, & centro K radio
KL= AB deſcribatur arcus occurrens rectæ Hl.
in L. Et ex puncto A ducatur AC ad KL pa-
rallela. Demum ducatur CB. Dico factum.

Demonſtratio. Ducatur in baſin perpendicu-
laris CM. Propter ₰u HLK W△ △ HAC
KL: KH =—G CA: CH ſive AB: A CE= KH: CH

Propter IK, MC. GH parsallelas. erit
KH: CH= GI (PCQ): MG

Ergo

Ligo Aö:
M6=

M=
F=

Ergo TN

R1M.
245,
Ergo B0—
lr=
NS=
b06 —

PROM
Hir. XX

gluti,.
Qum 4 eo
Gienlerig Al

den erhenl

Ldu:

lucta in

1d LK.

in E;
portio⸗
Gcandor
Ccurrart
&H.
K mdio
ecle Hl⸗
Kl pe⸗
Kum.

rencien⸗

4
NM.C

— =. 65
A0. P0
AB

Ergo AB: AC= PQ: MG Et MG =

PO=
FG = 0 (Conſtructio)
2 A B

AC. bO P0=
AB 2 AB
Et 2 AB. FM = 2 AC. PQ P PO⸗=
2 AB. FM = BC2 — CAa (bProp. V.)

Ergo FM =

Ergo BCa — CA2 = 2 AC. PQ †. PC⸗

BCa = CAs † 2 AC. PQ P
BC = CA P P0
BC — AC = PQC.

PROBLEMA IDEM ALGEBRICE.

galurto. Cum detur DE poſitione & pun-
cKtum A; eo ipſo determinata eſt ad OE perpen-
dicularis AR = a. Similiter ex puncto B ad ean-

dem perpendicularis BS = b. Determinata eſt

E adeoe

66 ☛ ◻ =
adeo magnitudine recta R8 = c. Eſt demum
data ?b Q = f. CB = y. AC-= xX. Ergo
y — 2= f. Et y = f †£ xXK = CB
—.,.—²
CB2 = f †+ x = x2 2 fx ◻ f=

RC = V ACZ — Ak2 = V 2 — ²*

SC = SR — CE = c — Vx — a=
SC= v CB2 — SB= VX* P 12— b.
*— X2 — àa2 = V x2 P 2 fx .◻ f? — ba.

cs — 2 C/ X2 — as . X2 — 22 Xx2 +
2 fx + f⸗ — ba,
——
ba c2 — f2 — a?2 — 2 fx = 2 CV x2 — a2,

2 Pc2 — f2 — a2 — fxX —,—
— = V'Xx — a2.

2 CG C
ba α c2 —– fe — a2² f
. —— —m, — = n. ,
2 G C

m =-- nx = V X2 - 2àa
ma -= 2 mnx n⸗ X²½ = x2 —- 2²
a2 ms = Xa= — n Xx2 ú2 mnx
2 mn aa me

—.— ½ =
Ir= 2 . 1— nR2

Unde
dato

epu
s p
poh
44d po
gulu
dcenn
Egu⸗

Ent
in be
ſ dn

emum
Urgo

1☛

Xæquale.

☛ ₰°

ſma n?² as me e mn
— . —— cn
X=2 2 T† 1 — n⸗ 1— n2 —
I — n?*
= ma n? † as m? X 1 é n? — mn
1 —- 32

= yVaz † me — ae n -- min

1— n 2
Unde rurſum ſubſtituendo loco m & n valores
datos habebitur x, & y — f + x.

PROPOSITIO NXI.
PROBLEMA.

Dato rectangulo, datis item duabus rectis,
e puncto extremo baſeos intra rectangulum due-
tis poſitione: invenire in baſi ad partem op-
poſitam producta punctum, ex quo ſi ducatur
ad poſitione datam, quæ majorem cum baſi an-
gulum conſtituit, parallela alteri poſitione datæ
occurrens, habeatur triangulum retangulo dato

Fig. XXV. Sit datum rectangulum FA. AD.
ſint rectæ AG, AHl datæ poſitione: petitur
in baſi verſus D producta punctum K, ex quo
ſi ducatur KL parallela ad AG, ſit LAK
E 2 Reſo-

68 =☛ 5 =

Reſolutio. Factum puta, & FE producatur

verſus H. Ob GH & AD parallelas angulus
GHA= LAK, & ob AG, & KL paralle-
las angulus GAH = ALK.
Ergo A— Gια“H O A ALK.
Et △ GAH: AALK = GH: AKka=,
Jam vero A˖AH = CGH.
2
& A ALK = FA. AD (hyp.)
⸗ FA
Ergo ſubſtituendo GH. — : FA . AD
2
= GH: 2 AD = GHz: AKz, quod ita eſt,
inter GH & 2 AD quæratur media conti⸗

nue proportionalis AK.

Conſtruäétio. Fiat hoc, & ex puncto K du-
gatur KL parallela ad GA: dico factum.

Demonſtratio. GH: AK = AK : 2 AD
GEH: 2 AD = GH: AA
A GAHO A ALK.
A△ GAH : A ALK = GH-: AK⸗ =

GH
GH:2 AD = : AD= FA. : FA-AD.

Hine AGAH: AALR= FA. FA. AD.
A

D
rede

Dara
en
tion
enmn
duce
(qua
Paral
duns
egne

E
item
Petiti

gucatut

tngolus
Paralle⸗

AEa,

Hit elt,

1 conti⸗

kum.

140

AK⸗

FAAM.
l.A0.

☛ ☚ 69

AGAH= FA. .

Ergo A ALK = FA. AD.
„ PROPOSITIO NXII.
THEOREMA.

Dato rectangulo, dato item angulo, quem

recta, per punctum extremum baſeos verſus

parallelam baſi ducta, cum baſi conſtituit, dato
item puncto in eadem parallela ejusdem por-
tione huic angulo oppoſita, invenire in baſi ad
eam partem, ubi hoc punctum ſitum eſt, pro-
ducta, aliud punctum ea lege, ut triangulum
(quod baſis produéta, recta ſub angulo dato
parallelam baſi tranſiens, & demum recta per
punctum datum & quæſitum ducta conſtituunt)
quetur rectangulo dato.

Fig. XXVI. Datur rectangulum AC., datur
item angulus GAB, & præterea punctum P:

petitur in baſi producta punctum K ita, ut ſit

△HAK = AC.

Reſolutio. Factum puta: erit ergo AC =
A HAkK. broducatur DC, & ex puncto B
dacatur B M parallela ad AR: erit A M= AC.

Ergo

70 S n

Ergo AM = △ HAK.
AM= ARPQB F† PCCE QCMN NBOQ
AAKH=ARPOB RPH PBKN † NBQ
Ergo ablatis utrimque ARPQB† NBQ
Erit Ab-PQ ρ. CNM = A RPHEA
BKN. Eft A-PQC CQNM=A PNM.
Ergo △ PNM = △ RPH △ BKN.
Eſt ob AB, CM; item AR, BM parallelas
angulus HRP =— HAK =— MBK
Et angulus HPR— MPK verticali = PK B

Ergo A RPH A BKN &X“BRN ½
PNM.

Ergo △ PNMO A RPHO A BKN.
△ PMN: A RPH= PMz: RPz.
△ RPH:; æ BKN = RPz: BKz.
A RPH †£+ △ BKN: ARpH = = RPz α.
BKz : RPz.
△ RPHT A BKN = A PMN. (hyp.)
△ PMN: RPH = PMz : RPz⸗ =
RPz † BK⸗: RPz.
Hinc PMz = RP⸗ P BKz.
Et PMz -- RP⸗ = BKz.
Er PM RP: BK = BK: PM — Rbp.
Datur

DUn
ob dat
Gabitn
4l
Qu
M-
C
ſitme
per
De⸗

euonle

B
4
Uge
N!
Eſt
M:
Rbz.
Rbr.
5Mr:
4

4

N0
N0
60
IEA
N.
N.

tallelas

DKB
NONA

Abe

N)

— R.

Detar

= ⏑ = 71
Datur porro RP † PM = AB, cum pariter
ob data puncta B, P, M detur PM, & RP;
dabitur hoc ipſo PM — RF': erit adeo
AB: BK = BK: PM-— RP.
Quod fieri poteſt quærendo inter AB, &
PM — RP mediam continue proportionalem.
Conſtructio. In recta BF capiatur BK, quæ
ſit media proportionalis inter AB & PM — RP5
& per K & P ducatur recta KH: dico factum.
Demonſtratio. Ducatur ad AG ex puncto B
parallela BM: & producatur linea DC in M.
AB: BK = BK: PM — RP (Conſtr.)
AB = RP † PM
Ergo PM RP: BK = BK: PM -=— RP
Et PMz — RPzZ = BKa
PMz = RPz † BK⸗
Eſt A PNM Oι A BKN A RPH
PMz : RP2 = A PMN: ARPH.
RPz: BK⸗ = A RPH: A BKN.
RP2 P BK⸗: RP⸗ = A RPH † A BKN:
RPH. Eſt RPz † BK⸗ = PMz⸗
PMe=: RP2⸗ – △PMN: ARPH=
RPH A BKN : A RPH
A△ PMN = A RPH A BKN.

A PNM = PQCE CQNM.
Ergo

72 ☛num³ h L
Ergo POC . CCNM = A RPH T A BRN
Et ARPOQB – PCQC COQNM NBQ =
ARPOB P RPH † BON . BKN.
Sive parallelogrammum AM — °AKH.
Eſt autem Parallelogrammum AM — AC

rectangulo „ quippe ſuper eadem baſi, in-

ter easdem parallelas.
Ergo demum ABCD — AKH.

Determinatio Problematis.
PM RP — AB.
PM RP — 2 RP — AB — 2 RF
PM — RP = AB — 2 R b.
Ut itaque ex recta PM pofſit auferri recta ub,

AB
dabet eſſe AB 7 2 RP, five — 7 Rb. Ut ita-⸗
2 .

que problema fieri poſſit; debet diſtantia pune-
forum R & P eſie minor ſemiſſe baſeos.

PROBLEMA IDEM AIGEBRICE.

Reſolutio. Ex vertice H in baſin AK, due-
ta concipiatur perpendicularis HS. Sit autem
AB = a RP= c DA = b HS=x HT
5 — b BK = 2 AK = a z.

A B,

4

—
Urge
Ra
32
2
& .

tionalis

*

der
gui con

— = 73

TP ,AS
bnade AB. AD = . HS
= AAKH =
ab = =
2 — ——
AM = A 2
em bal, E ir 2 ab = ax † =z3 5 = 2 ab
—
. a P†Z — —
mutit. AKH RH. a⸗
AK : RP — HS: HFT.
N arz: cæ 2 ab ab — bz
.
lleni ecl d, ☛ 2 a: a — 2 1⸗ 2
5 Ergo 3 2 ² C .
yll, Ut its⸗ 42r — : = r- 2.
22 = a² — — 7 = 2 ac. E
2 ac; adeoque

t Ciſtantis Pune⸗

a: 2=—
le baleos, r
2 c. Quod fiet, ſi inter a
*

Ppolce. tionslis „ quæratur media continue pr
1G WLe * eterminatio Problemarr iure
uti ſupra.

bahn AK, dus⸗
⸗ PROPOSITIO XXII.

. Kt antem
. er .
. atum punétum deſfcribere circulum
6⁶

4 qui contingat duas rectas poſitione datas
Fig.

74 —„ =
Fig. XXVII. Datur punctum A: petitur de-
ſcribi circulus AKl contingens rectas DB, BC.

Reſolutio ſit factum, & centrum circuli ſit H.
Erit I. H K— HI. Quod ita erit, ſi ſit A tIKB
O.& HIB. Erit hoc ita, fi int anguli ad K, & I
(qui ob contactum recti eſſe debent) inter ſe
æquales, & angulus K BH — IBH. Erit enim
tunc K HB = BEHI, & latus BH commune.
Quod utrumque fieri poteſt, ſi videlicet angu-
lus D BC fecetur bifariam, & ex H ductæ co=
gitentur perpendiculares HK, Hl.

Erit II. HA = HI. Quod pariter ſie eſſe pu-

ta: erit hoc ita, ſi ſit GE = EF, & HA: EG
— HI: EF. Erit GE = KF., fi in recta BN
biſecante angulum DBC capiatur punctum E,
ex eoque demittatur perpendicularis EF, &
centro E radio à G = EF defcribatur arcus,
occurrens junctæ AB. Erit pariter
HA: EC= HI: EF.
sSi dt BI: BE = AH: EG, & fimul BH=
BE = HI: EF. Quod ita erit, ſi ad EG ducta
fit ex puncto dato A parallela AH occurrens
rectæ BN in H, & ex puncto H, perpendi-
cularis Hl ad BC. .

Conſtructio. Jungatur A B, tum ſecetur an-
gulus BC bifariam recta BN: ex rectæ BN.,

puncdto arbitrario E, demittatur, in BC, per-

pendicularis E. Centro E. radio G =— *
deſcribatur arcus, occurrens rectæ AB in G:
junga-

*

ungitur G,

tallela AH,
All demum de

Denonron
B0 perpendie
l. Angalus
recki: ergo K
mune: ergo .
Il.OAH
C.
Et ob Hl, E
HI:!
Uigo AH:
e
Urpo A
Denm,
Cüm ment

A in guobns

NNII; eri

ancitit )
l enin.

Urob parl

S

4a: hetitut de⸗
edas DB, BC.

im eirculiſit .
ſift AHKB
ngnliadK, &l
bert) inter ſe
H. Drit enim
BEl commune,
zidelicet angn⸗
H adæ co⸗
Hl.
ter ſi ele pr⸗
„,& HaA: EG
ſi in retta V N
. Dunckum E;
lacs N . E
Erihatur acus,
rſter

& Kinul 6H:
.H occurrens
H, krn

tun leetu .
ex tecte

24 n 6.

junpe⸗

= = 7

jungatur EG, & ex puncto A ducatur huic pa-
rallela AH, occurrens rectæ BN in H. Radio
AH demum deſcribatur circulus: dico facétum.

Demonſtratio. Ex H demittantur in BD,
BC perpendiculares HK, HI.
I. Angulus KBN — CBN.: anguli ad K &
recti: ergo KHB — BHI. Latus BH com-
mune: ergo ſ. BKHZ △BlH, & HK = HIl-
II. Ob AH, EG parallelas BH: BE = AH:
EG.
Et ob HI, EF perpendiculares BH: BE = =
HI : EF
Ergo AH: EGC = HI: EF.
EG = EF; (Conſtrauctio.)
Ergo AH = Hl.

Determinatio Problematis.
Cum arcus radio EF deſcriptus occurrat rectæ
AB in duobus punctis G Fig. XXVII. & g Fig.
XXVIII.; erit pariter radius quæſitus hk, ſi ad
Eg ducatur parallela Ah.
Eſt enim I. ob Ak B h = h Bi, h K = hi
Et ob parallelas; Bh: BE = Ah: gE
Bh: BE=hi: EF
Ergo

76 ☛ 55 =
Ergo Abh: gE = hi: EF
gE= EF Ergo Ah = hi.
Geminam ergo problema datum admittet So=
lutionem.

IDEM PROBLEMA ALGEBRICE.

KReſolutio. Sit factum, & angulus DBC ſec-
tus bifariam: eſt angulus BIH rectus, & AH
– Hl. Cum vero detur angulus DBC; datur
etiam dimidius HH BC. Fig. XXIX.

Erit adeo BH: HI = ſin tot.: Sin HBI = p:
Sit BH = x.
7 x

Erit x: HI = p: q. Sive HI = —

producatur data poſitione B H, in N; & ex
dato puncto A, demittatur in eandem perpen-
dicularis AN . Erit A N data; datum adeo
punctum N, & ob datum punctum B erit B N
pariter magnitudine data. Sit ergo N= b, A N
= a: erit HN = b – X.

—

AHl=vXNTTIN = db. — X

III = — L
p
AH = HI
Ergo a2 b = d

r ² ◻

7

„b-

23, Pbe

2.—02
P2 —

— —

2 b

— —
“
Det
Hyjus ægn
Reddde dude
Unde pera
Liit 1 =

Veletimxz

Der dno
Alifmul tn
1g. W
eulns 4lB,

h = hi,

um admittet 90⸗

GEDRICE.
nlus DBC ſee⸗
tectus, & AH
Ius DBC; datur
XIN.

Sn HBI= D

H=
IaN; A

eandem perpen-
4; Catum 10e0

Aum B erit 6N

lN= =, AN

—

1

.

☛ E 77

2„½2

2 ² † b? -— 2 bz P x² = —
a ²p² be* p²* — 2 bpx px2 = q **
pXx2 — q*X* —- 2 bp xN = -- a p-- bepa

— 2² — b* X p*
2 2 — bzZ
— 1 = — .
P— q* P — q2*

Determinatio Problematis.

Hujus æquationis utraque radix eſt poſitiva,

adeoque habetur gemina ſolutio Problematis.

Unde peractis reliquis operationibus
. bp? P p an q T. baq; — a2 pzZ
Pe — de

Erit x =

Vel etiam x =

hp? -D d Eba de a: d
P2 — 4 “”

** *½ PROPOSITIO XXIV.
PROBLEMA.

Per duo puncta data, deſcribere circulum,

Aui ſimul tangat rectam poſitione datam.

Fig. XXX. Dantur puncta A, B: petitur cir-
eulus ALB, contingens rectam CG.

Keſo.

78 = 5 =

KReſolutio. Sit factum: & centrum in K.
Erit adeo

IJ. KB== KA Quod ita eſt, ſi juncts AB,
ſit AEK △ BEK; & hoc ita eſt, ſi an-
guli ad E utrimque ſint recti, & ſit A E = EB;
erit enim tunc latus KE commune utrique tti-
angulo. Erunt autem anguli ad E reéti, &
AE = EB; fi ducta chorda AB ſecetur bifa-
riam, & perpendiculariter; ; quod fieri poteſt.

II. Producatur EK in F, & jungatur BF,
& fit Kl. = K B. Erit hoc ita: ſit HI =
HG; & KB: HI = KL: GH. Erit HI = HG,
ſi in EF, capiatur punctum arbitrarium H, &
ex H ad ad CF demittatur perpendicularis HG:
tum centro H, radio Hl = HG deſcribatur ar-
cus, occurrens junctæ BF.

Erit autem KB: HI = KL: HG.,
Si ſit I. FK: FH = BK: HI
Et II. FK: FH — KL; HG.
Pprimum erit, ſi ex B ducatur BK parallela
ad HI, occurrens rectæ EF in K; & alterum
ita erit, ſi ex K ad CG ducatur perpendicularis
KbL.
Conſtructio. Jungantur imprimis punécta A
& B, tum ſecetur AB bifariam & perpendicu-
lariter in E, ducaturque BF. In recta EF ca-
piatur punctum arbitrarium H; ex eoqne de-

mittatur ad CF perpendicularis HG: tum cen-
tro

£

tro H radio H
curtens fette
& ex punco .
currens rectæ
ſcribatur circul
Demonſtre
ris Kl.
l. Junt ang
latus commune
Et Ka = KS
II. ER ob
K = H:
RW., BS
Vigo H0.
HG =
Etgo K

Det.

Areus cen
te e DE guea
ſ ergo unge
Datallela B1
tns eodem m
ad (C Derpen
MH.: Er. .
M: Fer
Urgo 3
Ntob 4

=
centrum in K.

ſ junct 43,
ita ett, ſi an.
& it A = ES,
nune utrique tii⸗
2ad E recti, &
AB becetur dike⸗
od iieri poteſt.

X jongatur BF,
1: ſt Hl =
bitrarium H, &
endiculatis HG,
6 deleribztur a⸗

3 Vo,
ll

1.

ur BK perallehe

K; & Aterum
Pethenciollui

grimis Duncki 4
& petpencin⸗
In retta Dl er
e eolne de⸗
B6: tum cell⸗
tro

=—☛☛r 292

tro H radio HI = HG deſcribatur arcus, oc-
currens rectæ BF in I. Demum jungatur 1H;
& ex punéto B huic ducatur parallela BK, oc-
currens rectæ EF in K, & tum radio KB de-
ſcribatur circulus: dico factum.
Demonſtratio. Ducatur ad CF perpendicula-
ris KL..
I. Sunt anguli ad Erecti; & AE = EB & EKK
latus commune. Ergo AzAEK = △ BEK.
Et KA = K B.

II. Eſt ob HG, KL perpendiculares, FH:

FK — HG: LK.

Ob IH, BkK parallelas FH= FK=IH: KB.
Ergo HG: LK = IH: KB
HG = HI (Conſtrucéctio)
Ergo KL = KB.
Determinatio Problematis.

Arcus centro Hradio GH deſcriptus occurrit
rectæ BF quoque in puncto i (Fig. XXXI.);
ſi ergo jungatur Hi, & ducatur eidem ex B

parallela B X; circulus AAB radio B deſcrip-

tus eodem modo problemati ſatisfaciet. Ducta
ad CG perpendiculari X; erit, uti prius,

FH: Fx = HG: X
FH: Fx =— Hi: Bx
Ergo Bzx = zA
Et ob QAAEE & △ BEx, Bz — 2A.
PRO-⸗

80
PROBL-EMA IDEM ALGEBRICE.

Fig. XXXII. Keſolutio. Sit factum. Erit
KL= KA. Data AB fit ſecta bifariam, & per-
pendiculariter, per rectam DF, in E: datur
adeo punétum A & E, adeoque AL a. Da-⸗
tur item punctum E & F, adeoque EF = b,
datur præterea CF noſitione; datur ergo angu-
lus CFE.

Erit adeo FK: KL — ſin tot. : Wſin EFC
FK –.X, EK = b — x. Sit ſin tot: ſin EFC =

X
X: KL= p: q. Et KL = –—
. P

————. —
—

KA EF TEKS : b —

—

Ergo Ma —— — = qx
e
= bpz †p/ a⸗ 72 † bz qa —— a 2
pa. — d?
Velæ = bpz — p V a= q2 TE q= — p
Pz -- q; 1

PRO.

Unde fiet eodem modo, ut in problemate .

*

VPh

Deta retta
tione, 40 hu
mis, & pund
redas en lege
Dis datz, it
Teliguas.

kig NXI
& punctum e

V Ndne

(A er lege,

Deſoturi.
GC: 0
l
Nop. Vl.
Dtd 802
20. —
duper 8.
tur dhgonalie
Drgo d0r
Rt 80—
Ditut aden
C, Juod inn

DRCE

im. Ltit
,& per⸗
E: datue
2a. Da⸗
EE=,
tgo ungu⸗

ſin E0
aE

——
——

d-r

tohlenntt .

— = zu
*X PROPOSITIO XXV.
PROBLEMA.

Data recta magnitudine, alia item data poni-
tione, ad hujus punctum, ex puncétis extre-
mis, & puncto biſectionis datæ inflectere tres
rectas ea lege, ut inflexa ad punctum biſectio-
nis datæ, ſit media proportionalis inter duas
reliquas.
Fig XXXIII. Datur recta AB magnitudine,
& pnnétum ejusdem bilſectæ F: peritur ad da-
tam poſitione MN inflecti tres rectas CB, CF⸗
CA ea lege, ut ſit CB: CF = CF: CA.

Keſolutip. Factum puta. Erit adeo C B?
CF= CF: Ca, & BC. CA = CFa.
Eſt BC † ACz = 2 FCa † 2 BFa (per
Prop. VI. Cor. I.)
Ergo BCa — 2 BC. CA † AC = 2 BFA †
2 FC2 —– 2 FC2 = 2 BFZ.
Super FB erigatur quadratum PK, & duca-
tur diagenalis GB. Erit GBz = 2 BF=
Ergo BCeZ — 2 BC. CAPE ACZ GB2
Et BC — AC = G.
Datur adeo GB, quærendum reſtat punctum
C, quod inveniri polie oſtenſum Propofitione
XX. F De.

82 . =

Demonſtratio. BC — AC = GB. Ergo
BCz — 2 BC. CA CA2 = GB2 — 2 BF2*
BCa † ACz = 2 BC. CA † 2 BF2
BCz ACz 2 CF2 = 2 CF2 † 2 BF2 PB
2 CA. BC.
Eſt BCa P ACz = 2 FC2 . 2 BFe
Erat autem BCz † AC2 = 2 BFa . 2 BC. CA
Ergo CF2 = CA.- CB, Et CA: CF= CF: CB.

6

PROPOSITIO XXVI.
THEOREMA.

Sit in duobus triangulis nnus angulus ad ba-
ſim æqualis uni, ſummæ vero laterum propor-
tionales baſibus: dico triangula fore ſimilia.

Tab. VI. Fig. XXXV. Sint triangulorum
ABC, DEF angulus B= E, & BA † AC: CB
ED P† DF: EF. A ABC WO Q DEF.

Reſolutio. Sit ita: erit angulus BAC = EDF,
BAC EDF

2. .
Sint ergo anguli biſecti rectis AG, DH: erit
BAG= EDH per hypotheſin; eritque A“ BG
₰ ½

hypothe

h9

om
Krinmn

N

An
lam
ler hyh
Hin
Ce

B. Lrgo
— 2 Pf2

2 Bl; E

2 P. 04

W.

as d di⸗
„ ropor⸗
Cemilia.

ungulorun

60: 6
Ul.

0I! erit
AAG

A 8823

△ DEH, fſi præter B = E fuerit AB: BG
DE: EH ; quod ita eſſe ſic oſtenditur:
Eſt ob angulum BAC biſectum
BA: AC= BG: GC, & componendo
BA P AC: AB= BC: BG, & alternando
BA F AC: CB= AB: BG.
Similiter ob angulum EDfF biſectum
ED DF: FE = DE: EH.
Jam vero ED † DF: FE= BA † AC: BC per

hypotheſin: ergo

BA B A C: CB= DE: EH. Erat autem
BAAC: CB = AB: BG;
Hinc AB: BG = DE: EH.

Compoſitio. Anguli BAC, EDF ſecentur bi-
fariam rectis AG, DH.
Eſt BA: AC = BG: GC
BA AC: BA = BC: BG
BA P AC: BC= BA: BG.
Similiter ED DF: EF= DE: EH.
Jam vero ED DF: EF = BAPAC: cs,
Per hypotheſin:
Hinc BA: Bü = DE: EH,
& ob B= E, △ BAG O⅓ △ EDH, &

F 2 angu⸗

.21. 1,7.

84

angulus BAG = EDH, adeoque
2 BAG =ʒ 2 EDH, ſive BAC= EDF.
Ergo ABC „ Q△ DEF.

LEMMA AD PROP. XXVII.
THEOREMA.

Si in duobus triangulis ſit unus angulus æqua-
lis uni, latera vero circa alium utrobique angu-
lum proportionalia, reliquus vero utrobique an-

gulus fuerit minor vel major recto: trianguls

erunt ſimilia.

Fig. XXXVI. In triangulis ABC, DEF ſit
A = D, & circa alium utrobique angulum B
& E. Sit A B: B C= DE: EF, fſit præterea,
quando eſt C major vel minor redcto, F itidem
major vel minor reéto: erit . ABC Q△¾ DEF.

Demonſtratur I. Sint C & F minores recto,

erit B = E. Si neges, ſfit EZ B. Fiat itaque
ABG = E. Eritque △— Aà BG O △ DEF, &
AB: BG = DE: EF, & angulus BGA –R
& angulus BGC 7 R. Eſt autem
AB : BC = DE: EF. Hinc
AB: EC = AB: 66.
ergo BC = BG, & ang. BCG = B6C. Eft

autem BCG OR, eſſet itaque BGC R, eſſet
itidem

itigen

quit.
ſiye

II.
conſt

adeot

500

K
ualis

ll.

us Et⸗
ne ang⸗
digdean⸗
triangula

DEF 41
ulutm B
Reles,
Fitidem

A.

es tecto,

jat itagoe
PPE, 8

=☛ =☛ä 85

itidem per oſtenſa BC 7 R, quod eſſe ne-
quit. Non eſt ergo angulus E inæqualis ABC.
ſive E = ABC, & △ ABCOα A DEF.

II. Sint C & F majores recto. Facta eadem
conſtructione oſtenditur angulum BGA“ = R,
adeoque BCG – R, & ob BC = BG eflet
BCG = BGC. Eſt autem BCGCG= Kk-
Ergo BGC =Z R.

Coroll. Si in duobus triangulis ſit unus an-
gulus æqualis uni, & latera circa alium utrobi-
que angulum proportionalia, & reliquus unius
rectus, erunt itidem fimilia. Sit ergo A=D-,
& AB: BC = DE: EF, & C = R: erit
F= R. Eſt enim E= B: ſi enim non; fiat
ABG = E, oſtendetur, uti prius, fore BC
= BG. Hinc BCG = BGC. Ergo in trian-
gulo BCG angulus BCG P BGC = 2 R,

quod eſſe nequit.

PROPOSITIO XVII.
THEOREMA.

Si in duobus triangulis ſit unus angulus æ⸗
qualis uni 3 ſummæ laterum circa hunc angu-
lum

86 = er

lum fint uti baſes, recta vero biſecans angalum
ad eandem partem baſèos conſtituat utrobique
angulum, majorem, vel etiam minorem reéto:
triangula erunt fimilia.

Fig. XKXV. Sit A = D, & BA † AC: CB
= EU DF: FE, &, quando eſt AC B 6 – R;
ſit DHE , — R: erit ABC Oι% △ DEF.
Reſolutio. Sit ita: erit ergo angalus B == Ey
& fectis bifariam angulis BAC, EKDF, △
ABG △ DEH, fi præter angulum BAC

EDH &, quando eſt AGB – R, fitk

DHE = R, fit AB: BG = DE: EH.
Quod ita eſle ſic oſtenditur, uti in theoremate
præcedenti:
Eſt enim BA : AC = BG: GC
BAYP AC: AB = BC: BG
BA P† AC: BC = AB: BG.,
Similiter ED P. DF: FE= DE: EH.
Hine AB: B = DE:EH. .
Compeſitio., Sectis angulis BAC, EDP'pi
fariam eft AB: AC= -BG: GC
BAAC: CB= AB: BG
Similiter ED DF: FE= DE: EH

P

Ttie
& ex e
pendien
tentum
perpend

kig.
ſeriptus
pendion
meter 4

Nſe
EA
(AL,
d mngnl

ugolum
trobigne
n reco:

10:0CS †

766;
DEb.
B=,

R,A

K, ſt

,.

Gemats

1/

Ell,

D
90
A*

=☛4 97

BA † AC: CB = ED † DF: FE
Hinc AB: BG = DE: EH.
BAG = EDH.
ACGB7 — R, & fimul DHE R.
Ergo ſ ABG △ DEH.,
Angulus ABC = DEF,
A ABC %° mA DF.

PROPOSITIO XXVIII.
THEOREMA.

Triangulo cuivis circumſcriptus ſit circulus,
& ex circumferentia circuli ducta in baſim per-
pendicularis: dico rectangulum lateribus con-
tentum æquari rectangulo, quod diametro &
perpendiculari continetur.

Fig. XXXVII. Triangulo AB C circum-
ſeriptus ſit circulus, & in baſim BC ducta per-
pendicularis AD, & ex eodem puncto A dia-
meter AE: Erit BA. AC = EA. AD.

Keſolutio. Sit ita: erit ergo BA: AD
= EA: AC, & juncta EC AABD △
CAE, quod ita eſt, ob ADB = R= ACE
& angulum A BC= AEC in eodem ſegmento.

Com-

83218 ☛e e e

Compofitio. Junéta EC eſt AD B = K
= A CE & ABC= AEC in eocdem ſeg-
mento. Hinc aABDO ACAE & BA: AD
= EA: AC, & BA. AC = EA. AD.

PROPOSITIO XXN.
THEOREMA.

Viciſſim triangulo ſit cireumſeriptus cireulus
& ex vertice duéta perpendicularis in baſim;
ſit vero reétangulum lateribus contentum, æ&
quale reétangulo, quod perpendicularis & chor-=
da ex eodem puncto circumferentiæ ducts com-
prehendunt: dico chordam hanc efle diame-
Krum.
Fig. XXXVII. Triangulo ABC cireumſerip-
tus ſit circulus, & ex circumferentiæ punéto
A demifla in BC perpendicularis AD, & du-
a chorda AE; fi fuerit BA. AC = EA. AD
enit EA diameter.

△

Reſolutio. Sit ita: erit ergo angulus E CA
= K, quod ita eſt, eum fit A BC = AFC
im ebdem ſegmento, & (ob BA. A C= EA.AD)
BA: A D =HEA: AC, & angulus BDA = R,
(per Coroll., lemmatis ad Prop. XXVII.)
Com-

C

= b
& ang
ne
AEC
ter. (

De
cnulo

kig
& er
triang
1
gulo
AEe
A,
60
Milis,

culus

XAl

ADB=R

in eodem ſeg⸗
E& B: AD

WX

iptns eireulus
is in baſm;
ntentum, ⸗
laris & chor⸗
2 ucta com
,ele diame-

1eireumickih.

entir punto

AD, &dr.
=CA. Ah,

golus ECA
C= AC
=EA.40)
80'4 =Ry
.)

Conn.

= e. 89

Compoſitio. Jungatur EC. Eſt B A. A C
= EA. AD. Hinc BA: AD= EA: AC.
& ang. A BC = AEKC in eodem ſegmento,
& angulus BDA = R, ergo a ABD W △
AEC, & angulus ACE= R, & AE diame-
ter. (per Partis I. Prop. IV.)

PROPOSITIO XXX.
PROBLEMA.

Datis utroque latere trianguli, & perpendi-
culo his intereepto invenire triangalum.

Fig. XKXXVIII. Datur latus BA; item AC
& perpendieulum his interceptum A D: petitur
triangulum ABC.
Reſolutio. Sit factum: poterit ergo trian-
gulo circumſcribi circulus, & ducta diametro
AE erit BA. ACvã= EA. AD, five AD: AC
= BA: EA, quod fieri poteſt, quærendo ipfis
AD, AC, BA quartam proportionalem.
Compoſitio. Quæratur hæc quarta propotio-
nalis, tum ſuper diametro AE deſcribatur cir-
culus, & quoniam eſt AD: AC= BA: EA,
& AD — AC, erit BA — EA; poterit ergo

circu-

1

90⁰ ☛ *5 e

circulo applicari chorda BA, & ex odem pun-
&to applicetur latus AC, & ducatur BC: erit
△ABC quæfitum.

Demonſtratio. Ducatur perpendicularis AF.

Eſt per conſtructionem AD: AC = BA: EA,

ſive EA. AD= BA. AC, & ob circulum
triangulo circumſcriptum BA. AC= EA. AbF⸗-
ergo AF = AD.

PROPOSITIO NMXI.
PROBLEMA.

Datam rectam ita prod ucere, ut aggregatum
ex tota una cum producta ſit ad partem produ-
Sam in ratione quadratorum data.

Fig. XXXIX. Data magnitudine reta fit AB:
petitur produci verſus C, ut fit AC: BC=
Mz : Nz.

Reſolutio Sit factum: erit itaque
AB „ BC: BC= M: Nz.
Ipfis M & N quæratur tertia proportionalis P,
erit M: N = N: P, & M: P= Mz: Nz
Hinc A B † BC: BC= M: P, & dividendo
AB: BC = M— P: P, quod fieri poteſt.
Com⸗

Cumnpoet
propoktional
ad M — P,

portionalis

Denonſt
3

.
1

PRN

Intnn drt
lege; ut
Zoli inflecct
Puli conſtitn

Lig. Xl,
tur punc um

4 B00

RNluiin
Dr alet/
AADN=

ex Odem pun⸗
atur BC: erit

ndienaris Ab.
ob cireulum

MW.

agoregatum
Artem Nrdd⸗

,

leca ſt A:
AC: BC=

igue
.
vortiotali P,
E intlendo
Aferi potent.
Conn⸗

91

Compoſitio. Ipfis M & N quæratur tertia
proportionalis P, auferatur ex M recta P; &
ad M — P, P, & AB quæratur quarta pro-
portionalis BC: dico factum.

Demonſtratio. M — P: P= AB: BC
M: P= AB BC: BC
M: N= N: BDB
M: P = M : Nz
AC: CB = Mz: Nz⸗

PROPOSITIO XXXII.
PROBLEMA.

Intra datum triangulum invenire punétum es
lege; ut ſi ad hoc puncétum ex angulis trian-
guli inflectantur rectæ, hæ cum lateribus trian-⸗
guli conſtituant tria triangula *W qualia inter ſe.

pig. XL, Sit datum triangulum ABC: peti⸗
tur punctum ) ita, ut fit A ADCA ADB

Reſolutio. Sit factum. Si ergo fiat AE=
EB; eſlet A ADE= A BDE, & A ADE †
A ADC=A DBE † ADBGC.
8

92²

Si jam ducatur CE, eſt AEC= ABEC;
eſt itaque CDE linea recta; ſimili ratione ſi fiat
BF = FC, erit ADF linea recta.

Conſtructio. AB, BC ſecentur bifariam in
punctis E, F; ex E & F ducantur ad angu-
los oppoſitos C & A rectæ EC ,‚ FA; pun-
Kum interſectionis D harum rectarum erit pun-

cum quæſitum.

Demonſtratio. Jungatur BD.
A CAEP = AA CBE.
A ADE = A DBE.

ACAE — A ADE= A CBE — A DBE

ACAD = A CBD
△ CAF = BAF
△ CDF = △ BDF
A CAF - A CDF= A BAF-A BDF

A△CAD = A ADB.
em aliter. Fig. XLI.

Reſolutio. Sit ita, ₰ACD= A CBD =
ABCG

ABAD, erit A ACD =

Secetur BC trifariam in E & F, jungantur-
que AE, AF, erit A BE = A AEFE =
AAAFC

A A0&

bit ergo eſſe
ſl irt a,
erit ttidem/
patallele,
ergo querlitu
Parallelarom
Coußna
KN,&H&
F, Wpara
tum, & du
AA⸗

Demone

445.

A A

6
A DC=

480-

4

lint

i ratione ſi fint
ur bifariam in
ntur ad angu⸗
FA; pun⸗

rum erit pun⸗

.

=AU.

AFP-APD

8.

24C=
A6
—
3
F, Imgmtur
AAl ⸗
Aald

☛= 93
ABC
3
bit ergo eſſe a A BD = A A BE, quod erit,
fi ſint AB, ED parallelæ; quod fieri poteſt:
erit itidem ₰ ACD = A△ ACF, ſi fint AC, FD
parallelæ, quod pariter fieri poteſt: punctum

△ AFC & quodlibet horum = : debe-

ergo quæſitum eſt punctum interſectionis harum

parallelarum.

Conſtructio. Data BC ſecetur trifariam in E
& F, ex E ducatur ED parallela ad BA, & ex
F, FD parallela ad AC: erit punctum D quæſi-
tum, & duétis BD, DC, & DA erit AA BD

Demonſtratio. Jungantur AE, AF.

Q“ B0
A ABE = A ABD = — —
3

△ABG
△ ACF= ACD = -
△ABD = A ACD.
△ DBC = Q ABC —- 2A“ ABD = A
2 Q△ABC A△ ABC

3 3
Q△ABD = △ ACD= BCD.

PRO-

924
PROPOSITIO XXXIII.
PROBLEMA.

Sint tres rectæ magnitudine datæ, & præter
eas quarta: petitur hæc in duobus punétis ita
ſeçari, ut quadrata ſuper ſegmentis ſint in ra-=
tione datarum rectarum.

Fig. XLlI.
Data. 7„ QLucſita.
AH, BD, CN & 50. Puncta F & G, ut ſit
PFZ: FG=— AH: BD,
E FGzZ: GQ = BD: CN.

Factum puta. Sit
I.) PFz: FG= = AH: BD.
II.) FGz: GQ = 3D: CN.
Recta quævis PM dividatur ita ut ſit
PLa: LMz = AH: BD, (per Prop. X. hujus)
erit PFzZ: FC2 = PLz: LMz, &
PF: FG = PL: LM.
Quod ſi inter B D & CN quæratur media
proportionalis K, erit
BD: CN = BDzZ: Ke.
Eſt autem BD: CN = FGz: GQ . Hine
Ferz: GQ = BDz: Kz,
8 4

8 10d B0
portionzls R
50: H
FKi:0

ſt Pl’,
2²) Ilter
tinue proport
9) d
Portionalis R
4) Fit )

6) Kcetun

Demmnhr⸗
Il. :
FG: 6E.
D: K=
: R=

MW.

atæ, & preter
bus punctis ite
tis fint in tn.

ueſite.
Té, AUt ſit
2— Al: B,
O2= B0D:NX.

30.
CN
ut ſit
op. X. Mujus)
NI⸗ .

etätut medis

,
6.. Hne
1

.

8

=☛r ει = 95
Si a4 BD, K & LM quæratur quarta pro-

portionalis R. Erit

BD K = ML: R, ergo
FCI: GQ = ML: R, quod fieri poteſt.

Conſtructio. 1) Recta PM ita dividatur, ut
ſit PLz: LMs = AH: BD.
2) Inter DB & CN quæratur media con-
tinue proportionalis K.
3) Ad DB, K, ML quæratur quarta pro-
portionalis R.
4) Fiat MO = R,
5) Secetur ⁵Qut ſecta eſt PO.

Demonſtratio. I. PF: FG = PL: ML.

PFz: FG= = PLz : LMz = AH: BD.

II. FG: GQ= LM: MO (R).
FGa: GQ = LMz: Ra.
DB: K = K: CN.
DBz: K⸗ = DB: CN.
DB: K = LM: R.
DB⸗=: K⸗ = LMaz: Re = DB: CN. Ergo
FCG: G = DB: CN.

„

O

PRO-

96 ☛
PROPOSITIO XXXIV.
THEOREMA.

Semicirculo inſcriptum fit quodvis triangulum

rectangulum, & ex vertice duta perpendicula-
ris in baſim: ſegmentis baſeos veluti diametris
ſuperſcribantur duo alii ſemicirculi, & puncdta
interſectionum trianguli & ſemicirculorum jun-
gantur chordis: erit ſegmentum catheti intra
circulum ad ſegmentum extra eundem; uti
quadratum hujus catheti, ad quadratum alterius.

Fig XLIII. Semicirculo inſcriptum ſit A BAC
rectangulum, & in baſim AC duéta perpendi-
cularis BE, diametris AE, ECfuperſcripti fint
ſemicitcuh ADE, EF'Cjunganturque ED, EF.
Erit DA: B) = BA: BC⸗.

Roſolutio. dSit ĩta. Eſt DB — FE parallelæ:
BA: = CA. AE.
BC⸗ =— CA. EC;
ergo erit DA: FE =— BA2: BC-⸗ =
CA. AE: CA. EC.
Sive DA: F — AE: EC, &
DA: AL = HE: LC.
Et DAE. △ FEC., quod ita eſt
Ob

.
.

Ob ADE
b B4, .

Conplti
DA: .
DA: F=

Tümgular
Circulo, e
tiam chorda
hac chorda,
cem & baſin
telig guadrite

W.

riangolum

pendienlg .

diamettis
& puncte
Orum jun⸗
heri intta
dem; uti

n Atetias,

tABAC
elhendl.
ce nut

EO,Nr.

prtillele:

itn et
05

= 43 97

ob ADkE = EFC = R,
& ob BA, FE parallelas, DAE = FEC.

Compoſitio. A DE. — EC = R.
DAE = FEC.
A△ DAEK △ FEC
A: AK = FE.: EC
DA: FE = AEK.: LC = AC. AE. AC. EC
AC. AE = ABz⸗
AC. EC = BCz
DA: FE= AB=: BCS.
DA: DB = ABz: BCe.

PROPOSITIO XXXV.
THEOREMA.

Triangulum æquicrurum defſcriptum ſit in
circulo, & ex vertice ducta ſit ad circumferen-
tiam chorda, quæ ſecet baſim: rectangulum
hac chorda, ejusdemque ſegmento inter verti-
cem & baſim comprehenſum, æquahitur la-
teris quadrato.

Fig. XLIV.

Hypotheſi. ſ Theſis.
AB = AC. L DA. Ak = AB=
G Reſos

98 = =

Keſolutio. Sit ita: ergo eſſet
1) AD: AB = AB: AE;
ſed angulus BAD = BAE,
2) Foret ergo a BDAO⅓ A BEA. Hine
3) Angulus BDA = EBA
ſed EBA = ECA, ergo
4) Angulus ECA = BDA.
Quod ita eſt.

Compoſitio. 3) Angulus BDA = EBA
2) △ BDAO Sï’KEBA

1) AD: AB= AB: AE.

Fig. XIL-V. Hypotheſis eft eadem, ſed recta
ſit ducta ad baſim productam, erit rurſum re-
Rangulum ex hac & ſegmento in circulo com-
prehenſum „ & quale quadrato cruris.

Hypotheſis. N Tbeſis.
AB – . AE x AD = AB2,

Reſolutio. Sit ita. Ergo
1) AE: AB = AB: AD
angulus BAE pvommunis. Ergo
2) effet A BEA % A BDA. Hine
3) angulus BDA= EBA. Sed

4

Cunnp

PR

Creul
magnit
extremis
conciye
lege; N
circumfer

y/
–

n D

Dſli
tangens 0

SCHI

EA. Hine

ed Eed
rurlurn re⸗

reulo com⸗

lſit⸗
. 4AB.

Ergo
ine
ſed

☛ ◻△ = 99

4) angulus EBA = BCA, ergo
BDA = BCA.
Quod ita eſt.

Compoſitio. 3) Angulus EBA = BDA
2) △EBA O⅓ △ BDA
1) EA: AB = AB: AD.

PROPOSITIO KKXVI.
PROBLEMA.

Circulus, & recta extra circulum poſitione
& magnitudine data ſunt: oportet ex punétis
extremis datæ rectæ ad idem circumferentiæ
concavæ punctum inflectere duas ſecantes ea
lege; ut recta jungens puncta ſectionum in
circumferentia convexa, ſit datæ rectæ parallela.

Fig. XLVI.

Hypotheſis. v TVeſis.
Qrculse A. „ re. Ducere DA, EA; ut
Sta DE data. BC & DE üfnt paral-

Neſolutio. Factum puta, & dufta cogitetur
tangens CH. Eſiet angulus BCH = BAC
= CHE. Angulus HEC = AED
6 2 ergo

00 w eee

ergo α HCE Oι △ DAE; &
1) AE: ED = EH: EC
2) AE. EC = ED. EH.
Si jam ducatur tangens E „erit
AK. EC
3) DEX EH = FE⸗, &
DE: EF = EF: EH.
Quod fieri poteſt.

= FEz

Conſtrultio. 1) Ducatur tangens EF.
2) Ad DE, & Eb reperiatur tertia pro-
portionalis EII.
3) EZx H ducatur tangens HC.
4) Ducatur EC & producatur in A.
5) Ducatur AD.
6) Ducatur BC.

Demonſtratio. DE EH = EF⸗.
EFz = EA EC.

Ergo EH DE= EAXEC &
EH: EA = EC C: DE.
Sed angulus DEA = CEH;
ergo A△ DEA O BRHCE, &
angulus CHE = DAE = BCH.
ergo BC & DE parallelæ.

PRO-

Ditis

mento c
citcumke
hoc pun
diametti
pars che
Lompreh

lig. X

45, ejn

DE, pet
= 4A0.

Reſole
& ex 6

NK 4.

ft

Er.

r tertia pro⸗

„

N.

101
PROPOSITIO XXXVII.
PROBL. MA.

Datis ſemicirculo & perpendiculari ex ſeg-
mento diametti ad circumferentiam invenire in
circumferentia aliud punctum ea lege, ut ſi ex
hoc puncto ducatur ad extremum punctum
diametri chorda tranſiens perpendiculum datum;
pars chordæ perpendiculo & puncto quæſito

comprehenſa ſit radio circuli æ ualis.

Fig. XLVII. Semicirculi, AEB diameter ſit
AB, ejus ſegmento AD inſiſtat perpendicularis
DE, petitur punctum G ea lege, ut fit GF
=e aC.

Reſolutio. Sit ita, & jungantur AE, 68,
& ex G cogitetur demiſſa perpendicularis GH.
Eſt hABG △ △AGH. Ergo .
AB: AGC = AG: AH.
AA AGH Oι AFD. Hinc
AG: AH = AF: AD, adeoque
AB: AG = AF: AD. V
AG = AF †+ FG = AFρ AC (hyp.)

Ergo AB: AF † AC= AF: AD.

Hinc

Hinc AB. AD = AC AF * AF
AB. AD = AEz: ergo debet effe

AE2 = AC AF AF.
Quod fieri poſte oſtenſum Prop. KVI. hu jus.
Fig. XLVIII.
Compoſitio. Radius AC ſecetur bifariam in L.
& deſcripto ſemicirculo applicetur eidem ad
punétum extremum A fub angulo recto AE

jungatur EL & fiat LN = EL erit AN recta

A B
quæſita per Prop. XVI. & AN = LN — —..
4

Fig. XLVII. Centro A intervallo AF = A N

deſeribatur arcus ogcurrens perpendiculo DE
in F, per puncta à & F: (videatur ſcholion ſub-
nexum) ducatur A FG, erit F'G = — = AC.
2
Demonſtratio. CA P† AN. AN = AEZ,
(per Conſtruct.) A AGBO A ADPPF.

AB: AG-— AF: AD Et AB. AD= AG. AF
AB. A D = AEz.

Hine CA PT† A N . AN — FG †+ FA. AF.
AN = AF. (per conſtr.)
Ergo CA = Gb.

Scha

Kholio
ED in F

datar Ab

invenitar:

ſtit⸗
erit!
IN.
IX
AN
.
NE „

AD⸗

DE

D⸗

ebet eßſe

NVl brins

ilariam in .
t eidem 1d
tecto 4

1t AN rette

48

N— —.

4

4,= 4NH

Gedo DE
eholion lab⸗

A
— = 4l.

„
2

= 4l,
Abk.
—46. A

e ee. 103

Scholion. Rectam A = AN perpendiculo
ED in F occurrere manifeſtum erit; ſi oſten-

B
datur AF ſive LN — 4 =— AD: quod ſie
invenitur:

ſit ita: five LN — 2 — IAD
4

ei LNe AD —

LN- AD-⸗- —— ABZ=
2 16

LN = AE= 2-.

AB. AD B²½

AE L. = = AD-= —

AE⸗ AD- † –

AE⸗ = AD= DE⸗
AD⸗- † DE⸗ — AD-⸗ †* -an.

B. AD
DE⸗= AB. AD

DE⸗= — AC. AD.

. Sive

Quod

104
Quod ita eſt, cum fit DE⸗ = AD. DB = ADx
AG † CD — AC. AD † AD. Ch.
Demonſtratio ſynthetica patet, viam rele-
gendo.

PROPOSITIO XXXVIII.
PROBLEMA.

Dato ſemicirculo invenire punctum in cireum-
ferentia, ex quo ſi ducatur in diametrum ex
parte oppoſita productam ſecans, pars ſecantis
extra circulum æquetur radio circuli.

Fig. XLIX. In ſemicirculi ACB circumferen-
tia petitur punctum C, ea lege; ut ſi ex punéto
C in diametrum BA verſus E produétam duca-
tur CE, ſit ED = D-rF.

Veſolutio. Factum puta. Erit ergo DE = DF
& angulus DEF — DFE, & FDC = 2 OEF.
Jungatur FC, erit FDC = DCF; & angulus
CFB – CEF ECF DEF-T 2 DEF — 3 DEF.

CFB
Ergo CFB = 3 DEF, & — — DFF.
3

Ut itaque foret DE = DF; angulus CFB foret
ſecandus trifariam: quod cum geometrice fieri
ne-

neguent

tricam ²

Khol
nice Pro⸗
arens C
bundto!
que attol

nec fent

=

— Pppg

— DFE.

— DEF
De

Nbo
cimen ſin
1n Ceyli
ſyntheſin
eſt, fübj

tale,

LE)
Theon

1e; erit

.DB — ADx
.

viam kele.

WII.

um in dcum-
diametrum ex

Pars ſecantis

nli,
cieumferen⸗

K er puncto

Auckam duca⸗

gob- —Dr
& angolus

0l.
DE.

1s CFS foret
ometlice feri
ne⸗

105

nequeat; neque problema propoſitum geome-

tricam admittet ſolutionem.

Scholion. Patet hinc interim ſolutio mecha-
nica problematis de triſe tione anguli CFB, vel
arcus CB. Producatur diameter ex B verſus A.
Puncéto fixo C applicetur recta vel filum, illud-
que attollatur ſuper diametrum produétam do-
nec tentando innoteſcat eſle ED =– DF, fiat

BC
BG = DA erit BG — —. Eſt enim DEF

3
= DFE & FDC= 2 DFE = FCD, ergo CFB
= DEF T ECF = 3 K = 3 DA

CFB CB
DA = — — — — B6.
3 3

Scholion. Egregium aliud in eo genere ſpe-
cimen ſubminiſtrat Archimedes Libro II. de ſphæ.
ra & cylindro, Prop. I. Analyſim problematis &
ſyntheſin, quemadmodum ab eodem inſtituta

eſt, ſubjungo. Sit autem ad problema lemma

tale.

LEMMA AD PROP. XXXIX.

Tbeorema. Sit cylinder circumſcriptus ſphæ-
ræ; erit cylinder ſesquiplus ſphæræ : & viciſ⸗
ſim,

106 e
ſim, cylinder ſit ſesquiplus ſphæræ, habeat

autem pro baſi circulum maximum ſphæræ; erit
circumfrcriptus ſphæræ, ſive habebit pro alti-
tudine diametrum ſphæræ.
Demonſtratur I. Quoniam per alibi oſtenſa
ſphæra æquatur duabus tertiis cylindri circum-
ſcripti; tres ſphæræ æquabuntur duplo cylin-
dri; adeoque cylinder erit ſesquiplus ſphæræ.

Demonſtratur II. Quoniam viciſſim (*) ey-
linder, qui habet pro baſi circulum maximum
ſphærzæ, cujusque duabus tertiis æquatur ſphæ-
ra, eſt circumſcriptus ſphæræ : ſit autem per
hypotheſin cylinder habens pro baſi circulum
maximum ſphæræ ſequiplus ſphæræ; duplum
cylindri æquabitur triplo ſphæræ, & ipfius cy-=
lindri duæ tertiæ æ uabuntur ſphæræ.

(*) Scholion. Veritas converſæ ſic patet:
non ſit cylinder ille circumſcriptus ſphæræ.
Sphæra igitur zquabitur duabus tertiis cy-
lindri non circumſeripti habentis pro baſi
circulum maximum ſphæræ; & fimul æ-
quabitur duabus tertiis cylindri circum-
ſcripti ejusdem baſeos: quod dici nequit.

PRO-

Deleribere
lem.
Tab. VII.
cylindro d
Meſoluti

hoc etit, 1

5
Fit .
2
baleos H
Atitudo H

3b
K —
2

ſit ejns i
2:¾. Fl

Alttnäine

Urit er

it Ra

hærz, beit
n ſpheræ; erit

bebit pro alti.

er alibi oſtent
lindri circam⸗
duplo cylin⸗
liplas (pheræ,

ciſſin (?) ey⸗
lum maximum
Egatur ſphe⸗
ſit aulem per
ha N Num
ere; Cuplum
Cihlns ey⸗

eræ.

elle ſie pitet:
iptus ſphereY.
hus tertiss ey⸗
entis to dal
ümnl e.
indri cicaum.
Gii neqrit.

5RO.

107
PROPOSITIO XXXIX.
PROBI-EMA.

Deſcribere ſphæram dato cylindro recto æqua-
lem.
Tab. VII. Fig. L. Petitur ſphæra 8 = P

cylindro dato.

Reſolutio. Factum puta. Erit S = P, &

28S 3 b
hoc erit, ſi ſit — = —.
2 2

38 . .
Sit — = cylindro R; ſit autem diameter
2

baſeos HK æqualis diametro ſphæræ: erit ejus

altitudo HG = HK. (per converſam lemmatis.)

3
Sit — = cylindro Q ejusdem baſeos, &
2

ſit ejus altitudo ED. Erit P: Q= AB: ED =
2: 3. Sunt enim cylindri æqualium baſium uti

AB
altitudines. Adeoque ED = AA! .
2

2° — à
Erit ergo — = —, ſi ſit R = C.
2 2

Sit R= Q. Quoniam cylindrorum æqua.

lium

108 = KE
linm baſes ſunt in ratione inverſa altitudinum;

erit EEF (BBC): HHK = GH (HK): ED
3 A B D
( . Et cum baſes ſint in ratione dupli-

2

. . 3 A B
cata diametrorum, erit BC?: HK* = HK: – „
2

Rectis BC. HK fit tertia proportionalis LM;
erit BC: HK = HK: LM:
Et quoniam eſt in proportione continua qua-
dratum primi ad quadratum ſecundi, ita primus
ad tertium, erit BCzZ : HK2 = BC : LM. Erat
2 A B

autem BCzZ: HK2 = HK: — Hlinc
2

3 A B
BC: LM = HK: —, & alternando
2

3 A8
BC: HK = LM: — , Erat autem
2

BC: HK = HK: LM. Ergo
3 A B
BC: HK = HK: LN = LM: — .
Quod fieri poteſt, ſi inter diametrum baſeos
& ſesquiplum altitudinis cylindri dati quærantur
duæ mediæ continue proportionales, quarum

prima

Prima erit

dem elt an⸗
ſtructio heæ

fici vequit:

pa adhiberi

go conce

Conſru

ddæ mece

diameter ſy

Domn,
7

batur circul
lus altitade

delcribatur
linder ,
RKR Per

50: HK:=

BC: IM=

4
altitudinum;
(HX): ED.
tatione dupli⸗

34
HK: — .
2
ttionalis N:
l:
COntinua qua⸗
di, ita pkimus
C: LM. Er
2* .Hiac
1

Aternando
kat autemn
tgo

—
S=

etrum biſeos
ti quetantur
les, Iuarum

prims

109

prima erit diameter ſphæræ deſcribendæ. (Ea-
dem eſt analyſis, ſi P fit conus rectus). Con-
ſtructio bæc equidem ope circini & regalæ per-
fici nequit: ſed debet una cum circulo alia cur-
va adhiberi, de quo in geometria fublimiore:

quo conceſſo erit conſtructio talis:

. 2 àA B .
Conſtructio., Inter BC & — quærantur
2

duæ mediæ proportionales HK, LM, erit HK

diameter ſphæræ quæſitæ.

Demonſtratio. Diametro EF = B0 defcri-
batur circulus, & ſuper eodem cylinder Q, cu-
3 A B

jus altitudo ED = ––: diametro item H K
2

deſcribatur itidem circulus, & ſuper eodem cy-
linder R, cujus altitudo GH = HK.
Eſt per conſtrustionem

S . 3 A B
BC: HK = HK: LM= LM: —. Hinc
2

3 A B
BC: HK = LM: —,, & alternando
2

3 A B

BC: LM = HK: —. Eſt antem
2

BC: HK

110

BC: HK = HK: LM; & primus ad tertium,
uti quadratum primi ad quadratum ſecundi. Hinc
BC: LM = BCZ: HK. Frat autem
23 A B
2

BC: LM = HK:

Ergo

3 A B
BCzZ: HK2 = HK: – (DE).
2
Et quoniam circuli ſint uti quadrata diametrorum;
„
erit BC: HK⸗ = BBC (EäF) HHK.

12 2
Ergo EEF: HHK = HK (HG): DE.
Id eſt: cylindrorum Q & R baſes ſunt in ra-
tione inverſa altitudinuum. Ergo R= Q.
Sunt autem cylindri P & Q earundem baſium
tt 47 3 A B
uti altitudines; ſive P: Q =ẽ AB: — = 2: 3.
2
3 Pb

. 8
Eſt itidem (per lemma) R = — .
2

Kbokion.
tudo AB; e

tudinis =:

Ii 3 dini⸗

A
—, Kie
2
rantur du
UM, prim
NNENR.

Aheln.
Droblema ab
Recentiorum
tentanti, pol
ſinu! inde,
riam incogoi
Vvenienda alun
dis diteilem
li beometr

n8 20d tertlam,

ſecundi, Hine
Erat autem

.Ltgo

(oe).
a diamettorum,
. 1
EEF) HK.

EG6): .
pales ſuntin ſa⸗

☚2
rundem haſium
NBB

2

Obe⸗

E = 111

Scholion. Si P ſit conus rectus, cujus alti-
tudo AB; erit cylinder ejusdem baſeos & alti-

tudinis = 3 P: hinc cylinder Q = 1 cylin-
2

dri 3 P dimidius: adeoque cylindri Qaltitudo
A B
—. Si ergo inter datam baſeos diametrum
2
BC, & ſemiſſem altitudinis AB coni dati quæ-
rantur duæ mediæ continue proportionales HK,
LM, prima harum æquabitur diametro ſphæræ
quæſitæ.

Scholion. Coronidis loco ſubnecto celebre
problema ab Antiquis eleganter ſolutum; quod
Recentiorum cuipiam, ſolutionem algebricam

tentanti, poſſet negotium faceſſere: eluceſcet

ſimul inde, plurimum interefſfe, quænam plu-

rium incognitarum pro æquatione algebrica in-
venienda aſlumatur; id, quod ex rerum ad jun-
Sis difficilem veſtigationem ſœpe habet; & ana-
ly geometrica facilius expeditur.

PRO-

— E

PROPOSITIO XL.
PROBLEMA.

Dato Quadrato, & recta magnitudine, pro-
ducere latus quadrati ea lege: ut, ſi ex punécto
lateris producti ad angulum quadrati oppoſitum
ducatur recta, portio hujus reétæ, punéto la=
teris producti, & latere quadrati, quod angulo
opponitur, intercepta, æquetur rectæ magnitu-

dine datæ.
Tab. VII. pig. LI. Datur quadratum AC,
item recta LK: petitur latus DC ita produci in
F; ut, ſi ducatur FA, ſit FE = LK.

Reſolutio. Factum puta; & producatur A B
verſas H, & ex F ducatur EH perpendicularis
ad AF; demum ex F demittatur perpendicularis
FG in AH.
Eſt angulus àA B E = FGH = R, &, ob △
FGH „„ QAFH ½ AAEB, angulus EA B
=GFH; & AB = 80 — FG.
Ergo △ABE — AFGH ; & AE — FH.
Eſt itidem △ CEF Wα% Q△ AEB. Hinc
CF: Ck = a (BC): BE. Ergo
CF. BE = BC. CE = BG. GHI.
Factum

Factum j

adeogne Ur
E E
— [K,
(Ee Che

UtC:
Et (H2 0
208.0
d Küer
C*„α(Be,

—

E5GT

Ut itaque ſt
debebitelle B
oett per th

Connpſi
Ceinur ad a
tenuſa: dun
Dotenale e
tur Eniäten
erit 243
tna citenlun

tdine, pro⸗
exr puncto
Oppofitutn
puncto li-
nod angulo
e magnito.

titum 40,
produci in
Gcatot &BB
endieulatis

endiehlatis

&, obA
ulus EA.

Hinc
Ergo
Fackum

— 113

Factum jam puta: erit itaque EF = LK,
adeoque EFzZ = LK⸗.
Eſt EF⸗ = CE⸗ † CFZ. Hinc CEz † CFz
— LKs Et (addendo utrobique BCz) erit
CEe CB2 † — LK2 †+ CB2.

EKt CB = CE T EB = CEa 20E. EB †. EBz

Et CE † CB²2 — 2CE2 † 2C. EB F EB2 =
2CB CE † EB— 2BG. GH † GHz
Eſt itidem CFz⸗ = 302. Erge
CEa † CBa † CF⸗ – BGz -F 2BG. GH GH=
= 56— 6⸗.
Ut itaque ſit CE † CBE P CF= LK2 BCS;
debebit eſſe BH: = LK P BCa. Quod ſeri

poteſt per theorema pythagoricum.

Compoſitiv. Rectæ datz BC & LK appli⸗
centur ad angulum rectum, ducaturque hypo-
tenuſa: tum in AB producta capiatnr BH hy-
potenuſæ æ qualis; ſuper diametro AH deſcriba-
tur ſemicirculus, producatur DC Ob AB – BH
e n ☛ AH; hinc DC prodacte cadet in-
cirfculum, occür. Irachie in e nnn
FA, dico factum. t dene di z & Jacatar

H Demofk-

114

Demonſtratio. Ex F demittatur in AH per-
pendicularis FG, & jungatur FH. Ob angu⸗
lum AFH rectum erit △u FGH O½ QAFHO Q△
ABE. Eſt præterea AB = BC = FG; ergo
AA FGH Z △ ABE. Hinc GH = EB, &
FH = AE.
Eſt (ob △.AEB A CEF) AB (CB): BE
Hinc CF. BE = BG. GH= CE. CB.

BH =– LK= P. BCz = 6G + GH =
BG: P 2 BG. GH T GH⸗
BGa = CFz; & 2 BG. GH = 2 CB. CE =
2 CE. CF EB = 2 CE2 . 2 CE. EB;
& GHz = EB2. Ergo
LKa -. BC = CFa † CE⸗ † CEa † 2 CE. EB †

—.—2

EB = CF P CE; T CE EB = CFa P
CEa CB2.
Hinc LKa = CFa P CEE = EF, Ergo
EF = LK.

PROBLEMA DEM ALGEBRICE.
Tab. VII. Fig. LIl. AB = AD = a, LK=— b,

CFz F

(: 4
AADe

lre 1

Ego

n

Giye x.

Formul

Ppoteſtatem

dulo open
afke dan re
dio ſiat,
Ppdo ki
Ett A
Hine A
Sit AB.
H

aEx,

tin Al per.
Ob angn.
AAPHYO A
HG; ergo
= E, &

(CB): br
.(.
—
† 6 =

10. =

1go

⸗lhr
. Lgo

8EDMNC.
1,A=

li

☛e =— 1I5
CFe † CE⸗ = Epz, ſive x2 P y2 = bia.
Q ADF „Q% ECF; ergo CF: CE= DF: DA „
ſive X: y = X Ta: a. Et ax = xXy † aye
a X a² X2

Ergo 7„ = , & y2 = —
S 5 N —
22 x2 .
X² P† – – = bz EtX. (aa † Xa) aaxXs

—.—

a † W
= b2 Ca †xX).

† 2ax3 † 1a* x2 = bz X2 † 2a b X †. a b,
Sive X4 P 2ax3 † 222 X2 — bz Xa — 2aba &
— a2 bz = O
Formula hæc prima fronte extra geometrie
poteſtatem poſita videri poſſet; & certe cal-
culo operolo, ad æquationem ſecundi gradus
affe tam reducitut. Quod ſi interim conſtra-
ctio fiat, uti Fig. LI. oſtenſum, ſolutio erit
Oppido facilis.
Eſt AàAEB 2 A FGH. (per ſupra oſtenſa)
Hinc AE = FH.
Sit AB = BC – a, LK = b,) AE = PH
— y„ BH = XxX; erit A = y T† b. & AH
— a . X
H z x

116 =☛ =
Eſt △ ABE % △ AFH.
AB: AE = AF: AH.
àa : y =— y ◻ b: a † X
a² ax = y2 † by.
2 “ —
AH = a † xX = AF2 † FH; = y † b £◻
y² — 2. (y² † by) † b — 1. (a? † ax) † bz.
Hinc as ◻2 ax † X² – 2a² 2 ax † bz
X³* — a* bz. Et X= a by,

APPENDIX

HEXERCITATIONES:

SELECTA QUEDAM

P,O RISMATA.

Po
demon
datam
lidet e
ſec g
dent 1
allecki

Kione

D
te de
kappul
Opere
Promte
Der de⸗

DEFINITILO.

Poriſma eſt propoſitio, in qua proponitut
demonſtrare, rem unam (vel etiam plnres)
datam efſie, cui (vel etiam quibus) uti & cui-
libet ex rebus innumeris, non quidem datis,
ſed quæ, ad ea, quæ data ſunt, eandem ha-

bent relationem, convenire oſtendendum eſt »
affectionem quandam communem, in propoſi-
tione deſcriptam.

Deknitio allata, eſt Roberti Simſon, in ope-
re de Poriſmatihus ex Euclidis fragmentis apud
Pappum, magna ex parte, reſtituto, quo ex
opere pariter, poriſmata, quæ ſequuntur, de-
promta ſunt. Definitio autem ipſa exemplis

per decurſum illuſtrabitur.
Cum

120 —=—ð-

Cum theorema generatim ſpectatum, ſit pro=
pofitio, in quo aliquid demonſtrandum; patet
eo ipfo poriſmata ſub theorematibus veluti ſpe=
ciem ſub genere contineri: ſi vero ea, quæ da-
ta eſle demonſtrantur, proponantur vebuti in-
Vvenienda; evidens eſt poriſma per modum pro-
blematis enunciari poſle.

LEMNMA AD PORISMA L.

Si trianguli rectanguli hypotenuſa fecetur
bifariam & punctum hoc cum puncto verticis
jungatur; recta jungens æquabitur ſemifſi hy-=
tenuſaæ
Tab. VIII, Fig. I. Sir α ABC angulus A
teéëtüs, baſis B C ſecetur bifariam in L) erikg
AD — BD.
Damonſtratio patet per P. I. Prop, IV.

Data poſitione recta „ circulo item poſtione

& magnitudine dato, datum erit punctam, per

quod fi utcunque ducatur recta hinc poſitione
datæ inde circumferentiæ circuli occurrens 5

rectan-

tectar

gge
Ea oe

Tab

de, (
Atut
gue P

N

e ted

E 5
gne cj
igitur
HE.
FE:!
angul
lus K
tiam in
1,62
d ci
oltende
cirenli
Dekin
teid eſt

“
Ktum, e po⸗

mndum; patet

dns veluti hhe⸗
0 ea, guæ da⸗

1tur veluti in⸗

t modum pt .

MAI.

tenuſa ſecetur
puncte⸗ vetticis
tur ſemicli hy⸗

8C gulus A

am in erit

Prop, II.

kem poſtione
hundtum, het
hince hoftihne
i ocrutkens ;
Lectan⸗

—☛☛1 121

rectangulum comprehenſum ſegmentis utrum-

que ductæ inter punétum inveniendum & pun-
Sta occurfus, erit datum.

Tab. VIII. Fig. II. Datur recta AB pofſitio-
ne, circulus COQ poſtione & magnitudine ;
datur punctum E, per quod fſi ducatur utcun-
que FEG rectangulum FE. ECI erit datum.

Keſolutio. Sit ita: ergo ex hypotheſi datum
eſt reétangulum FE. EG. Ad AB per pun-
Gtum E ducatur perpendicularis E H, occurrat-
que circumferentiæ in K, & KG jaungatur ;
igitur rurſus ex hypothefi datur rectangulum
HE. EK, & FE. E = HE. EK. Ergo
FE: EH = EK: EG & funt circa æquales
angulos, ergo a— EHF „ A EGK & angu-
lus K GE =— EHF= R. Secetur EK bifa-
riam in L & jungatur LG erit, per Lemma,
LG= LK ſimiliter omnes rectæ a puncto I.
ad circumferentiam ductæ eidem LK æqules
oſtendentur. punctum igitur L eſt centrum
cireuli CD & eſt LE – LK, quare punctum
E eſt in eircumferentia circuli dati. Datum au-
tem eſt punétum L., data igitur poſitione eſt

recta

—-

122
reéta LH & data erunt E, H. K, pundcta.

quare rectangulum HE. EK & inſ æqusle
FE EG datum eſt.

Compoſitio. Ex centro L circuli dati ducatur

LH perpendicularis ad AB occurratque cireum-
ferentiæ in punctis E, K erit punéctum E quæ-
ſitum.

Demonſtratio. Ducatur FEG & CGK junga-
tur. Eſt KGK = EHF = R. Et angulus
GFK –— HEF verticali. Ergo △—iEHF
A EGK. Et „Eke — EH: E:

Et GE. EF =– HE. EK. Similiter ducta

recta IEg , & gk. △ Eg k o A
EHf,. & gE: EK= LH: Ef. Ergogl. Ef
— HB. EK.
Illuſtratur hoc exemplo, definitio poriſmatis
fuperius data;: oſtendendum enim erat punctum
E datum eſſe, & res innumeræ, quæ ad pun-
Gum E. datamque rectam AB, & datum cir-
culum CD eandem habent relationem, ſunt
ſegmenta retarum inter puh dum E, recktam
AB & circualum CD. Communis autem affe-
io, quam iisdem ſegmentis non datis conve-
nire

re demonr
Gangula iſtin
Gdato inventoe
tiſma hoc ſut
tur: Daorit
tine G mae

gud,

danpulum I
Elo, eujut
Colliyttur
Ws: con
niendls ſuhle
kes palam eſt
tem ex eoce
ad diam
H, Quenmn
ce 4 B
EG; ne
Ehuslitur,

deRo

gbidem me
Uunſiens eir

4

K., pundta,
X ipſi eguale

li dati ducxtue
ntque cireum⸗

nGum Eque-

CRKunge-
It ingulus
H: EF:
Culiter ducta
CgNOA
ErgogL. N

itio potiſmti⸗
erat punctum
„ gu t pun⸗
& Catumm it
tonen, ſunt
n L, telin
is zuten iffe.
, datis eonye⸗
nite

123

nire demonſtrandum proponitur, hæc eſt: re-
tangula iſtiusmodi ſegmentis contenta æquari
dato inventoque rectangulo HE. EK; Po-
rifma hoc ſub forma Problematis ſic proponere
tur: Datis recta poſitione, circulo item poſi-
tione & magnitudine, invenire punctum; per
quod, ſi ducatur uicunque reéta FEr;; re-
dtangulum F E. EG æquetur alicui rectan-
gulo, cujus altitudo && hafis data eſt.

Colligitur hinc pariter poriſmatum in Matheſi
utilitas: cum problematis theorematisque inve-
niendis ſubſerviant. Et de problemate quidem
res palam eſt in allato exemplo : theorema au-.
tem ex eodem poriſmate derivatum, tale eſt:
S ad diametrum circuli K E produélam in
H, ducatur perpendicularis A B; tzum ex
rvectæ A B quovis puncto F ducatur relcta
EFG; rectangulum ſub ſegmentis FE. EG
&uabitur rectangulo ſub ſegmentis HE. EK.

CHOLEIOM. Tab. VIII. Fig. III.
Eſt K H perpendicularis ad datam AB. Si⸗
quidem ] lam ex puncdto K ducatur utcunque K M
tranſiens circulum in N 3 3 erunt KH, & K M⸗

rectæ

rectæ puncto circuli K, & data recta AB in-
terceptæ, & KE, K N ſegmenta intercepta cir
culo. Jungatur EN erit A HKMO A NKE,
ergo K M: HK = KE: KN, adeoque rectan-
gulum KM. KN = HK. KE dato. Hine
punctum K poriſmati pariter ſatisfaciet:
& innumera redctangula KM. KN = Km.
K — KlH. KE.

LEMMA AD PORISMA II.
THEOREMA.

Sit quodvis triangualum; baſis ejus ita pro-
ducta, ut fit aggregatum ex baſi una cum parte
producta ad partem productam, uti quadratum
rectæ baſi productæ oppoſitæ ad quadratum la-

teris reliqui; puncta vero baſis productæ &

verticis jungantur: dico rectangulum aggre-
gato ex baſi una cum parte producta, & parte pre-
ducta, comprehenſum æquari junétæ quadrato.

Tab. VIII. Fig. IV. Trianguli HAE baſis
AE t ita prodaucta ut it AG: E =
HA⸗=: HE⸗.
Erit AG. GE= HG⸗

Demon.

Demonſtn
ingalo HA

bz. AG

H:, AG
HG. Ab
H⸗

dn. . iat

R Sreol
& punctum
ducatur ut
ditum erit
guod ſi ab e
or tecta;:

rationem.

Tub. Flll
Kextta edr
catur utoum
erit intta eir

catur .

Reſolutie
tam punſtn

A:

—☛ . 125

rech Ab i. Demonſtratur Per Prop. VI. Part. I. In tri-
intercepta cie angulo HAGeſt HG=. AE P HAs. EE—
„ A NE, †HE . AG F AE LG AG. Jam vero
eoqne recan⸗ HEI. AG = HA2 EG (hyp.) Ergo
dato, Hine HGeZ. AE — AE. EG AG ürve

ſatchritt HG⸗ = AG. EG. Fert
N =— K. Dame. . ingis t1el vt 4 in pehart:s Hun Ste. Nl. kieſch.
PORISMA II.
MIA I. Sit circulus poſitione & magnitudine datus,

& punctum extra eum: quod ſi ex hoc puncto
ducatur utcunque ad circumferentiam reéta,

ejas i oü qatum erit aliud puncétum intra circulum, ad

unn cum hitte quod ſi ab eodem circumferentiæ puncto duca-

Cdadrännm tur recta; ad hanc, prius ducta datam habebit

uuruum lr. rationem.

grodulte⸗ .
lin agre. Tab. VIII. Fig. IV. Datus fit circulus CD,
e. & extra eum punctum A. Quod ſi modo du.-
en catur utcunque ad circumferentiam AF datum
Gtæ& uaCrae.

erit intra circulum punctum E, ad quod fi du-
HAE Müͤ ecatur FE. Erit ratio AF: P E. data.

6:6⸗

Reſolutio. Sit jam poriſma verum; & da.
tum punctum E: erit, ductis FA, FE ra-
tio AF: EF data. Jungatur AE, & ad ip-

pNoN. ſam

ſam utcunque productam ducatur EG ita, ut ſit
angulus E- G= EAF. Erit ergo (ob angu-
lum AlF communem) △ GAF GPE.
Et AF: FE = AG: GF=GF: GE; &
(ob proportionem continuam)
AC2: GHA = AG: CK.
Et autem AFz: Fh⸗= —– AG? : GF;. *
Ergo AFz: FE2 = AG: CGE.
Sumatur quodvis punctum H in circumferen-

tia: & jungantur HA, HE, HG.

Cum per hypotheſin ratio AF: PE. fit data;,

ponatur eidem æqualis AH : HE., erit adeo
AF: FE =— AH: HE. Et AFa: FE⸗ =
AHz: HEe.
Erit adeo AHz : HE⸗ = AG: GE.
Ergo (per lemma) AG. GE —– CGHz,
Eſt autem (ob AG: GF= GF: GE) AG.
CGE = CGE.
Ergo GF =– GH. Similiter quævis recta a
puncto G ad circumferentiam ducta, eidem CrF
æqualis oſtenditur. Eſt ergo C, centrum cir-
culi dati, ae proinde datum. Datur item pun-
Gtum A, quare A G data eſt: & quia datur FCG,
quippe radius circuli dati; dabitur ratio A Gt

CE.

GF. Cum
CF: C,

getur prete

kudine: cun
datur parite

Gum E.

Conj
rentrum cire
Phetig in
tertis propo
Rom, en
Utcunque 2
Ppündtum
itio reckar

Equalis radi

Demm,
AG: GK.
go AG.
lam pero
gulus PG/
centi propo

go A
AG: G

FGin, Nſt
1g0 (ob angu⸗
AC.
GE: GE; &

: CF:.
6.
in circumteren⸗

HC.

E, erit Mer

Ie: E =

7. G5.
P= CH,
F: GE) AG.

tqueænis tetta1
n, eidem G
centrun ci⸗
tur item Pl-
nin daturk G
at titi AG:
G.

127

GF. Cum vero ſit AG: GF= AF: FE=
GF: CkK, datur pariter ratio GF: Gü & cum

detur præterea GF, dabitur pariter GE magni-

tudine: cum autem punétum E ſit in reéta AG;
datur pariter GE poſitione; datur adeo pun-
ctum E.

Compoſitio. Sit A punctum datum, & G
centrum circuli dati: juncta AG occurret peri-
pheriæ in K. Inveniatur modo ipſis AG, GK
tertia proportionalis GE: erit E punctum quæ-
Ktum, ejus videlicet conditionis, ut ductis
utcunque ad peripheriam, & a peripheria ad
punctum E rectis AF, FE item AHI, HE.
ratio rectarum AF : PE item AH : HE fit
æqualis rationi datæ A αι: KG.

Doemonſitratio. Eſt per conſtructionem
AG: GK= GK/EG. Et CK = GF:
Ergo AG: GE = CU F : EG.
Jam vero in triangulis GFA, FCE eſt an-
gulus F C eommunis, & latera huic adja-
centia proportionalia.
Ergo A FGA% BAA FGE. Et AF: FE=
AG: FG (KG)

Simili.

128 = =
Similiter ductis AH, HE oſtenditur A HGA
α △HEG & AH: HE. (KG) = AC: GH
Ergo AF: FE — AH: EBE= AG: KG.
In hoc poriſmate oſtendendum eſt, punctum
E datum eſſe: innumeræ autem rectæ quæ a
puncto A ad circumferentiam duci vel inflecti
poſſunt, videlicet AF, AH &c. eandem ha-=
bent ad puncta àA, E & circumferentiam rela-
tionem. Communis autem affectio, quam hisce
rectis convenire demonſtranda fuit eſt hæc: ra⸗
tionem harum rectarum æquari rationi AG: AG,

dquæ ratio invenienda fuit.

PORISMA III.

Dentur in recta tria puncta, primum ſecun-
dum tertium, & inter primum & ſecundum
ſumatur punctum quodvis: data erit eo ipſo
alia reéta, datur itidem inter primum & ter⸗
tium quartum aliud punctum ea lege, ut re-
Gangulum, cujus unum latus eſt data alia re &ta
alterum latus puncto quovis aſſumto & quarto

intercipitur, æquetur rectangulo cujus unum la-

tus puncto primo & afflumto, alterum hoc ipſe

&£

& kecandoi

ris puncto?

A, B,

Gand)) velt

Reſolutia
E data fect
RD⸗
50 ”*
Urgok.
40.
Hinc .
Finiſtter
3 C. BCX.
Uigo (fn
CE-=
Eigo l.

AHGA
0:0H

G:K.

puntrn

gue 1

inflei
idem hr

am rela⸗

am hisce

hæc: f⸗

4,
6: A,

m ſecnd⸗
ecundum
teo in
n E tel⸗

, t te⸗

lia rectt
8 gonto
Dum lae
hoc ilo
&

☛ eEH 129

& Recundo intercipitur; una cum quadrato late-
vis punéto affumto & tertio intercepti.

Tab. VIII. Fig. V. Dantur in recta AC pun-
Gta A, B, C, in AB famatur utcumque pun-
Gum D) vel G data erit eo ipſo recta F & in A C
Punctam E ea lege, ut ſit F. DE== A D. DB
DCa, vel F. GE= AG. CGB . GC⸗.

DKeſolutio. Sit ita, datum videlicet punctum
E, data recta F, & F. DE = AD. DB † CD⸗
ER CD⸗ = DB BC = DB- P 2 BD.
BC P BC2.
Ergo F. DE= AD. DB † DB- † 2 BD.
BC † BC=.
AD. DB DB-⸗ = AB. DB.
Hinc F. DE= AB. DB P 2 BD. BC BC=
Similiter oſtenditur F. GE = AB. GB *
a BG. BC BC=.
Erge (ſabtrahendoe æquationem priorem a
poſteriori) F. GE — F. DE = GB — DB AB
+ 36 — BD K 2 BC.
GE — DE = CGD= GB — D.
Ergo F. GD = AB. GD GD. 2 80.
1 Sive

130 — eS
Sive F= AB †+◻ 2 B0.
Data ergo eſt imprimis F; cum detur AB,
& BC.
Fiat CH = BC. Erit F = A H.
Erit quoque AH. DE = A B DB ◻2 8D.
BC BCz.
Sive AH. DE = AH. BD †£— BC2.
AH. DE — AH. BD = BE. AH = BC*.
Sive AH: BC = BC: BE. Dantur autem
AH, & BC: datur adeo tertia proportionalis
BE, erit adeo punétum E datum quod faciat
F. DE = AD. DB † CDz.
Compeſitio. Fiat imgrimis E = AB †+ 2 BC.
Tam in resta AC producta capiatur C = BC;
crit AH = F: demum ad AH, & BC qaæ-
ratur tertia proportionalis BE: utcunque jam
in recta AB, capiatur punctum D. Krit F.
DE = AD. DB † CDz.

Demonſtratio patet viam relegendo.

S0HOLIONM.

Poriſma hoc numeris ita exprimi poſſet. Da-
tis duobus numeris a & b dantur duo alü nu-
meri

meri5

tus m,

Cceſla.
T
una en
—
I b
,
Drit

»g

rus n
a) erit
Eſ 4
Erit

e

—

tut AB,

P 20.

= 66.
Ur autemn
ttionalis
od faciat

ngne ſam

Ptit l.

let. Dr⸗
0 Ai nu⸗
meri

, e rn 131

meri x & 7, taleles, ut ſi ſumatur utcunque quin-

tus m, modo minor numero a; ſactum ab ex-

—.—

ceſſu primi & quinti, & quinto; ſive a — m X m

una cum quadrato ſummæ ſecundi & quinti 3
——

m † b & qualis ſit facto ex ſumma quarti & quin-

—

ti, & tertio; ſive æX m + 2z.

Erit adeo ex hypotheſi æ xX m ⸗-PZ = a —

x m †+ m † b fumatur rurſus utcunque nume-

rus n vice ipſius m, (qui pariter ſit minor dato

„

2

a) erit ſimiliter n -P‿ς. a – nX . n †T b
Eſt adeo mx . Xz = am -. 2 bm P be
n .◻ r an 2 bn bz
Erit mx — nx = am — an 2 bm — 2 bh

— — —.—

Sive m- n X x =— m- n à2 PT m é n 2 b

Ergo x = 2 2 b

—

Et X m Z a P 2 b m †&Z = am †
bm — bz
Sive am —α 2 bm az P. 2 Dz = am ◻☚ 2/2 bm

b-

I 2 Exem-

132 e
Exemplum. Sit a = 30 b = 10. Krit
xX = 10 & 2 = 2

Sit modo m =

Erit X m †+ Z = 50. 7 = 3 50

— —,— ²¾
a — m x m + b †+ m = 25. 5 †+ 15. 1 5
Si autem foret m ☛ 9
Erit x m †+ 2 = 5O. II = 550

2
— —

a — m m ††. b m = 21. 9 † 19. 19
— 519.
LEMMA AD PORISMA MW.
THEOREMA.

Duæ rectæ ſe interſecent ita, ut rectangula
ſub ſegmentis fint æqualia: erunt puncta extre-

ma rectarum in eodem circulo.

Tab. VIII. Fig. VI. Rectæ AB, DE ſe inter=

ſecent in C, fit autem AC. CB = DC. CE erunt

puncta A,„ D, B, E in eodem circulo.

Demonſtratur. Tranſeat imprimis circulus
per B, D, A transibit quoque per E. Si enim
non;

von;

circul

(hyp.
D. C.

0

extren
tas:

interle

fum p

Tan
terle⸗,
rectis
punce
40
4AC.
Per oß

ln e
DunAn
eat ch
ciredlo
Dunctu.

Adhe

. LEitt

eGangul

a extre⸗

le intet⸗
5 erunt

ſ.
sekculus
eni

non;

= E n, 132

non; tranſeat retæ DE aliud punéctum F per
circulum: Erit DC. CFE = AC. CB: eſt autem
(hyp.) AC. CB = DC. CE. Ergo D0. CF =
DC. CE & CF=— CE pars toti, quod dici nequit.

Coroll Duæ rectæ ſe interſecent, & puncta
extrema jungantur recétis verſus partes oppoſi-

tas: quod ſi angulos ſupra vel infra punctum
interſectionis æquales conſtituant, erunt rur-

ſum puncta rectarum extrema in eodem circulo.

Tab. VIII. Fig. VI. Rectarum AB, D ſe in-
terſecantium in C punécta extrema jungantur
rectis AE, DB & fit angulus D = A, erunt
puncta D, A, E, B in eodem circulo: eſt enim
△ ACE △ DCB & AC: CE=— CD: CB. Hinc

AC. CB = DC. CE & puncta in eodem circulo
per oſtenſa.

*XX PORISMA IV.

In circuli poſitione dati circumferentia datut
punctum, ex quo chorda utcunque ducécta trans-
eat chordam magnitudine datam; & occurrat
circulo in alio puncto; dabitur eo ipſo tertium
puncétum in circumferentia circuli, ex quo ſi ad
aliud hoc punétum inflectatur recta; reétangu-
lum

134 Srrn ce ren,

lum, quod bina ſegmenta chordæ eireumferentiæ
adjacentia una cum intervallo utcunque ducta
& inflexa intercepto conſtituunt, ad rectangu-
lum ſub iisdem ſec mentis deinto utrimque eodem

inzervallo, habebit rationem datatn.

Tab. VIII. Fig. VII. In circuli circumferen-
tia datur punétum A & chorda C magnitudine:
ex & ütcumque ducatur AB occurrens circulo
in B: fit autem ratio data GH: GK., dabitur eo
ipfo punctum M, ex quo ſi inflectatur MB, erit

CE T EEX DF E EF: CE — Ef x DF — EFP=
GH: GKk.
Sive CFE. DE: CE. DF = GH: GK

Keſolutios Sit ita: datum videlicet punctum
M; & CF. ED: CE. FD = GH-⸗ GK
Conſequenter erit CF. ED — CE. FD: CE.
FDz= GH—– Gk: GK

CF. ED = CE T EF x EF T. FD = (E.
EFA. EF P. CE. ED EF. E
CF. ED — CE. FD= CE EF EF P EF-
FD = CD. Ef
GH-– GK = HK. FErit adeo
CD. EF: CE. FD= HK: GK.
kectis

C

Reck
proport

Vrit

ire

C1.

e

tranſeat
erit Cl
Vrit
lemme
in aio
AlE⸗=
cum yer
D0 7*
Qum L.
recta 4
ABF=
punctun
Verget
Dunun

Conp
junge

hferentiæ
ue duda

ne eodem

umferen.
litodine:
circulo

abitar eo

IB, ett

—

— P=

Punctum

ED: (E.

lecis

S 13

Recttis HK, KG, & CD quæratur quarta
proportionalis CL. Erit HK: KG = DC: CI.
Erit adeo CD. EF: CE FD= DC: Ch;
& CD. EF. CL= CE. FD. CD.
Sive EF. CL = CE. PD. Sive
CE. EF -P EF. CL= CE. EFP CE. FD;
id eſt LE. EF = CE. ED. Jam vero cum
tranſeat cireulus per puncta A, C, B. D;
erit CE. ED = AE. EB.
Erit adeo ILE. EF = AE. EB. Hinc (per
Lemma) puncta A, L, B, F, erunt pariter
in alio circualo, & juncta A, erit angulus
ALE = ABF, quippe in eodem ſegmenro;
cum vero detur ratio CD: C(EL., detur quoque
DC; dabitur eo ipſo CL. Datur itaque pun-
Kum L. Datur autem punéctum A, datur adeo
recta AL poſitione, datur quoque angulus
ABF = ALE, & datur punctum A: Hinc
punctum in circumferentia erit datum, ad quod
verget reécta BF: fit illud M, datur itaque
punctum M.

Compoſitio. Fiat HK: KG = DC: CL,
& jungatur AL; tum ducatur A N tangens cir-

culum

136 Ey
culum in A. Fiat angulus NAM = ALC.

oeccurratque A M circumferentiæ in M, erit M
punctum inveniendum. Hoc eſt: 2 punéeto
A ducatur utcunque AEB, occurrens rectæ da-
tæ CD., in E, & circumferentiæ in B, & jan-
gatur DB M, oceurrens rectæ CD in F. Erit
CF. ED: CE. FOD-= GH: GkK.

Demonſtratio. Eft angulus ABM =
NAM. Jam vero NAM = ALC (per con-
Etuctionem). Ergo ALC= ABM; & pun-

cta A, L., B. F in eodem circulo (per Co

roll, Lemmatis) adeoque LE. EF= AE. EB.
Eſt autem AE. EB= CE. EL). Ergo LE.
EF = CE. ED. Et addendo utrimque re=
Kangulum FE. ED
LE. EF †. EE. ED = CE. ED P. FE. ED-.
Sive LD. EF = CP. ED. Utrimque au-
gerendo CE. E F .
LE. EF - CE. EF = CE. ED - CE. EF
Sive LC. EF = CE. FD
Et ergo lL. D. EF: LC. EF = CF. ED: CE. FD
Sive CF. ED: CE. FD = LD: LC
Jam vero HK:;: KG= CD: CIL.

Nl
H
CE

Con
do per

tietatis

ln6
Gam
gulam
culum
lani &
in hae
Abitrar
diamett
reurre
extra e

rato ſi

punctun

Tb.
Metrum

4
in M, erit M
: r puncto
trens rectze di⸗
in B, & jan⸗
Din F. Lnt
Ch.
ABM =
.C(percon-
ABhA; & por⸗
eulo (per o⸗
P=AL. EB.
). Uigo E

utrimque re⸗

DHI. 10.

Utrimgne al⸗
D⸗-CE. EE

.Y0: C5.
:CL

— 137
Et HK † KG: KG= DC CL: CL. Sive
HG: KG = LD: LC. Erge demum
CF. ED: CE. FD = GH: GK,
Compofitio eadem potuiſfet fieri retrogradien-
do per analyſin; hæc autem paulo brevior va-

rietatis cauſa, data eſt,

LEMMA AD PORISMA V.
THEOREMA.

In diametro capiatur punétum, & ad produ-
tam ducatur perpendicularis, ſit autem rectan-
gulum producta diametro & parte extra cir-
culum contentum quadrato rectæ perpendicu-
lari & puncto in diametro interceptæ: dico ſi
in hac perpendiculari capiatur punctum quodvis
arbitrarium atque ab eo ducatur per punétum in
diametro recta circumferentiæ circuli utrobique
occurrens, rectangulum tota hac recta & parte
extra cireulum comprehenſum æquabitur qua.
drato ſuper recta, quam punctum diametri &

puncéctum arbitrarium intercipiunt.

Tab. VIII. Fig. VIII. Sit circulus circa dia.
metrum AB capiatur in ea punctum C & pro-
duca-

138 S

ducatur verſus F'rettæ AF perpendicularis CD.
Sit vero FG⸗= = AF. FB. Dico fi in CD ca-
piatur quodvis punftum E. & per G ducatur EH
occurrens circulo in K, H fore

HE. EK = CGE⸗.

Demonſtratur. Jungatur A E, quæ occur-
rat circumferentiæ in L. & ducatur LB
ang. AI B = AFE = R ang. EAF communis.
Ergo hALB ι A AFE &
AB: AE = AL: AF
AF. AB = Ak. AlL.
AF. A B † AE. EL= AEF ALTAE. LE= AE=
AE⸗ = AF-= P Fhz
AF⸗z P PEe = AF. AB T AE. El
AFz — AF. AB †£ PFE⸗ = AK. DL. Sive
BF. AF P FE⸗ = Ak. EL.
AF. FB = FCGZ (hyp.)
FG= P† FEs= = AE. EL = EC=
EA: EH = EK: El.
AE. EL = HE. LK.
Hinc HE. EK = CGE=

* X x PO.-

Data pofi
Punc um int
ducaur red
circumferent
cmjos nnum
ejusdem cire
guetar gua

invemiendo

Tab. VII
tirenlo datn
gnoc ſi ntenn
MWin P5
F. HN:

Roluiio
CNlatis ad 4

Oterrt; 1

D E

1.
unda Ph

lrentir in

dienlaris C0.
ſ in C0) er
ducatutEH

, quæ Otcl⸗

.
ior⸗ 1

APcommunis,

K.

er 139
*X PORISMA V.

Data poſitione recta & circulo datum erit
Punétum intra eundem, per quod ſi uteunfque
duca-ur recta occurrens poſitione datæ, &
eircumferentiæ in duobus punctis, rectangulum
cujas unum latus hæc ipfa recta, alternm pars
ejusdem circula & poſitione data intercepta æ=-
quetur quadrato ſegmenti ejusdem rectæ puncto

inveniendo & poſitione data intercepti.

Tab. VIII. Fig. IX. Data pofitione AB &

circulo datum erit intra illum punctum , per

quod ſi utcunque dnucatur HEF occurens recta

AB in F & circulo in punctis G & H fit
HF. FG = FPEa

Reſolutic. Eſto punctum E tale, ut ſit

HF. FC = FEz. Ducatur EK perpendi-

chlaris ad AB, quæ circumferentiæ in L. & M.
oecurrat; rurfus igitur ex hypotheſi erit LK.
KM = LKz. Pifariam ſecetur MI. in N .
& juncta FN producatur, occurratque circum.
ferentiæ in C, D.

140

Eſt GF. FH = DF. FC. Jam ob hypo-
thefin GF. FH = EF⸗ = EK⸗ † FK⸗.
Et EK⸗ = LK. K M.
Erit adeo 1) F. FC = LK. KM † FK⸗.
Cum circuli chordæ LM, DCie interſecent
in puncto N; erit CN. ND = MN. NL= NL⸗=
ob MI. biſeétam.
Erit adeo DF. FC CN. ND = LK. KM
† Ni= † FK⸗.
Jam vero I. K. K M £ NL⸗ = LK † 2NI-

—

X LK NLz = K LLLN = NK=
Et NK⸗ + FK⸗ = NF'=
Ergo DF. FCP CN. ND = NFe.
Et ſubtrahendo ntrobique rectangulum NF. DF
eſt DF. FC — NP. DF † CN. ND = NP*
— NF DfF.
Sive CN. DF CN. ND = DN. NF: id
eſt NF. CN = DN. N.
Ergo demum CN = DN. Et CD ſecta bi-
fariam in N.
Eſt autem ML. pariter biſecta in N. Erit
adeo circuli CMD centrum N eo ipſo datum.

data eſt autem poſitione recta AB, & angulus
NRB

NRB redtu
Iitet N.,

Datur adeo

magnitudine

ergo datur

Connpc’
4h ipſoad A
iteumferen

& KI in

guc ponat

punctum it

tur, gueri

cumferentis

T
=Nͦ
— L „

INN

Iuper 6

Opiens an

lam ob hypo-

M PFKr.
ſe interlecent
NL= NL

D=IK N
ILKLINL
= N'.
gulamhf. Df
ND=N-;
C ven bi⸗
N. Vt
o iplo dtum.

, mgalus

NKB

e. 141

NRB rectus; datur adeo recta N. K, datur pa-

riter NL., & L M; dabitur adeo LCK, & LK
LAMMA = K M. Datur adeo rectangulum K L. IL. M.
Datur adeo EKKe= conſequenter EKK pofitione &
magnitudine. Datum eſt autem punctum K:

ergo datur punctum E.

Compoſitio. Sumatur circuli centrum N, &
ab ipſo ad A B ducatur perpendicularis NK, quæ
circumferentiæ in L, & M occurrat, inter MK,
& KL inveniatur media proportionalis K E,
quæ ponatur a puncto K verſus N. Erit E.
pundtum inveniendum. Si enim ab ipſo duca-
tur, quævis recta EF, ad rectam Aß quæ cir-
cumferentiæ in G, H occurrat; erit GF. FH

EFa, uti in lemmate oſtenſum fuit; cum

ſit per conſtruétionem KrH2 = MK. KL,

quod in lemmate ſupponebatur.

LEMMA IL. AD PORISMA VI.
PROBLEMA.

Super data recta deſcribere ſegmentum circuli

capiens angulum æqualem dato.

Tab. VIII.

142 er e re

Tab. VIII. Fig. X. Sup
ſcribere ſegmentum circuli

lum AKB = C.

er data recta AB de-

2

AKB capiens angu-
Solutio. Fiat angulus DAB — Ctum ex
puncto A ſuper HD erigatur perpendicularis
AE; angulo E&AB fiat ad B æqualis AB F
tum centro F, ubi hæ rectæ concurrunt radio

FA deſcribatur circulus & inflectantur ad cir-
cumferentiam AK, KB dico factum.

Demonſtwativ. Angulus FEA = BAK
hinc AF = FB & puncta A, 3 in circumfe-
rentia circuli & ob HL) radio perpendiculatem
erit HD tangens & angulus AKB =— 0DAB.

eſt autem DAB — C. Hinc AkKB =— C.

L E M M A II.
PROBLEMA.
In dato circuli ſegmento ex punctis chordæ

extremis inflectere ad circumferentiam duas re-
ctas, quæ datam ad invicem habeant rationem.

Tab. VIII. Fig. XI. In circulo ſegmento ex
chordæ AB punctis A & inflectere duas re-
ctas A C, CB ut ſit AC: CB=mn
Reſe.

end 00.
Pit iegi⸗
commanis:
It AC:
dive N
50.
amn verd
Lt 40:
Debet ade
Quod fieti

Comhaſt
tum ex pu

Latur tagge

Vnonh
(Conttract,
Al): B
Dtgo ma

aar inß
caplens angu.

— Ctam ex
erpendiculatis
Agnelis ABF
hcurtunt radio
chantur ad cit⸗
tum.

A — BAE.
in eirumfe⸗
veniiellitem
à — 4b.

8=C.

I

netis chordæ
iam duas le-

trationem,
egmento en
ete us ke⸗

Mſr.

e 143

Reſolutio. Sit faetum; & ex C ducta tan-
gens C).
Erit itaque AD: DC= DC: BD
Et ADz: DC⸗ = AD: BD
Eſt angulus BCD = CAB, & angulus D
commanis:
Ergo △ à DCo A CDB
Et AC: CB= AD: DC
Sive ACz: CB⸗ = AD-⸗=: DC⸗ = AD :
Jam vero AC⸗ CB=m: n (hyp.)
Et ACza: CB-⸗ =– ma : nz
Debet adeo efſfe ma: nz⸗ — AD: BD.
Quod fieri poſſe oſtenſum fuit.

Compuſitio. Fiat ma : nz — AD; BD
tum ex puncto D, ad ſegmentum ACB, da-
catur taagens DC, demum jungantur AC,
CB. dico factum.

Demonſtratio. ma: na = AD : DB
(Conſtruct.)
AD: DC= DC: BD
AtD: BD = ADz: CD⸗
Ergo ma: n⸗ ADz: DC=⸗

Jam

144

Jam vero △ , ADC △ CDB
Et AC: CB= AD: DC
Sive ACz: CB⸗ = ADz: DC⸗=
Ergo ms; nz = AC=: CB⸗
Et m: n = AC: CB.

S CHOLEIONM.
Sequitur modo elegantiſſimum Poriſma, quod
ex hoc EUcLIDIS fragmento apud Pappum Lib.
VII. Collect. Mathem.: O'ri egi r1 oν π.αιο,
d* er7ανααιt er rode (forſan rov de ſcili-
cet zu Xο) doer egieον, e1e T 6ααο*.
Quod datum eſt punctum aliquod, a quo ſt
ducantur ad hoc (fortaſte hunc ſcilicet circu-
lum) continehunt illæ triangulum ſpecie da-
tum: feliciſſime reſtituit Ros. SIMSON Opere

ſupra laudato.

X*XX PORISMA VI.
Datis poſitione & magnitudine duobus cir-
culis, datum erit aliud punctum, ex quo ſi ad
circumferentias circulorum ducantur duæ rectæ
conſtituentes angulum datum, contianebunt hæ
una cum rectis ipfarum terminos jungentibus

triangulum ſpecie datum.

Tab. IX.

Tab. IX.
tra ſint A,
ſt ducantar
reter 00,
qualem dato
ctis DE., .
gulam AC
1 AdN
600:
Jungan
E angal
Ie
Hine
Ltob
Dit N
Lt ang
I. lunge
tlæ in H,
denttum B

SNEe

12, guol
Punn Lib-
e
, le ſeili
7g

4 /

et ire .

Petie Al.

0N Oere

1.
nobus eit⸗
duæ tectæ

gehunt le

lib. I.

e 145

Tab. IX. Fig. XII. Circulorum datorum cen-
tra ſint A, B: datum erit punctum C, ex quo
ü ducantur ad circumferentias circalorum, duæ
reteæ CD, CE (vel aliæ quævis CF, CG)
comprehendentes angulum DCE (FCG) æ.
qualem dato L,; continebunt hæ una cum re-
ctis DE, FG ipforum terminos jungentibus
△ DCE OOν A FCG O 'QQ ABC, quod trian-
guium A BCſpeeie datum eſſe oſtendendum eſt.
Reſolutio ſit ita. Erit ergo
I. △ DCE W% Q△½ FCG &
DE; CE = FC: CCG
Jungantur DF, EG
Eſt angulaus DCE = FCG (Conſtructio)
Sive DCFFCE = FCE P ECG
Hinc DCF = ECCG
Et ob DC: CE= FC: CG. Sive
DC: FC= CE: CC
Erit DCF AA ECG .
Et angulus CFD = CGE

II. Jungatur AU, & occurrat circumferen-

tiæ in H, ad circumferentiam circuli, cujus
centrum B ducatur CK faciens angnlum HCK
=— DCE & jungantur FH, GK, tum DH. EK.
K Eſt

146

Eſt DCE = DCH HCFTFCE
HCK = HCF TFCE ECK
Ergo DCH = ECK
Erat autem DOF =– ECG
Sive DCH HCF = ECK PKCG
& HCF = KCG
Hinc HCF Oα △ KCG
Et angulus HFC = CGCK
Gimiliter oſtenditur u. CDH O ACEK
& angulus DFH = EGK
III. Jungantur AD, BE, BK. Propter an-
gulos HFD EGK ad circumferentias, æqua-
les erunt horum dupli ad centra æ quales ſive
DAH = EBkK ob triangaula DHAX, EKB
iſoſcelia, erit AHD = BKkk.
Et cum fit per oſtenſa A CDH O⅓ CEK
Erit angulus CHD = CKk.
Ergo CHD . DHA= CKE PT EKB.
Sunt autem CHD † DHA, quippe dein-
ceps poſiti, æquales duobus rectis. Ergo &
CKE P EKB; conſequenter CK, KB jacent
in directum five CK +£ KB = CB.
IV. In triangulis ACD, BCE 'eſt per oſtenſa
angulus DAC= EBC, & DCA = FCB.
Ergo

40:
ſye
dantun
tem r
pund
& an
50
eſt,

=

06

ACRRK

ropter AIl⸗
zs, Zgld
ueles ſie⸗

N, EKB
ACR

ipe lein⸗
go
KB jwent
heroleili
2CB.
Ergo

—☛☛☚ 2
Ergo A ACDo A BCKE.
Et AC: AD= BC: Bk.
Datæ ſunt autem AD, BE datur ergo ratio
AC: BC datus eſt præterea angulus ACB,
ſive L. Datur adeo ſpecie triangulum ABC;
dantur adeo anguli BAC, ABCG. Data eſt au-
tem recta AB poſitione, adeoque datum eſt
Punctum C. Quia vero eſt DC: CE = AC: CB;
& angulus DCE = ACB, erit triangulum
DCEO AABC, quod datum ſpecie oſtenſam
eſt.

Compoſitio. Tab. IX. Fig. XIII. Sint A,
B, centra circulorum, qui poſitione dati funt,
ſitque angulus ad L datus. Jungatur A B &

fſuper ea deſcribatur ſegmentum circuli capiens

angulum ACB = L (per Lemma I.) tum (per
Lemma II.) ducantur A OC, B C ad ſegmenti
circumferentiam, quæ habeant eam rationem,
quam habet radius circuli, cujus centrum A,
ad radium circuli, cujus centrum B; erit C.
punctum inveniendum. Hoc eſt, ſi a puncto C
ducatur utcunque CD ad circumferentiam, cu-
jus centrum eſt A, & ab eodem punceto Cda-
catur alia recta CQ faciens cum CD angnlum
DCQipfü ACB, fHve dato angulo ad Læana-
lem; occurret OQQcircumferentiæ, Cujus cen-
K 2 trum

148 ò

trum eſt B, in puncto quodam E, &;, ſi tunc

jungatur DE; erit triangulum DCE W% △ A C.

Demonſtratio. Ducantur a puncto C rectæ

CM., CN circulos contingentes ex una parte; &
CO, CP ex altera, & jungantur M, BN.
Quoniam igitur ex conſtruéctione eſt CA: CB
= AM: BN.
Sive CA : AM =— CB: BN, & anguli ad
M & N recti, erit AMC Oνι △ BNC. Et
angulus ACM — BCN.
Et angulus MCA ACN = ACN †£ BCN
Sive MCN = ACB.
Similiter oſtenditur angulus OCP = ACB
Ergo MCN = OCb.
II. Quoniam igitur recta CD cadit intra angu-
lum MCO; recta CQ, quæ facit angulum DCC.
— ACB, five æqualem MCN, five æqualem
OCb: necefſario cadet intra angulum NCP, qua-
re & circumferentiæ neceſſario occurret.
Occurrat in E, quæ ſit ad eandem circumfe-
rentiæ partem, ad quam eſt D; & jungantur
AD, BE.
Cum igitur angulus ACB = DCE.
Sive ACE ECB = DCA T ACE
Erit ACD= BCE. III.

lIll.
Diit ſi
NBC
Hin

recto.

Urg
EU
LEt
ire
Vrg.
R
Kiye
Eſe
Urgo

I

K in

dalis
fectog

Fibus cir

Tab.
4A P E

54, AC.

ſi tune
AACS.

90 tecle
Patte; &
I, BN.
KCa:

anebl al

PNC. t
N N

0

intra angy⸗
golum0CO
e Egualem
XCL, quu⸗
tret.
n drcume-

jungintar

—
☚

149

III. Cum triangula AMC, BNC ſint rectangula.
Erit ſumma angulorum MAC ACM; item
NBC P BC'N æqualis reéto.
Hinc DAC ACD item EBC £ BCE, minor
recto.
Ergo angulus ADC, & BEC major recto.
Eſt vero ACD = BCE (ner demonſtrata)
Et AC: CB = AD:; BE (Conſtr.)
Sive AC: AD = CB: BE.
Ergo △ADC △ BEC
Et AC: CD = BC: CK.
Sive AC: BC = Ch. CE.
Eſt etiam ACB = DCE.
Ergo △ACB △ DCE.

LEMMA AD PORISMA VII.

Si in duobus triangulis fit unus angulus æ-
qualis uni, aut unus cum altero conſtituat duos
rectos; erunt triangula, uti rectangula, late-
Tibus circa hos angulos, comprehenſa. W

Tab. INX. Fig. XIV. Sit A = EDF vel etiam
A P EDF = 2 R. Erit ABC: A DEF =

BA. AC: ED. DF.

Demon-

Memonſtratur. Ductis perpendiculis BG. EH

AC. BGG. DF. H

2 2
AO. BG: DF. HE.

△ BaG o A EDH L

BA: BG = ED: EH. Et BA. AC: BG AC —

ED. DF: DF. HE.
Et alternando BA K AC: ED. DFr =—
AC. BG:; DF. HE. .

Coroll. Si præter angulum utrobique Zqua⸗
lem, aut unum cum alio duos reétos conſtitu-

entem rectangula circa hos angulos fint æqua-

lia; triangula erunt æqualia. Et ſi præter an-
gulum utrobique æqualem, aut unum cum alio
duos rectos conſtituentem triangula fint æqua=
lia; reétangula circa hos angulos erunt æqualia.

XX PORISMA VII.

Datis poſitione & magnitudine duobus circu-
Rs, datum erit aliud punétum, ex quo fſi ad
circumferentias circulorum ducantur duæ rectæ
conſtituentes angulum datum, continebunt hæ
una cum rectis ipſorum terminos jungentibus,
querum unus ſit in concava alter in convexa
Greumferentia, triangulum magnitudine datum.

Tab. IX.

Tab.
tra üint
4 duen
CE

dentes

Leonti
CR⸗
triangul
tas mag
Aatum,
No
6. E.
comprel
reck 80
AR
Urgo
—
Ut (
Ett
lum, to
Eigo
CE
Otene
tis Pl. ſ

Iis DG, EH
F. Hè

„

N=

gue Zi⸗
0s Conſtitu⸗
ſint Zgua-
Prtæter an⸗
ONN 21i
fot eqa⸗
lt Eebalin

I.

ohos citel⸗
D guo ſi 3
duæ teſte
mmebunt he
ngentidus,
in convexN
ine darum,

Jub. .

1 /1

Tab. IX. Fig. XV. Ctrculorum datorum cen-
tra ſint A, B: datum erit punctum C, ex quo
ſi ducantur ad circumferentias duæ rectæz CR,
CE (vel aliæ quævis CS, CG) comprehen-
dentes angulum RCE (TCG) æqualam dato
Lcontinebunt hæ una cum reftis RE, SC △
CRE = ACSG= A CTK quod quidem
triangulum CTK magnitudine datum eſt ob da-
tas magnitudine CT, CK & angulum TCB
datum.
Neſolutio. Sit ita, datum videlicet punétum
C. Erit adeo duétis CS, CG, quæ pariter
comprehendant datum angulum L juncétaque
recta SE;
A REC = Q△ CSC
Ergo (ob angulum RCE = SCG) CK.
CE – CS. CG (Lemma Coroll.)
Et CS: CR = CE: CGC.
Eſt autem ob ſecantium partes extra circu-
lum, totis reciproce proportionales
CS: CR = CD: CE
Ergo CD: CF = CE. CG. Sive CD:
CE =— CFE 2 CC. RM
Oſtenditur autem (nti in reſolutione Poriſma-

tis VI. factum) ſ ſit CD: CE = CF: CG;

60

152

eo ipfo fore AC: CB=AD:; BE & conſe-
quenter punctum C datum eflfe.

Compoſitio. Inveniatur punctum Cuti in
Poriſmate præcedenti, & occurrat ACcircum-
ferentiæ concavæ in B, & BC eircumferentiæ
convexæ in K. Quod ſi jam a puncto C, ſub
dato angulo L, = ACB ducantur duz rectz
CR, CE una ad concavam altera ad circum-
ferentiam convexam, & jungatur REK: ſimili-
ter ſi ſub eodem angulo ducantur CT., CK
& jungatur PK. Erit △ RCE =— A TCK.
Tab. VI. Fig. XVII.

Demonſtratio. IJungantur DE, HK. Frit

(per bPoriſma VI.) △ DCEOo △ HCK-

Ergeo DC: CH — EC: CK.
Sed ob ſegmenta totis ſecautihus reciproce
proportionalia eſt
DC: CH=CT: CKR
Ergo TC: CR = EKC: CK
Et CK. CE = IC. CK.
Eſt autem angulus RKCE = TCK (per
eonſtructionem.)
Igitur (per Lemm. Coroll.) △ ö ꝰ RCE =
A“ TCK. §CUO.

Cnos
Poriſma
4 Pappo

is, ghl

Tiſmata
Pitebit,
neimn

40

Kin

fnmti &

angrlorn

Tab,
tum ”&

B, d,

Vem
tentrum
Rcirenln
rectæ C
tum AF
2R

BE & conle⸗

4

tum C uti in
t ACcircum-
ircümlerentiee
uncto C., inb
tot duæ recte
tera ad circum=
Ir RE: Emil⸗
tur CI, CK
BATCK.

N, HK Et
„ A HCE.
..
tihus teclptoee

K

21CX (x

A NCE=
NNO.

153
SCHOLION.

Quod mode ſequitur Theorema, non quidem

Poriſma eſt, at inter infigniores propoſitiones,
a Pappo in Colleétionibus Mathematicis ſerva-

tas, quæ quidem ad invenienda Kuclidis Po-
riſmata viam ſternerent, uti & ex Corollario
Patebit. Eſto autem ad hanc ipfam bropoſitio-
nem

LEMMA I.
AD THEOREMA LCLETIMUM.
THEOREMA.

Si in quadrilatero duo anguli oppoſiti ſimul

ſumti æquentur duobus rectis, erunt vertices

angulorum in eodem circulo.

Tab. INX. Fig. XVI. Sit ABED quadrilate.
rum & B † D= 2 R= A †+ E erunt A,

B, E, D in eodem circulo.

Demonſtratur. Tranſeat circulus, cujus
centrum C, per A, B, E & jungatur (D,
ſi circulus non tranſit punétum D) tranſeat per
rectæ CD aliud punctum F & jungatur AK,
tum AF, FE. Erit itaque ABE † à FE.
— 2 R. Eſt autem (hyp.) ABE † ADE
= 2 R.

— 2 R. Ergo AFE= ADE five AFC.
CFE — ADF P FDE, quod dici nequit
cum fit ADF = AFC & FDEP = CFE.

LE MM A II.
Si rectæ indefinitæ applicetur perpendicula-
ris, & ex hujus puncto ad libitum aſſumto du-
catur utcunque resta tranfiens indefinitam. ex
puncto autem ipfius indefinitæ ducatur ad trans-
euntem perpendiculum, erunt punctum indefi-
nitæ, cui applicata eſt perpendicularis punétum
perpendicularis applicatæ, punctum rectæ inde-
finitæ ex quo ducta eſt perpendicularis ad trans-
euntem, & punctum ubi hæc tranſeunti occur-
rit, in eodem circulo.

Tab. VIII. Fig. XVII. Rectæ indeſinitæ A B
applicetur perpendiculum AE., per K ducatur
utcumque EKD occurrens ipf AB in C, & ex
Gdemittatur G perpendicularis ad ED, erunt
puncta A, E., G, F in eodem circulo.
Gimiliter ex rectæ indefinitæ AB puncto B
erigatur perpendicularis BD, & ex puncto 0
ducatur utcumque DE occurrens rectæ AB in

Ctum ex quolibet puncto G demittatur in ED
per-

petpencienleni

D, G, Fin

Demnonſtra
Drgo 4C.
=IC. C

in eodem cire

Demonſt
L:
& F. I
D, C. Vi

XX

R Enici
puncta extt
lues, ducat
rens Derpen
culi: pund
ductæ Perpe
Anite, dico
henfum, a
una cum pe
tinetar, ve
tis iametri
cula ſund

l dici neggit⸗

I.

. Oirpendicnle⸗

Catur ad trans-
an um ingeki⸗

blaris punctum
im tebte inde⸗
s a0 trans-
Ceumdi Ocdu⸗

deſtite A
er E ducatur
in 0 er
45D., erunt
cirenlo.
zuntto
n puncto
ede Abin
ttatur 1ED

el⸗

155

perpendicularis GF; erunt rurfum punéta B,
D, G, F in eodem circulo.

Demonſtratur. I. O△ACE Oι A FCB
Ergo AC: CE= FC: CG. Er AC. CG
— EC. CF. Ergo puncta A, K, Cr, F

in eodem circulo (per Lemma ad Poriſma IV.)

Demonſtratur. II. △ DFL % △IBG.
FL: LD= BL: L
& FL. LG = BL. LD ergo puncta B,
D. G. F in eodem circulo (per idem.)

*XX THEOREMA.

Sit ſemicirculus ſuper recta indefinita & ad
puncta extrema diametri erigantur perpendicu-
lares, ducatur autem utcunque recta, occur-
rens perpendicularibus & circumferentiæ cir-
culi: punéto huic applicetur recta, utcunque
ductæ perpendicularis, occurrens rectæ inde-
finitæ, dico reétangulum perpendiculis compre-
henſum, æquari rectangulo, quod diametro
nna cum parte producta, & parte producta con-
tinetur, vel etiam retangulo circuli in ſegmen-
tis diametri contento; prout vide licet perpendi-
cula ſunt verſus partes oppoſitas, vel easdem.

Tab. IX.

156

Tab. IX. Fig. XVII. & XVIII. Rectæ inde-
finitæ pars A B ſit diameter, huic ducantur per-
pendiculares AE, Bü1) ducatur autem utcun-
reéta DE occurrens perpendiculis in D & E,
indefinitæ in C, circulo in F; puncto F appli-=
cetur EG perpendicularis ipſi DE occurrens
indefinitæ in G. Dico AE. BD= AG. GB.
Keſolutio. Sit ita: videlicet AE. BD =
AG. CB.
Erit adeo EA: AU— CB: BD. Sunt au-
tem latera proportionalia circa æquales angu=
los, quippe rectos: hinc ductis GE. G) erit
AGE % △ BGD & angulus AGE = B00G.
Ob AACE CFB (Tab. VIII. Fig.

XVII.) erunt punta E, A, F, G in eodem

circulo. (Lemma II.) . Ob quadrilateri AEFGE
(Fig. XVIII.) angulos oppoſitos ſimul ſumtos,
duobus rectis æquales, erunt puncta A; E.
F, Gin eodem circulo, (Lemma I.) ſi ergo
cogitetur circulus per hæc pundta tranfire; erit
angulus AGE= AFEK, cum uterque inſiſtat
arcui cujus chorda AE: five anguli erunt in

eodem ſegmento.

Ob

5

0b A

Erunt puntta

(Lemm. II.).
los Oppoßtos d
a , C. E
mal.) ſ ergo
Gta franſire, en
inliſtant arcui
Erunt aute
AG8, B00 4
R Nna
4G = 4
Et ob Angulan
C, D, F in
Dit deo
Ducantur
EVBYBF.
in et, enm
in egmento
tece E.

Cumpolti⸗
Eſt Apgol
Nt AFB-
AE= B

1
—

III. Redte inde.
it ducantur per-
Ut autem utcun-⸗
culs in 0 & L,
uncto Fapyli-
DE occorrens

et Al. DD=

DD. Sunt au⸗
4 Egbales angl⸗
C., G0)at
C = D.
Tab. VIII. dig.
P, Gin eodem
düillateri AEFG
1s ſmnl lumtos,
puncti A, L.
mmal.) ſ etgo

e: erit
a tranfite; ert

ntergue inſiſtar

vguli erunt in

0

— ☛ 18477
Ob A BLG „ A LFD (Fig. XVII.).

Erunt puncta B., G, D. in eodem circulo.

(Lemm. II.). Ob Quagrilateri PCBD angu-
los oppoſitos duobus rectis æquales, erunt pun
cta B, G, F, D in ecdem circulo: (Lem-
ma I.) ſi ergo cogitetur circulus per hæc pun-
cta franfire, erit angulus BD G = BFG; cum
inſiſtant arcui cujus chorda BG.
Erunt autem ex hypothefi triangulorum
AGE, BDG fimilium: angulus A GE = B006.
Et ob puncta E, A, F, G in ecdem circulo
ACE = AFE. Erit ergo BDG = AFE.
Et ob Angulum BDC = BFGob puncta B,
G, D, F in eodem cireulo:
Erit adeo AFE = BFCX.
Ducantur AF, FB. Erit ergo AFE EFB ==
EFB† BFG. Sive angulus AFB = EFG. Quod
ita eſt, cum uterque ſit rectus. Eſt enim A FB
in ſegmento ſemicirculi; & FG perpendicularis
rectæ EF.

Compoſitio. Jungantur DG, AF, FB.
Eſt Angulus AFB = EFG.
Et AFB — EFB = EFCG –— EFB. Sive
AFE = BFC.
Ob

158
Ob puncta E, A, F, G in eodem circulo: eſt
AFE= AGE (quod oſtenditur, uti antea.)
Ergo BFG = AGE.
Similiter ob puncta B, D, G, F in eodem
circulo: eſt angulus BFG = BDG.
Ergo angulus AGE = 6800G.
Jam vero angulus EAG = CGBD = R (per
hypotheſin).
Hinc in AAα, EAG, BDG tertius EGA = B0G
Ergo A-EAG △ BDG. Et
EA: AG = GB: BD.
Ergo demum AE. BD = AG. GB.
Coroll. Wato poſitione & magnitudine cir-
culo, ſi ducantur duæ rectæ ſemicirculum ſu-
pra diametrum contingentes, datum erit pun-
ctum, a quo ſi ducatur utcunque recta ad pun-
ctum in circumferentia, & a puncto hoc alia
recta, cum illa recta angulum conſtituens, ab-
ſcindet hæc alia recta a contingentibus, ſeg-
menta verticibus diametri ad jace ntia, quæ con-
tinebunt rectangulum dato reétangulo Wιquale.
Punétum igitur inveniendum erit in diametro
vel extra ecam. Ponatur illud primo effe extra
diametrum: ſi ergo ab eo ducatur recta ad al-
terutrum verticem diametri, occurrens circum-
ferentiæ. & in punéto occurſus ducatur eidem
perpendicularis, hæc nullum abſcindet ſegmen-
tum

.

tum ¹ contine

tionem 45. Bl
rectangulum à
Ab, datur ade
punctam G.
Cum G, gnod
rectangulo En
dum; nam dad
erit redtanguln
eſt, er conſtru⸗

5

Denoniratie

dedenget K

Mdem circulo eit

r, Ni antea)

6, F in eodem

D= R (per

ius à = 500
Et

40. Gb,

wagnitucine cit⸗
eKeum u⸗
datum erit pun-
le tecta ad pun
bu pundho hor ls

dangulo en,

ert in hmetto
Pri imo eſle extia
atut ketti 21 4.
Cutrels citenm⸗
6. Gucatur eidem
tlepcnen⸗

blci indet kee
tumm

e . 159

tum a contingente per verticem hunc ducta;
abſcindet autem ſegmentum ex contingente re-
liqua: unde nullum erit re ctangulum abſciſſis
contentum; quod eſt contra hypotheſin. Non
ergo punctum erit extra diametrum.
Tab. VIII. Fig XVIII. Sit igitur punctum

„

inveniendum in ipfa
ducatur per dunctum F, recka EFD perpendi-
cularis recteæ FG
in E, D. Erg

bitur reétangulo dato. Jam vero per Propoſi⸗

ametro A B, fitque illud

F ad circumferentiam,

*& contingentibus occurrat

S α
2
α

ex hy potheſi AE. BD gqua-
tionem AE. BD = AG. GB. Datum erit ergo
rectangulum AG. GB. Data eſt autem paritet
AB, datur adeo eo ipio GB & conſequenter
punctum G. Sumator igitur in diametro pun-
cGtum G, quod faciat rectangulum AG. GB dato
reétangulo æquale: erit G punctum invenien-
dum; nam dusétis EGF, EFD, ut dictum fuit,
erit rectangulum AE. BD = aG GB, hoc
eſt, ex conſtructione, dato rectangulo.

OOLI UM.

Demonſtratio Corollarii ab hac Propoſitione
dependet: Si duæ rectæa comprebendant re.
Kange.

160 , e ee

ctangulum magnitudine datum, detur vero
rectarum harum ſumia vel differentia; quæ-
libet earundem data eſt. Theorema hoc,
quod ad Data, five Propoſtiones de Datis per-
tinet, non adeo manifeſtum eſt, ac Data reli-
qua, ad quæ inventionem punétorum in Poriſ-
matibus quæſitoram hucusque deduximus. De-
monſtratur vero ab Kuclide generatim de quo-
vis Parallelogrammo, cüjus latera comprehen-

dunt angulum datum, Propoſ. 84. & 8. Da-

torum. Optandum profefto foret, ut in Ger-
mania crebrior iis eſſet libri hujus copia, qui
veterum Analyſi operam addicunt: Anglorum
emolumentis EUCLIDIS DATA emendatiora
& auctiora edidit ROB. SIMSON, imprefſa
Glasguæ 1762: tum rurfus uns cum Elemen-
tis Euclidis, quinta Datorum editio, idiomate
anglicano conſcripta, lucem vidit Edimburgi

775.
F I N I S.

127 penlt,
41 17 —

43 1I —

2

ERRATA.

n, defiy de
A; . FPagç. Lin. loco Corrige
nes de Datis per. : 27 penult. DC AB –- DC. AB
eſt, ac Dita reli. 44 17 — 60 — — PO

nKorum in boriſ- c2² cxa
deinximus, De- 43 II — = †5 q 2²* — † q x2 = —
enentim de quo⸗ a
Atera compfehen- — am“ — am?*
N d⸗ l — *— aq ² † 2aq † — c aq“* † 2a q-F a=C
ſoret, ut in Ger. 4 T 2a 4 T 24
uins conir, gii 44 19 — quo — — quod
lcunt: Auglorum 48 3 — Rtut — — ut
414 emendationt 53 ult. — BC2 — — HB²*
80 N, Wheht —
umn eum Llemen- 73 10 — à † 2Z X a — Z — àa T 2 * à — 2Z
editio, idiomate 2 bq *X 2 bp X
Mimburg 77 à — P — 45 — p=†W☚⁊
8. 79 ult. — △ BE xX — Q BEX

90 1 — ex odem - ex eodem

I00 3 — ED:EH =— Eh. EH.

2 2
115 5 — X (a Tx *) — X ² (aF xX)
122 1I5 — HB. EK — EkK. EH
124 8 — — KAKn
I28 2 AlH: HE (KG= AC: CH =— AH: HE
— — = AG: GH (KG)
— 1I — AG: AG — AG-: KGC6.

130

Bag. Lin.
130 F
J3I I
135 12
137 12
138 12
— 15
142 —
145S 4
151 fI
— 5
155
—- 20

ERRATA.

loco Corrige
AB DBD = AB. DB
taleles —2 — tales
junéta Aà — junéta AL.
Contentum — Contentum æquale
AE AD -— AE. A
AE. D. — AE. El-
Circulo ſegmento Circuli ſegmento
rectez -- rectæ
Ctreulorum - Circulorum
(TcGG) — (SCG)
FCB — — AQFCG
nuna — una
ACFB — — QCTFG.

egoale

Emmento

— —— –

—

TA B. VII.

—

.

= TAB IX APPEND

3,er aen kirois
1 4 1

eTheſe eſs
39 HMNeN
N

a . .
eRall vdt

1,rer 149 AKReE vααοοα telae 44 bee reit,⸗ e
z„ mne Paf⸗ * P Go N 8 len 45 Ataertrse ſ 8deg. askar. o-
deRel ati õ 124. F. 24 NRt krU5 No ſonHd,18 .

EXERCITATIONH ES

ANALT. T 160 TPHETICE

MATHESI PURA:
ILLUSTRANDZ CINMPRIMIS
GEOMETRIAE VETERUM;
USIBUS VERO
PHILOSOPHICARUM HUMANIORIUMQUE PA-=-
TRIX MONASTERIENSIS SCHOLARCUM
ACCOMMODATA:
VCZ O X E
CASPARO ZUMKLEY,
EMINENTISSIMI ELECTORIS COLONIENSIS
A C PRINCIP. MONASTERIENSIS CONSILIARIO
ECCLESIASTICO, GVMNASII PAULINI MO.
NASTERII WESPPHALI DIRECTORE,

ð ET MOTHESEOS SUBLIMIS
PROFESSORE.

CUM FIGURIS.

MULETUM AUCTA ET EMENDATA.

. D/ D EG10.
MONASTERII WESTPH CALORUM,
SCUMTIBUS PHIL. HENR. PERRENON
⸗ MDCCLXXXIII.

VierFarbSelector Standard*-Euroskala Offset

2 3 4 5 6

. Copyright 4/71999 VxyMaster Gmbhi www.yXVmaster. com

1